/
Author: Айзерман М.А.
Tags: автоматизация автоматизация технологических процессов теория автоматического управления
Year: 1956
Text
М. А. АЙЗЕРМАН
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ
АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОП ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1956
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора................................................. 7
Глава I. Общие сведения об автоматических регуляторах 9
§ 1. Общие соображения о процессах регулирования. Тер-
минология .......................................... 9
§т2. Простейшие системы прямого регулирования........ 14
§ 3. Астатические регуляторы непрямого действия...... 23
§ 4. Жесткая обратная связь. Статические регуляторы не-
прямого действия................................... . . 29
§ 5. Изодромная обратная связь.................... 37
§ 6. Воздействия по производным................... 42
§ 7. Связанное регулирование...................... 45
Глава II. Получение исходного материала для расчета
системы регулирования.............................. 49
§ 1. Расчленение системы на элементы.............. 51
§ 2. Статические характеристики элемента и системы ... 59
§ 3. Уравнения элементов системы.................. 67
§ 4. Линейная модель элемента. Линеаризация уравнений 84
§ 5. Классификация линейных моделей элементов. Соб-
ственный оператор и оператор воздействий. Типовые
элементы (звенья) ..................................... 91
§ 6. Передаточная функция линейной модели системы. Со-
ставление ее по уравнениям линейной модели элементов 94
§ 7. Статика линейной модели системы автоматического ре-
гулирования. Передаточные функции статических
и астатических систем................................ 102
§ 8. Частотные характеристики линейного элемента и линей-
ной модели системы................................... 1('4
§ 9. Заключительные замечания. 143
Глава III. Устойчивость систем автоматического регу-
лирования ........................................ 145
§ 1. Суждение об устойчивости линейной модели системы
по ее передаточной функции.......................... 146
§ 2. Суждение об устойчивости системы по частотным ха-
рактеристикам ........................................ 182
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Общие свойства некоторых классов систем автоматиче-
ского регулирования, связанные с условиями их устой-
чивости ........................................... ... 194
§ 4. Суждение об устойчивости исходной системы по устой-
чивости ее линейной модели............................. 219
§ 5. Заключительные замечания.......................... 224
Глава IV. Построение и оценка процессов регулирова-
ния в линеаризованных системах...................... 227
§ 1. Общие соображения.........•....................... 227
§ 2. Построение процесса по заданной передаточной функ-
ции системы........................................ ... 232
§ 3. Графический метод построения процесса регулирования 242
§ 4. Построение процесса регулирования по частотным ха-
рактеристикам системы................................. 256
§ 5. Общие сведения о косвенных оценках процесса регули-
рования. Степень устойчивости ......................... 276
§ 6. Интегральные оценки .............................. 283
§ 7. Оценки процесса по виду частотных характеристик 298
§ 8. Заключительные замечания.......................... 305
Глава V. Автоколебания и вынужденные колебания
в нелинейных системах автоматического регулиро-
вания .............................................. 308
§ 1. Общие сведения о периодических режимах в нелиней-
ных системах........................................... 308
§ 2. Условия, при которых периодические режимы близки
к гармоническим........................................ 312
§ 3. Приближенное определение автоколебаний методом гар-
монического баланса.................................... 320
§ 4. Приближенное определение вынужденных колебаний
при наличии внешнего периодического воздействия ме-
тодом гармонического баланса........................... 331
§ 5. Системы, содержащие несколько нелинейностей .... 336
§ 6. Устойчивость «в малом» приближенно найденных пе-
риодических решений............................... 339
§ 7. Точное определение периодических режимов в систе-
мах, содержащих реле 342
§ 8. Некоторые сведения о фазовом пространстве динами-
ческих систем 352
§ 9. Заключительные замечания............................. 372
Приложение 1. Преобразование Лапласа и Фурье и их
приложение к интегрированию систем линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами .............................................. 375
§ 1. Общее представление о преобразовании Лапаса .... 375
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 2. Интегрирование одного дифференциального уравнения 378
§ 3. Интегрирование системы линейных дифференциальных
уравнений........................................ 387
§ 4. Преобразование и интеграл Фурье................ 391
Приложение 2. Таблица интегральных синусов Si ж,
тригонометрических фунций для углов, выражен-
, „ ~ sin ж cos ж
ных в радианах, и функции е~ж, -----,------ • • . 395
ж ж
Библиография........................................ 401
Предметный указатель..............•................. 423
ОТ АВТОРА
В основу этой книги положены лекции, которые автору
пришлось в течение более чем десяти лет читать научным
работникам и инженерам ряда отраслевых научно-иссле-
довательских институтов, конструкторских бюро и заво-
дов Москвы. Слушатели автора не были специалистами
в области автоматического регулирования. Они имели
большой опыт работы в иных областях техники и лишь
осваивали технику регулирования. Убедившись в необ-
ходимости знать хотя бы основы теории автоматического
регулирования, чтобы целеустремленно конструировать
и отлаживать регуляторы, слушатели просили автора
из обширного материала, накопленного теорией регулиро-
вания, отобрать и включить в лекции далеко не все, а лишь
самое важное для практического использования. Выпол-
няя эту просьбу, автор, разумеется, мог и ошибиться
в подборе материала. Он исходил из своего опыта, опыта
и советов своих слушателей, но точки зрения, привычки
и вкусы не могли не сказаться на содержании лекций.
Только время и опыт практического использования по-
зволят обоснованно отделить главное от второстепенного.
Книга посвящена теории, а не технике регулирования.
Поэтому основые сведения о регуляторах изложены в пер-
вой главе очень коротко, в объеме, достаточном только
для понимания содержания остальных глав.
Изложение рассчитано на читателей, знакомых с тео-
рией преобразований Лапласа и Фурье. Для читателей,
не знакомых с этой теорией, она в объеме, необходимом для
понимания книги, изложена в приложении 7, с которого
и следует в таком случае начинать чтение книги. Примеры
и некоторые второстепенные пояснения набраны петитом
и могут быть опущены при первом чтении.
8
ОТ АВТОРА
Список литературы составлен отдельно для каждой
главы и содержит как источники, так и литературу, ко-
торая может быть полезна читателю для углубленного
изучения теории автоматического регулирования. В спи-
сок включены главным образом работы, опубликованные
в СССР или переведенные на русский язык. Из числа
иностранных работ, не переведенных на русский язык,
в список включены лишь непосредственные источники,
так как полный перечень работ, посвященных излагае-
мым в книге вопросам и опубликованным на всех язы-
ках, почти удвоил бы объем книги. Ссылок на источники
в тексте нет, и вопросов истории теории регулирования
автор не касался; в противном случае автору пришлось
бы по ходу изложения упомянуть сотни работ, а это
нарушило бы связность изложения и вряд ли было бы
уместно в курсе лекций подобного рода. Читатель, желаю-
щий проследить историю развития тех или иных из изла-
гаемых в книге идей, найдет по этому поводу обширный
материал и все необходимые ссылки в обстоятельных
монографиях, перечисленных в списке литературы.
Автор благодарен Я. 3. Цыпкину, Ю В. Долголенко,
А. Я. Лернеру за замечания, сделанные при просмотре
рукописи, а Ю. В. Крементуло, Ю. И. Островскому
и Е. А. Андреевой—за помощь при подготовке книги к
печати.
ГЛАВА I
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ
РЕГУЛЯТОРАХ
§ 1. Общие соображения о процессах регулирования.
Терминология
Автоматическим регулированием называется процесс
поддержания или изменения по заданным условиям ка-
кой-либо величины в машинах, аппаратах или иных тех-
нических устройствах, осуществляемый без непосредствен-
ного участия человека, с помощью специально для этой
цели присоединяемых приборов—автоматических регуля-
торов.
Установленный режим машины или иного техническо-
го устройства обычно нарушается внешними воздействия-
ми. Их называют возмущениями. Какова бы ни была при-
рода этих возмущений, их вредное действие на процесс
должно быть скомпенсировано соответствующим управ-
ляющим воздействием регулятора. Так, например, постоян-
ство оборотов, развиваемых любым двигателем, нарушает-
ся изменением внешней нагрузки и должно поддерживаться
за счет компенсирующего это изменение нагрузки воз-
действия на органы, дозирующие подвод пара, топлива
и т. д.; постоянство температуры в помещении нарушается
при изменении условий теплообмена и должно компенси-
роваться изменением интенсивности обогрева помещения;
курс самолета нарушается порывами ветра, воздушными
ямами и другими изменениями условий полета и должен
поддерживаться воздействиями на рули и т. д.
Для поддержания постоянства какой-либо величины
можно было бы замерять внешние возмущения и воздей-
ствовать на машину в зависимости от этих замеров. Такой
10 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
путь стабилизации процесса,—он называется автомати-
ческой компенсацией,—применяется иногда, но этот путь
непрактичен в тех случаях, когда источники возмущений
могут быть самыми разнообразными для одной и той же
машины. Далеко не всегда можно предусмотреть все воз-
можные источники возмущений, и часто они находятся
внутри самой машины (например, изменение условий смаз-
ки, теплового режима и т. д.). Во многих же случаях упра-
вление процессом только путем автоматической компен-
сации вообще невозможно.
Регулируемая величина
Фиг. 1.
Значительно чаще для поддержания постоянства ка-
кой-либо величины вместо замера самых разнообразных
возмущений ограничиваются замером отклонения от за-
данного значения величины, которую необходимо регули-
ровать, и воздействуют на машину в зависимости от этого
замера. При такой организации системы управления ма-
шиной можно обойтись одним измерителем при наличии
любого числа самых разнообразных возмущений. Разу-
меется, замеряемая величина не может при этом поддер-
живаться абсолютно точно, так как только отклонение
величины от требуемого значения вызывает воздействие
на машину. В связи с этим оказывается существенным реа-
гировать на очень малые замеры, чтобы самые незначи-
тельные отклонения величины от требуемого значения,
чем бы. они ни были вызваны, могли оказать на машину
достаточное компенсирующее воздействие. Принципиаль-
§ 1] ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРОЦЕССАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ И
ная схема системы регулирования, построенной на этом
принципе, показана на фиг. 1.
Машина, аппарат или иное устройство, к которому
присоединяется регулятор для осуществления процесса
автоматического регулирования, называется регулируе-
мым объектом, а часть регулируемого объекта, на которую
воздействует регулятор,—регулирующим органом объек-
та. Величина, подлежащая регулированию, называется
регулируемой величиной или регулируемым параметром.
Чтобы осуществить воздействие на регулирующий
орган, регулятор должен содержать измерительное устрой-
ство, измеряющее отклонение регулируемого параметра
от заданного значения,—его называют чувствительным
элементом регулятора,—и устройство, с помощью которого
это заданное значение регулируемой величины может
быть установлено, —задающее устройство.
В том случае, когда чувствительный элемент регулятора
развивает при отклонении регулируемого параметра от
заданного значения усилие и энергию, достаточные для пе-
ремещения регулирующего органа с требуемой скоростью,
чувствительный элемент непосредственно соединяют с ре-
гулирующим органом. В этом случае регулятор называют
регулятором прямого действия. Благодаря исключитель-
ной простоте конструкции регуляторы прямого действия
до сих пор очень широко распространены, но область
применения их ограничена объектами, требующими не-
больших усилий для перемещения регулирующих органов
или допускающих применение чувствительных элементов,
развивающих относительно большое перестановочное уси-
лие. Во всех остальных случаях чувствительный элемент
регулятора используется лишь в качестве командного
прибора: сигнал с чувствительного элемента управляет
каким-либо усилителем (гидравлическим, пневматическим,
электронным, электромашинным и т. д.), в котором за
счет подвода энергии извне развивается усилие и мощ-
ность, достаточные для управления исполнительным
устройством.
Регулятор, включающий такого рода усилитель, назы-
вается регулятором непрямого действия.
Устройство регулятора непрямого действия, непосред-
ственно связанное с регулирующим органом и приводящее
12 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
его в движение, называется исполнительным устройством.
регулятора. Исполнительными устройствами служат раз-
личные электрические моторы, гидравлические и пневма-
тические приводы и т. д.
Выше указывалось уже, что ни один регулятор не мо-
жет точно выдержать заданное значение регулируемой
величины, так как по самому принципу действия регулятор
вступает в работу только после того, как процесс нарушил-
ся под действием того или иного возмущения. Изменение
регулируемого параметра во времени, происходящее в
результате какого-либо возмущения и вызванного этим
возмущением действия регулятора, называется процессом
регулирования. При проектировании регулятора прихо-
дится удовлетворять жесткие технические требования на
протекание процесса регулирования, так как от регулято-
ра зависит качество работы регулируемого объекта. Ре-
гулятор же обладает обычно склонностью к раскачиванию
процесса, нарушению его устойчивости*), которую пре-
одолевают в процессе проектирования и наладки регулято-
ра. Для обеспечения устойчивости регулирования и для
облегчения условий, при которых можно удовлетворить
высоким требованиям, предъявляемым техническими зада-
ниями к процессу регулирования, регулятор усложняют
введением различных устройств, специально предназна-
ченных для этой цели. Такими устройствами служат раз-
личные обратные связи, воздействия по производным, по
интегралу, форсировки, искусственно вводимые запаздыва-
ния или разрывы цепи воздействия и т. д. Все устройства по-
добного рода носят названия стабилизирующих устройств.
Если режим объекта нарушен каким-либо возмущением,
которое далее во времени сохраняет постоянное значение,
то регулятор может вернуть регулируемый параметр к
требуемому значению независимо от величины возмущения,
либо может^установить новое значение параметра, мало
отличающееся от старого (на величину статической ошиб-
ки) , но зависящее от величины остаточного возмущения.
В первом случае регулятор называется астатическим,
во втором—статическим по отношению к этому возмуще-
нию. Зависимость поддерживаемого регулятором значе-
♦) Определение термина «устойчивость» будет дано в главе III.
§ 1] ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ О ПРОЦЕССАХ РЕГУЛИРОВАНИЯ
13
ния регулируемого параметра от остаточной нагрузки
на регулируемый объект называется статической характе-
ристикой системы регулирования, В ряде случаев необхо-
димо астатическое регулирование, но часто можно доволь-
ствоваться статическим регулированием с малой статиче-
ской ошибкой. Статические регуляторы, как правило,
оказываются более устойчивыми, и высокое качество про-
цесса в них обеспечивается с помощью более простых, а сле-
довательно, и более дешевых стабилизирующих средств.
Иногда статическое регулирование необходимо для пра-
вильной работы объекта, например при регулировании
нескольких машин, работающих параллельно.
Все изложенное выше непосредственно относится к ре-
гуляторам, устанавливаемым для регулирования какой-
либо одной величины. В промышленной практике часто
приходится в одном и том же объекте регулировать не-
сколько величин. Если величины не связаны друг с другом
через объект, т. е. если отклонение каждого регулирующего
органа вызывает отклонение только одной регулируемой
величины и не вызывает отклонение остальных регулируе-
мых величин, то каждая из них регулируется своим регу-
лятором. Регуляторы, установленные на одном и том же
объекте, действуют в этом случае независимо друг от друга.
Часто приходится регулировать объекты, в которых
регулируемые величины взаимосвязаны. Отклонение од-
ного регулирующего органа в таких объектах вызывает
отклонение нескольких регулируемых величин. Если на
такой объект установить несколько независимых регуля-
торов, то срабатывание одного из регуляторов вызо-
вет отклонение остальных регулируемых величин, а в
результате—срабатывание остальных регуляторов. В та-
ких условиях регуляторы могут мешать друг другу.
Так, например, при регулировании паровой турбины
с промежуточным отбором пара на теплофикационные цели
устанавливается как регулятор угловой скорости ротора,
так и регуляторы давления пара в промежуточных камерах.
Изменение давления в одной из камер вызывает изменение
давления в остальных камерах и изменение угловой ско-
рости ротора. Наоборот, изменение нагрузки, приложен-
ной к ротору, меняет не только его угловую скорость, но
и давление пара.
14 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
В подобных случаях часто оказывается целесообразным
связывать отдельные регуляторы между собой в еди-
ную систему регулирования; В такой связанной системе
исполнительное устройство каждого регулятора управ-
ляет не одним, а несколькими или всеми регулирующи-
ми органами.
Подобные системы называются связанными. В связан-
ных системах процесс регулирования какой-либо одной
величины не может быть рассмотрен независимо от осталь-
ных величин и система в целом должна рассматриваться
как единый связанный комплекс. В ряде случаев связи
между отдельными регуляторами могут быть подобраны
так, чтобы отклонение одной из регулируемых величин
не вызывало отклонения остальных, несмотря на взаимо-
связь регулируемых величин через объект. Они компен-
сируются внешними связями, осуществленными между
регуляторами. Такие системы называются автономными.
В следующих параграфах на простейших примерах
будет продемонстрировано устройство автоматических регу-
ляторов основных типов. В качестве примеров использова-
ны главным образом регуляторы технологических процес-
сов. В специальных руководствах и курсах читатель найдет
много более сложных, но и более специальных примеров.
§ 2. Простейшие системы прямого регулирования
Первыми регуляторами, получившими широкое рас-
пространение, были регуляторы прямого действия.
Благодаря исключительной простоте конструкции и
безотказности в работе регуляторы прямого действия до
сих пор очень широко применяются для регулирования
угловой скорости вращающихся частей машин, уровня
жидкостей в различных емкостях и давления газа в газо-
проводах и газохранилищах.
На фиг. 2 показан типичный пример схемы центробеж-
ного регулятора прямого действия. При изменении угло-
вой скорости вала машины от заданного значения (уста-
навливаемого изменением натяга пружины) меняется цен-
тробежная сила грузов и, соответственно, изменяется
равновесное положение муфты, связанной с регулирую-
щим органом машины.
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ ]СИСТЕМЫ ’ПРЯМОГО РЕГУЛИРО ВАНИЯ
15
На фиг. 3 показан другой пример центробежного регу-
лятора прямого действия. В этом регуляторе грузами
Фиг. 2.
служат шарики, зажатые пружиной между плоской и ко-
нической тарелками. При изменении центробежной силы
16 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
меняется расстояние от центра шарика до оси вращения.
В отличие от регуляторов такого рода (их называют кони-
ческими) в плоских регуля-
торах (фиг. 4) грузы пере-
мещаются в плоскости вра-
щения. В связи с этим на
груз действует не только
центробежная сила инер-
ции, зависящая от угловой
скорости, но и тангенци-
альная сила инерции, про-
порциональная угловому
ускорению. В таком регу-
ляторе мгновенное поло-
жение муфты, а значит, и
регулирующего органа
определяется не только от-
клонением регулируемого
параметра (т. е угловой
скорости) от заданной ве-
первой производной от регули-
двсцентран
Фиг. 4.
но и величиной
параметра по времени (т. е. угловым ускоре-
Лар
вода
Фиг. 5.
личины,
руемого
нием). Регулятор фиг. 4
служит примером регу-
лятора прямого дейст-
вия с воздействием по
производной.
Наряду с центробеж-
ными регуляторами пря-
мого действия широко
распространены поплав-
ковые регуляторы уров-
ня прямого действия.
Первым автоматиче-
ским регулятором, при-
мененным для промыш-
ленных целей, был по-
плавковый регулятор
уровня, установленный Ползуновым в паровом котле его
паровой машины (фиг. 5). В настоящее время поплавковые
регуляторы уровня используются очень широко, начг
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ ^СИСТЕМЫ ПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
17
ная от поплавковых регуляторов, установленных в кар-
бюраторах автомобильных двигателей (фиг. 6), и кончая
Фиг. 6.
Рееу/гир/рощиь
орган
Подача воды в резервуар
крупнейшими регуляторами больших промышленных ре-
зервуаров (фиг. 7).
“ А. Айзерман
18 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
Не менее широк диапазон использования регуляторов
давления прямого действия. Примером таких регуляторов
небольшого размера служит любой редукционный клапан,
либо газовый редуктор (фиг. 8). Примерами же
больших регуляторов, развивающих иногда усилия,
измеряемые сотнями килограммов и даже тоннами, мо-
гут служить магистральные автоматические регулиру-
ющие клапаны, устанавливаемые на крупных газопровод
дах (фиг. 9). <
Все регуляторы, приведенные выше в качестве прицр-
ров, являются статическими. Если такой регулятор от-
соединить от регулирующего органа и изменять значение
подводимого к нему регулируемого параметра, то будет
меняться и равновесное положение исполнительного уст-
ройства, отсоединенного от регулирующего органа. Так,
например, если отсоединить от регулирующего органа
муфту регулятора, показанного на фиг. 2 или 3, то при
изменении угловой скорости каждому значению угловой
скорости будет соответствовать вполне определенное по-
ложение муфты.
При таких регуляторах неизбежна статическая ошибка.
При разных нагрузках на регулируемый объект равнове-
сие достигается при разных значениях регулируемого
параметра.
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ ПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ 19
Для получения астатического прямого регулирования
надо так выполнить регулятор, чтобы его чувствительный
элемент находился в безразличном равновесии при каком-
либо вполне определенном значении регулируемого пара-
метра, не имея равновесий при иных значениях параметра.
Типичным примером астатического регулятора может
служить поршневой регулятор давления, у которого пор-
давление
Фиг. 10.
шень нагружен не пружиной, а грузом (фиг. 10). Равно-
весие такого поршня возможно лишь при вполне опреде-
ленном значении подведенного давления и, следовательно,
при любом равновесном положении регулирующего орга-
на может установиться лишь это значение давления.
2*
20 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
В мембранных регуляторах давления с грузовой на
грузкой (фиг. И) также осуществляется астатическое
регулирование, так как усилие, передаваемое от груза на
шток, в пределах рабочего хода штока почти не зависит
от его положения. Центробежный регулятор и регулятор
уровня также могут быть выполнены астатическими.
Астатические регуляторы обычно требуют введения
стабилизирующих средств. В качестве стабилизирующих
средств применяют чаще всего воздействия по производ-
§ 2] ПРОСТЕЙШИЕ СИСТЕМЫ ПРЯМОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
21
ным. На фиг. 4 был показан пример конструкции центре
бежного регулятора прямого действия с воздействием по
производной. На фиг. 12 показан пример такого же регу-
лятора давления. Полости А и В этого регулятора соеди-
нены калиброванным отверстием в поршне. Перепад дав-
лений на поршне зависит от скорости изменения давления
в полости А: его почти нет при медленном изменении давле-
ния, и он велик, когда давление изменяется быстро.
Для стабилизации астатических регуляторов вводят
иногда «временный статизм», подбирая конструкцию регу-
лятора так, чтобы без демпфера он был почти астатическим,
и соединяя муфту регулятора с пружиной, второй конец
которой установлен на гидравлическом демпфере с очень
малым калиброванным отверстием*) (фиг. 13). В процессе
♦) На фиг. 13 изображен центробежный регулятор. Предпо-
лагается, что соотношения плеч в его рычагах подобраны так, чтобы
характеристика регулятора была близка к астатической.
22 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
регулирования этот конец пружины практически неподви-
жен и регулятор работает как статический. Но при уста-
новлении равновесия поршень демпфера под действием
пружины перемещается до тех пор, пока усилие пружины
не будет снято и статическая ошибка не будет устранена.
0 &
Фиг. 14.
Это устройство служит простейшим примером изодромных
стабилизирующих устройств, о которых далее будет
идти речь.
Рассмотрим теперь пример электрического регулятора
прямого действия.
На фиг. 14 показана схема статического регулирования
напряжения генератора изменением тока в обмотке его
возбуждения. Нужное для поддержания заданного на-
пряжения изменение тока возбуждения достигается здесь
за счет изменения сопротивления угольных столбиков.
Их сопротивление зависит от силы сжатия. Она, в свою
очередь, зависит от натяжения пружины и от усилия,
создаваемого электромагнитом, на обмотку которого подает-
ся разность между напряжением генератора и эталонным
напряжением UQ. При изменении напряжения генератора
изменяется ток в обмотке возбуждения электромагнита,
(3] АСТАТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ НЕПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ 23
изменяются сила сжатия угольных столбиков и ток воз-
буждения генератора, в результате чего достигается тре-
буемое уменьшение отклонения напряжения генератора
от заданного.
Рассматриваемый регулятор является регулятором пря-
мого действия, потому что энергия, необходимая для созда-
ния регулирующего воздействия (сжатие угольных стол-
биков), получается в этой системе от регулируемого объекта
через чувствительный элемент регулятора.
Основное преимущество регуляторов прямого дей-
ствия—исключительная простота их конструкции. Прак-
тика применения таких регуляторов установила, однако,
что они обладают и многими недостатками.
Для обеспечения больших перестановочных усилий
в регуляторах прямого действия неизбежно приходится
увеличивать величину движущихся масс. В связи с этим
уменьшается устойчивость регуляторов. Большие усилия
увеличивают трение; соответственно увеличивается не-
чувствительность .
Эти усилия в ряде случаев достигают сотен килограм-
мов, а иногда нескольких тонн или даже десятков тонн.
Кроме того, для многих важнейших параметров (напри-
мер, для температуры) возникают затруднения с выбором
измерителей, в которых реализовались бы сколь-либо
большие перестановочные усилия при достаточно высокой
точности измерения.
Все это, естественно, привело к простой идее: вклю-
чать между измерителем и регулирующим органом уси-
литель, с тем чтобы необходимое перестановочное усилие
реализовывалось в усилителе за счет подвода анергии
извне, а управлял усилителем маломощный измеритель-
ный прибор.
§ 3. Астатические регуляторы непрямого действия
На фиг. 15 показан типичный пример астатическо-
го регулятора непрямого действия с гидравлическим
усилителем. При равновесии золотник независимо от
положения поршня и перемещаемого им регулиру-
ющего органа возвращается в одно и то же (нейтральное)
положение. В соответствии с этим в •одно и то же
24 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
положение возвращается «стрелка» чувствительного эле-
мента*), и, следовательно, при любой нагрузке устано-
вившееся значение регулируемого параметра будет оди-
наковым.
Фиг. 15.
На фиг. 16 показан аналогичный регулятор со струй-
ным распределением. Астатизм в этом регуляторе обеспе-
чен тем, что в положении равновесия струйная трубка
должна установиться точно посредине между приемными
соплами.
♦) Здесь и далее «стрелкой» чувствительного элемента условно
называется любая его часть, положение которой пропорционально
положению той точки чувствительного элемента, которой он связан
с последующим элементом системы регулирования. У чувствитель-
ных элементов с показывающей или записывающей системой это
может быть стрелка в буквальном смысле слова, а у «слепых» при-
боров—любая точка их подвижной системы.
§ 3] АСТАТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ НЕПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ 25
Пример регулятора с пневматическим астатическим
усилителем показан на фиг. 17. В этом регуляторе давле-'
ние воздуха в камере А между постоянным дросселем и
соплом, перекрываемым заслонкой, зависит от положения
заслонки. При обычных размерах сопел рабочий ход
Фиг. 16.
заслонки не превышает 0,1 мм. Поэтому достаточно самого
незначительного перемещения заслонки, чтобы давление
воздуха в камере А убывало почти до атмосферного или
росло до давления в линии питания. При достижении
равновесия в системе заслонка возвращается в одно и
то же положение в пределах очень небольшого рабо-
чего хода.
Следовательно, при любом равновесии значение регу-
лируемого параметра будет одинаковым. Изменение
давления в камере А управляет вторым каскадом уси-
ления, т. е. давлением в камере Б. Воздух под этим
давлением подводится к мембранному исполнительному
органу.
26 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
Регулятор скорости электропривода, показанный на
фиг. 18, представляет собой, так же как и рассмотренные
выше, астатический регулятор непрямого действия. Сигнал,
Ззл/ерительныи злемент Сушшпяр
Геликоидальная
аруз/сина.
Задатчик
Заказывающая стрелка
Стрелка за Салил
Фиг. 17.
характеризующий значение регулируемой величины—ско-
рости вращения привода, получается здесь при помощи
тахогенератора. Напряжение тахогенератора сравнивает-
ся с эталонным напряжением С70, характеризующим задан-
§ 3] АСТАТИЧЕСКИЕ РЕГУЛЯТОРЫ НЕПРЯМОГО ДЕЙСТВИЯ 27
ное значение скорости привода. Разница этих напряжений
подается на вход электромашинного усилителя, к выходу
которого присоединен исполнительный двигатель, изме-
няющий сопротивление в цепи обмотки возбуждения дви-
гателя привода. Равновесный режим в этой системе может,
очевидно, наступить только при отсутствии напряжения
дшатмь
Злек/пр/жшжый ШЬпря-
ш
Фиг. 18.
на зажимах исполнительного двигателя, что возможно
только при отсутствии напряжения на входе усилителя,
а следовательно, при отсутствии отклонения скорости
привода от заданной.
На фиг. 19 показана схема системы автоматическо-
го регулирования температуры при помощи астатического
регулятора непрямого действия. Температура в регули-
руемом объекте—теплообменнике —измеряется при помо-
щи термометра сопротивления, включенного в схему элек-
трического моста, уравновешенного с помощью сопротив-
ления Яо при температуре, равной заданной. При откло-
28 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
нении регулируемой температуры от заданного значения
на измерительной диагонали мостика будет возникать
напряжение U, полярность и величина которого будут
определяться соответственно знаком и величиной откло-
нения температуры. Это напряжение, усиленное электрон-
ным усилителем, подается на вход (управляющую обмот-
ку) магнитного усилителя, включенного в качестве одного
из плеч индуктивного моста, и преобразуется в напря-
жение переменного тока. В диагональ моста включена
управляющая обмотка двухфазного асинхронного дви-
гателя с короткозамкнутым ротором, перемещающего
регулирующий кран, который увеличивает или уменьшает
подачу теплоносителя*).
В статических регуляторах прямого действия каждому
положению «стрелки» чувствительного элемента однознач-
*) В целях достижения большей наглядности схемы усилите-
лей показаны здесь в упрощенном виде: электронный усилитель—
как однокаскадный, а мост—с одним регулируемым плечом. В ре-
альных схемах применяются двух- и трехкаскадные электронные
усилители, а мост имеет два, а иногда и все четыре регулируе-
мых плеча.
§ 4]
ЖЕСТКАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
29
но соответствует вполне определенное положение регули-
рующего органа. В отличие от них в астатических регуля-
торах положение «стрелки» чувствительного элемента
определяет не положение регулирующего органа, а ско-
рость перемещения его. Среди приведенных выше приме-
ров содержались как примеры регуляторов, у которых
скорость регулирующих органов растет с ростом отклоне-
ния «стрелки» чувствительного элемента (фиг. 18), так
и релейные регуляторы, у которых даже самое небольшое
отклонение «стрелки» чувствительного элемента приводит
к перемещению регулирующего органа с постоянной
скоростью (фиг. 17). Любой астатический сервомотор
по своим свойствам приближается к релейному серво-
мотору, если уменьшать рабочий ход чувствительного
элемента.
Введение усилителей позволяет применять высокока-
чественные измерительные устройства с малыми движу-
щимися массами, развивающие малые усилия*). Но
при этом введение астатического усилителя ликвидирует
однозначную связь между положением «стрелки» чувстви-
тельного элемента и регулирующего органа, а это способ-
ствует нарушению устойчивости.
Сохранить усилитель и вместе с тем восстановить
однозначное соответствие между положением регулирую-
щего органа и «стрелкой» чувствительного элемента по-
зволило изобретение обратной связи. С этим изобретением
по существу связано появление современной техники
регулирования.
§ 4. Жесткая обратная связь. Статические регуляторы
непрямого действия
На фиг. 20—24 показаны те же регуляторы, которые
рассматривались в предыдущем параграфе, но с включен-
ной жесткой обратной связью. Благодаря обратной связи
положение управляющего элемента усилителя определяет-
ся не только чувствительным элементом регулятора, но
и отклонением его исполнительного устройства.
*) До нескольких граммов, а иногда—миллиграммов.
30 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
В простейшем случае (фиг. 20) обратная связь осуще-
ствляется установкой опоры рычага I на штоке поршня.
Хотя золотник (а также шарнир а) попрежнему занимает
в равновесии нейтральное положение, положение поршня
определяет смещение шарнира б и, следовательно, шарни-
Фиг. 20.
ра в, связанного с чувствительным элементом. Благодаря
этому отклонение «стрелки» чувствительного элемента
пропорционально отклонению поршня, а значит, и регу-
лирующего органа. Обратная связь восстанавливает од-
нозначное соответствие между отклонением «стрелки»
чувствительного элемента и положением регулирующего
органа. Это способствует устойчивости системы, но делает
систему статической, т. е. вновь вводит статическую ошиб-
ку: каждому значению нагрузки на объект соответствует
и свое значение регулируемого параметра.
В рассмотренном примере обратная связь осуществля-
лась жестким рычагом. Совершенно аналогично действует
§ 4]
жесткая: ОБРАТНАЯ связь
31
обратная связь в пневматическом регуляторе, показан-
ном на фиг. 21. Положение заслонки в этом случае опре-
деляется не только перемещением «стрелки» чувствитель-
Фиг. 21.
ного элемента, но и растяжением сильфона обратной свя-
зи, к которому подводится воздух, направляемый к испол-
нительному органу. Растяжение сильфона обратной связи
в положении равновесия пропорционально положению
регулирующего органа.
Несколько иначе устроена обратная связь в струйнОхМ
регуляторе (фиг. 22, а). Здесь струйная трубка за-
жата между двумя пружинами. Одна из них сжимается
32 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
§ м
ЖЕСТКАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
33
чувствительным элементом регулятора, а вторая—порш-
нем обратной связи. Трубка служит как бы весами, взве-
шивающими разность натяжений пружин. В положении
равновесия струйная трубка возвращается в нейтральное
положение, но при этом натяжение правой пружины
должно уравновесить натяжение левой, т. е. значение
регулируемого параметра в положении равновесия опре-
деляется положением регулирующего органа.
Мавои/
винт
л , . ^Эле/стра-
Исполнительныи Злектрмашинныц Двигатель
Двигатель усилитель
Фиг. 23.
На фиг. 22, б показан еще один пример такого рода
Для золотникового распределения. Обратная связь в этом
регуляторе сжимает пружину, непосредственно действую-
щую на чувствительный элемент.
Примером электрического регулятора непрямого дей-
ствия с жесткой обратной связью может служить регуля-
тор скорости вращения электропривода, показанный на
фиг. 23. Здесь сигнал обратной связи получается при
3 М. А. Айзерман
34 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
помощи потенциометра, движок которого жестко связан
с движком реостата в цепи обмотки возбуждения двигателя.
При этом на вход электромашинного усилителя, кроме
сигнала рассогласования, подается также сигнал обратной
связи. Разумеется, и здесь достигаемое улучшение динами-
ческих свойств системы регулирования покупается ценой
введения остаточного отклонения регулируемой величины,
поскольку равновесный режим в этой системе может на-
Фиг. 24.
ступить только при наличии отклонения скорости привода
от заданной, при котором разница напряжения тахогене-
ратора и эталонного напряжения Uo уравновешивает
напряжение сигнала обратной связи.
На фиг. 24 показана упрощенная схема регулятора
температуры с жесткой обратной связью. В отличие от
схемы, приведенной на фиг. 19, здесь перемещение регу-
лирующего органа вызывает изменение сопротивления
одного из плеч (7?Ос) измерительного мостика, в результате
чего изменяется значение температуры, при которой урав-
новешивается этот мостик. Таким образом, каждому зна-
чению нагрузки, а следовательно, каждому положению
§ 4]
ЖЕСТКАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
35
регулирующего органа здесь соответствует свое равновес-
ное значение регулируемой температуры.
В системе регулирования скорости вращения электро-
двигателя, показанной на фиг. 25, отсутствует специаль-
ный элемент обратной связи, однако эта система также
является статической, поскольку все элементы цепи регу-
лирования являются статическими.
С W =
? ?——L-\J
Злекгпрмашиниь/й Рлгктро-
усилитель двигатель
Фиг. 25.
На фиг. 26 показана схема автоматического регулиро-
вания напряжения генератора путем воздействия на обмот-
ки возбуждения генератора. Заданное значение напряже-
ния генератора здесь устанавливается путем изменения
положения траверзы плоского контроллера, изменяющего
одновременно сопротивление в цепи обмотки возбуждения
генератора и ток, протекающий через задающую обмот-
ку В± электромашинного усилителя. По обмотке В2 усили-
теля протекает ток, пропорциональный напряжению ге-
нератора. Разность ампервитков, создаваемых обмотками
В± и В21 определяет значение напряжения на выходе уси-
лителя, а следовательно, и напряжение возбудителя и ге-
нератора.
Все элементы этого регулятора статические, и регуля-
тор в целом статический. Это видно и непосредственно,
так как изменение установившегося значения регулирую-
щего воздействия здесь неизбежно связано с изменением
установившегося отклонения напряжения от заданного
значения, и каждому значению тока нагрузки соответ-
ствует свое значение напряжения.
3*
36 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
Выше указывалось, что обратная связь, восстанавли-
вая однозначное соответствие между положением «стрелки»
чувствительного элемента и регулирующего органа, спо-
собствует устойчивости системы, но вводит статическую
ошибку. Естественно возникла мысль так устроить обрат-
ную связь, чтобы она действовала лишь во время процес-
са регулирования и устранялась бы при подходе системы
к положению равновесия. Устроенная таким образом
обратная связь позволяет объединить преимущества ста-
тического и астатического регуляторов. В процессе регу-
лирования регулятор работает как статический, но по
мере устранения эффекта обратной связи значение пара-
метра, поддерживаемого регулятором, постепенно воз-
вращается к одному и тому же значению.
Подобная обратная связь получила название изодром-
ной*).
*) По-гречески taoc (изос)—равный, орорюс (дромос) — бег.
Название связано с тем, что в центробежных регуляторах, где
изодромная обратная связь впервые начала применяться, она позво-
лила обеспечить постоянство оборотов машины при разных на-
грузках.
§ 5] ИЗОДРОМНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
37
§ 5. Изодромная обратная связь
На фиг. 27 показано устройство гидравлического зо-
лотникового регулятора с изодромной обратной связью.
При движении поршня гидравлического усилителя дви-
жется и точка а рычага обратной связи, так как масло,
заполняющее гидравлический демпфер, не успевает пере-
текать через его небольшое калиброванное отверстие.
Фиг. 27.
Но при неподвижном поршне усилителя масло в демпфе-
ре под действием пружины изодрома медленно перетекает
из одной полости в другую и точка б всегда постепенно
возвращается в исходное положение. Точка а возвра-
щается в исходное положение в связи с тем, что золотник
в положении равновесия должен закрыть окно. Следова-
тельно, в положение равновесия возвращается и точка в,
что свидетельствует о возвращении к старому значению
регулируемой величины.
38 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
Нафиг. 28показан пример пневматического изодромно-
го регулятора. В отличие от регулятора фиг. 21 эффект
обратной связи здесь постепенно снимается за счет пере-
Румматор
Фиг. 28.
текания жидкости (толуол) из одного сильфона в другой
через регулируемый дроссель. При выравнивании давле-
ния в сильфонах А и Б шток обратной связи уравновеши-
вается и возвращается в исходное положение.
§ 5]
ИЗОДРОМНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
39
На фиг. 29 показан другой пример пневматического
изодромного регулятора. По каналу О этого регулятора
подводится давление, пропорциональное мгновенному
значению регулируемой величины, а по каналу Ох—про-
порциональное заданному значению регулируемой вели-
Фнг. 29.
При отклонении регулируемой величины от заданного
значения появляется перепад давлений, прогибающий
мембрапы и изменяющий положение закрепленной на мем-
бранах заслонки 1-го каскада усиления. Давление, уста-
новленное на выходе из 2-го каскада пневматического
усиления, подается под мембрану, в камеру А; этим осу-
ществляется полная обратная связь. Для регулирования
эффекта обратной связи это же давление подводится
к камере Б через регулируемый дроссель. Если бы давле-
ние в камерах А и Б было бы одинаково, то эффект обрат-
ной связи был бы устранен. Но благодарая наличию дрос-
селя давление в Б меньше, чем в Л, и, меняя открытие
Дросселя, можно менять эффективность обратной связи.
Давление из камеры А подводится еще через один регу-
лируемый дроссель к глухой камере В. Давление в В всегда
с течением времени устанавливается такое же, как и в А,
40 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
но время выравнивания этих давлений можно менять,
изменяя сечение в дросселе. Следящая система поддержи-
вает в камере Г давление, равное давлению в камере В.
Поэтому постепенно выравнивается давление во всех
камерах (Л, Б, В и Г) и благодаря этому снимается
эффект обратной связи.
Описанные выше гидравлические и пневматические
устройства изодромной обратной связи применяются также
Фиг. 30.
и в электрических регуляторах. Так, например, изодром-
ная система регулирования температуры может быть
получена путем замены жесткой передачи от регулирую-
щего органа к движку сопротивления обратной связи,
показанной на фиг. 24, передачей, включающей воздуш-
ный или жидкостный изодром. Изодромная обратная связь
может, однако, осуществляться и чисто электрическими
методами, как это показано на фиг. 30. В этой системе
сигнал обратной связи получается при помощи потен-
циометра и вводится в систему регулирования через
контур, содержащий сопротивление R и емкость С. В те-
чение переходных режимов системы этот сигнал будет
§ 5j
ИЗОДРОМНАЯ ОБРАТНАЯ СВЯЗЬ
41
наряду с сигналом отклонения воздействовать на после-
дующие элементы системы, однако при неподвижном
состоянии регулирующего органа, в каком бы положении
он ни находился, сигнал обратной связи по мере заряда
конденсатора С будет затухать и в установившемся режиме
будет всегда равен нулю. Очевидно, что при этом обрат-
ная связь не будет вызы-
вать появления остаточных
отклонений регулируемой ве-
личины.
Примером изодромного ре-
гулятора, получаемого путем
введения астатического эле-
мента в статический регуля-
тор, является регулятор на-
пряжения, приведенный на
фиг. 31. Здесь, при возник-
новении отклонения напря-
жения от заданного, сразу
эффективно действует обмот-
ка электромашинного
усилителя. Одновременно на-
чинает изменяться напряже-
ние на обмотке В2, изменяю-
щееся со скоростью, про-
порциональной отклонению
напряжения от заданного.
Равновесие в системе наступает тогда, когда отклонение
напряжения станет равным нулю. При этом напряжение
на обмотке Вг также обратится в нуль, а на обмотке В2
станет равным напряжению, необходимому для поддер-
жания напряжения генератора на заданном уровне, и
двигатель, перемещающий ползунок потенциометра, оста-
новится.
Примером регулятора с гибкой (изодромной) обрат-
ной связью может также служить электромашинный
регулятор напряжения, показанный на фиг. 32. В отли-
чие от рассмотренного выше статического регулятора
напряжения, в систему регулирования введена гибкая
обратная связь, осуществляемая при помощи стаби-
лизирующего трансформатора. Ток в обмотке В3
42 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
электромашинного усилителя здесь пропорционален ско-
рости изменения напряжения возбудителя, к которому
присоединена первичная обмотка трансформатора. В уста-
новившемся режиме напряжение возбудителя неизменно
Фиг. 32.
и ток в обмотке 53, питаемой от стабилизирующего транс-
форматора, равен нулю. Поэтому такая связь, как всякая
изодромная связь, не увеличивает установившихся откло-
нений регулируемой величины от заданного значения.
§ 6. Воздействия по производным
В § 2 этой главы уже был продемонстрирован про-
стейший пример регулятора прямого действия, в котором
используются воздействия по производной. В регулято-
рах непрямого действия воздействия по производным
широко используются в качестве стабилизирующего сред-
ства, причем устройство, создающее воздействие по про-
изводной, включается в различные места контура.
§ 6]
ВОЗДЕЙСТВИЯ ПО ПРОИЗВОДНЫМ
43
Наряду с приборами, непосредственно замеряющими
производные от регулируемого параметра*), широко
используются дифференцирующие устройства.
На фиг. 33 показан пример пневматического устрой-
ства, создающего воздействие по производной. При мед-
ленном изменении входного давления выходное давление
мало отличается от входного. Если же входное давле-
ние изменять быстро, то выходное давление будет больше
входного, ипритом тем больше, чем выше скорость измене-
ния выходного давления. Таким образом, выходное давле-
ние зависит как от величины входного давления, так
и от скорости, с которой это давление изменяется. Усили-
тельная часть этого устройства такая же, как и в регуля-
торе фиг. 29.
В электрических регуляторах воздействие по производ-
ной вводится в систему регулирования чаще всего при
помощи так называемой дифференцирующей ячейки НС,
схема которой показана на фиг. 34, где изобра-
жена в упрощенном виде система автоматического регу-
лирования напряжения с использованием воздействия
по производной. Сигнал отклонения напряжения от за-
*) Примером таких приборов является тахометр в случае,
когда регулирующим параметром является угол поворота ка-
кого-либо вала.
44 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ 1гл. I
данного подается здесь на вход дифференцирующей
Фиг. 34.
ячейки, состоящей из емко-
сти С и сопротивлений 7?р Т?2.
На выходе этой ячейки по-
лучается при этом сигнал,
пропорциональный отклоне-
нию напряжения и произ-
водной по времени от этого
отклонения.
Ток через сопротивление
Т?2 можно приближенно рас-
сматривать как сумму незави-
симых токов: IRl протекаю-
щего по сопротивлению Rv
и 7с, протекающего через
конденсатор С, Ток IR, оче-
видно, пропорционален на-
пряжению на входе ячейки,
а 1С—скорости изменения
этого напряжения. Посколь-
ку в качестве выходного сиг-
нала ячейки используется на-
пряжение на сопротивлении
/?2, которое пропорционально протекающему через него
току, то этот выходной
ь сигнал можно прибли-
'ог^иератор г
I , женно считать содержа-
СМилюирумщий щим составляющие, про-
тринсфсрмитср
Регулируемый
деигатель
(Мшп/са
МзбдМеш
мигатмя
+ * и0
Рлектромаишный
усилитель
Фиг. 35.
в2
трансформатора. Напряжение
отклонению скорости вращения
порциональные входно-
му сигналу и скорости
его изменения.
На фиг. 35 пока-
зана схема регулято-
ра скорости вращения
электропривода, в ко-
торой сигнал воздей-
ствия по производной
получается при помо-
щи стабилизирующего
Uv пропорциональное
привода от заданной,
§ 7] СВЯЗАННОЕ |РЕГУЛИРОВАНИЕ 45
подается на первичную обмотку трансформатора. Напря-
жение вторичной обмотки U2, пропорциональное ско-
рости изменения напряжения Uv подается на обмотку В2
электромашинного усилителя, в результате чего регу-
лирующее воздействие оказывается пропорциональным
не только отклонению скорости от заданной, но также
и производной от этого отклонения.
§ 7. Связанное регулирование
В качестве примера системы связанного регулирова-
ния двух величин на фиг. 36 показан гидравлический
Фиг. 36.
регулятор со связями, наложенными после усилителей
4В ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
1-го каскада. В этой схеме каждый чувствительный эле-
мент управляет только одним усилителем. Каждый из
усилителей 2-го каскада управляется от двух усилителей
1-го каскада.
На фиг. 37 показана аналогичная схема со связями,
включенными непосредственно после чувствительных
элементов.
Фиг. 37.
В этой схеме каждый чувствительный элемент упра-
вляет всеми гидравлическими усилителями, по любой
из усилителей связан лишь с одним из регулирующих
органов.
Примером связанного регулирования может служить
также система управления двумя исполнительными меха-
низмами, приводящими два регулирующих органа (фиг. 38).
Показанные на схеме потенциометры обратной связи
включены таким образом, что перемещение одного
из регулирующих органов вызывает соответствующее
перемещение другого регулирующего органа.
§ 7]
СВЯЗАННОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ
47
firn 00/70020 00гл0М1лшче0/с0г0 Um етлрлго лвтлялтичел/^.
регу/ылмрл' ' регуллтлрл
48 ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОМАТИЧЕСКИХ^РЕГУЛЯТОРАХ [гл. I
На фиг. 39 показан еще один пример связанного
регулирования.
Фиг. 39.
В этой схеме задатчик одного из регуляторов устанав-
ливается в зависимости от сигнала чувствительного ор-
гана другого регулятора.
ГЛАВА II
ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА
ДЛЯ РАСЧЕТА СИСТЕМЫ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Методы теории автоматического регулирования позво-
ляют в первом приближении рассчитать систему, т. е.
определить, каков будет процесс регулирования в задан-
ной системе при заданном возмущении или, наоборот,
найти параметры регулятора выбранной схемы, при кото-
рых обеспечивается процесс, удовлетворяющий заданным
техническим условиям. Но задачи такого рода могут
быть исчерпывающе решены лишь в некоторых типах
систем, описываемых линейными дифференциальными
уравнениями. Обычно системы регулирования описы-
ваются более сложными дифференциальными уравнения-
ми—нелинейными, и основной метод теории регулирования
состоит в том, что такие уравнения заменяются соответ-
ствующим образом подобранными линейными уравнениями
и с их помощью изучаются процессы в рассматриваемой
системе. В некоторых случаях таким приемом удается
выяснить характер процессов в реальной системе или
даже полностью рассчитать их, в иных случаях только
изучить процессы при достаточно малых возмущениях,
но обычно в любом случае с такого линейного анализа
начинают расчет. Если линейный анализ недостаточен,
то приходится для исследования системы рассматривать
значительно более трудные нелинейные задачи. Методы
их решения разработаны слабо, и если надо исследовать
не только установившиеся процессы, но и процессы уста-
новления, то приходится прибегать к графическим или
численным методам решения нелинейных дифференциаль-
ных уравнений процесса регулирования. При этом пара-
метры обычно приходится задавать «наугад» до тех пор,
М. А. Айзерман
50 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЧЯ РАСЧЕТА [гл. I
пока не удастся подобрать параметры, обеспечивающие
процессы, удовлетворяющие техническим заданиям.
Из этой краткой характеристики состояния теории
регулирования и ее возможностей видно, что всякое ис-
следование системы регулирования требует прежде всего
вывода дифференциальных уравнений, описывающих про-
цесс регулирования и умения по этим уравнениям полу-
чить соответствующие им линеаризованные уравнения,
пригодные для исследования методами линейной теории
регулирования.
Раньше чем приступить к выводу уравнений движе-
ния, необходимо провести статический расчет системы
.регулирования, так как только в результате статического
расчета удается выяснить установившиеся значения всех
переменных параметров системы на каком-либо иссле-
дуемом режиме. Знание установившихся значений всех
переменных параметров необходимо для вывода уравне-
ний движения.
Чтобы вывести дифференциальные уравнения, удобно
по единообразным правилам расчленить систему на части
и выводить уравнения движения для каждой части системы
порознь.
Всем вопросам, связанным с выводом уравнений дви-
жения посвящены §§ 1—3 настоящей главы.
После того как уравнения всех частей системы выве-
дены, приступают к подбору соответствующих линейных
уравнений. По ним находится передаточная функция
рассматриваемой системы (понятие это далее будет под-
робно пояснено), которая и служит исходным материалом
для всех дальнейших линейных расчетов. Этому кругу
вопросов посвящены §§ 4—7.
Методы линейной теории регулирования разделяются
на две группы. К первой группе относятся методы, кото-
рые изучают процесс непосредственно по линеаризованным
уравнениям—для них задание исходного материала
в форме передаточной функции наиболее удобно. Но
распространены и иные методы, составляющие вторую
группу, которые исходят из задания свойств линеаризо-
ванной системы особыми графиками—частотными харак-
теристиками. Частотные характеристики легко построить
по передаточной функции. Но в ряде случаев,—когда
§ 1] РАСЧЛЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ НА ЭЛЕМЕНТЫ
51
реальная система мало отличается от соответствующего
ей линейного приближения,—частотные характеристики
могут быть получены экспериментально; в этом состоит
одно из важных преимуществ частотного метода, так
как в таких случаях удается иногда вообще избежать
вывода уравнений движения и их линеаризации. Для
применения частотных методов исходным материалом
служат экспериментально построенные или полученные
исходя из линеаризованных уравнений частотные характе-
ристики. Весь материал, связанный с их получением,
изложен в § 8 этой главы.
§ 1. Расчленение системы на элементы
В соответствии с терминологией, принятой в механике,
числом степеней свободы системы автоматического регули-
рования называется наименьшее число независимых вели-
чин, значения которых вполне определяют состояние си-
стемы в каждое мгновение. Величины, удовлетворяющие
этим условиям, называются обобщенными координатами
системы. Эти величины могут выбираться произвольно и
иметь любую размерность.
Если бы представляли интерес все процессы, происхо-
дящие в системе во время автоматического регулирования,
то число степеней свободы было бы чрезвычайно велико
или даже, если учитывать распределенность параметров,
бесконечно. Однако в первом приближении можно отде-
лить обобщенные координаты, существенно влияющие
на ход процесса регулирования, от обобщенных коорди-
нат, очень мало влияющих или вообще не влияющих на
этот процесс, и тем самым сократить число учитываемых
степеней свободы.
Критерием для отбора существенных обобщенных
координат служит сопоставление времени установления
координаты с ожидаемым или требуемым темпом процесса
регулирования. Если при скачкообразном изменении
какой-либо координаты А новое значение следующей
(по цепи воздействия) координаты В устанавливается
за время, несоизмеримо меньшее*) ожидаемого или тре-
*) Обычно в несколько десятков раз.
4*
52 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ (РАСЧЕТА [гл. II
буемого времени протекания процесса регулирования, то
координату Б можно в рассмотрение не вводить, а счи-
тать, что значение ее точно «следит» за значением коор-
динаты А.
Рассмотрим несколько примеров выбора обобщенных
координат.
В установке прямого автоматического регулирования
•оборотов дизеля, показанной на фиг. 40, можно ограни-
Фиг. 40.
читься двумя обобщенными координатами и считать, сле-
довательно, что вся система имеет две степени свободы.
В качестве первой обобщенной координаты можно при-
нять среднюю за оборот угловую скорость коленчатого
вала дизеля, а в качестве второй обобщенной коорди-
наты—положение муфты регулятора или же положение
рейки топливного насоса. Ограничиваясь этими двумя
координатами, полностью пренебрегают неравномер-
ностью вращения коленчатого вала (изменением его угло-
вой скорости за время одного оборота), волновыми про-
цессами в топливных трубопроводах, процессами в тягах,
соединяющих муфту регулятора и рейку насоса, и т. д.,
считая, что процессы эти происходят несоизмеримо быст-
рее процесса регулирования.
§ 1]
РАСЧЛЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ НА ЭЛЕМЕНТЫ
53
В одноступенчатом редукторе (регуляторе вакуума
прямого действия, фиг. 41) также естественно ограни-
читься учетом только двух обобщенных координат. Одной
из них является давление под диафрагмой, а второй—
Фиг. 41.
положение диафрагмы (или клапана редуктора). При
этом предполагается, что давление на входе в редуктор
не изменяется и что волновыми процессами в камере под
диафрагмой можно пренебречь, т. е. считается, что оди-
Фиг. 42.
наковое давление во всех точках этой камеры устанавли-
вается практически мгновенно. Аналогично в двухступен-
чатом газовом редукторе (фиг. 42) учитывают четыре
степени свободы: в качестве обобщенных координат при-
нимают, например, прогибы обеих мембран и давления
54 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
между ступенями и на выходе из редуктора низкого
давления.
При применении для регулирования расхода непря-
мого регулятора с гидравлическим струйным усилителем
(фиг. 43) необходимо рассматривать три степени свободы
Регулирующий аргал
Диафрагма
(обобщенные координаты: расход, перемещение струйной
трубки, перемещение поршня). Часто можно считать, что
расход точно «следит» за перемещением регулирующего
органа, и число учитываемых координат уменьшить
до двух.
В системе автоматического регулирования давления
воздуха регулятором 04-МГ (схема его была показана
на фиг. 28) приходится учитывать семь степеней свободы.
В качестве обобщенных координат можно принять: регу-
лируемое давление, поворот конца геликоидальной пру-
жины, давление в камере дервичного реле, растяжение
сильфона, давление в камере вторичного реле, положение
клапана регулирующего органа и перемещение рычага
обратной связи.
Если процерс регулирования в целом происходит
медленно (например, время регулирования—несколько
минут), число учитываемых степеней свободы может быть
уменьшено. Можно, например, считать в этом случае, что
§ 1]
РАСЧЛЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ НА ЭЛЕМЕНТЫ
55
давление в камере первичного реле и растяжение силь-
фона устанавливаются мгновенно, т. е. точно «следят» за
поворотом конца геликоидальной пружины.
В качестве последнего примера рассмотрим регули-
рование угловой скорости электродвигателя постоянного
тока с независимым возбуждением. Регулирование осу-
ществляется воздействием на напряжение якоря двига-
Фиг. 44.
теля (фиг. 44). Измерителем угловой скорости в этом при
мере служит тахогенераюр, э. д. с. которого сравни-
вается с эталонным напряжением £7Э. Разность между
ними, усиленная электронным усилителем, подается в об-
мотку возбуждения электромашинного усилителя. Якор-
ная обмотка его соединена последовательно с обмоткой
якоря управляемого двигателя.
Если электронный усилитель считать безинерционным,
то система имеет пять степеней свободы. В качестве обоб-
щенных координат можно принять: регулируемые обо-
роты двигателя, напряжение на выходе электронного
усилителя, ток в обмотке возбуждения электромашинного
усилителя, ток в его короткозамкнутой цепи и, наконец,
ток в цепи якоря управляемого двигателя.
В системах регулирования обращает на себя внимание
то обстоятельство, что воздействия между двумя устрой-
ствами, содержащимися в системе, часто оказываются
Односторонними: предыдущее устройство воздействует на
последующее, не воспринимая заметного противодействия.
56 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Так, например, в пневматическом регуляторе 04-МГ
(фиг. 28) поворот конца геликоидальной пружины опре-
деляется отклонением режима регулируемого объекта, но
режим этот не меняется от присоединения геликоидаль-
ной пружины; перемещение конца геликоидальной пру-
жины вызывает изменение давления в камере первичного
реле, но это изменение давления почти не влияет на поло-
жение конца пружины; давление в камере первичного
реле определяет сжатие сильфона, но давление в этой ка-
мере почти не зависит от перемещения сильфона и т. д.
Будем далее называть Направленным всякое устрой-
ство, которое, пропускает воздействие только в одном
направлении, т. е. воспринимая его от предыдущей части
системы, оказывает ей пренебрежимо малое противодей-
ствие.
Если в любом месте схемы указать какое-либо напра-
вленное устройство и разорвать цепь воздействий перед
ним, т. е. сделать так, чтобы воздействия предыдущей
части системы не влияли как-либо на это выбранное на-
правленное устройство, то система в целом будет назы-
ваться разомкнутой.
У выделенного направленного устройства можно ука-
зать орган, на который ранее, когда система была замк-
нута, осуществлялось воздействие. Он называется входом
разомкнутой системы, а координата, определяющая его
состояние,—входной координатой разомкнутой системы.
Орган последнего элемента разомкнутой системы, которым
ранее, когда система была замкнута, осуществлялось воз-
действие на выбранный направленный элемент, назы-
вается выходом разомкнутой системы, а координата,
характеризующая состояние этого органа,—ее выходной
координатой.
Так, например, в случае прямого регулирования ди-
зеля можно разомкнуть систему, отсоединив рейку на-
соса от муфты регулятора. Рейка насоса будет при этом
входом разомкнутой системы, а положение рейки—вход-
ной координатой; муфта регулятора—выходом разомкну-
той системы, положение муфты—ее выходной координа-
той. Можно эту же систему разомкнуть, отсоединив махо-
вик двигателя от шестерни привода вала регулятора.
Тогда эта шестерня будет служить входом разомкнутой
§ 1] РАСЧЛЕНЕНИЕ СИСТЕМЫ НА ЭЛЕМЕНТЫ 57
системы, ее угловая скорость—входной координатой,
а маховик двигателя—выходом разомкнутой системы и его
угловая скорость—выходной координатой.
В разомкнутой системе вновь можно выбрать какое-
либо направленное устройство и аналогично разорвать
перед ним цепь воздействий. Разомкнутая система раз-
делится тогда на две части. Если какая-либо из этих частей
содержит более одного направленного устройства, ее
можно вновь расчленить на две части и т. д.
В результате система будет разделена на части, каж-
дая из которых содержит только одно направленное
устройство. Такая часть системы называется ее элементом.
Аналогично разомкнутой системе у каждого элемента
можно указать «вход» и’«выход» и, соответственно, «вход-
ную» и «выходную» обобщенные координаты. Входная
координата каждого элемента совпадает с выходной коор-
динатой предыдущего элемента.
Так, например, система автоматического регулирова-
ния расхода (фиг. 43) может быть расчленена на три эле-
мента. Измеряемый расход является входной координа-
той для измерителя и выходной для регулируемого объек-
та; положение конца струйной трубки является входной
координатой для сервомотора и выходной—для измери-
теля; наконец, положение регулирующего клапана—
входная координата для объекта регулирования и выход-
ная—для сервомотора.
Теория автоматического регулирования позволяет су-
дить о свойствах системы по свойствам элементов, из ко-
торых состоит система.
Все обобщенные координаты будут обозначаться далее
вне зависимости от размерностей буквой X. Входную
координату будем обозначать через ХВх, выходную—через
^вых, а номер координаты будет указываться индексом
(например, Хи(, Хвых2 и т. д.).
За нуль отсчета каждой из координат выберем значе-
ния, которые они имеют при некотором установившемся
режиме работы системы.
Направление отсчета обобщенных координат может
быть выбрано произвольно, но удобно придерживаться
следующего правила знаков: регулируемая координата
(координата положительна, если ее значение больше,
58 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
чем то, которое выбрано за начало отсчета; координата
чувствительного элемента Х2 положительна, если изме-
нение Х2 соответствует росту и так далее по цепи
воздействия.
При таком правиле знаков выходная координата пре-
дыдущего элемента совпадает с входной координатой
последующего элемента не только по величине, но и
по знаку.
Временной характеристикой называется график, опре-
деляющий изменение во времени выходной координаты
§ 2] СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТА И СИСТЕМЫ 59
элемента, вызванное тем, что его входная координата мгно-
венно приобретает новое значение и более этого значения
не меняет.
Для определения временной характеристики с по-
мощью какого-либо записывающего прибора (например,
осциллографа с соответствующими датчиками) произво-
дят одновременную запись изменения входной Хвх и вы-
ходной Хвыхкоординат элемента. Включив записывающий
прибор, резко изменяют значение входной координаты от
некоторого значения XBXi доХВХ2И далее во время записи
это значение ХВХ2 сохраняют постоянным. На осцилло-
грамме, кроме отметок времени, будут прочерчены две
линии, соответствующие изменению Хвх и Хвых во время
этого опыта.
На фиг. 45 показаны типичные примеры временных
характеристик.
Элементы, у которых выходная координата с течением
времени стремится к новому установившемуся значению,
называются статическими (фиг. 45, а, б и в). Если же
выходная координата не стремится к новому установив-
шемуся значению и с течением времени устанавливается
постоянная скорость изменения выходной координаты,
то элемент называется астатическим (фиг. 45, г). Если,
наконец, скорость изменения выходной координаты (а так-
же ускорение и высшие производные) неограниченно
растет, элемент называется неустойчивым (фиг. 45, д).
§ 2. Статические характеристики элемента и системы
Ограничимся пока рассмотрением статических элемен-
тов. Снимем серию временных характеристик, меняя
подводимые к элементу значения входной координаты
Хвх о- Обозначим через XBbIxo значение выходной коор-
динаты, которое устанавливается с течением времени
При А?ВХ = Л?ВХ о*
Отложим по оси абсцисс установившееся значение
входной координаты какого-либо элемента Хвхо, а по оси
ординат—установившееся значение выходной координа-
ты этого элемента Хвыхо- Если пренебречь нечувствитель-
ностью, то для каждого элемента системы может быть
построена в координатах Хвх о, ХВЬ1Х о его статическая ха-
рактеристика (фиг. 46).
60 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
В том случае, когда на элемент, кроме воздействия
от предыдущего элемента, действует какое-либо внешнее
воздействие, для элемента может быть построено семей-
ство статических характеристик. Каждая характеристика
снимается при фиксированном значении этого внешнего
воздействия.
Так, например, объект регулирования обладает семей-
ством статических характеристик—каждая характери-
стика относится к фиксированному значению нагрузки Хи
на объект (фиг. 47). Чувствительный элемент, содержащий
задатчик, также обладает семейством статических харак-
теристик—каждая характеристика относится к фикси-
рованному положению задатчика.
У статических элементов касательная к любой точке
статической характеристики имеет положительный угло-
вой коэффициент
^ВЫХ О Г)
rfXoxo
Значение в какой-либо точке О статической
ЛХвх о
характеристики называется коэффициентом усиления
в этой точке и обозначается Ло. Из фиг. 46 видно, что
§ 2] СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТА И СИСТЕМЫ 61
—rtga, где г—коэффициент, учитывающий масштабы
ОСеЙ ХВЫх о и -^вх о*
Астатический элемент при некотором значении вход-
ной величины Хвхо = ^вхо находится в равновесии при
любом значении выходной величины, а при иных входных
воздействиях Хвхог=^вхо вообще не имеет равновесия.
В этом смысле статической характеристикой астатиче-
ского элемента служит прямая, параллельная оси ХВыхО
(фиг. 48).
Если к статической характеристике элемента может
быть проведена вертикальная касательная, то точка,
в которой касательная вертикальна, называется точкой
астатизма (фиг. 49).
Значение kQ служит мерой статизма элемента. Свой-
ства элемента тем больше приближаются к астатическим,
чем больше к0.
Кривые, определяющие изменение установившихся
значений всех обобщенных координат системы при раз-
ных значениях нагрузки или настройки, называются ста-
тическими характеристиками по соответствующим коор-
динатам. Особое значение имеет статическая характери-
стика по регулируемой координате. Ее называют иногда
статической характеристикой системы регулирования.
62 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. I
По статическим характеристикам всех элементов си-
стемы можно построить статическую характеристику си-
стемы регулирования в целом.
Построение статических характеристик систем регу-
лирования начнем с рассмотрения процесса прямого
регулирования.
Предположим, что заданы статические характери-
стики регулируемого объекта для разных значений на-
грузки Хн и статическая характеристика регулятора
(фиг. 50).
§2] СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТА И СИСТЕМЫ 63
Изобразим эти статические характеристики на одном
графике (фиг. 51), учтя, что выходная координата объекта
является входной координатой регулятора, а выходная
координата регулятора служит входной координатой регу-
лируемого объекта:
-ХвЫХ. Об = -XflX. р = -Хр
-Хвых. р = -Хвх. Об = -Хй*
64 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Точки пересечения определяют и Х2 на установив
шихся режимах при разных нагрузках (фиг. 51, а).
По точкам пересечения легко построить кривые измене-
ния Х1о и Х20 при изменении нагрузки (фиг. 51, б),
т. е. статические характеристики системы регулиро-
вания.
Если процесс регулирования вызывается сбросом на-
грузки с В до Л, то по фиг. 51, б сразу определяется Х10
и Х2о как ПРИ нагрузке Л, так и при нагрузке В.
Пусть Х10—регулируемая координата. Тогда отрезок
С (фиг. 51, б) определяет статическую ошибку или не-
§ 2] СТАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕМЕНТА И СИСТЕМЫ 65
равномерность регулирования при сбросе нагрузки
с В на Л.
Если бы регулятор был астатическим, то его статиче-
ской характеристикой была бы вертикальная прямая и
статической характеристикой регулирования служила
бы горизонтальная прямая (фиг. 52). Неравномерность
была бы равна нулю, регулирование было бы астати-
ческим.
Если учесть при этом построении наличие настроеч-
ного органа у регулятора, то вместо одной характеристики
регулятора пришлось бы рассматривать семейство харак-
теристик и система регулирования в целом характеризова-
лась бы семейством статических характеристик (каждая
кривая этого семейства относилась бы к своему значению
настройки).
Совершенно аналогично строится статическая характе-
ристика непрямого регулирования, но в этом случае
система регулирования состоит более чем из двух элемен-
тов и предварительно строится статическая характери-
стика регулятора по статическим характеристикам его
элементов.
Построение может быть выполнено непосредственно
на графике, если учесть, что выходная координата пре-
дыдущего элемента является входной координатой после-
дующего элемента.
Пример. Построим статическую характеристику регулятора,
состоящего из чувствительного элемента и двух сервомоторов, каж-
дый из которых имеет обратную связь. Статические характеристики
каждого из элементов порознь представлены на фиг. 53.
Точки статической характеристики регулятора в целом лег-
ко получить, если расположить характеристики отдельных элемен-
тов так, как это показано на фиг. 54. Характеристика регулятора
построена во 2-м квадранте.
Если среди элементов регулятора есть астатический
элемент, то характеристикой регулятора будет служить
вертикальная прямая.
Подобное построение легко выполнить и для систем,
содержащих обратные связи. Для этого надо предвари-
тельно точно таким же построением найти статическую
характеристику каждого участка цепи, содержащего об-
ратную связь.
5 м. А. Айзерман
66 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО /МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
После того как статическая характеристика регуля-
тора построена, по ней и по статической характеристике
регулируемого объекта строится статическая характе-
ристика системы регулирования так, как это было описано
выше для случая прямого регулирования (фиг. 51). Далее,
по статическим характеристикам отдельных элементов
находятся установившиеся значения всех обобщенных
координат при каком-либо режиме, например, при каком-
либо фиксированном значении нагрузки регулируемого
объекта.
В результате описанного построения находятся гра-
фики, определяющие равновесные значения всех коорди-
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
67
нат системы для каждого из возможных режимов (напри-
мер, для разных значений нагрузки.на объект, для раз-
ных значений настроечных параметров и т. д.).
§ 3. Уравнения элементов системы
В предыдущем параграфе было показано, что при
изменении режима (нагрузки на объект, положения наст-
роечного органа и т. д.) меняется значение коэффициента
усиления элемента. Далее будет показано, что и другие
свойства элемента также зависят от режима. В связи
с этим процесс регулирования исследуется на каждом из
возможных режимов порознь*).
*) Заметим сразу же, что из исследования системы порознь
на всех возможных режимах нельзя сделать каких-либо выводов о
свойствах системы при больших сбросах нагрузки. Например, из
того факта, что при любом значении нагрузки N в некоторых пре-
делах 7V1<2V<7V2 процессы, вызванные малым изменением нагрузки,
Удовлетворяют каким-либо техническим условиям, не следует, что
этим же техническим условиям будет удовлетворять процесс, вызван-
ный большим изменением нагрузки, даже если она не выходит за
пределы N1<N<N2.
s*
68 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Условимся при таком исследовании за нуль отсчета
всех обобщенных координат принимать равновесное зна-
чение этих координат, определенное по методу, описанному
в предыдущем параграфе. Если система находилась в каком-
либо положении равновесия и затем в результате измене-
ния нагрузки на регулируемый объект или в результате
воздействия на регулятор (изменения его настройки) пере-
ходит в новое положение равновесия, то за нуль отсчета
всех обобщенных координат примем их значение в поло-
жении равновесия, которое было в системе до действия
возмущения.
Значения координат, отсчитанных от этого нуля,
обозначим ДХ с сохранением того же индекса, так что
ДХвх = Хвх— Хвх с, ДХвых = Хвых Хвых о>
где Хвх, Хвых — входная и выходная координаты, отсчитан-
ные от произвольно выбранных нулей, а Хвхо, Хвыхо —
значения Хвх и Хвых на исследуемом режиме. Часто
удобно переходить к безразмерным координатам, которые
будем обозначать строчными буквами с теми же индексами:
Д^вх х __ Д^вых
хвх— # > ^ВЫХ— * ,
Лвх Л вых
где XJx и Х£ых — произвольно выбранные значения вход-
ной и выходной координат (базисные значения*)).
Уравнением движения элемента называется уравнение
(обычно — дифференциальное), определяющее изменение
во времени выходной координаты элемента по заданному
изменению во времени его входной координаты.
Автоматическое регулирование—столь широкая область,
что нет возможности заранее вывести уравнения всех эле-
ментов, встречающихся на практике. В этом и нет нужды,
так как, составляя исходные уравнения, приходится каж-
дый раз считаться с новыми фактами, результатами новых
исследований. Для того чтобы возможно точнее описать
процесс в любом элементе, надо опираться на последние
достижения науки. Поэтому вывод исходных уравнений
*) Выбор базисных значений используют иногда для уменыпе-
ния числа коэффициентов, входящих в уравнения процесса регу-
лирования и имеющих значения, отличные от единицы.
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
69
(2.1)
не может быть проделан раз навсегда и остается твор-
ческой задачей, решать которую приходится инженеру
каждый раз заново, учитывая специфику рассматриваемого
частного случая.
Исходное уравнение элемента чаще всего связывает
скорость изменения отклонения выходной координаты
с отклонением значений входной и выходной коор-
динат ДХвх И ДХвых и сводится к виду
^? = F(AXBX> ДХвых).
В некоторых случаях, как это далее будет показано,
исходное уравнение содержит, кроме того, вторую произ-
водную от выходной координаты и сводится к виду
= F ( ДХвх> ДХвых, d-^') . (2.2)
Ход рассуждений, связанных с выводом исходных урав-
нений, т. е. с определением функций F в уравнениях
(2.1) и (2.2), продемонстрируем на ряде типичных задач.
1) Уравнение двигателя (дизеля, карбю-
раторного двигателя, паровой машины) как
объекта регулирования. За обобщенную выход-
ную координату примем изменение угловой скорости
ДХВых = Д(|)’ За входную координату примем изменение
положения регулирующего органа (для краткости мы
будем называть его заслонкой*)) ДХвх = Да.
Уравнение движения маховика двигателя имеет вид
= (2.3)
где / — приведенный момент инерции движущихся масс
двигателя; ДАТ—разность между изменением момента,
развиваемого двигателем, и моментом сопротивлений. Обыч-
но ДЛ/ = /т(До), Да).
Уравнение (2.3) перепишем в виде
/^вых = /-№ых) ДХвх).
*) Например, дроссель карбюраторного двигателя, рейка насоса
Дизеля и т. д.
(2.4)
70 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Вид функции F(AXBbIX, ДХвх) определяется характером
моментных характеристик двигателя и зависимостью внеш-
них сопротивлений от угловой скорости.
Пример протекания функции F (ДХвых, ДХвх) показан
на фиг. 55.
2) Уравнения емкости (одноемкостного
элемента). Многие элементы систем автоматического
регулирования могут быть объединены одним термином —
емкость. Хотя такие элементы и отличаются внешне друг
от друга, процессы в них подчинены однотипным законам
и, следовательно, описываются одинаковыми уравнениями.
Элемент называется емкостью в том случае, если вы-
полняются следующие три условия: 1) равновесие в этом
элементе зависит от равенства притока и оттока какого-либо
рабочего агента; 2) элемент содержит только один «резер-
вуар», в котором может увеличиваться или уменьшаться
количество рабочего агента, если приток не равен оттоку;
3) приток и отток рабочего агента зависят только от вход-
ной или одновременно от входной и выходной координат
элемента.
Емкость называется пневматической в том случае, если
протекающим и оттекающим рабочим агентом служит газ
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
71
(например, воздух), резервуаром - какой-либо объем,
а выходной координатой - давление в этом объеме.
Рассмотрим какой-либо объем V и пусть газ (напри-
мер, воздух) притекает в этот объем через сечение /х и вы-
текает из него через сечение /2. Пусть мгновенное значение
секундного расхода воздуха через Д равно Qv а мгновенное
значение секундного расхода воздуха через /2 равно (?2.
Условимся приписывать индекс 0 значению и ф2,
а также /х и /2 в момент установления равновесия, так что
<210 ~ (?20-
Если равновесия нет, то
Q1 ~ <210 + а (?2 = (?20 4“ ^(^2-
За время dt количество воздуха, содержащееся в V,
увеличивается или уменьшается на величину &Qdt =
==(^^1 — и, следовательно, дифференциал удельного
веса у воздуха в объеме V равен
= или Vd-[ = &()dt.
Пренебрегая изменением температуры в процессе малых
изменений 7 и воспользовавшись уравнением состояния газа
у = 7?Табс или dp^RT^d^
получим:
рХ— dp = kQ-dt,
Ml абс
где р — давление воздуха в объеме V, R — характеристи-
ческая постоянная воздуха, 7\бс —ег0 абсолютная темпе-
ратура. Тогда
где
Ml абс
Пусть давление воздуха в объеме V в момент достиже-
ния состояния равновесия равно pQ, так что р = р0 +
72 П0ЛУЧЕНИЕ1ИСХ0ДН0Г0 МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Отклонение давления—выходной координаты—обозна-
чим через ДХвых. Тогда D = &Q-
Значение разности
= (2.5)
зависит, вообще говоря, от отклонения выходной и вход-
ной координат. Входной координатой могут быть (фиг. 56):
1)^ сечение Д (или /2), если это сечение меняется клапаном,
Фиг. 56.
золотником и т. д.; 2) давление в пространстве, из
которого происходит истечение в объем V, если это давле-
ние является выходной координатой предшествующего
элемента; 3) давление р2 в пространстве, куда происходит
истечение из V, и т. д. В любом случае
&Q — Р(^^вх? А-^вых)»
и следовательно, уравнение движения имеет вид
^ьа = ±Г(ДХ-вх, ДХвых). (2.6)
Это уравнение совпадает с уравнением двигателя (2.4),
если заменить в нем / на D.
