г 11
L

gg

R

п ± _

8 9/.

.\

N КУРОЪ

ВНЪШНЕЙ

Н.

-;

БУИСТИБИ

МАІЕВСКАГО,

ГЕНЕРЛДЪ-МЯОРА, ЧЛЕНА АРТИЛЛЕРІЙСКАГО КОМИТЕТА, ПРОФЕССОРА БАЛПСТИКП
МИХАЙЛОВСКОЙ АРТИЛЛЕРІЙСКОЙ АІСАДЕМІИ, ДОКТОРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ
П М П Е Р А Т О Р С К А Г О МОСКОВСКАГО УНИВЕРСИТЕТА, БЫВІДАГО ВОСПИТАННИКА
ЭТОГО УНИВЕРСИТЕТА И МИХАЙЛОВСКОЙ АРТШИЙЧЙСКОЙ АКАДЕМШ.

САИКТПЕТЕРБУРГЪ.
ТШІОГРАФШ И М П Е Р А Т О Р С К О Й АКАДЕМШ ІІАУКЪ.
(Вас. Остр., 9 лин. № 12.)

/ .f.' . '

а.

2007334269

Г Заменено

lülil

АЛЕКСАНДРУ НИКОЛАЕВИЧУ

ВСЕІІОДДАПНѢЙШЕ

ИОСПЛЩАЕТЪ

НИКОЛАЙ MAlBBCKlfit

Съ давняго времени знаменитые математики и весьма опытные практики занимались изслѣдованіемъ движенія артиллерійскихъ снарядовъ.

Галилей доказалъ,

что кривая описываемая снарядами была-бы парабола,
если-бы не было сопротивленія воздуха. Нютонъ, Эйлеръ,
Лежандръ и другіе математики занимались рѣшеніемъ
балистическаго

вопроса при предположены

сопроти-

вленія воздуха пропорціоналрнымъ квадрату скорости.
Иванъ Вернулли привелъ къ квадратурамъ балистическій вопросъ при предположены сопротивленія воздуха
пропорціональнымъ п-й степени скорости, и впослѣдствіи было показано, что это приведете также возможно при выраженіи сопротивленія двучленомъ, въ которомъ первый членъ не зависитъ отъ скорости, а второй пропорціоналенъ м-й степени скорости.

Движеніѳ

снаряда разсматривали какъ движеніе матеріяльной точки, на которую дѣйствуютъ сила тяжести и сопротивленіе воздуха прямопротивоположное направленно'движенія, что совершенно

справедливо для сферическихъ

снарядовъ, если дентръ ихъ тяжести совпадаетъ съ цент1

ромъ фигуры и если они, при вылетѣ изъ канала орудія, не получаютъ вращательнаго движенія.
Пуассонъ изслѣдовалъ движеніе сферическаго вращающагося снаряда въ случаѣ когда его центръ тяжести
совпадаетъ съ центромъ фигуры и въ случаѣ малаго
эксцентриситета.

Остроградскій

предпринялъ,

но не

окончилъ изысканія по тому же предмету, при какой бы
ни было величин!; эксцентриситета сферическихъ снарядовъ. Оба геометра разсматривали сопротивленіе какъ
состоящее изъ двухъ частей: одной нормальной къ элементамъ поверхности, составляющей собственно согіротивленіе, и другой перпендикулярной къ этимъ элементамъ, составляющей треніе, при чемъ первую часть сопротивленія принимали нропорціональною квадрату скорости.
Они не брали въ расчета увеличеніе давленія воздуха на
нѣкоторыя части снаряда и уменыненіе давленія на другія,
происходящія, какъ показали впослѣдетвіи опыты Магнуса,

отъ совокупности поступательнаго и вращатель-

наго движеній, когда послѣднее имѣетъ мѣсто вокругъ
оси удаленной отъ направленія поступательнаго движепія, и чрезъ это ІІуассонъ

пришелъ къ результатамъ

прямопротивоположнымъ тѣмъ, которые получаются при
стрѣльбѣ. Остроградскій, за неимѣніемъ численныхъ коеффиціенговъ, относящихся къ тренію воздуха о поверхность снаряда, не предпринялъ

интегрированія приве-

денныхъ имъ дифференціальныхъ

уравненій движенія

для сферическаго неоднороднаго снаряда.
Сопротивленіе воздуха движенію тѣлъ, какъ показали
опыты, при скоростлхъ употребляемыхъ при стрѣльбѣ,

возрастаете быстрѣе чѣмъ квадр'атъ скорости, и потому
изслѣдованія надъ движеніемъ сферическихъ снарядовъ,
при предположеніи сопротивленія воздуха пропорціональнымъ квадрату скорости, не могли привести къ формуламъ, который бы выражали, во всѣхъ случаяхъ, съ достаточною точностью результаты сгрѣльбы.
Первый полный курсъ внѣшей балистики, основанный на выраженіи сопротивленія воздуха двучленомъ,
въ которомъ первый членъ пропорціоналенъ квадрату
скорости, а второй членъ высшей

степени скорости,

именно третьей, былъ составленъ французской артиллеріи генераломъ Дидіономъ и изданъ имъ въ 1847 году.
Этотъ курсъ, превосходный по своему плану и выполненію, бьтлъ принять за исходную точку, при чтеніи
нами съ 1858 г. балистики въ Михайловской артиллерійской академіи и значительно облегчилъ составленіе
издаваемаго нынѣ курса. *)
Нашъ

курсъ раздѣленъ на двѣнадцать

главъ.

Въ

оглавлении помѣщено подробное содержаніо каждой главы.
Здѣсь-же постараемся указать на источники, изъ которыхъ

мы заимствовали

матерьялы и на собственныя

наши изслѣдованія.
Въ первой главѣ изложены способы измѣрепія скоростей снарядовъ и временъ ихъ полета. Описаніе при*) I I a русскомъ языкѣ имѣстся по настоящее
балистики, изданный В . А. Апкудовичемъ

время одипъ

курсъ

в ъ 1 8 3 6 году. В ъ нсмъ раз-

сматрнвается движсніе въ воздухѣ одпихъ сферическихъ псвращающнхся
снарядовъ, в ъ предположепіи

закопа сопротнвлспія воздуха

пальиаго квадрату скорости снаряда.

проиорціо-

боровъ употреблявшихся для измѣренія скоростей, до
примѣненія

электричества,

заимствовано изъ курса г.

Дидіона. Оиисаніе электрическихъ хронографа и клепсидра г. Ле-Буланже составлено по изданнымъ имъ мемуарами; но при описаніи

клепсидра мы помѣстили

болѣе точный способъ вычисленіл таблицы времени, соотвѣтствующихи различными вѣсамп вытекающей изи
клепсидра ртути.

Степень точности измѣряемыхи хро-

нографоми скоростей и клепсидромп полныхи времени
полета выведена нами. Приведеннгля

начальныя ско-

рости напшхн снарядови суть результаты опытови произведенныхи нами на Волковомп полѣ.
Вторая глава содержити законы движенія снарядови
ви пустотѣ. Изложеніе этихи законови заимствовано, изи
курса г. Дидіона; но ки этому мы сочли
прибавить

приложеніе

полезными

формулн параболическаго

дви-

женія ки рѣшенію разныхи вонросови относящихся до
стрѣльбы, при помощи таблицн стрѣльбы.
Ви третьей главѣ разсмотрѣно сопротивленіе воздуха движенію тѣли и ви особенности артиллерійскихн
снарядови.

Сдѣланныя ви послѣднее

время гипотезы

о молекулярномп движеніи частици газови еще слишкоми
мало развиты, для того чтобы нынѣ могли привести ки
достаточно точному рѣшенію вопроса о сопротивленіи
воздуха движенію артиллерійскихи снарядови. Такн каки
всѣ теоретическія изысканія по этому предмету не выражаюти си достаточными приближеніеми результатовн непосредственныхи опытови, то мы ограничились обыкновенно излагаемыми выводомп сопротивленія воздуха, вы-

текающимъ изъ разсмотрѣнія удара о воздухъ, предполагаемый въ покоѣ, тѣла, которому сообщена извѣстная
поступательная

скорость, — выводомъ

имѣющимъ на

своей сторонѣ простоту и дающимъ возможность судить
о зависимости

сопротивленій

на тѣла вращѳнія

отъ

угловъ составляемыхъ осями ихъ фигуръ съ направленіемъ движенія. Самый выводъ наклоннаго соиротивленія воздуха на поверхность вращенія заимствованъ въ
основаніяхъ изъ Etudes sur la trajectoire que décrivent
les projectiles oblongs par le comte de St. Robert. 1860.
Описаніе

опытовъ надъ сопротивленіемъ

воздуха

движенію тѣлъ при неболынихъ скоростяхъ, а тайке
опытовъ произведенныхъ до 1840 года надъ сопротивленіемъ воздуха движенію артиллерійскихъ снарядовъ
заимствовано изъ курса г. Дидіона. Результаты опытовъ произведенныхъ Башфортомъ въ Англіи надъ продолговатыми снарядами выведены изъ данныхъ помѣЩенныхъ въ Proceedings of the Eoyal Artillery .Institution,

Woolwich. 1868.

Петербургскіе

опыты

надъ

сопротивленіемъ воздуха движенію сферическихъ и проДолговатыхъ снарядовъ произведены нами въ 1868 и
1869 годахъ и подробные ихъ результаты въ первый
разъ помѣщаются въ

издаваемомъ

курсѣ.

Для того

чтобы выраженія сопротивленія представляли съ достаточнымъ приближеніемъ результаты нашихъ и англійскихъ

опытовъ,

произведенныхъ

усовершенствован-

ными въ послѣднее время приборами, и вмѣстѣ съ тѣмъ
Дозволяли, хотя по приближенно, удобное интегрирована

дифференціальныхъ

уравненій движенія,

мы

для

сферическихъ

стрлдовъ,

въ предѣлахъ

скоростей отъ

530 метровъ до 376 метровъ, приняли

сопротивленіе

воздуха пропорціональньшъ квадрату скорости, а отъ
скорости 376 метровъ до малыхъ скоростей употребляемыхъ при стрѣльбѣ, выразили сопротивленіе

воздуха

двучленомъ, въ которомъ первый членъ пропорціоналенъ
квадрату скорости, а второй пропорціоналенъ четвертой
степени скорости; для продолговатыхъ

стрлдовъ,

когда

ихъ ось фигуры совпадаешь съ направленіемъ движенія,
въ предѣлахъ скоростей отъ 510м- до 360% приняли сопротивленіе воздуха пропордіональнымъ квадрату скорости, въ предѣлахъ скоростей отъ 360 м ' до 280м-, приняли сопротивленіе пропордіональнымъ шестой степени
скорости, а отъ скорости въ 280м- до малыхъ скоростей,
выразили сопротивленіе воздуха двучленомъ, въ которомъ первый

членъ пропордіоналенъ квадрату скоро-

сти, а второй четвертой степени скорости, и замѣтили,
что иослѣднее

выраженіе

сопротивленія

можно упо-

треблять даже отъ скорости 325 - до малыхъ скоростей,
м

чрезъ что упрощается рѣшсніе вопросовъ стрѣльбы изъ
всѣхъ имѣюіцихся у насъ нынѣ пушекъ сухопутныхъ
крѣпостей, осадной и нолевой артиллеріи, сообщающихъ
снарядамъ начальный

скорости менынія 325 метровъ.

За неимѣніемъ достаточно точнаго рѣшенія вопроса о
зависимости

сопротивленія

воздуха на продолговатые

снаряды отъ угла составляемаго осыо ихъ фигуры съ
направленіемъ движенія, мы, по необходимости, приняли
для выраженія этой зависимости формулы полученным
при доиущеніи, что нормальное сопротивленіе воздуха на

каждый элемента поверхности подверженный сопротивление происходить отъ удара этого элемента о воздухъ
предполагаемый въ покоѣ.
Глава четвертая заключаетъ изслѣдованія движенія
сферическихъ не вращающихся снарядови ви воздухѣ.
Ви ней выведены дифференціальныя уравненія движеженія независимо отн какой либо гипотезы на счета
сопротивленія воздуха, и показани способи находить,
но данной кривой полета, скорость снаряда ви каждой
точкѣ траекторіи и соотвѣтствующее сопротивленіе возДуха.

Изложеніе это заимствовано изи мемуара графа

О. Роберта Du mouvement des projectiles dans les milieux résistants 1859. Свойства траекторіи сферичсскаго
невращающагося снаряда ви воздухѣ разобраны согласно упомянутому мемуару г. С. Роберта, не дѣлая частныхи прсдположсній о сопротивленіи, при одноми доиущеніи, что сонротивленіе воздуха возрастаетъ со скоростью, обращается ви безконечность при безконечной
скорости и менѣе вѣса снарада при безконечно малой
скорости. Приведете уравненій движенія ки квадратурами
сдѣлано в'1> предположеніи сопротивленія пропорціональнаго n-й степени скорости и, по найденными формулами,
ныведены условія подобія траекторій сферическихи непращающихся снарядови. Ііонечныя точиыя уравненія
движенія получены

при предположены

сопротивленія

ноздуха пропорціональными первой степени скорости.
Приближенный способи интегрированія дифферснціальныхп уравненій движенія, для всѣхи выраженій conpoтивленія найденныхи изи результатови

нашихи

опы-

товъ, основанъ на способѣ

нринятомъ

г. Дидіономъ

замѣнять, въ усматриваемой части траекторіи, перемѣнное отногаеніе элемента дуги къ ея горизонтальной ироекдіи нѣкоторымъ среднимъ значеніемъ этого отиошенія, а самый ходъ интегрированія заимствованъ изъ мемуара г. С. Роберта Du mouvement des projectiles dans les
milieux résistants 1859. Для функцій, которыми полученный такимъ образомт. конечный ѵравненія движенія отличаются отъ уравненій движенія въ иустотѣ, приложены
къ курсу таблицы; изъ нихъ таблицы функцій е", F ^ z )
и F{z) перепечатаны изъ курса г. Дидіона, а остальныя, какъ соотвѣтствуюіція выраженіямъ соиротивленія
не разсмотрѣннымъ г. Дидіономъ, составлены иодъ наіпимъ руководствомъ.
Въ главѣ пятой изложено рѣшеніе вопросовъ относящихся до стрѣльбы сферическими невращающимися
снарядами, основанное на выведенныхъ нами выраженіяхъ сопротивлснія воздуха.

При рѣшеніи вопросовъ

прицѣльной стрѣльбы большими зарядами намъ приходится разбивать

траекторію

на части; по вычисленія

много сокращаются отъ допущенія, что, при углахъ бросанія употребляемыхъ при прицѣльной стрѣльбѣ, вертикальныя разстояніяточекъ траекторіи до касательной въ
точкѣ вылета не зависятъ отъ угловъ бросанія. Это допущеиіе и опредѣленіе
происходяіцихъ

предѣловъ

заимствованы

ошибокъ отъ

него

изъ мемуара графа

0.

Роберта Del tiro. 1857.
Въ главѣ шестой разсматриваются отклоненія сферическихъ снарядовъ и траекторія сферическихъ эксцен-

трическихъ снарядовъ. В ъ ней приведены формулы для
шчисленія величинъ отклоненій нроисходящихъ отъ различныхъ причинъ, причемъ ходъ вычисленія отклоненія
отъ вѣтра заимствованъ изъ курса г. Дидіона. При разсмотрѣніи траекторіи сферическихъ эксдентрическихъ снарядовъ изложенъ снос объ вычисленія угловой скорости снаряда при вьтлетѣ его изъ канала орудія. Для полученія
достаточно точныхъ уравненій движенія этихъ снарядовъ
мы сдѣлали попытку выразить, въ функціи поступательной скорости, при данной угловой скорости, отклоняющую силу происходящую отъ совокупности ихъ поступательнаго и вращательнаго движеній, на основаніирезультатовъ стрѣльбы

произведенной

въ

Пруссіи

изъ

12 ф. пушки эксцентрическими гранатами. По неимѣнію результатовъ стрѣльбы различными зарядами, сообщающими эксдентрическимъ снарядамъ различныя угловыя скорости, мы не могли выразить эту отклоняющую
силу въ функціи угловой и поступательной
Глава

седьмая заключаетъ

скоростей.

изслѣдованія

движенія

продолговатыхъ снарядовъ въ воздухѣ. До сихъ поръ
существуетъ весьма мало научныхъ изысканій по этому
предмету. Исходною точкою для нашихъ изслѣдованій
послужили мемуары графа С. Роберта Etudes sur la trajectoire que décrivent les projectiles oblongs 1859 et 18G0. *)
* ) В ъ ііомерѣ отъ 2 2 Ноября

1 8 6 9 года, Comptes rendus des séan-

ces de l'académie

des sciences

Готье сообщаетъ,

что опт. предсташілъ академіи мемуаръ

продолговатыхъ

снарядовъ

de P a r i s ,

профсссоръ алжирскаго лицея
о двпжепіи

въ воздухѣ, до сихъ поръ, сколько

памъ из-

пѣстпо, еще иенадечатанный. В ъ Annales scientifiques de l'école normale

Графъ С. Робертъ, но выводѣ геометрическимъ путемъ выраженія угловой скорости оси фигуры снаряда
вокругъ касательной, принимая ее за неподвижную и
пару сопротивленія воздуха за постоянную, указываешь
формулы для вычисленія траекторіи снаряда, разбивая
ее на части,

соотвѣтствующія

малымъ промежуткамъ

времени, въ продолженіи которыхъ можно было-бы иринимать, что ось снаряда движется параллельно самой
себѣ въ пространств'!;, и поворачивая, иослѣ каждаго
промежутка времени, ось фигуры вокругъ касательной
па уголъ соотвѣтствуюіцій разсмотрѣнному промежутку.
Мы вывели угловую скорость оси фигуры снаряда вокругъ касательной, принимая ее за неподвижную ось и
считая пару сопротивленія воздуха постоянною, чрезъ
интегрированіс общихъ дифференціальныхъ уравнененій
Эйлера вращательнаго

движенія твердаго тѣла и въ

статьѣ нашей о вліяніи вращательнаго движенія на иолетъ артиллерійскихъ снарядовъ 1865 г. вычислили траекторію продолговатаго снаряда путемъ указаннымъ графомъ С. Робертомъ; но для того чтобы этимъ способомъ получить достаточно точные результаты необходимо было-бы разбить • траекторію на весьма большое
supérieure за 1 8 6 8 годъ иомѣщопа статья этого-же автора,
предмету,

весьма замечательная

ней сдѣлапы нѣкоторыя гипотезы
которыя

не

нмѣютъ

мѣста

в ъ аналнтическомъ
относительно

но тому же

отпошепін; но в ъ

сопротнвлевія

въ действительности.

По

эти затрудненія устранены в ъ новомъ его трудѣ. Т ѣ заключенія,
торымъ ирнходнтъ г. Готье

въ

своемъ

воздуха,

отзыву автора
къ ко-

нослѣднемъ нензданпомъ мему-

арѣ, к а к ъ видно изъ его сообщенія парижской академіи наукъ, не иротнворѣчатъ нолученнымъ нами результатами.

число частей. Поэтому въ издаваемомъ курсѣ мы выводимъ дифференціальныя уравненія коническаго движения оси фигуры снаряда при понижающейся касательной и перемѣнной парѣ

сопротивленія воздуха.

Эти

дифференціальныя уравнонія вмѣстѣ съ дифференциальными уравненіями иостуиатсльнаго движенія, взятыми но
горизонтальной абсциссѣ х находящейся въ вертикальной плоскости стрѣльбы, но вертикальной ординатѣ у и
по ординатѣ г перпендикулярной къ плоскости ху, дали
нами возможность съ достаточною точностью опредѣлить по частями всѣ элементы движенія, отбрасывая,
для перваго приближепія, нѣкоторые члены въ дифференціальныхи уравненіяхъ поступательнаго движенія и вычисляя потоми поправки даваемыя отброшенными членами. На основаніи полученныхъ результатовъ мы выводимъ предсгавленіе движенія продолговатаго снаряда
въ воздухѣ.
Глава восьмая заключаетъ рѣшеніе вопросовъ относящихся до стрѣльбы продолговатыми снарядами. Основываясь на нашихъ выводахъ изложенныхъ въ иредъидущей главѣ, мы даемъ упрощенныя уравненія движе •
нія продолговатыхъ

снарядови въ воздухѣ, по кото-

рыми, съ достаточными для практики приближеніемъ,
вычисляются весьма просто вертикальная проекція траекторіи продолговатыхъ снарядови и боковая деривадія, и прилагаемъ эти уравненія къ рѣшенію вопросовъ прицѣльной, навѣсной (при углахъ бросанія не превышающихъ приблизительно 45°) и перекидной стрѣльбы. Рѣшеніе этихъ вопросовъ не сложнѣе рѣшенія во-

иросовъ стрѣльбы сферическими снарядами. Для того
чтобы показать на сколько результаты получаемые изъ
выведенныхъ нами формулъ согласны съ результатами
непосредственной стрѣльбы, мы помѣстили вычисленные
и полученные изъ опыта углы бросанія, времена полета и дериваціи при стрѣльбѣ изъ различныхъ орудій на разныя разстоянія.
Въ главѣ девятой разсматриваются отклоненія продолговатыхъ

снарядовъ.

для вычисленія

В ъ ней приводимъ

величинъ

отклоненій

формулы

происходящихъ

отъ различныхъ причинъ.
Въ главѣ десятой

выведены условія подобія тра-

екторій оиисываемыхъ подобными сферическими невращающимися,

сферическими

эксцентрическими

и про-

долговатыми снарядами въ воздухѣ, при допущеніи сопротивленія воздуха пропорціональнымъ п-й степени скорости.
В ъ главѣ одиннадцатой разсмотрѣны углубленіе снарядовъ въ твердый среды и пробиваніе желѣзныхъ броней.

Законы

углубленій

сферическихъ

снарядовъ за-

имствованы изъ курса г. Дидіона. Вслѣдствіе неизвѣстности зависимости сопротивленія твердыхъ срединъ движенію въ нихъ снарядовъ ни отъ скорости движенія,
ни отъ угла составляемаго

осыо фигуры снаряда съ

направленіѳмъ движенія, мы не излагаемъ теоріи определяющей законы движенія продолговатыхъ снарядовъ
въ твердыхъ средахъ, а ограничиваемся объясненіемъ

формы обрпзуемыхъ

ими углубленій. Длины полныхъ

углубленій продолговатыхъ снарядовъ могутъ быть вычисляемы, для практическихъ цѣлей, по той-же формулѣ какъ и сферическихъ, принимая для коеффиціентовъ входящихъ въ эту формулу величины выводимыя изъ опытовъ

надъ углубленіемъ

продолговатыхъ

снарядовъ. Рѣшеніе вопросовъ относящихся до стрѣльбы въ брони составлено

на основаніи

результатовъ

англійскихъ опытовъ, оиисанныхъ въ отчетѣ капитана
Нобле.
Въ главѣ двѣнадцатой изложены способъ наименьшихъ квадратовъ и ириложеніе его
результатовъ

стрѣльбьт.

Начала

къ изслѣдованію

теоріи

вѣроятностей

заимствованы изъ опыта элементарнаго анализа теоріи
вѣроятностей П. Л. Чебышева 1845 г., лекцій математической теоріи вѣроятностей

А. 10. Давидова и

мемуара о среднихъ величинахъ П. Л. Чебышева 1866
года. При изложены способа наименьших!» квадратовъ
мы пользовались статьями: Méthode des moindres carrés
par Gauss, traduction de m. Bertrand; Ueber die Methode der kleinsten Quadrate von Encke; Ausgleichung
der Beobachtungs Fehler von Bienger; Приложеніе теоріи вѣроятностей къ вычисленію наблюденій A. H. Савича;

Calcul des probabilités par m. Liagre. Начало

ариѳметической средины для весьма болынаго числа наблюдены выведено па ос-нованіи мемуара о среднихъ
величинахъ П. Л. Чебышева.
ванію результатовъ стрѣльбы

Приложеніе къ изслѣдобольшею частью

заим-

ствовано изъ Calcul des probabilités appliqué au tir des

projectiles par m. Didion. Формулы интерполированія по
способу наименыпихъ квадратовъ даны П. Л. Чебышевымъ и приложены

нами къ опредѣленію вертикаль-

ной проекціи траекторіи по даннымъ полученнымъ изъ
результатовъ стрѣльбы.

ОГІАВІЕНІЕ.
Введете.

Стран.

1, 2. Опредѣлоніе и раздѣлепіе балнстнки

1

Глава I. Пзмѣреніе скоростей снарядовъ и времепъ
нхъ полета.
3. ОпредЛлепіе скорости снаряда нрнведепіемъ ся къ другой меньшей, удобпонзмѣряемой: балнстическій м а я т н н к ъ . — 4 . Измѣреиіе скорости но времени нрохождснія спарядомъ пеболыиаго
разстояпія; приборы Матея и Гробера, снособъ Д е б о з а . — 5 . Примѣненіе электричества для нзмѣренія малыхъ времепъ. Начала,
н а которыхъ осповано устройство электробалнстнческнхъ приборовъ гг.Константннова, Иоблс, Башфорта,Шульца, 1Іаве,Лерса
н Ле-Буланже

3
§1.

Балпстнчсскіс маятники гг. ІІіобсра, Морена и Дидіоиа.
6, 7. Оннсапіе балнстнчсскаго орудійпаго м а я т н и к а . — 8 . Описаніе
балнстнческаго ружейнато м а я т н и к а . — 9. Оннсаніе орудійнаго
маятника для стрѣльбы въ него съ болыпихъ разстояній

7

10, 1 1 . Формула для вычисленія скорости снаряда поотдачѣ нріемпнка маятника. — 1 2 . Средство принимать в ъ расчстъ пзмѣпенія в ъ в ѣ с ѣ нріемннка

11

1 3 , 1 4 , 1 5 . Опредѣленіе разлнчпыхъ величипъ входящихъ въ формулу скорости. —

1 6 . Ударъ па ножи маятника. —

17. Раз-

боръ предположении допущѳпныхъ при выводѣ формулы.—18. Поправка скорости о гъ дѣйствія напріемникъ нороховыхъ газовъ..
1 9 , Формула для вычііслепіл

скорости

отдачи орудія ио

17

орудію

маятшіку

22

SIL
Электрпческіи хронограФЪ г. Ле-Г»улан;ке.
2 0 . Оннсапіо хронографа. — 2 1 . Разобщитель. — 2 2 . Формула и
таблица для опредѣленія временъ,
ІІЫМЪ

соотвѣтствующихъ

различ-

высотами падеиія

24

2 3 . Расположеиіе проводшшовъ н р а м ъ мишепей. Газстояиіс, которос должно быть между рамами, для того чтобъ частное,
раздѣленія длины пути снаряда

н а время

его

отъ

прохожденія,

могло быть принимаемо за скорость сиаряда въ точкѣ находящейся на средішѣ между рамами
2 4 . Установка

хронографа.

—

25.

27
Установка

разобщителя.

—

2 6 . Дѣйствіе хропографомъ

29

2 7 . Стенепь точности нзмѣрлемыхъ скоростей
2 8 . Употреблеиіе хронографа для нзмѣренія весьма малыхъ

32
про-

межутков'!, времени

35
§Ш.

Электричсскін клепсидръ г. Ле-Булапже.
2 9 . Описапіе клепсидра

36

3 0 . Опредѣленіе в ѣ с о в ъ ртути соотвѣтствующихъ различными времепамъ

39

3 1 . Вычнслепіе таблицы времспъ

41

3 2 . Степень точности измѣрлемыхъ клепсидромъ временъ

44

§ IV.
Начальниц скорости сиарядовъ.
3 3 . Опредѣленіе

начальной скорости

снаряда по скорости

его,

измѣреппой въ пебольшомъ разстояпіи отъ орудія

44

3 4 . Таблицы пачальпыхъ скоростей нашнхъ сферическихъ и продолговатыхъ сиарядовъ, и главиыхъ размѣровъ орудій, изъ которыхъ произведены опыты падъ опродѣлепіемъ скоростей . . . .

48

3 5 . Формулы п а ч а л ы ш х ъ скоростей въ фупкціи вѣсовъ зарядовъ и
спарядовъ, объемовъ капала н каморы

54

Глава II. Поступательное движеніе снарядовъ въ
пустотѣ.
3G. Польза нзслѣдовапія закоііовъ иоступательпаго
рядовъ въ нустотѣ. — 3 7 . У р а в н с п і я

двнжопія спа-

поступательиаго двнже-

нія спарядовъ въ нустотѣ. — 3 8 . Траскторія въ пустотѣ есть
парабола ныѣющая вертикальную ось

56

3 9 . Горнзоптальпая дальность н в с я высота п о л е т а . — 4 0 . Подт.углами
бросапія, равпо удаленными отъ 4 5 ° , дальности равны. —

41.

Уголъ наибольшей дальности и величина этой дальпости.

—

4 2 . Зависимость между дальностями, начальными скоростями и
углами бросапія

59

4 3 . Скорость въ какой-либо точкѣ

траекторіи. — 4 4 . ІІаклоиеніе

траектории — 4 5 . Время полета
4 6 . При даипомъ положопіи

61

цѣлн пайтн или пачальную

скорость,

или уголъ бросанія. — 4 7 . Зависимость между обоими углами,
подъ которыми,

при данной начальной скорости, можно по-

пасть въ дѣль. — 4 8 . Случай когда оба угла обращаются в ъ
одннъ. — 4 9 . Уголъ наибольшей дальности па паклоипой мѣстностн

63

5 0 . Начальная скорость и уголъ бросанія,

при которыхъ спарядъ

пролотаетъ чрозъ двѣ даппыя точки. — 5 1 . Начальная
рость

и уголъ бросапія,

при которыхъ

спарядъ

ско-

пролотаетъ

чрезъ данную т о ч к у , подъ дапнымъ угломъ паклопепія
5 2 . Сравнепіо

результатов!,

формулъ

параболнчсскаго

67

двнжепія

съ результатами стрѣльбы
5 3 . Приложепіе

69

формулъ параболическаго

двнженія къ рѣшенію

разпыхъ вопросовъ при помощи таблпцъ стрѣльбы. — 5 4 . Опредѣлопіс начальной скорости снаряда по даннымъ углу бросанія
и дальности,

и обратно угла бросапія по даппымъ

пачальпон

скорости и дальности, когда нзвѣстны другіе уголъ бросанія н
начальная

скорость,

при которыхъ .тотъ же снарядъ

имѣетъ

ту же дальность
5 5 . ГІостроспіе траекторін снаряда

70
при данныхъ

рости и дальности, когда извѣстны,

начальной ско-

при этой начальной

ско-

рости, углы бросапія соотвѣтствующіе различными дальпостямъ
того лее снаряда. — Независимость отъ угловъ бросанія вертнкальныхъ разстояпій точекъ траекторіп до касательной в ъ точкѣ
вылета

71

5 6 . Опредѣлоніе

угловъ паденій по таблицѣ угловъ бросапія.

5 7 . Опредѣленіе поражаемого

—

пространства

73

5 8 . Онрсдѣлсніо помощію таблнцъ стрѣльбы угла бросапія н заряда, для того чтобы ноиастъ даннымъ снарядомъ въ закрытую
спереди цѣль

76

5 9 . Опредѣленіѳ па вертикальной плоскости, заключающей мишень,
мѣстт. нробопнъ т ѣ х ъ снарядовъ, которые при стрѣльбѣ не попали въ мишень. — 6 0 . Онред'Ьдсшс поправки угла
н угловато

бросанія

боковаго отклоненія орудія, когда средняя

точка

пораженія не совпадаетъ съ центромъ цѣлн

78

Глава Ш. Оопротивленіе воздуха.
6 1 . Предварительное попятіе

о сопротпвлеиін средииъ. — 6 2 , 6 3 .

ІІотокъ жидкости сонровождающін движущееся въ ней т ѣ л о . —
6 4 . Вліяпіе сжимаемости воздуха. — 6 5 . Измѣненіе

давлепія

отъ вращательнаго движеиія тѣла, сопровождающаго

его

но-

ступатсльпое двпжеиіе

82
§1.

Вмводъ сопротивленія воздуха.
6 6 . Начало, па которомъ осповапъ выводъ сонротивленія в о з д у х а . —
6 7 . Сопротивлеиіе воздуха н а плоскости перпендикулярную и
наклонную къ направленно движепія

86

6 8 . Сопротнвлспіе воздуха па поверхность вращенія, которой ось
фигуры совпадаетъ съ направленіемт. движепія. — 6 9 . Прнложеніе к ъ шару. — 7 0 . Приложеніо къ конусу

88

7 1 . Сонротнвленіе воздуха на поверхность вращенія, которой ось
фигуры составляетъ данный уголъ съ паправдепіемъ

движенія.

Пара сонротнвленія. — Центръ сопротивленія

91

7 2 , 7 3 . Прнложеніе к ъ усѣченному круговому конусу. — 7 4 . Прнложеиіе къ круговому цилиндру. — 7 5 . Приложеніо къ плоскости перпендикулярной къ оси фигуры
7 6 . Прнложеніе

99

къ нолугаару

104

7 7 . Сопротнвлопіо воздуха па продолговатый спарядъ, котораго ось
фигуры составляетъ данный уголъ съ направленіемъ двнженія.—
7 8 . Пара сопротнвленія. Центръ сопротпвленіл

ill

§11.

Опыты надъ сопротнвленіепъ воздуха двпжеиію тѣлъ при небольших!, скоросгяхъ.
7 9 , 8 0 . Опиты надъ круговымъ равномѣрнымъ двпжепісмъ.

Упот-

ребленные для этой цѣли приборы. — 8 1 , 8 2 . Результаты оны-

товъ. — 8 3 , 8 4 .
ихъ результаты

Опыты падъ нрямолнпейнымъ двнженіемъ н
115

§ III.
Опыты падъ сонротнвлсніемъ воздуха двнженію артиллерійскпхъ снарядовъ.
8 5 . Способъ оиредѣленія волпчипъ сопротивлений

воздуха,

соот-

вѣтствующнхъ разлнчпымъ скоростямъ снарядовъ
123
8 С ) 87.
Опыты Робинса. — 8 8 . Опыты Гютопа. — 8 9 . Мецкіе
опыты 1 8 3 9 H 1 8 4 0 годовъ
125
3 0 . Мецкіе опыты 1 8 5 6 — 1 8 5 8 годовъ
128
9 1 . Петербургскіс опыты 1 8 6 8 и 1 8 6 9 годовъ падъ сферическими
п продолговатыми спарядамн и апглійскіе опыты 1 8 6 8 г. надъ
продолговатыми спарядамн
130
32, 93. Выражеиія одночленами еопротивленія воздуха па сфернческіе и продолговатые снаряды движуіцісся но нанравлснію
оси фигуры
..134
34, 9 5 . Выраженія сопротивленія воздуха, представляющія съ достаточпымъ нрнблііжсніемъ результаты нашихъ и аііглінскихъ
опытовъ надъ сферическими н продолговатыми спарядамн движущимися по нанравлеиію оси фигуры, И вмѣстѣ съ тѣмъ
Дозполяющіл, хотя но прнблнженію, удобное іштегрнровапіе
Днфференціальныхъ уравпепій движенія снарядовъ
135
36. Сопротивленіе воздуха па продолговатые снаряды, когда ось
ихъ фигуры не совиадаетъ съ паправлепіемъ движеиія
138
37- Ускорепіе сопротивленія воздуха
139
38. Вѣсъ кубическаго метра воздуха
141

Глава IV. Двпжепіе сферическихъ ие вращающихся снарядовъ въ воздухѣ.
§і.

ДпФФсрснціалыіыя уравпсяія двпжеиія.
39, І 0 0 . Дифференціальныя уравпенія двнженія
143
. 1 0 2 . По данной кривой полета нахождсніе скорости снаряда н
соотвѣтствующато соиротнвленія воздуха

2»

146

§ ИРазборъ траскторіп СФсрнческаго исвращающагося снаряда
въ воздухѣ.
1 0 3 . Свойства

сонротпвлепія воздуха, принятия въ осповаіііс

при

разборѣ траекторіи. — 1 0 4 . Измѣненіе скорости. — 1 0 5 . Предѣлъ наклоиепія траокторіи въ нисходящей вѣтви. — Предѣльная скорость. — Таблица предѣльныхъ скоростей иашихъ сферическнхъ сиарядовъ при наденін нхъ въ воздухѣ

148

1 0 6 . Время. — 1 0 7 . Длииа дуги. — 1 0 8 . Вертикальная а с с и м п т о т а . —
1 0 9 . Радіусъ кривизны

155

1 1 0 . Скорость и радіусъ кривизны для р а в и ы х ъ , ио съ противными
знаками,

наклоненій

траекторіи. —

111.

Уголь

надсиія,

на

местности находящейся н а одпомъ уровпѣ съ орудіемъ, болѣе
угла б р о с а н і я . — 1 1 2 . Скорость в ъ точкѣ падевія, находящейся
па одпомъ уровпѣ съ орудіемъ, мсиФе скорости въ точкѣ выл е т а . — 1 1 3 . Длииа восходящей вѣтви болѣе длины нисходящей
вѣтвн

161

§ III.
ІІптсгрнрованіе днФФсрсяціалыіыхъ уравпепін
1 1 4 , 1 1 5 . Интегрироваиіе

днфферепціальиыхъ

при выраженіи сопротнвленія

двпжсиіи.

уравиеиій двпжепія,

одшімъ члеиомъ нронорціопаль-

пымъ п-й стеиеин скорости. — 1 1 6 . Условія подобія траекторий оішсывасмыхъ въ воздухѣ сферическими, не вращающимися
снарядами

165

1 1 7 . У р а в н с ш я двнжепія
нальнымъ

при допущенін

сопротивлснія

первой степени скорости. —

118.

нронорціо-

При какомъ бы

пи было закопѣ сопротивлепія воздуха, чѣмъ больше соиротнвлеиіе, тѣмъ одпой и той лее горизонтальной абсциссѣ соотвѣтствуетъ

меиыиая вертикальная

ордината,

и въ

восходящей

в ѣ т в и меньшій уголь наклопепія троекторіп, а въ нисходящей
большій уголъ наклопенія
1 1 9 . Прнблнжсшіый

сиособъ

170
интегрированія

дпфферспціалыіыхъ

уравнепій двплсепія

173

1 2 0 . Ириложеше къ случаю когда

сонротнвленіе выралсеио двучле-

номъ, в ъ которомъ первый членъ пропорціоналенъ второй с т е пени скорости,

а второй

членъ нронорціопалеиъ

четвертой

степени скорости
1 2 1 . Приложсше

к ъ случаю

176
когда сопротнвлешо

выражено

чдепомъ пропорціопалыіымъ квадрату скорости

одпо180

1 2 2 . Приложепіе къ случаю когда сопротнвлепіе выражено одночленом. нронорціоналышмъ шестой степени скорости
181
1 2 3 . Приложеніе къ случаю когда сонротнвленіо выражепо одиочленомъ пропордіопальыымъ кубу скорости. — 1 2 4 . Прнложеше къ случаю когда сопротнвленіе выражепо одночлеиомъ проиордіональнымъ четвертой степени скорости
183
1 2 5 . Зависимость между фупкділми, которымиуравиеиіядвиженія въ
воздухѣ отличаются отъ уравненін движенія въ иустогѣ
185
1 2 6 . Уиотреблспіе таблидъ функцій ez,

F/z),

F(z),

$ fz)

3

(z)

00, Ql (z). — 1 2 7 . Употребленіе таблидъ фуикдін
V02J,
3 (z, V02J. — 1 2 8 . Уиотрсбленіе таблидъ функцій X3 (z, VQ"),
^ (z, V2). — 1 2 9 . Употребленіе таблидъ функцій z. Q(z, V02J
И z. s (z, V02)

187

1 3 0 . Оцредѣленіе величины постоянной a , введенной для интегрирован ы , по нриближеиію, днфферепдіальныхъ уравненій движенія . 1 9 6
1 3 1 , 1 3 2 . Выборъ точекъ дѣленія траекторіп па части
199

Глава Y. Рѣіпепіе вопросовъ относящихся до
стрѣльбы сферическими, не вращающимися снарядами.
I. Стрѣльба большими зарядами, подъ большими углами бросанія.
1 3 3 . Вычнслепіс траекторіи uo частямъ. — Нрниятіе въ расчетъ
умеиыисшя ШІОТІІОСТИ воздуха съ увсличеыіемъ высоты полета. — 1 3 4 . Траекторія сфернческаго ядра выстрѣлешіаго
изъ 2 4 ф. пушки съ начальною скоростью 1 7 1 2 футъ, подъ
Угломъ бросанія 3 0 °
203

II. Навѣсная стрѣльба малыми зарядами.
00

> 1 3 6 . Гѣшеніе задачъ относящихся до навѣсиой сгрѣльбы малыми зарядами. — Нахожденіе дальности по извѣстпымъ углу
бросаиія и иачальиой скорости, когда точка падеиія иаходнтся
па одномъ уровиѣ съорудіемъ,—Получаемая дальность иѣсколько
болѣе дѣйствительиоп. — 1 3 7 . Оиредѣлеиіе меиьшаго предала дальности при нрсдположеиш сопротнвлеиія нропордіоиалыіаго квадрату скорости и прииятіи для косффнціента сопротивдеиія величины дающей сопротнвлепіе рапное дѣйствнтсльному въ точкѣ вылета. — 1 3 8 . Сиособъ Эйлера опредѣлять
Дальпость павѣспато выстрѣла при сопротнвлеиін воздуха про-

порціопальномъ

квадрату скорости,

и составлеппыя для этой

цѣлн генераломъ Отто таблицы. — 1 3 9 . Вычисленные мсныній
и болыній иредѣлы дальности мало отличаются одннъ отъ другаго. —

140.

ІІахожденіе

дальности,

если точка наденія не

н а одиомъ уровнѣ съ орудіемъ

210

1 4 1 . Нахождеціс начальной скорости снаряда, который должепъ пролететь

чрсзъ даиную точку, при даішомт. углѣ бросанія.

1 4 2 . Нахожденіе

—

угла бросапія, при которомъ снарядъ,

стреленный съ данною
т е т ь чрезъ данную

вы-

начальною скоростью, долженъ проле-

точку. —

1 4 3 . ІІахожденіе

угла

надспія,

окончательной скорости, времени полета п полной высоты полета

216

1 4 4 . Уголъ наибольшей дальности тѣмъ менѣѳ 4 5 ° , чѣмъ сонротнвлеиіс н пачальная скорость снаряда более. — 1 4 5 . Нахожденіе
угла наибольшей дальности, когда известна

дальность

иодъ

однпмъ какпмъ-лпбо угломъ близкимъ къ углу наиболыпей дальности. — ІІрііложеиіе

къ нахожденію угла наибольшей даль-

ности 2 4 ф. ядра брошеннаго съ пачальпою скоростью
футъ, H 2 п. бомбы брошенной

съ начальной

скоростью

1712
378

футъ

220

III. Прицѣльная стрѣльба.
§1.

Нрпцѣлыіая стрѣльба при пачальпнхъ скоростяхъ превышающих!. 1230 Фут.
1 4 6 . Необходимость вычислить по частями траекторію нодъ ОДІІНМЪ
угломъ бросапія,

и возможность по полученными точками на-

ходить углы бросанія и падепія, окончательный

скорости

и

времена, соотвѣтствующія различными дальностями.— 1 4 7 . Н е зависимость

отъ угловъ бросапія

вертикальных!,

разстояпій

точекъ траекторін до касательной в ъ точкѣ вылета, когда движ е т е происходить не только въ пустоте, по и въ среде которой сопротнвлсніе нропорціоналыіо иервой стспепн с к о р о с т и . —
1 4 8 . Вертикальный разстояпія точекъ траекторін до касательной в ъ т о ч к е вылета вообще зависятъ отъ угла бросапія.
Нанмсныпій и ианбольшій пределы разности между

—

означеп-

пыми вертикальными разстояшямп точекъ траекторій соответствующихъ двумъ различными углами бросапія

227

1 4 9 . При малыхъ углахъ бросанія, для всѣхъ выраженій сонротнвлешя воздуха, можно допустить пезавпсішость отъ угловъ бросаній вертикадьныхъ разстояній точекъ траекторій до касательпыхъ въ точкахъ вылета
232
1 6 0 . Вычисленіе но частямъ траекторін нодъ нѣкоторымъ угломъ
бросанія H онрсдѣлеиіе, но даппымъ пайдепымъ для этой траокторіи, угловъ бросапій и надепій, скоростей н времепъ полета, соответствующих 1 !. разлнчпымъ дальностямъ.— 1 5 1 . Прпложеніс къ составленію прнцѣльпой стрѣльбы ядромъ пзъ 3 н.
бомбовой пушки, ирн начальной скорости 14 3 8 фут. ш. 1 с е к . —
1 5 2 . Степень точности нолучепиыхъ результатовъ
233
1 5 3 . В ъ обыкновенныхъ случаяхъ прицельной стрѣльбы, уголъ бросапія отнесеппый къ прямой соединяющей точку вылета съ
цѣлыо почти пс зависнет, отъ угла мѣстности, нлп высоты
Цѣлн
240
1 5 4 . Случай когда скорость въ точкѣ паденія пс мспѣс 1 2 3 0 футъ
ігь l e . — 1 5 5 . Онредѣленіе начальной скорости но скорости
спарлда на маломъ разстоянін отъ орудія. — 15G. При нзмѣропііі времонъ заключающихся въ нродѣлахъ отъ 0 , 1 0 до 0 , 1 5
секундъ, за скорость снаряда, въ точкѣ паходпщенея на срсднпѣ разстояпіи, для которато определено время полета, можно
принимать частное отъ раздѣдепія разстоянія па время его
прохожденія
241

§11.

Нрпцѣлыіая стрЬльба при начальных!, скоростях1!, меньшим.
1230 Футъ.
1 5 7 , 1 5 8 . РѢпіепіе задачъ относящихся до иридѣльнон стрѣльбы,
когда начальная скорость меньше 1 2 3 0 фут. — Нахожденіе
дальности по нзвѣстнымъ углу бросанія и начальной скорос т и . — 1 5 9 . Нахожденіе начальной скорости снаряда, который
должепъ пролететь чрезъ данпую точку, при данномъ углѣ
бросанія. — 1 6 0 . Нахождепіе угла бросапія, при которомъ
спарядъ, выстреленный съ даппою начальною скоростью, долженъ пролететь чрезъ данную точку. — 1 6 1 . ГІахождсніе
угла паденія, окончательной скорости п времени полета. —
1 6 2 . Опредѣлепіе начальной скорости но скорости спаряда па
маломъ разстояніи отъ орудія. — 1 6 3 . ІІахожденіѳ угла бросанія отнесспнаго къ прямой соединяющей точку вылета съ
Цѣлыо, когда высота цѣлн надъ орудіемъ не велика
244

1 0 4 . Зависимость между высотами прицѣла и углами бросапія и м ѣ с т н о с т и . — 1 ( 5 5 . Зависимость между боковыми отклопеніями цѣлика
прнцѣла и боковыми отклоненіями с н а р я д а . — 1 0 6 . Ошибка отъ
п р и ц ѣ л и в а п і я . — 1 6 7 . Ошибка отъ паклонпаго пололіепін цапфъ

248

IV. Перекидная стрѣльба.
1 6 8 , 1 6 9 . Рѣшепіе

вопросовъ относящихся

бы. — Нахожденіе

до перекидной стрѣль-

начальной скорости

и угла бросаиія

для

снаряда, который должеиъ нролетѣть чрезъ д в ѣ даииыя т о ч к и . —
1 7 0 . Опредѣлепіе начальной скорости и угла бросаиія для снар я д а , который должеиъ пролетѣть чрезъ даипую точку,

нодъ

даппымъ угломъ наклопспія
1 7 1 . ІІо
дать

253

извѣстиому предѣльпому углу бросанія,
орудію

иа лафетѣ,

опредѣлить,

который

н а данпомъ

можпо

разстояпіи

отъ орудія, нредѣльное превышеніе точки, чрезъ которую сыарядъ пролетастъ иодъ данпымъ угломъ. — 1 7 2 . Но нзвѣстпому
предѣльному

углу

бросанія, который молено дать орудію

на

лафетѣ, оиредѣлить,

н а даииомъ разстояніи отъ орудія,

прс-

дѣлыюс

точки, чрезъ которую

сиа-

превышеніе

пролстаетъ

рядъ и при этомъ иопадаетъ в ъ точку находящуюся па извѣстномъ разстояиін и извѣстпой глубішѣ

отъ первой

256

Глава YI. Отклоненія сферическнхъ снарядовъ.
1 7 3 . Объяспеиіе

259
§

I.

Причины отклонений сфсрнческнхт, снарядов!,.
1 7 4 . Йзмѣненія въ направлеііін

сферическнхъ

сиарядовъ

ври нхъ

вылетѣ нзъ орудія. — Измѣреніе этнхъ пзмѣненій. — Иронсходящія отклонепія
сти

ио вертикальному направленіхо,

и в ъ сторону. —

175.

Измѣненія

въ дально-

въ начальныхъ

скоро-

стях!, и происходящее огклонепія. — 1 7 6 . Измѣнепія плотности
воздуха и происходящія

отклоненія. — 1 7 7 . Измѣпенія въ в ѣ -

с а х ъ сиарядовъ и происходящая отклоненія
178, 179.

Оиредѣленіе

вѣтра. —

180.

отіслоненій

Зависимость

сферическнхъ

этнхъ

260
сиарядовъ

отклонений отъ

отъ

скорости

в ѣ т р а , иачалыіой скорости снаряда и рода снаряда
1 8 1 . Вращательное д ш ш е н і е
па нижнюю стѣпу

сфсрнческнхъ снарядовъ отъ давленія

капала орудія. —

1 8 2 . Вращательное дви-

269

жепіо отъ эксцентриситета сферическнхъ с п а р я д о в ъ . — 1 8 3 . Отклоисиія сферическнхъ
наго движенія. —

спарядовъ вслѣдствіе

ихъ вращатель-

1 8 4 . Объясненіе этнхъ отклонсніп

274

§11.

Сферическіе снаряды съ пскусствепиымъ эксцептрнсптстомъ.
1 8 5 . Эксцецтрнческіе снаряды
ною пустотою. —
лета

въ

со сферическою

и съ эллипсоидаль-

1 8 6 . Изыѣненіе нхъ вращенія во время по-

воздухѣ.

—

1 8 7 . Измѣреніе

эксцентриситета.

—

1 8 8 . Онредѣленіе угловой скорости эксцентрнческаго снаряда
при вылстѣ его H з ъ капала орудія
1 8 9 . Траокторія

сферическнхъ

278

эксцентрнческнхь

спарядовъ.

—

1 9 1 . Выраженіѳ отклоняющей силы происходящей отъ совокупности вращательнаго

и ноетупательнаго двнжепія снаряда.

—

1 9 2 . Упрощенный пираженія отклоняющей силы, нполучаемыя
при этнхъ выражепіяхъ уравненіе траекторін,

наклонсніе е я ,

скорость и время полета. — Придоженіе къ вычисленію угловъ
бросаиій

и паденій соотвѣтствующнхъ

различными

дально-

стями 1 2 ф. прусской эксцентрической гранаты съ элдпнеондальпою
1350

пустотою,

фут. —

выстрѣленной

съ начальною

1 9 3 . Но вполпѣ удовлетворительная

скоростью
мѣткость

эксцептрическнхъ спарядовъ

287

Глава VII. Двшкеніо продолговатыхъ снарядовъ
въ воздухѣ.
§і.

Вращательное двпжевіс продолговатыхъ спарядовъ.
1 9 4 . Уравненія вращательнаго движепія твердаго т ѣ л а . — 1 9 5 . ІГроскціи н а главиыя оси иродолговатаго снаряда оси нары сопротивленія воздуха. —

1 9 6 . В ы р а ж е в і е пары соиротивлепія воз-

Духа в ъ зависимости отъ составляющей
направленно

прямо противоположному

угла 5 с о с т а в л я е м а я

сопротпвленія

рА по

осп фигуры снаряда и

осью фигуры съ касательного къ траек-

торін, для угловъ 5 не нровосходящнхъ 2 0 ° . — 1 9 7 . Уравпспія
вращательнаго движенія иродолговатаго
висимость угдовыхъ скоростей ~ ,

, ^

снаряда. —
вокругъ

1 9 8 . Заоси пары

соиротпвленіи, вокругъ касательной, принятой за неподвижпую
о с ь , и вокругъ

осп фигуры снаряда отъ угловыхъ

Р, q, г вокругъ главныхъ осой снаряда

скоростей
301

1 9 9 . Угловая скорость вокругъ

осп фигуры постоянна но все про-

долженіе двнжепія. — 2 0 0 . Угловая скорость ~
вижной

касательной

въ

фигуры

съ касательного. — 2 0 1 .

кругъ осп пары сопротнвленія
~

Угловая

в ъ функдіп

и угла 5. — 2 0 2 . Угловая скорость ~

сопротивления

вокругъ непод-

функціи угла S составляема™ осыо

въ функдіи угла

скорость
угловой

вокругъ

Ö. Наибодынія

воскорости

оси

пары

н панмспь-

шія величины, которыя можетъ получать уголъ 5 составляемый
осыо фигуры съ неподвижной касательной во все время вращатольиаго движенія

307

2 0 3 . Уголъ 5 в ъ функцін времени, считая касательную неподвижною и сопротнплепіе с 4 ностояннымъ. — 2 0 4 . Угловая скорость
dS
-f t вокругъ оси пары сонротнвлсшя въ функцін времени,
тая касательную

иеиодвнжпою

н сонротивлеиіе

иымъ. — 2 0 5 , 2 0 6 . Угловая скорость ~

ç4

оси фигуры

счи-

востоянвокругъ

неподвижной касательной и уголъ ѵ въ фупкцін времени, считая сопротігвлепіе ç 4 ностояішымъ. — 2 0 7 .
сопротивденіи р А ,

При ностоянпомъ

ось фигуры снаряда онпсываетъ

вокругъ

неподвижной касательной к о н у с ъ , которого основаніе составляютъ обыкповенішя ЭПИЦИКЛОИДЫ

313

2 0 8 . Предѣлъ прнращенія угла 5 , вслѣдствіе дѣйствія пары сопротпвленія в о з д у х а . — 2 0 9 . ІІо малости этого иредѣла можпо принять, что сслн-бы касательная была неподвижна и сопротивлепіс рд было постоянное, то ось фигуры снаряда описывала-бы
вокругъ касательной круговой конусъ съ постоянною средпсю
угловою скоростью. — Выраженіе этой постоянной скорости

di

dt
2 1 0 . Диффсренціальпыя уравирнія движенія оси фигуры продолговатаго снаряда при понижающейся касательной н перемѣнномъ
сопротпвленііі

320

§Н

Вычислепіе траекторіп продолговатаго снаряда въ воздухѣ.
2 1 1 . Дпфферепціалыіыя уравненія ностунательнаго

двнженія

про-

долговатаго снаряда въ воздухѣ

326

2 1 2 . Вычисленіе траекторіи 4 ф. гранаты выстрѣленной прицѣльно
иодъ угломъ бросанія въ 1 0 ° , съ начальною

скоростью

1000

футъ, при которой, для облегченія вычнсленій, можно принять

Стран.
сонротнвлепіе воздуха пропорціональнымъ квадрату с к о р о с т и . —
Дцфференціальныя уравненія движенія ио горизонтальной оси
X и вертикальной у , в ъ которыхъ, для п е р в а я

приближепія,

ограничились членами зависящими отъ составляющей сопротнвлснія прямо противоположной направленію двпженія, и днфференціальное

у р а в н е н і е движѳнія но оси z ,

перваго прнближенія,
проекціи

къ которомъ,

для

ограничились членомъ зависящими

отъ

н а плоскость zx

составляющей

соПротнвлепія

пендикулярной къ паправлснію движенія. — 2 1 3 .
ІІЗЪ

первыхъ двухъ ураішеній,

пер-

Оиродѣлепіе

въ функцін времени,

проекцін

скорости по осямъ X, у, угла наклопепія траекторіи, абсциссы х
и ординаты у . — 2 1 4 , 2 1 5 . Вычйслепіе помощію днффорепціальн ы х ъ у р а в н е н і й коннческаго днпженія оси фпгурыипомощіюднфф е р с н ц і а л ь н а я уравненія движенія по оси z : времени t соотвѣтствующнхъ различными углами ѵ составляемыми вертикальною
плоскостью проходящею чрезъ к а с а т е л ь н у ю съ плоскостью проходящею чрезъ т у ж е к а с а т е л ь н у ю н о с ь
соотвѣтствующихъ

этими временами

фигуры,нопредѣлепіе

угловъ Ô составлясмыхъ

осыо фигуры съ касательного, проекцій vz

скорости на ось

г,

угловъ о составлясмыхъ вертикальною плоскостью проходящею
чрезъ к а с а т е л ь н у ю

съ вертикальною

ординатъ z. — Таблица велиЧНнъ t,

плоскостью стрѣльбы, н
5,

о,

vz

и z

соотвѣт-

ствующихъ, в ъ разбнраемомъ примѣрѣ, различными углами ѵ . —
Удостовѣреніе в ъ томъ, что при прннятыхъ нромежуткахъ для
угловъ V, результаты но далеки отъ нстИнныхъ. — 2 1 6 .

Абс-

циссы X и ордпнаты у соотвѣтствующія полученными в ъ п р е д ъ ндущей таблицѣ временами

329

2 1 7 . ІІренебрежепные члены иъ дифференціальныхъ ураішспіяхъ пос т у п а т е л ь н а я двнженія. — 2 1 8 . Поправки, дапаемыя для абсциссы X двумя пренебрсженнымн

членами в ъ днфференціаль-

ііомъ уравненін двнженія по оси х , в е с ь м а малы. — 2 1 9 . Поправка, даваемая для ординаты у препсбрсженнымъ
в ъ дпфферепціальномъ
весьма

мала. —

уравнеиіп двпжонія

При нрнцѣльпой

по оси у ,

стрѣльбѣ

можно,

членомъ
также
съ

до-

статочною точностью, вычислять вертикальную проскцію траекторіи, разсматрнная

сопротнвлеиіе воздуха к а к ъ дѣйствую-

щее прямо противоположно направленію двнжепія, а ио величин'!; к а к ъ равное

сопротнвленію

ио оси фигуры снаряда.

—

2 2 0 . Поправка даваемая для ординаты z пренеброжешшмъ членомъ, происходящими отъ проекціи н а вертикальную плоскость,
проходящую чрезъ к а с а т е л ь н у ю ,

составляющей

сопротнвлепія

перпендикулярной къ касательной,—поправка эта в е с ь м а м а л а . —

Поправки даваеыыя для ординатъ z препебреженныыъ члепомъ
происходящими отъ проекцін н а ось z составляющей сопротивд е н і я лрямопротивоположной направленію д в и ж е н і я . — З н а ч е п і я
этихъ поправокъ для разбираемаго прнмѣра; исправленныя величины z.—221.

Построенпыя вертикальная и горизонтальная

нроекцін траекторін

341

2 2 2 . Вычисленіе траекторіи

4 ф. гранаты

выстрѣленноіі

нодъ угломъ в ъ 4 5 ° , съ начальною скоростью

навѣспо,

2 0 0 футъ,

при

которой, для облегчепія в ы ч и с і е н і й , молено нрипять сонротивлепіе воздуха иропордіопальиымъ квадрату скорости. — Выралесніе пары сопротпнленія воздуха въ зависимости отъ составляющей сопротпвлеше рА по паправлепію прямо протнвоноложному оси фигуры и угла 5, когда углы 5 з н а ч и т е л ь н ы . — 2 2 3 . Днффсренціальныя уранпепія копнчоскаго двшкспія оси фигуры с н а ряда.—Ннтегрпрованіе этихъ уравненій при замѣнѣ неремѣнной
нроокдінг; 1 скорости н а ось х и перемѣпнаго[сонротнвлспія

f(v)

нхъ средними значепіяміг. — 2 2 4 . Величины угловъ ѵ и 5 , для
разбираемаго примѣра, въ концѣ полета. — 2 2 6 . ІІптегрпровапіе, по приближенно, дпфференціальнаго уравнонія дшглсепія по
оси z , ограничиваясь в ъ пемъ члепомъ зависящимъ отъ проекдіи па плоскость zx

составляющей сонротивлепія нернепдику-

лярной къ нанравленію движепія. ІІроекція скорости па ось г ;
уголъ о ; ордината z. Значепія этихъ велнчішъ, для разбираемаго прнмѣра, в ъ концѣ полета. — Выраліепіе абсциссы х и
ординаты у , пренебрегая

дѣйствісмъ составляющей сонротнв-

ленія перпендикулярной къ паправленію двпженія. Зпаченія х
и у , для разбираемаго примѣра, въ концѣ полета

350

2 2 6 . Поправки горизонтальной дальности н дернваціп, даваемыя нрепебрелееппымп членами нъ днфференціальпыхъ уравпеніяхъ постунатсльнаго дшіясепія, для разбираемаго нрнмѣра,

ne вели-

ки. — При павѣсной стрѣльбѣ, нодъ углами бросанія ne превосходящими

приблизительно

45°,

можно, безъ болыіюй но-

грѣпіпостн, вычислять вертнкальпую нроекцію траекторіи, разсматривая

сонротннлсніе

противоположно

воздуха к а к ъ дѣйствующее

направленію

ДВІІЛІОПІЯ,

прямо

а по нсличинѣ,

какъ

равное сонротнвлешю но оси фигуры снаряда

360

§ III.
Нрсдставлепіе двпженія продолговатаго снаряда въ воздухѣ.
2 2 7 , 2 2 8 . Представленіе вращателыіаго

двнжепія снаряда

вокругъ

оси фигуры H коннческаго дннжепія осп фигуры, но время ПО-

лета снаряда въ воздухѣ, при болышіхъ и малыхъ н а ч а л ы ш х ъ
скоростяхъ. — 2 2 9 , 2 3 0 . Представленіе поступателыіаго движенія снаряда въ воздухѣ, при болышіхъ н малыхъ н а ч а л ы ш х ъ
скоростяхъ

363

Глава YIII. Рѣшеніе вопросовъ относящихся до
стрѣльбы продолговатыми снарядами.
§і.

Упрощенный уравнепія двпженія продолговатыхт. снарядовъ.
2 3 1 . Вертикальная проекція траекторіи вычисляется по формуламъ
вывѳденнымъ для выражений сонротивленія воздуха относящихся
къ продолговатымъ снарядамъ, въ предположеніи, чторавнодѣйствующая сопротивленія прямо противоположна
движенія,

а по воличинѣ р а в н а сопротнвлепію

направленію
по осп фигу-

ры. — Боковая деривація вычисляется ограничиваясь членом®
зависящимъ отъпроекціи н а плоскость gx составляющей сопротнвленія перпендикулярной къ направленію двнженія, и принимая н а всемъ протяженін траекторіи, для опредѣленія угловъ 8
и V въ фупкдін t,

вмѣсто перемѣппаго

мѣнной нроекцін н а

ось

х

сопротнплопія и нере-

поступательпоГі

скорости,

нхъ

среднія значопія

367

2 3 2 . Оиродѣлепіе угловъ 5 и ѵ и велнчпны боковой деривацін, когда
начальпыя скорости не слишком® малы. — Зависимость деривадін отъ длины хода нарѣзов® и времени полета

368

2 3 3 . Опредѣленіе угловъ 8 п ѵ и величины боковой дериваціи при
стрѣльбѣ малыми зарядами, подъ большими углами бросапія, по
превосходящими приблизительно 4 5 ° . — 2 3 4 . Численныя зпачеиія для нашихъ продолговатыхъ

снарядовъ вѳлнчинъ и ,

т ,

1, 1с, ix входящнхъ въ формулы онредѣляющія боковую дсрнвацію.

374

§11.

Прпцѣльпая стрѣльба.
2 3 5 . ІІрнцѣлыіая стрѣльба при начальныхъ скоростяхъ

нревышаю-

щнхъ 1 1 8 0 футъ. — Вычисление но частямъ вертикальной ііроекдіи траокторін иод® пѣкоторымъ угломъ бросанія, и оігредѣленіе, нонайденнымъ данным®, угловъ бросаній ннаденій, скоростей и временъ полета, соотвѣтствующих® различиымъ дальн о с т я м ! , . — Вычисленіе боковой деривадіи

378

2 3 6 . Случай когда скорость въ точкѣ паденія п о м е н ѣ с 1 1 8 0 ф у т ъ . —
2 3 7 . Опредѣленіе начальной скорости но скорости снаряда н а
м а л о м разстояпіи отъ орудія, если послѣдняя но монѣе

1180

футъ

388

2 3 8 . Прццѣльная стрѣльба прп начальныхъ

скоростяхъ

заключаю-

щихся между 1 1 8 0 H 9 1 9 футами. — 2 3 9 . Случай когда, при
начальной скорости

не большей 1 1 8 0 фт., скорость въ точкѣ

паденія ne менѣе 9 1 9 ф т . — 2 4 0 . Опредѣлепіе начальной скорости но скорости н а маломъ разстоянін отъ орудія, если нослѣдпяя по менѣе 9 1 9 футъ
2 4 1 . Прнцѣльная стрѣльба

389

при начальныхъ

скоростяхъ

меныннхъ

9 1 9 футъ. — Возможность прнмѣнять формулы относлщіясл до
этого случая къ стрѣльбѣ при иѣсколько болышіхъ начальныхъ
скоростяхъ, каковы начальник скорости полными зарядами нзъ
н ы н ѣ у н а с ъ имѣющихся нарѣзныхъ пушекъ сухонутныхъ к р ѣ постей, осадпыхъ н полевыхъ. — 2 4 2 . Опредѣленіе начальной
скорости но скорости н а маломъ разстояніп отъ орудія,

если

послѣдняя менѣе 9 1 9 футъ

391

2 4 3 . Таблица вычисленпыхъ и получеппыхъ нзъ опыта угдовъ бросапія соотвѣтствующнхъ различнымъ дальностямъ, при стрѣльбѣ
нзъ нашнхъ нарѣзныхъ пушекъ. Таблица вычнслеішыхт. боковыхъ деривацій и вычпсленныхъ и получеппыхъ

па

временъ нолета соотвѣтствующнхъ

дальностямъ

прнстрѣльбѣ

ІІЗЪ

различнымъ

оныгахъ

2 4 ф. и 9 д. пушекъ. Чертежъ вычислен ныхъ

и полученныхъ нзъ опыта боковыхъ деривацій нзъ 2 4 ф. н 9 д.
пушекъ. — 2 4 3 Ы з . Таблица вычисленныхъ
опытѣ угдовъ бросанія и временъ

полета

н полученныхъ н а
4 ф. продолговатой

бельгійской гранаты, ирн зарядѣ 0 | ; , , л - , 5 3 0

395

§ HI.
Навѣсная стрѣдьба.
2 4 4 , 2 4 5 . Р ѣ ш е н і е вонросовъ относящихся до навѣсной

стрѣльбы,

прп начальныхъ скоростяхъ не превышающихъ 9 1 9 фт. — Н а хожденіе дальности но извѣстнымъ углу бросанія и начальной
скорости. — 2 4 6 . Нахожденіе начальной скорости снаряда, который долженъ продетѣть чрезъ данную т о ч к у , при данномъ
углѣ б р о с а н і я . — 2 4 7 . ІІахождеиіо угла бросапія, при которомъ
спарядъ, в ыстрѣ л с ин ы й съ нзвѣстной начальной скоростью, прол е т и м чрезъ данную точку. — 2 4 8 . Нахождспіо угла в а д е н і я ,
окончательной скорости, времени нолета н полной высоты ііолета. — 2 4 9 . ІІахожденіе боковой дернваціи

400

Стран.
2 5 0 . Таблица вычнсленпыхъ и нолучспныхъ изъ опыта дальностей,
времени полета н деривацій изъ парѣзной G д. мортиры . . . .

404

2 5 1 . Стрѣльба большими зарядами, нодъ большими углами возвышена

405

§ IV.
Перекидная стрѣльба.
2 5 2 , 2 5 3 . Р ѣ ш е н і е вопросовъ

относящихся до перекидной

стрѣль-

бы.—Нахожденіе начальной скорости и угла бросанія для с н а ряда, который должепъ пролететь чрезъ двѣ данпыя точки. —
2 5 4 . Опредѣлспіе иачальпой скорости и угла бросапія для с н а ряда, который долженъ пролетѣть
данными угломъ

чрезъ данную т о ч к у ,

паклопенія. — 2 5 5 .

Опредѣленіс

нодъ

дериваціи

соответствующей данному разстоянію, нрп папденпыхъ начальной скорости и углѣ бросанія. — 2 5 6 . По пзвѣстному иредѣльпому углу бросанія, который можно дать орудію н а лафетѣ,
определить, н а данномъ разстоянін отъ орудія, предѣльное превышеніс точки, чрезъ которую снаряди пролстаетъ нодъ данными угломъ. — 2 5 7 . По известному иредельпому углу бросапія, который можно дать орудію па л а ф е т е ,

определить,

па

данномъ разстояніи отъ орудія, предельное преиышспіо точки,
чрезъ которую пролстаетъ снаряди и нрп этомъ понадаетъ в ъ
точку, находящуюся п а н з в ѣ с т н о м ъ разстонпін и извѣстпой глубине отъ первой

Глава IX.

405

ОТЕЛОПСПІЯ

продолговатыхъ спарядовъ.

2 5 8 . Объяснспіе. — 2 5 9 . Причины отклопсній продолговатыхъ с н а рядовъ. — И з м і н е н і я в ъ направ.тспіп при нхъ вылетѣ пзъ канала орудія. Происходящая отвлоненія

по вертикальному

на-

правленно, въ дальности и въ деривацін. — 2 6 0 . Измѣнѳнія в ъ
начальвыхъ скоростяхъ и происходящая о т к л о н е н і я . — 2 6 1 . Измепепіо плотности воздуха н нронсходящія отклоненія. —

262.

Измѣненія въ в ѣ с а х ъ спарядовъ и пронсходящія отклоненія . . 4 0 9
2 6 3 , 2 6 4 . Опрѳдѣленіе

отклонсиій

продолговатыхъ

спарядовъ

отъ

в ѣ т р а . — Отклоненіо производимое боковымъ вѣтромъ н а с н а ряди цилиндрической формы зависнтъ отъ діаметра снаряда и
его плотности, по не завнентъ отъ его длины

415

Глава X. ІГодобіѳ траекторій описшваемыхъ снарядами въ воздухѣ.
2 6 5 . Опредѣлепіе двухъ подобпыхъ

траекторій.

Соііротнвлепіе воз-

духа предполагается пропорціональнымъ ?г-ой степспп скорости
снаряда. За исходныя точки берутся такія, в ъ которыхъ к а с а тельпыя параллсльпы между собою, мгновенный оси вращеній подобпыхъ снарядовъ параллельны н снаряды расположены параллельно одипъ другому. Каждая траекторія замѣпяется миогоугольннкомъ

безкопечпо-малыхъ с т о р о н ъ . — 2 6 6 . Днфференці-

альныя уравпенія поступателыіаго и нраіцателыіаго

движеній

двухъ подобныхъ снарядовъ. — 2 6 7 . Условія необходнмыя для
того, чтобы отношеніе поступателышхъ скоростей въ началѣ вторыхъ сторонъ многоуголышковъ равпялось отношенію ноступательныхъ скоростей въ исходныхъ точкахъ. — 2 6 8 . Условія необходнмыя для того, чтобы первыя стороны

многоугольннковъ

были другъ другу параллельны и пропорціональпы. — Отпошеліе лннейныхъ размѣровъ траекторін равно квадрату отношепія

ноступательшлхъ

скоростей

въ

исходныхъ

точкахъ.

—

2 6 9 . Условіянеобходимый для того, чтобы отношеніе угловыхъ
скоростей въ началѣ вторыхъ сторонъ многоугольипковъ

рав-

пялось отношепію угловыхъ скоростей въ исходныхъ т о ч к а х ъ . —
2 7 0 . Условія необходнмыя для того, чтобы снаряды оставались
параллельными нъ пачалѣ вторыхъ сторонъ многоугольпнкоиъ.—
2 7 1 . ІІрн выполпенін в ы в е д е ш ш х ъ условій снаряды оинсываютъ
подобный траскторіи па всемъ ихъ протяженін

420

2 7 2 . Сводъ у с ю в і й необходимыхъ для того чтобы траекторіи были
подобны

430

2 7 3 . Прнложепіе къ сферпческимъ копцептричеекпмъ снарядамъ не
получившнмъ вращепія въ капалѣ орудія

432

2 7 4 , 2 7 5 . ІІрнложеніе къ вращающимся сфсрнческимъ илисплющсппымъ снарядамъ

433

2 7 6 . Нрнложеніе къ продолговатымъ снарядамъ выстрѣленнымъ изъ
парѣзиыхъ о р у д і й . — 2 7 7 . Случай, когдаудѣльпыс вѣсапродолговатыхъ снарядовъ о д и н а к о в ы . — 2 7 8 . Случай, когда діамстры
продолговатыхъ

снарядовъ одинаковы. — 2 7 9 . Случай, когда

продолговатые снаряды п о в ѣ с у пропорціоналыш калнбрамъ.—
2 8 0 . Случай, когда па единицу площади сходственныхъ

сѣче-

ній двухъ продолговатыхъ снарядовъ приходится одішъ п тотъ
же в ѣ с ъ

438

2 8 1 . Онредѣленіе, н а о с и о в а і і і н подобія траекторій, по р е з у л ь т а т а м !
стрѣльбы

изъ

одного орудія, приближениыхъ

стрѣльбы пзъ другаго орудія

дашшхъ

для
444

Стран.

Глава XI. Углублепіо сиарядовъ вътвердыя среды
и пробиваиіе желѣзпыхъ броней.
Si-

Углублепіс сфсрпческихъ снарядовъ въ твсрдыя среды.
2 8 2 . Сопротивлепіе твердыхъ с р е д н п ъ . — 2 8 3 . Закопы углублеиія.—
2 8 4 . Длина лолпаго углубления. — 2 8 5 . Онредѣленіе косффиціентовъ л и и входящнхъ въ выражепіе иолпаго углубленія. . 4 4 6
2 8 6 . Таблица коеффцціептовъ сопротнвлепія углублепію сферическнхъ спарядовъ въ разлнчиыя твердил среды
451
- 8 7 . Форма воропокъ образуемыхъ сферическими
2 8 8 . Время углубленія

снарядами. —
452

§11.

Углубленіс продолговатыхъ спарядовъ въ твсрдыя среды.
2 8 9 . Форма пустоты образуемой продолговатыми снарядами. — Объясиеиіе этой формы
457
2 9 0 . Приближенное оиредѣлепіе длішъ нолныхъ углублеиіи производимыхъ продолговатыми снарядами и коеффпцісптовъ X и и
входящихъ въ формулу иолпаго углублепія.—291. Таблица коеффиціептовъ соиротивлетя углубленію продолговатыхъ снарядовъ въ твсрдыя среды
461

§ III.

Пробнвакіе жслѣзпыхъ броней.
2 9 2 . Опыты произведенные въАпгліи надъ пробивапісмъ желѣзпыхъ
бропей,—293. Живая сила снаряда необходимая для пробнвапія
иа сквозь жслѣзной плиты дайной толщнпы.—294. Результаты
оиытовъ падъ нробнваніемъ желѣзныхъ пднтъ безъ подкладки и
выведенный изъ этнхъ оиытовъ коеффнціонтъ сонротнвлепіл.—
2 9 5 . Слоистая броня. — 2 9 6 . Косвенная стрѣльба
4G4
2 9 7 . Результаты оиытовъ падъ пробпвапісмъ желѣзныхъ плнтъ прнкрѣплсиныхъ къ срубамъ представлявшимъ борты бропспоспыхъ с у д о в ъ . — 2 9 8 . Рѣшепіс задачъ относящихся до стрѣльбы
въ броню
469
3

Глава XII. Способъ наимѳньпшхъ квадратовъ
и приложепіе его къ изслѣдованію результатовъ
стрѣльбы.
I. Начало теоріи вѣроятностей.
2 9 9 . Случаи равповозможіше. — 3 0 0 .

Мѣра

вероятности. —

Прсдѣлы велнчппы вѣроятпости. — 3 0 2 . Предмета

301.

теорін

вѣ-

роятностей

472
§ I.

Основпыя теоремы.
3 0 3 . В е р о я т н о с т ь событія, для котораго возможны несколько различныхъ пссовмѣстныхъ между
случай

собою

видовъ. — 3 0 4 .

Частный

для событій равновозможпыхъ. — 3 0 5 . Событія нротн-

воположпыя

474

3 0 G . В е р о я т н о с т ь случиться в м ѣ с т ѣ двумъ событіямъ. — 3 0 7 . В ѣ р о ятность

случиться в м ѣ с т ѣ р. событіямъ. — 3 0 8 .

вѣроятпостн событія

Опредѣлсиіе

но вѣроятиостямъ его в ь разлнчиыхъ ги-

потезахъ

478

3 0 9 . В ѣ р о я т н о с т ь гипотезы. — 3 1 0 . в е р о я т н о с т ь

событія,

условлн-

васмая другимъ событіемъ

484
§н.

ВЬрОЯТПОСТИ

СЛОЖНЫХ!,

СОбЫТІЙ

С О С Т О Я Щ И Х ! , 113!,

кратпаго

повторепія простых!, событій.
(Опредѣлепіс вѣроятпости à priori).
3 1 1 . В е р о я т н о с т ь событія состоящаго нзъ опрсдѣлеішаго числа повтореній д в у х ъ

псзавнсимыхъ и одно другому

иротнвоиолож-

н ы х ъ событін, простыл вѣроятпостн которыхъ нзвѣстпы. — 3 1 2 .
В е р о я т н о с т ь того, что
событіе случится

при [J. кратиомъ

новторсиін

не мепѣе 1с р а з ь . — 3 1 3 .

что при [X кратиомъ

повтореиін

нснытаніл

нспытанія

В е р о я т н о с т и того,
событіе

случится

ne мепѣе к разъ и н с б о л ѣ е I разъ. — 3 1 4 . В е р о я т н о с т и сложных!, событій,

состолщихъ

нзъ трехъ нростыхъ событій, при

р. кратиомъ повтореніи испытанія
3 1 5 . Правдоподобнѣйпіеѳ

сложное

событіс

487
состоящее

нзъ

[х-крат-

наго повторсііія двѵхъ противоноложпыхъ событій. — 3 1 G. В е роятность правдоподобнѣйшаго

событія и вероятности

всѣхъ

Стран.
прочихъ возможныхъ событій умспьпгаются но мѣрѣ уволиченія числа н с п ы т а ш й . — 3 1 7 . Прнмѣръ
491
3 1 8 . Математическое ожнданіе какой либо величины. — Е с л и математнческія ожидапія велнчішъ х, у, s ,
суть а,Ъ, с ,
,а
математическія ожнданія квадратовъ ж 2 , у 2 , я 2 ,... суть а , ,

, с,,...,

то вѣроятиость, что сумма х -+- у -л- s н к . . заключаетя въ нредѣлахъ я +

і +

с ± ß у al

- н е , -+-... — я 2 — Ь ' 1 — с 2 — . . .

при всякомъ значепін ß остается больше 1

. — 3 1 9 . Вѣ-

роятность, что среднее арнѳметнческое р. величинъ
заключается въ врсдѣлахъ

ІІ

1/(1 У

х,у,а,...

9

V-

при всякомъ значепіи ß остается больше 1 — — 3 2 0 .

Если

математическія ожпдапія величинъ х , у , s . . . ; ж , у , л , . . . не
превосходятъ каісого либо копочнаго предѣла, то вѣроятность,
что среднее ариѳметическое р. такпхъ величинъ отъ срсдняго
арнометпческаго ихъ математнчеекпхъ ожиданій разнится менѣе
ч ѣ м ъ н а какую ннбудь величину, съ возрастапісмъ числа р. до сю,
приводится къ е д п н н ц ѣ . — 3 2 1 . Законъ болыішхъ ч н е е л ъ . —
3 2 2 . Т е о р е м а Я к о в а Бсрнуллн
502
2

2

2

§ IIb

Онрсдѣдеіііс вѣроятностей изъ паблюдепій ( à p o s t e r i o r i ) .
3 2 3 . Если при зпачительпомъ чнслѣ р. нспытапій событіе случилось
m

разъ,

2 Г

У~

то

можпо

Jо

dt,

что вѣроятпость событія заключается въ нредѣ-

m
а1 Ѵ 22
"™ ±- * -ЦІл/™
.
^
Ур у и
Щихъ событій

лахъ

утверждать

съ вѣроятпостью

равиою

а

^ут
и.

_ _

3 2 4

3 2 5

в ѣ р о я т н о с т и

буд

у.

•

514

II. Способъ наименыпихъ квадратовъ.
§ I.
Опредѣлепіс ианвѣроятвѣйшаго зиаченія результата изъ
наблюдеиій, въ случаѣ одной иепзвѣстпой.
3 2 6 . Ошибки паблюдеиій и ихъ пеизбѣжпость. — 3 2 7 . Ошибки постояииыя и случаішыя. — 3 2 8 . Свойства случайиыхъ ошибокъ.

525

3 2 9 . Выводи

начала

арнѳметической

Страп.
средипы для в е с ь м а большаго

ч и с л а паблюдсиій

527

3 3 0 . В ы р а ж е п і с (при доиущепіи н а ч а л а а р и о м с т и ч е с к о й средины для
о г р а н п ч е н н а г о числа иаблюдспій) в е р о я т н о с т и , что ошибка н а блюдепія з а к л ю ч а е т с я вт> и з в ѣ с т н ы х ъ п р е д ѣ л а х ъ

533

3 3 1 . M f > p a т о ч н о с т и паблюдспій. — 3 3 2 . в е р о я т н а я ошибка о т д е л ь и а г о паблюдспія. — 3 3 3 . Н а и в ѣ р о я т н ѣ й ш а я величина с р е д н я г о
результата

нзъ

многихъ

паблюденій. — 3 3 4 .

Мѣра

точпостн

средпяго р е з у л ь т а т а
3 3 5 . В е р о я т н о с т ь , что ошибка сродияго р е з у л ь т а т а
изве.стиаго

предела. — 3 3 6 . в е р о я т н а я

н е превзойдетъ

ошибка

средпяго

зультата. — 3 3 7 . В е р о я т н а я величина средняго результата.

ре—

3 3 8 . В ы р а ж е н і е суммы к в а д р а т о в ъ р а з п о с т с й между н е к о т о р о й
в е л и ч и н о й H наблюденными величинами

чрезт,

сумму

квадра-

т о в ъ ошибокъ в з я т ы х ъ о т п о с н т с л ь п о а р н ѳ м е т п ч е с к о й средины.

547

3 3 9 . Н а и в ѣ р о я т п ѣ й ш а я в е л и ч и н а м ѣ р ы т о ч н о с т и наблюденій. — 3 4 0 .
Вероятности,

что

ошибка

отдѣльпаго

паблюденія

и

ошибка

с р е д н я г о р е з у л ь т а т а ио и р е в з о й д у т ъ н з в ѣ с т п а г о предѣла . . . .
3 4 1 . Выраженія мѣры

точности

паблюдепій

чрезъ

среднее

с т е п е н е й ошибокъ. — В ѣ р о я т н ы я в е л и ч и н ы с р е д н й х ъ

550

и-ыхъ

ошибокъ.

— . 3 4 2 . С в я з ь между с р е д н е ю к в а д р а т н ч е с к о ю , с р е д н е ю а р н о м е т и ч е с к о ю и сродною к у б и ч е с к о ю ошибками
3 4 3 . Общій средпій р е з у л ь т а т а нзъ н ѣ с к о л ь к и х ъ

554

частныхъ.срсдинхъ

р е з у л ь т а т о в ) , . — 3 4 4 . М ѣ р а ' т о ч н о с т и н в-Ьсъ общаго средпяго
результата
3 4 8 . ІІовѣрка

въ данномъ

случае

возможности

допущенія

начала

а р и ѳ м е т н ч е с к о й с р е д и н ы для о г р а н п ч е н н а г о числа наблюдепій.
— . 3 4 6 . Сравнепіе вероятностей соотвѣтствующихъ
тому-же ирсд'Ьду ошибки с р е д н я г о
начала арнѳметической

средины

результата

при

одному

и

допущепіи

для о г р а н п ч е н н а г о числа па-

блюдеиій и при педопущепіи с п р а в е д л и в о с т и этого н а ч а л а для
о г р а п и ч е и н а г о ч и с л а паблюденій

566
569

571

573

Стран.

§ И.
Прпложепіе къ изслѣдоваоію результатовъ стрѣльбы.
3 4 7 . Отклопенія отдѣльныхъ траекторий

отъ

средней

разсматрнва-

ются к а к ъ ошибки наблюдсній. — 3 4 8 . Средняя т о ч к а поражеиія и ея

свойства. — 3 4 9 .

Вычпсленіе

скихъ отклоиепій к а к ъ отъ средней

среднихъ

точки

квадратнче-

нораженія,

такъ н

отъ всякой другой точки, которой мѣсто нзвѣстпо. — 3 5 0 . В ы численіе среднихъ а р н ѳ м е т и ч е с к и х ъ отклонений к а к ъ отъ средней точки пораженія, т а к ъ и отъ другой точки которой ыѣсто
нзвѣстно

579

3 5 1 . Пояснительный нріімѣръ
3 5 2 . Вероятность

585

попасть въ в е с ь м а у з к у ю полосу. — Г р а ф и ч е с к о е

изображепіе этой в ѣ р о я т п о с т н
3 5 3 . В е р о я т н о с т ь попасть

597

в ъ площадь

ограниченную

данпою кри-

вой. — 3 5 4 . К р и в а я одинаковой в е р о я т н о с т и
3 5 5 . Вероятность

603

попасть въ в е с ь м а узкое круглое кольцо, центръ

котораго с о в н а д а е т ъ с ъ средней точкой иоражспія. — Графическое нзображепіс этой в е р о я т н о с т и

605

3 5 6 . В е р о я т н о с т ь л о п а с т ь въ нряыоуголышкъ. — 3 5 7 . В е р о я т н о с т ь
н о н а с т ь въ к р у г ъ

611

3 5 8 . Таблицы в е р о я т н о с т е й

попасть

въ полосы, квадраты, к р у г и и

прямоугольники

614

3 5 9 . Р е ш е п і е вопросовъ относящихся
мишень р а з н ы х ъ

до в е р о я т н о с т и

формъ. — 3 6 0 . Случай

поражепія но с о в н а д а е т ъ

с ъ центромъ

попасть

когда средняя
цѣли. — 3 6 1 .

въ

точка

Способъ

принимать въ р а с ч е т ъ спарлды иопадаюи;іе въ мишень с ъ рикошета. — 3 6 2 . И е р е х о д ъ отъ среднихъ отклопеній въ дальности
и въ еторопу къ средпимъ

отклонепіямъ па вертикальной ми-

шени, и обратно. — 3 6 3 . Среднія отклопенія с о о т в е т с т в у ю щ а я
разлнчпымъ дальпостямъ. — 3 6 4 .
ратнческпхъ

Онрсделеніс среднихъ квад-

отклопепій но даннымъ вероятностям!,

стрельбы

нъ мишени

617

3 6 5 . Меткость стрельбы

623
§ HI.

Опредѣлепіе папвѣроятнѣйшаго зпачснія результата нзъ
паблюденін, въ случаѣ яѣсколькпхъ непзвѣстпыхъ.
3 6 6 , 3 6 7 . ІІапвероятиейіпія величины п е и з в е с т н ы х ъ в ъ с л у ч а е н а блюдоній однпаковой с т е н е п н точпости, когда зависимость

ме-

жду пеизвѣстпыми

выражается

уравпепіомъ

лииенпаго

вида,

при доиущеиііі начала ариѳметической средним для ограпнчеинаго числа

паблюденій. — 3 6 8 .

мѣры точности и вѣроятпая
стеиопн точности

Наивѣроятпѣйшая

величина

ошибка паблюденій

одинаковой
626

3 6 9 . Наивѣроятпѣійшія величины иеизвѣстныхъ въ случаѣ паблюдепій
ие одинаковой степени точпости. — 3 7 0 .

Наивѣроятнѣшія в е -

личины мѣръ точности и вѣролтпыя ошибки

наблюдений

ис

одипаковой степени точности

633

3 7 1 . Случай когда зависимость между искомыми незвѣстными выражена ураішспіемъ но линеГшаго вида. — 3 7 2 . Случай
пыхъ уравнений, которым® определяемый величины

услов-

неизвѣст-

пыхъ должны удовлетиорять въ точпости. — 3 7 3 . Примерь . .

642

§ IV.
Формулы ннтерполированія по способу ианменышш» квадратов!..
3 7 4 . Объяснсиіе. — 3 7 5 . Ряд® выражающій искомую функцію, когда
требуется

а, Ъ, с , . . .

найти паивѣроятпеГипія

зпаченія

коеффнцісптовъ

U =а-і-Ьх-\ex" -+п нзъ паблюдонін и з в е с т н ы и—гс1, и^, . . . гіп, соответствующее равноотстоящим велпчинамъ х— 1і, 2h, ... nh
3 7 6 . Формулы
мую

для вычисленія

фудкцію,

зпачопія

U=F(x)

торая

въ выражсиін

когда

членовъ
требуется

коеффиціептовъ

[а-\-Ъх-і-сх--ь-...

фупкція

ряда

перемѣнной

а,

выражающаго

найти

Ъ,

наивѣроятнѣйшія

с

въ

] , въ которомъ
х,

и нзъ

« = « , , и , , , . . . и п соответствующіс
х = х 1 , Х ц , . . . Хп

652

иско-

F(x)

выраженіи
ость н е к о -

наблюденій

различным®

пайдепы

величинам®
656

§ V.
Прпложспіе къ опрсдѣлепію вертикальной проекціи траекторін иоданпымъ иолучеяяымъ пзъ результатов ь стрѣльбы.
3 7 7 . Вычисленіе уравненія траекторін

сфсрнческаго снаряда, подъ

данным® угломъ бросапія,

по найдепымъ

там® иа

разстояпіяхъ

равноотстоящихъ

изъ оиыта

ордина659

3 7 8 . Вычислепіе уравиенія вертикальной проекціи траекторін цродолговатаго снаряда но найденным® нзъ оныта угламъ бросанія
соответствующим®

различным® дальностям®,

скорость снаряда непосредственно

если

не определена

начальная
666

Стран.
3 7 9 . В ы ч и с л е п і с у р а ш і е н і я вертикальной проекціи траекторіи продолговатого

снаряда

соотвѣтствующимъ

но найдепнымъ изъ опыта угламъ
различными дальпостямъ,

скорость с н а р я д а оиредѣлена н е п о с р е д с т в е н н о . —
т р а с к т о р і н , с к о р о с т ь и время полета. —

бросапія

когда н а ч а л ь н а я
Наклоненіе

3 8 0 . Выраженіе вре-

мени и скорости в ъ зависимости отъ дальности по найденнымъ
нзъ опыта начальной скорости н временамъ соответствующими
различными дальностями. — 3 8 1 .
стрѣльбѣ

Таблица

иолучеппыхъ

нзъ нарѣзпой 2 4 ф. п у ш к и , зарядомъ

при

въ 7 фунтовъ

пороха, угловъ бросаиій и времеиъ полота, а также вычислеітн ы х ъ у г л о в ъ бросапій, времени нолста, угловъ наденій и окоич а т е л ь н ы х ъ с к о р о с т е й , с о о т в ѣ т с т в у ю щ и х ъ различными дальностями

674

Пршгоженіе.
І а б л н ц ы для облсгчеиія пычнслепія б а л н с т н ч е с к и х ъ

формулъ.

КУРСЪ ВНѢШНЕЙ БАЛИСТИКИ.
ВВЕДЕНІЕ.
1. Опрсдіьлспіе и раздѣлснге балистики. Балистика (отъ греческаго слова ßaXXo, бросаю) есть наука о движеніи тяжслыхъ
тЬлъ брошешіыхъ въ пространств!;, но какому-либо направленію.
Она исключительно прилагается къ изслѣдованію движенія снаряДовъ, выстрѣлснныхъ нзъ огпестрѣльнаго оружія.
Балистика раздѣляется на внутреннюю, изслѣдующую движеІПе

снаряда въ каналѣ орудія, когда онъ подверженъ дѣііствію

"ороховыхъ газовъ, и внѣгииюю — пзелЬдующую двнженіе снаряда
110

вылетѣ изъ орудія, когда онъ подверженъ дѣйствію тяжести

в соиротивлеііія той среды, въ которой онъ движется.
2. ІІашъ кѵрсъ виѣшней балистики раздѣлимъ иадвѣнадцать
влаьъ.
В ъ главѣ 1-й будутъ изложены способы измѣренія скоростей
спарядовъ H времснъ ихъ полета, и приведены результаты пронзВе

дешіыхъ у насъ опытовъ надъ опредѣленіемъ началыіыхъ ско-

ростей сферическнхъ и продолговатыхъ спарядовъ.
Глава П-я будетъ содержать законы поступателыіаго двнженія
спарядовъ въ безвоздупшомт. пространств-!;.
Глава ІІІ-я — нзысканія надъ соиротнвлепіемъ воздуха.
Глава 1Ѵ-я — изслѣдованіе двшкспія сферическнхъ не вращающихся спарядовъ въ воздухѣ.

Глава Ѵ-я — прпложепіе этихъ изслѣдованій къ рѣшенію вопросовъ, относящихся до навѣсной,

прицѣлыюй и перекидной

стрѣльбы.
В ъ главѣ ѴІ-й будутъ разсмотрѣны причины отклоненій сферическихъ снарядовъ H траекторія сферическихъ эксцентрическихъ снарядовъ.
Глава YII -я будетъ заключать нзслѣдованія двнженія иродолговатыхъ снарядовъ въ воздухѣ.
Глава ѴІІІ-я — приложеніе этихъ изслѣдованій къ рѣшенію
вопросовъ, относящихся до прицѣльной, навѣсной и перекидной
стрѣльбы изъ парѣзныхъ орудій.
В ъ главѣ ІХ-й будутъ разсмотрѣпы причины отклоненій иродолговатыхъ снарядовъ.
В ъ главѣ Х-й будутъ изложены условія иодобія траекторий,
описываемыхъ въ воздухѣ сферическими и продолговатыми снарядами.
Глава ХІ-я будетъ заключать изысканія иадъ углубленіемъ сферическихъ и нродолговатыхч> спарядовъ вътвердыя среды и иадъ
пробиваніемъ ИМИ борговъ судовъ, покрытыхъ желѣзною бронею.
Глава ХІІ-я будетъ содержать изложеніе способа паименьшихъ квадратовъ и приложеніи его къ изслѣдованію резѵльтатовъ
стрѣльбы.

ГЛАВА I.

Нзмѣрепіе скоростей сыарядовъ и времепъ
ихъ полета.
3. Для измѣренія скоростей снарядовъ имѣются два средства:
первое заключается въ приведеніи скорости снаряда къ другой
меньшей, которая могла бы быть удобно вымѣрена.
Каесинп сыпъ, сколько пзвѣстпо, первый употребилъвъ 1 7 0 7
г

°Ду это средство для повѣрки нѣкоторыхъ опытовъ надъ ружьями.

Опъ стрѣлялъ въ тяжелый кусокъ дерева, двпгавшійся по иаправленію удара пули.
Робинсъ усовершеиствовалъ способъ Кассини, употребпвъ
Для этой цѣли толстую деревянную доску, вѣсомъ около 1'/2 пуда

> которую, подобно маятнику стѣнныхъ часовъ, прикрѣпилъ

пиитами къ желѣзной полосѣ, привѣшенной къ горизонтальной
0Си

пращенія. Этотъ прпборъ, извѣстный подъ именемъ балисти-

ческаго маятника, былъ въ первый разъ употребленъ Робинсомъ
въ

17

4 0 году для измѣрепія скоростей ружейпыхъ пуль и со-

противленія воздуха.
Гютопъ отъ 1775 до 1789 года производилъ въ

АІІГЛІИ

°пьіты помоіцію маятника, составлешіаго изъ нѣсколькихъ дерепппныхъ частей, соединенныхъ желѣзиыми оковками; вѣсъ этого
маятника былъ нослѣдовательно увеличиваемъ отъ 2 5 до 6 0 пу1*

довъ, такъ что представилась возможность стрѣлять въ него
1, 3 и G Фунтовыми ядрами.
Впослѣдствіи

балистическіе

маятники

были

значительно

усовершенствованы, при чемъ къ маятникамъ, служащимъ для
измѣренія скоростей спарядовъ и получившимъ названіе пріемниковъ маятпиковъ,

присоединили подвѣшенныя, подобно маятни-

камъ, самыя орудія, изъ которыхъ стрѣляютъ въ пріемники маятника, пазваппыя орудіями-маятниками,

служаіція для измѣренія

скорости отдачи орудія.
М ы опишемъ устройство балистическпхъ маятпиковъ съ сдѣланными въ нихъ усовершенствованіями генералами Французской
артиллеріи Піоберомъ, Мореномъ и Дндіономъ.
4. Второй способъ измѣрепія скоростей спарядовъ основаиъ
па измѣрепіп времени полета снаряда между двумя точками его
траекторін, находящимися одна отъ другой натакомъ разстояніи,
на которомъ частное отъ раздѣленія этого разстоянія на соотвѣтствующее время можно принять за скорость снаряда въ точкѣ
находящейся на половшіѣ разематрнваемаго разстоянія.
Первый нрнборъ для этой цѣли былъ иредложенъ Матеемъ
ранѣс 1 7 7 3 года. Онъ состоялъ изъ вращаюіцагося бумажнаго
вертпкалыіаго цилиндра, въ который стрѣляли ружейными пулями
въ направленіи перпендіікулярномъ къ его оси, такъ чтобы пуля
проходила чрезъ направлеиіе осн. По причинѣ вращепія цилиндра
отъ В къ С (ФИГ. 1), пуля, вмѣсто того чтобы пробить цнлнндръ
въ точкахъ А и В одного діаметра, пробиваешь его въ точкѣ А
и въ точкѣ В достигающей точку В въ то время какъ пуля проходить діаметръ. Время t, въ которое точка В приходить въ В,
равно времени Т полнаго оборота цилиндра помноженному на
отношеніе дуги В В

къ цѣлой окружности В В А С В и скорость

пули въ точкѣ находящейся на паправлепіи оси цилиндра равняется діамстру его, раздѣлепному на время t.
Этотъ способъ въ 1 8 0 3 году былъ измѣненъ иолковшікомъ
Французской артиллеріи Гробсромъ. Е г о приборъ (ФИГ. 2) состоять изъ вращающагося горизонталыіаго вала, около 13 Футъ

Длины, на обоихъ концахъ котораго насажены па глухо два диска,
около 6'/ 2 <і>утъ въдіаметрѣ, разделенные на 3 6 0 ° радіусами, находящимися на обоихъ дискахъ въ одшіхъ меридіональныхъ

ІІЛОС-

костяхъ. В ъ дискъ стрѣляютъ изъ ружья по направленію параллельному оси вращенія.
В ъ 1 8 3 4 году былъ испытанъ во Фрапціп способъ полковника Дебоза, состоящій (ФИГ. 3) въ измѣреніи времени прохожденія сиарядомъ разстоянія AB около 2 5 саженъ, высотою наденія
Досчечки С, расположенной около 2 8 саженъ отъ орудія I) и
Удерживаемой ниткою, которая, охватывая два отводные блока
F11

G, проходптъ въ H на разстояиіи около 3 саженъ отъ ору-

дии Спарядъ, при полете, обрѣзываетъ нитку въ 7 / и заставляегъ
чрезъ это падать досчечку С, а достигая досчечки С пробпваетъ
какъ ее такъ и поставленный за нею деревянный щитъ. По измеренной высоте h паденія досчечки, время ея паденія, въ продела е т е котораго спарядъ проходить разстояніе AB, получится изъ

а
Д'Ь g есть ускореиіе тяжести; а скорость спаряда, на сродипе

Г

Разстоянія AB, будетъ равна частному изъ длины AB на время t.
5. Beb изложенные способы нзмѣренія малыхъ временъ, далеко не иредставляютъ желаемой точиостп. ИзмЬреніе малыхъ
временъ, употребляемыхъ сиарядомъ на нрохожденіе небольшихъ
разстояпій могло быть выполнепо съ достаточною точностью лишь
во Применены для этой цЬлп электричества.
Электро-балистическіе приборы состоять нзъ хронометрической части, служащей для нзмеренія времени, и присиособлеиія
для учрежденія зависимости между хронометромъ и движущимся
сиарядомъ.
Это прпспособлепіе состоитъ въ сущности изъ рамъ-мишеней
Устанавливаемыхъ въ начале п концѣ того пути снаряда, время
котораго хотятъ измерить. Проволоки, патяпутыя на рамы-миШени, соединяются помощію проводішковъ съ гальваническими
батареями и съ соединенными съ хронометромъ электро-магни-

тами пли бобпиой Румкор<і>а. При пробиваніи снарядомъ проволокъ иа рамѣ-мишени прерывается электрическій токъ, чрезъ
что или приводятся въ двизкеніе извѣстныя части хропометра,
бывшія въ соедииеніи съ электро-магнитомъ,

или получается

индуктированная искра, дѣлающая отмѣтку на хронометрѣ.
Хронометрами преимущественно служатъ :
a) Вращающійся цилиндръ или диски надѣтые на глухо на
вращающуюся ось. Электро-балистическій приборъ съ вращающимся цилиндромъ былъ въ первый разъ предложенъ въ 1 8 4 3
году полковникомъ (нынѣ генералъ-лейтенантомъ) Константиновымъ и построенъ, подъ наблюдеійемъ его, въ Парижѣ Брегетомъ.

ІІаиболѣе совершенные приборы этого рода суть нынѣ:

англійской артиллеріи капитана Нобле, англійскаго профессора
математики БаіпФорта и Французской артиллеріи капитана Шульца.
b) Маятникъ. Время нзмѣряется частью амплитуды одного
его качанія. Первый эдектро-балистическій маятішкъ, выполпнвшій свое ііазиачепіе, быль устроенъ бельгійской артнллеріи маіоромъ ІІаве. Оиъ впослѣдствіи усовершенствовапъ полковникомъ
бельгійской артпллеріи Лерсомъ.
c) Свободно падающій грузъ. Приборъ основанный на свободномъ паденіи тѣлъ устроенъ въ 1 8 6 4 г. бельгійской артиллеріи капитаиомъ Ле-Буланже и названа, имъ хронограФомъ. В ъ
1 8 6 7 году хронограФъ былъ изобрѣтателемъ весьма значительно
усовершенствовать и иынѣ представляетъ собою приборъ весьма
простой, очень удобный для употребленія и весьма точный.
Изъ всѣхъ электро-балистическихъ ирпборовъ, служащихъ
для измѣренія малыхъ временъ, опишемъ хронограФъ Ле-Буланже.
Изъ приборовъ, служащихъ для измѣренія временъ полиаго полета снарядовъ, опишемъ предложенный г. Ле-Буланже электрнческій клепсмдръ, выполняющей удовлетворительно свое назначеніе.

Балостичсскіс маятппки гг. Піобсра, Морепа и Дидіопа.
С. Балистичсскій орудійный маятникъ. Прісмникъ этого
маятника состоитъ (ФИГ. 4) изъ чугуннаго пустаго отрѣзпаго конуса Л, подвѣшеннаго четырьмя желѣзными полосами В, В', В, В'
къ валу С, на 1G Футъ ниже вала, въ перпендикулярномъ къ нему
направлены. Двѣ нзъ этихъ полосъ охватываютъ пріемникъ спереди, a двѣ сзади. Полосы, приходящіяся по двѣ съ каждой стороны пріемника, сходятся въ верхней части, отклоняясь отъ вертикальной плоскости, проходящей чрезъ ось пріемника. Всѣ четыре желѣзныя полосы скрѣплепы въ верхней части четырьмя
поперечинами В, В', Е, Е' и тремя подушками F, F', G. В ъ нижней части полосы скрѣплены двумя передними подушками И, К
и одной задней К'.

Подушки К и Ii'

соединены болтомъ L

съ

винтовьшъ иарѣзомъ; другой болтъ M скрѣпляетъ всѣ четыре
желѣзныя полосы сверху пріемника. На болтъ L надѣты свинцовый кольца N, удерживаемыя на ІІСМЪ, иа'опредѣлеішомъ мѣстѣ,
танками О. Прибавляя число колецъ и измѣняя ихъ иоложеніе
можно понижать цептръ тяжести и центръ качанія системы и
приводить ось пріемника въ горизонтальное положеніе.
Оконечности Р , Р желѣзнаго вала С имѣютъ видъ ножей,
коихъ ребра округлены радіусомъ въ 1 лппію; ножи лежатъ на
с

тальныхъ подушкахъ Q, Q, верхняя поверхность которыхъ пред-

ставлястъ двѣ наклоненный одна къ другой плоскости, соединенный закругленіемъ описанньшъ радіусомъ въ 2 линіи, такъ что
при качаніяхъ маятника ножи не скользлтъ, а катятся по закругленно подушекъ.
Подушки Q, Q лежатъ на чугунныхъ илитахъ В, В, утвержденным. длинными желѣзньши болтами въ верхней части двухъ
каменныхъ столбовъ, выведенныхъ на кирпичномъ Фундаментѣ.
Каналъ S пріемника имѣетъ видъ усѣченнаго конуса съ занругленнымъ дпомъ; каналу даютъ такую длину, чтобы снаряды

засѣдали въ пескѣ, которымъ онъ наполняется. Чугунный пріемникъ снаружи скрѣпленъ желѣзныыи обручами.
Передъ началомъ опыта въ пріемникъ вставляютъ бочку
плотно набитую пескомъ, и переднюю часть пріемника закрываютъ свпнцовымъ листомъ, около 0,2 лииіи толщиною, укрѣплевнымъ четырьмя винтами между двумя желѣзныыи кольцами,
которые удерживаются на срѣзѣ пріемника особыми четырьмя
винтами; двѣ черты начерченный на свшщовомъ листѣ, одна горизонтальная, другая вертикальная, обозначаюсь своимъ пересѣченіемъ точку, находящуюся на оси пріемника; эти черты служатъ для пзмѣрепія разстояпія отъ реберъ ножей до центра
отверстія пробиваемаго снарядомъ.

Свинцовый лнетъ имѣетъ

также цѣлыо препятствовать выпаденію нзъ пріемника песку и
осколковъ бочки.
Мѣдная дуга Т, разделенная на градусы и минуты, утверждена у нижней части маятника на деревянной дугѣ TJ, удерживаемой въ плоскости перпендикулярной къ осп вращепія стойками
V и лежнемъ X . По мѣдпой дугѣ скользить мѣдный указатель
съ ноніусомъ, приводимый въ движеніе, во время отдачи маятника, прнкрѣіілеішою къ маятнику желѣзною стрѣлкою. Величина
размаха сообіценііаго снарядомъ пріемиику измеряется дугою,
которую проходить указатель, приводимый въ движеніе стрѣлкою.
7. Орудге-маятпикъ.

Орудіе подвешивается (ФИГ. 5) протпвъ

пріемника, подобно пріемшіку.

Оно утверждается цапфами въ

гнѣздахъ желѣзиыхъ сташшъ A, подвѣшенныхъ желѣзными полосами В, В. Два хомута С, С, I), D, составленные каждый нзъ
двухъ частей, охватываюсь орудіе въ казенной и дулыюй частяхъ
и служатъ для плотнаго утверждснія орудія въ желѣзныхъ полосахъ. Нижиія части хомутовъ имѣютъ ббльшій вѣсъ чѣмъ верхдня, для того чтобы понизить цеіггръ тяжести и центръ качанія
системы.
Прочія части орудія маятника тѣ ate, что н балистнческаго
маятника.
Каменные столбы, на которыхъ виентъ орудіе-маятнпкъ, на-

годятся въ разстояпіп 4 0 Футъ отъ сголбовъ поддерживающихъ
чріемникъ, такъ что дульный срѣзъ орудія отстоишь около 32
ф

утъ отъ срѣза пріемиика.
Для того чтобы по возможности защитить Ііріемішкъ отъ

Дѣйствія пороховыхъ газовъ, между орудіемъ и пріемникомъ, въ
Разстояніи 7 Футъ отъ пріемника, ставятъ прочный деревянный
Щитъ, въ которомъ прорѣзано круглое отвсрстіе, діаметромъ
около 1,6 фута.

В. Балисѵгическій маятникъ для стрѣльбы изъ ружей. Пріемникъ этого маятника состоишь (ФИГ. 6) изъ чугуннаго пустаго
0

грт.зиаго конуса А, неимѣющаго дна, подвѣшеннаго четырьмя

желѣзнымп полосами В, В', В, В' къ валу С, на 6% Футъ ниже
вала, въ перпендикулярномъ кънему направлепіи. Полосы скрѣплеиы продольными и поперечными связями и двумя болтами:
однимъ, М , сверху пріемника и другимъ, L , снизу. IIa болтъ L ,
кмѣющій винтовую нарѣзку, иадѣты свішцовыя кольца N, удерживаемый на немъ, на оиредѣлсінюмъ мѣстѣ, гайками О.

Оконечности желѣзнаго вала ішѣютъ видъ ножей, которыми
валъ лежишь па подушкахъ, утверждениыхъ на капители, связывающей верхнюю часть двухъ чугунныхъ сгоекъ Л , Ii', Стойки
п РикрѢплеиы къ каменному цоколю, расположенному на кирпичиомъ Фундаментѣ, п расперты двумя болтами S, S'. Н а этнхъ
°олтахъ утверждена желѣзная дуга Т съ прикрѣпленной къ ней
мѣдной дугой £7, раздѣлеипой на градусы; по мѣдной дугѣ скольЗ и т ъ Указатель съ ионіусомъ, приводимый въ движеніе стрѣлкою,
"Рчкрѣплеішою къ маятнику.
Для производства опыта въ пріемникъ А вставляютъ свішцовьщ поддоиъ въ видѣ усѣчеинаго конуса, плотно прилегающій
къ стѣнкамъ пріемника, и пріемпикъ сверху закрываютъ досчечкоиДГ. Употребляемая прнстрѣльбѣ досчечка сосвшщовымъ подАономъ имѣетъ постоянно одинакой вѣсъ. IIa досчечкѣ чертятъ
Явй черты, обозначающая свои.мъ иересѣченіемъ точку, находящуюся на осп пріемнпка п служащія для пзмѣренія разстоянія
0 г ь Рсберъ ножей до центра отверстія пробнваемаго нулей.

Ружье иодвѣишвается противъ пріемиика, подобно пріемнику.
Оси вращенія пріемника и ружья маятппковъ находятся на
разстояиіи 10 <і>утъ одна отъ другой, такъ что дульный срѣзъ
ружья отстонтъ около 6'/ 2 ч.утъ отъ срѣза пріемника.

9. Балистическій деревянный маятникъ для стрѣльбы въ
него

съ болыиихъ разстояній.

Описанный выше балпстнческій

маятникъ для стрельбы изъ артиллерійскихъ орудій,
отъ дулыіаго

срЬза

орудія

около 32

<і>утъ,

отстоя

можетъ

быть

только употрсбленъ для опредѣленія скоростей снарядовъ на
означенномъ разстояніи отъ дульнаго срѣза. Для того,
имѣть возмоншость

измѣрять

скорости

снарядовъ

чтобы

на болЬе

далышхъ разстояпіяхъ, отъ 7 до 50 саж. отъ орудія, устраивается деревянный маятникъ болыиихъ размеровъ.
его (ФИГ. 7) состоитъ

Пріемникъ

изъ деревиішаго пустаго цилиндра 7,7

Фута длиною и 5 Футъ въ наружномъ діаметрЬ; онъ составленъ изъ бочечныхъ досокъ А, плотно скрепленпыхъ яіелезными
обручами В,

и прпвешенъ къ деревянному валу D номоіцію че-

тырохъ деревяпиыхъ брусьевъ С, С, соедшіеішыхъ деревянными
поперечными и продольными подушками и болтами. Каналъ пріемпика, въ 4 , 4 Фута въ діаметрЬ, обнтъ толстымъ лмстовымъ желЬзомъ. Пріемникъ сзади закрытъ толстымъ деревяннымъ дномъ
Ii, а спереди досчатымъ дномъ К, въ 1 дюймъ толщиною, удерживаемымъ на мЬстЬ двумя деревянными кольцами. Промежутокъ между дпами набивается иескомъ сквозь отвсрстія, сдЬланныя въ верхней части пріемпика и закрываемыя обитыми желЬзомъ дверцами L , L . Пріемшікъ вмЬіцаетъ отъ 1 9 0 до 2 0 0 пудъ
песку и вЬсптъ съ пескомъ около 3 7 0 пудъ.
Къ деревянному валу В прикреплены стальные ножи F,

ко-

торыми валъ лежитъ на сталыіыхъ подушкахъ, опирающихся на
чугунпыя плиты прикрѣпленпыя къ деревяннымъ столбамъ М , М ,
связаішымъ перекладинами н болтами.
ДвЬ желЬзныя дуги N, разделенный па градусы, сиабжсшіыя
указателями и расположенный по обЬимъ сторонамъ маятника
служатъ для нзмЬренія величины его размаха.

Точка паденіа снаряда въ пріемникъ опредѣляется помощію
топкаго свинцоваго листа, заключешіаго между двумя желѣзными
кольцами прикрѣпленными спереди пріемника.
Орудіе для стрѣльбы въ этотъ маятникъ не подвѣшнвается,
а

располагается на ла<і>етѣ, на одной высотѣ съ осыо пріемника.

10. Формула для вычислены скорости снарядовъ по отдать
Щемника маятника. —Изобразимъ (ФІІГ. 8) ч е р с з ъ Р в ѣ с ъ маятника, — чрезъ Ь вѣсъ снаряда; чрезъ ѵ скорость снаряда въ начал!, удара въ маятникъ; чрезъ о угловую скорость маятника въ
концѣ удара; чрезъ I моментъ шіерцін маятника вокругъ оси враЩеищ; чрезъ D G, К, і разстоянія отъ нижнихъ реберъ о ножей:
0с

" пріемника, центра тяжести а маятника, центра его качанія

11

точки d, въ которую попалъ спарядъ; чрезъ А уголъ отдачи

маятника отъ удара снаряда и чрезъ g ускореніе тяжести. — Массы
маятника и снаряда выразятся чрезъ ~ и
При ударѣ снаряда въ маятникъ развиваются въ точкахъ нхъ
оопрпкосиовеиія внутреннія силы, стремяіціяся уменьшить скорость снаряда и сообщить нѣкоторую скорость маятнику, такъ
что по истеченіи извѣстпаго времени, которое весьма коротко,
спарядъ и маятникъ должны имѣть общую скорость, съ которою
0НИ

Должны двигаться н послѣ удара, если спарядъ и маятникъ

иринимаемъ затѣла не упругія. Такъ какъ при ударѣ развнваютъ

°ДЦІ'> вцутреішія силы, то сумма момснпговъ (взятыхъ относи-

тельно оси вращенія о) количествъ движснгя
должна сохранять
11

снаряда и маятника

одну и ту же величину какъ въ началѣ удара,

въ моментъ іірикосновешя снаряда къ маятнику, такъ и въ

коіщѣ удара, т. е. по окончаніи углубленія снаряда въ пріемникъ.

Моментъ количества двнженія маятника въ иачалѣ удара равенъ нулю.
Моментъ количества движенія маятника въкоицѣ удара е с т ь ! « .
^ Моментъ количества движенія снаряда въ началѣ удара есть
•glV.

Моментъ количества движепія снаряда въ коіщѣ удара есть

Ь • •
Ъ -2
— ш . г = - г м.
9

9

Вслѣдствіе вышеприведеішаго закона механики должно быть
Ъ .

Ь •2
т
о ч - /м,
'

- гѵ = -г
Я

9

откуда
V — 6).

Ig -+•
Ы2
-^-р—
Ъг

Но такъ какъ К есть ни Что иное какъ длпна простаго маятника, совсршающаго качаиія въ одно время съ балистическпмъ
маятникомъ, то К, какъ изъ механики извѣстно, должио равняться моменту ішерціп балнстпческаго маятника относительно оси
его враіценія, раздѣленному па массу этого маятника и на разстояние центра его тяжести отъ оси вращенія; слѣдователыю:

I= f

.G.K,
bi

В ъ этомъ выраженін скорости ядра входитъ неизвѣстиая
величинам. — Для онредѣленія ея воспользуемся закономъ жпвыхъ снлъ. Вслѣдствіе этого закона сумма живыхъ силъ маятника и углубнвшагося въ не,мъ снаряда, въ концѣ того времени,
въ которое маятникъ отклонился отъ вертикалыіаго иоложенія иа
уголъ А, т. е. въ концѣ отдачи, равна суммѣ живыхъ снлъ маятника и снаряда въто мгновеніе, когда снарядъ вънего углубился,
сложенной съ работой дѣйствующихъ силъ, развившейся въ продолженіе разсматрнваемаго времени.
Такъ какъ скорость маятника и углубнвшагося въ немъ снаряда въ концѣ отдачи равна нулю, то и живыя силы маятника и
снаряда въ это мгновеніе равны нулю.
Такъ какъ угловую скорость маятника въ концѣ удара, или
въ концѣ взапмпаго протпводѣйствія маятника и снаряда, изобра-

зили чрезъ о , то живая сила маятника въ это мгновеніе равняется J"2

.

а живая сила снаряда въ то же мгновеніе рявпяетсл

Ы 2 ы2

.

Дѣйствующія силы на маятникъ и иа спарядъ, во время отдачи маятника со сиарядомъ, суть сила тяжести итреніе иодушекъ
, 0 ножи, которымъ преиебрегаемъ.
Если а есть положеніе центра тяжести маятника когда онъ
В ъ нокоѣ, то центръ тяжести иерейдетъ въ Ъ когда маятникъ опишетъ уголъ а о Ь = А и, опуетпвъ изъ точки Ь иерпендикуляръ
на вертикальную линію о о, увидимъ, что центръ тяжести маятника подымется на ac = G — G cos А. — Спарядъ, углубившійС я по направленію eil (которое предполагаемъ горизоптальнымъ),
Можно разсматривать какъ находящійся въ d на вертикальной
проходящей чрезъ ось вращенія, на разстояніи о cl = г отъ этой
0 с ц ; когда маятникъ онпшетъ уголъ А спарядъ иерейдетъ въ f ;
опустивъ изъ точки f иерпендикуляръ fJi, увидимъ что спарядъ поДьімется на dJi = i— г cos А. Такъ какъ работа произведенная
силою постоянною но велпчішѣ и направленію выражается произнсденіемъ величины этой силы на проекцію, по направленію силы,
пространства пройдешіаго точкою приложенія силы, то, предположит, массу маятника и массу спаряда сосредоточенными въ
ихъ центрахъ тяжести, работа произведенная тяжестью иа маятникъ н на снарядъ выразится чрезъ
— FG (1 — cos А) — Ы (1 — cos А)
или чрезъ
— 2 (JPG -+- Ъі) sin'2 j ,
такъ какъ 1 — c o s А =

2 sin2

Следовательно, но закону живыхъ сплъ, будемъ иметь:

= 4 ( P G - н Ь і ) sin 2
11

такъ какъ / = - . G.K, то
а
'
2
о (P. G. К -+- bp) = 4 (PG -+- Ы) g. sin 2 \ ,

откуда
a

—

,/(Pff-Hbt) g
У

PGK-t-ЪР-

2 sin-

2'

Вставнвъ эту величину въ выраженш ѵ получимъ:
2

8

ц

а )

1 1 . Эта Формула удобна для вычпсленія скорости ружейныхъ
пуль, потому что при опытахъ съ руЖейиымъ маятникомъ вставляемые въ пріемникъ послѣ каждаго выстрѣла свинцовый конусъ
съ досчечкой имѣютъ постоянно одинакій вѣсъ, пули для каждаго
ряда опытовъ могутъ быть выбраны одного п того же вѣса, такъ
что величины В, G, К и Ь остаются постоянными, и такъ какъ
разстоянія точекъ попадснія пуль отъ ребра ножа весьма малымъ
отличаются отъ разстоянія осп пріемника до ребра ножа, то величина і подъ редикаломъ можетъ быть замѣиена величиною В, а въ
знаменателѣ вмѣсто і можемъ подставить В ±

AB, гдѣ AB обо-

значаешь чѣмъ г болѣе или меиѣе В. Такимъ образомъ Формула
приметь видъ:
0

V(FQK

ѵ

—

+ ЫР) (PG ч- ЬЩ-д
.
Ъ(Р±Щ
- ь

Л
ш 2

О V(PGK Н- ЬР2) (PG Ч- ЬР) g _ J _
. А
*
ЬР
- ,
ÜDM" 2'
1 ziz
В

или, вычисливъ напередъ постоянный коэФФиціентъ
0

Y(PGK-t-

ЬР'1) (PG ч- ЬР) g
ЬР
—

il пренебрегая вторыми и высшими степенями весьма малой дроби
, получимъ:
«=?іг(і

sin|

(3)

Изъ этого видно, что опредкленіе скорости ружейной пули,
Ри каждомъ выстрѣлѣ, сводится на помножепіе предварительно

п

опредѣленнаго коэффициента у на sin у и на уменыненіе или увеличено полученной такимъ образомъ скорости на ~

долю ея ве-

личины, смотря потому г болѣе или менѣе 1) на ДD.
12. При стрѣльбѣ изъ артиллерійскихъ орудій, вѣсъ вкладыпаемыхъ въ пріемникъ маятника боченковъ, набитыхъ исскомъ, не
Можетъ быть всегда одинъ и тотъ же; разности въ ихъ вѣсахъ
бьіваютъ часто значительны, что измѣняетъ величины Р, G, К;
также трудно подбирать снаряды для одного опыта совершенно
°Дииаковаго вѣса, н какъ весьма затруднительно нредъ каждымъ
вьістрѣломъ онредѣлять разстоянія центра тяжести G и центра
качанія К отъ оси вращенія, то для вычисленія скоростей снаряДовъ необходимо преобразовать Формулу (1). Если примемъ въ
с

°ображеніе, что разность въ вѣсѣ бочекъ съ пескомъ можетъ

бьіть разсматриваема какъ дополнительный грузъ р помещенный
І1а

оси пріемипка, то пронсходящія отъ этого прпраіценіе статн-

ческаго момента PG будетъ рВ,
I 3 GK будегъ рВг\

a приращепіе момента шіерціп

изобразпвъ чрезъ В срсдній вѣсъ снаряда, а

Чрезъ Д В пзбытокъ вѣса снаряда, котораго опредѣляемъ скорость, надъсредішмъ вѣсомъ, нолучнмъ h = В -+- AB, н замѣтявъ
что разстоянія точекъ попаденія снарядовъ отъ реберъ ножей малымъ отличаются отъ разстоянія осп пріемпика до реберъ ножей,
Такъ что въ Формулѣ (1) величина і подъ радикаломъ можетъ
5ьіть замѣнена величиною В , можемъ величшіѣ стоящей въ этой
чюрмулѣ подъ радикаломъ дать слѣдующій видъ:

(.PGK+pB2

-+- В В2 -+- ABB2) (PG -+- рВ -н ВВ

AB.В) g

Вынеся за скобу въ первомъ множнтелѣ PGK-л-ѢВ2,
пторомъ PG - ь ВВ, получимъ

а во

или

(РОК -

BIP) (Рв * BD) (l н

-

(

l

н-

.,

Обѣ дроби прибавляемый къ единицѣ весьма малы, такъ напримѣръ когда уравняется 2 5 Фунтамъ, онѣ, при употребляемыхъ
маятникахъ, едва равняются около j T . По этому при перемножены третьяго H чствертаго множителей другъ на друга произведепіемъ этихъ двухъ дробей можно пренебречь, такъ что Формула
(1) приметь видъ:
ѵ

X С1

_

о У (РОК

(pgkZbd

-1-

ч- BIP)

+

ы

(l'G -4- BD) g

p g & b d )

(р

Д ^ ) ] 4 . sin ±

Извлекая квадратный корень нзъ втораго множителя и пренебрегая при этомъ вторыми и высшими степенями дроби:
[ ш ё г ш p g Z b d )

Х

I1

.. _

1

( Р Ь В ) ,

нолучимъ:

о V ( P f f A ' -*- B D » ) (PG ч- BD) g
Ы

(pGkZ

pgZ

BD'1 +

bd)

(Р +

ЬВ)~}-Sin

I

Опредѣливъ разъ на всегда G н К и вычисливъ предварительно постоянный:
2 У ( Р < Ж - ь BD')

{PG

1 (
D2 \ PGRhBD'1

BD). g = N,

В
\
PG H- BD )

= =

Qi

(4)
(5)

нолучимъ для опредѣленія скорости снаряда весьма простую Формулу:
. А
s i n
ѵ

=

N

~ъг

2

/

[

ч

1

Q (Р -*- ьв)

)

(6)

13. Опредѣленіе величинъ G, К и g входящихъ въ формулу
скорости.
ІІзмѣренге разстоянгя
ребра ножей.

G центра тяжести отъ нижняго

В ъ ружейныхъ маятнпкахъ это разстояніе опреде-

ляется, кладя маятникъ на острое ребро стальной линейки, расположенной горизонтально, параллельно оси вращенія маятника, н
приводя маятникъ въ этомъ положеиіи въ равновесіе.
В ъ орудійныхъ маятнпкахъ, но причинѣ ихъ болыннхъ размѣровъ, разстояніе G не можетъ быть измерено прямо и потому
находится чрезъ опредѣлеиіе статического момента VG. Статический момеитъ измеряется помощію предложенныхъ генераломъ
Дидіономъ вЬсовъ. ВЬсы эти состоять (ф. 9) изъ желЬзнаго, колЬнчатаго равноплечнаго коромысла а, снабжеішаго тремя стальными ножами е, /', g; разстоянія между ребрами е и /', f и g равны 8 дюймамъ и ребро g отстоитъ на 8 линій отъ прямой f f перпендикулярной къ cf., такъ что уголъ gf f ' составляет'!, 5° 4 4 ' , 3 5 ,
а

уголъ gfe равенъ 9 5 ° 44', 3 5 . Къ нижнему плечу коромысла

привѣшана чашка г для помещенія иа ней разновЬсовъ; а съ
нерхшшъ плечомъ соединен!, стальной стержень с, къ которому
привѣщенъ на двухъ плечахъ упоръ cl, длиною въ 8 дюймовъ, для
помѣіценія на иемъ уровня съ воздушнымъ пузырькомъ; одно
плечо упора длишіѣе другаго на 8 линій, такъ что когда уровень
находится въ горизонталыюмъ положеніи, то стержень с составляет!, съ горизонтальною плоскостью уголъ въ 5° 4 4 ' , 3 5 . Стержень с ушками m, m охватываетъ ножъ п, привинчиваемый къ
Железной поперечине

маятника.

На

каменномъ

Фундаменте

Утверждается чугунная стойка ѵ, верхняя часть которой образу°тъ плоскость ѵ ѵ , составляющую сь вертикальной плоскостью
Уголъ въ 5° 44', 3 5 ; но плоскости ѵѵ скользить, помощію винта
f чугунная подушка и; а на верхней плоскости этой подушки
перпендикулярной къ ѵ'ѵ н следовательно параллельной ішлосЬ с,
скользятъ, иомощію вшгга х, желѣзныя санкн s съ утвержденными на и ихъ подшипниками для ножа f коромысла.

Для употребленія вѣсовъ привинчиваюсь in. поперечіінѣ маятника иожъ п; помоіцію домкрата отводить маятникъ отъ первоначалыіаго положенія на уголъ около 5° 4 4 ' ; ставятъ коромысло
вѣсовъ на стойку, соедипяютъ стержень с съ ножемъ п и коромысломъ; подвѣшиваютъ чашу г н кладутъ на нее разновѣски,
чтобы уравновѣсить маятникъ; отпускаютъ домкратъ и прибавляютъ или убавляютъ разновѣсокъ до тѣхъ поръ, пока отклонспіе маятника составитъ 5° 44', 3 5 *). При эгомъ необходимо,
чтобы уровень надѣтый на стержень е былъ горизонталенъ, что
достигается вращеніемъ винта t, и чтобы нижнее колѣио коромысла было горизонтально, что достигается вращеніемъ винта х,
а въ случаѣ если бы длина этого винта была не достаточна, то
укорачиваніемъ пли удлинненіемъ нарѣзаннаго винтомъ конца
стержня с, вращая помѣщешіую на немъ гайку. Горизонтальность нижняго колѣна коромысла узнается помощію ватерпаса,
располагаемаго на желѣзную ст. выемкою линейку, которую ставятъ одішмъ концомъ подъ ребро ножа f , а другимъ на ребро
ножа е, а также помощію стрѣлки, подвѣшешюй на ножѣ h,
черта которой 1с должна совпадать съ чертою і, обозначенною иа
коромыслѣ.
Пусть OA (ФИГ. 10) есть вертикальная линія, проходящая
чрезъ центръ тяжести а маятника, когда опт, въ покоѣ; когда
маятникъ выведенъ иа уголъ а =

5° 44', 3 5 центръ тяжести а

перемѣщается въ а . Обозначимъ чрезъ Q грузъ разновѣсовъ
вмѣстѣ съ вѣсомъ чаши г, чрезъ Q' натяженіе стержня

А'В,

чрезъ Р вѣсъ маятника. Для равповѣсія необходимо, чтобы
Q'. Ш

= Р.

= Р. Ш

sin а.

*) Употребляемые при балистичсскомъ иаятникѣ, вѣсяіцемъ болѣе 350 пудъ,
вѣсы, будучи нагружены грузомъ в ъ 30 пудъ, необходимымъ для уравновѣшиванія маятника, замѣтно приводятъ маятникъ в ъ движеніе отъ прибавленія на ихъ чашу груза в ъ % Фунта.

Но вслѣдствіе того, что углы въ В и Е прямые и плеча ВС и
СЕ вѣсовъ равны между собою, пмѣемъ Q' =

Q и поэтому

Q.TTK = Р . Ш . sin а
пли, изобразпвъ Оа! чрезъ G и OA' чрезъ L,

Q.L = P.G.

sin а.

Откуда статическій моментъ

14. Опредѣлсніе разстоянія К центра качанія маятника
до оси оращенія.

г

Величина К вычисляется по нзвѣстной Формулѣ

Дѣ g есть ускореніе тяжести,
тс отношеніе окружности къ діаметру,
t время въ секундахъ одного размаха.
Это время должно быть пзмѣрено съ большою точностью,

считая помощію секундомѣра время, потребное для совершепія
•>00 качаній, приблизительно до одпой пятой или до одной десятой
секунды H повторяя наблюдепіе нѣсколько разъ, съ тѣмъ, чтобы
взять средній результатъ. Для измѣренія времени качаній надобно
отводить маятникъ отъ вертпкалыіаго іюложенія на уголъ около
для того, чтобы къ концу наблюденія углы размаха не были
менѣе 1°; въ протпвпомъ случаѣ весьма трудно замѣчать мгновенія ирохождеяія маятника чрезъ вертикальное положеніе.
15. Опредѣленіе

ускоренгя тяжести

д. Оно измѣняется съ

шпротою мѣста и съ возвышеніемъ его надъ уровнемъ моря.
Пазвавъ чрезъ X широту мѣста, h высоту его надъ уровнемъ
Моря и г радіусъ земнаго шара равный
20887538

- (1 - ь 0 , 0 0 1 G 4 4 cos 2Х), имѣемъ:

фут

д = 3 2 ф у % 1 7 1 1 ( 1 — 0 , 0 0 2 5 8 8 cos 2Х) ( l — Ç ) .
Для С. Петербунга Х = 5 9 ° 5 7 ' и д = 3 2 , 2 1 6 фут.

1С. Ударъ на ножи маятника.

Изъ механики пзвѣстно, что

если направленіе удара проходить чрезъ центръ удара, т. е.
чрезъ точку, находящуюся на прямой линіи, проходящей чрезъ
центръ тяжести перпендикулярно къ оси вращеійя и иа разстояІІІП

отъ этой оси равномъ длинѣ К простаго маятника, совер-

шающаго съ балистнчесшімъ одновременный качанія, и что если
направленіе удара перпендикулярно къ плоскости, проходящей
чрезъ центръ тяжести н ось вращенія, то ножи маятника ие претерпѣваютъ никакого удара. Если это условіе хотя не совершенно, но почтп выполнено, то ударъ на ножи слишкомъ слабъ
для того, чтобы ихъ заставить скользить но сталыіымъ подушкамъ и такой ударъ не представляетъ неудобствъ, что всегда и бываетъ въ балистическихъ маятнпкахъ опнсашіаго нами устройства.

17. Разборъ предположенгй, допущсиныхъ при выводѣ формулы скорости снарядовъ по отдачѣ маятника. При вычислены
скорости иомощію маятника предполагали, что во время углубленія
снаряда въ песокъ, наполняющій пріемнпкъ, маятникъ не измѣнилъ
своего положенія и не принимали въ расче гъ вредныхъ сонротивленій маятника.
Первое предположеніе слѣдуетъ нзъ весьма короткаго времени, потребнаго для углубленія снарядовъ въ песокъ пріемника.
В ъ главѣ объ углубленіи снарядовъ въ различныя среды увидимъ, что для 2 4 Ф. СФеричеекаго ядра, прп скорости его въ
1 7 0 0 Футъ, время углублеиія его въ песокъ составляетъ около
До секунды; такъ какъ скорость, пріобрѣтаемая точкою маятника, въ которую ударяетъ спарядъ, но окончаніи его углублепія, при маятнпкахъ оішсаннаго нами устройства, составляет!,
около 5 , 3 Фута, то пространство, пройденное этою точкою во
время углубленія снаряда, въ продолженіе котораго движеніе
можно принимать за равномѣрію-ускореішос, будетъ только около
1 =

0 , 0 3 8 фут., пли около 3 линій. Изъ изложеннаго видно,

что центръ тяжестп маятника, во время углублеяія спаряда, подымается па не осязаемую величину, такъ что совершенно воз-

можно высоту, на которую подымается центръ тяжести, оиредѣлять по дугѣ, начиная отъ положенія маятника, когда онъ находится въ покоѣ.
При опредѣненіи скоростей иомощію маятника не принимали
въ соображеиіо вредныхъ сопротпвленій, заключающихся въ треніи ножей о стальныя подушки, въ треніи указателя съ нопіусомъ о мѣдную дугу, по которой онъ скользить во время отдачи маятника, и въ сопротивленін воздуха на маятипкъ при его
отдачѣ. Эти сопротивленія можно определить наблюденіемъ надъ
качаніями маятника. Для этой цѣли заставляютъ свободно качаться маятшжъ, не приводя въ движеніе указателя, съ наибольшей величины размаха, сообщаемаго маятнику ирн стрѣльбѣ
большими зарядами. Замѣчаютъ уменыпеніе величины качаній
послѣ каждыхъ десяти двойныхъ размаховъ, иомощію указателя,
приближаемаго къ сгрѣлкѣ маятника, такъ чтобы маятникъ не
могъ привести его въ движеніе, и доходятъ такимъ образомъ до
самыхъ малыхъ качаній, сообщаемыхъ маятнику при стрѣльбѣ
малыми зарядами. Отсюда выводятъ умснынепіе въ велпчинахъ
Двойныхъ размаховъ и изображают, эту зависимость кривою,
которой величины двойныхъ размаховъ составляютъ абсциссы,
a умемьшенія ихъ ординаты. Означенный уменьшены зависать
отъ тренія ножей о подушки и отъ сопротивлеиія воздуха на
маятникъ въ иродолжепіе его двойпаго размаха.

ГІовторяютъ

тотъ же опытъ, подвигая указатель къ нулю дѣленій при кажДомъ восходяіцемъ полуразмахѣ маятника, ио нротяжепію градусной дуги; такимъ образомъ наблюдаютъ уменьшеніе, соотвѣтствующео десяти двойнымъ размахамъ и выводятъ уменьшеніе
Для одного двойнаго размаха, происходящее: а) отъ треііія ножей
и сопротивленія воздуха въ иродолженіе одного двойнаго размаха и Ь) отъ тренія указателя въ нродолженіе одного восходнЩаго полуразмаха. Строятъ, какъ въ иервомъ случаѣ, кривую,
выражающую эту зависимость. Разность между ординатами послѣдней кривой и первой выразить умеиьшеніе, происходящее отъ
одного тренія указателя по градусной дугѣ. Отъ прибавлеиія къ

этой разности четверти ординаты первой кривой получится уменьшеніе, происходящее отъ суммы всѣхъ сопротивлений, претерпѣваемыхъ маятникомъ въ продолженіе одного восходящаго полуразмаха. Последняя величина, всегда весьма слабая, должна
быть придаваема къ углу отдачи маятника, наблюдаемаго послѣ
выстрѣла, для поправки его отъ дѣйствія вредпыхъ сопротнвленій.

18. Поправка скорости снаряда отъ дѣйствія пороховыхъ
газовъ напрісмникъ.

Пороховые газы, ударяя о пріемникъ въодно

время со снарядомъ, способствуютъ движенію пріемника. Дѣйствіе пороховыхъ газовъ прибавляется къ дѣйствію снаряда, и
если не принять его въ расчетъ, то дуга отдачи маятника покажетъ скорость снаряда болѣе надлежащей. Дѣйствіе

газовъ

быстро возрастаетъ съ вѣсомъ зарядовъ, увеличивается съ уменьшеніемъ разстоянія орудія отъ маятника и уменьшается съуменьшеніемъ отверстія щита, располагаемаго между орудіемъ и нріемникомъ. Для того чтобы принять въ расчетъ дѣйствіе пороховыхъ
газовъ можно сравнить количество движенія ими производимое
съ количествомъ движенія сообщаемымъ холостымъ зарядомъ
одпнаковаго вѣса съ боевымъ и вычесть его изъ количества движенія сообщаемаго боевымъ зарядомъ; т. е. вычислить скорость
которую бы имѣлъ снаряди, для того, чтобы пріемнпкъ маятника
описалъ дугу, проходимую вслѣдствіе дѣйствія на него холостаго
заряда, и вычесть эту скорость изъ скорости снаряда вычисленной гіо дугѣ отдачи отъ боеваго заряда.

19. Формула для вычисленгя скорости отдачи орудія, по орудию маятнику.

Изобразнмъ чрезъ Р' вѣсъ орудія-маятника; чрезъ

V' скорость которую бы пріобрѣлъ орудіе-маятникъ двигаясь по
направленно оси канала; чрезъ
ника пріобрѣтеішую

ІІМЪ

угловую скорость орудія-маят-

въ моментъ, когда на него перестали

действовать пороховые газы ; чрезъ Г моментъ инерціи орудіямаятннка вокругъ оси вращепія; чре.ть ІУ, G', К' разстоянія отъ
нижнихъ реберъ ножей: оси канала, центра тяжести орудія-маят-

инка и центра его качанія; чрезъ Л' уголь отдачи орудія-маятника
и чрезъ g ускореніе тяжести.
Моментъ количества движенія орудія-маятника, въ тотъ момеитъ когда на пего перестали дѣйствовать пороховые газы есть

т '

I О НЛІІ

о'Л.
о

G'. К',

Ж и в а я сила орудія-маятника, в ъ т о т ъ моментъ когда па него
перестали дѣйствовать пороховые г а з ы , есть

G'. К', а

живая сила въ концѣ отдачи равна нулю. Работа произведенная тяжестью

на

маятникъ

въ продолженіе отдачи

будетъ

— 2 V. G' sin 2 у , и но закону живыхъ снлъ нолучимъ
м'2. Р ' G' К' =

4 Р ' G' g sin 2

Определяя изъ этого уравнепія величину о ' и вставляя ее
В'ь выраженіе момента количества двнженія

орудія-маятника,

найдемъ, что этотъ моментъ количества движенія равенъ
^.G'.

V g K 7 . 2 sin у -

Раздѣливъ этотъ момептъ на Р ' , нолучимъ количество движенія пріобрѣтешюе орудісмъ-маятшікомъ
F' Tr
F'.G'/-^r
0
. A'
— . V — — j ч г ѴJд К . 2 sm -г-*
g
g. F>'
2
Если изобразить чрезъ 1\ вѣсъ одного орудія, то скорость
его отдачи будетъ

ѴдКг.

2 sin

f

Если орудіе лежитъ на лач>етѣ вѣса Р 2 , то скорость отдачи
псей системы будетъ
Р'
р —

ж

.

G

w

-./-J7T- п . Ä
. V g K . 2 sin т .

Величины G' и К' определяются для орудія-маятпика точно
такъ какъ для пріемнпка маятника.

Электрически!
2 0 . Хроноірафъ

§н
хронограФъ

Лс-Вуланжс.

состоитъ (ФИГ. 11 н 12) изъ:

a) Длиннаго нустаго, мѣдпаго цилиндрическаго стержня С,
съ желѣзной головкой, подвѣшиваемаго къ электро-магішту А,
намагничиваемому токомъ проходящимъ чрезъ первую раму-мишень, поставленную передъ ррудіемъ. На этотъ стержень, называемый хронометромъ, иадѣты двѣ цинковыя трубки I) п Е.
b) Мѣднаго пустаго цилиндра F, съ желѣзной головкой, называемаго отмѣчатс.гемъ, подвѣшиваемаго къ электро-магниту В ,
намагничиваемому токомъ проходящимъ чрезъ вторую раму-мишень, поставленную, по направленію выстрѣла, въ извѣстномъ
разстояпін отъ первой.
c) Спуска, состонщаго нзъ ножа G, прикрѣпленнаго къ пружинѣ II, которая можетъ быть взведена крючкомъ рычага I .
Если подвѣспмъ хронометръ и спустимъ пружину II съ ІІОжемъ, надавливая на свободный конецъ рычага 7, то ножъ сдѣлаетъ на нижнемъ коішѣ ішжней цинковой трубки черту, которая
служить началомъ для отсчитыванія высотъ паденій хронометра.
Когда ножъ взведснъ, хронометръ и отмѣчатель подвѣшены
и сдѣлапъ выстрѣлъ, то, но нробптін сиарядомъ проволоки въ
первой рамѣ-мишенн, размагничивается электро-магнитъ А н хронометръ начинаетъ свободно падать. По пробитіи сиарядомъ проволоки во второй рамѣ-мпшеіш, размагничивается электро-магнитъ
В и падаетъ отмѣчатель, ударяетъ о свободный конецъ рычага
7, чрезъ что освобождается спускъ, п ножъ, ударяя о падающій хронометръ, дѣлаетъ мѣтку на верхней цинковой трубкѣ. Время соотвѣтствующее высотѣ падеиія, измѣряемой разстояніемъ между
двумя полученными мѣтками, обозиачпмъ чрезъ t".
Это время t" не равно времени t, употребленному сиарядомъ

для того чтобщ пролетѣть отъ первой рамы до второй. В ъ самомъ
дѣлѣ, по прерваніи перваго тока проходить нѣкоторое время О,
преждечѣмъэлектро-магнитъ хронометра размагнитится настолько, чтобы освободить хронометръ, такъ что надеіііе хронометра
иачнется по истеченіи времени О.
Съ другой стороны отъ прерванія втораго тока до того момента когда ножъ дѣлаетъ мѣтку па цинковой трубкѣ, проходить
слѣдующія времена:
О' время необходимое для достаточна™ размагничивашя электро-магнита отмѣчагеля,
в" время потребное для паденія отмѣчателя на свободный конецъ рычага,
О'" время потребное для высвобожденія крючка рычага изъ
зарубки,
О п время потребное для прохождения ножемъ пространства
отдѣляющаго его отъ хронометра.
Следовательно для того чтобы получить время t употребленное снарядомъ на прохожденіе разстояпія отъ первой рамы до
второй, надобно изъ времени t" вычесть сумму временъ

О' __ о"

о'" -+- О"'— О,

которую пазовемъ чрезъ t'.
Для опредѣленія времени О' -+- О"
жить разобщитель,

О'" -+- О" — О — t' слу-

нмѣющій цѣлыо производить одновременно

разрывъ токовъ въ обонхъ элсктро-магнптахъ, точно такимъ образомъ, какъ-бы дѣлалъснарядъ, еелн-бы проволочныя сѣти обѣихъ рамъ были приложены одна къ другой.
2 1 . Разобщитель

состоишь (ФИГ. 13) нзъ согнутой пружпны

Ц при нажатіи на виптъ z, свободный коиецъ пружины опускается » входить въ зарубку задержки х. При этомъ іюложеніи пружины, стальныя пластинки q и q опираются на стержни г н г и
чрезъ это замыкаютъ оба тока,

намагшічинающіо оба электро-

магнита; одинъ изъ токовъ введенъ въ разобщитель номощію виитовъ у, у, а другой помощію впнтовъ у , у . При отведеніи задерж-

ки X къ стойкѣ V, освобожденная пружина быстро разгибается и
прикрѣпленной къ ней поперечной планкой и, покрытой сверху
изолирующей досчечкой изъ слоновой кости, приподымаете о б !
сталыіыя пластинки и чрезъ это размыкаетъ оба тока. Оба стержня г и г снабжены винтовой иарѣзкой для того, чтобы имѣть
возможность, измѣняя иѣсколько ихъ высоту, заставить пружину
отделить одновременно о б ! пластинки отъ ихъ стержней. Головка
винта р ограничиваете ходъ пружины.
Когда ножъ хронографа взведеиъ, хронометръ и отмечатель
іюдв!шены, то по спуске пружины разобщителя, начиная съ момента когда оба тока одновременно прерваны, проходите съ одной
стороны время О до начала паденія хронометра, а съ другой сто/л'

л"

л'"

роны время [О -л- и -л- О -л-О ) до момента когда ножъ ударите хронометръ, для того чтобы сдѣлать мѣтку на верхней части
нижней цшіковой трубки, такъ что время паденія хронометра,
отъ начала его движеиія до момента когда его достигнете ножъ,
будете равно

О'+ О"-л-Ѳ"'-ѵ-ѲІУ—Ѳ =

І

Поэтому если нзъ времени соответствующего высот! паденія
хронометра, равной разстоянію между мѣткою сдѣланной прп
выстреле и чертою служащей началомъ, вычтемъ время соответствующее высоте паденія хронометра, равной разстояпію между м!ткою сделанной при д!йствіи разобщителемъ и чертою
служащей началомъ, то получимъ время і прохожденія снарядомъ
разстоянія между проволочными с!тямн об!ихъ рамъ-мишеней.
Употребленіе разобщителя для избѣжанія определенія частныхъ временъ, 0, 0\ О", О'", о" было въ первый разъ предложено
капитаномъ Наве п исполнено пмъ въ его электро-балистическомъ
маятнике.
2 2 . Времена соответствующая различнымъ высотамъ паденія
определяются по известной Формул!
т =

VU,

гдѣ т есть искомое время, h высота падееія, g ускореніе тяжести.
Для удобства унотребленія хронографа составлена таблица
временъ соотвѣтствующихъ различнымъ высотамъ паденія отъ
0,1 до 5 2 0 , 0 миллиметровъ, чрезъ каждую десятую долю миллиметра; времена вычислены съ шестью десятичными знаками.
2 3 . Расположеніепроводниковъирамъ-мишеней.

Для дѣйствія

хронограФомъ необходимы двѣ галваническія батареи, по преимуществу Бунзена. Число элементовъ составляющнхъ батарею зависитъ отъ сопротпвленія цѣпи; батареи располагаются внѣ помѣщенія, въ которомъ установлены хронографы. Первая цѣпь
Должна заключать первую раму-мпшень, одну нзъ сталыіыхъ пластинокъ разобщителя, электро-магнитъ хронометра и первую батарею. Вторая цѣпь должна заключать вторую раму-мишень, другую стальную пластинку разобщителя, электро-магнитъ отмѣчателя h вторую батарею. На Фигурѣ 16 показано расположеніе
Цѣпей.
Помѣщеніе для хронографа должно быть теплое, сухое, свѣтлое, имѣть подъ приборомъ каменный иолъ и быть

расположено,

Для избѣжанія сотрясеній происходящихъ прп сгрѣльбѣ, въсаженяхъ 6 0 отъ орудія.
Рамы-мишени дѣлаются обыкновенно деревянныя (ФИГ. 17);
на нихъ должна быть натянута сѣть нзъ горизонтальныхъ или
вертикалыіыхъ проволокъ, находящихся одна отъ другой въ разстояніи не болѣе У3 діаметра снаряда, съ тѣмъ чтобы снарядъ не
могъ иролетѣть сквозь раму, не оборвавъ проволоки. Проволока
Укрѣпляется на рамахъ помощію латунныхъ планокъ (ФИГ. 18),
снабжешіыхъ каждая двумя латунными стойками. Проволока зажимается между шляпкою вшіта н стойкою, служащею для винта
г

айкой. Планка проводить токъ отъ одной проволоки къ слѣдую-

ищй. Для образованія сѣти ѵпотребляютъ посеребренную мѣдную
(мишурную) проволоку около 0 , 0 1 5 дюйм, въ діаметрѣ; она весьма
нрѣпка и почти не растягивается.

Размѣры рамъ мишеней зависать отъ разстоянія, на которомъ ихъ нужно установить отъ орудія и отъ мѣгкости орудія.
Для того, чтобы газы, оиереживающіе при выстрѣлѣ снарядъ, не пробивали проволочной рамы, первую раму не ставятъ
ближе 5 саженъ отъ дула при стрѣльбѣ изъ орудій малыхъ и
среднихъ калнбровъ и 8 и даже

10

саженъ при стрѣльбѣ

ІІЗЪ

орудій большихъ калнбровъ; кромѣ того, если первая рама находится отъ дула не далѣе приведеннаго разстоянія, то между нею
и дуломъ устанавливаютъ заслонъ съ отверстіемъ для пролета
снаряда.
Вторую раму мишень устанавливаютъ оть первой на такомъ
разстояніп, чтобы время полета снаряда между рамаки заключалось въ предѣлахъ отъ 0 , 1 0 до 0 , 1 5 секунды. При измѣреніи
времепъ, не превосходяиціхъ означеішыхъ предѣловъ, можно,
безъ чувствителышои погрѣшности, частное отъ раздѣленія длины
пути снарядъ на время его прохожденія принимать за скорость
снаряда въ точкѣ, находящейся на срединѣ между обѣими рамами
мишенями *).

*) В ъ самомъ д ѣ л ѣ :

наибольшая о ш и б к а о т ъ п р и в е д е н н а г о

допущенія

и м ѣ е т ъ м ѣ с т о , к о г д а опредѣлясмъ паибольшія скорости с ф е р и ч е с к и х ъ г р а н а т ъ
н а и м е н ь ш а г о калибра. Сопротивлсніе воздуха полету Сферическихъ с н а р я д о в ъ
в ъ п р е д ѣ л а х ъ скоростей о т ъ 1 7 4 0 до 1 2 3 0 Ф у т ъ , к а к ъ у в и д и м ъ в ъ г л а в ѣ о с о протнвленіи в о з д у х а , п ° 9 5 , м о ж е т ъ б ы т ь в ы р а ж е н о Формулою
р=

0 , 0 0 1 3 . тс2Р. ѵг,

г д ѣ Ф у т ъ и Ф у н т ъ приняты з а е д и н и ц ы ;

р о б о з н а ч а е т ъ сопротивленіе, В ра-

д і у с ъ снаряда, ѵ скорость, тс о т я о ш е н і с окружности к ъ діаметру.
Или изображая чрезъ Р в ѣ с ъ снаряда, чрезъ g ускореніе тяжести и полагая
с

Р

—

0 , 0 0 1 3 . 2 . тсЛг. g '
нолучимъ
р

9 = ô— V2 дс

Обозначая ч р е з ъ a разстояніе

между

рамами-мишенями и ч р е з ъ t время

полета с о о т в ѣ т с т в у ю ш е е этому р а з с т о я н і ю , получимъ (п° 156), при п р и в е д е н -

2 4 . Установка

хронографа.

ХронограФЪ устанавливается на

ящикъ, который служить для его укладки при неревозкѣ. Подъ
Дно ящика (ФИГ. 11) прикрѣпляютъ двѣ желѣзныя полосы съ
тремя установочными винтами. IIa верхъ ящика привиичиваютъ
мѣдную треугольную доску, на которой утверждены спускъ и
стойка. Электро-магпиты привиичиваютъ къ стойкѣ. IIa хронометръ надѣваютъ обѣ цішковыя трубки; нижняя трубка надѣвается на хронометръ, отвинтивъ нижній сплошной его наконечникъ и завинтпвъ его послѣ того, какъ трубка надѣта.
Для прнведенія хронографа въ вертикальное положепіе, по
нзведеніп пружины съ ножемъ, подвѣшиваютъ хронометръ, такъ
чтобы обозначенная на его наконечникѣ продольная черта приходилась иротивъ ножа, и дѣйствуя установочными винтами привоДятъ хронометръ въ такое положеніе, чтобы наклонная плоскость
наконечника едва касалась (ФИГ. 11 п 12) ребра сс выемки, сдѣДанной въ треугольной доскѣ н вмѣстѣ съ тѣмъ, чтобы лѣвая
плоскость наконечника находилась вблизи отъ винта е. Спускомъ
разобщителя удостовѣряются, что хронометръ при паденіп ни
обо что не треть и ни обо что не задѣваетъ.
Когда хронограФЪ приведенъ такимъ образомъ въ вертикальное положеніе, то нодвѣпіпваютъ отмѣчатель; наклонная плоскость
номъ выраженім для сопротивленія в о з д у х а , истинную скорость ѵ снаряда в ъ
т о ч к ѣ находящейся на срединѣ разстоянія между рамами-мишенями и з ъ Формулы:
Ѵ
г

=

г[1-Ьй(2-с)2}

а
X
д ѣ пренебрегли прсдъ единицею членами н ъ к о т о р ы х ъ в х о д и т ъ —

нъ

сте-

п с н я х ъ в ы ш е третьей.
Для у 4 п. сферической г р а п а т ы . для которой с = 1100 фут., при < = 0 ,15 и
= 2 5 5 фут., получимъ, по приведенной Формулѣ, скорость н ъ т о ч к ѣ находящейся на срединѣ разстоянія между обѣими рамами-мишенями

а

V=

1700,95 фут.,

между т ѣ м ъ к а к ъ о т ъ раздѣленія я =

2 5 5 фут. на 1 = 0 ° , 15 эта скорость в ы х о -

Литъ равною
1700,00 Фут.

его наконечника должна при этомъ едва касаться полки К . Снускомъ разобщителя удостоверяются, что отмечатель свободно надаетъ, не задѣвая о трубку L , удерживающую его после наденія.
Сердечникъ электромагшітовъ состоите изъ двухъ цилиндровъ: неподвижнаго,' оканчивающагося остреемъ, и подвяжнаго,
нарезаннаго впнтомъ. Чрезъ ввинчнваніе или вывинчнваніе подвижнаго цилиндра увеличиваютъ, или уменьшаютъ притягательную силу острся. Для регулнрованія силы электро-ыагнита хронометра, увеличиваютъ вѣсъ хронометра на одну десятую, надевъ на него латунную трубку,

составляющую

прибавочный

грузъ , H подвешпваютъ хронометръ съ прибавочнымъ грузомъ;
иотомъ вывиичиваютъ нзъ электро-магнита подвижную часть сердечника до т ! х ъ поръ, пока хронометръ не упадете. По сиятіи
съ хронометра прибавочнаго груза его легко подвесить къ своему электро-мапшту.
Электро-магнитъ отмЬчателя регулируется подобнымъ образомъ иомоіцію прибавочнаго груза отмечагеля.
Крючокъ рычага, удерживающій взведенный ножъ, должеиъ
слегка входить въ соответствующую зарубку, что достигается
ввинчиваніемъ или вывинчиваніемъ винта М , упираюіцагося въ
дно гігі.зда, въ которомъ вращается рычагъ.
25.

Установка

разобщителя.

Разобщитель ставится на сто-

лике близь хронографа. Онъ должеиъ одновременно размыкать
обе дѣпи, въ чемъ удостоверяются слѣдующимъ образомъ. Получаютъ на хронометре мѣтку отъ дѣйствія разобщителемъ; потомъ заставляютъ

проходить токъ,

намагничивающій

хроно-

метръ, чрезъ ту стальную пластинку разобщителя, чрезъ которую
прежде проходилъ токъ, намагнпчнвающій отмѣчатель, н токъ
иамагничивающій отмѣчатель заставляютъ проходить чрезъ ту
пластинку разобщителя, чрезъ которую прежде проходилъ токъ
хронометра. В ъ этомъ положеніи нолучаютъ на хронометре новую метку o n , дѣйствія разобщителемъ. Если эта метка находится на одной высоте съ первой, то разобщитель одновременно

ирерываетъ оба тока. Если новая мѣтка выше или ниже прежней, то разстояніе между обѣими мѣтками представляетъ вдвойыѣ
ошибку, происходящую отъ разобщителя. В ъ этомъ случаѣ онускаютъ или подымають одішъ нзъ стержней разобщителя, до
тѣхъ норъ, пока разобщитель не будетъ одновременно разобщать оба тока.
2G. Дѣйствіе

хронографомъ.

