МАТЕМАТИКА,.
КИБЕРНЕТИКА |
ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ	1984/3
А.М.Тер-Крикоров
НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЗАДАЧИ
И МАЛЫЙ
ПАРАМЕТР
НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ

НОВОЕ В ЖИЗНИ, НАУКЕ, ТЕХНИКЕ
ПОДПИСНАЯ НАУЧНО-ПОПУЛЯРНАЯ СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА
3/1984
Издается ежемесячно с 1967 г.
А. М. Тер-Крикоров
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
И МАЛЫЙ ПАРАМЕТР
Издательство «Знание» Москва 1984
ББК 22.143
Т 35
Александр Мартынович ТЕР-КРИКОРОВ — доктор физико-
математических наук, профессор Московского физико-техни-
ческого института, специалист по асимптотическим методам
малого параметра и их. применению в механике.
Рецензент: Г. Г. Еленин — кандидат физико-математиче-
ских наук
Тер-Крикоров А. М.
Т 35 Нелинейные задачи и малый параметр. — Мл
Знание, 1984. — 64 с. — (Новое в жизни, науке,
технике. Сер. «Математика, кибернетика»; № 3).
11 к.
Брошюра посвящена методам исследования нелинейных задач,
содержащих параметр. Эти методы, ведущие начало от классических
работ Ляпунова и Пуанкаре, особенно эффективны, когда параметр ме-
няется в окрестности некоторых критических значений. На простых
примерах иллюстрируются способы построения решений в виде рядов
по дробным степеням малого параметра. Рассказывается о некоторых
практических применениях этого метода.
Выпуск рассчитан на научных работников, преподавателей, студен-
тов и всех, кто интересуется методами решения нелинейных заДйч.
1702030000	ББК 22.1’43
51
© Издательство «Знание», 1984 г.
Введение
Изучая то или иное сложное явление природы (или общест-
венной жизни), исследователь из некоторого известного
ему набора опытных фактов или наблюдений отбирает наи-
более существенные и, исходя из отобранного материала,
строит модель, более или менее адекватно отражающую
реальность. Говоря о подобном отборе, необходимо отме-
тить относительность наших представлений о том, что су-
щественно и что несущественно при изучении данного
явления. Ведь вполне может случиться так, что те факто-
ры, которые первоначально представлялись несуществен-
ными, могут в результате дальнейших исследований ока-
заться существенными, и наоборот. Кроме того, модель
изучаемого явления не должна быть чрезмерно сложной.
Иначе с ней будет трудно работать, т. е. объяснять с ее
помощью известные, наблюдаемые эффекты и, что еще важ-
нее, предсказывать новые. Опять-таки наши представления
о сложности модели относительны и изменяются с тече-
нием времени в связи с развитием науки и техники. Осо-
бенно это относится к математическим моделям и матема-
тическому моделированию, которое играет исключительную
роль в современной науке. Оно включает в себя как опи-
сание модели на языке современной математики, так и ис-
следование свойств модели при помощи современных мате-
матических и технических средств. Тут трудно переоценить
роль ЭВМ, позволяющих не только производить вычисле-
ния по сложным математическим моделям, но и исследовать
.качество моделей и при помощи вычислительного экспери-
мента уточнять их. Велика роль и общих математических
методов при исследовании качественных свойств моделей.
Сила этих методов в их общности, в глубине положенных
в их основу математических идей. Именно этим обстоятель-
ством можно объяснить то, что задачи, принадлежащие
1*
3
различным областям науки и техники, часто поддаются
исследованию при помощи одного и того же математическо-
го метода.
В настоящей брошюре делается попытка дать на элемен-
тарном уровне представление об одном из самых общих и
широко распространенных методов исследования нелиней-
ных задач — методе малого параметра. Исторически этот
метод возник в трудах Ляпунова и Пуанкаре по нелиней-
ной механике, в частности при решении задачи о фигурах
равновесия вращающейся жидкости. Как это часто бывает,
аппарат, который был первоначально создан для исследо-
вания задач небесной механики, оказался столь гибким
и мощным, идеи, лежащие в его основании, — столь про-
стыми и глубокими, что в настоящее время они пронизы-
вают все известные модели, связанные с нелинейными ко-
лебаниями, стационарными структурами и устойчивостью
равновесий.
Эпоха, предшествовавшая трудам Ляпунова и Пуан-
каре, была эпохой триумфального развития методов реше-
ния линейных задач, т. е. линейных моделей.
В таких моделях отклик системы на внешнее воз-
действие пропорционален воздействию. Сумме двух воздей-
ствий соответствует сумма их откликов. Это свойство ли-
нейных систем, называемое принципом суперпозиции, яв-
ляется основанием фундаментальногр метода решения ли-
нейных задач — метода Фурье. И хотя большинство про-
цессов нелинейны, эта нелинейность при сравнительно
слабых воздействиях на систему будет малой. Считалось,
что малая нелинейность должна приводить к количест-
венно малому искажению решения соответствующей ли-
нейной (линеаризированной) задачи и не даст серьезных
качественных изменений.
Оказывается, что не всегда дело обстоит подобным обра-
зом. Даже малая нелинейность может приводить к качест-
венно новым эффектам, не имеющим аналогов в линейной
теории. Уединенные волны (солитоны) на поверхности
жидкости, ударные волны в сжимаемом газе, процессы о,64.
разования тепловых структур — вот далеко не полный
перечень примеров существенно нелинейных явлений в
физике. Его можно значительно расширить примерами за-
дач из химической кинетики, биологии, математической
экономики и многих других областей знания, И в послед-
нее время таки# задач становится все больше и больше.
4
- Если для решения линейных проблем существует уни-
версальный метод суперпозиции, то для нелинейных задач
такого универсального метода не существует. Тем не ме-
нее разработан ряд методов, приспособленных для реше-
ния довольно широких классов задач. К ним относятся,
например, разностные и итерационные методы решения.
В этой брошюре речь пойдет о достаточно общих мето-
дах решения нелинейных задач, которые, вообще говоря,
относятся к более широкому классу методов — итерацион-
ным. Это методы малого параметра. В очень общих чертах
суть этого метода состоит в следующем: известно, что
уравнения, описывающие самые разнообразные процессы,
могут часть переменных содержать в виде свободных па-
раметров. При фиксированном наборе параметров задача,
как правило, имеет единственное решение. Пусть при не-
котором таком фиксированном наборе параметров решение
задачи известно. Методы, которые позволяют строить
решение при значениях параметров, близких к фиксиро-
ванному, называют методами малого параметра. Они чрез-
вычайно разнообразны и в конкретных случаях приспособ-
лены к особенностям изучаемой задачи. Достаточно полный
рассказ об этих методах требует знания сложного матема-
тического аппарата теории функций, уравнений матема-
тической физики, функционального анализа. Но простые
основные идеи можно пояснить и на элементарном уров-
не. Формально от читателя потребуется лишь хорошее
знание элементов математического анализа в объеме курса
средней школы. Большая часть сведений, выходящих за
эти пределы, излагается в первых главах. Поскольку ав-
тор ставил цель не только рассказать о том, какие задачи
решаются, но и дать представление о том, как это дела-
ется, то не исключено, что последние разделы потребуют
от неискушенного читателя некоторого напряжения. Гла-
ва V, возможно, представит интерес и для специалистов.
Г^ава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ЗАДАЧА КОШИ. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Многие практически важные задачи науки и техники для
своего теоретического исследования требуют привлечения
аппарата дифференциальных уравнений, т. е. уравнений,
содержащих как неизвестную функцию, так и ее производ-
ные. Если неизвестная функция зависит от одной перемен-
5
ной, то дифференциальное уравнение называется обыкно-
венным, если же неизвестная функция зависит от многих
переменных, то уравнением в частных производных. По-
рядком дифференциального уравнения называется наивыс-
ший порядок входящих в него производных. Например,
dx/dt = t + x(f)	(1.1)
— обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка, а
+	+	(1.2)
— уравнение в частных производных второго порядка.
При написании дифференциального уравнения нужно
указывать область изменения независимых переменных.
Для дифференциального уравнения (1.1) можно» например,
задать область изменения независимой переменной t как
интервал 1ат М. Такой интервал быть может и бесконеч-
ным. Для уравнения в частных производных (1.2) область
изменения независимых переменных х и у можно, напри-
мер, задать как круг единичного радиуса х2 + у2, < 1.
По-видимому, впервые систематически использовать
обыкновенные дифференциальные уравнения начали при
решении задач классической механики. И. Ньютон
(1643—1727), которому принадлежит формулировка основ-
ных законов механики, дал фундаментальное ее изложе-
ние в знаменитом трактате «Математические начала нату-
ральной философии». К этому времени Ньютон уже вла-
дел открытыми им же методами дифференциального и ин-
тегрального исчисления, но, желая быть понятным для
современников, вел изложение на традиционном геометри-
ческом языке. Любопытно, что сейчас этот язык кажется
гораздо более трудным, чем язык дифференциального и
интегрального исчисления. Широко использовать язык
дифференциального и интегрального исчисления при фор-
мулировке и исследовании задач механики начали лишь
после выхода в свет «Аналитической механики» Ж. Ла-
гранжа (1736—1813). Желая подчеркнуть мощь и
универсальность аналитических методов, Лагранж совсем
не использовал в своей книге геометрических иллюстраций.
Напомним, как возникает дифференциальное уравнение
при исследовании простейшей задачи механики о прямо-
линейном движении материальной точки массы т под воз-
действием силы F, имеющей постоянное направление.
6
Если положение точки на прямой, параллельной направ-
лению силы* задавать координатой х, то закон движения
материальной точки определяется заданием координаты х
как функции времени t : х == х (/), t > /0. Скорость точ-
ки v (t) есть производная dx (/)/dt, а ускорение а (/) —
производная скорости
а (/) = dv (/)/dt = d2x (t)/dt\
Сила F, вообще говоря, зависит от времени t, положе-
ния точки х (0 и скорости v (/) = dx (t)ldt.
F = F (t, х (/), dx (t)/dt).
В соответствии co вторым законом Ньютона сила, дей-
ствующая на материальную точку, равна произведению
массы точки на ее ускорение:
md2x (t)/dt2 = F (t,x (/), dx (t)/dt).	(1.3)
Соотношение (1.3) есть обыкновенное дифференциальное
уравнение второго порядка для определения неизвестной
функции х (0 (закона движения материальной точки). В
общем случае закон движения конечной системы материаль-
ных точек в пространстве находится в результате решения
системы уравнений второго порядка. Заметим, что уравне-
ние (1.3) описывает общий класс уравнений второго по-
рядка, разрешенных относительно второй производной.
Константу т в левой части уравнения без ограничения
общности можно взять равной единице, достаточно вместо
функции F ввести функцию Ф — F/m.
Решением дифференциального уравнения (1.3) на ин-
тервале ]п, b 1 будем называть функцию, обращающую при
подстановке это уравнение в тождество и имеющую на
этом интервале производные первого и второго порядка.
Уравнение (1.3) имеет много решений. Пусть, напри-
мер, сила F == 0 (движение совершается по инерции).'
Тогда уравнение (1.3) принимает простой вид (d2x!dt2 = 0)
и легко решается:
dx (/)/dt — сх, х (t) = crt + с2.	(1.4)
р Числа сг и с2 произвольны. Они называются произ-
вольными постоянными. Равенство (1.4) выражает тот
физический закон, что тело, движущееся по инерции, со-
вершает прямолинейное и равномерное движение: скорость
постоянна, координата изменяется по линейному закону.
В учебниках по теории обыкновенных дифференциальных
7
уравнений доказывается,
что при весьма слабых
ограничениях на функ-
цию F (/, х, у) общее ре-
шение уравнения (1.3) на
достаточно малом интер-
вале также зависит от
двух произвольных по-
стоянных. Для опреде-
ления произвольных по-
стоянных нужно, вообще
говоря, задать два допол-
нительных условия.
Фундаментальную роль в теории обыкновенных диффе"
ренциальных уравнений играет задача с начальными дан-
ными, или задача О. Коши (1789—1857): найти на неко-
тором отрезке [/0, /0 + б] решение уравнения (1.3,)
удовлетворяющее начальным условиям
х (/0) = х0, dx (to)/dt = и0,	(1.5)
где х0 и и0 — заданные числа.
Физически условия (1.5) означают, что в начальный
момент задаются положение материальной точки и ее ско-
рость. Доказывается (теорема существования и единствен-
ности решения), что для достаточно хорошей функции
F (/, х, у) (например, имеющей непрерывные производные
в окрестности точки (/0, х0, и0) и на достаточно малом ин-
тервале [/0, t0 + 6] задача Коши имеет решение, причем
единственное. Таким образом, теорема существования и
единственности решения задачи Коши носит локальный
характер: решение существует и единственно на достаточно
малом отрезке [/0, /0 + 6].
Если х = х (0, /0 < < to + есть решение диф-
ференциального уравнения (1.3), то график функции х =
«= х (0 называется интегральной кривой уравнения (1.3).
Геометрически задачу Коши можно интерпретировать таким
образом: мы проводим интегральную кривую через задан-
ную точку плоскости A (to^xo), причем эта интегральная
кривая должна иметь заданный угловой коэффициент
и0 = tga (рис. 1). Заметим еще, что в случае уравнения
и-го порядка в качестве начальных условий при t = tQ
нужно задать значение функции и ее производных до
п— 1-го порядка включительно. В частности, для уравне-
ния первого порядка требуется задавать только значение
функции.
8
Теорема существования и единственности гарантирует
.возможность построения интегральной кривой АВ для
значений t, лежащих на отрезке Uo, t0 + 6]. Беря те-
перь начальные данные при t — t0 -j- 6, мы можем еще
раз воспользоваться теоремой существования и единствен-
ности решения задачи Коши и построить кусочек ВС ин-
тегральной кривой, соответствующий значениям t, лежа-
щим на отрезке + 6, t0 4- 6 + 6' 1. Таким образом,
мы продолжили решение задачи Коши с отрезка Uo>
to + б] на более широкий отрезок Uo, t0 + 6 + б').
Ясно, что эту процедуру можно повторить сколько угодно
раз. Означает ли это, что мы можем продолжить, решение
задачи Коши для сколь угодно больших значений /? Про-
стые примеры показывают, что это можно сделать не всег-
да. Рассмотрим, например, задачу Коши для уравнения
первого порядка:
dx(t)ldt*= х2 (t), х (0) = 1.	(1.6)
чек.
>-н-Уравнение (1.6) легко решается:
4?,(/)/хг(/) — dt, d/dt (t + 1/х) = 0, t + 1/х = о.
\ Используя начальное условие х (0) = 1, получаем
с = 1. Поэтому решение задачи Коши (1.6) имеет следую-
щий вид:
*(0=-^-, 0</<1.
Ясно, что это решение не может быть продолжено пра-
вее точки t = 1, так как интегральная кривая уходит в
бесконечность (рис. 2).
Чтобы решение задачи Коши можно было продолжить
для сколь угодно больших значений /, достаточно потре-
бовать не слишком быстрого роста функции F (/, х, и)
при х->оо, ц->оо. В примере (1.6) она растет слишком быстро,
как х2.