Емкость называется гидравлической в том случае, если
притекающим и оттекающим рабочим агентом служит
жидкость, резервуаром — какой-либо объем, а выходной
координатой — уровень жидкости в этом объеме.
В наиболее общем случае (фиг. 57), когда приток
и отток жидкости зависят от уровня в емкости, формула
для секундного притока жидкости через сечение /х за-
пишется в виде
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
73
а для секундного оттока через сечение /2 в виде
<22 = М У Vlh-P»
где sl = f1^v s2 = f2P2', Д и /2 —проходные сечения, рх
и р2 — коэффициенты расхода, Л —уровень.
Л
sz ~ fifh
Фиг. 57.
Количество жидкости в емкости изменяется за время
dt на величину
и поэтому
dt= у dV,
где V — объем жидкости, находящейся в емкости.
Пусть V есть функция от h. Тогда
dV _ dV dh _ AQ
dt dh dt y *
В простейшем случае цилиндрического сосуда
т7 . dV dh AQ
V=sh, -—— = s и —
dh dt fs
где s — площадь сосуда.
Пусть h = hQ + А-Хвых, а входной координатой является
приведенное проходное сечение впускного дросселя
= 5о 4“ д^вх. Тогда
а^вых = AQ = ^(АХвх> АЛГВЬ1Х)
dt fs Y$ 1
или
= дхрых),
74 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
где
D —
и
F (ДХвх, Д^вых) — - &Q —
— (5о Н" Д^вх) 7 Pi Т^о тА-^вых
- Мр^у/Йо + Т^вых-Аг (2.7)
Рассмотрим теперь тепловую емкость.
Любое тело, твердое, жидкое или газообразное, назы-
вается тепловой емкостью, если к нему подводится и от
него отводится тепло, а выходной координатой служит
средняя температура тела.
Полностью исключая здесь из рассмотрения явления,
связанные с распространением тепловой волны, ограничим-
ся только дискретной идеализацией процесса.
Пусть 0—температура тела, имеющего массу М и тепло-
емкость единицы массы С. Положим, что и (^ — коли-
чество тепла, соответственно подводимого к телу и отводи-
мого от него в единицу времени, причем
И
Q2 = Q20 “Т" ^(?2’
где (?10 = ^20 — количество тепла, подводимого (отводимого)
при тепловом равновесии. Тогда
^1-^2 = ^
есть тепло, затрачиваемое в единицу времени на измене-
ние температуры тела.
Если dO — изменение температуры за время dt, то
МС dQ = kQ dt
и, следовательно,
мс^ = ьо,
dt х
или
“.») (2.8)
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
75
Как подвод тепла &QV так и отвод его зависят
от условий теплообмена и, в частности, от изменения
положения регулирующего органа ДХ"вх, влияющего на
условия теплообмена; кроме того, либо обе величины
и 4(?2, либо хотя бы одна из этих величин зависят от
изменения температуры, являющейся выходной координа-
той, т. е.
±Q = F^XBX,SXBblx),
причем
F (0, 0) = 0.
В каждом конкретном случае функция F вычисляется
в соответствии с законами теплопередачи и излучения тепла.
Двигатель, о котором шла речь выше, также может
рассматриваться как емкость. Равновесное значение выход-
ной координаты (угловой скорости) определяется равен-
ством крутящего момента двигателя моменту сопротивле-
ния. «Резервуаром», аккумулирующим в данном случае
энергию при нарушении этого равенства, служит приведен-
ная масса маховика. «Приток энергии» зависит от входной
и выходной координат, а «отток» — только от выходной
координаты.
3) Механический центробежный чувстви-
тельный элемент. Выберем точку элемента, к кото-
рой приведем его массу и все действующие на него силы.
В общем случае все приведенные силы можно разде-
лить на:
1) силы, являющиеся функциями скорости выходной
координаты и действующие в противоположном ей на-
правлении;
2) силы, которые зависят только от выходной коор-
динаты;
3) силы внешнего воздействия, к которым относятся,
в частности, силы, зависящие от входной координаты.
Пусть ХВых (выходная координата) есть отклонение
муфты чувствительного элемента от равновесного положе-
ния, а Хвх (входная координата) есть отклонение регули-
руемой величины, измеряемой чувствительным элементом,
от равновесного значения.
76 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
В общем случае Л/Пр — приведенная масса — является
функцией обобщенной координаты Хвых. Обозначим ее
Л/пр = 7И(Хвых). Поэтому сила инерции равна
М(Хвых)^а.
К первой группе сил относятся силы сухого трения
и силы вязкого трения
Силы, относящиеся ко второй и третьей группе, могут
быть самыми разнообразными линейными или нелинейными
функциями от обобщенных координат Хвых и Хвх. Обозна-
чим их /2(Хвх, Хвых).
Дифференциальное уравнение чувствительного элемента
напишем в соответствии с принципом Деламбера в виде
мы ^+/;сй4г)+/.(т)+
+ /2(*вых, Хвх) = 0. (2.9)
4) Уравнение движения гидравличе-
ского сервомотора. У равнение движения поршня
сервомотора определяется в основном законом нераз-
рывности струи.
Пренебрежем сначала массой поршня и внешней на-
грузкой, преодолеваемой поршнем при движении. Тогда
поршень подобен тонкой пленке жидкости, не ока-
зывающей сопротивления перемещению столба жидкости
(фиг. 58, а). В этом случае малое перемещение пленки
будет определяться уравнением
5 d Хвых = fv dt = р/ Pi dd*
где s —площадь поверхности пленки; / — сечение канала,
по которому подводится масло; это сечение изменяется
положением дозирующего органа (заслонка, золотник
и т. д.); и —скорость жидкости в сечении /; — избыточ-
ное давление; Хвых — изменение уровня жидкости (пере-
мещение рассматриваемой пленки); у — удельный вес; g —
ускорение силы тяжести; |х — коэффициент истечения.
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
77
Если только рг = const, то это уравнение можно запи-
сать так:
^°ых — const |1/.
(it ‘ *
Эффективное сечение канала р/ является функцией
(фиг. 58, б) приращения открытия дозирующего органа
Хвх, т. е. p7 = <p(XBX), и уравнение движения поршня
принимает вид:
^ = Л<Р(ХМ),
где
(2.10)
Рассмотрим теперь сервомотор, схематически предста-
вленный на фиг. 59. Будем считать, что весь цилиндр
как над, так и под поршнем заполнен маслом, а золот-
ник устроен так, что изменения проходных сечений
во впускном и сливном окнах всегда одинаковы по вели-
чине, но противоположны по знаку.
Теперь уже истечение масла происходит под действием
перепада р1 — рх или рх — pQ, где рх — давление в цилин-
дре. Уравнение неразрывности струи приводит к равенству
или
Р1-РХ-=РХ-Р^
п _ Pi+ Ро
Рх 2
78 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Поэтому перепад, под
дит истечение, равен
Р1~-РХ = Р1
действием которого происхо-
/Ч + А) Pi —Ро
2 2
Таким образом, уравнение (2.10) может служить также
и уравнением идеального двустороннего сервомотора,
V Л Р1 - Р(\
если в формуле для А заменить на 2 , т. е. поло-
жить в этом случае
На фиг. 60 показано
обычное протекание функции
|i/ = /(XBX) для золотника,
изображенного на фиг. 59,
если Хвх — смещение золот-
ника из среднего положения.
Кривая эта симметрична от-
носительно точки О. Уча-
сток — ОАОХ соответствует
«мертвому ходу» золотника (на фиг. 60 для наглядности
он сильно увеличен).
Обратимся теперь к сервомотору со струйной трубкой,
представленному схематически на фиг. 61. В этом
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
79 \
сервомоторе меняется не проходное сечение, через которое
масло поступает в цилиндр, а перепад давлений pv равный
разности давлений па выходе из приемных сопел.
Если предположить, что этот перепад зависит лишь
от угла поворота струйной трубки ДХвх, то график функции
= /(АХвх) подобен фиг. 60 при очень малом уча-
стке —
Фиг. 61.
Попрежнему движение поршня сервомотора двусто-
роннего действия подчинено уравнению
Р*/ “ Pl dt “ $
но теперь уже pf = const, a pt = (Хвх).
Поэтому уравнение движения сводится к виду
(2.11)
где _
n^'tLVJL'
sr y
5 —площадь поршня, / — проходное сечение в начале
сопла.
При выводе уравнения сервомотора можно считать
вторичными все те факторы, которые обусловливают
80 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
различного рода отклонения от уравнений движения
(2.10) или (2.11). К таким факторам относятся, например:
влияние инерции поршня и других движущихся с ним
масс, влияние нагрузки, преодолеваемой поршнем при его
движении, влияние гидравлических сопротивлений на под-
водящей и сливной линии ит. д.
Роль всех этих факторов состоит в том, что они
уменьшают перепад давлений, под действием которого
масло перетекает через впускное окно.
Вернемся теперь к сервомотору, показанному на фиг. 59.
При выводе его уравнения учтем теперь влияние ука-
занных вторичных факторов.
Обозначим через Л/^Хвых) приведенную к поршню
массу всех движущихся вместе с ним деталей, в том
числе и регулирующего органа*), через /У(Хвых) —силу,
приложенную к штоку поршня, а через Ду? = &р —
потерю напора на гидравлические сопротивления в под-
водящем и сливном трубопроводах.
Истечение жидкости в цилиндр происходит под дей-
ствием перепада давлений
М(^вых) ^— + Я(Хвых)
Р1-Рх-Ьр--------------р---------->
где
м (Хвых) ^ых + N (Хвых)
F
есть противодавление, оказываемое поршнем.
Из условия неразрывности струи теперь получаем:
У Рг-Р,-^-~М (Хвы,) JV (Х,„) =
= s^“. (2.12)
5) Электрический четырехполюсник. Рас-
смотрим изменение заряда q на обкладках конденсатора,
*) Эта приведенная масса может быть, конечно, и постоянной
величиной.
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ СИСТЕМЫ
81
включенного последовательно в цепь, содержащую, кроме
конденсатора, индуктивность и омическое сопротивле-
ние (фиг. 62).
Пусть изменение напряжения на зажимах (входная
координата) задано в виде U (/). Тогда падение напря-
Фиг. 62.
жения на омическом сопротивлении, индуктивности
и емкости соответственно равны
R dt ’ Ldt* cq’
но q = CUc, Поэтому соответствующие падения напряже-
ния можно выразить через Uc так:
dUr d2Ur
RC1T’ LC-di и u<>
Следовательно,
d?Ur dUr r
LC^ + RC-jS + Uc = U(l).
Обозначим
U с = Хвых> U(t) = XBX,
Тогда уравнение четырехполюсника будет иметь вид
CL^^+CRd-^ + XBUX = XBX. (2.13)
6) Двигатель постоянного тока. В качестве
примера вывода уравнения электрического двигателя
рассмотрим двигатель постоянного тока с независимым
возбуждением в случае, когда выходной координатой
служит угловая скорость якоря, а входной координатой —
6 М. А. Айзерман
82
ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
изменение напряжения, приложенного к якорю при неиз-
менном потоке возбуждения (фиг. 63).
Уравнение моментов
Jd£ = MK-Mc,
где J— момент инерции якоря, со —угловая скорость,
а Мд и Мс — момент движущий и момент сопротивлений.
Выразим движущий момент Мд через ток в обмотке
якоря:
Мд = С*МФ £я.
Здесь — моментная постоянная двигателя, Ф — магнит-
ный поток якоря, гя —ток в обмотке якоря.
Будем считать, кроме того, момент сопротивления
линейной функцией угловой скорости
^я
Фиг. 63.
Мс = аи).
Тогда
V 7^ = С'мФгя-а0).
Уравнение цепи якоря
Г = е + Ля^ + 7?я1я,
где U — напряжение на за-
жимах двигателя;^—э. д.с.,
Ья и 7?я - соответственно
индуцированная в якоре;
индуктивность и омическое
сопротивление якоря.
Значение е можно выразить так:
е = СеФш,
где (^ — постоянная двигателя.
Таким образом, для со и £я получаем два уравнения:
§ 3].
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ_СИСТЕМЫ
83
Исключая /я, находим:
JLa J 4- (RJ + аья) d^+(aR + СмСеФ) а> = СМФСЛ (2.14).
7) Электромашиной усилитель (фиг. 64).
Пренебрегая взаимоиндукцией обмоток 1 и 2, будем
считать напряжение UB (в обмотке 1) постоянным и задан-
ным. Составим прежде всего уравнение электрического
равновесия обмотки 2, на которую подается входной
сигнал U:
где L2 и /?2 — индуктивность и
обмотки, i2 — ток в ней, a U —
входное напряжение.
В линейной части характе-
ристики намагничивания напря-
жение UK на зажимах коротко-
замкнутой обмотки равно
?7К — к212,
а при одинаковых обмотках
1 и 2 (R^RJ
UK = к' —
омическое сопротивление
Фиг. 64.
UB ив
где 4 = -д- = , а для i2 уравнение было получено выше.
У равнение электрического равновесия короткозамкнутой
цепи
UK = LK^ + RKiK,
где LK и /?к — индуктивность и сопротивление коротко-
замкнутой цепи; —ток в ней.
Выходное напряжение UH пропорционально iK:
Исключая из этих уравнений все переменные, кроме ия
6*
84 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. 11
и U, и считая, что = 0, получим:
LkL2 + (Lk7?2 + L27?k) + BKB2U я = к'к" (С7В - U).
Обозначив UB — U=XBX и ?7я=Хвых, получим:
LkL2 ^-^ + (LKB2 + L2BK)d-^ + Т?кТ?2Хвых = к'к"Хвх.
(2.15)
§4. Линейная модель элемента. Линеаризация
уравнений
Среди рассмотренных выше примеров встречались эле-
менты, у которых процесс описывается линейным диф-
ференциальным уравнением с постоянными коэффициен-
тами. Этому условию удовлетворяют, например, электри-
ческие четырехполюсники, не содержащие железа (урав-
нения (2.13)). Уравнения остальных рассмотренных эле-
ментов нелинейны.
Получить сколь-либо общие результаты удается только
в тех случаях, когда можно ограничиться рассмотрением
малых возмущений, т. е. считать, что АХвых и —вели-
чины малые. Слова «ДХвых и AXBX — величины малые»
надо понимать здесь в следующем смысле: квадраты,
более высокие степени и произведения этих величин зна-
чительно меньше их первых степеней и пренебрежимо
малы.
Только при таких допущениях применимы общие
методы линейной теории регулирования, излагаемые
в следующих главах. Это обстоятельство сильно сужает
возможность уверенно применять линейные методы теории
автоматического регулирования при практических расчетах.
Линейные методы не могут обоснованно применяться даже
для малых возмущений, если система содержит нелинеа-
ризуемые нелинейные элементы.
Элементы, для которых нелинейные уравнения могут
быть заменены линейными, хотя бы для малых возмуще-
ний, называются линеаризуемыми. Предположим теперь,
что система содержит только линейные и линеаризуемые
элементы и что рассматриваются только малые возму-
щения. Линейные уравнения, полученные в результате
§ 4]
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕМЕНТА
85
предположения о том, что возмущения малы, называются
уравнениями линейного приближения.
Замена истинного уравнения уравнением линейного
приближения означает по существу замену рассматрива-
емого элемента другим элементом —его линейной моделью.
Рассмотрим сначала случай, когда исходное уравне-
ние сводится к виду (2.1). Заменим его линейным урав-
нением
^^ = МХвх-й1^вых. (2.16)
Аналогично в случае исходного уравнения (2.2) заменим
его уравнением
- й1ДХвых - а2 . (2.17)
Числа а и b в уравнении (2.16) или (2.17) выбираются
так, чтобы соблюдались равенства:
L д^л:вх j 0.
_ — Г dF 1 - Г dF '
1 JO* 2 а ^Д^ВЫХ
L dt о
Индекс 0 указывает, что производная взята в начале
координат, т. е. в выражение для производной подста-
влены значения JVBX 0 и XBblxo, соответствующие рассма-
триваемому рабочему режиму, принятому за нуль при от-
счете приращений:
ДХвхО = АХВыхо= [^Г]о = О.
Из самого этого определения следует, что такое построе-
ние линейной модели возможно лишь при условии, что
указанные производные имеют единственное и конечное
значение, отличное от нуля. В противном случае элемент
называется нелинеаризуемым.
Для того чтобы найти числовые значения коэффициен-
тов а и Ь, надо не только знать функцию F, но и опре-
делить предварительно статическим расчетом (см. § 2
этой главы) значение и .ХрЫХ па рассматриваемом
режиме.
86 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Пример 1. Линейная модель емкости. Заменим
нелинейное уравнение емкости (2.6) линейным уравнением
= - аЛТвь[х + МХвх,
at
положив
_ dF^X™ Д^вых) 1 ь== 1_Г dF^X^ д^вых) ] .
D [ дДХвЫх Jo’ F L дДХвх Jo
В тех случаях, когда функция F(^XBXt ДАГВых) задана аналити-
чески, производные могут быть вычислены непосредственно.
Если же функция эта задана семейством кривых, то значе-
ния а и b находятся построением касательных в точке, соответ-
ствующей рассматриваемому
yj режиму и определяемой ста-
/л тическим расчетом.
Пример 2. Линей-
" ная модель чувстви-
тельного элемента. Рас-
смотрим теперь уравнение
____________________________(2.9).
tf/Гци Функция /х .
dt выражающая зависимость си-
лы сухого трения от скоро-
— ' » сти, имеет вид, показанный
на фиг. 65.
Эта функция имеет раз-
Фиг. 65- б^ВЫХ п п
рыв в точке —^-^ = 0. Опре-
деленной касательной в этой точке нет и при учете сухого
трения чувствительный элемент не является линеаризуемым
элементом.
В связи с этим и линеаризация уравнения (2.9) возможна
только в том случае, если пренебречь влиянием сил сухого тре-
ния. Если положить в (2.9) функцию /1 = 0 и перейти затем
к приращениям ДХвь1х и ДХвх, получим:
М (ЬХвых) dt™* —rfjBbIX "^2 №хвых, ^вх) = 0. (2.18)
Если обозначить
М = [М(АХвых)]ДХвых=0,
д а*Вых
dt J at
§4]
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕМЕНТА
87
д/гС^^вых» &Хвх) "|
ДХвх=0
дхвых=о
с= Г ^(ДАГвьгх, АЛГвх) J
L <5^ вых J д^вх—О
Д-^вых=0
где А, & и с—положительные числа, то уравнение линейной
модели чувствительного элемента примет вид
м + й^ь« + сДХвых=&ДХвх. (2.19)
Вернемся теперь к общему случаю и рассмотрим по-
дробнее уравнения (2.16) и (2.17). Их удается иногда
упростить, если перейти от абсолютных координат к от-
носительным (безразмерным) координатам.
Пусть ДХвх и ДХвых — некоторые произвольно выбран-
ные, но вполне определенные значения координат ДХвх
и ДХвых, а отношения •
_ ДЛГВХ __ АЛГвых
Жвх“ДЛГ* и вы1“д^ш
— относительные или безразмерные значения входной
или выходной координаты.
Заметим, что
^ВЫХ __ 1 ^А-ЗГвЫХ.
dt “ AZ*bIX dt 1
^2;ГВЫХ _ 1 ^2Д^ВЫХ
dt2 “ ДЛГ*ЫХ dt2
и т. д. Подставляя эти значения явх, явых; —, d
в уравнения (2.16) и (2.17), получим уравнение линейной
модели в безразмерных координатах.
Уравнение (2.16) сводится к виду
Д^ых = Ь±Х*юхвх - а^Х*выххвых, (2.20)
а уравнение (2.17) к виду
Д^в*ых^=&ДХв^вх-а1ДХв*ыххвых-а2ДХгь1Х-^. (2.21)
88 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Предположим сначала, что коэффициент аг не равен
нулю. Тогда возможны две формы записи уравнений
линейной модели в относительных координатах.
~ " поделить
при £Вых,
Первая форма записи получается, если
уравнение (2.20) или (2.21) на коэффициенты
т. е. на арАХвых:
1 ^вых J „ Ь ДХвх
1 37ВЫХ I g2 ^ВЫХ I /у, _ АХвХ
ах Л2 -1'а1 dt вь,х “ Я1 ДХ*ЫХ вх’
Вторая форма записи получается*), если
уравнение (2.20) и (2.21) на коэффициент при #вх, т. е.
на &ДХвх’.
(2.22)
(2.23)
поделить
А Хвых dхвых । а1 АХВых „ _„ /о qz\
+ ^вых-^вх,
А^вых С?2^ВЫХ I а2 А-^вых ^вых I а1 А^вых
&ДХ* dt2 "Г Ъ ДХ* dt Ъ ДЛГ* вых вх’
ВХ ВЛ ВЛ
(2.25)
Если коэффициент а1 = 0, то первая форма записи урав-
нений получается совершенно так же, но делить уравне-
ние надо на коэффициент при
^ВЫХ __ L
dt
(2.26)
(2.27)
^вых .
dt
АХ*х
’ Жвх’
1 б?2а?вых । ^вых_
а2 dt* ф dt ~ а2 ДХ*ых *вх‘
Вторая форма записи уравнений в случае аг = 0
не отличается от (2.24) и (2.25); надо положить лишь
в (2.24) или (2.25) ^ = 0.
Вспомним теперь, что числа ДХ£х и АХвых, которые
были введены при переходе от абсолютных координат
к относительным, могут быть выбраны произвольно. Этим
*)]Иногда пользуются третьей формой записи уравнений,
которая получается, если уравнение (2.20) или (2.21) поделить
на коэффициент при старшей производной. Такая форма записи
уравнений менее удобна и в этой кциге не будет использована,
§4]
ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕМЕНТА
89
произволом можно воспользоваться, чтобы упростить урав-
нения линейной модели в относительных координатах как
при первой, так и при второй форме записи.
Так, например, если в уравнении (2.22) и (2.23)
ДХ* а
выбрать и Д^вых так, чтобы — -у-, то коэф-
фициенты при #вх будут равны единице и уравнения
(2.22) и (2.23) сведутся к виду
и
1 37 ВЫХ [ а2 ^ВЫХ I „
аг dt2 ‘ai dt Г вь
а уравнения (2.24) и (2.25) —к виду
А^вых ^а?вых I __
~6ДЛГ*Х dt "1" ^вых ’
И
А^ЫХ ^Я'ВЫХ I «2 А^вых с?^вых I
6ДЛГ*Х dt2 Ъ ДЛГ*Х dt Гд;вых-^вх.
При составлении уравнений всех элементов системы
одна и та же координата входит в разные уравнения.
Разумеется, для любой из координат выбранная базовая
величина должна быть одинаковой во всех уравнениях
системы. Поэтому, выбрав какую-либо базовую величину
так, чтобы коэффициент в одном из уравнений обратился
в единицу, мы уже не можем распоряжаться этой же базо-
вой величиной в других уравнениях.
Рассмотрим подробнее уравнения (2.22) и (2.23), так
как далее в этой книге будет использована только пер-
вая форма записи уравнений. В обоих уравнениях вели-
чина #вых является безразмерной. Следовательно, безраз-
мерными должны быть и остальные слагаемые, содержа-
щиеся в (2.22) или (2.23).
п Ь
Рассмотрим прежде всего слагаемое — — хъх,
стоящее в правой части этих уравнений. Все это произ-
ведение должно быть безразмерным. Величина хъх — без-
размерная, следовцтедьно, не имеет размерности и вели-
90 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Ь ДХвх .
чина-----. Обозначим эту безразмерную величину
а1 ЛЛвых
буквой к и назовем ее коэффициентом усиления линей-
ной модели элемента.
Рассмотрим какое-либо новое положение равновесия
системы, отличное от того, которое было принято за на-
чало отсчета координат. Допустим, например, что нагрузка
и настройка имели вполне определенные значения, соот-
ветствующие исследуемому режиму, и что процесс регу-
лирования вызван малым изменением настройки, либо
нагрузки. Тогда при новом положении равновесия, которое
соответствует новому значению настройки или нагрузки,
относительные отклонения входной и выходной координат
элемента отличны от нуля. Пусть они равны xBX = xBXQ
И #вых = #вых о- Эти установившиеся значения хвх 0 и ггвых о
определяются статическим расчетом системы (см. § 2 этой
главы).
В положении равновесия все производные от #ВыХ
равны нулю, и уравнения (2.22) и (2.23) сводятся к виду
Явых о = кхвх о или к = .
Я'ВХ о
Коэффициент усиления линейной модели элемента
равен отношению равновесного значения выходной коор-
динаты к равновесному значению входной координаты*).
В левой части уравнения (2.22) содержится безразмер-
ное слагаемое #Вых-
Слагаемое —dx^, входящее в уравнение (2.22),
dt
и слагаемое входящее в (2.23), также должны
at
быть безразмерными. Но ~~^ых имеет размерность i/сек
1 «9
и, следовательно, — и — имеют размерность времени.
Обозначим в уравнении (2.22) —Т, а в уравнении
(2.23) ^=Th.
*) Значения к определяются отношением безразмерных коор-
динат. Поэтому к зависит от выбора базисных величин.
§ 5] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ 91
В уравнении (2.23) слагаемое —-^В2Ь1Х также безраз-
dt
О^Я'ВЫХ Л I о
мерно, а —— имеет размерность 1/сек2 и, следова-
1
тельно, размерность — в этом случае сек2. Обозначим
в уравнении (2.23) ^- = Т'2.
При этих обозначениях уравнения линейной модели
в первой форме записи сводятся к виду
Td^ + xabK = kxBX, (2.28)
T'2^^-+Thd-^ + XBai = kxBI. (2 29)
Величины 7" и 7, имеющие размерность времени,
называются постоянными времени элемента. Постоян-
ная Tk, также имеющая размерность времени, называется
постоянной времени демпфирования.
Коэффициент усиления к всегда зависит от
и ДХвых, а постоянные времени Т и Тк не зависят от них.
Во всех этих рассуждениях предполагалось, что av а2
и b — положительные числа. В этом случае все Т и к —
также положительные числа.
Если какой-либо из коэффициентов av а2 или b отри-
цателен, то в формулы для Т и к вводится абсолютное
значение этого коэффициента, так что Т и к попрежнему
остаются положительными числами, но изменяется соот-
ветствующий знак в уравнениях (2.28) и (2.29).
Совершенно аналогично строится линейная модель для
иных линеаризуемых элементов.
§ 5. Классификация линейных моделей элементов.
Собственный оператор и оператор воздействий.
Типовые элементы (звенья)
Выводя аналогично тому, как это было сделано в пре-
дыдущем параграфе, уравнения линейного приближения
различных элементов, получим уравнения вида
Т ^вых , —Рт
Zt ^ВЫХ - Л'Л-'ВХ»
92 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
гр ,2 ^вых [ гр dxBm , —
J- 1 k fr ИЗ Л-'ВЫХ — AJzBX,
Г^±;гвых = Ь;вх±р^,
/71/2 ^ВЫХ I гр ^ВЫХ ! „ _I п ^вх . Q ^2ЯВХ
1 ~~d^~ ± 1 ь ~dr 213 вых “ К вх 233 р dt ±S ~dtT •
Предположим, что начальные условия равны нулю
и что в третьем из этих уравнений хвх (0) = 0, а в четвер-
том, кроме того, #вх(0) = 0. Тогда преобразование Ла-
пласа *) выходной координаты любого элемента, описы-
ваемого такими уравнениями, связано с преобразованием
Лапласа входной координаты соотношением
(Р) [^вых] = (/?) [^вх],
где L [явых] и L [#вх] — преобразования Лапласа для #Вых
и ^вх, р — комплексное число, a d(p) и к (р) — много-
члены по р.
Многочлены d(p) и к(р) можно получить следующим
приемом: -заменим в уравнении линейного приближения
на pL[x]; на p2L[z] и т. д. и вынесем L[x\
за скобки. Тогда полиномы, оставшиеся в скобках,
и будут равны d(p) и к(р).
Так, например, переходя при нулевых начальных
условиях к преобразованию Лапласа в уравнении
Ji ^ВЫХ ;
Г ^вых - Л^ВХ,
получим:
TpL [#вых] 4“ [^вых] — [*^вх]>
ИЛИ
(ТР 4" 1 ) L [#вых] — [З'Вх] •
В этом случае
d(j))*=Tp-\A и к(р) = к.
*) О преобразовании Лапласа см. приложение 1.
§ 5] КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ МОДЕЛЕЙ ЭЛЕМЕНТОВ 93
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
гр/2 ^2:ГВЫХ I гр ^ВЫХ I | п ^ВХ
2 +* 1 ^~dT + *вых~к*вх^Р~ёГ •
После преобразования по Лапласу его можно запи-
сать так:
Т 2p2L [я:Вых] 4“ ТkpL [#Вых] 4" [^вых] — kL [^вх] 4“ РР^* [^вх],
или
(Г'2/?2 4- Thp 4-1) L [яВЫх] = ($р 4- A) L [явх].
В этом случае d (р) = Т'2р2 + Thp 4- 1 и к(р) = рр + к.
Многочлен d(p) называется собственным оператором
элемента *), а к (р) — оператором воздействий на элемент
или операторным коэффициентом усиления.
Наиболее часто встречаются элементы, имеющие сле-
дующие собственные операторы:
7>4~1; T'2p2 + Thp \-и ГУ4-1; Тр и Tp-i.
Они имеют особое значение в этой книге и им присваи-
ваются отдельные наименования и условные обозначения.
Элемент, у которого d (р) = Тр + 1, будет называться
одноемкостным и обозначаться квадратом □.
Элемент с d (р) — Т'2р2 + Thp 4-1 называется колеба-
тельным и обозначается далее на схемах прямоуголь-
ником ЕЗ.
♦) Термин «оператор» употребляется здесь в связи с тем, что
полиномы d (р) и к (р) могут быть введены не с помощью пре-
образования Лапласа, а введением операторной записи дифферен-
циальных уравнений. Если обозначить — = рх,
d2x
1л2
р2х, то, на-
пример, уравнение
Т,2 ^вых . Т йхцъ1х . _, . ^вх
1 dt2 + k dt +*вых-^вх + р-^-
можно записать так:
Т,2р2а?ВЬ1х 4~ ThpxQ^ -р а?вых==^:гвх 4” Р?*вх>
или
(Т'2/>2+Т/г?+1)тВЬ1Х = (Л + рр):гвх, т. е. d (р) явых = к (р) явх.
94 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Элемент с d (р) = Т'2р2-{-1 будет называться консер-
вативным и обозначаться заштрихованным прямоуголь-
ником Е2Э .
Для элемента с d(p) = Tp примем название астати-
ческий элемент и обозначим его кругом Q.
Наконец, элемент с d{p} = Tp — 1 назовем неустой-
чивым. Обозначать его будем треугольником V.
Операторы воздействий &(/?) чаще всего встречаются
следующих видов:
Л, k-Ypp и k-Ypp-^sp2.
Значительно реже, но все же встречаются операторы,
у которых знаки перед р и s отрицательные.
В случае к (р) = к = const воздействия на элемент назы-
ваются статическими. Если к(р) = к-\- ?р, то, кроме ста-
тического воздействия, имеется и воздействие по первой
производной, а в случае к (р) = к+ pp-\-sp2 —воздействия
как по первой, так и по второй производным.
Элементы, имеющие d (р) и к (р) перечисленных выше
видов, называются типовыми элементами или звеньями*}.
§ 6. Передаточная функция линейной модели системы.
Составление ее по уравнениям линейной модели
элементов
а) Понятие о передаточной функции. Из
уравнений всех звеньев всегда можно исключить все вход-
ные координаты, так как входная координата каждого
элемента может быть выражена через выходные коорди-
наты других элементов системы. В результате система
уравнений процесса регулирования будет состоять из
п уравнений, связывающих п обобщенных координат (здесь
п — число учитываемых степеней свободы). Процесс авто-
матического регулирования описывается совокупностью
этих уравнений.
*) В литературе встречаются иные наименования типовых
звеньев. Так, например, одноемкостное звено называют иногда
апериодическим, астатическое звено —нейтральным, звено с соб-
ственным оператором Т,2р2 + 1\р + 1 называют иногда колебатель-
ным, ^только если • выполняется неравенство 2Т' > Т\, и т. д.
В этой книге всюду используются только указанные термины.
§ 6] ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ 95
В наиболее общем случае на любой из элементов могут
воздействовать несколько входных координат (элемент
может иметь несколько входов). На некоторые из эле-
ментов осуществляются внешние воздействия. Кроме того,
все коэффициенты к или некоторые из них могут быть
многочленами от р, и в самом общем случае уравнения
движения линейной модели системы после перехода к пре-
образованиям Лапласа*) имеют вид
di (?) L [#i] + к12 (р) L [я2] + ... + kln (р) L [хп] = L [/2 (£)]» 1
^2i (?) L [^1] + d2 (р) L [rr2] + • • • + к2п (?) L = L [f2 (Z)], I
кП1 (?) L [^] + кП2 (р) L [х2] + ...+dn(p)L [zn] = L [fn (i)]. J
В каждом частном случае собственные операторы d (?)
и операторы воздействия к (?) имеют различный вид,
некоторые же из к (?) могут быть тождественно равны нулю.
В этой системе каждое уравнение соответствует одному
из элементов системы. Ограничимся пока случаем, когда
внешнее воздействие /(£) = /i(£), т. е. действует только
на какой-либо один элемент системы, которому и при-
писывается в этом случае индекс 1.
Чтобы найти преобразование Лапласа любой из обоб-
щенных координат х., надо решить систему алгебраиче-
ских уравнений (2.30) относительно L[x}]:
В этом равенстве Д (?) —определитель системы
(Р) Мр) • • • КгАР)
к21(Р) d2 (/0 ••• к2п (р) (2 31)
knl (Р) кп2 (/>) • • • dn (Р)
а Ду (?) —алгебраическое дополнение его элемента, рас-
положенного в первой строке и /-м столбце.
Уравнение
Д(?) = 0 (2.32)
называется характеристическим.
*) См. приложение 1 (стр. 388).
96 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Распределение его корней решает вопрос об устой-
чивости системы*).
функция
фМ = Т5Г' (2-33)
равная
отношению
L [*,]
L[f (*)]’
называется передаточной функ-
цией замкнутой системы для координаты и воздей-
ствия, приложенного к первому элементу.
При изменении рассматриваемой координаты или места
приложения возмущения меняется вид передаточной функ-
ции, но только за счет изменения числителя. Ее знаме-
натель, а значит, и характеристическое уравнение системы
при этом не изменяются.
В том случае, когда анализ процесса производится
по уравнениям элементов, исходным для анализа является
передаточная функция системы.
Передаточная функция системы может быть составлена
непосредственно по уравнениям ее элементов, без состав-
ления и развертывания в строку выписанных выше опре-
делителей. Для этого надо ввести предварительное поня-
тие о передаточных функциях элемента и более сложных
частей системы.
б) Передаточная функция элемента. Из
преобразованного по Лапласу уравнения элемента
d(p)L[
З'ВЫХ ] = ^(р)£[жи] (2.34)
следует, что
L [^вых] _ (р)
Z[#вх] d (р)
(2.35)
Отношение это, по аналогии с системой в целом, назы-
вается передаточной функцией элемента системы и обо-
значается W (/?).
в) Передаточная функция последователь-
ной разомкнутой цепи элементов. Рассмотрим
разомкнутую цепь из п элементов, последовательно воз-
действующих друг на друга так, что входной координа-
*) См. главу III и приложение 1.
§ 6]<ПЕРЕДАТ0ЧНАЯ функция линейной модели СИСТЕМЫ 97
той каждого элемента, кроме первого, служит выходная
координата предыдущего элемента (фиг. 66).
Фиг. 66.
Выписывая передаточные- функции для всех элемен-
тов такой системы, получим:
Ьквх] ^(р) £[явых] dn(p)
Исключая последовательно все L [ж], кроме £[явх]
и £[яВЬ1Х], получим зависимость между £[явх] и L[#BbIX]
для этой цепи элементов:
= W (£) = W1 О’) w2 (Р) wn (Р)’ (2-36)
или
<2-37)
где*)
к (р) = П A (р), a D (р) = П (Z. (р),
>=i >=1
ИЛИ
Ж(^)=п\ (р). (2.38)
3=1
В отличие от замкнутой системы для разомкнутой
системы передаточная функция обозначена W (р).
*) Знак П обозначает произведение всех величин, стоящих
за ней.
Далее иногда при рассмотрении произведения п сомножителей
]'=П
вместо П будем писать просто П .
7 М. А. Айзерман
98 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Таким образом, передаточная функция разомкнутой
цепи из п последовательно соединенных элементов равна
произведению передаточных функций этих элементов.
г) Передаточная функция замкнутой одно-
контурной системы. Рассмотрим теперь замкнутую
систему, у которой на вход каждого элемента воздей-
Фиг. 67.
ствует только выходная координата предыдущего эле-
мента. Такая система называется одноконтурной (фиг. 67).
Предположим, что внешнее воздействие осуществляется
на первый элемент (фиг. 67) и что требуется найти пре-
образование Лапласа координаты xk.
a) .
6}
Фиг. 68.
Разомкнем систему на входе в первый элемент
(фиг. 68, а). Тогда в соответствии с изложенным цепочки
элементов от первого до Л-го и от (к -4- 1)-го до n-го порознь
могут быть заменены условными элементами, передаточ-
ные функции IVг (р) и W2 (р) которых подсчитываются
§ 6] ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ 99
по выведенной выше формуле (2.38):
И\(р) = П Wf(p); w2(p)= П Wj(p).
3=1
Схема такой системы показана на фиг. 68, б.
Возвратимся теперь к замкнутой системе (фиг. 67).
К соотношениям
wAp) = ^} (2-39>
И
IV, (2.40)
вытекающим из самого определения «передаточная функ-
ция», добавим условие замыкания системы*)
^вх = -^п + /(0
или
И*вх]=-ад +£[/(<)]. (2.41)
Исключив из (2.39), (2.40) и (2.41) две переменные
L[#BX] и L[xn], получим:
L = 1 + ^1(?Ж(?) L
Искомая передаточная функция одноконтурной системы,
следовательно, равна
Ф (М — LAxh] = _____№1 (р)__ (2 АО)
(Р)~ L [/ (0] 1 + w. (?) W2 (Р) •
Числитель передаточной функции одноконтурной
системы равен произведению передаточных функций эле-
ментов, расположенных между местом приложения воз-
мущения и рассматриваемой координатой, а знамена-
тель — увеличенному на единицу произведению передаточ-
ных функций всех элементов системы.
*) Знак «минус» перед хп учитывает то обстоятельство, что
увеличение регулируемой величины, пройдя через всю цепь
элементов, должно вызвать закрытие регулирующего органа,
т« е. воздействие должно где-либо в одном месте (или в нечетном
числе мест) цепи изменить знак.
7*
100 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Характеристическое уравнение этой системы
1 + ^(р)Ж2(р) = 0
сводится к виду
1Ь, (р) + ПМр) _о
П dj (р)
ИЛИ
D(p) + K(p) = 0. (2.43)
Таким образом, левая часть характеристического
уравнения замкнутой одноконтурной системы равна
сумме двух слагаемых. Первым слагаемым является про-
изведение всех собственных операторов элементов, а вто-
рым—произведение операторных коэффициентов усиления
всех элементов.
д) Передаточная функция системы, со-
держащей внутреннюю обратную связь.
Ограничимся случаями, когда обратная связь не охваты-
вает элемента, к которому приложено возмущение, и эле-
мента, выходная координата которого является искомой
(фиг. 69). Предположим, что заданы передаточная функ-
ция обратной связи и передаточные функции всех эле-
ментов. Требуется определить передаточную функцию
системы в целом. С этой целью «вырежем» сначала из
системы обратную связь и шунтируемые ею звенья
(фиг. 69, б). Передаточная функция этой «вырезанной»
части системы может быть определена, если воспользо-
ваться формулой (2.42), так как вырезанная часть системы
сама является системой одноконтурной. Если ^(р) —
произведение передаточных функций элементов, шунтиро-
ванных обратной связью, то передаточная функция выре-
занной части системы W* (р) равна
pjz* (м — (Р)_____
1 + Жз(?)Ру4(/?) »
где W4(p) — передаточная функция самой обратной связи.
В связи с этим всю «вырезанную» часть цепи можно
заменить условным элементом, имеющим такую переда-
точную функцию.
В результате исходная неодноконтурная система
(фиг. 69, а) заменена условной одноконтурной (фиг. 69, в),
§6] ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ 101
имеющей такую же передаточную функцию, которая
может быть найдена по формуле (2.42):
Ф(п) =_______2М£)________
или
Ф(р) =___________________=
[Р) 1 W1(p)W2(p)W3(p)
ф 1 + ^3
1 + Ж3 (Р) Ж4 (р) + W, (р) Ж2 (р) Ж3 (р) •
В этих формулах W* (р) не входит в Wv
Фиг. 69.
В более сложных случаях передаточная функция и ха-
рактеристическое уравнение системы также определяются
аналогичными выкладками с помощью передаточных функ-
ций элементов системы или по их уравнениям.
102 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
§ 7. Статика линейной модели системы
автоматического регулирования. Передаточные
функции статических и астатических систем
С понятием «передаточная функция» тесно связан во-
прос об определении некоторых статических свойств линей-
ной модели системы автоматического регулирования.
В § 6 было показано, что преобразования Лапласа
L[xh] и L [/(Z)] связаны соотношениями
А[^] = Ж(р)Л[/(0]. (2.44)
Из теории преобразования Лапласа известно *), что
lim х (t) = lim pL [x (Z)].
f->oo p->0
Обозначим rrftCT —значение координаты xk, которое
установится в результате процесса регулирования (т. е.
limrrft(Z)), и положим /CT = lim/(Z). Умножив обе части
<->оо
(2.44) на р и перейдя к пределу при р ->0, получим:
lim xk (Z) — lim W (p) pL [/ (Z)]
f-»oo p—> 0
или
^ст = W)/ct, (2.45)
где /ст = lim / (Z) — установившееся (статическое) значе-
>oo
ние /(Z).
Пусть xh = xr — регулируемая координата, a /(Z) —на-
грузка на регулируемый объект с передаточной функ-
цией W1 от /(Z) к xv Если бы регулятор не был вклю-
чен, то вызванное возмущением / (Z) отклонение х± было бы
равно
%1 СТ = 1 (0) /ст = ст*
При включенном же регуляторе
СТ = Ф (0) /ст»
где
ф(0) - Г_______________1
L 1 + W. (р) Wp (р) ]р=о-
Здесь Wp (р) — передаточная функция регулятора в целом.
*) См. приложение 1 (стр. 378).
§ 7]
СТАТИКА ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ СИСТЕМЫ
103
Поэтому
х, ________^1(0)____f
1СТ~ 1 + Wi (0) (0) Мт
или
xi ст
Ж1СТ 1 + ^(0)^(0) •
Величина ст определяет отклонение регулируемой
координаты на новом установившемся режиме (при новой
нагрузке), т. е. статическую ошибку.
Итак, включение регулятора уменьшает статическую
ошибку в 1 + И\ (0) Wp (0) раз.
Пусть IV1(0)_M И (<»=-§> Тогда
х. —______(°) D?(°)_____f (2 46)
d'i ст ~ А (0) dp (0) + кг (0) кр (0) /ст k }
или
_ А(0)РР (р)_____________ *
1ст“ A(0)2)p(0) + /fH0)tfp(0) ст‘
(2.46')
Как видно из (2.46), система может быть сделана аста-
тической (т. е. с ст = 0 при любом /ст 0). Для этого
необходимо, чтобы _Dp(0) = 0.
Следовательно, любая система автоматического ре-
гулирования является астатической только в том слу-
чае, когда собственный оператор регулятора Dp(p)
содержит р множителем.
Из (2.46') следует, что в статической системе стати-
ческая ошибка тем меньше ошибки, которая была бы
при отсоединенном регуляторе, чем больше общий коэф-
фициент усиления Кг (0) Кр (0) разомкнутой системы.
Пусть
1 di (р)
104 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
где
2>(р) = П^(р); лГ(р) = П^(р).
Тогда
Ф (°) = В (0) + (0) к1 (°) •
Если D (0) = 0, то и Ф(0) = 0. Но (D) — 0 только
в том случае, когда регулятор содержит астатический
элемент.
Следовательно, одноконтурная система является аста-
тической, если регулятор содержит астатический эле-
мент. В противном случае система является стати-
ческой независимо от того, является ли регулируемый
объект астатическим или статическим элементом.
§ 8. Частотные характеристики линейного элемента
и линейной модели системы
Передаточная функция системы является исходной для
последующих расчетов в тех случаях, когда свойства всех
элементов системы заданы уравнениями движения.
Часто процессы, происходящие в отдельных элементах
(например, в объектах регулирования), изучены слабо,
и вывод исходных уравнений для таких элементов за-
труднен. В таких случаях в основу расчета кладут не
уравнения движения, а так называемые частотные ха-
рактеристики системы. Особенность частотных характе-
ристик состоит в том, что их можно не только построить
по линеаризованным уравнениям отдельных элементов,
но и найти экспериментально для тех элементов, уравне-
ния которых неизвестны. Необходимо лишь следить за
тем, чтобы элементы, у которых частотные характеристики
определяются экспериментально, были линейными или
близки к таковым. Метод экспериментального определе-
ния частотных характеристик, описываемый ниже, позво-
ляет попутно установить, линеен ли рассматриваемый
элемент системы или нет.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
105
а) Частотные характеристики линейного
элемента. Повторим эксперимент, описанный в § 2,
но вместо резкого однократного изменения входной коор-
динаты исследуемого элемента подадим на вход элемента
внешнее гармоническое воздействие Хвх = A sin wZ. Устрой-
ство, создающее это гармоническое воздействие, выпол-
ним так, чтобы оно позволяло в широких пределах из-
менять частоту а) и амплитуду А подаваемого воздей-
ствия.
Пусть сначала о) имеет какое-либо фиксированное зна-
чение С1)х, а А предельно мало. В результате этого воз-
мущения входной координаты возникнут вынужденные
колебательные движения выходной координаты. Зафикси-
руем их с помощью какого-либо прибора, записывающего
колебания (осциллографа, вибрографа и т. д.).
Если элемент линейный, то выходная координата совер-
шает колебания по закону
^выХ = Sisin(a)^ + ?1).
Начертим в декартовых координатах гг, v вектор, начало
которого совпадает с началом координат, модуль (длина
А
Bi
вектора) равен =
а аргумент (угол между поло-
жительным направлением оси абсцисс и вектором) равен
углу с обратным знаком. У конца вектора сделаем
отметку о)г (фиг. 70).
Изменим теперь частоту о) колебаний, подводимых
на вход системы, не меняя их амплитуды и фазы. Пусть
а) —о)2. Тогда и на выходе установятся колебания
частоты о)2:
-^вых = -®2 sin Н- Тг)•
Построим на фиг.
70 вектор с модулем г2 = —,
аргументом—ср2 и отметкой а)2. Аналогично повторив экс-
перимент при новом значении w = а)3, построим на этой
же фиг. 70 вектор с отметкой а)3 и т. д. для разных зна-
чений а) от а) = 0 до о) = оо (практически до дстаточно
больших (и) и соединим плавной линией концы этих век-
торов.
Построенная таким образом кривая называется ампли-
тудно-фазовой характеристикой линейного элемента.
106 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Чтобы определить по амплитудно-фазовой характе-
ристике линейного элемента амплитуду и фазу колеба-
ний выходной координаты, зная амплитуду А — А*
и частоту cd — cd* колебаний входной координаты, надо
найти на амплитудно-фазовой характеристике точку, име-
ющую отметку cd = cd*. Пусть вектор, проведенный изна-
чала координат в эту точку, имеет длину г и аргумент ср.
Тогда амплитуда колебаний -Хвых равна В = —, а фаза
равна —ср (фиг. 70).
Часто амплитудно-фазовые характеристики строят
А
иначе: длину каждого вектора принимают равной не ,
а наоборот, , а аргумент — равным не — ср, а ср. Чтобы раз-
личать эти два способа построения характеристик, усло-
^4
вимся называть характеристики, у которых г = — , ампли-
тудно-фазовыми характеристиками 1-го рода, а у которых
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
107
г = -д — 2-го рода *). На фиг. 71 показаны примеры ампли-
тудно-фазовых характеристик 1-го и 2-го рода для раз-
личных типовых звеньев.
Связь амплитудно-фазовых характеристик 1-го и 2-го
рода устанавливается векторным равенством
где гг и г2 —векторы, проведенные из начала координат
к точкам с одинаковым w на амплитудно-фазовых харак-
теристиках 1-го и 2-го рода. Векторы перемножают при
этом по обычным правилам, т. е. модули их перемножа-
ются, а аргументы складываются.
Кривая зависимости -^^или — от ю называется
амплитудной характеристикой элемента, а кривая за-
висимости — ср (или -|-<р) от а) — его фазовой характе-
ристикой.
Обозначим через и и и проекции вектора амплитудно-
фазовой характеристики для каждого w на оси абсцисс
и ординат (фиг. 72).
Кривые зависимости и и и от ю называются, соответ-
ственно, действительной и мнимой характеристиками
элемента. Причина, обусловившая эти наименования,
будет выяснена в следующем параграфе.
Термин «частотные характеристики» охватывает харак-
теристики всех перечисленных пяти типов: амплитудно-
фазовую, амплитудную, фазовую, действительную и
мнимую.
У линейного элемента амплитуда В пропорциональна
А и поэтому построение амплитудно-фазовой характери-
стики не зависит от А. Таким образом, элемент линеен,
если при подводе ко входу элемента гармонического коле-
бания на выходе устанавливается также гармоническое
колебание той же частоты с амплитудой, строго про-
порциональной амплитуде входных колебаний.
*) В литературе часто амплитудно-фазовые характеристики
1-го рода называют обратными или инверсными, а 2-го рода —
обыкновенными или простыми. Эти термины на наш взгляд не-
удачны, так как использование амплитудно-фазовых характеристик
1-го рода часто значительно удобнее и проще, чем 2-го рода.
108 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Наименование веема Оператор веема Ямплитудно-фазовые характеристики /ее DOOU Дмплитудмо-фазовые характеристики£ео
Одноемкостное Тр+1 V I8 А II мТэ (р=0 V си = <х>
7 уи
Ноледательное т'У* *Ткр+1 V ^=оо >^69 = 0 V Cl)=<x> бо=0
7
//статическое р V 4? 1э V О)-0
о>=0 г *и ’3
Консервативное 7"грг+7 V V
00=со ~1>=ри Т'гшг>/ е8, е, А** И 1 Д *=*'
Неустойчивое Tp-J а < — оо = 60 V <2?=00
-1 *и *и
Фиг. 71.
§ S)
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
109
Если элемент не является линейным, то форма колеба-
ний выходной координаты отлична от синусоидальной
и ординаты ее не пропорциональны А. Колебания вы-
ходной координаты в этом случае можно представить
рядом Фурье и после этого порознь для каждой гармо-
ники построить амплитудно-фазовые характеристики. Но
при этом придется строить отдельную кривую для каждого
значения А.
Фиг. 72.
Если элемент нелинеен, но линеаризуем, то выходные
колебания зависят также от расположения среднего (рав-
новесного) значения входной координаты на нелинейной
статической характеристике элемента.
Чтобы в этом случае правильно снять экспериментально
амплитудно-фазовую характеристику элемента, надо под-
вести к входной координате синусоидальные колебания
малой амплитуды. Эти колебания должны происходить
относительно того значения входной координаты, которое
устанавливается на рассматриваемом режиме. Это значение
находится статическим расчетом и принималось ранее при
выводе уравнений за нуль отсчета. Для каждого рас-
сматриваемого режима должна быть снята своя ампли-
тудно-фазовая характеристика. При этом для каждого
режима надо проводить серию опытов, постепенно уве-
личивая амплитуду подводимых колебаний до тех пор,
ИО ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
пока изменение амплитуды подводимых колебаний не
вызовет изменение протекания снимаемой амплитудно-
фазовой характеристики. Таким образом, для каждого
режима определится своя амплитудно-фазовая характе-
ристика и выяснится область применения линейного
анализа.
Опыт показывает, что снятие таких серий частотных
характеристик для линеаризуемых элементов удается
осуществить далеко не всегда и экспериментальное опре-
деление частотных характеристик широко используется
главным образом применительно к линейным элементам.
б) Определение амплитудно-фазовой ха-
рактеристики линейной модели по уравне-
нию движения. В тех же случаях, когда для неко-
торых элементов системы выведены уравнения движения,
а свойства некоторых линейных элементов системы заданы
экспериментально полученными частотными характеристи-
ками, необходимо для первых элементов по уравнениям
движения построить частотные характеристики *), с тем
чтобы по частотным характеристикам всех элементов по-
строить частотную характеристику системы и принять ее
в качестве исходного материала для дальнейших расчетов.
Воспользуемся тождеством Эйлера
ем =. cos -|- i sin
Если заменить возмущение, подаваемое на вход эле-
мента при снятии частотной характеристики
Хвх = Л sin mt,
комплексной функцией 128
Х*х = Ле^, (2.47)
то истинное возмущение явится лишь мнимой частью (2.47).
Подставив это значение Хвх в уравнение элемента,
вычислим вынужденные движения выходной координаты,
найдя частный интеграл этого уравнения.
*) Обратная задача, связанная с определением уравнений дви-
жения по частотным характеристикам, значительно более сложна
и в расчетной практике к ней по возможности не прибегают.
§ 8] ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Ш
В силу принципа суперпозиции его мнимая часть
и определит вынужденные движения выходной координаты
разомкнутой системы, вызванные внешним возмущением
Хвх = Л-sin (ot.
Пусть в самом общем виде уравнение элемента имеет
вид
. ^П“1-Х’вых I I п у _
tt0 dtn ' U1 dt™-1 Г • • • "Г ^вых —
__ L I L ^т~1ЙГВХ . I L V (С) ZO\
— bo~dt™----г bl dt™--1 г * ‘ +^тАвх-
Будем искать частный интеграл уравнения (2.48) в форме
^вых = Be1 = Вем ei(?.
Заметим, что
^Р^=Ве^(гш) ем,
-^В2Ь1Х = Ве^ (ю)2 ei“',
dn^lx = Belf (1м)п eiu>t.
Подставляя эти значения в уравнение (2.48), найдем:
[«О («»)” + «1 (г*»)”-1 +•••+«„] Вё* eimt =
= [Ьо (Йо)"1 + b. (iuf-i + ... + М Ае^‘ (2.49)
ИЛИ
d (гЪ) - В = к (гЪ) Аем.
Отсюда
Отделяя в равенстве (2.50) действительную и мнимую
части, запишем его так:
л г________________ iarctg^y^
~ е~^ = и (о>) + iv (а>) = У [и (ш)]2 + [у (ш) ]2 е “<ш).
112 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Следовательно,
£ = (2.51)
И
?=-агс^йЗ- <2-52)
Таким образом, при внешнем возмущении
Хвх = Aeiait
вынужденные движения выходной координаты равны
у _ А [{(ui-arctg^)]
/[U(<O)P+[V(O>)]2
ИЛИ
А вых = Г 1 COS vat — arctg -Н +
/[и(Ш)]2 + [у(ф)]2 I L 8u(o>)J
+ i sin [ vat - arctg^ ] J . (2.53)
Реальное внешнее возмущение имеет вид *)
Л"вх = A sin (at = Im Aei(iit.
Поэтому и колебания на выходе определяются мнимой
частью (2.53), т. е.
ХВых = г А sin Г (dZ — arctg 1 •
/[w(a))]2 + [y (о))]2 L й w(o))J
Длина вектора, направленного из начала координат к
точке амплитудно-фазовой характеристики первого рода,
имеющей отметку о), определяется формулой (2.51), а
аргумент вектора — формулой (2.52).
Формула (2.51) определяет амплитудную, а (2.52) —
фазовую характеристику. Выражения для zj((d) и v ((d)
определяют действительную и мнимую характеристики.
Зная уравнения движения, т. е. d(p) и к(р), легко
по этим формулам построить точку амплитудно-фазовой
характеристики для любого (D.
*) Re означает действительную часть, a Im — коэффициент
мнимой части того выражения, перед которым стоят эти буквы.
Например, если W (ia>) = u (w) -f- iv (со), то Re W (zco) = u (u>) и
Im W (zco) = v (w).
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
113
в) Построение частотной характеристики
элемента по его временной характеристи-
ке. Часто свойства некоторых элементов какой-либо системы
заданы их амплитудно-фазовыми характеристиками, а
свойства других элементов
этой же системы заданы вре-
менными характеристиками,
так как иногда элемент си-
стемы не допускает подвода
колебаний, а эксперименталь-
ное определение временной
характеристики не составляет
труда (см. § 1 этой главы).
В таких случаях надо по
временным характеристикам
элемента построить его ча-
стотные характеристики.
Пусть записана временная характеристика элемента
(пример на фиг. 73).
Предполагается, что исследование ведется в относитель-
ных координатах и что на вход элемента подано возму-
щение, равное 0 при Z<0 и равное 1 при всех ^>0 в
принятой относительной
системе отсчета входной
координаты.
Разобьем ось време-
ни (ось t) на т неболь-
ших и равных проме-
жутков времени Al
Каждому такому про-
межутку по временной
характеристике соответ-
ствует определенное, по-
ложительное или отри-
цательное приращение выходной координаты Джвых
(фиг. 74).
Зададимся каким-либо значением о) = <в1 и построим
т векторов в начале координат плоскости (и, и) так, что-
бы модуль /-го вектора был равен Дж., первый из
векторов был направлен вправо по оси и, а прира-
щение аргумента каждого /-го вектора по сравнению с
8 М. А. Айзерман
114 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ.РАСЧЕТА [гл. П
аргументом предыдущего (/— 1)-го вектора, отсчитан-
ное по часовой стрелке, было равно (d/Z. Приращение
аргумента уменьшается на тс у тех векторов, которые со-
ответствуют точке, где Lx. меняет знак. Сумма всех
этих векторов определит вектор амплитудно-фазовой ха-
рактеристики второго рода рассматриваемого элемента для
значения (Dj.
Затем необходимо повторить построение, задавшись
новыми значениями сп, и определить для этих значений
характеристический вектор.
Продемонстрируем (фиг. 75) построение на примере
временной характеристики, показанной на фиг. 74, за-
давшись, например, ш1=1.
Построим вектор, модуль которого Ахр а аргумент —
нуль. Из конца этого вектора построим новый вектор
с модулем &х2 и аргументом, отсчитанным по вращению
часовой стрелки от направления первого вектора и равным
kt. Из конца этого вектора проведем вектор с модулем
Дх3 и аргументом ^Z, отсчитанным по вращению часовой
стрелки от направления второго вектора, и т. д.
Начиная с пятого вектора и далее) прира-
щения, Ьх отрицательны (см. фиг. 74), и поэтому при-
ращение шестого вектора по сравнению с пятым рав-
но Az — тс.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
115
Вектор, соединяющий начало координат с концом послед-
него 771-го вектора построения, и является характеристиче-
ским вектором для частоты ш = 1. Это значит, что конец
/тг-го вектора определяет точку амплитудно-фазовой харак-
теристики второго рода, соответствующую частоте ш = 1.
Точность результата тем выше, чем больше число т
и чем меньше значение &t. В том случае, когда можно
ограничиться значениями о) такими, что 2<dA£ < 1, построе-
ние может быть уточнено, если модуль результирующего
вектора, полученного для какого-либо значения (d = (d;.,
умножить на величину
лшуДг
Sin(7CO)yA7)
Основное преимущество этого метода построения ампли-
тудно-фазовой характеристики по временной характери-
стике состоит в том, что все построение осуществляется
графически, не требует пользования какими-либо таблица-
ми или каких-либо вычислений: модули векторов берутся
непосредственно из фиг. 74, а приращения аргументов
всех суммирующих векторов одинаковы. Недостатком же
этого метода является необходимость строить для полу-
чения одной точки амплитудно-фазовой характеристики
большое число (часто несколько десятков) векторов.
Можно во много раз уменьшить количество суммируемых
векторов за счет некоторого усложнения вычисления их
модулей и аргументов, если воспользоваться вторым ме-
тодом построения, который исходит из равенства
i=i
Равенство это легко выводится из основных соотноше-
ний теории преобразования Лапласа. Для того чтобы
воспользоваться им, надо заменить временную характе-
ристику не ступенчатой, а ломаной линией (фиг. 76) и
из точек излома опустить перпендикуляры на ось t. Они
делят ось t на г участков. Длины этих участков обозначе-
ны Д^., абсцисса, соответствующая середине каждого участ-
ка, обозначена tmj, а проекции ломаной на ось ординат Сг
Число векторов, которое надо суммировать в этом ме-
тоде для получения одной точки амплитудно-фазовой
8*
И6 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
характеристики, равно числу отрезков прямых, из которых
состоит ломаная на фиг. 76. Оно значительно меньше числа
ступеней на фиг. 74. Но зато модуль и аргумент каждого
вектора требуется подсчитывать по приведенной формуле.
г) Построение частотной характеристи-
ки системы по частотным характеристи-
кам ее элементов. Пусть преобразования Лапласа
входной и выходной координат линейного элемента (или
системы) связаны соотношением
Я'ВЫх] R(p)L[x
вх]»
где М (р) и R (р) — многочлены по р, так что передаточ-
ная функция этого элемента (или системы)
М (р)
Тогда, как было показано выше, амплитудно-фазовая
характеристика 2-го рода этого же элемента (или систе-
мы) может быть построена, если найти отношение
R (1<0) / \ . • / \
V = «((!))+ IV ((!)),
М (гш) \ \
для каждого значения (D построить вектор, соответству-
ющий этому комплексному числу, и, меняя значения (D
от 0 до -ьоо, соединить плавной линией концы этих
векторов. Таким образом, амплитудно-фазовая характе-
ристика элемента (части системы или системы в целом)
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
117
2-го рода может быть получена заменой р на г<о в его
(или ее) передаточной функции.
В § 6 было показано, каким образом передаточная
функция разомкнутой или замкнутой системы связана
с передаточными функциями отдельных ее элементов.
Эти же соотношения после замены р на йп опреде-
ляют связь между амплитудно-фазовой характеристикой
2-го рода разомкнутой или замкнутой системы и ампли-
тудно-фазовой характеристикой 2-го рода ее элементов.
Так, например, из соотношения (2.36) следует, что
каждый вектор амплитудно-фазовой характеристики 2-го
рода разомкнутой последовательной цепи элементов для
любого значения о) получается перемножением*) векторов
амплитудно-фазовых характеристик 2-го рода всех эле-
ментов для этого же значения со.
Если для каждого элемента
Wj (id)) = (tD),
то для последовательной цепи из п элементов
W (id)) = П о/,. (id>)= П г =
j=i j=i }
==el^j(^ П г ((d) = г ((d)
;=1
где
j=n j—n
r(d)) = П r.((D) И ?W=
В качестве второго примера рассмотрим замкнутую
одноконтурную цепь.
Если внешнее воздействие приложено к первому эле-
менту, то передаточная функция от этого воздействия к
координате хк определяется формулой
Ф(„) =______
*) При этом векторы перемножаются по правилам умножения
комплексных чисел: модули перемножаются, аргументы склады-
ваются.
118 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Если предположить, что внешнее воздействие гармо-
ническое, то установившиеся колебания координаты х*
определяются амплитудно-фазовой характеристикой
х _ (iw)
Ф 1 + WT (io>) жГм ’
где
j=k j=n
Hzx(z‘(d) = П w (z*(d) и PE2(z’(d)= П (io)).
i=i i=k+i
Чтобы построить ее, надо построить предварительно
годограф PEx(z(d) и годограф Жх(го))-Ж2 (z‘(d). После этого
надо мнимую ось на последнем графике сместить на 1
влево. Таким образом будет построен годограф
1 + Жх(^)Ж2 (io)).
После этого, вектора W\ (J(d) должны быть поделены на
вектора построенного годографа 1 + Жх (z<d) W2 (kd) соот-
ветствующие тому же значению <а.
Подобно тому как составление передаточной функции
системы завершает подготовку к анализу процесса регу-
лирования по уравнениям элементов, составление ампли-
тудно-фазовой характеристики системы завершает подго-
товку к анализу процесса регулирования по амплитудно-
фазовым характеристикам элементов.
Для анализа процесса необходимо располагать харак-
теристиками как разомкнутой системы (для исследова-
ния устойчивости — см. гл. III), так и замкнутой систе-
мы (для изучения протекания процесса — см гл. IV).
Для разомкнутой системы существенно знать ее ампли-
тудно-фазовую характеристику. Для замкнутой же систе-
мы обычно требуется знать амплитудную и действитель-
ную характеристики. Представим вектор Ф (z’(d) замкнутой
системы в двух формах:
ф (по) = A ((d) ei(? (°*) и Ф (z’(d) = Р ((d) + iQ ((d).
Амплитудной характеристикой замкнутой системы на-
зывается график функции A ((d), а действительной харак-
теристикой — график функции P((d).
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
119
На фиг. 77 показаны амплитудно-фазовая характери-
стика, вектор Ф (йо) (для одного значения w) и указаны
величины Р, Q, А и у. Из фиг. 77 следует, что
Л2 (со) = Р2 (со) + Q2 (о))
и
Р (о)) = А (ш) • cos ср ((d).
Обычно достаточно выполнить построение амплитудно-
фазовой характеристики разомкнутой системы, а по ней
уже легко построить амплитудную Л ((d) и действительную
Р(а)) характеристики замкну-
той системы.
i д) Логарифмические
характеристики. Втехслу-
чаях, когда передаточная функ-
ция разомкнутой системы рав-
на произведению передаточных
функций отдельных элемен-
тов, построение амплитудно-
фазовой характеристики си-
стемы по характеристикам эле-
ментов упрощается, если вос-
пользоваться логарифмическим
масштабом.
Переход к логарифмическому масштабу чрезвычайно
упрощает также построение амплитудно-фазовых харак-
теристик элементов по их линейным уравнениям, в осо-
бенности в случаях, когда степень операторов (р) и
kj(p) не выше первой.
Терминология. Терминология, которой пользу-
ются при построении логарифмических частотных харак-
теристик, заимствована для теории регулирования из
акустики.
Если две частоты отличаются друг от друга в два
раза, т. е.
-2 = 2,
0)1
то говорят, что частоты и <d2 отличаются друг от дру-
га на одну октаеу.
120 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Если это соотношение равно 10, т. е.
^=10,
то говорят, что эти частоты отличаются на одну декаду.
Для измерения отношений двух величин, изменяю-
щихся в широком диапазоне, используется часто лога-
рифмическая шкала.
При измерении отношений двух мощностей 7VX и N2
говорят, что они отличаются на один бел, если
Это — сравнительно большая единица измерения.
При рассмотрении конкретных задач приходится наи-
более часто иметь дело с более мелкой единицей изме-
рения, которая называется децибелом. Эта величина опре-
деляется следующим равенством:
101g^ = l.
В этом случае говорят, что N2 и Nr отличаются на
один децибел.
От мощности можно перейти к измерению «первооб-
разных» величин J (амплитуд силы тока, напряжения,
давления и т. д.), квадрату которых пропорциональны
мощности
N^J\.
Итак, если
10lg^ = 101g3-l,
то для отношения амплитуд силы тока, напряжения,
давления и т. д. получаем:
201g £=1
в случае, если J2 отличается от на 1 децибел.
Таблица I позволяет производить пересчет логариф-
мических единиц измерения в единицы отношения мощ-
ностей и «первообразных величин» (например, напряже-
ний или токов).
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
121
Таблица I
Перевод децибел в абсолютные отношения ♦)
Отношение напряжений или токов Отношение мощностей ±дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
1,0000 1,0000 0 1,0000 1,0000
0,9994 0,9989 0,005 1,0006 1,0012
0,9989 0,9977 0,01 1,0012 1,0023
0,9977 0,9954 0,02 1,0023 1,0046
0,9966 0,9931 0,03 1,0035 1,0069
0,9954 0,9908 0,04 1,0046 1,0093
0,9942 0,9886 0,05 1,0058 1,0116
0,9931 0,9863 0,06 1,0069 1,0139
0,9920 0,9840 0,07 1,0081 1,0162
0,9908 0,9818 0,08 1,0093 1,0186
0,9897 0,9704 0,09 1,0104 1,0209
0,9886 0,9772 0,1 1,012 1,023
0,9772 0,9550 0,2 1,023 1,047
0,9661 0,9333 0,3 1,035 1,072
0,9550 0,9120 0,4 1,047 1,096
0,9441 0,8913 0,5 1,059 1,122
0,9333 0,8710 0,6 1,072 1,148
0,9226 0,8511 0,7 1,084 1,175
0,9120 0,8318 0,8 1,096 1,202
0,9016 0,8128 0,9 1,109 1,230
0,8913 0,7943 1,0 1,122 1,259
0,8810 0,7762 1,1 1,135 1,288
0,8710 0,7586 1,2 1,148 1,318
0,8610 0,7413 1,3 1,161 1,349
0,8511 0,7244 1,4 1,175 1,380
0,8414 0,7079 1,5 1,189 1,413
0,8318 0,6918 1,6 1,202 1,445
0,8222 0,6761 1,7 1,216 1,479
0,8128 0,6607 1,8 1,230 1,514
0,8035 0,6457 1,9 1,245 1,549
0,7943 0,6310 2,0 1,259 1,585
0,7852 0,6166 2,1 1,274 1,622 ’
0,7762 0,6026 2,2 1,288 1,660
0,7674 0,5888 2,3 1,303 1,698
0,7586 0,5754 2,4 1,318 1,738
*) Из справочника по радиотехнике Г. Г. Гинкина, стр. 360.
122 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Продолжение табл. I
Отношение напряжений или токов Отношение мощностей ±дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
0,7499 0,5623 2,5 1,334 1,778
0J413 0,5495 2,6 1,349 1,820
0,7328 0,5370 2,7 1,365 1,862
0,7244 0,5248 2,8 1,380 1,905
0,7161 0,5129 2,9 1,396 1,950
0,7079 0,5012 3,о 1,413 1,995
0,6998 0,4898 3,1 1,429 2,042
О;6918 0,4786 3,2 1,445 2,089
0,6839 0,4677 3,3 1,462 2,138
0,6761 0,4571 3,4 1,479 2,188
0,6683 0,4467 3,5 1,496 2,239
0,6607 0,4365 3,6 1,514 2,291
0,6531 0,4266 3,7 1,531 2,344
0,6457 0,4169 3,8 1,549 2,399
0,6383 0,4074 3,9 1,567 2,455
0,6310 0,3981 4,0 1,585 2,512
0,6237 0,3890 4,1 1,603 2,570
0,6166 0,3802 4,2 1,622 2,630
0,6095 0,3715 4,3 1,641 2,692
0,6026 0,3631 4,4 1,660 2,754
0,5957 0,3548 4,5 1,679 2,818
0,5888 0,3467 4,6 1,698 2,884
0,5821 0,3388 4,7 1,718 2,951
0,5754 0,3311 4,8 1,738 3,020
0,5689 0,3336 4,9 1,758 3,090
0,5623 0,3162 5,0 1,778 3,162
0,5559 0,3090 5,1 1,799 3,236
0,5495 0,3020 5,2 1,820 3,311
0,5433 0,2951 5,3 1,841 3,388
0,5370 0,2884 5,4 1,862 3,467
0,5309 0,2818 5,5 1,884 3,548
0,5248 0,2754 5,6 1,905 3,631
0,5188 0,2692 5,7 1,928 3,715
0,5129 0,2630 5,8 1,950 3,802
0,5070 0,2570 5,9 1,972 3,890
0,5012 0,2512 6,0 1,995 3,981
0,4955 0,2455 6,1 ' 2,018 4,074
0,4898 0,2399 6,2 2,042 4,169
5 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
123
Продолжение табл. I
Отношение напряжений или токов Отношение мощностей ±дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
0,4842 0,2444 6,3 . 2,065 4,266
0,4786 0,2291 6,4 2,089 4,366
0,4732 0,2239 6,5 2,113 4,467
0,4677 0,2188 6,6 2,138 4,571
0,4624 0,2138 6,7 2,163 4,677
0'4571 0,2089 6,8 2,188 4,786
0^4519 0,2042 6,9 2,213 4,898
0,4467 0,1995 7,0 2,239 5,012
0,4416 0,1950 7,1 2,265 5,129
0,4365 0,1905 7,2 2,291 5,248
0,4315 0,1862 7,3 2,317 5,370
0,4266 0,1820 7,4 2,344 5,495
0,4217 0,1778 7,5 2,371 5,623
0,4169 0,1738 7,6 2,399 5,754
0,4121 0,1698 7,7 2,427 5,888
0,4074 0,1660 7,8 2,455 6,026
0,4027 0,1622 7,9 2,483 6,166
0,3981 0,1585 8,0 2,512 6,310
0,3936 0,1549 8,1 2,541 6,457
0,3890 0,1514 8,2 2,570 6,607
0,3846 0,1479 8,3 2,600 6,761
0,3802 0,1445 8,4 2,630 6,918
0,3758 0,1413 8,5 2,661 7,079
0,3715 0,1380 8,6 2,692 7,244
0,3673 0,1349 8,7 2,723 7,413
0,3631 0,1318 8,8 2,754 7,586
0,3589 0,1288 8,9 2,786 7.762
0,3548 0,1259 9,0 2,818 7,943
0,3508 0,1230 9,1 2,851 8,128
0,3467 0,1202 9,2 2,884 8,318
0,3428 0,1175. 9,3 2,917 8,511
0,3388 0,1148 9,4 2,951 8,710
0,3350 0,1122 9,5 2,985 8,913
0,3311 0,1096 9,6 3,020 9,120
0,3273 0,1072 9,7 3,055 9,333
0,3236 0,1047 9,8 3,090 9,550
0,3199 0,1023 9,9 3,126 9,772
124 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Продолжение табл. I
Отношение напряжений или токов Отношение мощностей +дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
0,3162 0,10000 10,0 3,162 10,000
0,3126 0,09772 10,1 3,199 10,23
0,3090 0,09550 10,2 3,236 10,47
0,3055 0,09333 10,3 3,273 10,72
0,3020 0,09120 10,4 3,311 10,66
0,2985 0,08913 10,5 3,350 11,22
0,2951 0,08710 10,6 3,388 11,48
0,2917 0,08511 10,7 3,428 11,75
0,2884 0,08318 10,8 3,467 12,02
0,2851 0,08128 10,9 3,508 12,30
0,2818 0,07943 11,0 3,548 12,59
0,2786 0,07762 11,1 3,589 12,88
0,2754 0,07586 11,2 3,631 13,18
0,2723 0,07413 11,3 3,673 13,49
0,2692 0,07244 11,4 3,715 13,80
0,2661 0,07079 11,5 3,758 14,13
0,2630 0,06918 11,6 3,802 14,45
0,2600 0,06761 11,7 3,846 14,79
0,2570 0,06607 11,8 3,890 15,14
0,2541 0,06457 11,9 3,936 15,49
0,2512 0,06310 12,0 3,981 15,85
0,2483 0,06166 12,1 4,027 16,22
0,2455 0,06026 12,2 4,074 16,60
0,2427 0,05888 12,3 4,121 16,98
0,2399 0,05754 12,4 4,169 17,38
0,2371 0,05623 12,5 4,217 17,78
0,2344 0,05495 12,6 4,266 18,20
0,2317 0,05370 12,7 4,315 18,62
0,2291 0,05248 12,8 4,365 19,05
0,2265 0,05129 12,9 4,416 19,50
0,2239 0,05012 13,0 4,467 19,95
0,2213 0,04898 13,1 4,519 20,42
.0,2188 0,04786 13,2 4,571 20,89
0,2163 0,04677 13,3 4,624 21,38
0,2138 0,04571 13,4 4,677 21,88
0,2113 0,04467 13,5 4,732 22,39
0,2089 0,04365 13,6 4,786 22,91
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
125
Продолжение табл. I
Отношение напряжений или токов Отношение мощностей ±дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
0,2065 0,04266 13,7 4,842 23,44
0,2042 0,04169 13,8 4,898 23,99
0,2018 0,04074 13,9 4,955 24,55
0,1995 0,03981 14,0 5,012 25,12
0,1972 0,03890 14,1 5,070 25,70
0,1950 0,03802 14,2 5,129 26,30
0,1928 0,03715 14,3 5-188 26,92
0,1905 0,03631 14,4 5,248 27,54
0,1884 0,03548 14,5 5,309 28,18
0,1862 0,03567 14,6 5,370 28,84
0,1841 0,03488 14,7 5,433 29,51
0,1820 0,03311 14,8 5,495 30,20
0,1799 0,03236 14,9 5,559 30,90
0,1778 0,03162 15,0 5,623 31,62
0,1758 0,03090 15,1 5,689 32,36
0,1738 0,03020 15,2 5,754 33,11
0,1718 0,02951 15,3 5,821 33,88
0,1698 0,02884 15,4 5,888 34,67
0,1679 0,02818 15,5 5,957 35,48
0,1660 0,02754 15,6 6,026 36,31
0,1641 0,02692 15,7 6,095 37,15
0,1622 0,02630 15,8 6,166 38,02
0,1603 0,02570 15,9 6,237 38,90
0,1585 0,02512 16,0 6,310 39,81
0,1567 0,02455 16,1 6Х383 40,74
0,1549 0,02399 16,2 6,457 41,69
0,1531 0,02344 16,3 6,531 42,66
0,1514 0,02291 16,4 6,607 43,65
0,1496 0,02239 16,5 6,683 44,67
0,1479 0,02188 16,6 6,761 45,71
0,1462 0,02138 16,7 6,839 46,77
0,1445 0,02089 16,8 6,918 47,86
0,1429 0,02042 16,9 6,998 48,98
0,1413 0,01995 17,0 7,079 50,13
0,1396 0,01950 17,1 7,161 51,29
0,1380 0,01905 17,2 7,244 52,48
0,1365 0,01862 17,3 7,328 53,70
0,1349 0,01820 17,4 7,413 54,95
126 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Продолжение табл. I
Отношение напряжений или токов Отношение' мощностей ±дб Отношение напряжений или токов Отношение мощностей
0,1334 0,01778 17,5 7,499 56,23
0,1318 0,01738 17,6 7,586 57,54
0,1303 0,01698 17,7 7,674 58,88
0,1288 0,01660 17,8 7,762 60,26
0,1274 0,01622 17,9 7,852 61,66
0,1259 0,01585 18,0 7,943 63,10
0,1245 0,01549 18,1 8,035 64,57
0,1230 0,01514 18,2 8,128 66,07
0,1216 0,01479 18,3 8,222 77,61
0,1202 0,01445 18,4 8,318 69,18
0,1189 0,01413 18,5 8,414 70,79
0,1175 0,01380 18,6 8,511 72,44
0,1161 0,01349 18,7 8,610 74,13
0,1148 0,01318 18,8 8,710 75,86
0,1135 0,01288 18,9 8,811 77,62
0,1122 0,01259 19,0 8,913 79,43
0,1109 0,01230 19,1 9,016 81,28
0,1026 0,01202 19,2 9,120 83,18
0,1084 0,01175 19,3 9,226 85,11
0,1072 0,01148 19,4 9,333 87,10
0,1059 0,01122 19,5 9,441 89,13
0,1047 0,01096 19,6 9,550 91,20
0,1035 0,01072 19,7 9,661 93,33
0,1023 0,01047 19,8 9,772 95,50
0,1012 0,01023 19,9 9,886 97,72
0,1000 0,01000 20,0 10,000 100,00
Далее, при применении логарифмических характе-
ристик измерение частот будет производиться в октавах
или декадах, а амплитуд—в децибелах. Переходя к по-
строению логарифмических характеристик, начнем с рас-
смотрения астатического звена.
