/
Text
СОПРОТИВЛЕНИЕ
воздушных линий
ПЕРЕДАЧИ
Всесоюзный совет научных инженерно-технических обществ ВСНИТО
УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИКО-ХИМИИ И ЭНЕРГЕТИКИ
им. акад. Н. Д. ЗЕЛИНСКОГО
Проф. Н. Ф. МАРГОЛИН
СОПРОТИВЛЕНИЯ
ВОЗДУШНЫХ линий
ПЕРЕДАЧИ
Пролетарии всех стран, соединяйтесь
у Н И В Е PC И Т ЕТ Ф И 3 И KO-ХИ М И И И ЭНЕРГЕТИКИ
им акад. Н. Д. ЗЕЛИНСКОГО
Проф. Н. Ф. МАРГОЛИН
СОПРОТИВЛЕНИЯ ВОЗДУШНЫХ
ЛИНИЙ ПЕРЕДАЧИ
ОБЪЕДИНЕННОЕ НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Редактор инж А. Д. Смирнов
Техвич редактор В. И. Шипов
Сдано в производстве 20/IX—36 г.
Подписайо к печати 26/1 1937 г.
Формат бумаги 62 X 94’/ie 4 печ. л.
Уполном. Главлита № В-5361. Тираж 3000. Наряд № 2931.
8-я типография „Мособлполиграф", ул. Фридриха Энгельса, 46.
I. СОПРОТИВЛЕНИЯ ОДНОГО ПРОВОДА ДВУХПРО-
ВОДНОЙ ЛИНИИ, ОБТЕКАЕМОЙ ОДНОФАЗНЫМ
ТОКОМ
Индуктивность1 линии (обоих проводов) определяется
магнитным потоком, пронизывающим петлю на протяжении еди-
ницы длины линии при протекании по ней тока в 1 а (фиг. 1).
Этот поток может быть представлен как сумма двух совершенно
одинаковых потоков, создаваемых током каждого из проводов
(фиг. 2)., Поэтому индуктивность одного провода может быть
определена потоком, создаваемым данным проводом на ширине
петли D. Силовые линии этого потока являются окружностями
концентричными с проводом.
Вследствие протекания по проводу переменного тока имеет
место .поверхностный (скин) эффект, проявляющийся в увели-
чении плотности тока по направлению от центра к периферии
провода.
Это неравномерно^ распределение тока по сечению провода
следует учесть при определении той части магнитного потока,
которая замыкается внутри провода. Приближенно этот учет
можно произвести путем рассмотрения двух крайних случаев:
1) полного отсутствия поверхностного эффекта, т. е. совер-
шенно равномерного распределения тока по проводу, и 2) мак-
симального проявления поверхностного эффекта, когда весь ток
сосредоточен только на поверхности проводника.
Начнем с рассмотрения первого случая. .Примем сначала за
единицу длины 1 см. Поток будем выражать в максвеллах, но
вместо индукции в гауссах введем напряженность магнитного
поля в эрстедах, так как в рассматриваемом случае u = 1,
и эти величины численно равны.
Ток 1Х, протекающий по части селения провода, определяемой
радиусом х (фиг. 2), получаем из условия одинаковой плотности
по всему сечению:
типлРпиЛв1ХвСп?учаях Рассматриваются удельные индуктивность и сопро-
тивление на единицу длины провода.
Напряженность внутреннего поля на расстоянии х от центра
провода:
0,44 =_04£. (2)
х 2пх Г- ’
Внутренний поток на 1 см длины
х’;; = о,1. (3)
о о
Внешнее поле на расстоянии от х = г до х = D определяется
уже полным током провода.
Внешний поток на 1 см длины
Полный поток, создаваемый на 1 см длины током в 1 а,
Ф1 = ф' ф" = о,2 In -Я 0,1.
(б)
Перейдем ко второму случаю. В этом случае внутреннее поле
не имеет места, и полный поток равен внешнему;
Ф2^Ф" = 0,21р^. (7)
Искомую индуктивность приближенно определим, как чис-
ленно равную среднему арифметическому иэ потоков и Ф5,
причем для получения индуктивности в генри/сантиметр (гн/см)
заменим потоки, выраженные в максвеллах (мкс), потоками,
выраженными в вольтсекундах (веек):
L = Ф1~^*]_10-« = ^21п^-4-0,5^10-э гн!сч. (8)
Сравнивая выражения (7) и (8), нетрудно видеть, что состав-
ляющая 0,5-10-9 гн[см при-
ближенно учитывает внутрен-
ний поток.
Вместо действительной ли-
нии можно представить себе
линию с проводами, обладаю-
щими некоторым радиусом гт
и обтекаемыми током, сосре-
доточенным на их поверхно-
сти, но создающим поток по
выражению (8) (фиг. 3). Ради-
су гт проводов такой линии
должен быть меньше дей-
ствительного радиуса г, что-
бы некоторым увеличением
внешнего потока компенсиро-
вать отсутствие внутреннего
потока. Значение гт может
быть получено путем сравнения потоков по выражениям (7)
и (8):
21п-^-10-® = (2in-^-4-0,5^10-9, (9)
откуда
In r_ = In г — 0,25 = In г— In = In 0,779г
И
гт= 0,779г.
* Полученное значение гт,
ному проводу. О значениях г
см Л. 6, стр. 104.
строго говоря, относится только к сплош-
, для витых и сталеалюминиевых проводов
Из выражений (§) и (9) получим для индуктивности часто
встречающееся в американской литературе выражение, соответ-
ствующее фиг. 3:
£ = 21п —Ю-’гя/слс. (И)
Фиктивный, приведенный к чисто поверхностному распределе-
нию тока радиус гт часто, и без достаточных оснований, на-
зывается в американской литературе средним геометри-
ческим радиусом провода— GMR.
Выразив натуральный логарифм через десятичный и рассмат-
ривая индуктивность на 1 км длины линии, получим из выра-
жения (11)
L =i 4,61g — 10-4 гн!км. (12)
Из выражения (12) имеем для индуктивного сопротивления
X=2irfZ = 29/lg 10~4 ом/км (13)
и при /=50 герцам
yV=O,1451g у ом/км. (14)
Активное сопротивление Ru определяется только по-
терями на тепло Джоуля в самом проводе.
Полное сопротивление
Z=R„+jX. (15)
II. СОПРОТИВЛЕНИЯ ЛИНИИ ПРОВОД-ЗЕМЛЯ
Пусть по проводу (фиг. 4) протекает синусоидальный ток
/=1те (16)
возвращающийся через землю.
Так как земля представляет со-
бой проводник громадных разме-
ров и протекающий по ней ток—
переменный, то благодаря по-
верхностному эффекту ток рас-
пределяется в земле неравно-
мерно.
При бесконечно большой про-
водимости земли ток весь со-
__________ Фиг. 4. средоточи^ся бы на поверхно-
f—jait вместо ja>t принято для согласования с литературным источ-
ником, в котором вращение векторов принято по часовой стрелке (Л. 5,
см. ниже)
сти. Но ввиду того что в действительности земля обладает ко-
нечной проводимостью, ток проникает вглубь, причем при пол-
ной однородности почвы плотность его убывает как по мере
удаления от провода вглубь, так и по мере удаления от про-
вода в обе стороны.
Для ознакомления с явлением, которое имеет место при воз-
вращении тока через землю, приведем упрощенный анализ, пред-
ложенный Рюденбергом (Л. 5, стр. 115—119) для случая полной
однородности почвы. Результаты, получаемые при этом прибли-
женном рассмотрении явления, очень мало отличаются, как бу-
дет показано ниже, от результатов более точного анализа.
Действительное расположение провода относительно земли
заменяется расположением его по оси полуцилиндра, образован-
ного выемкой на поверхности земли. Радиус основания этого ци-
линдра равен действительной высоте провода над землей (фиг. 5):
Р» = А. (17)
При полной однородности почвы на достаточном расстоянии
от мест входа и выхода тока из земли можно принять, что си-
ловые линии магнитного поля являются окружностями с цент-
рами, расположенными на оси провода, и что значение напря-
женности магнитного поля и значение плотности тока зависят
при заданных частоте тока и,проводимости земли только от
расстояния р рассматриваемой точки от оси провода.
Вследствие неравномерности распределения тока в земле плот-
ности тока J и напряженности магнитного поля Н в разных
точках, вообще говоря, не совпадают по фазе с током /:
(18)
j = + (19)
Полный же ток, возвращающийся через землю, конечно, ра-
вен по величине и совпадает по фазе с током /, если принять
для тока в земле положительным направление, противоположное
положительному направлению для тока /:
/Jnpdp = Z (20)
Составим уравнения для определения Н и J по заданным I,
h и удельной проводимости земли у, выраженной в мо-см/см-
или в мо/см, т. е. численно равной проводимости в мо 1 см3
земли.
Для силовой линии с радиусом р имеем
Яр 2тгр = 0,4 тт (/ — f jirpdp). (21 а)
Для силовой линии с радиусом р -|—dp
. . H-dp
+ dp 2,1 (Р.+ dP) = 0,4тс (/— /^pdp). (216)
Вычитая из (216) выражение (21а) и отбрасывая бесконечно
малые величины второго порядка, получим
бЯ2тгр Я2кбр = — 0,4л/тгрбр,
откуда
—= -0,2«Л (22)
dp 1 р
Падение напряжения на 1 см длины на расстоянии р от оси
провода, соответствующее плотности тока J',
= -U. (23)
То же падение напряжения, но на расстоянии р -|- dp:
АЦЧ-dp —"Y'^p+dp • (2<t)
Вычитая из выражения (24) выражение (23), получим
<25>
Эта элементарная разность падений напряжения получается
за счет э. д. с., индуктированной вследствие изменения во вре-
мени элементарного магнитного потока, пронизывающего сече-
8
ние площадью dp-1. Выражая потокв веек и заменив индукцик> напряженностью поля, получим
-<-dp-10'!=Tdy’
откуда <26)
Уравнения (22) и (26) представляют собой диференциальные уравнения возврата тока через землю. Из выражения (18) имеем = (27) Подставим выражение (27) в уравнение (26): откуда "= >Т10--^ X <28> АН _ 1 dV Рй dp "" ушуЮ-8 dp2 ' 1 7
Подставив выражения (28) и (29) в уравнение (22), мы ис-
ключим Н и вестным J-. получим одно диференциальное уравнение с неиз-
___uv । t i ?TT;
ушу10~8 dp1 "i" ушу IO-8 p dp ' ’
или
V+T^=-;2’4,0"’z (30>
Введем обозначение:
—/2тй>у10-’ = №, (31 >
откуда
Х,= -^/2п«)У10-9. (32)
VJ
Подставив из (31) в (30), получим окончательно
а^'+у <33>
Вводим условие равенства плотности тока J нулю на беско-
нечно большом расстоянии от провода:
4 =«. = » (34)
Решением уравнения (33) при наличии условия (34) является
функция Hankel’a /Уо1 (Л. 5, § 36, стр. 109) от аргумента
{см. выражение (32)]
jK$ = VJ Р У2тг<1>у10—9. (35)
Величина р]/2кшу10-9 пропорциональна расстоянию р рассмат-
риваемой точки в земле от провода и называется коэфи-
ццентом отдаленности. Обозначим ее через ч:
р]/2тгшу10-9=^. (36)
Таким образом из выражений (35) и (36) получим
j=AHk"<yji), (37)
где А — произвольная постоянная интегрирования.