Теорема существования и единственности, имеющая в
теории обыкновенных дифференциальных уравнений боль-
шое методологическое значение, не дает способов нахож-
дения точного решения дифференциальных уравнений.
Существует ограниченное количество классов дифферен-
циальных уравнений, для которых известны регулярные
способы нахождения точных решений. Важнейший из
них — класс линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами. Методы решения таких урав-
нений излагаются во всех курсах по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений.
Для уравнения (1.3) можно рассматривать задачи,
отличные от задачи Коши, например различные типы гра-
ничных задач. Вот формулировка одной из граничных за-
дач: на отрезке [/0, найти решение уравнения (1.3),
удовлетворяющее граничным условиям:
x(t0) = x0, x(t1) = xlf	(1.7)
где xQ и хг — заданные числа.
Граничная задача (1.7) имеет простую геометрическую
интерпретацию: нужно построить интегральную кривую,
проходящую через две заданные точки плоскости: А (/0,
х0) и В (/ъ хг) (рис. 3).
Решение граничной задачи принципиально более труд-
но, чем решение задачи Коши. При решении задачи Коши
мы начинаем интегральную кривую из заданной точки
локально и, пользуясь теоремой существования и един-
ственности, продолжаем эту интегральную кривую до тех
пор, пока не получим непродолжаемое решение. Гранич-
ную задачу в отличие от задачи Коши нужно решать гло-
бально, сразу на всем отрезке {/0, / Уже простые при-
меры показывают, что граничная задача может не иметь
решения.
Рассмотрим, например, на отрезке [0, л] граничную
задачу
d2x (t)/dt2 + х (t) = 0, х (0) ~ 0, х (л) = а,
10
где а — некоторое число (параметр). Дифферен цирова •
ннем легко проверить, что при произвольных постоянных
и с2 функция
х (/) = Сх sin t + С2 cos t3	(1.8)
есть решение дифференциального уравнения d2x (t)/dt2 +
+ х (0 = 0.
Можно показать, что выражение (1.8) будет общим ре-
шением этого уравнения. В самом деле, пусть х (0 есть
решение уравнения d2x/dt 4 + х — 0. Подберем констан-
ты Сх и С2 в выражении (1.8) так, чтобы х (0) = х (0),
х (0) = х (0) (здесь для обозначения производной по вре-
мени использована точка). В результате получим решение:
х (/) = х (0) cos t + х (0) sin t.
В силу теоремы существования и единственности для
линейных уравнений получаем х (t) = х (/).
Попробуем теперь так подобрать постоянные в выраже-
нии (1.8), чтобы удовлетворить граничным условиям,
х (0) = 0, х (л) = 0. Находим С2 = 0, а = 0. Таким
образом, при а=# 0 граничная задача решений не имеет.
При а — 0 будет семейство решений, зависящее от одной
произвольной постоянной.
Для уравнений второго порядка можно рассматривать
и отличающиеся от (1.7) типы граничных условий, на-
пример
х (t0) = х0, dx (t^/dt = oj.
Граничные задачи для обыкновенных дифференциальных
уравнений возникают в различных разделах математики
и ее приложений, например при решении задач математи-
ческой физики методом разделения переменных. Гра-
ничные задачи для обыкновенных уравнений часто возни-
кают также и при решении нелинейных задач при помощи
асимптотических методов малого параметра. С некоторы-
ми такими задачами мы в дальнейшем познакомимся.
Глава If. ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ПАРАМЕТР
Посмотрим еще раз на уравнение (1.3). В него входит
параметр т. Если решать граничную задачу, например,
11
с условиями (1.7) для этого уравнения, то
можно поставить вопрос о характере функ-
н	циональной зависимости решения граничной
Iq I	задачи от параметра т.
I	Имеет смысл рассматривать несколько
более общее, чем (1.3), уравнение второго
порядка, содержащее параметр:
d2yldx2 == Ф (X, х, у (х), dy (x)/dx).	(2.1)
—— Q
В этом уравнении х — независимая пе-
ременная, у — неизвестная функция, i ~
вещественный параметр, функция Ф (X, х,
у, v) имеет по всем своим аргументам непре-
II., рывные частные производные. Разумеется,
можно рассматривать и уравнения более вы-
соких порядков и содержащие не один, а не-
4 сколько параметров, а также системы таких
уравнений.
По-видимому, впервые обратил внимание на важность
изучения зависимости решения граничной задачи от пара-
метра Л. Эйлер (1707—1783) в связи с предпринятым
им же теоретическим исследованием форм равновесия упру-
го сжатых стержней.
Представим себе упругий прямой стержень длины Z.
Один конец стержня шарнирно оперт, а на другой дейст-
вует сжимающая сила Р (рис. 4). Под воздействием силы
Р стержень может выпучиться и принять форму, описы-
ваемую графиком некоторой неизвестной функции у (х).
Теория сопротивления материалов дает следующее простое
приближенное линейное уравнение для определения функ-
ции у (х):
d2y (x)/dx2 + Ку (х) = 0, К = P/EI, (2.2)
где Е — модуль упругости, / — осевой момент инерции
поперечного сечения стержня. Должны быть также удов-
летворены граничные условия:	-
У (0) ~ У (0 = 0.	(2.3)
Таким образом, задача о равновесии упругого стержня
есть линейная граничная задача для обыкновенного диф-
ференциального уравнения, содержащего параметр. Эта
задача и была исследована Эйлером.
Более точное уравнение будет уже нелинейным. Если
обозначить через s длину дуги нейтральной линии стерж-
ня (если мыслить себе стержень составленным из беско-
12
нечно тонких упругих волокон, то на одном из велокон,
лежащих внутри жгута, напряжения будут равны нулю;
этому волокну соответствует нейтральная линия), а через
0 (s) — угол наклона касательной к графику, то более
точно поставленная граничная задача будет иметь следую-
щий вид:
d20/ds2 + к sin 0 (s) = О,
d0 (0)/ds = d0 (l)/ds =* 0.	(2.4)
В дальнейшем мы расскажем как о способе решения
линейной граничной задачи (2.2)—(2.3), так и нелиней-
ной граничной задачи (2:4). Сейчас же обсудим некоторые
принципиальные вопросы.
Прежде всего заметим, что как линейная, так и нели-
нейная задача (2.4) при любом значении параметра имеет
тривиальное (нулевое) решение, которому соответствует
тривиальная форма равновесия (стержень не изогнут).
Представим себе эксперимент, в котором мы работаем
с одним и тем же стержнем, так что его модуль упругости
и осевой момент инерции постоянны, а нагрузка медлен-
но, квазистатически увеличивается. Реальный опыт и
здравый смысл убеждают нас, что при малой нагрузке Р
реализуется только тривиальная форма равновесия стерж-
ня. При постепенном статическом увеличении нагрузки
и приближении ее величины к некоторому критическому
значению РкР тривиальная форма равновесия становится
неустойчивой, и под воздействием всегда существующих
в реальных условиях случайных возмущений (например,
малой поперечной силы Q, изображенной на рис. 4) стер-
жень выйдет из тривиальной формы равновесия. После
кратковременного переходного процесса установится дру-
гая, уже нетривиальная, но устойчивая форма равновесия.
При дальнейшем увеличении нагрузки и до нового крити-
ческого значения и эта, последняя форма равновесия в
свою очередь станет неустойчивой, и под воздействием
случайных возмущений стержень примет другую форму
равновесия. Этот эксперимент можно мыслить продолжаю-
1#мся и дальше, но при больших нагрузках уравнение
|2:4) будет уже неприменимым, так как материал стержня
йачнет проявлять не только упругие, но и пластические
свойства, и для описания равновесия нужно пользоваться
гораздо более сложными уравнениями теории пластичности.
Какую же информацию можно извлечь при исследова-
нии нелинейной граничной/ задачи (2.4)? В принципе
13
можно найти все критические значения для силы Эйлера
и соответствующие ям формы равновесия. Однако для
исследования устойчивости этих форм равновесия стати-
ческого уравнения (2.4) уже недостаточно. Нужно соста-
вить сложные динамические уравнения, описывающие раз-
витие процесса во времени, и исследовать при их помощи
устойчивость форм равновесия. В принципе динамические
уравнения позволяют проследить во времени процесс эво-
люции формы стержня и после потери им устойчивости.
Нужно сказать, что описанная выше программа иссле-
дования процесса потери устойчивости упругим стержнем
является типичной для многих задач физики, механики,
математической экономики, биологии, химии, в которых
изучаются равновесные или стационарные структуры. Сна-
чала исследуются возможные формы равновесия (или ста-
ционарных структур), затем при помощи динамических
уравнений исследуется устойчивость соответствующих
структур, а уже потом и сам процесс эволюции структур
после потери ими устойчивости. В более сложных случаях
вместо обыкновенных уравнений придется иметь дело с
уравнениями в частных производных и с системами та-
ких уравнений. Каждый из этапов исследования в какой-
то мере связан с изучением зависимости поведения реше-
ния дифференциального уравнения от одного или несколь-
ких параметров. В дальнейшем будет дано представление
о некоторых используемых в современной математике и ее
приложениях методах решения таких задач.
Рассмотрим линейную задачу Эйлера о формах равно-
весия упругого сжатого стержня. Как уже говорилось,
эта задача сводится к решению дифференциального урав-
нения (2.2) при граничных условиях (2.3). Без ограниче-
ния общности будем считать, что длина стержня равна л
(это достигается соответствующим выбором единицы дли-
ны). Таким образом, мы приходим к исследованию зависи-
мости от параметра решений граничной задачи:
d2y (x)/dx2 + ку (х) = 0, у (0) — у (л) = О. (2.5)
Напомним еще раз, что граничная задача (2.5) всегда
имеет тривиальное решение у (х) s 0. Те значения па-
раметра Z, при которых граничная задача имеет нетри-
виальные (отличные от нуля) решения, называются соб-
ственными значениями. Если есть собственное значе-
ние, то решение граничной задачи (2.5) при Z = Zo назы- *
вается собственной .функцией, соответствующей собствен- *
14
ному значению В силу линейности граничной задачи
(2.5) собственные функции определены с точностью до про-
извольного множителям если ср (л) — собственная функ-
ция, то при любом вещественном С функция Сф (х) также
будет собственной функцией граничной задачи.
Для задачи (2.5) легко найти все собственные значения
и собственные функции.. Дифференцированием можно
проверить» что при 1 > 0 функция
QstaxX X С2eosхX X (2.6)
при произвольных постоянных Cj и С, будет решением
уравнения d2y/dx2 + Х^ = 0. Подставляя В' выражение
(2.6) граничные условия» получаем систему уравнений $ля
определения произвольных постоянные:
sin 0 -Ь С2 cos 0 = О,
Сх sin л]/" X 4-С2 cos л ~|/~ X =0.	(2.7)
Из первого уравнения получаем С2 = 0. Нетривиаль-
ное решение граничной задачи существует, если СХУ= 0.
Тогда из второго уравнения получаем, что собственные
значения должны быть корнями уравнения
sin (лУ1> = 0.	(2.8)
Уравнение (2.8) имеет счетное множество корней (мно-
жество называется счетным, если его элементы можно рас-
положить в последовательность):
Хх =1, Х2 == 4, ..., Хп =*	...	(2.9)
Соответствующие собственные функции с точностью до
произвольного множителя имеют следующий вид:
Ф1 W = sin Ф2 == s*n 2х, ...»
Фп(х) ~ sin ня, ...	(2.10)
Вспоминая теперь, что возникновение граничной зада-
чи (2.5) было связано с физической задачей об' устойчи-
вости сжатого стержня и что в силу (2.2) параметр X
лццейно выражается через сжимающую силу Р, полу-
чаем, что в линейном приближении существует счетное
множество критических значений для сжимающей силы
Р, при которых, помимо тривиальной формы равновесия
стержня, может существовать и нетривиальная. Как ужа
говорилось, практически будет реализована только устой-
чивая форма равновесия. Исследование устойчивости тре-
IS
бует рассмотрения более сложного динамического уравне-
ния, учитывающего движение (колебания) стержня. Функ-
ция, описывающая колебания стержня, будет зависеть от
координаты х и времени t, поэтому дифференциальное
уравнение колебаний стержня будет уже уравнением в
частных производных. В дальнейшем речь пойдет и о ди-
намических задачах, но сейчас мы намерены обсудить
некоторые свойства линейной задачи (2.5).
Заметим, что исследование линейной задачи позволяет
найти критические значения параметра, но не позволяет
определить формы равновесия (они определены с точностью
до произвольного множителя). Это недостаток линеаризи-
рованной постановки задачи. Более точные нелинейные
уравнения позволяют определить и форму равновесия в
зависимости от параметра.
Нетрудно проверить, что собственные функции (2.10)
образуют ортогональное на отрезке [0, л] семейство
функций:
JT	л
J фп (х) фт (х) dx = 0 при П^т, j^n(x)dx = n.
о	о
Если функция f (х) непрерывно дифференцируема на
отрезке [0, л] и удовлетворяет граничным условиям
f (0) — f (л) — 0, то она может быть разложена в равно-
мерно сходящийся на отрезке [0, л] ряд по собственным
функциям граничной линейной задачи (2.5):
00	9 я
f(*)=2 cn<Pn(x). cn = -^f®4>n(t)dt.	(2.11)
п=1	0
Эта важная теорема доказывается в курсах уравнений
математической физики *. Там же показывается, что сфор-
мулированная теорема о разложении по собственным функ-
циям граничной задачи, свойства счетности и неотрицатель-
ности собственных значений справедливы и для граничных
задач более общего вида, чем (2.5), например, для следую-
щей граничной задачи, называемой граничной задачей
Штурма — Лиувилля:
i р(*)-^г] + ^(х)у(х)=0, у(0)=у(П)=0. 'X*.
Здесь функции р (х) и г(х) положительны и имеют ,ца
отрезке [0, л] непрерывные производные.
* См., например, Владимиров В. С, Уравнения ма-
тематической физики. М., Наука', 1967»
16
Можно доказать также важное вариационное свойство
собственных значений. Для задачи (2.5) и для первого
собственного значения это свойство может быть сфор-
мулировано следующим образом:
Xi=l = min
j [у' (x)]2dx/ J
о	о
У2 (X) dx
(2.12)
где min берется по всем напрерывно-дифференцируемым
функциям, удовлетворяющим граничным условиям. Ми-
нимум достигается на собственной функции <рх = sin х.
Мы не станем формулировать тут вариационные свойства
собственных значений в общем случае. Заметим лишь,
что вариационные свойства могут быть использованы как
для теоретического исследования свойств собственных зна-
чений и собственных функций, так и для приближенного
их вычисления. Вариационное равенство (2.12) можно запи-
сать в виде неравенства
J [у' (х)]2 dx J у2 (х) dx,	(2.13)
о	о
справедливого для любой функции, имеющей на отрезке
[0, л ] непрерывную производную и удовлетворяющей гра-
ничным условиям у (0) = у (п) — 0.
