Автоматический контроль систем управления - Гаскаров Д.В., Мозгалевский А.В., Блинов И.Н.

Author: Гаскаров Д.В. Мозгалевский А.В. Блинов И.Н.
Tags: регулирование и управление машинами, процессами автоматизация электрические схемы издательства энергия системы управленя автоматизация контроля
Year: 1968
Similar
Надежность технических систем
Надежность строительных конструкций магистральных трубопроводов
Морской сборник 1976 № 01
Справочник по расчету надежности аппаратуры радиоэлектроники и автоматики
Text
                    АВТОМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
К
|| И. Н.БЛИНОВ, ДВ.ГАСКАРОВ, А.В.МОЗГАЛ Е ВСКИЙ
Ввинмииммиии
И. Н. БЛИНОВ, Д. В. ГАСКАРОВ, А. В. МОЗГАЛЕВСКИЙ
АВТОМАТИЧЕСКИЙ КОНТРОЛЬ
СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
УДК 62-50.004.5
6П2.15
Б 69
В книге излагаются основы автоматиза-
ции контроля систем управления. Опреде-
ляются условия работоспособности однокон-
турных и многоконтурных систем управления
итр^гулироцанир, области допустимых изме-
нений контролируемых параметров. Эти за-
дачи решаются выполнением анализа в ком-
плексной плоскости и применением метода
малого параметра. Указываются пути полу-
чения функций передач для обнаружения
неисправностей в электрических схемах по
деформации гармонического сигнала. Разви-
ваются методы прямого и обратного аналити-
ческого и вероятностного прогнозирования.
Описываются оригинальные автоматические
устройства определения работоспособности и
прогнозирования. Определяются условия
сохранения работоспособности систем управ-
ления при условии колебательного и моно-
тонного изменения параметров.
Книга предназначена для инженеров,
специализирующихся в области автоматиза-
ции процессов контроля систем управления
и регулирования, и студентов высших учебных
заведений.
3-3-13
225-68
ПРЕДИСЛОВИЕ
Бурный рост техники и повышение степени автоматизации про-
цессов управления приводит к созданию сложных многофункцио-
нальных автоматических систем, которые требуют нового подхода
к их эксплуатации и, в частности, к решению задач эксплуата-
ционно-технического контроля. Необходимость нового подхода
определяется увеличением объема информации, характеризующей
состояние контролируемого объекта, что ведет к большим затратам
времени на выполнение контроля, и требованием увеличения ско-
рости работы и времени реакции до уровня, превосходящего че-
ловеческие возможности.
Новый подход к решению задачи в первую очередь сказывается
на методах выполнения анализа контролируемых систем, требует
разработки новых методов контроля состояния систем и ставит
перед необходимостью решения вопросов об оптимальной эксплуа-
тации и эксплуатационно-техническом контроле в период проекти-
рования автоматических систем. Важную роль в решении этих за-
дач играет автоматизация контрольных операций или автоматиче-
ский контроль систем управления объектами.
Термин автоматический контроль довольно ши-
роко используется в технике. Для конкретизации задач, решаемых
в данной книге, вводится следующее определение автоматического
контроля.
Автоматический контроль — это выполнение без участия че-
ловека операций по определению работоспособности, обнаружению
неисправности и прогнозированию изменения состояния контроли-
руемого объекта.
В соответствии с введенным определением в книге последова-
тельно излагается материал, связанный с решением основных за-
дач автоматического контроля.
Книга содержит семь глав. В первой главе вводятся основные
определения и классификация основных методов решения задач
автоматического контроля.
Во второй главе определяются условия работоспособности авто-
матических систем. При этом анализ проводится в комплексной
плоскости, что позволяет {непосредственно прлучить область до-
пустимых изменений характеристик систем. Применение метода
3
I
конформных отображений в этом случае дает возможность полу-
чить одновременно область допустимых деформаций амплитудно-
фазовой характеристики системы.
В третьей главе развивается метод малого параметра примени-
тельно к решению задачи определения границ допустимых измене-
ний контролируемых параметров, причем задача решается в от-
дельности для одноконтурной, многоконтурной и нелинейной си-
стем. В заключение главы излагается метод построения модели,
эквивалентной контролируемой системе, основанный на ограниче-
нии допустимых перемещений полюсов передаточной функции си-
стемы.
Четвертая глава посвящена методу обнаружения неисправно-
стей в электрических системах, основанному на оценке деформации
контрольного сигнала. В отличие от изложенного в [Л. 14] при-
водится различный математический аппарат (матричный анализ,
структурные числа и др.), позволяющий получить функции пере-
дачи при выбранных точках ввода и вывода контрольного сигнала.
На примере магнитного усилителя показывается возможность об-
наружения различных неисправностей, возникающих в схеме.
В главе пятой приводится новый материал по прогнозированию
изменения состояния автоматических систем, осуществляемому
по характеру изменения контролируемых параметров. Развивая
старые [Л. 14] и предлагая новые методы решения задачи прогно-
зирования, авторы показывают пути решения обратной задачи-
обратное прогнозирование.
Глава шестая содержит описание оригинальных устройств,
разработанных авторами, автоматически решающих отдельные за-
дачи эксплуатационно-технического контроля. Описываемые уст-
ройства предназначены как для автономного использования, так
и для применения в специализированных системах автоматического
контроля.
В главе седьмой излагается материал по анализу поведения ав-
томатических систем при условии колебательного или монотон-
ного изменения основных контролируемых параметров. Приво-
дятся примеры применения универсальных электронно-вычисли-
тельных машин для решения подобных задач в период проектиро-
вания контролируемых автоматических систем.
Для облегчения практического применения основных теорети-
ческих положений каждый новый метод сопровождается конкрет-
ным техническим примером.
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Автоматический контроль в отличие от инструментального пре-
дусматривает выполнение контрольных операций без вмешатель-
ства человека (оператора). При этом в результате выполнения кон-
троля необходимо установить, удовлетворяет ли в данный момент
(или будет ли удовлетворять в дальнейшем) состояние контроли-
руемого объекта предъявляемым требованиям и, если не удовлет-
воряет, то почему. Такая постановка вопроса о контроле объеди-
няет три основные задачи: определение работоспособности, обнару-
жение неисправности и прогнозирование изменения состояния
контролируемого объекта.
В этом случае работоспособность определяется как такое со-
стояние, при котором контролируемый объект удовлетворяет тре-
бованиям, установленным для его основных параметров. Поскольку,
обычно, реальные объекты допускают некоторые отклонения, (в пре-
делах допусков) для значений основных параметров, то оказывается
целесообразным ввести понятие степени работоспособ-
ности, которая определяется по степени отклонения контроли-
руемых параметров в пределах установленных допусков. Вполне
очевидно, что степень работоспособности характеризует «запас
работоспособности» в системе, т. е. степень приближе-
ния контролируемых параметров к допустимым пределам их из-
менения.
Неисправность рассматривается как такое изменение
структуры контролируемого объекта или параметров элементов,
которое приводит к снижению степени .работоспособности или пол-
ной потере работоспособности объекта.
С целью предупреждения потери работоспособности объекта
можно по результатам контроля осуществлять прогнозирование из-
менения состояния контролируемого объекта. При этом под прог-
нозированием понимается предсказание характера изменения ра-
ботоспособности контролируемой системы в будущем.
Последовательность и методы решения основных задач кон-
троля определяют структуру программы его выполнения. Программа
S
выполнения контроля определяется как заданная последователь-
ность выполнения контрольных операций по решению задач опре-
деления работоспособности, обнаружения неисправности и прогно-
зирования изменения состояния контролируемого объекта.
Программа и методы контроля во многом определяются усло-
виями, в которых находится контролируемый объект, т. е. нахо-
дится ли он в рабочем или нерабочем состоянии. При этом объект
будет называться работающим в том случае, если в период кон-
троля он выполняет свои рабочие функции.
Поскольку настоящая книга посвящена вопросам автоматиче-
ского контроля систем управления, то в дальнейшем термины,
объект контроля и контролируемая система
будут использоваться как синонимы.
§ 2. КЛАССИФИКАЦИЯ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ
АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ
Каждая из рассмотренных выше трёх основных задач контроля
имеет свою специфику. Действительно, при определении работо-
способности необходимо только удостовериться в том, что контро-
лируемый объект по своему состоянию может выполнить или пра*
вильно выполняет свои рабочие функции. При обнаружении неис-
правности перед нами стоит задача определения причины тоТю,
что контролируемый объект не сможет выполнить или не выполняет
свои рабочие функции. Наконец, при прогнозировании необходимо
уловить тенденцию в изменении состояния контролируемого объекта
и предсказать последующий ход его изменения. Различия в харак-
тере и целях, которые должны быть достигнуты при решении ос-
новных задач контроля, требуют раздельного рассмотрения мето-
дов решения для каждой из задач.
В табл. 1 приведены методы решения первой задачи контроля—
определения работоспособности. В основу классификации поло-
жено определение работоспособности как определенного состояния
объекта.
Во-первых, о работоспособности системы можно судить по со-
стоянию отдельных ее элементов. При этом состояние отдельных
элементов определяется в результате комплекса измерений (изме-
рение омических, индуктивных, емкостных, полных сопротивлений
и других электрических параметров), которые могут быть выпол-
нены всеми известными в теории измерений методами, т. е. непо-
средственными, косвенными и совокупными. Каждое из измерений
может быть выполнено дифференциальным и компенсационным спо-
собами.
Во-вторых, работоспособность системы может быть определена
по характеру ее реакции на рабочие или специальные контрольные
сигналы. При этом оценка состояния системы осуществляется по
степени отклонения ее статических и динамических характеристик
в период контроля от номинальных характеристик системы.
6
Статистические характеристики системы могут быть получены
при введении в контролируемую систему специальных контрольных
сигналов или в ходе наблюдения за функционирующей системой
в стационарных режимах.
Таблица 1
Методы определения работоспособности
1. По состоя- нию элементов системы	Непосред- ственные измерения	Дифференциальный способ
		Компенсационный способ
	Косвенные измерения	Дифференциальный способ
		Компенсационный способ
	Совокупные измерения	Дифференциальный способ
		Компенсационный способ
2. По реакции системы	По статисти- ческим харак- теристикам	С помощью стимулирующих сигналов
		По наблюдению за работающей системой
По динами- ческим харак- теристикам	По времен- ным харак- теристикам	С помощью стимулирую- щих сигналов	Единичные функции
			Импульсные функции
		По наблюде- нию за рабо- тающей систе- мой	По обобщен- ным парамет- рам
			По модели
	По частот- ным харак- теристикам	С помощью стимулирующих сигналов	
		По наблюде- нию за рабо- тающей систе- мой	По обобщен- ным парамет- рам
			По модели
Динамические характеристики, которые разделяются на вре-
менные и частотные, могут быть определены в контрольном режиме
по реакции системы на специальные стимулирующие сигналы или
в рабочем режиме эксплуатации статистическими методами.
Таблица 2
Методы обнаружения неисправностей
1. Индикация	С помощью датчиков	встроенных	Активным способом
		- - -	Пассивным способом
	С помощью датчиков	невстроенных	Активным способом
			Пассивным способом
	С помощью	модулей индикации неисправностей	
2. Поиск	На основании статисти- ческих характеристик		По степени надежности
			По максимальной инфор- > мации
			Методом последовательного анализа
	На основании анализа структуры системы		Анализ дифференциальных уравнений
-			Анализ передаточной функ- ции	
			Инженерно-логический анализ
В качестве стимулирующих сигналов могут быть выбраны сту-
пенчатые или единичные импульсные входные воздействия, кото-
рые обеспечивают получение временных характеристик, и гармони-
ческий сигнал с переменной частотой и постоянной амплитудой,
обеспечивающий получение частотных характеристик. Контроль
динамических характеристик системы в условиях ее нормальной
эксплуатации может быть осуществлен наблюдением за обобщен-
ными параметрами, определяющими динамические свойства си-
стемы. Обобщенные параметры выбираются в результате анализа
структуры и динамических характеристик контролируемой системы.
Наконец, степень работоспособности может быть определена
сравнением ее реакции с реакцией динамической модели. на. одни-
и те же стимулирующие, или рабочие .сигналы. .При .этом .значит:
тельное упрощение динамической модели и. вдледствие .этого, !!^:
а
вышение ее безотказности может быть достигнуто правильной фор-
мулировкой условий работоспособности -контролируемой системы.
В табл. 2 приведены методы обнаружения.неисправностей. Все.
возможные методы разделены на методы индикации и методы по-
иска неисправностей. При этом в первом случае в контролируемом
объекте размещается определенное количество датчиков, обуслов-
ленное требующейся глубиной обнаружения, которые обеспечи-
вают индикацию неисправности в случае ее возникновения. Обычно
датчики не выполняют каких-либо других функций, кроме функ-
ций контроля, и конструктивно могут относиться к контролируе-
мому объекту (встроенные) или к контрольной аппаратуре (не-
встроенные). Исключения составляют датчики, которые выполняют
рабочие функции в контролируемом объекте. Такие датчики иногда
называют модулями индикации неисправности.
Во втором случае неисправность обнаруживается в процессе
поиска, т. е. выполнения ряда контрольных операций, осущест-
вляемых по определенному плану. При этом план поиска может
основываться на известных статистических характеристиках элемен-
тов или на данных анализа структуры контролируемого объекта.
Наличие статистических данных позволяет построить план поиска по
степени надежности контролируемых элементов объекта, по мак-
симуму получения информации для каждой последующей операции
и на базе использования основных положений последовательного
анализа. Анализ структуры системы может быть выполнен
на основе исследования математических описаний i(уравнений, пе-
редаточной функции) контролируемой системы или методами так
называемого инженерно-логического анализа. В последнем случае
в большей степени -учитываются конструктивные особенности и
условия эксплуатации контролируемой системы.
В табл. 3 приведены методы прогнозирования изменения со-
стояния контролируемого объекта. В основу классификации поло-
жены задачи, решаемые при прогнозировании, и используемый ма-
тематический аппарат. При прогнозировании может определяться
величина прогнозируемого параметра (аналитическое прогнозиро-
вание) или вероятность выхода (невыхода) контролируемого пара-
метра за заданные пределы.
Аналитическое прогнозирование может быть выполнено с по-
мощью аппарата численного анализа или теории, случайных функ-,
ций. При этом в первом случае могут быть использовайы полиномы
Лагранжа, Ньютона, полиномиальное представление, метод наи-
меньших квадратов, .ортогональные полиномы Чебышева, ряд Тей-
лора и эмпирические выражения. Во втором, случае для решения'
задач прогнозирования может быть привлечен аппарат: линейной,
нелинейной экстраполяции и канонического разложения___ . з.-.тс
Вероятностное прогнозирование может быть выполнена для; раз-
личных законов распределения, значений контролируемые‘пйра^
метров (нормальное распределение,. распределение Стьюдента)' Или
С использованием неравенства Чебышева;:	о-.гн ен г.
*
Таблица 3
Методы прогнозирования изменения состояния объекта
1. Аналитическое прогнозирование	Численный анализ	Полином Лагранжа
		2-й полином Ньютона
		Полиномиальное представле- ние
		Метод наименьших квадратов
		Ортогональные полиномы Че- бышева
		Ряд Тейлора
		Эмпирические выражения
	Теория	случайных функций	Линейная экстраполяция
		Нелинейная экстраполяция
		Каноническое разложение
2. Вероятностное прогнозирование	Нормальное распределение	
	Распределение Стьюдента	
	Неравенство Чебышева	
§ 3.	ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРОГРАММ АВТОМАТИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ
СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Программа контроля может предусматривать как непрерывное,
так и периодическое выполнение контрольных операций. При этом
возможно параллельное или последовательное решение основных
задач автоматического контроля.
Структура программы контроля определяется целым рядом раз-
нообразных факторов, из которых основными являются следующие:
1)	условия выполнения контроля, т. е. место выполнения и
время на него отводимое;
W
2)	назначение контроля и задачи, которые в процессе контроля
должны быть решены;
3)	режим системы (объекта), т. е. контролируется система в пе-
риод выполнения своих рабочих функций или в период контроля
система (объект) не выполняет своих рабочих функций, а находится
в специальном контрольном режиме;
4)	технические средства, которые предусматривается исполь-
зовать для выполнения контроля.
Эти факторы тесно связаны между собой и в ряде случаев опре-
деляют друг друга. Так, например, задачи, решаемые в период
КОНТРОЛЯ, МОГуТ быТЬ СВЯЗаНЫ С УСЛОВИЯМИ, В КОТОрЫХ ОН ВЫПОЛ-
няется. Действительно, в стесненных условиях (на судне, самолете)
ставится только одна задача перед контролем — определение ра-
ботоспособности. Поскольку практически в этих условиях система
не восстанавливается, то очевидно, что в данном случае программа
контроля может быть достаточно проста и может предусматривать:
1)	оценку сравнительно небольшого числа обобщенных пара-
метров, характеризующих работоспособность контролируемой си-
стемы;
2)	выполнение самоконтроля после каждой измерительной опе-
рации для повышения достоверности результатов измерения;
3)	выдачу индикации о состоянии контролируемой системы и
регистрацию результатов измерений для использования их при
прогнозировании.
Контроль тех же систем в условиях возможности восстановле-
ния и наличия технических средств и квалифицированного обслу-
живающего персонала может решать другие задачи. Программа
при этом должна предусматривать:
1)	непрерывное или периодическое определение степени рабо-
тоспособности системы;
2)	регистрацию результатов контрольных операций и выполне-
ние операций по прогнозированию изменения состояния контроли-
руемой системы;
3)	при потере или значительном снижении степени работоспо-
собности обнаружение неисправного блока или элемента;
4)	сигнализацию световую (звуковую) о состоянии контрол»
руемой системы, об обнаруженной неисправности, о необходимости
выполнения аварийных переключений.
Глубина обнаружения неисправности должна определяться с
учетом ремонтопригодности контролируемой системы и условий,
в которых контроль выполняется. Очевидно, что в условиях рабо-
тающей системы программа должна предусматривать обнаружение
неисправности только легко заменяемого блока, замена которого
может быть выполнена обслуживающим персоналом с наименьшими
затратами сил и времени и в ряде случаев без выключения системы.
Увеличение глубины поиска в этом случае нецелесообразно, по-
скольку результаты контроля не могут быть полностью использо-
ваны. Правда, в некоторых случаях, когда габариты контрольной
11
аппаратуры нелимитированы и ее усложнение не связано со зна-
чительным снижением конструктивной надежности, может быть
рекомендовано обнаружение неисправного элемента. При этом ин-
формация о неисправном элементе будет использована в период
восстановления замененного блока для пополнения комплекта за-
пасных блоков системы.
Режим контролируемой системы также во многом определяет
структуру программы выполнения контроля. Так, при работающей
системе, с одной стороны, условия контроля улучшаются, поскольку
информацию о состоянии системы или степени выполнения ею за-
данных рабочих характеристик можно получить непосредственно
при наблюдении за поведением контролируемой системы, но, с дру-
гой стороны, в этом случае бывает труднее выполнять те или иные
измерения, а также выявить причины потери работоспособности
(обнаружить неисправность) работающей системой.
В этом случае наиболее целесообразно определить работоспособ-
ность контролируемой системы, наблюдая за выполнением ею ра-
бочих функций. Наиболее сложным при этом является определение
параметров, характеризующих работоспособность системы и выбор
контрольных точек для обнаружения неисправностей. При осу-
ществлении контроля неработающей системы программа должна
обязательно предусматривать своевременное включение и выклю-
чение генераторов стимулирующих сигналов и своевременную по-
сылку этих сигналов в соответствующие узлы системы.
В настоящее время в большинстве практических случаев конт-
роль систем предусматривает выполнение так называемых проверок
на функционирование, т. е. проверку выполнения системой всех
ее рабочих функций. При этом программа контроля предусматри-
вает последовательное выполнение контролируемой системой всех
функций, для выполнения которых она предназначена. Однако та-
кое решение задачи имеет существенные недостатки. Во-первых,
включение системы, в которой. имеется неисправность, может при-
вести к аварии или поломке; во-вторых, при выполнении проверки
на функционирование необходимо расходовать моторесурс системы,
который в ряде случаев оказывается ограниченным. В связи с этим
в настоящее время разрабатываются новые методы контроля, ис-
ключающие выполнение проверок на функционирование.
В заключение остановимся еще на одном принципе построения
программ автоматического контроля,, когда автоматизации подвер-
гается программа инструментального контроля, что, однако, нельзя
признать перспективным. Основным преимуществом подобного
решения задачи является возможность использования в качестве
алгоритма контроля инструкцийтю проведению инструментального
контроля. Однако, если учесть, что упомянутые инструкции разра-
батывались применительно к технике и условиям, выполнения ин-
струментального контроля и без учета, возможностей автоматиче-
ского контроля, то становится^ясным, что в большинстве случаев
программа оказывается не полной и далёко не оптимальной.. При
13
таком построении программы не учитывается основное отличие в
методах автоматического и инструментального контроля. Необ-
ходимо заметить, что автоматический контроль отличается от ин-
струментального самим подходом к его выполнению. Если инстру-
ментальный контроль предусматривает постепенное усложнение
контрольных операций и начинается с проверок элементов, а закан-
чивается проверкой системы в целом, то автоматический кон-
троль, наоборот, целесообразно начинать с проверки системы в
целом, а затем постепенно переходить к проверке отдельных уст-
ройств блоков и элементов.
Программу контроля целесообразно представлять в виде логи-
ческой схемы, предусматривающей все возможные варианты вы-
полнения контрольных операций при решении основных задач
автоматического контроля. Логические схемы контроля упрощают
его техническую реализацию и могут быть использованы при раз-
работке систем автоматического контроля.
ГЛАВА ВТОРАЯ
УСЛОВИЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 4. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Свойства автоматической системы определяются ее характери-
стиками (статическими и динамическими). Отсюда состояние си-
стемы может быть оценено по степени совпадения получаемой при
контроле характеристики с номинальной характеристикой. Сущест-
вующие в технике допуски определяют некоторый разброс в ха-
рактеристиках системы, при котором система выполняет свои за-
дачи, т. е. является работоспособной. Таким образом, условиями
работоспособности системы является нахождение характеристики
в заданной области. Приближение контролируемой характеристики
к границам заданной области определяет снижение степени ра-
ботоспособности системы, а выход характеристики из заданной
области — потерю работоспособности системой.
В физическом отношении наиболее простым и вследствие этого
распространенным является рассмотрение процессов в функции
времени. При этом условия работоспособности должны быть полу-
чены при анализе системы во временной области. Допустимые пре-
делы изменения временных характеристик системы определяются
исходя из технических требований, предъявляемых к контролируе-
мой системе.
Одним из основных технических показателей большого числа
систем является их быстродействие, определяющее быстроту реак-
ции системы и время, необходимое для подготовки к действию.
Быстродействие системы может быть оценено по времени регулиро-
вания Тр и крутизне переходного процесса в начальный период р,
13
которые получаются непосредственно из анализа реакции контро-
лируемой системы на единичный сигнал.
Не менее важным показателем автоматической системы, исполь-
зуемым в сочетании с быстродействием, является точность, которая
определяется ошибкой регулирования Дх, т. е. разностью между
заданным и действительным значениями регулируемой величины.
В ряде практических случаев не менее важным для системы яв-
ляется ограничение числа колебаний п, возникающих в системе
при переходном процессе, которые приводят к износу механиче-
ских частей и бывают нежелательными в большинстве случаев по
техническим причинам.
Кроме того, часто технические требования ограничивают вели-
чину амплитуды отклонения сигнала на выходе системы от задан-
ного значения, т. е. величину максимального перерегулирования
омакс. Ограничение максимального перерегулирования для меха-
нических элементов системы обусловлено возможностью возникно-
вения больших динамических усилий, а для электрических элемен-
тов — значительных перенапряжений.
Таким образом, совокупность всех пяти показателей качества
(Тр, р, Дх, <тмакс, п), а в некоторых случаях и сочетание некоторых
из них, позволяет охарактеризовать работоспособность автоматиче-
ской системы во временной области.
Условия работоспособности можно получить при выполнении
анализа системы в частотной области, пользуясь при этом частот-
ными характеристиками. При оценке амплитудной характеристики
определяющими факторами являются, во-первых, полоса пропу-
скания частот Д®, которая характеризует скорость реакции си-
стемы, определяет приближенно качество воспроизведения вход-
ного сигнала и описывает фильтрующие способности системы, а,
во-вторых, характер (скорость) спада характеристики сразу за
частотой среза. При оценке фазовой характеристики определяющим
является отсутствие искажений в передаваемом сигнале, что может
быть обеспечено при отсутствии зависимости амплитуды и линей-
ной зависимости фазы от частоты. Наконец, важным показателем
является величина запаздывания системы Т3 = dp/d®, где р —
фазовый сдвиг на выходе относительно входа. Обычно задается
среднее значение Т3 в требуемом диапазоне частот.
При определении условия работоспособности системы по ам-
плитудно-фазовой характеристике следует установить допустимую
степень ее деформации, т. е. область, в которой должна находиться
амплитудно-фазовая характеристика в заданном диапазоне частот.
§ 5. АНАЛИЗ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБЛАСТИ
ДОПУСТИМЫХ ИЗМЕНЕНИЙ ХАРАКТЕРИСТИК АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Выполняя анализ в плоскости комплексного параметра р, можно
оценить непосредственно характеристики контролируемой системы
как во временной, так и в частотной областях и, следовательно,
14
определить условия работоспособности автоматической системы.
При этом исследуется расположение и перемещение полюсов и ну-
лей передаточной функции системы в плоскости комплексного па-
раметра р. Следует заметить, что для большинства технических
систем можно не учитывать влияние нулей и полюсов, далеко отстоя-
щих от мнимой оси, и тогда анализ сводится к определению допу-
стимых перемещений одного-двух нулей и двух-трех полюсов, пе-
редаточной функции, что значительно упрощает выполнение ис-
следований.
Если условие работоспособности ограничить только требова-
нием обеспечения устойчивости системы, то область допустимых
где xnj — номинальное значение действительной части /-го полюса.
Задача усложняется, если условие работоспособности допол-
няется требованием определенного качества переходного процесса.
Так, если потребовать от системы определенной степени затухания,
т. е. задать величину коэффициента демпфирования то область
допустимых значений корней полинома (рис. 1) будет ограничи-
ваться сторонами угла, симметричного относительно действитель-
ной оси, с вершиной в начале координат. Величина угла 0 опреде-
ляется заданным значением коэффициента демпфирования:
cos 0 = lj3.
Условием, определяющим допустимые перемещения 30f корней,
будет соблюдение следующего неравенства:
$0/ I *0/ tfs 4" Уо&з I — 8<Н макс ’
где х01 и у01 — соответственно Действительная и мнимая части
t-го комплексного корня р01 полинома, стоящего в знаменателе
передаточной функции, a li3 — заданное предельное значение
15
показателя. С дальнейшим увеличением числа показателей каче-
ства, определяющих работоспособность автоматической системы,
задача нахождения допустимых перемещений полюсов в комплекс-
ной плоскости р еще более усложняется. Так, если ограничить
еще и время регулирования, то область допустимых значений кор-
ней полинома знаменателя передаточной функции будет представ-
лять собой часть левой полуплоскости (рис. 2), заключенную между
прямыми	____
. У\
у = ± -—х; х = — а.
Допустимые перемещения корней полинома в этом случае будут
определяться уже двумя неравенствами:
Рис. 2. Область допустимых
значений корней полинома при
. Vi-&
X = Хз! У = ±-----*•
^0/ хо/ а»	(4)
или
8о< <£/%/ —
где (оп/ — текущее значение собствен-
ной частоты; при этом одно из не-
равенств окажется преобладающим.
Таким образом, увеличение числа
показателей aL характеристик, опре-
деляющих работоспособность авто-
матической системы, приводит к по-
явлению дополнительных условий (не-
равенств), ограничивающих область
допустимых перемещений корней ха-
рактеристического полинома.
В частном случае, когда в качестве показателя работоспособно-
сти выбран коэффициент усиления k, область допустимых переме-
щений корней характеристического полинома выродится в семей-
ство отрезков кривых (траекторий), ограниченных предельными
значениями показателей Для получения границ допустимых
перемещений pi по траектории следует воспользоваться известными
тождественными преобразованиями для целых полиномов [Л. 26],
а именно:
^1(p)^[r1(x)-£r;(x) + ^-r;v(x)-...] +
+ iy (х)- £ w; (х) + £ W? (X) - .. .1;
L	□ I	J
W2 (p) = [lT2 (X) -	W"2 (X) + £	(X) - ...] +
+ iy kHX) -	IF2" (x) 4- £ UZ2V (X) - ...
□ 1	0 I	J
16
Тогда характеристический полином
^2(Р) + ^1(Р) = О.
где р = х + iy — комплексный аргумент; может быть представ-
лен двумя уравнениями (приравниванием нулю действительной
и мнимой частей):
+ Лй71(х)-£|Г!1(х)+^-^у(х) +
О = IX (х)	(х) + f-WUx) + . • •] +
+k [if ; (х) - £ w; (х) + £ w у (x) +... 1.
о I	□ !	J
В этом случае детерминант вида
Г2(Х) -£-UMx) + .. .][jF,(x) -£ IF](х) -Ь • • •]
X (х) - ir; (х) +.. .IV; (х) - £- г; ю -н'
и !	и I
. будет определять геометрическое место точек корней характери-
• стического полинома на комплексной плоскости р. Воспользовав-
шись неравенствами (4) и (3), можно задать границы отрезков
траекторий корней характеристического полинома, определив тем
4 самым допустимые изменения параметра k, при которых контроли-
Xi руемая система еще обладает характеристиками at £ А, где А —
область допустимых изменений характеристик а(.
Значения для k при этом могут быть получены из соотношения:
Г2(х)-^-Г;(х)+...
— k =------------------
в?, (х) -	и?; (х) +...
(6)
при изменении х и у в заданных пределах.
Требование сохранения только устойчивости для работоспособ-
ности системы позволяет при определении критических значений
других параметров воспользоваться уравнением (5) при х — 0.
Для этих же условий можно найти и значение k, использовав урав-
нение (6).
§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТИ ДОПУСТИМЫХ ДЕФОРМАЦИЙ
АМПЛИТУДНО-ФАЗОВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ
Анализ изменения положения полюсов и нулей в комплексной
плоскости позволяет определить характер деформации амплитудно-
фазовой характеристики автоматической системы. Справедливо и
2 Заказ Xs 869
НАУЧНАЯ £ЛбЛадТЕКА.
им. ГОрЬКОГО
17
обратное положение — определение деформации амплитудно-фазо-
вой характеристики позволяет судить о расположении и перемеще-
нии полюсов и нулей характеристического полинома. Следова-
тельно, при определении области допустимых перемещений корней
характеристического уравнения автоматической системы можно
установить область допустимых деформаций амплитудно-фазовой
характеристики.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Отображение, осуществляемое с помощью пере-
даточной функции W (р), является конформным отображением.
Доказательство. Передаточные функции автоматиче-
ских систем представляют собой выражения вида
W (р) =	,
Q(P)
где F (р) и Q (р) — полиномы относительно комплексного аргу-
мента р. Следовательно, W (р) — рациональная алгебраическая
функция. Допустимость дифференцирования W (р) по аргументу р
следует из аналитичности функции W (р) в области абсолютной
сходимости функции f (t). Отсюда, производная W' (р) существует
повсюду в плоскости р, кроме особых точек, в которых знаменатель
превращается в нуль, а функция W (р) и все ее производные обра-
щаются в бесконечность. Теорема доказана.
Доказанное положение позволяет осуществить прямое конформ-
ное отображение плоскости комплексного параметра р на плоскость
амплитудно-фазовой характеристики. При этом прямоугольная
сетка координат х и у в плоскости комплексного параметра р =
== х + iy преобразуется в плоскости амплитудно-фазовой характе-
ристики в кривые х = const и у = const, а мнимая ось превращается
в амплитудно-фазовую характеристику. На рис. 3, а приведена
прямоугольная сетка координат х и у в плоскости комплексного
параметра р для системы первого порядка с передаточной функцией:
IF (р) = —-— .	(7)
1 + Тр	’
На рис. 3, б приведено отображение плоскости р на плоскость
W (р). Кривые х ~ const заканчиваются в начале координат —
точке 0, и кривая х = ~ представляет собой вертикальную ось
симметрии. На рисунке приведена только отрицательная часть
комплексной плоскости (х < 0), так как только в этой части пере-
мещение полюсов передаточной функции представляет интерес
для исследования (система устойчива). Поскольку величина х ха-
рактеризует степень затухания переходного процесса, а у — ча-
стоту, то, следовательно, условия работоспособности автоматиче-
ской системы могут задаваться определенной областью перемеще-
ния полюса р, ограниченной прямыми х = alf х = а2, у = Ь19
у = b2i где al9 а2, Ь19 Ь2 — постоянные числа. Эта область
18
Рис. 3. Конформное отображение для системы 1-го порядка: а — плоскость р; б — плоскость W (р).
допустимых перемещений р в плоскости W (р) соответствует в а штри-
хованной области, в пределах которой может деформироваться ам-
плитудно-фазовая характеристика при сохранении автоматической
системой своей работоспособности. Построение в плоскости W (р)
кривых х = const и у — const значительно расширяет возможности
анализа допустимых деформаций амплитудно-фазовой характери-
стики автоматической системы. На рис. 4, а и б приведены комплекс-
ная плоскость р и ее отображение в плоскости W (р), выполненное
для системы второго порядка, имеющей передаточную функцию
вида:
<8)
В этом случае для определения работоспособности автоматиче-
ской системы неудобно пользоваться координатной сеткой х =
= const, у = const. Хотя значения х и показывают степень затуха-
ния переходного процесса, но разным точкам кривой х = const
плоскости W (р) могут соответствовать различные амплитуды ко-
лебаний, зависящие от частоты переходного процесса. Поэтому
целесообразно воспользоваться сеткой х = const и £ = const, где
__ 1
На плоскости р линии | = const, как уже говорилось, пред-
ставляют собой прямые, проходящие через начало координат под
Л	х~
углом 0 = arctg — .
На рис. 5 приведены области (заштрихованные) допустимых зна-
чений (например, хг < х < х2 и Bi < £ < при которых авто-
матическая система сохраняет работоспособность), заданные в пло-
скости р и полученные в плоскости амплитудно-фазовой характе-
ристики конформным отображением с помощью передаточной функции
для системы второго порядка (8). В ряде практических случаев
для систем, имеющих два существенных корня, для определения
работоспособности наряду с использованием линий % удобно поль-
зоваться линиями собственных частот юп. Линии <оп = const об-
разуют в плоскости р семейство концентрических окружностей
с центром в начале координат. Таким образом, область допустимых
значений корней характеристического уравнения будет ограни-
чена, например, круговым сегментом (рис. 6, а) между линиями
 “п ~ “>Я1. <“п = “пг’. 5 = 5i> В = S2.
Воспользовавшись конформным отображением, можно анало-
гично предыдущему получить в плоскости амплитудно-фазовой
характеристики сетку кривых соп = const и 1 = const и определить
область допустимых деформаций амплитудно-фазовой характери-
стики контролируемой автоматической системы. При этом кривые
2Q
Рис. 4. Конформное отображение для системы 2-го порядка (х, у): а — плоскость р; б — плоскость W (р).
Рис. 5. Конформное отображение для.системы 2-го порядка (х, £): а —- плоскость р\ б — плоскость W (р).
Рис. 6. Конформное отображение для системы 2-го порядка: (<оп, В): а — плоскость р; б — плоскость W (р).
<оп = const в плоскости W (р) будут исходить из точек амплитудно-
фазовой характеристики и заканчиваться на действительной оси
(рис. 6, б).
Таким образом, осуществляя конформное преобразование с по-
мощью передаточной функции контролируемой автоматической си-
стемы, можно выполнять параллельный анализ в комплексной
плоскости р и плоскости амплитудно-фазовой характеристики, что
позволяет совместить исследование системы во временной и ча-
стотной областях и упростить решение задачи определения работо-
способности.
При осуществлении конформных преобразований с помощью
передаточной функции необходимо определять степень возможного
приближения к устранимым особым точкам типа полюс, в которых
преобразование неправомерно.
Известно, что рациональные алгебраические функции, которыми
являются передаточные функции автоматических систем, могут
быть в окрестности особой точки разложены в ряд Лорана:
W(P) = _А=и.-.- + л-(я~1) + ... +	+
(Р - Pi)n (р -	(Р -Pi)4
+ р —1р1 +	+ Лх (р — рх) 4-...,	(9)
где причем i = — и, . . . , — 1 — коэффициенты главной части
разложения, определяемые аналогично коэффициентам ряда Тей-
лора; Ву, причем j = 0, 1,2,... — коэффициенты аналитической
части.
Справедлива следующая теорема, доказательство которой сле-
дует непосредственно из рассмотрения структуры разложения в ряд
Лорана.
Теорема 2. Поведение функции 1F (р) в непосредственной
близости от полюса (р -> рх) определяется следующей зависимостью:
(10>
где п — порядок полюса рх.
Так, например, для передаточной функции вида
W (р) =-----₽±2------
в окрестности г = 0, 1 | рх | полюса рх = — 1 выражение (10) спра-
ведливо с точностью до 20%, при г — 0,01 I Pi I — с точностью до
2% и соответственно при г — 0,001 |рх| —до 0,2%.
Для передаточной функции вида W (р) = р + 2/(р + 1) (р—1)
при Pi = + 1 и г — 0,1 | Pi | выражение (10) справедливо уже с
точностью 1,5%, а при г = 0,01 |рх| — соответственно 0,15%.
Следствие 1. Для полюса первого порядка поведение функ-
ции W (р) полностью определяется вычетом в точке pv
24
Действительно, в случае, если полюс первого порядка, то п = 1
и Л_„ = выч W (рх). Значение вычета при этом определяется до-
статочно просто. Поскольку W (р) — F (p)/Q (р), то
выч W (рх) = выч
Е (р) ~
.<? (Р) JP=P1
f(Pi)
Q'(Pi)'
(И)
Если представить р = Pi + ге^, где г — радиус, а 0 — угол
наклона радиуса, то выражение (10) может быть заменено двумя
зависимостями:
для модуля
А „
(12)
для фазы
(13)
При этом степень допустимого приближения к рх при конформ-
ном преобразовании комплексной плоскости определить достаточно
просто исходя из конкретных условий задачи. Так, для полюса
первого порядка амплитуда W (р) по мере приближения к полюсу
будет изменяться обратно пропорционально расстоянию до рх.
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 7. ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Судить о работоспособности автоматической системы можно
непосредственно по характеристикам или их показателям, прове-
ряя условия работоспособности или контролируя совокупность
параметров, однозначно определяющих характеристики системы.
Если контролировать все нестабильные параметры, то можно с
полной достоверностью (с вероятностью равной единице) опреде-
лить работоспособность системы. Однако реальные сложные си-
стемы могут иметь или большое число параметров, или параметры,
контроль которых оказывается сложным. В связи с этим возникает
задача выбора для контроля из всей совокупности параметров си-
стемы только ограниченного числа нестабильных параметров.
Вполне очевидно, что в этом случае судить о работоспособности
системы можно только с некоторой вероятностью меньшей единицы.
Для облегчения задачи выбора ограниченного числа контроли-
руемых параметров всю совокупность нестабильных параметров
системы целесообразно упорядочить. В этом параграфе вводится
упорядочение параметров по степени их влияния на работоспо-
собность системы. При этом один нестабильный параметр счи-
тается более важным, чем другой, если чувствительность корней
25
характеристического уравнения системы к изменениям первого
выше соответствующей чувствительности к изменениям второго.
Такое упорядочение естественно с точки зрения работоспособности
системы, поскольку положение корней, как говорилось выше,
в основном определяет ее динамические возможности, т. е. ее состоя-
ние. При этом введение упорядочения множества нестабильных
параметров позволяет определить функцию Р (v) вероятности пра-
вильности нашего суждения о работоспособности системы в слу-
чае, если контролируется только ограниченное число нестабильных
параметров v из общего числа параметров системы т.
По характеру подхода к упорядочению множества нестабильных
параметров приходится различать два случая:
1) корни характеристического уравнения все различны,
2) среди множества корней имеются кратные корни.
Это обусловлено тем, что в первом случае в качестве чувстви-
тельности любого корня к изменению параметра можно рассматри-
вать модуль частной производной от корня по данному параметру,
ибо такая производная существует и ограничена. Во втором случае,
при наличии кратных корней частные производные от кратных
корней по нестабильному параметру обращаются в со. Таким об-
разом, чувствительность кратных корней оказывается всегда выше
чувствительности некратных. Поэтому при наличии кратных кор-
ней упорядочение в параметрах следует производить по модулю
высшей производной кратного корня по нестабильному параметру.
При этом порядок производной равен кратности данного корня.
Некоторые вспомогательные определения и замечания
Рассмотрим полином:
F (х, Л) = хп + an_l (Х„_,) Z-* + ... + а, (X.) х + а0 (Хо) =0, (14)
где
Л = (Хо, . . . , Х_л) — n-мерный вектор параметров.
1-ый случай. Все корни характеристического уравнения раз-
личны (простые корни).
Пусть при Л = Ло = (Х°.......все корни х?, . . . , х°п урав-
нения F (х, Ло = 0) различны и Re х° < 0.
Рассмотрим следующие неотрицательные числа:
^kp
1 dxk
Rex* йХр
dF
1 dlp
Rex® dF
dxk
(15)
причем k = 1, 2.n; p = 0, . . . , n—1.
Определение 1. Вектор T\ = (tlp..tnp) назо-
26
вем вектором относительных чувствительноетей простых корней
xk W уравнения F (х, Л) к изменению параметра кр в точке (x9k, Ао).
Определение 2. В множестве {7\р} введем упорядочение,
полагая Тх^-Тхт, если || Т\р || > ]| Лто||. Отметим, что, если
А = (ар .. ., ал), то норма || А || = 1/ 2 •
'	1 = 1
Аналогично введем упорядочение в множестве {Хр}, полагая
Хр > Х,„, если Т)р Т\т. В случае Хр > Хт будем говорить, что
параметр Кр больше (или сильнее) Кт.
Вводимое здесь упорядочение выгодно отличается от упорядо-
чения, используемого в работе [Л. 1 ], тем, что любое множество
{1р| оказывается вполне упорядоченным. Отметим, что множество
{%„} называется вполне упорядоченным, если для любых его эле-
ментов lz, справедливо одно из 3-х соотношений: Х( > Kt;
Xz = Ху.
2-ой случай. Среди множества корней характеристического
уравнения имеются кратные корни.
Пусть при А = Ао среди корней уравнения F (х, Ао) = О
имеются кратные. Рассмотрим вполне упорядоченное множество
корней уравнения (14) при А = Ао:
х»<х«<........<х°„,	(16)
причем здесь каждый корень повторяется столько раз, какова его
кратность. Порядок в (16) соответствует расположению следующих
неотрицательных чисел:
| Re х? | < | Re х® | < ... < | Re х® |,
причем, как и ранее, мы предполагаем, что Rexz < 0.
Из множества {х9} удалим все достаточно большие элементы и
будем в дальнейшем рассматривать лишь элементы
4<х°< ,..., <x® (m<n),	(17)
для которых выполнено условие:
| Rex?| < к | Rex°j (i = 1, 2, ..., m),	(18)
где у > 1 — некоторое число. Таким образом, мы отбрасываем те
корни уравнения (15), у которых | Rex?j (причем / > т) достаточно
велики. Эти корни мало влияют на работоспособность, так как их
реальные части велики по модулю, т. е. дают составляющие, быстро
затухающие во времени.
В результате будем иметь два случая:
1) в множестве (17) все корни различны (этот случай рассмотрен
выше);
2) в множестве (17) имеются кратные корни.
27
Пусть имеются корни х®, х®, . . . , х®, кратности которых со-
ответственно а, > а2 > , . . . ak > 1.
Рассмотрим следующие неотрицательные числа:
	dF / о * \ 	\Хл » Ло) 1 ,		га —111
	Rex° ’уЛК.А.)
	