Н согласно уравнению (28) выражается через производную
от J. Определим ее из выражений (37) и (36):
= АМ1' (/fit d(^S) = Aи? ()'7$), (38)
где (Vjt) — первая производная по (Р^Ч) от Функции
^(КМ
Из выражений (28) и (38) получим
й=аШ^р^й-)(^).=
= 0,4пЛ---у-—у— —
2 Vj {/2па>у10-9
Функции Hq} (]/; £) и /Д1* (Ю £)> которым по уравнениям (37)
и (30) пропорциональны плотность тока J и напряженность маг-
нитного поля Н, представлены графически на фиг. 78—81 (Л. 5)-
Из рассмотрения этих графиков следует: 1) с увеличением от-
даленности значение этих функций непрерывно убывает по ве-
личине, асимптотически стремясь к нулю; 2) фаза их непрерывно
и плавно изменяется.
Необходимость непрерывного изменения по величине и фазе
плотности тока в земле J вытекает из уравнения (26): оно
обусловливается пульсацией магнитного потока с частотой ]
я происходит с тем большей резкостью, чем больше эта час-
тота и чем больше проводимость земли>
Необходимость непрерывного уменьшения напряженности маг-
нитного поля по величине вытекает из того, что, с одной сто-
роны, суммарный ток, охватываемый силовой линией, по мере
отдаления от провода все убывает, и в пределе, при р = со,
когда обратный ток земли [уравнение (20)] равен по величине
току провода, суммарный ток и напряженность поля равны нулю.
С другой стороны, длина силовой линии, представляющей ок-
ружность с центром на оси провода, также непрерывно возрас-
тает, будучи пропорциональной р. Так как составляющая сум-
марного тока, охватываемого силовой линией, протекающая в
земле, непрерывно изменяется по фазе, то непрерывно должна
изменяться по фазе и напряженность магнитного поля.
Определим теперь постояннук» А. На всем расстбянии от оси
провода до цилиндрической выемки в земле (фиг. 5) силовые
линии магнитного поля замыкаются в воздухе, и напряженность
магнитного поля определяется только прямым током провода /.
У самой выемки, т. е. при р = А, получим, учитывая выраже-
ние (39):
= 0,4пА--7=^=-------(tfj U
2тгА 2 У7/21гшу10-9
откуда
А
где [уравнение (36)]
5« = 5,=а=*1/2^Ч’1О=". (41)
Из выражения (41) имеем
/2кшуЮ-9=г • (42)
Подставляя из (42) в (40), получим окончательно
Л=МШ)'(43)
Подставляя выражение (43) в (37), получим
__ 1^2тгшу10т9 I
(40)
"?СКОЛЬКУ нашей Целью является определение полного соп-
ротивления провода, постольку нам важно определить э. д. с.,
индуктируемую в проводе вследствие пульсации охватывающей
провод части магнитного потока, замыкающейся в земле Но э?а
же часть магнитного потока, как нетрудно видеть-1 из фиг 5*
охватывает и элементарный слой тока у самой цилиндрической
выемки, и следовательно, в этом слое индуктируется та же
Эг д. с. Она затрачивается, если ввести условие отсутствия па-
дения напряжения на земле вдоль провода, справедливое при
рассмотрении явления на достаточном отдалении от точек входа
и выхода тока в земле, на проведение этого элементарною
тока через активное сопротивление земли. Необходимая для
этой цели э. д. с. на 1 см длины провода
Е, = \=Ь~‘^Л1- (45)
Из выражений (44) и (41) для плотности тока у выемки, яв-
ляющейся максимальной плотностью тока в земле, имеем
(46’
Мы рассматриваем явления для частоты в 50 герцев, т. е.
относительно малой.
Для малых частот и малых £ можно принять [Л. 5, стр. 111,
выражение (206)]
я,''(МЦ-41п1Ж' (47)
.JS 1.7811с; d ( 1,78111)
1 * 2
Так как коэфициент отдаленности [выражение (41)] яв-
ляется наименьшим из возможных, то мы можем подставить из
приближенных выражений (47)—(48) в выражение (46)
Подставив значение из выражения (41) в выражение (46а),
получим.
j — У^пшуЮ-9 f 1 _ . 2 __2_________А
11=4 2*‘ V2 1 " ” 1.78Ш/ЙшТПЯ’ Л
= /2»:Л(4--У 2 1д °—8—Vo-’. (49)
‘V 2 ч AV'/ylV-"/
Для э. д. с. из выражений (45) и (49) получим
g, =/2,v(4-- 7 2 In °,7-8- Yo-Ma'- (50)
Положительное направление этой э. д. с. совпадает с поло-
жительным направлением тока в земле, противоположным поло-
жительному направлению тока в проводе [выражение (20)], сле-
довательно, на 1 см длины провода к нему должно быть при-
ложено напряжение Ut, направленное по току в проводе / и
равное Е,. Выражёние (50) получено в предположении вращения
векторов по часовой стрелке. Если мы перейдем теперь к стан-
дартному вращению против часовой стрелки, то мы получим
для сопротивления провода Ze, обусловленного потоком в земле,
й,= Ё, = И„
откуда [из выражения (50)]
0.178
^10~9 ом]см =
= (S7+j29/lg-Vi?'|^=r)lO- о^л,. (51)
Составляющие сопротивления Ze:
ом/км, (52)
X, = 29 fig-— 10-4 ом/км. (53)
‘ s h^fyio-3 1
Поток, замыкающийся в земле и сцепляющийся на 1 см длины
с провозом при протекании по нему тока в 1 а, получим из
выражения (51):
= ( — / — 4 g |g----Л 10-‘ гн[км.
\ 7 2 Л//у10-9 / '
Этот поток состоит из двух составляющих:
1) -/Чро-4,
(54)
отстающей на 90° от создающего ее тока; этой составляющей
потока создается э. д. с., направленная против тока, и ей со-
ответствует активное сопротивление /?„;
0,178
Л/ffTo^9
2) 4,61g
10—*,
совпадающей по фазе -с током; этой составляющей создается
э- Д. с., отстающая от тока на 90°, и ей соответствует реактив-
ное сопротивление X,.
По существу все сопротивление Z, является индуктивным,
так как оно определяется магнитным потоком L't, замыкаю-
щимся в земле; величина L е соответственно является своеоб-
разной индуктивностью провода.
Мощность, определяемая той составляющей напряжения, при-
ложенного к проводу, которая затрачивается на проведение
тока провода через активное сопротивление R,, идет на по-
крытие потерь в земле на тепло Джоуля.
Активное сопротивление [выражение (52)] пропорционально
частоте /. Это объясняется тем, что, как было указано, с уве-
личением частоты увеличивается степень неравномерности рас-
пределения тока в земле. Это сопротивление не зависит от
проводимости земли у. Это объясняется тем, что если увеличе-
ние проводимости должно, с одной стороны, вести к уменьше-
нию потерь на тепло Джоуля, то, с другой стороны, это умень-
шение компенсируется увеличением степени неравномерности
распределения тока при увеличении у.
Магнитный поток, замыкающийся в земле, как это видно из
второго члена правой части выражения (54), медленно убывает
с увеличением частоты f и проводимости зрмли у. Это объяс-
няется тем, что с увеличением f или у увеличивается степень
неравномерности распределения тока в земле, и при f=oo,
или у = со, весь обратный ток сосредоточился бы на поверх-
ности земли (у выемки по фиг. 5), и поле, сцепляющееся с
землей, не имело бы места.
Чтобы определить полное сопротивление провода Zg, необ-
ходимо еще учесть сцепление провода с частью потока, замы-
кающейся в воздухе, и активное сопротивление самого про-
вода RK.
Так как часть потока, замыкающаяся в воздухе, создается,
как было уже указано, только током провода I, то она совпа-
дает по фазе с ним, и соответствующее ему йндуктивно^ со-
противление Ха является чисто реактивным. Определение этого
сопротивления ничем не отличается, как в этом нетрудно убе-
диться из фиг. 5, от определения индуктивного сопротивления X
одного провода однофазной двухпроводной Яинии (фиг. 1—3),
если расстояние между проводами D равно высоте подвеса рас-
сматриваемого провода над землей. Поэтому мы гАэжем непо-
средственно воспользоваться выражениями (13) и (12):
Ха = 20/ lg 10~4 ом/км, (55)-
соответствующая воздушной части потока индуктивность
L.= 4,61g А-10“' гн1км.
(56)
Полное сопротивление провода [выражения (52), (53), (55)]
= p.+ ("7+j25/lg —)ю-‘] ом/км. (57)
Разбивая сопротивление на две составляющие, получим
Л=^+.7^; (58)
Rg =(^+кУ10~4) ОМ/км; (58а)
'Vi=29/lg‘r„//rT^ 10“‘»*'“• (58б>
Xl [выражение (586)] не зависит от высоты подвеса провода h.
Это объясняется тем, что уменьшение реактивного сопротивле-
ния Хе [выражение (53)] от потока, замыкающегося в земле,
при увеличении h вследствие уменьшения этого потока компен-
сируется увеличением сопротивления Ха [выражение (55)] вслед-
ствие увеличения воздушной части потока.
При /= 50 герцам
Z,=(«, + 0,05+70,1451g —j^==) »-«/«-». (59)
При более точном анализе (Л. 6, стр. 107—110) для R„ полу-
чается то же значение [выражение (52)]. Для Xl получается
значение, несколько отличное от даваемого выражением (586),
а именно:
A7 = 29/lg—°'8085 Ю ' ОМ!КЖ. (60)
ГтУ fylO-9
Вычислим отношение значений Х^ по выражениям (586) и
(60) для следующих данных:
9 = 95 мм2, г = 0,55 см,
f = 50 гербам,
у = 1()-‘ мо/см (влажная земдя).
Из выражения (10)
гт = 0,779 • 0,55 = 0,429 см.
У/-( . Ю-» = У 5 • 10-12 = 10-* У5 = 2,235 . 10~6.
0,2085 _ 0,2085
rm l/fylO^ ~ 0,429 • 2,235
• 10е = 2,18 • Ю\
1g 2,18 • 10® = 5,3385.
0,178
0,429 • 2,235
..10*= 1,86 • Ю®.
1g 1,86 -105= 5,2695.
Xl Rued_ 5,2695
XLCar~ 5,3385
~ 0,985.
Таким образом разница между Лл, подсчитанным по выра-
жению (586), вытекающему из концепции Ruederberg’a, и Хъ,
подсчитанным по формуле Carson’a, составляет всего около
1,5%.
В дальнейшем мы будем пользоваться формулой Carson’a
ввиду ее большей распространенности в Союзе. При этом вы-
ражение (59) видоизменяется:
Zg = (Rw + 0,05 -4-7 0,145 1gом/км. (61)
Гт
В американской литературе
реактивное сопротивление про-
вода Xl [выражение (60)] часто
рассматривается как реактив-
ное сопротивление одного про-
вода некоторой фиктивной двух-
Фиг. 6
проводной однофазной линии [выражение (13)] с таким рассто-
янием Dg между проводами (фиг. 6), чтобы сопротивление этого
провода двухпроводной линии равнялось сопротивлению про
вода линии провод-земля (Л 6, стр. 107-г114). Это расстояние
определяется из выражений (13) и (60):
29/lg 1 = 29/1g ----Ю-‘,
откуда
D _ 0,2085
0,2085
,_____ см =
2,085 IO-3
----—= — м,
Vfyab
(62)
где Таб — удельная проводимость, выраженная в единицах электро-
магнитной системы CGS; уаб = Т'1О-9-
Из выражений (60) и (62) получим выражение для реактив-
ного сопротивления провода линия провод-земля, совершенно
аналогичное выражение (13) и соответствующее фиг. 6:
X£ = 29/lg-y/-10~4 ом/км.