В дальнейшем нам понадобится следующая лемма о
разрешимости неоднородной граничной задачи.
Лемма. Пусть %0 — собственное число граничной
задачи (2.5), а ф0(х) — соответствующая ему собственная
функция. Функция f (х) непрерывна на отрезке [0, л]
и удовлетворяет граничным условиям. Для того чтобы не-
однородная граничная задача
d2y (x)/dx2 + Коу (х) = f (х),
г/(О)=г/(л)=О	(2.14)
имела решение, необходимо и достаточно, чтобы функция
f (х) была ортогональна собственной функции <р0 (х), т. е.
Jf(x)<po(x)dx=O.
О
(2.15)
Если условие (2.15) выполнено, то решение граничной
задачи (2.14) имеет следующий вид:
fe== 1
(2.16)
2 Серия «Математика» № 3
17
= j f(x)4>h(x)dx.
0
В формуле (2.16) нужно пропустить слагаемое, соот-
ветствующее тому значению k, для которого hk = Хо.
Сформулированная лемма в более общем случае гранич-
ной задачи Штурма — Лиувилля доказывается в курсах
уравнений математической физики. В рассматриваемом
простом случае ее доказательство элементарно. Нужно
воспользоваться разложением (2.11) функции f (%) по
собственным функциям фп(х). Чтобы не отвлекаться на
непринципиальные технические подробности, мы не ста-
нем приводить доказательства этой леммы.
Наша ближайшая цель — дать представление о мето-
дах Ляпунова — Пуанкаре исследования нелинейной гра-
ничной задачи типа задачи (2.4), выяснить связь решений
линеаризированной задачи с решением нелинейной задачи
и исследовать качественные особенности, которые вносит
нелинейность.
Для того чтобы проиллюстрировать качественно новые
явления, возникающие при исследовании нелинейной за-
дачи, рассмотрим простейшую нелинейную задачу
f/(O)=f/(n) = O.	(2.17)
Очевидно, что при любом значении параметра X гра-
ничная задача (2.17) имеет тривиальное решение у (х) е= 0.
Если воспользоваться вариационным неравенством
(2.13), то легко доказать, что при Х<1 граничная задача
имеет только тривиальное решение. Умножая уравнение
(2.17) на у (х) и интегрируя от 0 до л, получаем
—X Jy2(x)dx + -±-Jy*(x)dx=0.	(2.18)
0	Q
Дифференцированием легко проверить тождество
d2# (х)	{ ч
d Г / 1
— -Г- У (х)
dx г7 v '
dy И ] , dy I2
dx J ‘ dx J ’
(2.19)
18
Вспоминая, что у (0) = у (я) = 0 и интегрируя тожде-
ство (2.19) от 0 до л, получаем
(2.20)
Если воспользоваться вариационным неравенством
(2.13), то из (2.20) следует:
- J У W dx > J t/2 (х) dx.	(2.21)
о	о
Вычтем теперь из неравенства (2.21) равенство (2.18):
о
о
(2.22)
Если X < 1, то 1 — X > 0, и так как оба слагаемых
в формуле (2,22) неотрицательны, то неравенство (2.22)
может выполняться только в том случае, когда оба слагае-
мых равны нулю. Таким образом,
J у4(х)Ух=0.
о
Функция i/4(x) непрерывна и неотрицательна. Интеграл
от нее может быть равен нулю в том и только в том случае,
когда у (х) = 0. Итак, при 0 < X < 1 граничная задача
(2.17) имеет только тривиальное решение.
- Исследуем теперь, что происходит, когда параметр X
хотя и больше единицы, но достаточно близок к ней. Если
зачеркнуть в уравнении (2.17) нелинейный член 4/з{/3(х),
то мы опять придем к линейной граничной задаче на соб-
ственные значения (2.5). Было показано, что линейная
задача имеет нетривиальные решения только в том случае,
когда параметр X равен одному из собственных значений
Хп = я2; я = 1,2, ... Оказывается, что зависимость ре-
шения нелинейной задачи от параметра X более сложная.
Нетривиальное решение может существовать для всех зна-
чений параметра X из некоторого отрезка [Х0), Хо + 6].
В современной математике и физике существует несколько
путей исследования нелинейных граничных задач, содер-
жащих параметр. Одно из самых плодотворных направле-
ний, как мы уже упоминали, связано с именами замеча-
тельных математиков А. Пуанкаре (1854—1912) и
Л. М. Ляпунова (1857—1918), которые развили методы
2*
19
малого параметра для изучения задач нелинейной механи-
ки. Продемонстрируем один из развитых ими методов ре-
шения на примере граничной задачи (2.17).
Будем считать, что параметр X принимает значение,
достаточно близкое к критическому значению п2, являю-
щемуся одним из собственных'значений линеаризированной
задачи (2.5). Для простоты возьмем первое собственное
значение п = 1 и положим X — 1 = е2.
Согласно нашей договоренности параметр е мал. Тогда
граничную задачу (2.17) можно переписать следующим обг
разом:
^W+Z/(X)= -±-уЦХ) — &2У(х)г
у(0)=у.(п)=0.	(2.23)
Будем искать решение нелинейной задачи (2.23) в виде
ряда по степеням малого параметра
у (х) == еу^х) + е3у3(х) + е6г/6(х) + ...
У1(9) “ Уг(л) 0» *• “ 1>3, ...	(2.24)
Подставим ряд (2.24) в уравнение (2.23). Тогда при
вычислении у3(х) придется возводить степенной ряд (2.24)
в третью степень. Формально степенной ряд возводится
в целую степень по тем же правилам, что и многочлен вида
а0 + ... 4- апел. Получаем
у3(х) = e3y3i(x) + 3e5z4(x)z/8(x)4-
4- еЧЗу3 (х)уъ(х) 4- Зг/!(х)^(х)] 4- ...	(2.25)
Общее выражение для коэффициента при еп довольно
громоздко, и мы его здесь не приводим. Итак, подставляя
разложение (2.24) в уравнение $.23) и принимая во вни-
мание формулу (2.25), находим
ef/i (х) 4- У1(х) ] 4- е3[«/з (х) 4- Уз(х) 4- уг(х) —
4-еЧ/5 (x)+yb(x)+y3(x)—4y2i(x)yt(x) 1 4- ... = 0.	(2.26)
Для того чтобы функция, являющаяся суммой ряда
(2.24), была решением граничной задачи (2.23), необходи-
мо, чтобы все коэффициенты при степенях параметра s
в формуле (2.26) обратились в нуль. Получаем последова-
тельность граничных задач для определения неизвестных
функций у^х), ...:
У1 (х) 4- у-Ах) = 0, #х(0) = 44(л) « 0;	(2.27)
20
Уз(х) + Уз(х\ = 4/3«/i.(x) — У1(х), У3(0)==«/3(л)=?=0; (2.28)
Уз (х) + уь(х) = 4j/i(x)t/3(xjI— у3(х),
Уь(О) - Уъ(п) = 0.	(2.29)
Покажем, что все эти граничные задачи могут быть
последовательно разрешены. Решение граничной задачи
(2.27) нам уже известно:
;>	У1(х) — С sin х,	(2.30)
где sin х — собственная функция линейной задачи (2.5),
соответствующая собственному значению X = 1, а С —
произвольная постоянная, которая не находится при ис-
следовании граничной задачи (2.27). Она будет определе-
на при исследовании граничной задачи (2.28). Подставляя
выражение (2.30) для У1(х) в уравнение (2.28), приходим
к граничной неоднородной задаче
п	4
Уз (х) + у3 (х) = — Csinx-|--g-C3sin3№
»(С3—С) sin х —С3 sin Зх,
Уз(0)=У3(л)^0.	(2.31)
В силу рассмотренной выше леммы граничная задача
(2.31) разрешима в том и только в том случае, когда
функция
f (х) = (С3—С) sin х—С3 sin Зх
ортогональна собственной функции <р0(х) = sin х. Но
функция sin Зх ортогональна sin х. Поэтому функция
f (х) ортогональна sin х в том и только в том случае, ког-
да коэффициент при sin х равен нулю. Получаем урав-
нение для определения числа С: С3 — С = 0, откуда на-
ходим Cj = 0, Съ = 1, Са =—1.
Решение, соответствующее С\ = 0, будет тривиаль-
ным, а решения, соответствующие ±1, будут отличаться
Только знаком. Это легко установить, если заметить, Что
уравнение (2.23) не меняет своего вида при замене у (х)
на -т#(х). Поэтому если мы построим решение у (х),
то —у (х) тоже будет решением. Исходя из сказанного,
достаточно ограничиться построением решения, для С— L
Уравнение (2.31) при С = 1 принимает следующий вид:
’ Уз (х) + у3 - — 2/3 sin Зх, Уз (0) = г/3(л) = 0. (2.31')
21
Общее решение неоднородной задачи есть сумма частно-
го решения этой неоднородной задачи плюс общее реше-
ние однородной задачи. Легко проверить, что функция
х/12 sin Зх будет частным решением граничной задачи
(2.3Г). Прибавляя общее решение однородной задачи, по-
лучаем, что
у3 (х) = sin Зх 4- D sin х,	(2.32)
где D — новая произвольная постоянная, которая должна
быть определена из условий разрешимости граничной за-
дачи для функции у5(х). Подставляя выражения (2.32)
и (2.30) при С = 1 в уравнение (2.29) и воспользовавшись
элементарными тригонометрическими формулами
sin3 х =	sin х---т- sin Зх,
sin2 xsin Зх = 4~ sin Зх-4 sin5x----^-sinx,
2	4	4	’
получаем
ys(x) + y& (x)= 2D — -yyj sinx-H-jj —D) sin3x—
--i-sin5jc> ys (0) = z/5 (n)=0.	(2.33)
Еще раз применяя лемму, видим, что задача (2.33J
разрешима в том и только в том случае, когда коэффициент
при sin х равен нулю. Это условие определяет коэффи-
циент D : D ~ 1/24. Подставляя это значение для D в
выражение (2.32), получаем
sin Зх +sin х.	(2.34)
Все последующие члены г/.(х) могут быть последователь-
но определены, и существует такое число е0 > 0, что ряд
(2.24) сходится при |е[<е0 и его сумма дает решение
нелинейной граничной задачи (2.23-).
Подставляя выражения (2.30) при С = 1 и выраже-
ние (2.34) для у3(х) в разложение (2.24), получаем
у (x) = esin x-J- е3 sin Зх sinxj-j-. . . (2.35)
Как уже отмечалось, если при некотором е формула
(2.35) дает решение, то — у (х) тоже будет решением.
22
Рис. 5
Так как в выражение (2.35) входят только нечетные сте-
пени е, то — у (х) получается заменой 8 на — в. Таким
образом можно считать, что формула (2.35) дает два реше-
ния: одно соответствует & > 0, а другое — е < 0.
Итак, мы получили следующее: для значений парамет-
ра, лежащих на интервале] — оо, 1 [, граничная задача
^2.17) имеет только тривиальное решение у = 0. При пе-
реходе через первое критическое значение параметра =
= 1 происходит изменение числа решений (этот процесс
называют также процессом ветвления решений). При
1, помимо тривиального решения, существуют еще
два нетривиальных, которые задаются формулой (2.35).
Одно решение соответствует числу е >0, второе — е < 0.
На рис, 5 схематически изображена зависимость числа
решений от параметра &, когда параметр % меняется в
окрестности первого собственного значения.
Аналогичным образом можно исследовать ветвление
решений в окрестности второго собственного значения
Х2 = 4. Но теперь уже слева от Z2 существуют три ре-
шения, а справа — только тривиальное решение. Не-
трудно показать, что в окрестности любого четного крити-
ческого значения процесс ветвления решений происходит
так же, как в окрестности второго собственного значения
%2; в окрестности любого нечетного' критического значе-
ния Х2п+1 — так же, как в окрестности первого собствен-
ного значения %!. Предложенная методика применима
только для значений параметров, близких к критическим.
Заметим что, вообще говоря, уравнение (2.23) интегри-
руется в эллиптических функциях, и это позволяет иссле-
23
довать зависимость решения граничной задачи от парамет-
ра во всей области изменения параметра, а не только в
окрестности критических значений, где происходит ветвле-
ние числа решений. Картинка получится, как на рис^ 5,
Но это уже связано со специфической формой уравнения
(2.23). Если процесс исследования Ляпунова >— Пуанкаре
ветвления числа решений в окрестности критических зна-
чений параметра применим к весьма общим классам функ-
циональных уравнений, то точно проинтегрировать урав-
нения удается в весьмй ограниченном числе случаев. Для
исследования зависимости рщдения от параметра вдали
от критических точек математики XX в. интенсивно раз-
вивали топологические методы доказательства существова-
ния решений граничных задач, содержащих параметр (или
более общих функциональных уравнений, содержащих
параметр). Топологические методы используют довольно
сложные понятия вращения векторного поля и топологиче-
ской степени отображения, но не дают практического спо-
соба нахождения решения *.
Читателю может показаться, что мы уделили очень
много времени исследованию частной нелинейной гранич-
ной задачи. Однако это оправдано, так как описанные си-
туации характерны для достаточно широкого класса не-
линейных граничных задач.
В задаче (2.17) была кубическая нелинейность. Не-
трудно показать, что если к кубической нелинейности при-
бавить нелинейность более высокого порядка, скажем,
ky\ то ни метод исследования, ни полученные результаты
существенных изменений не претерпевают. Изменится раз-
ложение (2.24) — оно будет содержать не только нечетные
степени параметра е, но и некоторые его четные степени.
Однако характер ветвления решений не изменится. Диа-
грамма ветвления, изображенная на рис. 5, деформируется,
но ее качественный характер остается прежним. То же са-
мое утверждение справедливо и для любой нелинейности,
эквивалентной нечетной степени у при у-+$.
Несколько другая ситуация возникает, когда главный
член нелинейности есть четная степень у. Рассмотрим про-
стейшую задачу такого типа
* Сравнительно элементарное изложение топологических мето-
дов решения граничных задач можно найти в кн.: Красно-
сельский М. А., П е р о в А. И., Поволоцкий А. И.»
Зебрейко П. П. Векторные поля на плоскостй. М;, ГИФМЛ,
1963.
24
^+%у(х)=:-*.уЦх),
г/(О) = г/(л) = О.	(2.36)
Задача (2.17) имела при А. < 1 только тривиальное ре-
шение? а при 1	< 4 от тривиального решения ответв-
лялось еще два нетривиальных. Мы покажем, что в точке
^1=1 у задачи (2.36) • существует только тривиальное
решение, но как справа, так и слева от этого критического
значения есть и нетривиальные.
Положим в (2.36)
'"Я = 1 + 2е/л.