Когда хронограФЪ и разобщи-

тель установлены, ставятъ чернилами внизу, на нижней цинковой
трубкѣ хронометра, точку противъ черты наконечника и иажимаютъ трубку на иаконечшікъ, взводятъ разобщитель ц ножъ
хронографа, іюдвѣшиваютъ хронометръ и отмѣчатель и спускаютъ
разобщитель, чрезъ что получается мѣтка на верхней части нижней цинковой трубки. Отмѣчаютъ чернилами новую точку на
нижней цинковой трубкѣ на глазъ въ разстояиін около лппіп отъ
первой и поворачивая трубку ставятъ вторую точку надъ чертою
наконечника; потомъ снова взводятъ разобщитель н ножъ хропограФа, подвѣшпваютъ хронометръ и отмѣчатель и спускаютъ разобщитель, чрезъ что получается вторая мѣтка на нижней цинковой трубкѣ. Она должна быть на одной высот!, съ первой или
разность въ высотахъ должна быть менѣе 0,1 миллиметра.
Для производства выстрѣла ставятъ точку внизу, па верхней
Цинковой трубкѣ, противъ черты па хомутикѣ хронометра и нажпмаютъ трубку на хомутнкъ; взводятъ разобщитель н ножъ
хронографа, подвѣшнваютъ хронометръ н отмѣчагель и приказываютъ произвести выстрѣлъ. Отъ выстрѣла получается мѣгка
на верхней цинковой трубкѣ.
Послѣ этого хроиометръ кладутъ на столъ; берутъ лшіеііку
(ФИГ. 14), раздѣленную, иа верхней ея части, на миллиметры И
снабженную ноніусомъ, позволяющіімъ отсчитывать десятыя доли
миллиметра и ставятъ эту линейку надъ хронометромъ, вложивъ
Штырь линейки въ отверстіе ііаконечішкахронометра. Когда пуль
Дѣленій ноніуса совпадаетъ съ нулемъ дѣленій линейки, то ножка
поиіуса должна приходиться надъ чертою (па нижней трубкѣ хронометра), служащей началомъ для отсчитываііія высотъ паденійхро-

цометра. Ножку ноиіуса ставить въ мѣтку, полученную при дѣйствіи разобщителемъ и додвинувъ ее до дна мѣтки, записываюгь
измѣренное линейкой разстояніе. Такимъ же образомъ измѣряютъ
и записываютъ высоту мѣтки полученной на верхней цинковой
трубкѣ отъ выстрѣла.
В ъ таблиц!; временъ пріискиваютъ времена, соотвѣтствующія иолучеішымъ высотамъ; разность этнхъ временъ выражаетъ
время прохожденія снарядомъ разстоянія отъ первой рамы-мишени до второй.'
Для полученія показаній при второмъ выстрѣлѣ поступаютъ
іюдобнымъ образомъ, дѣлая на нижней и верхней трубкахъ новыя
точки и установляя нхъ надъ чертами наконечника и хомутика.
На нижней части линейки можно читать прямо скорости снаряда въ метрахъ для того случая, когда разстояніе между рамами мишенями составляетъ ровно 5 0 метровъ и высота паденія
отмѣчателя пригнана такъ, чтобы разстояніе между чертою, служащей началомъ и мѣткою получаемою отъ дѣйствія разобщителемъ, составляло равно 1 1 0 , 4 миллиметра. Это разстояніе въ
1 0 0 , 4 мплл. достигается ввинчивая, или вывинчивая нѣсколько
(ФИГ. 12) доску О спуска, на которую падаешь отмѣчатель.

27. Степень точности измѣряемыхъ скоростей. Точность
пзмѣренія скорости ѵ зависитъ отъ величины ошибокъ при опредѣленіи времени t, потребномъ для прохожденія снарядомъ отъ
одной рамы до другой, и при измѣреніи пути s снаряда между
рамами.
Сначала раземотрнмъ вліяніе ошибки At нри опредѣленіи времени t, въ предѣлахъ отъ 0 e -, 10 до 0% 15, на ошибку Аѵ въ величинѣ скорости V. Обозначая чрезъ \ высоту мѣтки на хронометр!; при дѣйствіп разобщителемъ и чрезъ h, высоту мѣткн
отъ выстрѣла, имѣемъ

Мзобразивъ чрезъ А1і2 ошибку въ опредѣленіи h2 и чрезъ

ошибку въ опредѣленіи 1гх и пренебрегая вторыми и высшими
степенями ^

"2

и~

"I

иредъ единицею получпмъ:

или

Л

и

2

Д£
* ~

Ѵ7ГдГг (Vh2 — Yhx) !

, Міг Vhx — Ah ! Yhl
" Vhji2 (Vh2 — Vh[)

Многократный иовторенія разобщеній помощію разобщптеля
удостовѣряютъ, что разности въ высотахъ мѣтокъ не превосходнтъ
0,1 миллиметра, такъ что можно положить А Ьл =

А \ — z1 0MM-, 1.

7Г

•

Для того
А\ — 0

чтобы

получить наибольшее

-, 1 и A/ij =

MM

— 0

зиачеше

—

примемъ

-, 1. При пршштомъ устройстве хроно-

MM

^рата 1іх равняется приблизительно 1 1 0 ю ' ; при этой высоте h v высота h2 приблизительно равна 307 5Ш -, если пзмЬрпемъ время около
0е',10,

и 4 4 2 м % если измЬряемъ время около 0% 1 5 . Вставляя

эти величины въ выраженіе

нолучаемъ,

при измереніи времени около 0 е , 1 0 ,
^
а

=

0,001,

при измЬреміи времени около 0 % 1 5
Y =

0,0007.

Такпмъ образомъ видно, что при измѣреніи времени въ озиаченныхъ предЬлахъ, ошибка не превзойдете 0 , 0 0 1 доли времени,
и какъ

Аѵ
V

M
Т

'

то происходящая отъ прибора ошибка въ скорости отдѣльнаго
наблюденія не нревзоіідетъ 0 , 0 0 1 доли скорости.
Перейдемъ къ разсмотрѣиію вліянія на погрѣшность Аѵ въ
скорости, ошибки въ опредѣленін длины s пути снаряда между
рамами. Изображая ошибку въ s чрезъ As, нолучимъ
Аѵ
V

As
s '

Изъ этого видно, что при длинѣ . s = 1 4 0 Фут. или 20 саж.,
ошибка въ 1,7 дюйма уже производить ошибку въ 0 , 0 0 1 долю
скорости, такъ что необходимо обращать большое вниманіе на
точное измѣреніе длины пути s.
Если скорость снаряда изм еряется въ точкѣ, находящейся въ
зиачительномъ разстоянін отъ орудія, или если при измѣреніи
скорости въ точкѣ, находящейся не въ дальиемъ разстояпін отъ
орудія, орудію дань значительный уголъ возвышенія, то иослѣ
аждаго выстрѣла нужно измѣрять разность между высотами
ироволокъ пробитыхъ снарядомъ въ каждой изъ рамъ; обозначая
эту разнос ть высотъ чрезъ b, а чрезъ a разстояніе между рамамимишенями, нолучимъ безъ чувствительной ошибки s — у а 1 -+- Ь2.
Высота Ь = 0 , 0 5 . а производить измѣненіе въ 0 , 0 0 1 долю длины
s и следовательно величины скорости ѵ.
Ошибка въ всличинѣ s зависитъ не только отъ стенеіш точности въ измѣреніи разстоянія между рамами и разности между
высотами ироволокъ пробитыхъ снарядомъ въ каждой изъ рамъ,
но также отъ точности соблюденной при установке рамъ параллельно одна другой и отъ разности въ удлипненіяхъ проволоки
пробиваемой снарядомъ последовательно въ каждой рамѣ. Такъ
какъ послѣднія двѣ причины погрешностей не зависать отъ разстояпія между рамами, и, следовательно, проистекающія отсюда
относительный ошибки (въ отпошеійи пзмѣряемаго пути s) уменьшаются съ увеличеніемъ разстоянія а, то весьма выгодно увеличивать разстояіііе между рамами для уменыиснія ошибки въ измеряемой скорости.

28. Употребление хронографа для измѣренгя весьма малыхъ
промежутковъ

времени. Иногда приходится нзмѣрять весьма ма-

лые промежутки временъ, какъ напрпмѣръ времена прохожденія
сиарядомъ различныхъ путей но каналу орудія. В ъ этомъ случаѣ
к, мало отличается отъ \ и выгодно установить приборъ такпмъ
образомъ, чтобы разность Д/г = 7г2 — 1і1 получалась по возможности большая. Вставнвъ 1і2 =
t =

Y j

h l -+- Д7г въ выражеиіе
( V K - V k )
Ah

H пренебрегая вторыми и высшими степенями
цею, получпмъ

^

передъ едини-

Ah

vWC

откуда видио, что, для одного н того-же времени t, величина A h
будетъ тѣмъ болѣе чѣмъ 7г, болѣе.
На этомъ осиованіи, для опредѣленія хронографомъ

весьма

малыхъ промежутков!, временъ, переносят, (ФИГ. 15) электромагнптъ В отмѣчателя съ его полкой К на верхъ колопны, для
того, чтобы отъ дѣйствія разобщителемъ получать мѣтку наверхнемъ концѣ верхней цинковой трубки, и токъ, который долженъ
быть при выстрѣлѣ прервапъ первый, вводятъ въ электро-магнитъ отмѣчателя, а токъ, который долженъ быть при выстрѣлѣ
прервапъ вторымъ, вводятъ въ электро-магнитъ хронометра. При
этой установкѣ прибора, высота паденія отмѣчателя составляегъ
около 5 0 0 миллиметровъ, такъ что при опредѣленіи самыхъ короткихъ временъ, около 0 е , 0 0 0 5 , разность высотъ мѣтокъ ATt
составляетъ около 1,6 миллиметра и ошибка въ высотѣмѣтки въ
0,1 миллиметра соотвѣтствуетъ ошибкѣ во времени въ 0 е , 0 0 0 0 3 .

§ III.

Электрическій кдепсидръ Ле-Буланже.
2 9 . Клепсидръ устроенъ для измѣренія времени всего полета
снаряда. Онъ состонтъ (ФИГ. 1 9 ) ИЗЪцилиндрическаго резервуара
А въ 0 , 2 метра въ діаметрѣ и въ 0 , 0 3 метра высоты, наполненнаго ртутыо и соединешіаго съ пустою колонною В в ъ 0 , 2 метра
высоты, оканчивающеюся треиожникомъ, снабжешіымъ установочными винтами X. Этотъ чугунный сосудъ ставится па чугунный круглый

ІЮДНОСЪ

С.

Чугунный дискъ Е съ укрѣпленными на немъ двумя электромагнитами составляетъ крышку резервуара.
В ъ тонкой нижней стѣнкѣ пустой колонны ішѣется отверстіе,
надъ которымъ расноложенъ клананъ, препятствующій ртути выливаться.
Нижняя стѣика колонны, клананъ В и гпѣздо его F стальные.
Стержень G, входящій въ клананъ, проходить но оси сосуда
сквозь отверстіе въ верхнемъ дискѣ и соединяется съ горнзонтальнымъ рычагомъ II, называемымъ клапаннымъ. При надавлнванін на копецъ этого рычага, противоположный тому, съ которымъ соединснъ стержень, клананъ приподымается и ртуть начнпаетъ вытекать. По прекращеніи нажатія клананъ падаетъ въ
гпѣздо и истсчепіе прекращается.
Клананъ открывается и запирается вслѣдствіе послѣдовательпаго падеиія рычаговъ I и J , тяжелые концы которых!., снабженные желѣзными оправами К a L , поддерживаются электро-магнитами M и N *). Запирающій рычагъ состоіггъ изъ двухъ параллельиыхъ вѣтвей, соеднненныхъ съ одного конца оправой, а

*) Элсктро-магшіты регулируются ввішчиванісмъ или вывіінчиваііісмъ иодв и я ; н ы х ъ частей сердечниковъ т а к ъ , чтобы притягиваемые ими рычаги не
могли только случайно о т ъ н и х ъ отпадать.

съ другаго поперечною связью, назначенною для поднятія рычага

I.

При прерывашн тока намагішчпвающаго электро-магнптъ Ж ,
называемый открывающим^ — тока проходящаго по проволочной сѣти рамы поставленной передъ орудіемъ — открывающій
рычагъ I падаетъ на конецъ клапаннаго рычага И, открываешь
клапапъ, и ртуть начинаешь вытекать въ стаканъ Д подставленный нодъ отверстіе истеченія.
При ирерываніп тока, намагиичіівающаго электро-магнптъ N,
называемый запирающимъ, — тока, проходящаго по сѣти рамы
поставленной въ концѣ полета — падаетъ заппрающій рычагъ J
h подымаешь открываюіцій рычагъ 7; чрезъ это освобождается
клапанный рычагъ, клаианъ падаетъ въ свое гнѣздо и пстеченіе
прекращается. Зарубка Т, за которую задѣваетъ запирающій
рычагъ при своемъ паденіи, препятствуешь качаніямъ этого рычага послѣ его паденія.
Ходъ рычаговъ расчнтанъ такъ, что, при одновремеппомъ
прерываніп обопхъ токовъ, открывающій рычагъ успѣваетъ подымать клапанъ ранѣе, чѣмъ заппрающій рычагъ зашіраетъ
этошь клапанъ. Вытекающій при этомъ вѣсъ ртути нужно вычитать изъ вѣса ртути, вытекающей при выстрѣлѣ. Время полета
спаряда отъ первой рамы до второй соответствуешь этой разности вѣсовъ вытекшей ртути.
Употребляемый при клепсидрѣ разобщитель тотъ самый, который прппятъ для хронограФа.
Для того, чтобы истеченіе начиналось всегда при однихъ и
тѣхъ-же условіяхъ, ртуть, въ началѣ каждаго наблюдения приводишь къ постоянному начальному уровню; для этого, ио установке клепсидра помощію ватерпаса, накладываема™ на верхній
Дискъ. подлнваютъ ртути въ резервуаръ и отвиичиваютъ винтъ
О; пзлишекъ ртути стекаетъ въ ведерцо S.
Такъ какъ вѣсъ опредѣлепнаго объема вытекающей ртути
изменяется съ температурою, то необходимо приводить взвѣшнваиія къ одной и той ate температурѣ. Еслн иазовемъ чрезъ Р(0

вѣсъ взвѣшенной ртути при температурѣ f

и чрезъ Pü„ вѣсъ

того-же объема ртути при 0°, то
Роо = Р ( , ( 1 + а О ,
гдѣ а = 0 , 0 0 0 1 8 есть коеФФИЦІентъ расширенія ртути на каждый градусъ цельсіусова термометра. Температура f измѣряется
термометромъ, вставлепнымъ въ ртуть сквозь отверстіе въ верхнемъ дискѣ прибора.
Для взвѣнінванія ртути употребляются вѣсы чувствительные
до 0 , 0 0 5 грамма.
Расположеніе нроводшіковъ подобно расположенію ихъ при
хронографѣ и уиотребленіе клепсидра при выстрѣлахъ видно изъ
выше сказашіаго, такъ что на этомъ не остановимся. Замѣтимъ
только, что когда нужно опредѣлпть большое время полета снарядовъ, то трудно было-бы попадать въ раму мишень, поставленную въ концѣ полета. Для этого случая капитанъ Ле-Буланже, вмѣсто второй рамы, предлагаетъ употреблять помѣщаемый
на землѣ, блпзъ мѣста паденія снарядовъ, разобщающій аппаратъ
(ФИГ. 20), состояний изъ электромагнита А, поддерживаюіцаго
тяжелый желѣзный конецъ С рычага В.

Электро-мапштъ на-

магничивается токомъ а, Ъ, с, cl, пдущимъ отъ одного галваннческаго элемента, располагаема«) вблизи аппарата. Токъ, намагничивающій запирающій электро-мапштъ клепсидра, входитъ съ
одной стороны по проводнику е въ ось рычага, а съ другой по
проводнику f въ сердечнпкъ электро-магнита аппарата. Изъ этого
расположепія видно, что соирикосновеніе электро-магнита аппарата съ оправою рычага замыкаетъ токъ, намагничивающій запирающщ электро-магшітъ клепсидра, и что этотъ токъ прерывается по отпаденін рычага разобшдюіцаго аппарата. Помощію
подвижной части сердечника магнита, регулируютъ его токъ такъ,
чтобы рычагъ отпадалъ отъ пего при слабомъ ударѣ о землю.
При этихъ условіяхъ, отъ паденія снаряда вблизи прибора, рычагъ разобщающая аппарата падаетъ и вслѣдствіе этого токъ, на-

магничивающій запирающій электоро-магиитъ клепсидра, прерывается. Если счптаютъ нужнымъ, то можно принять въ расчетъ
время, потребное для передачи сотрясенія отъ мѣста паденія снаряда до разобщающая аппарата. Для того, чтобы облегчить передачу сотрясеиія, при опытахъ, пропзведенныхъ въ Бельгіи,
клали на землю кресто-образпо два деревянные лежня п на эти
лежни, въ мѣстѣ пхъ соедииенія, ставили разобщающій аішаратъ.

30. Опредѣленіе вѣсовъртути, соотвѣтствующихъ различнымъ времснамъ. Для того, чтобы употреблять клеиспдръ, необходимо предварительно, для данная экземпляра, опредѣлнть опытомъ
вѣса вытекающей ртути соотвѣтствуюіціе разлпчнымъ времепамъ.
Для этойцѣлп служатъ стѣнные часы съ секунднымъ маятникомъ.
Подъ маятипкомх (ФИГ. 21) утверждены два малые металлическіе якоря abc, def,

вращающіеся вокругъ осей Ь и е. Маятники,

оканчивается ножемъ; этотъ ножъ, встрѣчая, при качаніяхъ маятника, рожки якорей заставляете пхъ падать иоперемѣнно вправо
и влѣво отъ вертикальной линіи, проходящей чрезъ ось маятника.
Пусть ts изображаете часть цѣпи открывающая электромагнита клепсидра; соединнмъ ироводникомъ точку г этой цѣпи
съ стойкой 1с и точку q съ стойкой I. Подставка р, удерживающая оба якоря, изолирующая; по стойка к соединена металлически съ осью Ь, а стойка I соединена металлически съ винтомъ
У, поэтому, когда маятникъ находится въ положеніи mm, т. е. въ
концѣ лѣваго полуразмаха, тогда якорь abc прикасается къ винту
У и отводная цѣиь замкнута. Еслп въ этомъ положены прервать
Цѣиь въ части qr, то этнмъ токъ открывающая электро-магнита
че будете прерваиъ, потому что опъ пройдете по отводу rklq\ но
такъ какъ маятникъ качается, то опъ разомкнете отводъ и вмѣстѣ съ тѣмъ токъ открывающая электро-магнита въ тотъ моментъ когда, придя вт, положеніе zz, онъ коснется вѣтви с. Прибавпмъ что маятникъ своими качаніями не можете прерывать
тока до тѣхъ норъ, пока не будете прервана цѣпь въ части
между q и г.

Установимъ помощію якоря def

подобный отводъ xijv

въ

цѣнн иу намагничивающей запирающіи электро-магнитъ. При
псреходѣ маятника нзъ zz въ т'т', онъ встрѣчаетъ вѣтвь f ,
опускаетъ якорі> def на впнтъ h и чрезъ это замыкаетъ отводъ
xijv, еслп разобщить цѣпь между ѵ и х, когда маятникъ находится въ т'т', то токъ запирающаго электро-магнита не будетъ
прерванъ, по онъ прервется когда маятникъ, возвратись въ положеніе zz', каснегся вѣтви d.
Такимъ образомъ наблюдатель можетъ прерывать токъ открывающаго электро-магнита маятникомъ, когда маятникъ при качаніи слі.ва на право приходить въ zz и прерывать токъ запирающаго электро-магнита, когда маятникъ яри качаніи справа на
лѣво приходить въ z'z.
Для прерыванія частей цѣпи между q и г и между ѵ и х употребляютъ изображенный на ФИГ. 22 реотомъ, снабженный двумя
пластинками А к В , замыкающими цѣпи чрезъ прикосновеніе
пластинокъ къ скобкамъ С и В.

Когда пластинки прикасаются

къ скобкамъ, тогда токъ открывающаго электро-магнита проходить какъ въ общую цѣпь tqArs, такъ и въ отводъ qlkr,

если

якорь abc прикасается къ винту g; а токъ запирающаго электромагнита проходить какъ въ общую цѣпь ухВѵи такъ н въ отводъ
xijv, еслп якорь def

прикасается къ винту h. При надавливаніи

пальцемъ на конецъ F пластинки А общая цѣпь открывающаго
электро-магнита прерывается между q и г; а при надавливаніи
пальцемъ на конецъ G пластинки В общая цѣпь запирающаго
электро-магнита прерывается между х и ѵ.
Когда цѣпи расположены оппсаннымъ образомъ, оба рычага
подвѣшены къ своимъ электро-магнитамъ и ртуть находится на
начальном!, уровнѣ, тогда наблюдатель слѣдитъ за качаніями
маятника и надавливаеть пальцемъ на F, когда маятникъ находится вблизи положенія mm;

при этомъ маятникъ дойдя до zz

прерветъ токъ открывающаго электро-магнита и нстеченіе ртути
начнется; въ концѣ т'т того же качаиія наблюдатель надавлиливаетъ на G и маятникъ при возвращеніи своемъ въ zz

преры-

ваешь токъ заішірающаго электро-магнита, отчего истеченіе останавливается. Называя чрезъ у вѣсъ вытекшей при этомъ наблюденіи ртути и чрезъ ß вѣсъ ртути, который бы получили отъ
дѣйствія разобщителя, т. е. отъ одновременнаго прерыванія обоихъ токовъ, разность у — ß представить вѣсъ ртути, вытекшей
въ то время какъ маятникъ прошелъ угловое разстояніе zm' - н m'z'.
Если бы zz и zz

къ точности равно отстояли отъ вертикаль-

ной проходящей чрезъ ось прпвѣса, то разность у — ß выразила бы вѣсъ ртути, вытекшей въ течешн первой секунды ; но
такъ какъ означенное условіе въ точности не выполнимо, то можемъ только сказать, что разность у — ß есть вѣсъ ртути, вытекшей въ то время, какъ маятникъ прошелъ дуги zm -t- m'z'.
Подвѣснвъ снова оба рычага къ своимъ электро-мапштамъ
и приведя ртуть къ начальному уровню наблюдатель снова иадавливаетъ на F, когда маятникъ находится вблизи mm; но на G надавливаешь не въ концѣ нерва го качанія, а въ концѣ трегьяго
качанія, т. е. когда маятникъ ііридетъ во второй разъ въ положеніе близкое т т . Изобразимъ чрезъ у вѣсъ ртути, вытекшей
при этомъ иаблюденіп; разность у'—ß выразить вѣсъ ртути, вытекшей въ то время какъ маятникъ прошелъ дуги zm' -+- m'z'
-t- z'm -t- mm' -t- m'z ; a разность (y'— ß) — (y — ß) = y'— y будешь разность между вѣсомъ Ря ртутя, вытекшей въ теченіи исрвыхъ трехъ секундъ, и вѣсомъ Р 1 ртути, вытекшей въ теченін
первой секунды, т. е. будетъ Р3 — Р , — у' — у.
Если продолжнмъ поступать подобнымъ образомъ, но надавнмъ на G въ коіщѣ пятаго качаиія н изобразимъ чрезъ у" вѣсъ
вытекшей при этомъ ртути, то у" — у выразить разность между
вѣсомъ Р 5 ртути, вытекшей въ теченін первыхъ пяти секундъ и
вѣсомъ ZJ, ртути, вытекшей въ теченін первой секунды, т. е. буДсшь Р Г ) — Р 1 =

у" —

у.

И такъ далѣе.
3 1 . Вычисленіе

таблицы

временъ. Гіокажемъ, на основаніп

получеппыхъ даппыхъ, способъ вычислить таблицу временъ. Обозначнмъ (ФИГ. 2 3 ) чрезъ А площадь сѣчепія цилиндрнческаго рс-

зервуара, чрезъ h высоту начальная уровня ртути надъ отверстіемъ истеченія, чрезъ х перемѣнную высоту уровня ртути въ
резервуар! А надъ отверстіемъ истеченія, чрезъ и скорость слоя
ртути па высот-! х, чрезъ О площадь огверстія пстеченія, чрезъ
V скорость слоя ртути въ огверстіи истеченія, чрезъ р.

КОѲФФИ-

ціентъ сжатія струи и чрезъ g ускореніе тяжести.
Такъ какъ площадь отверстія истеченія весьма мала сравнительно съ площадью А резервуара и давленія воздуха на единицы площадей крайнихъ сѣченій равны между собою, то

V — р Ѵ2дх,
и какъ чрезъ каждое сѣченіе, въ одно и то же время, должеиъ
проходить одііпъ H тотъ же объемъ жидкости, то

Audt = Ovdt.
Отсюда

и —

dx
T y

X

и

Изображая чрезъ P t вѣсъ вытекшей ртути но истеченіи времени t, чрезъ Ри

Po, Рд,.... вѣса вытекшей ртути по пстеченіп

одной, двухъ, трехъ и т. д. секундъ, и чрезъ П вѣсъ кубической
единицы ртути при температурѣ 0°, получимъ
Pf =

I M (h — x)]

слѣдовательно
G)

Pt =

U t O V 2 Ï h [ } - £ y i . ï ] . t ,

и

P t - P , = np.OV2^[l

1 ) ] ( t - 1),

откуда

и какъ

_L_

— р,) малая величина въ сравненіи съ еди-

ницею, то развертывая коренную величину въ рядъ и пренебрегая

предъ

Р ^ Т ТПк

— ^

единицею членами,
в ъ

степеняхъ

••• ^ û b ' ^ L

вьіш

въ

которыхъ

входитъ

е второй, нолучимъ

1

Вставляя въ эту Формулу вмѣсто А и h ихъ числепныя значенія для пмѣющагося клепсидра и вмѣсто Pt — Р , выведеішыя
"зъ иабліоденій среднія величины (отнесенный кътемпературѣО 0 ):
Р 3 — Р , , Р 5 — р „ Р, — Р п

нолучимъ для р.О рядъ

зиа-

ченій, мало отличающихся одио отъ другаго.
Взявъ для р.0 среднее нзъ найдешіыхъ значеній и вставивъ
его въ Формулу (1), задаваясь въ ней различными величинами t,
составнмъ таблицу времепъ, соотвѣтствующихъ вѣсамъ вытекающей ртути.

t

32. Степень точности измѣряемыхъ клепсидромъ временъ.
Ддя опредѣленія степени точности показаній имѣющагося клепсидра, найдемъ разности между вѣсами ртути ( Р 3 — P j ) , ( Р 5 — Р , ) , . . . .
взятыми изъ составленной таблицы временъ и полученными изъ
паблюденій. Возьмемъ отношепіе каждой изъ найденныхъ разностей къ соотвѣтствуюіцему значенію (Pt — Рх) и помможимъ это
отношеніе на соответствующее значите t — 1. Полученный величины (которыхъ число равно числу всѣхъ наблюденій) выразятъ сдѣланпыя ошибки во времени. Бзявъ сумму квадратовъ
этихъ ошибокъ, раздѣливъ ее на число наблюденій и извлекши
изъ частнаго квадратный корень, получимъ среднюю квадратическую ошибку е2 наблюденій. Эта ошибка для имѣющагося въ
артиллерійскомъ комитетѣ прибора, выведенная изъ 5 0 наблюдеиій, по 5 для каждаго нзъ значеній t — 1 , вышла
е 2 = 0 , 0 1 4 5 секундъ.
По правилам'ь изложеннымъ въ главѣ «способъ паимеиьшихъ
квадратовъ» найдемъ:
вѣроятпость

равна 0 , 5 , что ошибка произведеішаго наншмъ

ириборомъ отдѣлыіаго паблюдснія не превосходить 0 , 0 1 секунды,
и вѣроятность равна 0 , 9 9 9 , т. е. почти достовѣрно,
пронзведешіаго

что ошибка

наншмъ ириборомъ отдѣльнаго наблюденін не

превосходить 0 , 0 5 секунды.

SIV.
Начальный скорости спарядовъ.
3 3 . Опредѣллемап скорость какъ номощію балистическаго
маятника, такъ и помощью электро-балистнческихъ ириборовъ,
относится къ точкѣ траекторіи, находящейся на нзвѣстномъ разстояніи отъ орудія. Скорость снаряда въ точкѣ вылета, называемая начальною, отличается отъ нзмѣреішой. Снарядъ, но вылет!;

изъ орудія, подверженъ еще, на нѣкоторой части своего пути,
иѣкоторому дѣйствію пороховыхъ газовъ; но для вывода начальной скорости нѣтъ надобности принимать это обстоятельство въ
расчетъ; достаточно опредѣлить ее въ иредположеніи, что движ е т е снаряда происходить въ воздухѣ, находящемся въ покоѣ.
В ъ главахъ V и V I I I будутъ выведены Формулы, выражающая зависимость между скоростью въ точкѣ вылета и скоростью
въ точкѣ находящейся въ данномъ разстояніи отъ орудія, при
выраженіяхъ сопротивлеиія воздуха представляю щи хъ съ достаточною точностью результаты опытовъ надъ сопротивленіемъ.
Прп измѣрепіи скоростей снарядовъ съ цѣлью вывести ихъ началыіыя скорости, разстояніе точки, къ которой относится пзмѣреиная скорость, отъ точки вылета бываешь не велико. В ъ этомъ
случаѣ, Формулы опредѣляющія пачальныя скоростп суть слѣдующія.
Для сферическихъ

снарядов!,: Отъ скорости въ 1 7 4 0 Футъ

до скоростп въ 1 2 3 0 Футъ (п° 1 5 5 )

гдѣ
2с

=

Р

0,0013. д. к №

Отъ скорости въ 1 2 3 0 Футъ до малыхъ скоростей (п° 1 6 2 )

гдѣ

2с =

F

0 , 0 0 0 2 5 5 . д.KR*

Для продолговатыхг

,

У=

610.

снарядовъ:

Отъ скоростп въ 1 6 7 0 Футъ, до скорости въ 1 1 8 0
(п° 2 3 7 )

Футъ

Ѵ = ѵ

( і н - 4 ) ,

гдѣ

2c

—

—

-

0,00093. g . i r . ß 2

Отъ скорости въ 1 1 8 0

Футъ, до скорости въ 9 2 0

ФѴТЪ

(п° 2 4 0 )

гдѣ
2с5

= 0,00000000000000047 .(j. ~ l ï -

Отъ скорости въ 9 2 0 Футъ до малыхъ скоростей (п° 2 4 2 )

гдѣ
2с =

пппо

,г

m'

0,000255.g.izli 1

r =

1G00.

В ъ этнхъ Формулахъ Футъ и Фунтъ приняты за единицы; V
изображаеть начальную скорость; ѵ измеренную скорость; х разстояніе точки вылета отъ точки, къ которой относится пзмѣренная скорость; Р вѣсъ снаряда; R радіусъ сферическаго снаряда
или радіусъ цилиндрической части иродолговатаго снаряда; g ускореніе тяжести; т, отношеніе окружности къ діаметру.
3 4 . В ъ слѣдующпхъ таблнцахъ помѣщены начальный скорости сферическнхъ спарядовъ изъ гладкихъ орудій и продолговатыхъ спарядовъ нзъ нарѣзныхъ орудій, полученный на Волковомъ иолѣ, въ теченіи послѣднихъ десяти лѣтъ, помоіцію электрическаго маятника г. Наве и электрнческаго хронографа г. ле-Буланже. К ъ таблицамъ начальныхъ скоростей приложены таблицы
размѣровъ орудій н спарядовъ, имѣющпхъ вліяніе па величины
скоростей.

Скорости сиарядовъ отдѣлыіыхъ выстрѣловъ ОДНОГО II того
же опыта отличаются одна отъ другой. Вѣроятное отклоненіе
отдѣлыюй скорости отъ средней одного и того же опыта, для
сферическнхъ снарядовъ, выстрѣленныхъ изъ орудій съ весьма
нсправнымъ каналомъ, составляете около ^ доли скорости. В ѣ роятное отклоненіе отдѣлыюй скорости продолговатая снаряда
отъ средней одного и того же опыта, въ предѣлахъ скоростей
отъ 1 4 0 0 до 6 0 0 Футе, составляете отъ щ до ^

доли ско-

рости. Для малыхъ скоростей, около 4 0 0 Футъ и менѣе, на величину когорыхъ пмѣетъ большое вліяніе сонротпвленіе свинцовой оболочки снаряда при іірохожденін пмъ нарѣзнаго канала,
это вѣроятное отклонеиіе составляете отъ ~Г) до ,ІГ) доли скорости.
Среднія скорости, получаемыя при одномъ и томъ же способ! заряжанія, отъ одного н того же сорта пороха, но различной степени сырости (не превышающей дозволяемая предѣла)
или отъ пороха, приготовленная въ разные я д ы , отличаются
одна отъ другой значительно болѣе, чѣмъ скорости отдѣльныхъ
выстрѣловъ одного H того же опыта. В ъ этомъ случаѣ разность
началыіыхъ скоростей сферическнхъ сиарядовъ доходите до ^
доли скоростей; а разность скоростей продолговатыхъ снарядовъ,
въ предѣлахъ отъ 1 4 0 0 до ООО Футъ, доходите до

доли ско-

рости. При малыхъ скоростяхъ продолговатыхъ снарядовъ со
свннцой оболочкой эта разность доходите до ^ доли скорости.

>
- - I- о- о чз
О W - I to „ H -f
o c i o o ä я ZJ
о Li 43
43 и »
—
О (Г Я
X 43 Р
с3
-I
(3* cojoj— Г « S »
X'o'oi'ifІІ s
Ë
я

if-yoyojo * о 2,
"св1о"оі о
2.
Я= с
р

If- СО С» 05
If- О Gl СOl Ol СО Ci

to CO ci со
ICCßO-I
CB-005

Ч Ol -I if. H
Ol
Ol
я с
О Ь £q
11 и
ь
о га С.

Ol to О Ci со
Ol О Ol to о
If- О If- СО о

>

43

ь» — О 43
" о Ol Ol Ol - Й f j
О S 43
43 S £
о о —
H'S. s
iX m Kl к- ? Я Р

о S P
43 и £
О О

Р

Й "Н.н
® • g" 53

-

2. S

X
£
Б

Длина по досылкѣ заряда
и снаряда.

A
Kl
-i
&

»
X
в»

в
H
Е

Вѣсъ.

X
3.
£
Е

Длина по досылкѣ заряда
и снаряда

«Г
1—с
H
Е
в
tr

я
0
01
ff
я
p

о
я

я
Kl
Б

H
в»

f . ІО И О О >5
" о "-! Ol "if- _ н
Ol
СП P = .
О г1 SQ
43 X >i
о ІВ 43
X
о
е яс п
esjt- ее ю о • о S
о"со®"о-і
2.я« я
я

If-

to

Вѣсъ.

05
Р
43
В
X
и*

П
я

ю
•9

Р
К9

05
Р

в
H
Е

Вѣсъ.

X
5

Длина по досылкѣ заряда
и снаряда.

В
ja

я
СО Ci Ci СО
— -1 C3 Ci
to о о со

п

43

дэоіы**
о
о о Ь о ч

^

H
Ol В я
ОU
43 Ci
-о о
а *Н. Sq

00 picoyoj— Г

ІО Ci to " о

-t
СО

—t СО О -f X
— Ci - I — Cil
io - f со со со

к X

Вѣсъ.

Длина по досылкѣ заряда
и снаряда
О
я

05
Р
43
а
»
о"
в
Е

ІІродолжепіе таблицы начальпыхъ скоростей сферическихъ сиарядоБъ, выстрѣлепныхъ изъ гладкихъ орудій.
60 «рунт. пушка.

1 пудовой единорогъ.

Зарядъ.

Зарядъ.

3 пуд. бомбовая пушка.

Зарядъ.

д В

о к •
ч « g
— р. ч
И га а
44а g
ИИ S
Я Ч
5 S =

S4 к
< g
4
о. ч
В
g
в
и п р
43
О
41
Ö
В S 3.
ю
5^ «
M
M
»S 4 1 И
И а ц
В аИ яи
Я ч
Ч. 3 =
о
ЧД о
ФуНТЫ. |,ДюЙМЫ.|фуТЫ въ 1° Фувты. I Дюймы. Футы въ 1° Фувты.]дюймы.|футы въ I е
О Е£ •

к « в

Бомба со шпиглеыъ.
Артиллерійскій порохъ.
3,1
420
842
5,1

7,4

1151

9,0

1324

Я д р о .
9,0

1080

Я
д
Артиллерійскій порохъ.
7
6,3
11
8,8
Г 15,0
15
112,0
18
14,0
Призматичсскій порохъ.
17
I 11,8
23
I 14,3

Я д р о .

1117
1350
14601
1560/
1712
1542
1792

Бомба со шпиглемъ.
Артнллерійскій порохъ.
7
6,5
1300
11,0
15
1795

Артндлерійскій пороха..
1 4 I 15

957

ПризматнческЛ) порохъ.
40
I 22,5

1438

Бомба со шпиглемъ.
Артиллерійскій порохъ.
543
4
11,6
,7
769
11,6
16
11,6
1197
10д,75 пушка.

Я д р о .

ІІризматическій порохъ.
40
17,4

0,5
2,0
4,0
7,0

Футы въ 1 е .

о
о
р.
о
в
О

89
222
365
543

У 2 пуд. мортира.

•4
н
о
о
р.
о
а
о

Зарядъ артилдерійскаго пороха.

Фуаты.

Л
н

2 пуд. мортира.
Зарядъ артиллерійскаго пороха.

Зарядъ артиллерійскаго пороха.

5 пуд. мортира.

4
Н
О
о
Рі
о
в
О

Фувты.

Футы въ 1 е .

Фувты.

Футы въ 1 е .

0,19
0,75
2,00
5,00

82
194
354
710

0,052
0,250
0,500

62
210
386

1565

0]=1>*3=<>І я
•a
^ ^ ь p
в g в а = Б
X в s I я s
и g p p а o\
ц 2 я 'S
H V,Е«'тз
CT1 S в " ~
м
43
u
£ «
a с. в в Sч а
в
к =я » а *
9» Ф
Ь
>4
CD H g ' ô S ' Ô -t,
Ç
вя
Я Я
ДО
Ф Ф го к
Ф Я о ТЗ о р
В д я л я и
г-, м Р Ф
о оЯсоtd*оЯ«^
« в »J-. — 9С CD
в в= Р в
Е ^и к § а ч

а

Uli ь і

'S

S Й s1 P и в
В 8
s 3
se« в
а p S -с
S S »g
I S

Cd
е*

Mfe Я
а »'«5 s S
3-1 s = ОЧ я я
И2
» о\
IS.
а в о
р g 2 рю
К О я Б С,
CD g В Р
ІЧР»?»'
' j î e S .

>
со
ы
6*
ч
Е

Cd
С*
О
•

00 I OS OC.O Cl Ip-JM
"o ' "©"îolp.Vi "Vit-,
о
lo о œ Р ч ci

43

54
р

10 4 ,75
пушка.
л

И

к

о to
"сд ' 'oilp-'co'colo'ci
3
о
Ю СО 03 tO ОС ОС 43

*

S

рв

1о

Cd

Ы
В
I to ос to ур .си ос .ci
*© "as "to "to "ос ci "о
О -1 СО О ОС О
1

_

Iр •-

ОС I

œ

I

с,

ЧС)

§8

Cl
р- СО
jPl оэ о с ОС —1
to I "ос ОС 00 Ос "о 41
О
О -I ос о о о
ОС

.

со -і і-і
о—
.Ol I ,01.0 <С 00 00 о
о
онооооі

Vi пуд-

мѣдный
едипорогъ.
1 пуд.
единорогъ.
3 пуд.
бомбовая
пушка.

Таблица пачалышхъ скоростей продолговатыхъ спарядовъ, выстрѣлепныхъ пзъ нарѣзпыхъ орудій.
4 ФН. п у ш к а .

• ев

.'2 «
5.2
4 4 g
2>а д
« а о
СО Й А

а. оз
сз х

Фунты.

л

H
V
о
с.

es

О

Футы
въ Iе.

ГРАНАТА.
0,125

0

9 ФН. п у ш к а .

.

СІ
« и

t°'S.£
« S 2=
a. H

со н 2
а. сз
oj а
U
Фунты.

Л
н
о
о
а.

а

И

Футы
въ 1°.

1 2 ФН. м ѣ д н а я В
стальная пушки.
. с3

КЗ и

0'S.g.
« Ч g
а. и п

СО H а
о. te
03 g
фунты.

л
н
и
о
р.
M

О

1 2 ФН. ч у г у н н а я
пушка.
. оЗ

S3 и

й'3-g.
4 S о
О. G H

о
g.

S3 з о
СО н а

М
О

Фунты.

Футы
въ 1е.

Е. «

« t

Футы
въ 1°.

.4
H
И

Граната.

Г р а н а т а .

Граната.

0,14

0

0,16

0

0,20

0

0,3

373

0,6

423

0,75

426

0,75

440

0,4

448

0,8

495

1,00

500

1,00

516

0,5

517

1,0

560

1,25

570

1,25

690

0,6

581

1,2

620

1,50

640

1,50

660

0,7

640

1,4

677

1,75

702

1,75

725

0,8

694

1,6

731

2,00

763

2,00

788

0,9

745

1,8

783

2,25

814

2,25

834

1,0

794

2,0

833

2,50

860

2,50

887

1,1

842

2,2

880

2,75

902

1,2

889

2,4

926

3,00

943

1,3

935

2,6

971

3,25

980

1,4

980

2,8

1016

3,50

1015

1,5

1025

3,0

1060

Картечная граната.
1,5

945

Картечная граната.
3,0

990

Продолжепіе таблицы пачальпыхъ скоростей продолговатыхъ снарядовъ, выстрѣленныхъ изъ парѣзныхъ орудій.
2 4 Ф Н . мѣдная, стальная и чугунная пушки.

• а
œ и

8 Д облегченная пушка.

Hй

P. H °
CS Я О
СО и Р

Скорость.

Фунты.

футы въ 1°.

l i s

ê •i В" "Pi
I s *
Фунты.

Скорость.

Футы в ъ I е .

8 Д береговая п у ш к а .

С5 о
я
ь
Р. а
В оИ
ЛШ о
*<
Е StО &
Р-Н в
« а
СО я
Фунты.

0,4

0

4

400

1,5

446

5

466

2,0

530

в

526

2,5

603

7

580

3,0

668

8

632

3,5

728

9

681

4,0

784

10

728

4,5

836

11

773

5,0

886

12

815

5,5

933

13

855

6,0

977

14

892

6,5

1020

15

926

7,0

1063

16

957

17

985

18

1011

19

1036

Футы в ъ 1 е ,

Бомба.

Бомба.

Граната.

Скорость.

25

1230

31,5

1380

9 Д береговая п у ш к а .

CS О
= Ь
ОЧ 0 3 Л*
Е
« S
м
.л о о5

êsf

Скорость.

СО
Фу нты.

Футы в ъ 1 е

Бомба.
52

1330

1 1 д береговая п у ш к а .

ГЭ О
Я —I
я. аse
а а4
«Я ок И

[3 с о
вг
P«

Скорость.

Фунты.

Футы в ъ 1 е .

в в о
Р-Ь в
а Йа
со

Бомба.
9іу.

1360

о
-я

о

CD

О
СО

1

1

3d
аз

О
СО

•41
CT

1

1

О

00

1

1

о
ю

оо

1

1

за

о

СО

31,2

1

»—1

CT

16,1

I

71,3

I

о
о
со

36,1

о

I

1

ЗО

-4<

l-t

27,0

16,0

25,0
13,5

115,4
90,4

12,0
10,0

113,5

8,28
6,22
5,00
5,00

8,18
4,92
4,92

83,9

со_
00"

I

36,1

f

13,8

•НФ

чІ"

of

10,0

•вягпАп

со
со.

С-!

73,0

6

о,
of

о
FF

60,8

•НФ

оо.
of
<м

3,58

'вятХп

ZX

4,31

•вяш.(и ввн

-ïq.w -НФ

•41
со"

3,52

" в я т А п ВВП
-нХлАь -НФ

6,00

-ïfq.K -НФ

00
-Н

со

оо"

4,80

•иншАп іген
-нілАь и ввн

о
о

4,80

"внтАи вин
-нэьлэігдо гв

О
О

со"

4,20

•внгпАп
ввнолэ(1э9 г8

о
о

3,42

•вятаАп
виаолэйЭ9 fC

о

ю
за

14,0

'ВНШАп вва
-олосІЭ9 г і і

«

<5
О

te
№1

(в
X
ев
я
2
<

fi
а
2

fi
я
к
te
вч
te
я
со

-А
Рч

К
fi
в

О

q
о
а
с.
н
S3
я
.2

(в
X
ев
Я

<4
я
еЗ
со
в.

2
t»
о.
ѵэ

fi
g*

п

a

tt

о

К
И
a
о.
о
я
СЗ
и
(в
с.
н
ш
я
CS

et

2
к
|4
В
й
я
о
н
ее
в
СЗ
|4
Я
a
В
в.
о
Я
ев
В

2
о
в.
о
Я
C
вS

|4
«3
ее
я
СЗ
В
ее
в (4
ав Я
я
я
!=1

2
к
fi
q
a
B.
ев
В
К

[4 fi
°

ce
к
в
сз
в
ез
.2

и
0!

g
я
ев
о
^
fiв
я

S
и

SI
I 4

|4
X
ее
H
вр»
е>

(4
И
сз
О.
\о
s
я
öS
в
«4
в
g
а
о
сэ
>(4
е.

(4
сЗ
H
l4
(4
3'

fi
в

a
H
еЗ
H
ее
в.
a

S»
CS

в
cS
В.

СЗ

в.
в
з.
0
\o

(4
В
о
СЗ

1
s
ев
В
В
я

"â
s
о
я
сз
я
tr

о
в
В
eu
S
09
В.
ее
H
44

га

Й
ев
a
В
І>»
Ô
(4
В
a
\о
я

3 5 . В ъ предъидуіцихъ таблнцахъ помѣщены соотвѣтствующія даннымъ зарядамъ началыіыя скорости употребляемыхъ снарядовъ изъ имѣющихся орудій; но часто бываешь нужно судить
о величинѣ начальныхъ скоростей при другихъ вѣсахъ зарядовъ
и снарядовъ H изъ орудій, имѣющихъ калибръ и длину канала, отлнчающіеся отъ тѣхъ, которые помѣщены въ таблнцахъ. Для этого
помѣщаемъ двѣ Формулы, опредѣляюіція началыіыя скорости въ
зависимости отъ означеиныхъ величинъ. Обѣ Формулы выведены
изъ законовъ движенія снаряда но каналу орудія, при допущеніи,
что пороховые газы слѣдуютъ законамъ Маріотта и Гей-Люсака
и что весь зарядъ сгораешь до смѣщенія снаряда. В ъ первый изъ
Формулъ принято въ расчетъ охлажденіе газовъ отъ ихъ расширенія при движеніи снаряда по каналу и нреиебрежено

только

количество теплоты, поглащаемой стѣнами орудія. Во второй Формул!; предполагается, что температура пороховыхъ газовъ, при
движеніи снаряда по каналу, остается постоянною (предноложеніе,
которое было-бы справедливо только тогда, когда сообщалось-бы
газамъ извнѣ количество теплоты, соотвѣтствующее произведенной газами работѣ).
Если обозначпмъ чрезъ V начальную скорость снаряда; чрезъ
U потерю скорости вслѣдствіе зазора между каналомъ и сиарядомъ; чрезъ V вѣсъ снаряда; чрезъ с вѣсъ заряда; чрезъ ТГобъемъ канала съ каморою ; чрезъ гѵ объемъ части канала или каморы
отъ задняго кояца досланнаго

снаряда (въ случаѣ снаряда со

шпиглемъ отъ дна шпигля) до дна канала или каморы; чрезъ 2 С
калибръ орудія; чрезъ 2 R діаметръ снаряда; чрезъ у = 1 , 4 1
отношепіе теплоемкости

газовъ прп постояиномъ давленіп къ

теплоемкости при постояиномъ объемѣ, чрезъ X и р. чпсленные
коеФФнціенты, то
Первая Формула будетъ

Вторая Формула будетъ

FH-

j A ^ q r - Log J -

На осиоваіііи результатовъ произведенныхъ въ Мецѣ

опы-

товъ надъ опредѣленіемъ, помощію балистпческаго маятника, скоростей снарядовъ разлнчііаго діаметра, выстрѣленныхъ нзъ одного
и того-же орудія, пріиншаютъ, что потеря скорости 7/отъ зазора
чропорціоиальна отношенію зазора къ калибру, т. е. что
тт

гдѣ а =

с—Л

4 7 0 0 Футамъ.

Для снарядовъ со свинцовой оболочкой можно принять U — 0 .
Величина коеФФИціента X въ первой Формулѣ и коеФФИціента
Р- во второй Формулѣ должна быть опредѣлена подставляя въ эти
Формулы зиаченія V, U, Р, с, W, гѵ, взятыя изъ предъндущихъ
таблицъ для случая наиболѣе близкаго къ искомому.
Обѣ Формулы скоростей выведены при многихъ допущеніяхъ
не согласныхъ съ истиною н потому ни одна изъ нихъ не можетъ
выразить точно искомую скорость. Вторая Формула, вѣроятно отъ
компенсаціи ошибокъ, происшедінихъ отъ различиыхъ допущеиій,
Даетъ результаты болѣе согласные съ опытомъ, чѣмъ первая Формула.
Обѣ Формулы показываютъ, что начальная скорость пропорШомальна корню квадратному изъ вѣса заряда и обратно иронорнюналыіа корню квадратному изъ вѣса снаряда съ третью вѣса
за

Ряда. Если пренебрежемъ третьей частью вѣса заряда предъ

вѣсомъ снаряда, то нолучимъ, что начальный скорости приблизительно нропорціональны корнямъ квадратнымъ изъ вѣсовъ заряДовъ и обратно пропорціональны корнямъ квадратпымъ изъ вѣсовъ
енарядовъ, что въизвѣстныхъ предѣлахъ подтверждается результатами опытовъ.

ГЛАВА II

Поступательное движеиіе снарядовъ въ безвоздушномъ нространствѣ.
36. Польза изслѣдованія законовъ поступательного движенія
снарядовъ въ пустотѣ.

Хотя сопротивленіе воздуха имѣетъ въ

большей части случаевъ значительное вліяніе на движеніе снарядовъ, тѣмъ не менѣе полезно изслѣдовать законы поступательнаго движенія, не принимая въ расчетъ сопротивленія

воздуха.

Формулы этого движенія составляютъ первое приближеиіе при
изслѣдованіи полета сиарядовъ въ воздухѣ и весьма полезны,
какъ показано ниже, для приближеннаго рѣшенія нѣкоторыхъ
вопросовъ.

37. Уравненія поступательного движенгя снарядовъ въ пустотѣ. Движеніе снаряда, какъ твердаго тѣла, можетъ быть разложено на поступательное движеніе его центра тяжести и на вращательное движеніе точекъ снаряда вокругъ его центра тяжести.
Поступательное движеиіе центра тяжести снаряда въ нустотѣ должно быть разсмотрѣно какъ двшкеніе матерьялыюй точки подверженной дѣйствію одпой тяжести. Такъ какъ наиравленіе силы
тяжести вертикальное, то кривая, или траекторія,

будете нахо-

диться въ вертикальной плоскости, проходящей чрезъ касательную въ точкѣ вылета.
Обозначить (ФИГ. 24) чрезъ V начальную скорость; чрезъ ©

уголъ бросанія; чрезъ ѵ скорость въ какой-либо точкѣ m, которой горизонтальная абпзпсса есть х, а вертикальная ордината у;
чрезъ О уголъ наклоненія траекторіи въ точкѣ m; чрезъ t время,
протекшее отъ начала движенін до достиженія сиарядомъ точки m;
чрезъ g ускореніе тяжести въ пустотѣ.
Такъ какъ на тѣло дѣйствуетъ одна сила тяжести но направленно прямо противоположному положительнымъ ординатамъ, то
диФФеренціалыіыя уравненія двпженія по направленіямъ осей координатъ суть

откуда

d [ѵ cos в)
dt —
d (v cos 0) = о,

d (v sin в)
dt
—~0i
d (v sin О) — — gdt.

Интегрируя первое изъ этпхъ уравненій отъ F c o s 9 до v cos О,
а второе отъ Fsin<p до v sin (J и отъ t = о до t, нолучимъ
(1)

v cos О =

Fcos©;

n s i n ö = F sin 9 — g t .

Эти уравненія показываютъ, что движенія по направленію
осей X и у не зависать одно отъ другаго; двпженіе по оси х равночерное съ постоянной скоростью F c o s ф; движеніе по оси у
равномѣрно укосненное, то самое, которое-бы имѣло мѣсто еслибьі снарядъ былъ брошенъ вертикально снизу вверхъ со скоростю
И sin 9.
Такъ какъ у cos О =

и n s i n # = y|, то уравненія (1)

даютъ
dx=V

cos 9 dt ;

dy =

Fsin 9 . dt — gtdt.

Интегрируя первое ІІЗЪ этихъ выраженій въ предѣлахъ отъ
= о до X и отъ t = о до t, а второе отъ у — ОАоуп отъ t—o
ДО t, получішъ
х

(2)

X=

Vt cos 9 ;

y=

Vt sin 9 — \ gt2.

Исключивъ t изъ обѣихъ уравненій (2), нолучимъ слѣдующее
уравненіе траектории
(3)

У — % tang <р

0x2

2 К» cos» <р •

3 8 . Траекторія въ пустотѣ есть парабола, имѣющая вертикальную ось. Сравнивая это уравненіе съ общимъ уравнеиіемъ
кривыхъ втораго порядка
Alf н- Вху -+-Сх~ -+- By -+- Ех -+- F = o ,
видимъ, что А =

о, В —о,

C=iy29e

и слѣдователыю
В2—

4AG =

o,

т. е. уравненіе траекторіп есть уравненіе параболы.
Если представимъ уравненіе траекторіи въ видѣ
2F 2 cos2 ç / F 2 sin2 ф
—g—
ѵ~^

\
?/) =

/F2 .

\î
(ysin<p.cos<p-х)

и положимъ
F 2 віп2 ф

,

— У =

У,

уг .

— Sin

9 . cos 9

,

— X == X ,

то получпмъ
Ж

'2

=

2 F 2 cos2 ф ,
Г-^'Уг

уравненіе параболы, отнесенное къ вершинѣ, какъ началу координате. Координаты вершины въ отношеніи къ прежнему началу
координате суть (ФИГ, 25) А Н = ~ sin 9 cos 9 =
sin 2 9 и
2
^
S H = — •
Отсюда: 1) такъ какъ кривая симметрична относительно вертикальной, проходящей чрезъ вершипу, то вершина

кривой соотвѣтствуетъ срединѣ горизонтальной дальности ; 2) такъ
какъ ОН— АН. tang <р = ZÎHSi?

?

а

H =

, то вся вы-

S

сота полета SH равна половинѣ ординаты СИ;

3) восходящая

вѣтвь AS подобна н равна нисходящей вѣтви SB;

уголъ падеиія

ХВІУ

по величинѣ равенъ углу бросанія

GAB.

Мояшо рѣшить многіе вопросы основаііпые на свойствахъ
траектории

39. Горизонтальная дальность и вся высота полета. Пусть
будетъ X горизонтальная дальность AB =

2АН,

дальность на

одномъ уровнѣ съ орудіемъ и Y вся высота SH полета.
Для опредѣленія X , положивъ въ уравненіи (3) у = о и замѣтивъ, что 2 sin ф . cos <р =

Сл\
W

X =

sin 2 <р, нолучимъ

2V2

— Sin ф . COS ф =

V2 •

— Sill 2 ф.

Вся высота полета, какъ видпо изъ п° 3 8 ,
У

V 2 sill 2 у

Къ тому же результату придемъ если приравняемъ нулю величину

, полученную пзъ уравпенія (3), и исключимъ х нзъ

обоихъ уравненій.
Выраженіе Y показываетъ, что вся высота полета увеличикается съ возрастаніемъ угла бросанія ф н дѣлается равною -2~ ,
когда sin ф =

1, т. е. когда снарядъ брошенъ вертикально снизу

вверхъ. При ф =

45°,

при ф =

30°,

40. Подъ углами бросангя равно удаленными отъ
ности равны.
ес

45даль-

Такъ какъ X = — sin ф . cos ф, то видно, что

ли вмѣсто угла ф возьмемъ его дополненіе до прямаго, синусъ

измѣнится въ косину съ и обратно, а величина X останется та-же;

следовательно нодъ углами равно удаленными отъ 45°, какъ напримѣръ 3 0 ° и 60°, дальности одинаковы.

41. Уголъ нагібольгией дальности и величина эгггой дальноV2

сгпи. Выраженіе дальности X=-личину при 2о=
V
У2
деть А = — .

sin 2сримѣетъ наибольшую ве-

90°, или 9 = 4 5 °

и наибольшая дальность бу-

Уголъ наибольшей дальности можетъ быть также нолученъ
приравнявъ нулю производную

ах

Такъ какъ вообще Функція, достигшая нанболынаго значенія
мало измѣняется, при маломъ измѣненіи величинъ, отъ которыхъ
она зависитъ, то малыя пзмѣненія въуглѣ бросанія, соотвѣтствующаго наибольшей далыюстн въ большую или меньшую сторону,
мало пзмѣняютъ дальность.

42. Завгісимосгпь между дальностями, начальными скоростями и грлами бросанія.

Если обозначимъ чрезъ 9 н 9 ' углы бро-

сания, нодъ которыми два снаряда, выстрѣлеппые съ различными
начальными скоростями V и V, имѣютъ одну п ту-же дальность X,
то получимъ

~\7 '

откуда

•

А = —S111 2 9

О

II Х =

у "я
g

Sin 29'
т

т. е. при одной и той же дальности, синусы удвоеішыхъ угловъ
бросапія обратно пропорціояалыіы квадратамъ начальныхъ скоростей, а скорости обратно пропорціональны корішмъ квадратиымъ изъ синусовъ двойныхъ угловъ бросанія.
Если обозначимъ чрезъ X и X' дальности двухъ спарядовъ,
брошешіыхъ нодъ однимъ и тѣмъ же угломъ 9, съ различными
начальными скоростями V и V, то получимъ

Х =

sin 2 9 , Х '

У2

= — Sin 2 9 ,

откуда

у2

X
X'
т

у

v'211 v

Ѵх_

ух1 '

- е. при одномъ и томъ же углѣ брасанія, дальности пропорціо-

нальны квадратамъ начальныхъ скоростей; а скорости пропорциональны корнямъ квадратнымъ изъ дальиостей.
Если обозпачимъ чрезъ X " дальность снаряда, брошешіаго
со скоростью V подъ угломъ ф", то получимъ
т ги

X

=

V2

•

п

п

ï

— sin 2ф , Ii слѣдователыю,

X

=

sin 2ф

sïîvV''

- е. дальности снарядовъ, брошенныхъ съ одною и тою-же
скоростью, пропорціональны синусамъ удвосішыхъ угловъ бросанія.

т

Если чрезъ X , назовемъ дальность подъ угломъ въ 4 5 ° , то
получимъ
X, =

у

и X" =

X , sin 2ф".

Такъ какъ sin 3 0 ° = ^ , то дальность прп углѣ въ 1 5 " равна половинѣ дальности при углѣ въ 45°.
Выраженіе sin 2 ф " = ? - служить для нахождепія угла бросапія соотвѣтствующаго данной далыюстп по извѣстной дальности подъ угломъ въ 45°.

43. Скорость въ какой либо точкѣ траекторги. Скорость ѵ
Въ

какой либо точкѣ траекторіп есть равіюдѣйствуюіцая изъ

Двухъ ея составляющихъ vcos О и v s i n û , онредѣляемыхъ уравненіями (1). Поэтому
*

v2 =

Ѵг cos2 О н— v2 sin2 О =

и какъ (yp. 2 ) y =Vt

V2 — 2g (Vt sin <p — \gt2),

sin ф — \ gt2, то
v — VVl—

2 gy.

Отсюда впдпо, что скорость тѣла зависать только отъ высоты у, на которую оно поднялось, и что эта скорость будетъ наименьшая, когда у достнгнетъ наибольшей величины, т. е. въ вершинѣ траекторін. Высота Y въ вершинѣ траекторін (w°38) равF

2

SÏn2 (р

няется — - б ; поэтому наименьшая скорость, имѣющая мѣсто
въ вершинѣ, равняется F c o s ç .
4 4 . ІІаплоненіе

траскторіи.

О траекторін равняется
(б)

Такъ какъ тангенсъ наклоненія

то изъ уравненія (3) нолучимъ

tang О — tang ф

•

IIa горизонтальной мѣстности дальность (ур. 4) X = —

j ер cos <p.

s n

Вставивъ это выраженіе вмѣсто х въ послѣдиее уравненіе и
обозначая уголъ паденія чрезъ О, получимъ tang ö, = — tang 9,
т. е. уголъ паденія равенъ но величинѣ углу бросанія, но съ противнымъ знакомь.
4 5 . Время полета.

Первое изъ уравненій (2) даетъ

t =

х

F cos ф '

Полное время полета получится, если подставимъ вмѣсто х
величину полной дальности X (ур. 4); называя чрезъ Т это время, получимъ
ji

2Fsin ф

9

Вставивъ вмѣсто скорости V ея величину изъ уравиенія (4)
нолучимъ

Если назовемъ чрезъ Т, полное время полета подъ угломъ въ
4 5 ° и замѣтимъ, что tang 4 5 ° =

1, то получнмъ

и слѣдователыю полное время полета подъ какимъ либо угломъ
бросапія ф, будетъ
Т — У Т х tang 9-

\

4G. При данномъ положены
скорость,

или уголъ бросанія.

цѣли найти или начальную

Пусть будетъ а горизонтальное

Разстояпіе точки, въ которую требуется попасть; Ь ея вертикальное разстояніе

падъ горизонтальною

плоскостью, проходящею

чрезъ точку вылета; назовемъ чрезъ s уголъ мѣстностп, т. е.
Уголъ составляемый съ горизонтомъ прямою соединяющею точку
вьілета съ цѣлью, будемъ имѣть tang s =

|.

Такъ какъ траекторія должна пройти чрезъ точку, которой
координаты а и Ь, то, по уравненію (3), должно
Ъ=

a tang 9

2

K^cos2 9 '

Если данъ утолъ 9 п требуется найти начальную скорость, то
изъ послѣдняго уравпенія, замѣчая что ^ =

F = —
или, такъ какъ
.

.

tang 9 — tang s =
0

TO

1/

cos 9 у

~

0

tangs, получимъ

9а

2 (tang 9 — tang с)

sin 9

sin е

cos 9

cos e

—J

=

sin ( 9 — с)

———-,

cos 9 . cos e '

гдѣ е положительный или отрицательный, смотря потому будетъли цѣль выше или ниже орудія.
Если начальная скорость дана и требуется найти уголъ бросанія, то изъ уравнеиія Ъ =

a tang у —

2

• •, замѣнивъ въ

немъ —А- его величиною 1 -t- tang 2 у, полѵчимъ
COS' Ф

О

b=

a tang у —

I 7

J

( 1 + tang 2 y),

откуда
(3)

X

2

tang у

2F2,

— tang у -+-

2Т2Ь

-+-1 =

о.

Рѣшая это уравненіе, получимъ для tang у двѣ величины
<»>

ИЛИ

Такимъ образомъ существуютъ два угла бросанія, подъ которыми можно попасть въ данную точку, при данной начальной
скорости. Эти два угла прнведутся къ одному, когда подрадикалыіая величина будетъ равна нулю. Если а клн b будутъ такъ
велики, что величины у получатся мнимыя, то это покажетъ, что
при данной начальной скорости, нельзя попасть въ цѣль.

47. Зависимость между обоими углами, подъ которыми,
при данной начальной скорости, можно гюпасгггь въ цгьль. Еслп
обозначимъ чрезъ у ' и у " эти два угла, то tang у' и tang у "
должны быть корнями уравненія (8) и поэтому будемъ имѣть
tang у ' -+- tang у " =

^

и tang у ' . tang у " =

^

н-1,

откуда
tang у ' ч - tang у "
1 -

_

.

tang y ' , tang у " —

t a , ,

, ,
S W

/л

1

"+• Т ) —

cötang ( 9 0 ° - н е ) =

t a i l

S (

-lange'

а

и какъ
=

1

Ь ~

9 0

° -

£

)>

ТО

<р' - + - ф " =

9 0 ° -»- е пли ф' — е =

9 0 ° — ф".

Эта зависимость показываетъ, что оба направленія бросапія
ОС, OD (ФИГ. 26), подъ которыми спарядъ, при данной начальной скорости, попадаетъ въ цѣль Б,

составляютъ равные углы

ООН в ВОН съ прямою OB направленною въ цѣль н съ вертикальною ОН и что, сл едовательно, оба направленія ОС, OB равно
Удалены отъ прямой OF, дѣлящей по поламъ уголъ НОВ, составленный вертикальною лппіею н прямою идущею въ цѣль.

48. Случай когда оба угла ф' и ф" обращаются въодинъ. Для
того, чтобы оба корня уравненія (8) обратились въ одннъ, надобно, чтобы (ур. 9)
V4

g*a*

2 ѴЧ

1=0.

В ъ этомъ случаѣ уголъ бросанія, который назовешь чрезъ Ф,
°нредѣлится изъ
.

tang фі = •

V2

да

Вставивъ эту величину въ предъидущее уравненіе п замѣтпвъ, что I = tang е, получимъ
tang 2 9 , — 2 tang 9 , tang s =

1,

придавая къ обѣимъ частямъ уравпенія величину tang 2 s, будемъ
нмѣть
(tang ф, — tang e)2 =

1 -+- tang 2 s ,

или
tang ф
I — tang s =
4
°

-A-

cos e '

что приводится къ
sill фI COS £

sin £ COS 9, =

COS 9|

или
sin (ф, — e) =

sin ( 9 0 ° — 9 , ) ,

отсюда
9, — £ =

9 0 ° — ф|

и
9 ^ - 1 ( 9 0 ° -не),
т. с. ыаправлепіе бросанія дѣлптъ пополамъ уголъ, составляемый
вертикальною съ прямою идущею въ цѣль.

49. Уголъ наибольшей дальности на наклонной мѣстности.
Найденный уголъ ф, есть уголъ, соотвѣтствующій наибольшей
дальности на наклонной мѣстности. В ъ самомъ дѣлѣ, дальность на
наклонной мѣстиости выражается чрезъ

и

достигастъ

наи-

большей величины, когда а становится наибрлыннмъ, ибо COSE,
для даннаго положенія цѣли, постоянное. Если опредѣлимъ изъ
уравпенія(7) величину я, возьмемъ отъ нея производную ~

и при-

равняемъ эту производную нулю, то получимъ
cos (ф — s). cos ф — sin (ф — е). sin 9 =
или

0

соэ(2ф — e) = О

откуда

9 =

1(90°-»-E),

слѣдовательно направленіе бросанія, дающее наибольшую дальность, дѣлитъ пополамъ уголъ, составляемый вертикальною съ прямою идущею въ цѣль.
Положи въ Ъ =

0 или e =

0 въ результатахъ, относящихся

до стрѣльбы по наклонной местности, снова придемъ къ результа-

тамъ, получеішымъ когда цѣль находится наодномъ горизонтѣсъ
орудіемъ.

50. Начальная скорость и уголъ бросанія, при которыхъ
снарядъ гіролетаегпъ чрезъ двгь дагіныя точки. Пусть а л Ь суть
горизонтальное н вертикальное разстоянія отъ орудія одной точки, и о' H У горизонтальное н вертикальное разстоянія отъорудія
Другой точки.
Такъ какъ троекторія должна проходить чрезъ эти двѣ точки, то будемъ ішѣть (>г° 3 8 )
Ъ — а tang у — 2F2TOS2 ф '

^' =

«'tangy

2 F 2 cos 2 ф '

откуда
tang© — °

'

а

V

да
2 К 2 cos 2 Ф

II tang у — a- ',

да'
2F2cos2 ф '

Раздѣливъ одно уравненіе на другое, получимъ

tang у — -,
п

Отсюда выведсмъ величину угла у и величину cos у .
Вычитая одно уравненіе изъ другаго получимъ

Ъ_ Ѵ_

g (а' - а)

а

2 К 2 cos 2 ф '

а'

откуда будемъ нмѣть начальную скорость

5 1 . Начальная скорость и уголъ бросангя, ггри которых?* спарядъ пролетаешь

чрезъ данную точку, подъ даннымъ угломъ на-

клоненія. Пусть а н Ъ суть горизонтальное и вертикальное разстоянія данной точки отъ орудія и Ѳ уголъ наклоненія траекторіи въ этой точкѣ.
Такъ какъ траекторія должна пройти чрезъ данную точку,
то (п° 3 8 )
Ь — a tang m — ^ . f " ' 1
°

откуда, положивъ ^ =

2Ѵг

т

cos 2 ф

tang s ,

tang? —tange =

2 ^ L ,

и какъ касательная къ траекторіи должна составлять въ этой
точкѣ уголъ Ѳ съ горизоитомъ, то (п° 4 4 )
tang ф - tang

û ^ y ^ .

Раздѣливъ одно уравненіе на другое, получимъ
tang у — tang в

2

tang ф — tang е

0
tang ф =

2 tang s — tang О.

Отсюда выведемъ величину угла ф и величину cos ф.
Вычитая одно уравпеніе нзъ другаго получимъ
tang £ — tang Ѳ =

^

откуда будемъ имѣть пачальную скорость

у— _ L _ l / g

а

cos ф Y 2 • tang e — tang 0 '

52. Сравнеиіе результатовъ формулъ параболическаго двиокенія съ результатами

стрѣльбы.

болическаго движенія тѣмъ

Результаты Формулъ пара-

болѣе разнятся отъ результатовъ

стрельбы, чѣмъ вѣсъ снаряда, прпходяіційся на единицу площади
его поперечнаго сѣчеиія, менѣе и чѣмъ начальный скорости снарядовъ и разстоянія, на которыя дѣйствуютъ, болѣе.
Изъ опытовъ извѣстно, что наибольшая дальность сферической
пули изъ гладкаго пѣхотнаго ружья, выстрѣленной обыкновенпымъ
боевьшъ зарядомъ, сообщающимъ ей начальную скорость около
1 5 7 0 Футъ, бываетъ при углѣ возвышенія въ 2 5 ° и составляетъ
около 4 7 0 саженъ. В ъ пустоте уголъ наибольшей дальности есть
4 5 ° ; а при означенной начальной скорости н углѣ бросанія въ
25°, дальность,

вычисленная но Формулѣ (4)

ЛТ2

параболическаго

Движенія X — — sin 2<р, вышла бы въ 8 3 7 0 саженъ, приблизительно въ 18 разъ болѣе действительной. Подъ угломъ отъ 4 °
Д° 5° дальность сферической нули составляетъ около 2 8 0 саженъ,
между тѣмъ какъ дальность въ пустотѣ подъ угломъ въ 4 ° | выШла-бы въ 1 7 1 0 саженъ, приблизительно въ 6 разъ болѣе действительной. Дальность продолговатой пулп діаметромъ 4 , 4 6 русскпхъ линій H вѣсомъ 4 , 7 5 золотника, выстреленной нодъ угломъ
2 3 4 ' изъ австріііскаго пѣхотнаго нарѣзнаго ружья, заряжаемаго
съ казенной части по системѣ Верндля, зарядомъ въ 0 , 9 4 золотника, составляетъ 3 5 5 саженъ; въ пустотѣ дальпость пули нодъ
угломъ 2 ° 3 4 ' , при начальной скорости 1 3 7 5 русскихъ Футъ, соответствующей

означенному

заряду, вышла бы 7 5 0

саженъ,

приблизительно въ 2 раза болЬе действительной.
При заряде

въ

2

веса снаряда, сообіцающемъ въ нашихъ

осадньіхъ и крепостныхъ пушкахъ съ гладкимъ каналомъ СФернческимъ ядрамъ начальную скорость около 1 7 0 0 Футъ, подъ у г ломъ возвышенія въ 3°, изъ 1 8 Ф., 2 4 Ф. и 3 6 Ф. пушекъ иолу
чаются дальности въ 5 3 0 , 6 2 0 и 6 4 0 саженъ, между тѣмъ какъ
Дальность въ пустоте была-бы 1 3 9 0 саженъ, такъ что отношеніе
этой дальности къ действителыіымъ составляетъ 2 , 1 ; 1, 8 ; 1, 7 .

При зарядѣ въ 3 Фунта, сообщаюіцемъ въ 9 Ф. нарѣзной
пушкѣ, калибромъ 4 Д ; 2 0 ,

продолговатому снаряду со свинцовой

оболочкой, вѣсомъ въ 3 1 ФѴНТЪ, начальную скорость въ

10G0

Футъ, нодъ угломъ бросанія в ъ G°14', получается дальность въ
9 0 0 саженъ, между тѣмъ какъ дальность въ пустотѣ была-бы
1 0 7 6 саженъ, приблизительно въ 1 , 2 раза болѣе действительной;
подъ угломъ бросанія въ 3 ° 1 1 ' дальность получается въ 5 0 0 саженъ, менаду тѣмъ какъ дальность в ъ пустотѣ была бы 5 5 3 сажени, приблизительно въ 1,1 раза болѣе дѣйствительной.
При стрѣльбѣ нзъ 2 п. гладкой мортиры, подъ угломъ въ
4 5 ° , зарядомъ въ 2 Фунта, сообщающішъ сферической бомбѣ
начальную скорость въ 3 5 4

Фута, получается дальность около

4 8 0 саженъ, менаду тѣмъ какъ въ пустоте дальность была-бы
5 5 6 саж.,

приблизительно въ 1,2 раза болѣе дѣйствительной.

Дальность продолговатой бомбы со свинцовой оболочкой вѣсомъ
въ 9 0 ] Фунтовъ, выстрѣленіюй ІІЗЪ 6 дюймовой нарѣзной мортир ы , подъ угломъ въ 4 3 ° , съ начальной скоростью 4 6 2 Фута,
получается въ 8 6 0 саженъ, между тѣмъ какъ дальность въ пустоте была-бы 9 4 6 саженъ, приблизительно въ 1,1 раза болѣе
дѣйствптелыюй.

53. Приложеніе формулъ параболическаго движенія къ рѣшенгю разныхъ оопросовъ при помощи таблицъ стрѣльбы. Приведенное сравненіе результатовъ Формулъ параболическаго двііженія съ результатами

стрѣльбы

показываетъ

необходимость,

при нзслѣдоваіііи движенія спарядовъ въ воздухѣ, принимать въ
разечетъ сопротивленіе воздуха; но если нзъ онытовъ найдена,
для даниаго снаряда, зависимость между углами бросанія, дальностями H начальною скоростью, то Формулы

параболическаго

движенія могутъ быть съ пользою примѣнены къ рѣшенію слѣдуюіцнхъ вопросовъ.

54. Опредѣленге начальной скорости снаряда по даннымъ
углу бросатя и дальности, и обратно угла бросанія по даннымъ
начальной скоросгпгі и далъносгпи, г:огда извгъстны другіе уголъ
бросагігя и начальная скорость, ггри которыхъ тотъ-же снарядъ

имѣетъ ту-же

дальность.

При стрѣльбѣ подъ всѣми углами бро-

саиш какъ малыми, такъ и большими, но съ малыми начальными
скоростями (соответствующими при навесной стрельбе дальностямъ, не иревышающнмъ 3 0 0 саженей) н при стрѣльбе подъ
малыми углами даже съ большими скоростями, но не слишкомъ
много различающимися одна отъ другой, Формулы параболическаго движенія (п°42)
sin 2с?
sin 29'

V2

11

1 /sin 2с?
У sin 29'

V

V'

могутъ быть употреблены для определенія начальной скорости, а
следовательно н заряда, которымъ снярядъ долженъ быть выстрѣлеиъ на данное разстояпіе, подъ даниымъ угломъ, или для опрсделеиія угла бросанія, нодъ которымъ снарядъ долженъ быть выстреленъ на данное разстояніе даішымъ зарядом!), а следовательно и съ данною начальною скоростью, когда для того-же
снаряда и для то го-же разстоянія нзве.стеііъ уголъ бросанія, соотвЬтствующій другому заряду, а следовательно и другой начальной скорости. В ъ означенныхъ случаяхъ приведешіыя две Формулы параболическаго движенія выражаюгъ съ достаточною точностью разультаты стрЬльбы.

65. Посгпроеніе траекторіи снаряда при данныхъ начальной
скорости и дальности, когда извѣстны, при этой начальной
скорости, углы бросанія, соотвѣтствующіе различньшъ дальностями тоіо-же

снаряда.

Для того, чтобы показать способъ по-

строенія траекторін, докажемъ, что, въ пустоте, вертикальное
разстояніе какой либо точки траекторіи до касательной къ ней въ
точке вылета не зависать отъ угла бросанія.
Отнесемъ уравненіе траекторіи (и? 3 7 , ур. 3 ) :
у=

J

X tang а? —
ö

.

2V2

.,

COS2 9

къ двумъ косоугольнымъ осямъ: одной X но направленно касательной въ точкѣ вылета, другой Г по направленно тяжести.

t

Для перехода отъ прямоуголыіыхъ коордшіатъ х, у къ косоугольнымъ X, Y нмѣемъ выраженіе
a;=Xcos9,

y=Xsin

9—

Y.

Вставивъ эти выраженія въ предъндущее уравненіе траекторін, получимъ вертикальное разстояніе точки траекторіи отъ
направленія бросанія

V— ОЦ

2VZ '

•L

которое, какъ видно, не зависитъ отъ угла бросанія <р.
На этомъ основаніи, для того чтобы получить на параболѣ
(ФИГ. 27) подъ угломъ бросяиія

точку М , соотвѣтствуюіцую

точкѣ m на параболѣ подъ угломъ бросанія 9, надобно провести
вертикальную ту, отложить OQ =

Oq и изъ точки Q опустить

вертикальную Q M = q m .
Подобнымъ образомъ получимъ точку М ' , соответствующую
точкѣ паденія В . Если обозначимъ прямоугольный координаты
какой либо точки m чрезъ Ор =

а и тр = Ъ; прямоугольный ко-

ординаты соответствующей точки M чрезъ ОР = х и МР=
косоугольпыя координаты соотвѣтствующихъ
чрезъ Oq — OQ =

X и mq = MQ =

у;

точекъ m п M

Y, то по Формуламъ пре-

образовали коордшіатъ получимъ
« = Xcos®,
ж=

b = Xsin9 — Y,

X cos9 t .,

y — Xэіііф.—

Y,

откуда
• •• х =

а

1 ^

» У ~ соГф

Ф/ — sin ф) и - Ь.

Для точки паденія В , для которой Ь = о и дальность OB =

а,

и соотвѣтствующей ей точки 31', прямоугольный координаты которой изобразимъ чрезъ ОР = х и 31'Р' = у, получимъ
0°<) • • •

х =

и

^ =

— si»?)-

Если нмѣемъ нзъ оиытовъ углы бросанія, соотвѣтствующіе
различньшъ дальностямъ, то взявъ дальности за абсциссы и углы
бросанія за ординаты, удобно построить кривую угловъ бросанія
(ординаты которой возрастали-бы съ возрастаніемъ абсцнссъ) по
возможности близко выражающую результаты оиытовъ, взять
съ

кривой углы бросанія,

соотвѣтствующіе

равноотстоящнмъ

Дальностямъ, и углы эти исправить такъ, чтобы первый и послѣДующія между ними разности возрастали непрерывно.
Помощію составленной такимъ образомъ таблицы, найдемъ
уголъ бросааія срг, соотвѣтствующііі той дальности, для которой хоТИМЪ

построить траекторію,

H

опредѣлимъ прямоугольный коорди-

наты точекъ траекторін, вычисляя по Формуламъ ( 10,) величины х,
11

У\, ж2 и у г и т. д., соотвѣтствующія помѣщениымъ вътаблицѣ

Дальностямъ « , , а 2 , . . . при углахъ

бросанія <р,, ф 2 ) ... Поступая

такимъ образомъ нолучимъ точки траекторін подъ угломъ <рг, на
основаніи одного изъ свойствъ параболы, который съ достаточною точностью гіредставятъ дѣствителыіыя, когда уголъ Ф£ не
слишкомъ великъ, что обыкновенно

бываете

при прицѣльной

стрѣльбѣ.
56. Опредѣленіе угловъ паденгй по таблицѣ угловъ бросанія.
Если имѣемъ для данныхъ снаряда и заряда составленную опнсаннымъ (п° 55) способомъ таблицу угловъ бросанія, соотвѣтствующихъ дальностямъ, мало одна отъ другой удаленнымъ (напр.
чрезъ каждыя 2 5 саж.), и хотимъ опредѣлить уголъ иаденія 0 ,
при дальности а, то возьмемъ (ФИГ. 2 8 ) ОБ = а, построимъ прямую ОТ подъ угломъ бросанія <р, соотвѣтствующнмъ дальности а
и проведемъ вертикальную ВТ.

Отложимъ OB' равную взятой

изъ таблицы смежной дальности а', построимъ прямую ОТ' подъ
Угломъ бросанія <р' соотвѣтствующимъ дальности а и проведемъ
вертикальную В'Т.

Возьмемъ ОТ" равную ОТ' и опустнмъ вер-

тикальную Т"Ж — Т'В'.

Можно принять (п° 55), что точка Ж"

находится на траекторіп O J B , соогвѣтствующей дальности а п
опредѣлпть съ достаточною точностью уголъ падепія х В В =

0f,

при допущеніи, что часть M B траекторіи совпадаетъ съ дугою
параболы ОС В, у которой уголъ бросаиія tOB =

Ѳ,.

Такъ какъ точка M ирииадлежптъ параболѣ О СБ, то (н° 3 7 ,
УР. 3)

и точка В иринадлежитъ параболѣ OGB, то (н° 3 7 , ур. 3)

Исключивъ изъ обонхъ уравиеній 2 F 2 cos 2 ö , , получимъ
Ш = Ш [ і
но ÖB = a, Ш =
ИЛИ

Tvvr

— g|tang 0, ;

ОТ", cos ® =

t COS ф

0 F . cos
COS ф

T

cos®,
' '

T0

созфХ
« СОЭф'/

COS ф V

Ь

0

•

Съ другой стороны

MN = TTN— TrrM = ~ÖTn. sin 9 — F F
=

ÖT 7 . sin 9 -

F В' =

Ж

sin 9 -

Ш

tang 9',

нли
ilßV =

cll?(sin9 —sin?').

Слѣдовательно
^соэф / ,
а'созф\.
xi
а' , .
. /
,
j —
tang 0 , = - 2 — s n ф — sin ф ) .
созф \

асовф /

°

1

соэф'*-

г

г /•

Отсюда уголъ паденія определится изъ
,,

tang Ѳ,1 —
°

a

а

—

sin о — sin о'

. —

I COS ф

а

—.

—.

COS ф

cos ф

Если углы 9 и ф' не велики, то допустивъ cos 9 =
лучимъ
s,

tang ѲI =
e

5 7 . Опредѣленіе
^Р

1

a

sin (ф — ф')

7 -—

a — а'

поражасмаго

,

созгф

cos 9 ' по-

.

пространства.

Если ордината

~ h точки Ж траекторіи ОАВ(ФІІГ. 2 9 ) представляетъ ростъ

" Ouaro человека (среднимъ числомъ 6 Футъ) или кавалериста на
лошади (среднимъ числомъ 9 футъ), то снарядъ на всемъ пути
остальной части траекторін будетъ поражать въ первомъ случае
пехоту и кавалерію, а во второмъ — сначала одну кавалерію, а
нотомъ пехоту. Разстояніе PB =

е представляет длину поражае-

мого пространства. Назовемъ чрезъ 0 , известный уголъ падеиія,
соответствующей

далыюстн OB — an

чрезъ а, абсциссу

OP

точки M. Для определенія длины е поражаема го пространства,
съ достаточною точностью, можемъ пршшть часть траекторіи
За

Дугу параболы ОСВ,

MB

у которой уголъ бросапія tOB — Ѳ,.

Гакъ какъ точки М\\В принадлежат параболе ОСВ, то (п° 37,

ур. 3)
h =

a,.

t a n g 6,

27^СОЗ2 q,

и
о — a tang 0 ,

2

г Д о 1 г о, '

исключая изъ обоихъ уравненій 2 F 2 cos 2 0 , , получимъ
2

а,1
отсюда

—

a. a,1

=

—

ah
г—T- :

tang в, '

передъ корнемъ удержанъ одшгь положительный знакъ, потому
что точка Ж лежнтъ въ нисходящей вѣтви траекторіи п слѣдователыю а, > %.
Если вычтемъ полученную величину а, изъ а, то получимъ
поражаемое пространство

При

а ta

'^ r 9 5

1

» спарядъ

поражаетъ цѣль высотою 1і на

всемъ своемъ пути.

58. Опредѣленге помощію таблицъ стрѣлъбы угла бросанія
и заряда, для того чтобы попасгпъ даннымъ сиарядомъ въ закрытгую спереди игьлъ. В ъ этомъ случаѣ необходимо нмѣть, для даннаго снаряда, при зарядахъ мало другъ отъ друга различающихся, таблицы угловъ бросанія и падеиія соотвѣтствующнхъ
мало одна отъ другой удаленнымъ дальностямъ. Опыты обыкновенно ироизводятъ, стрѣляя, одпимъ H тѣмъ же сиарядомъ, иа некоторый дйстанціи ограниченнымъ числомъ зарядовъ. Мы показали (п° 55 и 56), для зарядовъ, которыми стрѣляли, способъ
составленія таблицъ угловъ бросапія и падеиія соотвѣтствующихъ
мало одна отъ другой удаленнымъ дальностямъ. Для того, чтобы
составить подобный таблицы стрѣльбы для промежуточных!, зарядовъ, можно построить, для данной дальности, кривую угловъ
бросанія и кривую угловъ падепія, принявъ заряды за абсциссы,
а углы бросанія и паденія за ординаты; взять съ кривыхъ углы
бросаиія и паденія, соотвѣтствуюіціе

равноотстоящимъ,

мало

другъ отъ друга различающимся зарядамъ, и углы эти исправить
такъ, чтобы иервыя и послѣдующія между НИМИ разности возрастали непрерывно.

Поступая такимъ образомъ для каждой

дальности, составимъ требуемыя таблицы стрѣльбы даннымъ сиарядомъ, въ которыхъ, для каждаго заряда, помещаются въ вертикальныхъ

граФахъ

бросанія и паденія.

дальности н соотвѣтствующіе имъ углы

При стрѣльбѣ въ закрытую спереди цѣль, надобно, чтобы
спарядъ пролетѣлъ чрезъ данную точку M и попалъ въ цѣль N,
находящуюся или выше орудія (ФИГ. 3 0 ) или ниже орудія (ФИГ. 3 1 ) .
Для того, чтобы пріпскать уголъ бросапія и зарядъ, прнкоторыхъ
Данный спарядъ пролетптъ чрезъ о б ! точки, должны быть преднарительно пзвѣстпы абсциссы О Р = а ,
МР=і

ц jY() =

H NOQ =

OQ =

a' и ординаты

Ь', пли, вмѣсто этнхъ ордннатъ углы МОР — а

ß, n надобно опредѣлить, въ точкѣ В,

иія 0 , } который, по малости дуги BN

уголъ паде-

въ сравненіи со всей траек-

торіей, можно принять равнымъ углу наклонепія траекторіп въ
точкѣ N.

Для вычнсленія съ достаточною точностью угла 0 , мо-

®смъ принять часть MBN
ОСВ,

траекторін ОАВ

у которой уголъ бросанія t OB =

за дугу параболы

0,.

Такъ какъ точкп

^ Г п N ирппадлеяіатъ параболѣ ОСВ, то (п° 3 7 , ур. 3)
Ь = a tang
0, —
0
1
И

./

,_

от 2 а
2 Ѵ cos г

0,

гдѣ знакъ -+- предъ У относится къ положенію цѣли выше оруД ія , а знакъ — къ положенію дѣли ниже орудія.
Исключивъ 2 F 2 c o s 2 0 , изъ обопхъ уравнепій, нолучимъ для
°предѣленія угла 0 выраженіе
,ъ
V
~Zz*-a~Z>
tang 0 , = = — ,
а

°

или
+

a n e
1

г

D

Q _
1

1

п:

—

a ' , tang a a .
a' — a

n

tang ß
'

Дѣ верхній знакъ нредъ а и л и предъ a tang ß относится къ по-

ложенію дѣлн выше орудія, a шіжній знакъ къ положенію цѣли
ниже орудія.

Зная величину угла 0 , беремъ, въ таблнцахъ стрѣльбы, въ
вертикальной графѣ дальностей, разстояиіе равное а или ближайшее къ нему; слѣдимъ по горизонтальной строкѣ, на которой находится разстояніе «, за углами паденія и беремъ величину для
этого угла равную, или (если равной не имѣется) несколько большую 0,. Зарядъ и уголъ бросапія, относящіеся къ взятому углу
паденія, будутъ искомые.

59. Опредѣленге на вертикальной плоскости, заключающей
мишень, мѣстъ пробоинъ тѣхъ снарядовъ, которые при стрѣльбѣ не попали въ мишень.
Пусть (ФИГ. 32 и 33) AB представляетъ высоту мишени; С
центръ цѣли, иаходящійся въ вертикальной плоскости, проходящей чрезъ ось орудія и на высотѣ О орудія; O'N горизонтальную мѣстность у подошвы мишени; пусть OEMN

изображает!,

на Фпгурѣ 3 2 траекторію снаряда перелетѣвшаго мишень, а на
Фіігурѣ 3 3 траекторію снаряда не долетѣвшаго до мишени. Обозначимъ вертикальное разстояпіс MC

отъ центра пробоины до

центра цѣли чрезъ у; разстояпіе отъ центра цѣли до подошвы
мишени CB — PN

чрезъ h;

ОС чрезъ а;

ОР чрезъ а.

Прп-

мемъ уголъ наклоненія 0 , траекторіи въ точкѣ D равнымъ углу
наклоненія въ точкѣ N и допустимъ, что часть MDN

траекто-

ріи совнадаетъ съ дугою параболы, у которой уголъ бросанія
ŒB — 0 , .
OFMN,
± у=

Такъ какъ точки M и N принадлежать иараболѣ

то (?г°37 ; ур. 3)
« tang 0|

зг^соз2 е,

и

h=

a' taug 0 ,

2F 2 cos 2 ot '

гдѣ знакъ -t- предъ у относится къ Фигурѣ 32-й а знакъ — къ
Фіігурѣ 3 3 - й .

Исключивъ 2 V2 cos2 О, нзъ обоихъ уравненій, получимъ:
для перелетѣвшаго снаряда чрезъ мишень
£ ( « ' - « ) tang 0 « :

Л,

Для недолетѣвшаго снаряда до мишени
у = "фа — a ) tang О,
Пусть (ФИГ. 3 4 и 35) AB

~ . 1г.

нредставляетъ ширину мишени; С

Центръ цѣлн; ON горизонтальную проекцію траекторіп снаряда,
Уклонившаяся въ сторону отъ мишени. Изобразпвъ боковое отклоненіе СМ снаряда отъ центра цѣли чрезъ z, СВ чрезъ I, ОС
чрезъ а, ОР чрезъ a', NP чрезъ z', получимъ

00. Опредѣленіе
отклонен-}я орудія,

поправки угла бросанія и угловаго
когда средняя точка

ггораэісенія

на

боковаго
вергпгі-

калъной плоскости не совпадаегпъ съ центромъ цѣли, находящимся въ вертикальной

плоскости, проходящей

чрезъ ось оргудія, на

высогпѣ орудія. Точка, которой ордината есть средняя изъ всѣхъ
ординатъ пробоннъ, а абсцисса есть средняя изъ всѣхъ абсциссъ
пробоинъ называется среднею точкою пораженія.
Если, стрѣляя въ мишень подъ угломъ бросанія <р', средняя
точка пораженія получилась (ФИГ. 36) въ Ж , выше центра цѣлн
% то, для того чтобы эта точка находилась на одной горпзонтальпой съ центромъ цѣли надобно стрѣлять подъ угломъ о/ — s, гдѣ
г есть уголъ МОС. Для доказательства проведемъ нзъ M вертикальную линію MQ до встрѣчи съ направленіемъ бросанія подъ
угломъ ф'; нзъ точки О радіусомъ OQ опишемъ дугу QQ' и отложпмъ вертикальную Q'B =

QM. Можемъ принять (п°55), что

точка В пршіадежитъ траекторіи, у которой уголъ бросанія
Q OB =

ф. Изъ чертежа видно, что

g i n щ

7ДВ

^

Ѵф

ï j C - Ш

Щ

Щ>

Ö Ü . t a n g ç ' — TTCtang г

ОС

cos ф'

или
sin ер

cos 9' (tang 9 ' -

пли
sin 9

tang e) =

cos 9 '

-

Щ )

_ sin (<p' — e)
COS £

и

OB = 7Щ. cos 9 = OQ. cos 9

m:

= COS ф' ' COS 9 .

Такъ какъ уголъ е всегда малъ и углы 9 ' и 9 при прицѣльпой стрѣльбѣ вообще не велики п мало отличаются одшіъ отъ
другаго, то можемъ принять cos s =

1 и cos 9' =

cos 9. В ъ этомъ

случаѣ
9 =

9' — e

OB

=00,

н

т. е. для того, чтобы точка M совпадала съ точкою С падобно
стрѣлять подъ угломъ бросанія 9 =

9 ' — е.

Подобнымъ образомъ докажемъ, что если средняя точка пораженія при стрѣльбѣ подъ угломъ 9', получилась ниже центра
цѣлн па уголъ в, то, для того чтобы средняя точка пораженія совпала съ центромъ цѣлн, надобно сгрѣлять подъ угломъ бросанія
9 = 9 ' -+- е.
Если средняя точка пораженія M (ФИГ. 37), при стрѣльбѣ
изъ, точки О, получилась вправо (или на оборотъ влѣво) отъ центра
цѣли С, на уголъ СОМ, то, для того чтобы эта точка находилась
на одной вертикальной съ центромъ цѣли, надобно дать орудію,
въ горизонтальной плоскости, угловое отклоненіе Ç влѣво (или на
оборотъ вправо) равное углу СОМ. Называя СМ чрезъ s и ОС
чрезъ а, нолучимъ
tangÇ =

£.

Если при стрѣльбѣ на разиыя дистапціп получаются постоян-

но боковыя отклоненія средпихъ точекъ пораженія отъ центра
Цѣли въ одну и ту же сторону, то это означаетъ, что существуетъ
постоянная причина, отклоняющая снарядъ въ сторону. Для
того чтобы получить среднія боковыя отклоненія для различныхъ
дальностей, можно, взявъ дальности за абсциссы и боковыя отклоненія за ординаты, построить кривую среднихъ ностояішыхъ
боковыхъ отклоненій, по возможности близко выражающую результаты опытовъ, и взять съ кривой ПОСТОЯНІІЫЯ боковыя отклоненія, соотвѣтствующія различнымъ дальностямъ.

ГЛАВА

III.

Сопротивленіе воздуха,
6 1 . Ile смотря на многочисленные нзслѣдованія н опыты
предпринятые съ цѣлыо опредѣлпть законъ сопротнвленія средииъ на движущіяся въ нихъ тѣла, свѣдѣиія которыя мы имѣемъ о сопротивленіи, но трудности самаго предмета, весьма не
полны.
Обыкновенно принимаютъ, что тѣло, имѣющее одно поступательное движеніе въ какой лпбо средѣ претериѣваетъ сопротивленіе нропорціональное проскцін поверхности тѣла на плоскость
перпендикулярную къ направленно двнженія, п въ еопротпвленін
разсматрнваютъ двѣ части.
Одна часть заключается въ силѣ необходимой для того, чтобы преодолѣть сцѣпленіе частицъ среды и треніе ихъ о движущееся тѣло;

это сопротнвлеиіе обыкновенно разсматривается какъ

независимое отъ скорости тѣла.
Другая часть сопротивленія происходить отъ двпженія сообщаемаго тѣломъ частицамъ среды. Это сопротпвлепіе зависите
отъ скорости двпжущагося тѣла.
Смотря по свойству среды, въ которой движется тѣло, преобладаете та или другая часть сопротивленія. В ъ твердыхъ средахъ полное сопротпвленіе зависите преимущественно отъ силъ
сцѣпленія среды, между тѣмъ какъ въ воздухѣ сопротивленіе, за

висящее отъ силъ сцѣпленія частицъ среды и тренія ихъ о движущееся тѣло, по крайпей мѣрѣ для скоростей не слишкомъ слабьіхъ, почти не чувствительно.
62. Тѣло, имѣющее одно поступательное движеніе, совершенно погруженное въ жидкость, гоинтъ предъ собою нѣкоторое
число частицъ жидкости и заставляетъ ихъ отклоняться отъ передней своей поверхности съ нѣкоторою скоростью, которая должна
возрастать со скоростью тѣла. Частицы жидкости, находящіяся
на пути тѣла, двигаются по нѣкоторымъ направленіямъ, образуя
струи, огибающія тѣло и наполняющія пустое пространство, которое стремится образоваться сзади тѣла, такъ что на иутп тѣла
образуется потокъ жидкости его сопровождающій.
6 3 . Дюбюа опредѣлнлъ величину этого потока, при слабыхъ
скоросгяхъ тѣла, на слѣдуюіцемъ основаніи. Для того чтобы качанія маятпиковъ въ разныхъ жидкихъ средахъ были совершаемы въ одно и то же время, надобно, чтобы разстоянія цснтровъ
ихъ качаній отъ осей прпвѣса были пропорціональны ускореніямъ
тяжести въ этихъ средахъ. О различныхъ ускореніяхъ тяжести,
иоторымъ подвержены тѣла въ разныхъ жидкихъ средахъ, можно
судить по вѣсу, имп сохраняемому въ этихъ средахъ. Обозначимъ
чрезъ a разстояніе центра качанія до оси привѣса маятника въ
пустотѣ, совершающаго извѣстное число качаній въ данное время;
чрезъ I разстояиіе центра качапія до оси привѣса маятника въ
жидкости, совершающаго качанія въ одно и то же время съ первьімъ; чрезъ Р вѣсъ тѣла въ пустотѣ, чрезъ П вѣсъ жидкости,
вьітѣсненной тѣломъ или вѣсъ объема жидкости равнаго объему
тѣла; Р — П выразитъ вѣсъ тѣла въ жидкости и

будетъ от-

пошеніе ускореній въ обоихъ случаяхъ. Если бы тѣло при качаны въ жидкости не увлекало съ собою части жидкости, то имѣли
°ЬІ I =

а.

Р

. ІІо ио наблюденіямъ Дюбюа надъ временами

качаній различпыхъ тѣлъ, какъ въ водѣ, такъ и въ воздухѣ, разстояніе I въ этнхъ средахъ выходило постоянно менѣе,
слѣдовало по приведенной Формулѣ. Изъ этого

чѣмъ

Дюбюа заклюо*

чилъ, что тѣло, при качапіи, увлекаетъ съ собою часть жидкости.
Для опредѣлепія объема жидкости, сопровождающей тѣло, изобразимъ чрезъ ДП вѣсъ этого объема въ пустотѣ; масса, находящаяся въ движеніи, состоя изъ массы тѣла и массы увлекаемой жидкости, будетъ вѣсить въ пустотѣ Р - н ДП, а въ жидкости Р — П , такъ что будемъ имѣть
,

1

откуда

гдѣ ^

ДП
П

выражаетъ

—
а

I•

Р - П

Р-t-дп'

а

Р— ц
П

Р
п »

отношеніе вѣса жидкости, сопровождающей

тѣло, къ вѣсу объема жидкости равнаго объему тѣла, или отношеніе объема жидкости, сопровождающей тѣло,

къ объему

тѣла.
Для шаровъ различной величины Дюбюа нашелъ, при качаніяхъ ихъ какъ въ воздухѣ, такъ и въ водѣ, что объемъ увлекаемой ими жидкости составляете около 0 , 6 объема шаровъ.
При болынихъ скоростяхъ объемъ жидкости, сопровождающей
тѣло, бываете значительнее чѣмъ при малыхъ; такъ при полетѣ
сферическнхъ бомбъ изъ мортиръ, на разстоянін около 3 0 0 саженъ, можно иногда глазомъ замѣгить сзади ихъ черноватую
массу воздуха (ФИГ. 38), длиною но крайней мѣрѣ въ два или три
раза болѣе чѣмъ діаметръ бомбы.
При изслѣдованіи движепія артиллерійскихъ снарядовъ въ
воздухѣ, попричинѣ ихъ большой плотности въ сравненіи съ плотностью воздуха, всегда возможно пренебречь какъ вѣсомъ воздуха, вытѣсияемаго снарядомъ, такъ и вѣсомъ воздуха, сопровождающаго снарядъ, передъ вѣсомъ снаряда.
6 4 . Когда тѣло движется въ газообразной жидкости, какъ
атмосферной воздухъ, который весьма легко сжимается, плотность воздуха впереди движуіцагося тѣла бываете болѣе, а сзади менѣе плотности воздуха, находящагося въ покоѣ. Это обсто-

ятельство, вмѣстѣ съ другими причинами, увеличивает примѣтно
сопротивлеиіе на тѣла движущіяся съ значительными скоростями,
какъ снаряды, выстрѣленные изъ артиллерійскихъ орудій.
6 5 . Явлснія,

сопровождающія тѣло имѣющее кромѣ иосту-

пательнаго движенія въ воздухѣ и вращательное, еще сложнѣе.
Иъ этомъ случаѣ происходит увеличеніе

давленгя на нѣкоторыя

части поверхности и уменыиенге даоленія на другія, смотря потому происходит-ли вращеиіе этихъ частей въ противную, или
въ одну и ту же сторону съ поступательнымъ ихъ
Эта разность давленій составляетъ

движеніемъ.

причину весьма значитель-

яыхъ отклонены сфсрическихъ эксцентрическнхъ снарядовъ, получающнхъ вращеніе вокругъ оси перпендикулярной къ паправленію движенія. Отклоняющая сила о т разности давленій возДуха, происходящихъ вслѣдствіе совокуннаго вращательнаго и
посту пателыіаго движеній снаряда, будетъ разсмотрѣна въглавѣ V I
«о причинахъ отклонений сфернческихъ снарядовъ п о траекторіи
Сфсрическихъ эксцептрпческихъ снарядовъ».
При движенін продолговатыхъ снарядовъ, которымъ сообщена большая поступательная скорость, a вмѣстѣ съ тѣмъ н большая скорость враіценія вокругъ ихъ оси Фигуры, направленіе оси
снаряда не уклоняется значительно о т направленія скорости его
Центра тяжести; при движеніи же продолговатыхъ снарядовъ,
выстрѣлеішыхъ съ малою скоростью, скорость ихъ вращенія не
очень большая. Поэтому какъ въ томъ, такъ п въ другомъ случаѣ
разность давленій воздуха на противуноложныя стороны снаряда
не м о ж е т быть очень велика; мы ею препебрежемъ какъ и треніемъ воздуха о поверхность снаряда, и при выводѣ сопротпвленія воздуха движенію продолговатыхъ снарядовъ, получившихъ
враіцспіе вокругъ ихъ осп Фигуры, будемъ брать только въ расч е т , какъ и для снарядовъ не вращающихся, сопротивленіе действующее

нормально на каждый элементъ поверхности снаряда

подверженный сопротивление.

—

86

—

§1.

Выводъ сопротивленія воздуха.
6 6 . Сдѣланныя въ новѣйшее

время гипотезы о молекуляр-

иомъ движеніи частицъ воздуха еще слпшкомъ мало развиты для
того, чтобы иынѣ могли привести къ достаточно точному рѣшенію
вопроса о сопрогивленіи.

Мы ограничимся обыкновенно излагае-

мымъ выводомъ сопротивленія воздуха на движущееся въ немъ
тѣло, вытекающимъ нзъ разсмотрѣнія удара о воздухъ, предполагаемый въ покоѣ, тѣла, которому сообщена извѣстная поступательная скорость. Этотъ выводъ имѣетъ на своей сторон! простоту и даете возможность судить о зависимости

сонротивленій

на тѣла нращенія отъ угловъ, составляемыхъ осями ихъ Фигуры
съ наиравлеиіемъ движепія, что не можетъ быть выведено изъ
результатовъ, произведенныхъ доселѣ оиытовъ падъ сопротивленіемъ воздуха.
6 7 . Сопротивление

воздуха

на плоскость. Изобразимъ чрезъ

Р в ! с ъ плоскости; чрезъ S ея площадь; чрезъ ѵ скорость, съ которою она ударяете о воздухъ предполагаемый въ покоѣ; чрезъ
П вѣсъ единицы объема воздуха и чрезъ g ускореніе тяжести.
Сначала ноложимъ, что плоскость перпендикулярна къ направленно движенія.

Плоскость въ элементе времени dt пройдете

пространство vdt и сдвинете съ мѣста объемъ воздуха Svdt ; масса
воздуха, которая приведется въ движеніе въ элементе времени
будете - Svdt.

При удар! плоскости о воздухъ развиваются въ

точкахъ ихъ прикосновенія внутреннія силы, стремящіяся уменьшить скорость плоскости H сообщить нѣкоторую скорость воздуху, такъ что по истеченіи извѣстнаго времени, которое весьма
коротко, плоскость и воздухъ приводимый ею въ движеіііе должны
имѣть общую скорость, съ которою они должны двигаться 11 послѣ
удара, если плоскость и воздухъ принимаемъ за тѣла не упругія.
Такъ какъ при у д а р ! развиваются однѣ внутреннія силы, то сум-

ма количествъ движенія плоскости и воздуха приводима™ ею въ
движепіе должна сохранять одну и ту же величину какъ въ началѣ удара, такъ и тогда когда плоскость п воздухъ получили
при удар!; общую скорость. Количество движенія плоскости до

Р

удара есть - ѵ; количество движенш воздуха до удара равно нулю,
потому что мы его до удара иреднолагаемъ въ нокоѣ; если чрезъ
dv обозначимъ уменыиеніе скорости плоскости въ элементъ времени dt, то скорость плоскости въ концѣ времени dt будетъ

ѵ—dv

и какъ предполагаемъ, что ио истеченіи этого элемента времени
плоскость и воздухъ, приводимый нмъ въ движеніе, иріобрѣли общую скорость, то сумма количествъ движенія тѣла и воздуха, когда
они иріобрѣлн общую скорость, будетъ
Прнравннвъ ее количеству движеніп до удара получимъ

р
g

Svdt) (v — dv),

откуда сила сопротнвленія воздуха на плоскость S перпендикулярную къ направленно движенія будетъ

Если плоскость S не перпендикулярна къ направленію движенія H нзобразимъ чрезъ s уголъ составляемый нормалью къ этой
плоскости съ направленіемъ движенія, то скорость ѵ ио направленно движенія можемъ разложить на двѣ: одну ѵ cos е перпендикулярную къ плоскости S, отъ которой зависитъ сопротивлеиіе, и
Другую V sin е параллельную плоскости S, ст. которою воздухъ
будетъ скользить ИО ПЛОСКОСТИ II отъ которой, можно допустить,
что сопротнвленіс не зависитъ. ІІоставивъ въ выраженіе сопротивлеиія па плоскость перпендикулярную къ направленію двнжеНІЯ вмѣсто V величину г;cose, получимъ, что нормальноесопротпвленіе на плоскость S наклонную къ направленно движенія равняется

П
I l

П

2

2

— Sv cos £.

l

Если бы плоскость и воздухъ разсматривали какъ тѣла упругая, то, на основаніи теоріи удара упругихъ тѣлъ, получили-бы
для соиротивленія на плоскость удвоенныя нредъидущія

выра-

женія.
Такъ какъ при выводѣ сопротивленія не принимали върасчетъ
многія обстоятельства, сопровождающая движеніе плоскости въ
воздухѣ, то для получснія дѣйствптельныхъ величинъ сопротнвлеиія, надобно помножить иайденныя на опредѣлешіый изъ опыта
коеффиціентъ. Если изобразимъ чрезъ р дѣйстЕіітелыюе нормальное сопротивленіе воздуха на плоскость S н чрезъ к определенный изъ опыта коеФФпціентъ, то будемъ нмѣть

въ случаѣ плоскости перпендикулярной къ направлению движенгя

9

г

и въ случаѣ плоскости наклонной къ направленію

движенія

р = fc- S . y 2 cos 2 s.
r

9

Изъ изложеянаго оказывается, что для вывода сопротпвленія
воздуха на какое либо тѣло, можемъ принимать элементарное сопротивленіе на каждый элемептъ поверхности, подверженной соііротивленію, пропорціоналыіымъ произведенію этого элемента на
квадратъ нормальной проекціи скорости.

68. Сопротивленіе воздуха на поверхность вращенія, которой ось фигуры совпадаетъ съ направленіемъ движенгя. Пусть
ABB
(у?пг. 39) представляет кривую производящую поверхность вращенія, движущуюся по наиравленію оси Фигуры А О.
Соиротнвленію воздуха подвергаются только тѣ элементы поверхности, длякоторыхъ уголъ е, составляемый внѣшней нормалью къ
элементу съ направленіемъ движенія, менѣе нрлмаго, такъ что
передняя часть поверхности, подверженная сопротивление воздуха,
отдѣляется отъ задней, неподверженной сопротнвленію, окруж-

ностью B D ' соприкосновеиія поверхности вращенія съ обертывающішъ ее цилиндромъ, имѣющимъ производящую параллельную
съ направленіемъ движенія. Возьмемъ ось Фигуры OA за ось х.
Элементарная поверхность тт'т", которую означимъ чрезъ da,
претерпѣваетъ по направленію Nm къ ней перпендикулярному
сопротивленіе (п° 67) равное к 5 da. v2 cos2 е ; разложимъ его на
Два: одной у da. к? cos3 е по направлепію параллельному оси Фигуры, и другое к ~ da. v~ cos2 е sin s по направленію перпендикулярному къ оси Фигуры; послѣднее уничтожится равнымъ и противоположнымъ сопротіівленіемъ на элементарную поверхность
пп'п", находящуюся въ одномъ меридіопальномъ сѣченіи съ элементарною поверхностью тт'т" и составляющую съ паиравленіемъ движенія одиыъ и тотъ же уголъ,
ся разсматрпвать

только

первую

такъ что приходит-

слагающую

сопротивленія

k — da.v2 cos3 е. Если распростраинмъ это выраженіе па весь
поясъ образованный обраіцеиіемъ элемента дуги mm', коего поверхность есть 2r.yds, то сонротивлепіе воздуха на этотъ поясъ выразится чрезъ 2izk у v2ycos3tds
cos £ =

чрезъ

,

или,

замѣтивъ

что

Интегралъ послѣдняго выра-

женія

распространенный на всю переднюю часть поверхности, выразитъ
сопротивленіс воздуха на всю поверхность вращснія.

69. Соггротивленгс воздуха на шаръ или полуіиаръ, движущейся выпуклою стороною впередъ такъ, что ось фигуры полугиара совпадаегпъ съ направленіемъ

движенгя.

Возьмемъ начало

коордшіатъ въ центрѣ шара и изобразпмъ чрезъ IÎ радіусъ шара.
Уравненіе производя ідаго круга есть

Отсюда
xdx -+- ydy =

о

;

dy

P = 2тс7о £ V2 A

=

— ? da; ;

r0

,

или

70. Сопротивленіе

воздуха на конусъ, движущийся

вперсдъ такъ, что ось его фигуры
движенія.

совпадаешь

вершиною

съ направленгемъ

Возьмемъ начало координата въ центрѣ основанія ко-

нуса. Изобразимъ чрезъ В радіусъ основапія; чрезъ h высоту
конуса; чрезъ X уголъ, составляемый производящей конуса съ
осью его Фигуры. Уравненіе производящей прямой будетъ
У — О1 — X) tang X = J (А — х).
Отсюда
dy =
d?/3 =

—

— ~ cte;
da;3 ;

dî/2 = ?-г dx2 ;
ds2 = 7 ' 2

y ш =—ww^m{h—x)
и

dx2 ;

d x

или
р = fc^ тсЛ2 т т ^ . ѵ
r

g

При 2X = 90°,
»

2X = = 6 0 ° ,

»

2X =

2

h -t-В2

h = R,
h=

51°24', h =

=

к — k R 2 sin 2 X . d 2 .

g

? = 0,5

l,732

R, ç =

2,078R , p =

0,25

kjxtf.v-,
1c-KR\V2,

0,188k~~R2.v2.

71. Сопротивление воздуха на поверхность вращетя, которой ось фигуры составляетъ съ наггравленіемъ движенгя данный уголъ 8. Возьмемъ (ФИГ. 4 0 ) за ось ОХ ось Фигуры поверхности вращенія; за плоскость XY плоскость, проходящую чрезъ
ось Фигуры параллельно направленно скорости ѵ. Пусть da есть
элементъ тт'т" поверхности; е уголъ NCv, составляемый внѣшпею нормалью къ поверхности сънаправленіемъ скорости; S уголъ,
составляемый осыо Фигуры поверхности съ иаиравлсніемъ скорости. Сопротпвленіе dp воздуха на элемент da

поверхности

будетъ
daг — k~
Сопротивление

воздуха

9

V2 cos 2 s da .

подвергаются только тѣ элементы

поверхности, для которыхъ е <

. Поэтому уравненіе

пли, что то же, уравиеніе
cose = о
вмѣстѣ съ уравненіемъ поверхности опредѣлпть кривую, которая
раздѣлптъ поверхность на двѣ такія части, что для всѣхъ точекъ
одной изъ нихъ величина cos г будетъ пололштельная, а для всѣхъ

точекъ другой величина cos s будетъ отрицательная.

Первая

часть представить передшою часть поверхности, подверженную
сопротивленію воздуха, а вторая представить заднюю часть поверхности не подверженную сопротивленію воздуха. Означенная
кривая, отдѣляющая переднюю часть поверхности отъ задней,
есть ни что иное какъ линія соприкосновенія разсматриваемой поверхности съ обертывающимъ ее цилиндромъ, пмѣющимъ производящую параллельную съ направленісмъ скоростп.
Положеніе каждой точки m поверхности вращенія будемъ
опредѣлять ея широтою X, равною углу Nms, составляемому нормалью въ этой точкѣ съ плоскостью YZ, и ея долготою L,
ною двугранному углу ѵАт,

рав-

составляемому плоскостью XY съ

меридіональною плоскостью, проходящею чрезъ точку т , углу
измѣряемому линейнымъ угломъ Mos или YOS.
Элемеитъ певерхностн de = mm m" есть нрямоугольникъ, у
котораго сторона mm' = от. уголъ (тот') =
— ОТ. уголъ ( S O S ' ) , а сторона mm" =

Ор. уголъ (SOS')

Ст. уголъ (mChn").

Уголъ (SOS) — dL, уголъ (mCm") = dX и если назовемъ чрезъ у
ординату ОР точки М, находящейся на кривой главнаго меридіональнаго сѣченія и имѣющей абсциссой х линію MP, равную тр,
абсциссѣ точки m, а чрезъ у радіусъ кривизны Cm поверхности
въ точкѣ m, то сторона mm — ydL и сторона mm" = ydX, такъ
что будетъ:

da = у .у .dl.

dL

и

dç = k.~.

v* .4 .у .cos2 е.. dl.

Найдемъ выраженія составляющихъ

dL.

этого элементарнаго

нормальнаго сонротивленія dp параллельныхъ осямъ ОХ,

OY,

OZ.
Такъ какъ уголъ, составляемый внѣшнею пормалыо Nm съ

осью ОХ, е с т ь ^ — X, то составляющая dpx сопротивленія dp па
раллелыіая оси О Х есть
dpx = dp . cos ( y — Х^ = к у ѵ г уу cos2 е sin XdXdL.
Для того чтобы получить составляющая dp

и dp, сопроти-

У

*

влепія dp параллельныя осямъ OY и OZ, проектируемъ сначала
dp на плоскость YZ ; эта проекція dp

будетъ:

dp yz = dp . cos X = к j ÎI 2 Yy COS2 е cos XdXdL,
и вслѣдствіе этого будетъ:
dçy = dçyz.

cos L = к ~ v\y cos 2 e cos X cos

dçz = dçyz.

LdXdL,

sin L = к П ѵ2чу cos 2 1. cos X sin LdXdL.

По причинѣ симметричности поверхности вращенія относительно плоскости X X , каждой изъ составля.ющихъ dp x , dçy, dp,,
дѣйствующихъ на элементъ dS = тт'т" поверхности, соотвѣтствуетъ равная составляющая на симметрическій элемептъ, расположеішый ио другую сторону плоскости X X . Поэтому всѣ составляющая dp, уничтожатся ио парно. Сила dp x , дѣйсвтующая
на элементъ da = тт'т" сложится съ сплою dpx действующею
на симметричный элементъ, расположенный по другую сторону
плоскости X X и дастъ равнодѣйствующую элементарную силу
2dp x параллельную осп О Х , находящуюся въ плоскости X X ,
на
=

разстояніи

отъ

оси О Х

равномъ

Oq—Op.

cos (YOS)

OP. cos (YOS) = y • cos L. Еслп элемептарную силу 2dp x пере-

несемъ въ иачало коордішатъ О, то кромѣ силы 2dp x , приложенной

къ началу коордпнатъ, нолучимъ пару силъ (2dçx, — 2dç x ) лежащую въ плоскости Х Г и имѣющую моментъ:
2 d ç x . у cos L.
Поступая подобнымъ образомъ съ двумя элементарными силами dçy, дѣйствующимп на два симметричные элемента, получимъ элементарную силу 2dç y , приложенную къ началу координата, H пару (2dç>y, — 2dç y ) лежащую въ плоскости Х Г , имѣющую моментъ:
2d9y.x,
и дѣйствующую въ сторону обратную парѣ ( 2 d ç x , —

2dçx).

Соединяя всѣ элементарный сплн 2dç x въ одну силу сопротивленія Од , направленную по оси ОХ и дѣйствующую въ сторону
прямопротивоноложную оси ОХ, всѣ элементарный сплы 2dç y
въ одну сплу сопротнвлеііін р в , направленную по оси OY и действующую въ сторону прямонротнвоположную осп OY, II всѣ
элементарный пары (2d?x, — 2dox)

и (2dp , — 2 d p ) въ одну

пару сопротпвленія К, лежащую въ плоскости XY и сл едовательно имѣющую ось направленную по оси OZ, нолучимъ

?А =

2 /с у У2 f f ^ у cos2 £ sin X d\ dL,

Рв =

2 к у V2 f f у у cos2 е cos X cos L

K=2

=

ff(d?x.

dldL,

y cos L — dÇy. x)

2k. y .V2 ffyy {y sin X — x cos X) cos2 s . cos L . d\ . dL,

или, если обозначишь о Л , р в , К чрезъ:
; п

2

V

=

Y,

K =

k~v2Q,

то нужпо будетъ опредѣлить:
X =

zfjvj

cos2 s sin XdXdL,

Y =

2 ffyy cos2 £ cos X cos L. dX. clL,

<3 =

2 J J yy (y sin X — ж cos X) cos2 e. cos LcTkdL.

Если изобразимъ чрезъ x 0 разстояпіе плоскости YZ отъ точки, въ которой направлеиіе равнодействующей
гіересѣкаетъ

сопротнвленія

ось Фигуры, точки которую назовешь центром?

сопротивленгя воздуха, то получимъ

Предъндущіе интегралы должны быть распространены только на переднюю часть поверхности, для которой

е

<

- it
У

Очеркъ этой нередией части определится на самой поверхности уравненіемъ
cos £ =

о.

Величина cos е найдется изъ сФерическаго треугольника Аѵт,
въ которомъ сторона
'

тѵ =

А ѵ = 8, уголъ (іѵАт) =
cos e =

е, сторона Am =

у — X, сторона

L , и будетъ:

cos S. sin X - н sin S cos X cos L .

Уравненіе:
cos S . sin X -+- sin S cos X cos L = o
даетъ зависимость между широтою и долготою точекъ кривой,
отдѣляющей передиюю часть поверхности отъ задней.
Для того чтобы опредѣлить широту точки, въ которой означенная кривая пересѣкаетъ плоскость XY,
немъ уравненіи положить

L

надобно въ послѣд-

= тс,

отчего это уравненіе обратится въ:
cos S sin X — sin S cos X = о
н отсюда будемъ имѣть
X=

S,

что и слѣдовало ожидать, ибо упомянутая точка есть точка В ,
на главномъ меридіанѣ, въ которой касательная къ поверхности
параллельна направленно скорости и широтаX =

N'By этой точ-

ки равна S = х В ѵ , ибо нормаль N ' B перпендикулярна къ касательной Вѵ, a By перпендикулярна къ Вх.
Для всѣхъ точекъ меридіана, которыхъ широта X меньше 8,
надобно брать интегралы отъ L = o до значенія L въ Функціи X,
опредѣляемаго уравненіемъ
cos 8 sin X -+- sin 8 cos X cos L =

о,

то есть до

L — T, — <р,
гдѣ ф обозначаегь уголъ, котораго косинусъ:

COS ф
=
т

tang 4
r—^-z .
tang S

Для всѣхъ-же точекъ мерпдіапа, которыхъ широта X равиа
ИЛИ болѣе S, надобно брать интегралы отъ L — о до L = тс, потому что для всѣхъ величпнъ X = S, параллельные круги поверхности вращснія виолнѣ заключаются въ передней части поверхности, подверженной сопротпвленію.
Вслѣдствіе этого, обозначая чрезъ Х0 и X, широты оконечностей дуги кривой, производящей разсматриваемую поверхность
вращенія, получимъ

1) въ случаѣ S = Х0 < X, :

' = 2 jyy sin xdxj'cos2 zdL,

Y=

2 Yy cos XdX cos2 s cos

Q= 2

ЯYY {Y sin X —

LdL,

X cos X) d x l cos 2 £ cos LdL

2) въ случаѣ S > X, > X0 :
.=

fXl

Г'ТС —

ф

2 уг/sinXdX сcos 2 s d L ,

'1С —

Yi/cosXdX

Ф

cos 2 scosZd.L,

Y =

2

Q=

2 ту(2/sinX — a;cosX)dX c<
cos 2 e cos LdL

ГА,

І*К — 9

;

3) наконецъ въ случаѣ X0 < S < X, :

fr i1

Г

X =

2 j чу sin XdXI сcos 2 edL-H- 21 ту sin XdXl cos 2 e dL,

Y =

2jyy

cos x d x j c o s 2 s cos

2 jyy

Q =

LdL

— 9

cos XdX j * c o s 2 s cos

LdL,

2 Wy(y sin X — д cos X) dX cos 2 e cos LdL

f

— 9

2 \yy (y sinX — X cos X) dX cos2 e cos
f

гдѣ ф обозначает уголъ, котораго косннусъ
cos©

—

tang X
tang S '

LdL,

7 2 . Сопротивление воздуха

на боковую поверхность

конуса, усѣченнаго плоскостями перпендикулярными
Уры, движущагося

фи-

меньшимъ основаніемъ впередъ такъ, что его

г

ось составляетъ

круговаго

къ оси

съ направленгемъ

движенгя

уголъ 8. Такъ какъ

широта X всѣхъ точекъ конуса постоянная и равна углу, составляемому производящей конуса съ его осыо, то за элементъ поверхности конуса можемъ принять (ФИГ. 4 1 ) трапецію AB CD,
образуемую двумя последовательными производящими.
Обозначивъ чрезъ R радіусъ большаго основанія конуса;
чрезъ г радіусъ малаго его основанія; чрезъ h его высоту и, заметивъ, что уголъ АОВ =

CoD = dL, получимъ

cosX
Vh2 -t-(M — г)2 '
da =

I (В -+- r) T / F H - (Fi — r f .

dL.

Нормальное сопротнвленіе на элементъ da поверхности пропорціонально
da. cos 2s ,
и какъ (п° 7 1 )
cos е =

cos S sin X -t- sin 8 cos X cos L
(Ii —

6 -t-h sin S cos L
Vh -t-(B — r)2

r) cos
2

то:
da. cos 2 e

=

li-*-r
2V7j 2

(Ii — r)2

[ ( Д — r) 2 cos 2 5

-+- 2h (R — r) sin 8 cos S cos L н - ¥ sin2 8 cos2 L~\ dL .

Проекція элементарпаго сопротнвленія на ось ОХпропорціональна:
da. cos 2 s sinX = I .

[ ( Д — r) 2 C0S 2 8

-+- 2h (R — r) sin 8 cos 8 cos L -+- h2 sin 2 8 cos 2 L j dL ;
a проекція элементарна™ сопротивленія на ось О Х пропорціональна:
da . cos 2 с . cos X. cos L = ^ ^ z ^ ^ / l ^ j j B — r) 2 cos 2 Ô cos X
• 2/i (Ii — r) sin S cos « cos2 L -+- h2 sin 2 S cos 3 x j dL

Поэтому:

1) въ случаѣ S < X
X

=

h2

В2 —r2
( B — r) 2

( L — r ) 2 COS2 8

jо

dL

*

Jc„

— r) sin S cos 8

y
1

S

cos LdL -+- /г2 sin2 8 | cos 2 LdL
№
cos

( В - ь r) h
/t2 - t - ( B — T)2

СR — r) 2 cos 2 8

LdL

(

2h ( R — r) sin 8 cos 8 j cos 2 L d L - t - / г 2 sin 2 81 cos 3 L d L

Произведя интегрированіе получимъ

Х

=

•к В 2 — r 2
2
2
2 h 2 -t- ( В ^Ьуг [ л sill S - t - 2 ( L

h2 (B 2

v
r = T C

fe

2

— r2)
-b(B-r)2

.
S m S

.
-

C 0 S §

,
i

— ?•) 2 cos 2 s ] ,

2) въ случаѣ S > X

X =

\г

R2 — r-

(Д _ г)г

ft—Ф

»J«

{R — r f COS2 8

fît—ф

ft—Ф

2/г (Л — г) sin S cos S cos LtlL н - 7i2 sin 2 8 cos 2 LdL

0
l*t—Ф

2/i (Д — r) sin 8 cos S5 cos 2 LdL
j
-+- Л2 sin 2 8s j c o s 3 Z c 7 L J .

Произведя шітегрнрованіе получимъ:
2

=

1 w + iR-r)2

[(тс -

?) ( J? si"2 ^

2 {R-rf

cos 2 8 '

-+- 37г (Л — Г) sin 8 cos S sin 9 J ,
Г д

І л » % Г - г ) « [ Щ В — r) (тс — 9 ) sin 8 cos 8
-Ф- f 27г2 sin 2 8 -+- (Л — r) 2 cos 2 8 ) sin 9 ] ,

гдѣ (n°

71)
C0S

®—

tang X

R — r

—

Ätängä '

и следовательно
9 =

arc . cos

\U tang S )

Для того чтобы найтн центръ сопротивленія воздуха, замѣтимъ, что равнодѣйствующая сопротивленія на каждую элементарную трапецію, образуемую двумя смѣжными производящими

конуса, должна быть перпендикулярна къ производящей и должна
проходить чрезъ центръ тяжести этой трапеціи. На этомъ основаны найдемъ
Разстояпіе х 0 центра сопротнвленія отъ болынаго основанія
усѣченпаго конуса
h2 (В -н

о

Х

Если 8 =

2г) — 2 {В2 —
3 h (В-*-г)

г3)

0, то Формулы, выведенный для случая S < X, д а -

дутъ
Y _1Г№2-г2)(В-г)2
^
h2 -t-[B — г) 2
Y—

'

о.

Если 8 = Y , то Формулы, выведенный для случая 8 > X, даА

дутъ

тс h2 (В2 —Г2)
4 h2

у

(Л — г) 2

;

U3 (В ч- г)
3 h2 -t- (В — г)2 '

2

В ъ случаѣ конуса стонтъ въ вышепрнведенныхъ Формулахъ
ІЮЛОЛШТЬ г — о .
7 3 . Сопротивленіе
говаго

конуса,

воздуха

усѣченнаю

на

боковую

плоскостями

поверхность

кру-

перпендикулярными

къ его оси гі движущимся

больгигшъ основаніемъ впередъ

что его ось составляетъ

съ направленіемъ

движенгя

такъ,

уголъ 8.

Такъ какъ при 8 = X сопротивление воздуха подвергается только переднее плоское основаніе копуса, то въ этомъ случаѣ
Х = о ,
У = о .

В ъ случае 8 > X, прилагая сужденія, пзложениыя въ иредъидущемъ номерѣ, получимъ:

Х

= -

2L v + i B - r f [ ( " -

ф) (

si

» 2 S -4- 2 (7? — rf cos2 8 )

— 3h (R — r) sin S . cos S sin 9 J ,

r= I

[ (2/<2 sin'2

) *

cos2 s sin

— 3h (R — r ) ( x — 9) sin 5 cos 8 J ,
гдѣ:
/
a r c . COS y

9 =

R — r\
Âlângd ) •

Разстояпіе x 0 центра сопротивленія отъ меньшаго основанія
конуса будетъ:
_ h°-(2R-t-r)-i-2(R3 — r's)
о'~
3h(R + r)

Х

74. Сопротивленіе
цилиндра,

воздуха на боковую поверхность

котораго ось составляетъ

уголъ 8. Для цилиндра X =
%
Ф =

о, cos 9 =

съ направленгемъ
=

движенія

о , следовательно

"2 •

Полагая, въ Формулахъ п ° 2 0 , для случая S >
9 =

круговаго

JL

X, R = г и

, получпмъ для боковой поверхности цилиндра.
Х =

о

T — ^ h B sin2 8
О

7 5 . Сопротивленіе воздуха на плоскость ТСГ2 перпендикулярную къ оси фигуры,

составляющей съ направленіемъ

движенгя

гуголъ 8. Принимая, согласно съ предъидущимъ, сопротивленіе воздуха на плоскость пропорціональнымъ нроизведенію плоскости на
квадратъ нормальной нроекціи скорости, получимъ
X = 7t г2 cos2 8
Y = о.
7G.

Сопротивленге

воздуха

на

поверхность полгугиара,

которого ось составляетъ съ направленіемъ движенгя
Пусть разсматриваемый полушаръ (ФИГ. 4 2 ) будетъ

уголъ 8.
BACG.

Пусть уголъ 8 составляемый направленіемъ скорости ѵ съ осью
Фигуры будетъ (ѵОХ). Если вообразимъ цилиндръ, имѣющій производящую параллельную съ направленіемъ скорости, обертывающей шаръ, п проведемъ большой кругъ DFEG

перпендикуляр-

ный къ направленію скорости Оѵ, то увидимъ, что только часть
BvCGF

разсматриваемаго полушара подвержена сопротивленію

воздуха.
Вмѣсто того чтобы прямо определять величины сопротивлений но осямъ ОХ и OY, легче сначала найти сопротивленія по оси
ОХ,

параллельной направлепію скорости и по оси OY, перпен-

дикулярной къ скорости и заключающейся въ плоскости проходящей чрезъ ось Фигуры ОХ и чрезъ направленіе скорости Оѵ.
При вычислены сопротпвленій надобно разсматривать только
часть поверхности BvCGF,

какъ одну подверженную сопротив-

ление воздуха, ИЛИ, для большаго удобства, ВЫЧИСЛИТЬ сопротивленія но оси ОХ, И ПО ОСП OY, отдѣльио на поверхность полушара BvEG

и на поверхность OEGE

и взять разность этихъ

сонротпвленій по каждой изъ осей; а потомъ перейти къ сопротивленіямъ по осямъ ОХ и OY.

Изобразнмъ: соиротивленія на полушаръ BÂCG или, что тоже, на часть DvCG, по направленіямъ осей ОХ и OY чрезъ
к-ѵ2Х

п

а

9

k-v2Y;

а ио направленіямъ осей ОХ, и OY, чрезъ
к^ѵ2Х,

и к — ѵ2 Y.;

9

9

1

"

сопротнвленія на полушаръ BvEG по осямъ ОХ, и OY, чрезъ
А

Г/;
1 '
<7
a сопротпвленія на часть GEGF по осямъ ОХ, и OY, чрезъ
2

Х /

9

и Л

7. П „,2 V '' „

к — ѵХ, 1
9

2

1

7. О

2 "Г/ '/

и к — ѵ Y,
:
1
9

'

радіусъ шара чрезъ г.
Элементъ поверхности
mm m r— da = от. у г. (тот'). От. у г. (тОт") ;
но:

От = г, от = От. sin (тОѵ) = От . cos (Nms) = r. cos X,
уг. (тот') — dL, уг. (mOm'j = d X ;
поэтому
da = r 2 d L . cos XdX.
Нормальное согіротіівленіе на элементъ da поверхности пропорціонально
da . cos2 s ,

и какъ в =

{NOv) — y — *

то:

cl а. cos2 s = r2 clL. sin2 X cos XdX.
Проекція элементарнаго сопротнвлеиія на ось ОХ, пропор-

ціоналыіа:
da. cos 2 е. sin X = r2dL. sin3 X cos XdX ;
a проекція элемеитариаго сопротивлеійя на ось OYx

пропорціо-

нальна:
da. cos2 s . cos X . cos L = r2 cos LdL.

sin2 X cos2 XdX.

Для того чтобы получить величины X / и Г / надобно взять
интегралы двухъ удвоенныхъ
L =

о до L == тс и отъ X =

предъидущихъ выраженій

о до X =

—•

а

для того,

отъ

чтобы

получить величины X , " и Г , " надобно взять интегралъ этпхъ
удвоенныхъ

выраженій

отъ L = o до і = у - и отъ X = о

до X = / / S = X, ; дуга 7 / 5 = X, определяется изъ прямоугольнаго сферпческаго треугольника G7/5' по Формулѣ:
tang HS = sin GS. tang {IIGS)
ІІЛИ:

tang X, =

cos L . tang 8.

Поэтому:

x;=2r2

pz

dL

1С
p
l i n 3 X . c o s XdX =

О О
ТС

о

о

А

тсг2,

X,"

=

2 r 2 J d Z J 7 i n 3 X cos XdX,

r2

Y,' =

2r2 cos LclL

fli

sin 2 X cos 2 XdX

гдѣ X, опрсдѣляется пзъ условія, что
tangX, = cos L . tang 8 ,
H следовательно
Sin Хд =

tanS6cosI_
V 1 -+- tang 2 S cos 2 L '
j»

—

—

n g
1

Y 1 -+- tang 2 b. cos 2 L '

tang 9 sin L
1 T
j h- tang 2 S. cos 2 L • C I L •

Возьмемъ:

/

Sin3 X COSXdX =

J s i n 2 X cos 2 XdX =

^

4

=

± .
tang' * cos« Z
,
4 ( 1 - + - tang 2 S . cos 2 L ) 2

-A J* Sin 2 2XdX =

A J * ( i — cos 4X) dX

= gX, — h sin 4X, =

i X, — ~ sin 2X, cos 2X,

= §X1 — | s i n X , cos X,^ cos 2 X, — sin 2 х Л
j Y
8 1

1 (1 — tang 2 S. cos 2 L). tang S. cos L
8
(1 -+- tang 2 S cos 2 L)2
'

Вставивъ эти два интеграла въ выраженія X и
лучимъ:
X", =

]r2tang

ч

cos 4 LdL
(1 -+- tang 2 S cos 2 L)2

It
О2*

Y", = ] r2

X, cos LdL

£ = *
=

]r2

Г " , , по-

dL

L=5

(Xj sin L) —
L=o

—

It
Л2*
(1 — tang 2 S . cos 2 L) tang S cos 2 L
(1 -H tang 2 A cos 2 L)2

sin Ld\,

L= o

(tang 2 S cos 2 L — 1) tang 5 cos 2 L
(1 4 - tang 2 д cos 2 L} 2
!

•J

dL

tang S . sin 2 L
dL
1 -+- tang 2 S cos 2 L

2

(1 -+• tang 2 S cos 2 L — 2) tang S cos 2 L
(!•+• tang 2 S cos 2 L)2

it
л2~

tang 5 sin 2 L
-t- tang 2 S cos 2 L

tang S cos 2 L
-+- tang 2 д cos 2 L

dL-

dL

it
0

f

tang S cos 2 L
(1 -f- tang 2 S cos 2 L)2

Z

о

лт

или
It

r-

Г," =

Гг

i r" tang 8

гЛ

dL

tang 2 S cos 2 L —

2

cos 2 LdL
(1 -+- tang 2 S cos 2 L)2

Положивъ
tang L — s,
будемъ имѣть:
X " j = \ r2 tang'* S

dz
(sec 2 S -t- z2) (1 -+- г 2 ) '

dz

оГ

Ê1

Г \ = \г 2 tang 8

sec 2 d - + - z 2

z

((sec 2 S -+- z2)2

Возьмемъ:
dz

it

sec 22 â Ä-+-^z2 =

*

2Ö - C O S 8 ,

Ji

dz
__
1 J (sec 2 6 -4- г 2 — z2) dz
(sec 2 5 H- г 2 ) 2
sec 2 S
(sec 2 S -+- z2)2

sec 2 S

=

cos 8 ^
2

dz

1
sec 2 б

sec 2 5 -«- z2

dz

sec2S-w2'

/•ce

z

2

2zdz

(sec 2 6 - h z2)2

СО

£ =

cos 8
2

(ï

L _
z =

0

ЛСО

dz
sec2â-t-z2

или

г00
(secsf-wT =

1

C 0 S 3 §

-

C 0 S 2 §

• S * ! ««S

A

1
(sec 2 ô-H z2) ( 1 -+- s2)

=

В

(sec 2 S -+- z2)2

sec 2 S - н г 2

cot 2 б
(sec 2 S -+- г 2 ) 2

I

S

cot 4 б
sec 2 ô - + - г 2

Î OOS3 S

G

1+г

!

cot 4 8 _
ï+z2
'

•CSD

(sec 2 S-i-3 2 ) ( l - t - г 2 )

~

=

~

Вставивъ
чимъ:

COt2

Т •

COs3 ô _ C O t 4

* • 1 •

cot 4 S ( 2 — 3 COS 8 -+- cos 3

C0S ô

^

cot4

* * T

б}.

эти интегралы въ выраженія X " , н У " , , полу-

X", =

ZU

,=

І 7-Г2 ( 2 — 3 cos 8 -+- cos 3 8 ) ,

1

2

-3t

- т г . sin 8.

Величины X, и У, будутъ:

X, =

X", — X'\ =

1 jer* ( 2 -+- 3cos8 — cos 3 s) ,

У, =

У' 1 — У " , =

— ^r2.sin3S.

Переходя отъ X,,
X =

Y, къ X и Y по Формуламъ:

X, cos 8 — Y, sin S ,

Y = X , sin 8 -+- Y, cos S ,
получимъ для полушара:
Х =

|тсг2( 1 ч- cosS)2,

Y = = - г У ( 1 ч - cos 8 ) sin S .
Такъ какъ направлеиіе нормалыіаго сопротіівленія на каждый элемента поверхности иолушара проходитъ чрезъ его центръ,
то центръ сопротнвленія воздуха на поверхность полушара совпадаетъ съ центромъ полушара.
7 7 . Сопротивленіе воздуха на продолговатый снарядъ, котораю ось фигуры составляетъ съ наггравленгемъ двюкенгя данный
гролъ 8. Разобъемъ данный продолговатый снарядъ на поверхности, для которыхъ вывели выраженія X и Y и вычислимъ, ио
прпведсшіымъ Формуламъ, величины X и Y,

при различныхъ

углахъ 8, для каждой нзъ этихъ поверхностей. Суммы этихъ величннъ, взятыя отдѣльио для каждаго угла 8, дадутъ величины
X п F для всей поверхности иродолговатаго снаряда, при различныхъ углахъ 8, и будемъ имѣть
^ І І Х . ѵ

2

и

Если нзобразпмъ чрезъ R радіусъ цилиндрической части продолговатаго снаряда; чрезъ Х0 величину X при S =
U X

чимъ постоянный

коеФФііціентъ

к

о, и обозиа-

= , который

можетъ

быть найденъ изъ данныхъ опыта, чрезъ X, то получимъ для продолговатаго снаряда
сопротивленіе по оси Фигуры
рА

—

о

і? V ,

сопротивлеміе перпендикулярное къ оси Фигуры, въ плоскости проходящей чрезъ ось Фигуры параллельно направленію движепія
ÇB

= X

или
Рв =

Y

у - 7Ü R V
0

г

X

,

PA •

X

На листѣ VII, ФИГ. 4 3 начерчены кривыя велпчмпъ ^

Y

И|-

для снарядовъ подобпыхъ нашей 4 Ф. гранате съ толстой свинцовой оболочкой, при чемъ за обсциссы взяты углы 8, а за ординаты
X

величины
от

H

Y

8 = о до 8 =

8 = 8 0 ° , yo =

Кривая

X

показывает,

что величины

4 0 ° почти равны единицѣ и даже при

0 , 7 6 , такъ что величины сопротивленія воздуха,

получешіыя для различныхъ скоростей на продолговатые снаряды при 8 =

0, можемъ принять за сопротнвленія по оси Фигуры

при всѣхъ углахъ 8, которые, въ большей части случаевъ стрельбы, гораздо менее 4 0 ° и, при навесной стрельбе самыми малыми
зарядами, менее 8 0 ° .
Равнодействующая сопротивлепія воздуха б у д е т
о =

У Рл2

или

Углы (ç,A r ) составляемые равнодействующею сопротпвленія

съ направленіемъ прямоиротпвопололшымъ осп Фигуры снаряда
получатся изъ
tang(p,X') =

-J.

Эти углы могутъ быть больше или меньше угловъ 8, составляемыхъ осью Фигуры съ нанравлсніемъ движенія. Такъ для цилиндра, имѣющаго высоту равную 2>/2 діаметрамъ, углы (р,А')
менѣе угловъ 8 для всѣхъ величинъ 8 отъ 0 до 25°'/ 4 ; для снарядовъ, имѣющихъ Форму цилиндра съ полушарнбю головною частью,
которыхъ высота равняется 2 1 / 2 діаметрамъ, углы (?,А') болѣе
угловъ 8 для всѣхъ величинъ S отъ О до 85 0 3 / 4 . Для снарядовъ поДобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ со свинцовой оболочкой кривая угловъ
(р,Л') построена на листѣ V I I , Фигура 4 3 , при чемъ за абсциссы
взяты углы 8, а за ординаты углы (р,Л'); для означепныхъ снарядовъ углы (ç,A f ) болѣе угловъ S для всѣхъ величинъ S отъ О
До 8 3 ° .
Углы (р,Т'), составляемые равнодействующей сопротивлешя
съ направленіемъ прямопротпвоположнымъ направленно двнженія,
получатся вычитая углы 8 изъ угловъ (р,А').

Кривая угловъ

(р,Т'), для снарядовъ подобныхъ 4 Ф. гранате со свинцовой оболочкой, построена на листе V I I , Фигура 4 3 , прп чемъ за абсциссы
взлты углы S, а за ординаты углы (р,Т). Для означенныхъ снарядовъ, при всехъ углахъ S отъ 0 до 8 3 ° , направленіе прямопротивоположное движенію лежитъ внутри направлонія прямопротивоіюложнаго оси Фигуры снаряда и направлеиія равнодействующей соиротивленія воздуха. Съ возрастаніемъ угла 8 отъ 0 до,
приблизительно, 3 0 ° , равнодействующая сопротпвленія удаляется
отъ иаправленія прямонротнвоположнаго движенію; а при дальнѣйшемъ возрастаніи угла S до 8 3 ° равнодействующая сопротивлешя приближается къ направленно прямопротивоположному движение.

78. Пара К сопротивления воздуха на продолговатый снарядъ, котораго ось фигуры составляегпъ съ направленгемъ движс8

ni я уголъ 8. Если нзобразимъ выраженное въ частяхъ радіуса Л
снаряда разстояпіе центра сопротивленія воздуха отъ центра тяжести снаряда чрезъ д, то пара сопротпвленія выразится чрезъ

0

g

Л

Разобъемъ данный спарядъ на поверхности, для которыхъ,
въ предъидущихъ номерахъ, вывели разстояпія центровъ сопротивленій отъ ихъ основаній; найдемъ разстоянія центровъ сопротпвленій этнхъ поверхностей до центра тяжести снаряда; умножшиъ ихъ па соотвѣтствуюіція означениымъ поверхностямъ величины Г , при данномъ углѣ S, и полученную алгебрическую сумму
раздѣлимъ на величину Y соответствующую, црц данномъ углѣ 8
цѣлому снаряду. Частное выразить разстояиіе д. II центра сопротивленія воздуха на спарядъ отъ центра его тяжести, при данномъ углѣ S. IIa листѣ VII, Фигура 4 3 , начерчена кривая д для
сиарядовъ подобныхъ нашей 4 Ф. граиатѣ съ толстой свинцовой
оболочкой, при чемъ за абсциссы взяты углы S, а за ординаты величины д.
При весьма малыхъ углахъ 8, центръ сопротивленія всего
снаряда находится весьма близко отъ центра сопротіівлепія передней овальной или конической части снаряда. В ъ самомъ дѣлѣ,
перпендикулярное къ осп Фигуры сопротпвленіе на цилиндрическую
часть снаряда пропорціонально (п° 74)
sin2 8,
тогда какъ перпендикулярное къ оси Фигуры сопротпвлеиіс

на

коническую часть, при весьма малыхъ у г л а х ъ 8, проиорціоналыю

(п° 72):
sin 3 cos S.
Отношеніе этихъ двухъ сопротивлений пропорціонально
sin а . cos a
sin* a

=

,

-

cotangS,

т

- е. это отношеніе очень велико, еслп уголъ 8 весьма малъ.

Вслѣдствіе этого центръ сопротивлеиія на всю поверхность снаРяда, при весьма малыхъ углахъ 8, находится очень близко отъ
Центра сопрогпвленія передней конической или овальной части
снаряда. Поэтому въ началѣ траекторіи иродолговатаго снаряда,
когда уголъ, составляемый осью Фпгуры снаряда съ направленіемъ скорости, или, что то же, съ касателыюю къ траекторіп,
еще очень малъ, центръ соііротнвленія будетъ впереди центра
тяжести снаряда. По мѣрѣ того какъ наклоненіе оси Фигуры къ
касательной увеличивается, центръ сопротивлепія приближается
къ центру тяжести и, для нѣкоторыхъ Формъ спарядовъ, можетъ
Даже съ нимъ совпасть н перейти по другую его сторону. Для
снарядовъ подобпыхъ 4 Ф. продолговатой грапатѣ со свинцовой
оболочкой, какъ видно па лнстѣ VII, ФИГ. 4 3 , центръ сопротивленія даже при углѣ S =

9 0 ° , находится еще несколько впереди

Центра тяжести.
Такъ какъ во всѣхъ случаяхъ стрѣльбы центръ сопротнвленія воздуха находится впереди центра тяжести н сопротнвленіе
в

°здуха противоположно направленію движенія, то пара сопро-

тивленія воздуха стремится удалять ось Фигуры снаряда отъ касательной къ траекторіп.

§ II.

Опыты надъ сопротпвленісмъ воздуха движснію тѣлъ при
небодынпхъ скоростяхъ.
79. Опыты надъ круговымъравномѣрнымъ движенісмъ. Борда,
Въ
В

17G3 году, употреблялъ для этпхъ опытовъ (ФИГ. 4 4 ) махо-

"КЪ,

состоящій

ІІЗЪ

тонкой полосы FGK, въ видѣ ноставленнаго

"а ребро ножа, къ оконечиостямъ которой прнкрѣнлялнсь двѣ
Равиыя испытуемыя поверхности F н К.

Центръ этихъ новерх-

иостей отстонлъ около 4 Футъ отъ оси вращенія. На горизонтальной оси вращепія былъ расположенъ небольшой цнлиндръ G

8*

съ навитымъ на него шнуромъ, къ концу котораго привѣшивали
грузъ М , который, опускаясь, заставлялъ вращаться маховнкъ и
испытуемыя гЬла. Движеніе сначала ускорялось и сопротнвленіе
воздуха претерпѣваемое тѣлами увеличивалось до тѣхъ поръ, пока
не уравновешивалось движущимъ грузомъ. При равномерномъ
движеніи прибора, что обыкновенно бываетъ после пяти или шести его оборотовъ, замечали время песколышхъ оборотовъ: около
двадцати; потомъ снимали испытуемыя тѣла й заменяли ихъ располагаемыми на ребро кусками сплющеннаго свинца,

каждый

равнаго вЬса съ тѣломъ; a вместо груза M привѣшивали къ
шнуру другой небольшой грузъ т , определяемый опытомъ такъ,
чтобы онъ сообщалъ прибору одну и ту же скорость, что грузъ
М , когда къ маховику были прикреплены испытываемый тела.
Сопротнвленіе воздуха на испытуемое тѣло F или К равняется
произведенію изъ разности грузовъ M — m на отношеніе радіуса
цилиндра къ разстоянію между центрами испытуемыхъ тѣлъ.
Скорость тѣла, считаемая по касательной къ окружности описываемой центромъ тела, соответствующая найденному сопротивление, равняется отношенію длины окружности описываемой центромъ тела къ времепи одного оборота.
Употребляя грузы различныхъ весовъ получали сопротпвлепія для различныхъ скоростей, причемъ скорости изменялись отъ
1,5 до 36 Футъ въ секунду.
8 0 . ІІреаіде Борды Робинсъ и потомъ отъ 1 7 8 6 до 1 7 8 8 г.
Гютонъ

пронзводнлъ

опыты

помощію прибора,

(ФИГ. 4 5 ) изъ меднаго цилиндра BCDE,

состоящаго

вращающагося почти

безъ тренія около вертикальной осп. Надъ рамою, въ которой
была утверждена ось цилиндра, расположспъ пустой конусъ AG.
Отъ осиоваиія конуса ндетъ весьма тонкій, длинный деревянный
рычагъ КН., имѣющій видъ весла, поддерживаемый проволокою
АЛ;

къ концу этого рычага прикрепляется испытуемое тело F.

На цшшпдръ навита шелковая нить, проходящая чрезъ блокъ L и
удерживающая движущій грузъ М . Грузъ, опускаясь, заставл я е т вращаться цнлпндръ, деревянный рычагъ и испытуемое

тѣло. Движеиіе тѣла сначала ускоряется п сопротивленіе воздуха,
имъ претерпеваемое, увеличивается до тѣхъ поръ, пока это сопротнвленіе не уравновѣситъ движущій грузъ, тогда двнженіе
становится равпомѣриымъ.
Прп равпомѣрномъ движеніп прибора, что обыкновенно бываетъ после пяти или шести его оборотовъ, замѣчаютъ время пѣсколькпхъ оборотовъ; потомъ снимаютъ тѣло F и замѣняютъ его
кускомъ сплющеияаго свинца, равнаго вѣса съ тѣломъ и расположенная горизонтально; a вмѣсто груза Ж привѣшиваютъ къ
шелковой нити другой небольшой грузъ т , определяемый опытомъ такъ, чтобы онъ сообіцалъ прибору одну и ту же скорость,
что грузъ Ж , когда къ деревянному рычагу было прикреплено
испытуемое тело. Избытокъ груза Ж надъ грузомъ т , помноженный на отношеніе радіуса цилиндра къ длине деревяннаго рычага, служить мерою силы сопротивленія воздуха на испытуемое
тѣло. Скорость тела определяется отношеніемъ длішы окружности, описываемой цеатромъ тела, къ времени одного оборота.
Разстояніе центра тела до осп вращенія составляло около 4 , 5 Ф.,
и скорости т4ла изменялись отъ 3 Футъ до 2 6 Футъ въ секунду.
ВпослЬдствш, въ 1 8 2 6 году, опыты надъ сопротнвленіемъ возДуха были произведены во Франціи, въ Бресте, морскимъ ОФпцеромъ Тибо помоіцію прибора, подобнаго прибору Борды. Скорости изменялись отъ 1,5 до 3 6 Футъ въ секунду. Вредныя сопротивлеиія, оказываемый приборомъ, определялись подобно тому,
какъ делалось въ приборе Гютона.

81. Результаты опытовъ надъ сопротивленгемъ тонкихъ плаетинокъ, расположенныхъ перпендикулярно къ направленію дви°кенія. Изъ опытовъ иронзведенныхъ Бордою и Гютономъ, можно
кьівести, что сопротнвленіе воздуха на тонкія пластинки перпендикулярный къ направленію движенія, при малыхъ скоростяхъ,
приблизительно выражается Формулою (п°67)
p=

*5flf.«\

но коеФФпціентъ к возрастаетъ нѣсколько съ величиною площади S.
Для того чтобы разъяснить вліяпіе площади на величину коеФФиціента к при вращательномъ движеніи, Тибо привелъ въ движеніе одипакнмъ грузомъ, три тонкія пластинки, имѣвшія одну и
ту же площадь 160,0 К В Д - ,

изъ которыхъ первая представляла

квадратъ, a двѣ другія равные прямоугольники. Длинная сторона
этпхъ прямоугольнпковъ была вдвое болѣе короткой и поперемѣнно утверждалась но направленію радіуса маховика и по направленно перпендикулярному къ радіусу. Центры пластшюкъ во
всѣхъ трехъ случаяхъ располагались на разстояш'п 4 , 5 Футъ отъ
оси вращенія. Результаты опыта были слѣдующіе: для прямоугольника, коего сторона въ 1 7 Я , 8 8 8 была направлена по радіусу, к = 0 , 9 5 0 ; для квадрата въ 1 2 д , 6 5 въ сторонѣ, к =

0,892;

для прямоугольника, коего сторона въ 8 ,944 была направлена
Д

но радіусу, к =

0,838.

Этотъ онытъ показалъ, что по мѣрѣ уменыненія размѣра плоскости, направленна™ ио радіусу, вліяніе вращательнаго движепія становится для одного п того-же радіуса менѣе, такъ что въ
этомъ случаѣ вращательное двнженіе приближается къ прямолинейному. Возьмемъ (ФИГ. 4 6 ) за абсциссы длины плоскостей:
1 7 д , 8 8 8 , 12 д ,65 н 8 Д ,944 ио направленію радіуса, а за ординаты
три соотвѣтствуюіція величины к : 0 , 9 5 0 , 0 , 8 9 2 п 0 , 8 3 8 ; чрезъ
эти три точки проведемъ кривую и продолжимъ ее до оси ордината на томъ основанін, что равнымъ уменьшеніямъ длннъ плоскостей по направленію радіуса соотвѣтствуютъ равныя уменьшенін разностей ордината к; такимъ образомъ найдемъ для предѣльнаго значенія к, соотвѣтствующаго абсцнссѣ равной нулю,
величину 0 , 6 4 . Эта величина должна относиться къ круговому
движенію весьма большаго радіуса и, слѣдовательно, сливаться съ
прямолинейнымъ движепіемъ.
На изложенномъ осиованіп дѣйствительная величина сопротивленія воздуха на тонкія пластинки не весьма большихъ размѣровъ, въ случаѣ прямолинейна™ движенія, перпендикулярна™ къ

направленно движенія, должна выразиться при неболынихъ скоростяхъ чрезъ
о=
г

0 , G 4 - . S . V2
'

9

82. Результаты опытовънадъсопротивленісмъ поверхностей
врщенія, двигающихся по гюггравленгю оси фигуры. Эти опыты
были произведены Гютономъ и Бордою. Результаты пхъ, сравнительно съ вычисленными результатами (и°69 и 7 0 ) , помѣщены въ
слѣдующей таблиц!;, въ которой за единицу принято сонротивлечіе круга, радіуса равнаго радіусу наибольшаго сѣченія испытуемой поверхности, перпендикулярнаго къ направленно движенія.

Тонкій кружокъ

Сопротпвленіе в ы в е -

Вычисленное

денное изъ
опыта.

"противлеше(и°69и70).

1

1

0,418

0,500

0,435

0,500

Полушаръ выпуклой стороною внередъ
(Гютонъ)

'

Ш а р ъ (Гютонъ)
Конусъвершиною] 9 0 °
впередъ.
вершинѣ.

Уголъ

(Борда).. .

0,705

0,500

(Борда)...

0,554

0,250

J 51°24'(Гютонъ)..

0,442

0,188

1,010

1

1,020

1

при! 6 0 °

Полушаръ плоскою сторопою внередъ
(Гютонъ)

•

Конусъ оспованіемъ внередъ (Гютонъ).

Для того чтобы найти величину сопротивленія воздуха, въ
бдиницахъ вѣса, па тѣло, движущееся съ небольшою скоростью и
"мѣющее Форму одного нзъ испытанныхъ, нужно соотвѣтствуюЩее сопротнвленіе, показанное въ первомъ столбцѣ таблицы, помножить на площадь наибольшаго сѣчснія, перпендикулярнаго къ
направленно движенія, на коеФФиціентъ 0 , 6 4 соиротнвленія тонной пластинки при прямолинейномъ движеніи, на отношеніе вѣса
Кубической единицы воздуха къ ускоренно тяжести и на квадратъ

скорости тѣла. Такъ для шара, движущегося съ небольшою скоростью (непревосходящею 8 метровъ или 26 «ьутовъ въ 1") будсмъ имѣть

? = 0,278.r.R2

.ѵ2

или, принимая метръ и килограмъ за единицы и полагая
П =

1 к "'-,208,
р=

а принимая

Футъ

и

Фунтъ

р=

tf=9M-,809,

0 , 0 3 4 .тс R2. V2,
за единицы
0 , 0 0 0 7 3 . тс

R2.v2.

Изъ разсмотрѣнія приведенныхъ въ таблицѣ чиселъ оказывается, что сопротивленіе тѣлъ, представляющихъ острые углы,
бываетъ болѣе вычисленнаго н на оборотъ, сопротивленіе тѣлъ,
имѣющихъ округленную поверхность менѣе вычисленнаго, что
можетъ быть объяснено тѣмъ, что округленная, продолговатая
Форма передней части тѣла, способствуя теченію воздуха, уменьш а е т дѣйствіе быстраго отклоненія струй воздуха и заставляет
эти струи принимать постепенно направленіе, параллельное боковой поверхности тѣла. Слйшкомъ большое удлинение передней поверхности однако можетъ увеличить треніе воздуха объ эту поверхность болѣе, чѣмъ острая Форма уменьшит сопротивленіе.
Длина тѣла также имѣетъ вліяніе на величину сопротивленія;
такъ сопротивленіе на тонкій кружокъ не одинаково съ сопротнвленіемъ на цилиндръ, одинаковаго съ нимъ діаметра. Округленная
Форма задней поверхности тѣла, способствуя обтекаиію воздуха
сзади тѣла, м о ж е т отчасти также уменьшить соиротивлеиіе.

83. Опыты надъ прямолинейным?, движенгемъ. Первые опыты надъ согіротнвленіемъ воздуха при нрямолинейномъ движеніи
были произведены Нютономъ со стеклянными дутыми шарами,
имѣвшщш около 5Д- въ діаметрѣ и вѣсившими отъ 7\ до 10 зо-

лотшіковъ. Нютонъ заставлялъ ихъ падать съ высоты 2 2 0 <і>утъ
и замѣчалъ времена паденія, который вышли отъ 7 " , 7 до 8 " , 2 .
Вычисленный Дюбюа, на оспованін результатовъ этихъ опытовъ,
в

ъ предположеніп соиротнвленія пропорціоиальнаго квадрату ско-

рости, коеФФіщіентъ сопрогпвленія далъ для величины сопротнв•лепія, претерпѣваемаго шарами, при скоростяхъ около 2 0 Футъ
или 6 метровъ, въ I е , слѣдующее выраженіе
р=

0,268.".тсД\ѵ2,

близкое къ выведенному изъ опытовъ надъ вращательнымъ двпженіемъ.
8 4 . Г г . Піоберъ, Моренъ и Дидіонъ произвели въ Мецѣ, въ
1 8 3 5 и 183G годахъ, опыты надъ сопротпвленіемъ воздуха на
тѣла, движущіяся прямолинейно, помощію придуманнаго ими прибора. Испытуемый ими тѣла A привѣшивались (ФИГ. 4 7 ) къ шелковому шнурку, навитому на блокъ CI), расположенный на высот! 6| саж. отъ дна ямы упраздненной литейной. Тѣло опускалось вслѣдствіе своего вѣса, при чемъ ускоряли или замедляли
скорость его паденія іірибавочнымъ грузомъ, или противовѣсомъ.
Къ блоку, параллельно его оси, прикрѣплено металлическое перо,
напитанное тушью; рядомъ съ блокомъ расположить вертикальный кругъ FG,

покрытый листомъ бѣлой бумаги, приводимый

особымъ мехашізмомъ въ равномѣрное вращательное движеніе;
скорость круга определялась помощію брегетова хронометра, показывающаго десятыя доли секундъ. Перо блока чертило на кругѣ
кривую, зависящую отъ относительной скорости блока и круга,
такъ что эта кривая доставляла зависимость между углами, описываемыми блокомъ, или пространствами, пройденными тѣломъ,
и углами описываемыми кругомъ, или соответствующими временами.
Помощію этой кривой была определяема скорость т У а , когда
Движеніе становилось равномѣрнымъ и, следовательно, соиротнвл

сніе постояннымъ, п по известному движущему грузу выводи-

лась величина сопротнвленія соответствующая найденной скоростп.
Опыты были произведены, при скоростяхъ изменявшихся въ
предѣлахъ отъ О до 9 метровъ, иадъ тонкими деревянными квадратными досками, имевшими 0 , 5 и 1 метръ въ сторон!, и надъ
шелковымъ парашютомъ, котораго діамстръ составлялъ около
1 , 2 5 метра и высота стрелки 0 , 4 3 метра; парашютъ былъ подвергаемъ попеременно своею вогнутою

и выпуклою стороною

действію воздуха. Опыты эти привели къ следующему выражение сопротпвленія:
на плоскость перпендикулярную къ направленно двнженія
?