(63)
Следует отметить, что как в выражении (13), так и выра-
жении (63) расстояние между проводами D или Dg и радиус
провода гт должны быть выражены в одних и тех же, вообще
говоря, произвольных единицах.
При бесконечно большой проводимости земли обратный ток,
как было указано, сосредоточился бы на поверхности земли.
Силовые линии магнитного поля замыкались бы при этом только
в воздухе (фиг. 7), и реактивное сопротивление провода полу-
чилось бы таким же, как в том случав, когда обратным был
бы провод, являющийся зеркальным изображением действитель-
ного провода в земле, поверхность которой являлась бы, таким
образом, зеркалом (Л. 4). Расстояние. между проводом и его
зеркальным изображением равнялось бы двойной высоте подвеса
провода: 2 h. -При конечной же проводимости земли (фиг. 6)
можно также представить себе обратный? провод как зеркаль-
ное изображение действительного. Зеркалом в этом случае
является горизонтальная плоскость на расстоянии 0,5 Dg от
оси действительного провода.
Для рассмотренного выше примера (/=50 герцам, у = 10~*)
2,085 • IO-8
2,235
-10е = 935 м.
Кривые Dg = F('() (Л. 6, стр. 112),
/= const.
Из выражений (57) и (62) с учетом, замены XL Rued [выражение
(586)] на ХТ, cars [выражение (60)] получим
z, = R, + >x<=
= [ Я.+(«’/+) 29/lgS01O-‘ ] ом\км
2 Проф. Н. Ф. Марголин.
(64)
Для /=50 герцев из выражений (61) и (62) имеем
Zg = Rg+jXL =
='(#. +°.04+>о,14518 ^-) OMjKM.
(65)
III. СРАВНЕНИЕ РЕАКТИВНОСТЕЙ ПРОВОДА
ДВУХПРОВОДНОЙ ЛИНИИ И ПРОВОДА ЛИНИИ
ПРОВОД-ЗЕМЛЯ
Увеличение расстояния Dg (величина порядка 1 км) по срав-
нению с расстоянием D (величина порядка до 10 м) не влечет
за собой пропорционального увеличения реактивного сопротив-
ления. Это объясняется тем, что по мере удаления от оси про-
вода (см. вывод выражений для L и X в гл 1 и фиг. 2) длина
силовых линий увеличивается, и значение Н уменьшается. По-
этому нарастание потока, сцепляющегося с проводом, сильна
Отстает от нарастания расстояния между осями проводов.
Для примера сравним X по выражению (14) при расстоянии
между проводами 0 = 5 м с X/, по выражению (65) при опре-
деленном О. = 935 м. Сечение провода в обоих случаях q =
= 95 мм2 и гт — 0,00429 м.
Для реактивности провода двухпроводной линии из выраже-
ния (14) получаем 1
'¥=0’И5180^Й2Г = 0'47
Реактивность провода петли провод-земля из выражения (65^
035
A’” = 0',45Ig 0ДМ29 = °'773
Отношение сопротивлений
при
0,773
,47
& = 187.
1 г и rm в предыдущем и настоящем примерах взяты для провода
сплошного сечения При более точных подсчетах следует учитывать кон-
струкцию провода (Л 6, стр 104).
IV. ВЗАИМОИНДУКЦИЯ ПРОВОДОВ ДВУХ линий
ПРОВОД-ЗЕМЛЯ
Двухпроводную линию (фиг. 3) можно представить себе-экви-
валентной по создаваемому ей магнитному полю и соответ-
ственным сопротивлениям двум линиям I и II — провод-земля
(фиг. 8), так как можно принять, что обратные токи в земле
друг друга компенсируют и не оказывают никакого результи-
рующего действия. Заменяя в
свою очередь линии провод-зем-
ля Гн II двухпроводными лини-
ями 1-Г и II- II' с расстоя-
нием между проводами, равным
Dg [гл. Н, выражение (62)], мы
можем считать двухпроводную
линию эквивалентной этим двум
линиям: 1-Г и П-1Г (фиг. 9);
Фиг. 8.
ввиду большой величины Dg по сравнению с D (см. гл. Ill)
можно принять, что расстояния от каждого из фиктивных об-
ратных проводов, Г и //', до каждого из действительных, I и
II, друг другу равны:
== ZV а= D„ f = Dg.
При этом условии результирующее электромагнитное воздей-
ствие обратных проводов Г и IP на действительные I и II
получается равным нулю.
Такая замена двухпроводной линии позволяет рассматривать
сопротивление ее провода Z [выражения (13) и (15)], напри-
мер, провода /, как геометрическую сумму собственного сопро-
тивления Zg [выражение (64)] провода линии провод-земля, на-
пример, провода 1 линии /•/', и искомого сопротивления взаимо-
индукции ZjrOT соседней линци провод-земля, например, сопро-
тивления 2п-1 от линии II-II'. Учитывая, что токи рассматри-
ваемой и индуктирующей линии провод-земля равны по величине
и противоположны по зна'ку, пойучйм
Z — Zq — Zm ,
откуда
Za = Zg-Z. (67)
Подставляя в выражение (67) значения Z и Z из выражений
(64), (13) и (15), имеем
Z„ = (j?f + ^<>/lg^-)lO-* ол/кл. (68)
Фиг 10.
Смысл выражения (68) ясен из фиг. 10
При протекании тока по индуктирующему проводу, напри-
мер,//, с индуктируемым, проводом сцепляется весь замыкающийся
в земле поток и часть воздушного потока между индуктируе-
мым проводд.ч, например, /, и землей. Земному потоку соответ-
ствует сопротивление Ze [выражение (51)]. С учетом выраже-
ния (62) при замене коэфициента 0,178 по Kudenberg’y на
коэфициент 0,2085 по Carson’y полупим
ом/км. (69)
Сцепляющейся с индуктируемым проводом части воздушного
потока соответствует сопротивление Хам. Из фиг. 10 и выра-
жения (55) можно получить
х, = (29/ig -А- - 29f]e ю-‘=
\ Гт Гт /
= 29/lg-^-10-4 ом/км. (70)
Сложив геометрически сопротивления Ze и jXaiI, мы и по-
лучим, как в этом нетрудно убедиться, сопротивление взаимо-
индукции Zm [выражение (68)].
Наличие активной составляющей в сопротивлении взаимоин-
дукции, равной активной составляющей сопротивления Ze
[выражение (69)] индуктирующего провода, и объясняется
указанным выше сцеплением полного земного потока с индук-
тируемым проводом.
В соответствии с выражениями (6*4) и (58)—(586) сопротивле-
ние взаимоиндукции [выражение (68)] может быть -разложено
на составляющие:
£м — Rm -|- jXM, (71)
где [выражение (52)]
/?л/ = /?е = тс?/10-4 ом/км (72)
и
= 29/lg 10~4 ом/км. (73)
Для /= 50 герцам имеем
Ям = (о,05 +У 0,1451g ом/км.
(74)
Сопротивлению -Яд [выражение (64)] по вычете из него актив-
ного сопротивления самого провода /?„ соответствует индук-
тивность [ср. выражение (54)]
^=^(”/+>25/18^)10-^
= (—j j + 4,61g у-"-) Ю-4 ен/км. (75)
Сопротивлению [выражение (68)] соответствует взаимная
индуктивность
= (- i А + 4,61g 10- • (75)
Выражения (64) и (68) являются основными. Из них могут
быть получены значения сопротивлений переменному току при
любой комбинации проводов.
V. СОПРОТИВЛЕНИЯ ТРЕХФАЗНОЙ ОДНОЦЕПНОЙ
ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
1. Среднее сопротивление взаимоиндукции
Пусть по трем проводам линии передачи (фиг. 11) протекают
токи /а, 1Ь и 1С. Линия транспонируется так, что на протяже-
Фиг. 12
Фиг. 11.
нии одной трети полной длины линии каждый из проводов зани-
мает одно из трех возможных положений: 1,2 и 3, как это,
например, указано на фиг. 11, а, 11, b и 11, с.
В соответствии с произведенным в гл. IV замещением «двух-
проводной линии двумя линиями провод-земля мы можем за-
местить и трехпроводную линию (фиг. 11) тремя линиями про-
вод-земля независимо от того, равна ли сумма токов 1а , 1Ь и
1е нулю или эта сумма токов не равна нулю, и в деЯствитель-
ности имеет место возврат тока по земле. В первом случае
обратные токи земли друг друга компенсируют, во втором—их
геометрическая сумма дает действительный обратный конечный
ток.
Среднее сопротивление взаимоиндукции любой пары проводов,
например, проводов с токами 1а и /ь, может быть получено как
среднее арифметическое из трех значений, определяемых тремя
возможными относительными положениями этих двух проводов.
Из фиг. И и выражения (68) мы, таким образом, получим
Z, = 4[(n7 + ,-2Vlg£«-) + («-/+j29/1g^) +
= 4-(3”,/+’2’/18 25И-^,“_-
= (^/+j291g т---•---) 10-‘ ».«/«,«. (77)
V Dl2o„D„
Знаменатель второго члена представляет собой среднее гео-
метрическое из расстояний между проводами. Вводя обозначе-
j/ D12D23D3X = Dm, (78)
получим из выражений (77) и (78)
Z„ = ( I’/+J 291g -д’-) 10-* omIkm, (79)
и для /=50 герцам
Z,1 = (о,О5 +j0,145 lg 10-‘ ом/км. (80)
Сравнивая выражения (68) и (79), мы видим,, что среднее со-
противление взаимоиндукции двух проводов трехпроводной ли-
нии передачи равно сопротивлению взаимоиндукции двух линий
провод-земля с расстоянием между осями проводов, равным
среднему геометрическому расстоянию проводов трехпроводной
линии (фиг. 12).
2. Сопротивление положительной и отрицательной
последовательностей
Результирующее сопротивление положительной последователь
ности численно равно эффективному значению напряжения, ко-
торое нужно приложить к одному из проводов для преодоления
активного сопротивления самого провода Rw и уравновешения
э. д. с. само- и взаимоиндукции, при протекании по л^нии си-
стемы токов положительной последовательности с эффектив-
ным значением в 1 а.
Пусть ток
4=1-
Тогда
4 = а2,
и
Результирующее сопротивление фазы а
Zl — Z^ -j- Zj[ a? Zu a — Zg — Zu. (81)
Сопротивление положительной последовательности меньше со-
Фиг. 13.
противления провода линии провод-зем-
ля на величину 'сопротивления взаи-
моиндукции, так как сумма токов, про-
текающих по двум проводам линии пе-
редачи, равна по величине и обратна по
направлению току рассматриваемого
провода.
Подставляя в выражение (81) значе-
ния Zg [из выражения (64)] и Zu [из выражения (79)], получим
Z,= p. + (;29/lg 10-* J оЩкм, (82)
и для f = 50 герцам
Zi /?„-]-/0,145 lg-у^-) ом/км. (83)
Сравнивая выражения (67) и (81) и (13), (15) и (82), мы ви-
дим, что сопротивление положительной последовательности рав-
но сопротивлению провода двухпроводной линии с расстоянием
между проводами, равным Dm (фиг. 13). Это объясняется ука-
занной выше эквивалентностью двух проводов трехфазной ли-
нии передачи обратному проводу двухпроводной линии
Ввиду того что сумма токов отрицательной последовательнр-
сти также равна нулю, сопротивление отрицательной последо-
1 Выражение для можно было бы получить непосредственно из вы-
ражений (13) и (15) для двухпроводной линии, не прибегая к сопротив-
лениям Zg и ZM.