Тогда
У" (х) + у(х) = -^-уЦх)—^-у (х),
£/(0) = z/(n)=0.	(2.37)
Будем искать решение граничной задачи (2.37) в виде
ряда:
у(х) = ег/х(х) + e2z/2(x) + ...	(2.38)
Для функции у^х) по-прежнему получим граничную
задачу (2.27), решение которой дается формулой (2.30) с
произвольной постоянной С. Для определения С получаем
следующую граничную задачу:
Уз (х) + уг (х) = С2 sin2 х -	sin х,
У^=У^)~^>
' Применяя лемму, получаем, что для разрешимости
задачи необходимо и достаточно, чтобы правая часть была
3	' 2	2
-v-C2sm2 х----------sin x
4	л
ортогональна sin х. Это условие дает уравнение для опре-
деления параметра
sin xdx—Q. (2.39)
Но
J sin3 xdx—	J sin2 xdx=
о	0
поэтому уравнение (2.39) принимает вид С2 — С = О,
откуда = О и С2= 1, Числу Сх = 0 соответствует
тривиальное решение, а С2 == 1 — нетривиальное. За-
метим, что нетривиальное решение существует как справа,
так и слева от критического значения = 1. То же самое
справедливо и для любого другого критического значения.
Диаграмма зависимости решения от параметра схематиче-
ски изображена на рис. 6. Видно, что при переходе через
критическое значение параметра X = 1 оба решения сли-
ваются, а потом опять раздваиваются. Тот же эффект имеет
место и для любой нелинейности с главным членом, являю-
щимся четной степенью.
Мы изложили идею метода Ляпунова — Пуанкаре на
примере нелинейной граничной задачи, но исторически
этот метод возник в терории нелинейных колебаний. Вер-
немся к уравнению (1.3), описывающему движение мате-
риальной точки под воздействием силы F, имеющей по-
стоянное направление. Физики говорят, что некоторая
механическая система консервативна, если в ней не проис-
ходит рассеивания механической энергии (превращения
механической энергии в другие виды энергии, например в
теплоту). Уравнение (1.3) будет описывать консервативную
систему (состоящую из одной материальной точки), если
сила F не зависит от скорости
х (/) + F (х (/)) = 0.	(2.40)
Положение равновесия — это нули уравнения F (х) = 0;
Пусть х0 — положение равновесия. Будем исследовать ма-
лые колебания точки в окрестности положения равновесия.
Пусть х = а + и. Разложим функцию F (а + и) по фор-
муле Тейлора в окрестности точки и = 0. В общем
случае
F(x) = F(a + u) = F(a)+	- и* =
Ц=1 - '
26
xsqPu + aun 4- о (un).
Уравнение (2.40) для малых колебаний можно записать
в следующем виде:
и (/) + <Л (/) — — аи (t)n + ...	(2.41)
Без ограничения общности будем считать, что со *= 1
(этого можно достичь за счет изменения масштаба време-
ни). Если отбросить нелинейные члены в уравнении (2.41),
то линеаризованное уравнение будет иметь периодическое
решение е sin (t — t0) с периодом 2л. Число е называ-
ется амплитудой, a t0 — сдвигом фазы. Уравнение (2.41)
не меняет своего вида при сдвиге независимой переменной
(при замене t на t — t0), поэтому если и (/) есть решение
этого уравнения, то и и (t — t0) — тоже решение. Отсю-
да следует, что сдвиг по фазе можно взять равным нулю.
Если считать амплитуду малой и начать искать решение
уравнения (2.41) в виде ряда по степеням малого парамет-
ра, то мы не сможем найти коэффициенты этого ряда как
периодические функции, так как неизбежно в их выраже-
ния войдут члены вида / cos t, t sin t, которые в небес-
ной механике носят название вековых. Ляпунов и Пуан-
каре придумали способ, позволяющий избежать этой не-
приятности. Они заметили, что период решения нелиней-
ной задачи уже не будет равным 2л, а будет зависеть от
амплитуды е и стремиться к 2л при е -> 0. При помощи
«растяжения» времени период можно сделать равным 2л.
Для этого положим t = Хт, и (Хт) = v (т). Произволь-
ный параметр X выберем таким, чтобы период стал рав-
ным 2л.
Тогда уравнение (2.41) примет следующий вид:
^1+Хц(т)=-ац"(т)Х+...	(2.42)
Задачу отыскания периодического (с периодом 2л) реше-
ния можно свести к граничной задаче, если потребовать
выполнения граничных условий:
о (0) = v (л) = 0.	(2.43)
При помощи теоремы существования и единственности
решения задачи Коши для нелинейного уравнения (2.41)
можно показать, что решение граничной задачи, продол-
жено нечетным образом на отрезок [—л, 0 ], а затем с
периодом 2л на всю вещественную ось будет давать пе-
риодическое решение задачи (2.42). Таким образом, мето-
27
дика, предложенная для решения граничной задачи, пере-
носится без существенных изменений и на задачу о розыс-
кании периодических решений.
Консервативные системы являются идеализацией. Эта
идеализация очень хороша для задач небесной механики,
но в земных условиях большинство механических процес-
сов протекает с диссипацией (рассеиванием) механической
енергии за счет трения. Диссипативные процессы также
могут иметь колебательный или даже периодический ха-
рактер. Периодичность зависит от внешних сил, которые
являются функциями состояния системы. Так, периодиче-
ский ход часов обеспечивается силой сжатия часовой пру-
жины. Такого сорта колебания получили в физике назва-
ния автоколебаний. Они широко распространены в приро-
де и технике. Их исследованию посвятили свои усилия
многие физики и математики XX в *.
До сих пор речь шла о применении методов малого па-
раметра для решения проблем равновесия системы и ис-
следования нелинейных колебаний. Эти задачи носят
весьма общий характер, но далеко не исчерпывают всего
многообразия приложений методов малого параметра.
Здесь достаточно упомянуть о пограничном слое.
Термин «пограничный слой» возник в гидродинамике
при изучении обтекания тел потоком маловязкой жидкости.
Эксперименты показывают, что на некотором небольшом
расстоянии от тела силы внутреннего трения слоев жид-
кости (вязкость) несущественны для определения поля
скоростей жидкости и с большой степенью точности можно
считать жидкость (газ) идеальной. Но вблизи границы
поверхности тела силы вязкости нужно учитывать. Это
связано с тем, что частицы жидкости прилипают к поверх-
ности тела, а с удалением от нее скорость обтекания очень
быстро растет и становится сравнимой со скоростью набе-
гающего потока. В результате силы трения (внутреннего),
пропорциональные градиентам скоростей, оказываются
весьма значительными в некотором тонком слое, примы-
кающем к границе обтекаемого тела (пограничном слое).
Чтобы применить методы малого параметра, можно вос-
пользоваться тонкостью этого слоя (малый параметр —
толщина пограничного слоя). Такая теория на достаточ-
ном для физики и ее приложений уровне строгости была
* См., например, Андронов А. А., Ви т т А. А.,
X а й к и н С. Э. Теория нелинейных колебаний. М., ГИФМЛ,
1969.
28
создана Л. П р а н д т л е м в начале века, а затем в
связи с ее приложениями к авиации интенсивно развива*
лась механиками и инженерами. Математические аспекты
этой теории явились предметом исследования многих ма-
тематиков.
Мы поясним основную идею пограничного слоя на очень
простой задаче Коши для обыкновенного линейного урав-
нения (заметим, что уравнения гидродинамики — это не-
линейные уравнения в частных производных, чем и опре-
деляется трудность построения теории пограничного слоя
для задач обтекания).
Итак, рассмотрим следующую задачу Коши:
е/(х) = -Нх)-т 1/(0) = 0.	(2.44)
Будем искать решение уравнения в виде ряда по степе-
ням малого параметра
У =	+ ez/i(x) + ... + 8луп(х) + ...	(2.45)
Подставляя разложение (2.45) в уравнение (2.44), по-
лучаем, что Уп(х) ~	(*)» и, таким образом, ряд
(2.45) имеет следующий вид:
У W = — f(x) — tf'(x) — e2f”(x) — ...	(2.46)
Этот ряд сходится при | е | <1 и дает решение урав-
нения (2.44), если функция f (х) бесконечно дифференци-
руема и все ее производные ограничены числом Со. Реше-
ние у (х) обладает существенным недостатком — оно не
удовлетворяет граничному условию у (0) «= 0. Покажем,
однако, что на некотором расстоянии от границы х = 0
ряд (2.46) дает приближенное решение задачи Коши, но
не пригоден для описания поведения решения в непосред-
ственной близости от границы. Основная идея теории по-
граничного слоя заключается в том, что вблизи границы
частичные суммы ряда (2.46) нужно подправить специаль-
ными функциями пограничного слоя, быстро убывающими
при удалении от границы, так, что частичные суммы под-
правленного ряда будут давать приближенное решение
исходной задачи Коши с точностью до о (ел) при 8->0.
Кроме того, эти суммы будут удовлетворять еще и началь-
ному условию. Намеченную программу можно реализовать
различными способами, например, рассмотрев однородное
уравнение
еи"(х) = — и.
29
Его решение имеет вид и (х, е) = е~х>ъ . Функция
и (х, е) замечательна следующими своими свойствами:
и (х, 0) = 1, и при Уе выполняется неравенство
| и (х, в) | < ехр (—V У в), а функция ехр (— 1/У е)
стремится к нулю (при е -> 0) быстрее любой положитель-
ной степени еп. Функции типа и (х, в) называют функ-
циями пограничного слоя, а число Уе — его толщиной
(условной).
Подправим теперь ряд (2.46) функциями пограничного
слоя следующим образом (коэффициенты при е" теперь
удовлетворяют граничному условию у (0) «= 0):
у(х, е)= — 2 [f(fe) W— f(A)(O)e“~]eft.	(2.47)
fe = 0
Вообще говоря, ряд (2.47) будет расходящимся. Заме-
чательно, что этот ряд тем не менее асимптотический для
точного решения задачи Коши. Разность между точным
решением и частичной суммой ряда (2.47) при 8 -> 0 стре-
мится к нулю быстрее е":
Это нетрудно строго доказать. Положим
i/(x, е)= 2
*=о
№
х
(x)—f№ (0)е“ 8 е*Н-г(х, е) (2.49)
и подставим в уравнение (2.44). Несложные выкладки по-
казывают, что функция г (х, в) должна быть решением
следующей задачи Коши:
zdz/dx = — г — en+1/(Z!+1)(x).
Решение этой задачи имеет вид:
г(х, e) = en J e-(*-5>/ef(n+i) (£)dg.
о
И так как |	| < с, то
|г(х, 8)1^8" J=
о
= С8п+1(1 — е"“х/е)^С8п+1.
Разумеется, рассмотренный простой пример не даёт пол-
30
кого представления о многочисленных сложностях, возни-
кающих в теории пограничного слоя. Эти трудности имеют
как математический, так и вычислительный характер.
При расчете уравнений пограничного слоя все большую
роль приобретает ЭВМ.
В следующих главах на описательном уровне будет по-
казано, как методы решения граничных задач, содержа-
щих параметр, обобщаются на уравнения с частными про-
изводными и какие тут могут возникать качественно новые
эффекты.
Глава III. ГРАНИЧНЫЕ И СМЕШАННЫЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ
Если развитие теории обыкновенных дифференци-
рованных уравнений исторически было связано с развитием
классической механики систем материальных точек, то
возникновение и развитие теории уравнений с частными
производными оказались связанными с задачами механики
сплошных сред (гидродинамики, теории упругости), а за-
тем и с другими задачами физики (теорией теплопровод-
ности, электромагнетизмом и т. д.). Нужно сказать, что
уравнения в частных производных и те задачи, которые
для них могут быть поставлены (вспоминим, что для обык-
новенных дифференциальных уравнений можно ставить и
задачу Коши, и разнообразные граничные задачи), в го-
раздо меньшей степени поддаются классификации, чем
задачи в обыкновенных уравнениях. В элементарных кур-
сах по теории уравнений с частными производными изу-
чаются важные частные класс линейных и квазилинейных
(линейных относительно старших производных) уравне-
ний второго порядка (так называемых уравнений матема-
тической физики) и некоторые простейшие системы урав-
нений первого порядка. В простых случаях эти уравнения
допускают классификацию на уравнения эллиптического,
гиперболического и параболического типов.
Типичными представителями класса уравнений эллип-
тического типа являются уравнения П. Лапласа
(1749—1827) и С. Пуассона (1781—1840), которые
для случая функции двух переменных и (х, у) имеют сле-
дующий вид:
81
=0, (•*» У) € G (уравнение Лапласа),
—У' + ^“^2 У- = Р(Х> У) (уравнение Пуассона).
Здесь G — некоторая плоская область, р (х, у) — из-
вестная непрерывная функция. -
Если рассматривать задачу о безвихревом обтекании
крыла потоком невязкой несжимаемой жидкости (рис. 7),
то в области Q, внешней по отношению к крылу, потен-
циал скорости будет удовлетворять уравнению Лапласа,
Потенциалом скорости v (х, у) называется такая функция
и (х, у), что vx = ди/дх, vy = ди/ду.
Другой пример. Если Г —- замкнутая кривая ограни-
чивающая плоскую область Q, и на этой кривой распреде-
лены электрические заряды, то потенциал напряженности
электростатического поля в области Q также удовлетво-
ряет уравнению Лапласа.
Уже эти два физических примера убеждают нас в важ-
ности математического изучения уравнения Лапласа и тех
задач, которые для этого уравнения могут быть поставлены.
Кроме того, уравнение Лапласа является типичным пред-
ставителем широкого класса уравнений эллиптического ти-
па, и многие свойства его решений допускают обобщения
и на более широкие классы эллиптических уравнений.
Если область Q занята гравитирующей массой с распре-
деленной плотностью р (х, у), то ньютоновский потенциал
(потенциал напряженности поля гравитации) будет удов-
летворять в области Q уравнению Пуассона. Тому же
уравнению Пуассона удовлетворяет потенциал напряжен-
ности электростатического поля; в этом случае р — плот-
ность распределения зарядов в области Q.
Если считать, что плотность зависит от точки (х, у) не
непосредственно, а через неизвестную функцию и (х, у),
то R=R (и (х, у)), и мы получим уже нелинейное (квази-
линейное) уравнение Пуассона:
д2и(х, у) д2и(х, у)
дх2 + ду2 ~
R(u(x, у)).
Уравнение Лапласа в общем случае имеет много реше-
ний. Например, функции х, у, х2 — у2, ху будут реше-
ниями уравнения Лапласа. Если все множество решений
обыкновенного дифференциального уравнения можно за-
дать как семейство функций, зависящее от конечного числа
постоянных, то описать общее решение уравнения в част*
32
Рис. 7
них производных можно лишь в исключительных случаях.
Так, для уравнения d*v (х, у)1дхду = 0 общее решение
имеет вид: v (х, у) = F^x) + F^y), где F^x) и F2(y) —
произвольные дифференцируемые функции. Общее решение
этого простого уравнения в частных производных второго
порядка зависит от двух произвольных функций.*Степень
произвола по сравнению с обыкновенным дифференциаль-
ным уравнением значительно выше. В произвольных слу-
чаях структура общего решения уравнения в частных про-
изводных неизвестна. Поэтому основное значение приобре-
тает изучение решений, удовлетворяющих некоторым до-
полнительным условиям, обеспечивающим единственность
решения. Эти дополнительные условия в реальных задачах
возникают из физических соображений.
