Механика
сплошной среды

МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В четырех томах
1. ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
2. УНИВЕРСАЛЬНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
И ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
3. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
4. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ ТВЕРДЫХ СРЕД
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
Москва 2011

Ю.И. Димитриенко
Тензорный
анализ
Том 1
Рекомендовано УМО по университетскому
политехническому образованию
в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по физико-математическим
и машиностроительным специальностям
Москва 2011

УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
Д46
Рецензенты:
академик РАН О. М. Белоцерковскищ
академик РАН Е. И. Шемякин;
член-корреспондент РАН В. А. Гущин;
доктор физ.-мат. наук, профессор Η. Η. Смирнов
Димитриенко Ю. И.
Д46 Механика сплошной среды : учеб. пособие : в 4 т. / Ю. И.
Димитриенко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011.
ISBN 978-5-7038-3385-8
Т. 1 : Тензорный анализ. — 463, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-3437-4
Учебное пособие, состоящее из четырех томов, посвящено основам
механики сплошной среды.
В первом томе изложены элементы теории абстрактных пространств
(линейного, метрического, евклидова, афинного, нормированного), основы
тензорной алгебры, теория ковариантного дифференцирования, в том числе в
ортогональных криволинейных координатах, основы дифференциальной геометрии,
теория поверхностей и кривых, теория ковариантного дифференцирования на
поверхностях, теория интегрирования тензорных полей, в том числе теория
несобственных интегралов от тензорных полей. Отдельная глава посвящена
теории тензорных функций и тензорных операторов в тензорных гильбертовых
пространствах.
Содержание учебного пособия соответствует курсам лекций, читаемых в
МГТУ им. Н. Э. Баумана.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических, физических,
естественно-научных кафедр университетов и технических вузов. Будет
полезно специалистам, занимающимся различными вопросами механики сплошной
среды.
УДК 531.1:51-72(075.8)
ББК 22.25:22.51.5
© Димитриенко Ю. И., 2011
ISBN 978-5-7038-3437-4 (т. 1) © Оформление. Издательство МГТУ
ISBN 978-5-7038-3385-8 им. Н. Э. Баумана, 2011

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава 1. Тензорная алгебра 12
§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств 12
§ 1.2. Векторное и смешанное произведения 34
§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах 46
§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами 63
§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга. . . 80
§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве 92
§ 1.7. Псевдотензоры 108
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей 110
§2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах ПО
§2.2. Ковариантное дифференцирование 143
§2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров второго и высших рангов . . 151
§2.4. Свойства ковариантных производных 157
§2.5. Ковариантные производные второго порядка 163
§2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах .... 169
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей 189
§3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве 189
§3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве 197
§3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей 228
§3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей 236
§3.5. Объемные интегралы от тензорных полей 242
§3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей 259
§3.7. Тензорные дельта-функции 298

6 Оглавление
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы 305
§4.1. Линейные преобразования координат 305
§4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 311
§4.3. Индифферентные тензоры 319
§4.4. Скалярные инварианты 329
§4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга 334
§4.6. Линейные тензорные функции 339
§4.7. Скалярные функции тензорного аргумента 358
§4.8. Потенциальные тензорные функции 369
§4.9. Квазилинейные тензорные функции 375
§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга 380
§4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 391
§4.12. Непотенциальные тензорные функции 400
§4.13. Дифференцирование тензорных функций 408
§4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов 415
§4.15. Тензорные операторы 438
Литература 455
Предметный указатель 457