вательности должно быть при условии транспозиции равным
сопротивлению положительной последовательности.
Действительно, пусть
4=1.
Тогда
Д2 = а
и
4 = <Л
Результирующее сопротивление фазы а
^2 = ^ + ^ + ^ = ^-^ = ^. (84)
3. Сопротивление нулевой последовательности1 *
В данном случае слеьует исходить из трех совпадающих по-
фазе тсков с эффективным значением в-1 а:
4 —— 4 = 1са — 70 — 1 а-
Результирующее сопротивление
+ 2 Zu . (85)
В то время как при протекании токов положительной или
отрицательной последовательности взаимоиндукция от Двух про-
водов ослабляет поток, сцепляющийся с трет ьим, при протека-
нии токов нулевой последовательности этот поток усиливается.
Вычитая выражение (81) или (84) из выражения (85), по-
лучим
Zo — Zj = ZQ — Z2= . (85a)
Подставляя в выражение (85) значения Zg [выражение (64)]
и Zu [выражение (79)], получим
Z„ = R. + (’’/+J 29/ 1g + 2к>/ +
\ Гт
+ 2 /29/1g 10- =
= Л.+ (3==/+>29/15 7^)1»-* =
^Я.+(зл’/+/87/’18^;Я’57)10-4] оя/км. (86)
1 Читатели, желающие пользоваться выводами в общем виде, могут
сразу обратиться непосредственно к гл VI.
Сравнивая выражение (86) с (64), мы видим, что часть сопротив-
ления нулевой последовательности, обусловленная потоками само-
и взаимоиндукции [члены в круглых скобках выраженц# (86)
3 и соответственно (64)], численно
|Л- п? _ г мп Равна падению напряжения на ана-
/ т т логичной, части сопротивления (обу-
I’ словленной земным и воздушным по-
I=3d токами) провода линии провод-зем-
1 ля при протекании по ней тока не
-1-Ruj 1 в la, а в За и при увеличении ее
3 приведенного радиуса гт до значе-
ния V rm (фиг. 14).
Это объясняется тем, что суМмар-
су, ный ток всех трех проводов трех-
фазной линии в три раза больше то-
ка одного провода и что с каждым
из индуктируемы* проводов сцепля-
ется полностью земной поток и часть
воздушного каждого из индуктирую-
щих проводов. Увеличение же радиу-
са Д° значения у rmD* и> следова-
Фив 14 тельно, некоторое уменьшение со-
противления, отражает тот факт,
что не весь воздушный поток является потоком взаимрин-
дукции.
Собственное активное сопротивление провода заменяющей
линии (фиг. 14) должно равняться х/3 активного сопротивления
провода трехфазной линии.
Радиус у г D2 называется средним геометрическим
радиусом системы из трех проводов (geometric mean radius).
Вводя обозначение
Vr.Dl = OMR.
получим из выражений (86) и (87)
2.=р,+(зп’/ + У87/18(?^)10-* J ом1км. (88)
и для f = 50 герцам
zo = ( + 0.15 + j 0,435 1g ом/км. (89)
Сопротивление нулевой последовательности ZQ [выражение
(88)] представляет собой результирующее сопротивление одного
из трех параллельно соединенных проводов линии три провода-
земля. Эквивалентное сопротивление эти?с трех параллельно
соединенных проводов Zp должно получаться в три раза мень-
ше (ток в 1 а протекает по всей линии, а по каждому прово-.
ДУ—’/я «)•
z,=4z“' <9“>
Отмеченное выше [выражение (86)] усиление потока благо-
даря взаимоиндукции при протекании по линии системы токов
нулевой последовательности приводит к тому, что сопротивле-
ния положительной ^ли отрицательной последовательности по-
лучаются значительно меньшими, чем сопротивленце нулевой
последовательности. Для реактивных частей этих сопротивле-
ний [выражения (83) и (89)] в среднем имеем
(91)
4. Сопротивление одного троса
Трос может быть представлен как провод однопроводной ли-
нии с возвратом тока через землю. Поэтому сопротивление
троса Z,„p определяется выражения^ (64) fi (65):
Zmp=Zg. (92)
При определении сопротивлений нулевой последовательности
рассматриваются падения напряжения, соответствующие проте-
канию по данной системе проводов (например, система из трех
проводов трехфазной линии передачи в предыдущем параграфе,
рассматриваемый в настоящем параграфе трос) с возвратом че-
рез землю тока не в 1 а, а в 3 а. Поэтому сопротивление ну-
левой последовательности для троса
Zmpa=3Zmp. (93)
Подставдяя в выражение (92) значения Zg из выражения (64)
или (65), получим
^тро ~ Rmpo + —
= [3P,.„,, + (37r1/ + 7871g5,-[ 1О.-<] ом!к.«, (94)
и для f = 50 герцам
Х.,,=(зр„„,.+ 0,15^-70,435 1g ?'-) omIkm. (95)
5. Сопротивление взаимоиндукции между тросом и одно-
цепной трехфазной линией передачи в нулевой
последовательности
Представим трос как систему проводов А, а линию—как си-
стему проводов В (фиг. 15).
Сопротивление взаимоиндукции Zab„ от системы А на систе-
му В численно равно падению напряжения в одном проводе си-
стемы В при протекании тока в 3 а по проводу А (тросу).
Обратно, сопротивление взаимоиндукции Zba0 от системы В на
А численно равно падению напряже-
ния в проводе А при протекании по
каждому 'из проводов системы В то-
ка в 1 а. Токи трех проводов си-
стемы В совпадают по фазе.
Принимая допущение о транспо-
зиции линии В (см. гл. V, § 1), полу-
^АВ
1=3а
чим, что сопротивление ZAb„ представляет собой среднее ариф-
метическое из сопротивлений взаимоиндукции между тросом А
и каждым из проводов линии В.
Zab0 — (3 Z и 4“ 3 Zaz -f- 3 2Лз) —
---Z/A1 4~ ^Я2 4" ^43 .
(96)
Множитель 3 в скобках правой половины выражения (96)
появился вследствие необходимости учета протекания по тро-
су А тока в 3 а.
Подставив вместо ZAi, Z\2 и ZA^ их значения из выражения
(68), получим
2л,.= [3=7 + 729/(18-^ + 18 §л-+ 1g- Ю-=
^(3"V + /29/lg^’o-J10- =
' D \
3 тс21 + J 8711g-°--) Ю-4 омIкм.
DA2Da2Da2
(97)
Выражение УDA1DA2DA2 представляет собой среднее геоме-
трическое из расстояний между тросом А и проводами линии В
Назовем еоосредним геометрическим расстоя-
нием (GMD) между системами А и Ц'.
VDitDaD„ = Du. (95)
Подставив из выражения (98) в выражение (97), имеем окон
чательно
Z„. = (3=V + j87flg^)10- о+к.и, (99)
и при / = 50 герцам
ZAS, = (о,15 +/0,435 1g (ЮО)
Сравнивая выражения (99)—(100) с выражениями (68) и (74),
мы видим, что сопротивление взаимоиндукции между система-
ми А и В в нулевой последовательности равно утроенному со-
противлению взаимоиндукции двух линий провод-земля, А и В
с расстоянием между проводами, равным Dab (фиг. 16).
Сопротивление взаимоиндукции от линии В на трос А чис-
ленно равно падению напряжения в тросе А при протекании
по линии В системы токов нулевой последовательности с эф-
фективным значением в 1 а. Непосредственно из фиг 15 сле-
дует
Zba„ — Z1A -j- Z2A -j- Z2A .
(101)
Сра-внивая выражения (96) и (101), получаем, как и
следовало априорно ожидать,
Zab0 — ZBAo — Z3Iq .
(102)
Разлагая выражения (99) и (100) на составляющие, получим
с учетом выражения (102)
Zm„ = RM„ + /Aj/i t (103)
/?,Го = Зл2/ • io-4 ом/км, (104)
Xv = 87/ 1g -у, g 10-4 omIkm, (105)
Dab
и при / = 50 герцам,
Ru0 = 0,15 ом/км, (*106)
Л'.«, = 0,435 Ig (107)
Dab
Если бы мы рассматривали систему В из трех параллельно
соединенных проводов с возвратом тока через землю и трос А,
то при определении сопротивления взаимоиндукции следовало
бы исходить из тока в 1 а по обеим системам или из тока
в ]/8 а в каждом из проводов системы В. Очевидно, что в этом
случае [ср. выражение (90)]
Zab — Zba — Zu — Zu,
(108)
6. Сопротивление нулевой последовательности одноцепной
трехфазной линии с одним тросом
Пусть на расстоянии одной единицы длины, например, на
расстоянии 1 км, идут параллельно две системы проводов с воз-
вратом тока через землю: си-
стема А — заземленный трос
и система В — одноцепная ____ Ц
трехфазная линия (фиг. 17). -— *— 4
По этим системам проводов
протекают токи нулевой по- —-........- .---------В
следов ательности /j0 и /д, . lffg
Ток 1а0, протекающий по фиг 17
тросу, представляет собой на
основании общего положения
о токах нулевой последовательности (см. также предыдущий
§ 5, гл. V) J/e действительного тока троса Л :
Л.=уЛ. (Ю5)
Ток /Во протекает в действительности по каждому из прово-
дов трехфазной линии.
Определим падения напряжения на единицу длины каждой из
этих систем, и Д£Л>„:
лйЛо = 1ЛогЛо +iBozllo, (ио)
д^в0 = ^Bo.Zbq + lAaZifa . (И 1)
Прибавив к правой части выражения (ПО) ±/4,2^ и к пра-
вой части выражения + /Во ZMa, получим
ШЛо = /Ло (ZAo - ^0) + (j,. -j- IBo) (112)
MJBo = /в, (ZBa - zMtt) -У (7л0 + а 13)
Сопротивления (Zia — Z3r^) и (ZBo — Zjf0) обусловливаются, с
одной стороны, сцеплением соответственно проводов систем А
и В с потоками, которые не охватывают проводов другой си-
стемы, т. е. соответственно В и А. Эти потоки, таким обра-
зом, являются потоками рассеяния каждой из систем по отно-
шению к другой. Поток рассеяния является частью воздушного
потока соответствующей системы (см. гл. IV). С другой стороны/,
в рассматриваемые сопротивления входят активнь е сопротивления
проводов каждой из систем, тройное сопротивление троса 3/?„А
и сопротивление каждого из проводов линии BWB. Поэтому со-
противления (Zj0 — Zjf0) и (ZB„ — Zjf0) в действительности пред-
ставляют собой сумму активных сопротивлений самих проводов
и сопротивлений рассеяния. Условно назовем их (Л. б, стр.131)
• полными сопротивлениями рассеяния и обозначим
через ZAlo и ZBlo.
Из выражений (94)—(95) и (103)—(107) получим
Zua = Za0 — Zua = Ru„ =
= 3/?„+787/(16 =
= (зй„+y87/lg^-10-‘)<uI/K3<; (114)
для f = 50 герцам
Zu. =(з/?„ + >0.435 Ig-^i) ом/км. (115)
Из сравнения выражения (114) со вторым членом правой ча-
сти выражения (70) нетрудно убедиться, что сопротивление
yS7/lg^-10-<
соответствует сцепляющейся только с тросом части созданным
его током нулевой последовательности воздушным полем.