Например, для уравнения Лапласа и Пуассона можно
ставить задачу П. Дирихле (1805—1859)! найти в
области Й решение уравнения Лапласа, удовлетворяю-
щее на границе Г области следующему граничному усло-
вию: и | Г = <р (s). Здесь положение точки на границе
(предполагаемой гладкой) задается при помощи длины
дуги s, отсчитываемой против часовой стрелки от некото-
рой начальной точки Ро кривой Г, а ф (s) — известная
функция.
В курсах уравнений математической физики доказыва-
ется, что задача Дирихле имеет решение, причем единст-
венное, если область й ограниченная и односвязная, гра-
ница Г достаточно гладкая, а функция ф (s) непрерывно
дифференцируемая. Там же рассматриваются и другие
граничные задачи для уравнения Лапласа.
Примером из класса уравнений гиперболического типа
является хорошо известное уравнение колебаний струны:
д^и (х, t)	(х > 0 f л	/о । \
~дР =а —дх*~’
Общее решение этого уравнения можно написать в виде
суммы
33
и (х, t) == F^x — at) + F2(x + at),
где F^) и Г2(т]) — произвольные дифференцируемые
функции. Функция Fr(x — at) описывает распростране-
ние возмущений с постоянной скоростью а в положитель-
ном направлении оси х (прямая волна), a F2(x + at) —
распространение возмущений в отрицательном направле-
нии со скоростью — а (обратная волна). Для уравнения
(3.1) в случае бесконечной струны ставится задача с на-
чальными условиями (задача Коши): найти решение,
удовлетворяющее при t == 0 условиям
и (х, 0) = ф (х), duldt (х, 0) = ф (%), —оо<х<4~оо,
где (х) и ф (х) — непрерывно дифференцируемые функ-
ции. Если струна конечна, то на концах нужно поставить
граничные условия, например, задать законы, по которым
колеблются концы струны: и (0, t) = а (/), и (I, t) =
«= b (/), где a (t) и b (t) — известные функции. Задача
с начальными и граничными условиями называется сме-
шанной.
В курсах уравнений математической физики доказы-
вается, что если начальные и граничные условия достаточ-
но гладкие, то как задача Коши, так и смешанная задача
имеет решение, йричем единственное.
Заметим, что уравнение (3.1) описывает многие волно-
вые процессы, например распространение акустических
волн в однородной среде. В неоднородных средах скорость
распространения волны различна для различных точек х.
Если скорость звука зависит от Точек среды не непосред-
ственно, а через неизвестную функцию а = а (и), то урав-
нение (3.1) будет квазилинейным. Переход от линейных
уравнений к квазилинейным нетривиален, так как реше-
ния квазилинейных гиперболических уравнений, начи-
нающиеся из сколь угодно гладких начальных данных,
могут с течением времени утратить гладкость, что приведет
к образованию слабых и сильных разрывов (ударных волн),
т. е. поверхностей, при переходе через которые физические
параметры, например давление, меняются скачком.
И наконец, типичным представителем уравнений парабо-
лического типа является уравнение теплопроводности. Рас-
смотрим уравнение распространения тепла в стержне
= а* + f (X, 0.	(3-2)
где и — температура, f (х, t) — известная функция, эа-
34
дающая плотность тепловых источников. Если функция
f (х, t) зависит от (х, t) через неизвестную функцию и,
т. е.
f (х, t) = Ф (и (х, ()),
то уравнение становится квазилинейным!
duldt =» а2д2и/дх2 + Ф (и (х, t)).	(3.3)
В случае, когда стержень бесконечен, для уравнения
(3.2) можно ставить задачу с начальными данными (зада-
чу Коши): при t = 0 задается начальное распределение
температуры и (х, 0) = <р (х). Для конечного стержня
нужно, кроме начального условия, задать еще граничные,
например, на концах поддерживается заданный темпера-
турный режим
и (0, /) = -ф1(0> « (1< 0 и W0-
Получаем смешанную задачу для уравнения теплопро-
водности. Уравнения типа (3.2) и (3.3) описывают многие
так называемые диффузионные процессы в механике, фи-
зике,'химии, биологии.
Если перейти к изучению встречающихся на практике
реальных процессов, то даже при наличии достаточно
упрощенной математической модели они будут описы-
ваться сложными системами нелинейных уравнений в
частных производных при сложных граничных и началь-
ных условиях. В теории волн на поверхности несжи-
маемой жидкости, в теории ударных волн в сжимаемом га-
зе, в задачах физики с фазовыми переходами возникают
дополнительные сложности, связанные с тем, что часть
граничных условий задается на неизвестной поверхности
(поверхность раздела двух сред, поверхность ударной вол-
ны и т. д.), форма которой сама должна быть определена
в процессе решения точно так же, как и неизвестные па-
раметры процесса (давление, плотность, температура
и rip.). Весьма трудно во всем многообразии возникающих
задач выделить общие принципы исследования. Тем не ме-
нее современная наука такую проблему ставит и в ряде
случаев успешно ее решает. Природа строит все свое раз-
нообразие из ограниченного набора достаточно простых
элементов. В идеале современная наука пытается строить
сложные модели, исходя из ограниченного набора простых
моделей. Методологически важны оба этапа: первый, на
котором строится достаточно широкий набор простых мо-
делей, и второй, когда из простых моделей строится с лож-
35
ная. Тут важны как аналитические методы исследования,
которые позволяют понять качественную природу решений
и затем построить их вблизи критических значений пара-
метров, так и численные методы, основанные на использо-
вании современных ЭВМ и позволяющие получать коли-
чественные результаты в тех случаях, когда аналитические
методы не применимы.
Среди аналитических методов исследования нелиней-
ных задач особенный интерес представляют методы, позво-
ляющие исследовать существенно нелинейные эффекты,
которые могут быть описаны только с помощью нёлиней-
ных уравнений. И здесь одним из основных аналитиче-
ских методов является метод малого параметра. В после-
дующих главах будут приведены простые примеры подоб-
ных нелинейных эффектов и им соответствующих уравне-
ний, которые, однако, имеют далеко идущие обобщения.
Глава IV. СОЛИТОНЫ
Волновые процессы широко распространены в природе.
По-видимому, люди начинают знакомиться а волновыми
процессами, наблюдая за волнами, распространяющимися
по поверхности водоемов. Хотя' и принято считать, что
поверхностные волны — это самый наглядный пример
волновых движений, их точное исследование наталкива-
ется на серьезнее математические трудности. Дело в том,
что форма поверхности раздела жидкости и воздуха (сво-
бодная граница) у = Y (х, /) неизвестна. Жидкость за-
полняет область, ограниченную снизу дном, а сверху гра-
ницей раздела. В этой области с неизвестной границей
определение поля скоростей движущейся жидкости сво-
дится к решению сложных нелинейных уравнений гидроди-
намики при сложных граничных условиях и заданных на-
чальных условиях. На свободной границе (неизвестной)
задаются два граничных условия: условие постоянства
давления р = const и кинематическое условие, смысл ко-
торого заключается в том, что «жидкая» частица, находя-
щаяся на свободной границе, не может с нее уйти. Нужно
сказать, что в такой общей постановке задача о поверхно-
стных волнах почти не поддается исследованию точными
математическими методами. Приходится делать дополни-
тельные. гипотезы о характере движения.
Одним из основных методов исследования волновых
движений является метод малого параметра. Можно вы-
36
делить класс волновых движений, который легче подда-
ется исследованию точными математическими методами.
Это класс плоских устайбвившихся волн. (Движение назы-
вается плоским, если во всех плоскостях, параллельных
некоторой заданной плоскости, поле скоростей одинаково.
Если выбрать в этой плоскости систему координат хоу, то
поле скоростей будет зависеть от х, у, не будет зави-
сеть от# третьей пространственной координаты. Движение
жидкости называется установившимся, если для наблюда-
теля, движущегося с некоторой постоянной скоростью о
вдоль дна, свободная граница будет представляться за-
стывшей, не меняющейся с течением времени.) Исследова-
ние плоских установившихся движений несжимаемой жид-
кости упрощается за счет того, что уравнение неразрыв-
ности
dvx(x, y)/dx+dvy(x, у)ду « О
позволяет ввести функцию тока ф(х, у)\
vx(x, у) = <W. у)/ду> vy(x, у) = — <9ф (х, у)/ду.
Свободная граница и дно в установившемся движении
будут линиями тока (на них функция тока принимает по-
стоянные значения). Поэтому такая замена переменных,
при которой в качестве одной из независимых переменных
будет принята функция тока, приведет исходную задачу
к нелинейной граничной задаче для уравнения эллиптиче-
ского типа в полосе —оо<х<+<», 0 ф < ф0. Эта за-
дача также чрезвычайно сложна, но граничные условия
уже задаются на границах полосы при ф 0, ф °= ф0.
Для исследования малых по амплитуде решений примени-
мы классические методы малого параметра. Нужно ска-
зать, что еще со времен Эйлера и Коши интенсивно разви-
валась линейная теория поверхностных волн бесконечно
малой амплитуды, основанная на исследовании линеаризи-
рованной системы уравнений. В линейной теории могут
существовать установившиеся синусоидальные волны типа
у = a sin nxtL, скорость распространения которых свя-
зана с длиной волны и глубиной жидкости и не зависит от
амплитуды а, являющейся в линейной теории независимым
параметром. Долгое время, несмотря на усилия многих
математиков и механиков, не удавалось доказать, что точ-
ные уравнения имеют периодические решения, близкие к
решениям линеаризированной задачи, когда амплитуда
волн достаточно мала. Эта задача была решена лишь в на-
37
чале XX в. Успех был основан на успешном развитии и
применении методов малого параметра, развитых Ляпуно-
вым и Пуанкаре 4 для обыкновенных дифференциальных
уравнений, к исследованию нелинейного интегрального
уравнения, к которому была сведена задача о периодиче-
ских волнах. Этот результат, несмотря на все его изящест-
во, в общем, лишь подтверждает законность использования
линейной теории. Уточняется форма волны и формула для
скорости ее распространения. Если в линейной теории ско-
рость распространения не зависит от амплитуды волны, то
в точной теории такая зависимость устанавливается.
Замечательно, что нелинейные уравнения допускают
решения (в том числе и периодические), для которых нет
аналога в линейной теории. В частности, тут речь идет
и о солитонах (уединенных волнах). Впервые уединенные
волны были обнаружены экспериментально Дж. Рас-
селом в 1844 г. Он наблюдал возмущение в виде одиноч-
ного горба, распространяющееся с постоянной скоростью
без изменениялформы вдоль канала. Описанная Расселом
уединенная волна вызвала интерес еще и потому, что она
не могла быть исследована в рамках линейной теории.
Выражаясь современным языком, мы можем сказать, что
уединенная волна — это существенно нелинейное явление.
Удивительно, что знаменитый физик Рэлей и механик Бус-
синеск независимо придумали довольно искусственные
приемы, при помощи которых они нашли приближенное'
обыкновенное дифференциальное уравнение для формы
уединенной волны. Это нелинейное уравнение имеет пе-
риодическое решение, которое вырождается в уединенную
волну при длине волны L, стремящейся к бесконечности.
Лишь в 1945 г. советский математик н механик
М. А. Лаврентьев доказал, используя развитые
им же вариационные методы теории конформных отображе-
ний, что уединенная волна существует, если скорость ее
близка к критической, равной gH, а амплитуда доста-
точно мала. Более простые доказательства, основанные на
специальных асимптотических методах малого параметра,
были даны позднее, причем были доказаны теоремы сущест-
вования и единственности как для уединенных волн, так
и для семейств периодических волн, вырождающихся в
солитон при длине волны £~>оо. При этом постепенно по-
няли, что существование решений типа солитонов не есть
специфическое свойство гидродинамических уравнений.
Оно присуще широким классам нелинейных процессов,
38
протекающих в неограниченных областях, таких, напри-
мер, как полоса. Солитоны были обнаружены в стратифи-
цированной жидкости, в плазме и во многих областях фи-
зики, имеющих дело с нелинейными процессами.
У нас есть возможность проиллюстрировать асимптоти-
ческую теорию, связанную с солитонами на очень простой
модельной граничной задаче для нелинейного уравнения
Пуассона.
В полосе —оо<%<4-оо, 0<7/<л
будем решать уравнение
S~(x, У) + ^8’	У) + ^иЦх, у)=0 (4.1)
при граничных условиях
и (х, 0) = и (х, л) = 0.	(4.2)
Задача (4.1), (4.2) модельная, но в ней заключено все
принципиально необходимое для описания солитонов.
Прежде всего заметим, что эта задача всегда имеет три-
виальное решение и = 0. Решение типа уединенной вол-
ны на бесконечности стремится к нулю очень плавно. Про-
изводные по х имеют более высокий порядок малости, чем
производные по у, Отбрасывая в уравнении нелинейный
член и производные по х, приходим к граничной задаче
для обыкновенного дифференциального уравнения
dhildy2 + Ки = 0,
и (х, 0) = и (х, л) = 0.
Эта простая задача уже была рассмотрена в гл. II.
Она имеет нетривиальные решения тогда и только тогда,
когда параметр X принимает одно из собственных значе-
ний = п2. Рассмотрим для простоты первое собственное
значение = 1. Остальные случаи рассматриваются
аналогично. Соответствующая собственному значению «=
== 1 собственная функция <р х(г/) с точностью до произволь-
ного множителя есть функция sin у. Чтобы получить при-
ближенное решение нелинейного уравнения, положим, что
параметр X близок к критическому значению = 1.
Пусть % = 1 — В, 8 > 0. ,
Сделаем в уравнении (4.1) растяжение независимой пе-
ременной х, полагая хУ"е=£. Получаем
8	+	+ О ~г)и + jg-«2 = 0,
-J-	’ .		---	\
39
и (I, 0) = u(?, л)=0.	(4.3)
Будем искать формальное решение граничной задачи
(4.3) в виде ряда по степеням параметра е:
и (xt у) = у) + е2п2(?, у) + ...
Для определения и^, у) получаем уравнение
J^- + U1=Q, U1(l, 0) = U1(?, л)=о.
Его решение есть
«1 = С (|) sin у,
где С (?) — неизвестная функция. Она должна быть опре-
делена из граничной задачи для и2(?, у), которая имеет
следующий вид:
д2иг _____ 9л 2	d2ut
Qy2 +«2—	16 «1	fit +«1 —
= -^-С2(?)51п2г/-щп//[С"(Ю-С(?)],	(4.4)
0)=и2(£, л)=0.