Предисловие
Механика сплошной среды (МСС), как цельная наука, изучающая с
единых универсальных позиций механические, термодинамические и
электромагнитные процессы, происходящие в твердых, газообразных и жидких телах,
сформировалась сравнительно недавно — примерно в середине XX в., хотя
первые фундаментальные результаты в области механики жидких и твердых
тел были получены еще в XVII в. Г. Галилеем, Б. Паскалем (в частности,
закон Паскаля), И. Ньютоном (знаменитые законы Ньютона — о существовании
инерциальных систем отсчета, закон сохранения импульса, формула для силы
сопротивления жидкой среды при движении в ней твердого тела и многое
другое), Р. Гуком (закон Гука — основа теории упругости) и другими учеными.
Основополагающие принципы МСС были сформулированы в XVIII в. Л.
Эйлером, выдающимся математиком и механиком, членом Санкт-Петербургской
академии наук, составившим дифференциальные уравнения движения
идеальной жидкости, уравнение неразрывности, а также сделавшим другие
открытия, Ж. Л. Лагранжем, Ж. Л. Даламбером, Д. Бернулли (также членом
Санкт-Петербургской академии наук). На рубеже XVIII-XIX в. в
гидромеханику и теорию упругости внесла вклад еще одна плеяда выдающихся ученых:
О. Л. Коши, который ввел понятие напряжений в твердом теле, П. С. Лаплас,
С. Д. Пуассон, Л. М. А. Навье, Г. Ламе, Дж. Г. Стоке. В XIX в.
фундаментальные результаты в области теории упругих тел, движения твердого тела в
жидкости были получены П. Г. Л. Дирихле, Г. Р. Кирхгофом, Э. Бельтрами,
А. Э. Грином, А. Ж. К. Сен-Венаном, Ж. Пуазейлем и многими другими.
В середине XIX в. благодаря трудам У. Кельвина (Томсона), Дж. Э. Майе-
ра, Дж. П. Джоуля, Р. Ю. Э. Клаузиуса, Дж. У. Гиббса сформировалась
термодинамика и практически одновременно — электродинамика, создание которой
связано с именами М. Фарадея, Дж. К. Максвелла, Г. С. Ома, А. М. Ампера и
Ш. О. Кулона. В конце XIX — начале XX в. в связи с широким освоением
воздухоплавания во многом благодаря трудам выдающихся российских ученых
Η. Ε. Жуковского и С. А. Чаплыгина появилась аэродинамика, а также теории
пластичности и вязкоу пру гости, основанные на работах Л. Прандтля, X.
Генки, У. Фойгта, Дж. К. Максвелла, В. Вольтерры, А. А. Ильюшина и других
ученых. К этому же периоду относится создание итальянскими математиками
Г. Риччи и Т. Леви-Чивитой нового математического аппарата — тензорного
анализа, а также формирование теории конечных деформаций, которая была
существенно развита в трудах У. Кельвина и П. Г. Тэйта, А. Ж. К. Сен-Венана,

8
Предисловие
Г. Р. Кирхгофа, А. Лява, Г. Яуманна, М. А. Био, Ф. Д. Мурнагана и многих
других (следует отметить, что понятие о произвольных (не малых)
деформациях было введено еще О. Л. Коши — создателем теории напряжений в
сплошных средах).
В середине XX в. возникло новое научное направление — теория
нелинейных тензорных функций, оказавшая существенное влияние на формирование
современной МСС и связанная прежде всего с именами Ф. Д.
Мурнагана, А. Синьорини, Р. С. Ривлина, И. Эриксена, К. Трусделла, А. Е. Грина,
Л. И. Седова, В. В. Новожилова.
Объединить разделы механики, существовавшие ранее как независимые:
гидродинамику, аэродинамику, линейную теорию упругости, теорию
конечных деформаций, теорию пластичности, используя тензорный анализ и
теорию нелинейных тензорных функций, удалось лишь в середине XX в., когда
были созданы первые учебники по МСС. По-видимому, одним из первых
широко известных учебников была книга Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица
«Механика сплошных сред», изданная в 1944 г. В 1950 г. была опубликована
широко известная за рубежом книга М. Руа, а в 1959 г. — «Лекции по
механике сплошной среды» Л. И. Седова, которые в 1962 г. были изданы под
названием «Введение в механику сплошной среды». В 1968 г. вышло первое
издание фундаментального двухтомного учебника «Механика сплошной
среды» Л. И. Седова, который и в настоящее время является одним из наиболее
популярных учебников по МСС.
Принципиальный этап развития МСС начался после публикации
книги К. Трусделла «Первоначальный курс рациональной механики сплошной
среды» (1969 г., на русском языке в 1975 г.), в которой были обобщены
результаты работ Б. Колемана, У. Нолла и самого К. Трусделла, выполненных
в 1950-1960-х гг., по аксиоматизации механики и термодинамики
сплошной среды. Впоследствии А. Эринген, Ж. Можен и другие исследователи
охватили аксиоматизацией и электродинамику. Аксиоматический подход к
МСС, основанный на тензорном описании основных законов в универсальной
безындексной форме, сегодня считается общепризнанным.
В настоящее время библиография книг, посвященных МСС, весьма
обширна. Появление предлагаемого читателю четырехтомного издания связано
с попыткой автора решить несколько методически противоречивых задач,
практически неизбежно возникающих при изложении современного курса
МСС:
• выдержать математический стиль представления, для которого
характерно наличие аксиом, определений, теорем, доказательств и
соответствующего уровня математической строгости изложения;
• сохранить при этом по возможности представление МСС как науки о
реальных телах, а не абстрактных объектах;