Из выражений (88)-(89) и (103)—(107) получим
ZBi„ = ZBt — — Rbi0 + jX^ —
Ця„ + У87/1е^^1о-‘)м™, (lie)
для f — 50 герцам
Zbio = (RWB + j 0,435 1g ) omIkm. (117)
Подставив из выражений (114) и (116) в выражения (112) и
(113), имеем Д(Д, = Д> Zn0 +(/л0 +Zbo)^x>, (US)
At/* = 1в„ Zbi0 +(Zu -{-^B^Ztt,. (119)
.Выражениям (118) и (119) соответствует схема замещения,
представленная нафиг. 18а.
Фиг 18а.
Введем теперь условие
заземления троса, nq край-
ней мере, на двух его кон-
цах. Оно приводит наряду
с уравнениями (118) и (119)
к третьему уравнению:
= 0,
(120)
падение напряжения вдоль
троса равно нулю; э. д. с_,
индуктированная в нем сце4
пляющимся с ним резуль-
тирующим воздушным и земным потоками, вся уходит на про-
ведение тока через его активнее сопротивление Rw А. Трос в
этом отношении аналогичен земле [ср. гл. II, выражение (45)].
При условии (.120) схема замещения примет вид, представ-
ленный на фиг. 19а и 196.
Из этих'фигур и выражений (103)—(105) и (114) следует:
1) ток нулевой последЪвательности линии замыкается как че-
рез землю, в сх.еме— по ветви взаимоиндукции с сопротивле-
нием Zjr0 (ток 1д0), так и через трос, в схеме — по ветви рас-
сеяния троса с сопротивлением Zm„ (ток Д, в отрицательном
направлении); в действительности полные токи в земле 1д и
и в тросе Л в три раза больше токов Igit и /ц.
2) отсасываемая от земли тросом часть тока Iia тем боль-
ше, чем меньше активное сопротивление самого троса RWi и
чем меньше расстояние Dab между тросом и линией, так как
с уменьшением расстояния между тросом и линией увеличивается
э. д.с. взаимоиндукции, индуктируемая потоком линии в тросе,
и, следовательно, ток в тросе.
Полное сопротивление линии с учетом троса определяется из
схемы (фиг, 19а):
- (121)
zr*o -j- Zjf0
-ч
Фиг. 186.
Из выражений (121) и (114) окончательно имеем
(122)
При отсутствии троса ветвь рассеяния троса (ZAt0), шунти-
рующая землю в схеме замещения отпала бы, и сопро-
тивление линии
Zo = Zbi, +
получилось бы большим. Уменьшение сопротивления линии при
Наличии троса тем резче, чем меньше сопротивление рассеяния
троса, т. е. (см. выше) чем меньше RwA и чем меньше расстоя-
ние между тросом и линией: ток в тросе, приблизительно про-
тивоположный току линии, увеличивается, и следовательно, ток
в земле и поток уменьшаются.
Грубо ориентировочно можно принять в среднем, что при
наличии хорошо проводящего троСа реактивное сопротивление
одноцепной линии уменьшается на 43% (в 1,75 разар.
•^0(6ез троса! 3,5 jYj,
fc тросом' 2 _____________
(123)
Л’о (без epocai 3(5
и,; о
Фиг. 19а.
Фиг. 19ба
Как наглядно видно из фиг. 19 и выражения (122)1 в сопро-
тивлении Zo учтены и потери на тепло Джоуля в проводе си-
стемы В, т. е. трехфазной линии (сопротивление и по-
тери в тросе (сопротивление 3 /?„Л ), и потери в земле (сопро-
тивление Зтс2/- 10~‘).
7. Сопротивление системы из двух тросов
Сопротивление Zi одного провода системы А из двух парал-
лельных проводов 4 и 5 (фиг. 20) с возвратом тока через зем-
лю численно равно эффективному значению падения напряже-
ния на единице длины этого провода, например, на 1 км, при»
протекании по каждому из проводов токов, совпадающих по
фазе с эффективным значением в 1 а.
ИзЪтого определения следует [см. выражения (64) и (68)]:
Z. =Z, + Z, = ft„ + [2^/+;29/(lg^i- +
л
г—
ЮЛ
ЛЭ stf
.
в
+ lg^-)] 10-* = R.t + ^f + J29 f lg-Д-) 10- =
R.a + (124)
' у rm uti ' J
Эквивалентное сопротивление
Z.ap двух параллельно соединен-
ных проводов системы должно быть
в два раза меньше:
Z2„ = 0,5Za. (125)
Если же рассматривать систему
проводов А как систему, через ко-
торую замыкаются токи нулевой
последовательности, то следует
учесть протекание по обоим про-
водам суммарного тока 3- а или по
каждому проводу тока в 1,5 а.
Таким ббразом сопротивление
системы А для токов нулевой по-
следовательности:
4=зЛ, = ~ZA. (126)
Из выражений (124) и (126) имеем
Zi, =р,5Л«.+
+ (^V + /87/’lg
О,
V Гт Dn
ОМ/КМ.
(127)
В соответствии с выражением (87) для одноцепной трехфаз-
ной линии и в случае рассматриваемой двухпроводной системы
сцепление с одним из проводов неполного воздушного потока
второго провода сказывается в увеличении радиуса от значе-
ния гт до значения среднего геометрического радиуса систе-
мы А:
GMRt =-V rm
(128)
35
ПодСтавляя выражение (128) в выражение (127), получим окон-
чательно
ZAl, — Ra0 И- У =
= [l,5R„x + (з+/+/87 fig 0-^ ) 10-4 ] ом/км, (129)
м при f =? 50 герцам
Л. = (1,5 й„. + 0,15 + 70.435 1g о^-) ом/км. (130)
Сравнивая выражения (129) и (130) с выражениями (94) и
\Гп,о,^спп,
фиг. 21.
(95), мы видим, что сопротивление
системы из двух тросов меньше со-
противления одного троса и вслед-
ствие уменьшения в два раза соб-
ственного активного сопротивления
и вследствие увеличения приведенно-
го радиуса до значения GMRA .
Сравнивая выражения (129) и (130)
с выражениями (64) и (65), мы при-
ходим к заключению, что сопротив-
ление численно равно падению
напряжения на 1 км от тока в 3 а
в проводе линии провод-земля с при-
веденным радиусом, равным GMRA,
и с собственным активным сопро-
тивлением, равным половине активно-
го сопротивления провода системы Д
[фиг. 21; ср. выраж’ение(8б) и фиг. 14].
8. Сопротивление взаимоиндукции между системой из
двух "тросов и одноцепной трехфазной линией-
Под сопротивлением взаимоиндукции нулевой последователь-
ности от системы тросов А на линию В (фиг. 20) подразуме-
вается численно ему равное падение напряжения на 1 км про-
вода линии В при протекании по системе А тока в 3 а, или
по каждому из проводов системы А—тока в 1,5 а.
Учитывая транспозицию проводов линии В, получим для вза-
имоиндукции от провода 4 [ср. выражение (96)]
Z„=y(-P<-+t^-+|Z>») =
= 0,5(7и-|-Лг-ЬЙ43).
(131)
Аналогично сопротивление взаимоиндукции от провода б
ZiB = 0,5 (Z51 + Z52 -j- ZBS). (132)
Полное сопротивление взаимоиндукции нулевой последователь-
ности от системы тросов А на динию В
Z.ab„ = 0,5 (Z41 + +ZS1 -f- Z82 Z8S). (133)
Подставляем значения Z41 и т. д. из выражения (68):
=0.3 (6К7+729 =
=(3../+y8ylg Уо-„з4у
Выражение VDaDaDaDnD6iD63 представляет собой сред-
нее геометрическое из расстояний между проводами .системы Д
и системы В [ср. выражение (98)]:
VD^D^D^D^ D&iD6i — Dte- (135)
Полное сопротивление взаимоиндукции в нулевой последова-
тельности от линии В на систему тросов А численно равно па-
дению напряжения на 1 км провода системы А при протека-
нии по каждому из проводов линии В тока в 1 а:
Падение напряжения на проводе 4
= ZI4 4- Z24 -}- Z34. (136)
То же на проводе 5:
Zb5=Z]84-Z,5-|-Z86. (137)
Среднее падение напряжения, или сопротивление взаимоин-
дукции от системы В на систему А,
ZBi. =O.5(Z„ + Z„+Z„+Z1S+Z„+Z„). (138)
Сравнивая выражения (138) и (133), получаем, как и следова-
ло ожидать,
hs, = Zbj„ — Zu,. (139)
Разлагая Zu, на составляющие, имеем из выражений (134) —
(135):
Zj/e — Ru, (140)
37
Rat, = 3n2f 10“* ом/км,
Xtf, = 87 f 1g io-« ом/км,
Dab
и при / = 50 герцам
В %, = 0,15 omIkm,
Хм, — 0,435 1g -J?g omIkm.
Dab
(Hl)
(142)
(143)
(144)
Сравнивая выражения (Юб)—(107) для случая одного троса
с выражениями (143)-^(144), мы видим, что активные сопротив-
ления не отличаются по величине. Это объясняется полным
сцеплением потока индуктирующей системы с проводом индук-
т руемой при полном токе индуктирующей системы (т. е. сум-
марном токе всех ее проводов), равном Зав том и другом
случае. Что же касается реактивного, сопротивления Ха,, то
оно может измениться с изменением Dab, но резко это изме-
нение не скажется, так как Dab входит под знак 1g.
9. Сопротивление нулевой последовательности одноцепной
трехфазной линии с двумя тросами
Схема замещения в нулевой последовательности (фиг. 22)
аналогична схеме замещения фиг. 196 для случая одного троса
(гл. V, § 6).
Фиг 22.
Для системы тронов из выражений (114), (129), (140)—(142)
имеем:
%Ah = ^4, ---= RaI„ -\-J^Al0 =
+ ом/км. (145)
и при f = 50 герцам
Za,. = (1,5+ /0,4351g Q^-) ом/км. (146)
Для трехфазной линии из выражений (88), (140)—(142) имеем
= Zb0 == + j*Bk =
= (я«. + /87/1?-3^Г)ю-‘ OMiKM, (147)
и при /=50 герцам
Z«.=(«„+jO,4351gT^r)oJ</^. (148)
Сравнивая схему фиг. 22 со схемой фиг. 196, выражение
(145)—(148) с выражениями (114)—(117) и выражения (103)—
(107) с выражениями (140)—(144), мы можем притти к следую-
щему заключению: вследствие незначительного изменения Zm,
отсос тока от земли при двух тросах больше, чем при одном
тросе при условии одинакового материала и сечении тросов,
а результирующее сопротивление нулевой последовательности
(линии с учетом тросов)—меньше, чем при одном тросе. Как
уже было указано в § 7, гл. V, сопротивление системы тросов
2л<, в этом случае меньше, чем для одного троса; поэтому ток,
индуктируемый линией в тросе, больше, а ток в земле и поток,
сцепляющийся с проводами линии,—меньше.
VI. ОБЩИЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ СОПРОТИВЛЕНИЙ
СИСТЕМ ПРОВОДОВ
Полученные в § 3—9, гл. V выражения являются частными
случаями полных сопротивлений и сопротивлений взаимоиндук-
ции и рассеяния систем из произвольного числа п&раллельно
проложенных проводов. Ниже приведены выражения для общего
случая.