Воспользовавшись леммой гл. II, получаем, что гра-
ничная задача (4.4) разрешима в том и только в том слу-
чае, когда правая часть ортогональна собственной функции
sin у:
j(c2 (?) ^sitfy + siny [С"(?) —C(?)]}sinz/dz/=O. (4.5)
В гл. II было показано, что
л	4 я	л '
J sin3 ydy =-3-, Jsin2ydy=
о	0
Поэтому уравнение (4.5) дает следующее дифферен-
циальное нелинейное уравнение для определения неизвест-
ной функции С:
С"—С+-|-С2 = 0.	(4.6)
Так как и исходная задача (4.3) и уравнение (4.6) не
меняют своего вида при сдвиге независимой переменной §
и содержат только производные второго порядка по ?, то
достаточно разыскать четное решение уравнения (4.6), со-
держащее только одну произвольную постоянную. Если
С (?, L) есть решение, то С (?—?0L) — тоже решение, за-
40
висящее уже от двух
произвольных постоян-
ных £0 и L. Исследуя
«фазовый портрет» урав-	$
нения (4.6), нетрудно бы-	**•"""
ло бы показать, что это
уравнение имеет семей-
ство периодических с пе-
риодом 2L четных реше-	Рис. 8
ний, вырождающихся в
апериодическое решение (солитон) при L->oo. Можно
также найти аналитическое выражение для этого семейства
через эллиптическую функцию Якоби cn g. Отсюда, кста-
ти, происходит термин «кноидальная волна» (от начальных
латинских букв сп в обозначении функции Якоби). Заме-
чательно, что предельное решение (солитон) выражается в
элементарных функциях
С=sech^/2=-ZE5J!^-, сМ=4	(4.7)
То, что выражение (4.7) есть решение уравнения (4.6),
легко проверить прямым дифференцированием. График
С (I) показан на рис. 8.
Из формулы (4.7) нетрудно увидеть, что при Ьоо
функция С (£) ведет себя как экспонента 4е~ I £ I.
Теперь из уравнения (4.4) можно найти функцию
м2(|, у). Из (4.6) имеем С" — С «= — Подставляя
вто выражение в уравнения (4.4), получаем
^- + ц2=4с2(1) [-4sin2f/ + sin«/], (4-8)
0) = ы2(5, л)=0.
Правая часть уравнения (4.8) ортогональна sin у. По-
этому граничная задача разрешима:
МЬ у)=~& ®^(y) + D®s\ny.
Здесь ф (у) — решение граничной задачи
+	— 4 sin2 у + sin у, ф(0)аф(л)=0,
a D (|) — новая неизвестная функция, которая должна
быть определена из условий разрешимости граничной за-
 дачи для иа.(£, у).
Можно показать, хотя соответствующее исследование
уже не так элементарно, что все функции у) %ля z>2
определяются однозначно. Они ведут себя при £->оо,
как	При этом формальный ряд Sezrzf(g, #) для
точного решения будет асимптотическим при е->0:
N
шахе
х, у
/eW|u(%, у, 8)—
8zUf(%y 8 , z/)|=o(en).
Итдк, приближенное решение граничной задачи (4.4)
имеет следующий вид:
и (%, у, 8) = 8sech2 ]/"8 xsinу, Х=1—8.
Последние годы механики, физики и математики много
занимались вопросами взаимодействия уединенных волн.
Для того чтобы исследовать подобные взаимодействия, нуж-
но иметь описывающие их уравнения. Такие уравнения
должны быть уже нестационарными (содержать время).
Большое количество исследований посвящено уравнению
Кортевега — де Фриза, приближенно описывающему рас-
пространение волн на мелкой воде. Мы возьмем его в
упрощенном виде:
Т 2тгЛ+3“<-'’'>тгА+т^=°- <4-9>
Внимание ученых привлекли замечательные свойства ре*
шений этого нелинейного уравнения третьего порядка.
Прежде всего оно имеет решение типа бегущей уединенной
волны. В самом деле, если искать решение в виде v (%, t) =
= С (х — А7), то, полагая g = х — М, получим сле-
дующие уравнение для определения С (£):
d3C . dC dC __n
-^з- + г>С ^-^--0.
Это уравнение можно записать в виде
Гс"—С + 4-С2] = 0-	(4.10)
Так как sech2£/2 есть решение уравнения (4.6), то оно
будет и решением уравнения (4.10). Поэтому уравнение
Кортевега — де Фриза имеет решение в виде бегущего
солитона:
v(x, /) = sech2	М).
42
Нестационарное уравнение (4.9) позволяет исследовать
зарождение и взаимодействие солитонов. В самое послед-
нее время были найдены точные решения этого уравнения,
описывающие взаимодействие конечного числа солитонов.
Замечательно, что уединенные волны, горбы которых в
начальный момент разделены значительным расстоянием,
вступая во взаимодействие, выходят из него, сохраняя
свои скорости и формы. Единственное воспоминание о вза-
имодействии заключается в смещении относительно того
положения, которое занимала бы волна, если взаимодей-
ствия не было. По-видимому, подобное свойство является
общим для решений широкого класса уравнений, описы-
вающих нелинейные волновые взаимодействия. Вопрос этот
интенсивно изучается, но пока еще имеется довольно мало
общих результатов. Тут должны сказать свое слово и мето-
ды отыскания точных решений, в частности, основанные на
исследовании групповых свойств дифференциальных урав-
нений, и методы вычислительного эксперимента, и методы
малого параметра. Интересно, что решения отдельных
уравнений теоретической физики, описывающих (в неко-
тором приближении) взаимодействия элементарных ча-
стиц, ведут себя так же, как решения уравнения Кортеве-
га — де Фриза.
Глава V. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ
УРАВНЕНИЯ
В гл. II мы показали, как при помощи методов малого
параметра можно исследовать задачи, подобные задачам
о равновесии упругого стержня под воздействием сжимаю-
щей силы. (Эти задачи описывались обыкновенными диф-
ференциальными уравнениями, содержащими параметр.)
Так как форма равновесия при некоторых значениях па-
раметра может быть неединственной, то, естественно, реали-
зуются только те, которые устойчивы по отношению к ма-
лым случайным возмущениям. Для исследований устойчи-
вости форм равновесия нужны более сложные нестационар-
ные уравнения, описывающие развитие процесса во време-
ни и пространстве. Часто с граничной задачей типа (2.36)
ассоциируется следующая нестационарная граничная за-
дача:
43
=	+	t)-±y*(x, О,
дхг
у(0, f)=y(л, t)=*0.	(5.1)
В общем случае, если процесс рассматривается при
t > /0, нужно задать начальное условие у (х, t0) “ уй.
Уравнение (5.1) — нелинейное параболическое уравнение
второго порядка. Оно является частным случаем так назы-
ваемых эволюционных уравнений, к которым сводится
Описание многих процессов в теории теплопроводности^
химической кинетики, биологии, математической эконо-
мики.
Заметим, что граничная задача (5.1) всегда имеет три-
виальное решение у = 0, которое по аналогии с термо-
динамикой можно назвать равновесием. Это самое простое
решение граничной задачи (5.1) и соответственно самая
простая структура, связанная с процессом, описываемым
уравнением (5.1). Решения граничной задачи (5.1), не за-
висящие от времени, мы будем называть стационарными, а
нетривиальные стационарные решения — стационарными
структурами. В гл. II мы фактически методом Ляпунова —
Пуанкаре исследовали стационарные структуры, связанные
с уравнением (5.1). Такие стационарные структуры были
построены для значений параметра, близких к критиче-
ским. Критическими были величины 1,4,9 ... па, являю-
щиеся собственными значениями линейной граничной за-
дачи (2.5). Собственная функция, соответствующая собст-
венному значению Кп=п2, есть sin пх.
В гл. II было показано, что при 0<Х<1 уравнение
(2.17), описывающее стационарные решения граничной
задачи (5.1), имеет только тривиальное решение, а при
А.>1 значениях и к, достаточно близких к единице, кроме
тривиального решения, существуют еще два нетривиаль-
ных, которые можно разложить в ряд по степеням малого
параметра:
. (5.2)
(x)==esinx4~es sinЗх +sinx 4-
Стационарная структура (5.2) характеризуется более
сложной организацией, чем равновесие у = 0. Какая же
структура будет реализована на самом деле? Очевидно та,
которая устойчива по отношению к малым возмущениям.
Устойчивость нужно исследовать при помощи нестационар-
ного уравнения (5,1). Но прежде необходимо дать опре-
44
деление устойчивости стационарного решения. Мы будем
использовать определение устойчивости по Ляпунову.
Исторически сначала появилось понятие устойчивости
равновесия для процессов, описываемых системами обык-
новенных дифференциальных уравнений. Рассмотрим про-
стое уравнение первого порядка х (/) — f [х (?)]. Реше-
ния этого уравнения, не зависящие от I, называются точ-
ками равновесия. Ясно, что точки равновесия должны
быть нулями функции f (х). Пусть а — изолированное
положение равновесия, т. е. в некоторой окрестности а
других точек равновесия нет. Будем говорить, что а —
устойчивая точка равновесия, если для любого е > О
найдется 6 > 0, такое, что при | х (0) — а | <6 реше-
ние задачи Коши для уравнения х = f (х) существует для
всех t > 0 и удовлетворяет неравенству | х (f) —
— а | < е. Если, кроме того, lim х (I) = а, то положе-
/-♦со
ние равновесия называется асимптотически устойчивым.
Таким образом, если положение равновесия устойчиво,
то малое начальное отклонение из положения равновесия
приводит к нестационарному движению, лежащему в до-
статочно малой окрестности положения равновесия. Если
же положение ^равновесия еще и асимптотически устойчиво,
то при Л->+оо система вернется в это положение равно-
весия.
Ляпуновым было дано и более общее определение устой-
чивости движения для процессов, описываемых системами
обыкновенных дифференциальных уравнений, и разработа-
ны основные методы исследования устойчивости движения.
В связи с техническими приложениями эти методы разви-
вались, усовершенствовались, и обобщались. Некоторые
результаты были обобщены и на уравнения эволюционного
типа.
Прежде всего заметим, что близость функций можно по-
нимать в различном смысле. Например, можно говорить,
что функция f (х) близка к функции ф (х) в смысле
среднего квадратичного на отрезке [а, Ь], если интеграл
ь
J If W ~~Ф (x)]2 dx достаточно мал. Для уравнений
а
с частными производными в зависимости от используемого
понятия близости функций можно дать различные опреде-
ления понятия устойчивости, по Ляпунову, и асимптоти-
ческой устойчивости. Будем, например, говорить, что
45
стационарное решение у (х) граничной задачи (5.1) устой-
чиво, по Ляпунову, в смысле среднего квадратичного, если
для любого 8 >> 0 существует 6 > 0, такое, что для лю-
бой непрерывно дифференцируемой функции г] (х), та-
кой, что
J [У (*) — t](x)]2dx<6,
О
решение задачи (5.1), удовлетворяющее условию у (х, 0) ==
= Л W> существует для всех t > 0 и при этом выполня-
ется неравенство
J [У{х, f)—y(x)]2dx<s.
о
Если, кроме того,
lim С [у (х, 0 — z/(x)]2dx —0,
/->0° J
то будем говорить, что стационарное решение у (х) асимп-
тотически устойчиво в смысле среднего квадратичного.
Покажем, что при 0 < X < 1 тривиальное решение
граничной задачи (5.1) асимптотически устойчиво в смыс-
ле среднего квадратичного. Умножим уравнение (5.1) на
у (х, 0 и проинтегрируем по х от 0 до л. Заметим, что
? / а ду(х, t) ,	1 dz{t)
о
г (t) — J у2 (х, 0 dx.
О
Повторяя выкладки (2.19)—(2.22), получаем
1 я я
l-4p2(x’ Odx + (1-X)
О
+ -у J f/4(x, 0dx<O.
о
Отбрасывая последнее слагаемое, усилим неравенство.
Оно приобретает следующий вид:
+2(1 -%) г (t) <0.
у2 (х, t) dx +
46
Умножая это неравенство на функцию , гюлу-
чаем
^_[е2(1-х>/2(0}<0>
Следовательно, функция e2(1-x>zz (/) монотонно убы-
вает для / > О и поэтому принимает наибольшее значение
при t = 0. Таким образом,
е2<1-^<г(0<г(0) = р2(х, 0)dx= Jr)2(x)dx<6,
О	о
0<z(0=JV(x, Z)dx<6e-2<1-^z) />0.	(5.3)
О
Отсюда следует, что
л
Следовательно, тривиальное решение устойчиво асимп-
тотически в смысле среднего квадратичного.
Устойчивость в смысле среднего квадратичного доволь-
но слабая. Можно доказать более сильный вариант устой-
чивости, по Ляпунову, если дать более сильное определе-
ние. Будем говорить, что стационарное решение у (х) устой-
чиво, по Ляпунову, если для любого 8 > О существует
6 > 0, такое, что для любой непрерывно дифференцируе-
мой функции т) (х), такой, что
pi/ W—
о
о L	J
существует решение у (х, t) граничной задачи (5.1) с на-
чальным условием у (х, 0) = т] (х) и при этом для всех
t > 0 удовлетворяется неравенство
J [у (X, f)—y (х)]2 dx< 8,
о
J (hr ’ ' dx |
о L	J
47
Можно показать, что при 0 < % < 1 тривиальное ре-
шение устойчиво и в этом более сильном смысле. Доказа-
тельство поучительно, потому что оно демонстрирует так
называемый прямой метод Ляпунова исследования устой-
чивости, основанный на использовании функции (точнее,
функционала) Ляпунова
v}dx'
который ставит в соответствие функции у (х, t), имеющей
непрерывные первые производные, функцию Ly(t). функ-
ция Ляпунова обладает следующим характеристическим
свойством: если вместо у (х, t) подставить решение гра-
ничной задачи (5.1), то производная Ly(t) будет отрица-
тельной. Действительно, довольно несложнее вычисление,
основанное на использовании уравнения (5.1), показы-
вает, что
dLv (t) = _ г Гду(х, оу
dt J dt
о L J
Из этого равенства следует, что функция Ly(t) моно-
тонно убывает при t > 0, а поэтому принимает наиболь-
шее значение при t = 0, Ly (t) < Ly(Q), т. е.
0 л (5-4)
Из (5.3) следует, что
Jy2(x, 0 dx < J т)2 (х) dx.	(5.5)
о	о
Отбрасывая в левой части равенства (5.4) положитель
ное слагаемое с у*(х, t) и тем самым усиливая неравенство
и используя (5.5), получаем
о L J о L J	о
Так как функция т) (х) непрерывна, а следовательно,
48
и ограничена на [0, я], то т|4(х) С /Ит]2(х) и неравенство
(5.6) дает
о	J о ' '	о
Вместе с (5.5) последнее неравенство доказывает устой-
чивость тривиального решения, по Ляпунову, при 0 <
<	1. Интегралы от функций у2(х, t) и 1ду(х, t)/dx]2
будут малы, если малы интегралы от начальных значений
этих функций. Нетрудно видеть, что и абсолютная величи-
на у (х, I) будет при этом мала. В самом деле, так как
у (О, I) = 0, то
у('х> ^dx'
о
Используя неравенство Коши — Буняковского для
интегралов, получим
\у(х, 01
Так что и абсолютная величина у (х, t)° будет мала,
Л	л
если малы интегралы Jr|3(x)dx и J [T]'(x)]2dx.
о	о
Можно было бы доказать и асимптотическую устойчивость
в этом более сильном смысле.