Предисловие
9
• создать понятный читателю стиль изложения материала с присущим
ему наличием достаточно подробных математических выкладок, когда
доказательства большинства теорем и утверждений не перекладываются
на читателя;
• использовать тензорный аппарат преимущественно в безындексной
форме, поскольку при определенных навыках она удобна и компактна в
работе, не затеняет физической сути законов МСС и позволяет легко
перейти в любую подходящую систему координат.
Стимулом для написания этого четырехтомного издания явились также
новейшие достижения, полученные в конце XX —начале XXI в.:
• найденная В. И. Кондауровым консервативная (дивергентная) форма
динамических уравнений совместности деформаций, играющая
важнейшую роль при решении многих современных задач МСС и позволившая,
наконец, записать полную систему законов сохранения МСС в едином
обобщенном виде;
• установленные Р. Хиллом и К. Ф. Черных энергетические пары
тензоров, а также найденные автором данной книги энергетические меры и
квазиэнергетические пары тензоров и мер, играющие ключевую роль в
системном построении определяющих соотношений в МСС;
• разработанная В. В. Лохиным, Ю. И. Сиротиным, Э. Спенсером, Г.
Смитом, Р. С. Ривлином, Б. Е. Победрей и автором данной книги теория
нелинейных тензорных функций и тензорных операторов, благодаря
которой предложен метод построения корректных определяющих
соотношений для анизотропных нелинейных сред;
• некоторые другие результаты более частного характера.
В издании рассмотрены все основные классические разделы МСС:
основы тензорного анализа (т. 1); кинематика, законы сохранения механики и
электродинамики, теория определяющих соотношений, теория скачков,
теория размерностей (т. 2); теория идеальной и вязкой жидкости (т. 3); теория
абсолютно твердого тела, теория линейной упругости, нелинейная теория
упругости, теория вязкоупругости и теория пластичности (т. 4).
Безусловно, даже в рамках четырехтомного издания невозможно было
охватить все основные современные достижения в области гидромеханики и
механики деформируемого твердого тела, поэтому для детального изучения
этих дисциплин необходимо обратиться к специальным изданиям по этим
направлениям (рекомендуемый список литературы приведен в конце каждого
тома). Основной целью данного пособия была попытка с единых
теоретических, методических и стилистических позиций изложить достаточно широкий
спектр разделов МСС, начиная от математических основ МСС и
универсальных законов и заканчивая классическими приложениями в гидромеханике и

10
Предисловие
теории упругости. Основной акцент при этом, естественно, был сделан на
универсальные законы и методы, применимые для всех сплошных сред.
Как правило, дисциплина МСС преподается студентам на III курсе,
поскольку она требует хороших знаний всех базовых математических
дисциплин: основных разделов математического анализа, линейной алгебры и
аналитической геометрии, обыкновенных дифференциальных уравнений и
уравнений в частных производных, основ функционального анализа,
дифференциальной геометрии и тензорного анализа. В то же время содержание
соответствующих математических дисциплин, читаемых студентам на I и II
курсах, как правило, не адаптировано для изложения МСС (по-видимому,
оно и не может быть таковым), поэтому во вводной части курса МСС
обычно проводится пространный математический экскурс, главным образом
по тензорному анализу, такие же экскурсы необходимы и при изложении
других разделов МСС. В помощь студентам для этих целей в курсах МСС
в приложении обычно кратко приводятся основные математические сведения.
Автор предлагаемого учебного пособия поступил иначе: был написан т. 1, где
кратко, но с минимальным числом ссылок на базовые математические курсы
изложены необходимые математические разделы в той стилистике, в которой
они используются в основных разделах МСС в последующих томах.
Основной акцент в т. 1 сделан на описание методов тензорного анализа,
все остальные математические разделы также представлены в тензорной
форме. Такой прием вполне оправдан, поскольку законы МСС имеют векторный и
тензорный характер, и тесное знакомство читателя с тензорами в т. 1 позволит
приобрести хорошие навыки работы с тензорным аппаратом в дальнейшем.
Материал т. 1 может быть включен, например, в курс тензорного анализа
и дифференциальной геометрии, который обычно предшествует изучению
МСС. Кроме того, он может использоваться и в курсах математического
анализа (разделы по теории поля), линейной алгебры и функционального
анализа. Последующие тома этого издания также можно рассматривать как
самостоятельные учебные пособия по курсам механики жидкости и газа,
механики деформируемого твердого тела, электродинамики сплошной среды.
В книге использована тройная нумерация формул в каждой главе,
например (1.3.46), где первая цифра — номер главы, вторая — номер параграфа,
а третья — порядковый номер формулы. Нумерация определений, теорем,
примеров, рисунков и таблиц тоже тройная. Символы ▼ и А обозначают
начало и конец доказательства теорем, D — конец примера или замечания.
-*/ Четырехтомник «Механика сплошной среды» предназначен для студентов
классических и технических университетов, обучающихся по специальностям
«Механика», «Прикладная математика», «Прикладная механика». Он также
будет полезен аспирантам указанных специальностей и специалистам,
занимающимся различными вопросами МСС и ее приложений.