Астатическое звено. Передаточная функция
этого звена определяется равенством
ш(/>) = у .
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
127
Подставив в полученное равенство р = iw, получим:
= (2-54)
Амплитудная характеристика определяется модулем
передаточной функции
Л (<d) = I w (io>) | . (2.55)
Итак, амплитудная характеристика, измеряемая в деци-
белах, определяется следующим равенством:
L = 201g А (ш) =--20 IgA,
или
L = 201g к -201g (о. (2.56)
По оси ординат отложим L в децибелах, по оси
абсцисс —1gсо, а надписью будем указывать io (фиг. 78).
В этих координатах уравнение (2.56) есть уравнение
прямой. Обычно построение логарифмической амплитуд-
ной характеристики производят сначала для Л=1,
а то обстоятельство, что учитывают позже, при
переходе от характеристики элементов к характеристике
системы.
При Л = 1 из (2.56) получаем:
L= — 201g (о.
Пусть для (о = (о1 L = LV а для (d = (d2=2id1 L = LV
где
Ьг = — 201g Юр
а
L2 = — 201g (о2 = — 201g 2(ох = — 201g (Dj — 201g 2.
Последнее равенство можно переписать в следующем
виде:
L2 = Lx-20
откуда следует, что прямая проходит с отрицательным
наклоном 6 дб на октаву.
128 ПОЛУЧЕНИЕ^ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ2РАСЧЕТА [гл/II
Итак, амплитудной логарифмической характеристи-
кой астатического звена с коэффициентом усиления
k = V служит в координатах L, oj (L - в децибелах,
масштаб частот логарифмический) прямая с отрицательным
наклоном 6 дб на октаву, проходящая через начало
координат lgco = 0, т. е. ю = 1.
Одноемкостное звено. Передаточная функция
одноемкостного звена
Обозначим а)г = , тогда
W (Р) = ,
где ют — условная или сопрягающая *) частота одноемкост-
ного звена. Следовательно,
' 7 1(0 4-
*) Причины, обусловившие это название, будут выяснены
далее.
$ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
129
Амплитудная характеристика определяется модулем
передаточной функции
Л(ш) = —.
]А>Т + со2
Как и ранее,
L = 201g А (со),
т. е.
L = 201g к + 201g (dt — 201g ]/<dt -r id2 .
Если k = l, то уравнение характеристики запишется
в следующем виде:
L = 201g (от — 20 1g ]Лот f- со2.
Построение этой кривой можно значительно упростить,
найдя ее асимптоты.
Пусть си —> 0, тогда
L = 201g (Dy — 201g ]/ (от -f- (d2 —> 0
Заменив стрелку знаком равенства, получим уравнение
одной из асимптот искомой кривой.
Пусть (D —> оо, тогда
]Z(DT + (О2 —> |Ао2
и
L —> 201g (от — 201g (о.
Замена стрелки знаком равенства приводит к уравнению
второй асимптоты искомой кривой. Как видно, эта асимп-
тота проходит через точку (о = (от с наклоном — 6 дб
на октаву. Действительно,
при (о = (ох L == Lr = 201g (от — 201g (ох,
при (о = (о2 = 2(ох L = L2 = 201g (от — 201g (ог — 201g 2,
т. е.
Z>2 -^1 — 0.
Обычно можно заменить истинную логарифмическую
амплитудную характеристику одноемкостного звена ло-
маной линией, состоящей из отрезков асимптот, так как
кривая мало отличается от этой ломаной (фиг. 79).
9 М. А. Айзерман
130 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Оценим’ве личину ошибки, которая получается при этой
замене:
где Аист — истинное значение характеристики; Лпр — при-
ближенное значение, получаемое при замене характери-
стики ее асимптотами.
ДЛЯ (О < (1)7
8 = 201g (1)7 — 20 1g ]/"(!)7 + (о2.
ДЛЯ (О > (1)7
о = 201g (о — 201g ]/*(1)7 -|- о2.
Значения 8 для различных частот приведены в таб-
лице II.
Таблица II
со 1 1 — <от 1 -_-шг со 7 2 со 7 4(07 0(07
0 в дб —0,17 -0,3 —1 —1 —0,3 -0,17
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
131
При а) = о)Т ошибка наибольшая и достигает — 3 дб\ при
(d = 2(dt ошибка уменьшается до 1 дб. Таким образом,
абсолютные значения ошибки незначительны.
Колебательное звено. Передаточная функция
этого звена имеет вид
W = Т'2р2+Ткр+1 •
Преобразуем это выражение, поделив числитель и зна-
менатель на Т'2:
к
=------1--------Г •
А2 + -Г72 rkP + —2
Обозначим
1 Гb OF f- k
7p7 = 0)d, ИЛИ ? = 2f7 •
Тогда
ки>\
W ~~ Р2 + 2t<»dP +
Подставив р = 1ы, получим:
/с со2
W (г’Ш) = / 2 2\1 --->
4 7 (со2— со2) + 2z£cojco
откуда
&со2
л ((,)) = —_____--------. (2.0/)
|Л (со 2 — со2)2 + 4^2со2 со2
Подставив в L = 201g А (оз) значение Л(о>) из выражения
(2.57), получим:
к со2
L = 201g - . -т л-^= , (2.58)
откуда
L = 201g к + 201g о>,1 - 201g V(шЛ - о>2)2 +
При к = 1
L = 201g о>(2( - 201g /(о>(21 - и2)2-НЕМ»»2.
132 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Это — точное уравнение логарифмической амплитудной
характеристики колебательного звена. Для упрощения
ее построения и в этом случае кривую можно заменить
ее асимптотами.
Допустим, что оз—>0. Тогда
L 201g cn2 — 201g ojj —> 0.
Заменив стрелки знаками равенства, получаем уравнение
первой асимптоты.
Допустим, что ш —> от. Тогда
|Лп4-f-4$2u^w2—»со2, так как w4 > 4$2wdw2
при достаточно больших величинах
При этом
L-^20 lg- 20lgoj2
или, иначе,
L —> 40 lg — 40 lg w.
Заменив стрелки знаками равенства, получаем урав-
нение второй асимптоты, которая представляет собой
прямую линию, проходящую через точку с отметкой w = <Dd.
Найдем ее наклон. Пусть (0 = 0)!, тогда
Lj = 201gwj —401go)j.
При ш = о2 = 2ш1
Л2 = 201g оз2 - 401g - 40 lg 2.
Учитывая, что величина 201g 2 ^6, получим:
^^^-12.
Итак, угловой коэффициент второй асимптоты равен 12 дб
на октаву.
Оценим величину погрешности 8==£ист — Lnp, которая
допускается при замене характеристики колебательного
звена ее асимптотами, и установим условия, при которых
эта ошибка будет незначительной.
Для о) <
3 = 20 lg - 20 lg /(^-032)2 + 4^2gj2.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
133
ДЛЯ (О > (Dd
В = — 20 lg V(<d3 — оз2)2 + 4$Ч(о2 + 20 1g «А
Как видно, ошибка зависит от величины $. Для оценки
ошибок построено семейство кривых, определяющих
их для различных значений параметра £ (фиг. 80).
При $ = 0,6 ошибка мало отличается от нуля. Она не
превосходит 3 дб для 0,38 < $ < 0,71.
Если $ < 0,38, то вблизи значений w = wd амплитудная
характеристика должна быть подсчитана по точной фор-
муле, так как при малых величинах $ ошибка может
значительно превзойти 3 дб и стремиться к бесконечности
при $ —>0, т. е. при приближении колебательного к кон-
сервативному звену.
134 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Разомкнутая цепь из астатического, коле-
бательных и одноемкостных звеньев. Для
такой цепи передаточная функция имеет вид
т ь п k
}=1 j=i
Амплитудная характеристика
т к V к-
Л (ш) = I W (га)) | = р— Ц | Tjim + j | JJ |(1_Гг2(й2)+гГ(1;.(О ,
3 — 1 3=1
или
т к
L = 201g Л (ш) = 20 1g Д <20 У 1g +
6 v 7 о | гш I ' 4J о | Tjiu> -h 1 |
3=1
+ 20 2 1g ! + lTft ,ш) | •
Для приближенного построения логарифмической
амплитудной характеристики разомкнутой одноконтурной
системы, состоящей из одноемкостных, колебательных
и астатического звеньев, необходимо произвести следу-
ющие операции:
1. По оси абсцисс отложить ш в логарифмическом
масштабе, а по оси ординат L в децибелах.
2. Отметить на оси ш точки, равные =-^- и
(сопрягающим частотам звеньев). Для астатического зве-
на условно считают <от = 1.
3. Через каждую точку, соответствующую сопряга-
ющей частоте, провести прямую с наклоном 6 дб
па октаву (если звено астатическое или одноемкостное)
пли 12 дб на октаву (если звено колебательное). Затем
необходимо сложить ординаты всех полученных ломаных.
4. Чтобы уточнить кривую, надо учесть, что скла-
дываются и ошибки, вносимые при замене кривой эле-
мента ее асимптотами.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
135
Для астатического звена ошибка равна нулю. Для
одноемкостного звена она приведена в таблице II, а для
колебательного определяется из графиков (см. фиг. 80).
В случае, когда у всех колебательных звеньев $
лежит в пределах 0,38 < $ < 0,71, приемлемая точность
получается, если считать, что при каждой сопрягающей
частоте ошибка получается только от звена, соответ-
ствующего этой частоте. Тогда нужно отложить для каж-
дого шт вниз от точки излома 3 дб, а для каждого
u)d — величину, взятую из фиг. 80. Полученные точки
нужно соединить плавной кривой, как это показано
на фиг. 81.
5. Описанное построение выполнялось для Л = 1.
Если К = П -=^ 1, то необходимо сдвинуть всю кривую
вверх на величину L = 2Q\gK.
Звенья с воздействиями по производным.
Допустим, что в одном из звеньев исследуемой цепи
имеется воздействие по производной. Обозначим собствен-
ный оператор этого звена d(p). Тогда преобразрванное
136 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
по Лапласу дифференциальное уравнение звена запишется
в следующем виде:
d (р) L [явых] = к (1 4- p/?)L[xBX]-
По обычным правилам получим передаточную функцию
= •
По определению
А (ю) = | w (iw) | = к
' 7 1 ' 71 \d (ко) |
и, следовательно,
L = 201g А (ш) — 201g к + 201g 11 + гро) | — 201g | d (fio) |.
Из этого выражения видно, что для построения ампли-
тудной логарифмической характеристики звена, имеющего
воздействие по производной, необходимо к ординатам
логарифмической амплитудной характеристики звена без
воздействия по производной прибавить ординаты кривой
201g| 1 + ipu)l,
т. е. можно сначала построить характеристику звена
к
с передаточной функцией ,
потом построить характе-
ристику условного звена с передаточной функцией
(1 + рр), а затем их сложить.
Построим характеристику условного звена с переда-
точной функцией
ПУ(р) = 1+рр.
(2.59)
Преобразуем несколько выражение (2.59):
IU) -|~О) 1
w (fco) = 1 4- fwp =--, где о)? = — .
“р ' р
По определению,
/О)3 4" О)2
Следовательно,
L = 201g А (ш) = 201g /ш* + ш2 - 201g <ор.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
137
Для построения этой кривой найдем, так же как это
делалось ранее, ее асимптоты.
Для малых значений частот, т. е. при (D —> О, полу-
чим, что и L —>0.
Таким образом, первой асимптотой будет ось абсцисс.
Для больших значений частот
w > (Dp
получим уравнение асимптоты в следующем виде:
L = 201g оз — 20 lg (Dp.
Полученное выражение является уравнением прямой
линии, но уже с положительным наклоном. Как и ранее,
устанавливаем наклон этой асимптоты. Он равен + 6 дб
на октаву.
Заметим, кроме того, что для второй асимптоты при
L = 0 получаем (d = (dp, т. е. асимптоты пересекаются
в точке (d = (dp.
Ошибки, которые получаются при замене точной
кривой ее асимптотами, могут быть определены по той же
таблице, что и для одноемкостных звеньев, только знак
их будет противоположным.
На фиг. 82 и 83 показаны примеры построения
логарифмической частотной характеристики одноемко-
стного (фиг. 82) и колебательного (фиг. 83) звена при на-
личии воздействия по первой производной.
Допустим, что в одном из звеньев цепи осуществляется
воздействие по двум производным. В этом случае пере-
даточная функция имеет вид
или в логарифмических координатах
L = 20 lg A ((d) = 201g к -201g | й(^) | + 20 lg 11 + -$(d2|.
Из последнего выражения видно, что для построения
логарифмической характеристики рассматриваемого звена
138 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
Фиг. 83.
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
139
необходимо сложить ординаты двух логарифмических
характеристик: звена с передаточной функцией
и одного условного звена с передаточной функцией
к
d(p)
“’i(p) = (1+P7’ + sP2)-
Построим логарифмическую характеристику этого
условного звена. Преобразуем его передаточную функцию,
обозначив
Тогда
р2 + 2fadp + 0)2
WM=-----------
а
По определению,
А («ОН ^1(^)1 =
И
L = 20 1g А (а>) = 20 1g |/'(Ш5 - о)2)2 + 4Ё2о>2о>2 - 201g .
С подобным уравнением мы уже встречались при рас-
смотрении логарифмических характеристик колебательных
звеньев. Это уравнение отличается от рассмотренных
ранее только знаком у всех его слагаемых. Исходя из этого,
можно утверждать, что асимптотами этой кривой будут
прямая L = 0 для малых значений частот и прямая
L=20 Ig сп2 — 20 lg со2
для больших значений частот.
Наклон второй асимптоты будет положительным
и равным 12 дб на октаву. Ошибки, получающиеся при
замене точной кривой ее асимптотами, будут опреде-
ляться по тем же графикам, что и для обычных коле-
бательных звеньев, но знак их будет противоположным.
На фиг. 84 показано в качестве примера построение
логарифмической характеристики колебательного звена
140 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. IJ
при наличии воздействий по первой и второй производ-
ным.
Одноконтурная цепь при наличии воз-
действий по производным. Построение логариф-
мических характеристик в этом случае производится по
тем же правилам, что и для обычной одноконтурной цепи.
Отличие состоит только в том, что необходимо учитывать
логарифмические характеристики условных звеньев,
осуществляющих воздействие по производным, и не
забывать, что наклон их асимптот является положи-
тельным.
Построение фазовой и амплитудно-фазо-
вой характеристики. Выше было показано, что
при переходе к логарифмическим координатам построение
амплитудной характеристики одноконтурной цепи упро-
щается, так как характеристики звеньев могут быть
заменены ломаной прямой, а характеристики разомкну-
той системы строятся в логарифмических координатах
не перемножением, а сложением ординат.
Фазовая характеристика системы и в обычных (не-
логарифмических) координатах получается сложением
фазовых характеристик элементов, так как аргумент
§ 8]
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
141
произведения векторов равен сумме аргументов сомно-
жителей.
Пусть
и'«=ПзНа-
)=1
Тогда
П п
arg W (z<d) = J argAJfu)) — 2 argc?.(iu>).
r=i j=i
Здесь все (p) и (p) — полиномы не выше второго
порядка. Значения соответствующих аргументов приведены
в таблице III.
Таблица III
к (р) или d (р)
с
bp + c
а р2 + Ър Н- с
arg к (ioj) или arg d (io)
О
Ьы
arctg —
. but
arctg-------g
с — ао2
В таблице III величины а, Ъ и с — постоянные.
Таким образом, построение фазовой характеристики,
отдельных звеньев и разомкнутой системы не составляет
труда.
Зная логарифмические амплитудные характеристики
и фазовые характеристики, легко построить по ним
амплитудно-фазовую характеристику системы.
е) Общее замечание о задании
свойств системы частотными харак-
теристиками. В случае нелинейных (хотя бы
и линеаризуемых) элементов следует помнить о существен-
ном различии между экспериментально определенными
частотными характеристиками и частотными характе-
ристиками, подсчитанными для этого же режима, исходя
из уравнений.
142
ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. ТТ
При составлении уравнения движения нелинейные
характеристики заменяются соответствующими касатель-
ными к ним в точке, определяемой рассматриваемым
режимом. При экспериментальном же определении частот-
ных характеристик происходит «осреднение» нелинейных
функций и нелинейные кривые заменяются не касатель-
ными, а как бы секущими, наклон которых меняется при
изменении амплитуды подводимого на вход элемента
синусоидального воздействия.
В связи с этим строгий переход к рассмотрению си-
стемы «в малых колебаниях» в том смысле, какой вклады-
вается в этот термин в теории колебаний, осуществляется
лишь в том случае, когда мы исходим из уравнений дви-
жения. Задание свойств системы частотными характери-
стиками не нарушает строгой постановки задачи об иссле-
довании системы «в малых колебаниях», только если они
подсчитываются по уравнениям движения, линеаризо-
ванным указанным в этой главе методом.
В практике иногда постоянная времени элемента или
его коэффициент усиления определяются по эксперимен-
тально снятой временной характеристике. Разумеется,
найденные таким образом постоянные, входящие в урав-
нение линейной модели элемента, также «осредняют»
нелинейные функции.
Как в случае задания свойств системы эксперимен-
тальными частотными характеристиками, так и в случае,
когда задаются уравнения с коэффициентами, полученны-
ми осреднением временных характеристик, задача ставится
не корректно: рассматриваются нс малые колебания
изучаемой системы в точном смысле этого термина,
а колебания ее условной осредненной линейной модели.
Оправдывается такая нестрогая постановка задачи
только накопленным опытом, показывающим, что часто,
несмотря на нестрогую постановку задачи, резуль-
таты получаются приемлемыми. Разумеется, это не
доказывает, что правильные результаты получатся во
всех случаях и, поэтому при экспериментальном осредне-
нии нелинейностей (при снятии частотных характеристик
или определении уравнений движения по временным
характеристикам) требуется большая осторожность и
осмотрительность.
§ 9]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
143
§ 9. Заключительные замечания
Подытожим содержание этой главы.
Элементы систем автоматического регулирования
обычно нелинейны. В линейной теории автоматического
регулирования рассматривается не реальная система,
а ее линейная модель. Если элементы линеаризуемые, то
исследование линейной модели позволяет судить о про-
цессе регулирования в реальной системе, но только при
достаточно малых возмущениях. Линейная модель зави-
сит не только от свойств системы, но и от режима работы:
для каждого значения нагрузки на объект, настройки
регулятора и т. д. должна быть построена своя линейная
модель и каждый возможный режим работы должен
быть изучен отдельно. Поэтому подготовка материала
для динамического расчета начинается с построения
статических характеристик системы и определения равно-
весных значений координат при всех режимах работы.
Для линейного анализа исходным материалом может
служить передаточная функция системы или ее частотная
характеристика.
В любом случае расчет начинается с расчленения сис-
темы на элементы, выбора обобщенных координат, нуля
и направления их отсчета. Далее проводится статическое
исследование, которое доводится до построения по стати-
ческим характеристикам элементов статической характе-
ристики системы в целом: семейства кривых, определяю-
щих установившиеся значения всех координат системы
при любом из режимов, подлежащих изучению (т. е. при
ряде фиксированных значений нагрузки, настройки и т. д.).
Возможны следующие три случая: 1) свойства всех
элементов должны быть заданы уравнениями движения;
2) свойства всех элементов задаются экспериментально
снятыми на каждом из изучаемых режимов частотными
характеристиками, 3) для части элементов имеются экспе-
риментально снятые частотные характеристики, а для
части элементов таких характеристик нет.
В первом случае следующий этап подготовки мате-
риалов для расчета состоит в выводе исходных уравнений
движения для всех элементов системы и в их линеари-
зации. Линеаризованные уравнения элементов приво-
144 ПОЛУЧЕНИЕ ИСХОДНОГО МАТЕРИАЛА ДЛЯ РАСЧЕТА [гл. II
дятся к типовым формам переходом к относительным коор-
динатам и введением в рассмотрение постоянных времени
и коэффициентов усиления. После этого в соответствии
со схемой воздействий, осуществляемых в рассматривае-
мой системе, выводится передаточная функция системы
на каком-либо режиме. На другом режиме передаточная
функция отличается обычно только цифровыми значе-
ниями входящих в нее коэффициентов и все они подсчи-
тываются для всех режимов, подлежащих исследованию.
Во втором случае, когда заданы частотные характе-
ристики каждого элемента системы на каждом из изучае-
мых режимов, по частотным характеристикам элементов
строится частотная характеристика системы для каждого
из режимов.
В третьем случае, когда лишь для части элементов
имеются экспериментально определенные частотные ха-
рактеристики, исходным материалом для линейных рас-
четов также является частотная характеристика системы
в целом. Чтобы ее построить, надо вывести уравнения
движения элементов, частотные характеристики которых
отсутствуют, линеаризовать их и привести линеаризован-
ные уравнения к типовому виду. После этого составляется
передаточная функция каждого элемента и по ней строится
его частотная характеристика. В ряде случаев построе-
ние частотных характеристик облегчается, если строить
логарифмические характеристики.
По частотным характеристикам всех звеньев теперь
можно построить частотную характеристику системы так
же, как и во втором случае. И здесь надо строить столько
характеристик, сколько режимов подлежит исследованию.
Иногда даже и в том случае, когда совсем нет экспе-
риментальных частотных характеристик, результат под-
готовительной работы для расчета представляют в виде
частотных характеристик системы на всех режимах.
Так поступают в тех случаях, когда предполагают линей-
ный анализ вести далее частотными методами. В таких
случаях после получения передаточных функций системы
для разных режимов по ним строятся частотные характе-
ристики порознь для каждого режима.
ГЛАВА III
УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
В большинстве случаев задача регулирования состоит
в установлении и поддержании режима работы регули-
руемого объекта во времени. Из самой этой задачи выте-
кает, что система автоматического регулирования должна
обладать определенной устойчивостью, хотя бы по отно-
шению к малым возмущениям, нарушающим режим рабо-
ты регулируемого объекта или действующим на элементы
регулятора.
Предположим, что какое-либо внешнее воздействие
нарушило равновесие в системе и вызвало процесс регу-
лирования. Пусть далее воздействие это исчезло. Тогда
процесс регулирования называется устойчивым или сходя-
щимся, если, после достаточно малого возмущения, в ре-
зультате действия регулятора будет восстановлен тот же
режим, который поддерживался регулятором до действия
возмущения. В противном случае процесс регулирования
называется неустойчивым или расходящимся *).
По самому определению характер процесса опреде-
ляется тем, как действует регулятор после того, как воз-
мущение перестало воздействовать на систему. В момент,
когда это произошло, система имеет определенные откло-
нения от равновесного режима и эти отклонения могут
быть приняты за начальные. Тогда понятие «устойчивый»
и «неустойчивый» процессы регулирования можно сфор-
мулировать так: процесс называется устойчивым, если
при любых достаточно малых начальных отклонениях
*) Понятие «устойчивый процесс» будет уточнено в § 4 этой
главы.
Ю М. А. Айзерман
146 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ 1гл. Ш
в результате действия регулятора равновесный режим
в системе регулирования восстанавливается; процесс на-
зывается неустойчивым, если можно указать сколь угодно
малые отклонения, после которых регулятор не восста-
навливает режим работы, который был в системе до по-
явления этих начальных отклонений. Далее будет пока-
зано, что в линейной модели системы автоматического
регулирования факт малости начального отклонения,
который фигурирует в приведенной выше формулировке
понятия устойчивости, не играет какой-либо роли: если
линейная модель устойчива по отношению к малым воз-
мущениям, то она устойчива и по отношению к любому
другому возмущению, в не обязательно малому. Но сама
линейная модель, если и позволяет судить о поведении
истинной системы, то лишь по отношению к малым воз-
мущениям, и поэтому из устойчивости линейной модели
следует в лучшем случае лишь устойчивость исследуемой
системы регулирования в том смысле, какой был придан
выше этому термину*).
В практике использования систем автоматического
регулирования случаи неустойчивости очень часты.
В большинстве случаев неустойчивость—бич регулирова-
ния. Поэтому расчет системы автоматического регулиро-
вания начинают с выяснения условий ее устойчивости.
§ 1. Суждение об устойчивости линейной модели
системы по ее передаточной функции
а) Общие соображения. Предположим, что
в момент £=0 рассматриваемая система регулирования
находилась в положении равновесия, что процесс регу-
лирования вызван тем, что к одному из элементов си-
стемы приложено какое-либо воздействие и что в момент
1=1г воздействие это исчезло.
*) В конце этой главы будет детально выяснена связь между
устойчивостью рассматриваемой исходной системы и устойчивостью
ее линейной модели. Указанное определение термина «устой-
чивость» отличается от классического определения Ляпунова
и соответствует понятию «сходящийся процесс», часто используе-
мому в технике.
§ 11 СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 1 /
Любая из координат системы изменяется тогда при
по закону*)
х = 2 GePfc/>
k=i
(3.1)
где Ск—постоянная, определенная так, как это они-
сано в Приложении 1, a рк—корни характеристического
уравнения системы, которое получается, как это указы-
валось в предыдущей главе, приравниванием нулю зна-
менателя передаточной функции системы.
Если все корни характеристического уравнения рк—
действительные числа, то все Ск—также действительные
числа и х—сумма экспоненциальных функций. Если все
рк отрицательные, то все экспоненциальные функции,
а значит и ж, при t —> оо стремятся к нулю; если хотя
бы одно из рк положительно, то х—>оо.
Пусть теперь' характеристическое уравнение имеет
комплексно-сопряженные корни рк и рк+1. Тогда в этой
сумме каждую пару слагаемых CkePkt -\-Ck+1ePh+it мож-
но заменить (в соответствии с тождеством Эйлера) сла-
гаемым
^'(AfcSin^+BfcCOsPfcZ), (3.2)
где ак—действительная, a —мнимая части комплексного
корня рк = Ак и Вк—постоянные.
Действительно, в силу тождества Эйлера
' егг = cos z + i sin z
имеем:
Ch е(а^г^ ‘ == ck A' (cos phI 4- i sin Z),
Cft+1 ‘ = Ch i A (cos i8ft t - i sin /).
Поэтому
+ С^е^ =
= e к [(Gi ~F Cft+1) cos PhZ -|- i (Ch Ck+i) sin
*) См. Приложение 1. Значение принято за начало отсчета
времени.
10*
148 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Заметим, что Ck и Ck+1—комплексно-сопряженные чи-
сла. Пусть Ck=ty+i<f. Тогда С,л+1 = ф—Поэтому
Cfe + Gi+i — и i(Ck — Ck+1)= — 2'f—действительные чи-
сла. Обозначив их Ak и Вк, получаем (3.2).
Амплитуды Акеа^ слагаемых (3.2), входящих в (3.1),
стремятся к нулю, если все действительные части afe ком-
плексных корней характеристического уравнения отрица-
тельны. Решение (3.1) неограниченно растет, если хотя
бы один корень имеет положительную действительную
часть afe.
За нуль отсчета координат принято их значение в по-
ложении регулируемого равновесия. Поэтому стремление
z, координаты к нулю при
• Плоскость р Z —> оо означает восста-
новление равновесия.
* Из изложенного сле-
———------------------------дует, что необходимое
и достаточное условие
* устойчивости процесса
• регулирования в линей-
i ном приближении (т. е.
Фиг. 85. в том случае, когда про-
цесс описывается систе-
мой линейных уравнений) состоит в том, чтобы все
действительные ко рни ха рактеристического у равнения
были отрицательны, а все комплексные корни имели
отрицательную действительную часть.
Отметим в плоскости комплексного переменного р
точки, соответствующие всем корням характеристического
уравнения (фиг. 85). Система устойчива, если все эти
п точек лежат слева от мнимой оси, и неустойчива, если
хотя бы одна из этих точек лежит справа от мнимой оси.
Условимся говорить, что система находится на границе
устойчивости в том случае, если хотя бы одна из указан-
ных точек расположена на мнимой оси (т. е. если харак-
теристическое уравнение имеет хотя бы один нулевой
корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней).
Таким образом, для суждения об устойчивости нет
нужды вычислять корни характеристического уравнения.
Надо выяснить лишь, все ли они расположены слева от
мнимой оси.
§ 11 СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 149
Обычно встречаются две постановки этой задачи.
Можно, во-первых, считать заданными некоторые пара-
метры и определять, при каких значениях остальных па-
раметров система устойчива. Можно, во-вторых, считать
заданными все параметры и определять, устойчива ли
система при этих значениях параметров.
Задача в первой постановке решается построением
областей устойчивости, а во второй постановке—критери-
ями устойчивости.
б) Построение областей устойчивости. Об-
щее понятие о D-разбиении. Рассмотрим харак-
теристическое уравнение
а0Рп + а1Рп~г+ • • • + «п-1 Р + ап — О-
Совокупность значений а0, av а2, .. ., ап можно гео-
метрически трактовать как точку п-мерного пространства,
по осям которого откладываются значения коэффициентов
а0» ^i, ..., ап.
Каждой точке этого пространства соответствуют опре-
деленные значения коэффициентов а0, av .. ., ап и, сле-
довательно, определенные значения всех корней характе-
ристического уравнения pv р2, ..., рп.
Если в этом пространстве существует такая область,
что каждой точке ее соответствует характеристическое,
уравнение, у которого все корни лежат в плоскости кор-
ней слева от мнимой оси, то гиперповерхность, ограничи-
вающая эту область, называется границей области устой-
чивости.
Для случая, когда коэффициентов только два, эта об-
ласть ограничена плоской кривой, в пространстве трех
коэффициентов—обычной трехмерной поверхностью и т. д.
Так как все коэффициенты ak определяются значе-
ниями параметров дифференциальных уравнений системы
(постоянными времени и коэффициентами усиления), то,
очевидно, можно аналогично построить пространство па-
раметров Tv Т2, . . ., kv к2,... и выделить в нем область
устойчивости.
На практике стремятся обойтись построением областей
устойчивости на числовой прямой (один параметр) или
в плоскости (два параметра).
150 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ill
Рассмотрим в качестве примера характеристическое
уравнение, в котором все коэффициенты, кроме двух
(например, а0 и ап), определены.
Положим, что при некоторых определенных значениях
aQ и ап данное уравнение имеет в плоскости корней
(в плоскости р) к корней, лежащих слева, и п — к кор-
ней, лежащих^справа от мнимой оси (фиг. 86). Очевидно,
Фиг. 86.
что всегда существует кривая (в общем случае гиперпо-
верхность), ограничивающая на плоскости а0 и ап (в об-
щем случае—в пространстве коэффициентов) такую обла-
сть (фиг. 86), каждая точка которой определяет многочлен,
также имеющий к корней, лежащих слева, и п — к кор-
ней—справа от мнимой оси. Область, ограниченную этой
кривой (в общем случае поверхностью), обозначим
D(k, п — к). Здэсь к может быть любым целым числом
в пределах от 0 до п и, таким образом, в плоскости а0, ап
(в общем случае в пространстве коэффициентов) можно
указать области D(k,n — А), соответствующие разным
значениям к. Так, например, если характеристическое
уравнение имеет третью степень, т. е. если п = 3, то
в общем случае в пространстве коэффициентов могут быть
указаны области -0(0, 3), 0(1, 2), 0(2, 1) и 0(3, 0).
Последняя область и будет собственно областью устойчи-
вости в пространстве коэффициентов.
Если в^этом характеристическом уравнении все коэф-
фициенты, кроме двух, — конкретные числа, то плоскость
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 151
этих двух неопределенных коэффициентов может и не со-
держать какой-либо из указанных областей. Если, напри-
мер, не существует области D(3, 0), то это значит, что
при любых значениях этих неопределенных коэффициен-
тов и при заданных значениях остальных коэффициентов
уравнение не может иметь трех корней с отрицательной
действительной частью (слева от мнимой оси).
Разбиение пространства коэффициентов характеристи-
ческого уравнения на области, соответствующие одному
и тому же числу корней, расположенных слева от мни-
мой оси, называется D-разбиением. Отметим, что все
D-разбиение осуществляется одной поверхностью (или ли-
нией в случае двухмерного пространства коэффициентов),
причем эта линия (поверхность) отделяет все области,
соответствующие полиномам, у которых к корней лежат
слева от мнимой оси, каково бы ни было это число к.
Положим, что к корней полинома
а0Рп + а1рп~1 + ... +ап_1р + ап = 0
лежат слева от мнимой оси. Будем непрерывно изменять
значения коэффициентов а. Корни при этом могут перей-
ти в правую полуплоскость, причем, очевидно, переход
этот может быть осуществлен только через мнимую ось*).
Следовательно, мнимая ось в плоскости р есть отображе-
ние границы D-разбиения, и переход через последнюю
в пространстве коэффициентов соответствует переходу
корней в плоскости корней через мнимую ось. Отсюда
следует метод определения границы D-разбиения: ее урав-
нение в параметрической форме находится заменой в
рассматриваемом полиноме р на (где <о—переменная
величина). По этому уравнению граница может быть
построена, если изменять значение со от —ос до -|-оо.
Выше рассматривалось D-разбиение пространства коэф-
фициентов характеристического уравнения. Разумеется,
аналогичным образом можно построить D-разбиение про-
странства любых параметров, от которых зависят коэф-
*) Переход^корня из левой в правую полуплоскость (т. е. из-
менение знака его действительной части) может произойти и при
обращении действительной части в бесконечность, т. е. при aQ —> 0.
Этот случай будет далее учтен особо.
^УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.III
фициенты характеристического уравнения (например,
пространство постоянных времени и коэффициентов уси-
ления).
Целью анализа было выделение области устойчивости,
т. е. области D(n, 0), но построение всего 2)-разбиения
оказывается часто самым простым способом определения
границы области устойчивости.
Построение области устойчивости в плоскости од-
ного комплексного параметра. Назовем к параметр, зна-
чение которого изменяется для обеспечения устойчивости.
Положим, что можно разрешить характеристическое урав-
нение относительно к, т. е. привести его к виду
<?(/>)+(р) = 0 или
Так, например, в случае уравнения
/>2 + aiP + а2 — 0 и ^ = ^1
получаем:
С(р)=р2+«2» к(р)=р-
В случае уравнения
(Т1Р + 1)(Т2р + 1) + 1«0 и к-Л
получаем:
Q{p)~ (7^ + lHl, 7?(p) = 7,(7’2p+l).
Практическое значение имеют только действительные
значения к. Предположим, однако, временно, что к—ком-
плексное число, и отобразим мнимую ось плоскости кор-
ней (плоскости р} на плоскость к (фиг. 87). Для этого
подставим p = iw> в равенство
W)’
получим
х (iw)______________________0№)
----R{iu>)
и отделим мнимую и действительную части
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 153
Давая о) значения от — оо до + бо, построим по точ-
кам кривую, отображающую мнимую ось плоскости р на
плоскость т. е. границу D-разбиения плоскости к. Эта
граница D-разбиения в данном случае симметрична отно-
сительно действительной оси, и для построения всей кри-
вой достаточно построить половину ее, соответствующую
со
V
a} 5J
Фиг. 88.
О < (о < 4-оо, и затем дополнить ее зеркальным отобра-
жением относительно действительной оси.
Если двигаться в плоскости корней вдоль мнимой оси
из — оо в 4-00 (фиг. 88, а), то область, где должны
154 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. ш
располагаться корни для устойчивости процесса, будет
все время слева.
Идя по граничной кривой D-разбиения от точки, со-
ответствующей о) = — оо к точке, соответствующей
о) = -] со, будем штриховать эту кривую слева (фиг. 88, б).
Когда в плоскости К кривая D-разбиения пересекается
с заштрихованной стороны на незаштрихованную сторону,
в плоскости корней один корень пересекает мнимую ось,
переходя с левой полуплоскости на правую полуплоскость.
Практическое значение имеют только действительнее
значения о), и, следовательно, из всей области к важно
лишь разбиение действительной оси.
Таким образом, для того чтобы построить границу
D-разбиения по какому-нибудь одному параметру, нужно:
1. Разрешить характеристическое уравнение относи-
. Q(p)
тельно этого параметра, т. е. свести его к виду - .
2. Произвести замену р = 1ш и отделить в полученном
выражении действительную и мнимую части, т. е. свести
его к виду
Х = и(ш)-\-ш(ш).
3. Откладывая по осям и и v соответствующие значе-
ния, построить кривую, которая получается, если id будет
пробегать все значения от а) = 0 до ю —» + оо.
4. Дополнить эту кривую ее зеркальным отображе-
нием относительно оси и, т. е. ее ветвью, соответствую-
щей — ОО < (1) < 0.
5. Двигаясь по этой кривой от точки, соответствую-
щей а) = — оо к точке о) = + оо, отмечать штриховкой
левую сторону кривой.
Если какой-либо точке плоскости X соответствует по-
лином, имеющий к корней слева от мнимой оси, то такое
же число корней слева имеет полином, соответствующий
любой точке, к которой можно перейти, не пересекая гра-
ницу D-разбиения. Если же при переходе к другой точ-
ке пересекается кривая с незаштрихованной стороны на
заштрихованную, то этой новой точке соответствует поли-
ном, имеющий слева от мнимой оси к - 1 корней, если
штриховка одинарная, и к -|-2 корней, если штриховка
двойная (точки самопересечения кривой).
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 155
Если точке А соответствует полином, имеющий к кор-
ней слева от мнимой оси, и если из точки А можно по-
пасть в точку В, пересекая границу D-разбиения zr раз
со стороны штриховки и z2 раз с незаштрихованной сто-
роны, то точке В соответствует полином, имеющий слева
от мнимой оси (k-\-z2—z1) корней.
Таким образом, достаточно знать распределение кор-
ней относительно мнимой оси при каком-либо одном про-
извольном значении к, чтобы выяснить это распределение
при любом другом значении к.
Практически представляют интерес только действи-
тельные значения к. Поэтому, построив D-разбиение
плоскости к и определив число корней, соответствующее
каждой области, необходимо определить отрезок дей-
ствительной оси, принадлежащий области устойчивости.
Приведем несколько примеров построения D-разбиения.
Пример. 1. Дано харак-
теристическое уравнение
р3 + Р2 + р-рк = О.
Решая его относительно па-
раметра к, получим:
— Р3 — Р2 — Р-
Производя замену р = най-
дем:
X = /со3 со2 — га) = и -|- iv,
Фиг. 89.
где
U — о)2' V (D3—со.
Построим границу Р-разбиения в плоскости к (фиг. 89).
Перемещаясь вдоль кривой от точки <о =—оо к точке
со =ч-оо, заштрихуем ее слева.
Очевидно, что областью, соответствующей полиномам, имею-
щим наибольшее число корней слева от мнимой оси, будет об-
ласть, которой принадлежат точки действительной оси, удовлетво-
ряющие неравенству 0 < k < 1.
Чтобы убедиться, что эта область будет областью устойчи-
вости, возьмем граничную точку к = 0.
Для нее
1 1/ 3
Pi — 0; ^2,3 — — у ± у — у ’
т. е. один корень равен нулю, а два лежат слева от мнимой оси.
156 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.III
Внутри рассматриваемой области число корней, расположен-
ных слева от мнимой оси, должно быть на один больше, так как,
чтобы оказаться в этой области, надо сойти с границы D-разбие-
ния в сторону штриховки. Следовательно, этой области соответ-
ствуют полиномы, у которых все три корня лежат слева от мни-
мой оси.
Представляют интерес только действительные значения X, ко-
торые определяются сразу отрезком оси и, лежащим внутри об-
ласти D (3, 0). Следовательно, рассматриваемая система устойчива
только, если 0 < X < 1.
Пример {2/.Рассмотрим характеристическое уравнение
р3 + Х/?2 + /? + 1 0.
v
Фиг. 90.
Разрешая его относительно X, най-
дем:
/>2
Подставляя р — к», получим:
Давая со значения от —оо до
+ оо, построим D-разбиение на пло-
скости X (фиг. 90) и найдем об-
ласть, соответствующую полиномам
с наибольшим числом корней, рас-
положенных слева от мнимой оси.
На фиг. 90 эта область обозначена
буквой В. Ни в одной точке пло-
скости, не принадлежащей 7?, не может быть такого же или
большего числа корней, расположенных слева от мнимой оси*).
Определим число корней слева от мнимой оси при Х = 1. В
этом случае характеристическое уравнение сводится к виду
Р3 + р2 + Р + 1 = (р2 + 1) (Р + 1) = 0
и имеет корни
Pi ——1’ Pit3 — zt:1-
Таким образом, в точке Х = 1 один корень расположен слева
от мнимой оси, а два корня —на ней. Переходя от точки Х = 1 к
любой точке области D, мы сходим с кривой в сторону штрихов-
ки, причем в точке Х = 1 штриховка двойная (через эту точку про-
ходят две ветви границы D-разбиения). Следовательно, область R
♦) Действительно, нельзя перейти из любой точки гобласти~в
любую точку, не принадлежащую этой области, не пересекая гра-
ницы D-разбиения с заштрихованной стороны на незаштрихован-
ную сторону.
5 1] СУЖДЕНИЕ OB УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 157
соответствует случаю, когда все три корня имеют отрицатель-
ную действительную часть, т. е. является областью устойчи-
вости— областью D (3,0).
Пример 3. Определим, какой должна быть постоянная вре-
мени вязкого трения Тк регулятора, если двигатель с положи-
тельным самовыравниванием и постоянной времени 7\ = 1 сек. и
коэффициентом усиления к± = 2 регулируется статическим регу-
лятором прямого действия, имеющим постоянную времени
Т2 = 0,1 сек. и коэффициент усиления к2 = 20.
Уравнения движения двигателя и регулятора:
+ Tf^+Tk^ + x^k.^. (3.3)
Характеристическое уравнение имеет вид*)
(Т1Р + 1) (Г'2 />2 + Тк р +1) + к. к2 = 0.
После подстановки заданных значений Tlt кг и к2 получаем:
(р + 1)(0,01 р2 + 4 1) 4-40 = 0,
т. е.
0,01/>3 + (0,01 + Th) р2 + (1 + Тк) р + 41 = 0,
или
0,01 р3 + (р2 + р) Тк 4- 0,01 р2 + р + 41 = 0.
Разрешив последнее уравнение относительно Tkt найдем:
_ 0,01/?3 4- 0,01р2 + р + 41
V+P ’
Заменяя р на iw, умножая числитель и знаменатель на
(— но — со2), раскрывая скобки в числителе и собирая подобные
члены, найдем:
__ 0,01/о)5 — 0,99to)3—41io) — 40о)2
О)24-О)4
Построение Л-кривой по точкам показано на фиг. 91.
Система прямого регулирования всегда может быть сделана
устойчивой выбором Tki и следовательно, плоскость Тк обязатель-
но должна содержать область устойчивости.
Предположим, что при 7\ = 0,1 уравнение (3,3) имеет г кор-
ней с отрицательной действительной частью. Тогда сразу опреде-
ляется число таких корней при любом другом значении Тк
(фиг. 91). Так как заранее известно, что в плоскости Тк область
устойчивости существует, то ею может быть лишь область, имею-
щая наибольшую отметку, т. е. область с отметкой г 4-2.
Таким образом, рассматриваемая система устойчива при лю-
бом 7\J>0,3.
) См. главу II.
158 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ (гл.Ш
Построение области устойчивости в плоскости двух
действительных параметров [диаграммы Вышнеградского).
Диаграммой Вышнеградского принято называть плоскость
каких-либо двух действительных параметров системы с
нанесенной на ней линией, отделяющей область устойчи-
вости. Диаграмму Вышнеградского можно получить, сле-
довательно, построив .D-разбиение плоскости] двух дейст-
вительных параметров, т. е. плоское сечение ©-разбиения
пространства параметров.
Положим, что в характеристическом уравнении системы
а0Рп + а1У1'1 + а2Р”_2+ • • • +an-i Р + ап = °
коэффициенты зависят от двух параметров*) и т;, и огра-
*) Этими параметрами могут быть, в частности, просто два
коэффициента рассматриваемого уравнения.
§ 11 СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 159
ничимся случаем, когда это уравнение можно привести
к виду
(Р) 4- О) + Я(Р) = 0-
Например, уравнение
(ИР +1) (5рЧ-1) н- Зт) = О
можно привести к виду ,
Р- (5р2 + р) + Зт] 4- (5р 4-1) = 0.
В этом случае
5 (р)-5р2 4-/>,
<?(р) = 3,
7?(р) = 5/> + 1.
Полагая далее р = го) и отделяя действительную и
мнимую части, получим:
р.5 (ш) i]Q (io)) + R (io)) = и (co) 4- iv (w).
В общем случае обе функции и (<п) и v (ш) зависят не
только от о), но и от двух параметров: р. и т]. Для по-
строения границы D-разбиения надо определить р. и т]
для каждого <о, решая совместно два уравнения
и (а)) = 0,
v (<о) = 0.
Если отделить в каждом из них члены, содержащие
|jl и т], то получим систему двух уравнений с двумя не-
известными:
и (ш) = [15! (ш) + -Г]<21 (<в) -Ь = о,
V (о)) = [152 (ш) + т](?2 (<в) + R2 (ш) = 0.
Решая эту систему двух линейных алгебраических
уравнений относительно р< и т] для каждого значения а),
получаем:
1 1 ~= to н* [ _ —^1^2 4~ RzQi
р. = - S1 <21 — ^*2^1
<?2
Si - -7?1
6*2 ~ -Л3 —^>1^2 4" ^2^1
7] — - <Si <21 — ^2^1
<?2
160 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ.РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.Ш
Уравнения zz (со) = 0 и и(<о) = 0 определяют одно зна-
чение р. и одно значение т] для каждого со только в том
случае, если эти уравнения совместны и независимы.
Если для некоторых значений со числитель и знамена-
тель обращаются в нуль, то при этом значении ш одно
из уравнений и (со) --=0 и v (со) = 0 является следствием
второго уравнения, и для этого значения со получаем
в плоскости р., т] не точку, а прямую линию. В этом слу-
чае любое из уравнений zz (со) = 0 или v (со) = 0 при под-
становке указанного значения со является уравнением
этой прямой/
Если коэффициент при старшем члене характеристи-
ческого уравнения зависит от параметров р. или т], то,
приравнивая этот коэффициент нулю, получаем уравне-
ние еще одной прямой, соответствующей со = оо. Эти пря-
мые называются особыми.
Для нанесения штриховки на границу /^-разбиения
необходимо, перемещаясь вдоль границы в сторону уве-
личения со, штриховать ее с левой стороны в тех точках,
для которых Д > 0, ис правой стороны в точках, для
IS О I
~ . Обычно кривая пробе-
гается дважды: один раз при изменении со от — оо до 0,
а второй раз при изменении со от 0 до + оо, но штрихуется
оба раза с одной и той же стороны, так как обычно
знак Д меняется при со = 0 или со = оо *). Через эти же
точки чаще всего проходят особые прямые. Они штриху-
ются в этом случае так, как это показано на фиг. 92:
вблизи точки пересечения кривой и прямой их заштри-
хованные стороны должны быть направлены друг к другу.
Существуют редкие исключения, когда эти особые
прямые не следует штриховать (см. далее пример 1).
Если (что бывает редко) Д обращается в нуль при со =£ 0
или со Ф оо и знак Д при этом не меняется, то эти пря-
*) При построении границы Р-разбиення следует придержи-
ваться следующих правил:
а) первым писать уравнение и(<о) = 0, а вторым уравнение
v (о>) = 0;
б) если в этих уравнениях р.— первое по порядку написания
переменное, a iq — второе, то при построении кривой система
координат (р., tq) должна быть правой.
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 161
мне не штрихуются и могут быть вообще из построения
удалены. Если же при этом знак А меняется, то прямые
штрихуются в соответствии с фиг. 93.
Если, наконец, Д = 0, то границей .D-разбиения слу-
жат только особые прямые.
Фиг. 92.
На фиг. 94 показаны примеры штриховки кривой
D-разбиения и особых прямых.
Пример 1. Дано характеристическое уравнение
?3 + ^2 + ^? + 1 = 0.
Построим 72-разбиение, для чего перепишем его в виде
Н°2 + 71? + (?3 + 1) = 0
и подставим
p = i(n.
Тогда
---U.CO2 + 7] ICO + 1 10)3 = О
ИЛИ
------------------------U.CO2 1 I (Т|0) — О)3) = О,
откуда
и (со) = JJL ( — СО2) -J- 7]-0 + 1 = 0,
V (со) = 11 • 0 + Т|СО — со3 = 0.
Определитель этой системы
I -О)2 ° I 3
I 0 со |~ °
равен нулю только при со = 0.
.11 М. А. Айзерман
162 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.11
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 163
Для любого «о ф О
Г 1
^ = -2 И 71 = ш2>
т. е.
т].^Определитель меняет знак
Границей .D-разбиения служит равнобокая гипербола (фиг. 95).
Точка св = О лежит в бесконечности на оси (л, а точки ю= Ц-оо
и <о=—оо в бесконечности на оси
в точке (о = 0. Поэтому гипер-
бола имеет двойную штриховку,
показанную на фиг. 95.
Значение (о = 0 определяет
две особые прямые: jx = oo и
т] = 0. Для дальнейшего имеет
значение только прямая т] = 0,
так как прямая р. = оо не вы-
деляет области в конечной ча-
сти плоскости.
В данном случае на прямую
т] = 0 не надо наносить штри-
ховку. Это видно из того, что
точке этой прямой р. = т] = О
соответствует уравнение, имею-
щее один корень слева от мни-
мой оси и два корня справа,
а не нулевой корень. Переход
через границу D-разбиения,
имеющую двойную штриховку,
соответствует изменению знака действительных частей двух кор-
ней. Поэтому область А соответствует наличию всех трех корней
слева от мнимой оси, т. е. является областью устойчивости.
Пример 2. Выясним параметры (постоянные времени и
коэффициенты усиления) одноемкостных объектов, которые можно
устойчиво регулировать статическим регулятором прямого дей-
ствия, имеющим постоянную времени, равную 0,45 сек., по-
стоянную времени демпфирования, равную 5 сек., и коэффициент
усиления, равный 25.
Рассмотрим уравнения прямого регулирования
т 1-^ + а>1= —
Т? + П^+*8=М1,
(3.4)
где ^ — координата объекта, а х.2 — регулятора, Тг и кг — постоян-
ная времени и коэффициент усиления объекта, Tg и к2 — постоян-
ная времени и коэффициент усиления регулятора, Тк — его по-
стоянная времени демпфирования.
11*
164 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.Ш
Поставленную задачу можно теперь сформулировать так: за-
даны значения: Т2 = 0,45; 7\ = 5; к2 = 2Ъ\ определить значения Тг
и при которых система устойчива. Требуется, следовательно,
найти область устойчивости в плоскости Ть кг.
Для уравнения (3.4) характеристическое уравнение можно за-
писать так:
(Т1Р + 1) (Т'2?2 + Tkp + 1) + кгк2 = 0
пли при заданных значениях Т2, и к2
(Т1Р + 1) (0,2р2 + 5р + 1) + 25/Ci = 0,
или
0,2у.^3 4- 5;i/?2 + 0,2р2 + +1 + 25т] = 0, (3.5)
где у.= Тг и т; = /с1.
Приступая к построению D-разбиения уравнения (3.5) по па-
раметрам у. и т], заменим Р на гю:
—0,2|xt(o3— 5fico2 4- jiiw — 0,2со2 4- 5гш 4-1 + 25т; = 0.
Отделяя действительную и мнимую части и порознь приравнивая
их нулю, получим:
-5(iu)2 4- 25т; 4- (1 — 0,2ш2) = 0, |
(1со (1—0,2о)2)4-т]-0 4-5о) = 0. J
В данном случае
64 (ш) = —5о)2; 6*2 (ш) = 0) (1 - 0,2о)2); Qi (о>) = 25;
<?2 (<“)=0; R j (о)) = 1 — 0,2о)2; R2 (ш) = 5о);
д = 51 (ю) Qi(a>) 52(ш) Q2(o>) = -5о)2 251 о) (1 — 0,2о)2) о| = —25о) (1—0,2(о2);
Д1 = —/?1(ш) Qt(a) —R2 (<°) Qi (ш) = -(1-0,2о)2) 25 — 5о) 0 = 125о>;
л 5Х (ш) (<о) | -5о)2 -(' 1—0,2со2) I __
а2 — 53 (ш) —Т?2 (ш) 1 о) (1—0,2о)2) —5о) ।
Следовательно, = 25со3 4-о) (1—0,2о)2)2.
_Ai_ 5 _Д2_ 25<о2 + (1—0,2ш2)2
Д 1 —0,2о)2 ’ Д " 25(1 —0,2о)2)
Давая о) различные значения от со = 0 до со = оо, прочерчиваем
по точкам кривую, показанную на фиг. 96.
Заметим, что Д обращается в нуль при о) = О и при
о) = У 5 2,236, по при о) = /5ни Дь ни Д2 в нуль не обра-
СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ
165
щаются. При 0 < о) < 2,236 определитель А < 0, а при со > 2,236
определитель Д > 0.
Двигаясь вдоль кривой от точки ш = 0 к точке a) = Z,23b, на-
носим двойную штриховку (фиг. 97) справа (так как Д < 0), а
далее, при о> > 2,236 —слева (так как Д > 0).
В данном случае имеются две особые прямые: одна из них
соответствует ш = 0, вторая ю = ос, так как в данном случае
коэффициент при старшем члене характеристического уравнения
содержит |х.
Приравняв нулю свободный член уравнения, находим 25т] —— 1
или —0,04. Следовательно, первой особой прямой, соответ-
ствующей ю = 0, служит прямая т]=—0,04*).
Приравняв, наконец, нулю коэффициент при р3 в уравнении
(3.5), найдем уравнение второй прямой: |i = 0.
Следовательно, второй особой прямой служит ось т].
На фиг. 97 показана штриховка этих прямых, нанесенная по
указанным выше правилам.
Пусть точке т] = 10, [л = 20 соответствует уравнение, имеющее
г отрицательных корней. Разметка всех областей в этом случае
представлена на фиг. 97.
Очевидно, что плоскость содержит область устойчивости, так
как всегда имеются объекты, которые можно устойчиво регули-
ровать заданным регулятором, каковы бы ни были параметры
Tf2t и к.2, если только все они отличны от нуля.
Наибольшую отметку па фиг. 97 имеет область (г), и она
является, следовательно, искомой областью устойчивости.
*) На фиг. 97 прямая т]=—0,04 совмещена с прямой v] = 0.
Левая ветвь кривой в первом квадранте изображена с наруше-
нием масштаба.
166 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.Ш
Правильность этих рассуждений можно проверить, положив
т]=—0,04; {1 = 1. Тогда уравнение (3.5) сводится к виду
0,2/>3 + 5,2/?2 + 6/) = 0
и имеет корни
-5,2 ± /5,22 — 4-6-0,2
=°; Р2.3=----------2А2-----------•
Из этих трех корней два корня расположены слева от мнимой
оси, а один корень на мнимой оси. Точка т]=—0,04; {1 = 1 лежит
на особой прямой и, переходя в область (г), сходит с особой пря-
мой в сторону штриховки.
Следовательно, области (г) соответствуют уравнениям, у ко-
торых все три корня расположены слева от мнимой оси.
Для того чтобы выяснить значение г, можно было бы посту-
пить и так: положим в (3.5) {1 = 0; т) = 0,2. Тогда (3.5) сводится
к квадратному уравнению
0,2?2 + 5/7 + 6 = 0:
Оба его корня отрицательны.
Точка ji = 0, т] = 0,2 лежит на особой прямой р.=0, соответ-
ствующей ш = оо. При отходе от этой прямой в сторону штри-
ховки число корней с отрицательной действительной частью уве-
личивается на единицу и, следовательно, г = 3.
в) Критерии устойчивости.
Необходимое условие устойчивости. Для
устойчивости необходимо, чтобы все коэффициенты ха-
рактеристического уравнения имели одинаковый знак.
Действительно, в силу теоремы Безу всякое уравнение
можно разбить на множители вида (/> — /?ft), где ph — корни:
aoPn + aiPn-1 + ••• + ап = ао(/>-/’1)(/’-/?2) ••• (р-Рп)-
Но если действительные части всех корней лежат
слева от мнимой оси, то все множители имеют только
положительные коэффициенты*). Следовательно, av а2, ...
... , ап совпадают по знаку.
*) Для действительного корня рь = — | ри | это очевидно:
(Р — Pk) = (p+\ Ph D-
В случае же пары комплексно сопряженных корней имеем:
(?—Pk)(P~ Pk+i) = [p — (ak + Фь)1 [? —(afc —Фь)] =
= /72—2afe/? + (a| + ₽|),
И если ось < 0, то ak= —| | и
(P— Pk)(P~Рй+1) = Р2 + 2 I ak I Z’ + (aft+
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 167
Критерий А. В. Михайлова. Вернемся к харак-
теристическому уравнению
D(p) = %Pn + ViP”'1 -г ••• + «п-1 Р -г ап = 0. (3.6)
Введем параметр к и рассмотрим более общий класс
уравнений
П(Р) = К
Положим в уравнении (3.6) р = ш и построим Д-раз-
биение по параметру К (фиг. 98).
Единственным претендентом на область устойчивости
является область А, заштрихованная на фиг. 98, а. Если
точка к = 0 лежит внутри этой области и последняя яв-
ляется областью устойчивости, то уравнение имеет все
корни слева от мнимой оси, и система устойчива.
Можно указать правило, позволяющее установить,
является ли область А областью устойчивости, не прибе-
гая к штриховке кривой.
Рассмотрим случай к = 0, т. е. уравнение (3.6). Пусть
степень этого уравнения равна п и пусть pv р2, .. . , рп —
его корни. Тогда
D (р) = «о (р - Pi) (Р - Pi) • • • (Р - Рп)-
Заменим р на йв:
P(io>) = a0(iw-p1)(iw-p2) ... (г«>-рп).
168 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.III
Если в плоскости р отметить точку рк, то разность
газ — pk соответствует вектору, проведенному из точки pk
к точке газ, лежащей на мнимой оси (фиг. 98, б). Будем
менять оз от — оо до -[-оо. В том случае, если /улежит
слева от мнимой оси, аргумент этого вектора (газ — pk)
увеличится на и (фиг. 98, в). Поэтому, если все корни
р2, ... , рп лежат слева от мнимой оси, то приращение
аргумента вектора D (газ) (называемого иногда характери-
стическим) при изменении шот — оо до -{-оо, предста-
вляющее собой сумму приращений аргументов всех п век-
торов (газ — pk), равно im. Если же г корней лежат справа
от мнимой оси, а п — г корней слева от нее, то суммар-
ное приращение аргумента равно (п — 2г) тс.
Ограничимся изменением оз от 0 до -{-оо. Тогда из-
менение аргумента характеристического вектора D (i&)
будет в два раза меньше, чем при изменении оз от — оо
до —оо, и для устойчивой системы будет равно п
Заметим, что с ростом оз аргумент всех векторов (газ — pft),
для которых ph лежат слева от мнимой оси, а значит,
аргумент вектора D (Un) устойчивой системы, растет
монотонно.
Таким образом, область А будет областью устойчиво-
сти, если рассматриваемая граница D-разбиения уравне-
ния по параметру к, начинаясь при оз = 0 на действи-
тельной оси справа от начала координат, далее, с ростом
оз до -{-оо, проходит через п квадрантов, так что радиус-
вектор вращается все время против часовой стрелки
(здесь п — степень рассматриваемого характеристического
уравнения).
Рассмотрим теперь левую часть любого характеристи-
ческого уравнения 2)(р). Заменим в нем р на газ и отде-
лим действительную и мнимую части:
D (газ) = и (аз) 4- iv (аз).
Отложим гг(аз) по оси абсцисс и v (аз) по оси ординат.
Тогда, подсчитав для какого-либо значения оз величины
и и V, найдем точку в этой плоскости. Меняя теперь оз
от нуля до бесконечности, прочертим в этой плоскости
кривую, которую назовем годографом характеристического
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 169
уравнения системы. Радиус-вектор, проведенный от на-
чала координат к этой точке, как уже указывалось, на-
зывается иногда характеристическим вектором системы.
Аргумент этого вектора будет, как всегда, равен углу
между положительным направлением оси и и радиусом-
вектором, отсчитанным против направления вращения
часовой стрелки.
Можно сформулировать тогда следующий критерий
устойчивости (критерий А. В. Михайлова).
Для того чтобы система была устойчива, необхо-
димо и достаточно, чтобы модуль характеристического
вектора был отличен от нуля при любом ш (0<w<oo)
и чтобы аргумент этого вектора равнялся нулю при
(в = 0 гг далее, при монотонном увеличении со от. О до
4-оо, увеличивался бы монотонно от 0 до п, где
п — степень характеристического уравнения.
Иначе говоря, годограф характеристического уравне-
ния устойчивой системы может протекать только так:
начинаясь при со = 0 на полуоси и+, он должен далее
охватывать начало координат, последовательно пересекая
полуоси V+, и~, V", и+, v+,
не будет пройдено п квад-
рантов. В n-м квадранте
годограф уходит в беско-
нечность.
Годограф протекает
таким образом только
в случае, если
и(0)>0; у(0) = 0;
и и т. д. до тех пор, пока
и если нули функции v (ш) чередуются с нулями функ-
ции и(ш) (фиг. 99).
Если годограф характеристического уравнения проте-
кает как-либо иначе, например два раза подряд пере-
секает одну и ту же полуось, система неустойчива.
Критерий Раута — Гурвица. Ниже рассматри-
вается несколько различных формулировок этого крите-
рия. Принципиально не отличаясь друг от друга, они
170 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.III
различаются по форме и каждая из них имеет свою об-
ласть наиболее целесообразного применения.
Положим р = в характеристическом уравнении си-
стемы D (р) — 0 и отделим действительную и мнимую
части:
D (Z(d) = и ((d) -|- w ((d).
Напомним, что у устойчивой системы действительные
корни уравнений и ((d) = 0 и v ((d) = 0 чередуются (фиг. 99).
На границе D-разбиения одновременно u ((d) = 0 и
у(ш)~ 0. Условием этого является равенство нулю опре-
делителя n-го порядка, который называют старшим опре-
делителем Гурвица. Он составляется по схеме:
а1 аз «5 а7 . .. 0
а0 й2 а4 аб • .. 0
0 а1 а5 • .. 0
0 «0 ^2 л4 . .. 0
д = 0 0 «1 д3 . . .. 0 = 0
п 0 0 ^2 ’ * 0
0 0 0 .. 0
0 0 0 aQ ’ 1 .. 0
0 0 0 0 .. 3
где ^ — коэффициенты характеристического уравнения
Щр) = аорп + а^-1а-2рп~2... + ап.
Уравнение Дп = 0 определяет в пространстве коэффи-
циентов поверхность, включающую границу D-разбиения.
Область устойчивости выделяется условием, что сам
определитель Дп и все его диагональные миноры
ai
а1
^3 — aQ
~ аг>
\ —
(^2
о
а3 а5
^2 ^4
а3
положительны.
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 171
Рассмотрим в качестве примера систему, характери-
стическое уравнение которой
аоР3 + а1Р2 + «2? + «3 = °-
Условием устойчивости, согласно
будет выполнение неравенств
критерию Гурвица,
дз —
«1
(Iq
О
яз О
а2 О
>0;
^2 —
> 0; Д1 = аг > 0,
ах а3
а0 а2
или после раскрытия определителей Д2 = ага2 — а0а3 > 0
и Д3 = а3Д2> 0. Последнее неравенство при Д2 > 0 вы-
полняется, если а3 > 0.
Положим для примера ах = р и aQ = а2 = а3 = 1; тогда
условием, устойчивости по Гурвицу будет Д2 = р — 1 > 0
или р > 1.
Вычисление определителей Др Д2, . .. , Дп путем раз-
ложения их по элементам какого-либо столбца или строки
обычно громоздко. Поэтому удобнее не вычислять эти
определители, а сводить определитель Дл к диагональ-
ной форме.
Из теории определителей известно, что если в опре-
делителе вычесть из всех элементов какой-либо строки
элементы какой-либо другой строки, умноженные на
любое число, то ни значение определителя, ни значе-
ние его диагональных миноров не изменяется.
Рассмотрим предпоследний определитель Гурвица*)
Дп-1 О О О О О О • О М . О О О О £5 О Hi Ю СО О 1—4 tO СО СЛ • ©МГОСО^СЛ®^ ЬОСО^^о^ООСО £»СЛС1<100СО1-4|-4 • О М ®*JOOCCI-4b44-4l-4 , о м to со ’ ? ? й • ОО СО h-4 h-4 Н4 h-4 h-4 м О h-4 to СО СП
*) В связи с тем, что Дп = агсДп-1 при ап > 0, из неравенства
Дп_г > 0 вытекает и неравенство Д^ > 0.
172 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.III
Все остальные определители Гурвица совпадают с диа-
гональными минорами Дп_г
Составим отношение первых элементов первых двух
строк:
1 <11
Вычтем из всех элементов второй строки определи-
теля Ап_1 соответствующие элементы первой строки,
умноженной предварительно на kj = .
В результате вторая строка заменится строкой
О (22 ^4 ^6 ^8 • • • ,
где
а2 = а2-~аз> ai = ai — -~а6 и т. д.
Совершенно аналогично можно преобразовать четвер-
тую, шестую, восьмую и т. д. строки, причем это не
связано с какими-либо новыми вычислениями, так как
в каждая следующая пара строк повторяет первую
и вторую строки со сдвигом на один столбец. Можно
поэтому сразу всюду в определителе заменить а0 на
О, а2 на а2, на и т. д.
В результате придем к определителю
^1 ^3 ^5 ^7 ^9 &!! А13 Alb * ‘ ’
О &2 ^4 йб Q,q &1о • • •
О а3 й7 а9 л13 . . .
О 0 Л2 ^4 Aq fl's ^10 ^12 • • •
О 0 аг а3 а5 а7 а9 ап . . . .
ООО а2 fl/^ fl's Aq ^io • • •
О 0 0 ах а3 а5 а7 а9 . . .
О 0 0 0 а2 а4 ав а8 . . .
Вычтем теперь в этом определителе из каждого эле-
мента третьей строки расположенный над ним элемент
второй строки, умноженной предварительно на к2 = ^-,
Я 2
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 173
т. е. заменим третью строку 0 аг а3 а5 а7 а9 ап ai3 ...
строкой
О 0 flg &7 dg ^11 ^13»
где
^3 = ~~ й4’ = ^5 ИТ. Д.
О>2 Л-2
Совершенно так же, как и раньше, произведем эту же
замену в пятой, седьмой, девятой и т. д. строках, т. е.
в третьей и во всех нижележащих строках заменим
на 0, а3 на а3, а5 на а5 и т. д.
В результате этого преобразования получим опреде-
литель а1 аз а5 а7 I9 аи а13 «15 • • •
0 ь лв а8 ^10 «14 . . .
0 0 а3 а5 а7 а11 «1з • • •
0 0 (Zg а, 5 «10 «12 . . .
0 0 0 а7 а9 «11 а1з • • •
0 0 0 ^2 Oq «в а10 . . .
0 0 0 аз й7 «э ап • • •
0 0 0 0 л2 «в а8 ...
Продолжая
порядка:
процесс, придем к
а1 аз а5
—-
0 ^2 а4
V1 = 0 0 аз
0 0 0
определителю того же
а7 . . .
а 6 . . .
а5 .. . ,
. . .
у которого все элементы, расположенные левее главной
диагонали, — нули, а элементами главной диагонали
служат
#2> ^3» ^4’ * ’ ’
174 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Такой определитель равен произведению всех его диа-
гональных элементов
®n-i — ах • а2 • а3 • а4...,
и любой его диагональный минор А-го порядка ра-
вен произведению к диагональных элементов этого ми-
нора.
Определитель 8п-1 и его диагональные миноры совпа-
дают соответственно с определителем Гурвица Дп_х и его
диагональными минорами, так как переход от определи-
теля Дп_х к 8П_Х совершен лишь с помощью преобразова-
ний, не меняющих ни значения определителя, ни значе-
ния всех его диагональных миноров.
Таким образом,
Д1=«1> _
Д2 = * ^2»
Д3 = аГа2-«3 И Т- Д->
и условие Гурвица Дх > О, Д2 > О, Д3 > 0, . . . сводится
к условию >0, а2 > 0, а3 > 0.
Поэтому критерий Раута —Гурвица можно сформули-
ровать так:
Составим определитель*) и преобразованиями,
не меняющими ни значения определителя, ни значения
его диагональных миноров, приведем его к диагональной
форме. Для того чтобы система была устойчивой, не-
обходимо и достаточно, чтобы все элементы, располо-
женные на главной диагонали этого приведенного опре-
делителя, были положительны.
Заметим, что при использовании критерия Раута —
Гурвица важно знать не значение определителя и его
диагональных миноров, а лишь их знак. Знак же
определителя не меняется, если умножить все эле-
менты какой-либо строки или столбца на произвольное
положительное число М. Этим можно воспользоваться
♦) Предполагается, что необходимое условие устойчивости
выполнено, т. е. все коэффициенты, а значит и ап, положительны.
§ 1] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 175
для сокращения всех элементов строки или столбца на
общий множитель.
К определителю 8^ можно придти иначе. Из коэффи-
циентов характеристического уравнения
айРп + 0,^ + • • • + «n-iP + ап = 0 (3-6)
построим таблицу Раута:
№ столбца № строки
1 2 3 4 5
1 а0 Д4
2 Я1 Дз «5 а7
3 а31 ^32 а33 а34
4 а41 а42 а43 . . .
5 а51 а52 . . .
6 . . .
где
а1а2 — й0аЗ аз1 — „ , а1 а31а3 — а1а32 а41а32 — а31а42 а41 а81- - •• - a3i а41
^1^4 — ^0^5 а32 „ , Я1 л а31а5— а1а33 л #41а33—#31а43 “42— , “52 — а31 а41
— ^0^7 азз— ’ л , Я1 _ а31а7 — а1а34 “43 „ , а31
—а0а9
а34 =-----------
а1
Элементами первой строки служат все коэффициенты
с четными индексами, а элементами второй строки—с
нечетными индексами. Элементы третьей строки получа-
ются перекрестным умножением элементов первых двух
строк с последующим делением на первый элемент
предыдущей строки. Элементы каждой следующей строки
образуются таким же способом из двух предыдущих
строк. Тогда критерий Раута — Гурвица можно сформули-
ровать так:
Для того чтобы действительная часть всех кор-
ней уравнения (3.6) была отрицательна, необходимо
176 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл.Ш
и достаточно, чтобы все элементы первого столбца
составленной таблицы
%
ai
а1а2 — а0аЗ
были отличны от нуля и имели один и тот же знак.
Если а0 отрицательно, то всегда можно сделать его
положительным, умножив обе части уравнения (3.6) на
— 1. Поэтому система устойчива, если все элементы пер-
вого столбца таблицы положительны.
Составление таблицы Раута прерывается, как только
первый элемент какой-либо строки окажется отрицатель-
ным или равным нулю.
Цифровой пример. Выясним, устойчива ли система,
имеющая характеристическое уравнение
р4 -f- 8р3 + 18р2 + 16р + 5 = 0.
Составим таблицу Раута:
№ № строки
столбца 1 1 2 1 3
1 1 18 5
2 8 16 . 0
о 8.18-1.16- 8 8-5 —1-0 - 8-0-1-0 _
и 8 8 =°
4 16-16-8-5 16 “13,5 16.0-8-0 16 0
5 13,5-5—16-0 _ 13,5 ' =5 13,5-0-16-0 13,5 0
Элементы первого столбца равны: 1, 8, 16, 13,5 и 5; все они
положительны, и следовательно, система устойчива.
§ 11 СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 177
Непосредственно видно, что действия, которые надо
производить под коэффициентами а, чтобы составить таб-
лицу Раута, точно совпадают с теми, которые надо про-
делать над этими же коэффициентами, чтобы преобразо-
вать определитель Гурвица к диагональной форме.
Иногда удобнее эти же действия выполнять без со-
ставления таблиц, воспользовавшись следующей редук-
цией. От заданного уравнения
aQPn + aiPn~1+ • • +яп = °
перейдем к уравнению
ai) /’п + а1Р"“1 + (а2--^«з) Рп’2-г
+ а3/>п-3 + («4-^«5)^4+--- + ---=°- (3-7)
Запишем это уравнение так:
^пг + ^1+^Ргп’2+ • • • = 0, (3.8)
где
т = п— 1
и
ао = av
— «о
а1 — а2 а3’
^2 = ^3’
а3 = а4-^7а5 и т. д.
К уравнению (3.8) вновь применим тот же переход
(а0 - | ах ) рт + а1Рт-' + (а2 - -|^а3) рт~* + ... = 0,
т. е. перейдем к уравнению
aQpr+a1Pr~i+...=0, (3.9)
где
г = т — 1 = и — 2
12 М. А. Айзерман
178 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ; РЕГУЛИРОВАНИЙ [гл. Ill
И
= ~ До
Uq а^ — й^2 ~ flg
И т. д.
Продолжая таким образом последовательно снижать
степень характеристического уравнения, придем в конеч-
ном счете к уравнению нулевой степени.
Если все отношения
Др Др Др
а1 аг аг
положительны, то все корни характеристического урав-
нения расположены слева от мнимой оси и система
устойчива.
Но если все коэффициенты характеристического урав-
нения положительны, то —°- > 0; поэтому ?° > 0, если
ai _ аг
а. > 0, так как а0 = а1; далее, i°-> 0, если ах > 0, так
_ _ 611
как а0 = аг и т. д.
Таким образом, условия устойчивости сводятся к виду
>0, aY = az — -°-а3 > 0,
Пример. Приложим этот ход выкладок к уравнению
р* + 6/?5 + 21/?4 + 44/>3 + 62/?2 + 52/? + 24 = 0.
Переходим к уравнению
6/5 + ^21--|44^ /4 + 44/3 + ^62 —-^52^ рг + 52/, + 24 = 0
или
6/?5 + 13, Ыр* + 44/?3 + 53,34/?2 + 52/? + 24 = 0.
Тем же приемом перейдем к уравнению
13,67/4 + ( 44-=^== 53,34^) р3 +53,34/г +
Ч52-1Тв7'24> + 24-0
§ I] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 179
ИЛИ
13,67 р* + 20,6/3 + 53,34р2 4- 41,45/» + 24 = 0.
Вновь снижаем степень уравнения
20,6/3 + ( 53,34 — ^^-41,45р2 + 41,45/ + 24 = 0
ИЛИ
20,6/?3 + 25,9/?2 + 41,45/? + 24 = 0.
Применяем тот же переход
25,9/3 + < 41,45-2°’6924 ^р + 24 = 0
или
25,9/?2 + 22,25/? + 24=0.
Система устойчива, так как
а получившееся квадратное уравнение имеет корни с отрица-
тельной действительной частью, так как все его коэффициенты
положительны.
Непосредственно видно, что эта последовательность
действий, выполняемых над коэффициентами а, совпадает
с той, которая выполняется при составлении таблицы
Раута или при сведении определителя Гурвица к диа-
гональной форме.
Приступим к доказательству критерия Раута —Гурвица.
Выше была описана редукция, последовательно снижающая
степень характеристического уравнения и эквивалентная крите-
рию Раута—Гурвица в том смысле, что при использовании редук-
ции и при использовании критерия Раута—Гурвица в обычной
форме приходится проделывать одни и те же операции над коэф-
фициентами характеристического уравнения. Поэтому для дока-
зательства критерия Раута—Гурвица достаточно доказать эту
редукцию.