Если 1 < % < 4, то тривиальное решение становится
уже неустойчивым, а стационарные решения (5.2) — устой-
чивыми. Доказательство устойчивости можно дать, опять
используя свойства функции Ляпунова. В идейном плане
доказательство не меняется, но технические сложности воз-
растают. Доказательство неустойчивости тривиального ре-
шения при 1 < 1 < 4 будет следовать из дальнейшего из-
ложения. Можно показать, что при ^>4 и тривиальное
и стационарные решения неустойчивы по отношению к на-
чальным возмущениям произвольного типа. Но если со-
ответствующим образом ограничить класс начальных воз-
мущений, то устойчивость по отношению к такому ограни-
ченному классу возмущений уже может быть.
Итак, при 1 < % < 4 тривиальное решение (структур-
но наиболее простое) становится неустойчивым, и под
воздействием сколь угодно малых начальных возмущений
49
система выйдет из равновесия и начнет каким-то образом*
эволюционировать. К чему приведет эта эволюция? Обра-
зуются ли новые, более сложные упорядоченные структу-
ры, например стационарные, периодические или почти пе-
риодические, возможно ли совершенно неупорядоченное
развитие типа «хаоса»? Все эти вопросы можно ставить для
произвольных эволюционных задач, и их решение чрезвы-
чайно интересует как математиков, так и физиков, биоло-
гов, химиков и представителей других научных дисциплин,
имеющих дело с эволюционными процессами. В общем
случае задача об эволюции простых структур после потери
ими устойчивости является чрезвычайно сложной и в на-
стоящее время мало теоретически исследованной. Внимание
к механизму образования сложных структур в результате
потери устойчивости более простых структур было привле-
чено работами физиков «брюссельской школы» *, показав-
ших, что процесс диссипации энергии в открытой системе
может приводить к образованию из простых структур бо-
лее сложных, так называемых диссипативных. Это не
противоречит классическим представлениям термодинами-
ки, согласно которым* в замкнутой системе диссипативные
процессы должны возвращать систему в состояние термо-
динамического равновесия, т. е. в замкнутой системе дис-
сипативные процессы приводят не к усложнению структур,
а к упрощению. Для открытых же систем в самой их приро-
де может быть заложена способность к самоорганизации **.
Для сравнительно простой граничной задачи (5.1) ме-
тодами малого параметра удается исследовать процесс эво-
люции стационарного решения после потери им устойчи-
вости. Оказывается, что вопрос о том, будут ли сколь
угодно малые начальные возмущения тривиального реше-
ния приводить асимптотически при t -> оо к стационар-
ным решениям, тесню связан с возможностью построения
для граничной задачи (5.1) семейства решений, определен-
ных на всем временном интервале (— оо, + оо) и огра-
ниченных. Для определенности будем в дальнейшем назы-
вать такое семейство решений фундаментальным. Это фун-
даментальное семейство решений в предположении, что
* См.: Никол ис Г., Пригожин И. Самоорганиза-
ция в неравновесных системах. М., Мир, W.
** Увлекательное и достаточно элементарное изложение этих
вопросов см.: Курдюмов' С. И., М а л и, & е щ и н й Г. Г<_
Синергетика —• теория самоорганизации. Идеи, методы, перспек-
тивы. М., Знание, 1983;
60
параметр X близок к 1, но больше 1, можно строить сле-
дующим образом. Положим в уравнении (5.1) % = 1 + s2
и, сделав растяжение времени т — 2 t е2, получим
2е2	= Ч + (1 + ё2)у (х, Т)_-уз {х> т)) (5.7)
у (0, х} = у(п, т) = 0, —оо<т< + оо.
Будем искать формальное решение граничной задачи
в виде следующего ряда по степеням малого параметра:
у (х, т) = Еу^х, т) + е.3у3(х, т) + ....
г/г(0, т) = у^п, т) = 0.	(5.8)
•! Подставляя разложение (5.8) в уравнение граничной
задачи (5.7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях параметра е, найдем последовательность гранич-
ных задач для определения неизвестных функций уг(х, т).
Для т) получаем уже знакомую нам граничную задачу:
-^t'- + 4/i(*. т) = 0> 4/1(0. т) = 4/1(я, т) = 0.
51
Ее решение f/i (х, т) ==> С (т) sin х, где С(т) — про-
извольная функция, которая должна быть определена из
условий разрешимости граничной задачи для у3(х, т),
имеющей следующий вид:
д*Уз^’— + Уз (х, т) = -J-C3 (т) sin3 х 4-
+ (2£^Г”’С(т)] sinx=[2^±-С(т)+С3(т)] sinx-
—С3 (т) sin Зх, z/3(0, т) = г/3(л, т) = 0.
В силу леммы гл. II для разрешимости этой граничной
задачи необходимо и достаточно, чтобы правая часть была
ортогональна sin х, т. е. чтобы коэффициент при sin х
обратился в нуль. Получаем обыкновенное дифференциаль-
ное уравнение первого порядка для определения неизвест-
ной функции:
2 ^.С(т) + Сз(т)==0>
Это уравнение легко интегрируется. Если поделить его
на С3, то
2	4С(т) ,	1
~ С» (т) dx -г С2 (т)	’
=1
Л \ С2 ] "Г с2
Откуда
Jj-=1
С (т)= ± (1 -ф	—оо<т< + оо.
Здесь k — произвольная постоянная. Исследуем выра-
жение для С (т). Два принципиально различных реше-
ния получаются при > 0 и k < 0. Положим k = ±
± ет°, тогда
Cj(t) = ± (1 +	С2 (т) = ± (1 —
Функция Сх(т) определена для всех значений а
С2(т) — только для т > т0. На рис. 9 изображены графи-
ки функций С^т) и С2(т). Если сначала построить графи-
ки функций C-l (т) и С2(т) при т0 = 0, то их графики
при 0 получаются просто сдвигом вдоль оси т. Не-
зависимо от значения параметра т0, ПшС1(т)=0,
00
62
Um Cj(t) =* 1., В то же время начальное значение зависит
Т->4-оо
' от т0 и при достаточно большом т0 может быть сделано
сколь угодно малым:
Ci(0) = ± (1 + ето)-^, lim Ci (0) = 0.
То"* СО
Поскольку фундаментальное решение должно быть
определено на всей временной прямой (— оо, + оо), оно
может порождаться только функцией С^х). Заметим так-
же, что граничная задача (5.1) не меняет своего вида при
сдвиге по переменной г. Поэтому фундаментальное решение
тоже определено'с точностью до сдвига. Если и (х, т) —
фундаментальное решение, то и и (х, <г— т0) будет фун-
даментальным. Имея это в виду, мы можем начать строить
фундаментальное решение, исходя из функции
а(т) = 1/ У1 +	.
Тогда первый член ряда (5.8) будет иметь следующий
вид:	_______
е,уг(х, т) =esinx/y 1 4-e~T ==ea(r)sinx.
Можно показать, что все остальные члены ряда (5.8)
определяются и что функции yt(x, <г) ведут себя при т -►
— оо и + оо так же, как и уг(х, т). Ряд (5.8),
вообще говоря, не будет сходящимся, но он будет асимпто-
тическим для точного 'решения при е 0. Строгое доказа-
тельство требует специальной техники, выходящей за рам-
ки настоящей брошюры.
Итак, с точностью до величин порядка е® фундаменталь-
ное семейство решений может быть записано в следующем
виде:
Уф(х, tt t0, е) — ± е sin х [1 + е-ег(<-<») ]-%	(5.9)
При <-> + оо фундаментальное семейство решений
имеет предел, не зависящий от выбора функции из этого
семейства, т. е. не зависящий от параметра t0:
lim Уф(х, t, t0, е) = ± е sin х + о (е).
(	/-»+оо
/Мы получили первый член разложения стационарного
реЩения по степеням параметра 8. Можно доказать, что лю-
бая функция из фундаментального семейства решений
стремится к стационарному решению граничной задачи (5.1)
при t -*• + оо. Начальные же значения функций из фунда-
ментального семейства зависят от параметра t0:
53
Уф (х, 0, £о, е)= е sin х П +	(5.10)
Ясно, что при фиксированном значении параметра в
за счет выбора достаточно большого значения параметра
/0 начальное значение можно сделать сколь угодно малым.
Таким образом, существует решение граничной задачи
(5.1), начинающееся из сколь угодно малой окрестности
нуля и стремящееся к стационарному решению при t -> ©о.
Этим, в частности, доказывается и неустойчивость три-
виального решения при параметре X, большем единицы»
но близком к ней.
Продемонстрируем теперь идею, на которой основано
доказательство того факта, что после потери устойчивости
тривиальное решение при t + о© будет эволюциониро-
вать к стационарному. В сущности, для этого нужно иссле-
довать при t + со поведение решения граничной за-
дачи (5.1), удовлетворяющего начальному условию
у (х, 0) = ф (х), где функция ф (х) достаточно мала.
В гл. II говорилось о том, что функцию можно разложить
в ряд по собственным функциям граничной задачи (2.5):
Ф (х) = р sin х + sin 2х + ...
Из формулы (5.10) следует, что всегда можно так по-
добрать параметр /0, что будет выполнено соотношение
е [1	_ р>
Пусть теперь уф (х, /, /0, е) — функция из фундамен-
тального семейства, соответствующая значению параметра
tQ. Если теперь положить
С (х, t) = у (х, t) — уф (х, t, t0, е),	(5.11)
то для функции £ (х, t) получится граничная задача, ко-
торая имеет решение в классе функций, стремящихся к
нулю при /-> + ©о. Так как решение задачи с соответ-
ствующим начальным условием единственно, то из (5.11)
будет следовать, что
lim у (х, /) = lim Уф(х, /, /0, е) +
/->4-00	/->4“СО	’ f
+lim £ (х, t) = lim уф (х, t, ta, е),	j
t -*4-o°	/->4- °°
и поэтому у (х, /) при £->Ч-оо стремится к стационар-
ному решению так же, как и фундаментальное решение.
При доказательстве существенно используется то, что за
счет выбора параметра tQ разложение функции С (х, 0) по
54
собственным функциям гра-	L »
яичной задачи (2.5) не бу-	I
дет содержать главной моды	; J
с sin х.	7
Итак, для граничной за-	___t
дачи (5.1) мы построили се- ~_
мейство ограниченных реше-	{	°
ний, определенных для всех	i
/ЕЕ (— сю, + оо), которое
мы назвали фундаменталь-	||
ным. Такого вида решения
могут быть только у нели-	ис‘
нейных уравнений. Оказа-
лось также, что произвольно малое начальное возмуще-
ние приводит к нестационарному решению, которое при
t -> + оо ведет себя так же, как специальным образом
подобранное фундаментальное решение, т. е. стремится к
стационарному.
Уравнение (5.1) содержит нелинейность специального
вида — 4/3z/3(x, t). Изменятся ли результаты, если нели-
нейный член взять другим? Если просто добавить еще не-
линейность более высокого порядка, то качественно ре-
зультаты не изменятся. Попробуем изменить знак у нели-
нейного члена и взять его в виде 4/3z/3 (х, /). Применяя
формально ту же самую процедуру, придем к решению вида
у (х, /, е) = 8 sin	— 1 ]-% + о (е). (5.12)
Если /0 положительно, то решение за конечное время
уходит в бесконечность (рис. 10). Строго доказать, что ре-
шение и в самом деле ведет себя подобным образом, не
удается, так как при t\ близких к /€, функция стано-
вится большой и метод малого параметра уже будет непри-
менимым. Точные решения типа (5.12) были найдены для
некоторых модельных уравнений физики плазмы. Они были
исследованы в цикле работ, выполненных под руководст-
вом А. А. Самарского и С. П. Курдюмова, и названы ре-
жимами с обострением *. Задача обоснования существова-
ния режимов с обострением для граничных задач типа
(5.1), по-видимому, является сложной. В настоящее время
не развиты ни теоретические, ни численные методы ее
решения.
* См., например, Змитренко Н. В., Ку р дю’
мов С. П. L- и S- режимы с обострением. Обзор в ПМТФ>
1977, № 1.
55
Возьмем теперь нелинейность более низкого порядка
квадратичную. Рассмотрим нестационарный аналог урав-
нения, изученного в гл. II:
о-
<>. и». ')=»('. ')=°-
Там нами рассматривалась соответствующая стацио-
нарная задача (2.36). Положим Л =» 1 + 2е/л, т =
= 2е</л. Заметим, что при в > 0 точке t = 4* оо соот-
ветствует точка т = 4* оо, а при в <; 0 точке t = + 00
соответствует точка т — — оо.
Задача (5.13) может быть теперь записана так:
2е ду(х, т) д2у(х, т)
л дт ~ дх2 ‘
4-(* +т)—т У^Х> т)’
(О, т)=//(л, т)=0.
Начнем, как обычно, искать ее решение в виде ряда
по степеням малого параметра:
у (х, т) = е С (т) sin х + e2t/2 (х, т) + ...
Пропуская промежуточные рассуждения, из условия
разрешимости граничной задачи для у2 (х, т) получаем
уравнение для определения функции С (т):
dC (т)/Л — С (т) + С2 (т) = 0.
Это уравнение легко интегрируется: , С (т) .•=>
= 1/(1 ± е-(1:-т">). Фундаментальное решение будет порож-
даться решением для С (т) со знаком плюс:
С (т) = 1/(1 + е-<*-*»>).
Пусть X > 1. Тогда фундаментальное решение будет
стремиться к стационарному при f-> + oo независимо
от значения параметра т0. За счет же выбора т0 можно
начальное значение С (0) сделать сколь угодно малым.
Таким образом, при Х> 1 стационарное решение устой-
чиво, а тривиальное неустойчиво. Если же Х<Ето
независимо от значения параметра т0 функция С (et) при
/-»- + оо будет стремиться к нулю. Таким образом,
при X < 1 устойчиво тривиальное решение и неустойчиво
стационарное. Опять-таки можно показать, что произволь-
56
ное решение граничной задачи ведет себя при (-* + со
так же, как специальным образом подобранное фундамен-
тальное решение.
Что изменится, если перейти к рассмотрению более об-
щего случая систем эволюционного типа? Многие задачи
химической кинетики, биологии, физики сводятся к изуче-
нию системы уравнений, которая в простейшем случае
имеет следующий вид:
ди (х, t)/dt = Did2u (х, fj/dx2 + <р (u, v, X, p),
dv (x, f)/dt = D2d2v (x, t)/dxz + ф (и, v, К p), (5.14)
du (0, t)/dx — dv (0, t)/dx = ди (n, t)tdx — dv (n, t)/dx=Q,
t > 0, 0 < x < л.
Здесь (риф — известные достаточно гладкие функции
своих аргументов, £>ъ О2, Хр — параметры. В задачах
химии параметры Dx и Ё>2 обычно характеризуют скорости
диффузии реагирующих веществ, а X и р — начальные
концентрации исходных реагентов. Исследование, даже ка-
чественное, зависимости решения граничной задачи (5.14)
от четырех параметров Db D2, X, р (а в общем случае
и от большего числа параметров) является чрезвычайно
сложным делом. Возможно, что существенное продвижение
тут будет достигнуто за счет применения методов бурно
развивающейся области математического анализа, назы-
ваемой теорией катастроф. Чтобы упростить проблему,
можно считать, что все параметры, кроме одного, фиксиро-
ваны, и исследовать поведение решений системы (5.14) в
зависимости от одного параметра.