(19)
причем 9=1,2...........k; р = 0, 1, . . . , л—1, и (k + 1)-мерные
векторы:
\ = (?1р > <?2р.....?(*+!)Л	<20>
k
=	'(Ш),........U)ll«	+ если
k	k
Va; < tn, и q>(ft = 0, если = m.
i-l	1=1
Определение 3. Вектор Фх назовем вектором относи-
тельных чувствительностей кратных корней xq (Л) уравнения (14)
к изменению параметра Хр в точке (хР, Ло) (q — 1, 2, ... , k\
р = 0, 1, . . . , п—1).
Замечание 1. Легко проверить, что <f4P может быть представлено
в следующем виде:
?9₽ =
dF
(«?—1)1 э\р /х___\ v
Rex® dF q’
(21)
Если сравнить (21) с (15), то мы заметим, что они отличаются
a —1
множителем (х — х£) 4 , который обеспечивает необращение в
нуль (хР, Ло) в случае, когда х^ — корень кратности а?. По-
этому, чем выше кратность корня, тем большей чувствительностью
он должен обладать к изменению параметров.
Определение 4. В соответствии с замечанием 1 в мно-
жестве {Фх J определим отношение порядка по следующему лекси-
кографическому принципу.
Фх > Фх , если ф^ > ф1П! (остальные координаты ц>1р и <pZm не
учитываются) или при Ф1р = Ф1т, <p3j0 = ф2т..........фгд = фгт,
*Р(Г+1) р > *Р(г +1) т (Г
Элементы Фх = Фх , если ц>1р = ф/т (i = 1, 2, . . . , k + 1).
28
Определение 5. Отношение порядка в множестве
X С	X означает, что < Ф. < . . . < Ф. .
^2	Рп	ХД1 Х/И!	ХРЛ
При этом, если	будем говорить, что \р больше (или силь-
нее) (Индекс у р означает его порядковый номер в множестве
при введенном упорядочении).
Замечание 2. Очевидно, что множество {%р} при введенном упо-
рядочении (см. определения 1 и 5) оказывается вполне упорядо-
ченным. Следовательно, в нем всегда можно указать v элементов,
являющихся максимальными для всех остальных п—v.
Выбор контролируемых параметров для определения
работоспособности автоматической системы
Автоматическую систему можно рассматривать как совокупность
двух групп звеньев: объект управления или регулирования и ре-
гулятор. В ряде практических случаев характеристики объекта
в период эксплуатации изменяются мало (характеристики объекта
могут изменяться заметно, но при этом закон изменения известен
оператору; этот случай аналогичен рассматриваемому). Тогда ос-
новные изменения, характеризующие степень работоспособности
системы, определяются изменениями, происходящими в регуля-
торе. Это обстоятельство позволяет определить степень работо-
способности системы управления по результатам контроля пара-
метров регулятора. При выборе из всего множества параметров
регулятора ограниченного числа контролируемых параметров бу-
дем учитывать корневую чувствительность характеристического
уравнения системы.
Передаточная функция замкнутой системы управления в общем
случае имеет следующий вид:
К (р) =------^2--------,	(22)
где — передаточная функция объекта;
^2 (Р)
о (р) — коэффициент передачи регулятора.
Из выражения (22) следует, что изменения, происходящие в ре-
гуляторе, действительно сказываются на изменении характеристи-
ческого уравнения системы, т. е. вызывают перемещения полюсов
передаточной функции (22). Отсюда следуют высказанные выше
положения: при выборе контролируемых параметров регулятора
необходимо учитывать корневую чувствительность характеристи-
ческого уравнения системы.
Определение 6. Пусть мы контролируем v наибольших
параметров X, Xz ,	регулятора и в результате контроля
убеждаемся, что все контролируемые параметры не выходят за
допустимые пределы. Тогда мы будем говорить, что с вероятностью
29
p (v) система работоспособна, причем р (v) < 1 определяется сле-
дующим соотношением:
2’/
=	•	(23)
7=1
где т — общее число нестабильных параметров; вг = ||7х если
среди корней характеристического уравнения системы нет кратных
(|| 7\ || определена выше), либо v. = |фп |, если есть кратные
корни, см. (19).
Рис. 7. Структурная схема системы управления.
/Cj (р) == —----магнитный усилитель;
k
К2 (р) «---------------------блок управления;
/ ff о tn о
\+т2р+т2рл+т2р6
k
Кз(р) =----2-----гидравлический усилитель;
1 + ГзР
Ki (р) =	-силовой гидропровод; — жесткая обратная связь.
Пример. Характеристическое уравнение системы управления, изобра
жен ной на рис. 7, имеет следующий вид:
F(p) =	+ 8,47р5 + 94,2р4 + 51 Op3 4 а2 (Х2) р2 + ах (\) р + а0 (Хо) = 0.
В системе имеются три нестабильных параметра:
а2 (^2) — 442 + ^2* а1 (М == Н4,4 + Хх; а0 (Хо) = 4,68 +
В исходном (невозмущенном состоянии) векторный параметр
Л = (ViM = 0 = (0, 0, 0) = Ло.
При этом корни характеристического уравнения (принято р = х);
х?= —0,005; х^ = ^=-0,47; х° = —5,53;
6 = - 0,47 ± /8,66,
т. е. мы имеем второй случай, так £ак среди корней есть кратные.
Составим вектор относительной чувствительности Фх^.
В силу формулы (19) Фх# = (ф10), ФХ1 = (фи), ФХ)( = (<р12).
30
Так как у корня х2 кратность а2 = 2, имеем
Rex°
f (^л0)
л0 = 0 = (0, О, 0); х°=—0,47; i = 0, 1, 2.
2
Находим
1
-----at
0,47
?ю —
1 А АП	0,47*
?н =--------0,47a; vX2 =--------a,
T 0,47 T 0,47
где
В силу определения 4, не вычисляя а, можно утверждать, что
Фх > Фх > Фх и, таким образом, \ > ^2-
Предположим, что мы контролируем лишь параметр Хо (наибольший из
всех). Определим при v = 1, какова вероятность р (v) того, что система будет
работоспособна (при условии, что контролируемый параметр Хо не выходит
за заданные границы). По определению 6 имеем:
а (1 +0,47 4- 0,472)
1-0
В случае же, если мы контролируем Хо и Хх, то
р (2) =------о (1 + 0.Л7)----
0(1 +0,47 + 0,47®)
что уже ближе к 1.
§ 8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ ОДНОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Решение задачи определения работоспособности системы, кроме
выбора параметров для контроля, требует установления границ
допустимых изменений контролируемых параметров. Определить
границы допустимых изменений контролируемых параметров
можно, анализируя временные или частотные характеристики си-
стемы и пользуясь методами, известными в теории автоматического
управления и регулирования. Однако этот путь требует предвари-
тельного получения этих характеристик, что связано в ряде слу-
чаев с большими вычислительными работами. В этом и последующих
параграфах показывается возможность решения поставленной за-
дачи методом малого параметра, развитым авторами.
Применение метода малого параметра в этом случае обусловли-
вается тем, что введенные в главе второй условия работоспособ-
ности определяются ограничением областей допустимых пере-
мещений корней характеристического уравнения системы. Воз-
можности же метода малого параметра позволяют установить
31
непосредственно область допустимых изменений контролируемого
параметра, соответствующих перемещениям корней характеристи-
ческого уравнения внутри заданной области, определяемой усло-
виями работоспособности автоматической системы.
Ниже приводятся основные положения метода малого пара-
метра для дифференциальных уравнений.
Метод малого параметра для дифференциальных уравнений
Пусть Rm — множество непрерывных квадратных матриц-функ-
ций t порядка т, заданных на некотором промежутке.
Обозначим через
ЬЯ(Х) = Х<Я) + ал-1('- Х)хп-14-...4 a0(t, 1)х	(24)
дифференциальный оператор порядка п, примененный к элементу
х (/) £ Rm, коэффициенты которого at (t, X) £ Rm являются непре-
рывными функциями t и аналитическими функциями X (причем
X — комплексный параметр). Можем записать:
аДЛ Х) = £а^)Х* (i = 0, 1 . .. , п — 1),
k-o
причем ряд составлен из непрерывных матриц-функций и сходится
равномерно по t при каждом X в круге |Х| < р (х(я) означает п
раз дифференцирование по 0.
Рассмотрим уравнение относительно х£/?т:
L„(k)x= F(x, X),	(25)
60
где F (х, X) = 2	(0 х*Хг — аналитическая (т. е. представимая
к, г-0
в виде сходящегося ряда) в некоторой области функция двух аргу-
ментов х£ Rm и X — комплексного параметра (конечно, bkr
В данном случае нужно иметь в виду, что сходимость матричного
00
ряда означает поэлементную сходимость, т. е. сходимость
А-0
00
эквивалентна сходимости т2 скалярных рядов У (ak)u-, i, / = 1,
Л-0
2, . . . , т.
Пусть при X = 0 уравнение Ln (0) х = F (хО) имеет решение
х0 £ Rm. Естественно предполагать, что в случае X 0, но при
X -> 0 (когда X достаточно мало) решение уравнения (25) будет
мало отличаться от решения уравнения (25) при X = 0. При этом
часто оказывается, что решение уравнения (25) можно представить
в виде ряда (по степени параметра X), который сходится при доста-
точно малых X:
х(Л X) = x0(/) + ^Xft(/)Kft.	(26)
32
Определение 7. Представление решения уравнения (25)
в виде (26) мы будем называть методом малого параметра для урав-
нения (25).
Заметим, что метод малого параметра с успехом применим лишь
в том случае, если выполнены два условия:
1) каждый коэффициент в разложении (26) удается определить
в результате конечного числа действий;
2) ряд (26) оказывается сходящимся при достаточно малых X.
В реальных условиях, как правило, встречаются уравнения,
в которых явно нет параметра. Однако всегда можно параметр
ввести искусственно в любое уравнение и таким образом свести за-
дачу к задаче вида (25). После успешного решения уравнения (25)
методом малого параметра достаточно положить X равным кон-
кретному числу, при котором уравнение (25) превратится в исход-
ное; при этом ряд (26) даст решение для поставленной задачи.
В данной главе, применяя метод малого параметра к конкрет-
ным задачам контроля автоматических систем, проверку условий
1 и 2 каждый раз будем осуществлять путем специального иссле-
дования, опираясь на известные математические факты и уклоняясь
от изложения общей строгой теории метода малого параметра,
так как последнее выходит за рамки настоящей книги. В дальней-
шем чаще всего мы встретимся с оператором применяемым
к элементам Rr, т. е. к непрерывным п раз дифференцируемым функ-
циям (коэффициенты at (t) i = 0, 1, . . . , п—1). Нам встре-
тится и более общий случай x£Rm, но при этом п = 1 и оператор
Lx (X) имеет простейший вид: Lr (%) х = х + а0 (/,Х) х. Отметим
также, что символ Lo (%) х означает, что операция дифференциро-
вания отсутствует, т. е.
Lo (к) х = а0 (t, к) х.
Определение области допустимых изменений контролируемых
параметров в замкнутой системе
Воспользуемся методом малого параметра для того, чтобы пред-
ставить корни характеристического уравнения системы в виде
рядов по степеням возмущений нестабильных параметров. Затем
получим неравенства, которые определяют область допустимых
изменений корней характеристического уравнения и могут быть
непосредственно разрешены относительно нестабильного (возмущен-
ного параметра). Это позволяет получить искомую область допу-
стимых изменений возмущенного параметра.
Таким образом, наше исследование сводится к представлению
корней алгебраического уравнения, коэффициенты которого зави-
сят от параметра, в виде рядов по степеням этого параметра.
Пусть в (25) Ln (%) х (t) = 0, х (t) £Rlt
F(x, i)=xm + [am_l + \bm_i)xm-' + ... + (a0 + \b0) , (27)
где bt, a( — постоянные числа, I = 0,1 .... tn — L
33
Если обозначить х — р, то уравнение (25) примет следующий
вид:
F (р, X) = 0.	(28)
Применим метод малого параметра для решения уравнения (28),
т. е. выясним, допускают ли при наших условиях корни урав- I
нения (28) р{ (X) представление в виде степенных рядов
I
Pi 00 = 2 Pki	!
fc=0	I
а также сходятся ли при наших значениях X эти ряды.
Теорема 3. Пусть при 1 = 0 полином F (р, 0) имеет такие
корни р01, р02, . . . , рОт, что poz р0/. Тогда при достаточно	’
малых 1 корни Pi (1)	т) уравнения (28) являются
аналитическими функциями 1, /и. е. справедливы разложения
Jfe=0
(29)
 Доказательство. По теореме о производной неявной
функции из (28) имеем
^(р,Х)
dp(X)	д\
dk	dF	,
— <Р’ Х)
др
(30)
д Р
По условию — (р01, 0) =# 0, так как полином 7 (р, 0) имеет все
др
различные корни, а следовательно, если р01 — корень этого поли-
нома [р01 = р( (0)], то он не может быть корнем его производной.
По непрерывности функции — (р, \) в точке X — 0 следует, что
др
^-(р,Х)=/=О
др
в некоторой достаточно малой окрестности нуля.
Рассматривая (30), заключаем, что функция р (X) комплексной
переменной X имеет производную в окрестности X = 0, а следова-
тельно, является аналитической функцией X в этой окрестности
(данное положение доказывается в теории комплексной перемен-
ной [Л. 2]). Полученное означает, что справедливо разложение (29)
и ряд (29) сходится в некоторой достаточно малой окрестности
точки X = 0.
Замечание 3. Коэффициенты разложения в (29) можно
определить одним из следующих способов:
1) подставить (29), считая pOi известными и неопределен-
ными в (28) и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях X;
34
2) используя тот факт, что (29) есть ряд Тейлора неявной функ-
ции р[ (X), заданной уравнением (28), вычислять последовательно
производные р( (X) при X = 0 обычным способом, как производные
неявной функции [Л. 20].
Для практического применения метода малого параметра важно
знать область сходимости рядов (29). Теорема 3 позволяет лишь
утверждать, что ряды сходятся в некоторой достаточной малой
окрестности X = 0, но в какой же именно окрестности сходимость
рядов (29) гарантирована, нам пока точно неизвестно. Займемся
выяснением количественной стороны данного вопроса. Нам пона-
добится нижеследующее алгебраическое понятие.
Определение 8. Пусть f(х) = апхп + ая_1х"-1 + . . . + а0,
g (х) = bsxs + bs_{xs~l + ... + b0 — два полинома с комплексными
числовыми коэффициентами, причем ап =4= 0, bs 0. Расположим
коэффициенты полиномов f (х), g (х) в виде матрицы, состоящей
из (п 4- s) строк, по следующему правилу:							
	~ ап	ап-1 ап	ап-1	а0	ао		
Л			ап	ап-1		ао	s строк
А =	ь*	bS-i ь	b 1	Ь0	Ьа		
		S	bs	bs-l	0	Ь0 _	п строк
(на свободных местах стоят нули, по главной диагонали располо-
жены коэффициенты а„ и Ьо, повторенные соответственно s и п
раз) [Л. 3]. Определитель матрицы Л, т. е. det А называется ре-
зультантом R (f, g) полиномов f (х) и g (х).
Теорема 4. Пусть при X = 0 полином F (р, 0) имеет раз-
личные корни pOi (i — I, 2,	, т, p0l =р poi, i =/= j). Тогда ра-
диусы сходимости рядов (29) удовлетворяют неравенству
р, мин | Ху |,	(31)
J
где — корни алгебраического уравнения относительно X
Я(Л F;)=0.	(32)
При этом среди р{ (1 = 1, 2, . . . , т) существует такое p/Q, для
которого в (31) имеет место равенство.
Доказательство. Так как полином F (р, 0) имеет раз-
личные корни, то — (р0. „) =^= 0, отсюда — (р (X), X) =^= 0 всюду, где
др ’	др
35
R (F, Fp) 0, так как обращение результанта в нуль означает
появление кратных корней. Следовательно, pt (X) в (29) являются
ан алитическими функциями X в круге с центром в нуле и радиусом,
равным расстоянию от нуля до ближайшего по модулю корня
уравнения (32). Равенство в (31) имеет место для того р/0, для ко-
торого соответствующая производная в (30) перестает существовать
при приближении к наименьшему по модулю корню уравнения (32).
Следствие 2. В круге | X | < рг имеем приближенное ра-
венство р(- (А.) д; р0[ + РцК и это соотношение тем точнее, чем
меньше X по сравнению pz.
Замечание 4. Из определения результанта легко усмот-
реть, что степень полинома R (Г, F'p) по X не более, чем 2 (т— 1),
где т — степень полинома F (p, X) относительно р.
Рис. 8. Структурная схема одноконтурной системы.
Ks — сельсин, Кд — усилитель, Км — двигатель, п2 —
жесткая обратная связь.
Замечание 5. Пусть требуется определить область допу-
стимых значений X, при которых корни полинома F (р, X) удовлет-
воряют следующему неравенству:
|Р,(Х)- p0,|<8t,	(33)
где 8г — заданные числа (i = 1, 2, . . . , т). Неравенства (33) оз-
начают, что корни полинома F (р, X) отличаются от р0{ не болеё,
чем на §г. Тогда, используя следствие теоремы 4, мы получаем сле-
дующие приближенные неравенства, которым должно удовлетво-
рять X:
|M<-\-(i = l,2,...,m),	(34)
I Ри I
причем, конечно, предполагается, что |Х| < р{.
Пример. Рассмотрим линейную замкнутую автоматическую систему,
изображенную на рис. 8. При условии равенства нулю момента нагрузки
система описывается следующими уравнениями:
8 —	— п26м,
где J, F — соответственно эквивалентные момент инерции и коэффициент
вязкого трения, отнесенные к валу двигателя.
п2 — коэффициент обратной связи.
36
Передаточная функция замкнутой системы, описанной уравнениями (35),
будет иметь вид
IV/ / ч	ka
^з(Р) — ——-------;---- »
р2 + pw 4- axk
w == 16-10~4, 01 = -^- = 0,37.
J	J
Работоспособность системы характеризуется положением полюсов пере-
даточной функции (р) на плоскости р. Если предположить, что постоян-
ные времени системы не изменяются, то все изменения в расположении полю-
сов будут определяться изменением величины коэффициента усиления k
в разомкнутой системе. Тогда, задавшись определенными качественными пока-
зателями для системы, т. е. ограничив область перемещения полюсов 1Г3 (р),
можно определить допустимые пределы изменения коэффициента усиления
разомкнутой системы и, контролируя значение А, определять степень рабо-
тоспособности замкнутой системы.
Положим, что k = kQ + X, где kQ — 4,8-10~2 — заданное значение коэф-
фициента усиления, а X — его изменение. При X == О корни характеристи-
ческого полинома равны
р/0 = — 810~4 ± *0,134, /= 1, 2.
Зададимся областью допустимых изменений 6,- корней характеристи-
ческого полинома и определим пределы изменения усиления X.
Определение 9. Систему считаем работоспособной, если
корни полинома знаменателя находятся в левой полуплоскости
(т. е. сохраняется свойство устойчивости).
Количественно это поясним на примере. Если р/ (X) — значения корней,
соответствующие любому k =	+ X, то необходимо, чтобы
|Р/(О)-Р/(Х)| <8/ = 8.10-4; /=1, 2.
При этом предполагается, как говорилось выше, что изменение состояния
системы определяется только изменением коэффициента усиления.
Рассмотрим возмущенное уравнение:
р2 + wp + а (*о + X) = 0,	(36)
или
+ 16-10~4р + 0,37 (4,8-10~2 + X) == 0.
Предположим, что |Х| < р, где р — радиус сходимости рядов, пред-
ставляющих корни уравнений (36) по X.
Имеем корни р/ (X) в виде (29):
Р/ (X) = Р/о + РдХ + ....	(37)
Подставляя ряды (37) в (36), будем иметь
(pjo +	• • -)2 + 16-10-4 (р/0 + рдХ + ...) + 0,37 (4,8 -10-2 + X) = 0.
Приравнивая коэффициенты при X, получим
2p/oP/i + 16-10“% + 0,37 = 0;
Рд =-----P/о = Р/(0)=-8.10-4± «0,134; /=1, 2.
2р;0+ 1610-4
37
Очевидно
I 	°>37
P/1	0,268
= 1,36.
Согласно условию и замечанию 5:
I Pi (0) - Pj (X) | « | РдХ I < 8/ = 8 • 10—4 (/=1,2).
Отсюда область допустимых изменений коэффициента усиления k =»
8-10—4
= kQ + X определится так: | X | <----= 7,2Ю-4, т. е. k (X) может из-
мениться приблизительно на 2% и система будет работоспособной.
Проверим, что при этом | X | < р, т. е. что ряды (37) сходятся в области
|Х|<8-10—4.
В нашем случае полином f (р) в соответствии с (36) и определением 7
имеет
я = 2; 02=1; а1=1610“4; а0 = 0,37 (4,8-10“2 + X) ;
g(p) = /(p) = 2p+1610-4; s=l;61 = 2; 6в = 1610“4.
Составим матрицу А:
1 1610—* 0,37 (4,8-10~2 + X)
2 16-10“4	0
0	2	1610“4
По определению 8 и согласно теоремы 4 составим уравнение
Я (ft /1) = det А = 0.
Решая последнее уравнение, получим Х= 4,8*10”“2. По теореме 4р >
> | X | = 4,8-10“~2. Таким образом, ряды (37) сходятся, и предыдущие
рассуждения оправданы.
§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ МНОГОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ
Как известно, любая линейная многоконтурная система авто-
матического регулирования может быть описана системой диффе-
ренциальных уравнений
где Lvxi = ХТ + aj(nj-»х"' ” + •  • +	1. 2, . . ., k).
xf — искомая выходная функция; ft- (/) — входное возмущение на j
координатном месте.
Введем понятие работоспособности системы, описываемой урав-
нениями (38).
38
Определение 10. Будем говорить, что система работо-
способна, если выполнены следующие неравенства:
1а/—
I?/-
где а{, а/ и fy, 07- — соответственно номинальные и возмущенные
значения коэффициентов затухания и собственных частот системы',
3, у — допустимые отклонения (заданные числа).
Работоспособность в смысле определения 10 фактически озна-
чает требование малого отклонения коэффициентов затухания и
собственных частот возмущенной системы от коэффициентов за-
тухания и собственных частот невозмущенной системы. Иначе
говоря, система считается работоспособной, если корни ее характе-
ристического уравнения в результате возникших неисправностей
не покидают некоторой заранее заданной области. Числа 8 и у
в определении 10 и задают требуемую область.
Пусть коэффициенты а^п _г) (причем г — 1, 2, ... , п}\ /= 1,
2, . . . , k) операторов в (38) являются функциями некоторых
£;(я._ г) контролируемых параметров автоматической системы.
6 данном параграфе ставится и решается следующая задача:
по заданным значениям 8 и у необходимо определить допустимые
изменения контролируемых параметров kj(n_r}, при которых си-
стема остается работоспособной в смысле определения 10.
Для решения этой задачи мы применим метод малого пара-
метра, разлагая характеристические показатели и собственные ча-
стоты решения системы (38) в ряды по возмущающим параметрам.
Тем самым заменим требования принадлежности корней характери-
стического уравнения заданным областям на требование принад-
лежности нестабильного контролируемого параметра заданной ог-
раниченной области. Как это уже отмечалось выше, в возможности
такой замены и состоит главное преимущество предлагаемого ме-
тода. При этом мы получим практически применимые оценки. Чтобы
применить схему § 8, положим kj(n_T} = fe^(n _r) +	_r),
где k^n _r) — номинальное значение контролируемого параметра,
^^У(П._Г) — ег0 возмущение. При этом уравнения, определяющие
работоспособность системы (38), примут следующий вид:
где
^п, W xi ~
^и, (М xj ~ xji а](п._ 1) W xj I ) + • • • Яуо 00	;
aj(ni~r) ~ a^lni~r) аЦп1~г)1' + • • • +
(39)
39
q — некоторое целое число. Мы предполагаем, что зависимость
а.{п _Г) от	— полиномиальная; можно было бы рассмот-
реть и аналитическую зависимость, (т. е. а^п _г} представлена в
виде бесконечного ряда по степеням k), но она в практике реже
встречается, а выкладки становятся менее обозримыми. Отметим,
что приведенные уравнения (39) — это однородные уравнения, со-
ответствующие (38), так как воздействия не меняют коэффициентов
затухания и собственных частот.
Будем предполагать, что корни каждого из характеристических
уравнений в (39) при К — 0 различны.
Преобразуем /- ое уравнение системы (39) в матричную форму
где
Гх[|] 1
(40)
0	1	о
0	0	1
ajo Р ) • •  aj\ 0) • • • aj (п.- 1)М
Пусть В — постоянная матрица, приводящая Pt (0) к диаго-
нальному виду [Л. ЗЕ Такая матрица существует, так как Р/ (0)
имеет лишь различные характеристические числа, т. е. корни урав-
нения det (Л — %Е) = 0. Тогда, умножая (40) на В слева и обозна-
чив V,- = BXj, мы преобразуем систему (40) в систему
V. = (Р<°> + кР<'> + ... + \пр^ .	(41)
Действительно, умножая обе части (40) на В слева, получаем
BXj = BPj (к) Х{ = BPj (k) B~1 (BXj);
отсюда, полагая Vj = ВХ^, имеем (41), где = ВР^В"1
q = 0, 1......п.
Замечание 6. После преобразования очевидно, что ко-
эффициенты затухания и собственные частоты системы (41) и /-го
уравнения в (39) совпадают.
Действительно, после преобразования имеем систему с матри-
цей коэффициентов, полученной из исходной матрицы коэффици-
ентов путем ее подобной трансформации. А при этом условии корни
характеристического уравнения трансформированной матрицы та-
кие же, что и у исходной матрицы [Л. 3J.
40
На основании замечания 6 мы можем поставленную задачу ре-
шать не для /-го уравнения в (39), а для системы (41). Решим за-
дачу, применяя метод малого параметра.
Метод малого параметра для системы вида (41). Рассмотрим
систему /и-го порядка
Х=(ро + ХР1-К... + ХлР„)Х,	(42)
где Pk — постоянные матрицы размерности т х т, причем k — О,
1, . . . , n; Ро = diag (Xv ..., Х„) — диагональная матрица, у ко-
торой на главной диагонали стоят числа причем К/, i =£ /;
% — комплексный параметр.
Решение системы (42) представим в виде
Х(/,л) = Z(x)eM(X),	(43)
где	Z(k) = E +2^*,	(44)
к~\
Л(Х) = Р0+2Л^,	(45)
k-i
Ak — диагональные матрицы; матрицы Zk имеют все нули на глав-
ной диагонали (k = 1, 2, . . .); Е — единичная матрица.
Для формального отыскания Zk и Ak подставим (43) в
приравняем коэффициенты при одинаковых степенях X. В
получим следующие рекуррентные формулы:
za-pA-Z’i-A;
Z2Pо — РqZ2 ~ ^2 4" i^i —
(42) и
итоге
Vo -	= РП + Рп-А + + Р^ -\~
— {ZlAn-l + • • • + Zn-lAi) ’
(46)
ZjPq Ро^Ч РЛ-П	P*—l^Q— (л-1) + ••• +
(здесь q > п). При выводе учтено, что так как А (X) = const, то
[Л. 4] имеет место равенство А (к) е‘А<х> = etA <Х) А (X). Если бы
это условие не выполнялось, то получить формулы (46) не уда-
лось бы.
41
Ak определим следующим образом:
Лх = diag(Px);
Л2 = diag (Р 2 + Р i^i);
— diag (Рп + pn-iZi + • • • + PiZn-l) '>
(47)
^ = diag(W» + ---+P. V.-
символ diag (P) означает диагональную часть матрицы Р.
Определение 11. Нормой квадратной матрицы Р по-
рядка т назовем неотрицательное число, определенное по следующему
правилу:
т
1Л = макс 2 IРц\,
j=l
где Рц элементы матрицы Р, причем i, j = 1, 2, . . . , т.
Замечание 7. Из определения 11 с очевидностью следует,
что при всех Z, / \ри\ < || Р||.
Поэтому, если рассматривать матричный ряд 2Р^» то из схо-
димости числового ряда 2II Pk II следует сходимость матричного ряда
(под сходимостью матричного ряда мы понимаем поэлементную
сходимость).
Мы вынуждены без доказательства сформулировать важную для
нас теорему о сходимости рядов (44) и (45). Доказательство этой
теоремы выходит за рамки настоящей книги, так как требует при-
влечения специального математического аппарата. Доказательство
можно найти в работе [Л. 5]. Отметим, что в случае сходимости
рядов (44) и (45) формальное решение вида (43) является и истинным
решением системы (42).
Теорема 5. Обозначим h =----------:— -------, где Az, А, —
F	min | — X-1	1	7
i+j
характеристические числа матрицы PQ. Ряды (44) и (45) сходятся
в круге |А| < R, где R есть положительный корень уравнения
п
4Л S = 1‘-	(48)
fc = l
при этом справедливо неравенство
Н Л/ <2£||Р4|||к|*.	(49)
U-i	/?=1
Теорема 5 позволяет решить задачу об отклонении характери-
стических чисел матрицы А (А) =	от характеристических
й=0
42
чисел матрицы А (0) = Ро. Так как матрица А (К) диагональная,
то Re [Л (%) ]ц суть коэффициенты затухания, a Im [Л (%) ]/7 —
собственные частоты систем (42); здесь / = 1, 2, . . . , т. Поэтому
оценка (49) может быть использована для выяснения границ от-
клонения коэффициентов затухания и собственных частот возму-
щенной системы (42) от их номинальных значений в невозмущенном
состоянии, т. е. при Л = 0 в системе (42). Как было показано выше,
наша основная задача о контроле в многоконтурной системе сво-
дится к выяснению допустимых границ изменения параметра %
в системе (41) при / = 1, 2, . . . , k. Поэтому теорема 5 позволяет
эффективно решить поставленную в начале этого параграфа за-
дачу о контроле в многоконтурной системе. Эта задача будет ре-
шаться следующим образом.
По определению 10 система работоспособна, если
| Re (Л (k)/7 — Re (Л (0))/71< 8,
| Im (Л (к)п - Im (Л(0));71 < 7, / = 1, 2.............п.
Так как А (0) — Ло = Ро, то предыдущие неравенства выпол-
няются, если
и
2 2 PJIM* <МИН(8, 7)
k~\
IM < R.
Действительно, пусть
равенства || А (к) — Л(0) || =-
к| < 7? в силу (49) и предыдущего не-
2 Д^||<2	||РА|||Х|*<мин(8, 7).
Jfe=l II
Дальше по замечанию 7 отсюда следует, что
| Re (Л (к))„ - Re (Л (0))„ | < | (Л (к))п - (Л (0))„1 <
< IIЛ (к) - Л (0) |<2 2 Р*111М* < мин (8, 7) < 8.
л=1
Аналогично и
|1т(Л(к))//-1т(Л(0))//[<7.
Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо
найти те значения к, для которых справедливы одновременно два
следующих неравенства:
2 2 Рл||1М‘<мин(8, 7),
й-L
43
Пример. На рис. 9 приведена многоконтурная система, описываемая
уравнениями
(1 + р) ф = 0,19 (8И — 8К);
(1 + 2р) («н - 8J = 4 [(s“0- s“0) ф + (s’, - рф +
+ («зо - 4) И - 4s04 (sh ~ \) •
(50)
Обозначим 6H — 6K = и и приведем к другой форме:
ф =—ф + 0,19и;	|
и = — 2,5а + 4ф + 10ф j
при условии, что s*0 = 7; $”0 = 9; «ц = 30; «ц = 25; Sg0 = Sg0; s04 — L
Далее получаем
ф = — ф + 0,19н; 1
и = — 0,би — 6ф /
или
Для определения работоспособности системы выберем два параметра:
к — Сн — ск • h — с11 — ск
~ s10	s10>	°2 — SH sll-
Допустим, что контролируемые параметры получили возмущения
sio $*0 = 2 X; sjj 5ц = б + X.
Тогда система возмущенных уравнений примет вид
ф ==— ф + 0,19н;
и = — (0,6 — 0,38Х) и — (6 + 4Х) ф,
или
* Л~1	049
—	(6 + 4Х) — (Ь,6 — 0,38k)/
Полученная система имеет вид выражения (42)
Х = (Р0 + ХРх)Х,
где
_ Г—1 0,19 1 Р1Г 0 0
₽0“ [—6 — 0,6J ’	[—4 0,38
(61)
Найдем характеристические числа Ро*
det [Ро-Х£] = О,
|~1—X 0,19
или Л Л
_ о,б —х
= о,
откуда
4.1 * м *
44
следовательно,
h =--------------------------------!------- 0,476.
| — X21
Поскольку Xj X!J, то матрицу можно привести к диагональному виду.
Для этого необходимо найти матрицу А такую, чтобы
ЛР0Я-1 = <Иаё(х“, X»).
Рис. 9. Структурная схема многоконтурной системы.
Имеем уравнение для элементов ац*.
Перемножив матрицы, находим:
—	— 6а12;
—
0,19а1х — 0,6ах2
0,19^ — 0,6о22^
__	^1а12
41
Имеем следующую систему уравнений при условии det А 0:
—	6а12 — Пц (X-l -р 1);
—	6а22 — ^21 (Х2 +1);
0,19аи — а12 (кх + 0,6);
0,19#2i = о22 (Х2 -J- 0,6).
Положим 011 = 1, тогда
а,. = Х1 + 1 = —0,033 — 0,175»;
— 6
положим а22 = 1, тогда
ая = -~6- = — 0,105 — 5,53».
W I
Таким образом, матрица А имеет вид
Г 1	-(0,033 4-0,1751)-
“[—(0,105 4-5,53/)	1
det А = 1,97 — 0,2/	0, т. е. предположение справедливо.
Система (51а), таким образом, преобразуется в систему
Y = (ЛЛИ-1 + ХЛРхА-1) Y,
где Y = АХА~1.
Найдем матрицу: Рг = APXA~1
Г 1	-(0,033 + 0,175»)] Г 0 0] [0,12 + 0,7»'0,38'
1-[(— 0,1 + 5,5»)	1 JL—4 0,38_|=[	-4	0,38.
Г0,12 + 0,7» 0,381 Г 1	0,033 + 0,175»!
1 — [ —4	o,38j[o,l+ 5,5»	1 J
0,16 + 2,78» 0,26 + 0,04»]
— 3,96 + 2,1» 0,26 — 0,71 J’
.»	.-11 Г 1	0,033 + 0,175»]
det А |0Л+5,5»	1	]'
Тогда
p = AP A-l =	1	[0.16 + 2,78» 0,26 + 0,04»] .
1	1	1,97 — 0,2» [—3,96 + 2,1» 0,26 —0,7» j’
откуда по определению 11
11	p II = I 0.16 + 2,78f | + 13,96 + 2,1»'| = 3 67
111	| 1,97—0,2/|
Радиус сходимости ряда по X на основании теоремы 5
R = —---------= 0,083.
4ft || Ц
46
Систему будем считать работоспособной, если коэффициент затухания
деформируется не более, чем на 6 = 0,7, чем обеспечивается устойчивость
и определенное качество регулирования.
Согласно (49), имеем
откуда
0 7
—--------= 0,056, и
2 II Pill
при этом
| X | < 0,056 < R = 0,083.
Таким образом, область, в которой следует контролировать bj (j = 1,2),
определяется кругом с радиусом R = 0,083.
Рис. 10. Структурная схема нелинейной си-
стемы.
§ 10. НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос, связанный с опреде-
лением работоспособности нелинейной автоматической системы.
Как известно, при наличии нелинейности в системе ее анализ
сильно усложняется. По-
этому естественно пред-
положить, что вопросы
контроля таких систем
вызовут также ряд до-
полнительных трудно-
стей, связанных с невоз-
можностью практически
получать решения нелинейных дифференциальных уравнений. Чтобы
частично обойти эти трудности, мы введем определение работоспособ-
ности системы, которое, как заметит читатель, является довольно
грубым критерием и, конечно, применимо не ко всем системам.
Рассмотрим замкнутую автоматическую систему, приведенную
на рис. 10. Она состоит из линейной части W (р) и нелинейности
S (а).
Пусть линейная часть системы описывается передаточной функ-
цией W (р) = t причем степень полинома М (р) ниже степени
N (р)
полинома АГ (р). Нелинейная часть системы описывается функцией
S (а), где а = и (/) — х (f), и (t) — входной сигнал, х (/) — вы-
ходная величина.
Мы предполагаем, что и (t) непрерывная или кусочно-непрерыв-
00
ная периодическая функция частоты со, функция S (а) =
*=-i
целая аналитическая, т. е. радиус сходимости ряда для S (а) /? = со;
sk — постоянные коэффициенты. Пусть система (рис. 10) описы-
вается следующим дифференциальным уравнением:
х Ч- dfi—[X	... ctkx I- Oq (А.) х = 5 (и — х),
(52)
47
где коэффициенты = const, кроме а0 (X) — коэффициента, зави-
сящего от возмущающего параметра X и не зависящего от /, х (/),
и (/), S (и — х). Считаем здесь, что к левой части (52) отнесена и
линейная составляющая (первая степень х) разложения S (а).
Определение 12. Автоматическая система считается
работоспособной, если при воздействии на ее вход ограниченного
сигнала и (/) сохраняется свойство устойчивости. (Периодическое
решение неоднородного уравнения (52) существует и оно устой-
чиво).
Чтобы иметь возможность эффективно проверить условия опре-
деления 12, докажем следующую теорему.
Теорема 6. Пусть корни k£ (Л) (i = 1, 2, . . . , п) характе-
ристического уравнения левой части (52) обладают свойствами:
Re k£ (X) < 0. Тогда при достаточно малых и (/) существует у (/) —
периодическое решение (частоты со) уравнения (52) и это периоди-
ческое решение ассимптотически устойчиво.
Доказательство. При сделанных предположениях су-
ществование у (t) доказано в [Л. 5, стр. 173]. Мы не будем повто-
рять здесь это доказательство из-за необходимости привлечения
специального математического аппарата. Докажем, что периодиче-
ское решение ассимптотически устойчиво. Введем новую неизвест-
ную функцию z (/), полагая х — z + у, где у (t) известное перио-
дическое решение, устойчивость которого мы должны доказать.
Так как у (t) удовлетворяет (52), то подставляя х == z + у в (52)
мы получим следующее уравнение для z:
zn + an^.[Zn 1 -р ••• +flo(^)2—	— у — z) —(и — у)*], (53)
причем линейная часть (первая степень) разложения функции S (а)
здесь выделена и отнесена к левой части уравнения.
При этом вопрос об устойчивости периодического решения у (/)
для уравнения (52) сводится к исследованию устойчивости нулевого
решения для уравнения (53). Но нулевое решение уравнения (53)
ассимптотически устойчиво, так как Re k£ (X) < 0, а и (t) и вместе
с ним у (/) достаточно малы. Теорема доказана.
Следствие 3. Для уравнения (52) периодическое решение
частоты со существует и оно ассимптотически устойчиво при тех
значениях параметра X, для которых справедливы п неравенств:
Refcf(X)<0. i = 1,2, . . . и.	(54)
Замечание 8. Эффективно определить область тех %, для
которых выполняется условие (54), можно, например, способом
малого параметра, изложенным в § 8, так как характеристическое
уравнение левой части (52) удовлетворяет всем нужным условиям,
а в простых случаях (п < 2) непосредственным исследованием не-
равенств (54).
48
Замечание 9. Отметим нетривиальный любопытный факт:
свойство устойчивости периодического решения уравнения (52)
не зависит от функции s (а), входящей в правую часть уравнения
(52), а определяется исключительно поведением левой части урав-
нения (52).
Пример. Передаточная функция линейной части системы (рис. 10) имеет
вид w (р) = —— ; ^1 = 0,1; Г, — 0,2, нелинейная часть системы описы-
1 Ч- 1\р
вается уравнением s (а) = s±a s3a3; sx — — 2s3 = 1. Поскольку разложе-
ние функции s (а) начинается с 1-ой степени, мы должны выделить линейную
часть и отнести ее к левой части уравнения (52).
Уравнение замкнутой системы имеет следующий вид:
Х+-у-х= Sj-^-(м — х) + s3-^-(и — х)3	(55)
ИЛИ
х + ах = Ьхи + 62 (и — х)8,
причем номинальное значение коэффициента а
1	,	- о 0,1 А
а — а0 =------1- Si---— 5 — 2-----= 4.
л л 0,2
Положим а (X) = a0 + X, где X — допустимые изменения от номиналь-
ного значения. Тогда уравнение системы имеет следующий вид:
х + (Яо + ^) X = Ьхи ±Ь2(и — х)8.
Корень характеристического уравнения
= — (я0 + X).
На основании следствия теоремы 6 и определения 12 наша система будет
работоспособна, т. е. устойчивость сохранится, если Refcj (1) < 0 или
—п0 — ReX < 0, откуда Re % > —a0 = —4. Если % вещественно, то это озна-
чает X > —4. Таким образом, во всей области ReX > —4 система работо-
способна в смысле определения 12.
§ 11. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАБОТОСПОСОБНОСТИ СИСТЕМ С ПОМОЩЬЮ
ЭКВИВАЛЕНТНОЙ МОДЕЛИ
При автоматическом контроле работающей системы ее работо-
способность можно определить по результатам сравнения реакции
системы с реакцией эквивалентной модели, включаемой парал-
лельно контролируемой системе. Для повышения надежности кон-
троля, а также из очевидных практических соображений модель
необходимо иметь наиболее простой.
Поскольку работоспособность автоматической системы опреде-
ляется комплексом характеристик качества, то естественно требо-
вать, чтобы эквивалентная модель обладала теми же характеристи-
ками качества, что и контролируемая система.
Ниже излагается методика построения модели, эквивалентной
по характеристикам качествам контролируемой системы.
3 Заказ № 869
49
Эквивалентность модели
Пусть переходные характеристики hc и hM контролируемой си-
стемы С и модели М определяются комплексами параметров со-
ответственно аь . . . , ап; 0Х, . . . , 0„, причем параметры а(- и 0г
имеют одинаковый смысл (например, если 04 — время регулиро-
вания системы С, то 0Х — время регулирования модели М).
Определение 13. Модель М эквивалентна системе С на
подмножестве параметров |аЛ/| и если ап. = Рп.; модель
М эквивалентна системе С, если ak — (k = 1, 2, . . . , п).
Эквивалентность модели системе будем обозначать в первом
случае М — С и во втором случае М — С или М ~ С.
{«<•} {”}
Постановка задачи. Дана система С с переходной
характеристикой, определяемой множеством параметров (aj. Тре-
буется построить модель М с передаточной функцией (р), у ко-
торой [ №м (р) ]-1 представляет собой полином и М — С, где,
{"/}
{nJ —некоторое подмножество множества индексов {л}.
Следует отметить, что эквивалентность М ~ С представляет
частный случай эквивалентности М •—С, к которому всегда можно
{”*}
свести общий случай, отбросив лишние параметры и введя новую
нумерацию.
Поскольку, как известно, параметры 0(. £{р„) и вид переходной
характеристики модели М, у которой [ №м (р)]~1 представляет со-
бой полином, зависит от корней этого полинома, то для эквивалент-
ности модели М, системе С в смысле определения 13 необходимо и
достаточно, чтобы удовлетворялась система уравнений
(Рь • • • . Рп) = «1!
₽п (Р1........Рп) = ап
(56)
относительно неизвестных корней полинома рг . . . , рп.
Докажем следующую теорему.
Теорема 7. Если система уравнений (56) разрешима, то
передаточная функция эквивалентной модели М имеет следующий
вид:
Г п
^м(Р) = П(р_р.)
(57)
причем полином в знаменателе имеет степень п.
Доказательство. Пусть имеется система из п уравне-
ний относительно п переменных:
(Р1> • • • . Рп) = «Ь ]
.............................. (58)
₽п (Р1> • • • , Рп) = <*n J
50
где р,- (др . . . , p„) — функции n переменных,
az (i = 1, 2, . . . n) — числа.
Если система (58) разрешима относительно plt ..., рп, то всегда
п
существует полином Q (р) — П (р — р.), корнями которого слу-
t=i
жат числа р1; . . . , рп. Степень его не может быть меньше п, по-
скольку число корней полинома равно его степени. Теорема дока-
зана.
Следствие 4. Если в условиях теоремы 7 любое t-oe урав-
нение системы (56) не является следствием остальных п—1 уравне-
ний, то степень полинома знаменателя Ц7М (р) не может быть
меньше п.
Замечание 10. Принципиально степень полинома в знаме-
нателе 1FM (р) может быть взята большей, чем п, но это по техни-
ческим причинам нецелесообразно, поскольку усложняет модель.
Замечание 11. При построении 1ГМ (р) вместо системы (56)
можно решать эквивалентную ей систему уравнений
?! («0- • • • > «п-х) = Ч
(«0> • • • > an-l) ~ “л’
(58а)
где a0, а,......ая_, коэффициенты полинома знаменателя в вы-
ражении (57) при рк (k = 0, 1, . . . , п—1).
Последнее замечание следует из обобщенной теоремы Виета,
которая устанавливает взаимное соответствие между корнями по-
линома и его коэффициентами [Л. 3] при условии, что ап = 1.
Пример. Работоспособность большого количества автоматических си-
стем можно определить двумя параметрами качества переходной характе-
ристики, а именно: /р — временем регулирования; омакс — максимальным
перерегулированием.
В этом случае множество {an} состоит из двух параметров ax — tp
и а2=амакси в силу следствия 4 теоремы 7 наименьшей возможной степенью
полинома в знаменателе №м (р) будет вторая Степень. Тогда полином
[№м(р)]~! имеет вид
[W'm (Р)Г’ = Р2 + aiP + «о-
На основании замечания И составим систему уравнений вида (56), отно-
сительно коэффициентов а0, аг искомого полинома второй степени:
Pi («о, ai) = ai;	(59)
₽2 (а0» а1) = ®2*
Полагая а0 = (&2п и а± — 2|шп и используя известные соотношения для
системы второго порядка [Л.6] между амакс = а2, ^р — ai и а>п, В, получим
₽1 (?. °>п) = —— = «1!
ме. °>п) = 1 + е
где у — заданный коэффициент; у = 3 — 5,
3*	51
Разрешим систему уравнений (60) относительно а± = 2gcon и а0 ® сф
01 = 2£соп — -*1 ;
«1
72 [ те» , \
Од —    I -г—	-р 1 1 •
а2 к 1п2(а2 — 1)	)
Теперь можно построить эквивалентную контролируемой системе мо-
дель, представляющую собой звено второго порядка с заданными парамет-
рами tp и пмакс. Схема контроля системы С с помощью эквивалентной модели
М представлена на рис. 11.
Рис. И. Схема определения работоспо-
собности с помощью эквивалентной
модели.
Для согласования масштабов выходных сигналов контролируемой си-
стемы и эквивалентной модели, при практическом решении задачи определе-
ния работоспособности, последовательно с моделью необходимо включить
безынерционное усилительное звено U с коэффициентом усиления, равным
статическому коэффициенту усиления контролируемой системы.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
ОБНАРУЖЕНИЕ НЕИСПРАВНОСТЕЙ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
ПО ДЕФОРМАЦИИ КОНТРОЛЬНОГО СИГНАЛА
§ 12. АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ФУНКЦИЙ ПЕРЕДАЧ ДЛЯ ВЫБОРА
КОНТРОЛИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Наличие большого числа автоматических систем, обладающих
малой чувствительностью выхода к вариациям параметров элемен-
тов, приводит к необходимости поиска метода обнаружения неис-
правностей, не связанного с контролем выхода.
Анализ структур автоматических систем позволяет утверждать,
что в системах могут быть обнаружены такие входы и выходы для
контрольного сигнала, которые позволяют обнаруживать неболь-
шие изменения, происходящие в системе.
Для выбора входа и выхода контрольного сигнала необходимо
проанализировать чувствительности функций передач. При этом
62
могут быть использованы функции чувствительности Sz/, т. е.
частные производные вида
з„=^а-,	(60
иля логарифмические чувствительности, т. е. выражения следую-
щего вида:
STr4 = А1п тч t	(62)
к д In rk
где Тц — функция передачи от i-ro входа к /-му выходу, a rk —
изменяющийся параметр элемента.
Подлежащая контролю автоматическая система характеризуется
множеством функций передач (Т;} (/ = 1, 2.......С2п),	где п—
число параметров в системе, С2 — число сочетаний из п по 2.
Каждая из функций передач Tt в свою очередь характеризуется
множеством чувствительностей
|Sw}(fc=l, 2......m; /=1, 2........С2„),
причем m — число изменяющихся параметров элементов.
Заметим следующее: возможно, что
{S.P|C{SZ,}; p*f-,	q,l^k.
Сравнивая множества чувствительностей функций передач
между собой, нужно выбрать лучшую, т. е. наиболее чувствитель-
ную ко всем изменениям в системе из возможных Tj. Анализ слож-
ной системы может быть значительно облегчен, если воспользовать-
ся таблицей чувствительности функций передач (табл. 4).
Таблица 4
Таблица чувствительностей функций передач
Чувстви- тельность функций передач	Элементы				
	П	Га	г9			
зГ- ГК	Sf01	зГ" г3	г 3	....	STf
к	SrM	«г?	s!® гз	• • • •	
STnm К	grnm • 1	5глт 'а	sTrnm	....	
Каждый вертикальный столбец в таблице представляет собой
чувствительность функций передач Тц относительно изменений
одного и того же параметра элемента гк (k = 1, . . . , m). Каждая
горизонтальная строчка представляет собой чувствительность од-
ной и той же функции передачи Тц относительно изменений всех
53
rk. При пользовании подобной таблицей чувствительностей анализ
системы сводится к выбору одной или нескольких строк, т. е. функ-
ций передач, обладающих достаточной чувствительностью к изме-
нениям всех rk. Анализируя возможные структуры автоматических
систем, можно составить атлас из таблиц чувствительностей функ-
ций передач, полученных в общем виде.
Для получения функций передач может быть использован раз-
личный математический аппарат. В большинстве практических слу-
чаев для выполнения анализа оказывается целесообразным пред-
ставлять контролируемую систему графом или диаграммой про-
хождения сигналов.
При анализе систем небольшой сложности может быть исполь-
зован аппарат матричного анализа.
Получение функции передач в системе значительно упрощается,
если составить неопределенную матрицу узловых проводимостей
системы
Уп Уп    Ут
Уи У» •• • Ут
_Уп1 УгЛ • • • Упп~.
В неопределенной матрице алгебраические суммы элементов
каждого столбца и каждой строки равны нулю, что определяется
равенством нулю алгебраической суммы внешних токов, входящих
в систему, соответственно, неизменностью токов в системе при из-
менении всех узловых напряжений на одинаковую величину. От-
метим, что уп — сумма проводимостей ветвей, присоединенных
к /-му узлу, а yjk — проводимость ветви, соединяющей узлы / и k.
При наличии неопределенной матрицы узловых проводимостей
системы достаточно просто можно определить функции передач
по напряжению, рассматривая систему как двухполюсник [Л. 71.’
т — Yrm. Ы	(64)
1 ЯР v *	v '
1 rr, kk
где qp — входной и выходной элементы, a Yrm kj, YTrkk — алге-
браические дополнения второго порядка, получаемые из определи-
теля неопределенной матрицы (63) вычеркиванием столбцов г и k
и строк / и т, причем г и k — номера узлов элемента р, а / и т —
номера узлов элемента q.
В случае фиксированного входа число функций передач будет
равно n + I, где п — порядок неопределенной матрицы. При
«плавающем» входе и соблюдении правила «взаимности» количе-
ство функций передач увеличится до (и + 1) tn, где т — число
входов в системе. Это приводит к увеличению объема работ при
выполнении анализа контролируемой системы. Однако в некото-
64
рых случаях можно использовать особенности структуры системы и
сократить время, необходимое на выполнение анализа.
В качестве примера рассмотрим довольно распространенные
на практике мостовые схемы.
Пример. На рис. 12 приведена мостовая схема, образующая неопре-
деленную матрицу узловых проводимостей четвертого порядка:
четвертого порядка:
У"
-«з
— «1
’з Ьз
bi 4- b2 + Ь3
*““ Ь2
-ь.
— Дз
— Ь2
^3 4 ^2 4 а2
— «1
— а2
— Д2
(65)
Зафиксировав вход ах (узлы 1, 4) из матрицы (65),
получим 5 передач:
5 передач:
— Ь3 — Ь2
— Дз fl2 4 ^2 ~1~ Дз
Ла
I b3 Ьг 4 b2 4- Ь3
Р _ I — Дз— Ь2
— b3 — bx
— а3 — а2
&а
— Ь2
Д2 4 ^2 4 Дз
bi 4 b2 4 Ь3 — bi
— b2 —а2
Ла
(66)
(66)
д = I 4~ ^2 4 ^з 4 — Ь2 I
а I — Ь2 а2 4 Ь2 4 Дз I ।
Если выбрать в качестве входа Ьг (узлы 2, 4), функции передачи
иметь вид:
I — b3 f— b2 |
Т — I ~~ g2 4 ^2 4 Дз I . гр _
2 Ml	Л.	’	2
Ла
будут
Д1 4 Дз 4 ^з — аз
— b3___— ^2
Ль
Д) 4- Дз 4- Ь3 — а31
— Ь$— Ь21
(67)