=

5 ( 0 , 0 3 6 - « - 0 , 0 8 4 v2),

на парашютъ, двигающіііся вогнутою стороною виередъ
? = 1 , 9 3 6 5 ( 0 , 0 3 6 -4- 0 , 0 8 4 ѵ2)
H на парашютъ. двнгаюіційся выпуклою стороною впередъ
Р

=

0 , 7 6 8 5 ( 0 , 0 3 6 -4- 0 , 0 8 4 г ) ,

где метръ il кнлограммъ приняты за единицы.
В ъ эти Формулы входптъ членъ, не завпсящій отъ скорости;
но для скоростей нревышающпхъ 4 метра имъ можно пренебречь
и взять для сопротивлеиія воздуха на плоскость, при скоростяхъ
отъ 4 до 9 метровъ, выраженіе
р=

0 , 0 8 4 . Sv2 =

0 , 6 8 - S .v2.
'

9

Коеффиціентъ 0 , 6 8 , входяіцій въ это выражеиіе более коеФФііціента 0 , 6 4 выведенная (п° 81) нзъ результатовъ опытовъ
Тнбо иадъ круявымъ двнженіемъ, что могло выйти оттого, что

плоскости, подвергавшіяся на мецкихъ опытахъ сопротивленію
воздуха, были гораздо болѣе плоскостей, испытанныхъ Тибо.

§ІН.

Опыты падъ сопротивлснісмъ воздуха двпжснію артпллсршскихъ снарядовъ.
8 5 . В ъ предъидущемъ параграфѣ разсмотрѣли сопротивленіе
воздуха нрп слабыхъ скоростяхъ сравнительно со скоростями сообщаемыми артпллерійскимъ снарядамъ, и нашли, что для скоростей
°тъ 3 до 26 Футъ въ секунду сопротпвлеиіе можетъ быть принято
вропорціональнымъ квадратамъ скоростей.
Для опредѣленія величины сопротпвленія, соотвѣтствующаго
пѣкоторой скорости артиллерійскаго снаряда, измѣряютъ скорость
СіІ

аряда въ двухъ точкахъ его траекторіп, не въ болыномъ раз-

стояпіп одна отъ другой. Пусть Р в ѣ с ъ снаряда; 2 Р его діамстръ;
^ разстояніе между двумя точками траекторіи; F скорость снаряда
въ первой точкѣ, т. е. въ началѣ разстоянія l\ F ' скорость снаРяда во второй точкѣ, т. е. въ концѣ разстоянія I, и g ускореніе
тяжести. Приращеиіе живой силы снаряда будетъ

(F-F*).
Силы, дѣйствующія на снарядъ суть тяжесть и сопротпвленіе
воздуха.
Такъ какъ обѣ точки, въ которыхъ измеряются скорости снаРяда, избираются приблизительно на одномъ уровнѣ, то можемъ
пренебречь на пути I работою силы тяжести.
Скорости F и F ' въ началѣ и концѣ небольшаго разстоянія I
не слпшкомъ много различаются другъ отъ друга; поэтому и сопротнвленіе мало пзмѣпяется на разсматрпваемомъ пути, такъ что
°слп назовемъ чрезъ р среднее сопротивленіе воздуха, дѣйствую-

щее прямо противоположно направленіюдвиженія, то работа этого
сопротивленія будетъ равна

— M
и будемъ пмѣть

откуда
_ Р

У2_

у2

Такъ какъ сопротивленіе воздуха ііропорціоііально его плотности, изменяющейся съ состояніемъ атмосферы, то необходимо
наблюдаемый въ разное время сопротивленія приводить къ одной
и той же илотностн воздуха П, *). Если назовемъ чрезъ П плотность воздуха при производств^ опыта, то сопротпвленіе воздуха,
при его плотности П , , будетъ

і3

Р

П, V 2 — V'2

2д' И

I

и это сопротивленіе можетъ быть принято соотвѣтствующимъ
средней скорости
7-1- V

Опредѣляя скорости снаряда въ двухъ точкахъ его траекторін при стрѣльбѣ различными зарядами, получимъ величины сопротивлеиія воздуха, соотвѣтствующія различнымъ скоросгямъ ѵ.
Для того чтобы сравнивать результаты

полученные при

стрѣльбѣ снарядами разлнчиыхъ калибровъ, мы будемъ относить
величины сопротнвленія къ единицѣ площади наибольшаго поперечиаго сѣчепія снарядовъ, и для того, чтобы, при выводѣ выра*) Мы будемъ принимать П , = 1
200, чтб соотвѣтствуетъ вѣсу кубическаго метра воздуха при давлепіи барометра 0, метр.75 „ температурѣ 15° стоградуснаго термометра, когда воздухъ в ъ половину насыщепъ парами.

Женій сопротпвленія, увеличить зпаченіе результатовъ, относящихся до среднихъ и малыхъ скоростей, съ которыми спарядъ
Движется на большей часта пути своего полета, будемъ величины
сопротивленія дѣлить па квадраты соотвѣтствующихъ имъ скоростей. Положивъ
j

р

? —тс Л2, г 2 '

получимъ
/
?

Р
П( V — V
тс Я 2 . g ' П
І.ѵ
'

Если, на основаніи вычисленныхъ изложеннымъ способомъ
Кое

ФФиціентовъ 9 сопротивленія, соотвѣтствующихъ различнымъ

скоростямъ, иайдемъ выраженія для сопротивленія воздуха и употребить эти выраженія для перечисленія коеффиціентовъ 9' по
паблюдешіымъ скоростямъ, то получимъ значенія 9', отлпчающіяся,
самомъ неблагонріятномъ случаѣ, не болѣе какъ на одну ты-

Въ

сячную долю своей величины отъ найденныхъ при предположены
с

°протпвленія постояннымъ, такъ что это предположеніе можетъ

б

ыть безъ чувствительной ошибки допущено для вычнслеиія коеФ-

'Ыіціентовъ 9' изъ опытовъ надъ измѣреніемъ скоростей снаряда
Двухъ точкахъ его траекторіп, недалеко отстояіцихъ одна отъ

Въ

Другой.
8 6 . Помощію электро-балнстнческихъ прпборовъ мы можемъ
Пзмѣрять скорости одного и того же снаряда въ двухъ точкахъ
его траекторіи.

Помощію гке балнстическаго маятника можно

° редѣлнть скорость одного снаряда только на одномъ разстояніи
п

° Т ъ орудія; поэтому, прп употребленіп балнстическаго маятника
Дл,

і опытовъ надъ сопротнвлеиіемъ воздуха, приходится стрѣлять

Въ

маятникъ съ двухъ различныхъ разстоянш одинаковыми по

^ У и діаметру зарядами и снарядами, при всѣхъ по возможно-

В С
CTlt

одинаковыхъ обстоятельствахъ, и среднія скорости выведеішыя

п каждаго нзъ обѣнхъ разстояній принимать за скорости одного

Дл
11

Того же снаряда въ двухъ точкахъ его траекторіп.
8 7 . Опыты Робинса. Опыты произведенные въ ЛІІГЛІИ Po-

,

бинсомъ и описанные въ его началахъ артиллеріи 1 7 4 2 г., заключались въ измѣреніи скоростей ружейныхъ сферическнхъ пуль,
выстрѣленныхъ въ балпстнческій ружейный маятникъ съ различиыхъ дистапцій, разными зарядами. Результаты этихъ опытовъ'
, показали, что сопротивленіе воздуха на пули возрастаетъ быстрѣе
чѣмъ квадратъ скорости и привели Эйлера къ выраженію сопротивленія воздуха двучленомъ,

ІІЗЪ

которыхъ одинъ пропорціона-

ленъ второй степени скорости, а другой пропорціоналенъ четвертой степени скорости *)•
8 8 . Опыты Гютона.

Опыты Гютона были произведены въ

Вульвичѣ отъ 1 7 8 7 до 1 7 9 1 года. Гютонъ стрѣлялъ нзъ 1 Ф.,
3 Ф. H 6 Ф. пушекъ сферическими ядрами въ балистическій маятникъ съ разстояній отъ 3 0 до 4 3 0 Футъ и наблюдалъ скорости,
который измѣнялись отъ 3 0 0 до 2 0 0 0 Футъ въ секунду. Изъ выведенныхъ

ІІМЪ

величннъ сопротнвлепія, соотвѣтствующпхъ раз-

• личнымъ скоростямъ, оказывается, что сопротнвлепіе, будучи
приблизительно иропорціоиалыіо квадратамъ діаметровъ спарядовъ, возрастаетъ отъ пебольшихъ скоростей до скорости около
4 4 0 метровъ быстрее чемъ квадратъ скорости, а отъ 4 4 0 до
6 0 0 метровъ возрастаетъ приблизительно иропорціоналыю квадрату скоростей. Приводя эти результаты въ своемъ курсе балистики, генералъ Дидіонъ замѣчастъ, что полученный результата
мепЬе быстраго возрастаиія сопротпвленія при весьма большихъ
скоростяхъ могъ произойти оть весьма огранпченнаго числа выстрЬловъ, иронзведениыхъ Гютономъ и отъ отбрасыванія результатовъ, которые казались Гютону несообразными.
8 9 . Мецкіе опыты 1839

и 1840

іодовъ. Эти опыты были

произведены комиссіею, составленною изъ гг. Піобера, Морена и
Дпдіона стрельбою въ балпстическій маятникъ изъ 2 4 Ф., 12Ф. И
8 Ф. пушекъ сферическими ядрами и гранатами и изъ 22

- гау-

сопт

бицы сферическими бомбами. В ъ одинъ п тотъ же день дѣйство-

*) Nouveaux principes d'artillerie de Robins, commentés par Euler, traduits
par Lombard. 1783. Page 365.

вали

съ

Двухъ

ІІЗЪ

слѣдующихъ разстояній: 15, 4 0 , 6 5 , 9 0 и

115 метровъ, такъ что скорости снарядовъ были опредѣляемы
въ т

°чкахъ, отстоящихъ одна отъ другой на 2 5 , 5 0 , 7 5 п 1 0 0

метровъ. Скорое тп измѣнялись въ предѣлахъ отъ 2 0 0 до 6 5 0
метровъ. Съ каждаго разстоянія, каждымъ зарядомъ производили
До 6 выстрѣловъ H брали для скорости среднюю величину

0ГЪ

3

1ІЗЪ

этнхъ выстрѣловъ.
Результаты нзъ 12 <і>. и 2 4 Ф. пушекъ, какъ наиболѣе мпо-

10числ
В0з

е і ш ы е , соединили вмѣстѣ н раздѣлили на три группы по

растающимъ величинамъ скоростей ѵ. Среднія величины ѵ н p'

Д'Кдой группы, ирп метрѣ и килограмме взятыхъ за единицы,
получились слѣдующія :
Скорости V въ метрахъ . . .

337,22,

428,81,

535,15

КоеФФпціепты ?'

0,0479,

0,0535,

0,0616.

Если построимъ эти результаты, взявъ скорости за абсциссы
1 ПОЛІІЧИНЫ

р' за ординаты, то нолучимъ три точки расположенный

почти па одной прямой; послѣдняя точка весьма немного вьпие
"Рамой проведенной чрезъ нервыя двѣ точки.
Еенералъ Дидіопъ

выразилъ эти результаты уравненіемъ

прямой

?' =

0,027

п сардинской артпллеріп граФъ С. Робертъ — уравненіемъ параболической кривой *)

Р

'=

0,0387

[і-н(4)2],

ДІ> метръ и килограммъ приняты за единицы.

1

ISü'j

f

°mte

Robert. Du mouvement des projectiles dans les milieux résistants.

Такимъ образомъ изъ результатовъ мецкихъ опытовъ 1 8 3 9
и 1 8 4 0 годовъ, сопротивленіе воздуха на сФерическіе снаряды,
при плотности воздуха П , можетъ быть выражено :
согласно г. Дидіону Формулою

гдѣ, при ыетрѣ и килограмме взятыхъ за единицы, <А> =
г =

0,027,

435;
а согласно С. Роберту Формулою

гдѣ, при метрѣ и килограмме взятыхъ за единицы,
г =

0,0387,

696.
Такъ какъ при опытахъ надъ сопротивленіемъ воздуха помо-

щію балпстнческаго маятника можно измѣрять скорость снаряда
въ одной только точкѣ траекторіи, то, но необходимости, приходится принимать какъ принадлежащими одному и тому же снаряду въ двухъ точкахъ его полета средпія скорости, выведенный
изъ стрѣльбы разными снарядами. Это обстоятельство не могло
не пмѣть вліянія на результаты опытовъ, и выведенныя пзъ нихъ
выраженія соиротивленія, при ирнложеніп ихъ къ рѣшенію вопросовъ, относящихся до стрѣльбы изъ артпллерійскпхъ орудій,
даютъ результаты, удовлетворительно согласующееся съ практикой только при стрѣльбѣ на неболынія разстоянія; вычисляемый
же, на основаніи означешіыхъ выраженій сонротивленія, дальности полными зарядами, подъ большими углами бросанія, выходить гораздо меньшими чѣмъ получаемый на практике.

90. Мецкге опыты 1856, 1857 и 1858 годовъ. Сомнѣнія,
возбужденный результатами опытовъ номощію балпстнческаго
маятника, побудили Французскій артиллерійскій комнтетъ предложить производство новыхъ опытовъ номощію двухъ электробали-

стическихъ маятннковъ г. Наве, которыми бы определялись скорости одного и того же снаряда въ двухъ точкахъ его траектоР1"- На означенныхъ опытахъ стрѣльба была произведена сферическими снарядами изъ 8 Ф. И 2 4 Ф. пушекъ и 22 сеат - гаубицы,
п

Ри скоростяхъ, изменявшихся въ пределахъ отъ 1 9 0 до 5СО

метровъ. Каждымъ зарядомъ было производимо не менее 2 0 выетрѣловъ h изъ коеФФиціентовъ р', определенныхъ для средней
скорости каждаго выстрела, была выводима средняя величина р',
соответствующая средней скорости изъ всѣхъ выстріловъ одшімъ
и тѣмъ же зарядомъ. Разетояпіе между двумя точками траекторіи,
Въ

которыхъ были измЬряемы скорости, заключалось въ преде-

лахъ отъ 5 0 до 1 0 0 метровъ; такъ какъ разность скоростей при
одномъ и томъ же пути I бываетъ т і м ъ более, чѣмъ более скорость снаряда, то менынія разстояиія

были избираемы при

стрѣльбе большими зарядами, a большія разстоянія—при стрельб !
малыми зарядами.
Полученные результаты, приведенные къ плотности воздуха
Пі,при метр! п килограмм!, взятыхъ за единицы, помещены въ
следующей таблице:

°РУДІя.

Скорости
v

Величины

22° г.
8*п.
24» п
24»П.
22е г
24 »п.
24»П.
22е г.

193,6
202,2
205,8
215.8
281,0
285,5
318,3
341.9

0,0212
0,024G
0,0228
0,0291
0,0363
0,0350
0,0454
0,0483

Р'

Орудія.

Скорости
v

Величины

2 2 е г.
24»п.
8»п.
24»п.
24»и.
24»п.
24»п.
24*п.

369.7
385.1
396.2
419,4
458,2
471.8
513.6
554.7

0,0569
0,0604
0,0628
0,0622
0,0040
0,0651
0,0687
0,0702

Р'

На листе V I I I , Фигура 4 8 , построены эти результаты, при
Чёмъ за абсциссы приняты скорости, а за ординаты—величины р'.
Нзъ ннхъ оказывается, что сопротивленіе, соответствующее СКОРОСТИ въ 3 2 0 метровъ приблизительно равно сонротнвленію, ноУченному нзъ прежнихъ мецкихъ опытовъ, но съ уменьшеніемъ

л

Ско

Ростей сопротивленія убываютъ, а съ увбличеніемъ скоростей
9

до 4 0 0 метровъ сопротіівлеііія увеличиваются гораздо быстрѣе,
чѣмъ это выходить изъ выраженій для сопротивленія, выведенных!. на основапіи результатов!, прежпихъ мецкихъ опытовъ. Начиная съ 4 0 0 метровъ до самыхъ болыиихъ скоростей въ 5 6 0
метровъ сопротивленія возрастаютъ менѣе быстро, чѣмъ отъ малыхъ скоростей до скорости въ 4 0 0 метровъ.
Коммиссія, производившая опыты, подъ иредсѣдательствомъ
полковника Внрле, выразила зависимость

между

полученными

величинами р' и скоростями начерченною на «ьигурѣ 4 8 прямою,
которой ѵравненіе есть
р' =

0.000142

.v.

Н а этомъ основаніи, изъ результатов!, мецкихъ опытовъ 1 8 5 6 ,
1 8 5 7 и 1 8 5 8 годовъ, соііротпвленіе воздуха па СФеричеекіе снаряды, при плотности воздуха П, можетъ быть выражено Формулою

гдѣ, при метрѣ и килограмм ! , взятыхъ за единицы,<А>= 0 , 0 0 0 1 4 2 .

91. Петербургскіе опыты 1868 и 1869 годовъ.
Нѣкоторыя неправильности, замѣченныя въ ходѣ

первыхъ

электро-магнитныхъ прпборовъ г. Наве, употребленныхъ на мецкихъ онытахъ, побудили повторить въ 1 8 6 8 году, въ нашей артиллеріи, опыты надъ сопротивленіемъ воздуха на сФерпческіе
снаряды, а въ 1 8 6 9 году, по распоряжений г. Товарища Генералъ-Фельдцехмейстера, были произведены въ нашей артнллеріи
опыты надъ сонротнвленіемъ воздуха на предолговатые снаряды.
Сопротивленія опредѣлялись по скоростямъ

снаряда въ двухъ

точкахъ его траекторіи, измѣряемымъ помощію двухъ электромагшггныхъ хронограФовъ г. Лебулаиже. Измеряемое хронограФОМЪ время для оиредѣленія каждой скорости заключалось въ предѣлахъ отъ 0 е , 10 до 0 С , 1 5 .
Опыты надъ сонротивлешемъ воздуха па сферическіе снаряды были произведены нзъ 6 Ф. И 2 4 Ф. пушекъ и 3 п. бомбовой пушки въ предѣлахъ скоростей отъ 5 2 7 до 2 2 7 метровъ;

сопротпвлепія, соотвѣтствующія менышшъ скоростямъ, получались
слишкомъ разнообразный, такъ что найденными при меныпихъ
скоростяхъ результатами нельзя было воспользоваться. Каждымъ
зарядомъ было произведено не менѣе 8 выстрѣловъ и изъ велпчинъ о, опредѣленныхъ для средней скорости каждаго выстрѣла,
была выводима средняя величина р', соответствующая средней
скорости изъ всѣхъ выстрѣловъ однимъ и тѣмъ же зарядомъ.
Разстояиіе между обѣимн точками траекторіи, въ которыхъ были
пзмѣряемы скорости, заключалось въ нредѣлахъ отъ 5 0 до 1 5 0
метровъ; меньшія разстояиія были избираемы при стрѣльбѣ большими зарядами и соотвѣтствовалн наиболынимъ разностямъ скоростей, оиредѣляемыхъ при одномъ и томъ же выстрѣлѣ, разностямъ доходившимъ до 4 0 метровъ; болыпія разстоянія были избираемы при стрѣльбѣ малыми зарядами и соответствовали наименышшъ разностямъ скоростей, доходившимъ до 10 метровъ.
Опыты надъ сонротивленіемъ воздуха на продолговатые снаряды были произведены изъ 4 <і>. *), 12 Ф., 2 4 <і>. и 8Д' иушекъ
въ предѣлахъ скоростей отъ 4 0 9 до 1 7 2 метровъ. Снаряды были
3 потребляемы отлитые по чертежамъ, принятымъ для снарядовъ
изъ обыкновеннаго чугуна съ толстой свинцовой оболочкой. КажДЫмъ зарядомъ производили не менѣе 8 выстрѣловъ. Разстояніе
между обѣнміі точками траекторіп, въ которыхъ были измѣряемы
скорости, заключались въ предѣлахъ отъ 1 5 0 до 2 3 4 метровъ;
Па

этомъ разстояніи ось Фигуры снарядовъ мало уклоняется отъ

йаклоиенія траекторіи, такъ что выведенный изъ опытовъ сопротивленія можно считать относящимися до случая, когда ось продолговатыхъ снарядовъ совпадает съ направленіемъ движенія.
При стрѣльбѣ большими зарядами напболынія разностн скоростей,
Сп

Редѣляемыхъ при одномъ н томъ же выстрѣлѣ, доходили до 3 0

метровъ; наименьшая разность скоростей, полученная при стрѣльбѣ
самымъ малымъ зарядомъ изъ нанболынаго 8Д' калибра, составила 21 метра, при разстояніи въ 2 3 4 метра менаду точками, въ
*) На опытахъ были употреблены д в ѣ 4 Ф. пушки, одна полевая и другая
Утяжеленная, допускающая стрѣдьбу большими зарядами.
Ü*

которыхъ измѣрялпсь скорости. Изъ 9Д- и I I я

пушекъ стрѣльба

была запрещена, потому что второй выпущенный на этихъ

ОІІЫ-

тахъ 9 - снарядъ, иослѣ иѣсколышхъ рикошетовъ, залетѣлъ на
я

находящееся вблизи опытнаго поля кладбище; но для того чтобы
пополнить дашіыя для снарядовъ болыиихъ калибровъ, воспользовались таблицами *), составленными въ Аиглін г. БапіФортомъ,
на основаніи опытовъ, пропзведениыхъ нмъ въ 1 8 6 8 году съ его
хронографомъ, таблицами, въ которыхъ помѣщены убывающія
скоростп отъ 1 7 0 0 до 9 3 0 Футъ 7 я ', 8 я ' и 9Д' иродолговатыхъ
снарядовъ, соотвѣтствующія проходимымъ ими путямъ отъ О
чрезъ каждые 1 0 0 Футъ, въ предположены, что движеніе спаряда
происходить по прямой лпніи, и изъ этихъ таблицъ вывели сопротпвленія, соотвѣтствующія различнымъ скоростямъ.
Полученные результаты, приведенные при иашпхъ опытахъ
къ плотности воздуха П, =

1 к м , , 2 0 6 , при метрѣ и килограммѣ,

взятыхъ за единицы, помѣіцены въ слѣдующпхъ двухъ таблнцахъ.

Сферпчеекіе снаряды.
Скорости
v

Величины
Р'

п.

227

0,0295

24 Ф. п.

234

0,0267

6 Ф.

3 п. бомб. п.

262

6

п.

24 Ф. п.

Орудія.
6

Ф.

Ф.

3 п. бомб. п.
24

Ф. п.

G Ф. п.

Орудія.

Скорости
v

Величины
Р'

24 Ф. п.

380

0,0554

п.

384

0,0002

0,0361

Зп. бомб. п.

408

0,0587

278

0,0424

6 Ф . П.

415

0,0625

287

0,0411

24 Ф. п.

457

0,0598

330

0,0491

3 п.бомб.п.

4G3

0,0611

341

0,0519

6 Ф.

п.

475

0,0625

342

0,0582

п.

527

0,0619

24

Ф.

*) Proceedings of the Royal Artillery Institution, Woolwich. 18G8.

—

133

—

Продолговатые снаряды.
Орудія.
4 ф. п.

8 д. п.
4 Ф. п.
1 2 Ф . П.

2 4 Ф. п.

8 Д. п.

8д.п.англ.
Цд-п.англ.
8 Д. п. англ.
Тд.п.ангд.
12 Ф. п.
4 Ф. п,
9Д. п.англ.
4 Ф. п.
8 д. п.
8д.п.англ.
2 4 Ф . П.
'Д. п. англ.

Скорости

Величины
Р'

172
207
239
247
26G
282
287
291
300
302
304
307
316
317
319
320
320
322

На лнстѣ V I I I ,

0,0151
0,0137
0,0148
0,0170
0 , 0 1 GO
0,0163
0,0184
0,0247
0,0230
0,0218
0,0221
0,0158
0,0305
0,0259
0,0174
0,0277
0,0299
0,0270

Орудія.

Скорости
v

329
332
334
337
340
345
355
358
360
360
401
409
419
420
460
508
512

8 д. п.
Ѳд.п.англ.
9 д. п. англ.
4 Ф. п.
7 д. п. англ.
8 д. п. англ.
9 д. п. англ.
7 д. п. англ.
8 д. п.
8д. п.англ.
4 Ф. п.
8 д . п.
8д. и.англ.
9 д. п. англ.
8 д. п. англ.
8 д. и. англ.
7 д. п. англ.

«рпгурахъ 4 9 п 5 0 построены эти резуль-

таты, нрп чемъ за абсциссы приняты скорости, а за ординаты—
величины р. Изъ нихъ оказывается:
1.

Такъ

какъ

калибры

не нмѣютъ

ощутнтельнаго

влія-

нія на величины р', то сопротпвленіе воздуха на артпллерійскіе
снаряды, въ предѣлахъ

отъ иаимеиынаго до наиболынаго нзъ

Употребляемыхъ калибровъ, можетъ быть принято пропорціональньімъ площадямъ поперечныхъ сѣчеиій спарядовъ.
2.

Величины р', начиная съ малыхъ скоростей, пмѣющихъ

мѣсто при стрѣльбѣ, возрастаютъ со скоростью, и, следовательно,
сопротнвленія возрастаютъ быстрее, чемъ квадраты скоростей;
наиболее быстрое

возрастаніе

сопротивленій

заключается для

продолговатыхъ спарядовъ въ пределахъ скоростей отъ 2 8 0 до
3 6 0 метровъ. Отъ скоростей въ 3 6 0 метровъ для продолговатыхъ спарядовъ il 3 8 0 метровъ для сферическнхъ спарядовъ до
папболышіхъ скоростей величины р' остаются приблизительно пос

тояпнымп, и, следовательно, сопротивленія возрастаютъ прибли-

зительно пропорціонально квадратамъ скоростей.

9 2 . Если бы хотѣли выразить величины р' въ Функціи скорости однимъ членомъ пропорціональнымъ некоторой степени
скорости, то паивѣроятпѣйшее значеніе степени получилось бы
для сферическнхъ снарядовъ (въ предѣлахъ отъ малыхъ скоростей до скорости 5 2 7 метровъ) 0 , 8 6 , а для продолговатыхъ
(въ предѣлахъ отъ малыхъ скоростей до скорости 4 2 0 метровъ)
1 , 8 6 и принимая для значеній озиаченныхъ степеней числа цѣлыя,
имѣли бы для сферическнхъ снарядовъ степень равную 1, а для
продолговатыхъ равную 2. Опредѣляя наивѣроятнѣйшее значеніе
коеФФиціента, на который должно помножить скорость возведенную въ означенную степень для полученія р', нашли бы:
для сферическнхъ снарядовъ
р' =

0,000

140.У,

выраженіе приблизительно равное полученному

ІІЗЪ

результатовъ

мецкихъ опытовъ 1 8 5 6 , 1 8 5 7 п 1 8 5 8 годовъ;
а для продолговатыхъ снарядовъ
р ' = 0,000000270.

у2.

9 3 . На этомъ основаніи сопротнвлеиіе воздуха, при плотности воздуха П, изъ результатовъ нагаихъ опытовъ выразилось бы:
на сферическге

снаряды Формулою
р =

Л.т:/г

2

щ . ѵ

3

,

гдѣ, при метрѣ и килограммѣ, взятыхъ за единицы,
<А=0,00014,

а при Футѣ и ФѴПТѢ, взятыхъ за единицы, < А > = 0 , 0 0 0 0 0 0 9 0 ;

съ

на продолговатые снаряды, когда ось
направленіемъ двнженія, Формулою

ІІХЪ

Фигуры совпадаетъ

р = Л . izR2 ~ . ѵ',
Г

ДД при метрѣ и килограмм!, взятыхъ за

единицы,

JV,= 0,00000027,
а при Ф у т ! и фунтѣ, взятыхъ за единицы,
«А, =

0,00000000053.

94. Для того чтобы выраженія р' представляли съ достагочньімъ приближеніемъ результаты

нашихъ и англійскихъ опы-

товъ, и вмѣстѣ съ тѣмъ дозволяли, хотя по прнблнженію, удобное интегрпрованіе диФФеренціальныхъ уравненій движенія снарядовъ, можемъ:
Для сферическихъ

снарядовъ

выразить р' (лпстъ

VIII,

ФИГ. 4 9 )

°тъ скорости 5 3 0 метровъ до скорости 3 7 0 метровъ прямою
(-4), которой уравиеніе
р' =
и

0,061,

отъ скорости 3 7 6 метровъ до малыхъ скоростей кривою (В),

которой уравненіе

р'= 0,012

+

Для продолговатыхъ снарядовъ
фиг.

выразить р' (листъ V I I I

50)

отъ скорости 5 1 0 метровъ до скорости 3 6 0 метровъ прямою
(О), которой уровненіе
р' =

0,044,

отъ скорости 3 6 0 метровъ до скорости 2 8 0 метровъ кривою
(Л), которой уравненіе

р' = 0,0000000000026 . ѵи,
и отъ скорости 2 8 0 метровъ до малыхъ скоростей кривою ( Е ) ,
которой уравненіе

95. На этомъ осцрваніи, изъ результатовъ нашихъ и
англійскихъ опытовъ, при плотности воздуха П, можемъ
принять:
Сопротивленге воздуха на сферически снаряды.
Отъ скорости 530 метровъ (1740 футъ) до скорости
37 G метровъ (1230 футъ)

1J

i

гдѣ, при метрѣ и килограммѣ, взятыхъ за единицы,
Л =

0,061,

а при футѣ и фунтѣ, взятыхъ за единицы, <А = 0,0013.
Отъ скорости 376 метровъ (1230 футъ) до малыхъ
скоростей

гдѣ, при метрѣ и килограммѣ, взятыхъ

за единицы,

Л = 0 , 0 1 2 , г = 186,
а при футѣ и фунтѣ, взятыхъ за единицы,
Л, р 0,000255, г = 610.
Сопротивленге

воздуха

на

продолговатые

снаряды,

когда ось ихъ (фигуры совпадаете се паправленгеме движенья.

Отъ скорости 510 метровъ (1670 футъ) до скорости
360 метровъ (1180 футъ)
P =

J E .

ТСЯ2-^

У2,

Дѣ, при метрѣ и килограммѣ, взятыхъ за единицы,
JE = 0,044,
а при футѣ и фунтѣ, взятыхъ за единицы, JE = 0,00098.
Отъ скороси 3 6 0 метровъ (1180 футъ) до скорости 280
метровъ (919 футъ)
г

г

Дѣ,

при

метрѣ

и

килограммѣ,

взятыхъ

за

единицы,

Л = 0,0000000000026,
а при футѣ и фунтѣ, взятыхъ за единицы,
Л = 0,00000000000000047.
Отъ скорости 280 метровъ (919 футъ) до малыхъ скоростей

г

Дѣ,

при

метрѣ

р=

ЛпгЯ2-щУ2[і

-+-rJ,

и

килограмм!;,

взятыхъ

за

единицы,

JE = 0 , 0 1 2 , г = 4 8 8 ,
а при футѣ и фунтѣ, взятыхъ за единицы,
J E = 0 , 0 0 0 2 5 5 , г = 1600.
»

Размѣщеніе точекъ (?', У) около кривой (Е) (фиг. 50)
показываетъ, что эту кривую можно продолжить, какъ обозначено пунктиромъ, до скорости 325 метровъ (1066 футъ),
слѣдовательно, послѣднее выраженіе для сопротив-

ленія можно употреблять отъ скорости 8 2 5 метровъ
(1066 футъ) до малыхъ скоростей; а какъ начальным скорости продолговатыхъ снарядовъ изъ всѣхъ имѣющихся
нынѣ у насъ пушекъ сухопутныхъ крѣпостей, осадныхъ,
полевыхъ и горной, а также изъ всѣхъ мортиръ не превышаютъ скорости 825 метровъ (1066 футъ), то можемъ
принимать на всемъ пути снарядовъ, выстрѣленныхъ изъ
этихъ орудій, одно послѣднее выраженіе для сопротивленія воздуха, чрезъ что упрощаются вычисленія.
9G. Такимъ образомъ путемъ опыта найдены соответствующая различнымъ скоростямъ сопротнвлемія воздуха на СФерическіе снаряды и на продолговатые снаряды, когда ось Фигуры
послѣднихъ совпадаетъ съ направленіемъ движенія.

Но нельзя

найденныя выраженія сопротивленія воздуха на продолговатые
снаряды

распространять на случай, когда ось нхъ Фигуры не

совпадаетъ съ направленіемъ движенія. Опытныя пзысканія для
этого случая были бы крайне затруднительны н рѣшеніе этого
вопроса едва лп можетъ быть найдено безъ теоретпческихъ изследованій, основанныхъ на нѣкоторыхъ предположеніяхъ относительно свойствъ газовъ и ихъ действія на движущіяся въ нихъ
тѣла.
В ъ »г° 7 7 , при допущеніи, что нормальное сопротивленіе воздуха на каждый элементъ поверхности, подверженный сопротнвленію, происходить отъ удара этого элемента о воздухъ предполагаемый въ покое, мы вывели зависимость сопротпвленія воздуха на продолговатые снаряды отъ угла 8, составляема™ осью
нхъ Фигуры съ направленіемъ движенія. З а неимЬшемъ достаточно точнаго

рѣшенія

этого вопроса, мы, по необходимости,

должны принять выведенную зависимость, и на этомъ основаніи
полученный пзъ результатом, опытовъ выраженія сопротивления
воздуха на продолговатые снаряды, когда ось нхъ Фигуры совпадаетъ съ направленіемъ движенія, должны помножить на

=

Для получепія выражеиій сопротивленія по направленію прямопротивоположному оси Фигуры продолговатыхъ снарядовъ, и на
ЗГ Для полученія выраженій сопротпвленія перпендикулярнаго къ
°сп Фигуры, въ плоскости проходящей чрезь ось Фигуры параллельно направленію движенія. Но такъ какъ величины ~
отъ â =
ІГ

0 =

о до S =

(п°77),

4 0 ° , почти равны едшшцѣ п даже при 8 =

80°,

0 , 7 5 , то можемъ выведенный нзъ результатовъ опытовъ

пьіраженія сопротивленія на продолговатые снаряды, когда ось
ихъ Фигуры совиадаетъ съ иаиравленіемъ двііжсиія, принимать
За

сопротіівленія

ио направленію прямопротивоположному оси

фигуры при всѣхъ углахъ 8, которые въ большей части случаевъ
стрѣльбы гораздо менѣе 4 0 ° , и ири ііавѣсной стрѣльбѣ самыми
слабыми зарядами менѣе 8 0 ° .
При приложепіи выведенныхъ изъ результатовъ нашихъопыт

овъ выраженій сопротивленія

воздуха къ рѣшенію вопросовъ,

относящихся до стрѣльбы нзъ артпллерійскпхъ орудій, эти в ы раженія даютъ результаты удовлетворительно согласные съ результатами

непосредственной

стрѣльбы па всѣ употребляемый

Разстоянія.

97. Ускореніе сопротивленія воздуха. Если изобразимъ для
Диухъ снарядовъ сопротнвленія на ннхъ воздуха чрезъ
вѣса чрезъ Р и Р ( , проекціи ихъ

Р

и о,, ихъ

поверхностей на плоскость

перпендикулярную къ направленію движеиія чрезъ S н S,,
Діусы нхъ чрезъ II и Ех,

pa-

ускореиіе тяжести чрезъ g, и если не

прнмемъ въ расчетъ вліяпія на сопротивлеыіе Формы снаряда и
направленія оси Фигуры, то при одной и той же скорости обоихъ
снарядовъ будемъ имѣть
р___
о

РІ

s

т. е. при одной и той же скорости, сопротивленіе воздуха пропорціоиалыю проекціи поверхности снаряда на плоскость перпендикулярную къ направленію движенія и не завпснтъ отъ вѣса снаряда;
a ускореніе сонротивлеиія воздуха пропорціопалыю проекцін поверхности снаряда на плоскость перпендикулярную к ъ направленію движенія н обратно пропорціоналыю вѣсу снаряда.
Для сферическнхъ снарядовъ S =

Т.Л2,

=

~ІІ2

п если нзо-

бразимъ чрезъ D плотность одного снаряда п чрезъ Л , плотность
другаго снаряда, то Р = | т с Я 3 Л , І \ =
л iL
4

Р
g

|тгД, 3 Л,, такъ что

BlDl
—

b d

'

т. е. для сферическнхъ снарядовъ ускореніе сопротпвленія обратно
пропорціонально радіусу и плотности снаряда, и какъ ускореніе
сопротивленія выражаетъ, по велнчииѣ, происходящее отъсопротивленія уыеньшеніе скорости снаряда в ъ единицу времени, то
это уменыпеніе будетъ тѣмъ менѣе н сферическій снарядъ, при
в с ѣ х ъ другихъ одинаковыхъ обстоятельствахъ,

полетитъ тѣмъ

далѣе, чѣмъ діаметръ и плотность его болѣе.
При прпцѣльной стрѣльбѣ продолговатыми снарядами, проек
ція ихъ поверхности па плоскость перпендикулярную къ направленно движенія, на всемъ протяженіи полета, не многпмъ отличается
отъ площади поперечнаго сѣченія цилиндрической части снаряда,
т. е. S немного отличается отъ tzR2-, но какъ продолговатые снаряды, при одпомъ и томъ же поперечномъ сѣченін со сферическими, вѣсятъ гораздо болѣе сферическнхъ, то (независимо отъ
уменыненія сопротпвлеыія вслѣдствіе оживальной Формы нхъ головной части) ускореніе сопротивленія воздуха на нпхъ, при одипаковыхъ скоростяхъ, значительно менѣе, чѣмъ на сферическіе.
Поэтому продолговатые снаряды, при однихъ и т ѣ х ъ же скоростяхъ, теряютъ в ъ одпо н то же время меньше скорости, чѣмъ
СФеричеекіе не только одппаковаго с ъ ними діаметра, но даже

одинаковаго съ ними вѣса. Т а к ъ ускореніе сопротивленія, при
однихъ и т ѣ х ъ же скоростяхъ, на 4 Ф. продолговатый снарядъ,
Діаметромъ 3 д -,42 и вѣсомъ 1 4 Фунтовъ, если не принимать въ
Расчета уменьшеніе

сопротнвленія отъ оживальной Формы его

головной части, одинаково съ ускореніемъ сопротивленія па сферическое 8 д- ядро вѣсомъ 7 1 Фунтъ; а если принять

въ расчета

Уменынеиіе сопротивленія отъ оживалыюй Формы, то при скород и 1 3 0 0 Футъ (замѣтпвъ, что при этой скорости ( п ° 9 4 ) сопротивленіе на СФеричеекій снарядъ въ §і раза болѣе, чѣмъ на продолговатый) ускореніе сопротнвленія на 4 Ф. продолговатый снарядъ одинаково съ ускореніемъ сопротивленія

на сферическое

t l ' ядро вѣсомъ 1 8 5 Фунтовъ. Такпмъ образомъ видно, что
A

продолговатые снаряды, вслѣдствіе болынаго вѣса ихъ приходяЩагося па единицу площади поперечнаго сѣченія и отчасти вслѣдсгвіе оживальной Формы ихъ головиой части, должны представлять большое преимущество предъ сферическими въ отношеніи
Дальности ихъ полета.

98. Вѣсъ кубическаго метра воздуха П. Если изобразимъ
чрезъ t температуру воздуха ио стоградусному термометру, чрезъ
S

высоту ртутп барометра въ миллиметрахъ, приведенную къ

температурѣ 0 и чрезъ F давленіе водяныхъ ненасыщенныхъ
паровъ, заключающихся въвоздухѣ при температурь t, выраженное высотою ртути въ миллиметрахъ, то
п =
гдѣ а =

1ми-,293;

7/

3 7Г

*

7 6 0 (1 •+•

at)3

0,00367.

Называя чрезъ II' высоту ртути, показываемую барометромъ
при температурѣ

t', измѣряемой

стоградуснымъ термометромъ,

идѣланнымъ въ барометръ, получимъ
Я =
Давленіе F

Н' (1—0,00018.*')-

иенасыщенпыхъ паровъ при температурѣ t воз-

духа равно давленію насыщенныхъ паровъ прп температурѣ

t,,

при которой начинается осажденіе паровъ. Температуру t, нзмѣряютъстоградуснымътермометромъ, погруженнымъ въ трубку съ
ЭФиромъ гигрометра Реньо, въ моментъ осажденія росы на трубкѣ, при вдуваніи в ъ нее воздуха. По извѣстной температурѣ t , ,
давленіе F получается нзъ слѣдующей таблицы

«1
Градусы.
—30
—28
—2G
—24
- 2 2
—20
—18
- 1 6
—14
—12
—10
— 8

F

F

h

Миллим. Градусы
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
1,0
1,2
1,4
1,7
2,0
2,3

- 7
—6
—5
- 4
—3
—2
—1
0
1
2
3
4

F

h

F

F

Миллим. Градусы. Миллим. Градусы. Миллим. Градусы. Миллим.
2,5
2,8
3,0
3,3
3,6
3,9
4,2
4,6
4,9
5,3
5,7
6,1

5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16

6,5
7,0
7,5
8,0
8,6
9,2
9,8
10,5
11,2
11,9
12,7
13,5

17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

14,4
15,4
16,3
17,4
18,5
19,7
20,9
22,2
23,6
25,0
26,5
28,1

29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

29,8
31,5
33,4
35,4
37,4
39,6
41,8
44,2
46,7
49,3
52,0
54,9

При опытахъ, требующихъ большой точности, опредѣляютъ
плотность воздуха; но въ большей части случаевъ, при вычнсленіи движенія снарядовъ, въ выраженіяхъ сонротпвленія воздуха,
принимаютъ П =

П, =

1 к п л -,206.

ГЛАВА IV.

Движеніе сферическихъ не вращающихся
снарядовъ въ воздухѣ.
§ I.

ДпФФсрснціалыіыя уравненія двпжспія.
9 9 . Спарядъ, движущійся въ воздухѣ, подверженъ дѣііствію
Двухъ силъ тяжести и сопротивленія воздуха. Вслѣдствіе пзвѣстВой теоремы, что центръ тяжести тѣла движется какъ будто вся
масса тѣла въ немъ сосредоточена н всѣвнѣшніясилы, действующая на тѣло, приложены къ центру тяжести, каждая по своему
направленно, можно разсматривать поступательное движеніе снаРяда какъ двпженіе матерьяльной точки равной съ нимъ массы,
яш которой приложены силы тяжести н сопротнвлепія воздуха.
В ѣ с ъ снаряда и вертикальное ускореніе тяжести въ воздухѣ
можно принимать равными вѣсу Р снаряда п ускоренію тяжести g
въ пустотѣ.
Когда спарядъ есть однородный шаръ или состонтъ изъ КОІІЦентрическпхъ однородныхъ слоевъ и ему не сообщено вращемія,
ври вылетѣ изъ орудія, тогда равнодействующая сопротіівлепія
воздуха постоянно касательна къ кривой описываемой центромъ
тяжести и направлена въ сторону нрямопротнвоноложную скорости.

М ы будемъ разсматривать здѣсь только этотъ случай, и

обозначая сопротпвленіе чрезъ р, получимъ, что ускореніе сопротивлепія равно р ^ .
Кривая описываемая снарядомъ будетъ плоская. В ъ самомъ
дѣлѣ, вообразимъ вертикальную плоскость заключающую какой
либо элементъ кривой; силы (вѣсъ и сопротнвлеиіе), вслѣдствіе
которыхъ центръ тяжести снаряда оппшетъ следующий элементъ,
ііаходятся|въ этой плоскости и поэтому этотъ слѣдующій элементъ
будетъ также заключаться въ той же плоскостя. Прилагая то же
разсужденіе ко всѣмъ последовательным-!, элементамъ траекторіи,
найдемъ, что она вся лежитъ въ одной вертикальной плоскости,
H что поэтому для опредѣленія движенія центра тяжести снаряда
достаточно имѣть проекціи ускорений по двумъ направленіямъ.
1 0 0 . Возьмемъ ось х по направлевію горизонтальному и ось
у по направленно

вертикальному

в ъ сторону

противоположную

тяжести. Примемъ за направлеиіе проекцій ускореній ось х п
внутреннюю нормаль къ траекторіи п обозначимъ чрезъ ѵ скорость снаряда въ какой либо точке траекторін, чрезъ t время, в ъ
которое снарядъ, отъ начала движенія, достпгъ этой точки; чрезъ
Y радіусъ кривизны н чрезъ О уголъ составляемый касательною
съ осью X въ разематрпваемой точке.
Проекцін ускореній ио оси х и внутренней нормали будутъ
(1 )

(2 )

«Нотеав) _

— р .

cos 0 ,

^ = у cos О.
Т а к ъ какъ сила сопротивленія замедляетъ двнженіе снаряда

по направленію касательному къ траекторіи, а сила тяжести, действуя сверху внизъ, понижаетъ снарядъ, то траекторія обращена
вогнутою стороною къ горизонту H уголъ О, составляемый касательною съ горпзонтомъ, получаетъ постоянно отрпцательныя при-

Раіценія, такъ что, обозначая чрезъ ds элемента дуги кривой, получимъ для радіуса кривизны слѣдующее выражепіе
ds

Ч—

dt

dé

'dè•

v

Вставивъ это выраженіе въ ѵравненіе ( 2 ) получимъ
v

(3)

t = ~ 0

cos0.

Уравненія (1) и ( 3 ) совершенно опредѣляюта движеніе центра
тяжести снаряда.
Если изобразимъ чрезъ ѵх горизонтальную проекцію скорости,
т- е. положнмъ
v% =

v

cos О ,

уравненія ( 1 ) и (3) примутъ видъ

то

(V-

^

=

—P|-COS0,

V, ft = — gcos'â.
Исключивъ изъ нихъ dt,
(6)

<20

получимъ
— 1
Л .
F cos 0

Изъ уравненія (5) имѣемъ
<7)

и какъ

0

ds = vdt = ^~-gdt,

dx = i\dt, dy = V sin О dt = V, ^ d t ,
10

то:

(8)

ds =

(9)

dx

1
-1,

(10)

dy —

l
2 sin Ѳ de
v,
g
cos3« '

(П)

*

-••> (lo

g cos « '

Î O I . Для того чтобы по данному выражение сонротивленія р
воздуха въ Функцін скорости ѵ определить всѣ

обстоятельства

движенія снаряда, необходимо сначала интегрировать диФФеренціалыюе уравненіе (6) нерваго порядка съ двумя переменными
у, и О, чрезъ что получится горизонтальная скорость у, в ъ Функціи
угла О. Потомъ, по внесеніи выраженія у, въ Функціи угла О в ъ
Формулы ( 7 ) , ( 8 ) , ( 9 ) H ( 1 0 ) , іштегрпрованіе этнхъ дііФФеренціальн ы х ъ Формулъ нерваго порядка съ одной перемѣнной дастъ величины: t,

s,

хм у въ Функціи О; a исключеніе О изъ выраженій

x и у ириведетъ къ уравненію траекторіи.
Интегрированіе

дііФФеренціальнаго

уравненія

(6)

можетъ

быть произведено только при нѣкоторыхъ выражепіяхъ сопротивленія р въ Функцін скорости ѵ.
1 0 2 . Обратный вопросъ : нахожденіе закона сопротивленія по
данной кривой полета несравненно легче въ аналптическомъ отношеніи, потому что рѣшеніе его требуетъ только диФФеренцированія.
Пусть задана траекторія уравненіемъ у в ъ Функціи отъ х н
требуется найти скорость ѵ и сопротіівленіе р въ Функціи х.
Изобразимъ чрезъ у', у", у'" первую, вторую н третью нроИЗВОДІІЫЯ ОТЪ у ПО X.

Для того чтобы найти скорость ѵ, замѣтнмъ, что
tang О — у .

—

147

—

ДиФФеренціалъ этого выраженія есть

do

cos*

=

y"dx.

Вставивъ въ это выраженіе вмѣсто dx его величину изъ уравнепія

(9) п° 1 0 0 , получимъ

гдѣ у — у "

есть

вещественная, потому что траекторія

величина

°бращеиа къ горизонту вогнутою стороною и вслѣдствіе этого у"
всегда отрицательное.
Такъ какъ ѵ —

= ѵх У і -+- tang'2 Ö — v, У і -+- y'2,

-го

изъ послѣдняго уравненія имѣемъ

Для того
Уравненіе (6)

чтобы найти сопротпвленіе р возьмемъ п°

di\

р
»,
Р ' «Ts в

~Л0
11

вставішъ въ него величину dvu

роваиіе выраженія v, =

100,

У

полученную чрезъ диФФеренциэта

dv. = — \Vg
'

величина (fe, есть

I
dx,
у" У-и"
'

"ли, но вставкѣ вмѣсто dx его выражепін изъ уравііенія(9)и° 1 0 0 ,

d v

1

-

1

,

V

%Ѵд c o s 2 0

.

у"

.

yV-Af'

по подстановленіи этой величины, а также величинъ ѵ, =
и cos Ѳ =

УЧ+УП

в ъ

У Р а в н е н і е (6)

а

^

=

2

V^zrp

ЮО, получимъ

Е.-Г'У1

77'Г

I
Разборъ траекторіп сфсрпчсскаго не враіцагощагося спаряда
въ воздухѣ.
1 0 3 . Свойства траекторіи зависать отъ закона сопрогивленія
среды.

Можно разобрать главныя свойства траекторіи с<і>ери-

ческаго не вращающагося снаряда въ воздухѣ, не дѣлая никакихъ частныхъ ііредіюложеній о сопротивленін воздуха, допустнвъ
только,

что оно постепенно возрастаетъ

щается в ъ безконечность при ѵ =

~,

со скоростью,

обра-

и при безкопечно малой

скорости менѣе вѣса снаряда.
Обозначнвъ

по вышесказанному получимъ
/ > ) > о , f(oo)

=

co

и f(o)<

I.

Разсмотримъ :
1 0 4 . Измѣненіе

скорости.

Производная скорости повремени

равняется суммѣ проскцій на касательную ускореній дѣйствующпхъ СІІЛЪ тяжести и сопротивлепія воздуха, т. е.
(1)

ж=-д[№-*-Binö].
В ъ восходящей вѣтви траекторіи, в ъ которой уголъ О и sin Ѳ

всегда положительные, производная ^ о т р и ц а т е л ь н а я ,
в ъ эт

такъ что

° і і вѣтви V и t изменяются въ обратную сторону, т. е. с ъ

Увеличеміемъ времени t, скорость ѵ уменьшается. Поэтому, начиная съ какой либо точки, находящейся на восходящей вѣтвн,
скорость, съ возрастаніемъ времени постоянно уменьшается до
иершины траектории
В ъ нисходящей
0т

вѣтви,

в ъ которой уголъ О и sin Ѳ всегда

Рицательные, производная ~ сохраняет!,

•Шакъ начиная отъ

вершины

траекторін

свой

отрицательный

до точкп, въ

кото-

рои скорость V получаетъ величину ѵ', удовлетворяющую уравненію.
(2)

sin & =

f (v')

о.

Поэтому и въ нисходящей вѣтви, начиная отъ вершины трае

кторіи до упомянутой точки скорость постоянно уменьшается.

Въ этой точкѣ выраженіе (1), вслѣдствіе уравненія- ( 2 ) , обращается въ
(3

>

Î — .
Уравненіе ( 1 ) даетъ
d'-v

м , , dv

— = —gf<p)-—g

si de

COSâJt,

или, вставивъ вмѣсто ^ его величину изъ и ° 1 0 0 , уравнепіе (3),
получимъ
dt2

af'Mdv t
yu> d t ^

УІ

g2coa*6
V
•

В ъ точкѣ, въ которой скорость v удовлетворяем уравненію
(2) щслѣдовательно, условію (3): -щ = = о , будемъ имѣть
d2v
~dt2

g2 cos 2 О
v'
'

и какъ скорость ѵ , какъ будетъ вслѣдъ за этпмъ доказано, не
можетъ быть пп нулемъ, ни отрицательная, то послѣдняя величина всегда положительная.
Поэтому скорость въ означенной точкѣ достигаетъ наименьшей величины v .
Докажемъ, что скорость ѵ' не можетъ быть ни нулемъ, ни
отрицательною.
Для этого возьмемъ уравненіе (6), « ° 1 0 0
d(v cos0)

г, \

и представнмъ его въ вндѣ
rf(t>cos«) _
V COS О

/./V
' w

de
cos

g•

Интегрируя это выраженіе отъ ѵ =

ѵ 0 до ѵ н отъ О =

Оп до

О, нолучимъ
t
ö

у cose
v0 COS ѳ0

\

f (

sde_

J ' ' l cos в '

к
Изъ ннтегральнаго исчнсленія извѣстно, что если въ

x

J'

9 (x).f (x) dx,

функціи 9 (x) и f (x) непрерывны между нредѣлами х0 и X и
Функція f (х) не мѣняетъ знака между этими предѣлами, то

•x

çX

9 ( x ) . f\x) dx — K\f (x) dx,

Д'1> К есть некоторое среднее значеніе Фупкціи <p (х) между наи-

Г

большей и наименьшей

величиной этой Функціи въ иродѣлахъ

интегрированія; при чемъ К имѣетъ всегда конечную величину,
отличающуюся отъ нуля, если о (х), въ предѣлахъ иптегрированія,
не обращается въ безконечность и не переходптъ чрезъ нуль.
Обозначая чрезъ К некоторое среднее значеніе f (v) между
"Редѣлами Оо п О, получимъ

,
v cos о
Щгг
:
° v0 cos Oq

гѲ

do

К

cos О '
ѳп

или

КI

° v a COS On

tang ( I - и
о'

tang

I)

tang(^-f-|)

(f-f)

tang

откуда
c o s ѳ.

V—V.о

cos о

tang ( J ч - I )

К

J)_

_tang(J

Пли
/C0s00\l

c o s 0 o . tang

4- ^У

cos О . tang ( j

4— 2°)

к

и такъ какъ
,

tang

/тс

ч -

0 \

=

COS О

/тс

у — ^ , tang( - ч -

ѳ0\

то
„ —

о, / С 0 9 ° о У - Д "
*) у c o s О /

/ 1 - Б І П О о Ѵ
V1 -

sin О 7

=

cos ѳ 0

,

к

Если возьмемъ для предѣла О0 значеніе, при которомъ ѵ 0 мало
отличается отъ пуля, то величина К будетъ положительная и
меньше единицы.
Если бы v могла обратиться въ нуль, то О должеиъ былъ бы
получить такую вещественную величину, отъ которой уничтожилась бы вторая часть послѣдняго уравнения; но какъ К <

1, то

для О такой величины не существуетъ и потому ѵ не можете,
быть нулемъ. Скорость ѵ не можетъ быть также отрицательною, потому что она должна бы была для этого перейти чрезъ
нуль.
Слѣдователыю величина скорости ѵ\ обращающая производную Y t

в ъ

П

У ЛЬ ) необходимо болѣе нуля.

Начиная съ точки, въ которой скорость есть г/, производная
становятся положительною и скорость возрастастъ вмѣстѣ со
времепемъ, до т ѣ х ъ норъ пока не достигнетъ новой величины ѵ",
удовлетворяющей уравпенію
(4).

f{v") -+- sin О" =

0.

Величина ѵ" не есть собственно maximum, потому что въ
этомъ случаѣ скорость, начиная отъ значенія ѵ" должна бы была
снова уменьшаться, что требуегъ, чтобы

сдѣлалась отрнца-

dV
2

телыюю; н о с о х р а н я е т е ,

всегда положительную величину, а

когда обращается въ нуль ^прн Ѳ =

—

,

тогда п всѣ прочія

производпыя V по t обращаются въ нуль.
Слѣдователыю ѵ" есть предѣлъ, къ которому, въ нисходящей
вѣтвп, стремится скорость ѵ съ возрастаніемъ времени.
И т а к ъ : скорость въ нисходящей вѣтви траекторіп имѣетъ
наименьшую величину, большую нуля, въ точкѣ, въ которой
/У)-»-sin О ' = 0;

отъ этой точки скорость по направленію двпженія постоянно возрастаетъ и приближается къпредѣлу, определяемому уравненіемъ

f(v") + siad" = o.
105. Предѣлъ наклоненія траектории въ нисходящей вѣтви.
Предѣльная

скорость

снарядовъ.

Такъ какъ изъ двухъ силъ, дѣй-

ствуюіцнхъ иа спарядъ: одна (сопротивленіе) замедляетъ движет е по направленію касательной, другая (тяжесть) постоянно понижаетъ касательную, то уголъ О долженъ уменьшаться съ возрастаніемъ времени. Найдемъ предѣлъ угла О въ нисходящей
вѣтви траекторін.

Производная угла О но t выражается уравне-

ніемъ (3), п° 1 0 0 , изъ котораго имѣемъ

v de
• —\.

7,
dt —

(j

cos О

Интегрируя это выраженіе отъ какой либо точки принятой за
начало, въ которой Ѳ =

ср и t =

gt

0 , получимъ

г<?
I ^ cos О

Скорость v, какъ доказали, въ предѣлахъ отъ t — 0 до t —

oo,

конечна и не можетъ обратиться въ нуль; поэтому

(5)

gt = К' log

tang
tang

(î-1)
(î-1)

гдѣ К ' есть некоторое конечное среднее нзъ всѣхъ значеній принимаемыхъ скоростью ѵ въ предѣлахъ интегрированія.
Это уравненіе показываетъ, что при t =

О" =

оо должно быть

Если вставши» эту величину въ уравненіе (4), п° 1 0 4 , то предѣлъ, къ которому стремится скорость в ъ нисходящей вѣтви, опредѣлится уравненіемъ

f(v")~

1=0,

что должно было и ожидать, потому что послѣднееуравненіе, представленное въ вндѣ|, — 1 = 0 , или р =

Р , п о к а з ы в а е м , что ско-

рость, послѣ достиженія ею наименьшей величины, при дальнѣйшемъ полетѣ спаряда, стремится к ъ той, при которой соиротивленіе воздуха равняется вѣсу снаряда.
Скорость снарядовъ въ нисходящей вѣтви о м наименьшей ея
величины до предѣлыюй всегда меньше

1230

Футъ.

Поэтому

(п° 9 5 ) для опредѣленія предѣльной скорости снаряда надобно
взять слѣдующее выраженіе сопротивленія воздуха

9

IH-J),

=

гдѣ, при Футѣ и Фунтѣ, взятыхъ за единицы
<А> =

0,000255; г =

610.

Полагая
_
С

и принимая П =

Р

~ 2 АтеВУ

П , , нолучимъ

Предѣльная скорость определится изъ уравненія

и

будетъ

В ъ сл едующей таблиц! помѣщены предѣльныя скорости различныхъ сферическнхъ снарядовъ при паденін ихъ въ воздух!..

Сферичсскіе

Сч

снаряды.

я сч
03
Ч

jä*
n

Футы. Ф)НТЫ.
10»,75 0,8S42

«
о.
•

к;

« éî S.
и кК ot
d Оч
5
з *
•fte »
8. S.5
cas

177,0

091,0

0,0304

63,5

624,2

36 Ф.

0,5554

43,3

597,8

30 Ф.

0,5215

36,5

5S2,8

24 Ф.

0,4888

29,5

572,5

18 Ф.

0,4388

21,3

551,3

12 Ф.

0,3888

14,8

529,0

0,3021

7,0

484,6

Ф.

1 0 6 . Время.

снаряды.

t«
ао

Футы. Фунты

Футы.

60 Ф.

6

(О
с.
ёй!
я сч
я

Сферичссиіс

Футы.
674,1

Зп.(а) 0,8842 126,0

626,0

3 u.(b) 0,8842 123,5

614,7

2 п.(а) 0,7917

91,3

605,0

2п.(Ь) 0,7917

89,0

600,0

в
« S S- 1 п.(а) 0,6304
s .»5
3*33.
5 5 ® ? 1 п.(Ь) 0,6304

45,0

555,7

44,3

552,7

-іп.(Ь) 0,4888

21,8

515,4

іп.(Ь) 0,3888

11,0

475,4

Й
=
о.
и ==

И

S

5 и.(а) 1,0850 238,1
3
р.
я з

—
•з
о
я
с

О Œ4.®
и Sc и
p g іу
ч. ф .
.2 кз . s®

|Я1 |M1-

Время необходимое для того, чтобы спарядъ нро-

шелъ отъ точки, въ которой Ѳ =

<р и ѵ =

V до точки, въ кото-

рой уголъ наклоненія есть Ѳ и скорость есть г> определяется уравненіемъ ( 5 ) , п° 1 0 5 .

gt = К' log

( ï - I)
tang 1
[ î - 1)
tang 1

гдѣ К ' есть нѣкоторое среднее конечное нзъ в с ѣ х ъ значеній, принимаемыхъ скоростью ѵ въ предѣлахъ интегрированія.

Для того чтобы найти время, соответствующее прохождение
снаряда отъ точки вылета до точки, въ которой скорость достпгаетъ наименьшей величины, нужно найти величину угла О', соотвЬтствующаго наименьшей скорости ѵ .
По интегрированіп диФФеренціальнаго уравненія (6) п° 1 0 0

dv, __ Vif (у)
do

cos б

будемъ имѣть v въ Функціи 0, и можно будетъ помощію уравненія
І =

— d [/•(«) ч - s i n 0 ] =

о

найти величину 0 ' , соответствующую наименьшей скорости ѵ .
М ы можемъ интегрировать дііФФеренціальное уравненіе (6)
» ° 1 0 0 когда сопротивленіе воздуха выражено однимъ членомъ
гіропорціональнымъ какой-либо степени скорости. Примемъ

и допустимъ, что п есть число целое.
Положивъ
7,п
к

Р
~&tzR2'

получимъ
„ii

о

I.

п

1
А = 1f {(ѵ\
J — k—
n — kn cos" 0
F

•

Вставивъ это выраженіе въ уравненіе(б)

1 0 0 , и интегри-

руя отъ V до v II отъ ф до 0 , найдемъ

кп

кп
п Ѵ п cos" 9

de

cos"4"1 б

cos" О

гдѣ
въ случаѣ п четнаго

(

>8

de

sin в

COSn"*-l Ѳ

1
п— 1
1
-4cosn О
n — 2 ' cosn—2Ѳ

3 . 5 . » . ( и — 1)
1
2 . 4 . . . ( и — 2 ) cos 2 8

»i — 3
?і — 4

1 . 3 . ..(»t — 1)
log
2 . 4 . . .11

1
cosn—46

tang ( J J )

,

въ случаѣ n нечетнаго
ѳ

de

cosn-»-ie —

Sin ѳ
„

1
n — 1
1
»i — 3
1
.. — r»
c o s n e - 4 - »г
2 c o sn" - 2 2Ѳо ~ I - »t — 4 c o s n — 4 Ѳ
2 . 4 . . .(»г— 1)
1
1 . 3 . . .(»1—2) c o s e

Вставивъ найденное выраженіе для ~

вмѣсто f (ѵ) въ урав-

неніе
f(v) - 4 - s i n 0 =

0 ,

найдемъ
Ф

de

cos"- 1 " 1 ©

kn
»iKncosn9

1
»»sine cos"Ѳ

или, въ случаѣ п четнаго

i _
и sine

( i . l ^ . s i n ^ ) ^

3 . 5 . . .(»i—l) sin2e
2 . 4 . . . ( n — 2 ) ' cos2e

»i — з
sin2e
n — 4 cosn—4e

e

і.з...рі-D
2.4...
»1

&

тс

e\

'•ans^H-D

3 . 5 . . .(n—1)

sin 9
cos"9

» — 2 cos"

-9

kn
«Fncosn<p

1

2 . 4 . . . ( » 1 — 2) c o s 2 9

и въ случаѣ п нечетнаго

п—

1
1
siirtf)
га — 2
cos"—20

« sin в

га

» — з
sin 2 e
— 4 cos"—40
2 . 4 . ..(га — 1 ) srn 2 ^
1 . 3 . . . ( г а — 2 ) ' cos0

Sill ф

га F " c o s " с?

га

га — 1
1
2.4..(га—1) 1
—ѵ,- 2 ф + - . . . - t
cos" ф Ьга- ——т с2 cos"—
1 . 3 . . (га—2) cos ф

Оба послѣднія уравненія не могутъ быть иначе удовлетворены,
какъ при отрицательной величии!; Ѳ, что и слѣдовало ожидать,
потому что точка, въ которой скорость получаем наименьшую
величину, какъ прежде вывели, находится въ нисходящей вѣтви
траекторіи.
Кромѣ того оба эти уравненія ноказываютъ, что ііодъ какимъ
бы угломъ бросанія снарядъ не былъ выстрѣленъ, лишь бы этом,
уголъ былъ менѣе * и болѣе —

у г о л т , — Ѳ', удовлетворяющій

уравненіямъ, т. е. соотвѣтствующій наименьшей скорости, всегда
болѣе — У

В ъ самомъ дѣлѣ, если подставпмъ в ъ первую часть

обопхъ уравненій вмѣсто О уголъ — dû,

при которомъ, какъ

знаемъ, скорость еще не д о с т и г а е м наименьшей величины, то
первая часть обоихъ уравневій обращается въ - і - о о ; если же
подставимъ вмѣсто О уголъ —

то первая часть обоихъ урав-

неній обращается въ — о о , такъ что у г о л ъ — О ' , удовлетворяющій
уравненіямъ необходимо болѣе —

Время необходимое для тою чтобы скорость достигла наименьгией величины.

Т а к ъ какъ уголъ О =

— О', соотвѣтствую-

щій наименьшей скорости всегда болѣе — ^ ,

то время необхо-

димое для того, чтобы скорость достигла наименьшей величины,
какъ п о к а з ы в а е м уравненіе (5), п ° 1 0 5 , всегда конечное.

Время необходимое для тою чтобы скорость достигла постоянной

величины,

соответствующей углу О = — ^ , время это,

какъ п о к а з ы в а е м уравненіе (5), п° 1 0 5 , безконечно велико.
1 0 7 . Длина

дуги. Длина дуги, соответствующая наименьшей

скорости ѵ' получится (уравненіе (8), п° 1 0 0 ) изъ

Гф

,/А

t a n

ѳ'\ '

tang( J - t - 2 )

в'
гдѣ К"

есть нѣкоторая конечная средияя величина

который

получаем

tang (
t w

«ö ( î - f )

ѵ

2

изъ т ѣ х ъ ,

въ предѣлахъ интегріірованія,

и какъ

-ь
Ітг имѣетъ конечное значеніе, то дуга, соотвѣт-

«(î-â)

ствующая наименьшей скорости, конечна.
Д у г а , соотвѣтствующая предѣльной скорости ѵ", получится
(уравненіе (8), п° 1 0 0 ) изъ
С \ de

v

,„.

tang ( 1 - 4 - 1 )

гдѣ К ' " есть нѣкоторая конечная средняя величина изъ тѣхъ,
которыя
log

получаем ѵ" въ иредѣлахъ ннтегрированія,

tang ( J - ь I )
—
=
Litll—, U

п какъ

o o , то дуга, соотвѣтствующая предѣльнон

скорости безконечна.
1 0 8 . Ассимптота.

Видѣлн

1 0 5 ) , что крайняя касатель-

ная нисходящей вѣтвн вертикальна; найдемъ находится-лн она въ
конечномъ нлп безконечномъ разстоянін о м начала полета, или
иначе, опредѣлн.мъ имѣем-ли траекторія, въ нисходящей вѣтви,
ассимнтоту.

Разстошііе точки пересѣчеиія крайней касательной съ абсциссой X отъ точки вылета определяется (уравненіе (9), п° 1 0 0 ) нзъ

к
Г2
ѵЧО =J

дх =
9

Такъ какъ величина ѵ

~ 2

всегда конечная въ пределахъ инте-

Г9
грированія, H

ѵЧѲ.

п

D0 =

CP-I-- также конеченъ, то величина х

~~ 2

конечна. Следовательно, нисходящая ветвь имѣетъ вертикальную
ассимптоту.
1 0 9 . Радіусъ кривизны.

Гадіусъ кривизны выражается (урав-

неніе (2), п° 1 0 0 ) чрезъ
Y =
'

-

g

. —
.
cos©

Это выраженіе показываетъ, что радіусъ кривизны уменьшается до вершины траекторіи, т. е. до т е х ъ поръ пока ѵ п
уменьшаются.
За вершиной скорость ѵ продолжаетъ уменьшаться, но -А—

COS ѳ

возрастаетъ, такъ что съ иерваго взгляда нельзя рЬшпть продол-

жаетъ ли Y уменьшаться. Для того чтобы это разъяснить, возьмемъ первую производную отъ Y ПО t и разсмотримъ ея знакъ.
Имѣемъ
•

1
— — —
dv
de
g ' cos© ' de

v 2 sine
y cos2© '

Уравненіе (6), n° 1 0 0 даетъ

§ =

[ / > ) - » - s i n <?],

—

ICI

—

Если вставишь эту величину въ выраженіе ^ , то получимъ

Это выраженіе показываем, что за вершиной производная

dy
de положительная н слѣдователыю у продолжаем уменьшаться до
точки, въ которой О удовлетворяем уравненію
2 f(v)

-+- 3

sin

О

—

0.

В ъ этой точкѣ вторая производная

положительная, и слѣдователыю радіусъ кривизны, въ означенной
точкѣ, достнгаетъ наименьшей величины и затѣмт. постоянно возр а с т а е м до безконечности.
Величина ^
меньшій,

въ точкѣ, въ которой радіусъ кривизны наи-

вслѣдствіе

условія

2 f (v) -+- 3 sin 6 — 0 ,

приво-

дится къ

Т а к ъ какъ въ нисходящей вѣтви уголъ О отрицательный, то
послѣдняя величина ^

положительная ; слѣдователыю въ точкѣ

наибольшей кривизны ѵ уменьшается вмѣстѣ съ О и скорость въ
этой точкѣ еще не достигаем наименьшей величины.
Итакъ: точка наибольшей кривизны блпжо къ вершинѣ траектории чѣмъ точка, въ которой скорость есть наименьшая.

110. Скорость и радгусъ кривизны, для равныхъ, но сь противными знаками наклоненій траскторіи, болѣе въ восхо11

дящей вѣтви,
п° 100

чѣмъ въ нисходящей. Возьмемъ уравненіе (6),

Это выраженіе показываете., что горизонтальная скорость
V cos О уменьшается вмѣстѣ съ угломъ О, т. е. уменьшается отъ
начала полета до самаго конца; следовательно, при одннаковыхъ
значеніяхъ cos О, скорость ѵ болѣе въ восходящей вѣтви, чѣмъ
въ нисходящей.
Т о же заключеніе выводится и о радіусѣ кривизны изъ разсмотрѣнія выраженія

ѵ~ I
g ' cos ѳ '
111. Уголъ паденгя О,, на мѣстношинаходящейся на одномъ
уровнѣ съ орудіемъ, болѣе ума бросанія 9. Возьмемъ величину у
изъ уравненія ( 1 0 ) , м ° 1 0 0

Т а к ъ какъ въ точкахъ вылета и паденія, у — о, то

о

9

откуда

о

или, замѣтнвъ что въ нисходящей вѣтвн уголъ О отрицательный

и вставивъ въ интегралъ

V2 tang О dO, — О вмѣсто О, полу-

о

чимъ

Г—0|

V1 tang О dû =

Vг tang О dO.

J

о

о

Такъ какъ для равныхъ, по съ противоположными знаками
оаклонеиій, скорость (п° 1 1 0 ) въ нисходящей вѣтвн менѣе скорости въ восходящей вѣтви, то подннтегральная Функція втораго
интеграла менѣе подпитегралыюй Функціи нерваго интеграла; для
іого чтобы эти нптегралы были равны, надобно чтобы Ок былъ
оолѣе ср. И такъ уголъ падеиія болѣе угла бросанія.

112. Скорость въ точкѣ паденія, находящейся на одномъ
Уровнѣ съ орудіемъ, менѣе скорости въ точкѣ вылета. Если въ
Уравнеиіе (1), п° 1 0 4

dv
dt ~ -g[f(v)4-sinO]
вставимъ вмѣсто dt его величину ~

11

замѣтимъ что sin О.

ds=dy,

то получимъ

vdv = — gf{v) ds —gdy.
Интегрируя отъ v =

V, s =

о, у — о найдемъ

о
Обозиачпвъ чрезъ V

скорость въ точкѣ паденія чрезъ s'
u*

длину дуги траекторш отъ точки вылета до точки паденія и замѣтивъ, что въ точкѣ паденія у =

о, будемъ имѣть

Г = а Г - 2 у рf(v)ds.
откуда видно что V <

V.

И такъ: скорость въ точкѣ падепія, находящейся на одномъ
уровнѣ съ орудіемъ, менѣе чѣмъ скорость въ точкѣ вылета.

113. Длина восходящей вѣтви болѣе длины нисходящей вѣтви. Имѣемъ
dy
tang ѳ '

dx •

Обозначивъ чрезъ х ' горизонтальную проекцію длины восходящей вѣтви, чрезъ х " горизонтальную проекцію длины нисходящей вѣтви п чрезъ Y наибольшую высоту полета, получимъ
x

x

Г°

!

dy

tang О

.

Л г

dy
tang ѳ

dy
tang в '

но такъ какъ въ нисходящей вѣтви уголъ О отрицательный, то
подставляя въ выраженін х'

величину — О вмѣсто 0 , будемъ

имѣть
/.г
x"

jо

dy
tang в

I I a однпхъ и тѣхъ же уровняхъ (п° 1 1 2 ) углы 0 нисходящей
вѣтвн болѣе угловъ 0 восходящей; поэтому подіштегральная ве-

личина въ выражепіи х " менѣе подпнтегральной величины въ выРаженіп х\ а какъ нредѣлы обоихъ интеграловъ одни и тѣ же и
иерхніе ихъ прсдѣлы болѣе нижнихъ, то ж" должна быть менѣе х .
И такъ: длина нисходящей вѣтви траекторіи менѣе длины восходящей вѣтви.
§111.

Интсгрироваиіе диФФсрспціалыіыхъ уравпсній двпжспія.
114.

Интегрировавіе диФФеренціальнаго уравненія движе-

нія (6), п° 1 0 0 , при какомъ либо выражеыіи сопротивленія р въ
ф

Ункціи скорости v, представляем большія трудности; но оно мо-

Жбтъ быть легко выполнено,

когда выраженіе

сопротивлеиія

имѣетъ слѣдующій вндъ

потому что въ этомъ случаѣ означенное диФФеремціальнос уравнеиіе приводится къ линейному.
При двпженіи артнллерійскихъ снарядовъ

въ воздухѣ

мы

•шаемъ, что всегда можемъ пренебречь членомъ не зависящимъ
0Т

Ь скорости. Поэтому здѣсь займемся интегрированіемъ ДИФФѲ-

Рсиціалыіыхъ уравнеиій движенія, при выраженіи сопротивленія
°ДНимъ членомъ пропорціональнымъ п - ой степени скорости.

115. Интегргірованге дифференцгальныхъ уравнены движе, когда соггротивленіе воздуха выражено формулою

Нгя

*) На листѣ VIII, Фіігурахъ 49 и 50, построены величины р' соотвѣтствую^ і я различным!» скоростямъ, полученный изъ результатов!» опытовъ надъ
с °протнвленіемъ воздуха дгшженію артиллерійскихъ снарядовъ, и въ » ° 94
приведены выражения р' нредставляющія эти результаты. Т а к ъ какъ
Т>9

'

П „,2

Положит.

f.n,

,,,

получимъ
i.

f ( v ) _ _ «Ü _

=

и диФФеренціальное уравненіе (6)
dr,

±.

1 0 0 приметь видь
r

откуда, по отдѣленіи перемѣнныхъ,
civ.

П-*-1

ѵ

de
/.П ' cos«"1"! о "

Изобразпвъ чрезъ о уголъ бросамія, чрезъ Ѵ х горизонтальную проекцію F c o s <р начальной скорости и интегрируя въ предѣлахъ отъ ѵг до F, и отъ О до © получимъ

ѵ. = -

_

г* de

1 - + п Ѵпх п
*к» JI Ecos'1"1-»«?

ѳ
F

V= •

f*9

1 -f

de
пРУ
kn I cos"-^1^

COS ф

1

n

cos e '

ѳ
то в ъ Формулѣ

постоянный КОСФФІЩІСНТЪ J E должно принимать равнымъ среднему значенію
величины
няется скорость.

въ предѣлахъ, между которыми, въ данномъ случаѣ, измѣ-

Интегралъ входящій въ знаменателѣ, а следовательно п скорость v выражается въ конечномъ виде когда п число целое.
Подставляя величину ѵ, въ Функціи О в ъ следующія Формулы

100)

•
ds =—

1 . 2 de
-v,
g I cos3© '

j
1 2 de
dx — — g- vf' COS'2©;
j

1

dy =

2 sin© de

--v,

de
dt = — g- Vicos'2©
получаемъ выраженія

s =

de

Vf

COS3©
1

j
©

I I

9
1

y

—
~

de
cos "-+-1©

de
cos 2 ©

<p

—

f'i>

n V.n
kn

nF,n
7in

лФ

d©
cos"4-1©

J
©

sin© d©
cos3©

I L
9

nV,n
de
kn
I cos"4"1©
©

de

cos 2 ©
p

r

1
_

J

9

de
cos"4"1©

~1

—

2
n

2
n"

Изъ этихъ Формулъ получаются въ конечиомъ впдѣ только:
1) выражеиіе s, при п =

2. В ъ этомъ случаѣ, если положимъ
do

т =
то получимъ
.—

S=

гФ

Ii!

< К (Ѳ)

о

к2,
27, log

и 2 ) выраженіе t, ири n =

1. В ъ этомъ случаѣ

d tang ѳ

T

9

t=

cos 3 ѳ

• -r-1 tang© —

^ log [ l -+- J

V

Tl

tang О

(tang © — tang 0 ) ] .

Такъ какъ выраженія x п 4/ въ Функціи О не могутъ быть
получены въ конечиомъ видѣ ші въ одномъ частномъ случаѣ н no
пеобходимостп пришлось бы вычислять величины ихъ приближенно, то мы для случая п =

1 найдемъ точныя выраженія v, t, О н

у въ Фуикціи x, а для случаевъ « > 1, для которыхъ нельзя пайтп
точпыя выражеиія этихъ величинъ, а также для всѣхъ выраженій
сопротивленія отличающихся оть предъпдущихъ пзложимъ нрн-

г do
i

Ä

! Г tango
—

2 L

^

.
l o

/z

0\ -I

S taug ( 4 - ^ 2 )

I

c o n s t

-

ближенпый сиособъ интегрпрованія диФФеренціальныхъ уравненій
Движенія. Ыайдеішымн же въ этомъ номерѣ Формулами воспользуемся для вывода условій иодобія траекторій, описываемыхъ въ
в

°здухѣ сферическими не вращающимися снарядами.

116. Условгя подобія траекторий, описываемыхъ въ воздухѣ
сферическими не вращающимися снарядами.
Два СФеричеекіе не вращающісся снаряда, движуіціеся въ возДухѣ, и претерпѣвающіе сопротпвлсиія пропорціоііальныя плотностямъ воздуха, площадямъ болыиихъ круговъ спарядовъ и п-й
степени скоростей, опишутъ иодобныя траекторіи, если выполнеиьі слѣдуюіція условія: 1°. Если оба снаряда выстрѣлены подъ
однимъ n тѣмъ же угломъ бросанія. 2° Если въ точкахъ вылета
скорости снарядовъ пропорціоналыіы корнямъ п-й степени изъ
т> діаметровъ, корнямъ и-й степени изъ ихъ плотностей и

Их

обратно иропорціоналыіы корнямъ п-й степени изъ нлотностей
в

°здуха, въ которомъ движутся снаряды.
Если означеиныя условія выполнены, то:
1 ' Скорости снарядовъ въ соотвѣтствеиныхъ точкахъ обѣ-

ихъ траекторій (т. е. точкахъ,

въ которыхъ углы наклоненій

обѣихъ траекторій, равны между собою) и времена нотребныя
Для достиженія этихъ точекъ пропорціональны начальнымъ скоРостямъ.
2 ° Линейные размѣры обѣихъ траекторііі пропорціоналыіы
Ква

дратамъ начальныхъ скоростей.
В ъ самомъ дѣлѣ обозначивъ чрезъ R и R' радіусы снарядовъ,

чрезъ D и D ' нхъ плотности, чрезъ П и П' плотности воздуха, въ
к

°торомъ движутся снаряды, V и V

Довъ, v H v

начальныя скорости снаря-

скорости снарядовъ въ соотвѣтственныхъ точкахъ

траекторій, t и t' времена нотребныя для достиженія этихъ точекъ,
" к' п коеффпціенты сопротпвлепія, и положпвъ
п __

П'
TT,

v
Т7 , V

t'

_ s'
, О— ~

х'
„

F
Î

Х

=

D

,

получимъ
Р'П,

Р'

к'"

F

К

~

|7zR' 3 .D'

РП,

Г

ЛПт:Д2

ПЖ

ПЕВ'

_

2

2

R'B'
_

~
ПР2

ГГ

KD_ ~

Àp.

п

П

%

и по условію

•.-ЙІ

слѣдовательно
wF1,w

WjP nVp

k'n

nTV»

' kn — kn

a

и Формулы предъидущаго номера дадутъ

V

—=

=
^
J

S
s

Wn ,
О 1

V

7 —

»

. x'
x

2/
y

2
о1

что и требовалось доказать.

117. Уравненія движенія при допущены сопротивленгя пропориіональнымъ первой степени скорости. Пусть
? =

Положивъ

J E S-

'i

L

тсР2.

АПтсР 2 —

получимъ

v.

'

и вставивъ эту величину въ уравненіе (6) п° 1 0 0 , найдемъ
de
cos 2 ©

Мѵ,
ѵ,-

Подставляя это выраженіе въ уравненіе (9) п° 1 0 0 и интегрируя въ нрсдѣлахъ отъ о до х н отъ Ѵх до ѵ,, получимъ

откуда

ѵх =

d)

—Ix

Ѵ,

и
1
.г — / _

1

" (т.-Р)
я

N2

Вставивъ это выражеиіе въ уравненіе (9) зг° 1 0 0
<2©
cos2©

dx
2
^ Г
h ,2

и интегрируя его въ предѣлахъ отъ 9 до 0 и отъ о до ж будемъ
имѣть
(2)

tang 0 =

tang Ф н - А

V,—\x

%

или
tang
t a n g 0 =— tang
tante ф
Ф

y 2 /- 11 — дх_\

kvj

Ч

Замѣняя въ уравненіи (2) tang 0 его величиною
грируя отъ о до у и отъ о до X, найдемъ
(4

>

У=

х{tang ф ч

-

l

o

g

(l-4-f-),

и инте-

—
или, разлагая log ^ 1 •+•

(5)
1 '

172

—

в ъ рядъ,

v = x t a n a CD
У — x i angçp

MLL

ÉÉ.

Время получится вставивъ въ выраженіе
dt =

äx

величину v, изъ уравненія (1) п интегрируя в ъ нредѣлахъ отъ о
до t и отъ о до X, и будетъ
(6)

<

l o g — A —
9

Уравненія ( 5 ) и ( 3 ) показываютъ, что чѣмъ коеФФнціентъ

і

ft

больше, тѣмъ, при однихъ и т ѣ х ъ же величинахъ х, меньше у и
tang О. Т а к ъ какъ в ъ нисходящей вѣтви траекторіп у г л ы О отрицательные, то в ъ этой вѣтви, для одного и того же X, чѣмъ *
болѣе, тѣмъ болѣе и уголъ О.
1 1 8 . Для того чтобы уравненія выведенныя в ъ предположеніи сонротнвлепія пропорціоналыіаго первой степени скорости применить къ случаю какого либо сопротивленія, надобно приравнять
постоянный коеФФііціентъ у. нѣкоторой средней величинѣ (различной для каждаго уравненія) изъ в с ѣ х ъ величинъ принимаемыхъ
выраженіемъ

между предѣлами ѵ =

F и ѵ. С ъ увеличеніемъ

сопротивленія в о з р а с т а е м f (ѵ) и вмѣстѣ с ъ этимъ
пени f(v)

(при сте-

болѣе первой), чрезъ что увеличивается коеФФИЦІентъ і .

Поэтому, нрп какомъ бы ни было законѣ сопротивлеиія воздуха,
чѣмъ больше сопротивленіе, тѣмъ одной и той же абсциссѣ х , соо т в е т с т в у е м меньшая ордината у и въ восходящей вѣтви меш,шій уголъ Ѳ, а въ нисходящей вѣтвн болыній уголъ О, и обратно.

119. Приближенный способъ интегрировангя дифференцгальныхб уравнены движенія.
Если въ диФФеренціальномъ уравненіи (6), w°100

±i — f(v\

d

de

гдѣ

' v '

cose '

можно замѣнить Функцію f (ѵ) другою Функціею
/ ( а ѵ cose) _ / ( a V j )

a cose

a созѲ '

къ которой a есть постояшюе надлсжащимъ образомъ выбранное,
то перемѣнныя могутъ быть тотчасъ отдѣлены, какого бы вида
не была f (ѵ). Эту замѣну можно сдѣлать безъ большой ошибки,
когда уголъ О, на всемъ протяженіи разсматриваемой кривой, измѣнлется не въ слншкомъ шнрокихъ иредѣлахъ, лишь бы для a была
взята такая постоянная величина, при которой произведете a cos в
ц

о возможности менѣе отличалось отъ единицы для всѣхъ зна-

чены получаемыхъ имъ между О =

ш и О.

Произведя означенную замѣну получаемъ уравненіе.

ЛД— —

(1)

C0S 2 e

a

aty/fa»,)'

въ которомъ перемѣнныя отдѣлены.
Это уравнсніе но интегрированіи даетъ

(2

)

tang О =

f*

tang 9 — a J

at,

'</ a v

l

наклоненіе траекторіи въ функціи скорости.

—

174

—

Подставнвъ въ Формулу (9) п°\ 0 0

у

величину

do

1

cos 2 о '

пзъ уравнеиія ( 1 ) получимъ

r

«F,

ax=1-

(3 )

à»

l

По совершеніи иитегрировапія получимъ выраженіе аж въ
функціи аг>, и

a F , , и изъ него можно будетъ

найти аѵх

и

въ Фуикцін а х и а Ѵ , . Пусть

(4 )

аѵ, =

ф(аххаѴх)

и

(5)

^
Для того

чтобы

=

<]>(ах,аѴх).

вывести

уравненіе

траекторіи

возьмемъ

уравненіе (9) w°100, которое даетъ
do

cös2ö~
и вставивъ в ъ него величину

cos2 о

d(ax)

пзъ уравненія ( 4 ) получимъ

— ад ф (аж, aF,)d (ах)

Интегрируя, замѣтивъ что в ъ начал! траекторіи О =
х

ср и

— о, будемъ имѣть

(6) . . . . . tang О =

tang ф — да.

ф (ах, a F , ) d (ах)

наклоненіе траекторін въ Функціи x .
Зам!шівъ въ посл!днемъ уравнепіп tang О его величиною
dy
te и интегрируя, зам!тнвъ что при х = о, у — о, получимъ

(7) . . 7/ = tang<p — g

fax

fax

d(ax)

о

ф(ад,

aVx)d(ax)

о

Уравненіе траектории
Время определится вставнвъ въ Формулу (7) м ° 1 0 0 вм!сто
de
^ r g его величину ІІЗЪ уравиенія (1). Такимъ образомъ будемъ
ИМѣть
r

(8)

f _

I

d

от,

о)

время въ Функціи скоростп.

aVt
/ И 0

Для того чтобы получить время въ Функціи x, надобно въ
чайденномъ

выражены

I вставить вмѣсто v t ея величину нзъ

Уравненія (4), или, вставнвъ въ выраженіе clt =
Сто

^ =

pU-

вмѣ-

ET е» величину нзъ уравненія (4), определить время по Фор-

мул!

!=

лах
Уф (ах, аѴ\) d (ах).

1 2 0 . Приложенге къ случаю когда сопротивлсніе выражено
двучленомъ, въ которомъ первый членъ пропорціоналенъ второй
апепсии скорости, а второй членъ ггропорціоналенъ четвертой
степени скорости.
В ъ этомъ случаѣ

Положивъ
с

Р
П,
2AnR2g ' П '

получимъ

и

Уравиеиіе (2) ?г°119 приметъ видъ

tang 0 — tang ф — 2 age

d (at-,)

и замѣтивъ что
1

получимъ
tang о =

tang ф — - I .

( 1

наклонепіе траекторіи въ Функціи скорости.

a»i

Уравненіе (3) п ° 1 1 9 прішотъ видъ

x =

2с
—
а

Га-Г,

d (ai),)

av

и замѣтивъ, что
1

аѵ.

1

(ее,)»

нолучимъ

абсциссу x въ Функціи скорости,
откуда
v,

уі

скорость въ Функціи абсциссы х,
И слѣдователыю уравненіе (5) F l 19 приметь видъ
(а 7 , ) 2 \

^

( і + Ф )

(aF,)»

Вставнвъ это выраженіе въ уравненія (G) и (7) F l 19
лучимъ
tang О =

tang ф — jfâ

0.x

У = х tang 9 —

с

Х

)

22 *
12

H Z ,
гг

илп
tang О =

tang ф — дх2

(а У,) 2 , ес

у,

— 1

(а У,) 2

сих
~с

наклонепю траекторш въ Функцш х ,
и
У—

1 -+
'.Ctang<p—^гг

(а У') 2 \
г2

е°

1

(аУ,) 2

ту

/

1 / ссс\2

уравнеше разсматрнваемой душ траекторін.
Уравнепіе (8) п° 1 1 9 приметь видъ
аУ.

d (а»,)

t = 2c

и замѣтпвъ, что
1

1

1

получимъ
^=

[ ж -

2 с

«4, -

7 (^ctang Ä

-

arctang Э ) ]

~

arcta

или
=

*

—

1

— r Ç l (arctang ж

оиѵ
2с

и припомнивъ, ЧТО

»g

т )

получимъ
arctg — a r c t g

T

n

(aV,)'\jf

ах
2с

время в ъ Функціи x .
Обозначая

ах

z =

3(*,F

0 2

—
,
С '

) =

^ (*, О

F

2

0

) —

t ? (z, V

2

(aF,)2

г,- 2
F„о :

(1h-F

) F,

0 2

( * ) - * ? .

= F (1 и- F2) ez — V0 ,

) — 1 —VA

'

(
V

arclang F 0 -

arctang

\z

приведемъ полученный Формулы къ слѣдующимъ:
Уравненіе разсматриваемой части траекторін
у =

х

tang<p-^®(*,F

0 2

).

Наклоненіе траекторіп в ъ Функціи х
( 2

Ь

tang 0 =

tang ер -

f j S (z,

Абсцисса x в ъ Функціп скорости
С

x= —
a

1

т

— . Log

Loge

о

F - ( l - H ^ )

V2)-

F

— 2 W / , )/ ,

(«F,)2

—

180

—

V

cos Ф

Скорость ВЪ функціп X

-

2) - !

~

V(z,V02)'cosû

•

Время в ъ Функціи х

(5 )

і=

Г^Ѵ02)-

Накловеніе траекторіи въ Функціи скоростп.

(6)

і .

ç

Т/2 f i

(, -

Ш.

Log

'
*

L

L1

,

И ) П

; j.

ж

-

J

121. ІІриложеніе кг случаю, когда сопротивленге выражено
одночленом?, пропорцгональнымъ гсвадрату скорости.
В ъ этомъ случаѣ

а = еД> TZ RП2

V2 .

ур

Положивъ

с —

р

щ

2«АлсR*g ' п

'

получимъ
Р

ІѴ \

1,2

Поступая подобно тому какъ дѣлали въ « ° 1 2 0 и обозначая
ал

•n I \

«г — 1

F1(z) = —,F(z)

т) / \

=

ez — z — 1
{e%

,

получимъ:
Уравнепіе разсматриваемой части траекторіи
(Б

У=

ж tang 9

—

Наклоненіе траекторіи въ Функціи х
(2 )

tang Ѳ =

tang <р —

Абсцисса X въ Функціи скорости

(3 )

a Loge

. Log — . •
D

vj

Скорость ВЪ Фуикцін X
(4) .

v =

Z . ££i? .
.

62

^

cos

ѳ

Время въ Функціи х

Наклоненіе траекторін въ Функціи скорости.
(6)....

tang0 =

Формулы

t a n g * - i . § ( l - ^ ) .

этого номера могутъ быть прямо получены изъ

Формулъ и ° 1 1 9 , полагая въ послѣднихъ г — о о .

122. Пргіложеніе къ случаю, когда сопрогпивлсніе выражено
°дночленомъ ггропорцгоналъньшъ гасстой степени скоросгпи. Въ
э

томъ случаѣ

р = <А,тсR2 ^

ѵй.

Положивъ
С

5

=

р

Hl

2jlrJfg

'П

получимъ
р

Ъ/ \

и

=

*fe

ïg?

« - І )
Поступая подобно тому какъ дѣлали въ F l 2 0 и обозначая
2а 8 У 1 4 аг
с'5 У
_ (1-+-г)* — f г — 1

1РЮ =
30)

7 г2
(1 -f- г) 2 — 1
s

1) (z) =

яг / \

'

«

(1 -H «)* ,

(1 -+-*)' — 1

ад=1—fi—получпмъ:

Уравненіе разсматриваемой части траекторіи
^1)

У=

# t a n g ф — щі

(г).

Наклоиеніе траекторіи въ Функціи x
(2 )

tang0 =

t a n g ф - g ДО).

Лбсцпсса x въ Функціи скорости

—

183

—

Скорость ВЪ функціп X
(л\

(4

У

COS©

И (Q

COS0

v =74-7-,. —TT .
Время в ъ Функціи x
i =

(5 )

y * i ß ) .

Наклонепіе траекторін въ Функціп скорости
(6)..

tang Ѳ =

tang <p — з ^ в ( t

y^s) •

123. Приложенге къ случаю, когда сопротивленіс выражено
одночленом?, пропорціоналшымъ кубу скорости. Въ этомъ
случаѣ

Положивъ
3

Р

Пг
П '

С

получимъ
и

Поступая подобно тому какъ дѣлалн въ м ° 1 2 0 , получимъ:
Уравненіе разематриваемой части траекторіи
П\

,

ах2 Г і

1 а2?!®

Наклоненіе траекторіи въ Функціи x
(2). . tang0 =

tang<p-£j[l

1

(*Уі*\*-\

Абсцисса X в ъ Функціп скорости

(3 )

^ Ä f ö -

1

) -

Скорость ВЪ фуикціи X

(4) . . . . . . . .
Ѵ '

.

ѵ =

Б
! о Р Ѵ ^ - cos в

,

â

1

(Л

Время в ъ Функціи х

(5 )

£

=

Наклоненіе траекторіи въ Фуикціи скорости
(G )

tang Ѳ =

tang <p — *

(1—

.

124. Прилооюеніе къ случаю, когда сопротивленге выраоюено
одночлеиомъ пропорціоналънымъ четвертой стеггени скорости.
В ъ этомъ случаѣ

Положивъ

Р

с

ßl

2ЛгЛ2д ' П '

получимъ

P = f(v) = -$s
II

fW-lgF.
Поступая подобно тому какъ дѣлали в ъ п ° 1 2 0 , получимъ:

—

185

—

Уравненіе разсматрпваемой части траекторіи

(D

у =

- Ч ^ р ] .

Наклоненіе траекторііі в ъ Фупкцін х
(2)...

tang0 =

t a n g c p - ^ [ l - , - ^ ] .

Абсцисса x в ъ Функціи скорости

х=

(3)..

-—l)

a3 F , 2 \ г , 2

л

1

)•

Скорость В Ъ функціи x
v

=

V

Y

Y

ш

a F| g
3

|

2

COS £р

COC0"

Время в ъ Функціи x

t—x

5).

1

—

'

c

F,

£

2

U U

c3

Наклоненіе траекторія въ Функціи скорости
(6)....

tang0 =

t a n g

9

- ^ ( l - < ) .

125. Зависимость между функщями, которыми уравнснія двиШенія въ воздухѣ отличаются отъ уравненгй движенія въ пустотѣ.
Сравнивая ѵравненія движенія выведенный въ F

120, 121, 122,

1 2 3 и 1 2 4 , при различныхъ выраженіяхъ сонротивленія воздуха,
въ уравненіямн движенія в ъ пустотѣ, вмднмъ, что уравиеыія двиЖенія в ъ в о з д у х ! отличаются отъ уравненій движепія въ п у с т о т !
некоторыми Функціямн, входящими въ нихъ какъ производители.

В с ѣ три фуикціп

e*,Ft(z),F(z),
входящія въ уравненія движенія при выраженіи сонротпвлеиія
одиочленомъ пропорціональнымъ квадрату скорости,—при z =

о,

обращаются въ единицу, и возрастаютъ съ возрастаніемъ z. Для
одного H того же z >

о, имѣемъ F(z)

< F , (z) <

ez.

В с ѣ четыре Функціи

Ф(#,ГД

3(z,V02), V(z,V0\

tE(z,Vf),

входящія въ уравнеиія движенія при выраженіи сопротивленія
двучленомъ, в ъ которомъ первый членъ нроііорціопалеиъ квадрату
скорости, а второй четвертой степени скорости,—при z — О обращаются въ единицу, и возрастаютъ съ возрастаніемъ z и F 0 2 .
При

F02 =

V (z, V02) =

0,

имѣемъ Ф (z, F 0 2 ) =

J, S

F02) =

F (z),

3 (z, V02) — Fx

(z),

F , ( I ) . Для однихъ и тЬхъ же * и F 0 2 ,

имѣемъ V(z,V02)<3(z,V02),

и S(*,F02) <T?(/,F02).

В с ѣ четыре Функціп

3(^,1)

(z),®(z),

входящія въ уравненія движенія при выраженіи соиротнвленія
одііочлеиомъ ііроиорціоналыіымъ шестой степени скоростп,—при
z=О

обращаются въ единицу, н возрастаютъ съ возрастаніемъ (z).

Для одного и того же z имѣемъ $ (z) < 3 (г), и ÙI (z) < 1) (z).
Такая же зависимость, какъ легко удостовериться,

суще-

с т в у е м между Функціями, входящими въ уравненія движепія при
выраженіи сонротнвленія одночленами пропорціональными кубу н
четвертой стенеіш скорости.

126. Таблицы функцгй e s , F , (z), F (г), #(*), 3(e), l) (г), Щз)
помѣщепы в ъ концѣ курса нодъ п° Ш , I V , V , X I I , X I I I , X I V п
X V . Эти таблицы, объ одномъ аргумептѣ z, даютъ величины ФункДііі съ 4 десятичными знаками, для равноотстоящнхъ значепій z,
отъ z =

0 до з =

3 для Функціи e z , отъ г =

функцій F , (г) и F(z)

и отъ з =

О до з =

0 до з =

2 , 4 для

1 , 8 для Функцій |Э (з),

3 (z), I) (г) и it (z). Постоянная разность между значеніями з р а в няется 0 , 0 1 .

С ъ боку

величинъ Функцій помѣщены разности

между каждыми двумя послѣдователыіымн ихъ величинами, соотвѣтствующія постоянной разности

0,01

между

значеніями

з.

Такъ какъ вторыя разности в с ѣ х ъ этихъ Функцій менѣе 8 едннпцъ послѣдняго порядка, то величины означенныхъ Функцій для
промежуточныхъ значеиій з, не помѣщениыхъ въ таблііцахъ, получаются съ 4 десятичными знаками помоіцію простой іштерполяціп, не прибѣгая ко вторымъ разностямъ *).
Примѣръ.

Вычислить F ( 0 , 3 1 6 5 ) .

F ( 0 , 3 1 ) = 1,1119

Найдя в ъ таблицѣ что

и что разность менаду F ( 0 , 3 1 ) н F ( 0 , 3 2 )

есть 0 , 0 0 3 9 , получимъ
F (0,3165)=

1,1119 - H ^ g .

0,0039 =

1,1144.

*) Если «g, и,, и 2 ) . . . суть значспія Фупкціи и, соотвѣтствующія равпостояіцимъ значепіямъ х0, х,,х2,
. . . независимой персмѣппой x и постоянн а разность между значеніями х 0 , x „ x 2 , . . . есть h, то Формула пнтерполяЦіи, при принятіи в ъ разсчетъ вторыхъ разностей, есть
0т

и

=

Мо

x
хп .
н_ _ _ о д М о _

x
xn I Л
_ _ 0 ^!

x

Жп\ Д2нп

__о ) _ 0 .

Наибольшая величина поправки
x — х0 ( ,
/(
\

x — .г0\ А2 и0
h
) 1.2

происходящей отъ второй разности, нмѣетъ мѣсто при — -• — =

J и состав*

яетъ ^ долю численнаго значенія А 2 и 0 . Поэтому во всѣхъ т ѣ х ъ случаяхъ,
к ° г д а вторая разность менѣе 8 едншщъ послѣдняго порядка, ошибка, происходящая отъ пренебреженія второю разностью, будетъ менѣе одной единицы по«лѣдняго порядка.
д

127. Таблицы функцій 9{z,V2)

и 3 (z, V2) помѣщены въ

конце курса подъ п° V I и V I I . Эти таблицы о двухъ аргумеит а х ъ z и V2,

и потому о д в у х ъ входахъ, даютъ величины <і>унк-

цій съ 4 десятичными знаками для равноотстоящихъ значеній z
отъ z = 0 до з — 1 , 0 8 и для равноотстоящихъ значеній V 2 отъ
Yо =

0 до V2 =

4,2.

Постоянная разность между значеніямн z

составляетъ 0 , 0 2 , а постоянная разность между значеніями

V2

составляетъ 0 , 1 . Подъ знакомь Д„ помѣщены разности между
каждыми двумя последовательными величинами Функціи, при одномъ
л томъ же V2,

соответствующая постоянной разности 0 , 0 2 между

значеніями z. Разность A v между величинами Функціи, ириодиомъ
и томъ же z, соответствующая разности 0 , 1
ми V ,
2

между значенія-

— эта разность Д„ постоянная и наппсаііа одпнъ разъ

внизу каждаго вертпкалыіаго столбца. Для вычнсленія значеній
функцій с ъ 4 десятичными знаками при иромежуточныхъ значепіяхъ z H Ѵ02, не помещенныхъ вътаблпцахъ, приходится прибег а т ь ко вгорымъ разностямъ.
Если

П*0 1 ®о)> f(*n %)> />а» ѵ0), . . . .
Л * 0 ) %)> f ( * i ,

fi"07
суть зиаченія Функцін f(z,

v) соотв Ьтствуюіція значеніямъ

•^О) Ѵо'з Z\1 V01 321 Vo'l

«V.

Vf, . . .

••• •

.

•^о )

независимыхъ перемѣнныхъ z, ѵ,

п постоянная разность между

значеніями s 0 , z x , z 2 , . . . . есть h , а постоянная разность между
значеніями ѵ 0 , ѵ х , ѵ 2 , . . . . есть 1с, то изобразивъ
f Оо » 1>о) =

f i s 1, V0) — f(s0,

v0),

V O i , V0) =

f(z2,

v0) — fis,,

v0),

\f(e0,

vx) =

f(zx,

vx) — f[zo,

vx),

\f(s0,

v0) =

f(z0,

vx) — f(zQ,

v0),

\f(s0,

vx) =

f(so,

v2) — fie0,

F,),

ѵ fOi > У) =

Л

«

Д

Д

f Oi i «о).

f O i , ©i) —

Л » »о)=двд/Оо»

ѵ

о ) = д / О о > ^і)—д/Оо> У)
=

4

Ѵ О о , «о) =

A/On

Л

Ѵ О о , «'о) =

A/Oo>

«о) -

/0і.

д

ѵ

о) — Ѵ О о . «о)»

А / О о , ®о)>

—

Vfa»

получимъ, при принятіи въ расчетъ вторыхъ разностей, слѣдуюЩую Формулу ннтерполяціп
/•О , « ) =

/•(*„,г> 0 ) -

- ^

^

.

. Д 2 f O o i v0) H- ^

. Д2Д„ fis, ,v0)-l

ІІримѣръ

1-й.

Въ

этомъ

== 0,02;

случаѣ :

к =

0,1;

А/Оо,Уо) =

Л

Ѵ У 0 , v0) =

V2),

0 , 8 2 5 7 , F02 =
f(s0,

v0) =

s — s0 =

г>0)

f O 0 , ,0)

с ъ четырьмя деся-

0,3907.

Ф(0,82;

1,4420;
0,0907;

0,0143 — 0,0133 = 0,0350 — 0,0340 =

0,0010;

=

0,0135 — 0 , 0 1 3 3 =

0,0057;

0,3)=

v — v0 =

V O o , f 0 ) = 0 , 0 1 3 3 ; Aj{z0,v0)
Д

(1 -

Найти зпаченіе

т ы м и знаками, при г =
/г

^

. Д . f(s0,

0,0340;
0,0002;

Д /(г0, t>0)= 0; и
2

Ф(*Л

2

) = 1 , 4 4 2 0 -г-

0,0057

да

0,0907

•

,

FTNMFT

да

=

°ôgi-0,01331^.0,0340
0,0057

• o , o o i o — i . —

(

0,0057\

Л

_

т

Л

Л

Л

Л

П

. о,ооо2

1,4709.

Для большого удобства можно вычпсленія расположить слѣдующнмъ образомъ:
Ф(0,82; 0,3)

=

-57_.
-•133

=

38

=

308

200

шю-340
TÖ0Ö'
1.Ж.П

2 200 V

МЛ
200/

О —
"

1,4420

SL.ML. 1 Г)
О

ОN

200 1000 х
к
1. 51. Щ . О
2 200 200

Ф (0,8257; 0,3907)

о

и

=

1,4769

Употребленіе логариомической линейки для нахожденія пропорціоналыіыхъ частей значительно облегчаетъ вычисленія.
В ъ обыкновенныхъ случаяхъ весьма достаточно

ограничи-

ваться величинами Функцій съ тремя десятичными знаками. При
вычислены значеній Функцій съ тремя десятичными знаками, для
промежуточиыхъ значеній z и F 0 2 не помѣщенныхъ въ таблнцахъ,
не нужно брать въ расчетъ вторыя разности.
Для примѣра вычислнмъ Ф ( / ,
знаками, при g =
Найдя
Е

0 2

въ

0 , 8 2 5 7 и F02 =

таблпцѣ

для z =

F 0 2 ) съ тремя десятичными
0,3907.
0,82

) = 1 , 4 4 2 и разности А, =

и F02 =

1 3 , 3 п Ди =

0 , 3 Функцію
3 4 , 0 , полу-

чимъ:
Ф ( 0 , 8 2 ; 0,3)

=1,442

ІГю ' 1 3 , о

=

4

Ä'34,0

=

31

Ф(0,8257; 0 , 3 9 0 7 ) =
Примѣрг 3-й.

1,478.

Найти зяаченіе 2>(z, F 0 2 ) съ четырьмя десятич-

ными знаками, при г — 0 , 8 2 5 7 и F 0 2 =

0,3907.

В ъ этомъ случаѣ: / ) > 0 , v 0 ) = 3 ( 0 , 8 2 ; 0 , 3 ) = 1 , 7 1 4 2 ; 7 г = 0 , 0 2 ;
^=

0,1; г — г 0 = 0 , 0 0 5 7 ;

\f(z0,

v0) =

v—ѵ0=

0,0549 ;

0,0907; Д/(г0, г;0)=0,0230;

Д z A j ( z 0 , v0) =

0,0248 -

= 0,0567—0,0549 =

0 , 0 0 1 8 ; Д 2 / ( г 0 , v0) =

= 0 , 0 0 0 4 ; A\f(z0,v0)

=

0.

3 ( 0 , 8 2 ; 0,3)

=1,7142

1-230

=

GO

шй'549

=

498

57 .907. "I О
200 1000 " 1 °
I.AL.N
SB-LV4
2 200 V

0,0230

0,0234—0,0230

200/

4

К

1.87.1«.4.

2 200 200

О

4

3(0,8257; 0,3907)

=

1,7711.

Вычислишь значепіе 3 % , F 0 2 ) съ тремя десятичными знаками,
при г; = 0 , 8 2 5 7 и F 0 2 =
Найдя

въ

таблиц!

0,3907.
для z =

3 ( г , F o 2 ) = 1 , 7 1 4 IT разности Д . =

0,82

• 2о,0

Шб ' 3 4 , 9

Fo2 =

2 3 , 0 и Д„ =

3(0,82; 0 , 3 ) =
1

и

=
=

3(0,8257; 0,3907 =

0,3

Функцію

5 4 , 9 , получимъ

1,714
7
50
1,771.

128. Таблицы функцгй X (z, V2) и S (z, F 0 2 ) помѣщены въ
концѣ курса подъ п° V I I I п I X . Эти таблицы о двухъ аргуменахъ s и V2,
Цш

Съ

0 т ъ

3

n потому о двухъ входахъ, даютъ величины <і>унк-

3 десятичными знаками для равноотстоящихъ значеній z
=

0 до z =

1 , 6 8 H для равноотстоящихъ значеній F

о = 0

до F 0 " =

4 , 2 . Постоянная разность между значеиіями z

F2

2

отъ

с

°ставляетъ 0 , 0 2 , а постоянная разность между значеніями F 0 2

(

'°ставляетъ 0 , 1 . Подъ знакомь Д. помѣщены разности между

Ка

Ждыми двумя последовательными величинами Функціи, при од-

помъ и томъ-же F 0 2 , соотвѣтсгвующія разности 0 , 0 2 между значащими z; а подъ знакомь Аѵ помѣщены разности между каж-

дыми двумя последовательными величинами Функціи, при одномъ
и томъ же 2, соотвѣтствующія постоянной разности 0 , 1

менаду

значеніями Ѵ 0 2 . Для вычпсленія зиаченій Фушщій с ъ 3 десятпчными знаками при промежуточныхъ значеніяхъ z и V2

не нужно

брать в ъ расчетъ вторыя разности.
Примѣръ
Ѵ

2

=

1.

Вычислить

V

(z,

V2)

и

0,3907.

Найдя
X) (z, F ) =
02

въ

таблицѣ

для з =

0,82

1 , 6 2 8 и разности Д 2 =

Х(0,82

•^••18
200 1 °

1000

2.

Fo2 =

1 8 и Д„ =

=

0,3

ФѴНКЦІЮ

3 9 , получимъ

°

Вычислить

5}

—

4 е",

—

t?(0,8257 ; 0 , 3 9 0 7 ) =
Примѣръ

и

; 0 , 3 ) = 1,628

Ш- . ЧJ Q

F02 =

при z = 0 , 8 2 5 7

£з (г,

° °

1.668.

F02)

при 2 = 0 , 8 2 5 7

и

0,3907.

Найдя
S (2, F ) =
02

въ табліщѣ

для

2=

0,82

1 , 2 9 7 и разности Д 2 =

200

ML.
îooo

Fo2 =

8 н Av =

S ( 0 , 8 2 ; 0,3) =
•

н

8

=

1 <)

—
—

°
1 J

S ( 0 , 8 2 5 7 ; 0,3907) =

0,3

Функцію

1 9 , получимъ

1,297
2л

17

1 1

1,316.

129. Таблицы функцгй: z. Ф (2, V2) и 2 . 3 ( 2 , V2). Прирѣшеніи вопросовъ, относящихся до стрѣльбы, иногда приходится но
извѣстнымъ значеніямъ V2 н произведенія з. Ф ( 2 , V2)
ведшая 2 . 3 ( 2 , V )
2

или произ-

находить значеніе z. С ъ этою цѣлыо состав-

лены таблицы Функцій г . Ф (2, V2)

н з. 3 (2, V2)

помѣщенныя в ъ

кондѣ курса подъ n ° X и X I . Эти таблицы о двухъ аргументахъ
2 и F / ; величины Функцій 2 . Ф (2, V2)

и 2 3 (2, V2)

вычислены съ

4 десятичными знаками для равноотстоящнхъ значеній з отъ 2 = О
до 2 =

1 , 6 8 H для равноотстоящнхъ значеиій V 2 отъ V 2 =

0 до

У 0 - = 4 , 2 . Постоянная разность между значеніями 2 составляетъ
0 ) 0 2 , а постоянная разность между значеніями V 2 составляем
0 , 1 . Подъ знакомъ Д. помѣщены разности между каждыми двумя
последовательными величинами Функціи, при одномъ и томъ-же
У„2, соотвѣтствующія разности 0 , 0 2 между значеніями 2. Р а з ность Дц между величинами Функціи, при одномъ и томъ же 2, соответствующая разности 0 , 1 между значеніями V 2 , — эта разность Аѵ постоянная и написана одішъ разъ внизу каждаго вертикалыіаго столбца.
Зная значеніе V2 ирішцемъ въ соответствующей этому значепію горизонтальной строкѣ извѣстное значеніе Фупкціи 2.Ф(2,
или Функціи 2 . 3 (2, Ѵ02),

V2)

и найдемъ въ заголовкѣ искомую вели-

чину Z. Т а к ъ для V 2 = 0 , 3

и 2.Ф(2, Ѵ

2

) = 1 , 1 8 2 4 найдемъ

что значеніе 1 , 1 8 2 4 помещено въ вертикалыюмъ столбцѣ, имеющим!, заголовокъ 2 = 0 , 8 2 , такъ что искомая величина 2 = 0 , 8 2 .
Значеніе з съ 4 десятнчнымп знаками для извѣстныхъ нромсШуточиыхъ значеній V2 и z. Ф (z, V2)

или з . 3 (2, V2)

не поме-

щенных!, въ таблицахъ, получится номощію шітсрполяцін, при
иринятіи въ расчетъ вторыхъ разностей.
Формула интерполяціи, помѣщенная въ п° 1 2 7 , д а е м :

п г • К Л'.. У = Ах v) - f (»„ ѵ0) ^

•^

А

» f('0. ^ •- І Чг*

Д

Вычисливъ сначала значеніе

-=Мо. ду f

ѵ

- Чг)

. Д. f(z0,

Д

K

j

v

f ^ -о)

ѵ0), отбрасывая

члены со вторыми разностями, т. е. ограничиваясь тремя первыми
членами второй части уравненія, выведемъ приближенное значс"іе
н

и вставивъ его въ остальные члены второй части урав-

?пія, найдемъ значеніе

z

~

. Д г f (з0,

ѵ„) съ желаемою точ-

ностью, и отсюда нолучимъ искомую величину з.

Примѣръ 1. Найти значеніе z съ четырьмя десятичными знаками, при F 0 2 =

0 , 3 9 0 7 и zA*(z,

В ъ этомъ случаѣ f(z,ѵ)
Л*., 0
А; =

=

1,1824 =

=

F/) =

г.ф(з,

1 , 2 1 9 5 ; ѵ0 =

0 , 8 2 . Ф ( 0 , 8 2 ; 0 , 3 ) ; z0 =

0 , 1 ; v — v0 — 0 , 0 9 0 7 ; Az f(z0,

v.) =

0 , 0 2 7 9 ; Д г Д„ f (z0,

vf) =

0,3;

0,82; Ä=

0,02;

0,0401 ;

\

fi о,

=

0,0294 —0,0279 = 0,0015; Д.2Д^,г;0)= 0,0407 — 0 , 0 4 0 1

=

0 , 0 0 0 6 ; Д f f ( z 0 , Î7e) =

3

v0) =

1,2195.

Vf)=

О, и получимъ

z(£(z,Vf)

=

— 0 , 8 2 . Ф ( 0 , 8 2 ; 0,3) =
—0,0907

0,1000

приближ. значеніе
,

.

г

Аг

279

z — z0

—

—

0,0118\ „
0,0401 j ' 0

040i '
ф" Az f (z0, vf =

z

0,0118 0,0907 1
0,0401 ' 0,1000
_ I П8 283
2 ' 401 '401

h

z0 -+- g j

• 0,0114 =

В ъ обыкновенныхъ

253

-+- 0 , 0 1 1 8 ;

z — z,

z =

1,1824

0,0118
0

приближ. значеніе

, 0,0118 / .
2 " 0,0401 И

1,2195

= —

° Az f (,г0, vf) =

приближ. значеніе —^

0,041 G— 0,0401

-+- 0 , 0 1 1 8

r

.

p

n

=

0 , 8 2 -t- 0 , 0 0 5 7 =

0,0114;
0,8257.

случаяхъ весьма достаточно ограничи-

ваться величинами z съ тремя десятичными знаками. При вычисленіи значеній z съ тремя десятичными знаками для извѣстнмхъ
йромежуточныхъ значеній Vf

и z. Ф (z, F 0 2 ) или z. 3 (z, V f ) не

помѣщенныхъ в ъ таблмцахъ, ne нужно брать въ расчета вторыя
разности.
Для примера вычпслнмъ z съ
при Vf =

0 , 3 9 0 7 и z<L (z, V f ) =
3

тремя десятичными
1,220.

знаками

В ъ таблицѣ находимъ на горизонтальной линіи, соответствующей Г 0 2 =
ф

0 , 3 , что ближайшее меньшее къ заданному значеніе

ункціи 5 . Ф (z, V2)

есть 1 , 1 8 2 и что это значеніе находится въ

вертикальномъ столбцѣ подъ заголовкомъ 5 = 0 , 8 2 .
съвующія значенію Функціи 1 , 1 8 2 разности
\ =

суть

СоотвѣгД. =

40,1,

2 7 , 9 . Получимъ:

*<£(z,V2)

=

1,220

=

1,182

-

25

0 , 8 2 . Ф (0,82; 0,3)
.-»21.27 9
1000

0,013;

h
*

- * - 4ÖT • ° '

=

0 1 3

=

0,82-+- 0,00С =

0,826.

Примѣръ 2. Найти значеніе z съ четырьмя десятичными знаками при F 0 2 =

0 , 3 9 0 7 и z3(z,

В ъ этомъ случаѣ f(z,
f{s0,
=

v0)=

0,1 ; v — v0=

\f'(*o,v0)
=

1,4056 =
=

F02) =

1 , 4 6 2 4 ; v0 =

0,3;

0,82; A =

0,02;

0 , 8 2 . 3 ( 0 , 8 2 ; 0 , 3 ) ; 50 =

0,0450;

V f( , v0)—0,

z/6{z,

0 , 0 9 0 7 ; Д J(z0,

0 , 0 0 2 5 ; Д \f(zQ,
z0

v) =

F 0 2 ) = 1,4624.

v0) =

Д в Д , f(z0,

v0) =

^

0,0537 ;
=

0,0562 — 0,0537

0,0548 — 0,0537 =

0,0011 ;

и получимъ
z3(z,V02)

=

1,4624

— 0,82.3(0,82;0,3) =

— 1,4056

°'
450
0,1000

=

0907

вриближ. значеніе —т^ Д 2 f (* 0 , v0) =

вриближ. значеніе ^

IL

=

0,UÖO7

-

408

-+- 0 , 0 1 6 0 ;

приближ. значеніе —

,

A s f ( t t 0 , v0) =

0,0160 0,0907 o r
• 25
0,0537 " 0,1000'

ОДИбО/

ч - 0 , 0 1 GO
_
'

=

0,0537 \

h
s =

0,0155 =

оzn-+

=

0 , 8 2 -+- 0 , 0 0 5 7

0,8257.

Вычислимъ значеніо z съ тремя десятичными знаками, при
F

0 2

= 0 , 3 9 0 7 и g S (g, F

0 2

)=

1,462.

В ъ таблиц! находимъ въ горизонтальной лпиіи соотвѣтствующей V 2 =

0 , 3 , что ближайшее меньшее к ъ заданному значеніе

Функціи z S (z, V2)

есть 1 , 4 0 6 и что это значеніе находится в ъ

вертпкалыюмъ с т о л б ц ! подъ заголовкомъ z =
ствующія
Д(і =

значенію

Функціи

1,406

0,82.

Соотв!т-

разности суть А . =

53,7,

4 5 , 0 . Получимъ:

z.Z{z,V2)

=

— 0,82 . 3 ( 0 , 8 2 ; 0,3) =

•

*:=
=
130.

—

gg • 0,015 =

1,462
—

1,406

0,015;

0 , 8 2 -+- 0 , 0 0 6

0,826.

Опредѣленге величины постоянной а . Приближенный

способъ іштегрированія диФФеренціальныхъ уравненій двпженія,
при какомъ либо выраженіи сопротивленія, осмованъ (п° 1 1 8 ) на
з а м ! н ѣ Функціи f(v),

выражающей отношеніе сопротпвленія къ

в ! с у снаряда, Функціею
/(at) cos О)
a cos О

въ которой постоянное а должно быть такимъ образомъ выбрано,
чтобы пропзвсденіе a cos Ѳ по возможности менѣе отличалось отъ
единицы, для всѣхъ значеній получаемыхъ имъ между О =

ср и О.

Сл едовательно а должно равняться некоторой средней величин!
изъ всѣхъ т ѣ х ъ , который получаетъ
*

COS и

=

А

СѵХ

между

тѣми

же

предѣлами.
Гснсралъ Дндіонъ, который ввелъ постоянное а дли приближенна™ интегрироваиія диФФеренціальныхъ уравпеній движенія,
нршіимаетъ за величину a отношеніе дуги параболы, заключающейся между пределами <р и Ѳ къ ея горизонтальной проекціи.
Для параболы имѣемъ (ур. (1) п° 3 7 ) v l =

V, и поэтому уравне-

ніп (8) И (9) п° 1 0 0 даютъ

Vf
•

гЧ

g

de

—Г"
cos 3 ©

"

Ж =

rf
Vf I de

—•
— :
g
cos 2 ©

такъ ЧТО
de
cos 3 о

а

*)

••

de

cos 2 ©

пли полагая

т =

de

cos3 ©

2

tang ѳ
cos ѳ

•logtang

*) Легко удостовериться, что веднчииа a, определенная такимъ образомъ,
есть иѣкоторая срсдияя изъ различиыхъ значеній —!— между
cos ©
ö = 9 и 0. В ъ самомъ дѣлѣ, извѣстно, что вообще дробь

прсдѣлами

Ы - Ь' -н Ь" - н . . . .

ci а! а"

м

еаѣе чѣмъ наибольшая изъ дробей у , р , р , , .

. и болѣе чѣмъ наимень-

H припоынивъ ч т о

=

talig о — tang О ,

имѣемъ
СI:

? (ф) -

? (е)

tang <р — tang ѳ

И з ъ в ы р а ж е н і я £ (О) в и д н о , ч т о £ ( 0 ) =
и какъ tangO =

0 , § ( — Ѳ ) — — | (О)

0 , t a n g ( — О) — — t a n g О, т о

в ъ п р е д ѣ л а х ъ <р и О
а :

ш - т

tang tp — tang ѳ '

въ предѣлахъ о и 0 ; а также в ъ предѣлахъ o n

« =

— tp

-1М
tang ф '

в ъ предѣлахъ о и — Ѳ
S (ф)-*-6(e)
t — tang
ф -I- tang Ѳ '
шая изъ послЬднихъ дробей, такъ что она есть нѣкоторая средняя между

а а' а"

Ъ ' Ь' ' Ъ" ' ' ' ' ""этому величина

a

!

9

do
cos 3 Ѳ

ѳ

/*9

do
I cos 2 о
ѳ
есть иѣкоторая средняя изъ различныхъ зяаченій получаемымъ
1
cos 3 о
COS2 0

между предѣлами 9 н 0.

1
cos о

вт> предѣлахъ — © и — Ѳ
а

_

6(е)-6(Ф)
taug ѳ — tang ф '

В ъ приложенной къ концу курса таблицѣ I помѣщены чпсленныя значенія |(<р), ^ ^ и а .
1 3 1 . Выборг точекъ дѣлснгп траекторги на части. Р а з с м а -

ривая таблицу величпнъ а видимъ, что, при малыхъ углахъ,
а превышаем единицу весьма мало. Такъ для дуги отъ 5 ° до О,
величина а превышаем единицу приблизительно на
для дуги
отъ 1 0 ° до 0 , величина а превышаем единицу приблизительно
И а 2655 Д л я ДУ г и о т ъ 1 5 ° до 0 , величина а превышаем единицу
приблизительно на
Поэтому, когда снарядъ брошенъ съ такою
начальною скоростью, что въ предѣлахъ между этой скоростью и
окончательною сопротивленіе воздуха можетъ быть выражено
одною Формулою, то при углахъ бросанія не превышающихъ 1 5 °
можно траекторію расположенную надъ осью х не разбивать на
части, и принимать для а величину равную единице, когда уголъ

т

бросанія не превышаем 8 ° н величину равную

когда уголъ

бросанія заключается менаду 8 ° и 1 5 э . .
Величина а в х о д и м въ выраженіе
/ ( a t ) cos Ѳ)
acosö
'

заменяющее Функцію f(v). Если примемъ вмѣсто a наименьшее
ого значеніе равное едшіпцѣ, то

(при степени f(v) болѣе

первой) б у д е м менѣе Функціи f(v) или, что то же, сопротивленіе
воздуха будетъ менѣе дѣйствительнаго; чрезъ это (п° 1 1 8 ) ординаты у выйдутъ болѣе дѣйствптельныхъ и вычисленная траектория выйдем выше действительной. Если примемъ вместо a величину
? т 0 сопротивленіе воздуха будетъ более действительного иа всемъ протяженін траекторін о м <9 = © до 0 = — © и
вычисленная траекторія б у д е м ниже действительной. Изъ изло-

жсннаго видно, что когда не разбиваемъ траекгорію па части, то
для нолученія предѣловъ, между которыми заключается действительная дальность на местности, находящейся на одномъ уровне
съ орудіемъ, слЬдуетъ, для высшаго предела, положить а — 1,
а для ннзшаго предела положить а = - А — .
COS ф

1

Если разбиваемъ траекторію на части, то будемъ брать, какъ
заметили, а =
tang© • Д л я т о г о ч т о б ь і составить понятіе
о погрѣшностяхъ, отъ этого происходящих!,, сравннмъ величины а
i

съ краинпмн величинами

для дугъ разной длниы и различ-

ныхъ наклоненій. Это сравнепіе помещено въ следующей таблиц!.

Сравнительная таблица величинъ а и крайнихъ величиях
дугъ разной длииы и различдыхъ иаклоиеній.
Длина

10градусовъ.

5 градусовъ.

дугъ.

I& !'
j

ю

Дуги.

ГРАД.
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
60
50
40
30
20
10
0
60
45
30
15

0

1
cos ©

а

Отпотепіе къ а
разностей между а
и крайними не.іи1
чинами
.
cos ©
-

2,0000
1,7454
1,5557
1,4142
1,3054
1,2208
1,1547
1,1034
1,0641
1,0353
1,0154
1,0038
1,0000
2,0000
1,5557
1,3054
1,1547
1,0641
1,0154
1,0000
2,0000
1,4142
1,1547
1,0353
1,0000

-4-

E.O
«O
S fi
= О
â

a

Отиотспіе къ a
разностей между a
и крайними вели1
чанами
.
cos ©
—

н-

ГРАД.
1,8699
1,6485
1,4837
1,3589
1,2623
1,1870
1,1283
1,0831
1,0491
1,0247
1,0090
1,0013
1,7730
1,4270
1,2269
1,1066
1,0372
1,0051
1,6973
1,2772
1,0887
1,0118

/18

Ѵ,4
Vir

%2

У20

ъ
Ѵзі

Узб

ь
Уто

У..

У.59
Ѵ402
%
/12
г
V24
/40

Уюо

\

/44

V24

29
'/за
/42
Лз
У;в
У109
/193
1/
/788
%
'/и
Ѵіб

tf
Ys

/10

A

/85

60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0

1,3802
1,2758
1,2019
1,1478
1,1073
1,0760
1,0531
1,0351
1,0217
1,0118
1,0052
1,0013
1,0000

V,
У10

'К

Ъ
2/и
V»
Уз

у»

//*
У16

Iff
І/4
/то
/402

/9

\9

/28

у

6

/196
/788

Изъ разсмотрѣиія чпселъ помѣщенныхъ въ этой таблицѣ оказывается, что для дугъ одного и того же числа градусовъ величина a тѣмъ менѣе отличается отъ крайнихъ величинъ

, чѣмъ

наклоненіе кривой иадъ горизонтомъ менѣе. Поэтому для того
чтобы разности менаду величинами а и крайними — б ы л и

однѣ

и тѣ же для различныхъ частей траекторіи, длина дугъ должна
быть тЬ.м'ь менѣе чѣмъ наклонеиіе дугъ болѣе; такъ отношеніе
разности между а и
к ъ а составляем ^ для дугъ отъ 0 ° до
2 0 ° , о м 2 0 ° до 3 0 ° и о м 4 0 ° до 4 5 ° ; это отіюшеніе составл я е м около для дугъ отъ 0 ° до 2 5 ° , отъ 1 5 ° до 3 0 ° , о м 3 0 °
До 4 0 ° и отъ 5 0 ° до 5 5 ° ; означенное отиошеніе не болѣе ъ для
дугъ отъ 0 ° до 3 0 ° , отъ 3 0 ° до 4 5 ° и отъ 5 5 ° до 6 0 ° ; опо равняется около I для д у м о м 0 " до 4 5 ° . Эти величины составляютъ
наиболынія разности и относятся къ оконечностямъ дугъ; по такъ
какъ около средины каждой дуги разность эта равняется нулю,
то отношеніе разпостп менаду а и ^ L

к ъ а

равняется средпимъ

числомъ половииѣ іірпведепныхъ дробей. Замечая кроме того, что
въ восходящей вѣтви велпчппа а въ иачалѣ разсматрнваемыхъ
Дугъ менѣе, а въ конце болѣе

, впдпмъ что въ восходящей

части траекторін в ъ началѣ дугъ прпнимаемъ сопротнвленіе возДуха нѣсколько менее, а въ конце дугъ несколько бол Ьс настояЩаго ; въ нисходящей же ветви наобором а въ начале разсматрнваемыхъ дугъ более, а въ концѣ менее

;

та

к ъ что въ нисхо-

дящей ветви предполагаемъ въ начале дугъ сопротпвленіе несколько более, а въ концѣ несколько менѣе

около средины д у п . а равняется

действительная,

; И з ъ этого с л е д у е м , что

иа протяженіп всей разсматриваемой дуги, если длина ея надлегкащимъ образомъ выбрана, частныя ошибки приблизительно компенсируются.
Для того чтобы иметь пределы, между которыми заключается
действительная дальность, нужно, для полученія в ы с ш а я предела,

брать въ восходящей вѣтви вместо а величины

соответ-

ствующая концамъ дугъ, а въ нисходящей вѣтви величины
соответствуюіція началамъ дугъ; для полученія же низшаго предела брать въ восходящей ветви вместо а величины - 1 — соотвѣтствующія началамъ дугъ, а въ нисходящей ветви величины
coli соответствующая концамъ дугъ.
1 3 2 . Когда начальный скорости незначительны и снаряды большаго калибра и большой плотности, какъ обыкновенно бываетъ при
навесной стрельбе изъ мортиръ, тогда вліяніе соиротпвленія воздуха довольно слабо для того, чтобы возможно было, при углахъ
бросанія не превышающихъ 4 5 ° , не разбивать траекторіи иа части
и брать для а величину

= 1 ( 4 5°). Въ этомъ случае а б у д е м

въ начале н конце полета мен Ье

на ^ доли, а около вершины

бол Ье на I долю величины а ; среднимъ числомъ эта разность
будетъ составлять
долю величины а. Это упрощеніе привод и м къ допущенію сопротивлонія воздуха несколько болынаго
чѣмъ действительное только около верншны, и къ допуіценію сопротивленія воздуха меныпаго чѣцъ действительное при вылете
и около точки иаденія снаряда; поэтому получаемая дальность выходим несколько более действительной.

ГЛАВА V.
Рѣшѳніе вопросовъ, относящихся до стрѣльбы сферическими, не вращающимися снарядами.
I. Стрѣльба большими зарядами, подъ большими углами бросанія.
1 3 3 . При вычисленіи траекторіи спаряда брошеннаго подъ
большимъ угломъ бросанія, съ большою начальною скоростью,
необходимо, какъ видѣли, разбивать траскторію на части и для
этого иужпо, чтобы были даны уголъ бросанія ф и начальная скорость V снаряда нзвѣстнаго діаметра и в і с а .
Согіротивленіе воздуха на сферическіе снаряды выражается,
F

9 5 , для скоростей превышающихъ 1 2 3 0 Футъ одночленомъ

пропорціональнымъ квадрату скорости; а для скоростей меныипхъ
1 2 3 0 Футъ двучлепомъ, пзъ которыхъ первый членъ нропорціоналенъ квадрату скорости и второй четвертой степени скорости.
Пусть уголъ ф =

3 0 ° , и V больше 1 2 3 0 Футъ.

1 ° Первую часть траекторін должно взять (ФИГ. 5 1 ) ОТЪ ТОЧКИ
вылета 0 , въ которой начальная скорость есть V до точки т', въ
которой скорость есть V' = 1 2 3 0 футъ, и вычислить ее при выраженіи сопротивленія ( F 1 2 1 )

гд!
°

Р

ГТ1

2ЛгЛр

' П

и, при Ф у т ! и ф у н т ! взятыхъ за единицы, (п° 9 5 )

Л =

0,0013.

Для вычисленія первой части траекторін найдемъ сначала приближенную величину угла наклоненія

9

' траекторіи въ т о ч к ! m

изъ Формулы (6), п° 1 2 1

принимая а =

К — Fcos<p, F,' =

F ' c o s 9 . П о найденной

приближенной величин! 9 ' вычмслнмъ а изъ Формулы ( F 1 3 0 )
S(9)-УФО
t a n g ф — t a n g ф' '

Зная а и приближенное значеніе 9 ' , найдемъ:
Абсциссу х' точки т' нзъ Формулы (3) F
;

X =

2с

1

т

V COS

121

ф

— • s
. Log -тг, —, .
a Loge
° V' cos 9

Ординату у ' точки m нзъ Формулы (1) F 1 2 1

Достаточно точное значепіо 9 ' изъ

Формулы

(2) F 1 2 1

tang 9 ' = tang
Время t' полета снаряда отъ точки О до точки т' изъ Формулы ( 5 ) F 1 2 1
t' =

- х'
F
(—)
F cos 9
i\2 с ) '

Радіусъ кривизны въ точкахъ О и т ' изъ Формулы ( 1 1 )

п° 100
У =
'

V2

,
V'2
У —
7.
'
g cos 9

II

g cos ф

2°. Остальныя части траекторіи должно вычислять при выраженіи сонротивленія (n° 1 2 0 )

i=«•>=£[>- я.

гдѣ

Р
С

п,

2&кІРд

'

П

и, при Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы, (n° 9 5 )
Л =0,000255 и r=610.
Положимъ, что хотимъ разбить траекторію отъ точки m до
точки падепія на четыре части. Возьмемъ первую изъ этихъ частей mV отъ угла наклоненія 9 ' до угла 9 " = 2 0 ° , вторую m" m"
отъ угла 9 " = 2 0 ° до угла 9 " ' = — 2 0 ° , третью m " m " ' отъ угла
9'" = — 2 0 ° до угла 9 " = — 3 0 ° и послѣднюю m " ' Ж отъ угла
9 " = — 3 0 ° до угла паденія.
Для вычисленія части

mV

опредѣлнмъ а! изъ Формулы

(п° 1 3 0 )
?(ф')-£(20°)
tang 9 ' — tang 2 0 ° '

Абсцисса х" точки m" найдется изъ уравненія (2) п° 1 2 0 . В ъ
самомъ дѣлѣ, умноживъ обѣ части этого уравненія на - , и приах"

яомнивъ, что въ п° 1 2 0 величину — обозначили чрезъ z, получимъ
* 3 ( 5 , Ѵф) =

(tang 9 ' -

tang 9 " ) t .

Г

І

^

.

Вычпсливъ численное значеніе второй части посл'Ьдияго урав•

ТГ2

а' 2 V' 2 cos 2 о '

ненш и численное значеніе F 0 ~ =
цы

z3(z,V02)

(какъ показано въ

^ — - , найдемъ пзъ таблип°

1 2 9 ) величину

г.

Умноживъ

z

на 4 нолучимъ искомую абсциссу х".
Ордината у" точки т " получится изъ Формулы ( 1 ) п° 1 2 0
у" =
j

x " tang

о .

-

^

2 F ' 2 c o s 2 ер'

9

V с

,

'

a

"F'2rs2y').
г2

/

Скорость F " в ъ точкѣ m" получится изъ Формулы ( 4 ) п° 1 2 0
Ѵ " =

COS ф
I а У ' а' 2 F ' 2 cos 2 ф'\ • cos ф" "
•t? \ С >
г2
)

Время t" полета снаряда отъ точки «г' до точки т"

найдется

изъ Формулы ( 5 ) п° 1 2 0
,„

x"
—

у / а ' х " а.'2 V' 2 cos 2 ф'\

7'созф'Ь1

с

'

г2

j

Р а д і у с ъ кривизны в ъ точкѣ m " будетъ (Формула ( 1 1 ) п° 1 0 0 )

Y
Для вычисленія части

//

m"m'"

F"2
g cos Ф

возьмемъ

(n° 1 3 0 ) a!'=

j°0o,

0°)
a для вычислены части mm mir возьмемъ atrt = .t a n£gM( 33000°°)J ———t£apn( 2g—
^
20°

и обѣ эти части вычислим'!, во всемъ подобно тому какъ сдѣлали
для части mm". Такимъ образомъ для точки tri" найдемъ х", у",
1у
..
іу
IV гтІУ ,1Г
ff
F f/t лП' "Г
, * , 7 II для точки m найдемъ x , — у , V , t , 7 .
Для вычисленія последней части m ' y M , отъ точки m " до точки
M , находящейся на высотѣ Ь надъ точкою вылета, замѣтимъ что
ордината — у ' точки М , отнесенная къ точкѣ m " \ какъ началу
координата, извѣстна н что она есть
- г / = - ( у

Н-/-Ну'"-у"'-Ь).

Для того чтобы опродѣлнть а!у соответствующее части т!УМ
найдемъ приближенную величину — ©' угла иаденін въ точке Ж ,
принимая дугу т " Ж за дугу параболы, для которой известны уголъ
н а к л о н е н і я — = — 3 0 ° въ точке m " , скорость V" въ точке m"
и ордината — у ' . Подставивъ въ уравненіе ( 3 ) п° 3 7 параболы
У~—у
, х — ху, Ѵ—Ѵ/у, 9 = — 9 " , онредѣлимъх п, вставивъ его въ уравненіе ( 5 ) п° 4 4 наклоненія параболы, получимъ
— tang 9'' = — tang 9 "'.]/ 1 -t- У,

•

По найденной приближенной величине — 9 ' вычислимъ а.'' изъ
Формулы (п° 1 3 0 )
JV

_

t{9')-è(9")
tang <ре — tang

и для онределенія абсциссы х' возьмемъ уравненіе ( 1 ) п° 1 2 0
—

/ =

—

^tang

9" —

2V/Â

X22<?"-®

(*'

О

которое даетъ
,
Х

F^sin29/; Г l / ~
-

2/уф (5,

V)
2

[ У

_ t 1
Ѵ

ІУ2

sin 2

9 '
я

IV V

Вставпвъ въ z — — в е л и ч и н у определенную нзъ последн я я уравненія при донущенін что Ф ( 5 , F 0 a ) = l , найдемъ изъ
таблицы величинъ Ф ( 5 , F H 2 ) приближенное значеніе этой Функціи,
и при этомъ значеніи опредѣлимъ изъ последняя уравненія болѣе
V -г»
alfxy
приближенную величину х . Вставпвъ ее въ z — — и найдя бо•тЬе точное значеніе Ф ( / , F fl 2 ), получимъ изъ послѣдняго уравнения достаточно точное значсиіе х'.
Зная х'\ найдемъ достаточно точную величину угла паденія
изъ уравнения ( 2 ) п° 1 2 0 , скорость въ точке паденія изъуравне-

нія (4) п° 1 2 0 , время полета t" снаряда отъ точки тп до тЬчки Ж
нзъ уравненія ( 5 ) п° 1 2 0 , радіусъ кривизны въточкѣ паденія изъ
уравненія ( 1 1 ) n° 1 0 0 .
Полная дальность будетъ

и полное время полета
t — t'-*-1" н-1'"

-н t"'н-

f.

Такъ какъ при стрѣльбѣ большими зарядами, подъ большими
углами бросанія, снарядъ подымается на весьма большую высоту,
то при вычислены траекторіи полезно принимать, хотя приблизительно, въ расчета уменьшеніе плотности воздуха съ увеличены высоты надъ поверхностью земли. Еслп изобразимъ чрезъ Гі'
плотность воздуха во время опыта на поверхности земли и нренебрежемъ измѣненіемъ тяжести отъ измѣненія высоты, то плотность воздуха И на в ы с о т ! у надъ поверхностью земли будетъ
П =

—у

П'е*,

гдѣ, при Фут! взятомъ з а единицу, к—

2 G 1 2 8 , и производитель

^ 1 , входяіцій въ выраженія коеФФііціеіітовъ сопротивленія с приметъ видь

•,

У
к

Для того чтобы при вычислены траекторіп принимать, хотя
приблизительно, въ расчета умеііыпепіе плотности воздуха отъ
высоты у, надобно вычислять КОСФФНЦІСПТЫ С для каждой части
у_

траекторін вводя въ нихъ производитель — ек п принимая для у
приблизительно среднюю высоту снаряда надъ землею въ разематриваемой части траекторіи.

1 3 4 . В ъ следующей таблиц! іюмѣщены результаты вычислены траекторін сферическаго ядра, высгр!леннаго изъ 2 4 Ф. пушки
зарядомъ въ 8 Фунтовъ артиллерійскаго пороха подъ угломъ бросанія въ 3 0 ° .
В ! с ъ ядра Р = 2 9 , 8 9 ФІТ., радіусъ его R= 0 , 2 4 5 6 ФТ.,
начальная скорость Ѵ= 1 7 1 2 ФТ., ускореніе т я ж е с т и д = 3 2 ф т , 2 1 0
Примемъ П' = П,. Для большей точности траекторія разбита на
двенадцать частей.

Траектория сферическаго ядра, выстрѣленнаго изъ 24 ф.
пушки, съ начальною скоростью 1712 футъ, подъ угломъ
бросаиія 30°.

Наклонен
граекторі

.£ в

Ѳ

30°
29°Б'
25°
20°
15°
8°
0°
—10°
—20°
—30°
—40°
—50°
—51°1G'

1
GB
О
•X er
é- r-C
C_> (Я
о

CJ
V

Проекціл дуги.
m з;
е*а в
В в
О.

X,
5

Ь> =3
а. -о
а> "п
аэ «о

-л

ез я
£ 'й

Координаты
снаряда, считая
о К
п
г £
точку вылета
â â * за начало коора, и
— в
динат®
CT s

Уі

<1

Сажени.

Секунды

Футы.

Сажени.

1712
1230
790.0
042,4
5G7,2
Г-04,0
402.6
434.4
423.7
426.1
439.7
464.8
468.2

152.2
86.40
285.3
147,40
194.7
81.41
45,66
140.4
31,76
153,9
10,36
143.8
154.4 — 13,26
141.5 — 37,91
139,1 — 6 5 , 4 0
144,1 - 1 0 2 , 0 7
150,8 — 158,40
21,5 — 25,70

0,848
2,444
2,126
1,709
2,062
2,104
2,435
2,407
2,576
3,008
3,464
0,520

X

У

ее
h
-1
О
В
ш

X
<ѵ
PO
t

3
xi га
о СО
ч—»
ш га
еэ
к

Г

Сажени. Сажени. Секунды.

Футы.

0
80,4
233,8
315,2
359.7
391.4
401.8
388.5
350.6
285,2
183,2
24,8
0

105050
53720
21400
1..630
10340
7980
6643
5948
5930
6508
7835
10420
10880

0
152,2
437.5
632,2
772.6
926,5
1070,3
1224,7
1366.2
1505.3
1649.4
1806,2
1827,7

0
0,85
3,29
5,41
7,12
9,18
11,28
13,71
16,12
18.70
21.71
25,17
25,69

У
е*

1,01
1,03
1,08
1,10
1,11
1,12
1,12
1,11
1,10
1,08
1.06
1.00

Изъ разсыотрѣиія результатовъ, приведенных'!, въ этой таблиц!, оказывается, что горизонтальная дальность полета, т. с.
Дальность на местности, находящейся па одпомъ уровн! съ оруДіемъ, составляете 1 8 2 8 саженъ; вся высота полета, соответствующая 0 = 0, составляете 4 0 2 сажени; полное время полета
равно 2 5 , 7 секундамъ. Скорость снаряда достигаете наименьшей
14

величины; точка, въ которой скорость наименьшая лежитъ на дугѣ
траекторіи, которой углы наклоненія заключаются между — 2 0 ° н
— 3 0 ° . Опредѣляя скорости въ различныхъ точкахъ этой дуги, найдемъ, что точка, въ которой скорость наименьшая, соответствуем
наклоненію траекторіи Ѳ = — 2 1 ° , что координаты этой точкп
суть х = 1 3 8 0 саж. н г / = 3 1 4 , 3 саж. и что наименьшая скорость равна 4 2 2 , 6 Фут. Наименьший радіусъ кривизны соответс т в у е м точке, лежащей надутЬ траекторіи, которой углынаклоненія заключаются м е ж д у — 1 0 ° и — 2 0 ° . Определяя радіусы
кривизны въ различныхъ точкахъ этой дуги, найдемъ, что точка,
въ которой радіусъ кривизны наименьшій, соответствуем наклоненію траскторін О = — 1 5 ° , что координаты этой точки суть
x = 1 2 9 6 , 3 саж. и у = 3 6 8 , 7 сажени и что наименьший радіусъ кривизны равенъ 5 8 5 8 футамъ.
При стрельбЬ пзъ 24 Ф. пушки при условіяхъ по возможности близкихъ къ тЬмъ, которыя были приняты для вычислены
траекторіи, средняя дальность изъ 20 выстреловъ вышла 1865
саженъ, а время полета 26,1 секунды. Если сравнпмъ эти результаты съ вычисленными, то найдемъ что они весьма близки съ
вычисленными.

II. Навѣсная стрѣльба малыми зарядами.
1 3 5 . При навесной стрельбе малыми зарядами, какъ вообще
при стрЬльбЬ зарядами, сообщающими начальную скорость меньшую 1 2 3 0 ф у м , нужно вычислять траекторію при выраженіи
согіротивленія ( n ° 1 2 0 )

где, если допустнмъ П = II11
Р
С

2

ЛкП2д

и, при Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы ( и ° 9 5 )
< & = 0,000255, г =

610.

Вслѣдствіе слабаго вліянія сопротивленія воздуха, при малыхъ скоростяхъ и снарядахъ большаго калибра и большой плотности, не смотря па большой уголъ бросанія, можно траекторію
не разбивать на части, чрезъ что значительно сокращаются вычпслеиія H удобно рѣшаются различные вопросы, встрѣчающіеся
при навѣсной стрѣльбѣ.
Хотя при этой стрѣльбѣ уголъ паденія, на мѣстности, находящейся на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, чувствительно болѣе угла
бросанія, тѣмъ не менѣе, для удобства, можно брать з а а величину
„ _ Ш .
а =
,
t a n g tp '

значенія у у у , соотвѣтствуюіція различнымъ угламъ <р помѣщены
нъ приложенной къ концу курса таблпцѣ I .
Для облегченія вычнсленія значенія с приложена къ концу
р

курсатаблпцаІІ — величина» 2 т с Д 2 , при Футѣ и Фуитѣ взятыхъ з а
единицы, для употребляемыхъ въ нашей артиллеріи снарядовъ.
13G. Рѣшенге задачъ, относящихся до навѣсной стрѣльбы малыми зарядами. — ІІахожденіе дальности по извѣстныж углу
бросанія и начальной скоросгпи.
ІІолоэісимъ чггго точка паденія находится на одномъ уровшь съ

°ргудіемъ. Найдемъ величины с , а , V, = F cos® и Vf — ( у г 1 ) " •
Приравнявъ у нулю въ уравненін ( 1 ) п ° 1 2 0 получимъ
Vf) = у sin 2® ,

хЩ
или, такъ какъ z =

— , то
с '

л Ф (в,

Vf) = % у sin 2 ф .

Вычисливъ вторую часть уравненія, найдемъ, при помощи
таблицы 2 Ф ( 2 , V2), какъ показано въ п ° 1 2 9 , соответствующую величину 2.
Умножая найденное значеніе 2 на X . получимъ искомую дальность.
Пусть 2 нудовая бомба брошена изъ мортиры подъ угломъ
въ 4 5 ° съ начальною скоростью 3 7 8 Футъ. В ъ этомъ случае
— = 2 , 8 0 5 2 ; с = 1 1 0 0 0 ; r = G 1 0 ; а = 1,1478 ; F03=0,2529;
у . у sin 2 ср = 0 , 4 6 2 8 52 = 0 , 3 9 2 0 и
искомая дальность х = = 5 3 7 саженямъ.
Вычисленная такимъ образомъ дальность, какъ объяснено въ
и ° 1 3 2 , несколько более действительной.
1 3 7 . Для того чтобы показать, что полученная этимъ сгіособомъ дальность близка къ действительной, вычислимъ дальность
меньшую действительной и, сравнивъ ее съ полученной, увпдимъ,
что она мало отъ нея отличается.
Для того чтобы найти меныній иределъ дальности, могли бы
въ уравненін.

положить

но этимъ путемъ получили бы меныній ире-

делъ дальности довольно далекій отъ болынаго предела. Поэтому
меныпій иределъ дальности найдемъ на другомъ основаніи.
Положимъ сопротнвлепіе воздуха иропорціональнымъ квадрату скорости, т. е.
и примемъ

Вслѣдствіе принятой величины для F , дающей сопротивленіе
воздуха равное дѣйствительному въ точкѣ вылета, сопротнвленіе
будетъ болѣе дѣйствитсльнаго на всемъ протяженіи траекторіи и
вычисленная дальность выйдетъ менѣе действительной.
Дальность при сопротнвленш воздуха нропорціоналыюмъ
квадрату скорости вычислішъ номощію таблицъ для навѣсной
стрѣльбы, составленныхъ прусскішъ генераломъ OTTO, *) по
способу Эйлера, и сначала нзложимъ сущность этого способа.
138. Въ случаѣ соиротпвлепія пропорціональнаго квадрату
скорости, дуга s въ нредѣлахъ отъ Ѳ = ср до О выражается Формулою ( F l 1 5 )

.
с

S

= glog[l

1-^(1(9)-W)].

Поэтому часть дуги As, которой наклоненія оконечностей
Уть О' и О будетъ
д
As =

* * ,
YgA°S—2

^

+

т

-

т

'

Pu чемъ надобно помнить, что для нисходящей вѣтви Е (О') и Е (О)
будутъ съ обратными знаками.
Если Ѳ' отъ О мало отличается, то соотвѣтствующія части
Ая абсциссы и А у ординаты, получатся изъ:
n

Ах =

д

„

А* = L 0 g | i ^ l A l f 2 . cosî±£,

=

^

д

у

=

Log&
è

s

+
+

.
m

-

W

)

2

*) Tables balistiques pour le tir élevé par Otto, traduit de l'allemand par Rieffel.
1844.

причемъ, для нисходящей вѣтви £ (0') и % ( 0 ) будутъ съ обратными знаками.
Генераломъ Отто, для каждой изъ разлнчныхъ, весьма близJ.2

кихъ между собою, величинъ ^ - ь і Д ф ) == §(ф), илщточнѣе, для
каждой изъ разлнчныхъ велпчинъ ф, были вычислены отдѣлыю
для восходящей п нисходящей вѣтвей части Ду и Дт), соотвѣтствующія частямъ дугъ длиною о' — 0 = 1 ° , для послѣдовательныхъ величинъ 0 , начиная отъ 0 = 0 , и были взяты отдѣлыю
для восходящей и нисходящей вѣтвей послѣдовательныя суммы
2 Д у h 2Дт).
Для того чтобы найти дальность, соотвѣтствующую даннымъ
к2

Ф, V и к , надобно вычислить
-§- g(<р) = | (ф), въ таблиц! величипъ | ( 0 ) , составленной г.Отто для 0 заключающихся въ предѣлахъ отъ 0 ° до 8 7 ° чрезъ каждую минуту, найти ф соотвѣтствуюіцее вычисленному ç (ф), пріискать таблицы 2 Д у п 2Дт), соотвѣтствующія найденному ф, въ таблиц! для восходящей вѣтви
взять соотвѣтствующія углу ф значеиія 2 Д у ц ^Дѵ), въ таблиц!
для ипсходящей вѣтвн взять соотвѣтствующее найденной величин! ЗДтг] зиаченіе .2Ду и это иослѣднее значеніе сложить съ
значеніемъ 2 Д у получениымъ нзъ таблицы для восходящей вѣтвн.
Если обозначимъ послѣднюю сумму чрезъ у, то искомая дальность
будетъ
_
~~2дЬ

Х

к2

oge-л-

Если найденная величина ф не заключается въ табляцахъ, то
надобно опредѣлпть значенія х Для заключающихся" въ таблицахъ
двухъ смежныхъ величинъ ф одной меньшей, а другой большей
найденной ф и опредѣлить искомое у. помоіцію пропорціоналыіыхъ
частей.
1 3 9 . Для болынаго удобства, помощію оиисашіыхъ таблицъ
2 Д у 11
генералъ Отто составилъ таблицу, въ которой, для
разлнчныхъ угловъ бросанія ф отъ 3 0 ° до 9 0 ° чрезъ каждые 5 ° ,

помѣщены значенія х, соотвѣтствующія различньшъ величинамъ ф
отъ ф = ф - + - 1 ° до <jj = 8 7 ° , чрезъ каждыя 1 0 минутъ.
Величина х получаемая изъ этой таблицы для 2 пуд. бомбы,
брошенной подъ угломъ 4 5 ° , съ начальною скоростью 3 7 8 Футъ,
при
—
1

составляем х =

—

с

г

2

_

1 1 0 0 0
1

7048

^\610/

0,2003,

а дальность
x = 5 2 4 саженямъ.
Э т о м меныпій предѣлъ дальности мало отличается о м большаго предѣла равнаго 5 3 7 саженямъ.
1 4 0 . Если точка паденія вышеорудія на величину Ь, то дальность получится пзъ уравненія (п° 1 2 0 ур. (1))
Ъ = хtang<p

—

V

2

)

,

Это уравненіе можемъ рѣшить номощію таблицы величинъ
F 0 2 ), представивъ его въ впдѣ
I . tang 9 . z — j j J n ^ 2 " ®

E) 2 ) • ^ 2 = & >

и задаваясь различными величинами 2, помещенными въ таблице,
пока не найдемъ двухъ достаточно близкнхъ значеній первой части равенства, между которыми заключалась бы величина Ь; тогда
искомое значеніе z найдется помощію пропорціональпыхъ частей;
а дальность получится, умноживъ найденное z на — .

141. Нахожденіе начальной скорости снаряда, который должеиъ пролетишь чрезъ данную точку (я, Ь), при данномъ углгь

бросангя 9 . Возьмемъ уравненіе ( 1 ) п° 1 2 0
b =

гдѣ z=

y

a t m

S

9

- ^ ( z , r

0

2

) ,

("p)2-

Если раздѣлимъ обѣ части уравненія на а и положимъ
ь

- = tangs,
гдѣ е обозначаете уголъ местности, т. е. уголъ составляемый съ
горизонтальною плоскостью прямою соединяющею точку вылета
съ точкою цѣли,
то получимъ
2т2

tang

Ф

-tang с

да

а2

у і

=

ф

у * _

(

\ '

0

0 '

Положмвъ для краткости
2r-

tang ф — tang е

„

и замѣтивъ, что (п° 1 2 0 )
<S{z,v:)

=

(\-u-V2)F{z)-V2,

найдемъ
откуда

QV2 = (1 н- F02) F(z) — Vf,
V =
0

V
У

Ш —
•Q-F(z)-*-1
JF».

Вычисливъ F 0 при помощи таблицы F (г), гдѣ z = — , найдемъ искомую начальную скорость V, помноживъ F„ на — '

о

а:

cCOS
os ф

Если точка паденія на одномъ уровни, съ орудіемъ, то h и

равны нулю.

1 4 2 . Нахожденіе угла бросангя©, при котором? снарядъ, выстрѣленный съ данною начальною скоростью V, ггролститъ чрезъ

данную точку (а, Ъ). Возьмемъ уравненіе траекторін (>г° 1 2 0 ,
УР.

d ) )

Замѣнивъ въ множптелѣ

2 F 2 cos 2 9

величину —I— равною ей
J

величиною I - » - t a n g 2 Ф получимъ
•>
tang" 9

2 F2
wî—z—

tang9H

COS2 ф

1

о F2b
тш—тт

-4-1=0.

ff<œ(ayvy*9)

Рѣшая это уравненіе получимъ для tang 9 двѣ величины

J a

II

^ « a a

2

F W 9 j

-н. /

F2

| / ^ я д э / а а a F cos 9
2

2

2

— 2Ъ - 1 ,

Ф)

изъ которыхъ одна соотвѣтствуетъ углу большему, а другая углу
меньшему угла наибольшей дальности.
Для того чтобы изъ послѣдняго выраженія найти оба значенія

(

окх а 2 У 2
у , - —

ф

*2

)

\

=

I ;

потомъ помощію полученныхъ двухъ значсній 9 и соотвѣтствуюЩІІХЪ
m la-a

имъ двухъ значены
a 2 F 2 cos 2 ф\

а

=

Ё (ф)

найдемъ оба значены

Ф( —,
уі J 11 подставляя въ выраженіе tang 9 , взятое со
знакомъ -4- предъ раднкаломъ, большее значепіе Функціи Ф, получимъ уголъ 9 большій угла наибольшей дальности, а подставляя
въ выраженіе tang 9 взятое со знакомъ — предъ раднкаломъ,
меньшее значеніе Ф, получимъ уголъ 9 меньшій угла наибольшей
дальности.