Структурно самые простые решения граничной задачи
(5.14) — равновесия, которые получаются как решения си-
стемы уравнении
(p(u, v, к, р)=0, ф(м, v, X, р)=0.
Если функции (риф достаточно просты (обычно это
многочлены), то равновесий будет конечное число. Поло-
жения равновесия зависят от параметров X и р:
НЖГ'	0Ч(^> И)» ^г(^>	... N-
; Следующий этап заключается в исследовании устойчи-
вости положения равновесия в зависимости от рараметров
Di, D2, X, р. Та область изменения параметров Dlt р,
в которой i-e положение равновесия устойчиво, по Ляпу-
нову, называется областью устойчивости (-го равновесия.
Обычно для определения областей устойчивости исполь-
зуют метод Ляпунова исследования устойчивости по ли-
57
нейному приближению. Он заключается в следующем.
Положим
и (х, 0 = ut(K р) + U (х, t), v (х, t) = пг(Х, р) +
+ V (х, t).
^Подставляя эти выражения в уравнения (5.14) и остав-
ляя в уравнениях только линейные члены относительно
U и V, получаем линейную систему уравнений
l^U + b(K p)V,
дЩв, t) dV(0, 0 _Q
дх — дх *
p)U + d(X, P)V,
t) = ^ (л, /) = 0,	(5.15)
a(X —	И),	p)),...?
Ж p)=g(«.(X, p), (t-ДХ, p)).
Если искать теперь частные решения в виде
U ~ Aewi cos пх, V == Be®* cos пх,
то граничные условия будут удовлетворены, а для опреде-
ления постоянных А и В нужно решить систему алге-
браических уравнений:
А [— со — Dxti2 + cz (X, р) ] + Bb (X, р) = О,
Ac (X, р) + В [— со — О2я2 + d (X, р) ] = 0.
Эта однородная линейная система уравнений имеет ре-
шение в том и только в том случае, когда ее определитель
равен нулю:
det — Din2 + a(^> Н)	И) _0 (5дб)
с (X, р)	—со — D2n2 + d (X, р) Л
Уравнение (5.16) — квадратное уравнение, которое
определяет со как функцию параметров D19 D2i X, р.
Область устойчивости i-ro равновесия определяется из
условия, что оба корня уравнения (5.16) имеют отрица-
тельные вещественные части при любом п — 1,2, .... До-
казано, что при выполнении этого условия f-e равновесие
будет асимптотически устойчивым. Если же точка
58
D2, X, pi не принадлежит области устойчивости, то, вообще
говоря, равновесие устойчивым не будет. Малые начальные
отклонения из положения равновесия приведут к нестацио-
нарному процессу, выводящему систему из окрестности
равновесия. Как будет дальше эволюционировать это ре-
шение с течением времени? На такой вопрос нельзя дать
однозначный ответ. В некоторых случаях в процессе эволю-
ции могут возникать новые, более сложно, чем равнове-
сие, организованные структуры, например стационарные,
периодические. В других случаях решение совершает хао-
тические, как бы случайные блуждания около некоторого
среднего положения, возникают так называемые странные
аттракторы. Можно представить себе еще более сложные
способы поведения, а вычислительные эксперименты под-
тверждают, что многие из таких способов поведения реали-
зуемы. Таким образом, при переходе от одного уравнения
к системе уравнений разнообразие способов эволюции ре-
шений, начинающихся в окрестности неустойчивого рав-
новесия, чрезвычайно увеличивается. Трудно ожидать,
что достаточно исчерпывающая классификация будет соз-
дана в ближайшее время.
Следующий по структурной сложности за равновесия-
ми будет класс стационарных решений. Стационарные ре-
шения должны удовлетворять системе уравнений (5. 14) и
не зависеть от времени:
Pi § + <₽(«. v’ Х’ ^ = 0>
du(0)	__0
dx ~~ dx *
(5-17)
Di 5+^“’Vr н)=о.
du (я) __ dv (л) q
dx dx
Можно поставить вопрос о существовании стационарных
решений, достаточно- близких к ьму равновесию. Без
ограничения общности будем считать, что щ = 0, vt = 0,
ср (0, 0, %, р) = О, гр (О, О, X, р) = 0. Тогда, выделяя ли-
нейные части из функций ср и гр, мы можем систему урав-
нений (5.17) записать в следующем виде:
D^u/dx2 + a (X, р)н + &(Х, p)v + cp1(w, v, X, р) = О,
59
D2d2v/dx2 + с (X, p)u + d (X, p)t> + ф1(и, v, X, p) « 0,
u'(0) = t/(0) = u'(ji) =« v' (л) «= 0.
Будем называть критическим такой набор параметров
Dlr D2, X, р, при котором линеаризированная система
(получается, если положить ф3 =	= 0) имеет нетри-
виальное решение. Критический набор параметров должен
удовлетворять уравнению (5.16), в котором нужно поло-
жить со = 0.
Как мы уже говорили, обычно считают, что все парамет- :
ры, кроме одного, фиксированы. Пусть, например, варьи-
руется параметр X, a D2, р фиксированы. Тогда если
предполагать, что критическое значение параметра ХкР
изолировано, простое и вещественное, то для разыскания
стационарных решений можно применить метод Ляпуно-
ва — Пуанкаре — Шмидта разложения по дробным степе-
ням малого параметра е = X — Хо. Сложности по сравне-
нию со случаем одного уравнения носят технический ха-
рактер.
Допустим, что вблизи равновесия при значениях пара-
метра, близких к критическому Хкр, существует устойчи-
вое стационарное решение, а само равновесие неустойчиво.
Тогда можно показать, что, вообще говоря, решение, на-
чинающееся из сколь угодно малой окрестности неустойчи-
вого равновесия, будет с течением времени эволюциониро-
вать к устойчивому стационарному решению. Это делается
при помощи обобщения методов, развитых для случая одно-
го нелинейного эволюционного уравнения.
Пока мы говорили о тех свойствах решений системы
(5.14), которые можно рассматривать как обобщение свойств
решений простейшего уравнения (5.1). Но у систем могут
появиться и качественно новые типы поведения решений.
Например, если набор параметров Db D2, X, р таков,
что уравнение (5.16) имеет два чисто мнимых корня, то
система может иметь периодическое по t решение (цикл).
Этот цикл при одних значениях параметров будет устойчи-
вым, а при других — неустойчивым. Если такой устойчи-
вый цикл лежит вблизи неустойчивого равновесиям то
малые начальные возмущения равновесия приведут ю не-
стационарному решению, которое будет асимптотически
при оо стремиться к циклу. Так как параметры
цикла не зависят от начальных возмущений, то говорят
о возникновении автоволн. В простейших случаях этот
сложный процесс также может быть исследован методами
малого параметра. Общей качественной математической
60
теории автоволн пока еще нет. Наши представления о
сложных процессах, которые тут возникают, основаны на
физических и вычислительных экспериментах. В некото-
рых случаях решения системы (5.14) могут вести себя еще
более сложным образом, например хаотически, как если бы
на некоторое регулярное решение накладывались случай-
ные возмущения. Пока удается проследить такое явление
только на ЭВМ. Качественные математические исследова-
ния, объясняющие связь такого странного поведения ре-
шений со структурой уравнения, только начинают раз-
виваться.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Подведем некоторый итог. Математические модели многих
процессов описываются нелинейными дифференциальными
уравнениями в частных производных со сложными гранич-
ными и начальными условиями, причем как уравнения,
так и граничные условия могут содержать один или не-
сколько параметров, характеризующих свойство среды.
Определенное априорное знание характера функциональ-
ной зависимости решения от параметра, иногда основанное
на опыте и физической интуиции исследователя, позволяет
строить приближенное решение задачи в том трудном слу-
чае, когда значение параметра близко к критическому.
Критическими обычно бывают те значения, при переходе
через которые либо меняется число решений (происходит
ветвление), либо уравнение каким-то образом вырождается
(например, меняется порядок или тип уравнения). Малый
параметр обычно характеризует близость исходного пара-
метра к критическому значению. Асимптотические методы
малого параметра позволяют строить приближенное реше-
ние в окрестности критического значения параметра в виде
асимптотических рядов. В простейшем случае это ряды по
целым или дробным степеням малого параметра. В этой
брошюре были рассмотрены классы задач, для которых
получаются ряды, равномерно асимптотические во всей
области йзменения независимых переменных. В более
сложных случаях в различных областях получаются раз-
личные асимптотические разложения. Возникает задача их
согласования, для решения которой, вообще говоря, не
существует общих рецептов. Лишь для частных, но прак-
тически достаточно важных случаев удается построить тео-
61
рию такого согласования. Методы малого параметра не-
прерывно развиваются и совершенствуются, становятся
псе более общими и совершенными, вбирая и используя
многие достижения других математических дисциплин.
Ни в коей мере не заменяя мощные численные методы,
основанные на использовании ЭВМ, они позволяют строить
приближенные решения в наиболее неприятной для чис-
ленных методов ситуации, когда значение параметра близ-
ко к критическому и его малые вариации могут приводить
к серьезным искажениям как характера решения, так и к
изменению числа решений. Более того, методы малого па-
раметра часто могут подсказать способ регуляризации вы-
числительного алгоритма в неустойчивой ситуации. Квали-
фицированное сочетание асимптотических и численных ме-
тодов позволяет решать трудные и практически важные
задачи.
Мы все время говорили о нелинейных задачах. У чита-
теля не должно создаться впечатление, что для линейных
задач, содержащих параметры, все проблемы исследования
зависимости от них решения уже решены. Это далеко не
так. И здесь возникают трудные и практически важные
проблемы, ждущие своего решения.
Достаточно упомянуть о теории возмущения спектра ли-
нейных операторов, возникшей в рамках квантовой меха-
ники. В простейшем случае проблема заключается в сле-
дующем: пусть А—квадратная матрица. Число X назы-
вается точкой спектра матрицы А, если матрица А — ХЕ
не имеет обратной. Здесь Е — единичная матрица. Сово-
купность всех точек спектра называется спектром матрицы.
Для читателя, знакомого с линейной алгеброй, напомним,
что существует взаимно однозначное соответствие между
множеством квадратных матриц и множеством линейных
отображений п-мерного линейного пространства в себя.
Пусть в — малый параметр, А — некоторая матрица. Мат-
рицу А + с А назовем возмущением матрицы А. Пробле-
ма заключается в исследовании спектра возмущенной мат-
рицы при	Несмотря на простоту формулировки,
задача о возмущении спектра матрицы (линейного отобра-
жения) оказывается очень сложной. Ее исследованию по-
священа обширная литература. Еще более сложной явля-
ется задача о возмущении спектра линейных операторов,
действующих в бесконечномерных функциональных про-
странствах.
62
К числу важных и трудных линейных задач относится
и исследование решений линейных уравнений математи-
ческой физики» полученных в виде, интегралов, содержа-
щих параметр. Особенно сложен тот случай, когда эти
интегралы кратные. Поведение решений не находится не-
посредственно из вида этих интегралов, а численное их
исследование требует колоссальной затраты машинного
времени. Для больших значений параметра математики
разработали методы получения приближенных асимптоти-
ческих формул» основанные на том, что большой параметр
входит под знак осциллирующей функции. К таким мето
дам относятся методы перевала и стационарной фазы.
Их обоснование потребовало применения тонких современ-
ных математических теорий.
Но все же наиболее увлекательная и перспективная
область применения теорий малого параметра — это нели-
нейные задачи. Не следует думать, что разобранные в
тексте брошюры задачи дают полное представление о всем
многообразии нелинейных задач, которые могут быть ис-
следованы методами малого параметра. Мы не говорили о
о гидродинамической устойчивости, о теории турбулент-
ности, о внутренних волнах в морях, океанах и атмосфере,
о формах равновесия упругих оболочек, о применении ме-
тодов малого параметра к задачам теории оптимизации и
математической экономики. В каждой из этих наук и во
многих других возникают интересные, трудные проблемы,
от решения которых в значительной мере зависит дальней-
ший прогресс науки и техники.
Литература
Андронов А. А. и др. Теория нелинейных колебаний.
М., ГИФМЛ, 1969.
Владимиров В. С. Уравнения математической физики..
М., Наука, 1967.
Красносельский И. А., Перов А. И. и др. Век-
торные поля на плоскости. М., ГИФМЛ, 1963.
Моисеев Н. Н., Математика ставит эксперимент. М.,
Науйа, 1979.
Ни к о л и е Г., Пригожин И. Самоорганизация в не-
равновесных системах. М.» Мир, 1979.
Понтрягин Л. С Обыкновенные дифференциальные
уравнении. М., Паука, 1976.
Самарский А. А. Математическое моделирование и вы-
числительный эксперимент. — Вестник АН СССР,. 1979, № 5.
Самарский А. А. Теория разностных схем. Наука,
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ......	.	.......	3
Глава I. Дифференциальные уравнения. Задача Коши. Гра-
ничные задачи...........................................  5
Глава II. Граничные задачи для обыкновенных дифферен-
циальных уравнений, содержащих	параметр	.....	И
Глава III. Граничные и смешанные задачи для уравнений с
частными производными.................................•	31
Глава IV. Солитоны..................................36
Глава V. Нелинейные эволюционные	уравнения	...	43
Заключение..................................... 61
Литература .	.	63
Александр Мартынович ТЕР-КРИКОРОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ И МАЛЫЙ ПАРАМЕТР
Главный отраслевой редактор Л. А. Е р л ы к и н. Редактор Г. Г. Кар-
во в с к и й. Мл. редактор Г. И. В а л ю ж е н и ч. Обложка худож-
ника Л. П. Ромасенко. Худож. редактор М. А. Бабичева.
Техн, редактор А. М. Красавина. Корректор В. В. Капочкина,
ИБ № 6470
Сдано в набор 23.01.84.	Подписано к печати 06.03.84.	Т-03779.
Формат бумаги 84Х108’/з2. Бумага тип. № 3. Гарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 3,36. Усл. кр.-отт. 3,57. Уч.-изд. л. 3,34.
Тираж 29 630 экэ. Заказ 13. Цена 11 коп.
Издательство «Знание». 101835, ГСП, Москва, Центр, проезд Серова, д. 4.
Индекс заказа 844303.
Ордена Трудового Красного Знамени
Чеховский полиграфический комбинат ВО «Союзполиграфпром»
Государственного комитета СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли
г. Чехов Московской области
11 коп.
Индекс 70096
ДОРОГОЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Брошюры этой серии в розничную продажу не по-
ступают, поэтому своевременно оформляйте под-
писку. Подписка на брошюры издательства „Зна-
ние" ежеквартальная, принимается в любом отде-
лении „Союзпечати".
Напоминаем Вам, что сведения о подписке Вы
можете найти в „Каталоге советских газет и жур-
налов" в разделе „Центральные журналы", руб-
рика „Брошюры издательства „Знание".
Цена подписки на год 1 р. 32 к.
СЕ₽Я «МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА