Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием - Перестюк Н.А., Самойленко А.М.

Author: Перестюк Н.А. Самойленко А.М.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика математический анализ издательство высшая школа
Year: 1987
Similar
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения. Том 2
Text
                    А. М. САМОЙЛЕНКО
Н.А.ПЕРЕСТЮК
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С ИМПУЛЬСНЫМ
ВОЗДЕЙСТВИЕ
КИЕВ
ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ
«ВИЩА ШКОЛА»
1987
22Л61.6
C17
V УДК 517.9
Дифференциальные уравнения с импульсным воз-
действием /А. М. Самойленко, Н. А. Перестюк.—
К.: Вита шк. Головное изд-во, 1987.— 288 с.
Монография посвящена исследованию основных во-
просов бурно развивающейся в последние годы теории
дифференциальных уравнений с импульсным воздейст-
вием. Приведена общая характеристика систем таких
уравнений, указаны сходство и различия задач излагае-
мой теории с задачами обыкновенных дифференциальных
уравнений.
Основное внимание в работе уделяется исследованию
периодических и почти периодических решений систем
с импульсным воздействием, интегральных множеств
рассматриваемых уравнений, вопросу устойчивости реше-
ний, импульсному управлению процессами.
Монография является первой в мировой литературе
книгой, в которой изложены основные результаты теории
систем дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием.
Для научных работников, специализирующихся в
теории дифференциальных уравнений н ее приложений,
а также аспирантов и студентов старших курсов вузов.
Рецензенты: академик АН УССР О. С. Пара-
сюк (Институт теоретической физики АН УССР), доктор
физико-математических наук Н. X. Розов (Московский
госуииверситет)
Редакция учебной и научной литературы
по математике и физике
Зав. редакцией Ю.
1702050000—027
С------------- 139—87
М21Ц04)-87
© Издательское объединение
«Вища школа», 1987
ПРЕДИСЛОВИЕ
При математическом описании эволюции реальных процес-
сов с кратковременными возмущениями часто длительностью
возмущения удобно пренебречь и считать, что эти возмущения
носят «мгновенный» характер. Такая идеализация приводит
к необходимости исследовать динамические системы с разрыв-
ными траекториями или, как их еще называют, дифференци-
альные уравнения с импульсным воздействием.
Сама по себе проблема всестороннего изучения обыкновен-
ных дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
новой не является. Такие задачи появились на заре нелиней-
ной механики и привлекли внимание физиков возможностью
адекватно описывать процессы в нелинейных колебательных
системах. Широко известным примером такой задачи является
модель часов. На этом изящном примере в 1937 г. Н. М. Кры-
ловым и Н. Н. Боголюбовым в их классической монографии
«Введение в нелинейную механику» было показано, что при
исследовании систем дифференциальных уравнений с импульс-
ным воздействием можно успешно применять асимптотические
методы нелинейной механики.
Возрастание интереса к системам с разрывными траекто-
риями в последние годы связано прежде всего с запросами но-
вейшей техники, где импульсные системы автоматического ре-
гулирования, импульсные вычислительные системы заняли
весьма заметное место и интенсивно развиваются, расширяя
круг своих приложений в разнородных по физической при-
роде и функциональному назначению технических задачах.
Естественным откликом на это явилось заметное увеличение
числа математических работ по исследованиям дифференциаль-
ных уравнений с импульсным воздействием в различных ма-
тематических школах как в нашей стране, так и за рубежом.
Однако наиболее систематические и глубокие исследования
были выполнены в киевской школе нелинейной механики.
Именно математикам этой школы удалось подойти к проблеме
достаточно широко, рассмотреть ее в общем виде, поставить
и решить ряд задач, актуальных для приложений, но не ис-
3
следовавшихся ранее. С полным основанием можно сказать,
что в результате усилий указанной группы киевских мате-
матиков сложилась математическая теория обыкновенных
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием —
со своими методами, общими и глубокими результатами,
специфическими задачами.
Настоящая монография написана представителями киев-
ской школы нелинейной механики, плодотворно работающи-
ми в области дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием, и представляет собой систематическое и достаточно
полное изложение теории указанных уравнений.
В ней достаточно полно исследованы системы линейных
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием,
показано, что классическая теория первого метода Ляпунова
естественным образом переносится на рассматриваемые систе-
мы. Это существенно обогащает и развивает основополагаю-
щие исследования по дифференциальным уравнениям как та-
ковым. Глубокие результаты касаются исследования устой-
чивости решений систем с импульсным воздействием. Снова
(в который раз!) подтверждается, что идея прямого метода
Ляпунова является универсальной, применима не только
к классическим дифференциальным уравнениям, но и к более
широким классам математических объектов.
Кроме этого, в монографии решается вопрос существова-
ния и исследуются свойства интегральных множеств диффе-
ренциальных уравнений с импульсным воздействием, изучен
один важный класс разрывных почти периодических систем,
решается задача оптимального управления в системах с им-
пульсным воздействием.
К несомненным достоинствам книги следует отнести нали-
чие в ней многих разобранных нетривиальных примеров, ко-
торые могут служить образцами для расчета других конкрет-
ных прикладных задач.
Монография, несомненно, заинтересует не только специа-
листов по дифференциальным уравнениям, но и широкий круг
специалистов по новейшей технике — математиков-приклад-
ников, инженеров, работающих в области вычислительной
техники, автоматического управления. Книга будет полезной
и для преподавателей дифференциальных уравнений вузов.
Сегодня уже нельзя не включать элементы теории дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием в специаль-
ные курсы для студентов, специализирующихся по дифферен-
циальным уравнениям, по теоретической и прикладной меха-
нике.
Академик Ю. А. Митропольский
ГЛАВА 1
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
§ 1.	Описание математической модели
Пусть М — фазовое пространство некоторого эволюционного
процесса, т. е. множество всевозможных состояний процесса.
Обозначим через х (/) точку, изображающую состояние дан-
ного процесса в момент t. Относительно процесса предполагаем,
что он является конечномерным, т. е. для описания его состоя-
ния в фиксированный момент времени требуется конечное чис-
ло, например, п параметров. При таком предположении точ-
ку к (t) при каждом фиксированном значении t можно ин-
терпретировать как n-мерный вектор евклидова пространства
Rn, а М — считать множеством из R1. Топологическое про-
изведение М х R фазового пространства М и вещественной
оси R назовем расширенным фазовым пространством рас-
сматриваемого эволюционного процесса. Пусть закон эволю-
ции рассматриваемого процесса описывается:
а)	системой дифференциальных уравнений
/7 Y
-%-=f(t,x), хем, /(ER;	(1.1)
б)	некоторым множеством <*rt, заданным в расширенном
фазовом пространстве;
в)	оператором <At, заданным на множестве t и отобража-
ющим его на множество t = расширенного фазового
пространства.
Сам процесс происходит следующим образом: изображающая
точка Pt — (t\ х (/)), выйдя из точки (/0; х0), движется по кри-
вой {£; х (/)}, определяемой решением х (t) = х (/, t0, х0)
системы уравнений (1.1). Движение по этой кривой осуще-
ствляется до момента времени t =	> t0, в который точка
(/; х (/)) встречается с множеством t (попадает в точку множе-
ства grt). В момент времени t = tx точка Pt «мгновенно»
перебрасывается оператором <At из положения Pt, = (/f,
х (/J) в положение Pf, =	=- (/х; х+ (4)) £	и движет-
5
ся дальше по кривой {/; х (t)}, описываемой решением х (/) =
= х (t, /1( х+ (/J) системы уравнений (1 1). Движение по ука-
занной кривой происходит до момента времени t2 > tx, в ко-
торый точка Pt снова встречается с множеством ЧГt. В этот
момент под действием оператора Л, точка Pt «мгновенно»
перескакивает из положения Pt, — (t2, х (/2)) в Р£ =
=	— (/2; х+ (/2)) 6 и движется дальше по кривой
{t\ х(0}, описываемой решением х (t) = х (t, t2, х+ О
системы уравнений (1.1), до новой встречи с множеством
и т. д.
Совокупность соотношений а) — в), характеризующих
эволюцию процесса, назовем системой дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием. Кривую U; х (/)[,
описываемую точкой Pt в расширенном фазовом пространстве,
назовем интегральной кривой, а функцию х = х (/), которая
задает эту кривую,— решением этой системы.
Систему дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием, т. е. совокупность соотношений а) — в), запишем
в более компактной форме:
Я у
(/, x)esr0
A I	л	(1-2)
A* kxKJT'z — x-
Таким образом, решение системы уравнений (1.2) х =
= ф (0 — это функция, удовлетворяющая уравнению (1.1)
вне множества t и имеющая разрывы первого рода в точках
со скачками
Дх = ср (t + 0) — ф (t — 0) = Л/Ф (t — 0) — Ф (t — 0). (1.3)
Apriori решения уравнений (1.2) могут быть:
1)	не подверженные мгновенному изменению — интеграль-
ная кривая системы уравнений (1.1) в этом случае не пересе-
кает множество либо пересекает его в неподвижных точках
оператора Л,;
2)	подверженные мгновенному изменению конечное число
раз — интегральная кривая пересекает множество в конеч-
ном числе точек, не являющихся неподвижными точками опе-
ратора
3)	подверженные мгновенному изменению счетное число
раз — интегральная кривая пересекает множество в счетном
числе точек, не являющихся неподвижными для оператора Л t.
Среди решений, интегральные кривые которых с множест-
вом имеют счетное число общих точек, выделим решения,
которые поглощаются множеством t (остаются в t начиная
6
с некоторого момента /х > /0) либо имеют точку сгущения.
Движение по поглощающейся множеством траектории
представляет собой, начиная с некоторого момента > L,
последовательные перебрасывания изображющей точки Pf
из положения (fx; хх) в положение tAt^), из него в (/х;
затем в (/х; Л?ххх) и т. д. Движение по траектории,
имеющей в точку сгущения, представляет собой движение,
которое при приближении к некоторому моменту /х > t0
счетное число раз встречает и покидает множество yt, а сле-
довательно, его нельзя продолжить до момента t = tx. В ре-
альных процессах, описываемых таким движением, в окрест-
ности точки t = происходит рождение качественно нового
движения, или же физическое условие, обусловившее такой
вид движения, при приближении к точке t = /х становится
нереалистическим и должно быть заменено другим физическим
условием.
При рассмотрении систем с импульсным воздействием воз-
никают те же задачи, что и для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, однако имеются специфические задачи. Ха-
рактер этих задач в значительной степени зависит от свойств
оператора Так, если <At не предполагать однозначным, то
возникают задачи, связанные с исследованием движений, при
которых изображающая точка может «мгновенно» расщеплять-
ся на несколько точек в моменты встречи с множеством У t.
Если не предполагать <At взаимнооднозначным, то можно рас-
сматривать задачи, связанные с движениями, при которых
движущиеся независимо точки «мгновенно» сливаются в одну
в момент встречи с J~t. Не менее специфические задачи возни-
кают, если допустить, что множество cAtSSlt для некоторого-
пусто.
Такое предположение позволяет рассматривать «смертные»
системы: изображающая точка Pt, попавшая в 93?t, перево-
дится оператором <At в пустое множество, т. е. «умирает» по
Вожелю, a 93?z служит как бы множеством «гибели» траекто-
рий. Для указанных систем естественны задачи о среднем вре-
мени жизни движущейся точки, о вероятности ее «смерти»
за время t0 t Т и т. п.
К сожалению, разнообразие систем дифференциальных
уравнений, описывающих эволюцию процесса в период меж-
ду двумя последующими попаданиями изображающей точки
в множество разнообразие множеств 3~t и отображений
,At: Z"t-* f't не .позволяют глубоко классифицировать систе-
мы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
по определенным их свойствам. В зависимости от характера им-
пульсного воздействия различают три существенно различных
7
класса (типа) исследуемых систем уравнений: 1) системы,
подвергающиеся импульсному воздействию в фиксированные
моменты времени; 2) системы, подвергающиеся импульсно!\ у
воздействию в момент попадания изображающей точки Pt
на заданные поверхности t = xt (х) расширенного фазового
пространства; 3) разрывные динамические системы.
Прежде чем перейти к краткой характеристике каждого
из этих классов систем, приведем один простой пример, кото-
рый иллюстрирует разнообразие дгикений и траекторий в
системе с импульсным воздействием и существенную их зави-
симость от оператора <At и множества t.
Пример. Пусть фазовым пространством процесса есть пря-
мая, множество t задается следующим образом:
= {(t; х) € R21 x = arctg (tg /)},
оператор определяется равенством
</?<(*; x) = (t-, x2signx),
а система дифференциальных уравнений (1.1) есть
— = О
dt ’
т. е. рассмотрим систему дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием
-^ = 0, (/; x)£Sr/(
= sign х — х-	(1-4)
Исследуем интегральные кривые и возможные движения,
описывающиеся такой системой. Всякое движение в исследуемой
системе, начинающееся при t = 0 в точке х0, | х0 |^-у, явля-
ется покоем, ибо интегральная кривая такого движения (пря-
мая х = х0) не попадает в множество ни при каких t 0.
Траекторией каждого такого движения является точка х0.
Движение, начинающееся при t = 0 из точки х0, 1 < | х01 <
< конечное число раз подвергается импульсному воз-
действию. Интегральная кривая такого движения конечное
число раз попадает в множество ЧГДля каждого такого дви-
жения можно указать момент времени tx — tx (х0), 0 < tx <Z
< начиная о которого интегральная кривая попадает
в множество | х |	-у, следовательно, при t > tx (х0) движе-
ние не подвергается импульсному воздействию. Траекторией
каждого такого движения является конечное число точек.
8
Например, траектория движения, начинающегося при t = О
из точки х = К2, состоит из двух точек х = У~2 и х — 2,
а траектория движения, выходящего при t = 0 из точки х =
= 7/2, состоит из четырех точек Ц/И, )/2, К2, 2|. Движение,
начавшееся при t = 0 из точки х0 g ]0, 1[, счетное число раз
подвергается импульсному воздействию. Интегральная кривая
такого движения счетное число раз пересекает множество
при этом х (t, х0) -> 0 при t -> оо. Траектория такого движе-
ния состоит из счетного числа точек промежутка ]0, 1[. Так,
например, траекторией движения, начинающегося при t = О
из точки х — 4-, является множество точек х = —, п = О,
2	2П
1,2....Интегральные кривые, проходящие через точки х =
= 0 и х = ±1, тоже счетное число раз пересекают множество
но соответствующие им движения не подвергаются им-
пульсному воздействию, они являются покоем. Это обуслов
лено тем, что интегральные кривые рассматриваемых движе-
ний пересекают множество t в неподвижных точках операто-
ра At-
Движения, начинающиеся при t = 0 из точек отрезка
]—1, 0[, подвергаются импульсному воздействию счетное число
раз, но в отличие от уже рассматриваемых движений это
происходит за конечное время.
На примере этих движений хорошо просматривается явле-
ние биения решений систем с импульсным воздействием о мно-
жество У(, т. е. за небольшой промежуток времени встреча
интегральной кривой множества t достаточно большое (и да-
же бесконечное, счетное) число раз.
Так, движения, начинающиеся при t = 0 в точках х0,
достаточно близких к единице, но больше ее, на промежутке
р, -y-j достаточно большое число раз подвергались импульс-
ному воздействию, но это число для каждого такого движения
конечно.
Движения, начинающиеся при t = 0 из точек отрезка
]—1, 0[, нашромежутке j у-, счетное число раз подвергаются
импульсному воздействию. Последовательность моментов,
в которые движение подвергается импульсному воздействию,
имеет предельную точку t = л, следовательно, решение, со-
ответствующее этому движению, непродолжимо на отрезок
t л.
Кроме многообразия типов движений и интегральных кри-
вых, на этом примере можно убедиться в том, что в системах
9
с импульсным воздействием возможно слияние двух интег-
ральных кривых в некоторый момент в одну. Так, например,
интегральные кривые движений, выходящих при t — 0 из
точек х=/2их = 2, в момент t = ]Л2 сливаются в одну
х = 2.
§ 2. Системы, подвергающиеся импульсному
воздействию в фиксированные моменты времени
Если реальный процесс, описываемый системой уравнений
(1.1), подвергается импульсному воздействию в фиксированные
моменты времени, то математической моделью данного процес-
са является следующая система дифференциальных уравне-
ний с импульсным воздействием:
(2-1)
Дх |/=т( = Ц (х).
В такой системе множеством служит последователь-
ность гиперплоскостей t = тг расширенного фазового про-
странства, где {тг} — заданная последовательность (конечная
или бесконечная) моментов времени. Оператор Лг здесь до-
статочно определить только для t = тг, т. е. достаточно рас-
сматривать лишь сужение его на гиперплоскости t — тг,
: М М. Удобнее всего задавать последовательность
операторов сЛ, : М -> М, определяемых выражениями
<At : х -> Л tX = х + Ц (х).	(2.2)
Решением уравнений (2.1) есть такая кусочно-непрерыв-
ная функция х = ср (0 с разрывами первого рода при t = т,,
что ф (0 = f (t, ср (0) при всех t #= тг, которая удовлетворяет
условию скачка при t = тг, т. е.
Аср ]t=vf = ф(тг + 0) —ср(тг —0) = 0 (ср(тг —0)). (2.3)
В дальнейшем под значением функции ср (0 в точке t'
будем понимать Игл ср (t), т. е. если тг — точка разрыва пер-
М'—о
вого рода функции ср (0, то считаем, что ср (0 непрерывна
слева и полагаем
ср (тг) = ср (тг — 0) = lim ср (0.	(2.4)
t 0
Приведем, следуя [591, некоторые общие теоремы о свой-
ствах решений систем уравнений (2.1). Предположим, что
ю
функция f (t, x) определена во всем пространстве (t; х) £
g R"+1; случай, когда она задана в некоторой области этого
пространства, рассматривается совершенно аналогично. Кро-
ме того, предположим также, что совокупность решений си-
стемы уравнений (1.1) обладала следующими свойствами:
1	(непродолжимость). Каждое решение х (t) представляет
собой непрерывную функцию, определенную на интервале
]а, Ь[ (—оо а <Z b оо) своем для каждого решения; при
этом, если а > —оо (Ь < оо), то || х (а + 0)|| = оо (соответ-
ственно || х (Ь — 0)|| — оо).
2	(локальный характер). Если какая-то функция х (t),
а < t <Z b, удовлетворяет условию 1 и для любого /0 £ ]а, Ь[
существует е > 0, что на каждом из интервалов ]/0 — е, /0[
и 1^о» to + е1 функция х (() совпадает с некоторым решением,
то х (/) также будет решением.
3	(разрешимость задачи Коши).Для любых t0, х0 существу-
ет, по крайней мере, одно решение х ((), а < t < b, для ко-
торого а < < b и х (/0) = х0.
Эти требования, как и последующее требование 4, выпол-
няются, в частности, для системы (1.1), правая часть которой
непрерывна или удовлетворяет условиям Каратеодори, а
также для уравнений в контингенциях при обычных предпо-
ложениях. Операторы Jh, вообще, не предполагаются одно-
значными, т. е. Л, х для любого х g R”, i g К, представляют
собой некоторое, быть может, пустое, подмножество R".
Из определения системы с импульсным воздействием и
предположений о решениях системы (1.1) вытекает теорема.
Теорема 2.1. Если решения системы уравнений (1.1)
удовлетворяют условиям 1) — 3), то для любых (0 € R, хо £
g R" существует, по крайней мере, одно решение х (/), а < t <
< b системы с импульсным воздействием (2.1), для которого
—оо а < t0 Ь оо, x (t0) = x0 (при t0 <Z b) или x (t0 —
— 0) = x0 (при t0 — b), при этом:
если a < —°o, то либо || x (a + 0)|| — <x>, либо a =
x (a 4- 0) существует (как конечный предел) и х (а + 0) £
£
если b<Z°o, то либо || х (Ь — 0)|| = оо, либо b —Xj,
х (b — 0) существует и <4/ х (Ь — 0) = 0, где 0 — пустое
множество.
Такое решение х (f) является непродолжимым.
При любом М с R" обозначим через g (t, (0) М множество
значений х (() для всех решений системы (1.1), для которых
х (t0) 6 М. Тогда аналогичное множество для решений системы
(2.1) имеет вид G ((, /0)М, где отображение G при t>tn
и
определено формулой
G(t, t0)Ni = g(t, Tf)Aig(rt, x^At-i ... A/gfa. f0)M
(т, </ <тж, i = /— 1, /,...,/ = min {i |т;>^о!)-
При этом, если для t > t0 имеется лишь конечное число
моментов Т( и тт = max [т,}( то формула (2.5) при i — tn
справедлива для тт < t < оо; впредь мы не будем делать
такой оговорки. При построении решения системы (2.1) в сто-
рону убывания t, т. е. для t < t0 справедлива аналогичная
формула, в которой вместо Л(- надо воспользоваться естествен-
но введенными отображениями Afl. Введение оператора
G (t, t0) сдвига по траекториям системы с толчками дает воз-
можность очевидным образом переформулировать условия
ограниченности, устойчивости и т. д. решений этой системы
в терминах свойств этого оператора.
В качестве замечания к приведенной теореме отметим, что
если дополнительно дано, что Л,- х Ф 0, то при b < оо бу-
дет || х (Ь — 0)|| = оо. Если взамен этого дано, что ARn =
= R" (i 6 К), то при а > —оо будет || х (а + 0)|| = оо.
Случай, когда АА* = 0 соответствует по Вожелю [120]
«умиранию» траектории, пришедшей в точку х* в момент
т;; таким образом, множество {x\AjX = 0} служит «множест-
вом гибели» траекторий в момент
Так, например, решение х = <р (/), <р (0) = 0 уравнения
с импульсным воздействием
-^=1,	Дх|<=т =1п(2 — х),	(2.6)
где т(- = г, i=l,2.....непродолжимо на промежуток [0, 2]
и момент t = 2 является моментом гибели указанного ре-
шения. Действительно, при 0 t < 2 это решение определя-
ется равенством х = <р (t) = t (при t = тг — 1, <р (tJ = 1,
поэтому при t — Т! это решение не терпит разрыва, ибо
In (2 — <р (1)) = 0. В момент времени t = т2 = 2, <р (2) = 2
и функция In (2 — х) в точке х = <р (2) не определена, значит,
указанное решение в момент времени t = т2 погибает.
Теорема 2.2. Для единственности решения задачи Коши
для системы с импульсным воздействием (2.1) в направлении
роста t при любых начальных данных необходимо и достаточно,
чтобы система (1.1) обладала этим же свойством при любых
t0 ф т, и при любом t0 = т(, х0 g cZ/jR'1, чтобы каждое из
множеств A tx содержало не более одного элемента. Для един-
ственности решения задачи Коши для системы (2.1) в направ-
лении убывания t необходимо и достаточно, чтобы система
12
(1.1) обладала этим же свойством при любом t0 и чтобы каж-
дое из множеств содержало не более одной точки.
Таким образом, даже если решение задачи Коши для систе-
мы (1.1) единственно, решения системы с импульсным воздей-
ствием могут при своем продолжении расщепляться или сли-
паться под действием операторов
Для неограниченной продолжительности всех решений
системы (2.1) вперед (назад) во времени необходимо и доста-
точно, чтобы решения системы (1.1) обладали этим свойством
и чтобы все 0 (соответственно = Rn) при всех
i £ К- Не следует думать, что если решение задачи Коши для
системы уравнений (1.1) непродолжимо, например, на проме-
жуток t0 + h], h^> 0, то и непродолжимым на этот проме-
жуток будет решение соответствующей задачи Коши для систе-
мы уравнений (2.1).
Так, например, решение х = <р (t), <р (0) =0 уравнения
t/x 1	, о
-^- = 1+х2
непродолжимо на интервал [о, ^это решение успевает
уйти в бесконечность за конечное время: <р (t) — tg t -> оо при
---------oj . А если рассмотреть решение х = <р(/), <р(0) = 0
уравнения с импульсным воздействием
'	= 1 + X2, t =/= Xi, &Х = — 1, Т( =	,
то оказывается, что решение продолжимо для всех /^0.
Нетрудно убедиться, что это решение представляет собой
периодическую при t 0 функцию с периодом -у, которая
при t 6 jo, определяется равенством <р (t) = tg t, т. е.
при t 6 К, тж[, <р (f) = tg _ -у-).
Предположим, что решения системы (1.1) обладают до-
полнительно следующим свойством:
4 (локальная компактность). Для любых t0, х0 существует
такое е > 0, что если | t0 — t01 < е, Ц х0 — х01| е, то лю-
бое решение х (<), для которого х (t0) = х0 существует на от-
резке t0 — е t t0 + е и совокупность этих решений при
фиксированных t0, х0, е компактна (в себе) по метрике
С [/0 —- е, t0 + е].
13
Предположим также, что отображения </1{ полунепрерывны
сверху: при каждом i отображение Л(- локально ограничено
и из того, что Xj х, JltXj g yt -> у, j -> оо, вытекает, что
У 6 AtX.
Теорема2.3. Пусть при указанных предположениях и при
заданных t0, х (t0) и непустом компакте К с R” все решения
системы (1.1), для которых х (4) £ К, существуют на неко-
тором отрезке t0 sC t sC T, tn < T < оо. Тогда для некоторо-
го _ е > 0 любое решение х (t), удовлетворяющее условию
Р {х (4), К) е, 1t0 — 4| е, существует на всем отрезке
t0 — е t Т и совокупность этих решений при фиксиро-
ванных /0, К, Т, е компактна по метрике равномерных укло-
нений для разрывных функций. Если же t0 — xt, то то же
справедливо при дополнительном условии t0 t0.
Отметим, что если Т — xt, то взамен отрезка [4 — е, Т\
можно взять отрезок [4 — е, Т + е]. Чтобы распространить
теорему 2.3 на отрезок 7\	t0, Tt < t0, надо предполо-
жить, что полунепрерывность сверху отображений ЛГ1:
при этом взамен отрезка 14 — е, Т] будет участвовать отре-
зок [7\ — е, t0 + е], t0 4- т( или [7\ — е, /0], t0 = тг.
Следствие 1. Если дополнительно дано, что решение зада-
чи Коши для системы (1.1) единственно, а отображения Л,
взаимно однозначные, то решение х (t, t0, х0) системы с импульс-
ным воздействием (2.1) непрерывно зависит от tQ^=Xt, х0
на каждом замкнутом интервале оси t, на котором оно опре-
делено; при t0 — эта зависимость непрерывна слева.
Следствие 2. В условиях теоремы 2.3 множество G (/, 4) К,
to	Т компактно при каждом t, непрерывно зависит
от t а при t = xt эта зависимость непрерывна слева и
G (т; + О, 4) К =	(т(, t0) К. Зависимость G (t, tn) К от К
полунепрерывна сверху равномерно по t. Если система (1.1)
обладает свойством Кнезера связности сечения интегральной
воронки, все множества JUx связны и К связно, то и множество
G (t, t0) К при каждом t £[t0, Т1 связно.
Точки покоя и поглощающие множества. Если не требовать
единственности решения задачи Коши, то при определении
понятия точки покоя возможны варианты. Назовем х0 g Rn
точкой возможного покоя, если функция х (t) == х0, t £ R
является решением системы с импульсным воздействием (2.1).
Для этого необходимо и достаточно, чтобы функция х (t) =
= х0 была решением системы (1 1) и х0 £ -AtXa для всех i.
Если дополнительно дано, что при любом t0 решение задачи
Коши х (t0) = х0 для системы (2.1) единственно в направле-
14
нии роста t, то назовем х0 точкой принудительного покоя.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы решение х (t) s
s х0 системы (1.1) обладало аналогичным свойством един-
ственности и чтобы Лгх0= х0 для всех I.
Назовем множество Q с R" поглощающим, если для лю-
бого решения системы (2.1) х (/), а < t < b, из того, что
х Go) € Q вытекает, что х G) 6 Q для всех t0 < t < b. Для
этого необходимо и достаточно, чтобы <AiQ = Q при всех
I £ К и чтобы Q обладало аналогичным свойством локального
поглощения системы (1.1) при любом /0 тг, х (Q £ Q и
t0 = тг, х Go) 6 <AiQ.
Если поглощающее множество Q замкнуто, непусто и не
содержит собственных замкнутых поглощающих подмножеств,
то назовем Q неприводимым (минимальным) поглощающим
множеством. Так, точка принудительного покоя всегда обра-
зует неприводимое поглощающее множество.
Теорема 2.4. Всякое компактное поглощающее множество
содержит, по крайней мере, одно неприводимое поглощающее
подмножество.
В отличие от системы обыкновенных дифференциальных
уравнений, неприводимое поглощающее множество для систе-
мы с импульсным воздействием не должно быть связным.
Если поглощающее множество Q нуль-мерно, а правая
часть системы уравнений (1.1) однозначна и непрерывна, то
при всех х € Q
f (t, х) = OJe R.	(2.7)
Предположим, что функция f (t, х) однозначна, непрерыв-
на и обеспечивает единственность решения задачи Коши для
системы (1.1) в направлении роста t, и обозначим через S
множество всех х, для которых выполняется тождество (2.7).
Чтобы получить максимальное поглощающее множество
Q G S, выберем произвольную последовательность номеров
1Ъ 12, ..., которыми занумерованы все моменты тг, в которой
каждый номер повторялся бы бесконечное число раз, после
чего положим Qo = S, Qk = {х| х € Q j-ь iZZjftx s QJ.
Тогда множества Qh образуют монотонную последователь-
ность и Q совпадает с их пересечением. Для этих свойств лег-
ко указать условия непустоты и замкнутости множества Q.
Неприводимые поглощающие подмножества Q можно счи-
тать аналогом точек покоя для систем с импульсным воздей-
ствием.
Непрерывная зависимость решений от начальных условий
и правых частей системы уравнений. Укажем достаточные
1S
условия, которым должна удовлетворять система уравнений
(2.1), чтобы была непрерывная зависимость ее решений от
начальных значений и правых частей.
В дальнейшем нам будут нужны следующие леммы.
Лемма 2.1. Пусть неотрицательная кусочно-непрерывная
функция и (0 удовлетворяет при I t0 неравенству
t
u(f)s^C + f v (т) и (т) dr + S (Ti),	(2.8)
t.
где С 0, рг 0, v (т) >0, т( — точки разрыва первого
рода функции и (/). Тогда для функции и (/) справедлива оцен-
ка
t
гт	f О(Т)Л	/9
и (ОС С П (1+|3<)^	•
Докажем лемму методом математической индукции. На
промежутке Uo, 01 неравенство (2.8) имеет вид
t
и (t) С + J и (т) и (т) dr,
to
поэтому в силу известного неравенства Гронуолла — Веллма-
на имеем
t
J о(т)Л
и (t) С Се{« ,
т. е. для t Q [/0, оценка (2.9) справедлива. Предположим,
что она справедлива и для ]тг, i = 1, 2, ..., k— 1.
Тогда для t £ ]тА, т/,+1] имеем
k	i—1	J о(т)Л
Р;СП (1 +Р/)^	+
1=1	|=1
k Ti £-1 S °<Т)Л f
+ £ \ »(т)СП (1-i-Pf)? dr + \ v (т) u (r)dr
i=1 тг_!	tk
tfl
=c i + sn (!+₽/)
L /=i
eto (1 +₽*) —
k f-I	fО(Х)Л t
— £ П (!+₽/)<? °	+ J v (r) u (r) dr -
t=i /=i	J tk
4
k	JО(Т)Л t
= СП(1+₽?е°	+ p(T)u(T)dr,
/=’	Tfe
т. e. функция и (t) при t £ ]тА, Tft+i] удовлетворяет неравен-
ству
t
и (t) Cx 4- j v (r) u (t) dr,
где
k	$ ’(W
с^сПО +&)<?*’ .
i=l
следовательно, в силу леммы Гронуолла — Веллмана для
t 6 К, Т*+1]
t
Tfe
и (f) sC Схе ,
или окончательно
t
J O(T)<fT
ц(0<С П О + Р<)*’	•
«0<^<г
Лемма доказана.
Приведем еще два утверждения, доказательство которых
нетрудно получить из доказательства предыдущей леммы.
Лемма 2.2. Пусть неотрицательная кусочно-непрерывная
функция и (t) удовлетворяем при t~^ t0 неравенству
t
и (0 < С+ J уи (т) dr + £ pu (тг),	(2.10)
«0<т£«
в котором С 0, ₽	0, у > 0, тг — точки разрыва первого
рода функции и (t). Тогда для функции и (/) справедлива оцен-
ка
u(t)^C(l + pyt'AW-'o),	(2.11)
где i (t0, t) — количество точек т на промежутке [/0, /[, т. е.
i (^о, 0 == Ь ^Ли Tf Cfg^T?4-i, .
2 6—286S
W
Неравенство (2.11) непосредственно следует из оценки
(2.9), если положить в последней v (t) — у, р, = р.
Лемма 2.3. Если неотрицательная кусочно-непрерывная
функция и (0 удовлетворяет при t0 неравенству
и (0 а 4- f [0 + уи (т)] dr + S (Р + уи (т£)1, (2.12)
в котором а ;> О, ₽	0, у > 0, т( — точки разрыва первого
рода функции и (t)> то справедлива оценка
ы (0 < (а + А) (1 +	.	(2.13)
Доказательство. Справедливость оценки (2.13)
можно установить методом математической индукции, учиты-
вая, что если непрерывная при t t0 функция и (t) удовлетво-
ряет неравенству
u(f) а -|- j (Р + у«(т)) dr, (2.14)
to
где а О, Р 0, у >• 0 — постоянные, то справедливо не-
равенство
u(t)^[a + ^e^--L .	(2.15)
• Однако это проще сделать, учитывая лемму 2.1. В самом
деле, представим неравенство (2.12) в виде
«(О +	+ 4 + S v («СО + v)dx + sv («(Ti) 4- v)
(2.16)
Тогда функция v (f) = и (f) 4- удовлетворяет неравенству
вида (2.10), если в последнем положить С =а4--|- и р заме-
нить на у. Следовательно, для нее справедливо неравенство
вида (2.11), т. е.
и (0 4-	< (а + у) С1 + у)1Мё*~**.
Из этого неравенства следует непосредственно оценка (2.13).
Лемма доказана.
Используя доказанные леммы, выведем оценку изменения
решений системы уравнений (2.1), соответствующего изме-
нению начальных условий и правых частей этой системы.
18
Предположим, что функции f (t, х) и Ц (х) непрерывны
по своим переменным при г £ М, t £ / и удовлетворяют усло-
вию Липшица по х равномерно относительно t g I и i £ К,
\\f(t,x') — f(t,x")\\^L\\x'—x"\\,
\\lt(x') —lt(x")[\^.L\\x'— х" \\.	(2.17)
Используя уравнения (2.1), рассмотрим систему уравнений
-J- = f(ty) + -R(f,y), <^тг,
(2-18)
Ду |/=Т( = Ц (у) + Rt (у),
где функции R (t, у) и R( (у) такие, что решения уравнений
(2.18) существуют.
Предположим, что при всех х 6 М, t £ I
IIЯ (Л у) |[ < Л. II Ri (У) II < П.	(2-19)
и рассмотрим решения х (t, хп) системы уравнений (2.1),
У (t, У а) системы уравнений (2.18). Пусть указанные решения
определены при t0 t t0 -j- Т и
II *о-1/о II <6-	(2.20)
Теорема 2.5 Если функции, определяющие системы урав-
нений (2.1) и (2.18), удовлетворяют неравенствам (2.17)
и (2.18), то для решений уравнений (2.1) и (2.18) х (t, х0)
w у (t, у0), начальные значения которых удовлетворяют нера-
венству (2.20), справедлива оценка
IIX (t, х0) - у (t, у0) || < (б +	(2.21)
при всех /0 t t0 + Т.
Доказательство. Решение х (t, х0), х (t0, х0) =
= х0 уравнений (2.1) при t £ ]ть совпадает с одним из
решений системы обыкновенных дифференциальных уравне-
ний

Поскольку каждое решение х — <р (t) последнего уравнения
можно представить в виде
t
ф(0 = ф(т) + J f (о> ф(о)) da,

ТО при t £ 1тг, Тг+11
f
X (/, х0) = х (тг, хп) 4- Ц (х (тг, х0)) + j f (Т, X (т, х0)) dx,
4
следовательно, при t £ [/0, t0 + Т], х (/, х0) допускает пред-
ставление
х(Лх0) = х0+ £ /г(х(тпх0)) +р(т,х(т,х0))Л. (2.22)
Аналогичное представление справедливо и для решения
у (t, уа) системы уравнений (2.18), т. е.
У (t> Уо) = Уо + Щ (У (*р Уо)) + Rt {у (Тр г/0))] +
+ J I/ (Т, у (т, у0)) + R (г, у (т, г/0))] dx. (2.23)
to
Поэтому для нормы разности решений х (/, х0) — у (t, у0)
имеем
Цх(/,х0) —y(i,y0)|K||x0 —г/0|| + £ [||Л(х(тг, х0)) ——
— Л (У ftp Уо)) II + II (У (тр Уо)) 111 + { HI f (*> х (т, х0)) —
io
— f(x,y (г, у0)) II + II (Т, у (т, у0)) ||] dx.
Отсюда, с учетом неравенств (2.17) и (2.19), получаем
||х(Лх0)— y(t,ya) ЦСУ х0 — у01| + £ [т]4-£||х(тг,х0) —
— У Сч, Уо)1|1 + { И + ЬII х (т, х0) — у (т, уа) ||] dx,
to
т. е. норма разности || х (t, х0) — у (t, уа) || удовлетворяет ус-
ловию леммы 2.3, если положить
u(t) = ||х(<,х0)— y(t,ya)\\, а = ||х0 — г/0||, ₽ = т], ? =
В силу утверждения указанной леммы имеем
Il X (t, х0)-у (i, у0) II < (|| х0 - у011 4-i) (1 + L)Wo.neLa-u_A .
(2.24)
Требуемое неравенство (2.21) следует непосредственно из
(2.24), поскольку начальные значения х0 и у0 подчинены
условию (2.20). Теорема доказана.
20
Отметим частные случаи доказанной теоремы. Пусть т) =
= 0. Тогда х (t, х0) и у (/, z/0) — решения одной и той же систе-
мы уравнений (2.1), но с разными начальными условиями.
Для таких решений оценка (2.21) принимает вид
II х (t, х0) - у (t, у0) II < б (1 + L)iM
т. е.
IIX (t, х0) - у (t, у0) II < б (1 + Ef eLT (2.25)
для всех t £ [t0, t0 + Л, где р — количество точек т, на про-
межутке [/о, t0 + Л.
Из неравенства (2.25) следует, что для произвольного чис-
ла е > 0 можно указать такое число б = б (е) = е (1 +
+ L)~p e~LT, что если || х0— z/oll < б- то || х (/, х0) — У (t, Уо) 1| <
< е для всех t£[t0, t0 + Т]. Это означает, что при вы-
полнении неравенств (2.17) решения системы (2.1) непрерыв-
но зависят от начальных условий. Более того, как следует
из оценки (2.24), эта зависимость не только непрерывна, но
и липшицева, т. е. решения системы уравнений (2.1) удовлет-
воряют условию Липшица по х0 равномерно относительно
t ё [/о. to + П.
IIX (t, х0) - у (t, у0) || < (1 + L)p eLT II х0 -1/01|.	(2.26)
Если же б = 0, а т] 0, то имеем случай постоянно дей-
ствующих возмущений, поэтому оценка (2.21) принимает вид
IIX (t, х0) - у (t, ув) II ((1 + L)iM eL(t-^ - 1),
т. е.
II х (t, х0) - у (t, у0) II <	((1 + L)p eLT-\) (2.27)
при всех t € [Zo, t0 + Т].
Из (2.27) следует, что для произвольного числа е > 0
можно указать такое т] = q (е) = eL ((1 — L)p eLT— I)-1,
что если только выполняются неравенства (2.19), то
II x(t, x0) — y(t, у0) II < е
для всех t € [£0, tQ + Л.
Это утверждение выражает свойство непрерывности реше-
ний системы с импульсным воздействием (2.1) в некотором
функциональном пространстве правых частей. В частности,
если правые части уравнений (2.1) непрерывно зависят от не-
которого параметра X, то из полученных оценок следует не-
прерывность решений по данному параметру. < .	.	 .
21
§ 3. Системы с нефиксированными моментами
импульсного воздействия
Более сложными по отношению к системам, подвергаю-
щимся импульсному воздействию в фиксированные моменты
времени, являются системы, подвергающиеся импульсному
воздействию в момент пересечения интегральной кривой за-
данных поверхностей расширенного фазового пространства.
Если поверхность, при достижении которой интегральная кри-
вая подвергается импульсному воздействию, в расширенном
фазовом пространстве определяется уравнением Ф (t, х) —
= 0, то указанную систему дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием можно записать в виде
/У**
5 = f(U), Ф(/, х)#=0,
м	(3.1)
Л-X |ф(?,х)=0 = I (t, Х) |ф(/,х)=о.
Множества и F't, фигурирующие для определения им-
пульсной системы, в данном случае определяются так:
= {(/; х) | Ф (t, х) = 0),
= {G; х) | ф (/, Лг1 (/, х)) = 0),
а оператор	действует по закону
<At : (/; х) -> (/; х + I (/, х)).
, В дальнейшем удобно считать, что уравнение Ф (/, х) — 0
разрешимо относительно t, причем имеет счетное число реше-
ний, если система исследуется на всей вещественной оси или
1ри t t0, и конечное их число, если система рассматривает-
:я на конечном промежутке времени. Обозначим эти решения
через t = xt (х) и занумеруем их множеством целых чисел
(или его частью) так, чтобы xt (х) -+ оо при i -+ оо и xt (х) ->
-»---оо при i -»—оо.
Сужение оператора z/l't на гиперповерхность t — xt (х)
определяет оператор, действующий по закону
Х-> ЛТ/(Х)Я = х+ = х + / (т; (х), х) х + Ц (х).	(3.2)
Поэтому уравнения (3.1) можно еще записать в виде
t^x-Sx),
at	(3.3)
Ax|/=TiM = It(x).
В отличие от систем вида (2.1), решения уравнений (3.3),
хоть и являются кусочно-непрерывными функциями, однако
22
точки разрыва уже зависят от решения, т. е. для каждого
решения здесь свои точки разрыва. Это существенно затруд-
няет исследование таких систем уравнений.
Одна из трудностей заключается в биении решений о по-
верхности t = т, (х). Именно из-за биения решение очень час-
то является не продолжимым на достаточный промежуток.
Такое явление уже упоминалось в одном из предыдущих при-
меров. Биение очень часто является также основной причи-
ной ухода решения из области определения системы с импульс-
ным воздействием или из области ее исследования. Иллюстра-
цией этого может быть следующая система с импульсным
воздействием:
=	(х), Дх = ах, (3.4)
где а g R, т( (х) = arctg х + in, i — 0, 1,2....
Если а > 0, то интегральная кривая произвольного
решения х = <р (t), <р (0) — х0 0 этой системы уравнений
с импульсным воздействием каждую кривую t = т, (х) пере-
секает только один раз; интегральная кривая решения х =
= <р (/), <р (0) = х0 > 0 с кривой t = arctg х встречается
счетное число раз, т. е. происходит биение решения х = <р (/).
В рассматриваемом случае интегральная кривая каждого
решения за промежуток времени, не больший -у, уходит в бес-
конечность.
Если же в этом примере —1 < а < 0, то интегральная
кривая решения х = <р (t), для которых ср (0)	0, с каждой
линией t = т, (х) встречается один раз. Решения х = <р (/),
для которых <р (0) < 0, испытывают биение — интегральная
кривая каждого такого решения счетное число раз попадает
на кривую t — л + arctg х, приближаясь к прямой х — 0
при t л — 0. В данном случае и каждое решение х = ср (£),
<р (0) < 0 не продолжим© на промежуток [0; а], где а л,
интегральная кривая каждого такого решения при t л — 0
стремится к точке (л; 0).
В последующих параграфах рассмотрим системы диффе-
ренциальных уравнений с импульсным воздействием, в кото-
рых биение отсутствует, иначе говоря, рассмотрим только
такие уравнения, в которых решения пересекают каждую
из гиперповерхностей t =	(х) только один раз. Доста-
точное условие отсутствия биения содержится в следующей
лемме.
Лемма 3.1. Пусть функции f (t, х), Ц (х) и тг (х), опреде-
ляющие систему уравнений (3.3), непрерывны при (t; х) £
23
С I X D, т; (x) — непрерывно дифференцируемы по х Q D и
шах || f (t, х) || < С,
шах
хбО
dxt (х)
дх
|<лг,
(3-5)
где D — некоторое компактное множество фазового простран-
ства, С и N — положительные числа. Предположим, кроме
того, что выполняется неравенство
/ дх. (х + а/. (х))	\
тахД ' V~, Л (*)/> С 0	(3.6)
при всех х е D.
Тогда можно указать такое положительное число No,
что при всех N d No интегральная кривая любого решения
х (t) системы уравнений (3.3), принадлежащего области D при
t0 t d t + Т, ([/0, /о + Л s /), пересекает каждую гипер-
поверхность t = xt (х) из промежутка Ио, t0 + 74 только
один раз.
Для доказательства леммы достаточно показать, что при
достаточно малых значениях постоянной N любое решение
х (t) системы уравнений (3.3), выходящее при t = xt (х0) + О
из точки х0 + Ц (х0) и лежащее в области D, по крайней мере,
для Xi (х0) < t < tb где tt = max тг (х), не встретится при
t > тг (х0) с поверхностью t = тг (х).
Предположим противное Пусть некоторое решение х (t),
выйдя при t = т, (х0) 4- 0 из точки х0 + Л (х0), пересечет
поверхность t = xt (х) в некоторой точке (/*; х*),	= тг (х*).
Очевидно, ti > т; (х0) и при этом промежуток xt (х0) < t <
< t, является промежутком непрерывности решения х (t).
Кроме того,
х* = х04- Л(х0)+ j f (г, <р (г)) dx. (3.7)
Т;(Х0)
Рассмотрим разность t* — xt (х0), имеем
(*о) = Ъ (**) — Ъ (*о) = (*о) ~ xt (хо + Л (^о)) +
1
+ xi (х0 + л (х0)) — Xi (х0) = J (хо + ц (x0)+oh), h^do+
0
1
Р / дх.	\
+ J (^0 + di (*o))> h (^o)/ d(J> (3.8)
о
24
f
где
h — § Ццх (т)) dr.
Tj(Xo)
(3-9)
Из неравенств (3.5) следует, что первое слагаемое правой
части равенства (3.8) в силу неравенства Коши—Шварца
допускает оценку
1
(* / дт.	\	, 
J \1Г (хо + Л (*о) + h/	(^ — Ti W)>
о
поэтому имеем
1
»	С/дт.	\
(1 — NC) (ti — тг (х0)) < J (х0 + <т/ г (х0)), 11 (х0)^> da.
О
-	(3.10)
Для завершения доказательства леммы достаточно No вы-
брать из условия CN0 < 1, так как в этом случае неравенство
(3.10) становится противоречивым в силу условия (3.6).
Лемма доказана.
Следующая лемма позволяет исключить явление биения
решений системы уравнений (3.3) о поверхности t = т; (х)
в случае, если функции тг (х) не являются непрерывно диф-
ференцируемыми .
Лемма 3.2. Пусть в системе уравнений (3.3) функции
f (t, х) и Ц (х) удовлетворяют условиям предыдущей леммы,
а функции тг (х) удовлетворяют условию Липшица
|тг(х')— тг (х") | N || х'—х"||, х', x"£D.	(3.11)
Пусть, кроме того, для всех х g D справедливо неравенство
тг(х)>тг(х + /;(х)).	(3.12)
Тогда можно указать такое положительное число No, что при
всех N No интегральная кривая любого решения х (I) си-
стемы уравнений (3.3), принадлежащего области D при t0 <
< t t0 + Т, пересекает каждую гиперповерхность t =
= т,- (х) из промежутка Uo, /0 + Т\ только один раз.
Доказательство этой леммы проводится аналогично дока-
зательству предыдущей леммы с той разницей, что вместо
(3.9) в данном случае имеем
|тг(х*) — '4(*o + /i(*o))I^N J II / (*. X (т)) dr <
< NC (тг (х*) — тг (х0)).
25
Поэтому
U — Hi (x0) = T, (x*) — T( (x0) = T; (x*) — X{ (xo + I( (x0)) -h
+ Т/ (x0 + л (x0)) — Xi (x0) ^NC (Xi (x*) — Xi (x0)) +
+ тДх0 + Л (x0)) — Xi (x0),
t. e.
(1 — NC) (tt — Xi (x0)) < xt (x0 + 11 (x0)) — Xi (x0). (3.13)
Если теперь N настолько мало, что 1 — NC >• 0, то по-
следнее неравенство в силу (3.12) становится противоречивым,
что и завершает доказательство леммы.
В предыдущем параграфе было доказано, что решения
уравнений (2.1), подвергающихся импульсному воздействию
в фиксированные моменты времени, непрерывно зависят от
начальных условий, если только функции f (t, х) и /г (х)
удовлетворяют условию Липшица. Кроме того, если х (t, х0)
и х (t, у0)— два решения уравнений (2.1), определенные
при t £ [/0, t0 + Т], то
|]х(/, x0)-x(t, y0H^(i+N)peNT\\x0-y0\\
при всех t из указанного промежутка. Здесь N — констан-
та Липшица, р — количество точек т,- на промежутке 1/0,
#0 + 71. Это означает, что непрерывная зависимость решений
от начальных условий является равномерной по отношению
к t£ [/о, t0 + 71-
Этим свойством не обладают решения систем с импульсным
воздействием (3.3), что хорошо иллюстрирует следующий про-
стой пример:
-^- = 0, t=£xi(x), кх |/=Т((х) = b, Xi(x) = 2i — x, b>0.
Рассмотрим два решения этой системы уравнений, выходящие
при t = 0 из точек х = 1 и х — 1 + а, где а — это как
угодно малое по абсолютной величине число. Обозначим такие
решения соответственно через ср (t) и ф (t), т. е. ср (0) = 1
и i|) (0) = 1 + а. Каким бы малым ни было а на промежутке
[0, 2], непрерывная зависимость от х0 не имеет места, так как
этот промежуток содержит интервал [1 — | а|, 1], если а > 0
(или [1,1 + | а|], если а < 0), на котором | ср (t) — ф (/)| =
= Ь.
Хотя вне этого интервала разность | ср (/) — ф (/) | будет как
угодно малой, лишь только а достаточно мало.
Однако, если из промежутка l/0, t0 + 71 выбросить до-
статочно малые окрестности моментов пересечения интеграль-
26
ной кривой поверхностей t = rt (х), то по отношению к остав-
шимся значениям независимого переменного непрерывная
зависимость решений от начальных данных будет равномер-
ной.
Предположим, что в уравнениях (3.3) функции f (t, х),
h (*), "Ч W являются непрерывными при ((; x)g / х D и вы-
полняются неравенства
|| f (t, х) || < С, || f (t, х') - / (t, x") || < L || x' - x” ]|,
(3.14)
. \\Ii(x')-Lt(x")\\^L\\x'-x"\\, 1тг(х')-тДх")К
<N\\x’-x'\\
при всех t£ I, x, x', x" £ D.
Пусть x (i, x0) и x (t, y0) —два решения уравнений (3.3),
принадлежащие области D при всех t £ [/0, t0 + Т]. Предполо-
жим, что каждое из этих решений пересекает каждую гипер-
поверхность t = г,- (х) только один раз, и обозначим через
т?°, if" соответственно моменты пересечения поверхностей
t = т,- (х) этими решениями.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 3.3. Если выполнены приведенные выше условия и
NC < 1, то
IIX (/, х0) - X (/, у.) II < (1 +	eLT || ХО - Уо и (3.15)
для всех t (: ]тг, Ti+1], где тг = min (т?“, тУ’), "Ч = max (т*°, if0).
Доказательство. Не ограничивая общности рас-
суждений, будем считать, что гиперплоскости t = t0 и t =
= t0 + Т не пересекают гиперповерхностей t = тг- (х). Запи-
шем решения х (/, х0) и х (t, yQ), указанные в условии леммы,
в интегральной форме
t
x(£, ХО)=ХО+ Jf(a, х(ст, x0))d(T-b Л(х(т*», х0)),
t
Уо) ==Уо + Jf (<т, *(<т, y0))da+ £ Л(*Сф. Уо))-
«о<ту»«
Оценим разность этих решений
t
IIX (t, Хо) — х (t, yQ) IK II x0 — y0 || + L у II x (ст, x0) —
to
—*(<Ы/о)11<*® + ||	/,.(x(Tf,x0))_	/(х(ту», y0))
to<Tf»<t	io<Ty»<t	(3.16)
27
Если t£[ta, £0 + Л\ U^i, где объединение берется по
с -
тем I, для которых т?’, т?° 6 [/0, t0 + Т[, то
£ Л (*(т7%*о))— S A(x(Tf“> Уо)) <
X (|1СЧ>*о) — *(1р^о)1| + П('Г(%г0) — х(ту%20)),
*0<3<‘
где z0 = х0, если тг= -ф, и z0 = у0, если тг = т*». Второе
слагаемое правой части последнего неравенства можно оце-
нить как
Il X (т‘«, z0) — X (rf% z0) |К J II / (a, X (a, z0)) || do <
S
< C | t?« — К -t j^c II x (тг> x0) — x (t;, y0) ||,
ибо
I Tfo — T^o К NIIX (Tfo, Xo) — X (Tf«, y0) IK NIIX (т;, x0) —
— x (тг, y0) || + NII X (t*«, z0) — X (Tfo, Zo) || <
С АГ || X (тр Xo) — X (Тр y0) II 4- NC | Tfo — -ф |.
Согласно утверждению этой леммы из (3.16) получаем
t
|1х(/, х0) —х(/,г/0)|К|К~Уо11 + А У ||х(О,Х0) —
— x(q,t/0)||rfq+ x^Nq- Нх(тг,х0) — х(т;,*/0)Н-
Отсюда, в силу леммы 2.1, имеем
|1 х (t, х0) х (t, у0) || ^ ^1	1_е || х0 у01|
для всех t g [Zo, t0 4- Т]\ U 1тг, tJ; р —количество точек
(или тоже самое тг) на промежутке k0, t0 4- Т1. Лемма дока-
зана.
Теорема 3.1. Пусть в системе уравнений (3.3) функции
f (t, х), Ц (х) и тг (х) удовлетворяют неравенства (3.14), вы-
полнено неравенство (3.12) и NC <i 1. Если решение х (t, хй)
уравнений (3.3) определено при t g [/0, tQ 4- Л, то имеет место
непрерывная зависимость этого решения от начального усло-
28
вия х0 в следующем смысле: для произвольного е >• 0 можно
указать б = 6 (е) > О такое, что для любого другого решения
х (/, у0) уравнений (3.3) из неравенства ||х0—сле~
дует
||х(/, х0)—х(/, z/0)||<8	(3.17)
для всех t g Uo, to + 71], удовлетворяющих неравенствам 1t—
— тУ» | > е, где тУ» — моменты пересечения интегральной
кривой решения х (/, х0) гиперповерхностей t —	(х).
Доказательство. Условия теоремы исключают
биение решений уравнений (3.3) о поверхности t = тг (х)
и обеспечивают выполнение условий леммы 3.3. Согласно
утверждению леммы 3.3 для двух решений х (t, х0) и х (t, у0)
уравнений (3.3) справедлива оценка (3.15). Зададимся произ-
вольным е > 0 и выберем бх > 0 настолько малым, чтобы
шах | тУ» — т^> | <; 8
Н*о—Уо1|<в1	1
при всех I, для которых тУ» £ Uo, t0 + Л. В качестве 6 возь-
мем число б = min бп 811 t	е > где р—коли-
чество точек тУ», принадлежащих отрезку [/0, tQ + Т]. Если у0
такое, что||х0— z/0||<;6, то согласно (3.15) для решений
х (t, х0), х (t, у0) справедливо неравенство (3.17) при всех
t € 1/о, t0 + Л, для которых 11 — тг (х0) | > 8. Теорема дока-
зана.
Укажем еще одно общее свойство решений системы урав-
нений (3.3), которым не обладают решения уравнений, под-
верженных импульсному воздействию в фиксированные мо-
менты времени.
В уравнениях (2.1) возможно слияние двух разных реше-
ний в одно, начиная с некоторого момента импульсного воз-
действия t ~ тг, вследствие невзаимной однозначности отоб-
ражения gt : х х + It (х). Если точка у является про-
образом при указанном отображении хотя бы двух точек
Хх и х2, то интегральные кривые, попавшие в точки хх и х2
в момент времени t = тг, при t > т( сливаются в одну ин-
тегральную кривую. В системах уравнений (3.3) описанное
явление возможно и в том случае, если отображение gt явля-
ется взаимно однозначным.
Пусть аг (х) — т; (g-1 (х)), где g~* — обратное по отно-
шению gt отображение, и предположим, что при всех х из
области определения системы уравнений (3.3) выполняется
неравенство (х) < <т; (х). Каждое решение уравнений (3.3),
начавшееся в точке (t0; х0) из области (х) < t < crf (х)
29
и пересекающее при I > 10 поверхность I — стг (х), напри-
мер, в точке (ст, (г); х), при I > ст, (х) сливается с решением,
которое при t = ст, (х) попадает в точку g~' (х).
Изучая расположение поверхностей t = тг- (х) и t = ст, (х),
можно установить наличие или отсутствие яв елия биения
в системе уравнений (3.1). Заведомо биение решений о поверх-
ность t — тг (х) присутствует, если в области определения
системы с импульсным воздействием (3.3) неравенство ст; (х) <
< тг (х) имеет решения.
В заключение этого параграфа введем понятие системы
уравнений в вариациях, соответствующей уравнениям с им-
пульсным воздействием (3.3).
Предположим, что в уравнениях (3.3) функции f (/, х),
тг (х) и It (х) непрерывно дифференцируемые по х. Пусть х =
= ф (0 — решение этой системы, т° — моменты встречи
этого решения с поверхностями t = тг (х). Соответствующими
этому решению уравнения в вариациях будут
dz _ df (/, <р (/))
dt ~ дх
t

(Ф(Т?))
дх
(E + Pt)z,
(3.18)
где матрицы Pt определяются следующим образом:
Р>-
1 “(<р f (т° ф
dtj (ф (t°))

а, Р — 1, п.
Отметим, что если импульсному воздействию система под-
вергается в фиксированные моменты времени или же решение
х = ф (0 уравнений (3.3) таково, что f (т°, ср (т°)) = 0, то
матрицы Pt = 0 и уравнения в вариациях (3.18) упрощаются.
Известно [72], какое важное значение при исследовании
дифференциальных уравнений имеют уравнения в вариациях.
Они описывают поведение производных по начальным значе-
ниям от решений. Этим свойством обладают и уравнения в ва-
риациях для систем с импульсным воздействием.
Обозначим через ср (t, х0), || х0 — хо || < б семейство реше-
ний уравнений (3.3) с начальными условиями х0 из некоторой
б-окрестности фиксированной точки Хо- Пусть т( — моменты
встречи интегральной кривой решения х = ср (/, х0) поверх-
ностей t = тг(х). Если биение решений о поверхности t =*
30
= т/ (х) отсутствует, а функции, определяющие систему урав-
нений (3.3), гладкие, то уравнения t = тг (<р (t, х0)) при до-
статочно малых значениях 6 имеют решения t — т,- (х0),
т/ (Хо) = т? и Т; (х0) являются гладкими функциями перемен-
о	1	дер (/, хп)
нои х0. Оказывается, что матричная функция г = -	..
описывается системой уравнений (3.18).
§ 4. Разрывные динамические системы
Рассмотрим класс систем дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием, которые еще называют разрыв-
ными динамическими системами. Разрывная динамическая
система задается соотношениями а) — в), в которых диффе-
ренциальное уравнение (l.l) явно не зависит от t, множества
t и являются подмножествами фазового пространства,
а оператор Л/ = Для всех t £ R. Положим t = Г, ^'t =
= Го и М : Г -> Го, тогда разрывную динамическую систему
можно записать как
k	A = f(x), х£Г,
Ах |Х€Г = Лх — х = I (х).
Движение фазовой точки в такой системе происходит по
рдной из траекторий системы дифференциальных уравнений
в промежутке между двумя последовательными попаданиями
фазовой точки на множество Г, а в момент попадания точка
х (0 «мгновенно» перебрасывается оператором Л в точку
у — <Ах множества Го.
Для получения интересных эффектов в рассматриваемых
системах уравнений нужно, чтобы движущаяся точка сравни-
тельно часто попадала в множество Г. Если, например, мно-
жество Г всюду неплотное в фазовом пространстве, то вероят-
ность того, что большинство движений не подвергается
импульсному воздействию, довольно большая, поэтому мы пред-
положим, что множество образует компактное (локально-ком-
пактное) многообразие в фазовом пространстве размерности
на единицу меньше, чем размерность фазового пространства.
Интересно исследовать разрывные динамические системы
(4.1), для которых дифференциальное уравнение определено
внутри шара (или для всех х g Rra)
^ = {xER"|||xKr},-	'	(4.2)
31
множество Г есть граница этого шара, т. е. сфера
Г = Sr = {х€ R" I ||х|| = г),	(4.3)
а множество Го является подмножеством 7Г, например, сфе-
ра радиуса t\ < г, с центром в начале координат.
Для такой системы множество Г служит как бы отража-
телем движений.
Ясно, что если в такой разрывной динамической системе
движение, вышедшее из точки х0 g 7r\Sr, при всех / 6 R
не подвергается импульсному воздействию, то замыкание тра-
ектории такого движения является компактным множеством
и, следовательно, такое движение устойчиво по Лагранжу
и предельные множества такого движения принадлежат ша-
ру 7Г. Разумеется, утверждение, обратное этому утверждению,
неверное, т. е. если предельные множества некоторого движе-
ния находятся в шаре 7Г, то это не означает, что это движение
в процессе своей эволюции не подвергается импульсному
воздействию.
Рассмотрим несколько примеров разрывных динамических
систем.
Пример 1. Пусть в плоскости R2 движение фазовой точки
(х; у) в промежутке между двумя последовательными попада-
ниями ее в множество Г описывается системой дифференци-
альных уравнений
dx	n dy _	.
dt	dt ~	Ь
u В качестве множества Г пусть служит ось абсцисс, а мно-
жества Го — полуокружность х2 + (у — 2)2 = 1, у <2.
Отображение : Г -> Го ставит в соответствие точке (х; 0)
точку указанной полуокружности, лежащую на прямой, про-
ходящей через точки (х; 0) и (0; 2).
Все решения описанной системы с импульсным воздействи-
ем, начавшиеся в точках (х0; Уо) Е R2, Уо < 0, не подвергаются
импульсному воздействию. Решения, выходящие из точек
(0; Уо)> Уо^*®< являются периодическими (0 у0 1) или
становятся периодическими через время у0 — 1 (у0^> 1).
Остальные решения со временем счетное число раз подверга-
ются импульсному воздействию и стремятся при t -> сю к пе-
риодическим решениям, траекторией которых служит от-
резок ОВ оси ординат. Таким образом, отрезок ОВ притяги-
вает к себе траектории всех решений, выходящих из точек
с неотрицательными ординатами.
Пример 2. Рассмотрим разрывную динамическую систему,
определяемую в плоскости R2 системой дифференциальных
32
уравнений
-£-=-* 4-—“>»•	(4-4>
множествами
Г0 = {(х; у) t R2I х2 + У2 = 4}, Г = {(х; у) С R215х2 + у2 = 8}
(4.5)
и отображением Л ! Г -► Го, которое каждой точке эллипса
Г ставит в соответствие точку окружности Го, лежащую с точ-
кой эллипса на одном луче, выходящем из начала координат.
Очевидно, tA — взаимно однозначное и непрерывное отобра-
жение.
Движения в такой системе происходят по траекториям
системы уравнений (4.4), т. е. по веткам кривых
У = С|х|а.
(4.6)
Все движения, начинающиеся в области 5х2 + у2 — 8, при-
ближаются к точке покоя (0; 0), не подвергаясь импульсному
воздействию, поскольку траектории таких движений не попа-
дают на множество Г.
Импульсному воздействию подвергаются все движения,
начинающиеся из точек области 5х2 + у2 > 8.
Исследуем эти движения и их траектории. Пусть 0 <; а <;
< 1. В силу симметрии достаточно исследовать движения,
начинающиеся в области 5х2 + у2 > 8, х > 0, у 0. Дви-
жения, траектории которых попадают на эллипс Г в точках
с абсциссой 0 х 1, подвергшись один раз импульсному
воздействию, попадают в область 5х2 + у2 < 8 и стремятся
к началу координат при tсю. Траектория таких движений
имеет разрыв в одной точке.
Движения, начавшиеся в точках кривой у = КЗ|х|а>
х > 1, стремятся вдоль этой кривой к точке (0;  0). Траекто-
рия таких движений непрерывна, ибо она пересекается с Г
в точке (1; 3), являющейся неподвижной точкой отображе-
ния <А.
Движения, траектория которых попадает на Г в точку
с абсциссой 1 < х < 2 ]/"у, счетное число раз подвергаются
импульсному воздействию, как угодно близко приближаясь
к точке (1; 3). Траектория таких движений имеет счетное число
точек разрыва. Точка (1; |/ 3) обладает свойством притяжения
всех движений, начинающихся в области
5х2 + №>8, х>1, 0 < у < ]/з” х*.
3 6—2865
33
Наконец, движения, начинающиеся в точках г/ = 0, х>
> 2	, становятся периодическими к моменту первого
попадания их в точку ^2	; oj, ив дальнейшем движе-
(1 \
2 у —; 2 с пери-
(1 /~<2	\
2 у — ; ОI в точку (2; 0).
Аналогично можно исследовать движения и их траектории
при а > 1.
Как и при 0 <; а <; 1, движения, начавшиеся в области
5х2 + у2 > 8, со временем стремятся к точке (0; 0), не под-
вергаясь импульсному воздействию.
Все движения, начинающиеся при t = 0 в области 5х2 +
+ у2 > 8, можно разделить на три типа: а) не подвергающие-
ся импульсному воздействию — движения, начинающиеся
на множестве ( у | = КЗ |х |а. Траектория таких движений
пересекает множество Г в неподвижных точках оператора Д’,
б) подвергающиеся импульсному воздействию один раз —
движения, выходящие из точек области | у | > КЗ |х|а; в) под-
вергающиеся импульсному воздействию счетное число раз —
движения, выходящие из точек области | у ] < КЗ |х |а. Среди
последних следует выделить те, которые начинаются в точках
у — 0, 2	< | х |	2. Эти движения периодические. Но в
отличие от случая 0 < а <; 1 при а > 1 эти движения облада-
ют сильным притяжением. Отрезок оси абсцисс 2 У^< | х |
2, т. е. траектории этих движений, притягивают к себе
многие другие траектории. Так, область притяжения отрезка
2	-|-<|хК2, у = 0 есть | у | <; К3х“, 5х2 + у2 > 8, а об-
ласть притяжения отрезка —2 х < —2 ]/"g-, у = 0 есть
| у | <	| х |«, х < 0, 5х2 + у2 > 8. При а = 1 характер дви-
жений изменяется только в области | у | < УЗ | х |, 5х2 + у2 >
> 8. Здесь все движения со временем становятся периодиче-
скими и происходят по отрезку луча у = Сх, заключенного
между эллипсом бх2 4- у2 — 8 и окружностью х2 4- у2 = 4.
Как показано в работах Т. Павлидиса и В. Рожко, разрыв-
ные динамические системы обладают многими свойствами
классических динамических систем, однако они имеют свои
особенности, не присущие классическим динамическим систе-
34
мам. Так, например, известно, что в динамической системе,
заданной на плоскости, не существует движения, траектория
которого была бы всюду плотной в некоторой области плоско-
сти, т. е. не существует движений, устойчивых по Пуассону,
отличных от покоя и периодического движения. В разрывных
динамических системах такие движения возможны.
Пример 3. Рассмотрим динамическую систему, движения
в которой описываются уравнениями
А- = ах —ру, = рх 4-ау, а<0, Р>0, (4.7)
множествами
Г = {(х; Z/)€R2|x2 + №='i} « r0 = {(x;y)eR2|x2 + y2 = r|},
г2 > гх	(4.8)
и отображением Л ! 1\ -* Го по закону: каждой точке (х; у) £
£ Г ставится в соответствие точка (хг; уг) £ Го, лежащая
с точкой (х; у) на одном луче, выходящем из начала коорди-
нат. Если перейти к полярным координатам (р, ф) по фор-
мулам
х = р cos ф, у = р sin ф,	(4.9)
получим систему уравнений
(4.Ю)
г = {(р; ф)| р = Г1}, го = {(р; ф) IР = г2) и л: (п; ф) -+ (г; ф).