Идея доказательства состоит в следующем.
Применение редукции снижает степень характеристического
уравнения на единицу. Доказывается (см. ниже), что в резуль-
тате этой редукции расположение корней относительно мнимой
оси не меняется, но один из корней уводится в оо без перевода
его через мнимую ось плоскости корней.
При повторении редукции п раз последовательно уводятся
в со все корни. Если при этОхМ все они уводятся в —ос, т. е.
Движутся в левой полуплоскости, то и все корни исходного ха-
рактеристического уравнения также были расположены в левой
12*
180 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. ш
полуплоскости. Доказывается, что увод всех корней в —оо обес-
печивается условием
все — > 0.
Я1
Докажем редукцию для четного п. Для нечетного п доказа-
тельство аналогичное.
Пусть S (р) — полином от р с действительными коэффициен-
тами и пусть 5 (iu>) = w (со) + iy (о>). Покажем прежде всего, что
в результате применения редукции переходим от полинома S (р)
к полиному 6*! (/>), такому, что
S*! (iu>) — [u (<d) + ri»v (a))] + iv (<d), (3.10)
где
r = ^.
“1
Пусть
s (p)=aopn + a1pn-1+ .. . + an. (3.11)
Тогда для четного n
и = — ..., (3.12)
v (cd) = —yaito71-1 + уа3(оп-3— ..., (3.13)
где + 1, если n=4, 8, 12, ..., и у=— 1, если n = 2, 6, 10, ...
Следовательно,
u(u>) + r(Dy ((о) = у<оп(а0 — ra^ — уып~2 (a2 — ra3) + ... (3.14)
Ho
‘S’i (p) = (fl0 — ™h) <*>n + aio)71"1 + (a2 — ra3) cd71"2 + ...
Поэтому ReS’1(i(o) определяется равенством (3.14), a Im6’1(i<D) —
равенством (3.13).
Следовательно, равенство (3.10) доказано.
Построим теперь D-разбиение (р) по параметру г. Для это-
го разрешаем 6’1(i(D) = 0 относительно г
Ч (ы) t- 1
(ОУ (<d) (D
Точка г = 0 соответствует исходному полиному S (р), а точка
flo
г =
Я1
— полиному б1! (/?), получаемому в результате редукции.
Рассмотрим теперь протекание границы D-разбиения по г.
Заметим прежде всего, что граница D-разбиения пересекает дей-
ствительную ось только при cd = оо и при любом 0^cd<4-oo
расположена под пей. При (d = oo получаем:
уа0 ао
г =----------= —
—yai fli
§2] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ, ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ 181
При о) = 0 имеем г=—оо.
Знак мнимой части г всегда обратен знаку
Таким образом, граница D-разбиения протекает при — > 0 в
соответствии с фиг. 100, а, а при <0 — в соответствии с
ai
фиг. 100, б,
В первом случае (фиг. 100, а), двигаясь из точки г = —- , со-
ai
ответствующей уравнению 6*1 (/?), к точке г = 0, соответствующей
исходному уравнению S (/>), переводим один корень влево от мни-
мой оси, так как сходим с D-кривой в сторону штриховки.
v
а)
. Фиг. 100.
В этом случае полином S (р) при г = 0 имеет слева от мнимой
оси на один корень больше, чем при г =
ai
В случае же фиг. 100, б, наоборот, при переходе от г = — ?
к г = 0 увеличивается на единицу число корней, расположенных
справа от мнимой оси.
Таким образом, при четном п корень стремится в бескоисч-
« «0 г\
ность слева от мнимои оси, если — > 0.
ai
Следовательно, описанная выше редукция переводит какое-
либо уравнение n-й степени в другое уравнение 6’1(р) = 0
степени п — 1. При этом п — 1 корней исходного уравнения рас-
положены относительно мнимой оси так же, как и все п — 1
корней уравнения а последний n-й корень находится
слева от мнимои оси, так как при переходе с — > 0 он уво-
ах
дится в —оо.
182 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
§ 2. Суждение об устойчивости системы по частотным
характеристикам
а) Первый амплитудно-фазовый критерий
устойчивости. Пусть система имеет характеристиче-
ское уравнение
D (р)-\-К(р) = 0. (3.15)
Рассмотрим более общее уравнение
D (р) — \К (р) = 0, (3.16)
где X — комплексное число.
Очевидно, уравнение (3.15) можно получить из урав-
нения (3.16), положив Х= — 1.
Выясним область устойчивости для уравнения (3.16)
по параметру X, для чего
построим^ D-разбиение пло-
скости X.
Решаем уравнение (3.16)
относительно X
Полагаем тогда
х=-кМ = и(и))
Подставляя в и (о>) и
v ((d) значения (D от — оо
до + оо, построим грани-
цу D-разбпения (фиг. 101).
Границей D-разбиения служит амплитудно-фазовая ха-
рактеристика 1-го рода, дополненная зеркальным отобра-
жением относительно мнимой оси. Поэтому, если такая
характеристика задана в качестве исходного материала
для расчета (см. гл. II), то отпадает необходимость по-
строения границы D-разбйения.
Нанеся штриховку, определяем область, которая соот-
ветствует полиномам, имеющим больше всего корней сле-
ва от мнимой оси (она выделена на фиг. 101).
Для определения условий, при которых эта область
СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
183
соответствует области устойчивости, возьмем граничную
точку Х= О, которая соответствует уравнению
D(p) = 0. (3.17)
Итак, в плоскости X (фиг. 101) точке а = 0 соответст-
вует уравнение (3.17), являющееся характеристическим
для разомкнутой системы, а точке Х = —1 — уравнение
(3.15), являющееся характеристическим для замкнутой
системы.
Если разомкнутая система устойчива, то точка Х = 0
принадлежит в плоскости X области устойчивости. Рас-
сматриваемая замкнутая
система устойчива, если
точка Х= — 1 принадле-
жит этой же области; та-
ким образом, для системы,
которая в разомкнутом со-
стоянии устойчива, можно
сформулировать следую-
щий критерий устойчи-
вости:
Для того чтобы си-
стема , устойчивая в ра-
зомкнутом состоянии, бы-
ла устойчивой и в замкнутом состоянии, необходимо
и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характери-
стика 1-го рода не пересекала отрезка действительной
оси между точками 0 и 1 или же пересекала этот
отрезок сверху вниз («спуск») и снизу вверх («подъем») оди-
наковое число раз (фиг. 102).
Этот критерий можно обобщить.
Пусть теперь уравнение
7)(р) = 0
имеет 2г-f-s корней (где r = 0, 1, 2, ..., a е=1, если
число корней нечетно, или 0 — если оно четно), располо-
женных справа от мнимой оси и на ней, причем предпо-
лагается, что на мнимой оси нет кратных корней.
Будем перемещаться вдоль действительной оси пло-
скости Х^йз точки Х = 0 в точку Х= —1. Число корней
слева от мнимой оси увеличится на два при переходе
184 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМЛТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
через «подъем», соответствующий (о > О, и уменьшится
на два при переходе через «спуск»*).
Аналогично «подъем» при со = 0, находящийся на отрез-
ке—1< и < О, позволяет перевести влево один корень.
Для того чтобы система, имеющая характеристи-
ческое уравнение
D (р)К (p) = Q,
была устойчивой в случае, когда у уравнения D(p)-=Q
общее число корней, расположенных справа от мнимой
оси и на ней (но на мнимой оси кратных корней нет\)
равно 2г-|-е (где г — любое целое положительное число,
а е=1 при нечетном и е = О при четном числе корней),
необходимо и достаточно, чтобы:
1) на отрезке — 1<м<0 число «подъемов» амплитуд-
но-фазовой характеристики 1-го рода при ю > 0 на г пре-
вышало число спусков и
2) чтобы в случае точке со = 0 соответствовал
«подъем» на этом же отрезке оси, а в случае s=0 и при
наличии нулевого корня—спуск.
На фиг. 103 показано протекание амплитудно-фазовых
характеристик 1-го рода в случае, когда уравнение
D (р) = 0 не имеет корней справа от мнимой оси и на
ней (фиг. 103, а) или имеет один корень справа от мни-
мой оси и один нулевой корень (фиг. 103, б), а замкну-
тая система устойчива. Для ясности в правой части
фиг. 103, а, б характеристика дополнена зеркальным отобра-
жением относительно мнимой оси и нанесена штриховка.
б) Второй амплитуд н о-ф азовый критерий
устойчивости. Если задана амплитудно-фазовая ха-
рактеристика не 1-го, а 2-го рода (т. е. если задан не
годограф > а ' д (/ш) т0 вместо Уравнения (3.16)
рассматривается уравнение
K(p)-W (р) = 0.
*) Число корней слева от мнимой оси изменяется на два, так
как после дополнения амплитудно-фазовой характеристики ее зер-
кальным отображением относительно действительной оси все точ-
ки пересечения оси и при « > 0 становятся точками самопересе-
чения кривой.
§ 2]
СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
185
Границей D-разбиения служит тогда амплитудно-фа-
зовая характеристика 2-го рода .
Точке X = — 1 соответствует уравнение D (/>) 4- К\р) — О,
т. е. характеристическое уравнение замкнутой системы;
точке же Х =—со соответствует уравнение D(p) = O,
а)
Фиг. 103.
т. е. характеристическое уравнение разомкнутой системы.
В связи с этим перемещаться теперь надо не из точки
X = 0 в X = — 1, а из точки X — — оо в X = — 1.
Все рассуждения, которые были изложены при выво-
де первого амплитудно-фазового критерия, сохраняются,
но только теперь уже не число подъемов должно превы-
шать число спусков на г, а наоборот, число спусков
должно на г превосходить число «подъемов». Поэтому
186 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
амплитудно-фазовый критерий устойчивости можно сфор-
мулировать так:
Для того чтобы система, имеющая характеристическое
уравнение D (/?) + К (р) = 0, была устойчивой в случае,
когда у уравнения D(p) = 0 общее число корней, распо-
ложенных справа от мнимой оси и на ней (но на мни-
мой оси нет кратных корнейХ), равно 2г+ е (где s=l
или 0), необходимо и достаточно, чтобы:
1) на отрезке — со < и < — 1 число «спусков» при а) >0
амплитуднофазовой характеристики 2-го рода превышало
на г число «подъемов» и чтобы
2) в случае е = 1 точке а) — 0 соответствовал «спуск»
на этом же отрезке оси и, а в случае е=0 и при нали-
чии нулевого корня—спуск.
В качестве примера на фиг. 104 показано протекание
амплитудно-фазовых характеристик 2-го рода для тех же
случаев, которые были иллюстрированы фиг. 103.
в) Суждение об устойчивости по ампли-
тудной и фазовой логарифмической харак-
теристикам. В главе II было показано, что в ряде
случаев построение логарифмических характеристик исклю-
чительно просто. В таких случаях исходным материалом
для расчета служат логарифмические характеристики
разомкнутой системы. Чтобы судить об устойчивости по
таким характеристикам, можно построить по ним обыч-
ную амплитудно-фазовую характеристику и использовать
§ 2]
СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
187
далее амплитудно-фазовый критерий устойчивости. Мож-
но, однако, такое перестроение не производить, а текст
критерия приспособить к особенностям логарифмических
характеристик.
Ограничимся случаем, когда разомкнутая система
устойчива. В соответствии со вторым амплитудно-фазовым
критерием устойчивости для устойчивости замкнутой си-
стемы необходимо и достаточно в этом случае, чтобы ам-
плитудно-фазовая характеристика 2-го рода имела на
участке действительной оси — оо < и < — 1 одинаковое
число спусков и подъемов. Это условие обеспечивается,
если при всех о), для которых аргумент ср вектора харак-
теристики равен ± къ(к = 1,3, . . .), а модуль вектора
больше единицы, знаки чередуются. Но 201g 1=0.
Следовательно, для того чтобы выяснить, устойчива ли
замкнутая система в случае, когда разомкнутая система
устойчива, надо отметить все значения о), при которых
фазовая характеристика пересекает линию ± Лк (к = 1,
3, . ..), и выяснить знак 4^ при тех из найденных а),
' О А
при которых логарифмическая амплитудная характери-
стика расположена над осью частот.
г) Использование амплитудно-фа зовых ха-
рактеристик для суждения об устойчивости
систем, сод ержащих элементы с запаздыва-
нием или с распределенными параметрами.
Понятие о запаздывании. Во всем предыдущем изло-
жении предполагалось, что воздействие выходной коор-
динаты предыдущего звена на вход последующего звена
осуществляется мгновенно.' В практике автоматического
регулирования можно встретиться часто со случаями,
когда такое предположение не может быть сделано, так
как время, которое необходимо для передачи сигнала,
не столь мало, чтобы им можно было пренебречь.
Учет запаздывания на постоянное время т, если оно
сколько-нибудь значительно*), или учет полной картины
волнового процесса в трубопроводе может быть важен
для анализа устойчивости системы.
*) Далее будет уточнено, какое значение т является сущест-
венным (см. стр. 193).
188 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Характеристическое уравнение системы с запазды-
ванием. Удалим из системы элемент, вносящий запазды-
вание. Тогда получим обычную разомкнутую линейную
систему. Ее уравнение
• • • + М»х =
= + (3.18)
Система в действительности замкнута через элемент, вно-
сящий запаздывание, поэтому
^вх (0 — ^вых (^ 'с)- (3.19)
Подставляя (3.19) в уравнение (3.18), получим для ^BbIX(Z)
дифференциальное уравнение «с запаздывающим аргумен-
том»: •
^вых (О [ dn 1^вых(О I • а „ (t\_
ао dtn ai dt^1 \ ‘ ап *вых \1) —
, ^Ш2?ВЫХ 0 —Т) I L ^“^ВЫХ О Т) I I h „ (f _\
— &0----fam------г ------{-•••+ Vbbix (I -- V •
(3.20)
Как и у обычного линейного уравнения, будем искать ин-
теграл уравнения (3.20) в форме
^вых (0 — C&pt • (3.21)
Заметим, что в этом случае
a0^^+...+anxBax = D(p)Ce^, (3.22)
где
D (р) = аоРп 4- + • • •+«„,
а функция явых (Z — т) равна
^вых (^ т) — Се^~
Для нее
= CpePV-V
и вообще
=Сре»^.
СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ
189
Поэтому при учете (3.21)
£ ^_~т) _ I fr ^~la:Bbix(^ —I j > х // т\_
и0 dtm и1 dtm~1 • I —
= К (р) Ce^-V = К (р) Cepte~P\ (3.23)
где
K{p) = boPm + b1Pm^+.^+bm.
Подставляя последнее выражение и (3.22) в уравне-
ние (3.20) и сокращая правую и левую части на Cept,
найдем:
D(p) + K(p)e-v^ = 0. (3.24)
Корни этого трансцендентного уравнения являются
теми значениями р, при которых функция (3.21) являет-
ся интегралом уравнения (3.20).
В отличие от алгебраического уравнения трансцен-
дентное уравнение (3.24) может иметь бесконечное число
корней, и соответственно полный интеграл уравнения
(3.20) равен
*вых = ;2 с/?, (3.25)
7=1
где — корни уравнения (3.24), a Cj — постоянные, опре-
деляемые начальными условиями.
Система заведомо устойчива, если все слагаемые в ре-
шении (3.25) стремятся к нулю при t —>оо, т. е. если
все корни уравнения (3.24) расположены в плоскости
корней слева от мнимой оси*).
Уравнение (3.24) играет для исходного уравнения
(3.20) такую же роль, какую играет для обычного ли-
нейного дифференциального уравнения алгебраическое
характеристическое уравнение.
*) Обратное утверждение, что система неустойчива, если сре-
ди корней уравнения (3.24) есть хотя бы один корень с по-
ложительной действительной частью, значительно менее три-
виально. Оно доказано пока только при некоторых дополнитель-
ных условиях, накладываемых на начальные и краевые усло-
вия задачи.
190 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. 111
В этом смысле уравнение (3.24) называют характе-
ристическим уравнением для исходного уравнения (3.20).
Заметим, что при т = 0 уравнение (3.24) обращается в
D(^) + ^(p) = 0,
т. е. в обычное характеристическое уравнение системы
без запаздывания.
Для трансцендентного уравнения (3.24) надо теперь
рассмотреть ту же проблему распределения корней отно-
сительно мнимой оси, которая применительно к полиному
была рассмотрена выше.
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости для
трансцендентного характеристического уравнения. Вер-
немся к уравнению (3.24). Рассмотрим более общее урав-
нение
- W (р) + К (р) в-'? = 0, (3.26)
где X —любое комплексное число. Это уравнение обра-
щается в уравнение (3.24) при Х = — 1.
Построим D-разбиение уравнения (3.26) по пара-
метру X:
После замены г на fen получим:
X(йо) =
' ' D (iu>)
При Х = — оо уравнение (3.26) обращается в D(r) = 0,
а распределение корней уравнения D (г) = 0 не зависит
от т. Положим сначала т = 0. Пусть установлено, сколько
раз, двигаясь вдоль действительной оси плоскости X из
точки Х= — оо в точку Х= — 1, необходимо пересечь
границу D-разбиения в сторону штриховки и в обрат-
ную сторону, чтобы точка Х= — 1 принадлежала области
устойчивости. Тогда совершенно так же надо пересечь гра-
ницу D-разбиения и при любом т > 0 для того, чтобы
точка X = — 1 принадлежала области устойчивости.
Для случая т = 0 необходимое число и направление
пересечений границы D-разбиения гарантируются, если
соблюдаются условия амплитудно-фазового критерия ус-
§ 2] СУЖДЁНЙЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СЙСТЁМЬ! 191
тойчивости. Этот критерий верен, следовательно, не толь-
ко для полиномов, но и для трансцендентного характе-
ристического уравнения (3.24).
Устойчивость систем с запаздываниями. Если при
т = 0 уравнение амплитудно-фазовой характеристики
м~)=Я£р (3-27>
то при т > О это уравнение
X (ио) = е~iT(D.
4 ' D (на)
(3.28)
Для построения характеристики (3.28) надо построить
сначала годограф (3.27), а затем перенести все точки
так, чтобы радиус-век-
тор каждой точки не из-
менился, а аргумент
уменьшился на то).
Пусть сначала при
т = 0 система устойчива
и имеет амплитудно-фа-
зовую характеристику
2-го рода, показанную
на фиг. 105.
Пусть, далее, т не
равно нулю, но мало.
Тогда каждый радиус-
Фиг. 105.
вектор повернется на угол тю по часовой стрелке. Так,
например, точка а (фиг. 105) переместится в точку б. Мо-
жет оказаться, что и после такой деформации характери-
стика не охватывает точки Х = — 1.
Увеличим тогда т и еще больше деформируем годог-
раф. Может случиться, что при некотором т = тх характе-
ристика пройдет через точку Х = — 1 (фиг. 106), а при
т = т1-|-е охватит ее (фиг. 107). Чтобы найти это значе-
ние т1, проведем дугу радиусом, равным единице, до
первого пересечения с характеристикой.. Пусть точке пе-
ресечения соответствует со = «)1 и пусть есть отношение
этой дуги (в угловой мере) к Тогда при т = тх харак-
теристика проходит через точку к — — 1 и система нахо-
дится на границе устойчивости — она генерирует незату-
хающие колебания с частотой (фиг. 106).
192 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМ АТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ill
При увеличении т система станет неустойчивой
(фиг. 107). Устойчивость вновь восстановится (фиг. 108),
если т перейдет за значение т2, соответствующее второму
пересечению характеристикой точки к — — 1.
Таким образом, при увеличении т от нуля до оо си-
стема может либо всегда быть устойчивой, либо же по-
лосы устойчивости и неустойчивости могут чередоваться.
Проведем круг радиусом, равным единице, и опреде-
лим все точки пересечения характеристики с этим кругом
(фиг. 109). Эти точки определятся уравнениями
R(o)) = l, ср ((d) — — 2кп. (3.29)
§ 2] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ 193
Решая первое из уравнений (3.29) относительно а),
найдем значения частот иг в точках пересечения с еди-
ничным кругом. Из второго уравнения получим:
Т + (3.30)
Эти значения т. разбивают область возможных значе-
ний т на устойчивые и неустойчивые участки, т. е. вы-
деляют область устойчивости по параметру т (фиг. 110).
Устойчиво Устойчиво
Фиг. 110.
Система устойчива при любом т, только если вся харак-
теристика лежит внутри круга единичного радиуса, т. е.
если | | < Г при 0 «о < оо. Но этот случай нереа-
лен, так как требует чрезмерно малых К (0).
Замечания об учете волновых процессов в трубопро-
воде. Иногда нельзя пренебречь наличием отраженных
волн в трубопроводах и приходится учитывать явление
гидравлического удара или иные волновые явления.
В этом случае к уравнению разомкнутой системы долж-
ны быть добавлены уравнения в частных производных
и соответствующие краевые условия.
Если эти уравнения и краевые условия линейны, то
характеристическое уравнение такой системы сводится
к виду
А (р) е^ + В (р) e-^i = 0. (3.31)
Нетрудно распространить амплитудно-фазовый крите-
рий устойчивости и на уравнение (3.31).
Рассмотрим более общее уравнение
-\А(р) e^ + B(p)e-P^ = Ot (3.32)
обращающееся в уравнение (3.31) при Х= — 1.
Из уравнения (3.32) имеем:
) (р\ = е-2рт1
Л W А (р) е
13 м. А. Айзерман
194 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ill
ИЛИ
Х(гй>) = ^4е-2(<071. (3.33)
Если годограф вектора (3.33) назвать амплитудно-фа-
зовой характеристикой системы, имеющей характеристи-
ческое уравнение (3.31), то амплитудно-фазовый крите-
рий устойчивости и все сказанное выше о запаздывании
остается в силе и в этом случае. В качестве системы,
соответствующей т = 0, характеристика которой строится
для определения ее пересечения с кругом радиуса, рав-
ного единице, в этом случае надо рассматривать не
К (гш) В (гш)
(.-у , a и вместо распределения корней разомкну-
той системы D (р) = 0 надо положить в основу распреде-
ление корней уравнения Л(р)^0. Кроме того, в этом
случае т = 2т1.
§ 3. Общие свойства некоторых классов систем
автоматического регулирования,
связанные с условиями их устойчивости
Критерии устойчивости можно использовать не только
для определения условий устойчивости в каждом кон-
кретном случае, но и для изучения свойств, связанных
с устойчивостью, общих для целых классов систем регу-
лирования. Зная эти свойства, можно делать ряд заклю-
чений об устойчивости системы непосредственно по схеме
системы, не прибегая к критериям устойчивости.
а) Условия существования области устой-
чивости в пространстве параметров (усло-
вия структурной устойчивости).
Понятие об условиях структурной устойчивости.
Предположим, что какая-либо система задана своей струк-
турной схемой. Известно, из каких звеньев она состоит
и какого рода связи осуществляются между этими звенья-
ми. Неизвестны, однако, значения постоянных времени
звеньев, коэффициентов усиления звеньев и связей. Сово-
купность положительных числовых значений всех посто-
янных времени и коэффициентов, которые необходимо
знать, чтобы, имея структурную схему, подсчитать зна-
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 195
а)
чение коэффициентов характеристического уравнения, на-
зовем параметрами системы.
Изменение отличных от нуля параметров, т. е. поло-
жительных значений постоянных времени, коэффициен-
тов усиления и т. д., не вызывает изменения структур-
ной схемы системы.
Структурная схема системы обычно предопределена свой-
ствами регулируемого объекта и выбранной схемой регу-
лятора. В ряде случаев оказывает-
ся, что система неустойчива при
любых значениях параметров и
что сделать ее устойчивой можно
только изменением структуры си-
стемы. Такого рода системы назы-
ваются структу pi ю-не устойчивы-
ми в отличие от структурно-ус-
тойчивых систем, которые могут
быть сделаны устойчивыми выбо-
ром параметров.
Примеры структурно-неустой-
чивых систем показаны на
фиг. 111, а и б, а, пример струк-
турно-устойчивой системы — на
фиг. 111, в*). Для системы, пока-
занной на фиг. 111, а, характеристическое уравнение сво-
дится к виду
Фиг. 111.
ИЛИ
т\т\Р*+Т*р* + Т1Р + (ЛЛ +1) = 0.
Критерии Раута — Гурвица требуют выполнения не-
равенства
+ П > о,
которое сводится к
*) На фиг. 111 и далее используются условные обозначения
звеньев, введенные в главе II (стр. 94).
13*
^УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ill
и следовательно, не может быть удовлетворено, если 711,
Т2, кх и к2 — положительные числа. Система неустойчива
при любых положительных значениях Tv Т2, кг и к2,
т. е. она структурно-неустойчива.
Для системы, показанной на фиг. 111,6, характери-
стическое уравнение сводится к виду
или
+ +
При любых значениях 7\, кх к2 и к2 система неустой-
чива, так как ее характеристическое уравнение не содер-
жит члена с р в первой степени. Система, следователь-
но, структурно-неустойчива.
Рассмотрим, наконец, систему, показанную на
фиг. 111, в. Ее характеристическое уравнение
(Т1Р 4-1) + T2kp +1) + кхк2 = О
или
W + + Т1)р^ + (Л + T2ft) р + (АЛ 4-1) = 0.
Критерии Раута — Гурвица сводятся к неравенству
(T,T2k + Tl) (7\ н- T2k) - Т\Г2 (кхк2 4-1) > о,
которое всегда можно удовлетворить, например, взяв зна-
чения кх и к2 достаточно малыми. Система, следователь-
но, структурно-устойчива.
Задача состоит в том, чтобы по виду структурной
схемы решить, является ли система структурно-устойчи-
вой или структурно-неустойчивой, т. е. содержит ли про-
странство параметров системы область устойчивости или
нет.
Условия структурной устойчивости одноконтурных
систем без воздействия по производной. Рассмотрим сна-
чала одноконтурные системы, имеющие характеристиче-
ское уравнение
Р(Р)+/г=о,
где
Р(р) = П^(р),
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 197
а (р) ~~ многочлены нулевой, первой или второй степени
вида
Tp+i, Tp-i, р,
TY + Thp + 1, ту+1.
Обозначим: q — число астатических (с d (р) = р), t —
устойчивых (т. е. с d(p} = Tp —
не-
1), г — консервативных (с
d (/?) = Г2/?2 + 1) звеньев си-
стемы, ап — степень полинома
Z)(p).
Условия структурной ус-
тойчивости такой системы оп-
ределяет следующая теорема:
Для того чтобы однокон-
турная система была струк-
турно-устойчивой, необходи-
мо и достаточно, чтобы
одновременно:
а) выполнялось неравен-
ство q -4-1 < 2;
б) выполнялось неравен-
ство п > 4г.
Рассмотрим в качестве при-
зера установку непрямого регули-
рования двигателя внутреннего
згорания с регулятором без обрат-
аой связи (фиг. 112). Двигате-
Фиг. 112.
то соответствует одноемкостное
шено, если двигатель обладает самовыравниванием, астатическое
шено — если самовыравнивания нет, и неустойчивое звено — если
:амовыравнивание отрицательно. Статическому чувствительному
элементу соответствует колебательное звено (если учитывается
вязкое трение) или консервативное звено (если вязкого трения
1ет). Сервомотору, лишенному обратной связи, соответствует
астатическое звено.
В таблице IV показаны разные структурные схемы, возможные
* эт;ой системе в зависимости от свойств двигателя и регулируе-
юго объекта.
Видно, что из всех шести случаев систему можно сделать
гстойчивой только в одном случае: когда двигатель обладает
положительным самовыравниванием, а в чувствительном элементе
гчитывается трение (схема а).
Добавим в установку еще один сервомотор, имеющий обрат-
ную связь (фиг. ИЗ), что равносильно добавлению одного одно-
198 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. ш
Таблица IV
Тамовь/равнивание
двигателя
Чувствительный глемент
деть трение
дет трения
Двигатель
обладает
лолов/сительнь /м
"амовыравниванием
Двигатель
лишен
самовыравнивания
Двигатель
одладает
отрицательным
'амовыравниванием
Т а б л и ц а V
дамовыравнивание двигателя Чувствительный олемент
деть трение дет трения
Двигатель одладает лолоо/ситель нь/м еамовд/равниванием —34Z3K3p рЧ
а S
Двигатель лишен самовыравнивания в г
Двигатель одладает отрицательным самсвыравниванием —З^СЗ^Ор
д е
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 199
Структурные схемы для тех же шести случаев показаны
в таблице V.
Теперь уже систему можно сделать устойчивой при двига-
теле, обладающем положительным самовыравниванием как при
наличии трения в чувствительном элементе, так и при отсутствии
трения (табл. V схемы «а» и «б»), но попрежнему нельзя сделать
устойчивой во всех остальных случаях.
Фиг. ИЗ.
Вместо того, чтобы в схему, показанную на фиг. 112, вклю-
чать дополнительный сервомотор, шунтируем имеющийся в этой
схеме сервомотор обратной связью.
Тогда система будет структурно-устойчивой при любом дви-
гателе, если только есть трение в чувствительном элементе
(таблица VI схемы «а», «в» и «д»), но остается структурно-не-
устойчивой при любом двигателе, если трения в чувствительном
элементе нет (таблица VI схемы «б», «г» и «е»).
Вернемся к схеме двухкаскадного усиления, по добавим
обратную связь во второй сервомотор (фиг. 114).
Теперь уже (табл. VII) система структурно-устойчива во всех
шести случаях, т. е. как при любом двигателе, так и при нали-
чии или отсутствии трения в чувствительном элементе.
Условия структурной устойчивости одноконтурных
систем с возде ' ствием по первой производной. Характе-
ристическое уравнение одноконтурной системы, содер-
200 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. тп
Таблица VI
Самовь/равнивание двигателя Чувствительный элемент
деть трение Нет трения
Двигатель обла- дает лолооки голыши ыжвь/равниванаеи рОЧ HZhj а) pO4::^;a?HZb| s;
Двигатель лишен самовыравнивания рОЧ__HZ3q ej г;
Двигатель обла- дает отрицательным самовыравниванием рУЧ HZZhp dj eJ
Таблица VII
Сомовь/равниеоние двигателя Чувствительный элемент
деть трение Нет трения
Двигатель обладает лолоэкительным самовь/равниванием pQ4__HZH>j
Двигатель лишен самовыравнивания. pO4_HZH3q p^O^E^IFHZZHIZHj
Двигатель обладает отрицательным самовь/равниванием —HZJHZZHj
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 201
жащей воздействие по первой производной, имеет вид
D(p)+Bp + K = 0, (3.34)
где R — положительное число.
Условия структурной устойчивости одноконтурной
системы, имеющей воздействие по первой производной,
определяются следующим образом.
Фиг. 114.
Для того чтобы была структурно-устойчивой одно-
контурная система, имеющая характеристическое уравне-
ние (3.34) и состоящая
только из устойчивых, ас- ______________Таблица VIII
татических, неустойчивых и колебательных звеньев, необходимо и достаточно, Q * Неравепство
чтобы выполнялись два не- 0 п > 4г— 3
равенства: * 1 п > 4г
a) q + t < 3; (3.35) 2 п > 4 г 4-1
выбираемое
б) одно из неравенств таблицы VIII,
в зависимости от значения q-]-t.
202 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Примечание. q, t, п и г имеют те же значения, что
и в условиях структурной устойчивости систем без воздействия
по производным.
Таким образом, в одноконтурных системах, содержа-
щих воздействие по производной, для структурной устой-
чивости также q-]-t должно быть меньше некоторого
числа, а я, наоборот, больше некоторого числа, завися-
щего от г. За счет положительного воздействия но первой
производной значение q +I может быть без нарушения
условий структурной устойчивости увеличено до 2.
В качестве примеров в таблице IX повторена таблица IV, но
в предположении, что система содержит положительное воздей-
ствие по первой производной. Жирной линией выделены системы,
которые в силу сформулированной выше теоремы структурно-
устойчивы.
Таблица IX
Самовь/равнивание
двигателя
Двигатель
одладает
лолоо/сительныл*
самовь/раениеанием
Двигатель
лишен
еалювыравнивания
Двигатель
обладает
отрицательным
самовь/равниванием
Чувствительный олемент
/Чет трения
деть трение
В таблице IX стрелка с точкой —•-* означает воздействие
по производной.
Сравнение таблицы IX с таблицей IV показывает, сколь су-
щественно способствует структурной устойчивости введение воз-
действия по производной.
§3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 203
Структурная устойчивость некоторых неодноконтур-
ных систем. Изложенные выше теоремы можно исполь-
зовать также при анализе условий структурной устой-
чивости систем с неперекрещивающимися, статическими
обратными связями*). Пример структурной схемы такой
системы показан на фиг. 115.
Фиг. 115.
Рассмотрим любую систему, отличающуюся от одно-
контурной наличием любого числа статических непере-
крещивающихся обратных связей. Все обратные связи,
шунтирующие одно звено или два звена первого порядка,
удалим из системы вместе с шунтированными звеньями,
заменив их эквивалентными звеньями**). Укажем затем
*) To-есть с такими связями, что стрелки, изображающие их
на структурных схемах, не пересекаются.
**) Так, например, астатическое звено, шунтированное обрат-
ной связью, имеет уравнение
— -- ki (яцХ — Р^вых) или Т —+ #вых~ ^вх,
где
и поэтому эквивалентно одноемкостному звену.
Два астатических звена, шунтированные статической обрат-
ной связью, имеют уравнения:
z / \ ^2 1 (Г“Х.у , I 1
-^^М*ВХ~Р*2), ^" = ^1 ИЛИ ^+М’2р*2
A-i • Л'е^вх-
Вынося за скобки, получим:
Т^б/^а^вых t _ гп') 1 . 1 1
^2-" + »вых-Ь’„х, где хвых_г2;
и следовательно, два астатических звена, шунтированных обрат-
ной связью, эквивалентны одному консервативному звену и т. л.
204 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
какие-то два звена /-е и Л-е, удовлетворяющие двум
условиям:
а) с Л-го звена на /-е перекинута обратная связь;
б) звенья, шунтированные этой связью, иных обратных
связей не имеют.
«Вырежем» из системы эту обратную связь и шунти-
руемые ею звенья и изобразим их отдельно, а в систему
вместо «вырезанных» звеньев включим цепочку из п
одноемкостных звеньев, где п — степень характеристиче-
ского уравнения «вырезанной» системы. Вновь укажем
два звена, удовлетворяющих указанным выше усло-
виям, «вырежем» их из системы и аналогично вместо
§3]:юбщие Свойства некоторых систем авторегулир. 205
них включим соответствующее число одноемкостных
звеньев и т. д. до тех пор, пока система не превратится в
одноконтурную.
Если система содержала h обратных связей и если
только S из них можно сразу исключить, вводя эквиваг
лентные звенья, то в результате получится h — S-\-\
одноконтурных систем.
Назовем этот процесс «разложением многоконтурной
системы на одноконтурные». Значение этого процесса
определяет теорема:
Для того чтобы многоконтурная система со стати-
ческими неперекрещивающимися обратными связями была
структурно-устойчива, достаточно (но не необходимо}),
чтобы этим же свойством обладали все одноконтурные
системы, получающиеся при разложении данной мно-
гоконтурной.
Выясним в качестве примера, является ли структурно-устой-
чивой система, структурная схема которой показана на фиг. 116, а.
Третье звено вместе с шунтирующей его обратной связью
можно заменить эквивалентным ему одноемкостным звеном без
обратной связи. Полученная система показана на фиг. 116, б.
Она совершенно эквивалентна исходной схеме, показанной на
фиг. 116,а.
Выделяй теперь 2-е, 3-е, 4-е и 5-е звенья вместе с шунтиру-
ющей их обратной связью (фиг. 116, в). Характеристическое
уравнение этой выделенной системы имеет пятую степень. Заме-
ним выделенные звенья пятью одноемкостными звеньями
(фиг. 116, г). Таким образом, многоконтурная система (фиг. 116, а)
«раскладывается» на две одноконтурные системы (фиг. 116, ей г).
Обе они структурно-устойчивы. Следовательно, структурно-устой-
чива и исходная многоконтурная система.
Выясним теперь, является ли структурно-устойчивой система,
показанная на фиг. 117, в том случае, когда двигатель обладает
отрицательным самовыравниванием, а в чувствительном элементе
есть трение.
Структурная схема системы показана на фиг. 118, а. Она
«раскладывается» на две одноконтурные системы (фиг. 118, б и в).
Обе они структурно-устойчивы. Следовательно, структурно-
устойчива и исходная неодноконтурная система (фиг. 117).
б) Критический коэффициент усиления.
Критический коэффициент усиления одноконтурной си-
стемы без воздействий по производным. Если одноконтур-
ная система состоит только из одноемкостных и коле-
206 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Фиг. 118.
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 207
бательных звеньев, то ее всегда можно сделать устой-
чивой выбором параметров: для этого достаточно выбрать
коэффициент усиления системы К меньше некоторого
критического значения.
Действительно, в этом случае характеристическое
уравнение системы имеет вид
п\ (р)+К = 0,
;=1
j—n
где К — II К. — положительное число, а
j=t
dj(p) = Tip + i
или
T^ + Tjkp+1.
j=n
Годограф произведения П всегда удовлетворяет
;=1
условию критерия Михайлова. Пусть он ближе всего
пересекает ось и слева от начала координат в точке и0.
Тогда при любом К < uQ годограф
j=n
П d (йо) -f- К
;=i
также удовлетворяет условиям критерия Михайлова,
и система устойчива.
Значение К = uQ называется критическим и обозна-
чается А\р. Система устойчива, если К < Анр.
Если
j=n
— П rf;. (iw) = a (to) f
то критическое значение коэффициента усиления АНр опре-
деляется из условия
и (^min) — Акр,
где ^rnin — меньший положительный действительный ко-
рень уравнения и(ю)~ 0, так как значение Аир равно
208 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
отрезку оси абсцисс от начала координат до ближайшей
точки пересечения этой оси с годографом £>(го)).
Величина коэффициента усиления определяет стати-
ческую ошибку (см. гл. II, § 7); чем больше коэффициент
усиления, тем меньше неравномерность и тем выше ста-
тическая точность системы.
Таким образом, у каждой одноконтурной системы
имеется предельное значение коэффициента усиления,
обеспечивающего устойчивость регулирования’, у стати-
ческой системы им определяется минимально достижи-
мая в этой системе статическая ошибка*).
С точки зрения устойчивости системы желательно иметь
меньшее значение коэффициента усиления. В то же время
с точки зрения статической точности регулирования же-
лательно коэффициент усиления увеличить; последнее
возможно без нарушения устойчивости только при доста-
точно больших А^Кр.
Критическое значение коэффициента усиления зависит
от значений постоянных времени отдельных звеньев.
Ограничимся случаем системы, состоящей из п одно-
емкостных звеньев. Характеристическое уравнение такой
системы имеет вид
П(Т р+ 1) + # = 0.
;=1
Положим, что все постоянные времени равны, т. е.
Т1 = 7’2=...=7’п.
В этом случае все звенья имеют одинаковый годограф.
Пусть годограф системы пересекает ось и при значе-
нии о) = о) и пусть R — модуль, а а —аргумент радиуса-
*) Конечно, только в том случае, если повышение статиче-
ской точности достигается увеличением К при неизменных зна-
чениях всех постоянных времени. Часто можно увеличивать ста-
тическую точность измененивхМ таких параметров, от которых
зависят и К и Т, и с ростом К увеличивается Alhp. Типичный
пример такого параметра — жесткость пружины чувствительного
элемента. При уменьшении жесткости пружины уменьшается
статическая ошибка. При этом одновременно растут и коэффициент
усиления чувствительного элемента, и его постоянная времени,
а значит, и
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 209
вектора в точке годографа звена, соответствующей Если
система состоит из п одинаковых звеньев, то
а = £ и KKV = Rn.
Но из треугольника Оас (фиг. 119)
Л = 1/’(7’шТ~Ч И Тш—tg-^-.
Поэтому критический коэффициент усиления
/Скр = Rn = [К(7'ш)2 + 1]п = [ У tg2 +1 ] "
и, следовательно,
В современных статических установках регулирование
для того, ^гобы система была статически точной, тря-
буется обычно к > 50100, а в некоторых случаях даже
до к = 500-н 1000.
14 М. А. Айзерман
210 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ш
Таблица X
п 2 3 4 3 1 6
#Кр оо 8 4 2,9 2,4
Из приведенных подсчетов следует, что система,
состоящая из звеньев, имеющих одинаковые (а значит,
и близкие) постоянные времени, непригодна, если число
звеньев больше двух.
Для того чтобы обеспечить высокие значения 7Гкр,
надо величины постоянных времени «раздвигать», увели-
чивать диапазон между постоянными времени.
Вычисления показали, что у системы, состоящей
из трех звеньев, критическое значение коэффициента
усиления тем больше, чем больше разница между зна-
чениями двух наиболее отличающихся между собой
постоянных времени и чем ближе третья постоянная
времени к значению ТСр = -1 • В случае п звеньев
наибольшее значение критического коэффициента усиле-
ния будет тогда, когда две из постоянных времени
наиболее удалены друг от друга, одно значение равно
средней арифметической от двух крайних, а значение
остальных постоянных времени мало отличается от мень-
шей постоянной времени.
Рассмотрим еще случай, когда постоянные времени
составляют геометрическую прогрессию
1 -^2 _ Тk _ Тn—1 \
2 ^*3 Тft+1 Тп
Значения критического коэффициента усиления в этом
случае приведены в таблице XI для различных величин
кип.
Из таблицы XI следует, что для получения Алир > 50
при обычном числе звеньев (п < 7) значение X должно
быть больше 10.
Часто статические системы содержат не только одно-
емкостные, но и колебательные звенья, однако приве-
денные простые соотношения показывают, как важно
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 211
Таблица XI
Знаменатель прогрессии К Число звеньев
3 1 5 6
1 8 4 3 2,3
5 ' 37 30 29 28
10 122 110 110 110
100 10 200 11000 10 098 10 097
увеличивать отношение наибольшей постоянной времени
к наименьшей, «отодвигать» значения постоянных времени
друг от друга.
Увеличение критического коэффициента усиления
за счет введения воздействия по производной. Предполо-
жим, что и при отсутствии воздействия по производной
условия структурной устойчивости выполнены и что воз-
действие по производной вводится лишь для увеличения
критического коэффициента усиления.
Перенумеруем звенья так, чтобы первым было звено,
на которое подано воздействие по производной.
Тогда при наличии воздействий по первой производ-
ной уравнения процесса регулирования после перехода
к преобразованиям Лапласа имеют вид
(Р) L [xj = - (1 + рр) L [хп],
dj(p) £[*,] = Wx^],
где, как и ранее, р — число, отличное от нуля, если в си-
стеме осуществляется воздействие по первой производной.
Характеристическое уравнение системы (3.36) сводится
(3.36)
к виду D(/>) + ^+ Лрр = 0 (3.37)
или d (р) + % + Rp—о, (3.38)
где R=.K?.
Для того чтобы выяснить, при каких условиях введе-
ние воздействия по производной увеличивает критическое
значение коэффициента усиления, удобнее всего построить
14*
212 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. ш
область устойчивости в плоскости параметров К, р.
С этой целью построим сначала область устойчивости
в плоскости К, R, а потом перейдем к плоскости К, р.
Пусть D (га)) = гг(а))4-гс'(а)).
Заменив в (3.38) р на ud и приравняв порознь нулю
действительную и мнимую части, получим:
К и (а)) = 0, |
Яш v ((о) = 0, J
(3.39)
откуда
К=—и(ш); Я=-4г- (3-4°)
Определитель системы (3.39)
1 0
поэтому в плоскости К,
Фиг. 120.
R содержится только одна осо-
бая прямая, соответствующая
(d = 0. Зная протекание годо-
графа D(tu)), нетрудно, поль-
зуясь (3.40), построить границу
D-разбиения плоскости К, R
(фиг. 120). Для этого следует
только изменить знак абсцисс
и знак ординат и поделить по-
следние на о). При этом орди-
ната границы D-разбиения об-
ращается в нуль при тех же
значениях (D, что и ордината
годографа D(hd).
Теперь нетрудно получить
D-разбиение плоскости К, р,
R
если учесть, что р = - .
Ордината границы D-разбиения в плоскости К, р
определяется как тангенс угла наклона прямой, соеди-
няющей начало координат плоскости К, R с точкой
границы D-разбиения этой плоскости.
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 213
На фиг. 121, г в качестве примера выполнено построе-
ние D-разбиения полуплоскости К > 0, р в случае, когда
годограф D (га)) протекает в соответствии с фиг. 121, а.
На фиг. 121, б перечерчен годограф фиг. 121, а
с изменением лишь знака и и v. На фиг. 121, в ордината
каждой точки поделена на значение ю, соответствующее
этой точке. После нанесения штриховки в плоскости
К, R выделяется область устойчивости. Представляет
интерес лишь полуплоскость К > 0. Поэтому дальней-
шее перестроение выполнено лишь для этой полуплос-
кости (фиг. 121, г). Абсциссы кривых на фиг. 121, г и в
совпадают, а ординаты па фиг. 121, г равны tgср (см.
фиг. 121, в).
Из фиг. 121, г следует, что наибольший критический
коэффициент усиления Аортах получается при р ра.
Из построения видно, что АКртах = ^а и что значение
Аортах — иа может быть определено без всяких построе-
ний, непосредственно по годографу D(kd), если только
(как это и бывает чаще всего) годограф и -|~ i. ~
не имеет точек самопересечения. Для этого следует про-
вести слева от оси v и наиболее близко к ней верти-
кальную касательную к кривой D(Zw). На оси и эта
касательная отсекает значение иа*= К (фиг. 121, а).
Если точка а расположена в третьем квадранте, то
> 0, если же опа расположена во втором квадранте,
ТО Ра < 0.
Абсолютное значение | ра | определяется равенством
и может быть вычислено непосредственно по годографу
D (ко).
Таким образом, для того чтобы определить коэффи-
циент еоздействия по первой производной, наиболее
выгодный с точки зрения увеличения критического коэф-
фициента усиления, надо построить годограф Михайлова
D (гю) для разомкнутой системы без воздействия по произ-
водной и найти абсциссу и ординату точки а, в кото-
рой касательная к годографу вертикальна, наиболее
близка к оси v и расположена слева от нее. Оптимальное
214 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Фиг. 121.
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 215
значение ра определяется равенством
Если точка а расположена в третьем квадранте,
то ра > О и наибольший коэффициент усиления, который
может быть достигнут в системе за счет введения
воздействия по производной А'нртах = иа- Если же точка а
расположена во втором квадранте, то р < 0 и
^кр max
Разумеется, утверждение это верно, только если
годограф u + i ~ не имеет самопересечений. В противном
случае точкой а может быть нс точка, где касательная
вертикальная, а одна из точек самопересечений.
Напомним, что модуль |с?Дг<о)| у астатического,
одноемкостного и достаточно хорошо задемпфированного
колебательного звеньев монотонно растет с ростом id
и не имеет самопересечений. Если система состоит
только из таких звеньев, то модуль |D(kd)|, равный
произведению модулей | dj (iv) |, также монотонно растет
с ростом о). В этом случае точка а не может лежать
во втором квадранте, и критический коэффициент усиле-
ния растет только при введении положительного воздей-
ствия по первой производной, если р не превосходит
определенный порог.
В этом случае введение как отрицательного, так и
чрезмерно сильного (р > ра) положительного воздействия
по первой производной\ лишь уменьшает критический
коэффициент усиления.
Иначе обстоит дело в системе, содержащей слабо
задемпфированные колебательные звенья. Модуль | D (iw) |
такой системы растет немонотонно с ростом ю, годограф
D (z\d) может иметь самопересечения, и точка а может
располагаться не только в третьем, но и во втором
квадранте. В таких случаях положительное воздействие
по первой производной может лишь уменьшить крити-
ческий коэффициент усиления, а отрицательное воздействие
по первой производной может увеличить его, если только
|р| < I Ра I-
216 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. II
Единственное исключение из этих правил составляют
системы, имеющие характеристические уравнения второй
и третьей степени, так как у них к годографу D(i^)
не может быть проведена вертикальная касательная
в конечной части плоскости.
Система, имеющая характеристическое уравнение вто-
рого порядка, не содержащая воздействия по производ-
ной, устойчива при любом коэффициенте усиления и для
§ 3] ОБЩИЕ СВОЙСТВА НЕКОТОРЫХ СИСТЕМ АВТОРЕГУЛИР. 217
нее сама постановка задачи об увеличении критического
коэффициента усиления за счет введения воздействия по
производной лишена смысла.
Годографы D (im) системы, имеющей характеристическое
уравнение третьего порядка, показаны на фиг. 122, а.
Построение области устойчивости в плоскости К, R
и в полуплоскости К > 0, р выполнено на фиг. 122, б и в.
В этом случае критический коэффициент усиления
монотонно растет с ростом р (при р > 0), достигая беско-
нечности при конечном значении р = р0. Если р > р0,
то система устойчива при любом коэффициенте усиления.
Из изложенного выше следует, что это замечательное
свойство присуще среди одноконтурных систем лишь
системам, имеющим характеристическое уравнение третьей
степени.
При большей степени характеристического уравнения
увеличение значения р выше указанного порога (значе-
ния prt) сопряжено с риском сделать устойчивую систему
неустойчивой только за счет введения воздействия по про-
изводной.
Пример 1. Рассмотрим установку непрямого регулирования,
предположив, что постоянные времени равны: одноемкостного объ-
екта— 5 сек, сервомотора — 1 сек, чувствительного элемента —
1^0,1 сек, катаракта — 1 сек. Тогда характеристическое уравне-
ние процесса регулирования будет
D(p)+K = 0,
где
£>(р)-(5?+1) (0,1 ?2 + р + 1) (/>+ 1),
причем от передаточных отношений связей зависит только значе-
ние К.
Годограф Михайлова для разомкнутой системы
D (гео) = (5г со + 1) [(1 — 0,1<о2) гео] (гео + 1)
показан на фиг. 123.
Из фиг. 123 следует, что критический коэффициент усиления
системы равен 12,1 и поэтому, изменяя передаточные отношения
связей, нельзя получить в рассматриваемой системе устойчивую
работу, если статическая ошибка меньше, чем
1
?J=12JT1 = 0’0764'
Пусть теперь для уменьшения статической ошибки в систему
вводится воздействие по производной.
218 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
Для определения наибольшего коэффициента усиления, ко-
торый может быть достигнут за счет воздействия по производной,
проведем вертикальную касательную к годографу, построенному
на фиг. 123.
Точка касания имеет координаты иа=—60,6, va= —183,6
и ей соответствует а>а = 3,33. Лежит эта точка в третьем квад-
ранте. Следовательно, крити-
ческий коэффициент усиления
может быть увеличен за счет
положительного воздействия
по производной до значения
^кр max = 60,6. Этот наиболь-
ший коэффициент усиления
достигается при
р = =___183,6_— 0 91
Ра шоио 60,6-3,33 ’
Пример 2. Рассмотрим
предыдущий пример, предпо-
ложив, что 7\ = 0,01, а зна-
чения всех остальных посто-
янных времени не изменяются.
Годограф
D (iu>) = (5iu> + 1) [(1 — 0,1 <о2) +
+ 0,01 ico] (io) -|-1)
представлен на фиг. 124.
В этом случае при от-
сутствии воздействия по про-
изводной критический коэф-
фициент усиления равен всего
лишь 3,9. Точка, где касатель-
ная к годографу вертикальна,
лежит во втором квадранте.
Ее координаты: и= —12,3,
и = 6,04 и ей соответствует
а) = 2,27. Следовательно, при 7\=0,01 положительное воздействие
по производной лишь уменьшает коэффициент усиления.
Для увеличения коэффициента усиления можно ввести
отрицательное воздействие по производной. При этом коэффи-
циент усиления может быть увеличен только до Л’кр1Пах = 12,3.
Этот наибольший коэффициент усиления достигается при
6,04
12,3-2,27
= 0,216.
Аналогичное исследование, проведенное для случая,
когда для увеличения критического коэффициента уси-
ления вводится воздействие по второй производной,
$ 4] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ 219
показывает, что значение Акр, которое достигается
за счет этого воздействия, неограниченно, только если
п < 5. При п>5 усилением воздействия по второй
производной величина сначала увеличивается
до некоторого максимального значения, а затем умень-
1Л
Фиг. 124.
шается до нуля. Отрицательное воздействие по второй
производной лишь уменьшает Акр.
§ 4. Суждение об устойчивости исходной системы
по устойчивости ее линейной модели
В предыдущих параграфах был рассмотрен вопрос
об устойчивости линейной модели системы автоматического
регулирования.
В начале главы уже указывалось, что устойчивость
линейной модели свидетельствует в лучшем случае
об устойчивости исследуемой нелинейной системы по отно-
шению к достаточно малым возмущениям. В этом пара-
графе это утверждение будет уточнено. Кроме того,
в некоторых случаях можно сделать более сильные
утверждения об устойчивости реальной системы, если
установлено, что ее линейная модель устойчива.
Чтобы пояснить это, уточним понятие устойчивости,
введенное в начале этой главы.
220 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ш
Систему, содержащую нелинейные элементы, условимся
называть устойчивой «в малом», если можно указать столь
малую область начальных отклонений, что после любого
отклонения из этой области регулируемый режим восстанав-
ливается (за конечное время или в пределе при t —»оо).
Таким образом, говоря, что регулируемый режим
устойчив «в малом», мы лишь констатируем наличие
области начальных отклонений, по отношению к которым
система устойчива (т. е. наличие области устойчивости),
но не определяем как-либо ее границ.
Разумеется, устойчивость системы «в малом» по пре-
пятствует тому, что при реальных начальных отклонениях
система может себя вести как неустойчивая: понятие
«устойчивости в малом» игнорирует то, что область
устойчивости системы органичена. Чтобы говорить об
устойчивости реальной системы, надо сопоставить об-
ласть устойчивости и область начальных отклонений,
реально возможных во время эксплуатации установки.
Условимся говорить, что система устойчива «в большом»
в том случае, когда определены границы области началь-
ных отклонений, после которых регулируемый режим вос-
станавливается, и выяснено, что реальные начальные
отклонения принадлежат этой области.
Наконец, условимся говорить, что система декрементна
или неограниченно устойчива (пли устойчива «в целом»)
в том случае, когда область начальных отклонений,
после которых восстанавливается положение равновесия,
вообще не ограничена. В этом случае исходная система
обладает теми же свойствами, что и ее линейная модель:
из факта ее устойчивости «в малом» следует ее устой-
чивость по отношению к любым начальным отклонениям.
Ограничимся пока случаем системы, которая отли-
чается от линейной наличием одной линеаризуемой нели-
нейности. В общем случае процесс в такой системе описы-
вается уравнениями
п
}=i
п
= S atjxj> i = 2, 3, ..., n.
i=i
(3.42)
§ 4] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ 221
отличающимися от линейной системы
п
[-axh,
п
a'i = 2 anxji i=2, 3, .. ., п.
>=i
(3.43)
лишь наличием одной нелинейной функции /(а\), стоящей
в первом уравнении вместо axk.
Найдем теперь область значений а, при которых си-
стема (3.43) устойчива. Пусть установлено, например, что
система (3.43) устойчива при
а* < а < а**
и неустойчива, если
а < а* — е или а > а** 4-е,
по крайней мере при достаточно малом положительном
числе е.
Иначе говоря, значения а = а* и а = а** служат гра-
ницей области устойчивости по а.
Пусть, далее, при составлении линейной модели
исходной системы (3.42) нелинейная функция f(xk)
заменена линейной функцией aQxh, причем а0 выбрано
так, что
а*<а0<а**. (3.44)
При этом несущественно, каким образом определялось
число а0, переходом ли к малым колебаниям, т. е.
заменой кривой / = /(rrfe) касательной в точке xh = 0,
или же экспериментальным усреднением, т. е. заменой
этой кривой прямой, хотя и проходящей через точку
rr/t = O, но не совпадающей с касательной. Если выпол-
няется неравенство (3.44), то построенная линейная
модель устойчива. Какое заключение может быть сделано
тогда об устойчивости исходной системы (3.42)?
Рассмотрим два числа аг и а2, удовлетворяющих
неравенству
а* < аг < aQ < а2 < а**. (3.45)
Построим теперь в плоскости /, xk два луча / = aYxk
и f = a2xk и сопоставим их с кривой / = /(zj.
Возможны три случая, представленные на фиг. 125.
222 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ш
1. Кривая / — /(хк) целиком, т. е. при любых дости-
жимых во время эксплуатации системы значениях xf{,
лежит между лучом / = aYxh и лучом { — (Фиг* 125, а).
Фиг. 125.
2. Кривая /=/(^) лежит между лучами 1 — агхк
и f — a2xk лишь при достаточно малых хк л пересекает
§ 4] СУЖДЕНИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ИСХОДНОЙ СИСТЕМЫ 223
при каком-либо значении xk, например при хЛ = яЛ2,
один из лучей (фиг. 125, б).
3. Кривая при достаточно малом хк не лежит между
лучами (фиг. 125, в).
С помощью метода Ляпунова установлено, что всегда,
как бы ни было выбрано число а0 при замене системы (3.42)
ее линейной моделью (3.43), можно найти такие два
числа аг и а2, чтобы были верны следующие утверждения:
1. В первом случае (фиг. 125, а) устойчивость линей-
ной модели свидетельствует о том, что исходная система
неограниченно устойчива.
2. Во втором случае (фиг. 125, б) из факта устойчиво-
сти линейной модели следует лишь, что исходная система
устойчива «в малом».
Более того, зная наименьшее значение xk, при кото-
ром кривая пересекает один из лучей, можно определить
область, принадлежащую области устойчивости. Сопо-
ставляя ее с заданной областью начальных отклонений,
можно иногда установить также, что устойчивость линей-
ной модели свидетельствует об устойчивой системе
«в большом».
3. В третьем случае (фиг. 125, в) устойчивость линей-
ной модели не свидетельствует даже об устойчивости
исходной системы «в малом».
Если линейная модель построена путем перехода
к малым колебаниям, т. е. если f=aQxk—касательная
к кривой f=j(x^ в начале координат, то в силу неравен-
ства (3.45) касательная лежит между лучами и случай
фиг. 125, в невозможен. При построении линейной модели
переходом к малым колебаниям устойчивость линейной
модели всегда свидетельствует об устойчивости «в малом»
исходной системы. Описанным выше способом можно
в этом случае установить иногда, что исходная система
устойчива «в большом» или даже (случай фиг. 125, а),
что она неограниченно устойчива.
Если же линейная модель построена эксперименталь-
ным осреднением нелинейностей, например, если исполь-
зуются экспериментально найденные частотные характе-
ристики, либо если параметры элементов (постоянные
времени, коэффициенты усиления и т. д.) находятся
по экспериментально снятым временным характеристи-
224 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. Ш
кам, то случай фиг. 125, в возможен и устойчивость ли-
нейной модели не гарантирует устойчивости исходной
системы даже «в малом».
Все сказанное непосредственно распространяется на
системы, содержащие любое число линеаризуемых не-
линейных функций от любого числа аргументов или
имеющие параметры, изменяющиеся во времени.
Возвращаясь к случаю системы (3.42), содержащей
только одну нелинейную функцию, естественно спросить:
Нельзя ли раздвинуть лучи до границ устойчивости,
т. е. нельзя ли оставить в силе сформулированные выводы,
заменив луч f=aYxh лучом j=a*xh, а луч j = a2xh лучом
j=a**xk?
До сих пор не удалось сформулировать ни одного
примера, противоречащего такому утверждению, если на
функцию / (х) наложены некоторые нестеснительные усло-
вия. Но и доказать это утверждение до сих пор удалось
только для систем второго порядка, хотя к этой проблеме
привлечено внимание и математиков и инженеров.
Значительно сложнее обстоит дело в том случае, когда
исходная система содержит нелинеаризуемые нелиней-
ности. До сих пор не удалось найти общих методов, позво-
ляющих ответить на вопрос, в какой мере в этом случае
устойчивость линейной модели свидетельствует об устой-
чивости исходной системы хотя бы «в малом». Удалось
исследовать лишь ряд частных нелинейных задач с учетом
нелипеаризуемых нелинейностей. Эти решенные при-
меры показывают, что иногда наличие нелинеаризуемых
нелинейностей приводит к тому, что даже об устойчивости
системы «в малом» нельзя судить по факту устойчивости
линейной модели. Известны, однако, и такие случаи,
когда нелинеаризуемые нелинейности лишь способствуют
устойчивости системы. § *
§ 5. Заключительные замечания
В тех случаях, когда линейная модель рассматривае-
мой системы задана уравнениями движения (передаточ-
ной функцией), об устойчивости линейной модели судят
по ее характеристическому уравнению. Уравнение это
получается приравниванием нулю знаменателя переда-
§ 5]
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
225
точной функции. Для суждения об устойчивости удобнее
всего использовать редукцию, последовательно снижаю-
щую степень уравнения (стр. 177), либо привести к диаго-
нальной форме определитель Гурвица (стр. 171—173).
Область устойчивости по одному, либо по двум параметрам,
линейно входящим в характеристическое уравнение,
может быть выделена относительно простым построением
границы D-разбиения.
В тех же случаях, когда свойства линейной модели
системы заданы ее амплитудно-фазовой характеристикой
(либо ее амплитудной и фазовой логарифмическими ха-
рактеристиками), суждение об устойчивости линейной
модели может быть произведено непосредственно по про-
теканию этих характеристик. Но при этом в случае не-
линейных, но линеаризованных систем остается открытым
вопрос о достоверности таких суждений даже примени-
тельно к малым возмущениям. Результаты такого ана-
лиза безусловно достоверны лишь в том случае, если
исходная, реальная система линейна для всего возмож-
ного диапазона изменения всех ее обобщенных ко-
ординат.
Если в результате исследования выявлена неустойчи-
вость линейной модели, то ряд качественных соображений
о способах обеспечения устойчивости можно сделать без
дополнительных расчетов. Для этого используются тео-
ремы о структурной устойчивости, о критическом коэф-
фициенте усиления и о методах его повышения. В част-
ности, у структурно-неустойчивых систем обеспечение
устойчивости требует прежде всего изменения структур-
ной схемы. Если же система структурно-устойчива, но
при исследуемых значениях параметров устойчивости
нет, то устойчивость всегда может быть обеспечена доста-
точным уменьшением коэффициента усиления. Чтобы
при этом не возросла до недопустимых пределов статиче-
ская ошибка системы (если система статическая), надо
увеличивать диапазон между крайними значениями по-
стоянных времени. Воздействие же по производным в этих
целях безусловно эффективно для систем третьего порядка
(при воздействии по первой производной) и для систем
до четвертого порядка включительно (при воздействии по
второй производной). Для систем более высокого порядка
М. А. Айзерман
226 УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИЧ. РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. III
применение воздействий по производным требует большой
осторожности: чрезмерное (а иногда и всякое) воздей-
ствие по производной может лишь мешать стабилизации
системы, ухудшать условия ее устойчивости.
Закончив анализ устойчивости, необходимо помнить,
что проверена устойчивость линейной модели системы,
но отнюдь не реальной системы. Только эксперимент
и опыт наладки достоверно покажут, разумно ли была
выбрана расчетная линейная модель и вообще пригоден ли
линейный анализ для исследования устойчивости системы.
Лишь накапливаемый опыт расчета систем определен-
ного типа позволяет уверенно выбирать расчетную модель,
гаранее оценивать, чем можно и чем нельзя пренебрегать
при ее составлении.
ГЛАВА IV
ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ
РЕГУЛИРОВАНИЯ В ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ
СИСТЕМАХ
§ 1. Общие соображения
До сих пор рассматривались только условия устой-
чивости системы регулирования и не рассматривался
характер протекания самого процесса регулирования.
Очевидно, что наличие устойчивости еще недостаточно
для нормальной работы системы, так как, например,
затухание колебаний может быть слишком медленным
или отклонения регулируемой координаты во время про-
цесса регулирования могут превышать допускаемые пре-
делы и т. д.
В установках автоматического регулирования наи-
большее значение имеет изучение переходного процесса
при переходе с одного режима на другой (например, при
изменении нагрузки). Отклонения при этом уже нельзя
считать малыми, и исследование переходного процесса
требует в значительно большей мере, чем исследование
устойчивости, анализа исходных нелинейных уравнений.
Построение процесса в линейной модели позволяет лишь
оценить процесс в реальной установке при малых воз-
мущениях.
В связи с этим ниже приводится только краткое изло-
жение некоторых вопросов, связанных с построением
и оценкой качества процессов регулирования в линейных
системах.
V Процесс регулирования вызывается внешними воз-
действиями на систему. Чтобы построить процесс регу-
лирования или оценить его, необходимо прежде всего
15*
228 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
выяснить характер внешних воздействий, вызывающих
процесс.
а) Внешние воздействия. В зависимости
от того, чем обусловлено внешнее воздействие па систему,
различают три вида внешних возмущений, получивших
наименования: нагрузка, настройка, помехи.
Нагрузкой является внешнее воздействие, приложен-
ное к регулируемому объекту, не зависящее от регуля-
тора и обусловленное изменением режима работы регу-
лируемого объекта.
Настройкой называются возмущения, приложенные
к каким-либо элементам регулятора преднамеренно,
с целью изменения значения регулируемой координаты,
поддерживаемой регулятором.
Помехи—это внешние воздействия на отдельные эле-
менты регулятора или объекта регулирования, не свя-
занные с нормальной работой установки и существую-
щие только потому, что конструкцией установки этих
воздействий не удалось устранить.
Так, например, во всережимном регуляторе транспортного ди-
зеля, установленном на автомобиле, передающееся на двигатель
изменение тягового усилия—нагрузка, воздействие ноги водителя
на акселератор, передающееся на регулятор,—настройка, а пере-
дающиеся на регулятор воздействия в результате тряски, дрожаний
двигателя, неровностей дороги и т. д.—помехи.
В электронном регуляторе питания парового котла воздей-
ствия, возникающие в результате изменения отбора пара потреби-
телем,—нагрузка, воздействие на задатчик регулятора для изме-
нения поддерживаемого уровня—настройка, а воздействия, возни-
кающие в результате ujyMOB в лампах усилителя,—помехи.
Почти всегда внешнее возмущение любого из трех
указанных видов—сложная функция времени, и очень
редко в теории регулирования ставится задача об опре-
делении реагирования системы на внешние воздействия,
заданные функциями, точно соответствующими реаль-
ным возмущениям, действующим на систему. Если бы
возмущения были известны заранее—задача регулиро-
вания сильно упростилась бы и заменилась задачей
о компенсации возмущения. Но обычно внешние воздей-
ствия не могут быть заранее точно определены и задача
упрощается идеализацией возмущения, т. е. заменой
§ И
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
229
реального возмущения более простой типовой функцией
времени*).
В качестве таких типовых функций времени исполь-
зуют чаще всего единичную функцию**) 1, произведе-
ние единичной функции па синусоиду 1А silicon и произ-
ведение единичной и экспоненциальной функции lAert.
Функцию /(/) = 1Л sin применяют в тех случаях,
когда внешнее воздействие на систему периодическое5’'**).
Установившиеся колебания какой-либо координаты си-
стемы (в том числе и регулируемой), вызванные таким
воздействием, полностью определяются амплитудно-фазо-
вой характеристикой этой замкнутой системы.
Функция = l А используется в тех случаях, когда
процесс вызван сбросом или увеличением нагрузки у ре-
гулируемого объекта, быстрым перемещением задатчика
регулятора и т. д. Процессы регулирования, вызванные
внешними воздействиями такого рода, называются пере-
ходными****). линейных систем процессы, вызван-
ные воздействием вида/(£) = !• Л, отличаются отпроцессов,
вызванных воздействием = только увеличением в А
раз масштаба по оси ординат. Поэтому при построении
и оценке переходных процессов можно ограничиться рас-
смотрением единичного воздействия /(/)—!.
*) В некоторых случаях обходятся такой постановкой задачи,
при которой не требуется точно знать внешнее возмущение как функ-
цию времени, а можно ограничиться оценкой некоторых свойств
этой функции. Так, например, в некоторых случаях помехи, а иногда
и нагрузку оценивают статистически и, используя теорию случайных
процессов, определяют среднеквадратичное отклонение регулируе-
мой величины.
Другой путь связан с оценкой наибольшего отклонения регули-
руемой величины под воздействием произвольного возмущения, не
превосходящего некоторого фиксированного значения.
) Единичной называется функция 1= | ® теории
следящих систем, кроме указанных в тексте функций, используются
также произведения единичной функции на линейную функцию
или на различные параболы (т. е. lktr, где г — 1, 2,...).
***) Примером могут служить некоторые виды помех, например
вибрации, передающиеся на корпус прибора.
****) Зная протекание таким образом определенного переходного
процесса, можно построить процесс в этой же системе при любом
Другом воздействии.
230 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ (гл. IV
Методы построения и оценки переходных процессов
составляют основное содержание этой главы.
Функция
f(t) = L-A(l-e-Tl), (4.1)
где г—положительная, а А—любая постоянная величина,
применяется в случаях, когда внешнее воздействие нара-
стает плавно. Примером может служить медленная пере-
настройка регулятора, плавное снятие нагрузки с объек-
та и т. д.
Зная переходный процесс, легко построить процесс,
вызванный воздействием (4.1).
б) Параметры, характеризующие ка-
чество переходного процесса. Обычно
на переходный процесс накладываются следующие огра-
ничения.
1. Переходный процесс должен заканчиваться за
некоторое время tp1 называемое временем регулирования.
Теоретически переходный процесс в линейных системах
продолжается неограниченно долго. Практически же
переходный процесс заканчивается, как только откло-
нение регулируемого параметра не будет превосходить
некоторых определенных пределов.
В случае статических систем часто считают, что пере-
ходный процесс заканчивается в тот момент времени,
начиная с которого значение отклонения координаты
отличается от установившегося не более чем на 5% от
статической ошибки.
Для астатических систем считают, что переходный
процесс заканчивается, когда значение координаты не
будет превосходить определенной доли от номинального
значения, причем в этих случаях часто указывают цифры,
значительно меньшие 5%.
2. Наибольшие отклонения регулируемой координаты’
в процессе регулирования от того значения, которое
должно установиться после окончания переходного про-
цесса, не должны превышать допускаемой величины.
В статических системах наибольшее отклонение регу-
лируемой координаты во время переходного процесса,
совпадающее по знаку со статическим отклонением, назы-
вается иногда перерегулированием. Обычно существенно
§ 1]
ОБЩИЕ СООБРАЖЕНИЯ
231
не только перерегулирование, но и вообще наибольшее
отклонение регулируемой координаты вне зависимости
от знака.
Перерегулирование оценивают часто в процентах
от статической ошибки, вызванной этим же возмущением.
К астатическим системам термин перерегулирование
в такой формулировке неприменим. В этом случае гово-
рят о наибольшем динамическом отклонении, понимая
под этим наибольшее отклонение координаты во время
переходного процесса от номинального значения (в про-
центах).
На фиг. 126 изображена граница области, внутри кото-
рой должен лежать переходный процесс, удовлетворяю-
щий двум перечисленным требованиям.
Иногда накладываются дополнительные условия на
протекание переходного процесса: можно требовать,
например, чтобы процесс был монотонным или чтобы
число колебаний за время процесса было не более задан-
ного и т. д.
Если бы существовали способы точной оценки пере-
численных выше основных параметров, характеризую-
щих качество процесса по виду дифференциального урав-
нения, то нс было бы необходимости доводить до конца
интегрирование этих уравнений. Такие способы пока
не разработаны, и хотя часто важно знать не протекание
всей интегральной кривой, а лишь некоторые параметры,
232 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
характеризующие се протекание, единственный вполне
достоверный способ вычисления этих параметров состоит
пока в построении интегральной кривой.
Для того чтобы построить кривую процесса регулиро-
вания при некоторых фиксированных значениях пара-
метров, требуется произвести трудоемкие выкладки. Для
выбора оптимальных значений параметров надо эти
выкладки много раз повторить. В связи с этим особое
значение приобрели различные приближенные и косвен-
ные методы оценки процесса, нс требующие построения
интегральных кривых.
Переходя к изложению методов построения и оценки
переходных процессов, мы будем всюду в этой главе
считать, что исследуемая система устойчива.
§ 2. Построение процесса по заданной передаточной
функции системы
а) Описание метода. Для любой системы
автоматического регулирования преобразование Ла-
пласа для одной из координат системы может быть запи-
сано в следующем виде*):
L (!)] = IV М L [/ (!)] = , (4.2)
где W (/?) = ф — передаточная функция системы (от
заданного места приложения внешнего воздействия
к рассматриваемой координате х), a = —
преобразование Лапласа внешнего воздействия (для пере-
численных выше типовых воздействии есть дробно-
рациональная функция р).
Изменение во времени координаты х(1), вызванное
воздействием /(/), в соответствии со второй теоремой
разложения Хэвисайда, определяется функцией*)
В (Pk)
ll=l
(4.3)
*) См. Приложение 1, стр. 382.
§2] ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 233
где рк — корни уравнения 5(р) = 0 (предполагается, что
нет кратных корней).
В том случае, когда / (/) = 7, имеем:
£[/(')] В(р)^рВ^р), А(р)^А1(р),
где Вх (/>) — знаменатель передаточной функции W (/?).
Приравнивая 51(/>) пулю, получаем характеристическое
уравнение системы. В этом частном случае вместо (4.3)
получаем:
Z = (4.4)
5i(0) PhB'i(Pk) v
h=l
п (°)
Слагаемое -=4—
определяет установившееся отклоне-
ние; каждое слагаемое, соответствующее действительному
корню характеристического уравнения, — экспоненциаль-
ную функцию вида xj = Ajepjt, а каждая пара слагаемых,
соответствующая паре комплексно-сопряженных корней рк,
Pkn = а/г ± — функцию вида
sin (Р 4- сру).
Формулы для подсчета А^ и приведены в прило-
жении *).
Задача построения переходного процесса сводится
таким образом к вычислению сначала всех корней харак-
теристического уравнения, а затем и всех коэффициентов
А- и cpj. После этого необходимо построить экспоненци-
альные функции, произведения экспоненциальных и три-
гонометрических функций и просуммировать ординаты
построенных графиков этих функций, соответствующих
одинаковым значениям t. Наибольшие затруднения на
этом пути вызывает приближенное определение корней
характеристического уравнения.
Если внешнее воздействие * отлично от = то
процесс строится по уравнению (4.3), для чего необходи-
мо знать корни уравнения
в (Р) ^в^р) R (р) = 0.
*) См. стр. 382—383.
234 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Но для типовых воздействий корни R (р) определя-
ются непосредственно, так как R (/?) полином первой или
второй степени. В этом случае затруднение состоит в
определении корней характеристического уравнения
2?1(р) = 0. Из многочисленных методов, предложенных для
этой цели, Опишем один итерационный метод.
б) Итерационный метод приближенного
вычисления корней характеристического
уравнения. Рассмотрим характеристическое уравнение
F(p) = pn + a1pn~1 + a2pn~2+ ... +an_1p + an = Q, (4.5)
где av а2, а3, ..., ап — действительные числа, при кото-
рых все корни имеют отрицательную действительную
часть*) (система устойчива).
Требуется отыскать приближенные значения действи-
тельных и комплексных корней этого уравнения. Для
этого разделим уравнение (4.5) на полином
Л (р) = Р^1 + («х - «) Рп~2 + («2 - ₽) Р™ + • • • + (а„_х - <0),
где а, р, у, ..., ю —пока неизвестные числа.
Выполнив деление, получим частное
р + а
и остаток
[? - а («1 - а)] р^2 + + [ап а(а„_1 - <»)].
Обозначим остаток через F2(p). Тогда
F (р) = (/> + «) ?! (/О + Л (Р)
Если бы деление осуществлялось без остатка, то а было
бы корнем уравнения F(p) = 0.
Если приравнять F2 (р) = 0 и из этого условия найти
а, р, у,..., а), то а будет первым корнем уравнения
*) Метод верен, если кратность действительных корней урав-
нения (4.5) не больше двух, но может быть и несколько пар крат-
ных комплексных корней. Практически это ограничение несуще-
ственно, так как малым изменением коэффициентов (которые
все равно определены приближенно) можно избежать кратных
корней.
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 235
F(/?) = 0. Для того чтобы найти его, приравняем нулю
порознь все коэффициенты F2(p). В результате этого по-
лучим систему уравнений:
** —------,
Оп-1 —“>
Р = а(а1-а),
Т = а(а2-р), >
3 = а(а3-7),
(4.6)
ш = а(«п-2—Х)- J
Определение корня а сводится к простой итерации. Поло-
жив <0 = 0, получим по выведенным формулам:
« ап
ai —----»
ап—1
Т1 = а1 («2-₽1)>
81 = а1 (а3-Т1),
“1 = а1 (ап-2 - Ti)-
Мы пришли к (о = (ох ф 0. Следовательно, произвольно
принятое предположение <о = 0 было неверно.
Полагая теперь (о = (ор получим:
ап
?2 = а2 (а1 ~ а2)>
Т2 = аг(а2 Рг)> >
^2 = а2 (йз Тг)>
(4.7)
Ш2 — а2 (ап-2 тг)-
Если <о2 = (о1, то а2 —корень рассматриваемого уравнения.
Если же <о2 #= (ор то процесс итерации продолжается.
236 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Пример. Рассмотрим уравнение
Xs + 6,32 х2 + 27,5а? + 31,6 = 0.
Обозначим а-! = 6,32, а2 = 27,5; а3 = 31,6.
Для определения первого корня воспользуемся выведенными
выше формулами (4.6) и (4.7). Напишем их для уравнения третьей
степени:
а=—?=а («! — <*).
а2 — Р
Полагаем [30 — 0; получаем:
41 А
= 1,15; р1= 1,15 (6,32 — 1,15)=5,95.
z / ,о
Полагаем ^ = 5,95. Тогда
а2 = 97 .31’6 = 1,47, ₽2 = 1,47 (6,32-1,47) = 7,12.
Полагаем р2 = 7,12. Находим:
а3= ЗЦ_=1,55, р3 = 1,55 (6,32-1,55) = 7,4.
I , О - I у 1
Полагаем (В3 = 7,4; получаем:
31 6
*4 = 27 5—7 4 = 1,57, = 1,57 (6,32 — 1,57) = 7,48.
Замечая, что (34^33, прекращаем итерационный процесс.
Следовательно, а=—1,57 — приближенное значение корня рас-
сматриваемого уравнения. В этом случае
Fx (р) = х2 + (6,32 -1,57) х + (27,5 - 7,48),
т. е.
F± (р) = х2 + 4,75а? + 20,02 = 0.
Корни этого квадратного уравнения являются остальными двумя
корнями рассматриваемого уравнения третьей степени.
В случае, если итерация расходится, то это означает,
что ближайший к мнимой оси корень комплексный и
итерацию следует проводить иначе. Делить теперь F (р)
нужно на многочлен степени на две единицы ниже (так
как теперь определяем сразу два корня):
F3 (Р) = Р^2 + («! - а) рп~3 + («2 - ₽) Рп~* + («3 - 7) Рп~5 + • • •
• • • +К-з-р)/’ + (аг1-2-л:)-
Тогда
F (Р) = [р2 + «Р + IP ~ «(а1 “ а)]} Fa (Р) + Ft (р)-
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 237
где остаток от деления
Л(/’)={Т- Л («2—₽) — (а1—а) [₽ —а («1*)]}/’” 3+...
• ' • +ап-(«п-2- ^)[₽~ «(«!-«)]•
Если F±(p) = 0, то можно разложить F (р) на множите-
ли F3(p) и jO2 4-aJo + [P-a(a1-a)].
Решив квадратное уравнение
Р2 + ^Р + [Р — a («! — <*)] = О,
найдем два комплексных корня уравнения F(p) = 0. Из
условия F4 (/?) = О, приравнивая нулю все коэффициенты,
получим систему уравнений, определяющих величины
а, р, 7, 8, . .., т:
а ап-1 ап (ап-3 р)
аП—2 ~ (аП—2 Т)2
0 = а(а1-а) + ^-^-? ,
т = а (а2 - р) + -ап-- (ах - а),
(4.8)
Теперь итерация проводится так.
Полагая т = 0 и р = 0 в первом уравнении, опреде-
ляем а; подставив найденное значение аи: = 0во вто-
рое уравнение, определим р и т. д.; продолжая этот про-
цесс, найдем значения рг и т1. Подставив найденные зна-
чения Pi и т1? определим второе приближение для значе-
ний а, р, у, ..., т. Эта операция продолжается до тех
пор, пока итерация не сойдется.
Определив таким способом значения а, р, 7, ..., т
и решив квадратное уравнение
/?2 + ар + [Р - a (aj — a)] = О,
найдем два комплексных корпя уравнения F(p) = 0.
Остальные его корни находятся из уравнения F3 (р) = О
аналогичным итерационным процессом. Если расположе-
ние корней неизвестно, то начинают процесс итерации
применять к формулам, определяющим действительные
корни; если процесс расходится, то его применяют к фор-
мулам, определяющим комплексные корпи.
238 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Для определения корней алгебраических
Вид уравнения Случай расположения корней
Уравнение третьей степени х3 + агх2 + а2х + а3 —• 0 Младший по моду- лю корень действи- тельный
Младшие по моду- лю корни комплекс- ные сопряженные
Уравнение четвертой степени х* + агх3 + а2х2 + а3х + а4 = 0 Младший по моду- лю корень действи- тельный
Младшие по моду- лю корпи комплекс- ные сопряженные или оба действи- тельные
Наибольший по мо- дулю корень дей- ствительный
Уравнение пятой степени х5 + ajx* + а2я3 + аз^2 + аьх + а5 = 0 Младший по моду- лю корень действи- тельный
Младшие по моду- лю корни комплекс- ные сопряженные или оба действи- тельные
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 239
Таблица XII
уравнений с помощью итераций
Рабочие формулы Разложение на множители
3... а2 —3 ?=а(ах—а) (ж 4-а) [ж2 + (а1 — а)х + а2 — ЭД
Л3
а! — а (а±—а)2 (Л -г ui — a J I л ~т" 1 L gi — « J
• - "s' S Г I I а । « СО * а в в II II II в OCL (x + ^Iar’ + faj — a)®2^- + (а2—ЭДя + аз—
= g3 __ g4 (gl~а) . “ а2 —р (а2 —ЭД2 ’ р = а(01—“) + т^-з а2 —Р [я2 + (й1 — а) я + а2 — £] X X Гх2 + ах+ 4 о 1 L g2 — р J
_ g2 g3 . g4 gl — а (gl~а)2 (gl~a)3 (х + аг — а) х3 + ах2 + + [g2 (gi а) а] х + V а1 — а J
о? -цо ft II II II 1 Д ТД& “ Iй. 1 w 1 | - • (х + а) [а;4 + + (а2 — а) х3 + (а2 — ^)хг + + (а3—т)х + а4—6]
g4 g5 (g2 P) . а—аз —T (a3 — f)2 ’ P = a(01 a)+ 6 ; a3 I f = a(a2 P)+ (a, —a) “3 I или другие формулы, полу- ченные из системы уравне- ний (4.6) ( х2 + ах н —— X \. а3—т / Х[х3 + (а1 —а) хг + (а2 — ЭДХ Хх + а3— y]
240 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Вид уравнения Случай расположения корней
Уравнение пятой степени х5 + aix* + а2я3 + + а5 = 0 Наибольший по мо- дулю корень дей- ствительный
Наибольшие по мо- дулю корни ком- плексные сопря- женные или оба дей- ствительные
Уравнение шестой степени 16-{-а1х5-^-а2х4-^-а3х3-^-а^х2-^а-х^-ав=0 Младший по моду- лю корень действи- тельный
Младшие по моду- лю корни комплекс- ные сопряженные или оба действи- тельные
§ 2] ПОСТРОЕНИЕ ПРОЦЕССА ПО ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ 241
Продолжение таблицы XII
Рабочие формулы Разложение на множители
_ а2 g3 . а! — a (aL — а)2 . g4 g5 («1—“)3 («I—»)4 (я + би —а)х X | х4 + ах3 4- [а2 — а(а2 — а)]х2 -|- + {а3—(gi — a)[g2 — a(gi — а)]}а?+ + тМ «1 —a J
XD ft II II Л - 1 ? 1 + 1 & ft 1 - + т + гГ » — Л “ । । 1 1 TJD 1 1ft с; к р "Uft м to а <у» । СП * •• [а?2 + (а1—- а) х + а2 — ^]Х X ^я3 + ая2 + [?— а (gi — а)]Х а5 1 Хх + ~7, к Г а2 — Р J
• - 'a' S 5^ Jo4 р- 1 1 1 1 « 1 F4 <М СО тК <г а а а а II II II II а со. j— to s" (х + а) [х5 4- (аг — а)х4+ + (а2 — Р) х3 + (а3 — y>2+ + (а4—3)х + <18 —ц]
_ Д5 Дб(аз~~Т) . а at — 6 (а4 — В)2 Р = а(Я1_а) + _^_; т=“ (а2—?)+—Ц (а1~а); — о В = а (а, — у) + (а2 — 3) и 4. О или другие формулы, полу- ченные из системы уравне- ний (4.6) ( х3 + ах-{ тЦ-Пх \ О,^ 0 J X [х4 + (а! — а) х3 4- (а2 — ^)х2+ + (аз —Т) я + 'Ч —Ч
16 м. А. Айзерман
242 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
В таблице XII приведены готовые формулы для опре-
деления с помощью итераций корней уравнений до ше-
стой степени включительно. С помощью этих формул
может быть определен младший или старший по моду-
лю корень. Найдя его, можно понизить степень уравне-
ния и снова применить указанные формулы.
Описанный итерационный метод удобен тем, что корни
определяются, начиная от самых младших последователь-
но до самых старших по модулю. Часто переходный про-
цесс с большой точностью определяется уже первыми
двумя-тремя корнями, и тогда итерационный метод вы-
числения корней оказывается весьма экономичным.
в) Общее замечание о методе. В том слу-
чае, когда все параметры системы выбраны и построение
процесса является лишь поверочным этапом расчета, опи-
санный выше прием позволяет при некоторых навыках
быстро построить процесс. Но в случае, если построенный
процесс окажется неудовлетворительным, описанный метод
не дает суждения о том, как надо изменить параметры
системы, чтобы улучшить процесс. Действительно, уравне-
ние процесса (4.4) сложным образом зависит от корней
характеристического уравнения, зависимость этих корней
от коэффициентов уравнения остается невыясненной, а сами
эти коэффициенты сложным образом зависят от парамет-
ров рассматриваемой системы. Это вынуждает искать пути
построения процесса, не связанные с вычислением корней
характеристического уравнения.
Л § 3. Графический метод построения процесса
регулирования
Процесс регулирования может быть построен без пред-
варительнрго вычисления корней характеристического
уравнения с помощью различных графических приемов
приближенного интегрирования уравнений процесса регу-
лирования.
Особенность систем регулирования состоит в свое-
образной «цепочечной» структуре системы уравнений,
описывающей процесс: каждый элемент системы воздей-
ствует на следующий элемент или внутренний контур,
который сам состоит из последовательной цепи элементов.
§ 3] ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА 243
Для построения процессов в системах, имеющих подоб-
ную структуру, удобен графический прием, основанный
на известном методе построения экспоненциальных функ-
ций. Описание этого приема начинается ниже с построе-
ния экспонент, затем описывается построение процессов
в отдельных элементах цепи регулирования и, наконец,
в цепи в целом.
а) Построение экспоненциальных функ-
ций. Описываемый способ построения экспонент основан
на следующих свойствах этой функции.
I свойство. Отношения ординат точек, равноотстоя-
щих друг от друга, равны.
Допустим, что нам задана экспоненциальная функция
t
х-С'е Т
Пусть A1B1 = BlCl (фиг. 127), т. е. если абсцисса точки А
равна т0, то абсцисса точки В равна т0 + Д£, а точки С
равна т0 2&t. Проведем через точки А и В, а также
16*
244 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
В и С секущие. Найдем ординаты точек А, В и С:
АА^С'е^,
то + Д/
ВВ^С'е т ,
________To + 2AZ
СС^С'е
гт у4у11 BBi
Подсчитав отношения и , получаем:
1313 у CCj v
II свойство. Секущие, проведенные через точки, равно-
отстоящие друг от друга, имеют равные подсекущие.
На основании свойства I можно написать равенство
ААГ __ ВВГ
ВВГ ~~ СС\ ’
Но /
BB1 = AAl — AG
и
CC^BB^BF.
Из треугольников ABG и BCF имеем:
AG = tg
и
BF = Ang <р2,
r%e — угол между первой секущей и осью абсцисс,
ср2 —между второй секущей и той же осью.
Но
. AAi
и
. ВВ±
§3]
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА
245
Следовательно,
AAV BBi А А. _ BBi
"BBl ~~ СС1~~ AAX-AG BBi—BF
А Аг В Bi
откуда получаем:
1 _ At ,_____Д t_
АуЕ BtD ’
или
ПГ свойство. Подсекущая, проведенная через две близ-
лежащие точки, приближенно равна Ту .
Определим величину подсекущей.
Из подобия треугольников ABG и AAJE можно на-
писать следующее равенство:
AAi__AxG
AiE~~ Дг ’
откуда
л р ^4^41 Л.__ С'е т At __ At
AG _1о _то±±? — ’
С'е т —С'е т 1 — е т
Правую часть этого равенства можно разложить в ряд по
восходящим степеням А/:
где
77
£ = т •
Ограничившись первыми двумя членами разложения,
получим окончательную формулу, приближенно опреде-
246 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
ляющую величину под секу щей:
1-Л
Результат тем более точен, чем меньше выбраны интер-
валы At.
Практически бывает достаточно взять
Теперь можно приступить к описанию построения
экспоненциальной функции.
Допустим, что необходимо произвести построение
экспоненты
Будем вести построение в декартовой системе координат.
§ 3]
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА
247
По оси ординат будем откладывать величину хк, по оси
абсцисс — величину t.
Разобьем ось абсцисс на интервалы, равные так,
чтобы At < Тк и Tk = nAt, т. е. чтобы Th было кратно
величине интервала At. Каждый из полученных интерва-
лов разделим пополам.
Построение начинаем с того, что на оси ординат откла-
дываем из начала координат отрезок, равный Ck, а по оси
абсцисс — отрезок
(фиг. 128). Полученные две точки соединяем прямой ли-
нией. Из точки с абсциссой &t проводим линию, парал-
лельную оси ординат, до пересечения с построенной
прямой.
Полученная точка пересечения 1 будет точкой, при-
надлежащей искомой экспоненте.
Далее, на оси абсцисс откладываем отрезок
Т’. + Зу-
Через эту точку и точку экспоненты, найденную пре-
дыдущим построением, проводим вторую прямую ли-
нию. Проведя из точки с абсциссой 2AZ прямую, парал-
лельную оси ординат, найдем вторую точку искомой
экспоненты. Повторяя построение, найдем все остальные
точки.
Пример построения показан на фиг. 128.
б) Построение переходного процесса для
одного одноемкостного звена. Рассмотрим
одноемкостное звено, на вход которого действует единич-
ное возмущение А-1 (фиг. 129).
Дифференциальное уравнение в этом случае запишется
в следующем виде:
Т^^х^ = к-А.1.
Проинтегрировав это уравнение, получим уравнение
переходного процесса для выходной координаты одноем-
костного звена
#вых =— кА (1 — в ).
248 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
При £ = 0 £Вых = 0, при t=co хвык = кА = Av
Раскрыв скобки в правой части равенства и пере-
неся постоянную величину Аг в левую часть, можно
переписать уравнение переходного процесса в следую-
щем виде:
*^вых А± = А±е
Следовательно, для построения переходного процесса
надо построить экспоненциальную функцию
t
*^вых — А^е
и перенести затем ось ординат в точку
Удобно этот перенос оси выполнить с самого начала.
Для этого на оси ординат отложим отрезок, равный
(фиг. 129). Через полученную точку проводим параллель-
но оси абсцисс прямую, на которой из точки Аг откла-
дываем отрезок Уту* Найденную таким построением
§ 3]
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА
249
точку соединяем прямой с началом координат. Из точки
с абсциссой At проводим прямую, параллельную оси
ординат до пересечения с проведенной ранее прямой.
Точка их пересечения 1 будет принадлежать искомой
экспоненте. На прямой, проходящей через точку A]f
откладываем из точки отрезок Т 4- 3 -у . Полученную
точку соединяем прямой с найденной ранее точкой экспо-
ненты, из точки с абсциссой 2±t проводим прямую, па-
раллельную оси ординат. Точка пересечения этих
двух прямых будет также принадлежать искомой экс-
поненте.
Продолжая это построение далее, найдем другие ее
точки. Описанное построение выполнено на фиг. 129.
в) Построение процесса для выходной
координаты одноемкостного звена при по-
даче на вход произвольного возмущения/(Z).
Допустим, что на вход одноемкостного звена действует
произвольное возмущение /(Z). Пусть эта функция задана
графиком.
Ось абсцисс разбиваем на отрезки. £t так, чтобы
Az < Т и T = n-t. Кроме того, эти интервалы должны
быть достаточно малыми для того, чтобы /(Z) могла быть
представлена с достаточной степенью точности ступенчатой
линией (фиг. 130). Смещаем кривую /(Z) вдоль оси
абсцисс на величину .
Начальную точку кривой соединяем прямой линией
с началом координат и описанным выше построением
находим на ней точку, принадлежащую искомому пере-
ходному процессу. Берем на кривой /(Z) следующую
точку, отстоящую от первой на расстоянии Az, и, соеди-
нив ее с найденной ранее точкой тем же построе-
нием, находим следующую точку переходного процесса.
Повторяя это построение, найдем весь переходной
процесс.
Пример построения приведен на фиг. 130.
г) Построение переходного процесса для
•разомкнутой цепочки одноемкостных звень-
ев при подаче на вход единичного возму-
щения А-1. Рассмотрим разомкнутую цепочку одноем-
250 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
§ 3] ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА 251
костных звеньев, на вход которой подается единичное
возмущение А-1 (фиг. 131, а).
Построение переходного процесса для 1-го звена ничем
не отличается от рассмотренного ранее построения для
одного одноемкостного звена.
Ход построения таков:
1. Строим переходный процесс для 1-го звена цепочки
так, как если бы оно было одно.
2. Полученную кривую изменения выходной коорди-
наты 1-го звена принимаем в качестве возмущения для
2-го звена.
3. Таким же приемом повторяем построение для вто-
рого звена. Отклонение выходной координаты 1-го звена
в конце п-го интервала служит возмущением для 2-го
звена для всего (п4-1)-го интервала.
Аналогично производится построение для всех осталь-
ных звеньев.
Это же построение можно производить сразу для всех
звеньев для какого-то одного интервала.
Пусть для n-го интервала известны отклонения всех
координат. Тогда, для того чтобы найти отклонения для
(п + 1)-го интервала, проводят описанное построение,
считая, что на 1-е звено воздействует значение внешнего
возмущения в конце n-го интервала.
На 2-е звено воздействует выходная координата 1-го
звена в конце п-го интервала.
На 3-е звено воздействует выходная координата 2-го
звена в конце п-го интервала и т. д.
Построение показано на фиг. 131, б для цепочки,
состоящей из трех одноемкостных звеньев.
д) Построение переходного процесса для
замкнутой цепочки одноемкостных звеньев
при подаче на вход единичного возмуще-
ния /(£) = /. Рассмотрим теперь замкнутую цепочку
одноемкостных звеньев, на вход которой подается еди-
ничное возмущение =
Для всех промежуточных звеньев построение пере-
ходного процесса будет осуществляться по рассмотренным
выше правилам.
Различие появится только в построении переходного
процесса для выходной координаты 1-го звена,
252 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
В качестве возмущения для 1-го звена для (п-|-1)-го
интервала надо принять разность между величиной внеш-
него возмущения в конце n-го интервала и величи-
ной выходной координаты цепочки в конце (п—1)-го
интервала.
Пример построения показан на фиг. 132 для случая,
когда f(t) = А-1.
Фиг. 132.
ж) Построение переходного процесса
для астатического звена. Перейдем теперь к рас-
смотрению астатического звена
J1 ^ВЫХ _ ~
Прибавим к обеим частям этого уравнения £вых:
1Х 4“ ^вых ~ ^вх + #вых*
Следовательно, астатическое звено можно рассматри-
§ 3]
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ^ПРОЦЕСсА
253
вать как одноемкостное звено, охваченное положительной
обратной связью (фиг. 133, а).
Построение переходного процесса для выходной коор-
динаты у астатического звена ведется так же, как если бы
звено было одноемкостным, но считается, что па вход
Фиг. 133.
этого звена действует не только выходная координата
предшествующего звена, но и значение выходной коорди-
наты исследуемого астатического звена в конце предыду-
щего интервала.
Таким образом, для построения значения выходной
координаты астатического звена для (п г 1)-го интер-
вала необходимо просуммировать значение выходной
координаты предшествующего звена в конце n-го интер-
вала и значение выходной координаты последующего
звена в конце того же интервала. Найденную этим
построением точку соединить прямой линией с точкой,
определенной построением для n-го интервала, и обычным
построением получить значение выходной координаты для
(п+1)-го интервала.
254jnOCTPOEHHE|H ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Пример построения показан на фиг. 133, б.
е) Построение процесса в колебательном
звене. Допустим, что в исследуемой цепочке звеньев
имеется колебательное звено (фиг. 134, а):
/Г2 ^2д?вых I гр ( „ __ 1л~
1 dt2 ’ 1 k dt "Г^вых.— а^вх-
Разделим обе части равенства на А: и обозначим
T* = TJ\.
Тогда 'I'l'I'h о?2а?вых , я^вых f _j_ к dt2 1 к dt 1 к ^вых-^вх,
или Т1 + У = #вх ^вых>
где Th ^вых к dt У'
Следовательно, колебательное звено может быть за-
менено цепочкой, состоящей из двух звеньев: одного
астатического и одного одноемкостного, охваченных отри-
цательной обратной связью (фиг. 134, б), или двух одно-
емкостных звеньев с постоянными времени
Т -12
1 Tk
и -^-, охваченных отрицательной обратной связью с коэф-
фициентом усиления 2, причем звено с постоянной вре-
мени в свою очередь замкнуто положительной об-
ратной связью с коэффициентом усиления 1 (фиг. 134, е).
При построении учитывается (из-за наличия обратных
связей), что на вход 1-го одноемкостного звена действует
разность между выходной координатой предыдущего зве-
на и выходной координатой 2-го одноемкостного звена,
уменьшенной в к раз, а на вход 2-го одноемкостного
звена —сумма входной координаты 1-го звена для п-го
§ 3]
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПРОЦЕССА
255
Фиг. 134.
25G ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
интервала и выходной координаты 2-го звена для (п — 1)-го
интервала.
Построение переходного процесса в случае, когда
на вход 1-го звена подается возмущение А-1, показано
на фиг. 134.
з) Дополнительные замечания. Описанное
построение аналогично распространяется на системы, со-
держащие неустойчивые элементы, более сложные внут-
ренние контуры и воздействия по производным. Любой
контур и любые элементы могут быть представлены
соответствующим числом одноемкостных звеньев и до-
полнительными внутренними положительными и отри-
цательными обратными связями, а построение про-
цессов в системе, содержащей любые контуры, состав-
ленные из одноемкостных звеньев при любом возмуще-
нии, заданном графиком, ясно из приведенных выше
описаний.
Заметим в заключение, что рассмотренный графи-
ческий метод построения переходных процессов позволяет
учитывать и некоторые нелинейности, имеющиеся в иссле-
дуемой системе автоматического регулирования*).
§ 4. Построение процесса регулирования
по частотным характеристикам системы
а) Общие замечания. В тех случаях, когда
свойства системы заданы ее частотными характе-
ристиками, процесс регулирования при любом заданном
возмущении может быть построен, исходя из частотных
характеристик, без вычисления корней характеристического
уравнения. С этой целью определяется прежде всего
преобразование Фурье рассматриваемой координаты си-
стемы при заданном возмущении**).
Пусть требуется построить процесс изменения во вре-
мени какой-либо координаты (будем называть ее далее
координатой х, опуская индекс) под действием возмуще-
*) Подробнее этот метод изложен в книге: Е. П. Попов,
Динамика систем автоматического регулирования, Гостехиздат, 1954.
; **) См. Приложение I (стр. 391).
ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 257
§ 4]
ния f(t), приложенного в какой-либо точке системы.
Обозначим Ф* (йо) преобразование Фурье искомой функции
x(t). Тогда
Ф*(гш) = Ф(ш)Ф/(()(га>), (4.9)
где Ф (iio) — частотная характеристика рассматриваемой
замкнутой системы от места приложения воздействия / (t)
до координаты х, (fw) — преобразование Фурье или
спектр воздействия f(t):
со
Ф/(/) (гш) = / («) е-{“' dt. (4.10)
о
Напомним, что Ф (fw) и Ф/(<) (йо) получаются заменой р
на го) соответственно в передаточной функции системы
W (р) и в преобразовании Лапласа функции f(t). Но
в отличие от интеграла, определяющего преобразование
со
Лапласа, интеграл / (t) е~м dt имеет смысл только,
о
если функция /(£) удовлетворяет условию lim/(£) = 0.
f->oo
Предполагается, кроме того, что функция / (t) ограничена
и непрерывна при любом £>0. Воздействия, удовлетво-
ряющие этому условию, назовем «исчезающими» в отли-
чие от неисчезающих воздействий, которые, оставаясь
непрерывными и ограниченными при любом £>0, стре-
мятся при t —»оо к пределу, отличному от нуля. Как
далее будет показано, преобразование Фурье можно при-
менять и к некоторым неисчезающим воздействиям, но
это требует особого рассмотрения.
Если преобразование Фурье Ф$(^) для координаты х
вычислено, то искомая функция x(t) определяется тогда
обратным преобразованием Фурье
4-00
Ф£(йо) rfo). (4.11)
— оо
б) Построение процесса в случае исче-
зающего возмущения. Если lim/(t) = 0, т. е. если
/~>ОО
возмущение исчезающее, то процесс может быть построен
17 м. А. Айзерман
258 ПОСТРОЕНИЕ,!! ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
непосредственно по уравнению (4.11). С этой целью
удобно его преобразовать следующим образом.
Отделим в Фх(^) действительную и мнимую части:
Ф*(йо) = Р* (а))+г(?*((о),
и воспользуемся тождеством Эйлера:
_ CQS _|_ i sjn
Подставив эти значения в произведение Ф£ (но) ем, по-
лучим:
Ф* (io)) = [Р* (<d) cos u>i — Q* (со) sin a>i]
+ i [(?* ((d) cos (Di + P* ((d) sin wi].
Тогда
^.(i) = A- f [P* ((d) cos o)i— ()* ((d) sin wi] c?(d-{-
+ ^7 [(?* (ш) cos ut + P* (<d) sin u)Z] rfo).
Функция P*((d)—четная, a (?*((d)—нечетная. Следователь-
но, во втором интеграле подинтегральная функция—
нечетная и интеграл этот равен нулю.
оо
[^* (<о) cos ш«4-?*(<») sin <uZ] = O. (4.12)
— оо
Действительная часть написанного выше равенства опре-
делит a?(i):
4-00
= [Р* (w) cos (Di - ((d) sin (Di] d(D. (4.13)
— oo
Ограничимся рассмотрением функций /(i), которые
равны нулю при любом i < 0. Тогда и rc(i) = O при
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 259
t < 0. Считая t величиной положительной, заменим
в (4.13) t на — t и приравняем после этого x(t) нулю:
4-00
[Р* (со) cos(o)Z) + (7* (tn) sin (юг)] du = 0. (4.14)
—оо
Сложим равенство (4.14) и (4.13). В результате найдем:
4-со
x(t) = -^~ Р* (со) cos coz du. (4.15)
—00
Но Р* (со) — функция четная. Тогда
4-00 4-00
Р* (со) cos ut du = 2 Р* (со) cos ut du,
— оо О
и интеграл (4.15) можно записать следующим образом:
4-00
2 С
x(t) = — \ Р* (со) cos ut du.
О
(4.16)
Равенство (4.16) определяет функцию x(t) через дейст-
вительную Р* (со) часть преобразования Фурье этой функ-
ции, которое равно произведению частотной характери-
стики системы IV (iu) на преобразование Фурье действую
щего возмущения (т. е. на его комплексный спектр).
Напомним, что все приведенные рассуждения верны
только, если рассматриваемая система устойчива, если
f(t) и x(t) — нули при £<0 и если возмущение исче-
зающее.
Задача сводится теперь к вычислению интеграла (4.16)
с помощью каких-либо приближенных методов. Ограни-
чимся описанием двух методов, пригодных для этой
цели.
1-й метод. Разобьем ось <п на интервалы Аю (они
могут быть и неравные) и для каждой точки деления
найдем ординату Р*((Пу). Заметим, что Р* (и) всегда стя-
гивается к нулю при in—>оо. Обычно достаточно брать
17*
260 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
не весь диапазон изменения <п. Абсциссу (о0, после
которой все P*<O,1jPo> считают граничной (фиг. 135).
Интегрирование будем производить от нуля до (о0
по всем интервалам Дау.
2 С 2 С
X (t) = — \ Р* COS (D^(D + - \ Pl COS (i)Z с?(1) + . . .
О u>i
+ ~ Рп cos о)£ с?(о. (4.17)
«п-1
Поэтому
2
х ~ ~0t (S*n — sin 0'0 + ^2 (sin — sin 4-
+ P*3 (sin <n3Z — sin <o2Z) 4- Pl (sin o>4« — sin <o3Z) Ц- ...
.. • + Pn (sin <Dn« - sin <!)„_!«)].
Приводя подобные члены, получим:
® (0 = КР? - Pl) sin <1^ + (P*2 - Pl) sin <o2« +
+ (Рз — Pl) Sin <D3Z 4- (Pl — Pl) sin <d4« 4- ...
... 4-(^n-i — Pn) sin 4- Pl sin <on«].
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 261
При использовании этого метода для построения про-
цесса пользуются лишь таблицами тригонометрических
функций, но зато приходится для построения одной точки
подсчитывать большое число (иногда до 30 — 40) слага-
емых, чтобы достаточно точно отобразить ступенчатой
функцией функцию ,Р*(а)). Можно значительно сократить
число слагаемых, если заменить кривую Р*(т) не ступен-
чатой, а ломаной прямой с наклонными участками.
2-й метод. Заменим кривую Р*(т) ломаной прямой,
достаточно хорошо описывающей кривую (например, лома-
ная chbfe на фиг. 136, а). Спроектируем точки излома
с, Л, Ь, /, е и т. д. на оси ординат. Звенья ломаной
и проектирующие прямые, параллельные оси абсцисс,
образуют тогда трапеции и треугольники, одна из сто-
рон которых лежит на оси ординат. Площадь между
ломаной прямой и осью абсцисс может быть получена
суммированием с учетом знаков площадей указанных
трапеций и треугольников. Так, например, площадь,
ограниченная ломаной chbfe с учетом знаков, показан-
ных на фиг. 136, а, можно получить, отняв от площади
трапеции abfg площадь трапеции dgfe и треугольника
ahc. Разумеется, площади эти не изменятся, если сме-
стить трапеции и треугольники так, чтобы одна их вер-
шина была расположена в начале координат, одна из сто-
рон располагалась вдоль оси абсцисс, а вторая из сто-
рон—вдоль оси ординат (фиг. 136, б).
В связи с изложенным интеграл от Р*(а)) может быть
приближенно заменен интегралом от ломаной, построенной
так, чтобы она достаточно точно описывала кривую Р* (о),
а этот интеграл, в свою очередь, можно заменить суммой
или разностью интегралов от кривых, ограничивающих тра-
пеции или треугольники, у которых вершина лежит
в начале координат, а стороны расположены — одна вдоль
оси абсцисс, а вторая —вдоль оси ординат.
Так, в случае фиг. 136, б
Р*((о)со8 (о/ (chbfe)cos o)Z day = (/ \gahf) cos o)Z dm —
о J
(z 44 dgfe) cos’cdZ dm — \ (Д ach) cos mt dm.
^62 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Здесь под знаком интегралов в скобках условно указана
ломаная прямая (фиг. 136, а), уравнение которой и соот-
ветствующие пределы интегрирования должны быть под-
ставлены в интеграл.
Фиг. 136.
Треугольники с вершиной в начале координат и сто-
ронами, расположенными на осях координат, можно рас-
сматривать как частные случаи трапеций, у ^которых
верхние основания равны нулю.
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 263
Задача сводится к вычислению интегралов для тра-
пеций. Обозначим К (о) уравнение кривой, ограничива-
ющей одну из указанных трапеций.
Тогда в силу изложенного выше
j=n оо
#(i)^2 к. (w) cosatf do), (4.18)
3=1 о
где суммирование ведется по всем трапециям. Вычислим
интеграл
оо
ку ((d) COS (Di C?(D
О
для одной трапеции.
Рассмотрим трапецию BCDE (фиг. 137).
Интегрирование нужно будет произвести по двум
прямым: прямой CD при изменении о) от нуля до и
прямой DE при изменении о) от о)а до (Db.
Уравнение первой прямой к ((d) = г = const. Найдем
уравнение второй прямой DE.
Из треугольников АВЕ и DEF имеем:
R г
й)^ -j- Д^ 2Д^
264 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
откуда о_г(Ш1 + Д1) 2ДХ ’
где л _ ^Ъ — ^д 1Л _ <»b + »g а1 2 ’ “1 2
Таким образом, уравнение DE
М“)- 2Д1Щ+ Чд,
ИЛИ >-(0’) = -2Л7(0)1 + Д1-(В)>
для значений (1) (ох — Дх <; о) (1)х 4- Дг
Вычислим интеграл:
о
coi—Д1
tot dto = r cos о/ c?u) 4-
b
(014-Д1
2д \ \Ш1 Ч” ш7 wo сгш
ш1—Д1
(О14-Д1
\ cos (otdu — tfr
J Zj/a __
coj—Д1 coi—Д1
<О1~Д1
= Г COS ID z (Z(D +
О
и>14-Д1
2Д
r . , |Ш1-Д1
= — Sin U)£
t 0
r / i A \ • j. Ш1 + Д1
jr-г—(ок 4-Д-) sin (i)Z —
2Д1£ v 1 ‘ 17 Н>1-Д1
r f 1 (О . \ |0>1+Д1
7Г7— ( -о COS (1)Z Ч---Sin (OZ =
2Д1 k t2 1 t )
= - 2^72 [cos («! + дх) t - cos («>! - Д,) /] =
= a^Srsina,iisin2V-
Ho ra)1 = A — площадь трапеции.
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 265
Поэтому
оо
Г \ / \ 7 A SIH Sill /Г А
X((D)cos(nidu) = ----yy- . (4.19)
0 1
Напомним (см. фиг. 137), что в (4.19)
<«1- g ’ а 1" 2 '
Подставляя (4.19) в (4.18), получим окончательно:
<4-20>
Суммирование в (4.20) производится по всем трапециям.
Для удобства проведения расчетов процессов по этой
формуле в справочной таблице, помещенной в конце
у SIB Я?
книги*), приведены значения функции—^— .
Подытожим теперь сказанное в этом параграфе, пере-
числив последовательность действий, которые должны быть
произведены для построения процесса изменения во времени
координаты х системы под действием исчезающего воз-
действия /(/) (т. е. обладающего свойством lim/(Z) = 0).
t-*co
Для построения процесса необходимо:
1. Вычислить частотную характеристику замкнутой
системы от точки приложения возмущения f(t) к коор-
динате Xj = X.
2. Вычислить комплексный спектр (т. е. преобразо-
вание Фурье) действующего возмущения /(£).
3. Составить произведение комплексных функций, най-
денных в пп. 1 и 2, и отделить в этом произведении
действительную часть
4. Вычертить график функции скалярного аргумента
Р* (ш) и заменить ее ломаной прямой линией.
5. Спроектировать точки излома этой ломаной прямой
на ось ординат и построить трапеции (в частном случае
*) См, Приложение 2 (стр. 395).
266 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
треугольники), вершина которых лежит в начале коор-
динат, а две стороны—вдоль осей координат, сумма или
разность площадей которых равна площади, ограни-
ченной ломаной с учетом знаков.
6. По формуле (4.20) подсчитать с помощью таблиц,
приведенных в приложении, точки процесса для разных
значений t.
в) Построение процесса в случае неисче-
зающего возмущения. Рассмотрим теперь случай,
когда на систему действует неисчезающее возмущение
т. е. такое, что lim lf(t) = A=£O.
/—>оо
Составим функцию ср(1) = 1 f(t) — А-1. Эта функция
уже исчезающая, так как для нее lim ср (г) = 0.
/->со
Заметим теперь, что 2/(г) = <р(г)-|-Л-Z.
Следовательно, любое неисчезающее возмущение может
быть представлено суммой исчезающего возмущения ср (Z)
и функции А-1. В силу свойства суперпозиции*) про-
цесс, вызванный возмущением !•/(/), можно построить,
сложив ординаты процесса, вызванного исчезающим воз-
мущением ср (/), и ординаты процесса, вызванного единич-
ной функцией 1, увеличенные предварительно в А раз.
Построение процесса, вызванного исчезающим возмуще-
нием, было описано выше. Следовательно, для построения
процесса, вызванного любым неисчезающим возмущением,
осталось выяснить метод построения процесса, вызван-
ного единичным возмущением.
На основании (4.9) можем написать:
Ф* (io) = Ф (Йо) Ф, (<) (io) = ,
так как в данном случае
ф/(о(1Ш) = ^> а Ф(г®) = Р(<о)4-1'С(Ш)-
Непосредственно использовать эти соотношения в ра-
венствах (4.16) и (4.17) нельзя, так как полученная
*) Так как рассматриваются только линейные системы.
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 267
для единичного воздействия функция Ф^(го)) стремится
К ОО При 0) —> 0.
Введем поэтому в рассмотрение функцию
= ф(г'ш)~—, (4.21)
где, как и ранее,
P(u))==ReO(i(n),
a jP(O), равное значению при а) = 0, разумеется,—
постоянная.
Если бы можно было применять формулу (4.16) в рассма-
триваемом случае, то в результате подстановки в нее
P*(a)) = Re Ф?(^)
мы получили бы искомую функцию x(t). Если же теперь
проделать то же самое с функцией Ф (iw) (а это уже
допустимо, так как эта функция ограничена), то в ре-
зультате получим не #(Z), а другую функцию x(t), отли-
чающуюся от x(t) на функцию Р(0)-1:
x(t) = x{t) — Р (0)-1.
Действительно, спектр постоянной jP(O) равен ..
Обозначим:
Р(й>) = Re Ф7?(й) = ^,
= ImФ(&Г) = Р(0)~Р(и>) .
Подставляя это в равенства (4.17) и (4.16) взамен jP*(u>)
и Q* (о)) и учтя, что
при t > 0 получим:
®(<) = «(Z) + P(O)-=-J (4.22)
о
268 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
И
х (<) = X(t) + Р (0) = Р (0) +cos (Di d<D. (4.23)
О
Итак, при действии на систему единичного возмуще-
ния переходный процесс может быть выражен интегра-
лом (4.22), где Р (<и) — действительная часть частотной
характеристики рассматриваемой замкнутой системы
от точки приложения единичного воздействия до коорди-
наты х. В отличие от функции P*(w), использованной
при построении процесса, вызванного исчезающим возму-
щением, функция определяется только свойствами
системы и не включает в себя спектр воздействия.
Для вычисления этого интеграла построим график
действительной частотной характеристики Р(^} и произ-
ведем замену Р (ш) алгебраической суммой нескольких
трапеций, имеющих вершину в начале координат и две
стороны, совпадающие с осями координат:
k
Р((й) = 2 ХДш), (4.24)
/=1
совершенно так же, как это делалось выше при изло-
жении второго метода построения процесса при исчеза-
ющем возмущении.
Подставляя (4.24) в (4.22), получаем:
= (4.25)
О
где суммирование ведется по всем трапециям.
Рассмотрим теперь подробнее одну из трапеций (фиг. 136)
и соответствующий ей интеграл в сумме (4.25)
(4-26)
О
Трапеция полностью определяется тремя числами:
т0, (о0 и х=— (фиг._138).
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 269
Значение интегралов (4.26) можно протабулировать
и по таблицам сразу определить значения интеграла
(4.25) для любого t.
Такие таблицы были бы неудобны, так как зависели бы
для каждого t от трех параметров: т0, w0 и х.
В связи с этим вводят в рассмотрение единичную тра-
пецию, имеющую tq — 1 и % = 1 (фиг. 139). Обозначим
такую единичную трапецию и введем обозначение
Я J 1 (О
О
(4.27)
270 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Таблица
\ % «\ 0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45
0,0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,0000,000 0,000
0,5 0,158 0,166 0,175 0,182 0,356 0,190 0,197 0,205 0,213 0,221 0,228
1,0 0,310 0,325 0,341 0,371 0,386 0,402 0,417 0,432 0,447
1,5 0,449 0,471 0,493 0,515 0,655 0,537 0,682 0,559 0,580 0,601 0,622 0,642
2,0 0,571 0,600 0,628 0,709 0,733 0,761 0,785 0,810
2,5 0,673 0,706 0,739 0,771 0,802 0,832 0,861 0,889 0,916 0,941
3,0 3,5 0,755 0,792 0,828 0,863 0,895 0,928 0,958 0,986 1,013'1,038 1,076,1,097
0,814 0,854 0,892 0,929 0,963 0,995 1,024 1,051
4,0 0,856 0,898 0,937 0,974 1,008 1,038 1,066 1,090 1,1101,127
4,5 0,882 0,924 0,964 1,000 1,032 1,060 1,084 1,104 1,120 1,131
5,0 0,895 0,939 0,977 1,012 1,042 1,067 1,087 1,102 1,093 1,1121,117
5,5 0,901 0,944 0,982 1,015 1,042 1,063 1,079 1,092! 1,091
6,0 0,903 0,945 0,981 1,013 1,037 1,054 1,065 1,069 1,0681,062
6,5 0,903 0,945 0,979 1,009 1,030 1,044 1,050 1,050 1,044 1,030
7,0 0,904 0,945 0,978 1,006 1,024 1,034 1,037 1,033 1,023 1,009
7,5 0,906 0,948 0,979 1,005 1,021 1,027 1,027 1,020 1,007 0,991
8,0 0,911 0,951 0,983 1,007 1,020 1,024 1,021 1,011 0,998 0,982
8,5 0,917 0,959 0,989 1,011 1,022 1,024 1,018 1,007 0,993 0,978
9,0 0,925 0,966 0,996 1,016 1,025 1,025 1,017 1,006 0,992'0,978
9,5 0,932 0,973 1,003 1,009 1,021 1,028 1,026 1,018 1,005 0,9930,982
10,0 0,939 0,980 1,025 1,030 1,027 1,018 1,005 0,994 0,985
10,5 0,944 0,985 1,013 1,028 1,031 1,026 1,016 1,004 0,994 0,988
11,0 0,947 0,988 1,015 1,028 1,030 1,024 1,020 1,013 1,002 0,993 0,990
11,5 0,949 0,989 1,015 1,027 1,028 1,009 0,998 0,99210,991
12,0 0,950 0,990 1,015 1,025 1,024 1,015 1,004 0,994 0,989 0,990
12,5 0,950 0,990 1,013 1,022 1,019 1,009 0,998 0,988 0,986|0,989
13,0 0,950 0,989 1,012 1,019 1,015 1,004 0,993 0,986 0,9840,989
13,5 0,950 0,989 1,011 1,016 1,011 1,000 0,990 0,983 0,984 0,989
14,0 0,951 0,990 1,010 1,015 1,008 0,997 0,987 0,983 0,985 0,991
14,5 0,953 0,991 1,011 1,014 1,006 0,995 0,986 0,984 0,987 0,994
15,0 0,956 0,993 1,012 1,014 1,006 0,995 0,987 0,986 0,991 0,998
15,5 0,958 0,996 1,013 1,014 1,006 0,995 0,989 0,989 0,995 1,003
16,0 0,961 0,998 1,015 1,014 1,006 0,995 0,990 0,992 0,999 1,007
16,5 0,963 1,000 1,016 1,015 1,005 0,996 0,992 0,995 1,003 1,010
17,0 0,965 1,001 1,016 1,014 1,005 0,996 0,993 0,998 1,006 1,011
17,5 0,966 1,002 1,016 1,013 1,003 0,995 0,994 0,998 1,007 1,011
18,0 0,966 1,002 1,015 1,012 1,002 0,994 0,994 1,000 1,007 1,010
18,5 0,966 1,002 1,014 1,010 1,000 0,993 0,994 1,001 1,0071,008
19,0 0,966 1,002 1,013 1,008 0,998 0,992 0,994 1,001 1,006 1,006
19,5 0,967 1,001 1,012 1,006 0,996 0,991 0,994 1,001 1,005 1,003
20,0 0,967 1,001 1,011 1,004 0,995 0,991 0,994 1,001 1,004 1,001
§ 4] ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 271
д-функций
Таблица XIII
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
0,000 0,236 0,461 0,662 0,831 0,963 1,061 1,116 1,141 1,138 1,117 1,086 1,051 1,018 0,922 0,975 0,966 0,964 0,968 0,975 0,982 0,988 0,993 0,996 0,997 0,997 0,997 0,998 0,999 1,002 1,005 1,008 1,010 1,012 1,012 1,010 1,008 1,004 1,001 0,997 0,995 0,000 0,244 0,476 0,682 0,856 0,988 1,081 1,133 1,151 1,141 1,114 1,076 1,036 1,001 0,975 0,958 0,952 0,954 0,962 0,973 0,984 0,994 1,001 1,006 1,007 1,007 1,006 1,005 1,005 1,005 1,006 1,007 1,008 1,008 1,007 1,004 1,001 0,998 0,995 0,992 0,991 0,000 0,252 0,491 0,701 0,878 1,010 1,100 1,147 1,158 1,141 1,107 1,064 1,020 0,983 0,957 0,943 0,941 0,948 0,961 0,977 0,993 1,005 1,014 1,018 1,018 1,015 1,012 1,008 1,005 1,002 1,002 1,001 1,001 1,001 1,000 0,998 0,997 0,994 0,993 0,992 0,992 0,000 0,256 0,505 0,720 0,899 1,030 1,116 1,157 1,162 1,138 1,097 1,048 1,001 0,965 0,941 0,931 0,934 0,947 0,967 0,987 1,006 1,019 1,027 1,029 1,026 1,020 1,012 1,004 0,998 0,994 0,993 0,992 0,994 0,995 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997 0,997 0,998 0,000 0,265 0,51$ 0,741 0,919 1,048 1,131 1,165 1,163 1,131 1,084 1,031 0,984 0,948 0,927 0,923 0,932 0,952 0,976 1,000 1,020 1,033 1,039 1,036 1,029 1,017 1,005 0,994 0,987 0,983 0,983 0,985 0,990 0,995 0,999 1,002 1,004 1,005 1,004 1,003 1,003 0,000 0,275 0,534 0,757 0,938 1,066 1,143 1,171 1,161 1,122 1,069 1,014 0,966 0,933 0,917 0,919 0,936 0,961 0,990 1,016 1,036 1,046 1,047 1,038 1,025 1,009 0,993 0,982 0,975 0,974 0,977 0,984 0,993 1,001 1,008 1,012 1,014 1,012 1,009 1,005 1,001 0,000 0,283 0,548 0,775 0,957 1,082 1,154 1,174 1,156 1,111 1,053 0,996 0,949 0,920 0,911 0,920 0,944 0,975 1,006 1,032 1,049 1,054 1,048 1,034 1,015 0,996 0,979 0,968 0,965 0,969 0,978 0,990 1,003 1,014 1,021 1,022 1,020 1,014 1,006 0,998 0,991 0,000 0,294 0,561 0,792 0,974 1,096 1,162 1,175 1,150 1,098 1,036 0,978 0,934 0,911 0,909 0,926 0,955 0,991 1,023 1,047 1,059 1,057 1,044 1,024 1,000 0,979 0,965 0,958 0,961 0,972 0,987 1,003 1,018 1,027 1,030 1,027 1,019 1,007 0,995 0,985 0,980 0,000 0,299 0,575 0,810 0,991 1,109 1,169 1,174 1,141 1,083 1,019 0,963 0,922 0,906 0,911 0,935 0,970 1,008 1,038 1,058 1,063 1,054 1,034 1,010 0,985 0,965 0,955 0,955 0,965 0,982 1,001 1,019 1,031 1,035 1,032 1,022 1,008 0,994 0,981 0,974 0,972 !о,ооо 0,305 0,590 0,827 1,008 1,121 1,174 1,175 1,132 1,069 1,003 0,948 0,914 0,904 0,917 0,946 0,987 1,024 1,051 1,065 1,062 1,046 1,021 0,994 0,970 0,955 0,952 0,960 0,976 0,997 1,018 1,032 1,040 1,037 1,026 1,011 0,993 0,979 0,970 0,969 0,975 0,000 0,313 0,602 0,842 1,022 1,131 1,177 1,166 1,119 1,053 0,987 0,936 0,907 0,906 0,926 0,962 1,002 1,037 1,060 1,066 1,056 1,033 1,005 0,978 0,958 0,950 0,955 0,970 0,991 1,013 1,032 1,039 1,039 1,028 1,012 0,994 0,978 0,969 0,967 0,973 0,986
272 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
0,0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40
t
0,45
20,5 0,967 1,002 1,010 1,003 0,994 0,991 0,995 1,001 1,003 1,000
21,0 0,968 1,002 1,010 1,003 0,994 0,991 0,996 1,002 1,003 0,999
21,5 0,970 1,003 1,010 1,002 0,994 0,993 0,998 1,003 1,003 0,998
22,0 0,971 1,004 1,011 1,002 0,994 0,994 1,000 1,004 1,004 0,998
22,5 0,972 1,005 1,011 1,002 0,995 0,996 1,002 1,006 1,004 0,998
23,0 0,973 1,006 1,011 1,002 0,995 0,997 1,003 1,006 1,004 0,998
23,5 0,974 1,006 1,011 1,002 0,995 0,998 1,004 1,006 1,003 0,998
24,0 0,975 1,006 1,010 1,001 0,995 0,998 1,005 1,006 1,002 0,998
24,5 0,975 1,006 1,009 1,000 0,995 0,999 1,004 1,005 1,000 0,997
25,0 0,975 1,006 1,008 0,999 0,995 0,999 1,004 1,004 0,999 0,996
25,5 0,975 1,006 1,007 0,998 0,994 0,999 1,004 1,002 0,997 0,996
26,0 0,975 1,005 1,006 0,997 0,994 0,999 1,003 1,001 0,996 0,996
Интеграл (4.27) для каждого t зависит от одного
параметра х и значения его легко протабулировать.
Выполнив в равенстве (4.27) операцию интегрирования,
получим:
h (0 = f {Si (xz)4- ГА_ [ Si(z)- Si (xz) + -c-^-s-f~cosxt] },
где
z
o. Г sin z ,
Siz= \-----az.
J 2
о
Значения функции A(Z) приведены в таблице XIII.
В ней приведены значения Л(/) для х от 0,00 до 1,00 и
для t от 0,0 и до 12,0*).
Обозначим h(t) значение интеграла (4.26) для иссле-
дуемых трапеций (для которых не выполняются равен-
ства т0 = 1, о>0 = 1).
Если рассматривать единичную трапецию с тем же
значением х, которое имеет заданная трапеция т (со), то
*) Значительно более полная таблица функций h(t) содер-
жится в книге: В. В. Солодовников, Ю. И. Топчеев,
Г. В. Крутикова, Частотный метод построения переходных
процессов с приложением таблиц и номограмм, Гостехиздат, 1955 г.
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
273
Продолжение табл. XIII
0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00
0,994 0,991 0,994 1,000 1,002 0,998 0,987 0,978 0,977 0,987 1,001
0,993 0,992 0,996 1,001 1,002 0,996 0,986 0,982 0,987 1,001 1,015
0,994 0,994 0,999 1,004 1,002 0,995 0,988 0,988 0,998 1,014 1,025
0,995 0,997 1,002 1,005 1,002 0,995 0,992 0,997 1,010 1,024 1,029
0,996 1,000 1,005 1,007 1,002 0,996 0,996 1,005 1,019 1,028 1,028
0,997 1,002 1,007 1,007 1,002 0,997 1,001 1,011 1,022 1,025 1,016
0,999 1,003 1,008 1,006 1,001 0,999 1,004 1,015 1,021 1,016 1,003
0,999 1,004 1,007 1,004 0,999. 0,999 1,007 1,015 1,016 1,006 0,990
0,999 1,004 1,006 1,002 0,997 0,999 1,007 1,012 1,007 0,993 0,980
1,000 1,004 1,004 0,999 0,996 1,000 1,007 1,008 0,998 0,984 0,975
1,000 1,003 1,001 0,996 0,995 1,000 1,005 1,001 0,989 0,978 0,977
1,000 1,002 0,999 0,995 0,995 1,000 1,002 0,996 0,984 0,978 0,984
h(t) и h(t) связаны соотношением
ЦГ) = тоЛ(ц)о0. (4.28)
Произведение o)oZ безразмерное. Соответственно в таб-
лице XIII в графе t указано безразмерное время. Для
(о0 = 1 оно численно совпадает с t в секундах.
Соотношение (4.28) позволяет определить значение h (Z)
для любого момента t по таблицам, построенным для еди-
ничной трапеции.
В соответствии с (4.25) искомый переходный процесс
может быть найден по формуле x(t) = 2 гДе сумми-
рование производится по всем трапециям.
г) Построение действительной частотной
характеристики Р(®>)- При практическом использо-
вании описанных методов построения процесса регулиро-
вания наибольшее время отнимает построение действи-
тельной частотной характеристики Р(^) для рассматри-
ваемой системы. Если при анализе устойчивости было
построено //-разбиение по общему коэффициенту усиления
разомкнутой системы, то это построение может быть
использовано для существенного упрощения построения
действительной характеристики Р(со).
18 м. А. Айзерман
274 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Пусть передаточная функция от места приложения
возмущения до рассматриваемой координаты имеет вид
ф (п) =----.
W D (/>)+• KR (р)
где К — общий коэффициент усиления разомкнутой цепи.
Разделив числитель и знаменатель Ф (/ш) на R (/со), по-
лучим:
(4.29)
L (tco)
ф (io)) =____
В (IO)) +
Знаменатель Ф(/>) совпадает с
стического уравнения системы. Следовательно, граница
D-разбиения по К:
К = S (/со) =
левой частью характери-
D (io)
Д(го))
Введя это обозначение в Ф (Ла), находим:
' S — К '
Дополним теперь график, на котором нанесена граница
D-разбиения по К (т. е. годограф вектора 5 (/w)), годо-
графом вектора — . Тогда Ф (гЪ) определяется отно-
шением векторов — и S(iv) — К, взятых для оди-
наковых значений w, а действительная характеристика
Р((о) равна
Р (<*>) = cos(?1-?2),
где А и В — модули, а и <р2- аргументы векторов
и (гЪ) — К и “ для одинаковых ш. Начало вектора
S (Zin) — К лежит в точке и = К, а конец в точке годо-
графа 5 (fw) для соответствующего значения со. В том
случае, когда S (iw) уже построена при анализе устой-
чивости, вычисление Р (w) сводится к дополнительному
§ 4]
ПОСТРОЕНИЕ ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
275
построению по точкам годографа — , что обычно не
сложно, так как степени L(p) и R (р) невысоки. В теории
следящих систем и в некоторых задачах теории автома-
тического регулирования воздействия приложены так, что
,передаточная функция замкнутой системы
1 + W(p) •
где W (р) — передаточная функция разомкнутой системы.
В этом случае
ф = —S(iv) + K •
Если из какой-либо точки годографа S (im) провести
вектор к точке а, где и = К (фиг. 140), то вектор этот
определит знаменатель в (4.29).
Поэтому
\ Оа ас
Р((п.) = -=-СО8(рз=-=г .
3 ab ab
В этом частном случае вещественная частотная харак-
теристика Р(о>) может быть построена сразу, зная границу
D-разбиения по А? Для этого из начала координат опу-
скают перпендикуляр на вектор ab, соответствующий
какой-либо частоте и берут отношение отрезка ас,
отсекаемого на векторе аб, к величине этого вектора
(фиг. 140).
18*
счета
D (iu>)
рода разомкнутой системы*).
276 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ^РЕГУЛИРОВАНИЯПгл.'ГУ
Произведя это построение для различных частот, можно
построить по точкам всю действительную частотную ха-
рактеристику.
Совершенно аналогично легко установить способ под-
Р ((d) по амплитудно-фазовой характеристике первого
К (Ы)
и второго
r D (ко)
§ 5. Общие сведения о косвенных оценках
процесса регулирования. Степень устойчивости
Любой из описанных выше приемов позволяет с боль-
шей или меньшей затратой времени и труда построить
процесс регулирования при заданном возмущении и при
фиксированных значениях всех параметров. Приемы
построения процесса, не связанные с вычислением корней
характеристического уравнения, дают несколько большую
возможность выяснить, как влияют параметры уста-
новки на протекание процесса, чем приемы, связанные
с вычислением этих корней, но в любом случае выясне-
ние зависимости процессов от изменения параметров
является задачей сложной и кропотливой. Технические же
условия на проектирование регуляторов обычно задают
жесткие требования на характер процесса, и задача кон-
струирования, наладки и настройки приборов состоит
в том, чтобы эти требования удовлетворить. В таких слу-
чаях построение процесса используют только как прове-
рочный метод, а выбор параметров производят по тем
или иным косвенным оценкам. Ограничимся далее рас-
смотрением оценок переходных процессов, т. е. будем
считать возмущение единичной функцией. В теории авто-
матического регулирования используются три типа косвен-
ных оценок переходного процесса: оценки, связанные с рас-
пределением нулей (или нулей и полюсов) передаточной
функции Ф (/?), интегральные оценки и оценки процесса
по протеканию частотных характеристик системы.
Среди оценок, связанных с распределением нулей
и полюсов передаточной функции, наиболее простой и наи-
*) В книге, указанной в сноске на стр. 272, описан иной
метод построения Р (w) по амплитудно-фазовым характеристикам
разомкнутой системы.
§ 5] СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ 277
более распространенной является оценка процесса по рас-
стоянию в плоскости корней от мнимой оси до ближай-
шего к ней корня. Это расстояние получило наименование
«степень устойчивости».
а) Понятие о степени устойчивости. Вер-
немся к формуле, определяющей процесс регулирования
через корни характеристического уравнения
fc=i fe=l
где pk — корень характеристического уравнения.
В этой сумме доминирующее значение имеют те сла-
гаемые, у которых мала действительная часть корня
pk = — ak ± т. ё. доминирующее значение имеют те
корни, которые ближе расположены к мнимой оси.
Если постоянная времени объекта несоизмеримо больше
постоянных времени регулятора, то часто один или два
корня характеристического уравнения расположены зна-
чительно ближе к мнимой оси, чем остальные корни.
В таких случаях можно оценить ^переходный процесс
по расстоянию от мнимой оси до ближайшего к ней корня,
т. е. по степени устойчивости. Разумеется, система при
этом предполагается устойчивой.
Обозначим степень устойчивости величиной 80.
Степень устойчивости называется апериодической, если
ближайший корень к мнимой оси —действительный. Сте-
пень устойчивости называется колебательной, если бли-
жайший корень к мнимой оси —комплексный. Если сте-
пень устойчивости апериодическая, то доминирующее зна-
чение будет иметь экспонента, определяемая этим корнем.
Быстрота затухания переходного процесса в общих чертах
будет определяться этой экспонентой.
Если степень устойчивости колебательная, то в общих
чертах процесс характеризуется затухающей синусоидой,
огибающая которой имеет уравнение
х =
Поэтому значение Во является иногда косвенной мерой
быстроты затухания процесса.
278 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
б) Определение величины степени устой-
чивости 80 по критерию Раута —Гу рвица.
Пусть дано характеристическое уравнение системы
Рп + + а2рп~* + ... + ап_гр + ап = 0.
Сведем это уравнение к более простому, произведя за-
мену переменной
Тогда
/ (к) = к” + Л.к^ + + ... + Лп^к +1 = 0,
где
Сдвинем мнимую ось влево так, чтобы она прошла
через первый, ближайший к ней корень. Для этого про-
изведем подстановку k = z —80:
/(2-8о) = (2-8оГ + Л1(и-8оГ1 +
4- (z - 8О)П-2 + ... 4- Лп_г (z - 80) 4-1 - 0.
Раскрыв скобки и произведя приведение подобных чле-
нов, получим:
/(z) = zn + В^ + Bj™ + ... + B^z + Вп^о,
где
D _ 1
h (п — к)\ L dzn-k _]z——60*
При 80 = 0 все корни уравнения / (z) = 0 расположены
слева от мнимой оси, так как /(z) совпадает при этом
с /(к), а система по условию устойчива. Поэтому все
определители Гурвица Др Д2, ..., Дп, составленные из
коэффициентов уравнения /(z) при 80 = 0, положительны.
Будем теперь увеличивать 80 до тех пор, пока один из
определителей Гурвица впервые не обратится в нуль.
Найденное значение 80 и будет равно искомой степени
устойчивости. С ростом 80 первым всегда обращается
в нуль старший определитель Дп. Но Дп = Вп Дп_х и об-
ращение Дп в нуль может иметь место за счет того, что
§ 5]
СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ
279
Вп~ 0, либо за счет того, что ^^ = 0. Степень устой-
чивости апериодическая, если при этом Вп = 0, и
колебательная, если Дп_х = 0. Из этих рассуждений вы-
текает следующий простой способ определения степени
Фиг. 141.
устойчивости. Построим кривые 5п(80) и \_!(80) и найдем
точку, соответствующую наиболее близкому к началу
координат пересечению одной из этих кривых оси 80
(фиг. 141). Эта точка определяет 80, равное степени устой-
чивости. Степень устойчивости апериодическая в том слу-
чае, когда (фиг. 141, а) эта точка принадлежит кривой
5п(80), и она колебательная, когда (фиг. 141,6) точка
принадлежит кривой An_i(80).
280 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
в) Определение степени устойчивости по
критерию Михайлова. Для определения степени
устойчивости можно пользоваться любым критерием устой-
чивости. Выше был рассмотрен метод определения степени
устойчивости, основанный
на использовании крите-
рия Раута —Гурвица. Оп-
ределим теперь степень
устойчивости с помощью
критерия Михайлова.
Пусть характеристиче-
ское уравнение исследуе-
мой системы сведено к
zn + 51zn'14-S2zn-2+...
• • • +Bn-lZ+ Bn = Q-
Вычертим для него годо-
граф Михайлова, приняв
сначала Зо = О. В этом случае, по условию, система устой-
чива. Будем изменять параметр 80, давая ему различные
значения, и строить для каждого из них соответствующий
годограф Михайлова (фиг. 142). Эту операцию будем про-
Фиг. 143.
должать до тех пор, пока при некотором 30 годограф впер-
вые не пройдет через начало координат. Это значение оо
равно искомой степени устойчивости. Через начало коорди-
нат годограф Михайлова может проходить различно.
Возможны два случая (фиг. 143, а и б).
§ 5] СТЕПЕНЬ УСТОЙЧИВОСТИ 281
В первом случае будет иметь место колебательная
степень устойчивости, причем по отметке точки (п01 нахо-
дится сразу мнимая часть корня, попадающего на мни-
мую ось. Во втором случае будет апериодическая степень
устойчивости, так как в этом случае свободный член
обращается в нуль: Вп = 0.
Для определения степени устойчивости необходимо
строить лишь небольшую часть кривой Михайлова, рас-
полагающуюся около начала координат.
Удобство использования степени устойчивости в ка-
честве косвенной оценки процесса состоит в том, что в пло-
скости любого одного или двух линейно входящих в ха-
рактеристическое уравнение параметров легко построить
кривые, определяющие линии, соответствующие равной
степени устойчивости. Для этого надо лишь задаться зна-
чением 80 и построить затем границу области устойчивости,
например, с помощью обычного построения D-разбиения
для уравнения / (z) — 0. Таким образом, несколько раз при-
меняя метод построения D-разбиения к уравнению / (z) = 0,
можно не только определить область устойчивости (по-
ложив для этого 80 = 0), но и разбить ее линиями равного 30.
г) Связь степени устойчивости со значе-
ниями постоянных времени звеньев одно-
контурной цепи. При рассмотрении вопросов, свя-
занных с устойчивостью одноконтурных систем (без воз-
действия по производным), было установлено, что эти
системы могут быть сделаны устойчивыми за счет выбора
параметров звеньев только при выполнении определенных
условий, касающихся структуры самой цепи: система не
может быть сделана устойчивой, если в ней имеется более
одного звена из числа астатических или неустойчивых
или если в системе содержится такое число консервативных
звеньев, при котором не выполняется неравенство п > 4г,
где п — степень характеристического уравнения, аг - число
консервативных звеньев.
Рассмотрим сначала систему, содержащую одно аста-
тическое звено и любое число одноемкостных звеньев.
Структурная схема подобной системы приведена на
фиг. 144. Характеристическое уравнение системы
р (Т1Р +1) {Tj +1) ... (Тпр + 1) + К = 0.
282 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Произведем в нем замену переменной р = z — 80. В ре-
зультате получим:
(Z - 80) (7\z + 1 - 8О7\) (T2z + 1 - 8оГ2) .. .
... (T„z4-1 — ЪоТг) + К = О.
Допустим для определенности, что1 звенья системы пере-
нумерованы по убывающим величинам постоянных времени
так, что
> т2 > т3 > ... > тп.
По мере увеличения значения 80 будет достигнуто
значение 80 = . При больших 80 по крайней мере две
скобки будут иметь отрицательный свободный член, а это
Фиг. 144.
соответствует системе, содержащей больше, чем одно не-
устойчивое звено, которая не может быть сделана устой-
чивой за счет выбора параметров. Следовательно, в рас-
сматриваемой системе степень устойчивости не может быть
. 1
больше, чем , т. е. степень устойчивости не превос-
ходит величины, обратной самой большой постоянной
времени одноемкостного звена.
Рассмотрим теперь одноконтурную систему, состоящую
только из одноемкостных звеньев. Характеристическоеz
уравнение этой системы запишется в следующем виде:
П(г.^ + 1)+^=о.
Произведем замену переменной р = z — 80:
П [Tz-Ь (1 - Т80)] + АГ = О.
j=i 3
При Во = О получаем исходное уравнение. По мере увели-
чения Во звено с наибольшей постоянной времени станет
§6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
283
неустойчивым, но наличие его уже не сможет нарушить
структурную устойчивость системы. При дальнейшем
увеличении 80 станет неустойчимым звено со второй по
величине постоянной времени.
Итак, в этом случае степень устойчивости 80 не может
быть сделана больше чем , где Т2 — вторая по вели-
чине постоянная времени в цепи одноемкостных звеньев.
В практических системах вторая по величине постоянная
времени обычно значительно меньше первой, поэтому
быстродействие системы при отсутствии астатического
звена может быть достигнуто значительно большее.
§ 6. Интегральные оценки
а) Общие сведения. Условимся в этом параграфе
отсчитывать значение координаты не от нуля, а от нового
установившегося значения.
Переходный процесс был бы идеальным, если бы
в момент возникновения единичного возмущения рассма-
триваемая координата мгновенно приобретала бы свое
новое установившееся значение и более не меняла бы его
до возникновения нового возмущения (фиг. 145). В реаль-
ных системах такое протекание процесса невозможно, но
процесс тем менее отличается от идеального, чем меньше
площадь, заключенная между кривыми истинного и идеаль-
ного процессов (заштрихована на фиг. 146). В том случае,
когда нет перерегулирования (если система статическая,
см. фиг. 147) или же когда кривая х} (i) не пересекает
вторично оси t (если система астатическая), указанная
площадь определяется интегралом
оо
Xj (t) dt.
о
(4.30)
В иных случаях этот интеграл не определяет назван-
ную площадь, так как при подсчете интеграла отдельные
площади суммируются с учетом знака ординат (фиг. 148);
так, например, в случае слабо затухающих колебаний
независимо от амплитуды интеграл был бы мал, хотя
284 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ! ОЦЕНКИ
285
площадь, характеризующая отклонение истинного про-
цесса от идеального, может при этом быть сколь угодно
большой.
В тех перечисленных выше случаях, когда интеграл
(4.30) определяет указанную площадь, он служит удоб-
ным средством для выбора параметров системы: пара-
метры выбираются так, чтобы значение интеграла было
минимальным. Разумеется, такая оценка является косвен-
ной, а такой выбор параметров — предварительным, так
как возможно самое различное протекание даже мо-
нотонных процессов при равных площадях. Несмотря
на это, применение такой оценки часто позволяет быстро
подобрать исходные параметры, проверяя правильность
их выбора последующим построением процесса.
Для вычисления интеграла (4.30) заметим, что пре-
образование Лапласа для выражения (i) по определению
равно
оо
L [Xj (£)] = С Xj (г) e~ptdt
о
и, следовательно,
\ Xj (i) dt = lim L [x- (£)].
о P-0
286 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Практическое использование такой простой оценки
затруднено тем, что только в редких случаях заранее
известно, что процесс не имеет перерегулирований или
что в астатическом случае в ходе процесса не достигается
несколько раз нулевое значение отклонения регулируемой
координаты.
Если процесс колебательный, то близость переходного
процесса к идеальному можно было бы оценить по значе-
оо
нию интеграла | (t) | dt, но значение подобного инте-
о
грала обычно трудно подсчитать. Удобнее пользоваться
оценкой процесса по значению интеграла
оо
x2(t)dt. (4.31)
о
Если выбирать параметры системы из условия минимума
этого интеграла, то переходный процесс обычно получается
чрезмерно колебательным.
Чтобы избежать получения сильно колебательных про-
цессов, было предложено выбирать параметры так, чтобы
был минимальным интеграл
оо
5 И(0+'сМ(0]^- (4.32)
о
Выбор параметров системы из условия получения мини-
мального значения этого интеграла позволяет получить
достаточно хороший переходный процесс с небольшим пере-
регулированием, а часто — монотонный процесс. Иногда
применяют еще более сложные оценки
оо
5 Iх* (0+Ф/ (*)+Ф/ (01dt
о
или в более общем виде
6
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
287
Чтобы воспользоваться интегральными оценками для рас-
чета системы, надо ответить на следующие вопросы:
1. Какой из оценок целесообразнее пользоваться при
исследовании конкретной системы автоматического регу-
лирования?
2. Как найти параметры системы, при которых выбран-
ная оценка становится минимальной?
3. Насколько будет близок переходный процесс при
выбранных таким образом параметрах к требуемому по тех-
ническим условиям процессу?
б) Выбор интегральной оценки. Ограничим-
ся интегральной оценкой
оо
Z= [x^t) + ^2(t)]dt.
О
Запишем ее в виде разности двух интегралов:
оо
[х2 (<)Н-т2а;2 (t)]dt =
о
ОО оо
= [x(t) + Tx(t)]2dt— 2т x(t)x(t)dt =
б
=± [х (t)t'x (t)]2 dt — 2г ^x(t)£dt =
6 о
оо оо
= Iх (0 + (О]2 — 2т x(t)dx.
о о
Вычислим последний интеграл:
оо
2т x(t) dx=2x х 2 } |о = -с [а;2 (со) — а:2(0)].
б
Если система устойчива, то х(со) = 0, так как за начало
отсчета х в этом параграфе принято значение жуст, которое
устанавливается при t —> со.
Тогда
Г [х2 (0 4- тФ (г)] dt = [х (t) 4- ТХ (z)]2 dt 4- та;2 (0).
о о
288 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Последнее слагаемое правой части является постоянной
величиной, определяемой начальным отклонением системы.
Исходный интеграл
[#2(0 + т2я2(0]^
о
будет иметь наименьшее значение в том случае, если
интеграл в правой части написанного выше равенства
обратится в нуль
Iх (О + хх W]2 dt = 0.
о
В связи с тем, что подинтегральное выражение всегда
положительно, это может произойти только в том случае,
если подинтегральная функция равна нулю, т. е.
[аф) + таф)]2 = 0
или
х (t) + ъх (t) = 0. (4.33)
Таким образом, исходный интеграл приобретает наи-
меньшее значение в том случае, если x(t) удовлетворяет
дифференциальному уравнению (4.33). Само же это наи-
меньшее значение Zminmin равно
Zmln mln — т^2 (0) •
Дифференциальное уравнение (4.33) определит тот пе-
реходный процесс, к которому можно предельно при-
близиться, если бы можно было выбрать параметры так,
чтобы Z=Zmin min. Процесс будет описываться экспонен-
той x(t)=Ce т.
Обычно подбирают значение т так, чтобы экспонента
_ t_
Се т с известным запасом удовлетворяла условиям, кото-
рым должен удовлетворять переходный процесс. Выбором
значения т фиксируется интегральная оценка. После этого
выбираются параметры системы так, чтобы избранная
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
289
интегральная оценка имела наименьшее значение 7min-
Разумеется, достигаемое в каждом конкретном случае
значение Zmin будет больше Zminmin> и процесс в си-
стеме будет отличаться от указанной экспоненты. Но из
всех возможных параметров выбранные параметры обеспечат
процесс, наиболее близкий к этой экспоненте.
Показано, что при минимизации простейшей квадратич-
оо
ной интегральной оценки х2 dt обеспечивается процесс,
о
наиболее близкий к
График этой функции показан на фиг. 149. Естественно
поэтому, что выбор параметров с точки зрения минимиза-
оо
ции интеграла x2dt приводит к системе с чрезмерно
о
колебательным процессом.
Пользуясь более сложными оценками, можно, минимизи-
руя их, приближаться к процессам более сложного вида,
19 м. А. Айзерман
290 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
например к процессам, составленным из нескольких
суммируемых экспонент.
с©
Перейдем теперь к вычислению значения (х2 Ц- х2х2) dt
6
через параметры системы и к выбору параметров, мини-
мизирующих этот интеграл.
в) Определение параметров системы,
минимизирующих интегральную оценку.
Дифференциальное уравнение системы сведем к виду
dnx . dn~rx . . dx . n
a0 dFT + ai + • • • + an-l dt- + M — o.
Это всегда возможно, так как мы ограничились рас-
смотрением случаев, когда процесс вызван единичным
возмущением, и за начало отсчета координаты x(t) при-
няли новое установившееся значение. При таких пред-
положениях процесс может быть описан однородным урав-
нением при соответствующих начальных условиях.
Заменим это уравнение системой дифференциальных
уравнений 1-го порядка.
Так, например, уравнение 4-го порядка
d^x . d3x . d2x . dx . n
a° ~di* + a! ~dt? a2 "di? +as~dT + °lX — 0
сводится к системе четырех уравнений 1-го порядка:
dx
лу__7
dt j
dz '
dt Г’
dr 1 / , । । \
= - — («/+^ + ^2/-+ J
Рассмотрим наиболее общий случай интегральной оценки
оо
I = V dt, где V — квадратичная форма следующего вида:
о
г=л^+л,Г^У+л.('^У+...+л„
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
291
Выберем другую квадратичную форму U так, чтобы
dt ~
ОО
Тогда интегральную оценку I = V dt можно легко вы-
0
числить.
Действительно, V dt= — dU, т. е.
I=^Vdt= ~\dU= -U\<? = -1^(о°)-^ (O)L
о о
Если система устойчива, то при t= со x = y = z=...=0
и, следовательно, С7(оо) = 0, а
1 = \Vdt = U(W),
о
т. е. для определения I надо подставить в U начальные
значения ж, у, z и т. д. при Z=0.
Задача сводится таким образом к определению функ-
ции U. Продемонстрируем метод отыскания U на примере
системы 2-го порядка. Зададимся V = Ахх2 Adx •
Уравнение системы а0 + ах + а2ж = 0 заменим систе-
« » л dx
мои двух уравнении 1-го порядка, положив — — = у,
dy
а определив из уравнения рассматриваемой системы
~dF~ [а14г + Й2а:] ~ а» У 4 Х~ йу ЬХ'
В этих обозначениях V = Ахх2 Ауу2.
Напишем в общем виде выражение для U:
и = ВХХ2 + Вхуху + ВуУ2.
19*
292 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Найдем производную от U по времени и приравняем
du __ т?
~di~~
dU _ OU dx dU dy _
dt дх dt "* ду dt
= (2Вхх + ВхуУ) + (2Вуу + Вхух) %-=- Ахх2 - Ауу2.
Подставив в полученное выражение значения производных
и из исходной системы дифференциальных урав-
нений, получим:
™-=-Ахх2-Ауу* =
= (2Вжя + Вхуу) у + (2Вуу + Вхух) ( — ау — Ьх).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
переменных в левой и правой части, получим систему
алгебраических уравнений, определяющих коэффициенты
Вх, Ву, Вху квадратичной формы U:
Вху ~~ ^у = “ Лу,
2Вх — аВху — 2ЬВу = 0.
(4.34)
Решая эту систему уравнений, находим:
Вху = -£- Ах>
5*=^Ч+(а2+ь)41-
[“Г Ас + А/] •
Если, например, я(О) = яо, = то
г=и (0) = ад=\ъ*ау++ь) лх].
Значение Вх зависит от параметров а и Ь, входящих
в исходное уравнение, и минимальное значение I по какому-
либо параметру при фиксированных значениях остальных
параметров определяется тогда по обычным правилам на-
хождения минимума функции.
§ 6J
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
293
Пример. Пусть исследуемая система описывается уравне-
нием 2-го порядка:
-§- + ^ + 3.-0.
dlr dlr
Допустим, что при £ = 0 х = 1, -^- = 0.
оо
Интегральная оценка 1= (х2 + 2х2) dt. В рассматриваемом
о
случае
х0 = 1, a = h, b = 3, Ах=1, Ay = 2.
Поэтому
'=^9-2+<3+А2)1=т-
По условию необходимо найти такое h = Amin, при котором I = Imin.
тт dl л
Для этого приравняем нулю производную -^- = 0:
из этого условия определим величину Amin:
и, следовательно,
т ___в* = I ? =153
Zmln- * 6 + 2 /Й ’5 ’
В этом же случае
min min
Следовательно, при Л = |/"21 процесс наиболее близок к экспо-
1
ненте с показателем---t, но отличен от нее.
/2
Метод определения I был продемонстрирован выше
на примере системы 2-го порядка. Совершенно аналогично
находится выражение для I через параметры системы любого
иного порядка. Затруднения при повышении порядка
уравнения возникают лишь при решении системы линейных
алгебраических уравнений, к которым сводится при
описанном методе задача подсчета Z.
294 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
г) Оценка отклонения процесса от экстре-
мального. При решении практических задач часто при-
ходится оценивать отклонение реального процесса в системе
от того, к которому, стремятся, минимизируя интегральную
оценку.
Пусть при выбранных значениях параметров системы
подсчитано значение интеграла 7min-
Кроме того, известно 7min mln — значение этой же инте-
гральной оценки, при которой переходной процесс совпадает
с экспонентой х = Се т.
Выше было показано, что величина Z = Zminmin опре-
деляется произведением квадрата начального отклоне-
ния x2q на t:
Zmin min = тао’
Рассмотрим разность этих двух интегральных оценок:
е = I min I min min-
Обозначим Дж == х — ж*, где х — изменение рассматриваемой
координаты при выбранных значениях параметров, аж* —
изменение этой же координаты при Z=Zminmin.
Подставим полученное значение ж в общее выражение
ДЛЯ Zmin-
0.
или
6
+ + <»- 5 [*" + '“ (Уг)‘] й +
о
+ П4*’+<^)Ъ+2Й№+',?^>-
о о
Можно показать, что последний интеграл равен нулю.
$ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
295
Первый интеграл равен Anin min- Следовательно,
Zmin— Anin min + j X2 4" т2 ~~dt~ y
0
Перенеся Zminmin в левую часть, получим:
е — Anin Anin min— Дж2 -} т2 ) J dt.
О
Следовательно, разность двух интегральных оценок
определяется тем же интегралом, только вместо перемен-
ных х и нужно будет поставить их приращения
и —. Для дальнейших вычислении воспользуемся из-
вестным неравенством Буняковского:
fl (О dt.
Применим его для оценки величины е. Представим вели-
чину кх2 в следующем виде:
Умножив и разделив правую часть неравенства на вели-
чину т, получим:
Так как подинтегральные функции положительны, то
неравенство только усиливается, если увеличить верхний
предел интегрирования до бесконечности:
296 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Из очевидного неравенства
2|/ab^ а -\-Ь
следует, что
о
Итак, отклонение истинного переходного процесса от
экстремального не превосходит величины :
Отклонение полученного процесса от экспоненты, к
которой необходимо было приблизить процесс выбором
параметров, оказывается тем меньше, чем больше т. По-
этому необходимо выбирать т (в пределах значений, удов-
летворяющих техническим заданиям) возможно большим.
Пример 1. В предыдущем числовом примере было получено
/min min =/2 1,41, a /min ^1 >53.
Тогда
|А . -1/1,53 — 1,41 l/M2_n9Q9
Ах НС I/ —7-71 = I/ -,—77- 0,292.
г 1,41 Г 1,41
Пример 2. Рассмотрим вновь этот же пример, но теперь
не будем определять h и т до конца выкладок, а найдем их,
исходя из наилучшего удовлетворения заданным техническим
условиям. Для этого выразим /zmin, /min и | Да? | как функции т.
Вернемся к системе дифференциальных уравнений:
^-= —hy—Зх
dt *
при старых начальных условиях:
х(0) = 1, г/(0) = 0.
Выберем интегральную оценку
со
5 Vdti
0
где У = х2-|-т2я2, или в новых переменных: V= х2 + ъ2у2.
§ 6]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ
297
В этом случае
Ах = 1, Ау = т2, х0 = 1, a = ht b = 3.
Подставляя эти
получаем:
значения
в найденные выше соотношения,
.2
В - ‘ 4- 1 В - h 4- Зт8+1
Ву 2h + 6Л ’ Вх 6 + 2Л
и, следовательно,
/=в^(о)=А+^2+1
Взяв производную
функцию т2:
dZ « ,
и приравняв ее нулю, найдем Amin как
^mln 9*с2 + 3.
Подставив Amjn в полученное выше выражение для Z, определим
в - 1
Но Zmin min = тх$ = т, так как х0 = 1; отсюда получим:
Пусть в соответствии с техническими условиями необходимо,
чтобы переходный процесс не выходил за пределы контура, за-
штрихованного на фиг. 150. Выберем экспоненту так, чтобы она
полностью укладывалась в заштрихованную область. Определив
298 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
для нее значение т, по приведенной формуле можно определить
величину отклонения | кх | переходного процесса от заданного.
Если сумма х* i | Да? | укладывается в заштрихованный на фиг. 150
контур, то величина т выбрана правильно. Если эта сумма
выходит за рамки контура, то необходимо изменить величину т
и произвести повторно вычисление ! Да? | для нового значения т.
Операцию эту необходимо будет повторять до тех пор, пока не
удовлетворим заданным техническим требованиям.
§ 7. Оценки процесса по виду частотных характеристик
В § 4 этой главы было установлено, что переходный
процесс выражается через действительную частотную
характеристику замкнутой системы Р (ш) при помощи
интеграла
= А — sin din. (4.35)
о
Из выражения (4.35) следует, что самые различные
системы имеют мало отличающиеся переходные процессы,
если их соответствующие действительные характеристики
близки друг к другу. Более подробное рассмотрение вы-
ражения (4.35) позволяет высказать некоторые предвари-
тельные соображения о характере и особенностях переход-
ного процесса (Z) по виду действительной характери-
стики P(oj) без построения самого процесса. Ниже при-
водится несколько признаков такого рода. Лишь некото-
рые из них могут быть доказаны строго; остальные по-
лучены из рассмотрения большого числа типичных при-
меров или выведены для частных, но весьма распростра-
ненных видов характеристик P(w). Поэтому использование
приводимых ниже 12 признаков требует осторожности
и проверки результатов исследования построением пере-
ходных процессов.
Рассмотрим действительную частотную характеристику
замкнутой системы. Примерный вид ее показан на
фиг. 151. Обозначим через PQ значение Р(ш) при частоте
си = 0,
т. е.
Р(О) = Ро-
§7] ОЦЕНКИ ПРОЦЕССА ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 299
Интервал частот, в котором Р (w) положительно, назы-
вается интервалом положительности, а крайняя частота
этого интервала обозначается шп.
Проведем параллельно оси абсцисс две прямые
Р=±О,1Ро (см. фиг. 135). Значение частоты ю0, после
которой кривая Р(&) не выходит за пределы участка,
ограниченного указанными прямыми, определяет пример-
но границу пропускания частот исследуемой системы, если
она статическая. Интервал частот, ограниченный часто-
той %, назовем полосой пропускания системы автомати-
ческого регулирования. На частоты, лежащие за преде-
лами полосы пропускания, система практически не реа-
гирует.
Признак 1. Значение действительной частот,ной
характеристики при ш = 0 равно значению координаты
в конце переходного процесса, т. е. Ро = гг(х).
Это свойство действительной частотной характеристи-
ки легко доказать. Из теории преобразования Лапласа
известно, что
lim pL [х (/)] = lim х (Z). (4.36)
р->0 f-^co
Кроме того, при единичном воздействии на систему
L [я (/)] = Ф (/>)£[!],
ИЛИ
L[x(Z)] = -^-.
300 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Подставив найденное значение pL [ж (Z)] в формулу
(4.36), получим:
lim pL [х (/)] = lim Ф (р) = lim х (t),
р->0 р->0 /~>оо
ИЛИ
ИтФ (р) = #(оо).
р->0
Но 1т Ф(0)^0 и, следовательно, Re Ф(0) = Р(0) = ж(оо).
В связи с изложенным у любой астатической системы
я(оо) = Р(0) = 0.
Признак 2. Для того чтобы в статической си-
стеме величина перерегулирования, выраженная в процен-
тах от статической ошибки, не превосходила 18%, т. е.
>¥Zf”.i00<18%,
жоо
достаточно (но не необходимо}), чтобы действительная
частотная характеристика представляла собой невозра-
стающую функцию частоты.
Представим интеграл (4.35) в виде суммы
n/t 2n/t
2 С Р(<о) . , 2 С Р (<») . , , ,
x(t) = — \ —sin <oZ aw 4------\ —'-i- sin wt aw 4- . ..
' 7 тс J (D к J ш
0 n/t
Если функция P (co) — всегда положительная и невозра-
стающая, то члены ряда будут убывать по величине
и знак их определится знаком sin u>Z на заданном интер-
вале интегрирования.
Из теории рядов известно, что сумма знакоперемен-
ного сходящегося ряда не может превышать по величине
значение его первого члена, т. е.
z.\ . 2 (* Р М . -
х (/) <— \ ——- sin o)Z au).
J ш
о
Неравенство только усилится, если вместо Р(^) подста-
§ 7] ОЦЕНКИ ПРОЦЕССА ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 301
вить Р(0). Тогда Р(0) можно вынести за знак интеграла
n/t
о
Последний интеграл берется подстановкой
art = у, а^ = — .
Получаем:
о
Но
? ™JLdy= 1,85.
J у v
о
Следовательно,
1,85 = —.1,85^.
V ' 1Z 1 71 1
Вычтя из обеих частей равенства Яоо, получим:
x(Z) — z(oo) < ^~1,85 —1 j Жоо,
откуда
ж(0—а?(оо).юо << А. 1 85-1 ')• 100 18%.
а; (оо) < те J
Практически действительная частотная характеристика
чаще всего пересекает ось ш. Но при использовании рас-
смотренного критерия часто можно пренебречь той частью
характеристики, которая относится к частотам, лежащим
вне полосы пропускания.
Признак 3. Для того чтобы переходный процесс
протекал монотонно, достаточно, чтобы действительная
частотная характеристика была положительной функ-
цией (о с отрицательной и убывающей по абсолютной
величине производной.
Признак 4. Процесс заведомо немонотонный и имеет-
ся перерегулирование, если не выполняется условие
| Р(<о) | < Р (0) при всех со.
302 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
Проведем параллельно оси абсцисс две прямые
Р= i ж(оо). На основании этого свойства действительных
частотных характеристик можно утверждать, что если
указанная характеристика выходит за пределы участка,
ограниченного двумя прямыми Р = ± хт, то переходный
процесс в системе автоматического регулирования не
будет монотонным. Заметим, что этот признак является
только достаточным, ибо действительная частотная харак-
теристика может не выходить за пределы указанной
области, а перерегулирование в системе может иметь место.
Признак 5. Перерегулирование в системе заведомо
имеется, т. е. процесс заведомо немонотонный, если не
выполняются неравенства
где
G (а>) = cos —-— .
1+—
ш
Признак 6. Если выполнено условие монотонности
(признак 3), то время регулирования TQ, т. е. время
достижения координатой х значения 95% х(ос), будет
заведомо больше — , т. е. Тп > —.
Из этого признака следует, что чем круче проходит
кривая Р(ш), тем больше время регулирования TQ.
Признак 7. В общем случае время регулирования
Тп заведомо больше .
0 0>п
Признак 8. Если Р (ш) можно представить как
разность двух невозрастающих функций, каждая из
которых удовлетворяет признаку 3, то перерегулирова-
ние, выраженное в процентах, будет заведомо меньше
(1,18-^-1) , т. е.
*max-*(°g). юо < < 1,18^-1 У100.
X (оо) ч Л°) 7
Признак 9. Если две системы автоматического
регулирования имеют незначительно отличающиеся дей-
ствительные частотные характеристики, то переходные
§ 7] ОЦЕНКИ ПРОЦЕССА ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ 303
процессы в этих системах отличаются мало. Разница
в переходных процессах будет тем меньше, чем при
больших частотах наступает различие в протекании
частотных характеристик. Действительно, в интеграле
оо
x(t) = — ( sin со/ dt
4 7 ТС J ш
0
благодаря наличию множителя — при малых частотах
различие в Р(со) будет больше сказываться на величине
интеграла, чем при больших частотах. Большие разли-
чия при больших частотах дают малые различия в на-
чальных участках протекания переходных процессов,
Признак 10. Пусть действительной частотной ха-
рактеристике Р(со) соответствует переходный процесс 8(/),
а действительной частотной характеристике S (ш) соответ-
ствует переходный процесс a(Z).
Тогда, если Р(псо) = 5 (со), т. е. если характери-
стики отличаются только масштабами по оси абсцисс,
то переходные процессы, соответствующие им, будут
связаны следующим равенством:
Иначе говоря, если кривые действительных частотных
характеристик Р(ш) и 5 (ш) отличаются друг от друга
растягиванием масштабов по оси частот, то переходные
процессы a(Z) и 8(Z), им соответствующие, будут отли-
чаться стягиванием масштабов по оси времени в то же
число раз. Из этого правила вытекает следующий признак:
чем более полого протекает действительная частотная
характеристика, тем более быстро заканчивается переход-
ный процесс.
Признак 11. Если в интервале положительности
0 < а) < <йи-одна действительная частотная характери-
стика проходит выше другой, т. е.
Л(“>)>Л(Ч
то переходные процессы x2(t) и x1(Z), соответствующие
п
им, протекают в интервале времени 0<Z< » так
304 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
что выполняется неравенство
(0 > (0 •
Признак 12. Если < 1,3 и ъ 1 в интер-
вале частот ш < 0,1<оп, то перерегулирование не превос-
ходит а = 30%, а время регулирования определяется не-
равенством
» 8те
0 "^7
wn
Наряду с оценками процесса по действительной час-
тотной характеристике Р(со) иногда используется так-
же оценка процесса по амплитудной характеристике
Л((о) = | РГ(гш)|:
Если амплитудная характеристика имеет высокий
и острый пик при частоте (о = ш, то переходный процесс
содержит медленно затухающие колебания частоты со.
Затухание этих колебаний тем меньше, чем острее
и выше пик. Затухание признается достаточным, если
< х. В качестве значений х рекомендуются числа
1,3; 1,5, а б некоторых случаях и 2.
Заметим, что в случае, когда характеристическое
уравнение системы имеет чисто мнимые корни ± но, т. е.
степень устойчивости равна нулю, амплитудная характе-
ристика Л(<о) имеет при <о = (о бесконечно большой пик.
Поэтому оценка процесса по высоте пика Л((о) тесно свя-
зана с оценкой процесса по степени устойчивости.
В заключение заметим, что, накапливая опытные дан-
ные по действительным частотным характеристикам и пе-
реходным процессам, им соответствующим, можно при
разработке новых систем пользоваться этим материалом,
выбирая параметры разрабатываемой системы так, чтобы
получить требуемую частотную характеристику, а следо-
вательно, и переходный процесс.
В подобных случаях выбор параметров, стабилизи-
рующих средств и т. д. производят только по характери-
стикам jP(<d) или по логарифмическим характеристикам,
а построение процесса служит лишь для целей контроля
выполненного расчета.
§ 8] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 305
§ 8. Заключительные замечания
Линейными методами нельзя, разумеется, построить
процесс регулирования или оценить его протекание, если
по техническим условиям расчет надо проводить с уче-
том больших возмущений (например, при полном сбросе
нагрузки в объекте, при резком переводе настроечного
органа из одного крайнего положения в другое и т. д.).
Применение линейных методов построения и оценки про-
цесса оправдано только в трех случаях:
а) Когда процесс регулирования описывается линей-
ными уравнениями не только при малых, но и при любых
заданных возмущениях—в этом случае использование ли-
нейных методов позволяет полностью рассчитать систему.
б) Когда хотя бы некоторые из технических условий
должны быть выполнены лишь при достаточно малых
возмущениях—в этом случае линейный анализ имеет
ограниченное значение и используется для обеспечения
части технических условий.
в) Когда по техническим условиям процесс должен
удовлетворять заданным требованиям при любых, в том
числе и при малых возмущениях,—в таких случаях необ-
ходимо прежде всего, используя линейные методы, обеспе-
чить требуемое протекание процесса при достаточно малых
возмущениях, а затем уже проверить, удовлетворяются ли
эти же требования к процессу и при больших возмущениях.
Последовательность расчета при использовании линей-
ных методов определяется главным образом тем, в какой
форме задан исходный для расчета материал: в форме
уравнений движения (передаточной функции) или же
в форме частотных характеристик.
Если исходят из уравнений движения, то удобнее
всего, начав с выбора значения степени устойчивости,
исходя из нее, предварительно подобрать параметры
системы. В ряде случаев оценка параметров по степени
устойчивости груба либо вообще неприменима (например,
тогда, когда ограничения на перерегулирования по тех-
ническим условиям не менее важны, чем ограничения на
время переходного процесса). В таких случаях для пред-
варительного выбора параметров используются инте-
гральные оценки.
И) М. А. Айзерман
306 ПОСТРОЕНИЕ И ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ [гл. IV
После выбора по этим косвенным оценкам оптималь-
ных значений параметров вычисляются корни характери-
стического уравнения и по формуле Хэвисайда подсчи-
тывается переходный процесс. Если он не удовлетворяет
техническим условиям, то надо несколько изменить зна-
чения параметров и вновь вычислить корни характери-
стического уравнения и по ним—процесс. Работа по
построению процесса при фиксированных значениях пара-
метров часто может быть облегчена использованием гра-
фического приема, описанного в § 3 этой главы. Он осо-
бенно удобен и прост при рассмотрении одноконтурных
цепей, не содержащих большого числа колебательных
звеньев и включающих иные звенья с нс слишком разня-
щимися постоянными времени.
При задании исходного для расчета материала частот-
ными характеристиками расчет начинают с предваритель-
ной оценки процесса по действительной и амплитудной
частотным характеристикам. Далее возможны два пути.
Если накоплен достаточный материал по частотным харак-
теристикам и соответствующим им переходным процессам
для аналогичных систем, то надо далее подобрать частот
пую характеристику, обеспечивающую переходный про-
цесс, который удовлетворяет техническому заданию. После
этого параметры системы и стабилизирующие средства
подбираются так, чтобы частотная характеристика рас-
сматриваемой системы приблизилась к выбранной. Про-
верка производится построением процесса, исходя из полу-
ченной действительной характеристики (расчленением ее
на трапеции и использованием таблицы Л-функций).
При отсутствии достаточного материала по частот-
ным характеристикам аналогичных систем приходится
ограничиться при подборе исходных параметров оценкой
процесса по косвенным признакам. После этого с помощью
расчленения характеристики на трапеции и таблиц
Л-функций строится процесс. Если он не удовлетворяет
техническим условиям, то надо несколько изменить пара-
метры (руководствуясь косвенными признаками, изло-
женными в § 7) и вновь построить действительную частот-
ную характеристику и по ной процесс.
Таким образом, если нет большого опытного материала
по аналогичным конструкциям и системам, то как при
§ 8)
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
307
расчете, исходящем из уравнений процесса, так и при рас-
чете, исходящем из частотных характеристик, приходится
находить оптимальные параметры подбором, каждый раз
проверяя выбор параметров построением процесса. Кос-
венные оценки процесса, позволяя целеустремленно выби-
рать исходные параметры, облегчают такой подбор опти-
мальных параметров.
Разрабатываются различные приемы синтеза линейных
систем регулирования по заданным техническим усло-
виям и синтеза стабилизирующих устройств. Эти весьма
соблазнительные приемы требуют еще длительной провер-
ки практикой расчетных работ и в этой книге не описаны,
тем более, что синтез системы по заданным техническим
условиям требует учета нелинейностей еще в большей
мере, чем ее анализ.
Расчет процесса регулирования существенно услож-
няется в тех весьма распространенных случаях, когда
технические задания накладывают ограничения на про-
цессы при больших возмущениях, а рассматриваемые
уравнения при больших возмущениях нелинейны.
В наиболее простых случаях, когда нелинейные эле-
менты могут быть выделены, процесс может быть построен
графическим методом, описанным в § 3. Параметры си-
стемы приходится при этом подбирать случайно, пробами,
каждый раз проверяя их построением процесса. В более
сложных случаях используются различные иные приемы
численного или графического интегрирования нелиней-
ных дифференциальных уравнений. Приемы эти описаны
в многочисленных курсах по численным и графическим
методам приближенного анализа, и поэтому обычно ‘изу-
чение их не включается в курсы теории автоматического
регулирования. Специфику дифференциальных уравне-
ний, описывающих процессы в системах автоматического
регулирования, до сих пор не удалось использовать для
того, чтобы существенно упростить эти общие приемы или
определить, исходя из них, какие-либо косвенные оценки
процесса регулирования в нелинейных системах.
20*
ГЛАВА V
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО
РЕГУЛИРОВАНИЯ
§ 1. Общие сведения о периодических режимах
в нелинейных системах
В главе II были введены уравнения, описывающие
процесс регулирования в реальной системе (исходные урав-
нения), но затем они были упрощены и заменены линей-
ными дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами. Этим анализ реальной системы был за-
менен анализом ее линейной модели.
При рассмотрении условий устойчивости линейной
модели было установлено, что факт устойчивости или
неустойчивости линейной модели зависит только от свойств
системы и совершенно не зависит от величины начального
отклонения и что у неустойчивой системы значения откло-
нений всех обобщенных координат после любых началь-
ных условий неограниченно растут.
Если не рассматривать системы, параметры которых
точно соответствуют границе- области устойчивости, то
оказывается, что в линейной модели возможны лишь два
типа движений. У устойчивой линейной модели после
любого начального отклонения значения обобщенных
координат с течением времени стремятся (монотонно или
немонотонно) к значениям, соответствующим положению
равновесия. У неустойчивой линейной модели, наоборот,
после любого начального отклонения значения обобщен-
ных координат монотонно или немонотонно растут по абсо-
лютной величине. При параметрах, точно соответствующих
границе области устойчивости, возможны незатухающие
§ 1] ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ 309
колебания. Амплитуда этих колебаний зависит от началь-
ных условий. При самом незначительном изменении пара-
метров колебания превращаются в затухающие или неогра-
ниченно нарастающие. Никакие иные движения в линей-
ной модели невозможны.
Наблюдения над реальными системами автоматиче-
ского регулирования показывают, что движения в реаль-
ных системах значительно разнообразнее движений, воз-
можных в линейной модели.
В реальных системах часто наблюдается возникновение
незатухающих колебаний. Эти колебания обладают опре-
деленной устойчивостью: после возмущения они восста-
навливаются с течением времени, т. е. восстанавлива-
ются и форма колебаний и их частота. Форму и частоту
этих колебаний можно изменять, меняя параметры
системы.
Движения в реальной системе отличаются от движе-
ния в линейной модели не только возможностью возникно-
вения незатухающих колебаний, но и тем, что в реальных
системах в отличие от линейной модели характер движе-
ний часто зависит от величины начального отклонения.
Для начальных отклонений в реальной системе может
существовать такой порог, что начальные отклонения,
не превосходящие этот порог, вызывают движения, схо-
дящиеся к положению равновесия, а после начальных
отклонений, превосходящих указанный порог, в системе
устанавливаются устойчивые незатухающие колебания.
В ряде случаев в системах автоматического регулиро-
вания возможны не один, а несколько режимов незатухаю-
щих колебаний, причем только от величины начальных
отклонений зависит, какие из этих колебаний установятся
в системе. Так, например, нередко можно наблюдать, что
после небольших начальных отклонений в системе уста-
навливаются высокочастотные незатухающие колебания,
которые восстанавливаются после начального отклонения,
не превосходящего определенный порог. Если же началь-
ные отклонения превзойдут этот порог, то в системе уста-
навливаются низкочастотные незатухающие колебания,
имеющие значительно большую амплитуду.
Явления подобного рода могут быть обусловлены
только факторами, Hed учитываемыми при рассмотрении
310 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [ГЛ. V
линейной модели. Такими факторами являются нелиней-
ности, которые при переходе к рассмотрению линейной
модели заменялись линейными зависимостями (в случае
линеаризуемых нелинейностей) или вообще выбрасыва-
лись из рассмотрения (в случае нелинеаризуемых нели-
нейностей). Теперь, для того чтобы описать уравнениями
указанные движения и, в частности, незатухающие коле-
бания, необходимо учесть наличие нелинейностей.
Незатухающие колебания в системах автоматического
регулирования, о которых выше шла речь, возникают
при отсутствии внешних периодических воздействий
только за счет внутренних свойств системы регулирования.
Их частота целиком определяется свойствами системы
и меняется при изменении ее параметров. Это—типичные
автоколебания, возникающие благодаря равенству потерь
энергии за колебательный цикл притоку энергии извне
от неколебателыюго источника. Таким внешним источ-
ником энергии служит обычно регулируемый объект или
усилители. Только благодаря наличию нелинейностей
возможен указанный выше баланс энергии за колебатель-
ный цикл, и вычисление условий существования незатухаю-
щих колебаний сводится по существу к определению усло-
вий реализации этого баланса.
Основное содержание этой главы составляют методы,
служащие для определения параметров автоколебаний
и условий их существования. Для этого будет рас-
смотрен вопрос об отыскании периодических решений
исходных нелинейных уравнений, описывающих процесс
регулирования. Периодические решения важны не только
потому, что часть из них (именно устойчивые периоди-
ческие решения) соответствует автоколебательным режи-
мам. В некоторых простейших случаях знание периоди-
ческих решений позволяет оценить все многообразие дви-
жений, возможных в рассматриваемой системе, а условия
существования периодических решений позволяют опреде-
лить значения параметров, при которых изменяется ха-
рактер движений.
Ограничимся сначала рассмотрением системы уравне-
ний, отличающейся от линейной наличием в одном из
уравнений (пусть это будет первое уравнение) нелиней-
ной функции от какой-либо координаты»
§ 1] ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМАХ 311
Система такого рода часто может быть
К виду*)
. п
^1= 2 av^+/(^),
7=1
п
f = 2,
7=1
сведена
(5.1)
Обозначая исключим затем все координаты,
кроме у и xk (после чего индекс к можно опустить).
В результате получим:
dnx ।
a°'dt'r + ai dt1'-1
+ • • • + anx —
, dmy . , dm-'y . , ,
— dtm “Ь dtm-l + • • • 4 Ьту, |
У = /(*)> J
где ai и bi — постоянные коэффициенты, которые получа-
ются обычным порядком в процессе выкладок, связанных
с исключением лишних координат**).
Исходя из соображений, которые будут далее разъяс-
нены, всюду в §§ 1 — 6 будет предполагаться, что разом-
кнутая система устойчива, т. е. что все корни уравнения
аоРП + + • • • +ап = 0
расположены слева от мнимой оси.
Теперь рассматриваемая система может быть представ-
лена условным линейным звеном с передаточной функ-
цией РИ(;,) = 2^., где
D (р) = аоРП + а1/’П~1 + •••+<*„.
K(p) = bopm + b1P^+...+bm,
*) В теории регулирования сталкиваются и с такими случаями,
когда система уравнений (5.1) содержит несколько нелинейных
функций или нелинейные функции нескольких переменных. Такие
случаи далее рассматриваются очень кратко.
♦*) Подробнее см. Приложение 1.
312 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
замкнутым с помощью нелинейной обратной связи
(фиг. 152). Требуется определить периодические решения
этой системы уравнений.
До сих пор не найдены методы точного решения этой
задачи даже применительно к сформулированному про-
стейшему частному случаю, если степени D (р) и К (/?)
не ограничены и если / (х) — произвольная функция (или
даже непрерывная функция).
Если не наложены ограничения на степени полиномов
D(p) иК(р), то задача об определении периодических
режимов точно решена
лишь для некоторых слу-
чаев, когда характери-
стика f(x) состоит только
из отрезков прямых. Ти-
пичными системами тако-
го рода служат релейные
системы и некоторые си-
стемы, отличающиеся от
линейных учетом сил сухо-
го трения.
Но даже и тогда, когда / (х) — кусочно-л инейная
функция, задача определения периодических режимов сво-
дится к решению системы трансцендентных уравнений; ука-
зать общий метод решения этих уравнений удается лишь
в очень частном случае: когда / (х) — симметричная релей-
ная Z-характеристика и исследуется простейший симмет-
ричный периодический режим. Такой режим, даже при
релейной характеристике, имеет смысл только для аста-
тических систем.
Во всех остальных случаях точные методы определе-
ния периодических решений не найдены, и для отыска-
ния периодических решений приходится прибегать к раз-
личным приближенным приемам.
§ 2. Условия, при которых периодические режимы
близки к гармоническим
В § 3 будет рассматриваться один из приемов прибли-
женного определения периодических решений, основан-
ный на методе гармонического баланса.
$ 2] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКИМ 313
В основе этого приема, если иметь в виду лишь опре-
деление периодических решений, лежит предположение,
что периодическое решение мало отличается от гармони-
ческого и что его можно поэтому искать в форме
х= Asin wZ,
где А и и) — амплитуда и частота искомого решения*).
Чтобы выяснить условия, при которых это предполо-
жение законно, и установить таким образом границы допу-
стимого приложения указан-
ного приближенного приема
к задачам автоматического
регу л иров ания, остановимся
на вопросе о прохождении
гармонического колебания в
системе, представленной на
фиг. 152.
Разомкнем систему (фиг.
153) и предположим, что
на вход разомкнутой системы
действие
х= A si
подано гармоническое воз-
iwZ. (5.3)
Тогда координата у колеблется по закону
г/ = /(Asin wZ).
Функция /(AsinwZ) — периодическая. Разложим ее в ряд
Фурье:
п
y = /(Asinu)Z) = y0+ J] aftsin(Aa>/+<pft)
и представим линейчатым спектром, отложив в точках
О, (о0, 2о)0, 3(о0, ... линии, пропорциональные амплиту-
дам соответствующих гармоник г/0, а2, ... (фиг. 154).
Разумеется, отличные от нуля линии могут быть не
для всех перечисленных частот. Так, если характеристика
*) Фаза предполагается нулевой. Это не ограничивает общ-
ности решения, так как всегда достигается соответствующим
выбором начала отсчета времени.
314 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
f(x) нечетна, равны нулю амплитуды всех четных гар-
моник (0, 2ш, 4о) и т. д.).
На линейную часть системы действует, следовательно,
колебание, спектр которого представлен на фиг. 154.
В силу принципа суперпозиции действие каждой гармо-
ники не зависит от остальных. В соответствии с общими
законами прохождения колебания через линейную систему
на выходе линейной части разомкнутой системы устано-
вятся колебания
п
S a*sin (5-4)
Л=1
где
a? = ah|
К (ikv0) I
D (ik^) I’
т?—+ arg
К (ikw0)
D (iku>0)
Спектр колебаний показан на фиг. 155.
Таким образом, при подводе ко входу разомкнутой
системы гармонического колебания на выходе системы
установятся негармонические колебания. Спектр этих ко-
лебаний будет содержать все те же частоты, что и спектр
колебаний координаты г/, но длина каждой линии (ам-
плитуда гармоники) изменится в | [ раз,
§ 2] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКИМ 315
Амплитудная характеристика линейной части системы
л _ I
I D (но)
позволяет сразу установить, во сколько раз изменяются
амплитуды всех гармоник, порожденных нелинейностью,
О а)0 2 а) о Зы0 4а)0 SC0O За) 0 (*>
Фиг. 155.
при прохождении их через линейную часть системы.
Для этого надо при заданном значении основной гармо-
ники о)0 рассмотреть ординаты амплитудной характери-
стики в точках W = (о0, (d = 2(d0, W — Зо)0 и т. д.
Из приведенных рассуждений следует, что колеба-
ния координаты хх (и тем более г/), которые могут уста-
новиться в замкнутой системе, всегда негармонические.
Предположить, что эти колебания близки к гармониче-
ским, можно только в том случае, если в (5.4) а* несо-
измеримо больше остальных а* (Л =2, 3, ..., и). Следо-
вательно, о возможности или, наоборот, о невозможности
допустить близость колебаний к гармоническим можно
судить по протеканию амплитудной характеристики линей-
ной части системы и по величине отклонения нелиней-
ной характеристики у = от линейной.
Допустим, что из предположения о близости колеба-
ний к гармоническим найдена частота периодического
решения и из вида заданной нелинейности следует, что
спектр искомого колебания содержит частоты <«♦,
и т. д.
316 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Отметим на оси абсцисс
(фиг. 156) точки W*,
что ордината А в точке о>*
амплитудной характеристики
52ю*. Предположим сначала,
несоизмеримо больше ординат
в точках 52ю*, 53(в* и т. д. за счет того, что ампли-
тудная характеристика имеет при w = w* острый пик
(фиг. 157).
о/* Sf(i/ а)
Фиг. 157.
Из одного этого предположения еще не следует, что
колебания по форме близки к синусоидальным. Это видно
из следующего простейшего примера:
ж + Лх = /(а;).
j
В этом случае амплитудная характеристика
имеет при ш — бесконечно большой пик, но колебания
§ 2] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ.РЕЖИМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКИМ 317
близки к гармоническим, только если функция / (х) мала
по модулю. Без этого дополнительного условия могут
существовать колебания, сильно отличающиеся от гармо-
нических.
Предположим теперь, что мала по модулю не / (ж),
а разность между этой и какой-либо линейной функцией х,
В случае, когда функция / (х) близка к линейной
и может быть представлена в форме
f(x) = rx + ?<f (х),
где р. —малое число, слагаемое гх можно отнести к ли-
нейной части системы, и, для того чтобы предположение
о близости колебаний к гармоническим было обосновано,
необходимо еще потребовать, чтобы амплитудная характе-
ристика
j* _ | % ____I
| D (гш) — г К (tu>) I
имела острый пик. Это же требование может быть
сформулировано так: корни D (р) — гК (р) = 0 должны
быть расположены слева от мнимой оси так, чтобы одна
пара комплексных корней лежала вблизи нее.
Предположим теперь, что амплитудная характеристика
не имеет пика, но А при w* несоизмеримо
больше А при 52(d* и т. д. благодаря тому, что частоты
и т* Д- лежат вне полосы пропускания линейной
части системы. Она служит в этом случае фильтром низких
частот, не пропускающим гармоники, порождаемые не-
линейностью (фиг. 158).
Если бы линейная часть системы была идеальным
фильтром и А при S^*, 52(в* и т. д. были бы точно
равны нулю, то колебания были бы точно гармоническими,
как бы функция f(x) ни отличалась от линейной функ-
ции. Но амплитудная характеристика линейной части
системы не может совпадать с характеристикой идеаль-
ного фильтра, а может только приближаться к ней. Чем
больше отличается f(x) от линейной функции, тем мень-
ше должна отличаться амплитудная характеристика от
318 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл; V
характеристики идеального фильтра, для того чтобы пред-
положение о близости колебаний к гармоническим было
обосновано.
K(iaj)
Пусть, наконец, среди значений Л, соответствующих
частотам 5^*, 52(о* и т. д., имеется хотя бы одно соиз-
меримое со значением Л, соответствующим частоте со*
(фиг. 159). В этом случае предположение о близости
колебаний к гармоническим не обосновано.
Фиг. 159.
Из рассмотренных трех случаев в первых двух допуще-
ние о близости колебаний к гармоническим обосновано,
хотя опирается оно при этом па разные физические факты:
в первом случае—на резонансное усиление основного
тона линейной частью системы*) и слабое порождение гармо-
*) Здесь в линейную часть системы включается, как выше было
показано, «линейная составляющая» функции / (я).
§2] ПЕРИОДЙЧЕСКИЕ.РЕЖИМЫ, БЛИЗКИЕ К ГАРМОНИЧЕСКИМ 319
ник нелинейностью, а во втором случае—на фильтрацию
гармоник в линейной части системы. Условимся поэтому
говорить в первом случае о близости колебаний к гармони-
ческим за счет авторезонанса, во втором случае—за счет
фильтра.
Из изложенного выше следует, что требования в отно-
шении малого отличия функции f(x) от линейной имеют
разное значение в случае авторезонанса и в случае филь-
тра. При авторезонансе это требование обязательно даже
в точном случае (бесконечно большой пик у амплитудной
характеристики Л*). В случае же фильтра это требование
не существенно в точном случае (идеальный фильтр)
и возникает только при оценке допустимых отклонений
от характеристики идеального фильтра.
Разумеется, условия фильтра реализуются только,
если линейная часть системы устойчива. При наличии
у линейной части системы неустойчивого звена (не зашун-
тированного обратными связями) при подаче на вход
линейной части системы гармонического возмущения на вы-
ходе ее не устанавливается гармоническое колебание,
а накладываются еще и составляющие свободных колеба-
ний. Поэтому само понятие «фильтр» для неустойчивой
цепи лишено физического смысла. Соответственно не.
имеет в этом случае смысла и попытка обосновать бли-
зость колебаний к гармоническим за счет линейного
фильтра.
Хотя наличие авторезонанса либо фильтра в равной
мере обеспечивает близость колебаний к гармоническим,
между этими двумя случаями существует важное для даль-
нейшего изложения различие. В случае авторезонанса
можно заранее постулировать, что частота искомого гармо-
нического решения будет равна частоте, соответствующей
пику на амплитудной характеристике А*, или будет мало
от нее отличаться. В случае же фильтра нельзя заранее
указать значение искомой частоты; ею может быть любая
из частот, лежащих в полосе пропускания линейной части
системы. В этом случае приходится проверить, отфиль-
тровываются ли гармоники и верно ли допущение о бли-
зости колебаний к гармоническим уже после того, как
такое допущение сделано и, исходя из него, определена
частота колебаний.
320 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
В приведенных рассуждениях рассматривался про-
стейший случай, когда система содержит одну нелиней-
ную функцию от одного аргумента. Но выводы, получен-
ные в результате этих рассуждений, верны и в более об-
щих случаях. Предположение о том, что колебания какой-
либо координаты близки к гармоническим, может быть
обосновано в двух случаях:-
1) если линейные части системы резонируют на какую-
либо одну частоту (в этом случае требуется также, чтобы
нелинейные характеристики были малы по модулю) или
2) если линейные части системы отфильтровывают
остальные частоты, возникающие при прохождении коле-
баний через нелинейные элементы.
§ 3. Приближенное определение автоколебаний методом
гармонического баланса
Рассмотрим простейший частный случай, когда урав-
нения сводятся к виду (5.2). Временйо предположим,
кроме того, что характеристика f(x) нечетная. Будем
искать х в форме
# = ^sino)/, (5.3)
где А и и) — искомые числа.
Подставив (5.3) в (5.2), найдем:
Г dn dn~1 1
La0rfpr + «i^i+•••+««J -4sinu)Z =
= [fco-£ + fci-₽r+ ••• /HsinuiZ).
Запишем теперь это уравнение сокращенно так:
D^^Asin^t^K^^fiAsintot), (5.5)
где
п/ d Л d" , dn-1 . .
^\dt ) ~ а° dtn + 0,1 dtn~l + • • • + an
и
„ / d \ , dm , , dm-1 . . ,
& Q dt ) dtm dtm~l ' "I"
§ 3] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИИ 321
— операторы, показывающие, какие операции должны
быть выполнены над функцией, выписанной за ними.
Периодическую функцию / [Л sin wZ] разложим в ряд
Фурье. В связи с тем, что по предположению /(#) — нечет-
ная функция, ряд этот не содержит свободного члена:
/ [Л sin а)/] -- Вг (Л) sin wZ С1 (Л) cos wZ-' . . .
Предполагалось, что колебания координаты х —гармо-
нические. Из рассуждений, приведенных в предыдущем
параграфе, следует, что это означает, что гармониками,
содержащимися в спектре колебаний координаты х, можно
пренебречь. В связи с этим могут быть опущены высшие
гармоники в разложении функции / [Л sin o)Z] в ряд,
так как они порождают пренебрежимо малые линии
в спектре колебаний координаты х.
Учтя это, получим:
/ (Л sin (dZ) = Вх sin u)Z 4- С\ cos o)Z,
где Br и C\ определяются по обычным формулам, слу-
жащим для подсчета коэффициентов ряда Фурьег
2те
1 С
Вх — — \ / (Л sin z) sin zdz = Br (Л),
о
f(A sinz) созгс?г = С’1(Л).
о
Теперь уравнение (5.5) можно записать так:
^(4)sin^=
=--Bl(A)K sincoZ + С^Л) К ^-^-^coswZ.
Выведем теперь два вспомогательных тождества.
В очевидном тождестве
где любой из многочленов D либо
21 М. А. Айзерман
322 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
^(4)’ отделим действительную и мнимую части:
L eiu)/ = [Re L (id)) 4- i Im L (id))] [cos <dz 4- i sin d)Z] =
= [Re L (id)) cos wZ — Im L (id)) sin u z] 4-
4- i [Re L (ito) sin idZ 4- Im L (id)) cos cdZ].
Отсюда следует, что
L(4)sin(*,z=ImL(4)eiu,/=
= Re L (id)) sin coZ + Im L (id)) cos wZ,
L (4)cos ы=Re L (4) ei“'=
= Re L (id)) cos (oZ — ImL (iw) sin wZ.
Принимая, соответственно, D и £ (га)) =
= K и используя полученные тождества, выполним
операции
44)sin^ *(4)sinu,z
и
лгС4)1со8ю/-
В результате уравнение (5.5) сведется к виду
A [Re D (iio) sin idZ 4- Im D (iw) cos d)Z] =
= Br (Л) [Re К (fw) sin <oZ 4 Im К (id)) cos wZ] -|-
4" ^1 M) [Re & (id))cos ^-ImA (id)) sin wZ].
Приравнивая в этом уравнении порознь члены при
sin u)Z и при coswZ, найдем:
A Re D (/со) - Вх (Л) Re К (id)) - Сг (Л) Im К (id)),
Л Im D (id)) = Br (Л) Im К (id)) + (Л) Re К (i«>).
Умножим второе уравнение на i и сложим с первым
уравнением:
AD (г\о) = В1 (Л) К (iw) ь ((Я) [i Re К (iw) - Im К (id))].
§ 3] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ 323
Если теперь вынести i из квадратных скобок, то получим:
AD (но) — [Bj (Л) iCr (Л)] К (гш),
или
!/(Н=Гв(Л)~| (5.6)
где
/(10)) = ^; 7ЦЛ)= В1(Л) + 1С-1-(Л) .
' ' К (io)) ' ' А
Выражение в левой части равенства (5.6)
представляет собой амплитудно-фазовую характеристику
1-го рода линейной части системы, т. е. отношение ком-
плексной амплитуды входной величины этой части системы
к комплексной амплитуде ее выходной величины при
установившихся колебаниях.
Выражение в правой части равенства (5.6)
Я (Л) = B1 {А} +.iC1 (А) = В (А) + iC (Л) (5.7)
играет роль амплитудно-фазовой характеристики 2-го рода
для нелинейного элемента. На вход нелинейного элемента
действует колебание с амплитудой А, а на выходе его
устанавливается колебание, имеющее первую гармонику
с комплексной амплитудой Следовательно, R(A)
есть отношение комплексной амплитуды первой гармоники
колебания, установившегося на выходе нелинейного эле-
мента, к амплитуде установившегося колебания на его
входе. Величину R(A) называют иногда приведенной
передаточной функцией нелинейного элемента.
Функции R(A) для некоторых типовых нелинейностей
приведены в таблице XIV.
Построим теперь в комплексной плоскости два годо-
графа: годограф /(йо), т. е. амплитудно-фазовую харак-
теристику 1-го рода линейной части системы (параметр -
искомая частота со) и годограф R (Л) — приведенной пере-
даточной функции нелинейного элемента (параметр —
искомая амплитуда Л). Отметки в точке пересечения этих
двух годографов определяют в силу равенства (5.6)
21*
Таблица XIV. Формулы для подсчета В (Л) типовых нелинейностей
№
п/п
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
График / (х)
Л (Л)
В (А)=а*+— («'-a*) I arcsin ~ +
те L А
в (A)=a- + -Z® , С (А)=0
В(А)=^, С(А)=0
Для А>оо+^- B(A)=-^(»2-’l +
ао
+S1U 2з2-81п ер, где 31=агс8Ш-д < ,
e2=arcsi п ( ’0+ V ) < Т ’ С (А)=0
С (А)=~—у
«А2
В (А)=^- (Ф1-4 8*“ г**) - с (А)=Тsln2 Ф1 ’
где Ф1=агссо8 [1- 2(АА в
§ 3] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ 325
искомую амплитуду Л и частоту периодического реше-
ния (фиг. 160).
Если годографы /(йо) и Н(А) пересекаются в не-
скольких точках, то это свидетельствует о наличии не-
скольких периодических решений: каждая точка нересе-
чения годографа
Если же точек пересечений пет,
решений, близких к гар-
моническим. Из этого, ра-
зумеется, не следует, что
система вообще не имеет
период ическ их решений.
Полученные результа-
ты, конечно, верны
лишь, если верно исходное
предположение о том, что
периодические решения
рассматриваемых уравне-
ний близки к гармониче-
ским. Теперь правильность
этого допущения может
быть проверена по ампли-
тудной характеристике так,
как это было пояснено в
конце предыдущего пара-
графа. Это можно сделать
и непосредственно по по-
строенной для нахождения
периодических решений ам-
своими отметками определяет одно из них.
то нет и периодических
v
С^Л)
плитудно-фазовой характеристике 1-го рода. В случае
фильтра радиусы-векторы точек, соответствующих часто-
там гармоник, несоизмеримо больше радиуса-вектора
точки, соответствующей найденной частоте периодического
решения.
Построение заметно усложняется в том случае, когда
характеристика /(ж) нс нечетна и когда характеристиче-
ское уравнение линейной части системы D (р) ~ 0 по имеет
нулевого корня*).
*) С такой ситуацией всегда встречаются при рассмотрении
статических систем.
326 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
В этом случае периодическое решение надо искать в форме
х = Е - A sin а)/
и требуется определить три величины: Е, А и ш.
Подставляя это значение х в уравнение
получаем:
£> [Е + Л sin to/] = А7 f[E + A sinwZ].
Первые члены разложения функции f[E+ A sin а)/] в ряд
Фурье равны
f (Е + A sin art) ъ S(E, A)+B1(Et A) sin wt 4- С, (E, Л)со8(о/.
Действуя далее так же, как и ранее, кроме равенства
/(го)) = Я(Е, Л),
где
Д(Е, Л) —
получаем еще, приравнивая свободные члены, равенство
anE = bnS (Е, А). (5.8)
Как условие ап — 0 (т. е. Е=оо), так и условие tn = 0
(т. е. Е = 0) свидетельствует об отсутствии периодических
решений искомого вида.
Если же ап =# 0 и Ьп #= 0, то надо прежде всего опре-
делить все пары чисел Е, Л, удовлетворяющие уравне-
нию (5.8). С этой целью строится в плоскости F, Е
семейство кривых F = S(E, Л) для разных значений Л
и определяются точки пересечений этих кривых с лучом
F=^E (фиг. 161).
°п
Полученные пары чисел Е, Л, удовлетворяющие урав-
нению (5.8), подставляются bR(E, Л). При построении
этого годографа каждая его точка несет теперь не одну,
§ 31 ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ 327
а две отметки. Пересечение его с годографом /(йо) опре-
деляет сразу три искомых числа: амплитуду автоколеба-
Фиг. 161.
ний А, их частоту о) и величину смещения нулевой
линии Е (фиг. 162).
Заметим в заключение, что в случае, когда функция
f(x) не только нечетная, но и однозначная, коэффициент
Сг = 0, и годограф R (Л) [или R (Е, Л)] располагается вдоль
действительной оси.
328
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Действительно,
2к 2тс
<^1 = Y /(Л sinz) coszrfz = / (Л si nz) dA sin z =
b b
2?t 2tc
фт-л[ф(2")-*(0)1,
о 0
где Ф (ф) — первообразная функция для /(ф), а ф = Л8П12.
Но Ф(ф) = Ф(Лsinz). Поэтому Ф(0) = Ф(2^) и С^О.
В этом случае нет нужды строить годографы и все по-
строение может быть выполнено в действительной области.
Так, при нечетной характеристике (/:=()) из
/(Ь) = 7? (Л)
при действительном Н (Л) получаем:
Im 7 (йо) = О,
Ве/(г(о) = 7?(Л).
Частоты в этом случае определяются независимо от
амплитуд и зависят только от линейной части системы.
Они равны коэффициентам при мнимых частях комплекс-
ных корней характеристического уравнения условной ли-
нейной системы, которая получилась бы, если рассматри-
ваемая система была бы замкнута вместо нелинейного эле-
мента через линейный безинерционный усилитель у = кх и
если затем к увеличивалось бы до тех пор, пока пара
корней нс попала бы на мнимую ось (Л = Лир).
Действительно, такая система имеет характеристиче-
ское уравнение
D (р) —кК (p) = Q.
Граница £>-разбиения по к определяется, как
Граничные значения к определяются условием
А’ир = Ве/(ио),
§ 3] ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ 329
где и) находится (фиг. 163, а) из 1т/(ио) = 0, т. е. из
того же условия, что и частота автоколебаний при одно-
значной нелинейной характеристике.
Фиг. 163.
Амплитуда автоколебаний в рассматриваемом случае
определяется просто из условия
(/1) = /»цр.
Итак, при однозначных характеристиках частоты
со периодических решений, близ-
ких к гармоническим, не зави-
сят от формы характеристики
нелинейного элемента. Амп-
литуда находится пересечением
кривой
Я = /?(Л)
с прямой
Л = Ве/(йо)
(фиг. 163, б).
Пример!. Одноконтурная цепь замкнута через реле, имею-
щее «мертвый ход» (фиг. 164).
330
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Уравнения нелинейного элемента:
-/о ПРИ
О при
+/о при
Для подобного
лицу XIV)
— °о < * < о0,
х < — з0.
(5.9)
реле (см. таб-
С(Л)=0.
Строя годографы I (гш) и
R (Л) = В (Л) на одном графике,
находим из него частоты и ам-
плитуды возможных периоди-
ческих режимов (фиг/165). Раз-
умеется, среди найденных ре-
жимов могут быть и неустой-
чивые (см. далее).1
Построим амплитудную ха-
рактеристику линейной части
системы (фиг. 166) и отложим
вдоль оси ш найденные часто-
ты a>b ш2 и ш3 и частоты первых гармоник *) Зшь Зш2 и Зш3. Пусть,
например, они размещены на оси ш так, как это показано на фиг. 166.
Частоты Зш2 и Зо>3 лежат вне полосы пропускания системы, и по-
♦) Частот 2с0], 2ш2'*и 2<о3 нет в спектре, так как характери-
стика нечетна.
§ 4]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
331
этому система уравнений (5.9) имеет периодические решения, мало
отличающиеся от гармонических с частотами <о2 и <о3 и, соответ-
ственно, амплитудами Л2 и А3.
Найденное периодическое решение с частотой сох сомнительно и
подлежит проверке каким-либо точным методом, так как оно найде-
но из предположения о близости колебаний к гармоническим, а ча-
стота За)! лежит в полосе пропускания линейной части системы.
§ 4. Приближенное определение вынужденных колебаний
при наличии внешнего периодического воздействия
методом гармонического баланса
Выше в этой главе речь шла о системе автоматического
регулирования, содержащей нелинейные элементы, но
свободной от каких-либо внешних воздействий. Часто
приходится рассматривать нелинейные системы, подвер-
женные внешним периодическим воздействиям.
Движения, возникающие в нелинейной системе под
действием внешних периодических воздействий, сущест-
венно отличаются от движений, возникающих при анало-
гичных условиях в линейных системах.
Напомним три основных свойства установившихся дви-
жений, возможных в линейных системах под действием
внешних периодических воздействий:
а) Установившиеся движения всегда периодические; их
частота совпадает с частотой внешнего воздействия.
б) Амплитуда установившихся движений прямо про-
порциональна амплитуде внешнего воздействия и является
однозначной функцией частоты.
в) Устойчивость установившихся движений зависит
только от свойств системы и совершенно не зависит от
амплитуды и частоты внешнего воздействия.
В соответствии с этим амплитудной, фазовой либо
амплитудно-фазовой характеристикой линейной систе-
мы служит, как это было показано в главе II, одна
кривая.
В отличие от линейной системы у нелинейных систем:
а) Наряду с частотами и амплитудами внешнего воз-
действия, при которых установившееся движение—перио-
дическое той же частоты, могут существовать частоты
и амплитуды внешних воздействий, вызывающие неперио-
дическое (почти периодическое) установившееся движе-
332 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. V
ние. В этом случае это установившееся движение является
суммой нескольких гармонических колебаний. Одно из них
по частоте совпадает с частотой внешнего воздействия,
а второе (или остальные) близко по частоте к автоколе-
банию (или автоколебаниям), существующему или воз-
можному в системе при отсутствии внешнего периоди-
ческого воздействия.
б) Амплитуда периодических установившихся дви-
жений и амплитуды отдельных периодических слага-
емых, входящих в непериодические установившиеся
движения, не пропорциональны амплитуде внешнего
воздействия, а являются нелинейными функциями этой
амплитуды. Вид этой функции зависит от свойств си-
стемы.
Амплитуда установившихся движений может быть
и не однозначной функцией частоты и амплитуды внеш-
него воздействия.
в) Устойчивость как периодических, так и непериоди-
ческих установившихся движений зависит не только
от свойств системы, но и от амплитуды и частоты внеш-
него воздействия.
Сообразно этому амплитудная, фазовая либо ампли-
тудно-фазовая характеристика нелинейной системы опре-
деляемая по аналогии с такими же характеристиками
линейной системы, может быть построена не для всех
значений частот и амплитуд внешнего воздействия, а
лишь для тех, которые вызывают в системе периодиче-
ские установившиеся движения. Кроме того, такая ха-
рактеристика состоит не из одной кривой, а из одно-
нараметрического семейства кривых: каждая кривая со-
ответствует своему значению амплитуды внешнего воз-
действия.
Наконец, некоторые участки этих кривых могут
соответствовать устойчивым, а другие—неустойчивым пе-
риодическим движениям.
Ниже описывается применение метода гармонического
баланса к приближенному определению подобных харак-
теристик для нелинейных систем.
Пусть на вход линейной части системы (фиг. 152),
кроме выходной координаты нелинейного элемента, дей-
ствует внешнее периодическое воздействие £ sin ш/, т. е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ
333
уравнение движения имеет вид
Z)(4)x=7C(4)i-v+5sino,zb .
У = / (*)
или
Здесь D и & операторы, смысл
был пояснен в предыдущем параграфе.
Ограничимся случаем, когда функция f(x) нечетная
и, следовательно, колебания координаты могут быть лишь
симметричны относительно х—0.
Выше говорилось уже о том, что в автоколебательных
или потенциально-автоколебательных системах при нали-
чии внешнего периодического возмущения могут устано-
виться как периодические, так и почтн-периодические
колебания. Здесь рассматривается лишь вопрос об опре-
делении периодических установившихся режимов. В дан-
ном случае существенно определить не только амплитуду
установившихся колебаний, но и их сдвиг фаз относи-
тельно внешнего гармонического возмущения. Поэтому
установившиеся периодические колебания координаты
х будем искать в форме
х » A sin (u)Z — 7), (5.12)
где А и 7 — постоянные величины, подлежащие опреде-
лению, а ш — заданная частота внешнего возмущения.
Подставив (5.12) в (5.11), получим:
D A sin (ш/ - 7) = К {/ [ A sin (ш1 - у)] + S sin .
(5.13)
Как и в предыдущем параграфе, заменим периодиче-
скую функцию /[^sin(u)^ — 7)] первыми гармониками ее
разложения в ряд Фурье:
/ [Л sin (о)£ — 7)]BY (Л) sin (u)Z — 7)(Л) cos (ю/ — 7). (5.14)
(5.10)
(5.11)
которых
334 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Воспользовавшись тождествами
sin <dZ = Re L (tw) sin o)Z 4- Im L cos wZ,
cos o)Z = ReL (Z(d)cos g)Z — ImL (ho)sin o)Z,
(5.15)
которые были доказаны в предыдущем параграфе, и оче-
видным тождеством
sin <oZ = sin (a>Z — 7) cos 7 + cos (<oZ — 7) sin 7,
сводим уравнение (5.13) к виду
A [Re D (i<o) sin (wZ — 7) + Im D (z’w) cos («Z — 7)] =
= Bx (Л) [Re К (zo>) sin (a>Z — 7) 4- Im К (zw) cos (<oZ — 7)] 4-
+ Cv (A) [Re К (zw) cos («z — 7) — Im К (i<o) sin (wZ — 7)] 4-
-j- 5 cos 7 [Re К sin (<oZ — 7) -f- Im К (z’w) cos (coZ — 7)] 4-
4- S sin 7 [Re К (ia>) cos (o>z — 7) — Im К (zw) sin (wZ — 7)]. (5.16)
Приравняем в этом уравнении коэффициенты при чле-
нах, содержащих sin (<oZ — 7), и коэффициенты при чле-
нах, содержащих cos(wZ — 7):
A Re D (*<о) = Вх (Л) Re К (й>) - (\ (Л) Im К (й>) 4-
+ 8 cos 7 Re К (z<u) — 8 sin 7 Im К (z\o),
Л ImP (z’w) = ВХ(Л) Im A (zw) 4-Сх (Л) Re 2С (zw)4-
4-5 cos 7 Im A (zw) 4- 8 sin 7 Re A (z<o).
(5-17)
Умножив теперь второе уравнение этой системы на z и
сложив с первым, получим:
AD (za>) — [Вх (Л) 4- г’Сх (Л)] К (zw) 4- 8 К (z’w) (cos 7 -I- z sin 7).
(5.18)
Как и ранее, обозначим: R (Л) = д[Вх(Л) 4-/Сх(Л)]. Тог-
да окончательно получим:
7(№) = А(Л)4-^.
(5.19)
В этом векторном равенстве заданы S и ю и подлежат опре-
делению Л и 7. Предположим, однако, что заданы S и А
$ 4] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ 335
и определим ш и у, при которых удовлетворяется равенство
(5.19). С этой целью вернемся к построению, выполняемому
в предыдущем параграфе для определения автоколебатель-
ных режимов и содержащему две кривые: характеристику
Z(io)) и приведенную передаточную функцию R (Л).
Зададимся значением А = Аг и определим значения ш
и 7, при которых равенство (5.19) выполняется. Для этого
поставим ножку циркуля в точку годографа R (Л), соответ-
ствующую Л = Лх, проведем окружность радиусом д. Точка
пересечения этой окружности с годографом I (йо) определит
искомое значение coj, а угол, отсчитываемый против часовой
стрелки так, как это показано на фиг. 167, — значение 7.
Фиг. 167.
Действительно, в этом случае замыкается векторный
трехугольник, определяемый равенством (5.19) и показан-
ный на фиг. 167.
Если окружность не имеет точек пересечения с годогра-
фом Z (дш), то это свидетельствует о том, что периодических
движений с амплитудой Л = Лх система не имеет ни при
каком значении Если, наконец, таких точек пересечения
несколько, то существует и несколько частот, при которых
колебания координаты х имеют амплитуду Л = ЛГ
Меняя значения Л, можно определить все периодиче-
ские движения, возможные в системе при любых значе-
ниях а) и S.
336
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
§ 5* Системы, содержанию несколько нелинейностей
Вернемся к рассмотрению систем, ие подверженных
внешним периодическим воздействиям. Рассмотрим теперь
системы, содержащие несколько нечетных однозначных
нелинейных функций так, что система может быть пред-
и нелинейных элементов с нечетными и однозначными
характеристиками (фиг. 168).
Уравнения такой системы:
Допуская, что колебания какой-либо координаты системы,
например хп, близки к гармоническим, будем искать
периодическое решение для хп в форме
хп = Лп8шо)Г (5.20)
Тогда
= pTWsin I- arg а^Г) J = A'sin (o)/ -
$ 5] СИСТЕМЫ, СОДЕРЖАЩИЕ НЕСКОЛЬКО НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ 337
где
’ <Pi“argff7(7^j •
I
Колебания координаты х2:
х2 = Л [A sin (wZ “ Ti)] = AiRi (A)sin (wZ - ?i) + • • •
Здесь Rr (— приведенная передаточная функция пер-
вого нелинейного элемента, так что AYR (Лг) — амплитуда
основного тона, а многоточием обозначены гармоники*).
Отбрасывая гармоники**), получим:
АЛ1И1) • Г , ДМ)! л • / . \
хя = . \ z sin —- ср. — arg „ ' ; = Л3 sin (art — ®a),
8 />2(^)1 L 0 Л2 (ico) J 3 4 T8/’
1*2 Ml
где
a AfRi (Л1) D2(ito)
“ I l?2(iC0) I 1 ^3 — ?1 + агё ^2(1а)) •
I *2(^)|
Поэтому
= /2 [Asin № “ <Рз)1 = АД2 (A)sin № ~ <Рз) + • • •
Повторяя рассуждения и продвигаясь таким образом да-
лее по цепи воздействий, получим:
X — Ап~3^п~3 < f — _ а ^п-1 (^) \ _
ХП~1~ \ОП-2(^)\ SUV* arg^n-l(i0>)J-
I Хп-2 (i“) I
= 4n_i sin (<oz(5.21)
хп Ап-1 Пп (Л-i)sin - ?„-i) •
2
Приравнивая (5.20) и (5.21), найдем:
Л = Л-1Л(Лп-1)’ -<Рп-1 = °- (5.22)
2
♦) Фаза основного тона совпадает с фазой колебаний так
как функция /г однозначная (см. стр. 327).
♦*) Об условиях, при которых это допустимо, см. в конце это-
го параграфа.
22 м. А. Айзерман
338 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Подставляя значения Лп_р затем Ап_2 и т. д. и сокра-
щая на Ап, получим:
|Р1(^)| I А(^)| I
= //n { I I Яп-2 [ I f-’-S I Я„_4 (•••}•
2 11 Кп-2 (1Ш) I —2~ L I An_3 (t<o) | J
Обозначим функцию от функции, стоящую в правой
части равенства, через R (Ап, со) и назовем ее сводной
приведенной передаточной функцией всех нелинейностей.
Чтобы найти сводную приведенную передаточную функ-
цию, надо в приведенную передаточную функцию какого-
либо из нелинейных элементов вместо аргумента подставить
модуль амплитудно-фазовой характеристики предшеству-
ющего линейного элемента, умноженный на приведенную
передаточную функцию предшествующего нелинейного
элемента; в этом последнем надо выполнить такую же за-
мену и т. д.
Заметим теперь, что левая часть найденного равенства
представляет собой амплитудную характеристику линейной
системы, которая получилась бы из рассматриваемой си-
стемы при удалении всех нелинейных элементов и соеди-
нении линейных элементов в последовательную цепь. Обо-
значим ее
Тогда
(5.23)
Второе соотношение получим из второго равенства (5.22).
Оно приводит к
- [arg
= 0,
или
— argZ(i<o) = 0.
(5.24)
Это условие не зависит от амплитуды и сразу позволяет
определить со. Непосредственно видно, что частоты авто-
§ 6J УСТОЙЧИВОСТЬ «В МАЛОМ» 339
колебаний совпадают с частотами на границе D-разбие-
ния по коэффициенту усиления в системе, полученной из
рассматриваемой заменой нелинейных элементов линейными
безинерционными усилителями*). Следовательно, частота
не зависит от числа однозначных нелинейностей и их
вида и зависит только от линейных частей системы.
Подставляя найденные из (5.24) частоты в (5.23), на-
ходим амплитуды Ап для каждой частоты.
Из приведенных рассуждений следует, что они верны
лишь, если система сводится к виду, показанному на
фиг. 168, если все нелинейные характеристики нечетны
и однозначны и если гармониками, порождаемыми нели-
нейностями, можно пренебречь. Это последнее условие вы-
полняется только, если все линейные участки системы
порознь не пропускают частот Зю* и выше, где w* — ча-
стоты, найденные из (5.24). Это условие должно быть
проверено после определения w* по всем амплитудным
I Dj (ш) I
характеристикам | порознь.
Если же не выполняется первое из указанных условий,
то аналогичные рассуждения приводят к двум связанным
уравнениям для определения w и Ап и решение их зна-
чительно более сложно. Оно требует построения семейства
годографов.
§ 6. Устойчивость «в малом» приближенно найденных
периодических решений
В предыдущем параграфе был описан простой прием,
позволяющий в ряде случаев найти периодические реше-
ния. Но автоколебательным режимам соответствуют только
устойчивые периодические решения и, следовательно, задача
об определении автоколебательных режимов остается нере-
шенной до тех пор, пока среди найденных периодических
режимов устойчивые режимы не отделены от неустойчивых.
Вернемся к системе
= (й) [y + ^sinwi],
у = /(х)
) Ср. со стр. 328.
22*
340 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (гл. V
D(idx = K (^)[/(^) + ‘5sin<oZ] (5.25)
и предположим, что периодическое решение x —
с периодом Т найдено, так что
D ( £) /т (0 = К ) {/ [fT (0] + 5 sin (Ot). (5.26)
Чтобы изучить устойчивость этих периодических решений,
будем искать х в форме
x = fr (0 + Да:-
Тогда
D Ц) 1/т (0 + М = К ( £ ) {/ t/т (0 I- М + S sin •
Разложим *) функцию / [fT (/) + Дж] в ряд по степеням Дж:
/ [/т И + Дх] = / [/г (,)]+[ „/X + ...
Интересуясь лишь устойчивостью исследуемого периоди-
ческого режима «в малом», будем предполагать Дж столь
малым, чтобы всеми членами, содержащими Дж в степени 2
и выше, можно было пренебречь. Тогда
cGX(‘)+£(b>=
Учитывая (5.26), получим уравнение для определения Дж
<5-27>
f df(x)l х
где L' dx J x-f (f) —заданная периодическая функция
времени.
Это уравнение не содержит S. Следовательно, оно
решает вопрос об устойчивости периодического режима
♦) Здесь о функции / (х) предполагается, что она допускает
такое разложение.
I в]
УСТОЙЧИВОСТЬ «В МАЛОМ»
341
как в автоколебательном случае, так и в случае иссле-
дования вынужденных колебаний.
Исследуемое периодическое решение устойчиво «в ма-
лом», если устойчиво положение равновесия Дге = О в си-
стеме, описываемой уравнением (5.27). Таким образом,
задача об устойчивости периодического решения в нели-
нейной системе сводится к задаче об определении устой-
чивости положения равновесия в линейной системе. Однако
уравнение этой линейной системы содержит периодиче-
ские коэффициенты, и в этом источник всех трудностей,
связанных с исследованием устойчивости периодических
режимов.
Эти трудности удается пока обходить только в двух слу-
чаях: при исследовании релейных систем (см. следующий
параграф этой главы) и при исследовании устойчивости
периодических режимов, близких к гармоническим, если
только эта близость периодического режима к гармони-
ческому обусловлена авторезонансом, а не фильтром.
В последнем случае можно использовать следующий про-
стой критерий: автоколебательный режим устойчив, когда
на годографе R (Л) точка (Л04-ДЛ) при ДЛ >0 лежит внутри
годографа I (ш), а точка (Ло — ДЛ) — вне его (фиг. 169 и 170).
Заметим, что в устойчивом случае (фиг. 169) подоб-
ное протекание годографов может иметь место только,
342
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
если угол между внутренней нормалью к кривой /(но)
в точке со = соо и касательной к R(A) меньше 90°.
Поэтому это условие можно записать следующим
образом: скалярное произведение вектора внутренней
нормали годографа I (ico) и вектора касательной к кри-
вой R(A) в точке со = соо и А = Ло должно быть положи-
тельным. Вектор касательной определится, как известно,
- _ Г dR(A) 1
' ~~ L dA J a=aq ’
вектор нормали — равенством
L J u>=u>o
и приведенный выше критерий можно записать так:
:-.Я=Г^1 i ГЩ=>1 >0. ' (5.28)
L аА Jyio L J со0
Доказательство этого критерия возможно только в пред-
положении, что процесс установления при малых откло-
нениях отличается от исследуемого периодического режима
медленным изменением амплитуды и фазы за период.
Это предположение возможно лишь в системах, мало
отличающихся от линейных систем, находящихся на гра-
нице устойчивости.
В системах, для которых близость периодических
решений к гармоническим обусловлена фильтром (а не авто-
резонансом), приведенный простой критерий устойчивости
не может быть использован: его применение в этом слу-
чае часто приводит к ошибочным заключениям об устой-
чивости. Критерии устойчивости периодических режимов,
опирающиеся на гипотезу фильтра, пока не найдены.
§ 7. Точное определение периодических режимов
в системах, содержащих реле
В тех случаях, когда уравнения движения имеют вид
?/=/(*). J
(5.29)
§ 7] ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 343
а характеристика / (я) — симметричная релейная, перио-
дические движения одного распространенного типа могут
быть найдены точно.
Под симметричной релейной характеристикой пони-
мается одна из нелинейных характеристик, показанных
на фиг. 171; у может принимать лишь два значения:
кр или — Ар, причем перемена значения происходит
в момент, когда х обращается в нуль и изменяет знак
Фиг. 171.
(фиг. 171, а) или когда х соответственно равно Ь *0 и — х0
(фиг. 171, б).
Запись уравнения релейной системы в форме (5.29)
требует пояснения. В случае релейной характеристики
функция y = f{x) разрывна и всюду, вне точки разрыва,
у не меняется. Поэтому запись операции К У> если
под понимать обычную производную по времени, лише-
на смысла: в этом случае
всюду вне точек разрыва / (ж) и неопределенна в этих
точках. Но в действительности процесс описывается не
уравнением (5.29), а системой уравнений, которая содер-
жит ?/ = /(#) и не содержит производных от этой функ-
ции. Уравнение (5.29) получается исключением из этой
исходной системы всех неизвестных, кроме х и у.
344 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Можно показать*), что уравнение (5.29) эквивалентно
d
исходной системе лишь, если под символом понимается
at
в нем не обычная, а «обобщенная» производная, значение
которой в точках разрыва функции доопределяется с по-
мощью «импульсных функций» Дирака. Для дальнейшего
важно только одно свойство таких обобщенных производ-
ных: если х и у — ряды Фурье, то операции D
можно выполнять над этими рядами почленно.
В релейных системах возможно три типа периодиче-
ских режимов с периодом Т:
а) Периодический режим, во время которого значе-
т
ния х обращаются в нуль лишь при t = n-~- (п=1,2,...),
т. е. в начале и конце каждого полупериода, и не обра-
щаются в нуль внутри полупериода. Назовем такие пери-
одические режимы симметричными,
б) Периодический режим, во время которого х обра-
щается в нуль и меняет знак при других значениях t.
Назовем такой периодический режим несимметричным.
в) Периодический режим, во время которого значение х
в течение полупериода или части его хотя и обращается
в нуль, но знака не меняет (например, электрическое
реле в этом случае несколько раз подряд включает один
и тот же контакт). Такой периодический режим назы-
вается полностью или частично пульсирующим (сколь-
зящим) **).
В этом параграфе рассматривается точный метод опре-
деления симметричных периодических режимов в релей-
ных системах. При симметричном периодическом режиме
*) Подробнее см. Айзерман М. А. и Гантмахер Ф. Р.,
Об определении периодических режимов в нелинейной системе
с кусочно-линейной характеристикой, Прикладная математика
и механика, № 4, 1956.
**) Описанные в этом абзаце скользящие движения возможны,
конечно, и при непериодических режимах. Периодический сколь-
зящий реящм— это периодический режим, целиком иди частично
составленный из скользящих движений.
$ 7] ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 345
координата у (вход линейной части цепи, выход реле)
изменяется во времени периодически, так что на линей-
ную часть цепи действует последовательность периоди-
ческих прямоугольных импульсов (фиг. 172).
т
Не составляет труда при любой величине у опреде-
лить установившуюся реакцию линейной части цепи
на такое периодическое воздействие. Вычислив периоди-
ческое движение выходной координаты х линейной части
т
цепи при любом -у > легко найти автоколебательные
режимы. Они будут существовать при таких значениях Т,
когда координата х обращается в нуль в моменты
-L71(r=l, 2, ...), а х в эти моменты имеет знак, опре-
деленный требуемым направлением включения реле.
Основное преимущество этого метода состоит в том,
что вместо вычисления реакции линейной части системы
на единичное возмущение можно ограничиться вычисле-
нием реакции ее на периодическое воздействие, что сде-
лать значительно проще.
Рассмотрим этот метод подробнее.
Как указывалось выше, на вход линейной части цепи
действует периодическая последовательность прямоуголь-
ных импульсов, показанная на фиг. 172.
Разложение этой кривой в ряд Фурье имеет вид
{ sin <1>0« + у sin 3<oot +ysin 5(Ooz + • • •}>
346
АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
2я q
где соо = — . Это выражение можно записать так:
оо
У = ТкР S 2^=1 sin (2т ~ W°Z- (5-30)
m=i
Амплитудно-фазовую характеристику 2-го рода линей-
ной части цепи можно представить так:
w (io>) = = Н (<о) eie М = и (и) + iV (ш).
Если бы спектр колебаний координаты у содержал только
основной тон, т. е. y = 21sin(D0Z, то установившееся
колебание координаты х было бы
х = Н (со) A sin [(b0Z + 0 (со)],
Учитывая независимое прохождение каждой гармоники
через линейную часть системы, получим для случая,
когда колебания у определяются рядом (5.30):
оо
* = 2 н 1(2^1 sin№т ~ W +0((2т- 1) ш0]}.
т=1
.31)
Вернемся теперь к исходной системе уравнений (5.29)
и будем искать периодическое решение этой системы
в форме*) (5.30) и (5.31). Очевидно, значения х и у,
определяемые этими рядами, удовлетворяют первому
уравнению системы (5.31), так как из этого уравнения
найден ряд (5.29), когда у изменяется в соответствии
с (5.30). Но нужно еще, чтобы удовлетворилось и вто-
рое уравнение. Для этого надо, чтобы выполнялись два
условия:
при Z = 0 х(0) = 0 и т(0)>0. (5.32)
Из (5.31) следует, что
S "[(^E-i---sin4(2m-l)«>0]. (5.33)
m=i
♦) См. замечание на стр. 344.
§ 7] ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 347
Но
77 (2) sin 9(2)= У (2),
где 2 — любая частота. Поэтому
„/п\_ 4 г. К ((2m—1)«0]
2) — та—•
m=i
Значение я(0) является функцией от соо. Обозначим эту
функцию через G(u)0). Теперь продифференцируем урав-
нение (5.31) по t:
x(t) =
= S 1)°)0]cos{(2Tn-l)o)0Z+ 9[(2m-l)u)0]},
m-l
откуда
oo
1а;(О) = ^Лр 2 H[(2m-I)<o0]cos6 [(2m-l)a>0].
m=i
По
Я (2) cos 2 = C7 (2)
для любого 2. Поэтому
ОО
^(0) = 4*p 2 С/[(2,п- 1)ш0]. (5.34)
° m=l
Итак, — также функция соо. Обозначим ее 5(о)0).
Для определения Т воспользуемся теперь следующим
построением.
Зададимся каким-либо значением соо = у и отложим
на амплитудно-фазовой характеристике линейной части
системы точки (2m — 1)а>0, т. е. соо, Зсоо, 5соо и т. д.
(фиг. 173). Пусть в этих точках абсциссы имеют (с уче-
том знаков) значения Uw, и80, U50 и т. д., а ординаты
^кр ^30» ^Б0 И Т. Д.
348 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Подсчитав
(5.+^"+^+-”+
^эо+^.о+^ТО 4- • )'
отложим их в плоскости G, S, приписав полученной
точке отметку (о0 (фиг. 174).
Зададимся новым значением (о0 и повторим построение.
Пробегая так все значения % от 0 до оо, построим
в плоскости G, S годограф (фиг. 175). Отметки (о*, (о**
и т. д. в точках пересечения этого годографа с положи-
тельной полуосью S > 0 определяют значения Т* = ^-,
2п
7** = ——и т. д., равные периодам искомых периодиче-
ских решений. Отсутствие таких пересечений свидетель-
ствует, разумеется, только об отсутствии симметричных
периодических режимов. Остается открытым вопрос об опре-
делении более сложных периодических режимов. Методы
их определения значительно более сложны и здесь не рас-
сматриваются.
Перейдем к задаче об * устойчивости найденных пери-
одических решений. Пусть в системе установился пери-
§ 7) ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 349
одический режим. Нарушив его немного, проследим
за следующими моментами перекладки реле.
Если последовательность следующих моментов пере-
кладки реле с течением времени стремится к старой пери-
одической последовательности, то этот периодический
режим устойчив.
Зная последовательность моментов переключения до не-
которого значения tQ, можно посчитать все следующие
моменты переключения и установить условия, при кото-
рых следующие моменты переключения стремятся к пери-
одической последовательности.
Эти рассуждения привели к критериям устойчивости,
которые могут быть представлены через корни характе-
ристического уравнения линейной части системы либо
через ее частотную характеристику.
Если известны корни характеристического уравнения
линейной части системы, то характеристическое уравне-
ние, решающее вопрос об устойчивости периодических
решений, имеет вид
т
п Pj -9-
А * “ 4
2 Ji JL = О’
1+Л 2 k + epj 2
где Т — найденный период, Су —коэффициенты, р^ — корни
характеристического уравнения линейной части системы
Д(р) = 0, а X —неизвестное.
350 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. \
Для того чтобы система была устойчивой, необхо-
димо и достаточно, чтобы в плоскости к все корни этого
характеристического уравнения лежали внутри круга
единичного радиуса.
Проверить выполнение этого условия можно построе-
нием D-разбиения в плоскости одного или двух парамет-
ров. Для этого вместо подстановки k = ico надо выполнить
подстановку k = eit0, изменяя со от 0 до 2к.
Если известны не корни, а амплитудно-фазовая харак-
теристика линейной части системы, то в этом случае
вопрос об устойчивости решается построением годографа
т=оо
Я(«о) = W [»«> + »(2/n-l) J] ,
m=- co
где
Задавшись каким-либо значением со = сор отложив
на годографе (i2) точки 2 = со1 + ^-, 2 = со1-|-3^,
2 = -р5 и т. д., а также 2 = 0^ — у-, 2 —ю1 — 3~ ,
2 = u)1 — 5^ и т. д. (фиг. 176) и сложив соответству-
ющие векторы, находим вектор D(ico). Повторяя построе-
ние для другого со = со2 ит. д., строим годограф D(zco)
для 0 < со < оо.
Формулировка критерия устойчивости периодического
режима совпадает с формулировкой второго амплитудно-
фазового критерия устойчивости*), но вместо годографа
ИДгсо) рассматривается годограф /?(zco), а вместо точки—1
рассматривается точка г, где
2Лр 2л < 2 / ’
Надо учесть лишь, что при о)=0 годограф W(ico)
всегда проходит через точку —г. В теории устойчивости
♦) См. главу III.
§ 7] ТОЧНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ 351
доказывается, что это обстоятельство не препятствует
устойчивости.
Совершенно аналогично рассматривается вопрос о вы-
нужденных колебаниях в релейных системах *).
Метод, использованный в этом параграфе, отличается
от метода, описанного в предыдущих параграфах, тем, что
решение ищется в форме полного ряда Фурье, в котором
удерживается не только основной тон, но и все гармоники.
Разумеется, этот точный метод применим не только в про-
стейшем случае определения симметричного режима в си-
стеме, содержащей одно симметричное реле, но и в более
сложных случаях. С его помощью рассматривались задачи
о несимметричных автоколебаниях, изучались системы,
содержащие несимметричные реле и даже системы с трех-
звенными и более сложными характеристиками. Но во
всех этих случаях требуется найти не только период
♦) Подробнее см. Цыпкин Я. 3., Теория релейных систем
автоматического регулирования, Гостехиздат, 1955.
352 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
(как это было в простейшей задаче, рассмотренной в этом
параграфе), но и части периода—время прохождения
отдельных участков кусочно-линейной характеристики.
В рассмотренной в этом параграфе задаче для определе-
ния периода автоколебаний было составлено трансцен-
дентное уравнение (5.33), для решения которого разра-
ботано описанное выше графическое построение. В более
сложных случаях для определения периода и его частей—
времен прохождения отдельных звеньев характеристики—
получаются системы трансцендентных уравнений. Решение
их весьма сложно. Это ограничивает возможность исполь-
зования метода, описанного в этом параграфе, для опреде-
ления периодических решений в более сложных случаях—с
его помощью удается составить указанные выше системы
трансцендентных уравнений, но не удается их решить.
§ 8. Некоторые сведения о фазовом пространстве
динамических систем
Какое значение имеет знание периодических режимов
для выяснения поведения системы регулирования «в боль-
шом» при реальных, а не при малых возмущениях?
Можно ли утверждать, что при отсутствии автоколе-
бательных режимов система, устойчивая «в малом», устой-
чива и «в большом»?
Чтобы ответить на вопросы подобного рода, надо по-
знакомиться с понятием о фазовом пространстве и о фазо-
вых траекториях динамических систем.
а) Фазовые портреты линейных систем.
Рассмотрим сначала систему, которая описывается двумя
системами дифференциальных уравнений 1-го порядка* *):
х1 = ах1-\- Ьх2,
x2 = cx1-[-dx2,
♦) К уравнениям такого вида сводится, в частности,"линей-
ное дифференциальное уравнение 2-го порядка хг + hxx + схг = О,
если положить хх = x2t так как в этом случае
*1 = *2,
х2 — — схт ~~hx2.
$ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 353
где а, Ь, с и d — заданные числа (некоторые из них могут
быть нулями).
Предположим, что уравнения эти проинтегрированы,
т. е. и х2 найдены как функции времени t и началь-
ных условий z10 и z20.
Пусть, например, определены
Х1 — /1 ^20)»
Х2 хю> Х2о)‘
(5.35)
Для каждого фиксированного значения #10 и #20 урав-
нения (5.35) определяют кривые в плоскости xv t и в
плоскости х2, t (фиг. 177).
Для какого-либо другого
значения z10 и z20 эти
кривые протекают иначе и
могут в разных точках пе-
ресекаться с кривыми, по-
строенными для начальных
условий я10, я20.
Уравнения (5.35) в со-
вокупности определяют два
двухпараметрических се-
мейства кривых: в плоско-
сти xv t и в плоскости
х2, t, причем через каж-
дую точку оси хх (соответ-
ственно, оси х^ проходит
бесконечно большое число
кривых*). Все эти кри-
вые пересекаются друг
с другом. Такие графики очень неудобны для представ-
ления процесса регулирования при разных начальных
условиях.
Значительно удобнее обойтись одним семейством
кривых, исключив t.
*) Так как при фиксированных х10 и разных х2о все кривые
проходят через одну и ту же точку оси
23 М. А. Айзерман
354 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Зафиксируем значения я10 и л;20 в уравнениях (5.35)
и рассмотрим их как параметрические уравнения кривой
в плоскости xv х2 (t - параметр).
Дадим t какое-либо значение, например Z = Zr Тогда
при помощи уравнений (5.35) при фиксированных гг10, гг20
можно вычислить значение хг и х2, т. е. точку в пло-
скости xv х2. Дадим t другое значение, например Z = Z2,
и получим новые хг и х2,
т. е. новую точку в плос-
кости xv х2. Если теперь
непрерывно менять t от О
до оо, то и точка (ее назы-
вают изображающей точ-
кой) будет непрерывно пе-
ремещаться в плоскости xv
х2 и прочертит линию — фа-
зовую траекторию. Если
система устойчива, т. е. ес-
ли при Z->-*oo как —->0,
так и х2—>0, то изобра-
жающая точка по фазовой
траектории стремится при
t —> оо к началу координат
(фиг. 178).
Аналогично можно по-
строить в этой же плоскости
фазовую траекторию, соответствующую каким-либо иным
значениям z10 и z20. Если точка, соответствующая ж10 и z20,
будет лежать на траектории, построенной ранее (например,
точка а на фиг. 178), то изображающая точка будет
далее двигаться по этой же фазовой траектории. Если же
точка я10, я20 окажется где-либо вне построенной траек-
тории, то может быть аналогичным приемом построена
новая фазовая траектория (фиг. 178).
Таким образом, уравнения (5.35) определяют для
разных гг10 и гг20 семейство кривых, заполняющих всюду
плотно плоскость xv х2. Плоскость xv х2 называется
фазовой плоскостью системы. Фазовая плоскость, запол-
ненная всей совокупностью фазовых траекторий, назы-
вается фазовым портретом системы.
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 355
В отличие от семейства интегральных кривых (фиг. 177)
на фазовом портрете (фиг. 178) траектории могут пере-
секаться лишь в ограниченном числе точек, а примени-
тельно к рассматриваемому пока линейному случаю —
только в одной точке —в начале координат.
Действительно, дифференциальное уравнение фазовых
траекторий получается делением первого уравнения
системы (5.35) на второе уравнение этой же системы:
dxi ахх 4- Ьх2
dx2 СХ} 4- dx2
(5.36)
При любых значениях и х2 (кроме хг = х2 = 0)
уравнение (5.36) определяет единственное значение ,
т. е. в любой точке фазовой плоскости, кроме начала
координат, к фазовой траектории может быть проведена
только одна касательная, а это свидетельствует о том,
что фазовые траектории не пересекаются друг с другом
где-либо вне начала координат.
В начале координат (я^ —#2 = 0) из уравнения (5.36)
dxr 0
получаем т. е. начало координат является осо-
бой точкой. Она соответствует равновесию системы (в этой
точке x1 = x2 = G\
Напомним, что в линейной системе факт устойчивости
или неустойчивости не зависит от величины начального
отклонения. В силу этого фазовый портрет устойчивой
линейной системы всегда такой, что изображающая
точка из любой точки фазовой траектории перемещается
по направлению к началу координат. «Область притяжения»
особой точки — начала координат — охватывает всю
фазовую плоскость. У неустойчивой линейной системы
изображающая точка из любой точки фазового простран-
ства по фазовой траектории неограниченно удаляется
от начала координат и «область отталкивания» особой
точки — начала координат — охватывает всю фазовую пло-
скость.
На фиг. 179 и 180 показаны два возможных типа
фазовых портретов устойчивой линейной системы. В слу-
чае фиг. 179 особая точка называется устойчивым узлом,
в случае фиг. 180 — устойчивым фокусом.
23*
356 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 357
На фиг. 181, 182 и 183 показаны три возможных
типа фазовых портретов неустойчивой линейной системы.
Особая точка в случае фиг. 181 называется неустой-
чивым узлом, в случае фиг. 182 — неустойчивым фокусом,
а в случае фиг. 183 ?- седлом.
В линейной системе возможно только одно положение
равновесия и, соответственно, только одна особая точка —
начало координат. Кроме того, в линейной системе невоз-
можны незатухающие колебания *) и, соответственно,
фазовый портрет линейной системы не содержит замкнутых
фазовых траекторий.
Для простоты была рассмотрена система (5.35), состоя-
щая из двух линейных уравнений 1-го порядка. Все
изложенное выше непосредственно распространяется
на систему, состоящую из любого числа линейных диф-
ференциальных уравнений 1-го порядка, а значит, и на
любую линейную систему, так как каждое уравнение
более высокого порядка может быть заменено несколькими
уравнениями 1-го порядка с помощью приема, использо-
ванного в сноске на стр. 352. Надо лишь вместо двух-
мерной фазовой плоскости рассматривать фазовое про-
странство, у которого число измерений равно числу урав-
нений 1-го порядка в рассматриваемой системе.
Фазовый портрет системы, содержащий более двух
уравнений, нельзя изображать на плоскости, имеющей
два измерения, однако основные свойства описанных выше
фазовых портретов систем двух уравнений остаются в силе
и в этом случае. Если система линейная, то:
а) фазовое пространство содержит только одну особую
точку —начало координат;
б) «область притяжения» этой особой точки, если
система устойчива (или «область отталкивания» — если
система неустойчива), охватывает все фазовое пространство;
в) в фазовом пространстве не содержится замкнутых
фазовых траекторий.
Иначе может обстоять дело в том случае, если рас-
сматриваемая система уравнений содержит хотя бы одно
нелинейное уравнение.
♦) Не рассматривается систвхма, точно соответствующая
границе устойчивости.
358 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
б) Фазовые портреты нелинейных систем.
Совершенно так же, как и в линейной системе, процесс
регулирования, описываемый уравнениями, содержащими
нелинейности, может быть представлен на фазовой пло-
скости или в фазовом пространстве. .
Рассмотрим и в этом случае в качестве основного
примера случай, когда движения описываются двумя
дифференциальными уравнениями 1-го порядка:
= Л (ж,, ж2), I
? М 1 2/ (5.37)
а;2 = F2 (xv х2), J
где F1(xv х2) и F2 = (xv х2) — заданные, в общем случае
нелинейные функции указанных аргументов
Дифференциальное уравнение фазовых траекторий
получается делением первого уравнения этой системы
на второе:
dx1_F1 (а?ь ж2)
F2 («^i, ^2)
К фазовой траектории может быть проведена только
одна касательная, и следовательно, фазовые траектории
не пересекаются во всех тех точках фазовой плоскости,
где не обращаются одновременно в нуль F1{xv х2)
и F2(xv х2). Особые точки системы находятся из условия
= т. е. определяются как общие корни двух урав-
нений:
Fi(zp яа) = 0, ।
F2 (#i> ^2) = 0. J
(5.39)
В предыдущем параграфе при рассмотрении линей-
ной системы было
Fdxv x2) = ax1-\-bx2i
FAXV X2) = CXl + dx2>
и уравнения (5.35) имели только одно общее решение:
^1==а;2=:0. В плоскости xv х2 условия (5.39) определяли
две прямые линии, пересекающиеся в начале координат
(фиг. 184). Если же функции F^Xy х2) и F2(xv х2)
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ’ 359
нелинейны, то кривые, определенные с помощью (5.39),
могут пересекаться и вне начала координат. Уравнения (5.39)
имеют в этом случае, кроме решения *) х1 — х2 = О,
и другие решения. В этом случае, кроме регулируемого
режима, в системе возможны и иные положения равно-
весия (фиг. 185), и характер движения в системе зависит
от величины начального отклонения,
♦) Кривые Fi = 0 и F2 = 0^ всегда пересекаются в начале
координат, так как при принятой в этой книге системе отсчета
точке г,--#2 = 0 соответствует положение равновесия, т. е. в этой
точке Xi = а?2 = 9.
360 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
На фиг. 186 в качестве примера показан фазовый
портрет системы (5.37) для случая, когда кривые ^ = 0
и Е2 = 0 пересекаются, кроме начала координат (где
имеется особая точка типа «устойчивый фокус»), только в од-
ной точке, где располагается «седло». Жирной линией
показана траектория, проходящая через «седло» и выде-
ляющая «область притяжения» исследуемого равновес-
ного устойчивого режима, т. е. особой точки типа «устой-
чивый фокус», расположенной в начале координат (эта
область заштрихована на фиг. 186).
Если начальные отклонения #10, я20 определяют
на фазовой плоскости (фиг. 186) точку, лежащую внутри
заштрихованной области, то с течением времени изобра-
жающая точка по фазовой траектории будет стремиться
к'началу координат и пб отношению к этому начальному
отклонению система является устойчивой. Если же на-
чальное отклонение таково, что точка х10, х20 лежит вне
заштрихованной области, то изображающая точка по соот-
ветствующей фазовой траектории уходит в бесконечность
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 361
и по отношению к такому начальному отклонению си-
стема неустойчива. Область притяжения особой точки,
расположенной в начале координат, можно назвать по-
этому областью устойчивости системы.
Фазовый портрет, показанный на фиг. 186, так же
как и фазовый портрет линейной системы, не содержит
замкнутых фазовых тра-
екторий. Между тем, в
нелинейных системах,
как в том случае, когда
имеется только одна осо-
бая точка, так и в слу-
чае нескольких особых
точек, могут содержать-
ся замкнутые траекто-
рии, охватывающие осо-
бую точку.
На фиг. 187 показан
пример системы, имею-
Фиг. 187.
щей только одну особую
точку в начале коор-
динат («устойчивый фо-
кус») и одну замкнутую траекторию, охватывающую нача-
ло координат. Фазовые траектории не могут пересекаться
где-либо вне особой точки, й поэтому замкнутая траекто-
рия (ее называют обычно предельным циклом) отделяет
область притяжения или область устойчивости особой
точки (заштрихована на фиг. 187). Внутри предельного
цикла фазовые траектории «сматываются» с него и «нама-
тываются» на начало координат. Снаружи фазовые траек-
тории «разматываются» с предельного цикла, и по любой
фазовой траектории изображающая точка уходит в бес-
конечность. Сам предельный цикл соответствует незату-
хающим колебаниям, но в рассматриваемом случае они
неустойчивы. Достаточно сколь угодно малого возмуще-
ния, чтобы изображающая точка, сойдя с предельного
цикла, более уже не возвращалась к нему, а перемещалась
бы по соответствующей траектории к началу координат
или в бесконечность. Незатухающие колебания в такой
системе реально не наблюдаются, а роль предельного
цикла состоит лишь в отделении области устойчивости.
362 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Другой пример системы, имеющей одну особую точку
(«неустойчивый фокус») и один охватывающий ее пре-
дельный цикл, показан на фиг. 188. В этом случае иссле-
дуемое положение равновесия неустойчиво, но «область
отталкивания», или «область неустойчивости», системы
ограничена предельным циклом (эта область заштрихована
на фиг. 188). После начального отклонения, лежащего
внутри заштрихованной области, колебания нарастают
и постепенно устанавливаются незатухающие колебания,
соответствующие предельному циклу. Наоборот, после
начальных отклонений, определяющих точку, лежащую
вне заштрихованной области, колебания затухают до тех
пор, пока не восстановятся колебания, соответствующие
предельному циклу. Он в этом случае не только отделяет
область неустойчивости, но и определяет устойчивые
незатухающие колебания, реально наблюдаемые в системе.
На фиг. 189 показан пример фазового портрета системы,
содержащей два предельных цикла, охватывающих един-
ственную особую точку системы («устойчивый фокус»).
В этом случае область устойчивости особой точки, соответ-
ствующей регулируемому равновесию, выделяется внут-
ренним неустойчивым предельным циклом. Если началь-
ные отклонения я10 и я20 определяют на фиг. 189 точку,
охватываемую внутренним предельным циклом, то поло-
жение равновесия восстанавливается и система устой-
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 363
чива. Если же эта точка не охватывается внутренним пре-
дельным циклом, лежит вне его, то в системе с течением
времени устанавливаются
незатухающие колебания,
соответствующие внешне-
му, устойчивому предель-
ному циклу.
На фиг. 190 пока-
зан аналогичный фазовый
портрет для случая, когда
положение регулируемого
равновесия неустойчиво и
в начале координат рас-
полагается особая точка
типа «неустойчивого фо-
куса». В этом случае в си-
стеме устанавливаются не-
затухающие колебания,
Фиг. 189.
соответствующие внутрен-
нему предельному циклу,
ний гг10ц я20, определяющих
после начальных отклоне-
в фазовой плоскости фиг. 190
любую точку, лежащую внут-
ри внешнего предельного
цикла. В противном случае
амплитуда колебаний неогра-
ниченно растет и незатухаю-
щие колебания не восста-
навливаются.
Система может иметь пре-
дельные циклы и в том слу-
чае, если фазовый портрет
содержит более одной особой
точки. Пример такого рода
показан на фиг. 191. В этом
случае регулируемое равно-
весие неустойчиво (в начале
координат — «неустойчивый
Фиг. 190. фокус»), предельному циклу
соответствуют устойчивые не-
затухающие колебания, которые устанавливаются с тече-
нием времени, если начальные отклонения определяют
364 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
точку, лежащую внутри области, выделенной фазовой
траекторией, проходящей через вторую особую точку
(«седло»). Эта траектория показана на фиг. 191 жирной
линией.
Фиг. 191.
Если фазовый портрет системы содержит более одной
особой точки или если он содержит замкнутые траекто-
рии (предельные циклы), то область устойчивости не может
охватывать всей фазовой
плоскости подобно тому, как
это имеет место в линейной
системе. В этом случае об-
ласть устойчивости всегда
ограничена предельным цик-
лом или фазовой траекто-
рией, проходящей через осо-
бую точку.
Разумеется, фазовый порт-
рет нелинейной системы (5.37)
может и не содержать допол-
нительных особых точек или
замкнутых траекторий.
В этом случае область
устойчивости регулируемого
равновесия ’ (начала коорди-
нат фазового пространства)
может неограниченно охваты-
вать всю фазовую плоскость
и, так же как в линейной системе, факт устойчивости
может не зависеть от величины начального отклонения..
До сих пор рассматривалась система, состоящая из двух
уравнений 1-го порядка.
В большинстве случаев при решении практических
задач теории автоматического регулирования редко удается
свести дело к рассмотрению дифференциальных уравнений
2-го порядка. Обычно приходится иметь дело с уравне-
ниями более высоких порядков.
Рассмотрим сначала для простоты систему, которая
описывается дифференциальным уравнением 3-го порядка.
Допустим, далее, что это уравнение может быть разрешено
относительно старшей производной. В этом случае
мы можем заменить наше уравнение системой трех урав-
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 365
нений 1-го порядка;
Х1 = Р (^1» *^2’ ^з)»
•^2 = Q (*^1> *^2» ^з)’
Ж3 = /'(Ж1, £2> ^з)*
Допустим, что решение этой системы уравнений найдено:
^i = /i(C’1, С2, С3, t).
X2=f2^Pv ^2» О»
•г3 = /з(£’1» ^2» G, О»
где Cv С2 и С3 — произвольные постоянные, определяемые
начальными условиями. Задавшись значениями перемен-
ных в начальной точке я10, я20, я30 и меняя параметр t,
получим в пространстве трех измерений xv х2, х3 кривую,
проходящую через данную исходную точку. Эта кривая
будет соответствовать найденному интегралу системы диф-
ференциальных уравнений. Задавшись другой начальной
точкой (х10, я20, х30), найдем другую интегральную кри-
вую и т. д. Эти кривые могут пересекаться только в осо-
бых точках. Особые точки определяются из условия
х^ = Р (^, х2, х3} = О,
Х2 ~ Q (З'Р Х2> Хз) = О’
х3 = F х2, х3) = 0.
Если порядок уравнения системы больше, чем 3-й,
то вместо трехмерного фазового пространства рассматри-
вают воображаемое n-мерное пространство с большим, чем
три, числом измерений, т. е. такое пространство, в кото-
ром для задания точки надо задать больше трех чисел.
Если данная система дифференциальных уравнении
имеет периодическое решение, то этому решению в фазо-
вом пространстве соответствует замкнутая кривая.
На плоскости замкнутые кривые являлись границами
областей. В пространстве же ограничивать определенные
области могут поверхности, а не кривые. Поэтому зам-
кнутая траектория попрежнему соответствует периоди-
ческому решению рассматриваемой системы дифференци-
альных уравнений, но не служит границей области.
366 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Фазовое пространство может быть разделено на обла-
сти, где фазовые траектории ведут себя одинаковым обра-
зом по отношению к предельным циклам или особым точ-
кам. Границами этих областей служат сепаратрисные
поверхности, целиком состоящие из фазовых траекторий.
Найти эти поверхности представляется возможным да-
леко не во всех случаях. Этим в значительной степени
объясняются большие трудности решения нелинейных
задач высоких порядков.
Кроме того, в системах высокого порядка могут су-
ществовать непериодические (почти-периодические) коле-
бательные движения. Примером такого колебательного,
но непериодического решения служит, например, функция
х=A sin Ы-рВ sin 2Z,
где со и 2 являются постоянными числами, между кото-
рыми нет целочисленных соотношений вида n<o-[-mQ = k
(где. и, т и к—целые числа).
Соответствующей этим движениям фазовой траекто-
рией служит незамкнутая кривая, всюду плотно заполняю-
щая некоторую область фазового пространства. Такие
траектории сами могут быть устойчивыми и неустойчи-
выми.
Итак, существует два принципиальных различия между
фазовой плоскостью и фазовым пространством:
1. На фазовой плоскости предельный цикл является
не только образом колебательного движения, но и грани-
цей области устойчивости для другого предельного цикла
или особой точки.
Иногда границей служат и сепаратрисные кривые,
но это имеет место в сравнительно редких случаях (глав-
ным образом при наличии нескольких особых точек, когда
сепаратрисами служат траектории, проходящие через
седла).
В фазовом же пространстве никакая кривая (в том
числе и предельный цикл) не может быть границей области.
Области ограничиваются сепаратрисными поверхно-
стями, целиком состоящими из фазовых траекторий.
В результате для фазовой плоскости нахождение осо-
бых точек, предельных циклов и определение их устой-
чивости «в малом» решают обычно задачу и об их устой-
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 367
чивости «в большом». В фазовом же пространстве нужно
для этого найти и сепаратрисные поверхности, что
является задачей чрезвычайно сложной.
2. В системах 2-го порядка колебания могут быть
только периодическими.
При более высоких порядках могут сосуществовать
колебания разных частот.
Если эти частоты не связаны целочисленными соотно-
шениями, то сумма этих двух колебаний есть тоже коле-
бание, но непериодическое.
Такое колебание в фазовом пространстве определяет
уже не замкнутую траекторию, а траекторию, полностью
заполняющую некоторый замкнутый объем (например,
тор). Такая траектория может быть устойчивой и не-
устойчивой.
в) Устойчивость «в малом», «в большом» и
«неограниченная устойчивость». Понятию устой-
чивости можно дать графическую интерпретацию.
Равновесие называется устойчивым «в малом», если
этому равновесию соответствует в фазовом пространстве
системы устойчивая особая точка, т. е. если можно ука-
зать в фазовом пространстве область такую, что после
любого начального отклонения, принадлежащего этой
области, изображающая точка приближается к особой
точке, соответствующей регулируемому равновесию.
Таким образом, говоря, что регулируемый режим
устойчив «в малом», мы лишь констатируем факт наличия
устойчивой особой точки, но не определяем как-либо
границ ее притяжения.
Пусть фазовый портрет системы построен и выделена
область устойчивости. Назовем ее областью G.
Укажем теперь в плоскости xv х2 область начальных
отклонений, которые могут иметь место в рассматривае-
мой системе автоматического регулирования в соответ-
ствии с условиями ее технической эксплуатации,—назовем
ее областью L.
Если все точки области L принадлежат области G,
то регулируемый режим называется устойчивым «в боль-
шом».
На фиг. 192 показан пример фазового портрета, в ко-
тором область устойчивости выделяется неустойчивым
368 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
предельным циклом, а область возможных начальных
отклонений задана в виде прямоугольника. В случае
фиг. 192, а система устойчива «в большом», а в случае
фиг. 192, б она устойчива «в малом», но неустойчива
«в большом», так как при некоторых начальных отклоне-
ниях, возможных в уста-
новке, регулируемый ре-
жим не восстанавливается.
Если область устойчи-
вости не ограничена и ох-
ватывает все фазовое про-
странство, т. е. если си-
стема устойчива после лю-
бых начальных отклоне-
ний, то она называется
неограниченно устойчивой.
Совершенно аналогич-
но определяются устойчи-
вость «в малом», «в боль-
шом» и «неограниченная
устойчивость» предельных
циклов.
г) Пространство
параметров. Бифур-
кации. Фазовые портре-
ты особенно удобны для
оценки качественной кар-
тины движений возможных
в системе. Одного взгля-
да, например, на фиг. 189
достаточно для того, чтобы
утверждать, что в системе, имеющей такой фазовый порт-
рет, положение равновесия устойчиво по отношению к на-
чальным отклонениям, не превосходящим определенный по-
рог, а после начальных отклонений, превосходящих этот
порог, устанавливаются незатухающие колебания, ампли-
туда и частота которых совершенно не зависят от того,
насколько превзойден указанный выше порог. Эта картина
сохраняется вне зависимости от размеров предельных
циклов (от этих размеров зависят лишь пороговые зна-
чения для начальных отклонений, а также амплитуда
s 8] НЕКОТОРЫЕ_:СВЕДЕНИЯ .0 ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 369
и частота незатухающих колебаний, т. е. количественная,
а не качественная сторона дела).
Качественная же картина движений целиком опреде-
ляется топологической структурой фазового пространства,
т. е. наличием, типом и взаимным расположением осо-
бых траекторий—особых точек, предельных циклов,
сепаратрисе.
Пусть теперь в рассматриваемой системе фиксированы
значения всех параметров, кроме какого-либо одного
(например, кроме постоянной времени или коэффи-
циента усиления какого-либо звена). Назовем его пара-
метром а. На числовой оси а выберем точку a = av
При этом значении а = аг все параметры системы опреде-
лены и может быть тем или иным способом построен фазо-
вый портрет системы. Пусть, например, он имеет вид,
показанный на фиг. 189. Изменим теперь значение а.
Новому значению а соответствует новый фазовый портрет.
Таким образом, каждой точке числовой оси а может быть
поставлен в соответствие определенный фазовый портрет.
Из теоремы о непрерывной зависимости интегралов диф-
ференциальных уравнений от параметров следует, что при
малом изменении а фазовый портрет также меняется мало.
Если точке а=аг соответствовал фазовый портрет, имею-
щий топологическую структуру, показанную, например,
на фиг. 189, то такую же топологическую структуру будет
иметь фазовый портрет при a = a1-j-st по крайней мере,
если | е | достаточно мало. С ростом е может быть достигнуто
значение е, когда структура фазового портрета изменится.
Это может произойти, например, при слиянии отдельных
особых траекторий или при смене их устойчивости. Так,
например, на фазовом портрете фиг. 189 внутренний пре-
дельный цикл может по мере изменения а стягиваться
к началу координат и при некотором значении а=а*
слиться с ним, так что при дальнейшем изменении а
фазовый портрет будет содержать лишь один предельный
цикл, а особая точка в начале координат станет не-
устойчивой. Эта новая структура фазового пространства
будет сохраняться при большем значении а, если не бу-
дет далее достигнуто новое значение а=а**, при кото-
ром вновь изменится топологическая структура фазового
портрета.
24 м. А. Айзерман
370 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
Таким образом, при изменении какого-либо параметра
количественные характеристики фазового портрета ме-
няются непрерывно, а качественная характеристика фазо-
вого портрета—его топологическая структура—претерпе-
вает резкие изменения при дискретных значениях пара-
метра. Эти дискретные значения параметра называются
бифуркационными.
Бифуркационные точки разделяют числовую ось пара-
метра а на участки, соответствующие системам, имеющим
одинаковую структуру фазового пространства.
У линейных систем воможны только две топологические
структуры фазового пространства: особых траекторий нет,
единственная особая точка в начале координат (устой-
чивая при одной структуре и неустойчивая при другой),
область устойчивости или неустойчивости не ограничена.
Смена этих топологических структур происходит при дис-
кретных значениях изменяемого параметра—на границе
области устойчивости. В этом смысле значение параметра
на границе области устойчивости является бифуркацион-
ным. Но у нелинейных систем понятие бифуркации более
общее. Бифуркационное значение параметров может соот-
ветствовать не только смене устойчивости особой точки,
но и исчезновению, либо зарождению предельного цикла,
изменению числа особых точек и т. д.
До сих пор для простоты речь шла о числовой оси,
т. е. о пространстве одного параметра. Не составляет
труда обобщить введенное понятие на пространство пара-
метров любого числа измерений подобно тому, как обоб-
щается понятие «область устойчивости» у линейных си-
стем.
Пусть для полного определения уравнений движения
системы надо задать т параметров.
В m-мерном пространстве этих параметров каждой
точке соответствует определенная структура фазового
пространства и, следовательно, может быть указана гипер-
поверхность, разделяющая пространство параметров на об-
ласти, соответствующие системам, имеющим одинаковую
топологическую структуру фазового пространства. В част-
ном случае, когда рассматриваемая система может быть
однозначно определена заданием двух параметров, про-
странством параметров служит обычная плоскость, а бдфур-
§ 8] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 371
кационные значения параметров определяют кривую в этой
плоскости.
д) Понятие о полном и частном решении
нелинейных задач. Значения периодических
решений. Понятие «полное решение нелинейной задачи
теории автоматического регулирования» условно. Чем со-
вершеннее методы, которыми владеет теория автомати-
ческого регулирования, тем более полные сведения о ди-
намической системе могут быть точно определены.
В настоящее время нелинейная задача считается качест-
венно решенной полно, если определены фазовые портреты,
возможные в этой системе, и если в ее пространстве пара-
метров определены бифуркационные границы. Количест-
венное решение задачи требует, кроме того, определения
формы и расположения предельных циклов и сепаратрисе
(или сепаратриссных поверхностей) для каждой точки про-
странства параметров.
Столь полно решать нелинейную задачу удается лишь
в отдельных частных случаях и, как правило, при сущест-
венной идеализации задачи. В связи с этим часто удовле-
творяются решением частных задач. Наибольшее значе-
ние приобрели следующие две частные задачи:
а) Задача об определении условий, при которых фазо-
вый портрет системы не содержит каких-либо особенно-
стей, кроме особой точки, соответствующей регулируемому
равновесию*).
б) Задача об определении периодических решений
дифференциальных уравнений, описывающих процесс ре-
гулирования, условий их существования и устойчивости
«в малом», т. е. задача о нахождении предельных циклов
и тех частей бифуркационных границ в пространстве пара-
метров, которые соответствуют изменению числа циклов.
Теперь можно вернуться к вопросам, сформулирован-
ным в начале этого параграфа, о значении, которое имеет
определение периодических решений и их устойчивости.
В сколь-либо общем случае .определение всех особых
точек и периодических решений и условий их локальной
устойчивости недостаточно для определения структуры
фазового пространства, т. е. недостаточно для выясне-
♦) Эта задача упоминалась в конце главы III.
24*
372 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
ния всех возможных типов движения в рассматриваемой
системе. Лишь в частных случаях систем 2-го порядка,
когда фазовая плоскость не содержит сепаратриссных кри-
вых, знание особых точек, периодических решений, усло-
вий их существования и устойчивости позволяет пол-
ностью решить задачу, т. е. определить возможные топо-
логические структуры фазовых портретов и разбиение
пространства параметров бифуркационной границей на
области, соответствующие одинаковым фазовым портретам.
§ 9. Заключительные замечания
Линейный анализ позволяет оценить устойчивость
системы по отношению к малым возмущениям и исследо-
вать характер процесса регулирования, если только воз-
мущающие воздействия достаточно малы. За редким исклю-
чением, исследование процесса регулирования при реаль-
ных возмущениях требует учета нелинейностей, т. е.
рассмотрения нелинейных дифференциальных уравнений.
Задача о построении процесса в нелинейных системах
при заданных условиях решается графическими и числен-
ными методами, которые подробно излагаются в любых
курсах приближенного и численного анализа. Общие
методы синтеза и анализа нелинейных систем регулирова-
ния разработаны очень слабо и не проверены еще прак-
тикой в такой мере, чтобы их имело смысл включать в этот
краткий курс теории автоматического регулирования. Но
один из частных вопросов, возникающий при рассмотрении
нелинейных систем регулирования,—вопрос об установив-
шихся периодических режимах—разработан весьма де-
тально и доведен до простых методов, пригодных для тех-
нических расчетов.
При отсутствии внешних периодических воздействий
периодические режимы (автоколебания) обычно вредны,
и задача состоит в определении параметров, при которых
автоколебания не возникают. В некоторых же случаях
автоколебания полезны, а иногда неизбежны, так как
сам принцип действия прибора основан на использовании
автоколебаний (например, вибрационные регуляторы,
двухпозиционныо регуляторы и т. д.). В таких случаях
цель исследования состоит в том, чтобы найти параметры
$ 9] ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ 373
автоколебаний (амплитуду, частоту) и выяснить, как можно
их изменять в требуемом направлении. При действии же
на систему внешнего периодического воздействия периоди-
ческие режимы возникают лишь при частотах, лежащих
в определенной полосе; требуется найти амплитуду и
фазу периодического отклика системы («вынужденных коле-
баний») и границы этой полосы.
Методы, используемые для решения таких задач, могут
быть подразделены на две большие группы. Первую группу
составляют приближенные методы, опирающиеся на пред-
положение о том, что исследуемый периодический режим
мало отличается от гармонического. Вторую группу состав-
ляют точные методы, нс пренебрегающие гармониками
в разложении периодического решения в ряд Фурье.
Из методов первой группы (приближенных) в этой
главе описан метод гармонического баланса, а из точных
методов—частотный метод определения периодических
режимов в релейных системах.
Приближенный метод может быть использован только,
если оправдано предположение о близости исследуемого
режима к гармоническому. Такое предположение может
быть сделано в двух случаях: в случае, когда система
близка к линейной, у которой амплитудная характери-
стика имеет большой и острый пик («авторезонанс»), и в
случае, когда линейная часть рассматриваемой системы
не пропускает гармоник, порождаемых нелинейным эле-
ментом («фильтр»).
В том случае, когда предположение о близости коле-
баний к гармоническим оправдано авторезонансом, можно
считать, что процесс установления представляет особый
«почти-гармонический» процесс—синус с медленно изме-
няющейся амплитудой и фазой. Это позволяет получить
простые критерии устойчивости периодических режимов.
Эти критерии непригодны в тех случаях, когда причиной
близости колебаний к гармоническим служит фильтр,
так как при фильтре нельзя считать процесс установле-
ния «почти-гармоническим». Приближенный метод при-
водит к следующему принципиальному выводу: в тех
случаях, когда нелинейная характеристика нечетная,
частота автоколебаний не зависит от вида характери-
стики; форма нелинейной характеристики влияет лишь на
374 АВТОКОЛЕБАНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ [гл. V
амплитуду автоколебаний и на то, будут они суще-
ствовать или нет.
В релейных системах периодические режимы и усло-
вия их устойчивости могут быть найдены точно. Это свя-
зано с тем, что форма колебаний на выходе релейного
элемента—прямоугольные, периодически повторяющиеся
импульсы—предопределена свойствами реле.
Существование или отсутствие периодических режимов
не связано непосредственно с определением границ области
устойчивости регулируемого режима, если только порядок
системы уравнений, описывающей процесс, выше, чем
два. Область устойчивости может быть ограничена, и си-
стема может быть «в большом» неустойчивая, несмотря
на то, что она устойчива в малом и периодических режи-
мов нет. Достаточные условия устойчивости «в большом»
могут быть получены из иных соображений, описанных
в конце главы III.
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕ К ИНТЕГРИРОВАНИЮ СИСТЕМ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
1. Общее представление о преобразовании Лапласа
Пусть задана функция / (t), равная нулю при t < 0 и отлич-
ная от нуля при всех или хотя бы некоторых значениях i > 0.
Тогда интегралом Лапласа функции / (t) называется интеграл
вида
со
0
где р—комплексное число.
Обозначим этот интеграл L [/ (f)J.
Если / (£) задана, то для каждого значения числа р можно
подсчитать значение £[/(£)]• В этом смысле L [/ (г)] есть функ-
ция р. Каждой /(0 при некоторых общих ограничениях, наклады-
ваемых на нее, соответствует определенная функция L [f (0].
Функция/(0 называется оригиналом, а функция £[/(£)] —
преобразованием Лапласа или изображением функции j (t) *).
Запишем это так:
Определение изображения по оригиналу составляет прямую
задачу теории преобразования Лапласа. Определение оригинала
по изображению составляет обратную задачу теории преобразова-
ния Лапласа.
Для теории автоматического регулирования наиболее суще-
ственно, что применение преобразования Лапласа позволяет
♦) Ограничения, которые накладываются на функцию /(*)»•
чтобы существовало ее изображение, и , наоборот, на изображение,
чтобы существовал оригинал, здесь не оговариваются. Для задач
регулирования эти ограничения несущественны. Подробнее см.
литературу к приложению 1.
376
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
сильно упростить интегрирование систем линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами.
Существуют общие приемы, позволяющие, зная изображение
одной функции, найти изображение другой функции. Для даль-
нейшего важны лишь некоторые из этих приемов. Перечислим их *).
1°. Определение изображения суммы нескольких функций
по изображениям этих функций. Если
L[Л(«)] ?/1 (0; L(0J?/2(0;L[fn(t)j? fn(О.
ТО
L [/1 (0 + h (0 + • • • + in (0J = 1 [/1 (01 + L [/2 («)] + ... + L \fn («)].
2°. Определение изображения производной от заданной функ-
ции. Пусть
ь [/(«)] г /(О-
Тогда
Если / (0) = 0, то L J т* pL (/ (01- Аналогично
Если ♦♦)
/(0) = «=0,
то
L [т#1] *
Вообще
ф^(0) + ^« + р^+...+^] .
Если
ч^]=?т£[/(01-
♦) Доказательства см. в литературе к приложению 1.
♦♦) Здесь и всюду далее в приложении 1 для сокращения записи
Г<*7(0“| . ^7(0) 4
вместо I I о принято обозначение , где r = ij 2j
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
377
3°. Определение изображения от определенного интеграла.
Если
то
О
4°. Изображения основных функций, встречающихся в задачах
регулирования. В таблице п. 1 приведены изображения Лапласа
для некоторых функций, встречающихся в задачах теории регу-
лирования.
Выражения эти легко проверить подстановкой соответству-
ющих f (t) в интеграл, определяющий преобразование Лапласа и
непосредственным интегрированием.
Таблица П. 1
Оригинал
L [const 1]
L[tnl]
L [1 sin сиг]
L [1 cos o)f]
L [2 sin(coi cp)]
L [1 cos (<oi cp)]
Изображение
const
P
nl
Cl)
P2 + O)2
L[lcha/] = L +
L [1 eat]
co cos <p + josin <p
p2 + Cl)2
p cos T w sin <p
p2 + Cl)2
1
p2—a2
P
P2 + a2
1
p — a
Mp-\-N
P2 + bp + c
378
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Выше всюду 1 обозначает функцию t, равную 0 при t < 0 и
равную 1 при t > 0 («единичная функция»).
5°. Построение изображения функции с запаздывающим аргу-
ментом, Если
ь Г/(0J->/(*),
то
где
т = const.
6°. Построение оригинала для произведения изображений двух
функций. Пусть
^[/1(01-?/1(0 и £[/2(0]4>/2(0.
Тогда
t t
i[/l(0]i[/2(0]'7> 5 /> (')/2 (* —
o b
Интеграл такого вида называется сверткой двух функций.
Произведению двух изображений будет соответствовать не
произведение оригиналов, а их свертка.
7°. Предельные свойства преобразований Лапласа. Обозначим
F (р) = L[f f (t), и пусть все полюсы*) F (р) имеют отрица-
тельную действительную часть. Тогда
[/ (OUo =[рЛр)]р=оо>
и наоборот:
[/(OUoo=[^(P)]p=0>
т. е. предельные значения функции f (t) можно найти, подставив
в ее изображение, умноженное на р, значения p = Q или р = оо.
Этими формулами можно воспользоваться, чтобы определить пре-
дельные значения решения дифференциального уравнения по виду
этого уравнения, не решая его.
§ 2. Интегрирование одного дифференциального уравнения
Рассмотрим дифференциальное уравнение с правой частью:
dnx (t) , dn~'x(t) , d*-*x(t} , /п_,,м /гт м
а° dtn ' +а‘ + + ” + a>ia: (0-/(0- (П.1)
Умножим левую и правую части уравнения на и про-
интегрируем его в пределах от 0 до оо:
С [ а» + • • • +а*х (01 е-р1 *= \ / (0 dt,
о о
♦) To-есть в случае, когда F (р) есть дробно-рациональная
функция, — все корпи знаменателя этой функции.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
379
ИЛИ
о о
оо оо
.. .+ ап x(t)e-₽'rft= ^/(t)e-P'dZ.
о о
Теперь можно это уравнение записать в виде
a°L [^гП+а1£ [^^1+ ••• +*пь[*(*)! = £[/(*)]•
L *** J L. и* I
Заменим теперь по приведенным выше формулам изображе-
ния производных через изображения первообразной функции и
соответствующие начальные условия:
айрпЬ [х(()] - а0 [ х (0) + р«-2 . ] + a1P^L [х (г)] -
-аг [рп-2х(0)+Р"-з^+ +ап£[х(Г)] = £[/(0].
Если теперь все выражения, содержащие начальные условия,
перенести в правую часть, а в левой части вынести затем L[x(f)]
за скобки, то получим:
(«о?п + «I?”'1 + • • • + an) L [х (0] = L [/ («)] + R (?). (П.2)
Здесь R(p) обозначает сумму всех членов, содержащих на-
чальные условия, и является многочленом по р с коэффициен-
тами, зависящими от начальных условий.
Если привести в R(p) подобные члены, получим многочлен
по р
R(p)^b1pn~1 + ... +Ъп_1Р + Ъп, (П.З)
коэффициенты которого зависят от начальных условий и равны
&i = flo*(O),
Ь2 = а0 +Дх^(О)>
at
r d"-2x(0) dn-3x(0) , , (П’4)
i>n-l= а0 ^(П_2-F а1 сЦП-З F • • • + ап-2 х (0).
r dn-MO) dn~2x(0) , , ,n.
6n = ao +gi rfjn-a" + •" kan-ix(()y
380
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Если все начальные условия нулевые:
dx(0) Л(0) d"->r(0)
*(0)=-di-----~dT*---------~di^—0’
то и Л (p) = 0.
Многочлен в скобках в левой части уравнения (П.2) может
быть получен непосредственно из рассматриваемого уравнения
(П.1), если производную от х порядка т вместо обычного обозна-
d^x
чения -=— обозначить ртх. Тогда уравнение (П.1) можно перепи-
dtm
сать так:
aQpnx + а1рп~1х 4- ... + апх = /(£)
или, вынося за скобки х,
D(p)x-=f(t),
где
D (p)^aQpn-Ya1pn-1A- ... +ап.
Уравнение D(p) = 0, если рассматривать р как обычное перемен-
ное, называется характеристическим.
Уравнение (П.2) можно теперь записать так:
D(p)L[x(t)] = L[f(t)] + R(p)
или
L[f(t)] R(p)
£[хМ1=~о^Г+л(7)- <п-5)
Дальнейшая задача заключается в определении x(t) по най-
денному изображению этой функции.
п £ 1/(01
Слагаемое — определяет движение системы под дей-
ствием возмущения /(£)ф0 при нулевых начальных условиях,
R (р) *
а слагаемое — движения системы, обусловленные tqm, что
начальные условия отличны от нулевых.
Пример 1. Найти изображение интеграла уравнения
d?x (i) dx (t) , . . с . л
°° dt* ~ + fll —dt +°2*(0 = 5sin*>
если начальные условия при 1 = 0 равны:
dx л
х=х°’ dF = °-
Умножая обе части уравнения на е~?1 и интегрируя в преде-
лах от 0 до оо, получаем:
aoL [т] +MW)] = 5£[sinr],
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
381
Выполняя преобразование, найдем:
ао { p*L (х (4)] - [ рх (0) + | + a,pL (4)] -
1
—х (0) + a2L [х (4)] = 5 -2+1 ,
ИЛИ
(аоР2 + alP + а2) L [а: (4)] = + £ аорх (0) + а^О) + а0 j
Решая это уравнение относительно L [х ($)J, получим:
Ртт+ад
где
В (р) = аорх (0) + aYx (0) + а0 •
Далее надо перейти от полученного изображения к ориги-
налу. Чтобы в общем случае изучить прием, используемый для
этой цели, вернемся к уравнению (П.5), определяющему изобра-
жение искомой функции x(t):
И положим
/(i)^0.
Тогда
Найдем функцию x(t), для которой
Г Г 4М1 - - R № - 6^П-1 + Ь^рП~2 + • • • +
1 ( Л ~ D (р) а<)рп + а1Р”-> ’
С этой целью разложим правую часть равенства на простые
дроби*). Тогда
L («)] = -------Г,-----------------------г =
(р — Р1)(Р — Рз}(р — Рз) ••• (р — Рп)
♦) Рассматривается только случай, когда нет кратных корней.
382
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
где pi, p2t . . . , рп — корни характеристического уравнения
Z)(p) = 0; А2, ...» Ап — коэффициенты (числители) простых
дробей.
Выведем формулу для определения всех А. Для этого умно-
жим правую и левую части уравнения на (р — рь), где р^ — любой
из корней уравнения D(p) = 0:
... +-J^Ah_1 + Ak +
Р—Pl Р — Р2 Р — Pk-l
+ P~Ph-Aktl+ ... +^^An=^^R(p).
Р — Pk+1 Р Рп В \Р)
Положим в полученном уравнении р = рк. В левой части от-
лично от нуля только слагаемое А^. В правой части дробь
при р = рк превращается в неопределенность вида —. Раскрывая
ее по правилу Лопиталя, получим lim —- откуда
P->Pft D(P) & (Pk) J
определения любого коэффициента Ak получаем
л R(Pk)
к~ D'(Pk) ’
уравнение для
в виде
где
в
Подставляя
для L [я (t)]:
_ Д(?1)
D'(Pi)
или
(П.6) эти значения А^, находим выражение
1 । Д(Рз)
Р— Pi D' (Pi)
1 . . П(Рп) 1
Р— ”2 Ь’(рп) р — рп’
R(Pk)
k=n
L (х (01 = 2 D'(pk)(p — pk) •
Я=1
(П.7)
В каждом
в таблице П.1, было приведено
£[/(«)]=^4
R ( D }
слагаемом коэффициент - , = const. Выше.
р> (Pk)
выражение оригинала для
-г. Используя это выражение, находим:
—----------------eph' .
Р-Рк ’
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
383
Следовательно,
R(Ph) • R(Pk) Pbt
D'(Pk)(p~Pk) ‘ D’(pk)
(П.8)
Таким образом, интеграл уравнения (П.1) при f(t) = O и при
отличных от пулевых начальных условиях равен
h=l
Для нахождения этого интеграла необходимо:
1) определить D(p) — левую часть характеристического урав-
нения;
2) найти корни этого уравнения;
3) определить коэффициенты многочлена Н(р), вычислив их
по формулам (П.4);
4) найти производную D' (р);
5) подставить последовательно plt р2, . . . , рп в D'(р) и
в R(p) и найти значения (гДе Л=1, 2, 3, 4, , п):
D (Pk)
6) составить сумму (П.8).
Если среди корней имеются комплексные сопряженные:
= a + Ph+i = “ —
TO
_Л(м)_ С+й)
D'(ph) X + i5 +J
и
1)'(рьЛ
Запишем комплексные числа в векторной форме:
B(Pk)
D'(Pk)
= Aei'f,
где
A = /Ьа + а2,:
Тогда сопряженное комплексное
<P = arctgy.
число
D (/>feti)
и среди слагаемых в
k=n
ePfc<
D’ (Ph)
384
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
будут содержаться слагаемые
А. е(«+»₽)' + Ае~^е(а-^‘.
Воспользовавшись тождеством Эйлера
e<2=cos z+ i sin z,
получим:
ег(₽Нср) _ CQS ср) i sjn (fit cp),
e—1(^+?) _ cos (fit cp) _ i sin (fit + Cp).
Следовательно,
Ae* Va+i^ + =
= Aeat [?<₽'+?) + е~1 <3'+cp)] = 2Aeat cos ф* + cp).
Итак, при наличии у характеристического уравнения комплекс-
ных корней
k=r h=s
* (') = 2 ChePk‘ + 2 2АкеОк‘ C0S^ht + 'Ph)- <П9>
k=l h=i
где г—число действительных корней характеристического урав-
нения, 5 — число пар сопряженных комплексных корней характе-
ристическое уравнения,
Cfe = „!*\ ’ <fk = arctg 4 ,
D (Pk) о
Pk — действительный корень характеристического уравнения,
аь и Рь—соответственно действительная и мнимая части комплекс-
ных корней характеристического уравнения, b и а —соответственно
В (Pk)
действительная и мнимая части выражения jy (р у в слУчае,
когда р^ является комплексным корнем.
Описанный прием построения интеграла дифференциального
уравнения позволяет с самого начала учесть начальные условия
и упрощает определение произвольных постоянных, амплитуд и
фаз отдельных гармоник.
Пример 2. Дано дифференциальное уравнение
и начальные условия:
♦ п /л\ к (0) d2x (0) _
при г = о Ж(0) = 5, -А2 = -^ = 0.
Характеристическое уравнение
(р) = P3 + 6jo2-h Ир+ 6 — 0
имеет корни
Pi ~ I > Рз — Рз~—
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
385
Подсчитываем коэффициенты полинома
R (?) = biP2 + b2p + &з, ьг = aQx (0) 1 • 5 = 5,
bi = ^(t“ + aiX (°) = 30- = “0 + "I + «2® (0) = 55.
ut uC Cll
В рассматриваемом случае
R (p) = 5p2 + 30/> + 55, D' (p) = 3p2 + 12p +11
И
L [x (t)l = _ 5/>2 + 30/> + 55
1 1 71 ?з + 6р2 + Up + 6 '
Поэтому
fe=3
хМ-У с^_5(1-6 + 11) , 5(4-12+11) z
x{t) Zj D’(ph) 3-12 + 11 + 12-24+11 +
k=i
5 (9 18+ 11) 3t —____j5 21 a.5e-3<
+ 27—36 + 11 + •
Пусть теперь / (i) ф 0, но все начальные условия равны нулю
и в силу этого R (р) = 0. Тогда
llr(t^LVW
LIxW=^TpT •
В теории регулирования в качестве функций /(«) рассматри-
ваются обычно функции, приведенные в таблице П. 1. Изображе-
ниями всех этих функций служат дробно-рациональные функции
вида где г(р) и s (р) —полиномы по р второй, первой или
5 тт
нулевой степени (см. табл. П. 1).
Таким образом,
r tv i Ai - - Siil
s(p)D(p) щр)'
где
D (p) = s (р) D (р).
Рассуждая совершенно так же, как это было указано выше для
случая f(t) = 0, R(p)=£Ot получим искомый оригинал x(t) в рас-
сматриваемом случае:
у ^(Pk)
?D'(ph) '
(П.10)
где pk — корни уравнения D(p) = 0. Суммирование производится
по всем корням.
25 м. А. Айзерман
386
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Если у D(p) есть один нулевой корень, т. е. D (р) = pD1Kp)t
то формулу (П.10) можно представить в виде
£>1(0)
Пример 3. Рассмотрим дифференциальное уравнение
^3L) + 6^r-) + 11T + 6:r(t)=2 <1 + e-4')-
„ ... dx(0) <Рх(0) . _ .
Начальные условия: х (0) = —= 0. Благодаря тому, что
все начальные условия равны нулю, тождес-1венно равно нулю
и -R(p).
В соответствии с таблицей П.1
В данном случае
г (р) = 2р + 4,
s(p) = p(p + 4),
D(p) = p3 + 6p2 + Ир+ 6,
D(p) = р5 + 10р4 + 35р3 + 50р2 + 24д
яЦр) = 5р4 + 40р3 + 105/j2 + 100р + 24.
Следовательно,
Т Г~ / А1 _______________________2р 4-4__________
1 {И Р(р + 4)(р3 + 6р2 + 11р + 6)-
Корни характеристического уравнения D(p) = Q равны —1,
— 2 и —3.
Корни уравнения s(p) = 0 равны 0 и —4.
Оригинал х («) равен
4 1 1 1
Z4 о о о
Предположим теперь, что одновременно /(г)ф0 и не все
начальные условия равны нулю. Тогда изображение L [я (г)]
содержит оба слагаемых:
Ь[/(0] и R(pI
D(p) И D(p) ’
и оригинал равен сумме их оригиналов.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
387
Пример 4. Рассмотрим дифференциальное уравнение
dx сРх
при начальных условиях: при t = 0 х = 5, —- g- = 0.
(LL CLI
R ( d}
В примере 2 был найден оригинал для этого случая,
о Ь 1/(01
а в примере 3 —оригинал •
Чтобы найти интеграл рассматриваемого уравнения, надо
сложить решения примеров 2 и 3.
§ 3. Интегрирование системы линейных
дифференциальных уравнений
Обычно процессы автоматического регулирования описываются
не одним уравнением, а системой уравнений, в общем случае
системой вида
Г (Рх! (0 , dxx (0 /А 1 ।
L а“ + 611 ~di~ + 611X1 () ] +
Г сРх2 (0 , , dx2 (0 , / . 1 ,
+ I Л12 —^2---Ь ^12 -------Ь С12^2 (0 J + • • •
[ (Рхп (0 j к dxn (0 । /#\ I___/ (f.\
. . . + ®ln -------F &1П г Clnxn (0 1 — /1 (0>
Г d2Xi (0 , dXi (0 , . 1
L a” + &21 ~dt~ + CalX1 W J +
+ [+623 т+C22Xa w] + ---
... + [ ain + ban + c2nxn (Г)] =/2 (t),
Г da*i(0 ,1 dxi(t) .1
[ anl dtz— +bm —gf + (t) J +
+ [ °n2 "J2- + Ьпг + C’l2Xa W ] + • ’ ‘
... + [ апп + bnn ^ + cnnxn (»)] =/n (О, (П.11)
25*
388
ПРИЛОЖЕНИЕ jl
где a?i (г), &г(О» •••, (£) —искомые функции г; а, 6, с—действи-
тельные числа (в каждом конкретном случае часть этих чисел —
нули), a fa (г) — функции, имеющие отличные от нуля значения
лишь при t 0.
Чтобы определить закон изменения какой-либо из обобщен-
ных координат можно было бы, исключая остальные коор-
динаты, заменить эту систему дифференциальных уравнений одним
уравнением относительно заменить далее начальные условия,
заданные для системы (П.11), соответствующими условиями для
этого уравнения и действовать затем по указанным выше пра-
вилам. Проще, однако, в случае, когда задана система линейных
дифференциальных уравнений, перейти в каждом уравнении
системы в отдельности к изображениям совершенно- так же, как
это производилось выше в случае одного уравнения. Для этого
надо левую и правую части каждого уравнения умножить на е~^
и проинтегрировать их затем в пределах от 0 до оо. В резуль-
тате получим систему алгебраических уравнений относительно
изображений L (£)], L [х2 ($)], ..., L[xn (t)]:
£*n (?) В [я?х (£)] + £*12 (?) L [х2 (£)] + ...
• • • + Dln (р) L [zn (t)] = L [Л (t)] + Ri (?),
£*21 (?) £ [^1 (01 + £*22 (?) £ [х2 W] + • • •
... + £*2п (?) £ [^п (01 = £ (Л (0] + (?), (п.12)
£*ш (?) £ [^i (0] + £*п2 (?) £ [^2 (0] + • • •
.. • + Dnn (?) L [яп («)] = £ [/п (01 + Rn (?),
где все Ri(p), R2(p)t .R», (?) — многочлены по р с коэффициен-
тами, зависящими от начальных условий*), а все Dtj(p) опре-
деляются так же, как и в случае дифференциального уравнения.
Система (П.12) содержит п линейных алгебраических уравне-
ний с п неизвестными:
£i[*i(*)L £ [х2 (0L • ••> £[a7n(0L
Если интересуются какой-либо одной координатой, напри-
мер хи то ее изображение находят, решая систему (II. 12) относи-
♦) Функции /?1(р), R2(p), ...» Rlt(p) определяются в про-
цессе перехода от системы (П.11) к (11.12). Они не могут быть
подсчитаны непосредственно по формулам (П.З), (П.4), приведен-
ным выше для подсчета R(p) в случае преобразования одного
дифференциального уравнения, так как в этом случае каждое
из уравнений, входящих в систему (П.11), содержит несколько
искомых функций & (г).
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
389
Д
тельно L [я?1], где Z,[zj] = -~ ;
Dn (р) ^12 (?) • •• -Ощ(?)
^21 (Р) 1^22 (?) • • • Оъп (?) >
От (?) ^П2 (Р) • • • Dnn (р)
Uh W + Rttp) Л12 (р) ... Din (р)
о [/а (01 + R2 (?) л22 (р) ^2п (р)
L[fn(t)] + Rn (р) Вп2 (р) • . . Dnn (р)
Раскрыв определитель Дь получим:
Ы*1 (*)] = -£ =
1/1 (0] Дц + ».»+£ [/n (Q] Дщ + Д1 (р) Ди + .. + Rn (р) Ап
D(p)
(П.13)
где D(p) = &(p)—левая часть характеристического уравнения
системы, а Дп, Дц, Д1а — алгебраические дополнения соответ-
ствующих элементов первого столбца.
Если
А (0=А (0=...=/п(0=0,
L [/i («)] = L [/а (г)] =...=£ [/п («)] = 0.
В этом случае L вновь сводится к виду
/Гт1_..В(р)
111 D(p)’
где В (p) = #i (р) Дп + • • • + Rn (р) Дщ— многочлен от р, у кото-
рого коэффициенты зависят от начальных условий. Поэтому
и в этом случае
k=n
<™>
k=l
Если же все начальные условия нулевые, но
/<(0ФО,
390
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
ТО
£"><‘»=тет'
(П.15)
где
М (р) = L [А (01 Ди +...+£ [/п (01 Дш.
В случае, когда все L [fj (01 — функции дробно-рациональные
(см. табл. П.1), можно М (р) свести к виду М(р) = ^|^ и вновь
s\Р)
получить
т гт 1___ г (^)
[ 11 s(p)D(p)'
(П.16)
Тогда Xi (0 определяется формулой (П.10).
Пример 5. Найти функцию Х1 (I), удовлетворяющую диф-
ференциальным уравнениям
^l + X1W + 5x2(t) = l, '
+ ** W~10^i (0=0
/п\ ^1(0) dx2(0) л
при начальных условиях Xl (0) = х2 (0) = —' = 0.
Перейдем к преобразованиям Лапласа:
• (р + 1) L[X1 (01 + 5L[x2 (0] = L(l),
10L [Х1 (01 + (0,1р + 1) L [х2 (0] = 0.
В данном случае
\L[1] 5 I
7 Гт Ml - I 0 °.1Р +11 _ (0,1р + 1)^[1)
5 |-(р + 1)(0,1р + 1) + 50 •
1—10 0,1р+1|
В соответствии с таблицей ПЛ изображение £[!]=—и
rr^Mi— 0Др + 1
1 1WJ~ р(0>1р2 + 1(1р + 51) •
В данном случае
г(р) = 0Др+ 1,
з(р) = Р,
Р(р) = 0Лр2 + 1,1р + 51,
D (р) = 0,1р3+ 1,1р’ + 51р,
р'(р) = 0,Зр2 + 2,2р + 51.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ 391
Корни D(p) = 0 равны Р1Л= — 5,5 ± £21,9.
Корень s(p)=0 равен />3 = 0.
Искомый оригинал получаем, используя формулу (П.10):
«I (0=^-4- 0,0466 е“5•5/ cos (21,9t + 115°43') =
= 0,0196 — 0,0466е5,5< sin (21,9* + 25°43').
Аналогично можно найти х2 (t):
Р + 1 ill] I
-10 0,1р4-1 I
__ +10£[1] 10
(? + 1) 1(0,1? +1) + 50] “ р [(/, + 1) (0,ip + 1) + 50] ’
Корни D(p) = Q равны ?1г2 =—5,5 ± i’21,9, а корень .?(р) = 0 ра-
вен ?з = 0.
По формуле (П.10) находим:
«а (0 = гт + 0,202е“5’5' cos (21,9* + 194°6') =
01
= 0,196—0,202е-5,51 cos (21,9* +14°6').
§ 4. Преобразование и интеграл Фурье
Преобразование Фурье является частным случаем преобразо-
вания Лапласа. Оно получается из преобразования Лапласа, если
положить ? = ш. Таким образом, получаем выражение, опреде-
ляющее преобразование Фурье в виде
оо
(П.17)
о
При использовании преобразования Фурье на функцию на-
кладываются более жесткие ограничения, чем при использовании
преобраеования Лапласа ♦). Если эти ограничения учтены, то на
это преобразование распространяются все свойства и таблицы,
составленные для преобразования Лапласа. В них необходимо
только заменить величину р на ? = iw.
В отличие от преобразования Лапласа преобразование Фурье
позволяет дать наглядное физическое толкование процессу опре-
деления изображения и его оригинала. Для того чтобы пояснить^
это свойство преобразования Фурье, рассмотрим некоторые свой-
ства рядов Фурье и интеграла Фурье.
‘) Подробнее см. литературу к приложению 1.
392
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Пусть задана какая-либо периодическая функция / (t) с перио-
дом Т, удовлетворяющая обычным условиям, необходимым для
разложения в ряд Фурье:
оо
/W = ^ + S («ftCOS2« At + tfcSin2„A{y (П.18)
k=i
где -^р- = ю—частота. Коэффициенты этого разложения опреде-
ляются формулами:
т
2 С ч
а° = у / (0^.
0
Т
2 Г 2, ч 2л , J
ah==~T J /(‘)cos —
6
т
, 2 Г , . ч . 2л , ,
= \ /(Osin — kt dt.
о
Выражение (П.18) можно записать и так:
/Й=у+2Л‘ cos (b>t—<Ph),
(П.19)
где
Ak=yal + bl,
<pft=arctg —,
ak
2л
Т
Рассмотрим общий член ряда Фурье:
2л . 2л
ak cos — kt 4- bk sin — kt.
Воспользуемся формулами, связывающими тригонометрические
функции с гиперболическими:
1
cos т = ch it = — (егт 4- е-гт),
1
sinx=— sh i4 = — (elT— e lT),
i 2i
где
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
393
Тогда, подставив эти значения cos — kt и sin — kt в общий член
ряда Фурье, получим:
Собрав все члены, содержащие и е~1Т, находим:
1 • 1 ' •
у («k-^)elT + y(aft + ^) е~г^
Обозначим:
^(ah-ibk) = Ck, ^(ah + ibh)=c-k, -Y = C0.
Тогда
2л , , , . 2л , „ i2^kt -i2*kt
ahcos— kt + 6h sin kt = Cke 1 +CLke 1 •
Итак, разложение периодической функции / (t) в ряд Фурье
может быть записано в комплексной форме:
Л=+°о i—kt
f(t)= 2 Cke т- . (П.20)
k=—оо
Коэффициенты ряда определяются формулой
1 Г 1 т №
Ck=T\f(t)e Т dt.
О
Действительно,
т
_ аъ — ibk 1 С ,,\Г 2л . . . 2п . "I ,
Ch=----2--= Т J LC0S —isin —/сгJ dt =
О
1 (• 1 т
=4;r(0e- dt'
• 0
Зная Ch, легко подсчитать амплитуду и фазу колебания для
любого к. Величина к может принимать только целочисленные
значения.
Спектром называется график, на котором для каждого цело-
численного значения к отложено значение | Ch |.
Поэтому ряд Фурье позволяет представить периодическую
функцию в виде дискретного спектра. Если функция / (t) неперио-
дическая и если она задана на некотором конечном интервале
времени (и не имеет значения, как опа ведет себя вне этого ин-
тервала), то можно принять этот интервал за период Т и разло-
жить ее в ряд Фурье.
394
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
При Т -► оо ряд переходит в интеграл Фурье
оо
/ (t) = \ 1а COS cot + Ь (со) sin О)«] С?со.
Коэффициенты определяются путем перехода к пределу при
Т оо в общем выражении для и Ъ^\
оо
1 С
a/t = — \ / (t) cos cot dt = a (co),
—00
•o
1 c
bfr = — \ / (t) sin cot dt = b (co).
7C J
—oo
Интеграл Фурье можно записать так:
00
/ (t) = \ А (со) sin [cot 4- ф (<»)] eta,
где
А (со) = а2 (со) 4-ft2 (со), ср (со) = arctg .
ft (со)
Теперь введем понятие о спектре непериодической функции.
Откладывая Л (со) и <р (со) по оси ординат, а со по оси абсцисс,
получим непрерывные кривые—непрерывный спектр непериоди-
ческой функции.
Запишем интеграл Фурье в более компактной комплексной
форме. Заметим, что
b (со) sin cot 4- а (со) cos cot =
= (eiu>/— e~iu>t) + (eiu>< + e~iu>t) =
_a (<>)—ii> (<o) itl)< а (ш) + ib (»>) ioJ<
-------2 + 72 e
rxe « /• \ a(co)—ift(co)
Обозначим Fi(tco)= < -——- , тогда
+oo
/(t)= Fl (ICO) dco,
—co
где
1 V°
F1(i“)=27 } /««'"“'Л-
—oo
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА И ФУРЬЕ
395
+оо
Обозначим dj = F(io>), тогда
—оо
1
F1(ift>) = g-F(ico).
Итак, непериодическая функция / (t) (удовлетворяющая не ого-
вариваемым здесь ограничениям), может быть представлена в ви-
де интеграла Фурье
4-00
J F(i<0)eMdi,
где
+оо
F ({<*)= f («) е~'ш( dt.
— ОО
4-00
Интеграл F (i<o)= / (j) e“lu>/di и представляет собой преобразо-
—00
вание Фурье функции / (г). Нижний предел может быть заменен
нулем, так как при преобразовании Фурье, так же как и при
преобразовании Лапласа, рассматриваются только те функции, ко-
торые равны нулю при t < 0. Функцию F (i<o) можно назвать ком-
плексным спектром функции / («).
396
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
ТАБЛИЦА ИНТЕГРАЛЬНЫХ СИНУСОВ Si х,
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ УГЛОВ,
ВЫРАЖЕННЫХ В РАДИАНАХ, И ФУНКЦИЙ е~х —
X Si х COS X sin х е~х sin х X COS X X
0,00 0 1 0 1 1 оо
0,01 0 ,010000 0 ,99995 0,01000 0 ,99005 0 ,99998 99 ,99500
0,02 0,019999 0 ,99980 0,02000 0 ,98020 0 ,99993 49 ,99000
0,03 0 ,029998 0,99955 0,03000 0 ,97045 0 ,99985 33,31833
0,04 0,039996 0 ,99920 0 ,03999 0 ,96079 0,99973 24,98000
0,05 0 ,04999 0 ,99875 0 ,04998 0,95123 0,99958 19 ,97500
0,06 0 ,05999 0 ,99820 0 ,05996 0,94176 0,99940 16,63667
0,07 0 ,06998 0 ,99755 0,06994 0 ,93239 0,99918 14,25072
0,08 0 ,07997 0 ,99680 0 ,07991 0,92312 0 ,99893 12,46002
0,09 0,08996 0 ,99595 0,08988 0,91393 0 ,99865 И ,06614
0,10 0 ,09994 0 ,99500 0 ,09983 0 ,90484 0 ,99833 9 ,95004
0,11 0,10993 0 ,99396 0,10978 0,89583 0 ,99798 9,05596
0,12 0,11990 0 ,99281 0,11971 0 ,88692 0 ,99760 8,27340
0,13 0,12998 0,99156 0,12963 0,87810 0,99718 7,62739
0,14 0,13985 0 ,99022 0,13954 0,86936 0 ,99673 7,07297
0,15 0,14981 0 ,98877 0,14944 0,86071 0 ,99625 6,59180
0,16 0,15977 0 ,98723 0,15932 0,85214 0,99573 6,17017
0,17 0,16973 0 ,98558 0,16918 0 ,84366 0,99519 5,79755
0,18 0,1797 0 ,98384 0,17903 0 ,83527 0 ,99460 5 ,46579
0,19 0,1896 0 ,98200 0,18886 0 ,82696 0 ,99399 5,16844
0,20 0,1996 0 ,98007 0,19867 0,81873 0 ,99334 4,90033
0,21 0,2095 0 ,97803 0,20846 0,81058 0 ,99266 4,65729
0,22 0,2194 0 ,97590 0,21823 0 ,80252 0,99195 4,43589
0,23 0 ,2293 0 ,97367 0,22798 0 ,79453 0,99120 4,23333
0,24 0 ,2392 0,97134 0 ,23770 0 ,78663 0 ,99042 4,04724
0,25 0 ,2491 0,96891 0 ,24740 0 ,77880 0 ,98961 3,87561
0,26 0,2590 0 ,96639 0 ,25708 0,77105 0 ,98877 3,71688
0,27 0,2689 0,96377 0 ,26673 0,76338 0,98789 3 ,56952
0,28 0 ,2788 0,96106 0,27636 0,75578 0 ,98698 3 ,43234
0,29 0 ,2886 0 ,95824 0 ,28595 0 ,74826 0 ,98604 3 ,30428
0,30 0 ,2985 0 ,95534 0 ,29552 0 ,74082 0 ,98506 3,18445
0,31 0 ,3083 0 ,95233 0 ,30506 0 ,73345 0 ,98406 3 ,07204
0,32 0,3182 0 ,94924 0,31457 0,72615 0,98302 2 ,96636
0,33 0,3280 0,94604 0 ,32404 0,71892 0,98194 2,86679
0,34 0 ,3378 0 ,94275 0 ,33349 0,71177 0 ,98084 2,77280
0,35 0 ,3476 0 ,93937 0 ,34290 0 ,70469 0,97970 2 ,68392
0,36 0 ,3574 0 ,93590 0,35227 0 ,69768 0 ,97853 2 ,59971
0,37 0 ,3672 0,93233 0,36162 0 ,69073 0,97733 2,51980
0,38 0,3770 0,92866 0,37092 0,68386 0,97610 2 ,44385
ТАБЛИЦА
397
X Si х COS X sin x e~x sin x X' COS X
X
0,39 0,3867 0,92491 0,38019 0,67706 0,97484 2,37156
0,40 0,3965 0,92106 0,38942 0 ,67032 0,97354 2,30265
0,41 0,4062 0,91712 0,39861 0,66365 0,97221 2,23688
0,42 0,4159 0,91309 0,40776 0 ,65705 0 ,97085 2,17402
0,43 0 ,4256 0 ,90897 0,41687 0,65051 0 ,96946 2,11387
0,44 0 ,4353 0 ,90475 0,42594 0 ,64404 0,96804 2 ,05625
0,45 0 ,4450 0,90045 0,43497 0,63763 0,96659 2 ,00099
0,46 0 ,4546 0 ,89605 0,44395 0,63128 0,96510 1 ,94794
0,47 0 ,4643 0,89157 0,45289 0,62500 0,96358 1 ,89695
0,48 0,4739 0,88699 0,46178 0,61878 0,96203 1 ,84790
0,49 0 ,4835 0 ,88233 0 ,47063 0,61263 0,96046 1 ,80067
0,50 0 ,4931 0,87758 0,47943 0,60653 0,95855 1,75516
0,51 0 ,5027 0,87274 0,48818 0,60050 0,95721 1 ,71126
0,52 0,5123 0,86782 0,49688 0,59452 0,95553 1,66888
0,53 0,5218 0,86281 0 ,50559 0,58860 0 ,95383 1,62793
0,54 0 ;5313 0,85771 0,51414 0,58275 0,95210 1,58834
0,55 0,5408 0 ,85252 0 ,52269 0 ,57695 0 ,95034 1 ,55004
0,56 0 ,5503 0,84726 0,53119 0,57121 0 ,94854 1,51295
0,57 0 ,5598 0 ,84190 0 ,53963 0 ,56553 0 ,94672 1 ,47701
0,58 0,5693 0 ,83646 0,54802 0 ,55990 0 ,94486 1,44217
0,59 0,5787 0 ,83094 0 ,55636 0 ,55433 0 ,94298 1 ,40837
0,60 0 ,5881 0 ,82534 0 ,56464 0 ,54881 0,94107 1 ,37555
0,61 0 ,5975 0,81965 0,57287 0 ,54335 0,93912 1,34368
0,62 0 ,6069 0,81388 0,58104 0,53794 0,93715 1,31270
0,63 0,6163 0,80803 0,58914 0 ,53259 0,93515 1,28258
0,64 0 ,6256 0 ,80210 0,59720 0 ,52729 0,93311 1,25327
0,65 0 ,6349 0 ,79608 0,60519 0 ,52205 0 ,93105 1,22474
0,66 0,6442 0,78999 0,61312 0,51685 0 ,92876 1,19695
0,67 0 ,6535 0,78382 0 ,62099 0,51171 0 ,92684 1 ,16988
0,68 0,6628 0,77757 0 ,62879 0 ,50662 0,92469 1,14348
0,69 0 ,6720 0,77125 0 ,63654 0,50158 0,92251 1,11774
0,70 0,6812 0 ,76484 0 ,64422 0 ,49659 0,92031 1,09263
0,71 0,6904 0,75836 0,65183 0,49164 0,91807 1,06811
0,72 0,6996 0,75181 0 ,65938 0 ,48675 0,91581 1,04417
0,73 0 ,7087 0,74517 0 ,66687 0,48191 0,91352 1,02078
0,74 0,7179 0,73847 0 ,67429 0,47711 0,91119 0 ,99793
0,75 0 ,7270 0,73169 0,68164 0,47237 0,90885 0,97558
0,76 0 ,7360 0 ,72484 0 ,68892 0,46767 0 ,90647 0 ,95373
0,77 0,7451 0,71791 0,69614 0 ,46301 0 ,90407 0 ,93235
0,78 0,7541 0,71091 0 ,70328 0 ,45841 0,90164 0,91142
0,79 0,7631 0 ,70385 0,71035 0 ,45384 0,89918 0 ,89094
0,80 0,7721 0,69671 0,71736 0 ,44933 0 ,89669 0 ,87088
0,81 0,7811 0 ,68950 0 ,72429 0,44486 0,89418 0,85123
0,82 0 ,7900 0 ,68222 0,73115 0 ,44043 0,89164 0,83197
0,83 0 ,7989 0,67488 0 ,73793 0,43605 0,88907 0,81310
398
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
X Si х COS X sin х е~~х sin х X COS X X
0,84 0,8078 0,66746 0,74464 0,43171 0,88647 0,79459
0,85 0,8166 0,65998 0,75128 0,42741 0,88385 0,77645
0,86 0 ,'8254 0,65244 0,75784 0,42316 0,88121 0,75864
0,87 0,8342 0,64483 0,76433 0,41895 0,87853 0,74117
0,88 0,8430 0,63715 0,77074 0,41478 0,87583 0,72403
0^89 0^8518 0,62941 0,77707 0,41066 0,87311 0,70720
0,90 0 ^8605 0,62162 0,78333 0,40657 0,87036 0,69067
0,91 0,8692 0,61375 0,78950 0,40252 0,86758 0,67444
0,92 0 ;8778 0,60582 0,79560 0,39852 0 ,86478 0,65850
0,93 0 ;8865 0,59783 0,80162 0,39455 0,86195 0,64283
0,94 0 ;8951 0,58979 0,80756 0,39063 0,85910 0,62743
0,95 0,9036 0,58108 0,81342 0,38674 0,85622 0,61229
0,96 0,9122 0,57352 0,81919 0,38289 0,85332 0,59741
0,97 0,9207 0,56530 0,82489 0,37908 0,85039 0,58278
0,98 0^9292 0,55702 0,83050 0,37531 0 ,84744 0,56839
0,99 0,9377 0,54869 0,83603 0,37158 0,84447 • 0,55423
1,00 0 '9461 0,54030 0,84147 0,36788 0,84147 0,54030
1,1 1,0287 0;45360 0,89121 0,33287 0,81018 0,41236
1,2 1,1080 0,36236 0,93204 0,30119 0,77669 0,30196
1,3 1,1840 0,26750 0,96356 0,27253 0,74119 0,20576
1,4 1,2562 0,16997 0,98545 0,24660 0,70389 0,12140
1,5 1,3247 0,07074 0,99749 0,22313 0,66499 0,04715
я “o’ 1,3699 0 1 0,20788 0,63662 0
Z 1 ,6 1,3892 —0,02920 0,99957 0,20190 0,62473 —0,01824
1,7 1,4496 —0,12884 0,99166 0,18268 0,58333 —0,07579
1,8 1,5058 —0,22720 0,97385 0,16530 0 ,54102 —0,12622
1,9 1,5578 —0,32329 0,94630 0,14957 0,49805 —0,17015
2,0 1,6054 —0,41615 0,90930 0,13534 0,45464 —0,20807
2,1 1,6487 —0,50485 0,86321 0,12246 0,41105 —0,24040
2,2 1,6876 —0,58850 0,80850 0,11080 0,36749 —0,26750
2,3 1,7222 —0,66628 0,74571 0,10026 0,32421 —0,28968
2,4 1,7525 —0,73739 0,67546 0,09072 0,28144 —0,30724
2,5 1,7785 —0,80114 0,59847 0,08208 0,23938 —0,32046
2,6 1,8004 —0,85689 0,51550 0,07427 0,19827 —0,32957
2,7 1,8182 —0,90407 0,42738 0 ,06721 0,15829 —0,33484
2,8 1,8321 —0,94222 0,33499 0,06081 0,11964 —0,33651
2,9 1,8422 —0,97096 0,23925 0,05502 0,08250 —0,33481
3,0 1,8487 —0,98999 0,14112 0,04979 0,04704 —0,32999
3.1 1,8517 —0,99914 0,04158 0,04505 0,01341 —0,32230
я 1,8519 —1 0 0,04321 0 —0,31831
3,2 1,8514 —0,99829 —0,05837 0,04076 —0 ,01824 —0,31196
3,3 1,8481 —0,98748 —0,15775 0 ,03688 —0,04780 —0,29923
3,4 1,8419 —0,96680 —0,25554 0,03337 —0,07515 —0,28435
3,5 1,8331 —0,93646 -0,35078 0,03020 —0,10022 —0,26755
3,6 1,8219 —0,89676 —0,44252 0,02732 —0,12292 —0,24909
ТАБЛИЦА
399
X Si х COS X sin х е~х sin х X COS X X
3,1 1,8086 —0,84810 —0,52984 0,02472 —0,14319 —0,22921
3,8 1 ,7934 —0,79097 —0,61186 0,02237 —0,16101 —0,20814
3,9 1,7765 —0,72593 —0,68777 0,02024 —0,17635 —0,18613
4,0 1,7582 —0,65364 —0,75680 0,01832 —0,18920 —0,16341
4,1 1,7387 —0,57482 —0,81828 0,01657 —0,19958 —0,14020
4,2 1,7184 —0,49026 —0,87158 0,01500 —0,20752 —0,11673
4,3 1,6973 —0,40080 —0,91617 0,01357 —0,21306 -0,09321
4,4 1 ,6758 —0,30733 —0,95160 0,01228 —0,21627 —0,06985
4,5 1,6541 —0,21080 —0,97753 0,01111 —0,21722 —0,04684
4,6 1,6325 —0,11215 —0,99369 0,010052 —0,21601 —0,02438
4,7 1,6110 —0,01239 —0,99992 0,009095 —0,21274 —0,00263
1,5 те 1,6089 0 —1 0,008983 —0,21221 0
4,8 1,5900 —0,08750 —0,99616 0,008230 —0,20753 0,01822
4,9 1,5696 —0,18651 —0,98245 0,007447 —0,20050 0,03806
5,0 1 ,5499 —0,28366 —0,95892 0,006738 —0,19178 0,05673
6 1,4247 —0 ,96017 —0,27942 0,002479 —0,04656 0,16002
2 я 1,4182 1 0 0,001867 0 0,15915
7 1,4546 0,75390 0,65699 0,0009119 0,09386 0,10770
8 1,5742 —0,14550 0,98936 0 ,0003355 0,12366 —0,01818
9 1,6650 —0,91113 0,41212 0,0001234 0,04579 —0,10123
10 1,6583 —0,83907 —0,54402 0,0000460 —0,05440 —0,08390
И 1 ,5783 +0,00443 —0,99999 0,0000167 —0,09090 +0,00040
12 1 ,5050 +0,84385 —0,53657 0,000006 —0,04471 0,07032
13 1 ,4994 +0,90745 +0,42017 0,000002 0,03232 0,06980
14 1,5562 +0,13674 +0,99061 0 ,07075 0,00976
15 1,6182 —0,75969 +0,65029 0,04335 —0,05064
20 1 ,5482 +0,40808 +0,91295 0,04565 0,02040
25 1 ,5315 +0,99120 —0,13235 —0,00529 0,03965
30 1 ,5668 +0,15425 —0,98803 —0,03293 +0,00154
35 1 ,5969 —0,90369 —0,42818 —0,01223 —0,02582
40 1 ,5870 —0,66694 +0,74511 +0,01863 —0,01667
45 1,5587 +0,52532 +0,85090 0,01891 0,01167
50 1,5516 +0,96497 —0 ,26237 —0,00525 0,01930
55 1 ,5707 +0 ,02210 —0,99976 —0,01818 0,00040
60 1 ,5867 —0,95243 —0,30478 —0,00508 —0,01587
65 1 ,5792 —0 ,56249 +0,82680 0,01272 —0,00865
70 1 ,5616 +0,63329 +0,77391 0,01106 +0,00905
75 1 ,5586 +0,92175 —0,38685 —0,00517 0,01229
80 1 ,5723 —0,11038 —0,99389 —0,01242 —0,00138
85 1,5824 —0,98438 —0,17608 —0,00207 —0,01158
90 1 ,5757 —0,44806 +0,89400 +0,00993 —0,00498
95 1,5630 +0,73017 +0,68326 0,00719 0,00769
100 1 ,5622 +0,86230 —0,50640 —0,00506 0,00862
110 1,5799 —0,99902 —0,04429 —0,00040 —0,00909
120 1,5640 +0,81417 —0,58063 —0,00484 +0,00679
130 1,5737 —0,36729 —0,93011 —0,00283 —0,00716
400
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Примечания: 1. Функция Si х при х оо стремится к ве-
л
личине -х- .
Z
2. Экстремумы Si а? наблюдаются при х = л, 2л, Зл, ... Pai-
/ ч л
ность между ятах (или ®т1п) и -- приводится в следующей
таблице:
X л х * max 2* или л ^mln 2 X л Е Н ti |сч I g I й И fl a s
1 +0,28114 9 +0,035280
2 —0,15264 10 —0,031767
3 +0,10396 И +0,028889
4 —0,078635 12 —0,026489
5 +0,063168 13 +0,024456
6 —0,052762 14 —0,022713
7 +0 ,045289 15 +0,021201
8 —0,039665
Функция Si х выражается рядом
S1 х~ х 3!3 + 515
3. Для вычисления sin х и cos х по прилагаемой таблице в
тех случаях, когда их значения в таблице не даны, следует поль-
зоваться формулами приведения:
sinx = sin(a:—2пл); cos a? = cos (х — 2пл),
где п = 1, 2, 3, ...
Значения 2пл приводятся в следующей таблице:
п 2 пл п 2пл
1 6,28 6 37,70
2 12,57 7 43,98
3 18,85 8 50,27
4 25,13 9 56,55
5 31,42 10 62,83
БИБЛИОГРАФИЯ
(источники и литература, рекомендуемая для
дальнейшего изучения теории автоматического
регулирования)
Общие курсы
теории автоматического регулирования
1. Автоматическое регулирование, Сборник материалов кон-
ференции в Крэнфилде, 1951, перевод с англ, под редакцией
М. 3. Литвина-Седого, ИЛ, Москва, 1954.
2. Блох 3. Ш., Регулирование машин, Гостехиздат, Москва,
1950.
3. Блох 3. Ш., Динамика линейных систем автоматического
регулирования машин, Гостехиздат, Москва, 1952.
4. Бод е Г., Теория цепей и проектирование усилителей с об-
ратной связью, ИЛ, Москва, 1948.
5. ВороновА. А., Элементы теории автоматического регу-
лирования, Восниздат, Москва, 1954.
6. Герасимове. Г., Физические основы регулирования
тепловых процессов, ОНТИ, Москва, 1937.
7. Герасимове. Г., Теоретические основы автоматическо-
го регулирования тепловых процессов, Госэнергопздат, Мо-
сква, 1949.
8. Г е р а с и м о в С. Г., Д у д н и к о в Е. Г. и Чистя-
ков С. Ф., Автоматическое регулирование котельных уста-
новок, Госэнергоиздат, Москва, 1950.
9. Жуковский Н. Е., Теория регулирования хода ма-
шин, Госмашметиздат, Москва, 1933.
10. И в а х н е н к о А. Г., Электроавтоматика, часть I и II,
Гостехиздат, УССР, 1954.
И. И о с и ф ь я н А. Г. и Коган Б. М., Основы следящего
привода, Госэнергоиздат, Москва, 1954.
12. К а н т о р С. А., Регулирование турбомашин, Машгиз.
Москва, 1946.
13. Корнилов Ю. Г. и Пивень В. Д., Основы теории
автоматического регулирования в приложении к теплосило-
вым установкам, Машгиз, Москва, 1947.
14. Лауэр Г., ЛастникС. и Мадсон Л., Основы
теории сервомеханизмов, Госэнергоиздат, Москва, 1948.
• 26 м. А. Айзерман
402
БИБЛИОГРАФИЯ
15. Л о с с и с в с к и й В. JI., Автоматические регуляторы,
Оборонгиз, Москва, 1944.
16. Л о с с и е в с к и й В. Л., Основы автоматического регу-
лирования технологических процессов, Оборонгиз, Мо-
сква, 1949.
17. Мак- К о л Л., Основы теории сервомеханизмов, ИЛ, Мо-
сква, 1947.
18. Мееров М. В., Основы автоматического регулирования
электрических машин, Госэнергоиздат, хМосква, 1952.
19. Николаи Е. Л., Регулирование машин, Кубуч, 1930.
20. О л ь д е и б у р г Р. и С а р т о р и у с Г., Динамика ав-
томатического регулирования, Госэнергоиздат, Москва, 1949.
21. Основы автоматического регулирования, Коллектив авторов,
иод редакцией В. В. Солодовникова, Машгиз, Москва, 1954.
22. II о п о в Е. II., Динамика систем автоматического регули-
рования, Гостехиздат, Москва, 1954.
23. Теория следя тих систем, иод редакцией X. Джеймса, Н. Ии-
кольса, Р. Филлипса, перевод под ред. Я. 3. Цыпкина,
ИЛ, Москва, 1951.
24. Толле М., Регулирование двигателей, Госэнергоиздат,
Москва, 1950.
25. Труды Второго всесоюзного совещания ио теории автоматиче-
ского регулирования, т. I, II и III, Изд. АН СССР, 1955—
1956.
26. Фатеев А. В., Основы линейной теории автоматического
регулирования, Госэнергоиздат, Москва, 1954.
27. Фель д б а у м А. А., Курс электроавтоматики (ч. I —
Аппараты и системы электроавтоматики, ч. II—Элементы
динамики системы автоматического регулирования), Мо-
сква, 1948.
28. Ф е л ь д б а у м х\. А., Электрические системы автомати-
ческого регулирования, Оборонгиз, Москва, 1954.
29. Айзерман М. А., Введение в динамику автоматического
регулирования двигателей, Машгиз, Москва, 1950.
30. Айзерман М. А., Теория автоматического регулирова-
ния двигателей (Уравнения движения и устойчивость), Гос-
техиздат, Москва, 1952.
31. Ahrendt W. and Т а р 1 i n I., Automatic Regulation,
т. 1, 1948.
32. Ahrendt W. and T a p И n I., Automatic Feedback
Control, McGrow-Hill, 1951.
33. Chestnut H. and M a yer R., Serwomechanisms and
Regulating System Design, т. 1, New York—London, 1951.
34. Duncan W., The Principles of the Control and Sta-
bility of Aircraft, Cambr. Lni. Press, 1952.
35. Farrington G. II.fundamentals of Automatic Cont-
rol, Chapman and Hall, London, 1951.
36. Hall A., The Analysis and Synthesis of Linear Servomecha-
nisms, Massachusetts Institute of Technology, 1947.
37. H a n n у L, Regelungstheorie, Kleines Handbuch fiir Jnge-
nieure und Studierende, Zurich, 1947.
БИБЛИОГРАФИЯ
403
38. О р р е 1 t W., Sletige Regelvorgange, 1949.
39. О р р е 1 t W., Grundsatze der Regelung, Wolfenbuttel—
Hannover, 1947.
40. MacMillan R., An Introduction to the Theory of
Control in Mechanical Engineering, Cambr. Uni. Press,
1951.
41. P г о f о s P., Vektorielle Regelthcorie, Zurich, 1944.
42. Porter A., An Introduction to Servomechanisms, Wilev*
1950.
43. T haler G. 1. and В r a w n R. G., Servomechanisms
Analysis, McGraw-Hill Electrical and Electronic Engineering
Series, McGraw-Hill, 1953.
Литература к главе I
1. А к с e л ь р о д 3. М., Регуляторы скорости в приборостро-
ении, Машгиз, Москва, 1949.
2. А и д р о н о в А. А., И. А. Вышнеградский и его роль в со-
здании теории автоматического' регулирования. Изв. АН
СССР, ОТН, 1949, № 5, стр. 805.
3. А и д р о н о в А. А. и В о з н е с е н с к и й И. Н., О ра-
ботах Д. К. Максвелла, И. Н. Вышнеградского и А. Сто-
долы в области теории регулирования машин, В книге:
Максвелл Д. К., Вышнеградский И. А. и Стодола А. «Тео-
рия автоматического регулировании (линеаризованные за-
дачи)», Изд. АН СССР, 1949.
4. Вознесенский И. Н., О принципах и схемах авто-
матического регулирования, Прикл. мат. и мех., т. VI (1942),
вып. 1, стр. Ю1. См. также Труды Ленингр. политехи, ин-та
им. Калинина. 1948, № 2, стр. 116.
5. В ю н ш Г., Регуляторы количества и давления, Госэнерго-
издат, Москва, 1932.
6. Горелик Г. С., Радиофизика и теория автоматического
регулирования, Изв. АН СССР, серия физии., 1947, № 2,
стр. 103.
7. Кац А. М., Новые конструкции прецизионных регулято-
ров импортных дизелей, НИ ДИ, книга 6 (Регулирование
и автоматизация в современных дизельных установках),
Машгиз, Москва, 1948.
8. К а ц А. М.-, К вопросу об изодромных регуляторах прямого
действия, Автоматика и телемеханика (1949), № 5.
9. Кувшин н и к о в С. II., Гидравлические системы регу-
лирования паровых турбин с отбором пара. В книге: «За
новое советское энергооборудование», Ленинград, 1939,
стр. 27.
10. Л о с с и е в с к и й В. Л., Автоматическое регулирование,
Изд. АН СССР. 1946.
11. Н а с т е н к о Н. Н., Всережимпое регулирование быстро-
ходных дизельмоторов транспортного типа, Машгиз, Мо-
сква, 1944.
26*
404
БИБЛИОГРАФИЯ
12. С т о д о л а А., Инерционные регуляторы. В книге: Д. Ма-
ксвелл, И. А. Вышнеградский, А. Стодола «Теория автомати-
ческого регулирования», серия «Классики науки», Изд. АН
СССР, 1949.
13. Т р а п е з н и к о в В. А., Принципы построения про-
мышленных приборов автоматического контроля и регули-
рования, Изв. АН СССР, ОТН, 1950, № 10, стр. 1450.
14. Цемке П., Регуляторы поршневых двигателей, Го'смаш-
метиздат, Москва, 1933.
15. Ш л я н д и н В. М., Элементы автоматики и телемеханики,
Оборонгиз, Москва, 1954.
16. Штейн Т., Регулирование и выравнивание в паровых уста-
новках, ГНТИ, Москва, 1931.
17. Щ е г л я е в А. В., Регулирование паровых турбин, Гос-
энергоиздат, Москва, 1933.
18. Р гое 11 R., Die Mechanik der Zentrifugeregulatoren und
deren pseudoastatische Aufhangung, Der Civilingenieur,
1872, стр. 323.
19. S c h m i d t Walter, Vnmittelbare Regelung, Berlin,
1944.
Литература к главе II
1. Абдулаев А. А., Вайсер И.В., Наджафов Э.М.,
Уравнение пневматического регулятора 04, Автоматика и
телемеханика (1955), № 5.
2. Автоматизация тепловых процессов, под редакцией С. Г.Ге-
расимова, Госэнергоиздат, Москва, 1948.
3. Бейрах 3. Я., К вопросу о характере кривой неравно-
мерности регулирования. Автоматика и телемеханика (1947),
№ 6, стр. 451.
4. В о з н е с е п с к и й И. Н., К вопросу о выборе схемы
регулирования теплофикационных турбин. В сборнике: «За
советское энергооборудование», Ленинград, 1934.
5. В ы ш п е г р а д с к и й И. А., О регуляторах прямого дей-
ствия, Изв. СПБ Технолог, инет., 1877 (перепечатано в кни-
ге: Д. Максвелл, И. А. Вышпеградский, А. Стодола «Теория
автоматического регулирования», серия «Классики науки»,
Изд. АН СССР, 1949?
6. Д у д н и к о в Е. Г., Крассов И. М., Т а г а е в -
с к а я А. А., Темный В. П. и Б а р к а л о в П. Т.,
Экспериментальное определение динамических характери-
стик промышленных регулируемых объектов, Автоматика
и телемеханика (1953), № 4, стр. 418.
7. Железцов Н. А., Об ошибке К ренера, Автоматика и те-
лемеханика (1949), № 5.
8. ЗалманзонЛ. А., Графики для определения парамет-
ров установившегося истечения воздуха через системы ка-
либрованных отверстий в пневматических регуляторах, Ав-
томатика и телемеханика (1952), № 2, стр. 176.
БИБЛИОГРАФИЯ
405
9. ЗалманзонЛ. А., О дифференциальных уравнениях
процессов изменения давления в проточных камерах пнев-
матических контрольных и регулирующих устройств, Ав-
томатика и телемеханика (1954), № 3.
10. Крассов И. М., Тагасвская А. А. и Василь-
ева М. А., Определение амплитудно-фазовой характери-
стики регулятора методом прямоугольной волны, Автомати-
ка и телемеханика (1953), № 3, стр. 322.
II. Лоссиевскпй В. Л., О моделировании процессов ре-
гулирования производственных объектов, Автоматика и те-
лемеханика (1953), № 3, стр. 267.
12. Лоссиевский В. Л., Применение теории подобия и ди-
намических аналогий к задачам моделирования объектов
и процессов регулирования, Госэнергоиздат, Москва, 1951.
13. М а к с в е л л Д., О регуляторах. В книге: Д. Максвелл,
И. А. Вышнеградский, А. Стодола «Теория автоматического
регулирования», серия «Классики науки», Изд. АН СССР,
1949.
14. Мееров М. В., Исследование системы регулирования
и управления двигателя реверсивного прокатного стана с элек-
тромашинными регуляторами, Электричество (1949), № 7,
стр. 15.
15. Петров Б.Н., О построении и преобразовании структур-
ных схем, Изв. АН СССР, ОТН (1945), № 12, стр. 1146.
16. Р а б к и н Г. Л., М и т р о ф а н о в Б. А., Штерн-
б с р г Ю. О., Об определении численных значений коэффици-
ентов передаточных функций линеаризованных звеньев и си-
стем по экспериментальным частотным характеристикам,
Автоматика п телемеханика (1955), № 5.
17. Солодовников В. В., Метод частотных характери-
стик в теории регулирования (обзор), Автоматика и теле-
механика (1947), № 2.
18. Солодовников В. В., Применение метода логариф-
мических частотгых характеристик к исследованию устой-
чивости и к оценке качества следящих и регулируемых
систем, Автоматика и телемеханика (1948), № 2, стр. 85.
19. С т о д о л а А., О регулировании турбин. В книге: Д. Ма-
ксвелл, И. Н. Вышнеградский, А. Стодола «Теория автома-
тического регулирования», серия «Классики науки», Изд.
АН СССР, 1949.
20. Тагасвская А. А., Определение амплитудно-фазовой
характеристики линейной системы по кривой ее переход-
ного процесса, Автоматика и телемеханика (1953), № 2,
стр. 231.
21. Айзерман М. А., Динамика автоматического регулиро-
вания давления в газовых автомобилях, ПАТИ, Сборник
научно'-псследовательских работ по автотракторному делу,
Машгиз, Москва, 1938.
22. Айзерман М. А., Динамика автоматического много-
ступенчатого регулирования давления, Труды НАТИ,
вып. 38, 1940.
406
БИБЛИОГРАФИЯ
23. Bedford and F red e nd a 1 1, Analysis, Synthesis and
Evaluation of the Transient Response of Television Apparatus,
Proc. IRE, t. 30 (1942), стр. 10.
24. Han ny I., Re^elungtheorie, Kleines Handbuch fur In-
genieure und Studierende, Zurich, 1949.
25. I v a n о f f A., The Influence of the Characteristics of a Plant
on the Performance of an Automatic Regulator, Proc, of the
Soc. of Chcm. Industry, тч 18, (1936), стр. 138.
Литература к главе III
1. А н д р о и о в А. А. и Майер А. Г., Простейшие ли-
нейные системы с запаздыванием, Автоматика и телемеха-
ника (1946), № 2—3.
2. А р о н о в и ч Г. В., О влиянии гидравлического удара
на устойчивость регулирования водяных трубин, Автома-
тика и телемеханика (1948), № 3.
3. Белоусова Т. Т., Диаграммы типа Вышнеградского
для некоторых систем непрямого регулирования, В сбор-
нике: «Регулирование машин и синтез механизмов» под ред.
проф. 3. III. Блох, Машгиз, Москва, 1950.
4. Блох 3. Ш., Графоаналитический метод оценки устойчи-
вости линейных регулируемых систем, Автоматика и телеме-
ханика (1947), № 6, стр. 441.
5. Бромберг П. В., К задаче об устойчивости класса не-
линейных систем, Прикл. мат. и мех., т. XIV (1950), вып. 5.
6. Волошин Н., Учет явления запаздывания, Автоматика
и телемеханика (19 48), № 4.
7. Воробьев Ю. В., Об исследовании устойчивости одного
класса систем автоматического регулирования с волновыми
процессами в отдельных звеньях, Автоматика и телемеха-
ника (1948), № 4.
8. Воробьев Ю. В., Устойчивость линейных систем с вол-
новыми процессами в отдельных звеньях. В сборнике: «Ис-
следования в области регулирования паровых турбин», Гос-
энергоиздат, Москва, 1950, стр. 128.
9. Воробьев Ю. В. и Д р о з д о в и ч В. Н., О методах ис-
следования устойчивости систем регулирования с распределен-
ными параметрами, Автоматика и телемеханика (1949), № 2.
10. Воробьев Ю. В., Кац Ал. М. и Фотеева Н. А.,
Устойчивость регулятора прямого действия, поддержива-
ющего давление в длинном трубопроводе. В сборнике: «Ис-
следования в области регулирования паровых турбин», Гос-
энергоиздат, Москва, 1950, стр. 175.
И. Гальперин И. И.*), Доказательство теорем обходном,
замещении и о структурной формуле, Автоматика и телеме-
ханика (1951), № 3.
♦) Дискуссию о работах И. И. Гальперина и перечень
его работ см. Автоматика и телемеханика, 1948, № 4; 1949,
№ 1; 1951, № 3.
БИ БЛИОГР/кФИЯ,
407
12. ГантмахерФ. Р. и К р е й н М. Г., Осцилляционные
матрицы и малые колебания механических систем, Гостех-
издат, Москва, 1950.
13. Г р а д ш т с и н И. С., Дифференциальные уравнения с ма-
лым множителем при производных и теория устойчиво-
сти Ляпунова, Докл. АН СССР, нов. сер., т. 65 (1949),
№ 6.
14. Градштейн И. С., Линейные дифференциальные урав-
нения с малыми множителями при старших производных,
Докл. АН СССР, т. 59 (1948), № 5.
15. Еругин Н. II., Об одной задаче теории устойчивости
системы автоматического регулирования, Прикл. мат. и
мех., т. XVI (1952), вып. 5.
16. Еругин Н. II., О некоторых вопросах устойчивости дви-
жения и качественной теории дифференциальных уравнений
в целом, Прикл. мат. и мех., т. XIV (1950), вып. 5.
17. Ершов Б. А., Об устойчивости в целом некоторой си-
стемы автоматического регулирования, Прикл. мат. и мех.,
т. XVII (1953), вып. 1.
18. Железцов Н. А., Диаграммы Вышнеградского для изо-
дромного регулятора непрямого действия, Автоматика и теле-
механика (1949), № 6.
19. Записки Семинара по теории устойчивости движения,
вып. 1—4. Краснознаменная военно-воздушная инженер-
ная академия, 1947—1949.
20. Кабаков И. П. и Соколова. А., О влиянии гид-
равлического удара в тупиковом маслопроводе на процесс
проточного безрычажного регулирования скорости паровых
турбин, Инж. сборник, т. II, № 2 (1946).
21. К а б а к о в И. П., О процессе регулирования давления
пара, Инж. сборник, т. II, № 2 (1946).
22. К а л и ш Г. Г., Исследование динамики центробежного ре-
гулятора типа Бош, Дизелестроение (1937), № 10.
23. К а л и ш Г. Г. и К р у т о в В. И., Диаграмма устойчи-
вости процесса, описываемого линейным дифференциаль-
ным уравнением третьего порядка. В сборнике: «Устойчи-
вость работы транспортного дизеля», Машгиз, Москва,
1949.
24. К а л и ш Г. Г. и Крутов В. И., Устойчивость режима
работы транспортного дизеля при всерея^имном регулировании,
НАМИ, вып. 51, Устойчивость работы двигателя, Машгиз,
Москва, 1948.
25. Кац А. М. и Ч е к м а р е в А. И., О вычислении опре-
делителей Гурвица, Инж. сборник, т. XII (1952).
26. Кувшинников С. П., Влияние катаракта на дина-
мическую устойчивость непрямого регулирования паровых
турбин, Советское котлотуроостроение (1938), № 2.
27. Летов А. М., Устойчивость нелинейных систем автома-
тического регулирования, Гостехиздат, Москва, 1955.
28. Летов А. М., Труды совещания по теории автоматического
регулирования, т. I, Изд. АН СССР, 1955.
408
БИБЛИОГРАФИЯ
29. Лурье А. И. и Ф и а л к о Г. М., Об устойчивости ре-
гулирования при наличии запаздывания в измерительном
органе регулятора, Инж. сборник, т. IV (1948), № 2.
30. Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения,
ОНТИ, 1935.
31. Малкин И. Г., Об одной задаче теории устойчивости
систвхМ автоматического регулирования., Прикл. мат. и мех.,
т. XVI, 1952, вып. 3, стр. 365—368.
32. Марьяновский Д И., Исследование устойчивости
системы регулирования при введении внутренних связей,
Электричество (1950), № 3.
33. Мееров М. В., Некоторые вопросы выбора структурной
схемы системы автоматического регулирования, Автоматика
и телемеханика (1952), № 4, стр. 405—416.
34. Мееров М. В., Некоторые вопросы устойчивости регу-
лирования напряжения электрических генераторов, Вестник
электропромышленности (1943), № 9, стр. 11—15.
35. Мееров М. В., Об использовании кривой D-разбиения
для исследования качества систем автоматического ре-
гулирования, Автоматика и телемеханика (1951), № 6,
стр. 337.
36. Мееров М. В., Об одном случае применения границы
D-разбиения для оценки качества систем автоматического
регулирования, Изв. АН СССР, ОТН (1950), № 12,
стр. 1784.
37. Мееров М. В., Об учете малых параметров при исследо-
вании устойчивости систем автоматического регулирования,
Электричество (1947), № 6.
38. М е е р о в М. В., О выборе параметров систем автомати-
ческого регулирования. В книге: Труды Московского ор-
дена Ленина энергетич. института им. В. М. Молотова,
вып. 3, Энергоиздат, Москва, 1948.
39. Мееров М. В., О системах авторегулпрования, устой-
чивых при сколь угодно большом коэффициенте усиления,
Автоматика и телемеханика (1947), № 4.
40. Мееров М. В., О стабилизации систем, содержащих эле-
менты с запаздыванием, Автоматика и телемеханика (1953),
№ 5.
41. Мееров М. В., Принципы построения систем авторегу-
лирования с малой установившейся ошибкой, Автоматика и
телемеханика (1949), № 2.
42. Марьяновский Д. И., Система автоматического ре-
гулирования с жесткими внутренними обратными связями,
Вестник электропромышленности (1949), № 3, стр. 8.
43. Марьяновский Д.И., Устойчивость линейных систем
автоматического регулирования, Электричество (1946), № 9.
44. М и х а й л о в А. В., Метод гармонического анализа в тео-
рии регулирования, Автоматика и телемеханика (1938), №3.
45. Михаилов А. В., Теория устойчивости линейных це-
пей обратной связи с сосредоточенными постоянными, Жур-
нал технической физики (1939), № 1.
БИБЛИОГРАФИЯ
409
46. Мясников Н. Н., Критерий Михайлова и анализ си-
стем с запаздыванием, Труды Ленинградской Краснозна-
менной военно-воздушной инженерной академии, вып. 36,
1951.
47. Мясников Н. Н., Критерий Михайлова и оценка кор-
ней характеристического уравнения, Автоматика и телеме-
ханика (1949), № 4.
48. Мясников Н. Н., О некоторых случаях расположения
корней характеристического уравнения системы авторегу-
лирования, Труды Ленинградской Краснознаменной военно-
воздушной инженерной академии, вып. 36, 1951.
49 М я с н и к о в Н. Н., Теория прямого регулирования по
Вышнеградскому и влияние эффекта запаздывания, Изв.
АН СССР, ОТН (1953), № 9.
50. Неймарк Ю. И., К вопросу о влиянии гидравлического
удара на регулирование турбин, Автоматика и телемеханика
(1948), № 4.
51. Неймарк Ю. И., К задаче распределения корней по-
линомов, Докл. АН СССР, т. 58 (1947), № 3.
52. Неймарк Ю. И., Об определении значений параметров,
при которых система автоматического регулирования устой-
чива, Автоматика и телемеханика (1948), № 3.
53. Н еймарк 10. И., О структуре областей устойчивости
одноконтурных систем, Автоматика и телемеханика (1950),
№ 1.
54. Неймарк Ю. И., Структура D-разбиения пространства
полиномов и диаграммы Вышнеградского и Нейквиста,
Докл. АН СССР, т. 59 (1948), № 5.
55. Неймарк Ю. И., Структура D-разбиения пространства
квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Ней-
квиста, Докл. АН СССР, т. 50 (1948), № 9.
56. Неймарк Ю. И., Устойчивость линеаризованных систем
(дискретных и распределенных), Ленинградская Красно-
знаменная военно-воздушная инженерная академия, 1949.
57. Пивень В. Д., Об изодромном регулировании, Советское
котлотурбостросние (1938), № 10, стр. 454.
58. Понтрягин Л. С., О нулях некоторых элементарных
трансцендентных функций, Изв. АН СССР, серия математич.,
т. 6 (1942), № 3.
59. Поповский А. М., О построении D-разбиений для си-
стем регулирования взаимосвязанных величин, заданных
экспериментально снятыми характеристиками, Автоматика
и телемеханика (1953), № 3, стр. 308.
60. Поповский А. М., О свободе выбора параметров авто-
номных процессов регулирования нескольких взаимосвязан-
ных величин, Автоматика и телемеханика (1949), № 6.
61. Садовский 11. М., Номограмма для проверки устой-
чивости, Автоматика и телемеханика (1952), № 5.
62. Соколов А. А., Критерий устойчивости линейных систем
регулирования с распределенными параметрами и его при-
ложения. Инж. сборник, т. II (1946), № 2.
410
БИБЛИОГРАФИЯ
63. Солодовников В. В., Критерий асимптотической устой-
чивости Найквиста. В книге: Записки семинара по теории
устойчивости движения, М. Ленинградская Краснознамен-
ная военно-воздушная инженерная академия, 1948.
64. Солодовников В. В., Применение операторного ме-
тода к исследованию процесса регулирования скорости гидро-
турбины, Автоматика и телемеханика (1941), № 1.
65. Солодовников В. В., Устойчивость линейных сле-
дящих систем и систем регулирования, Автоматика и теле-
механика (1946), № 1.
66. Труды Второго всесоюзного совещания по теории автомати-
ческого регулирования, т. I, Изд. АН СССР, 1955.
67. Ф е л ь д б а у м А. А., Связь статизма и устойчивости
в электроприводе с бустергенератором, Вестник электро-
промышленности (1946), № 1.
68. Цы пки н Я. 3., Критерий устойчивости линейных серво-
механизмов. В книге: Лауэр Г., Лесник С. и Мадсон Л.
«Основы теории сервомеханизмов*, Госэнергоиздат, Москва,
1948.
69. Цыикин Я. 3., Критерий устойчивости линейных систем
с обратной связью, Журнал технической физики (1946),
№ 6.
70. Цыпкин Я. 3., Устойчивость одного класса систем авто-
матического регулирования распределенными параметрами,
Автоматика и телемеханика (1948), № 3.
71. Цыпкин Я. 3., Устойчивость систем с запаздывающей
обратной связью, Автоматика и телемеханика (1946), № 2—3.
72. Цыпкин Я. 3., Устойчивость систем с обратной связью,
Радиотехника (1946), № 5.
73. Чеботарев Н. Г., Задача Гурвица для трансцендент-
ных функций, Труды Ленинградской Краснознаменной
ВВИА, 1945, вып. 7.
74. Чеботарев Н. Г., К проблеме Гурвица для целых
трансцендентных функций, Докл. АН СССР, нов. сер.,
т. XXXIII (1941). № 9.
75. Ч е б о т а р е в Н. Г., Об одном видоизменении способов
Штурма и Фурье, Докл. АН СССР, нов. сер., т. XXXIV
(1942), № 1.
76. Чеботарев Н. Г., Об одном видоизменении постановки
задачи Гурвица, Докл. АН СССР, нов. сер., т. XXXV (1942),
№ 8.
77. Ч е б о т а р е в Н. Г., Об одном частном виде трансцен-
дентных уравнений, Докл. АН СССР, нов. сер., т. XXXIV
(1942), № 2.
78. Чеботарев Н. Г., О целых функциях с вещественными
перемежающимися корнями, Докл. АН СССР, нов. сер.,
т. XXXV (1942), № 7.
79. Чеботарев Н. Г. иМейман Н. Н., Проблема
устойчивости Рауса—Гурвица для полиномов и целых функ-
ций, Труды матем. инет. им. В. А. Стеклова, т. XXVI,
1949.
БИБЛИОГРАФИЯ
411
80. Четаев Н. Г., Устойчивасть движения, Гостехиздат,
Москва, 1955.
81. Айзерман М. А., Достаточные условия устойчивости
одного класса динамических систем с переменными параме-
трами, Нрикл. мат. и мех., т. XV (1951), вып. 3.
82. А й з е р м а и М. А., Задача об устойчивости процес-
са прямого регулирования оборотов двигателя при учете
нелинейности его характеристики, Труды НАМИ, вып. 51,
Устойчивость работы двигателя, Машгиз, Москва,
1948.
83. Айзерман М. А., Области устойчивости и их выделение.
Лекция на семинаре по теории автоматического регулирова-
ния, Машгиз, Москва, 1950.
84. Айзерман М. А., Об одной проблеме, касающейся
устойчивости «в большом» динамических систем. Усп. матем.
наук, т. IV (1949), стр. 186.
85. Айзерман М. А., Об увеличении критического значения
коэффициента усиления одноконтурной системы автомати-
ческого регулирования введением воздействия по производ-
ной, Автоматика и телемеханика (1951), № 2.
86. А й з е р м а н М. А., Об учете нелинейных функций от
нескольких аргументов при исследовании устойчивости си-
стем автоматического регулирования, Автоматика и телеме-
ханика (1947), № 1.
87. А й з е р м а н М. А., О некоторых структурных условиях
устойчивости систем автоматического регулирования, Авто-
матика и телемеханика (1948), № 2.
88. Айзерман М. А., О практическом использовании кри-
терия Гурвица, Автоматика и телемеханика (1952),
№ 2.
89. Айзерман М. А., О сходимости процесса регулирова-
ния после больших начальных отклонений, Автоматика и
телемеханика (1946), № 2—3.
90. Айзерман М. А., Гантмахер Ф. Р., Условия
существования области устойчивости для одноконтурной
системы автоматического регулирования, Прикл. мат. и мех.,
т. XVIII (1954), № 1.
91. Hurwitz A., Ueber die Bedingungen unter welcher eine
Gleichung nur Wurzeln mit negativen reellen Teilen besitzt,
Mathem. Ann., t. XLVI (1895).
92. Kiipfmiiller K., Ueber die Dynamik der selbststatigen
Verstarkungsrcgler, El. Nachrichten Technik, t. 5 (1928),
стр. 459.
93. Prinz, Contributions to the Theory of Automatic Controllers
and Followers, Journ. .Scient. Instr., т. IV (1944).
94. P i p e s L. A., Analysis of Retarded Control Systems, Journ.
of Appl. Phys., t. 19 (1948), стр. 617.
95. Nyquist, Regeneration Theory, Bell System Techn. Journ.
(1932), № 11.
96. Routh E. I., A Treatise on the Stability of a Given State
of Motion, 1877.
412
БИБЛИОГРАФИЯ
Литература к главе IV
1. Башкиров Д. А., Графоаналитический метод анализа
переходных процессов в системах автоматического регулиро-
вания, Кандидатская диссертация, Ленинград, 1950.
2. Беидриков Г. А. иТеодорчик К. Ф., Законы
миграции корней линейных алгебраических уравнений третьей
и четвертой степени при непрерывном изменении свободного
члена, Автоматика и телемеханика (1955), № 3.
3. Б л о х 3. Ш., Анализ качества регулирования в однокон-
турных цепях, в сборнике: «Устройства и элементы теории
автоматики и телемеханики», Машгиз, Москва, 1952.
4. Б л о х 3. Ш., К анализу качества переходных процессов
в системах автоматического регулирования. В сборнике:
«Регулирование машин и синтез механизмов», Машгиз, Моск-
ва, 1950.
5. Б л о х 3. Ш., К определению времени регулирования,
В сборнике: «Устройства и элементы теории автоматики и
телемеханики», Машгиз, Москва, 1952.
6. Б л о х 3. Ш., Некоторые оценки качества регулирования
по частотным характеристикам, Автоматика и телемеханика
(1955). № 3.
7. Блох 3. Ш., Об уточнении границ монотонности переход-
ных процессов. В соорнике: «Устройства и элементы теории
автоматики и телемеханики», Машгиз, Москва, 1952.
8. Б л о х 3. Ш., О монотонности переходных процессов в
линейных системах автоматического регулирования, Автома-
тика и телемеханика (1950), № 2.
9. Б о д н е р В. А., О выборе оптимальных параметров регу-
лируемых систем, Оборонгиз, Москва, 1953.
10. Булгаков Б. В., О накоплении возмущений в линейных
колебательных системах с постоянными параметрами, Докл.
АН СССР, нов. сер., т. 51 (1946), № 5, стр. 339.
11. Вайсер И. В., Замечание об использовании понятия
«степень устойчивости» для оценки процесса регулирования,
Автоматика и телемеханика (1955), № 5.
12. Вознесенский И. Н., О регулировании машин с
большим числом регулируемых параметров, Труды Ленинград-
ского политехи, ин-та им. Калинина, 1948, № 2, См. также
Автоматика и телемеханика (1938), № 4—5.
13. Воронов А. А., К приближенному построению кривых
переходного процесса по вещественной частотной характери-
стике, Автоматика и телемеханика (1952), № 6.
14. Герценберг Г. Р., Об одном методе стабилизации
систем автоматического регулирования, Автоматика и теле-
механика (1947), № 1.
15. Гольдфарб Л. С., Условия апериодичности некоторых
систем авторегулирования, Бюллетень ВЭИ, 1940, № 8.
16. Кац А. М., К вопросу о вычислении квадратичного крите-
рия качества регулирования, Прикл. мат. и мех., т. XVI
(1952), вып. 3.
БИБЛИОГРАФИЯ
413
17. Кац А. М., Некоторые вопросы расчета регуляторов пря-
мого действия для дизелей, НИДИ, книга 10 (Вопросы кон-
струирования дизелей), Машгиз, Москва, 1949.
18. Кац А. М., Определение параметров регулятора по за-
данному характеристическому уравнению системы регулиро-
вания, Автоматика и телемеханика (1955), № 3.
19. Кац А. М., Сравнительный анализ динамики важнейших
схем непрямого регулирования скорости дизелей. В сборнике
Научно-исследовательского дизельного института, вып. 16:
«Вопросы конструирования вспомогательных агрегатов дизе-
лей», Машгиз, Москва, 1950.
20. Корректирующие цепи в автоматике, Сборник переводов ста-
тей под ред. М. 3. Литвин-Седого, ИЛ, Москва, 1954.
21. К р а с о в с к и й А. А. и П о с п е л о в Г. С., Некото-
рые методы вычисления приближенных временных характе-
ристик линейных систем автоматического регулирования,
Автоматика и телемеханика (1953), № 6.
22. К р ы ж а н о в с к и й О. М., Об итерационном методе опре-
деления приближенных значений корней уравнений, Автома-
тика и телемеханика (1950), Ns 5.
23. Крыжановский О. М., Вычисление интегральных
критериев оптимальности процессов регулирования, Докл.
АН УССР (1953), № 3.
24. Крыжановский О. М., О квадратичных критериях
качества переходных процессов регулирования, описываемых
линейными разностными уравнениями с постоянными коэф-
фициентами, Докл. АН УССР (1953), № 3.
25. К у з о в к о в Н. Т., Применение метода логарифмических
частотных характеристик для оценки затухания в регулируе-
мых системах, Автоматика и телемеханика (1954), № 4.
26. Марьяновский Д. И., Изменение параметров систем
регулирования внутренними связями,Электричество^950),№ 2.
27. Мееров М. В., Критерий апериодичности регулирования.
Изв. АН СССР, ОТН (1945), № 12.
28. Михайлов А. В., Критерий апериодичности авторегу-
лирующих систем, Автоматика и телемеханика (1941), № 1.
29. Р у б и н ч и к А. М., Графический способ определения
области расположения корней характеристического уравне-
ния. В сборнике: «Регулирование машин и синтез механизмов»
Машгиз, Москва, 1950.
30. Р у б и н ч и к А. М., К выбору параметров устойчивости
системы автоматического регулирования. В сборнике: «Регу-
лирование машин и синтез механизмов», Машгиз, Москва,
1950.
31. Рубинчик А.М., Приближенный метод оценки качества
регулирования в линейных системах. В сборнике: «Устройства
и элементы теории автоматики и телемеханики», Машгиз,
Москва, 1952.
32. Солодовников В. В., Анализ качества следящих
систем по их амплитудно-фазовым характеристикам, Изв.
АН СССР, ОТН (1949), № 4, стр. 473.
27 м. А. Айзерман
414
БИБЛИОГРАФИЯ
33. С о л о д о в н и к о в В. В., Введение в статистическую
динамику систем автоматического управления, Гостехиздат,
Москва, 1952.
34. Солодовников В. В., Исследование динамики сле-
дящих электроприводов и систем авторегулирования методом
частотных характеристик, Электричество (1947), № 4.
35. С о л о д о в н и к о в В. В., Критерий в качестве регу-
лирования, Докл. АН СССР, нов. сер., т. 60 (1948),
стр. 977.
36. Солодовников В. В., Критерий отсутствия перере-
гулирований и критерий монотонности, Докл. АН СССР нов.
сер., т. 62 (1948), стр. 599.
37х Солодовников В. В., Об одном приближенном мето-
де исследования динамики систем регулирования и следящих
систем, Изв. АН СССР, ОТН (1945), № 12, стр. 1179.
38. С о л о д о в н и к о в В. В., Об уравнении регулирования
и об основной задаче теории регулирования, Бюллетень ВЭИ,
№ 4, 1941.
39. С о л о д о в н и к о в В. В., Об условиях, при которых
перерегулирования не могут быть велики, Автоматика и теле-
механика (1948), № 4.
40. Солодовников В. В., О динамической точности и
оптимальных характеристиках следящих систем и преобра-
зующих устройств, Докл. АН СССР, нов. сер., т. 77 (1951),
№ 2, стр. 269.
41. Солодовников В. В., О применении трапецеидаль-
ных частотных характеристик к анализу качества систем
автоматического регулирования, Автоматика и телемехани-
ка (1949), № 5.
42. Солодовников В.В., Синтез корректирующих устройств
следящих систем при типовых воздействиях, Автоматика
и телемеханика (1951), № 5.
43. Солодовников В. В., Синтез корректирующих
устройств следящих систем при помощи оптимальных и типо-
вых логарифмических частотных характеристик, Автоматика
и телемеханика (1953), № 5.
44. Солодовников В. В., Топчиев Ю. И., Кру-
тиков Г. В., Частотный метод построения переходных
процессов с приложением таблиц и номограмм, Гостехиздат,
Москва, 1955.
45. Труды Второго всесоюзного совещания по теории авто-
матического регулирования, т. II, Изд. АН СССР, Москва,
1955.
46. Т у п и ц ы н А. И., О форме кривой переходного процесса
при минимуме интегральной квадратичной погрешности,
Автоматика и телемеханика (1953), № 4.
47. Уланов Г. М., О максимальном отклонении регулируе-
мой величины в переходном процессе, Автоматика и телеме-
ханика (1948), № 3.
48. Ф е л ь д б а у м А. А., Интегральные критерии качества
регулирования, Автоматика и телемеханика (1948), № 1.
БИБЛИОГРАФИЯ
415
49. Фельдбаум А. А., Исследование динамики систем авто-
матического регулирования по методу обобщенного инте-
грального критерия, Электричество (1951), № 7.
50. Ф е л ь д б а у м А. А., О распределении корней характе-
ристического уравнения систем регулирования, Автоматика
и телемеханика (1948), № 4.
51. Цыпкин Я. 3., О верхней границе степени устойчивости
одноконтурных систем автоматического регулирования, Авто-
матика и телемеханика (1952), № 4.
52. Цыпкин Я.З., Степень устойчивости систем с запаздываю-
щей обратной связью, Автоматика и телемеханика (1947), № 3.
53. Цыпкин Я. 3. и Бромберг П. В.,0 степени устой-
чивости линейных систем. Изв. АН СССР, ОТН (1945), № 12.
54. Ц ы п к и н Я. 3. иБ ромберг П. В., Степень устойчи-
вости линейных систем. Труды НИСО, Изд. БНТ, МАП, 1946,
№ 5.
55. Айзерман М. А., О затухании колебательного движе-
ния, характеризуемого линейным дифференциальным уравне-
нием третьего порядка с постоянными коэффициентами,
Автоматика и телемеханика (1940), № 1.
56. Е v a n s W. R., Control System Synthesis by Root Locus
Method, Trans. AIEE, t. 69 (1950), стр. 66; Electr. Engineering,
№ 5 (1950), стр. 405.
57. H a 1 1 A. C., Application of Circuit Theory to Design of
Servomechanisms, Journ. Frankl. Inst., t. 4 (1946), стр. 279.
58. R u s s e 1 1 D. W., Weaver С. H., Synthesis of Servo-
mechanisms by Root Locations, Electrical Engineering, t. 72
(1953), стр. 41; Trans. AIEE, t. 71 (1952), стр. 95—104.
59. S a m u 1 о n H. A., Spectrum Analysis of Transient Response
Curves., Proc. IRE, t. 39 (1951), № 2.
Литература к главе V
1. Андронов А. А. иХайкин Э. С., Теория колеба-
ний, ОНТИ, 1937.
2. Андронов А. А. и Баутин Н. Н., Движение
нейтрального самолета, снабженного автопилотом и теория
точечных преобразований поверхностей, Докл. АН СССР,
нов. сер., т. 43 (1945), № 5.
3. Андронов А. А. и Баутин Н. Н., Об одном выро-
жденном случае общей задачи прямого регулирования, Докл.
АН СССР, нов. сер., т. 46 (1945), № 7.
4. Андронов А. А. и Баутин НН., Стабилизация
курса нейтрального самолета автопилотом с постоянной ско-
ростью сервомотора и зоной нечувствптельности, Докл.
АН СССР, нов. сер. т. 46 (1945), № 4.
5. Андронов А. А., Баутин Н. Н. иГореликГ. С.
Автоколебания простейшей схемы, содержащей автоматиче-
ский винт измеряемого шага, Докл. АН СССР, нов. сер., т. 47
(1945), № 4.
27*
416
БИБЛИОГРАФИЯ
6. Андронов А. А., Баутин Н. Н. и Г о р е л и к Г. С.,
Теория непрямого регулирования при учете кулоновского
трения в чувствительном элементе, Автоматика и телемеха-
ника (1946), Кг 1.
7. А н д р о н о в А. А. и М а й е р А. Г., Задача Вышне-
градского в теории прямого регулирования, Автоматика и
телемеханика (1947), № 5.
8. Андронов А. А. иМайер А. Г., Задача Вышне-
градского в теории прямого регулирования. II (Теория регу-
лятора прямого действия при наличии кулоновского и вязкого
трения), Автоматика и телемеханика (1953), № 5.
9. А н д р о н о в А. А. иМайер А. Г., Задача Мизеса
в теории прямого регулирования и теория точечных преобра-
зований поверхностей, Докл. АН СССР, нов. сер., т. 43 (1944).
10. А н д р о н о в А. А. иМайер А. Г., О задаче Вышне-
градского в теории прямого регулирования Докл. АН СССР,
нов. сер., т. 47 (1945), № 5.
11. Баутин Н. Н., Поведение динамических систем вблизи
границ области устойчивости, Гостехиздат, Москва, 1949.
12. Б е с е к е р с к и й В. А., Применение вибраторов для
устранения нелинейностей в автоматических регуляторах,
Автоматика и телемеханика (1947), № 6.
13. Бромберг П. В., Устойчивость и автоколебания импульс-
ных систем регулирования, Оборонгиз, Москва, 1953.
14. Б у л г а к о в Б. В., Автоколебания регулируемых систем,
Докл. АН СССР, нов. сер., т. 37 (1942), № 9, стр. 283.
15. Булгаков Б. В., Автоколебания регулируемых систем,
Прикл. мат. и мех., т. VII (1943), № 2.
16. Б у л г а к о в Б. В., Колебания, Гостехиздат, Москва, 1954.
17. Б у л г а к о в Б. В., Некоторые задачи теории регулиро-
вания с нелинейными характеристиками, Прикл. мат. и мех.,
т. X (1946), № 3.
18. Б у л г а к о в Б. В., О применении метода Ван-дер-Поля
к псевдолинейным колебательным системам со многими сте-
пенями свободы, Прикл. мат. и мех., т. VI (1942), № 6.
19. Бутенин Н. В., Действие внейшней и синусоидальной
силы на автоколебательную систему с гироскопическими си-
лами, Труды Ленинградской Краснознаменной военно-воз-
душной инженерной академии, вып. 7, 1945.
20. Бутенин Н. В., Механические автоколебательные си-
стемы с гироскопическими силами, Прикл. мат. и мех., т. IV
(1942), № 5.
21. Гольдфарб Л. С., О некоторых нелинейностях в систе-
мах регулирования, Автоматика и телемеханика (1947), № 5.
22. Гольдфарб Л. С., О нелинейности регулируемых си-
стем, Бюллетень ВЭИ. 1941, № 3.
23. Горелик Г. С., Колебания и волны, Гостехиздат, Мо-
сква, 1950.
24. Грдина Я. И., Движение регулятора прямого действия
и его устойчивость, Вестник общества технологов, 1898,
№ 4—7.
БИБЛИОГРАФИЯ
417
25. Г р д и н а Я. И., К вопросу о динамической устойчивости
центробежных регуляторов, Известия Днепропетровского
горного института им. Артема Сергеева, май 1927, стр. 41.
26. Долголенко Ю. В., Устойчивость и автоколебания
релейной системы регулирования с запаздыванием, Автома-
тика и телемеханика (1952), № 2.
27. Д у в а к и н А. II. и Л е т о в А. М., Об устойчивости
регулируемых систем с двумя органами управления, Прикл.
мат. и мех., т. XVIII (1954), № 2.
28. Дудников Е. Г., Введение в теорию непрерывного
регулирования с постоянной скоростью закрытия, Автома-
тика и телемеханика (1939), № 6.
29. 3 а л м а н з о н, Об учете влияния нелинейности глухих
камер пневморегуляторов на процессы регулирования, Авто-
матика и телемеханика (1955), № 5.
30. К а з а к е в и ч В. В., Об автоколебаниях, порождаемых
в системах регулирования падающими характеристиками
трения в сервомоторах, Автоматика и телемеханика (1951),
№ 6.
31. К а ц А. М., Влияние кулонова трения на процесс непря-
мого регулирования. В сборнике: «Исследования в области
регулирования паровых турбин», Госэнергоиздат, Москва,
32. Корнилов Ю. Г., О влиянии нечувствительности на
динамику непрямого регулирования, Автоматика и телеме-
ханика (1950). № 1.
33. К о р н и л о в Ю. Г., Регуляторы с сервомоторами постоян-
ной скорости в «скользящем режиме», Автоматическое регули-
рование, вып. 2, Машгиз, Москва, 1951.
34. К р а с о в с к и й А. А., О вибрационном способе линеари-
зации некоторых нелинейных систем, Автоматика и телеме-
ханика (1948), № 1.
35. К р а с о в с к и й А. А., Оценка отклонений в простейших
релейных системах автоматического регулирования, Автома-
тика и телемеханика (1953), № 2.
36. Крылов Н. М. иБоголюбов Н. Н., Введение в
нелинейную механику, Изд. АН УССР, 1937.
37. Лернер А. Я., О предельном быстродействии систем
автоматического управления, Автоматика и телемеханика
(1954), № 6.
38. Лернер А. Я., Улучшение динамических свойств авто-
матических компенсаторов при помощи нелинейных связей.
I, Автоматика и телемеханика (1952), № 2.
39. Лернер А. Я., Улучшение динамических свойств автома-
тических компенсаторов при помощи нелинейных связей.
II, Автоматика и телемеханика (1952), № 4.
40. Л е т о в А. М., Граничные значения наименьшего характе-
ристического числа одного класса регулируемых систем,
Прикл. мат. и мех., т. XV (1951), № 5, стр. 591.
41. Л е т о в А. М., К задаче об автопилоте, Вести. Моск, уни-
верситета, № 1, 1946, стр. 123.
418
БИБЛИОГРАФИЯ
42. Л е т о в А. М., К теории изодромного регулятора, Прикл.
мат. и мех., т. XII (1948), № 4.
43. Л е т о в А. М., Об одном особом случае исследования устой-
чивости систем регулирования, Прикл. мат. и мех., т. XII
(1948), № 6.
44. Л е т о в А. М., Регулирование стационарного состояния
системы, подверженной действию постоянных возмущающих
сил, Прикл. мат. и мех., т. XII (1948), № 2.
45. Л е т о в А. М., Собственно неустойчивые регулируемые
системы, Прикл. мат. и мех., т. XIV (1950), № 2.
46. Летов А. М., Устойчивость регулирующих систем с двумя
исполнитетельными органами, Прикл. мат. и мех., т. XIV
(1953), № 4.
47. Л е т о в А. М., Устойчивость нелинейных систем автомати-
ческого регулирования, Гостехиздат, Москва, 1955.
48. Лехтман И. Я., К расчету релейных следящих систем,
Автоматика и телемехинака (1951), № 1.
49. Л у р ь е А. И., Влияние силы трения в измерительном
органе регулятора на процесс непрямого, регулирования,
Инж. сборник, т. IV (1947), № 1, 1947.
50. Лурье А. И., Некоторые нелинейные задачи теории авто-
матического регулирования, Гостехиздат, Москва, 1951.
51. Л у р ь е А. И., Об автоколебаниях в некоторых регулируе-
мых системах, Автоматика и телемеханика (1947), № 5.
52. Л у р ь е А. И., Об устойчивости движения одной динами-
ческой системы, Прикл. мат. и мех., т. XI (1947), № 4.
53. Л у р ь е А. И., Об устойчивости одного класса регулируе-
мых систем, Прикл. мат. и мех., т. IX (1945), № 5.
54. Л у р ь е А. И., О канонической форме уравнений теории
автоматического регулирования, Прикл. мат. и мех., т. XII
(1948), № 5.
55. Л у р ь е А. И., О характере границ области устойчивости
регулируемых систем, Прикл. мат. и мех., т. XIV (1950),
№ 4.
56. Лурье А. И. и Постников В. Н., К теории
устойчивости регулируемых систем, Прикл. мат. и мех.,
т. VIII (1944), № 3.
57. Малкин И. Г., Методы Ляпунова и Пуанкаре в теории
нелинейных колебаний, Гостехиздат, Москва, 1949.
58. М и р о н о в В. Д., К расчету изодромных регуляторов
с постоянной скоростью, Диссертация на степень кандидата
технических наук, Всесоюзной теплотехнический ин-т
им. Дзержинского, 1947.
59. Наджаф ов Э. М., Автоколебания систем автоматиче-
ского регулирования с несколькими нелинейностями, Труды
совещания по теории автоматического регулирования, т. I,
Изд. АН СССР, 1955.
60. Наумов Б. Н., Влияние воздействий по производным
на частоту и амплитуду автоколебаний в системах регулиро-
вания, Сборник работ по автоматике и телемеханике, Изд. АН
СССР, Москва, 1953.
БИБЛИОГРАФИЯ
419
61. Неймарк Ю. И., О периодических движениях релейных
систем, Сборник памяти акад. А. А. Андронова, Изд АН СССР,
1955.
62. Неймарк Ю. И., О периодических режимах и устойчи-
вости релейных систем, Автоматика и телемеханика (1953), № 5.
63. Н е й м а р к Ю. И., Об автоколебаниях и вынужденных
колебаниях релейных систем с запаздыванием, Автоматика и
телемеханика (1955), № 3.
64. Неймарк Ю. И. иКубланов И. М., Исследование
периодических режимов и их устойчивости для простейшей
распределенной системы релейного регулирования темпера-
туры, Автоматика и телемеханика (1953), № 1.
65. Николаи Е. Л., К расчету центробежного регулятора
прямого действия, Юбилейный сборник научно-технического
кружка Ленинградского технологического института, 1928.
66. Н и к о л ь с к и й Г. Н., К вопросу об автоматической
устойчивости корабля на заданном курсе, Труды, централь-
ной лаборатории проводной связи, вып. 1, 1934.
67. Н и к о л ь с к и й Г. Н., Об одной задаче непрямого регу-
лирования, Инж. сборник, т. IV (1948), № 2.
68. П е т р о в В. В., Об автоколебаниях двухкаскадных сле-
дящих механизмов с релейным управлением, Автоматика и
телемеханика (1951), № 1.
69. П е т р о в В. В. и У л а н о в Г. М., Использование
жесткой и скоростной обратных связей для подавления авто-
колебаний двухкаскадного сервомеханизма с релейным управ-
лением, Автоматика и телемеханика (1952), № 2.
70. П о п о в Е. П., Приближенное исследование автоколеба-
ний и вынужденных колебаний нелинейных систем высокого
порядка на основе гармонической линеаризации нелинейно-
стей, Изв. АН СССР, ОТН (1954), № 5.
71. Попов Е. П., Учет влияния нелинейностей при расчете
следящих систем, Автоматика и телемеханика (1953), № 6.
72. II о п о в с к и й А. М., Линеаризация скользящего режима
работы регулятора постоянной скорости закрытия, Автома-
тика и телемеханика (1950), № 3.
73. Р е р и х К. Э., Влияние трения на процесс регулирования
центробежными регуляторами прямого действия, Известия
Екатеринославского горного Института, XIV, юбилейный
выпуск (1899—1924), Днепропетровск, 1928.
74. Рябов Б. А., Определение параметров режима установив-
шихся автоколебаний некоторых систем, Докл. АН СССР,
нов. сер., т. 71 (1950), № 4, стр. 663.
75. Смирнова И. М., К приближенному исследованию
условий устойчивости периодических режимов в системах
автоматического регулирования, Автоматика и телемехани-
ка (1954), № 2.
76. С о к о л о в А. А., Влияние нечувствительности на процесс
непрямого регулирования скорости паровых турбин. В сбор-
нике: «Исследования в области регулирования паровых тур-
бин», Госэнергоиздат, Москва, 1950.
420
БИБЛИОГРАФИЯ
77. С т р е л к о в С. П., Введение в теорию колебаний, Гостех-
издат, Москва, 1950.
78. Су ровихин К. П., О влиянии коэффициента усиления
обратной связи на частоту и амплитуду автоколебаний, Авто-
матика и телемеханика (1955), № 5.
79. Т а л ь А. А., Задача Вышнеградского в теории прямого
регулирования (с учетом саморегулирования объекта и воз-
действия по производной регулируемого параметра), Авто-
матика и телемеханика (1953), № 5.
80. Теодорчик К. Ф., Автоколебательные системы, Гостех-
издат, Москва, 1948.
81. Теодорчик К. Ф., Типы движений управляемых реле
сервомеханизмов, Журн. техн, физики, т. VIII (1938), № 10.
Sty У д е р м а н Э. Г., Учет трения и зоны нечувствительности
ч линейной следящей системы в режиме отработки постоян-
ной скорости, Вестник электропромышленности (1945),
Э№ 10—11.
Уманский В. Б., Влияние трения в золотнике на про-
цесс непрямого регулирования, Труды Днепропетровского
горного института, № 1—2, 1940.
84. Фельдбаум А. А., Введение в теорию нелинейных
цепей, Госэнергоиздат, Москва, 1948.
85. Фельдбаум А. А., О синтезе оптимальных систем с по-
мощью фазового пространства, Автоматика и телемеханика
(1955), № 2.
86. Фельдбаум А. А., Оптимальные процессы в системах
автоматического регулирования, Автоматика и телемехани-
ка (1953), № 6.
87. Фельдбаум А. А., Простейшие релейные системы авто-
матического регулирования, Автоматика и телемеханика
(1949), № 4.
88. Цыпкин Я. 3., Вынужденные колебания в релейных
системах автоматического регулирования, Автоматика и те-
лемеханика (1952), № 5.
89. Цыпкин Я. 3., Об устойчивости периодических режимов
в релейных системах автоматического регулирования, Авто-
матика и телемеханика (1953), № 5.
90. Ц ы п к и н Я. 3., Переходные и установившиеся процессы
в импульсных цепях, Госэнергоиздат, Москва, 1951.
91. Цыпкин Я. 3., Устойчивость и автоколебания релейных
систем автоматического регулирования. Труды Ленинград-
ской Краснознаменной военно-воздушной инженерной акаде-
мии вып. 32, 1950.
92. Цыпкин Я. 3., Частотный метод исследования периоди-
ческих релейных систем автоматического регулирования,
Сборник посвященный памяти акад. А. А. Андронова, Изд.
АН СССР, 1955.
93. А й з е р м а н М. А., Анализ систем автоматического регу-
лирования с исполнительным механизмом постоянной скоро-
сти (Лекция на семинаре по теории автоматического регули-
рования), Машгиз, Москва, 1950.
БИБЛИОГРАФИЯ
421
94. А й з е р м а н М. А., Влияние нелинейных характеристик
на сходимость процесса автоматического регулирования и
на условия генерации колебаний, Изв. АН СССР, ОТН (1944),
№ 12, стр. 148.
95. А й з е р м а н М. А., К определению опасных и безопасных
участков на границе устойчивости, Прикл. мат. и мех., т. XIV
(1950), вып. 4.
96. Айзерман М. А., О построении резонансных графиков
для систем с нелинейной обратной связью, Инж. сборник,
т. XIII (1952), стр. 151.
97. А й з е р м а н М. А. и Гант махер Ф. Р., Определе-
ние периодических режимов в нелинейных системах автомати-
ческого регулирования с кусочно-линейными характеристи-
ками, Прикл. мат. и мех., т. XX (1956), № 1.
98. Айзерман М. А., Сухое трение в задачах регулирова-
ния (Лекции на семинаре по теории автоматического регули-
рования), Машгиз, Москва, 1950.
99. Айзерман М. А., Физические основы применения мето-
дов малого параметра к решению нелинейных задач теории
автоматического регулирования, Автоматика и телемеханика
(1953), № 5.
100. Айзерман М. А. иСмирнова И. М., Замечания
к статье Е. П. Попова, Изв. АН СССР, ОТН (1954), № 9.
101. Айзерман М. А. иСмирнова И. М., О примене-
нии методов малого параметра для исследования периодических
режимов в системах автоматического регулирования, которые
малого параметра не содержат. Сборник, посвященный па-
мяти акад. А. А. Андронова, Изд. АН СССР, 1954.
102. Dutilh J. R., Theorie des servomechanismes a relais,
L’Onde filectrique, t. 30 (1950), стр. 438.
103. Hazen H. L., Theory of Servomechanisms, Journ. Frankl.
Inst., t. 218 (1934), стр. 279.
104. Johnson E. C., Sinusoidal Analysis Feedback-Control
Systems Containing Nonlinear Elements, Trans. AIEE, t. 71
(1952), стр. 169.
105. Kochenburger R., Frequency Response Method for
Analysing and Syntesising Contactor Servomechanisms, Trans.
AIEE, t. 69 (1950).
106. Kochenburger R., Analysing Contactor Servomecha-
nisms by Frequency-Response Methods,Electr.Engin.(1950), VII I.
107. Lea ute H., Du mouvement trouble des moteurs consecutifs
a une perturbation brusque, Nouvelle methode qraphique pour
1’etude complete de ce mouvement, Journ. de Г Ecole Polytech-
nique, Paris (1891), № 61, стр. 1.
108. Lecornu L. F. A., Regularisation du mouvement dans les
machines, Gauthier-Villars, Paris, 1898, стр. 218.
109. Lea ute H., Memoires sur les oscillations a longues periodes
dans les machines actionnees par des moteurs hydrauliques,
Paris, Journ. de ГЁсо1е Polytechnique, t. LV (1895), стр. 1.
110. Minorsky Ph. D., Introduction to Non-Linear Mechanics,
Edwards Ann.Ar bor., 1917.
422
БИБЛИОГРАФИЯ
111. Mises G., Zur Theorie des Regulatoren, Elektrotechnik und
Maschinenbau (1908), № 37, стр. 783.
112. Mises R., Dynamische Probleme der Maschinenlehre, Enc.
der mathematischen Wissenschaften, т. IV, вып. 2 (1911),
стр. 254.
ИЗ. P г о e 1 1 R., Ueber den indirect wirkenden Regulierapparat
«Patent Proell». Z. VDI, т. XXVIII (1884), № 24; BXXVII
(1884), № 25.
114. Roc a rd J., Dynamique Gen4rale des vibrations, Masson,
1949.
115. R о с a r d J., Theorie des Oscillateurs.
116. Solomon Lefschetz, Contributions to the Theory of
Nonlinear Oscillations, Princeton University Press, 1950.
117. Weiss H., Analysis of Relay Servomechanisms, Journ. of
Aeronautical Sciences, t. 3 (1946), № 7.
118. Wagner K. W., Einfiihrung in die Lehre von den Schwingun-
gen und Wellen, Dieterichsche Verlagsbuchhandlung, Inh.
W. Klein, Wiesbaden, 1947.
Литература к приложению
1. Ван дер Поль Б., Бреммер X., Операционное
исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапла-
са, ИЛ, Москва, 1953.
2. Гард пер М. иБэрнс Д., Переходные процессы в ли-
нейных системах с сосредоточенными постоянными. Пер.
с англ. П. И. Зубкова и М. С. Либкинда под ред. Г. И. Атабе-
кова и Я. 3. Цыпкина, Изд. 2-е, испр., Гостехиздат, Москва,
1951.
3. Карслоу X., Егер Д., Операционные методы в при-
кладной математике, ИЛ, Москва, 1948.
4. К а р с о н Д. Р., Электрические нестационарные явления и
операционное исчисление, ДНТВУ, Харьков—Киев, 1934.
5. Конторович М. И., Операционное исчисление и неста-
ционарные явления в электрических цепях, Гостехиздат,
Москва, 1955.
6. Л у р ь е А. И., Операционное исчисление и его приложения
к задачам механики, Гостехизадт, Москва, 1950.
7. Солодовников В.В., Введение в статистическую дина-
мику системы автоматического регулирования, Гостехиздат,
Москва, 1952.
8. X а р к е в и ч А. А., Спектры и анализ, Гостехиздат, Москва,
1952.
9. Wagner К. W., Operatorenrechnung nebst Anwendungen
in Physik und Technik, Leipzig, 1940.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 310
Авторезонанс 319, 373
Баланс гармонический 320, 331
и д.
Бифуркация 370
Величина первообразная 120
— регулируемая И
Воздействие по производной 42,
и д., 94, 135, 140, 211
— статическое 94
Возмущение 9
— малое 84
Время регулирования 230
Вход разомкнутой системы 56
Выход разомкнутой системы 57
Вышнеградского диаграмма 158
Граница областей устойчивости
14Й
Гурвица определитель 170, 171
Диаграмма Вышнеградского 158
.D-разбиение 151
Емкость 70, 86
— гидравлическая 72
— пневматическая 70
— тепловая 74
Задача, обратная теории преоб-
разования Лапласа 375
Задача прямая теории преобра-
зования Лапласа 375
Запаздывание 187
Звено 93, 94 (см. также Элемент
системы)
— одноемкостное 93, 247, 249
— с воздействием по производ-
ной 135
Изображение 375
Интеграл Лапласа 375
— Фурье 391
Качество переходного процесса
230
Компенсация автоматическая 10
Координата входная и выходная
разомкнутой системы 56
Координаты обобщенные системы
51
Коэффициент усиления 60, 90
----критический 206
— — операторный 93
Критерий устойчивости 166
----амплитудно-фазовый вто-
рой 184
— — — — первый 182
----Михайлова 169, 280
----Раута—Гурвица 169, 175,
278
424
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Лапласа интеграл 375
— преобразование 232, 375
Метод гармонического баланса
320 и д., 331 и д.
— графический построения про-
цесса регулирования 243 и д.
— итерационный приближен-
ного вычисления корней ха-
рактеристического уравнения
234
Михайлова критерий устойчи-
вости 169, 280
Модель линейная элемента 85
Нагрузка 228
Настройка 228
Неравномерность регулирования
64
Область отталкивания 355
— притяжения 355
— устойчивости 149, 361
Объект регулируемый И
Оператор воздействия на эле-
мент 93
— собственный элемента 93
Определитель Гурвица 170, 171
Орган регулирующий 11
Оригинал изображения по Лап-
ласу 375
Отклонение динамическое наи-
большее 231
Оценка отклонения процесса от
экстремального 294
Оценки процесса регулирования
интегральные 283 и д.
— — — косвенные 276
—-------по виду частотных ха-
рактеристик 298 и д.
Ошибка статическая 12, 64, 103
Параметр регулируемый И
Параметры системы 195
----, минимизирующие инте-
гральную оценку 290
Перерегулирование 230
Плоскость фазовая 354, 366
Поверхность сепаратрисная 366
Полоса пропускания 299
Помехи 228
Портрет фазовый системы 354
—------нелинейной 358
Постоянная времени 91
---- демпфирования 91‘
Построение процесса регулиро-
вания по частотным характе-
ристикам системы 256 и д.
— частотной характеристики си-
стемы по частотным характе-
ристикам ее элементов 116
— — — элемента по его вре-
менной характеристике ИЗ
Преобразование Лапласа 232,
375
— Фурье 391
Производная обобщенная 344
Пространство фазовое 365, 366
Процесс волновой в трубопрово-
де 193
— регулирования 12
----неустойчивый (расходя-
щийся) 145
----переходный 229
— — устойчивый (сходящийся)
145
Прямая особая 160
Разложение многоконтурной си-
стемы на одноконтурные 204
Раута—Гурвица критерий устой-
чивости 169, 280
Регулирование автоматическое 9
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
425
Регулирование астатическое 65
— прямое 14
— связанное 46
Регулятор автоматический 9
— астатический 19
— — непрямого действия 24 и д.
— гидравлический золотнико-
вый 37
— давления 18, 54, 56
— двигателя внутреннего сгора-
ния 197
— дизеля 56
— изодромный пневматический
38
— напряжения 41, 43
--- генератора 35
— — электромагнитный 41
— оборотов дизеля 52
— прямого действия 11, 14 и д.
— скорости электропривода 26,
33, 45
— статический 12, 18
— струйный 31
— температуры 34
— угловой скорости электро-
двигателя постоянного тока
с независимым возбуждением
55
— уровня поплавковый 16
— электрический 22 и д., 40
Редуктор двухступенчатый га-
зовый 53
— одноступенчатый 53
Режим периодический, близ-
кий к гармоническому 312
---в нелинейных системах 308
и д.
---несимметричный 344
— — пульсирующий (скользя-
щий) 344
---симметричный 344
Реле 342 и д.
Решения периодические 310, 371
Ряд Фурье 391
Связь обратная жесткая 29
----изодромная 36, 37 и д.
Свойства предельные преобра-
зования Лапласа 377
Седло 357
Сервомотор гидравлический 76
Система автономная 14
— динамическая 352 и д.
— нелинейная 308
— неограниченно устойчивая
368
— разомкнутая 56
— регулирования см. Регулиро-
вание. Регулятор
— релейная 342 и д.
— с запаздыванием 188
— связанная 14
— содержащая несколько не-
линейностей 336
— структурно-неустойчивая 195
— структурно-устойчивая 195
— устойчивая «в большом» 367
----«в малом» 219, 367
Степень устойчивости 277
---- апериодическая 277
----колебательная 277
Стрелка чувствительного эле-
мента 24
Структура топологическая фа-
зового пространства 369
Теория регулирования линей-
ная 50
Точка астатизма 61
— бифуркационная 370
— изображающая 354
— особая 355
Траектория фазовая 354
426
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Удар гидравлический 193 Узел неустойчивый 357 — устойчивый 355 Уравнение двигателя 69 — движения гидравлического сервомотора 76 — — элемента 68 — емкости 70 — характеристическое 95 — — системы с запаздыванием 188 Уравнения линейного прибли- жения 84 Функция передаточная приве- денная нелинейного элемента 323 сводная всех нелиней- ностей 338 системы, содержащей внутреннюю обратную связь 100 элемента 96 Фурье интеграл 391 — преобразование 391 — ряд 391
Усилитель электромагнитный 83 Условие устойчивости необхо- димое 166 Устойчивость 145 и д. — «в большом» 220, 367 — «в малом» 339, 367 — неограниченная 368 — систем с запаздываниями 191 — структурная одноконтурных систем без воздействия по производной 196 — — — — с воздействием по первой производной 198 Устройство задающее И — изодромное стабилизирую- щее 22 Характеристика амплитудная элемента 107 — амплитудно-фазовая 140, 186 — линейного элемента 105 нелинейной системы 333 — временная 58 — действительная элемента 107 — мнимая элемента 107 — релейная симметричная 342 — статическая 13, 59, 61 — фазовая системы* 140 элемента 107 — частотная 50, 104, 105, 256 и д., 298
— исполнительное 12 — направленное 56 — стабилизирующее 12 Цепочка замкнутая одноемко- стных звеньев 251 — разомкнутая из астатическо-
Фильтр 319, 373 Фокус нейстойчивый 357 — устойчивый 355 Функция единичная 229 — передаточная замкнутой си- стемы 96, 98 последовательной разомк- нутой цепи элементов 96 го, колебательных и одноемко- стных звеньев 134 одноемкостных звеньев 251 Цепь одноконтурная при нали- чии воздействий по производ- ным 140 Цикл предельный 362
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
427
Частота условная (сопрягаю-
щая) одноемкостного звена 128
Четырехполюсник электриче-
ский 80
Число степеней свободы 51
Элемент системы 57
-----астатический 59, 94, 127,
252
-----колебательный 94, 131,
254
-----консервативный 94
Элемент системы линеаризуе-
мый 84
-----механический центробеж-
ный чувствительный 75
-----нелинеаризуемый 85
— — неустойчивый 59, 94
-----одноемкостный 94
-----статический 59
— — типовой 94
-----чувствительный И, 86
Ячейка дифференцирующая 43
Айзерман Марк Аронович.
Лекции по теории автоматического регули-
рования.
Редактор О. Я. Соболев.
Технический редактор Н. Я. Мурашова.
Корректор Г. Г. Желтова.
Сдано в набор 9/V 1956 г. Подписано к пе-
чати 14/VIII 1956 г. Бумага 84x1081/32- Физ.
печ. л. 13,38. Условн. печ. л. 21,93. Уч.-изд.
л. 20,16. Тираж 10 000 экз. Т-01913. Цена
книги 12 руб. 10 коп. Заказ № 323.
Государственное издательство технико-теоре-
тической литературы. Москва, В-71, Б. Калуж-
ская ул., 15.
16-я типография Главполиграфпрома Мини-
стерства культуры СССР.
Москва, Трехпрудный пер., д. 9.
Опечатки
Страница Строка Напечатано Должно быть
43 15 снизу выходного дав- ления. входного дав- ления.
104 6 сверху (Dj = O 5(0) = 0
186 13 снизу корня—спуск. корня—подъем.
188 1 » = Срер<‘--> .
190 12, 13 и 15 снизу г Р
Заказ 323