1. Сопротивление системы из т проводов
а) Эквивалентное сопротивление Zr при парал-
лельном соединении пр отводов.
Среднее сопротивление взаи-
моиндукции между любыми из
двух проводов системы из т
проводов (фиг. 23) определит-
ся числом возможных различ-
ных расстояний между двумя
проводами: Z)12, D13 ... Dlm ...
• • • D{m— 1) щ.
Число этих расстояний равно
числу сочетаний из т элемен-
_ т(т— 1)
тов по 2, т. е. ——------— •
Фиг. 23.
В соответствии с выражением (77) получим из выражений
(71)—(73)
v 1 Гт(т — 1) ,
^mtn-ill------2---"' +
m(m—1) ~1
I /^'>/1.4 /V" ' /> — п ,0~* =
З-Лг^-ЧЗ • • *Аз • • • '-'Зт . . . ZJ(m-l) т
= f ^ + J29f Igj^n—------------------------------\ IO’* =
' А/^12^13 -''Dim Dtf ... Djm
= (iJ®/+y29/lg-^-)-10^ ом/км, (149)
где среднее геометрическое расстояние между проводами системы
(m—1) т
В. = VD1,O„... D„ D„... D„.... D^„ „ (150)
Эквивалентное сопротивление Zp соединенных параллельно т
проводов системы численно равно падению напряжения на 1 км
длины провода при протекании по всей системе тока в 1 а, а
1
по каждому из проводов—тока в —а.
т
В соответствии с выражением (86) из выражений (64) и (149)
йолучим
Zr = ±[Z,+ (7n-1)Z,J =
= ’1-^+["7+)25/1е-^+('»-1 )(’г7+
= + (’7+ >29/16 1 «-• =
Vr.D-~l
= [ Кт' +(к!/+/29/1б-а^'й-)10-*]о-и/«, (151)
где средний геометрический радиус провода системы
ОЛ1Л = /гтО:т*.
(152>
б) Сопротивление нулевой последователь-
ности
Сопротивление нулевой последовательности 20 системы из
т проводов численно равно падению напряжения на 1 км длины
провода при протекании по всей системе тока в 3 а, а по каж-
, 3
дому проводу — тоИа в — а. Из этого определения, определения
для Zp и выражения (151) следует
z0 = 3Z,=/?,+A.^
= [3 ^+(3к,/+'87/|8-сл«г)10 * ]м/ю'- <153>
и при / = 50 герцам
^о = 4“ У-^о —
= [з-^ + 0,15 + у°,4351g(>5«)
S, = + 0,15 ) ом/км, (155)
Х, = 0,4351g ом/км. (156)
Нетрудно видеть, что выражения
(78)» (87) и (89) представляют со-
бой частный случай соответственно
выражений (150), (152) и (154)
для /п = 3, а выражения (128) и
(130)—частный случай выражений
(152) и (154) для т = 2.
На фиг. 24 представлена линия
провод-земля [ср. фиг. 6 и выраже-
ния (64) и (65)], эквивалентная си-
стеме из т проводов в нулевой по-
следовательности.
Фиг. 24.
2. Сопротивления взаимоиндукции между системой А из
т проводов и системой В из п проводов (фиг. 25)
а) Сопротивление взаимоиндукции Zyp от прал-
лельносоединенных проводов системы А на про-
8°да системы В.
Сопротивление взаимоиндукции Zmp от параллельно соеди-
ненных проводов системы А на провода системы В численно
равно падению напряжения на 1 км длины провода системы В
при протекании по системе А тока в 1 а, а по каждому из
. 1
проводов системы А—тока в - а.
т
Учитывая транспозицию провода системы В, получим из
4иг. 25
= — Г“ (^1 (»Ч-1) + ^2 (т+1) Н- • • + Zm (м+1)) +
+ ~ + Zl (т+2) + . . . -f~ Zm (m-f-2)) +
+ ~ (Zi (m4-3) + Z-i (m+3) -f- . . . 4* Zm („,4.3)) ... -f-
+ 1(Z1(m+ij-j-Zi (m+*)+ • • • + Л» (>»+*)) • • • +
~^~ln <“+"> + Zz <m+n) ‘• 0 57)
Dm(m*ny
Фиг. 25.
Определим член в круглых скобках выражения (157).
Этот член представляет собой сопротивление взаимоиндукции
от системы А на провод системы В, занимающий поло-
жение
Из выражения (68) имеем
z'1-+4 = i
+72V!g л--------n—„—~) >o-‘=
(m-\-k)U2 (m-p) • • • Ua (m-p) '
= (ny+7Z9/lg. °’ ~уч-‘ом1км. (158)
yZDl (т-р)£>2 (m+*) -
Ввиду того что вследствие транспозиции каждый из п про-
водов системы В может занимать любое из положений от (m-f-
4-1) до искомое сопротивление представляет собой
среднее арифметическое из п значений Za (/n-f-^) [выражение
(158)] соответственно положению провода, т. е. учитывая выра-
жение (158), мы можем представить выражение (157) в следую-
щем виде:
(,5,)
Йз выражений (159) и (158) получаем
Z« = V ( J 2^‘8 °' - +
VDi (т-р) •: • Dm (n4-i)
-j-^y+yWig - -°’--------... +
у Dl (т+*) • • Dm(m-\-t)
+ ^f+j29flg -) 1<1-‘ =
Di (m-f-n) • • Dm(m-\-n)
= («*/+ J 29/lg 1 °“* ом/km,
(160)
где среднее геометрическое расстояние между проводами
систем А и В
Dab^]^ Di (m-f-l).-.Dm (m+l)—Dl (m^.ky..Dm(m+^...Dl (m-|-n) ...
(161)
Априорно следует ожидать, и в этом нетрудно убедиться, что
если бы мы определяли сопротивления взаимоиндукции от сис-
темы В на систему А, то результат получился бы тот же:
Ztfp —- ZaBp — Z цАр •
(162)
б) Сопротивление взаимоиндукции в нулевой
последовательности 2м,.
В нулевой последовательности сопротивление взаимоиндукции
от одной системы проводов на другую численно равно падению
напряжения на 1 км длины провода индуктируемой системы В
при протекании по индуктирующей системе А тока в 3 а, а по
каждому из проводов индуктирующей системы—тока в — а.
Из этого определения, определения для ZMp и выражения (160}
следует
Z* = 3 Zmv — Rjf„ -{- jX*, —
= О.Ч/КМ, (163>
X, LJab /
и при /=50 герцам
ZUa s= RMq -\-jXnQ = (o,l5 + /0,4351g omIkm, (164}
/?>о = 0,15 ом/км, (165)
Хц0 = 0,4351g ом/км. (166)
L)ab
На фиг. 16 представлены две линии провод земля [ср. фиг. 9
и выражения (68) и (74)], эквивалентные по своему взаимо-
индуктирующему действию системам А и В.
Нетрудно видеть, что выражения (135) и (143)—(144) пред-
ставляют частный случай соответственно выражений (161) и
(165)—(166) для т = 2 и п = 3.
3. Схемы замещения двух взаимоиндуктирующих систем-
проводов в нулевой последовательности
Выражения (ПО)—(111), (112)—(ИЗ), (118)—(119) для падений
напряжения нулевой последовательности на 1 км длины провода
каждой из рассматриваемых систем А и В сохраняют свою силу
и в исследуемом нами общем случае.
Соответственно и схема фиг. 18а представляет собой схему
замещения двух взаимоиндуктирующих систем проводов А и В
в общем случае.
Выражения (118) и (119) следует дополнить определением
сопротивлений рассеяния Z^ и токов нулевой последователь-
ности в общем случае.
Из выражений (112)—(113), (118)—(119), (153) и (163) сле-
дует (фиг. 186)
А — Д — -2% =
= (2i + y87/1g (167)
и при /=50 герцам
°"!км' (,68)
Ri0= 3^“ omIkm, (169)
Xk=0,435 (170)
Из определений сопротивления нулевой последовательности
у'о (гл. VI, § 16) и сопротивления взаимоиндукции нулевой после-
довательности(гл. VI, § 26) получим для падения напряжения на
1 км длины провода какой-либо системы, например, системы А:
z.,.„.
—-~-zla-\- (171)
т т
тде /х — суммарный ток, протекающий по всем проводам рас-
сматриваемой системы, и / — действительный ток, протекающий
по каждому из параллельно соединенных проводов системы,
«причем
п
(5 72а)
(1720)
Из выражения (171) имеем
Под током нулевой последовательности рассматриваемой си-
стемы проводов следует подразумевать */3 суммарного тока
всех проводов, причем ток нулевой последовательности равен
действительному току одного провода системы только в случае
т — 3, т. е. для одноцепной трехфазной'линии передачи.
Нетрудно видеть, что выражение (114) (для одного троса)
представляет собой частный случай выражения (167) для т=Л
и соответственно ток в схеме фиг. 196 представляет собой
\3 тока троса:
= Iаъ •
Выражение же (116) представляет собой частный случай вы-
ражения (167) для п = 3, и соответственно ток 1в0 схемы
фиг. 196 представляет собой действительный ток нулевой после-
довательности /в йровода трехфазной одноцепной линии В
'••~^3 ~ п
Выражение же (145) для системы из двух тросов представляет
собой частный случай выражения (167) для т = 2 и соответ-
ственно ток /д, схемы фиг. 22 представляет собой 2/s действи-
тельного тока в одном из тросов:
; _ _ miA _ 2 :
3 ~ 3 ~ 3 1
Если обе системы А и В вклю ены параллельно (например,
двухц^пная тре\фазная линия передачи при отсутствии замы-
каниД на землю на рассмат-
риваемом участке), то имеет
место условие
Фиг. 26.
Д£/л =At/B, (174)
и схема замещения (фиг., 18а)
принимает частный вид, пред-
ставленный на фиг. 26.
Эквивалентное сопротивле-
ние нулевой последователь-
ности обеих включенных па-
раллельно систем Л и В
ze?0 — Zj<0 4-
Zai„ Zbi„
(175)
Результирующие сопротивления каждой из систем с учетом
взаимоиндукции от другой, например, сопротивление системы Л,
ZaTMii должно удовлетворять следующему уравнению.
Za Г11о — /Ла Zai0 -f- (/д, /д,) Ли,.
Вместе с тем
(176)
(177)
Подставив значение /А из выражения (177) в уравнение (176)
46
мы исключим из выражения (176) токи и получим с учетом
(167)
= z„. + Zu. + —- Z.. +
_|_ Zy° Zjl° . (178)
Zbi„
По симметрии
z„... = Z., . (179>
Zu,
При одинаковости обеих систем, т. е. при
Zilo = ZBlt=Zh, (180)
Zires, = ZBl u„ ~ Zrail = Z^ 4" Zjf0 = Zj, -f- Zff, =
=z,+z„. (1S1>
чего и следовало ожидать.
Точно так же мо^кно априорно утверждать, что при наличии*
условия (180)
Л™. = гвг„. = 2Z„. (18Z>
И действительно, из выражения (175) при условии (180) и.
(181), принимая во внимание выражение (167), получим
Zt& = Zjf0 4- 0,5 Zai„ = Zu, -{- 0,5 ZBi, =
= 0,5 (Z* + Zm, + = 0.5 (Zm0 + ZBla + A) =
= 0,5 (Z,. 4- Z^o) = 0,5 (Д 4- A) =
= 0,5 Z4ra. = 0,5 ZBr„a = 0,5 Z„,o (183)'
При отсутствии падения напряжения вдоль одной из систем,,
например, вдоль системы заземленных тросов А, т. е. при усло-
вии (120), схема замещения, как было уже указано (гл. V, § 6),.
принимает вид, представленный на фиг. 19а. Результирующее
сопротивление системы В с учетом взаимоиндукции от Зазем-
ленной системы А определяется в этом случае из выражения (122)
VII. СОПРОТИВЛЕНИЯ НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТИ ДВУХЦЕПНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ
1. Сопротивления нулевой последовательности при отсут-
ствии тросов и замыканий на землю на рассматриваемом
участке
В общем случае эти сопротивления определяются выраже-
ниями (175), (178) и (179).
При одинаковом сечении проводов и одинаковом их располо-
жжении б обеих цепях (фиг. 27) сопротивления двухцепной трех-
4азной линии передачи определяются выражениями (181) и (182)
или (183).
Из выражений (181), (153) при т = 3 или из выражений (88)
л (163) получим
Z.raa = 4) + ZUa = RrMo 4- jXra0 = Rw +
+ 4у+У87/1в^-)10-< +
+ (3«7+;87Hg-^-) io-=/?.+
+H+Wig
= («.+(wf+/17V1gJ»-] o^M, (.84)
м при /=50 герцам
Zres0 — R, es„ + jXrn, —
= (+, + 0,30+70,6701g ом/кл, (185)
/?г«0 = (Rw + 0,30) 0MjKM, (186)
+ ..= 0,8701g , (187)
У GMR Dab
Добавочная взаимоиндукция от параллельной цепи приводит
к увеличению и активного со-
/ про-Гивления, которое из-за ука-
Q занного выше (гл. IV) полного
сцепления земного потока ин-
дуктирующей линии с индукти-
4 5 руемой удваивается в части, оп-
О В ределяюшей потери в земле
(бтг2/-10~4 вместо Зп2/-10-4), и
Jr g реактивного сопротивления, ко-
О торое увеличивается меньше,
фип 27 чем в Два раза, из-за опреде-
ленной средней отдаленности
обеих цепей друг от друга.
В среднем увеличение реактивного сопротивления
-у^ 1,58, (188)
и [ср. выражение (91)]
-%-^5,5. (189)
Эквивалентное сопротивление обеих параллельно включенных
цепей [выражение (183)]
= 0,5ЛГ,„в
и
= 2,75 (190)
вместо ожидаемого из выражения (91 )увеличения только в 1,75 раза.
Средний геометрический радиус GMR и средние расстояния
между проводами одной цепи Dm и между обеими цепями Dab
могут быть определены соответственно из выражений (152),
{150) и (161) при т=п — 3'.
Dm = О12£>гзО81 ~ У D^D^D^,
GMR=]/ гт У'DiJD23DaiDiBDseDei =
— rmDizDztD3xDttDi6D6^
Dab — V" DyD24D3tDKDnDKDitD2tDi6 ,
•и уходящий в выражения (184) и (185)
1/GMR<Dab=
— У rmDi2DlsD14D16DIeDtsDttD26D2gD3iD3sDseD46DitDse. (191)
Множители Dl2 и т. д. под корнем выражения (191) пред-
ставляют собой всевозможные расстояния между шестыб про-
водами обеих цепей. Число этих множителей равно 15, т. е
числу сочетаний из шести элементов по два:
-^- = 15 (ср. га. VI, § 1а).
Эквивалентное сопротивление обеих параллельно соединенных
цепей можно определить, так же как сопротивление нуле-
вой последовательности системы из шести проводов, из выраже-
ний (153), (150) и (152) при т = 6:
Dm = V D12Di3... D16D23... D26D34... D36Dt3Di3Ds3,
Dm = Dm — ]/D12...Di6D23...DlfSD3t ..D3tDi3D4iD3e,
GMR = VrV№m^
— imPn ••D13D23 ...D26D3i... D3gDi6Di6Di6, (192)
= ^0,5Я„ 4*
-r(3it2/-f-j87/lg—--------------------------A10-4 |ож/кл<. (193)
' Угт3^12 ^16^28
4 Проф H. Ф. Maf Олин an
Из сравнения выражений (193), (184) и (191) мы видим, что
результат,полученный по выражению (193), согласуется с выра-
жением (184), так как
Z„. = 0,5-Z„...
2. Сопротивления нулевой последовательности при на-
личии заземленных тросов и отсутствии замыканий на
землю на рассматриваемом участке (фиг. 28)
Эквивалентное сопротивление обеих соединенных параллельно
цепей ZeJo можно получить, рассматривая тросы как систему
проводов А (провода 1-2} с т = 2,
4 а двухцепную линию — как си-
/о Оз
Ю Об
зО Оз
50 03
Фиг. 28.
8
стему проводов В с п = 6 (провода
3-8).
Определив GMRA и GMRb из
выражения (152), и Zb„ из
(143) или (154)1, Dab — из (161),
А,—из (163) или (164), ' Zai„ и
ZBio—из (167) или (168), мсркно
получить искомое значение Z<fo
из схемы замещения фиг. 19а со-
ответственно (122):
Z,.=z„.+-^- (iM)
Как и в случае одноцепной трех-
фазной линии влияние троса ска-
жется в снижении значения сопротивления нулевой последо-
вательности (см. гл. V, § 6).
Результирующее сопротивление каждой из цепей с учетом
взаимоиндукции от второй цепи и с учетом влияния троса
в два раза больше, чем эквивалентное сопротивление обеих
цепей, так как теперь это сопротивление численно равно паде-
нию напряжения на 1 км длины провода линии при протекании
по всем проводам обеих линий тока в 6 а, а по каждому про-
воду—тока в 1 а, а не 3 а по всем проводам обеих линий и 0,5 а—
по каждому проводу, как это должно быть принято при опре-
делении эквивалентного сопротивления
Z„..=2Z„
(195>
1 Значение ZB , т. е. эквивалентное сопротивление обеих включенных
параллельно цепей без учета влияния троса, может быть определено
также из выражения (184) или (185) как 0,5 2ГЫа [см. выражение (183)] или
из выражения (193).
3. Схема замещения двухцепной трехфазной линии пе-
редачи в нулевой последовательности при замыкании на
землю одной из цепей в пределах рассматриваемого
участка (фиг. 29)
Каждая из сторон рассматриваемого участка, правая—длиной
£п км и левая—длиной £, км, может быть замещена схемой по
фиг. 18а.
Совмещая схемы обеих сторон участка, полу.чим ббщую схему
замещения (фиг. 30).
Отдельные параметры этой схемы замещения могут быть опре-
делены по выражениям (150), (152), (161), (163) или (164) к (167)
или (168) при т = п~3 (см. также Л. 6, стр. 123—124).
4. Схема замещения лвухцепной трехфазной линии
передачи с тросами в нулевой последовательности
при замыкании на землю одной из цепей в пределах!
рассматриваемого участка
Схема замещения двухцепной трехфазной линии передачи
(цепи А и В) с системой тросов С (фиг. 31) в общем случае
может быть получена из уравнений падения напряжения на 1 км
длины провода каждой из трех систем: для цепей линии пере-
дачи
AiZi, =Ло^о +/во2вд,4-/со Zc^,, (196)
At/д, =IB„ZB„ -г-/л0 +2с, ZCBa, (197)
и для системы тросов
c0Zc„ -f-Л, +/в0 ZB%=0. (198)
Решаем уравнение (198) относительно 1с„'
/Со — — ^лсв-]-/в^вс0 . 99)
Zc0
Подставляем значение /р0 из выражения (199) в уравнения
(196) и (197):
д/Г ____ Г у I / 7 (^ ZiCa 1в„ ZbC^) Zca0 _
---‘Ao £Ao T'«. -- ------------------------
= Л. ( A. - (Z“- - -1(200)
4 zc0 / 4 ZC„ '
по симметрии
= +A. (го))
4 ZC0 7 4 ZC0 7
Основываясь на положении о неизменности сопротивления
взаимоиндукции при перемене места-
С ми индуктируемой и индуктирующей
'-------? системы [выражение (162)], введем
О О обозначения:
Ф»г 31. = (2М)
ZCO
Произведя подстановки из выражений (202)—(204) в выраже-
ния (200)—(201), получим
Д£Л0 =7л0 Zaa -{-^bq Zmm, (205)
А£7в„ = Iв, ZBb 1Аа Zmm- (206)
Прибавив к правым частям выражений (205) и (206) соответ-
ственно ±4, Zmu и ± 1в„ Zmm, получим
= (Zu— 4"Ао )Zmm, (207)
^Ub„ = 1в0 (Zbb — Zjfif) “Ь (/д, -|- /д0 ) Zjnr- (208)
Выражения (205)—(206) и (207)—(208) по своему построению со-
вершенно аналогичны (110)—(111) и (112)—(113). Мы, таким об-
разом, свели три взаимоиндуктирующие системы А, В и С к двум
системам А и В с некоторыми фиктивными параметрами Zaa,
Zbb (самоиндукция) и Zmt (взаимоиндукция).
Идя далее, мы ^южем ввести и фиктивные сопротивления
рассеяния:
Zaa — Znn—Zm, (209)
Zbb — Zhm=Zbi •
(2Ю)
Подставив из выражений (209) и (210) в выражения (207)—
(208), получим окончательно выражения, аналогичные (118)—(119)
ДСЛ0 — 1л, Zm 4-(Л<, +7д0
(2И)
Д иВо - 1ва Zn н- (4 4- 1в, ) Z3ni. (212)
Очевидно, что схема замещения (фиг. 32) должна быть ана-
логичной схеме фиг. 18а. При замыкании на землю в одной
из цепей мы, совмещая схемы замещение правой и левой сто-
рон участка, получим схему фиг. 33, аналогичную схеме фиг. 30
(см. также Л. 6, стр. 137—139).
Сопротивления , Zb, и Zc, могут быть определены по
(150), (152) и (153) или (154), а сопротивления Zab„ Zbc„ и
Zcaq — ПО (161) и (163) или (164).
VIII. СОПРОТИВЛЕНИЯ НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТИ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ, СОСТОЯЩЕЙ
ИЗ р ЦЕПЕЙ И СИСТЕМЫ ТРОСОВ
а) Эквивалентное и результирующее сопротив-
ления при отсутствии замыканий на землю на
рассматриваемом участке и при одинаковом се-
чении и расположении проводов отдельный це-
пей. Эквивалентное сопротивление параллельных цепей можно
получить, рассматривая их как систему В с числом проводов
п = 3р,
взаимоиндуктирующую с системой тросов А с числом прово-
дов т.
Сопротивления рассеяния ZUa и ZB(o могут быть определены
из (150), (152), (161) и (167) или (168).
Сопротивление взаимоиндукции Z±Ba = ZMt может быть опре-
делено из выражений (161) и (163) или (164).
Эквивалентное сопротивление Zeqo определится из схемы
фиг. 19а или из выражения (122).
Результирующее сопротивление одной из параллельных цепей
Zrfto приблизительно определится из (214):
2>е.о •
(214)
б) Схемы замещения r случае неодинаковости
цепей или в случае наличия зам ыкания на зе млю
водной из них в пределах рассматриваемого
участка могут быть поручены путем- состав-
ления уравнений п а д е ний н а п р я же ни я (см. гл. Vlt
§ 4 и Л. 6, стр. 137—139.
IX ВЛИЯНИЕ ВЗАИМОИНДУКЦИИ МЕЖДУ ЦЕПЯМИ
ДВУХЦЕПНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЛИНИИ В ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ
ИЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА
СОПРОТИВЛЕНИЯ ЛИНИИ
Характерным и определяющим для взаимоиндукции при про-
текании по индуктирующей цепи двухцепной линии системы
токов положительной или отрицательной последовательности
является то обстоятельство, что взаимоиндукция от тока од-
ного из проводов цепи ослабляется противоположной по направ-
лению взаимоиндукцией от токов остальных двух проводов ин-
дуктирующей цепи. При протекании же по индуктирующей цепи
системы токов нулевой последовательности взаимоиндукция от-
тока одного из проводов усиливается взаимоиндукцией от то-
ков двух остальных проводов вследствие совпадения по фазе
всех трех токов и вытекающего отсюда одинакового направле-
ния взаимоиндукции. Поэтому влияние взаимоиндукции в нуле-
вой последовательности значительно сильнее, чем в положи-
тельной или отрицательной.
Выше было указано (гл. V, § 2, фиг. 13), что в положи-
тельной или отрицательной последовательности трехфазная
линия в отношении сопротивления эквивалентна двухпроводной
однофазной линии с расстоянием между проводами, равным Dm 1}
Ввиду этого можно с достаточным приближением заменить
цепи А и В двухцепной трехфазной линии двухпроводными ли-
ниями (фиг. 34а).
Рассмотрим взаимоиндукцию от цепи А на провод 3 цепи В.
Она определяется частью Фга той половины потока цепи А, ко-
торая сцепляется только с проводом 2 часть же Ф( этой по-
ловины потока и вся половина потока, сцепляющаяся *с прово-
дом 1, являются потоками рассеяния по отношению к индук-
тируемому проводу 3.
В нулевой последовательности индуктирующую цепь А можно
себе представить в виде линии провод-земля, обтекаемой трой-
ным током (фиг. 346; см. гл. V, § 3, фиг. 14).
С индуктируемым проводом 3 сцепляется поток Фт, вклю-
чающий вес земной поток и часть воздушного. Потоком рас-
сеяния является часть воздушного потока.
Из выражения (73) и фиг. 34а для реактивного сопротивле-
ния взаимоиндукции в положительной или отрицательной пос-
ледовательности можно приближенно получить
^,=X,-.Yls = (29/lg--g>- - 29Hg-$<•-) 10-‘ =
= 29f lg 10- * ом[км. (215)
1 Силовые линии, охватывающие оба провода индуктирующей цепи, ие
имеют места, так как сумма всех токов проводов этой цени равна нулю.
Член — обусловлен размагничивающим действием двух
действительных проводов линии передачи.
Для реактивного сопротивления нулевой последовательности
можно приближенно получить
+ 2Л-„ - (гэ/lg + 2- 29/1g 10 =
= 87/16-^—?'-----'10-‘оя/хл. (216)
KtWA
Член 2-¥]3 отражает усиливающее взаимоиндукцию действие
двух действительных проводов линии.
Отношение сопротивлений взаимоиндукции [из выражений
(215) и (216)]
, D,
'8
•^Зо __ \/ ^23^г13
При £)12 = 3 м D2S = 6 м, £)i3 = D12-]-D23= 9 м, Dg =900 м и
f= 50 герцам получаем
А\з0 =± 0,895 ом/км,
А’дз = 0,0255- ом/км,
ХаЗ, __ ЭГ
Хлз
Поправка в положительной или отрицательной последователь^
ности
-ф- ioo < -о,°255 100 а 6,4"/..
Л1 0,4
При более точном учете эта поправка обычно не превышает
5%» и поэтому ею пренебрегают,, ввиду чего мы не приведем
вывода формул для учета взаимоиндукции в положительной или
отрицательной последовательности (см., например, Л. 6, стр. 106).
Ограничимся лишь указанием на то, что эти формулы в про-
тивоположность формулам для учета взаимоиндукции в нулевой
последовательности зависят от вида транспозиции, так как
в положительной или отрицательной последовательности имеет
значение фаза тока, протекающего по проводу индуктирующей
цепи.
В нулевой же последовательности (см. вывод для Z}lp, гл. VI,
§ 2) токи во всех проводах индуктирующей цепи совпадают
по фазе, и поэтому не имеет значения, занимает ли данное
положение провод фазы а, Ъ или с индуктирующей цепи.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
Обозначения приняты в соответствии со стандартами ОСТ
(Л. 1—3) и „Руководящими указаниями по производству расче-
тов коротких замыканий“ (Л. 7). Поскольку, однако, для parfa
величин настоящей работы в указанных источниках н Приве-
дены специальные обозначения, оттеняющие тот или иной част-
ный случай, пришлось ввести ряд дополнительных индексов:
I—ток двухпроводной однофазной линии;
I—действительный ток-одного провода системы в нулевой пос-
ледовательности; ток линии пррвод-земля;
/0—ток нулевой последовательности;
/о /2—соответственно токи положительной и отрицательной
последовательностей;
/j;—суммарный ток всех проводов системы в нулевой после-
довательности.
Примечание. Токи выражены в амперах.
J—плотность тока в а/смг;
1Я — ток, протекающий по части провода с радиусом, рав-
ным х;
ДЦр — падение напряжения в земле на 1 см длины, На рас-
стоянии р от оси провода;
&U0 — падение напряжения на 1 км длины провода в нуле-
вой последовательности;
Н — напряженность магнитного поля в эрстедах;
Ф—магнитный поток в максвеллах;
L — индуктивность на единицу длины (в гн/см или вгн/нм)
провода двухпроводной линии;
М — взаимная индуктивность в гн/км проводов двух линий
провод-земля;
L, — индуктивность в гн/км провода линии провод-земля,
обусловленная земным магнитным потоком;
La — индуктивность в гн/км провода линии провод-земля,
обусловленная воздушным магнитным потоком;
La — индуктивность в гн/км провода линии провод-земля;
г—действительный радиус провода;
гт — радиус провода, приведенный к чисто поверхностному
распределению тока (приведенный радиус);
G MR — средний геометрический радиус провода системы;
D — расстояние между проводами двухпроводной линии;
Dg — расстояние между проводом линии провод-земля и его
фиктивным зеркальным изображением;
Dkm—расстояние между проводами к и щ\
Dm — среднее геометрическое расстояние между проводами
системы;
Dab — среднее геометрическое расстояние между проводами
систем А и В;
у — удельная электрическая проводимость в мо1см;
уаЬ — удельная электрическая проводимость в единицах аб-
солютной электромагнитной системы;
Z, R, X— соответственно полное, активное и реактивное
сопротивления;
Rw — активное сопротивление самого провода, обусловлен-
ное потерями на тепло Джоуля в проводе;
Z, R„, X—сопротивления самого провода двухпроводной
линии;
Zc, /?е, Хл — сопротивления провода линии провод земля, обус-
ловленные земным магнитным потоком;
Д', — сопротивление провода линии провод-земля, обуслов-
ленное воздушным магнитным потоком;
Яу, Ro, Xt — сопротивления провода линии провод-земля;
Хам — сопротивление взаимоиндукции между проводами
двух линий провод-земля, обусловленное воздушным
магнитным потоком;
Zm, Rm, Хм — сопротивление взаимоиндукции между про-
водами двух линий провод-земля;
Zim — сопротивление взаимоиндукции между проводами кит;
Zik— сопротивление взаимоиндукции между системой А и
проводом к;
Z], Rw, A’j, Zt, Rw, Xi — соответственно сопротивления поло-
жительной или отрицательной последовательности
одной цепи трехфазной р-цепной линии без учета
взаимоиндукции от остальных цепей;
Zo, Хо — сопротивления нулевой последовательности од-
ной цепи трехфазной р-цепной линии без учета вза-
имоиндукции от других цепей; сопротивления нулевой
последовательности системы проводов;
Z,np, RmP, Хтр — сопротивления одного троса;
Zmpt, RmPo, Хтро~ сопротивления нулевой последовательности
одного троса;
Zp, Rp, Хр — эквивалентные сопротивления системы парал-
лельно соединенных проводов;
Zmp, Rxp. Хмр — сопротивления взаимоиндукции между двумя
системами проводов;
Zm,,, — сопротивления взаимоиндукции нулевой пос-
ледовательности между двумя системами проводов;
Zab^ Zab0 — соответственно сопротивления взаимоиндукции,
сопротивления взаимоиндукции нулевой последователь-
ности между системами 4 и В;
Zi„, Ri„, А(о — сопротивления рассеяния нулевой последова-
тельности одной из двух систем проводов;
— эквивалентные сопротивления нулевой rtoc-
ледовательности р параллельно соединенных систем
проводов, в частности, р параллельно соединенных
цепей р-цепной трехфазной линии;
ZreM А„8о—сопротивления нулевой последовательно-
сти одной из р параллельно соединенных систем
проводов с учетом взаимоиндукции от остальных си-
стем, в частности, сопротивление одной из цепей
/>-цепной трехфазной линии с учетом взаимоиндукции
от остальных цепей и влияния системы тросов;
Zaa, Zbb—фиктивные сопротивления цепей А и В двухцеп-
ной трехфазной линии с системой тросов в нулевой
последовательности;
Zmu — фиктивное сопротивление взаимоиндукции между
цепями А и В двухцепной трехфазной линии с систе-
мой тросов в нулевой последовательности;
Zih Zbi — фиктивные сопротивления рассеяния цепей Ап В
двухцепнсй трехфазной линии с системой тросов
в нулевой последовательности.
Примечание. Все сопротивления—кудельные в ом/км;
L—длина линии в км; Л—высота подвеса провода.
УКАЗАННЫЕ В РАБОТЕ ЛИТЕРАТУРНЫЕ ИСТОЧНИКИ
1. 5578, „Электричество1*, 1934, № 20.
2. 5580, „Электричество**, 1934, № 18.
3. ОСТ 515, „Электротехнические правила и нормы1* ВЭО,
1931 г.
4. Городский, Сопротивление нулевой последовательности
воздушной линии передачи, „Электричество11, 1933, № 12.
5. Ollendorf. Erdstrdme. Berlin 1928.
6. Вагнер и Эванс, Метод симметричных составляющих,
Энергоиздат, 1933.
7. Руководящие указания по производству расчетов коротких
замыканий, Главэнерго, 1935.
СОДЕРЖАНИЕ
I. Сопротивления одного провода двухпроводной линии, обтекае-
мой однофазным током................................ . 3
II. Сопротивления линии поовод-земля....................... 6
III. Сравнение реактивностей провода двухпроводной линиц и про-
хода линии провод-земля..............•..................... 18
IV. Взаимоиндукция проводов двух линий провод-земля . . . . 19
1. Сопротивления трехфазной одноцепной линии передачи ... 22
VI. Общие выражения для сопротивлений системы проводов ... 39
VII. Сопротивления нулевой последовательности двухцепной трех-
фазной линии передачи . .......................... . . 47
VIII. Сопротивления нулевой последовательности трехфазной линии
передачи, состоящей из р цепей и системы тросов ... 54
IX. Влияние взаимоиндукции между депями двухцепной трехфаз-
ной линии передачи в положительной или отрицательной по-
следовательности не сопротивления линии.................... 55
Обозначения........................................ 58
Указанные в работе литературные источники.......... 61
ДЛЯ ЗАМЕТОК