Поскольку движения в такой системе происходят по лога-
рифмическим спиралям
Тф и а<0, а Р > 0,
Р = Ров
то все движения, начавшиеся в области р > г2, со временем
стремятся к точке покоя р = 0.
Фазовая точка любого движения, начавшегося в области
р > г2, со временем обязательно попадет на окружность р =
= г2, поэтому для полного изучения рассматриваемой систе-
мы достаточно изучить поведение ее решений, начинающих-
ся на окружности р = г2.
Пусть движение начинается в точке (г2; ф0). Фазовая точка
—((р—(р )
такого движения движется по спирали р = г2е Д° тех П0Р>
пока не попадет на окружность р = rt. Момент попадания ее на
р = определяется из уравнения гх » г2е“*, т. е. =*
з
35
== JL. 1П -Д при этом она попадает в точку (гг; <рЛ, где
ОС fg
Ф1 = Фо + ₽*1 = Фо + 4-1п Т" •
U '2
После этого фазовая точка «перебрасывается» оператором Л
на окружность Го в точку (г2; ф^ = (г2; <р0 + Л), где А —
= -£-1п —. Затем движение продолжается по спирали р =
ос г2
а .
-g- (ф—(pj)
= г2е до тех пор, пока фазовая точка не попадет опять
на Г. Нетрудно подсчитать, что после повторного отображе-
ния оператором <А фазовой точки этого движения она попадет
на окружность Гп в точку (г2, ф2), где ф2 = Фо + 2А, а после
n-го в точку (r2; ф0 + nA). Следовательно, чтобы знать движе-
ние в целом, достаточно изучить расположение на окружно-
сти Го точек
Фп-Фо+«А.	(4.11)
Очевидно, если А рационально соизмеримо с 2л, т. ё. А —
= 2л где р и q — взаимно простые натуральные числа,
то точка ф, = Фо + <?А совпадает с ф0 (mod 2л), следовательно,
траектория движения «замкнется» и движение является пе-
риодическим. В силу произвольного фо можем утверждать,
что при соизмеримости числа In — с 2л все движения,
начинающиеся на окружности Го, являются периодическими.
• Пусть А — несоизмеримо с 2л.
Лемма 4.1 [3]. Образы любой точки на окружности при
отображении — повороте ее на угол А, рационально не соизмери-
мый с 2л, образуют множество, всюду плотное на окружности.
Доказательство. Разделим окружность на k
равных отрезков длины Заметим, что в силу несоизмери-
мости А с 2л ни при каких п g N ф„ не совпадает с ф0. Среди
первых k + 1 точек последовательности
Фо. Фо + А, Фо + 2А, ••• (mod2л)	(4.12)
есть две точки в одном отрезке. Пусть это точки ф0 + /лА и
ф0 + гА, т > г. Положим s — т — г. Угол поворота sA
2л
отличается от кратного 2л меньше чем на —. В последова-
тельности точек ф0, фо + sA, фо 4- 2sA, ... (mod 2л) каждые
две соседние точки отстоят на одинаковое расстояние, меньшее
2'д
чем ~. Зададимся произвольным е > 0. Выбрав k доста-
36
точно большим, можно сделать — < е. Таким образом, в
любой е-окрестности произвольной точки окружности есть
точки последовательности |<р0 + A/sA}.
Из доказанной леммы следует, что если в рассматриваемой
динамической системе число — In — рационально несоизме-
сс г2
римо с 2л, то траектория любого решения этой системы, начи-
нающегося в области х2 -f- У2 > rlt всюду плотно заполняет
кольцо г2 х2 + у2 < /2.
§ 5. Движение осциллятора
под действием импульсной силы
Во многих задачах теории колебаний приходится исследо-
вать поведение осциллятора под действием импульсных сил.
Такие задачи возникают, например, при изучении модели
часов [2, 10].
Математической моделью указанных задач является раз-
рывная динамическая система, движения в которой описыва-
ется линейным дифференциальным уравнением второго по-
рядка:
х + 2Хх 4- к»2х = 0, X2 < к»2,
подвергающимся действию импульсной силы при прохожде-
нии изображающей точкой (х; х) фиксированного положения
х = х0.
Ряд результатов исследования такого осциллятора под
действием разного рода импульсных сил содержится в извест-
ных монографиях [2, 10],
Здесь в основном используются следующие две гипотезы
относительно действия импульсной силы:
1) импульсная сила действует при прохождении фазовой
точкой (х; х) фиксированного положения х = х0 с неотрица-
тельной скоростью и увеличивает в момент действия коли-
чество движения на постоянную величину:
тх (/4-0) — тх (t — 0) — ml0 = const;
2) импульсная сила действует при прохождении фазовой
Точкой положения х = х0 и увеличивает кинетическую энер-
гию осциллятора на одну и ту же величину:
У8*'8 (t 4- 0) _ m?(z-0) =	= const>
2	2
Рассмотрим некоторые примеры указанных осцилляторов.
1. Исследуем вначале движения в следующей системе
37
с импульсным воздействием!
х + к»2х = 0, х х0 "> 0,
|х=Хо = Л Z О-
(5.1)
Такая система хорошо исследована в работе [83].
Поскольку фазовая плоскость (х, х) гармонического осцил-
лятора заполнена эллипсами
со2х2 + х2 = с2,
то нетрудно описать траектории движений в системе (5.1).
Траектория, проходящая через точку (х0; Z), состоит из эл-
липса х2 + к»2х2 = к»2хо в полуплоскости х х0 и дуги эл-
липса х2 + к»2х2 = /о + к»2хо в полуплоскости х > х0. Тра-
ектории, проходящие в области Dx ’. х2 + к»2х2 < к»2хо, яв-
ляются замкнутыми кривыми, и движения, проходящие по
этим траекториям, не подвергаются импульсному изменению.
Траектория, проходящая через точку ^хо', yj, состоит из дуги
эллипса х2 + к»2х2 = — + <о2хо в полуплоскости х > х0.
Траектории, начавшиеся в области D2, исключая только что
рассмотренную, состоят из двух дуг эллипсов в полуплоскости
х > х0, а именно: из дуги эллипса х2 4- ш2х2 = (у0 + Z)2 +
4- к»2хо и дуги эллипса х2 4- w2x2 — у20 4- <о2хо. Траектории,
начавшиеся вне области Dx J Е>2 в точке (х0; у0), состоят
из дуги эллипса х2 + к»2х = у2 + к»2хо в полуплоскости х >
> х0 и дуги эллипса х2 + к»2х2 = (/ — у0)2 4~ ш2хо в полу-
плоскости X < х0.
Все движения в такой системе являются периодическими,
но не все движения имеют один и тот же период.
2. Методом фазовой плоскости исследуются движения
в затухающем осцилляторе, на который действуют импульсы
в момент прохождения фазовой точкой (х; х) прямой х — 0
с неотрицательной скоростью. Если предположить, что в ре-
зультате действия импульса увеличивается скорость движения
точки на величину /0 W> зависящую от скорости фазовой точ-
ки в момент действия импульса, то уравнение движения та-
кого осциллятора приобретет вид
х 4- 2Хх" 4- <»ах — 0,
(Z0(x), при
‘X и—о в
0, при
Дх|ж_о “
х 0,
х^О,
х<0.
(5.2)
38.
Вводя функцию у = х, можно записать (5.2) в виде си-
стемы
— <о2х — 2Ху, х=£Ъ,
Az/|x=o = /(y),	(5,3)
где
. есЛИ
~ ( 0, если у < 0.
Предположим, что 10 (у)	0 при у 0. Это означает,
что импульс не уменьшает скорости изображающей точки
в момент его действия.
Так как движения изображающей точки происходят по
спиралям системы
4г = У' -^- = -(02х- 2Ку,	(5.4)
то траектории этих движений либо уходят в бесконечность,
либо к началу координат или же притягиваются к разрывным
предельным циклам, если таковые существуют. Выясним во-
прос существования последних.
Запишем траектории движений системы (5.4), т. е. интег-
ральные кривые уравнения
ydy + (2Ху 4- к»2х) dx = 0.
Решая это уравнение, получим
у2 + 2Хху + со2*2 = С2 Д ^arctg‘ML+*я\	(55)
.где v = T<o2 —V, feeZ.
1 Ординаты точек, в которых спирали (5.5) пересекают полу-
‘ прямую х = 0, у 0, определяются из уравнения
2L(_2L +2to)
у* = С2е v +2кл>.	(5<6)
Проследим за движением, начавшимся из точки (0; у0), где
уо — Сое~~~.	(5.7) .
Пройдя один виток спирали, фазовая точка попадет на полу-
прямую х = 0, у 0 в точку с ординатой
_ —2л
У1 = Уое ' .	(5.8)
39
после чего перескочит в точку этой же полупрямой с ордина-
той у+ = y-t + /0 (г/t). Пройдя еще один виток спирали, фазо-
вая точка попадет на полупрямую х = 0, у 0 в точку с ор-
динатой
I----
Уз = УТе v ,
после чего перескочит в точку этой полупрямой с ординатой
yt = у2 + /о (Уэ) и т. д.
Обозначим через h отображение полупрямой у 0 в себя,
определяемое по закону
hiR+-+R+, h (у) = ye-* + Zo (уе-Д),	(5.9)
где Л = ^- 2л.
Неподвижные точки этого отображения, т. е. такие точки
Уо 0, что h (у0) = у0, порождают разрывные циклы системы
уравнений (5.3), периодические движения по которым подвер-
гаются импульсному воздействию один раз за период.
Устойчивость разрывных предельных циклов системы (5.3)
определяется устойчивостью неподвижных точек отображения
hk(y).
Так, например, если уравнение
уе~д + /0 (уе~д) = у	(5.10)
имеет решение у — у*, то цикл системы (5.3) станет асимпто-
тически устойчивым, если
1 + -^-(^S)|e-s<1.	(5.Н)
и неустойчив, если
|1 +е-5> !•
(5.12)
В частности, если в системе (5.3) /0 (у) = Zo > 0. то она имеет
разрывный асимптотически устойчивый предельный цикл,
движения по которому подвергаются импульсному воздействию
один раз за период. Действительно, в этом случае уравнение
(5.10) имеет вид
уе-д + Zo = у.
Оно имеет решение I/ = Zo (1 — е~д)-1 и для этого решения
выполняется неравенство (5.11). Этот разрывный цикл состо-
40
ит из куска спирали
,2	21 (	. у4-кх « \
у2 4- 2Xxz/ + <о2х2 -------------е v агс 8 vx 2 .
(1_е“2я)2
Других предельных циклов, отличных от указанного, система
(5.3) в рассматриваемом случае не имеет. Уравнение hky = у
в этом случае принимает вид
k—1	_
yerklx 4- /0 S = у
m=0
и оно имеет единственное решение
У =
4
1-е
для любого k = 1, 2....
3. Выясним возможность существования разрывных цик-
лов у затухающего осциллятора, когда импульс увеличивает
кинетическую энергию осциллятора на постоянную величину.
Такой осциллятор описывается системой
х 4- 2Хх 4- ы2х, х #= О,
Ах2 |ж=о =
/о, если х>0,
О, если х^О.
(5.13)
Записав условие скачка
Ах (Ах 4- 2х) = 7о
и разрешая полученное уравнение относительно Ах, запи-
шем (5.13) в виде
= у, —тг =— <о2х— 2А.Г/, если х#=0,
. , I— ^4-^24-/о, если у> О,
&У |х=0 =	_	_
О, если
Получим систему вида (5.3) с функцией
4 (у)= — У + У2 4- А).
Уравнение (5.10) будет
Ку2е_2д + /2 =	(514)
41
У него одно решение
1/* =
'о
"1-е"25
Таким образом, система (5.13) имеет предельный цикл,
состоящий из одного куска спирали.
Производная функция /0 (у)

У
V У2 + 7q
в точке у*
— 1 < <о
Л/
и неравенство (5.11) выполняется, следовательно, предельный
цикл асимптотически устойчив.
Других предельных циклов у системы (5.13) нет, ибо урав-
нение hk (у) = у в данном случае имеет вид
и при любом k — 1, 2, ... у него только одно решение у = у*.
;	4. Предположим, что импульсному воздействию система
(5.13) подвергается каждый раз при прохождении фазовой
.? точкой прямой х = 0, в результате такого воздействия уве-
' личивается кинетическая энергия системы на одну и ту же
величину /о- Линейный осциллятор, находящийся под таким
импульсным воздействием, описывается уравнением
х 4- 2Хх 4- <о2х = 0, х #= 0,
Д?|х=о=7о
или, что то же самое, системой уравнений
(5.15)
^Г~У, -^-^-^х-гХу при х=#0,
(5.16)
если z/>0,
&У |*=о ==
— У — V У2 + 1о, если у<0.
Чтобы не повторять местами рассуждений, проводимых
при исследовании предыдущего примера, систему (5.16) ис-
следуем другим способом, который, как нам кажется, пред-
ставляет самостоятельный интерес.
В системе (5.16) от переменных (х, у) перейдем к перемен-
ным а и ср по формулам
х = аБШф, у~а(—Xsinф + vcosф), v2 = со2 — ЛА (5.17)
При sin ф #= 0 имеем
sin ф 4- a cos ф	= а(— к sin ф 4- v cos ф),
(— к sin ф 4- v cos ф)------а (Л cos ф 4- v sin ф) =
= — 2ка (— к sin ф 4- v cos ф) — со2а sin ф.
Разрешая эту систему относительно — и , получим
= — ка, = v при ф #= /гл.
at	’at	r
При х — a sin ф = 0, т. е. при ф = /гл должны выполняться
равенства
(а 4- Ла) sin (/гл 4- Лф) = О,
(а 4- Ла) v cos {kit 4- Аф) — va (— l)m =
— av 4- a2v2 — Io, если ф = 2/тгл,
av — Va2v2 — Iq, если ф — л 4- 2агл.
Из этих равенств находим, что
Да |ф=*я = — а 4- ^/~а2 4-	, Лф |ф^я = 0.
Таким образом, заменой переменных (5.17) мы перешли от
системы уравнений (5.16) к системе
--------г	(5.18)
Ла |<р=Ая = — а 4- у а2 +	•
Периодические решения уравнения
da к	, <
--------а при ф Ф kn,
’	4__________	(5.19)
Г р	4
Ла |ф»»ая == — а 4- у а2 4-
определяют разрывные циклы системы (5.16).
4Э
Исследуем вопрос существования 2л-периодических ре-
шений уравнения (5.19).
^Решения указанного уравнения состоят из курсов функций
. \	— ^-«Р—Фо)
а (ср) = аое v
Поэтому те а0 определяют 2л-периодические решения,
для которых
h (а0) = ]/	+ -£) ег* + -^г	= а0.	(5.20)
У этого уравнения только одно решение
поэтому уравнение (5.19) имеет единственное 2л-периодиче-
ское решение:
Поскольку производная функции h (а0) при а0 = ао
меньше единицы, то периодическое решение а = а (ф) асимп-
тотически устойчиво.
Нетрудно убедиться, что периодических решений с перио-
дом 2рл, р 1 уравнение (5.19) не имеет. Действительно,
точки а0, порождающие такие решения, являются решения-
ми уравнения
hk (а0) = а0, hk (а0) = h (hk~l (а0)),
где h (а) определяется согласно (5.20). Это уравнение име-
ет вид
2	? р-1
+ -4- S <?~2/л = а0.
v i=-o
Единственным его решением является а0 =; ао.
44
Таким образом, исходное уравнение (5.16) имеет един-
ственный асимптотически устойчивый разрывный предельный
цикл.
ГЛАВА 2
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
§ 6.	Общие свойства решений линейных систем
В этом параграфе установим некоторые простые свойства
решений линейных однородных систем дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием
= А (0 х, тг, Ах |<=Т( = Врс,	(6.1)
а также линейных неоднородных систем.
Здесь А (0 — непрерывная на промежутке / = ]а, bl
(п X п) — матрица, Bz — постоянные матрицы, xt £ I —
фиксированные моменты времени, занумерованные в возрас-
тающем порядке (г,- < tZ-|_i) множеством целых чисел или его
частью.
Одним из основных результатов теории линейных систем ви-
да (6.1) является следующий.
Теорема 6.1. Пусть промежуток [0, t0 + h] cz I содер-
жит конечное число точек tz. Тогда для любого х0 С Rn решение
х (t, х0), х (t0, х0) = х0 системы уравнений (6.1) существует при
всех t £ [/0, t0 + h]. Кроме того, если для всех I таких, что
tz € [0, t„ + М, матрицы Е 4- Bz не вырождены, то х (t,
х0) #= х (t, у0) при всех [0, to + h], лишь только х0 #= у0.
Доказательство. Пусть t0<. Ty<T,+i < ••• <т/+*^
^^04-h. В силу теоремы Пикара для любого x0£Rn решение
х = ф/ (0, ф/ (/0) = х0 системы
-^ = Л(0х	(6.2)
на~промежутке [0, Ту] существует и единственно. Положим
х (/, х0) — Ч>/ (О при t£ [Zo, Ту]. В силу системы (6.1) при
t = Ф/ имеем
х (Т/ 4- 0, х0) = (Е 4- By) х (Ту, х0) = х/.
На основании той же теоремы Пикара на промежутке [ту,
<Cy+il существует единственное решение х= ф/+1 (0, ф/+1 (т,) =
Ху" системы уравнений (6.2). Поэтому решение х (0 х0)
45
исходной системы с импульсным воздействием (6.1)' можно
продолжить до момента t = T/+t, положив
X (t, Хо) — ф/+1 (0 при Т/ < t < Т/+1,
а при t = t/+i 4- 0 х (т/+2 4- 0, х0) = (Е 4- Bj+1) х(тЛ х0).
Обозначив через ф/+г(О решение системы (6.2) такое, что
Ф/+2 (t/+i) = xf+i = (Е 4- Е,+1) х (т/+1, х0), можем продолжить
решение x(t, х0) системы (6.1) до момента т/+2, полагая x(t, х0) =
= ф/+2 (О ДЛЯ Т/+1 < t < Т/+2 и Т. д.
Поскольку по условию теоремы промежуток [t0, t0 4- h]
содержит конечное число точек т;, таким способом можно
построить решение х (t, х0) системы (6.1) на всем этом проме-
жутке.
Мы указали способ построения решения х (t, х0) в пред-
положении, что t0 < Xj. Если же t0 = xt, то построение
х (t, х0) такое же, как и при t0 < г,-, с той лишь разницей, что,
положив х (t0 4- 0, х0) = (Е 4- В/)х0, строим функцию ф,-+1 (t)
как решение системы (6.2), удовлетворяющее начальному ус-
ловию ф/+[ (г,) — х/ = (Е 4- Е/) х0. Для доказательства вто-
рого утверждения теоремы заметим, что если х (tz 4- 0, х0) #=
. #= х (tz 4- 0, у0), то по теореме Пикара и х (/, х0) #= х (/, у0)
для всех Xi < t тж> 1 = /> / + Ь •••> / + Поскольку
| х (tz 4- 0, х0) — х (tz 4- 0, t/0) = (Е 4- Bz) (х (тг, х0) — х (тг, у0)),
\ то при условии невырожденности матрицы (Е 4- Ez) из того,
что х (tz, х0) #= х (tz, у0), следует, что х (tz 4- 0, х0) Ф х (tz 4-
4- 0, у0). Отсюда х (/, х0) #= х (t, у0) при всех По, t0 4- hl,
лишь только х0 #= у0 и det (Е 4- Bz) #= 0 при i — j, / 4- 1, ...
..., j 4- k. Теорема доказана.
Если промежуток [/0 — А, /0] с I и для всех i таких,
что Xi £ [/0 — h, f0] матрицы Е 4- Ez не вырождены, то реше-
ние х (t, х0) можно однозначно продолжить на промежуток
Мо — h, f0J. Если же при некотором из указанных rz = tz,
матрица Е + Bt вырождена, то решение х (t, х0) продолжимо
однозначно влево только до момента tZ1. Продолжить это ре-
шение на промежуток Ио — h, tzJ либо невозможно, либо это
можно сделать, но неоднозначно.
Действительно, пусть tZ) — ближайший к t0 момент вре-
мени, матрица Е 4- Bz, с номером которого вырождена. Пусть
г — ранг матрицы Е 4- В1е Решение х (t, х0) однозначно
продолжимо на промежуток ]tZ1, /о]. Обозначим х+ — х (tz, 4-
4- 0, х0). Линейный оператор в Rn, определяемый матрицей
(Е 4- В(), проектирует пространство R" в линейное под-
пространство Rr этого пространства. Если х+ содержится
в множестве образов указанного оператора, то решение х (t,
46
х0) можно продолжать влево от точки rZ1, причем такое про-
должение не является единственным ибо уравнение (Е 4-
4- Blf) х = х+ имеет бесконечное множество решений. Если
же х+ не принадлежит множеству образов указанного ли-
нейного оператора, то уравнение (Е 4- BZ1) х — х+ не имеет
решений, а значит, решение х (t, х0) не может быть продол-
жено левее точки xit.
Таким образом, вырожденность некоторой матрицы (Е +
4- с таким индексом I, что xt £ [/0 — h, /0], приводит
к тому, что часть решений х (t, х0), х (t0, х0) = х0 непродол-
жимы левее от точки тг, а каждое из остальных решений в мо-
мент tz расщепляется на множество решений.
Пусть tz — ближайший к t0 < tz такой момент времени,
что матрица Е + Bi вырождена. Каждое из решений х (t,
х0), х (4, х0) — х0, исходной системы продолжимо на весь
промежуток [/0, t0 4- h], но в момент t = rz происходит слия-
ние многих таких решений в одно решение. Множество точек
х (tz, х0), х0 g R" образует пространство R", а множество то-
чек (Е + В^ х (тг, х0) образует подпространство этого про -
странства размерности п — г, где г — ранг матрицы Е +
Кроме того, в момент rz «рождаются» новые решения, опреде-
ленные при t > т. е. решения х (t, у), х (т( 4- 0, у) — у,
для которых начальная точка обладает тем свойством, что ал-
гебраическая система уравнений (Е 4- Bi) х = у неразрешима.
В дальнейшем ограничимся изучением систем (6.1), для
которых выполняются условия:
1) любой компактный промежуток 1а, 61 cz I содержит
конечное число точек tz;
2) для всех i таких, что тг £ I матрицы Е 4- Bi не вырож-
дены. При этих предположениях справедливо следующее ут-
верждение.
Теорема 6.2. Множество всех решений Ж линейной одно-
родной системы дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием (6.1) на промежутке [а, Ь\ образует п-мерное
векторное пространство.
.Доказательство. Пусть cpj (t) и q>2 (t) — решения
системы (6.1) на промежутке [а, 61 и с1( с2 — действительные
(комплексные) числа. Нетрудно убедиться, что линейная ком-
бинация Cjcpj (t) 4- c2q>2 (t) также является решением системы
(6.1). Это означает, что решения системы (6.1) образуют век-
торное пространство.
Чтобы показать, что это пространство n-мерное, докажем,
что оно изоморфно фазовому пространству этого уравнения,
т. е. пространству Rn.
47
Действительно, пусть t^la, 61. Рассмотрим отображение
gt : 3£->-Rn, g/ф = ф (0, сопоставляющее каждому решению
Ф (0 g X его значение в момент t.
Отображение gz : Ж -> Rn линейно (значение суммы ре-
шений равно сумме их значений). Его образ — все простран-
ство Rn, так как по теореме 6.1 для любого х0 С R" сущест-
вует решение ф (0 — х (t, х0), Ф (0) = хо- Ядро отображения
gt равно нулю, ибо решение ф (0 = 0, ф (0) =0 в силу тео-
ремы 6.1.
Таким образом, gt — изоморфизм Ж на R", что завершает
доказательство теоремы.
Базис линейного пространства решений Ж назовем фунда-
ментальной системой решений уравнений (6.1).
Из доказанной теоремы вытекает ряд важных следствий;
1)	система уравнений (6.1) имеет фундаментальную систе-
му из п решений фх (0, ф2 (0, ..., ф„ (0;
2)	всякое решение уравнений (6.1) является линейной ком-
бинацией решений фундаментальной системы;
3)	всякие п + 1 решения уравнений (6.1) линейно зави-
симы.
Обозначим через X (0 матрицу, столбцами которой явля-
ется решения системы (6.1), образующие фундаментальную
систему решений. Матрицу X (0 назовем фундаментальной
матрицей системы (6.1). Очевидно, функция
х(0 = Х(0с	(6.3)
при любом постоянном векторе с является решением систем
(6.1), и если с пробегает все пространство Rn, то семейство
функций (6.3) образует пространство. Из определения матри-
цы X (0 следует, что она удовлетворяет матричное уравнение
с импульсным воздействием
4£- = Л(0Х,	ДХ|<=Т=В<Х.	(6.4)
Очевидно также, что всякое невырожденное решение матрич-
ной системы (6.4) является фундаментальной матрицей урав-
нений (6.1). Все невырожденные решения системы (6.4) да-
ются формулой X (0 = Хо (0 С, где Хо (0 — некоторое не-
вырожденное решение системы (6.4), а С — произвольная
невырожденная матрица. То из невырожденных решений
X (0 системы (6.4), которое удовлетворяет условию X (t0) =
= Е, назовем матрицантом системы (6.1) и обозначим через
х а, и.
4S
Пусть U (t, т) — решение матричной задачи Коши
~-=A(t)U,	(6.5)
т. е. матрицант системы (6.2). Тогда любое решение X (t)
матричной системы (6.4) допускает представление
X (t) — U (t, т/4.*) (Е + Bi+k) U т,-+£_1) (Е 4- В/4-ft—i) ...
• • • (В 4- Ej) U (ту, /0) X (t0), T'j—i Ту < t	.
(6.6)
В частности, для матрицанта X (t, х0) имеем
X (t, t0) = U (t, ri+k) (Е 4- Bl+k) U (т/+ъ T,+ft-0 (Е 4- Bt+k~i) ...
... (£4- В/) U (т/, t0),
Т/—1 < t0 Т/ < T/+ft < t Т/+£+1
или
X (t, t0) = и (t, xi+k) (Е 4- Bl+k) П и (T/+v, T/+v-i) X
х (В 4-B/+v-iW/,/0).	(6.7)
Из (6.6) в силу формулы Остроградского — Лиувилля полу-
чаем
det X (0 = det U (t, xj+k) det (£ 4- В1+к) П det U (t/+v, t/+v_i) x
X det (B 4- B/+v-i) det U (t„ t0) det X (t0) =
t	T/+v
J SpAtaldo	[ j SpZ(a)da
= exi+l det (£ 4- Bl+k) П eT/+v“1 X
v=k
\ SpA(0)do
X det (£ 4- By+v-i) e'» det X (t0),
t. e.
t
f SpAa)da*4-I
det X (0 = det X (t0) Л П det (£ 4- B/+v_i), (6.8)
v=l
Ty — l C tg	Т/	t '''/-t-A+l.
Из условия невырожденности матриц Е 4- Bt и формулы
(6.8) следует, что матрица X (t) не вырождена, если такова
матрица X (t0).
Д 6—2865	Дф
При невырожденности матрицы X (/) обратная к ней мат-
рица Х~1 (0 определяется следующим выражением:
X-1 (0 = Л"’ (Q U~} (т„ t0) (Е + В,)"1 ...
,.,U 1 (т/+*, Ty+^—i)(В + В/+*) 1 U 1 (/, т/4-*) =
= X (Zo) f/~ (ту, t0) П (В 4-B/+v_i) U (т/4-v» T/_^v—i) X
X (E + Bl+k)-lU-l(t,xl+k),
Х]—i	Iq Ту Ту_|_£ t
.а произведение
s-H
X (О X (о) = и (t, xi+k) п (В 4- B,+v) и (t/+v, T/+V-1) X
X (В 4- Bl+>) U (t/+s, о)
T/_|-s—1	Ty-j-s Ту_^_£	^/+М-Ь —
В частности, для матрицанта X (t, t0) имеем:
X (t, t0) = U (xh t0) П (В 4~ ^y-t-v-н) U (т/4-v, T/-|.v—i) X
X (В 4- Bl+k)-1 U~l (t, тж)	(6.9)
X(t, (о, t0)~
S-H
= и (t, xl+k) П (В 4- B/+v) u (T/+v. T/+V-1) (B 4- B/+s) U (xt+s, t) =
= X(i,G),	(6.10)
Т/—1 tg	Ту	T(-^-s—1 *~Z O'	T/4-s C Ty^-ft <Z t Xj-^-k-^l-
Если T, <_ a t	Ty+b то X (t, t0) X~l (o, t0) = U (t, a).
Отметим также, что с помощью матрицанта X (t, t0) любое
решение системы (6.1) х (t, х0), х (t0, х0) = х0 можно записать
в виде
X (/, Хо) = X (t, tg) Хд.	(6. 1 1)
Систему уравнений
— = A(t)x + f(t), t^xb A.x\t=x. —В[Х + ait (6.12)
где матрицы А (/), Bz и моменты времени tz такие же, как
и в системе (6.1), а / (/) — непрерывная (кусочно-непрерыв-
ная) на промежутке / функция, at — постоянные векторы,
50
назовем линейной неоднородной системой дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
Связь между решениями неоднородной системы (6.12)
и соответствующей ей однородной системы (6.1) устанавли-
вает следующая теорема.
Теорема 6.3. Если х = <р (7)— решение системы (6.1),
а х = ф (7)— решение системы (6.12), то функция х =
= Ф (7) + ф (7) является решением системы (6.12). Обратно,
если х = ф! (t) и х — ф2 (7) — решения неоднородной системы
(6.12), то функция х = ф1 (7)— Ф2 (7) является решением
системы уравнений (6.1).
В справедливости утверждения теоремы можно убедиться
непосредственной проверкой.
В дальнейшем будем пользоваться линейной заменой зави-
симых переменных в системах (6.1) и (6.12).
Теорема 6.4. Пусть S (t) является непрерывно диффе-
ренцируемой при t g |а, 7>] / {tJ невырожденной матрицей.
Тогда линейная замена
x = S(f)y	(6.13)
преобразует систему (6.12) к виду
= S-1 (7) [ А (7) S (7) -	+ S~‘ W f W- 1 *
_1	(6.14)
,	&У к=т(- = 5 (т,- ф- 0) (— AS ф- BtS) у |/=Х/ ф-
ф- S-1 (Т< ф- 0) at.
В частности, если S (t) является фундаментальной матри-
цей системы уравнений
-g- = P(0*, 7=#т6 Ах |^=7^,	(6.15)
где матрицы Е ф- Ц не вырождены, то система (6.14) прини-
мает вид
= S"1 (7) (А (7) - Р (7)) S (7) у Ф- S"1 (7) f (7), t Ф ть
1	i	(6-16)
Ду |/=т, = S~ (т< ф- 0) (Bt - 7г) Sy + S~ (Xi ф- 0) а^
Если А (7) = Р (7), Bi = lh S (7) = Х (7), где X (7) —
фундаментальная матрица системы (6.1), замена переменных
(6.13) называется «вариацией постоянных», так как она по-
лучается заменой постоянного вектора с в (6.3) переменным
вектором у (7). Тогда система (6.12) сводится к системе
-g- = X-1(7)/(7), 7#=ть Ду |t=Tf = X-1 (т< ф-0)	(6.17)
4*
51
которая легко интегрируется. Учитывая, что X (тг 4- 0) =
= (Е 4* X (тг), условие скачка в уравнениях (6.17) можно
записать еще в виде
\у = X-1 (tz) (Е 4- Bi)~' at.	(6.18)
Из уравнений (6.17) находим при t0
y(t) = c + Jx-1(T)f(T)dT4- S Х~,(тО(Е4-В/Г’аь (6.19)
где с — у (?0) — постоянный вектор.
Следствие. Пусть X (/) — фундаментальная матрица
системы (6.1), в которой матрицы Е Bt — невырождены.
Тогда всякое решение системы уравнений (6.12) при t~^ t0
определяется формулой
^0
x(i) = X(t) c + \x-l(t)f(x)dr+ S Х~1(т{)(Е4-В0~'а/ •
(6.20)
В частности, если X (t) = X (t, t0) — матрицант системы
(6.1), то всякое решение х (t, х0), х (t0, х0) — х0 системы (6.12)
.при t0 представимо в виде
X (t, х0) =
t
= X (t, t0) x0 4- f X (t, т) f (T) dx 4- S * (f, xi) ab (6.21)
Последние две формулы показывают, что если известны
решения соответствующей однородной системы, то решения
системы (6.12) определяют в квадратурах.
§ 7. Линейные системы
с постоянными коэффициентами
Пусть в системе (6.1) матрицы A (t) и Bt постоянные.
Тогда имеем линейную систему с постоянными коэффициен-
тами
— = 4х, t=£xt, &x\t=Xl = Bx.	(7.1)
Предположим, что моменты xt занумерованы множеством
натуральных чисел и такие, что тг-> + оо при Z-»• се. Без
ограничения общности считаем, что Tj >• t0.
52
Любое решение х (t, х0), х (t0, х0) = х0 системы (7.1) за-
пишем в виде
х (/, х0) = X (/, t0) х0,	(7.2)
где
X(t, Q = .ел('~т‘) П (Е+ В)еА{х^~1\ т0 =/0. (7.3)
Из (7.3) трудно сделать какой-либо вывод о структуре и
поведении матрицы X (t, t0) при t > t0, а значит, и о структу-
ре и поведении решений системы (7.1) при произвольных мат-
рицах А и В, иначе говоря, такого изящного определения
свойств решений через собственные числа матрицы системы,
которое имеется в случае обыкновенной линейной системы
дифференциальных уравнений, в уравнениях с импульсным
воздействием пет. Это вызвано отсутствием свойства инвари-
антности решений системы (7.1) относительно сдвига, ибо из-за
импульсного воздействия в моменты t = т( система (7.1)
является неавтономной.
Однако в отдельных случаях выражение (7.3) упрощается
и из него можно извлечь информацию о поведении решений
системы (7.1). Так, например, если матрицы А и В коммути-
руют, то матричная экспонента ем коммутирует с матрицей
В, и равенство (7.2) можно представить в виде
х (/, х0) = (Е + B)i(t' х0,	(7.4)
где i (/, t0) — количество точек т( на промежутке [/0, Я»
т. е. i (t, t0) = k, если •< t < t/,+i . Отсюда видно, что по-
ведение решений исходной системы (7.1) при t-> оо зависит
от собственных чисел матриц А и В, а также от свойств после-
довательности {т(}. В частности, если моменты тг равноуда-
лены друг от друга, =Tj + (i — 1)0, а матрица Е + В
не вырождена, то из (7.4) получаем
х (t, х0) = eAlt~to'> (Е 4- В) eLn(£+B) 1 е ] Xoi / >.
или
X (t, х0) =
= еА(г,-/0) В) e-L"(£+® {-0х+тLnf£+B>)(/<-Т1)Хо. (7.5)
Следовательно, если вещественные части всех собственных
чисел матрицы А + Ln (Е 4- в] отрицательны, то все ре-
шения системы (7.1) стремятся к нулю при оо, если же
среди собственных чисел указанной матрицы есть хотя бы од-
но с положительной вещественной частью, то среди решений
53
исходной системы уравнений имеются неограниченные при
t -> оо решения.
Если в системе (7.1) матрицы А и В коммутируют, то
частные решения этой системы можно искать сразу в виде
х(/, х0) = ?'(£ +В)W)x0,	(7.6)
где %—собственное число матрицы Л, а х0— собственный
вектор, соответствующий этому числу.
Действительно, подставив (7.6) в (7.1), при t Ф т, полу-
чим
Ъел (Е + В)‘юл> х0 = Аеи (Е + В)мл' х0,
(ХЕ — А) (Е + В)‘м х0 = 0.
Поскольку матрицы А и В коммутируют, то последнее урав-
1ение представимо в виде
(Е + В)1{М\ХЕ-А)хо = 0,	(7.7)
1то эквивалентно при случае невырожденности матрицы Е +
+- В, уравнению (ХЕ — А) х0 = 0. Поэтому построение фун-
даментальной системы решений уравнений (7.1) в этом слу-
чае такое же, как и для систем без импульсного воздействия.
Пример. Решить систему уравнений с импульсным воз-
действием
^ = 3х1-х2,
Дх,--а- Ъ-
(7.8)
Л I	2	3
Лх2 |/»тг = —	— -g-X2,
где последовательность {т(-} задана.
В данном случае
Непосредственно убеждаемся, что АВ ~ ВА. Собственные
числа матрицы А равны i и 2, поэтому несложно найти два
линейно независимых решения системы х = Ах:
х(1,(/)
х(2,(0
' 54
Поэтому линейно независимыми решениями системы с им-
пульсным воздействием (7.8) будут вектор-функции
(О = е (Е + В)'<0’° (<! V х'2) (0 = e2t (Е + B)i(0>/) ( ! У (7.9)
\ ^ /	\ А /
где	z
1	_ j_\
2	з |
2	1_ Г
3	2 /
Таким образом, все решения системы (7.8) при t О
даются формулой
'w=(x:;o)=<£+s’'"(^(2)+^(!))-
Можно проверить, что если i (0, f) = 2k, то
если же i (0, t) = 2k + 1, то
1	1 \
2 • 62*	3 • 62fr I
2	1 Г
3 • 62/г	2 • 62* /
Окончательно решения системы (7.8) можно записать
в виде
xi (0 = -i-	х2 (О = i(2С1? + с^’
О	о
если Т2/г <z t T244-I, И
Х1 (0 = 9	(9^ + c2^9 — "'-2Г (2с1е' +
Z • О	0*0
9	1
х2 = -Т-Т2Г (С1^ +	~	(2<y' + с^),
0’0	4’0
если 172*4-1 < t Т2&+2.
Пусть моменты т, таковы, что тх> 0 и
О<01<гг+1-Т1<02	(7.10)
при некоторых положительных 0Х и 02, i — 1, 2,..... ,
55
Если 02 достаточно мало, т. е. импульсному воздействию
исходная система подвергается сравнительно часто, то все
решения уравнений (7.8) стремятся к нулю при /-> оо. Это
произойдет тогда, когда б-^0-^0 при	Но
i (0, t) 4—, поэтому
«2
(HW	me 2t _ —щ (1П6-20,)
С	v*	С '' С*	•
Таким образом, если 0 < 0Х 02 < In то все решения
уравнений (7.8) стремятся к нулю при /-> оо.
Этот пример показывает, что хотя собственные числа мат-
рицы дифференциальной системы положительны, за счет им-
пульсного воздействия можно добиться, чтобы все решения
исходной системы были ограничены или даже стремились
к нулю при оо.
§ 8.	Устойчивость решений линейных систем
с импульсным воздействием
Исследуем вопрос устойчивости решений линейной одно-
родной системы с импульсным воздействием
= А (0 х,	Дх |/=Т; = В#,	(8.1)
в которой матрица A (t) непрерывна и ограничена при t /0,
матрицы Bit i = 1, 2........ равномерно	относительно i С N
ограничены, а моменты т, занумерованы множеством натураль-
ных чисел t0 <. Ti < т2 < ... < тг < T{+i < ... и такие,
что т,-	+ оо при i -> + оо.
Пусть X (t, t0) — матрицант системы (8.1),
X(t, /0) =
= C/(f,T/)(E + B/) П 1/(tv+i,tv)(£4-Bv)[/(t, Zo), (8.2)
v=/—1
где Г/ < t т/+1, U (t, a), U (а, о) — Е — матрицант диф-
ференциальной системы
-£- = A(t)x.	(8.3)
Поскольку разность х (t, х0) — х (t, у0) любых двух реше-
ний системы (8.1) можно представить в виде
х (t, х0) х (/, z/0) = X (/, /0) (х0	z/0),	(8.4)
то отсюда видно, что устойчивость или неустойчивость решений
системы (8.1) зависит от поведения матрицанта X (t, t0) при
t -> 00.	......................
56
Если матрицант X (t, Iq) ~ {qif (/)} ограничен при
^о> т. е.
и
МЛЖ S |<7ар(/)|<М0<оо
а,3=1
при всех t t0, то для всех t t0 и любого решения х (t,
х0) системы (8.1) верно неравенство
II х (I, х0) — х (t, у0) II < IIX (t, t0) IIII х0 — у0 IK Мо || х0 — у01|,
благодаря которому || х (t, х0) — х (t, у0) || < е при /0,
лишь только || х0 — у01| < 6 = Это означает, что решение
х (t, х0) устойчиво.
Предположим, что lim || X (t, t0) || = 0. В этом случае мат-
/-+0О
рица X (/, t0) ограничена при t t0 и, следовательно, решение
х (^> х0) устойчиво. Кроме того, из (8.4) следует, что
lim || х (/, х0) — х (/, у0) || = 0
/-*00
для любого решения х (t, у0), т. е. решение х (t, х0) — асим-
птотически устойчиво.
Пусть матрица X (/, t0) неограниченна при t t0, т. е.
существует бесконечно возрастающая последовательность
Ысел /0 Л < t2 < ••• такая, что lim || X (tK, /0)||=оо.
В этом случае среди элементов матрицы X (t, t0) найдется,
по крайней мере, один (t), для которого lim \q ар (tk) | =
k-юо
= оо. Рассмотрим решение х (/, х'о) системы (8.1), проходя-
щее при t — t0 через точку х0
Хю = Xjq, Х20 ==: Х20, ...» Хро Х30, Х^ц-Ю  Хр_)_|О, • • • > ХпО == XnQ.
Для этого решения
ха (t, Хо) — ха (/, Хо) = <7а₽ (/) (Хро — Хро),
поэтому
lim | ха(tk, xo) — ха (tk, х0) | = оо.
fe-+oo
Какой бы малой по модулю ни была разность хро — хро,
функция ха (t, хо) — ха (/, х0) будет неограниченной при /-»-
-> оо и, следовательно, неограниченной будет и разность
х (t, хо) — х (t, х0). Последнее означает, что решение х (t, х0)
системы (8.1) неустойчиво.
Мы доказали, что ограниченность матрицанта X (t, i0)
при всех t является достаточным условием устойчивости,
57
равенство lim, X (t, t0) = 0 достаточным условием асимптоти-
/-+ОО
ческой устойчивости, а неограниченность матрицы X (t, t0)
при t t0 — достаточным условием неу» тойчивости любого
решения системы уравнений (8.1).
Можно показать также, что приведенные выше условия
являются не только достаточными, но и необходимыми усло-
виями соответственно устойчивости, асимптотической устой-
чивости и неустойчивости любого решения линейной систе-
мы (8.1).
Поэтому справедлива следующая теорема.
Теорема 8.1. Для устойчивости решения х (t, х0) линей-
ной системы с импульсным воздействием (8.1) необходимо
и достаточно, чтобы матрицант X (t, х0) (а значит и лю-
бая фундаментальная матрица) этой системы были ограни-
‘ чены при t Д, для асимптотической устойчивости — чтобы
матрицант удовлетворял условию
lim X (t, t0) = О,
t~* 00
а для неустойчивости — чтобы матрицант был неограничен.
Поскольку матрица X (t, не зависит от начального зна-
чения решения х (t, х0) системы (8.1), то решения линейной
импульсной системы (8.1) либо все одновременно устойчивы,
либо неустойчивы. Поэтому линейную систему (8.1) называ-
ют обычно устойчивой, асимптотически устойчивой или неус-
тойчивой в зависимости от того, являются ли ее решения ус-
тойчивыми, асимптотически устойчивыми или неустойчивыми.
Например, уравнение первого порядка
-— = a (t)x, t^= хь Хх |?=Т; — bix
устойчиво, асимптотически устойчиво или неустойчиво в за-
висимости от того, является ли выражение
t
f а (о) do 4- S In | 1 4~ М
t,
ограниченным, стремящимся к —оо при t-> оо, или неогра-
ниченным при t tQ.
Предположим, что в системе уравнений (8.1) матрицы
А (/) и В( можно представить в виде Л (0 — А + Р (/),
В{ — В + Д, где А и В — постоянные матрицы. Тогда си-
стему (8.1) можно записать так:
= Ах 4- Р (t) х, t=£xh Дх|«=Тг = Вх 4- I(X. (8.5)
58
Параллельно с системой (8.5) рассмотрим такую систему:
= Ах, I =# г,, Дх |/=г. = Вх	(8.6'
Справедлива следующая теорема.
Теорема 8.2. Если решения системы уравнений (8.6)
устойчивы, то таковыми будут и решения уравнений (8.5)
при условии, что
ОО и п (1+||/г||)<оо.	(8.7)
Доказательство. Матрицант X (t, t0) система
с постоянными коэффициентами (8.6) имеет вид
X(t, /0) = ew~4 П (£ + В)	То =	(8 8)
В силу невырожденности матрицы Е + В матрица X (t, t0)
невырождена, при этом
X (/, /0) Х“’ (о, t0) -
= eA[t~^ П (Е + В)ел<т“т/-|)(£' + В)/<т*+1-а), (8.9)
Т(</^т;+1, тЛ<о<т*+ь k<i.
Из того, что решения системы (8.6) устойчивы, и из представ-
ления (8.9) следует, что существует такое положительное чис-
ло К, что
IIX (t, t0) || < X, || X (t, /0) X"1 (т, t0) К X, /0 < т < t (8.10)
Поскольку всякое решение х (t, х0), х (t0, х0) = х0 системы
(8.5) допускает представление
t
х (t, Хо) = X (t, t0) х0 + j X (t, о) P (о) x (о, xn) da +
to
+ S X (t, TZ) IiX (t(-, x0),	(8.11)
то для любых двух решений х (t, х0) и х (t, у0) системы (8.5),
с учетом (8.10), имеем
||х(/, x0) — x(t, у0Ц^
CKko —//oll+ J К\\Р(о) ||||х(о, х0) — х(а, у0) || do 4-
^0
+ S Ki Л III X (ТЬ *о) — X (тг, у0) ||.
59
Отсюда в силу леммы 2.1 получаем оценку
IIx(t, x0) — x(t, z/0)K
t
П (1+ К||/£||)е<0	||х0 — z/o||	(8.12)
<о<Т£«
для всех t t0. Из сходимости произведения П (1 + || h ||)
Т£>«о
следует сходимость произведения П (1 +КЦЛЦ). так как
Т£>«о
1 + К|| Z£ || С (1 + || Л ||)К- Поэтому из (8.12) окончательно
получаем
||x(Z, х0)— x(t, z/oHCKjho — f/ol|> t>to, (8.13)
где
S к11Р(рцл
Kx = п (1+к||лЦ)^о
Т£>/0
Из неравенства (8.13) следует устойчивость решений системы
(8.5). Теорема доказана.
§ 9. Свойства характеристических показателей
функций и функциональных матриц
Исследование вопроса устойчивости решений линейных
систем с импульсным воздействием требует определения ха-
рактера поведения функции f (/) =||Х (t, t0) || при t -> оо.
Определить этот характер можно, сравнивая f (f) с некоторой
функцией, поведение которой при tоо известно. В качестве
эталонной функции можно взять любую функцию, зависящую
от параметра и стремящуюся при + оо к нулю при одних
его значениях, к бесконечности — при других и к некоторо-
му постоянному значению при третьих, например
(t — toy и т. д.
Следуя А. М. Ляпунову, сравним функции f (/), определен-
ные при t t0, с функцией 6м.
Число
Х = Х[Л = НтМ£Ш	(9.1)
t-fOO 1
называют характеристическим показателем функции f (/)
Из этого определения следует, что если % — характе-
ристический показатель функции f (/), то для произвольного
60
О 0 справедливы следующие соотношения:
lim |/(0|<?~(*+Е>' = о, Нт | / (/) |	= оо. (9.2)
Обратно, если для некоторого X при любом е > 0 выполне-
но первое из соотношений (9.2), то X [/] X; если же имеет
место второе из этих соотношений, то X [/] X; наконец,
если выполнены оба соотношения (9.2), то X [/] = X.
Приведем некоторые свойства характеристических показа-
телей функций, не останавливаясь на их доказательстве, кото-
рые можно найти, например, в [29].
1.	Характеристический показатель суммы некоторого чис-
ла функций fv (/) (v = 1, 2, tn) не превышает наибольше-
го из характеристических показателей этих функций (в слу-
чае их конечности) и совпадает с ним, если наибольшим
характеристическим показателем обладает лишь одно из сла-
гаемых .
2.	Характеристический показатель произведения конеч-
ного числа функций Д, (/) (v= 1, 2, ..., т) не превышает суммы
характеристических показателей этих функций.
Назовем характеристический показатель функции f (t)
строгим, если существует конечный предел
X[/l = lim 4-1П |/(0|-	(9.3)
/-+ОО	1
3.	Если функция / (0 имеет строгий характеристический
показатель, то
Х[(1 + х[1]=О.	(9.4)
4.	Если функция / (0 имеет строгий характеристический
показатель, то характеристический показатель произведения
функций / (/) и g (0 равен сумме характеристических показа-
телей этих функций.
Под интегралом функции / (/), t > t0, следуя А. М. Ля-
пунову, будем понимать функцию
t
F (0 = j / (о) do, если X [/] > 0,
/о
и
оо
F (0 = У / (о) do, если X [/] < 0.
t
5.	Характеристический показатель интеграла функции
/ (0 не превышает характеристического показателя функции
/(0-
61
Характеристическим показателем матрицы F (t) = (fjk (/)},
определенной при t tn, называется наибольший из харак-
теристических показателей элементов этой матрицы: х 1^1 =
= max х 1/Д
6.	Характеристический показатель суммы конечного числа
матриц не превышает наибольшего из характеристических
показателей этих матриц.
7.	Характеристический показатель произведения конеч-
ного числа матриц не превышает суммы характеристических
показателей этих матриц.
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравне-
ний с импульсным воздействием
// у
— = A(t)x,	Дх |Z=T( = Bzx, (9.5)
в которой А (0 — непрерывная при t t0 ограниченная
матрица, Вс — равномерно относительно i £ N ограниченные
матрицы, моменты т(, t0 <.	< та < ... таковы, что Нт т£ =
1-+OQ
= ОО.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение
(аналог неравенства Важевского).
Теорема 9.1. Для любого решения х (t, х0), х (t0, х0) = х0,
линейной дифференциальной системы с импульсным воздей-
ствием (9.5) при t0 справедливо неравенство
t	t
$	$ Л(аЫа
П	|| Хо || < || X (/, Хо)||< П	||ХО||, (9.6)
где Z (/) и Л (/) — соответственно наименьшее и наибольшее
собственные числа матрицы А (/) =-^- (A (!) + АТ (t)),
Ат (/) — транспонированная по отношению к A (!) матрица,
и Л.1 — соответственно наименьшее и наибольшее из соб-
ственных чисел матрицы (Е + В[) (Е + Вг), i = 1, 2......
|| х ||2 = <х, х).
Доказательство. Если х (/, х0) = 0, то неравен-
ство (9.6) выполняется. Пусть х (/, х0) = х (/) — нетривиаль-
ное решение системы уравнений (9.5). Тогда при t
имеем
4-йх ® f=4 х = 2 \4г -х =
= 2 (А (0 х (0, х (0) = 2 (А (0 х (0, х (/)>.	(9.7)
62
Поскольку матрица А (0 симметрична, то
X (/) <х(0, v (0> «С (А (I) х (/), x(i)) Л (!) (х(/), x(t)), (9.8)
•гдеХ(/)и Л (0—соответственно наименьшее и наибольшее из
собственных чисел матрицы А (/). Поэтому из (9.7) при £ #=
=£ т:{ имеем
2х (о || х а) ip < 4IIх II2 <2А ® IIх II2- <9-9)
Таким образом, если xt < t t1+i, то из (9.9) следует,
что
t	t
2 $ X.(o)da	2 $ A(a)<fo
е*‘ Цх(т< + 0)||2^Ь(0||^т<	||х(т; + 0)||2. (9.10)
Поскольку X (т( 4- 0) = (£ + В() X (Т(), то
IIX (т() II2 II х (Т; + 0) II2 = <(Е + Bl) х (тг), (В + В,) х (т,)> =
= <(Е + В[) (Е + Bt) х (т;), x(xi)) Л? || х (т() ||2.
С учетом этого неравенства из (9.10) следует оценка
t	t
2 J X(a)tfa	2 J Л(а)</о
<. X?aT‘ ||x(T,)||2^||x(0||2^AV‘	|| x (r,) ||2, (9.11)
' при Ti < t sC tf+l •
На основании метода математической индукции из (9.11)
, нетрудно убедиться, что при всех i =1, 2, ...
t	t
2 J k(a)da	2$ A(a)da
П	II x0 II2 < II x (t, x0) II2 П A'^0	|lx0||2.
(9.12)
Из этого неравенства следует требуемая оценка (9.6). Теоре-
ма доказана.
Используем аналог неравенства Важевского для доказа-
тельства следующей теоремы.
Теорема 9.2. Пусть в системе уравнений (9.5) для матриц
Bt выполняется соотношение
inf (det (Е + Bt) | > 6 > 0,	(9.13)
а моменты времени %( таковы, что существует конечный пре-
дел
Пт ‘ ^!_0 =р>	(9>14)
63
где i (t0, i) — количество точек xt, принадлежащих промежут-
ку [i0, t[.
Тогда каждое нетривиальное решение х (t, х0) системы
уравнений (9.5) имеет конечный характеристический пока-
затель.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы
каждое решение х (t, х0) системы (9.5) допускает при t t0
оценку (9.6). Из (9.6) для нетривиального решения х (t, л0),
х0 Ф 0 имеем
(t	\
f X (о) da + 2 In Х( j X [х (t, х0)]
to	/
(t	\
f Л (о) da + In Af J.
to	J
Выполнение соотношений (9.13) и (9.14) дает возможность из
последнего неравенства получить такое неравенство
t
lim -J- f X (a) da + рХ0 X [х (t, х0)]
t-*oo * У
Го
i
lim( Л (о) da + рЛ0,	(9.15)
to
где
Хо = inf In Х6 Ло = sup In A;.
I	I
Поскольку условие равномерной ограниченности матриц
Bt и неравенство (9.13) обеспечивают конечность величин
Хо и Ло, то теорема доказана.
Множество всех характеристических показателей нетри-
виальных решений линейной дифференциальной системы назы-
вают спектром этой системы.
Теорема 9.3. Если система уравнений (9.5) удовлетворяет
условиям предыдущей теоремы, то ее спектр состоит из ко-
нечного числа элементов'. Хх < Х2 < ... < Хт, т п.
Доказательство теоремы следует из того, что вектор-функ-
ции, обладающие различными характеристическими показа-
телями, линейно независимы, а система уравнений (9.5) имеет
самое большее п линейно независимых решений.
Отметим, что если наибольший из характеристических
показателей линейной системы (9.5) отрицательный, то эта
система асимптотически устойчива.
64
Действительно, пусть х (t, х0)' — нетривиальное решение
системы (9.5) и пусть X = шах X/ < 0. Выберем s > 0 столь
малым, чтобы выполнялось неравенство X 4- 8 •< 0. Так как
X [х (t, x0)J < X + в, то || х (t, х0) ||	-+ 0 при t -> оо,
следовательно, || х (t, х0) || -> 0 при t -+ оо. Отсюда следует,
что система (9.5) асимптотически устойчива.
Приведем еще одно достаточное условие асимптотической
устойчивости линейной импульсной системы (9.5).
Теорема 9.4. Пусть система уравнений (9.5) удовлетво-
ряет условиям теоремы 9.2; наибольшее из собственных чисел
матрицы A (t) удовлетворяет неравенству
Л(0=Су	(9.16)
при всех	t0; для всех i = 1, 2, ... наибольшие из собственных
чисел матрицы (Е + В?) (Е 4- В{) такие, что
Л?<аа.	(9.17)
Если
у 4- р In а < 0,	(9.18)
то все решения системы уравнений (9.5) рсимптотически
устойчивые.
Доказательство. В силу условия теоремы для
характеристического показателя нетривиального решения
системы (9.5) с учетом аналога неравенства Важевского можно
получить следующую оценку!
г t
(9.19)
Поскольку по условию теоремы у 4- Р In а < 0, то теоре-
ма доказана.
Предположим, что система уравнений (9.5) такова, что
выполняются соотношения (9.13) и (9.14) и
— oocXi-cXj ••• <Xm<oo	(9.20)
спектр этой системы.
. Пусть X (f) — фундаментальная матрица системы уравне-
ний (9.5) и
п	т
ах= S х 1^(01= S	(9.21)
V=1	<х=1
— сумма характеристических показателей всех решений из
X (t), где па (па > 1) показывает, сколько решений с харак-
теристическим показателем Ха содержится в . X (f).
5 6—2863
65
Рассмотрим определитель Вронского W (!) = det X (i).
По правилам вычисления определителей
О) = S (-1)хх.(0 ... х„(/),	(9.22)
(Pi,₽1	рп
где суммирование в (9.22) производится по всем перестанов-
кам (рь ..., рп) из п элементов 1, 2, .... п и (—1)х — сигнатура
перестановки.
Из (9.22) получаем
%	(0] < max (X )х , (/)]+•• • + X [х „ (/)]) < ож. (9.23)
(Pi.Р„> Р1	рп
Кроме того, на основании аналога формулы Лиувилля —
Остроградского
t
$ sp Л(а)(/о
=	П det (E-f-B,)
to<"t{<t
имеем
W(01 =
(i	\
( Sp Л (о) do + S In | det (E + Bt) 11. (9.24)
to	to<^i<t	)
Отсюда получаем неравенство Ляпунова
(/ \
(Sp4(o)do-|- ln| det (ЕBr)|l. (9.25)
to	‘o<ti<i	)
Если в системе уравнений (9.1) все матрицы Bt равны, т. е.
Bt = В для всех I, то неравенство Ляпунова принимает вид
____ , »	п
Ox lim — I Sp Л (о) do + р S In | 1 + Xv (В) |, (9.26)
/-►оо * У
*0
где %v (Е) — собственные числа матрицы В.
Отметим также, что если для фундаментальной матрицы
системы уравнений (9.5) выполнено равенство Ляпунова
(t	\
( Sp Л (о) da 4- S ln| det (Е + В;)|1, (9.27)
то эта матрица нормальная в том смысле, что сумма ее харак-
теристических показателей есть наименьшая по сравнению
с другими фундаментальными матрицами этой системы.
66
? Пусть
о = nv«v	(9.28)
v=l
сумма характеристических показателей (с учетом их кратнос-
ти nJ решений системы уравнений (9.5), входящих в некото-
рую ее нормальную фундаментальную систему.
Систему уравнений (9.5) назовем правильной по Ляпунову
[45], если имеет место равенство
(t	\
(Sp4(a)da + X ln|det(E+B()l  (9.29)
to	/
Необходимые и достаточные условия правильности системы
(9.5) определяет следующее утверждение.
Теорема 9.5. Линейная система с импульсным воздействи-
ем (9.5) является правильной тогда и только тогда, когда
существует предел
(t	\
( Sp Л (a) da-f- S ln|det(E+ В*)| I = s (9.30)
и выполнено равенство Ляпунова
a = s.	(9.31)
Достаточность условий теоремы для правильности системы
(9.5) очевидна. Докажем их необходимость. Предположим,
что система (9.5) правильная и пусть
(/	X
j Sp A (a) do + S ln]det(E +Bz)| I,
to	1.<\<t	j
(t	\
fsp.4 (a) da 4- S In [ det (E -f- Bj)[ |.
В силу неравенства Ляпунова и определения правильной си-
стемы имеем s a s. Но s s, поэтому получаем s =
s $ = s = а, что и завершает доказательство теоремы.
§ 10. Сопряженные системы. Теорема Перрона
Рассмотрим линейную дифференциальную систему с им-
пульсным воздействием
Дх |г=Т( =? В<х. (10.1)
5'
67
Предполагается, что матрица А (I) непрерывна и ограничена
при t t0, матрицы Bi равномерно относительно i £ N огра-
ничены и
inf [ det (Е + Bt) | 6 > 0,	(10.2)
i
а моменты времени t0 < Tj < т2 < ... занумерованы мно-
жеством натуральных чисел, —> оо при i-> <х> и существу-
ет конечный верхний предел
ШЙ-^-^=р<оо.	(10.3)
/-*00	1
Систему дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием
-%L = -AT(t)y,	+ Bi у, (10.4)
где Ат (t) и BTt — транспонированные по отношению к А (/)
и В( матрицы, назовем сопряженной по отношению к системе
(Ю.1).
Нетрудно убедиться, учитывая равенство
(Е - Bi (Е + Bi)~')-1 Bt (Е + В{)-' = Bt,
что сопряженной по отношению к системе (10.4) является си-
стема (10.1). Поэтому эти системы еще называют взаимно со-
пряженными.
Лемма 10.1. Для любых решений х (t) и у (t) взаимно со-
пряженных систем (10.1) и (10.4) справедливо тождество
<x(t), y(t)) =с,	(10.5)
где с — некоторая постоянная; для фундаментальных матриц
решений X (t) и Y (t) этих систем имеет место соотношение
YT(t)X(t) = C,	(10.6)
где С — постоянная матрица.
Если выполнено соотношение (10.6) с невырожденной матри-
цей С и X (t) — фундаментальная матрица системы (10.1),
то Y (I) есть фундаментальная матрица сопряженной систе-
мы (10.4).
Доказательство. Тот факт, что скалярное про-
изведение решений сопряженных систем постоянно на каждой
промежутке ]tz, ij+i], следует из того, что на этом промежутдх
-^ = Л(0х, Д^-А^у,	(10.7:
68
поэтому при Tf < t Г;_|_| справедливы равенства
<	, У > = И (Ол, У),	< X, ) = — {X, А1 (0 у),
складывая почленно которые, имеем
4<*W’H0> = 0, (x(t), y(t)) =ct. (10.8)
Остается доказать, что постоянные с{ равны между собой,
т. е. с( = с для всех i — 1, 2...
Это равносильно доказательству того, что
Д(х(0. */(0>к=г< = 0.	(10.9)
Имеем
д <Х (/), У (0> Ь=тг = <Х (х{ + 0), у (т, + 0)> — (X (тг), у (Тг)> =
= ((Е + В{) х (т<), (Е — (Е + вГ)-1 в[) у (т,)) — <х (т(), у (т,)> =
= (х (Tz), ((Е + В?) — В/Г) у (т()> — (х (Tz), у (Tz)> = 0.
Отсюда следует, что Cz+i = Cz Для всех i = 1, 2, ..., значит,
(х (t), у (/)> = с при всех t /0.
Поскольку фундаментальные матрицы X (t) и Y (/) удов-
летворяют соответственно матричным уравнениям с импульс-
ным воздействием
~=A(t)X, t=£xh ДХ|г=Т( =ВгХ;
; -^- = — AT(t)Y, t^x{, ДГЬ=Х( = -(Е + В/Г)-,В[Г,
а матрица YT (f) при t — x( удовлетворяет уравнению
^- = -YTA(i),
то аналогично доказательству равенства (10.5) доказывается
соотношение (10.6).
Докажем последнее утверждение леммы. Пусть справед-
ливо тождество (10.6), в котором С — невырожденная матри-
ца, а X (I)—фундаментальная матрица системы (10.1).
Покажем, что Y (/) — фундаментальная матрица системы
уравнений (10.1).
Из равенства (10.6) следует, что
Y (f} = (XT (О)-1 Ст.	(10.10)
Матрица Хт (t) удовлетворяет системе уравнений
^. = XTAT(t),	ДХ7 |z^< =» XTBl. (10.11)
69
Поэтому из (10.10) при I Ф (используя формулу для произ-
водной от обратной матрицы) имеем
~ = - (Хт)~'	(Хг)-1 Ст = — (Хт)-‘ ХТАТ (0 (Хт)~' Ст =
== — AT(t)Y.	(10.12)
Кроме того,
det Y (t) = det (Хт (0)“' det Ст « det X~l (t) det C ¥» 0. (10.13)
При t = xt имеем
Y (x{ + 0) = (Хт (т< + О))"1 CT = (£ + ВГ)-1 X-1 (xt) CT =
= (Е + вГГ'Г(т1)
или
AK \t^{ = - Y (x^ + (E + BTi)~' Y (xt) = - (E + в[)~' В[У.
(10.14)
Равенства (10.12) и (10.14) с учетом соотношения (10.13)
доказывают, что Y (t) является фундаментальной матрицей
системы уравнений (10.4). Отметим, что если X (t) и Y (t) —
матрицанты соответственно систем (10.1) и (10.4), то из (10.10)
следует, что
Y (t) = (Хт (t))~l.	(10.15)
Теорема 10.1 (Перрона). Линейная система с импульсным
воздействием (10.1) является правильной тогда и только
тогда, когда ее полный спектр (т. е. спектр с учетом кратно-
стей характеристических показателей)
ах^а2^ •••	(10.16)
и полный спектр ее сопряженной системы
(10.17)
симметричны относительно нуля, т. е. если
«а + Ра = О (6=1,2........п).	(10.18)
Доказательство. Пусть система (10.1) правиль-
ная и X (f) = {x(fe (0) — ее нормальная фундаментальная
матрица, состоящая из решений x(ft) (t) таких, что X [x<ft) (£)] =
— ak, где числа aft удовлетворяют неравенствам (10.16).
Матрица
У(0 = [Х-1(/)]т = {1//НП}	(Ю.19)
является фундаментальной матрицей сопряженной системы
(10.4), при этом YT (i) X (t) = Е.
70
Отсюда, учитывая, что {уМ (0, x<ft) (0> = 1, находим
Х[1] = 0 = W*'(0] +	(01, т. е. pft + aft>0. (10.20)
Кроме того, если Х^ (0 — алгебраическое дополнение
элемента xtk определителя det X (0, то
yjk (0 = det % (/)	(0)»
где
t
$ SpZ(a)da
det X (0 = det X (/0)	П det (£ + B<) =/= °-
Отсюда
t
— $ Sp Л(а)</а— 2 InJdetlE+Bpl
ИЫ01<Х[е '•	<0<хИ	]4-Х[Х/6(0].
Поскольку система (10.1) правильная, то выполнено равенство
Ляпунова
п	*
<у = Sat = lini-r \Sp71(a)da+ £ In I det (£ + Вг)| ,
S=1	l-+a> 1	ta<Xt<t
и поэтому
t
— $SpZ(a)rfa- 2 InldetfE+Bpi
X[e <0	] = —a.
Очевидно, % [X/s (01 a — ak, ибо при составлении
Xjk из определителя матрицы X (0 вычеркивается fe-й стол-
бец, содержащий координаты решения x(fe) (0. Таким обра-
зом,
Wa(01<-a + a — ak = — ak
и, следовательно, pft — max x h/vfe (0] < —a*, t. e.
V
₽* + a*<0.	(10.21)
Сопоставляя это неравенство с неравенством (10.20), получаем
aft4-pft = 0 (fe=l, 2.......................n).	(10.22)
Остается показать, что фундаментальная матрица Y (0
нормальная и, следовательно, числа р1( р2, ..., р„ реализуют
весь спектр сопряженной системы. Действительно, в силу
равенств (10.22)
°Y = S = — S а* =
4=1	4=1
71
lim-L (Sp4(a)tfc+ X In | det (£ 4-Bf) | =
= liml (Sp(— /T(a))da4- X ln|det(B—(В + вГ)“’вГ)[ .
Таким образом, для фундаментальной матрицы Y (/)
сопряженной системы (10.4) выполнено равенство Ляпунова
и, следовательно, эта матрица нормальная.
Докажем, что выполнение равенств (10.18) является доста-
точным условием правильности системы (10.1).
На основании неравенства Ляпунова имеем
п _______ iff	\
ах = Ха*^ \ SpX (o)do 4- X In | det (£ 4-Si) |1 = s,
4=1	1->ж 1 у*	}
n
k=l
(t	\
fSp(—Дг(а))йа4- У, ln| det (В 4-ВГ)—111 =
<0	<«<х£</	/
— lim H Sp (a) da 4- X In I det (E 4- Bz) I) = — s.
Складывая почленно последние неравенства и учитывая
соотношение (10.18), устанавливаем, что s = s. Следователь-
но, существует предел
s== lim -j-1 f Sp4 (a) da 4- X In | det (B 4-Bf)| I.
1 \t„	)
n
Кроме того, выполнено равенство У, — s. Действительно,
п	п
если бы X ak > s> то учитывая, что X ₽л —s, мы бы имели
4=1	4=1
п
X («л 4- ₽а) > 0, что невозможно.
4=1
Таким образом, на основании теоремы 9.5 система (10.1)
правильная. Теорема доказана.
Из теоремы 10.1, в частности, следует, что: 1) сопряженная
система для правильной линейной системы есть также правиль-
ная система; 2) если система (10.1) правильная и X (t) — ее
нормальная фундаментальная матрица, то Y (t) = (X-1 (t))T
72
есть нормальная фундаментальная матрица сопряженной
системы (10.4).
Предположим, что в системе уравнений (10.1) матрицы
A (t) = {осср (0} и &i = {Ь^} треугольные. Ограничимся
рассмотрением нижнетреугольных матриц: Оар (0 = 0,	=
= 0 при р > а для всех t t0, i = 1, 2, ... . При этих пред-
положениях систему уравнений (10.1) можно записать в виде
= X й-аР (0	Аха |/=т = S (Т;), (10.23)
а условие (10.2) в силу треугольной структуры матриц В(
запишется так
inf min |1 +&Г|>6>0.	(10.24)
I IsSasSn
/ Теорема 10,2. Линейная треугольная система дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием (10.1) явля-
ется правильной тогда и только тогда, когда существуют ко-
нечные пределы
(t	\
\akk(x)d* + S 1п|1+Ь**|	(10.25)
4	J
k = 1, 2, ... , п.
Доказательство. Пусть система уравнений (10.23)
правильная. Обозначим через
(t	\
faA*(T)dT+ S In] 1 + btk|),
to	/
X
( akk (t) du + S In 11 + bi* 11
tt	J
и пусть
(t	\
( Sp A (?) dt + S In | det (E 4- Bi) 11.
t<,	J
Положим
t
J a*4(T)dT
ДА(0 = е*. П (1 A-b?), k= 1, 2.............n. (10.26)
Поскольку система уравнений (10.23) может быть после-
довательно проинтегрирована, то нетрудно убедиться, что она
73
имеет фундаментальную матрицу X (t, /0) = {хар (/)}, X (/0,
4) = Е, в которой
(0 = 0 (а < Р), Хаа (t) = Аа (t),
7 р	а— 1
М (/) = Аа (t) J Ла 1 (т) S «а/ СО Х/И (т) л +
Vo	/=₽
+ Xi Ла 1 (T/) J] (Т/) ),
«о<т(</	/=Р	/
а> Р, а, р == 1, 2, ... , п.
Не уменьшая общности, считаем, что X (t, Q является
нормальной фундаментальной матрицей, ибо в противном
случае из X (t, t0) можно получить нормальную фундаменталь-
ную матрицу путем умножения X (t, t0) на нижнетреуголь-
ную матрицу с единицами на главной диагонали.
Матрица Y (t, t0) = (X-1 (t, t0))T = {z/a₽ (0} является нор-
мальной фундаментальной матрицей, сопряженной по отноше-
нию к системе уравнений (10.23). Очевидно,
yaa(t) = A~'(t).	(10.27)
Пусть % [х* (01 = max X [х,к (01 = а* и X = max X {ytk (01 =
= р* (k = 1, 2, ..., и), где в силу теоремы Перрона ак -|- рА = 0
(fe = 1, 2, ..., и).
Из структуры матрицы X (t, t0) следует, что
аА > X [Л* (01 = На, Ра > X [ЛГ* (01 = - На, k = 1, 2....п.
Складывая почленно последние неравенства, убеждаемся, что
(t	\
J akk (т) dt + S In 11 + bk(k 11,
k = 1, 2......n.	(10.28)
Таким образом, необходимость существования конечных
пределов (10.25) для правильности линейной треугольной
системы доказана. Докажем достаточность этих условий.
Предположим, что для каждого k = 1, 2, ..., п существуют
конечные пределы (10.25).
Пусть Z (t) = {z;ft (0} — матрица, элементами z/ft (t) ко-
торой есть такие функции;
Z/A (0 = 0, / < k\ zkk (t) = Л* (0,
74
Zik (t) = А) (О I У Aj 1 (t) E a/v (r) zvk (r) dx +
Vfi v~k
/—1	\
«’	+ sign (£ — //*) S AJ{ (xz) E btvzvk (тг) (10.29)
v~k	J
f, fe = 1, 2, ..., n, tjk — t0, если py щ и tjk -> co, если
H; > а суммирование во втором слагаемом производится
по to < тг < t, если Н/ н*> и по тг t, если Н/ > рА.
Нетрудно убедиться, что Z (/) представляет собой фунда-
ментальную матрицу системы уравнений (10.23), поэтому
Z (/) = Л (f) С, где С — некоторая постоянная нижнетре-
угольная матрица, элементы главной диагонали которой рав-
ны единице.	,
Из построения матрицы Z (t) следует, что
X [zM (01 ™ * И* (/)] = Ил, X[z/ft(0I<H*. fe=l, 2, ...,п,
поэтому
ak = X [гк (/)] = max X [z/s (()] < нА, k = 1, 2, ..., п.
Полагая
/ 1 п	п	\ п
s= lim-у- \ Ёам(т)«/т4- £ £ ln| 1 +	= S На
f-юо ‘	Л=1	/0<Тг<< Л=1	У А=1
в силу неравенства Ляпунова, получим
п	п
s= Е НА> S «А >8,
А=1	А=1
j т. е.
 п
«а = На (^ = 1, 2, ..., п) и Е “а = 8.
А=1
Таким образом, построенная фундаментальная матрица
'является нормальной, а значит, система (10.23) правильная.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что если
. треугольная система с импульсным воздействием (10.23)
правильная, то значения
(t	\
fa*ft(r)dT+ Е 1п|1 + й“|| (10.30)
to	«о<Тг</	J
реализуют спектр этой системы.
В заключении этого параграфа докажем теорему Перрона,
которая устанавливает существование линейного преобразо-
7?
вания, приводящего линейную систему с импульсным воздей-
ствием (10.1) к треугольному виду.
Теорема 10.3. Всякую линейную однородную систему диф-
ференциальных уравнений с импульсным воздействием (10.1)
с помощью ортогонального преобразованиях =U (t) у можно
привести к виду
-%- = Q(t)y, t^xit ky\t=Xi = Kiy, (10.31)
\ где матрицы Q (/) и Л, — треугольные (одновременно верхне-
треугольные или нижнетреугольные).
Доказательство. Пусть хх (/), х2 (0..........хп (0 —
линейно независимые решения системы уравнений (10.1).
Положим
С?1 (0 = Хх (0, Щ (0 = || щ ||
и определим последовательно для k = 2, 3, п
Vk (0 = xk (0 — Ё <xk (t), и{ (0) Щ (0, uk (t) =	•
Ввиду линейной независимости множества решений хх (0,
x2(t), ...» xk(t) k = 1, 2, .... п, || vk (0 || ф 0 при
и таким образом, векторы uk (t), k = 1, 2.п, определены
при t t0. Очевидно, эти векторы непрерывно дифференци-
руемы при t > t0, xh и мы легко убеждаемся, что
<«/(0, М0> =	/. k=\, 2.......п,
где
11, если / = k,
§!к ~~ (0, если /
Отметим также, что векторы и2 (t), и2 (t), ...» uk (f), k =
= 1, 2....n, зависят только от векторов хх (t), х2 (t), ...
xk (t). Следовательно, в частности, если U (f) —(и2 (t), ...
.... ип (0) и X (0 = (Х1 (0. хп	(О), то U (0 = X (0 S (0,
где S (() — треугольная матрица. Ясно, что матрица S (/)
невырождена и непрерывно дифференцируема при t > t0,
t Ф xt.
Произведем в системе (10.1) замену
x = U(t)y.	(10.32)
При х{ получим
-f - -1/'1 (0 (л (0 и (0 - -f-) у Q (0 у.
76
I
ij Дифференцируя (10.32)’ при t Ф x{, находим
и, следовательно,
Q (t) = и-' (0 (л (0 [/ (0 -	- S-1 (0	.
Поскольку матрица S (t) треугольная, то S-1 (0 также
треугольная, а следовательно, треугольной является также
и матрица Q (t).
При t = тг, согласно (10.32), имеем
U + 0) у fa + 0) = (Е + В{) U fa) у (Hi)
или
U fa + 0) Ay = (— U fa + 0) + U fa) + BtU fa)) у fa).
Отсюда находим
Ay = S"1 fa + 0) X-1 fa + 0) (- X fa + 0) Sfa + 0) +
+ X fa + 0) S fa)) У fa) = (- E + S'1 fa + 0) S fa)) у fa)
или
Дг4=т. = Aty,
’ где Ai = S-1 fa + 0) S (t;) — E — треугольная матрица.
Таким образом, теорема доказана.
Нетрудно убедиться в том, что треугольная система (10.31)
является правильной, если система (10.1) правильная.
Справедливо также следующее утверждение: если линей-
ная система (10.1) правильная, то для каждого ее нетривиаль-
ного решения х — x(t) существует строгий характеристиче-
ский показатель
сс = lim-J-In |] х (0 ]|.	(10.33)
t-ЮО *
Действительно, пусть решение х (t) включено в некоторую
фундаментальную систему решений уравнений (10.1), напри-
мер, пусть х (t) — хг (t) — первый столбец фундаментальной
матрицы X (t). Тогда на основании теоремы о правильности
треугольной системы имеем
(t	\
J<7n(r)thr + S ln| 1 + Х"|) = КтЦ-1п||о1(0||,
f	/	t-nx 1
где qu (0 и I1/ — соответствующие элементы матриц Q (/)
и Л(. Но по способу построения функций vk (t) vt (t) = xx (t) —
= x(t), следовательно, существует, предел (10.33).
77
§11. Приводимые системы
Пусть L (t) — кусочно-непрерывная при t с разры-
вами первого рода при t = тг, тг -> 4- оо при i -> оо ограни-
ченная матрица. Назовем L (t) матрицей Ляпунова, если
непрерывна при t g Uo, оо [\ {т£|, ограничена и | det L(t) |
т > 0.
Можно показать, что если L (t) — матрица Ляпунова, то
и L~' (0 также матрица Ляпунова.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием
= A(t)x, ?#=т£, Дх |£=Т/ = Btx, (11.1)
•< в которой А (0 — непрерывная при t t0 матрица, для всех
i g N det (£ + Д) #= 0.
Следуя Ляпунову, назовем систему (11.1) приводимой,
если с помощью линейного преобразования
x = L(t)y	(11.2)
в матрицей Ляпунова L (t) она может быть преобразована в ли-
нейную систему
(11-3)
о постоянной матрицей Р.
Укажем необходимые и достаточные условия приводи-
 мости линейной системы с импульсным воздействием.
Теорема 11.1 (Еругина). Линейная дифференциальная
система с импульсным воздействием (11.1) приводима тогда
и только тогда, когда некоторая фундаментальная матрица
этой системы может быть представлена в виде
X(t) = L(t)ept,	(11.4)
где L (t) — матрица Ляпунова, а Р — постоянная матрица.
Доказательство. Пусть система (11.1) приводи-
ма к системе (11.3) с помощью преобразования Ляпунова
(11.2), тогда фундаментальная матрица X (t) этой системы
связана с фундаментальной матрицей системы (11.3) соотно-
шением
X (t) = L (t) ePtC
с невырожденной матрицей С. Положив в этом равенстве
С — Е, получим соотношение (11.4).
Предположим, что для системы (11.1) справедливо соотно-
шение (11.4), и докажем, что в этом случае система (11.1) при-
78
водима. Для этого в уравнениях (11.1) произведем преобра-
зование Ляпунова (11.2) с матрицей L (t) = X (t) e~pt. Имеем
X (0 g-Р/ + ^ty - X (0 erptPy = A (t)X (t) е-р‘у,
t Ф Tf,
ДХ |<=t< e~Px‘ = Btx (TZ) e~pX	(11.5)
Поскольку матрица X (t) удовлетворяет соотношениям
^- = A(i), t^b AXt^=BtX,
то из (11.5) получаем
^г = Ру,
dt a
т. e. система (11.1) приводима. Теорема доказана.
Интересным представляется случай приводимости урав-
нений (11.1) к системе (11.3) с нулевой матрицей, т. е. с мат-
рицей Р = 0. Достаточные условия такого приведения опре-
деляет следующая теорема.
Теорема 11.2. Если все решения системы уравнений (11.1)
ограничены при tZ^s t0 и
f SpЛ (о)do 4- У, ln|det(£ + Bi)\Z^az>— оо (11.6)
при всех t Z^ t0, а — постоянная, то система уравнений
(11.1) с помощью преобразования Ляпунова может быть
преобразована в систему с нулевой матрицей.
Доказательство. Для доказательства теоремы
достаточно убедиться в том, что в условиях теоремы фунда-
ментальная матрица X (t) является матрицей Ляпунова.
Действительно, X (t) — непрерывно дифференцируема мат-
рица при t Z^ t0, тг. Из того, что все решения системы
(11.1) ограничены при tZs? t0, следует ограниченность X (t)
и ограниченность при t #= х{, ибо
|^-|<||Л(01|||Х(0||.
Кроме того, используя аналог формулы Остроградского —
Лиувилля
t
SpZ(a)da
det X (0 = det X (t0)	П det (£ + Bi),
79
в силу условия теоремы получаем при t 1й
t
§ SpA(a)da + У InldetfE-l-Bpi
| det X (0| = [ det X (Q| ?•	>
>|detxao)|e“ =/ra>0.	(11.7)
Таким образом, X (t) — матрица Ляпунова. Замена х =
= X (0 у преобразует систему (11.1) в систему = 0. Тео-
рема доказана.
Из доказанной теоремы нетрудно вывести такое утверж-
дение.
Теорема 11.3. Если в системе уравнений (11.1) матрицы
А (0, В£ и моменты тг такие, что
JM(0||^ = c1<oo, £ ||Вг|| = С2<о°,	(П.8)
/о
то эта система приводима к системе с нулевой матрицей.
Действительно, любое решение x(t, х0), х (t0, х0) — х01
системы уравнений (11.1) допускает представление
х (t, х0) = х0 + \ А (ст) х (а, х0) da + £ Bzx(tz, х0). (11.9)
/о
Отсюда в силу леммы 2.1 получаем при t0 оценку
t
§ 1И(<г|Цт
Мл)1<П (I-MW Ш<П(1 +
t(>t,
4-1| Вг ||) 6е* || х01|.	(11.10)
Поскольку из сходимости ряда У, || В( || следует сходимость
тг>т0
произведения П (1 4-1] В,-||), то из (11.10) следует, что все
решения системы (11.1) ограничены. Кроме того, условия
(11.8) обеспечивают ограниченность величины
t	оо
f Sp А (о) da 4- У, In | det (Е 4- Bi) | < f | Sp А (ст)| da 4-
<•<'/<'	to
+ S I In I ^t (E 4- B£) 11 c <oo.
80
Таким образом, все условия предыдущей теоремы выполнены,
следовательно, при выполнении условий (11.8) система урав-
нений (11.1) приводима к системе с нулевой матрицей.
Связь между правильными и приводимыми системами уста-
навливает следующая теорема.
Теорема 11.4. Любая приводимая линейная система с им-
пульсным воздействием (11.1) является правильной.
Доказательство. Пусть система уравнений (11.1)
приводима. Тогда существует матрица Ляпунова L (t) такая,
что нормальная фундаментальная матрица X (t, t0) системы
(11.1) допускает представление
X(t, /0) = L(t)eB{t~{,)
с некоторой постоянной матрицей В. В силу аналога формулы
Остроградского — Лиувилля для импульсных систем имеем
j SpA(a)do
detX(Z0, Г0)е'« П det (£ + Bt) = det L (t) e5^-^
или
t
§ SpA(a)do+ J] ln|det(£4-Bp|
e*’ h<Xi<t	= | det X (t0, /0)Г' | det L (0|es₽B(/-/,)
Отсюда вытекает существование предела
(t	\
f Sp A (a) da + S In I det (E + Bi) I I = Sp B.
6	J
Кроме того, пусть ax и aY — суммы характеристических
показателей решений, образующих фундаментальные матри-
цы X (t, t0) и	Так как преобразование Ляпунова
не меняет характеристических показателей, а для матрицы
еВ(/—/0) характеристическими показателями служат веществен-
ные части собственных чисел матрицы В, то выполняется ра-
венство Ляпунова
ax = ay = S Re Xv (В) = Sp В = s.
V=s 1
Таким образом, система уравнений (11.1), если она приводи-
ма, является правильной.
6 4—2865
81
§ 12. Линейные периодические системы
с импульсным воздействием
Линейная система дифференциальных уравнений с импуль-
сным воздействием
-&-=A(t)x, t^x(, ^x\t^Xl=BiX (12.1)
называется периодической (с периодом Т), или Т-периодиче-
ской, если Т-периодической является матрица A (!) и можно
указать такое натуральное число р, что
Bi+p = Bi, ъ+р = тг + Т	(12.2)
при всех i € Z.
В этом параграфе предполагается, что матрица А (/) не-
прерывная (кусочно-непрерывная с разрывами первого рода
при t = тг), матрицы Е + В{ не вырождены, а моменты тг
занумерованы множеством целых чисел Z, причем так, что
О < тх < ... < тр < Т.
Пусть X (/) — фундаментальная матрица периодической
системы (12.1) такая, что X (0) = Е, т. е. матрицант этой
системы. В силу периодичности системы (12.1) нетрудно убе-
диться в том, что X (t + Т) также является фундаментальной
матрицей системы (12.1), причем
X(t + T) = X(t)X(T),	(12.3)
где
।
X(T) = U(T, Тр) П (S+Bv+O^T^.TvHS + BJt/frpO)
V=p—1
(12.4)
— матрица монодромии, a U (t, a), U (а, а) = Е — матри-
цант дифференциальной системы из (12.1).
Собственные числа матрицы Хт(Т) будем называть мульти-
пликаторами системы (12.1).
Справедлива следующая теорема.
Теорема 12.1. Для всякого мультипликатора р существует
нетривиальное решение периодической системы уравнений
(12.1) х = <р (I), удовлетворяющее условию
<р (/ + ?) = РФ (/)•	(12.5)
Обратно, если для некоторого нетривиального решения х =
= Ф (/) и некоторого числа р выполнено соотношение (12.5),
то р — мультипликатор данной системы уравнений.
Доказательство. В качестве решения <р (/) возь-
мем то решение системы (12.1), для которого вектор <р (0)
82
является собственным вектором матрицы монодромии, соот-
ветствующим собственному числу р. Имеем
X (Т) <р (0) р<р (0), ф (0 «= X (0 ф (0).
Отсюда
Ф (/ + Т) = X (t + Т) ф (0) = X (0 X (Т) ф (0) =
= X(i) рф(0) = рф (0,
т. е. условие (12.5) выполнено.
Предположим, что для некоторого нетривиального реше-
ния ф (0 = X (0 ф (0) выполнено равенство (12.5), т. е.
X (/ + Т) ф (0) = рХ (0 ф (0), X (0 X (Т) ф (0) = рХ (0 ф (0),
а значит,
(X (Т) — р£) ф (0) = 0.
Отсюда следует, что р является корнем уравнения det (X (Т) —
— рЕ) =0, т. е. мультипликатором системы (12,1). Теорема
доказана.
Из приведенной теоремы можно извлечь важное следствие:
линейная Т-периодическая система уравнений (12.1) имеет
нетривиальное kT-периодическое решение тогда и только
тогда, когда k-я степень, по крайней мере, одного из ее мульти-
пликаторов равна единице.
Действительно, из (12.5) следует, что если р — мульти-
пликатор, то существует решение системы уравнений (12.1)
такое, что ф (i + kT) = р* ф (0. Если р* = 1, то решение
Ф (0 является /гТ-периодическим.
Наоборот, если система (12.1) имеет /гТ-периодическое
решение х — ф (0, ф (/ + kT) — ф (0, то
Ф (/ + kT) = X (t + kT) ф (0) = X (0 ф (0) = ф (0,
а значит,
(X (/гТ) — £) ф (0) = 0.	(12.6)
Поскольку X (kT) = (X (Т))Л, то из (12.6) следует, что
Ф (0) — собственный вектор матрицы X (Т)к. Собственные
числа матрицы Хк (Т) есть р*, где р/ — мультипликаторы,
поэтому
X (ЛТ) ф (0) = р*ф (0)
при некотором / = 1, ...» п, следовательно,
Ф (t + kT) = X (0 Хк (Г) ф (0) = ркХ (0 ф (0) = р*Ф (0.
Но ф (t + kT) «е ф (0 по условию, значит, р* = 1. Утвержде-
ние следствия доказано.
Докажем, что линейная периодическая система (12.1)
приводима к системе с постоянными коэффициентами.
6'
83
Теорема 12.2. Линейная периодическая система дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием (12.1) линей-
ной невырожденной кусочно-гладкой периодической заменой
Ляпунова приводится к системе с постоянными коэффициен-
тами.
Доказательство. Покажем, что матрицант X (/)
системы уравнений (12.1) допускает представление Флоке
Х(/) = Ф(/)е₽',	(12.7)
где Ф (f) — непрерывно дифференцируемая при ту < t <z
|<тж Т-периодическая матрица Ляпунова, Р — постоян-
| пая матрица.
Для этого положим
-±LnX(T)=P	(12.8)
и запишем тождество
X (/) = X (/) е~р‘ер‘ = Ф (/) ер‘,
где
Ф(0 = Х(0е~₽/.	(12.9)
Убедимся, что матрица Ф (t) является Т-периодической.
Имеем
ф (t + Т) = X (< + Т) e~P{t+T} = X (/) X (Т) e~PTe~pt =
— X(t)e~pt =Ф(/).
Из определения матрицы Ф (t) видно, что при f <
< Ti+i эта матрица является непрерывно дифференцируемой,
в силу периодичности, ограниченной при всех t g R и невы-
рожденной, причем min | det Ф (/) I = пг > 0.
Таким образом, Ф (/) является матрицей Ляпунова.
В силу теоремы Еругина из представления (12.7) следует,
что периодическое преобразование Ляпунова
х = Ф(0у	(12.10)
преобразует систему уравнений (12.1) в систему с постоянными
коэффициентами
=	(12.11)
Теорема доказана.
Согласно равенству (12.8) мультипликаторы ру системы
(12.1) и собственные числа Л/ матрицы Р связаны соотноше-
нием
-у-In | Р/1 = Re Z; (Р),	(12.12)
84
то при | р/1	1 имеем Re Л/ 0. Отсюда имеем следующее
условие устойчивости решений линейной периодической систе-
мы (12.1).
Теорема 12.3. Все решения линейной периодической
системы с импульсным воздействием (12.1) устойчивы тогда
и только тогда, когда все мультипликаторы этой системы
удовлетворяют неравенство | р; |	1, / = 1, 2, .... п, причем
тем р/, для которых | pz-1 =1, соответствуют простые элемен-
тарные делители, если их рассматривать как собственные
числа соответствующей матрицы монодромии Для асимпто-
тической устойчивости всех решений необходимо и достаточно,
чтобы все мультипликаторы удовлетворяли условию |р/| < 1.
В качестве примера исследуем вопрос устойчивости дви-
жений физического маятника [106], представляющего собой
твердое тело, которое может свободно вращаться в определен-
ной вертикальной плоскости вокруг своей точки подвеса.
Предположим, что точка подвеса совершает вертикальное пе-
риодическое движение и ее перемещение, отсчитываемое
вниз по вертикали, описывается периодической (периода Т)
пилообразной функцией, задаваемой на периоде выражения-
ми
т
at, если 0 т ,
f(0 =
аТ , Т . 3 m
—=-at, если тС<-гъ
2	’	4	4	’
at — аТ, если Т t Т.
4
При малых колебаниях маятника уравнение движения имеет
вид
• « iff
х ± -4- х = 0, t Ф xt,
fen
Дх |/=т. = (—. 1)‘+1	(12.13)
1	\	^0 /
где х — угловое перемещение, t — время, I — расстояние
от центра масс маятника до точки подвеса, g — ускорение
т	т
свободного падения, тг ==	+ (i — 1) — (I = 0, ±1, ±2,...).
Знак плюс в уравнениях (12.13) отвечает случаю колеба-
ний маятника в окрестности нижнего положения равновесия,
минус — в окрестности верхнего положения равновесия.
Пусть теперь со — отношение периода возбуждения к пе-
риоду собственных колебаний маятника, а Ь — безразмерная
85
ТУТё
интенсивность импульса движения точки подвеса, © =
4Л R,q
b =^-. Заменяя в уравнениях (12.13) t на -Д t, их можно
nk0
переписать в виде
х±©2х = 0, /#=тг, Дх|«=х. = (— 1/+1 (±Ь)х,
Ъ = -у- + (i— I) л, i^Z
или окончательно в виде системы уравнений
х — ыу, у — ± шх при t ф Tj,
Д«/1^==(- 1)‘+' (±v)x-
(12.14)
(12 15)
Поскольку система уравнений (12.15) является периодической
с периодом 2л (т(+2 — тг — 2л, /+2 — /г), то вопрос устой-
чивости ее решений полностью решается свойствами матрицы
люнодромии Найдем эту матрицу.
Нормальная.фундаментальная матрица системы дифферен-
циальных уравнений из (12.15) имеет вид
/ cos © (t — т) sin © (t — т)\
Щ/, т) =	. J.	.	(12.16)
\—sin©(Z — т)	cos©(£ — т)/
в случае движений в окрестности нижнего положения равно-
весия и
/ch © (t — т) sh © (t — т) \
U(t, т)== . .;.	,	,	(12.17)
'	' \sh © (t — т)	ch © (t — т) /	'
в случае движений в окрестности верхнего положения равнове-
сия. Поэтому матрица монодромии запишется так:
1	0\	,	.	/	1	0\	.	.
1	/ cos ©л	sin ©л\	/	\	/	cos ©л	sin ©л
____L	1 /	\ — sin ©Л	COS ©Л/	\ —	1 )	\ — sin ©л	cos ©л
, ш /	\ ш /
cos 2©л + sin 2©л
1 2©
Ь . о	.о	&а .	0
— sin2 ©л — sin 2©л — sin 2©л
sin 2сол 4- — sin2 ©л
1 со
О	ft3 • 9	6.0
cos 2©л — -г- sin2 ©л — к— sin 2©л
Ш-	Z<±>
(12.18)
86
в случае движений в окрестности нижнего положения равно-
весия и
/ 1 0\ . ,	,	. /	1 0\ .,	,	.
I I/сп сол shconw	I/сп сол бпсолх
l_L i/lshcon ch сол/1_________L i/\shcon chсол/-'
\ CD /	\ w /
/ ch 2сол —	— sh 2сол
I	2<o
\ — sh2 сол + sh 2сол — sh8 2 сол
у co	1	2co2
sh2con-----— slAn	\
(I)	•	I
b	b*	(12J9)
ch 2сол 4- -s— sh2con----r sh2 сол /
1 2co	co2 /
в случае движений в окрестности верхнего положения равно-
весия.
Собственные числа матриц монодромии (12.18) и (12.19)
определяются соответственно из уравнений
X2 — 2 ^cos 2сол---sin2 сол) X + 1 = О,	(12.20)
X2 —2(сЬ2сол sh2 сол) X + 1 = 0.	(12.21)
Поскольку эти уравнения являются возвратными, то оба
корня каждого из них не могут лежать внутри единичного
круга, т. е. тривиальное решение системы уравнений (12.15)
не может быть асимптотически устойчивым. Но корни каждого
из этих уравнений могут лежать на единичной окружности.
Оба корня уравнения (12.20) лежат на единичной окружности
тогда и только тогда, когда выполняется неравенство
| cos 2cort-sin2 сол |	1,	(12.22)
а корни уравнения (12.21) удовлетворяют этому условию,
если
^сЬ2сол----sh2 сол |^1.	(12.23)
Если в (12.22) выполняется строгое неравенство, а это
будет при
0 < тт tg2 лсо < 1,
4соа °	.
(12.24)
87
то корни уравнения (12.20) будут комплексно-сопряженными,
а значит, и простыми. Если же
cos 2лсо--Дг- sin2 сол = 1,
2ы2
что будет при sin2 лсо = 0, т. е. когда со — целое число, то
уравнение (12.20) имеет корень Х1>2 = 1, но этому корню
как собственному числу матрицы монодромии (12.18) соответ-
ствуют простые элементарные делители. При cos2nco —
— 23* s’n2jta,==—1> т- е- ПРИ 4со2 = b2 tg2 лсо уравнение
(12.20) имеет двукратный корень X =—1, но этому корню
соответствуют непростые делители, если его рассматривать
как собственное число матрицы (12.18).
Резюмируя, приходим к выводу, что нижнее положение
равновесия маятника, описываемого системой уравнений
(12.15), будет устойчивым тогда и только тогда, когда
-^Ltg2nffl<l.	(12.25)
Аналогично исследуя неравенство (12.23), приходим к то-
му, что верхнее положение равновесия маятника, описывае-
мого уравнениями (12.14) (в уравнениях (12.14) надо брать
знак минус), будет устойчивым, если выполняется неравен-
ство
1<^<cthW	(12.26)
§ 13. Линейные гамильтоновы системы
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
Систему линейных дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием
-J- = SM(/)x,	Дх|/=Т/ = tJBiX, (13.1)
в которой х = (хх, х2, ..., хг„), А (/) и В[ — симметрические
размера 2п х 2л матрицы, & — так называемая симплекти-
ческая единица
Еп — единичная размера п х п матрица, назовем гамиль-
тоновой или канонической, если матрицы Вс таковы, что
(&Вс)* = 0 для всех i С Z.
88
. В частности, если п = 1, то система уравнений (13.1)
будет гамильтонова, если элементы матрицы
удовлетворяют равенству =yz.
Заметим, что след матриц, определяемых систему уравне-
ний (13.1), равен нулю, т. е. Sp ЗА (t) = Sp = 0.
Это следует из того, что для любой симметрической матрицы
А размера (2n х 2n) Sp (SM) — 0. Действительно, если
д= (Al
где Лх, Л2, А3 матрицы размера
л2\
л3/’
(п х м), то
ад __ ( 0 ДЛМХ Л2\__________ / А2 Л3\
~\-—Еп оДл2 Л3/“Д—Дх -AJ’
и, следовательно, Sp (ЗА) = 0.
Решения линейной гамильтоновой системы (13.1) обла-
дают важным свойством, выраженным утверждением следу-
ющей леммы.
Лемма 13.1. Для любых двух решений х (t) и у (t) линей-
ной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием (13.1) их симплектическое скаляр-
ное произведение, т. е.
(x(t), 3y(t))	(13.2)
постоянно. Аналогично, если A (t) и Y (t)—матричные
решения линейной гамильтоновой системы (13.1), то
ХТ (t)3Y (t) = C,	(13.3)
где С — постоянная (2п х 2п)-матрица.
Доказательство. Если х (t) и у (t) — два реше-
ния уравнения (13.1), то при t #= т(
(х (/), зу {t)) =	, зу (/)> + (х (о, я	=
= (ЗА (t) X,	Зу (0) + (X (0,	(t) у) =
= (3T3A(t)x, у) +(х(/), ЗгА (t)y).
Учитывая то, что 3Т =—3 и J2 =—Е2п, из последнего ра-
венства имеем
(х (t), Зу (t)) = (Л (0 х, у) — (х, А (0 у).
89
Отсюда, в силу симметрии матрицы A (t), получаем
<^(0, ^(0> = 0, <х(!), ^y{t))=Ci	(13.4)
для всех t £ ]Т(, т(+1[.
Остается показать, что постоянные Ct равны, т. е. не за-
висят от i. При t = т; имеем
(х (т, + 0), Зу (ху -J- 0)) = {(Е 4- 3^В() х (т(), 3 (Е 4-
4- 9Bi) у (т()) = (х (т/), Зу (х{)) 4- <х (xi), g2Bty (xt)} +
4- (ЗВ#, 9у) 4- (t/BiX, ^Bty) — (x(Xi, ^y(xi)) —
— (x (Tf), Bty (xi)) 4- (Btx, y) — (Bit/Bix (xi), у (xi)).
Из равенства (ЯВ^2 = 0 следует, что BfiBt = 0, поэтому,
в силу симметрии матриц Bit окончательно получим
(х (т,- + 0), 8у (Т( + 0)) = (х (Тг), 9у (т;)).
Таким образом, доказано, что для всех t £ R
(x(t), %y(t)) — const.
Аналогично доказывается справедливость равенства (13.3).
Предположим, что система уравнений (13.1) является Т-
периодической, т. е. матрица А (!) этой системы удовлетворя-
ет равенству А (! 4- Т) — А (!) и существует такое натураль-
ное число р, что
Bi+P = Bi, Tf+p = xi 4- Т	(13.5)
для всех i € Z.
Раньше чем изучать свойства решений периодической га-
мильтоновой системы уравнений, напомним некоторые свой-
ства возвратных алгебраических уравнений, т. е. уравнений
вида
f(X) = z,n 4-аД"-1 4---4-а„_,Х 4-1 = 0,	(13.6)
в которых коэффициенты а/ удовлетворяют равенству
а/ = апЧ (/=1,2,...........п-1).	(13.7)
Отсюда следует, что для возвратного многочлена F (X) спра-
ведливо тождество
f(T) = T?fW	(13-8)
Обратно, если для многочлена F (X) выполнено тождество
(13.8), то этот многочлен возвратный.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 13.2. Если X = Хо — корень возвратного уравне-
ния (13.6) г то и X =-^~ является корнем этого уравнения
90
той же кратности. Кроме того, если это уравнение имеет
корень 1 = 1, то кратность этого корня четная; если же это
уравнение имеет корень А. = —1, то кратность этого корня
четная, если п четно, и нечетная, если п нечетно.
Доказательство этого утверждения можно найти, напри-
мер, в [29, с. 2111.
Для периодической линейной гамильтоновой системы диф-
ференциальных уравнений с импульсным воздействием (13.1)
имеет место следующая теорема.
Теорема 13.1. Если линейная гамильтонова система урав
нений (13.1) является Т-периодической, то характеристи-
ческое уравнение
F (А) = det (КЕ — X (Т)) = О,
где X (Т) — матрица монодромии, является возвратным.
Доказательство. Пусть X (t), X (0) = Е — нор-
мальная фундаментальная матрица решений периодической
системы уравнений (13.1). В силу утверждения леммы (13.1)
ХТ (t) ЗХ (t) = С. Полагая в этом равенстве t = 0, находим,
что С =с7 и, следовательно, Хт (t)3X (t) = 3. Отсюда полу-
чаем X* (Т)ЗХ (Т) = 3. Так как det 3 = det 3~{ = 1, то
имеем
F (-J-) = det Е — х (®)) = det (Е — XX (Т)) =
= det (Е — АХТ (Т)) = det (ЗЕЯ~' — А^Х-1 (Т) д~')=
= -4г det det (Е — АХ-1 (Т)) det =
= -L. det Х"] (Т) det (А£ - X (Т)) = -~ F (A) det X"1 (Т).
* Л	Л
(13.9)
Для завершения доказательства теоремы остается доказать,
что det X-1 (Т) =1. Матрица X (Т) имеет вид
1
X (Г) = и (Т, тр) П (Е + &В{) и (т<, Tf_i), т0 = 0,
т=р
где U (t, т) — матрицант системы уравнений
-гг = 9Л<')*-
91
Поскольку Spc7 A (f) = 0, то согласно формуле Лиувилля —
Остроградского
t
§ SpA(a)do
det(7(/, i) = deti/(T, т)	= det U (т, т) = 1,
и, следовательно,
detX(T) = П de/(£ +
;=|
Матрицы Bt удовлетворяют условию (3BJ2 —0, поэтому
можно доказать, что det (Е + е?Д) — 1. Действительно, мат-
рицу Е	Вt можно представить в виде Е + 3Bt = e^Bl,
а значит, Е + 3 Bet =^в^. Но есть матрицант систе-
мы дифференциальных уравнений	• 
= $BiX'
at
поэтому
i
J
det (E + 3BJ) = det = det E e° = det eSp^.
Отсюда, поскольку Sp<7Вt = 0, имеем det (£ +	=1.
В частности, при t = 1 получаем, что det (£ + <7В() =1.
Таким образом, det X (Т) = 1, а, значит, и det Х~' (Т) =
= 1, поэтому из (13.9) имеем
F[±U-tF(X),
\ к I к2п '
а это доказывает, что уравнение F (X) =0 возвратное.
Из доказанной теоремы следует, что гамильтонова линей-
ная периодическая система (13.1) не может быть асимптоти-
чески устойчивой.
Теорема 13.2. Линейная гамильтонова периодическая систе-
ма устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультиплика-
торы pj расположены на единичной окружности и имеют
простые элементарные делители.
Рассмотрим систему уравнений с импульсным воздействи-
ем
х-{-Л1(0х = 0, t=^xi,	(13.10)
Дх . = В°(х,
92
j л
з которой Лх (0 — симметричная Г-периодическая матрица,
3? — симметричные матрицы такие, что В?+ = В? для всех
£ Z, и некоторого натурального р, моменты таковы,
ITO тг+р =тг + Т.
Представим уравнение (13.10) в виде системы уравнений
Л У'
-^- = — Al(t)x,
Ду|^ = В°1Х, <13Д1)
или
4-M = SM(/)M, /=/=т„	(13.12)
а \У/	\ У /
где
Л(0 =
Поскольку матрицы А (/) и В{ симметричны и
0 0\ /0 0\	/0 0\
в? оДв? 0/	\о о)’
то справедлива теорема.
Теорема 13.3. Характеристическое уравнение матрицы
монодромии системы уравнений (13.12) возвратное.
В качестве примера рассмотрим линейную гамильтонову
систему двух уравнений с импульсным воздействием
' dx	. , — = ах + by, dy -yr = сх — ау, dt	Дх|/=гг = ах + 01/, t^Xi,	(13.13) Дг/|(=Т; = ух — ау,
в которой а, Ь, с, а, 0, у — действительные числа, причем
а2 4- 0у = 0, а последовательность моментов тг такова,
что
Ti+i =	+ Т.
Систему уравнений (13.13) можно записать в виде
= Я Az, I ф ть Az|j=^ = #Вг,
93
где
b)'	\ а
уравнений
а ( ° 1\
1 О/'
Исследуем вопрос устойчивости решений системы
(13.13). Поскольку эта система является Т-периодической,
то для этого достаточно исследовать собственные числа ее
матрицы монодромии.
Пусть а2 + Ьс > 0. В этом случае матрицантом системы
-~ — вх — ау	(13.15)
будет
(ch со (t — т) 4- — sh (t — т)
и G, т) = I
\ — sh со (t — т)
\ (0	'	'
— sh (/ — т)	\
(О '	’	I
ch со (t — т)-sh со (/ — т) I
где со = У а2 4- Ьс.
Поэтому матрица монодромии имеет вид
(chcoT4-~ shcoT — shcoT	\
(О	О)	I
X
— sh соТ	ch соТ--— sh соТ /
и	со	у
/1 4~® Р \
\ у 1—а/
Собственные числа этой матрицы — корни уравнения
X2 — SpX(T)4-detX(D = 0.	(13.16)
Непосредственные подсчеты показывают, что
Sp X (Т) = 2 (ch соТ 4- ^х^+.‘£ sh соТ),
94
4 det X (T) = 1, ибо равен единице определитель каждой из
Щйтриц-сомножителей X (Г).
Таким образом, уравнение (13.16) принимает вид
V — 2 (ch соТ + 2aa+2bj+cp sh сот) X + 1 = 0. (13.17)
Решения системы уравнений устойчивы, если корни урав-
нения (13.17) различны и по модулю равны единице. Это
будет при
| ch соТ + 2аа	sh соТ | < 1.	(13.18)
Если же
ch соТ + 2аа+2ЬУ + сР. sh соТ | > 1,	(13.19)
то решения системы уравнений (13.13), в которой а2 +
4-	Ьс> 0, неустойчивы.
Пусть а2 + Ьс < 0. Тогда матрицант системы (13.15) бу-
дет
(cos со (t —т) + — sin со (t — т)
с
— sin со (t — т)
— sinco(/ — т)	\
(О	'	’	I
cos со (t —т)--sin со (/ — т) I
Где со = У — (а2 + Ьс).
Следовательно, матрица монодромии имеет вид
(cos соТ -4- — sin соТ — sin соТ	А
1 ш	с	I
X
— sin соТ	cos соТ--— sin соТ /
со	со j
/1 +<Х (J \
xl V 1-J’
а ее собственными числами есть корни уравнения
V — 2 (cos соТ +	Sin сот) Х+ 1 = 0. (13.20)
95
Таким образом, если в системе уравнений (13.13) а2 +
+ Ьс < 0, а2 + Ру = 0, то ее решения устойчивы, если
I cos сот+ ^Ш^-sin сот <1,
I	1 2со	’
и неустойчивы, если
(13.21)
m | 2йСС -р 4~ С-В 	'Т1 I 1
cos соТ 4-----Л-1—— sinсоТ > I.
1 2ш	I
Пусть а2 + Ьс — 0. Тогда матрицант системы
(13.15) есть
(13.22)
уравнений
.... ч /14-а(^ —т) b(t — т) \
’ Т \е(/ — т) 1 — a(t— х))’
а матрицей монодромии является матрица
у /чл /1 +аТ ЬТ \ /1 + а Р \
Л <7 I =	I
\сТ 1—аТ)\у	1— а/
Характеристическое уравнение этой матрицы
X2 — 2^1	П + 1 =0.
Итак, если параметры систем уравнений (13.15) удовлетво-
ряют условиям
а2 + Ьс =0, а2 + Ру = 0, 1 + аа + с-
то решения этой системы устойчивы, если же
I	by 4- ср I
1 + аа + И- > 1,
то неустойчивы.
§ 14. Периодические решения одного уравнения
второго порядка
Рассмотрим линейную дифференциальную систему с им-
пульсным воздействием
х 4- со2х = 0,	х{,
Ax|/=Tj = ах + Ьх.	Ц4 д)
Будем считать, что моменты т(- равноудалены друг от друга.
Выясним вопрос: может ли данная система иметь периодиче-
ские решения и как зависит частота следования импульсов
от параметров системы, если имеются периодические решения?
96
Запишем уравнения (14.1) в следующем виде:
dx.	du	, ,
— =ЫУ’ -^-=-ах>
Ду|^ = -^-х + Ьу.	(14.2)
Поскольку моменты импульсного воздействия г{ равно-
удалены друг от друга, то система уравнений (14.2) является
периодической с периодом Т — t^i — Т; и вопрос существо-
вания периодических решений у этой системы определяется
ее мультипликаторами.
Фундаментальной матрицей системы уравнений
=	-^-=-сох	(14.3)
at v at	'	'
является матрица
XU. ,)-/
\— sin со (t — т)
sin со (t — т)'
cos со (/ — т)
поэтому матрица монодромии уравнений
Х(Т)=( ms“'r s'n“”Y‘
\ — sin со71 coscoT/l —
'	7 \ (О
(14.2) будет
sin соТ
cos соТ
(Ь 4- 1) sin соТ
(Ь 4- l)coscoT
(14.4)
Отметим, что пока речь идет о периодических решениях си-
стемы (14.2), подвергающихся импульсному воздействию один
раз за период, т. е. о Т-периодических решениях.
Запишем характеристическое уравнение матрицы моно-
дромии
р2 — sin соТ 4- (Ь 4- 2) cos со?) р 4- b 4- 1 = 0. (14.5)
Система уравнений (14.2) имеет Т-периодические решения,
V если единица является корнем уравнения (14.5), т. е. когда
&4-2 = sin соТ 4- (6 4- 2) cos соТ
или
b 4- 2 = -~ctg-^—либо sin-^r— = 0.	(14.6)
(О	<L	4
7 6-2863
97
Если sin-у-= О, то
/ 1
Х(Т) = (а
\ ш
О '
Ь+ 1
и начальные точки периодических решений определяются
из системы уравнений
или
-~-xo + byo = Q.	(14.7)
Но всякое решение уравнений (14.2), начавшееся при t =
= Tt — 0 в точке прямой — х 4* by = 0, не подвергается
импульсному воздействию и описывается функциями
х (0 = хоcos ® (* — тс) + У о 5*п и (t — xi)>
y(t) = — х0 sin СО (t — Tr) y0 cos co (t — T;),
-%-xo + byo = O.
Таким образом, если co (ti+i —Tt) = 2fen, k = 1, 2....to
исходное уравнение (14.1) имеет однопараметрическое се-
мейство непрерывных периодических решений
X (0 = Х0 COS СО (t — Тг) 4- -у- sin со (t — xt),
ах0bx0 = 0.	(14.8)
Пусть sin -^у	0, тогда система уравнений (14.2) имеет
периодические решения, если
& 4-2 =-^-ctg-^y~.	(14.9)
Начальные значения периодических решений определя-
ются из системы уравнений
(х0\
(Х(Т)-Е) ° =0,
\Уо/
93
которая в данном случае равносильна уравнению
(SrctS"¥----!)*о4-04- l)ctg-^-t/0 = 0- (14.Ю)
С учетом условия (14.9) уравнение (14.10) при а =/= 0 можно
записать в виде
(Ь+1)(хо+-^±^-Уо^О.	(14.11)
Отсюда видно, что при а =/= 0 и b Ф —1 система (14.2)
имеет семейство периодических решений, проходящих при
t = Tf — 0 через точки (х0; у0) такие, что
ах0 + (^ + 2) wy0 = 0.	(14.12)
Это будет при условии, что импульсному воздействию систе-
ма подвергается в моменты такие, что t^i —	= Т,
где Т удовлетворяет равенству (14.9).
Если а = 0 и b = —2, то система (14.2) имеет семейство
периодический решений, проходящих при t = через точки
прямой
। соТ п
хо + ctg 2 У ° — 0'
если же а = 0 и b Ф —2, то при sin у#- 0 у системы
(14.2) нет периодических решений, подверженных импульсному
воздействию один раз за период.
Если b = —1 и импульсы следуют с периодом Т таким,
что ctg -^ = -у, то все решения системы уравнений (14.2)
Т-периодические.
Вопрос устойчивости указанных периодических решений
системы уравнений (14.2) определяется корнями уравнения
(14.5). Во всех случаях существования периодических реше-
ний системы уравнений (14.2) корнями уравнения (14.5) яв-
/ляются
Pi — 1» Ра = + 1>
поэтому периодические решения уравнений (14.2) будут
устойчивы, если
— 2<6^0.	(14.13)
Исследует вопрос существования периодических решений
- уравнения (14.1), подвергающихся импульсному воздействию
• дважды за период. Тогда матрица монодромии
1	0
6+1
coscoT sin
— sin со? cos соТ
W
7 cos со/ sin GJ A [
\—sin co/ cos co/ /\— 6+1
'	z \ CO
(cos co Г —— sin coT 1 +
I	‘CO	I
+ (b + 1) sin to? (— sin coT + cos coT
cos coT + -jj- sin coT + (b + 1) cos co7j x
X I — sin coT + — cos coT
1	co
\
i cos coT + sin coT | (b + 1) +
+ (b + I)2 sin coT cos coT
(b + 1) sin coT I — sin coT +
, (14.14)
+ -^-cos coT) + (b + I)2 cos2 coT
а ее характеристическое уравнение:
p2 — [(b + l)2cos2<oT + 2 (b + 1)^— sincoT + -^-cos co7^ X
X sin coT + ^cos coT + ~~ sincoT^ j P + (1 + 6)2 = 0. (14.15)
Единица является корнем уравнения (14.15), если
[(b + 2)2---sin2 соТ = (Ь + 2) sin соТcos а>Т, (14.16)
т. е. когда выполняется одно из равенств sin соТ = 0,
а & со (Ь + 2) tg или а = — со (Ь + 2) ctg . (14.17)
Рассмотрим каждый из этих трех случаев отдельно.
1.	Пусть sin соТ = 0, т. е. соТ = fen, fe = 1, 2, .... Си-
стема уравнений для определения начальных точек перио-
дических решений
(14.18)
100
эквивалентна уравнению
Ф + 2) (^-x. + by^ =0.	(14.19)
Отсюда при b = —2 все решения системы (14.2) периоди
гр, 2kn
ческие с периодом Г = ——, если импульсы следуют с перио-
дом Т = ~ , k = I, 2.......
Если же b ф —2, то периодические решения порождают-
ся только точками (х0; у0), лежащими на прямой ах 4-
+ bay — Q. Такие периодические решения, как мы уже от
мечали, являются непрерывными.
2.	Предположим, что а = со (Ь 4- 2) tg . Тогда система
уравнений (14.8) эквивалентна уравнению
[Л	/ /7^	\	1
А-ф + 3) + (-^--6- 1 j tg соТ j х0+
+ (b + 1) tg аТ + (b + 1) (Ь + 2)1 у. = 0
или
Ф + 1)(ах0 4-соф 4-2)у0) = 0.	(14.20)
Отсюда видно, что если в системе (14.2) b = —1 и импуль-
сы следуют с периодом Т — у 4- arctg ^-j, k = 1,
2, ..., то все решения системы (14.2) периодические с перио-
дом 2Т. Если же b Ф—1, то периодические решения порож-
даются точками, лежащими на прямой ах + со ф + 2) у — 0-
Их период 2Т определяется из уравнения а — а ф + 2) tg-^ .
Указанные 2Т-периодические решения, как следует из пре-
дыдущих исследований, являются Т-периодическими.
3.	Существование 2Т'.-периодических решений, не явля-
ющихся Т-периодическими, определяет третье равенство из
(14.17). Тогда система уравнений (14.18) эквивалентна урав-
нению
Ф 4- 1) (ах0 со ф + 2) у0) = 0,
т. е. тому же уравнению (14.20).
Отсюда делаем вывод: если импульсы следуют с периодом
Т таким, что а = —со ф 4- 2) ctg~ , то система (14.2) не
имеет Т-периодических решений, но у нее есть 2Т-периоди-
ческие решения, причем в случае b — —1 порождающей
lot
такие периодические решения является любая точка (х0;
г/о) плоскости, а при b —1 такие решения порождают точки
прямой ах + (р + 2) у = 0.
Рассмотрим случай, если а2 = <о2 (Ь + 2)а, т. е. когда воз-
можны периодические решения в случае следования импуль-
сов с периодом Т таким, что cos иТ = 0, tg = ±1.
В данном случае начальные значения периодических решений
определяются из уравнения
(Р 1) ((Р + 2) х0 —— уо j = 0.
Если предположить, что а 0, то это уравнение запишется
в виде
(Р + 1) РР + 2) х0 + | b + 2 | у0) = 0. w
Отсюда следует, что все решения системы уравнений будут
периодическими при b = —1, а = <о, либо b = —2, а = 0.
В остальных случаях 2Т-периодическими будут решения,
начинающиеся в момент действия импульса на множестве
х0 + sign (b + 2) уо = 0.
Уравнение (14.15) в случае существования 2Т-периоди-
ческих решений имеет решения рх = 1, ра = (1 + &)2, по-
этому нетрудно установить, что рассматриваемые периоди-
ческие решения системы уравнений (14.2) будут устойчивыми,
если —2 b < 0.
ГЛАВА 3
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 15. Линейные системы с постоянными
и почти постоянными матрицами
В § 8 приведены две общие теоремы об устойчивости реше-
ний линейных импульсных систем. В настоящем параграфе
будут доказаны теоремы об устойчивости решений линейных
систем с постоянными матрицами.
Рассмотрим систему уравнений
= Ах, t^^i, &x\t.^t~Bx,	(15.1)
в которой матрицы А и В — постоянные, а моменты импульс-
ного воздействия занумерованы множеством натуральных
102 .
чисел в возрастающем порядке и такие, чтот(-> + оо при
i -> оо. Не ограничивая общности рассуждений, будем счи-
тать, что > 4, где t0 — начальный момент.
Как показано в § 6, любое решение х (t, х0), х (t0, х0) =
= х0 уравнений (15.1) определяется формулой
x(t, х0) = X(t, t0)x0,	(15.2)
где
X (t, t0) = е^~Н} П (Е + В) еЛ(тГт/-1\ г0 = /0,
Т/</<т/+1.	(15.3)
Из указанного представления решений видно, что в общем слу-
чае нельзя сформулировать необходимые и достаточные ус-
ловия устойчивости решений системы уравнений (15.1) в
терминах собственных чисел матриц этой системы, как это
имеет место для систем обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами. Однако в некото-
рых частных случаях это возможно. Так, например, если мо-
менты времени т; равноудалены друг от друга, т. е.
T/+i —tz = 0>O, z G N,	(15.4)
то вопрос устойчивости решений уравнений (15.1) полностью
решается собственными числами матрицы (Е 4- В)еАв, ибо
система уравнений (15.1) в этом случае является периодиче-
ской (р = 1, Т = 0) (по крайней мере, при t тг), а указан-
ная матрица есть ее матрица монодромии. Таким образом,
справедливо следующее утверждение.
Теорема 15.1. Пусть в системе уравнений (15.1) моменты
импульсного воздействия удовлетворяют равенству (15.4).
Тогда решения этой системы уравнений: а) устойчивы тогда
и только тогда, когда собственные числа матрицы (Е + В) eAQ
лежат в единичном круге, | X |	1 комплексной плоскости,
причем собственным числам, лежащим на границе этого круга,
соответствуют простые элементарные делители; б) асимп-
тотически устойчивы тогда и только тогда когда все соб-
ственные числа матрицы (Е 4- В) eAQ удовлетворяют нера-
венству | К | < 1.
Интересным представляется также случай, когда матрицы
А и В коммутируют, т. е. АВ = ВА. В этом случае матрич-
ная экспонента коммутирует с матрицей В и матрицант X (t, t0)
представим в виде
X (t, t0) = eA{‘~h) (Е 4- B)l(t“t} '	(15.5)
103
Предположим, что моменты импульсного воздействия удов-
летворяют условию
О < 0Х <	— tz < 02.	(15.6)
Пусть
а = шах 1/ (Л), р = max (1 + Re Хх (В)).
/'	i
Тогда матрица eA(t-^ при t t0 допускает оценку
||еЛ(/“'о)И1е(“+еМ/_/о,> е>0, Кх>1,	(15.7)
а для матрицы (Е + В)(<М) справедливо неравенство
ЦЕ + В)1М\\^К2Ф + ^М\ К2 = К8(е)>1. (15.8)
С учетом этих неравенств имеем
II * & to) II KiK2e(a+eXZ-'o) (р +	<
< К1К2е(а+8)9° (е(а+8)е“ (р 4- e))i(W),	(15.9)
где
е	(
|02, если а<0.
Из (15.9) следует, что если е“0»р < 1, то || X (t, t0) || -> О
при оо, ибо число е>0 можно выбрать как угодно ма-
лым, именно настолько малым, чтобы
^а+8)0» (р 4-g) < 1.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 15.2. Пусть в системе уравнений (15.1) матрицы
А и В коммутируют, а моменты времени tz удовлетворяют
условию (15.6). Если
шах X/ (Д) 4- -J— In max 11 4- Ху (В) | < О, (15.11)
/ °0 /
где 0О определяется соотношением (15.10), то решения систе-
мы уравнений (15.1) асимптотически устойчивы.
Отметим, что если в уравнениях (15.1) матрицы Л и В
коммутируют, матрица Е + В невы[ ождена, а моменты вре-
мени т; удовлетворяют равенству (15.4), то без ограничения
общности можно считать, что т( = t0 4- i‘0, i = 1, 2, ... .
^огда матрицант X (t, t0) можно представить в виде
О512)
где | и {——у2-} —соответственно целая и дробная
t —1„	Л
части числа —л-—, поэтому необходимые и достаточные усло-
104
вия устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчи-
вости решений системы уравнений (15.1) легко выражаются
через собственные числа матрицы
А + -1- In (Е + В).	(15.13)
Такой переход от исследования собственных чисел матрицы
еАв (Е + В) к исследованию собственных чисел матрицы
(15.13) удобно использовать, если матрицу In (Е 4- В) легче
вычислить, чем матрицу еАв.
Пример. Пусть линейный осциллятор
х 4- 2Хх + ю2х = 0, (о2 > X2,
подвергается импульсному воздействию в момент прохожде-
ния с неотрицательной скоростью, изображающей точкой
прямой х = 0 в фазовой плоскости (х, х). Предположим, что
в результате действия импульсной силы в системе изменяется
количество движения на величину, пропорциональную ве-
личине скорости в момент действия импульса.
Таким образом, движение осциллятора описывается урав-
нениями
х + 2Хх 4- ®2х = 0» х 0,
Ах |х=0 —
Ьх, если х 0,
0, если х<0
или
X = (ОУ,	. _
х=£0,
у = —ох — 2Ху,
\„i	_ f by, если у > 0,
*У |х=0 — <
10, если у <2 0.
(15.14)
Пусть (х (0, у (0) некоторое решение системы уравнений
(15.14), проходящее при t = 0 через точку (х0; у0). Обозначим
через Т; решения уравнения х (/) = 0, при которых у (тг) >
> 0, т. е. г; — это моменты времени, в которых функция
у (0 терпит разрыв.
Решение (х (/), у (/)) системы уравнений (15.14), очевидно,
является решением такой системы уравнений!
X = (ОУ,	. п
х=£0
у = — (ох — 2Ху,
^y\t=Xi = by,
105
которую запишем в следующем виде:
Х ~	t^= т«, Дх |/=Т( = Ьх,
у = — сох — 2Ху,
^y\t=xt = by. (15.15)
Так записать можно, поскольку х (т() = 0. Если систему
уравнений (15.15) записать в векторно-матричном виде, то
матрицы А и В этой системы
А = ( 0	В-(Ь °)
•	у—® —2Х/	\0 Ь)
коммутируют.
Можно убедиться, что при b > —1	равноудалены друг
от друга
т =	2"	.	(15.16)
+	(	/о>2 —л2	'
Таким образом, устойчивость решений системы (15.15)
полностью определяется матрицей (15.13), которая в данном
случае имеет вид
(]Ао2 — Л,2	\
----2Й---1п (1 + Ь) (О
-а+Г^|[|(, + д))-
Ее собственные числа равны выражению
pli2 = - X + Г In (1 + fe) ± I	. (15.17)
Следовательно, при b > — 1 решения системы уравнений
(15.15) будут устойчивы тогда и только тогда, когда
-Х+ ^Z2,?_ln(l+&) = 0,
асимптотически устойчивы тогда и только тогда, когда
и неустойчивы, если
-* + Г(°а27^-1п(1+б)>о.
Если же 6 = —1, то любое решение системы уравнений
(15.14) после первого же действия импульса перебрасывается
Юб
в начало координат. Если же b <Z —1, то
а матрица (15.13) имеет вид
( (In 11 + 14- ? (2fe 4-1) я)
\—со
(О	\
_ 2Х +	(in ] 1 + ь I 4- (2k + 1) inj .
Ее собственные числа
pli2 = - X + 	In 11 + Ь | + 2tfey со2 - Ха,
k = 0, ±1, dr 2, ...»
и, следовательно, вопрос устойчивости решений системы урав-
нений (15.15) определяется знаком выражения
л . рЛй>2 — X2 < 1 < . . ।
— х4--2—--------1п|14-Н
Если это выражение равно нулю, то решения (15.15) устой-
чивы, если это выражение меньше нуля, — асимптотически
устойчивы, и если это выражение больше нуля, то решения
системы (15.15) неустойчивы.
Следует заметить, что в случае устойчивости решение
(х (0> У (0) является периодическим.
Докажем еще две теоремы об устойчивости решений урав-
нений (15.1). Не ограничивая общности рассуждений, счита-
ем, что в системе (15.1) матрица А взята в действительной
канонической форме, т. е. А = diag {Dlt ..., Dm}, где
0 1 0 ... О О
0 0 1 ... 0 0
.Dy °® ХуЕ -|~ Z —
О 0 0 ... О 1
о о о ... о о
если X/ — действительное собственное число матрицы А и
£>/ — /гру (X/, Ху) — diag {Sa, ..., S2} 4- 8i^2py»
W7
где
^2ру —
О
О
О
О
Е2 О
О Е2
О о
о о
о о
О О I Q “ ₽\ р 0
О Е2 ’ 2 Д-Р а? 2 До 1
О о
'К/, к/ — а ± /р, если к;, к] — пара комплексно сопряженных
собственных чисел матрицы А.
Говоря о действительной канонической форме матрицы А,
мы предполагаем, что параметр вх, характеризующий эту фор-
му, достаточно мал.
Приведем одно достаточно общее условие, обеспечивающее
асимптотическую устойчивость решений системы уравнений
(15.1). Нам понадобится следующее утверждение [11].
Лемма 15.1. Пусть А — матрица в действительной кано-
нической форме; ..., кп — ее собственные числа; вх > 0; у =
= max Re kj. Тогда для всех t 0
i
||еЛ‘х||<^+^||х1|,	(15.19)
где
||х||2 = (X, X) = £ X/.
/=1
, Теорема 15.3. Пусть в системе уравнений (15.1) матрица
взята в действительной канонической форме, а моменты ту
таковы, что равномерно по t^tQ существует конечный предел
1шД^~? -Р’
(15.20)
еде i (t, t А- Т) — количество точек последовательности {т(}>
принадлежащих промежутку [t, t + Т]. Положим
у = max Re kj (Л), а2 = max kt ((£ + В)Т (Е В)).
/ /
Если выполнено неравенство
у + /?1па<0,	(15.21)
то решения системы уравнений (15.1) асимптотически ус-
тойчивы.
Доказательство. Для любых двух решений урав-
нений (15.1) х (0, х (4) = х0 и у (/), у (/0) — у0 справедливо
представление
х (0 - у (0 =	П (£ + В) еА(т/-т/-1) (х0 - уй).
to<ij<t
108
В силу условия теоремы и утверждения леммы 15.1 имеем
IIX (0 — у (О II <	|| х0 _ у01|( t > t0.
Из предположения о существовании предела (15.20) следует,
что для любого е8 > 0 можно указать такое К = Ё (в2), что
aW) /<е(е«+р 1п
следовательно,
II х (0 — у (01| < Ke<e>+E»+v+p in «)(<—#о> || xQ — у0 fl, t > f0,
что и завершает доказательство теоремы, ибо из последнего
неравенства в силу (15.21) следует, что || х (t) — у (/)||->0
при /->оо, поскольку числа ej и е2 можно брать достаточно
малыми.
Теорема 15.4. Пусть матрицы А и В коммутируют,
матрица Е + В невырождена, а последовательность момен-
тов {т(} такова, что равномерно по t t0 существует конеч-
ный предел (15.20).
Тогда 1) если вещественные части всех собственных чисел
матрицы Л = А + р In (Е + В) отрицательны, то решения
уравнений (15.1) асимптотически устойчивы; 2) если же
среди собственных чисел матрицы Л имеется хотя бы одно
число с положительной вещественной частью, то решения
системы уравнений (15.1) неустойчивые.
Доказательство. Поскольку матрицы А и В ком-
мутируют, то для любых двух решений х (t) и у (f) уравнений
(15.1) имеем
х (0 - у (0 = (Е + В)1<м (х0 - у0),
или
х (I) — у (I) = е(Л+р 1п (Е +	II х0 — у о
(15.22)
В силу существования предела (15.20) можно указать та-
кую постоянную > 0, что
|| (Е +	||«- К1ее«~и (15.23)
для всех t t0, е > 0.
Если вещественные части собственных чисел матрицы Л
отрицательны, то можно указать такие числа К > 0 и у > 0,
что
lle^lK/te-v*, />0.
С учетом этого из (15.22) получаем
h (0 - у (0 к	ho - Уо |.
t>t0.
109
Полученная оценка разности двух решений уравнений
(15.1) доказывает первую часть теоремы. Для доказательства
второго утверждения теоремы нам понадобится следующая
лемма.
Лемма 15.2. Если, среди собственных чисел матрицы Л име-
ется хотя бы одно число с положительной вещественной
частью, то для любого xQ £ R" из любой его окрестности
можно указать такой вектор у01 что
И еЛ' (х0 - у0) 1| > № Ч i > о. (15.24)
Действительно, пусть Т такая матрица, что ТАГ"1 = J,
где J — жорданова форма матрицы Л, тогда
еЛ< (х0 - у0) = T~'eJlT (х0- у0).	(15.25)
Учитывая блочно-диагональную структуру матрицы eJt,
можно указать такой ее диагональный элемент lrr = ек°*,
что все элементы /Ог-го столбца матрицы eJt при г =/= j равны
нулю.	'
Выберем у0 таким образом, чтобы вектор Т (х0 — у0) имел
отличную от нуля только r-ю компоненту. В качестве у0 можно
взять вектор	'
Уо^Хо — T^z0)
где г0 — фиксированный вектор, r-я компонента которого
отлична от нуля, а все остальные равны нулю.
Выбрав указанным образом вектор у0, можем написать,
согласно (15.25),
в (х0 — у о) =Т е Zo
или
eltZo = TeM{Xo — у0)-
Поскольку вектор eJtz0 имеет отличную от нуля только г-ю
компоненту, которая равна ех»*г*. то
|| e“zo || = | e^z* | = || Тем {Xq _ Уо) ц	ц Т ц ц {Xq _ Уо) ц.
Окончательно имеем оценку
II (х0 — у о) || > yjy eRe V | г* |,
которая приводит к неравенству (15.24) при условии
по
Завершим доказательство теоремы. Так как матрицы А
и В коммутируют, что равенство (15.22) можно представить
в виде
(£ + В)р^-^л (х (0 — у (/)) = е(Л+р 1п (£+В))(/_/о) (х0 — у0).
Для заданного х0, выбирая вектор у0 так, как указано в
лемме 15.2, приходим к неравенству
(£ + В)	(x(t) —у (/)) || > £eRe м-/о), t > t0, (15.26)
где К > 0, Хо — собственное число матрицы Л, вещественная
часть которого положительна.
Поэтому в силу (15.23) из (15.26) имеем
£eRe w~/o) < || (£ + B)p(t~ta}~iM (х (/) — у (/)) || <
<£1^-Чх(0-у(011
или
IIX (0 - у (0II >	6(Re , t > t0,
что и завершает доказательство теоремы.
Рассмотрим наряду с уравнениями (15.1) систему уравнений
= Ах + Р (0 х, t ф
Дх р=т. = Вх 4- 1рс,	(15.27)
в которой Р (0 — непрерывная (кусочно-непрерывная) при
t матрица, Ц — постоянные матрицы.
В § 8 получены условия, которым должны удовлетворять
матрицы Р (t) и £, чтобы из устойчивости решений уравнений
(15.1) следовала устойчивость решений системы (15.27).
Теорема 15.5. Если решения системы уравнений (15.1)
экспоненциально устойчивы, матрицы Р (t) и Ц удовлетворяют
неравенствам
II р (ОК с, IIЛ К С	(15.28)
при достаточно больших t и I, с — достаточно малое поло-
жительное число, а моменты tz удовлетворяют условию (15.6),
то решения уравнений, (15.27) экспоненциально устойчивы.
Доказательство. Пусть X (t, т) — матрицант
системы уравнений (15.1). По условию теоремы для него при
некоторых положительных К и у верно неравенство
||Х(/, T)||</(e-v«-^), t^x.	(15.29)
ill
Для любых двух решений х (О, х (4) = х0 и у (/), у (t0) —
= у0 системы уравнений (15.27) справедливо представление
x(t) — y(t) = X(t, t0)(х0 — у0) + JX(t, т)Р(т)(х(т) —
io
— у (т)) dx + S х (t, TZ) It (x (Xi) — у (Xi)),
из которого, в силу неравенства (15.29), имеем
ev(i-io) || x(t) —у (t) || X || х0 — у о || +
+ J /<ет(т-/о) || р (т) || || х(х) —у (т) || dx +
io
+ s ^-/»)||Л||||х(тг)-у(гг)||.
Пусть Т > to — такой момент времени, что при t > Т,
> Т одновременно выполняются неравенства (15.28). Тог-
да из последнего неравенства с учетом (15.28) при t > Т имеем
t
|| х (/) — у (f) || С 4- j /СсеТ(т-^) || х (т) — у (х) || dx 4-
т
+ S /<Се^Цх(т.)-у(тг)||,
гДв
G «= к II *0 — У ОII + J	IIР (т) IIII х (т) — у (х) || dx 4-
+ S №7(т^)||Л||||х(тг)-у(тг)||.
«о<т£<Г
Усилив это неравенство, получаем
t
|| х (t) — у (t) ||	С 4- J Ксе^т-/») || х (х) — у (т) || dx 4-
io
4- S W(t^’)U(^)-y(^)ll.
Отсюда на основании леммы 2.1 можем написать
ev(^o) || х (0 — У (01| < С (1 4- Xc)iMeKcit-io},
и, учитывая условие (15.6), получим
—( V—К.С— Д- In (l+KoVf—/„)
h (0 — у (Oil < Се v 61 I .	(15.30)
112
Если постоянная с настолько мала, что
у — №------g— In (1 + Кс) > О,
то из (15.30) следует, что || х (/) — у (0 ||	0 при t -> оо.
Теорема доказана.
Используя теорему и идею доказательства предыдущей
теоремы, нетрудно убедиться в справедливости следующего
утверждения.
Теорема 15.6. Пусть в уравнениях (15.27) матрица А
взята в действительной канонической форме, моменты Xt
удовлетворяют соотношению (15.20) и
у = max Re (Л), а2 = max k, ((Е + В)Т (Е + В)).
/ /
Если у + р1па<0 и матрицы Р (t) и Ц удовлетворяют
неравенствам (15.28), то решения системы уравнений (15.27)
асимптотически устойчивы.
В заключение отметим, что утверждение теоремы остается
в силе, если вместо условия (15.20) требовать, чтобы моменты
т/ удовлетворяли неравенствам (15.6). Только в этом случае
вместо неравенства у + р In а нужно требовать выполнение
неравенства
У + -у 1па<°»
где
(0,, если а^1,
g I 1	’
(02, если 0<а<1.
Отметим также, что условия (15.28) всегда выполнимы,
если Р (0 -> 0 при t -► оо и Е -» 0 при i -» оо.
§ 16. Критерий устойчивости
по первому приближению
Исследуем устойчивость решений нелинейной системы
Дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
Дх|;=Т( = 7?(Х).	(16.1)
Вопрос об устойчивости некоторого решения х = <р (/)
уравнений (16.1) сводится к исследованию устойчивости нуле-
8 6-2865	ИЗ
вого решения некоторой другой системы. Чтобы получить эту
систему, произведем в уравнениях (16.1) замену переменных,
положив х — у 4- <р (/). В результате такой замены система
уравнений (16.1) преобразуется в систему
=	у), t =f= хь
=	(16.2)
где
y) = f(t, y + 4>(t))~f(t, ф(0). Ftf, 0)s0,
Л1* (У) = /? (У + Ф fa)) -1°< (Ф (т<)), /(? (0) = 0,
а решение х = ф (() — в решение у = 0.
Таким образом, не ограничивая общности рассуждений,
будем считать, что система (16.1) имеет нулевое решение
х = 0 и устойчивость этого решения будем исследовать, т. е.
предположим, что функции f (t, х) и It (х) удовлетворяют
условию
f(t, 0) = 0, Л(0) = 0	(16.3)
при всех t t0, i=l,2........
Представим функции f (t, х) и /? (х) в виде
f(t, х) = A(t)x + g{t, х), 7?(х) = Вгх + Л(х),
где А (t) и Bi — матрицы, a g (t, х) и 1{ (х) удовлетворяют
условию g (t, 0) = 0, It (0) = 0, и запишем систему уравне-
ний (16.1) так:
= А (/) х + g (t, х), t=£xb
^x\t^i = B{x + !i(x).	(16.4)
Наряду с уравнениями (16.4) рассмотрим линейную систе-
му уравнений
-~ = A(t)x, t=£xb Дх|/=тг = В;Х (16.5)
и назовем ее системой первого приближения по отношению
к уравнениям (16.4).
Относительно моментов импульсного воздействия предпо-
лагаем, что они занумерованы множеством натуральных
чисел в естественном порядке и
тж“-г<>0	(16.6)
при некотором 0 > 0.
114
Теорема 16.1. Пусть матрицант X (t, х) системы урав-
нений (16.5) при всех i и х, t0 х t, допускает оценку
||X(G	/С>1, т>0,	(16.7)
а функции g (t, х) и It (х) удовлетворяют неравенствам
ка, хЖа||х||, ||/г(х)|К«И	(16.8)
при всех t 4, i = 1, 2,	(| х || й, h > 0. Тогда при дос-
таточно малых значениях а нулевое решение уравнений (16.4)
асимптотически устойчиво.
Доказательство. Каждое решение уравнений
(16.4) можно представить в виде
t
х (t, х0) = X (t, /0) х0 4- J X (/, т) g (т, X (т, х0)) dx +
+ S т<)/г(х(т,, х0)).	/169ч
Отсюда, с учетом неравенств (16.7) и (16.8), имеем
t
I! X (t, х0) II < Ke~v(/-U || х0 II + J Ke~v(Z~T> а || х (т, х0) || dx +
io
+ S Ke~w~xi}a\\x(xi, x0)||
ЛИ
t
e^ J x (i, x0) И < К И x0 J + J Kae^ || x (x, x0) || dx +
io
+ S Кае^-~/в)||х(тг, x0)||.
t^x^t
На основании леммы 2.1 получаем
e*i-t') ||x(t, x0)||<К||x01|(1 + Ka)iMeKa(t-^.
Поскольку моменты x{ удовлетворяют неравенству (16.6),
то из (16.9) следует, что
-lf-Ка- X In (l+Xapa-/,)
h(f, x0)KKe 6	hoII-	(16.10)
Таким образом, если а настолько мало, что
у — Ка----i-ln(l +Ка)>0,
то любое решение х (t, х0), ||х0||<^- уравнений (16.4)
определено при всех t t0 и lim || х (t, х0) || = 0, т. е. нуле-
/-►00
вое решение уравнений (16.4) асимптотически устойчиво.
8*
115
Теорема 16.2. Пусть наибольшее из собственных чисел
матрицы A (t) = -у (A (t) 4- А (/)) удовлетворяет при всех
t t0 неравенству Л. (t) у; для всех i ~ 1, 2, ..., наиболь-
шие из собственных чисел матрицы (Е + ВГ) (В + В;)
такие, что Л.1	а2; пусть равномерно по t0 существует
предел
lim •'(t' С+ = р.	(16.11)
Т-*оо 1
Тогда, если
у + р In а < 0,	(16.12)
то тривиальное решение системы уравнений (16.4) асимпто-
тически устойчиво, лишь только функции g (t, х) и Л (х)
удовлетворяют неравенствам (16.8) с достаточно малой по-
ложительной постоянной а.
Доказательство. Воспользовавшись аналогом
неравенства Важевского, нетрудно для любого решения урав-
нений (16.5) получить оценку
^(OKa^’V^lIXoll.	(16.13)
В силу существования предела (16.11) с учетом неравенств
(16.12) и (16.13) можно указать такие числа X 1 и р >0
(О < р < | у + р In а |), что для всех t t0 и т t0, t^x
матрицант X (i, т) уравнений (16.5) допускает оценку
\\X(t,x)y\\^Ke-Mi-x)\\y\\, ytf‘. (16.14)
Запишем решение х (t, х0) уравнений (16.4) с начальным
значением из достаточно малой окрестности точки х0 в ви-
де (16.9). Из такого представления решения, как и при доказа-
тельстве предыдущей теоремы, получаем
|| х (t, х0) К КII хо II (1 + ХаУмеКа™,
т. е.
IIX (t, х0) IIС	1" O+Krt-Ka+M-ta) || Хо||
при любом е > 0. Здесь Хг = Xi (е). Поэтому, если а на-
столько мало, что р — Ха — р In (1 4- Ха) > 0, то || х (t,
х0) || -> 0 при /->оо. Теорема доказана.
Предположим, что в системе уравнений (16.4) матрицы
А и В постоянные, т. е. рассмотрим уравнения
& = Ах 4- g (t, х), t =/= Xi,
Ах — Вх 4- Ц (х).	(16.15)
ш
Не ограничивая общности, считаем, что матрица А взята
в действительной канонической форме.
Теорема 16.3. Пусть у = max Re X/ (Л); а2 —
i
= max X ((£ 4- ВТ) (Е 4- В)), а моменты т, удовлетворяют
t
условию (16.11). Тогда, если у 4- р In а <0, то тривиальное
решение уравнений (16.15) асимптотически устойчиво, лишь
только функции g (t, х) и Ц (х) удовлетворяют неравенствам
(16.8) с достаточно малым положительным числом а.
Доказательство. Из доказательства теоремы 16.2
следует, что решения системы первого приближения к урав-
нениям (16.15), т. е. линейной системы уравнений с постоян-
ными матрицами
/7 у
-^- = Ах, t^=Xi, t\x\t=x. — Bx, (16.16)
являются экспоненциально устойчивыми и матрицант этой
системы допускает оценку (16.14). Используя это и идею
доказательства предыдущей теоремы, нетрудно завершить
доказательство теоремы.
Утверждения последних двух теорем остаются справедли-
выми, если в них вместо условия (16.11) потребовать, чтобы
моменты Xi удовлетворяли неравенствам
0 < 0! Ti+i — Xi 02-
(16.17)
В этом случае вместо неравенства (16.12) надо предполагать,
что	у4--^-1па<0,	(16.18)
где	( 0„, если 0<а< 1, 0 = ( 0lt если а 1.
Исследуем вопрос устойчивости тривиального решения
уравнений (16.4) в предположении, что система первого при-
ближения (16.5) является правильной, функции g (t, х)
и Ц (х) удовлетворяют неравенствам
\\g(t, х)Ка(/)||хГ, |/((х)КМ<.	(16.19)
где а (/) — непрерывная положительная функция с нулевым
характеристическим показателем, Pi 0, причем рге~ет‘ -►
-* 0 при i -> оо для произвольного е > 0. Что касается мо-
ментов импульсного воздействия xt, то предполагаем, что'
для них существует конечный предел (16.11).
117
Предварительно докажем одно вспомогательное утвержде-
ние, являющееся аналогом леммы Бихари для кусочно-не-
прерывных функций.
Лемма 16.1. Пусть неотрицательная кусочно-непрерыв-
ная с разрывами первого рода при t — Xi функция и (t) при
t t0 удовлетворяет неравенству
t	\
и (/) С 4- f и (т) Ф (и (т)) dx 4- S Piw(Ti), (16.20)
to	*o<Xf<i
где С 0, Pt 0, v (/) — положительная непрерывная функ-
ция, Ф (и) — положительная непрерывная неубывающая функ-
ция при 0 < и <. и (и < оо). Тогда функция и (t) допускает
оценку
u(f) ЧТ* Н v(x)dx ], x{<_t^Xi+i,
Vi J
t
при условии, что £ v (х) dx <.^1 (и — 0), где
Н
(16.21)
ci = (1 4- РО ^Г-i
и
f=s1’2.............x°~to'
Доказательство леммы проводится по индукции с исполь-
зованием на каждом промежутке xt < t t<+i непрерывнос-
ти функции и (t) неравенства Бихари [29].
Приведем два следствия из этой леммы.
1. Если Ф (и) = и, то получаем аналог леммы Гронуол-
ла — Веллмана для кусочно-непрерывных функций. Действи-
тельно, в этом случае
ЧШ=1п-£,
ч
Х1
J O(X)dt
ci =" (1 4* P<)c<-ieT<'"1 ,
118
поэтому из (16.21) следует, что
i
jj oCtJd-t
u(f)^C П (1+₽/)*'“
/о<\</
2. Если Ф (и) = ит, /п >1, то и (/) допускает оценку

1
t	) 1— т
С1-"1 П (1+p<)1"'”-(/n-l)Jv(T)dT	(16.22)
/о	J
при условии, что
t
С1~т П (1 + рг)1-'й — (т — 1) ( V (т) dx > 0.
4</г</	£
Действительно, когда Ф (и) = ит, имеем
Ъ («) = ~г^г (и‘~т ~ с^)> ТГ‘ = ^~т +
+ (1-т)«)'-«,
1
<7 =(!+&)
с}-™ 4-(1 — т) \ v(x)dx
-ч-i
1-т
отсюда следует неравенство (16.22).
Теорема 16.4. Пусть линейная часть уравнений (16.4),
т. е. система уравнений (16.5) является правильной, функции
g (/, х) и 11 (х) удовлетворяют неравенствам (16.19) и су-
ществует конечный предел (16.11). Если все характеристи-
ческие показатели решений линейной системы уравнений
(16.5) отрицательные, то тривиальное решение системы урав-
нений (16.4) экспоненциально устойчиво по Ляпунову.
Доказательство. В уравнениях (16.4) сделаем
замену переменных
х = уе-м-ы,	(16.23)
где 0 < р < —	— характеристические показатели ре-
шений уравнений (16.5). В результате этой замены получим
систему дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием	।
=C(t)y + G(t, у), t=/=Xi, &y\t=T;( = Biy + Ji(y),
(16.24)
119
где
С (0 = А (!) + Н-Е, G (t, у) = e^-^g (t,
Jt(y) =
причем
IIG (t, y) || <	|| у p, e > o, Cl > 0,
II (у) II <	|| у Г, c2 > 0.
Очевидно, система уравнений
-f- = C(fly, t^xt, \y\t^rBty (16.25)
является правильной и ее характеристические показатели от-
рицательные. Учитывая аналог теоремы Перрона для импульс-
ных систем, можно утверждать, что существуют такие числа
С31 и С4 > 0, при которых выполняются неравенства
11У(П1|<с3, иY(t)Y'1 (^ikcZ’-'’’,
где Y (!) — матрицант системы уравнений (16.25).
Пусть у (/), у (;0) = у0 — произвольное решение системы
уравнений (16.24), для которого || у01| достаточно малая вели-
чина и [i0, t0 4- 71 — такой временной интервал, что
||у (0||< 1 при t Q Uo, t0 Л- Т ((далее мы увидим, что Т «
= оо). Решение у (!) допускает представление
У (t) = Y (0 у0 + J Y (!) Y~l (о) g (о, у (о)) da +
t»
+ S Y(i)Y~l (xi) Л (у (т,)),	(16.26)
из которого с учетом свойств матрицы Y (!) и функций G (!, у)
и Jt (у) получаем при i0 < t < + Т неравенство
II у (0II < cs II у 0II + J	u у (а) rda +
+ s C2cZe_('n_,,w(x^)lly(^)l|.
Из последнего соотношения в силу неравенства (16.22) полу-
чаем
У(0<С3||г/о|| I П (1+cAe(2s-<--i)^-W)1-«_
- (С8II Уо Г"1 (m - 1) J c1CZe_<'”_”*iKe_,,’do|	• (16.27)
4,
120
Если 8 > 0 выбрано достаточно малым и J#0| достаточно мало,
то из (16.27) с учетом (16.23) непосредственно следует утверж-
дение доказываемой теоремы. Эта теорема распространяет
критерий Ляпунова для обыкновенных дифференциальных
уравнений на случай систем с импульсным воздействием.
Установим достаточное условие устойчивости нулевого ре-
шения системы (16.4) не предполагая, что ее линейная часть
является правильной.
Определим понятие меры неправильности линейной им-
пульсной системы дифференциальных уравнений, аналогичное
соответствующему понятию для систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений, понимая под этим число
х = S %*—lim-^-I f SpA(o)dff + £ In |det(£ + Bt) 11 .
fe=l t-¥tx>	)
Здесь через 'kk обозначены характеристические показатели
решений системы (16.5). Необходимым и достаточным усло-
вием правильности линейной импульсной системы (16.5) яв-
ляется выполнение равенства X = 0.
Теорема 16.5. Если в системе уравнений (16.4) функции
g (t, х) и Ц (х) удовлетворяют условиям (16.19) и выполняется
неравенство
max — х (т — I)-"1	0,
где х — мера неправильности линейной системы (16.5), то
нулевое решение нелинейной системы (16.4) асимптотически
устойчиво.
Доказательство. Полагая в уравнениях (16.4)
х = X (t) e~Dty,	(16.28)
где X (t) — фундаментальная матрица линейной системы (16.5)
D = diag (^ + р, ....	+ р), х (т — I)-1 < р < — max Kk,
l^k^n
приходим к следующей системе дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием
-%L = Dy + G(t, у),	Дг/|<=т, = Jtdj), (16.29)
где
G(t, y)=eDlX-x(t)g(t, X(t)e~Dty),
 Jt (у) = e^iX-' (xi) (E + Bi)-1 It (X (xt) e~Dx‘y).
121
Используя аналог формулы Остроградского — Лиувилля для
систем с импульсным воздействием и учитывая, что х (т —
— I)-1 < р < —max нетрудно убедиться в том, что
X (/)] С X + И, X[X(0e“D/]< —р,
|| X (t) e-DZ||^M < оо, t^t0.
Ввиду этих неравенств
\\G(t, f/ЖркГ. II^GOIKPhr. р>о, m>i.
Таким образом, для системы (16.29) выполняются условия
теоремы 16.4, в силу которой нулевое решение указанной
системы уравнений асимптотически устойчивое. Возвращаясь
к системе (16.4), убеждаемся в справедливости доказываемого
утверждения.
Доказанная теорема распространяет соответствующий ре-
зультат Массеры [29] на случай систем дифференциальных
уравнений с импульсным воздействием.
§ 17. Устойчивость в системах с нефиксированными
моментами импульсного воздействия
Рассмотрим дифференциальные уравнения, подвергающие-
ся импульсному воздействию в момент прохождения изобра-
жающей точкой заданных гиперповерхностей расширенного
фазового пространства. Относительно последних считаем, что
они задаются уравнениями t = т, (х), i = 1,2, ... и т, (х) -> оо
при i -> оо.
Таким образом, объектом исследования настоящего пара-
графа является следующая система уравнений с импульсным
воздействием:
= f V, х), t ф Xi (х),
Дх = li (х).
(17.1)
Как указывалось в § 3, существенной трудностью при ис-
следовании уравнений (17.1) является возможность биения
решений этих уравнений о поверхности t — т; (х). Вторым
моментом, существенно отличающим систему уравнений (17.1)
от систем, подвергающихся импульсному воздействию в фик-
сированные моменты времени, является то, что в уравнениях
(17.1) в общем случае нет непрерывной зависимости ее решений
от начальных условий, равномерной на конечном промежутке.
Этот факт, установленный в § 3, указывает на то, что говорить
122
об устойчивости по Ляпунову решений уравнений (17.1)' в
обычном для нас смысле некорректно. В этой связи следует
уточнить, в каком смысле следует понимать устойчивость
решений уравнений (17.1).
Определение 1. Решение х (t) системы уравнений {17.1),
определенное при всех t t0, называется устойчивым (по Ля-
пунову ), если для произвольных чисел е > 0 й т] > 0 сущест-
вует такое число 6 = 6 (е, rj) > 0, что для любого другого
решения у (/) уравнений (17.1) из того, что || х (t0) — у (t0) || <
< 6, следует, что || х (t) — у (t) || < е при всех t t0
таких, что 11 — ft | > rj, где $ — моменты пересечения ин-
тегральной кривой решения х (t) поверхностей t — т, (х).
Определение 2. Решение х (t) системы уравнений (17.1) на-
зывается асимптотически устойчивым, если оно устойчиво
в определенном выше смысле и если можно указать такое число
60 > 0, что для любого другого решения этой системы урав-
нений, удовлетворяющего неравенству || х (t0) — у (t0) Ц < 60,
имеет место предельное равенство
Иш||х(0 — У (011 = О-
/->оо
В большинстве случаев вопрос исследования устойчивости
некоторого решения уравнения (17.1) можно свести к вопросу
исследования устойчивости тривиального решения некоторой
новой системы уравнений с импульсным воздействием. Од-
нако процедура такого сведения в отличие от таковой для
обыкновенных дифференциальных уравнений сложнее, хотя
в ряде случаев она такая же.
Пусть требуется исследовать вопрос устойчивости решения
х = х° (t) системы уравнений (17.1), определенной при всех
t > t0. Обозначим через т? момент встречи решения х° (t)
с поверхностью t = xt (х), т. е. решение уравнения
t = xl(x°(t)).	(17.2)
Предполагается, что биение решений о поверхности t = xt (х)
отсутствует, следовательно, при каждом i уравнение (17.2)
имеет только одно решение. Обозначим также через х (t, т,
х° (г)) решение системы уравнений
тг-/«. *).
проходящее при t = т через точку х° (ст), ст /0. Функция
х (t, xlt х? (х° + 0)) совпадает с решением х° (t) при т“ < t
хц-i Для всех i s= 1, 2, ... .
123
Рассмотрим при каждом i = 0, 1, 2, ... уравнение
t = т<+1 (х (t, т°, х° (т< + 0)) 4- у), x°0 = t0.	(17.3)
При у = 0 это уравнение имеет решение t = т°+1. Предпо-
ложим, что (17.3) разрешимо относительно ti
t = тг+1 («/), tz+1 (0) = t?+i	(17.4)
: Для всех значений у из некоторой окрестности точки у = 0.
Обозначим через х (t, у) функцию, определяемую соотно-
шением
х (Л У) — х G> х° (т? + 0))
при т( (у) < /	т(+| (у), а через 1( (у) величину скачка этой
функции при t — Xi (у). Из определения функций х (/, у) и
Ц (у) следует, что
~х (/, 0) = х° (0, Л (0) = 1( (х° (т?)).	(17.5)
Произведем в системе уравнений (17.1) замену переменных
х = у + х (t, у).	(17.6)
В результате такой замены уравнения (17.1) преобразуются
в такие:
^- = Y(t,y), t^xt(y), ДН=^) = М(/), (17.7)
где
Y{t, y)=f(t+y + x(t, y))—f(t< x(t,y)),
h (У) = h (У+ x (тг (у), у) — Tt (У).
Учитывая равенства (17.5), видим, что
Y(t, 0)=0, Л(0) = 0
при всех t0, i — 1, 2, ..., т. е. система уравнений (17.7)
имеет тривиальное решение. Этому решению согласно замене
(17.6) соответствует решение х° (/) исходной системы уравне-
ний (17.1).
Устойчивости по Ляпунову тривиального решения уравне-
ний (17.7) соответствует устойчивость решения х° (/). Дей-
ствительно, пусть тривиальное решение уравнений (17.7)
устойчиво по Ляпунову, т. е. для произвольного 8 > 0 сущест-
вует 6 = 6 (в) > 0 такое, что для любого решения у (/) такого,
Д24
что || у (t0) || < 6, следует, что || у (/) || < 8 для всех t t0.
Согласно замене (17.6) решению у — 0 соответствует решение
х°(/), а решение, соответствующее у (/), обозначим через х (/).
Пусть %i моменты встречи решением х (/) поверхности t =
= т, (х). Поскольку т( т? при у -► О, то для произвольно-
го т| 0, можно указать такое 6Х = 6Х (т|) > 0, что если
II У (А>) II < 6, то | х'{—т? | < т). Таким образом, задавшись
произвольным числом 8 > 0 и г| > 0, можно указать такое
6 = 6 (в, т]), что из неравенства || х (/0) — х° (/0) || < 6, следу-
ет, что || х (0 — х° (0 || < 8 при всех t t0, | t — т? | > т).
В дальнейшем речь будет идти об устойчивости нулевого
решения системы с импульсным воздействием. Предположим,
что в уравнениях (17.1) функции f (t, х) и Ц (х) удовлетворяют
условиям
/(/, 0)=0, Л(0) = 0	(17.8)
при всех t0, i = 1, 2, ... .
Приведем утверждение, определяющее достаточные усло-
вия отсутствия биения решений уравнений (17.1) о поверхно-
сти t = Х[ (х).
Лемма 17.1. Пусть функция f (t, х) непрерывна (кусочно-
непрерывна по t) по t и х при t t0, || х || ^ h, функции Ц (х),
i — 1, 2, ... непрерывны при || х || ^ Л, а функции тг (х) удов-
летворяют условию Липшица
|тг(х')-тг(хв)К^||х'-х"||	(17.9)
при всех i = 1, 2, ...» || х' || <| Л, || х" || h и неравенству
тг(х)>тг(х + Л(х)).	(17.10)
, Тогда, если число h достаточно мало, то интегральная кривая
любого решения системы уравнений (17.1) х (Z) || х (Zo) || < h,
' определенного при всех t0 и лежащего в области || х (/0) ||
h, пересекает каждую поверхность t = Xi (х) только один
раз.
Утверждение леммы следует из доказательства леммы 3.2.
В данном случае противоречивость неравенства вида (3.13)
достигается за счет выбора достаточно малой окрестности ну-
левого решения, т. е. за счет выбора числа h.
j Предположим, что систему уравнений (17.1) можно запи-
сать в виде
= А (/) х + g (t, х), /#=тг(х),
Дх |/=х^(х) = ВрС 4* 1{ (х),
(17.И)
125
где А (i) — непрерывная при t t0, ограниченная матрица,
Bt — постоянные матрицы, функции g (t, х) и 7£ (х) определе-
ны при t t0, || х || h и
||g(Z, х)|1<а(0114 ИШКММ (17.12)
при всех t t0, х, || х || h, i = 1, 2, а (/) >0, 0£ > 0.
Относительно поверхностей t = т£ (х) предполагается, что они
удовлетворяют условиям (17.9), (17.10) и равномерно относи-
тельно х, || х || h отделены между собой, т. е. при некотором
е>о
sup (min (х) — max т£ (х))	9.	(17.13)
I	И «Л
Наряду с системой (17.11) рассмотрим линейную систему
с импульсным воздействием
4^ = Л(/)х, t^=xt, ^x\t^( = BiX,	(17.14)
в которой моменты т£ таковы, что
|т£-т£(0)|<Д,	(17.15)
где Д = Д (й) — положительная постоянная, Д (й) -► 0 при
0.
Теорема 17.1. Пусть правые части уравнений (17.11) та-
кие, что выполняются неравенства (17.12), (17.13) и
т£ (х) > т£ ((Е + Bi) х +?£ (х))
(17.16)
при всех х, || х || й, i = 1, 2.
Если решения системы уравнений (17.14) при любых т£,
удовлетворяющих неравенству (17.15), устойчивы или экспо-
ненциально устойчивы, то и тривиальное решение системы
уравнений (17.11) будет соответственно устойчивым или экс-
поненциально устойчивым, если a (t) и 0£ удовлетворяют усло-
виям
\a(t)dt<oo и П(1+р£)<оо.	(17.17)
Доказательство. Пусть х (t) — произвольное ре-
шение системы уравнений (17.11), проходящее при t = t0 че-
рез точку х0, || х01| Й£ < й.
Обозначим через т£ моменты встречи этого решения с по-
верхностями t = т£ (х), т. е. решения такого уравнения
t = xt(x (t)).
(17.18)
126
Поскольку предполагается выполнение неравенства (17.16), то
для каждого i уравнение (17.18) имеет единственное решение,
по крайней мере, для тех значений i, при которых решение
х (t) не выходит из /i-окрестности тривиального решения. Для
этих значений t х (/) удовлетворяет и такой системе уравне-
ний:
-4т- = A (I) х 4- g (t, х), t ф
at	(17.19)
Дх| о = Bfx+71-(x).
Поэтому х (/) можно представить в интегральной форме
t
x(t) = X (t, t0) x0 + У X (/, ст) g(a, x (ст)) do-f-
/о
+ S Х(/, т?)Л(х(т?)),	(17.20)
где X (/, /0) — матрицант системы уравнений (17.14), в кото-
рых т; нужно заменить на т°.
Если решения уравнений (17.14) устойчивы, то матрицант
ограничен, например, константой К, а поэтому из (17.20)
с учетом (17.12) следует неравенство
ЬаЖХ||х0||+ jKa (ст) II х (CT)||dCT+ S	|| х (т°) ||,
из которого в силу леммы 2.1 получаем
t
§ Kata)do
||х(ОИ<К П (1 + ^)?»	||х0||.	(17.21)
Считая < h настолько малым, что
00
j Kaiayda
К п (1 + Крг) h^h,
о
приходим к выводу, что решение х (/) определено при всех
t t0, и каждую поверхность t — т( (х) пересекает только
один раз. Поскольку решение х (/) мы брали произвольным,
то, учитывая условие (17.17) и оценку (17.21), убеждаемся в
справедливости первой части утверждения теоремы.
127
Если же решения уравнений (17.14) экспоненциалы^
устойчивы, то матрицант Л (/, о) при всех t а допускав'
оценку
||Х(/, o)||<Ke-v('-a>, К> 1, у>0,	(17.22;
с учетом которой из (17.20) имеем
t
IIх (0II < II х0 II + J /(e-w'-’rta (a) || х (a) || da -f-
/о
0
4- S
Используя лемму 2.1, получаем
t
J Ка(а)4а
е^’Ихажк п (i + w^’ ков»
. о .
т. е.
||x(0K^~w“4
Теорема доказана.
^Предположим, что в уравнениях (17.11) функции g (/, х)'
и Л (х) вместо неравенств (17.12) удовлетворяют таким усло-
виям:
U(/, x)||<a||x||, ||7;(x)||Ca|k||.	(17.23)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 17.2. Пусть правые части уравнений (17.11) та-
кие, что выполняются неравенства (17.13), (17.16) и (17.23).
Если матрицант системы уравнений (17.14) допускает оцен?
ку (17.22), то при достаточно малых значениях постоянной а
нулевое решение системы уравнений (17.14) асимптотически
устойчиво.
Доказательство сформулированной теоремы проводится
аналогично доказательству предыдущей теоремы. Действи-
тельно, пусть х (t) — произвольное решение уравнений (17.11),
проходящее при t = t0 через точку х0 из достаточно малой
окрестности точки х = 0. Можно указать такое 1ц < h и та-
кое Т оо, что рассматриваемое решение при t0 < t t +
+ Т лежит в /i-окрестности нулевого решения и пересекает
каждую из поверхностей t =тг(х) только один раз. Пусть
т? — решение уравнений t=xi(x(t)). Функция х (t) при
t0 < t < t0 + Т является решением уравнений (17.19), по-
128
этому ее можно представить в интегральной форме (17.20) и с
учетом неравенств (17.22) и (17.23) получить интегральную
оценку
|| х (01| <	|| х01| 4- Ка J e-v<z~T) || х (ст) || do +
to
+ S Kae“v('-T°)||x(T?)|).
Из этой оценки в силу леммы 2.1 следует, что
||х (П|| < Ke-(7~KaW-it} (1 + Ka)ift°’n || х01|.	(17.24)
Поверхности t = т( (х) отделены между собой, т. е. удов-
летворяют условию (17.23), поэтому из (17.24) имеем
|х (0 К кг(’-к- Г	| Хо|. (17.25)
Если потребовать, чтобы постоянная а была настолько ма-
лой, что
/<а__|_1п(1 + /Са)>0,	(17.26)
а х0 удовлетворяло условию К || х01| < Л, то решение х (/),
х (t0) = х0 не выйдет из /i-окрестности нулевого решения при
всех t t0, а следовательно, это решение каждую поверхность
t — xi (х), i — 1, 2, ..., пересекает только один раз, а поэтому
из неравенства (17.25) следует асимптотическая устойчивость
нулевого решения системы уравнений (17.11).
Существенным условием предыдущей теоремы является то,
что матрицант уравнений (17.14) допускает оценку (17.22).
В предыдущем параграфе указаны достаточные условия, при
выполнении которых неравенство (17.22) выполняется. По
схеме доказательства последней теоремы с учетом указанных
условий нетрудно убедиться в справедливости следующих
двух утверждений.
Теорема 17.3. Пусть наибольшее из собственных чисел мат-
рицы А (/) =-^- (Л (/) + АТ (/)) удовлетворяет неравенству
Л (Z) у при всех t /0; для всех i = 1, 2, ... наибольшие из
собственных чисел матрицы (Е + Bf) (Е + Вг) такие, что
Л; а2, и пусть равномерно по t t0 и хг || х || h сущест-
вует предел
lim	= р,	(17.27)
9 6—2865
129
где ix (i, t + T) — количество точек x{ (x) на промежутке
[/, t + Т]. Предположим также, что при всех t t0, х, || х || с
< h и всех i = I, 2, ... выполняются неравенства (17.9),
(17.16) и (17.23).
Тогда если у + р In а с 0, то нулевое решение уравнений
(17.11) асимптотически устойчиво, лишь только постоянная а,
фигурирующая в неравенствах (17.23), достаточно мала.
Рассмотрим случай, когда матрицы A (t) и Bt в уравнениях
(17.11) постоянные, т. е. рассмотрим систему уравнений
4г- = Ax + g(t, х), 1=£х{(х),
at	_	(17.28)
Ьх|/=T.W = Вх + 1{ (х).
Теорема 17.4. Предположим, что функции g (t, х) и It (х)
удовлетворяют неравенствам (17.23), а поверхности t =
= xi (х) такие, что выполняется неравенство (17.9) и
xl(x)^x{((E + B)x+h(x))	(17.29)
при всех I =1, 2, ..., || х || h. Пусть также существует ко-
нечный предел (17.27) и пусть у = max Re \ (Л), а2 =
= max ((Е + В)Т (Е + В)). Тогда если выполняется не-
равенство у + р In а с 0, то нулевое решение системы урав-
нений (17.38) асимптотически устойчиво, лишь только по-
стоянная а из неравенства (17.32) достаточно мала.
Из последней теоремы следует утверждение о сохранении
устойчивости тривиального решения системы обыкновенных
дифференциальных уравнений при импульсных воздействиях.
Теорема 17.5. Пусть в системе уравнений
-ТГ = Ах + g(t, х), t^x{(x),
at	_	(17.30)
Дх |t=T;(x) = li (x).
Функции g (t, x), li (x) и Xi (x) такие же, как и в уравнениях
(17.38), и
т£ (х) > Xi (х + It (х))	(17.31)
для всех х, || х||< /г, i = 1, 2..Если вещественные части
всех собственных чисел матрицы А отрицательные, то при
малых значениях постоянной а нулевое решение уравнений
(17.30) асимптотически устойчиво.
В заключение этого параграфа добавим, что утверждения
последних трех теорем остаются в силе, если относительно
130
. .функций t — Xt (x) вместо требования существования предела
(17.27) потребовать выполнение неравенства
. О < min Т/+1 (х) — шахт((х)^02	(17.32)
для всех i =1, 2.....Условие отрицательности выражения
у + р 1п а заменяется требованием отрицательности выраже-
ния у + -д- In а, где 0 = 0Ь если а 1, и 0 = 02, если
О < а < 1.
§ 18. Прямой метод Ляпунова исследования
устойчивости решений импульсной системы
В предыдущих параграфах настоящей главы вопрос устой-
чивости решений дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием исследовался на основании подходящих оценок
матрицанта соответствующей линейной системы первого при-
ближения. Этот вопрос можно успешно решать каки в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью со-
зданного Ляпуновым так называемого прямого метода.
Пусть скалярная функция V (t, х), V (/, 0) =0 определена
и непрерывно дифференцируема в области
zo= {(*; х)|/>/0, ||х||<h0}.
Говорят, что функция V (t, х) в области Zo является поло-
жительно- (отрицательно-) постоянной, если для всех (/; х) £
е Zo V (i, х) > О (V (/, х) 0).
Функция V (/, х) называется положительно- (отрицатель-
но-) определенной в области Zo, если существует скалярная
функция W (х), W (0) = 0, непрерывная при || х || < h, та-
кая, что
V (/, х) > Г (х) > 0 (V (/, х) — W (х)) при х #= 0.
Рассмотрим вопрос устойчивости нулевого решения систе-
мы дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
-g-=f(Z,x), t^xt(x), Дх|^(х) = Л(х),	(18.1)
f(t,O) = O, Л(0) = 0, т<(х)<т<+1(х)
в предположении, что функции f (t, х), Л (х) являются непре-
рывными в области
Z={(/; x)|/>/0, ||x||^/i</i0},
а функции Xi (х) и число h удовлетворяют условию леммы 17.1,
исключающим биение решений системы (18.1) о поверхности
t = Xt (х).
9'
131
Теорема 18.1. Если существует положительно-определен-
ная функция V (/, х), удовлетворяющая в области Z неравен-
ствам
+ (grad* V (t, х), f (t, x)) < О,
V (Т; (х), X + Л (х)) < V (Т, (х), X),
(18.2)
то тривиальное решение системы уравнений (18.1) устойчи-
во. Если же вместо второго из неравенств (18.3) потребовать,
чтобы выполнялось следующее неравенство:
V (тг (х), х + Ц (х)) — V (ti (х), х) С — if (V (tt (х), х) (18.3)
для всех i =1,2, ..., if (s) — непрерывная при s О функция,
ф (0) =0, ф (s) > 0 при s > 0, то нулевое решение уравнений
(18.1) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Зафиксируем произвольное е >
> 0 и пусть I = inf V (t, х), а положительное число
<>?0,8«И<Л
6 настолько малое, что sup V (t0, х) = т < I. Возьмем произ-
И<в
вольное решение х (£), х (/0) = х0 системы уравнений (18.1),
для которого х0 6	37 й — шар радиуса б с центром в точке
х = 0, и рассмотрим функцию v (/) = V (/, х (/)). Если пред-
положить, что в некоторый момент времени t* || х (£*) [| — е,
то v (/*) = V (/*, х (/*)) I. Кроме того, неравенства (18.2)
гарантируют невозрастание функции V (t, х) вдоль любого
решения системы уравнений (18.1), лежащего в области Z,
так что v (/*) v (/0) = V (70, х0) т < I. Полученное про-
тиворечие завершает доказательство первого утверждения тео-
ремы.
Пусть вместо второго из неравенств (18.2) выполняется
неравенство (18.3). Докажем асимптотическую устойчивость
тривиального решения. Для этого достаточно установить, что
lim v (/) =0. В силу первого из неравенств (18.2) и неравен-
ства (18.3) функция v (0 не возрастает, а поскольку она огра-
ничена снизу, то существует lim о (/) = а. Предположим, что
t-t-oo
а > 0. Пусть с = min ф ($). Если х (/) пересекает поверх-
ности t — Xi (х) в точках (tz (xj; xi), то в силу (18.3) имеем
у Сч (хд + 0) —- V (Tz (Xz)) — ф (о (tz (xz)))
при всех i 1, 2,.... Поскольку v (т( (xf))	(f0), то
— if (v (tz (xz)))	— с, следовательно,
v (xe (Xz) + 0) — v (T< (Xz)) < — c.
 P2
Если в силу первого из неравенств (18.2) функция v (/) не воз-
растает на каждом промежутке непрерывности, то v (т( (х£) +
+ 0) v (Т(+1 (хг+О). Отсюда для любого натурального k
получаем
k-i
V (ТА (**) + 0) V (ТА (хА) + 0) + X (V (Т; (Х£) + 0) —
k
— v (тг+1 (хг+1))) = V (t0) + s (Ц (тг (Xi) + 0) —
1=1
— V (Т/ (Xi))) С V (/0) — kc.
Правая часть последнего неравенства при больших значениях
k становится отрицательной, что противоречит положительной
определенности функции V (/, х). Таким образом, предполо-
жение о том, что а > 0 приводит к противоречию, завершаю-
щему доказательство теоремы.
Теорема 18.2. Пусть существует положительно опреде-
ленная функция V (t, х), удовлетворяющая в области Z нера-
венства
+ <gradxV (t, х), f (t, x))	- <p (V (t, x)),	(18.4)
V (t/(x), x + Л(х))^ф(Е (т( (х), x)), i = 1, 2, .. . , (18.5)
где <p (s), ф (s) — непрерывные при s 0 функции, <p (0) =
= ф (0) = 0 и <p (s) > 0, ф (s) > 0 при s > 0, и пусть
sup(minxi+i (x) — тахт£(х)) = 9>0.	(18.6)
i 1'лКЛ
Тогда, если функции cp (s) и ф (s) таковы, что при некотором
«о > 0 для всех а € Ю, а0]
Ф(Я)
Sz/c
-7г ^0,	(18.7)
<Р(«)	v ’
а
то нулевое решение системы уравнений (18.1) устойчивое.
Если же вместо неравенства (18.7) потребовать, чтобы при
некотором у > 0 выполнялось неравенство
ф(а)
а
то нулевое решение уравнений (18.1) будет асимптотически
устойчивым.
Доказательство. Зафиксируем произвольное до-
статочно малое е > Ои пусть I = inf V (/, х). Поданному е
133
выберем б настолько малым, чтобы выполнялось неравенство
т = sup V (i0, х) <Z I, и пусть х (/) х (t0) — х0 £	— произ-
И<6
вольное решение системы (18.1), начинающееся Покажем,
что это решение никогда не выйдет за пределы шара 3t. Рас-
смотрим функцию v (/) = v (/, х (/)). Для доказательства тео-
ремы достаточно показать, что v (t) < /для всех /	/0. Пред-
положение о том, что х (/) покинет шар не достигнув по-
верхности t =	(х) в некоторый момент времени, /* приводит
к противоречию, ибо, с одной стороны, v (/*) — V (t*, х (/*))
>1, а с другой — в силу неравенства (18.4) функция v (/) не
возрастает, пока х (/) £ и v (/*) т < I. Итак, х (/) по-
падет на поверхность t — tj (х), например, в точку (т2 (xj, xj.
В силу неравенства (18.4) для моментов /, /0 Ti Ui)
v' (/)	—ф (и (/)), поэтому
Т1(Х1)
io
vr (/) di
<₽ (с (/))
(«1)— to-
Полагая в этом неравенстве v (/) = s с учетом (18.6), имеем
«Но)
[ —Т1 (*1) — t0 > 0.
J <Р (s)	1 17	0
Из неравенства (18,7), заменив в нем а на v (тх (xj) с учетом
(18.5), запишем
«(тДхД+О)	ФМТД*»)))
V	Hs	С	rfs	п
J	<P(s)	J	<p(s)
Из двух последних неравенств следует
и(/0)
Jds
q> (s)
ds
<p(s)
urti(*i))	V(T1(X1))
что влечет за собой выполнение неравенства v (тх (xj) + 0)
v (to)-
Для завершения доказательства первого утверждения тео-
ремы достаточно воспользоваться методом математической ин-
дукции, на основании которого заключаем, что v (tj (xj) +
+ 0) ц (/0) для всех / = 1, 2, ... .
Пусть вместо неравенства (18.7) выполняется неравенство
(18.8) и решение х (/) пересекает поверхности t =тг (х) в точ-
134
ках (тг (xt); xi). В силу неравенства (18.4) имеем
I Ф («(0) Тг+' (Хг+‘) т
Из этого неравенства, полагая в (18.8) a = v (т/+1 (x(+i)), с
учетом (18.5), имеем
v(Tf+i (xf+1)4-0)
W4+i(*f+i)))
ds	С ds
ф(«) "" J Ф (s)
лг+1(*г+1»
неравенств получаем
at	“m-i
__	(*	ds	С	ds
~_J	<P(S)	J	ф (s)
и(ТМ-1(*г+1))
Из двух последних
at
Jds
Ф (s)
“4,	а‘+>	‘ °Ж
at — v (т( (xi) 4- 0).
Таким образом, для последовательности {а}1"} справедливо
:неравенство
al
J	'=‘-2......................... <18.9)
is которого следует, что эта последовательность убывает при
-> оо. Покажем, что lim и (тг (х<) + 0) =0. Предположим,
t-+OQ
что это не так, т. е. предположим, что lim и (^ (xt) 4- 0) =
i-*QO
= а > 0. Пусть с = min <p (s). Из (18.9) получаем
at
Jz/c	J
— {V (Xi (хг) 4- 0) — V (т<+1 (x<+1) 4- 0)),
“ti-i
т. е. v (тг (хг) 4- 0) — v (тг+1 (хг+1) 4- 0) > ус = const, что
противоречит сходимости последовательности v (т, (х() 4- 0).
Итак, v (т( (х<) 4~ 0) -> 0 при i -> оо. Для завершения доказа-
тельства теоремы достаточно воспользоваться тем, что в силу
(18.4) v (/) убывает на каждом промежутке непрерывности
К (хг), T(+i (xi+i)l, следовательно, sup и (/) —
135
= v (r< (xi) + 0), что в сочетании с неравенством v (xt (xj +
+ 0) > v (тг+1 (xf-f-i) + 0), справедливым при всех I, приводит к
неравенству v (f) < v (xt (xz) + 0) для всех t > x{ (xi). Следо-
вательно, из условия v (т/ (xj) + 0) -> 0 при i оо следует,
что v (/) -> 0 при t -> оо, а значит, и i; х (/) II -> 0 при t ->• оо.
Теорема доказана.
Предположим дополнительно, что функции xt (х) таковы,
что при некотором 0! > 0 для всех i = 1, 2, ... выполняется
неравенство
шах х{ (х) — min r<_[ (х)	01.
IWI^A
(18.9)
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 18.3. Пусть существует положительно опреде-
ленная функция V (t, х), удовлетворяющая в области Zo усло-
виям
;	-^_± + <gradxV(/,x), f(t, х)><Ф(Ка, х)), (18.10)
V (^ (х), х + It (х))< ф (V (тг (х), х)),	(18.11)
i = 1, 2....
где функции ф (s) и ф (s) такие же, как и в предыдущей тео-
реме.
Если функции <р (s) и ф ($) таковы, что при некотором а0
для всех а £ ]0,
а
\ ds
J ч ф (s)
гр(а)
(18.12)
то нулевое решение системы уравнений (18.1) устойчиво; если
же вместо неравенства (18.12) выполняется неравенство
Jds
ф (S)
(18.13)
01 + V
при некотором у > 0, то нулевое решение уравнений (18.1)
асимптотически устойчиво.
Доказательство этой теоремы подобно доказательству пре-
дыдущей теоремы, поэтому проводить его не будем.
Рассмотрим несколько примеров.
1.	Исследуем вопрос устойчивости нижнего положения
маятника, подверженного импульсному воздействию, динами-
ка которого описывается следующими уравнениями;
х + sin х = 0, Z (х, х)),
136
Дх L . . = — х 4-arccos (-------^-4-cosx),
ДЧ=г,(хл) =-*>
которые можно записать в виде такой системы:
х = у, у = — sin х, t Ф т{ (х, у),
Ьх к=т((х,1/) = — х 4- arccos (-— 4- cos xj,
ДУ — — У-
Исследуем устойчивость нулевого решения этой системы.
В качестве функции Ляпунова V (х, у) возьмем полную механи-
ческую энергию невозмущенного маятника
К(х, у) = 1 — cosx4-
Находим
dV .	- А
= у sin х — ysinx = 0,
,V (х 4- Дх, у 4- Ду) = 1 — cos ^arccos (--—[- cos xjj =
= 1 — cos х 4-	= V (х, у).
Независимо от свойств поверхностей t — ъ (х, у) выполняются
условия теоремы 18.1, следовательно, нулевое решение рас-
сматриваемой системы уравнений устойчиво.
2.	Исследуем на устойчивость нижнее положение маятни-
ка, подверженного импульсному воздействию, благодаря ко-
торому это положение можно сделать асимптотически устой-
чивым. Рассмотрим систему уравнений
х = у, у = — sin х, / у= т,- (х, у),
&х к=%г(х.гл = ах 4- Ру, Ду |<=Т.(А:,У) == — Рх 4- ау.
Как и в предыдущем примере, в качестве функции V (х, у)
возьмем функцию V (х, у) = 1 — cos х 4- Производная
этой функции, составленная в силу дифференциальной систе-
мы рассматриваемых уравнений, тождественно равна нулю.
Кроме того,
V (х 4- Дх, у 4- Ду) — V (х, у) == 4- (а2 4- 2а 4- р2) (х2 4- у2) 4-
137
+ 0(xa + y2) = 4<(a+ 1)2 + Pa-l](x2 + z/a) +
+ Y (x, y) (x2 + y2),
где у (x, у) -> 0 при x2 + z/2 -> 0.
Пусть -7>-((a + I)2 + P2 — 1) = I < 0, t. e. (a + I)2 + p2 <
<1. Можно указать такое /i>0, что ]у(х, у)|^е<— I,
если только х2 + у2 h2, и имеем
V (х + кх, у + ку) — V (х, у)< (I + 8) (х2 4- у2).
Таким образом, если (a + I)2 + р2< 1, то нулевое решение
рассматриваемой системы уравнений асимптотически устой-
чиво.
3.	Рассмотрим вопрос устойчивости нулевого решения
системы уравнений
х = — у + X3, у = X + у2, t*£xt(x, у),
кх = — ax3 + ру3,
= Рх3 — ay3,
где a > 0, р > 0 и т/ (х, у) = I 4- х2 4- у2.
Можно убедиться, что в достаточно малой окрестности на-
чала координат правые части рассматриваемых уравнений
удовлетворяют условиям леммы 17.1, поэтому биение решений
о поверхности t = ту (х, у) отсутствует.
Положим V (х, у) = х2 + у2, тогда
4P = 2xX2yX2V2(x, у),
V (х + Дх, у + Ду) = х2 + у2 — 2a (х4 + у4) 4- 2 (х2 4- у2) ху 4-
+ (а2 + Р2) (х6 + у6) — 4аРх3у3 V (х, у) —
- (а - Р) V2 (х, у) + (а2 + Р2) У3 (х, у).
Отсюда следует, что в качестве <p (s) и ф (s) можно взять функ-
ции <р (s) — 2s2, ф (s) = s — (a — p) s2 + (a2 + p2) s3. Учи-
тывая, что
max xt (x, у) — min (x, y) = 1 -f- h2,
x2+y2^h‘	x*+y*^h‘
C	ds_________a — p — (a2 4- p2) a_
J	2s2 — 2 (I — (a — P) a 4- (a2 4- p2) a2) ’
a-«*-3)a’+(a2+P2)a»
видим, что для асимптотической устойчивости тривиального
решения рассматриваемой системы уравнений достаточно,
чтобы выполнялось неравенство a — Р > 2.
138
Установим достаточные условия неустойчивости тривиаль-
юго решения системы уравнений (18.1). Теоремы, указываю-
цие эти условия, предполагают существование функции
И (t, х), обладающей свойствами:
а)	область П = {(/; х) £ Z | V (t, х) > 0} положительности
функции V (/, х) при любом t /0 имеет ненулевое открытое
течение плоскостью t — const, примыкающее к началу коор-
динат;
б)	в области П V (t, х) ограничена.
Теорема 18.4. Если существует функция V (t, х), обладаю-
цая свойствами а) и б) и удовлетворяющая в области П ус-
говиям
+ (grad.V (/, х), f(t, х)>>0,	(18.14)
V (Т/ (х), х + lt (х)) — V (т/ (х), х) > ф (V (тг (х), х), (18.15)
I = 1, 2, ....
где ф (s) — непрерывная при s 0 функция, ф (0) = 0, ф (s) >
> 0 при s > 0, то нулевое решение системы уравнений (18.1)
неустойчиво.
Доказательство. По условию теоремы в любой
окрестности точки х — 0 найдется такая точка х0, что V (t0,
х0) > 0. Докажем, что решение х (/), выходящее из так выбран-
ной точки хс, с течением времени выйдет за пределы шара £7Й.
Допустим противное, т. е. что при всех t t0 х (t) £ $h, и
пусть х (/) пересекает поверхности t = tz (х) в точках (т,- (хг);
xt). Рассмотрим функцию и (/) = V (t, х (/)). В силу неравенств
(18.4) и (18.5) v (/) — неубывающая функция, следовательно,
v (/) v (/о) > 0 для всех t t0. Это значит, что при всех
t > A, (К х (/)) G П.
Пусть с = min ф (s), где а0 = sup V (t, х). Очевидно,
v<l0)^s^a0	(f;x)gn
с > 0 и v (тг (х,) + 0) — v (xt (Xi)) > с, i = 1, 2.Поскольку
v' (t) > 0 при t Ф Xt (X/), ТО V (т,_1 (Х/—1) + 0) — V (Т/ (X,))
0, i =1,2......Поэтому для любого натурального k имеем
k
' v (xk (xk) + 0) > V (xk (xft) + 0) + (f (Tf-I (X/-1) + 0) —
k
— V (T{ (Xi))) = V (t0) + g (f (xt (xt) + 0) — и (Xt (Xt)))
> V (t0) + kc.
Правая часть последнего неравенства неограниченно возрас-
тает при k -> оо, а это противоречит тому, что (/; х (t)) £ П,
139
ибо в П функция V (/, х) ограничена. Противоречие доказы-
вает неустойчивость нулевого решения.
Следующая теорема дает достаточные условия неустойчи-
вости нулевого решения системы уравнений (18.1) в случае,
когда это решение соответствующей дифференциальной систе-
мы уравнений без учета импульсного воздействия может быть
устойчивым или даже асимптотически устойчивым.
Теорема 18.5. Пусть существует функция V (/, х), обладаю-
щая свойствами а) и б), и такая, что в области П выполняют-
ся неравенства
^’Xj- + (gradxV(^ х), /(/,х))>-ф(Е(/, х)), (18.16)
V(tz(x), х + Л(х))>ф(У(т/(х), х),	(18.17)
i = 1, 2...
где <р ($), ф (s) — непрерывные функции ф (0) = ф (0) — О и
Ф (s) >0, ф (s) > 0 при s > 0. Предположим также, что
функции т£ (х) удовлетворяют условию (18.9). Если функции
Ф (s) и ф ($) таковы, что при некотором у > 0 для всех a g
€ 10,
Ф(О)
<18.18)
то тривиальное решение системы уравнений (18.1) не-
устойчиво.
Доказательство. В сколь угодно малой 6-окрест-
ности точки х = 0 найдется такая точка х0, что V (10, х0) > 0.
Докажем, что решение х (/)> выходящее из этой точки с тече-
нием времени, выйдет за пределы шара &h. Допустим против-
ное, т. е. что х (0 g S/h при всех t > t0 не пересекает поверх-
ности t — т£ (х) в точках (Т; (х(), Xi).
Покажем, что из предположения х (/) g следует, что
(/; х (/)) £ П при t t0. Действительно, ситуация, когда
(тг (х£); xz) С П, a (т£ (хг); х (т£ (х£) + 0)) С П, невозможна,
поскольку в силу (18.17)'
V (хе (х£), х (х( (xi) + 0)) = V (Xi (Xi), Xi + h (Xi)) >
> ф (V (xi (xi), xt)) > 0.
Если предположить, что изображающая точка (/; х (I)) поки-
дает область П, то она обязательно должна попасть на границу
этой области. Пусть t* — ближайший момент времени, когда
это произойдет. Если xk (xk) < t t*+i (x*_|_i), to, обозна-
чая v (i) = V (t, x (t)), имеем v (/*) = 0, причем v (ta (xk) +
140
Ь 0) > 0. Из (18.16) следует, что
xk(xk'
у' (/) dt
ф (»(0)
</* — xk(xk)
1ли с учетом (18.9)
О(Т^(ХА)+°)
С ds
J ф (S)
оИ*>
</*-^(4X9,.
(18.19)
Зафиксируем такое а' > 0, что 0 < ф (а') V (xk (xk) + 0).
Дз неравенств (18.17) — (18.19) получаем противоречивую
цепочку неравенств
ф(а')	v(rk{xk)+t»	»(тА(хр+0)
J ds	С ds ______________ С ds
ф(«) "" J ф(«) ~ J ~ф(5)
а'	0	v(t*)
Таким образом, если х (/) g S^h, то (/; х (/)) £ П при t >= t0.
Поэтому из (18.16) получаем
4
J	г = 0’ 11 • • • . а£ = о (т£ (xf)),
aH-i
at = v (т£ (х£) + 0).
Вычитая из (18.18) при а = a£+i = v (r£+i (x£+i)) почленно
последнее неравенство, с учетом (18.17), имеем
Ф(О£+1)	at	at+l	at
С	ds	f	ds	< C	ds	C	ds
J	Ф(з) — J	ф (s)	J	ф(5)	J	ф(в)
°f+l	al+r	ai+l	°£+l
или
°f+l
C ds .
J <P(s)
at
i = 0, 1, 2,
(18.20)
Последнее неравенство указывает на то, что {а£} — воз-
растающая последовательность, которая будет ограничена
числом Oq, поскольку (/; х (/)) £ П.
141
Пусть min ф (s) = с > 0. Из (18.20) получаем
u(/0)^s^a«
aH-l
J ds — -1-(о(тж(л:г+1) + 0) — v(t( (x£) + 0)),
at
или v (Ti+i (x£+i) + 0) — v (t£ (xi) + 0) > ус. Значит, для
любого натурального k справедливо неравенство v (т^ (xk) 4-
+ 0) > kyc + v (/0), что противоречит тому, что последова-
тельность {v (т£ (х£) + 0)} ограничена. Теорема доказана.
Аналогично доказательству теоремы 18.5 доказывается
следующее утверждение.
Теорема 18.6. Пусть существует функция V (t, х), обладаю-
щая свойствами а) и б) ив области П удовлетворяющая не-
равенствам
4- (grad, V (t, х), f (t, x)> > ф (V (t, x)), (18.21)
V(t( (x), x 4-/г (x)) > (V (тг (x), x))), i— 1, 2..(18.22)
i = 1, 2....
где ф (0) = ф (0) = 0, ф (s) >0, ф (s)	0 при s > 0.
Предположим также, что функции г{ (х) удовлетворяют
условию (18.6).
Тогда, если функции ф(з), гр (s) таковы, что при некотором
у > 0 для a G 10, а0]
а
Sds
(18.23)
4>(а)
то нулевое решение системы уравнений (18.1) неустойчиво.
ГЛАВА 4
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
И ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
§ 19. Линейные неоднородные периодические системы
В настоящем параграфе формулируются и доказываются
основные условия существования периодических решений ли-
нейных неоднородных периодических систем дифференциаль-
ных уравнений с импульсным воздействием, т. е. систем вида
= A (t)x 4-/(0.	|£=т< = В(Х 4- а{, (19.1)
142
где A (t) и f (0 — непрерывные (кусочно-непрерывные) Т-пе-
риодические соответственно матричная и векторная функции,
постоянные матрицы Bi( постоянные векторы а{ и моменты
такие, что
B£+p = Bz, а£+р = а„ тг+р=тг4-Т (19.2)
при некотором натуральном р, i g Z. Предполагается также,
что det (Е + Bt) #= 0 и т0 < 0 < т£ с т2 с ... < хр с Т.
Пусть X (t), X (0) — Е — матрицант соответствующей
(19.1) однородной системы, т. е. решение такой матричной зада-
чи Коши для системы с импульсным воздействием
^- = А (t)X, t=£xh AX\t^(=BiX, X(Q) = E. (19.3)
Любое решение х (t, х0), х (0, х0) — х0 системы уравнений
(19.1) представимо в виде
t
x(t, х0) = X (t) х0-]- { X (t, х) f (х) dx + U X(t, x{)ai. (19.4)
о	о<т;<г
Среди этих решений T-периодическим будет то, для которого
х0 удовлетворяет уравнению
г	р
(Е-—Х(Т))х0 = Х(Т, x)f(x)dx + £ Х(Т, х{)а(. (19.5)
о	<=1
Предположим, что det (£ — X (Т)) =£ 0. Это условие экви-
валентно тому, что соответствующая уравнениям (19.1) одно-
родная система не имеет нетривиальных 7-периодических ре-
шений, т. е. среди ее мультипликаторов нет единицы. В этом
случае уравнение (19.5) имеет единственное решение
(19.6)
следовательно, система уравнений (19.1) имеет единственное
Т-периодическое решение
(т
$Х(Т, x)f(x)dx +
о
р	\	г
+ £ X	(Т,	т£) а£ | + \	X (t, т) f (т) dx	+ £ X (t,	x£) ait />0.
f=l	) ft	о<т.<г
Если обозначить
G(t, т) =
X (t) (Е - X (ПГ’Х-1 (т),
X (t + Т) (Е - X (ПГ1*-1 (т), 0 < / < т < Т, (19'7)
143
то периодическое решение можно представить в виде
г
x*(t) = \ G(t, x)f(x)dx + £ G(t, rja,. (19.8)
О	'=>
Функцию G (t, т) назовем функцией Грина задачи о перио-
дических решениях системы (19.1). Отметим некоторые свой-
ства функции G (/, т):
1)	если t =#= xlt то G (т + 0, т) — G (т, т) = Е;
2)	G (0, т) = G (Т, т);
3)	при i т функция G (/, т) удовлетворяет системе урав-
нений с импульсным воздействием
—У — A(t)G(t,x), /=/=т„ AG\t^. = BlG(xi, х),	-
так что G (т< 4-0, т) = (Е 4- В f) G (тр т);
4)	G(t, т<4-0) = G(t, х()(Е 4-В,)"1.
В справедливости указанных свойств функции G (I, х) не-
трудно убедиться, учитывая свойства функции X (/) (см. § 6).
Отметим также, что свойства 1) — 4) однозначно определяют
функцию Грина G (/, т).
Пусть
шах || 6 (Е тЖ-Лт- ' (19-9>
Из (19.8) следует, что х* (/) допускает оценку
к (Те А \
их* (ОII < тту I j11 z (/) 11 dt + £ ii и I • (19> 10)
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 19.1. Если соответствующая система (19.1) одно-
родная и не имеет нетривиальных Т-периодических решений, то
система уравнений (19.1) для любой Т-периодической функции
f (t) и любой периодической последовательности су (ai+p —
= ai, i g Z) имеет единственное Т-периодическое решение
х* (0 и для этого решения справедлива оценка (19.10).
Рассмотрим случай, когда однородная система, соответ-
ствующая системе (19.1), имеет нетривиальные Г-периодиче-
ские решения.
Начальные значения таких решений определяются из урав-
нений
(Е — X (Т)) х0 = 0.	(19.11)
Предположим, что однородная система имеет k п линей-
но независимых решений. Тогда алгебраическая система
144
(19.11) имеет ровно k линейно независимых решений, т. е.
ранг матрицы Е — X (Л равен п — k.
Как показано в § 10, матрицантом сопряженной системы
~ = — Ат (t)x, t^x{> Ax|f=T. = — (Е 4- В?)-1 Btx (19.12)
служит матрица Y (t) — (Хт (О)-1, поэтому начальные усло-
вия нетривиальных Т-периодических решений сопряженной
системы должны удовлетворять условию
(£ - (X7 (Л)"1) У0 = 0 или (X (Л - Е)т у0 = 0.	(19.13)
Ранг матрицы (X (Л — Е)т равен рангу матрицы X (Т) — Е,
т. е. равен п — k, а значит, система алгебраических уравне-
ний (19.13) имеет k линейно независимых решений, которым
соответствуют k линейно независимых Лпериодических реше-
ний сопряженной системы (19.12).
Теорема 19.2. Пусть линейная однородная Т-периодиче-
ская система, соответствующая уравнениям (19.1), имеет k
линейно независимых Т-периодических решений (t), ф2 (0> •••
.... фДО (1 <fe<n).
Система уравнений (19.1) имеет Т-периодические решения
тогда и только тогда, когда выполнены условия
I	р
J <Ф/ (0. f (0> dt 4- S (Т<), ад = 0,	(19.14)
о	is=I
i = 1,2.....k,
где 4h (f), ф2 (0.'Ф* (0 — линейно независимые Т-периоди-
ческие решения сопряженной системы уравнений (19.12), при-
чем в этом случае Т-периодические решения системы (19.1)
образуют k-параметрическое семейство решений.
Доказательство. Пусть х (t) — некоторое Т- пе-
риодическое решение неоднородной системы уравнений (19.14).
Из условия Т-периодичности следует, что начальное условие
х (0) = х0 удовлетворяет условию
т
(Е — Х (Т)) х0 = j X (7) X-1 (т) f (т) dx 4- £ X (t) X-1 (т<) at.
0	i==1
(19.15)
Пусть ф (0 — нетривиальное T-периодическое решение со-
пряженной системы уравнений (19.12). Тогда (Е—
— X (Т))т ф (0) = 0, и, следовательно,
0 = <(Е _ х (Л)Г Ф (0), х0) = (чр (0), (Е - X (Л) х0) «
<0 6—2865
145
/	с	р	\
= < хт (Т) ф (0), J X-1 (т) f (т) dr 4- S X-1 (Tf) aty =
? p
= J <(Xr (r))-1 4) (0), f (r)> dr + S <(Xr (T£))-1 (0), a() =
о	l~1
r	₽
= J <W)> f(T))dT+ S (Ш ai).
о	<=i
Необходимость доказана. Докажем достаточность условий
(19.14). Предположим, что равенства (19.14) выполняются.
Если у0 — собственный вектор матрицы Хт (Т), отвечаю-
щий мультипликатору р = 1, то решение у (t), у (0) = у0
сопряженной системы (19.12) Т-периодическое и
z/(O = r(O«/o = giC/4’/(O-
Поэтому имеем
? /\ р k
0 = J S С/Ф/ (О. f (0/ di + .S S fo). =
?	p
= J <Y (1)Уо, f (0> dt + £ (Г (x() y0, at) =
о	1=1
T	P
= J <XT (T) y0, X"1 (/) f (/)) dt + X <ХГ (T) y0, X-1 (тг) at} =
о
= Go, J x (T) X-' (0 f (t) dt + S X (Г) X-1 (Tf) at У.
\	0	£=1	/
Таким образом, система уравнений (X (Г) — Е)ту0 = 0
эквивалентна системе
(Х(7)-£)уо = 0,
/	г	р	\
< уо, J X (DX-1 (t) f(t)dt+ S X (Т) X-1 (Т<)aty = 0,
х	о	1=1	z
и, значит, ранги матриц этих систем одинаковы. Поэтому,
обозначив через b вектор-строку
/г ,	р	V
b=\\X(T)X-\t)f{t)dt+ X X (Т) X-1 (xz) a J ,
146
для ранга системы уравнений (19.15) имеем
ранг ((X (Т) — £) Ьт - ранг ((Х (Т) ~	=
— ранг (X (Т) — £) — ранг (X (Т) — Е) — п — k.
В силу теоремы Кронекера — Капелли система уравнений
(19.15), определяющая начальные условия 7-периодических
решений неоднородной системы (19.1), совместна и имеет
ровно k линейно независимых решений. Теорема доказана.
Существование Г-периодических решений линейно перио-
дической системы (19.1) тесно связано с наличием ограничен-
ных решений этой системы. Эту связь устанавливает теорема,
являющаяся перенесением на системы с импульсным воздей-
ствием одной теоремы Массеры.
", Теорема 19.3. Если линейная неоднородная Т-периодиче-
Ьская система с импульсным воздействием (19.1) имеет огра-
ничейное при /	0 решение х* (t), то у этой системы обяза-
тельно существует Т-периодическое решение.
Доказательство. В силу (19.4) ограниченное при
решение х* (t) неоднородной системы (19.1) представи-
мо в виде
t
х* (t) == X (t) х* (0) + J X (0 X-1 (т) f (т) dx +
о
+ X X (f) X~l (x{) at.	(19.16)
0<т(<«
Отсюда
x* (T) = X (T) х* (0) + b,	(19.17)
где
I	р
ь - J x (T) X-1 (т) f (т) dx + S X (T) X-1 (т<) щ.
Учитывая, что функция х* (t + тТ) также является реше-
нием неоднородной системы уравнений, в силу ее периодич-
ности, получаем
т—1
х* (тТ) = Хт (Т) х* (0) + £ X' (Т) b (19.18)
/=о
(т — 1, 2, .. .).
Предположим, что система уравнений (19.1) не имеет Т-
периодических решений. Тогда линейная алгебраическая си-
стема
(Е — X (Т)) х0 = Ь,	(19.19)
10‘
147
реализующая условие периодичности, несовместна и, в част-
ности, det (5 — X (Т)) = 0. Отсюда следует, что сопряжен-
ная система (Е — X (Т))т х = 0 имеет нетривиальное решение
х = х° такое, что (6, х°) =£ 0. Очевидно, х = Хт (Т) х° и,
значит,
х° = (Хг (?))* х° (fe = 0, 1, 2, ...).
Отсюда, с учетом равенства (19.18), находим
{х*(тТ), х°> = <х*(0), (Xm(T))rx°) 4-
tn—1	'
+ S {b, (X'(Т))т х°),
1=0
(х* (0), х°) + tn {b, х°) -> оо при m -> оо, что противоречит
ограниченности решения х* (t).
Таким образом, в условиях теоремы система уравнений
(19.19) совместна, а значит, существует по меньшей мере одно
Т-периодическое решение исходной неоднородной системы
(19.1). Теорема доказана.
Следствие. Если линейная неоднородная Т-периодическая
система с импульсным воздействием (19.1) не имеет Т-перио-
дических решений, то все решения этой системы неограничены
как при /	0, так и при t 0.
»
§ 20.	Нелинейные периодические системы
Установим некоторые достаточные условия существования
периодических решений нелинейной системы с импульсным
воздействием
-%- = А (0 х + f (t, х), t #=	Ax |<=t/ = B(x + It (x), (20.1)
в которой A (t) — непрерывная Т-периодическая матрица,
функция f (t, x) является непрерывной (кусочно-непрерывной
с разрывами первого рода по t при t = rt) по своим перемен-
ным и Т-периодической по t', матрицы Bit функции Ц (х) и
моменты h таковы, что
= Bh Il+p(x) = Ii(x), xi+p = Xi+T (20.2)
при всех i £ Z и некотором натуральном р.
Для этого используем две общие теоремы о существовании
неподвижной точки оператора в полном нормированном про-
странстве. Мы приводим только формулировки этих теорем,
поскольку их доказательство можно найти во многих книгах
по функциональному анализу и его приложениям (см., напри-
мер, [961).
148
Теорема 20.1. Пусть Si — банахово пространство элемен-
тов х, у, ...с нормами |1х ||, || у ||, F — отображение шара
|| х || h пространства да в пространство Si, удовлетворяющее
условию
||F(x) — Г(«/)|Кр||х — z/||, 0<р<1.	(20.3)
Предполож им, что
И(0)||</г(1 - р).	(20.4)
Тогда отображение F имеет единственную неподвижную
точку Xi такую, что F (х0) = х0. Более того, эта точка мо-
жет быть получена как предел последовательных приближений
Xj = F (0), х2 = F (Xj), х3 = F (х2).при этом справедлива
оценка
пк
(20-5)
1 г
Отметим, что если F отображает шар || х || h в себя, то
условие (20.4) излишнее.
Теорема 20.2. Пусть F — такое отображение замкнутого
выпуклого подмножества S банахового пространства Si в себя,
что образ F (S) множества S имеет компактное замыкание.
Тогда F имеет неподвижную точку х0 g S.
Докажем следующее утверждение.
Тео рема 20.3. Пусть в системе уравнений (20.1) функции
f (t, х) и /, (х), кроме сделанных ранее предположений, удовлет-
воряют условию Липшица по х
x} — f(t, У)\\ + ||Л(х)-Л(//)||<^||х-//|| (20.6)
равномерно относительно 0 t Т и i = 1, 2, ..., р.
Предположим, что линейная однородная Т-периодическая
система
-^- = A(t)x,	Ьх^^Врс (20.7)
не имеет нетривиальных Т-периодических решений. Если кон-
станта Липшица N настолько мала, что
KN<i,	(20.8)
то система уравнений (20.1) имеет единственное Т-периоди-
ческое решение.
Отметим, что вовсе не обязательно, чтобы функции f (t, х)
и 1{ (х) были определены и удовлетворяли неравенству (20.6)
при всех х£ R". В процессе доказательства теоремы достаточ-
но рассматривать эти функции в области || х || h, где h
такое, что Кт h (1 — K.N), а т = max {|| f (t, 0) J|o,
шах || h (0)||).
149
Доказательство. Введем в рассмотрение банахо-
во пространство $ кусочно-непрерывных (с разрывами перво-
го рода при t = тг) Т-периодических функций <р (0 с нормой
|1 ср (0 ||0 — шах || ф (0 ||. Сходимость последовательности Ф1 (0,
/РЮ.Т]
Ф2 (0, ••• в 5В эквивалентна обычной равномерной сходимости
на промежутке [О, Г].
Пусть ф (t) — кусочно-непрерывная с разрывами первого
рода при t = Xi Т-периодическая функция, удовлетворяющая
неравенству || ф (0 ||0 h. По теореме 19.1 уравнение
-J- = A(t)x+ f(t, ф(0),	Дх|<=Х£ = Вгх + /<(ф(Т;))
(20.9)
имеет единственное Т-периодическое решение
Г	р
х*(0 =	т)/(т, <₽W)dT4-S G(t, тг) Л (ф (тг)), (20.10)
о	г=1
где G (t, т) определяется согласно (20.7).
Определим на множестве всех таких функций ф (0 опера-
тор F:
? ₽
р [ф (01 = J G (т, т) f (т, ф (т)) dx + S G (t, Xi) li (ф (тг)).
о	'=1
Если фг (0, ф2 (0 С 35, то
т
IIГФ1 (0 - Еф, (0II < J G (0 X) ИIIФ1 (т) - ф8 (г) II dx +
о
+ S 11<?С, тг)Н||ф1(тг)-Ф2(гг)|1.
4=1
Отсюда
(т
JllTiW — Ф8С0Пт +
0
+ S ЯФ1(т<) —ф8(т<)||),	(20.11)
i=i	/
где константа К определяется согласно (19.9).
Из последнего неравенства получаем
II(0 - Еф, (0 До < KN IIФ1 (0 - Ф1 (0 J,.	(20.12)
Кроме того, если
/п = max {(/(/, 0) До, тах|/г(0)Д),	(20.13)
150
то
\\F(O)lo^Km.	(20.14)
Выберем h таким, чтобы Кт h. (1 — AT/). Тогда отобра-
жение F в силу оценок (20.11), (20.12) и условия (20.8) удов-
летворяет условиям теоремы 20.1, следовательно, имеет не-
подвижную точку Ftp* (/) — <Р* (0- Иными словами, существу-
ет Т-периодическая функция <р* (/), удовлетворяющая урав-
нению
?	р
Ф* (0 = J G (/, т) f (т, <р* (0) dt + S G (t, rz) I( (<р* (rz)), (20.15)
о
т. е. являющаяся единственным Т-периодическим решением
системы уравнений (20.1).
Функция ф* (/) может быть найдена как предел равномер-
но сходящейся последовательности Т-периодических функций
4>т (0:
т
Фо (0 s 0. фт+1 (0 = J G (t, т) f (т, <рт (т)) dr +
о
+ S G (/, rz) Ц (<pm (TZ)), m = 0, 1, 2. (20.16)
Кроме того, справедлива оценка погрешности
к*(0-фт(011о<(дал.	(20.17)
Теорема 20.4. Пусть в системе уравнений (20.1) функции
f (t, х) и Ц (х) являются непрерывными для || х || Л, 0 t
Т и удовлетворяют условию
KU(t,x)\\^h, KUi(x)l^h, 0</<Т,
1 = 1, 2.....Р,	(20.18)
Если однородная система (20.7) не имеет нетривиальных
Т-периодических решений, то исходная система уравнений
(20.1) имеет, по крайней мере, одно Т-периодическое решение.
, Доказательство. Пусть S)~ банахово! простран-
ство кусочно-непрерывных (с разрывами первого рода при
t — tz) Т-периодических функций, введенное при доказатель-
стве предыдущей теоремы. Как и выше, определим отображе-
ние F ; Sh-+ $), где Sh = {<р (/) С 3) 11 <р (/) ||0 h) согласно
формуле (20.11). Для доказательства теоремы достаточно
установить, что отображение F имеет неподвижную точку:
F [ф* (/)] = ф* (0-
151
Из (20.11) с учетом (20.9) следует, что
К (с	₽	\
II (0II < ттг J и ф (*))dT + s II (ф (ч)) II • (20-19)
' F \0	<=*	/
Если <р (/) g Sb, то в силу (20.18) || Ftp (/) |]0 Л, т. е.
Гф (/) g Sh. Таким образом, F отображает шар Sh в себя.
Кроме того, в силу неравенства (20.10),
т
||Гф1(0-Гф2(01к><т^7
JII f (ч Ф1 СО) — f (ч Фг СО) II d* +
о
р
+ S II Л (Ф1 (*<)) — Л (фг (ч)) II-
1=1
Поскольку функции f (t, х) и Ц (х) непрерывны, то понятно,
что если || фх (0 — ф2 (0 ||0 -> 0, то ||	(0 — Гф2 (/) ||0 -> 0.
Значит, отображение непрерывно.
Чтобы воспользоваться теоремой Шаудера для завершения
доказательства теоремы, остается доказать, что F (S) имеет
в S3 компактное замыкание, т. е. любая последовательность
Ф1 (/), ф2 (1), ... имеет равномерно сходящуюся подпоследова-
тельность.
Возьмем произвольную последовательность {ф, (/)}, / =
= 1, 2, ..., ф/ (1) g F (Sft). На промежутке [0, тг] эта последо-
вательность равномерно ограничена и равностепенно-непре-
рывна, следовательно, по теореме Арцела из нее можно выде-
лить равномерно сходящуюся на [0, тг] подпоследовательность
{ф/1’}. Подпоследовательность {ф)1’} рассмотрим на проме-
жутке (?!, т2]. На этом промежутке подпоследовательность
{ф^} является равномерно-ограниченной и равностепенно-
непрерывной, поэтому из нее можно выделить равномерно
сходящуюся на промежутке 10, т2] подпоследовательность
|ф®}. Продолжая аналогичные рассуждения на промежутках
(т2, т3], ..., (Тр, Т], заключаем, что из последовательности
(ф/ (/)| можно выделить подпоследовательность {ф^+1 (/)}>
которая будет равномерно сходиться на промежутке [0, Т].
Это означает, что F (Sh) имеет в Si компактное замыкание, сле-
довательно, на основании теоремы 20.2 делаем вывод, что F
имеет в Sh неподвижную точку, т. е. система уравнений (20.1)
имеет, по крайней мере, одно Т-периодическое решение. Тео-
рема доказана.
Рассмотрим вопрос существования и приближенного вы-
числения периодических решений слабо нелинейной системы
с импульсным воздействием в предположении, что последне-
152
му система подвергается в момент прохождения изооражающей
точкой гиперповерхностей t = xt (х). Указанного типа систе-
му уравнений можно записать в виде
4/Г” = А (/) х 4- f (t, х), I =£= (х), Дх|<=т .U) = Btx -f-11 (x),
(20.20)
где A (t), f (t, x) — непрерывные Т-периодические no t coot
ветственно матричная и векторная функции, постоянные мат-
рицы Bi, функции Zz (х) и xt (х) такие, что
BZ+P = BZ, Л+р(х) =/z(x), tz+p (х) — Xi (х) + Т (20.21)
при всех i Е Z и некотором натуральном р. Предполагается
также, что функции / (t, х), /z (х) и xz (х) удовлетворяют усло-
вию Липшица по х равномерно относительно t g R и i £ Z,
т. е.
II / (/, х') - / (/, X") II с L И X' - х" ||, II 1( (х') - It (х") II <
^L||x' —х"||,	(20.22)
|tz(x')-tz(x")K№x'-H	(20.23)
при всех х', х", || х' || h, || х" || h\ L и N—постоянные
Липшица.
Чтобы исключить биение решений уравнений (20.1) о по-
верхности t = Xi (х), потребуем также выполнения условия
xz (х) > Xi ((£ + Bz) х + Ц (х))	(20.24)
при всех i £ Z, || х || ^ h.
Предположим, что система уравнений (20.20) имеет един-
ственное в области || х || h Т-периодическое решение х =
= х* (/), и обозначим через tz моменты пересечения интеграль-
ной кривой этого решения поверхностей t — х{ (х). Тогда
х = х* (/) является Т-периодическим решением такой системы
уравнений
~ = А (0 х + f (t, х), t х°, Дх|/=то = Врс + h (х). (20.25)
Если дополнительно предположить, что линейная часть урав-
нений (20.25), т. е. система уравнений
~ = А (0 х, t х°(, Дх|/=то = BiX (20.26)
не имеет нетривиальных Т-периодических решений, то реше-
ние х = х* (0 в предположении малости констант Липшица
L и N согласно теоремам предыдущего параграфа можно най-
ти как предел равномерно сходящейся последовательности
153
периодических функций
т
Фо (О S3 О» фт+1 (0 = J G т) f (т. Фт СО) dx 4-
б
+ S G(t, т?)Л(Фт(т?)),	(20.27)
tn = 0, 1, 2......
Здесь G (t, т) — функция Грина задачи о периодических
решениях, определяемая равенством (19.7).
Для отыскания Г-пер и одических решений уравнений
(20.20) поступим таким образом. Зафиксируем р точек у\ у2,...
Ур> || У' II <	/ = Ь 2, ..., р и построим Последователь-
ность периодических функций
т
Xm+I G, Ур) = J G (t, т) f (т, хт (т, у1.......ур)) dx +
о
р
+ ^G(t, Х{(У{))Ц(У1),	(20.28)
т = 0, 1,2,..., х0 (t, у1, ..., ур) 0.
Если такая последовательность периодических функций
равномерно сходится
lim xm(t, у1....ур) = Хо, (/, у1, .... уР),
т-ьоо
то предельная функция хх (/, у1, .... ур) является периодиче-
ским решением такой системы уравнений:
— A (t) х + f (t, х), t =£ xt (у1),	(20.29)
= Btx + Ц {у1), у1 = у^°.
Если выбрать у1 так, что
1/‘= Хоо (тДгД у1....ур), 1 = 1, 2, ..., р, (20.30)
то функция Хоо (/, у1..ур) как раз и будет искомым Т-перио-
дическим решением системы уравнений (20.20).
Таким образом, для доказательства существования перио-
дических решений системы уравнений (20.20) надо решить две
задачи: доказать равномерную сходимость псследовательно-
сги функций (20.28) и разрешимость уравнений (20.30).
Из доказательства теоремы 20.3 следует, что при выполне-
нии неравенства (19.6) — (19.8) последовательность периоди-
154
ческих функций (20.28) равномерно сходится при любых фик-
сированных у1, у2, ур, || yi || < h, j — 1, р, к предельной
функции Хоо (L ух..Ур}- Установим некоторые свойства функ-
ций хт (t, у1, ур) и предельной функции (t, у1.......ур)
в зависимости от точек у1.... ур. Справедливы следующие
две леммы.
Лемма 20.1. Существует такая положительная постоян-
ная Lx = Loo (L, Af), Loo -> 0 при L -> 0, Af -> 0, что для
любых у1, ..., ур и z1, .... zp, || у11| < h, || z‘ || < h, i = 1, ..., p
выполняется неравенство
p
II xm (t, y1.yp) — xm (t, z\... zp) IK Loo s || y{ — Zl II
f=i
При всех Xi <z t Tf+i, m — 1, 2, .... где
= max (rt ($/'), xt(z1)), х_щ= min(тг(yl), x((z1)).
Лемма20.2. Функции x^ (r,	f/1, ••> t/₽)> t = 1, .... P
удовлетворяют условию Липшица no каждой из переменных
у1....ур с константой Липшица Lo = Lo (L, N), Lo -> 0 при
L-+Q и N -> 0.
Доказательство лемм проводится аналогично доказатель-
ству лемм 4 и 5 из [86] или доказательству лемм 21.3 и 21.4
следующего параграфа.
Исследуем вопрос разрешимости уравнений (20.30). Со-
гласно леммы 20.2, функции хх (т, (у1), у1, ..., ур), i = 1, ...
..., р удовлетворяют условию Липшица по переменным у‘,
i = 1, ..., р, с константой Липшица Lo = Lo (L, N). Если счи-
тать постоянные L и N настолько малыми, что, pL0 (L, Af) <
< 1, то уравнения (20.30) имеют единственное в области
|| у |К решение, которое можно найти простым итерацион-
ным путем, определяя приближения к этому решению согласно
формулам
Ук....
i	= 1, .... р, k = 0, 1,...,
взяв за начало итерационного процесса у1о = 0, i = 1, ..., р.
Функции Хоо (т; (у‘), у1, ..., ур) в общем случае невозможно
найти, поэтому для нахождения точек пересечения периоди-
ческим решением поверхностей t = т; (х) надо решать урав-
нения
У1 ” хт (xt (у‘), у1, .... ур).
При условии pL0 (L, N) < 1 эти уравнения имеют един-
ственное в области ||i/||</i решение у1 ~ у'т, у2 = у2т, ...
155
..., Ур = Ут, при этом разность между этим решением и решением
точных уравнений (20.30) определяется следующим образом:
II	У1. — У mil = II Х°° (Т<	у\.У$ — Хт (ъ (yin),
Ут.....у\........................уР)~
- х„ (т£ (у{т), у'т.урт) || + II Хоо (т, (у‘т), у^,..., урт) -
р
- хт (У‘т), У'п.-, Урт) К Lo S II У1, - Ут II + h,
1=1
1=1,..., р,
т. е.
(^Х'’ l’=1.............р- (20-31)
Подводя итог сказанному, приходим к следующему утверж-
дению.
Теорема 20.5. Пусть функции, определяющие Т-периоди-
ческую систему уравнений (20.20), таковы, что выполняются
неравенства (20.22) — (20.24). Если линейная Т-периоди-
ческая система уравнений
~ = A(f)x, (0), Д4=т.(о> = BiX
не имеет ненулевых Т-периодических решений, то при доста-
точно малых значениях постоянных Липшица L и N система
уравнений (20.20) имеет единственное Т-периодическое реше-
ние.
§ 21. Численно-аналитический метод отыскания
периодических решений
В работах [79; 82] предложен и развит численно-аналити-
ческий метод отыскания периодических решений одного клас-
са систем обыкновенных дифференциальных уравнений как
предел равномерно сходящейся последовательности периоди-
ческих функций.
Используем идеи численно-аналитического метода для ис-
следования периодических нелинейных дифференциальных
уравнений, подверженных импульсному воздействию
=	X), t^xh Дх|<=т, = /,(х).	(21.1)
Здесь х 6 D с R", D — замкнутая, ограниченная область
евклидова пространства R", функция f (t, х) непрерывная
156
(кусочно-непрерывная по t с разрывами первого рода при t —
= тг), Л (х) — непрерывные функции, определенные при
(t, x)ER X D = (— оо, оо) х D. (21.2)
Предполагается, что система уравнений (21.1) является
Т-периодической по t. Это означает, что функция f (t, х) яв-
ляется Т-периодической по t равномерно относительно х 6 D,
а функции Ц (х) и моменты т,- такие, что
h+p(x) = Ц(х), xi+p = Xi + T	(21.3)
при всех i 6 Z, х g D и при некотором натуральном р.
Предположим также, что функции / (t, х) и Л (х) удовлет-
воряют условию Липшица по х g D равномерно относитель-
но t g R, i Е Z
|| f (/, x') - f (t, x?) || <	|| x' - x" i|, || I( (x') - li (x") || <
<^||x'-x"||	(21.4)
с постоянными Липшица /Сг и /<2.
Пусть
max \\f(t, х)||^Л4, max ||7f(х)||^М. (21.5)
/€[0,7]	IsSisSp
x^D	x(D
Под d-окрестностью точки х0 Е R" будем понимать множест-
во точек х Е R", для которых || х — х01| < d.
Свяжем с системой уравнений (21.1) и областью D мно-
жество точек Dx из R", содержащихся в£> вместе со своей
МТ (. . 4р\
—g— 1 + 1-окрестностью.
Идея дальнейших исследований системы уравнений (21.1)
во многом основана на следующей лемме.
Лемма 21.1. Пусть в системе уравнений
А у
<^xt,	(21.6)
функция f (t) является Т-периодической, а постоянные векторы
li и последовательность моментов xt таковы, что Ц+р = Ц,
xi+p = г, 4- Т. Тогда существует постоянный вектор р, при
котором решение уравнений (21.6), проходящее при t — 0 че-
рез заданную точку х0, является Т-периодическим.
Действительно, проинтегрировав уравнения (21.6), убеж-
даемся, что в качестве р следует взять вектор
И 7’
Г? ₽
+ it
5
(21.7)
1
157
Обозначим через f (t) интегральное среднее функции / (f)
на промежутке [О, Л, т. е.
т
Ш ~ f (a) da.
о
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение.
Лемма 21.2. Пусть f (t) — непрерывная (кусочно-непрерыв-
ная с разрывами первого рода) на промежутке [О, Л функция.
При всех t £ [0, 7] справедливо неравенство
t
J	<2ф_ 4-) max II НО II-	(21.8)
S	|	\	/ telo.T]
Доказательство. Поскольку
j  t	т	t	т
$ f(°)--$ f (<0 da] da = j f (a) da-L^f(p)da=->
0 L	0	о	0
= (! — у-) J / (<0	J ^d<J'
'	' 0	t
TO
t
$[f(o)-ni)da]
о
T
+ 4- J II f (о) II da < 2t (1 - 4-A max || f (f) ||.
1 t	\	1 Jteio.T]
Лемма доказана.
Пусть область D и функции f (t, х), lt (х), кроме ранее
сделанных предположений, удовлетворяют следующим: 1) су-
ществует непустое замкнутое множество Do, принадлежащее
области D вместе со своей + -y-j-окрестностью; 2) кон-
станты Липшица K.Y и К,% таковы, что
К£- + рКг(2 +	1.	(21.9)
Перейдем к построению периодических решений системы
уравнений (21.1). Предположим, что система уравнений (21.1)
имеет Т-периодическое решение и известна точка х0 £D0, через
которую это решение проходит при t — 0. Алгоритм построе-
ния этого решения указывает следующая теорема.
Теорема21.1. Если система уравнений (21.1), удовлетво-
ряющая указанным выше условиям, имеет Т-периодическое ре-_
158
шение х = ср (/), проходящее при t — 0 через точку х0 С Do,
то это решение является пределом равномерно сходящейся
последовательности периодических функций
<р (/) = lira хт (/, х0),	(21.10)
т-юо
определяемых на периоде t 6 [О, Т] по формуле
t
хт+1 V, х0) = х0 + J [f (ст, хт (ст, х0)) — /(ст, хт(ст, х0))] da +
О
+ X h(xm(Ti, *<>)) — t!{xm(Xi, х0)),	(21.11)
0<Tz<Z
х0 (t, х0) = х0, т = О, 1, 2,....
Здесь
т
f Ц, х (i)) = -у- J / (CT> x (a)) dof»
0
_________ I p
/ (X<Tt, x0)) = S	x0)).
1	1=1
Доказательство. Каждая из периодических функ-
ций хт (t, х0), определяемых на периоде согласно равенству
^(21.11), по лемме 21.2 допускает оценку
\\хт(1, х0) — xo||<Ma(0 4- 2рМ, (21.12)
где а(0 = 2/(1---ОТС1°Да следует, что каждая
из функций хт (t, х0) определена для любого натурального т
и хт (t, х0) g D для всех —оо < t < оо (в силу периодичности)
при х0 е Do.
Для доказательства сходимости последовательности функ-
ций (21.11) оценим разности хтц-1 (t, х0) — хт (t, х0). При т =
= 0, согласно (21.12), имеем
. hHf, xo)-xoKMa(O + 2pM<4Z-(1 + -Г”) • <21-13)
Если т — 1, то
II х2 (t, х0) — Xj (/, х0) К + 2рТ^а (0 +
+ 2p^4L(l + 4^) =^1а(0 + М1<-^ + М1, (21.14)
где
159
Если предположить, что
у ,Т
II хт (t, х0) — xm-i (t, х0) II с Nm^a (t) + Afm_! < —— 4-
4" Мт—J,
то из (21.11) находим
|| Ят-р (/> х0) хт (t, х0) (I	К, ---1- a (t)
+ 2Л (-4^+
Методом полной математической индукции доказываем, что
для произвольного натурального числа т справедлива оценка
II xm+i (/, х0) — хт (/, х0) II < Nma (/) 4- Мт < Nm 4- Мт,
(21.15)
где постоянные Nm и Мт удовлетворяют рекуррентным соот-
ношениям
= з Nт 4-	(2| ig)
Mm+1 = pK^TNm 4- %рК2Мт, N0 = M, М0 = 2рМ.
Отсюда для равномерной сходимости последовательности
функций хт (t, х0) достаточно, чтобы все решения разностных
уравнений (21.16) стремились к нулю при m-> оо. Для этого
необходимо и достаточно, чтобы собственные числа матрицы
рК2Т 2pKj
этих уравнений удовлетворяли неравенству |	| < 1 и
I ^2 I < !•
Как известно (см., например, [29]), корни многочлена
F (X) = № 4- «А, 4* Ъ, где а а b — действительные числа, ле-
жат в круге | X | < 1 комплексной плоскости, если выполня-
ется система неравенств
— 14-|а]<&<1.	(21.18)
Характеристическим многочленом матрицы (21.17) явля-
ется
F(X) =	р^т- .
160
Для этого многочлена условия (21.18) принимают вид
_ 1 + A2L + 2рКг < — рК^Т- < 1,	(21.19)
О	О ъ
что эквивалентно выполнению неравенства (21.9).
Таким образом, благодаря условию (21.9) собственные чис-
ла матрицы (21.17) удовлетворяют условиям 1	| < 1 и
| Х21 < 1, что обеспечивает равномерную сходимость на про-
межутке [О, Т), а следовательно, в силу периодичности и на
всей числовой оси, сходимость последовательности функций
хот(Л х0).
Положим '
. lim xm (t, х0) = хж (t, х0)
и покажем, что
Ф (0 = Хо» (t, х0).	(21.20)
Переходя к пределу при m -> оо, убеждаемся, чтох«> (t, х0)
есть периодическое решение уравнения
t
х (t, х0) = х0 + $ [f (<т, х (<т, х0)) — f (<т, х (о, х0))] do +
о
+ S Л (х (т,, х0)) — t I(x(Xi, х0)).	(21.21)
0<т;<7
Кроме того, согласно лемме 21.2, неравенству (21.9) и оценке
'	k—1
|| Xm-^-k (t, Хо) Xm (t, Xo) |]	5j II Xm-]-i^-l Xo) —
1=0
*-l	*-l MT .	. .
— xm+i (t, Xo) II sC S Mm+i+l	S Qm+i -9— ( 1 + ~f~) ’
i=0	i=0	z \	/
(21.22)
Где q — положительное собственное число матрицы (21.17),
получаем неравенства
||Х~(/, Xo)-XoK4L(I + -T-)’	<21-23>
boo(/, х0)-х„,(/, х0)КГ(1 -9)-1 4L(1 + -Т-) • <21-24>
По условию теоремы функция х — ф (/) является периоди-
ческим решением уравнений (21.1), а следовательно, удовлет-
воряет уравнению
t
х(0 =х0 + jf(О, X(o))do+ S 4(x(Tj), />0, (21.25)
о	0<т^<£
И «—2865
161
и обладает свойством
г	р
ф(0)Л + у- S Л(ф(тЛ) = 0.	(21.26)
о
Из соотношений (21.21), (21.25) и (21.26) следует, что <р (/),
как и Хоо (t, х0), является Т-периодическим решением уравне-
ния (21.21). Поэтому для завершения доказательства теоремы
достаточно показать, что уравнение (21.21) не может иметь
двух различных Т-периодических решений. Допустим против-
ное. Пусть х (/, х0) и у (t, х0) — два различных решения урав-
нения (21.21). Тогда для разности х (/, х0) — у {t, х0) при 0^
t Т получим оценку
+ "4 j ^||х(о, х0) —^(<т, x0)||d<r + S	^о) —
t \\
— У x0) II + у S Л’г k (Xi, x0) — У (т<, x0) ||.
Положив || x (t, x0) — у (/, x0) || = r (t), предыдущее неравенство
можно записать в виде
/	г
гj	(°)da+4-S	(ст>+
+ S К/ (Т() + 4" s К/ (т<)-	(21.27)
0<т£</	' f=l	'
Пусть
max г (t) — г0 >: 0.
<£[0.Г]
Итерируя последнее неравенство, на m-ом шаге получим
(21.28)
где постоянные Nm и Мт определяются как решения разност-
ной системы уравнений
=	»	(2J.29)
Mm+J \рк2т \mJ
162
удовлетворяющие начальному условию No — 0, Мо — г0, т. е.
(nA (-*£-
(21.30)
\рКлТ	v о/
Отсюда видно, что при выполнении неравенства (21.9)
Nm -> 0 и Мт-> 0 при m -> оо. Из (21.28) следует, что г (/) =
as 0, т. е. х (t, х0) = y(t, х0), что и завершает доказательство
теоремы.
Выясним вопрос существования периодических решений
системы уравнений (21.1).
Согласно доказанной теореме, отыскание периодического
решения уравнений (21.1) сводится к вычислению функций
хт (t х0), если известно, что такое решение существует и из-
вестна точка х0, через которую оно проходит при t — 0.
Зная хт (t, х0), вопрос существования периодических ре-
шений можно решать следующим образом.
Обозначим через Д (х0) выражение
7*	р
.; Д (Хо) = -у- j f (а> х°° (а. Хо)) do + -у- S II (хх (Tz, х0)), (21.31)
о	z=l
, где хх (t, х0) = li m хт (t, х0), а хт (t, х0) определяются соглас-
но (21.11). Так как хж (t, х0) удовлетворяет соотношению
'•	t
Х« (t, хо) = х0 + j IF (°. х«> (°. х0)) — f (ст, Хоо (о, х0))] do +
о
+ S h (*°°	x0)) — tl (Xoo (tz, x0)),
0<тг<г
то при Д (x0) = 0 функция xx (t, x0) является периодическим
решением системы уравнений (21.1).
Таким образом, вопрос существования периодических ре-
шений систем вида (21.1) связан с вопросом существования
нулей функции Д (х0). Однако найти функцию Д (х0) практи-
чески невозможно, поэтому возникает задача: как, исходя из
функций
1 Г	1 Д
(*о) = Y J f (о. хт (с, Хо)) do + -яг S h (хт (Tz, Хо)),
О	f=1
(21.32)
заключить о существовании нулей функции Д (х0)> а следова-
тельно, решить вопрос существования периодических решений
уравнений (21.1)?
Эту задачу можно решить с помощью следующей теоремы.
11
163
Теорема 21.2. Пусть для системы уравнений с импульсным
воздействием (21.1) выполняются условия: а) для некоторого
целого числа m ;> О отображение : Do-+ Rn имеет изо-
лированную особую точку, т. е. Лт (х°) = О с ненулевым ин-
дексом; б) существует замкнутая выпуклая область Do
с единственной особой точкой х° такая, что на ее границе
выполняется неравенство
inf ||Дт(х)|| к + -V-)	(1 + "Г-) > (21-33)
где q — положительное собственное число матрицы (21.17).
Тогда система уравнений (21.1) имеет Т-периодическое реше-
ние х = ф (/), для которого ip (0) g Do.
Доказательство. Индекс изолированной особой
точки х° непрерывного отображения Дт (х) равен характери-
стике векторного поля, порожденного этим отображением на
сфере S'1-1 достаточно малого радиуса с центром в х°. По-
скольку в £>j содержится только одна особая точка х° и
гомеоморфно шару из R", то характеристика векторного поля
Дт на сфере S'1-1 равна характеристике этого же поля на ГО1.
Векторные поля Дт (х) и Д (х) гомотопны на Гд,. Последнее
следует из того, что непрерывно зависящее от параметра 0,
О 0	1 семейство везде непрерывных на Гд, векторных
полей
V (0, х0) = Д„, (х0) + 0 (Д (х0) — Дт (х0)),
соединяющее поля V (0, х0) = Дт (х0) и V (1, х0) = Д (х0),
нигде не обращается в нуль. Действительно, используя оцен-
ку (21.24), имеем
т
IIЛ (х0) — Дт (х0) || < -у- j Ki || х«, (о, х0) — хт (ст, х0) || do +
О
1 р
+ — S ^2 II Х°°	*в) — Хт (Тд Хо) ||
^Г(1-9Г‘[^1	+ -?)• (21-34>
Отсюда с учетом (21.33) следует, что при всех х £ Гд,
|| V (0, х) || > || Дт (х) || -1| Д,„ (х) - Д (х) || > 0.
Поскольку характеристики гомотопных на компакте полей
равны, то характеристика на Гд, поля Д (х) равна индексу
особой точки и нахождение области Dlt на границе которой
. 164
выполняется неравенство (21.33). В двумерных системах урав-
нений (21.1) вычислить индекс всегда можно. Для пространст-
ва размерности, большей чем 2, подсчет индекса затрудняет-
ся. Однако и в этом случае имеется ряд критериев, позволяю-
щих судить, отличен ли индекс от нуля.
Так, в частности, если функция (х) непрерывно диффе-
ренцируема в окрестности точки х° и det —0, то
индекс точки х° отличен от нуля.
Выбор области О]( на границе которой должно выполнять-
ся неравенство (21.33), допускает некоторый произвол. В част-
ности, для периодических по времени систем с импульсным
воздействием в стандартной форме
= е/ (/, х), /=#Ti, Ах^=т. = e/i (х),	(21.35)
где 8 — малый положительный параметр, областью Dr может
быть любой достаточно малого радиуса шар с центром в изо-
лированной особой точке.
Поэтому вопрос существования Т-периодических решений
системы уравнений (21.35) решается с помощью такого утверж-
дения.
Теорема21.3. Пусть функции f (t, х), Ц (х) и моменты вре-
мени тг, определяющие систему уравнений (21.35), такие же,
как и в уравнениях (21.1). Если усредненная система уравне-
ний
р

имеет изолированное положение равновесия у = у0, f (у0) = О
и индекс отображения f (у) в точке у0 отличен от нуля, то
система уравнений (21.34) при достаточно малых значениях
параметра 8 имеет Т-периодическое решение х = ср (t, s),
lim <р (t, 8) = у0.
Е-+0
Эта теорема обосновывает принцип усреднения для перио-
дических систем уравнений с импульсным воздействием стан-
дартного вида.
Отметим, что если система уравнений (21.1) — одномерная,
т. е. если х — скалярная величина, то теорему 21.3 можно
усилить, отказавшись от изолированности особой точки.
Теорема 21.4. Пусть для скалярного Т-периодического урав-
нения с импульсным воздействием
Дх|^ = Л(х),	(21.36)
165
функции f (t, x) и It (x) которого определены при всех t Q R,
x C la, для некоторого m функция tXm (x), определяемая со-
гласно (21.23), удовлетворяет неравенствам
min Am (x) --------(Ki + h,
a-^-h^x^b—ti	i—? \	‘ /	(21.37)
max (x) >	~ (><i + '^r~\h,
a+h^x^b—h	1	4 \	/
в которых h —	1 4-	, b — aZ>2h.
Тогда уравнение (21.36) имеет, no крайней мере, одно пе-
риодическое решение х = ф (t), для которого а + h ср (0)
^6 — h.
Доказательство. Пусть хх и xs — точки отрезка
[а + h, b — h] такие, что
Am(x!)= min Am(x), Am(x2) = max Дот(х).
a-f-h^x<b—h	a-f-h^x^b—h
Учитывая неравенства (21.34) и (21.36), имеем
A Ui) = Am Ui) + IА Ui) — Am (xjl < 0,
A (x2) = Am (x2) + [A (x2) — ДЧ! U2)] > 0.
Из непрерывности функции A (x) и последних двух нера-
венств следует существование такой точки х° £ 1хъ х2], что
А (х°) = 0. Этого достаточно для существования периодиче-
ского решения уравнения с импульсным воздействием (21.36).
Исследуем вопрос существования и приближенного отыска-
ния периодических решений импульсных систем в предполо-
жении, что импульсному воздействию система подвергается
при прохождении изображающей точкой гиперповерхностей
расширенного фазового пространства.
Рассмотршм систему уравнений
-%-=№, х), t^xdx), A4=t.w=A(x), (21.38)
в которой f (t, х) — непрерывная (кусочно-непрерывная по t)
по х функция f (t, х), Л (х) и т,- (х) удовлетворяет условию
Липшица
\\f(t, x')-f^x")KK1||x'-x"||,
||Л(г')-/((х'')<^||х'-х'||,	(21.39)
| Т[ (х‘) — Т[ (хИ) | < N || х' — х" |
равномерно относительно t £ R, i £ Z при всех х', х” g D, где
D — замкнутая ограниченная область евклидова простран-
ства Rn.
166
 > Предполагается также, что система уравнений (21.38)
'Т-периодическая по t, т. е. функция / (/, х) является Т-периоди-
Иеской по t, а функции /, (х) и т (х) такие, что при некотором
натуральном р выполняются соотношения
11+Р(х) = Л(х), х1+р (х) = (х) + Т (21.40)
для всех х g D, I £ Z.
Поскольку в системе уравнений (21.38) возможно явление
биения решений о поверхности t =	(х), то для исключения
его потребуем, чтобы функции т,- (х) и Ц (х) удовлетворяли
неравенствам
(х) > т(- (х + h (х))	(21.41)
при всех х £ D и условию отделимости поверхностей t =
— xt (х), т. е.
П11пт^1(х)—max т(-(х) > 0.	(21.42)
,	х£Р	x£D
:' Отметим, что даже в условиях, исключающих биение ре-
шений о поверхности t = т, (х), система уравнений (21.38)
существенно отличается от системы (21.1). Это отличие со-
стоит в том, что к ее исследованию нельзя применить итера-
ционный процесс «в лоб», как это делалось для уравнений
, (21.1), ибо на каждом шаге функция xm (I, х0) в этом случае
i имеет точки разрыва, отличные, вообще говоря, от точек раз-
. рыва функции xm_i (/, х0). Поэтому равномерной для [0, 7]
, сходимости функций xm (t, х0) не будет.
Для построения итерационного процесса отыскания Т-пе-
'риодических решений уравнений (21.38) поступим следующим
1 образом. Зафиксируем р точек у( £ D, / = 1, р, и построим
последовательность Т-периодических функций, определяемых
на периоде [0, Т] формулами
t
. xm+i (/, х0, у1,..., ур) = х0 + J [/ (о, хт (ст, х0, у1, ..., ур)) —
о
— /(ст, хт(о, у1,	ур))]da + S Л(у9—(21.43)
____	, Р
где / (у1)	(у1).
Если эта последовательность функций равномерно сходит-
ся при t G [0, Г], то предельная функция
х«>(/, х0, у1,	, ур) = lim х,п(, х0, у1.ур) (21.44)
167
является Т-периодическим решением такой системы уравне- j
ний:
х) — Д(х0, У1.....Ур), 1^Ъ(.У‘)>
А4=Т/(/> = Ш)-	(21.45)
Здесь
А (х0, у1, ..., ур) = f (/, хж (t, х0, у1, ..., ур) +
, р
+ -4-S Л(у9. У1+р =У1-	(21.46)
1	1=1
Если x0, z/1, ...» ур выбирать из условий, что
Д (Хо. У1, • •.. Ур) = °. у‘ = х°° (Xi (у1), Хо, у1.ур),
t — Т7р,	(21.47)
то предельная функция хх (t, х0, у1, ..., ур) будет искомым
периодическим решением уравнений (21.38).
Таким образом, вопрос существования Т-периодических
решений уравнений (21.38) сводится к установлению условий,
обеспечивающих равномерную сходимость последовательности
функций (21.43) и разрешимости уравнений (21.47).
Из доказательства теоремы 21.1 следует, что если функции
f (t, х) и /( (х) удовлетворяют неравенствам (21.39) и выпол-
няются условия 1) и 2), то последовательность функций (21.43)
сходится равномерно при любых х0 С и у1, ур Q D к
предельной Т-периодической функции хж (t, х0, у1, ..., ур).
Установим некоторые свойства функций xm (t, х0, у1, ..., ур)
И X» (t, х0, у1, ..., ур).
Лемма 21.3. Существует такая положительная постоян-
ная К' — К' (Ki, Кг), что для любых у1.....ур и г'.....zp g D
выполняется неравенство
II	Хт (t, х0, у1,..., ур) — Х„, (t, Хо, Z1, . . . , ZP) II SC
р
(21-48)
z=i
при всех Т/ < t< Ti+i, т = 1, 2......где
Xi = max (Х( (у1), xt (г1)),	= min. (т< (jfy, х{ (z{)).
168
Доказательство. Из соотношений (21.43) при
т — 0 имеем
l|*i(t х0, у1,..., yp) — x1(t, х0> г1, ..., гр)^
р
^2K2^\\yl~z‘ ||
4=1
для всех t, xt < t Ti+i.
Если tn = 1, ТО При Т< < t 'С *4+1
|| *2 0, *0> У1......ур} — *2 U, *0, Z1, .... zP) II <
р
2Ks[K,a (0+l]£||z/-z<||.
Методом полной математической индукции устанавливаем, что
для всех т = 0, 1,2, ...
II xm+i (t, х0, у1, .... ур) — хт+х (t, х0, z1,..., zp) || <
<2к2[к;а (0 + 1] Sk'- г' и,
где постоянные Кт удовлетворяют рекуррентному соотноше-
нию
/<^ = /<7-^. + Л ^=0.
Неравенство (21.9) обеспечивает равномерную ограниченность
последовательности Кт: '
Поэтому при всех т = 0, 1, 2, ... и т(- < t xz+i
||*m+l (t, Хо, у1, . . . , уР) — Xm+I (t, Хо, Z1, . . . , ZP) ||<

р
«(0+1 Sk'-z'li,
4=1
и для завершения доказательства леммы 21.3 достаточно по-
ложить
К' = 2К2 Л +	•
169
Из леммы 21.3 следует, что функции хт (т(- (у1), х0 у1, ...
.... ур) удовлетворяют условию Липшица по у1 Действитель-
но, пусть у1, г1 £ D и т, (у1) < т, (z‘), тогда
|| хт (rz (у‘), *о. /.•••, Ур) — хт (л (г'), хп, у1, .... z‘, ..., ур) || С
К' || у1 — Z1 || + || хт (т( (у{), х0, у1,..., г1.уР) —
— xm(xz(z‘), х0, г/1,ур)\\.	(21.49)
На промежутке (т, (у‘), л (г1)) функция х (/, х0, у1, ..., г', ...
..., ур) непрерывна, поэтому из (21.43) несложно получить
оценку
II хт (л (у1), х0, у1,. .., г1,..., уР) —
Г- хт (л (г), х0, у1..zl, . .., ур) II (2 + М | rz (у‘) —
?	-tz(z')|c(2+ -^МК\\у‘-г‘1
Окончательно имеем
km (Xi (у‘У Хо, у1,..., у1.ур) — xln (л (z9, х„, у1.
.... г«, ...,	+ (2+
(21.50)
для всех т = 1, 2.....Благодаря полученному неравенству
(21.50)	можно сформулировать следующее утверждение.
Лемма 21.4. Функция x^ (л (у1), х0, у1, ..., yv] удовлетво-
ряет условию Липшица по у‘ с постоянной Липшица
N' = К' + (2 + MN.	(21.51)
Действительно, так как последовательность функций
хт (t, х0, у1, .... ур) равномерно сходится к предельной функ-
ции Хоо ((> х:0, у1, ..., ур) и допредельные функции хт (л (у‘),
х0, у1, ..., ур) удовлетворяют условию Липшица по у1 с одной
и той же постоянной ДГ, то и предельная функция удовлетво-
ряет этому условию с той же постоянной Липшица.
Таким образом, если постоянная Липшица N' = N' (Klt
К.2, N) меньше единицы, то уравнения относительно из си-
стемы (21.47) разрешимы в виде у‘ — у1 (х0), I — 1, р, поэтому
вопрос существования Т-периодических решений системы
уравнений (21.38) сводится к вопросу о существовании изо-
лированных нулей функции А (х0, у1 (х0), ..., ур (х0)), который
во многих случаях можно решить, зная нули функции Ат (х0,
У1т (Хо), ...» Ут W), где у'т (х0), i = 1, .... р — решения урав-
170
нений
У{ = хп, (xf (у1), х0, у1.у”), i=l........р. (21.52)
Достаточные условия существования Т-периодических ре-
шений уравнений (21.38) определяет следующая теорема.
Теорема 21.5. Пусть функции f(t,x), /( (х) и т(- (х), опреде-
ляющие Т-периодическую систему уравнений (21.38), удов-
летворяют неравенствам (21.39) —(21.42); выполняются
условия 1) и 2), причем постоянные К2 и N таковы,
что N' (Ki, К2, N) < 1.	_
Если а) для некоторого целого т 0 отображение \т (х0,
Ут (х0), •••> ifm (х0)): Do -> R” имеет изолированную особую точ-
ку с ненулевым индексом; б) существует замкнутая выпуклая
область D s Do, имеющая эту точку единственной особой
точкой, такая, что на ее границе выполняется неравенство
inf || Кт (х0, ут (х0).урт (х0)) || > q (Ki + X -
х0ег5	1	9 \	/
ЬЛТ /« .	\	/о 1 го\
Х-2-(1 + -у-1.	(21.53)
то система уравнений (21.38) имеет Т-периодическое решение
х = (р (f), q> (0) £ О0, и это решение можно найти как предел
равномерно сходящейся последовательности Т-периодических
функций, определяемых на периоде соотношением (21.43).
Доказательство проводится аналогично доказательству тео-
ремы 21.2.
Из теоремы 21.5, в частности, следует, что для Т-периоди-
ческих систем дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием в стандартной форме
zJ у	—
= (t, х), TZ + ет( (x), Дх |/=г ,+eT ,w = eZ, (х), (21.54)
в которой функции f (t, х), lt (х), it (х) такие же, как и в урав-
нениях (21.38), xi — последовательность постоянных чисел,
удовлетворяющих условию xi+p = т, -ф Т, а для функций
(х) выполняется неравенство
т, (х) > tz (х + eZ(- (х))
при всех х € D, справедливо следующее утверждение.
Теорема 21.6. Для того чтобы система уравнений (21.54)
для всех достаточно малых е имела Т-периодическое решение,
171
непрерывно зависящее от е в окрестности точки е = О, необхо-
димо, чтобы усредненная система уравнений
.	Гг	р	1
=	\f(t,y)dt+ S Ш
Lo	1=1
имела положение равновесия у — уй £ D, и достаточно, чтобы
это положение было изолированным с ненулевым индексом.
Теорема 21.6 обосновывает принцип усреднения для урав-
нений с импульсным воздействием в стандартной форме.
§ 22. Почти периодические последовательности
В этом параграфе приведены основные свойства почти пе-
риодических последовательностей, с которыми в дальнейшем
будем иметь дело при исследовании почти периодических си-
стем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Пусть {х;} — последовательность из R", определенная
при всех i £ Z, где Z — множество целых чисел. Целое число
р называется е-почти периодом последовательности {%;}, если
для любого i £ Z выполняется неравенство
ki-i-p— xf || <8.	(22.1)
Если последовательность {х£} — р-периодическая, т. е.
Xi+p = Х/ при всех i g Z, то для любого е > 0 числа пр, п
являются е-почти периодами данной последовательности. Не-
трудно убедиться, что если р е-почти период последователь-
ности {х,}, то р есть также е-почти период этой последова-
тельности; если р и q — е-почти периоды последовательности
{х(-}, то р + и р — q являются 2е-почти периодами этой по-
следовательности.
Определение. Последовательность {xt} называется почти
периодической, если для любого е > 0 существует относитель-
но плотное множество ее е-почти периодов, т. е. существует
такое натуральное число N = N (е), что для произвольного
/г 6 Z среди целых чисел, принадлежащих отрезку [k, k + N],
найдется, по меньшей мере, одно число р, для которого при
всех i £ Z выполняется неравенство (22.1).
Теорема 22.1. Почти периодическая последовательность
{xz} ограничена.
Доказательство. Пусть е > О и fegZ — произ-
вольные фиксированные числа. Существует такое натураль-
ное число N, что среди целых чисел, принадлежащих проме-
жутку [—k, —k + TV], имеется е-почти период р. Поскольку
—k р — k + N, тоО^р + й^Л^и
KIKII** — x*+pl| + IIх*+рII<е + max ||xt|| = е + М.
0г£1
172
Поскольку k — произвольное целое число, то теорема доказа-
на.
Теорема 22.2. Пусть у = / (х) — равномерно-непрерывная
в шаре || х || sC h функция и {х;} — почти периодическая по-
следовательность, для которой || х( || h при всех i Е Z, тогда
последовательность {у(}, yt = f (х,) — почти периодическая.
Доказательство. Для произвольного е > 0 су-
ществует такое 6 > 0, что
при
||х' —х"||<6, ||х'||<Л, KKft.
Если р — 6-почти период последовательности {xt}, то
IIУ1+р — У({\ = II f (xi+p) — f (X;) || < e
для всех i E Z. Таким образом, p есть e-почти период последо-
вательности {у,-}, что и доказывает ее почти периодичность.
Рассмотрим множество всевозможных ограниченных после-
довательностей {х,}, i Е Z, X/ER". Если в этом множестве
последовательностей ввести норму по формуле
II х< Цо = sup || Xi ||,
fez
то получим линейное нормированное пространство. Нетрудно
убедиться, что это пространство является полным. Сходимость
последовательности последовательностей {xi}, i Е Z, k£N
в этом пространстве к последовательности {х?} означает просто
сходимость по индексу k, равномерную относительно i Е Z.
Используя введенную выше норму в пространстве ограни-
ченных последовательностей, можно говорить о сходимости в
пространстве почти периодических последовательностей.
Последовательность почти периодических последователь-
ностей {х?}, I Е Z, т Е N сходится к последовательности {у»-}»
если lim || х? — yt ||0 = 0.
т-*оо
Теорема22.3. Пусть при каждом m£N последовательность
{х7|, i Е Z является почти периодической. Если последователь-
ности {х™\ при тоо сходятся к последовательности {у/},
то {yi} является почти периодической.
Доказательство. Зафиксируем произвольное е >
> 0. Поскольку || х? — yi ||0 -> 0 при т -> оо, то можно ука-
зать такое натуральное число N = N (е), что
11*/ —	—
173
при всех i G Z. Пусть р--почти период последовательное-
О
ти {х^). Используя предыдущее неравенство, имеем
Uz+p-^KII^+p-^+pHIIx7+p-<II +
+ II— у Л <	+ -j- +	=8-
Отсюда, учитывая относительную плотность -почти перио-
дов р, заключаем, что предельная последовательность [tp]
почти периодическая.
Теорема 22.4. Последовательность \xi\ является почти пе-
риодической тогда и только тогда, когда для любой последова-
тельности целых чисел \тк\ существует такая подпоследова-
тельность {тк.}, что последовательность {Xf_f_mfe } сходится
при j -> оо равномерно относительно i g Z.
Доказательство теоремы проведем, следуя [94].
Необходимость. Пусть последовательность {х(| — почти
периодическая, {тк} — некоторая последовательность целых
чисел и е>0. Существует такое N = N (в), что среди целых
чисел из промежутка \тк — N, mk\ найдется е-почти период
рк последовательности {xi}. Поскольку тк — N < тк,
Пусть qk — тк — рк. Последовательность \qk\ может при-
нимать лишь конечное число значений, следовательно, су-
ществует такое?, что qk — q для бесконечного числа индексов
k, например, для k}. Так как || xi+mk— xi+„J| = || xl+/nft —
— xl+mk-pk || < 8, то II x(+mfel — xi+q II < e для любого i € Z.
Зафиксируем монотонно убывающую к нулю последователь-
ность положительных чисел {е,}. Из [xt-+mвыберем подпо-
следовательность {х ,}, ДЛЯ КОТОрОЙ || X , — Xt+oi || <Z
<Z el. Из этой подпоследовательности выберем подпоследова-
тельность {x.+m }, ДЛЯ которой || Х(+т 2 — X/.	—
должая, получим подпоследовательность (х
Т°Р°Й
следовательность {хг- + т'к.} и покажем,
равномерно по i
J, ДЛЯ
— xi+pr||<8r. Образуем диагональную
Про-
ко-
по-
что она сходится
при / -> оо. Пусть е > 0 и N' такое, что
174
&N' < e/2. Тогда при г, N' имеем
X ~х II sC II X
i+m^r
s	ч	г
— Xi+qN' II 4-
+ II xi+qN' — x II < елг + ew- < e,
ибо \m r}i и {ms}j являются подпоследовательностями по-
ki	ki
следовательности	Поэтому || x[+^r — xi+mks II < e’
так что последовательность {x^ ,}j является фундаменталь-
ной, а значит, равномерно сходящейся относительно i £ Z.
Достаточность. Пусть условие теоремы выполняется, а
последовательность {хг} не является почти периодической.
Тогда существует такое е0 > 0, что каково бы ни было нату-
ральное число N, существует N последовательных целых чисел,
среди которых нет ни одного е0-почти периода. Пусть Ln — та-
кая группа последовательных целых чисел и пусть тх произ-
вольно, а т2 таково, что тх — т2 находится в L,. Например,
если т — число из группы Ьг, то можно взять т2 = тг — т.
Для единообразия обозначим Lr — LVt и выберем такие
v2 > | mi — т2 | и т3, чтобы т3 — тг и т3 — т2 находились
в LV1. Возможность такого выбора вытекает из следующих
соображений.
Пусть I, I + 1, ..., I + v2 — 1 — числа из Lv, и m2 tfif,
возьмем т3 = I + тг, так что т3 — тг^ LV1, а т3 — т2 =
= т3 — тг + тх — т2 = I + тг — т2<. I + v2 и т3 —
— т2~^ I и, следовательно, т3 — m2 £ LVt. В общем случае
выбираем vz > max \т]Х — mv | и потом m1+i так,
1 ^(Х< v«
чтобы числа /П/+1 — ти принадлежали LV/ для 1 р i;
выбор производится, как и выше, а именно: т^\ = I +
+ т/, где mj — max т^. Для последовательности {т(| имеем
SUp || Xi 4-m	X[^_m || = SUp || Х(_[_т —m xi ||.
/Г7	r	3	/Г7	r s
Ho mr — ms £ LVr_i, r^s,n, значит, не является е0-почти пе-
риодом (в Ln', по предположению, нет ни одного е0-почти перио-
да). Отсюда следует, что существует индекс t, для которого
II х1+т т — Xi || > е0, значит, sup || xi+m — х(+™ || > е0, или
t£Z	r	s
||	— xi+ms ||	е0. Однако из наших предположений сле-
дует, что последовательность {тД содержит такую подпосле-
довательность {mkjj, что последовательность {х1+т/г }/ явля-
175
ется равномерно сходящейся относительно i Е Z. Это озна-
чает, что существует такой индекс /0, что для /, I /0 имеем
|| Xt+mkj — xi+mki || < е0. Полученное противоречие завершает
доказательство теоремы.
Из доказанной теоремы следуют такие важные утверж-
дения.
Теорема 22.5. Если последовательности (х£| и {t/t} почти
периодические, то почти периодической является и последова-
тельность {Х[ + yt}.
Доказательство. Пусть последовательности {х£}
и {у^ почти периодические. Из произвольной последователь-
ности {mk} целых чисел можно извлечь такую подпоследова-
тельность [т^'}, что последовательность {x£+mft-}/ равномерно
относительно i Е Z сходится. Из последовательности {т
i
можно извлечь такую подпоследовательность {m^|, для ко-
торой равномерно относительно i Е Z сходится последователь-
ность	Отсюда следует, что из последовательности
{mk} можно извлечь такую подпоследовательность {т^}, что
последовательность {xi+mkj + уц-т^}/ равномерно сходится
относительно i g Z. В силу предыдущей теоремы этого доста-
точно, чтобы последовательность {хг + у Л была почти перио-
дической. Теорема доказана.
Теорема 22.6. Если {хг| — почти периодическая последова-
тельность, а {а;} — почти периодическая последовательность
действительных чисел, то и последовательность {ос£х£} почти
периодическая.
Доказательство. Из любой последовательности
\mk} целых чисел можно извлечь такую подпоследовательность
{/Щ0, что последовательности {х^т^} и	равномерно
сходятся относительно 1Е Z. Отсюда вытекает равномерная
сходимость последовательности {a.l+mk^ . Xi±mkf} относитель-
но г Е Z, а это влечет за собой, в силу теоремы 22.4, почти пе-
риодичность последовательности
Из доказанных выше теорем заключаем, что множество
всех почти периодических последовательностей {х,}, i Е Z,
xi Е Rn> образует линейное пространство. Введем в этом про-
странстве норму, полагая
||x£||o = sup||x(-||.
Тогда указанное линейное пространство становится полным
нормированным пространством, т. е. банаховым.
176
Установим еще одно свойство почти периодических последо-
вательностей.
Теорема 22.7. Для двух почти периодических последователь-
ностей |х/} и \yt} при любом е > 0 существует относительно
плотное множество их общих е-почти периодов.
Доказательство. Зафиксируем произвольное чис-
ло е > 0. Существуют такие целые числа	(в) и N2 =
= N2 (е), что среди целых чисел из промежутков [k, k + JVJ,
[fe, k + NJ найдется, по крайней мере, по одному -|--почти
периоду последовательностей {xj и {у{} соответственно. Пусть
N3 = N3 (е) = max {Nlt N2}. Среди целых чисел из проме-
жутка [fe, k + N3] при любом k £ Z найдется, по крайней мере,
один -у-почти период pt последовательности (xj и -^—почти
период р2 последовательности {у(}. Так как | рг — р2)	N3,
то разность р2 — pi может принимать лишь конечное число
значений, где бы мы ни брали те AZ3 последовательных целых
чисел, среди которых нашли рх и р2. Будем говорить, что две
пары чисел (рг, р2) и (pl, рг) эквивалентны, если | рх — р21 =
= | pi — р21. Поскольку | pi — р21 может принимать лишь
конечное число значений, то существует конечное число клас-
сов эквивалентности относительно этого отношения эквива-
лентности.
Выберем для этих классов эквивалентности какую-либо
систему представителей (pi, р2), г = 1, 2, ..., s. Положим
== ^4 (е) = max [ pi |, N =	+ 2Nt и покажем, что меж-
Г
ду любыми целыми числами из промежутка [k, k + TV J можно
найти е-почти период, общий для последовательностей (х^} и
(г/г|. Пусть k — целое число; рь р2-|--почти периоды, при-
надлежащие промежутку [0 + Nit k +	+ N3], (pi, p2) —
представитель класса, в котором находится пара (рх, р2), так
что | pi — р21 = | p'i — р21. Имеем р[ — р2 = рх —- р2, или
р[ — pi = р2 — Pi, значит, р[ — pi = р2 — р2 = — р, или
р[ + Pi = 02 + Pi = Р- Из неравенства | р\ |	вытекает,
что k < pi + р\ k + N3 + 2TV4 = k + N и k <Z Pi — Pi
k + N3 + 2Ni = k + N, т. e. в обоих случаях k < p
k -j- N. Число p, определенное таким образом, является
общим е-почти периодом для обеих последовательностей.
Действительно,
II Xi+p — Xi || = || Xi+Pi±pr — Xi К II *<+p1±pr — Xl+P, II +
12 6—2865
177
+ II xi+p, — xt || < — + -J-8>
И у/+р—yt II = II yi+Pa±Pr2 — у i IK II yt+Pt±Pr2 — yi+P. II+
+ II{/1-+P,-^II<—+ у = 8-
Теорема доказана.
Докажем существование конечного среднего значения почт
периодической последовательности.
Теорема 22.8. Для каждой почти периодической последов
тельности (х.) равномерно относительно i g Z существуе
конечное среднее значение
М((х;})= lim-L S V	(22.2)
n-к» П i=i
Доказательство. Выведем сначала оценку ве-
личины
1+п— 1	п— 1
S xi — S х>-
l=i	1=0
Поскольку последовательность {х.-} почти периодическая, то
для числа у > 0 найдется такой номер N — N (е), что среди
целых чисел, лежащих в промежутке [i, i + найдется
8
-у почти период р, т. е. целое число р такое, что
Цхг+р — х(||<-|-	(22.3)
для всех i g Z.
Выбрав указанным образом числа Nap, запишем
Z-j-n—1 п— I	Р+п—1	п—1	р—1	Р4-П—	I
S х,- — S х/	= 2	X) — S xi	+	S xi — S хр
j=i j=o	i=r>	i=0	i=v i=v+n
Отсюда, учитывая неравенство (22.3) и то, что 0	— i
N, получаем
1i-\-n—1	п—1	n—1	р—1	р4-п—1
S X/-S X/ X К+р—*/ll + S P/I1+ . S И/1К
/=/	/=0	/—l-j-n
2tfsupllx.il.	(22.4)
Докажем, что последовательность {yfe},
! k-\
Ук~ k S xi
i=0
178
имеет предел при fe->oo. Воспользуемся критерием Коши.
Для любых двух натуральных чисел т и п имеем
+	• т Агл +2N sup я Ц = -Г +
+ 27V(v + 4")sup|l
Выбирая No настолько большим, чтобы выполнялось не-
равенство
кг 8N и „
м>> — sup X, ,
8
приходим к тому, что для всех т > No, п > Af0 имеем
1 т—1	п— 1	||
— X X/---------У х, < е.
т /=о 1 п @0 1
В силу критерия Коши этого достаточно для сходимости по-
следовательности {*/*}, т. е. для существования предела
Пт — У Xj — х°.	(22.5)
п-> оо п i=o
Наконец, докажем существование предела (22.2). Заметим,
что из неравенства (22.4) следует, что
_е . 2N |, ,|
< —+ —sup .
*	к 1С7
I = 1, 2......
Следовательно, для выражения
, п г И—1	. t—1	, nt—l	г—1
4-S — s Xi—-j-s xt s xt — 4-sxt
n k=l L * /=(*—	1 /=0	nl (=0	1 1=0
12’
179
также имеем
ni—1
1 V
г
-sup||x,||.
1 iez
Переходя к пределу в последнем неравенстве при п оо, по-
лучаем
(22.6)
Из неравенств (22.4) и (22.5) получаем
II । г+п-'
Г-4 £х'
в , 4ЛГ sup
2 ‘ n «€Z
при
8W
T"SUP
Это означает, что
(+л-1
lim— £ xt = sb х°.
n-oo п i^l
Теорема доказана.
Пусть |T;| — последовательность вещественных чисел, за-
нумерованная множеством целых чисел Z, причем так, что
Х( -> —оо при i -> —оо и т(-> +оо при I -> -4-00. Предпола-
гается также, что последовательность строго возрастающая,
т. е. т<+| > тг при всех i £ Z. Обозначим, как и раньше, через
г (t, t 4- Т) количество членов последовательности {тД, при-
надлежащих промежутку (t, i 4- Т], и предположим, что
•п i (t, t Т)	zoo *7\
lim ——™—— = p<Z°°	(22.7)
T-t-oo	'
равномерно относительно t £ R.
Лемма 22.1. Равномерная относительно t £ R ограничен-
ность верхнего предела (22.7) эквивалентна следующему ут-
верждению: существуют такие числа 1> 0 и натуральное чис-
ло q, что любой отрезок временной оси длины I содержит не
больше q членов последовательности {?(}•
Доказательство. Из ограниченности верхнего
предела (22.7) следует, что для числа = р 4* 1 можно ука-
зать такое число I, что
+	^а.
при всех t g R. Следовательно, любой промежуток времен-
ной оси длины I содержит не больше q = [Iq^ + 1 точек по-
180
следовательности {т^}. Здесь [(•)] означает целую часть чис-
ла (•).
Пусть существуют такие числа / > 0 и натуральное q.
что любой отрезок временной оси длины I содержит не больше
q точек последовательности (т,). Представим Т в виде Т =
= ml + т при некотором натуральном m и 0 т < /.
Тогда
i (t, t -|- Т) i (t, /-}-/) l(t I, t -Г 2Z) 4~ * * • 4~ i (t ml, t T}
- _
следовательно,
ita
T-KX> ‘
lim
(m + 1) <7	q
ml	I '
Лемма доказана.
Если последовательность {тг} удовлетворяет условию
Tf+1 — т, > 0 > О
(22.8)
при всех i £ Z и некотором 0, то любой промежуток времен-
ной оси длины 0 содержит не более одной точки из следова-
тельно,
Ito	.
Г-юо '	°
Если же моменты т, таковы, что последовательность (r(+i —
— р-периодическая, т. е. т1+р =	+ со, то в этом случае
существует предел
Нт -Ш' 't-Q- = .	(22.9)
T-оо Т	О)	'	>
Рассмотрим еще один класс последовательностей {т^}, для
которых равномерно относительно t £ R существует конечный
предел вида (22.9).
Лемма 22.2. Пусть числа it, i £ Z такие, что последова-
тельность (т(}, т/ = т,+1 — т(, i £ Z, почти периодическая.
Тогда равномерно относительно t £ R существует предел
lim -(t’ '+	= р,
Т—ьм	*
(22.10)
Доказательство. Сначала установим, что суще-
ствует отличный от нуля такой предел:
lim -^2- ==
1
У’
181
Действительно, не ограничивая общности рассуждений, мож-
но считать, что T-i <0, а т0> 0. Тогда
п—1 _
— то + 2
/=0
поэтому
п—I
21
п
Поскольку последовательность {т/} почти периодическая, то,
в силу теоремы 22.8, существует конечное среднее значение,
т. е. существует конечный предел
. "-1 _
lim -J- S т,
П-+ оо п /=0
и этот предел отличен от нуля, ибо члены последовательности
{х/} положительны. Поэтому существует отличный от нуля
и такой предел:
а следовательно,	и предел
	lim	=р. П-*оо
Теперь нетрудно	доказать, что
Действительно,	lim ‘(0’ Л = р.	(22.11) Т-юо 1 Т _ -ч + е* /(0, Т)	i
при некотором натуральном i, 0 sup х{. Поэтому
т	
1 (0, Т)	1	1 1
Отсюда непосредственно вытекает предельное равенство
(22.11).
Как и при доказательстве теоремы 22.8, из свойства почти
периодичности последовательности {-г,} нетрудно показать,
что
v+f—1	i—1
S т/ — Sт/
/=V	/-0
<	+ 2W sup Т/.
4	/62
(22.12)
182
С учетом последнего неравенства можем записать
SUp Ту,
;ez
vi—1
S
/=(V-l)i
v= 1, 2, ... .
Следовательно, для среднего арифметического
t	п	Г . vi—1	. i—I 1	ni—1	, {~1
4-s	м Н 1 1	1 р" м	= 4 S ъ- п‘ у^О ‘	
n V=1	L ‘ /=(v-l)i	" /=0 J		1 i^o
также имеем оценку
. ni—1	I—1	..
тг S ъ-—т S < -г + 4“ supv <22-13)
nl /=о	1 ;=0	4	1 f£Z
Из неравенств (22.12) и (22.13) получаем
1 vV<'-	j	8	4У
7- L т,— — <-и-+-j-sup Ту,
1 l=V	Р	2	1 /gz
1, е.
Ит -Т‘+21~..Т£- = _L	(22.14)
равномерно по i € Z.
Пусть промежуток [t, t + Т] содержит k членов последо-
вательности {ту} tv+1, tv+2, ..., Tv+fe, тогда
Т _ т	Tv + 0*
i (t, t + T) k ~ k
|9ft|<supTy.
zez
Из последнего соотношения в силу (22.14) следует, что
lim 1 ‘ + Г* = р
Т-ЬОО Т
для всех t G R.
Лемма доказана.
Приведем еще некоторые свойства последовательностей
{г,}, для которых {ту} является почти периодической после-
довательностью.
Положим для любых целых чисел i и j Ту — Ту+у — и
рассмотрим последовательности {ту}, I £ Z, / G Z. Нетрудно
проверить, что величины Ту обладают свойствами
^l+k - = vkl+l ~	- т? = т'+t (22.15)
Совокупность последовательностей {ту}, / = 0, ±1, ...»
назовем равностепенно почти периодической, если для произ-
вольного е > 0 существует относительно плотное множество
е-почти периодов, общих для всех последовательностей {ту}.
183
Пусть е > 0 и Ге — множество действительных чисел, для
каждого из которых существует хотя бы одно такое число k,
что
|Т*-Г|<8, l£Z.
(22.16)
Обозначим через Р, множество чисел р, удовлетворяющих при
фиксированных е и г. неравенству (22.16), а через РЕ — объ-
единение множеств Р, по всем г Е Ге, т. е. Р8 — (J Pf.
<-егв
Для определенных выше последовательностей {т{} спра-
ведливы следующие три леммы [94].
Лемма 22.3. Если р является г-почти периодом, общим
для всех последовательностей {т£(, / = 0, ±1, ..., то То Е Г8
и р Е Ре.', если р Е Ре, то р — почти период, общий для всех
последовательностей [т]}> / = О, ±1....
Для доказательства леммы достаточно воспользоваться
первым из соотношений (22.15).
Лемма 22.4. Пусть Г с Г8, Г #= Ф u Р — такое подмно-
жество объединения множеств Pr, г Е Г, что Р (] Р, Ф
для всех г Е Г. Множество Г относительно плотно тогда и
только тогда, когда относительно плотно множество Р.
Доказательство. Целые числа из Р можно рас-
положить в строго возрастающую последовательность {pk}.
Так как последовательность {т;} строго возрастает, то после-
довательность Р' — {Tgfe} обладает тем же свойством. Непо-
средственно проверяется, что если одно из множеств Р, Р'
является относительно плотным, то и другое такое же. Следо-
вательно, достаточно доказать, что Р' относительно плотно
тогда и только тогда, когда Р относительно плотно. Мы дока-
жем это, если установим, что
1)	lim pk — — оо тогда и только тогда, когда
-------00
lim Tgfe = — оо;
/?-►—оо
2)	lim pk = + оо тогда и только тогда, когда
fe->_|-00
lim Tgfe = + оо;
00
3)	последовательность (pk+i — Pk] ограничена тогда и
только тогда, когда ограничена последовательность {Тд*+1 —
Утверждения 1), 2) непосредственно следуют из свойств
последовательностей {тг}, [pfc], {т£*}.
184
Остается доказать утверждение 3). Учитывая второе из
соотношений (22.15), получаем
I (Т₽Ч-1 _ тРК) — тР*+1-Р* I = I (тР/г+1 — Хрк) — Тр*+Гр* I =
14 о	о '	1	1 х о	о ' —pk+pk
= I (<*+1 - тр*) - «*+' — <fepfe) IСI -Tpq +
+ !<*+'
Применяя лемму 22.9, находим
I (тр/г+* — тр*) — тР/г+1—р* | < 2е 4- 2е,
откуда в силу почти периодичности {тг} и вытекает утвержде-
ние 3).
Из предыдущих лемм следует утверждение.
Лемма 22.5. Следующие утверждения эквивалентны:
а)	последовательности (т{), i Е Z, / = 0, ±1, ±2, ...
равностепенно почти периодичны;
б)	множество РЕ относительно плотно для любого е > 0;
в)	множество ГЕ относительно плотно для любого е > 0.
Приведем два примера последовательностей {tJ, для кото-
рых последовательности {т(} являются равностепенно почти
периодическими. Пусть последовательность т{ = тг+1 —
— т(, —периодическая с периодом р, т. е. т’ для всех i£Z
и = Т. Из равенства т’ = т’, i 6 Z следует, что Tf+i+p —
— T/+i = Tf+p — т£ и, значит, т₽+1 = т?, так что т? = Т, 1-
т—1	т
Дак как т, = X rf+iP для /и > 0 и т, = — X т?+/р для
? 	/=о	/=-1
т < 0, то тГ₽ = т.Т для любых t 6 Z, т £ Z. С помощью пер-
вого из соотношений (22.15) получаем
Ч+Р-'сНгс?+/-'с? = °>
значит, последовательности {т{}, i Q Z, / = 0, ±1, ±2,
периодичны с периодом р, тем более они являются равносте-
пенно почти периодическими.
Пусть {а,} — почти периодическая последовательность дей-
Т
ствительных чисел, причем sup I а, | = а < -н-, Т > 0, и пусть
>ez	2
N) = {iT + ^}-
Тогда Tf+i — т£ Т — 2а > О, следовательно, последова-
тельность {т£) является строго возрастающей, причем limr£ =
i-+—оо
я — оо, lim ту = оо.
185
Пусть р — некоторый -почти период последовательности
{«(}. Для любых i, / g Z имеем
IЧ+Р — I = 1 (“ж+р — “<+/) — (“ж — “О I < -у + Т = 8>
значит, совокупность последовательностей {tj}, i £ Z, / --=
= 0, ±1, равностепенно почти периодична.
'Лемма 22.6. Если совокупность последовательностей {т/}
равностепенно почти периодична, то для любого / > О сущест-
вует такое натуральное число q, что в любом интервале дли-
ны I вещественной прямой найдется самое большее q членов
последовательности {т»).
Доказательство. Положим е = 1. По лемме 22.5
существует такое число г £ Г£, что г — 1 > I. Из неравенства
г > 1 и | То — г | < 1 следует, что т* > 0, значит, k 1.
Положим q = k и пусть (а, а + I) — некоторый интервал ве-
щественной прямой и — наименьший член последователь-
ности {т(}, попадающий в указанный интервал. Из неравен-
ства |	— г | < 1 вытекает, что
> Tio + r — 1 > Tf0 + / > а
Лемма доказана.
Лемма 22.7. Предположим, что последовательности {т;},
i 6 Z, / = 0, ±1,..., равностепенно почти периодические. Тог-
да для любого е > 0 существует такое I — I (s) > 0, что для
любого интервала длины I вещественной прямой найдется
такой подынтервал / с длины е и такое целое число q, что
]т’ — r|<8, i6Z, г£/.	(22.17)
Доказательство. По лемме 22.5 множество чисел
Ге/2 относительно плотно. Следовательно, существует =
= /1 (е) > 0 такое, что для любого интервала длины /х
найдутся такое и такое целое число q, что
|т? — П|<-Г> »€Z.	(22.18)
Пусть I = 1Х + е и = (а, а 4- /) — некоторый интервал ве-
щественной прямой длины I. Для интервала = (а 4- ,
а 4- 4- длины /j существуют числа	и q, удовле-
творяющие условию (22.18). Возьмем J — \гх--ri + -y).
186
Тогда /с и для г £ J имеем
к?—— 'il + l'i—Н<е. HZ.
Лемма 22.8. Пусть последовательность {т<) такова, что
последовательности {т[}, / = 0, ±1. равностепенно почти
периодические. Тогда для любого е > 0 можно указать такое
число I > 0, что для любого r|, О< i] < е и для любого интер-
вала $ длины I найдутся такие целые числа q и т, что тг\ £
и | т? — тг\ | < е при всех i £ Z.
Доказательство. Пусть число I = I (е) опреде-
лено согласно лемме 22.7,	— некоторый интервал длины I,
a J и q выбраны для интервала согласно лемме 22.7. Су-
ществует такое число г0 £ J, что r0 + е g J. Если г0 не кратно
г], то, прибавляя некоторое число, меньшее т], получаем г —
= /пт], кратное т), причем, очевидно, /пц g J.
Сформулируем еще два утверждения о свойствах последо-
вательностей {Т() и их связи с почти периодическими по Бору
функциями. Доказательство этих утверждений содержится
в [94].
Лемма 22.9. Пусть последовательности {т{}, / = О, ±1,
±2, ..., равностепенно почти периодичны и функция Ф (/)
почти периодична в смысле Бора. Тогда для любого е > 0 су-
ществует такое I — I (е) > 0, что для любого интервала
длины I найдутся такое г С и такое целое число q, что
[т? —г|<е, |Ф(/ + г) —Ф(/)|<8
)Ири всех целых I и всех t £ R.
! Лемма 22.10. Пусть Ф (/) — почти периодическая по Бору
функция. Если последовательность (т;} такова, что последо-
вательности {Т(}, /gZ равностепенно почти периодические,
то числовая последовательность {Ф (т;)} почти периодическая.
В качестве примера последовательности {Т(}, для которой
последовательности {т{} являются равностепенно почти пери-
одическими, рассмотрим следующую последовательность:
xt *= i + alt at =	1 sin i — sin i V~21.
В силу утверждения леммы 22.10 последовательность {а,}
почти периодическая. Для последовательности {ту},	= i 4-
+ at, имеем iy+i — xt 1 — 2 sup cq > 0, и, следовательно,
последовательность {т^ строго возрастающая, причем х{ ->
-> —оо при i -> —оо и т,- -> 4-оо при i -> -{-оо. Если р —
некоторый -g- -почти период последовательности {/у}, то Для
187
любых целых чисел i и / имеем
I Ч+р — I ~ I ai+i+t> — ai+/ ~ а‘+р + а{ | < е,
т. е. последовательности {т{|, / = О, ±1, ±2.... равносте-
пенно почти периодические.
В дальнейшем увидим, что при исследовании дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием важным яв-
ляется свойство отделимости последовательности (т!) от нуля,
т. е. выполнение неравенства inf tj = 9 >> 0.
i
Построим пример последовательности {тД, для которой
все последовательности / = 0, ±1, ±2............. являются
равностепенно почти периодическими и inf т} = 0.
i
Рассмотрим последовательность {at}, приведенную выше.
Известно [97], что для любого натурального числа п найдутся
такие целые числа i и tn, что
|/(1-/2)-2/лл1<-^..
В силу непрерывности и периодичности функции sin t
отсюда следует, что разность sin i — sin t ]/2 может быть
сколь угодно малой и, следовательно, последовательность
{т1/},	= i + at, не отделена от нуля. Положим т2; = i + cq,
T2f—I = i — at. Покажем, что для так построенной последо-
вательности (т() последовательности }, / = 0, ±1, ±2, ...,
равностепенно почти периодические.
Действительно, рассмотрим четыре случая:
a)	i = 2р, j — 2r + 1, р, г = 0, ±1, ±2, ...,
т'+29 — Ч =	— т‘+2’ —	= Р + г + <7 —
— ар^г+ч — р — г + аР+г — p — q — ap+p + p + a^
— ар+г — ^p-w+<7 + ар — а.р+ч‘
Таким же образом для остальных случаев находим:
б)	i = 2р, j = 2г,
Т/+2<7 —	=== ар-НЧ-9-аР+Ч — аР+г 4* °Р»
в)	I = 2р + 1, / = 2г,
4-2<7 — Ti = йР+г+Ч аР+г йР+ч + аР»
г)	i ** 2р + 1, / — 2г + 1,
— Tt' ap+r+lt — aP+r ар+<1 + аР‘
188
Из этих соотношений следует, что если q есть -почти пе-
риод последовательности {atf, то для любых i и / справедливо
неравенство
I ^'{+2Ч —	< I ap+q+r — аР+г | + | ap+q — ар | < е,
т. е. 2<у является е-почти периодом для последовательностей
{т;}, / = 0, ±1, ±2, ... . Для построенной последовательности
{tJ inf т} — 0.
§ 23. Почти периодические функции
Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравне-
ний с импульсным воздействием
,	= Ах + f (/), / =#= tz, Дх = at,
в которой А — постоянная матрица размера (п X га),
Re X/ (Д) < 0, / (0 — почти периодическая в смысле Бора
функция, {сц} — почти периодическая последовательность из
Rn, а {Т(} — последовательность действительных чисел, при-
чем такая, что последовательность {т,} является почти перио-
дической. Эта система дифференциальных уравнений в пред-
положении, что sup т( = 9 > 0, имеет единственное ограни-
ченное на всей вещественной оси решение
t
f еЛ('-0>/(о) da + X eA(t~xt} at.
-oo	\<l
В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений ре-
шение х* (/) не является почти периодической в смысле Бора
функцией, ибо х* (/) — разрывная функция.
Чтобы в дальнейшем можно было рассматривать почти пе-
риодические системы дифференциальных уравнений с импульс-
ным воздействием и говорить об их почти периодических ре-
шениях, мы расширим класс почти периодических функций
так, чтобы из того, что в рассматриваемой системе дифферен-
циальных уравнений функция / (/) принадлежит этому классу,
следовало, что и функция х* (/) тоже принадлежит этому
классу.
Пусть функция <р (/) = (фх (/), .... ф„ (/)) определена на ве-
щественной прямой R, кусочно-непрерывна с разрывами пер-
вого рода в точках фиксированной последовательности {т/}.
189
Относительно последовательности (т;) предполагаем, что со-
вокупность производных от нее последовательностей
/ = О, ±1 ±2...... является равностепенно почти периоди-
ческой.
Назовем функцию ф (/) почти периодической, если:
а)	для любого е > 0 существует положительное число
6 = 6 (е) такое, что если точки t' и /" принадлежат одному и
тому же интервалу непрерывности и выполняется неравенство
| t' — t" I < 6, то II ф (Г) — ф (Г) II < е;
б)	для любого е > 0 существует относительно плотное мно-
жество Г е-почти периодов т таких, что если т £ Г, то || ф (t +
+ т) — ф (/) || < е для всех t £ R, удовлетворяющих условию
| i — т( | > е, i = 0, ±1, ±2... Такое определение почти
периодической функции совпадает, по-видимому, с одним из
определений почти периодичности в пространствах обобщен-
ных функций [431.
Очевидно, периодическая кусочно-непрерывная с разры-
вами первого рода функция является почти периодической
в приведенном выше смысле.
В дальнейшем везде почти периодичность функции будем
понимать в приведенном выше смысле, если не оговорено дру-
гое условие.
Приведем еще один пример почти периодической функции.
Пусть {р/} — почти периодическая последовательность
векторов из R", а последовательность точек {тг} такова, что
совокупность последовательностей (т{} — равностепенно почти
периодическая. Покажем, что кусочно-постоянная функция
Ф (/) = р.£, ту t <Z T(4-i является почти периодической. Для
этого достаточно проверить выполнение условия б) определе-
ния. Согласно лемме 22.7, для любого ег > 0 существует от-
носительно плотное множество действительных чисел Г, для
элементов которого найдется хотя бы одно целое число р,
удовлетворяющее условию
l^-Tl<T. i-O, ±1, ±2................. (23.1)
По лемме 22.4 множество всех таких р по всем т £ Г также
относительно плотное. Обозначим его Р. Пусть показатель
плотности множества Р равен #1( т. е. между любыми целыми
числами k и k + Nr найдется, по крайней мере, одно целое
число р такое, что справедливо неравенство (23.1). Обозна-
чим N2 показатель плотности множества Q всех -|- -почти пе-
риодов последовательности {р^}. Будем считать, что ех < е.
Если W3 — шах (ЛГ1( N2), то между любыми целыми числами
190
li и k + N3 найдутся элементы множеств Р и Q. Очевидно,
для таких элементов р £ Р и q С Q справедливо соотношение
| р — <71	М3. Так как разность р — q может принимать
лишь конечное число значений, то, независимо от места вы-
бора отрезка длины N3 на вещественной оси R, будем гово-
рить, что две пары (р, <7) и (р', q') эквивалентны, если | р —
— q | = | р' — q' |. Очевидно, что существует лишь конечное
число классов эквивалентности. Выберем для этих классов
какую-нибудь систему представителей {pr, qr), г — 1, s. По-
ложим = max I pr |, N = N3 + 2Nt. Пусть n0 — целое
r
число, p и q — элементы множеств P и Q, расположенные
между n0 + Nt и n0 + Nt + N3, (pr, qr — представители
класса, в котором находится пара (р, q) так, что | р — q | =
= | рг — q г|. Имеем рг — qr = р — q, или р' — qr = q — р,
значит, рг — р = qr — q = —v, или pr + p = qr + q = v.
Из неравенства | pr | Nt следует, что п0 < р + рг п0 +
4” Л/з 4~ 2Л\ = п0 + М и п0 < р — prs^n0 + A/3 + 2NA —
= п0 + Nit т. е. в обоих случаях п0 < v < п0 + N. Если
г' и г" — элементы множества Г такие, что
|Т? - '•'К-?-. K-r''K-г, » = 0, ±1, ±2, ... ,
i = 0, ±1, ±2.
то для г — г' ± г", используя соотношение — т* =
найдем
К+р-И=1<+^-(г' + ПК-^ + ^ + е,, (23.2)
fer-p - ГI =	__ <р - (Г' - г") I <	= 81. (23.3)
В силу леммы 22.4 множество чисел г, удовлетворяющих соот-
ношениям (23.2) и (23.3) при некоторых р и рг, и множество Р
образуют относительно плотные множества. Для последова-
тельности {р4 находим
I ^i+qriq — Pi I I Р/+/±? — I +
+ I Рг+/ — Рг I < -у- + -у = S.
Мы показали, что существуют относительно плотные множест-
ва действительных Г и целых чисел такие, что
|т| —r|<ex, |gft+v — Ц*|<е, ех<е, (23.4)
k = 0, ± 1....
191
Если Т/ + 8 < t < Т/+1 — 8, ТО Т/ + Г + 8 < t + г <
< Т/+1 + г — 8 и в силу (23.4) т,: н < t + г < Т/+?+ь Сле-
довательно, для любого t £ R, удовлетворяющего неравенст-
вам | t — | > е, i = 0, ±1, выполняется соотношение
II ф (/ + г) — ф (/) || = II р,1+<? —	|| < 8. Почти периодич-
ность функции ф (t) доказана.
Укажем основные свойства почти периодических функций.
Теорема 23.1. Почти периодическая функция ограничена
на действительной прямой.
Доказательство. Пусть ф (/) — почти периоди-
ческая функция и I = I (1) — показатель плотности множест-
ва Г\
Л4 = max ||ф(/)||, ||ф(/') — ф(/")[[<М1,
если | f — t" |	1 и Г, t" принадлежат одному и тому же
интервалу непрерывности функции ф (/). В силу определения
почти периодичности для любого t С R, | t — тг | > 1 найдет-
ся 1-почти период г такой, что t + г £ [0, /] и || ф (t + г) —
— ф(01|<1- Отсюда вытекает, что для любых t С R,
|] Ф (0 || < /И + Afi + 1. Теорема доказана.
Теорема 23.2. Если ф (/) — почти периодическая функция,
то для любого е > 0 существует относительно плотное мно-
жество отрезков фиксированной длины у, 0 < у < е, состоя-
щих из е-почти периодов функции ф (/).
Доказательство. Пусть I — показатель плотно-
сти множества Г, &/2-почти периодов функции ф (/), а число
у/2 = 6 (е/2) определяется равномерной непрерывностью этой
функции, т. е. если f и t" принадлежат одному и тому же ин-
тервалу непрерывности функции ф (t) и | Г — t" | < у/2, то
J ф (/') — ф (Г) || < Можно считать, что у < е/2. Положим
L = I + у и рассмотрим произвольный отрезок [а, а + ZJ.
Согласно определению почти периода существует ~ -почти
период г g [а + у/2, а + у/2 + /]. Тогда [г — у/2, г + у/2] с:
cr 1а, а + 1Л. Пусть £ — произвольное число из отрезка
[г — у/2, г + у/2]. Учитывая неравенство | £ — г | < 6 и
обозначая f = t — г + g, для t С R таких, что | t — ту | > е,
находим [ ? — тг [ > -|- и
«Ф(/ + ^) - Ф(ОК Ф(/' + И - Ф(/')|| +
+ ||ф(П-ф(011<4- + -Т = е-
Из доказанной теоремы следует, что для любого в > О
192
существует относительно плотное множество е-почти перио-
дов функции ср ((), кратных числу у.
Теорема 23.3. Пусть ср (0 — почти периодическая функция
со значениями во множестве Е с R". Если F (у) — равномер-
но непрерывная функция, определенная на множестве Е, то
функция F (ср (/)) — почти периодическая.
Доказательство теоремы 23.3 проводится так же, как и
доказательство аналогичной теоремы для функций почти пе-
риодических в смысле Бора.
Лемма 23.1. Для двух почти периодических функций с раз-
рывами в точках одной и той же последовательности при лю-
бом е > О существует относительно плотное множество их
общих г-почти периодов.
Доказательство. Пусть cpj (/) и ср2 (t) — почти
периодические функции с общей последовательностью точек
разрыва. Согласно следствию из теоремы 23.2 существуют
такие числа и /2, что каждый из отрезков [а, а + и [а,
а + U будет содержать соответствующие е/4-почти периоды
Г1 и г2, кратные числу у, 0 < у < е/4. Если положить I =
= max (/т, Z2), то на каждом отрезке [а, а + /] найдется пара
е/4-почти периодов t\ = п'у и г2 = п'у, где п' и п" — целые
числа. Так как гг — г2 = (п' — п") у — пу и | пу | I, то
пу может принимать лишь конечное число значений. Пусть
это будут величины щу, п2у, ..., пру и их представителями
являются пары почти периодов (и, 4), (г?, б>), ..., (г?, rf),
т. е. такие, для которых г? — rl = nsy, s= 1, р. Положим
max | г® | = Т. Пусть [а, а + I + 271 есть произвольный от-
S
резок длины I + 2Т. Возьмем на отрезке [а + Т, а + I + Т]
два е/4-почти периода гг = п'у и г2 = п"у функций <рх (/) и
<р2 (0 и пусть — r2 = nsy = г® — тг. Отсюда получим
r = r1 — rj>r2 — Г», г£[а, а +1 + 2Т].	(23.5)
Множество всех чисел, определяемых соотношением (23.5),
является относительно плотным множеством чисел Г, кратных
у. Покажем, что существует относительное плотное на оси R
подмножество Го cz Г такое, что для всех г £ Го выполняется
| Z + г— тг | > е/2, если \t — rj > е, i = О, ±1, ... .
Пусть I = I (е) — показатель плотности множества Г,
I — V (е) — показатель плотности множества Г' действитель-
ных чисел, кратных у, определяемого леммой 22.7 для е/4.
Очевидно, у может быть выбрано достаточно малым для того,
чтобы выполнялись неравенства I < +°°, F < +°°- Поло-
жим Г = max (/, (')• Тогда для любого интервала [а, а + /"]
13 6—2865
193
найдутся такие целые числа т, т', q, что my, т'у £ [а, а +
+ П и _
\11 — ту|<е/4, ЦфД/ 4-т'у) — Ф/(0||<е/2,	(23.6)
/ = 1, 2, k = О, ±1...
Разности т — т' могут принимать лишь конечное число зна-
чений, например, ns, s = 1, р. Для каждого п, существуют
тройки (ms, m’s, q), которые фиксируем и будем считать пред-
ставителями класса, определенного числом ns. Положим X =
— max | т'у |. Пусть У = [а, а + Г 4* 2Х] — некоторый ин-
тервал длины I" 4-2%. Для подынтервала У' = [а + К а +
+ А. + /"], cz 7 длины Г найдутся целые числа т!, т, <?,
удовлетворяющие (23.5) и условию my, т'у G Пусть ту —
— т'у = nsy, т. е. ту — т'у = msy — msy, и, значит, т —
— ms = т' — tns. Положим г — (т — ms) у, h = q — qs. Оче-
видно, г С 3. Для любого целого^ с помощью второй из фор-
мул (22.15) получим
 h	li	I ।	।
1^ — '•| = 1Т* — И =К-аЧ — Г1 =
= I 4-<7s — t2_9s — ту + msy I с 14_?s — ту | 4-
+ I - msy |
8.8 __8
+ ~i r-
Пусть 11 — т(| > e и для определенности т k + e < t <
<T£+i — e. Тогда Tfe + r + e</ + r<t*+i 4- r — e. Так как
|т*— r|<e/2 при / = 0, ±1, ±2, .... то --
А I 8
< т? + — , и, следовательно,
g
тй 4" е----------------2~ < i 4* Г < тй+1 + Tfe+h-|-l —
।	8
— Tfe-H 4* ~2— е»
&	8
%k+h 4* ~2~ < + r <	----2~.
т. е.
|/4-г-тг|>-|-, 1=0, ±1,. ±2, ... .
Таким образом, множество Го — непустое и относительно плот-
ное на вещественной оси R. Отсюда при / = 1, 2, г g Го имеем
IIФ/ + г) — <р, (01| = || Ф/ (/ 4- (m' — ms) у) — ф (01|
194
<||Ф/ V + (т' — т) у) — <р,- (t + т'у) || +
+ ||ф/(0 — Ф/(* + т'т)||<-|- + т‘ =е-
Лемма доказана.
Теорема 23.4. Сумма двух почти периодических функций
с общей последовательностью моментов разрыва есть также
почти периодическая функция.
Теорема 23.5. Скалярное произведение двух почти периоди-
ческих, с общей последовательностью моментов разрыва функ-
ций также есть почти периодическая функция.
Теорема 23.6. Частное ф (/)/ф (/) двух скалярных почти пе-
риодических функций, с общей последовательностью точек
разрыва, является почти периодической функцией, если
inf и (О II >0.
Теоремы 23.4—23.6 доказываются с помощью леммы 23.1
так же, как и соответствующие предложения для функций
почти периодических в смысле Бора.
§ 24.	Почти периодические системы
дифференциальных уравнений
Пусть дана система обыкновенных дифференциальных урав-
нений
-^ = Л(0х,	(24.1)
где А (/) — квадратная матрица порядка п, элементы ко-
торой непрерывные вещественные функции действительного
переменного t.
Обозначим через U (t, s) матрицант системы уравнений
(24.1). Справедливо следующее утверждение [94].
Лемма 24.1. Если sup || А (/) || = m < +°°> то
||I/(/, s) — £||<em|Z—s| — 1, \\U(t, s)||<emi/-si, t, s£R.
Докажем, что верны следующие леммы.
Лемма 24.1. Пусть матрица A (I) равномерно-непрерывна
и ограничена на R. Тогда для любого е > 0 при фиксированном
0 > 0 найдется такое 6 = 6 (е) > 0, что || U (t', s’) —
— U (t, s) || < е, если | / — V | < 6, |s — s' | < 6 д И —
— s | е.
Доказательство. Положим f — t + a, s' — s +
+ 0. Пусть в > 0 произвольно и 6=6 (е), 0 < 6 < 1
13’
195
такое, что
||Л(/ + Г)_Д(/)Ц<
е
2ое'"(0+2)	’
ет(|а1+|₽|) _ 1 <- —
2етв
при t g R, | а | < 6, | р | < 6.
Обозначим V (t, s, а, Р) — U (t + а, s + Р) — U (t, s).
В силу леммы 24.1
||V(s, s, а, p)||<eml“-₽i— К-7^0--
Нетрудно проверить, что
= А (О V + И (/ + «) - А (/)) U (t + а, s + Р),
и, значит,
V (t, s, а, Р) = U (t, s) V (s, s, а, P) +
t
+ и) (Л (u + r) — A («)) U (« + a, s + P) du.
s
Отсюда следует
||V(Z, s, a, P)||< 2^0 +	20gm(0+2)	<e>
Лемма доказана.
Лемма 24.3. Пусть А (0 — почти периодическая в смысле
Бора матрица. Если г есть ег^-почти период матрицы
А (0, то
|| U ( + г, s + г) — U (t, s) || < е при 0 t — s 9.
Доказательство. Если обозначить V (t, s) =>
= U (t + г, s + г) — U (t, s), то
^ = Д(0У4ДЛ(/ + г)-Л(фЩ/ + г, s + г).
Поскольку Y (s, s) = 0, то
t
V (t, s) — j U (t, и) (А (и + г) — А (и)) U (и А-г, s + г) du.
S
Оценивая последний интеграл, получаем
ЦК(/,
Лемма доказана.
196
Лемма 24.4.Пусть U (t, s) — фундаментальная матрица
решений системы (24.1) с почти периодической в смысле Бора
матрицей Л (0, f (D-почти периодическая функция, последо-
вательность векторов \Ц] и матриц \Bt} почти периодиче-
ские, а последовательность моментов времени {т,| такова,
что последовательности 1т;}> / = О> ±1> ±2, положитель-
ны и равностепенно почти периодические. Тогда для любого
е > 0 при любом 9 > О найдутся такое действительное чис-
ло v, О < v < е, и относительно плотные множества дейст-
вительных чисел Г и целых чисел Q, что будут верны соотно-
шения:
1)	|| U (( 4- г, s + г) — U (t, s) || < е, О t — s 9,
2)	||/а + г)-/(О||<8, * 6 R, P-Tf|>8, t = O, ± 1, ....
3)	II h. il < е>
4)	|| В/г+9 — В* || < е,
4- 5) |т’ — г (< v, k = 0, ±1, ±2, г g Г, q CQ.
^Доказательство. 1. Пользуясь следствием теоре-
мы 23.1 и следствием 2 из [29 с. 371], аналогично лемме 23.1
можно проверить, что существует относительно плотное мно-
жество т общих почти периодов функции f (/) и матрицы А (/)
кратных числу у, 0 < у < е таких, что
IIА (I + т) - А (01| < е~тв, || f (I + т) - f (01| <	,
т = пу, 11 — т,-1 > е, i = 0, ± 1, ....
j 2. Как и при доказательстве леммы 23.1, получаем, что
©шествуют относительно плотные множества действительных
Ги целых Р чисел такие, что
,	||Л0 + г)-Л(0|]<^-е—е||/« + г)-/(0||<4-,
X
| / — т* | > е, \хр — г | < у , 0 < v<е, fe = 0, ±1, ....
3. Как известно, существует относительно плотное множе-
ство общих почти периодов последовательностей {Л} и [Bf).
Поэтому найдется такое натуральное число У, между любы-
ми соседними кратными которого имеются целые числа р и
q, для которых
|TP_mv|<_r, ||/ft_^_/ft||<_^_, IIB^-BJKl. (24.2)
Разность р — q может принимать лишь конечное число зна-
чений, например, т, i ~ 1, г. Каждому п, поставим в соответ-
197
ствие пару целых чисел (pl, ql), удовлетворяющих условию
(24.2), и фиксируем ее как представителя класса, соответству-
ющего числу tit. Положим М = max [ р1 [. Пусть /4- 1, I 4-
i
4- 2, ..., I 4- N 4- 2М — произвольные У 4- 2М целых чисел.
Среди N целых чисел I -j- М 4- 1, ..., / 4- М 4- Л/ найдется
пара (р, <?), которая удовлетворяет (24.2). Пусть р — q = nf.
Тогда р — pi = q — q' = р.. Очевидно, р одно из целых чи-
сел I + 1, I 4- 2, ..., I + N + 2М. Для любого целого числа
k имеем
II л+ц - Л к II 4+Р/_р - 4+Р/ II + II 4+,' - 4 В —г +1 = 8.
Аналогично || Вн-ц — Вк || < е. Пусть г и tz — почти перио-
ды, кратные у, соответствующие, согласно определению, почти
периодичности двум парам (р, q) и (р>, qi). Если обозначить
гц = г — Г/, то
В л (/ 4- Гц) - А (011 <|| л (t + Гц) - A (t - г,)|| 4-
+1A (t - г,) - A (I) || < 4- e~m(l 4-	(24.3)
Поскольку	TO
d + l^P/-T/l<-r + 'T = v-
Учитывая, что Ixg — r|<v<-|-, a |/ — xz|>e, имеем
4-r —t,|>-|-, i = 0, ±1, ....
Действительно, пусть для определенности т(- 4- е < t <
<	— е. Тогда Тч + г4-е</ + г< т(-+1 — е 4- г, но
Т(+7, < Ti + Г + V, тж + г — V < Ti+p+i, И поэтому xi+p +
+	< t + г < тг+р+1 — е/2 или [ t + г — Xi | > е/2. Учи-
тывая последние неравенства, находим, что
11/(^4-Гц)-/(0КУа + гц)-/(/4-г)|]4-	.
+у(/4-г)-/(/)ц<^-+4-=е-
Для завершения доказательства леммы остается заметить, что
оценка 1 вытекает из леммы 24.3.
Обозначим через X (t, s) матрицу Коши системы линейных
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием
198
вида
—- = A(t)x, f^t{, Дх |£=£. = В,х, (24.4)
где A (t) — непрерывная размера n X n матрица, Bt, i = 0,
±1, постоянные квадратные порядка n матрицы, последо-
вательность {т/} строго возрастает. При
Tm_i<s<T,„, s<t, (24.5)
X (t, s)~U (t, rk) П (E + Bt) U (т{, t,_i) (E + Bm) U (xm, s).
Лемма 24.5. Пусть матрица A (t) — почти периодическая,
в смысле Бора, последовательность {Вг} — почти периоди-
ческая и последовательности — равностепенно почти пе-
риодические. Если матрица Коши X (t, s) удовлетворяет не-
равенству
|| X(j, s)||^Ce-“tf~s), />s,
где С и а — положительные действительные числа, то матри-
ца X (t, s) — почти периодическая по диагонали, т. е. для лю-
бых е > 0, t s С R, | t — Ti | > е, | s — т£ | > е, i = 0, ±1,...
существует относительно плотное множество почти пе-
риодов Г таких, что для г £ Г имеем
||X(/ + r, s + r)-X(Z, 5)||<еГе 2	,
где Г — положительная постоянная.
Доказательство. Поскольку
-^- = Д(/)Ха + г, 8 + г) + (Д(/ + г)-
— Л (0) X (/ + г, s + г), t =f=. т',
ДХ (/ + г, s + г) |^_т' = ВгХ (т(. г, s г) +
+ (В£+<7 — Bt) X (тг + г, s + г),
где х‘( — ti — г, числа г и q определены в условии леммы 24.4,
то
X (/ -)- г, s + г) — X (/, s) +
t
“b J X {I, и) (А (и г)— A (w)) X (и с, s -f- г) du -f-
s
+ S X (/, T£) (Bi+q — Bi) X (x'i r, s + r).
199
Здесь так же, как и при доказательстве леммы 24.4, проверя-
ется, что из | t — Tf | > е следует < t + г <;
Далее, имеем
||X^+r, s + r)-X(t, s)||<
<f||X(Z, м)||ЦЛ(и + г) — 4(м)||||Х(м-Рг, s + r)\\du +
s
+ S ||Х(/, т'авр^-в.рх^ + г, s + r)K
t
eCe-“('-s> du + у eCe~s) ==
s	s<T,<f
-1
(t — s) + i (s, f) ECe-aft-s\
где i (s, f) — число точек <t'{ в интервале (s, t). Пусть N —
число, определенное леммой 22.6, тогда
||X(< + r, s + r)-X(/, s)||<
е 2 =еГе 2
Лемма доказана.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с им-
пульсным воздействием
/7у
-J-= А (/)* + /(*),	(24.6)
Ах |,=т. = BtX + Ц,
в которой матрицы А (/), В/, I = 0, ±1, ±2, .... последова-
тельности (т;}, j/;} и функция f (t) удовлетворяют условиям
лемм 24.4, 24.5. Обозначим
у = sup А (/), а2 = sup А/,
t	i
A (t) — наибольшее собственное число матрицы (A (t) +
+ Ат (0), А, — наибольшее собственное число матрицы (£ +
+ Bi)T (Е + ВА, где Т — знак транспонирования. Согласно
лемме 22.2, существует конечный предел
Пш .‘.'А- '.“О. =р
f-¥oa I
равномерно по всем t0 £ R.
200
По теореме 15.3 справедлива оценка
II X (t, S) II < /Ce<«+v+₽ In a)(/-s)t
в которой e > 0 — произвольно, К = К (е)	1. Пусть
Р (е) = е + у + р In а.
Теорема 24.1. Если система уравнений (24.6) удовлетво-
ряет всем перечисленным выше условиям и справедливо неравен-
ство у + р In а < 0, то эта система допускает единственное
почти периодическое решение, оно является асимптотически
устойчивым.
Доказательство. Покажем, что почти периоди-
ческое решение определяется выражением
х0(/)= J X(t, s)f(s)ds + ^X(t, tt)It. (24.7)
Проверим, что интегральные выражения в правой части (24.7)
имеют смысл. Действительно, выберем е > 0 достаточно ма-
лым так, что р = р (е) < 0, фиксируем его и обозначим
= sup ||/(/) || +sup || Л ||,
тогда
t
ho(oii< I на, Анишин-S на,
—оо	*{<*
t
< f KeW-Wds + £ KMew~xi} <
xt.<z
Подстановкой в (24.6) можно проверить, что х0 (i) есть решение
этой системы.
Выберем е-почти период г, определенный в леммах 24.4
и 24.5. Используя лемму 22.6, находим
t
k»a + r)—шк J ная-л s+o/Cs+r)—
'	—00
— X(t, s)f(s)IIds + SHa + r, TZ+?)ll+g —
f	— X(t, Tt)7z||<ri(e)e,
Где Гх (e) — положительная ограниченная функция в.
201
Поскольку любое решение х (() системы (24.6) можно пред-
ставить в виде
х (/) = X (t, t0) х0 +
t
+ [ X(t, s)f(s)ds + S X((, tz)/z, (24.8)
to	!^Xi<:
то для двух различных решений <р (/) и гр (/) этой системы спра-
ведливо неравенство
|| <р (/) — гр (/) || <	1| <р (t0) — гр (t0) ||,
откуда следуют асимптотическая устойчивость решений сис-
темы уравнений (24.6) и единственность решения Теорема до-
казана.
Перейдем к изучению слабо нелинейной системы с импульс-
ным воздействием вида
<')* + »'• х),	(24())
Дх |г=т. = Врс + 7( (х),
в которой матрицы A (t), Bt, i = 0, ±1, ..., такие же, как и в
системе (24.6), последовательности {rz}, / = 0, ±1, ±2.......
равностепенно почти периодические и inf т, = 0 > 0. Функ-
i-
ция f (t, х)-почти периодическая по /, а последовательность
{Л (х))-почти периодическая по i равномерно в области
/£R, ||x||</i, i=0, ±1, ... .	(24.10)
Функции f (t, х) и Ц (х) удовлетворяют условию Липшица
||/((, x)-f(t, х)|| + ||/z (х) —/z (у) ||^ L|| х — z/||, (24.11)
равномерны в области (24.10) и ограничены
sup х)||+ sup ||7z(x)|| =
—oo^^-J-oo	—oo<l<-|~oo
114<Л	l|x||<h
Докажем вспомогательное предложение.
Лемма 24.6. Если <р (/) — почти периодическая функция
и infrz = 0 > 0, то {<р (/()) почти периодическая последова-
I
телъность.
Доказательство. Пусть О<3е!<0. Построим после-
довательность {т('}, удовлетворяющую условию tz — т'= 2е,
i = 0, ±1, ±2, ... . Выберем для ц числа г и q согласно
лемме 24.4 так, что ||<р(( +г) — <p(()||<ei и 1^’ — r|<v.
202
0<v<eb при всех |/— т' | > е1( 7£R, k = 0, ±1, ±2, ... ,
i = 0, ±1, ±2, ... Так как —vCr^ — — r<v
и т'к + г = xk — 2ej + г, то 0 < 2et — v < xk+Q — х'к — r <Z
< 2gj + v< 3ev Поэтому, если || ф (/')— ср (t") || < о (Зе,) при
принадлежащих одному промежутку непрерывности и
| — t" | < Зе1( то, полагая 2о (SeJ + gj < е < 0, найдем
|| ф (Т/г+,) — ф (Хк) ||< || ф (Tft+(Z) — ф (Xk + Г) || + || ф (Тк + Г) —
— <р (Ч) II + II ф W — ф (т*) II < 20 <3е1) + Е1 <е-
Лемма доказана.
Пусть е > 0 такое, что 0 = 0 (е) < 0 и
где /V — натуральное число, определенное леммой 22.6. Спра-
ведлива следующая теорема.
Теорема 24.2. Если система (24.9) удовлетворяет всем
перечисленным выше условиям и верны соотношения:
-Ф 1) KEach, 2) KLa< 1, 3) 0 + 7<L ++ 7<L)<
< 0,
то эта система имеет единственное асимптотически устойчи-
вое почти периодическое решение.
Доказательство. Пусть — пространство всех
почти периодических функций с разрывами в точках одной и
той же последовательности |т(}. Если ф (7) g 9t, то нормой
этой функции в Э? будем считать величину || ф (f) ||0 —
= sup || ф (/) ||. Выделим в множество D всех почти перио-
дических функций ф (/) таких, что || ф (/) ||0 < h, и определим
в Э? оператор Т так: если ф g то
Т(ф(/)) = J х (Z, s) / (s, ф (s)) ds + s X(t, т() 7, (ф (т,)).
-оо	/
(24.12)
Покажем, что Т (D) = D. Действительно, если || ф (7)||0 < h,
. то
И(Ф(О)К J ||Х(/, 5)||||Н«. ф(5))И5 +
г.</
t
< ( Ke^-s>Hds + S KHew~xi} ^KHa<zh.
Кроме того, если функция <р (/) — почти периодическая, то
последовательность {<р (/;)} — почти периодическая в силу
леммы 24.6 и, пользуясь -методом нахождения общих почти
периодов, можно показать, что последовательность {Ц (<р (ti))}
почти периодическая. Почти периодичность функции f (t,
ср (/)) вытекает из теоремы 23.3. Отсюда, используя леммы 24.4
и 24.5, найдем, что если <р (/) С D, то существует относительно
плотное множество Ге-почти периодов функции <р (/) таких,
что для г £ Г, t g R, | t — xt | > e, i = 0, ±1,... справедливо
неравенство
И(ф(/ + г))-Т(<р(/))К
t
< У И(Ж. s + d/(s + G <p(s+ /)) —
—00
— X (t, s) f (s, cp (s)) |[ ds + £ IIX (t + r, Xi+9) Il+q (<p (T;+?)) —
— X (t, Xi) z(. (<p (Xi)) || < r2 (e) e,
где Г2 (e) — некоторая ограниченная функция от е. Таким об-
разом, доказано, что Т (D) s D. Если <р, ф g D, то
t
цт(<р(/))-т(Ф(ож У на. s)ini/(S, <p(s))-
-----------------------00
— f (8, Ф (8)) II ds + 2 || X (t, Xi) || || li (<p (t()) — /< (ф (T(.)) II <
<KLtz||<p(O —W)||o,
откуда в силу условия 2) теоремы следует, что Т есть оператор
сжатия в D и, следовательно, существует единственное почти
периодическое решение системы уравнений (24.9).
Далее, используя интегральный эквивалент системы урав-
нений (24.9)
t
x(t)^X (t, f0) x0 + J X (t, s) f (s, x (s)) ds +
to
+ £	^)h(x(Xi)),	(24.13)
204
найдем, что любые два решения ср (7) и ср (0 этой системы удов-
летворяют неравенству
(0+KL+4- In (1+KL)) (/-/.)
II Ф (0 - Ф G) II < К || Ф (М -Wk	-(24.14)
Действительно, из (24.13) имеем
IIф G) — Ф(0КНt0) 1111 ф-ФGo)II +
t
+ JlHG, s)||||Ks> ф(5)) — f(s, ф(s))IIds +
к
+ 2 \\x(t, та|111Ш(^))-ш(ч))К
t
< KeW-t* || ф (/0) - ф (t0) || + $ КеЫ-^L || ф (s) -ф (s) || ds +
to
+ S KLe^ ||ф(т;) — i|)(Tf)||.
rz<C
Умножим обе части последнего неравенства на e_fW и, обозна-
'ив v (t) = || ф G) — Ф (0 II ехР (“Р0» найдем
t
v (t) < Kv Go) + ( KLv (s) ds + £ KLv (ti).
to
Лрименив к этому соотношению аналог леммы Гронуолла —
Зеллмана, получим
v(t)^Kv Go) П (1 +KL)e^~^
или
• II ф G) - Ф (0 К к || Ф Go) - Ф Go) I П (I + KL) е(₽+к^-ч
to^.-ft
Используя лемму 22.6, найдем, что справедливо неравенство
(24.14), откуда в силу условия 3) теоремы следует асимптоти-
ческая устойчивость решений системы (24.9). Теорема дока-
зана.
§ 25. Системы с периодической однородной
линейной частью
Будем рассматривать систему обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием вида
^-=A(i)x+f(t),	(25.1)
Д-4=т. = Bp; + 7<,
205
в которой х С Rn, А (/) — непрерывная матрица размера
n х «-периодическая с периодом Т, В(, i = 0, ±1,	— по-
стоянные квадратные матрицы порядка п, последовательность
моментов времени {т,-[ удовлетворяет условию tf+P = t + Т,
i = О, ±1, ... . Функция f (t) и последовательность {Л} почти
периодические.
В данном параграфе для системы уравнений (25.1) доказан
аналог теоремы о почти периодичности ограниченного решения
для систем обыкновенных дифференциальных уравнений [13],
а также определены достаточные условия существования почти
периодических решений линейных неоднородных систем и
слабо нелинейных систем с импульсным воздействием, одно-
родная часть которых периодическая. Рассматривается вопрос
об асимптотической устойчивости почти периодических ре-
шений.
Пусть X (t, s) — матрица Коши (25.5) однородной системы,
соответствующей уравнениям (25.1). Обозначим
X(t)=X(t, 0), A = -i-LnX(T), Ф(0 = Х(/)е~Л'.
В § 12 показано, что Ф (/) — периодическая с периодом Т,
кусочно-непрерывная с разрывами в точках xt, i = 0, ±1,
±2.....неособая матрица.
Применим к системе (25.1) замену переменных х — Ф (t) у.
Тогда эта система преобразуется в следующую:
-f- = Ay + g(0,	(25 2)
д У
где g (t) = Ф-1 (t) f (/), £7г = Ф“’ (Т; + 0) Ц.
Используя свойства матрицы Ф (/), нетрудно проверить,
что функция g (/) и последовательность \$t\ периодические и
что вопрос об ограниченности, почти периодичности и асимп-
тотических характеристиках решений системы (25.1) сводится
к такому же вопросу для системы (25.2).
Заметим, что если матрица A (t) не зависит от времени, то
матрицу Коши X (t, s) и, следовательно, матрицу Ф (/) можно
представить в явном виде. Действительно, если А (/) = А, то
если т;-< т	т/4-i,	1 < 0 т*, />А, и
*+р-1
X (Г) = еЛ(Г-^+₽+1' П (Е +	+ Вк)еА\
206
Пусть f (0 — почти периодическая скалярная функция,
— числовая почти периодическая последовательность,
последовательность чисел ir<| такова, что xi+, = xt + Т,
i = 0, ±1, ±2, ... Для удобства изложения сформулируем
следствие леммы 24.4 в виде следующей леммы.
Лемма 25.1. Лля любого действительного числа е > О
найдутся такое действительное число v, 0 < v < е, и отно-
сительно плотные множества действительных чисел т и це-
лых чисел Q, что будут справедливы соотношения:
a)	f (t ф- т) — f (/) | <е, R, 11 — Xi | > e, i = 0, ±1, ...;
6)	Ui+q — cp | <Z e, < = 0, ±1, ±2, ...;
в)	— г | O, k = 0, ±1, ..., r g-r, q £Q.
 Лемма 25.2. В условиях леммы 25.1 из ограниченности
суммы
t
F(f) = $f(s)ds + S «ь
о	0<T(.<i
следует почти периодичность этой суммы.
Доказательство. Пусть F (t) — ограничена и
т = inf F (f), М = sup F (/). Предполагаем, что М >т
t	t
(случай М = т тривиален).
1.	Покажем, что для F (/) на вещественной оси R найдет-
ся относительно плотное множество пар точек (хх, х2) с точ-
ностью до е, реализующих колебание функции F (/), равное
М — т.
По определению нижних и верхних граней существует па-
ра точек (sx, s2) такая, что
F(si)<m + -^-, F(s2)>M---------
Пусть |sj — Tj|>ej, | s2 — Xi | > 8i, i = 0, ±1, .... Обозначим
d = |sx— s21, s=min($i, s2),	= max|/(0|,
Выберем согласно лемме 25.1 почти период г = г (е2) для
функции f (/). В силу этой леммы точки s, + г = xh / — 1, 2
образуют относительно плотное множество, и поэтому су-
ществует число I — I (е2) > 0 такое, что любой отрезок [а,
а 4- I] содержит точку $ + г. Поэтому на любом отрезке дли-
207
иы I -|- d находится пара точек (xx, х2)', и, таким образом,
эти пары образуют относительно плотное множество. Так же,
как и при доказательстве леммы 24.4, можно проверить, что
из т, + е <z s < ту-f-i — е вытекает < s + г <Z
Далее, имеем
(s2+r	\
F(s2) + J f(s)ds+ S at —
Ss	e«<Tf<s84-< /
/	Sl+r	\
— F(Sj)+J /(s)ds+ S tZf =F(s2) —FcsJH-
\	s,	Si<tz<s,4-r )
S»
+ J (f(s + r) — f(s))ds+ S («<+? — at),
S,	S1<T(<S2
и, значит,
F(x,) -F(x.)> (M —1.) -(m +
I d \	/ d	\
2Mi^ kr+ 1 P 8 hF + 1 p
-----V/—/	Ц----/-------------8 =,
/ a \------------------------------/ a \	о
16(т + 1ГМ1 8\T + 1г
= М — т—
Таким образом,
Поскольку числа М — F (х2) и F (хх) — т неотрицательные,
то из последнего неравенства получаем
М — F (л^) <	, F (xj — tn < ~,
т.	е. относительно плотное множество пар точек (хь х2) реали-
зует колебание функции F (/) с точностью до е.
2. Обозначим
•	/ 8
е3 = min / -g£-,
8
I L	\
6 —+ Ip
2T	/
и пусть г = г (е3) выбрано согласно лемме 25.1. Используем
свойства пар точек (хь х2) для оценки сверху и снизу разности
F (t + г) — F (/), если | t — | > е. Для оценки снизу вы-
208
берем на отрезке р—4.,	точку хи для которой
Е(х1)<.т + -%-,
причем 11 — Xj [	. Получим
F (t + г) — F (t) = F (%! + г) + \ f (s) ds + S ai I
\	Xi+r	/
(t	\
F (Z1) + V (s)ds + S ai I = (*i + О ~ ^(*i) +
x,	х,<тг<г J
+ \ (J(.S + Г) — f (s)) ds + S (at+t — at)>m — (m +4-) —
e L	е.2Мг { L , ,\ _
3L 2	/ I. \	l"2f" + 1 F~
l‘27r + 1)₽ 1 V
7~L	\	(~2T +	=	(т+“2"^ — 3- — =
6(2Г- + 1)₽
= — е.	(25.3)
Таким же образом, используя точку х2 из отрезка р—у,
t + -4- и учитывая, что [ t — xs | находим
it J
t
F (t + г) - F (0 = F (х2 + г) - F (xj + J (f(s + г) -
х»
да- f (s)) ds + S (^i+o — a.i)<ZM. — (M------+
Х2<т^/	\	i 1	i
Используя лемму 24.4 так же, как и лемму 25.2, можно до-
казать следующую теорему.
Теорема Z5.1. Пусть f (t) — скалярная почти периодиче-
ская функция, {at] — числовая почти периодическая последо-
вательность, {т;} такова, что последовательности {xj}, / =
14 6—2865
209
= 0, ± 1, ...» равностепенно почти периодические и inf т) =
= 0 > О. Тогда из ограниченности суммы
t
F(t)=	(s) ds 4- S
о
вытекает ее почти периодичность.
Следствие. Интеграл
t
F (0 = J f (s) ds '
о
от почти периодической функции f (/) является почти перио-
дической функцией тогда и только тогда, когда он ограничен.
Отметим, что лемма 25.2 и теорема 25.1 справедливы и в
векторном случае.
Лемма 25.3. Пусть дано скалярное дифференциальное урав-
нение с импульсным воздействием
// V
— = Хх + /(/), t^lt	(255)
Дх ~ ai>
где X — комплексное число, f (Српочти периодическая функция,
[at]-почти периодическая последовательность, а последова-
тельность {т(-} удовлетворяет условию т(-+р = т(- + Т, i =
— О, ±1, ±2, ..., где р — некоторое натуральное число. Если
уравнение (25.5) имеет ограниченное решение, то это решение
является почти периодическим.
Доказательство. Общее решение уравнения (25.5)
имеет вид
(£ \
х0 + ( e-^f (s) ds (±> S e~uiai , (25.6)
о	0<т£</ у
где х0 — произвольная постоянная, для которой х (0) = х0.
1.	Пусть Re X = а > 0, тогда | е^ | -> оо при t -> оо. Сле-
довательно, для того чтобы решение (25.5) было ограниченным,
необходимо положить
х0 = — 1 e~Ksf (s) ds — S E~Kj<a(.
oJ	R>0
Нетрудно проверить, что последние интеграл и ряд сходятся.
210
Подставляя полученное значение х0 в (25.6), находим
x(i) ж» — С	— У ем ^О(
Г	xi>‘
Если г = г (е) есть е-почти период, определенный леммой
24.4, то
|x(/4-r)-x(0|< J^-q/(s4-r)-/(s)|ds +
t
4- S ?к-^|аж_аг|<Г(е)е,
Tf>/
где Г (e) — ограниченная функция е. Таким образом, х (/)
является почти периодической функцией.
2.	Пусть Re X = а < 0, тогда | etJ | -> оо при t -> —оо.
Как и в случае 1, находим, что ограниченное решение имеет
вид
х(/) = С ^-S>f(s)ds+ S
Zo	xi<‘
и является почти периодической функцией.
3.	Пусть Re X = О, X = iv и существует ограниченное ре-
шение
(—) 0<т.<Г
Тогда сумма
Ce-‘vy(s)ds+ S e~ivxkak	(25.7)
oJ	(—) °<Tfe<'
'	' <«rfe<0)
ограничена, и так как функция e~Zvs f (s) и последовательность
{ехр (—ivTfe) ай}-почти периодические, то согласно лемме сум-
ма (25.7) есть почти периодическая функция. В этом случае
все решения уравнения (25.5) почти периодические. Лемма
доказана.
Теорема 25.2. Если система дифференциальных уравнений
(25.1) имеет ограниченное решение, то это решение почти
периодическое.
Доказательство. В начале параграфа было за-
мечено, что вопрос о почти периодичности ограниченного
14*
211
решения системы (25.1) равносилен вопросу о почти периодич-
ности ограниченного решения системы (25.2), полученной из
системы (25.1) переодическим преобразованием х = Ф (/) у.
Как известно, существует неособенное преобразование
у — Sz, где S — постоянная матрица, переводящая систему
(25.2) в систему с верхнетреугольной матрицей коэффициен-
тов. Поэтому, не нарушая общности, считаем, то система (25.2)
имеет вид
—+ Ь1ауа + • • • 4- binyn + gi (0>
(25.8)
—---------- • • kkyn—i 4- bn—inyn 4- gn—1>
••• ЧУп + gnV),
tyi |t=\ =	• • • > &Уп t = Qtn.
Решая систему (25.8) снизу вверх, с помощью леммы 25.2
найдем, что ограниченное решение этой системы почти перио-
дично. Используя преобразование Ф~' (/) и систему (25.1),
завершим доказательство теоремы.
Теорема 25.3. Пусть система (25.1) удовлетворяет всем
перечисленным выше условиям и, кроме того, матрица Л =»
= Ln X (Т) не имеет собственных чисел с нулевой веще-
ственной частью, тогда система (25.1) имеет единственное поч-
ти периодическое решение. Если к тому же матрица Л имеет
собственные числа только с отрицательной вещественной
частью, то почти периодическое решение асимптотически
устойчиво.
Доказательство. Не нарушая общности, считаем,
что Л = diag (Р, N), где Р и W — квадратные матрицы по-
рядка тип — т такие, что
РеХДР)>0, / = 1, т, ReX/(Af)<0, j = m-\-\,n.
Положим
G „ч (— diag (ePt, 0), при f < 0,
t diag (0, eNt), при t > 0.
В дальнейшем будем использовать следующие известные свой-
ства матрицы G (t):
1)	G (04-) — G (0—) s=s Еп, где Еп — единичная (n х n)
матрица;
212
2)	|| G (f) || Ce~aW, где С и a — положительные посто-
янные;
3)	-^- = AG(/) при =#0.
Покажем, что выражение
Уо(0 = ? G(t-s)g(s)ds+ f G(/-t,)Q<	(25.9)
-ОО	!'=-°°
есть решение системы (25.2). Действительно, так как
00	оо
ko(0K J l|G(Z - s)||||g(s)||ds + V ||G( -TJIHIQJIC
— 00	i=—00
< C max , 1 _av ) (sup || g (/) || + sup || Qt ||),
где у = min т}, то правая часть выражения (25.9) имеет смысл.
1С*=so
При t Ti имеем
_^_ = (G(O+)-G(O-))g(')+ J AG(t -s)g(s)ds +
—oo
4-	J AG (t — s) g (s) ds + A £ G (/ — Tt) Qt = Ay0 4- g (f),
f	i=—oo
Ago|(=T/= f G(t, —t,+)&— f G(ij — T()Qi= Qh
i=—oo	—oo
Значит, y0 (t) является решением системы (25.2). Пусть г =
== г (s) — е-почти период, выбранный по лемме 25.1, тогда
y0<t + Н — Уо((} = j G[t 4-r — s)g(s)ds 4-
—00
+ S GC 4-r — J G(i — s)g(s)ds —
*=—00	—00
— S G(t — t()Q(= J G(/ —s)(g(s4-r) —g(s))ds4-'
11 J oo	____
"OO
4- У G^-Ti)(Q<+e-Q()
00
213
и
hoG + H —f/o(OK j Ce-“l'-s|||g(s+r) —g(s)||ds +
— 00
+ £ Ce-°-^ || Qi+q - Qd < Г (e) e,
Ze=—00
где Г (e) — ограниченная функция от е.
Предположим, что ух (/)-почти периодическое решение
системы (25.2), отличное от у0 (/). Тогда разность ух (/) — у0 (/)
есть почти периодическое решение однородной системы
=	(25.10)
которая, как известно, имеет только нулевое ограниченное ре-
шение. Полученное противоречие доказывает единственность
почти периодического решения.
Возвращаясь к уравнениям (25.1), найдем, что единствен-
ное почти периодическое решение этих уравнений равно
хо(0 = J O(/)G(Z-s)O-1(s)f(s)ds +
—00
+ 5	(25.П)
-оо
Из этого соотношения имеем
II х0 (ОКк (sup 11/(011 +supllAID,
где К — некоторая положительная постоянная.
. Если все собственные числа матрицы Л имеют отрица-
тельные вещественные части, то из того, что разность двух
решений системы (25.2) есть решение системы (25.10), следует
асимптотическая устойчивость решений системы (25.2) и, сле-
довательно, системы (25.1). Теорема доказана.
Рассмотрим квазилинейную систему с импульсным воздей-
ствием вида
*L = A(t)x+f(t, х), t^xit
Ьх |(=_Tf == Btx + l{ (x),	(25.12)
в которой матрицы A (t), Blt t == О, ±1, .... и последователь-
ность |т;| удовлетворяют условиям теоремы 25.3, функция
f (t, х)-почти периодическая по t и последовательность {/< (х)}-
214
почти периодическая по i равномерно’ относительно х на каж-
дом компакте. Выполняется условие Липшица
II f (t, X) - f (t, у) || + II /£ (x) -1( G/Ж LII x - у || (25.13)
равномерно по всем t £ R и i = 0, ±1...
Теорема 25.4. Если Re X/ (Л) #= 0, / = 1, п, то при доста-
точно малой постоянной Липшица L система (25.12) допу-
скает единственное почти периодическое решение. При усло-
вии Re X/ (Л) < О, / = 1, п, и достаточно малой L почти
периодическое решение асимптотически устойчиво.
Доказательство. Пусть 3J — пространство всех
почти периодических функций с разрывами в точках одной и
той же последовательности (ту}.
Определим в 9? оператор Т так, что если ф (t) £ 9R, то
Т (Ф (/)) = j Ф (0 G (/ - s) Ф-1 (s) f (s, <р (s)) ds +
—оо
1=—00
Применяя леммы 24.4 и 24.5, пользуясь свойствами матрицы
G (/), аналогично тому, как это сделано в теореме 24.2, можно
проверить, что оператор Т определен в St и Т (91) s 9?.
Кроме того, если
2MCL (— +-------< 1,
\ а 1 — е-7“ )
где Л! “SUp II Ф (ОН || Ф~‘ (s) ||, то оператор Т—оператор
s./CR
сжатия и, следовательно, существует единственное почти пе-
риодическое решение системы (25.1).
Если Re X/ (Л) < 0, / = 1, п, то для матрицы Коши X (t,
s), соответствующей линейной однородной системе (25.12),
справедлива оценка
[| X (I, s) ||	при t s,
в которой К 1, Р < 0 — постоянные.
Воспользовавшись интегральным представлением (25.13)
системы (25.12), найдем, что для любых двух решений ф (/) и
ф (I) этой системы справедливо неравенство
IIФ (0 — Ф (О IIС	|| ф (/0) — ф (t0) II +
4- С KeW-*L II ф (s) - ф (s) II ds + £ KLe^-V|| ф (Xf) _ ф(х.) ||.
215
Рассуждая далее, как и при доказательстве неравенств (25.14),
получаем соотношение
(P+KL+ 4 in (i+Kb>V-«
откуда и следует при достаточно малой постоянной L асимпто-
тическая устойчивость системы решения <р (/).
Отметим, что все результаты § 24, 25 остаются справедли-
выми, если полагать матрицу A (t) кусочно-непрерывной с
разрывами первого рода в точках последовательности {%i}.
ГЛАВА 5
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ МНОЖЕСТВА СИСТЕМ
, С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
§ 26. Ограниченные решения
неоднородных линейных систем
Изучим вопрос существования ограниченных при всех
i С R решений линейной неоднородной дифференциальной
системы с импульсным воздействием
= Л (/) х(О, t=£xb Ax|t=Xf = Bix + ab (26.1)
где A (t) и f (0 — непрерывные (кусочно-непрерывные с раз-
рывами первого рода при t = xi) ограниченные при всех R
соответственно матричная и векторная функции; Bt и cq —
постоянные матрицы и векторы, которые соответственно рав-
номерно относительно i £ Z ограничены, det (Е + Bi) =# 0.
Последовательность моментов т, занумерована множеством
целых чисел так, что xt -*• —оо при i -> —оо и т; -> Н-оо при
i -► Н-оо. Кроме того, предполагается, что
lim '	= р < оо	(26.2)
Т-,00	'
равномерно относительно t £ R. Как следует из леммы 22.1,
это условие равносильно тому, что можно указать такие числа
I и натуральное q, что любой промежуток временной оси дли-
ной I содержит не больше q точек последовательности {т/}.
Наряду с системой (26.1) рассмотрим ее однородную часть,
т. е. уравнения
= A (t) х, xit Ex = В(х, (26.3)
214
и предположим, что эта система уравнений является гипербо-
лической. Не ограничивая общности рассуждений, считаем,
что матрицы A (t) и Bt имеют блочно-диагональную структуру
Л(П_М+« 0 \	°\
систем
(26.4)
\ о А-(0/’ Vo ВТ)
и если Ф+ (I, т) и Ф_ (I, т) — матрицанты линейных
соответственно
Jh-^A+(t)xlt t^xh &Х1\^{ = В?Х1
и
= А_ (t) х2, t #= хь Дх2 |/=Tf = ВТх2,
ТО
|| Ф-{. (I, т)	Ke-W-v при t х,
|| Ф_ (t, т) ||	ПрИ
(26.5)
(26.6)
(26.7)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 26.1. Если линейная система с импульсным воздей-
ствием (26.3) является гиперболической, то для любой огра-
ниченной на всей оси функции f (t) и ограниченной последова-
тельности (я/) система уравнений (26.1) имеет единствен-
ное ограниченное при всех t Е R решение х* (/) и можно указать
такую положительную постоянную С, что
II х* (О1| С С (sup || f (01| + sup || а£ ||).	(26.8)
<6R	HZ
Доказательство. Обозначим через G (t, т) мат-
рицу
оII. ,) = (dlaS(®+ <'•’>• °> "Р" <>’-	(26.9)
I diag (О, Ф_ (I, т)) при t < х.
В силу неравенств (26.6) и (26.7) G (t, т) допускает оценку
\\G(t,	(26.10)
для всех t, т Е R.
С помощью матрицы G (t, т) определим функцию
х* (/) = J G (I, т) f (т) dr + £ G (t, xt) at. (26.11)
— OO	t=—00
Правая часть равенства (26.11) определена, ибо неравенства
(26.2) и (26.10) обеспечивают равномерную сходимость инте-
грала и суммы, фигурирующих в выражении (26.11). Действи-
217
тельно, из (26.11) имеем
II х* (О II < С Ле-va-r) || f (т) || dT + g	ц Я(. ц С
*	е---~~
<^sup||HOI| + /<sup||al || S
Г f€R	{=—40
Поскольку в силу (26.2) любой промежуток оси t длины I
содержит не более q точек последовательности (т,), то для
j i имеем
+ i)=s,(i7i-+1)’
следовательно,
Т7 - Т(- с / (v “ 0 + V и - о- <26-12>
Поэтому	;
S	S е-^{-^ £ e-v<W +
i=—оо	x.>t	x-^Xj
yl!i—L\ °°	9vZ(I-7*)
+ E	------г-.
T->T;	m'=0	— JL.
z 1	l-e Q
Таким образом, окончательно имеем оценку
II х* (О II с С (sup || f (О || + sup II at ||),
(26.13)
где
С = max
(26.14)
Покажем, что определенная равенством (26.11) функция
х* (/) является решением системы уравнений (26.1). Действи-
тельно, представим х* (/) в виде
t	ОО
х* (t) = j G (t, т) f (t) dr + j G (t, t) f (t) di +
—oo	t
+ £ G (/, t,)	+ £ G (t, it) at.
x(>t
(26.15)
218
Дифференцируя х* (/) при t Ф х{, получим
dx*	с dG (t, т) с, V dG (t, ti) „ ,
~dl----I —di-------f(T'dx + 2j —dt-----a‘ +
Г	\>*
4- (G (/, t - 0) - G {t, t + G))f (0 = A (t) x* (0 + f (t),
ибо
= A (t) G(t, т), /=#т, t*xb
а при t = x, t Ф xi G (£, t — 0) — G (t, t 4- 0) = E.
Из (26.15) видно также, что при t — xt
х* (т/ 4- 0) — х* (xj) — J [G (т; + 0, t) — G (ту, t)J f (x) dx 4-
4- £ [G (t, 4- 0, TZ) — G (xh Tf)J at 4- a, = Bfx* (xf) 4- a,.
jeat< -oo
Итак, функция x* (t) является ограниченным на всей оси
решением системы уравнений (26.1). Единственность такого
решения следует из соображений, что разность двух ограни-
ченных на всей оси решений является ограниченным на всей
оси решением однородной системы (26.3). Последняя же, в
силу гиперболичности, имеет ограниченным на всей оси толь-
ко тривиальное решение.
' Отметим, что если в системе (26.1) А (/) = Л+ (Z), Bt —
= Bt, то матрица G (/, т) в этом случае имеет вид G (/, т) =
== Ф+ (t, х), а единственное ограниченное на всей оси решение
х* (t) запишем в виде
t
х* (t) =* С Ф+ (t, х) f (т) dx 4- S (^ т<) at. (26.16)
J	t,-<<
,	-оо	‘
При этом в силу неравенства (26.6) это решение является
асимптотически устойчивым.
Рассмотрим частный случай системы уравнений (26.1)
JL = Ах 4- f (0, t^Ti, Лх^^Вх + ъ. (26.17)
Здесь Л и В — постоянные матрицы, det (£ 4- В) =/= 0, век-
торы f (/) и щ такие же, как и в системе (26.1), а относительно
219
моментов времени т; предположим, что равномерно отно-
сительно t £ R существует конечный предел
Т-*оо ‘
(26.18)
Теорема 26.2. Пусть в системе уравнений (26.17) матрицы
А и В коммутируют. Если вещественные части собственных
чисел матрицы
Л = А + pLn(E + В)	(26.19)
отличны от нуля, то система (26.17) имеет единственное
ограниченное на всей оси решение. Оно является асимптоти-
чески устойчивым, если вещественные части всех собственных
чисел матрицы Л отрицательные.
Доказательство. С помощью невырожденной по-
стоянной матрицы S представим матрицу Л в виде
Л = S-1 diag (Л+, Л") S,	(26.20)
где Л+ — квадратная матрица, вещественные части собствен-
ных чисел которой положительны, а собственные числа матри-
цы Л- имеют отрицательные вещественные части. Определим
матрицу G (/, т) соотношениями
G(/, т) =
’ — S-1 diag(еЛ+и-т), 0)S(Е + B)~plt~x>+tu^,t<^
S~l diag (0, ел_(<-т>) S (Е + B)-p(t^}+i^,	(26’21
t >т,
Матрица 0(1, т) при Xi < t < xl+i,	t Ф х
удовлетворяет равенству
T)-=x4G(/, т),	(26.22)
при t — Xt, Т =/= Т/ — условию
0(%i + 0, т) — G (т< — 0, т) = BG(x{ — 0, т), (26.23)
а при t — <г, т Ф xi G (t, х) терпит разрыв первого рода со скач-
ком
G (т + 0, т) — G (т — 0, т) = Е.
Покажем справедливость равенства (26.22).
Пусть t > т, тогда
== S-1 diag (0, еЛ-(<-т)) [diag (0, Л_) S —
— Sp Ln (Е + В)] (Е + B'TPV-x)+i{t'x).
220
Поскольку
diag (0, еЛ~('~т)) diag (О, Л_) = diag (О, ел~(г~т)) diag (Л4., Л_),
то
	$ = В-1 diag (О, ел-('“т)) В [Д —
— р Ln (Е + В)] (В +	= AG (t, т),
так как матрица А коммутирует с матрицей В-1 diag (О,
eA-(Z~T)) S, что следует из того, что матрицы Д и Л коммути-
руют, следовательно, коммутируют матрицы ел/ и Д. Равенство
емА — AeAt
эквивалентно такому:
diag (еА+', еА-') ВДВ“’ = ВДВ-1 diag (еА+', еА-'),
из которого следует равенство
diag (0, еЛ~) SAS~' = ВДВ-1 diag (0, еЛ-'),
или
В“’ diag (0, еА-') ВД = ДВ~’ diag (0, еЛ~') В.
Аналогично доказывается справедливость равенства (26.22)
для t < т, t Ф т(, т Ф Ту. Свойство (26.23) матрицы G (/, т)
проверяется непосредственно с учетом того, что каждая из
матрицы В-1 diag (еЛ+\ 0) В и В-1 diag (0, е4-*) S коммути-
рует с матрицей В в силу того, что матрица В коммутирует с
матрицей Л.