~ b3

: Т =
’ ata3
~ Д2



Tbxb, —
—	Ьз — Ь2
—	ах — а2
Ль
— Дз а2 4- ^2 'I а3 I
— ai — а2 I д _______________| Д] 4 Дз 4" Ьг — а3
Ль	b I ~ Ь3 — Ь2
Факт равенства знаменателей во всех функциях передач Та^ь (при j ==
= 1, 2, 3) и Ть а (при i — 1, 2, 3) объясняется тем, что вход зафиксирован
При этом определители матрицы
11,44 — И 22,44 “ Дь’
55
В силу симметрии схемы выбор в качестве входа других элементов (узлов)
ничего нового не вносит.
Ниже приводятся значения чувствительностей функций передач к изме-
нениям параметров элементов схемы (а/, bj), полученные для обоих случаев
(табл. 5 и 6).
Анализ приведенных
выводы:
1.	Функции передач
к изменениям параметров
2.	При выборе в качестве входа внешнего элемента at (причем i
а)	в силу симметрии схемы чувствительности функций передач относи-
смежных внутренних и внешних элементов оказываются одинаковыми,
чувствительностей позволяет сделать следующие
Talbj и (/> » = 1. 2, 3) нечувствительны
входных элементов (ах и Ьг соответственно);
1,2,3):
тельно
т. е.

б)	наилучшей функцией передачи, т. е. функцией передачи, обладающей
наибольшей чувствительностью к изменениям параметров элементов а/ и bj
схемы при условии, что Ьг + Ь3 > а2 + а3 > Ь2, является функция пере-
«ачи Tatb,'
3.	При выборе в качестве входа внутреннего элемента Ь: (причем / =
= 1, 2, 3):
а)	чувствительности функций передачи к изменениям параметров
элементов (Ь2, а3) оказываются одинаковыми;
б)	наилучшей функцией передачи в этом случае при условии, что
а3 > Д1+ оказывается функция передачи к внутренним элементам, т. е.
Tb1b. (причем / = 2,3).
С усложнением контролируемой схемы аппарат матричного ана-
лиза оказывается слишком громоздким. В этом случае более удобно
получать функции передач с помощью аппарата структурных чисел.
Известно [Л. 22], что структурным числом называется система
А расположенных в таблице натуральных чисел
а11 а12 • • • а1п
а21 й22 • • • °2л
(68)
А =
_ aznla/n2 • • • amn—
Воспользовавшись обратным изображением структурного числа,
можно осуществить анализ системы для выбора параметров, кон-
троль которых позволит обнаружить возникающие неисправности.
Обратное изображение структурного числа представляют собой
граф, взаимные деревья которого являются столбцами структур-
ного числа. Следовательно, каждая система может быть представ-
лена структурным числом, которое может быть легко написано,
если система представлена графом.
Доказывается, что с помощью структурных чисел, составлен-
ных по графу системы, можно определить функцию передачи
56
Чувствительности функций передач при входе а±
Таблица 5
Чувствитель- ности функ- ции передач	Элементы		
			b>
		b^ [Д3 (^i 4~ ^2) 4~ b3 (b2 4~ Д3)] д«.	(gg 4- Д3) (^2^3 — Мз) д2«.
$Taibi	— (a2 4~ аз) [a3 (b2 4- b3) 4- b3 (a2 4- ^2)]	(dx + d2) [a3 (b± 4~ ^2) 4~ b3 (b2 4- Д3)] A2	
STa^	— ^2 [fl3 (b2 4~ ^3) 4~ b3 (b2 4~ Д2)] A2 a.	_ ($r«A + sT«i».)	(&i 4- 63) (Д263 — Мз)
		_ (sr“lft‘ 4- STa'b^	5r«taa
ST »•		^7alai	STalbi	
ЛД1 =	4" ^1^2 4“ Мз #2^2 4“ Д2^3 4“ ^2^3 4“ ^2^3 4“ Дз^З
Чувствительности функций передач при входе Ьх
Таблица 6
Чувствитель- ности функ- ций передач	Элементы		
			п3
Sr*‘a-		— Дз lfll (fl2 4~ Дз) — 02 (Дз ~4~ Ь3)] Д1	(аг + (аг&з — а1^) Д1
5^102	аз [^2 (Дз 4~ ^з) 4~ (fl2 4~ Оз)] ч	— (Дз 4“ *>з) (агаз 4~ ДгДзЧ- а2^з)— — Qi [fli (fl2 4~ Дз) — fl2 (fl3 4~ Ь3)] д».	(Д1 + &з) (a-ib2 — а^Ьз) Д1
$гМз	— (fl2 4~ ^г)[^2 (Дз ~4~ Ьз) ~i~ Ь3 (а2 4~ Дз)] Д1		5 Tb1ai
	Дз [fll (^2 4~ Дз) 4- 02 (Д1 + Дз)] д1,	— (fli Ч~ Ьз) [ff! (а3 4- Оа) + Дг (Дз 4~ ^з)] Д1	aib^ (b2 + Да) + (b2 +&з) (Д1^г — 	~02^з)~~ Д2^з(Д1 4~ и2)
S^^3	—	4- sTbib*)	S^.o.	_( §Г»|О. sTbl“>)
системы. Функция передачи системы А по напряжению определяется
следующей зависимостью:
sim ( дЛ дЛ
* \1Г* ~d[
detzA
(69)
dA dA
где ---,-------алгебраические производные структурного числа
di dj
системы, которые представляют собой структурное число А с ис-
ключенными столбцами, не содержащими i (/), а в столбцах с i (j)
sim / d/4	dA \	,
последнее вычеркнуто; 51111 ---, ----- —функция совпадения
z \ di	dj )
структурного числа Л, представляющая собой линейную комби-
нацию с тем или иным знаком одинаковых членов в функциях
det2-^- и det2-!—- (отметим, что если в графе А при исключении
ветвей, определенных заданным членом, получим контур с тем же
направлением ветвей, то числу приписывается знак «+», в про-
тивном случае знак «—»); detz4—детерминантная функция струк-
турного числа Л, равная
п т
det, Л = 2 П zaik,
£=>1 Г = 1
(70)
где	z — подмножество заданных комплексных чисел га^
det2 — , detz — — детерминантые функции соответственно структур-
di dj
dA	dA
ных чисел ---- и-----.
di	dj
Таким образом, основой для получения функций передач си-
стемы от Z-ro к /-му элементу (ветви) является структурное число,
которое должно быть получено по его обратному изображению
(графу системы).
Структурное число Л может быть определено как произведение
однострочных структурных чисел Pk (k = 1, . . . , f) всех незави-
симых замкнутых контуров графа, т. е.
А = П Pk,
k=l
(71)
где t — число независимых замкнутых контуров в графе. Причем
произведение структурных чисел А1г , Ап определяется как
структурное число В, столбцы которого равны суммам всех возмож-
ных комбинаций столбцов чисел Alt . . . , Ап, из которых исклю-
чены одинаковые столбцы и столбцы с повторяющимися элементами.
Как видно из выражения (69), изменение направления передачи не
S9
влияет на знаменатель Ti}-. Следовательно, значение напряжения
на выбранном выходе будет изменяться только за счет изменения
функции совпадения.
Таким образом, чтобы выбрать параметры, контроль которых
позволит обнаружить возникшую неисправность, необходимо полу-
дА ,	ч
чить производную —т- (где i — вход системы) и комплект произ-
di
водных----, получаемых для каждого возможного выхода /, при-
ду
чем предельное количество этих производных (выходов) равно
числу ветвей графа без единицы. Затем, сравнивая полученные зна-
чения производных, можно найти значение функций совпадений,
дА *	.
равное числу производных —, и выбрать те параметры и ту функ-
д/
цию передачи, контроль которых позволит обнаружить возникшую
неисправность.
Функции передачи могут быть получены, кроме того, при пред-
ставлении контролируемой системы диаграммой прохождения сиг-
налов с помощью теоремы Мэзона. Согласно теореме Мэзона [Л. 7 ],
функция передачи определяется следующим выражением:
(72)
где Pk — произведение операторов ветвей, соединяющих i — и —
и j — и узлы диаграммы по k -му пути прохождения сигнала от
i-ro входа к /-му выходу; Д — определитель диаграммы прохожде-
ния сигналов; Д4 — минор определителя диаграммы прохождения
сигналов, т. е. определитель диаграммы, из которой вычеркнуты
все члены содержащие ветви пути k.
При составлении диаграммы прохождения сигналов руководст-
вуются следующими правилами:
. 1) переменные величины изображаются узловыми точками, а
операторы — направленными отрезками (ветвями);
2)	сигналы передаются вдоль ветвей только в направлении,
указанном стрелками;
3)	сигнал, проходящий вдоль ветви, умножается на оператор
ветви;
4)	величина переменной, изображаемой узловой точкой, яв-
ляется суммой всех сигналов, входящих в эту точку;
5)	величина переменной, изображаемой узловой точкой, пере-
дается по всем ветвям, выходящим из этой точки.
В отдельных случаях параметры, контроль которых позволяет
обнаруживать возникающие неисправности, могут быть определены
непосредственно из анализа чувствительностей функций передач,
полученных в общем виде.
60
§ 13. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЕЙ ФУНКЦИЙ
ПЕРЕДАЧ ДЛЯ ВЫБОРА КОНТРОЛИРУЕМЫХ ПАРАМЕТРОВ
ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ НЕИСПРАВНОСТЕЙ
Рассмотрим диаграмму прохождения сигналов для любой авто-
матической системы. На ней пронумеруем узлы любым способом,
приписывая 0-й номер узлу входа и п —• номер выходному узлу.
Таким образом, каждый узел диаграммы будет иметь свой номер
/, причем 0 < / < п.
Определение 14. Функцией передачи Tlt от i-го узла
к j-му i т^= /, 0 i, j п назовем передаточную функцию от узла i
к узлу j, если узел i считать входом, а узел j выходом.
Очевидно, что ТОп совпадает с передаточной функцией нашей
автоматической системы. Согласно теореме Мэзона, функции пере-
дачи Тц определяются выражением (72).
k
Постановка задачи. Предположим, что на вход i
подается сигнал известной формы. Спрашивается: в каких узлах
следует контролировать систему, чтобы обнаружить любую воз-
никшую неисправность.
Очевидно, что контроль системы во всех узлах j =£ i даст пол-
ную информацию о состоянии системы, но при наличии очень боль-
шого числа узлов этот тривиальный способ становится неприемле-
мым.
Мы займемся выяснением такого вопроса: пусть задано допу-
стимое число m контролируемых точек [пг < и, где (и + 1) — об-
щее число узлов системы]. В каких же узлах i=/= j выгоднее всего
произвести контроль с тем, чтобы эти m испытаний дали наиболее
полную информацию о состоянии системы?
Для решения этой задачи отберем среди множества {Тц} те эле-
менты, которые обладают наибольшими чувствительностями к лю-
бым возмущениям.
Мы подробно рассмотрим лишь случай i = 0, т. е. когда кон-
трольный сигнал подается на вход системы. Другие случаи /у=0
принципиально неразличимы, однако случай 1 = 0 выгодно от-
личается от остальных тем, что при этом контроль можно осущест-
влять, не прерывая работы системы, если использовать в качестве
контрольного сигнала входной сигнал.
Рассмотрим автоматическую систему с суммированием воздей-
ствий цепей обратных связей на входе (рис. 13).
Обозначим
2 = (V«+l +	+ • • • + Г1Г2 • • • ГЛГЛ+П)Г2Л + Г
61
Тогда, согласно (72) и рис. 13, функция передачи То/ (от входа к
узлу с номером < n + 1) будет иметь следующий вид:
A rk
Т’о/ = *.	> (/ < п + 1)
1 — Z
ГГ1	Z	1
0(«+1)= !_г ,2я+1.
(73)
Для решения задачи выбора узлов, подлежащих контролю при
обнаружении неисправностей, введем следующие определения.
Рис. 13. Диаграмма прохождения сигналов
для систем с суммированием воздействий
цепей обратных связей на входе.
Определение 15. Будем считать Тт лучше TOj (обозна-
чать TQi > TOj), причем j < п + 1, 1 < Z, если
dTQi
dr‘k
дТд
dr‘k
, k = 1, 2,

Здесь —любая подпоследовательность из множества
I = 1, 2...(2л + 1).
Определение 16. Полагаем, что Т01 равноценна Toi
(обозначим TOi ss Toj), если
дТ<,с
дг‘Р
дТы
дг‘к
дТа1
дг‘ч
dT.j
dr‘P
дТа1
дг‘к
dToi
*4
k = 1, 2, . . ., m (m < n)
, q — m + 1>  • •, 2/n;
p = 2m + \ , 2m+ 2.2n + 1.
Определение 15 фактически требует, чтобы для TOi чувствитель-
ности по большей части параметров (число их больше половины от
всех, так как общее число параметров 2п + 1, а в определении
15 участвуют п + 1) превосходили соответствующие чувствитель-
ности TQj.
В определении 16 требуется, чтобы в случае несовпадения чувст-
вительностей Т01 и по некоторым параметрам количество па-
$2
раметров, по которым чувствительность TOi превосходит соответст-
вующие чувствительности Т0( совпадало бы с количеством пара-
метров, по которым чувствительности То/ превосходят соответст-
вующие чувствительности То1.
Определение 17. Пусть множество {Т0(- причем i = 1,
2......(n + 1), является упорядоченным. Тогда будем говорить,
что ТОр — наилучший элемент множества, если он максимален,
т. е. если имеет место соотношение
Т
01
<Т < Т
о,п Ор
Отметим, что множество {а„} называется частично упорядочен-^
ным, если для любых аг, a,/, ar£{aft), справедливо следующее:
1) из < «у и а;- < аг следует а(- < аг; 2) из а( < а, и а, < а, сле-
дует а( = а,.
Замечание 12. Множество [Т^], где i = 1, 2.........
(п + 1), вообще говоря, не является даже частично упорядочен-
ным, поскольку при T9l < То, и Т0[ < Твр нельзя утверждать,
чго Тог < ТОр. Последнее неравенство имеет место лишь тогда, когда
dTOj
dr‘k
дТ01
drik
дТрр
dr'k
k = 1, 2, .
, п + 1.
Предположим, что множество {7'0г}, где i — 1, 2....п + 1,
оказалось упорядоченным. Если при этом нам удастся установить
соотношение порядка, т. е. расположить все элементы в соответст-
вии с определением 15 в последовательности
т > т
Т
Oin+l’
то автоматически будет решена поставленная выше задача о выборе
m узлов (m < п + 1), подлежащих контролю, так как контроль
достаточно осуществить в т узлах tx, t2....im, которым соот-
ветствуют лучшие (в смысле определения 15) функции передач
T»il.....Totm‘
В силу замечания 12 решение поставленной задачи в общем слу-
чае невозможно, так как не всякое множество {Т^} является упо-
рядоченным. Поэтому мы приведем решение поставленной задачи
для двух частных случаев, которые тем не менее нередко встреча-
ются в конкретных задачах.
i	i
1-й случай. Пусть | z \ > 1 и И rk =/= П rk , причем / = 1,
k ==£ 1	k == 1
2, 3,	, п; j i. При этом выражения (73) примут следующий
*=i
вид;
J
П rk
Т^^-, j^n+1,
7	~______! 
4 1)11+1	'?«+!
(74)
63
При сделанных допущениях справедлива следующая теорема.
Теорема 8.	7’0(я+1) <	< • • • <
..........Т^п — функции передачи системы (74), расположенные
в том оке порядке, в каком располагаются следующие вещественные
числа, зависящие от kf.
ii,
Пг,
t-i
kn
Пг
если при этом существует хотя бы одно такое q (1 < q < л), для
которого
drq
9T0kt
drq
дТ»*п
drq
Доказательство. Из условий теоремы и непосредст-
венно из рассмотрения системы функций (74) следует:
О =
^оп+1
drz
Пг/
i-i
k,
Пгг
i-i
drt
ОТ№,	< . . . <	d'f 1 <?rz 1	kn Пг/ Z-l	—	dT^n
drt					drt
где <p = — у; I = п + 1, п + 2, ... , 2п. Отсюда на основании
замечания 12 и определения 15 теорема доказана.
Следствие 5. Т^п является наилучшим элементом множе-
ства {Toz}, где i — 1, 2, . . ., п + 1, в силу определения 17.
Следствие 6. Если \rkj > 1, k = 1, 2, . . . , п, то имеет
место соотношение Т0(л+1) < Т01 < . . . < То„.
2-й случай. Пусть |г|<^С 1 и
rk
=k
j — 1, 2, .. . n; i^j.
Krk
k-l
При этом система соотношений (73) примет вид:
, причем i,
П
7о/~(1 + z) П rk>
k-i
Т ж______-__.
On+1 Ъп+1
i =/= п +1,
(75)
При сделанных предположениях
Теорема 9. Пусть
справедливы две теоремы:
тогда
1
Г2п+1
Т
Т
1 О*?
^0(п+1)
Му
дг2п + 1
< Тып < Тпп^г причем функции

и
64
TQkl, . . . , TQkn расположены в том же порядке, в каком располо-
жены вещественные числа, зависящие от kf.

Al
Пг/
z=i
П rt
i=\
п
П rt
1=1
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.
Теорема 10. Пусть
г2л+1
п Г*;
4—1
£==1,2, . . п;
д7о(и+1)
^2« + 1
dToi
^r2n + l
тогда Т0(п-Ц) <	< • • • < Т04й> пРичем функции TOfti...Tokn
расположены в том же порядке, как и в условии теоремы 9.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 8.
Рис. 14. Диаграмма прохождения сигналов
для магнитного усилителя.
Следствие 7. Пусть
]г*|>1; 6=1, 2, n;
#r2n + l
^г2л+1
1
r2n+l
J
k~i
тогда TQ{n+i) <^ . t , TQn.
Пример. На рис. 14 приведена диаграмма прохождения сигналов для
магнитного усилителя с внешней обратной связью по току и индуктивной
нагрузкой в цепи выпрямленного тока.
В этом случае п => 2 и система (73) будет иметь следующий вид:
7*0!—-—-—, Т02 —г2Т01, Т'оз — (г3 + г2г4) То1,
1 — г
где z = г1} г2 (г3 + г2, г4).
Для усилителя УМ-ЗП = 104, г2 = 0,081 1/ом, г3 = —0,009, г4 =
«= 22,4, гб = 231 ом; таким образом, имеем первый случай, когда z— 418.
104 > 1 и П rk > 1 (так как i = 2).
65

Jfej
ляются из соотношения
Применяя теорему 8, получим Тт < Tofel < где kr и k2 опреде-
; так как r2 < 1, а гхг2— 810 > 1,
то П г <11/1, следовательно, — 2; k2 <= 1.
Z-1 i Z=1
Отсюда получаем: Т0з < ^02 < ^oi-
Если по условию требуется контролировать систему лишь в одном узле
(tn — 1), то для контроля необходимо выбрать узел № 1, для которого функ-
ция передачи Т01 является наилучшей в смысле определения 17. Полученный
вывод подтверждается результатами эксперимента.
§ 14. ОБНАРУЖЕНИЕ НЕИСПРАВНОСТЕЙ В МАГНИТНОМ УСИЛИТЕЛЕ
На рис. 15 приведена принципиальная электрическая схема
магнитного усилителя, который включает в себя три основных
узла:
Рис. 15. Принципиальная электрическая схема магнитного усилителя.
1)	входной фазочувствительный выпрямитель (Вх, В2, Тр1,
Гр2,	R10, /?ц;
2)	магнитный усилитель мощности, собранный по дифферен-
циальной схеме {Др 1, Др 2);
3)	выходной фазочувствительный выпрямитель (В3, В4, обмотки
5, 6 ТрЗ, 2Тр4, С8, Сй, С„).
В результате анализа, выполненного по методике, изложенной
в предыдущем параграфе, в качестве входа для контрольного гар-
монического сигнала выбраны точки 14 и 17, а в качестве выхода—
точки 11 и 13, причем точки 17 и 18 схемы заземлены. Функция
передачи по напряжению при этом оказывается достаточно чувст-
ве
вительнои к изменениям, происходящим в схеме усилителя, что
позволяет обнаруживать большинство из возникающих неисправ-
ностей. На рис. 16 при-
ведена амплитудно-частот- мб
ная характеристика для
выбранной функции пере-
дачи. Анализ амплитудно-
частотной характеристики
позволил выбрать пара- Ю
метры для контрольного
сигнала Uax = — 0,65 в, Рис- Амплитудно-частотная характе-
f 43Q	ристика схемы при выбранных для кон-
и ^*17	троля входе и выходе.
На рис. 17, а приведена	н
осциллограмма напряжения, полученная на выходе при отсутствии
неисправностей в схеме. На том же рисунке (рис. 17, бив) приведены
а)
М:
И
Рис. 17. Осциллограммы напряже-
ния на контрольном выходе маг-
нитного усилителя: а — при отсут-
ствии неисправностей; б — при ко-
ротком замыкании обмотки Др, /
(в точках 7 и 5); в — при обрыве цепи
в точке 2 (см. рис. 15).
Рис. 18. Осциллограммы напряже-
ния на контрольном выходе маг-
нитного усилителя: а — при корот-
ком замыкании обмотки Др, 1
(в точках 1 и 2); б — при обрыве
цепи в точке /; в — при обрыве цепи
в точке 3 (см. рис. 15).
осциллограммы напряжения, полученные соответственно при на-
личии короткого замыкания между двумя обмотками (точки 7, S)
обрыва обмотки (точка 2) в Др2 (рис. 15).
67
На рис. 18, а, б и в приведены осциллограммы напряжения на
том же выходе соответственно при полном коротком замыкании
обмотки Др1 (точки 1, 2) и обрывах обмоток того же дросселя (в
точках 1 и 3).
На рис. 19, а и б приведены осциллограммы напряжения соот-
ветственно при обрыве и коротком замыкании диода В39 в плече
фазочувствительного выпрямителя.
Анализ приведенных осциллограмм
показывает, что деформация гармо-
нического сигнала значительно изме-
няется при появлении неисправностей
типа короткого замыкания или об-
рыва в схеме магнитного усилителя.
Причем характер изменений сиг-
нала (осциллограмма напряжения)
таков, что можно обнаружить не
только наличие неисправности в схеме,
но и в большинстве случаев указать,
какая именно неисправность воз-
никла. Практически задача определе-
ния изменения сигнала (напряжения)
может быть осуществлена по измене-
нию величины напряжения (эффек-
тивного значения). Действительно,
значение изменений напряжения Ди4-
на рис. 17 Дых = + 65 лщ и Ди2 =
= — 64 мв; для осциллограмм, приве-
денных на рис. 18, Ди8 = — 25 мв,
= — 38 мв и Ли6 =4-65 мв; для
осциллограмм, приведенных на рис.
19, Д«6 = — 30 мв и Ди7 = — 22 мв.
Технически обнаружение неис-
правности может быть выполнено
с помощью пороговых устройств, осуществляющих оценку напря-
жения по принципу: норма, больше и меньше [Л. 14].
а)
и
S)
и
Г!,/у

i
t
Рис. 19. Осциллограммы на-
пряжения на контрольном вы-
ходе магнитного усилителя:
а — при обрыве цепи с диодом
Взе; б — при коротком замыка-
нии (пробой) диода В39 (см.
рис. 15).
ГЛАВА ПЯТАЯ
АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
§ 1S. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Работоспособность автоматической системы или отдельного уст-
ройства может характеризоваться, как это говорилось ранее, сово-
купностью контролируемых параметров. Случаи, когда работе-
спосббность устройства определяется одним параметром, относи-
тельно редки.
68
Изменение работоспособности в этом случае можно представить
как изменение обобщенной функции
S=/(XiX2, ...,xft),	(76)
где xlt х2, . . . , xk — параметры, характеризующие состояние от-
дельных подсистем.
Так как с течением времени элементы и отдельные подсистемы
претерпевают необратимые физико-химические превращения, свя-
занные с их старением и определяющие изменение состояния авто-
матической системы, то, естественно, их параметры являются функ-
циями временй:
*/ = <М0-	(77)
В результате моментам времени tt < t2 < . . . < tn будут со-
ответствовать определенные значения функции работоспособности
Sx, 32, . . . , Sn, т. е. получается множество U = (3) таких состоя-
ний, которые можно назвать фазовым пространством системы.
Поскольку функция (76) зависит от k аргументов, то ее можно рас-
сматривать в ^-мерном пространстве, как вектор, конец которого
находится на поверхности, представляющей гиперповерхность функ-
ции работоспособности контролируемой системы.
В каждый дискретный момент времени tt, t2,	, tn нахожде-
ние вектора функции работоспособности будет определяться сле-
дующими зависимостями:
Зх —/[Хц, х21, ..., хи];
32 =/[х12, х22, .... хА2];	/уо\
/[Х1п, х2п, . . . , Хд,„].
Тенденция изменения гиперповерхности функции работоспособ-
ности U = {3} зависит от характера зависимостей (78).
Определенная закономерность изменений, происходящих при
старении элементов, позволяет говорить об определенной законо-
мерности в изменении работоспособности системы. При правильном
выборе функции работоспособности S, установив тенденцию ее
изменения, можно заранее определить характер последующих из-
менений работоспособности автоматической системы. При этом
появляется возможность более точного планирования профилак-
тических работ, что позволяет значительно сократить или вообще
исключить появление отказов в системе.
В дальнейшем, для простоты изложения материала, будем счи-
тать, что функция работоспособности системы определяется одним
контролируемым параметром х, и прогнозирование изменения сте-
пени работоспособности будем рассматривать как прогнозирование
изменения контролируемой функции х (0.
Задача прогнозирования может иметь два принципиально отли-
чающихся решения.
69
Пусть контролируемый параметр представляет собой (рис. 20)
функцию х (/), которая в известной области Тг принимает значения
X (t0), х (G), . . . , х (/,).х (tn), причем t0, G, . . . , tit . . . ,
tn £ Tf, при этом t0 < ti < . . . <	tn.
По известным значениям x (t{) контролируемой функции x (/)
в дискретные моменты времени (i = 0, 1, 2, ... , и) в прошлом
(ti £ Tj) необходимо предсказать значения величин х (tn+l),
X (tn+2), .... X (tn+.), . . . , X (tn+m), при этом
^л+1 < ^л+2 < • • • < ^n+j < • • • < ^п+т И	^2’
где Т2 — область будущих значений времени.
Рис. 20. Области известных и прогнозируемых значений х (/)•
Сформулированный таким образом принцип прогнозирования
назовем аналитическим прогнозированием.
Возможен и другой подход к решению задачи прогнозирования.
Необходимо по известным значениям х (/J, причем
i = 0, 1....п, определить вероятность того, что значения функ-
ции х (0 не выйдут за допустимые пределы, т. е.
(79)
где х (tn+j) — значения контролируемой функции в моменты вре-
мени tn+j £ Т2, / = 1, 2, . . . , /п; хн (/) — номинальное значение
функции; едоп — допустимое отклонение х (Z) в области Т2.
Такое решение задачи прогнозирования будем называть в е -
роятностным.
Как в первом, так и во втором случае могут решаться прямая
и обратная задачи.
Таким образом, аналитическое прямое прогнозирование — это
такое прогнозирование, когда вычисляются значения контроли-
70
руемой функции х (tn+J), tn+j £ Т2 чеРез заданное количество ша-
гов прогнозирования т (за шаг в общем случае принимается интер-
вал контроля).
Аналитическое обратное прогнозирование — это такое прогно-
зирование, когда определяется, через сколько шагов прогнозирова-
ния т значения х	достигнут допустимого
уровня хлоп (0.
Аналогично вероятностное прямое прогнозирование — это та-
кое прогнозирование, когда по значениям х (ZJ, причем
i = 0, 1, . . . , и, вычисляется вероятность (79) для заданного т —
числа шагов прогнозирования.
Вероятностное обратное прогнозирование — это такое прогно-
зирование, когда по значениям х (/z) при £ tx\ i = 0, 1, . . . , п
определяется, через сколько шагов прогнозирования tn наступит
равенство
<8°>
где Рхдоп — допустимая вероятность невыхода значений контро-
лируемого параметра за заданные пределы.
Подготовка и решение задачи как при аналитическом, так и
при вероятностном прогнозировании складывается из трех этапов.
Первый этап включает в себя получение информации о контро-
лируемых параметрах xk и тем самым о степени работоспособности
системы. При этом желательно иметь возможно больше данных
о xk. Затем необходимо осуществить качественный и количествен-
ный анализы поступающих и имеющихся данных. Качественный ана-
лиз дает представление о тенденции изменения контролируемой
функции, после чего можно принять решение о необходимой ста-
тистической обработке. Количественный анализ позволяет опреде-
лить более точно закономерность изменения х (0 и дает возмож-
ность решить ряд вопросов, помогающих выполнению второго
этапа, например, вопрос о выборе шага прогнозирования и т. п.
На втором этапе выбираются принцип прогнозирования (ана-
литический или вероятностный), способ прогнозирования (прямой
или обратный) и метод прогнозирования. Зачастую принцип, спо-
соб и метод прогнозирования определяются поставленной задачей.
На третьем этапе основным является выполнение вычислитель-
ных операций, связанных с получением прогноза.
§ 16. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЯМОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
При аналитическом прогнозировании возникает задача наилуч-
шего аналитического выражения тенденции изменения степени ра-
ботоспособности, иными словами, изменения контролируемой функ-
ции х (0. Ввиду сложности нахождения аналитического выражения
по дискретным значениям х (^) целесообразно определить наилуч-
шую структурную форму аналитического выражения, а при
71
прогнозировании конкретных функций х (t) менять базовые элеме-
нты, входящие в эту форму.
Рассмотрим необходимые условия при составлении прогнози-
рующего выражения [Л. 24]. Пусть имеется функция х (/), задан-
ная дискретными значениями х (t0), х (^), . . . , х (tn) в моменты
времени t0,	......tn. Необходимо найти такое аналитическое
выражение Q (t), чтобы в моменты времени	соблюдалось
условие
Q (Q =x(Q;
Q (4) = х (G);	/о1\
Q (Q =*('«),	|
а в моменты времени tn+} £ Т2 соблюдалось условие	|
Q (б»+г) = х(*л+г) + 1е2|;	(82) f
Q(Um) = X(^+m) + |em|’
причем JeJ < |е2| < . . . < |em|, et = emMHH, e2 = е2тмин . . . ,
em = етмия. Соблюдение требования et- = 8умнн позволяет выбрать .
наиболее эффективное выражение Q (/).
Из (82) получаем
х ('„+>) = Q (^л+i) i ei •
*(#л+г) = Q (^л+г) ± ®2»	,8оА
X = Q (L ,	+ ®т •
\ л+ш/ * \ Л + Л1/	л&
С учетом условий (83) необходимо найти структурную форму
и базовые элементы прогнозирующего выражения Q (/). Значения
е;- могут быть определены экспериментальным путем для конкрет-
ных х (/), а в некоторых случаях изменения е;- можно выразить
аналитически.
Возьмем в качестве прогнозирующего аналитического выраже-
ния Q (0 многочлен следующего вида:
Q (0 = Л (0 + A2F2 (0 + ... 4- AF» (t),	(84)
где F) (t), представляющие собой базовые элементы, назовем ба-
зовыми полиномами, а Лх суть весовые коэффициенты при %-ых
базовых полиномах.
Введем условие
2Лк=1,	(85)
Х-1
72
х
Рис. 21. Разбиение области на k под-
областей.
которое делает структурную форму единичной и упрощает вычис-
лительные операции.
Рассмотрим последовательность определения элементов много-
члена Q (0» т. е. базовых полиномов Fx (t) и коэффициентов Ах.
Поскольку значения х (/) известны только в области Т[У то Fx (О
и Ах могут быть определены только в области Тг С другой стороны,
коэффициенты Ах могут быть найдены на основании известных зна-
чений Fx (/), т. е. нетрудно видеть, что базовые полиномы и весовые
коэффициенты не могут
быть вычислены внутри
одной и той же области.
Для этих целей необходимо
область 7\ разбить на k
подобластей (рис. 21), при-
чем их число может быть
равно k = 2, 3, 4 . . .
в зависимости от требуе-
мой точности и интервала
прогнозирования, а также
от количества и качества
имеющейся информации
о контролируемой функции
х (f). В принципе для опре-
деления Fx (0 и Ах достаточно иметь k — 2. Таким образом,
имеется две подобласти Т{ Q Tlt Т2СТг.
В первой подобласти Tj определяются базовые полиномы Fx (/),
которые в общем случае имеют следующий вид:
F (0 = %?о(О + а1?1 (0 + ... + аЛ (0 ,	(86)
где ф; (0 — функция простейшего вида от текущего значения аргу-
мента t, at — неизвестные коэффициенты.
В случае, когда
Фо (о = 1- Т1(0 = Л ?2 (0 = ?.......(0	= ?,
выражение (86) принимает вид
F (/) — а0 -|- a{t -f- а2/2 4-... -|-	.	(87)
К полиному вида (87) могут быть, в конечном счете, сведены
многие степенные выражения, которые отличаются способом опре-
деления неизвестных at.
В результате определение базового полинома в подобласти Т\
сводится к вычислению д; = f [х (/,)].
В подобласти Г2 вычисляются весовые коэффициенты Ах. Так
как выражения для Fx(/) найдены как функции от текущего
73
времени, их значения могут быть вычислены и в Ть Отсюда значения
весовых коэффициентов находятся из следующей системы уравнений:
44.) = 2 44(44
х (^ч-г) = АЛ. (^4-2) >
44 = 2 44(4.
Х= 1
(88)
где
^2’	^г+Р ^г+2» * ‘
Вопрос о соотношении Т\ и Г? не является критичным, но обя-
зательным является условие р п — г. Таким образом, прогно-
зирующий многочлен (84) будет определен в результате решения
системы (88).
При осуществлении прогнозирования удобно Q (/) представлять
в области Т2 функцией от числа шагов прогнозирования т. Учиты-
вая, что m = —	, где Л/ — в общем случае интервал контроля
(для простоты в дальнейшем принимаем Д/ = 1, т. е. равным от-
носительной единице измерения времени), выражение (84) можно
переписать:
р-
Q (m) = 2 ЛЛИ).	(89)
Х=1
Основное преимущество рассматриваемого прогнозирующего
многочлена (89) заключается в том, что в зависимости от постав-
ленной задачи и условий ее решения, мы можем подставлять в (89)
те или иные базовые полиномы, а весовые коэффициенты играют
роль корректировочных и существенно повышают точность прогно-
зирования.
Рассмотрим ряд математических выражений, которые могут
быть использованы в качестве базовых полиномов.
В качестве базового полинома может использоваться преобра-
зованная для целей прогнозирования интерполяционная формула
Лагранжа [Л. 14]:
Л, (0 = Lox (/0) 4 L'X (f,) + ... + L.x (7.) 4- ... 4- Lx (Г(1),	(90)
где х (tt) — значения контролируемой функции х (/); р — степень
74
полинома; Lt — коэффициенты Лагранжа, причем т — число ша-
гов прогнозирования
М
П («+/)
/-о
Поскольку Li (91) не зависят от значений х (ti), то, следова-
тельно, значения Lt = f (р, tri) могут быть табулированы (см. при-
ложение, табл. П-1).
Базовый полином может быть получен также из второй интер-
поляционной формулы Ньютона и после преобразования имеет
следующий вид:
рп (0 = * ('„) +	+ *Ч-з*з + • • • • (92)
где Nk — коэффициенты Ньютона, причем
1
^ = 77 П (m-1 + fe);	(93)
Ькхп_к — конечные разности k-vo порядка.
Для значений Nk = f (р, tri) составлена таблица (см. приложе-
ние, табл. П-2).
Для базового полинома можно также получить математическое
выражение, представляя контролируемую функцию х (0 полино-
миальным процессом, который описывается следующим выраже-
нием:
|Л	|Л
F, 2“ 2 ?„*(<._;),	(94)
4=0	i=0
где значения gu сведены в таблицу (см. приложение, табл. П-3).
Если несколько преобразовать ряд Тейлора, то его также можно
применить в качестве базового полинома:
рт (') = *((„) + ('.) 8, + >=" ('.)’,+  + («.)», . (95)
где х* (/„) — производная в точке Z„, а
ъ
(96)
суть коэффициенты Тейлора (см. приложение, табл. П-4).
Когда контролируемая функция х (0 изменяется по сложному
закону, лучший результат получается при нахождении базового
полинома методом наименьших квадратов. Такой полином имеет
следующий вид:
FM (0 = а0 + а±и 4- оу? + а3и4 + ...,	(97)
где значения а( находятся (см. приложение)-с помощью выражений,
75
приведенных в табл. П-5, и с помощью табл. П-6, значения и1 при-
водятся в табл. П-7.
Кроме того, задача прогнозирования может быть решена с по-
мощью базовых полиномов, выраженных через ортогональные по-
линомы Чебышева. Пусть базовый полином в общем виде пред-
ставляет собой выражение (86), где нужно найти неизвестные
коэффициенты а; и выбрать выражение для <рг (/). Наиболее вероят-
ные значения коэффициентов находятся из условия
п
2 [х (/.) — F (/Р а0, а,, ..., aj]2 = мин <98>
г-о
с помощью системы уравнений
п
2 2 [х ?*) - п «•) ао ~ (*г) а1 - • • • - ('/) X
/ = 1
х [—Фо(6>] = 0;
п
2 2 [х (М - ?о (М ао - ?1 W а1~ • • • - ?»W аЛ х
1 = 1
X I- ?1 &)] = 0;	(99)
п
2 2 [* ('1) - То (',) “« - ?! ((<) “1 - •   — ?!>(',) “J X
Х[-Т, ('.)] = 0.
которая получается дифференцированием выражения (98) по а0,
ah . . . , а после подстановки выражения (86) и приравниванием
нулю производных [Л. 8].
Подбирая многочлены q>z (f) из условий
п
2?/('<)тЛО = о (/=М;
Z-1
п
(/ = о,1.....................и),
Z-1
(100)
получим так называемые ортогональные многочлены Чебышева.
Это означает, что хотя бы в одной из точек /0, tlt . . . , tn многочлен
<Р( (0 о.
При выполнении условия (100) в левой части каждого из урав-
нений системы (99) останется лишь по два члена, и можно найти
выражение для коэффициентов
2 *(*<)?/(*<)
at =	, I - 0, 1...............  (101)
76
Если <рг (f) многочлен вида:
Ъ (О = tl + a|V~1 + <№1~2 + • • •,	(Ю2)
то числитель формулы (101) вычисляется так:
2 х (0) ?z (0) = 2 х (6) tl + al1» 2 х {ti) t^1 + ... +
2-1	2-1	2-1
f n
+ a/2x(O*	(ЮЗ)
;-i
Используя (102), находим [Л. 81 и знаменатель формулы (101):
Л	f	Л*	/1\	Af 1	/fl	1
2 [т.Wl! ’2(У = 2'Г + 2+ + >"2< нм)
/-I	(-1	i-l	i-l	f-l
Для полного определения базовых полиномов необходимо найти
выражение для ортогональных многочленов Чебышева при задан-
ных точках t0, tlt ... , tn.
Используя выражение (102) и условие (100), многочлен первой
степени <рх (0 будем иметь [Л. 81 в следующем виде:
1 я
Т1(0 = / + «, = /-1-2 0,	(105)
а для второй степени
?8(0 = (/ + ₽»)ф1(0 + Т«<Ро(0.	(106)
где
₽. = -^--------.	(Ю7)
^2 [*(W
1 п
т»—<108)
Z-1
при этом ф0 (0 = 1.
При решении задачи прогнозирования нет необходимости про-
изводить громоздкие выкладки, поскольку коэффициенты ap а*,
а|, . . . ; Р2, . . . ; у2, . . . не зависят от значений контролируемой
функции и могут быть заранее рассчитаны и табулированы.
Значения коэффициентов ар а^, а|, 02, у2, а также значения
п	п
5 [фх (0) 1г и 2 1фа (0) 1а (знаменатели в формуле (101) при вы-
2=1	2—1
числении ах и as) для п = 3, 4.15	приведены в табл. 7. Ко-
эффициенты az в формуле (102) зависят от числа наблюдений п.
С учетом t = п + т выражения для фх (т) и фа (т), непосредст-
венно используемые для прогнозирования, в зависимости от п
77
приведены в табл. 8. Численные значения <рх (л, /и) для п = 3, . . . ,
20; т = 1, 2, ...» 30 и <р2 (л, для и = 3, . . . , 15; /и = 1,2,...
30 приведены в приложении, в табл. П-8 и П-9.
Таблица 7
Значения коэффициентов а, 0, у и функций в зависимости от п
п	ai	®2	4			i= 1	2 i= 1
3	—2,0	— 4	3,334	-2,0	- 0,666	2,0	0,676
4	—2,5	— 5	5,0	—2,5	- 1,25	5,0	4,0
5	—3,0	— 6	7,0	—3,0	— 2,0	10,0	14,0
6	—3,5	— 7	9,334	—3,5	- 2,916	17,5	37,394
7	-4,0	— 8	12,0	—4,0	— 4,0	28,0	82,0
8	-4,5	— 9	15,0	—4,5	- 5,25	42,0	168,0
9	—5,0	—10	18,334	—5,0	- 6,666	60,0	308,19
10	—5,5	-11	22,0	—5,5	— 8,25	82,5	528,0
11	—6,0	-12	26,0	—6,0	—10,0	110,0	858,0
12	-6,5	—13	30,333	—6,5	-11,917	143,0	1334,45
13	-7,0	—14	35,0	—7,0	—14,0	182,0	2002,0
14	—7,5	—15	40,0	—7,5	—16,25	227,5	2912,0
15	-8,0	—16	45,334	-8,0	-18,666	280,0	4026,16
Таблица 8
Значения срх и <р2 в зависимости от п
п	<Р1 (т)	<Рз (777)	п	<Р1 (777)	(777)
3	/п+1	/«24-2 т4-0,334	10	/п+4,5	/п44-9 т + 12
4	т 4-1,5	/п+1	11	/п+5	/п2Ч-Ю «г+15
5	/п4-2	/п2+4 /п4-2	12	/п4-5,5	/«г+11 /п+18,334
6	/п4-2,5	/п2+5 /п+3,334	13	/п+6	/п4+12 т+22
7	т 4-3	/п2+6 /п+5	14	/п-}-6,5	«/2+13 «г+26
8 9	/п4-3,5 т 4-4	/п24-7 /п4-7 /п2+8 /п+9,334	15	/п4-7	/«г+14 /«+30,334
В	заключение	следует заметить, что в качестве базовых поли-			
номов могут быть также использованы разнообразные эмпирические выражения, например, следующего вида: F9 (0 = X (/„) +		-	т +					
2 Г (9 -	- Р М -х (Zi-2>1
+	_--------— т2 +.,(109)
78
Необходимо отметить, что первые четыре вида базовых поли-
номов целесообразно использовать при плавном и монотонном из-
менении функции работоспособности (контролируемой функции)
или в тех случаях, когда сложные изменения можно сгладить и
статистически обработать. Какой же полином выбрать из указан-
ных четырех, решают в зависимости от наличия вычислительных
средств.
При наличии флюктуаций контролируемой функции могут быть
рекомендованы три последних типа базовых полиномов.
Исследования показали, что в ряде практических случаев кри-
вые постепенных изменений параметров различных устройств и
элементов лежат в зоне,
ограниченной полиномами
первой и второй (за редким
исключением третьей) сте-
пени. Таким образом, при-
веденный аппарат упро-
щается и является доста-
точно эффективным для ре-
шения практических задач
прогнозирования.
Рассмотрим возможные
варианты решения постав-
ленной задачи для общего
Рис. 22. Диаграмма состояний при ана-
литическом прогнозировании.
случая, когда работоспособность системы (76) определяется k па-
раметрами.
Первый вариант решения заключается в следующем. Пусть
имеется k контролируемых параметров xlt х2.....xk, изменения
каждого из которых нужно предсказать в будущие моменты вре-
мени. Измерение значений контролируемых параметров хг (/;),
х2 (/,), . . . , xk (tt) (причем i = 1, 2, . . . , п) в соответствующих
точках системы может производиться во времени как последова-
тельно, так и параллельно. Соответственно может осуществляться и
прогнозирование изменения этих параметров, т. е. вычисление
xi ttn+j)’ х2 (W..............xk (tn+j)’ причем / = 1, 2, .... /и;

n+j
Изменения каждого параметра xk (/) анализируются, и в за-
висимости от результатов анализа применяется тот или иной метод
прогнозирования. Процесс решения задачи ничем не отличается
от осуществления прогноза изменений одного параметра, но при
предсказании k параметров необходимо строить диаграмму состоя-
ния контролируемой системы в будущие моменты времени. Диаг-
рамма строится на основе полученных результатов прогнозирова-
ния k параметров. На рис. 22 построена диаграмма состояния для
случая аналитического прогнозирования. На оси абсцисс отклады-
вается текущее время в области Т2, а на оси ординат — параметры
79
(/), причем г) = 1, 2,	, k расположены по порядку номеров
или по значимости. На диаграмме строятся несколько кривых. На-
пример, первая кривая соединяет точки, означающие моменты
времени предстоящего выхода контролируемых параметров за
5%-ный допустимый предел, вторая — за 20%-ный допуск и т. д.,
последняя же кривая соединяет моменты времени наступления от-
казов контролируемых блоков. Диаграмма состояния с каждым но-
вым контрольным измерением может корректироваться и уточ-
няться.
Во втором случае задача прогнозирования изменения п-мерного
вектора решается с помощью метода Бокса-Вильсона. Этот метод
[Л. 25] позволяет по результатам контроля определить уравнение
гиперповерхности второго порядка, которая является приближен-
ной нижней границей области изменения контролируемых пара-
метров некоторых технических систем. Общий вид прогнозирую-
щего выражения, применяемого при этом,
п	п— 1 п	п
= +	2	(н°)
i=i	i^i k=i+\
где а0, а(«, aik, аи — постоянные коэффициенты, подлежащие оп-
ределению в области 7\ с помощью 2“ контрольных исследований,
ап — число аргументов контролируемой системы.
Гиперповерхность первого порядка определяется с помощью вы-
ражения
п
S1 = а0 + 2 aiXi-	0 1 О
Следует заметить, что уравнения (НО), (111) могут быть упро-
щены за счет исключения членов с аргументами, оказывающими
слабое влияние на характер протекания процесса изменения рабо-
тоспособности системы.
Во время прогнозирования может оказаться, что вновь полу-
ченный результат хуже предыдущего. Наиболее вероятны следую-
щие причины этого явления: не учтены или один из сильно дейст-
вующих аргументов (параметров), или очень большое взаимо-
действие между аргументами. Для более точного прогнозирования
функции двух аргументов можно воспользоваться прогнозирующим
выражением следующего вида:
S = а0 4 а,х, + а^с2 4- airtf 4- а22х| + а12х,х2.	(112)
Чтобы определить коэффициенты этого выражения, требуется
провести З2 контрольных измерений, т. е. 3", причем п = 2.
§ 17. МЕТОДЫ ПРЯМОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
На практике из-за сложного характера изменений контроли-
руемой функции не всегда удается найти аналитическое выражение
для базовых полиномов, пригодное для осуществления прогнози-
80
рования. Кроме того, в ряде случаев условия эксплуатации прибо-
ров изменяются и тогда прогнозирование может рассматриваться
как вероятностная задача.
Рассмотрим пути решения задачи прогнозирования в этих слу-
чаях.
Пусть в результате осуществления контроля и многократного
измерения в момент t имеются дискретные значения функции,
х (0; а именно: х19 х2, . . . , хп, причем равенство х (0 = xz выпол-
няется для конкретных i с вероятностью
Р[х(0 = */) = /\.
Совокупность вероятностей Plt с которыми х (/) принимает зна-
чения xh называется законом распределения слу-
чайной функции [Л. 9]. Закон распределения устанавливает связь
между возможными значениями случайной функции и соответст-
вующими им вероятностями.
Для количественной характеристики распределения вероятно-
стей удобно воспользоваться не вероятностью события х (/) = х,
а вероятностью события х (t) < х для момента t, где х переменная,
т. е. вероятность этого события есть некоторая функция от х. Эта
функция называется функцией распределения слу-
чайной функции х (t) и обозначается F (х):
Ft (х) =Р[х(0 <х].
Функция F (х) называется также интегральной функцией рас-
пределения или интегральным законом распределения. Зная F (х),
контролируемой функции х (/), можно определить вероятность
попадания значений функции на любой данный интервал оси х.
Производная
/(х; /) = F’t (х)
функции распределения Ft (х) характеризует как бы плотность,
с которой распределяются значения контролируемой функции в
точке, соответствующей моменту t Функция f (х) называется
плотностью вероятности (плотностью рас-
пределения) или дифференциальным зако-
ном распределения значений случайной функции. За-
кон распределения f (х) является полной вероятностной характе-
ристикой значений контролируемой функции х (0.
Зная изменение закона распределения и связанных с ним ста-
тистических характеристик контролируемых функции х (0 во вре-
мени, можем определить вероятность невыхода х (0 за допустимые
пределы, в будущие моменты времени.
На практике значения контролируемых параметров часто под-
чиняются нормальному закону распределения.
В связи с этим начнем рассмотрение с решения задачи про-
гнозирования, когда значения х (0) распределены по нор-
мальному закону. При этом изменения контролируемой функции
4 Заказ № 869
81
(электрического параметра)
литическим выражением:
можно представить следующим ана-
(ИЗ)

I
/(х) =
---г=~е
’х У2л
где х — текущее значение контролируемой функции х (/); тх—
математическое ожидание; ах — среднее квадратическое отклоне-
ние функции х (/).
Математическое ожидание представляет собой среднее арифме-
тическое значений контролируемой функции х (/) и вычисляется
Рис. 23. Нормальный закон
распределения х (//).
по следующей формуле:
2 х(М
mx = M[x(/)] = i=1n (114)
где М — знак операции нахождения
математического ожидания. На практике
математическое ожидание представляет
собой номинальное значение контроли-
руемой функции (параметра). Поэтому
целесообразно рассматривать математи-
ческое ожидание как функцию времени
тх (/) и стремиться выявить тенденцию
ее изменения.
Среднее квадратическое отклонение стЛ. характеризует разброс
значений контролируемой функции х (/) около ее математического
ожидания и определяется с помощью следующего выражения:
(115>
V	£=»1
Рассмотрим качественно влияние изменения характеристик тх
и ах на закон распределения.
Кривая распределения по нормальному закону имеет симмет-
ричную колоколообразную форму (рис. 23). Максимальная орди-
ната кривой, равная —-=-, соответствует точке х—тх (номиналь-
V 2л
ное значение). По мере удаления от тх плотность распределения
падает. Если тх будет изменяться во времени, то кривая распреде-
ления будет смещаться по оси абсцисс, не изменяя своей формы
(рис. 24, а). Среднее квадратическое отклонение <тх характеризует
форму кривой распределения. Это в какой-то мере характеристика
колебательности или разбросанности значений контролируемой
функции. При увеличении ох кривая распределения становится
более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс (рис. 24, б). При
уменьшении ок кривая распределения вытягивается вверх, одно-
временно сжимаясь с боков.
82
Рассматриваемый метод вероятностного прогнозирования по-
зволяет решить два варианта практических задач, содержание ко-
торых становится более понятным из приведенного краткого ка-
чественного анализа нормального распределения.
Первый вариант заключается в том, что изменение тх контро-
лируемой функции х (0 вызывает изменение неравенства ах < охд0П,
где <тхдоп — допустимое значение среднего квадратического от-
клонения функции х (t), несмотря на то, что может быть пх = const
относительно тх (рис.
25, а) или может од-
новременно наступить
> ®ЖДОП> ^Х > fflxnorr
При втором варианте
тх = const, а изменяется
только ах, и только из-
менение ах может вызы-
вать нарушение (рис.
25, б) неравенства ах <
< оХД0П. Практически
это бывает в случаях, ко-
гда номинальное значе-
ние контролируемого па-
раметра не меняется, а
увеличивается разброс
значений х ((), что
уменьшает вероятность
надежной работы систе-
Рис. 24. Влияние изменения тх и ах на вид
функции распределения.
мы, и, кроме того, в тех
случаях, когда номинально параметр стабилизирован, а разброс
может увеличиваться.
Задача прогнозирования изменения контролируемой функции
х (t) в данном случае сводится к указанным двум вариантам, т. е.
необходимо определить момент, когда нарушится неравенство
Рх > РХДоп’ где Рхдоп — допустимая вероятность надежной ра-
боты системы. Решить указанные задачи удается, используя свой-
ства нормального распределения: если значения случайной функ-
ции х (t) подчинены нормальному закону (113), то вероятность по-
падания на участок, например, от до х2 равна
Л’ (х~тх)*
Px{x1<x(tt)<x2)= (*/[х(/)]<&=......е Ъх dx. (116)
х,	«х И 2л
Пользуясь заменой переменной
х — тх
°*
(117)
4*
83
получим
р —3a
Px(Xi<x(O<x2) = -7L e 2dz. (118)
У 2« J
Рис. 25. Возможные варианты изменения функции распределения
с течением времени.
Интеграл (118) вычисляется с помощью интеграла вероятности
Ф (г); таким образом, формула для вероятности попадания значе-
ний контролируемой функции, подчиненной нормальному закону,
на интервал от хх до ха имеет следующий вид:
=	(119)
* 1 \	/	\ х /J
84
причем интеграл вероятности табулирован (см. приложение,
табл. П-11).	 .’
Учитывая, что можно написать	.
*г= тх — едоп;
х2 = тх + едоп,
где + 8Д0П — допустимый интервал изменения х относительно тх,
и что интеграл вероятности есть нечетная функция z
Ф (_ z) = — Ф (z), .
выражение (119) можно переписать -
(тх — едоп < х (h) <тх + едсп) = Ф ,	(120)
ИЛИ
Рх(|х(/<)-т.|<8Д0п) = ф(М.	(121)
Таким образом, для решения обоих вариантов задачи прогно-
зирования можно использовать выражения (119) и (121). Но в та-
ком виде эти выражения позволяют только вычислить вероятность
надежной работы в момент последнего измерения tn или в лучшем
случае на один интервал контроля до момента /я+1, т. е. на т =• 1.
В практических случаях математическое ожидание и среднее
квадратическое отклонение являются функциями времени тх —
= тх (t), их — gx (/), и тенденция изменения контролируемой
функции х (t) в основном определяется тенденциями изменения
тх (/) и ах (/). Значения тх как функции времени (или числа из-
мерений п) подсчитываются с помощью (114), где с изменением
(увеличением) п изменяется тх.
Для обнаружения тенденции изменения тх (t) и <зх (t) необхо-
димо разделить известную область на k подобластей ГР,
Т(|2) , . . . , в каждой из которых вычисляются значения ох
и тх.
Значения стр при 5=1, 2, . . . , k вычисляются по формуле
(115). Следует отметить, что при расчетах берется тх — тх0 для
всех подобластей, так как если это равенство не соблюдается, то
может оказаться, что вычисленное ах = const; на самом же деле
может быть ох охлоа- Поэтому для определения стр необходимо
пользоваться начальным значением математического ожидания
тк0. Среднее квадратическое отклонение во всей области Тх на-
ходится по следующему выражению:
1	л
= <122)
55
С учетом сказанного нормальный закон распределения для кон-
тролируемой функции х (0 с параметрами тх (/) и в ох (i) области
7\ описывается следующим выражением:
/(х) =----------------- — 	exp X
X ']/ у-2
5 (-о
4=1
X —-Ц------------' ---°- Т 	023)
2	т Д [*(Zt) -mxo?
e=i
Используя формулу (123), можно вычислить вероятности (119)
и (121) во всех подобластях и выявить тенденцию изменения ве-
роятностей надежной работы системы. Затем, используя методы
аналитического прогнозирования, можно определить момент, когда
нарушается неравенство Рх > Рхдоп в области Т2.
Другой путь решения поставленной задачи заключается в ана-
литическом выражении тенденции изменения tnx (t) и ах (t), ко*
торое бы максимально точно отображало изменение этих парамет-
ров в моменты времени tn+j (при / = 1, 2,... , т). Для этих целей
достаточно использовать выражения, найденные для базовых по-
линомов, т. е. закономерность изменения тх (/) и их (f) можно
выразить через полиномы Qm (tri) и Qax (tri).
В общем случае Qmx (tri) и Qa (tri) могут иметь следующий вид:
Q.(m) -2 А 2 а,т‘,	(124)
х	Х-1	1-0
р. X
Q, И =2 AS	(125)
х . х=1	1-1
где at и а в (124) и (125) являются соответственно функциями at =
= f ЧН % = f 1.
Тогда вероятности (119) и (121) в области Т2 могут определяться
с помощью выражений:
86
или
(ц. X
*i-S лх2 aim
x-i
и к
2 А 2 sm’1
Х=1	г,=0
(126)
Рж (| х (t}) - тх | < едоп) = Ф / —-^2-\ .	(127)
I 2лх2а# I
у Х=1	7]==0 J
Нормальный закон распределения для области Т2 описывается
следующим выражением:
V2r.Q (m)
exp
([Х —1
I 2Q2 (m) Г
t	X	J
(128)
Если работоспособность системы характеризуется изменениями
не одного, а нескольких параметров, тогда вероятность того, что
система будет работоспособной, будет определяться произведением
вероятностей:
; = fe	/	е	\
Рх = П ф7------------,	(129)
/ 1 4 I	х	I
I 2 лх 2	I
\ Х«=1	7)=*0	/
где Ф, (?) — вероятность того, что отдельная подсистема за т
шагов прогнозирования будет работоспособна.
Используя выражения (126), (127) и (128), можем осуществить
вероятностное прогнозирование с определенной точностью как для
отдельной подсистемы, так и для сравнительно сложных систем.
При вероятностном прогнозировании приходится особо рассмат-
ривать довольно важный случай, когда число наблюдений п —
мало (малые выборки). В этом случае среднее значение малой вы-
борки х следует закону распределения Стьюдента, на основании
которого выводится [Л. 10] формула, аналогичная формуле (127).
Стьюдент (Вильям Госсет) нашел закон распределения для слу-
чая малых выборок из генеральной совокупности с нормальным за-
коном распределения, но не для самой величины х, а для другой
случайной величины г, тесно связанной с х. Пусть хв — среднее
из небольшого числа п значений контролируемой функции х (ty.
-	1	"
= <13°)
i = l
Стьюдент ввел в рассмотрение случайную величину z, связан-
ную с ха следующим образом:
у (Х-в	п. 1	Л311
87
где под тл0 при использовании (131) для целей прогнозирования
понимается начальное значение контролируемой функции х (/),
а ав — выборочное среднее квадратическое отклонение, вычисляе-
мое как
Стьюдент показал, что величина z имеет закон распределения,
т.. е. плотность вероятности, в виде функции
где
при этом Г (у) — известная гамма-функция:
Г (у) » F zy '<? 2dz.
(133)
(134)
(135)
Функция (133) называется законом распределения
Стьюдент а. Когда п мало, функция S (z) играет такую же
роль, как и функция f (х) (113) для нормально распределенных зна-
чений функции х (/).
. Распределением Стьюдента можно пользоваться при п < 20,
при /г > 20 распределение Стьюдента приближается к нормальному
распределению. Применяя формулу
»
Р (а < х < b) — jf(x)dx
а
к случайной величине г, получим следующую формулу для веро-
ятности того, что Z < г (здесь Z возможные значения г):
Z
— оо
(136)
Интеграл (136) есть некоторая функция Z и п. Эта функция
называется интегралом распределения Стью-
дента (подобно интегралу вероятности Ф (z) и обозначается
S (г). Для функции S (z) составлены таблицы (см. приложение
табл. П-11).
88
Формулу (136) можно записать так:
Р (— оо < Z < г) — S (г).
Практически же нам важно оценить
P(—2<Z<z) = F(z);	(137)
функция F (г) просто выражается через функцию S (/)»
F(z) = 2S(z) —1.	(138)
Отсюда с учетом (131)
Р z < (*в ~тх^п ~1 < г = 2S (г) — 1,	(139)
или
р/--Д==<хв-тл0<-Д=>)==25(г)-1.	(140)
У п —1	у п —1 ]
Итак, величина	
8Д0П = -^=	‘(141)
V П—1
является границей возможных отклонений Хв от тл0, которые можно
ожидать с вероятностью, выраженной формулой (140). Но формула
(140), как не трудно заметить, позволяет вычислить вероятность
надежной работы только в области 7\ или, в крайнем случае,
при tn = 1.
Задача прогнозирования может быть решена, если в законе
распределения Стьюдента учесть тенденцию изменения параметров
хв и ст9. В этом случае хв в выражении (130) следует рассматривать
как функцию времени или числа наблюдений п. Выражение для
ов, где среднее квадратическое отклонение является функцией вре-
мени, находится аналогично при нормальном распределении.
Область 7\ разбивается на k подобластей, в которых вычисляется
свое сг^:
1
(142)
Так как рассматриваемый метод прогнозирования применим
для п < 20, то можем получить только несколько подобластей
k — 2, 3, 4. Общее <тв находим следующим образом:
1
°в = 4-2о<ве);	043)
я Е-1
ст8 можно рассматривать как функцию от числа подобластей, т. е.
89
в конечном счете от времени. Тогда закон распределения Стьюдента
(133), принимая во внимание (130), (142) и (143), запишется так:
п
2
 1 Л	1’
—2
S(z) = C„
• (144)
Выражение (144) учитывает тенденцию изменения контролируе-
мой функции х (/) в области Тх. Для непосредственного прогнози-
рования необходимо изменения S (z) выразить аналитически с по-
мощью рассмотренных базовых полиномов и, вычисляя S (z) для
задаваемых m (область 7\), находить с помощью (140) значения Рх.
Другой путь решения поставленной задачи заключается в вы-
ражении через прогнозирующие многочлены Q- (т) и Qa (пг) изме-
нений хв и ств. Закон распределения Стьюдента для области Т2
примет следующий вид:
п
S(z) = Cn 1 +
ГО_ (mil 2
(145)
Непосредственно прогнозирование данным методом можно про-
изводить, вычисляя для области Тг значения z по формуле
(2 aim‘—mxo	1
* = Д х-1, . Z-0	,----)------- t	(146)
2 A S
Х-1	7] = 0
Отсюда, пользуясь таблицами функции S (г), можно вычислять
искомую вероятность (140) работоспособности контролируемой си-
стемы в целом или ее отдельных элементов.
Следует отметить, что с помощью формулы (140) решается только
одна из встречающихся практических задач, т. е. вычисление ве-
роятности того, что z получит значения, абсолютная величина ко-
торых менее положительного числа гг:
Р (|г\< ZiJ = Р (— Zi < z < zj = 2S (п, Zj) — 1.
Кроме того, с помощью функции распределения Стьюдента мо-
гут решаться еще три задачи.
1)	Вычисление вероятности того, что z получит значения меньше,
чем Zj:
Р (z < г:| = S (n, zx).	(147)
90
2)	Вычисление вероятности того, что z получит значения не
меньше, чем zx; это вероятность противоположного события, она
является дополнением до единицы предыдущей вероятности:
Р [z > zx] = 1 — S (п, zx).
3)	Вычисление вероятности того, что г получит значения, абсо»
лютная величина которых не менее положительного числа zx; в
силу симметричности распределения Стьюдента
P[z>zx] = P[z< — zx],
поэтому искомая вероятность будет равна удвоенной вероятности
предыдущего случая:
Р [|z| > zx] = 2 [1 —S(n, zx)J.
Для осуществления вероятностного прогнозирования может быть
использовано неравенство Чебышева. При этом задача формули-
руется следующим образом:
Пусть возможным значениям хх, хг, . . . , xs контролируемой
функции х (0 в точке tn+m соответствует ряд распределения qlt
q2, ... , q3. Допустимому отклонению хдоп от математического
ожидания тх, выраженному значением едоп > 0, соответствует
допустимая вероятность ^доп. При решении задачи прогнозирова-
ния необходимо предсказать, когда в области Та наступит такой
момент, что | Xj — тх01 станет больше едоп или когда нарушится
неравенство
<7(|х/ — тх0)|> едип Адоп*	(148)
Эго можно определить с помощью неравенства Чебышева:
Я (I х (tn+J) - тх | > 8доп) <	,	(149)
едоп
где Dx — дисперсия значений контролируемой функции х (/), оп-
ределяемая по формуле
1 л
<150>
<-1
Неравенство Чебышева утверждает, что, каким бы ни было
число едоп > 0, вероятность того, что величина х (ti) отклонится
от своего математического ожидания не меньше, чем на вдоп, огра-
ничена сверху величиной Dx [Л. 91.
доп
Так как известно, что
=	(151)
то неравенство Чебышева можно переписать следующим образом:
<7|х(^) —/пх|>8Д0П)<-у^-.	(152)
*доп
91
Для правильного выявления тенденции изменения х (f) необ-
ходимо брать тх = тх0 = const как в области Тъ так и в области
Т2. Поскольку едоп задано, на нарушение неравенства (152),
а следовательно, и неравенства (148) влияет только изменение ах.
Определить тенденцию изменения ах в данном случае можно
аналогично тому, как это делалось при нормальном распределе-
нии (115), (122) и равпределении Стьюдента (142), (143). С учетом
этого (152) перепишется так:
Q (I х (ti) — тхй | > едоп) < -4- X
еДОП
Выражение (153) есть неравенство Чебышева с учетом изменения
ок в области Тг. Вычисляя qx во всех |-ых подобластях (в которых
вычислялись о*), можем определить тенденцию изменения qx.
Далее, используя аналитические выражения базовых полиномов,
можно предсказать нарушение неравенства (153).
Другой путь решения задачи состоит в том, чтобы изменения
сх или Dx выразить через прогнозирующие многочлены Qa (m)
или Qd (/и). В этом случае неравенство (152) примет следующий
их
вид:
1 и х
ф ['«) - I > •») <2 А 2 “X-	(154)
ДОП Х=1
Определяя значения О (т) для t . при (/ = 1, 2, 3 . . . , т),
можно найти, когда! нарушится неравенство (154), и тем самым пред-
сказать срок сохранения работоспособности контролируемой си-
стемы.
При необходимости прогнозирования k параметров, определяю-
щих состояние отдельного устройства или системы, строится ве-
роятностная диаграмма состояния (рис. 26), аналогичная диаграмме
при аналитическом прогнозировании. Разница заключается в том,
что. по оси абсцисс откладываются и время и вероятность надежной
работы блоков и узлов. Для этого в точках, соответствующих мо-
ментам времени tn+j £ Т2, в которых вычислены в результате
прогнозирования значения (tn+i) (причем т) = 1, 2............k),
проводят линии, одна из которых означает единичную вероятность
невыхода параметра за допустимые пределы, вторая — вероятность
0,99, следующая 0,98 и т. д. Относительно этих линий проставляют
результаты индивидуального прогноза каждого из п параметров..
Как и при аналитическом прогнозе, диаграмма может корректи-
роваться непрерывно или дискретно в зависимости от способа кон-
троля. Диаграммы достаточно полно и в понятной форме характе-
92
ризуют состояние отдельных узлов и всей системы в целом. Зная
вычисленные значения вероятностей Рх (tn+j) для области Тг,
можно в общем случае определить и вероятность надежного функ-
ционирования всей системы:
Рис. 26. Диаграмма состояний при вероятностном прогно-
зировании.
Если на указанной диаграмме состояний наносить изменения
то она будет представлять общую картину работоспособ-
ности системы в будущие моменты времени.
§ 18. ОБРАТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ
Круг решаемых практических задач существенно расширяется
при использовании обратного прогнозирования.
Большинство рассмотренных методов, используемых для реше-
ния поставленной задачи при прямом прогнозировании, могут быть
преобразованы и использованы для целей обратного прогнозиро-
вания.
Рассмотрим принципы обратного прогнозирования. Используе-
мый при прямом прогнозировании многочлен Q (0 можно написать
в следующем виде:
Q=/[A;4...............F^t),	F2(t),...,F^t)\,	(155)
где Г, (О, F2 (t), . . . , F (f) — базовые полиномы. Эти полиномы
являются в свою очередь функциями неизвестных коэффициентов at
и текущего времени Л
F =/(а0, а1....а/, Г) -
(156)
93
Ранее указывалось, что для производства прогнозирования це-
лесообразно в (156) зависимость F = f (t) заменить на зависимость
F = f (/и), где т — число прогнозируемых шагов, т. е.
F=/(a0, ..............................(157)
Практически это не трудно сделать, поскольку значения теку-
щего времени t в области Т2 можно выразить как t = (п + /) АЛ
/ = 1, 2......tn. Тогда зависимость (155) можно переписать так:
С=/[Лр Л2..........Ft(/n), F2(m)..........FJm)].	(158)
Напомним, что обратное прогнозирование заключается в опре-
делении числа шагов, т, через которое контролируемая функция
достигнет заданного допустимого уровня хдоп. Поэтому, считая
F (т) = хдоп, в общем случае Q (т) — хдоп можем переписать
(157) в следующем виде:
т = <р(а0,	хдоп) •	(159)
Если учесть, что
“=/[*('.)•	.....*('.)]>	060)
то зависимость (158) можно представить так:
/п = ф[Лр Л2......Л1х; х(/„), х(/я_,), ...,х(/0); *Доп] • (161)
Задача обратного прогнозирования заключается в нахождении
аналитического представления функциональной зависимости (161).
Решение ее облегчается тем, что при этом могут быть использованы
формулы (89), (90), (92), (95) и (97), применяемые при прямом
прогнозировании. В общем случае получается уравнение степени
относительно т:
апС + ЬтУ"~[ + ... + ст + d = 0.	(162)
Рассмотрим образование выражения для т, соответствующего
(161), при использовании в качестве базового полинома в (158)
полинома Ньютона и р. = 2. Для этого случая зависимость (158)
принимает следующий вид:
Q (т) = Л1 [х (/„) + Ax„_tm] + Л2 [х (*„) +
-+- Axn_(/n + ~ b?xn_jn (m + 1) j .	(163)
Раскрывая скобки и учтя, что Q (/п) = хдоп, произведем пре-
образования В результате получим
т2 ^2	2 j + т |j^l "I" ^2) ^Хл-1 "Ь ^2 "У ^Хп—2 j +
+ [(Лх + Л2) х (Q - хдоп| = 0,	(164)
94
(166)
(167)
(168)
откуда
— ^01 + ^2) &Xn—l + ^2	2j i {[01 + ^2) ^xn—l 4"
+ ^2	Д2хп—2I ““ 4(^2 “ ДЗдгл—2^ К^1 + ^2)X(Q “"ХдопЙ
/и =--------------—=  ------------------------------------
2
Выражение (164) можно упростить, введя замену
т?а + mb + с = 0;
тогда
1
m _ — Ь ± [£2 — 4ас] 2
2а ’
причем
а = ^2	^Хп—2 »
6 = (Лj 4- Л2)	+ А2 — №хп_2;
С = (^1 Н~ ^2) % Уп) %Д<ЯГ
Необходимо отметить, что поскольку должно всегда соблюдаться
условие т > 0, то отрицательные значения т отпадают. В тех
случаях, когда оба значения т положительны, истинное выбирается
проверочным решением выражения (158).
Таким образом, при обратном прогнозировании задача сводится
к решению квадратного алгебраического уравнения, если степень
прогнозирующего полинома второй степени, или кубического, если
Q (т) третьей степени, и т. д. Практически при прогнозировании
приходится решать выражения, аналогичные (167), при этом за-
висимости коэффициентов алгебраического уравнения (168) от зна-
чений Лх и х (tj должны быть составлены и табулированы.
В табл. 9 приведены выражения коэффициентов а, Ь, с уравне-
ния (166) при р = 2 для некоторых методов аналитического про-
гнозирования. Таблица 9 в какой-то мере упростится, если в про-
цессе соответствующих вычислений пользоваться формулой (89),
в которой Лх = Л 2 = 0,5.
Весьма ценным является возможность решения обратной за-
дачи при осуществлении вероятностного предсказания. Как уже
указывалось, при вероятностном обратном прогнозировании опре-
деляется, через сколько шагов т вероятность выхода за допустимые
пределы достигнет значения Рхлоп. Для метода, использующего
нормальное распределение, выражение (127) можно переписать
так:
(I * « .+У) -	1 < *доп) » Ф (*до„) »	(169)
95
Выражения коэффициентов а, Ь, с
Таблица 9
Методы прогнозирования (базовые полиномы)	а	ь	с
Полином Лагранжа	А±Хп__2	1 + + Аг~^~х"	(Л1 + 1,542) х„ - (Ах + 2Л2) xn_t + 4- 0,5Л2 хп_"2	Mi 4- Л2) хп — хдоп
Полином Ньютона	А. — ^х „ 2 2	л~2	(Лх + Л2)	+ Л2 — А2хд_2	(Л 1 4- Л2) хп — хдоп
Полиномиальное представление	2 А2Хп—2 А2Хп — 1 + + л2-7х»	(Л1+1,5Л2)хп-(Л1 + 2Л2)хя_1 + + 0,5Л2хл_2	(Л1 4- Л 2) хп Хдоп
Ряд Тейлора	— 4.x' 2	2 п	хп 01 ^2)	(Л1 4- Л 2) хп — Хдоп
Метод наименьших квадратов: п — нечетное п — четное	42«2 4 Л 2а2	• а1 Ml 4" ^2) 4- ^2^2 (л—1) 2^1 (Лд 4- Л 2) 4- 4^2Л 2 (п—1)	А1ао + 42а0 + а* 2 (Лх + Л2) + , л а (»~1)2 х । л2а2	ЛДОП Л^ 4- Л2а0 4- (п — 1) (Лх4- Л2) 4- 4- Л 2 (а 1 )2 ХдОп
Ортогональные по- линомы Чебышева	Аг	Ац (2п 4- ai 4- W 4- Лч	(п + а1) 4" Л27г Ч~ 4- Л3 (п 4- 0з) + а1) — *доп
где
-	_ едоп .
Д0П ~ Qa И) ’
X
откуда
Q, М = т22--	(170)
X	2Д0П
Не вызывает особых затруднений составление таблицы, анало-
гичной табл. 9, где хдоп заменяется на едоп/гдоп.
При решении поставленной задачи обратного прогнозирования
с помощью закона распределения Стьюдента выражение (147) пере-
пишется так:
Р (2 < 2Д0П) = S (2доп).	(171)
Раскрывая хдоп, получим
[QXB(m)-mxJ Уп-1
2доп ~ С,в (т)	;
откуда
(«) гдоп — Qхв (т) V «— 1 = — тхо — 1 •	(172)
Выражение (172) используется для нахождения искомого зна-
чения т.
При обратном прогнозировании с использованием неравенства
Чебышева выражение (154) принимает следующий вид:
т. е. уравнение для определения т имеет вид
. <173>
Здесь также может быть составлена таблица вида табл. 9, где
х„„„ заменяется на Р,п„„8* .
ДОП	ЛДОП доп
ГЛАВА ШЕСТАЯ
АВТОМАТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА КОНТРОЛЯ
§ 19. СПЕЦИФИКА АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЦЕССОВ КОНТРОЛЯ
Естественным при автоматизации процессов контроля является
требование оптимальности контроля. К сожалению, до настоящего
времени еще не разработаны универсальные критерии оптимально-
сти контроля. Однако в большом числе практических случаев под
оптимальностью контроля понимают;
az
сложной автоматической системы,
1)	минимальное время выполнения контрольных операций;
2)	минимальный объем испытательно-контрольного оборудо-
вания;
3)	минимальный уровень квалификации обслуживающего пер-
сонала.
Уменьшение времени, необходимого на выполнение контроля
может быть достигнуто при од-
новременном контроле (парал-
лельно во времени) нескольких
подсистем, повышением степени
автоматизации и применением
специальных методов, обеспечи-
вающих сокращение числа кон-
трольных операций.
Сокращение объема исполь-
зуемого при контроле оборудо-
вания может быть достигнуто
частичной централизацией функ-
ций контроля, являющихся об-
щими, объединением отдельных
проверочных систем в единую
многоцелевую систему, чем ис-
ключается нецелесообразное ду-
блирование контрольного обо-
рудования и, наконец, исполь-
зованием отдельных элементов
контролируемой системы в про-
цессе контроля.
Понизить квалификацию об-
служивающего персонала, уча-
ствующего в процессе контроля,
можно при увеличении степени
автоматизации контроля, уни-
версализации контрольно-испы-
тательного оборудования и вве-
дении самоконтроля.
Таким образом, при построе-
нии системы, предназначенной
для решения основных задач
контроля, т. е. системы контроля, следует исходить из требований
повышения степени автоматизации процессов контроля и универ-
сализации контрольно-испытательного оборудования.
При этом могут быть использованы сложные автоматические
контролирующие комплексы (системы автоматического контроля)
и отдельные устройства, автоматически решающие отдельные за-
дачи контроля. В технической литературе [Л. 11—15] уже описаны
различные автоматические системы и устройства, решающие от-
дельные задачи контроля. Правда, в большинстве случаев описы-
98
Рис. 27. Блок-схема обобщенной си-
стемы автоконтроля (вариант пер-
вый).
ПД — первичные датчики; КУ — комму-
тирующее устройство; УФЭС — устрой-
ство формирования эталонных сигналов;
ПУ — преобразующее устройство; ЗУ —
запоминающее устройство; УЛО — устрой-
ство логической обработки; У И —
устройство индикации; УП — устройство
прогнозирования; УУ —устройство управ-
ления; ПрУ — программное устройство;
У СК — Устройство самоконтроля.
обработки УЛО, программ-
Рис. 28. Блок-схема автоконтроля
(вариант второй).
УПП — устройство первичного преоб-
разования; УАОР — устройство авто-
матического определения работоспо-
собности; У ДПР — устройство авто-
матического поиска неисправностей;
У АП — устройство автоматического
прогнозирования; КУ — коммутиру-
ющее устройство; У СК — устройство
самоконтроля; У У —устройство управ-
ления; УИ — устройство индикации.
ваются так называемые измерительно-информационные системы,
которые в настоящее время получают распространение в промыш-
ленности и на транспорте. При этом в самом общем случае в си-
стему автоматического контроля включаются следующие основные
устройства (рис. 27): первичные датчики nDpi и ПЬи1, коммутирую-
щее устройство КУ, устройство формирования эталонных сигна-
лов УФЭС, преобразующее устройство ПУ, запоминающее устрой-
ство ЗУ, устройство логической
ное устройство ПрУ, устройство
индикации УИ, устройство управ-
ления УУ, устройство самокон-
троля УСК и устройство прогно-
зирования УП. В частных случаях
некоторые из устройств могут от-
сутствовать.
Однако часто на практике ока-
зывается более целесообразным
разделение системы контроля по
основным задачам. При этом в со-
став системы контроля включаются:
устройства определения работо-
способности, или степени работо-
способности УОР, устройства об-
наружения неисправностей УОН
и устройства прогнозирования
УП. Очевидно, при полной авто-
матизации процессов контроля си-
стема автоматического контроля
будет включать в себя (рис. 28):
устройство автоматического опре-
деления работоспособности УАОР, устройство автоматического по-
иска неисправностей УАПН, устройство автоматического прогно-
зирования У А П, устройство первичного преобразования УПП,
коммутирующее устройство КУ и устройство управления УУ. При
этом, естественно, в состав таких устройств могут входить все или
часть из устройств, указанных на обобщенной схеме (рис. 27).
Если учесть специфику основных задач контроля, то станет
ясным значительное различие в требованиях, предъявляемых к от-
дельным устройствам. Так, к устройствам определения работоспо-
собности предъявляются требования большого быстродействия и
точности при оценке быстропротекающих электрических процес-
сов, но зато число оцениваемых параметров в большинстве случаев
невелико. К устройствам поиска неисправностей, наоборот, предъяв-
ляются требования обработки большого числа параметров, но в
определенной последовательности во времени, и в большинстве
случаев в установившемся режиме.
Не задаваясь целью подробного рассмотрения всех устройств,
входящих в систему автоматического контроля, в этой главе
99
рассмотрим отдельные оригинальные устройства, разработанные в
Ленинградском ордена Ленина электротехническом институте имени
В. И. Ульянова (Ленина) под руководством авторов. Описываемые
устройства могут быть использованы как автономно, так и в авто-
матической системе контроля, где контролируемые параметры пред-
ставляются в виде электрических сигналов.
§ 20. УСТРОЙСТВО АВТОМАТИЧЕСКОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
Устройство автоматического определения работоспособности,
(УАОР) предназначено для оценки степени деформации временной
характеристики контролируемой системы. При этом для оценки
степени деформации временной характеристики выбраны два по-
казателя: время регулирования и колебательность, т. е. число ко-
лебаний п выходной величины до момента затухания переходного
процесса, возбужденного скачкообразным изменением входной ве-
личины. Выбор именно этих двух показателей временной характе-
ристики для оценки работоспособности объясняется тем, что этого
достаточно для характеристики большого числа электромеханиче-
ских автоматических систем. Для возможности использования
УАОР необходимо, чтобы выходной параметр контролируемой си-
стемы был представлен напряжением постоянного тока. Оценка
выбранных показателей временной характеристики осуществляется
по принципу: норма — больше, т. е. оценивается отклонение только
в сторону увеличения значения показателя. На рис. 29 приведена
принципиальная электрическая схема УАОР. Схема построена
поканально, т. е. для оценки каждого показателя характеристики
имеется свой канал. Входными элементами в каждом канале яв-
ляются несимметричные триггеры, построенные на полупроводни-
ковых триодах типа П16 (Tlt Т2 и Т1о, Т1Х), которые преобразуют
изменяющееся напряжение в прямоугольные импульсы напряжения.
Режимы первых триодов триггеров Т\ и 7\0 задаются делителями
напряжения	7?3 и Т?37, Т?88, S39, причем потенциометрами
7? 2 и /?38 задаются пороги срабатывания несимметричных тригге-
ров, т. е. предельные значения напряжений на выходе системы.
Режимы вторых триодов триггеров определяются делителями Т?4,
Т?5, Т?7 и 7?4о, Rtl, Ri8. В канале оценки времени регулирования уп-
равление несимметричным триггером осуществляется ключом, по-
строенным на полупроводниковом триоде Т18 типа П16.
Выходными элементами в каждом канале являются полупровод-
никовые ключи Т9 и Т17 и симметричные триггеры Т7, Т8 и Т1Ь,
Т16, собранные по схеме с автоматическим смещением, которое
осуществляется путем включения омических сопротивлений и ем-
костей С1Х, С25 в цепь эмиттеров. Триггеры собраны на полупро-
водниковых триодах типа П16, а ключи на триодах типа П201,
В цепи коллекторов которых включены индикаторные лампочки
Л 1г Л8.
100
1
29. Принципиальная схема УАОР.
Рис. 30. Временная характери-
стика контролируемой системы.
В канале оценки колебательности входной элемент связан со
счетчиком импульсов, который построен на двух симметричных
триггерах Т3, 7\ и Ть, Т8. Схемы включения триггеров счетчика
аналогичны схемам симметричных триггеров в выходных элемен-
тах устройства. Счетчик импульсов имеет переключатель П1 на
четыре положения, каждое из которых соответствует предельному
числу колебаний во временной характеристике. В положении 1
выход несимметричного триггера 7\, Т3 подключается непосредст-
венно на выход канала.
В канал оценки времени регулирования включены линия за-
держки, собранная по схеме ждущего мультивибратора с эмиттер-
ной связью Т18, Т14, и инвертор Т12,
выполненные на триодах типа П16.
Длительность задержки регули-
руется скачкообразно переключа-
телем П2 и плавно /?53. Режим
первого триода определяется
сопротивлениями 7?и, Р57, а второго
триода Т13 — сопротивлением Rb3.
Работу устройства при кон-
троле временной характеристики
рассмотрим в отдельности по кана-
лам оценки каждого показателя
временной характеристики.
Оценка колебательности. Переключатель П1 устанавливается
в положение (1 -ь 4), соответствующее заданному предельно допу-
стимому числу колебаний в переходном процессе.
Переключатель П7 в положении 1. Если контролируемое напря-
жение превысит (рис. 30) пороговое значение напряжения t/2 не-
симметричного триггера 7\, Т2, он опрокинется. Появившийся
на выходе триггера прямоугольный импульс напряжения продиф-
ференцируется цепью С12 7?^, ограничится снизу диодом Д9 и по-
ступит на базу триода Т8 выходного триггера канала. Триггер Т7,
Т8 сработает и откроет ключ Т3. В коллекторной цепи ключа поте-
чет ток и загорится сигнальная лампа Это свидетельствует о
том, что исследуемая характеристика имеет хотя бы один выброс
напряжения за пределы допустимого, установленного на входном
элементе канала.
Переключатель П7 в положении 2. Если при этом положении
переключателя контролируемое напряжение только один раз пре-
высит предельное значение U2 (рис. 30), то диод Д9 не пропустит
отрицательный импульс, сформированный триггером Т3, 7\ и
цепью С12Т?зв, и триггер Т7, Т8 на выходе канала не сработает.
Если контролируемое напряжение дважды или большее число раз
превысит допустимое значение, то несимметричный триггер Т 1г
Т3 сформирует два (или более) импульсов и вторым импульсом
опрокинет триггер счетчика Т3, 1\, что вызовет срабатывание триг-
гера Т7, Т8 на выходе канала и загорание лампы Лг. При переклю-
102
пении переключателя П1 в последующие положения лампа Л
будет загораться при большем числе превышений установленного
значения напряжения.
Оценка времени регулирования. Одновременно с поступлением
контролируемого напряжения на вход канала запускается линия
задержки, которая формирует прямоугольный отрицательный им-
пульс напряжения установленной продолжительности. Этот им-
пульс переворачивается на 180° инвертором Т12, в связи с чем ключ
Т18 закрывается (положительным импульсом), отключая вход ка-
нала триггер Т10, Tlt на время установленной задержки t3. Если
по истечении времени t3, когда вход канала откроется, контроли-
руемое напряжение еще будет превышать напряжение срабатыва-
ния несимметричного триггера Т10, Ти, то он сработает и сформи-
рует прямоугольный импульс, который через дифференцирующую
цепь С18/?52 воздействует на триггер выходного элемента Т13, Т16.
Симметричный триггер Т15, Т1в сработает, откроет ключ Т17 и за-
горится лампа Л2, что свидетельствует о том, что время регулиро-
вания превышает установленное значение t3. В случае если в момент
открытия входа канала контролируемое напряжение не будет
превышать (рис. 30) установленного значения U3, то лампа Л2 не
загорится.
§ 21. УСТРОЙСТВА АВТОМАТИЧЕСКОГО ПРОГНОЗИРОВАНИЯ
В главе пятой рассмотрены методы прогнозирования и приведен
соответствующий математический аппарат. В этом параграфе будут
описаны способы технической реализации некоторых из рассмот-
ренных выше методов прогнозирования. Операции по вычислениям
при реализации методов прогнозирования целесообразно автома-
тизировать, для чего могут быть использованы специализирован-
ные электронно-вычислительные машины (СЭВМ) или универсаль-
ные электронные цифровые вычислительные машины (ЭЦВМ).
СЭВМ целесообразно конструировать в системе автоматического
контроля в целом, когда при непрерывном контроле за системой
необходимо непрерывно решать ряд сложных задач. Кроме того,
СЭВМ имеет смысл применять при решении конкретных задач, ко-
торые ограничены определенными условиями, и там, где примене-
ние универсальных электронных вычислительных машин неэко-
номично.
Видимо, необходимо отдать предпочтение типу СЭВМ, которые
получили название «машины-советчики». Подобные машины не
включаются в цепь управления автоматической системой, а по
данным контроля решают задачу прогнозирования изменения сте-
пени работоспособности и индуцируют результаты, которые вос-
принимает оператор.
Применение ЭЦВМ желательно, когда решается задача прогно-
зирования изменения параметров элементов и устройств на срок
службы, при заводских испытаниях, при массовом производстве.
103
Кроме того, в тех случаях, когда поставленную задачу тре-
буется решить разными принципами, способами и методами прогно-
зирования одновременно.
Рис. 31. Блок-схема УАП аналогового типа.
Вх — вход; В У — входное устройство; СВ — схема вычитания; СУ
схема умножения; N — датчик коэффициентов Ньютона, 2 — сумма-
тор.
Рассмотрим несколько различных устройств автоматического
прогнозирования УАП, решающих поставленную задачу тем или
иным методом.
Рис. 32. Принципиальная схема УПТ.
На рис. 31 приведена блок-схема УАП аналогового типа, реа-
лизующая решение многочлена Q (т) (84), где в качестве базовых
полиномов используются полиномы Ньютона, причем р = 2, Аг =
= А2 = 0,5.
W4
Устройство содержит три входных устройства ВУи ВУ3, ВУа,
три схемы вычитания CBlt СВ2, СВ3, две схемы умножения СУ^,
СУ2, два датчика коэффициентов Ньютона Л/], N3 и сумматор 2-
Входящие в УАП схемы вычитания, умножения и сумматор
собраны на операционных усилителях. Операционный усилитель
представляет собой усилитель постоянного тока (УПТ) типа МДМ,
выполненный на полупроводниковых элементах, принципиальная
схема которого приведена на рис. 32. На модулятор УПТ подается
импульсное напряжение от мультивибратора с частотой 400 —
— 1000 гц и напряжением + 10 в. Дрейф нуля, приведенный ко
входу, равен 4,4-10-9 а, что вполне удовлетворительно для та-
кого устройства. Рабочая тем-
пература t° равна 20° — 50° С.
Выходное напряжение УПТ со-
ставит + 10 в.
УПТ в данном устройстве
выполняет функции схемы вычи-
тания, схемы умножения на по-
стоянное число, суммирующей
схемы.
Работа УАП, реализующего
вычисление выражения
Q(m) = x(/J +Дхя_,^,+
Рис. 33. Схема умножения на коэф-
фициенты Ньютона (ATt и У2).
+vA4-A.
заключается в следующем. На входы устройства поступают зна-
чения контролируемого параметра х (1п), х * (tn_2). Если
в системе автоматического контроля не предусмотрено запоминания
значений х (t = 0, 1, 2, . . . , п), то необходимо осуществлять
во входных устройствах УАП запоминание значений х в про-
шедшие моменты времени t^T^ Входные устройства потенцио-
метрического типа выполняют функции масштабирования, по-
скольку на входы СВ должно поступать | t/BX | < 5 в. Необходимые
значения х (t;) инвертируются. С помощью СВ lt СВ2, СВ3 полу-
чаются значения конечных разностей первого и второго порядка
Дх„_, и Д2хп_2.
Произведения 1/2 Л2х„_2 N2 и Axn-I получаются на выходе
соответственно СУ] и СУ2. Датчики коэффициентов Ньютона Nx
и представляют собой набор сопротивлений, включенных в об-
ратную цепь УПТ (рис. 33). Поскольку выходное напряжение
равно
U ________?Ln
вых	п ^вх>
то меняя Ri можно Свх умножать на постоянное число, в данном
105
случае эти числа — коэффициенты Ньютона. Значения 7?0 и Rt
для обеих схем умножения приведены ниже:
Ri	Rq R, R, R3 R, Rt R, R-, R» R, Rw
N (ком)	1000	100	200	300 400	500 600	700	800	900	1000
n‘ (ком)	650	10	30	60 100	150 210	280	360	450	595
На выходе сумматора С (рис. 34) получаем значения Q (т), со-
ответствующие значениям контролируемого параметра
2, . . . , т.
Установка нуля УПТ осуществляется с помощью соответствую-
щих потенциометров и наблюдается по вольтметру, который по-
Юк
очередно подключается к
каждому УПТ, а затем
к выходу сумматора.
С помощью второго при-
бора просматриваются
входные напряжения.
Все переключатели и
приборы выводятся на
переднюю панель У АП.
Общий масштабный
1 г и , Я*.
13к
&ХгмМ< *---I— Н
Рис. 34. Схема сумматора.
УПТ
т
коэффициент У А П равен 130, а погрешность устройства > 1 %.
Некоторые отличия имеются у У АП, которое реализует вычис-
ление Q (т) с базовыми полиномами Лагранжа. Эти отличия могут
Рис. 35. Блок-схема УАП.
В У — входное устройство; СУ — схема умножения; S — сумматор.
влиять на выбор типа УАП при конкретном создании системы ав-
томатического контроля.
Как видно из блок-схемы (рис. 35), здесь отсутствие трех схем
вычитания компенсируется увеличением числа схем умножения,
т. е. особых различий нет, если в качестве операционных схем ис-
пользуются операционные усилители. Но выигрыш в первом слу-
106
чае имеется тогда, когда в качестве схем вычитания используются
мостовые схемы на сопротивлениях или дифференциальные усили-
тели. Преимуществом второго варианта является то, что указанные
схемы вычитания, вносящие большую погрешность, отсутствуют.
Но не всегда в автоматических системах удается заранее кванто-
вать во времени контролируемый сигнал, подаваемый в УАП. По-
этому устройству автоматического прогнозирования должно пред-
шествовать (рис. 35) входное устройство ВУ, блок-схема которого
приведена на рис. 36. Назначение подобного входного устройства—
подать на УАП дискретные значения контролируемого параметра,
разделенные интервалом времени А/. Контролируемое напряжение
Рис. 36. Входное устройство УАП.
ГПИ — генератор прямоугольных импульсов; Сч — счетчик; П -=<
переключатель; К — клйэч; СУ — запоминающее устройство; Вых —
выход.
подается на ключи К. При этом квантование входного напряжения
осуществляется с помощью низкочастотного генератора прямо-
угольных импульсов ГПИ (мультивибратора) с последующим деле-
нием частоты импульсных сигналов с помощью счетчиков импуль-
сов Сч, имеющих большой коэффициент деления. Далее тактовые
импульсы поступают на бесконтактный переключатель П, который
управляет ключами и поочередно с промежутком А/, соответствую-
щим скважности импульсов, подключает вход к ЗУ. В качестве
ЗУ могут быть использованы трансфлюксоры, напряжения с ко-
торых могут или непосредственно использоваться для осущест-
вления прогнозирования или предварительно обрабатываться.
Поскольку рассматриваемые устройства аналогового типа, то
прогнозирование можно осуществлять непрерывно, при непре-
рывном поступлении на вход УАП контролируемого напряжения.
В этом случае входное устройство может быть выполнено следующим
образом. В качестве запоминающего устройства используется маг-
нитный барабан МБ (рис. 37). Барабан имеет диаметр 300 мм. Для
приведения МБ в движение используется двухфазный асинхронный
107
двигатель типа ДВА-У4 с номинальной скоростью вращения
695 об!мин и номинальным напряжением питания 220 в.
Необходимо отметить, что даже незначительное изменение па-
раметров происходит в течение довольно длительного периода вре-
Рис. 37. Использование в качестве запо-
минающего устройства магнитного бара-
бана.
МБ — магнитный барабан; ВГ — воспроизводя-
щая головка; ЗГ — записывающая головка; СГ —
стирающая головка; СУ — схема умножения;
ГС — генератор стирания; УР — управляемый
редуктор; ПС — переключатель скорости; Д —
двигатель.
мени, поэтому желательно,
чтобы на МБ было запи-
сано изменение контроли-
руемого параметра за боль-
ший промежуток времени.
Для этого предусматри-
вается изменение скорости
вращения барабана. Для
обеспечения заданных ско-
ростей вращения МБ ис-
пользуется понижающий
редуктор на скорости с ко-
эффициентами редукции
1:3475; 1:41700; 1:125 100;
1 : 500 400. На магнитном
барабане используется фер-
ромагнитное покрытие тол-
щиной 30 мк, шириной 10
или 20 мм в зависимости от
количества дорожек. По
окружности МБ устанав-
ливается ряд магнитных го-
ловрк; ЗГ — записываю-
щая, ВГ—воспроизводя-
щие, СГ—стирающая. На
ЗГ подается контроли-
руемое напряжение, которое записывается на медленно вращаю-
щемся барабане. Количество ВГ, которые через усилители подают
. Рис. 38. Блок-схема прогнозирующего устройства.
К коррелятор; ЗУ — запоминающее устройство; ВБ — вычислитель-
ный блок; БЭ — блок экстраполяции; ПУ печатающее устройство;
ИУ — индикаторное устройство.
сигнал в УАП, зависит от конкретного типа устройства автомати-
ческого прогнозирования,
При вычислении прогнозируемых значений скорость барабана
увеличивается. Изменение масштабов времени при воспроизведе-
ний позволяет значительно сократить время, необходимое для вы-
полнения прогнозирования,
Ш
Задача прогнозирования изменения степени работоспособности
контролируемой системы при использовании вероятностных мето-
дов, рассмотренных в [Л. 14], также решается технически с по?
мощью УАП. В этом случае блок-схема устройства имеет вид, по-
казанный на рис. 38.
Значения контролируемого параметра х (t^ поступают на вход
коррелятора К, который вычисляет автокорреляционную функцию.
Значения корреляционной функции В (т) поступают в запоминаю-
щее устройство ЗУ и периодически обновляются. Из запоминаю-
щего устройства значения В (т) поступают в вычислительный блок
ВБ для решения системы уравнений [Л. 16]
— B](m + fc)A/] + SazB[(^ —/) А/] = 0.
Z-1
Рис. 39. Блок-схема коррелятора:
БН — блок накопления сигнала х (/f); ЛЗ — линия задержки;
БУ .— блоки умножения; И — интеграторы.
Получаемые в ВБ значения коэффициентов ak подаются на вход
блока экстраполяции БЭ, который решает уравнение
п
Ха (*л+/) = S akX (Ci-*)
и определяет величины xa(tn+J). Вычисленные значения хэ затем
регистрируются печатающим устройством ПУ или индуцируются
индикаторным устройством ИУ.
Коррелятор (рис. 39), вычисляющий автокорреляционную функ-
цию контролируемого параметра х (/), имеет специальный блок
накопления сигнала БН, в качестве которого может использоваться
рассмотренное выше входное устройство (рис. 37).
Вычислительный блок представляет собой электронный; удиффе-
ренциальный анализатор, решающий систему линейных алгебраи-
ческих уравнений методом непосредственного математического мо-
дулирования. На рис. 40 приведена блок-схема вычислительного
блока для решения системы из трех алгебраических уравнений,
199
которая содержит п (п—1) схем умножения СУ и п сумматоров
Точность вычисления повышается за счет неоднократного повтор-
ного решения системы и последующего усреднения значения ко-
эффициентов ak, выполняемого усреднителями У.
Bfc) В(т) Bft-г) BfCi) В(т*Ы Bfr-,) В(сг) В(т^г) В(Щ)
У,	Уг	Уг
рГ в БЭ р*
Рис. 40. Функциональная схема вычислительного блока.
СУ — схема умножения; 2 — сумматор; У — усреднитель; БЭ — блок экстра-
поляции.
В некоторых случаях при решении практических задач целесооб-
разно количественный и качественный анализы изменения контро-
лируемых параметров автоматизировать.
Рис. 41. Функциональная схема цифрового УАП.
Одним из таких устройств может служить устройство (рис. 41),
анализирующее конечные разности (производные) с целью опреде-
ления тенденции изменения контролируемого параметра.
Дискретные значения х (^) запоминаются в запоминающих
устройствах ЗУ и затем одновременно через ключи /< подаются на
110
схемы вычитания. В результате после первого вычитания полу-
чаются первые конечные разности AxwI, после второй — вторые
конечные разности А2хп_2. Схемы сравнения СС попарно сравни-
вают поступающие на их входы разности и выдают соответст-
вующие сигналы на схемы И и ИЛИ, Так как в изменениях кон-
тролируемого параметра существуют нехарактерные флюктуации,
схемы сравнения настраиваются так, чтобы они срабатывали при
приближенном равенстве соответствующих конечных разностей.
Цифровые УАП по сравнению с аналоговыми содержат значи-
тельно больше элементов и сложнее. Но при этом повышается точ-
Рис. 42. Функциональная схема анализатора конечных разностей.
Сч — счетчик; ПНК — преобразователь напряжения —Код; БЗУ — блок за-
поминающих устройств; Б АВ — блок арифметических вычислений; БИУ —
блок индикаторных устройств; ПТУ — программное тактовое устройство.
ность вычислений, что сказывается на точности прогнозирования,
и возрастает объем информации, которую может обработать уст-
ройство.
На рис. 42 показан вариант функциональной схемы цифрового
УАП. В таком УАП работой всех блоков управляет программное
(тактовое) устройство. Для рассматриваемой схемы смысл управ-
ления заключается в соблюдении очередности переключения элек-
тронных ключей К. Электронные ключи разделяют блоки, выпол-
няющие определенные функции. Рассмотрим в общих чертах ра-
боту цифрового УАП. Контролируемый параметр х (/) непрерывно
поступает на ключ Klt который открывается программным устрой-
ством и осуществляет временное квантование х (/), через выбранный
интервал At. Счетчик х (/,•) фиксирует, сколько значений контроли-
руемого параметра поступило в блоки цифрового УАП и исполь-
зуется при вычислении прогнозируемых значений. Амплитуды
111
напряжений параметра, соответствующие дискретным моментам
времени 1, 2, . . ., н), поступают на преобразователь напряже-
ния в двоичный код, имеющий два выхода: параллельного и после-
довательного кодов. Через ключи /С2 в запоминающие устройства
поразрядно поступают коды, соответствующие значениям х
(I = 1,2,..., п— 1). Через выход последовательного кода (ключ К3)
предусмотрена передача пачки импульсов, соответствующей только
значению x(Q, на отдельный счетчик. Это объясняется тем, что
во многих прогнозирующих выражениях, например (90), (92), (94),
(95), (109), x(tn) используется как отдельное слагаемое и поэтому
целесообразно это значение выделять.
Объем блока запоминающих устройств зависит прежде всего от
принципа, способа и метода прогнозирования. Через серию ключей
коды х (t;) поступают в блок арифметических вычислений. Туда
же через ключи поступает код х (/„). Этот блок является ос-
новным и самым сложным. На примере аналогового УАП, когда
в качестве базового используется полином Ньютона, можно рас-
Рис. 43. Функциональная схема устройства вероятност-
ного прогнозирования.
крыть функции блока арифметических вычислений. Это прежде всего
нахождение конечных разностей (операция вычитания), вычисление
слагаемых полинома (операция умножения) и вычисление прогно-
зирующего выражения (операция сложения). Последним тактом
программное устройство через ключи К6 переводит результат в блок
индикации.
При автоматизации прогнозирования вероятностными методами
возникают дополнительные трудности непринципиального харак-
тера, поскольку необходимо получить ряд дискретных значений
статистических характеристик и, в частности, дисперсию Dx или
среднеквадратичное отклонение ах. Обобщенная функциональная
схема устройства (рис. 43) состоит из трех основных узлов: блока,
вычисляющего статистические характеристики БВСХ, устройства
автоматического прогнозирования УАП и блока вычисления ве-
роятности Известно несколько устройств различного типа, вы-
числяющих статистические характеристики [Л. 17, 18]. В каче*
стве блока прогнозирования можно брать, например, устройства,
рассмотренные выше. Последний блок может быть достаточно про-
стым, в случае, когда автоматизируется метод, использующий нера-
венство Чебышева.
На рис. 44 показано выходное устройство блока вычисления
вероятности в случае нормального распределения и распределения
112
Стьюдента. Основным элементом схемы является диодная матрица
[Л. 19]. По столбцам матрицы через электронные ключи с блока
прогнозирования поступает код вычисленного значения интеграла
вероятности (или Стьюдента), который вызывает на соответствую-
щей строке появление напряжения, равного определенному зна-
чению вероятности.
Необходимо отметить, что устройства автоматического прогно-
зирования могут использоваться как в системе автоматического
контроля, так и автономно. Функции УАП можно во многих слу-
чаях разнообразить и наделить управляющими функциями: на-
пример, выработка сигнала о переходе контролируемой системы
(или отдельной подсистемы) в определенный момент времени на
новый режим работы; выработка сигнала на подключение резерв-
ного блока или канала и т. д.
5 Заказ № 869
113
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
ВОПРОСЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ КОНТРОЛИРУЕМЫХ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 22. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Влияние внешних условий и режимов эксплуатации приводит
к изменениям параметров системы и ее элементов, т. е. сказывается
на работоспособности автоматической системы. Эти изменения мо-
гут быть обнаружены в период контроля и в обслуживаемой си-
стеме компенсированы полностью или частично выполнением на-
строечных или регулировочных работ. Для этого необходимо в пе-
риод проектирования систем, во-первых, учесть степень влияния
внешних и внутренних возмущений на их работоспособность и
найти предельные возмущения, приводящие к потере работоспо-
собности системы, во-вторых, определить характер изменения па-
раметров контролируемой системы. Зная сроки эксплуатации си-
стемы, можно установить требуемые пределы (запасы) регулировок.
Первая задача может быть решена с использованием математиче-
ского аппарата (§ 8 и 9) при условии, что коэффициенты в уравне-
ниях, описывающих поведение системы, являются функциями вре-
мени. Характер внешних возмущений при этом определяют исходя
из условий эксплуатации и типа используемых в системе элементов.
Вторая задача решается с применением математического аппа-
рата прогнозирования (см. гл. 5) при наличии известных законов
изменения параметров элементов и условий эксплуатации системы.
Естественно, что решение этих двух задач целесообразно в пе-
риод проектирования только при условии возможности выполнения
контроля системы в период эксплуатации. В дальнейшем автомати-
ческие системы, при проектировании которых предусматривалась
необходимость выполнения контроля, будем называть контроли-
руемыми системами.
Изменения параметров системы в период ее эксплуатации могут
быть монотонными и колебательными с переменой или без пере-
мены знака (периодические или почти-периодические). Первый
случай характерен для возмущений типа колебаний температуры,
вибраций и др. Второй случай типичен для процессов старения
или износа элементов системы.
В данной главе рассматриваются методы решения поставлен-
ных задач с использованием различного математического аппарата
и электронно-вычислительных машин.
§ 23. КОЛЕБАТЕЛЬНЫЙ ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Рассмотрим случай, когда параметры системы в период ее экс-
плуатации под действием внешних условий приобретают колеба-
тельныеэвозмущения. Изменению параметров будут соответствовать
изменения коэффициентов в уравнениях, описывающих автомати-
114
ческую систему. При этом возникает задача определения предельных
амплитуд изменений, при которых система сохраняет еще работо-
способность. Ниже предлагается метод определения границы до-
пустимых изменений, происходящих.в системе под влиянием внеш-
ней среды, при которых система сохраняет еще заданную степень
работоспособности. При этом характерным является то, что предла-
гаемый метод позволяет решить задачу при наличии ограниченных
возмущений любой формы (почти- периодических, квазипериоди-
чёских, импульсных, случайных), т. е. практически любой физи-
ческой природы.
Вспомогательные утверждения и замечания
Рассмотрим систему порядка т:
X = (P0 + XP1(t))X,	(174)
где Ро = diag (Х1( . . . кт) — диагональная постоянная устойчи-
вая матрица, причем Re Xz Re X,-, Re Xz <0, i, /=1,2,...,
m; Px (t) — ограниченная и интегрируемая в каждом конечном
промежутке при t£_ (— оо, + оо) матрица-функция, т. е. при всех
t £ (— со, + со) элементы матрицы | Рг (/) | с <4- со.
Все дальнейшие рассуждения остаются в силе, если потребо-
вать лишь ограниченности P{j (t) матрицы Рх (/) почти всюду при
t £ (— со 4- со) (в смысле Лебега) и суммируемости в каждом ко-
нечном промежутке. При этом всюду вместо sup | Р (/)t71 следует
брать vtaiz sup | Р (t)tj |, т. е. лишь существенный sup, пренебрегая
множеством точек нулевой меры. Знак означает [Л. 201 точ-
ную верхнюю границу.
Известно [Л; 4], что решение системы вида (174) может быть
представлено при условии, что элементы матрицы Рг/(0 равно-
мерные почти-периодические функции, в следующем виде
t
J A (t, X) dt
х (t, X) = г (t, X) е° »
где z (t, X) — матричный степенной ряд по параметру X,
A (i, X) — диагональный матричный степенной ряд по пара-
метру X.
Такое представление решения уравнений (174) позволяет су-
дить об ассимптотическом (при t -> со) поведении системы.
Покажем, что полученное решение может быть распространено
на более общий случай. Введем определение.
Определение 18. Нормой матрицы Р (0, ограниченной
при всех t, будем называть неотрицательное число, определенное
по правилу
т
||P(nil=MaKcSsup|P,/(O|.	(175)
1<гк/п У=1 t
причем i — номер строки, а / — номер столбца.
5*
115
(176)
Аналогично, норма ограниченной при всех t функции f (f) опре-
деляется по правилу
11/(0 ||=sup |/(0|.
Сформулируем следующую лемму, которая оправдывает воз-
можность применения результатов, полученных в [Л. 4] для рас-
сматриваемого случая.
Лемма 1. Пусть имеется дифференциальное уравнение пер-
вого порядка
y + ay=f(t),	(177)
где а = const, Re a =f= 0, f (/) ограниченная всюду при t(^ (— оо,
+ со) и интегрируемая в каждом конечном интервале функция.
Тогда существует ограниченное всюду при	(—оо, + со) решение
у (О, для которого справедливо неравенство
h(0il< iizton..
11 |Reo|
Доказательство. Пусть Re а > 0. Непосредственной
00
проверкой убеждаемся, что у (/) = e~at (t) eat dt есть решение
уравнения (174), отсюда следует
\y(t)\<\e~at || f f(t)ea‘dt\^e-Reat f |/(0 |eRea'd/<
----------------00	--00
< IIf (0II*"Reat J *Rea‘dt = 11/(011 •
—oo	Re a
Переходя к sup в левой части, получим
Случай Re а < 0 рассматривается аналогично. Лемма доказана.
Замечание 13. В силу леммы 1 замечание 1.1. работы
[Л. 4] остается в силе, а тогда верны и все результаты § 1-3 из
[Л. 4] применительно к нашему случаю. Это позволяет сформули-
ровать следующую теорему, доказательство которой выполняется
так же, как и в работе [Л. 4].
Теорема II. Решение системы (174) в круге |Х] < R пред-
ставимо в виде
А'+ Jo а а. >)<!(
x(t, ).) = z(t, tye	,
где z (t, X) — ограниченная при	(— оо, + оо) матрица', A (I,
X) — ограниченная диагональная матрица.
116
При этом, как следует из теоремы 2.1 работы [Л. 41, справед-
ливы неравенства
1
4ft || Рг|| ’
(178)
где
||Л(Л к)||<2||Р1|Пк|,
min | Re Х(- — Re X.-1
i+j
Следствие 8. Характеристичные числа Ляпунова системы
(174) в круге | Х| < R отличаются от характеристичных чисел Ляпу-
нова системы (174) при А = 0 (невозмущенная система) не более,
чем на величину 2||Р1|| |Х|, т. е. при каждом i = 1, 2, . . . , пг
|8,(О)-8/(к)|<2||Р1|||А|,
(180)
где (Л) — характеристичные числа Ляпунова системы (174) (за-
метим, что о( (0) = — Re где — диагональные элементы мат-
рицы Ро). Поскольку характеристичные числа Ляпунова позво-
ляют судить об ассимптотическом поведении решения, то неравен-
ства (180) определяют область устойчивости решений системы (174).
Естественно считать, что решение системы (174) при Л = 0 устой-
чиво.
Замечание 14. Пусть требуется найти те значения Л (воз-
мущающего параметра), при которых характеристичные числа Ля-
пунова системы (174) отличаются от характеристичных чисел Ля-
пунова системы (174) при Л = 0 не более, чем на 8 > 0. Этому тре-
бованию мы заведомо удовлетворим, если А удовлетворяет системе
неравенств
(181)
где

_________1_________
мин | Re X/ — Re Ху |
Доказательство. В силу следствия 8 теоремы 11, если
(181) выполнено, то |8f(0)— 8f (А) | <21| Рх || |А| < 0, что и тре-
бовалось доказать.
117
О сохранении работоспособности систем при условии
воздействия внешней среды
Любая линейная автоматическая система может быть описана
следующей системой уравнений
LiXi —(/);
(182)

где Lj(j = 1, 2, . . . , k) линейный оператор порядка щ, ,а и
fl (/) — соответственно искомая выходная функция и входное воз-
мущение на j-м координатном месте.
Воздействие внешней среды на систему приводит к тому, что
коэффициенты в уравнениях (182) изменяются с течением времени,
т. е. являются функциями времени.
Определение 19. Система работоспособна, если характе-
ристичные числа Ляпунова 8;. (%) при действующих возмущениях
изменяются следующим образом:
|8/(Х)_8/(О)|<8,	(183)
где	8 — заданное допустимое отклонение,
8,	(0) и 8у (X) — соответственно номинальное и возмущенное зна-
чения характеристичных чисел Ляпунова.
Неравенства (183) и определение 19 фактически отождествляют
понятие «работоспособность» с понятием устойчивости по Ляпу-
нову. Действительно, если система при X = 0 «работоспособна», то
она устойчива. Но неравенства (183) суть, требование малости от-
клонения характеристичных чисел устойчивой системы, а это и
означает, что возмущенная система (X 0) при этом устойчива.
Известно [Л. 21 ], что уравнения (182) можно привести к виду
(174). Следовательно, использовав материал, изложенный выше,
можно определить границы допустимых изменений в системе, яв-
ляющихся следствием влияния внешней среды.
Пример. Система описывается уравнением
Ьу(/) = / + Г1/1 + &у = 0,	084)
причем
W = 2410~2, Ьо~ 1,14-Ю*"2,
находим
— (0) = Xi = — 0,0652; — &2 (0) = Х2 = — 0,1748,
где Xj, Х2 — корни характеристического уравнения при b = bQ;
6i (0), 62 (0) — характеристичные числа Ляпунова при b ~ bQ.
Под влиянием внешней среды значение коэффициента b изменяется
с течением времени, т. е.
ь = ь0 -то,
где bQ = 1,14 10 2.
118
Тогда, уравнение (184) эквивалентно системе
Х = Р(/, Х)Х,
(185)
где
Р (t, X) = Ро +	(/);
О
Ро =
_  ° 1 
_— ХгХ2 Xj	Х2
Pi (/) =
‘ о
./(О
0‘
О ’
1 ]
Заменой переменной Y = SXS 1 приведем систему (185) к виду
У=$Р(Л XJS-^SXS-1 =$Р(Л Х)3~1У,
rAeS = const — постоянная матрица, приводящая матрицу Р к диагональному
виду. В данном случае
S =
Xi
х2 ;
1

det S =£ 0, так как Х2.
Получим систему
01 . о
Л +
о М
Г о 01 Л
S"1 F,
L/(o о] /
Система считается работоспособной, если сохраняется условие устойчи-
вости, т. е. характеристичные числа Ляпунова 6^ (X) > 0. Это означает, что
б мин == Ify (0)|- Следовательно,
IMO)-МХ)| <	(0)1 = а.
Поскольку задано, что 6 =» 0,0652, то в силу (180) получим
|М0) - (X) | < 2 ]| Pi || | X | < & = 0,0652.
Из формул (181) следует, что для сохранения работоспособности доста-
точно удовлетворить следующие неравенства:
4А|| Pill ’
0,0652
2ЦР111 ’
т. е, IXHIJylC-L;
4п
т. е, |Х ]|| Pi]) < 0,0326,
(186)
где /г-1 = | 6i (0) — 62 (О)) = 0,1096.
Найдем ЦР1Ц. Имеем
11JB
Подставив численные значения и перемножив матрицы, получим
Подставив полученное выражение в неравенство (186), получим
1-33,611/(0 II < 0,0326,
(187)
или
IMII/(OII<4S-=8’15-,0"4:
4-оо,О
Iх 111/(0 II <	=0,097.10-2.
00,0
Таким образом, допустимая величина возмущения ограничивается зна-
чением
| А И| / (О II < 0,0815 -10—2.
Следовательно, амплитуда возмущения, вносимого взаимодействием
внешней среды, не должна превышать
IMII/WII = 0.0815 ~7 20/о
IM 1.14 ~ ’
значения коэффициента в уравнении (184) при невозмущенном состоянии
системы.
§ 24. МОНОТОННЫЙ ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
Влияние внешних факторов при эксплуатации систем в ряде
случаев приводит к необратимым физико-химическим превращениям
в элементах; с другой стороны, механические элементы при их ис-
пользовании изнашиваются. Эти явления приводят к тому, что
параметры автоматических систем, комплектуемых из этих элемен-
тов, в период эксплуатации монотонно изменяются со временем,
что в конце концов может привести к потере работоспособности
системой. Вследствие этого возникает задача определения границ
и характера допустимых изменений параметров системы. Эта за-
дача может быть решена, если считать, что система описывается
уравнением с коэффициентами, изменяющимися во времени вслед-
ствие изменения параметров элементов.
120
Вспомогательные утверждения и замечания
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение 2-го по-
рядка с переменными коэффициентами:
Lty = l/' + a(t)y' -\-b(t)y — O,	(188)
где a (t) — кусочно-постоянная заданная при t £ [0, т„ ] (возможно
что тя = со) функция, определяемая как
«г /£[0, тх];
о(0 =
а2 ^1;
а pt ,, т 1,
причем а/ > 0 при всех j — 1, 2, . . . , п; b (0 — некоторая ку-
сочно-постоянная функция того же вида:
&(0 =
&1 /£[0, 41;
ь t(- ft 11,
n * < L n—V nJ9
причем bj — некоторые числа.
Обозначим через %?’2) корни характеристического уравнения
оператора Lt при (Ту_р тД Тогда общее решение уравнения (188)
при Д_|, запишется в следующем виде:
yj (0 =	_|_ /<2>Л ’	.	(189)
Условимся рассматривать только непрерывные вместе с первой
производной решения уравнения (188). Общее решение уравне-
ния(188), непрерывное вместе с первбй производной, мы составим из
решений (189) при [ту_р тД В силу условий непрерывности
мы будем иметь следующие соотношения:
*9-1
y'i-i (^_д
(190)
Считая y._t (Ту-,), y}_t (т^) известными числами (при / — 1) они
задаются начальными условиями у (0) = у0 и у (0) = уй для всего
решения в целом при t — 0), мы определяем постоянные /(.1) и /<2)
из условий (190) однозначно.
Пусть заданные числа 8, 0, у > 0, причем 0 > у. Поставим
своей целью определить кусочно-постоянную функцию b (f) так,
чтобы при всех j = 1, . . . , п
Re к)1’2’ <—8
(191)
121
и при этом выполнялись следующие неравенства:
RekV* 2) Д'
е J
ReX<.I,2)Ax,
? J J <Z е \
(192)
где Дт;. — т?. — Ty_j (можно принять 0 = 6 — 10, у — 3 — 5).
Неравенства (192) соответствуют требованию быстрого убыва*
ния у} (/) и у'} (() за промежуток времени от t = х._х до t = х..
Невыполнение этих требований может привести к тому, что реше-
ние уравнения (188) будет неустойчивым, несмотря на то, что при
каждом / соответствующее решение у,. (/) имеет отрицательные ха-
рактеристические показатели Re К/.
Замечание 15. Условия (192) заведомо выполняются, если
выполнены следующие неравенства:
At; > —;
'	8
W112)I<
-Т+8Ат.
е
(193)
причем, если выполняется первое из (193), то отсюда следует вы-
полнение первого из (192).
Re kV’ 2)Дт.	—8Дт.	—3
Доказательство. Из (191) имеем е 7	7 < е 7 < е ,
если Ат; > — . Аналогично
7 &
I kj1,2) I 2>лху < I 2) I е~ш‘ < е"т»
если
Теорема 12. Пусть при всех j 8 <	, Дт, > — и Дт, > ег~'.
2	b
Если функция b (/) такова, что при всех j выполняется неравенство
О;
8а,— 88 <bj<-E,	(194)
то при всех j = 1..п неравенства (191) и (193) выполняются.
Доказательство. Так как Ь} < — , то к1.1,2) вещест-
4	7
венны. Покажем, что выполнено (191). Выполнение (191) эквива-
лентно неравенству
>8,
122
или
отсюда Ь} > 8а/ — В2, т. е. из неравенства (194) следует (191). По-
кажем, что выполнены неравенства (192). По замечанию 15 и в силу
условия первое неравенство (192) выполнено. Рассмотрим второе
неравенство (193). Очевидно, что
I ,пх)'Ч1 -v
I 1}е} JI < е 7;
так как функция f (%) = достигает своего максимума при
Л = — (X > О, Ат > 0), то мы имеем следующее неравенство:
Дт
— e~l
Дт;
Последнее выполняется, если Дт; > е1 \ В силу условия утверж-
дение доказано.
Теорема 13. Пусть > 8 и Ат/ >	, / = 1, 2, . . . , п.
Если функция Ъ (/) такова, что при всех j выполняется неравенство
(195)
то неравенства (191) и (192) выполнены,
С?’
Доказательство. Так как Ь> > —, то ХА1,2) — комп-
4	7
лексно-сопряженные корни. В силу условия и замечания 15 первое
неравенство в (193) выполняется. Неравенство (191) выполнено,
так как Re Xj1,2> = —. Покажем, что второе неравенство в (193)
выполнено. Неравенство
эквивалентно
|ху-2>|<Г2т+Шт',
но по условию
I ху. 2) |2 = 1 + 6/_ 1 = < e~W*i.
утверждение доказано.
123
так, чтобы
(197)
(198)
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка
2п + 1 с переменными коэффициентами:
Lty = LtH Lfy = 0,	(196)
k=“ 1
где LtZ = z + b\ (/) z — дифференциальный оператор первого по-
рядка, a Lkt (z) = z’ + ak (t) z + bk (t) z — линейный дифферен-
циальный оператор 2-го порядка вида (188).
Пусть ak (t) заданные кусочно-постоянные функции того же
вида, что и функция а (/) в (188), bk (/) — кусочно-постоянные
функции. Пусть также 3, 0, у > 0, причем 0 > у.
Поставим следующую задачу: определить bk (/)
при всех j' = 1, 2, . . . , п выполнялось неравенство
и при всех j = 1.......п — 1
>2)|/еХ*1/’2)4ту <е~\
где — корни характеристического уравнения оператора L? при
[%р ту].
Замечание 16. Для k = 1 условие (197) определяет об-
ласть br (f), а при k = 2, 3, . . . , п следует воспользоваться тео-
ремами 12 или 13.
Условия (197) и (198) гарантируют устойчивость по Ляпунову
решения уравнения (196). Эти же условия позволяют, исходя из
требований устойчивости, сформулировать требования, предъявляе-
мые к коэффициентам bk (t), при выполнении которых система ста-
нет устойчивой.
Реальная система, конечно, может иметь такие коэффициенты
ak (t) и bk (/), которые являются не кусочно-постоянными, а не-
прерывными функциями t. Однако в предположении медленного
изменения ak (/) и bk (t) их можно считать кусочно-постоянными и
применять предложенный выше математический аппарат.
Условие работоспособности автоматической системы
при монотонном изменении параметров
Приведенный выше математический аппарат позволяет решить
следующую задачу: по известным законам изменения одних пара-
метров ak (t) найти область, в которой могут находиться значения
bk (0 и при этом уравнение, описывающее систему, будет иметь
устойчивое решение, т. е. система будет сохранять работоспособ-
ность. Такая задача может возникнуть в период проектирования
системы при выборе элементов с известными законами изменения
Рис. 45. Гироскоп
с двумя степенями
параметров при старении или износе или при учете характера влия-
ния внешних воздействий на отдельные устройства системы.
Решение подобной задачи с использованием предложенного ма-
тематического аппарата рассмотрим ца конкретном примере.
Пример. На рис. 45 представлен гироскоп с двумя степенями свободы,
используемый для измерения угловой скорости на аэродинамических объек-
тах. Работоспособность подобного устройства опре-
деляется свойствами устойчивости.
Поведение гироскопа с двумя степенями сво-
боды описывается следующим уравнением:
j + р +йв =/<О —,	(199)
d/2  dt	dt
Jz — момент инерции гироскопа относительно
оси прецессии;
D — коэффициент демпфирования;
k — жесткость центрирующих пружин;
/со — кинетический момент гироскопа;
da
— — угловая скорость вращения объекта, на
dt
котором установлен гироскоп;
0 — угол прецессии.
Предположим, что вследствие износа воздушного демпфера коэффициент
демпфирования изменяется с течением времени:
%
О
4
20
16
12
8
* В 12 16 20 24 28 32 36-ltfi-M
D (0 = Doe^‘.
Определим ограничения, которые должны быть наложены на
закон изменения жесткости пружин k (t), изменяющейся вслед-
ствие старения пружин.
Рассмотрим уравнение свободного движения устройства:
ё+ DjO + М = о,
где
Z	Jz
(199a)
Коэффициент демпфирования из-
меняется в течение [О, Г] по
следующему закону:
D, (0 = 20е~ 10“%

т
Рис. 46. Кривая изменения коэффи-
циента демпфирования
причем Т ~ 36-104 сек.
Разобьем интервал [О, Г] (рис. 46) на п подынтервалов, в каждом из
которых будем считать Dr (/) == const, т. е.
Du - 20е-‘° 5т-, t £ (0, тх] = [О, Л];
Pin = 20е-1° Т">	[хл-1- \] = Кл — О Л- nhl-
(200)
Поскольку Dj есть сумма корней уравнения (199а), то
8 < 20е—10 5г = 20е—3,6 яг 0,57.
125
Положим 6 = 0,2; у = 3. Требование устойчивости означает, что
ReX/1’ 2> < — 6 - —0,2.
По теореме 12, если
> S — 0,2 и h = Дт,- = — >	1 — е2,
2	7 п
(201)
то для устойчивости решения (199а) достаточно, чтобы при всех / = 1, 2. . . , п
выполнялось следующее неравенство
где
(*п, Н[0, А];
М0=....................
l^in, /$[(«- 1) h, nh — Т].
Выбираем число интервалов п, исходя из (201):
Т в	Г 16-10*	. п 1ЛД
— > е2, или п< — —-----------------= 4,910*.
Л	g2
Пусть п ~ 10* (чем больше п, тем точнее ступенчатая замена для коэф-
Т
фициента D1 (/). Тогда Дт/ — h — — = 36 сек, и неравенство (202) примет
следующий вид:
0,2 £>1/ — 0,04 <k!j < -У-.
Подставив D±j из (200) при условии ту == jh= j>36, будем иметь
4<?-зб-10~5> _ 0,04 < кц < ЮОе-10-572/,	(203)
/= 1,2, . . . , п = 10*.
Неравенство (203) при j — 1, 2, ...» 10* имеет смысл
4е-зб.ю-5;_0>04 < юое-10"572/.	(204)
„ „	-36-10“?/
Действительно, обозначив е J = и, получим
4п — 0,04 < ЮОп2.	(205)
Уравнение 100а2 = 4и — 0,04, т. е. 25п2 — и + 0,01 = 0, имеет сле-
дующие корни:
и = 1 ± К1 ~ ! = 0,02.
50
тт	—зб‘Ю—5.7
Но и = е / с ростом / монотонно стремится к нулю, причем
при / = 10*
„мин = е—36.10—5.10* = 0 027 > 0,02.
т. е. при всех j < 10* величина и (j) > 0,02.
126
Таким образом, уравнение (205) не имеет корней и (j) при / < 104. Кроме
того, при j — 0 неравенство (205) удовлетворяется, а следовательно, оно
верно и при всех значениях / < 104.
Таким образом, получаем требующийся ответ: если (t) — такая функ-
ция, что
(Мп/' (!'< — 1) Л. Г|,	"	10‘
и &1/ удовлетворяет (203), то решение (199а) устойчиво.
В частном случае закон изменения жесткости пружины kr (t) может
быть аппроксимирован непрерывной функцией вида
*1 (<) = q<?* — г,
где 36-10~5 < Р < 72-10-5, аги q — некоторые постоянные, выбираемые
так, чтобы при <=1,2, . . . , 104 выполнялось неравенство (203).
§ 25. ВЕРОЯТНОСТНЫЙ АНАЛИЗ ПРИ УЧЕТЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ
СИСТЕМЫ
Состояние автоматической системы может определяться характе-
ром передачи сигнала со входа на выход системы. Численной ве-
личиной, характеризующей передачу сигнала, служит коэффициент
передачи системы. При этом в общем случае имеем зависимость
“вых = ^п“вх>	(206)
где kn — коэффициент передачи системы; ивх — входной сигнал;
Ывых — выходной сигнал.
Изменение параметров элементов системы повлияет на зависи-
мость (206), т. е.
=	*2, • • •),	(207)
где х1( х2, х3 . . . — коэффициенты передач отдельных подсистем
или параметры, определяющие состояние системы.
Таким образом,
“вых = “вх^п (-Ч> ^2> • • •)•	(208)
Изменение коэффициента передачи вызовет изменение выход-
ного напряжения:
Д«вых =“вх^^п-	(209)
В случае явной функции (207) полный дифференциал ее будет
иметь следующий вид:
=	+ — dxt+ ...	(210)
OX]	дх2
Заменяя в уравнении полного дифференциала (210) частные
дифференциалы частными приращениями Axlt Дх2, ... и обозначая
127
полный дифференциал суммарного приращения всей системы
через Д£п, получим
Дхх + Дха + . . .	(211)
дхг	дх2
Приведенное уравнение показывает, что суммарное изменение
(приращение) Д£п является линейной функцией частных изменений
(приращений) Дх2, ...» взятых с соответствующими диффе-
ренциальными коэффициентами.
При проектировании автоматической системы необходимо про-
анализировать зависимости
A*n = <p(Axz)»	(212)
причем Дхр .... Дх(._р Дх/+Р . . . следует считать неизменными,
а затем аналогичные зависимости проверить и для Дхр . . . , Дхг_(,
^•*7 + 1....
Для оценки зависимостей вида (212) для каждого отдельного
аргумента функции (207) воспользуемся критерием чувствительно-
сти коэффициента передачи Sk. Значения чувствительности kn
по аналогии с изложенным в гл. 4 определяются с помощью сле-
дующих выражений:
s =	; ....	(213)
1	^X1	1 hx2
Общую чувствительность коэффициента передачи можно рас-
сматривать как сумму:
п
i=l
Анализ чувствительностей Sk( в выражении (214) позволяет вы-
делить аргументы, от которых зависит коэффициент передачи. Те
аргументы функции (207), которые мало влияют на kn, т. е. соот-
ветствующие Sk[ малы в (214), можно исключить из функциональ-
ной зависимости (207).
В том случае, когда в зависимости (207) количество аргументов
достаточно велико, а устройство предназначено для эксплуатации
в изменяющихся условиях, следует производить вероятностный
анализ изменения коэффициента передачи системы при учете из-
менения во времени параметров элементов.
Перепишем зависимость (207) в следующем виде:
=/(<А. <?2> • • •> <7„),	(215)
где qt — параметры системы.
128
Здесь необходимо анализировать зависимости приращения ко-
эффициента передачи от приращений одного, двух или нескольких
параметров qt, т. е. получить реализации функций вида
д^п=?(4)>	(216)
где X =/= /, t =г 1, 2, . . . , % — 1, % 4- 1, . . . , п, или
ДЙП=/(Д^,	.....&qs),	(217)
где s < п и s^n.
Таким образом, будем иметь много реализаций случайной функ-
ции—коэффициента передачи, вычисляя статистические характери-
стики которых, можем предъявлять к ним определенные требова-
ния. Так, математическое ожидание множества реализаций при-
ращений коэффициента передачи вычисляется для момента времени t
как
п
„	1-1
т*'------------п
(218)
Дисперсия реализаций приращений ka находится по выражению
п
2 [ЛЛп/
(219)
Можно предположить, что значения Afen распределяются по
нормальному закону с математическим ожиданием tnk и дисперсией
Dk:
Г(Д*п) =
j . 2Dk
Уъфк
(220)
Следует заметить, что значения приращений коэффициента пе-
редачи могут подчиняться нормальному закону только в начальный
период эксплуатации системы, а затем с течением времени пара-
метры системы будут «ползти» и распределение ААП будет отли-
чаться от нормального, поэтому необходимо рассматривать ряд ста-
тистических характеристик (старшие моменты распределения),
которые при нормальном законе распределения равны нулю.
Третий центральный момент служит для характеристики асим-
метрии (или «скошенности») распределения:
Из= 2 ЩпОЧ)— mtfpi,
i — 1
. 'Л 6 Заказ № 869
(221)
129
(222)
где Pl — вероятность соответствующих значений Д£п (Д^,), ко-
торая вычисляется с помощью формулы
ns
где ns — суммарное число реализаций Д/гп;
— число реализаций, соответствующих Д<?г
На практике удобно пользоваться для оценки скошенности рас-
пределения величиной коэффициента асимметрии:
k о»
где о — среднее квадратическое отклонение значений Дйп(:
«3 = Р=
(223)
Рис. 47. Принципиальная схема трех-
каскадного полупроводникового усили-
теля.
(П	] /2
3 [Дйп( -tnk\*Pi\ . (224)
В качестве характеристики
большей или меньшей «вер-
шинности», т. е. большего
или меньшего подъема гра-
фика по сравнению с нор-
мальной кривой распреде-
ления, используют другой
показатель, носящий название эксцесса Ek и определяемый [Л. 28]
в виде
=	—3.
* О* '
Кроме того, распределение значений &kni может характеризо-
ваться модой распределения. Модой р, случайной величины назы-
вается то ее значение, при котором плотность вероятности макси-
мальна. Если многоугольник распределения (кривая распределе-
ния) имеет более одного максимума, распределение называется
полимодальным.
Отличные от нуля показатели асимметрии и эксцесса, а также
полимодальность, указывают на отклонение рассматриваемого рас-
пределения по форме от нормального распределения. Неравенство
нулю коэффициентов асимметрии, эксцесса и наличие полимодаль-
ности ведет к более ранней потере работоспособности автоматиче-
ской системы. Поэтому на стадии проектирования необходимо стре-
миться, чтобы Ek и Е* с течением времени оставались равными
нулю и распределение было одномодальным.
Пример. На рис. 47 приведена принципиальная электрическая схема
трехкаскадного усилителя fjl.23], коэффициент усиления которого
kn -	(226)
причем в коэффициент А входят параметры, считающиеся неизменными.
130
(225)
Рис. 48. Кривые изменения 0 для триодов типа П16.
Рис. 49. Изменение kn при различных сочетаниях 0
в каскадах усилителя.
V26*
131
Таким образом, kn (226) будет зависеть от коэффициентов усиления по
току Р/ (i = 1, 2, 3), которые могут меняться со временем, как показано на
рис. 48. Выбирая полупроводниковые триоды с определенной характеристи-
кой Р/, можно в той или иной мере регулировать закономерность измене-
ния kn.
Поведение kn в десяти различных вариантах сочетания р приведено на
рис. 49. Не трудно увидеть, что в допустимых пределах изменения kn ± 20%
(при &по = 50-Ю3) в течение 9000 ч эксплуатации находится только вариант
№ 7, где 6П7 = (Ра» Рг, Рг)» а в пределах ±50% еще два варианта № 5
и № 8, где соответственно
— ^(?1,	?з) И ^П8~^(?2» Ре, Рз)‘
Рис. 50. Характер изменения р для различных триодов.
Эти варианты удовлетворяют условию
Н« ДОП <	В« доп,	(227)
где Лп. н. доп’ ^п. в. доп “ нижние и веРхние допустимые значения коэффи-
циента усиления в течение всего периода эксплуатации.
В случае, когдаь
J	Лп = Л,ПРь	(228)
где п > 3, необходимо вычислять и анализировать статистические характе-
ристики всех возможных реализаций kn при сочетании в проектируемом
устройстве полупроводниковых триодов с различными р и отказаться от
вариантов, которые не удовлетворяют предъявляемым требованиям.
Пусть в выражении (228) п — 5. Изменения р пяти различных триодов
показаны на рис. 50. Были определены реализации kn для 104 вариантов
усилителя и вычислены статистические характеристики совокупности реали-
заций на протяжении всего периода изменения kn. В табл. 10 приведено
изменение математического ожидания т* (/), среднего квадратического от-
клонения оЛ (/), вероятности невыхода за допустимые пределы Pk (kn н доп <
< kn < kn в доп) третьего и четвертого центральных моментов р3 и |14,
показателя эксцесса Ek и коэффициента асимметрии 2^. Анализируя ха-
рактеристики, можно заметить, что все они изменяются в сторону ухудшения.
Для того чтобы характеристики соответствовали определенным требованиям,
необходимо произвести отбор вариантов, удовлетворяющих требова-
нию (227).
132
Рис. 51. Изменение закона распределения значений ka<
На рис. 51 показано изменение закона распределения для упомянутых
104 вариантов. Характерными чертами изменения закона распределения
является расползание значений kn в сторону увеличения и полимодальность.
Таблица 10
Статистические характеристики изменения Кп
ц	0	2500	5000	7500	10 000
	0,908	0,943	1,191	1,049	1,4
Pk	0,931	0,320	0,320	0,398	0,427
°k(t)	0,304	1,114	1,5	0,98	1,334
(*3	0,034	2,64	7,482	1,524	3,938
P4	0,042	10,408	39,77	4,83	18,76
Ek	1,91	3,8	4,9	2,26	2,8
Vk	1,22	1,91	2,23	1,62	1,63
§ 26. ПРИМЕНЕНИЕ ЭЛЕКТРОННО-ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ КОНТРОЛИРУЕМЫХ СИСТЕМ
На практике часто решение задач определения характера рабо*
тоспособности сложных систем, прогнозирования изменения со-
Рис. 52. Структурная схема замкнутой
автоматической системы:
ь
^МУ (Р) ----------магнитный усилитель;
1 + Лр
а’бу (р)
*гу
— блок управле-
r " <) hi о
1 + Г2Р+ r2pz+r2pd
ния;
Jfe,
---------гидравлический усилитель;
1 + ГзР
------насос переменной производи-
тельности и гидродвигатель.
стояния контролируемых
систем и ограничения до-
пустимых значений пара-
метров целесообразно вы-
полнять с помощью элек-
тронно-вычислительных
машин. Применение элек-
тронно-вычислительных ма-
шин позволяет не только
решать частные задачи, но
и получить общие методы
(программы) для решения
широкого класса подобных
задач. Ниже рассматрива-
ются различные примеры
применения электронно-вы-
числительных машин.
Пример!. На рис. 52 при-
ведена структурная схема зам-
кнутой автоматической системы, которая содержит магнитный усилитель
МУ. Коэффициент усиления МУ вследствие старения полупроводниковых
элементов и изменения тока с течением времени в период эксплуатации
5 у дет изменяться, что скажется на изменении работоспособности всей си-
стемы.
Требуется определить степень изменения основной характеристики ра-
ботоспособности системы, которой в данном случае является время регули-
рования.
134
Передаточная функция замкнутой автоматической системы имеет вид:
1V7	__
где
л = йдй3л4й5 - (л + Т’2 + т3)ш2 +
+ (т,т;+ т2 + т3т2 + г,т;т3)<»4- Т^т^-,
В~*>- (7^2 + TtT3 + Т3Т2 + Т2) Ш3 + (7\т2 + TjT^Tg + Т’2 Т3) «А
Характер изменения параметров элементов системы с течением времени
вследствие старения определяется данными, приведенными в табл. 11.
Таблица 11
Характер изменения параметров системы вследствие старения элементов
t тыс. ч	*1	Т1	Т2	К2	Т2	ш Т2	кь
0	200	0,05	0,0712	0,2	0,0091	0,000175	0,125
1	195	0,0494	0,069	0,199	0,00828	0,000128	0,1244
2	190	0,0495	0,0691	0,198	0,00812	0,000128	0,1237
3	180	0,0494	0,069	0,197	0,00812	0,000112	0,1231
4	160	0,0494	0,069	0,196	0,00812	0,000112	0,1225
5	127	0,0495	0,0691	0,195	0,00817	0,000118	0,1219
6	90	0,0495	0,0691	0,194	0,00817	0,000118	0,1213
7	46	0,0495	0,0691	0,193	0,00817	0,000118	0,1206
Для решения поставленной задачи
стики замкнутой системы, пользуясь
рассчитаем переходные характера -
следующим интегралом [Л.27 ]
“'>~И
о
P((o)sin<o/ ,
——----------aw,
ш
который вычисляется по формуле Симпсона.
На рис. 53 приведена блок-схема программы решения задачи с помощью
электронно-вычислительной машины «Минск-2», а результаты выполненных
расчетов приведены на рис. 54 в виде графических зависимостей.
Анализ полученных зависимостей позволяет сделать в период проекти-
рования ряд выводов, имеющих практическое значение. Во-первых, поль-
зуясь зависимостями, можно установить время, в течение которого система
будет сохранять работоспособность без выполнения регулировок; во-вторых,
можно, зная срок службы системы, установить диапазон требуемых регули-
ровок и, наконец, в-третьих, обосновать сроки выполнения профилактических
работ для восстановления работоспособности системы.
Пример 2. Известно, что величина коэффициента усиления по напря-
жению в многокаскадном полупроводниковом усилителе может быть опре-
делена выражением (228), т. е.
п
йп « А П
1=1
135
где р, — коэффициент усиления по току одного каскада;
п — число каскадов усилителя;
А =______
4' ГВХ 1
причем 7? — сопротивление нагрузки; — внутреннее сопротивление ис-
точника сигнала; rBXi — входное сопротивление первого каскада усилителя.
—---------------------	Рассмотрим схему пятикаскад-
ai : — aio
Рис. 53. Блок-схема программы
решения задачи определения
работоспособности.
ного усилителя (рис. 55) [Л. 23].
Параметром, характеризующим из-
менения, происходящие в полупро-
водниковых элементах, является р/
(i=l,2,..., 5). Работоспособ-
ность усилителя в течение опреде-
ленного промежутка времени будет
определяться ограничением измене-
ния коэффициента усиления kn за-
данными пределами (Z?iy, и., kn, B.J.
Задача заключается в опреде-
лении целесообразности распреде-
ления Pi (/) по каскадам усилителя.
При этом возможный характер изме-
нения Р/ (0 задается графически
(рис. 50).
На рис. 56 приведена блок-
схема программы решения, получен-
ная для электронно-вычислительной
машины типа «Минск-2». Программа
построена с учетом следующих усло-
вий и принципов.
1)	Число интервалов (продолжи-
тельность одного интервала), на ко-
торое разбивается заданное время
эксплуатации t3, устанавливается
предварительно, до расчета.
2)	Определенная последователь-
ность выбора возможных р/ (I) уста-
навливается для каждого каскада
самостоятельно.
3)	Значение коэффициента уси-
ления усилителя определяется и
анализируется при выбранном вари-
анте распределения РД/) по каскадам.
При этом проверяется условие (227).
Значения &п, удовлетворяющие ус-
ловию, фиксируются печатающим
устройством.
4)	Перебор значений р/ начи-
нается с последнего пятого каскада.
При этом операция формирования
константы исключает возможность
повторяемости проверенной комби-
нации pt*.
5)	Каждый цикл расчета для вы-
бранного tj заканчивается определе-
нием и фиксацией значения kn при
удовлетворении условия (227) и сог
четания Р/ (i = 1, 2, ...» 5).
6)	Расчет заканчивается при
получении значений kn и сочетаний
136
Заказ № 869
Рис. Ь4. Изменения переходной характеристики (а) и времени регулирования (б) в результате старения элемен-
тов.
GJ
pi для всех промежуточных положений в диапазоне заданного вре-
мени t3.
Таким образом, в результате выполнения программы, электронно-вы-
числительная машина выдает все возможные сочетания р/, обеспечивающие
удовлетворение условия на протяжении отрезка времени t3. Кроме того,
оказываются зафиксированными значения kn в эти моменты времени.
Пример 3. Задачи прогнозирования изменения состояния автомати-
ческих систем, поставленные в гл. 5, могут решаться в период проектирова-
ния при наличии характера изменения параметров отдельных элементов
в различных условиях эксплуатации. В этом случае прогнозирование осу-
ществляется на основании статистически обработанных экспериментальных
данных-
Рис. 55. Блок-схема пятикаскадного полупроводникового усилителя.
На рис. 57 приведена блок-схема программы прогнозирования, осущест-
вляемого с помощью выражения
2 Fi (о
оно=-^4—>
и
где jljl = 2, а в качестве базовых полиномов использовались прогнозирующие
полиномы Лагранжа.
После ввода и перевода данных осуществляется выбор временного шага
прогнозирования (h = 100, 200 или 300 ч). Затем следуют команды: начало
цикла движения по кривой, формирование ячейки с номером исходной
точки х (t)a, засылка в рабочие ячейки значений контролируемого параметра.
Затем начинается цикл прогнозирования (т = 1 — 10). Для этого засылают
значения коэффициентов полинома Лагранжа для Гл (t) и Гл* (t) в рабочие
ячейки. Вычисляются Гл (/), Гл (I) и Q (0 и полученные значения выво-
дятся на печать. Заканчивается цикл прогнозирования по старым исходным
значениям, и осуществляется переход к новым исходным значениям.
На рис. 58 и 59 приведены блок-схемы программ прогнозирования
с использованием аппарата линейной экстраполяции. После ввода и перевода
данных вычисляется математическое ожидание тх и центрированные зна-
чения контролируемого параметра х (Ц). Затем вычисляется дисперсия Dx
и корреляционная функция Вх (т), которая далее нормируется. Затем под-
готовляется корреляционная матрица и определяются неизвестные значения
коэффициентов Как отмечалось выше, при осуществлении нелинейной
экстраполяции объем вычислений значительно возрастает. Одновременно
точность полученных результатов снижается.
Таким образом, в период проектирования сложных систем можно
предсказать характер изменений контролируемых параметров
за время эксплуатации этих систем. Если условия эксплуатации
системы изменяются с течением времени известным образом, то
задача; может быть решена аналогичными способами, только шаг .
прогнозирования в этом случае меняется в зависимости от харак-
тера изменений условий эксплуатации. Если задан только диапа- {
зон возможных изменений в условиях эксплуатации, то задача I
решается вероятностным прогнозированием.
138
t
1. Организация цикла по t
|	2. Выборка ti в рабочие ячейки	1	|	30. Конец цикла по t	
1					
*	3. Перевод в десятичную систему счисления. Печать. Пропуск строки на БПМ			
			
4. Выборка Pi_5 в рабочие ячейки	j	I	27. Пропуск строки БПМ	
>|г			
|	5. Организация цикла Ke 1 по р	|			
-		-	
6. Выборка Ру в рабочие ячейки по Кв 1	<—	26. Конец цикла Кв 1	|	
		t	
|	7. Организация цикла Кв 2 по р	1 1		1
	1	25. Изменение цикла Кв 2 |	
8. Формирование константы и организация команды цикла Кв 3			
			
|	9. Выборка ру в рабочие ячейки по Кв 2	|	1 1	24. Конец цикла Кв 2	|	
		f	
10. Формирование константы и организация команды цикла Кв 4		23. Изменение цикла Кв 3	
4		t	
|	11. Выборка Ру в рабочие ячейки по Кв 3	<-|		22. Конец цикла Кв 3 j	
12. Формирование константы и организация команды
цикла № 5
_____________t___________
21.	Измене 1ие цикла
№ 4
t
4
|	13. Выборка ру в рабочие ячейки по Кв 4	|	<— |	20. Конец цикла Кв 4
	4	 	t		
|	14. Выборка ру в рабочие ячейки по Кв 5	|	| 19. Изменение цикла Кв 5
	£	 	f	
|	15. Вычисление Кп	|	—j	18. Конец цикла Кв 5
	
|	16. Анализ Кп	|		
1	
17. Перевод Кп в десятичную систему счисления.			
Печать	
Рис. 56. Блок-схема программы решения для ЭВЦМ «Минск-2».
7*
139
Рис. 57. Блок-схема программы прогнозирования.
140
Рис. 58. Блок-схема программы
прогнозирования с помощью аппа-
рата линейной экстраполяции.
Рис 59. Блок-схема программы прогно-
зирования с помощью нелинейной
экстраполяции.
141
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица П-1
Таблица коэффициентов Лагранжа
\ и т \	1		2			3			
	^0		^0		L.,	Д-0			^3
1	—1	2	1	—3	3	-1	4	-6	4
2	-2	3	3	-8	6	—4	15	—20	10
3	-3	4	6	-15	10	—10	36	—45	20
4	-4	5	10	—24	15	—20	70	-84	35
5	-5	6	15	-35	21	—35	120	—140	56
6	-6	7	21	—48	28	-56	189	—216	84
7	—7	8	28	-63	36	—84	280	-315	120
8	-8	9	36	-80	45	-120	396	—440	165
9	-9	10	45	—99	55	-165	540	-594	220
10	-10	11	55	-120	66	—220	715	—780	286
11	-11	12	66	— 143	78	—286	924	-1 001	364
12	-12	13	78	—168	91	—364	1 170	—1 260	455
13	-13	14	91	— 195	105	-455	1 456	— 1 560	560
14	-14	15	105	—224	120	-560	1 785	— 1 904	680
15	-15	16	120	—255	136	—680	2 160	—2 295	816
16	-16	17	136	—288	153	—816	2 584	—2 736	969
17	-17	18	153	—323	171	—969	3 060	—3 230	1140
18	—18	19	171	—360	190	— 1140	3 590	—3 780	1330
19	-19	20	190	—399	210	—1330	4 180	—4 389	1540
20	-20	21	210	—440	231	—1540	4 830	—5 060	1771
21	—21	22	231	—483	253	—1771	5 544	—5 796	2024
22	—22	23	253	—528	273	—2024	6 325	—6 600	2300
23	—23	24	276	—575	300	—2300	7 176	—7 465	2600
24	—24	25	300	—624	325	—2600	8 100	—8 424	2925
25	—25	26	325	—675	351	—2925	9 100	—9 450	3276
26	—26	27	351	—728	378	—3276	10 179	—10 556	3654
27	—27	28	378	—783	406	—3654	11 340	-11 745	4060
28	—28	29	406	—840	435	-4060	12 583	—13 020	4495
29	—29	30	435	-899	465	—4495	13 920	—14 384	4960
30	—30	31	465	-960	496	—4960	15 345	—15840	5456
142
Таблица П-2
Таблица коэффициентов Ньютона
гп	М		Хз	т		ЛГ2		т	М	Лг3	М
1	1	1	1	11	11	66	286	21	21	231	1771
2	2	3	4	12	12	78	364	22	22	253	2024
3	3	6	10	13	13	91	455	23	23	276	2300
4	4	10	20	14	14	105	560	24	24	300	2600
5	5	15	35	15	15	120	680	25	25	325	2925
6	6	21	56	16	16	136	816	26	26	351	3276
7	7	28	84	17	17	153	969	27	27	378	3654
8	8	36	120	18	18	171	1140	28	28	406	4060
9	9	45	165	19	19	190	1330	29	29	435	4495
10	10	56	220	20	20	210	1540	30	30	465	4960
Таблица П-3
Таблица коэффициентов gu
Степень полинома	Значение 1	Значение 1			
		0	1	2	3
0	0	1						
1	0	1	0	—	—
	1	1	—1	__	—
2	0	1	0	0	—
	1	3/2	—2	1/2	—
	2	1/2	—1	1/2	—
3	0	1	0	0	0
	1	11/6	—3	3/2	-1/3
	2	1	—5/2	2	—1/2
	3	1/6	—1/2	1/2	-1/6
Таблица П-4
Таблица коэффициентов Тейлора
in	бх	%	б3	т	01	09	0з	т	01		02
1	1	0,5	0,17	11	11	60,5	221,83	21	21	220,5	1543,50
2	2	2,0	1,33	12	12	72,0	288,00	22	22	242,0	1775,00
3	3	4,5	4,50	13	13	84,5	366,17	23	23	264,5	2028,33
4	4	8,0	10,67	14	14	98,0	486,00	24	24	288,0	2303,33
5	5	12,5	20,83	15	15	112,5	562,50	25	25	312,5	2603,33
6	6	18,0	36,00	16	16	128,0	682,67	26	26	338,0	2930,00
7	7	24,5	75,17	17	17	144,5	818,83	27	27	364,5	3281,50
8	8	32,0	85,33	18	18	162	972,00	28	28	392,0	3659,00
9	9	40,5	121,50	19	19	180,5	1143,17	29	29	420,5	4065,13
10	10	50,0	166,67	20	20	200,0	1333,33	30	30	450,0	4500,00
143
Таблица П-5
Формулы для определения а/
	Коэффициенты		
		Д|	<h
1	/-1 п	п аз2 i = l	i = l	п “4 2 UlX М i-l п i=i	п	п аЪ 2 (Q ~ а4 2 Х (Q Z=1	i = l Таблица П-6
Значения
и	i ! •'	а..		а.	«5
3	При нечетном числе наблюдений				
	0,3333	0,5000	0,0100	1,000	1,5000
5	0,2000	0,1000	0,0048	0,1428	0,0714
7	0,1428	0,0357	0,0033	0,0476	0,0119
9	0,1111	0,0166	0,0025	0,0216	0,0032
И	0,0909	0,0091	0,0021	0,116	0,0012
		При четном числе наблюдений			
4	0,2500	0,0500	0,6406	0,0781	0,0156
6	0,1666	0,0142	0,3945	0,0195	0,0016
8	0,1250	0,0059	0,2890	0,0078	0,0004
10	0,1000	0,0030	0,2289	0,0039	0,0001
12	0,0833	0,0017	0,1897	0,0022	0,0001
Значения u=f(n, т)
Таблица П-7
п т \	3	4	5	6	7	8	9	10	и	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	2	5	3	7	4	9	5	11	6	13	7	15	8	17	9	19	10	21
2	3	7	4	9	5	11	6	13	7	15	8	17	9	19	10	21	11	23
3	4	9	5	11	6	13	7	15	8	17	9	19	10	21	11	23	12	25
4	5	11	6	13	7	15	8	17	9	19	10	21	11	23	12	25	13	27
5	6	13	7	15	8	17	9	19	10	21	11	23	12	25	13	27	14	29
6	7	15	8	17	9	19	10	21	11	23	12	25	13	27	14	29	15	31
7	8	17	9	19	10	21	11	23	12	25	13	27	14	29	15	31	16	33
8	9	19	Ю	21	11	23	12	25	13	27	14	29	15	31	16	33	17	35
9	10	21	И	23	12	25	13	27	14	29	15	31	16	33	17	35	18	37
10	11	23	12	25	13	27	14	29	15	31	16	33	17	35	18	37	19	39
11	12	25	13	27	14	29	15	31	16	33	17	35	18	37	19	39	20	41
12	13	27	14	29	15	31	16	33	17	35	18	37	19	39	20	41	21	43
13	14	29	15	31	16	33	17	35	18	37	19	39	20	41	21	43	22	45
14	15	31	16	33	17	35	18	37	19	39	20	41	21	43	22	45	23	47
144
Продолжение табл. П-7
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12 | 13
14
15
16
17
18
19
20
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
33
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
35
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
37
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
19
20
21
22
43
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
39
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
41
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
43
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
45
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
47
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
49
51
53
55
57
59
61
63
65
67
69
71
73
75
77
79
Значения
<Pi
(л, т)
Таблица
П-8
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
28
27
28
29
30
31
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
3
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
И
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
3,5
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5.
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
4,5
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
31
5,5
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
6,5
7,5
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
35,5
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
35,5
36,5
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26‘
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
8,5
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
35,5
36,5
37,5
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
9,5
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
28,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
35,5
36,5
37,5
38,5
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
10,5
11,5
12,5
13,5
14,5
15,5
16,5
17,5
18,5
19,5
20,5
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
26,5
27,5
23,5
29,5
30,5
31,5
32,5
33,5
34,5
35,5
36,5
37,5
38,5
39,5
145
Таблица П-9
4Ь
CD
Значения cp2 (n, m)
X. я m \	3	4	5	6	7	1 8	9	10	11	12	13	14	15
1	3,3	5	7	9,3	12	15	18,3	22	26	30,3	35	40	45,3
2	8,3	11	14	17,3	21	25	29,3	34	39	44,3	50	56	62,3
3	15,3	19	23	27,8	32	37	42,3	48	54	60,3	67	74	81,3
4	24,3	29	34	39,3	45	51	57,3	64	71	78,3	86	34	102,3
5	35,3	41	47	53,3	60	67	74,3	82	90	98,3	107	116	125,3
6	48,3	55	62	69,3	77	85	93,3	102	111	120,3	130	140	150,3
7	63,3	71	79	87,3	96	105	114,3	124	134	144,3	155	166	177,3
8	80,3	89	98	107,3	117	127	137,3	148	159	170,3	182	194	206,3
9	99,3	109	119	129,3	140	151	162,3	174	186	198,3	211	224	237,3
10	120,3	131	142	153,3	165	177	189,3	202	215	228,3	242	256	270,3
11	143,3	155	167	179,3	192	205	218,3	232	246	260,3	275	290	305,3
12	168,3	181	194	207,3	221	285	249,3	264	279	294,3	310	326	342,3
13	195,3	209	223	237,3	252	267	282,3	298	314	330,3	347	364	381,3
14	224,3	239	254	269,3	285	301	317,3	334	351	368,3	386	404	422,3
15	255,3	271	287	303,3	320	337	354,3	372	390	408,3	427	446	465,3
16	288,3	305	322	339,3	357	375	393,3	412	431	450,3	470	490	510,3
17	323,3	341	359	377,3	396	415	434,3	454	474	494,3	515	536	557,3
18	360,3	379	398	417,3	437	457	477,3	498	519	540,3	562	584	606,3
19	399,3	419	439	459,3	480	501	522,3	514	566	588,3	611	634	657,3
20	440,3	461	482	503,3	525	547	569,3	592	615	638,3	662	686	710,3
21	483,3	505	527	549,3	572	595	618,3	642	666	690,3	715	740	765,3
22	528,3	551	574	597,3	621	645	669,3	694	719	744,3	770	796	822,3
23	575,3	599	623	647,3	672	697	722,3	748	774	800,3	827	854	881,3
24	624,3	649	674	699,3	725	' 751	777,3	804	831	858,3	886	914	942,3
25	675,3	701	727	753,3	780	807	834,3	862	890	918,3	947	976	1005,3
26	728,3	755	782	809,3	837	865	893,3	922	951	980,3	1010	1040	1070,3
27	783,3	811	839	867,3	896	925	954,3	1984	1014	1044,3	1075	1106	1137,3
28	840,3	869	898	927,3	957	987	1017,3	1048	1079	1110,3	1142	1174	1206,3
29	899,3	929	959	989,3	1020	1051	1089,3	1114	1146	1178,3	1211	1244	1277,3
30	960,3	991	1022	1053,3	1085	1117	1149,3	1182	1215	1248,3	1282	1316	1350,3
Таблица П-10
Значения интеграла вероятности Ф (z)
г	Ф (Z)	Z	Ф(г)	Z	Ф (г)	Z	Ф(г)
0,00	0,0000	0,45	0,3473	0,90	0,6319	1,35	0,8230
01	0,0080	46	0,3545	91	0,6372	36	0,8262
02	0,0160	47	0,3616	92	0,6424	37	0,8293
03	0,0239	48	0,3688	93	0,6476	38	0,8324
04	0,0319	49	0,3759	94	0,6528	39	0,8355
0,05	0,0399	0,50	0,3829	0,95	0,6579	1,40	0,8385
06	0,0478	51	0,3899	96	0,6629	41	0,8415
07	0,0558	52	0,3969	97	0,6680	42	0,8444
08	0,0638	53	0,4039	98	0,6729	43	0,8473
09	0,0717	54	0,4108	99	0,6778	44	0,8501
0,10	0,0797	0,55	0,4177	1,00	0,6827	1,45	0,8529
11	0,0876	56	0,4245	01	0,6875	46	0,8557
12	0,0955	57	0,4313	02	0,6923	47	0,8584
13	0,1034	58	0,4381	03	0,6970	48	0,8611
14	0,1113	59	0,4448	04	0,7017	49	0,8638
0,15	0,1192	0,60	0,4515	1,05	0,7063	1,50	0,8664
16	0,1271	61	0,4581	06	0,7109	51	0,8690
17	0,1350	62	0,4647	07	0,7154	52	0,8715
18	0,1428	63	0,4713	08	0,7199	53	0,8740
19	0,1507	64	0,4778	09	0,7243	54	0,8764
0,20	0,1585	0,65	0,4843	1,10	0,7287	1,55	0,8789
21	0,1663	66	0,4907	И	0,7330	56	0,8812
22	0,1741	67	0,4971	12	0,7373	57	0,8836
23	0,1819	68	0,5035	13	0,7415	58	0,8859
24	0,1897	69	0,5098	14	0,7457	59	0,8882
0,25	0,1974	0,70	0,5161	1,15	0,7499	1,60	0,8904
26	0,2051	71	0,5223	16	0,7540	61	0,8926
27	0,2128	72	0,5285	17	0,7580	62	0,8948
28	0,2205	73	0,5346	18	0,7620	63	0,8969
29	0,2282	74	0,5407	19	0,7660	64	0,8990
0,30	0,2358	0,75	0,5467	1,20	0,7699	1,65	0,9011
31	0,2434	76	0,5527	21	0,7737	66	0,9031
33	0,2510	77	0,5587	22	0,7775	67	0,9051
33	0,2586	78	0,5646	23	0,7813	68	0,9070
34	0,2661	79	0,5705	24	0,7850	69	0,9090
0,35	0,2737	0,80	0,5763	1,25	0,7887	1,70	0,9109
36	0,2812	81	0,5821	26	0,7923	71	0,9127
37	0,2886	82	0,5878	27	0,7959	72	0,9146
38	0,2961	83	0,5935	28	0,7995	73	0,9164
39	0,3035	84	0,5991	29	0,8029	74	0,9181
0,40	0,3108	0,85	0,6047	1,30	0,8064	1,75	0,9199
41	0,3182	86	0,6102	31	0,8098	76	0,9216
42	0,3255	87	0,6157	32	0,8132	77	0,9233
43	0,3328	88	0,6211	33	0,8165	78	0,9249
44	0,3401	89	0,6265	34	0,8198	79	0,9265
0,45	0,3473	0,90	0,6319	1,35	0,8230	1,80	0,9281
147
Продолжение табл. П-10
Z	Ф(г)	Z	Ф(г)	Z	Ф(г)	Z	Ф (Z)
1,80	0,9281	1,95	0,9488	2,50	0,9876	3,50	0,99953
81	0,9297	96	0,9500	55	0,9892	60	0,99968
82	0,9312	97	0,9512	60	0,9907	70	0,99978
83	0,9328	98	0,9523	65	0,9920	80	0,99986
84	0,9342	99	0,9534	70	0,9931	90	0,99990
1,85	0,9357	2,00	0,9545	2,75	0,9940	4,00	0,99994
86	0,9371	05	0,9596	80	0,9949	4,417	1—10“5
87	0,9385	10	0,9643	85	0,9956		1	1 л—6
88	0,9399	15	0,9684	90	0,9963	4,892	1—10
89	0,9412	20	0,9722	95	0,9968	5,327	1-Ю’7
1,90	0,9426	2,25	0,9756	3,00	0,99730		
91	0,9439	30	0,9786	10	0,99806		
92	0,9451	35	0,9812	20	0,99863		
93	0,9464	40	0,9836	30	0,99903		
94	0,9476	45	0,9857	40	0,99933		
1,95	0,9488	2,50	0,9876	3,50	0,99953		
Таблица П-11
Значения функции Стьюдента S (г)
\$ 2 \	2	3	4	5	6	7	8	9	10	и	12	13
0,0	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500	0,500
0,1	582	0,535	537	537	538	538	538	539	539	539	539	539
0,2	563	570	573	574	575	576	576 >	577	577	577	577	577
0,3	593	604	608	610	612	613	614	614	614	615	615	615
0,4	621	636	642	645	647	648	650	650	651	651	652	652
0,5	648	667	674	678	688	683	684	685	686	686	686	687
0,6	672	695	705	710	713	715	716	717	718	719	720	720
0,7	694	744	733	739	742	745	747	748	749	750	751	751
0,8	715	746	759	766	770	773	775	777	778	779	780 ,	780
0,9	733	768	783	790	795	799	801	803	804	805	806	807
1,0	750	789	804	813	818	822	825	827	828	830	831	832
1,1	765	807	824	834	839	843	846	848	850	851	853	854
1,2	779	824	842	852	858	862	865	868	870	871	872	873
1,3	791	838	858	868	875	879	883	885	887	889	890	891
1,4	803	852	872	883	890	894	898	900	902	904	906	907
1,5	813	864	885	896	903	908	911	914	916	918	909	920
1,6	822	875	896	908	915	920	923	926	928	930	931	932
1,7	831	884	906	918	925	930	934	936	938	940	941	943
1,8	839	893	915	927	934	939	943	945	947	949	950	952
1,9	846	901	923	935	942	947	950	953	955	957	958	959
2,0	0,852	908	930	942	949	954	957	960	962	963	965	967
2,2	864	991	942	954	960	965	968	970	972	974	975	976
2,4	874	931	952	963	969	973	976	978	980	981	982	983
2,6	883	939	960	970	976	980	982	984	986	987	988	988
2,8	891	946	966	976	981	984	987	998	990	991	991	992
3,0	898	952	971	980	985	988	990	991	992	993	994	994
3,5	911	964	980	988	991	994	993	996	997	997	998	998
4,0	922	971	986	992	995	996	997	998	998	999	999	999
4,5	930	977	989	995	997	998	998	999	999	999	1,000	1,000
5,0	937	981	992	996	998	999	999	999		1,000	—	—
5,5	943	984	994	997	999	999		1,000	—		—*	
6,0	947	987	995	998	—		—		—			
ЛИТЕРАТУРА
1.	Б л инов И. Н., Моз га леве к и й А. В., Выбор параметров
для автоматического обнаружения неисправностей, «Автоматика и телеме*
ханика», 1965, № 10.
2.	Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, Гос-
техиздат, 1950.
3.	К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, Физматгиз, 1962.
4.	Б л и н о в И. Н., Аналитические представления решения системы
линейных дифференциальных уравнений с почти-периодическими коэффи-
циентами, зависящими от параметра, «Дифференциальные уравнения», т. 1,
№ 8, «Наука и техника», Минск, 1965.
5.	Л е в ш е ц С., Геометрическая теория дифференциальных уравне-
ний, Изд-во иностр, лит., 1962.
6.	Винцент Дель Торо, Сидней Р. Паркер,
Принципы проектирования систем автоматического управления, Машгиз,
1963.
7.	М э з о н С., Циммерман Г., Электронные цепи, сигналы
и системы, Изд-во иностр, лит., 1963.
8.	Г у т е р Р. С., О в ч и н с к и й Б. В., Элементы численного ана-
лиза и математической обработки результатов опыта, Физматгиз, 1962.
9.	В е н т ц е л ь Е. С., Теория вероятностей, Физматгиз, 1958.
10.	Юл Э. Дж., Кен дел М. Дж., Теория статистики, Госстат-
издат, 1960.
11.	Вершинин Н. И., ВерцайзерВ. Л., Яковлев В. М.,
Автоматический контроль, «Энергия», 1965.
12.	Карандеев К. Б. и др., Электрические методы автомати-
ческого контроля, «Энергия», 1965.
13.	Ш е н б р о т И. М., Централизованный контроль технологических
процессов, Госэнергоиздат, 1961.
14.	Мозгалевский А. В., Гаскаров Д. В., Глазу-
нов Л. П., Ерастов Д. В., Автоматический поиск неисправностей,
«Машиностроение», 1967.
15.	Дружинин Г. В., Надежность устройств автоматики, «Энер-
гия», 1964.
16.	Г а с к а р о в Д. В., Мозгалевский А. В., Прогнозиро-
вание изменения состояния автоматической системы, Известия вузов, «При-
боростроение», т. VIII, № 6, 1965.
17.	Определение статистических характеристик стационарных случай-
ных процессов с помощью серийных аналоговых ЭВМ, Передовой научно-
технический и производственный опыт, № 5^65-1964/37, ГОСИНТИ, 1965.
18.	Полупроводниковый прибор для измерения среднеквадратического
отклонения, Передовой научно-технический и производственный опыт,
№ 4-65-1988/65, ГОСИНТИ, 1965.
19.	О б р а з ц о в В. В., Релейные устройства с диодными сетками,
«Энергия», 1967.
20.	Ф и х т е н г о л ь ц Г. М., Курс дифференциального и интеграль-
ного исчисления, т. I, II, III, «Наука», 1966.
21.	М а л к и н И. Г., Теория устойчивости движения, «Наука», 1966.
149
22.	В e I 1 е г t S., Topological analysis and synthesis of Piqear sistems,
J. of the Franklin Inst., 1962, Dec. vol. 274, № 6, p. 425—443.
23.	Б я л и к И. Г., Усилители звуковой частоты на транзисторах,
«Энергия», 1965.
24.	Г а с к а р о в Д. В., Моз г а ле вс кий А. В., Некоторые
технические приложения метода экстраполяции при помощи полиномов,
«Радиотехника», 1967, № 2.
25.	О р д ы н ц е в В. М., Математическое описание объектов автома-
тизации, «Машиностроение», 1965.
26.	Бендриков Г. А., Теодорчик К. Ф., Траектории кор-
ней линейных автоматических систем, «Наука», 1964.
27.	В о р о н о в А. А., Элементы теории автоматического регулирова-
ния, Воениздат, 1954.
28.	Смирнов Н. В., Дунин-Барковский И. В., Краткий
курс математической статистики для технических приложений, Физмат-
гиз, 1959.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие......................................................... 3
Г лава первая. Общие	вопросы	автоматического контроля	5
§ 1.	Основные	определения ....................................—
§ 2.	Классификация методов решения основных задач автоматиче-
ского контроля ............................................... 6
§ 3.	Принципы построения программ автоматического контроля
сложных электромеханических систем............................10
Глава вторая. Условия работоспособности автоматических систем . . . 13
§ 4.	Общие положения ..........................................—
§ 5.	Анализ в комплексной плоскости для определения области
допустимых изменений характеристик автоматической си-
стемы ........................................................14
§ 6.	Определение области допустимых деформаций амплитудно-
фазовой характеристики системы................................17
Глава третья. Определение работоспособности автоматических систем 25
§ 7.	Выбор параметров для определения работоспособности
автоматических систем........................................—
§ 8.	Определение работоспособности одноконтурной системы 31
§ 9.	Определение работоспособности многоконтурной системы 38
§ 10.	Некоторые особенности определения работоспособности
нелинейной системы...........................................47
§ 11.	Определение работоспособности систем с помощью эквива
лентной модели...............................................49
Глава четвертая. Обнаружение неисправностей в алектрических систе-
мах по деформации контрольного сигнала..............................52
§ 12.	Анализ чувствительности функций передач для выбора конт
ролируемых параметров при обнаружении неисправностей	—
§ 13.	Непосредственный анализ чувствительностей функций пе-
редач для выбора контролируемых параметров при об-
наружении неисправностей.....................................61
§ 14.	Обнаружение неисправностей в магнитном усилителе .... 66
Г лава пятая. Аналитическое и вероятностное прогнозирование .... 68
§ 15.	Постановка задачи ................................  .	. —
§ 16.	Аналитическое прямое прогнозирование....................71
§ 17.	Методы прямого вероятностного прогнозирования .... 80
§ 18.	Обратное прогнозирование................................93
Глава шестая. Автоматические устройства контроля....................97
§ 19.	Специфика автоматизации процессов контроля...............—
151
§ 20.	Устройство автоматического определения работоспособно-
сти .................................................100
§ 21.	Устройства автоматического прогнозирования.... 103
Глава седьмая. Вопросы проектирования контролируемых автоматиче-
ских систем................................................114
§ 22.	Общие положения..................................—
§ 23.	Колебательный характер изменения параметров......—
§ 24.	Монотонный характер изменения параметров.......120
§ 25.	Вероятностный анализ при учете изменения параметров
системы..............................................127
§ 26.	Применение электронно-вычислительных машин при про-
ектировании контролируемых систем....................134
Приложение ................................................142
Литература.................................................149
Научный редактор Э. П. Чернышев
Редактор Б. И. Леонова
Художественный редактор Г. А. Гудков
Технический редактор О. С. Житникова
Корректор М. Э. Орешенкова
БЛИНОВ ИГОРЬ НИКОЛАЕВИЧ
ГАСКАРОВ ДИЛЯУР ВАГИЗОВИЧ
МОЗГАЛЕВСКИЙ АНДРЕЙ ВАСИЛЬЕВИЧ
АВТОМАТИЧЕСКИЙ
КОНТРОЛЬ СИСТЕМ
УПРАВЛЕНИЯ
Сдано в производство 25/IV 1968 г.
Подписано к печати 9/VII 1968 г. М-12728.
Печ. л. 9,5. Уч.-изд. л. 9,7. Бум. л. 4,75.
Бумага типографская № 1, 60Х90М1в.
Тираж 10.000. Цена 66 коп. Заказ 869.
Ленинградское отделение издательства
«Энергия», Марсово поле, 1
Ленинградская типография № 4 Главполиграф-
прома Комитета по печати при Совете
Министров СССР,
Социалистическая, 14.
Цена 66 коп.