Если точка паденія па одномъ уровни съ орудгемъ, то надобно

положить въ уравненіп (1) п° 1 2 0 , у — 0 , чрезъ что получимъ

откуда

tano-ф —
9х
Ф ( а х a 2 F 2 еоз 2 ф\
l d u ö 9 —
2 F 2 C O S 2 9 ^ Ч С'
Г2
)>

2 tang ф . cos2<p = у Щ Ф

,

j

или
•ta2

=

9

Это выраженіе даетъ два значенія для угла 9 . Для того чтобы нхъ найти, опредѣлимъ ихъ сначала принявъ Функцію ф = 1 ;
потомъ помощію полученныхъ двухъ значеній 9 и соотвѣтствующихъ имъ двухъ значеній а , найдемъ оба зпаченія Функціи Ф, и
подставляя въ выраженіе sin 2 9 меньшее значеніе Ф1 возьмемъ
для 2 9 значеніе меньшее 9 0 ° , a слѣдователыю для 9 значеніе
меньшее угла наибольшей дальности; подставляя яге въ вырангеніе sin 2ф большее значеніе Ф возьмемъ для 2ф значеніе большее 9 0 ° , a слѣдователыю для 9 значеніе большее угла наибольшей дальности.
1 4 3 . Нахожденіе углападенгя, окончательной скорости, времени полета и полной высоты полета.

Уголъ паденія вычисляется по

ФОрмулѣ ( и °

tang0 = tang9 —

120,

ур.

(2))

Vf).

Для прпмѣра помѣщеннаго въ п ° 1 3 6 имѣемъ х — 3 7 5 9 Ф.,
9 = 4 5 ° , 7 = 3 7 8 Фут., е=

f = 0 , 3 9 2 0 , Vf =

помощію таблицы величинъ S(e, Vf) находимъ
Я (я, Vf)=
и
откуда

1,2809

tang0 = — 1,1712,
0 = — 49°31'.

^=0,2529;

Окончательная скорость вычисляется но Формулѣ («°

120,

УР.(4))
_
ѵ

~

cos <р

V
t?(2,F

0 2

)'cösö'

Для предъндущаго примѣра, помощію таблицы величиыъ
X(z, F 0 2 ) находпмъ
X(z,
и

V2) =

1,2055

v = 3 2 5 футъ.
Время полета вычисляется по Формулѣ (п° 1 2 0 , ур. ( 5 ) )
t =

vj).

Для предъндущаго примѣра, помощію таблицы величинъ
S (z, F 0 2 ) находпмъ
F 0 2 ) = 1,1296
и

* = 1 2 , 4 5 секундамъ.

Для опредѣлеиія полной высоты полета возьмемъ уравпеніе ( 2 )
п° 1 2 0 H положпвъ въ немъ tang 0 = 0 , представимъ его въ
видѣ
„\t~

т/2\

а

Е 2 sill 2<р

F0 ) = - •

.

Изъ этого уравненія, помоіцію таблицы величинъ z5(z, V2),
найдемъ, какъ показано въ п° 1 2 9 , соответствующую величину z.
Умноживъ найденное значеніе z на А ; нолучимъ абсциссу ж'
соответствующую наибольшей высоте полета.

Вставивъ величину х ' вмѣсто х въ уравнепіе (п° 1 2 0 у р . ( 1 ) )
траекторіи получимъ
•

!£?)

искомую полную высоту полета у'.
Для предъидушаго примѣра найдемъ
яЗ(я, F02) =

0,2314.

Зная, что F 0 2 = 0 , 2 5 2 9 , помоіцію таблицывеличинъ
отыщемъ
г =
n

Vf)

0,2036

xt = 0 , 2 0 3 6 . - J = 1 9 5 1 Фут. или 2 7 9 саж.
Имѣя ^

= 0 , 2 0 3 6 и F 0 2 = 0 , 2 5 2 9 , помощію таблицы ве-

личинъ Ф ( я , Vf), найдемъ

Ф(^,702)

=

1,0896

и нзъ уравненія траекторіи получимъ полную высоту полета
1 0 9 2 Фута пли 1 5 6 саженъ.
1 4 4 . Уголъ наибольшей дальности.

Для того чтобы вывести уголъ, соотвѣтствующій наибольшей
дальности, необходимо имѣть уравненіе траекторіи снаряда въ воздухѣ. Такъ какъ точное выраженіе у въ Функціи х найдепо только при
сопротивлепін пропорціоналыюмъ первой степени скорости, то возьмемъ это выраженіе (п° 1 1 7 , ур. ( 4 ) ) для пзслѣдованія угла наибольшей дальности. Дальность на мѣстностп, находлщейсянаодномъ
уровнѣ съ орудіемъ, получимъ,если п о л о ж и м ъ т / = 0 въуравненіи(4),
п° 1 1 7 , H будемъ имѣть
С)

* («"W -

7 = ï ) - . 7 '»8 ( 1 -

nSi)=0.

Для того чтобы определить наибольшую дальность, приравняешь нулю производную ^ отъ уравненія (1), т. е. сделаемъ
dx
dtp '

»I~jjx sin 9

^ F cos 9

(

F sin 9 cos 9 j F c o s <

т>

Вторая производная

d'2x

P - f ) 1 — gx
.

G
cos 9

dx

л

при условш ^ = 0 , есть

d2x
d<p2

дх cos ф -+- Ѵг sin 9
x cos 3 9

При условіи, что точка наденія находится на одномъ уровне
съ орудіемъ, уголъ бросанія <р всегда положительный н производ„

d*x

пая j ^ j отрицательная.
Поэтому величина

x

=

g(s

F 2 cos 9

іпшн-Г)

dx

определенная изъ условія ^ = 0 есть наибольшая дальность и
вставленная въ уравненіе ( 1 ) даетъ
V2
(t

к sin 9 )

(

1

~ t ~ Je sin 9 )

к sin ф

кК2

выраженіе, определяющее зависимость угла соответствующаго
наибольшей дальности отъ величины ^ .
Если обозначишь
sin9 =

з,

F
J =

U,

то последнее уравненіе нриметъ видъ
(2)

(і

7) log(l - н

— j =

и1.

Для того чтобы легче видѣть зависимость угла иаибольшей
V

dz

дальности 9 или sin 9 = z отъ j = и, возьмемъ производную у и
отъ уравиенія (2) и приравпяемъ ее пулю, т. е. положимъ
•г [ l o g !

dz
du

и Iogl

1—

2uz~J

= 0.

1

6 - 7 )

Для того чтобы это выраженіе равнялось нулю, падобпо
чтобы или
1°.. log ( і -+-

=

2 uz,

и л и 2°...z

=

0,

или 3 ° . . . и =

о о .

При
1°.

l o g ( l - » - ï ) = 2tw

уравнепіе (2) даетъ
и =

1—2 z2
Z

,
'

и подставивъ эту величину въ выраженіе log ( 1 -+лучимъ
l o g ( l - b ^ )

=

2 ( 1 - 2 / )

или

для чего необходимо, чтобы
1 —

пли

2z1 =

О

— 2uz, по-

и следовательно, какъ видно изъ выражевія и = — - — , чтобы
и —

О.

При
2°

z

=

уравиеніе (2), написанное въ видѣ
даегъ
И =

ОО.

При
3°

и = оо,

оба члена первой части уравненія (2), написаннаго въ видѣ
M

1

- * - г )
5—- н
си \

M

1
2

- * - ! ) -

1

=

и

\І)

»
z'

J

обращаются въ ^ ; но взявъ какъ отъ числителя, такъ и отъ знаменателя каждаго изъ этпхъ членовъ производный по и, получимъ
1
о

/
\

і

1
+

М
z } z

^

і

+

і

__
"

"

2
'

z

что при и — оо даетъ
и показываетъ, что условія 2 ° н 3 ° тождественны.
Величина

F

= и можетъ изменяться въ предѣлахъ
отъ и = 0

до и = оо

и изъ изложеішаго видно, что производная
только при этихъ прёдѣлахъ, при чемъ sin 9 =

обращается въ нуль
2 получаем зна-

ченія
и

w

Следовательно уголъ наибольшей дальности достигаем наибольшая предела р а в н а я 4 5 ° , когда ~ — о , наименьшая предела р а в н а я нулю, когда

F

=

о о , и вообще темъ менее 4 5 °

у

чемъ тк более.
Для того чтобы уравненія выведенный въ предположены сопротпвленія пронорціоналыіаго первой степени скорости применить къ случаю какого либо сопротивленія, иадобно приравнять
постоянный коеФФіщіентъ j. некоторой средней величине (различной для к а ж д а я уравненія) изъ все.хъ величинъ, принимаемыхъ
в ы р а ж е н і е м ъ - — между пределами ѵ =

V к ѵ. Съ увеличеніемъ

сопротивленія в о з р а с т а е м f (ѵ) и вместе съ этимъ
пени f(v)

(при сте-

более первой), чрезъ что увеличивается коеФФиціенм

х

.

Поэтому, при какомъ бы ни было законе сонротивленія воздуха,
уголъ наибольшей дальности тѣмъ менѣе 4 5 е , чемъ сопротивленіе и начальная скорость снаряда бо.тЬе.
1 4 5 . Для того чтобы вычислить наибольшую дальность даннаго снаряда, брошенная съ данною начальною скоростью, и соответствующей этой дальности уголъ бросанія, надобно вычислить
несколько значеній дальностей, соотвѣтствующихъ различнымъ
угламъ бросанія 9 , взятымъ no обЬ стороны предполагаемая
угла наибольшей дальности, и изъ получениыхъ результатовъ,
интерполированіемъ, получить наибольшую дальность и соответствующий уголъ бросанія.

По такъ какъ для вычисленія дально-

стей нодъ углами бросанія близкими къ углу наибольшей дальности, вслѣдствіе значительности этихъ угловъ, пришлось бы раз-

бивать траекторіи на части и чрезъ это вычнсленія вышли бы
слишкомъ длинный, то нокажемъ приближенный способъ нахоягденія угла наибольшей дальности, когда извѣстна дальность подъ
однимъ какимъ либо угломъ близкйыъ къ углу наибольшей дальности.
Пусть требуется найти уголъ наибольшей дальности 2 4 Ф. сферическаго ядра брошеннаго съ начальною скоростью 1 7 1 2 Футъ.
В ъ п° 1 3 5 вычислили для этого случая дальность подъ угломъ
бросанія 3 0 ° и нашлн ее равною 1 8 2 8 саженямъ. При предположены сопротивленія ироиорціональнымъ квадрату скорости, какъ
объяснено въ п° 1 3 8 и 1 3 9 , помощію таблицъ г. Отто, задавак2

..

.

к2

ясь различными значешямн 5 - , найдемъ то значены % .

при ко-

торомъ нодъ угломъ въ 3 0 ° получается дальность равная 1 8 2 8
саженямъ. Это значеніе получается
(I =

3 7 4 2 Футъ.

Принявъ его иостошшымъ для вычисленія всѣхъ дальностей
близкихъ къ углу наибольшей дальности, найдемъ, иомощію таблицъ г. Отто, дальности нодъ углами въ 3 5 ° и 4 0 ° . Такимъ образомъ получимъ
Ф' = 3 0 ° ;
х'=

®" =

1828

х"=

35°;

®'" =

1848

х'" =

40°.
1838

саа

\

Положи въ вообіцо
(1)

X = а -+- Ь® - н с® 2 ,

опредѣлимъ значенія a, b, с иомощію полученныхъ трехъ величинъ x, соответствующих!, тремъ угламъ ®, и замГ.тнвъ, что для
наибольшаго значенія х
f

ъ -+- 2С®

=

О,

будемъ ішѣть уголъ наибольшей дальности
? =

—

ъ
а?»

а наибольшая дальность получится, вставивъ э т о з н а ч е н і е Ф = — А
въ уравненіе (1).
Если разность между углами
<р",
постоянная и равна 5°,
какъ это принято въ таблнцахъ г. Отто, то п о л о ж и в ъ х " — х ' — А х ,
х'" — х" = Ах", Ах" — Ах' = A V , найдемъ уголъ наибольшей
далыюстп
9 ' -+- ф"
? =

—2

ЬАх'
W

и наибольшую дальность
Я=

(Аж'- ^

ДѴ) .

Для вычисляемая примѣра Дж' = 2 0 ; Дж" =
Д Ѵ = — 30;
уголъ наибольшей дальности Ф =
наибольшая дальность

— 10;

35°50',

ж=

1 8 4 8 саж.

Пусть для втораго примѣра требуется найти уголъ наибольшей дальности сферической 2 и. бомбы, брошенной съ начальною
скоростью 3 7 8 футъ. В ъ п° 1 3 6 и 1 3 9 нашли, что для этого
случая дальность подъ угломъ въ 4 5 ° заключается между 5 2 4 и
5 3 7 саженями. Примемъ 5 3 0 саженъ за действительную дальность. При у г л е <р = 4 5 ° и дальности 5 3 0 саженъ, найдемъ, иомощію таблицъ г. Отто, что — = 8 5 8 0 Футъ. При этомъ значе. fc2
mu — , помоіцію таблицъ г. Отто, нолучимъ
9 =

о - о.

оо ;

_//

іло,

9 = 40 ;

m

1*0

9 = 4 0 .

x ' = 5 0 8 с а ж - , 6 ; ж " = 5 2 6 е ™ - , 9 ; ж"' =

530ca*,0;

" найдемъ А х ' = 1 8 , 3 ; Д ж " = 3 , 1 ; Д Ѵ =

—15,2;

уголъ наибольшей дальности Ф =

43°,5;

наибольшую дальность

530 о а ж -, 6.

х =

III. Прицѣльная стрѣльба.
§1.

Нішцѣлыіан стрѣльба при началыіыхъ скоростяхъ превышаіощихъ 1 2 3 0 Футъ.
14G. Соиротнвлеиіс воздуха на сфсрнческіе снаряды выражается,

9 5 , для скоростей превышающихъ 1 2 3 0 Футъ одно-

членомъ пропорціоналыіымъ квадрату скорости, а для скоростей
меныннхъ 1 2 3 0 Футъ двучленомъ, въ которомъ первый членъпропорціоналеяъ квадрату скорости и второй четвертой степени скорости.
Поэтому если начальная скорость превосходить 1 2 3 0 Футъ и
скорость в ъ точкѣ паденія менѣе 1 2 3 0 Футъ, то необходимо разбить траекгорію на части. Но такъ какъ прицѣльная стрѣльба
производится подъ углами бросанія не превосходящими 1 5 ° , то
вычисленія много упрощаются тѣмъ, что достаточно вычислить
по частямъ траекторію для одного угла бросанія, приблизительно
средннго между углами бросанія употребляемыми при прицѣлЬной
стрѣльбѣ, и полученный точки траекторін отнести къ косоугольнымъ осямъ X,

но направленно касательной въ точкѣ вылета, и

У, по направленію тяжести. У г л ы бросаиія, углы паденія, окончательный скорости и времена полета, соотвѣтствующіе разлпчнымъ дальностямъ, получатся по даннымъ, найденнымъ для траекторін, вычисленной но частямъ, еслндопустпмъ, что, при углахъ
бросанія употребляемыхъ при прицѣльной стрѣльб!, вертикальный разстоянія точекъ траскторін до касательной въ точкѣ в ы лета, не зависать отъ угловъ бросанія. Разберемъ сначала это
Допущеніе.

1 4 7 . Независимость отъ угловъ бросанія вертикальныхъ разстояній точекъ траекторіи до касательной въ точкѣ вылета, имѣетъ
въ точности мѣсто, когда движеніе происходить въ пустотѣ, какъ
доказано въ п° 5 5 , и кромѣ того когда движеиіе происходить въ
сопротивляющейся средѣ, въ которой сопротивленіе нропорціоналыю первой степени скорости. Если выраженія
£C = X C 0 S 9 , у = Хsin 9 — Y,
служащія для перехода отъ прямоугольныхъ координата х u у къ
косоугольньшъ X H F , вставимъ въ уравненія движенія (1), (3),
( 4 ) и (6), п ° 1 1 7 , придопущеніисопротнвленіяпропорціональнаго
первой степени скорости, то получимъ
(1 )
х
'
( 2 )

ѵ

ta„

g ö

=

или, разлагая log ( 1 —

=

t

=

(
\
a

- & у т і л
к / cos ѳ '

Ѵ

n

^

_

_

_

V — 9 - X 1 , ѵ' І Х З , №

У)

1

— 2Ѵ*

_

_

,

) въ рядъ,

/ч\
0

ö

ЗкѴ3

4kW*

(4)

,
5

к

'

Вертикальный разстоянія Y отъ касательной въ точкѣ вылета
и времена полета t, какъ видно изъ уравненій ( 3 ) и (4), не зависать отъ угла бросанія 9 .
Выраженія Г и t a n g ö показываюсь, что для одного и того
иге X, съ возрастаніеиъ

и

> следовательно, съ возраста-

ніемъ сопротивленія при какомъ либо закопѣ сопротивленія (лишь
бы степень f(v) была болѣе первой), вертикальный разстояиія точекъ траекторіп до касательной въ точкѣ вылета увеличиваются,
и углы наклоненія О въ восходящей вѣтвп уменьшаются, а въ
нисходящей увеличиваются.
Уравненія (3) и (4), доказывающія независимость Y и t отъ
угла бросанія въ предположены сопротивленія пропорціональнаго
первой степени скорости, не показываютъ на независимость этихъ
величинъ отъ угла бросанія при другпхъ выраженіяхъ соиротивленія. В ъ самомъ дѣлѣ, такъ какъ скорость ѵ зависим, ур. ( 1 ) ,
о м угловъ ср и <9, то, при примѣненіи выраженій Y и t къ другому закону соііротивленія, надобно, при одномъ и томъ же X, взять
• значены
• -/у( » )разлнчныя, при различныхъ углахъ9.
для у1 среднія
1 4 8 . При какомъ либо законѣ сопротивленія, скорость, время
полета, наклоненіе и уравнеиіе траекторіп выражаются въ прямоугольныхъ координатахъ уравненіями (4), (9), (6) и ( 7 ) п° 1 1 9 .
Если въ эти уравненія подставнмъ
a; =

Xcos9',

F = X s i n 9 —

у,

то получимъ
(1)

v cos О = Х-ф ( a X cos 9 , a F c o s 9 ) ,
/.аХсоз ç

(2).

У ф ( a X cos 9 , a F cos 9 ) . cl ( a X cos 9 ) ,

. . t

a X cos 9
( 3 ) . . . tang Ѳ =

'H

t a n g 9 — да.

aXcos 9

Y = (j\ cl ( a X cos 9 )
4

ф ( a X cos 9 , a F cos 9 ) . d ( a X c o s 9 ) ,

'aXcos 9

<L(otXcos9, a F c o s 9 ) . d ( a X c o s 9 ) ,

или, если для краткости положимъ
'aXcos ф

9

paXcosç

d (ахcos 9)

о

ф (aXcos 9 , aFcos 9 ) .

d (aXcos 9) =

2 ? ( a X c o s 9 , otFco3 9) :

о

TO

(4)

Y=E(aXcos

9 , a F c o s 9),

гдѣ a , какъ знаемъ, есть нѣкоторое среднее значеніе принимаемое

въ предѣлахъ отъ Ѳ = 9 до О.

Последнее уравненіе показываем, что вообще Y з а в и с и м
отъ иаклоненія и длины разсматриваемой дуги траекторін.
Если примемъ для a наименьшую величину изъ всехъ тЬхъ,
который получаем
дуги, то

et cos t»

на всемъ протяженіи разсматриваемой

, заменяющая, при приближенномъ интегрнро-

ваніи дііФФеренціалыіыхъ уравненій движенія, Функцію f(v) буд е м менее f(v), или, что тоже, сопротивленіе воздуха будетъ менее действительная; чрезъ это (п° 1 4 7 ) ординаты Е в ы й д з т ъ м е irte действнтельныхъ, а tang Ü более действительных!» и траекторія в ы й д е м выше действительной. Наоборотъ сопротивленіе будетъ болЬе действительная, если примемъ для а наибольшую величину нзъ всЬхъ те.хъ, который получаем ^ ^ на всемъ протяженіи разсматриваемой дуги, а чрезъ это траскторія в ы й д е м ниже действительной.
Наименьшая величина, которую м о ж е м получить

есть

единица. Поэтому сопротнвленіе воздуха б у д е м менЬе дЬйствительнаго на всемъ протяженін траекторіи при
H величина

а = 1 ,

F ( X c o s 9 , Fcos 9)

будетъ, при всякомъ углѣ бросанія 9 , менѣе ордпнатъ У траекторіи.
Наибольшая величина, которую можетъ получить - 1 — , на
всемъ протяженін дуги, заключающейся между Ѳ = ® н Ѳ = — 9 ,
есть — — . Поэтому при
cos 9

1

а =

,
cos 9 '

величина

щх, V)

(6)

будетъ болѣе ордпнатъ Гтраекторіи, заключающейся между 0 = 9
и О =

— 9 .

Этотъ второй предѣлъ, какъ видно, не зависите отъ угла бросанія.
При малыхъ углахъ бросанія, оба нредѣла, между которыми
заключается ордината Гкривой, мало другъ отъ друга отличаются, H можно взять какой либо изъ нихъ для выраженія ординаты У .
Если нзобразнмъ чрезъ O t иапменьшій нзъ угловъ составляемых!, съгоризонтомъ касательного къ траекторіи, соответствующей
углу бросанія 9 , на протяженін разсматриваемой дуги, и чрезъ
Ѳ г паибольшііі нзъ этнхъ угловъ, то ординаты Г , на всей части
разсматриваемой дуги будутъ заключаться между двумя предѣлами
, , / X cos 9

Fсоз 9 \

V cos 0 ,

'

у, / X c o s 9

cos 0 , /

7сочф\

\ COS0,

'

COS02 / '

Подобнымъ образомъ, предѣлы, огносящіеся къ траекторіи
соответствующей углу бросанія 9 ' , будутъ
р / Х COS 9 '
V

1

C0S Ѳ

F cos ф'\
'

1

C0S Ѳ

„

jf(Xcos
'

V C0S

9'

F cos <?'\
'

C0S

°2

>'

Изобразив !, чрезъ I нанменьшііі п чрезъ L напболыпііі предѣлъ

разности между ординатою траекторін подъ угломъ бросаиін ср п
ординатою траекторін нодъ угломъ бросаніп 9 ' , нолучимъ
I _

y

p / Xcos 9
F cos 9 \
\cos0, ' cos0,/

7 , / X cos 9 '
F cos 9 ' \
\ e o s 0 ' , ' cos 0' 2 ) '

дI /"Xcos?
F cos 9 \
\.cos0 2 > c o s 0 2 j

y / X c o s 9'
F cos 9 ' \
y cos в', ' cos e', / '

Если 9 ' = 0 il въ траекторіи подъ угломъ бросанія 9 разсмотримъ только дугу заключающуюся между 0 = 9 и О = — 9 ,
то 0 [ = О, О, = О, 0 2 = 9 и
I

Е ( Х c o s 9 , FC0S9) — F f - ^ т - ,
• '

\cos 0

г /

2

- V ) ,

' cos Ѳ'2І '

L = О

Такъ какъ наибольшій предѣлъ разности между ординатою
траекторін нодъ угломъ бросанія 9 и ординатою траекторіи соответствующей горизонтальному выстрелу, равенъ нулю, то
ординаты последней траекторіи более ордпнатъ траекторііі подъ
угломъ бросанія 9 на всемъ протяженіи дуги отъ 9 до — 9 .
1 4 9 . Когда уголъ бросанія не великъ, тогда пределы (5) и
( 6 ) п° 1 4 8 , между которыми заключаются ординаты Y траекторіи въ промежутке отъ О = 9 до О = — 9 , мало другъ отъ друга
отличаются, такъ что при малыхъ углахъ бросанія, для траекторій расположенныхъ падъ горизонтомъ, можно допустить независимость отъ угловъ бросаній вертпкальныхъ разстояній точекъ
траекторій до касательныхъ въ точкахъ вылета, и можно принять
У COS

0 = ф{Х,

V),

х
У ф (ж, V). сІХ ,

г

t=

tang О = tang 9 —

ф(ж,

V ) . d X .

cj

ОО9

2d О

IIa этомъ основаніп, если для траекторіи подъ угломъ бросанія Ф' извѣстны наклоненіе О'', скорость ѵ' и время t\ соотвѣтствующія абсцисс! X, то для траекторін подъ угломъ бросанія <р
величины О, V н t, соотвіѵгствуюіція тому же значснію X, будутъ
tang Ѳ — tang О' — tang 9' - н tang 9 ,
V '—'

r ' COS в '

COS в

'

t=t'.

1 5 0 . Перейдемъ къ вычнсленію по частямъ траекторіп подъ
угломъ бросанія 9 ' и къ опредѣленію, по даішымъ найденнымъ
для этой траекторіи, угловъ бросаиій, угловъ падепій, скоростей
я временъ полета, соотв!тствуюіцпхъ различнымъ дальностямъ.
Обозначпмъ чрезъ Ѳ' п ѵ иаклоненіе и скорость въ какой либо
точкѣ траекторіи подъ угломъ бросаиія 9 ' .
1°. Первую часть траекторіи должно взять (ФИГ. 5 2 ) отъ
точки вылета 0 , въ которой начальная скорость V болѣе 1 2 3 0
футъ, до точки 31, въ которой скорость есть Ѵ'= 1 2 3 0 Футъ, и
вычислять ее при выраженін сопротивленія (п° 1 2 1 )

гдѣ

Р
6 —

и, при

Фут!

и

Фунт!

2 Л п і Р д

п.

П

взятыхъ за едшшцы ( F 9 5 ) ,
JE =

0,0013.

Для вычііслспія первой части траекторіи найдемъ сначала при ближенную величину угла наклопенія 9 " траекторін въ т о ч к ! 3 1
изъ Формулы (6) F

121,

tang 9 " =

tang

ф ' - I ^

принимая а =

, F, =

FCOS9',

F/ =

Vcos9'.

По найден-

ной приближенной величшіѣ 9 " в ы ч и с л и м ъ а изъ Формулы (п° 1 3 0 )
g ( у ' ) - g (у")
tang 9 ' — tang у " '

Зная A H приближенное значен іе 9 " , найдемъ
X =

OQ изъ Формулы (3) п°

/
2с
% — —
a

у =MQ
/

у =

121

1

т
F cos у '
. Lüg
Log е
° V cos у " '

изъ Формулы (1) 11° 1 2 1

/.

X tang 9

t

«к»'2

2 F 2 cos2 у'

t,

fax'\

\~с )

;

достаточно точное значеніе 9 " изъ Формулы (2) и° 1 2 1
tang 9 " = tang 9 ' время t' полета снаряда отъ точки О до точки Ж" изъ Формулы (5)
п°

121

1

~

F cos у

1

\ 2с/ *

Въ косоугольныхъ координатахъ, абсцисса ОР = X' точки Ж
будетъ
г

Х'=

ордината МР=

x'
COS у '

Y' точки Ж будетъ
Y' = X ' sin 9 ' — г].

Вследствіе допущенія независимости угла бросанія отъ вер-

тикальныхъ разстояній точекъ траекторіи до касательной въ точкѣ
вылета,
уголъ бросанія ф,, определенный нзъ выраженія
Sin <р, =

Y'

будетъ соответствовать горизонтальной дальности
ж, = X ' c o s <р,.
Уголъ паденія в х , окончательная скорость ѵ н полное время
полета t, будутъ (п° 1 4 9 )
tang 0 , = tang 9 " — tang ф' - ь tang 9 , ,
V cos
1> —

9"
7Г~

COS Ѳ [

tx =

)
'

t'.

2°. Вторую и прочія части траекторіи подъ угломъ бросанія
ф', должно вычислять при выраженіи сопротнвленія (п° 1 2 0 )
р

где

р
С —

и, при

ФѴТЬ

п,

2ЛЪБ20 ' П

и Фунтѣ взятыхъ за единицы, (п° 9 5 )
Л = 0,000255

и г=

G10.

Для вычисленія второй части траекторіи зададимся какою
либо величиною Х" = ОР, горизонтальная абсцисса MQ' — x"
точки М ' будетъ
х" — (Х" — Х')

cos

Опредѣлпмъ сначала приближенную величину угла наклоненія
у ' " въ точкѣ M ' пзъ формулы ( 2 ) п° 1 2 0
,

ш

.

„

ах"

t a n g y = tang у
принимая о, =

-, / а х "

у'2 s <?" \Т '
CO 2

a'- F ' 2 cos 2 <р"\

да-),

1

cos 9 "

П о найденной приближенной величии!; у

m

вычислить а

пзъ

Формулы
а

tang tp"— tang ф'" '

Зная а , найдемъ
ординату M'Q' =
а

y = X

а.

у" точки Ж ' изъ Формулы ( 1 ) п° 1 2 0

tang

У

а

дх"г
m fax"
a2F'2cos2<p"\
2 F ' 2 COS 2 ф"
'
да-);

достаточно точное значеніе у ' " нзъ Формулы ( 2 ) п° 1 2 0
.„,,„

m

,„„„

//

tang ф = tang у

</ж"

у * cos ф"
2

«/сив"

a2F'2cos2ф"\

\~с" '

да)?

скорость V" въ точкѣ M' изъ Формулы (4) п° 1 2 0
V" one
к

COS у

"'—
_

F ' cos ф"
д, у , 2 cos,
M e '
r2

ф

„

,
)

время t" нолета снаряда отъ точкп Ж до точки Ж ' по Формулѣ
(5) п° 1 2 0
м
—

х"
r
V' cos ф" '

I ах"
a2F'2cos2y"\
Ѵ ~ '
72
) '

время полета снаряда о м точки вылета О до точки Ж будетъ
tа -t-t,п.

В ъ косоугольныхъ коордшіатахъ, абсцисса O P ' точки Ж' есть
заданная X", ордината М'Р' = Y" точки М' будетъ
Y" =

Г -+- (X"—

X')

sin

«p' —

у".

У г о л ъ бросанія ф 2 , опредѣленный изъ выраженія
Y"

sin о 2 =

x?,

будетъ соответствовать горизонтальной дальности
х2 =

cos ф 2 .

X"

У г о л ъ паденія 02, окончательная скорость ѵ и полное время
полета t2 будутъ (п° 1 4 9 )
t a n g Ѳ2 =

t a n g 9 ' " — t a n g <p' -+- t a n g 9 , ,
V —
j

t2 =

V" cos
COS Ѳ2

,/

t

«p'"
TT—,
'

,n

-+-1.

3 ° . Для вычисленія третьей части траекторіи подъ угломъ
бросанія ф' зададимся новою величиною X'" = ОР", горизонтальная абсцисса M'Q" точки М" будетъ
х'" =

{Х'" — Х")

cos 9 ' .

Величины у " , t a n g ф / ; ' , V'"cos9^, t'" опредѣлятся точно такъ
какъ соответственный величины для второй части траекторіп.
В ъ косоугольныхъ координатахъ абсцисса О Р " точки М "
есть заданная

X'",

ордината 31"Р"
Y'" =

=

Y'" точки 31" будетъ

Y" -е- (X'"

— X")

sin 9 ' —

у".

Уголъ бросанія <р3 опредѣленный изъ выраженія
у///

sin Фз = ^ттѵ
будетъ соответствовать горизонтальной дальности
х 3 = X ' " cos фз.
Уголъ наденія Ѳ 3 , окончательная скорость ѵ п полное время
полета t3 будутъ
tang Ѳ 3 = tang 9 я — tang 9 ' -+- tang ф 3 ,
F ' " cos®/''

-г1— ,

v =

ttz =

cos 0 3

'

tJ -Л-1i" + [ l'" .

Дальнейшія вычисления производятся подобно предъидущему.
1 5 1 . В ъ следующей таблице помещены результаты вычислены траекторіи сферпческаго 10 Д , 7 5 ядра, выстрЬленнаго изъ
3 п. бомбовой пушки, зарядомъ въ 4 0 Фунтовъ призматическаго
пороха, подъ угломъ бросанін 9 ' = 5 ° .
В ѣ с ъ ядра 1 7 7 ФН.; радіусъ его R = 0 , 4 4 2 1 ФТ.,Ппринять
равнымъ П,; = 4 , 4 7 2 1 ; начальная скорость Ѵ= 1 4 3 8 ФТ.

Траекторія сферпческаго ядра, выстрѣленнаго изъ 3 п.
бомбовой пушки съ начальною скоростью 1438 футъ,
подъ угломъ бросанія 9' = 5°.
А б с ц и с с ы счиВ е р т и к а л ь н ы й разстоя- Н а к л о н е Горизонтаемый по к а с а - ніл т о ч е к ъ траекторіи ніе траектальный
тельной в ъ точкѣ до касательной в ъ точкі.
проекціи
тории
вылета.
вылета.
скоростей.
X
Г
в'
ѵ' cos Ѳ'
Сажени.
152,3
400
700
1000
1300
1600

Сажени.
1,41
8,65
42,95
104,31
206,55
362,81

3°54'
1°14'
— 3°33'
—10°11'
—18°37'
—28°30'

Время
полета.

Y.Ï

Футы.

Секунды.

1227
994
821
704
613
536

0,802
2,381
4,711
7,473
10,700
14,354

Изъ полученныхъ результатовъ, на основанін допущенія независимости отъ угловъ бросанія вертикальныхъ разстояній точекъ траекторіи до касательной въ точкѣ вылета, составлена следующая таблица.

Таблица прицѣльиой стрѣльбы сферическнмъ ядромъ
изъ 3 п. бомбовой пушки, при начальной скорости
1438 ФТ. въ IеГоризонтальн ы я дальности.

У г л ы броса-

У г л ы паде-

нія.

ВІЯ.

X

9

�

32'
Ы39'
3°8Г
б°59'
9° 9'
13=> 6 '

0°34'
2 ° 7'
5 ° 2'
9°14'
14=45'
21°41'

Сажени.
152,3
400
699
995
1283
1558

Окончательный с к о рости.

Времена по-

V

t

Футы.

Секунды.

1227
994
825
713
634
577

0,802
2,381
4,711
7,473
10,700
14,354

лета.

Углы бросанія, углы паденія, окончательный скорости и времена полета, соответствующее равноотстоящимъ дальностямъ, могутъ быть получены изъ данныхъ, помѣщенныхъ въ последней
таблиц!, при помощи граФііческаго интерполированія.
1 5 2 . Покажемъ, что составленная изложенным!, способомъ
таблица прицельной стрельбы достаточно точна. Наиболыпія погрешности должны соответствовать угламъ бросанія въ 0 ° 3 3 ' и
в ъ 1 3 ° 6 ' , какъ наибол Ье отличающимся отъ угла бросаиія ® ' г = 5 0 ,
подъ которымъ траекторія была вычислена по частямъ.
Для горизонтальной дальности 1 5 2 , 3 е., соответствующей въ
таблице углу бросанія 0 ° 3 2 ' и окончательной скорости 1 2 2 7 ФТ.,
были, при выраженіи соиротивленія пропорціональнаго квадрату
скорости, вычислены уголъ бросанія ®, уголъ надепія 0 , окончательная скорость v и время полета t. Они получились: ® = 0 ° 3 2 ' ,

0 = 0 ° 3 3 ' , « 7 = 1 2 3 1 ФТ., t = 0 С , , 8 0 1 9 , какъ видно, весьма
блпзкіе къ помѣщеннымъ въ таблиц!.
Подъ угломъ бросанія 1 3 ° 6 ' вычислили траекторію, разбивъ
ее на три части: отъ точки вылета до точки, въ которой скорость
равняется 1 2 3 0 ФТ., ОТЪ этой точки до точки нисходящей вѣтви,
въ которой уголъ наклоненія траекторіи, но числовой величин!,
равнялся углу наклонеиія въ той точк!, въ которой скорость
была 1 2 3 0 ФТ., и отъ нослѣдпей точки до точки иаденія на местности, находящейся на одномъ уровп! съ орудіемъ. Результаты
были получены слѣдующіе: х = 1 5 8 2 е., 0=21°49', ѵ = 5 8 4 ФТ.,
t= 1 4 , 4 9 8 сек. Эти результаты, какъ видно, мало отличаются
отъ помѣщеиныхъ въ таблиц!.

1 5 3 . Въ обыкновенныхъ случаяхъ прицѣлъной стрѣлъбы, уіолъ
бросанія отнесенный къ прямой соединяющей точку вылета съ
цѣлъю почти не зависишь отъ угла мѣстности, гші высоты цѣли.

При неболыннхъ углахъ бросанія можно принять а = 1 и если
нзобразимъ чрезъ а п Ъ горизонтальное и вертикальное разстояніе
ц!лн отъ точки вылета, то уравненіе траекторіи ( 7 ) п ° 1 1 9 , при
какомъ бы ни было закон! сопротивленія, приметь видъ
га

га

h = a tang <р — gg IIdx
dx J фф (x, F , ) dx.

Обозначивъ чрезъ s уголъ местности, т. е. уголъ составляемый съ горнзонтомъ прямою соединяющею точку вылета съ ц!лыо,
будемъ имѣть tang в = - , и, разд!ливъ уравненіе траекторін па

tang © — tang e = f

fa

fa

dx U (x, F , ) dx,

или
sin (9 — e)
cos 9 . cos e

ф(ж,

Vt)dx.

При малыхъ значеніяхъ угла 9 величина горизонтальной проекціп начальной скорости V, мало отличается отъ начальной скорости V, такъ что вторая часть равенства можетъ быть разсматриваема, какъ величина независимая отъ <р; а въ первой части
равенства, при малыхъ значеніяхъ 9 н s, произведете cos 9 . cos e
мало отличается отъ единицы. Поэтому можемъ принять
•а

s i n ( 9 — е ) = і dx

V) dx

Это выраженіе показываем, что уголъ ( 9 — в), составляемый касательного въ точкѣ вылета съ прямого соединяющею точку
вылета съ цѣлыо, т. е. уголъ бросанія отнесенный къ прямой соединяющей точку вылета съ цѣлыо не зависим о м угла местности, или высоты цѣлп.
На независимости угла (9 — г) о м высоты цѣли основано
ирицѣливаніе орудій помощію прицѣла, обыкновенно употребляемое при стрѣльбѣ изъ пушекъ и едннороговъ.
154. Случай когда скорость въ точкѣ падснія не менѣе 1230

Футъ. В ъ этомъ случаѣ не нужно разбивать траекторію на части
и траекторію слѣдуем вычислять при выраженіи сопротивленія
(я° 121)

r=f(v)=£>

?

гдѣ, если допустнмъ П = П , ,
С

_

Р

~

2Л~1і2у

и, при Футѣ и Фунте взятыхъ за единицы (п° 95),
.

<А, =

0,0013.

Прп небольшой высотѣ цѣли можно принимать а = 1. Еслп
изобразимъ чрезъ а и Ъ горизонтальное и вертикальное разстоянія цѣли до точки вылета и чрезъ s уголъ мѣстностп, то получимъ
tang s
и уравненіе (1) п° 1 2 1 , по вставкѣ въ пего у = Ъ,
X = а и раздѣлсніп его на а, дастъ
(tang 9 — tang е) cos 2 9 = ^

F (?)

или
• /
\ cosy
S i n ( 9 — £) •
=
' cose

па - n f a \
тіітг F
- •
2F2
\с/

„

cos у

,

Принимая, по малости угловъ 9 и £, ^ ^ = 1, получимъ для
угла бросапія отнесеннаго къ прямой соединяющей точку вылета
съ цѣлыо выражепіе
Sin (9 —
Если точка паденія па одномъ уровиѣ съ орудіемъ, то Ъ = О
и уравпеніе ( 1 ) п° 1 2 1 дастъ
sin 2

Уголъ

9 = 1 И ? ) .

падепія получится

изъ

Формулы

tang О = tang 9 - y j ^ F \ ( ? ) .
Окончательная скорость будетъ
V =

V
о
е2®

•

cos у
cos в

.

Время полета будетъ
t-

/
-

F cos у

F

(-)

4 2 с)'

1 5 5 . Если извѣстна скорость ѵ па весьма ne большомъ разстояніи а отъ орудія, то уголъ бросапія 9 весьма мало отличается,
п о числовой величииѣ,
отъ угла наклоиенія О траекторіп въ
точкѣ, въ которой пзвѣстпа скорость ѵ, такъ что можно принять
cos 9 = cos О и начальная скорость V, при скорости ѵ не меньшей
1 2 3 0 Футъ, получится изъ
а

Ѵ=ѵ.еГс,
а

или, разлагая е

2С

въ рядъ и пренебрегая, по малости а сравни-

тельно съ с, членами со вторыми и высшими степепямн У передъ
единицею, будемъ пмѣть
1 5 6 . Если извѣстно время полета t между двумя точками
траекторін, находящимися въ блпзкомъ разстоянін а одна отъ
Другой, то уголъ наклонёнія 9 траекторіи въ первой точкѣ, въ которой скорость изобразимъ чрезъ V, мало отличается огъ угла
наклоненія О во второй точкѣ, такъ что можемъ принять
cos 9 = cos Ѳ, п зависимость между временемъ t и разстояніемъ а,
при скорости F не меньшей 1 2 3 0 Футъ, найдется пзъ
±
0

а
-п
\
Fcos<p
1\2с/>

а скорость на срединѣ разстоянія а будетъ
а

Исключивъ F изъ обопхъ уравненій получимъ
У =

т

а

t cos ф

F

(--)

» \2с/
—- ,
а_ 1
ew
а,

или, прппомішвъ (»° 1 2 1 ) что F, (jCj = * ~
е

1

и разложпвъ^, (jj^

2с
іб*

О.

H е' с въ ряды, пренебрегая предъ единицею членами, въ которыхъ
входитъ AL

в ъ

степеняхъ выше третьей, будемъ имѣть скорость

на средипѣ разстоянія а
Ѵ

~

t. cos 9 С 1

24 ( 2 с )

] '

Если уголъ ф весьма малъ, то

Эта Формула, какъ віідѣли въ п° 2 3 , показываете что, при
измѣреніи временъ, заключающихся въ прсдѣлахъ отъ 0 , 1 0 до
0 , 1 5 секунды, за скорость снаряда въточкѣ находящейся на средин! разстоянія, для котораго опред!лено время полета, можно
принимать частное отъ разд!ленія этого разстоянія на время прохожденія его снарядомъ.
§

И.

Нішцѣлыіая стрѣльба при пачальпыхъ скоростяхъ мепьшихъ 1 2 3 0 Футъ.
1 5 7 . Когда начальная скорость меньше 1 2 3 0 Футъ, траекторію нужно вычислять при выраженіи сопротивленія воздуха (п° 1 2 0 )

ww-ép-aг д ! , если допустимъ П = = П , ,

_
С

~

V
ЧЛтЛГц

и, при ФѴТ! п Фунт! взятыхъ за единицы (п° 9 5 ) ,
JE = 0 , 0 0 0 2 5 5 , г =

610.

Такъ какъ прицѣльная стрѣльба производится подъ углами
бросаиія, пе превышающими 1 5 ° , то можно траскторію не разбивать на части и принимать а = 1, когда углы бросанія пе превосходите 8 ° , и а =
, когда углы бросанія болѣе 8 ° .
Задачи относящаяся до прицѣльной стрѣльбы рѣшаются но
этому но Формуламъ, прпведенпымъ въ отдѣлѣ о навѣсной стрѣльбѣ
малыми зарядами.
158. Нахожденіе дальности по извѣстнымъ углу бросатю и
начальной скорости.
Если точка паденія выше орудія на величину Ь, то дальность

« получится (п° 1 4 0 ) изъ

гдѣ z =

y ,

Fe'=f-?)\

Задаваясь различными величинами z, помещенными въ таблиц!
V 0 2 ), пайдемъ два достаточно блпзкія значенія первой части
равенства, между которыми заключается Ъ\ тогда искомое значепіе z получимъ помощію пропорціональпыхъ частей; а дальность
чрезъ умноженіе иайдеинаго z на

f.

Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудгемъ, т о ( п ° 1 3 С )

им!емъ

гдѣ s =

y , V02=

Вычисливъ вторую часть уравпеиія, найдемъ, при помощи
таблицы z<£(z, V2), какъ показано в ъ п ° 1 2 9 , соответствующую
величину z; а умиоживъ пайденпое z на f

получимъ дальность.

1 5 9 . Нахожденіе начальной скоростгі снаряда, когпорыйдол-

•

окснъ пролетѣтъ чрезъ данную точку (а, Ъ), при данномъ углѣ

бросанія ©. Для оиредѣленія начальной скорости имѣемъ (и 0 1 4 1 )
у

Г

Д

=

(G

т /

=

*(«>

GL2.TANGY-TANGE
а2
<7а
'

=

с '

,

°

а

Вычисливъ Ѵ0 при помощи таблицы F(z), найдемъ искомую
начальную скорость V помноживъ Ѵ0 на а С д 3 у •
Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, то Ъ и е

равны нулю.
1 6 0 . Нахожденіе угла бросанія <р, при которомъ снарядъ,
высгпрѣленный съ данною начальною скоростью V, пролетишь

чрезъ данную точку (а, Ъ). Для пахождепія угла бросанія © ішѣемъ (п° 1 4 2 )
tang?

=

V2
до®

(г,

,/
V f )

r

Г

F

g a 4 \ z , V f )

2b

V f )

—

1,

гдѣ передъ корнемъ удержанъ одшіъ знакъ — , потому что предполагается, что стрѣльба производятся подъ небольшими углами
бросаиія.
Сначала опредѣлимъ приближенное значеніе угла ©, принявъ
Vf ) = 1 ; потомъ найдемъ для этого значенія ? величины
а = АыД

Б 2 ) » подставивъ ихъ въ выраженіе t a n g ? ,

11

найдемъ достаточно точное значеніе ? .
Если точка паденія на одномъ уровиѣ съ орудіемъ, то пмѣемъ
(гг° 1 4 2 )
=

V f ) ,

откуда сначала опредѣлпмъ приближенное значеніе угла ? , нриX

нимая z =—,

-ГТ-2

F

2

У0 =-рг,

^

,

и потомъ, еслп нужно, болѣе точное,

„

.

v

»

а

®

пршскавъ а соответствующее найденному у и положивъ z = —,
уъ

О

а2 F

2

cos2 ф

•

1 6 1 . Нахожденге угла паденія, окончательной скорости и
времени полета.
У г о л ъ паденія получится изъ Формулы

tang О = tang у — Щ, 3 (z, F 0 2 ).
Окончательная скорость изъ Формулы

F
'

г =

Время полета изъ

cosy

V(z, Ѵ0~) ' coTÖ '

Формулы

1 6 2 . Если пзвестпа скоростью на весьма иебольшомъ разстояніи а отъ орудія, то уголъ бросанія у весьма мало отличается
отъ угла иаклоненія О въ точке, въ которой известна скорость ѵ,
такъ что можно принять cos у = cos О, и начальная скорость F ,
при скорости v меньшей 1 2 3 0 Футъ, получится пзъ

или такъ какъ (п° 1 2 0 )

то

Y

1 — 1 )

а

Разлагая е с въ рядъ и ограничиваясь, но малости а сравнительно съ с, членами съ первыми степенями у , получимъ

1 6 3 . ІІахожденіс угла бросанія отнесенпаго къ прямой соединяющей точку вылета съ цѣлъю, когда высопга цѣли надъ орудіемъ и

уголъ бросаит не велики. Выражепіе угла бросанія, когда снарядъ
должепъ пролетѣть чрезъ точку, находящуюся на данной высотѣ
надъ орудіемъ, болѣе сложно (п° 1 СО) чѣмъ когда цѣль находится на
одной высогі; съ орудіемъ; но это выраженіс упрощается, когда высота цѣли п уголъ бросапія не велики. В ъ этомъ случаѣ можно принять а = 1. Если пзобразпмъ чрезъ а и Ь горизонтальное и вертикальное разстоянія цѣли до точки вылета и чрезъ е уголъ мѣстности, то получимъ tang е = -4-, и уравненіе ( 1 ) п° 1 2 0 , по
вставкѣ въ uero у = Ь, х= а н раздѣленіп его на а дастъ
(tang ер -

tang в) cos 2 9 = ^ ф ( J , Щ ,

ИЛИ
s i n (ѵ 94 — в ) . ^
=
' cos e

4 2 L2 Ф ( - ,
2F
Vс '

Принимая,
по малости Jугловъ 94 и е,
1
'

'

cos е

г2

V
Г

= 1 и —2 - = —
2
Г

г

'

получимъ для угла бросапія отнесеннаго къ прямой соединяющей
точку вылета съ цѣлью выраженіе

независящее, какъ и слѣдовало ожидать (п° 1 5 3 ) ,
местности.

отъ угла

164. Зависимость между высотами прицгъла и углами бро-

санія и мѣстности. Пусть О (ФИГ. 5 3 ) представляем центръ

Дульнаго срѣза и вмѣстѣ съ тѣмъ точку вылета снаряда; OA проДолжеиіе оси орудія, которое предполагаемъ совнадающимъ съ
касательного къ траекторіи въточкѣ вылета; M дѣль, Р ироекція
е я на горизонтальную линію OP; С Б высота боковой мушки надъ
осыо орудія; ED высота надъ осыо орудія точки, отъ которой
считаются высоты прицѣла. Продолженіе прямой MB онредѣляетъ
высоту ЕЕ прпцѣла, соответствующую разстоянію ОМ. ПровеДомъ BG параллельно оси AD. Уголъ FID составляемый линіею
прицеливанія FM съ осью орудія, равный углу FBG, называется
угломъ прицелнванія.
Уголъ прицелнванія m определяется помощію угла бросанія
АОР—ф, угла местности МОР — s и угла ОMB — г , нодъкоторымъ точки О м В видны пзъ цели; изъ треугольника ДОЖимѣемъ
АОМ= AIM - н ОМВ, или © — 6 = ffl + i, откуда
m = ср — г — і.
Уголъ і , имѣющій вершину въ цели и упирающійся на точки
О и В всегда довольно малъ, такъ что имъ можно пренебречь, и,
следовательно, допустпть:
m =

ср —

s,

т. е. что уголъ прнцЬлцвашя равенъ углу бросанія отнесенному
къ прямой соединяющей точку вылета съ целью.
Еслп назовемъ ВС чрезъ г, ED чрезъ R, разстояніе мушки
до прицела BG чрезъ I, высоту прицела ЕЕ чрезъ /г, то пзъ
треугольника ЕВ G получимъ EG — RG . tang m , пли
h-\-R — r — l . tang m,
откуда
h — l. tang m — (R — r)
или
h — l . tang(<p — s) — (R — r).

Если BG=ED,
т. е. В = г, какъ принято для всѣхъ наінихъ нарѣзныхъ и большей части гладкпхъ орудій, то
h = l . tang(q> — e).
1 6 5 . Зависимость между боковыми отклоненгями цѣлика
прицѣла и боковыми отклоненгями снаряда. При боковомъ ири-

цѣлѣ, если траекторія заключается въ вертикальной плоскости,
проходящей чрезъ ось орудія, то чтобы попасть (ФИГ. 5 4 ) въ
точку М , находящуюся въ этой плоскости, надобно отклонить
цѣлнкъ вправо на величину
F f = ЕВ. tang FBf или F f = ЕВ. tang OMB.
Но уголъ O M B . имѣющій вершину въ цѣли и упирающійся
въ точки О и В, всегда довольно малъ, такъ что нмъ можно пренебречь, и боковой прицѣлъ къ гладкимъ орудіямъ не снабжается
подвижнымъ цѣликомъ.
Если траекторія снаряда не заключается въ вертикальной
плоскости стрѣльбы (какъ траекторія продолговатыхъ снарядовъ)
и боковое отклоненіе снаряда на разстояіііи ОМ=а есть ММ'—з,
то для того чтобы попасть въ точку Ж , надобно, при наведсніи въ
нее, отклонить орудіе па уголъ M O M ' и цѣликъ на величину
/

7і ІУІ. '

Ff = ЕВ. -ß-.

t

Называя Ff чрезъ Ь, принимая безъ чувстви-

тельной погрешности пМ' — ММ' = з, пВ = МО = а, и замѣтивъ (ФИГ. 5 4 ) , что Е В = У * 2 -л- [Ii -+- В — Г]Г, получимъ
^ =

J У Г - f - [h-t-B

—

r f .

Если R = r п h мала въ сравненіи съ / , то
S = - . Z.
1 6 6 . Ошибка отъ прицѣливангя. Если изобразимъ чрезъ Ah
ошибку въ высотѣ прпцѣла, чрезъ Д5 ошибку въ боковомъ отклоне-

піи прицѣла il чрезъ a разстояіііе цѣли, то вертикальное разстояніе Ay снаряда отъ цѣли будетъ приблизительно
A
Ау =

а .

hh
т

,

а боковое разстояніе Az снаряда отъ цѣли будетъ приблизительно
А
Az — а . -J .

1 6 7 . Ошибка отъ наклонного положенія цапфъ. Е с л и орудіе
обращается вокругъ своей оси н прп этомъ лѣвая цап<і>а подымется на столько, что ось ея с о с т а в и м уголъ а с ъ первоначальн ы м ^ горизонтальнымъ ея положеніемъ (ФИГ. 5 5 ) , то вершина
мушки В и точка G (ФИГ. 5 3 ) новерпутся также на уголъ а и
переместятся, на Фигуре 5 5 , в ъ точку G'; направленіе прицела,
совпадавшее до обращенія орудія съ направленіемъ FEG перпендикулярнымъ къ оси орудія и къ оси цапФЪ, переместится в ъ
F'E'G', которое б у д е м перпендикулярно къ оси орудія и къ новому положенію оси цапФЪ, при чемъ длина F'G' = FG. Для того
чтобы не было ошибки въ прицѣливаніи отъ наклонная положенія осп цапФЪ, было бы необходимо, чтобы прицелъ, и при наклониомъ положеніи оси цаіві-ъ, заключался въ вертикальной плоскости и проходилъ чрезъ вершину переместившейся мушки, т. е .
ймѣлъ бы на Фигурѣ 5 5 направленіе F " G ' . ІІо такъ какъ прпцЬлъ
пршшлъ положеніе FE', то происходящая отъ этого ошибка в ъ
боковомъ отклоненіи нрпцЬла будетъ Д ^ = F f , а въ высот!; прицела Ah = F"f.
АЪ = F'f = F'G'. sin a = (h -+- В — г) sin а ,
Ah=F"f=

F'G'(\—cosa)=2F'G'sin2

\ = 2 (h-t-B—r) sin 2 \ .

Поэтому если наведемъ орудіс в ъ цЬль, когда лЬвая цапФа
выше правой, прнцЬломъ, не сделавъ вт, немъ соответствующих!.

поправокъ, то снарядъ попадетъ (п° 1 6 6 ) вправо отъ цѣли приблизительно на разстоянін

Az = j (h ч- R — г) sin a ,
u ниже цѣлп приблизительно на вышину
Ay=j(h-*-R

— r).2sin2|.

Для гладкой облегченной 1 2 Ф. пушки съ выдвпжиымъ прицѣломъ нмѣемъ R = r, I = 6 8 2 линіи. Положимъ, что одно колесо
лафета этого орудія ва 6 дюймовъ выше другаго, при ширин!
хода лаФета въ 5 8 дюймовъ; sin a = ^ , такъ что a = 5 ° 5 7 ' . При
стр!льб! ядромъ, зарядомъ въ 2 , 7 5 Фунта артиллерійскаго пороха, на разстояніи « = 4 0 0 сажепямъ, высота н р п ц ! л а 7 і = 3 4 л и ніямъ. Ошибки отъ наклоннаго положенія цапФъ будутъ
Дг = 2 , 1 саж.
Дт/ = 0 , 1 саж.
Для нарѣзной 4 Ф. пушки съ боковымъ приц!ломъ имѣемъ
R =

r, I =

2 8 5 лпній. Положимъ, что одно колесо лаФета выше

другаго па 6 дюймовъ, при ширин! хода лаФета въ 5 8 дюймовъ,
такъ что а =

5 ° 5 7 ' . При стрЬльб! гранатою, зарядомъ въ 1 , 5

Фунта артпдлерійскаго пороха, па разстояніп а =
h=

4 0 0 сажепямъ,

1 3 , 5 лішіямъ. Ошибки отъ наклоннаго положенія цапФъ бу-

дутъ

Az =

1 , 8 саж.,

Ау = 0 , 1 саж.
На разстояпіп 8 0 0 сажеиъ, 7А =

3 0 лпніямъ и ошибки отъ

того, что одно колесо лаФета выше другаго.на 6 дюймовъ будутъ

Az = 8 , 7 саж.

Ау = 0 , 5 саж.

IV. Перекидная стрѣльба.
1 6 8 . При прицѣлыюй и навѣсной стрѣльбѣ требуется, чтобы
снарядъ пролетѣлъ чрезъ данную точку и для удовлстворенія этому
условно определяется уголъ бросанія, при данной начальной скорости, или начальная скорость прп данномъ угле бросанія. При
перекидной стрельб! траекторія должна удовлетворять двумъ условіямъ (или снарядъ должепъ проходить чрезъ д в ! данныя точки,
пли чрезъ одну точку, но при данномъ наклоневіи траекторіи въ
этой точке), и для выполненія этихъ двухъ условій необходимо,
чтобы какъ начальная скорость, такъ и уголъ бросанія имели
определенный величины.
В ъ большей части случаевъ перекидной стрельбы начальная
скорость менее 1 2 3 0 Футъ, и потому мы займемся решеніемъ
вонросовъ, относящихся до этой стрельбы при выраженіп сопротивленія воздуха (п° 1 2 0 )

где, если допустимъ П = П , ,
_
° ~

Р
2ЛгЛ2д

и, при Футе и Фунте взятыхъ за единицы (п° 9 5 ) ,
сА, = 0 , 0 0 0 2 5 5 ,

г=

610.

Перекидная стр!льба, при несколько значителыіыхъ скоростяхъ, производится подъ малыми углами бросанія, н при малыхъ
скоростяхъ углы бросанія не нревосходятъ обыкновенно 1 5 ° . Поэтому въ Формулахъ п° 1 2 0 , служащпхъ для рѣшенія вопросовъ
перекидной стр!льбы, будемъ принимать а = 1.

169. Нахооісденіе начальной скорости и угла бросанія снаряда, который долженъ пролетѣть чрезъ двгь данныя точки.

Пусть а и Ь суть горизонтальное и вертикальное разстояиія отъ
орудія одной изъ точекъ н а', V разстоянія другой точки. Искомые
начальную скорость п уголъ бросанія изобразимъ чрезъ F и ©.
Такъ какъ траекторія должна проходить чрезъ обѣ точки, то
будемъ имѣть

или

b=

«tang

Ъ' =

а' t a n g

-^g?(?,F

9

9

0 2

_ f ^ ( i ' , F

),

0 2

)

Вычитая одно уравненіе изъ другаго получпмъ

или

г-

г = si?

(£ • M

-

( ? • К, 1 )]

Полагая для краткости

и припомшівъ, что

получимъ
a

F1

« - IИ г )

а
j -+- ( а — а )

.

Зная F 0 > опредѣлнмъ значенія Функційф(", F 0 2 ) и Ф / j , F 0 2 ) ,
и раздѣлнвъ

Bbipaateiiie

tang 9 — 4 на выраженіе tang 9 — b-,

получимъ для опредѣленія угла 9 выражеиіе

tang 9 =

F 2 ) - — аф(-, F2)
U
, "
V 8.
а'ФГ7> F 0 2 ) - « g ? ( J , F02)
l c

Зная 9 получимъ F умноживъ F 0 наCOS

cp

170. Опредѣлсніе начальной скорости гі угла бросангя снаряда , который долженъ пролетѣть чрезъ данную точку подъ
даннымъ угломъ наклоненія. Пусть а п Ь суть горизонтальное и
вертикальное разстоянія данной точки отъ орудія и О уголъ наклоненія траекторіи въ этой точкѣ.
Такъ какъ траекторія должна проходить чрезъ точку (а, Ъ),
то будемъ нмѣть
6 =

« t a n g 9 - ^ < P ( j , F

0 2

) ,

0 2

).

иди, полагая - = tang s ,
tang9-tange=^(J,F

Такъ какъ уголъ наклонепія траекторін въ данной точкѣ (а, Ъ)
есть О, то уравненіе ( 2 ) п° 1 2 0 дастъ
tang 9 - t a n g 0 =

V*

(J, F3).

Вычитая изъ послѣдняго уравненія предшествовавшее, получимъ
tangs-tang* = ^ [ 2 3 ( f ,

F0')-®(?'

t

Fn2)],

или

%

£

-

ta

"g

•

К

=

23 (f,

v:)

-

(f,

9

V

2

).

Полагая для краткости
^ (tang e — tang<?) = Q ,
и замѣчая, что
з("> V ) - = ( i -

« ( J n2) = 0 -

F02)F(?)—v;,

получимъ
'
Г :

2 F,

(?)1 — F l(?)
I-- F

<2-4-1-1

З н а я Ѵ0, вычислимъ 3 ^ ,

F c 2 ) и Ф р , F 0 2 ) и раздѣливъ

tang ср — tang£ иа выраженіе tang

выраженіс

CD

— tang

О,

полу-

чимъ уголъ ф изъ Формулы

2tang£.3(j,Fo2)-tang0fl(f,Fo2)
t a n g < P

~

2 3(f,F/)-9?(j,F

0 2

)

Имѣя ф , получимъ F раздѣливъ F n на - F — .
т

'

J

u

COS ф

Уголъ О наклоненія въ точкѣ (а, Ь), какъ находящейся въ
нисходящей вѣтви траекторіи, отрицательный и потому если изобразимъ числовую величину этого угла чрезъ
, то во всѣ Формулы этого номера надобно подставить Ѳ —
О.
171. По извѣстному предѣльному углу бросанія ± ©. который можно дать орудію на лафетѣ, опредѣлить, на разстояніи
а отъ орудія, предѣльное превышеніс ± Ь точка, чрезъ которую

снарядъ пролетаешь подъ даннымъ угломъ О. Такъ какъ траектория проходить чрезъ точку (а, Ь), то имѣемъ

Такъ какъ наклоненіе траекторіи въ точкѣ (а, Ь) есть 0 , то
tang 0 = tang ? - | ^ 3 ( f , F

0 2

).

Послѣднее уравненіе даетъ
^ ( t a n g t a n ё Ѳ ) . Vf =

,

Vf).

Положивъ для краткости
J (tang 9 — tang 0) =
и заметпвъ,что 3 ( f ,

Vf) =

(1 +

Q

Vf)F,

( f ) — Vf,

получимъ

1
Q-+-F,

1

1 - 1

Зная F 0 опредЬлимъ F помноживъ F n на F —
Vf).

и найдемъ

Величина Ь получится изъ уравненія
Ь = а tang ? — щгг

,

Vf).

Уголъ 0 наклоненія въ точкѣ (а, Ь), какъ находящейся въ
нисходящей в Ьтвн траекторіп, отрицательный, и потому еслп пзобразимъ числовую величину этого угла чрезъ 0 , , то въ Формулы
этого номера надобно подставить 0 = — 0 , .

172. По извѣстному предѣльному углу бросанія ± 9 , который можно дать орудгю на лафетѣ, опредѣлить, на разстояніи
а отъ орудія, предѣльное превышеніе zir Ь точки, чрезъ поторгую
должеиъ пролетгьтг, снарядъ и попасть въ точку, находящгуюся
отъ означенной во зоризонгпальномъ разстоянги а и ниже ся на

величину — (3. Такъ какъ снарядъ должеиъ пролетѣть чрезъ обѣ
точки, то, положпвъ а' — а -+- а, будемъ нмѣть
b =

a t a n

g

- ^ ( f , F

9

0

2

) ,

Вычитая одно уравненіе изъ другаго, получимъ
0=

ѵ:) ]-(«'_в)tang9,

пли
у 0-(«'

«)tang9J. Ѵ : = а ' Ч ^ , F 0 2 ) - « 2 Ф g , F02).

Полагая для краткости
Т L'3

( а ' ~ а ) t a n § ф] = Ö

и замѣтпвъ, что

F 0 2 ) = (1 -

ф ( - о К ) = (1 -

n2)

(?) a

Q

-

.

^

F

"

i F

^

-

F02)

— F02,

П 2 , получимъ

{ j ) a

'

a i F

F

(
t

c )

C

y

p

^

Z

J

f

Зпая F 0 , опредѣлпмъ F , помноживъ F n па — — и найдемъ
u

cos Ф

Ѵ0'У Величина Ъ получится изъ уравненія
Ъ = а tang «p

рг^Ф (^, F02).

ГЛАВА VI.
Откіоненія сферическнхъ снарядовъ.
1 7 3 . Наблюдая траекторіи сФсрііческііхъ снарядовъ, выстрѣлеппыхъ нзъ орудія при одномъ п томъ же углѣ возвышенія и
одномъ и томъ же зарядѣ, замѣчаемъ, что траекторіи снарядовъ
не совпадаютъ одна съ другою. Изъ отдѣльныхъ траекторій особенна™ вниманія заслужпваетъта, которая между шшн заннмаетъ
среднее мѣсто и называется среднею траекторіею. Правила стрѣльбы должны быть выведены соответственно средней траекторіи.
Но средняя траекторія сферическпхъ снарядовъ не всегда можетъ
быть выражена Формулами, въ которыхъ только берется въ расчета вертикальное действіе тяжести и сопротивленіе воздуха
прямо протпвуположное направленію двпженія.
Принимая траекторію сферическаго снаряда, описываемую
вслЬдствіе вертикальна™ действія тяжести и сопротивлеиія возДуха прямопротпвуположпаго направленно двпженія, за нормальную, можемъ разематрпвать действительная разстоянія снарядовъ
отъ нормальной траекторіп какъ отклоненія.
Причины отклопеній бываютъ случайный, действующая то въ
одну, то въ другую сторону, и постоянный, действующія всегда
въ одну сторону. Отклоненія, производпмыя случайными причинами называются случайными отклопепіями; a отклоненіе, произво17*

димое постоянными причинами называется постояннымъ отклоненіемъ, дериваціею.

§ I.

Причины отклопспій сФсрическпхъ снарядовъ.
174. Измѣненія въ направлены сферическихъ снарядовъ при
ихъ вылеыѣ. Вслѣдствіе того, что СФерпчеекій снарядъ въ точности не движется въ капалѣ орудія по его осп, касательная къ
траекторіи въ точкѣ вылета составляетъ съ осью канала некоторый уголъ. Для пзмеренія нанравленія снаряда въ точке вылета,
располагаютъ въ саженяхъ 4 или 5 отъ дульнаго среза тонкую
деревянную досчечку, покрытую свппцовымъ лпстомъ, обознач а ю т па ней точку, находящуюся въ вертикальной плоскости
проходящей чрезъ ось орудія, на одномъ уровпе съ центромъ
дульнаго срѣза, производить выстрелъ и измѣряютъ вертикальное и боковое разстоянія центра пробоипы отъ означенной точки.
Н а маломъ разстояніи, па которомъ располагается досчечка отъ
орудія, сопротпвлеиіе воздуха не о к а з ы в а е м чувствнтельнаго вліянія па полетъ снаряда, и потому, если изобразпмъ чрезъ х горизонтальное разстояніе досчечки о м дульнаго среза, чрезъ у высоту пробопны надъ центромъ дульнаго среза и чрезъ V начальную скорость снаряда, то уголъ бросанія у получится изъ
tang у =

v

t

H

№

" a r » c<w»>

где вместо cos 2 у можно взять квадратъ косинуса угла возвышенія.
Если изобразпмъ чрезъ z боковое разстояиіе центра пробоины о м вертикальной плоскости проходящей чрезъ ось орудія, то
угловое боковое отклопеніе Ç снаряда получится изъ

tangÇ = i_

Изъ пропзведепиыхъ во Франціи опытовъ оказывается, что
при стрѣльбѣ пзъ гладкпхъ орудій, средній уголъ бросанія болѣе
Угла возвышепія. В ъ находящихся въ хорошемъ состояніи крѣпостныхъ и осадныхъ пушкахъ уголъ бросанія среднпмъ числомъ
болѣе угла возвышеиія на 3 ] мннуты. В ъ гаубицахъ уголъ бросаиія среднпмъ числомъ на 10| минуть болѣе угла возвышенія.
Половина снарядовъ, приблизительно, отклоняется отъ средпяго
направленія вылета менѣе чѣмъ на 5' какъ вверхъ, такъ и внизъ.
Половпиа снарядовъ, приблизительно, составляетъ съ вертикальной плоскостью проходящею чрезъ ось канала уголъ меньшій
минуть какъ вправо, такъ п влѣво.
Уравнепіе траекторіи, при какомъ либо законѣ сопротивленія
воздуха, есть (п° 1 1 9 )
Г ах

у — X tang 9 — 9 I d(ax)

Гі

ф
' (ах, aVf d (ах). '

Если пзобразпмъ чрезъ Д9 разность между угломъ бросанія и
Угломъ возвышенія, чрезъ у' высоту снаряда, на разстояніи х, при
Углѣ бросанія 9 - н Д 9 , и замѣтимъ, что при небольшнхъ углахъ
бросапія tang ( 9 -+- Д9) '== tang 9 -+- Д 9 , cos ( 9 - t - Д 9 ) =

cos 9 , то

получимъ
/•ах
ax

y ' = X tang'9 -+- X. A 9 — g d (ax)

Г<*х
rax

ф (ax,a.Vf d (ax),

Вычтя одно уравненіе изъ другаго и изобразпвъ вертикальное отклонепіе у — у снаряда вслѣдствіе того, что ОІІЪ при вылете составляетъ

въ вертикальной плоскости съ осью орудія

Уголъ Д 9 , чрезъ Д у , , получимъ

Ay, = X. Д«р.
Отклоненіе въ дальности Ах,,

получится приблизительно раз-

Дѣливъ вертикальное отклоненіе Ayt на тангенсъ угла паденія.

Относительный величины отклонеиій въ дальности ко всей
дальности бываютъ тѣмъ значительнее, чемъ уголъ бросапія менее; поэтому при вычислены дальностей соотвЬтствующпхъ малымъ угламъ бросанія, надобно принимать въ расчетъ уголъ составляемый начальиымъ направленіемъ снаряда съ осью канала
орудія.
Боковое отклоненіе As, снаряда, вследствіе того что онъ прп
вылете составляем въ горизонтальной плоскости съ осью орудія
уголъ AÇ, выражается чрезъ

Такъ отъ измененія на Ц минуты угла бросапія, вертикальнос отклоненіе снаряда о м цели, на разстояніи 7 0 0 саженъ буд е м 0 , 9 сажепн и прп стрЬльбе изъ Зп. бомбовой пушки ядромъ
и зарядомъ въ 4 0 <і>унтовъ призматическая пороха отклоненіе въ
дальности будетъ около 10 саженъ. Отъ угловая боковая отклонеиія въ 4| минуты, въ точке вылета, боковое отклопеніе снаряда
о м цели на разстоянін 7 0 0 саженъ будетъ 0 , 9 сажепи.

175. Измѣнснія въ начальныхъ скоростяхъ сферическихъ снарядовъ.

Начальный скорости спарядовъ отдѣлыіыхъ выстрѣловъ,

одного и того яге опыта, отличаются одна отъ другой. Вероятное
отклоненіе отдельной начальной скоростп отъ средней, одного и
того же опыта, для сферическихъ снарядовъ, выстреленныхъ пзъ
орудій съ весьма исправнымъ каналомъ, составляем около ^ доли
скорости. Среднія начальный скорости, получаемый при одномъ н
томъ же способе заряжанія, отъ одного и того же сорта пороха,
но различной степени сырости (не превышающей дозволяемая
предела) или о м пороха приготовлепнаго въ разные годы, отличаются одна о м другой значительно более, чемъ скорости отдельныхъ выстреловъ одного и того же опыта; въ этомъ случае разность начальныхъ скоростей сфсрпческпхъ снарядовъ доходим до
А ДОЛИ скорости.

Для определеиія вертикальная отклонеиія Ау2 отъ измененія

начальной скорости возьмемъ уравненіе траекторііі при какомъ
либо законѣ сопротнвленія воздуха (п° 1 1 9 )
у = % tang 9 — g \d (ах) ф (ax,aV cos 9) d( ax).

Еслп изобразимъ чрезъ Д V разность начальныхъ скоростей
Двухъ выстрѣловъ и чрезъ у' высоту снаряда на разстояніи х при
пачалыюй скорости Ѵч- Д V, то получимъ
rax

rax

у' = ж tang 9 — g d (ax) ф (ax, a F , н - аД V.) d (ах),

или, разлагая ф (ах,аѴ1

-+- aAVf

по Тейлоровой строкѣ и ограни-

чиваясь членами съ первыми степенями Д V, будемъ имѣть
rax

d(ax)

у' = х tang 9 — g

Гах

—gAV,

Ауг =

ф(аж,а F,) d ( ах)

rax

d(ax)

о
и такъ какъ у' — у =

rax

il^Iild(az),

о

Ау 2 , то

—дАѴх

d( ах)

Гах

d

d (ах).

Но уравненіе (5) п° 1 1 9

даетъ
Лф (ах,аѴ,)
dv,

—

2_
jfe, —
a2vf ' dV,

, .
„ \ J_
4y(ast,a.Vt).
Ѵ і - щ ,

поэтому

'ах

I

dv.

<J»(«wyxF,).-.^.

Ay2 = 2gAV,
о

d(ax).

о

Если допустпмъ
dv,

Ж

»,

—Ум

то послѣднее уравііеиіе обратится въ

'ах
rax
Ayг = 2д Ч І d(ах) ф (ах,аѴх) d (ах)
о

о

2Л£(х

t a n g ? — ?/).

или
Ау2 =

Ha мѣстности, находящейся на одномъ уровне съ орудіемъ

у= ои
Ад2=

2

~ у - «tang 9 .

Сделанное допущеніе f y — у , какъ показываем уравненіе (4) п° 1 2 1 , имеем место при сопротивленіи воздуха пронорціональномъ квадрату скорости. Не трудно убедиться, что прп
другихъ выраженіяхъ сопротпвлеиія воздуха, при которыхъ степень f(v) более второй, найденное значеиіе Ау2 пЬсколько более
действительная. При выражеиіи сопротнвлеиія воздуха двучлеиомъ, въ которомъ первый членъ пропорціоналепъ квадрату скорости, а второй — четвертой степени скоростп, легко найти, что
достаточно точное значеніе Ау2 есть

Отклоненіе въ дальности Ах2, получится, приблизительно, разделивъ вертикальное отклоненіе Ау2 па тангенсъ угла паденія.

Такъ при стрѣльбѣ изъ 3 п. бомбовой пушки ядромъ и зарядомъ въ 4 0 Фунтовъ призматическаго пороха, отъ измѣненія начальной скорости па ^ долю, вертикальное отклоненіе снаряда отъ
Цѣлп, на разстояніп 7 0 0 саженъ, будетъ около 2 , 4 сажени, а
отклоненіе въ дальности около 2 7 саженъ.
1 7 6 . Измѣненге плотности

воздуха.

Сопротивленіе воздуха

прямо пропорціоиалыю его плотпости и потому измѣняется прямо
пропорционально плотности воздуха. Плотность воздуха (п° 9 8 )
зависим отъ температуры, высоты ртути барометра и давленія
паровъ, заключающихся въ воздухѣ. Разность въ высотѣ ртути
барометра на 3 сентиметра производить приблизительно измѣненіе плотности на sgô ея долю. Разность въ температурѣ на 1 5 °
Цельсіуса производить прпблизительно измѣненіе плотности возДуха на щ долей плотпости.
Изображая чрезъ П плотность воздуха и замѣчая, что сопротпвленіе воздуха прямо пропорціональпо его плотности, Фуикцію
öf{v), выражающую ускореніе сопротивленія воздуха, можемъ представить подъ впдомъ g.Tl.f(v)

и уравніе (3) п° 1 1 9 написать

подъ видомъ
«F.

аѵ.
Это уравненіе даетъ

. ТГ

d_

что показываем, что съ увелнченіемъ П , ах уменьшается, такъ
что отъ положнтельнаго приращенія П , велпчшіа а х въ Фупкціп
ф { а х , a F, ) получаем отрицательное прнращеніе. Поэтому высота у'
снаряда на разстояпін х , при плотности воздуха П - ь ДП б у д е м
у' =

х tang у — о

*аж

fax

СІ{ ах) ф ( а ж — аДж,

о

о

aV,)d(ax),

или разлагая ф (ах — аАх, a F , ) по Тейлоровой строк! и ограничиваясь членами съ первыми степенями аАх, получимъ
»ах

»ах

у' = x tang 9 — g I d (ах) ф (ах , a F , ) d (ах)

»ат
d(ax)

и изображая вертикальное отклоиеніе у' — у отъ измѣненія плотности воздуха чрезъ Ау„ будемъ имѣть

T

ax

fax

cl(ax)

аАх. с7ф

(ах,aF,),

Изм!неніе аАх всл!дствіе увеличенія плотности воздуха па
ДП, получимъ если въ выраженіе

ах=

—
9

»аѴх

аѵрі ( a t - , )

П/Иі) '

вм!сто П вставнмъ П -+- ДП п пзъ получеынаго результата вычтем'ь ах = -M

;

огравпчпваясь членами съ первыми

а»,

степеиямп ДП будемъ нм!ть

а

ДП

аАх =

jjOX.

Вставнвъ эту величину въ вырагкеніе Ау г , получимъ

рЯХ
Ат/з^—d-jT

.tax

4 ) а х . с7ф ( а х , a F , ) .

d< x

Но

'"•X
„ах
ажйф (аж, аѴ,) = ах. ф (аж, аѴ,) — ф (аж, аѴ,) d (ах) ;
о
•ах

„ах

d( ах) ах. йф (аж, аѴ,)— ax.<\>(ax,aV,)d(ax)
„ах

„ах

— d (ах) ф (аж, aVx) d (аж).
о

п какъ

лаж
лаж
г

•

о

ф (аж, аѴ,) d (ах) = аж ф (аж , aV,) d (ах)
„ах

„ах

d (ах) ф (аж, а F,) d (ах),

о

ТО

rax
«х

„ах
„ах

d(ax) ах. с?ф (аж, аѴ,) = ах

о

о

„ах

ф(аж, а V , ) d (ах)

о
„ах

„ах

— 2 d (аж) Ф (аж, aF,) d (аж).
о

о

Следовательно
л
Ауз—

AU
fj-

дох

„ах

ф(аж,

aV,)d(ax)
л ах
!%ах [*ах
d(ax) I ф (аж , аV,)d(ax)
о

о

или, вслѣдствіе уравненій (6) и (7) п° 1 1 9 ,
л

ДП

x (tang у -I- tang Ѳ) — 2у

.

На мѣстности, находящейся на одномъ уровне съ орудіемъ,
у=

о, и если изобразпмъ чрезъ — О ' уголъпаденія, то получимъ
Ayz =

—Щ-.х

(tang 0] — tang <р).

Отклонепіе въ дальности Дж3 получится, приблизительно, если
разделимъ вертикальное отклоненіе Ayz па тангенсъ углападепія.
Такъ отъ пзменеоія плотности воздуха па ^ долю, при стрельбе
пзъ 3 п. бомбовой пушки ядромъ и зарядомъ въ 4 0 Фунтовъ
призматпческаго пороха, вертикальное отклоненіе снаряда отъ
цели, на разстояніи 7 0 0 саженъ, будетъ около 0 , 7 5 сажени, а
отклонепіе въ дальности около 8 , 5 саженъ.
1 7 7 . Измѣненге въ вѣсѣ снарядовъ.

Допуски въ вЬсе снаря-

довъ вообще не велики; такъ наименьшій весъ 1 2 Ф. ядра на ^
долю; наименьшій весъ 1 0 д , , 7 5 ядра на

долю менее средняго

веса каждаго изъ этихъ ядеръ.
Измененіе веса снаряда изменяем

начальную скорость и

ускореніе сопротнвленія воздуха. Начальный скорости (п° 35),
приблизительно, обратно пропорціональны корнямъ квадратнымъ
изъ вЬсовъ снарядовъ, a ускоренія сопротивленія воздуха обратно
пронорціональны вѣсамъ снарядовъ. Вертикальное отклоненіе снаряда отъ изменепія его веса б у д е м (п° 1 7 5 и 1 7 6 )
Ду =

Ау2 -н Ау3,

прп чемъ, если изобразпмъ чрезъ АР измененіе веса Р снаряда,
то въ выраженіи Ду2 (п° 1 7 5 ) надобно вместо
тельно, подставить —

АР

подставить — = •

приблизи-

, а въ выражеиіи Ау3 (и° 1 7 6 ) вместо

^

Такъ при стрѣльбѣ изъ 3 п. бомбовой пушки ядромъ и зарядомъ въ 4 0 Фуптовъ прпзматпческаго пороха, если ядро на ^ долю своего вѣса менѣе средпяго вѣса, то такое ядро на разстояніи
7 0 0 саж. будетъ иа 0 , 4 сажени выше траекторіп ядра средняго
в

ѣса; на разстояніи 1 0 0 0 сажепъ оно будетъ на 0 , 2 сажени вы-

ше, а на разстояніи 1 2 8 0 саженъ уже на 1 саженъ ниже траскторіи ядра средняго вѣса и далѣе будетъ все болѣе удаляться
отъ послѣдней траекторіи.

178. Отклоненіе сферическнхъ снарядовъ отъ вѣтра. Для
опредѣленія отклопеиій спарядовъ отъ вѣтра употребимъ пріемъ,
изложенный генераломъ Дидіономъ. Пусть AB
ставляетъ

(ФИГ. 5 6 ) пред-

проекцію на горизонтальную плоскость иаправленія

снаряда, при вылетѣ его ІІЗЪ орудія. Изобразпмъ чрезъ V начальную скорость и чрезъ <р уголъ бросанія; горизонтальная проекція начальной скорости будетъ V, =

F cos 9 .

Предположить

направленіе вѣтра горизонтальнымъ и представимъ это направление линіей CD ; скорость вѣтра обозначимъ чрезъ TF, а уголъ, составляемый направленісмъ CD вѣтра съ линіею AB,

чрезъ u.

Предположил,, что орудію съ лаФетомъ, снаряду и атмосФерѣ
сообщена скорость равная скорости вѣтра, но по направленію
прямо противоположному вѣтру, т. е. отъ D къ С. Отъ такого
предположепія не измѣнится относительное двшкеніе снаряда и
атмосферы; но абсолютная горизонтальная скорость вѣтра сдѣлается равною пулю.

Горизонтальная проекція начальной скоро-

сти снаряда будетъ равнодѣйствующая изъ скорости F j = F c o s 9 ,
изображенной чрезъ AF

и изъ скорости равной скорости вѣтра,

но дѣйствующсй по иаправленію прямо противоположному наиравленію вѣтра и изображенной чрезъ AG. Поэтому горизонтальная
проекція F / начальной скорости V снаряда по новому направленно, изобразится діагоналыо АН параллелограмма, построеннаго
на сторопахъ AF и AG.
По извѣстнымъ свойствамъ треугольниковъ получимъ
Ѵ\ =

Y ~ V 2 cos 2 9 - 4 - 2 F c o s 9 . TF cos о н -

W2 .

Такъ какъ вертикальная проекція скоростп не нзмѣнилась п
равна V sin ср, то начальная скорость V' по новому иаправленію
будетъ
V =

Ѵ Ѵ 2 -ч- 2 Fcos о . PFcos o - t - I F 2 ,

и если назовемъ чрезъ 9 ' уголъ бросанія по новому направленію,
то получимъ
tang 9 1 =

V

'l

V

'i

tang 9 =
Ь

Т

tang9

г1

-./Î

о I F cos (0

2 ~T7

Fcosv

4-

W1
F2cos2cp

Вообще скорость вѣтра *) мала въ сравненіп со скоростью
IF2

снаряда, такъ что можно пренебречь величиною

предъ едини-

цею; поэтому, развернувъ коренныя величины, получимъ
F/ =

F c o s 9 - 4 - I F cos м ,

F ' = F —4— PF cos a . cos 9 ,

tang y - t a , ,

(1-Й!?).

Зная F,' и tang 9 ' можемъ вычислить траекторію снаряда по
направленію АЛ и опредѣлить время /^соответствующее разстоянію ж' (взятому по направленно A l l ) спаряда отъ орудія.
Разсмотримъ спарядъ на новой траекторіи, въ точке, которой нроекція на горизонтальную плоскость есть Р , а высота у';
пусть/ изображаем время, соответствующее разстояніюж'=ХР.
Такъ какъ въ течепіе этого времени, въ силу сделанная предположеиія, вся система передвинулась, параллельно направлепію
*) Р а з л и ч н ы е в ѣ т р ы и м ѣ ю т ъ с л ѣ д у ю щ і я скорости: п ѣ т е р ъ е д в а ч у в с т в и т е л ь н ы й 1,5 фута; ч у в с т в и т е л ь н ы й 3 Ф у т а ; у м ѣ р е н н ы й 7 ф у т ъ ; довольно сильн ы й 1 8 ф у т ъ ; сильный 3 3 Фута; в е с ь м а сильный 6 5 ф у т ъ ; большая буря 8 8 Ф у т ъ ;
у р а г а н ъ 120 Ф у т ъ .

ВС, на величину равную Wt', то для того, чтобы привести систему въ то положеиіе, которое она должна действительно занимать, надобно передвипуть ее по обратному направленію, т. е. по
направленно параллельному CD, на величину равную Wt'; поэтому
если отъ точки Р отлояшмъ на прямой параллельной CD величину
PQ =

Wt', то Q будетъ проекція на горизонтальную плоскость

Действительна™ мѣста снаряда, а высота снаряда будетъ у .
Еслп раземотримъ дальность па местности, находящейся на
°Дномъ уровиѣ съ орудіемъ, и чрезъ Q изобразимъ точку паденія
еиаряда при вѣтрѣ, а чрезъ В точку паденія безъ вѣтра, то прямая QB выразить отклопепіе снаряда отъ вѣтра. Разстояніе QT
точки Q отъ лпніи AB выразить боковое отклопеыіе, a разстояпіе
P B точки T отъ мѣста паденія В снаряда безъ вѣтра выразить
отклопеиіе въ дальности.
Возьмемъ, для примѣра, 2 4 Ф. ядро, выстреленное изъ 2 4 Ф.
"Ушки подъ угломъ бросаиія въ 3 0 ° зарядомъ въ 8 Фуптовъ
артиллерійскаго пороха, сообщающимъ начальную скорость въ
1 7 1 2 ФТ. въ 1 сек. и опредѣлимъ, при падеиіп снаряда на местность, находящуюся на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, отклоненіе QB
°тъ вѣтра, дующаго со скоростью въ 3 0 ФТ. ВЪ 1 сек., по горизонтальному направленію CD,
Уголъ О =
К

==

t =
W

45°.

1504

В ъ этомъ случаѣ % =

ФТ. ,

25се%69 ,
=

QR=qP

=

QP=

составляющему съ прямой

9 =

AB =

29°39',
х' =

п о саж.,

— RP=73

АБ — AR=

саж.,

1 4 8 3 Ф Т . , <р =

AB =

1838
RP

=

AR

=

ж=

саж.,

=

саж.,

A F . j | = 1 8 1 2

саж.,

16 саж.,

ffi2-*-PÎB2

-+- 2 Q R . RB. cos о = 8 5 с а ж . ,

°тклоненіе въ сторону отъ вЬтра
QT=

QR. sin о =

саж.,

25е"-,66,

абсолютное отклоненіе отъ вѣтра
QB - V

30°,

37

Fil

.

1828
t' =

AB

5 2 саж.,

отклоненіс въ дальпости отъ вѣтра
ТВ = TR - н IIB =

QR . cos а ч - RB =

77 саж.

1 7 9 . При стрѣльбѣ большими зарядами, подъ небольшими
углами бросанія, отклоиенія отъ вѣтра малы сравнительно съ
дальностями, такъ что, безъ чувствительной погрѣшностп, можемъ
принять, на основаніи Формулъ движенія въ пустот!,
JE'

У , ' 2 taug <?'

x

F , 2 tang 9

'

И

F,.

t' _

x'.

t

x . V\ '

но имѣли
tang 9 = y r tang © ;

. f.

поэтому

x ~

и

t' =

—Та
F,

t.

Изъ треуголышковъ ARB и AFII,
AR

—

имѣемъ

Та

F, '

такъ что если А Р = х , то точку R , безъ чувствительной погрѣшпости, можемъ принять за точку паденія снаряда, безъ вѣтра, на
мѣстности, находящейся яа одномъ уровпѣ съ орѵдіемъ, и время
полета при вѣтрѣ принять равнымъ времени полета безъ вѣтра.
Прямая QR изобразить приблизительно по величин! и направленно абсолютное отклоненіе Д отъ вѣтра, а какъ QR =
n QP=

Wt'=

Wt,RP=AR.T^=

x

QP—RP

то приблизительно,

отклоиеіііе снаряда по направленно в!тра будетъ

сс

и какъ у есть время полета въ пустоте, то отклонепіе по направленно вѣтра равно, приблизительно, произведенію пзъ скорости
вѣтра на разность времепъ полета въ воздухѣ и пустотѣ.
Боковое отклоненіе отъ вѣтра будетъ Д sin «, a отклоненіе
въ дальности Д cos и.
Выведенное приближенное выраженіе отклоиенія отъ вѣтра
можетъ быть употреблено для вычисленія отклоненія п при навесной стрельбе, когда скорость ветра мала въ сравнены съ горизонтальною проекціею начальной скорости.
Вычисляя отклоненія отъ ветра ядра, выстрелеынаго ІІЗЪ 2 4 Ф.
пушки, зарядомъ въ 8 Фунтовъ артиллерійскаго пороха, сообщаюЩпмъ начальную скорость въ 1 7 1 2 Футъ, при скорости ветра въ
3 0 Футъ, на разстояніяхъ 7 0 0 , 5 0 0 и 3 0 0 сажен., получимъ соответствующія

отклоненія по направленію ветра въ 10, 5 и

2 саж.
1 8 0 . Для того чтобы легче составить понятіе о зависимости
отклонеиій отъ скорости ветра, начальной скорости снаряда п
рода снаряда, допустимъ, что сопротнвленіе воздуха пропорціондльно квадрату скорости. В ъ этомъ случае
,

x V» /<*х\

и

пли, припомнивъ, что вообще F,{z) =

1

и F(z) =

1

,

получимъ
4С

F|

\2C F

Отсюда видно, что отклоненіе отъ ветра процорціонально
скорости ветра и обратно пропорціонально начальной скорости
снаряда. Если величина ^

мала, т. е. если разстоянія малы, а
18

снарядъ болынаго діаметра и большей плотности, то F ( r ) мало

Vе/

отличается отъ единицы и отклоненія пропорціональны квадратамъ
разстояній H обратно нронорціональны 2с, или произведенію пзъ
діамегра снаряда на его плотность. На самомъ дѣлѣ, по причинѣ
множителя F (^j,

отклоненія увеличиваются быстрѣе чѣмъ отно-

шеніе j . Если соііротивленіе воздуха возрастаем быстрѣе чѣмъ
квадратъ скорости, то Функція, помножающая

въ величине t, a

следовательно и производитель равный означенной Функціи безъ
единицы, помножающій отношеніе ^

ж въ величине А , возра-

стаютъ со скоростью снаряда и потому, въ этомъ случае, огклоненія возрастают!, менЬе быстро чѣмъ обратное отіюшеніе

у

иачалыіыхъ скоростей.

181. Вращательное движете сферичсстхъ снарядовъ отъ
давлснія

на нижнюю стѣну канала орудія.

Сферическій концен-

трическій снарядъ, помещенный иередъ зарядомъ въ канале орудія, лежим на нижней стѣне канала и надъ нимъ имеется зазоръ.
При выстреле часть газовъ сообщаем снаряду поступательное
двшкеніе, а другая часть в ы т е к а е м сквозь зазоръ и д а в и м на
снарядъ сверху впизъ. О м этого происходим треніс, действующее въ точке прикосиовенія снаряда къ нижней crlnrt канала,
перпендикулярно къ радіусу снаряда, по направленію отъ дула
къ казне. Отъ этой касательной силы, действующей во все время
прикосновенія снаряда къ нижней стѣнѣ канала, снарядъ, вместе
съ поступательным!, движеніемъ, получаем вращательное движеніе вокругъ оси перпендикулярной къ радіусу проведенному въ
точку касанія и къ направленно поступательнаго движенія, при
чемъ передняя полусфера снаряда вращается сверху вішзъ. По
прекращены нрикосновенія снаряда съ нижней стѣной канала,
снарядъ сохраняем пріобретеішое имъ вращеніе, а поступательная его скорость увеличивается во все время движенія его въ канале. Снарядъ, оставивъ нижнюю стѣну канала, можетъ, если

каналъ довольно длиненъ, ударить о верхнюю стѣну и измѣннть
скорость вращенія п даже ось, вокругъ которой совершалось вращеніе.

182. Вращательное движете отъ эксцентриситета сферическихъ

снарядовъ.

Не однородность металла снарядовъ, пусто-

т ы , образующіяся прилитьѣ, и неодинаковая толщина стѣнъ, получаемая при отливкѣ пустотѣлыхъ снарядовъ, бываютъ причиною, что центръ тяжести снарядовъ не совпадаем съ ІІХЪ центромъ Фигуры. Разстояніе центра тяжести отъ центра Фигуры
б ы в а е м вообще весьма малое, но оно достаточно для того, чтобы имѣть чувствительное вліяніе на вращательное двпженіе снаряда.
Вообразимъ сферическій эксцентрнческій енарядъ, котораго
центръ Фигуры есть С (ФІІГ. 5 7 ) и центръ тяжести G. Если допустимъ, что давлеиіе нороховыхъ газовъ распредѣлено равномерно на задней полусФерѣ снаряда, то равнодействующая

F

этого давленія пройдетъ чрезъ центръ Фигуры С снаряда. Такъ
какъ центръ тяжести снаряда не находится па этой равнодействующей, то кроме поступательная движенія, которое совершается какъ бы равнодействующая была приложена къ центру
тяжести,

произойдем

вокругъ

центра тяжести вращательное

двнженіе вследствіе пары силъ измеряемой произведеніемъ
F . е. cos t ,
где с =

CG есть эксцентриситета, снаряда, a j уголъ составля-

емый плоскостью перпендикулярною къ оси орудія съ линіею соединяющею центръ тяжести снаряда съ центромъ его Фигуры.
ЬІаправлеиіе

вращенія

определяется

паправленіемъ

двпженія

центра Фигуры, при с м ѣ щ е н і и снаряда, которое быстрее двпженія центра тяжести.

183. Отклоненіе сферическихъ снарядовъ вслѣдствіе ихъвращательнаго

движенгя.

Когда поступательное вднженіе сфериче-

с к а я снаряда въ воздухе

соединено

съ

вращателыіымъ,
18*

то

онытъ показываете, что отклоненіе пмѣетъ всегда мѣсто въ ту
сторону, въ которую вращается передняя полусфера снаряда.
Т а к ъ если сФернческій эксцентрическій снарядъ, при заряжаніи,
расположенъ такъ, что липія центровъ находится въ вертикальной плоскости проходящей чрезъ ось орудія и перпендикулярна
къ оси орудія, притомъ центръ тяжести выше центра Фигуры,
то передняя полусфера получаете враіценіе снизу вверхъ п дальность увеличивается; при помѣщеніи центра тяжести ниже центра
Фигуры, передняя полусфера получаете вращеніе сверху вішзъ н
дальность уменьшается. Если снарядъ расположенъ, при заряжаміи, такъ, что линія центровъ горизонтальна и перпендикулярна
къ оси орѵдія, при томъ цеитръ тяжести, если смотрѣть отъ казны
къ дулу, справа центра Фигуры, то

передняя полусфера полу-

чаете вращеніе слѣва па право и снарядъ отклоняется вправо;
при помѣщеніи центра тяжести слѣва центра Фигуры, передняя половина снаряда получаете вращеніе справа на лѣво и снарядъ отклоняется влѣво. Если снарядъ, при заряжаніи, расположенъ такъ,
что лішія центровъ параллельна оси канала, то будетъ-ли центръ
тяжести впереди или сзади центра Фигуры, дальности получаются
почти одинакія.
1 8 4 . Для объясненія отклонены, пропеходящнхъ отъ вращателыіаго движенія сферическнхъ сиарядовъ въ воздухѣ, берлинскій профсссоръ ФИЗИКИ Магнусъ устроплъ приборъ (ФИГ. 5 8 ) ,
состоящій изъ вертнкалыіаго цилішдра, которому можно было
сообщать вращательное движепіе вокругъ его оси, и подвергалъ
этотъ цилішдръ по направленно перпендикулярному къ оси дѣйствію притока воздуха, вгоняемаго вептилаторомъ изъ прямоугольнаго отвсрстія, котораго ширина была болѣе діаметра цилиндра. По обѣимъ сторонамъ цилиндра, въ небольшомъ отъ него
разстояніи,

были расположены пебольшіе,

Флюгера, служпвшіе

весьма подвижные

къ указанію измѣненій давленій воздуха.

При дѣйствіи притока воздуха на цплнндръ, находившійся въ покоѣ, когда прнтокъ воздуха былъ довольно слабъ, оба Флюгера
оставались параллельными притоку; при болыномъ ирнтокѣ, оба

Флюгера приближались одинаково къ цилиндру. Это показываотъ,
что при значптелыіыхъ поступателыіыхъ скоростяхъ не вращающагося снаряда, давленія воздуха иа бока его менѣе чѣмх когда
снарядъ движется съ малою поступательною скоростью, но что
эти давленія одинаковы на обѣ стороны.
При дѣйствіи притока воздуха на вращающійся цнлшідръ,
ф.іюгеръ, находпвшійся съ той стороны, съ которой цнлнидръ
вращался по одному направленію съ прптокомъ воздуха, приближался къ цилиндру; а Флюгеръ съ той стороны, съ которой вращеніе цилиндра было обратное прптоку воздуха, отклонялся отъ
цилиндра. Это показываетъ, что когда постунательпос двпженіе
снаряда соединено съ вращателыіымъ, то давленіе воздуха менѣе съ
той стороны, съ которой враіцепіе поверхности снаряда происходить по направленію противоположному поступательному его двнженію п болѣе съ той стороны, съ которой вращеніе поверхности
снаряда происходить по одному направленію съ его поступательпымъ движеніемъ.
Разность давленій на противоположный стороны вращающагося цилпндра была достаточна для того чтобы произвести боковое отклонепіе цилиндра, когда его прнкрѣплялп (ФИГ. 5 9 ) къ коромыслу, которое могло вращаться около оси привѣса, и подвергали его дѣйствію притока воздуха, вгоняемаго вептилаторомъ,
вращавшимся вмѣстѣ съ коромысломъ.
Когда

скорость

воздуха

вгоняемаго

вентилаторомъ

была

весьма велика сравпптелыю со скоростью поверхности вращавшагося цилиндра, тогда (ФИГ. 5 8 ) Флюгера весьма мало отклонялись
отъ наиравлеиія получаемаго ими при дѣйствіи притока воздуха,
пока цилиндру не было сообщено вращенія. Наибольшее приближеніе къ цилиидру Флюгера, находившегося съ той стороны, съ
которой цішшдръ вращался по одному направленно

съ прпто-

комъ воздуха и наибольшее отклоненіе отъ цилпндра Флюгера,
находившаяся съ той стороны, съ которой вращеніе цилиндра
было обратное притоку воздуха—обнаруживались когда скорость

вращенія цилиндра находилась въ нѣкоторомъ опредѣленномъ отношеніи къ скоростп воздуха вгоняемая вентилаторомъ.
Этотъ Фактъ показываем 1°, что при одной и тоііже скорости вращенія поверхности снаряда, отклоняющая сила, начиная
съ малыхъ поступательныхъ скоростей, возрастаем съ увеличеиіемъ этихъ скоростей, достигаем наибольшей величины и за
тѣмъ, съ дальнѣйшимъ возрастаніемъ поступательной скорости,
постоянно уменьшается, и 2 ° что при одной и той же поступательной скорости, отклоняющая сила, начиная съ малыхъ скоростей вращенія поверхности снаряда, в о з р а с т а е м съ увелпченіемъ

этихъ скоростей, достигаем наибольшой

величины, и за

тѣмъ, съ дальнѣйшнмъ возрастаніемъ скорости вращенія, постоянно уменьшается.

S и.
СФсрчсскіс снаряды съ искусствсннымъ эксцснтрситстомъ.
1 8 5 . Для уменьшенІяслучайныхъ отклонены, происходящпхъ
о м случайная вращенія обыкновенныхъ сферическихъ снарядовъ, иногда употребляюм пустотѣлые сферическіе снаряды съ
искуственнымъ эксцентриситетомъ и придаютъ имъ вращеніе въ
извѣстную сторону вокругъ оси перпендикулярной къ линіи центровъ, помѣщая, при заряжаніи, линію цеитровъ въ вертикальной
плоскости проходящей чрезъ ось канала, перпендикулярно къ оси
капала, такъ чтобы центръ тяжести былъ надъ или подъ центромъ
Фигуры.
Снаряды съ искуственнымъ эксцентриситетомъ имѣютъ пустоту или сферическую или эллипсоидальную, происшедшую

ом

вращенія эллипса вокругъ его большой осн.
Снаряды со сферическою пустотою суть тѣла вращенія вокругъ линіи цеитровъ; моментъ инерцін этихъ снарядовъ вокругъ
лпнін цеитровъ болѣе момента иперціи вокругъ экваторіальвой оси

проходящей чрезъ центръ тяжести; но вообще одпнъ моментъ инерціи мало отличается отъ другаго.

Эксцентричеекіе снаряды съ

эллипсоидальною пустотою помѣщаются въ канал! такъ, чтобы
большая ось эллипсоида была перпендикулярна къ вертикальной
плоскости, проходящей чрезъ ось орудія и потому получаютъ вращеиіе вокругъ оси параллельной большой оси эллипсоида; моментъ ннерціи вокругъ оси, проходящей чрезъ центръ тяжести,
параллельно большой оси эллипсоида есть нанбольшій; моментъ
инерціи вокругъ линіи центровъ есть средній; а моменте инерціи
вокругъ оси, проходящей чрезъ центръ тяжести, перпендикулярно къ двумъ первыми осямъ, есть наименьшій; но в с ! эти моменты ннерцііі мало отличаются другъ отъ друга.

1S6. Измѣненіе вращснія во время полета снаряда. Вовремя полета, на снарядъ дѣйствуютъ сила тяжести, приложенная
къ центру тяжести снаряда и не дающан пары силъ, сопротивленіе воздуха, нротивуііоложпое направленію двпженія, направленное въ центръ Фигуры снаряда и равнод!йствующая изъ разности давленій воздуха происходящихъ отъ совокупна™ вращателыіаго н постуиателыіаго движеній снаряда ; —равнодЬйствующая направленная въ центръ Фигуры снаряда.

О б ! нослЬднія

силы, какъ направленный въ центръ Фигуры снаряда, даютъ пару силъ, увеличивающую угловую скорость снаряда при одпомъ
изъ его полуоборотовъ п уменьшающую ее при другомъ полуоборот!. Наибольшая величина плеча этой пары равняется величин! эксцентриситета и какъ эксцентриситете
малъ, заключается въ предѣлахъ между - Т

и

всегда

весьма

долями

на-

ружна™ діаметра снаряда, то моментъ этой пары малъ и для
упрощепія вопроса имъ пренебрежемъ, какъ равно и малымъ
момеитомъ пары тренія воздуха о снарядъ.
Когда тѣлу

придано вращеніе около одной изъ главныхъ

осей и т!ло не подвержено д!ііствію внѣшней пары, то вращеніе
будете всегда происходить вокругъ этой осп, если н ! т ъ возмущающей причины, которая-бы перемѣнила ось вращенія.

Разсмотримъ измѣпеніе вращенія эксцентрическаго снаряда
съ сФерпческоку пустотою, послѣтого какъ на снарядъ подействовала какая лпбо возмущающая причина. Пусть OA (ФИГ.

60)

представляем ось Фигуры въ вертикальной плоскости стрельбы,
OB

экваторіальную

ось,

перпендикулярную къ

плоскости стрельбы. Пусть OGt есть ось
момента количества двпженія Gt,
подействовала

вертикальной

равнодѣйствующаго

после того какъ на снарядъ

возмущающая причина. Изобразпмъ чрезъ и не

большой уголъ составляемый осью OGt съ осыо OB-, чрезъ А\\В
моменты пнерціи снаряда вокругъ оси Фигуры и вокругъ экваторіалыгой осп; чрссъ м0 начальную угловую скорость вокругъ оси O B .
Уголъ г, составляемый мгновенного осью 01
делится пзъ tang {и—г) — ^
tang і =

^

tang и, или по малостиугла и изъ

- tang и; угловая скорость О вокругъ мгновенной

оси 01 будетъ О =
въ теле

съ осью OGt опре-

и мгновенная ось б у д е м описывать

cos

вокругъ оси OA вссьма открытый круговой

І О І " , котораго уголъ 1 0 А =

конусъ

9 0 ° — (и — і), между тѣмъ какъ

въ пространстве будетъ описывать вокругъ оси OGt весьма острый круговой конусъ ІОІ',

котораго уголъ IOGt =

i, такъ что

двпженіе вокругъ центра тяжести можем быть представлено катящимся весьма открытым!, круговымъ конусомъ І О І " по неподвижному съ малымъ основаніемъ круговому конусу 101',

при

чемъ ось Фигуры OA будетъ описывать вокругъ оси OGt весьма
открытый круговой конусъ

AOÄ.—Еслпбы

могли сообщить

снаряду вращеніе вокругъ оси Фигуры OA (ФИГ. 6 1 ) со скоростью « 0 , расположив!, згу ось перпендикулярно къ вертикальной плоскости стрельбы, то экваторіальная ось O B находиласьбы въ вертикальной плоскости стрельбы. Уголъ і определился-бы
пзъ tang (и -+- г) =
tang г =

А

~

tang и,

или по малости угла и пзъ

-у } '' tang и ; угловая скорость О вокругъ мгновенной

оси 01 была бы О =

ros (

" " н .. и мгновенная ось описывала бы

въ тѣлѣ вокругъ осп OA острый круговой конусъ ІОІ"
с т р а н с т в ! острый круговой конусъ 101',

и въ про-

т а к ъ что двпженіе во-

кругъ центра тяжести могло-бы быть представлено катящимся
острыми круговымъ конусомъ 101"

по неподвижному с ъ малымъ

основаніемъ круговому конусу ІОІ',

при чѣмъ ось Фигуры OA

описывала бы вокругъ оси OGt острый круговой конусъ Л О Х ' . —
Такъ

какъ

в ъ сферическнхъ

эксцснтрическихъ снаридахъ мо-

мента инерціи А мало отличается оть момента инерціи В , то, по
дѣйствіи одной H той-же возмущающей причины, углы и и і мало бы разнились въ обонхъ случаяхъ, такъ что мгновенная ось должна въ обоихъ случаяхъ оішсывать приблизительно одни н т ! - ж е
конусы в ъ проетранствѣ, н какъ снаряды имѣютъ шаровую наружную поверхность, т а к ъ что соііротіівленіе воздуха дѣйствуетъ
одинаково около какой либо оси снаряда не происходило вращеиіе, лишь бы эта ось занимала в ъ пространств! одно и то же но
ложеиіс, то в ъ обонхъ случаяхъ траекторіи будутъ приблизительно однѣ и т ѣ же, не

смотря па т о , что въ

первомъ

случай

(ФИГ. 6 0 ) катящійся конусъ І О І " И конусъ А О А ' описываемый
осыо Фигуры тупые, а во второмъ случай (ФИГ. 6 1 ) эти конусы
острые.
*

Для снарядовъ с ъ эллипсоидальною пустотою можно также
показать,

что,

вслѣдствіе

малой разности

между

величинами

в с ѣ х ъ трехъ главныхъ осей, траекторіп получились бы приблизительно однѣ и т ѣ ;ке, если бы снарядамъ было сообщено, при
в ы л е т ! изъ канала, вращаніе съ одинаковою скоростью около
какой

либо

изъ

одно H то же

главныхъ

положеніе

осей,

лишь бы

относительно

эта

ось

вертикальной

занимала
плоскости

стрѣльбы.
Изъ изложенная оказывается,
сферическнхъ снарядахъ

дйлать

что нѣтъ особой в ы г о д ы
пустоту

въ

эллипсоидальною, для

того, чтобы сообщать вращеніе вокругъ оси наибольшая момента пнерціп.
187.

Нзміьреніе эксцентриситета. Если поставить СФерп-

ческій эксцентрическій

снарядъ

въ сосудъ со ртутью, то онъ

чрезъ нѣкоторое время приметь такое положеніе, что центръ
тяжести его G расположится (ФИГ. 6 2 ) ниже центра Фигуры С
на одной съ нимъ вертикальной линіи; верхняя точка А снаряда,
находащаяся на линіи цеитровъ, называется легкимъ полюсомъ
и отмѣчается на поверхности снаряда. Если нотомъ къ поверхности снаряда прикрѣпимъ прибавочный грузъ Q (ФИГ. 63), то
центръ тяжести переместится и первоначальная лпнія цеитровъ
A B не будетъ въ вертпкалыюмъ направлен»!. Измѣривъ уголъ а
составляемый новымъ положеніемъ линіи цеитровъ съ вертикальною лпніеюн уголъ ß составляемый радіусомъ, на продолженіи котораго

прикрѣпленъ грузъ (),, можемъ, при пзвѣстныхъ вѣсахъ

снаряда Ри груза Q, определить величину эксцентриситета

CG=с.

Для равновѣсія необходимо чтобы

P.Gp =

Q.~qs,

ИЛИ

Р. е. sin а =

Q (г - н h). sin ß ,

гдѣ г есть радіусъ снаряда, a h полувысота цилиндрическая
груза.
Послѣднее уравненіе даетъ
Q (r -t- h) sin ß
Psin a

e

188. Опредѣленге угловой скорости эксцентрического снаряда
при вылетгь его нзъ канала ерудія.

Эксцентрическій снарядъ по-

лучаем вращательное движеніе (п° 182) вслѣдствіе пары снлъ
измеряемой пропзведеніемъ
F . е . cos j ,
гдѣ F есть давленіе нороховыхъ газовъ на снарядъ, е эксцентрнснтетъ, - уголъ, составляемый плоскостью перпендикулярною къ

оси орудія съ линіею, соединяющею центръ тяжести снаряда съ
центромъ Фигуры.
Но на угловую скорость нмѣетъ вліяніе давленіе на снарядъ
сверху винзъ части газовъ, вытекающпхъ сквозь зазоръ, которое
увеличиваете или уменьшаете угловую скорость, смотря но тому,
получаете ли передняя полусфера ^наряда вращеніе сверху внизъ
или снизу вверхъ.
Угловую скорость сиаряда можно опредѣлнть онытомъ, наблюдая величину, на которую перемещается оконечность его радіуса параллельнаго осн орудія, на пути снаряда отъ дулыіаго
срѣза до удара его въ твердый предмете, расположенный въ нѣсколькихъ Футахъ отъ орудія *).
З а неимѣніемъ въ достаточномъ числѣ

непосредственныхъ

оиытовъ, покажемъ приближенный способъ вычисленія угловой
скорости эксцентрическаго сиаряда.
Если изобразнмъ чрезъ « угловую скорость снаряда, чрезъ
Р его вѣсъ, чрезъ ѵ его поступательную скорость, чрезъ А моменте ннерціи вокругъ оси, проходящей чрезъ центръ тяжести,
перпендикулярно къ линіи центровъ, въ снарядахъ съ эллипсоидальной пустотой, оси параллельной большой осн эллипсоида, и
замѣтпмъ, что

то угловое ускореніе снаряда будетъ
du

Р . е . cos Э

dv

Ht

дА

' dt '

Угловая скорость снаряда опредѣлнтся ІІЗЪ

гдѣ (cos 1 ) т обозначаете нѣкоторое среднее зиаченіе cos -

въ

предѣлахъ cos ~ 0 соогвѣтствующаго угловой скорости м 0 до cos Ч
СООТВѢтСТВуіОЩаГО УГЛОВОЙ СКОРОСТИ 6).

*) M. Didion. T r a i t é de balistique 1 8 6 0 .

Уголъ на который повернулся снарядъ найдется изъ
F. е.

(cos Ь).

OA

m [s — s0)~*-(>

F.e.(

cosS)

ЦЛ

гдѣ s есть разстояніе, пройденное снарядомъ въ каналѣ орудія,
когда онъ пріобрѣлъ скорость»«;.
Для прнложенія найдемъ угловую скорость при вылетѣ нзъ
дула 12 Ф. прусской эксцентрической гранаты съ эллипсоидальною внутреннею пустотою. Діаметръ наружной шаровой поверхности гранаты 0 ф І , , 3 7 9 . Большая ось пустоты 0 Ф % 2 8 8 . Малая
ось пустоты 0 ф т ' , 2 1 0 . Разстояпіе центра наружной поверхности
до центра эллипсоидальной пустоты 0 Ф % 0 3 1 8 .

Вѣсъ

граиаты

10 "-,8. Эксцентриситета 0 % 0 0 9 8 3 . Момента ішерціп вокругъ
ф

Ф

оси, проходящей чрезъ центръ тяжести, параллельно большой
оси эллипсоидальной пустоты А =
вокругъ линіи центровъ В =

0 ф "- ф т -,00578; момента ішерцін

о "- -,00569; момента пнерціи воф

фт

кругъ оси, проходящей чрезъ центръ тяжести, перпендикулярно
къ двумъ нервымъ С =

0 ф п - ф т ' , 0 0 5 1 1 . Калибръ пушки 0 ф т , , 3 8 9 6 .

Длина канала 4 % 5 7 . Вѣсъзаряда 2 Ф % 3 2 . Длина заряда 0 ф І , 3 0 8 .
Ф

Скорость гранаты при вылетѣ нзъ дула 1 3 5 0 Футъ.
Для выраженія поступательной скорости снаряда въ зависимости отъ пройденная имъ пути но каналу, возьмемъ первую
Формулу, приведенную въ п° 3 5 , которая для безкаморнаго орудія, если пренебрежемъ потерей скорости вслѣдствіе зазора, приметь видъ

гдѣ s есть пройденное снарядомъ разстояніе въ каналѣ, h длина
заряда, 7 = 1 , 4 1

отношеніе теплоемкости газовъ при постоян-

номъ давленіи къ теплоемкости при постояшюмъ объемѣ, к численный коеФФиціентъ. Если примемъ 7 — 1 =

|, то получимъ

il коеФФиціентъ к , для нашего прияѣра, определится, если вставииъ s -+- h — 4 ф т - ,57, h =

0 Ф % 3 0 8 , ѵ — 1350 ф % п будетъ

к— 1 6 6 2 Фут.
Л»
ds
г
Для того чтобы найти — , вставимъ вмѣсто ѵ его выражепіе въ Функціи s , получимъ
ds
v

1
к

-і

l—l,\s-*-hj

ds;

положивъ

S-H/i = ( 5 2 - b / i 5 r
будемъ имѣть

ds
v

5

1( / _

к

Z

b ) -4- IA1

_

g

* ) -4- /Д ( 5 -

50)

гдѣ

Для вычисленія угловой скорости снаряда разобьемъ все разстояміе 4 ф т ',26, проходимое сиарядомъ по каналу, на пять частей
и положимъ
1°, s = éÊÊ =
=

О, о

0

0 , 50 =

0 , ѵ0 =

О,

= 0. Для первая приближеніяпримемъ ( c o s ï ) m = 1,

получимъ 5 =

2 6 ° 1 4 ' H этимъ приближеніемъ ограничимся. Бу-

демъ имѣть « =
2°,

0 ф т -,852 ; прп этомъ s 0 =

s =

577, v =

f. 4,26 =

1066 ф т ', 5 =
1 ф т -,704;

0,6607.

при этомъ s 0 =

0фт,852,

zg =

0 , 6 6 0 7 , v0=

1066 ф % w 0 = 5 7 7 ; \ =

2 6 ° 1 4 ' . Такъ какъ

послѣ перваго перемѣщеиія снаряда поступательная и угловая
его скорости возрастают!, довольно медленно, то для опредѣленія (cos

примемъ,

s — s 0 = 1,704 — 0 , 8 5 2 = 0

что разсматриваемый
фт

промежутокъ

' , 8 5 2 снарядъ проходить съ постоян-

ною поступательною скоростью 1 0 6 6 ф т и постоянною угловою скоростью 5 7 7 , такъ что на этомъ промежутке снарядъ повернется на
уголъ 5 7 7 • ^
для * =

•

=

26° 1

=

Cs

Y =

2 6 ° и будемъ иметь: первое приближеніе

5 2 ° ; (cos * ) ж =

2=

0,8355;

0,0007437 ;

5 =

5 2 ° 5 l ' ; v = 1205 ф т - ; о — o 0 = 6 0 ;

<^cos52° =

второе

So

3°,

s = f • 4,26 =

s — s0—

0фт',852,

2

20 =

фт

',556;

приближеніе

для

«=637.

при

0,8355;

0,761 ;

этомъ

v0 =

s0=

1205 ф т ',

1фІ-,704,
«0=637,

J 0 = 5 2 ° 5 l ' . Принявъ что на этомъ промежутке снарядъ повернет360°

ся на уголъ 6 3 7 •

с-

me для 4s =
2 =
ï =

о Г° . о-

0,852

• y^ös —

J,)

70°- Сап еЧІ

2 6 -t- з 0 =

, получимъ первое приблнже-

7У » ( c o s î ) m =

—- =

0,9480;

о с 0

0,0006835;

So

7 8 ° 1 0 ' ; v = 1277 ф т -; « — o

0

COS Эп-»-COS 79°
=

второе

_ „__

0,397 ;

приближеніе для

= 16 ; « =

653

4°. Такъ какъ при слѣдующемъ перемѣщеніи въ 0 ф т -,852
уголъ 4s выйдетъ болѣе 9 0 ° п косинусы угловъ большихъ 9 0 °
отрицательные, то разсмотримъ промежутокъ s — s 0 , проходимый снарядомъ отъ

=

7 8 ° 10' до S =

90°, на протяженіи ко-

тораго снарядъ повернется на уголъ 9 0 ° — 7 8 ° 1 0 ' =

11°,8.

Допустнвъ, что этотъ промежутокъ снарядъ проходить съ постоянною
угловою
s — s0 =

поступательною
скоростью
11° 8

653,
1077

скоростью
получимъ

2тс • gg^j • -ggg-ip 0

»4

11

1277 ф т искомый

н постоянною
промежутокъ

следовательно s =

2 ф т -,956 ;

,

c o s 7 8 ° 1 0 ' ч- cos 9 0 °

при этомъ (cosEs) m =
, г 0 = 0 , 9 4 8 0 ; ѵ0 =

2

1277

- =

фт

'; «

0,9900;

S =

8 9 ° 5 0 ' , примемъ Ъ =

So

=

4 ',26 ; при этомъ s„ =

на

этомъ

6 5 4 • ^2тс

v0 =

1299 ф т ", «„ =

промежуткѣ

•1 2 9 9 =

0,0009847;

654.

' , 9 5 6 , s — s0 =

6 5 4 , So =

снарядъ

для

90°.

повернется

1 фт , 3 0 4 ;
Принимая,
па

уголъ

3 8 ° , будемъ нмѣть первое приближеніе для

^ = 1 2 8 ° ; ( c o»Оs —
=
=

2

21T,ooG;

приближеніе

1299фІ', « =
фт

оФт. к к ct.

7 8 ° 1 0 ' и найдемъ

второе

90° ; ѵ =

фт

0,9900,

что

= 653, \ =

0,0003093 ;

z =

5°. s =

0

л

0,1026;s0 =

=

0н

~с

128

второе

° =

— 0,301;

приближеніе

г =

1,1007;-

для S =

126°38';

®0
v =

1350 ф т ' ; о — « 0 =

— 9 и
« =

645.

Число оборотовъ въ 1 секунду будетъ
645

—- =
2тс

, ,~,г\

ОКОЛО 1 0 0 .

189. Траекторія сферическихъ жсцентрическихъ снарядовъ.
При

стрѣльбѣ

эксцентрическими

снарядами помѣщаютъ

ихъ

обыкновенно въ канал! орудія такъ, чтобы линія центровъ была
перпендикулярна къ оси орудія, въ вертикальной плоскости проходящей чрезъ ось орудія, располагая центръ тяжести выше или
ниже центра Фигуры. Предположимъ, что снарядъ во все время
полета не подвсрженъ дѣйствію возмущающнхъ причинъ, такъ
что постоянно вращается вокругъ осп, проходящей чрезъ его
центръ тяжести, перпендикулярно къ линіи центровъ и поступательной скорости. В ъ разсматриваемомъ случа! на снарядъ, во
время полета его

въ воздух! дѣйствуютъ

1°, сила тяжести,

2°, равнодѣйствующая ç изъ сопротивленіи воздуха нормальныхъ
къ каждому элементу поверхности, подверженной сопротивление—
равнодѣйствующая р направленная по касательной къ траекторіп,
n 3°, равнодѣйствующая сила N изъ разности давленій воздуха,
происходящихъ отъ совокупная вращательнаго и поступательн а я движеній снаряда — равнодѣйствующая N, направленная въ
вертикальной плоскости стрѣльбы,

нормально къ траекторіп и

дййствующая снизу вверхъ, когда центръ тяжести снаряда помйщенъ въ каналѣ выше центра Фигуры, и сверху внизъ, когда
центръ тяжести помѣщенъ ниже центра Фигуры. Получаемая въ
этомъ случай траекторія плоская.

Скорость вращенія снаряда

весьма мало замедляется отъ дййствія воздуха и можемъ ее разсматривать какъ постоянную на всемъ протяженіи полета.
Положивъ

I =ft»), ~ = 9(ѵ),
диФФеренціальныя уравненія движенія снаряда по
направленію горизонтальной оси х и внутренней нормали, суть:
найдемъ, что

(1 )

1І =

— У [ f t » ) c o s ô ± <p(t;)sin 0 ] ,

(2 )
гдй верхній знакъ относится къ случаю когда передняя полусфера
снаряда вращается снизу вверхъ, a нижній знакъ къ случаю,
когда передняя полусфера снаряда вращается сверху внизъ.
Для того чтобы получить уравненіе траекторіи, или по крайней мйрй части траекторіп, въ конечномъ видй, замйнимъ въ первомъ уравненіи Фуикцію f{v) Функціею

, гдй а должно быть

выбрано такимъ образомъ, чтобы на всемъ протяженіи разематрнваемой части траекторіи a cos О мало разнился отъ единицы, и
функцію ®(ѵ) замйнимъ Функціею 9 (avf

. По второмъ уравненіи за-

мѣнимъ Функцію <р(ѵ) Функціею a cos О . ^ ( а ? ; , ) .

ДпФФеренціаль-

ІІЫЯ уравненія движенія примутъ впдъ

(3 )

f ^ - f A a r ^ l - a ^ j . s i n ö ] ,

(4 )

-f-

=

v

-

f) [ 1 чй

И , ) ] cos 2 Ѳ.

Раздѣливъ одно уравненіе на другое получимъ

/к\
(5)

«
ТРЖѳ —а

1

аѳ

,,

«Ч» (а»|)
^
Ä )

MÎ

1

Изъ уравненія (4) имѣемъ

_ i

dt =

(6)

d x

==

Ѵ

Ч

—

{

g (1 q z я <p(a»,)] c o s 2 в

У

[ l z p a J l ' a S l cos2 0 •

Вставпвъ въ это уравненіе величину
получимъ

a

r v1

1

пзъ уравненія (5),

v, r?»,

/ И i)

Функціи

—7~ ;
1d t a ^ M

/Иі)

sin<9

И т т М непрерывны между пре-

дѣлами интегрированія н Функція дДр^

116

мѣняетъ знака между

этими иредѣлами.
При неболыпихъ углахъ бросанія величина a y M j s i n О мала
сравнительно съ единицею; при болыиихъ же углахъ бросанія мы
19

должны разбивать траекторію на такія части, чтобы крайнія величины какъ sin О, такъ и ѵ не много разнились одна отъ другой,
такъ что въ величинѣ а

• sin О можемъ принять вместо не-

ременной скорости v, ея среднее значеніе ѵ т и вместо перемѣннаго sin О его среднее зиачеиіе (sin Ѳ)т,

и обозначпвъ для крат-

кости

(7)

= ^

получимъ

,ft,

a fv, dv,

v,

löj

Это уравненіе служить для оиредѣленія х въ Фупкдіи ѵ, и
обратно v, въ Функціи х . Предположнвъ это интегрированіе совершеннымъ, обозначнмъ

(9)

£ = •(«)
1

V

и, по вставке

=

въ функцію 9(аг>,), обозначимъ

(Ю)

ф(аѵ,) =

ф(х).

Уравненіе (6) дастъ

(

n

)

de

=

— 0ф(®)[і

+*Ф(Х)](ІХ,

откуда
(12)

tang Ѳ =

tang 9 — Лф(ж) [ l +аф

{x)\dx,

«А/

(IB)... . y — a;tang9—g

«Л/

dx

ф(ж)[і +

о
Время опредѣлится изъ

(14)

t

о
•X

а

dx

=

аф(х^х

av.
/(«•і) '

7,
1 9 0 . Выраженіе

функціи

f(v).

Для скоростей -нревышаю-

щихъ 1 2 3 0 Футъ (п° 1 2 1 ) ,

/» = Іс '

гдѣ
с

=

и, при Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы (п° 9 5 ) , Ло =
...

.

0,0013;

а-«.2

Для скоростей меньшпхъ 1 2 3 0 Футъ (и 0 1 2 0 ) ,

гдѣ
V
2 Лт,В?д
и, при Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы(F 9 5 ) , Л =
г =

610;

1 9 1 . Выраженіе

»,

,

а2®.2 Г ,

функціи

0,000255;

а21>,2~1

9 ( F ) . М Ы имѣемъ весьма мало

опытовъ, для того чтобы выразить отклоняющую силу N и, слѣ19*

дователыю, 9 (ѵ) въ зависимости отъ вращательной и поступательной скоростей снаряда. Наиболѣе полные опыты надъ эксцентрическими снарядами были произведены въ прусской артиллеріи
стрѣльбою изъ 1 2 Ф. облегченной пушки, эксцентрическими сферическими гранатами съ эллипсоидальною пустотою, по одшімъ
только зарядомъ въ 1,9 прусскихъ Фунта ( 2 , 3 2 русс. ФН.). Поэтому, на основанін результатовъ этихъ опытовъ, можемъ найти
выраженіе 9 (г>) въ зависимости отъ поступательной скорости, при
одной только угловой скорости, сообщаемой снаряду зарядомъ въ
1,9 прусск. Фунта. В ъ справочной кігажкѣ для прусскихъ оФицеровъ нолевой артиллеріп за 1 8 6 5 годъ номѣіцена таблица стрѣльбы этими гранатами. В ѣ с ъ гранаты составляетъ 1 0 , 8 русскпхъ
фунта, наружный діаметръ 0 , 3 7 9 русск. фута, начальная скорость Ѵ =

1 3 5 0 русск. Футъ. При заряжаніи гранату номѣщали

легкимъ нолюсомъ внизъ, т. е. располагали центръ тяжести надъ
центромъ Фигуры.
Изъ таблицы стрѣльбы имѣемъ:

100

200

зоо

400
500
GOO
700
800
900

1000

247
494
741
988
1235
1483
1730
1977
2224
2471

На Фигурѣ 6 4

Vit
ъ

ll/'e

13/

1

l /lG
3

l5/.c
1V,6

0,0023
0,0044
0,00G4
0,0087
0,0119
0,0146
0,0175
0,0207
0,0230
0,0262

1100
1200
1300
1400
1500
1600
1700
1800
1900

2000

2718
2966
3213
3460
3707
3954
4201
4449
4G96
4943

110/

4:
A\

i-/IG>

/IG
2 /IG
9

25AG
2 V..
Ж

построена иунктиромъ кривая тангенсовъ

угловъ бросаній, при чемъ за абсциссы приняты дальности въ
Футахъ, а за ординаты—тангенсы угловъ бросаиія. Изъ разсмотрѣнія этой кривой оказывается, что углы, составляемые каса-

тельными къ кривой съ осью абсциссъ сначала увеличиваю гея,
потомъ уменьшаются н далѣе снова увеличиваются, такъ что нрнРащенія означеныыхъ угловъ сначала положительный, потомъ отрицательный, далѣе снова положительный, и при переходѣ отъ
положительныхъ къ отрицательнымъ обращаются въ нуль, а также при переходѣ отъ отрицательныхъ къ положительнымъ снова
обращаются въ нуль. Выражая тангенсы угловъ бросанія 9 въ
функціи дальностей х рядомъ
tang ф = ах ч - Ьх2 -+- сх" -+- fx4,
изъ изложеинаго разсмотрѣнія ВІІДИМЪ, что уравиеиіе, выражаю щее вторую производную этого ряда, должно иметь два корня,
такъ что оно должно быть но крайней мѣре второй степени, и,
следовательно, въвыраженін tang 9 означеннымъ рядомъ должны
въ немъ удержать по крайней мѣрѣ четыре члена.
Взявъ величины тангенсовъ угловъ бросанія соотвѣтствующія дальностямъ, чрезъ каждые 5 0 0 Футъ, съ кривой изображенной пунктпромъ на Фигурѣ 6 5 , мы вычислили четыре первые
члена ряда по Формуламъ пнтерполированія по способу наименьшихъ квадратовъ, даннымъ П. Л. Чебышевыыъ и помѣщеннымъ
въ главе «способъ наименьшихъ квадратовъ». Такимъ образомъ
получили
tang 9 =

0,0 5 5 5 7 9 . x -t- 0,0 8 5 1 02 . х1 — 0 , 0 й 1 6 5 2 .х3
н - 0,0151532

.хі.

Уравноніе траекторіи подъ небольшими углами бросанія будетъ
у = x . tang 9 — 0 , 0 5 5 5 7 9 . ж2 — 0 , 0 8 5 1 0 2 . x 3 ч - 0 , 0 П 1 6 5 2 . х '
0,0151532. х\

Откуда первая и вторая производныя по х
£ = tangф — 0 , 0 4 1 1 1 5 8 . ж — 0 , 0 7 1 5 3 0 4 . ж2 -4- 0 , 0 И 6 6 0 8 . ж3

d

— 0 , 0 ' 5 7 6 6 0 . ж4
g

=

— 0 , 0 * 1 1 1 5 8 — 0 , 0 7 3 0 6 0 8 . ж ч- 0 5 0 , 0 1 9 8 2 . ж2
— 0 , 0 1 4 3 0 6 4 . ж3.

Зная

и g

легко найдемъ значенія 9 (ѵ) соотвѣтствую-

щія различнымъ скоростямъ.
dx =

v,dt,

Въ самомъ дѣлѣ, замѣтивъ что

s f e ^ g ^ c o B ^

,

1

, изъуравненія(2)

п° 1 8 9 получимъ
,
/ \

9(ѵ) =

1ч

v.2
9

-

d2y

. т-г

dx -

или, такъ какъ въ разбираемомъ примірѣ углы О малы, то

(D

?<«)=!-^fg.

Для опредѣленія г>, въ ФѴИКЦІИ Ж Возьмемъ уравненіе (8)
п° 1 8 9 . ІІо вставкѣ въ него выраженій f(avx) изъ п° 1 9 0 п
интегрированіи, получимъ
при сопротнвленіп воздуха пропорціональномъ квадрату и четвертой степени скорости

(2)

х = А - log I I2
aß о t',

2«. 2
I _,_ "-"t
M
a2К,2
1H —

r1

при сопротивленіи воздуха иропорціопальномъ квадрату скорости
а

(4)..

;...*=4log£Ê

aß ° гу

И

е 2С
Для разбираемаго примѣра можемъ принять a =
cos m =

1, ß =

1,

1.

Опредѣливъ но Формулѣ (4), при Ѵ = 1 3 5 0 Футъ, дальность
x, соответствующую скорости 1 2 3 0 ФТ., II ВЫЧИСЛЯЯ ПО Формуле (3) (пршіявъ въ ней Ѵ = 1 2 3 0 Футъ) скорости соответствующія
дальностямъ х' =

5 0 0 ф т - — xt,

х"=

1000 ф т ' — ж, и т. д., а но

Формулѣ (1) значенія 9(4») соответствуют!я дальностямъ 5 0 0 ,
1 0 0 0 ФѴТЪ и т. д., получимъ

Дальности
в ъ Футахъ
X.

Скорости
в ъ Футахъ
г\

<р(і>).

Дальности
в ъ Футахъ
X.

Скорости
в ъ Футахъ
V.

500
1000
1500
2000
2500

1097
931
817
731
662

0,1898
0,3276
0,5275
0,7081
0.8276

3000
3500
4000
4500
Г.000

605
558
517
482
450

9 («)•

0,9169
0,9341
0,8962
0,8079
0,6760

Принявъ полученныя скорости за абсциссы и соотвЬтствуюіція имъ значенія о (ѵ) за ординаты получимъ кривую 9 (г'), изображенную на Фигурѣ 65 пунктиромъ.
Изъ разсмотрЬпія этой кривой оказывается, что <а(ѵ) и, следовательно, отклоняющая сила N, при одной п той же угловой
скорости, начиная съ малыхъ поступательныхъ скоростей, возраста on, съ увеличеніемъ этихъ скоростей, достигаем наиболь-

шей величины и за тймъ, съ дальнѣйшимъ возрастаніемъ поступательной скорости, постоянно уменьшается, что совершенно согласно (и° 1 8 3 ) съ результатами опытовъ г. Магнуса.
Для того чтобы © (о) удовлетворяла означенннымъ условіямъ,
она можетъ быть выражена Формулою

«Р(*) =

гдй ß >

—

;

а. В ъ эгомъ случай <р(ѵ) при ѵ=0,

а также при

ѵ=оо

обращается въ нуль.
В ъ разбнраемомъ нами примѣрй

<р(ѵ) =

(6).

гдй Ь =

_Р

„в ?
1-у6
4 7 3 Ф Т . , 1=

629 ФТ.

i
Кривая вычисленная по этой Формулй изображена на ФИгурй 6 5 сплошною лнпісю.
Фупкція 9 (ѵ), кромй того, на осіюванін результатовъ опытовъ г. Магнуса, при одной н той яге поступательной скорости,
начиная съ малыхъ

скоростей вращеиія поверхности снаряда,

должна (п° 1 8 3 ) возрастать съ увелнченіемъ этпхъ скоростей,
достигать наибольшей величины и за тймъ, съ далыіѣйшнмъ возрастаніемъ скорости вращенія поверхности снаряда, должна постоянно уменьшаться. Если изобразимъ чрезъ L линію соединяющую центръ тяжести снаряда съ точкою поверхности, къ которой
приложена отклоняющая сила N и чрезъ о угловую скорость
снаряда, то для того чтобы 9(1») удовлетворяла веймъ приведеннммъ условіямъ, она можетъ быть въ зависимости отъ угловой
и поступательной скоростей снаряда, выражена Формулою

'

aL'lutb«
(7)

г

Дѣ ß >

a, S >

у и 7 -I- а больше какъ 8, такъ н ß.

КоеФФИ-

Шепты а, Ь, с н показатели а, ß, у, S должны быть найдены изъ
опыта.
Формула (7), при конечной угловой скорости о >

0 иѵ= О

обращается въ нуль; при конечной угловой скорости о > 0

и

F == сю обращается въ нуль ; при конечной скорости ѵ >

0 и

м=

0

0 и

« =

оо обращается въ нуль; при « =

обращается въ нуль;

въ нуль; при о =

оо и F =

при конечной скорости ѵ >
0 и F=

0 обращается

оо обращается въ безконечность.

1 9 2 . В ъ разбнраемомъ нами прнмѣрѣ надобно взять для ©(F)
выраженіе (G) п° 1 9 1 , а для /'(F) выраженія п° 1 9 0 , и для того
чтобы получить уравненія двнжеиія произвести іштсгрированія
ноказашіыл въ F

1 8 9 ; но при этомъ получаются довольно слож -

ный Формулы.
Для того чтобы упростить рѣшеніе разбираемаго примѣра,
можно :
1

Функцію 9 ( F ) въ предѣлахъ отъ большихъ скоростей до

скорости 0 2 4 Фута выразить Формулою

Ф (») = * - • - 5 »
гдѣ X = — 0 , 1 3 3 , 1 = 6 5 8 Футъ.
Кривая вычисленная но этой Формул! изображена на ФИг у р ! 6 5 прерывною чертою.
2°. Функцію 9 (ѵ) въ предѣлахъ отъ скорости 6 2 4 Футъ до
самой малой имѣющсй м!сто въ разбнраемомъ прпмѣрѣ выразить
Формулою

гдѣ m =

0,554, n =

9 5 6 Футъ.

Кривая вычисленная по этой Формул! изображена на Фиг у р ! 6 5 прерывною чертою.

получимъ

tange=tang» -

Я [(1 щ м , . F , ( ? ) +

При

получимъ

t,,. <*Ч2
jîwZî! _LtL_
РГ"
î, =

Il

1

tang 0 =

tang 9 -

f , {(i

.x). 3

( f ,

(??)],

При
<р(») =

m ч-1

и f(v) =

~ [ \ -н J ] ,

получимъ

a;

1 !

а

У

=à log ^- 1 , Д»'
г-

tang Ѳ =

tang 9 — Ç [ ( l ^

y = ж tang 9 -

am). 3 ( g , g ^ )

[ ( 1 qr am). 9 ( g ,
,

Ж ar/aߣ

g^],
q= g f ] ,

a2F,2\

В ъ слѣдующей таблицѣ приведены вычисленные по этимъ
Формуламъ, подобно тому какъ показано въ п° 1 5 0 , углы бросанія и паденія, соотвѣтствующіе различнымъ дальностямъ.

в ъ Футахъ.

Тангенсы
угловъ бросая ія.

500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000

0,00441
0,009GO
0,01515
0,02078
0,02610
0,03060
0,03405
0,03735
0,04094
0.04625

Дальности

v

бросанія.

Тангенсы
угловъ паденія.

паденія.

0°15'
0°33'
0°52'
1°11'
1°30'
1°45'
1°57'
2 ° 8'
2°21'
2°35'

0,00521
0,01088
0,01714
0,02240
0,02479
0,02360
0,02315
0,02715
0,03386
0,04525

0°18'
0°38'
0°59'
1°17'
1°25'
1°21'
1°20'
1°34'
1°57'
1°59'

0 глы

Углы

На Фигурѣ 6 4 построена сплошною линіею кривая тангенсовъ
угловъ бросанія по даннымъ, помѣщеннымъ вт. этой таблице. Изъ

сравиенія этой кривой съ кривой построенной на той же Фигурѣ
пунктиромъ по даннымъ, полученнымъ изъ пепосредствепнаго
опыта оказывается, что вычисленные углы бросанія выражаютъ
съ большимъ приближеніемъ результаты опытовъ.
1 9 3 . Стрѣльба эксцентрическими спарядами

выигрываетъ

въ мѣткости передъ стрѣльбою сферическими обыкновенными
снарядами; но мѣткость ея не вііолнѣ удовлетворительна, потому
что, при каждомъ выстрѣлѣ, снарядъ получаетъ вращеніе вокругъ осей близкнхъ, но несовпадающнхъ съ осью перпендикулярною къ вертикальной плоскости стрѣльбы и не одинаково отъ
нея удаленныхъ, при чемъ самыя угловыя скорости сиарядовъ
при вылетѣ ихъ изъ канала орудія, а также углы составляемые
направленіемъ вылета съ осью канала разнообразны.

ГЛАВА VII

Движеніе продолговатыхъ сиарядовъ въ
воздухѣ.
§і.

,

Вращательное движеніе продолговатыхъ снарядовъ.
1 9 4 . Движеніе продолговатаго сиаряда, какъ твердаго т!ла,
можетъ быть разложено на поступательное движеніе его центра
тяжести и на вращательное двнженіе точекъ снаряда вокругъ
его центра тяжести. Разсмотримъ сначала вращательное движет е снаряда, предполагая центръ тяжести его неподвижнымъ.
Вращательное двнженіе твердаго тѣла опредѣляется тремя
уравиеніями Эйлера. При вывод! этнхъ уравненій предполагается,
что начало координате взято въ центр! тяжести т ! л а , а за осн
координате приняты главный центральный оси т!ла. Всѣ внѣшнія силы приводятся къ одной сил!, проходящей чрезъ центръ
тяжести т!ла, и къ одной пар! енлъ.
Для иолученія уравнеиій вращателыіаго движенія тЬла слѣдуете общее выраженіе нроекціи оси пары касателыіыхъ силъ
на каждую изъ главиыхъ осей, сложенное съ общпмъ выраженіемъ ироекціи оси пары центростремительныхъ силъ на ту же

ось, приравнять проекціи оси пары внѣшннхъ силъ на ту

же

главную ось.

Если назовемъ моменты инерціи тѣла относительно главныхъ
осей X, у, г, чрезъ А , В ,

С, угловую скорость тѣла вокругъ

мгновенной оси чрезъ О и ея проекціи на главныя оси чрезъ
p, q, г, проекціи на направлеиія главныхъ осей осп пары внѣшнихъ силъ чрезъ L, Ж , N, то общія уравнемія вращательнаго
движенія твердаго тѣла будутъ

+ (B—C)qr

=

L,

В%ч-(С-А)рг

=

М,

CdA-i-(A-B)pq

= N-

Продолговатый снарядъ есть тѣло вращенія; поэтому одна
изъ его г л а в н ы х ъ осей е с т ь ого ось Ф и г у р ы , а з а двѣ остальпыя
главный оси можно взять двѣ какія либо перпендикулярный прямыя, лежащія в ъ экваторіалыюмъ сѣченіи снаряда, потому что
моменты инерціи снаряда вокругъ в с ѣ х ъ осей лежащихъ в ъ его
экваторіальномъ сѣченіи равны между собою. Эти моменты ішерціп больше момента инерціп снаряда вокругъ его оси Фигуры.
В з я в ъ ось Фигуры снаряда з а ось х, получимъ

В = СпВ>

А.

1 9 5 . Если пренебрежемъ (п° 65) треніемъ воздуха о поверхность снаряда, а также увеличеніемъ давленія па нѣкоторьш части поверхности снаряда и уменьшеніемъ давленія на другія,
смотря потому происходнтъ-лн вращеніе этихъ частей въ противную или въ одпу и ту яге сторону съ поступательнымъ ихъ движеніемъ, то внѣшнія силы, которымъ подвергается снарядъ при
своемъ движеніи въ воздухѣ, будутъ сила тяжести и соиротивленіе воздуха действующее нормально на каждый элементъ поверх-

ности подверженной сопротивление.

Сила тяжести, какъ прило-

женная къ центру тяжестп сиаряда, пары не даетъ, а сопротивленіе воздуха даетъ пару, ось которой перпендикулярна къ оси
Фигуры снаряда и къ касательной къ траектории
Отнесемъ спарядъ, a вмѣстѣ съ нимъ и главный его осн
(ФИГ. GG): ось Фигуры Ох н осп Oy и Оз перпендикулярный къ
осп Фигуры, взятыя за подвижныя оси координатъ, къ неподвижной систем! нрямоуголыіыхъ координатъ Охх,

Оух,

0зх,

г д ! за

ось Ох, примемъ наиравлеиіе касательной къ граекторіи снаряда
n сначала допустнмъ, что касательная неподвижна.
•нерссѣченія плоскостей yOz п у,0з]х

Линія ON

какъ пернердпкулярная къ

оси Фигуры снаряда Ох и къ касательной Ох,, будетъ представлять направленіе осн пары сопротивленія воздуха.

Ось эта бу-

детъ идти въ сторону ON, потому что въ продолговатыхъ снарядахъ обыкновеинаго устройства, пара сопротивленія воздуха
(п° 7 8 ) стремится удалять ось Фигуры снарида Ох отъ касательной Ох •'•'). Называя величину этой осп чрезъ К,

а уголъ NOy

чрезъ к;, найдемъ, что проекціи ея па главныя оси снаряда Ох,
Oy, Оз, суть пуль, К COST] и — iiTsinï).
1 9 6 . Если нзобразпмъ чрезъ рА составляющую сопротнвленія воздуха по направленію прямо-противоположному осн Фигуры
снаряда, чрезъ

составляющую сопротпвленія перпендикуляр-

ную къ оси Фигуры, въ плоскости проходящей чрезъ ось Фигуры
и касательную къ траекторіи, и чрезъ д выраженное въ частяхъ
радіуса Л снаряда разстояніе центра сопротнвленія отъ центра
тяжести сиаряда, то пара К сопротпвленія будете
К=д-1і-9п,
или такъ какъ (и 0 7 7 )
у • РА »
?в —_ %

*) Будемъ считать положительными
оси паръ и оси вращеній
расположенный такимъ образомъ, что для наблюдателя прислоненнаю къ осп гі имѣющаю
ноги въ начали оси, вращеніе происходитъ справа на лѣво.

то
K = j tx -' à . R . РлX

На листѣ V I I ,
г

Фигурѣ 4 3 ,

начерчены кривыя величинъ

-ѵ-- и д для снарядовъ нодобныхъ нашей 4 Ф. гранате съ
толстой свинцовой оболочкой, ври чемъ за абсциссы взяты углы S
составляемые осью Фигуры снаряда съ касательного къ траектоX

Y

ріи, а за ординаты величины ^ ,

н д.

На Фіігурѣ 67-й, по-

строена, для снарядовъ нодобныхъ нашей 4 Ф. гранате съ толстой свинцовой оболочкой, кривая величинъ ~ • д соотвѣтствующихъ различнымъ угламъ S.

Когда стрѣльба производится не

слишкомъ малыми зарядами, углы S бываютъ не велики
у

симость между величина
а=

0 до а =

R

• д н углами а,

и зави-

въ предѣлахъ отъ

2 0 ° , можетъ быть выражена чрезъ
=

7 . sin а ,

*)

и следовательно
К — 2,7 • і? •

Ра

sinS,

или, изображая
я =

получимъ

2,7,

к = п ц -

Рл

sin а.

1 9 7 . На основаніи вышеизложенна^, уравненія вращательнаго движенія продолговатаго снаряда примутъ видъ
I
\

П

Î

(

В

ft — ( f } — А)РЯ =

В

— А )р>• =

п Я ? А sin S . COS 7} ,
— » . І ? Р а sin 5 . sin Y]-

*) К р и в а я в ы р а ж а е м а я этимъ уравненіемъ изображена на Фіігурѣ 6 7

рывнымн

ЛИНІЯМН.

Интегрируя эти уравненія найдемъ величины у г л о в ы х ъ скоростей p, q, г в ъ Функціи времени. ГІрп іштегрпрованіи

будемъ

полагать, что в ъ т о п , момента, отъ которого считается время,
плоскость, проходящая чрезъ ось Фигуры снаряда и касательную
кт, траекторін, совпадаетъ с ъ неподвижною плоскостью z,Ox,
ось снаряда составляетъ уголъ 8 0 с ъ касательной Ох,,

и

которую

считаемъ неподвижного, п что с ъ этого момента начииаетъ действовать на снарядъ пара сопротпвленія воздуха K = n R ç

k

sin S,

гдѣ рА считаемъ постояннымъ.

1 9 8 . Помощію уравиеній Эйлера можно опредѣлить положеніе снаряда, которая центръ тяжести неподвнженъ, ио истеченіи
какого либо времени t. Положсніе главныхъ осей снаряда относительно неподвнжиыхъ осей координата будетъ виолнѣ опредѣлено, еслп будемъ знать (ФИГ. 66) три угла: 1° уголъ хОх, =
2° уголъ yON=r\,

Ь,

лежащій въ плоскости zOy и 3° уголъ

y,ON = v, лежащій въ плоскости

у,0z,.

Если опишемъ изъ точки О шаръ радіусомъ равнымъ единиц!;, то будемъ имѣть: 1) двугранный уголъ y,Ny =
ляемый плоскостями z Oy и zf Oy,,

8, состав-

уголъ отсчитываемый отъ

плоскости z, Oy, и измѣряемый дугою х,х;

2) дугу Ny = т] измѣ-

ряющую двугранный уголъ х, xz, составляемый плоскостями ж. Ох
и z Ох п отсчитываемый отъ плоскости х, Ох; 3) дугу у, 2 V = ѵ
изм еряющую двугранный уголъ z х,х,

составляемый плоскостями

z I Ох I II X Ох, и отсчитываемый отъ плоскости г,

Ох,.

Вращеніе тѣла около какой либо оси можетъ быть произведено тремя последовательными вращеніями около трехъ осей не
параллелыіыхъ одной плоскости. Мы можемъ взять за эти оси
или три главный оси тѣла х, у, z или прямыя ON, Ох и Ох,.
Угловыя скорости вокругъ трехъ главныхъ осей суть p, q, г ;
угловыя скорости вокругъ осей ON, Ох, Ох, с у т ь ~ , —

*) Угловая

dx\

скорость —

вллта со знакомъ — , потому что уголъ г, умень-

ш а е т с я при полоиштельномъ вращепіп т ѣ л а в о к р у г ъ осп О х , т. е. при вращоніи с п р а в а на дѣво, если смотрѣть прислонившись к ъ оси ногами к ъ ся началу.

20

Разлагая каждую изъ трехъ послѣднихъ скоростей на три другія
вокругъ осей X, у, z н замѣтивъ, что алгебрическая сумма этихъ
составляюіцііхъ скоростей вокругъ каждой изъ осей х, у, z равна
соответствующей угловой скорости р, q, г около той же оси, получимъ
р =

£. cos (ON, X) -

а

5 cos (X, X) ч - % cos (ж,, ж),

q = ft. cos (ON, y) —
r = § . (cos
OX, 5) v

dt •

' '

llo : COS (ON, x) =
cos (ON, у) =
cos (ж,, у) =

cos (ж, y) -H g cos (ж,, y),
5 COSv(Ж, 5) Ч- % . COS (ж,, z).

dt

' '

0 , cos (ж, ж) =

cos 7], cos (ж, //) =

dt

1, cos (ж,, ж) =

cos 8,

0,

[треугольникъ хх,у) cos (ж, у). COS (ж,, ж)

-ч- sin (ж, у). sin (х], ж). cos (уXX,) — — sin 8 . sin т),
cos ( O N , z) =

cos (90°-4— 7]) =

— sin 7], cos (ж, z) — о,

cos (ж,, z) — [треугольникъ ж, гж] cos (ж, z). cos (ж, ж,)

-+- sin (ж, z) . sin (ж, Ж,) . COS (ZXX,) =

sin S . COS 7].

Следовательно

dr\
q=dt
r —

dS

di

о.

di •

• ç

C.0S 7) — Jt Slll 7] . Sin 8,
d4 .
-d~t Sin 7j

dv
• »
J t COS 7| Slll 8.

Опредѣливъ пзъ трехъ послѣднихъ уравнеиій величины
di

dri

_

,

dt, dt У будемъ ішѣть
dS

y t = q cos 7) — r sin 7],
(II.) { g i n S =
^ sin S =

— (q sin 7) - н r cos tj) ,
— [р sin 8 ч - (q sin TJ - н г cos 7)) cos S j .

d

~,

Эти три уравнеыія въ совокупности съ тремя уравненіями
Эйлера даютъ возмогкность опредѣлнть углы 8 , Ѵ и YJ в ъ ФункДіи времени.
Такъ какъ продолговатый снарядъ есть тѣло вращенія, то
положеніе его совершенно опредѣлено когда знаемъ положеніе
его оси Фигуры,

которое

будетъ извѣстно,

если опредѣлимъ

только два угла S п ѵ в ъ Функціи времени.
1 9 9 . Первое нзъ уравленій (I) (м° 1 9 7 ) даетъ.

Р =Р0 >
гдѣ р обозначает!, начальную угловую скорость сиаряда вокругъ
осп Фигуры.
Это уравнепіе показываетъ, что угловая

скорость вокругъ оси

фигуры ггошоянна во все продолженгс движенгя.
2 0 0 . Умножая второе нзъ уравнений (I) (п° 1 9 7 ) па sin 8
sin Y), а третье на sin S cos YJ И складывая ихъ получимъ

Ар sin 8 (g cos Y) — r sin

YJ) -Ь-

В [sin 8 cos Y] g -+- sin 3 sin Y] g — p sin S (g cos Y) — г si n Y))

|=0.

Вставляя
H [уравненія (II) n° 1 9 8 ]

P =P

0

gCOSY] —FSinY)

= g ,

найдемъ

В [sin S cos Y) *

-Ь

sin S sin YJ g - p

0

sin 3 g ] =

Ар/-^

.

Ho:
g (r sin 3 sin Y) -+- g sin S sill Y) ) =
-»-(g cos Y)

sill S cos Y) g -+- sill 3 sin Y) g

T sin Y) ) sin 8 - g -+- (g sill Y] -H r cos Y)) cos S g
20*

=

[ур. I I ] sill S cos 7] g -+-sinSsinY) J - f - s i n S g .
—

J
sin8cos8^.^
at

=

sin a c o s , I -

sin a sin 1) di -

sin a § ( _ § -

=

sin8cosY) J

sin8sinr\§—p0 s i n 8 § ;

dt

£ cos a )

следовательно

Bd ( r sin 8 cos

Y]

-+- g sin 8 sin

Ap0 d cos 8 ,

Y]) =

или [yp. I I ]
Bd (sin 2 s

—

cos s .

Такъ какъ мы положили, что пара сопротпвлепія воздуха начинаем действовать на снарядъ только съ того мгиовенія, которое принято за начало времепъ, то при t =
=

о пмѣемъ~ — о ,

о, и интегралъ іюследняго уравненія б у д е м

в

s i n 2 8

S

-

=

м

(

c o s s

o -

c

o

s

s

) >

дѣ 8 0 означаем начальную величину угла S.
Отсюда
(1\
K '

4v
4t

Ap0 cos — cos S
в •
iïïFtf
•

2 0 1 . Умноживъ второе изъ уравненіЙ (I) (n° 1 9 7 ) на q , a
третье на r и сложивъ ихъ нолучимъ

\ Bd (q 2 ч-г2) = п. Л?А sin 8 (g cos Y) — r sin y)) dt
=

[УР- И ] — w . Ä p A d c o s S ;

но уравпенія (II) даютъ

слѣдовательно

\Bd ( ( I ) 2 - s i « 2 8 ( l ) 2 ) = - « • B ^ d cos 8 •
Такъ какъ при t = о , имѣетъ — =

о , -g- =

о, то интегралъ

этого уравпеиія есть
/ds\2

d )

. 2î/dv\2

-|-S,n8U)

2n.7îpA /

D

^(С0530-С083).

dv

2 0 2 . Исключивъ

изъ

послѣдияго

уравненія и уравненія

(1) n° 2 0 0 , получимъ
(cosao-cos^fl-eo^-^^tcos^-cos^)]; *
откуда
лСОЭ d
,

-1 /

г

D

d COS ô

P' -» /
F
Ä 2
—=—F
cos ІУ ( C 0 S 5 ° — s ^ l - c o s 2 * - ; ^ ( C 0 S S 0 - C 0 S S ) J

2raB

интегралъ эллпптическій перваго рода.
Не нрибѣгая къ эллиптпческимъ интеграламъ, можно проинтегрировать последнее выраженіе съ достаточным!, нриближеніемъ. Для этого найдемъ наибольшія и наименьшія величины,
которыя можетъ получать уголъ S во все время вращателыіаго
движенія.
* ) Передъ радикалом® взятъ знакъ — , потому что, начиная съ угла 6 0 ,
величина cos S , съ возрастаніемъ времепц, уменьшается.

Всѣ наибольшія и наименьшія величппы угла 8 или его косинуса должны удовлетворять условію
d cos ô

„

dt

~

U

'

H какъ (YP. ( 2 ) )
dcos s

•У^-и,

dt

гдѣ
U=

(cos80 — cos S)3 Wl

u
W = l -

cos3 8 -

(cos 8 0 -

cos S) ,

то упомянутое условіе приводится къ
U2

=

0.

Корин этого уравпепія определятся пзъ
cos 8 0 — cos 8 = О
и
1_

cos'2 8 -

(cos s 0 _

cos 8) =

о,

Предиослѣднее уравненіе даетъ

a рѣшая послѣднее уравпеніе, получаемъ

Такъ какъ снаряду при вылетѣ его изъ орудія сообщается
быстрое вращепіе около оси Фигуры, то А'р02

гораздо болѣе

4 n R p K B и, следовательно, первый членъ второй части уравненія

больше единицы; поэтому для cos S слѣдуетъ взять только ту величину, въ которой раднкалъ входить со знакомъ — ; такимъ
образомъ получимъ
ГО

с s -

JVpçL

f i _

т/I —

8иД

Р- ъ CQS 5

, /4»ДРлД\2-|

Развернувъ раднкалъ въ строку и пренебрегая третьими и
высшими степенями дроби
~

А

Ро

2Вп2?рл sin Sn

ç

COS S =

иередъединицею, будемъпмѣть

cosS 0

.

ъ

. sill 8 o .

rn
2BnRo\ sin ân
Такъ какъ
- F - - , — 9 есть малая величина, то косшіусъ ея
л р0
можно считать единицей, а синусъ ея можно принять равпымъ ей
самой; на этомъ основанін получимъ
f

2В)ійрд sin d,.

s

Такимъ образомъ наименьшія и паибольшія величины угла 8
могугъ быть только
5=
и
t

t

*= V -

%
2ВиВрл sin S(l
ЛѴ
•

Для того чтобы эти величины были действительно наименьшее
и наибольшее нзъ значеній угла 5, надобно чтобы по вставлены
ихъ вмйсто S въ выраженіс
d- cos б
dt2

-•/ 2пДрл
В

1

dû
"dt

-J2пВрл
В

2«B?A
В

d

dU
d cos S
c6s S '
dt

jj
d

dU

cos S '

это выраженіе

было отрицательное

дли наибольшей величины

cos S, плп для наименьшей величины угла S, н положительное для
наименьшей величины cos 8, или для наибольшей величины угла 8.
Такъ какъ
U=

F(cos 8 0 — cos 8 ) . W,

гдѣ чрезъ TV для сокраіцеиія обозначили
W =

1-

cos 2 8 - ' ^ g g . (cos 8 0 -

cos 8 ) ,

TO

H- I W ~ ' } (cos 8 0 -

cosS)* ( - 2 cos8 -»-

^ g )

и
d2

cos 4

dt2

Вставляя въ это выразкеніе
8 =

8,

находнмъ
d2 cos 4
—dir-—

пДр, .
g - sin ö0

величину отрицательную.
Слѣдоватслыю 8 0 есть наименьшая величина угла 8.
Вставляя въ выраженіе

*

» _ 2BnR?k sin 40

' — "о" 1

находимъ
d- cos 4
л2 —

величину

в

2ВпДрл sin 40 Г Л2»),,2
•
LäftSplB

л ѵ

Q

-

c o s

*
о4

ABnRjk sin 40~1
— J

Л5» 2
величину положительную, потому что ^ у ^ ц всегда больше 2 cos 8 0 .

Следовательно 8 0 ч - ^ 7 ' ' " ^ ^ ! 1 "

есть

наибольшая величина

угла 8 .
Такимъ образомъ нашли, что уголъ S есть періодпческан
функція времени, изменяющаяся отъ наименьшей величины 8 0 до
наибольшей величины 8 п Ч - 2 Д А Р л !' п * " .
0

Ро2

А2

•- ...

2 0 3 . Наибольшая н наименьшая величины угла 8 различаются
одна отъ другой на малую величину — " А
л Ра
жемъ положить

s

°,

такъ

что мо-

где z переменная малая величина, степенями которой выше первой можемъ пренебречь.
Поэтому получимъ
sill S =

sin (S0 Ч- s) =

sin S0 ч - z cos S 0 ,

sin 2 S =

Sin2 So Ч- 22 sin s 0 cos S 0 ,

cos 8 =

cos (80 4 - 2) == cos S 0 — 2 sin 8 0 ,
dcos S

~dT

= —

• ъ dz
SlnS

0dT

Вставивъ эти величины въ уравненіе (2) п° 2 0 2 , найдемъ

I =

Пренебрегая величиною

cos Snпоредъединицею, будемъ

иметь
4£ _ Лро і/2пЛрЛЛ
—
dt — ~ В Ѵ
Ш8 0 . 2 — 2 2 ,

откуда
dt--

В
А

dz

Ро-м /2nlifKB

• г,

Для интегрированія этого уравпенія положнвъ
sin s 0 =

а,

получимъ
^
•Жо Vaz — z2

D
-4î>o ' - , //оя22
Г 4

_В
йл
АРо '
Y î - ( i - ° ï
откуда, замѣчая что при і =

_

cos

t=

U . arc. cos ( l
Po
V

«г

Y

(•-I)
1

- ! ) '

Л2р»2
. A
lSnltüKsin
sin6q S )
ВпВ^к

И

(i—(*•»)),
ИЛИ
2ДЯВРа sin »g
AW
Слѣдователыю

U

о, нмѣемъ

I

SU1

;Г
2dz
а

В_
л л

оиг =

илп

йл
яя22
4

Л (Apo Л
fT
\2B

-

i

f

или

s

При t =

s

2-BWBPA sin 80

о, нмѣемъ S =

• 2 / 4Po

Л

S 0 ; съ возрастапіемъ t уголъ S уве-

личивается и нолучаетъ наибольшую величину S = S 0 -»когда t =

3111 S{]

r ; потомъ S уменьшается и дѣлается равнымъ § 0 при

t = -LL • 2тс, и такъ далѣе. Такимъ образомъ видно, что S есть
періодпческая Функція, которой періодъ соотвѣтствуетъ времени
t — HL
Слѣдователыю ось фигуры
ной оси Ох,,
разсгпояній

о

Ox, гпо удалясгпся

то къ ней приближается,

оси фигуры

отъ

неподвиж-

и измгьнетя

угловыхъ

Ох отъ неподвижной

оси Ох,

колеблягпся

въ ггредѣлахъ
отъ5 =
2 0 4 . Угловая

3 0 до 5

скорошь

кулярной къ плоскости
ную

^

=
оси фиггуры вокругъ оси

проходящей

чрезъ ось фигуры

гі

перпендикасатель-

Ох,.
Взявъ производную Ііо I отъ выраженія 8 имѣемъ
(is _ _ пДрд sin dp . /Ap0 \
ЬШ
dt—
Ap0
(-В-*)При t — о, когда 8 =

t угловая скорость
ds

личины

T t

clS

о;

съ возрастаніемъ

увеличивается н достнгастъ наибольшей ве-

ПЛРА sin 8„

=

80, имѣемъ ^ =

.

В

— , когда t =

2 Д и

^

(18

— • - ; потомъ T t уменьшает-

ся H дѣлается равною нулю прп t =
наибольшей величины 8 0 н -

TZ

8аіп д

~ - T z , когда S достпгаетъ
° • далѣе ~

продолжаегь

уменьшаться и достигаем, наименьшей величины
увеличивается

= — " g g

,

когда t — Фу •

; затѣмъ ^

и обращается въ

нуль при t = ~ .

2 г , когда 8 достигаем наименьшей величи-

ны 8 о ; и такъ далѣе.
2 0 5 . Угловая
ной оси

скорость ~ оси фигуры

Ох вокругъ

неподвиж-

Ох,.

Вставляя въ уравненіе (1) п° 2 0 0 величину S =

S0-*-5 и

пренебрегая членами со вторыми и высшими степенями z, имѣемъ
dv
dl

Ap0z
В sin S0 '

и замѣнивъ z его выраясеніемъ я" 2 0 3 , получимъ

« (t
или
dv

2вйр

Такъ какъ эта величина положительная, то, слѣдовательно,
при вращенги

снаряда

вокругъ оси фигуры

смотрѣтъ отъ полюса х къ центру
жется

вокругъ неподвгіжной

справа

тяжести

оси Ох, справа

па лгьво,

если

О, ось фигуры

дви-

на лѣво.

Угловая скорость ~ есть періодическая Функція, которой періодъ соответствуем тому же времени
t, =
1

~

4Р 0

• 2TZ;

'

что h неріодъ измѣненій угла 8.
Наименьшія и наибодьшія величины угловой с к о р о с т п с у т ь
О и ^

Ро

А

,

'

и эта скорость достигаем своихъ наименынихъ и наиболышіхъ
величинъ въ т ѣ моменты, въ которые угловая скорость ^

обра-

щается въ нуль, а уголъ 8 получаем наименынія и наибольшія
значенія.
Среднюю угловую скорость оси Фигуры Ох вокругъ неподвижной оси Ох, можно принять равною

ПІІрь
-Ар* '

или

к
А р 0 sin б '

ибо (п° 1 9 6 ) К==

sin 8.

206. Уголъ отбываемый осью фигуры Ох вокругъ неподвижной оси Ох, въ продолжснгс времени t получается чрезъ пнтегрп• 4ѵ
_
роваше выраженія j . и будетъ

2 0 7 . Зная въ Функціи времени углы S, составляемые осью
Фигуры Ох съ неподвижною осью Ох, и углы ѵ, описываемые
осью Фигуры Ох вокругъ неподвижной оси Охѵ

можемъ найти

полярный уравненія кривой, описываемой полюсомъ оси Фигуры
на плоскости перпендикулярной къ неподвижной оси. Пусть эта
плоскость проведена (ФИГ. 6 8 ) на разстоянін ОТ отъ центра тяжести О снаряда, и пусть ОТ' означаем какое либо положеніе
оси Фигуры снаряда. ГІрнмемъ величины Р Т з а р а д і у с ы векторы,
а углы v за долготы кривой. Означая чрезъ О Р начальное ноложеніе осп Фигуры и полагая О Р = а , будемъ имѣть
Р'Т =

у — О Т tang 8 =

a cos 8 0 tang 8.

Но пренебрегая членами со вторыми и высшими степенями г,
пмѣемъ
,

tang

s

0

sill (S(l ч - z)
cos ( А 0 Ч - г)

sin <î0
z cos Sn
cos 60 — z sin

sin S0 cos dp ч - z
cos2

И
7

=

rtsinSo-4-^2

или

УГОЛЪ V (W° 2 0 6 ) есть

Л2ра- \ Л

в I

Если ПОЛОЖІІМЪ
p=

. f
asmS0, r =

BnRpx. sin S,, a
a—Aw
, ß

=

Ap0t

то полярныя уравнешя крпвои описываемой иолюсомъ оси Фигуры на плоскости перпендикулярной къ неподвижной оси будутъ

Ѵ=
v

-cosß),

=

^ ( ß — s i n ß),

или при малыхъ углахъ 8 0 ,
Y=
=

рч- г(1 —cosß),
—

Послѣднія два уравненія суть полярныя уравненія обыкновенной эпициклоиды, которой радіѵсъ пеподвижнаго круга есть р

и радіусъ катящаяся круга есть г, въ случаѣ когда отношенія
Y

к следовательно

г

Р

малы *).

* ) Обыкновенного эпициклоидою н а з ы в а е т с я к р и в а я AMG
рую о п и с ы в а е т ъ к а к а я либо точка M к р у г а В С М ,
ному кругу ABD.

катяіцагося

по неподвиж-

В ы в е д е м ъ ся полярныя уравпенія, п р и в я в ъ за начало д в и -

женія точку А. Пусть О Ж = у , Ж О Л = ѵ, АО = р, ВС = г, МСВ
СОМ =

(ФИГ. 09), кото-

= ?, СОА =

а,

а'.

И з ъ треугольника М С О пмѣемъ
Y2 =

(р -+- г ) 2 -+• г 2 — 2 (р •+- г) г . cos ß,

или
Y2 =

[р -+- г — г cos ß ] 2 - н г 2 sin 2 ß,

откуда
Y=

,
„1 / ,
(p - ь r — r cosß) I / 1 н -

r 2 sin 2 ß
(р -+- г — г cos ß) 2 '

r

.
или, предполагая отношеше _ малымъ, можемъ пренебречь членами
рою и высшими степенями

1

р +
Y=

со вто-

r sin ß
- предъ единицею и получимъ
г — г cos ß
p -+- r (1 — cos ß).

Уголъ
v=

а — а'.

По закону происхожденія эпициклоиды, д у г а A B =
слѣдовательно

pa равна д у г ѣ В M =

rß;

T_
v=

Е с л и и з ъ точки Ж

- ß—
p

a',

опустнмъ на линію ОС

прямоугольнаго треугольника МОЕ
•
,
sin a ' =

иерпендикуляръ ME,

то и з ъ

найдемъ

ME г .
= - sin
MO Y

а

ß,

и, при малой величинѣ ' ,
а. =
Слѣдоватсльно
величинѣ

полярныя

- sm 3 sin ß.
Y
P

уравнеяія

обыкновенной

, суть
I Y =

Р -+- Г ( I — cos Р),

\ 2 = '-(?-Sin?).

эпшшклоиды,

при малой

И такъ полюсь оси фигуры описываешь, приблизительно, вокруіъ неподвижной оси рядъ обыкгювенныхъ эпициклоидъ, которыхъ
радіусы неггодвижныхъ круговь суть «sin § 0 , a радіусы катяВпВРа 8ІП 8„

щихся круговь суть а — —

,,

r

• Ось оісс фигуры описываешь

вокругъ неподвижной оси конусъ, которого основаніе суть приблизительно означенный эпициклоиды. Въ началѣ этнхъ эпициклоидъ

2 0 4 n 2 0 5 ) угловыя скорости оси Фигуры

—

вокругъ осп перпендикулярной къ плоскости проходящей чрезъ
ось Фигуры и касательную, и вокругъ касательной — равны
нулю.

208. Предѣлъ ггриращснія угла S сошавляемаго осью фигуры
снаряда съ касательиою, вслѣдствге дгъйствія пары сопротивлегіія воздуха, для снарядовъ подобныхъ нашей 4 ф. гранатѣ съ
толстой свинцовой оболочкой.
Наименьшая величина угла S (м° 2 0 2 ) равняется § 0 ; наибольшая величина этого угла, вслѣдствіе дѣйствія пары сопротивленія воздуха, равняется § 0 и -

â

° ; такъ что предѣлъ при-

раіценія этого угла составляетъ
2ВийрА sin 8,,

Ч А С Т Ь

УДЛА

».

V

Если изобразимъ чрезъ tj длину хода нарѣзовъ орудія in,
частяхъ радіуса R , то угловая скорость вокругъ осп Фпгуры

2кѴ
Момента, инерціи снаряда вокругъ осп Фигуры

г

о

'

гдѣ р. есть кое<і>'і>ііціснтъ зависящій отъ копструкціи снаряда.

Для снарядовъ подобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ
= 0,589;
отношеніе

D
a

z=

2,3;

коеФФиціентъ n (w° 1 9 6 )

n=

2,7;

масса i снаряда, прп Футѣ и Фунтѣ, взятыхъ за единицы
| =

150. Б3.

Сопротпвленіе воздуха по осп Фигуры (п° 9 5 н 96), если
прпмемъ y =

* »

11

положимъ 11 =

17,,

будетъ для

скоростей

прпвышающнхъ 3 6 0 метровъ ( 1 1 8 0 Футъ)
рА =

Л-кіРѵ1,

гдѣ, при ыетрѣ и килограмм! взятыхъ за единицы, Л =
а, при Ф у т ! и Фунт! взятыхъ за единицы, Л =

0,044,

0 , 0 0 0 9 3 . Сопро-

тнвленіе воздуха по оси Фигуры (п° 9 5 и 9 6 ) , если прпмемъ
= ] и положимъ ГІ = П , , будетъ
-чі
3 2 5 метровъ ( 1 0 6 6 Футъ)

для скоростей

меньших!.

гдѣ, при метр! и килограмм! взятыхъ за единицы, Л =
г =

0,012 ,

4 8 8 ; но такъ какъ при скоростяхъ менынихъ 3 2 5 метров!,

сопротнвлеиіе воздуха на продолговатые снаряды возрастаете не
много быстр!е чѣмъ квадрате скорости, то для этнхъ скоростей
можемъ (какъ видно изъ чертежа кривой (Е),

ФНГ. 5 0 ) прибли-

женно іірпнять, при метрѣ н килограмм! взятыхъ за единицы

РА =

0 , 0 1 4 tzRV

, и, слѣдователыю, при ФѴТѢ И ФунгЬ взятыхъ

за единицы
рА =

0,00030. тсйѴ.

Вставпвъ нрнведенныя величины въ выраженіе

2 В» Rn. яіп л

получимъ:
при скоростяхъ, ирсвосходящихъ 1 1 8 0 футъ
2ВіійрА sin 'о
AWä о

0,0000104. r f . ^ f i
б,

а при скоростяхъ меньшихъ 1 0 6 6 Футъ
2BnRp\ s i n 4 0

AW^o
Полагая

0,00000336. 7)2.2ig

иослѣдовалыю т) — 8 2 и т) =

1 4 0 , иолучимъ, что

приращепіе угла 8 0 , вслѣдствіе дѣйствія пары совротивленія воздуха:
при т] =

140

для с к о р о с т е й б о л ы и и х ъ 1 1 8 0 Ф у т ъ не п р е в о с х о д и т ь 0 , 2 0
8о, и для скоростей

меньшихъ

0 , 0 6 4 доли 80 ;

нрираіценіс

при 7) =

1066

Футъ

доли

не превосходить

82

угла 8 0 , вслѣдствіе дѣйствія пары

сопротивленія

воздуха, для скоростей болыиихъ 1 1 8 0 Футъ не превосходить
0,070

доли 8 0 , h для скоростей меньшихъ

1066

Футъ не пре-

восходить 0 , 0 2 3 доли 8 0 .
2 0 9 . Изъ изложенная видно, что ириращеше угла 8, вслѣдствіе дѣйствія пары сопротивлепія воздуха, при употребляемыхъ
длинахъ хода нарѣзовъ, составляем весьма малую долю угла 8 0 ;
такъ что можно принять, что ось фигуры
вокругъ касательной,

если бы касательная

снаряда

опгісывала

бы

была неподвижна

и

сопротивленге рА было постоянно, круговой конусъ съ постоянною
среднею угловою скоростью [п° 205)
(h
dt
Если

всгавимъ К =

к
Ар0 sin S '

п 72рА sin S , А =

\к

, р0 =

,

то послѣднее выраженіе прп.метъ видъ
"
dt —

9_

^

2тсц •

1

Р*

•V 'Р •

При касательной, изменяющей свое положеніе и при перемѣнной велпчпнѣ сопротивленія р А , угловая скорость —

будем

перемѣнная. Уголъ dv, составляемый плоскостями, проходящими
чрезъ два смежный положенія осп Фигуры и направлеиіе касательной,

соотвѣтствуюіцее началу

времени dt,

разематрнваемаго

элемента

будем
dv =

.

. . dt,'

К

ApQ sin о

ИЛИ

_ —
или, вставивъ^
= fСі.„\
(v),

210. Дііффсрснціалшыя уравненія вращателънаго движенгя
продолговатаго снаряда, при полетѣ еговъвоздухѣ. Продолговатый
снарядъ, при иолетѣ своемъ въ воздухѣ, ошісываетъ траекторію
двоякой кривизны, обращенную вогнутою стороноюкъ горизонту,
H касательная къ траекторіи, вслѣдствіе дѣйствія тяжести, постоянно понижается. Вообразимъ шаръ, котораго цеитръ находится
(ФИГ. 7 0 ) въ точкѣ О. Пусть прямая ОТ представляем, по ис21*

течеиіи времени t, направленіе касательной; проведемъ чрезъ это
нанравленіе вертикальную

плоскость,

шара изобразится дугою NTn.

которая

на поверхности

Пусть прямая OA представляете,

по истечепіи времени і направленіе осп Фигуры. У г о л ъ ѵ ,
вляемый вертикальною плоскостью, проходящею чрезъ

соста-

касатель-

ную ОТ съ плоскостью, проходящею чрезъ ту я;е касательную п
ось Фигуры OA будетъ измеряться двугранпымъ угломъ NT А;
а уголъ 8, составляемый осыо Фигуры OA съ касательного О т б у д е т е измеряться дугою A T . П у с т ь въ слѣдующій элементе времени ось Фигуры перемѣстнтся въ OA', и вмѣстѣ съ тѣмъ касательная, понижаясь, займете положеніе ОТ'.

Н а основанін ска-

заннаго въ п° 2 0 9 можемъ принять, что дуга А'Т будетъ
АТ=

8,

равпа

а уголъ А'ТА , который изобразим!, чрезъ dv',

бу-

детъ
dv' =

.

А

.

dt.

.

Ар 0 sin Ô

ИЛИ

Если обозначимъ уголъ составляемый касательного ОТ съ г о ризонтальною плоскостью чрезъ О н уголъ составляемый вертикальною плоскостью, проходящею чрезъ касательную ОТ съ вертикальною плоскостью стрѣльбы чрезъ « , то д у г а NT =
детъ равна I

— О ; dф будетъ равенъ — dO ; дуга NT

равна ф - t - }/ф =
д у г а А'Т =

~ — 0 — dO ; а. уголъ TNT'

8 -н d8 , уголь ÄTN

=

ф бубудетъ

будетъ равенъ da ;

ѵ -+- dv.

И з ъ сферическнхъ треугольников!, ÄTT'

и NTT

легко в ы -

вести выражепія dS и dv въ Функцін ѵ , ѵ', S и ы ; по эти выраженія получаются весьма сложный. Для облегченія изслѣдованій,
замѣтимъ, что приращенія угловъ « гораздо меиѣе нрнращеній
угловъ Ѳ и V, т а к ъ что в ъ выраженіяхъ d8 и d v , безъ большой
погрешности, можемъ пренебречь безконечпо малыми членами пер-

ваго порядка заключающими множитель ^ и , кромѣтого, въ выраженіи dv членомъ sin О • do. При этихъ допущеніяхъ получимъ
lib — — cos v d O ,

tang 8

'

Если вставимч» въ послѣднее уравненіе вмѣсто dv' его велиУЛруіп

sdt

чт

=

<§7vf(v)dt

вмѣсто dS величину — cos v dO,

и

то дііФФеренціалыіыя уравпенія вращательнаго движенія продолг о в а т а я снаряда въ воздухѣ будутъ
(1)

dv=

w

.

K

.

clt-A-p\dO,

А р 0 sin 8

tang 8

'

ИЛИ

<*.>

*

=

" ) Означенный допущенія сводятся на т о , что, при нзсдѣдованіи коническаго движенія оси Фигуры, мы разсматриваемъ траекторію к а к ъ з а к л ю ч а ю щ у ю с я в ъ вертикальной плоскости стрѣльбы. В ъ с а л о м ъ д ѣ л ѣ , в ъ этомъ с л у чаѣ д у г а

TT'

д у г а TT'

будетъ равна NT'

будетъ совпадать с ъ нанравленіемъ дуги
— NT

и н з ъ сферичсскаго треугольника А'ТТ'
cos

TT =

cos

TT

. cos

NTii

и (ФИГ. 7 0

— — de, у г о л ъ ѵ - н dv будетъ р а в е н ъ A'V

TT

T

получимъ
-+- sin

TT

. sin

TT.

cos

TTT

и
sin A'T'T
sin

TTT

или, в с т а в п в ъ вмѣсто T T ' , T T ,
8,

— de,

Tz — v — d v ' ,

v -f- d v ,

sinTFT"
~

TT',

sin

TT '

T T T ' , A'T'T

и х ъ величины

5-+-d«,

с д ѣ л а п ъ н а д л е ж а щ і я сокращенія и отбросивъ

безконечно малыя величины втораго порядка, найдемъ

dS = —

cos v

do,

tang 8

(2)

d8 =

— cosvdtf,

и (»° 1 9 9 )

P —PoПоследнее уравненіе п о к а з ы в а е м , что угловая скорость вокругъ оси Фигуры постоянна в о в с е нродолжсніе движенія; а первыя два уравненія опредѣляюм коническое движеніе оси Фигуры.

§И.

Иычислсніс траскторіи иродолговатаго снаряда въ воздухѣ.
211. Дифферепцгалъныя уравнения поступателънаіо движенгя
продолговатаго

снаряда въ воздухѣ,

Возьмемъ за начало коорди-

п а м мѣсто центра тяжести снаряда при еговылетѣ изъ орудія,за
ось x горизонтальную прямую, заключающуюся въ вертикальной
плоскости проходящей чрезъ направленіе начальной скорости, и
идущую по нанравленію выстрѣла ; за ось у — вертикальную, на •
правленную снизу вверхъ; за ось z — горизонтальную, перпендикулярную къ плоскости ху и направленную вправо отъ наблюдателя, помѣщеннаго въточкѣ вылета и обращеннаго къ траекторіи.
Пусть точка О (фигура 7 1 ) представляем мѣсто центра тяжести
снаряда по истеченіи времени t.
коордшіатъ x,

у,

Проведемъ чрезъ точку О оси

z параллельно осямъ координам въ точкѣ вы-

лета и вообразимъ шаръ, котораго центръ находится въ точкѣ О.
Пусть О Т изображаем направленіе касательной и OA направленіе
оси Фигуры снаряда. Изобразпмъ чрезъ ѵ скорость снаряда въ
гочкѣ 0 , направленную но ОТ; чрезъ О уголъ TOS,

составляемый

касательного ОТ съ горизонтальною плоскостью zx, уголъ равный
дугѣ TS ; чрезъ ю уголъ хуТ,

составляемый вертикальною плос-

костью, проходящею чрезъ касательную съ плоскостью ух,

уголъ

равный дугѣ xS, чрезъ 8 уголъ АОТ, составляемый осыо Фигуры съ
касательного, уголъ равный дугѣ AT, чрезъ ѵ уголъ АТу,

состав-

ляемый вертикальной плоскостью, проходящею чрезъ касательную
съ плоскостью, проходящею чрезъ ту яге касательную Н ось ФИГ

Уры снаряда; чрезъ g ускореніе тяягестп; ч р е з ъ Р в ѣ с ъ снаряда.
Если нренебреягемъ (и° 6 5 ) треніемъ воздуха о поверхность

снаряда п увеличеніемъ давлепія на нѣкоторыя части поверхности снаряда п уменьшеніемъ давленія на другія, смотря потому
пропсходитъ-ли вращеиіе этихъ частей въ противную, или въ
одну и ту яге сторону съ поступательнымъ ихъ двиягеніемъ, то
внѣшнія силы, которымъ подвергается снарядъ будутъ сила тяжести и сопротнвленіе воздуха, дѣйствующее нормально на каждый элементъ поверхности подверженный сопротпвлеиію.
Нормальный сопротнвленія воздуха на каждый элемента поверхности подверягснпый сопротивленію приводятся (гг° 7 7 ) къ
равнодѣйствующей сопротивлснія р, находящейся въ плоскости
TANT А, проходящей чрезъ ось Фигуры снаряда и касательную,
и составляющей, въ обыкновепныхъ

случаяхъ

стрѣльбы,

съ

направленіемъ OA', прямопротивоположнымъ оси Фигуры, уголъ
рОА', болыпій угла S =

AT,

составляемаго осью Фигуры съ ка-

сательного. Разложимъ въ плоскости TAT A

равнодѣйствующее

сопротпвленіе р па два: одно р г , по направленію ОТ
тивоположному касательной, и другое рп,

прямопро-

по направлепію ON

перпендикулярному къ касательной. Проекція pt на плоскость гх
будетъ направлена но 05'' и будетъ равна р(. cos T S 1 =
a
=

проекція

р,

на

ось

p, COS 0 . COS ( 1 8 0 ° — xS) =

на ось z

будетъ

х

будетъ

p,. cos 0 ;

pt cos 0 . cos~Wx

— pt COS 0 . COS6) , и нроскція pt

pt cos 0 . cos S 7 x'z =

pr c o s 0 . cos (1)0° -+- Sa?)

=

— pt. c o s 0 . s i n « . Проекція pt на ось у будета, p,. cos T'S'y

=

p,. c o s ( 9 0 ° i- TS') =

— p, sin 0 .

Проекція pn на вертикальную плоскость Т у Т ,

проходящую

чрезъ касательную, будета направлена по OL и будетъ равна
Р„. cos NOL =

рп. cos АТу =

рп cos ѵ. Проекція p n cos v на плос-

кость zx будетъ направлена но OS' п будета равна рп cos ѵ. cos LS'

= p n cos V. cos (LT—S'T')=9n
?„cosv

на

cos v cos ( 9 0 ° — < ? ) = ? „ cos v. sin <9;

a

проекція

ось

=

— pn cos v. sin 0 . cos « , и проекція p n . cos v на ось з будетъ

prt cos v. sin О . cos S'x'z =

x

будетъ

pn cos v. sin 0. cosS'x

— p n cos v . sin О. sin a .

p n cos v на ось у будетъ p n cos v. cos Ly =
Проекція p n на плоскость zx

pre cos v. cos 0.

будетъ

направлена по

и будетъ равна p n . cos NOM =

p(î cos ( 9 0 ° — NOL) =

Проекція

x

p n sin v

иа

ось

Проекція

будетъ

ОМ

p(1 sin v.

pn sin v. cos Мзх

=

p,t sin V. cos ( 9 0 ° - ь Ж ) =

p n sin v. cos (90°-+-Sx)

=

— pn sin v. sin ы; ироекдія p n sin v наосья будетър п sin v. cos

=

pnsinv.cos&r=pnsinv.cos<»;

Ж

проекція p n sinv на ось у

равна нулю, потому что р (і sin ѵ находится въ плоскости зх.
Проекцін скорости ѵ на оси x , z н у будутъ г> cos <9 cos о ,
v cos О sin о , v sin О ; мы нхъ пзобразимъ чрезъ ѵх, vz , v .
ДиФФеренціальныя уравненія поступательпаго движенія по
ііаправленію осей х, у и z будутъ
dVj
dt

У

dt —
dVz
dt ~

IIo p, =

pfCOSOCOSb)
P

,,
"

У

"

P„ СОЗ v sin О COS lù
P

p„ sin V sin (i)
0——p
>

„PfS'ne
„pncosvcoso
"
P~~ ~*~У
P
'
Pj COS 0 Sill Ю
p

p . cos (p, T),

У~

pn =

p n COS V sin 0 sin U
p~

p . sin (p, T)

p„ sill V COS »
p

9

H составляющая сопро-

тивленія по направленію прямопротивоположному осп Фигуры
р.ѵ =

p . cos (p, A ' ) , такъ что

?t

cos (р,
9A c o g

(p> л

I')
> ) •)

sin (p,
?„

9л

cos

(P)

T')
•

Если вставнмъ эти величины въ выведенный уравненія и изобразить р чрезъ f(vj,

то диФФеренціалыіыя уравненія постунатель-

наго движенія примутъ видъ

(1 ) • •§

= -

о

т ^

COS e . c o s . - „ ( . ) M

• c o s 2 . s i n e . cos

.. . sin (p, T ' )
- о т cos M r

(4 2 ) . . ^

= _

ro\
dv.
( 3 ) . . —A
v )•• d t

= — gf(v)

>

dt

g
J

U -+-/(»)
V

cos (p, A')

, cos(p, T')
.,,.
cos (p, A )

ы

.
8

1

" '

8

" '

si» ^ - JdJ / wt o ^ Ф А І COS V . COS 0 ,
)

c o s ( p , A')

sin (p, T')
, ' ..!cos
cos (p, A ' )

cos 0 . sin <o —gjiv)

. „

.

v . sm 0. sin u

, sin(p, 7")
.
a J (и) — » ? — г г ' . sin t . cos to .
cos (p, A )

J J K

Эти уравненія вмѣстѣ съ дііФФереіщіалыіыми

уравненіямн

вращателыіаго двп;кеііія п° 2 1 0 опредѣляютъ вполнѣ движеніе
нродолговатаго снаряда въ воздухѣ.
Приложимъ выведенный диФФеренціальиьш уравненія двнженія къ вычпсленію траекторіи продолговатаго снаряда въ двухъ
случаяхъ: въ случаѣ прицѣльной стрѣльбы н въ случаѣ навѣсной
стрѣльбы малымъ зарядомъ.

212. Вычисление траектории продолговатаго снаряда выстрѣленнаго

прицѣлъно.

Для примѣра возьмемъ 4 Ф. гранату

выстрѣленную подъ угломъ бросанія въ 10° съ начальною скоростью 1 0 0 0 Футъ.
Соиротпвленіе воздуха но оси Фигуры ( п ° 9 5 и 9 0 ) , для скоростей меньшихъ 3 2 5 метровъ ( 1 0 0 0 Футъ), если примемъ

x

•у =

1 и П=

П , , выражается чрезъ

гдѣ, при метрѣ H килограмм!; взятыхъ за едишіцы, А = 0 , 0 1 2 ,
>=

4 8 8 ; но такъ какъ при скоростяхъ меньшихъ 3 2 5 метровъ,

сопротпвленіе воздуха на продолговатые снаряды возрастаем
немного быстрЬе чѣмъ к в а д р а м скорости, то при начальной скорости въ 3 0 5 метровъ ( 1 0 0 0 футъ), можемъ (какъ видно изъ

ч е р т е ж а кривой ( Е ) ФИГ. 5 0 ) , для облегчеиія вычисленій, приближенно принять,
рА =

при м е т р ѣ и килограмме

в з я т ы х ъ з а единицы,

0 , 0 1 4 Т С / і У , и , слѣдовательно, при Ф Ѵ Т Ѣ H ФѴІІТѢ В З Я Т Ы Х Ъ

з а единицы
РА

=

О,ОООЗО.ТСЙѴ,

или положивъ
о

с

—

Р

0,00030 . Ц . К № '

получимъ

Для

4

с = 1 1 3 5 0

Ф.

гранаты R =

0 , 1 4 2 5 Футъ;

Р=14фунтамъ;

Футъ.

Постоянный отклоненія иродолговатаго снаряда отъ т р а е к т о ріи, которую б ы опъ опнсыва.гъ,

если б ы на него

дѣйствоваля

сила т я ж е с т и и одно сопротпвленіе р, направленное по к а с а т е л ь ной, происходить о т ъ с л а г а ю щ е й сопротивленія р й

перпендику-

лярной к ъ касательной.
Н о эти отклоненія невелики, т а к ъ что у г о л ъ о составляемый
вертикальною плоскостью, проходящею ч р е з ъ касательную с ъ в е р тикальной плоскостью с т р ѣ л ь б ы , в с е г д а весьма малъ и можемъ принять c o s o = l . Для п с р в а г о приблшкенія в о в т о р ы х ъ ч а с т я х ъ д і і Ф Ференціальныхъ уравненій ( 1 ) и ( 2 ) п ° 2 1 1

моягемъ ограничить-

ся первыми членами, а во второй части дііФФерепціалыіаго у р а в н е нія ( 3 ) м ° 2 1 1 моягемъ ограничитьсяпослѣдшшъчленомъ,

сътѣмъ,

однакояге, чтобы вычислить отброшенные члены к а к ъ поправки.
Н а листѣ V I I , Фигурѣ 4 3 , построены, для снарядовъ подобн ы х ъ 4 Ф. г р а н а т ѣ , к р н в ы я у г л о в ъ (p, Т') и (p, А')

составлясмыхъ

р а в н о д е й с т в у ю щ е й сопротнвлснія с ъ направленіямп прямо противополоягпымп касательной п оси Ф и г у р ы в ъ зависимости

отъ

у г л о в ъ S, с о с т а в л я с м ы х ъ осыо Ф и г у р ы с ъ касательного. По этимъ
cos (р. Т')
sin (р, Т')
у г л а м ъ в ы ч и с л е н ы были величины

ф

и

С08(Р)Л

,,

соотвѣт-

с т в у ю і ц і я различнымъ у г л а м ъ S н построены на Ф и г у р а х ъ 7 2 и

7 3 , при чемъ углы S взяты за абсциссы, а величины
12

sin (p, T ' )

c o s Т

.)

cos (p, A )

и

ï j ^ p j за ординаты.
Вмѣсто перемѣпной величины

|р' y j

можемъ

взять

на

всемъ протяженіи траекторіи среднюю величину, которую назовемъ чрезъ I , тѣмъ болѣе, что при прицѣльпой стрѣльбѣ углы 8
бываютъ малы я величины ' 0 ь
cos (р,

.}. (ФИГ. 72), весьма близки къ
А') 4
'»

Т

едиіщцѣ.
Зависимость между величинами
дѣлахъ отъ 8 =

0 до 8 =

f f и углами 8, въ пре-

2 0 ° можстъ быть выражена чрезъ

cos (p, А ' )

или, если положимъ

= 2 , 0 6 .
'

m=

ein « • ) ,
' '

2,05,

то
sin (р, Т ' )
4

., =

cos (p, A )

.

„

m . sin S.

На основанін вышеизложенная диФФеренціальныя уравнепія
поступательная двпженія (п° 2 1 1 ) ,

для п е р в а я приближенія,

примутъ видъ
t

=

g

=

Замѣшівъ f(v)
ціею

'

а

ВІ>

- f W c o s 0 ,

m. g. sin 8 . sin v. f(v).

въ первомъ и во второмъ уравнепіяхъ Фупктретьемъ Функціею

f(аѵ,),

гдѣ постоянпое а

*) Кривая выражаемая зтимъ уравненісмъ изображена на Ф и г у р ѣ 7 3 прерывными линіями.

(н° 1 3 0 ) есть некоторая средняя величина изъ всѣхъ т ѣ х ъ , ко1

торыя получаетъ —
вивъ /"(ay,) =

въ нредѣлахъ между О =

ср и 0 , и вета-

•Fvf получимъ
Ige

~ г ,

IѴ 1Л
''

dv

L —
dt —

<20

Ait =

/о \

dv.

(3,)

a

V

9

Tfite t a n g 0 ,
.

„

.

а2«,2

т . sin S . sin v .

2 1 3 . Интегрируя уравненіе (1,) if

.

2 1 2 въ иредѣлахъ отъ

О до t и отъ горизонтальной проекціи начальной скорости V, до«;,,
полѵчимъ

" ' = 7 ^ % ?

( 1 )

2?с

и, следовательно

<

2

>

Такъ какъ

то интегрируя выраженіе (1) въ пре-

дѣлахъ отъ 0 до х и отъ 0 до t , найдемъ
<8>

—

Замѣтивъ, что ѵ у =
dvv =
ИЛИ

У

ѵ, tang 0 и
tang 0 . diк +- v.
O

l

l

-Щ-,
cos

2 q )

изъ уравненія (2,), и 0 2 1 2 получимъ

ИЛИ

de
cos2 Ѳ

de

dt

cos2 ѳ

У vt '

-

9

(

7,1

Замѣняя ^ g j p величиною а 2 , будемъ имѣть

\

(4 )

а

< или

de
Интегрируя выражеиіе — ^ въ предѣлахъ отъ 9 до Ѳ и отъ
О до t , найдемъ
(5 )

tang0 =

t a n g 9 - ^ ( l 4 - ^ ) .

Вставнвъ величины ѵ, и tang Ѳ въ Фупкціи t въ уравненіе (2,),
F

2 1 2 и интегрируя въ предѣлахъ отъ F s i n 9 =

F , tang 9 до v y

и отъ О до t получимъ
(С) . . . .

^

7

,

(

Замѣтивъ, что ѵ =

1

4

,

4 . ^ А " Г 7TF I
2|3с

9

i

-

f

~ f и интегрируя въпредѣлахъ отъ0до?/

и отъ О до t найдемъ

( 7 ) . . „ = Г . (tang , - ь A i ) log ( l - ь § t ) -

% t-

Ç .

2 1 4 . ГІо вставленіи величины г\ въ Функціи t (уравненіе (1),
F 2 1 3 ) въуравненіе(3,), F 21 2 п выраженій f (ѵ) н dû ВЪФѴНК-

ціи t (уравненія (2) п (4), п° 2 1 3 ) въ диФФеренціальныя уравнеІІІЯ (1,) и (2) » ° 2 1 0 коиическаго движенія оси Фигуры, опѣ примутъ видъ
а

clvr =

d

,. _

Г * " ) * 2 . cos y . F ,
L
4тсцс
/,

dt

2у 2

m . sin 8 . sin v . 2c

/,

a F , ,\ 2 '

I
aF,«2
ßc 1"./
23Ï
1

,

( 1

g_
a2 F ,

iinj^/j
tang б \

aFjA-l,,
2ßc

aF,

d 8:

Эти уравнепія не могутъ быть обинтегрированы, н потому,
по необходимости, приходится вычислять vz, s, о , v и 8, опредѣляя ихъ зиаченія для малыхъ промежутков!, времепъ и складывая эти значенія между собою. Промежутки времепъ должны
быть выбраны такимъ образомъ, чтобы въ каждомъ изъ шіхъ
sin v и cos v не мѣняли знака и чтобы можно было брать, съ достаточною точностью вмѣсто sin 8, tangS, sinv и cosv ихъ средпія зпаченія.
Первое уравненіе въ предѣлахъ отъ t. до t, гдѣ t мало различается отъ * f , даетъ
(l).-F— v =

m . (sin 8 ) m ( s i n v ) m a ß V ,

гдѣ примемъ (sin8) m =

г,,

i акт, какъ v,2 =

s i

"'A

S i n

\ 1H
\
2ßc

4 (sin v),n =

t.

1 +

»

sin ѵ

^

ds
, то
dt '

t — tt

( 2 ) . . 0 — z . = v t H- «г (sin«) (8în v) aß F,
.

2ßc

i

^r

—
2ßc

Зам ѣтивъ, что tang о =

dz dt
dt dx = У г . — , получимъ

£

tang © = 1

( 1

д

и какъ уголъ о всегда малъ, то
(3)

»=

Wol)v'

Для удобства будетъ задаваться разностями угловъ ѵ — vt. и
будемъ опредѣлять промежутки временъ t —

, соотвѣтствующія

разностямъ v — ѵ4.. Для того чтобы возможно было, не прибегая къ послѣдовательнымъ подстановленіямъ, вычислять t — t.
соотвѣтствующія задаипымъ ѵ — ѵ ; , въ уравненіяхъ, выражаюіцихъ dv и (18 въ Функціи t, возьмемъ, въ предѣлахъ отъ ti до
не только вмѣсто sin v, cos v, tang 8 ихъ среднія значепія, но и
вмѣсто .

- у

, а и 1 -+-

t среднія значенія

^т— и

аѴ
I -+-

tm,

который, по малости t — t.,

мало отличаются отъ

крайнихъ свонхъ значеній. Такпмъ образомч, получимъ
nrça2 cos «p . V,
4тгцс

(4)
гдѣ пршшмаемъ

t.m
(sin ѵ)от

sin V -t- sin V;

•2

2
(COS v ) m

COS V -+• COS Vf

2

и какъ въ промежутке времени t — 1 ( уголъ 8 мало отличается
отъ 3., то изобразив!,
s =

S — S.

и пренебрегая членами со степенями s выше первой, получимъ
tang 3 =

taug(3. +

б) =

tangЗ.-ь — ^

• е

и
(tang 3) m =

tang 8. н - j U -

.. =

tang 3,. -л-

(S -

3,.),

или
(tangS),„ =

tang 3f. ч - ^

у

^

(cos v )

m

( і ч - g tm)(t

-1.).

Вставнвъ эту величину въ выражеыіе (ѵ — ѵ(.) будемъ иметь

ща? cos ф .

,,

ѵ
У

'

Ft

2ßc

V

tangS.H-

2aM

t-tj

I/ .1

4тсцс

«a FD, ,,

L) 1 ( f - t t )

/ c o s 2 < r ;.(cosv) m |( b

2 ßc

\\ 22

\

1 (<-*,)
m)

Определяя изъ этого уравпенія / — t. н положивъ для краткости
'f =
(6)..

ï

ï

f

e

(v -

2

cos'

( ! H- £

a 2 F , sill 2 6 j

'

1

1 + - V

2ßc 'm

4 7 i [ t c . sin 26,\ x

Л

ni) cosq) .g (cos v ) m \

aF./
2ßc

\

(

m/у

получимъ

(t-t{f-p(t-t.)=q,

v
V»

g

откуда

гдй предъ радпкаломъ знакъ -+- относится къ случаю когда q ноложіітелыюс, а знакъ — къ случаю когда q отрицательное.
2 1 5 . Если для вычпсленія проекціи траекторін на вертикальную плоскость стрйльбы, пренебрежемъ дййствіемъ составляющей сопротивлсяія р н , перпендикулярной къ касательной, и прнмемъ ß =

1, потому что при ирицѣльиой стрѣльбѣ углы S малы,

а прп малыхъ углахъ S, величина ß весьма близка къеднницй,—
то для 4 Ф . продолговатой гранаты, выстрѣленыой подъ угломъ
въ 1 0 ° съ начальною скоростью 1 0 0 0 футъ, получимъ дальность
на мѣстности находящейся на одномъ горизонт!; съ орудісмъ,
изъ Формулы (1 ) п° 1 2 1 , въ которой у =

0 и с=

1 1 3 5 0 Футъ,

и эта дальность будетъ 1 1 7 3 сажени. Время полета получится
нзъ Формулы (5) п° 1 2 1 H будетъ 1 0 , 0 5 секундъ.
Для вычисленія временъ t соотвѣтствующихъ
угламъ v и величинъ 8, vz,

различнымъ

о и z соотвѣтствующихъ этимъ вре-

менамъ t, задаемся угломъ ѵ, ; въ этомъ случай і =

0,

t0 =

S0 =

j

e <

0,vo =

Vs0 =

0, z =

0,(sinv)m =

^ ,

(cosv) m =

0 . Сначала положимъ tm =

0 >

0 ; ІІЗЪ Формулъ ( 6 ) и

(7) п° 2 1 4 , въкоторыхъ для 4 Ф. пушки т) =
вое приблпженіе для t,;

_

О,

8 2 , получимъ пер-

потомъ возьмемъ tm =

\\ и вычислимъ

но Формуламъ (6) и (7) п° 2 1 4 , достаточно точную величпну t
Формула (4) п° 2 1 4 дастъ величину
ла (1), if 2 1 4 дастъ величину vs(;

(sin 8) m =

; Форму-

Формула (3), п° 2 1 4 дастъ

величину о , ; Формула (2), п° 2 1 4 дастъ величину z,.
Потомъ задаемся разностью v., — ѵ, ; въ этомъ случай г =
/„•

ч

(Slnv)m =

^

v

sin V, Ч-sill V,
a

,

,

COS

(С08ѵ)ж =

COSV.
S

1;

-n
*

Е с Л И

i — v 0 , то для tm примемъ приблизительно tm =

t, -+-

V

2—

v

<

н вы-

числимъ t2 — t, по формуламъ (6) IL (7), n° 2 1 4 . Формула (4)
n° 2 1 4 дастъ величину S 2 ; (sin 8) m =

sin

*» + s i n

; Формула (1)
22

п° 2 1 4 дастъ величину ѵ~г;

Формула (3) п° 2 1 4 дасгь вели-

чину « 2 ; Формула (2) п° 2 1 4 дастъ величину z Y
И такъ далѣе.
Вычисляя описаннымъ образомъ озпачеяпыя величины, замѣчаемъ, что отъ ѵ =

О до ѵ =

9 0 ° величины q (входящія въ Фор-

мулы (6) и (7), п° 2 1 4 ) постоянно положительный, а величины р
вскорѣ становятся отрицательными; приращенія угловъ 8 — 8£
положительпыя, такъ что углы S увеличиваются. Когда уголъ ѵ
иерейдетъ за 9 0 ° , прпращенія v — vf остаются положительными;
величины q становятся отрицательными, а величины р положительными; приращенія 8 — S£ становится отрицательными, такъ
что углы 8 уменьшаются;'подрадикальная величина

въ

выражеіііп t — t. (формула (7) п° 2 1 4 ) постоянно уменьшается
и обращается въ пуль, в ъ нашемъ прнмѣрѣ, при ѵ = 1 3 2 ° . З а
тѣмъ для того чтобы приращенія временъ t —

остались веще-

ственными, надобно чтобы ириращенія ѵ — ѵ£ стали отрицательными и слѣдователыю чтобы углы ѵ уменьшались.

Задаваясь

отрицательными приращеніями v — vf величины q становятся положительными, а величины р отрицательными, и углы 8 продолжаютъ уменьшаться пока ѵ несдѣлается равнымъ 9 0 ° . Прндальнѣйшемъ уменыненін ѵ, величины q становятся отрицательными,
а величины р положительными; ирираіценія 8 — 8(. становятся
положительными, такъ что углы 8 начнпаютъ увеличиваться; подV2
АГ
радикальная величина
-t- q уменьшается и ооращается вънуль,
для нашего примѣра, приѵ =

4 7 ° . З а тѣмъ приращенія v — v;

становятся положительными, и углы 8 продолжаютъ увеличиваться до угла ѵ = 9 0 ° . Далѣе прпращепія v — v£ продолжаютъ
быть положительными, а углы S уменьшаются ; подраднкальпая
величина

уменьшается п обращается въ пуль, въ нашемъ

примѣрѣ, upu ѵ = 1 1 5 ° 1 2 ' . Послѣ того прпраіценія v — v. становятся отрицательными н углы 8 продолжаютъ уменьшаться
пока v не сдѣлается равньшъ 9 0 ° . При дальнѣйшемъ уменыненіи v, углы S увеличиваются; а подрадикальная величина ^ - - 4 - 7

уменьшается н обращается въ нуль, въ пашемъ примѣрѣ, при
ѵ = 6 0 ° 4 5 ' . За тѣмъ прпращенія v — vf становятся положптельными п углы S продолжаютъ увеличиваться пока ѵ не сдѣлается
равнымъ 9 0 ° . При этомъ, въ иашемъ примѣрѣ, время t достнгаегъ 1 0 , 1 2 9 секундъ, т. е. не многимъ болѣе времени соотвѣтствующаго горизонтальной дальности. Наибольшее значеніе угла S
составляетъ 2 ° 5 3 ' , такъ что (какъ показываетъ кривая величинъ

J

ri

въ зависимости отъ угла 8 , построенная на ФІІ-

гурѣ 7 2 ) совершенно возможно было на всемъ протяженіи траекторіп принять ß =

равнымъ единицѣ, п какъ наибольшее

значеніе а пе превосходить 1°4', то положить c o s « =

1.

Съ возрастаніемъ времени проекціи поступательной скорости
па ось z H ординаты z, постоянно увеличиваются.
В ъ слѣдующей таблицѣ помѣщены, для разбираемаго прнмѣра, величины t, 8,

и, vz п z соотвѣтствующія различньшъ

угламъ v.
'' — Vf.

ô.

v.
СЕКУНДЫ.

10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
10°
2°
—22°
—20°
—20°
— 23°
23°
20°
25°12'
—25°12'
— 2 9 ° 15'
29°15'

10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
100°
110°
120°
130°
132°
110°
90°
70°
47°
70°
90°
115°12
90°
60°45
90°

0,130
0,272
0,414
0,659
0,810
0,963
1,120
1,281
1,446
1,627
1,815
2,024
2,303
2,452
2,788
2,880
2,972
3,337
4,162
4,732
6,151
6,856
7,850
10,129

2

14'
30'
44'
58'

1°10'
1°20'
1°28'
1°33'
1°35'
1°31'
1°25'
1°14'
55'
43'
22'

20'

22'
46'
1 °41'
1°54'
1°13'
51'
1°27'
2°53'

4

20

2'

48
75

3'
5'

6'

7'
9'
10'

11'
12'
12'
13'

14'
18'
22'
33'
37'
43'
1° 4'

0,002
0,02
0,08

0,22
0,38

0,61

0,87

1,26

1,61 '
1,09
2,33
2,65
2,95
3.07
3,28
3,31
3)38
3,57
4,22
5,36
7,48
8,13
9.08
12,78

0,0003
0,04
0,15
0,23
0,36
0,55
0,85
1,16
1,66
2,19
2 92

3^89

4,42
5,48
5,85

0,10

7,54
12,09
16,30
28,41
34,39
43,90
77,2G

Для того чтобы удостовѣрцться въ томъ, что, при принятыхъ
промежуткахъ для угловъ ѵ, полученные результаты не далеки
отъ истинйыхъ, были вычислены, гірн промежуткахъ ѵ — ѵ е = 4 5 ° ,
времена t и углы 8 соответствующееугламъ ѵ =

45°, 90° н 135°,

при чемъ получились слѣдующіе результаты
v=

45°;

v=

90°;

t=

0° 6 4 2 ;

*=

Iе, 3 4 8 ;

*=

2 е ,"438.

8=

1°5';

S=

1°35';

8=

47'.

При углѣ v =

ѵ=135°.

1 3 5 ° подрадикальная величина^ н - g

обрати-

лась въ нуль, такъ что за этимъ предѣломъ приращенія v — vf
долншы быть отрицательныя.
По сравненіи этихъ результатовъ съ результатами номѣщеиными въ таблидѣ оказывается, что они немного отъ ннхъ отличаются, не смотря на то что результаты помещенные вътаблндѣ
получены въ предѣлахъ отъ ѵ =
кахъ v — ѵ; =
v — v. =

0доѵ=130°,

при промежут-

10°, въ 4 , 5 раза меньшихъ чѣмъ промежутки

45°.

г

IIa Фигурѣ 7 4 построена кривая описываемая проекціею полюса оси Фигуры иа плоскости проходящей чрезъ цептръ тяжести
снаряда и остающейся постоянно перпендикулярною къ направленію касательной. Разстояпіе полюса оси Фигуры до центра тяжести снаряда принято въ 1 0 0 дюймовъ. Изъ предъидущей таблицы за радіусы векторы кривой взяты 100*'. sin 8, а за долготы углы V.
21С. Пренебрегая, для вычпсленін проекціи траекторіп на
вертикальную плоскость стрѣльбы, дѣйствіемъ составляющей р п
сопротпвлепія перпендикулярной къ касательной, получимъ абсциссы x соотвѣтствующія временамъ t изъ Формулы (3) п° 2 1 3 ,
а ординаты у въ Функціи времени изъ Формулы (7) п° 2 1 3 ,

въ

которыхъ ß =

1 ; ординаты у в ъ Функціп абсциссы х получатся

ИЗЪ формулы (1) п°

121

и вертикальпыя разстоянія Г точекъ траекторіи отъ касательной
въ точкѣ вылета изъ Формулы

у

2Ѵх2

\С I '

В ъ слѣдующей таблице приведены, для разбираемаго примера, величины x,

у и Y соответствующія временами получен-

ными въ таблиц! п° 2 1 5 .

СЕКУНДЫ.

0,272
0,659
0,963
1,281
1,446
1,815
2,452
2,880
3,337
4,732
6,151
6,856
7,850
10,129

38.2
91.3
132,8
175.5
197,4
245.6
327,4
381,8
438,4
605,3
766,8
844,0
949,8
1180,4

45,95
105,80
149,15
190.63
210.64
251,51
310,70
342,68
369,54
407,87
382.19
346.20
270,0
—12,4

1,2

6,9
14,8

26,0

33,1
51,7
93,5

128,6

171,6
339,3
564,3
695,6
902,3
1469,4

2 1 7 . М ы вычислили траекторію 4 Ф. гранаты, брошенной
подъ угломъ 1 0 ° съ начальною скоростью 1 0 0 0 Футъ, пренебрегая во вторыхъ частяхъ уравненій (п° 2 1 1 ) выражающнхъ ускоренія по осями x, у, г следующими членами:
въ уравненіи ( 1 ) вторыми и третьими членами
— g f ( v ) Zt,A')

•

c

o

s

v

•

s

i

n

6

-

c

o

s

u

и

въ уравненіи (2) вторымъ членомъ

и въ уравненіи (3) первымъ н вторымъ членами

— gf(v)Z 3{ ?' T A> ! - c o s 0 . s i n »
' cos (p, A')

v

И

— <jf (v)
J

'

v

ьш

.\ . COS V . sill О . sin « .

Т

> cos (p,A')

Разсмотрпмъ поправки, которыя пренебреженные члены вводятъ въ величины х , у , z.
2 1 8 . Третій членъ второй части уравненія (1), п° 2 1 1 , даетъ
для абсциссы х поправку
*

о

*

о

Функцію f (у) можемъ замѣнить Функціей f (av,) — [yp. (2),
ос F .
2

2

1

то эта поправка будетъ

sin v. sin 8 . s i n «
о

в

dt
a F,
2ßc

213]

еслп вмѣсто sin v возьмемъ 1 и вмѣсто sin 8 n sin а возьмемъ синусы иапбольшнхъ значеній угловъ 8 и о въ иредѣлахъ интегрироваиія, который назовсмъ чрезъ 8' и о', то означенная поправка, по численной величинѣ (не обращая вішманія на знакъ) будетъ всегда менѣе

m . sin8'. sin

2® J

f dt f J

o

dtv

v2

h - t - L A t ) -

о \

2ßc

/

ИЛИ

aß F, [t -

m. sin 8'. sin

^

log ( 1 -+- g » * ) ] .

Для полнаго времени полета (таблица п° 2 1 5 ) А = 1 0 е , 1 2 9 ,
S' =

2 ° 5 3 ' , o ' = 1°4' и послѣднее выраженіе равно 3 , 3 1 фут.,

или 0 , 4 7 саж., такъ что разематрпваемая поправка въ дальности
менѣе 0 , 4 7 сагк., и ею совершенно возможно пренебречь.
Второй членъ второй части уравненія (1) п° 211 , даетъ для
абсциссы X поправку

'1

rt
dt 'f(v)sin
l

'

или такъ какъ (n° 2 1 2 )

эта поп

= wsinS , гдѣ m =

2 , 0 5 , моФѴІІК-

Р а в к а будетъ

t

rt

dt

о

cos V sin О cos « dt,

1 иФункцію f [v] можемъ замѣнить

жемъ положить c o s « =
ціею Чспьо ' т 0

'

(р Г)

' cos(M')

v

cos v. sin 8 . f (avf tang Ѳ .dt;

0

если вмѣсто cos v возьмемъ 1 и вмѣсто sin 8 возьмемъ sin S', си-

нусъ нанбольшаго значенія угла 8 , то означенная поправка, но
численной величин!;, будетъ всегда менѣе
m У sin b'\dt[f(ewj)

или, вставивъ вмѣсто f(av,)

tang Ѳ. dt,

и tang О ихъ величины изъ ур. (2) и

(5) , п ° 2 1 3 и произведя интегрированіе, послѣднее выраженіе
приметь видъ
•»ft sin S' ( Г , ( tang ,

Ä ) [ < _

+

Ж

log

(, _

^ , Д

J .

Для иолнаго времени полета * = 1 0 1 2 9 это выраженіераве

няется

1 2 , 2 Фут. или 1 , 8 сажени, такъ что разматриваемая

поправка въ дальности менѣе 1 , 8 сан;., и ею совершенно возможно пренебречь.
2 1 9 . Второй членъ второй части уравненія (2), п° 2 1 1 дастъ для ординаты у, въ предѣлахъ отъ t. до t поправку

•t
dt

-г

Ч
или такъ какъ (п° 2 1 2 )

=

т

sin S ,

гдѣ m =

2 ,05

и

COS (pjxi j

функцію /' (v) можемъ замѣнить ФунКдіею f ^ ' g , то это поправка, въ предѣлахъ отъ t. до t, будетъ
m I J d * J c o s v sin 8 /'(ay,)

dt.

и
Опредѣлимъ высшій и низшій иредѣлы, между которыми заключается означенная поправка.
Въ

предѣлахъ

отъ

=

0 до t =

г ; 44G

(таблица п° 2 1 5 )

уголъ v измѣняется отъ 0 до 90 , такъ что cos ѵ всегда положие

тельный H наибольшее значеніе cos V есть 1 , а наименьшее 0 ;
наибольшее зиаченіе S есть 1°35\
Высшій иредѣлъ поправки въ этомъ промежутке времени
есть
m

. s i n ( l ° 3 5 ' ) dt

rt
f (avx) dt
t

t«

пли
t - t

Я1.8т(1035').р7,
.

1

1

2ßc .

(

HV^S

4-Uit

i - ^ / l
2ßc
aF

1

=

2Ф,Т' 4 0 .

2ße »'

Нисшій предѣлъ поправки въ этомъ промежутке времени
равенъ нулю.
Въ

предѣлахъ отъ ti =

1°,446

до

£ = 2 ] 880

(таблица

F 2 1 5 ) , уголъ v изменяется отъ 9 0 ° до 1 3 2 ° и отъ 1 3 2 ° снова
до 9 0 э , такъ что cos ѵ всегда отрицательный, и наибольшее его
значеніе есть 0 , а наименьшее cos 1 3 2 ° ; наибольшее значеніе S
есть 1°35\
Высшій предѣлъ поправки въ этомъ промежутке

времени

равенъ нулю.
Нисшій нредѣлъ поправки есть

т . cos 135°. s i n ( l ° 3 5 ' ) ß F ,

Въ

t -1.aF,
2ßc

пределахъ отъ t. =

-ggilog1"1"^4
S
«7,
1
«7,
1 H ~ 2
F

2 е ,'880 до t =

F 2 1 5 ) , уголъ v изменяется отъ 9 0

е

4°;732,

v — Іфт., 45.

(таблица

до 4 7 ° п отъ 4 7 ° снова до

90°, такъ что cos ѵ всегда положительный п наибольшее егозначеніе есть cos 47°, а наименьшее значеніе нуль; наибольшее зпаченіс 8 есть 1°54'.

ti

Высшій предѣлъ поправки въ этош. промежуткѣ времени
есть

t

t - ti

. cos47°sin(l°64')ßFi

L

«F,
2ßc « J

1-

2ßc

=

2 ф т -51.

Нисшій предѣлъ поправки есть нуль.
В ъ предѣлахъ

отъ. t{ =

4e-,732

до t =

6%856

(таблица

n° 2 1 5 ) уголъ v измѣняется отъ 9 0 ° до 1 1 5 ° 1 2 ' и отъ 1 1 5 ° 1 2 '
снова до 9 0 ° , такъ что cosv всегда отрицательный п наибольшее
его значепіе есть нуль, а наименьшее cos ( 1 1 5 ° 1 2 ' ) ; наибольшее
значеніе 8 есть 1°54'.
Высшій предѣлъ поправки въ этомъ промежуткѣ времени равенъ нулю.
Нисшій предѣлъ поправки есть

t — tj

ctfs (11б°12') sin(l°54') ß F j
*

В ъ предѣлахъ отъ ti =
t =

1 -+-

2ßc.

at'

2ßc

aF,
2ßc

t

0 3
1

^

= —ІФП-,82.

2ßc 4 .

6 с - , 8 5 6 до полнаго времени полета

1 0 е - , 1 2 9 (таблица п° 2 1 5 ) уголъ ѵ измѣняется отъ 9 0 ° до

G0°45' n отъ 6 0 ° 4 5 ' снова до 9 0 ° , такъ что cosv всегда положительный п наибольшее его значеиіе есть cos(GO°45'), а наименьшее значеніе нуль; наибольшее значеніе S есть 2 ° 5 3 ' .
Высшій предѣлъ поправки въ этомъ промежуткѣ времени
есть

m . cos (60°45'). sin (2=53') ß F ,

t — ti
«F,
2ßc

и

2ßc.
ÏF,ÏOg

Нисшій предѣлъ поправки равенъ нулю.

Іч-ïZif
2ßc
1

^

2ßc %

= бФт.,41.

Изъ пзложеннаго видно, что поправка ординаты у , на всемъ
протяженіи полета, заключается въ предЬлахъ
2,40 ч - 2,51 ч - 6,41 =

1 1 фт ',3

и

— 1 , 4 5 — 1,82 =

—Зфт',27

Поправка въ 11 фт -,3 въ ордпнатѣ у соответствуем поправке 5' въ угле бросанія <р =

10° п можетъ быть совершенно пре-

небрежена, потому что действительная поправка ордпнаты у гораздо меиѣе прііведенныхъ пределовъ.
Изъ нзложеннаго видно, что, въ разбпраемомъ прпмѣрѣ, совершенно возмояшо вычислять вертикальную проскцію траекторін
продолговатаго снаряда, какъ матерьялыюй точки, имеющей массу равную массе снаряда и подверженной дѣйствію вертикальной
силы тяжести и силы сопротпвленія воздуха, по величпнѣ равной
сопротнвлеиію воздуха по оси Фигуры снаряда, а по иаправленію
действующей прямо противоположно направлемію движенія.
2 2 0 . Второй членъ второй части уравнепія (3) п° 2 1 1 даетъ
для ординаты z поправку

- О

d*
о

AQj^l^cosvsintfsinud*,
о

или т а к ъ какъ (п° 2 1 2 )
цію f{v)

^

=

m sin 8 , гдѣ m =

можемъ заменить Функціею { ^ ' g ,

2,05иФунк-

то эта поправка бу-

дем
cos v sin 8 sin 6) f(a.v,) tang О dt ;
о

о

если вместо cos ѵ возьмемъ 1 и вместо sin S и sin о возьмемъ

sin S' и sin«', синусы иаибольшихъ значеній угловъ 8 п а , то означенная поправка, по численной величинѣ, будетъ всегда менѣе

m ? sin 8' sin a [dt j f(avx) tang 0 dt

о о
ИЛИ

*

sin S' sin W {V,(tang » 1 -

_

g.

Для полнаго времени полета t = 10°; 12 9 это выраженіе равняется 0 , ф т 2 3 , такъ что разсматриваемая поправка въ боковой
дериваціи менѣе 0 ф т ',23 и ею совершенно возможно пренебречь.
Первый члеиъ второй части уравненія (3) п° 211 даетъ для
ординаты z поправку Аз

Аг =

•'t
t

rt
—g dt\f(v).cUfin
J'

cos(p, A )

o-smadt.

cos

Наибольшее значеніе угла « (таблица п° 2 1 5 ) есть 1°4' п
sin(l°4') =
sin « =

0 , 0 1 8 6 2 , полное время полета t =

p^pg • t =

0,001841,

10 e -, 1 2 9 ; взявъ

найдемъ, на всемъ протяженіи

траекторіи для угловъ « значенія нѣсколько большія тѣхъ, которыя
получили въ таблиц! w° 2 1 5 . Если вставпмъ въ выраженіе разсматриваемой поправки f f

g =

7

, что въ разбнраемомъ при-

мѣрѣ можемъ принять равнымъ единиц!, sin « =
вмѣсто Функціи

f (v)

Функцію

)

то

A COS О '

поправка Az будетъ

сколько меньше

t rt

— 0 , 0 0 1 8 4 4 \dt tf(avx)dt
1
'

aß

0,00184 . t,

;

н!-

принявъ это выраженіе за величину Az, вставивъ

» произведя шітегрированіе, нолучимъ

Въ слѣдующей таблицѣ помещены соответствующая временамъ получешіымъ въ таблнцѣ п° 2 1 5 поправки Аз и нсправленныя величины г

Д z.

Z.

СЕКУНДЫ.

ФУТЫ.

ФУТЫ.

0,272
0,659
0,963
1,281
1,446
1,815
2,452
2,880
3,337
4,732

-0,00
—0,00
—0,00
—0,00
—0,00

0,00
0,15
0,36

t.

6,151
6,856
7,850
10,129

—2,49

0,85
1,16
2,19
4,39
5,52
7,04
15,13
25,92

—3,25
—4,67
—9,42

31,14
39,23
67,84

—0,00
—0,03
—0,03
—0,50
-1,17

.

2 2 1 . На Фигуре 7 5 и 70 построены вертикальная и горизонтальная ироекцін траекторіи 4 Ф. гранаты выстреленной съ
начальной скоростью 1 0 0 0 Футъ, подъ угломъ бросанія въ 10°.
За абсциссы х и вертикальный ординаты у взяты величины х и у
номЬщеиныя въ таблпцѣ п° 2 1 6 ; а за горизонтальный ординаты
з взяты величины помещенный въ таблнцѣ п° 2 2 0 . Ординаты у
взяты въ масштабе въ 7 разъ большемъ протнвъ абсцнссъ ж; а
ординаты з въ масштабе 5 0 разъ большемъ нротпвъ абсцнссъ ж.

t

222. Вычисленіе траекторіи иродолговатаго снаряда выстрѣленнаго навгъсно весьма малымъ зарядомъ. Для примѣра возьмемъ 4 Ф. гранату, выстрѣлеішѵю подъ угломъ бросанія въ 4 5 °
съ начальною скоростью 2 0 0 Футъ.
При этой начальной скорости, для облегченія вычислены, можемъ приближенно принять (какъ видно изъ чертежа кривой (Е),
ФИГ. 5 0 ) , при метрѣ и килограмм!;, взятыхъ за единицы, сопротивленіе воздуха но оси Фигуры снаряда рА =

0,012TCFV, И

слѣдователыю, при футѣ и Фунтй взятыхъ за единицы
Рд

=0,000255тсЛѴ,

или полоаывъ

I

0,000255.

дкН2 '

получимъ

IW
Для 4 Ф. гранаты С =

Р — 2дс •
133G0.

При стрйльбй
подъ большимъ угломъ бросанія, съ малою начальною скоростью, углы 8 составляемые осыо Фигуры снаряда
съ нагіравленіемъ движенія бываютъ значительные.

В ъ этомъ

случай, какъ видно на Фигурѣ G7 , на которой величины

$

взяты за ординаты, а углы 8 за абсциссы, нельзя принимать величины g • о пропорщональными синусамъ угловъ 8 ; но зависимость между этими величинами и углами 8 , въ предйлахъ отъ
8=

0 до 8 = 9 0 ° , можетъ быть приближенно выражена чрезъ
у

-у • d =

2 , 2 • sin S • cos 8 •

Кривая выражаемая этнмъ уравнсніемъ построена на Фнгурй 6 7
пунктиромъ.

Поэтому выраженіе пары сопротивленія воздуха (w° 1 9 6 )

приметъ видъ

К=

2,2 . R •

sin 8. cos 8,

PA

или, изображая

1 = 2,2,
получимъ

К = 1. Rça sin 8. cos 8
или

K=l.R.P.f(y)

sin 8. cos S.

2 2 3 . Если иостуішмъ согласно тому какъ было изложено въ
§ I о вращателыюмъ двнжепіи продолговатыхъ снарядовъ, то
дііФФеренціальныя уравненія коннческаго двпжснія оси Фигуры
снаряда будутъ

(18 = — cos v dO .
Если, для перваго прнблпженія, ограничимся во вторыхъ частяхъ дііФФсренціальиыхъ уравиеній (1) и (2) п° 2 1 1

первыми

члеиамп, то уравнепія п° 2 1 3 останутся безъ пзмѣненія, и по
вставлснін въ дііФФеренціалыіыя уравнеиія коннческаго двнженія
оси Фигуры

de

dt

COS20

J V,

или, приближенно,
dö =

_

4
а.2

Л

», '

—

352

эти уравненія примутъ видъ
dv =

Г - g L f{v)v

1_2тг[лІ '

cos s _

'

=

42
a

- f - . J Ë E X l dt,

a.4,

tangtfj

'

— d * .
v,

При весьма малыхъ иачальныхъ скоростяхъ скорость ѵ и f(v)
изменяются мало на всемъ иротяженіи полета, такъ что, для возможности интегрированія уравНеній коническаго движенія, можемъ, вмѣсто перемѣнныхъ v, и f{v),
ния [f(v)]rn

" (ѵі)т

на

принять ихъ средпія значе-

нсемъ нротяжепіи траекторіи. При этихъ

допуіценіяхъ послѣдпія два уравиенія примутъ видъ

о

cos v

o2(v,)m

t

d

•

Раздѣливъ первое уравненіе на второе, получимъ
cos vdv

-55-

Iria 2

=

,

,

.r,

.

sin v

Am \fWm COS

где можемъ принять (уравненія (1) и (2) п° 2 1 3 )

^ Т А Ж Г '

(1 >

1

(2 )

н

2ßclm

m.=m™,)

,

1

изображая чрезъ tm половину полнаго времени полета снаряда.
Положивъ, для краткости
(3 )

= Î

•

—

353

—

и замѣтивъ что cos vdv = d (sin v), нолучимъ
d (sin v)

„„„ s
g COS 8

=

sin v
tângô '

диФФерепціалыюе линейное уравненіе перваго порядка.
Интегралъ лішейнаго уравненія перваго порядка

въ которомъ P

Q суть какія либо

Ii

fPdx

y= e

Вставляя ?/ =

Фуцкціи

х, есть

— fPdx
e
Qdx -+- С

sin v, ж =

8, P = —

Q = g c o s S , ПО-

tangô

лучимъ

e

/Pdx

= e

— fPdx

e

e

- f

и какъ при t =
(4)

F d x

— log sin

— e

S

x

sin S '

log sin 8

=

sin 8 ,

Г

Qdx = q sinS . cos8 . dS =

0, 8 =

0 и v=

0, то C =

, sin v = I sin 8 .

|sin 2 S,

0 и, слѣдовательно,

Для того чтобы получить уголъ

V ІІЛП

уголъ

8 ВЪ

функціи t,

возьмемъ уравпеніе

' — — —-—dt.
а г (»і)л

COS v

1°. Если f больше единицы, то выразимъ ѵ въ Функціи отъ t.
А

Уравнепіе (4) даетъ
(5)

sin S = I sin v,
c o s 8 = ] / l — (y)'sin2

или приблизительно
(6)

cos S =

1 — H sin2v

2

cos vdv

2

1 — Asin'v

Вставивъ эту величину въ выраженіе

cosv

получимъ

a2(r,)mHf>

Такъ какъ
dv
1

J

2

1

о

.

2

5 S1I1 V

^

a2

r.v

dv

I-,

1

о V

2 \

;

2"7

2

2

+ - 52- C 0 S V
a

dv
cos 2 v

1

—

d ( t a n g v)

q2
—

1 - І )

2

(1-i-tangV).

- + - - Ö

COS2V

d(tangv)

d(]/l-|tangv)

_

Уі=

tang"v

1-4
0

l-(l-^)tang

2

v

H слѣдовательно
dv

v

1

2 * 2
a

5 sin v
2

/

1 =

l/i

9

arc t a n g ( j / 1 — H tang v ) ,

A2

У

q

то

(7)

taug v

=

/•-f..

tang V i
У

2

qz

•

oq

2a' (»i)m

t

2°. Если f меньше единицы, то выразимъ S въ Функцін отъ t.
Уравиеніе (4) даетъ
cos v =

y

1 — £ sin 2 Ь

пли приблизительно
(8)

cos v =

1 — - - sin2 S .

В с т а в п в ъ эту величину в ъ выраженіе

ds

д_
•dt,
оЩ»,),

cos vV
COS

получимъ

\

l _ | s i n

2

8

« W '

и какъ

1

—f s i n

2

8

:

:

- L - , a r c . tang [ У I — I
у

• tang § ) ,

8"

1

TO

. tang S

(9).

=

r

y

: tang

8

У

1

—

8

a 2 (»,)„

2 2 4 . Если вычислпмъ для 4 Ф. г р а н а т ы , выстрѣлешюи подъ
угломъ в ъ 4 5 °

съ начальною скоростью 2 0 0

Футъ,

дальпость

на мѣстпости находящейся па одпомъ г о р и з о н т ! с ъ орудіемъ и
время полета в ъ предположеиін, что сопротпвлеиіе воздуха прямо
противоположно иаправленію движеаія,

а по величинѣ равпо со-

противлсиію по оси Фигуры снаряда, т . е. при допущеыін ß =

1,

то дальность получимъ изъ Формулы ( 1 ) п° 1 2 1 , в ъ которой у

=О

и с =

1 3 3 6 0 и она будетъ 1 1 9 9 Ф у т ъ ; а время полета получимъ

изъ Формулы ( 5 ) п° 1 2 1 и оно будетъ 8 , 7 0 3 секундъ.
Вычислпвъ для t =

8° 7 0 3 , в ъ предполояіеніи ß =

чину q по Формуламъ ( 1 ) , (2) и (3) п° 2 2 3 , получимъ
7 = 1 ,
| =

285

0 , 6 4 2 5 мепыпе единицы;

1 , вели-

Уравненіе (9) F

2 2 3 даетъ приблизительно
8 =

a уравиепіе (4) F

80°,

2 2 3 даетъ
ѵ =

39°.

Такъ какъ, въ разбнраемомъ примѣрѣ 8 =
шее зиачеіііе угла 8, ирн прсдположспіи ß =

8 0 ° , есть наиболь-

1 , то для опредѣленія

приблизительна™ зиаченія ß , возьмемъ съ Фигуры 7 2 (на которой
построены величины f f f f
ченіе

въ зависимости отъ угловъ 8), зна-

соотвѣтствующее среднему углу S =

4 0 ° ; это зна-

чеиіе равно 2 , 5 и, слѣдовательно, приблизительно
=
Перечпсливъ для t =

0,4.

8 0 - , 7 0 3 , прп ß =

0 , 4 значевія g, S и v,

получимъ
2=1,223,
S=

83°35' ; v =

37°26'.

2 2 5 . На Фигурѣ 7 3 построена кривая величинъ

|р' ^

въ

зависимости отъ угловъ 8 . Прп измѣнеыін угла S въ широкихъ
предѣлахъ отъ 0 до 8 3 ° 3 5 ' нельзя принимать величины " " g '
пропорціоиалыіымп сппусамъ угловъ S ; но зависимость между
этими величинами п углами 8 можетъ быть приближенно выражена чрезъ
cos (p, A')

=

3 , 3 . sin S cos 8 .
'

Кривая выражаемая этимъ уравненіемъ построена па Фіігурѣ 7 3 пунктиромъ.

Положивъ

к

= 3 , 3 ,

получимъ
sin (p, T')

7

.

.

Ограничиваясь, для перваго приближенія, во второй части
диФФеренціальнаго уравненія (3) п° 2 1 1 послѣднимъ членомъ,
получимъ
7
7 • t> «
агѴ.2
dv, — к sm S cos S • sm v — L

dt

или, вставпвъ вмѣсто sin v его величину изъ уравненія (4)п° 2 2 3 ,
dv, =
2

— sin 2 S cos 8
2

dt

ülltf Ъ

2gc

2 ßc

)

Такъ какъ уголъ S заключается въ предѣлахъ отъ О до 9 0 °
и, слѣдователыю, sin 8 я cos S въ предѣлахъ шітегрпроваиія не
мѣияютъ знака, то можемъ написать
rt

да

^ J (sin 2 8 cos S \

t 2gc

dt

гдѣ (sin2 S cos S) m есть нѣкоторое среднее зпачепіе sin 2 8 cos S въ
предѣлахъ іштегрированія,
или

Для приближенна™ рѣшенія, за среднее значепіе sin2 8 cos 8
можемъ принять
. (sin 2 S cos 8J

(2).

=

i j s i n 2 8 cos 8 dS

sin 3 8

38 '

Замѣтивъ что tang « = vz. — и что уголъ о всегда малъ,
получимъ

л

1

(3)

7| V

«7, Л

2ßc / ^

Такъ какъ vz = g , то

( 4 ) . . * = h (sin 2 8 cos з ) я aß F ,
Для t =

8°-,703 , при ß =

f)

0 , 4 уравненія ( 1 ) , ( 2 ) , (3) и (4)

даютъ
vz =

3Ф%432 , ö = 1 ° 3 8 ' ,

^=15фт-,5.

Пренебрегая, для вычисленія вертикальной проекціп траекторіи,
дѣйствіемъ составляющей ç>n сопротивленія перпендикулярной къ
касательной, получимъ абсциссу х соответствующую t =
изъ формулы (3) F

2 1 3 , въ которой ß =

0 , 4 , а ординату у въ

Функціи абсциссы х изъ Формулы
у = x tang ф

Ір^і F

Лбсцпсса x будетъ
х =

1156фт',

ордината у будетъ
у =

—

15фт',2С.

8е',703

(Uj.

2 2 6 . Опредѣлпмъ поправки, которыя пренебрежешіые члены
въ уравиеніяхъ (п° 2 1 1 ) выражающихъ ускореыія по осямъ х, у,
z, вводятъ въ найдеиныя величины ж, у, z.
Третій членъ второй части уравнепія (1), п° 2 1 1 даетъ для
абциссы ж поправку, но чпслениой величинѣ всегда менѣе

к sin 8'. sin v' .sin

•ЧЕМ1-®')

aß V\

гдѣ S', v', о' обозпачаютъ паиболыпія значенія угловъ 8, v u и.
Для t = 8 % 7 0 3 , S' =

8 3 ° 3 5 ' , v' =

37°26', м ' =

1°38'и

послѣднее выраженіе равно 0 ф т , 9 4 , такъ что этой поправкой
абсциссы ж совершенно возможно пренебречь.
Такъ какъ въ разематриваемомъ примѣрѣ углы 8 и ѵ менѣе
9 0 ° и слѣдовательно sin 8 , cos8 и cosv въ предѣлахъ интегрпровапія не мйияютъ знака, то поправку абсциссы ж происходящую
отъ втораго члена уравненін (1) п° 2 1 1 , можемъ выразить чрезъ
_ Ц (sin » cos б cos v) m j V, (tang <p ч - ^

j[t _ ^

log ( l ч -

t) ] -

Ç j

ИЛИ

гдѣ,

для

приближеннаго

рѣшенія,

за

среднюю

величину

sin 8 cos S ( 1 — Çsin 2 Ô )
можно принять

[sm8coS8(l-fsin2s)]

=1

Г8
Q sin 3 S.dsinS

s i n S . d s i n S — g-

1 / sin 2 8

q2

. A5\

Для времени * = 8 е - , 7 0 3 эта поправка абсциссы х равна—7 фт -,7,
такъ что и ею можно пренебречь.
Поправку ординаты у, происходящую отъ втораго члепа второй части уравненія (2) п° 2 1 1 , можемъ выразить чрезъ
Ду = * ( s i n S cos S cos v) m ßV, [ * -

^

log ( l н - g j - * ) ]

или
Ay = к [sin S cos 8 ( l гдѣ, для

£ sin2 8 ) ] m ß F , [ t - £ £ log ( 1 - ь g

приближеннаго

sin 8 cos S ( l — s i n

2

рѣшеніл,

за

среднюю

*)],

величину

8j

можно принять
[sin S cos 8 ( l Для * =

£ sin" » ) ] _ = i ( S Ç -

gsm4.) .

8 e -,703 имѣемъ
A y = 30 ф т -,31 ,

и какъ ордината у , когда не принимали въ разсмотрѣиіе составляющей сопротивленія воздуха перпендикулярной къ касательной,
получилась для разематрнваемаго времени — 15 ф т -,26, то действительная величина у должна приблизительно равняться

У — lß^'jOö ,
и соответствовать найденной абсцнссѣ
х =

1156 ф т '.

Такъ какъ уголъ падепія, при слабой начальной скорости въ
2 0 0 Футъ, не многимъ отличается отъ угла бросанія 45°, то
дальность на местности находящейся на одномъ уровиѣ съ орудіемъ

должна быть приблизительно равна 1156 ф т -+- 15фт- =

1171 ф т - .

Эта дальность отличается только на 28 Футъ отъ дальности ] ] 99фт",
найденной при допущеніи ß =

1 н при предположены, что сопро-

тнвлеиіе воздуха прямо противоположно направленію двнженія.
Отсюда видно, что и при иавѣсной стрѣльб! подъ углами
бросаиія не превосходящими 4 5 ° , даже съ весьма малою начальною скоростью, когда углы S бываютъ весьма значительны,
можно, безъ большой погрѣшностп, вычислять вертикальную
проекцію траекторін продолговатаго снаряда, разсматривая сопротивленіе воздуха какъ дѣйствующее прямопротивоположно паправленію движенія, а по величин! какъ равное сопротивленію
по оси Фигуры снаряда.
Второй членъ второй части уравнепія (3), F

211 даетъ для

ординаты з поправку но численной величин! всегда мен!е
Щ sin S' sin о 1 { F, (tang ер ч -

І ч - g * ) ] - Ç | ,

гдѣ S' n о' обозначайте ианболыпія значенія угловъ S и a .
Для t =

8 ° ' , 7 0 3 , это выраженіе равняется 0 ф т - ,95, такъ что

разсматриваемая поправка въ боковой дерпваціи менѣе 0 ф 1 ',95 п
ею совершенно возможно пренебречь.
Наибольшее значеніе углам (п° 2 2 5 ) есть l ° 3 8 ' n s i n (1°38')
= 0,02850,прпі = 8 с ' , 7 0 3 ; в з я в ъ 8 І п м = 4 ^ ^ - t — 0,00328 t
получимъ на протяженіи траекторіи для угловъ о значенія н ! сколько болѣе дѣйствптелыіыхъ. Если вставимъ sin о =

0,003281

въ выраженіе поправки ординаты з происходящей отъ перваго
члена второй частй уравненія (3), F 2 1 1 , то эта поправка будетъ
пѣсколько мен!е

Для t =

8 e -,703 эта поправка равняется — 0 ф т -,74, такъ что

и ею совершенно возможно пренебречь.

Такимъ образоліъ боковая деривація (п° 2 2 5 ) приблизительно
равна 1 5 ф т - , 5 .
Если вычислили, боковую деривацію въ ііредположеніи ß =

1,

то получили,, что она равна 1 3 % 8 , величина не много отличаюф

щаяся отъ найденной в ы ш е , такъ что для опредѣлепія боковой
Дерпваціп возможно принимать ß =

1 , и вычислять ее но Фор-

м у л ! ( 4 ) п° 2 2 5 .

S III.
ІІІісдставлспіс двпженія продолговатаго снаряда въ воздухѣ.
2 2 7 . В ъ то время какъ центръ тяжести снаряда опгісываетъ
въ в о з д у х ! траекторію, спарядъ вращается вокругъ оси Фигуры
съ угловою скоростью (м° 1 9 9 ) приблизительно равною начальной; а ось Фигуры снаряда пмѣетъ коническое движеніе вокругъ
понижающейся касательной.
Направленіе коннческаго движенія оси Фигуры зависитъ отъ
направленія вращенія снаряда вокругъ оси Фигуры п отъ направления оси пары сопротнвленія воздз'ха.

Обыкновенно в ъ иарѣз-

ныхъ орудіяхъ снаряду сообщается вращеніе вокругъ оси Фигуры
справа на л ! в о если смотрѣть отъ полюса къ центру тяжести
снаряда, или, что т о ж е , с л ! в а на право, если смотрѣть по направленно поступательнаго движенія снаряда, и центръ сопротивленія воздуха лежнтъ впереди центра тяжести снаряда, такъ что
пара сопротивленія стремится удалить вершину снаряда отъ касательной къ траекторін.
При этихъ условіяхъ угловая скорость оси Фигуры

вокругъ

касательной направлена (п° 2 0 5 ) в ъ т у сторону, в ъ которую вращается снарядъ вокругъ своей осп*).

*) Е с л и бы центръ сопротивленія

персшелъ

ла центръ тяжести

снаряда,

то угловая скорость оси Фигуры в о к р у г ъ касательной была бы направлена в ъ
сторону обратную той, в ъ которую вращается снарядъ в о к р у г ъ своей оси.

2 2 8 . При стрѣльбѣ съ значительною начальною поступательною скоростью, на значительное разстояпіе (п° 2 1 5 ) , уголъ ѵ,
составляемый вертикальною плоскостью проходящею чрезъ касательную съ плоскостью проходящею чрезъ ту же касательную и
ось Фигуры, увеличивается отъ 0 до угла блнзкаго къ 90°, при
чемъ уголъ 8 , составляемый осью Фигуры съ касательного, увеличивается весьма медленно. За тѣмъ уголъ ѵ продолжаем увеличиваться до нѣкотораго предѣла меньшаго 1 8 0 ° ; а уголъ S
уменьшается. По достшкеніи угломъ ѵ этого иредѣла, оиъ уменьшается до угла блпзкаго къ 9 0 ° , при чемъ уголъ S продолжаем
уменьшаться. Далѣе уголъ ѵ продолжаем уменьшаться до иѣкотораго предѣла болыпаго пуля ; а уголъ S увеличивается. По достиженіи угломъ ѵ озиаченнаго предѣла, оиъ снова увеличивается
до угла близкаго къ 90°, и вмѣстѣ сътѣмъ уголъ 8 продолжаем
увеличиваться и достигаем значенія несколько болыпаго того,
которое онъпмѣлъ при предъидущемъ возрастаніи углаѵ. Затѣмъ
уголъ v продолжаем увеличиваться до предѣла меньшаго чѣмъ
тотъ, котораго оиъ достигнулъ въ предшествовавшей части оборота; а уголъ 8 уменьшается.

По достиженіи уиомяиутаго ире-

дѣла уголъ v снова уменьшается, и такъ далѣе.
При стрѣльбѣ съ малою начальною скоростью, уголъ ѵ увеличивается медленнее, а уголъ 8 увеличивается гораздо быстрѣе
чѣмъ при стрѣльбѣ съ большою начальною скоростью, такъ что
можетъ случиться, что нодъ большнмъ угломъ бросаиія, какъ 4 5 ° ,
при малой начальной скорости (іг° 2 2 4 ) , уголъ ѵ въконцѣ траекторіп далеко ne достигнем 90°, а уголъ S будетъ блнзокъ къ
прямому.
2 2 9 . Если бы равиодѣйствующая р сопротивленія воздуха
была прямо противоположна иаправлеиію поступательиой скорости,
то траекторія, не смотря на коническое движеніе оси Фигуры вокругъ касательной, находилась бы въ одной вертикальной плоскости; ибо если бы провели вертикальную плоскость чрезъ какой
либо элеменм кривой, то какъ сила тяжести, такъ и равнодѣйствующая сопротпвленія воздуха находились бы въ этой плоско-

ста, а потому элементъ кривой слѣдующій за разсмотрѣннымъ
заключался бы въ той же плоскости п т. д.
По равнодействующая р сопротпвлепія воздуха (п° 7 7 ) составляетъ съ направлепіемъ прямо противоположпымъ оси ФигуРЫ, для цилиндроовальныхъ спарядовъ, въ обыкповеішыхъ случаяхъ стрѣльбы, уголъ болыпій чѣмъ уголъ составляемый осью
Фигуры съ касательпою, и какъ эта равнодействующая паходится
всегда въ плоскости проходящей чрезъ ось Фигуры и касательную, то, гірн угловомъ двпженіи оси Фигуры вокругъ касательной, равнодействующая р сопротивленія не находится въ вертикальной плоскости проходящей чрезъ касательную, и потому траскторія описываемая центромъ тяжести снаряда двоякой кривизны.
Разложимъ равнодѣйствующсе сопротивлепіе р на три: одно по
направленно

касательпоіі,

въ сторону прямо противоположную

двпженію, другое по направлепію перпендикулярному къ касательной въ горизонтальной плоскости н третье по направленно
перпендикулярному къ касательной въ вертикальной плоскости.
Слагающая сопротпвленія но направленно касательной замедляетъ
поступательное движеніе спаряда.
Слагающая сопротивленія перпендикулярная къ касательной
въ горизонтальной плоскости, при разсматриваемомъ нанравленіи
коппческаго двпжепія оси Фигуры, отклошіетъ центръ тяжести снаряда вправо н происходящее отъ этого постоянное боковое отклоненіе центра тяжести снаряда называется боковою дсривацкю

*).

Слагающая сопротгівленія, действующая въ вертикальной
плоскости перпендикулярно къ направленію касательной, прпподымаетъ центръ тяжести снаряда, когда ось Фигуры находится
надъ касательной, и понижаетъ центръ тяжести снаряда, когда
ось Фигуры находится подъ касательной**).
* ) Если бы цсптръ сопротивленія находился сзади центра тяжести, то
вслѣдствіе обратнаго к о н и ч е с к а я двнжспія оси Ф и г у р ы , боковыя отклонепія
спаряда были бы т а к ж е обратпыя.
* * ) Е с л и бы уголъ составляемый равнодействующею сопротивлснія с ъ направленіемъ прямо противоподожпымъ оси Фигуры б ы л ъ меиѣе угла составл я е м а я осью Фигуры с ъ касательной, то слагающая сопротпвленія воздуха,

2 3 0 . При навѣсной стрѣльб!, весьма малымъ зарядомъ, подъ
болыпимъ угломъ бросаиія, какъ 45°, уголъ ѵ, какъ замѣтили, на
всемъ протяженін траекторіи, далеко не достигаетъ 90°, а уголъ 8
въ концѣ полета близокъ къ 90°; поэтому снарядъ падаетъ на землю
свопмъ дномъ. Прп несколько большемъ заряд! уголъ ѵ можетъ
быть близокъ къ прямому, а уголъ 8, въкопц! полета, пѣсколько
менѣе ч!мъ при весьма маломъ заряд! и потому, въ этомъ случ а ! , снарядъ падаетъ бокомъ. Увеличеніемъ заряда можно достигнуть, чтобы снарадъ падалъ на землю вершиною внизъ. При
зиачительныхъ зарядахъ, каковы заряды употребляемые при нрицѣльной стрЬльб!, углы составляемые осыо Фигуры снаряда съ
направленіемъ движенія бываютъ весьма малы.
дѣйсгпующая

въ

вертикальной

плоскости перпендикулярно к ъ касательной,

понижала бы центръ тяжести снаряда, когда ось Фигуры находилась бы надъ
касательной и повышала бы центръ тяжести снаряда, когда ось Фигуры находилась бы подъ касательной.
Е с л и бы ц е н т р ъ сопротивленія с о в п а д а л ъ

с ъ цептромъ т я ж е с т и снаряда,

то пара с о п р о т и в л е н і я была бы р а в н а нулю, к о н н ч е с к а г о д в и ж е п і я оси Ф и г у р ы
не было б ы , ось Фигуры о с т а в а л а с ь бы параллельною самой с е б ѣ в ъ пространс т в ѣ и находилась б ы в с е г д а в ъ вертикальной

плоскости

проходящей

чрезъ

к а с а т е л ь н у ю ; а к а к ъ р а в н о д е й с т в у ю щ а я сопротнвленія в о з д у х а т а к ж е н а х о д и лась б ы в ъ этой плоскости, то т р а е к т о р і я
противленія в о з д у х а перпендикулярная
понижала с н а р я д ъ , смотря

къ

потому у г о л ъ

б ы л а б ы плоская, и с л а г а ю щ а я сокасательной
составляемый

приподымала бы или
равнодействующего

сопротивления с ъ осыо Ф и г у р ы б ы л ъ бы болѣе или м е н ѣ е у г л а с о с т а в л я е м а ™
осью Ф и г у р ы с н а р я д а с ъ касательной).

ГЛАВА VIII.

Рѣшеніе вопросовъ, относящихся до стрѣіьбы
продолговатыми снарядами.
§

і.

Упрощенный уравнснія движспія продолговатыхъ
снарядовъ.
231.

В ъ предъпдущей главѣ видѣли, что, съ достаточ-

ною для практики точностью, можно вычислять вертикальную
проекціго

траекторіи

нродолговатаго

бросанія не превосходящими 4 5 ° ,

снаряда,

разсматривая

подъ

углами

сопротивленіе

воздуха какъ дѣйствующее прямо противоположно направленію
движенія, а по велнчинѣ какъ равное сопротивленію по оси Фигуры снаряда. Поэтому для вычислеиія вертикальной нроекдііі
траекторіи продолговатыхъ снарядовъ, вполнѣ прпмѣпимы Формулы выведенным въ главѣ I V для выражеиій сопротивленія воздуха, относящихся къ продол го ватымъ снарядамъ, при чемъ за
функцію f(v) должно брать

частное изъ сонротпвленія воздуха

по оси Фигуры на вѣсъ снаряда.
Коническое движеніе оси Фигуры снаряда вокругъ касательной и боковая дерпвація, какъ видѣли въ предъпдущей главѣ, не
могутъ быть определяемы, съ желаемымъ приближеніемъ, иначе
какъ последовательно для малыхъ промежутковъ времени, что
требуетъ весьма длинныхъ вычнсленій. ІІо такъ какъ на практикѣ

боковыя дериваціи получаются весьма разнообразные, вслѣдствіе
отклоненій снарядовъ отъ вѣтра, то съ достаточною для практики
точностью, величины боковыхъ деривацій, прп стрѣльбѣ не только
съ малыми, по и съ большими начальными скоростями, могутъ
быть легко опредѣляемы, прп допуіцепіп на всемх протяженіи
траекторіи, для опредѣленія зависимости угловъ 8 и ѵ отъ времени t, вмѣсто перемѣнпаго сопротивлепія и перемѣшшй проекціи
поступательной скорости на ось х пхъ среднихъ значеній, и при
удержаніи одного послѣдняго члена во второй части уравиенія (3),
п° 2 1 1 , выражающаго ускорепіе по осп z.
2 3 2 . Во всѣхъ случаяхъ, когда наибольшее зпаченіе угла S
ne превосходить 20°, что бываете, когда начальный скорости не
слишкомъ малы, пара К соиротивленія воздуха можетъ быть выражена (п° 196) чрезъ
К = п В 9 х sin S
или

К = nRPf(v) sin S,
гдѣ для снарядовъ иодобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ съ толстой
свинцовой оболочкой
п=
a отпоиіепіс

7

2,7 ;

J можетъ быть выражено ( F 2 1 2 ) чрезъ
sin (р, т )

.

*

„ пв ; ' .1 = m sin S ,
cos (p, A')

'

гдѣ, для сиарядовъ нодобныхъ нашей 4 Ф. гранат!
m=

2,05.

Если пршюмннмъ что сІО
( F 2 1= 3 , ур. (4))

то, при допущеиіи на всемъ протяженіи траекторіи сопротпвленія воздуха и проекція скорости на ось х постоянными,

ДИФФѲ-

реіщіалыіыя уравнепія коническаго двнжепія оси Фигуры (n° 2 1 0 )
нримутъ видъ

d8
cos ч

гдѣ v есть уголъ, составляемый вертикальною плоскостью, проходящею чрезъ касательную съ плоскостью проходящею чрезъ ту
же касательную и ось Фигуры спаряда;
8 уголъ, составляемый осыо Фигуры снаряда съ направлеміемъ двпженія;
F начальная скорость снаряда;
р. отношеніе момента инерціи спаряда вокругъ его оси Фигуры къ произвсденію массы спаряда на квадратъ радіуса цилиндрической его части; для снарядовъ подобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ съ толстой свинцовой оболочкой р. =

0,589;

т| длина хода нарѣзовъ, выраженная въ радіусахъ снаряда;
п численный коеФФиціентъ; для снарядовъ подобныхъ 4 Ф.
грапатѣ съ толстой свинцовой оболочкой п =

2,7;

g ускореніе тяжести;
тс отношеніе окружности къ діаметру;
а среднее значеніе секанса угла наклопенін траекторіи; численный значснія a помѣщсны въ таблмцѣ I, приложенной къ
концу курса;
(ѵ,)т

среднее значеніе проекціи скорости на ось ж; егомояшо

взять равнымъ среднему ариометнческому нзъ проекціи па ось ж
начальной и окончательной скоростей;
[f (г>)]

среднее значеніе f(v);

его можно взять равнымъ сред-

нему арнометическому нзъ значеній f(v)
чальной и окончательной скоростямъ.

соотвѣтствуюіцихъ на-

Раздѣливъ первое уравненіе коннческаго движенія осп Фигуры на второе и положив-!, для краткости

(D

3ÊN-IML-Ä»

получимъ
a! (sin v)
d8

sin v
t)

tang 4 '

диФФерепціальное линейное уравненіе перваго порядка, котораго
интегралъ есть
sin ѵ

n какъ при t =

=

o, 8 =

iSTS [2
o, v =

—

cos S

) -*-

o, то C=o,

=

»
и слѣдовательно

—cosS),

или
(2 )

sinv =

7tang-|.

Наибольшее значеніе угла S получится изъ
(3 )

tang-1 =

1.

Уравненіе (2) даетъ
c o a v d v = | . - ^

I

=

1(1-4- taDg2|)d8 =

вставпвъ это выраженіе въ уравнепіе

cosv

«*(»i)m

®

| ( l H -

s

- ^ ) d 8 ;

получимъ
dv

« 2 l«l),

1-+-

dt,

и какъ
ч

J
О

î

=

q2

' A T A

a

r

a

r

У

c

-

-

c

t

a

n

[Y

: 1

(l/1-^^

g

1-ЬдІ

t

a

n

g

-

¥

t a n g

v

t a n g

ѵ

) '

) = « k - j

Въ разсматриваемомъ случаѣ, когда начальная скорость не
слишкомъ мала, q всегда достаточно большая величина, для того
чтобы можно было пренебречь ~

предъ единицею. Поэтому пзъ

послѣдняго уравненія получимъ приблизительно

№

— i f e ' При удержапіи одного послѣдняго члена во второй части

уравненія (3), п° 2 1 1 , имѣемъ
dv. = qf (v) S1 "
Z

J

I

\

>

c o s

?
(

J sin v. cos a.

P )

Вставивъ
sin (p, Г )

—
=
cos (p, A )

.

s

m sm S,'

гдѣ для снарядовъ, нодобныхъ 4 Ф. гранатѣ
m=

2,05,

dt.

прнпявъ cos о =

1 и замѣнпвъ Фупкцію f (v) Функціею f (avx), по-

лучимъ
dvz =

m. g sin 8 . sin v f(cWj). dt ;

но такъ какъ (yp. (2)) sin v — g tang — и углы 8 въ разсматриваемомъ случа! не болыніе, то можемъ приблизительно положить
sin 8 =

— sin v,

и послѣднее уравпеніе примете видъ
z

— у

dv

s i n 2 v

• 9 • f («7,)

dt.

Такъ какъ sin 2 v всегда положительный и, следовательно, не
мѣняетъ знака, то пнтегралъ послѣдііяго вырагкеиія можемъ представить въ в и д !
rt

2m , . 2 .

f(*vx)dt,

откуда

»t ~t
dt f(a.vx) dt,

2m , . 2 \

z=

Y

( s i n V)mg
и

0

г д ! , для приближеннаго рѣшенія, за средпее значепіе sin 2 v можемъ принять
(sm2v)m =

4|sin2vdv =

такъ что
2 =

m I
-q(

л
l

sin 2v\
2 Г )

~t
dt
9
m
0

i ( i _ ^ ) ,

f(avx)dt.
О

При допущеніи, для вычпсленія вертикальной проекцін траекторіи, что сопротивлепіе воздуха дѣйствуетъ прямо противоположно направленію двпженія, а ио величинѣ равно сопротнвленію
по оси Фигуры снаряда, ускорепіе по оси х есть

З Н - Я Г Ю

замѣняя Фугікцію f(v)

cose;

Фупкціею ЧѵЧо >

и

Іштег

Р п Р У я Два

Раза

получимъ

\dt\f
dt f(avf
а

dt,

о

откуда
3

\
о

(Уі1—*)-

d t = = a

о

Вставивъ это выражспіе въ величину z получимъ
(5)

'

=

Вычпслпвъ но Формуламъ (1), (4) и (5) величину дерпваціи z
Для 4 Ф. снаряда, выстрѣленнаго подъ угломъ бросанія 1 0 ° съ
начальною скоростью 1 0 0 0 Футъ, при выраженіи (п° 2 1 2 )

f

=

2д .

11350 '

получимъ
е =

66 ф т -,3;

а наибольшее зпачсніе угла 8, вычисленное по Формулѣ (3) будетъ 2 ° 1 4 ' .
При болѣе

точномъ

рѣшеніп

имѣли

(таблица п°

221)

2=

67 ф т -,8, и наибольшее значеніе угла 8 (таблица п° 2 1 5 ) бы-

ло 2 ° 5 3 ' .
Для того чтобы легче составить понятіе о томъ, какія величины имѣютъ вліяпіе иа величину дериваціи, допустимъ, что сопротивленіе воздуха пронорціоналыю квадрату скорости. В ъ этомъ
случаѣ

я = Çlog (і

или, разлагая log ( і н н

1) въ рядъ и ограничиваясь двумя пер-

выми членами ряда, что возможно, когда / не велико,

и можемъ принять
ы „ =

Уг

a F,

.

• îf(v)]

' L' V U m

2

-

?c

i

/ .

^ І І Г Ч »

a F, ,

V ^ A c

такъ что

\2>

4

ni)a2 cos ф . F, 2

Вставивъ величины ж u g въ уравиепіе (5) и замѣтпвъ, что
въ большей части случаевъ прицѣльной стрѣльбы 2ѵ значительно
больше sin 2ѵ, такъ что можно пренебречь ^ г
и кромѣ того можно положить a 2 cos ф =

z=

п

V

\

2с

п

Р е Д ъ единицею

1, получимъ

Y.

"V

Отсюда видно, что для подобныхъ снарядовъ, боковая дерпвація обратно пропорціоналыіа длин! хода нарѣзовъ и возрастаетъ
нѣсколько быстрѣе чѣмъ квадраты временъ.
2 3 3 . Когда углы S превышаютъ 2 0 ° ,

что бываетъ при

стрѣльбѣ подъ большими углами бросанія, малыми зарядами, пара

К сопротпвлеиія воздуха, въ предѣлахъ отъ 8 =

0 до S =

90°,

можетъ быть выражена [п° 2 2 2 ) чрезъ

К=

l.R.Pf{v)

sin 8 . cos S,

гдѣ для снарядовъ подобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ съ толстой
свинцовой оболочкой

1 = 2,2;
a отношеніе

[ ' '1 можетъ быть выражено (п° 2 2 5 ) чрезъ

81П Р Т

COS (р, А )

=

Ь inS.cosS,

гдѣ для снарядовъ нодобныхъ нашей 4 Ф. гранатѣ съ толстой
свинцовой оболочкой
k=

3,3.

В ъ этомъ случаѣ имѣемъ (?г° 2 2 3 )

cos v

(1 )

—

У

a 2 (v,) m

dt

sinv = ' s i n S ,

гдѣ
(2 )

2 =

1° Если f больше единицы, то (и° 223)
cos 8 = 1 — 4 , s i n %

П*"

(3)

tangv:

При удержаніи одного послѣдняго члена во второй части уравненія (3), п° 2 1 1 , получимъ *

dvg = kg sin 8 cos 8 sin v f(avt) dt
или, вставивъ sin 8 =

2

.

2

- sin v п cos 8 = 1 — - sin2 v,

dvz = I sin 2 V ( 1 . - \г sin2 v) . g. f(avx)

dt,

откуда
* =

» [sin2 v ( 1 -

J

s i n 2 v ) ] m g J* dt J / - ( a F , ) d t ,
о

0

и какъ
,t

»t

TO

, =
гдѣ,

для

f[sin2v(l-|sin2v)]maF,(t-|-),

приближенна™

рѣшенія,

за

s i n v ( l — ^ s i n v j можемъ принять
2

jsin2vdv -

2

»Jiin»vdvl

=
sin 3 v . cos v

2ql.v

'

среднее

значеніе

такъ что
<л\

к Г/

,

2°. Если

(5)

3 \ F,

sin 2 v \

sin 3 v . cos v~| _

T7

- /,

x \

меньше единицы, то (и° 223)

t a D g S =

yTTitaDg t y ^ 1 ? '^

^

При удержаиін одпого послѣдняго члена во второй части уравиенія (3), п° 2 1 1 , получимъ
dvz = kg sin 8 cos S sin v f (ou?,) dt,
или, вставивъ s i n v = ' s i n S ,
d?;2 = § sin2 8 cos 8 tf/Ya?;,) d*.
Такъ какъ углы 8 даже при малыхъ зарядахъ не превышаютъ 90° *) и, слѣдовательпо, sin2 8 cos 8 не мѣияетъ знака въ
предѣлахъ іштегрмроваиія, то интегралъ нослѣдняго выражсиія
можемъ представить въ видѣ

at

M /cir
=— Ц
( s i n ^ c o s S ^ j A a ^ r i * ,
о
откуда

л
г

=

^(sin

2

8

cos8)mg

.t
dt

f(av,)dt,

*) Мы не разсматривасмъ стрѣльбы подъ углами бросанія значительно
превосходящими 45°.

и какъ
g j cU jV'(ay,) dt: =
о

a (V,t — x),

0

то
3

— у (sin 2 8 cos 8) m a F , (t

гдѣ, для приближенна™ рѣшеніи, за среднее значеніе sin 2 S cos S
ыожемъ принять
sin 2 8 cos 8 d8

=

sin3 8

38 '

такъ что
/Л\

(6)

г

sin 3 <5

~ б ' ~8~ '

-ту (t
1

V

^i) '

2 3 4 . При приложеніи выведенныхъ Формулъ кърѣшепію вопросовъ стрѣльбы нашими продолговатыми снарядами, за неимѣніемъ вычислеяныхъ значеній n, m, I, 1с, р. для каждаго рода снарядовъ, мы будемъ ихъ принимать равными значеніяыъ полученнымъ для нашей 4 Ф. гранаты съ свинцовой оболочкой, т. е. будемъ полагать
м=

2,7; m =

2,05; 1 =

2,2;

к=

3 , 3 ; р. =

0,589.

§ II.
Прицѣльпая стрѣльба.
235. Іірицѣлъная стрѣльба при начальныхъ скоростяхъ превышающихъ

1 1 8 0 футъ. Сопротнвлеиіе воздуха по оси продолго-

ватыхъ снарядовъ выражается (п° 9 5 п 9G) для скоростей превышающпхъ 1 1 8 0 Футъ одночленомъ пропорціональнымъ квадрату

скорости, для скоростей, заключающихся между 1 1 8 0 и 9 1 9 Футами одночленомъ пропорціональнымъ шестой степени скорости,
и для скоростей меньшихъ 9 1 9 Футъ двучленомъ, въ которомъ
первый членъ пропорціоналенъ квадрату скорости, а второй четвертой степени скорости.
Поэтому если начальная скорость превосходить 1 1 8 0 Футъ,
какъ это бываетъ при стрѣльбѣ изъ береговыхъ пушекъ, и скорость въ точкѣ паденія менѣе 1 1 8 0 Футъ, то необходимо вычислять вертикальную проекцію траекторіи но частямъ. ІІо такъ какъ
прицельная стрѣльба производится подъ углами бросанія не превосходящими 15°, то вычисленія упрощаются тѣмъ, что достаточно вычислить по частямъ вертикальную проекцію траекторіи
для одного угла бросаиія, приблизительно срсдняго между углами
бросанія, употребляемыми при прпцѣльной стрѣльбѣ, п полученный точки траекторіп отнести къ косоугольмымъ осямъ X , по
направленію касательной въ точкѣ вылета, н Y, по направленію
тяжести. Углы бросанія, углы паденія, окончательный скорости
и времена полета, соотвѣтствующіе различнымъ дальностямъ, получатся по даннымъ найденнымъ для вертикальной проекціп вычисленной по частямъ, прп допущеніи, что вертикальный разстоянія точекъ траекторіи до касательной въ точкѣ вылета, не зависать отъ угловъ бросапія.
Пусть ф' изображаетъ уголъ бросапія, подъ которымъ хотпмъ вычислить по частямъ вертикальную проекцію траекторіи.
Обозначимъ чрезъ О' и ѵ' паклоненіс п скорость въ какой либо
точкѣ траекторіи подъ угломъ бросаиія ©'.
1°. Первую часть траекторіи должно взять (ФИГ. 77) отъ точки
вылета О, въ которой началыіая скорость Еболѣе 1 1 8 0 футъ до
точки М,

въ которой скорость есть Y =

1 1 8 0 футъ, и вычи-

слять ее при выраженіи сопротивленія (п° 1 2 1 )

гдѣ
е

Р

=

П

2Атztfg

'

П

и, при Футѣ и Фуптѣ взятыхъ за единицы (и° 9 5 )
А =

0,00093.

Для вычислеиія первой части траекторіп найдемъ сначала приближенную величину угла наклоненія 9 " траекторіи въ точкѣ M
изъ Формулы (6) п° 1 2 1 ,
tang 9 " =
принимая а =

tang 9 ' - і

, F, =

F cos 9', F / =

F ' cos 9 .

По найденной приближенной величинѣ 9 " вычислимъ а пзъ
Формулы (п° 1 3 0 )
а

_

е(Ф0-е(Ф")

t a n g <р' — t a n g 9 " '

Зная а и приближенное значеніе 9 " , найдемъ
x' =

OQ изъ Формулы (3) п° 1 2 1
/
Ж

y'=

2с
a

1
Loge '

J

, F cos 9 '
S F ' cos 9 " >

MQ пзъ Формулы (1) n° 1 2 1

достаточно точное значеніе 9 " изъ Формулы (2), п° 1 2 1
tang 9 " =

tang 9 > ' - ^

(?)>

время t' полета снаряда отъ точки О до точки M изъ Формулы (5), F

121
F cos ф'

1

\ 2с/ '

В ъ косоугольныхъ координатахъ, абсцисса О Р = X ' точки M
будетъ
COS ф '

ордината M P =

Г ' точки Ж будетъ
У' =

Х ' sin 9 ' — у ' .

Вслѣдствіе допущенія независимости угла бросаиія отъ вертикалыіыхъ разстояиій точекъ траекторіи до касательной въ точке вылета
уголъ бросанія ф,, определенный изъ выраженія
sin ф, =

У

Y'

будетъ соответствовать горизонтальной дальности

x, =

X'cos9,.

Уголъ паденія Ѳ,, окончательная скорость ѵ и полное время
иолета t, будутъ ( F

149)

tang 0 , =

tang 9 " — tang 9 ' -+- tang 9 , ,
D—

F ' cos Ф"

i—

cos 0 ,

'

t, = t'.
2°. Вторую и слѣдующія части траектории подъ угломъ бро-

t

санія f ' , до точки М('\ въ которой скорость равна 9 1 9 Футамъ,
должно вычислять при выраженіи сопрогпвлеиія (n° 1 2 2 )

P — f(V) =

>

гдѣ

P

л = =

п,

2 J\oKR\q ' П

6

и, при Футѣ и Фуптѣ взятыхъ за единицы (п° 9 5 )
Л =

0,00000000000000047.

Для вычисленія второй части траекторіи зададимся какоюлибо величиною X" =

ОТ,

горизонтальная абсцисса MQ' =

х"

точки М ' будетъ

х" == (X" — X ' ) cos ер'.
Опредѣлимъ сначала приближенную величину угла наклоненія
ср'" въ точкѣ М\ принимая a =
tang 9 ' " =

изъ формулы (2), п° 1 2 2

tang 9 " -

y r f ^ r , 3 (z),

гдѣ

Z

_

2а5 F ' 4 cos4 ф" . x "

г

Сь

.

По найденной приближенной величинѣ 9 " ' вычислимъ а изъ
Формулы
6 бр")-£(»'")

t a n g ф" — tau g ф " '

Зная а найдемъ
ординату M'Q' =

у" точки Ж нзъ Формулы (1) п° 1 2 2

,'Wtang9
достаточно точное значеніе 9 " нзъ Формулы (2) п° 1 2 2 ;

скорость V" въ точкѣ M' изъ Формулы (4) м° 1 2 2
„

,„

V cos ср'

время t" полета снаряда отъ точки M до точки М' по Формул! (5) п° 1 2 2

t"=

, " cos „Ol(-s);
V'
ф"
''

ѵ х

к

время полета снаряда отъ точки вылета О до точки М' будетъ

tІ/ н- /л .
В ъ косоуголыіыхъ координатахъ, абсцисса 0 / у т о ч к и Ж 7 есть
заданная X", ордината М'Р' =
Г" =

7 " точки М' будетъ

Y' -+- ( X " — X ' ) sin 9 ' -

у".

Уголь бросанія 9 2 , определенный изъ выраженія
sin 9з =

Y"
X77

•m

будетъ соответствовать горизонтальной дальности

х2 = X " cos ф.2.
Уголъ надепія 0 2 , окончательная скорость ѵ и полное время
полета t2 будутъ (п° 149)
tang О2 =

tang 9 " ' — tang 9 ' ч - tang 9 , ,
v

__

F"cosy"'
cos 0 2

t2 =

'

t'-t-t".

Дальн!йшія вычпслсиія производятся подобно предыдущему
до точки М и _ і р въ которой скорость Ѵ и) не слишкомъ много
превышаетъ 9 1 9 Футъ.

t

3°. Для вычпсленія і -+-1 частп траекторіи оть точки М н _
въ которой скорость есть Ѵ и ) и наклоненіе

п

,

до точки М Н ) ,

9 u

въ которой скорость есть Ѵи ^ „ = 9 1 9 Футъ, найдемъ сначала
приближенную величину угла наклоненія

^

,....-

9 u

траекторіи въ

•

2)

точкѣ М ( і ) изъ Формулы (6) F l 22 ,

принимая а =

с о

, ф ^ | ) , совфц^ц =

cos9(f__2).

По найденной п р и б л и ж е н н о й величинѣ

9(ІЧ

_ 2 ) ВЫЧИСЛИТЬ а ИЗЪ

Формулы
?(<Pif-«-o) — C(q>(f-<-2})
tang
1) — t a u g

g

'

Зная а и приближенное значсніе<р ( і .^ 2 ) найдемъ
xu_Hl) =

ж,(f-Hi)

М { і _ _ и Q U ) изъ

(3)

Fl22

2 а Ч ' 4 ( £ ) соз4Ф(,( t - n ) \ Г 4 ( , - - Ы ) cos 4 Ф ( < ч - 2 )
1) =

У « - Ь і) =

Формулы

ж

Щі)

Qu)

и з ъ

Формулы (1) F l

22

9х {{-<«-it

( і ч - і Д а п 8 9«-Hl) -

/ '

ji» , ,
W

'

гдѣ
*

_

2<x 8 F 4 1 ,- > cos 4 ^У і і + ц Д ц ^ ц J

достаточно точное значеніе

изъ Формулы ( 2 ) , F

t a n g 9 ( f 4 . s ) = tang Ф ^ время t { i

(1)

3 (*),

полета снаряда отъ точки М { і _

изъ Формулы ( 5 ) F l 2 2

122

,

п

до точки M U )

•

время полета снаряда отъ точки О до точки М ( і ) будетъ

В ъ косоугольныхъ коордпнатахъ,
точки Ж(|.) будетъ
X
X
^(i-f-1)—

ордината M ( i ) Р

ш

абсцисса

OP (f) =

Xw

ч

^t'-t-O
costp' '

= Т ) . ^ точки М Ц ) будетъ
Г и - ь ^ ^ , , — Х(0) sin?'—уц^,,.

Уголъ бросанія ç f _ t _ 1 , опредѣлениый пзъ выраженія

будетъ соотвѣтствовать горизонтальной дальности
+ 1=

Уголъ иаденія
время полета

^(i-t-1)

C 0 S

Фіч-1 •

, окончательная

скорость ѵ и полное

будутъ (п° 1 4 9 )

tang ѲІЧт1 = tang 9 (
ѵ

— tang 9 ' ч - t a n g ,

D t - l - l ) <= 08( P(l-t-2)

4°. Осталыіыя части траекторіп подъ угломъ бросанія 9',
отъ точки М { і ) , въ которой скорость есть F(,. (

])

=

9 1 9 Футъ

должно вычислять прп выраженіи сопротнвленія (м° 120)

гдѣ

V
П,
2ЛкЕ2д' П

=

С

(n°95)

и, при Футѣ и Фуитѣ взятыхъ за единицы

А = 0,000255 h т=

1600.

Для вычпсленія і , + 2 части траекторіи задаемся величиною
Х ( < + ! ) = О Р ( 1 . + 1 ) , горизонтальная абсцисса Ж ( 0
точки

=

будетъ
%4-«> =

(Х(г-Ь2) — А - Ы ) )

C 0 S

?' •

сначала приближенную величину угла наклопенія
точкѣ
изъ Формулы (2) п° 1 2 0

Опредѣлимъ
?(і-нз)
tanro •

в ъ

.-tans® •

принимая а =

V

х

Ч

(ахЧ-с-г\

"^(Іч-П

.

По найденной приближенной величинѣ
Формулы

ВЫЧИСЛІІМЪ А изъ

tang<P(iH-2>—-tang<p„-^. 3 , '

Зная а найдемъ
ординату MUmtml)

,) =

2/(іч_8) ТОЧКИ

пзъ Формулы ( 1 )

120

достаточно точное значеніе ф({-ч_3) изъ Формулы ( 2 ) п ° 1 2 0 ;

скорость
V

ВЪ точкѣ

ИЗЪ Формулы (4) п° 1 2 0

гпчт

F f H - n cos

<«'ч-2) COS <p(l.__3) —

время

2)

• ,

^ a ' V * « ^ ™ * ? « ^ '

полета снаряда отъ точки М ( і ) до точки

0

по

Формулѣ (5) 7ΰ 1 2 0

(еч-2) —

,v>

\

с

'

r2

)>

время полета снаряда отъ точки вылета О до точки

0

будетъ
+ % ! ) '

+

В ъ косоугольныхъ координатахъ, абсцисса ОІ\ і
M

u-*-i) есть заданная

точки М ( і ч _

точки

Р ( . ^ 1 } = Y(i^2)

будетъ

•Беч-а) —
УГОЛЪ

, ордината

{1)

Б.-ч-О

бросанія

(Z0'4-2) — ^(,4-1))

9І_

Ь 2

s i n

?'

У(і+2) •

опредѣленный нзъ выраженія

sin CD,

—

будетъ соотвѣтствовать горизонтальной дальности

Уголъ паденія 0 , _ ь 2 , окончательная скорость ѵ н полное время
полета ti

[ 2

будутъ (п° 1 4 9 )

tang 0 , . _ t _ 2 = tang <p(t4_3) — tang 9 ' ч - tang
ѵ

=

OS«P«4-a)
cosöj^j
'

9

,

Дальпѣйшія

вычисленія

производятся

подобно

предыду-

щему.
5°. Боковыя дериваціп соотвѣтствующія

горизонтальпымъ

дальпостямъ х , , х 2 , . . . . получатся помощію Формулъ ( 1 ) ,

(2),

( 3 ) , (4) и ( 5 ) , № 2 3 2 .

236. Случай когда скорость въточкѣ паденія неменѣе

1180

футъ. В ъ этомъ случаѣ не нужно разбивать траекторію на части
и вертикальную проекцію траекторіи слѣдуетъ вычислять привыраженіп сопротпвленія (п° 1 2 1 )

р

гдѣ, если допустимъ 11 =

= f(v) =

—

I \v)

2gc '

11,,
_

p

2ЛкК2д

c

и, прп Ф у т ! и Ф у н т ! взятыхъ за единицы (и° 9 5 )
<А, =

0,00093.

Прп небольшой в ы с о т ! ц!лн можно принимать а =

1. Если

изобразимъ чрезъ а и Ь горизонтальное и вертикальное разстоянія ц!ли до точки вылета п чрезъ s уголъ м!стности, то получимъ tang s =

l , и уголъ (ф — s) .бросанія отнесенный къ пря-

мой соединяющей точку вылета съ ц!лыо найдется изъ Формулы
(»° 1 5 4 )
sin

(

9

=

Если точка паденія па одпомъ ѵравп! съ орудіемъ, то Ъ = О
и (п° 1 5 4 )
sin 2 9 =

g * ( î ) .

Уголъ падеиія получится изъ Формулы
tang 0 =

tang

ф - ^ і ^ ) .

Окончательная скорость будетъ

v
Время полета будетъ

Fcos<p

Боковая дернвація получится по Формуламъ п° 2 3 2 .
2 3 7 . Еслп пзвѣстна скорость ѵ па весьма небольшомъ разстояніи а отъ орудія и она не меньше 1 1 8 0 Футъ, то начальная
скорость F получится изъ Формулы ( F 1 5 5 )

238. Прицѣлъная стрѣльба при началъныхъ скоростяхъ заключающихся между 1180 и 919 футами.

Такъ какъ сопротив-

ление воздуха по осн продолговатыхъ снарядовъ выражается
(п° 9 5 п 9 6 ) для скоростей заключающихся менаду 1 1 8 0 и 9 1 9
Футами одночленомъ пропорціональпымъ шестой степепп скорости,
а для скоростей меныпихъ 9 1 9 Футъ двучленомъ, въ которомъ
первый членъ пропорціоналенъ квадрату скорости и второй четвертой степеші скорости, то въ этомъ случаѣ необходимо, для
вычисленія вертикальной проекціп траекторіи, разбивать ее па
части, и поступать подобно тому, какъ изложено въ F

2 3 5 для

второй и слѣдующпхъ частей траекторіи.
Боковыя дериващп соотвѣтствующія разлпчпымъ горизонтальнымъ дальностямъ получатся по Формуламъ F

232.

239. Случай когда, при начальной скорости не большей
1180 футъ, скорость въ точкѣ паденгя не менѣе 919 футъ. Въ
этомъ случаѣ не нужно разбивать траекторію на части и вертикальную проекцію траекторін слѣдуетъ вычислять при выраженіи
сопротивленія (и° 122)
Pi

p

гдѣ, если допустнмъ 11 =

=

f(v) = _£Ü_
I \P) — 2gc'* >

11,,

2 ЛъВ2д
п, при Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы (п° 95)
А =

0,00000000000000047.

При небольшой высотѣ цѣлп можно принимать а =

1. Если

изобразпмъ чрезъ а и Ь горизонтальное и вертикальное разстоянія цѣли до точки вылета и чрезъ s уголъ мѣстностп, то нолучимъ
tang s = 4 ? ц уголъ (ф — е) бросанія отнесенный къ прямой соединяющей точку вылета съ цѣлыо найдется пзъ Формулы
эіп(ф — е) =
гдѣ

^-ДЗ(»,

2Ѵ*.а
2= —
.
Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, то Ь = о

и
sin 2ф =

| | $)(*).

Уголъ иадеиія получится изъ Формулы
tang Ѳ = t a n g ? —

9

"

3 (г).

Окончательная скорость будетъ

V
y = =

cos <р

Ü(F)'COS0'

Время полета будете

t = Vтг~—
' Ще).
ѵ '
cosф
Боковая дерпвація получптся по <і>ормуламъ п° 2 3 2 .
2 4 0 . Если извѣстпа скорость ѵ на весьма небольшомъ разстояніи а отъ орудія и она пе менѣе 919<і>ут., то начальная скорость V получится изъ Формулы

Ѵ=ѵЛ)(г),
пли такъ какъ (п° 122)
! , ( * ) =

( і + А р )

1

,

ТО

7=
W

W

Разлагая ( l — = г ) ' въ рядъ и ограничиваясь, по малости
2а« 4

- j - , вторымъ членомъ ряда, получимъ

241. Прицѣ.гьная стрѣльба при начальным скоростяхъ меньгиихъ 919 футъ. Возможность примѣнять формулы относящгяся до этою случая къ стрѣльбѣ при нѣсколъко болъшихъ начальныхъ скоростяхъ, каковы начальный скорости полными боевыми
зарядами изъ ныть у насъ имѣющихся нарѣзныхъ пугиекъ сухо-

путныхъ крѣпостей, осадныхъ и полевыхъ. При полагаемыхъ для
этихъ орудій полныхъ зарядахъ началыіыя скорости спарядовъ
менѣе 106G <і>утъ ( 3 2 5 метровъ).

IIa Фигур! 5 0

построена

сплошною линіею кривая ( F ) выражающая зависимость
отъ скоростей ѵ, начиная отъ ѵ =

2 8 0 метрамъ ( 9 1 9 <і>утъ) до

малыхъ скоростей; уравиеніе этой кривой (п° 94), при метр! и
килограмм! взятыхъ за единицы, есть
е

' =

0,012

[ , - ß i ) ' ] .

Разм!щеиіе точекъ (р', ѵ) около кривой (.Е) показываетъ, что
эту кривую можно продолжить, какъ обозначено пунктпромъ, до
скорости 3 2 5 метровъ ( 1 0 6 6 футъ), и сл!довательно, приведенное выраженіе для р' можно употреблять отъ скоростп 3 2 5 метровъ ( 1 0 6 6 Футъ) до малыхъ скоростей.
Поэтому, вопросы, относящіеся до стр!льбы при начальныхъ
скоростяхъ меньшихъ 9 1 9 Футъ п при несколько большпхъ начальныхъ скоростяхъ, каковы начальный скоростп полными зарядами изъ н ы н ! у пасъ имеющихся нар!зныхъ пушекъ сухопутныхъ крЬпостей, осадныхъ и полевыхъ, можемъ р!шать, принимая для сопротпвленія воздуха но оси продолговатыхъ сиарядовъ
выражеиіе

г д ! , если допустимъ П =

П15
_

Р
2ЛкІРд'

и, при метр! п килограмм! взятыхъ за единицы (п° 95)
Л, =

0,012,

г =

488,

—

393

—

а, прп Футѣ и Фунтѣ взятыхъ за единицы,
Л =

0,000255, г =

1600.

Такъ какъ прпцѣльная стрѣльба ne производится подъ весьма
большими углами бросанія, то можно не разбивать траекторіи на
части, и принимать а =
дятъ 8°, il а =

1, когда углы бросапія не превосхо-

, когда углы бросанія болѣе 8°.

Дальпость а, если точка паденія выше орудія на величину Ъ
найдется (п° 158) пзъ
I t a n g ç . s - J ^ . ^ ,

Vf) .z2 =

b,

гдѣ
10

—

аж
с '

Т7" 2
0 —

а2 У
г2 '

Задаваясь различными величинами z помѣщенпыми въ таблпцѣ 13(z, Vf) найдемъ два достаточно близкія значенія первой части равенства, между которыми заключается Ь; тогда искомое
значеніе z получимъ помощію пропорціональныхъ частей; а дальность чрезъ умпожепіе найденнаго z на ~ .
Дальность а, если точка паденія на одномъ уровпѣ съ орудіемъ, найдется (и° 158) изъ
7 - s i " 29,
гдѣ
ах
с '

Ѵ

2
0 —

«2Ѵ,2
Г2

'

Вычпслнвъ вторую часть уравпенія, найдемъ, при помощи
таблицы HS(z, Vf), какъ показано въп° 1 2 0 , соотвѣтствуюіцую
величину z; а умножпвъ найденное z на — получимъ дальность.

Начальная скорость снаряда,

который долженъ пролетѣть

чрезъ данную точку (а, Ь) найдется (п° 159) пзъ

гдѣ
Q =

g , t a n g 9 - t a n

g

c

>

t a n g £

A

=

Вычислпвъ Ѵ0 при помощи таблицы F (г), найдемъ искомую
начальную скорость V помножпвъ F 0 иа

.

Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, то Ь н е
равны нулю.
Уголъ бросанія ( 9 — s) отнесенный къ прямой соединяющей
точку вылета съ цѣлыо получится (п° 1G3) пзъ

8Іп(9-£)

= ^-2Ф(^

V2).

Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, то (и° 160)
sin 2Ф =

F 0 2 ).

В ъ обѣихъ послѣднихъ Фбрмулахъ сначала опредѣлимъ приближенное значеніе угла 9 , принимая F , =
1

F, z = A у 2 —
7

ç'

О

F '

и потомъ, если нужно, болѣе точное значеніе угла 9 , пріпскавъа
соотвѣтствующее2 2найденному
9
2
a F cos 9

и полояшвъ

r2

Уголъ паденія получится изъ Формулы
t a n g 0 = tang9 —

5(2,

V2).

V, =

V cos 9 ,

Окончательная скорость изъ Формулы
_

V

~Г)(г,

Ѵ

cos<p

Vf)' cos О'

Время полета изъ Формулы

Боковая дернвація получится ио Формуламъ п° 232, когда
входящая въ эти Формулы величина g достаточно велика для того,
чтобы можно было пренебречь ^ предъ единицею. В ъ противномъ

случаѣ боковая деривація получится по Формуламъ п° 233.
2 4 2 . Если нзвѣстна скорость ѵ на весьма небольшом!, разстоянін а отъ орудія и она меньше 9 1 9 Футъ, то начальная скорость F получится изъ Формулы (п° 1G1 )

2 4 3 . Для того чтобы показать на сколько результаты, получаемые изъ приведенныхъ нами Формулъ, согласны съ результатами непосредственной стрѣльбы, были вычислены, при различныхъ зарядахъ, на различныя разстояпія, углы бросанія пзъ нашпхъ нарѣзпыхъ нушекъ всѣхъ калибровъ, п времена полета и
дерпваціи на различныя разстояпія пзъ 2 4 Ф. пушки, при зарядѣ
въ 7 Фунтовъ артиллерійскаго пороха и пзъ 9 д. пушки при зар я д ! въ 5 2 ФН. призматическаго пороха. Полученные результаты
помѣщены въ слѣдующихъ таблпцахъ, въ которых!, вмѣстѣ съ
вычисленными углами бросанія и временами полета помѣщены
углы бросапія и времена полета, нолученные изъ результатовъ
непосредственной стрѣльбы *). Дернвацін, полученный пзъ непосредственныхъ оиытовъ назначены пунктиромъ на Фигурѣ 7 8 , а
кривыя

вычисленныхъ

дерпвацііі построены

на этой

Фигурѣ

сплошными линіями, прп чемъ разстояпія взяты за абсциссы, а
Дериваціп за ординаты.
*) Времена полета были наблюдаемы секундомѣромъ и наблгоденія не могли
нмѣть значительную точность.

н
aЭ
a
В
ja
a
«H
H
Ut
о
a
a
ov
as
О
о
a

и
* о
°р Й
¥ й
я

а Mа.

О"
е
CD CG
а
1 м
5 Е •
ь
в Ея
Е
5
с\ р
CD 9 нз
о
О
о
р
Я ffs В
Е
g
* а'
'

« —I

M

и

a

sa
ОЭ S
ОО в
О О es
о g w o o g
О © L СО
er р
г і»
СГ СО
я HI
я
К НЗ
£З
&s Н
P a
я р
a a
*S
Р- о >1
tH
о 5
н п г о —•
о я 1
-о a 01 ^ООО
tЯ _
О
О
О
о о g со нз
А» О
HS О н о о » -О
- -о в
H
-О
мя
S ь
Й
a
Я о
Я H
-.1 H
'S
— OP
23 '
- СО Я ~О S. Q
О
Ifa
•
'S1®-о о
о ° »
ю
е
to в
А
CO — H
-» С» н
со н

— ap
СЛ СО СО А
ОО— Р
ОООЗ
Е м
Ш р
Р
в нз
a
о
— 2 'S
сл 4
я
ООО to СО OS -1 Я я
to HS
о о О ' со
О —о л —
— to'S
о* я
Я «
H
GO Р
S ?
СО • СО СЗЗ- M
сз
СЛ <1 СО
о о о о
о о .
to е
to оо со А
— -о H
- - -H

в.

a"

в
f s
Я о И
и S
•О p
II.
a

W
СЛ <1 j
ООр
ООр
в со
3 Р
р HS

CD CG
XЯ
Я
E a
CD 9

«

•
M
E
я
p

В —I
E ff
Й С»
в.
a о»
H
о* p
¥

S

Я

a
>1
a
p
a

CG
E

E
CD 9

*

о
Я 3
E p
H P
p

D
M
E
я

Sa о« 'c3S

a P H
X я p
«Hg?
S W
a E
a в
E

S

CD ?

®
о
H
И и
ьэ<
ço H
®
H
в
И a
X ^
a 5
и S
a
as aи
СЕ<
СО
a h—
S
и aсо
a M
a
И
a
—с В
В И
®
« й
ьч a
a
a
a
a
о
®
H
a
M
s

•s

o\
H3
о
О
C3
• — p
E u a
H в<

e.

a
as
a
e»
H
aî
b*
aa
® \
ь*
aсо
a

24 Ф. мѣдная, стальная,
8" облегченная пушка.
и чугунныя пушки.

5

м

fi

Углы бросанія.

X

и

fin d.

.5 ë
=r a
a <»
g S

.S «
« ?,
я
«
« S
н

Углы бросанія.
4 ei
5 a
a a
Я

га
Зарядъ 7 Фунт.
Начальная скорость
1063 ФТ.
2450
1500
900
500

22°48' 22°23'
11° 4' 11=11'
5°57' 6° 7'
3° 6' 3 о 7 /

З а р я д ъ 5,5 Ф у н т .

Начальная скорость
933 ФТ.
700
500

5°47'
4°

5°46'
3°52'

Зарядъ 5 Фунт.
Начальная скорость
8 8 6 ФТ.

1740
900
500

19°52' 19°39'
8°31' 8°37'
4°26' 4°30'

Зарядъ 4 Фунта.
Начальная скорость
784 ФТ.
700
500

8 ° 1 1 ' I 8 ° 16'

5°39'

5°34'

Зарядъ 2,5 Фунта.
Начальная скорость
603 ФТ.
700
300

I 14° 7' 113=50'
I 5°34' I 5°31'

Зарядъ 1,5 Фунта.
Начальная скорость
446 ФТ.
300

I 10°19' 110=19'

ce
н
Я
в
о
£

22° 2'

14°
6°42'
3°10'

a fi„•
10

а" в
Д *0J
g

m

23°
14°
6°38'
3°10'

З а р я д ъ 15 Фунт.

5°40'
3°58'

5°32'
3°58'

Зарядъ 11 Фунт.
Начальная скорость
773 ФТ.
700
500

8° 9'
5°41'

8° 4'
5°48'

Зарядъ 8 Фунт.
Начальная скорость
632 ФТ.
700
300

12°23'
4°59'

12°32'
4°50'

Зарядъ 5 Фунт.
Начальпая скорость
460 ФТ.
500
300

16°20'
9°17'

16°51'
8°57'

ш
3 «

в Я
а я
Я

я
а

о

Зарядъ 31,5 Фунт.
Начальная скорость
1380 ФТ.
1200
1000

5°32'
4°26'

5°20'
4°23'

9А береговая пушка.

Начальная скорость
926 ФТ.
700
500

Углы бросанія.

га

H

Зарядъ 19 Фунт.
Начальная скорость
1036 ФТ.
25СЗ
1859
1000
500

8 4 береговая пушка.

*А

a
.2
et
а
g

Углы бросанія.

cl
H

S
а
«
*

D

Зарядъ 52 Фунта.
Начальная скорость
1330 ФТ.
1800
900
300

9°33'
4°
1°10'

9°30'
4°
1°11'

Таблица времепъ полета и дерпвацій соотвѣтствующпхъ различают, дальиостюіъ при стрѣльбѣ нзъ иашпхт, 24 ф. и 9 д. парѣзныхъ пушекъ.
24 Ф. пушка.
Зарядъ 7 ФН. Начальная скорость
1063 Ф Т .

Вычисленный.

Изъ опыта.

Вычисленная деривація въ Футахъ.

Дальности въ саженяхъ.

2462

22,82

25,2

198

1800

11,95

1500

11,88

12,9

62

900

900

6,59

6,6

20

300

500

3,48

3,4

5

Изъ опыта.

Времена полета
въ секундахъ.
Вычисленный.

Время полета
въ секундахъ.

Вычисленная дернвація въ Футахъ.

Дальности въ саженяхъ.

9 Л- пушка.
Зарядъ 52 ФН. Начальная скорость 1330 ФТ.

—

59

5,43

5,3

15

1,65

1,6

1

243 ь ' 9 . В ъ заключеніе приложимъ приведенныя вами Формулы къвычисленію соотвѣтствующихъ различнымъ дальностямъ
угловъ бросанія и временъ полета 4 Ф. гранаты выстрѣлсішой пзъ
4 Ф. бельгійской нарѣзной пушки зарядомъ въ 0 , 5 3 0 килограмма.
В ѣ с ъ 4 Ф. бельгінской гранаты Р = 4 к и л -,277; илощадыюперечнаго сѣченія цилиндрической ея части гМ 2 =
ускореніе тяжести д =

9

метр

0' ів

кетр

-,0049877;

-,8108.

Изъ таблицы помѣщенной на страницахъ 2 8 и 2 9 мемуара
г. Ле Буланже: Etudes de balistique expérimentale 1 8 6 8 (если
замѣтпмъ, что, страница 2 6 , высота центра цѣлн была постоянно
равна 1 м в т р , ,50) имѣемъ

Разстояніе.

Метры.

Высота прицѣла.

Миллиметры.

Высота средней точки
пораженія
надъ центромъ цѣлн.

Средняя скорость
определенная хронографомъ въ разстоявін 29 метровъ
отъ орудія.

Среднее
наблюденное
клепсидромъ
время полета.

Метры.

Метры.

Секунды.

200

8

-4-0,325

377,7

0,550

600

36

—0,600

375,9

1,767

800

49

-4-0,170

388,4

2,398

1000

68

-4-0,030

389,2

3,049

1200

85

-+-0,250

388,3

3,761

1400

103

-+-0,250

389,2

4,459

1800

147

—0,100

378,0

6,021

2000

171

-1-0,766

372,4

6,764

Длина прнцѣльпой линіи 1М0тР-,749. По обмѣрѣ пушки, изъ которой произведены опыты, оказалось, по обязательному свѣдѣнію доставленному мнѣ
г. Ле Буланже отъ 2 Августа 1869 г., что эта пушка имѣла натуральный уголъ
прицѣливанія равный 6 минутамъ. IIa основании этихъ данпыхъ соотвѣтствующіе нриведеннымъ разстояніямъ углы бросанія, отнесенные къ прямой
соединяющей точку вылета съ центромъ цѣли, составляли: 0°17', 1°20', 1°42',
2°19', 2°52', 3°27', 4°54', 5°39'.

За среднюю начальную скорость изъ всѣхъ произведенныхъ
выстрѣловъ можемъ принять Ѵ = = 382 мвтр -. При этой начальной
скорости мы вычислили, по приведеішымъ нами «ьормуламъ, углы
бросанія и времена полета соотвѣтствуюіціе упомянутымъ разСТОЯІІІЯМЪ.

Полученные результаты вмѣстѣ съ результатами опы-

товъ г. Ле Булапже помѣщены въ слѣдуюіцсй таблицѣ:

—

400

—

4 ф. бельгШская парѣзная пушка.
Начальная скорость 3 8 2 метра.

У г л ы бросанія.

Времена полета."

Разстоянія.
Наблюденные. Вычисленные. ІІаблюденныя. Вычислепныя.
метр.
200
СОО
800
1000
1200
1400
1800
2000

секунды.
0°17'
1°20'
1°42'
2 ° 19'
2°52'
3°27'
4°54'
5 С 39'

0°25'
1°24'
1°58'
2°34'
2°59'
3°31'
4°46'
5°30'

0,550
1,767
2,398
3,049
3,761
4,459
6,021
6,764

секунды.
0,554
1,797
2,471
3,173
3,908
4,658
6,253
7,074

§ III.
ІІавѣспая стрѣльба.
2 4 4 . Обыкновенно навѣсная стрѣльба производится зарядами
сообщающими начальную скорость меньшую 9 1 9 Футъ, и потому
траекторію спарядовъ приходится вычислять прп выраженіи сопротивленія по оси Фигуры продолговатыхъ снарядовъ (п° 1 2 0 )

гдѣ, если допустимъ 11 =

1],,

Р

_
С

~

2

АкЛ2д

и, нри Футѣ n Фунтѣ взятыхъ за единицы (п° 9 5 ) ,
Л=0,000255,

г =

610.

Вслѣдствіе слабаго вліяиія сопротивленія воздуха, при малыхъ скоростяхъ я снарядахъ болыпаго. калибра и большой плотности, несмотря набольшіеуглы бросанія (покрайией мѣрѣ когда
они не превышаютъ приблизительно 45°), можно не разбивать
траекторін на части и принимать за а величину
а

2 4 5 . Нахожденге
начальной

-

tang <р

дальности

по извѣстнымъ углу бросангя и

скорости.

Если точка падснія выгие орудія на величину Ь, то дальность
получится (п° 1 4 0 ) изъ
£ tang q»
гдѣ
ОХ
С '

Z

т. 2

а2Ѵ\2

0

7*2

•

Задаваясь различными величинами z помѣщенными въ таблицѣ

F 0 2 ) найдемъ два достаточно блвзкія зпачепія первой

части равенства, между которыми заключается Ь; тогда искомое
значеніе z получится ііомощіюпронорціоналыіыхъчастей; а дальность чрезъ умноженіе найденнаго z на ^ .
Если точка паденія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, іо (и° 136)
имѣемъ
z ф (z, V2) =
г л

*

, — ™

1 дь г —

V

2

=

с г ' о—

^ ѵ

гг

^•?

• sin 2<р,

'

Вычисливъ вторую часть уравненія найдемъ, при помощи
таблицы яф{z, F 0 2 ), какъ показано въ п° 120, соотвѣтствующую
неличину z; а умноживъ найденное z на | получимъ
246.
долженъ

Нахожденге
пролшѣть

начальной

скорости

снаряда,

чрезъ данную точку (а,

дальность.
который

Ь), при данномъ
26

углѣ бросангя
( F

ср. Для опредѣлеиія начальной скорости имѣемъ

141)

у - 1 / ~
y

,

occe

^

2r 2

гдѣ z = — , <2 = ^ -

«

F

F(z)

e - F w + i '

t a n g ç —tan g t

^

,

, tangs =

Ь

-.

Вычнслпвъ V0 при помощи таблицы F(z),

найдемъ искомую

начальную скорость V, помноживъ Ѵ0 на - f

.

Если точка падепія на одномъ уровнѣ съ орудіемъ, то

bue.

равны нулю.
2 4 7 . Нахоэюденіе
вышрѣленный

угла бросангя <р, при которомъ

съизвѣстной

начальной скоростью V,

снарядъ,

пролетитъ

чрезъ данную точку (а, Ъ). Для нахожденія угла бросанія имѣемъ ( F 142)
t

_

t a n g t p

Г

-н

- ^ M V ) ~

V
y

P

ga4\z,v2)

f ß f ,

vi

-2b

—

D

гдѣ двойной знакъ предъ радикаломъ показываете, что два зиаченія угла ср удовлетворяютъ условіямъ вопроса, одно значепіе
большее, другое значеніе меньшее угла наибольшей дальности.
Для того чтобы найти оба значенія угла ср опредѣлпмъ ихъ
сначала принявъ ф ( г , Г 0 2 ) = ф ( т '

равнымъ едини-

Цѣ; потомъ помоіцію получешіыхъ двухъ значеній © и соотвѣтствующихъ имъ двухъ значеиій а =
• ff> / а а

7 2 cos 2 9\

ßU-

tang 9 '

найдемъ оба зпаче-

\"с '
г2
/ и подставляя въ выражеше taiïg <р, взятое
со зпакомъ -+- предъ радикаломъ, большее значеніе Функціи Ф,
111

получимъ уголъ ср большій угла наибольшей дальности, а подставляя въ выраженіе tang ср, взятое со зпакомъ — предъ радикаломъ, меньшее значепіе Ф , получимъ уголъ <р меныиій угла наибольшей дальности.

Если точка паденія

наодномъ уровнѣ съ орудіемъ, тоимѣеыъ

(п° 1 4 2 )
• n
Bin29 =

аз / ах
- ^ ® ( T ,

а 2 V2 cos 2 щ\
—

Это выражеиіе даетъ два значенія для угла ср.
чтобы ихъ найти,
ф =

Для того

опредѣлимъ ихъ сначала прішявъ Функцію

1 ; потомъ помощію полученныхъ двухъ значемій ср и со-

отвѣтствующихъ пмъ двухъ значеній а , найдемъ оба зпачеиія
функціи Ф , и подставляя въ выраженіе sin 2ф меньшее значеніе ф возьмсмъ для 2© значеніе меньшее 9 0 ° , a следовательно
для 9 значеиіе меньшее угла наибольшей дальности; иодставляяже въ выражеиіе sin 2ф большее зпаченіе Ф возьмемъ для 2ф
значеніе большее 9 0 ° , a следовательно для ф зяачепіе большее
угла наибольшей дальности.
2 4 8 . ІІахоокденге
времени полета

угла

падснія,

и полной высоты

окончательной

скорости,

полета.

Уголъ паденія вычисляется но Формул!
tang О =

tang 9 — i g {z,

V2).

О к о н ч а т е л ь н а я с к о р о с т ь в ы ч и с л я е т с я по Формул!
V
Ѵ =

cos ф

ГЦг, V ) ' CÖS0 '
2

Время полета вычисляется но Формул!

Для опредѣленія полной высоты полета имѣемъ (и° 1 4 3 )
z 3 ( z , V

2

) = l .

r

Изъ этого уравнепія, помощію таблицы величинъ zS(z,

Vf),

найдемъ, какъ показано в ъ « ° 1 2 9 , соотвѣтствующую величинуз.
Умноживъ найденное значепіе z на ^ , получимъ абсциссу х', соотвѣтствующую наибольшей высотѣ полета.
Вставивъ величипу х' вмѣсто х въ уравненіе траекторіи получимъ

,

у'=

,

.

x . tang ф -

дх'1

! ах'

»

аг F, 2 \

-w-)

искомую высоту полета.
2 4 9 . Нахожденіс
Формуламъ п°

боковой дериваціы.

Деривацін получится ио

233.

2 5 0 . Для того чтобы показать на сколько результаты получаемые пзъ приведенных!, Формулъ согласны съ результатами
непосредственной стрѣльбы, помѣщены въ слѣдующей таблиц!;
вычисленный и получеішыя изъ опыта дальности, времена полета
и деривацін

при стрѣльбѣ пзъ нарѣзной

угломъ въ 4 3 ° | снарядами

6Д' мортиры нодъ

со свинцовой оболочкой вѣсящнмн

9 0 ] Фуігговъ.

6 д. мортира.

4
3

Изъ
опыта.

Деривація.
Вычисленная.

Изъ
опыта.

755
653
542
462
310

Время полета.
Вычисленное.

Футы.

7
5%

Изъ
опыта.

Начальная скорость опредѣленпая хронограФомъ
г. Ле-Буланже.

Фунты.

Дальность.
Вычисленная.

Зарядъ.

Уголъ возвышенія 4 3 ° ] .
Длина хода нарѣзовъ 4 0 калибровъ.

Сажени. Сажени Секунды. Секунды. Сажени, Сажени.
2012
2028
30,4
30,2
61
51
1591
1591
1155
1143
22 2
22,6
21
29
866
860
409
412
13,1
13,5
13
*)

*) Дерипація при зарядѣ нъ 1'/ 2 фунта получилась 13 саженъ нлѣво,
вслѣдствіе снльнаго справа батареи вѣтра

251. Отрѣльба большими зарядами подъ большими углами
возвышенгя.

При вычисленіи вертикальной проекдіи траекгоріи

снаряда брошеннаго подъ болышшъ угломъ бросанія, съ большою
начальною скоростью, необходимо разбивать траекторію на части,
и (и° 9 5 ) ту часть траекторіп, въ которой скорость болѣе 1 1 8 0
футъ вычислять при выраженіи сонротивленія воздуха пронорціональномъ квадрату скорости,

часть траекторіи, въ которой

скорость заключается между 1 1 8 0 и 9 1 9 Футами вычислять при
выраженіи сопротмвленія

пропорціональиомъ

шестой

степени

скорости, а часть траекторін, въ которой скорость менѣе 9 1 9
футъ вычислить црп выражспііі сопротивленія двучлепомъ, изъ
которыхъ первый членъ пропорціоналеігь квадрату и второй четвертой степени скорости. Самый способъ вычисленія пзложенъ
въ п° 1 3 3 и 2 3 5 .
Такъ какъ при болыпихъ начальиыхъ скоростяхъ, углы 8
составляемые осью Фигуры снаряда съ направленіемъ движенія
всегда весьма малы, то боковыя дериваціи могутъ быть вычисляемы по Формуламъ п° 2 3 2 .

§ IV.
Псреішдиая стрѣльба.
2 5 2 . Перекидная стрѣльба производится обыкновенно зарядами, сообщающими снарядамъ начальный скорости менѣе 1 0 6 6
футъ. Поэтому всѣ вопросы относящіеся до перекидной стрѣльбы
рѣшаются при выраженіп сопротивлеиія воздуха

гдѣ, если допустимъ П =

П,,
С

_

Р

~

2АтсR'g

и, при Футѣ и Фуптѣ взятыхъ за единицы (я° 9 5 )
Л =
Перекидная

0,000255, г =

стрѣльба,

1600.

при нѣсколысо значительныхъ ско-

ростяхъ, производится подъ малыми углами бросаиія, и при малыхъ скоростяхъ углы бросаиія не нревосходятъ 15°. Поэтому
въ Формулахъ служащих!, для рѣшеиія вопросовъ перекидной
стрѣльбы можсмъ принимать а =

1.

253. Нахожденіе начальной скорости V и угла бросангя ср
для снаряда, который долженъ пролетгьть чрезъ двгь данныя
точки (а, Ъ) и («', V).
Вычислить (»° 1 6 9 )

a'Fl
К-

< ч

I-**®:

гдѣ

] н _ (а'—а)

Зпая Ѵ0, уголъ ср получимъ изъ выраженія

а'Ф 1

1

(а
а— аФ|\с '

К) | - а ф (

оI , а'
1

Имѣя <р, получимъ F умноживъ F 0 на ^ ^ .

254. Опредѣленге начальной скорости Vu грла бросангя <р
для снаряда, который долженъ пролетгьть чрезъ данную точку
(а, Ъ), ггодъ даннымъ угломъ наклоненія — О,.
Вычпслнмъ (п° 1 7 0 )
2F,

Q+

( г ) - * (г)
1—F|
1 —(

гдѣ

2 = |;( tange ~ ,-tangÖ1 )"

<

Зная F 0 уголъ 9 получится изъ Формулы

tang 9© = =

2 tang s 3 ( " , Vf ) — tang 0
f
f

(" , V f )
_
0

Имѣя 9 , получимъ F раздѣливъ F 0 на ф — .

255 Опредгъленге боковой дериваціи соотвѣтствующей разстоянію а при найденныхъ начальной скорости V и углѣ бросанія ф. Боковая дерпвація получится по Формуламъ п° 2 3 2 , когда
входящая в ъ э т и Формулы величина q достаточно велика для того

чтобы можно было пренебречь -А нредъ единицею. В ъ против-

номъ случаѣ боковая дерявація получится по Формуламъ п° 233.
256. По'извѣстному прсдѣльному углу бросангя ±9,
который можно дагпь орудгю на лафетгь, опрсдгьлить наразстояніи а отъ орудгя, прсдѣльное ггрсвыгисніе ± Ь точки, чрезъ которуго снарядъ пролстаетъ подъ даннымъгугломъ— 0 Г
ВЫЧИСЛИМЪ ( п °

171)

гдѣ
Ф=

— (tang 9 -4- tang 0 , ) .

Зпая F 0 опредѣлимъ V помноживъ F 0 на
получится изъ уравпенія

Величина b

257. ІІо извѣстному предѣлъному углу бросанія db ф, который можно дать орудгю на лафетѣ, опредѣлить, на разстояніи
а отъ орудгя, предѣлъное превыгиеніе rfc Ь точки, чрезъ которую
долженъ пролетѣть снарядъ и попасть въ точку, находящуюся
отъ означенной въ горизонтальномъ разстояніи а и ниже ся на
величину — ß. Вычислимъ (п° 1 7 2 )

гдѣ

Зная Ѵ0 опредѣлимъ F , помноживъ F 0 на
получится пзъ уравнеиія

. Величипа Ь

ГЛАВА IX
Отклоненія продолговатыхъ снарядовъ.
2 5 8 . Продолговатые снаряды выстрѣлешіые изъ орудія, при
одпомъ и томъ же углѣ возвышеиія н одномъ и томъ же зарядѣ,
оппсываютъ траекторін не совпадающія одна съ другою. Траекторію, описываемую продолговатыми снарядами вслѣдствіе дѣйствія силы тяжести и сопротивленія воздуха нормальна го

на

каждый элементъ поверхности подверженной соиротивленію, можемъ принимать за нормальную;

a дѣйствителыіыя разстоянія

снарядовъ отъ нормальной траекторіи, можемъ разематрпвать
какъ отклоненія.

259. Причины отклонены продолговатыхъ
Измѣненія въ направлены

снарядовъ.—

при ихъ вылетѣ. Не смотря па то

что продолговатые снаряды снабжены свинцовой оболочкой, ось
ихъ Фигуры, придвиженіп въканалѣ орудія, не совпадаете въ точности съ осыо канала, и касательная къ траекторіи въточкѣ вылета составляете съ осью канала нѣкоторый уголъ. Средній уголъ
бросанія, при стрѣльбѣ нзъ нарѣзныхъ пушекъ полпымъ зарядомъ, можемъ принимать, въ большей части случаевъ, равнымъ
углу возвышепія. Половпна снарядовъ, приблизительно, отклоняется отъ средняго направлеяія вылета менѣе чѣмъ на одну минуту какъ вверхъ, такъ и внизъ, какъ вправо, такъ и влѣво.

Если изобразишь чрезъ ДФ разность между угломъ бросапія
к угломъ возвышенія, то вертикальное отклоненіе Л?/, снаряда,
вслѣдствіе того что опъ при вылетѣ составляете въ вертикальной
плоскости съ осыо орудія уголъ ДФ , будетъ (п° 174)

Аух = x • Д<р.
Отклоненіе въ дальности Дж, получится, приблизительно, раздѣливъ вертикальное отклонепіе Ду, на тангеисъ угла паденія.
Отклоненіе въдеривацін Дz, вслѣдствіс того что снарядъ при
вылет! составляете въ горизонтальной плоскости съ осыо орудія
уголъ Ди, выражается чрезъ
Azx = ж • Д£.
Такъ оть измѣненія на 1 минуту угла бросанія, вертикальное отклоненіе снаряда отъ цѣлн, на разстояяія 9 0 0 саженъ будете 0 , 2 6 сажени, и какъ при стрѣльбѣ изъ 2 4 Ф. пушки зарядомъ
въ 7 Фуптовъ пороха уголъ наденія на разстояніп 9 0 0 саженъ
составляетъ 6°47', то отклоненіе въ дальности будетъ около 2,2
саженъ.

Отъ угловаго боковаго отклонеиія въ 1 минуту, откло-

неніе въ дериваціп на разстояніи 9 0 0 саженъ будетъ 0 , 2 6 сажени.

260. Измѣненія въ нача.гъныхъ скоростяхъ продолговатыхъ
снарядовъ.

Начальный скорости снарядовъ отдѣльныхъ выстрѣ-

ловъ одного и того ate опыта отличаются одна отъ другой. В ѣ роятное отклоиеніе отдѣлыюй начальной скорости отъ

средней

одного и того ate опыта, въ нредѣлахъ скоростей отъ 1 4 0 0 до
6 0 0 футъ составляетъ отъ ^ до щ доли скорости. Для малыхъ
скоростей, около 4 0 0 Футъ и менѣе, па величину которыхъ нмѣетъ
большое вліяніе соііротивлеиіе свинцовой оболочки снаряда прп
прохоааденін имъ иарѣзнаго канала, это вѣроятное отклопеніе составляетъ отъ fig до ^ доли скорости. Среднія скорости, нолучаемыя при одпомъ и томъ же способ! заряжанія, одннмъ и тѣмъ

же сортомъ пороха, по различной степени сырости (непревышающей дозволяемаго предѣла), или порохомъ приготовленнымъ въ
разные годы, отличаются одна отъ другой значительно болѣе
чѣмъ скорости отдѣльныхъ выстрѣловъ одного и того же опыта.
В ъ этомъ случаѣ разность начальныхъ скоростей иродолговатыхъ
снарядовъ, въ нредѣлахъ отъ 1 4 0 0 до G00 <і>утъ, доходитъ до
Ï5 доли скорости; при малыхъ скоростяхъ иродолговатыхъ снарядовъ со свинцовой оболочкой, эта разность доходитъ до ^ доли
скорости.
Если изобразимъ чрезъ A F разность начальныхъ скоростей
двухъ выстрѣловъ, то вертикальное отклоненіе Ау2 отъ нзмѣненія начальной скорости, при сопротивлеиіи воздуха нропорціопальномъ квадрату скорости, выразятся (п° 1 7 5 ) чрезъ

На мѣстности находящейся иа одномъ уровн! съ орудіемъ
у=

0 ,и
Ау-і— 2

ж

tang ф.

При выраженіи сопротивленія воздуха двучленомъ, въ которомъ первый членъ пронорціоиаленъ квадрату скорости, а второй
четвертой степени скорости

При выраженіи сопротивления воздуха одночленомъ пропорціональнымъ шестой степени скорости

Ау,
г

ДГ
дх2
V ' V,2

2Ѵ,*х

гдѣ я = - ± - .
Отклопеніе въ дальности Дж2, получится раздѣливъ вертикальное отклоненіе Д?/2 на тангеисъ угла паденія.

Для опредѣлепія отклоненія въ дернваціп Az2 оіъ измѣненія
начальной скорости, надобно вычислить деривацію г при скорости V
и деривацію z при скорости

F - h A F h

вычесть первый результата

изъ втораго. Для того чтобы получить не сложное выражеиіе для
> выведемъ его только въ предположены сопротивлснія воздуха пропорціональнаго квадрату скорости.
Приближенное значеніе z, при не весьма малыхъ начальныхъ
скоростяхъ, есть (п° 2 3 2 , ур. (5) н (1))
.
_
2іияц
* — «ч(г,)т [ М )

т

/,
{

sin 2ѵ \ т / а / ,
2ѵ ) Г 1
—

x \
ѵ[) >

или вставивъ, при предположеніп сопротивлеііія воздуха пропо'рдіональнымъ квадрату скорости , t = у- F, (

И2)(»І)Ш T / W J M V

2V

)

1

L

, получимъ

«\2E/

J

Принимая что среднія значенія (ѵ1)т и [f(v)]m чувствительно
не измѣнятся ота измѣненія F на Ѵ ч - А Ѵ , и что въ большей
части случасвъ прицѣльной стрѣльбы можно пренебречь

^Г"

нредъ единицею, получимъ

'Гакъ при стрѣльбѣ пзъ 2 4 Ф. пушки зарядомъ в ъ 7 Фунтовъ,
отъ изиѣненія начальной скорости па ^ долю, вертикальное отклонепіе снаряда, на разстояніи 9 0 0 саженъ будетъ около 4,5 саженъ, отклонепіе въ дальности около 38 саженъ и отклонепіе въ
дернваціп около 0,5 Фута.
2G1. Измѣненге плотности воздуха. Если изобразпмъ чрезъ
ДП приращеніе плотности П воздуха, то вертикальное отклоненіе Ду3, вслѣдствіе этого нриращещя будетъ (и° 176)
Ьу 3 = q j [«(tang ер -+- tang О) — 2?/] .

На мѣстности находящейся на одномъ уровнѣ съ орудіемъ
У=

0 и если изобразимъ чрезъ — О' уголъ наденія, то полу-

чимъ
% з =

—

уг '

х

(tauS

—

t a n

S ?) •

Отклоненіе въ дальности Дж3 получится, если раздѣлимъ вертикальное отклоненіе Ау 3 на тангенсъ угла паденія.
Для опредѣленія отклоііенія въ дериваціи Д/ 3 отъ измѣиенія
плотности воздуха, надобно вычислить деривацію z при плотности
воздуха П и деріівацію z ири плотности воздуха П -+- ДП и вычесть первый результата изъ втораго.

Для того чтобы получить

не слишкомъ сложное выраженіе для Дz3 выведемъ его только въ
предположены сопротивленія воздуха ііропорціоналыіаго квадрату
скорости.
Приближенное значеніе z, при не весьма малыхъ началыіыхъ
скоростяхъ, въ предположены сопротивлепія воздуха иронорціональномъ квадрату скорости, есть (п° 2 6 0 )

Такъ какъ коеффиціентъ с обратно нропорціоналенъ плотности воздуха, то при плотности воздуха П н - ДП, онъ будетъ pall
_
i
венъ с . 1 Т н _ д П — о дц.
п

Вставивъ эту величину вмѣсто с въ Функцію F, ( F ), ограничиваясь членами съ первыми степенями ДП и припомнивъ, что воег — 1

обще F, (г) = — - — , получимъ

Принимая, что среднія значенія (v t ) m и ( f { v ) ] m чувствительно
не измѣнятся отъ измѣненія П на П -+- ДП и что въ большей ча-

стп случаев!, прицѣльной стрѣльбы можно пренебречь

предъ

единицею, будемъ имѣть

x
z

ДП6

1 - + - TT

=

n

».(£)-»J

.z

x
е0 2 с

дп

Ч = "п —

щ р і * '

или , такъ какъ t>, =

F,

Л

x

.

t=

у

ДП

* з = ü

тр ( x \

^

,

то

—
— ut
v.

~x ' г •

7î

Такъ отъ измѣненія плотности воздуха на ± долю, ирп стрѣльбѣ изъ 2 4 Ф. нарѣзной пушки зарядомъ въ 7 Фуптовъ, вертикальное отклоненіе снаряда на разстоянін 9 0 0 саж. будетъ около 0 , 5 3
сажени, отклоненіе въ дальности около 4 , 5 саженъ и отклонепіе
въ дериваціи около 0 , 8 Фута.
2 6 2 . Измѣнсніе въ вѣсѣ снарядовъ.

Разнообразіе въ вѣсахъ

снарядовъ облитыхъ свпнцомъ вообще невелико; оно обыкновенно не превышаете ^ средияго вѣса сиарядовъ.
Измѣненіе вѣса снаряда измѣняетъ начальную скорость и
ускорепіе сопротпвленіл воздуха. Начальный скорости приблизительно обратно пропорціоналыіы корнямъ квадрат'нымъ изъ вѣсовъ снарядовъ, a ускоренія сопротивленія воздуха обратно нропорціоналыіы вѣсамъ сиарядовъ.
Вертикальное отклонеиіе А у и отклоненіе въ дериваціи Az
отъ измѣнеиія вѣса сиаряда будутъ
А

У =

- + - &У 3

и
Дz

= Д z2 ч - Д z3,

rip» чемъ, если изобразимъ чрезъ АР измѣненіе вѣса Р снаряда,
то въ выраженіяхъ Ду2 и Д,г2 (п° 2 6 0 ) надобно вмѣсто

под-

ставить — ^р, а въ выражепіяхъ Ду3 и Д53 (п° 2 6 1 ) вмѣсто
подставить —

263.

АР

^

.

Отклонспіе продолюватыхъ снарядовъ отъ вѣтра.

Пусть AB' (ФИГ. 79) иредставляетъ проекцію на горизонтальную
плоскость направленія снаряда при вылет! его изъ орзадія. Изобразимъ чрезъ V начальную скорость и чрезъ ер уголъ бросанія;
горизонтальная ироекція начальной скоростп будетъ V, =

Vcoscp.

Предположнмъ направленіе в!тра горизонталыіымъ н представммъ это паправленіе лмніей CI);

скорость вѣтра обозпачпмъ

чрезъ W, a уголъ составляемый направлепіемъ CD в!тра сълпніею A B ' чрезъ о.
Предположим!., что орудію съ лаФетомъ, снаряду и атмосфер ! сосбщена скорость равная скорости вЬгра, но по направленію
прямо противоположному вѣтру, т. е. оп> Т) къ С. Отъ такого прсдполоаіеніи не изменится относительное движеніе снаряда и атмосферы; по абсолютная горизонтальная скорость вѣтра сдЬлается
равною нулю. Горизонтальная проекція начальной скоростп снаряда будетъ равнодѣйствующая изъ скорости F , =
бражеппой чрезъ АР

F c o s ® нзо-

п пзъ скорости равной скорости в!тра, но

дѣйствующей но направленію прямо противоположному направленію в!тра и изображенной чрезъ AG.

Поэтому горизонтальная

проекція F,' начальной скорости V' снаряда по новому направленно, изобразится діагоналыо А Н параллелограмма, построепнаго
на стороиахъ AF и AG.
По пзвѣстнымъ свойствамъ треугольников!» получимъ
F,' = F / F 2 cos2 ф -+- 2 F c o s ф. I F cos© ч - I F \

Такъ какъ вертикальная проекція скорости не нзмѣнилась и
равна V sin 9 , то начальная скорость V' но новому направленно
будетъ

V = ѴѴ*ч-2Ѵcos<p.

Wcoso-hW',

H если назовемъ чрезъ ср' уголъ бросанія по новому направленію,
то получимъ
taug ф' =

U tangcp.

Зная V/ и tang 9 можемъ вычислить траекторію снаряда вы стрѣлеииаго no иаправленію скорости V'. При этомъ замѣтимъ,
что въ точкѣ вылета ось Фигуры сиаряда совпадаете съ направлеиіемъ скорости V, такъ что положеніе оси Фигуры въ точкѣ
вылета опредѣляется угломъ S составляемыми, ею со скоростью V'
равнымъ углу (F, V ) и угломъ ѵ составляемымъ вертикальною
плоскостью проходящею чрезъ иаправленіе скорости F ' и плоскостью проходящею чрезъ иаправлепія скоростей F ' п F

Но

когда стрѣльба производятся не весьма малымъ зарядомъ, то
скорость вѣтра мала въ сравнены со скоростью снаряда н уголъ
8 = (F, F') весьма малъ (при сильномъ вѣтрѣ дующсмъ со скоростью W = 30 Футамъ перпендикулярно къ вертикальной плоскости стрѣльбы и при начальной скорости 1 ООО Футъ, уголъ ( F , F ' )
не превышаете 3 минуть). Поэтому въ обыкновенных!, случаяхъ
стрѣльбы можемъ допустить, что въ точкѣ вылета ось Фигуры
снаряда совпадаете съ направленіемъ скорости V .
Разсмотримъ снарядъ на новой траекторіи въ точкѣ, которой
нроекщя на горизонтальную плоскость есть Р, высота у', абсцисса АР' = ж', ордината РР = z. Пусть t' изображаете время, въ
которое снарядъ достигаете до означенной точки. Такъ какъ въ
теченіе этого времени, въ силу сдѣлашіаго предположеніл, вся система передвинулась, параллельно направленно ВО, на величину
равную Wt', то для того чтобы привести систему въ то положеніе,
которое она должна действительно занимать, надобно передвинуть

ее по обратному направленію, т. е. по направленію параллельному CD, на величину равную Wt'; поэтому если отъ точки Ротложимъ на прямой параллельной CD величину PQ =

Wt', то Q бу-

детъ проекція на горизонтальную плоскость дѣйствителыіаго мѣста снаряда, при чемъ высота снаряда будетъ у .
Еслп разсмотримъ дальность на мѣстности находящейся па
одномъ уровнѣ съ орудіемъ, и чрезъ Q нзобразнмъ точку иаденія
снаряда при вѣтрѣ, а чрезъ В точку паденія безъ вѣтра, то прямая QB выразить отклоненіе снаряда отъ вѣтра. Разстояніе Qq
выразить отклоненіе въ дериваціи, a разстонніе ТВ' — отклоненіе въ дальности.
2 6 4 . При стрѣльбѣ большими зарядами, нодъ небольшими
углами бросанія, отклоненія отъ вѣ гра малы сравнительно съ дальностями, такъ что, безъ чувствительной погрѣшности, можемъ
принять, на основаніи Формулъ двнженія въ пустотѣ,
ж' _
X

У , ' 2 taug 9 '
Vf tang ф '

И

t' _
t ~

х'.
У,.
xVf
'

ио имѣли
tang

tang?;

поэтому
V—

IL

X

F,

a

t' = t.
Изъ треугольннковъ (ФИГ. 79 Ы ") AB'F

af' _
ab'

H AFIi

имѣемъ

f,'
F, •

такъ что если А Р ' = х', то прямую A B ' можемъ, безъ чувствительной погрѣшпости, принять за абсциссу х траекторін снаряда
27

безъ вѣтра на мѣстпостп находящейся на одномъ уровнѣ съорудісмъ н время полета при вѣтрѣ принять равнымъ времени полета
безъ вѣтра; деривацію z =

В'В можно приблизительно допустить

равною и параллельною дериваціп z' = РР,

такъ что прямую PQ,

параллельную GD можно принять приблизительно
чрезъ точки Р и В.

проходящею

Прямая QB изобразить приблизительно по

величин! и иаправленію абсолютное отклоненіе à отъ в!тра, а
какъ, приблизительно,
B'P'=AB' ™ =

QB =

QP—B'Pf

н QP =

Wt' =

Wt,

то, приблизительно, отклонеиіе снаряда

по направленію в ! г р а будетъ

Выраженіе тождественное съ полученнымъ (м° 1 7 9 ) для сферическихъ снарядовъ *).
*) В ъ сферическихъ снарядахъ поверхность подверженная сопротпвлснію
воздуха при поступатсльномъ двнженін снаряда, равняется поверхности, на
которую д у е т ъ в ѣ т е р ъ , каково бы ни было направлеиіе в ѣ т р а . Въ иродолгов а т ы х ъ снарядахъ, при боковомъ направлснін вѣтра, и прп небольшихъ у г л а х ъ
составляемых!, осыо Фигуры снаряда с ъ направлеиіемъ двнженія, поверхность
снаряда подверженная сопротивление воздуха, безъ вѣтра, менѣе поверхности
снаряда подверженной дѣйствію вѣтра, н поэтому можетъ казаться, что отклопеніе прододговатаго снаряда отъ боковаго в ѣ т р а должно быть т ѣ м ъ болѣе,
ч ѣ м ъ болѣе его длина. ІІо разематрипая движеніе снаряда цилиндрической
Формы, нолучившаго при вылетѣ изъ канала орудія вращеніе вокругъ своей
оси Фигуры H подвержениаго на полетѣ дѣйствію в ѣ т р а дуюіцаго перпендикулярно к ъ вертикальной плоскости стрѣльбы, можемъ удостовериться, что
величина отклонепія отъ в ѣ т р а зависитъ отъ радіуса снаряда и его плотности,
но не зависитъ отъ его длины. В ъ самомъ дѣлѣ: цилиндрическій снарядъ,
цептръ тяжести котораго находится на оси Фигуры, иа полопппѣ длины h цилиндра, получившій при выдетѣ изъ канала орудія вращеніс в о к р у г ъ оси
Фигуры, долженъ описывать (п° 229), безъ дѣйствія на него боковаго в ѣ т р а ,
траекторію, заключающуюся в ъ вертикальной плоскости стрѣльбы. При дѣйствіи на снарядъ в ѣ т р а дующаго со скоростью W перпендикулярно к ъ вертикальной плоскости стрѣльбы, сопротпвленіе воздуха на боковую поверхность
цилиндра (если изобразимъ чрезъ vz проекціго поступательной скоростп цилиндра на ось г , перпендикулярную к ъ вертикальной плоскости стрѣльбы и
примемъ сопротивдсніе воздуха пропорціоиальнымъ квадрату скорости), будетъ (и° 74)
P=
г д ѣ X есть численный коеФФиціснтъ,

i\hR(W-vz)2,

Отклонепіе отъ вѣтра въ дальности будетъ Д cos « , а отклонение въ дерпваціи Д sin « .
Выведенное приближенное выраженіе отклоисція отъ вѣтра
можетъ быть употреблено для вычисленія отклопенія и при навѣсной
стрѣльбѣ, когда скорость вѣтра мала въ сравиеиін съ горизонтальною проекціею начальной скорости.
Вычисляя отклоненія отъ вѣтра продолговатой гранаты выстрѣлениой пзъ 2 4 Ф. нарѣзной пушки зарядомъ въ 7 Фунтовъ
при скорости вѣтра въ 30 Футъ, на разстояніяхъ 1 5 0 0 , 9 0 0 и
5 0 0 саженъ, получимъ соотвѣтствующія отклонепія понаправлеНІЮ вѣтра въ 8 ; 2 , 7 ; 0 , 8 сажени.

и ускореніе сопротнвленін по осп z будетъ

Положивъ для краткости
0' —

2. \\1іНд
Р

и интегрируя два раза, замѣтивъ, что при t = 0 , vz—0 и z=0,

нолучимъ

m—2c'log(lH-^f),
такъ что откдонсніс z цилиндра отъ вѣтра тѣмъ болѣе чѣмъ мепѣе с'.
Но, если нзобразнмъ чрезъ I) плотность цилиндра, то вѣсъ его
и коеФФпціентъ

P = KlPhD
/
° ~~

ЗтсДР
8\д '

Отсюда видно, что коеффиціентъ с' и, слѣдоватсльно, отклоненіе отъ вѣтра
зависитъ отъ радіуса It цилиндра и его плотности, но не зависитъ отъ его
длины.

ГЛАВА X.

Подобіе траекторій описываемыхъ снарядами
въ воздухѣ
2 6 5 . Двѣ траекторіи называются подобными, если въ нпхъ
можно вписать такіе многоугольники безкопечно малыхъ сторонъ,
которые будутъ подобны одинъ другому, т. е. будутъ имѣть
параллельный и пропорціоііалыіыя другъ другу стороны.
,

Найдемъ условія необходимый дли того чтобы

траекторіи

были подобны.
Положимъ, что два снаряда движутся въ воздухѣ двухъ разлнчныхъ плотностей и отношеніе этихъ плотностей обозначимъ
чрезъ п. Такъ какъ можемъ пренебречь вѣсомъ воздуха равнаго
объему снаряда и вѣсомъ воздуха сопровождающая снарядъ, то
будемъ считать ускореніе тяжести одинаковымъ для обоихъ снарядовъ; сопротивленія воздуха примемъ пропорциональными его
плотности, велпчпнѣ поверхности снаряда подверженной сопротивлепію и «-й степени поступательной скорости снаряда. Возьмемъ
снаряды подобные между собою какъ относительно Формы, такъ
H относительно внутренняго строенія. Отношепіе ихъ линейныхъ размѣровъ назовемъ чрезъ X и отногаеніе ихъ плотностей
чрезъ р..

За исходныя точки траекторій, отъ которыхъ будемъ разсматрпвать движеніе, примемъ такія, въ которыхъ касательныя
къ траекторіямъ между собою параллельны, мгновенный осп вращений обоихъ снарядовъ между собою параллельны и снаряды
расположены параллельно одинъ другому, то есть ихъ главныя
оси соотвѣтственно параллельны между собою. Отношеніе постунательныхъ скоростей — снарядовъ въ исходныхъ точкахъ назо-

о

ѵ

$
вемъ чрезъ w 0 , a отношеніе угловыхъ скоростей -гф снарядовъ
въ исходныхъ точкахъ назовемъ чрезъ ы„.
Замѣнимъ каждую траекторію вписапнымъ многоугольннкомъ
безконечно малыхъ сторонъ, и расмотримъ двнженіе обоихъ снарядовъ на нротяжепін

безконечно малыхъ дугъ стягиваемыхъ

первыми сторонами отъ точекъ прпнятыхъ за исходныя до слѣдующихъ вершинъ многоуголышковъ, или, что то-же, на протяженіи этихъ самыхъ сторонъ, ибо онѣ разнятся отъ стягиваемыхъ ими дугъ безконечно малыми величинами третьяго порядка,
между тѣмъ какъ разстояніе проходимое въ безконечно малое
время отъ дѣйствія конечной силы есть безконечно малая величина втораго порядка.
Изображая вѣса снарядовъ чрезъ Р ' и Р будемъ имѣть

Такъ какъ снаряды подобны и направленія нхъ движсній въ
исходныхъ точкахъ параллельны, то сопротпвленія воздуха въ
этихъ точкахъ на оба снаряда параллельны между собою. Называя величины сопротивлений воздуха чрезъ р' и р, будемъ
имѣть

р' = п х ч ѵ
На томъ же основаніи осп паръ соііротивленія воздуха въ
исходныхъ точкахъ траекторій параллельны между собою. Называя величины этихъ паръ чрезъ Ii' и К найдемъ

K' =

tù?w0n.K.

Изображая моменты инерцій одпого снаряда относительно
его главныхъ осей чрезъ А', В',

С', а д р у г а я чрезъ А, В, С\

будемъ пмѣть

А' = Х5М, Я = Y\lB , G = Х5р.0.
2 6 6 . Если возьмемъ начало координата въ исходной точкѣ
траекторін, примемъ за неподвижныя оси координата х u у горизонтальную H вертикальную прямыя лежащія въ вертикальной
плоскости проходящей чрезъ направлепіе поступательной скорости въ исходной точкѣ, а за ось z прямую перпендикулярную къ
этой плоскости и озиачпмъ проекціи поступательной скорости на
неподвижныя оси координата чрезъ ѵх,

ѵу,

vz, то уравненія по-

ступательная движенія первая снаряда будутъ

i dv.

ч-sf =

— P

q

T

c o s

ï '

гдѣ a , ß , у означаютъ углы составляемые равнодѣйствующею
сопротивлепія воздуха съ неподвижными осями координата.
Уравнеиія поступательная двшкенія в т о р а я снаряда относительно иеподвшкныхъ осей, взятыхъ такимъ-же образомъ какъ
и для первая снаряда, будутъ
»"

- W =

(А)'•• l^J.—
v

'

\ dt'
dv'.
~dt =

„

о

xjT-Pf

n
,J

H^oLQ
X(JL

;

c o s a

Pp

L

r n 4

cos

ß'

P ;

nio„n q
,
xiT- ?FC0SÏ>

гоѣ a!, ß', у' суть углы составляемые равподѣйствующею сопротпвлепія воздуха на второй снарядъ съ неподвижными осями
координата.

Если проекціи угловой скорости S перваго снаряда на его
главпыя осн назовешь чрезъ р,

q, г, а углы составляемые съ

главными осямп осыо пары сопротпвлеиія воздуха на первый и
второй снаряды изобразимъ чрезъ I , m , п и V, т ' , п , то уравненія вращательнаго движенія перваго снаряда будутъ

dp
dt
(В)..)*g.,
s

В—С
К cos I
А V — А !
С

dt
dr

~

А Ш

В
А—В

—

к

™

т

В '
К cos п

a вслѣдствіе того что

В' — С'
А'
JT

А!

ШР„"

В —С С -А'
А ' В'
К

К'[

XV ' А ' В'

С— А А' — Ъ"
В > С

пгр 0 "

К

К' _

XV ' В ' С'

пгг,/'

А-В
С

'

К

XV ' С '

уравненія вращательнаго движенія втораго снаряда будутъ

(В').

dp' В— С , '
n w„n К с os Г
r
Г
dt ~*~ А У — XV ' А '
dq'
С —А
dt~'~*~ В
XV ' В '
dr'
d E

4

А —В t г
пм'ц"
С Р У — ~ХѴ~

2 6 7 . Интегрируешь уравпенія (A), F

-

А'сози'
С
'

2 6 6 , въ предѣлахъ

отъ нуля до элемента времени dt, въ теченіп когораго первый
снарядъ нроходптъ первую безконечно малую сторону многоугольника замѣняющаго его траскторію. Такъ какъ сонротлвленіе
р п углы а , ß , y , въ теченіи элемента времени измѣняются на
безконечно малыя величины, то чрезъ это, при интегрированіи

отъ нуля до dt воіідутъ только безконечио малые члены втораго
и высшаго порядковъ, между тѣмъ какъ прпращеніе скорости въ
безконечно малое время dt отъ дѣйствія конечной силы есть безконечио малая величина перваго порядка. Поэтому величины р ,
а , ß , у, при интегрированіи (А), п° 2 6 6 , отъ нуля до dt должны
считать постоянными. Называя

начальный

величины проекцій

поступательной скорости на неподвижныя оси коордшіатъ чрезъ
х ' ѵу0 > vz0,

ѵ 0

найдемъ

Интегрируемъ уравненія ( А ) , п° 2 6 6 , въ предѣлахъ отъ нуля до элемента времени dt', въ теченін котораго второй снарядъ
проходить первую безконечно малую сторону многоугольника замѣняющаго его траекторію. Проекцін начальной скорости на неподвпжныя оси координагь этого снаряда пропорціональны проекціямъ начальной скорости перваго снаряда. Означая отношеиіе
временъ

dt'

, употреоляемыхъ

снарядами на прохождеше пер-

выхъ сторонъ многоугольниковъ чрезъ т , и замѣчая что углы
а', ß', у',

которые должны при интегрированіи отъ нуля до dt'

считать постоянными, въ исходпыхъ точкахъ равны угламъ
а , ß , у , получимъ

aw,

. p y cos Y • dt.
Для того чтобы касателыіыя къ траекторіямъ въ слѣдую-

щпхъ за исходными точками вершпнахъ многоугольниковъ были
параллельны между собою, проекціи v'x,v'y)v'z,
жны быть пропорціональны

скорости ѵ дол-

проекціямъ ѵх, ѵу, vz скорости v,

для чего, какъ видно изъ уравненій { О и ( С ) , необходимо чтобы были выполнены условія
ig

О

т-

І1!<>„"
У

'

1Ш 0 П — »
тѵ тт f г т*
У
Ifi
=

т,

или, вставивъ послѣднее выраженіе въ первое, найдемъ для параллельности касателыіыхъ въ слѣдующпхъ за исходными точками вершпнахъ многоуголышковъ слѣдующія условія

(1)
(2)

=

4

При существованіи этнхъ условій, отношеніе поступательныхъ скоростей

въ началѣ

вторыхъ сторонъ многоугольнп-

ковъ, какъ видпо изъ уравненій (С) и (6''), будетъ равно
отношенію поступательпыхъ

скоростей въ исходныхъ

гѵ0,

точкахъ

траекторій.
2 0 8 . Интегрпруемъ уравненіе (С), п° 2 6 7 ,

въ предѣлахъ

отъ нуля до dt и уравпеиіе ( С ) въ предѣлахъ отъ нуля до dt'.
Такъ какъ сопротивление р и углы а , ß, у въ теченіи элемента
времени изменяются на безконечно малыя величины, то чрезъ
это, при пнтегрированіп, войдутъ только безконечно малые члены третьего и высшихъ порядковъ, между тѣмъ какъ прпращеніе разстоянія проходнмаго въ безконечно малое время отъ дѣйствія конечной силы есть безконечно малая величина втораго порядка. Поэтому величины р , а , ß , у , при пптегрпрованіп уравненій (С) и (С') отъ нуля до безконечно малаго времени, должно
считать постоянными.

Замѣтивъ что
Çdt

rdt'

\tdt = \ dt H t'dt' = \ dt'2 = 1 tdt2 ,
2

»J
о

получимъ:
для перваго снаряда

dx = v4dt

— | p J^ cos a dt2,

dy — ѵУо dt — 2 (.9
!

P Jr cos ß ) dt2,

de = Vz0dt — lçjr cos y .dt2;

для втораго снаряда

/ dx' = w0TVXodt — \ т

2

p 4

dt2,

c o s

а

(£')• j dy' = гѵрѵщ dt - 1 (т2g - т2 - S ^ L p J . cos ß )d/ 2 ,
I

J t

л

1 2 іш„п

\ dz =w0XVz0 dt — I T

q

p 4 cos dt .

Для того чтобы первыя стороны многоуголышковъ былп
другъ другу параллельны н иропорціоналыіы, величины dx',

dy',

dz' должны быть проіюрціоиалыіы величинамъ dx,

для

dy,

dz,

чего, какъ видно изъ уравнсній (D) и ( / / ) , необходимо чтобы
были выполнены условія

м ,

«

т = т

ГГ 0 т =

да»

т2,

И Л И

да"

ИЛИ гѵ0 =

=

1

т

условія тождественный съ условіямн (1) н (2), n° 2 6 7 .
Прп существованіп условііі (1) и (2), n° 2 6 7 , отношеніе ли-

нейныхъ размѣровъ траекторііі, какъ видно пзъ уравненій (D)
и (Z)j, будета для первыхъ сторопъ многоуголышковъ

т. е. будетъ равно квадрату отношенія поступательныхъ скоростей въ исходныхъ точкахъ траекторій.
2 6 9 . Ивтегрируемъ уравненія (В),

п° 2 6 6 , въ предѣлахъ

отъ нуля до dt, при чемъ величины угдовыхъ скоростей p,

q,

г,

входящпхъ во вторые члены этихъ уравненій, будемъ считать
постоянными n равными начальными нхъ значеиіямъ р0,

q0,

г0,

потому что въ теченіи элемента времени онѣ измѣняются на безконечно малыя величины, такъ что чрезъ это, при интегрированы, войдутъ только безконечпо малые члены втораго и высшпхъ
порядковъ, между тймъ какъ приращеніе угловой скорости въ
безконечпо малое время, отъ дѣйсгвія конечной пары силъ, есть
безконечпо малая величина первая порядка. То же относится и
до величинъ К , I , т , п . Такимъ образомъ получимъ для перв а я снаряда
/

В—С

j,

)

С —A

j,

К cos m

j,

Kcosn

; p =р0
/т.

(F).. / q = q0
Vr =

r

К cos I j,

— q0r0 dt н— —g-

0

jj-РоГо dt -+-

A — В

—Po%

G

d t

dt,
,

j.
d t

•

Такъ какъ для втораго снаряда, вслѣдствіе параллельности
мгновенныхъ осей вращенія въ исходныхъ точкахъ и вслѣдствіе
параллельнаго расположенія снарядовъ въ этихъ точкахъ, нмѣемъ

Ро = %Ро, 4 О =

'

'о="огО'

г

H какъ углы I', m', п , которые при ііптегрированін уравненій
(В),

п° 2 6 6 , отъ нуля до dt' должны считать постоянными, въ

исходныхъ точкахъ равны угламъ I , т ,

п , то шітегрпрованіе

уравненій {В') въ предѣлахъ отъ нуля до dt' = rät,
втораго снаряда
'

/t у,

п

Р — %Ро
(E')

=

Г' =

Ü0R0 -

- ЧВ —С

.

пгоп"

"о —j—%r0
2

Т(3 0 2

Т ^ о

Kcosl-,.

at-t-T-^-.—j—dt,

т

Ч

даетъ для

dt +

^ . ï ^ p d t ,

-Н Т J G L .

.

Для того чтобы угловыя скорости У , S въ началѣ вторыхъ
сторонъ многоугольниковъ были параллельны между собою, величины p', q, г должны быть пропорціональны величинамъp, q,
г , для чего, какъ видно изъ уравпеній (Е) и (JE"), необходимо
чтобы были выполнены условія
"о =

или
(3)....

™

™о2

0

= 1

и

о,

S - ' ^ f При существованіи этихъ условій, отношеніе угловыхъ ско-

ростей ^ въ началѣ вторыхъ сторонъ многоугольниковъ, какъ
видно пзъ уравненій (JE) п (Е),

будетъ равно ы 0 , отношенію

угловыхъ скоростей въ исходныхъ точкахъ траекторій.
2 7 0 . Интегрпруемъ уравненіе (Е), п° 2 6 8 въпредѣлахъ отъ
нуля до dt и уравненіе (Е)

въ предѣлахъ отъ нуля до dt', при

чемъ будемъ считать пару К н углы I, m, п постоянными, потому
что въ теченіи элемента времени они изменяются на безконечно
малыя величины, чрезъ что, при интегрпровапіи, войдутъ только
безконечно малые члены третьяго п высшихъ порядковъ, между
тѣмъ какъ угловое перемѣщеніе въ безконечно малое время, отъ

дѣйствія конечной пары силъ, есть безконечно малая величина
втораго порядка.

Называя проекцін угловыхъ перемѣщеній на

главныя осп, въ теченіп промежутковъ времени dt и dt', чрезъ d%,
dri,

dÇ H d%', dt\ , dÇ', получимъ для перваго снаряда

1«=*.
{F).. L

dt -lUU%r0dï

н- \ ^ d f ,

= g 0 dt - 1 °^p0r0

( dç'= r

0

dt2 и-1

d t - l ^ PA ätu

d?,
\ —B-

df ;

для втораго снаряда

—™оРо dt
( F ) . . U ' = ™

0

q

§ t2Ü02

—j— Q0r0 dt2+\

d t - b \ ^ P

0

0

r

0

U' = ™0r0 dt - 1 T2cl20

T ^ . ^ d t

2

dt2+
dt2 -h I t2 J g f . . U p

d

f .

Для того чтобы снаряды, параллельные въ нсходныхъ точкахъ, оставались параллельными въ началѣ вторыхъ сторонъ
многоугольннковъ, необходимо чтобы углы, на которые снаряды
поворачиваются вокругъ свонхъ мгновенных!, осей, въ теченіи
элементовъ времени соотвѣтствующпхъ прохождснію снарядами
первыхъ

сторонъ многоугольннковъ — чтобы углы эти были

равны между собою, н, следовательно, чтобы проекціи угловыхъ
псремещеній снарядовъ на ихъ главныя оси были равны одна
другой, для чего, какъ видно изъ уравненій (F) и (F'),
быть
TÜ

» =

•2 ' 2
0 =

T Ü

т

2 ІШ п П
- T * ï r

= 1

-,
>

откуда
т «

0

= 1

.

«

а

~
о =

т

nu>n"
- Щ Г

условія тождественный съ ѵсловіями (3) и (4), ?г° 2 6 9 .

должно

,

2 4 1 . Если выполнены условія ( 1 ) , (2), (3) и (4), (п° 2 6 7 и
2 6 9 ) , то снаряды въ начал! вторыхъ сторонъ многоуголышковъ,
зам!няющихъ ихъ траекторіп, будутъ находиться въ тѣхъ же
обстоятельствахъ что н въ начал! первыхъ сторонъ, то есть направленія нхъ поступателыіыхъ движеній будутъ параллельны
между собою, отношеніе ноступателыіыхъ скоростей будетъ то
же что и въ нсходныхъ точкахъ, мгновенная ось вращенія и
главныя оси одного снаряда будутъ параллельны

мгновенной

оси и главнымъ осямъ другаго, п отношеніе угловыхъ скоростей
будетъ то же что въ нсходныхъ точкахъ. ВслЬдствіе этого снаряды употребятъ на прохожденіе вторыхъ сторонъ многоугольниковъ времена пропорціоналыіыя нхъ иоступателыіымъ скоростямъ въ нсходныхъ точкахъ траекторій и отіюшеніе разм!ровъ
этихъ сторонъ будетъ равно квадрату отпошенія поступателыіыхъ
скоростей въ нсходныхъ точкахъ.

В ъ конц! вторыхъ сторонъ

снаряды будутъ находиться въ тѣхъ же обстоятельствахъ что н
въ нсходныхъ точкахъ, и такъ дал!е; следовательно, начиная
отъ нсходныхъ точекъ, снаряды ошшіутъ траекторін подобныя
одна другой на всемъ нхъ протяженіи.
2 7 2 . И такъ для того чтобы траекторіи были подобны, надобно чтобы были выполнены слЬдуюіція условія:
относящіяся къ поступательному двпженію

(1)
(2)

гѵоп =

т

относящаяся къ вращательному движенію
(3)

(4)

то =

т

Откуда:
Г©0 =

(И)

У Х ,

УГ '

0

(III)

Прп существованін этнхъ условій, будетъ

т = гѵо

(IV)
(V)

а =

= V l

tuf =

X.

Такимъ образомъ при допуіценін сопротивленія воздуха пропорціоналыіымъ п-й степени поступательной скорости снаряда,
величинѣ поверхностп подверженной сопротивлеііію и плотности
воздуха — два снаряда, движущіеся въ воздухѣ двухъ разлнчныхъ плотностей, опшнутъ іюдобнып траекторіи, если выполнены
слѣдующія условія:
1°.

ЕСЛИ

оба снаряда

подобны

к а к ъ относительно

Формы,

т а к ъ H относительно внутрсипнго строепія.

2°. Если на обѣпхъ траекторіяхъ находятся двѣ точки (на
каждой траекторіи по одной), нъ которыхъ : а) направленія поступательныхъ скоростей параллельны, Ь) снаряды расположены
параллельно одпнъ другому и с) ихъ мгновенный осп враіценій
параллельны.
3°. Если въ этихъ исходныхъ точкахъ траекторій поступательный скорости пропорциональны корнямъ квадратпымъ пзъ
линейныхъ размѣровъ снарядовъ.
4°. Еслп въ упомяиутыхъ точкахъ угловыя скорости снарядовъ обратно пропорціоналыіы корішмъ квадратпымъ нзъ линейиыхъ размѣровъ снарядовъ.
5°. Еслп плотности снарядовъ пропорціоналыіы плотностямъ
воздуха, въ которомъ движутся снаряды, и п — 2 стспенямъ ио-

ступательныхъ скоростей снарядовъ въ исходныхъ точкахъ траекторий
Когда означенныя условія выполнены, то:
1-е) поступательный скорости снарядовъ въ соотвѣтственІІЫХЪ

точкахъ траекторій и времена потребныя для достиженія

этихъ точекъ пропорціональиы корнямъ квадратиымъ пзъ линейныхъ размѣровъ снарядовъ.
2-е) линейные размѣры траекторій пропорціональны лпнейнымъ размѣрамъ снарядовъ.

П Р И Л О Ж Е Ш Е I.

Сферически концентрически снаряды не получивши врагценгя въ каналѣ орудія.
2 7 3 . Въ этомъ случаѣ угловыя скорости

и Ч' равны нулю,

и для подобія траекторій достаточно выполпенія условій, относящихся къ поступательному двнженію (п° 2 7 2 )
=
Изъ нихъ иолучаемъ

при чемъ будетъ

и

1

и

гѵ0 — т.

Такимъ образомъ не вращающіеся СФеричеекіе концентрическіе снаряды опишутъ подобныя траекторіи, если будутъ брошены
чодъ одинаковыми углами,

со скоростями

пропорціональнымн

корнямъ п-іі степени нзъ линейгіыхъ размѣровъ снарядовъ, корнямъ п-й степепи нзъ плотностей спарядовъ и обратно пропорціонадьны корнямъ п й степени нзъ плотностей воздуха.
При этомъ отношение скоростей въ соотвѣтственныхъ точкахъ траекторій и отношеніе временъ потребиыхъ для достпжечія этихъ точекъ равны отношенію начальныхъ скоростей, а отчошеніе линейныхъ размѣровъ траекторій равно квадрату отношенія скоростей.
Этотъ частный случай подобія траекторій былъ выведенъ
(п° 1 1 6 ) при изслѣдованіи уравненій движенія сферическихъ конЦентрическихъ снарядовъ въ воздухѣ.

П Р И Л О Ж Е Н І Е II.

Вращающіеся сферическге или сплющенные снаряды нонн/нтричест и эксцентрически.
2 7 4 . При вращенін снаряда въ воздух! около оси довольно
Удаленной отъ направленія движенія его центра тяжести, происходить, какъ ноказалъ опыгь (п° 184), увеличеніе или умепьшечіе давленія воздуха на нѣкоторыя части поверхности снаряда,
смотря потому имѣютъ ли эти части вращательное движеніе въ
сторону противоположную поступательному, или въ одну сторону
съ посл!дшшъ.
РавнодЬйствующая сила N изъ разности давленій воздуха,
происходящих!, отъ совокупнаго враіцателыіаго и поступательнаго движеній снаряда, можетъ быть (п° 1 9 1 , ур. ( 7 ) ) выражена
Формулою
Л

Г

Ii

'

с,

ІсЬЪДР

и Ѵ

+

«Г

гдѣ ß > а , S > у и у -+- а больше какъ 8 такъ и ß, П вѣсъ кубической единицы воздуха, S площадь проекціи снаряда на плоскость перпендикулярную

къ направленію движенія,

L лшіія

соединяющая центръ тяжести снаряда съ точкою поверхности,
къ которой приложена сила N,

% начальная угловая скорость,

которую принимаемъ постоянною на всемъ полетѣ снаряда въ воздухѣ, v поступательная скорость снаряда, g ускореніе тяжести,
/с, Ь, с коеФФіщіенты и а, ß, -{, S показатели, которые должны
быть выведены изъ опыта.
Замѣчая что vo' =

w0v0,

L' = \L,

=

, найдемъ что

ускореніе производимое силою N въ исходной точкѣ есть

g_ns

icLb0\a
+(»/ß '

N

F

P

Ь т А30S
bL

a ускореніе производимое силою N' въ исходной точкѣ есть
M ' A — iL

/ 7 А Ѵ„, <*
0

h L

сѵ

о

0

^

kL'Lfvf
р

'

u

V

W

Такъ какъ оба снаряда подобны и въ исходныхъ точкахъ
траекторій расположены параллельно одннъ другому, то въ этнхъ
точкахъ силы N и N' составляготъ одинаковые углы съ неподвижными осями координатъ.

Вводя эти силы въ уравнеиія

(A) n (А') (п° 2 6 6 ) найдемъ, что для нодобія траекторій, кромѣ
прежде найденныхъ условій относящихся къ поступательному
движенію (п° 2 7 2 )
(1)

^

=

1

,

% = *,

(2)

должны быть еще выполнены условія
ß_

w
0

-

5

X

u Gùfwf

® ' X i Г — ß

M

.

который, при помощи условія (1), сводятся на слѣдѵющія
w0 =
ß=

8,

Xü 0 ,

у=

ß — а н - и,

при чемъ послѣднія два равенства иоказываютъ, что для существовала подобія траекторій сила N должна выражаться Формулою
(4)

N - -

О

гдѣ ß >

а, а >

blhf

+

J

п.

Если сферическіе или сплющенные снаряды

суть вмѣстѣ

съ тѣмъ концентрическіе, то ни сопротнвленія нормальныя къ
каждому элементу части поверхности подверженной сопротивление, ни разности давленій иа разный части поверхности снаряда
не даютъ пары снлъ, и условія относящаяся къ вращательному
Движенію (іг° 2 7 2 ) приводятся къ одному
(5 )

т(5

0

=

1.

Йзъ уравненій (1), (2), (3) и (5) находпмъ
(I)

% =

УХ,

® >

(ІИ)

£ =

<-',

при чемъ будетъ
(IV)

т = гѵ =

УХ",

(V)

а =

X.

W2 =

Такимъ образомъ въслучаѣ вращающихся концентрическихъ
СФерическихъ

или силющенныхъ

силы N Формулою ( 4 ) ,

снарядовъ,

получаемъ для подобія

ими траекторій тѣ-же условія и тѣ-же

при

выраженіи

описываемыхъ

слѣдствія,

что и для

общаго случая.
Если сфернческіе или сплющенные снаряды суть эксцентрическіе, то вслѣдствіе того что они подобны и в ъ нсходныхъ точкахъ расположены параллельно, осн равнодѣйствующихъ паръ
сопротивленія нормальиаго къ каждому элементу части поверхности подверженной сопротивленію и разности давленій на разный части поверхности снарядовъ, въ нсходныхъ точкахъ, параллельны между собою; а потому, при выраженін силы N Формулою (4) и при условіи гѵ0 =

<à0X, отношеніе этихъ паръ въ озна-

ченныхъ точкахъ равно пХ и>0п, и условія подобія траекторій бу3

дутъ слѣдующія

<5ЛХ

о

nwp"

изъ которыхъ получаемъ, также какъ и для общаго случая

(I)

w0 =

V\,

(II)

(ІП)

я
n

при соблюденіи этихъ условій будетъ
(IV)

( V)

=

a =

w0 =

yx,

W02 =

\.

Слѣдовательно вообще въ случаѣ вращающихся сферическихъ пли сплющеииыхъ снарядовъ, будутъ-ли они коицентрическіе пли эксцентрическіе, получаемъ для подобія описываемыхъ
ими траекторій тѣ-же условія и тѣ-же слѣдствія,

что и для

обіцаго случая.
2 7 5 . При иолетѣ сФерическихъ эксдентрическнхъ и сплюЩонныхъ снарядовъ мгновенныя оси вращепій близки къ той
оси, вокругъ которой придано вращеніе этимъ спарядамъ при
вылет!; ихъ пзъ канала орудія. Поэтому можно приблизительно
принять, что угловыя скорости вокругъ главныхъ осей перпенднкулярныхъ къ той, вокругъ которой снарядъ получилъ вращеніе
при вылетѣ, въ продолженіе полета, равны нулю. При этомъ допущены вторые члены вторыхъ частейуравненій (E), (E), (F),
(п° 2 6 9 и 2 7 0 ) равны нулю, такъ что условіе т « 0 =

(F')

1 стано-

вится пзлпшнимъ, и условія подобія траекторій приводятся къ
слѣдующимъ
=

1

' W0 =

т

'

10О

=

изъ которыхъ получаемъ
(I)

(II)
при чемъ будетъ
(III)

(IV)
з'Гакпмъ образомъ можно принять, что вращающіеся сФерпческіе или сплющенные снаряды оппшутъ подобпыя траекторіп, если:
1°. Снаряды брошены нодъ одшімъ и тѣмъ же угломъ.

2°. Снаряды подобны какъ по Фигурѣ, такъ и но внутреннему строенію.
3°. Начальиыя поступательный

скорости сиарядовъ прямо

пропорціональны корнямъ п-іі степени изъ ихъ діаметровъ н изъ
ихъ плотностей и обратно пропорціональпы корнямъ ?і-й степени
изъ плотностей воздуха.
4°. Угловыя скорости снарядовъ прямо пропорціональны пачалыіымъ постуііательнымъ скоростямъ и обратно прогюрціопалыіы
діаметрамъ снарядовъ.
Когда эти условія выполнены, то:
1 ) поступательный

скорости снарядовъ въ соотвѣтствешіыхъ

точкахъ траекторій, а также времена нужныя для достиженія
этихъ точекъ,

пропорціоналыіы пачальпымъ постунательпымъ

скоростямъ;
2) линейные размѣры обѣихъ траекторій пропорціональны
квадрагамъ начальныхъ поступателыіыхъ скоростей, или: прямо
пропорціональны корнямъ " степени пзъ діаметровъ снарядовъ и
пхъ» плотностей, и обратно пропорціопалыіы корнямъ | степени
изъ плотностей воздуха.

.faЩ'

*

ПРИЛОЖЕНІЕ

III.

Продолговатые снаряды выстрѣленные изъ нарѣзныхъ
орудгй.
2 7 6 . К ъ продолговатымъ сиарядамъ должны быть прнмѣнсны
общія условія нодобія траекторій;
этихъ снарядовъ,

но такъ какъ, прп подетѣ

можемъ пренебречь (п° 2 0 9 ) приращеніями

угловъ 8, составляемыхъ осыо Фигуры съ направленіемъ движенія, отъ дѣйствія нары сопротнвленія воздуха, то условія подобія траекторій упрощаются.
Для подобія траекторій двухъ продолговатыхъ снарядовъ до-

статочно, если, кромѣ условій относящихъ к ъ поступательному
движенію (п° 2 7 2 )
d)

(2)
выполнено е щ е условіе относящееся к ъ вращательному

двікке-

нію, состоящее в ъ томъ что у г л о в ы я перемѣщенія d8 и dS',

dv

H dv' осей Фіігуръ обоихъ снарядовъ, в ъ теченін элементов!, временъ dt H dt' уоотребллемыхъ
вѣтственныхъ

безконечно

снарядами на іірохожденіе

малыхъ

сторонъ

замѣняющпхъ ихъ траекторін, — что эгп угловыя
взанмно равны, т. е. dS =

d 8 ' , dv =

соот-

многоуголышковъ,
перемѣщенія

dv'.

ДпФФсренціалыіыя уравнепія выражаюіція с ъ достаточным!,
приближеніемъ коническое движеніе оси Фпгуры (п° 2 1 0 )

суть:

для перваго снаряда

d8 =

— cos v dO

;

для втораго снаряда

d8' =
или, т а к ъ какъ К ' =

то

— cos v dO'
mhc-J'K, А' =

Х5аЛ

=

« 0 Р 'dt' —

dv'
Но в ъ подобпыхъ траекторіяхъ приращенія у г л о в ъ dO,

dO',

составляемыхъ касательными с ъ горизонтальною плоскостью, в ъ
теченіи элементов!, временъ dt н dt',

равны между собою, т. е.

dO =

dO'.

Следовательно dS =

db' ; а для того чтобы dv =

dv'

должно быть
т

аи

>о" _

J

или, вставивъ условіе ( 1 ) ,
(3)

=

т

Ч -

Изъ условій ( 1 ) , (2) и (3) выходить
(D

% =

0

H

или, такъ какъ въ нарѣзныхъ орудіяхъ угловая скорость снаряда вокругъ оси Фигуры прямо Ііропорціоналыіа его поступательной скорости H обратно

иропорціоналыіа длипѣ хода парѣзовъ,

то, называя чрезъ h отношепіе длинъ ходовъ нарѣзовъ въ обо
нхъ орудіяхъ, имѣемъ

«
и условіе ы0 =

wn

-f

=

«

,
обращается въ
h=

(И)

h

X.

Если условія (I) и (II) выполнены, то будетъ

(ПІ)

х =

(IV)

o

=

=

Такимъ образомъ траекторіи двухъ продолговатыхъ снарядовъ будутъ подобны, еслп:

1 Э . Оба снаряда подобны какъ по Фіігурѣ, такъ и по внутреннему строенію.
2°. Брошены подъ однимъ и тѣмъ же угломъ.
3°. Начальный скорости снарядовъ прямо нропорціональны
корнямъ п-й степени изъ ихъ діаметровъ и изъ

ихъ

плотно-

стей и обратно нропорціоналыіы корнямъ п-і\ степени изъ плотностей воздуха.
4°. Длины ходовъ нарѣзовъ орудій пропорціональны діаметрамъ снарядовъ.
Когда эти условія выполнены, то:
1) скорости снарядовъ въ соотвѣтственныхъ точкахъ траекторій, а также времена нужныя для достиженія этихъ точекъ,
пропорціональны началыіымъ скоростямъ;
2) линейные размѣры обѣихъ траекторій

пропорціональны

квадратамъ начальныхъ скоростей, или: прямо пропорціональны
корнямъ Е степени изъ діаметровъ снарядовъ и изъ ихъ плотностей и обратно пропорціоналыіы корнямъ ~ степени изъ плотностей воздуха.
Отсюда выведемъ нѣсколькой слѣдстві,

при чемъ для про-

стоты предположимъ, что оба продолговатые снаряды движутся
въ воздухѣ одинаковой плотности, то есть что гі =

1 , и введемъ

отношеніе вѣсовъ снарядовъ, которое означимъ чрезъ ß и замѣТИМЪ ЧТО ß =

Х3(Л.

277. Если удѣльные вѣса обоихъ продолговатыхъ снрядовъ
одинаковы,

то есть р. =

1 , то ß =

X3,

h= X
V A

Слѣдовательно продолговатые подобные снаряды, одипаковаго

удѣлыіаго вѣса, оиисываютъ въ воздух! одинаковой плотности
.подобный траекторін,

если брошены подъ однимъ и тѣмъ-же

угломъ, нзъ орудій нмѣюіцихъ длины ходовъ нарѣзовъ пропорціопалыіыя калибрамъ, со скоростями пропорціоиальнымп корнямъ
п-й степени изъ калибровъ.
При этомъ скорости снарядовъ въ соотвѣтственныхъ точкахъ
граекторій и времена необходимый для достижеиія этихъ точекъ
пропорціональиы корнямъ п-іі степени нзъ калибровъ; а линейные размѣры обѣпхъ траекторій

пропорціоналыіы корнямъ f

степени пзъ калибровъ.

278. Если діаметры обоихъ продолговатыхъ снарядовъ одинаковы, т. е. X = 1 , то ß = р ,
й =

1 ,

Такимъ образомъ продолговатые снаряды равные по размѣрамъ, но различна™ в ! с а , описываютъ въ воздух!; одинаковой
плотности подобный траекторіи, если брошены изъ одного и того-же орудія, подъ однимъ п тѣмъ-же угломъ, со скоростями
пропорціонадьнымп «-й степени изъ ихъ вѣсовъ.
При этомъ скорости снарядовъ, въ соотвѣтственныхъ точкахъ траекторій, и времена необходимый для достиженія этихъ
точекъ пррпорціональны корнямъ и-й степени изъ вѣсовъ снарядовъ; а линейные размѣры обѣихъ траекторій пропорціональны
корнямъ \ степени изъ вѣсовъ снарядовъ.

279. Если продолговатые снаряды по вгьсу пропорциональны
калибрамъ, т. е. X = ß , то p = JL ,

h=

X,

Если примемъ (п°35), что начальный скорости прямо проиорціомальны корнямъ квадратпымъ изъ вѣсовъ зарядовъ и обратно пропорціоналыіы корнямъ квадратпымъ изъ вѣсовъ снарядовъ, то, изображая вѣсъ одного заряда чрезъ с , а д р у г а я
чрезъ с , получимъ

Такимъ образомъ продолговатые снаряды подобные и но вѣсу иропорціональиые калибру ошісываютъ въ воздух!, одинаковой
плотности подобныя траекторш, если выстрѣлены нодъ одшшъ н
тѣмъ-же угломъ пзъ орудій нмѣющпхъ длины ходовъ нарѣзовъ
иропорціоналыіыя калибрамъ, зарядами проиорціоналыіымн корию w " • степени изъ вѣсовъ снарядовъ.
ГІрн этомъ скорости снарядовъ въ соотвѣтственныхъ

точ-

какъ траекторій и времена необходимый для достиженія этнхъ
точекъ обратно нропорціональиы корнямъ п-й степени нзъ вѣсовъ снарядовъ; а лппейные размѣры траекторій обратно пропорціонадыіы корнямъ у степени изъ вѣсовъ снарядовъ.

280. Если

на единицу площади сходственныхъ сѣченгй

двухъ продолговатыхъ снарядовъ пргіходигпся одинъ и гпогпъ-же
вгъсъ, т. е. X2 = ß, то |і = ± ,

A=

X=

Уß= —

го0 = т=

1,

<7=1,

т. е. подобіе траекторій переходить въ равенство.
Такимъ образомъ подобные продолговатые снаряды, имѣющіе
одинаковый вѣсъ на единиц}- площади сходствениыхъ сѣченій,
оппсываютъ въ воздухѣ одинаковой плотности равныя траектории если выстрѣлены подъ однимъ и тѣмъ-же углоыъ, съ одинаковыми начальными скоростями, нзъорудій нмѣющнхъ длины ходовъ нарѣзовъ н калибры пропорціоналыіые корнямъ квадратнымъ нзъ вѣсовъ снарядовъ или, что то-же, обратно пропорціоналыіые удѣлыіымъ вѣсамъ снарядовъ.
2 8 1 . Если бы хотѣлп выразпть сопротивленіе воздуха на
артиллерійскіе снаряды, для всѣхъ скоростей, однимъ членомъ
пропорціоналыіымъ некоторой степени скорости, то ( п ° 9 2 ) для
сферическихъ снарядовъ должны были бы принять п =
продолговатыхъ

снарядовъ п =

3 , а для

4 . Поэтому, если нужно изъ

условій подобія траекторій, но результатамъ сгрѣльбы нзъ одного орудія, получить приблизительный дапиыя для стрѣльбы изъ
другаго орудія, то въ иолучешіыхъ условіяхъ иодобія траекторій
должны положить для сферическихъ снарядовъ п =

3 , а для

продолговатыхъ снарядовъ п — 4.
Положимъ, что имѣемъ изъ нарѣзной 4 Ф. иушкп таблицы
стрѣльбы составленный для различныхъ угловъ бросанія, различными зарядами и при различныхъ длинахъ ходовъ нарѣзовъ, и
требуется составить приближенную таблицу стрѣльбы даннымъ
зарядомъ пзъ нарѣзной 12 Ф. пушки, стрѣляющей снарядамниодобиьшн 4 фунтовымъ и имѣющими тотъ-же удѣльный вѣсъ.
Для этого сначала опредѣлимъ каковы должны быть зарядъ п
длина хода нарѣзовъ 4 Ф. пушки, которые доставляютъ траекторію подобную траекторіи 12 Ф. снаряда, на томъ основаніи, что

въ означенномъ случаѣ (п° 2 7 7 )

траекторіи подобны когда на-

чальный скоростп пропорціоналыіы корнямъ четвертой степени
нзъ калпбровъ, а длпны ходовъ нарѣзовъ пропорціональны калибрамъ. Поел! того достаточно взять таблицу стрѣльбы изъ 4
ф. пушки при найденномъ заряд! u найденной длннѣ хода нарѣзовъ, и дальности, деривацін, высоты нолета соотвѣтствующія
различнымъ угламъ бросанія помѣщеннымъ въ этой таблиц!,
умножить (п° 2 7 7 ) на отношеніе корней квадратныхъ изъ калпбровъ для того чтобы получить приблизительный значенія соотв!тствующихъ т!мъ-же угламъ бросанія дальностей, деревацій,
высотъ полета 12 Ф. снаряда; A окончателыіыя скорости, времена полета, пом!щенныя въ упомянутой таблиц! стр!льбы

ІІЗЪ

4 Ф. пушки, умножить на отношеніе корней четвертой степени
изъ калпбровъ, для того чтобы получить приблизительный значенія окончателыіыхъ скоростей и временъ полета 12 Ф. снаряда.

ГЛАВА XL
Углубленіе снарядовъ въ твердыя среды и
пробнваніе желѣзныхъ броней.

Углублспіе

сФсрпчсскихъ

снарядовъ въ твердыя среды.

282. Сопротивление твердыхъ срединъ. Мы не имѣемъ достаточно точнаго рѣшенія вопроса о соііротпвлеиіи твердыхъ средннъ двпжецію въ нихъ твердыхъ тЬлъ. Хотя этотъ вонросъ,
какъ видѣли, также не рѣшенъ относительно воздуха, но, для
вывода выраженій сопротнвленія воздуха, покрайней мѣрѣ па
артиллерійскіе снаряды двпжуіціеся по направленію ихъ оси Фигуры, мы имѣеыъ рядъ опытовъ надъ непосредствеинымъ іізмѣреніемъ скоростей снарядовъ въ двухъ точкахъ траекторіи, нзъ
которыхъ опредѣляемъ величины сопротлвленій воздуха, соотвѣтствующія различнымъ скоростямъ.

Подобиыхъ непосредствен-

ныхъ опытовъ надъ сопротнвленісмъ твердыхъ срединъ двнженію
артнллерійскнхъ снарядовъ произведено не было и намъ неизвестна зависимость этого сопротивления ни отъ скорости двн-

женія, ни отъ угла составляемаго нормалью къ поверхности элемента движущагося тѣла съ направленіемъ движенія.
Законы углубленія сФерпческихъ снарядовъ выведены путемъ
ирямаго наблюденія н для сопротивленія твердыхъ срединъ пріискано такое выраженіе, которое-бы удовлетворяло тѣмъ законамъ
Углубленія, которые были найдены на оиытѣ.
Самые обширные н удовлетворительные опыты надъ углубленіемъ сферическнхъ снарядовъ въ различныя твсрдыя среды были
произведены во Францін, въ Мецѣ, въ 1 8 3 4 н 1 8 3 5 годахъ комнссіею для пзученія законовъ стрѣльбы, членами которой были
генералы Піоберъ, Моренъ и Дидіонъ. На этихъ онытахъ стрѣляли ядрами изъ 2 4 Ф. н 1 2 Ф. пушекъ и бомбами нзъ 2 2 сентиметровой осадной гаубицы, различными зарядами, въ различныя
твердыя среды, и наблюдали какъ длины углубленій, такъ и Форму
воронокъ. Длины углубленій, получаемый изъ одного п того-же
орудія, въ одну и ту-же среду, при различныхъ зарядахъ, были
построены, прп чемъ скорости снарядовъ въ начал! углубленій
приняты за абсциссы, а длины углублений за ординаты, и по полученнымъ точкамъ построены кривыя, изображающія зависимость длпнъ углубленій отъ скоростей снарядовъ въ начал ! углубленія.
2 8 3 . Законы ущбленгя,

Для того чтобы выразить получен-

ныя крпвыя углубленій Формулою, приняли, что сопротивленіе
твердыхъ срединъ движенію сферическнхъ снарядовъ пропорціонально площади большаго круга снаряда, и что одна часть сопротивленія, заключающаяся въ с и л ! необходимой для преодолѣнія
сцѣпленія частицъ среды и гренія ихъ о движущееся тѣло, не
зависите отъ скорости снаряда; а другая часть сопротивлеиія,
происходящая отъ двпженія сообщаемаго снарядомъ частицамъ
среды, зависите отъ квадрата скорости снаряда.
Если изобразимъ чрезъ р сопротивление среды, чрезъ 11 раДіусъ снаряда, чрезъ ѵ его перемѣнную скорость въ продолжепіи

углубленія, чрезъ г отношеніе окружности къ діаметру, то будемъ имѣть

г д ѣ X и и суть коеФФИЦІенты зависяіціе отъ свойства среды.
Т а к ъ какъ можно принять, что твердая среда, в ъ которой
движется снарядъ, оказываетъ достаточное сопротнвленіе тому
чтобы снарядъ чувствительно не

ПОНИЗИЛСЯ

вслѣдствіе своего в ѣ с а ,

то движеніе центра тяжести сферическаго не в р а щ а ю щ а я с я снаряда должно совершаться по прямой, онредѣляющей направленіе
снаряда при ударѣ его в ъ твердую среду, и если изобразимъ
чрезъ Р в ѣ с ъ снаряда, чрезъ ѵ его скорость по нстеченін времени t
отъ начала углубленія, чрезъ F скорость снаряда въ н а ч а л ! углубленія, чрезъ s длину углубленія

соогвѣтствующую времени t,

чрезъ g ускореніе тяжести, то получимъ

или, замѣтивъ что ѵ =

откуда

и

, будемъ имѣть

ИЛИ

_
S

~

1

Pu2
2ЫВ2д

,

.böge'

l j 0

1

S

—

»2

f

'

2 8 4 . Длина полнаго углубления. Длину полнаго углубленія
получимъ положпвъ v — О въ послѣднемъ уравненін, и изобразивъ это углубленіе чрезъ S будемъ имѣть
с

6

-Р»2

т

Л

= ѵШафТй^е ' L ° g ( l

Ѵ2\
1?) •

Это уравненіе показываетъ что:
1°. Длнны полныхъ углубленій въ твердую среду снарядовъ,
имѣющихъ въ началѣ углубленія одну и ту site скорость F, иропорціоналыіы вѣсамъ снарядовъ и обратно проііорціональпы квадратамъ ихъ діаметровъ, или, такъ какъ для сферическихъ снарядовъ P=\t.R3.D,

гдѣ В есть плотность снаряда, то длины

углубленій пропорціональны пропзведеніямъ діаметровъ сферическихъ снарядовъ на ихъ плотности.
2°. Отношеніе длішъ полныхъ углубленій S н S' въ твердую
среду двухъ снарядовъ одпнаковаго вѣса и діаметра будетъ

g

_iog(i-+--£)

Когда скорости снарядовъ въ началѣ углублсній малы, тогда
/
Ѵ2\
V2
/
У2\
V'2
приблизительно l o g ( l 4-—J = — t l o g ^ l - H — j = — , и длины
полныхъ углубленій снарядовъ одпнаковаго вѣса и діаметра приблизительно пропорціопалыіы

квадратамъ скоростей снарядовъ

въ пачалѣ углублсній.
Если соиротпвленіс твердыхъ срединъ не зависѣло бы отъ
скорости

снарядовъ,

т.

о.

и равнялось бы безкопечностн и

Р=

, то длины полныхъ углубленій снарядовъ одпнаковаго
29

иѣса и діаметра были бы пропорціоналыіы квадратамъ скоростей
снарядовъ въ начал! углубленій, каковы бы ни были величины
этихъ скоростей.

285. Опредѣленге коеффиціентовъ X и и входящихъ въ выраженге

полнаго углубленія.

Возьмемъ съ кривой, выражающей

зависимость длпыъ полныхъ углубленій одпого и того же снаряда
въ одну и ту же твердую среду отъ скоростей снаряда въ н а ч а л !
углубленія, два углубленія S и S' соотв!тствующія двумъ скоростямъ F il F ' п вычислимъ, помощію посл!довательныхъ подстановленій, величину и изъ отношенія
g

log(l-t--Ia)

Зная и онредѣлнмъ величину X изъ уравненія
S

=

2ХТГДѴ Log

Log(l

н - g ) .

Если потомъ вычислимъ, номощію этой Формулы, длины полныхъ углубленій соотвЬтствующнхъ различнымъ скоростямъ въ
начал! углубленій

н сравнимъ ихъ

съ наблюденными длинами

углубленій, то получимъ возможность судить о степепн точности,
съ которою означенная Формула выражаетъ наблюденія.
Для приміра возьмемъ результаты опытовъ пропзведенныхъ
въ

1835

году,

въ

Мецѣ,

стрѣльбою

въ

глинистую

землю

С. Жюльенскаго предм!стья легко смоченную и набитую въ деревянную обшивку 5 метровъ ширины, 5 метровъ глубины н 2 , 3
метровъ вышины. Стр!льба была произведена ядрами изъ 2 4 Ф.
H 1 2 Ф. пушекъ и бомбами изъ 2 2 сентпметровоГі гаубицы, зарядами нзм!нявшимися отъ 4 до \ в ! с а снарядовъ съ дистанцій
отъ 2 0 до 4 0 метровъ. В ъ следующей таблиц! помЬіцены скорости въ начал! углубленій и наблюдеішыяуглубленія при каждомъ в ы с т р ! л ! , средиія углубленія выведенный изъ построенія и
углубленія вычисленный помощію вышеприведенной Формулы.

денный при к а ж домъ в ы с т р ѣ л ѣ .

Килограммы. Метры в ъ 1 с.

Метры.

Метры.

Метры.

4,14
3,85
3,62

4,08
3,85
3,68

3,27

3,37

2,42

2,58

190
121

4,11.
3,26; 3,51.
3,45; 3,72.
2,83; 3,20; 3,30; 3,29;
J
}
3,02; 3,45; 3,72.
2,90; 2,52; 2,55; 2,65;
{
2,30; 2,39; 2,63; 2,62. }
1,85; 1,80; 1,90; 1,95.
1,16.

1,73
1,12

1,74
1,00

3,000
2,000
1,000
0,500
0,250
0,125

494
482
400
285
194
120

3,49; 3,02.
3,67; 2,96.
2,47; 2,34.
1,96; 1,93; 1,24; 1,94.
1,85; 1 , 2 4 ; 1 , 3 7 .
0,89; 0,74; 0,87.

3,10
3,02
2,58
1,94
1,36
0,89

3,07
3,02
2,66
2,04
1,39
0,80

1,500
1,000
0,500
0,250

253
218
142
90

2,35; 2,32.
2,02.
1,64.
1,01.

6,000
4,000
3,000

538
494
457

2,000

402

1,000

285

0,500
0,250

12 Ф .
полевая
пушка.

2 2 сент.
осадная
гаубица.
В ѣ с ъ бомбы 2 2 , 5
кил.

24 Ф.
осадная •
пушка.

Вычисленныя углубленія.

Углубленія наблю-

Среднія
углубленія
выведенныя
изъ построенія.

Скорости
въ началѣ
углубленія.

Вѣса

зарядовъ.

Орудія.

1,97
1,71
1,04
0,54
*

À = 3 4 5 0 0 0 килограм. на 1 к в . м е т р ъ ;

и =

1 1 2 метровъ в ъ 1 е - .

или
X = 7 8 2 5 0 фунтовъ на 1 к в . Футъ;

и=

3 6 7 Футъ в ъ 1 е •.

Сравнивая между собою вычисленные результаты съ наблюденным» длинами углубленій, вндимъ, что в ъ предѣлахъ скоростей
употребляемыхъ на практик!, углубленія выражаются съ достаточною точностью ; но ирн малыхъ скоростяхъ вычисленныя углубленія менѣе наблюденныхъ.
2 8 6 . Поступая подобным!, образомъ съ результатами опытовъ падъ различными родами земель, каменной одежды и дерева,
получимъ коеФФнціепты сопротнвленія углубленію сферическнхъ
снарядовъ помѣщенные въ слѣдующей таблиц!:

Таблица коеффиціентовъ сопротивлепія углубленію сферическнхъ спарядовъ въ различная твердая среда.
X.
С Р Е Д Ы .

Килограммы
на 1 кв.
метръ.

и.
Фунты
Метры
Футы
на 1 кв.
въ
1
сек.
въ
Ісек.
футъ.

Земли.
ІІесокъ смѣшанный съ хрящемъ...
Земля смѣшанная съ пескомъ и хрящемъ.
Глинистая земля на половину хряща
Черноземъ старыхъ брустверовъ и
насыпная земля нзъ песка и глины
Насыпная земля на половину глины
и песка (въ полигонѣ Меца)
Глинистая земля изъ С. Жюльснскаго предмѣстья
Глиняный валъ наВолковомъ подѣ.
Горшечная глина сырая
Та-же тлнна смоченная
Легкая земля старыхъ брустверовъ.
Та-же земля вновь насыпанная . . . .

435000

98700

71

233

Г,00000

136100

71

233

1045000

237100

169

554

700000

158800

129

423

4С1000

104600

129

423

345000
294000
2G6000
91700
304000
265000

78300
66600
60400
20800
69000
60100

112
112
112
112
71
71

367
367
367
367
233
233

1252000

258

846

998400
717000
2723000

258
258
258

846
846
846

473000
473000
363000
263000
247000

224
224
224
224
224

735
735
735
735
735

К а м е н н а я одежда.
Каменная одежда хорошаго качества , устроенная Вобаномъ въ
Мсцѣ
5520000
Каменная одежда средняго достоинства
4400000
3160000
Известковый оолнтъ близъ Меца . . 12000000
Дерево.
Букъ, грабина, ясень
Вязъ
Ель, береза
,
Тополь

2085000
2085000
1600000
1160000
1090000

2 8 7 . Форма воронокъ образуемыхъ сферическими снарядами.
В ъ средахъ, въ которыхъ воронка довольно хорошо сохраняетъ
свою Форму нослѣ углубленія снаряда, какъ глинистая земля, ме-

ридіональныя сѣченія воронки пмѣютъ видъ (ФИГ. 8 0 ) крнвыхъ
обращенныхъ выпуклою стороною къ оси, которыя къ дну воронки мало отличаются отъ прямыхъ параллельныхъ направленію
Движенія. Сѣченія перпендпкулярныя къ направленно двигкенія
имѣютъ видъ круговъ, которыхъ радіусы по м ! р ! приближенія
к

"ь дну воронкп уменьшаются, и у дна дѣлаются равпымн радіусу

снаряда, что показываетъ, что скорость движенія частицъ среды
уменьшается со скоростью снаряда.
Обратное движеніе частицъ среды поел! углубленія снаряда
отчасти мѣняетъ Форму воронкп и умепынаетъ ея діаметры.
Подобпыя явленія замѣчаются, хотя мепѣе ясно, когда снаРядъ углубляется и въ другія среды, какъ напрммѣръ в ъ каменную кладку; но въ каменной одеждѣ передняя часть пустоты, не
будучи поддержана, легко разбивается п образуетъ воронку болѣе
Широкую ч!мъ задняя часть пустоты. В ъ свинцѣ Форма воронки
подобна Формѣ ея въ глинѣ.
Ыаблюденія сдѣланныя надъ углубленіемъ въ разлнчнаго рода
земли снарядовъ разныхъ калпбровъ, выстрѣлеішыхъ разными
зарядами, показали, что отношеніе объема воронкп, къ живой
силѣ снаряда въ начал! углубленія, постоянно для одной и той же
среды, H какъ части воронокъ у дна одинаковы при с т р ! л ь б !
однпмъ и т ! м ъ же сиарядомъ, каковы бы ни были скорости въ
пачал! углубленія, такъ что воронкп образованный сиарядомъ
отъ различныхъ зарядовъ, могутъ входпть одпа въ другую, то
объемы различныхъ частей воронкп ііроііорціоналыіы потерямъ
жнвыхъснлъ снаряда прп прохожденіи его отъ начала разсматриваемой части воропкп до конца этой частп.
Если назовемъ чрезъ г радіусъ воронки на разстояніи s отъ
начала и чрезъ ѵ скорость снаряда въ разсматриваемой точк!, то
объемъ образовавшейся на этомъ разстояніи пустуты будетъ равенъ тс г1 d.s. Такъ какъ соотв!тствующая этому объему потеря
живой силы снаряда р а в н а ^ (V2—v2),

то обозначивъ чрезъ к

постоянное отношеиіе живой силы снаряда къ объему пустоты
в ъ разсматриваемой средѣ, нолучпмъ

CS
,î
ък гds,

I ( Г - Т ) =

о
откуда, чрезъ диФФеренцнровашс,

— Lvdv =

kizrhls.

9

В с т а в п в ъ вмѣсто vdv его величину изъ уравненія (п°
vdv =

— Х|>- TCF2(I -+-А)

283)

ds,

будемъ имѣть
Ii* —

ft

^и2)'

В ъ концѣ углубленія

r= R

и ѵ=

О.

Для того чтобы эти условія были выполнены, какъ видно нзъ
послѣдняго уравненія, необходимо чтобы
fc =

X

п слѣдовательно

Но нзъ уравненія ( п ° 2 8 2 )
Pu2

2\TzB2g

i

1

„

°

—
«2

\-x-~

и2

имѣемъ
2ЫВ2д
i

1,2

(л

„

Pu2

.S

вставпвъ это выраженіе въ уравненіе

найдемъ
/

ХтсДу

уі

Pu2 '

уравненіе кривой производящей поверхность воронкп.
Положпвъ s =

0 получимъ радіусъ rQ наружнаго отверстія

воронки

Это выраженіе ноказываетъ, что радіусъ наружнаго отверстия воронки будетъ тѣмъ болѣе, чѣмъ и мепѣе.
Если бы сопротивленіе среды не зависѣло отъ скорости снаряда, то нмѣлн бы и =

о о H радіусъ воронки на всемъ нротяже-

ніи углубленія равнялся бы радіусу снаряда.
Т а к ъ какъ воронки могутъ быть измѣрены только поокопчаніи углублеііія

снаряда,

когда,

вслѣдствіе

упругости

частнцъ

среды, діаметры воропокъ уменьшились, то наблюдаемые объемы
воронокъ выходятъ менѣе тѣхъ, которые получаются изъ прпведенныхъ Формулъ.
2 8 8 . Время углубленія. Обозначивъ чрезъ t время углубленія снаряда отъ начала до момента, въ который скорость снаряда
равна v H чрезъ Т время полнаго углубленія, пзъ диФФеренціальнаго уравненія ( м ° 2 8 3 )

получимъ
гѵ

и
Pu /
1

Такъ

какъ

=

ыЩ

(

V
a r c

t a n

S it -

ѵ\
a r c

t a n

въ концѣ углубленія v =

S 17 ) •

0 , то полное время

углубленія
m
T =

Pu
,
V
, „2 . a r c . tang - ,

пли, вставнвъ вмѣсто X его величину нзъ уравненія ( и ° 2 8 4 )

найдемъ
™

„ or

2&Loge

у
arc tang —
и

Если бы сопротивленіе среды не зависѣло отъ скорости снаряда, то имѣлн бы и =• оо и
гр
25
J- — -уВремена полныхъ углубленій сферическнхъ снарядовъ въ
твсрдыя среды всегда весьма малы н тѣмъ менѣе, чѣмъ сопротивленіе среды болѣе, а полное углубленіе менѣе. Если вычпслимъ времена полныхъ углубленій 2 4 Ф. сферическаго ядра при
скорости его въ началѣ углубленія равной 4 9 4 метрамъ ( 1 6 2 0
Футъ), то получимъ:
1°. При стрѣльбѣ въ глинистую землю С. Жюльенскаго предйіѣстья X = 3 4 5 0 0 0 килогр. на 1 кв. метръ, и=\\2
метр.,
5 = 3 , 8 5 метра, Т = 0 , 0 3 0 6 секунды.
2 . Прп стрѣльбѣ въ песокъ смѣшанный съ хрящемъ
Х = 4 3 5 0 0 0 килогр. на 1 кв. метръ, и = 7 1 метр., 5 = 1 , 4 3
метр., Т = 0, 0 1 4 6 секунды.

§

и.

Углубленіе продолговатыхъ снарядовъ въ твсрдыя среды.
289.

Форма пустоты образуемой продолговатыми снаряда-

ми. Бслѣдствіе того, что памъ иеизвѣстиа ( м ° 2 8 2 ) зависимость
сопротивлеиія твердыхъ средпнъ иа движущіяся въ нихъ тѣла ни
отъ скорости движенія, ни отъ угла составляемаго нормалью къ
поверхности элемента движущагося тѣла съ направлепіемъ движенія — невозможно

составить точную теорію оиредѣляюшую

законы движенія продолговатыхъ снарядовъ въ твердыхъ средахъ.
Изъ наблюденія надъ углубленіями (длиною значительно превышающею длішу продолговатаго снаряда) въ средахъ довольно
хорошо сохраішющихъ

Форму пустоты образуемой снарядами,

оказывается, что продолговатые снаряды съ оживалыюю головною частью,

выстрѣленные

прицѣльно

различными зарядами,

описываютъ траекторін приблизительно плоскія, отклоняющіяся
вправо отъ ііаправлеііія двпжеиія въ началѣ углубленія и обращенныя къ этому направлеиію чаще выпуклою стороною п рѣже
вогнутою стороною. Кривизна траекторій быстро увеличивается
къ концу движенія, и положеніе снаряда въ концѣ углублеиіл бываетъ разнообразно: снарядъ находятъ піюгда стоймя вершиною
вверхъ, иногда лежмя вершиною къ наружному отверсгію углубленія,

иногда

стоймя вершиною внизъ. I I a Фигурѣ 8 1 изобра-

женъ въ натуральную величину видъ пустоты образованной нулей выстрѣлеішой изъ нарѣзнаго 6 лші. ружья, съ разстоянія
1 1 3 саженъ, въ толстый слой составленный нзъ бумажныхъ листовъ.
М ы можемъ объяснить Форму углублемій образуемыхъ продолговатыми снарядами слѣдующнмъ образомъ:

В ъ н а ч а л ! углублепія ось Фигуры нрицѣльно выстрѣленнаго
снаряда, к а к ъ знаемъ

изъ

разбора

двшкепія

снарядовъ въ в о з д у х ! , составляетъ нѣкоторый
8 с ъ направленіемъ

движенія,

иродолговатыхъ
небольшой уголъ

при ч ! м ъ уголъ ѵ ,

образуемый

вертикальною плоскостью проходящею чрезъ направленіе двпженія с ъ плоскостью проходящею чрезъ то же нанравленіе движенія h ось Фигуры снаряда, б ы в а е т ъ б о л ! е 0 н менѣе

180°.

Въ

твердой с р е д ! снарядъ подверженъ д ! й с т в і ю силы сопротпвленія
среды, п а р ! сопротивленія среды и п а р ! тренія среды. Для снарядовъ с ъ оживалыюй головной частью можно допустить, подобно тому какъ б ы в а е т ъ при движеніп этпхъ снарядовъ в ъ в о з д у х !
7 7 ) , что, при не весьма большпхъ у г л а х ъ 8, равнод!йствующая нормалыіыхъ сопротивленій среды, на элементы поверхности снаряда подверженные соііротнвлеиію, составляетъ с ъ направленіемъ

прямо противоположнымъ оси Фигуры снаряда уголъ

большій у г л а образуемаго

осыо Фигуры с ъ направленіемъ двн-

женія, что (п° 7 8 ) центръ соиротпвлеііія находится впереди центра тяжести снаряда и поэтому пара сопротивленія среды

стре-

мится удалить ось Фигуры снаряда отъ направлеііія двшкешя.
В о время углубленія снаряда, пара сопротивлепія твердой среды,
не смотря на вращеніе снаряда, в ъ н а ч а л ! углубленія,
оси Фигуры,

вокругъ

достаточно велика для того чтобы замѣтно увели-

чивать уголъ составляемый

осыо Фпгуры с ъ направленіемъ двн-

женія, и для того чтобы угловое движеніе оси Фигуры снаряда
вокругъ касательной совершалось еще медленн!е ч ! м ъ в ъ возд у х ! п весьма скоро вовсе уничтожалось отъ соііротнвленія среды этому угловому движенію. Поэтому траекторію снаряда можно
приблизительно

разсматривать

какъ

заключающуюся в ъ одной

плоскости проходящей чрезъ направленіе двнженія и ось Фигуры
въ начал!

углубленія.

Пара

тренія твердой среды о снарядъ,

прп вращеніи его вокругъ оси Фигуры, должна уменьшать п виосл Ьдствін уничтожить угловую скорость снаряда вокругъ его оси.
В с л ! д с т в і е т о г о что равпод!йствующая сопротнвленія образуетъ
с ъ паправленіемъ прямо противоположнымъ осп Фигуры уголъ S

болыній чѣмъ уголъ составляемый осыо Фигуры с ъ

касательной

къ траекторін, траекторія должна быть обращена вогнутою стороною къ направленію осп Фигуры в ъ началѣ углубленія, и для
того чтобы кривизна траекторін
углубленія,

быстро увеличивалась к ъ концу

уголъ 8 , a вмѣстѣ с ъ т ѣ м ъ и уголъ

составляемый

равнодействующею сопротивленія с ъ направленіемъ прямо противоположнымъ направлепію движенія, не смотря на положительное
прпращеніе у г л а наклоненія траекторіп, должеиъ увеличиваться
во все время двнженія снаряда в ъ твердой средѣ, не достигая
однако 9 0 ° .
Если примемъ в ъ разсмотрѣніе одно сопротивленіе
ное

къ

элементамъ

нротпвленію,

n

поверхности

снаряда

нормаль-

подвержеішымъ со-

изобразимъ равнодѣйствующую этого сопротп-

вленія чрезъ р , обозначпмъ чрезъ ѵ скорость снаряда,

соотвѣт-

ствующую времени t отъ начала углубленія, чрезъ s д у г у пройденную снарядомъ в ъ это время, чрезъ 0 уголъ составляемый к а сательного к ъ траекторіи

с ъ нанравленіемъ движенія в ъ началѣ

углублеыія, чрезъ у радіусъ кривизны, чрезъ ß уголъ составляемый равнодѣйствующею

сопротивленія с ъ направленіемъ прямо

противоположнымъ направленію движенія, чрезъ Р в ѣ с ъ снаряда,
чрезъ g ускореніе тяжести,

то ускоренія по касательной п внут-

ренней нормали к ъ траекторіи
dv

_ = _

будутъ

? ?

»2

d

C O S ß
9

a

• a

- = pjfSinß,

h нзъ послѣдняго

уравненія, замѣтивъ что у =

ds

^ =

vdt

, полу-

,чпмъ
de

q

.

»

1

Такъ какъ въ концѣ углублепія v =
то

0 , но sin ß ne нуль,

—

4G0

Разсмотримъ имѣетъ ли уголъ О' соотвѣтствующій концу углубленія конечную величину.
Выраженіе ускорепія по касательной показываетъ, что ?
временахъ соотвѣтствующихъ v =

при

О и величинамъ ѵ близкимъ

въ нулю имѣетъ конечную величину, большую нуля, которую обозначимъ чрезъ

В ъ выраженіи ^ , величина
P I . sin ß ,
при временахъ соотвѣтствующнхъ ѵ =

О и величинамъ ѵ близ-

кимъ къ нулю, конечная, большая нуля. Обозначивъ ее чрезъ N
получимъ для времепъ соотвѣтствующихъ величинамъ ѵ близкимъ
къ нулю
de
dt

N
v '

Слѣдователыю для означенныхъ временъ
de
dv

de dt
dt ' dv

N_
p
M ' v '

Интегрируя это выраженіе отъ ѵ — ѵ і , гдѣ ѵ ( весьма близко
къ нулю, до v и отъ О =

О . до Ѳ получимъ

•

или, обозначивъ чрезъ ( - У j

V

пѣкоторую средпюю величину, кото-

рую получаетъ — между предѣлами ѵ и ѵ і , будемъ имѣть

что при
ѵ =

0

даетъ
0' =

оо.

И такъ уголъ наклоненія траекторіи въ концѣ углубленія безконечыо великъ; но дуга полнаго углубленія конечная, и потому
траекторія къ концу углубленія, если бы на снарядъ дѣйствовалн
одни сопротивленія

нормальный

къ элементамъ

поверхности,

должна б ы , подобно логариѳмической спирали, обвиваться безчисленное множество разъ около своего полюса, къ которому болѣе n болѣе должна бы приближаться, никогда его не достигая.
По причин! сопротивленія среды этому обвиванію, выраженіе
О' =

о о , на практик!, должно только указывать на неопред!лен-

ность положенія снаряда въ концѣ углѵблепія.
При нзложенныхъ

условіяхъ:

если въ начал!

углубленія

уголъ v, составляемый вертикальною плоскостью проходящею
чрезъ направленіе движенія съ плоскостью проходящею чрезъ
то же направленіе двнженія н ось Фигуры снаряда, — если этотъ
уголъ v меньше 9 0 ° , то траектория въ твердой сред! отклонится
вправо отъ направленія движенія въ начал! углубленія и будетъ
обращена выпуклою стороною къ этому паправленію движенія.
Если же въ начал! углубленія уголъ ѵ больше 9 0 ° , то траекторія, отклоняясь вправо

отъ направленія двшкеніл

въ начал!

углубленія, будетъ обращена вогнутою стороною къ этому направленно движенія.
2 9 0 . Приближенное

опредѣленіе длинъ полныхъ углубление

гіроизводимыхъ продолговатыми снарядами.

М ы не имѣемъ воз-

можности, какъвид!лп, составить точную теорію, определяющую
законы движенія иродолговатаго снаряда въ твердой средѣ. Но
изъ разбора результатовъ опытовъ пронзведенныхъ въ нашей н
прусской артпллеріяхъ стрѣльбою продолговатыми снарядами въ
различный твердыя среды,

оказывается,

что длины

полныхъ

углублены, пропзводнмыхъ продолговатыми снарядами, можно

опредѣлять с ъ достаточнымъ для практики приблпженіемъ по Форм у л ! (п° 2 8 4 )
S

=

йШфШГе •L°S I1

S ) '

если примемъ для и т ! же величины какъ для сферическихъ снарядовъ, номЬщенныя въ таблиц! п° 2 8 5 ; а для X величины опредѣленныя изъ результатовъ опытовъ надъ продолговатыми снарядами.
Для прим!ра возьмемъ результаты опытовъ иропзведенныхъ
въ 1 8 6 9 году на Волковомъ иол! стрѣльбою вт> глиняный валъ,
различными зарядами, изъ 2 4 Ф. гладкой пушки сферическими
ядрами и 2 4 Ф. нар!зной пушки продолговатыми гранатами безъ
разрывнаго заряда. В ъ следующей таблиц! помещены среднія
скорости снарядовъ въ начал! углубленія, выведенный, на этихъ
опытахъ, изъ скоростей опред!ленныхъ при каждомъ выстрЬл!
помощію хронографа г. Ле-Буланже въ блнзкомъ разстоянін отъ
вала, средиія наблюденный углубленія и углубленія вычпслеииыя

Фунты. Футы в ъ I е .
8
Г л а д к а я 2 4 Ф . пушка.
Калибръ 6 Д . В ѣ с ъ <
ядра 2 9 , 5 Ф Н .
I

(

5
3
0,75
7

Н а р ѣ з н а я 2 4 Ф . пушка. Калибръ 6 Д . В ѣ с ъ сиаряда 7 1 , 3 ФН.

5.S

1558
1255
902

Наблюденный среднія
углубленія.

Скорости
въ началѣ
углубленія.

Вѣса

о p у д і я.

ларядопъ ;

помощію приведенной Формулы.

918

2,5

611

1,5

431

ты
X и и.

Футы.

Футы.

S£

15

>.

в
е ©
On
S Ï

13,5
10

• 442
1069

à
.S
Й _ я
3 5 й
2 .д CT
- S VO
5
Я
p

КосФФиціен-

S -

15
13,2

'

*
7,о

\

>
)

12,9

S

10,5

e

о

55

M

3

Il

7,7

15
g
я
g

II

4,5

(

S E

A

o *1

© ©

я

I I3,2

y
S
II

j

8,8

l

5,8

Я
Я

Rm

О —

о в
S
Il

r<

G

*
с,
S

15

Сравнивая вычнслеішыя углубленія съ наблюденными видимъ,
что въ предѣлахъ скоростей употребляемыхъ на практнкѣ приведенная Формула выражаетъ съ достаточнымъ приближеніемъ наблюдеішыя углубленія продолговатыхъ снарядовъ; но при малыхъ
скоростяхъ вычисленный углубленія менѣе паблюденныхъ.

КоеФФИЦІентъ сопротіівленія X для продолговатыхъ снарядовъ, не смотря на оживальную Форму ихъ головной части в ы шелъ болѣе чѣмъ для сферическихъ снарядовъ. Это обстоятельство можетъ быть объяснено тѣмъ, что ось продолговатыхъ снарядовъ па протяженіи некоторой части траекторіи дѣлаетъ значительные углы с ъ направленіемъ движенія, и что кривизна
траекторіи продолговатыхъ снарядовъ къ концу углубленія быстро
возрастаетъ, менаду тѣмъ какъ приведенная Формула полнаго
углубленія предполагаем движеніе снаряда по прямой.
2 9 1 . Поступая иодобнымъ образомъ съ результатами опытовъ
надъ другими средами,

получимъ коеффиціенты соиротнвлеііія

углубленію продолговатыхъ снарядовъ помѣщенные въ следующей
таблпцѣ:

Таблица коеффпціептовъ сопротнвленія углублепію продолговатыхъ снарядовъ въ твердыя среды.
и.

X.
С Р Е Д Ы .

Килограммы
на 1 к в .
метръ.

С в ѣ ж а я глина (опыты в ъ М а г д е б у р г 1 8 6 2 г.)
441000
Глиняный в а л ъ Волкова поля ( 1 8 6 9
года)
463000
С л ѣ ж а в ш а я с я тяжелая глина (опыты
в ъ Магдсбургѣ (1862 г.)
645000
Кирпичная одежда (опыты в ъ Ю л п х ѣ ( 1 8 6 0 г.).
5500000
Г р а н и т ъ (опыты в ъ
Швейдницѣ
1 8 5 7 г.)
7980000
Фииляндскій гранита, (опыты в ъ
Фридрихсгамѣ 1 8 6 8 г . )
15960000
Д у б ъ (опыты в ъ Берлинѣ 1 8 6 0 и
1861 г.)
2820000

Фунты
на 1 к в .
футъ.

Метры

Футы(

в ъ 1 сек. в ъ 1 сек.

100000

112

367

105000

112

367

147000

112

367

1250000

258

846

1810000

258

846

3620000

258

846

640000

224

735

Если сравнимъ помѣщенные в ъ этой таблиц! коеФФиціенты
соиротивленія X для продолговатыхъ сиарядовъ с ъ коеФФИціентами X для сферическнхъ сиарядовъ, помѣщенными въ таблицѣ
п° 286 и соответствующими по возможности одинаковымъ средамъ, то увидимъ, что коеФФиціенты X для продолговатыхъ снарядовъ можно принимать приблизительно в ъ 1,5 раза болѣе соотвѣтствующихъ имъ коеффиціентовъ X для сферическнхъ снарядовъ. Поэтому при вычислены длинъ полныхъ углублены, по
Формулѣ п° 2 8 9 , образуемыхъ продолговатыми снарядами в ъ
средахъ не вошедшнхъ в ъ послѣднюю таблицу, з а неимѣніемъ
пепосредствемиыхъ оиытовъ, можно брать для X значенія в ъ 1,5
раза болѣе номѣщенныхъ в ъ таблиц! п° 285, а для и сохранять
значенія въ ней прішятыя.

ІІробішапіс жслѣзпыхъ броней.
2 9 2 . Нанболѣе обширные опыты надъ пробпваніемъ желѣзныхъ броней были произведены въ Лнглін и описаны въ отчет!
капитана Нобль. Они были предприняты съ цѣлыо получить данный для практическая рѣшенія вопросовъ встрѣчающихся при
стрѣльбѣ въ брони ; но, но отзыву самого капитана Нобля, елншкомъ ограничены для того чтобы нзъ нихъ можно было вывести
закоиъ сопротивленія желѣзныхъ броней двпженію въ нихъ артиллерійскихъ снарядовъ. Первая часть опытовъ состояла въ стрѣльбѣ
въ желѣзныя плпты безъ подкладки; вторая часть въ стрѣльбѣ
въ плиты нрикрѣплешіыя къ срубамъ представлявшимъ борта
броненосныхъ судовъ.

IIa опытахъ употребляли стальные снаряды и частію снаряды
изъ закаленнаго чугуна. При стрѣльбѣ обыкновенными чугунными снарядами, значительная часть работы расходуется на разбиваніе снарядовъ, измѣненіе пхъ Формы н разбрасывапіе оскол-

ковъ, такъ что дѣйствіе обыквовенпыхъ' чугунныхъ снарядовъ
протнвъ желѣзныхъ броней незначительно.

293. Живая сила снаряда необходимая для пробиванія насквозь желѣзной

плиты данной толщины.

Если сопротнвленіе

оказываемое желѣзными плитами пробивапію ихъ насквозь снарядами будемъ разсматривать какъ сопротивлеміе сдвигу и обозначимъ чрезъ 2к сомротивлепіе иа единицу сдвигаемой поверхности, чрезъ Р вѣсъ снаряда, чрезъ R его радіусъ, чрезъ ѵ его
скорость по истеченіи времени t отъ начала удара, когда онъ
углубился въ плиту иа длину s, чрезъ V скорость снаряда при
ударѣ въ плиту, чрезъ Ъ всю толщину плиты, чрезъ g ускореніе
тяжести H чрезъ тс отпошеніе окружности къ діаметру, то ускореніе но направленію движенія будетъ
dv
Tt

и какъ v =

jt,

2 Ь J .

2TCF-S,

то
•о

vdv =

2к - J • 2 TZR sds,

откуда
рѵ

(1)

2

i

' 2g ' 2TzR

: lib2

2 9 4 . Опыты надъ пробиваніемъ желѣзныхъ плитъ безъ подкладки.

Опыты эти нмѣлп цѣлыо опредѣлить можетъ-ли быть

употребляема приведенная Формула съ достаточнымъ для практики нриближеніемъ и должны были служить для вывода коеФФиціента сопротивленія k.
Поэтому, по пріисканіи предварительными выстрѣлами скорости

снаряда даннаго вѣеа и діаметра, необходимой для проби-

ванія насквозь желѣзной плиты данной толщины, было положено:
1°. Стрѣлять въ плиту той-же толщины пзъ орудія того-же
зо

калибра, снарядами различнаго вѣса н такими зарядами, которые
бы сообщали снарядамъ, при ударѣ въ плиту живую силу равную
найденной нзъ предварптельныхъ выстрѣловъ.
Употребленное для опытовъ нарѣзиое орудіе имѣло калибръ
6 t 3 ; снаряды 6]22 въ діаметрѣ были продолговатые вѣсомъ
въ 106,71 и 64 апглійскнхъ ч>унтовъ и СФеричеекіе вѣсомъ 35]
англійскихъ Фунтовъ. Головная часть всѣхъ продолговатыхъ снарядовъ имѣла полушарную Форму. Желѣзныя плиты были в ъ 5]
дюймовъ толщины. Скорости снарядовъ были измѣряемы электробалистическимъ прпборомъ г . Наве, в ъ близкомъ разстоянін впереди плитъ. В с ѣ снаряды имѣвшіе при ударѣ въ плиту живую
силу не меньшую 185000 англійскихъ Фунто-Футовъ пробивали
плиту насквозь.
Этотъ результата п о к а з ы в а е м , что для пробнванія насквозь
плитъ одной п той-же толщины, снарядами одного и того-же діаметра, но различнаго вѣса, живая сила снарядовъ при ударѣ в ъ
плиту, какъ и слѣдуетъ изъ Формулы (1),
293, должна быть
постоянная.
2 ° . Стрѣлять въ плиты той-же 5 Д ] толщины изъ орудій разпаго калибра, снарядами различнаго вѣса и такими зарядами, которые бы сообщали снарядамъ при ударѣ въ плиту живую силу
иропорціоііалыіую нхъ діаметрамъ, и для снарядовъ въ 6 t 2 2 діаметромъ приблизительно равную 1 8 5 0 0 0 англійскимъ Фунто-Футамъ.
Употребленный орудія были нарѣзная 6t"3 пушка, нарѣзная
7 Д ' пушка и гладкая 1 0 0 Фунтовая (9Д- калибра) пушка. Головная
часть продолговатыхъ снарядовъ

была полушарная.

Снаряды

имѣвшіе при ударѣ въ плиты живыя силы не менынія пронзведенія 185000 ф н -" ф т - на отношеніе діаметра снаряда къ діаметру
6 ^ 2 2 пробивали плиты насквозь.
Этотъ результата показываем, что для пробиванія насквозь
плитъ одной H той-же толщины снарядами различнаго вѣса и діаметра, живая сила снарядовъ приходящаяся иа единицу длины

ихъ окружности при у д а р ! -въ плиты, какъ н слѣдустъ нзъ Формулы (1), п° 2 9 3 , должна быть постоянная.
3°. Стрѣлять въ плиты 4 д 2 - толщины, вмѣсто 5Д'|, снарядами
въ С] 2 2 діаметромъ съ іюлушарноіо головною частью и зарядами,
которые бы сообщали снарядамъ, при ударѣ въ плиты, жнвыя
силы приблизительно равныя 1 8 5 0 0 0

=

124000

англій-

скимъ Фунто-Футамъ.
Снаряды имѣвшіе прп ударѣ въ гілнты живую силу не меньшую 1 2 2 0 0 0 англійскпхъ Фунто-Футъ пробивали 4А'| плиты на
сквозь.
Этотъ результате показываете, что для пробиванія насквозь
плитъ разной толщины, снарядами одного и того-же діаметра,
живыя силы снарядовъ, при ударѣ въ плиты, какъ н слѣдуетъ
изъ Формулы (1), F 2 9 3 , должны быть пропррдіональны квадратамъ толщины плитъ.
Такимъ

образомъ результаты

произведенныхъ

въ Англін

опытовъ приводить къ заключенію, что для рѣшенія вопросовъ
относящихся до пробпванія насквозь желѣзныхъ плитъ, можно,
съ достаточнымъ для практики приближеніемъ, употреблять приведенную Формулу (1), F 2 9 3 , H даютъ для коеффиціента сопротивлеііія к, въ случаѣ сферическнхъ и продолговатыхъ снарядовъ
съ полушарвою головною частью, наивѣроятнѣйшую величину:
при килограмм! и метрѣ взятыхъ за единицы
к=

2 5 8 0 0 0 0 0 килогр. на 1 кв. метръ,

и при русскнхъ Фунтѣ и Ф у т ! взятыхъ за единицы
к=

5 9 5 0 0 0 0 фунг. на 1 кв. Футъ.

Послѣдующіе опыты съ продолговатыми снарядами имѣвшими
острую головную часть, показали, что для продолговатыхъ снарядовъ съ острой головной частью, можно приблизительно принять
к = 2 3 2 0 0 0 0 0 килогр. на 1 кв. метръ
зо*

или
к=

5 3 6 0 0 0 0 русскихъ Фунт, на 1 кв. Футъ.

Опыты произведеішые въ Пруссіи изъ 9Д- англійской нарѣзиой пушки, заряжаемой съ дула и стрѣляющей снарядами съ выступами и изъ нарѣзпой 9Д- стальной пушки заряжаемой съ казенной части п стрѣляюіцей снарядами съ свинцовой оболочкой,
обнаружили, что тонкая припаянная къ снарядамъ свинцовая оболочка не умепьшаетъ дѣйствія снарядовъ нротивъ броней, между
тѣмъ какъ снаряды съ толстой свинцовой, оболочкой дѣйствуютъ
протнвъ броней замѣтпо хуже спарядовъ съ выступами или съ
тонкой свинцовой оболочкой.
Когда снаряды не прострѣливаютъ желѣзныя плиты насквозь,
то дѣйствія ихъ бываютъ весьмаразнообразны,

Н ІІЗЪ

произведен-

ныхъ до нынѣ опытовъ нельзя вывести практическихъ данныхъ
насчетъ длины дѣлаемыхъ снарядами углублены. Можно только
замѣтить, что при живой силѣ снаряда нѣсколько мепыней той,
которая необходима для пробиванія плиты насквозь, углубленіе
снаряда бываетъ значительно менѣе толщины плиты.
Тяжелые снаряды, выстрѣлеиные со скоростью недостаточною для гіробнтія плиты насквозь, растрескпваютъ н расшатываютъ броню и повторенными сотрясеніями могутъ довести судио
до разрушеиія.
2 9 5 . Слоистая броня. Опыты произведенные надъ пробиваніемъ брони составленной изъ тонкнхъ плнтъ соеднненныхъ вмѣстѣ
болтами показали, что слоистая броня значительно слабѣе сплошной; но опыты этн не были довольно обширны для того чтобы
можно было вывести численное сравненіе между сопротпвлепіямн
сплошной и слоистой броней.
2 9 6 . Косвенная стрѣлъба. Изъ результатовъ опытовъ пропзведенныхъ надъ пробиваніемъ желѣзныхъ плитъ составлявшихъ
нѣкоторый уголъ съ вертикальною плоскостью стрѣльбы, капптанъ Нобль пришелъ къ заключенію, что живая сила снаряда при

ударѣ в ъ плиту извѣстной толщины, необходимая для пробнванія
ея насквозь, можетъ быть приблизительно найдена пзъ выражения

РѴ2

1

ь2

,

' 2kR

2д

' cos2 e '

отличающагося отъ Формулы (1), п° 2 9 2 , тѣмъ, что величина Ь

замѣнена величиною — - , гдѣ е есть уголъ составляемый норcos е '

^

малыо къ плитѣ съ направленіемъ движенія снаряда прп ударѣ.
297.

Опыты надъ пробивангемъ желѣзныхъ плгітъ прикрѣп-

ленныхъ късрубамъ представлявгиішъ борты бронепосныхъсудовъ.
Опыты этп показали, что борты броненосиыхъ судовъ значительно увеличпваютъ сопротпвлеше желѣзныхъ плитъ.
Для того чтобы пробить насквозь 4Д | плиту прикрепленную
къ борту Уаррьера, состоящему нзъ 18 дюймовъ сплошпаго тика
и желѣзной внутренней рубашки въ | дюйма толщпиы, необходимо
было чтобы, при ударѣ въ плиту, живая сила снаряда съ полушарною головною частью, приходящаяся на 1 Футъ его окружности была
РѴ2

1

~2g~

' 2kR

~

=

1

8

1

6

0

0

0

РУССК.

Фуііто-Футъ,

между тѣмъ какъ нзъ Формулы (1), п° 2 9 3 ,
пробнванія

4 Д | желѣзной

плиты

выходитъ, что для

безъ подкладки,

необходима

только, при ударѣ въ плиту, живая сила на 1 Футъ окружности
р у г

снаряда съ нолушарною головною частью -щ- •

I

(

=

^

837000

русск. Фунто-Фут.
Слѣдовательно живая сила в ъ 9 7 9 0 0 0 русск. Фунт.-Фут. на
1 Футъ окружности снаряда была израсходована па пробнваніе
насквозь подкладки и рубашки борта Уаррьеръ.

Подобнымъ образомъ

найдено,

что

живая

сила

равная

1 4 7 0 0 0 0 русск. ФН. ФТ. на 1 Футъ окружности снаряда необходима для пробиванія насквозь подкладки борта лорда У ордена, состоящей изъ ЗОі дюймовъ дерева и ц дюймовъ железной обшивки.
Живая сила въ 4 0 7 0 0 0 русск. ФН. ФТ. на 1 футъ окруж-

ности сиаряда достаточиа для пробнваиія подкладки борта обыкновенная линейная корабля состоящей изъ 2 5 дюймовъ тика.
Простая деревянная подкладка, въ предѣлахъ обыкповепной
толщины, не увеличиваете замѣтно сопротивленія желѣзныхъ
плите.
2 9 8 . В ъ заключеніе рѣшнмъ нѣсколько прнмѣровъ относящихся до стрѣльбы въ брони.
Примѣръ 1. Какой толщины желѣзную плиту безъ подкладки
пробьете насквозь сферическое ядро изъ стали или закаленная
чугуна, выстрѣлеішое

изъ 3 и. бомбовой пушки съ разстоянія

4 0 0 саженъ, зарядомъ въ 4 0 Фунтовъ призматическая пороха.
В ѣ с ъ ядра Р=

1 7 7 ФН., діаметръ 2 R =

0 ф т ' , 8 8 4 2 ; началь-

ная скорость 1 5 6 5 ФТ. ; скорость на разстоянін 4 0 0
Ѵ = 994

саженъ

ФТ.

Вставляя эти величины въ Формулу (1), п° 2 9 3 , находимъ

или

Ь=

0 , 4 0 5 Фут.

Ь=

4 , 8 6 дюйм.

ІІримѣръ 2. Какой толщины желѣзную плиту безъ подкладки
пробьете насквозь стальная или изъ закаленная
говатая 1 1 * бомба съ остроконечною вершиною,

чугуна продолвыстрѣленная

изъ 1 1 * нарѣзной пушки съ разстояиія 5 0 0 саженъ, зарядомъ
въ 91» ФН. призматическая пороха.
Р =

5 5 0 ФН.; 211 =

0 , 9 1 6 7 ФТ.; начальная скорость 1 3 6 0

ФТ.; скорость на разстояніи 5 0 0 саж. Ѵ =

1 2 0 0 ФТ.

Вставляя эти величины въ Формулу (1), п° 2 9 3 , получимъ
что:
/Кивая сила при ударѣ въ плиту, приходящаяся на 1 Футъ
окружности снаряда
Ж

' Ш =

4 2 7 0 0 0 0 ФН. ФТ.

Толщина плиты
Ь=

0 , 8 9 3 ФТ., или Ъ =

1 0 , 7 1 дюйм.

Примѣръ 3. Какой толщины желѣзную плиту прикрѣпленную
къ борту У аррьеръ пробьетъ насквозь стальная илп изъ закалениаго
чугуна продолговатая 11 д - бомба съ остроконечною вершиною,
выстрѣленная изъ 11 д - нарѣзной пушки, съ разстоянія 5 0 0 саженъ, зарядомъ въ 9 1 ] ФН. призматическаго пороха.
Живая сила на 1 футъ окружности снаряда, необходимая для
пробиванія подкладки и рубашки борта Уаррьеръ составляетъ
(П°

297)

9 7 9 0 0 0

ФН. Ф Т . В Ы Ч Т Я

ее изъ живой силы (прнмѣръ

2)

4 2 7 0 0 0 0 ФН. ФТ. на 1 ФТ. окружности снаряда,
нолучимъ
3 2 9 1 0 0 0 ФН. ФТ. иа 1 ФТ. окружности снаряда.
г>

РѴ

2

1

Лставпвъ эту величину вмѣсто - 0 — •

въ

Формулу

(1),

п° 2 9 3 , найдемъ
Ь=

0 , 7 8 4 ФТ., или Ь =

9 , 4 дюйм.

для толщины плиты прпкрѣпленной къ борту Уаррьеръ, которую
пробьетъ 11 д бомба съ разстоянія 5 0 0 саж.

ГЛАВА AIL
Способъ наименыпихъ квадратовъ и приложеніе его къ изслѣдованію результатовъ
стрѣльбы.
I. Начала теоріи вѣроятностей.
2 9 9 . Если изъ опредѣлеынаго числа разлнчныхъ событий,
при извѣстныхъ обстоятельствахъ, одно необходимо должно случиться и нѣтъ особенной причины ожидать какого либо

ІІЗЪ

этнхъ

событій преимущественно предъ другими, то такія собьггія отлнчаемъ названіемъ случаевъ равновозможныхъ. Такъ имѣя одннакую причину ожидать туза, короля, даму и проч. какой либо масти, выдергивая на удачу карту нзъ полной колоды, мы говоримъ
здѣсь тузъ, король, дама и проч. извѣстной масти суть случаи
равновозможные.
3 0 0 . Если же изъ п такихъ случаевъ m имѣютъ необходпмымъ слѣдствіемъ событіе, которое не іімѣегь мѣста "при остальныхъ п—m случаяхъ, то такое собыгіе называютъ вѣроятнымъ
и за мѣру его вѣроятности принимаютъ f , т. е. отношеніе числа
равновозможныхъ случаевъ благопріятныхъ для событія къ числу
всѣхъ равновозможныхъ случаевъ. Такъ изъ 52 равновозможныхъ

случаев!,, которые представляем

выдернутая на удачу карта

пзъ полной калоды (п° 2 9 9 ) , двѣнадцать случаевъ:
король червей, король бубенъ, король треФЪ, король ппкъ,
дама

»

дама

»

дама

»

дама

»

валетъ

»

валем

»

валета

»

валета

»

иредставляютъ Фигуру, а остальные 5 2 — 12 не Фигуру. — По
этому вѣроятность выдернуть па удачу Фигуру изъ полной колоды карта б у д е м Щ, или по сокращены на 4 числителя п знаменателя

.

Другой примѣръ болѣе общій: въ сосудѣ леяштъ а шаровъ,
изъ которыхъ Ъ цвѣта бѣлаго; остальные а — Ь другнхъцвѣтовъ.
Если не выбирая вынемъ отсюда одинъ шаръ, то оиъ будетъ бѣлый или не бѣлыіг, смотря потому, попадется-лн въ руку шаръ
изъ числа Ь бѣлыхъ или нзъ числа прочихъ а—Ъ. Такъ какъ всякий нзъ этихъ шаровъ пмѣетъ одшіакую возможность попасться
въ руку, то вынуть каждый изъ инхъ случай равно возможный
H число всѣхъ этихъ случаем а , число шаровъ.

Но изъ ипхъ Ь

только бѣлаго цвѣта, а поэтому р , вѣроятность вынуть бѣлый
шаръ, опредѣлнтся пзъ:
(•>

3 0 1 . Изъ составлениям нами нонятія о вероятности

300)

слѣдуетъ, что она всегда выражается дробью, которой числитель
менѣе знаменателя,—если только не во всѣхъ возможныхъ случаях!, имѣетъ мѣсто разсматриваемое событіе или, что одно и тоже,
если это событіе не есть необходимое. В ъ иослѣднемъ случаѣ
вѣроятность его, какъ отношеніе

чиселъ равныхъ,

приведется

къ 1. Такъ р , вѣроятпость вынуть бѣлын шаръ въ предъндущемъ примѣрѣ (м° 3 0 0 ) будетъ 1 , если Ь =

а , т. е., если въ

сосудѣ всѣ а шаровъ бѣлаго цвѣта. В ъ этомъ случаѣ мы необходимо вынемъ бѣлый шаръ, а не какого либо другаго цвѣта;
ибо въ сосудѣ всѣ шары будутъ бѣлые.

Другой предѣлъ вероятности, когда число случаевъ, въ которые рассматриваемое событіе нмѣемъ мѣсто, есть нуль пли, что
одно il то же, когда событіе совсѣмъ пе возможно. Вероятность
такого событія, выражаясь отношеніемъ 0 къ конечной велпчинѣ
приводится къ 0 . Напримѣръ. Если Ь въ примѣрѣ п° 3 0 0 будетъ
О, то вынуть бѣлый шаръ будетъ не возможно (ибо при Ъ =

О

со всѣмъ не будетъ шаровъ бѣлаго цвѣта) п p , в ероятность этого событія будетъ 0 .
И такъ 1 и 0 суть предѣлы вероятности событій,—изъ которых!. перваго она достигаете увеличиваясь для событій необходимыхъ; втораго уменьшаясь для событій невозможных!.. Для
всѣхъ же другнхъ событій, въ когорыхъ нѣтъ необходимости и
невозможности,

вероятность остается отличною отъ 1 или 0 .

Здѣсь приближенно мы считаемъ несомнѣннымъ, что событія будутъ или пе будутъ имѣть мѣсто, если вероятности ихъ мало
разнятся от!. 1 или 0. Таковы всѣ заключенія выводимый нзъ
иаблюденій и свидѣтельствъ.
3 0 2 . Наука о вѣроятностяхъ, извѣстная подъ имѣнемъ Тсоріи вероятностей, имѣетъ предметомъ опредѣленіе вероятности
событія по данной связи его съ событіями, которыхъ вѣроятности извѣстны.
SI.

Основпыя теоремы.
3 0 3 . Первая теорема. Вероятность,
изъ р. событгй Еу, E.,, Е3,

....

что случится одно

изъ которыхъ ни одно не

можетъ случиться вмѣстѣ съ другимъ *), есть сумма ихъ вероятностей.
В ъ самомъ дѣлѣ. Если вѣроятностн событій:
(2)

Ех,Е2,Еа,

*) Т а к і я событія будемъ н а з ы в а т ь

Е
несовмѣстными

между собою.

суть
(3 )

Pi, Р31 Pa,

и число всѣхъ равновозможныхъ случаевъ
(4 )

ft,

ft,

ft,

ft,

есть n ; то по сдѣланному намп опредѣленію вѣроятности (п° 3 0 0 )
будемъ имѣть
(О) . . .

.

— — ,ря — —,

р, — - ,р2

гдѣ m , , т 2 , т 3 ,

. . . .

—

—,

т ^ суть числа случаевъ благоиріятныхъ

для событііі (2)
ЕІ,Е2,Е3,

Ер.

Всѣ эти случаи, нмѣя необходпмымъ слѣдствіемъ одио пзъ
событій F

n

Е2, Е3,

F

г*-

будутъ различны между собою;

ибо по положенію ни одно пзъ событій F j , F 2 , F 3 ,

Е ^ не

можетъ случиться вмѣстѣ съ другимъ, а потому число всѣхъ таковыхъ случаевъ будетъ т 1 -+- т 2 -+- т 3 - + - . . . . т ^ . ІІо число
всѣхъ равновозможныхъ случаевъ (4) есть п ; следовательно Р ,
вѣроягность, что случится какое лпбо изъ событій (2)
Е,,Е2,Е3,

Ер

но и 0 3 0 0 определится уравненіемъ
m, н - m 2 -t- m% ч -

p

n

-+- т ^ .

или .
P

=

m,

n

m,

'if

- H
n

т..

»n,

/п-х
n

H— . . . .

mil
H—

n

—

и вслѣдствіе (5) будетъ
p

= Pi + P2-*-Ps+

что и слѣдовало доказать.
Нанрішѣръ. Если въ числе а шаровъ заключенныхъ въ сосуд!, находятся Ь, бѣлаго цвета, Ь2 чернаго; то вѣроятпость вынуть шаръ

3 0 0 ) бѣлаго цвѣта будетъ

, — чернаго- 2 . От-

сюда вероятность вынуть шаръ бѣлаго или чернаго цвѣта, по
доказанной теоремѣ, будетъ ф -н ь ~.
Разсматривая событія Д , Д , Е 3 , . . . . Е ^ какъ различные
виды одного событія F , эту теорему выражаюсь такъ:
Если для событія F возможно нисколько различныхъ видовъ,
несовмѣстныхъ между собою, то вѣроятность ею будетъ сумма
вѣроятиостей этихъ видовъ.
Такъ въ вышеприведенномъ примѣрѣ вынуть шаръ бѣлый u
вынуть шаръ черный суть два вида одного событія—вынуть
іпаръ или бѣлый или черный.
3 0 4 . В ъ частномъ случае когда
Рі —Р2 — • • • - Р^
по (6) будемъ нмѣть
(7>-'

Р=Ѵ-Рг,

т.е. вероятность случиться одному изъ ц событій несовм!стныхъ
между собою u одинаково в!роятныхъ есть произведете ихъ числа на общую нхъ вероятность.
Такъ вероятность вынуть одинъ определенный шаръ *)

ІІЗЪ

сосуда заключающая а шаровъ есть і ; ибо здесь при «равно-

*) Н а п р . означенный п ° 1 , если мы каждый и з ъ н и х ъ означимъ
ми номерами 1, 2, 3 ,

различны-

возможныхъ случаяхъ только одшіъ случай дасть определенный
шаръ. Отсюда по (7) вероятность вынуть одппъ изъ Ь оиредѣлешіыхъ шаровъ будетъ Ъ-Е или 4-, что мы и нашли (1) для
выраженія вероятности вынуть шаръ бЬлаго цвета, когда число
ихъ есть Ъ.
305.

Вероятность

событія

необходимого,

какъ

видѣли

(п° 301), есть 1; въ следствіе этого по доказанной теореме
(п° 3 0 0 ) необходимо должно случиться одно изъ несовместныхъ
между собою собыій Е,,
роятностей есть
Е,,

Ег,

Е2,

Е3

Е^,

если сумма ихъ ве-

1, и обратно: сумма вероятностей

Е3

Е

событій

несовместныхъ между собою 1, если одно

нзъ ннхъ необходимо име.етъ мѣсто. Такъ если въ сосуде изъ
числа Ъ н - У -+- Ь" шаровъ Ь белаго цвета , Ь' — чернаго, Ь" —
краснаго, то вероятность вынуть белый шаръ будетъ
Ъ'

черный ьч-b'-t-b" '
ЭТИХЪ

к

событш есть

Ъ"

Р а с н ы й ъ-+-ѵ-*-ъ" • Сумма
b
V
т

- г -+-

п

b-¥-b'-t-b"

—

b-*-b'-i-b"

-+-

ь |

вероятностей
Ъ"
—- ,

Ь-нЬ -ьЬ" »

что

приводясь къ 1, обнаруживаем необходимость одного нзъ нихъ
т. е. вынуть шаръ или белый пли черный пли красный.
Два событія несовмѣстиыя между собою, изъ которыхъ при
известныхъ обстоятельствахъ

одно необходимо имЬетъ место,

отлпчаюм названіемъ событііі противуположныхъ. Означая черезър H q вероятности такихъ двухъ событій, мы по доказанному будетъ иметь
(8 )

p-t-q=

1.

Вследствіе этого по (8)
(9 )

Р =

1 — 2 , 2 = 1 — Р;

т. е. вероятность какого либо событія определится разностію 1
н вероятности событія ему противуположиаго.

3 0 6 . Вторая теорема. Вѣроятностъ случиться событіюЕх
вмѣстѣ съ событіемъ Е2 есть произведете вѣроятности Е. на
вѣроятность, которую получаешь Е2 въ томъ случаѣ, когда ЕѴ
имѣетъ мѣсто.
В ъ самомъ дѣлѣ. Пусть будетъ рх вѣроятность событія

Et,

и послѣ того какъ это собьггіе имѣло мѣсто, пусть будутъ

<?,, с2, cs,

(10)

сп

всѣ равновозможпые случаи, изъ которыхъ m случаевъ
(П)

С2,

С3,

СТ

имѣютъ необходимымъ слѣдствіемъ событіе Е п , не имѣющее
мѣста при остальныхъ n — m случаяхъ ; p 2 , вероятность событія Е2,

В Ъ ЭТОМЪ

предположены, определится и° 3 0 0 черезъ

(12)

А = = .
Есля же мы назовемъ черезъ 1\ вероятность случиться ЕХ

вмѣсгѣ съ С, ; вероятности случиться ЕХ съ С\, Е, съ С3,

Е,

съ СТ, ЕХ съ СТЧ_,, Е, съ С т ч _ а
ибо по положенію С,, С,, С.

Е,СЪСП будутъ также Р 0 ;
С
G
G
G
mi ^т-ъ-1' 77t4-2
7i
всѣ суть случаи равновозможные послѣ событія E , . Вслѣдствіе
чего по (7) т Р 0 будетъ вѣроятность случиться событію Е , вмѣстѣ
съ однимъ пзъ m случаевъ ( 1 1 ) ,
С

2,

С3,

G

m

или, что одно и тоже, вмѣстѣ съ событіемъ Е 2 , которое они
имѣютъ необходимымъ слѣдствіемъ. Поэтому будемъ имѣть
(13)

Р=тР

0

,

если назовемъ черезъ Р вероятность случиться Е, вмѣсге съ Е2.

Точно также но (7) въ п •

находпмъ вероятность случиться Д

вместе съ одпнмъ нзъ п случаевъ (10)
'

-2 »

С

3

> ^т-Ы '

G

C m +

2 '

C

n>

что приводится къ p , , вероятности одного событія Д , ибо вместѣ
съ этнмъ событіемъ всегда случится одниъ нзъ n случаевъ (10),
какъ единственно возможныхъ. А потому
о —Рі •

пР

Исключая съ помоіцію этого уравненія Р 0 пзъ (13) паходимъ,
vi
=пРч

т>
Р

гдЬ по (12) замЬняя j черезъ р.,, получимъ
(14)

Р^Р'РА

въ чемъ H заключается предложенная теорема.
Въ частномъ случае, когда одно собыгіе не имѣетъ вліянія
на вероятность д р у г а я , по (14) Р , вероятность случиться иыъ
вместе, определится черезъ произведете ихъ вероятностей.
Напримѣръ. Если въ сосуд! изъ числа а шаровъ находятся/)
б!лаго цвѣта, въ другомъ изъ числа а шаровъ У бѣлаго цвѣта,
то вероятность вынуть бѣлыіі шаръ изъ первая сосуда^,пзъ
вторая К . Отсюда но (14) вероятность, что нзъ обоихъ сосудовъ вынутся б!лые шары, определится нроизведеніемъ | . \ .
Зд !сь одно событіе не имело вліянія на вероятность другаго;
вотъ прнмѣръ, где происходитъ такое вліяніе.
Изъ сосуда, содержащая а шаровъ, въ числе которыхъ Ь
шаровъ б!лаго цвета, вышшаемъ на удачу два шара одинъ за
другимъ, не положивъ пазадъ вынутая; какая вероятность, что

оба вынутые шара будутъ бѣлые? Вѣроятность, что первый вынутый шаръ будетъ бѣлый, есть - , и нзъ оставшихся въ сосудѣ
а — 1 шаровъ, бѣлыхъ будетъ Ь — 1 или I , смотря потому, будетъ ли вынутый въ первый разъ шаръ бѣлый или не бѣлый. А
слѣдователыю, смотря потому, будетъ ли вынутъ въ первыіі разъ
шаръ бѣлый или не бѣлый, вероятность вынуть бѣлын шаръ во
второй разъ будетъ

или

f h •

вліяніе одного событія

Е о т ъ

на вѣроятность другаго. Чтобы получить вероятность въ оба
раза вынуть бѣлые шары, мы ио доказанной теоремѣ должны
умножить гс, вероятность въ первый разъ вынуть бѣлый шаръ,
на Ь ~Г\, вероятность во второй разъ вынуть бѣлый въ томъ
предноложеніп, что первый вынутый шаръ — былъ бѣлый.
3 0 7 . Предыдущую теорему легко распространить набольшее
число событій. Пусть будутър, вероятность собыгія Е,,

р2 ве-

роятность событія Е , въ томъ предіюложеніп, что событіе E t
имѣетъ мѣсто ; р 3 вероятность собьггія E s въ томъ предположен а , что оба событія Е,,

Е2 пмѣютъ мѣсто. По (14) мы нахо-

димъ, что вѣроятность случиться Ех

вмѣстѣ съ Е,

есть р,

р2.

Дѣлая
(15)

р,

Р2—Р,

мы въ р будемъ имѣть вероятность событія случиться Е, вміьстѣ
съ Е2 ; а поэтому вероятность такому событію случиться вмѣстѣ
съ Е3, или, что одно и тоже, случиться тремъ событіммъ Е,, Е2,
вмѣстѣ по (14) будетъ р р3.

Е3

Замѣняя здѣсь р черезъ р, р2 по

( 1 5 ) , находпмъ для выражеиія этой вѣроятностн p, р 2 р 3 .
Переходя такимъ образомъ къ 4 , 5 , 6 ,

и т. д. собы-

тіямъ, мы убеждаемся, что Р , вероятность случиться вмѣстѣ р.
событіямъ Е,,. Е2,

Е3,

Ер,

ніемъ
(IG)

P = P i

P3

Pp

онредѣлптся уравне-

гдѣ 2h в ероятность событія E , ;
p2 вероятность событія E., ВЪ предположеніи, что Е,

имело

место ;
^ в е р о я т н о с т ь событія Е3

въ предположеиіи, что Е,,

Е2

имели место ;

Р
Е3,

вероятность событія Е[Х въ предположеніи, что Е,,
Е., _ , имѣли м1;сто.
г

'

В ъ частномъ случае, когда событія Е,,
Е

ЕГ,

Е2,

Е3,.

...ЕА_У,

не пмѣютъ вліянія другъ на друга, P (1С), вероятность слу-

читься всЬмъ имъ вмЬстѣ, приводится къ ироизведенію ихъ вероятностей.
Такъ напрпмЬръ вероятность вынуть белые шары пзъ р. сосудовъ, содержащпхъ
а,,

я2,

Яд,

а^

шаровъ разнаго цвЬта, въ числе которыхъ бЬлыхъ

вынимая нзъ каждаго сосуда по одному шару, будетъ
h.h.lз

Ь

±.

а, " а г ' а3 ' " ' ' а ц

Вероятность же вынуть сряду р. бЬлыхъ шаровъ нзъ сосуда, заключающаго а шаровъ, въ числЬ которыхъ Ъ бЬлыхъ будетъ
Ъ

Ъ

-

1

Ь — 2

а 'а —1'а—2 '

Ъ

— (|А —

1)

а — (ц — 1 ) '

где ~ есть вероятность вынуть бЬлый шаръ въ первый разъ;
вероятность вынуть бЬлый шаръ во второй разъ въ предI
2
положеніи, что первый вынутый шаръ былъ белый; ^ ^ вЬро31

ятность вынуть белый шаръ въ третій разъ въ предположеніи,
что первые два вынутые были бѣлыс и т. д.
3 0 8 . Съ помощію иредыдущпхъ теоремъ мы доходимъ до
слѣдующаго предложепія :
Если событіе F можетъ случиться только тогда, когда имѣетъ
мѣсто одно изъ р. событій

д, д , д ,

д ,

послѣ которыхъ его вероятность становится равною
F . ,

Р2,

Рз,

Fix ;

вероятности же событій
Д ,

F..

Д ,

суть
P1

'

P 2 » х Fз J

х

то вероятность событія F есть
PtPt -1- Р2р2 -Ь Р3р3 -+-

4,—1 Ffx — ) •

В ъ самомъ дел!. По теореме второй п° 3 0 6 вЬроятпость
случиться Д вместе съ F есть
Р2р2 ; — Д
есть Р ^ д .

есть

;— Д

вмѣстѣ съ F есть Р3р3 ;

вмѣсге съ F есть
Д

вмѣстб съ F

Отсюда по первой теореме (п° 303) вероятность,

что случится какое либо нзъ этихъ совпаденій событій Д съ Д
Д съ F , Д съ F ,

Д

съ F , или, что одно и тоже, что

случится FBMf,CTf, съ какимъ либо изъ событій Д , F 2 , F 3 ,
определится суммою
(17)

P,Fi •+• Р 2 Р 2 -+- P 3 F S - н

F ,

Но по положенію F и не можетъ иначе случиться, какъ вмѣстѣ съ однимъ изъ событій
Е
Е
-^І )

F
-LJ3

Е
-^Ц •

Следовательно это выраженіе ( 1 7 ) и будетъ принадлежать вѣроятпостн событія F .
Пусть будетъ напр. р. сосудовъ

15

А3,

А:

Ар,

гдѣ А, заключаетъ а, шаровъ, въ числѣ которыхъ

бѣлаго

Цвѣта, А2 заключаетъ а., шаровъ, въ числѣ которыхъ Ь2 бѣлаго
Цвѣта; А 3 заключаетъ « 3 шаровъ, въ числѣ которыхъ Ь3 бѣлаго
Цвѣта

А„ заключаетъ а
r*"

г*

шаровъ, въ числѣ которыхъ Ь

бѣлаго цвѣта. Вероятность вынуть бѣлый шаръ будетъ
i,

\

s,

«I ' «2 ' «3

JUL

«JA '

смотря потому, будемъ ли мы вынимать шаръ пзъ сосуда А, или
А2 ИЛИ А3

или Ар.

Но если мы не выбирая опускаемъ

руку въ одинъ нзъ этихъ р. сосудовъ, то вероятности вынуться
шару нзъ сосудовъ
А , А>

А,

будутъ
1
-L
1
JA ' JA ' • • • • JA

Отсюда вероятность, что шаръ вынутый на удачу нзъ этнхъ
р. сосудвоъ будетъ бѣлаго цвѣта, опредѣлится черезъ

Г

f4

«I

«г

H- «з

M- « J A '

ИЛИ

ЦЪ
JA

\0|

+

bjA

ѣ^ъ,^
A2

«З

А

№

/

Разсматривая событія Е х , Е 2 , Е 3 ,

Е ^ какъ различныя

гипотезы, въ которыхъ событіе F можетъ случиться, это предложеиіе выражаютъ такъ: вероятность событія есть сумма
произведены вероятностей каждой изъ возможныхъ и взаимно
друіъ друга исключающихъ гипотсзъ па вероятности его въ
этихъ гипотезахъ.
3 0 9 . Третья Теорема. Если событіе F можетъ случиться
только тогда, когда имѣетъ мѣсго одно пзъ р. событій
Ех,Е2,Е3,

Е^

послѣ которыхъ его вероятность есть
Рі , Ъ 1 Ps >

Pf,

вероятности же событій
Ех,Е2,Е3,

Ец

суть
Рі ) Т2, Р3

Р^ ;

и допустимъ что F случилось, то вЬроятиость, ЧТО СЪ F имело
место событіе Е х , есть
Трі
Т Рі + ТРг + РзРз-*-

+ РуРу '

Для доказательства этого назовемъ чрезъ Р вероятность Ех
въ предположены что F имѣломѣсто. По Теореме второй (и°306)
вероятность случиться вместе F и Ех будетъ
(Р1р1 +

Р2р2-+-Р3р3+

- ь Р . ^ Р ;

ибо, какъ видели (п° 3 0 8 ) , Рхрх -+- Р 2 « 2 -+- Р3р3-+щ

ч - Р\т

г" г*"

есть вероятность событія F , а Р по положенію есть вероятность
Ех въ томъ случае, когда F имело место. Но эта же вероятность—вероятность случиться вместе F и ЕХ по Теореме второй

(«° 3 0 6 ) есть Р, р, ; ибо Р , есть вероятность событія JE,, а,
вероятность F , если Е , имело место. Следовательно
[Р, р,-г-Р2р2ч-Р3р3ч-

-к Р^ рф

P=PlPl,

откуда
(18)

Р =

ЕРі
Р\ Р\ -*- Рг Рі -*• Рз Рз

-+- Р^Ри. '

что и следовало доказать.
Такъ если пзъ р. сосудовъ предыдущаго примера (п° 308),
вынулся на удачу белый шаръ, то вероятность, что оиъ вынулся
изъ сосуда А,, определится чрезъ
I h.
ц а,
(Л

а,

+
(А

а2

где ^ ) ? ;

«

1

1

1

Г

н - I Ü t

а3

JA

а^

ІІЗЪ

сосудовъ А,,

X

А2,

А3,

А , а
г

- вероятности вынуться шару изъ сосудовъ

Г

А,, Аг,

|А

у вероятности вынуть белый шаръ, когда

вынимаемъ шаръ
1

+

А3,

А^.

Разсматрпвая событія Е,,

Е2,

Е3,

Е^ какъ различ-

ный гипотезы въ которыхъ событіе F можетъ имѣть место, это
иредложеніе выражаютъ следующимъ образомъ: вѣроятность,
что событіе имѣло мѣсто въ предполагаемой гипотезѣ, или что
то оке вѣроятностъ употребленной для объясненія случгшиагося
событія гипотезы, равна прогізведенію изъ вероятности, кото•рую имѣла эта гипотеза пока событіе не случилось на впроятность въ ней собыгпія — произведенію раздѣленному на сумму
такихъ произведены относительно всѣхъ возможныхъ и другъ
друга исключающихъ гипотезъ.
Если все гипотезы, пока событіе

не случилось, одинаково

возможны, т. е. P , = Р 2 = . . . . Р ^ , то, после того какъ событіе случилось вероятность гипотезы Д будетъ
PI

Pi-1-Px-*-

IV '

вероятность гипотезы Д будетъ
Ѵг
Рі-*-Рг-*-

-+-ІѴ

' и т. д.

такъ что вѣроятности одинаково возможныхъ гипотезъ, употреблеиныхъ для объясненія случившаіося событія, пропорціональны вѣроятностямъ р,, р2
довательно:

р^въ нихъ событія, и сле-

изъ одинаково-возможныхъ гипотезъ, та наивѣро-

ятнѣйшая, въ которой событіе имѣетъ наибольшую вѣроятность.
3 1 0 . Если событіе F, находится подъ тѣмп же условіями
какъ il F, такъ что F[ случается въ той же самой гипотезе, въ
какой случилось F,

то по (п° 309) для вероятностей гшютезъ
д . д . д

Д ,

когда событіе F имело место, находимъ следующія величины:
ЕіРі
I'ah-^-PiPi-^PiPs-^
Alh
PyPi+PxPx+PzPr4-

І\рг
-4-PjxiV ' PlPl-*-P2P2+P3P3-iPfxPu.
PiPt+PxPx+PtPt-*-

-4

H называя чрезъ ы,, ы 2 , ù 3
въ гпнотезахъ

^

д, д, д

-+-Pv.Plk '
-4-P^

вероятности событія Д

д,

мы (п° 308) заключаемъ, что вероятность Д будетъ
ДРІ
Р,Рі-*-РгР2-*-РзРз-*ч

Ali

Р9р,

Ö

-»-Діѵ '

Р1Р1+Р2Р2+РЪР3+..-+-РѴ.РѴ.

P\Pi+PïPr+'P3P3+

1

(5
3

.

•••

1\Р\-,-Р,

.
-*-РцРр ' "2
-

или
-РіГі^і

F 2 p 2 à 2 -t- P 3 p 3 à a -t-

PiPi

-і-РгРз

H- P ^ i y y

-^ТхРц

- ' - • • • •

Это выраженіе даетъ вероятность того, что событіе F, случится, когда имело место собыгіе F, происходящее подъ тѣми
иге самыми условГями какъ и F,.
Напрнмѣръ, если нзъ числа сосудовъ п° 3 0 8 вынутъ наудачу
бѣлый шаръ неизвестно изъ котораго сосуда, то вероятность
вынуть при вторпчномъ нспытанін опять бѣлый шаръ пзъ того
иге сосуда будетъ
-I

—11

M- * « i "

_L

— 1

b

jL

ц ' а
1

|A ' A ,

2

1

1

' а
,

2

— 1

Щ—

1

,

J.

|А'а3'а3 — 1

L _

[A ' «

h.

_ L _ ^з.
(A " O 3

2

§

••••

"

V — i

М- «JA

"JA—t
'

[A ' D P

H.

Вѣроятиостп сложныхъ событіГі состоящих!, изъ кратпаго
повторсиія просты\ъ событін.
(Опредѣленіе вѣроятностей à priori).
3 1 1 . Займемся нахожденіемъ вероятности слолгныхъ событій, состоящих!, изъ опрсдѣлешіаго числа повтореній простыхъ
событій. Сначала найдемъ вероятность событія, состоящаго нзъ
онредѣленнаго числа иовтореніи двухъ независимых!, между собою и одно другому противуноложныхъ событій A H В,

иро-

стыя вероятности которыхъ, т. е. вероятности того, что при
одномъ испытанііі случится
Для

ЯСНОСТИ ПОЛОЖИМ!,,

СООЫТІСУІИЛП

В, суть

Р

и q=

1

—р.

что событіо А состоять въ іюявленіи бѣ-

лаго шара нзъ сосуда, содержаіцаго a бѣлыхъ шаровъ и Ъ чериыхъ, a событіс В есть появленіе чернаго шара нзъ того же сосуда, такъ что
Р=
х

а

г,

а -ь-Ъ '

а о =
-1

Ъ

г-.

а-*-Ь

Положимъ, что послѣ перваго испытанія нропзводнмъ второе
при тѣхъ же обстоятельствах® (въ иашемъ примѣрѣ вынимаемъ
второй разъ шаръ, положивши иазадъ въ сосудъ шаръ вынутый
при нервомъ испытанІи). Можетъ случиться, что оба испытаиія
приведутъ къ повтореиію событія А , или при нервомъ испытаніи
случится событіе Л , а при второмъ В , или нрп-иревомъР, а при
второмъ А , или накоиецъ оба испытаиія приведутъ къ повторенію событія В . Вероятности вс Ьхъ этихъ различныхъ случаевъ,
когорыя мы означимъ чрезъ

А А , AB, ВА, В В ,
будутъ на основаиін и ° 3 0 6

р\ PI, IP , ФЕсли не обращать випмапія на порядокъ, въ которомъ случаются простая событія, то можно собыгія AB и В А считать за
одно, вероятность которая есть 2pq. Такимъ образомъ при двукратномъ повтореніи нспытаиія, могутъ случиться три разлпчиыя
совокуилеяіл простых!, событій, именно

А А , AB и В В ,
вероятности которыхъ суть

Рг, Ш,

Т•

Эти три вероятности суть три члена разложенія бинома
(р -+- qf =

р- -I- 2pq -+- q2

и сумма ихъ, какъ и следовало ожидать, равна единице.
Если мы нропзводнмъ испытаніе три раза сряду при однпхъ
и тЬхъ же обстоятельствахъ,

то всѣ различный совокупности

простыхъ событій, которыя могутъ получиться при этпхъ пспытапіяхъ будутъ
AAA,

АА В, ABB,

ВВ

В,

при чемъ соедшіяемъ въ одно событіе тѣ сложный событія, которыя различаются между собою только иорядкомъ появлепія
простыхъ событій. Вероятности четырехъ указаішыхъ совокупностей простыхъ явлений, будутъ
р3,

Ър\, 3pq2,

г/;

эти вероятности суть различные члены разложенія бинома
(р -+- q)3 —р3 -л- 3p2q -+- 3pq2 -»- q3
и сумма нхъ равна единице.
Если мы повторяемъ нспытаніе р. разъ сряду и соедипяемъ
въ одно все сложный событія разлпчающіяся между собою только иорядкомъ появлеиія простыхъ событій, то вероятности всевозможныхъ событій, которыя могутъ при этомъ получиться, будутъ различные члены разложенія бинома

при чемъ:
рР есть вероятность того, что при всѣхъ р. испытапіяхъ случится событіе А ,
p / * - V/есть вероятность того, что при р. испытаніяхъ
событіе А случится р. — 1 разъ, a событіе

В

одииъ разъ,
• j F ~ 2 g 2 сеть вероятность того, что при р. испытаніяхъ
событіе А случиться р — 2 раза, и событіе В два раза и т. д.;
наконецъ (ф есть вероятность того, что при всѣхъ р. испытаніяхѣ
случится событіе В.
Сумма всѣхъ этихъ вероятностей равнаединицѣ.

Напрнм. вероятность того, что при четырехкратном!, бросаніп
игральной кости очко G вскроется 3 раза, будетъ, полагая р =
2=

5,

=

т

4:

Л Д\3 . 8
^ Vu'
е —

1,

_20_
і2ао i

ІЮЧТІІ щ.
3 1 2 . Вероятность того, что прп р.-кратномъ повтореніи нсиытаиія, событіе А случится не менѣе к разъ, получится еслп мы
въ предъидущемъ разложеніи (р -+- q f отберемъ всѣ тѣ члены,
въ которыхъ входитъ вероятность р съ показателем!, не меньшимъ к; сумма этихъ членовъ и будетъ искомая в ероятность. Т а кимъ образомъ для нея получаемъ слѣдѵюіцее выраженіе:
^

-

и

2

-

^

-

. . . . H.

W

Наирнмеръ вероятность того что при четырехкратном!, бросанін кости очко G выпадетъ не менѣе одного раза, будетъ

671
~ І 2 9 6 '

313.

Вероятность того,

,
т

-

е

-

что

,

больше

\.

при р.-кратноыъ иовтореіііи

пснытанія, событіе А случится не менѣе к разъ и не болѣе I
разъ, получится если въ разложеніп бинома (р -+- qf

отберемъ

всѣ члены содержащіе въ себѣ р съ показателями не меньшими к
и не большими I, и слошимъ всѣ члены. Такимъ образомъ для
этой вероятности получимъ слѣдующее выраженіе:

Такъ вѣроятность того, что при четырехкратномъ бросаніи

кости очко G вскроется не менѣе одного раза и не болѣе трехъ
разъ, будетъ:
4

М Ѵ
\ 6 /

1 +
6

U
1.2

\ б /

\б/

+

5

1 . 2 . 3 (G /

G

—

с,7°
1290'

3 1 4 . Если каждое отдѣльное нспытаніе приводить къ одному
пзъ трехъ иесовмѣстныхъ между собою событий A B н С, простыл вероятности которыхъ суть p, q, г, то, совершенно подобно
предыдущему, убедимся въ томъ, что сложныя событія, состояния

всевозможныхъ совокупленій трехъ нростыхъ событій,

ІІЗЪ

какія могутъ случиться при р. - кратиомъ* новтореніи пспытанія,
будутъ иметь своими вероятностями различные члены разложенія
(р -+- q -+- rf~.

3 1 5 . Между всеми членами разложенія (p -+- qf" самый замечательный есть наибольшій, т. е. отвѣчающій правдоподобнейшему изъ всѣхъ

сложныхъ событій, какія могутъ

ВОЗМОЖНЫХ!,

случиться при р.-кратиомъ повтореніи испытанія, каждый разъ
ирнводящаго къ одному нзъ двухъ противуположныхъ событій А
и В. Найдемъ числа новтореній собыгій А и В, соответствующая
этому правдоподобнейшему событію. Называя ихъ черезъ m и п,
нолучимъ величину наибольшаго члена въ следующем!. виде:
V —

г д е Л1 +

Я =

ь 2

1.2

-

3

*
m . 1 . 2 . . ..м

ѵ т
1

п
1

п

'

р..

Члены стояіціе рядомъ съ наибольшимъ будутъ :
члені. ему предшествующий
О—
ѵ

- 3
Н(m 4 - 1 ) . 1 . 2 . . . ( « — 1)

ь 2

1.2.3

и членъ слѣдующій за наибольшимъ

««1 +

1

1 „« — 1

'

Для того, чтобы членъ Р былъ напбольшимъ, частное отъ
дѣленія его на каждый рядомъ съ ішмъ стоящій членъ должно
быть больше единицы, т. е. должно быть

=

' ! >

ь

О)

1

(2>

Изъ условія (1) получаемъ, замѣняя п черезъ р — т ,

(tu н - 1 ) q > (р — т)р
или

m(р ч- q) > pp — q,
pp — q

m >

(Г)

Такимъ же образомъ получаемъ изъ (2) условія
(р — m ч-1 )р > mq

или

pр ч-р

>

т,

m < рр ч-р

(2')

Неравенства ( Г ) и (2') показываюсь, что число m иовтореній
событія А , отвечающее правдоподобнѣйшему событію, заключается въ предѣлахъ
pp — q и р р - ь - і ) ,
разность между которыми равна p 4 - q =

1 , следовательно m

есть цЬлое число, заключающееся въ этихъ пределахъ. Если pр
есть цЬлое число, то m должно равняться рр\ при этомъ будстт,
п—

р —

m=

p (1

—р) —

p

q

m

p

n

q '

т. е. правдоподобнгъйгиее изъ всѣхъ событгй, къ которыми можетъ
привести р.-кратное повторение испытанія, всякгй разъ приводящая къ одному изъ двухъ противуположныхъ событгй А и В,
есть такое событіе, въ которомъ отногиеніе чнсслъ повторены
событгй А и В равно отногиенгю гіхъ простыхъ вѣроятностей.
Если pр есть цѣлое число съ дробью, то m будетъ равно или
этому цѣлому числу, или ему сложенному съ единицею, смотря по
тому, которое изъ двухъ заключается въ предѣлахъ
PF — q и

pр-г-р.

В ъ этомъ случаѣ отношеніе — будетъ близко къ р\ при больИ*

шомъ чпслѣ нспытаній, можно пренебречь величинами q и р передъ pp, h принять, что подобно предыдущему будетъ
m
р
n

q '

т. е. въ правдоподобюьйгиемъ событіи отногиенге чиселъ повторены событій А и В равно отногиенгю ихъ простыхъ вгьроягпносгпей.
Нужно еще доказать, что найдеиныя величины m п п даютъ
членъ разложенія бинома (р -»- qf' большій не только двухъ рядомъ
съ нимъ стояіцнхъ членовъ, но и всѣхъ остальных!,. Для этого
замѣтимъ, что два какіе нибудь рядомъ стоящіе члена разложеІІІЯ

бинома будутъ:
Х - 2 - 3
7 7 —
И .
U
— 1 . 2 . , .»»'.1.2. ..п'

у

W
1

" V '
1

'

1-2.3
ц
пт'~*~1
1 . 2 . 3 . . . ( т ' - н 1 ) . 1 . 2 . . , ( п ' — 1) ' "
-Ч

Частное отъ дѣленія перваго на второй будетъ:
U

m' -t-1

V

n'

q
р '

Если разсматрнваемъ члены стошціе впереди члена Р, то ? » ' > ? « ,
n ' O , il такъ какъ но условію (1)
m ч-l q
n
P

j

то наверное будетъ
U

m -t- 1 <р -

V

n'

.

" Jj

'

т. е. члены стояіціе впереди P постоянно уменьшаются по мѣрѣ
удаленія отъ упомянутая члена.
Для того чтобы видѣть, какъ изменяются величины членовъ
слѣдующихъ за Р, возьмемъ отпошеиіе двухъ смежныхъ членовъ
ь 2 - 3
77' —
*
. ѵ т ' ап'
и
— 1 . 2 . . . . m' , 1 . 2 . . . . n ' Т
-У '

V' —
к

1.2..

^ 2 ' 3
^
.(m'— 1 ) . 1 . 2 . . . ( » ' - ь 1 )

пт'—
У

1

n/-»-i

rt

'У

Будемъ имѣть:
£' _

w'4-l

р

m'

' 2 •

V

Такъ какъ здѣсь m ' < m, n' > n , и по условію (2)
Î L ± i . P

>

1

то получимъ
£ '

F'

ft'4-1

p

~тГ ' q -

1

'

т. е. члены слѣдующіе за членомъ Р постоянно уменьшаются по
мѣрѣ удаленія отъ пего. И такъ найдениыя величины m и п действительно соответствуйте наибольшему члену разложенія (p-x-qT,
т. е. отвѣчаютъ правдоподобнейшему событію.
Въ частномъ случае разложеніе (р -+- qf- можетъ имѣть два
члена равные между собою и болыніе все.хъ осталыіыхъ. Тогда

существуютъ два правдоподобнѣйшпхъ собьггія одинаковой вероятности.
3 1 6 . Разсмотримъ какнмъ образомъ изменяется вероятность
ііравдоподобнеіішаго собг>ггія но мЬрЬ увеличенія числа испытаній.
Выше найдено было (п° 3 1 4 ) , что вероятность правдоподобнеіішаго собьггія при р испытаніяхъ выражается черезъ
р

1.2

х

^

2

-

3

^
. .„»» пп
М.1.2....М 1
•1 '

гдЬ m есть целое число, заключающееся между пределами
pp—q

il

ррч-р.

Если число испытаній увеличивается на единицу, то соответствующее

правдоіюдобнѣіппео

событіс

будем

состоять

изъ

ш'-кратнаго новторенія событія, простая вероятность котораго
есть р, и изъ и'-кратнаго новторенія нротпвуположнаго собыгія,
гдЬ m есть целое число заключающееся въ предЬлахъ
(рн-lRj — q
»

и (р-н

\)рч-р,

где

п =

р ч-

1 —

т.

Вероятность этого правдоиодобнейшаго событія будетъ
р'
Х

—

1-2.3
(аЩ-4-1)
mr
1 . 2 . 3 . . . . m ' . 1 . 2 . . .га' ' Р
•

1

w
•

Такъ какъ
ш > р

p — q

и

т' <

(р -ь

1

)рч-р,

то разность т ' — m не можетъ быть больше разности
|"(р —

— [р^ — q ] = 1

ч-р,

следовательно ni ИЛИ равно m или больше его на одну единицу.

В ъ нервомъ случаѣ, т. с. при гп' =
P
F

ja — m -f- 1
~ ~

(JA H - 1 )

m, нолучаемъ
n -t- 1

q ~

(JA H - 1 ) 2 '

Но изъ условія (2)
(и -+-

mq

>

имѣемъ
(n

-t- 1 ) - F >

(p. —

n) g

или
n -+- p >

M,

м н - 1 > (p.-«- 1 ) . q ,
следовательно

P
P'

*+ i
(r-bl)ï

>

u

Во второмъ случаѣ, г. е. при т ' = m -і- 1, нолучаемъ
р_

1

Р'

((J--t-l)r '

ио изъ условія (1')
m >

(i.p — q

имѣемъ
ni -+- 1 > (р-н- 1 )p,
следовательно и въ этомъ случаѣ
|

>

1.

И такъ вероятность ііравдонодобнѣйшаго событія уменьшается
ио мѣрѣ увелнченія числа испытаній; при большомъ числѣ пспытаній она будетъ весьма мала.
Если число испытаній увеличивается, то вмѣстѣ съ уменьшенісмъ вероятности правдоподобнѣйшаго событія

уменьшаются

также и вероятности всѣхъ нрочпхъ возможиыхъ событій. При

большомъ числѣ испытаній, вероятности крайнихъ событій *) будутъ очень малы, и только событія близкія къ правдоподобнейшему будутъ имѣть замѣтпую вероятность.
Чтобы доказать это, иазовемъ черезъ Р вероятность правдоподобнЬйшаго событія при р. пспытаніяхъ
Р

-

ь2 3

1.2.3

»n.l. 2

F

п

.

1

пп

1

'

а черезъ Q изобразимъ членъ разложенія (р -+- qД

предшествую-

Щій Р на t мѣстъ, такъ что
О _

^

2

-

IХ

3

1.2,...(m + f ) . 1 . 2 . . . ( » - f )

v

1

1

NN-T

Деля Q на Р , найдемъ
Q

п.п—

P

\

.п —

m 4- l.m +

2

2.m +

n — t-1-1

/p\t

3....,n-i-(

Kl) '

Это выраженіе можно представить въ слѣдующемъ виде
Q

Р

пр

(И—1)р

(»іч-1)5

(»г -t- 2) 5

(п—«4-1)р

(m-t-t)q

'

Но прежде было найдено, что
Р

п

(»14-1)2

1

следовательно и все остальные множители предъидущаго выраженія также меньше единицы п при томъ тѣмъ меньше, чЬмъ t
больше, т. е. чѣмъ дальше отстонтъ членъ Q отъ Р ; при большомъ
жимъ t =

отпошеиіе

будетъ весьма малое количество.

Поло-

7
• О
Г
-и
ря и разсмотримъ отношеше А для случая р. испытанш

* ) Т . е. событій, которымъ о т в ѣ ч а ю т ъ краііиіе члены разложенін ( Р 4 - 2 ) ! 1 .
32

гдѣ р / > р.. Взявъ членъ Q предшествующий правдоподобнѣйшему
иа t'=

р.'. к мѣстъ, видимъ, что t' ~> t, слѣдовательно число мно-

жителей меньпшхъ единицы въ отиошеніи р будетъ больше,

а

самые множители меньше для случая р/ испытаній, т. е. отиоше•

Q

i

me р для случая р. испыташи будетъ меньше такого-же отношенія для р. испытаній. Итакъ, отношеніе къ наибольшему члену
разложенія (р -+-

того члена этого разложеиія, который пред-

шествуетъ ему на число мѣстъ пропорціональное чпслу испытаній, — это отношеніе уменьшается съувеличеніемъ числа испыташи.
То яге самое заключеніе можно вывести и относительно членовъ слѣдующпхъ за наибольшимъ. На самомъ дѣлѣ возьмемъ
пзъ числа этихъ членовъ Q', отстоящій на t мѣстъ отъ напбольшаго, такъ что
О'—

^

1.2

45

г

2 - 3

m — t. 1.2

у,*»—*

11-+-1*

„»»-»-»

•"

Отношеніе этого члена къ наибольшему будетъ
Qj _ _
P

т.m — І.то — 2
и + 1 . п +

2.» +

m — t-1- 1
3

п Л Т

_(m — l).g (m — 2) q
2 ) j , ' (n-t-S)p

( n - H l ) j o ' (« +

/q\
'

\p)

(то — t -t- 1)p
(n-+-t) q '

Такъ какъ

то всѣ множители предъидущаго выражепія меньше единицы и
слѣдовательно -р- меньше единицы и при томъ тЬмъ меньше, чѣмъ
больше t. Подобно предъидущему убѣдимся, что если всякій разъ
брать членъ Q' отстоящій отъ наиболыпаго иа число мѣстъ, пропорціоналыюе чпслу испытаній, то отношеніе -р уменьшается съ
увеличеніемъ числа испытаній.

Предъпдущій разборъ показываете,

что съ увеличеніемъ

числа пспытаній вероятности крайипхъ событій уменьшаются, и
при большомъ числе испытаний только событія блнзкія къ нравдоподобнѣйшему, будутъ иметь заметную вероятность.
Отпошеніе вероятностей событій смежиыхъ съ нравдопобнѣйшпмъ къ

вероятности

послѣдняго,

увеличивается

вмѣстѣ

съ чнсломъ пспытаній. Н а самомъ дѣлѣ упомянутое отношеніе
при р. пспытаніяхъ есть
п

m+

1

р#

q '

если въ этомъ выражепіи заменить m черезъ pg>, а п черезъ p.g,
что возможно при довольно большомъ р., то получимъ его въ такомъ виде
м

цр +

*

1

р __
л

р
р-н

.
1

-

р

Последнее отношеніе увеличивается вместе съ р. и для р. =

оо

обращается въ единицу, т. е. съ увеличеніемъ числа испытаній
вероятности

событий смежиыхъ

съ

правдоподобнѣйшими

все

меньше и меньше отличаются отъ вероятностей последняя.
3 1 7 . Для того чтобы пояснять все вышеизложенное возьмемъ
примеры Пусть имѣемъ сосудъ содержащій два бѣлыхъ шара и
одинъ черный, и пусть несколько разъ сряду вынимаемъ шары изъ
этого сосуда, всякій разъ кладя вынутый шаръ назадъ. В ъ этомъ
случае событіе А состоите въ появленіи бѣлаго шара и имѣетъ
вероятность p =
роятность q =

I; противуположное ему событіе В имеете в е -

I и состоите въ появленіи ч е р н а я шара изъ со-

суда. Означая для краткости событіе состоящее нзъ т-кратнаго
появленія б е л а я шара и нзъ и-кратнаго появленія ч е р н а я , черезъ (m, и), получимъ, что вероятности различныхъ событій возможныхъ при трехкратномъ повтореиіп нспытапія, т. е.
бытій:

со-

(3,0),

(2,1),

(1,2),

(0,3)

суть:
iL •
27 '

—•
27 >

—•
27 »

0,2963;

0,4445;

А.
27

ИЛИ

0,2223;

0,0370.

При шести испытаиіяхъ имѣемъ для событій:
(6,0),

(5,1),

(4,2),

(3,3),

(2,4),

(1,5),

(0,6),

160.
729 '

60 .
729 '

_12.
729 '

JL
729

слѣдующія вероятности :
64 .
729 '

192 .
729 '

240.
729 >

ИЛИ

0,0878; 0,2634; 0,3293; 0,2595; 0,02523; 0,0165; 0,0014.
При девяти испытаніяхъ получимъ для событій
(9,0), (8,1), (7,2), (6,3), (5,4), (4,5), (3,6), (2,7), (1,8), (0,9)
вероятности
512 . 2304 . 4608 . 5376 . 4032 . 2016 . 672 . 14» . 18 . 1
19683 ' 19683 ' 19683 ' 19683 ' 19683 ' 19683 ' 19683 ' 19683 > 19683 ' 19683
ИЛИ

0,0260; 0,1170; 0,2440; 0,2731; 0,2048; 0,1024; 0,0341: 0,0073; 0,00091; 0,00005.
Изъ разсмотренія этихъ чиселъ видимъ:
1) во всЬхъ трехъ случаяхъ правдоподобиейшее

событіе

есть то, въ которомъ отпошеніе повтореиій событій А и В равно
2 : 1 , т. е. равно отиошенію ихъ простыхъ вероятностей.
2) вероятность нравдоподобнейшаго событія уменьшается съ
увеличепіемъ числа испытапій.
3) вероятность крайиихъ событій также уменьшается

съ

увеличеніемъ числа испытаній и при томъ гораздо быстрѣе, чѣмъ
вѣроягностп правдоподобнЬйшихъ событій.
4) Если въ предъидущихъ трехъ таблицахъ возьмемъ отношеніе менаду вероятностями удаленными отъ наиболынпхъ на
число мѣстъ пропорціоналыюе числу испытаній и соответственными вероятностями правдоподобнейшихъ событій, то найдемъ,
что это отношеніе уменьшается съувеличеніемъ числа испытаній.
Такъ для отиошеній вероятностей событій
(1,2),

(2,4),

(3,6)

къ вероятпостямъ правдоподобнейшихъ событій
(2,1),

(4,2),

(6,3)

получимъ следующія числа
0,5001 ; 0,2499;

0,1249.

5) Если произведено 9 0 испытаній, то вероятности событій
близкихъ къ правдоподобнейшему событію будутъ следующія:
событія:
вѣроятности:

(62,28),

(61,29),

0,081817;

0,087460;

(60,30),

(59,31),

(58,32)

0,088918;

0,086049;

0,079327.

Сумма ихъ равна 0 , 4 2 3 5 7 1 , то есть более двухъ пятыхъ
всей суммы девяносто одного члена разложенія (] н - ]) 90 .
Это чпсло есть вероятность, что при 9 0 исиытаніяхъ белый
шаръ вынется не более 62 разъ п не менее 5 8 , нлн вероятность,
что отношсніе между числомъ появленій бЬлаго шара и числомъ
нспытаніи будетъ заключаться въ предЬлахъ
62
90

или въ предЬлахъ
о

и

58
90

Численныя величины двухъ крайнихъ членовъ

разложепія

( | ч - і ) 9 0 очень малы; величина члена отвѣчающаго событію(90,0)
есть дробь, числитель которой есть единица, а знаменатель нмѣетъ
16 цнфръ, величина же члена огвѣчающаго событію ( 0 , 9 0 ) еще
меньше, именно она есть дробь, числитель которой есть единица,
а знаменатель число пзъ 43 цифръ. Этотъ примѣръ подтвержд а е м сказанное нами, что, ири большомъ числѣ испытаній, замѣтную вѣроятность имѣюгъ только тѣ событія, которыя близки
къ иравдонодобнѣйшему.
3 1 8 . Исчпслепіе всѣхъ равновозможныхъ случаевъ благопріятствуюіцпхъ и псблагоиріятствуіощнхъ извѣстному явленію,
опредѣляя простую его вероятность, не ведегь ни къ какпмъ заключеніямъ относительно того состоится ли въ самомъ дѣлѣ это
явленіе при первомъ испытаніи, или иѣтъ. Только прп большомъ
чнслѣ испытапій замечается некоторая правильность въ повтореніи событій, такъ что, не производя испытаній, мы можемъ сделать нѣкоторыя заключенія о числѣ повтореній извѣстнаго события при данномъ чпслѣ испытаній, если простая вероятность этого
собьтгія намъ извѣстна. Докажемъ, что съ увелпченіемъ числа
испытаній отношеніе числа повтореній нзвѣстнаго событія къ
числу нспытаній все болѣе п болѣе подходить къ простой вероятности этого собыгія *) н разнится отъ нея менѣе чѣмъ на какую нибудь данную величину при безконечномъ чнслѣ испытаній.
Эта теорема нзвѣстпа подъ нменемъ теоремы Якова Бернуллн.
Выведемъ ее по способу, предложенному членомъ Петербургской
Академін паукъ П. Л. Чебышевымъ.
Условимся иазывать

математическими ожидангемъ какой

либо величины сумму всевозможныхъ ея значеній, умножепныхъ
на нхъ вероятности.

*) Т а к ъ напр. если бросать большое число р а з ъ сряду игральную
то отношеніе числа выпаданій к а к о г о

нибудь опрсдѣленпаго

очка к ъ

кость,
числу

бросаній, но м ѣ р ѣ увеличенія н х ъ числа в с е ближе и ближе п о д х о д и т ь к ъ

4

.

Пусть будутъ
11

Х

Х3

Хп

Ун Ун Уз

Ут,

\ ! Z2 ) Z3

nJ

Z

Z

всѣ возможныя значенія велячииъ x, у, z , .
и
Pi, Pi, Рз

<ll,b,

Ь

PV

2m >

вѣроятаостн этихъ значеиій, или иначе вероятности нредположеній
ОС —• ОС^ j ООо j OCq
У = Уп У2, Уз

ут,

z = zx,

Zn ,

z.2, z3

ОС^ j

При этомъ знакоположенін, если означимъ математпческія ожпданія велнчинъ
чрезъ

a, b, с,

,

a магематическія ожнданія ихъ квадратовъ ж 2 , у', з2,
чрезъ
1)

"1 ) с,Ы

5

то найдемъ:
а=р1х,ч-р2х2ч(1)

b = q,yl-*-q.2y24-q3y34-

-*~ЯтУті

c = rxzx4-r2z24-rüz34-

-*-rnzn,

fa

(2).

р3xs -ь

\

=Pi

X?

Ih^i

-+-

+ b « 3

S

ч-p^l,

--»-

К = <h У 2 -a- ѣ У2 -*-Я*У2+

Iе

1=

»"і К

1

г

2

•+•

-+• qm Ут2,
•+• rn

^з2 - ь

zn2,

Съ другой стороны, такъ какъ вышепоказанпыя предположенія относительно величинъ x, у, z, . . . суть единственно возможный, то вероятности ихъ будутъ удовлетворять следующимъ
уравненіямъ:
(Pi -+- Pi -+-Р3-+Vil - + - q , H - q 3 H -

(3)

Г1

-H r2

-*-Pi=
. . .

r3 - » - . . .

I ,

J-m
.

•

"+"

n

—

1

На осиованш уравнений (1), (2) и (3) не трудно найти къ чему приводится сумма всехъ зпаченій выражепія
^ - • - У ц Ч - « , - * - • • • • —а — Ъ — с—

. .

....

при
1,2,3... J ; p

= 1 , 2 , 3 , . . . .m-, v = 1,2,3

n ;.

Для этого замѣчаемъ, что предъндущее выраженіе, по раскрытіп скобокъ, напишется такъ:
4 Ѵ Ѵ

ѵ

•

" • " F x - V V

•

г

•

+

-УI

-^Ih-T-r,.

V

Давая здѣсь числу X всѣ значенія отъ X =

. -хх.ур

1 до X = I , скла-

дывая получаемыя при этомъ выраженія и помня что
р,х,-\-р,хг-л-р
Fi

3

=

ж3-і-

ж,2

ж32 -<-

4 ~ p

Fi ~*~F2 -+-F3 -t"

t

X? =

-+-F; =

1 >

W

• •

а,,

мы получимъ слѣдуюшую сумму
«1-Ѵгѵ • • " ^ W
2 a q ^ .

- 2 ( « + 6+

. . Ур а -

• •

2сЩр>\). . .

-ъ- 2 у

ѵ

.

. .

• • •
- + - . . .

с + . . . ) % ! Ѵ • . — 2 ( « - н й - н с - н . . . ) у ѵ . . .ур

- 2 ( а - \ - Ь - + - с - + -

. .

— . . .

-+- (a -+- b -t- с - ь

) 2 Яф\

Давая здѣсь чпслу р. значенія
р. =

1

, 2 ,

3

,

m ,

—

50G

—

мы находимъ, по замѣнѣ суммъ
Уі

2.

-+-

ЬУ-2

•+•

ЪУг -+-

-тт

2 , У , 2 •+• 2 2 Z/22 - + - 2 з «/з 2 - + "

g, нн q2 -+-

-L- 2

-+-

-f-2abr

—

..

v

2(Й-ЬЬ-НС +
—

, 1 , такой результатъ

-нг

v

. -t-2arv.

. . н -

. . . . )«Г„. . . .

2(а -+-&-+- с - I - . . .

2/J,

m

-+- qm

на основаніи (1), (2), (3), чрезъ А,
a,r

ут,

¥

.-..

2 A r v . . . л?ѵ - ь

— 2 (A +
. ) г

ѵ

ÎN-C +

. . . . 2

Ѵ

—

. . . . )АГ Ѵ . . .

. . . .

-+- (а н - 5 -+- с чг- . . . . ) Ѵ ѵ . . . .
Поступая такимъ образомъ со всѣми числами л, р., ѵ
мы находимъ, что сумма всѣхъ значеній выраженія
•-

а—Ъ — с —..

.)ei>x. w

,

• • •

получаемыхъ нри
Х =

1 , 2 , 3 ,

г ; pL =

1 , 2 , 3 ,

ш ; ѵ =

1,2,3,

и;

равна
я , - + - A, - t - с , - 4 - . . . .

-+-

2 a b и - 2 a c -+- 2Ac - + - . . .

.

—2(а-ьЬ-»-сн-...,)а—2(o-i-b-t-c-H....)b—2(а-нЬ-нс-4-....)с
H - ( « -+- h -4- с -4- . . . . )2 ,

а это, по раскрытіи скобокъ п сокращеніи, приводится къ следующему
а, -+- Ьх - н с, -+-. . . . — а 2 — Ь2 — с 2 — . . .
Отсюда заключаемъ, что сумма значеній выраженія
fa-«--«-••••

- а - Ь - с -

(в,-t-6,4-^4-.... - а

2

- Ь

2

- с

2

....)2

- . . . . £

ѵ

нолучаемыхъ при
X=

1 , 2 , 3 , . . . . г ; jit =

1,2,3,.... w ;v=

1 , 2 , 3 , . . . . л ;....,

будетъ равна единицѣ, или означая чрезъ ß какую нибудь величину, что сумма выраженій
- а - Ь - с -

(«Х-*-У|*-»-*»-*-

ß . 2 ( a , - ь Ь, 4 - с , - • - . . . . - а

будетъ равна

2

- Ь

2

- с

....)г
v

2

'

.

Выкидывая же изъ этой суммы все члеыы, въ которыхъ множитель
(ax-k-Sy-Wy-«•+•

—а — Ъ — с—
— а 2 — Ь2 — с 2

)2
)

не превосходить единицы и замѣпяя его единицею тамъ, где онъ
больше единицы, мы очевидно эту сумму уменыпимъ, и следовательно получимъ сумму меньше
1
ß2 •

Но эта уменьшенная сумма, состоя изъ однпхъ значеній произведенія
Р\2у1\

»

соотвѣтствующихъ тѣмъ величииамъ жх, yti, zv, . . . . для которыхъ
(ax-t-y^-t-gy-H ....-g

— Ъ-с-

....у

ß 2 ( g , н - Ъ, 4 - с , - н . . . . — а 2 — Ь 2 — с 2 — . . . . ) ^

'

будетъ представлять вѣроятпость, что х , у , z , . . . . имѣютъ
значенія, удовлстворяющія условію
(д + у + ?+
1

7

ß 2 (g,4-

—а — Ъ — с—

Ъ,4- с,4— . . . . —

g2

—

b2

—

с2

)2

— • • ••)

1

^

Эта же
* вѣроятиость можетъ быть заменена разностью

—Р,

1

если чрезъ Р означимъ вероятность, что условіе (4) не выполнено, или, что одно н то же, что х , у , z , . . . имѣютъ зиачепія,
нрн которыхъ отношеніе
(і-н(/ + г + . . . . — g — Ь — с — . . . . ) 2
ß2(g, 4- b, 4- с, 4- . . . . — g 2 — б2 — с2 —

)

не больше единицы, и следовательно сумма
x-t-у

-t- z - + - . . . .

не выходить нзъ предЬловъ

а-ьА-ьс-1-

н-ß уа,-*-Ъ,+с,-л-

«-4-A-+-C-I-

_ ß

—ci1—А2—с1—

уа,-у-Ъ,-і-с,-+-

,

—а2—А2—с2—

Откуда видно, что для вероятности Р будетъ имѣть мЬсто такое
неравенство
1 —

Р

<г

—»
ß«

которое даетъ
Р

>

1

ß2 •

вероятность, что сумма х
заключается въ предѣлахъ
Следовательно:

а ч - й ч - с ч - . . . . н-ß y^H-ftj-HCj-f-. . . . — а

ач-Ьч-сч- . . . . — ß Уа,ч-Д ч-с,ч- . . . .—а

2

2

ч-

у

ч-

—V—с

—б

2

—с

г

ч-. . . .

2

—.

. .7,

2

—.

.77

при всякомъ значены ß остается больше 1 —
Если

изобразишь

чрезъ

р. число в е л и ч и н ъ х , у , z . . . .

, и

р а з д е л и ш ь н а р. к а к ъ с у м м у
Ï +

J +

2 + . . , .

т а к ъ и ея предѣлы

«Ч-&Ч-СЧ- . . . . ч—ß У п ^ ^ + ^ - н . . . . — а 2 — Ь 1 — с 2 — . .TT,
ач-Ьч-сч-.... —ßУйуч-Уч-Суч-.

. . .—а

2

—б

2

—<г—..

то получимъ с л е д у ю щ у ю теорему.

319. Если математическгя ожиданія величинъ
x, у, z,

; x , г/, z',

а, Ъ, с,

; а,,

..

суть
Ъх, сх, .

то вероятность что среднее ариѳметическое р. величинъ
x, у,
заключается въ предѣлахъ

г,..

.

при всякомъ значены ß остается больше
« " j r .

Полагая же

t >

н

будемъ нмѣть: вѣроятность, что среднее артистическое

р ве-

личинъ x , у, z
отъ средняю ариѳметическаго ихъ математическихъ ожидание разнится не болѣе какъ на

-Т-Ѵ1

, н - Ь , - н с,-4-

а г + Ь2 +

F

сгJJL

при всякомъ значены t будетъ превосходить
fi

1 —

— .
F

Такъ какъ дроби

а , -»- Ь[ -+-С( -t- ,

и

аг

ч-

Ьг -I- с 2 -4(А

озпачаютъ среднія величины количествъ

і

а

j

) сі » • • • • j

à2, Ъ2, с2, . . . . ,
то всякій разъ когда математическія ожиданія

a,b,c,
«x . Л ,

,
e,,

ие превосходить какого либо конечнаго предѣла, выраженіе
-. / а Д * . Ь, - н с, -ч- . . . .

У

P-

а

г

Ь

г

с

г.

IA

н

будетъ имѣть конечную величину, какъ бы велико ни было число
р., и следовательно въ этомъ случаѣ, принимая за t величину довольно большую, мы можемъ сделать количиство
1

-»/а, 4-Ь, 4-cL 4 - . . . .

У

т "

у

а 2 4 - Ь2 4 - сг 4 -

....

F

по желаііію малымъ. А такъ какъ при всякомъ t , съ увелпченіемъ
r

t2

числа р. до о о , дробь — приводится къ нулю, то , на основаны
предъпдущей теоремы, получается следующая:
3 2 0 . Если математическгя
х,у,

ожидангя
g,

величинъ

,

не превосходягпъ какого либо конечного предела,
что среднее

арифметическое

ариѳмстическаю

р. такихъ

ихъ математическихъ

нгъе чѣмъ ка какую нибудь данную
числа p. do оо приводится

то

величинъ

вероятность,
отъ

средняю

ожиданій разнится

величину,

съ

мс-

возрастаніемъ

къ единице.

3 2 1 . В ъ частномъ предположены, что величины
x, у, z
приводятся къ единице пли къ нулю, смотря потому имѣетъ ли
место какое нибудь событіе F ИЛИ нетъ въ 1 , 2 , 3 , . . . . испытаніи, мы замѣчаемъ, что сумма
ï + у 4-z-+будетъ давать число m повторены

....
событія F въ р. испытаны, а

среднее арнометпческое
X 4- у 4- Z 4-

....

представить отношеніе — числа повторены
испытаны.

собыгія Е къ числу

Для того, чтобы приложить выведенный теоремы къ

этому случаю, положимъ, что
F , . Р2, F 3
суть вероятности событія Е въ 1 , 2 , о , . . . . {). нснытанін.
Такъ какъ всевозможный значенія величины х суть 1 и О, соответственный вероятности которыхъ равны р, и 1 — р , , то математическое ожпданіе величины х будетъ
p,.

1 -»-(1

—Fi)-О;

подобнымъ образомъ найдемъ, что математическія ожиданія величинъ у, z . . . . будутъ
р3.1

-ь (1 —р2)0;

ра. 1 -f- (1 —р3)0;

наконецъ математическія ожиданія квадратовъ величинъ

x,y,z,...

будутъ
іѴІ

2

-н(1-і>().0

2

;

ра.12-н(1-р2).02-,

ps. \

(1

р3).02;..

Отсюда видно, что среднее ариометическое математнчеекпхъ
ожиданій величпнъ х , у , z . . . . и среднее ариометическое математическихъ ожиданій нхъ квадратовъ будутъ равны:
р , Ч-р2 4 - Р з 4 - . . . 4 - ^ ,

т. е. среднему арпѳметпческому вероятностей событія Е при различныхъ пснытаніяхъ.
Вставляя найденныя величины въ прежде выведенный выраженія и замЬчая, что пределы
Я + І І Н

' С
н-

+

" '

НН J L . і / д , - 4 - 6 , - 1 - С , 4 - . . . .
—
Ур У
й

a 2 4 - Ь2 4 - С2 4 s

въ этомъ случаѣ приводятся къ

M-

Vfi ' У

(JL

(JL

' '

мы нолучаемъ слѣдующую теорему, называемую закопомъ боль-

гиихъ чисслъ :
Вгъроягпность, что при р. испытаніяхъ отногиеніе

числа

повторены событія къ числу испытание, разнится отъ средняго
ариѳмегпическаго просгпыхъ вѣроятгеостей этого собътгія въ разлнчныхъ геспытагеіяхъ мешъе чгъмъ на величину
J t

. і/Рі-і-Рг^-Рз4-----

^

Vfi у

Fi' +Pf-+-P2-»-•••

fi

'

всегда болѣе 1 —
Полагая, какъ прежде, р =

—» найдемъ: вѣроятностъ, чггго

отногисніе числа повторение собыггггп къ числу испыпіаній разнится оггіъ средней ариѳмепіической величины вѣроятностге собыгпія въ эти испытангя мснѣс чѣмъ иа какую нибудь данную величину, съ увеличенгемъ числа геспытаній до безконечносггги ггриводится къ единить.
3 2 2 . В ъ частномъ случаѣ, когда вѣроятность событія вовсѣ
нспытанія остается одна и та же, полагая
Fi =

F 2 = F s =

= F

и замѣчая, что
Fi -J-Pa^-Pa

-

y.

fi
fi

—P'
-P'

получимъ теорему Якова Бернулліе:
зз

Вѣроятностъ,
поотореній

что при р испытаніяхъ

извѣспгнаго событія

отъ простой оѣроятности

отпоіиеніе - ,
M"

къ числу испытаны,

числа

разнится

р этого событія менѣе чѣмъ на ве-

личину
всегда болѣе 1 —
Полагая, какъ прежде, ß = - j - , пайдсмъ: вероятность,
отногиенге

числа повторены

событгя къ числу испытаны

что
раз-

нится отъ простой вѣроятностгі этою событгя менѣе чіьмъ на
какую нибудь данную величину, съ увеличсніемъ числа
до безконечности,

приводится

испытаній

къ единицѣ.

HI.

Опредѣлсніе вероятностей изъ наблюденій.
(à posteriori).
3 2 3 . В ъ предыдущемъ мы показали, какимъ образомъ зная
простую вѣроятпость іізвЬстпаго собьггія определить вероятность
того, что при данномъ числе нспытаній отношение числа повторены этого событія къ числу испытаний будетъ заключаться въ пзвЬстныхъ предѣлахъ. Простая вероятность событія определяется
исчисленіемъ всЬхъ равновозможныхъ случаевъ благопріятствующихъ H неблагопріятствующнхъ известному событію; отиошеніе
числа благопріятствующихъ случаевъ къ числу всехъ равновозможныхъ случаевъ п даетъ эту вероятность. Но иногда бываетъ
затруднительно и даже невозможно перечисленіе всЬхъ случаевъ,
могущихъ иметь место при испытаніи и всехъ случаевъ благопріятствующихъ известному событію. В ъ такомъ случае приходится судить о вероятности известнаго событія по числу иовтореній этого событія при даииомъ числе исиытаній. Положишь,

что при р. пспытапіяхъ некоторое событіе Е вероятность котор а я неизвестна, случилось m разъ, а противуположиое ему событіе р. — m =

11 разъ. Называя вероятность событія Е черезъ

x и следовательно противуположнаго ему черезъ 1 — ж, найдемъ,
что вероятность случившаяся событія т. с. m-кратнаго повторенія собыгія Е при р. псиытаніяхъ, будетъ

Р

1.2.3
1.2.3

у
т.1.2.3

п

хт(1 — ж)п

Придавая въ этомъ выраженіи ж различныя значепія отъ нуля
до единицы, мы нолучимъ всЬ различныя вероятности Р. Такъ
какъ до производства пспытаній мы ne имѣемъ нпкакихъ оспованій приписывать ж одно какое нибудь значепіе преимущественно
передъ другими, то должны считать до производства испытаны
всЬ гипотезы относительно ж равно-возможными. Если прпмемъ,
что ж проходить отъ низшая своего предела (пуля) къ высшему
(единице) черезъ рядъ величинъ отличающихся одна отъ одной
постоянною разностью dx, то число всЬхъ возможиыхъ величинъ ж
будетъ V , а вероятность каждой пзъ ипхъ до производства испытаний равна dx. По третьей теореме (?г° 3 0 9 ) вероятность Q известной гипотезы относительно ж, после того какъ событіе случилось,
равна вЬроятиости dx этой гипотезы до производства испытаний,
умноженной па вероятность Р событія въ этой гипотезе, и деленной на сумму подобныхъ выражепій, взятыхъ для всевозможныхъ значеній ж. Такимъ образомъ будетъ
1.2.3....у
1.2

т . 1.2..
1.2.3

я

у

xm(l—x)n.dx

1 . 2 . . . т . 1 . 2 . . . .п
о

ж т (1

—x)n.dx

|жт(1

—xf.dx

о

xm(l—x)n.dx

На основапіп теоремы Якова Бернулли мы заключаемъ, что
вероятность x мало отличается отъ величины - , если число р довольно велико. Найдемъ поэтому вероятность R того, что х
заключается въ пределахъ

R

г

±

I. Эта вероятность будетъ :

fî-t-i
(xm.(l
,(1 — x)n. dx
Зщ ;
R

(Г — 1

=

i
Положпмъ

xm(l —

т.
х = -ч-

xf.dx

z,

F

'

где z есть малая величина п будемъ пренебрегать сравнительно
съ единицей членами, содержащими вторыя степени этой величины, умпоженныя па не очень болынія числа.
Тогда

dx =

I

dz,
n.

v-

и пределы интеграла числителя будутъ — I

I, такъ что

и

числитель приметъ следующій видъ:
ѴУ-у.1

[x (\—x) .dx
m

i-t-4
im

=

n

Jm
m J
H"

- ( ? ) " ©Г

\m

(ц-*-*)

In

\n

—I

£>

-l

•

'

4

,

'**

• dz.

Развертывая логариомы въ строку, и пренебрегая вторыми
и высшими степенями z предъ единицею, получимъ
log

•+•

j—

т

г

т

4

зт

4)П

PI \ .

Н£ f 1
m \

—

з

2т

2m ( '

следовательно

» . l o g ( l - i - g ) = iwr — ж
и

n.log(l— ?) = —
откуда получимъ
,

/.

mz\

л

/•1

Ш£г\

ц2гг (га+я)

ц3«2

Такимъ образомъ числитель выражепія І2 будетъ:
m

j

жт(1 — х )

Jm

п

j

.dx =

g)".

Г

J—I

е

~

(

t

o

.

Полагая

откуда
dz =

"j/=r

^

'

и замечая, что пределы интегрированія по перемЬннои t будутъ
±

"

p

Л

а,

'

где

^

W

а = Z l / ^ » мы найдемъ

J

Y

S

-

Y

^

-

нлп, такъ какъ подъ иптеграломъ стоить четная Функція, то
2}-4-7

е-'2, dt.
'm

j

Возьмемъ теперь зпамепатель выраженія В
Г1

xm(\—x)n.dx.

Полагая въ немъ

m
х = --+- z
(І

и производя тѣ же преобразованія, что и въ числителѣ, найдемъ:
4-1

>(1

-x?.dx=(i)n

(;)".[

о

"

\-£-n"\dz.
m
U-

Вводя перемѣнную t связанную съ z уравненіемъ

іѴ—
У 2mr,
и замѣчая, что предѣлы интегрированія по перемѣнной t будутъ

найдемъ

-Vi » -Vi'
e

(s)-.

mn
2м
е-'2 dt.
_і/ЧИ

У 2n

Если y и y суть числа посредственный, а р число довольно
большое, то оба предѣла послѣдняго интеграла довольно велики.
Но Функція с~~'2 весьма быстро убываетъ съ возрастаніемъ t , и
при t нѣсколько значителыюмъ имеем весьма малую величину ;
поэтому можно безъ чувствительной погрешности заменить верхній и няжній пределы интеграла чрезъ - ь о о и — оо ; тогда будем

Г~*~00
« - ' . е .

Но (примѣчаніе I, страница 570)

я-

С-'2, dt = Утс

следовательно

x
Вставляя найдешіыя величины въ выраженіе для R , найдемъ:

R =

V тс

e-ydt.
о

Это выраженіе представляем вероятность того, что величина
x заключается въ лределахъ
2 - г Ы ;

м-

'

если выразимъ I помощію а , то нолучимъ сл Ьдующіе пределы
для x

m

аУі

^ /m

F

F "fi

F

Y

n
Y

И такъ: Если

при р. испытапіяхъ,

гдѣ р. есть число

значи-

тельное, событіе Е случилось m разъ, то можно утверждать
віьроятностгю

съ

равною
_2

га

dt,

е-'2,

что вѣроятность событія Е заключается въ предѣлахъ
то

а У і Г _ /то

Г

V~fi У

п~

Величина вѣроятности R зависитъ только отъ отвлеченнаго
числа а , a потому принявъ за аргумента величину а можно (см.
страница 5 7 1 , прпмѣчаніе 2) вычислить таблицу соотвѣтствуюіцнхъ величинъ
га
V тс е

-t2

и
-dt.

/ а

чииъ а, отъ а =

0 до а =

0e~t2dt

для разлнчныхъ велп3, черезъ каждую сотую долю, пом е-

щена на страниц! 5 7 7 .
Тать какъ при а = 3

(см. таблицу величинъ <р(а)) вели-

чина R = <р(а) почти равна единиц!, то следовательно почти достоверно , что вероятность событія Е заключается въ прсд!лахъ
то

з Уз

t4

vjr

1

/то

У

п

t4 ' r '

Пред!лы эти съ увеличеніемъ числа испытаній все бол!е и
болѣе сближаются между собою, и следовательно чѣмъ больше
мы дѣлаемъ испытаній, тѣмъ съ большимъ правомъ можемъ заменить неизвестную намъ простую вероятность нѣкотораго собыгія отношеніемъ числа новтореній этого событія къ числу пспытаній.

324. Вероятности будущихъ событій. Положимъ, что прп
р. пспытаніяхъ нѣкоторое событіе Е , вероятность котораго намъ
неизвестна, случилось m разъ, а противуположное ему событіе
р. — m =

п разъ. Случившееся сложное событіе означимъ черезъ

F и найдемъ вЬроятпость того, что прп слѣдуюіцихъ о- нспытаніяхъ случится сложное событіе Fx состоящее нзъ г - кратиаго
повторенія событія Е и а — г = s -кратиаго повторенія событія ему противуположнаго.
Называя черезъ х вероятность событія Е , найдемъ также
кацъ въ предъпдущемъ параграфе, что вероятность некоторой
гипотезы относительно х будетъ:
хт

(1

—Хр.СІХ

о

При данномъ значены х вероятность R событія F x будетъ

Такъ какъ событіе Fx можетъ случиться только прп техъ же
предположепіяхъ относительно х , при которыхъ случилось событіе F, то (п° 3 1 0 ) , вероятность s того, что событіе F случится
равяа сумм!; произведены Q - R , — сумме взятой для всехъ возможІІЫХЪ

зпаченій х, т. е. отъ х равная нулю до х равная единице.

И такъ нмѣемъ

1.2.3
1.2

о
г. 1 . 2 . . . .s
хт

(1 —

x)n.dx

о

Интегралы входящіе въ это выраженіе того же вида, что и
въ предъпдущемъ номере, въ которомъ были выведены нрпблпжснныя ихъ значенія.

Поэтому имѣемъ

X 41 - * ) » • & = g ) " .

m+r , l

t я+rWr,

x

I

ф

/

-

.

^

у

«

-

,

ftn+>,1/-|/2.(«-H|

Ѵг+бУ

£

(nT
Ti)

(ц -+- o)'

Следовательно
О
ö

1 . 2 . 3 . . . .g
(ffl4-r;m4-r (и+s)"-1-'
цН
1 А т ч - r ) (п-нз)ц 3
1.2.. .г.1.2... .s'
mm
'
n"
'(lA-f-of-i-o 1 \
ш.п(ц-ю)3 "

Если бы — и - были простыя вероятности событія Е и ему
(J.

IX

противугіоложнаго, то вероятность событія I ' j вычисленная à
priori была бы
о/

1.2.3
g
/т.'~
1.2
г.1.2...з'\ц/

/иу
'

Эта вероятность больше вероятности S вычисленной à posteriori. Для того чтобы показать огношеніе между ними, возьмемъ
частный случай. ГІоложимъ

г =

mh,

s=

nh,

g=

р.7г.

откуда

M -+- r
«

=

s=

р. и - a =

m (1

-+-

h),

n(\ H - h ) ,
p. ( 1

и подставляя этп велпчппы въ выраженіе для S , найдемъ:
о _ 1 2.3
0
/mV / « У ч /
° — і.2...г.і.2.,.8ум./ " U /
К

1

Сличая это выражепіе съ выраженіемъ S', находпмъ

s _

1

S — У Г ^ -

Откуда виднмъ, что S < S'. Отпошепіе 4

весьма близко къ

единицѣ, если h есть очень малая дробь, т. е. если числа r, s н er
отпосящіяся къ ожидаемымъ событіямъ весьма малы сравнительно съ числами m, п и р относящимися къ случившимся событіямъ. Въ противыомъ случае отношепіе

значительно

раз-

нится отъ единицы. При томъ это отношеіііе зависитъ отъ h
и пзмѣняется съ измѣненіемъ m н n,

хотя числа г н s остаются

постоянными. Следовательно мы можемъ вместо известной намъ
простой вероятности иЬкотораго событія взять отношеніе числа
повторений этого событія къ числу произведенныхъ испытаний,
и, по вставкЬ найдеішаго отпошенія въ Формулы п° 3 1 1
слЬдующихъ,

и

выводить заключенія относительно числа повто-

реній этого событія при определениомъ числе иослЬдующпхъ
испытаній, но въ томъ только случае, когда число пспытаній,
который мы намерены произвести, незначительно сравнительно
съ числомъ уже произведенныхъ испытаній; кроме того число
уже нронзведешіыхъ испытаній должно быть довольно велико
для того, чтобы несколько иовыхъ не могли заметнымъ образомъ
изменить полученные резз'льтаты. При соблюденіи этихъ условій,
можно вместо вероятностей, выведешіыхъ à priori (то есть черезъ исчисление всѣхъ равновозможныхъ случаевъ, благопріятствующихъ и ііеблагопріятствуюшнхъ известному событію), употреблять вероятности, выведенный пзъ наблюдепій надъ иовтореніемъ событій (à posteriori).
3 2 5 . При ложи мъ выведенное въ предъидущемъ номер!; къ .
частному случаю. Пусть все m произведенныхъ испытаній прн-

вели къ иовторенію событія E .

Скрашивается какъ велика в е -

роятность того, что прп всЬхъ слѣдующихъ г испытаніяхъ повторится то же самое событіе.
Для рѣшенія этого вопроса нужно въ Формулахъ нредъпдущаго номера положить

п=

0,

s=

0.

Тогда искомая вероятность будетъ
Г1
\xm-*-r.dx

Q-ld

г

- ,

f1
x .
m

О

r-im-t-r-t-1-i1

,

dx

I т-нг-н 1 J
.

L

»14-1

T

1 — .
1 ffl + f + l

J

,

1 -+-

Эта вероятность весьма близка къ единицѣ, когда г весьма мало
сравнительно съ т, и S значительно разнится отъ единицы, когда
отношеніе f

не есть очень малая величина. Такъ иапрпмѣръ,

предположивъ вместе съ Лапласомъ, что наблюденіе надъ ежедиевнымъ восхождеиіемъ солнца имѣетъ давность пяти тысячь
лѣтъ, или 1 8 2 6 2 1 3 дней, мы найдемъ для вероятности того, что
солнце взойдетъ еще одішъ разъ, величину
1 82G 213 4- 1
1 82G 2 1 3 4- 2

J

1
1 826 215

весьма мало различающуюся отъ единицы. Между тѣмъ вероятность того, что солнце будетъ восходить каждый день въ теченіи
еще пяти тысячъ лЬтъ, имЬетъ следующую величину:
1826213 4 - 1
1826213 -н 1826213 4 - 1

которая весьма близка къ половине.

1
2

1
7504854

Замѣтпмъ, что мы уверены въ восхождепіи солнца на следующей день не только вслѣдствіе многократиаго повторепія этого
явленія, но главиымъ образомъ вслѣдствіе впутрешіяго убѣжденія въ неизменяемости законовъ природы.

П. Способъ наименьшихъ квадратовъ.
SI.

Опрсдѣлспіс наивѣроятиѣйшаго зпачепія результата пзъ
набліодснін, въ случаѣ одпон неизвестной.
3 2 6 . Ошибки наблюденій

и ихъ неизбѣжиость.

— Ошибка

наблюденія есть разность между истинною величиною искомаго и
наблюденною величиною. Ни одно наблюденіе даже самое тщательное неможетъ быть произведено безъ ошибки. Замѣтимъ, что
далее говоримъ только о наблюденіяхъ производнмыхъ со всевозможнымъ тщаніемъ.
3 2 7 . Два рода огиибокъ. Ошибки наблюденій бываютъ двухъ
родовъ. Къ первому роду относятся ошибки постоянный,

кото-

рыя происходятъ отъ одной или отъ несколькихъ причинъ 110стоянно-дѣйствующихъ и измѣняющихъ результатъ наблюденія
всегда въ одну и ту же сторону. Ко второму роду относятся
ошибки случайный,

появляющіяся безъ определешіаго порядка n

происходяіція то въ одну то въ другую сторону.
Постоянный ошибки должны быть тщательно отстранены,
или по крайней мѣрѣ величины этихъ ошибокъ должны быть
определены

въ зависимости отъ причинъ пхъ нроизводящихъ.

Исчисленію вероятностей подлежать только случайный ошибки, п
только пхъ п будемъ разсматривать.
3 2 8 . Свойства случайныхъ огиибокъ. Хотя случайный ошибки
появляются, какъ сказано, безъ определеннаго порядка, тѣмъ не
менее въ совокупности своей one подчинены некоторымъ законамъ и некоторый свойства ихъ могутъ быть сейчасъ показаны.

] ) Такъ какъ нѣтъ причины, вслѣдствіе которой ошибка скорее произошла-бы въ одну чемъ въ другую сторону, — то положительный H отрицательный ошибки, равныя но численной величине, равновероятны.
2) При всякомъ роде наблюденій всевозможный ошибки никогда не могутъ превзойти нѣкотораго, хотя не весьма ясно обозначаемая предела, такъ что если безусловная величина этого
предела есть а, то все отрицателыіыя ошибки заключаются между 0 н — а, все положительный ошибки — между 0 и +

а; во-

обще наибольшая разность ошибркъ есть 2а.
3) Между предЬлами О и а, ошибка можегъ принимать всевозможный величины.
4) Такъ какъ предполагаем^ что наблюденія производятся со
всевозможнымъ тщаніемъ, то съ увеличеиіемъ ошибки вероятность ея уменьшается, съ уменьшеніемъ ошибки вероятность ея
увеличивается. Вообще вероятность ошибки есть Функція величины ошибки.
5) Самая вѣроятная ошибка есть нуль; совершенно невероятная ошибка а.
6) Какое бы ни взяли менаду пределами О и « число для выражении ошибки наблюденія, вероятность, что действительная
величина ошибки не болЬе и не менѣе взятаго числа, всегда будетъ безконечно мала.
Для наглядная изображенія свойствъ случайныхъ ошибокъ
можно воспользоваться геометрическимъ ностроеніемъ. Если будемъ рассматривать ошибки какъ абсциссы, a соответствующая
нмъ вероятности какъ прямоуголыіыя ординаты, и построимъ
кривую выражающую зависимость между ошибками и ихъ вероятностями— то эта кривая будетъ имѣть следующий видъ:
1) она будетъ симметрична относительно оси ордпнатъ.
2) наивысшая точка ея будетъ при абсциссе равной нулю.
3) отъ этой точки кривая будетъ продолжаться непрерывно
такимъ образомъ, что при абсциссахъ близкихъ къ а, она будетъ
быстро приближаться къ осн абсциссы

329. Выводъ начала ариѳметической средины для весьма
болыпаго числа наблюдены. Такъ какъ вероятность, что действительная величина ошибки не болЬо и не менее взята го числа
всегда безкопечно-мала, то обыкновенно шцутъ не вероятность
ошибки, а вероятность, что ошибка заключается между некоторыми пределами меньшими величины а.
Пусть Р означаетъ вероятность, что ошибка сделанная при
паблюденіи какой нибудь величины х будетъ заключаться между
пределами 0 и Д . Такъ какъ вероятность изменяется съішгіліеніемъ Д , то

P=F(

Д).

ІІазовемъ' чрезъ р вероятность, что ошибка при наблюденіи х будетъ заключаться между безконечно тесными пределами Д и

Ач-йА.
Событіе, что ошибка будетъ заключаться между пределами
О и Д -+- dA , доиускаетъ два различные вида несовместные между собою:
1) что ошибка будетъ заключаться между пределами 0 п
Д,и
2) что ошибка будетъ заключаться менаду пределами Д и

Ач-dA.
Если какой нибудь изъ этихъ двухъ видовъ событія будетъ
имЬть место, то и самое событіе произоіідетъ. IIa основаніп теоремы первой, п ° 3 0 3 , вероятность событія равна сумм!; вероятностей его видовъ. Вероятность, что ошибка будетъ заключаться между пределами 0 и Д -+- cl А зависитъ, какъ сказано,
отъ величины Д -+- сІА и можетъ быть выражена Функціею этой
величины

F (А ч-dA)по этому нолучимъ

F(A -+-dA) =

P4-p

или

F(A ч- dA) = F (А) ч- р,

откуда
p = F (А и- dA) — F (A).
Развертывая это выраженіе по строкѣ Тайлора и пренебрегая второю и высшими степенями dA, получимъ:
p =

F{A)dA

нлп называя
У(Д) =

9(Д)

будемъ пмѣть
р = 9 (Д) dA .
Такъ выражается вероятность, что ошибка наблюдепія надъ
величиною X будетъ заключаться между безконечно-тѣсными пределами Д n Д -+- dA .
Функдію ш (Д), для краткости, будемъ называть

вероят-

ностью ошибки Д ; по должно помнить, что выражаясь такнмъ
образомъ хотнмъ сказать, что если умножимъ ф (Д) на dA, то произведете есть верояность, что ошибка будетъ заключаться менаду
пределами Д и Д -+- dA .
Положимъ, что пропзведепъ рядъ наблюденій числомъ m ,
имѣющихъ цЬлью определить некоторую неизвестную х . Пусть
первое наблюденіе дало величину А,,

второе дало А2 и т. д. ГІрн

чемъ сделаны ошибки

такъ что
А, = х — А„
А2 = х — Д 2 ,
А3 = х — А3,

Лт=х—Д

m

m

.

Если чрезъ

а', а", а'"

а(т>

изобразимъ (п° 3 1 8 ) математическія ожидапія величинъ
!

2

А

;

'

а чрезъ
«1 7 «1

7 «I

» (m)
«1

7

математпческія ожиданія ихъ квадратовъ, то (и° 3 1 9 ) , вероятность, что среднее ариѳметическое наблюденныхъ величинъ
Ах •+• Л2 н- А3 -н

m

н- А„

заключается въ пределахъ

а'-на'-на"'-н .... -на™

ß -, / af -у- ах" -t- ....
Ѵщ У

m
всегда более чемъ

m

m

i - F

Означимъ всѣ величины какія могли получиться для х при
нервомъ наблюдеиіп черезъ

А ' А"

А'"

такъ что прп нервомъ наблюденіи могли получиться ошибки
Д'

Д"

А'"

вероятности которыхъ суть
<р ( Д / ) . ^ Д / ; ф ( Д / ' ) . Й Д / ' ;

9

(Д/-). ^Д/- ;
34

Пусть всѣ величины, который могли получиться при второмъ
наблюдены суть:
А2 , At , А,, ,
такъ что при второмъ наблюденім могли получиться ошибки
а ; ,

А/,

Д2/ " >

вероятности которыхъ суть
9(Д2')ЖД2';<р(Д2"МД/;

;

и т. д.
Математическое ожиданіе величины А, іюлучнтся, если всЬ
возможный значенія этой величины умножить на соответственный
ихъ вероятности и найдепныя произведенія сложить.

Поэтому

будетъ:

а' =

(ж — Д

или
[•-H
Г-4- САЗ
й' =

ж I <р ( Д х ) .

J—CO

—

j.

Выражепіе
І Ф А М Д ,

представляетъ вероятность, что ошибка нерваго наблюденія заключается въ пред Ьлахъ +

о о п — оо ; такъ какъ всякая ошибка

несомненно заключается между этими пределами, то предъндущее
выраженіс равно единице.
При отсутствін постояшіыхъ ошибокъ положительный и отрицательпыя ошпбкп, равный по численной величине, одинаково
вЬроятны ; поэтому 9 (Д,) есть четная Фупкція, а Д, 9 (Д,) печетная Фупкція перемѣннной Д, ; следовательно
Г-н оо

А, 9(Д,).с*Д, =

0 .

—

531

На основаніи этого будетъ
а =

также найдемъ

X;

а" = ж ; а"' = ж;

;а(т)=ж.

Для математическаго ожидапія квадрата величины А, будемъ
имѣть

Г-н со

Г-н со

Г-н со

= ж2 ср (Д,). dA, — 2ж Д,. 9 (А,). dA, - н Д, 2 . ? (ДД dA,.
J—со
J — со
J—со
В ъ этомъ выраженіи

.0

л

Д.фГД.ЩД^О.

Вероятность, что отношеніе чпсла повторепій событія къ числу пспытаній разнится отъ вероятности событія менее чѣмъ на
какую нибудь данную величипу, съ увелнченіемъ чпсла пспытаній
До безконечпостей (п° 3 2 2 ) приводится къ единице. Поэтому,
если при весьма большомъ числе m наблюденій ошибка Д повторилась к разъ, то можно принять за вероятность этой ошибки
величину
к

m

'

съ другой стороны вероятность того, что ошибка будетъ заключаться въ пределахъ Д и Д + dA равна
Ф(ДМД;

следовательно

Умножая обе части этого неравенства иа Д 2 , найдемъ
Д 2 .<р(ДМД =

^ ;

взявъ сумму подобныхъ выраженій для всехъ ошпбокъ и озпачая среднее ариѳметическое квадратовъ ошибокъ чрезъ е 2 2 , получимъ

I

Вставляя иайдеиныя величины въ выраженіе для ах , найдемъ
а / = ж2 ч - е 2 2 .
Для математическихъ ожидапій квадратовъ величинъ

А 7А

An

подобнымъ образомъ найдемъ
а," = ж2 ч - е 2 2 ,
а / " = ж2 ч - е 2 2 ,

< " > = ж2 ч - е 2 2
Вставляя всѣ иайдеиныя величины въ выраженіе для нредѣловъ, въ которыхъ заключается средпее ариометическое иаблюденпыхъ величииъ
Л,-нЛ2ч-Л3-н

m

-*-А,„

найдемъ эти предѣлы въ слѣдующемъ видѣ:
тх - t - J L
"Vm'

ч /m (X2 н У'

ef)

m.x2

ИЛИ

xzizß.fA.
r

Vm

И такъ имѣемъ вероятность большую
1

L

р2 ,

что средпее ариометическое наблюденныхъ величинъ отличается
отъ пстиннаго значенія пеизвѣстпой х не болѣе какъ па

Полагая ß =

Ѵт

— и следовательно 1 —

1

=

1

t2

— , н нри-

ипмая за t величину довольно большую, можемъ сдѣлать ß

=

-у-

по желанію малымъ. А такъ какъ при всякомъ t , съ увеличепіемъ
числа m до оо , дробь -L- приводится къ пулю, то вѣроятность,
что среднее ариометическое иаблюденныхъ величинъ отъ истинпаго зиаченія непзвѣстпой х разнится мснѣе чѣмъ на какую пибудь данную величину, съ возрастаніемъ числа наблюдепій m до
безконечиостп приводится къ едшшцѣ.
3 3 0 . Выраженге

(при допущение

средины для огрангіченнаго

числа наблюдены)

го, что ошибка, на удачу взятая
блюдены, заключаегпся

начала

между

въ гізвѣстныхъ

ариометической
вѣроятности

то-

всгьми огаибками

на-

предѣлахъ.

Предъидущее доказательство начала ариометической средины для весьма большаго числа иаблюдепій ие зависитъ отъ того
какой видъ пмѣетъ о (А), выражающая вѣроятность ошибки Д. Если
же мы допустимъ начало ариометической средины для ограннчепнаго

числа цаблюденій, то это предположеніе вполнѣ опредѣляетъ видъ
<р(Д). На самомъ дѣлѣ обозначимъ чрезъ

m неизвѣстиыхъ ошибокъ , случившихся въ ряду m наблюдены,
иропзведеішыхъ надъ величиною х.
Вероятность того, что при наблюденіи величины х ошибка
перваго наблюденія будетъ заключаться между пределами Д, и
Д, -+- сІА, выражается чрезъ

<?(\)d\;
вероятность, что ошибка втораго наблюденія будетъ заключаться между пределами Д2 и Д2 -+- dA2 выражается чрезъ
<р(Д2)с7Д2;
и т. д.
вероятность, что сказанныя ошибки случатся вместе, будетъ

изобразпмъ
9(Д,).Ф(Д 2 )
Величину О называютъ

Ф(Д то ) =

0.

вероятностью системы ошибокъ, но

должно заметить, что это не есть вероятность, что при первомъ
наблюденіи ошибка будетъ Д, нрн второмъ Д2 и т. д. Смыслъвыраженія: вероятность системы ошибокъ заключается въ томъ,
что если О умножить на dA,.dA2.
ведете выразимъ

вероятность,

. .dAm,

то полученное произ-

что прп нервомъ наблюдены

ошибка будетъ заключаться между пределами Д, и Д, -+- dA,,
при второмъ — между Д2 и Д2 -t- dà2 и т. д.
Если бы величина х была въ точности извѣстна, и имѣлось
бы въ виду произвести надъ этою величиною несколько наблюде-

ній, то можно было бы спросить до производства наблюденій:
какъ велика вероятность,

что совокупность наблюденій будетъ

сопровождаться известною системою ошибокъ н ответь па этотъ
вопросъ заключался бы въ выраженін О , если бы былъ извѣстенъ
видъ Функціи ф (Д).

Но вопросъ, который хотимъ решить, въ

некоторомъ смысле обратный предъпдуіцему: наблюденія сделаны, а величина х не известна. Спрашивается какъ велика вероятность известпой гипотезы о величине х.
Если будемъ знать вероятности различныхъ гипотезъ о величине X , то для полученія вероятнѣйшаго значенія х останется
выбрать наивероятнѣйшую гипотезу.
Пусть нзъ наблюденій надъ искомою величиною х получились
величины

А , Ао, А3,

Ат

и следовательно неизвестныя ошибки наблюденій были
ж— А =
ж — А2 =

д

п

Д2,

Требуется найти наивероятнѣйшее значеніе для ж.
Вероятности различныхъ гипотезъ объ ж (п° 3 0 9 ) , пропорциональны велнчннЬ О , и следовательно произведенію
9(Д,).9(Д2).9(Д3)

9 OU-

Наивероятнейшая гипотеза объ ж будем та, въ которой это

произведете, а следовательно и сумма логариФмовъ его множителей
l o g <р ( Д х ) ч - l o g

(Д?) -+-

Ф

*+• l o g ф ( Д о т )

получить наибольшую величину.
Отъищемъ наибольшую величину этой суммы, для чего возьмемъ ея производиую но х и прправияемъ эту производную пулю.
Будемъ иметь
d<9 (Ді)

(ftp (Дг)

н

ф(Ді)<2Ді

^

dytü,,,)

<Р(Д 2 )4Д 2

__ Q

ф(дт)йдт

'

или положпвъ, вообще
U M - = (fi (А)

9 (Д) (là

'

получимъ

Ф ( Д і ) •+• Ф ( Д а )

ч - д $ ( Д

т

) = 0 ,

уравнеиіе служащее для онределепія нанвѣроятнѣйгааго зиачеиія
ж; оно можетъ быть представлепо въ видѣ:
(1 )

Д

1

Допуская

^

-

Ді

н

Д

2

^

ч

Д2

-

что положительный

н - Д

•

т

Ä i )

и отрицательных

=

0

.

ошибки

имѣющія одну и ту оісс величину встречаются одинаковое число
разъ (въ чемъ именно и состоите начало ариометической средины)
получимъ
(2 )

Д,ч-Д

другое урависніе
величины ж.

2

ч-

-»-

Д т

=

служащее для опредѣленія

0

наивероятнЬйшей

Посредствомъ этнхъ двухъ уравиеній легко уже определить
видъ Функціи 9 (Д).

Для того чтобы уравнеиія (1) и (2), служаіція для онредѣленія
одной и той же неизвѣстиой, были возможны, необходимо чтобы
опѣ были тождественны; следовательно, если назовемъ чрезъ к
постоянное число, на которое должно умножить второе уравнепіе
чтобы получить первое, то будетъ вообще:
fiö (Д)=

к.

или
ф(А) =

кЬ,

и прппомшівъ что

получимъ

dip (А)

<р(Д) =

к NIA,

откуда, ио интегрированіи,
log © (Д) =

С - ь к -у-,

H следовательно
<р (Д) =
гдѣ А и к

ПОСТОЯННЫЙ

J L
2

л2

Ае"

числа.

Такъ какъ вероятность ошибокъ уменьшается съ увеличеніемъ ихъ численной величины, то постоянный коеФФИціентъ

~

долженъ быть отрицательнымъ. Полагая поэтому
—
2

— — h
—

2

'

будемъ имѣть
<р(Д ) =

Ае~№.

Такимъ образомъ, при допущеніп начала ариометической средины для огранпченнаго числа наблюдений, выражается вѣроят-

іюсть, что ошибка отдѣлыіаго наблюденія иадъ величиною х заключается въ предѣлахъ Д и Д -+- dA .
Вероятность Р событія, что ошибка наудачу взятаго наблюденія будетъ заключаться между пределами — SR +

S будетъ

( » ° 3 0 3 ) равна сумме вероятностей различныхъ вндовъ этого событія, т. е. равна сумме выраженій

Ae-v^dA
для всехъ величинъ Д заключающихся между — s и

s, т. е.

Если вместо и - s возьмемъ высшійпределъ ноложительныхъ
ошпбокъ, а вместо — s высшій предЬлъ опшбокъ отрпцательныхъ, то предъндущій шітегралъ обратится въ 1, потому что
нѣтъ никакого сомненія, что всякая возможная ошибка заключается между этими пределами, а следовательно въ этомъ случае
вероятность обращается въ несомненность.
За такія предельный чпсла для величпнъ положительныхъ и
отрицательныхъ ошпбокъ мы конечно можемъ принять + о о п
— оо . Тогда получимъ

A e-^dA

=

1

(3)

Но выше имели выраженія для вероятностей ошпбокъ между
пределами А и Д - ь d A и пределами — s н -+-s

p =

Ae-WdA,

раздЬляя эти уравненія на (3) получимъ

'-HOC

Je-hWciA
CS3

лН-4
•

' - Н CSD

е- ; ' 2 д 2 </Д
CSD

ЕСЛИ ВЪ

интегралѣ
Г - н <N>

е-ШЧА,

J— CSD
ПОЛОЖИМЪ
А

А

Д

2

=

F,

то найдемъ

1
и какъ (примѣчаніс 1-е, страница 570)
"•+• ОЗ
2

то

I•

е- t dt = у к ,

Р=

е-'^ЧА

h

Р = : y f

,

е - ^ Й Д .

Это и будутъ выра;кенія вероятностей, что ошибка находится
въ 1-мъ случае въ безконечно-гЬсныхъ иределахъ Д и Ач-сІА,
а во 2-ыъ что она находится въ предЬлахъ — s u -»-s.

Предъидущимъ выраженіямъ можно дать болѣе простую
Форму, положивъ /ІД = / ; при этомъ положепіи, замѣтивъ что
предѣлы интеграла въ выраженіи Р будутъ — hs и -+- lis, получимъ:

ЛН-ÄÄ
N e - '

2

J —hs

Такъ какъ подъ интеграломъ Функція четная, то подставивъ
вмѣсто нпжняго нредѣла нуль и удвоивъ интегралъ будемъ пмѣть

Такимъ образомъ выражается, при догіущеніи начала ар пометической средины для ограниченнаго числа наблюдений, вероятность,
что ошибка взятая наудачу между всѣмп ошибками ряда наблюденій не превзойдем s по своей величине. Для вычпсленія значеній Р ,

соответствующихъ

служптъ

помещенная

на

различнымъ зпаченіямъ hs = «•,

странице 5 7 7

таблица

величинъ

ф (а) =

-jL e— t2 dt.
Jo
331. Мѣра точности наблюдены.

В ъ предъпдущемъ выраженіи для Р входптъ неизвестная величина й; прежде определенія численнаго значенія этой величины
покажемъ, что она можетъ служить мѣрою точности наблюденій.
Возьмемъ два ряда наблюденій производившихся иадъ одною
и тою же пепзвестпой, но съ различною степенью точности.
Для перваго ряда наблюденій вероятность что ошибка не
превзойдетъ s выразится чрезъ

—Щe~*dt.
Jo

Р

Для втораго ряда — вероятность что ошибка не превзойдетъ s'
выразится чрезъ

Для того чтобы вероятности были одинаковы необходимо чтобы
hs = h's',
т. е. предѣлы ошибокъ должны быть обратно пропорціональны
велпчинамъ h; поэтому величина h называется мгърою точности
наблюдены.
Напримѣръ: если h ' = 2 h , то s ' = ] s , т. е. въ первомъ рядѣ
наблюденій двойная по величии! ошибка столько же в!роятпа
сколько одиночная ошибка во второмъ ряд! иаблюдеиій.
332. Вѣроятная ошибка отдѣлънаго наблюдения.
Между всѣми возможными ошибками большаго ряда наблюденій одна паиболѣе замѣчательна; опа въ ряду в с ! х ъ ошибокъ
расположена такимъ образомъ, что число ошибокъ ея превышающнхъ равняется числу ошибокъ меныпихъ ея, такъ что можно
биться о закладъ одинъ протпвъ одного что ошибка наудачу взятаго наблюденія ея не превосходить.
Эта ошибка называется оѣроятною ошибкою, и величина ея
определится изъ условія Р = | . Изъ таблицы величинъ Р = <р(а)
видно что для <р(а) = ] величина а =

р=

0 , 4 7 6 9 и следова-

тельно называя в!роятную ошибку черезъ г 0 , будемъ имѣть
rji = р =

0,4769,

откуда

Г

О

р

h

0,4769

= =

_2

h

333. Нашѣроятнѣйшая величина средняго результата изъ
многихъ наблюдены.

ІІредъндущее выраженіе для вѣроятности р , что ошибка будетъ заключаться между предѣлами Д и Д -+- dA,

p=

Утс

4=e~ht*dA

выведено изъ допущенія начала ариометической средины для ограыиченнагочисла наблюденій. Поэтому,обратно, нринявъ заданное
пайденпый видъ для вѣроятности р,

должны получить ариѳмети-

ческую средину какъ паивіроятнѣйшее значеніе для наблюдаемой
величины.
Если бы наблюдаемая величина х была пзвѣстна, а наблюдеІІІЯ

не были бы сдѣланы, или покрайней мѣрѣ оставались бы не-

извѣстны, то вероятность системы ошибокъ Д , , До,

Ат

была бы равна произведепію вероятностей отдѣльныхъ ошибокъ
и выразилась бы чрезъ

(A)"1.

t-VW+V*

- ^ Д ^ Д ^ Д , . . . .dAm

(±.уп.

д*т) __ 0 ^

или называя

эта вероятность выразилась бы чрезъ

a dA,. dA,. dA.
1

2

dA .
m

«>

В ъ разсматриваемомъ случаѣ наблюдещя сдѣланы и для неизвестной величины X получились изъ наблюденія величипы
4 ,

А,

А т

следовательно ошибки наблюденій суть

А, = х — А„
Д2 = X — А2,

А т = х — Аі

,

При этихъ условіяхъ спрашивается какъ велика вероятность различныхъ гппотезъ для неизвестной х.

По теореме

третьей,

п° 3 0 9 , эта вероятность ііроіюрціональна величине О , потому
что вероятность гипотезы, когда событіе случилось (т. е. когда
ошибки сдЬланы), пропорціоналыіа вероятности въ ней событія.
Поэтому вероятность гипотезы х можно озпачить чрезъ

называя чрезъ р. коеффиціентъ ііропорціоналыюсти.
Мы шцемъ для х гипотезу наивЬроятиейшую; поэтому должно
принять такую гипотезу въ которой О нолучаетъ наибольшую величину, и следовательно сумма квадратовъ ошнбокъ
А »

I ч

А 2

нолучаетъ наименьшую величину; то есть для определенія наивѣроятпейшей гипотезы для х должно найти наименьшее значеніе
суммы
(я _ А,)2 -Л-(Х-

А2)2 Ч-

—

A J ,

ІІазвавъ наивѣроятнѣйшую гипотезу для х чрезъ В, и уравнявъ
пулю производную отъ предыдущая выраженія получимъ для
опредЬлешя В, следующее уравненіе:
(£-А,)

+ (£-А2)ч-

4

- ß - J J =

0

,

откуда
g

л

г

+ л + . . . . +

лш

что и следовало ожидать.
И такъ аргюметическаякредина

обладаешь тѣмъ свойствомъ,

что если принять се за искомую величину,
товъ ошибокъ наблюдены

становится

то сумма

квадра-

наименьшею.

Этимъ объясняется названіе: способъ наименьшихъ
товъ.

t

квадра-

Назвавъ

будемъ имѣть:

£ — Л, =

Х„

В, — А 2 =

Х2,

^

\п

4 » —

X, - » - Х 2 -+- Х 3 - + -

»

xm =

2Х =

О

т. е. сумма ошибокъ взятыхъ относительно ариометической средины есть нуль.
3 3 4 . Мѣра точности средняго

результата.

Видѣли, что вероятность гипотезы х есть
Ц 0 =

JL . ( - J L ) ™

E

- H * (Д,2 - Н Д / - Н

Ч- Д 2 Т ) .

Назвавъ среднее квадратовъ ошибокъ чрезъ е 2 2 , нолучимъ
+

m

-*- Д 2 т

е

.2
2 '

и предыдущее выраженіе представится въ виде

m

7С 2

Припомнивъ что
Д
Д2 =

Дт =

,=х—А„
х—.Аг,

х-Ат,

будемъ имѣть
A? = x2 — 2At +
А* = я? — 2

Лт2 = *

и какъ

е

а

A,\

А2ч-А2\

- 2

А . - 4 Л

А, -+- Л 2 4 -

ч-і

m

S

т

'

то:
те,2 =

А , а - н Д., 2 - + -

-і-Д

=

т ж 2 — 2ж. mg и - ( Л , 2 - + -

=

т(х2-2Ь

-н

2

А2'ч~

~*~Лт2)

даіаІдадаѴ).

Прибавивъ и отнявъ g2 въ величин!; заключенной въ скобки получпмъ
me о2 = m [(ж — g.)2 — g2 - н V -

Л.*j

Следовательно вероятность гипотезы ж представится въ вид!;
hm

V—^-e

- mh2 Г(ж - й» - Ё2 4-

L

m

J'

тс2
т. е. будетъ пропорціоналыіа величине
£ — MÄ* [ж — Ё]2

(

такъ что назвавъ коеффиціентъ пропорціональности чрезъ ѵ, и
обозиачивъ вероятность гипотезы ж чрезъ р , будемъ иметь
Р

— у . с — »dl 2 (ж — I ) 2 .

—

546

—

КоеФФііціентъ ѵ определится изъ условія что
Г-t-oo
1

потому что нЬтъ сомиеиія, что гипотеза х заключается въпредѣлахъ — оо и и - оо.
Поэтому вероятность гипотезы х представится въ виде
— mh2 (ж — £)2

е

Рх

г-нсчз
e - m h

1

Если въ интеграле

е~

2

(x-t)

' -

т1ь2 ( х

—оэ

2 d x

dx, ноложимъ

mh2(x — Çf = t2,
то найдемъ
'-НС-0

— mh2 (x — £)2 J
_L t2
аХ — UYm e~ dt,
— со

или (примѣчаніе 1, страница 5 7 0 )

Я

hVm

il вероятность гипотезы х, или вероятность ошибки x — I будетъ
АУт

а вероятность гипотезы

или вероятность ошибки 0 будетъ

H

hYm
УІГ

f

Для отдельная наблюденія вероятность ошибки 0 есть

h'
у тс

где 1і' есть мера точности отдельная наблюденія.
Поэтому мѣра точности h- средняя результата есть

— ІіѴт.
Для того чтобы вероятность средняя результата р* равнялась вероятности отдельная наблюденія р 0 должно быть

h' = hVm,
*

т. е. мѣра точности отдѣльнаго наблюденія должна быть въ У m
разъ болѣе меры точности средняя результата. При равныхъ
мѣрахъ точности въ двухъ родахъ наблюденій, изъ которыхъ въ
одпомъ произведено m наблюденій, а въдругомъ т ' , вероятности
среднихъ результатовъ % и

будутъ

Ъ~ѵ m

w-

hx'm'
У тс

Следовательно
Fg'

Ym' '

г. е. вероятности среднихъ результатовъ пропорціоітлыіы корнямъ квадратнымъ нзъ чиселъ ііронзведешіыхъ паблюдеяііі.

335. Вероятность, что ошибка срсдняю результата не превзойдешь известнаю предела.
Вероятность І \ собы гія что ошибка А средняя результата ?
будетъ заключаться между пределами — s н н - s будетъ (и 0 3 0 3 )
35*

равна сумм! вероятностей разлнчныхъ видовъ этого событія,
т. е. равна суммѣ выраженій
hYm

тПЧ2 лд

для всѣхъ величинъ Д заключающихся между — s н -+- s, т. е.

hY m Г ' J
Положпвъ

h\Vm=t,
H замѣтивъ что при этомъ предѣлы интеграла въ выраженін T?l
будутъ — hsVm

и -+- hsVm,

p.

5

—

получимъ
_L_

W

Г-1-hsYm
»

e~*dt.I
hsYvi

Такъ какъ подъ интеграломх Функція четная, то подставнвъ
вмѣсто нижняго предѣла нуль н удвопвъ ннтегралъ, будемъ имѣть
0

("hsVm

JО
Такимъ образомъ выражается вероятность, что ошибка средняго
результата не превзойдетъ s по своей велпчпнѣ.
Положпвъ

а = hs Ѵт,
откуда
s —

получимъ

p, •=

Jo

h

—7=,
hYm '

Для опредѣленія вероятности, что ошябка средняя результата не
превзойдете пзвѣстнаго нредѣла слугкптъ помѣщенная на странице 5 7 7 таблица величинъ Р = < р ( а ) .

336. Вероятная ошибка средняго результата.
Величина этой ошибки, подобно величине вероятной ошибки
отдельная паблюденія, определится изъ условія Р = \ . Изъ таблицы в е л і і ч і ш ъ Р = < р ( а ) видно, что для ф(а) = |, а = р =

0,4769

и следовательно называя вероятпую ошибку средняго результата
чрезъ n , будемъ имѣть
гфУт =

р=

0,4769,

откуда
р
—7=. =

ft

'

0,4769
——=• .

hYm

hYm

337. Вероятная величина средняго результата.
Называя, какъ прежде, ариѳметпческую средину наблюденІІЫХЪ

величинъ чрезъ У вЬроятпая величина средняго результата

будетъ заключаться въ нределахъ

?ч- r —r 1 р
«—
* — hYm
338. Въ F

=g±°'4769
hYm '

3 3 4 показали, что сумма квадратовъ ошнбокъ
д°-2-»-

-*-дт2

можетъ быть представлена въ виде
„•2

2 Д

2

Г,

= т [ ( ж — і )

а

З

Е

— I

А,2-н Л22-н.

нзобразпвъ для краткости

А2ч-А22Ч-

Ч-А2=2А2

...-*-А2т~]

- J ;

и развернувъ скобки, будемъ имѣть
2Д2=

положивъ X =

m (X — g ) 2 — mg" H- 2Â1 ;

g, H изобризивъ чрезъ 2Х 2 сумму квадратовъ ошп-

бокъ соответствующую этому положенію, получимъ
2 Х 2 = 2 А2— mg2,
и
2 Д

2

=

2Х

2

Н - m (ж — G ) 2 .

Предпоследнее равенство показываем, что сумма квадратовъ
ошпбокъ взятыхъ относительно ариѳметической средины равна
сумме квадратовъ паблюденныхъ величинъ безъ пропзведенія
изъ числа наблюденій па квадратъ ариометпческои средины.
Последнее равенство показываем, что сумма квадратовъ
разностей между некоторою величиною ж н наблюденными равна
сумме квадратовъ ошпбокъ взятыхъ относительно ариометпческои
средины, сумме сложенной съ пропзведеніемъ изъ числа наблюдены на квадратъ разности между величиною ж и ариѳметической
срединой.

339. Hauen,роятшыііиая величина мѣры точности наблюдены.
Положпмъ что истинная величина ж намъ известна, и что
при определеніи ея нзъ m наблюденіи сделали m ошпбокъ.
Вероятность до производства паблюденій, что m ошпбокъ:

случатся вмѣстѣ, выражается, какъ известно, чрезъ
О =

.

е

-h

2

( V - » - a 2 2 -4-

д 2

т),

или, если назовемъ чрезъ е2a среднее квадратовъ ошибокъ, то
будетъ

0 = TLe-mh4f

.

В ъ послѣднемъ выраженіи все извѣстно, за мсключеніемъ величины h.
Еслп наблюденія сдѣланы и ошибки Д , , Д2

Д т дей-

ствительно случились, то вероятность гипотезы 1і будетъ пропорціоналыіа О и если обозначиш ь кое<м>нціентъ иропорціоналыюсти
чрезъ р., то вероятность гипотезы h выразится чрезъ

Изъ этого выраженія можно определить нанвѣроятнейшее значеніе h. Оно получится изъ условія что Функція

hm. c~mllW
получаетъ наибольшую величину.
Прправнявъ производную ио 1і отъ этого выраженія нулю,
будемъ иметь

J = 2

mzfh,

пли

откуда
h= -L.
L2Y'2

.

Такимъ образомъ выражается наивероятнейшее
мѣры точности наблюденій.

значеніе

Наивѣроятнѣйшее зиачепіе мѣры точности средняго результата
есть:

Ѵт
0Ѵ2

ht

Величина s2 называется среднею

квадратическою

ошибкою

наблюденій и определяется уравпеніемъ
•

-4-дгт *).

Подставляя полученное значеніе для h въ выраженія вероятной ошибки отдѣлыіаго наблюденія и вероятной ошибки средняго
результата найдемъ что:
1°. Вероятная ошибка г 0 огдѣльнаго наблюденія определится
пзъ уравненія

r0=t
или такъ какъ о =

=

tV2.h,

0 , 4 7 0 9 , то
r

0,4769

o==-LJ— =

0 , 6 7 4 5 е2.

*) Истинный величины ошпбокъ Д,, Д 2 , . . . Д, п , по неянанію ИСКОМОЙ велиличины ж, всегда остаются неизвѣстными и вмѣсто нихъ приходится брать
разпости между наблюденными величинами п нхъ срединмъ значеніемъ
Если
обозначииъ эти разности чрезъ X,, Х 2 , . . . Х т , то (п° 338) имѣемъ
2Ä 2 = S X 2 4 - m ( a : — ? ) 2 .
Придаточный положительный членъ т(х — £)2 показывастъ, что сумма квадратовъ истинныхъ ошпбокъ наблюдевіп всегда болѣс суммы SX 2 .
Для опредѣленія съ возможнымъ прнбли;і;еніемъ средней квадратической
ошибки наблюденій Гауссъ (Théorie de la combinaison des observations qui expose aux moindres erreurs. Seconde partie. Traduction de M. Bertrand) замѣнястъ неизвЬстпыя величины квадрата ошибки каждаго изъ отдѣдьныхъ наблюденііі среднимъ квадратовъ ошибокъ, а первыя степени ошпбокъ средпеіі
ихъ величиной равной нулю, п для выраженія средней квадратической ошибки
наблюдений, въ случаѣ одной неизвѣстной х, приходить къ слѣдующсй Форму л ѣ

!

h .

- 1

2°. Вѣроятная ошибка r g средняго результата нзъ m наблюденій определится изъ уравненія
n

-—

^

или такъ какъ p =

pl/2

A ,

Ym

0 , 4 7 6 9 , то

3 4 0 . Вероятность
не превзойдешь

=

hYm

0,4769

0,6745 e2

hYm

Ym

P 0 , что ошибка отдельнаго

предела

наблюдснія

s получится, если вычислпмъ предвари-

тельно
а =

sit •

Ѵ2

г

и затѣмъ пріищемъ въ таблице величинъ
л а = sA

-' n

величину © (а) = Р , соответствующую вычисленному а.
Пределъ s ошибки отдельнаго
данной вероятности

наблюдения соответствуют!

Р 0 найдется, если въ таблице пріищемъ ве-

личину а соответствующую 9 (а) =
s=
Вероятность
наблюдены

й

а.

Р(і и за тѣмъ вычислимъ s изъ:
е2У2.

, что ошибка средняго результата

не превзойдешь

предела

лицы, если вычислимъ предварительно
а = shVm =

ѵзъ m

s найдется пзъ той же таб-

JlU

Е2У2

п затѣмъ пріпщемъ въ таблице величину ©(а) соответствующую
вычисленному а.

Предѣлъ s ошибки средняго результата соотвѣтствующій
данной вѣроятности Pt найдется, еслп въ таблице пріищемъ величину а соответствующую 9 (а) =

7\ н затѣмъ вычислимъ s

изъ:

3 4 0 . Выраженія мѣры точности наблюденій, можемъ найти
нзъ другпхъ соображеній.
В ероятность, что отношсніе числа повтореній событія къ чпслу
испытаній разнится отъ вероятности собы гія менѣе ч емъ иа какую шюудь данную величину, съ увеличеиіемъ числа испытаній
до безконечностн (п° 3 2 2 ) , приводится къ единице. Поэтому еслп
при весьма болыиомъ числе m наблюденій, ошибка Д повторилась
а разъ, то вероятность этой ошибки можемъ принять равною

а_
m'
съ другой стороны вероятность, что ошибка будетъ заключаться
между пределами Д и А-л-сІА выражается, какъ изв естно, чрезъ
9

(Д) clА ;

поэтому можемъ написать

или, умножая обе части последняго равенства на т ,

т® (Д) сІА =

а,

и, умножая обе части иа некоторую степень Д, именно на Д",
шДпф (Д) dA =

аД п .

Взявъ сумму подобныхъ выражений для различныхъ m ошибокъ
Ац

А2

, ЛЗ>

А т , получимъ
Г-Н оэ

m Д"ср(Д)с/Д

=

гдѣ знакъ 2 относится ко всѣмъ mошибкамъ: А,, Д 2 , Д 3 , ....Д } „ .
Если обозначігаъ среднее арпометическое всѣхъ

ошибокъ

А,, Д 2 , Д 3 , . . . . Ат встретившихся при m ііаблюдепіяхъ и взятыхъ съ положительными знаками чрезъ
Аі-нД2-нД3-н

-н A m

m

1
'

среднее квадратовъ ошибокъ чрезъ
Д,3-нД22-НД32-Н
m

-НА,,, 2 _
—

2
2>

среднее кубовъ ошибокъ взятыхъ сь положительными знаками
чрезъ
А,3-нД23-НД3Ч-Н
от

н-Дст»_

з
3 »

вообще среднее п-ныхъ степеней ошибокъ взятыхъ съ положительными знаками чрезъ
а,"-*-Д2"-н

то будемъ иметь

-+• s

m

2аАп =

n m

__

n
n >

тгпп

и следовательно
I Дпш(Д)са =

J—0O

епп.

В ъ выраженін

п—

д."

д2п

-«- Дот"

можемъ разсматривать А Д Д2П,
блюденія п величину e

Д " т какъ отдѣльиыя иа-

какъ ихъ средиій результатъ. Опредѣ-

nn

лпмъ вѣроятную ошибку и вероятную величпиу этого средняго
результата. Для этого найдемъ сиачала среднее квадратовъ ошибокъ:
(еп" -

А.") 2 -

(%" -

Д 2 ") 2 +

(»n n -

m

A n m) 2

Возвышая въ квадратъ каждое слагаемое числителя нолучимъ
(С -

V )

2

= ( О

2

-

2 C V - » - Д Л

( С - к ? = ( О 2 - 2 C V - А2П ,
если сложимъ по членио вторыя части написаішыхъ m равенствъ
и разделнмл. сумму на т , то среднее квадратовъ ошпбокъ изобразится чрезъ
(в

у —

2е \ "

7 п '

или чрезъ

п

ь

2П
2 п.

+

11

6і

2",
2п 7

( - п\2
1еп 1 7

и средняя квадратическая ошибка изобразится чрезъ

] /

б

2 „

2

" — ( 0

2

= • " «

—

1

;

поэтому вероятная ошибка г величины г п п выведенной изъ m наблюденій будетъ
у ——

АУж

_

Ä
Л

"

"-І . / Ж "
F (О2

Г
'

и вероятная величина s n " будетъ заключаться въ пределахъ

a вѣроятная величина средней ошибки е п будетъ заключаться въ
иредѣлахъ
і - н і ^ - , / ü Z !
1 —
Ym У
M 2

1

или приблизительно, въ иредѣлахъ
1

±

РѴЕ

«тТп р

( Е П П )"

Для того чтобы получить величины е п п и eft,11 въ зависимости отъ величины 7г, при разлнчныхъ п , возьмемъ предъпдущій
пнтегралъ
Л

Д п <р ( Д ) dA =

eft.

Такъ какъ всѣ степени ошибокъ разсматрнваемъ съ положительными знаками, и ш (Д) =

HL е ~ 7І2д2 есть Функція четная,

к тс

то удвоивъ пнтегралъ и подставивъ вмѣсто ншкпяго
нуль, будемъ имѣть
n
£"

2h
Vtz

Anc~i№dA,

что дастъ (примѣчаніе 3, страница 5 7 6 )
при 1 1 = 1 ,
1

е. =
1

7

; и
Ѵтс\7І'

1і=

1

7

1

•

при 11 = 2

при і і = 3
3

s,3 — -ѴтсДз'
=— : и h =

1

—-— ,

предѣла

при n =

4 ,
е. =

при n =

з .
jrr, и
4h*

n=
7

Уз
— •
6 4 У2 '

5,
5,—
У 2
I t
£rTC ТВ

е,5 — -т=—5 ; и Л =
Vit Л '

при ii =

G,
s

6
15_
,
6 — - 8Ä « ; и ft —

Уі5

и т. д.
Вставляя нолученныя зиачсиія въ вышеприведенное выраженіе для вѣроятной величины средней ошибки получимъ:
при 11 •= 1 ,
! = У т с

.6і

1

±

р Уд — 2
Ут

при » 1 = 2 ,
1 = У 2 . £

2

Ѵт

при п :
т

I

=

.в/—
Утс .в,

бУяі

]/і5тс—f

и т. д.,
гдѣ £j есть ариѳметическая средина нзъ всѣхъ погрѣшностей
взятыхъ съ положительными знаками, £2 корень квадратный пзъ
ариометпческои средины квадратовъ погрѣшностей н т. д.
Изъ приведенныхъ выраженій для вѣроятнаго значенія -Y- (а
слѣдователыю п для вѣроятнаго значенія мѣры точности наблюдший h), впдпо, что опредѣленіе h помощью суммы квадратовъ
ошпбокъ есть наиболѣе выгодное. В ъ этомъ случаѣ, при одіша-

ковомъ числѣ наблюденій получаются наиболее тѣсные предѣлы
для вѣроятной величены h.
Для того чтобы получить одни и т е же пределы при употребленін s , , е3 и е 3 , надобно, чтобы числа наблюденій относились,
какъ
г:

—

2 : 1 :

15тс— 8
36

или какъ
114:100:109
т. е. если при употребленіи е 2 , для того чтобы достигнуть извѣстныхъ пределовъ надобно 1 0 0 наблюденій, то для техъ же
нределовъ нрн употребленіи ех нужно 1 1 4 наблюденій, а при
употреблены г 3 нужно 1 0 9 наблюдены.
3 4 2 . Связь между

среднею квадратическою,

метическою и среднею кубическою

среднею

ариѳ-

ошибками.

Изъ предъндущаго видно, что при весьма болыномъ числе
наблюдены

полученный уравненія выражаютъ связь между среднею квадратическою, среднею ариометичсскою и среднею кубическою ошибками, при большомъ чнслЬ наблюденій.
3 4 3 . Общій средній
среднихъ

результатъ

изъ нѣсколькихъ

частныхъ

результатовъ.

Пусть будетъ

средній результатъ выведенный пзъ тх на-

блюденій, средняя квадратическая ошибка которыхъ есть і 2 ;
при этомъ мѣра точности А, средняго результата
чрезъ

выразится

Пусть будутъ | 2 средній результатъ выведенный изъ «г2 наблюдены, Ig — нзъ wig наблюденій п т. д . , наконецъ | |х изъ wy
паблюденій; средпія квадратическія ошибки выведенный изъ этихъ
паблюденій назовемъ соответственно чрезъ е 2 " , е 2 ' " ,
меры точности результатовъ | , , | 3 ,

e 2 (w ;

|„ будутъ соответг

-

ственно:
£2'Ѵ2

У2

А
F

'

etwy 2

Выведемъ изъчастиыхъ среднихъ результатовъ | п | 2 ,

||Х,

напвероятиЬйшее зиаченіе общаго средняго результата S .
Если за истинную величину х , беремъ

, то делаемъ ошибку

x — |j ; вероятность этой ошибки выражается чрезъ

если за истинную величину х беремъ | 2 , то дѣлаемъ ошибку
ж — 1 2 ; вероятность этой ошибки выражается чрезъ

"ITC

и т. д. ;
наконецъ если за истинную величину х беремъ | , то делаемъ
"

г

ошибку x — ! ; вероятность этой ошибки выражается чрезъ
г

Уте

Вѣроятность что всѣ эти ошибки случатся вмѣстѣ изобразится
чрезъ

M

/у _ -

[h2

(X -

£ , ) 2 4 - К2 (X -

Ё 2 ) 2 4 - . . . . . 4 - h2^ (X -

у)2]

iX

dx

тс2

Когда результаты g n g 2 ,

g^ получены, то вероятность ги-

потезы X будетъ нропорціоналыіа послѣднему выраженію, н наивѣроятнѣйшее значеніе H величины x получится пзъ условія, что
величина

е- Ѵн2 О -

6 Y -4-

-

У

-*- А Ѵ ( *

2

-

получаетъ наибольшее значеніе.
И такъ наивѣроятиѣйшее значеніе х получится пзъ уравневія
1г\ (X — gx) 4 - /Ѵ2 (x -

g2) 4 -

4 - Ъ\ (x — y

== 0 ,

откуда

Дадпмъ

м

Д2,Ё14-/122Ё24-

Й

/І,24-Д224-

полученному

9\, 9-2, • • • 9у

С

У

ТЬ

4-Ьуе,!
4-Л2^

выраженію

ЧІІСла

'

другой

впдъ ;

пусть

Цѣлыя, положительныя и прямо про-

порціоналыіыя квадратамъ мѣръ точности наблюденій, такъ что
_
9і

__ ^jf

Яг

ffi

и слѣдователыю
7.2

72

Яг .

;

подставлші полученный выраженія для
неиіе определяющее S найдемъ
9,

н

ч

1г\,

Ii2

о

ц,

въ урав-

4-ff2ë24-

9і+9г +

'

4-<7^,

Это выраженіе можно получить слѣдующимт, путемъ: пусть для
опредѣлемія величины х сделано

9і+д2-ьпаблюденій одинаковой степени точности, н пусть
gj наблюденій далп величину ç,

fj2

»

»

»

%

n
•Jß

»

»
fi

»

H :
'

при этихъ условіяхъ нанвѣроятііѣйшее значеніе H наблюдаемой
величины ж найдется взявъ ариѳметическую средину в с е х ъ паблюденныхъ величинъ (такъ какъ по предположенію наблюденія одинаковой степени точности) и будетъ какъ выше получили
4-77|Дц

р
1-1

9і-*~9г-*-

4-77^

И такъ можемъ разематрпвать каждую пзъ р. величинъ 'с,
какъ повторившуюся при наблюденіяхъ g разъ, или же разематрпвать каждую величину £ какъ наблюденіе случившееся только
одішъ разъ H вводить ее въ послѣднемъ случае въ вычпсленія съ
коеФФиціентомъ g .
Числа

9,і 9-2 1
называются вѣсами частныхъ результатов!, наблюденій. Поэтому
можно сказать, что для нолученія наивѣрнѣйшаго значенія общаго

средняго результата изъ нѣсколышхъ частиыхъ средняхъ результатовъ должно каждый частный средпій результатъ умножить на
его вѣсъ и сумму иолученпыхъ произведший раздѣлпть на сумму
вѣсовъ результатовъ.
Такъ какъ вѣса

9н

9»

частиыхъ среднихъ результатовъ пропорціональны квадратамъ
ІІХЪ

мѣръ точности
А,

и имѣли что

h

А>

р

_

\,

щ

I

" ) — 2 • е'22 7
7.2

II

1
о

" ц

2

2

с" 2 7

»2

е 2 Ы)2 7

то вѣса частиыхъ среднихъ результатов!, прямо пропорціональны
числамъ наблюденій, нзъ которыхъ выведенъ результатъ и обратно
иропорціоналыіы среднимъ квадратовъ ошнбокъ:
77І, . 7772 .
eV

"ѵ
Величины Дд 7 "'г )
£2

Е2

£2

t'\ :

,ц)2

т р
ЁЖ» '

часто прннпмаютъ за вѣсы

f

результатовъ, такъ что полагайте

Ol

т.

= 7sс' 02 7
t
m

9-2=рпг 2

Op

3G*

Вѣсъ отдѣльнаго паблюдепія при этомъ изобразится чрезъ

до —

i/'

a общій средиій результать чрезъ
üh ? - ^ А Ч р .т.

еу «

w

Щ

"

... "V g

e y

>иг

|

t-'г

e

егФ)г V

m^

t

V

ДфТг

344. Мера точности и вѣсъ общаго средняю результата Н.
Вероятность гипотезы х объ этомъ результате (п° 3 4 2 ) пропорціоналыіа выраженію:
е - [ ѵ и - ^ А Щ * - ^ - . . .

V

(я-ёц)2],

показатель котораго для краткости означнмъ чрезъ

ЩЧх-Вф.
Но:
V (* -

=К*2

-

2 * Д ® -+- л 2 ? , 2 .

следовательно
2А/(ж-|.)

гр

•

=

ж22А,2-

2 А Д

2

•

і а к ъ какъ - ^ Г =
SA

2

Д, то замѣняя въ последнемъ выраженіи

'

^ я* величиною S и прибавляя S 2 къ величине заключенной въ
скобкахъ и вычитая нзъ иея З 2 , получимъ
(x - 1 , . )

2

=

[(ж -

З )

2

- 32н- Щ

]

• 2Ä,2.

Такпмъ образомъ вѣроятность гипотезы х, если чрезъ ѵ означпмъ коеФФИціентъ не зависящій отъ х будетъ

Коеффиціентъ ѵ опредѣлптся пзъ условія что
Г - н со
=

e - ( « - a j » w < t e ,

Ѵ

J — оо

потому что нѣтъ сомнѣнія, что гипотеза х заключается въ предѣлахъ — СЮ И 4 - ОО.
Поэтому вѣроятптсть x представится въ вндѣ

Г - н со
е - ( ж - S
f ^ H

J— со

2 d x

или, такъ какъ
-

CO

F » ?

то вѣроятпость гипотезы х, или вѣроятность ошибки x — S есть
Y

S

rit

e

- (ж - g )

2

s v .

Изъ этого выраженія видно, что мѣра точности Я средняго
результата H есть

н=ѵщ=ущгдатдай.
п вѣсъ его будетъ

G = -I-4--2Î-4
— г^
-г ^
to

Со

ту.

Вероятная ошибка г 0 отдельнаго наблюденія изображается чрезъ

вероятная ошибка г^ частнаго средняго результата ç изобра;кается чрезъ

вероятная ошибка R общаго средняго результата изображается
чрезъ

Если во всѣхъ р. отделахъ наблюденій меры точности наблюденій одинаковы, то обіцій средній результатъ H пзъ частиыхъ
среднихъ I , ,

.

г

выведенныхъ изъ т . , т 2 , . . . . т
"

блюденій найдется пзъ уравненія

г

*

, на-

m,4- m 2 4 - . . . . 4- т,х

Если въ нослѣднемъ случай число наблюденій одно и тоже
въ каждомъ отдйле наблюдепій, т. е. т. = т., =
общій средній результатъ 3 будетъ

Д

. . . . ти то
г

(І

—

3 4 5 . Полученные результаты, начиная с ъ м ° 3 3 0 , суть слйдствія доиущенія начала арнометпческой средины для ограниченн а я числа наблюдепій — допущенія, вследствіе которая, вероятность ошибки отдельная наблюденія выражается (п° 3 3 0 п
3 3 9 ) чрезъ
® ( Д) =

Yк

е-

е 2 /2тс

е~

F.

2

Для того чтобы повѣріггь возможно-ли въ данномъ случай
это допущеніе, необходимо полученные нзъ него выводы сравнить
съ данными пзъ наблюденій. Для этого нужно найти (п° 3 4 0 )
соответствующіо разлнчнымъ вѣроятностямъ предѣлы ошибокъ
наблюденій и по сравненіи ихъ съ ошибками, съ которыми ариометическая средина выражаетъ сдѣланныя наблюденія, удостовериться въ томъ, что распредѣленіе ошибокъ, вычисленных!,
по способу наименыпихъ квадратовъ, соотвѣтствуетъ распредѣленію ошибокъ, съ которыми ариѳметическая средина выражаетъ
сдѣланпыя наблюдеиія.
3 4 6 . При допущеніи начала ариометической средины для
огранпченнаго числа иаблюденій, или, что то-же, чтовѣроятиость
ошибки огдѣлыіаго ііаблюдеиія выражается чрезъ
А2

©(Д)
предйлъ

PyLA

Ym

=

ошибки средняго результата изъ

m

наблюдеаій

соотвЬтствуетъ (n° 3 4 0 ) вероятности
<»>
Jo

Если не дѣлаемъ никакого доиущенія па счегъ вида ©(Д), то
можемъ только заключить (п° 3 2 9 ) , что предЬлъ^ ошибки средняго результата пзъ m наблюдений соотвЬтствуетъ вероятности
большей
1

ß2 »

или, полагая (3 = а У 2 ,
можемъ только заключить, что предѣлъ — о ш и б к и средняго результата пзъ m наблюдепій соответствует!, вероятности болыней

Сравнивая выраженія (1) и (2), находимъ, что для одного н
того же предела ошибки средпяго результата, выраженіе(І) даетъ
вероятность большую чймъ выраженіе (2). Такъ папримѣръ при
cj.=

3, выражспіе(І) (см. на страниц!; 5 7 8 таблицу © (а)) даетъ

вероятность Р=
допущеніи

0 , 9 9 9 9 8 , почти единицу, следовательно, при

начала ариометической

средины для огранпченнаго

числа наблюденій, почти достоверно, что ошибка средняго результата не превзойдетъ пред!;ла
з.егУ¥

Ѵт
»

между тймъ какъ не допуская начала ариометической средины
справедливыми для огранпченнаго

числа наблюденій,

можемъ

только заключить, что означенный предйлъ ошибки средняго результата соотвйтствуетт, вероятности большей
1—

=0,94444.

Для отъисканія интеграла

полояшмъ

I

со

e-t2dt

г - н оо

=

— оо

2\e-t2dt

[

оо

e-t2dt

-

=

A.

о

Возьмемъ другой такой же интегралъ только съ другой неременной 2, онъ также будетъ равенъ А; такимъ образомъ получимъ два выраженія
Г-н со

А

= е-

dt,

t2

'о

А=\

J

1*-н оо
е~ г2 dz.
0

Гіеремножпвъ эти интегралы, получимъ:

П

оо

j

положнвъ t =

-(M)dtdz;

e

zy (где у не зависите отъ z) найдемъ
dt =

а

<*оо

zdy,

е-Wy2)
О

«

J

Y-zdydz,

пли
e - ( i -+-У2)

Jo

Jo

Умноживъ и раздѣлпвъ подъинтегральную величину на
- 2 ( 1 - 1 - f t )

получішъ
г

Jo

Jo

М

Л

- 2 ( 1 - а д

ft)

^ .

Такъ какъ
Г00

J е - (14-2/ 2 ) У

_

2 ( 1 -1- I/ 2 ) zdz

=

г

[ е - U *

2

J

то

J

2

i

2

r

œ

dy

1 -t-V/2
JО

1
2

arctang i/

л TTC
u следовательно:
Ч- ОО

У

J:

J

Утс

-t-oo

e-*dt
— 00

=

TC

4 '

=

Для вычпсленія

•

р = 4 =

e-t2cU

У тс

= 9(a)

пеобходпмо наіітн определенный ннтегралъ

e-t'dt.
о
Интегралъ этотъ принадлежишь къ числу техъ, которые не
могутъ быть получены въ конечиомъ виде; его можно определить но приближенію.
Замети въ что,

получимъ

2.3.7

Этотъ рядъ сходящійся для всЬхъ возможпыхъ величинъ a ;
но оиъ можетъ быть унотребленъ съ пользою только для значений a не превосходяіцихъ Ѵ 2 .
Если a > V 2 , то для опредЬлешя интеграла съ достаточною точностью потребовалось бы вычислить много членовъ; въ
этомъ случае съ пользою можно употребить слѣдующуй способъ.

Замѣтнвъ что:
foo

f e-r-dt =

Jо

— e-*dt,
a

Jo

гдѣ: \, e ~ t 2 d t = ^ £ - , найдемъ | e - ' 2 d * чрезъ шітегрированіе
Jo
по частямъ. Умножая и раздѣляя подъинтегральную его величину
на — 2t, получимъ :

'оо

e-t'dt:

=

—l\t-ld(e-^)

=

, — t 2 ' оо

—

гоо

—à

е - « \ г * й ;

или

Ja

Интегрируя по частямъ

fco
е-«2. t~2dt=l

Г оо
t~3.d

Ja

dt.

Ja

J

fae —<2 *
Ja

(е-<2) =

— 1

2

dt получимъ

•t2

е-'2.3

a

или

f

J

a

-t\r2dt

=

— з 2 a3

Продолжая подобнымъ образомъ найдемъ

\7~t2dt =

!

~ 2a

*

—
2 . 2a
2 a3

3e~aJ
2.2'-a 5

оо

3.5.
е-«2
2.23.a7

Г *

или
00

J:

e~t2dt

=

2a

2a

2

1.3

1.3.5

2 a

2 a

2

4

3

6

1.3.5.7
та

8

и слѣдовательпо:

J:

e~t2dt=

1

1

2a

•

2 a2

1.3

1.3.5

1.3.5.7

22a

2 3„6
a1

2 «„8
a!

П р і і м ѣ ч а н і е

3.

Для опредѣленія
tnn =
п

оо

^\Ane-Wb2dA

v* о

положимъ
hA =

t,

получимъ
[Ъе-^dA
J0

=

n

j U -

2

"

Yîz.hn

do

(?e~t2dt,

00

tn.e~t2dt.
о

Для нахожденія
Г со

p . ..е-*2

Jo

dt,

умножпвъ и раздѣлпвъ подъіштсгралыіую

величину на —

получимъ
fco

J

tn . е-*2 dt=

соо

— ij tn~l. e-t2.

— 2 tdt

fco

Jo

Интегрируя но частямъ будемъ нмѣть

tn~ld(e-t2)

=

I:

'oo

(n —

tn~\e-t2dt.

1)
Jo

Выраженіе tn
О , а при t =

. e~t2 =

1

t=

; при

0,

обращатся въ

оо , обращается въ ^ . Для иахожденія истиной

величины послѣдняго выраженія, взявъ отношеніе пропзводныхъ
числителя и знаменателя, получимъ
и—i

г"—з

~г--jpr
что при t =

у

оо обращается опять въ

но продолжая последо-

вательно брать отношеніе пропзводныхъ числителя и зпаменателя дойдемъ наконецъ до выражепія
ь

I

(гдЬ h постоянный коеФФіщіентъ), которое при t =
ся въ пуль.

оо обращает-

Поэтому
00

у -

1

,

е-«2

=

0,

о

такъ что

JV
0

1

.d(e~t2)

= _ ( „ _ ! )

[p-2e-t2dt,
Jo

J

'oo

fco

tne-t*cU=-p

о

Подобиымъ образомъ найдемъ
(?~2e-t2dt=
Jo

такъ что
f°°

~

Jo

\t'1-2e-*2dt.

[f-'e-^dt,

Jo

, Г°°

J tn.e~*2dt

= —jpj t

n

fco
~

2

e~

t 2

=

rco
w—1
я—3 и—5
I3 n
1
n

-

—

~

! r
г
j о

е-«2dt
g

. h

2

ä ,

Поэтому въ случай w четнаго будемъ нмѣть

J

rco

fоо

і л г - * . < й « н . і

и въ случаѣ,0 п иечестнаго:
fco
\tne-t2.dt=l\.l

•=?.•=!

*=*.»=}

J 0

Jo
foo

J0

t.e-fidt.

Знаемъ что
f00
Jo
Для пахожденія же
"со
.e-t2dt

p

Jo

умножпвъ h раздѣливъ подъинтегральную величину на — 2t,

!

получимъ
оо

t.e-t dt

=

2

=

reo
— Ue-t2.

- l ( e~
e t2d{e~t2)
J оо

— 2tdt

=

1

p—t2

2•

И такъ въ слѵчаѣ п четнаго:

J":

/И p—t2Jf
13 5
i .e
«r — 2 - 2 - 2

n—s n—1 >тс .
" ж ' ж ' т " '

Jo

a въ случаѣ »г нечетная

Р

"00
/п

—t 2 rti

Jo

Величина е „ п = Щ

—

2 4 0
2-2-2

оо

Д п . e~>'2*2dA

П—Ъ П — S »1—1 j
-~2~-2-

=

р\

о

въ случаѣ « четиаго
°п

п

£
1 з 5
h n ' 2-2-2

а въ случаѣ п нечетная

n—S
п—1
2
' 2
'

<2dt будетъ

Таблица величинъ ? (а) = -jL e~t2dt.
Jo

а

ф (а)

0,00
0,01
0,02
0,03
0,04

0,00000
0,01128
0,02257
0,03384
0,04511

0,05
0,00
0,07
0,08
0,09

0,05637
0,06762
0,07886
0,09008
0,10128

0,10
0,11
0,12
0,13
0,14

0,11246
0,12362
0,13476
0,14587
0,15695

0,15
0,16
0,17
0,18
0,19

0,16800
0,17901
0,18909
0,20094
0,21184

0,20
0,21
0,22
0,23
0,24

0,22270
0,23351
0,24430
0,25502
0,26570

0,25
0,26
0,27
0,28
0,29

0,27632
0,28690
0,29742
0,30788
0,31828

0,30
0,31
0,32
0,33
0,34

0,32863
0,33892
0,34913
0,35928
0,36936

0,35
0,36
0,37
0,38
0,39

0,37938
0,38933
0,39921
0,40901
0,41874

0,40

0,42839

Diff.

1128
1129
1127
1127
1126
1125
1124
1122
1120
1118
1116
1114
1111
1108
1105
1102
1098
1095
1090
1086
1081
1079
1072
1068
1062
1058
1052
1046
1040
1035
1029
1021
1015
1008
1002
995
988
980
973
965

а

<р(а)

0,40
0,41
0,42
0,43
0,44

0,42839
0,43797
0,44747
0,45689
0,46623

0,45
0,46
0,47
0,48
0,49

0/7548
0,48466
0,49374
0,50275
0,51167

0,50
0,51
0,52
0,53
0,54

0,52050
0,52924
0,53790
0,54646
0,55494

0,55
0,56
0,57
0,58
0,59

0,56332
0,57162
0,57982
0,58792
0,59594

0,60
0,61
0,62
0,63
0,64

0,60386
0,61168
0,61941
0,62705
0,63459

0,65
0,66
0,67
0,68
0,69

0,64203
0,64938
0,65663
0,66378
0,67084

0,70
0,71
0,72
0,73
0,74

0,67780
0,68467
0,69143
0,69810
0,70468

0,75
0,76
0,77
0,78
0,79

0,74116
0,71754
0,72382
0,73001
0,73610

0,80

0,74210

Diff.

958
950
942
934
925
918
908
901
892
883
874
866
856
848
838
830
820
810
802
792
782
773
764
754
744
735
725
715
706
696
687
676
667
658
648
638
628
619
609
600

а

Ф(а)

0,80
0,81
0,82
0,83
0,84

0,74210
0,74800
0,75381
0,75952
0,76514

0,85
0,86
0,87
0,88
0,89

0,77067
0,77610
0,78144
0,78669
0,79184

0,90
0,91
0,92
0,93
0,94

0,79691
0,80188
0,80677
0,81156
0,81627

0,95
0,96
0,97
0,98
0,99

0,82089
0,82542
0,82987
0,83423
0,83851

1,00
1,01
1,02
1.03
1.04

0,84270
0,84681
0,85084
0,85478
0,85865

1.05
1.06
1.07
1.08
1,09

0,86244
0,86614
0,86977
0,87333
0,87680

1,10
1,11
1,12
1.13
1.14

0,88020
0,88353
0,88679
0,88997
0,89308

1.15
1.16
1.17
1.18
1,19

0,89612
0,89910
0,90200
0,90484
0,90761

1,20

0,91031

Diff.

590
581
571
562
553
543
534
525
515
507
497
489
479
471
462
453
445
436
428
419
411
403
394
387
379
370
353
356
347
340
333
326
318
311
304
298
290
284
277
270

Продолженіе таблицы величинъ ? (а) =
9(a)

1,20

1,21

1,22
1.23
1.24

1.25

0,91031
0,91296
0,91533
0,91805
0,92050

1.29

0,92290
0,92524
0,92751
0,92973
0,93190

1.30
1.31
1.32
1.33
1.34

0,93401
0,93606
0,93806
0,94001
0,94191

1.35
1.36
1.37
1.38
1.39

0,94376
0,94556
0,94731
0,94902
0,95067

1.40
1.41
1.42
1.43
1.44

0,95228
0,95385
0,95538
0,95686
0,95330

1.45
1.46
1.47
1.48
1.49

0,95969
0,96105
0,96237
0,96365
0,96490

1.50
1.51
1.52
1.53
1.54

0,96611
0,96728
0,96841
0,96952
0,97059

1.55
1.56
1.57
1.58
1.59

0,97162
0,97263
0,97360
0,97455
0,97546

1.60

0,79635

1.26
1.27

1.28

Diff.

1,60

9(a)

Diff.

a

<p(a)

0,97635
0,97721
0,97804
0,97884
0,97962

86

2,00
2,05
2,10
2,15
2,20

0,99532
0,99626
0,99702
0,99764
0,99814

2,25
2,30
2,35
2,40
2,45

0,99854
0,99886
0,99911
0,99931
0,99947

2,50
2,55
2,60
2,65
2,70

0,99959
0,99969
0,99976
0,99982
0,99987

2,75
2,80
2,85
2,90
2,95

0,99990
0,99992
0,99994
0,99996
0,99997

3,00

0,99998

264
257
252
245
240

1,61
1,62
1,63
1,04

234
227

1.66

217
211

1.69

0,98037
0,93110
0,98181
0,98249
0,98315

1.70
1.71
1.72
1.73
1.74

0,98379
0,98441
0,98500
0,9355S
0,98613

1.75
1.76
1.77
1.78
1.79

0,98067
0,98719
0,98769
0,98817
0,98864

1.80

0,98909
0,98952
0,98994
0,99035
0,99074

222

205
200
195
190
185

180
175
171
165
161

157
153
148
144
140
136
132
128
125
121
117
113

111

107
103

101
97
95
91
89

1.65
1.67

1.68

1,81
1,82
1.83
1.84

1.85

1.89

0,99111
0,99147
0,99182
0,99216
0,99248

1.90
1.91
1.92
1.93
1.94

0,99279
0,99309
0,99338
0,99366
0,99392

1.95
1.96
1.97
1.98
1.99

0,99418
0,99443
0,99466
0,99489
0,99511

2,00

0,99532

1.86
1.87

1.88

e~t2dt.

83

80
78
75
73
71

68
66

63

62
59
58
55
54

52
50
48
47
45
43
42
41
39
37
36
35
34
32
31
30
29

28
26
26
25
23
23

22
21

0,0443
0,0888
0,1337
0,1791
0,2253

0,050
0,100
0,150
0,200
0,250

0,2724
0,3208
0,3708
0,4227
0,4769

0,300
0,350
0,400
0,450
0,500

0,5342
0,5951
0,6608
0,7329
0,8134

0,550
0,600
0,650
0,700
0,750

0,9062
1,0179
1,1631
1,3859
1,8214

0,800
0,850
0,900
0,950
0,990

2,3268

0,999

§11.

Прнложспіс къ іізслѣдовапііо результатовъ стрѣльбы.
3 4 7 . ГІрн пзслѣдованін результатовъ стрѣльбы каждая отдѣлыіая траекторія разсматривается какъ отдѣльное иаблюденіе
надъ искомою величиною, нанвѣроятнѣйшее значеніе которой есть
средняя траекторія нзъ весьма большаго числа выстрѣловъ пропзведеиныхъ при одпнаковыхъ обстоятельствахъ. Отклоиенія отдѣльныхъ траекторій отъ средней разсматриваются какъ ошибки
наблюденій, Такъ какъ псчпсленію вѣроятностей нодле;катъ только
случайный ошпбкн, то п при прпложепіп способа наименьшнхъ
квадратовъ къ стрѣльбѣ разсматриваются только случаііныя отклопенія.

348. Средняя точка пораэкенгя и ея свойства. IIa основаніи начала ариометпческои средины наивѣроятнѣйшая точка пораженія при стрѣльбѣ въ вертикальную мишень опредѣлнтся слѣдующнмъ образомъ:
Пусть x,,

х2, . .. . хт будутъ абсциссы m различныхъ то-

чекъ пораженія, отнесенный къ прямоугольнымъ осямъ коордппатъ ОХ h OY, пачерченнымъ на мишени; одиѣ изъ нпхъ будутъ
положптельныя — по одну сторону осп ордшіатъ, другія отрицательный — по другую сторону ея.
Пусть у,, у2, . . . . у

ордішаты тѣхъ же точекъ отнесепныя

къ тѣмъ же осямъ; однѣ пзъ нпхъ положнтельпыя, другія отрицательный.
Координаты X н Y наіівѣроятпѣйшей точки поражепія будутъ

у

х

x, -t- хг •+•
m
У\-*-Уг-*m

-н хт
Уm

Sx
m '
=

sy

m

Точка определенная такимъ образомъ называется

средней

точной пораженія пли центромъ поражены.
Координаты этой точки, будучи средними ариометическими
координатъ отдельиыхъ точекъ пораженія, должны иметь все
свойства ариѳметической средины. Поэтому:
1) Алгебрпческая сумма разностей между координатою средпей точки іюраженія и координатами отдельиыхъ точекъ поражеиія есть 0.
2) Сумма квадратовъ разностей между координатою средней
точки пораженія и координатами отдельиыхъ точекъ пораженія
(п° 3 3 3 ) есть наименьшая.
3) Сумма квадратовъ разностей между координатою средней
точки пораженія и координатами отдельиыхъ точекъ пораженія
равна («° 338) сумме квадратовъ координатъ отдельиыхъ точекъ
поражеиія безъ пронзведеыія изъ числа пронзведенныхъ выстреловъ на квадратъ координаты средней точки пораженія.
4) Сумма квадратовъ разностей между координатами некоторой данной точки и координатами отдельиыхъ точекъ поражепія
равна (и 0 3 3 8 ) сумме квадратовъ разностей менаду координатою
средней точки пораженія и координатами отдельиыхъ точекъ нораженія — сумме сложепиой съ произведеніемъ изъ числа выстреловъ на квадратъ разности менаду координатою дайной точки и
координатою средней точки поражеиія.
Назвавъ
X — ж, = а і г

и

Y—

X — ж2 = « 2 ,
X—ж„,

получимъ:

m

=

а„.,

ТП '

Y—y2=b2,
г —

2а = 0 , и 2Ь =
2d

1

ух=Ъ„

,j

771

7я 7

0;

2

и 2Ь должны быть наименьшими;

2а- = 2х- — тХ\ и 2Ь3 = 2у- — mY2.

Назвавъ координаты некоторой данной точки чрезъ X ' и Г '
и обозначпвъ
X' —

и

Х' — х2 =
X' - х

а.ф

У — у,

= ѵ >

У —

у2=Ь.;,

= ат',

т

У

найдемъ
2а'* =
ХЬ'2 =

2а2ч-т(Х' ХЬ2 -+- m (У

3 4 9 . Вычисление среднихг
отъ средней точки пораженія,

X) 2 ,

- г )

2

.

квадратическихъ

отклонены какъ

такъ и отъ всякой другой точки

которой мгъсггго гізвгьстно.
Если пазовемъ чрезъ е 2 ' и г / среднія квадратнческія отклопенія отъ средней точки пораженія соответственно по горизонтальному H по вертикальному направленіямъ, то будетъ

•i-Yf

и

Величины Ха 2 п 2Ь 2 довольно долго вычислять, такъ какъ
надобно сперва определить среднія арнометпческія величины X и
Y, потомъ взять разности:
\1 а2 1

т '

а

а

h возвысить нхъ въ квадратъ. Для унрощенія вычисленій, замѣтнвъ что (я 0 3 4 9 )
2а2=2У

—

тХ2,

2b2 = Xy2 —

mY2,

можсмъ дать выражеиіямъ е 2 ' и е 2 " слѣдующій видъ:

ч ' - Я Р ? .
Если паблюдениыя величины

x,, х2, . . .

,хт,

Ун Уг,

Ут,

заключаютъ въ себѣ большое число цііФръ, то полезио выбрать
нЬкоторыя круглыя числа g и к] блнзкія къ X и Y, и вычислять
е / и е 2 " но Формуламъ

и

которыя, какъ легко убедиться, тождественны съ предъидущнми.
Зная отклоненія отъ средней точки пораженія по горизонтальному и вертикальному Иаправленіямъ можно опредѣлить абсолютный отклоненія или непосредственный разстоянія отдельныхъ точекъ отъ средней точки пораженія.
Лбсолютныя отклоненія с,,

с, = уaf

с2,

ст будутъ

-I- bp, с2 = Уа2 -t- &22,. . . . ст = Уат2 ч-

bj.

Для определеиія средняго квадратпческаго абсолютнаго отклоненія е2 отъ средней точки пораженія должно извлечь корень
квадратный пзъ выраженія.

Такъ какъ
с,2 =

а*

4-

Ъ,2 ;

= а2 + Ъ2;

ст*

=

^

4-

IJ

;

то

2с2 = 2а9-

4-

;

слѣдовательно
sc2

so2

m

2ь2

m

m'

ИЛИ

откуда

VF9

e, =

Зная средііія квадратическія

4 -

s2"9.

отклоненія отъ средней точки

поражеиія можемъ иаіітп среднія квадратпческія отклоненія отъ
какой угодно другой точки, мѣсто которой извѣстпо, т. е. координаты которой X

и Т относительно ирямоуголыіыхъ осей

начерчеішыхъ на мишени, извѣстны. В ъ самомъ дѣлѣ (п° 3 4 9 )

2а'2 = 2а2-*-т(Х
2b'2 = 2¥~t-m(r—
поэтому среднія квадратовъ

— Х)2,
Y)1:

отклоненій относительно

данной

точки но горизонтальному и по вертикальному направленіямъ будутъ
2а' 2

2а 2

~пГ~ — ~т~

, ѵ/
'

'

= е2'2 -+- {X' — X)2,
и
~

—

£

г"2

- + -

(f ' —

г)2.

Среднее квадратовъ абсолютных!, отклонений изобразится
чрезъ

ж

-

' ж

=

=

+ (х' -

-

X

f

-

ß' - YT-

s, 2 ч - ( X ' — X ) 2 ч - ( Г - Т )

2

.

Такъ какъ
(X' — X ) 2 , ( Г — Г)2 H (X' — X)2 ч - ( Г — Г)2
пред ста вляютъ соответственно квадратъ

горпзонтальнаго раз-

стоянія между данною точкою и среднею точкою иораженія,
квадратъ вертикальная разстоянія н квадратъ абсолютная разстояпія между ними, то среднее квадратовъ отклоненій относительно какой уядно точки равно среднему квадратовъ отклонений относительно средней точки нораженія, сложенному съ квадрагомъ разстоянін между данпою точкою н среднею точкою поражеаш.

350. Вычисленіе среднихъ ариѳмстическихъ отклонены какъ
отъ средней точки пораокеиія, такъ и отъ всякой другой точки,
которой мѣсто известно.
Если назовемъ чрезъ s / и s," среднія арпометнческія отклопеиія отъ средней точки поражены соответственно но горизонтальному и но вертикальному направленіямъ, то будемъ имѣть

И

ь

і

- '

m

'

при чемъ 2а н 2Ь означайте суммы, въ которыхъ все а и все h
припяты положительными.

Зная среднія ариѳметическія отклоненія отъ средней точки
пораженія можемъ найти среднія ариѳметическія отклоненія отъ
какой угодно другой точки, мѣсто которой извѣстно, т. с. координаты которой относительно прямоугольныхъ осей начерченныхъ на мишени нзвѣстны. Для этого должно опредѣлить абсолютныя величины

отклоненій отдѣлыіыхъ точекъ пораженій

отъ данной п найти среднее ариометическое этихъ отклоненій.

351. Пояснительный примѣръ.
IIa опытахъ произведеішыхъ въМецѣ въ 1 8 4 6 г. для опредѣленія траекторій снарядовъ было сдѣлано нзъ 16 фи. гладкой осадной пушки 1 0 0 выстрѣловъ ядрами зарядомъ въ 1 , 3 3 3
киллограмма при постоянномъ углѣ возвышеиія. Высоты полета
снарядовъ были для каждаго выстрѣла замѣчасмы на вертпкальныхъ сѣтяхъ расположенных!* въ разлнчныхъ разстояніяхъ отъ
орудія. В ъ слѣдующей таблицѣ приведены, для разстоянія въ
2 0 0 метровъ, наблюденный высоты полета А,, А.,,

Д 100

считаемыя отъ центра дульнаго срѣза орудія.

=
=
=
=
=

метр.
3,89
4,29
4,09
4,32
4,19

Л41
Л42
Л43
Ац
Л45

=
=
=
=
=

метр.
3,44
3,82
3,60
4.15
3,95

Л 6 = 4,21
А 7 = 3,41
Л 8 = 4,3G
Л9 = 4 ,21
Л 1 0 = 4,43

Л29 =
Л27 =
л2« =
Л29 =
Л зо =

2,79
4,12
4,24
3,79
3,70

л4в
Л47
Л48
Л49
Л jo

=
=
=
=

Ли
Л12
Л13
Л и
Л,.

Л,
Л2
Л3
Л4
Л5

=
=
=
=
=

метр.
3,91
3,41
2,76
2,81
3,51

Л2і
Л»,
All
Ali
Л2з

метр.

лс| =
л65 =

3,37
3,50
4,22
3,87
4,20

Л81
Л82
л8з
Л 84
Л,j

=
=
=
=
=

метр.
3,87
3,74
4,59
4,24
3,52

4,42
3,87
3,45
3,70
3,85

Лсв
Л07
Л68
Л eg
Л70

=
=
=
=
=

3,59
4,44
4.29
3,57
3,69

Л86
Л87
Л88
Л89
Л90

=
=
=
=
=

3,94
3,54
4,69
3,94
4,09

лсі

=

Л62 =
лвз =

=
=
=
=
=

3,59
4,06
4,61
3,36
4,18

Л3,
Л32
Л33
Л,і
Л35

=
=
=
=
=

4,44
3,86
3,45
4,82
3,85

л5і
Аі2
Л зз
Л54

=
=
=
=
лзз =

4,59
4,39
3,79
3,44
4,09

Л71 =
А72 =
л7з =
л74 =
Л75 =

3,89
3,69
4,17
4,49
4,19

Л91
Л92
Л93
Л94
Л95

=
=
=
=
=

3,47
4,14
3,79
3,94
3,82

Л1в =
Л17 =

3,86
3,96
3,86
3,91
3,66

Лзв
Л37
Л38
Л39
Л40

=
=
=
=
=

3,67
3,00
4,20
4,10
4,05

лзв =

4,14
4,19
3,74
4,49
3,34

л7в =

3,64
4,17
3,89
3,89
4,14

л ос =
Л97 =
Л98 =
Л99 =
Л100 =

3,59
3,42
4,27
3,62
4,52

л,8 =
л19 л20 =

Л57
Л58
Лі9
Л«,

=
=
=
=

Л77
Л78
Л79
Л80

=
=
=
=

Средняя высота В выведенная пзъ всѣхъ 1 0 0 выстрѣловъ

будетъ:
«boo

ç=

Y

Л

л

=

метр.

3,917.

Отклоііоііія по высотѣ отдѣльныхъ траекторий отъ средней
выведенной изъ

100

I — Л2, . . . . % — А

е-

-4,:

:
л2 . :
:
я4 = :
f : :

е-

е 5 -

5- л

м.
0,007
0,507
1,157
1,107
0,407

=

выстрѣловъ,
т

ё — л 7 = 0,507
0,443
6 - л
=
0,293
5- А =
0,513
5 - 4 1 0 =

m.
0,247
0,317

i — ^зэ
і — 4.,о
• 4 4 1 = 0,477
• А.., =0,097
| - 4 4 3 = 0,317
s -

4«=

= 0,327 0,143
0,693
с — 4 и = 0,557
0,263
5— 4« =

5
5
5
5
5

i -

5 - Лі =

й - л

п

л 1 в = 0,057
: 0,057
: 0,007
: 0,257

5 — 420
?с

I -

л 2 1 = 0,027
-^оо =
0,373
0,173
0,403
0,273
t =
=

i
5

0.043

- а
л

1,127

7

зо

: 0,127
: 0,217

0,203
0,333

0,523
5 —
0,057
5~ а 2
0,567
5 — -4.13
5~434 =
0,903
£ - 4 3 з = 0,067

е. разности % —

А1}

, помѣщепы въ слѣдующей таблицѣ:

А =
s ~136
5 — 37

и.
0,293

т.

- 4 « =
447 : :
- 4 « : :
- 449 : :
- 4 0 0 = :

0,047
0,467
0,217
0,067

м.
0,283
0,183
0,133

0,233
0,033
0,503

0,673
0,473
- 4 5 2 =
5 — 4 5 3 : : 0,127
5
4 і 4 : : 0,477
0,173
5 455 :
0,223
=
0,273
=
= 0,177
0,573
= 0,577

5— 4 и
5 - 4 і 7
5 — 4.; g

5-А,=

s —

4„п

5-4

0 1

:

I ~ А-

:

: 0,547
: 0,417

0,303
5 — 463 =
g — л 6 4 = 0,047 0,283
5 — 465 =

ё - л с 0 = 0,327

Іё -= a s
і

ё -

68> — -

= 0,347
л 7 0 = 0,227

0,523
0,373

м.
а , : : 0,027
WA : : 0,227

5-

z

і»:

m.
0,253
0,573
0,273

ё - а п = 0,277
5— 4„ —
0,253
0,027
5- а п
0,027
0,223
l - t
f - 4s1
f — a»
5 - ai3
5 - 4 s 1
5 — 4sj

: : 0,047
' : 0,177
0,673
:
0,323
:
: : 0,397

0,023
5 - a,t :
5
4 8 7 : : 0,377
0,773
5 — 4 88 =
t
3
0,023
t
л 9~
0,173
5 — 490 =
5 — 4 0 1 = 0,447
0,223
5 — 492 —
5 — 4 9 3 = 0,127
0,023
5 - 4 94 =
« - 4 g i = 0,097
5 — 4 s 6 = 0,327
5 - 4 9 7 = 0,497
ц —
0,353
ё - 4 9 9 = 0,297
0,603
5-4,00=

Среднее квадратнческое отклоненіе е2 выведенное изъ всѣхъ 1 0 0
выстрѣловъ будетъ
е2 =

0*'4071.
%

Средиее ариометическое отклоненіе s, выведенное пзъ всѣхъ 1 0 0
выстрѣловъ будетъ
6j =

Еслнбы, взявъ е2 =

ov'319.

0,4071" о т г - за данное, опредѣлили е., наосно-

ваиін зависимости (п° 3 4 2 )

то получили бы
Sj =

0";3248,

что весьма близко къ вышеполученному г, =

0,319.

Далѣе будемъ употреблять средиее квадратнческое отклонеіііе.
Вѣроятпое отклоиепіе В средней траекторіи, выведенной пзъ
1 0 0 выстрѣловъ, отъ истинной траекторіп (или, что то же, предѣлъ отклопсній средней траекторіи выведенной изъ ІООвыстрѣловъ отъ истинной—иредѣлъ соотвѣтствующійвѣроятности Р = ')
получится (п° 3 3 9 ) пзъ

Л

=

РУ ш '

^ =

- ОГ-4071 = 0 ^ 0 2 7 4 6 ,

т. е. можно биться объ закладъ одпнъ противъ одного что средняя высота I =

3" 9 1 7 отличается не болѣс какъ на 0 " 0 2 7 4 G

отъ истинной.
Предѣлъ отклонеиія средней траекторіи, выведенной пзъ 1 0 0
выстрѣловъ, отъ истинной — предѣлъ соотвѣтствующиі вероятности
р =

9 (а) =

|=

0,8

найдется, еслп въ таблпцѣ <р(а) пріищемъ для <р(а) = 0 , 8 соответствующее а = 0 , 9 0 6 2 и будетъ ( п ° 3 4 0 )
s=

0,9062 j / щ - of4071 = 0 ^ 0 5 2 2 ,

т. е. можно биться объ закладъ 8 противъ 2,

что ошибка въ

средней высотѣ 3" 9 1 7 не превосходим 0','0522.
Предѣлъ отклонеиія соответствующий вероятности
Р = Ф (а) =
для которой а =

0,9 ,

1 , 1 6 3 , будетъ

в = 1,163

0^4071 =

0^0670,

т. е. можно биться объ закладъ 9 противъ 1, что ошибка въ
средней высотѣ 3" 9 1 7 ие превосходим 0 Т 0 6 7 0 .
Предѣлъ отклоненія, отвѣчающій вероятности
Ф (а)

=

0,99,

для которой
а = 1,8214 ,
будетъ
1,8214 " ( / Л ? 0 * 4 0 7 1 =

ОТ 1 0 5 ,

т. е. можно биться объ закладъ 9 9 противъ одного, что средняя высота ЗТ917 отличается отъ истинной не более какъ на
0"Ю5.
Пределъ отклоненія отвечающей вероятности
Ф (а) =

0,999,

для которой
а =

2,327,

будетъ
2 , 3 2 7 l / j g g . О 5 ,4071 =

OV 1 3 4 ,

т. е. можно бнться объ закладъ 9 9 9 противъ одного, что средняя высота 3 " - 9 1 7 отличается отъ истинной ие болѣе какъ на
0*134.
Если на оборотъ желаемъ опредѣлпть какъ велика вероятность, что средняя высота отличается отъ истинной не более какъ
па 0? 0 5 , то должны положить (п° 3 4 0 )
0?05 =

a]/Ä.

0-4071,

откуда
а =

0,с88,

что соответствует!. (см. таблицу ©(a)).
Р =

0,7804,

т. е. можно биться объ закладъ 7 8 противъ 2 2 , илп почти 8
прптнвъ 2 что высота 3 ^ 9 1 7 отличается отъ истинной не более
какъ на 0 ? 0 5 .
Вероятная ошибка средпяго квадратпческаго отклоненія будетъ (п° 3 4 1 )
бо.-7£= =
- Уюо

0?-4071 . ^

t

10

=

0? 0 1 9 4 ,

т. е, можно биться объ закладъ одннъ противъ одного, что среднее квадратическое отклонепіе 0 ) 4 0 7 1
квадратпческаго

отличается отъ средняго

отклоненія выведеппаго

изъ весьма болыпаго

числа выстрЬловъ ие более какъ на О) 0194.
1

Вероятное отклонепіе г 0 наудачу взятой отдельной траекторіп (или, что т о ж е , иределъ отклоненія наудачу взятой отдель-

ной траекторіп — нредѣлъ соотвѣтствующій вѣроятности Р = |)
будетъ (»° 3 3 9 ) ,
г0 =

р Ѵ 2 - е2 =

0 , 4 7 6 9 - У 2 - 0%4071 =

0^2746,

т. е. можно биться объ закладъ одинъ противъ одного, что отклоненіе наудачу

взятой

отдѣлыюй

траекторін

не

превзойдетъ

0"'2746.
Предѣлъ огклоненія наудачу взятой
соотвѣтствующій вѣроятностн Р =
а =

отдѣльной траекторін,

ф(а) =

|=

0 , 8 , для которой

0 . 9 0 6 2 будетъ (п° 3 4 0 )

s=

0 , 9 0 6 2 • У 2 • s2 =

0,9062 • У 2 • 0?4071 =

0^5217 ,

«

т. е. ложно биться объ закладъ 8 противъ 2 , что отклоненіе наудачу взятой отдѣлыюй траекторіи не превзойдетъ 0 " ' 5 2 1 7 .
Предѣлъ отклоненія наудачу взятой отдѣлыюй траекторін,
соотвѣтствуюіцій вѣроятностн P =

0 , 9 , для которой а =

1,1631,

будетъ
8 = 1 , 1 6 3 1 • У 2 • £2 =

0*'6696 ,

т. е. можемъ биться объ закладъ 9 протпвъ 1 , что отклонепіе
наудачу взятой отдѣльной траекторіи не превзойдетъ 0 " ' 6 6 9 6 .
Предѣлъ отклоненія наудачу взятой отдѣльной траекторіи, соотвѣтствующій вѣроятпостн Р = 0 , 9 9 , для которой а =

1,8214,

будетъ
1,8214 У 2 - е

2

= 1" 0 4 8 6 ,

т. е. можемъ биться объ закладъ 9 9 противъ 1, что отклоненіе
наудачу взятой отдѣлыюй траекторін не превзойдетъ I м ' 0 4 8 6 .
Предѣлъ отклоненія наудачу взятой отдѣльной траекторін, соотвѣтствующій
а =

вероятности

Р=ф(а) =

0,999,

2,3268,

будетъ
2,3268 • Е2У2 =

1 " 3396,

для которой

т. е. можемъ биться объ закладъ 9 9 9 противъ 1 , что отклоненіе
наудачу взягоіі отдѣльной траекгоріи не превзойдем IT'S390.
Если желаемъ определить какъ велика вероятность, что
отклоненіе наудачу

взятой отдельной траекторін не превзой-

д е м ОТ 5 , то должны положить

0Т5 =

аг 2 У 2 =

а У 2 •0^4071,

откуда
а =

0,688,

что соответствуем (см. таблицу ©(a))
Р =

0,7804

т . е . можно биться объ закладъ 7 8 противъ 2 2 , или почти 8 противъ 2 , что отклоненіе наудачу взятой отдельной траекгоріп ne
превзойдем ОТ 5.
Для того чтобы убедиться въ согласіи непосредственпыхъ
результатовъ наблюденій съ выведенными по способу наименьшихъ
квадратовъ пределами отклопеиій наудачу взятой отдельной траекторіи, соответствующими различнымъ вѣроягностямъ, примемъ
что истинная траекторія совпадаем съ среднею траекторіею нзъ
1 0 0 выстрѣловъ, и расположен. 1 0 0 наблюденныхъ отклоненій
по порядку нхъ абсолютным величинъ, не обращая вннманія на
знаки. Эти отклоненія будутъ:
метр.

метр.

1...(ё-а,)
2...(ё-а19)
3 . . . (s — At6)
4...(ё-а89)
5 . . . ( g - а94)

=0,007
= 0,007
= 0,023
= 0,023
= 0,023

ll...(g-a17)
1 2 . . . ( t ;
13...(ё-лв4)
14...(g - а , , )
15...(?-а16)

=
=
=
=
=

0,043
0,047
0,047
0,047
0,057

6 . . . ( ё — л 2 1 ) = 0,027

1 6 . . — aj,)
1 7 . . .(ё — Азг)
18... ( ё - a s )
19...(ё-а.0)
2 0 . . . (ё — a , j )

=
—
=
=
=

0,057
0,057
0,067
0,067
0,097

7 . . . ( ? — Ап) — 0,027

8 . . .(£ — a ? t ) = 0,027
э - • •(£ — А79) = 0,027
1 0 . . . ( ? - л 4 5 ) = 0,033

метры.

2 1 . . . ( g - л м ) = 0,097
2 2 . . . ( g — л м ) = 0,127

2 3 . . . ( g - А з ) = 0,127

24... ( g - А з ) = 0,127

2 5 . . . ( § - л 4 0 ) = 0,133

метры.
А . - А 6 ) = : 0,327
62. А - А 6 ) =: 0,327
6 3 . .(g — As) =0,333
6 4 . а - а 9 ) == 0,347
6 5 . А - А « ) == 0,353
61.

2 6 . . . (g-

-A 2 ) = 0,143
27...(g. • Аз) —0,173
2 8 . . . • • а з ) =0,173
29...(g - ' a o ) — 0,173
30...(S- • a o ) =0,177

66. А - А , © = 0,373
6 7 . а - а » ) = = 0,373
68. а — а , ) = = 0,377
6 9 . а - а з ) = = 0,397
70. а - а 4 ) = = 0,403

8 1 . . . ( ç •— л 8 2 ) = 0,177
8 2 . . . ( 6 -— Аэ) = 0,183
33...(g-— Ar) = 0,203
34...(S-— а о ) — 0,217
35... (g - л 4 9 ) = 0,217

71.
72.
73.
74.
75.

36... (g л ; 6 ) = 0,223
87...(g — Ао) —0,223
88...(g — Аг) = 0,223
89...(g — Ао) = 0,227
40...(g — л 7 2 ) = 0,227

76. а - а г ) = = 0,473
7 7 . a — а і ) = = 0,477
7 8 . • (5 — а і ) == 0,477
7 9 . A - A r = : 0,497
8 0 . А - А б ) = = 0,603

41...(g — А 44)
42...(g • Ас)
43...(g- Аз)
44...(g • А 7 )
4 5 . . . (g • Ао)

0,233
0,247
0,253
0,253
0,257
а з ) = 0,263

81.
82.
83.
84.
85.

46...(g47... (g •• а з ) : :
48... (g •- а а :
49...(g • • а з ) = :
50...(g- • А 6 ) : :

0,273
0,273
0,273
0,277

87.
88.
89.
90.

51...(g52...(g53...(g54...(g55...(g-

0,283
0,283
0,293
0,293
0,297

9 1 . a - a o ) = : 0,577
9 2 . A - A o o ) = = 0.603
9 3 . a — a i ) = : 0,673
9 4 . A - А з ) = : 0,673
9 5 . a — а з ) = = 0,693

56...(g- ' Аз) = 0,303
57...(g- • а т ) = 0,317
58...(g- • Аз) =0,317
59...(g- •л 8 4 ) = 0,323

A — As) =: 0,773
A - A 4 ) = : 0,903
• ( 6 - A ) =: 1,107
A —Ac) = • 1,127
100. А - А з ) = : 1,157

60...(g-

•а,)= :
•аз) = :
• а ) =:
• а ) =:
• л 9 9 ) ::

ai)

= 0,327

а - а ) = = 0,407
• ( s - a 2 ) = = 0,417
А - А ) = = 0,443
а — а і ) = = 0,447
а - а « ) = = 0,467

. ( g - A ) = = 0,507
А - А ) = = 0,507
А —Ао) = = 0,513
•(£ — Аі) == 0,523
a - a r ) = : 0,523

86. а — а і ) = = 0,547

А - А « ) = = 0,557
•(s Аз) = : 0,567
. ( S - А » = : 0,573
. ( g - A 4 ) = = 0,573

96.
97.
98.
99.

Изъ таблицы впдимъ:
1) что вѣроятное отклоиеніе наудачу взятой отд ельной траекторін г 0 =

0 " ' 2 7 4 6 заппмаетъ по величин!; мѣсто между 49-мъ

и 50-мъ по величпнѣ отклонепіямп, т. е. пзъ чпсла 1 0 0 отклонений 4 9 меньше п 51 большевѣроятпаго отклоненія, или почти]

всѣхъ отклоненій меньшевѣроятнаго и почти ] больше, т. е. вероятное отклоненіе занимаетъ почти среднее место въ ряду 1 0 0
отклоненій расположенныхъ по порядку ихъ величинъ и если биться объ закладъ, что наудачу взятое отклоненіе ие превзойдетъ
0*2746
по величине, то число случаевъ благоиріятиыхъ для выигрыша
почти одинаково съ числомъ случаевъ благопріятпыхъ для проигрыша, чЬмъ п характеризуется вероятное отклоненіе;
2) что 0* 5 2 1 7 , пределъ отклоненія наудачу взятой отдельной
траекторіи, соответствующий вероятности Р =

0 , 8 , занимаетъ по

величине место между 83-мъ и 84-мъ по величине отклоненіями,
т. е. изъ числа. 1 0 0 отклоненій 83 меньше этого предела, такъ что,
если принять что истинная траекторія совпадаетъ со среднеею
траекторіею изъ 1 0 0 выстрЬловъ, то вероятность соответствующая пределу
0*5217
даже нЬсколько больше чЬмъ 0 , 8 ;
3) что 0* 6 6 9 6 , предЬлъ отклоненія наудачу взятой отдельной траекторіи, соотвЬтствующій вероятности Р =

0 , 9 , зани-

маетъ по величине мЬсто между 92-мъ и 93-мъ по величине отклоненіями, т . е . изъ числа 100 отклоненій 9 2 меньше этого предела, такъ что, если принять что истинная траекторія совпадаетъ
со средиеею траекторіею пзъ 1 0 0 выстрЬловъ, то вероятность
соответствующая пределу
0*6696
даже нЬсколько больше чѣмъ 0 , 9 ;
4) что 1* 0 4 8 6 , предЬлъ отклцненія наудачу взятой отдельной
траекторіи, соответствующий Р = 0 , 9 9 , занимаетъ по величине
место между 97-Мъ и 98-мъ ио величинеотклоиеніямп, такъ что,
если принять что истинная траекторія совпадаетъ со среднею
38

траекторіею изъ 1 0 0 выстрЬловъ, то вероятность соответствующая пределу 1 " 0 4 8 6 будетъ 0 , 9 7 , что весьма близко къ 0 , 9 9 ;
5) что изъ 1 0 0 отклоненій ни одно не превышаете 1" 339G,
предела соответствующая вероятности Р =

0,999;

6) что пределъ 0"-5 занимаете по величине место между
79-мъ и 80-мъ отклоненіями, какъ и требуется вероятностью
Р = 0 , 7 8 соответствующею этому пределу.
Для того чтобы убедиться въсогласіи выводовъ полученныхъ
по способу наименьшихъ квадратовъ съ результатами полученными непосредственно изъ опыта, относительно соответствующихъ различнымъ вероятностям!. предЬловъ отклоненій средней
траекторіи выведенной изъ ограниченная

числа

выстреловъ,

прпмемъ, что средняя высота полета полученная изъ 1 0 0 выстреловъ
g=

3^917

совпадаете съ истинною высотою. Раздѣлимъ произведенные 1 0 0
выстреловъ на 10 отдѣловъ но 10 выстреловъ въ каждомъ и
сравнимъ среднія высоты выведенный изъ каждыхъ 10 выстреловъ съ высотою выведенною изъ 1 0 0 выстрЬловъ. Эги сравненія покажутъ дѣйствительно-ли отклоненія среднихъ траекторій
изъ 10 выстреловъ отъ средней траекторін изъ 1 0 0 выстреловъ
заключаются въ иредЬлахъ получаемыхъ по способу наименьшихъ
квадратовъ.
Средняя высота выведенная изъ первыхъ 10
есть £ ' = 3 * 7 0 . Принимая высоту
«g =

выстреловъ

3*917

за истинную, получимъ
? — g' =

3*917 — 3*70 =

Ь',-22

наблюденное отклоненіе средней траекторіп изъ первыхъ 10 выстреловъ.

Среднее квадратпческое откдоненіе е/ выведенное изъ первыхъ
10 выстрЬловъ есть
е 2 ' = 0*582.
Вѣроятпое отклонепіе г' средней траекторін выведенной изъ
первыхъ 10 выстреловъ будетъ:
г ' = р | / 1 • е2' =

0,4769 Y h ' ° ' " 5 8 2

=

°'

1 2 4

•

Следовательно наблюденное отклоненіе
i — | ' = = 0 f 2 2

нревышаетъ вероятное
/ =

0*'124 ;

т. е.

Ъ—

г'.

Для вторыхъ 10 выстрЬловъ будемъ иметь
|"=3*91;
I — 6" =

3*917—-3*91 = 0 * 0 1 ;
е2" =

г

" =

рV i '

°>

4 7 7

0*326;
-Ѵго-

0

>

3 2 6

=

0

>-°7i

следовательно наблюденное отклоненіе 0* 0 1 меньше вероятнаго
0 * 0 7 ; т.е.

Продолжая поступать такимъ же образомъ для каждаго изъ десяти отдѣловъ выстрЬловъ, найдемъ что наблюденное отклонен о пять разъ меньше вычисленнаго при Р =

\ и пять разъ боль-

ше, что совершенно соотвЬтствуетъ вероятности равной ] .
88*

Подобный вычпсленія были сдѣлапы для вероятностей въ |
и

ВсЬ резз'льтаты показаны въ следующей таблице, причемъ

въ граФІ, сравненій знаками н - означены тѣ случаи, при которыхъ
отклопенія заключаются въ иредЬлахъ найдешіыхъ вычисленіемъ,
а знаками — случаи, при которыхъ отклоненія выходятъ нзъ этихъ
предЬловъ.

к

0

о ""

и.
3,917

S t
S s
'•
5с 2J™
к я
О.®
о-4

r

СЧ
fa)
а
в
tr
ч
и

H.
0,22
0,01
0,02
0,08
0,11
0,10
0,05
0,10
0,10
0,06

и.
0,582
0,326
0,439
0,467
0,291
0,408
0,365
0,231
0,375
0,343

м.
3,70
3,91
3,94
4,00
3,83
4,02
3,87
4,02
4,02
3,86

)

1 «
m

•

в Ч:
3 J U
g

'в
ta
В
в
св
О,

S.ÎS
К И
м.
0,124
0,070
0,094
0,100
0,063
0,088
0,078
0,071
0,081
0,074

3
ta
о
3

II <N
7Tœ
" S
_ о"

Л з д
Га
Lr • M
ta
CE.'S
Я

К
—

+

—
—

-н
—

—
- * -

и.
0,164
0,133
0,179
0,190
0,119
0,167
0,149
0,135
0,153
0,140

—

+
•ta

-tН-

+

-t-ь

ta
о

s
Сравненія.

4
к а
С СЗ

3 Й
H ~

* о,
ta П

Сравненія.

uÂ

Г®
2Д?

Отк лоненія чаі
ныхъ среднихъ
личинъ.

.

« "Г*
я
е
jä In
о °
ta
З а
а н

S II g
3

Ж

>2 = H
и Ö
К r?
0)
CbtS
С в
и.
0,211
0,171
0,230
0,245
0,153
0,215
0,192
0,173
0,197
0,180

—

-1-

-tЧ-

-t-

чч-f-

Изъ этой таблицы видно, что при вероятности |, отклоненія
(отт, средней траекторіи изъ 1 0 0 выстреловъ) среднихъ траекторий нзъ 1 0 выстрЬловъ 9 разъ заключались въ пределахъ гіолученпыхъ вычнсленісмъ и только одинъ разъ отклоненіе превышало иределъ, такъ что предЬлы заключали дѣйствительНыя отклоненія даже въ большемъ числе разъ, чЬмъ показываете соответствующая этимъ пределамъ вероятность Р =

| = 0,8 .

При вероятности 0 , 9 , отклоненія 9 разъ заключались въ
пределахъ полученныхъ вычислетемъ и одппъ разъ отклоненіе
превышало иредЬлъ, что совершенно соответствуете вероятности Р = 0 , 9 .
Для того чтобы убедиться въ согласін выводовъ получаемыхъ по способу наименьшихъ квадратовъ съ результатами на-

блюденій, относительно соотвѣтствующихъ различнымъ вѣроятностямъ предѣловъ ошибокъ въ среднихъ отклоненіяхъ, вычислимъ вѣроятныя ошибки среднихъ квадратическихъ отклоненій
для каждыхъ

10

выстрѣловъ и сравнимъ пхъ съ разностями

между средннмъ отклоненіемъ изъ 1 0 0 выстрѣловъ и средними
отклоненіями пзъ каждыхъ 10 выстрѣловъ, разностями которыя
примемъ за ошибки частныхъ среднихъ отклоненій. Результаты

Сравненія.

сравненій показаны въ слЬдующен таблице:

Вѣроятныя
Среднее к в а д р а - Среднія квадра- Дѣііствнтельныя
ошибки часттнческое откло- тическія отклоошибки частненія и з ъ 10
неніе и з ъ 1 0 0
н ы х ъ с р е д н и х ъ н ы х ъ среднихъ
выетрѣдовъ.
отклоненііі.
выстрѣловъ.
отклоненііі.

м.
0,4071

M.
0,582
0,326
0,439
0,467
0,291
0,408
0,365
0,2 U
0,375
0,343

к.
0,1749
0,0811
0,0319
0,0599
0,1161
0,0009
0,0421
0,1761
0,0321
0,0641

M.
0,0873
0,0489
0,06585
0,07005
0,04365
0,06120
0,05490
0,03465
0,05625
0,05145

ЧЧЧЧч-

Изъ этой таблицы видно, что дѣйстрительныя ошибки среднихъ квадратическихъ отклонепій 5 разъ меньше

вѣроятныхъ

ошибокъ и 5 разъ больше, что и следовало ожидать.

352. Вероятность попасть въ весьма узкую полосу. Графическое изображеніе этой вѣроятности.
Вероятность р , что отклоненіе по горизонтальному направленно будетъ заключаться между пределами ж и x-t-dx,

или, что

тоже, вероятность попасть въ вертикальную полосу неопределенной вышины шприною dx,

отстоящую иа разстояніи ж отъ на-

чала координатъ взятаго въ средней точкѣ поражейія , будетт.
(п°330)

гдѣ Ii есть мѣра точности стрѣльбы по горизонтальному направленію и въ зависимости отъ среднихъ отклонены по горизонтальному направленно выражается (п° 3 4 1 ) чрезъ

ИЛИ

h'=77 с / у г
гдѣ е/ есть среднее квадратнческое отклоненіе по горизонтальному направленію, а е / есть среднее арнометическое отклоненіе по
тому же направленію.
Подставляя величины h' въ выра/кеніе для р , будетъ

а
а?

'

2е,' 2

1

р = 7 р ѵ т * '

е

,
d x

>

или

Еслп сіх замѣішмъ чрезъ г , гдѣ г весьма мало, то вероятность р попасть въ вертикальную полосу имеющую весьма малую ширину г , и отстоящую на разстояніе х отъ начала координатъ, взятаго въ средней точкЬ пораженія, выразится чрезъ

,

і

X*

- 2t,'2

или

!

» =

1

І

— • С
тсе,'

х2
ttf
'2
КЧ

.

«

Для нагляднаго изображепія свойствъ нолученныхъ выражены для р можно воспользоваться геометрическимъ построеніемъ. Примемъ разстоянія х за абсциссы, a соответствующія имъ

вероятности р' за прямоугольный ординаты и разсмотримъ свойства кривой выражающей зависимость между р и х. Кривая
эта будетъ симметрична относительно оси ордииам.
При x = 0 , величина
X1

С

2е2'2 '

е

ТГЕ,'2

или
ж2

равна единице, и вероятность

2тс '

или

Р =

»

TTF.

достигаем наибольшей величины, что соответствуем вершине
кривой.
Съ увеличепіемъ х, величина р' уменьшается.
Для онрсделенія вида кривой возьмемъ первую я вторую нроизводныя по x отъ выражепія р'.
Первая производная д а е м

tang О = - Y - —
или

. . /1 _ dp' _

f lno

tang и — - d - _

—

2гж
.

e

лл
Ttc '2
1 ,

где О есть уголъ, составляемый съ осыо х касате.іыюю къ кривой въ точке, которой абсцисса х .
При x =

0 , tang 0 = 0 ; следовательно касательная къ кри-

вой въ вершинѣ параллельна оси х . Для величинъ х положительныхъ

tang О величина

отрицательная ;

следовательно

каса-

тельный къ правой ветви кривой составляютъ съ осью х тупые
углы.
Вторая производная но х будетъ:

2

х

Л tang Ѳ _
dx2

—

dx

—

I

-

2І/2 Г .

е 2 ' 3 у2тс

l

ж2 -I
*22

j

'

ИЛИ
d2p

dx2

ж2

d tang О _

dx

t2«l'3

l

1

ICC," j -

Эта производная отрицательная до тЬхъ поръ пока
X2

1 — p f > 0 ,
ИЛИ
or2

и потому при этихъ условіяхъ кривая обращена вогнутою стороною къ осп x ; когда же

l - J L

2

r <

0 ,

или

то вторая производная положительная и кривая обраіцаетъ выпуклую сторону къ оси x . При дальнѣйшемъ увеличены х производная не мЬняетъ болЬе знака и кривая остается выпуклою къ
оси x . Точка перегиба будетъ при

или
1

ire,'»

1

то естьпрн
ж=

и

'

±г2',

или

x
тогда

Р =
или

— 1 =
ес 2 ѵ2тге
'i/o»« '

»
р

г
е/тсув

tang О =

е2'ѵ2га '

пли
tang Ѳ =
ГІрн ж =

оо , р =

-

іУ2

0 , т. е. кривая пересѣкаетъ ось ж на безко-

иечномъ разстояніи п следовательно ось ж служить ассимптотою
кривой.
В ъ слѣдующей таблицѣ вычислены вероятности попасть въ
узкую полосу шириною
100

и отстоящую отъ средней точки пораженія на разстояніе х =

юге2.

Вероятность попасть въ полосу шнрппою равною ^ ,
отстоящую па разстояпіе тг 2 отъ средней ТОЧЕП поражепія.

т.

0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3

0,01
1

Y2тс

г

—W-

Разности.

0,00399
0,00397
0,00391
0,00382
0,00368
0,00352
0,00334
0,00313
0,00290
0,00266
0,00242
0,00218
0,00194
0,00171

т. P =
1,3
1,4
1,5
1,0
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
3,0

о

л

6
О

о

14
16
18
21
23
24
24
24
24
23

0,01

We

2
— "У .

Разности.

У а тс

0,00171
0,00150
0,00130
0,00111
0,00094
0,00079
0,00066
0,00054
0,00044
0,00035
0,00028
0,00022
0,00018
0,00004

21
20
19
17
15
13
12
10
9

П
t
6
Л

»

Кривая выражаемая уравненіемъ:

0,01

—

m2

v

изображена на Фіігурѣ 8 2 .

Если ширина полосы превосходить 0,01е 3 , оставаясь все-таки довольно малою, то вероятность попасть въ нее будетъ пропорціональиа ширпнЬ ея.
Выше выведениыя Формулы прилагаются къ определенно в е роятности попасть снарядомъ небольшаго діаметра въ математическую лшіію; въ самомъ дѣлѣ, случай этотъ приводится къ оиредѣленію вероятности попасть въ полосу, которой ширина равна
діаметру снаряда, ибо каждый снарядъ, отклопившійся отъ данной линіи въ ту или другую сторону на разстояніе, не превосходящее его радіусъ, можно считать попавшпмъ въ эту линію.

353. Вероятность попасть въ площадь ограниченную данною кривою.
Вероятность^' попасть въ вертикальную полосу шириною dx,
отстоящую на разстояніе х отъ начала координатъ взятаго въ
средней точке пораженія, выражается (п° 3 5 2 ) чрезъ
,

р=-=е
м

Л'

- h ' V

утс

,

dx,
'

где h' есть ме.ра точности стрѣльбы по горизонтальному направленно.
Подобнымъ образомъ вероятность У попасть въ горизонтальную полосу шириною dy,

отстоящую на разстояпіе у отъ

начала координатъ взятаго въ средней точке поражеиія, выразится чрезъ

,,
h" а
P =Yte

-7і"ѵ

,

>J,

d

где h" есть мера точности стрельбы по вертикальному направленію.
Вероятность случиться обоимъ событіямъ вместе, то есть
вероятность попасть въ ирямоугольннкъ dxdy, обшій обеимъ полосамъ и находящійся на разстояиіи х отъ оси Y , и на разстояніи
у отъ оси X , будетъ равна произведенію р'р" вероятностей обоихъ событій и следовательно будем

при чемъ 7і' и /і" могум

быть заменены нхъ выраженіямн въ

среднихъ квадратическихъ или въ среднихъ арнометическпхъ отклоненіяхъ. Если нужно Определить вероятность попасть въ площадь имеющую определенные размеры и кривая ограничивающая площадь дана уравпенісмъ въ хну,

то вероятность попасть

въ нее выразится чрезъ

с

dxdy ,

при чемъ предѣлы этого интеграла найдутся изъ уравненія кривой ограничивающей площадь.

354. Кривыя одинаковой вероятности.
Имѣли (»° 3 5 3 ) выраженіе

p =pp

, n h'h" —v W42 -+- Л'V)
, ,
J ' dxdy
= — e

вероятности попасть въ прямоугольникъ котораго безконечно-малыя стороны суть dx и dy и центръ котораго отстоитъ на разстояніе x , у отъ начала координатъ, взятаго въ средней точке
поражеиія.
Изъ этого выраженія видно, что если будемъ изменять ж и у
такпмъ образомъ, чтобы показатель
h' 2 ж2 -+- li"'2 у 2

оставался постояннымъ, т. е. чтобы

h'2 ж2 -+- h"'2 у2 = h2 R2
оставалось постояннымъ, то величина р вероятности попасть въ
различные прямоугольники dxdy не изменится.
Уравненіе
7г2 ж2 -+-

h"2 if = A2 R2

есть уравиеніе эллипса, центръ котораго совпадаетъ съначаломъ
координатъ и котораго оси направлены но осямъ координатъ н
обратно пропорціоналыіы

величинамъ h' и А". Эллипсы такого

рода суть кривыя одинаковой вероятности.
Если ыЬры точности стрЬльбы но горизонтальному и вертикальному иаправлепіямъ одинаковы, или мало различаются одна
отъ другой, такъ что каждую изъ нихъ можно заменить среднею
ариеметическою ихъ величиною

то уравненіе
h'2 ж2 -+- h"2 y2 = W Bf
приметь видъ

т. е. крпвыя одинаковой вѣроятности будутъ круги, центры которыхъ совпадаютъ съ началомъ координата.
355. Вѣроятность
центръ

попасть въ весьма узкое круглое кольцо,

которою совпадаетъ

Графическое

изображеніе

съ средней

этой

точкой

пораженія.—

вѣроятности.

Вѣроятиость попасть въ прямоуголышкъ dxdy

находящійся

па разстояніи ж отъ оси Y и на разстояиіи у отъ осп X,

выра-

жается (п° 3 5 3 ) чрезъ

Если мѣры точности стрѣльбы по горизонтальному и ио вертикальному направленіямъ одинаковы , т. е. 7/ = h" = 1і, то будетъ
л2

р =

—е

2 н - у2) j
— 7і2 (х
j
1
J'dxdy,

или, такъ какъ ж2 -+- у 2 = г 2 , гдѣ г разстояніе

прямоугольника

dxdy отъ начала координата, то
h2

р = —е

— 7а-2 *

,

dxdy.

Если прнмемъ, что стороны безконечно-малаго прямоугольника
dxdy направленны: сторона dx по радіусу кольца, а сторона dy
ио направленно окружности кольца, то dx будетъ равно dr, a dy
равно ds, h вероятность попасть въ прямоуголышкъ drds выразится чрезъ
=

h2

—. е
тс

—h2r2

j

i

drds.

Вероятность Р попасть въ кольцо равна, сумме вероятностей
попасть въ прямоугольники drds составляющее это кольцо, и получится взявъ интегралъ выраженія
h2

р= —с

-

h2r2

,

it

*

,

drds

въ иредЬлахъ отъ 0 до 2тг-r (считая г постояннымъ, такъ какъ
все прямоугольники drds

составляюіціе кольцо лежать на одиомъ

и томъ же разстоянін г отъ начала координатъ), чрезъ что получимъ
Р =

27г. rdr.

е-''2'2.

Если dr зам Ьнямъ чрезъ г г д ѣ і весьма мало, то вероятность Р
попасть въ кольцо

имѣющее весьма малую ширину г и центръ

котораго совиадаетъ ст> началомъ координатъ взятымъ въ средней точке пораженія, будетъ

Р=2кЧ.ге~Ъ2**,
или выражая h чрезъ среднія отклоиенія
приняли

h = h' = h",
а следовательно
е

и

е

g'
cj

получимъ

Р=
или

2

2 >

g"

о,

-TT,
e ' ' . re
»2

2

2i

, re

,

2e,

и пршюмшівъ что

Для нагляднаго изображенія свойствъ полученныхъ выраженій
Для Р , можно воспользоваться

геометрическимъ

иостроеніемъ.

Примемъ разстояиія г за абсциссы, а соотвѣтствуюіція имъ вероятности Р за прямоугольный ординаты и разсмотримъ свойства
кривой выражающей зависимость менаду Р и г.
При г =

0 , Р =

0 ; следовательно начало кривой находится

въ начале координатъ.
Для опредЬлешя вида кривой возьмемъ первую и вторую производный но г отъ выражеиія Р.
Первая производная даетъ паклоненіе касательной

или

=

tangѲ =

t- =

tang О =
°

dr
dP
dr

При r =

ö

.

n

e2'2

.в

2i

'

2t2 2

—у» .2 e
те,'

— -- а г ЛЕ

і

1

[_

тсе,

2r 2 п

j;2 J .

0 , пмЬемъ
taugtf =

jTi,
2

или
t a n sg ö

2»
tce,'2

'

Касательная къ кривой параллельна оси абсциссъ, т . е . tang
при
Пли
Въ этой точке имѣемъ

Г=

£./ .

или
t 1 /тс
f =

у

т

»

что выражаетъ абсциссу вершины кривой.

0=0,

Величина t a n g ô положительная до тѣхѵпоръ пока

или
/2

^

U

и становится отрицательною, когда
1 —

2

ИЛИ

следовательно касательный къ кривой до ея вершины составляю т съ осыо x острые углы, а но переходе черезъ вершииу—
тупые.
Вторая производная по г будетъ:
d2P
dt2 —

d tang О
dr

_г_
—

~

г2
2 е

2

d tang Ѳ
dr
—

M
u . y

[»-a.
s•

1-

или
d2P
47"—

'2

"

4

L

t

Ti

2

™i'2J'

Эта производная остается отрицательною до тѣхъ норъ пока
3

-

й

>

0

,

или

и следовательно въ этомъ случае кривая обращена вогнутою стороною къ оси x ; когда же
3 —

&

9

4

<

0

.

или
w

ö

2

^

'

то вторая пропзводиая положительная и кривая обращена выпуклою стороною къ осп абсцпссъ. Точка перегиба будетъ при

3 —

7 ^ = 0 ,

ИЛИ

3 — - ^

=

0,

то есть прп

г = е/У

3,

или

Прп г =

оо , велпчипа Р обращается въ ^ ,

но если возьмемъ

два раза производную по г какъ отъ числителя, такъ и отъ зпамсиателя, то удостоверяйся, что прп г =

оо , истинное значеніе Р

есть нуль, и что следовательно ось абсцпссъ служить асспмптотою кривой.
В ъ следующей таблице вычислены вероятности Р попасть
въ круглое кольцо шириною

О

Z-

100 '

при средиемъ радіусе кольца
г =

п прп предположеніп

?ие 2 '

Вероятность попасть въ круглое кольцо шпрнного равною 0,0 Ь / п радіуса равнаго ms/, при предположеціп
г
&2

2 •

m=

1,5
1,6

г

—,.
2

е

1

2

m2

II

m ~

» 1°
§І2

p

RH

т=-7.

г

//

^з '

0,0
0,1
0,2
0,3

0,00000
0,00100
0,00196
0,00287

1,7
1,8

0,00487
0,00445
0,00401
0,00356

0,4
0,5
0,6
0,7

0,00369
0,00-141
0,00501
0,00548

1,9
2,0
2,1
2,2

0,00312
0,00271
0,00232
0,00196

0,8
0,9
1,0

2,3
2,4
2,5

0,00163
0,00135
0,00110

1,1

0,00581
0,00600
0,00607
0,00601

1.2
1,3
1,4
1,5

0,00584
0,00559
0,00526
0,00487

3,0

0,00033

Кривая выражаемая уравненіемъ
т

г

изображена на Фигурѣ 8 3 .
Выведенный Формулы прилагаются къопредѣленію вероятности попасть снарядомъ небольшаго діаметра въ окружность круга; въсамомъ дѣлѣ: случай этотъ приводится къ опредѣлснію вѣроятности попасть въ круглое кольцо, котораго ширина равна
діаметру снаряда, потому что каждый снарядъ, отклонпвшійся
отъ данной окружности въ ту нлп другую сторону па разстояніе

не превосходящее его радіусъ, можно считать иопавшимъ въ эту
окружность.

356. Вероятность попасть въ прямоуюльникъ.
Пусть s' будетъ половина горизонтальной стороны, a s" половина вертикальной стороны прямоугольника, котораго центръ находится въ средней точке пораженія. Вероятность, что отклоненіе
по горизонтальному направленно заключается въ пределахъ — s
п -+- s', т. е. вероятность попасть въ вертикальную полосу ограниченную прямыми параллельными осп Y и отстоящими отъ ноя
па разстоянія — s'ii-»-s', будетъ (п° 3 3 0 )

a a = hs'
dt==tр(а),
где
hs

а =

=

v 2 >

или
а = lis'

те/ '

s'—а,У2

• е 2 ',

или

s' = а •тс• е / .
Вероятность, что отклоненіе по вертикальному панравленію
заключается въ пределахъ — s" и -+- s", будетъ

,<х" — h"S"
>"=£je~t2dt

=

где
или

П
a=hs
n

7

II Г,
=

1'
а = hs =

»

—-,,

itc.

'

9

(0,

и

s"=a"V2-t2",
или

Вероятность Р попасть въ прямоуголышкъ, котораго стороны
2s' и 2s" и площадь 4s's", будетъ
Р = Р Г Р " = ф (а') • ф (а").
Если мѣры точности стрельбы по горизонтальному и по вертикальному направленіямъ одинаковы, или мало отличаются одна
отъ другой, такъ что каждую изъ нихъ можно заменить среднею
ариометическою ихъ величиною

и если прп томъ s' = s " = s , случай когда прямоуголышкъ есть
квадратъ, то будетъ Ы s r = h " s " = h s , пли а ' = а " = а , и вероятность Р обратится въ :
р=[9(а)]

2

.

Если величины s' и s" пропорціональны велпчииамъ е / и е2",
или велпчииамъ е / и е/', то

I

а =

п

а =

а

и следовательно въ этомъ случае будетъ также
Р =

[9(а)] 2 .

357. Вероятность попасть въ кругъ.
При условіи h ' = h " = h ,

вероятность попасть въ круговое

кольцо, цептръ котораго совпадаетъ съ началомъ коордипатъ, радіусъ его г, п ширина dr,—
Г

выражаются (й° 3 5 5 ) чрезъ
=21?rdr

Вѣроятность Р попасть въ кругъ, котораго радіусъ есть В , а
центръ совпадаетъ съ началомъ коордипатъ равиа суммѣ вѣроятностей попасть въ кольца составляющія этотъ кругъ, н получится
взявъ пнтегралъ выражепія
P=2h2rdr.e~^2
въ предѣлахъ отъ 0 до F , чрезъ что получимъ

Р=

J

I 2¥rdr

'B

•е

=

-

—

1і 2 г г

В

=

1-е'

• ВЧьг

2h

о

Выражая В чрезъ Р будемъ пмѣть
B2h2 — — log (1 — P )
или
B2li2 =

B =

los
°

i —

p

l]/loëT±

При выражеиіи h чрезъ среднее квадратнческое отклонепіе пай
демъ

Р=

1 - е

2

Wl

и
B

=

t

2

' Y

2 - l o g p ^ .

При выраженіп h чрезъ среднее ариометическое отклоненіе будемъ
имѣть

Р=

1 - е

"V/

и
В — е / у к • log

•

358. Таблицы вгъроятностей попасть въ полосы, квадраты,
круги и прямоугольники.
Генераломъ Дидіономъ вычислены таблицы для вѣроятпостей
стрѣльбы противъ полосъ, нрямоуголышковъ, квадратовъ и круговъ. Таблицы эти весьма облегчаютъ приложеніе выше выведешіыхъ Формулъ къ стрѣльбѣ. Вмѣсто того чтобы взять въ ІІПХЪ
за перемѣнныя s', s"n R, для большей общности, съ тѣмъ чтобы онѣ
могли служить удобно для различныхъ единицъ мѣръ, нриняты за
перемѣипыя отиошенія величинъ s', s" и R къ средшшъ квадратическимъ отклонеиіямъ и таблицы составлены для величинъ
2

Первая

2

е2

=

m = *
е2

е2

f

таблица даетъ вероятность, что снарядъ не откло-

нится отъ вертикальной линіи, проходящей черезъ
точку пораженія более чемъ на величину ±

s' =

что оиъ попадетъ въ вертикальную полосу,

±

среднюю
т ' е / , или,

которой ширина

2 s ' = 2т'гф
В ъ этомъ случаѣ вероятность р =
a' =

будетъ

- y - = m '

е2'/2

9 (а'), где
1 / 1

У 2 '

Таблица эта можетъ служить также и для вертнкальиыхъ отклоненій, полагая

2s" = 2 т\".

Вторая

таблица, при допущенін е / = е / ' , даетъ вѣроятиость

попасть въ квадратъ, котораго сторона 2s =

2тf.

В ъ этомъ случае вероятность выражается чрезъ
P=[9(a)]2 =

[

9

(m]/i)J.

Третья таблица, при допущеніи е 2 ' = е 2 " , даетъ вероятность
попасть въ кругъ, котораго радіусъ В =

те/.

В ъ этомъ случае вероятность выражается чрезъ:
2

Р=
Четвертая

1 —

С

nt_

\

таблица даетъ вероятность попасть въ прямо-

уголышкъ, котораго центръ находится въ средней точке поражепія, а стороны прямоугольника суть 2s' =

2 т ' е / и 2s" =

2т" f .

В ъ этомъ случае вероятность выражается чрезъ:

Таблица вѣроятпостп р = 9 [т i/îj попасть въ горизонтальную плп вертикальную полосу, которой средппа
проходить чрезъ средиюю точку пораженія, а ширппа
2s ' = 2 т ' е / .

6

0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,0
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1.3
1.4
1.5

о '
2m =

2

0,00000
0,03989
0,07905
0,11923
0,15852
0,19741
0,23582
0,27356
0,31083
«.„.«о
0,34/28
0,38291
0,41768
0,45147
0,48430
0,51004
0^54074

I)iff.
„„„„
f
f
I f f
f f
%ІІІ
l
f f
6 ' Г г
3645
orro
f . *
öt'7g
f l i
У.Т.
3 3 4

3 0 , 0

1.5
1.6
1.7
1.8
1,9
2,0
2,1
9 2
2.3
2.4
2.5
2,0
2.7
2.8
2,9
3,0

'
jp'=9 (mVj).
p .

2s

0,54674
0,57628
0,00460
0,03187
O,6o787
0,68268
0.70627
0,72872
n
0 , / 6Ä
984
0,78866
0,80630
0,82297
0,83885
0^85292
0,86638

Diff.
2 9 U

f

it
f f
P W
2600
9 , R ]
І Г І
f i l
- f
.„д.,

f . f
l d 4 U

H

3,0
3.2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,4
4,8
5,2
5,6
6,0

2 > = 9 (mVj).

0,86638
0,89040
0,91086
0,92813
0,94256
0,95449
0,97219
0,98360
0.99068
0,99489
0,99730

Diff.
9 , 0 9
Г"4!!
4 3

( I f
\ " U
У9»
!9,
T \
~41

Таблица вероятности Р= [?(»гУ|)] 2 попасть въ квадратъ,
котораго центръ находится въ средней точкѣ пораженія,
а сторона 2 s ' = 2 т е / , прп донущенін е 2 ' ~ е 2 ".
25

2
2»! = —,. P = [ ç ( m / ' ) ] .
е,

0,0

0,1
0,2

0,3
0,4
0,5

0,0

0,7

0,8
0,9

1,0
1д
1,2
1.3
1.4
1.5

0,0000
0,0010

0,0003
0,0142
0,0250
0,0390
0,0550
0,0738
0,0900
0,1213
0,1465
0,1744
0,2037
0,2346
0,2064
0,2989

2т =

Diff.

16

47
79

108

140
106

182
228
247
252
279
293
309
318
325

1.5

1.6

1.7

1.8
1,0

2,0

2д

2,2
2.3
2.4
2.5

2.6
2.7

2.8

2,9
3,0

2«
2
—.. Р = [ ф ( т Ѵ ] ) ] .
с '

0,299
0,332
0,365
0,399
0,432
0,465
0,498
0,530
0,562
0,592
0,621
0,650
0,677
0,703
0,727
0,751

Diff.
33
33
34
33
33
33
32
32
30
29
29
27

2т

=

2s

3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
4,4
4,8'
5,2
5,6
6,0

р=[<р(т/')]2.

0,751
0,793
0,830

0,861

0,888
0,911
0,945
0,967
0,981
0,990
0,995

26
24
24

Таблица вероятности Р = l — е 2сѴг попасть въ кругъ,
котораго центръ находится въ средней топке поражепія,
a радіусъ R = т і 2 , прн допущешп е ' 2 = e".
в
m= —
"2

0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1.3
1.4
1.5

P2
P = l —e

0,0000
0,0050
0,0196
0,0440
0,0769
0,1182
0,1647
0 '173
02741
'
0,3330
0,3936
0,4542
0,5135
0,571
0,625
0,676

Diff.
,0
j™
7 „
ror
5 0 8

TCftO

0 1

В
m=
- , P = l - C
»2

1.5
1.6
1.7
1.8
1,9
2,0
2,1
2,2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2,9
3,0

0,676
0,722
0,764
0,802
0,836
0,865
0,890
0,911
0,929
0,944
0,956
0,966
0,974
0,980
0,985
0,989

'P2
222'2'

Diff.
f
«a
7
2*
7
f
7І

"
„
°
£
j
4

P
H

0,-156
0,667
0,844
1,010
1,176
1,354
1,552
1,795
2,146

P2
P = 1-е

0,100
0,200
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900

2e

2'2"

Таблица вероятности

р

=

®(т'У\).

?(т"Ѵ\)

попасть в ъ прямоугольникъ, котораго центръ находится в ъ средней точкѣ пораженія, основаніе 2s' =

2m's

п

2т"г".

высота 2s" =

К ъ стр. 616.

2s

2т = —
о «

2 8

2>» - —w
е»

0,1

0,2

0,3

0,4

0.1
0,2
0,3
0,4
0,5

0,002
0,003
0,005
0,006
0,008

0,003
0,006
0,010
0,013
0,016

0,005
0,010
0,014
0,019
0,023

0,006
0,013
0,019
0,025
0,031

0.6
0,7
0,8
0,9
1

0,009
0,011
0,012
0,014
0,015

1,1
1,2
1.3
1.4
1.5

2,3

2,4

2,6

3,1

3,2

3,3

3,4

3,3

3.6

3,7

3,8

3,9

0,035
0,069
0,103
0,137
0,171

0,036
0,070
0,105
0,139
0,173

0,036
0,071
0,106
0,141
0,175

0,036
0,072
0.107
0,142
0,177

0,036
0,073

0,037
0,074
0,109
0,145

0,037
0,074
0.110
0,147
0,183

0,037
0,075
0,111
0,148
0,184

0,038
0,975

0,038
0,076
0,113
0,150
0,187

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

0,019
0,039
0,058
0,076
0,095

0,021
0,041
0,061
0,032
0,106

0,022
0,044
0,065
0,086

0.023
0,016
0,069
0,091
0,113

0.024
0,048
0,072
0.096
0,119

0,025
0,051
0,075
0,100
0,125

0,026
0.053
0,078
0,104
0,130

0,019
0,022
0,025
0,028
0,031

0,028 0 , 0 3 7 0 , 0 4 6 0 , 0 5 6 0 , 0 6 5 0 , 0 7 3 0 , 0 8 2 0 , 0 9 0 0 , 0 9 9 0,106 0 , 1 1 4 0,122 0 , 1 2 9 0 , 1 3 6

0,143

0,149

0,155

0,033
0,037
0,041
0,046

0,043
0,049
0.055

0,054
0,061
0,068
0,061 0 , 0 7 5

0,065
0,073
0,082
0,090

0.075
0,085
0,095
0,105

0,085
0,097
0,108
0,119

0,095
0,108
0,120
0,133

0,105
0,119
0,133
0,147

0,017
0,018
0,019
0,021
0,022

0,033
0,036
0,039
0,041
0,044

0,050
0,054
0,058
0,061
0,065

0,066
0,071
0,076

0,082
0,089
0,095
0,082 0 , 1 0 2
0,086 0 , 1 0 8

0,099
0.106
0,114
0,122
0,129

0,115
0,124
0,133
0,141
0,150

0,130
0,140
0,151
0,160
0,170

0,145
0,156
0,168
0,179
0,190

0,160 0 , 1 7 5 0,189 0 , 2 0 2 0 , 2 1 6 0 , 2 2 9 0 , 2 4 3 0 , 2 5 3 0 , 2 6 4 0 , 2 7 4 0 , 2 8 5 0 , 2 0 5 0 , 3 0 5 0 , 3 1 3 0 , 3 2 2 0 , 3 3 0 0 , 3 3 7 0 , 3 4 4 0 , 3 5 0 0 , 3 5 7 0 , 3 6 2 0 , 3 6 7 0 , 3 7 2 0,377 0 , 3 8 1
0 , 1 7 3 0 , 1 8 9 0,203 0,218 0 , 2 3 2 0 , 2 4 7 0 , 2 6 0 0 , 2 7 3 0 , 2 8 5 0 , 2 9 7 0 , 3 0 8 0 , 3 1 8 0 , 3 2 9 0 , 3 3 8 0,347 0 , 3 5 6 0,364 0 , 3 7 1 0 , 3 7 8 0 , 3 8 5 0,391 0 , 3 9 6 0 , 4 0 1 0 , 4 0 6 0,411

1.6
1.7
1.8
1,9
2

0,023
0,024
0,025
0,026
0,027

0,046
0,048
0,051
0,053
0,055

0,069
0,072
0,075
0,078
0,081

0,091
0,096
0,100
0,104
0,108

0,113
0,119
0,125
0,130
0,135

0,136
0,143
0,149
0,155
0,161

0,156
0,166
0,172
0,180
0,191

0,179
0,188
0,197
0.205
0,212

2,1
2,2
2.3
2.4
2.5

0,028 0,056
0,029 0,058
0,030 0,060
0,031 0 , 0 6 2
0,032 0,063

0,084
0,087
0,089
0,092
0,094

0,111
0,115
0,119
0,122
0,126

0,139
0,144
0,148
0,152
0,155

0,167
0,172
0,177
0,182
0,185

0,197
0,199
0,204
0,210
0,216

2.6
2.7
2.8
2,9
3

0,032
0,033
0,034
0,034
0,035

0,064
0,066
0,067
0,068
0,069

0,096
0,098
0,103

0,128
0,130
0,133
0,135
0,137

0,159
0,162
0,165
0,168
0,171

0,190
0,194
0,198
0,201
0,204

3.1
3.2
3.3
3.4
3.5

0,036
0,036
0,036
0,036
0,037

0,070
0,071
0,072
0,073
0,074

0,105
0,106
0,107
0,108
0,109

0,139
0,141
0,142
0,144
0,145

0,173
0,175
0,177
0,179
0,181

0,207
0.210
0,213
0,215
0,217

3.6
3.7
3.8
3.9
4

0,037
0,037
0,038
0,038
0,038

0,074
0,075
0,075
0,076
0,076

4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

0,038
0,039
0,039
0,039
0,039

0,077
0.077
0,077
0,078
0,078

0,114
0,115
0,115
0,116

4.6
4.7
4.8
4.9
5

0,039
0,039
0,039
0,039
0,040

0,078
0,078
0,079
0,079
0,079

5.1
5.2
5.3
5.4
5.5

0,040
0,040
0,040
0.040
0,040

5.6
5.7
5.8
5.9
6

0.008 0,009
0,016 0,019
0 , 0 2 3 0,028
0 , 0 3 1 0.037
0,039 0,046

0,7

0,8

0,9

1,0

1.1

0,011
0,022
0,033
0,043
0,054

0,012
0,025
0,037
0,049
0,061

0,014

0,015

0,017
0,033
0,050
0,066

0,028 0.031
0,041
0,055

0,046
0,061
0,068 0 , 0 7 5

1,2

0.018
0,036
0,054
0,071
0,082 0,089
0,115
0,130
0,145
0,160

0,124
0,140
0,156
0,173

0,133
0,151
0,168
0,185

0,160
0,179
0,198

0,259
0,266

0,150
0,170
0,190
0,210

0,265

0.166 0 , 1 7 2
0,188 0.197
0,200 0,210 0 , 2 1 9
0,221 0 , 2 3 2 0 . 2 4 2

0,156
0,179

0,279
0.297
0,316

0,293
0,312
0,331

0,306
0,326
0,346

2,5

2,7

2,8

0,028 0 , 0 2 9 0 , 0 3 0 0,031 0 , 0 3 2 0 , 0 3 2 0 , 0 3 3 0 , 0 3 4 0 , 0 3 4
0 , 0 5 8 0,060 0 , 0 6 2 0 , 0 6 3 0 , 0 6 4 0,066 0 , 0 6 7 0,068
0 , 0 8 7 0 , 0 8 9 0 , 0 9 2 0 , 0 9 4 0 , 0 9 6 0 , 0 9 8 0,100 0,102
0,081
0 , 1 1 5 0 , 1 1 9 0 , 1 2 2 0,126 0 , 1 2 8 0 , 1 3 0 0 , 1 3 3 0 , 1 3 5
0,108
0 , 1 4 4 0 , 1 4 8 0 , 1 5 2 0 , 1 5 5 0 , 1 5 9 0 , 1 6 2 0 , 1 6 5 0,168
0,135
0,027
0,055

0,056
0,0S4
0,111
0,139

0,318
0,340
0,300

0,331
0,352
0,374

0,342
0,364
0,386

0,353
0,376
0,399

0.363
0,387
0,410

0,373
0,397
0,421

0,382
0,407
0,432

0,390
0,416
0,441

0,398
0,425
0,450

0,406
0,433
0,459

0,413
0,440
0,467

0,419
0,447
0,474

0,425
0,454
0,481

0,431
0,459
0,487

0,185
0,198

0,218
0,232
0,247

0,200
0,210
0,219
0,229
0,237

0,221
0.232
0,242
0,252

0,262

0,243
0.253
0,264
0,274
0,285

0,273
0,285
0,297
0,308

0,293
0,306
0,318
0,331

0,312
0,326
0.340
0,352

0,331
0.346
0,360
0,374

0,34S
0,364
0.379
0,393

0.360
0,382
0.39S
0,413

0,382
0,399
0,416
0,432

0,398
0,416
0,433
0,449 .

0,413
0,432
0,449
0,466

0,427
0,446
0,465
0,482

0,441
0,401
0,4S0
0,498

0,454
0.474
0,494
0,512

0,466
0,437
0,507
0,526

0,477
0,499
0,519
0,539

0,488
0,509
0.530
0,550

0,498
0,520
0,542
0,562

0,508
0,530
0,551
0,573

0,516
0,539
0,561
0,583

0,524
0,547
0,570
0,591

0,532
0,556
0,578
0,600

0,538
0,562
0,586

0,220
0,227
0,233
0,239
0,245

0,245
0,253
0,260
0,269
0,274

0,270
0,279
0,287
0,295
0,302

0,295
0,305
0,313
0,322
0,330

0,318
0,329
0,338
0,347
0,356

0,342
0,353
0,363
0,373
0,382

0,304
0,376
0,387
0,397
0,407 1

0,3S6
0,399
0,410
0,421
0,432

0,407
0,420
0,432
0,444
0,454

0,427
0,441
0,454
0.466
0,477

0,446
0,461
0,474
0,487
0,499

0,465
0,480
0,494
0,507
0,519

0,482
0,498
0,512
0,526
0,539

0,498
0,515
0,530
0,544
0,557

0,515
0,531
0,557
0,561
0,575

0,530
0,557
0,563
0,578
0,592

0,544
0,561
0.578
0,593
0,608

0,557
0,575
0,592
0,608
0,623

0,569
0,588
0,605
0,621
0,636

0,581

0,592

0,602

0,611

0,617
0,634
0,649

0,629
0,646
0,662

0,640
0,657
0,673

0,650
0,667
0,683

0,620
0,640
0,659
0,677
0,694

0.221
0,225
0,229
0,233
0,236

0,251
0,256
0,261
0,265
0,269

0,280
0,286
0,291
0,296
0,300

0,309
0,315
0.321
0,327
0,332

0,337
0,344
0,350
0,357
0,362

0,364
0,371
0,378
0,385
0,391

0,390
0,308
0,406
0,413
0,419

0,416
0,425
0,433
0,440
0,447

0,441
0,450
0,459
0,467
0,474

0,464
0,474
0,483
0,491
0,499

0,4SS
0,498
0,508
0,516
0,524

0,509
0,520
0,530
0,539
0,547

0,530 0,550
0.542 0,562
0,551 0,573
0,561 0,583
0 , 5 7 0 0,591

0,569
0,581
0,592

0,588
0,600
0.611
0,622
0,631

0,605
0,617
0,629
0,640
0,650

0,621
0,634
0,646
0,657
0,667

0,636
0,649
0,662
0,673
0,683

0,650
0,663
0,677
0,6S8
0,698

0,663
0,667
0.691
0,702
0,713

0,677
0,691
0,704
0,716
0,727

0,702
0,716
0,728
0,739

0,240
0,243
0,246
0,249
0,251

0.273
0,277
0,280
0,283
0,286

0,305
0,309
0,312
0,315
0,319

0,337
0,341
0,345
0,349
0,352

0,367
0,372
0,377
0,381
0,385

0,396
0,401
0,406
0,411
0,415

0,425
0,431
0,436
0,441
0,445

0,454
0,459
0,465
0,470
0,475

0,481 0 , 5 0 6
0,487 0 , 5 1 3
0,493 , 0,519
0,498 [ 0,525
0,503 0.530

0,532
0.538
0,545
0,551
0,557

0,550
0,562
0,569
0,576
0,5S1

0,578
0,586
0,593
0,599
0,605

0,110 0 , 1 4 7 0 , 1 8 3 0 , 2 1 9 0 , 2 5 3 0 , 2 8 9 0 , 3 2 2 0 , 3 5 5 0 , 3 8 8 0,419 0 , 4 4 9 0 , 4 7 9 0 , 5 0 8 0 , 5 3 5 0,561

0,586
0.592
0,595
0,600
0,003

0,611 0 , 6 3 4 0 , 6 5 5 0 , 6 7 6 0 , 6 9 6 0 , 7 1 5
0,616 0 , 6 3 9 0,661 0 , 6 8 2 0 , 7 0 2 0,721
0,620 0,644
0,624 0.648
0,62S 0,652

0,666
0,670
0,674

0,687
0,692
0,695

0,707
0,712
0,716

0,678 0.700
0,680 0,702
0,683 0,706
0,G86 0 , 7 0 9
0,688 0,711

0,100
0,102

0,282
0,282 0 , 2 9 9

0,144
0,179

0,181

0,112
0,149

0,186

0,602
0,611

0,436
0,465
0,493

0,441
0,470
0,498

0,385
0,415
0,445
0,475
0,503

0,388
0,419
0,449
0,479
0,508

0,391
0,422
0,452
0,484
0,512

0,394
0,425
0,456
0,487
0,516

0,380

0,380

0,381

0,381

0,381

0.399
0,430
0,462
0,492
0,522

0,401
0,433
0,464
0,495
0,525

0,403
0,435
0,466
0.497
0,527

0,405
0,437
0,469
0,499
0,529

0,406
0,438
0,470
0,501
0,531

0,408
0,440
0,471
0,503
0,533

0,409
0,441
U,473
0.505
0,535

0.410
0,442
0,475
0,506
0,537

0,411
0,444
0,476
0,508
0,538

0,411
0,445
0,477
0.509
0,539

0,412
0,446
0,478
0,510
0,540

0,413
0,446
0,479
0,510
0,541

0,414
0,447
D.480
0,511
0,542

0,415
0,447
0,481
0,512
0,543

0.415
0,448
0,481
0,512
0,543

0,415
0,448
0,481
0.513
0,544

0,416
0,449
0,482
0,513
0,544

0,416
0,449
0,482
0,514
0,545

0,553
0,581
0,607
0,632
0,656

0,555
0,583
0,609
0,634
0,658

0,558
0,586

0,560
0,588
0.614
0,640
0,664

0,561
0,590

0,417
0,450
0,483
0,514
0,545

0,417
0,450
0,4S3
0,514
0,545

0,549
0,577
0.600 0 , 6 0 3
0,624 0,628
0,648 0,652

0,416
0,449
0,482
0,514
0,545

0,563
0.592

0,568
0,597
0,623
0,649
0,673

0,569
0,598
0.624
0,650
0,674

0,570
0,598
0,625
0,651
0,675

0,571
0,599
0,626
0,652
0,677

0,572

0,573

0,573

0,574

0,574

0,574

0,574

0,644

0,567
0,595
0,622
0,647
0,672

0,571

0,642

0,565
0,594
0.620
0.645
0,670

0.653
0,678

0,653
0,678

0,654
0,679

0,655

0,655

0,655

0,656

0.656

0,721
0,742
0,762
0,780

0,722
0,743
0,763
0,782

0,723
0,744
0,764
0,783

0 724
0,745
0,765
0,783

0,702
0,725
0,746
0,765
0,784

0,702
0,725
0,746
0,766
0,785

0,703
0.726
0,747
0,767
0,786

0,703
0,726
0,747
0,767
0,786

0,704
0,727
0,748
0,768
0,787

0,704
0.727
0,748
0.768
0,787

0,397
0,428
0,459
0,490
0,519

0,235
0,235
0.235
0,235
0,235

0,272
0,272
0,272
0,272
0,272

0,309
0,310
0,310
0,310
0,310

0,345
0,345
0,346
0,346
0,346

0,381
0,381
0,381
0,382
0,382

0,040

0,080 0 , 1 1 9 0 , 1 5 8 0 , 1 9 7

0,230

0,273

0,311

0,347

0,383

0,688 0 , 6 9 8 0 , 7 0 8 0 , 7 1 7

0,726
0,742
0,755
0,769
0,780

0,713
0,727
0,739
0,750

0,723
0,737
0,750
0,761

0,732
0,746
0,759
0,772

0,566
0.592

0,571
0,595

0,639

0,644

0,643
0,664
0,683
0,701
0,719

0,650
0,670
0,690
0,708
0,7 2G

0,655
0,676
0,696
0,715
0,732

0,661 0 , 6 6 6 0 , 6 7 0 0 , 6 7 4 0 , 6 7 8 0 , 6 8 0 0 , 6 8 3 0,686 0,688 0 , 6 9 0 0 , 6 9 3 0 , 6 9 5 0 , 6 9 6 0 , 6 9 8 0.698 0 , 7 0 0 0 , 7 0 0 0,701
0,632
0,702
0,721
0,738

0.687
0.707
0.726
0,744

0.692
0,712
0,731
0,749

0,695
0,716
0,735
0,753

0,734
0,750
0,763
0,777
0,789

0,742
0,757
0,772
0,785
0,797

0,748
0,764
0,778
0,792
0,805

0.754
0,770
0,785
0,798

0,760
0,776
0,791
0,804
0,817

0,765
0,781
0,796
0.809

0,769
0,785

0,622

0,616 0,620

0,811

0,574

0,612
0,637

0,661

0,700
0,720
0,739
0,757

0,702
0,723
0.742
0,760

0,706
0.726
0,745
0,764

0,709
0,729
0,748
0,767

0,774
0,790
0,800 0 , 8 0 5
0,814 0,819
0,822 0,826 0,831

0.776
0,793

0,780
0,797

0,783

0,834

0,838

0,842

0,616 0,618
0,666 0,668
0,711
0,731
0,751
0,769

0,713
0,734
0,753
0,772

0,715
0,736
0,755
0,774

0,717
0,738
0,758
0,776

0,719
0.740
0,759
0,778

0,720
0,741
0,761
0,780

0,600 0,601 0 , 6 0 1 0,602 0 , 6 0 3 0,G03 0 , 6 0 3 0 , 6 0 3
0 , 6 2 7 0,628 0,628 0 , 6 2 9 0 . 6 2 9 0 , 6 2 9 0 , 6 3 0 0 , 6 3 0

0 . 7 8 6 0 . 7 8 8 0 , 7 9 1 0 , 7 9 3 0 , 7 9 5 0 , 7 9 6 0,797 0 , 7 9 9 0,800
0,800 0 , 8 0 2 0 , 8 0 5 0 , 8 0 7 0,810 0,811 0 . 8 1 3 0,814 0 , 8 1 5 0 , 8 1 6
0,808 0,812 0,816 0,818 0,821 0 , 8 2 3 0,826 0 . 8 2 7 0 , 8 2 9 0 . 8 3 0 0 , 8 3 1 0 , 8 3 2
0,821 0 , 8 2 0 0,S29 0 , 8 3 2 0 , 8 3 4 0 . 8 3 7 0 , 8 3 9 0,811 0 , 8 4 3 0,844 0 , 8 4 5 0 , 8 4 6
0,844

0,847

0,849

0,680 0 , 6 8 0 0,680 0,681 0,681

0,800 0,801 0,802 0 , 8 0 3 0 , 8 0 3 0 , 8 0 4 0 , 8 0 4
0 . 8 1 7 0 , 8 1 8 0 , 8 1 9 0 , 4 2 0 0 , 8 2 0 0,821 0,821
0,833
0,847

0,834
0,848

0,835
0,849

0 , 8 5 2 0 , 8 5 4 0 . 8 5 6 0 , 8 5 6 0 , 8 5 8 0 , 8 5 9 0,860
0,862 0 , 8 6 5 0 , 8 6 7 0,868 0,869 0 , 8 7 1 0.S72 0,S73
0 , 8 7 3 0 , 8 7 6 0 . 8 7 8 0 , 8 7 9 0,880 0,882 0 , 8 8 3 0 , 8 8 4
0 , 8 8 4 0,887 0.888 0 . 8 9 0 0,891 0 , 8 9 3 0 , 8 9 4 0 , 8 9 5

0,861 0,862

0,894
0,903

0,896
0,905

0,89S
0,907

0,900
0,909

0,901
0,910

0,903
0,912

0,904
0,913

0.905
0,914

0,874
0,885
0,896
0,906
0,914

0,875
0,886
0,896
0,906
0,915

0.915
0,923
0,930
0.936
0,941

0,917
0,925
0.932
0,938
0,943

0,918
0,926
0,933
0,939
0,944

0.920
0,928
0,935
0,940
0,945

0,921
0,929
0,935
0,941
0,946

0,922
0,929
0,936
0,942
0,947

0,922
0,930
0,937
0,943
0,948

0,923
0,931
0.938
0,944
0,949

0,836
0,850
0,863

0,836
0,850
0,863

0,836
0,s50
0,863

0,836
0.850
0,863

0,875

0,875

0,876

0,876

0.897
0,907
0,916

0,897
0,907
0,916

0,898
0,908
0,917

0,898
0,908
0,917

0,924
0,932
0,939
0,945
0,950

0,924
0,932
0,939
0,945
0,950

0.925
0,933
0,940
0.946
0,951

0,925
0,933
0.940
0,946
0,951

0,957
0,960
0,965
0,969
0,972

0,957
0.960
0,965
0.969
0,972

0,886 0,886 0 , 8 8 7 0,887

0,879

0,911

0,920

0,632

0,196
0,196
0,196
0,196
0,196

0,636
0,657
0,676
0,694
0,711

0,561
0,586
0,611
0,628 0 , 6 3 4

0,866

0,605

0,157
0,157
0,157
0,158
0,158

0,628
0,649
0,668
0,685
0,702

0,600 0 , 6 1 1 0 , 6 2 2 0 , 6 3 1

0,557
0,581
0,605

0,853

0.576

0,118
0,119
0,119
0,119
0,119

0,235
0,272
0.310
0,346
0,382

0,839

0,547

0,080
0,080
0,080
0,080
0,080

0.235
0,272
0,310
0,346
0,382

0,235
0,272
0,310
0,346
0,381

0,683

0,516

0,040
0,040
0,040
0,040
0,040

0,158
0,196

0,658

0,484

0,379 0,413
0,380 0,414
0,380 0,415
0,380 0,415
0,381 0 , 4 1 5

0,158
0,196

0,906 0,915
0.907 0,916
0,907 0,916
0,908 0,917
0,90S 0,917

0,451

0,343
0,344
0,344
0,344
0,345

0,157
0,196

0 , 8 7 5 0,886 0 , 8 9 6
0 , 8 7 5 0,886 0,897
0 . 8 7 5 0,886 0 , 8 9 7
0,876 0,887 0.898
0,876 0,887 0,898

0,418

0,308
0,303
0,309
0,309
0,309

0,157
0,196

0,862
0,863
0,863
0,863
0,863

0,629
0,629
0,629
0,630
0,630

0,270
0,271
0,271
0,271
0,272

0,157
0,196

0,849
0,850
0,850
0,850
0,850

0,602
0,603
0,603
0,603
0,603

0,234
0,234
0,234
0,235
0,235

0,157
0,196

0,835
0,836
0,836
0,836
0,836

0,573
0,574
0,574
0,574
0,574

0,195
0,195
0,195
0,196
0,196

0,157
0,196

0,157
0,195

0,680 0 , 7 0 2 0 , 7 2 5 0 , 7 4 6 0 , 7 6 6 0 , 7 8 5 0 , 8 0 2 0 , 8 1 9
0,680 0 , 7 0 3 0 , 7 2 6 0 , 7 4 7 0 , 7 6 7 0 , 7 8 6 0 . 8 0 3 0,820
0,680 0 , 7 0 3 0 , 7 2 6 0 , 7 4 7 0 , 7 6 7 0 , 7 8 6 0 . 8 0 3 0,820
0 , 6 8 1 0 , 7 0 4 0 , 7 2 7 0 , 7 4 8 0 , 7 6 8 0 , 7 8 7 0 , 8 0 4 0,821
0 , 6 8 1 0 , 7 0 4 0 , 7 2 7 0 , 7 4 8 0 , 7 6 8 0 , 7 8 7 0 , 8 0 4 0,821

0 544
0,545
0,545
0,545
0,545

0,156
0,157
0,157
0,157
0,157

0,157
0,195

0,655
0,655
0,655
0,656
0,656

0,513
0,514
0,514
0,514
0,514

0,118
0,118
0,118
0,118
0,118

0,156
0,195

0,880 0,891 0.901 0 . 9 1 0 0 , 9 1 8 0 , 9 2 6 0 , 9 3 3 0 , 9 3 9 0.944 0 , 9 4 9 0 , 9 5 2 0 , 9 5 7 0 , 9 6 1 0 , 9 6 4 0 , 9 6 7 0 , 9 7 0 0 , 9 7 3 0 , 9 7 5 0 , 9 7 7 0 . 9 7 8 0 , 9 8 0 0,981 0 . 9 8 2 0 , 9 8 3
0,882 0 , 8 9 3 0 , 9 0 3 0 , 9 1 2 0 , 9 2 0 0 , 9 2 8 0 , 9 3 5 0 , 9 4 0 0 , 9 4 5 0 , 9 5 1 0 , 9 5 4 0 , 9 5 9 0 , 9 6 3 0 , 9 6 6 0 , 9 6 9 0 , 9 7 2 0 , 9 7 5 0 , 9 7 7 0 . 9 7 9 0 , 9 8 0 0 , 9 8 2 0 , 9 8 3 0 , 9 8 4 0 , 9 8 5 0 , 9 8 4 0 , 9 8 5 0 , 9 8 5 0 . 9 8 6 0 . 9 8 6
0 , 9 8 6 0.987 0 , 9 8 7 0 , 9 8 8 0 , 9 8 8
0 , 8 8 3 0 , 8 9 4 0 , 9 0 4 0 , 9 1 3 0 , 9 2 1 0 . 9 2 9 0 , 9 3 5 0.941 0,916 0 , 9 5 2 0 , 9 5 5 0 , 9 6 0 0 , 9 6 4 0 , 9 6 7 0 , 9 7 0

0,482
0,482
0,482
0,483
0,483

0,079
0,079
0,079
0.079
0,080

0,156
0,195

0,869
0.871
0,872
0.873
0,874

0,449
0,449
0.449
0,450
0,450

0,441
0,442
0,444
0,445
0,446

0,040

0.856
0,858
0.859
0,860
0,861

0,416
0,416
0,416
0,417
0,417

0,409
0,410
0,411
0.411
0,412

0,040

0,844
0.845
0,846
0,847
0,848

0,698
0,700
0,700
0,701
0,702

0,375
0,376
0,377
0,378
0,378

0,040

0,830
0,831
0.832
0,833
0,834

0,675
0,677
0.678
0.67S
0,679

0,339
0,340
0,341
0,342
0,343

0,040

0,814
0,815
0,800 0 , 8 1 6
0,800 0 , 8 1 7
0 801 0 , 8 1 8

0,651
0,652
0,653
0,653
0,654

0,304
0,305
0,306
0,307
0,307

0,040

0,080 0,080 0,080 0,080 0,080 0,080
0,118 0,118 0,118 0,118 0,118 0,118 0 , 1 1 8 0 , 1 1 9 0 , 1 1 9 0 , 1 1 9 0 , 1 1 9

0,908
0,910
0,913
0,915
0,917

0,625
0,626
0,600 0 , 6 2 7
0,601 0 , 6 2 8
0,601 0 , 6 2 8

0,267
0,268
0,269
0,269
0,270

0,040

0,900
0,903
0.905
0.907
0,909

0,598
0,599

0,231
0,232
0,232
0,233
0,233

0,040
0,079

0,891
0,894
0,896
0,898
0,900

0,570
0,571
0,571
0,572
0,573

0,193
0,193
0,194
0,194
0,195

0,040 0,040
0,079 0,079

0,881
0,884
0,887

0,541
0,542
0,543
0,543
0,544

0,155
0,155
0.155
0,156
0,156

0,040
0,079

0.870
0.873
0,876
0,878
0,879

0,510
0,511
0,512
0,512
0,513

0,116
0,117
0,117
0,117
0,118

0,040
0,079

0,859
0,862
0,865
0.867
0,868

0,479
0,480
0,481
0,481
0,481

0,464
0,466
0,469
0,470
0,471

0,551
0,576
0,599

6,0

0,847
0,849
0,852
0,854
0,856

0,446
0,447
0,447
0,448
0,448

0,433
0,435
0,437
0,438
0,440

0,608

0,545
0,569
0,593
0,615

5,9

0,834
0,837
0,839
0,841
0,843

0,690
0,693
0,695
0,696
0,698

0.401
0,403
0,405
0,406
0,408

5,7

0,821
0,823
0,826
0,827
0,829

0.644 0,668
0,645 0,670
0,647 0,672
0,649 0,673
0,650 0,674

0,367
0,369
0,371
0,372
0,373

5,6

0,805
0,807
0,810
0,811
0,813

0,618
0,620
0,622
0,623
0,624

0,333
0,334
0,336
0,337
0,338

a, a

0,890

0,592
0,594
0,595
0,597
0,598

0,299
0,299
0,301
0,302
0,303

5,4

0,883

0,563
0,565
0,567
0,568
0,509

0,262
0,263
0,264
0,265
0,26С

0.039
0,079
0,117
0,156
0,194

5,3

0,875

0,535
0,537
0,538
0.539
0,540

0,226
0,227
0,228
0,229
0,230

0,155
0,193

0,116 0,116

0.039
0,079
0.117
0,155
0,194

5.2

0,865

0,505
0,506
0,508
0,509
0,510

0,189
0,190
0,191
0,191
0,192

0,154
0,192

0,039
0,078
0,117
0,155
0,193

5,1

0,854

0,473
0,475
0,476
0,477
0,478

0,152
0,152
0,153
0,154
0,116 0 , 1 5 4

0,039
0,078

4,9 i 5,0

0,844

0,616

0 , 4 2 2 0 , 4 5 2 I 0,484 0 , 5 1 2
0,425 0 , 4 5 6 0,487 0 , 5 1 6
0,428 0,459 0,490 0.519
0,430 0,462 .0,492 0,522

0,039
0,078

! 4,8

0,831

0,632
0.634
0,637
0,640
0,042

0,391
0,394
0,397
0,399

4,7

0,819

0,607
0,609
0.612
0,614

0,358
0,361
0,363
0,365

4,6

0,805
0,808

0,581
0,5S3
0,586
0,588
0,590

0 325
0,327
0,329
0,331

0,039 0.039
0 , 0 7 7 0,07S
0 , 1 1 5 0,116
0,153 J 0,154
0,191 1 0,191

4,5

0,816 0,826 0 , 8 3 6 0 , 8 4 5 0,S54 0 , 8 6 1 0 , 8 6 9
0 , 8 2 3 0 , 8 3 4 0 , 8 4 3 0 . 8 5 3 0,861 0 , 8 6 9 0 , 8 7 6
0 , 8 2 9 0 , 8 3 9 0 , 8 5 0 0 , 8 5 9 0,868 0 , 8 7 5 0 , 8 3 3
0 , 8 3 4 0 , 8 4 5 0,S55 0 , 8 6 5 0 , 8 7 3 0,881 0,888

0,525 0.553
0,527 0 , 5 5 5
0,529 0,558
0,531 ; 0 , 5 6 0
0,533 0.561

0,291
0,293
0,295
0,297

4,4

0,805
0,811
0,817
0,822

0,495
0,497
0,499
0,501
0,503

0,256
0,257
0,259
0,260

0,039
0,077
0,115
0,152
0,190

4,3

0,792
0,798
0,804
0,809
0,800 0 , 8 1 4

0,566
0.571
0,574
0,577

0,221
0,223
0,224
0,225

4,2

0,600 0,620 0 , 6 4 0 0 , 6 5 9 0,677 0 , 6 9 4 0 . 7 0 8 0 , 7 2 3 0 , 7 3 7 0 , 7 5 0 0,761 0 . 7 7 3 0 , 7 8 2 0 , 7 9 2 0 , 8 0 1 0 , 8 0 9 0,816 0 , 8 2 3 0 , 8 2 9 0 , 8 3 4 0 , 8 3 9 0 , 8 4 4 0 , 8 4 0 0.851 0,S54 0 , 8 5 7 0 , 8 5 9
0,608 0,628 0 , 6 4 9 0 , 6 6 8 0,6S5 0 , 7 0 2 0,717 0 , 7 3 2 0 , 7 4 6 0 , 7 5 9 0 , 7 7 2 0 , 7 8 2 0 , 7 9 2 0 , 8 0 2 0 , 8 1 1 0 . 8 1 9 0 . 8 2 6 0 , 8 3 4 0,S39 0 , 8 1 5 0 , 8 4 9 0 , 8 5 4 0 . 8 5 7 0 , 8 6 2 0,S65 0,868 0 , 8 7 0
0 , 6 1 5 0 , 6 3 6 0 , 6 5 7 0 , 6 7 6 0 , 6 9 4 0 , 7 1 1 0 , 7 2 6 0 , 7 4 2 0 , 7 5 5 0 , 7 6 9 0 , 7 8 0 0 , 7 9 2 0 , 8 0 2 0,811 0 , 8 2 1 0 , 8 3 0 0 , 8 3 6 0 , 8 4 3 0 , 8 5 0 0 , 8 5 5 0,8G0 0 , 8 6 5 0,868 0 , 8 7 2 0 , 8 7 6 0 , 8 7 8 0 , 8 8 1
0 , 6 2 2 0 , 6 4 3 0 , 6 6 4 0,6S3 0,701 0 , 7 1 9 0 , 7 3 4 0 , 7 5 0 0 , 7 6 3 0 , 7 7 7 0 , 7 8 9 0 , 8 0 1 0,811 0,821 0 , 8 3 0 0 , 8 3 8 0 , 8 4 5 0 , 8 5 3 0 , 8 5 9 0 , 8 6 5 0 , 8 6 9 0 , 8 7 5 0 , 8 7 7 0 , 8 8 2 0 , 8 8 5 0,888 9,891
0,62S 0 , 6 5 0 0 , 6 7 0 0 , 6 9 0 0 , 7 0 8 0 , 7 2 6 0 , 7 4 2 0,757 0 , 7 7 2 0 , 7 8 5 0 , 7 9 7 0 , 8 0 9 0 , 8 1 9 0 , 8 3 0 0 , 8 3 8 0 , 8 4 6 0,854 0,S61 0,868 0 , 8 7 3 0 , 8 7 8 0 , 8 8 3 0,S86 0 , 8 9 1 0 , 8 9 4 0 , 8 9 7 0 , 9 0 0

0,539
0,543
0,547
0,549

0,184
0,186
0,187
0,188

4,1

0,03S 0 , 0 3 8
0,076 0,077
0,114 0,114
0,151 0 , 1 5 2
0,183 0,189

0,260 0 , 2 7 9 0 , 2 9 7 0 , 3 1 6 0 , 3 3 2 0 , 3 4 8 0 , 3 6 4 0 , 3 7 9 0 , 3 9 3 0,407 0 , 4 2 0 0 , 4 3 2 0 , 4 4 4 0 , 4 5 4 0 , 4 6 4 0 , 4 7 4 0 , 4 8 3 0 , 4 9 1 0 , 4 9 9 0 , 5 0 6 0 , 5 1 3 0 , 5 1 9 0 , 5 2 5 0 , 5 3 0 0 , 5 3 5 0 , 5 3 9 0 , 5 4 3 0,547

0,148
0,149
0,150
0,151

0,111
0,112
0,113
0,114

0,108

4,0

0,161 0,167 0 , 1 7 2 0 , 1 7 7 0 , 1 8 2 0 , 1 8 5 0 , 1 9 0 0 , 1 9 4 0 , 1 9 8 0,201 0 . 2 0 4 0 , 2 0 7 0 , 2 1 0 0 , 2 1 3 0 , 2 1 5 0 , 2 1 7 0 , 2 1 9 0 , 2 2 1 0 . 2 2 3 0 , 2 2 4 0 , 2 2 5 0 , 2 2 6 0 , 2 2 7 0,228 0 , 2 2 9 0 . 2 3 0 0.231 0 , 2 3 2 0 , 2 3 2 0 , 2 3 3 0 , 2 3 3 0 , 2 3 3 0 . 2 3 4 0 , 2 3 4 0 , 2 3 4
0,235 0,235 0,235
0.180 0 , 1 9 1 0,197 0 , 1 0 9 0 , 2 0 4 0 , 2 1 0 0 , 2 1 6 0,221 0 , 2 2 5 0 , 2 2 9 0 , 2 3 3 0 , 2 3 6 0 , 2 4 0 0 , 2 4 3 0 , 2 4 6 0 , 2 4 9 0 , 2 5 1 0 , 2 5 3 0 , 2 5 6 o(257 0 , 2 5 9 0,260 0 , 2 6 2 0 . 2 6 3 0 , 2 6 4 0 , 2 6 5 0,266 0 , 2 6 7 0,268 0 , 2 6 9 0 , 2 6 9 0 , 2 7 0 0 , 2 7 0 0 , 2 7 1 0 , 2 7 1 0 , 2 7 1
0,272 0.272 0,272
0 , 2 0 5 0,212 0 , 2 2 0 0 , 2 2 7 0 , 2 3 3 0 , 2 3 9 0 , 2 4 5 0,251 0 , 2 5 6 0 , 2 6 1 0 , 2 6 5 0 , 2 6 9 0 , 2 7 3 0 , 2 7 7 0,280 0 , 2 8 3 0,286 0 , 2 8 9 0 , 2 9 1 0 , 2 9 3 0 , 2 9 5 0,297 0 . 2 9 9 0 , 2 9 9 0 , 3 0 1 0 , 3 0 2 0 , 3 0 3 0 , 3 0 4 0 , 3 0 5 0 , 3 0 6 0,307 0 , 3 0 7 0 , 3 0 8 0 , 3 0 8 0 , 3 0 9
0,309 0,309 0,309 0,310
0 , 2 2 9 0 . 2 3 7 0 , 2 4 5 0 , 2 5 3 0 , 2 6 0 0 , 2 6 9 0 , 2 7 4 0 , 2 8 0 0 , 2 8 6 0 , 2 9 1 0 , 2 9 6 0 , 3 0 0 0 , 3 0 5 0 , 3 0 9 0 , 3 1 2 0 , 3 1 5 0 , 3 1 9 0 , 3 2 2 0 . 3 2 5 0 , 3 2 7 0 . 3 2 9 0,331 0 , 3 3 3 0 , 3 3 4 0 , 3 3 6 0 . 3 3 7 0 , 3 3 8 0 , 3 3 9 0 , 3 4 0 0,341 0 , 3 4 2 0 , 3 4 3 0,343 0 , 3 4 4 0 . 3 4 4
0,345 0,345 0,345 0,345
0 , 2 5 2 0,262 0 , 2 7 0 0 , 2 7 9 0 , 2 8 7 0 , 2 9 5 0 , 3 0 2 0 , 3 0 9 0 , 3 1 5 0 , 3 2 1 0 , 3 2 7 0 , 3 3 2 0 , 3 3 7 0,341 0 , 3 4 5 0 , 3 4 9 0 , 3 5 2 0 , 3 5 5 0 , 3 5 8 0,361 0 , 3 6 3 0 , 3 6 5 0 , 3 6 7 0 , 3 6 9 0,371 0 . 3 7 2 0 , 3 7 3 0 , 3 7 5 0 , 3 7 6 0,377 0 , 3 7 8 0 , 3 7 8 0 , 3 7 9 0 , 3 8 0

0,202
0,216
0,229

0,210

0,234
0,250
0,265

0,141

0,108

2,1

2,9

3,0

1,4

0.6

2,0

2,2

1,3

0,5

0,656
0,658

0,661
0,664
0,666

0,706

0,726
0,731
0,735

0,732
0,738
0,744
0,749
0,753

0,748
0,754
0,760
0,765
0,769

0,76-1
0,770
0,776
0,781
0,785

0,778
0,785
0.791
0,796

0,720
0,723
0,726
0,729
0,731

0,739
0,742
0,745
0,748
0,751

0,757
0,760
0,764
0,767
0,769

0,774
0,776
0,780
0,783
0,786

0,790
0,793
0,797

0,713
0,715
0.717
0,719
0,720

0,734
0,736
0,738
0,740
0,741

0,753
0,755
0,758
0,759
0,761

0,772
0,774
0,776
0.778
0,780

0,788
0,791
0,793
0,795
0,796

0,721
0,722
0,723
0,724
0,725

0,742
0,743
0,744
0,745
0,746

0,762
0,763
0,764
0,765
0,765

0,780
0,782
0,783
0,783
0,784

0,797
0,799

0,729

0,750

0,770

0,789

0,806

0,875
0.883
0,890
0,S95
0,900

0,8S1

0,885

0,890

0,894

0,898

0,902

0,905

0.908

0,910

0,913

0,895
0,900
0,905

0,900
0,905
0,910

0,905
0,910
0,915

0,908
0,914
0,919

0.913
0,918
0,923

0,917
0,922
0,927

0,919
0,925
0,930

0,922
0,928
0,933

0,925
0,931
0,936

0,928
0,934
0,939

0,899

0,905

0,910

0,922

0,915
0,918
0,921
0,923
0,925

0,922
0,925
0,928
0,930
0,932

0,928
0.931
0,934
0.936
0,938

0,933 0,939
0,936 0,942
0,939 0,945
0,941 0 . 9 4 7
0,943 0,948

0,826 0 , 8 3 9 0 , 8 4 9 0 , 8 6 0 0,S69 0 , 8 7 8 0 , 8 8 5 0 , 8 9 3

0,888 0 , 8 9 3 0 , 8 9 9 0 , 9 0 2 0 . 9 0 6 0 , 9 1 0 0 , 9 1 3 0 . 9 1 5 0 , 9 1 8 0,921

0,915
0 , 9 2 4 0 , 9 2 9 0 , 9 3 3 0 . 9 3 6 0 , 9 3 9 0 , 9 1 2 0 , 9 4 5 0 . 9 4 7 0 , 9 4 8 0,949 0 , 9 5 1 0 , 9 5 2 0 , 9 5 3
0,954 0.955 0,956
0,821 0 , 8 3 4 0 , 8 4 6 0 , 8 5 7 0 , 8 6 8 0 , 8 7 7 0,886 0 , 8 9 4 0 , 9 0 2 0 , 9 0 8 0 , 9 1 4 0 , 9 1 9 0 . 9 2 4 0 , 9 2 7 0 , 9 3 2 0 , 9 3 6 0 , 9 3 9 0 . 9 4 2 0 . 9 4 5 0 , 9 4 8 0 , 9 5 0 0 , 9 5 1 0,952 0 , 9 5 4 0 , 9 5 5 0 , 9 5 6
0 . 9 5 7 0.95S 0 , 9 5 9
0,812 0,826 0 , 8 3 8 0 , 8 5 1 0 , 8 6 2 0 , 8 7 2 0,882 0,891 0 , 8 9 8 0 , 9 0 6 0 , 9 1 3 0 , 9 1 8 0 , 9 2 3 0 , 9 2 9 0 , 9 3 2 0 , 9 3 7 0 , 9 4 1 0 . 9 4 4 0 , 9 1 7 0 , 9 5 0 0 , 9 5 3 0 . 9 5 4 0 . 9 5 6 0,957 0 , 9 5 9 0 , 9 6 0 0,961
0,962 0,963 0,964
0,800 0 , 8 1 6 0 , 8 2 9 0 , 8 4 2 0 , 8 5 4 0 , 8 6 5 0 , 8 7 6 0 , 8 8 5 0 , 8 9 4 0 , 9 0 2 0 , 9 1 0 0 , 9 1 7 I 0 , 9 2 2 0,927 0 , 9 3 3 0 , 9 3 0 0 , 9 4 1 0 , 9 4 5 0 , 9 4 8 0.951 0 . 9 5 4 0 , 9 5 6 0 , 9 5 8 0 , 9 6 0 0,961 0 , 9 6 3 0 , 9 6 4 0 , 9 6 5
0,966 0,967 0.968
0 , 8 0 2 0,818 0 , 8 3 2 0 , 8 4 4 0 , 8 5 7 0 , 8 6 8 0 , 8 7 8 0,888 0 , 8 9 7 0 , 9 0 5 0 , 9 1 3 0 , 9 1 9 0 , 9 2 5 0 , 9 3 0 0 , 9 3 6 0 , 9 3 9 0 , 9 4 4 0 , 9 4 8 0,951 0 , 9 5 4 0 , 9 5 6 0 , 9 5 9 0 , 9 6 1 0 , 9 6 3
0,964 0 , 9 6 6 0,967 0 , 9 6 8 0 , 9 6 9

0,823

0,884
0,885

0,890

0.888

0,890

0,895
0,896

0,901

0,905
0,906

0,914
0,914

0,942
0,945
0.948
0,950
0,951

0,947
0,950
0,953
0,954
0,956

0,951
0,954
0,956
0,95S
0,960

0,954
0.956
0,959
0,961
0,963

0,956
0.959
0,962
0,964
0,966

0,959
0,962
0,965
0,967
0,969

0,962
0,965
0,967
0,970
0,972

0,964 0,966
0.967 0,969
0.970 0,972
0,972 0,974
0,974 0,976

0,970

0,971

0,956
0,959
0,964
0,968
0,971

0,967
0,970
0,973
0.975
0,977

0,969
0.972
0,975
0,977
0,979

0,970
0,973
0,976
0,978
0,980

0,971
0,974
0,977
0,979
0,981

0,972
0.975
0,978
0,980
0,982

0,973
0,976
0.979
0.981
0,983

0,974
0,977
0,980
0,982
0,984

0,974
0,977
0,980
0.982
0,984

0,975
0,978
0,981
0,983
0,985

0,975
0,978
0.981
0,983
0,9«5

0,936
0,937

0,942
0,943

0.947
0,948

0,953
0,954

0,956
0,957

0.961
0,962

0,965
0,966

0,968
0,969

0,971
0,972

0,973
0,974
0,975

0,976 0,978
0,977 0,979
0 978 0,980

0,980
0,981
0,982

0,981
0,982
0,983

0,983
0.984
0,985

0,984
0,985
0,986

0,986
0,987
0,988

0,923
0,924
0,924
0,925
0,925

0.931 0 , 9 3 8
0,')32 0 , 9 3 9
0,932 0.939
0,933 0,940
0,933 0,940

0,987
0,988
0,989

0,944
0,945
0,945
0,946
0,946

0,949
0,950
0,950
0,951
0,951

0,985
0,986
0,987

0,955
0,956
0.956
0,957
0,957

0,958
0,959
0,959
0.960
0,960

0 963
0,964
0,964
0,965
0,965

0,967
0,968
0,968
0,969
0,969

0,988
0.989
0,990

0,970
0.971
0,971
0,972
0,972

0,973
0.974
0,974
0.975
0,975

0,976
0,977
0.977
0,978
0,978

0,981
0.982
0,982
0,983
0,983

0.989
0.990
0,991

0.989
0,990
0,991

0.979
0,980
0,980
0,981
0,981

0,988
0,989
0,990

0.983
0,984
0,984
0,985
0,985

0,984
0,985
0,985
0,986
0,986

0,986
0,987
0,987
0,988
0,988

0,9S7
0,988
0,988
0,989
0,989

0,928

0,936

0,954

0,989
0,990
0,990
0,991
0,991

0,949

0,988
0,989
0,989
0,990
0,990

0,963

0,972

0,975

0,978

0,981

0,991
0.992
0,992
0,993
0,993

0,992
0,993
0,993
0,994
0,994

0,968

0,991
0,992
0,992
0,993
0,993

0,992
0,993
0.993
0,994
0,994

0,960

0,990
0,991
0,991
0,992
0,992

0,934

0,986

0,9S8

0,989

0,991

0,992

0,993

0,994

0,995

0,996

0,996

0,997

0,997

0.922 0,929
0,922 0,930

0,943

ф

•

•

: ::

:

• ""

' '

-

. f. .

1

•

• t

. ' y

:

f.-

•

:

••

~-7>i

;

' '

.

" '

«•

;

TG

•• :

"

*

r

"

:

î

"ct

•

.

ï

' •

i •

-i
. 1

• • * •

•

;

if

i.1 . f

. '/

•

•

-

0 .-

• •

p
-j

•

.

•
;

•- • •.• •; .

...

•й i .
•j
•h.

\-f-

1.

v

. . . •••
;
v

'

.

:

•

;

'

>•.:••
•

Ä

•

:

1 • .• ' '

'

!•

• • •»•

" .

:

: f. -Ъ.

' ;
.'

i.

—
.- -ЧІ —

-

- -

-": .

ct

.
.

'

•. -

'v-v.-

. •

\

3 5 9 . При помощи предъидущихъ таблицъ легко рѣшаются
вопросы отиосіітелыю вероятности попасть въ мпшенп различныхъ
Формъ.
Сделаемъ нЬсколько прнмЬровъ:
1°. На онытахъ произведенныхъ въ МещЬ въ 1 8 4 6 году, о
которыхъ мы унте упоминали выше, при стрЬльбЬ нзъ 16 ф.
гладкой пушка ядрами, зарядомъ въ 1 * 3 3 3 , подъ постояннымъ
угломъ возвышенія, на разстоянін

200

метровъ, получились

средиія величины е/ и е 2 " изъ 1 0 0 выстрЬловъ слЬдующія:
e2' =

0*348,

е2" =

0*407.

Определпмъ какъ великъ радіусъ круга, въ который попадаетъ половина выстрЬловъ. Если вместо каждой пзъ величинъ е/ и е 2 "
возьмемъ ихъ среднюю ариѳметическую, то будемъ иметь
£

;

= е

; = ° '

3 4 8

При вероятности Р =

- ;

0

-

4 0 7

=

0,3775.

0 , 5 , величина m , найденная пзъ та-

блицы, будетъ:
m=

1,177

и нолучимъ
Л = те2' =

1,177.0,3775 =

0^44.

2° При гЬхъ же даішыхъ, вероятность, стрЬляя въ амбразуру, испортить 2 4 ф. гладкую пушку или только задеть за дульное утолщеніе, определится какъ для круга, котораго радіусъ
равенъ радіусу дульнаго утолщенія 24 ф. пушки сложенному съ
радіусомъ 16 ф. снаряда, т. е. равепъ 0 * 2 4 , п вероятность попасть въ 2 4 ф. пушку будетъ 0 , 1 8 .
В ъ общемъ случае, когда поверхность цели велика сравнительно съ поверхностью снаряда,

попавшіімп считаются только

тѣ выстрелы, при которыхъ снарядъ ударился въ мишень свопмъ центромъ; для частнаго же случая, какъ
когда поверхность цѣли не велика сравнительно

предъидущій,
съ поверх-

ностью снаряда, должно брать въ расчетъ и тѣ выстрѣлы, при
которыхъ снарядъ

только задѣнетъ

привести этотъ случай

цѣль.

Для того

чтобы

къ общему надобно размеры неболь-

шой цѣли, увеличить во всѣ стороны на величину радіуса снаряда, и вычислять вероятность попасть въ увеличенную такимъ
образомъ цель.
3°. Вероятность попасть въ амбразуру,

представляющую

прямоуголышкъ, котораго высота 0 ^ 8 0 , аоснованіе 4 * будетъ
0,71.
4°. Если для определенія вероятности попасть въ амбразуру
возьмемъ въ соображеніе какъ горизонтальныя такъ нвертикальпыя среднія квадратпческія отклоненія вместо средней ихъ велпчииы, то получимъ 0 , 6 8 2 ;

число почти не отличающееся

отъ

предъндущаго.
3 6 0 . Вероятности во всехъ предшествовавшпхъ ирнмЬрахъ
были вычислены для того случая, когда центръ цЬлн находился
въ средней точке поражепія. Если (ФИГ. 84) средняя точка пораженія А не совпадаетъ съ центромъ мишени О, то вероятность
попасть въ мишень, которой высота ab, определится полусуммою
вероятностей попасть въ прямоугольники, которыхъ центры совпадаютъ съ среднею точкою иораженія А, а высоты суть ЪсІ=2Ъс
и af =

2ас.

Такъ наприміръ вероятность попасть въ прямоуголышкъ,
котораго высота 0 " ' 8 0 , a основаніе 4 м ', когда выстрелы направлены иа 0* 3 ниже центра прямоугольника — вероятность
эта будетъ равна полусумме вероятностей попасть въ прямоугольники съ темъ же основаніемъ, но которыхъ высоты 1 * 4 и 0? 2, и
составить 0 , 5 5 .
3 6 1 . В ъ предъпдущихъ примѣрахъ, при определены вероятностей, брали въ соображеніе только снаряды попадающіе въ мишень прямымъ полетомъ; по часть выстреловъ попадаетъ въ ми-

шень п послѣ рикошета; чтобы принять эту часть выстрѣловъ въ
расчетъ нужно знать уголъ паденія О и уголъ отражения снаряда
О', который вообще больше угла наденія.

Пусть (ФИГ. 85)

AB = II представляете вертикальный разрѣзъ мишени; если черезъ верхъ мишени проведемъ линію А С , составляющую съ горпзонтомъ уголъ отраженія О', то всѣ снаряды, которые упадуть
на разстояніи В С = а н на разстояніяхъ меныпихъ а отъ мишени, попадутъ съ рикошета. Если въ точке С, проведемъ касательную DC къ траекторіи н продоляшмъ ее до пересѣченія съ
мишенью, то вероятность вычисленная для мишени, которой высота AD = H-+-H'

и будетъ вероятность попасть въ мишень

высотою 11 какъ прямымъ полетомъ такъ и после рикошета. В ъ
самомъ дѣлѣ, если представить себе что мишень продолжается
подъ горпзонтомъ на глубину BD = 1І и ничто не мешаете снарядамъ попадать въ эту часть мишени, то те снаряды, которые
упадутъ на разстояиіи а и на разстояніяхъ ближе чѣмъ а отъ
мпшепи и которые, следовательно, попадаютъ въ мишень II съ
рикошета, непременно попадутъ въ часть мишени II'; поэтому
вероятность попасть въ мишень вышиною Н , прямымъ полетомъ
H съ рикошета, равняется вероятности попасть непосредственно
въ мишень высотою H -г- II'.
ОпредЬлнмъ на сколько нужно увеличить высоту данной мишени, чтобы вероятность, вычисленная для этой новой мишени,
равнялась вероятности попасть непосредственно и съ рикошета
въ данную мишень.
Имеемъ

отсюда
тт'
1 1

и

—

тгta"g о
tang ѳ'

отношеаіе угловъ О п О' зависитъ отъ мѣстностп; обыкновенно
можно полагать приблизительно О' =

1,50.

362. Переходъ отъ среднихъ отклонены въ дальности и въ
сторону къ среднимъ отклоисніямъ па вертикальной мишени, и
обратно.

При стрѣльбѣ на большія разстояпія, когда отклоненія

снарядовъ бываютъ значительны, неудобно вычислять непосредственно величины среднихъ отклоненій на вертикальной мишини,
потому что неудобно имѣть слишкомъ большую мишень, которая
бы содержала всѣ выстрѣлы. В ъ этомъ случаѣ для опредѣлепія
величинъ среднихъ

отклоиеній на вертикальной мишени можно

поступить слѣдующимъ образомъ: опредѣлить среднія отклоненія
въ дальности и въ сторону на горизонтальной плоскости и перевести среднее отклоненіе въ дальности, помощію вычислепія, на
вертпкалыіу плоскость.
Среднее отклоненіе по горизонтальному направленно на вертикальной плоскости будетъ тоже, что среднее отклоненіе въ сторону на горизонтальной плоскости.
Положимъ что опредѣлены (ФИГ. 8 6 )
OB = x -+- г

h соотвѣтствующее

средняя дальность

ей среднее отклоиеніе г въ

дальности. Отложимъ отъ средней точки паденія В , въ сторону
орудія, ВР=г

и начертимъ среднюю траекторію OMB; вертикаль-

ная линія MP =

s выразить по величинѣ среднее отклоненіе отъ

средней точки пораженія по вертикальному направленно, соответствующее дальности ОР =

х.

Такъ какъ величина і мала въ сравнены съ ж, то дугу

MB

траекторіи можно принять за дугу параболы О СБ, которой уголъ
возвышенія tOB равенъ углу наденія О, траекторіи; тогда нолучимъ:
е = ж tang О, —
°

1

/,гг

для горизонтальной дальности ж -+- е',
tang л
0

1

а

;

2 К 2 cos2 Ѳ , '

2 F 2 cos 2 Ѳ, '

исключивъ пзъ этихъ уравненій F 2 cos2 Ох будемъ имѣть среднее
вертикальное отклонеиіе
е=

— Y . tang О..

х-нг'

°

1

Зпая среднее вертикальное отклоненіе е соответствующее
разстоянію x , получимъ среднее отклоненіе въ дальности
е

Г

= — :

X

x tang

г

— е

е ,
'

соответствующее дальности х -+- г'.

363. Среднія отклонены соотвѣтствующія различными дальностямъ. Если изъ опытовъ прицельной или навѣсной стрельбы
на различныя дистаяціи, выведены средиія отклоиепія соответствующая этпмъ дистанціямъ не пзъ весьма болыиаго числа выстреловъ, то получеииыя величины среднихъ отклоненій обыкновенно исправляютъ построеніемъ, прпчемъ разстоянія принимаются за абсциссы, a средиія отклопенія за ординаты.

364. Опредѣленіе среднихъ квадратическихг отклонены по
даннымъ вѣрояпгностямъ стрельбы въ мишени.
Если величины среднихъ квадратнческнхъ отклонены ие определены непосредственными опытами, то можно нхъ вывести,
зная оценку стрЬльбы.
Возьмемъ случай пзъ навЬсной стрЬльбы и определпмъ величину средняго квадратнческаго отклоненія, при доиущеніи равенства среднихъ отклоненій въ сторону и въ дальности, для » нуд.
гранатъ при стрЬльбе пзъ нашего гладкаго » единорога съ дпстанціи 3 0 0 саж., зная, что на этой дистанціи въ квадратъ, пмѣющій въ стороне 15 саж., попадаете 18 выстреловъ нзъ 1 0 0 .
ИмЬемъ:
2s = 1 5 саж., ^9 =

0,18;

величинѣі> =

0 , 1 8 соотвѣтствуетъ 2т = 1 , 1 2 ; следовательно:
15

г1, =

1,12 и е, =

2

13,4 сажени.

Если известны результатыстрѣльбы на однойдистанціи противъ 2-хъ различныхъ мишеней, то можно определить отдѣлыю
величины е2' и ç 2 ".
Возьмемъ йримѣръ изъ прицѣльной стрѣльбы:
Для нашей 12 ф. батарейной гладкой пушки, съ днстаііціп
5 0 0 саж., попадаетъ въ большую мишень (58,3 Ф. ширины
п 9 Ф. высоты) 38];, а въ малую (14 Ф. ширины п 9 Ф. высоты) 1 3 ] .
Имѣемъ :
2 з ' = 5 8 ф , т - 3 ; 2 8 " = 9 ф т - ; ^ = 0 , 3 8 ; 2 s / = 14 ф т , ;2з 1 "=9 ф т -; р , = О , 1 3 ;
2s 1 '=2m 1 'e 2 ';
2sl"=2m1\".
2 s ' = 2 m V ; 2s"=2m"e2".
Возьмемъ для 2т
величину:

какъ первое приближеніе, какую пибудь

1) полояшмъ 2 » г ' = 5 , 2 ;
будемъ н м ѣ т ь е / = ~

при е 2 " = 9 и 2т1"=

=

2 т " = 1 , 0 и е

имеемъ 2 m / = 0 , 8 0 8 п

11 ф,т" 2 ,
2

2s"
" = ^ - , =

1,0

е

2

'=17

ф т

-4.

9 ;

Для втораго нриближенія примемъ полученпую величину е 2 ';
2) положивъ £ 2 ' = 1 7 ф 2 - 4 ,

при £ 2 " = 8 , 2 и 2 ш 2 " = 1,1

будемъ иметь 2 и / = 3 , 4 ,

пмѣемъ 2 m , ' = 0 , 8 п

2т" = 1,1 п е 2 " = 8ф,т-2 ;

£2'=17фт-5.

Такъ какъ третье приближеніе для £ 2 ' = 17ф,т,5 вышло почти
равно второму прнблпженію, то можно принять
s2' =

17ф,т-5 п е 2 " =

8ф-2

за достаточно точныя ихъ величины *).
*) Величина г г " в ы ш л а
которая бы получилась

слишкомъ мала сравнительно с ъ г . / , — мснѣе той,

если бы се опредѣлили

и з ъ нспосредствснныхъ опы-

3 6 5 . Меткость

стрельбы.

Вероятность попасть въ прямо-

уголышкъ весьма малыхъ сторонъ г , г', находяіційся въ разстояніи x , у отъ начала коордпнатъ выражается (и0 353) чрезъ

P

i'i"h'h"

e

— — 7 — •

—

Отсюда
^

i'i" —

h'h"

тс

•

-

(h'2x2

-H

h"V)

c

Если центръ прямоугольника весьма малыхъ размеровъ находится въ средней точке пораженія, то ж =
женіе ~

О пу=

0 , п выра-

примете видъ
р
а"

іhJP
тс
'

Если цѣль есть квадратъ весьма малыхъ размеровъ, то при допущены h! = h" = h , получимъ

л
»» — TZ •

_р

Выраженія

,суть

величины постоянный.

Следовательно

разделяя вероятности попасть въ цЬлн различныхъ размеровъ
на величины самыхъ целей должны получать выраженія, который, по мѣрѣ уменыпенія размѣровъ цели, приближаются къпостояииой величине независящей отъ размеровъ дели.

Поэтому

выраженіе
p

17

_

h'h

тс

топъ. Это происходит® отъ того, что в ъ оцѣнкЬ стрЬльбы, которую взяли з а
основаніе

при

вычисленін

е 2 ' и е 2 " , вошли и т ѣ выстрѣлы,

которые попа-

дают® в ъ мишень послѣ рикошета, что равносильно увеличение
мишени в ъ вышину, или при одной и топ же мишени,

размѣровъ

равносильно уменьше-

ние величины е 2 " .

t

независящее отъ размѣровъ цѣлп при малой велнчпнѣ ея, можетъ
быть принято за выраженіе мѣткости стрѣльбы.
Следовательно меткость стрѣльбы есть частное отъ раздѣлеІІІЯ

вероятности попасть въ цѣль на величину самой цѣлп, прп

томъ условіи чтобы размѣры цѣли были достаточно малы.
Оиредѣляя мѣры точности стрѣльбы чрезъ среднія отклоненія нолучимъ для меткости стрельбы слѣдующія выраженія:

jp

\

i'i"

2те2ѵ"

вли
р _ _
i'i"

1
TiHit," •

В ъ случаѣ г' = і" и l i = h" будетъ

p

_

1
2тсе 2 ' 2 >

Р __
Ц

1
„2^2 •

г2

ИЛИ

Для того чтобы убѣдпться, что по мѣрѣ уменыпенія размѣровъ
цѣлп выраженіе

JL
i'i"

приближается къ постоянной величине независящей отъ размѣровъ цѣли, вычпслимъ выраженія

г2

2те2'2—

0,159155.-F

для различныхъ квадратовъ, которыхъ стороны постепенно уменьшаются. Возьмемъ стороны квадратовъ 2s равными:
бе/; Зе/; 2е/; e/; 0,5е/; 0,2е/; 0 , l e / ;

величины 2т соответственно будутъ:
6; 3 ; 2 ; 1; 0,5; 0,2; 0,1,
и получимъ результаты помещенные въ следующей таблице:

Сторопы квадрат. 2s
Вѣроятности

P

P
Отяошенія — s
4s2

6e2'

3e2'

2e2'

0,993

0,750

0,465

0,5E 2 '

4'

0,2e2'

0,1 e 2 '

0,1465 0,03897 0,006344 0,0015912

0,0276 0,0834 0,1162 0,1465
e '2
e '2
ee2 '2
F
2

H

0,1559

0,15912
e '2

0,1586
e '2

4 *

H

H

Отсюда вндпмъ, что отношеніе ^ = — 2 , по мѣрѣ уменьшепія размЬровъ цели, все более и более приближается къ вывел 0,159155

денпои выше иостояішои величине

„

и при 2S =

«

,

/

0,1E 2 оно

почти съ нею совпадаете.
Поэтому прицѣляхъ, стороны которыхъ не превышайте 0 , 1
средняго квадратическаго отклопенія, вероятности попасть въ эти
цели иропорціоналыіы ихъ площадямъ.
В ъ выраженіп

і>

1

i'i"

2тсе 2 'е 2 " '

величпиа ~е 2 'е 2 " есть площадь эллипса, котораго полуоси

суть

е / И Е2", такъ что меткость стрельбы выражается частпымъ отъ
разделенія единицы на задвоенную площадь эллипса, котораго полуоси суть среднія квадратнческія отклоненія по двумъ перпенднкуляриымъ между собою наиравлеиіямъ. При е / =

е / ' этотъ эллппсъ

обратится въ кругъ и меткость стрельбы будетъ
1
2тге 2 ' 2

1
тсе22

'

т. е. будете равна единице дѣленной на площадь круга, котораго
радіусъ есть среднее квадратнческое абсолютное отклоненіе.
40

—

626

—

§ і п .

Опредѣлепіе папвѣроятнѣішіаго зпачснія результата пзъ
пабліодспін, въ случаѣ нѣсколькпхъ пспзвѣстпыхъ.
3 6 6 . Покажемъ способъ находить наивѣроятнѣйшія величины нѣсколькнхъ независимыхъ между собою пеизвѣстныхъ но
наблюдеиіямъ, опредѣляющимъ нѣкоторыя Функціи этихъ неизвѣстныхъ. При этомъ допустимъ начало ариѳметической средины
для ограниченнаго числа иаблюденій, т. е. примемъ, что вероятность нѣкоторой ошибки Д въ наблюдсніяхъ выражается («° 3 3 0 )
чрезъ

гдѣ h есть мера точности наблюденій.
Здѣсь, также какъ и въ случае одной неизвѣстной, необходимо повѣрить возможно-ли въ данномъ случаѣ это допущеніе. Для
этого нужно найти соотвѣтствующіо разлнчпымъ вѣроятностямъ
предѣлы ошибокъ наблюденій и удостовериться въ томъ, что распредѣленіе вычисленных!,

такимъ образомъ ошибокъ соответ-

с т в у е м распределение ошибокъ, съ которыми Фупкція выражае м сдѣланныя наблюдеиія.

367. ІІаивероятнейіиія
наблюдсній одинаковой

величины неизвѣстныхъ въ случае

степени

точности.

Пусть зависимость,

существующая между искомыми непзвѣстнымп х , у , г , выражается слѣдующнмъ уравненіемъ первой степени относительно

x, у, z:
U = а -+- ах ч-Ъу -+- cz *).
*) В ъ

371 покажемъ какимъ

образомъ зависимость

между

искомыми

пензвЬстпыми выраженная в ъ другой Форыѣ можетъ быть замѣнена выражепіемъ лннеЙнаго вида.

Изъ наблюденііі непосредственно найдепы
и

соответствующая
а

2 5 ö 2 > ^2 >

'

а

х

,и

2

,и

3

,

..

••;

, С3 ; .

нымъ уравненіями

Ux =

т

велпчииамъ

различнымъ

3 ! а3 :

и

а

а,,

т » «m »

а, -+- а,® - н &,?/ -+-

ах,
> cm ?

Ъх, сх ;
с^зан-

,

U.2 --= а„ -н а2х н- b2y ч- c2f,

U3 = a3-+- a3x -+- b3y -+- c3z,

U = а
m

m

-+- а ж -ь bu ч- C f .
m

tny

m

Число наблюденій m предполагается болѣе числа неизвестных® x , у , г .
Назовемъ чрезъ
Д

1»

А

2,

А

з,

А

ж

ошибки иаблюденій, такъ что Ux —их =

Ах, U2 — и2 =

U3 — u3 = A3,

и следовательно:

Um — ит =

Ат,

Aj = ахх -+- Ьху -+- cxz ч- пх,

А„ = а2х ч- Ъ2у ч- с2з -+- п2,
(!)

< А8 = а ^ ч - Ъ ^ ч - с ^ ч - п 3 ,

где извѣстпыя величины
а

, —

м

і >

а

2 —

м

2»

а

3 ~

м

3>

a

m~~

u

m

А2,

замѣнены буквами

Уравненія (1) называются условными.
Вопросъ состоять въ томъ, чтобы опредѣлить наивѣроятпѣйшія значенія В,

и Ç иеизвѣстныхъ x, y,

Допустпмъ сначала,

что мѣра

z.

точности h

иаблюдепій

и,,и 2 ,и & , . . . и т , одинакова. Настоящая величина U заключается
между безкоиечио-тѣсиымп нредѣлами U и U-t-dU,

и ошибки

А,, Д 2 , . . . . Ат сдѣлаииыя въ иаблюденіяхъ при опредѣленіи

А)

2 » u3 i

т

и

и

заключаются въ безконечно-тѣсныхъ нредѣлахъ
и, =

ft-

U3-

ftn —

m

и

TJ^-i-dU,

—и, =

u2=A2,

и

U2-*-dU2

—u2

u3=A3,

и

U3-t-dU3

— м3 = Д

um

m

=

А,,

Am, и F

m'

—A2

-t- dZ7 — г« =

tn

m

A,

m

-t-dA,,
-+-dA2,
-+-dA3,

3

А -н

m

.

m

Если бы опредѣляемая величина Сбыла пзвѣстпа, a паблюденія
і j и2 > из • • • • ит н е б ы л п сделаны, плн по крайней мѣрѣ оставались неизвестны, то вероятность ошибки А, выразилась бы
чрезъ
и

h

Y тс

—

h2Af

і

вероятность ошибки Д2 выразилась бы чрезъ

и т. д.; наконецъ вероятность ошибки Ат выразилась бы чрезъ

Viz

Вѣроятпость всей системы ошибокъ
Д15 Д2, Д 3 ,

Д„

была бы
иг * б

•

7С»

В ъ разсматриваемомъ случаѣ наблюденія сдѣланы, и ошибки
Д п Д„, . . . . Д т случились. При этихъусловіяхъ спрашивается какая гипотеза для U будетъ наивѣроятнѣйшая. Такъ какъ вероятность гипотезы, когда событіе случилось (п° 3 0 9 ) , пропорціоналыіа вероятности въ ней событія, то наивѣроятнѣйшая гипотеза для U получится пзъ условія, что прсдъндущее выраженіе
для вероятности системы ошибокъ получаетъ наибольшую величину.
Для выполненія послѣдняго условія сумма квадратовъ ошибокъ Aj 2 -t- Д 2 2 -*- А 3 2 -*- . . . . А т 2 , которую назовемъ чрезъ 2F,
2F = Af4- Д/н-

Дот2

должна быть наименьшею, что требуетъ чтобы
, dF
dx

д

dF
dy

Д

dz

1

ЙД,
1

=

йД,
dx

dy

.

ЙД,

A di +

dz

^dr

д „ ^ ч - д
2 dy

а (Di ч - Д ^ + Д
1

ЙД,

А

2

dz

.

A

л

^
3

dy

3

dz

ïh

—

A

m dz

U

=

>

'

число этихъ уравненій равііо числу непзвѣстныхъ х, у, z и потому
достаточно для опредѣленія непзвѣстныхъ.
ДиФФерепцируя уравпенія (1) получаемъ:
dA,

dà2

d x ~

1 ' Ш

a

7,

dy

dz

'

dy

n '

dz

dAm
~

2 '

a

7,

2

'

)

~dF

—

dajj,
dy —

d«

m'

a

*
m »

u

''m »

чрезъ это уравненія (2) обращаются въ :
d F

=
( 3 )

а,А, -+- а 2 Д а - н

-н а т Д и =
а

dy

dF

-г- =
dz

.

= 0 ,

.

с, Д. н - с„Д., - + - . . . . -ч- с Д =
1

1

2

m

2

0 ,

m

0 :
'

вставляя въ нихъ вмѣсто Д , , Д 2 , . . . . Д т ихъ величины изъ
уравненій (1) получимъ:
dF

= а, [а,х -+- Ь,у -+-с,гч-п,]ч-

а2 [а2х ч - Ъ2у ч- c2z ч- ?г2] ч - . . . = О,

dF
2JJ- — bj [ а , х - + - Ъ , у

c,zч-щ]

ч- Ъ2 [а2хч-

Ъ2у ч- c,2z ч- п 2 ] ч - . . . =

0,

dF

= с, [я,® -і- Ъ,у ч- c,z ч - ч - с 2 [а2ж ч -

ч - с 2 г ч- ?г2] ч - . . . = 0 .

Откуда
'ца12+а22+..чаот2)ж+(а161+а2Ь2+..+атЬт)у+(а1с1ч-..-і-атст)г+(а1п1ч-..ч-атпт)=0,

dF

dF

—

631

—

Полагая для краткости
й,!+я
а

а

а

-h

2 2

-+" а 2 ь 2

-+- ат2

=

2 а2,

-+- u m

=

2

і с і -+- а 2 с 2 - н . . . . .

amcm =

ab,

2йс,

получимъ слѣдующія три уравпспія:
dF
- - - ж 2 й 2 -ъdx
(4)

<j g =
dy
dF
= =
dz

y2ab -+- z2ac -+- 2ап =

ж2йА - + - т/2А 2 - + -

z2bc

-+- 2 A « =

х 2 а с и— ? / 2 а е - + - г 2 с 2 - + - 2 с и =

о,
О,
о

Эти три уравненія называются основными и служатъ для
опредѣлеиія наивѣроятнѣйшихъ значенін g, т], и £ величинъ x, у,
z. Рѣшая эти уравненія получимъ:
,

2аЬ.2Ь».2с2-2аЬ.2Ьс.2си+2ас.2сп.2Ь2-2ае.2Ьс.2Ьи-2ап.2Ь2.2с2-ь^^^
2а2.2Ь2.2с2ч-22аЬ 2ас.2Ьс—2а2.(2Ьс)2— 2Ь2(2ас)2—2е2.(2аЬ)2
2a2.2b2.2c2-t-22ab.2ac.Sbe—Sa2.(Sbe)2—Sb^Sac)2—Sc^Sab)2

1

'

2be.Sbn.S:a2-Sa.bSbc^an-<-,Sae2:an.^b2-^ab'SacSbra-SenSrt2Sb2+^cn(Sab)2
2а2.2Ь2.2с2-ъ22аЬ.2ас.2Ьс—2a2(2bc)2-2b2(2ac)2—2e2(2ab)2

Въ случаѣ двухъ нензвѣстиыхъ ж и у уравненія (4) обратятся въ

откуда получимъ

j ж2а 2 -+- у2аЪ -+- 2ап =

О,

\ ж2яА -+- у2Ь2 н - 2Aw =

0;

I

ai)

i

е

ï

2ab.2bw — 2a>i.2b2

= 2 a 2 . 2 b 2 — (2ab)2

2ab.2a» — 2b». 2a2
^

2 a 2 . 2 b 2 — ( 2 ab) 2

*

3 6 8 . Наивероятнейгиая

величина мѣры точности и веро-

ятная ошибка наблюденій одинаковой степени точности. До
производства иаблюденій вѣроятпость системы ошибокъ
д2>

л

з,

выражается (и° 367) чрезъ
h m — - ^ [ дû^ - ь д ^ - ь
•б " l 1

ч - д,„ 2 ]

fit

tz 2

плп чрезъ

j t l
тс

m

е - 7і 2 2д 2
'

»

если для краткости обозпачимъ
д / н - д / н -

- н д

т 2

=

2д2.

Если паблюдеиія сдѣлапы, и ошибки дѣйствптельио случились,
то вероятности различныхъ гппотезъ объ h будутъ (и° 3 0 9 ) пропорціональны предъпдущему выраженію для вероятности системы
ошибокъ, и напвЬроятнейшая гипотеза объ h получится пзъусловія, что вероятность системы ошибокъ нолучаетъ наибольшую величину.
Для вынолнеиія этого условія необходимо:
«*(*">• е - * * * д 2 )

или
или

шг"».

е-

—hm.e~

а23д2

т і г -

1

=

• 2д2.2h

2 2 д 2 . 7г т "*"',

откуда
79

h =

1

г

, , и h=

1

т=,

=

0,

гдѣ

2Д2

есть среднее квадратовъ ошибокъ, и

е

2 =

у-от-

веть средняя квадратическая ошибка паблюденій *).
Вѣроятиая ошибка г наблюденія, или предЬлъ ошибки отвѣчающій вѣроятпости равной ] , выразится чрезъ
г

=

р

=

р

у 2 .

б

2

ПредЬлъ s ошибки соотвЬтствующій вероятности Р , найдется
(пріпскавъ вътаблпцЬ Р = <р(а), а соответствующее данному Р),
изъ уравненія
s=

-J=aV2.e2.

3 6 9 . Наивероятнѣйгиія величины неизвѣстныхъ въ случае
наблюдены не одинаковой степени точности. Если мЬры точности паблюдеиій

*) По пеизвѣстпости истинныхъ ошибокъ Д , , Д 2 , . . . Д т
разности между наблюденными величинами и,,

приходится брать

гі2 , . . -і<т и опредѣлснныыи по

способу ваименьшнхъ квадратовъ наивѣроятнѣйішіми значеніями TT,,
разности который обозначимъ чрезъ X , , Х 2 , . . . Х т .

Ut,...Um,

Для опредѣленія с ъ в о з -

можнымъ прибдиженіемъ средней квадратической ошибки наблюденій, Г а у с с ъ
(Théorie

de l a combinaison des observations

qui e x p o s e a u x moindres

erreurs.

Seconde p a r t i e . T r a d u c t i o n de M. B e r t r a n d ) замѣняетъ пеизвѣстныя

величины

к в а д р а т о в ъ ошибокъ наблюденій

а первыя

среднимъ

квадратовъ

ошибокъ,

степени ошибокъ средней ихъ величиной равной нулю, и для выраженія средней квадратической ошибки наблюденій, в ъ с л у ч а ѣ s п е и з в ѣ с т н ы х ъ x, y,
приходитъ к ъ слѣдующей Формулѣ.

z,...

ne одинаковы, и обозначпмъ ихъ соотвѣтственпо чрезъ

то вѣроятность ошибки Д,, до производства наблюденій изобразится чрезъ
ѵ ѵ .

вероятность ошпбкп Д2 чрезъ

А . -

w

П т. д.
вероятность системы ошибокъ Д,, Д 2 ,

ат до прпзводства

наблюденій изобразится чрезъ
hl

h2

н

т

m

- ( w - ^ - w - b

e

•

1С "2

Но положимъ, что паблюденія произведены и ошибки случились. При зтомъ условіи вероятности различныхъ гппотезъ относительно x, у, z будутъ пропорціональны предъпдущему выраженію для вероятности спстемы ошибокъ до производства наблюдены. ІІанвероятнейшая гипотеза относительно х , у , z получится
пзъ условія, что сумма крадратовъ ошибокъ соответственно умиоженныхъ на квадраты мѣръ точности
2

ѵ ѵ - ь

н

-

w

получаетъ наименьшую величину, для чего необходимо чтобы
(£

( 2 l ).. k

=

£

-

= 7ij2Aj f

( S = VA, §

W

-

è

V

*

-+- K A * b - H . . . . -H 7
-

W

f

r

• • • • -

«

-t=

d

Л

^

0,

= 0,
=

0.

ГІо имѣемъ

( А

Д, =

n, - ь a,x -+- Ъ,у -+- c,z,

Д2 =

n2 -+- a2x -+- \y -+- c2z,

=

А т

Пт

+ <*т* + ку + стг->

поэтому будетъ

-b = a

d

dx

a

—

"i ' dx —

h

kn

— h

dy

— Ш > dy — "2 ' • • ' • 4 f

d

( З і)- • j f

g

=

7г12а1Д1 —I— U A
* iV i

= v a

-

W *

н- v a

— °m >

.

" з г — cm »

' d* — °2

n уравненія ( 2 J обратятся въ :
=

m г

_ _ 7,

m _

da

r

—

^

—

*Ь

_

——

—na

' ' •• • 4 4

. . . . - н hm2amAm =
ч - . . . . -ь U U m

=

0 ,
0 ,

h - . . . . •-h hm2cmAm = 0 ;

вставляя въ нпхъ вмѣсто
А А ,

д я

пхъ величины получимъ
dF
"^Г = \2а,[а,х

jdF
Tfy

uf

ч- Ъ,у ч - с х г ч- я , ] ч- h22a2[a2x

ч- Ь2у ч - с 2 г ч- и 2 ] ч-

=0 ,

7
=

" і 0x[«i« -I-

= крс^ар:

ч- с х г ч - и,] ч- /і 2 2 Ь 2 [а 2 ж ч- Ь2у ч- с 2 г ч - п 2 ] ч - . . . . = 0 ,

ч- Ь,г/ч- с,г ч - и,] ч- Л 2 2 с 2 [а 2 ж ч- Ъ2у ч- с 2 г ч- « 2 ] ч -

= 0 ;

откуда
< dF
—

= {ахЧ12-на22П22-н..

.ч-атг11т2)х-н(П2а1\ч-..

ч- ( V « i C r + - . .

.-нЬт*атЪт)у

.-i-hm2amcm)g-*-(h2aini-+--

• •-+/'m2«mMm)=°,

I dF
' Ну = (V«A-*-

• •4-hm2ambm)x-H(h2bW..

.ч-ПтѢт2)у

I dF
идп

= (Wi"

1

"-.

/dF

.ч-7іт2атост)жч-(/»12Ь1с,ч-...-н1ітѢтст)у
ч-{А12с12ч-.. .ч-/гт2ст2)гч-(7і12с1п1ч-.. . - + - b m 2 c m n m ) = 0 ,

-g = x2h2a2 -4- ?/27г 2 а& - t - f 2 / t 2 a c - t - 2 / r a n = 0 ,

(4j).. I

=

—I— ?/27і2Ь2 -+=

-+- 27г2Ьи =

x2h2ac -+- ?/27i2dc -+- z2h2c2 -+- 27г2сп =

0 ,
0.

Полученпыя три уравпепія суть основныя п служатъ для опредѣленія папвѣроятнѣйшпхъ значеній | , YJ П Ç величинъ x , у И z.
Дадпмъ этпмъ уравненіямъ другой видъ; съ этою цѣлыо вообразпмъ числа

ох, 92,

m9,

цѣлыя, положительною и прямо пропорціопальпыя
мѣръ точности паблюденій, такъ что
Ѵ

=

9,

Ѵ

92

=

' ' ' '

=

ы

9т

и следовательно
2

1

91 '

'

т

1

<7і '

при этомъ выражеиіе 2 F обратится въ

+ 9 „am*-

квадратамъ

Подставляя полученпыя выраженія для hf,

Jif,

hm2 въ

уравненія ( 3 J получимъ

Î d F

ж
= дмі
f = s m i

dF

=

d a

д

-+- w a
•+• д и а

-л-+=
-+-•••• л - 0 „ а а „ =

i -л- 9 л а

-ь ^

д

«

=

о,
о,

0

•

Уравпепія эти отличаются отъ уравиепій (3), п° 3 6 7 только тѣмъ,
что каждый членъ умпожевъ на соответствующую ему величину д.
Введя выраженія для hf,

hf

hm2 въ уравненія (4,)

получимъ нхъ въ слѣдующемъ виде

і

л

tp
dF

= х2да2 ч- у^даЪ ч- tëgac ч - Ідап = 0 ,
= x2gab -+- уХдЪ2 -+- гІдЪс -t- ХдЬп = О,

dF

-jj = х2дас -+- yXgbc -н zXg& -+- Xgcn =

0 .

Для перехода отъ этихъ уравненііі къ уравненіямъ ( 4 ) , я ° 3 6 7
стоитъ только положить
di =

d2 =

=

0 « =

1

.

Уравненія (4 а ) можно вывести другпмъ путемъ.
Представимъ себе, что въ системе уравнепій
£7, = а, -«- а,х -+- Ъ,у -+- с,з
U2 =

a2-+- а2х -+- Ъ2у н- с2г

£73 = а 3 н - а3х -+- Ъ3у н - c3z
£7„ = а -»- я ж -+- b v -+ c z
m
m
tn
mJ
m

первое уравненіе написано g, разъ, второе # 2 разъ, третье^ разъ,
наконецъ послѣднее д т разъ, т. е. представишь себе
F

ч-дт

наблюдепій, при чемъ нзъ числа первыхъ д, наблюдепій каждое
дало величину Ux, изъ числа д2 наблюдецій каждое дало величину U2, и т. д . , и будемъ считать всѣ
di

-*"d m

наблюденія одинаково точными.
При этихъ условіяхъ сумма 2а'
diн~

при выводѣ ея изъ всѣхъ

- * ~ 9 т уравненій будетъ равна:

-*~дтат2,
т. е. будетъ равна

подобны мъ образомъ 2аЪ обратится въ
2даЪ,
н такъ далѣе, и уравнепія ( 4 ) ,
уравненій (4 2 ).

3 0 7 , представятся въ видѣ

И такъ можемъ принимать иаблюдепія одинаковой степени точности и разсматривать каждую пзъ величинъ и , , и , ,
и ,
какъ повторившуюся при наблюденіяхъ д„ д.2,

дт разъ, пли

же разсматривать каждую величину м х , и2,. .. .ит, случившеюся
только одшіъ разъ п вводить ее въ вычпсленія съ соответствующ и е коеФФпціентомъ дх, д2
дт.
Поэтому величины
di, d2

dm

называются весами наблюденпыхъ величинъ.

3 7 0 . Наивѣроятнѣйшія величины мѣръ точности и вѣроятныя ошибки наблюдены не одинаковой степени точности.
Назовемъ мѣры точпости наблюдеіііи гі,, и2,

ит, при кото-

рыхъ получились ошибки
а

и

U

U

д

т

соответственно чрезъ
h,, h2, h3)

hm ;

прп этихъ обозиаченіяхъ, до производства наблюденііі вероятность системы ошпбокъ

выразится чрезъ
lhh2....hm

%

m
2

е

- A W •*• W

+ - • • • -ь V

д т 2 ).

Дадпмъ этому выраженію другой впдъ. Изобразимъ чрезъ H
меру точности, и чрезъ R вѣроятную ошибку такого иаблюдепія,
котораго вѣсъ есть единица.
Будемъ иметь

1

9і

Ог

' ' ' '

откуда

hf—gjp,

JiJ =
m

gmH\

vm

'

От

\ = h у 9i,

Поэтому до производства наблюдепііі вѣроятиость системы
ошибокъ
an

можетъ быть изображена чрезъ

hwjwwtm

р

m

6

-

• • •+

-

'

ТС 2
или чрезъ
.

НтІ9\9г-- 9т
m"

— я22од2
г
е

ТС 2
Если иаблюденія произведены и ошибки случились, то вероятности различныхъ гипотезъ объ H будутъ пропорціоиалыіы последнему выраженію и наивероятнейшая величіша ii получится изъ
условія, что Функція
i i

m

e -

h

w à

2

нолучаетъ наибольшую величину.
Для выполиенія этого условія должно быть
d[hm.e~s2^2]

dh

-

'

что даетъ
0

н

=

W

W

гдѣ

У ¥

s -

есть средняя квадратяческая ошибка паблюденій.
Вѣроятная ошибка В наблюденія котораго весъ единица будетъ

Мера точности иаблюденія и, будетъ
Ѵ - Я У Й - ^ ;
а вероятная ошибка г, паблюденія и, будетъ
г =
1

р

'б

=

р

—

В

—

У2 с

р

Мера точности паблюдепія м2 будетъ

а вероятная ошибка г„ наблюденія м2 будетъ

г —л-

— а-у2

с

Наконецъ мера точности паблюденія м т будетъ

m

m

уа.ег '

а вероятная ошибка r m иаблюденія wm будетъ:

m

удт

9т

ѵ

2

3 7 1 . Случай когда зависимость между искомыми
ными выражена

уравпенгсмъ не линейнаго

неизвест-

вида. В ъ предъиду-

щемъ предполагали, что зависимость между искомыми неизвестными величинами выражена Функціею линейною. Покажемъ какимъ образомъ можно эту завнспмость выраженную въ другой
Форме заменить по приближенно выражеиіемъ линейнаго вида.
Обозначая, какъ прежде, искомыя неизвестныя чрезъ х , у , г . . .
положимъ, что наблюденіями определяются Функціи этнхъ неизвестных!,
©1

,

у ,2

) ,

у{х,у,2

),

<?3{х,у,2

),

9jx,y,2

),

такъ что ошибки Д , , Д 2 ,

Ду наблюден!іі выразятся чрезъ

/ А = Ф і (Х,У,2,

) — «,,

I Д2 =

) — U2 ,

Фз ( Х , У , 2 ,

\ ь п = 9п(х,у,2,

) — «,„,

при чемъ число m уравнений больше числа s неизвестпыхъ.
Между

всеми m уравиеніямп доставляемыми

наблюденіями

выберемъ s, т. е. столько сколько пмеемъ непзвестпыхъ, и оиредЬлпмъ величины неизвестпыхъ изъ этой совокупности; эти величины будутъ приближенными для непзвестпыхъ и нужно будетъ
только но способу наименьших!, квадратовъ вычислить поправки
этихъ неизвестпыхъ *)•
* ) Часто приближенныя

величины x , у, z . . . . и з в ѣ с т н ы еще до произ-

водства наблюденіп и наблюдсвія имѣютъ цѣлью только поправить зти

велн-

ч и я ы . В ъ этомъ случаѣ и Ь т ъ надобности предварительно опредѣлятьприближенныя величины н е и з в ѣ с т н ы х ъ и з ъ уравненіб.

Пусть X,Y,Z

приближенным величины x,у

требуется определить поправки х , у ' , z

,z . . . . ;

для приближенныхъ

величинъ.
Имѣемъ
x=

X -+- ж',

y=y+y',
z=

z-+-

Вставпвъ эти величины въ ураненіе
9 i ( * i î m .

)»

получимъ
9,

+

А

)

и
А, =

©j ( X -+- ж', Y-t- у', Z-\- z,

) — и, ;

разложивъ последнее выраженіе въ рядъ но теоремѣ Тайлора п
пренебрегая высшими степенями поправокъ ж', у', / , . . . . получимъ
*,=<p,(W,

Обозначая извѣстздш величины ф, ( X , Y, Z
) — и,,
(Х.Г.Я...)
dp, (X,Y,Z...)
dtp, (Х,Г,Я...)
dJX
'
dY
'
dY
'
соответственно чрезъ
, а , , A,, с , ,
, выраженіе для Д,
приметь впдъ
Д£ =

о,ж' -+- А,?/ и -

-+-

-+- Wj.
41*

—

644

—

Подобным® образомъ получимъ
Д2 = а2х' -+- Ъ2у' -+- c2z -+-

-t- «о

Д3 = а3х -+- Ь.лу н - c3z' -4-

-4- н 3 .

д = ах'чm

ьѵ'-4-

m

ce'-t-

m®

-+-»„•

m

tit

Уравненія опредѣляющія Д х , Д 2 . . . . Д т подобны уравненіямъ (1),
F 3 6 7 и величины x', y', z',... определятся по вышеизложенному.
3 7 2 . Случай условныхъ уравненій, которыми определяемый
величины неизвестныхъ должны удовлетворять въ точности.
Можетъ случиться что кроме уравнений (1) F

3 6 7 или ( £ )

F 3 6 9 дано еще t условныхъ уравнений, которымъ определяемый
величины неизвестныхъ должны удовлетворять въ точности; при
этомъ необходимо, чтобы число s неизвестныхъ было более числа
t условныхъ уравиеній.
Пусть эти t условныхъ уравненій будутъ:

(5)

(

уі*

)= 0

!

у>*

)=

°

! «м®.

уі

) =

°-

г

Вопросъ состоите въ томъ, чтобы найти наивероятиѣйшія значенія s неизвестныхъ ж, у, z. . . . , которыя бы удовлетворяли въ
тоя;е время условным® уравнепіямъ (5).
НаивѣроятнЬйшія значепія неизвѣстныхъ определяются, какъ
видели, нзъ условія что сумма 2 F произведеній изъ квадратовъ
ошибокъ на соответствующее вѣса :
2F = g X 4 -

g

получаете наименьшую величину.

ч - д т Дт2

В ъ разсматриваемомъ случае прибавляется условіе что t
уравненій (5) должны быть въ точности удовлетворены. Вслѣдствіе этого условія нзъ числа s перемѣнныхъ ж, у, z входящихъ
въ Функцію 2 F остаются независимыми только s — t перемѣнныхъ.
Если, по определены нзъ t условныхъ уравненій (5) t перемѣнныхъ, подставнмъ нхъ значенія въфункцію 2F,

то эта последняя

будетъ заключать только s — t иезнвисимыхъ иеремѣниыхъ и
условія для напмепьшаго ея значенія получимъ уравнявъ нулю
пропзводныя ея по оставшимся s — t независимымъ перемѣнпымъ.
Но къ тому же результату можемъ придти слѣдующпмъ путемъ: прправиявъ нулю полный диФФеренціалъ Функціи 2F

по

всѣмъ s персмѣшіымъ
/^ч

dF J

(6)

iüdx

dF -,

+ -äfjdy +

dF J

+ • • •

n

и подставпвъ въ пего вмѣсто t дпФФоренціаловъ t зависпмыхъ неремѣнныхъ, величины этихъ дііФФеремціаловъ пзъ уравненій (5),
уравияемъ пулю коеФФПціенты оставшихся перемѣниыхъ.

Та-

кимъ образомъ получимъ s — t уравпеній, который, будучи присоединены

къ t уравненіямъ (5), послужатъ для

опредѣленія

значеній s перемЬпныхъ прндающихъ Функціи 2 F

наименьшую

величину.
ПродііФФереіщировавъ уравненія (5) получимъ:
о,

Для того чтобы избѣжать рЬшеиія этихъ уравиеній относительно т е х ъ диФФеренціаловъ, которые хотпмъ исключать, пронзведемъ вычнсленія

болѣё простымъ и более симметрическимъ

способомъ.
женпыя

Сложимъ с ъ уравнеійемъ (6)
соответственно

на

уравиенія (7)

неопределенные

умно-

коеффиціенты

« j , к , , к 3 , . . . , K t , чрезъ что нолучимъ:

=

••

H определпмъ коеФФиціенты к , , к , . к

K

г

t ¥ )

0

dz

такъ чтобы диФФе-

ренціалы зависимыхъ перемѣнныхъ исчезли изъ этого уравненія.
Но такъ какъ

потомъ должно приравнять нулю коеФФиціенты

остающихся дпФФеренціаловъ, то это приводится к ъ тому, чтобы
уравнять нулю коеФФиціепты в с е х ъ диФФеренціаловъ, что даетъ s
уравненііі :

(8)..

которыя будучи присоединены къ t уравненіямъ (5) послужатъ
для опредѣлепія t неопредЬлеиныхъ коеФФіщіентовъ к х , к а , . . . . к (
и s пепзвЬстныхъ x , y , z , . . . .
Если вставимъ (yp. (4 2 ), n° 3 6 9 )
dF

=

x2ga

•щ =• x2gah
dF
-j—
dz =

x2gac

-t- y2gàb -+- z2gac -+-

2gan

h - y2gh2 -+• z2gbc и -

2gbn

-i- y2gbc -+- z2gc2

-+-

2gcn

и назовелп, для краткости

к, йф,
dy
. йф,

к,1 dz
л-

-»-

к
к.

то уравнепія (8) прпмутъ слѣдующій вндъ:
'x2<ja ч - y2gab ч- z2gac ч- 2дап ч- 2?с d £ =
( 8 , ) . . . х2даЬ -+- у2дЬ~ ч - ,г2//6с ч-

О,

-х- 2/с ~ =

О.

х2дас - н Î/2</AC -+- ,г2//с2 -+- 2дсп ч- 2 к ^ =

О.

Припомшшъ сказанное въ выноске n° 3G8 о величинѣ средней
квадратической погрешности,

найдемъ, что мера точности H

наблюденія, котораго весъ единица, п вероятная его ошибка R
изобразятся чрезъ:
да

V

m — (s — t)

3 7 3 . Примѣръ. В ъ трехъ треугольниках!, начсрчеішыхъ на
<1>пгуре87, измерены углы о, ,о2,о3,.

. . . о 9 , при чемъ получены

результаты показанные съ соответствующими пмъ весами *) въ
следующей таблнцѣ:
*) При в ы ч и с л е н і я х ъ по способу наименьшихъ к в а д р а т о в ъ

опредѣлсніе

в ѣ с о в ъ наблюденій допускаетъ нѣкоторый произволъ. Л е г к о оцѣшіть результаты полученные пзъ паблюдснііі одинаковой степени точности, т а к ъ к а к ъ в ъ
этомъ случаѣ в ѣ с а результатовъ пропорциональны
весьма трудно численно опредѣлпть в ѣ с а

числамъ наблюдений,

наблюденій

пронзвсдевныхъ

но
прп

Вѣсъ.

о

1

ч - о

о, =

36°25'47"

40

o3 =

90°36'28"

20

03 =

52°57'57"

30

н - о

2

о5 +

=

180°0'12"

04 =

50°26'13"

10

05 =

42° 4' 7"

30

о

о4 +

3

0

=87°29'25

20

/ /

о,=

179°59'45''

о7 =

70°43'28"

40

о 8 = 56°19'37"

25

оа =

52°56'34". . . .50

о7 -+- о8 н - о9 =

179°59'39".

Требуется по полученнымъ даннымъ найти наивѣроятнѣйшія зиаченія
x,

у, z,

и,

v, w,

r,

s,

t,

угловъ
ol , o 2 , o 3 ,

o4, o5, o6,

o 7 , 0 8 , од ,

іірн условіи, чтобы эти значенія въ точности удовлетворяли уравненіямъ :
хч-уч-z—180°
(5j

=

0 ,

<( u - 4 - v 4 - w — 1 8 0 ° =

о,

г

s

-t- 7 — 180° =

0;

неодннаковыхъ условіяхъ. При назначеиіи в ѣ с о в ъ наблюдепій, соотвѣтствешіо
болѣе или менѣе благопріятпымъ условіямъ, при которыхъ наблюдеиія произв е д е н ы , должно и з б ѣ г а т ь рѣзкагр. различія в ъ о т и х ъ в ѣ с а х ъ . Е с л и нѣкоторыя
наблюденія но представляются сомнительными до такой степенн, что и х ъ должно отбросить, то имъ не с л ѣ д у е т ъ приписывать слншкомъ с л а б ы х ъ в ѣ с о в ъ
чтобы не уничтожить и х ъ вдіяпія. И з м ѣ н я я в ѣ с а в ъ т ѣ с н ы х ъ п р е д Ь л а х ъ по
крайней м ѣ р ѣ не испортимъ ни наблюдсній, ни выводимаго и з ъ ннхъ результата; вообще нзмѣненіе в ѣ с о в ъ паблюдепій рѣдко можетъ быть вполнѣ оправдано, и необходимо остерегаться сстсстпсшіаго влеченія к ъ результатами к а жущимся нанболѣе сообразными.

послѣднія три уравненія соотвѣтствуютъ t условнымъ уравыеніямъ (5), п° 3 7 2

t = o,
ѣ

[

=

о,

=

Неизвѣстиыя ошибки наблюдеиій будутъ
А 1 = = х — 36°25'47"
А2 = У— 9 0 ° 3 6 ' 2 В "
A9=t

— 52°56'34"

Уравпемія ( 8 J , и 0 3 7 2 обратятся в ъ :
— 4 0 . 3 6 ° 2 5 ' 4 7 " - + - 40ж + к, =

0,

— 20 . 9 0 ° 3 6 ' 2 8 " -4- 2 0 у н - к, =

0,

— 30. 52°57'57"н-30^-4-Kj =

0;

— 10 . 5 0 ° 2 б ' і З " -4- 10 и - н к2 =

0 ,

— 3 0 . 4 2 ° 4' 7 " - « - 3 0 v -h Ко — О,
— 2 0 . 8 7 ° 2 9 ' 2 5 " -4- 20г©-4- к 2 =

0;

— 4 0 . 7 0 ° 4 3 ' 2 8 " -4- 4 0 г -4- «g =

0 ,

— 2 5 . 5 6 ° 1 9 ' 3 7 " н - 2 5 s н - к3 =

0 ,

— 5 0 . 5 2 ° 5 6 ' 3 4 " -4- '50 t -+- к, = 0 .

(В2)

j

Изъ совокупности перваго нзъ уравненій (5,) и первыхъ трехъ
уравнений (8 2 ) найдемъ

откуда

к =

1 о"

1—

И

1

-

'

î5s
13 )

ж = 36°25'47" — Y =

36°25'47" — 2",77 =

36°25'44",23 ,

у=

90°36'28" — Y _

90°36'28" — 5",54 =

90°36'22",46 .

я=

5 2 э 5 7 ' 5 7 " — go =

5 2 ° 5 7 ' 5 7 " — 3",69 =

52°57'53",31 .

Полученный значенія x, у, z въ точности удовлетворяютъ условію
x

н-

у -+- z —

180° =

0 .

Подобиымъ же образомъ изъ совокупности втораго изъ уравнений (5,) н вторыхъ трехъ уравненій (8 3 ) найдемъ

откуда
к2 =

— 1 5 " . ff,

и

и =

50°2б'2і", 1 8 ,

v =42°
гѵ =

4 ' 9", 7 3 ,

87°29'29", 0 9 .

ІІаконецъ изъ совокупности третьяго нзъ уравненій (5,) и послѣдннхъ трехъ уравненій (8 2 ) найдемъ

откуда
'•з —

- x ' 17 '

и

r =

70°43'34"8,

s=

56°19'46^88,

t =

52°56'38;'94.

Ошибки (или поправки) величинъ о х , о 2 , . . . . о3 будутъ :
\ =

о1-к1

=

- 2 У 7 ,

Х2 = о2 — к, = — 5"54 ,
Х3 =

о3 — «! =

— 3/69,

\

=

о( — к2 =

.-h8î18,

Х5 =

о6 —Кз =

н - 2/73 ,

\ =

О0 — К2 =

х7 =

о. — к3 =

-ъ- 6 " 1 8 ,

Х8 =

о8 — к 3 =

-+- 9 "8 8 ,

>-о =

°9 — кз —

-+- 4"09 ,

4

"

•

9 4

Вероятная ошибка В наблюденія, котораго вѣсь единица, изобразится чрезъ
Д =

?

У 2 . ] / ^ =

0 , 6 7 4 . ) / ^ = 0 , 6 7 4 . 50;'8 =

34;'2.

Вѣроятныя ошибки і\, г 2 , г 3 , . . . . г 9 , въ величинахъ угловъ
£,02,03,

о 9 , будутъ:
г
1

r =
2

= а =
ѵ7,

— =

уаё

3

< ?
уіб

уйо

=

=

5 " 4
' '

7"63
'

t

'

г. =

в

34",2

Yg3

Y 30

e
—

=

b_

34 ,2
— = =
УіО
34",2

Узо
34",2
у20

в

34",2
1 40
34",2

, 8

~ Ygt~
_
~

в_

У25
34^2

yg, —

6j24,

у 50

- a//0
10,8 ,

=

б"24,

=

7;'бз,

=

5?40,

=

е;'84,

=

4"83.

§ IV.
Формулы пптсрполпровапія но способу напмспыппхъ
квадратовъ.
3 7 4 . При многихъ практических!, вопросахъ мы не знаемъ
Формы Функціи U выражающей зависимость

между

искомыми

неизвѣстными, и ее прпходптся выбирать. В ъ этомъ случае большею частью для выражепія

TJ берутъ цѣлую Функцію и пола-

гаютъ
U =
где

коеффиціенты

а ч-Ьх •+- сх' -+- . . . . ,

а , Ь , с , . . . . вычисляются по найденнымъ

изъ наблюдений величинамъ и =
щим!, различнымъ значеніямъ х =

и , , « „ , . . . . и п соответствуюхх,

ж2, . . . .

хп.

Ели число наблюденій п болѣе числа непзвѣстныхъ коеФФИціентовъ а , Ь , с , . . . . , какъ это обыкновенно бываетъ, то напвѣроятнѣіішія значенія этпхъ коеФФііціентовъ могутъ быть определены по способу иапмепышіхъ квадратовъ (если замѣнимъ в ъ
уравненіяхъ п° 3 6 7

а чрезъ 0 , или и чрезъ — и ; а чрезъ

b чрезъ х; с чрезъ х" ;....

1;

х чрезъ а ; у чрезъ Ь ; z чрезъ с ; . . . . ) ,

прнчемъ приходится решать целую систему уравненій для к а ж даго частнаго предположенія относительно числа членовъ, плн, что
одно н т о ж е , относительно

степени

нскомаго

выраженія.

Это

тѣмъ более затруднительно, что такія вычисленія приходится повторять несколько р а з ъ , пока не доіідемъ до выраженія,

пред-

ставляюіцаго данныя съ достаточною точностью; т а к ъ какъ степень такого выраженія трудпо угадать впередъ.
П . Л. Чебышевъ далъ Формулы іштеріюлированія, но которымъ
полиномы получаются с ъ наітероятнѣйшимн коеФФПЦІентами, последовательно в с ѣ х ъ степеней, начиная съ нулевой, и позволяютъ
видеть сколькими членами можно огранпчпться въ пскомомъ в ы ражены для пнтерполнрованія. Формулы эти относятся къ двумъ
случаямъ: к ъ более простому, когда известныя величины интерполируемой Функціи взяты чрезъ равные промежутки, и къ более
сложному, когда

извѣстпыя

величины Функціп соотвЬтствуютъ

какпмъ либо даннымъ зиачеціямъ переменной.
М ы нриводпмъ Формулы для обоихъ случаевъ.
3 7 5 . Если требуется
а,

найти нанвероятнейшіе

ъ, с, . . . . в ъ выражепін u,

и = а -х- Ъх

(I)

коеФФііціенты

представлепномъ Формулою.

сх2 -х- . .. . ,

u нзъ наблюдепій, имѣющихъ одинакую мѣру точности, найдены
и =

и,,

и2,

чинамъ x =

. . . . ип , соответствуюіціе равноотстоящимъ
h, 27л, . . . . nh,

слѣдующимъ рядомъ:

то

искомая

Функція

велп-

выражается

въ которомъ:
1°, знаки суммовапія распространяются на всѣ величины г,
отъ г =

1 , до г =

2°,

п,

аиг =

Д н. =

Д

3

— и. ;

—

Д м.
2

; H

д \

=

д « ^

— аut ;

т. д . ,

3°, если составимъ таблицу пзвѣстпую подъимеиемъ ариѳметическаго треугольника
есть сумма двухъ

Паскаля,

въ которомъ

соотвѣтствующихъ

каждое

число

чиселъ предшествующей

строки:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
2
3
4
5
6
7
8
0
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19

Сочетанія

1 по 1

1
3
6
10
15
21
28
36
45
55
66
78
91
105
120
136
153
171

1
4
10
20
35
56
84
120
165
220
286
364
455
560
680
S16
969

1
5
15
35
70
126
210
330
495
715
1001
1365
1820
2380
3060
3876

2 по 2

3 по 3

4 по 4

1
6
21
56
126
252
462
792
1287
2002
3003
4368
6188
8568
11628

5 по 5

и замѣтимъ что

-ç, цп—і)

^"гтг"

j_ n—1

т

•

•g г'(гч-1 )(«—г')(я—і—1 )

т

Ь2

1 2.1.2

1.2

п—ч

• 1

i

(и—l)(w—2)
-

н—3
x

2.3

1.2

4

"

г

(н—2)(н—3)

1.2'

1.2

(п—3)(п—4)
1.2"

1.2

'

В Т . Д. ,
1

2

3

ТО увнднмъ, что: у > Т ' Т '

;

1.2

2.3

3.4

Г2'Ь2'ГГ2'

;

и т. д. выражаютъ
иыхъ

стоблцовъ

числа втораго,

сверху

•«-ой горизонтальной
П—1
1 '

га—2
1 >

внизъ

строке

до

1-го

третьяго и т. д.
чиселъ

вертпкаль-

соотвѣтствующихъ

вертикального

столбца;

а:

га—3
. (га-1)ІГА-2) (га—2)(ГА-3) (ГА — 8)(ГА — 4)
1 > ' ' •' '
1.2
'
1.2
>
1.2
>

5

и т. д. выражаютъ числа втораго, третьяго и т. д. вертикальныхъ
столбцовъ снизу вверхъ, начиная съ чиселъ

соотвѣтствующихъ

«-ой горизонтальной строке 1 - г о вертикалыіаго столбца.
3 7 6 . Если требуется найти коеФФііціентьі а , Ь , с , . . . . в ъ
выраженіи U , представленномъ Формулою

U= F(x) [ач-Ъхч-сх°чгдѣ F(x)

нѣкоторая

Функція

],

независимой перемѣппой x,

и пзъ

наблюдеиій одинаковой меры точности найдены и = и х ,

щ,

ws,

. . . .ип,

х —

ху,

«г > з )
х

соотв Ьтствуюіціе
п '

х

т о

мо?

различиымъ

величинамъ

кно вычислять члены выраженія U, после-

довательно одшіъ за другимъ, гюмощію ряда

U= F(x) (К±

(x) ч- КА (x) ч- Кр2 (х)ч-

]

и в м е с т е съ тѣмъ находить суммы квадратовъ ошибокъ, съ которыми рядъ представляетъ паблюдеиія, когда останавливаемся на
1 , 2 , 3 , . . . . X члене,

для

квадратической ошнбкп

тотчасъ узнать, на которомъ члене мо-

того чтобы

но величине

средней

жно остановиться.
В ъ слЬдующихъ Формулахъ для вычислепія члсновъ означеннаго ряда, суммованія распространяются иа всЬ значенія знака«,
отъ і =

1 до і =

п, и 2\х

обозначаетъ сумму квадратовъ оши-

бокъ, съ которыми рядъ, остановленный иа члене

F(x). Кх<\>х(х),

выражаетъ данный величины и ; по этой сумме средняя квадратическая ошибка найдется нзъ Формулы

Формулы для определены члена F(x). 7Г04>0(ж) •
(0,0) =

ЗДж,.)]%

yf(xi).ui

_

к

о

(0,0)

ш
2Af

=

'

1,

=

2u/-(0,0)IÇ.

Формулы для опредѣленгя члена
(0,1) =
£

=

&

i =

. ж.,

І\х).К$х(х).

(0,2) =

2[F{xt)f.

ж/,

(0,0),
(tüj>

(1,1) =

w —

(0,2)-0,(0,1),
(ц)

ф,(ж) =

'

ж—6,,

(Формулы для опредѣленія члена F(x). ІГ2<|)2(ж).
(0,3) =
(1,2) =

a2

—

2[F(Xi)f.

(0,3) -

ж/,

(0,4) = 2[F{xt)Y

6,(0,2),

(1,3, =

•

,

(0,4)—6,(0,3),

— m
(0,0)'

(2,2) =

=

w

(1,3)-62(1,2)-Й2(0,2),
M

'

Ш=(ж—62)ф,(ж)—а2ф0(ж),
2д22 =

2д,2-(2,2)7ѵ7.

—

658

—

Формулы для опредѣленія члена F(x).
( 0 , 5 ) = 2[F(xt))\
(1,4) =

ж / , (0,6) =

( 0 , 5 ) - 6,(0,4), (1,5) =

(2,3)=(1,4)-62(1,3)-аа(0,3),

а —
6

з=

К$фх).

2[Е(ж £ )] 2 .ж.\
(0,6) -

6,(0,5),

(2,4)=(1,5)—А2(1,4)—Й2(0,4),

(2,2)
(і,і) »

Щ-|ц),ЛЗ,3) =
к

(2,4)-6з(2,3)—а,(1,3),

_ 2 F ( x j ) x * » t - ( 0 , 3 ) A " „ - ( 1 ,П)ЛЙ-(2,3)Х,
з—
(ö,8)
'

ф 3 (ж)=(ж—А 3 )ф 2 (ж)—Я 3 ф,(ж),
2Д 3 2 =

2Д/-(3,3

)К2.

(Формулы для опредѣленія члена F(x).
(0,2Х) =
( 1 , 2 Х - 2 ) = (0,2Х (2,2Х -

1)—Ь Ж (0,2Х—2),

3) = (1,2Х -

2) -

Кх<]>х (ж)

2[Г(ж,)Р.ЖУ,

(1,2Х — 1) = (0,2Х) — Ъ, (0,2Х— 1),

Ъ2 (1,2Х - 3)
(2,2Х — а 2 (0,2Х — 3),

2) = (1,2Х -

1) -

Ь 2 (1,2Х - 2)
— а 2 (0,2Х — 2 ) ,

(3,2Х — 4) = (2,2Х — 3) — Ь3 (2,2Х — 4)
(3,2Х — а3(1,2Х-4),

3) = (2,2Х -

2) -

Ь3 (2,2Х - 3),
— а 3 (1,2Х — 3 ) ,

(X — 1,Х) = (X — 2,Х-ь1) — &Х—1 0 — 2 , Х ) ( Х - 1 , Х - н 1 ) = ( Х - 2 , Х ч - 2 ) - Ь х _ , ( Х - 2 , Х ч - 1 )
— °х—i (x—
(х-1.х-1)

ах:

0-2,х-2) '

6, =
Х

0-14)
(X—1,Х—1)

г/ _

(X — 2,Х— 1)
(X — 2,Х — 2) '

(Х,Х)=(Х-1:Хч-1)-Ьх(Х-1,Х)-ах(Х-2,Х).

^ ^ ( Д , : ) . Ж , Ч - ( 0 4 ) Д О - ( 1 , Х ) 7 Г , - ( 2 , Х ) У - . . . —(X -

04)

х

Фх ( ж ) =

(« — V Фх—1 ( ж ) — « х Ф х - 2 И »

2 д \ =

2 д \ _

1

_ ( х , х ) х ѵ

1,Х)ДГ х _ г

§ v.
Прпложеніе къ опредѣленію вертикальной проскціи
траекторіп но данным» нолучсннымъ нзъ рсзультатовъ
стрѣльбы.
3 7 7 . Вычисленіе уравненія траекторіи сферическаго снаряда, подъ данпымъ угломъ бросанія, по наііденнымъ изъ опыта
ординатами па равно отстоящихъ разстояніяхъ. При стрѣльбѣ
на Волковомъ полѣ въ 1 8 5 8 г. изъ 2 4 <і>. осадной гладкой пушки ядромъ и зарядомъ въ 8 Фунтовъ пороха, подъ угломъ возвышенія въ 1°45', въ вертнкальиыя сѣти, расположенныя въ
50, 1 0 0 , 1 5 0 , 2 0 0 , 2 5 0 , 3 0 0 , 3 5 0 , 4 0 0

и 450

саженъ отъ

орудія, среднія изъ 22 выстрѣловъ ординаты траекторіи получены слѣдующія:
саж.

фут.

для х =

50

У==

10,10

=

100

=

18,85

=

150

=

24,G7

=

200

=

28,68

=

250

=

29,42

=

300

=

20,90

=

350

=

20,33

=

400

=

9,76

=

450

= -

—5,47

Для вычисленія, по зтимъ даннымъ, уравнепія траекторіи изобразимъ его выраженіеыъ слѣдующаго вида
(1)

Y— ах-+-Ьх2-*-сх3

и приложишь к ъ нему Формулы п° 3 7 5 , для чего приведешь
42*

его

къ виду ѵравненія ( І ) , п ° 3 7 5 , раздѣливъ обѣ пасти его па х, чрезъ
что пайдемъ:

и = * = а ч-Ъх ч- сх? ч- dx3 ; *)

(2)

при x выраженномъ въ саженяхъ, и при у выражениомъ въ Футахъ, будемъ имѣть:
саж.

—

0,2020

50

— 100

...

— 150

...

=

200

...

— 250

...

0,1885
0,1645

=
v

• • • . и^ —

0,1434

w5 =

0,1176
0,0897

— 300
— 350

...

0,0581

— 400

...

0,0244

— 450

...

0,0122

Принимая 5 0 саженъ за единицу мѣры для абсцнссъ, которыя, для отличія отъ абсциссъ х выражениыхъ въ саженяхъ, изобразпмъ чрезъ ж', должны въ Формул!; (II), п° 3 7 5 положить
h=

1 , і і = 9 (число паблюденныхъ ординатъ), и ж замѣнить

ж'-мъ.

*) Раздѣленіе обѣихъ частей ураппепія (I) на ж, приподитъ к ъ приложешю способа наименьшихъ квадратовъ къ относительиымъ ошибкамъордипатъ:
Д,'=
1

с/. — г<, =
1

1

—

h

Уу

Г "

А

'—и

"s

- и

——2_

"г_2Л

вмѣсто приложенія его к ъ абсолютным!,
Д2 — Y, — у 2 , . . . .,Д 3 =

Уі

ошибками

8

д
-

'—TT
9

—I,
8 _

— Ал

Уh

ординатъ Л, =

У 9 — s/g и ч р е з ъ это уменьшастъ нѣсколько

ордипатъ паблюденныхъ на большихъ разстояніяхъ.

J/»

9 А'

Y, —

у,,

значепіе

—

661

—

Составпмъ слѣдующую таблицу:

і.

«t.

1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,2020
0,1885
0,1045
0,1434
0,1176
0,0897
0,0581
0,0244
— 0,0122

Дм,-.

—
—
—
—
—
—
—
с-

0,0135
0,0240
0,0211
0,0258
0,0279
0,0316
0,0337
0,0366

Дгм,-.
—
-н
—
—
—
—
—

0,0105
0,0029
0,0017
0,0021
0,0037
0,0021
0,0029

Д3м,-.

-+-0,0134
— 0,0076
-+- 0 , 0 0 2 6
— 0,0016
-+- 0 , 0 0 1 6
— 0,0008

0,9760
= 2м,-

Л е г к о видѣть, что А і и і в ы й д у т ъ болѣе т р е т ь и х ъ разностей и
что по этому с л ѣ д у е т ъ ограничиться третьими разностями и с л е довательно в ъ выраженіи для и членомъ с ъ

х3.

Вычпслнмъ:
t'(n—і)
1.1

Au. =

1.8, —0,0135 :

: — 0,1080

=

2 . 7 . - 0 , 0 2 4 0

: —

0,3360

=

3 . 6 . - 0 , 0 2 1 1

: —

0,3798

=

4 . 5 . - 0 , 0 2 5 8 : : —0,5160

=

5 . 4 . - 0 , 0 2 7 9 : : —0,5580

=

6 . 3 . - 0 , 0 3 1 6 : : —0,5688

=

7 . 2 . - 0 , 0 3 3 7 : : —

=

8 . 1 . - 0 , 0 3 6 6 : : —0,2928
—

!

0,4718

3,2312

Зй-і)(»-і)(п-г-і)

=

1.28. —0,0105 =

—0,2940

=

3 . 2 1 . — 0,0029 =

-+-0,1827

=

6.15. —0,0047 =

—0,4230

=

10.10.-0,0021 =

—0,2100

=

15.

6. —0,0037 =

—0,3300

=

21.

3.-0,0021

=

28.

1 . — 0,0029 = —

l)(n і - 1 )
1 • 2à . 1 . л
,-(г-и)(гч-2)(п-г)(п-г-1)(п-г-2)_даи

1 . 2 , 3 . 1.2.3

'

д 2

=

_

=

0,0812
1 ; 2 8 7 8

*

j g g

=

=—0,1323

0,01 34 =

-«-0,7504

4.35.—0,0076=—1,0640

= 10.20.

0,0026=-t-0,5200

=20.10.—0,0016=—0,3200
=35.
=56.

4.

0,0016=-+-0,2240

1.-0,0008=—0,0448

Уравненіе (II), и ° 3 7 5 дастъ:

ми
£ 7 = 0 , 1 0 8 4 4 — 0 , 0 1 3 4 6(2ж'—10)—0,00011002[3(2аг'—10) 2 — 8 0 ]
-t-0,00000011503[15(2аз'—10)3—708(2a;'—10)],

или
7 7 = 0 , 1 0 8 4 4 - 0 , 0 1 3 4 6 ( 2 ж ' - 1 0 ) - 0 , 0 0 0 1 1 0 0 2 [12ж' 2 -120ж + 2 2 0 ]
- 4 - 0 , 0 0 0 0 0 0 1 1 5 0 3 [ 1 2 0 ж ' 3 — 1800ж'2-«-7588ж'—7920],
или
//=0,108440 — 0,02692
-»-0,134600-4-0,01320

х'—0,0013202 ж' 3 -4-0,000013853.ж' 3
—0,0002075

-0,024204-4-0,00087
—0,000912
или
(3 )

7 7 = 0 , 2 1 7 9 2 4 — 0 , 0 1 2 8 5 . ж ' — 0 , 0 0 1 5 2 7 7ж'2
- 4 - 0 , 0 0 0 0 1 3 8 5 3 . ж'3.
Такъ какъ х' =

Е

50

'

то:

7 7 = 0 , 2 1 7 9 2 4 — 0 , 0 0 0 2 5 7 0 . ж—0,00000061108ж2
- 4 - 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 2 4 .ж3.
Припомиивъ, чго 7 7 = ™ , получимъ:
« / = 0 , 2 1 7 9 2 4 . ж — 0 , 0 0 0 2 5 7 0 . ж 2 — 0 , 0 0 0 0 0 0 6 1 1 0 8 . ж3
- 4 - 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 8 2 4 . ж\
гдѣ у выражено въ Футахъ, а ж въ саженяхъ,
или:
(4 )

«/=0,031132 .ж—0,000005245жг
— 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 1 7 1 5 ж 3 - 4 - 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 616ж*,

гдѣ у и ж выражены въ Футахъ.

t

Вычпсливъ помощію этого уравиенія ординаты соответствующая разстояніямъ,

на которыхъ оыѣ были определены наблю-

деніемъ, получимъ:
фут.

У =

10,18

=

18,62

=

24,90

=

28,59

=

29,30

=

26,65

=

20,26

=

9,78

=

— 5,12.

Ошибки съ которыми Формула (4) выражаете иаблюденія
будутъ:
фут-

д, =

-к- 0 , 0 8

Д2 =

—0,23

Д3 =

-+- 0 , 2 3

Д4 =

—

Д5 =

—0,12

Д

0,09

= - 0 , 2 5

6

Д7 =

- 0 , 0 7

Д8 =

0,02

Д

9

= - н 0 , 3 2 .

Для того чтобы получить среднюю квадратпческую ошибку,
съ которою Формула (3) выражаете
1 Г > ~2I ' • • •

'

1іа

относительный

ординаты

А° б і І ° вычислитыю ней относительный орди-

наты, вставнвъ вместо х' последовательно 1 , 2 , . . . . 9 и вычесть

изъ нпхъ Wj, м 2 , . . . . м 9 ,

чрезъ

что получимъ относительный

ошибки
Д , ' = 0 , 0 0 1 6 ; Д 2 ' = — 0 , 0 0 2 3 ; Д3' = 0 , 0 0 1 5 ; Д / = — 0 , 0 0 0 4 ;
Д5'=—0,0004; Дв'=—0,0009; Д/=—0,0002;

Д8'=0,0000;

Д 9 ' = 0,0008.
Средняя квадратнческая ошибка будетъ
s2 =

t / ^ -

=

0,00114.

Вѣроятная ошибка г, съ которою Формула (3) выражаетъ
относительный ординаты,

т. е. иределъ ошибки соотвЬтствую-

щій вероятности I , будетъ
г =

р . У 2 . е2 =

0,4769 . У 2 . 0,00114 =

0,0008.

ПредЬлъ s ошибки, соотвЬтствующій вероятности | будетъ
s=

'x. V 2 . £2 =

0,8134 . У 2 . 0,00114 =

0,0013.

Для того чтобы убѣдиться въ согласін действителыіаго расгіределенія относительныхъ ошибокъ Д' СЪ вычисленными для нпхъ
предЬлами, расположишь ошибки Д' по безусловной ихъ величине,
не обращая вииманія на ихъ знаки.
Будемъ имѣть
А' =

0,0000 ;
0,0009;

0,0002;
0,0015;

0,0004;
0,0016;

0,0004;

0,0008;

0,0023.

Отсюда впдігаъ, что вероятная ошибка занимаетъ 5 - е мЬсто
между расположенными но величине ошибками; а предЬлъ ошнб-

ки, соотвѣтствуюіцій вероятности 3 , занимаете мѣсто между 6-й
и 7-й по величине ошибками.
Следовательно действительное распредѣлепіе отиосителыіыхъ
ошибокъ соответствуете вычислеинымъ ихъ предѣламъ.
3 7 8 . Вычисленіе уравненія вертикальной проекцги траектории продолговатаго снаряда, по пайдсннымъ изъ опыта уіламъ
бросанія соотвѣтствующимъ различнымъ дальностямъ, если начальная скорость снаряда непосредственно не определена. Уравнеиіе вертикальной проекціп траекторіи можете быть представлено въ виде
у=

ах ч- ßж2 ч- уж 3

8ж4 н - . . . .

Первая и вторая проіізводныя этого уравненія суть
у' =

а -+- 2ßx -+- Зуж2

ч- 45ж 3

у" =

2ß ч- бух -+- 12Ьх 2 ч-

Такъ какъ tang О = у' \\ (п° 102) г>,

рц х = О ,

? и П

и м ѣ е м ъ У = a, 0 = 9 , ? / " = 2 ß , v , = F 1 ,To: a = t a n g q > , ß = — ф р
h уравненіе вертикальной нроекціи траекторіи
?/ =

жtangcp —

^у^^чг-ууч-ьх'ч-

Углы бросанія соответствующее различнымъ дальностямъ
получатся если положимъ у = 0, и выразятся рядомъ
t a n

s<? =

г Н Ь ^

или
sin 2<р =

щх — 2уcos2<p.x2 — 28cos 2 q>.ж 3 — .

...

Принимая въчленахъ съ ж2 и съ высшими степенями ж, вместо перемѣннаго значенія cos2® его некоторое средиес значеиіе

между пределами угловъ бросанія, подъ которыми производились
опыты, что возможно безъ большой ошибки, когда углы бросанія не слишкомъ велики, и поэтому полагая
— 2 у . cos 2 9 —b,

— 2Scos2cp =

с,.

. . .

и обозначая
У

2

" )

получнмъ
(1 )

sin 2© =
tangф =

(2 )

у=

ах -+- Ъх* -+- схя -+-. . . .,

~^[ax-^lx2-*-cx3-t- . . .],

s tang <р —

+

Ьхясх^ +

. . .].

При стрѣльбѣ изъ нашей нарѣзной 2 4 ф. пушки зарядомъ въ
7 Фуитовъ пороха получены соотвѣтствующіе различнымъ дальностямъ слѣдуюіціе углы бросанія Ф И соотвѣтствующіе пмъ
sin 2ф.

Д а л ь н о с т и .
В ъ сажсняхъ.

В ъ Футахъ.

У г л ы бросанія
<р.

sin 2ср.

30
100
300
500
700

210
700
2100
3500
4900

11'
37'
2 ° 2'
3 ° 7'
4°22'

0,00640
0,02152
0,07092
0,10858
0,15184

900
1200
1500
1897
2452

6300
8400
10500
13279
17164

6 ° 6'
8°44'
11°12'
15°21'
22°23'

0,21132
0,30015
0,38107
0,51054
0,70422

Для опредѣленія наивѣроятнѣйшихъ значеиій а , b , с , . . . .

въ уравпенш
sin29=

U=

ъх- •сх

x [я

приложимъ къ нему Формулы ннтерполированія и° 3 7 6 .
В ъ этомъ случаѣ
F(x) =

x,

210

=

м

і

=

0,00640

х2 =

700

м2 =

0.02152

А =

2100

и3 =

0,07092

ж4 =

3500

м4 =

0,10858

=

4900

иь =

0,15184

хв =
х7 =

6300

иа =

0,21132

8400

щ =

0,30015

=

10500

и8 =

0,38107

х9 =

13279

« 9

=

0,51054

=

0,70422

17164

10 =

Х

М

10

Для выраженія U однимъ членомъ
F(x).K0.^(x)

=

x.K0.<\>

{х),

0

возьмемъ
[F(xt)f

(0,0) =

о

_

=

F(xt).ui

x2

2

f

=

xiui

44100

1,3439

490000

15,0640

4410000

148,9320

12250000

380,0300

24010000

744,0160

39690000

1331,3160

70560000

2521,2600

110250000

4001,2350

176331841

6779,4607

294602896

12087,2321

7 3 2 6 3 8 8 3 7 , 2 F(xt).

2[е(ж.)]2
к

=

(ж,). »,•
(0,0)

мѵ =

0,00003823151 ,

Фо ( ж ) =

1

>

28009,88977

что даетъ
F(x). К0. ф 0 ( х ) =

0,00003823151.x.

Для того чтобы найти сумму квадратовъ погрешностей 2 Д 0 2 ,
дЬлаемъ слЬдующія вычисленія :
9

иг
0,00004096
0,00046311
0,00502965
0,01178962
0,02305539
0,04465614
0,09009002
0,14521434
0,26065109
0,49592581
2и* =
— (0,0). К
2Д/ =

02

=

—

2и/ — (0,0)К2 =

1,07691613
1,07086039
0,00605574 ,

отсюда средняя квадратпческая ошибка, съ которою полученный
членъ выражаетъ дапныя величины и =

е

2=

-./1

О

Уй-;2До =

sin 2<р есть

-,/0,00605574

У ^ ï ô

ЛГ.ПАЛ-1

=

0,02461

и средняя квадратпческая ошибка, съ которою выражаются данпые углы бросанія приблизительно равняется 4 2 ' .
Такъ какъ такая средняя ошибка не допустптельпа, то найдемъ
второй членъ
F(x).Kx.*?x(x),
Для чего возьмемъ :

t

№,)]'«..г д =

2401

84300

194481

926100
4287500

1500625

117G4900

5764801

25004700

15752961

59270100

49787136

115702500

121550625

234151032

310929182
867908663

505656411
(0,1) =
=

[F(a*)Pa;,- =
(0,0) =

ь,

=

9 6 6 8 D 8 7 8 9 0 ; (0,2) =

12 Щ т - ) } ^ ? =

4

732638840 ,

(ОД) =
(0,0)

x*
190«

92G0 4

— Ь, (0,1) =

13060,443 ,

(1,1) =

(0,2) -

Р{хі).хіиг

13733908940»

— 12496999690«

Ьу (0,1) =

=

1236909250»

хяиі
282
10547
312757

1330105
3645678
8387291
21178584
42012967
90024458
207465251
2F(xt) .sstUf =
— (0,1) К 0 =

374367920

— 365821564

2Щхг)х(и( — ( 0 , 1 ) К 0 =

8546356 ;

(о,і)дг 0 = = 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 9 0 9 4 4 4 ;
<\>l(x) = x — b 1 = х -

13060,44.

Следовательно

т .

кмх)= — 0,0 5 9 0 2 4 0 3 8 .ж -+- 0 , 0 ° 6 9 0 9 4 4 4 .ж 2 .

Для опредѣленія 2 Д / беремъ
=
— (1,1)7// =
2Д/ =

0,00605574

—

2Д 0 2 — ( 1 . 1 ) 7 / / =

590506
0,00015068

откуда средняя квадратпческая ошибка, съ которою первые два
члена ряда выражаютъ данные и =
е2 = | / Ï 2 V =

sin 2<р есть

=

0,003882

h средняя ошибка, съ которою выражаются данные углы бросанія, приблизительно, равняется 7'.
Эту среднюю ошибку можно принять за допустительную, по
для того чтобы показать способъ вычисленія третьяго члена

возьмемъ
[F(xi)]2.xf

= xf.
170 1 3
4084
5-622
282475
992430
4182119
12762810
41288286

_
148907843
(0,3) = 2 № , - ) ] 2 ay> = 2085325980»;
- 5 , (0,2) = — 1793709360 1 3 ;
( 1 , 2 ) = 291616620»;
a2 = m

= г 6s82934;

№ )
- £ г -

=

23576>23

1 3 0 6 0

l>2 =

'

4 4

10515,79

[Fix^.x*

= a;,«.
1 0 і7
858
18383
138413
025235
35,2980
13400956
54826725

255688406
(0,4) = ѵ щ л у щ і / = 3282119570» "
__
- ь, (0,3) = - 2 7 2 3 5 2 8 1 4 0 "
"
( 1 , 3 ) = й58591430»
— 6 2 (1,2) = —

306657910 1 7

-a2(0.2) = (2,2) =

231868680»
20064840»

60*
138
65679
465537
1786382
5283993
17790011
44113616
119543478
356093358
2F(xt) x2 «. =

5 4 5 1 4 2 1 9 S О4

— (0,2) K0 =

— 52506807904

— (1,2 )К Х =

—

2014908704

2F(xt) x2 и, — (0,2) К0 — (1,2) Кх =
J? _ ^ F X J ) X у щ — (0.2)к0

2

(2,2)

74968F;

-(1,2)ку

q

ф. ( « ) = ( » — w l ( « )

ou3736287

— «2

= ж2 — 2 3 5 7 6 , 2 3 . г +

120453700.

Следовательно
F{X).K2

ф2(ж) =

— 0 , 0 ° 4 5 0 0 5 0 . а ; ч - 0 , 0 l ° 8 8 0 8 7 G .ж- — 0 , 0 1 4 3 7 3 6 2 9 . а : 3 .

2 Д / определится изъ
2Д, 2 =
— (2,2)К2 =
2Д

—

аа

=

0,00015068
280
0,00014788;

откуда средняя квадратяческая ошибка, съ которою первые три
члена ряда выражаютъ данные и = sin 2 9 будетъ
і /

1

- С А

2

-./0,00014788

2= У п2Ая = У-—.іб— =

£

п л п о о л г

0,003845

и средняя ошибка, съ которою выражаются данные углы бросанія приблизительно равняется б'|.
Останавливаясь на найденныхъ трехъ членахъ ряда, для
искомаго выраженія U = sin 2© получимъ
-х- 0 , 0 * 3 8 2 3 2 .ж
— 0 , 0 * 0 9 0 2 4 . ж -х- 0 , 0 9 6 9 0 9 4 .ж2
— 0 , 0 * 0 0 4 5 0 .ж -»- 0 , 0 9 0 8 8 0 9 .ж2 — 0 , 0 ' * 3 7 3 6 3 .ж3
sin 2© =

0 , 0 * 2 8 7 5 8 .ж -+- 0 , 0 Э 7 7 9 0 3 .ж2 — 0 , 0 1 4 3 7 3 6 3 .ж 3 .

Вычисливъ но этой Формулѣ синусы удвоенныхъ угловъ бросанія sin 2cp п углы бросанія <р соотвѣтствующіе разстояніямъ,
па которыхъ они были опредѣлсны опытомъ, получимъ

Дальности
въсаженяхъ.

Уиотребленіс

Углы

sin. 2<р.

броса-

Н І Я Ср.

30
100
300
500
700

0,00607
0,02051
0,06380
0,11003
0,15918

10'
35'
1°50'
3° 9'
4°35'

900
1200
1500
1897
2452

0,21117
0Д9433
0,38353
0,51050
0,70421

6 ° 6'
8°34'
11°17'
15°21'
22°23'

ариѳмомстра

(счетной

машины)

Томаса

для

нахождсяія

яроизведеній, степеней и ч а с т в ы х ъ , в х о д я щ н х ъ в ъ Формулы иитершшірованія, весьма много обдечастъ в ы шсленія.

Уравиеше вертикальной проекціи траекторіи будетъ
у = x tangçp — Y ^ A £ а х 2
гдѣ а =

0,000028758, b =
с—

Ъі

я

0,00000000077903,

0,0000000000000037363.

—

674

—

Начальная скорость V найдется пзъ
j l

у 2

—

n

U

I

и будетъ
Ѵ = 1 0 5 8 футъ.
Непосредственно определенная начальная скорость получилась 1 0 6 3 Фута.
3 7 9 . Вычисленіе уравнены вертикальной проекции траекторіи продолюватаго снаряда, по найденчымъ изъ опыта угламъ
бросангя соотвѣтствующимъ различным дальностямъ, когда начальная скорость снаряда определена непосредственно. Возьмемъ
углы бросанія, соответствующее различнымъ дальностямъ, полученные при стрельбе изъ нашей нарезной 2 4 Ф. пушки, зарядомъ въ 7 Фунтовъ пороха, помещенные въ предъндущемъ номере, и начальную старость примемъ Ѵ = 1 0 6 3 Фут., найденную
иомощію хронографа г. Ле-Булашке.
Зависимость между углами бросанія и дальностями можетъ
быть выражена (п° 3 7 8 ) рядомъ

sin2<p =

Щ ч- ах3ч-Ъх3

ч-.

. . . ,

откуда
sin29 — Щ = x3 [ а ч- Ъх ч- . . . . J .

Для оиределенія

въ этомъ выраженін

наивероятнейшихъ

значеній а, Ъ,. . . , прнложимъ къ нему Формулы іштерполпрованія п° 3 7 6 .
В ъ этомъ случае.-

—

675

F(x) =

—
x2.

и. = sin 2ср(. —

і

х

210 фт -

0,00041

700

0,00156

2100

0,01105

3500

0,00879

4900

0,01214

6300

0,03170

8400

0,06066

10500

0,08170

13279

0,13194

17164

0,21486

Первый членъ ряда будетъ

F(x). Ко<Ь0(х) = 0,0 9 7 3 9 4 6 9 . х2.
Сумма квадратовъ ошпбокъ
2Д 0 2 =

0,0001827

н средняя квадратическая ошпбка, съ которою первый членъ ряда
выражаетъ даниыя величины
б2 =

0,004275.

Второй членъ ряда будетъ
F(x). К^(х)

= = 0,0 1 0 8 2 2 9 1 . ж2 — 0 , 0 U 5 4 1 9 6 ж 3 .

Сумма квадратовъ ошпбокъ
2Д,2 =

0,0001486

и средняя квадратпческая ошпбка, съ которою первые два члена
ряда выражаютъ данныя величины
е2 =

0,003856.

Останавливаясь на найденпыхъ двухъ члеиахъ ряда, получимъ
(1)

sin2<p = Щ -t- 0 , 0 9 8 2 1 7 6 .ж2 — 0 , 0 , 4 5 4 1 9 6 .ж3.
Вычисливъ гю этой Формулѣ синусы удвоепиыхъ угловч. бро-

саиія sin 2<р и углы бросанія ср соотвѣтствующіе разстояніямъ,
на которыхъ они были опродѣлены опытолъ, найдемъ

sin 2ф.

У г л ы бросаНІЯ ф.

30
100
300
600
700

0,00603
0,02036
0,06344
0,10963
0,15879

10'
35'
1°49'
3 ° 9'
4°34'

900
1200
1500
1897
2452

0,21089
0,29427
0,38370
0,51082
0,70406

6° 5'
8°33'
11°17'
15°22'
22°23'

Дальности
късаженяхъ.

Выраженіе (1) даетъ уравпеніе вертикальной проекціи траекторіи
(2)

y =

—

гдѣ
а = 0 ,' 0 9 8 2 1 7 6 . — ff= 0 , 0 * 2 8 8 2 3 ',
Ь=

0,0"'54196. — =
П

О,О 9 19009 .
1

—

G77

—

Наклоненіе траекторіи, скрость и время полета. Изобрази въ чрезъ у' и у" первую п вторую производным уравненія (2),
п замѣтпвъ что
tang О = у' »
(3)

] 02) v, = J ' Y " '

tang О = tang 9 —

'
Ѵ \ ч - зах

II л M

,
— 6ьж 2

F

(4).

УЧИМЪ

[ l -+- | ax — 2Аж2],

v. =
1

П0Л

cos<p

F l ч - З а ж — 6Ьж2 '

c o s e

'

Такъ какъ w, = Y , то

VX.dx,

да

гдѣ, для краткости положили
Х =

} ч-Зах

— бАж2.

Произведя интегрпрованіе найдемъ
(о).

,

1 (і
v

i

[

8

а
b

За — 12Ьж-./"т?
—d—Улн
2 i b

9а2ч-24ЬГ
•
—- arc sin

48Ь.ѴвЬ

L

.

У 9 а 2 ч - 24b

За — 12Ьж~І )

— arc Slll ,

У9а2ч-24Ь J

>

•

3 8 0 . Выраженге времени и скорости въ зависимости отъ
дальности по найденнымъ изъ опыта начальной скорости и

временамъ соотвѣтствующимъ различными дальностямъ. Время
въ Функціи далыюсти можетъ быть представлено рядомъ
t=

ах H— ^ж2 —н уж3 - » - . . . . ,

откуда
dx
dt

При ж =

1
a -+• 2jix -t- 3 yx2-t-

'

0, ^ = у и v l — F j , такъ что
1

(6)

t=

-+- № -+- уж3 -+- . . .

В ъ этомъ вырагкенін наивѣроятнѣйшія значенія ß , у , . . . .
могутъ быть оиредѣлены іЮФормуламъпнтерполіірованія w ° 3 7 6 ,
въ которыхъ, въ этомъ случае
F(x) = ж2

Скорость определится изъ
(7)

ѵ=

2ßж -+- Зуж'2 н-

] cos О

3 8 1 . В ъ следующей таблице помещены полученные при
сгрельбЬ изъ нашей нарезной 2 4 Ф. пушки, зарядомъ въ 7 Фунтовъ пороха, углы бросанія и времена полета соотвЬтствующіе
различнымъ далыюстямъ, и вмѣстѣ съ этимъ вычисленные по
Формуламъ п ° 3 7 9 и по балистнческнмъ Формуламъ « ° 2 4 1 углы

бросанія, углы ііаденія, окончательный скорости н времена полета, соотвѣтствующіе темъ же дальностямъ.

24 ф. нарѣзная пушка. Начальная скорость 1063 ф. въ I е У г л ы бросанія
u
о
X
CS

l=t

сЗ
н
3
а
о
Й
с:

Вычисленные
но Формулѣ.
п° 2 4 1 . п° 3 7 9 .

Сажени.
30
100
300
500
700

11'
37'
2 ° 2'
3 ° 7'
4°22'

9'
35'
1=20'
3 ° G'
4=28'

10'
35'
1°49'
3 ° 9'
4=34'

900
6 = С 5 ° 5 7 ' (5° 5 '
1200
8°44'
8°22' 8°33'
1 5 0 0 1 1 ° 1 2 ' 1 1 ° 4' 11°17'
1897 1 5 ° 2 1 ' 1 5 ° 1 4 ' 1 5 - 2 2 '
2452 22°23' 22°48' 22°23'

В р е м е н а полета.
CS
H

3•
о
1«
п

Вычисленныя
ПО ФОрмулѢ.

У г л ы паденін Окончательвычисленные
по Формулѣ

га°24 1. п ° 3 7 9 . га°241

Секунды Секунды. Секунды.
»

9'
36'
1°29'
3°18'
4°57'

10'
36'
1°55'
Зс25'
5 ° 6'

6,59
6,592
6,662
9,23
9,353
9,208
12,87 11,811 11,918
17,69 15,95
15,83
22,15
25,20 22,82

6°47'
9°53'
13°35'
19=26'
3 0 ° 1'

6=57'
10° 2'
13°30'
18с43'
27°32'

2,00
3,36
4,90

0 , 1 н8
0,660
2,043
3,479
4,277

по Формулѣ.

п- 3 7 9 . га°241.

0.200
0,669
2,060
3,528
5,063

»

ныя скорости
пычисленныя

Футы
къ Іс.

1056
1040
994
953
912
877
S06
782
734
689

п° 3 7 9
Футы
в ъ 1с.

1054
1032
980
937
903
870
832
803
776
756

Окончательныя скорости и времена полета, вычисленный по
Формуламъ « ° 3 7 9 , т. е. по найденнымъ нзъ опыта угламъ бросанія соотвѣтствующимъ различнымъ дальностямъ, имеютъ меньшую точность чЬмъ скорости и времена полета вычисленныя но
балистическимъ Формуламъ « ° 2 4 1 , основаннымъ на выраженіяхъ
сопротпвленія воздуха, выведенныхъ изъ непосредствениыхъ наблюденій скоростей въ двухъ точкахъ траекторін. М ы не поместили окончательныхъ скоростей вычпеленныхъ но найденнымъ
нзъ опыта временамъ, потому что наблюденный секундомѣромъ
времена, н тѣмъ более выведенный нзъ нпхъ скорости, не могутъ
иметь достаточную точность.

ЗАМѢЧЕННЪІЯ ПОГРѢШНОСТИ.

Стр.

Строка.

11

11

св.

15

св.

ІІапечатапо.

D G

Должно быть.

D, G

p

r

9
ъ

9

-.

T
I.v

св.

D
PGK-+-BD

опредѣпеніп

l . i . v
9
П2
PGK+ВП2

6

св.

G)'. Y G'-K'

A

28

12

34

15

47

1

54

11

57

2

св.
св.
си.
св.
св.

рамами
каждаго
свинцовой
первой
абсцисса

63

5

67

8

св.
св.

рамаки
аждаго
свиіщой
первый
абнзисса
VTjtangcp.
троекторія

траекторія

9

св.

10

св.

( ОТ"

o r

1 СП.
16

10

св.

21

4

23

74

1

5 CH.
78

8 СП.

90

8

93
113

•

(И
1 8

св.
CH.
СИ.

1 2 CH.

135

2 CH.

137

9

св.

147

1

CH.

160

(

5 CH.

I

3

CH.

9

2

9

\ OB'
T'B'
ŒB =

9

Л.G'.К'

T j V t a n g <р.

OB'
Ox

05

db
дѣйсвтуюіцая

(?) t)

уровнепіе
скоросп
y'"
y"Y~—y" '
отъ у по t
t

опредѣленін

v2 sind
Y cos26'

Г в '

tOD =

Ѳ,

0,5

da
действующая
(9,

Г )

уравиеніе
скорости
у "'
л(XU,
л- - -,
у" Y—у"
'
отъ y по 0
—1—

V2 sin 0
g cos 2 О

Строка.

3 св.

Г

Напечатано.
г

3 , 5 , 7 с в . jo
9 св.
си.

1

св.

7 св.
5 св.
9 св.
17 св.
19 св.
3 сн.
3

сн.

11

сн.

8 en.
6

сн.

3

сн.

7,5сн.
10

сн.

4 св.
5
2
4
10
7
5

св.
сн.
св.
св.
сн.
св.

7 сн.
5 св.
16 св.

jo
a =

—
s

л

15 св.
1

Должно быть.

log(l-

' /сvi/'

log ( l - Ь gx\

kvj

y =
F1

tangcp —

у = X tang 9 —

vi

15 2
8 0

F7 ( 0 , 3 1 ) =
Г 1,1119
\ 1,1144
1,478

1,1119

il»
hi

въ уравненіи.
0°33'

54),
предшествовавшее
(ФПГ.

15 2
i 2

F(0,31)=
11,1143
1,477
iL
п'

въ уравненіи
. 0°32'
( ф и г . 53),
предшествующее

уф (ах, а F , )

йф(аж, а к , )

уравніе

уравнепіе

âvy

dtp (our, а К,)
d (ax)

tang O1
вдижепіе
находащаяся
(я 2 н-7г!)
Дѣ
dv
dt

удла
будетъ
tang S m

сіі.
m m
5 св. 9
?
9 св.
1 , 4 , 8 сн,• v
1

dvl

dty(ax, a F,)
d(oue)

tang 0 '
двпжеціе
находящаяся
(г 2 -н7гі) 2
гдѣ
dv
dt

угла
будемъ
(tang S) m

[№]m
a
o

1,1118

/1,1118

€

vu,

386

6

ch.

( 2 св.
426
x 1 1 сп.
429
7 св.
441
19 св.
445
10 св.
Г 14 св.
465

Напечатано.

Строка.

Стр,

j

16 св.

ç

\xdt2
cos dt2.
<

\t2 dt2
cos ydt2.

слѣдетві,
деревацій,

слѣдствій,
деривацій,

—
ь
sds,

— 2к.9р.

2k.ap.2kr.s,

(b—s)ds,

1 2 , 2 3 , 2 9 св. 1 8 5 0 0 0
185000
(
6 св. j
124000
467
9 св. 1 2 2 0 0 0
479
11 св.
Р=р.р
2;
превомъ
488
6 св.
3 св.

495

2 сн.

498

10 сн.

505

6

518

5 сн.

543

7 сн.

545

3 св.
5 св.

548

3

554
565

8 св.
8 св.

572

4 сп.

574

6 св.

575 I
593

i

сн.

[([Х-

р=рѵрі;
нервомъ
4 . 3 . 2 1 /6\3

1)р ч -р]

(1)

1.2.3'6'\6/

[(р.-н 1

)рч-р]

( f f

У/ч

2

m r

z v - -

*Ѵш

)2
\-2ay
—2 а.2

я?

у

2 тп

И v
• -уу-

m

*

х

—

—

h

S =

2 хау

— 2 хА 2
2жл"

а
hYm
tlx

—7=
hVm

340.
вѣроягптсть
1
2

ej
a
tn—i-

а з г

нечестнаго
— 21,
1 3 , 2 3 с в . среднеею
1 ch.

1850000
1850000
1240000
1220000

4.3.2/іѵ» 5
1.2.3x6/ ' 6

сн.

2 св.

2TzB.(b—s),

J:

466

491

Должно быть.

341.
вероятность
•оо

„—< г

I le

4

t
нечетнаго

-2,

среднею

о/37
d7,
4

Стр.

Строка.

Напечатано,

j
7 св.
620
\ 14 св.

мпшини
вертикально

632

5 сн.

—1іп.е

636

6 св.

645

7 св.

3? = ( Ѵ в А н
незивисимыхъ

Должио быть,

мишени
вертикальную

—h

dF

m
.e

2h

— (V« a
независимыхъ

d2

ЧЕРТЕЖИ.
Листъ I, ФИГ. 3. Н а пересѣченіи траекторіи с ъ линіею GA

слѣдуетъ поста-

вить букву H .
Листъ I, ФИГ. 4, видъ спереди. Внизу вмѣсто буквы В

слѣдуетъ поставить

букву К .
Листъ I, ФИГ. 4, видъ сбоку. Внизу, с ъ лЪвой стороны, вмѣсто буквы К слѣдуетъ поставить букву К ' .
Листъ II, ФИГ. 6, видъ сбоку Вмѣсто буквы В' слѣдуетъ поставить букву

В.

Листъ I I I , ФИГ. 14. IIa крайнемъ л'Ьвомъ дѣленіи ноніуса слѣдуетъ поставить О
а на крайнемъ правомъ дѣленіи слѣдуетъ поставить 10.
Л и с т ъ V, ФИГ. 2 8 . Н а продолженіи линіи OB слѣдуетъ поставить букву x;
на концѣ траекторіи OMB
Л и с т ъ V, ФИГ. 3 0 и 3 1 .

На пересѣченіи

а

слѣдуетъ поставить б у к в у ! ) .

перпепдикуляра проведенпаго

изъ

точки N к ъ линіи OB с ъ этою линіею слѣдуетъ поставить букву Q

Фиг. it-. Лрімѵнгмсь даліюныіескеш» Ofti/âiiuuua .иалпгпика. (^бо).

агість i.

к,

Фиг, 6.

Лримшмеъ ріржгшиіггя

. п амятника f 4s)
Вир ь ся/окр.

Фиг. 7. , Аун'п.гннш/ Фіигштиискі/і.
В иdl, сяіерери.

иг/лишгшь f
Вир

оеДіългнія. i /наши lee наго . иаигн uui ( 'sj

l lie m ь //

•

ФигТИ. Спускъ (W).
Видь спсреЛг/.

правазагний
. Vf WHO.

щулъ
ішнрсі.

лгаиь

Лріи/аввіньш

(pipi,

ошміь гат& ш

Фпг. JJ. Ptt.wc'nwf/w.io f. ' z).
Btiâf>
'сроку.

П.лані>

-

*
-

.

Ч
.

*

h /Г
фил. 1,9. лршгсифь
( 9)
Всртигсааыоьиі/разргъзъ по GJ3

/мио.исоніе

njvuûcpa/гі ig
г ьогъ из ъ

Фиг. 90. РазоРгшштшра ашигратъ (Л)
В ПрЬ Г. (/ОНИ/
_
( иг игл ни, \ , Hhuyu'ù

Flan

Фиг. Л.

на

Л, га H b

.мишен'ьффо)
•о//ш нъ

Фиг /О., 7и ги г/и мази н.г ишса,

79).

варь срок,

, ll^'niô t.

r luetnh

M.

1

;.

1и ст г, Ш.

1

Вышины
а'
0,020(р

Вы и > пишу'сопретиваснш созРрссаѵтнесенныхь Кб сРинац/ь площади/ пиис/оигшагс /шпсрынагс сп,
гения,' снарлдоеь иразугьаенныхь на кеаурангои ссотдгьтсигвин/исиагЬ с/соросспегІ.
Фис. 4.0 относится 2еъ ырершескгииъ снар&дами; Фиг.ЗО къ продолговатым* спарядгыоъ.
/ТолпгрОррг,-A:to и, Вуаывюй/егы оны*нт УР66 uJSPP годобь.

0,0600

аош

0.0400.

/10300-

0020(1

0.0/0(1-

Скорости О

/оо

яоо

ооо

ооо

ооо

600. иапробь.

•

-

I i
•

и

lucmh

ja.

t

jhicm-ь 33.

'jhit : 6.v.

Аиг, 63.

L hcc-тъЖ.

•

Фиг. 66'.

Фиг. 68.

Фи г 66.

• іисть

beuubunot

см /
VT)
см( ç W)
30,0Û

Фиг I?

/ір/ие/ш

ес//гзи//ь

Л

Урагкторіа/ ) фуп. -гршшиш. при /и/г и, иной скорости- /ООО футЬ иуыгъ dpaccuuot/0°

coo I P. 7'J
coo(V,
A )

В f/fn и////-/ff/././

(jh/di ъ,)(ю

Tf
9,00—

ö с* im го ом
o/ttf г, гу
cai.( prA)

6.00-

%/xl.

800—

Фиг. 77.
а в/te//.'/ ОС ZU Ut/tb

Фиг-.

76.

ш -

8.00-

100\

/у. fr/.'/////

out.
ra)

< P. 7"J
(

„ уу

.чос-- wo

3,00—

%00-

300

дооі
a d

i 11111111

/0°

1

w?

1
30*

w

1
300

1

60°

№

80°
—300

Фиг. 76
/ірш/jut ош/смоасж/гя. /роскціг/о « w ^ оса /ригррмуии /игоскости/ npoocodsf/
tttett ірм-ь цемтръ тгииеести/ с////р.'/уу//у о tcmyitauicuGft- /іес//шя/м//) пурп/у.ги/и

О

WO

400

POO

300

SOO

600

100

8t3k)

tïo

là*)

ittô

là>oc

3000

3300

3W

/оршопгзшаъпаяу прооісі-и<Яу Фиг 70.

/сі/ооярно/о /сѣ нитуовиенйо kouuz2couthoio.
83°

00°

рсмсоо/лнзг поою/oi оме фигурьг

цептра- /п-г./н'/г/ш/ r//</f)'/</</
ггранлііго th> /00 фюи.ли>6Ь •

</>утъ /0/1
mu h и il
300

300

300

~w

7/w

~600

700

800

300

'/j/.

,І11£1ПЬ XIV

Фиг. 7<$.
10 —
10-30-40—
30-60—
Ï 0 - -

80—

90—
100—

/10—
100-130-140- 130—
100--

v(ii3j

110—

ISO—

190—

фдтъМОІ
o

zoo

h
loo

ooo

400 зоо 600

loo

goo

1
ooo

moo

/zoo

1
moo

1

moo

h — i — i — ь
noo isoo moo /too

1 — v
icoo moo

иоицшаись.

при, сииьнлиь,

-i—i-

iooo zwo zwo ізоо mi

/о —
10-

30

46
jo
фірпЬ

60 —
Дершаигю
Зобоаым

Zk ф. гранаты

saразстоянХахь

са. /ьнл иъ вгьтрть справа•

1300и,

Іагпарси.

2930сажень

первая,

а вторая

при/

Фиг . SO.
Bopon-ica,

производимая,

вь иіишь

сферы

Іеошгмь

Разрпзь по a b

Фиг. SI
Угиг/d'unù продолговатой прлгс вь сленг изь дірнагмсныхь « гистовь.
! Bit на ни/рааьні/го веаиЫгни. )

Фиг. 82.
рива.я втъровитгости/гіопасть вь пом си
шириною равною
ег.гписна
aoo'i
'ыисит

\

\

Тс игл
ICf'c гиг, аV

Фиг. SO

\

!

N

b
о

о.з ол о,к ив /.с /.г

/л

ів

is я.о ял гл

Раосгпояню вь іастягь £г

г.е г.в. .ю

>0
Фиг. 83.

d

Кривая. втрояп шести попасть въ ноаыго
шириною равною л/00

и

ha.u/âa>ufclt

Фиг. SS.

то,,'Н

вор,

\

о «г ол р.6 os /о /л /А г,в /.g з.о зл гл г,6 -г,s яр
Радірсы вь Іаст.ч.гЪ Si

2007334269