Вещественные части собственных чисел матрицы Л по пред-
положению отличны от нуля, а моменты таковы, что суще-
ствует конечный предел (26.18), тогда можно указать такие
положительные числа /Сиу, что
||G(f, т)||<Ае-т|/-т|, t, TgR.	(26.24)
В этом нетрудно убедиться, учитывая, что
||eA+('-T)KAiev*('-T) при
при
где 0 < Yj < min Re X, (Л+), 0 < у2 < min [— Re X/ (А_)], К,
и К.г — некоторые положительные постоянные, и
|| (Е + в)-р(/-т>+г«’т> ||	/<3 (8) ев||ьп(Е+В)|ц/-л,
где е > 0, А3 (е) — положительная постоянная.
221
С помощью матрицы G (/, т) определим функцию
х* (/) = ? G (/, т) f (т) dx 4- £ G (t, Xt) at. (26.25)
Правая часть равенства (26.25) определена, поскольку со-
гласно (26.18) и (26.24) интеграл и сумма сходятся для всех
t g R, причем сходимость равномерная на каждом конечном
отрезке вещественной оси.
Действительно,
G(Z, T)/(T)drk f
I Joo	7 ZeR
(26.26)
В силу (26.18) можно указать такое число I > 0, что
|-ibl±o__ p|<i
для всех t € R, т. е. любой интервал временной длины I
содержит не более (р + 1) I точек последовательности {т^,
поэтому
Il f G(/,T()d< у;
II i==—oo	I	i=—oo
< S S	-y414-sup||Z4-
m=—oo ?4-т/<т,<Н-('п+Щ	1 — e r
(26.27)
Записав x* (i) в виде
t	oo
x* (0 = j G (f, T) f (t) dx + j G f (t) dx +
---------00	t
+ S G(t,Xi)Ii+ S G{t,Xi)h
и формально продифференцировав no t при t ^=xt, с учетом
(26.22), получим
-^- = Дх* + /(О.
Дифференцирование законно, так как несобственные инте-
гралы и суммы, полученные в результате формального диффе-
ренцирования, сходятся равномерно на каждом конечном
интервале.
222
При t — xi, учитывая (26.23), имеем
Ах* |/=Т; = Вх* (xi) + Ih
т. е. х* (t) является решением системы уравнений (26.17).
Ограниченность х* (f) на всей оси следует из (26.26) и (26.27).
Единственность ограниченного для всех t g R решения
х* (t) системы уравнений (26.17) следует из того, что разность
двух ограниченных решений уравнений (26.17) является огра-
ниченным на всей оси решением системы уравнений
= Ах, t=£ хг, \х |/=Т; = Вх.
Последняя же имеет при сделанных предположениях ограни-
ченным на всей оси лишь тривиальное решение.
Покажем, что если вещественные части всех собственных
чисел матрицы А отрицательны, то решение х* (f) асимптоти-
чески устойчиво.
Пусть х = ф (/) — произвольное решение уравнений
(26.17). Тогда разность z (f) = ф (f) — x* (f) является реше-
нием такой системы уравнений:
= Az, Tfj Az = Bz (26.28)
и при t > 0 представима в виде
г(0 = ел<(^ + В/(0,%
или
z(l) = eA'(£ + B) V pt )z0.
Отсюда видно, что при Re X/ (Л) < 0, с учетом условия
(26.18), все решения уравнений (26.28) стремятся к нулю при
t -► оо, что и доказывает асимптотическую устойчивость ре-
шения х = х* (f).
§ 27. Существование ограниченных решений
нелинейных систем
Используя результаты, изложенные в предыдущем пара-
графе, исследуем вопрос существования ограниченных на всей
оси решений нелинейной системы дифференциальных урав-
нений с импульсным воздействием.
Рассмотрим систему уравнений
//У
-%- = A (t) х + f (t, х), t Ф xi, Ax = B£x + Ц (x), (27.1)
223
в которой матрицы A (fj, Bi и моменты времени т, такие же,
как и в уравнениях (26.1), функция f (/, х) определена при всех
t € R, х £ R" кусочно-непрерывна по t с разрывами первого
рода при t = Т; непрерывна по х. Предположим также, что
функции f (t, х) и Ц (х) ограничены при х = 0, т. е.
||/(/, 0)|| + ||7((0)КМ
(27.2)
при всех t б R, i Е Z, и удовлетворяют условию Липшица
по х с постоянной Липшица 7V:
|| f (t, х) - f (t, у) || +1| I{ (%) - Ц (У) К N||х - УII (27.3)
при всех /(ER, i (Е Z, x, у (E Rn.
Докажем следующую теорему.
Теорема 27.1. Пусть система уравнений (27.1) удовле-
творяет указанным выше условиям и ее линейная часть, т. е.
система уравнений (26.3), является гиперболической. Тогда
при достаточно малых значениях постоянной Липшица N
система уравнений (27.1) имеет единственное ограниченное
при всех / (Е R решение. При этом ограниченное решение бу-
дет асимптотически устойчивым, если асимптотически
устойчивы решения системы (26.3).
Доказательство. Рассмотрим последовательность
функций хт (/), определяемых рекуррентным соотношением
xm+i (/) = ( G (/, т) f (т, хт (т)) dx + £ G (t, xt) 1t (xm (x{)),
V	7—______
(27.4)
xo(/)==0, m=0, 1, 2,
где G (/, т) определяется согласно (27.9). Докажем, что функ*
ции хт (/) равномерно ограничены при всех t £ R. Действи-
тельно, функция х0 (/) ограничена при всех / (Е R. Предпо-
ложим, что функции Xj (/), j = 1, 2, ..., т ограничены. Тогда
для функции Xm+i (/) имеем
II *"+! (О II < II Х>п+1 (0 — Хг (/) II + II (/) II <
< J G (t, х) (f (т, хт (т)) — f (т, 0)) dx +
— 00
4- j j G (t, x) f (t, 0) dx 4-
— 00
+ 1 S W<(^))-7i(0))||4-|| S С(/,т,)Л(О)
224
Отсюда в силу неравенств (26.10), (26. 12) и (27.2) получаем
||xm+1(0K^-^suphm(0ll+27-Al+ .
+ —-------— (Wsup||xm(T<)||+Al)<
--LU i^Z
1 — e q
< 2C (N sup || xm (01| + M),
/€R
следовательно,
sup || xm+i (t) || < 2CN sup || Xtn (01| + 2CM. (27.5)
ZSR	€R
Если постоянная Липшица настолько мала, что
2СА7<1,	(27.6)
то из (27.5) следует оценка
suphffl(/)||^	(27.7)
i£R	1
для всех т. = 1,2, ..., т. е. последовательность функции (27.4)
равномерно ограничена.
Дифференцируя xm+i (/) при t =£ т( и вычисляя разность
xm+i (т,- + 0) — хт+, (т,), убеждаемся, что функция xm+i (/)
является единственным ограниченным при всех t £ R реше-
нием системы уравнений
-^ = 4(0% +Ж МО),
^х |,=т. = В(х + It (хт (Ti)).	(27.8)
Докажем равномерную сходимость последовательности
функций [хт (/)}. Для этого оценим разность x,„+i (/) —
— хт (/). Имеем
|| *т+Г(0 — хт (0 II =С KN J £,~V|Z“T| |: Xfn (т) _ Хт_, (т) || di +
+ KN е 7|г II (т,) — хт_| (Т,)|К
(=---------00
2NC sup || хт (0 —	(01|.
'CR
Таким образом,
sup II xm+i (t) — хт (t) || < 2NC sup .'I xm (t) — xm_, (/) || (27.9)
f£R	ttR
для всех tn = 1, 2, ... .
15 6—2865
225
Отсюда следует, что при всех т = 1, 2, ... выполняется нера-
венство
supIK+i (0-М0К<2ВД". СМ, (27.10)
обеспечивающее в силу (27.6) равномерную сходимость после-
довательности функций хт (/).
Положим
lim хт (0 = х* (/).
Из оценки (27.7) вытекает неравенство
sunlWlK-f^r-	(27.11)
Переходя в (27.4) к пределу при оо, в силу непрерывно-
сти функций f (/, х) и /, (х) по х заключаем, что предельная
функция х* (/) удовлетворяет соотношению
х* (0 = ? G (t, т) / (т, х* (т)) dx + £ G (/, xi) h (х* (т,)). (27.12)
-00
Дифференцируя х* (t) по t при t Ф т; и вычисляя величину
скачка функции х* (/) при t — xt, убеждаемся в том, что
х* (/) — решение системы уравнений (27.1). То, что х* (/)
является единственным ограниченным при всех t g R реше-
нием системы уравнений (27.1), следует из того, что каждая
из допредельных функций хт-н (/) является единственным
ограниченным при всех t g R решением уравнений (27.8).
Для завершения доказательства теоремы установим асимп-
тотическую устойчивость решения х* (/) в предположении,
что решения системы уравнений (27.3) являются асимптоти-
чески устойчивыми.
При таком предположении матрица G (t, т) имеет вид
G(t, т) = Ф(/, т),	(27.13)
где Ф (t, т), Ф (т, т) = Е — матрицант системы уравнений
(27.3), и при всех t х допускает в силу гиперболичности
этой системы оценку
||Ф (t, т)|| <t> х,	(27.14)
при некоторых положительных К и у.
Само же решение х* (I) является пределом равномерно
сходящейся последовательности функций
t
хт+1 (0 = ( ф (t, Т) f (т, хт (т)) dx + s Ф (t, xi) li(xm (т,))
Л	V'	(27.15)
226
и удовлетворяет соотношению
i
х* (0= [ Ф (0 т) / (т, х* (т)) dr + Ф V* т) Л (** М)- (27.16)
\<‘
Пусть х (t, х0), х (0, х0) = х0 — произвольное решение
системы уравнений (27.1), проходящее при t = 0 через точку
х0 из достаточно малой окрестности точки х* (0) = хо. Тогда
при t > 0 разность х (t, х0) — х* (0 допускает представление
х (0 х0) — х* (0 = Ф (0 0) (х0 — Хо) +
+ j Ф (0 т) [f (т, х (т, х0)) — f (т, х* (т))] dr +
о
+ S Ф (t, Т() [Л (X (т,, х0)) — Л (X* (т,))].
0<т(</
Из этого соотношения в силу неравенств (27.3) и (27.14) имеем
IIX (t, х0) — X* (0II5С Ke~vt II х0 — Хо II +
t
+ j Ke~w~x)N || х (т, х0) — х* (т) || dr +
+ S	|| х (т(, х0) — х* (т() ||
o<r,<t
или
t
ы(0<№х0 — Xo|-F [KNu(r)dr+ S KNu(rt), (27.17)
J	o<b<t
где
и (I) =ev'|)x(/, x0) — x*(0]|.
Согласно аналогу леммы Гронуолла — Веллмана из (27.17)
получаем
и (0 < К || х0 - хо || eKNt (1 + /<ЛО((0-0.	(27.18)
Поскольку
1(0,0 <<7 + ^-0
то
(kW+ ^-ln(l+KA')V
и(0<К^	' ||х0 — х0||,
где Ki = К (1 + KN)4, и окончательно имеем
II х (0 х0) - х* (0II <	II х0 - Хо II (27.19)
при всех / > 0, А0 = KN 4- -у- In (1 + KN).
15*	227
Если потребовать, чтобы постоянная N была настолько
малой, что кроме (27.6) выполняется также неравенство
KN + In (1 + KN) < у,	(27.20)
то согласно (27.19) || х (t, ха) — х* (t) || ->• 0 при t -> оо, т. е.
решение х* (t) является асимптотически устойчивым.
§ 28. Интегральные множества систем, линейная часть
которых является гиперболической
В этом параграфе укажем достаточные условия существо-
вания интегральных множеств нелинейных систем дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием и исследуем
поведение решений на интегральных множествах и в их окрест-
ности.
Рассмотрим систему уравнений
-^=A(t)z + f(t, г), t^xi, \z\t^t=Blz + li^) (28.1)
в предположении, что ее линейная часть, т. е. система урав-
нений
= A (t) z,	\z |/=T( = Btz (28.2)
является гиперболической. В этом случае, не ограничивая
общности рассуждений, можно считать, что матрицы A (I)
и В (/) имеют блочно-диагональную структуру A (t) =
= diag (Л+ (0, А- (0), Bi — diag (5^, ВТ), а поэтому сис-
тему уравнений (28.1) можно представить в виде
= А+ (0 х + F (t, х, у), ~- = A-(t)y + G(t, х, у), (28.3)
t xt
Лх|/=тг = В?х + Z?’ (х, у), ку	= ВТ у + I? (х, у).
Здесь
col (х, у) = z, col (F, G) = /,
col (/)’>, /^) = llt xgR*. y^n~k, O^k^n.
Предположим, что функции F (t, x, у), G (t, x, у) являются
непрерывными (кусочно-непрерывными с разрывами первого
рода при t = Xt) по t при t g R. Функции F (t, x, y), G (t, x, y),
№ (%, У)> ^2> (x> У) определены при всех t £ R, x 6 Rfe,
228
у б R" * и удовлетворяют условиям
|| F (t, х', у') - F (t, х", у") || +1| G (I, х', у’) - G (t. х\ у") J <
^^(||х' —х"|| + ||/ —у"||),	(28.4)
II4” (*', у') - 4*’ (х", у") || + || I? (х', у’) - I? (х", у")\\ <
<W(||x'-xl + ||/-/||),	(28.5)
||F(t, 0, 0)|| +1|G(t, 0, 0)|| + ||4° (О, 0)|| +1|42) (О, 0)КЛ1,
при всех t g R, х g R*, у С R"~*.
В силу гиперболичности системы уравнений (28.2) матри-
цанты Ф+ (t, т), Ф_ (t, т) систем уравнений
_^ = Л+(Пх,	-^- = Л_(Пу, (28.6)
Ах |/=Т/ = В/х, \у [/=Х( = ВТ у
допускают оценки (26.6), (26.7).
Докажем следующую лемму.
Лемма 28.1. Пусть в системе уравнений
,-^=Д+(0х+Го((,х), ^-=Д_(0г/ + Оо(/,х), t^x<
Г	,(28.7)
Ах |^ = Btx + 4” (х), \у = ВТ у + 7^ (х)
функции Fg(t, х), Gg(t,x), IT (х), /®(х) определены при всех
t С R, х С R\ кусочно-непрерывны по t с разрывами первого
рода при t = х^ и удовлетворяют условию Липшица по х:
II Fg (t, х') — Fg(t, х ) || -}- || Go (t, x') Gg (t, x ) || +
+ || 7</> (x') -IT (x") || +1| 1? (x') - IT (x") || < N || x' - x" || (28.8)
при всех t g R, i £ Z, x', x" g R*.
Предположим также, что
II Fo (t, 0) I) +1| Go (/, 0) li + 11'4” (0) II + II IT (0) II < M (28.9)
при всех t R, i g Z, и что моменты времени xt удовлетворя-
ют условию (26.2).
Тогда при достаточно малых значениях постоянной Лип-
шица N система уравнений (28.7) имеет интегральное мно-
жество
y=u°(ltx),	(28.10)
229
где функция и0 (t, х) является кусочно-непрерывной по t с раз-
рывами первого рода при t = т, и такая, что
||ы°(/, х') — и0 (t,	W(1 +О)2а1||х'— х"|| (28.11)
для всех t Е R, х', х" £ R*.
Для любых двух решений (xj (/), уг (/)), (х2 (/), у2 (/)). Рас-
положенных на интегральном множестве, выполняется нера-
венство
II (0 — х2 (f) || +1| уг (I) — у2 (t) ||
< К (1 + KNY (1 + KNa) || хх (/0) - х2 (/0) ||е_?‘(/~Го), t > t0,
(28.12)
где уг и а — положительные постоянные, явный вид которых
указан ниже.
Доказательство. В силу условий леммы каждое
решение системы уравнений
-^- = A+(t)x+Fx(t,x)	(28.13)
определено для всех t Е R и для любой пары (t0, х0), t0 Е R,
х0 Е R*, решение, проходящее при t = t0 через точку х0,
единственно.
Любая интегральная кривая уравнений с импульсным воз-
действием
-^- = 4+(0x + F1(/,x), t=£xh Ax|,=Tt = Bz+x + 7^(x)
(28.14)
состоит из кусков интегральных кривых уравнений (28.13).
При достаточно малых значениях постоянной Липшица N
отображение х ->- (£ + Bi) х +	(х) является взаимно од-
нозначным при любом i Е Z, следовательно, решение xt (t0,
х0), xt« (to< %о) — хо уравнений (28.14) единственно для любых
t0 Е R и х0 Е R”. Кроме того, условие существования конеч-
ного верхнего предела (28.2) обеспечивает ограниченность ре-
шения на всю временную ось /?.
Пусть xt (t0, х0), хГо (/0, х0) = х0 — произвольное решение
системы уравнений (28.14). Подставим xt (t0, х0) во вторую из
систем уравнений (28.7):
-37- = А- (/) у + Gj (t, х( (t0, х0)), t хь
(28.15)
А у |/=т. = ВТу + 7 ® (^xf (/0. *<>))•
130
Семейство решений системы (28.15)
Vt (*о. *о) = — J Ф- (t, т) Gi (Ь (/0, х0)) dx —
t
- S Ф- (f,	{хх. (t0, х0)),	(28.16)
\>t	‘
зависящее от t0 и х0 как от параметров, покрывает множество
Го (0! У — и (*» х) — — j Ф- (^ т) Gi С*, хх (*, *)) dx —
t
— s Ф- (t, xt) T? (av (t, x)).	(28.17)
rz>Z	'
Покажем, что множество Го (/) является интегральным и вы-
полняются неравенства (28.11), (28.12). Действительно, если
у0 = и (/0, х0), то, учитывая, что хт (t, х( (t0, х0)) = хг (t0, х0),
имеем
Vt (t0, х0) = и (t, xt (to, х0)) =
= — j Ф_ (t, т) GL (т, хх (/, xt (to, х0))) dx —
t
— S Ф- (t, Xi) ~I?} (Xx (t, Xt (to, Xo))) =
1,>t	1
= j Ф_ (/, t) Gj (t, Xx (to, x0)) dx —
t
- 2 ^-(t,Xi)l?(Xx.(to,Xo)),
ri>t
т. e. у = и (t, xt (t0, x0)) является решением системы уравне-
ний (28.15), Это означает, что множество Го (t) заполнено це-
лыми интегральными кривыми системы уравнений (28.7), а
следовательно, является интегральным множеством этой сис-
темы.
Пусть теперь xt (t0, х'), xto (t0, х') = х' и xt (t0, х"),
xt„ (t0, х") = х" —. произвольные два решения системы урав-
нений (28.14). Разность этих решений xt (t0, х') — xt (t0, х")
допускает при t 10 представление
xt (t0> х') — xt (t0, х") = Ф (t, t0) (х' — х") +
231
4- J Ф+ (t, т) (F (т, xT (t0, х')) — F (т, хт (f0, х"))) dr 4-
^0
+ S ф+ (i> т<) (iP (х\- (to> О) — ~fP (х\ (^о. х"))),
<o<Tz«	1	1
из которого, в силу неравенств (27.6) и (28.8), следует, что
|| xt (t0, х') — xt {t0, x") IK КII x" — x' I) +
t
= j	|| Хт (to, x'} — Xt (t0, X") || dt +
io
+ S /OVe*TH"> || X. (t0, x') - X. (t0, x") ||.
Из последнего неравенства в силу аналога леммы Гронуолла —
Веллмана получаем оценку
|| xt (t0, х') — xt (to, x") || <
^KeKN,t~to) (( +O)iw’,‘,||x' — x"||.	(28.18)
Отсюда, учитывая неравенство (27.2), окончательно имеем
Il xt Со, х') - xt (to, х") II	|| х' - х" ||	(28.19)
для всех t t0, х', х" £ R*, где
^ = 7<(H-W, Т1 =т —/CJV —_9_ln(l +KN).
Предположим теперь, что N настолько мало, что > 0.
Тогда из (28.17) нетрудно вывести неравенство
|| и (t, х') — и (/, х") К ( J	+
+ £ кЛ~т^х1К‘(т;~°\|х' — х"||<
тгх	/
((У+Т1Я (1 \
1	fi	*	' I
Кг+
1 — е о /
Для любых двух решений системы уравнений (28.7), ле-
жащих на интегральном множестве у = и (/, х), справедливы
оценки (28.19) и
ht(^o. Уо) — yt (t0, уо) |К
:232
< j Кё^-^N || (t0, Xo) — Xt (t0, xo) || dr +
f
+ E Ke'^N li xT. (/0, xo) - xT. (/0) xo) || <
ti>t	1	1
/	(v+v.)/(i—\
<	-4— + ----------------- e-^-^ II xi - xS(28.20)
I ? + ?i	_(V+V1)2_ /
\	1 — e 4 '
где y0 = u (/о. *o), у" = «Go. *o).
Отметим также, что система уравнений (28.7) имеет един-
ственное ограниченное при всех t £ R решение (х* (0, у* (t)).
Действительно, на основании теоремы 27.1 уравнения (28.14)
при достаточно малых N имеют единственное ограниченное при
всех t £ R решение х* (0, которое является пределом равно-
мерно сходящейся последовательности функций
хт+1 (0 = J ф+ (/, т) Fj (т, хт (т)) dr +
—оо
+ Е Ф+(/, т/)7(/> (х„, (т()).	(28.21)
х1<*
Система уравнений
-^- = Д_(01/ + С1(/,х*(0),
Дг/ |Г=Т/ = ВТ у + ~1?} (х* (т())
имеет единственное ограниченное при всех t € R решение
У* (0 = — J Ф_ (t, т) Gr (т, х* (т)) dr —
t
— Е Ф- (t, Тт) 7? (х* (т()),	(28.22)
так что (х* (t), у* (/)) — единственное ограниченное при всех
t б R решение уравнений (28.7).
Очевидно, это решение лежит на интегральном множестве
Го {f), так что при всех t 6 R
г/* (0 = и {t, х* (0).	(28.23)
Из неравенств (28.19) и (28.20) следует, что все решения си-
стемы уравнений (28.7), лежащие на множестве rQ> со временем
233
приближаются к решению (х* (/), у* (I)), т. е. для любого ре-
шения (х (0, у (0), удовлетворяющего условию у (/0) = и (?0,
х (t0)), имеем
1	_J-----н 1_
\ Т+Тх	_(V+Vl)±
\	1 — е q

При доказательстве существования интегральных множеств
уравнений (28.3) вначале дополнительно предположим, что
F (t, 0, 0) = G (t, 0, 0) = /р (0, 0) = if (0, 0) = 0. (28.24)
Интегральное множество системы уравнений (28.3)
ищем как предел последовательности множеств Гр’
Г+ = 1йпГр’; Гр’: у = иТ (/, х), т =	(28.25)
т-юо
каждое из которых является интегральным множеством си-
стемы уравнений
-^- = A+(t)x+F(t, х.	х)),
-У- = А- (/) х + G (/, х, u^~l} (t, х)},
Дх |z=x. = Btx + /Р (х, и^~1) (тг, х)),	(28.26)
Ау |<=тг = В?х + /Р (х, м+~1) (xh х)).
Взяв в качестве Гр множество у ss 0, на основании леммы
28.1 определяем множество Гр следующим образом:
у = up (t, х) = — j Ф_ ((t, т) G (т, хр (t, х, 0)) dx —
— 2 Ф- (t, х^ I? (xp (t, x), 0),	(28.27)
где xP (Zo, Xo) — общее решение системы уравнений
= А+ (0 х + F (i, х, 0), t Ф хь
Ах |;=Т/ = Btx + /р (х, 0).	(28.28)
234
Если множества Г(+, Г®, .... Г(+ ° найдены, то на основании
той же леммы 28.1 множество Г+’ определяется так:
у - иф (I, х) =
= — j Ф_ (t, т) G (т, хГ (t, х), и^~1> (т, х?> (t, х))) —
— 2 ф- (t, т<) I(? (X™ {t, x), u(+~l> (Tz, x'7* (t, x))), (28.29)
rz>Z	1	1
где хГ (t0, xo) — общее решение системы уравнений
= А+ (0 х + F (t, х, и%~1) (I, х)), t =£ xt,
\х |,=т. = Bfx 4- Z'-1’ (х, и^~'} (TZ, x)).	(28.30)
Для доказательства сходимости последовательности функ-
ций «+* (t, х) и предельной функции, определяющей интеграль-
ное множество системы уравнений (28.3), установим некоторые
свойства этих функций и хГ (/0, х).
Докажем следующее утверждение.
Лемма 28.2. Для произвольного числа о, 0 < а < у можно
указать такое число No > 0, что при всех 0 < N No функ-
ции и(± (t, х) и хГ} (А)> х) удовлетворяют неравенствам
\\u^(t, x') — u^(t, x")\\^2K2Na\\x' — х"||,	(28.31)
|| x'zm) (t0, х') - хГ {t0, х") || < Кое~а<1-‘°' || х' - х" || (28.32)
'при всех — оо < < оо, m = 0, 1,2, ..., где
к0 =/с (i + O(i + 2kw<,
/ (7+а), \
11	, е к ' I
О — I 4“ .........	' 7" I •
\ т + о1 _(v+a)2_ I
\	1 — е ’ /
Доказательство. Зафиксируем произвольное чис-
ло о, 0 < о < у и выберем No таким образом, чтобы при всех
О < N No одновременно выполнялись неравенства
KN (1 + 2KWa) + ^- In (1 + О (1 + 2№Ка)) < у — а,
(28.33)
(1 + 2Wa) (1+0(1+ 2K2Na))Q 2.
235
Поскольку каждая из функций x(fm) (t0, х0) допускает представ-
ление
4”^0. х0) = Ф+((, t„)x0 +
+ J Ф+ (/, т) F (т, х^ (t0, х0), «!?-” (т, х?' (/0, х0))) dx +
to
+ 2 ф+ G. т<) № (<’ Go. *о), «+~Ь (то <’ (t0, х0))), (28.34)
то на основании неравенств (28.4), (28.6) при т = 1 имеем
|| хР (t0, х') - х|’> (/0, х") II < Ke~w-^ II х' - х" II +
4*	II ' Go’ х'} А'Т ' Go- х ) || 4*
+ 2 Ke-^-^N (II х(>> (/0, X') - х(‘> (/0, х") II).
Отсюда в силу аналога леммы Гронуолла — Веллмана для
функции
IIGo> х') - х(?’ (i0, x")llev(t-to)
получаем оценку
||хР(/0, х')-хр (/0,х")|[^-/’><
(1 + KN)iM || х' _ х" II,
|| хР (/0, х') — х'/1’ (/0, х") || <
< К (1 + KN)q	1| х' — х" ||,
где Д\ =	4--у 1п(1 4-/<W), т. е. неравенство (28.32) при
т = I выполняется.
Согласно соотношению (28.27), для разности получаем
оценку
||4>(/, х') — u^G, х")]|<
< J Key(t~x}N || х^ (/, х') — х? (t, х") || dx 4-
+ 2 Ke^N || х^. G, х') - х'1’ (<, х") К
Т(.>/	‘	1
<№JV(1 +KN)Qa[\x'.— х"||,
234
которая с учетом второго из неравенств (28.33) убеждает нас
в справедливости неравенства (28.31) при т — 1.
Предположим, что неравенства (28.31) и -(28.32) справед-
ливы при т = 1, 2...... k. Тогда при т = k + 1 из (28.34)
для t t0 получаем
II 4*+П (/о, *') - 4+‘ tfo, х") J С || х' - х" || +
+ J Ke-^N (|| хГ” х') - х<*+1> (t0, х') - x'ft+1> (t0, х") || +
+1|	(т, X<ft+” (to, X')) -	(Т, хГ ” (to, х")) II) dx +
+ 2 Ke-^^N (II х<*+1) (to, X') - x<ft+1) (t0, x") II +
+1| 4’ (т6 х?+’> (t0, х")) ИХ К (1 + KN (1 + 2№Л1а))’ х
Xe-(V-^)(/-/o)||x'_ х»||,
где W2 =	(1 + 2K2Na) + In (1 + KN (1 + 2/<Wa)).
С учетом первого из неравенств (28.33) последнее неравен-
ство можно записать в виде
II хр+'> (t0, х') - хГ ’> (t0, х") II < Кое-°(‘-‘°} || X' - х" II,
что убеждает нас в справедливости неравенства (28.32) при
т = k + 1 для всех t t0, а следовательно, и в справедли-
вости его при всех т = 1, 2, ... для t^ t0.
Из соотношения (28.29) при т = k + 1 имеем
Il4+1> (t, х')-4+1,^,х"ж
< j Kew~x}N [|| х?+1> (t, х') — х<"+1> (t, х") || +
t
+ II (Т, Х?+П (/, X')) -	(т, х^+,) (i, X")) ||] +
+ 2 Ke^-^N [|| x'fe+1) (t, x') - X{*+1} (t, xt') II +
i£>f	1	1
+ || u? (xit x^1» (t, x')) - u? (tz, xf+” (t, x)) ||J.
Отсюда с учетом неравенств (28.31) при m = k и (28.32) при
m = k + 1 получаем оценку
|| 4+b (t, x') - 4+b (t, x") ||< NN (1 + 2K2Na) Ko || x' — xf ||,
которая, благодаря второму из неравенств (28.33), приводит
к неравенству (28.31) при т = k + 1, а значит, в силу мате-
237
магической индукции доказывает его справедливость при
всех т = 1, 2.....Лемма доказана.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение,
представляющее также самостоятельный интерес.
Лемма 28.3. Пусть неотрицательная кусочно-непрерывная
при t0 функция и (0 удовлетворяет неравенству
t
и (0 а 4-	би (Т)]	4-
4- S [₽е?*(т<“'0) 4-би (тг)],	(28.35)
где а О, Р 0, уг > 6 >> О, т( — точки разрыва первого
рода функции и (0. Тогда при х£ < x£+i и (t) допускает
оценку
и (0 < а (1 4- 6/ е*~*°} 4- т—Г [ 1 +
+ 0 + 71) £ U + 6/~v~' e-(v>-W-4+i>lev,(t-to). (28.36)
v=o	J
Более того, если моменты т< удовлетворяют условию: можно
указать такие числа / > 0 и натуральное <7, что любой проме-
жуток длины I временной оси содержит не более <7 точек по-
следовательности {60, то можно указать такое 6* <; у1( что
для всех 0 < 6 < 6*
и(0 г^а(1 4- 6)’ е
6+j- ы (1+6>)«-;о)
Р
Yi —6
Доказательство. На промежутке [0, tJ неравен-
ство (28.35) принимает вид
t
и (0 а 4- j [Ре71(т_4- би (т)] dx. (28.38)
Итерируя неравенство (28.38), убеждаемся в том, что при
всех t0 t тт
и (0	4-
Р / J	W1—6)(t—toh e?i(t—<о)
Y1 — 6	>
(28.39)
238
Нели t С 1 Xi, T/+i], i = 1, 2, и
t
и (t) a{ + J [peVi(T—г»»	§u (T)] ^T(
го, итерируя это неравенство, убеждаемся, что при всех
t €1 xlt T(+iJ
и (0 < а/а~т? +	(1 -	(28.40)
Из неравенств (28.35), (28.39), (28.40) методом математической
индукции нетрудно показать, что при любом i = 1, 2, ... и
всех t £ ]т(, т(-+1] справедлива оценка
[i-i ,
и(0 <а(1 + б)'	+ ₽ £ 1 +
\v=0 \
I 1 + 6 (1 _ е-(?1-в)(ч+1-т.у)Л -(V,—t)(f-Tv+1) ,
Vi — 6 '	')	'г
+ - 1 —(1 —	(28.41)
Отметим, что в неравенстве (28.41), как и в неравенствах
(28.39) и (28.40), не обязательно Yi >> б. Они справедливы
для любых б >> 0 и Yi > 0, в частности, при б = Yi из (28.41)
имеем
и (0 < а (1 + ъ)С + Р { S (1 +	[1 +
kv==0
+ (1 + V1) (tv+1 - tv)] + (t - тг)| е^~^.	(28.42)
Если же Yi > б > 0, то, отбрасывая в (28.41) отрицательные
слагаемые, приходим к неравенству (28.36).
Пусть моменты т( удовлетворяют указанному в лемме ус-
ловию, тогда количество точек i (t0, t) последовательности
Xi, принадлежащих отрезку [Zo, И, оценивается следующим
образом!
i(t0,	+
а разность X/ — т( допускает оценку
т< —т,>/(-Ь —1) +y(» —v)
для всех i 1. Поэтому если t g ]т(, т(+1], то
-2- in (l+6Kf-«.)
(1 + б)‘<(1 +б)9е
(28.43)
239
S (i + s/~v-'
v=0
g—(?1—в)«—Tv^.l) <-
.	.	, -<to-6) —
..l-d+j) *--------’	(2844)
—to—6> —
1— (1 + 6) e 4
—(Vi—6> —
Обозначим через б* корень уравнения (1 + б) е 4 = 1.
Из неравенства (28.44) следует, что если б £ 10, б*[, то при
любом натуральном i и при любом t £ ]т;, t(+i)
i-i	-to-ад
S (1 + 6)i-v~1 е~(7,~&w~‘'v+1) < — ------------т-.	(28.45)
v=o	— (?,—6>—
Установленные оценки (28.43) и (28.44) дают возможность из
неравенства (28.36) получить оценку (28.37), справедливую
для всех t t0 при любом 0 < б < б*, что и завершает дока-
зательство леммы.
Следствие. Если в условии леммы моменты т( таковы, что
Ti+1 — Ti > 0
при некотором положительном 0, то при любом 0 < б «< б*,
где 61 — корень уравнения (1 + б) g—(vi—в)в = для всех t t0
справедливо неравенство
,< .	(6+1п (14-6) ) (/—/,)
и(0^а(1б)е' °	>	+
+ —Цг 1 Н---------™ 1	(28.46)
Vi —6 [	1 —(1 4-6)e~to-6)0 J
Лемма 28.4. Для заданного числа 0 < р < 1 существует
такое число № No, что при всех N, 0 < N № функции
и и^ (t, х) удовлетворяют неравенствам
II хГ (to, х) - хГ-1’ (to, X) II < 2Кр"-1е-°«-^ II х II, (28.47)
|| иф (t0, х) — u^~l) (t, х) || < 2рт-'К2Уа И х||	(28.48)
при любых t~^ t0 и х £Rk.
Доказательство. При т = 1 имеем
II«+ (t, х) — и® (t, х) || ||	(t, х) || ZK^Na || х ||,
к^о, x)-x?(t0, хЖк^о, хЖ^о^'^ЦхВ,
240
т. е. при т — 1 неравенства (28.35), (28.36) выполняются.
Предположим теперь, что
IIхГ (t0, х) - Xr~i} (t0, X) II <	II хII, (28.49)
|| иф (t, х) -	(t, х) || С «„,-11| х ||,	(28.50)
Lo — Ko, a0 = 2K2Na.
Тогда имеем
II хГ+1) (/о, х) - хГ (t0, х)||< J	[(1 +
+ 2K2Na) || хГ+1) (t0, х) - хГ (t0, х) || +
+ am_! || хГ (t0, х) || ] dx + S	N [(1 +
+ 2K2Na) || x<7+1) (t0, x) - x<7} (t0, x) || + am || x™ (t0, x) [.
Таким образом, функция v (t) —	|[ xjrn+1) (t0, x) — x™ (t0, x)|
удовлетворяет неравенству
t
v (t) J [KN (1 + 2K2Na) v (x) +
io
+ KNa^Ko^-™-^ || x||] dx +
+ 2 Ю(1 + 2K*Na) v (xt) +	j x pL
т. e. неравенству вида (28.35).
Поэтому в силу утверждения предыдущей леммы имеем
II х?+'} (t0, х) - хГ’ (to, х) || pte- a<‘-z°’ || х||,
где
Р =	6 = 0(1+ 2K2Na),
Таким образом, предполагая справедливым неравенство
(28.50), для функции X/m+1) (t0, х) — хГ’ (t0, х) получаем
оценку вида
II хГ+” (to, х) - хГ} (t0, х) || С KLme-°{t-^ || х || (28.51)
16 «—286S
241
с константой
Lm = NKobam^i.	(28.52)
Оценим теперь разность «<т+1>(/, х)—	х). Имеем
||u?+1)(f, x)-u^(t, x)K
J Ke/(t~x}N [ II 4m+1) (t, x) — x™ (t, x) II +
+ || uf (t, xT” (t, x)) - «Г’> (t, x™ {t, x)) fl] dx +
+	N{\\x^\t, x)-x^\t, x)|| +
xt>t
+ |K(tZ) x$”+1)(f, x))-^"’^ ^}(t, *))lll<
J Ke^-^N 1(1 + 2K*Na) || x?"+1) (t, x) - x^ (t, x) || +
+ V-m— 11| Д ' (^, X) || +
- + X KeW-T^[(l +2№^a);|x'm+1>(/, x)-x^(t, x)|| +
4>t
+ rJ-m—11| X^ (t, X) Ц].
Отсюда с учетом оценок (28.32) и (28.51) получаем неравенство
||u(p+1) (t, х) - иТ (t, х)К[К(1 + 2№Л^а)ат +
+ ^am_i] а || х||,
т. е. неравенство вида
|И+Ч x)-«W х)Кат||х|| (28.53)
с постоянной а,п, равной
ат = KN [К (1 + 2K2Na) Lm + Ko»™-!] а =
= KNK0 [1 + K2N (1 + 2№Мг) ft] аат_1. (28.54)
Выберем число № No так, чтобы при всех N, 0 < N №,
выполнялось неравенство
Л77<7<0 [1 +№iV(l + 2K2Na)b]as^p.	(28.55)
Тогда из предыдущего неравенства следует, что
ат pm«o = 2K2Napm	(28.56)
и
ат < 2^0^2^2a&p"l-1 =С 2рт. .
242
Поэтому из оценок (28.51) и (28.53) на основании метода мате-
матической индукции следует справедливость неравенств
(28.47) и (28.48). Лемма доказана.
Установленные выше неравенства (28.47) и (28.48) гаран-
тируют сходимость последовательностей функций х*™ (^о> х)
и и'”” (t, х), причем последовательность (хГ1 (^>> *)} сходится
равномерно при оо на множестве: — оо < /0 < t < оо,
||х||^г, а последовательность функций {«}"”(/, х)} равно-
мерно сходится при всех t £ R и || х || г, где г — произ-
вольное положительное число. Положим
xt (t0, х) = lim хГ (t0, х), и+ (t, х) = lim (t, х).
Будучи пределом равномерно сходящейся последовательности
кусочно-непрерывных функций, функция «+ (/, х) является
кусочно-непрерывной с разрывами первого рода в точках
последовательности |т(). Поскольку допредельные функции
(/, х) и хГ} (t0, х) удовлетворяют неравенствам (28.31)
и (28.32) соответственно, то для предельных функций и G, х)
и xf (t0, х) справедливы такие же неравенства, т. е.
|| и+ (t, х') - и+ (t, х") || 2K2Na || х' — х" ||,	(28.57)
|| xt (t0, х') - xr (t0, х") ||	|| х' - х" II, t > /0,	(28.58)
для всех х', х" £ R*.
В силу непрерывности функций G (t, х, у), F (t, х, у),
/г” (х, у), /<2) (х, у), и (/, х) по х, у в равенствах (28.29) и (28.34)
переходим к пределу при оо. Убеждаемся, что функции
xt (to> х0) и ut (t, х) удовлетворяют соотношениям
Xf (^0> Хо) — Ф-|- (t, tq) Xq
t
+ J Ф+ (t, т) F (т, Xt (t0, x0), и+(т, Xt(t0, x0)))dT +
h
+ S Ф+(^ Fi} (xx (t0, x0), u+(xt, Xt (t0, x0)),	(28.59)
1 1
00
u+ (t, x) = — £ Ф- (t, t) G (t, Xt (t, x), u+ (T, Xt (t, X))) —
t
— X ф-(^, xi)1® (Xtt{t, x), u+(xh Xt^t, x))). (28.60)
Покажем, что множество Г+: у = «+ (t, х) является интеграль-
ным множеством системы уравнений (28.3). Для этого доста-
16'
243
точно показать, что (хг (t0, х0), «+ (t, xt (t0, х0)) является ре-
шением системы уравнений (28.3). Обозначим через
х (0 = xt (/0, х0), у (I) = и+ (/, х, (t0, х0)).
С учетом этих обозначений, дифференцируя при t Ф т<
соотношение (28.59), имеем
-g- = X+(()x + F(f, х, у),
а при t = xi
х (т,- + 0) — х (т;) = Bfx (xt) + I? (x (т;), У bi)).
Заменяя в соотношении (28.60) х на xt (t0, х0) и учитывая
равенство хт (/, xt (t0, х0)) = хт (t0, х0), видим, что функция
у (/) = и (t, xt (t0, х0)) удовлетворяет соотношению
оо
(0 = — J Ф- ((, т) G (х, х (т), у (т)) dx —
t
— X Ф-& т<) Л2,(х(тг), у (Xi)).
Ь>{
Дифференцируя это равенство по t, (#= тг, получаем,
= A_(t)y + G(t, х, у),
а при t — xi
у (Т; + 0) — у (Xi) — ВТУ (Xi) + /Г (х (Тг), У bi)).
Таким образом, (хг (t0, х0), и± (t, xt (t0, х0))) — решение си-
стемы уравнений (28.3) для любых t0 £ R, х £ R*. значит,
функция у = «+ (t, х) определяет интегральное множество
этой системы уравнений ГЦ..
На интегральном множестве Г+ система уравнений (28.3)
сводится к такой:
-дт- = /Ц (Л х -j- F (t, х, ил. (t, х)), t #= тг,
м	(28.61)
Дх |г=Хг = Btx + /|”(х, н+(т£, х)).
Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 2,8.1. Пусть для системы уравнений (28.3), ли-
нейная часть которой является гиперболической, выполня-
ются неравенства (28.4), (28.5) и соотношения (26.2)
и (28.24). Тогда можно указать такое положительное число
№, что при всех 0 <С П Ни система уравнений (28.3) име-
ет интегральное множество Г4.: у = и± (t, х), где и^ (t, х) —
кусочно-непрерывная по t с разрывами первого рода при t =
244
s= Tt функция, удовлетворяющая неравенству (28.57). На ин-
тегральном множестве Г+ система уравнений (28.3) сводится
к уравнениям (28.61).
Исследуем поведение решений уравнений (28.3) на инте-
гральном множестве Г_|_.
Для решений xt (t0, х), лежащих на интегральном множе-
стве Г-н выполняется неравенство (28.58). Из этого неравенства
следует, что для любого х0 £ R* решение xt (t0, х0) на инте-
гральном множестве стремится со временем к началу координат,
подчиняясь экспоненциальной оценке
М». хо)ККо^('-Ч*о1|.	(28.62)
• Аналогично доказательству существования интегрального
множества Г4-: у = и± (/, х) уравнений (28.3) доказывается
существование у этих же уравнений интегрального множества
Г_: х = и- (t, у). Его можно найти как предел последователь-
ности множеств
Г'"» = lim Г^; Г™: х = и™ (t, у), m = О, 1, ....
т-*°о
каждое из которых является интегральным множеством си-
стемы уравнений
-^ = A+(t)x + F(t,u^-l>(t,y),y),
t =7^= Tf,
-f- = A_(0«/ + G(Z, иЧГ^, у), у),
,	(28.63)
•,	Ах к=т. = В/х 4- /'/’ (и{- ° (т,, у), у),
*	&у |/=т. = ВТу + Л2’ (и--0 (ть у), у).
Множество Г™ определяется формулой
Г™ : х = и™ (t, у) =
« J Ф+(Г, т)Г(т, и('п"1’(т, y^(t, т)) y™(t, y)))dx +
—00
+ 2 Ф+(/, <<)/?(«ГЧ y™(t, у)), y™(t, у))),	(28.64)
tz<r	1	1
где у[т) (/0, Уо) — общее решение системы уравнений
= А_ (0 у + G (t, и^ (t, у), у), t #= xt,
It	(28.65)
^у	= ВТу + 1Т («2Г1* (х(, у), у).
245
При достаточно малых значениях постоянной Липшица У
последовательности функций у(т| (^о. Уо). (А У) равномер-
но сходятся и предельная функция w_ (t, у) = lim (t, у)
т-ьоо
определяет интегральное множество ГГ: х = и- (t, у) уравне-
ний (28.3).
Для функций и- (t, у) и yt (t0, у) = lim уГ’ (^о, у) справед-
/-♦оо
ливы неравенства
II«_ (t, у') - и_ (t, у") II с 2№Ха II у' - у" II,	(28.66)
II У, (t0, у') - yt (t0, у") || Кое^ || у' - у" ||	(28.67)
и соотношения
yt(t0, У0) = Ф-(*, МУо +
t
+ У ф- (t, т) G (т, U- (т, ут (t0, у0)), ут (t0, у0))) dx 4-
/о
+ 2 Ф- (*» tj) f? {и- (хс, у. (to, у о)), Ут, (to, Уо)),
t
u_(t,y) = J Ф+(/, х) F(x, u—(x, y%(t, у)), yx(t, y))dx +
—oo
+ S Ф+0. Xi)I(i} (u_(xit y-r (t, y)), yx(t, y)).
b<‘	1
На интегральном множестве Г2 система уравнений (28.3)
эквивалентна таким уравнениям с импульсным воздействием:
= A- (t) у + G (t, и- (t, у), у), t #= xt,
(28.68)
Ду |/=t( = Bi у + Л2’ («_ (х(, у), у).
Для каждого решения yf (t0, у0) этих уравнений справедлива
оценка
\\yt(ta, УоЖ^-г»’|1Уо11.	yo€R"-*.	(28.69)
Таким образом, можно сформулировать следующее утверж-
дение.
Теорема 28.2. Пусть функции, определяющие систему
уравнений (28.3), линейная часть которой является гипербо-
лической, удовлетворяют неравенствам (28.4) и соотношениям
(28.24) и пусть существует конечный предел (26.2). Тогда
можно указать такое положительное число №, что при всех
246
О N № система уравнений (28.3) имеет интегральное
множество Г?: х = и_ (/, у), где и- (t, у) — кусочно-непрерыв-
ная по t с разрывами первого рода при t = х, функция, удовле-
творяющая неравенству (28.66). На интегральном множестве
Г™ система уравнений (28.3) сводится к уравнениям (28.68),
решения которых при t /0 удовлетворяют неравенству
(28.69).
Рассмотрим общий случай уравнений (28.3), т. е. предпо-
ложим, что функции F (t, х, у), G (t, х, у), Л11 (х, у) и /® (х, у)
не аннулируются в начале координат. Однако будем предпо-
лагать, что эти функции ограничены при х = у = 0, т. е. для
них справедливо неравенство (28.5). В этом случае также суще-
ствуют интегральные множества ГЛ и Г~ системы уравнений
(28.3).
Теорема 28.3. Пусть система уравнений (28.3), линейная
часть которой является гиперболической, такая, что выпол-
няются неравенства (28.4), (28.5) и соотношение (26.2).
Для достаточно малых значений постоянной Липшица N
существуют интегральные множества
Г+ : у = «+ (/, х) и Г_ : х = u_ (t, у),
где и± (t, х) и и_ (t, х) — кусочно-непрерывные по t с разрыва-
ми первого рода при t = т, соответственно (п — k)- и k-мер-
ные функции, удовлетворяющие неравенствам
|| и+ (t, 0) И Мо, || «_ (/, 0) II Мо,	(28.70)
|] и+ (t, х') — и+ (t, х") || 0W || х' — х" ||,	(28.71)
.	||ц_(/, y') — u_(t, y")\\^N\\y'~y"\\,	(28.72)
где Мо, Р — некоторые положительные постоянные.
Для любого решения (х, (t0, х0), и+ (/, xt (t0, х0))), располо-
женного на множестве Гф, и любого решения (и_ (t, у, (t0; у0))',
yt (^о> Уо)), расположенного на множестве ГЗ, справедливы
оценки
II xt (t0, х0) — х* (t) || +1| и+ (t, xt (t0, x0)) — у* (t) ||
<	[ Ц Xo _ x* (t0) || +1| u+ (t0, x0) - y* (t0) || ],
ц	to,
-	\\u_(t, yt(to, yo))~x*(t)\\ + \\yt(to, Уо)-У*(ПК (28.73)
К*е<К-Щ [ [| u_ (to, Уо) - X* (to) II + II Уо - у* (to) II1,
t^to,	......
еде К*, 0 < о < у, а = a (N) — положительные постоянные,
а (х* (t), у* (t)) — ограниченное на всей оси решение ‘уравне-
ний (28.3). ,	.
247
Доказательство. В силу теоремы 27.1 при доста-
точно малых значениях постоянной Липшица N система урав-
нений (28.3) имеет единственное ограниченное на всей оси ре-
шение х = х* (t), у — у* (7).
Сделаем замену переменных в уравнениях (28.3)
х = Т) + х* (7), у = £ + у* (7).	(28.74)
В результате система уравнений (28.3) преобразуется в сле-
дующую:
-^- = л+(0т| + Л(/, п, О,
-f- = А_ m + Gx (i, Т1, £), t ф тг, (28.75)
Дт| |<=т. = Д+т| + 7?» (т|, £), AC = B~t + V (т|, О,
где
7\ (7, П, □ = F У, П + х* (7), £ + у* (7)) — F (7, x*\t), у* (0),
G. (7, П Л) = с (7, П + х* (7), I + У* (П) - G (t, х* (7), у* (7)),
7® (т]Л) = Л” (т| + х* (тг), £ + У* (тг)) — Л0 (** (Tt)> У* (т<))»
I? (т|. £) = 7® (П + х* (х{), I + У* (xi)) — I? (х* (xi), у* (x()),
причем
Fi 0. 0) = Gi (t, 0, 0) = 7f ’ (0, 0) =	(0, 0) = 0
и функции Fi (t, t], 0, Gi (t, n, £), 7?’ (т), О, 1? (т|> С) удов-
летворяют неравенствам вида (28.4) с той же постоянной Лип-
шица N. На основании тесрем 28.2 и 28.3 заключаем, что при
достаточно малых значениях N система уравнений (28.75)
обладает интегральными поверхностями Гф (t, т|) и
Г^: т) — и_ (t, £) со следующими свойствами:
ц+ (t, 0) = 0, Й_ (t, 0) = 0,
|| u+ (i, п') - а+ (t, П") II	РЛ71| if - rf II. (28.76)
||«_(7, И-й-(7, Г) к те'-а
где постоянная 0 определяется только линейной частью урав-
нений (28.75).
Любое решение (т] (t), £ (/)) уравнений (28.75) с начальными
данными (t0, т]0, ^0), связанными равенством £0 — u+ (t0, т]0),
удовлетворяют неравенству
h(7)|H-K(OK^-a('-,’,[K(7o)|l + h(7o)ll]. t>tQ, (28.77)
248
а для любого решения (т| (О, С (0). начальные данные которого
связаны соотношением г]0 = «_ (t0, £0), неравенство
IIП (О II + К (0II	III £ «о) 11 + И (<о) II ] (28.78)
выполняется при t t0.
Положим
и+ (/, х) = у* (/) +	(/, х — х* (/)),
и- (t, у) = х* (0 + w_ (t, у —у* (0).
Учитывая замену переменных (28.74) и соотношения (28.5),
(28.76) — (28.78), убеждаемся, что функции (t, х) и х =
= и- (/, у) удовлетворяют условиям теоремы и для решения
уравнений (28.3), расположенных на интегральных множест-
вах Г+! у = и± (t, х) и Г_: х — и.— (t, у), справедливы оценки
(28.73).
В заключение этого параграфа докажем, что функции
и+ (t, х) и и_ (t, у), определяющие интегральные множества
Г-|- и Г_, являются Т-периодическими по t, если система урав-
нений (28.3) Т-периодическая, т. е. векторные функции
F (t, х, у), G (t, х, у) и матричные функции А+ (t) и А- (/)
Т-периодические и выполняются равенства
= вг+р=вг,
(х, у) = /?’ (х, у), Л2|р (х, у) - I? (х, у), (28.79)
1i+p = 1У + Т
для некоторого натурального числа р.
Установим Т-периодичность функции и+ (t, х). Для этого
достаточно доказать, что функции (t, х) Т-периодические
по t, ибо последовательность {и™ (t, х)} сходится к и+ (t, х)
равномерно при tn -> оо.
При tn = 1 решение хР’ (4- х0) Т-периодической системы
уравнений (28.28) удовлетворяет тождеству х^т (t0 + Т,
*о) — (to> хо)> поэтому из (28.27) для функции «(1) (t, х)
имеем
оо
u(1)(Z + T, х) = — J Ф_(Г-|-Т, т)С(т, хр’^ + Т, х), 0)dx —
t+т
— S ф_(/ + т, т,)/^(хР!а + Т, х), 0) =
\><+т	1
00
= -$Ф_(/ + Т, T-J-T)G(T-f-T, х^г(^ + Т, х), O)dx —
249
- I Ф_ (t + T, Т/ + Т) 1?+р (х'%7- (t + Т, х), 0) =
i/>i	1
оо
= — j Ф- (^, t)G(t, Хт’ (t, х), 0))dr —
t
- s Ф- */)(x. (t, x), 0) =	(t, x),
t. e. функция «+ (t, x) — Т-периодическая no t. Предполо-
жим, что T-периодическими no t являются также функции
(t, х), ..., «+-1’ (t, х). Тогда система уравнений (28.30)
является Т-периодической и для решения x’m) (t0, х0) этой сис-
темы справедливо тождество xt+т (t0 + Т, х0) = х?”' (t0, х0).
Учитывая это тождество, соотношения (28.79) и равенства
Ф_ (/ + Т, т + Т) = Ф_ (t, т), непосредственно убеждаем-
ся в Т-периодичности функции «+’ (t, х), используя представ-
ление (28.29). На основании принципа математической индук-
ции заключаем, что все функции (/, х), tn = 1, 2, ... Т-
периодические по t, а значит, таковой является и предельная
функция «+ (G х). Аналогично устанавливается Т-периодич-
ность функции «_ (/, у).
§ 29. Интегральные множества одного класса
разрывных динамических систем
В предыдущих параграфах изучался вопрос существования
интегральных множеств систем дифференциальных уравнений,
подверженных импульсному воздействию в фиксированные
моменты времени. Исследуем вопрос существования интеграль-
ных множеств одного класса линейных и слабо нелинейных
систем дифференциальных уравнений, подвергающихся
импульсному воздействию в момент попадания изображающей
точки в заданные множества фазового пространства.
Рассмотрим систему уравнений
=	= л(ф)х + /(ф)> фёг,
л ।	1, Ч	(29.1)
Дх|феГ = /(ф),
В которой X = (х1( Х2, ..., Х„), ф = (фх, ф2, ..., Ф„г), СО = (colt
со2, ..., сот) — вектор с положительными компонентами; f (ф)
и / (ф) — непрерывные (кусочно-непрерывные с разрывами
первого рода на множестве Г) функции, 2л-периодические по
250
каждой компоненте ф/, / = 1, т\ А (ф)— непрерывная 2л-
периодическая по каждой компоненте <р, квадратная матрица.
Точку ср = (фт, ф„г) будем интерпретировать как точку
m-мерного тора Г"1, так что областью определения функций
А (ф), / (ф) и / (ф) будет тор Г™. Относительно множества Г
предполагаем, что оно является подмножеством тора Гт и пред-
ставляет собой многообразие размерности т — 1, которое
можно определить уравнением Ф (ф) = 0, где Ф (ф) — ска-
лярная функция переменной ф, непрерывная и 2л-периоди-
ческая по ф.
Обозначим через t = ti (ф) решения уравнения
Ф(ф + со/) = 0.	(29.2)
Пусть функция Ф (ф) такая, что уравнение (29.2) имеет реше-
ния t = ti (ф), так как в противном случае система уравнений
(29.1) не подвергалась бы импульсному воздействию и превра-
тилась в обычную динамическую систему.
Лемма 28.1. Для любого решения t = tL (ф) уравнения (29.2)
справедливо равенство
(ф — со/) — ti (ф) = t	(29.3)
для всех ф £ Гт, t £ R.
Доказательство. Если t{ (ф) — решение уравне-
ния (29.2), то при всех ф £ Г"1 имеем Ф (ф + со/,- (ф)) = 0.
При любом t Е R точка ф — со/ принадлежит Г"1. Поэтому,
заменяя ф на ф — со/, имеем Ф (ф — со/ + co/f (ф — со/)) = 0.
Отсюда следует, что при некотором / и всех ф £ Гт, / Е R
/Дф — со/) — / = /Дф).	(29.4)
При / = 0 из (29.4) при любом ф Е Гт имеем tL (ф) = tt (ф),
следовательно, i — j, что и доказывает лемму.
Пусть G (/, т, ф), G (г, т, ф) = Е — фундаментальная мат-
рица системы уравнений
= А (Ф + со/) х.	(29.5)
Непосредственно убеждаемся, что G (/, т, ф) удовлетворяет
равенствам
G (/, т, ф + 2л) = G (/, т, ф),
G (/, t + т, ф — со/) = G (0, т, ф),	(29ф6)
для всех /, т Е R и ф Е Гт.
251
Пусть матрица G (/, т, <р) и функции k (<р) таковы, что функ-
ции
t
xt (ф) = У G (t, т, ф) f (ф + сот) dx +
—оо
+ S G (t, ti (ф), ф) / (ф +	(ф)),	(29.7)
cz«p)<c
зависящие от ф как от параметра, определены при всех
t £ R и равномерно ограничены. Достаточные условия схо-
димости интеграла и суммы из (29.7) приведены ниже.
Положим xt (ф) = и (ф + со/) и заменим в (29.7) ф на ф —
— со/. Тогда с учетом (29.3) и (29.6) получим
t
и (ф) = j G (/, т, ф — со/) f (ф + со (т — /)) dx -f-
—оо
+ Е G (/, ti (ф — со/), ф — со/) / (ф 4- со (ti (ф — со/) — /)) =
^(Ф—at)<t
О
— § G (0, т, ф) / (ф 4- сот) dx 4-
<=-00
4- S G (О, U (ф), ф) I (ф 4- со/, (Ф)).	(29.8)
/,(ф)<0
В предположении, что интеграл и сумма в (29.7) равномерно
сходящиеся, получаем, что функция и (ф) определяет инва-
риантное множество системы уравнений (29.1):
х = и (ф), и (ф 4- 2л) = и (ф).	(29.9)
Действительно, непосредственной проверкой убеждаемся, что
xt (ф) = и (ф 4- со/) при / =# ti (ф), т. е. при ф 4- со/, (ф) £ Г,
удовлетворяет уравнению
/У v
= А (ф 4- со/) х 4- f (ф 4- со/),
а при / = tt (ф) — условию скачка
Лх = и (ф 4- со (ti 4- 0)) — и (ф 4- со (^ — 0)) = I (ф 4- со/г (ф)),
т. е. (xt (ф), ф + со/) — решение исходных уравнений (29.1).
Отметим, что для сходимости интеграла и суммы из (29.7)
достаточно, чтобы функция G (/, т, ф) удовлетворяла неравен-
ству
\\G(t, т, ф)|^КНМ	(29.10)
252
1ля всех t, т £ R, t т, q> £ Гт при некоторых положитель-
ных К и 7, а решения уравнения (29.2) 4 (<р) были такими, что
ti+i (<р) — ti (ф) > 0 > 0	(29.11)
1ля всех i G Z, ф g Гт и некоторого 0 > 0.
. При указанных условиях из (29.7) имеем
кЛФ)11<4-тахИ(ф)||+ , тахи/(ф)и <29-12)
V ФёГт	1-е” Фегт
1ля всех t £ R и ф £ Г"1. Поэтому можно сформулировать
следующее утверждение.
Теорема 29.1. Пусть в системе уравнений (29.1) 2л-перио-
Зические функции f (ф) и I (ф) непрерывны на Г"1 (кусочно-не-
грерывные с разрывами первого рода при Ф Е Г); А (ф) — не-
грерывная на Гт 2л-периодическая матрица.
Если матрица G (/, т, ф) удовлетворяет оценке (29.10),
2 функции tt (ф) — неравенству (29.11), то система уравнений
(29.1) имеет асимптотически устойчивое инвариантное мно-
жество
х = и (ф), и (ф -f- 2л) = и (ф),
где и (ф) — кусочно-непрерывная с разрывами первого рода на
множестве Г функция. При этом можно указать такую по-
стоянную С, не зависящую от функций f (ф) и I (ф), что
|| и (ф) || < С max {max || ffo) ||, max || Z (ф) ||}.	(29.13)
фёГ"1	фёГот
В условиях теоремы инвариантное множество х = и (ф)
определяется функцией и (ф) из соотношения (29.8). Оценка
(29.13) следует из (29.12), если положить
Асимптотическая устойчивость инвариантного множества
следует из того, что в силу неравенства (29.9) любое решение
(х = xt (х0), ф/ = фо + со/) исходного уравнения притяги-
вается к решению {и (ф0 + со/), ф0 + со/), лежащему на инва-
риантном множестве.
Укажем случай, когда матрица G (/, т, ф) и корни уравне-
ния (29.2) удовлетворяют соответственно неравенствам (29.10)
и (29.11). Обозначим через А (ф) наибольшее из собственных
чисел симметрической матрицы А* (ф) =-у (А (ф) + А' (ф)),
где А' (ф) — транспонированная по отношению А (ф) матрица.
Согласно неравенству Важевского для любого решения х (/)
253
системы уравнений
-^- = Л(Ф+®Пх
справедливо неравенство
~ t
§ Л(<р-|-а><т)йа
|jx(0Kex к(т)[|,
||х|12 = <*> х>.
Поэтому, если существует
/+г
lim ~ f Л (<р + coo) do — к
7->оо ' Г
(29.14)
(29.15)
(29.16)
равномерно относительно t £ R и X < 0, то матрица G (/, т, ф)
удовлетворяет неравенству (29.10).
Если компоненты вектора со рационально независимы, т. е.
равенство (k, со) = 0, где k = (klt ..., km) — вектор с цело-
численными компонентами, возможно лишь для нулевого век-
тора k, то траектории уравнения ф = со на торе Гт равномер-
но распределены и временное среднее от функции Л (ф) рав-
но пространственному среднему. Таким образом, если
2л 2л
—1— J ... J Л(ф) . d<pm <0,	(29.17)
(2«)m о о
то матрица G (J, т, ф) удовлетворяет неравенству (29.10).
Предположим, что функция Ф (ф), определяющая множест-
во Г, имеет вид Ф (ф) = Фо «а, ф>), где Фо (s) 2л-периоди-
ческая по s функция с конечным числом р нулей в периоде,
а — (аи ..., czm) — вектор с целочисленными неотрицатель-
ными компонентами. Покажем, что при таком предположении
решения уравнения (29.2) удовлетворяют условию (29.11).
Действительно, пусть s1( ..., sp — корни уравнения Фо (s) =
= 0, принадлежащие промежутку [0, 2л]. Каждому корню
S/ соответствует семейство решений уравнения (29.2)
,	— (а, <р) 4- s, 4- 2/гл
----	С29.18>
Понятно, что множество решений (ф)}, k £ Z, / = 1, р,
можно занумеровать одним индексом так, чтобы (ф) -> оо при
i -> -ф оо и ti (ф) -> — оо при i -> — оо, при этом будут выпол-
254
няться равенства
ОтГ
^+р(ф)-?Дф) =
*»)	(29.19)
ti+] (Ф)-МФ) =
для всех i £ Z, <р £ Гот и некоторого / = 1, р. Из (29.19) сле-
дует, что ti+i (ф) — tt (ф)	0 > 0, если в качестве 0 взять
Укажем достаточные условия существования интегральных
множеств слабо нелинейной системы дифференциальных урав-
нений с импульсным воздействием
= ®»	= Л(ф)х + /(ф, х), фёг,
at	ai	(29.20)
Дх|Фег = Цф, х).
Здесь матрица А (ф) и множество Г такие же, как и в системе
(29.1), а функции f (ф, х) и / (ф, х) определены для всех ф £
£ Гт, x£Rn, непрерывные (кусочно-непрерывные с разры-
вами первого рода на множестве Г), 2л-периодическне по ф
и удовлетворяют условию Липшица по х равномерно относи-
тельно ф £ Гт:
Шф, х')-Нф, х")|| + ||/(ф, х')-/(Ф, х")КУ||х'-х"||
(29.21)
для всех х', х” £ Rn.
Справедливо следующее утверждение.
Теорема 29.2. Если матрица G (I, т, ф) удовлетворяет не-
равенству (29.10), а решения tt (ф) уравнения (29.2) такие,
что выполняется неравенство (29.11), то при достаточно ма-
лой постоянной Липшица N система уравнений (29.20) имеет
асимптотически устойчивое инвариантное множество
х = и((р), ц(ф + 2л) = ы(ф),
где и (ф) — кусочно-непрерывная с разрывами первого рода при
ф Е Г функция и
|<j>,(4»er = / (ф/ (ф). и (ф, (ф;)) |ф/(ф)ег, Ф/ (ф) = Ф + «>/. (29.22)
Доказательство. Как и в § 28, интегральное мно-
жество системы уравнений (29.20) ищем как предел последо-
вательности множеств ЭД,/г): х = u(k) (ф), ф £ Г"1,
А=1, 2........ ц°(Ф) = 0,	(29.23)
255
каждое из которых есть интегральное множество системы урав-
нений
=	-$- = Л(ф)х + ^(Ф, ^-*>(ф)). Фёг,
d	(29.24)
Дх |фег = / (ф,	(ф))-
В силу теоремы 29.1 при каждом k — 1, 2, ... система уравне-
ний (29.24) имеет интегральное множество
о
х = н(А) (ф) = J G (0, т, ф) f (ф + от, н№-1) (ф + сот)) dx 4-
+ X G(0, ф) / (ф + со/( (ф), (ф + ой (ф))). (29.25)
С;(ф)<0
Из (29.25) с учетом неравенств (29.10), (29.11), (29.13), (29.21)
в предположении, что постоянная Липшица настолько малая,
что 2NC < 1, имеем
II «(1> (ф) |1о max || ц<!> (ср) || < 2С max {|| f (ф, 0) (|0, || I (ф, 0) ||0),
фСГт
II	(ф) Ио < И «<*> (ф) - «<’> (ф) ||о + II «(1) (Ф) Но < (29.26)
<-1^с-И(1)((₽)11о<2-т^ж тахШ(ф, О)Цо,||/(Ф, 0)у.
Кроме того,
|| «№+!> (ф) _ иЮ (ф)цо 2NCИ «<*> (Ф) -	(ф) ||0.	(29.27)
Оценки (29.26) и (29.27) при 2NC < 1 обеспечивают рав-
номерную сходимость последовательности функций u(ft) (ф).
Пусть
и (ф) = lim (ф).	(29.28)
k-^OO
В силу равномерной сходимости последовательности u{k} (ф)
предельная функция и (ф) — 2л-периодическая, кусочно-глад-
кая с разрывами первого рода на множестве Г.
Переходя в равенстве (29.25) к пределу при k -> оо, убеж-
даемся, что функция и (ф) удовлетворяет равенству
о
и (ф) = j G (0, т, ф) f (ф + сот, и (ф + сот)) dx 4-
— ОО
+ S G (0, ti (ф), ф) I (ф 4- со/i (ф), и (ф 4- coii (ф))).	(29.29)
256
Отсюда нетрудно заметить, что при <р( (<р) Е Г, т. е. при
=# k (<р), х (t) = и (<р, (ф)) удовлетворяют уравнению
~ = А (ф + at) х + f (ф + at, х),
i при ф,(ф) £ Г, т. е. при t = tt (ф),— условию
х (t + 0) — х (/ — 0) = I (ф, (ф), х (/)).
Гаким образом, (х (/), ф, (ф)) — решение системы уравнений
29.20). Это говорит о том, что х = и (ф) определяет инвариант-
юе множество системы уравнений (29.20).
Для завершения доказательства теоремы остается показать
юимптотическую устойчивость инвариантного множества.
Пусть (у (/), ф + со/) — произвольное решение уравне-
шй (29.20), а (х (/), ф + со/) — решение этих уравнений, ле-
кащее на интегральном множестве. Поскольку
Ч (t) — х (/) = у (t) — и (ф + со/) = G (/, 0, ф) (у (0) — и (ф)) +
t
f- j G (/, Т, ф) [f (ф + сот, у (т)) — f (ф + СОТ, и (ф + ит))] с/т +
о
+ S G (/, /г (ф), ф) [I (ф + со/г (ф), у (ti (ф))) —
0</(.«р)</
— / (ф + со/г (ф), и (ф + со/; (ф)))],
го в силу неравенств (29.10) и (29.21) имеем
\\y(t) — u(fp + со/) \\^Ке^‘\\у(0) — и(ф)|| +
i
+ /CV J e-vtc-T) || у (т) — и (ф + сот) |] с/т 4-
0
+ KN S	II у & (ф)) - и (ф + со/г (ф)) ||.
0«((ф)<С
Отсюда в силу леммы 2.1 для функции || у (/) — и (ф + и/) Ц
справедлива оценка
|| у (/) - и (Ф + со/) || е* < К (1 + KN)™ екм || у (0) - и (Ф) ||,
(29.30)
где i (/) обозначает количество точек ti (ф) на промежутке
Ю, /[.
Из неравенства (29.30), учитывая (29.11), получаем
||С/(/) —н(ф 4-со/)||^/Се ^~KN « ln(1+/GV))/ х h(0) — н(ф)||,
т. е. || у (/) — и (ф + со/) || -> 0 при / -> оо, при достаточно
малой постоянной Липшица N.
17 «—2865
257
ГЛАВА 6	'№t'-
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ
С ИМПУЛЬСНЫМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ
§ 30. Постановка задачи.
Вспомогательные утверждения
В последующих параграфах настоящей главы центральный
результат теории оптимального управления — принцип мак-
симума Понтрягина [50] распространяется на задачи оптималь-
ного управления системами дифференциальных уравнений с
импульсным воздействием. Необходимые условия оптималь-
ности управляющего воздействия получены для задач управле-
ния системами дифференциальных уравнений, подверженных
импульсному воздействию как в фиксированные моменты вре-
мени, так и в случае достижения фазовой точкой заданной ги-
перповерхности фазового пространства. Основные результаты
этой главы содержатся в работах [4—6].
Рассмотрим задачу оптимального управления системой
дифференциальных уравнений, подверженной импульсному
воздействию в момент попадания фазовой точки х (/) на за-
данную гладкую гиперповерхность фазового пространства.
Пусть в фазовом пространстве М s R" задана гладкая ги-
перповерхность S, уравнение которой s (х) = 0. Для управляе-
мой системы дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием
=	и), x£S,
Axkes = w)
(30.1)
рассматривается следующая задача оптимального управления:
среди всех допустимых управляющих воздействий {и (/),
wlt .... wn(T)}, переводящих систему из состояния х° в состоя-
ние х1 на некотором промежутке времени [7V, T'L найти такое,
при котором функционал
Л'(Г)
9 = J fo (х (s), и (s)) ds + S g0 (x (тг), Wi) (30.2)
f	Z=1
принимает наименьшее значение. Здесь т;, i = 1, N (Т),—
моменты достижения фазовой точкой х (t) гиперповерх-
ности разрыва, т. е. корни уравнения s (х (/)) = 0, принадле-
жащие промежутку ]7ф, Т[, N (Т) — число таких корней.
Отметим, что момент времени Т не фиксирован, а определяется
258
йз условия попадания фазовой точки х (fj в точку х\ т. е.
х (Г) - хх.
Векторы и (иг, и„), Wi == (t^i. .... wir) — являются
управляющими воздействиями и принимают значения в мно-
жествах U cz Rm и W cz R' соответственно. Причем U —
произвольное множество из R"1, a W — произвольное выпуклое
множество из Rr. Допустимыми управляющими функциями
и (0 считаются кусочно-непрерывные функции, определенные
на промежутке управления [То, Т] со значениями в множестве
U. Предполагается, что функции и (0 непрерывны слева в
точках разрыва и непрерывны в концах интервала управления.
Для определенности решение системы (30.1) предполагает-
ся непрерывным слева в точках разрыва. Поэтому в конечный
момент времени t = Т импульсному воздействию система не
подвергается, даже если фазовая точка находится на гиперпо-
верхности разрыва.
Относительно функций, определяющих управляемую си-
стему (30.1), и функционала (30.2) предполагается следующее:
а)	компоненты вектора f (х, и) и матрицы ~ (х, и) опре-
делены и непрерывны на прямом произведении М X U;
б)	компоненты вектора g (х, w) и функция g0 (х, w) опре-
делены и непрерывно дифференцируемы на множестве М х
X W и имеют ограниченные вторые производные по обеим
переменным;
в)	отображение х -> х + g (х, w) при каждом фиксиро-
ванном w Q W взаимно однозначно;
г)	функция s (х) — непрерывно дифференцируема и имеет
ограниченные вторые производные;
д)	в моменты достижения фазовой траекторией поверхности
разрыва при любых значениях управляющих параметров вы-
полнены условия
(grad s (х (0), f (х (/), и (0))	#= 0,
(grad s (g-1 (х (0, wi), f (х (0, и (/))) |Z=T/ =А 0, i = 1, N (Т),
где g~1 (х, к>) — отображение, обратное отображению х -> х 4-
+ g (х, w).
Следуя [50], добавим к фазовым координатам хп ..., хп
еще одну координату х0 и ее изменение со временем для изу-
чаемого процесса определим согласно уравнениям
^- = /0(х,ц), x£S,
Дх0 |xes = go (х, w).
17*
259
Обозначив через X вектор X = (х0, х1( .... хп), исходную за-
дачу можно сформулировать так. В (п + 1)-мерном фазовом
пространстве задана цилиндрическая поверхность s (X) =
= s(x) = 0 и прямая П, параллельная оси Хо и проходящая
через точку X' — (0, х'). Управляемый процесс описывается
системой дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием
~ = F (X, и), х £ S,	(30.3)
AX |xes = G (X, w),
F — (Fo, Flt ..., Fra) = (f0, f), G = (Go, Gb ..., Gn) = (g0, g).
Среди всех управляющих воздействий {и (t), wx, ..., им^т)},
переводящих точку Х° = (0, х°) на прямую П, найти такое,
для которого точка пересечения с прямой П имеет наименьшую
координату Хо. В дальнейшем будем использовать именно та-
кую формулировку исходной задачи оптимального управления.
Из [50] известно, какую важную роль при выводе необхо-
димых условий оптимальности в форме принципа максимума
Понтрягина играет система уравнений в вариациях. Введем
аналогичную систему, соответствующую решению уравнений
(30.3). Пусть {и (/), Wj, ..., wn(T)} — допустимое управляющее
воздействие, переводящее точку Хо на прямую П, а X (I) =
= (Хо (t), Xi (/).. Хп (/)) — соответствующее этому управ-
ляющему воздействию решение системы уравнений (30.3).
Для указанного решения X (/) систему уравнений в вариа-
циях можно определить как одну из следующих двух систем
с импульсным воздействием:
или
dz _ dF(X(f), u(t))
И-----------дх------г’
Az |/=х. == Aiz,
dz _ dF(X(f), u(f))
dt ~ dX
t=^=x{,
Az |^x. = Biz.
(30.4)
(30.5)
Здесь тг — решения уравнения s (X (/)) = 0, принадлежащие
отрезку ]Т0> 7\[, а матрицы Ai и В, определяются следующим
образом:
л	, ni dGa(x(^<wi)
+ (grad s (X (rj), F (X (tJ, и (т,Д	U (T<')) —
260
- (е + (X (т£), F (X (т{). и (т())]а -^- (X (т£)), _
,	,	, dG~l (X (т,-), ш,) .
Е + Bi = {^Г1, Ьа₽ =	“ щ  +
(grads(G—1 (Х(т£), ш,)), F(X(t{), и (т£)) {
dG—’ (X (т£), w{) C,/V/ ч , ds(G~' (XHJ.w)
~~ dX E(X(Ti), и (т£))|а
(а, 0 = 0, 1..n, i = 1, 2.....N(T)),
где {( • )} означает компоненту с индексом а вектора ( • ),
a G~' (X, к») — отображение, обратное к отображению
X^X + G(X, w).
Отметим, что системы (30.4) и (30.5) эквивалентны. В этом
можно убедиться, доказав, например, что
(Е 4- Л£) (Е 4- В{)~' = (Е 4- Bi)~' (Е + Л£) = Е.
Предположим, что точки Х° и X' не лежат на цилиндри-
ческой поверхности разрыва и пусть Y (/) — решение уравне-
ний (30.3) с начальным условием Y (То) = Х° 4- е/г 4- о (е),
соответствующее управляющему воздействию {и (t), wlt ...
.... Wn(d}, где и (t) отличается от и (t) лишь на интервалах
Aft длины порядка е, примыкающих к точкам т£, i — 1, N (Т).
Теорема 30.1. Для любого т] > 0 существует такое е0 > 0,
что при всех 0 < е0 и	таких, что | t — т£ | >
> т|, выполняется соотношение
Y(t)=X (t) 4- eZ (0 4- О (в, t),	(30.6)
где Z (t) — решение системы дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием (30.4), удовлетворяющее условию
Z (То) = h.
Доказательство. Предположим, что решение Y (t)
первый раз попадает на поверхность разрыва в момент тх 4-
4- Ах, где Aj > 0.
Утверждение теоремы на отрезке [То, Ojl — это известный
факт теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Предположим, что утверждение теоремы справедливо на отрез-
ке [То, т(] и пусть решение Y (t) попадает на поверхность раз-
рыва в момент т£ 4- Аг, А£ 0. Тогда
y(T£) = X(T£)4-eZ(r£)4-o(8), У(т£ + А£) = У(т£)4-
4- А;Е (Y (т£), и (т())4- о (А£) = X (т£) 4- eZ(t£) 4-
261
4- btF (X ft), и (т<)) + о (e) + о (Ai);
о = s (У (т( 4- At)) = 8 (grad s (X (Ti)), Z (т,)) 4-
4- Ai (grad s (X (Ti)), F (X (Ti), и (Tt))> 4- о (б)
с точностью до величин порядка о (е) имеем
Л -	(grads(X(Tf)), Z(T<))
‘	8 (grad s (X (т{)), F (X (т(), и (т,))) ’
У (Tf 4" Ai 4" °) — ¥ (Ti 4" Ai) 4- G (У (Ti 4" Ai), wi) =
,	/ dG (X (т,и>,)) \
= X (Ti 4- 0) 4- 8 (£ 4- — д/-~ ) z (Ti) 4-
/ dG (X (t,), o>,) \
4- (5 4-	 --- ) F (X (Tf), и (Ti)) Ai 4- о (8).
Поскольку
X (тг 4- Ai) = X (тг 4- o) 4- F (X (Ti 4- о), и (Ti 4- o)) Xt 4- о (Ai),
то с учетом (30.7) получим
У (xi 4- Ai 4* о) = X (^ 4- Ai) 4- s (e 4- (X (Ti), wi) Z (Ti) 4-
4- (- F (Х(тг), и (Ti)) 4- (e 4- (X (Ti), wi)j F (X (т,), и (т,)) Ai 4-
4~ о (e) = X (тг 4- Ai) 4- 8 (E 4- Ai) Z (Ti) 4~ ° (e) =
= X (^ 4~ Ai) 4" gZ (Ti 4" o) 4“ о (s).
Уменьшая, если необходимо, 8, можно добиться, чтобы выпол-
нялось неравенство Д( < т). Таким образом, утверждение тео-
ремы будет справедливым на отрезке [То> Ti+J. Для заверше-
ния доказательства остается добавить, что если для некоторо-
го момента t = тг Дг < 0, то вместо системы (30.4) нужно
использовать систему (30.5).
Доказанная теорема дает основания называть систему
уравнений (30.4) уравнениями в вариациях.
Запишем сопряженную систему, соответствующую урав-
нениям (30.4)
_	(dF(X(f), u(t)) \т
~dt------дХ )
т । г	(30.8)
Ati^-a^T1-^ Ч-
Напомним (§ 10), что если г (0 и "ф (/) — соответственно реше-
ния систем (30.4) и (35.8), то скалярное произведение (<]) (0>
г (0> постоянно на всем отрезке [То, Т1.
262
Линейная система уравнений (30.4) позволяет каждому
ектору h. = z (То) поставить в соответствие семейство векто-
ов h( = 2 (/).
Линейное невырожденное преобразование, осуществляющее
то соответствие при каждом t £ [То, Т], обозначим через
h,r0- То, что скалярное произведение решений взаимно
спряженных систем постоянно, можно записать так:
<Ф (0, Ai.tJi) — const
(30.9)
ля любого решения системы уравнений (30.8) и любого век-
ора h£Rn+l.
Выберем на промежутке ]Т0, Т] произвольные точки 0Х
02 ^ ... ^ 0S, являющиеся точками непрерывности управ-
гяющей функции и (t) и такие, что для некоторого т) > 0
тг— 0/1 >т| для всех / = 1, s и i = 1, Af (Т). Выберем
1роизвольные неотрицательные чила 6/1( ..., 8ts, произволь-
нее число 6/ и произвольные векторы ух, у2, ..., vs из области
V. Определим зависящие от е полуинтервалы /V = {/:9V +
4* eIv < t 0V 4- е (/v 4- 6^v), где
6t — (6/v 4- ... 4- 6Q, если 0v = T,
— (8tv 4- ... 4- 8ts),	если 0V — 0S < T,
— (8tv 4- ... 4- 6/;),	если 0V = 0v+i = ...
••• = 0,<0Ж, j < s.
При достаточно малом e полуинтервалы Jlt /2, ..., Is попарно
не пересекаются с интервалами Ji — {£: | t — т( | < ц}. Счи-
тая, что е удовлетворяет этим условиям, определим управляю-
щую функцию
и* (0 =
vv, если МгЦ,
и (t), если v = 1, s,
которую будем называть варьированной. Здесь
и (т; — о), если Ti < t Ti 4- Ai,
и (t) на оставшейся части отрезка [То, Т].
Определим вариации управлений Wj. Произвольный вектор
8wj Rr назовем ^-допустимым в точке W/, если существует
такое число s0 > 0, что wt 4- sSte»/ С W при всех s таких, что
О s s0. Совокупность ^-допустимых векторов образует
конус в пространстве Rr.
Управление wt = Wj 4- ебну,- называется варьированным.
Уменьшая по необходимости е, можно добиться, чтобы Wj С
263
€ W. Варьированным управляющим воздействием называет-
ся управляющее воздействие {и* (t), wir	Если
точка х1 не лежит на поверхности разрыва, то при достаточно
малом е решение Y (I), соответствующее управляющему воз-
действию {и* (t), w[, . аУл?(Т)}	и исходящее в момент t =
= То из точки Х°, определено на всем отрезке [То, Т 4- е64,
на котором определена управляющая функция и* (t). Решение
У (t) назовем варьированным. Для этого решения справедли-
во представление
У (Т + еб/) = X (Г) + еДХ + о (е),	(30.10)
где
ДХ = F (X (Г), и (Т)) 8t 4- £ Xr.6v (F (X (6V), vv) -
- F (X (0v), и (0V))) 8tv 4- E ^г.т(.+о (- - 8wi). (30.11)
Следует отметить, что эти формулы имеют место лишь при до-
статочно малом е.
Вектор ДХ не зависит от е, но он существенно зависит от
выбора величин 0V, vv, 8tv, 8wj, 8t. Обозначим через а сово-
купность этих величин в указанном порядке a = (0V, vv,
8tv, 8wj, б/}, а соответствующий этим величинам вектор ДХ
через ДХа. Вследствие того, что некоторые 8tv могут равняться
нулю, можно считать, что все 0V и vv одинаковы И взяты оди-
наковое число раз для любого символа а. Определим линейную
комбинацию символов
a' = (0v, vv, 8tv, 8wj, 8t'} и a" = {0V, vv, St’v, 8Wj, 6/"}
следующим образом
XqOc7 4“ 'hrfX' === {0v, Vv, K^8ty 4~	4-
4- K^Wj, Ц6/' 4- МП-
Очевидно, что символу a = Xxa' 4- M0* ПРИ 0, А.2	0
соответствует вектор ДХа = ^ДХ^- 4- ^2ДХа--. Отсюда сле-
дует, что множество векторов ДХа, соответствующих различ-
ным символам а, образуют выпуклый конус с вершиной в
точке X (Т). Этот конус обозначим через и назовем конусом
достижимости.
Лемма 30.1. Пусть X (t), То t Т,— траектория, со-
ответствующая управляющему воздействию {и (О,	..., WN(n}
и выходящая из точки Х°, а у — некоторая линия, исходящая
из точки X (Т) и имеющая в точке X (Т) касательный луч Lt.
264
Если этот луч принадлежит выпуклости конуса dir, то су-
ществует управляющее воздействие {и* (t), Wi, Wn[T)} та-
кое, что соответствующая ему траектория X* (t), исходящая
из точки Х°, проходит через некоторую отличную от X (Т)
точку линии у.
Из этой леммы непосредственно вытекает следующее ут-
верждение.
Лемма 30.2. Если управляющее воздействие {и (t), wlt ...
wn(T)} и соответствующая ему траектория X (I), То
t Т оптимальны, то луч Lt , исходящий из точки X (Т)
и идущий в направлении отрицательной полуоси Хо, не принад-
лежит внутренности конуса достижимости.
Действительно, в качестве линии у в предыдущей лемме
возьмем луч Lt. Если луч Lt принадлежит внутренности ко-
нуса ЗСт, то существует такое управляющее воздействие
{и* (/), ш’, Юмл}, что при некотором т' ХС (О = Xv (Т),
v = 1, п, Хо СО •< Хо (Т). Последнее соотношение противо-
речит оптимальности управляющего воздействия. Лемма до-
казана.
§ 31.	Необходимые условия оптимальности
Введем в рассмотрение следующие вспомогательные
функции:
Н (ф (/), X (/), и (/)) = (F (X (0, и (0), ф (0>,
М (t) = sup Я (ф (t), X (t), v),
veu
!Ki (Ф (ti + 0), X (Ti), w) = (grad (x + G (X CO, w)),
Ф(Т;4-0)>, 1=1, N (T).
Теорема 31.1. Для того чтобы управляющее воздействие
{u(t), wt, ..., и соответствующая ему траектория
X ((), То t Т, были решением задачи оптимального управ-
ления (30.1), (30.2), необходимо существование такого ненуле-
вого решения систем уравнений (30.8), что:
а)	во всех точках отрезка [То, 7’1, кроме, может быть, точки
t = То, выполнено условие максимума
Н (ф(0, X (0, и (()) = М (0;
б)	в конечный момент времени t = Т
ф0(Т)<0, М(Т) = 0;
: в) производные функций (w), i = 1, N (Т), по всем воз-
можным относительно множества W направлениям в точках
Wi неположительны.
265
Доказательство. Предположим, что конечная
точка х1 не лежит на поверхности разрыва и пусть (u(t),
wv .... Wn(t)} — оптимальное управляющее воздействие, а
X (f), То < Т — соответствующая ему оптимальная траек-
тория. Тогда в силу леммы 31.2 луч Lt не принадлежит внут-
ренности конуса достижимости т. е. существует гиперплос-
кость, их разделяющая и проходящая через точку X (Т).
Обозначим вектор нормали этой гиперплоскости через с =
= (с0, сх.с„). Можно считать, что луч Ьт лежит в неотри-
цательном полупространстве этой гиперплоскости, а конус
в неположительном. Пусть ф (/) = (ф0 (t), “Ф1 (0» •••> ’Рп (0)
решение уравнений (30.8) с начальным условием ф (Т) = с.
Так как с #= 0, то гр (0, Тп t	Т,— нетривиальное реше-
ние и, кроме того, ф0 (Т) ^0 и
(ф (Т), ЬХ) 0	(31.1)
для любого вектора ДХ из конуса достижимости 5£т. Полагая
в (30.11) bt = 0, s = 1,	= 1, 6/2 = ... = 6/s = 0, би»! =
= ... = bWN(T) = 0, получим
<Ф (Т), Aw, (F (х (0Х), vx) - F (X (Т1), и (тх))> 0.
В силу леммы 30.1 имеем
<Ф (Т1), F (X (0J, vx)> < (ф (0Х), F (X (0J, и (0Л))
для любой точки 01 из промежутка [7"0, Т], являющейся одно-
временно точкой непрерывности управляющей функции и (t)
и траектории X (t).
Пусть при t — 0 разрывна хотя бы одна из функций и (/)
или X (/). Поскольку в силу сделанных предположений таких
точек конечное число, то слева от 0 существует последователь-
ность точек {0/J/Li, которые есть точками непрерывности как
функции и (£), так и X (t) и lim0y = 0. Так как Н (ф, х, и) —
непрерывная функция своих аргументов, а функции ф (/),
X (t) и и (t) непрерывны слева при t = 0, то из выполнения
условия максимума в точках последовательности {0/}
' Я(ф(0/),Х(0/),и(0/))=М(0/)
следует выполнение условия максимума и при t = 0, т. е.
Я(ф(0), X (0), u(0)) = Af(0).
Таким образом, утверждение а) теоремы доказано.
Полагая в (30.11)	= bt2 — ... = bts — 0, 6^ = 6te»2 =
= ... = &wn(T) = 0 и учитывая (31.1), получим
<ф(Т),Г(Х(Т),и(Т))>6/<0.
266
Поскольку при t = Т выполнено условие максимума, а Ы мо-
жет принимать значения разных знаков, получим второе соот-
ношение пункта б) теоремы.
Полагая в (30.11) Ы =	— ... = 6ts = 0, bw2 = ... =
= bwN(D = 0 с учетом (31.1), имеем
В силу леммы 30.1
/^(Т/Ч-О), dG(X^'w^ tot\<0.
Поскольку
/_ \ dG (х <т1). и>1)	\ = /дЖг ОРСЧ+О), Х(*1). и>1)	\
V' 1'» dw	\	дш	’	1/г ’
а бк»1 — произвольное допустимое направление относительно
множества W, то утверждение пункта в) теоремы доказано для
момента времени t — тх. Аналогично проводиться доказатель-
ство и для t = тг, I = 2, ..., N (T).
Пусть конечная точка X' лежит на поверхности разрыва,
т. е. s (X') = s (X (Г)) = 0, а управляющее воздействие
{и (/), wlt ..., W(T>) и соответствующая ему траектория X (/),
То t Т являются оптимальными. При достаточно малом
<г > 0 точка X2 = X (Т — т) не лежит на поверхности разрыва.
Рассмотрим задачу оптимального управления (30.1), (30.2)
для начального положения х° и конечного положения х2.
Управляющее воздействие {и (t), teij, ..., Wn(T>} и траектория
X (/), рассматриваемые на промежутке [То, Т — т], являются
оптимальными в силу принципа оптимальности. Поэтому су-
ществует ненулевая функция фх (t), T0^t^T — т, удов-
летворяющая теореме 30.1 на промежутке [То, Т — т]. Про-
должим это решение на отрезок [То, ТТ Не ограничивая общ-
ности рассуждений, можно считать, что || фх (То) Ц — 1. За-
фиксируем сходящуюся к нулю последовательность {0/}
положительных чисел. В силу компактности единичной сферы
конечномерного пространства из последовательности {0,}
можно выделить такую подпоследовательность {0V}, что
соответствующая последовательность {ipev (T0)}“=i будет схо-
дящейся. Пусть ф° = lim ipev (То). Решение системы (30.8)
V-+oo
с начальным условием ф (То) = i|>° и будет тем решением,
существование которого утверждает теорема 31.1. Теорема
доказана.
Из этой теоремы следует, что функция ф0 (t) постоянна на
всем отрезке [Tq, Т]. Действительно, учитывая, что F (X (/),
267
и (0) не зависит от Хо (t), и анализируя структуру матриц
А(, i = 1, М (Т), можно заметить, что 'фо (0 удовлетворяет
дифференциальному уравнению с импульсным воздействием
-^==0, Дфо|/=Т. = О,
т. е. ф0 (0 = const при всех t б 1Т0, Т].
Лемма 31.1. Если абсолютно непрерывная функция ф (/)
почти всюду на некотором промежутке I удовлетворяет урав-
нениям
dt \ дХ ) Р
и соотношению
Н (ф (0, X (0, и (0) = М (t),
то функция М (t) постоянна на всем промежутке I.
ИзтеремыЗЫ следует также, что функция М (f) постоян-
на на всем промежутке [То, Т].
Действительно, постоянство функции М (I) на промежутке
между моментами импульсного воздействия следует из преды-
дущей леммы. Поскольку при t — т£.
lim Н (ф (/), X (/), и (/)) = Н (ф (Т;), X (т<), и (т,)) =
= (Ф (Ti)> F fri)> « fr<))> = МГф + 0), F (X (Т(), и (tc)) =
= <Ф (Tf 4- 0), AiF (X (ti), и (ti))) = (ф (t{ 4- 0), F (X (tf 4- 0),
и (ti 4- 0)) — lim H (ф (t), X (t), и (t)),
то функция M (t) непрерывна при t — t{ и, следовательно,
постоянная на всем отрезке [То, Т]. Таким образом, условия
пункта б) теоремы 31.1 можно проверять при любом значении
t£[T0, Т].
Укажем некоторые обобщения основной задачи оптималь-
ного управления, рассмотренной выше, на задачи с подвижны-
ми концами, закрепленным временем и неавтономные системы.
Методика получения подобных обобщений изложена во многих
монографиях, посвященных оптимальному управлению [12;
15; 50], и без существенных затруднений может быть перенесе-
на на рассмотренную задачу оптимального управления систе-
мой дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.
Пусть So и Sx — гладкие многообразия произвольных,
но меньших, чем п, размерностей г0 и гх, фазового пространст-
ва М ci Rn. Предположим, что гиперповерхность разрыва
268
и многообразия So и <$х попарно не пересекаются. В отличие
от рассмотренной выше основной задачи оптимального управ-
ления будем считать, что начальное положение х0 не фикси-
ровано, но принадлежит многообразию 50. Аналогично конеч-
ное положение х' принадлежит многообразию 5Х.
В такой постановке задача оптимального управления назы-
вается задачей оптимального управления с подвижными кон-
цами. Аналогом теоремы 3 [50, с. 59] на случай систем с им-
пульсным воздействием является следующее утверждение.
Теорема 31.2. Для того чтобы управляющее воздействие
{u(t), wlt .... wn(t>} и соответствующая ему траектория
X (/), То sC t sC Т, были решением задачи оптимального уп-
равления (30.1), (30.2) с подвижными концами, необходимо
существование ненулевого решения ф (t) систем дифферен-
циальных уравнений (30.8), удовлетворяющего условиям тео-
ремы (31.1) и условиям трансверсальности в обоих концах,
т. е. если Ро и Рг — касательные плоскости к многообразиям
So и S1( проведенные соответственно в точках х° £ 30 и х' £
£ Sx, то вектор ф (То) — (фх (То), ..., фп (То)) ортогонален
плоскости Ро, а вектор ф (Т) — (фх (Т), ..., ф„ (Т)) ортого-
нален плоскости Рх.
Если в основной задаче оптимального управления конеч-
ный момент времени t = Т является фиксированным, то полу-
чим задачу оптимального управления с закрепленным време-
нем. Решение этой задачи можно получить из доказанной тео-
ремы, если к уравнениям (30.1) добавить еще одно уравнение
^+‘ =1, х £ S, Ax„+i |х€$ = 0, .
•Kn-H (То) =То-
Полученную таким образом задачу оптимального управления
в (га + 1)-мерном пространстве можно рассматривать как за-
дачу оптимального управления с незакрепленным временем,
так как в конечную точку (х', Т) можно попасть только в мо-
мент времени t — Т. Поэтому на основании теоремы 31.1
в данном случае можно сформулировать следующее утверж-
дение.
Теорема 31.3. Для того чтобы управляющее воздействие
{и (t), wlt ..., wn(T)} и соответствующая ему траектория
X (О, То t Т были решением задачи оптимального управ-
ления (30.1), (30.2) с закрепленным временем, необходимо
существование ненулевого решения ф (/) = (ф0 (f), ..., фп (/)}
системы (30.8), где ф0 (t) — неположительная постоянная
функция такая, что:
269
а)	во всех точках промежутка [То, Т1, кроме, быть может,
точки t = То, выполнено условие максимума
Н (ф (/), X (t), и (/)) = М (/);
б)	производные функций (w), i = 1, N (T) no всем воз-
можным относительно множества W направлениям в точках
Wi неположительны.
Тот же прием введения дополнительной координаты xn+i (t)
с упехом применяется и для решения задач оптимального уп-
равления в неавтономном случае, т. е. в случае, когда система
уравнений (30.1) имеет вид
-^- = f(x,u,t), s(f,x)^0,
л ।	,	(31-2)
Ах |s(/.a>=o = g (х, w, t) |S(ziX)=o,
а функционал (30.2) записан в виде
I	N(T)
& =\ fo(x(s),u (s), s)ds + S go (x(T/), w{).	(31.3)
To
§ 32. Случай фиксированных моментов
импульсного управления
В этом параграфе рассмотрим управляемую систему диф-
ференциальных уравнений, подверженную импульсному воз-
действию в фиксированные моменты времени
= f (t, х, и), t =# Xt,
Л I	<	\	(32.1)
Ax |/=Tf = gi (x, w{).
Система рассматривается на промежутке [Уо, Т], {т,} — конеч-
ное множество точек этого промежутка, причем
7*о=== т0	Tg	taz т^-|.| == 7*р
Для системы (32.1) рассмотрим следующую задачу опти-
мального управления: среди всех возможных управляющих
воздействий {и (/), wlt ..., w}, переводящих систему из по-
ложения х° в положение х1, на закрепленном промежутке
[То, Т\] найти такое, для которого функционал
I	м
3 — j f0(s, x(s), U(s))ds+ S gi (X (ti, wt) (32.2)
t0	i=1
принимает наименьшее значение.
270
i Эту задачу можно свести к задаче оптимального управле-
ния (30.1), (30.2), однако если при решении этой задачи при-
менять непосредственно конструкцию принципа максимума
Понтрягина, то нетрудно заметить, что класс допустимых
управляющих функций и (/) можно существенно расширить,
считая, что и (/) — ограниченные измеримые на [То, 7\] функ-
ции, принимающие значения из множества U a Rm.
Рассмотрим случай, когда функции f (/, х, и) и /0 (/, х, и)
явно от времени не зависят, т. е. рассмотрим задачу опти-
мального управления (32.1), (32.2) в предположении, что си-
стема (32.1) имеет вид
-^-=/(х, ы),
Л 1	,	(32.3)
Ах |,=т< = gt (х, wt),
а функционал (32.2) записан в виде
I	N
я = J fo(x(s), U(s))ds+ S g°{ (x(ri), w{),	(32.4)
To	Z==1
и будем считать, что конечный момент времени t = 7\ не фик-
сирован.
Как и в предыдущем параграфе, введем переменную х0 (t),
удовлетворяющую дифференциальному уравнению с импульс-
ным воздействием
= /0 (х, u), t Ф х{,
Ах0 |<=т< = g°{ (х, w{)
и получим в (п + 1)-мерном пространстве системы дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием
-^L = F(X,«), t^Xi,
AX|feT. = G<(X, wi),	(32,5)
где
X = (X0,X1, .... X„) = (x0,x), F = (F0,F1, .... Fn) = (f0,f),
Gc = (G?, Gi...................G?) = (gl gi).
Пусть wlt .... uN}—допустимое управление и X (t) —
соответствующая ему траектория. Введем в рассмотрение
следующие функции:
Н (ф, X, и) = (F (X, и), ф),
271
.......M(f) = supH x(t), v),
v£U
ffli (4>, X, w) = <1, X + Gt (X, w)),
где функция ф (j) = (ф0 (/), фх (j), ..., фп (/)) является ре-
шением системы дифференциальных уравнений с импульсным
воздействием
= — grad* Н (ф, X (t), и (0),
Ф (т< — 0) = grad* % (ф (т( + 0), X (it — 0), w{), i = 1, N.
(32.6)
Теорема 32.1. Если управляющее воздействие [и (t), wlt ...
..., wN] и соответствующая ему траектория X (/), То t «С
Тх являются решением задач оптимального управления
(32.3) — (32.4), то обязательно существует ненулевое ре-
шение системы уравнений (32.6), удовлетворяющее условиям:
а)	почти всюду на отрезке [То, 7\] выполнено условие мак-
симума
/7(Ф(0, Х(0,«(0)=Л4(0;
б)	в конечный момент времени t — Тг
фо(7\)<0, М(7\) = 0;
в)	производные функций (w), i = 1, N no всем возможным
относительно множества W направлениям в точках w{ непо-
ложительны.
Доказательства теоремы мы не приводим, ибо она является
аналогом теоремы 8 из работы [50]. Возвращаясь к задаче оп-
тимального управления (32.1), (32.2), введем дополнительную
переменную (t) как решение краевой задачи
= 1, Хп+1 (Го) = Го, х„+1 (Г1) = Tl.
Момент T-l можно считать нефиксированным, так как в по-
ложение (/, Т}) можно попасть только при t = Тг. Таким
образом, задача (32.1), (32.2) сведена к задаче (32.3), (32.4).
Вводя вспомогательные функции
Н (ф, х, и, I) = {F (/, х, и), ф),
7И (/) = sup Н (ф (/), х (0, v, 1),
ve.u
(ф, х, w) = (ф, х + Gt (х, ф)),
272
где а]) (0 — решение системы дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием,
4т- = — grad* Н (ф, х (/), и (i), 0> t #= т*>
_______________________________________________ (32.7)
ф(тг — 0) = gradx (ф(т4 + 0), x(Ti), wt), i = 1, N.
На основании предыдущей теоремы можем сформулировать
следующее утверждение.
Теорема 32.2. Если управляющее воздействие {и (/), wlt ...
ц>дг} и соответствующая ему траектория X (Z), То t
Тг являются решением задачи оптимального управления
(32.1), (32.2), то обязательно существует ненулевое реше-
ние ф (/) = (ф0 (t), ..., фп (/)) системы уравнений (32.7) та-
кое, что;
а)	Фо (0 — постоянная неположительная функция на про-
межутке 1Т0, TJ;
б)	почти всюду на промежутке [То, 7\] выполнено условие
максимума
//(ф (/), X (/), и (/), =
в)	производные функций (w), i = 1, N, no всем возмож-
ным относительно множества W направлениям в точках
wt неположительны.
Предположим, что система уравнений (32.1) является ли-
нейной
= A (t) х + В (t) и, х{,
____	(32.8)
Ex[f—t. = Ccx + DiWt, i = I, N,
а функционал (32.2) представим в виде
Л	N
Я =\(f0 (s, X (s)) + b0 (s, и (s))) ds + S (g°i (x) + h°i (wij), (32.9)
To	i=1
где g°i (x), h°i (w), i = 1, N — выпуклые функционалы, a
f0 (t, x), b0 (t, u) — выпуклые функции при фиксированной
переменной t.
В силу линейности системы уравнений (32.8) при заданном
управляющем воздействии и (t), w±, ..., w| ее любое решение
определено на всем промежутке [Тд, TJ.
Обозначим через ФС (7\) — множество конусов траекторий
системы уравнений (32.8), начинающихся при t — То в точке
при всевозможных управляющих воздействиях То t
18 6-2865
273
Тг, {и (f), Wi .... u)w},h и назовем это множество множеством
достижимости.
Теорема 32.3. Есль oi ограничивающие множества
и W с Rr — компактно и выпуклые, то множество до-
стижимости di (Л) компактно и выпукло.
Доказательство тео^мкмы содержится в [50].
Теорема 32.4. Пусг^ ’ ограничивающие множества (/с: Rm
и W cz R' компактные изьвыпуклые. Для того чтобы управляющее
воздействие {и (0,	...,<•» wn] переводило фазовую точку из
положения х° в некотор!"**0 граничную точку множества дости-
жимости (Tj), неозх&одимо и достаточно существование
ненулевого решения ф (') 1 — Oi’i (0> •••» фп (0) системы урав-
нений
АТ t=£xc,	(32.10)
dt
Д-ф |/=т, == — Ст (СГ + Е) 1 тр,
удовлетворяющего усло^ям:
а)	почти всюду на лрромежутке [То, 7\] выполнено условие
максимума
(ф (/), В (t)u t (0) = max (ф (0, В (t) v),
б)	в точках t — x£,i — Ь N, выполнено условие максимума
(ф (Т/ _j_ 0), Рг^> = max (Ф (тг + 0), Dtv).
Доказанная теорема определяет необходимые и достаточ-
ные условия того, что кхонец траектории х (Тг) лежит на гра-
нице множества дости}КкИМОСТИ’ Однако в общем случае управ-
ляющее воздействие, переводящее фазовую точку из положе-
ния в некоторую точжу границы множества достижимости,
не является единственн-шм.
Предположим, что • ограничивающее множество U — вы-
пуклый компактный многогранник, матрицы А (0 и В (0
непрерывно дифференИ^РУ™131 на отрезке [То, 7\] соответст-
венно п — 2 и п — 1 рааз. Определим матрицы
(0 = В (о, Bt = — A (t) ВН1 (0 +	, j = 2^п.
274
Будем говорить, что в момент t £ [То* Л1 выполнено условие
общности положения, если для любого ребра и многогранни-
ка U векторы (/) и......Вп (/)со линейно независимы в R".
Теорема 32.5. Если ограничивающее множество U — вы-
пуклый многогранник из Rm, W — строго выпуклое компакт-
ное множество из Rr, в каждый момент времени t С (Го, ЛЬ
не являющийся моментом импульсного воздействия, выполнено
условие общности положения, rang Dz = п, i = 1, N, то в
каждую граничную точку множества достижимости можно
перевести систему с помощью единственного управляющего
воздействия.
Приведем две теоремы существования оптимального управ-
ляющего воздействия без доказательства.
Теорема 32.6. Пусть в задаче оптимального управления
(32.8), (32.9) ограничивающие множества U, W — компакт-
ные и выпуклые, а конечное состояние х (7\) принадлежит замк-
нутому множеству G cz Rr. Если существует хотя бы одно
допустимое управляющее воздействие, переводящее фазовую
точку из положения х0 в конечное положение х (7\) £ G, то
существует и оптимальное управляющее воздействие.
§ 33.	Необходимые и достаточные условия оптимальности
Рассмотрим задачу оптимального управления (30.1), (30.2)
в предположении, что система уравнений (30.1) представлена
в виде
-^-z=A(t)x + b(t, и), t=£r{,
____	(33.1)
Ax|/=rz = Ctx + DiWlt i=l, N,
a функционал (30.1) допускает представление
A	N
& = j (fo (s> x (s)) + b0 (s, и (s))) ds + S (g° (x (Tf)) + h°t
To	Z=l
(33.2)
где f0 (t, x) — выпуклая функция при каждом фиксированном
t, a g? (х),	(w), i — 1, N,— выпуклые функционалы.
Теорема 33.1. Для того чтобы управляющее воздействие
[и (f), шг, ..., о»#} и соответствующая ему траектория X (t),
То t «С Л, были решением задачи оптимального управления
(33.1), (33.2) с начальным состоянием х? и конечным состоя-
нием х (Tj), принадлежащим замкнутому выпуклому множест-
18*	'	275
ву G cz Rr, достаточно существование такого ненулевого
решения ip (/) = (ip0 (f), ip, (/), ..., ip„ (/)) = (ф0 (t), Ф (0) си-
стемы уравнений (32.7), что ip0 (0— постоянная отрицатель-
ная на промежутке (То, 7\\ функция, ip (7\)—внутренняя
нормаль множества G в точке х (Т±) и
а)	почти всюду на промежутке [То, Тх] выполнено условие
максимума
x(t),u(t), =
б)	при t — Xi, i — 1, П, выполнено условие максимума
(Ф fri + 0), X (Ti), Wi) = max (ip (x( + 0), X (x,), v).
vtw
Теорема 33.2. Пусть выполнены условия теоремы 32.5.
Управляющее воздействие {и (t), wr.. w} и соответствую-
щая ему траектория X (t), То t Т1г являются решением
задачи оптимального управления (32.8) — (32.9) тогда и толь-
ко тогда, когда существует такое ненулевое решение ip (t) =
= ('Фо (0> Ф (0) системы уравнений (32.7), что ф0 (t) постоян-
ная неположительная на промежутке [То, 7\] функция и:
а)	почти всюду на промежутке [То, TJ выполнено условие
максимума
ФА <1, и (0) + <Ф (0> в (0 и (Ф = тах (Фо&о & v) +
v£U
+ (Ф(О,ВО)0;
б)	при t = Ti, i = 1, П выполнено условие максимума
Ф<Л? (wi) + <Ф (Ti + 0), DiWd =
«= max (ip0/i? (и) + (ф (тг + 0), Ди)).
ve.w
Теорема 33.3. Пусть в задаче оптимального управления
(32.8), (32.9) конечное состояние х (Т±) может быть любым
вектором из Rn. Управляющее воздействие \u(t), wlt ..., ®,v}
и соответствующая ему траектория X (/), То t 7\,
являются решением задачи оптимального управления (32.8),
(32.9) тогда и только тогда, когда существует такое ненуле-
вое решение ip (() = (ip0 (t), ip (()) системы уравнений (32.7),
276
что 1р0 (О — постоянная отрицательная на промежутке [То,
TJ функция, ip (7\) = 0 и:
а)	почти всюду на промежутке [То, Til выполнено условие
максимума
— b0 (t, и (()) + <-ф (О, в (О и (/)> =
= max (— b0 (t, v) + (ip ((), В (t) v));
vtU
б)	при t = rz, I = 1, N выполнено условие максимума
— h°i (W[) + (ip (т< + 0), DtWi) =
= max (— h°i (y) 4- (ip (rz + 0), Dtv)).
v$W
Теорема 33.4. Управляющее воздействие \u(t), иц, ..., w^}
и соответствующая ему траектория X (f), То t Т± яв-
ляются решением задачи оптимального управления (32.8)—
(32.11) с конечным положением х (Т,) £ G тогда и только
тогда, когда существует такое ненулевое решение ip (() =
= (ip0 (f), ip (()) системы уравнений (32.7), что ip0 (() — пос-
тоянная отрицательная на промежутке [То, TJ функция,
ipv (Л) = 0 при v = I + 1, п и почти всюду на отрезке 1Т0,
Til выполнено равенство
u(t) = E~l (t)BT (i)i(f),
а при t = tz, i — 1, /V, выполнено равенство
Wi = Gf'jDlip (Xi 4- 0).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая система 47
Биение решений 9
Вариация постоянных 51
Вектор евклидова пространства 5
Возвратный многочлен 90
Выпуклое подмножество 149
Гиперплоскость 10
Гиперповерхность 22
Гомотопные векторные поля 164
Граница шара 32
Движение 7
Динамическая система 34
Допустимое управление 258
Задача Коши 11
Закон эволюции 5
Замыкание компактное 149
—	траектории 32
Изоморфизм 48
Импульсная сила 37
Импульсное воздействие 7
Индекс особой точки 164
Интегральная воронка 14
— кривая 6
Касательный луч 264
Количество движения 37
Компакт 14
Конус 263
—	достижимости 264
Критерий Коши 179
—	устойчивости по первому приб-
лижению 113
Лемма Бихари 118
— Гронуолла—Веллмана 17
Линейная замена 51
Математическая модель 5
Матрица:
каноническая форма 107
Ляпунова 78
монодромии 82
нормальная 66
транспонированная 62
Матрицант 48
Мера неправильности 121
Метод численно-аналитический 156
Метрика 13
Многообразие:
гладкое 268
компактное 31
локально-компактное 31
Множество:
всюду неплотное 31
— плотное 36
гибели траекторий 7
достижимости 274
инвариантное 252
компактное 24
максимальное 15
неприводимое 15
поглощающее 15
пустое 7
Модель часов 37
Мультипликатор 82
Необходимые условия оптималь-
ности 265
Непрерывная зависимость реше-
ний:
от начальных условий 15
— правых частей уравнений 15
Неравенство:
Важевского 62
Коши—Шварца 25
Ляпунова 66
Оператор 5
—	линейный 46
—	сдвига 12
Определитель Вронского 66
Осциллятор 37
Отображение обратное 29
— полунепрерывное 14
Параметр 21
Период собственных колебаний
маятника 85
Последовательность 10
278
— почти периодическая 172
— равномерно ограничена 152
— равностепенно непрерывна 152
Почти период 172
—	периодическая функция 189
Поверхность 22
—	разрыва 258
Подпространство банахово 149
— линейное 46
Полярные координаты 35
Преобразование:
линейное 78
ортогональное 76
Принцип:
максимума 258
усреднения 165
Произведение скалярное симплек-
тическое 89
Пространство:
векторное 47
расширенное 5
фазовое 5
функциональное 21
Разрывная динамическая систе-
ма 8
Ранг матрицы 47
Решение;
асимптотически устойчивое 44
непродолжимое 11
ограниченное 216
периодическое 32
системы уравнений 5
Свойство Кнезера 14
Сигнатура перестановки 66
Симплектнческая единица 88
Система дифференциальных урав-
нений:
в вариациях 30
гамильтонова 88
линейная 45
периодическая 82
правильная по Ляпунову 67
приводимая 78
с импульсным воздействием 6
сопряженная 67
усредненная 165
Скачок функции 6
«Смертные» системы 7
Спектр 64
Среднее значение 178
----- пространственное 254
-----функции, временное 254
Сужение оператора 22
Сфера 32
Теорема:
Ариела 152
Еругина 78
Кронекера—Капелли 147
Массеры 122
Перрона 67
Пнкара 45
Шаудера 149
Топологическое произведение 5
Тор 251
—	, подмножество 251
Точка:
возможного покоя 14
изображающая 5
разрыва 6
— первого рода 10
подвеса 85
принудительного покоя 15
сгущения 7
фазовая 31
Траектория 7
Физический маятник 85
Формула Остроградского—Лиувил-
ля 49
Фундаментальная система реше-
ний 48
Функционал 258
Функция:
абсолютно непрерывная 268
варьированная управляющая
263
Грина 144
измеримая 271
кусочно-непрерывная 10
непрерывно дифференцируемая
24
положительно постоянная 131
— определенная 131
Характеристический показатель
функции 60
------- , строгий 61
Центр масс 85
Цикл предельный 39
Шар 31
Эволюция процесса 7
Экспонента матричная 53
Энергия кинетическая 37
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Аматов М. А. Об устойчивости движения импульсных систем//Диф-
ференциальные уравнения,— Рязань, 1977.— Вын. 9,— С, 21—28.
2.	Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний.— М. :
Наука, 1981568 с.
3.	Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.—М.:
Наука, 1975.— 240 с.
4.	Асланян А. А. Необходимые условия оптимальности в задачах управ-
ления системами дифференциальных уравнений с импульсным воз-
действием и нефиксированные моменты времени//Докл. АН УССР.
Сер. А.- 1982,- Ns 9,—С. 58—61.
5.	Асланян А. А. Принцип максимума для разрывных динамических си-
стем// Теория функций, функциональный анализ и их приложения.—
1982,— Вып. 37,— С. 132—137.
6.	Асланян А. А. Условия оптимальности в задачах управления систе-
мами с импульсным воздействием // Докл. АН УССР. Сер. А.— 1982.—
№ 11.-С. 3—6.
7.	Ахметов М. У. О периодических решениях некоторых систем дифферен-
циальных уравнений // Вести. Киев, ун-та. Математика и механика.—
1982,— Вып. 24,— С. 3—7.
8.	Барбашин Е. А. Введение втеорию устойчивости.— М. : Наука, 1967.—
224 с.
9.	Богданов Ю. С. Оценка импульсной реакции непрерывных конечно-
мерных систем//Тез. докл. 3-й науч. сес. Ин-та прикл. мат. ТГУ.—
Тбилиси, 1971.— Т. 4,—С. 26—30.
10.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в тео-
рии нелинейных колебаний.— М. : Наука, 1974.— 502 с.
11.	Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А., Самойленко А. М. Метод
ускоренной сходимости в нелинейной механике.— К. : Наук, думка,
1969.— 244 с.
12.	Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.—
М. : Наука, 1969,— 408 с.
13.	Бор Г. Почти периодические функции.— М.; Л. : Гостехиздат, 1934.—
315 с.
14.	Бояркин Г. Н. Об устойчивости решений одного класса нелинейных
дифференциальных уравнений при воздействиях импульсного типа //,
Дифференциальные уравнения.— 1978.— Т. 14, Ns 6.— С. 1128—ИЗО.
15.	Брайсон А. Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управ-
ления.— М. : Мир, 1972.— 544 с.
16.	Васильев Н. И. Об устойчивых решениях уравнения Риккати с импульс-
ным воздействием// Латв. мат. ежегодник.— Рига, 1977,— Вып. 21,—
С. 26—30.
280
7.	Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М. : Наука,
1981,— 512 с.
8.	Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления.— М. :
Наука, 1973,— 256 с..
9.	Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.: Наука, 1967,— 575 с.
!0. Горбунов В. К-, Черноусько Ф. Л. Задача оптимальной многоимпульс-
ной коррекции возмущений // Автоматика и телемеханика.— 1970.—
№ 8.— С. 59—66.
!1. Горбунов В. К- Дифференциально-импульсные игры // Изв. АН СССР.
Техническая кибернетика.— 1973.— № 4.— С. 80—84.
>2. Гребеников Е. А,, Рябов Ю. А. Новые качественные методы в небес-
ной механике.— М. : Наука, 1971.— 432 с.
23.	Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа не-
линейных систем.— М. : Наука, 1979.— 432 с.
24.	Гургула С. И. Исследование устойчивости решений импульсных систем
вторым методом Ляпунова // Укр. мат. журн.— 1982.— Т. 34, № 1.—
С. 100—103.
25.	Гургула С. И., Перестюк. Н. А. Об устойчивости решений импульсных
систем//Вести. Киев, ун-та. Математика и механика.— 1981.—
Вып. 23 — С. 33—40.
26.	Гургула С. И., Перестюк И. А. Об устойчивости положения равновесия
импульсных систем // Математическая физика.— 1982.— Вып. 3.—
С. 9—14.
27.	Гургула С. И., Перестюк Н. А. О втором методе Ляпунова в системах
с импульсным воздействием // Докл. АН УССР. Сер. А.— 1982.—
№ 10.— С. 11—14.
28.	Гурман В. И. Вырожденные задачи оптимального управления.— М. :
Наука, 1977.— 304 с.
29.	Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости.—
М. : Наука, 1967.— 472 с.
30.	Живихин Б. М. К вопросу об ограниченности решений импульсных
систем дифференциальных уравнений // Исследования по теории диф-
ференциальных и разностных уравнений.— Рига, 1976.— С. 33—40.
31.	Завалищин С. Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, 11 //Диффе-
ренциальные уравнения.— 1966.— Т. 2, № 7.— С. 872—881; 1967.—
Т. 3, № 2,—С. 171—179.
32.	Завалищин С, Т. Импульсное исчисление для операторов, дейст-
вующих в_ пространстве распределений // Дифференциальные урав-
нения,— 1972,— Т. 8, Ns 6,—С. 1098—1100.
33.	Завалищин С. Т. Осуществление заданного движения при постоянно
действующих возмущениях импульсной коррекцией // Дифференциаль-
ные уравнения.— 1972.— Т. 8, № 3.— С. 435—442.
34.	Завалищин С. Т., Сесекин А. Н. Минимизация интегральной оценки
кинетической энергии гармонического осцнлятора импульсным управ-
лением // Прикл. математика и механика.— 1974.— Т. 38, вып. 3.—
С. 441—450.
35.	Завалищин С. Т., Сесекин А. Н., Дрозденко С. Е. Динамические систе-
мы с импульсной структурой.— Свердловск : Сред.-Урал. кн. изд-во,
1983.— 112 с.
36.	Калитин Б. С. О предельных циклах маятниковых систем с импульс-
ным возмущением//Дифференциальные уравнения.— 1971.— Т. 7,
№ 3,— С. 540—542.
37.	Калитин Б. С. О колебаниях маятника с ударным импульсом // Диф-
ференциальные уравнения,— 1970.— Т. 6, № 12.— С. 2174—2181.
38.	Кигурадзе И. Т. Некоторые сингулярные краевые задачи для обык-
новенных дифференциальных уравнений,— Тбилиси ; Изд-во Тбил
ун-та, 1975,—352 с.
281
39.	Красовский Н. Н. Теория управления движением (линейные системы).—
М. : Наука, 1968.— 476 с.
40.	Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные
игры.—М. : Наука, 1974.— 456 с.
41.	Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределен-
ности.— М. : Наука, 1977.— 392 с.
42.	Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред.
И. 3. Штокало.— К. ’. Вища шк. Головное изд-во, 1974.— 472 с.
43.	Левитан Б. М. Почти периодические функции.— М. '.Гостехиздат,
1953,—396 с.
44.	Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифферен-
циальные уравнения.— М. : Изд-во Моск, ун-та, 1978.— 204 с.
45.	Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.— М. :
Наука, 1972.— 575 с.
46.	Ливартовский И. В. Об устойчивости разрывных систем с почти при-
водимыми линейными приближениями // Дифференциальные уравне-
ния.— 1965.—Т. 1, № 9,— С. 1131—1139.
47.	Малкин И. Г. Теория устойчивости движения.— М.: Наука, 1966.—
532 с.
48.	Мамса Е. Ю. Интегральные множества одного класса систем диффе-
ренциальных уравнений с импульсным воздействием // Вести. Киев,
ун-та. Математика и механика.— 1982.— Вып. 24.— С. 61—68.
49.	Мартынюк А. А,, Бутовски Р. Интегральные неравенства и устой-
чивость движения.— К. : Наук, думка, 1979.— 272 с.
50.	Математическая теория оптимальных процессов / Л. С. Понтрягин,
В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко.— М. : Наука,
1969.—384 с.
51.	Миллер Б. М. Задачи нелинейного импульсного управления объекта-
ми, описываемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями //
Автоматика и телемеханика.— 1978.— № 1.— С. 75—86.
52.	Мильман В. Д., Мышкис А. Д. Об устойчивости движения при нали-
чии толчков Ц Сиб. мат. жури.— 1960.— Т. 1,№ 2.— С. 233—237.
53.	Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.—
К.: Наук, думка, 1977.— 440 с.
54.	Митропольский К). А., Мартынюк Д. И. Периодические и квазипе-
риодические колебания систем с запаздыванием.— К. : Виша шк. Го-
ловное изд-во, 1979.— 248 с.
55.	Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в
нелинейной механике.— М. : Наука, 1973.— 512 с.
56.	Митропольский Ю. А., Перестюк Н. А., Черникова О. С. Конвергент-
ность систем дифференциальных уравнений с импульсным воздейст-
вием//Докл. АН УССР. Сер. А.— 1983.—№ 11,—С. 11—15.
57.	Митропольский Ю. А., Самойленко А. М., Перестюк Н. А. К вопросу
обоснования метода усреднения для уравнений второго порядка с им-
пульсным воздействием//Укр. мат. журн.— 1977.— Т. 29, №6.—
С. 750—762.
58.	Мищенко Е. Ф., Розов Н. X. Дифференциальные уравнения с малым
параметром и релаксационные колебания.— М. : Наука, 1975.— 248 с.
59.	Мышкис А. Д„ Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные мо-
менты времени // Математический сб.— 1967.— Т. 74, вып. 2.—
С. 202—208.
60.	Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных ко-
лебаний.— М. : Наука, 1972.— 471 с.
61.	Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений.— М.; Л. : Гостехиздат,. 1949.— 550 с.
62.	Перестюк И. А. Об устойчивости решений дифференциальных уравне-
ний с импульсным воздействием IJ Конференция по дифференциал fa-
282
ным уравнениям и их приложениям: Тез. докл.— Болгария, 1975,—
G. 35.
63.	Перестюк Н. А. К вопросу устойчивости положения равновесия им-
пульсных систем // Год. на ВУЗ : Прилож. мат.— София, 1976.— Т.Н,
ин. 1,—С. 145—150.
64.	Перестюк Н. А. Устойчивость решений линейных систем с импульс-
ным воздействием // Вести. Киев, ун-та. Математика и механика.—
1977,— Вып. 19,— С. 71—76.
65.	Перестюк Н. А. Об интегральных множествах одного класса дифферен-
циальных уравнений, подверженных импульсному воздействию //
III Респ. симп. по дифференциальным и интегральным уравнениям:
Тез. докл.— Одесса, 1982.— С. 33—34.
66.	Перестюк Н. А. Инвариантные множества одного класса разрыв-
ных динамических систем //Укр. мат. журн.— 1984.— № 1.—
С. 63—68.
67.	Перестюк Н. А., Черникова О. С. К вопросу об устойчивости решений
систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием //
Укр. мат. журн.— 1984.— Т. 36, № 2.— С. 190—195.
68.	Перестюк И. А., Шовкопляс В. Н. Периодические решения нелинейных
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием//Укр. мат.
журн,— 1979,— Т. 31, № 5,—С. 517—524.
69.	Петровский Г. Н. Об одной системе линейных дифференциальных урав-
нений с толчками в заданные моменты времени // Вести. Белорус,
ун-та. Сер. 1.— 1978.— № 2.—С. 7—10.
70.	Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.— М. : Наука, 1964.— 280 с.
71.	Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифферен-
циальных уравнений.— М. : Наука, 1977.— 304 с.
72.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.:
Наука, 1970.— 332 с.
73.	Прохорова Л. А. Линейные системы с сосредоточенными возмущения-
ми. I, II // Вести. Белорус, ун-та. Сер. 1.— 1975.— Ns 2,— С. 3—5;
1979.— Ns 1.— С. 37—42.
74.	Рожко В. Ф. Об одном классе почти периодических движений в сис-
. темах с толчками // Дифференциальные уравнения.— 1972.— Т. 8,
Ns 11.—С. 2012—2022.
75.	Рожко В. Ф. К теории разрывных динамических систем. I, II, III//
Математические исслед. АН МССО.— Кишинев, 1969,— Т. 4, вып. 3.—
С. 63—73; 1970.—Т. 5, вып. 1,—С. 102—117; 1970.—Т. 5, вып. 2.—
С. 74—88.
76.	Рожко В. Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических
системах//Дифференциальные уравнения.— 1975,—Т. 11, № 6,—
С. 1005—1012.
77.	Розов Н. X. Гичев Т. Р. Нелинейная управляемая импульсная систе-
ма. I //Дифференциальные уравнения.— 1979.— Т. 15, № 11,—
С. 1933—1939.
78.	Розов Н. X., Гичев Т. Р. Нелинейная управляемая импульсная систе-
ма. II // Дифференциальные уравнения.— 1980.— Т, 16, Ns 2,—
С. 208—213.
79.	Самойленко А. М. Численно-аналитический метод исследования перио-
дических систем обыкновенных дифференциальных уравнений. I, II //
Укр. мат. журн.— 1965.—Т. 17, Ns 4.—С. 82—93; 1966.—Т. 18,
Ns 2.-* С. 50—59.
80.	Самойленко А. М. О сохранении инвариантного тора при возмущении //
Изв. АН СССР. Сер. мат,— 1970,— Т. 34, Ns 5.— С. 1219—1240.
81.	„Самойленко А. М. Метод усреднения в системах с толчками// Мптеми
тическая физика,—1971.—Вып. 9,—С. 101—117,
m
82.	Самойленко А. М.,Ронто Н. И. Численно-аналитические методы ис-
следования периодических решений.— К.: Вища шк. Изд-во при Киев,
ун-те, 1976.— 180 с.
83.	Самойленко А. М., Стрижак Т. Г. О движении осциллятора под дей-
ствием мгновенной силы//Тр. семинара по мат. физике и нелиней-
ным колебаниям.— К., 1968,— Вып. 4.— С. 213—218.
84.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Вторая теорема Боголюбова Н. Н.
для систем дифференциальных уравнений с импульсным воздействием//
Дифференциальные уравнения,— 1974.— Т. 10, №11.— С. 2001—2010.
85.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Устойчивость решений дифферен-
циальных уравнений с импульсным воздействием// Дифференциальные
уравнения,— 1977.— Т. 13.— С. 1981 — 1992.
86.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Периодические решения слабо
нелинейных систем с импульсным воздействием // Дифференциальные
уравнения.— 1978.— Т. 14, № 16,—С. 1034—1045.
87.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Об устойчивости решений систем
с импульсным воздействием // Дифференциальные уравнения.— 1981.—
Т. 17, № И.—С. 1995—2002.
88.	Самойленко А. М., Перестюк П. А. Дифференциальные уравнения с
импульсным воздействием.— К. : КГУ, 1980,— 80 с.
89.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Периодические и почти периоди-
ческие решения дифференциальных уравнений с импульсным воздей-
ствием //Укр. мат. журн.— 1982.— Т. 34, № 1.— С. 66—73.
90.	Самойленко А. М., Перестюк Н. А., Ахметов М. У. Почти периоди-
ческие решения дифференциальных уравнений с импульсным воздейст-
вием.— К., 1983.— 50 с,— (Препринт / АН УССР. Ин-т математики;
83, 26).
91.	Старжинский В. М., Якубович В. А. Линейные дифференциальные 
уравнения с периодическими коэффициентами.— М. : Наука, 1972.—
718 с.
92.	Теория показателей Ляпунова / Б. Ф. Былов, Р. Э. Виноград,
Д. М. Гробман, В. В. Немыцкий.— М. : Наука, 1966.— 576 с.
93.	Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой
частью//Математический сб.— 1960.— Т. 51, № 1.— С. 99—128.
94.	Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем.—
М. :Мир, 1971,— 309 с.
95.	Харасахал В. X. Почти периодические решения обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений.— Алма-Ата : Наука, 1979.— 199 с.
96.	Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.:
Мир, 1970,— 720 с.
97.	Хинчин А. Я- Цепные дроби,—М. : Наука, 1967,— 112 с.
98.	Цидыло К. В., Гулька С. С. О периодических решениях нелинейных
систем с импульсным воздействием//Докл. АН УССР. Сер. А.—
1981,—№ 10.—С. 21—23.
99.	Черникова О. С. О диссипативпости систем дифференциальных урав-
нений с импульсным воздействием // Укр. мат. жури.— 1983.— Т. 35,
№ 5.— С. 656—660.
100.	Черникова О. С. Принцип сведения для систем дифференциальные
уравнений с импульсным воздействием//Укр. мат. журн.— 1982.—
Т. 34, № 5.—С. 601—607.
101.	Янг Л. Ч. Лекции по вариационному исчислению и теории оптималь-
ного управления.— М. : Мир, 1974.— 488 с.
102.	Blaquiere A. Differntial games with pilcewise continuous trajectories//
Lecture Notes in Control and Information Sciences.— 1977.— N 3.—
P. 34—69.
103.	Das P. C., Sharma R. R. Existence and stability of measure differen-
tial equations//Czech Math, J,— 1972,— 22 (97),— P. 145—158.
284
04. Geering H. P. Continuous — time optimal theory for cost functionals
including discrete state penalty terms//JEEE Transactiones on Auto-
motic Control.— 1976.— Vol. AC—21, N 5.— P. 866—869.
05. Getz W. M., Martin D. H. Optimal control systems with state variable
jump discontinuities//Journal of Optimization Theory and Applica-
tions.— June 1980.— Vol. 31, N 2.— P. 195—205.
06. Неи C. S. Impulsive parametric excitation//Pap. ASME.— 1971.—
N WA/APM—19,— P. 8.
i07.	Неи C. S., Cheng W.-H. Applications of the theory of impulsive para-
metric excitation and new treatments of general parametric excitations
problems//Trans ASME.—1973,—E 40, N 1,—P. 78—86.
108.	Corduneanu C. Functii aproape-periodice. Edit. Acad. RPR.— Buc.,
1961.
109.	Pandit S. G. Differential systems with impulsive perturbations // Pacif.
I. Math.— 1980.- 86, N 2,— P. 553—560.
HO. Pandit S.C. On the stability of impulsiveby perturbed differential sy-
stems//Bull. Austral. Math. Soc.— 1977.— 17, N 3.— P. 423—432.
111.	Pavlidis T., Jury E. I. Analusis of a new glass of pulse-greguency mo-
dulated geed-back systems // IEEE Trans. Automat. Control.— 1965.—
Nol. AC—10, n. 1,— P. 35—43.
112.	Pavlidis T. Stability of a class of discontinuous dynamical systems//
Infor, and Control.— 1966.— Vol. 9, N 6.— P. 298—322.
113.	Pavlidis T. Optimal control of pulse frequency modulated systems//
IEEE Trans. Automat., Contr.— 1966.— Vol. AC—11, N 4.—P. 676—
685.
114.	Raghavendra V., Rao Rama Mohana. On the stability of differential
systems with respect to impulsive pertubations. // I. Math. Anal, and
Appl.— 1974,— Vol. 48, 2.— P. 515—526.
115.	Rao M. Rama Mohana, Rao V. Sree Hari. Stability of impulsive by per-
turbed systems//Bull. Austral. Math. Soc.— 1976.— 16, N 1.—
P. 99—110.
116.	Rao V. Sree Hari. Asymptotically of measure differential equations//
Nonlinear Anal. ;Theory. Math, and Appl.— 1978.— N 2.— P. 483—
489.
117.	Reitmann Volcer. Swache Instabieitat im ganzen von nichtlineare Impuls-
systemen // Wiss. z. Techn. Univ. Dresgen.— 1977.— 26, N 6.—
P. 1055—1057.
118.	Schwabic S. Verallgemeinerte lineare Differentialgleichungsysteme //
Casop. pestov. mat.— 1971.— 96, N 2.— P. 183—211.
119.	Schwabic S. Bemercunden zu stabieitats fragen fur verallgemeinerte
Differentialgleichungen//Casop. pestov. mat.— 1971.— 96, N 2.—
P. 57—66.
120.	Vogel Th. Thdorie des systemes evolutifs // Goutnier,— Villons,—
P., 1965.—P. 172.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.................................................... 3
Глава 1. Общая характеристика систем дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием
§ 1. Описание математической модели............................ 5
§ 2,1 Системы, подвергающиеся импульсному воздействию в фиксиро-
ванные моменты времени................................... 10
§ 3 Системы с нефиксированными моментами импульсного воздейст-
вия ..................................................... 22
§	4.	Разрывные	динамические	системы ....................... 31
§	5,	Движение	осциллятора под	действием импульсной силы ... 37
Глава 2. Линейные системы
§ 6.	Общие свойства решений линейных систем.................. 45
§ 7.	Линейные системы с постоянными коэффициентами........... 52
§ 8.	Устойчивость решений линейных систем с импульсным воздейст-
вием ......................................................... 56
§ 9.	Свойства характеристических показателей функций и функцио-
нальных матриц ............................................... 60
§ 10.	Сопряженные системы.	Теорема Перрона................... 67
§ 11.	Приводимые системы...........г.......................... 78
§ 12.	Линейные периодические системы с импульсным воздействием 82
§ 13.	Линейные гамильтоновые системы дифференциальных уравнений
с импульсным воздействием..................................... 88
§ 14.	Периодические решения одного уравнения второго порядка 96
Глава 3. Устойчивость решений
§ 15.	Линейные системы с постоянными и почти постоянными матрицами 102
§ 16.	Критерий устойчивости по первому приближению ...........113
§ 17.	Устойчивость в системах с нефиксированными моментами им-
пульсного воздействия ........................................122
§ 18.	Прямой метод Ляпунова исследования устойчивости решений им-
пульсной системы..............................................131
Глава 4. Периодические и почти периодические системы с импульсным
воздействием
§ 19.	Линейные неоднородные периодические системы.............142
§ 20.	Нелинейные периодические системы .......................148
§ 21.	Числеино-аналитнческий метод отыскания периодических реше-
ний ..........................................................156
286
22.	Почти периодические последовательности..................172
23.	Почти периодические функции.............................189
24.	Почти периодические системы дифференциальных уравнений 195
25.	Системы с периодической однородной линейной частью .... 205
'лава 5. Интегральные множества систем с импульсным воздействием
26.	Ограниченные решения неоднородных линейных систем . . . 216
27.	Существование ограниченных решений нелинейных систем , . 223
28.	Интегральные множества систем, линейная часть которых явля-
ется гиперболической.........................................228
29.	Интегральные множества одного класса разрывных динамических
систем.......................................................250
'лава 6. Оптимальное управление в системах с импульсным воздейст-
вием
30.	Постановка задачи. Вспомогательные утверждения..........258
31.	Необходимые условия оптимальности.......................265
32.	Случай фиксированных моментов импульсного управления . . 270
33.	Необходимые и достаточные условия оптимальности........275
1редметный указатель ........................................278
Список использованной и рекомендуемой литературы.............280