Предисловие
11
Автор выражает глубокую признательность рецензентам: академику
РАН О. М. Белоцерковскому, академику РАН Е. И. Шемякину,
члену-корреспонденту РАН В. А. Гущину, заведующему лабораторией волновых
процессов МГУ им. М. В. Ломоносова профессору, доктору физико-математических
наук Η. Η. Смирнову.
Автор благодарен заведующему кафедрой механики композитов МГУ
им. М. В. Ломоносова профессору Б. Е. Победре, заведующему кафедрой
СМ-4 МГТУ им. Н. Э. Баумана профессору В. В. Селиванову, профессору
кафедры прикладной математики МГТУ им. Н. Э. Баумана В. С. Зарубину за
дискуссии по различным вопросам МСС.
Особую благодарность автор выражает своей жене, ведущему научному
сотруднику МГТУ им. Н. Э. Баумана кандидату физико-математических наук
И. Д. Димитриенко за подготовку оригинал-макета и редактирование всего
четырехтомного издания.
Автор

Глава 1
ТЕНЗОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
1.1.1, Тензорный характер величин в механике сплошной среды
Как отмечалось в предисловии, основные величины, которые применяют
в механике сплошной среды (МСС), имеют векторный или, в общем
случае, тензорный характер, т. е. характеризуются не только числовыми
значениями, но и направлениями (одним или несколькими). Таковы,
например, радиус-вектор положения точки в системе координат, вектор скорости,
вектор ускорения и т. п. Для описания движения сплошных сред в общем
случае необходимо ввести тензор второго ранга, называемый градиентом
деформации. Важнейшая характеристика сплошных сред — их напряженное
состояние — также определяется тензором второго ранга, называемым
тензором напряжений, и т. д. Поэтому цель настоящего параграфа — привести
необходимые сведения из теории тензоров на векторных пространствах и из
теории линейных (векторных) пространств.
1.1.2. Векторное пространство и его базисы
Определение 1.1.1. Векторным (или линейным) пространством
С называют множество, в котором для его элементов a, b,c е С
определены операции сложения и умножения на число s, удовлетворяющие
следующим аксиомам:
1) а + b = Ь + а;
2) (a + b)+c = a+(b + c);
3) существует нулевой элемент 0е£, такой, что для каждого а е С
а + 0 = а;
4) существует противоположный элемент (—а) е С для каждого а е С,
такой, что
а+(-а) = 0;
5) s(a + b) = sa + sb;

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
13
6) (s\ + S2)a = s\a+ S2a, sitS2 ЕШ (или С)\
7) s\(s2sl) = (sis2)a;
8) произведение любого элемента аб£ на число 1 равно а., т.е. 1 · а = а.
Элементы векторного пространства С называют векторами.
Разностью двух векторов а и b называют сумму векторов а и —b и
обозначают ее а — Ь.
Далее, если не оговорено противное, будем рассматривать только
действительные n-мерные векторные пространства Сп, для которых числа s —
только вещественные: s е К, и существует базис из η векторов е* такой, что
любой вектор аб£п единственным образом может быть представлен в виде
линейной комбинации
η
а = yj alei, г = 1, ..., п.
г=\
Если все аг равны нулю, то линейную комбинацию называют тривиальной.
Число η называют размерностью пространства Сп и обозначают как
dim Cn — п.
Знак суммы, в соответствии с соглашением Эйнштейна, при
суммировании по повторяющимся латинским индексам далее везде опускаем, тогда
предыдущее соотношение можно записать в виде
а = агег, (1.1.1)
где аг — числа, называемые компонентами вектора а в базисе е^, аг Ε R.
Пример 1.1.1. В МСС часто используют трехмерное векторное пространство
Ез, элементами которого являются «геометрические векторы» —
направленные отрезки, подчиняющиеся аксиомам евклидовой геометрии (в этом
пространстве первичными понятиями являются точка, прямая и плоскость,
введены отношения «принадлежит», «между», «конгруэнтен», а также определены
понятия длины, угла между пересекающимися прямыми, направления и др.).
Преимущество использования пространства Е^ заключается в том, что
оно дает возможность изображать векторы и операции с ними с помощью
наглядных геометрических образов. Направленный отрезок а е Е^
изображают стрелочкой (рис. 1.1.1). Отметим, что элементы а и b из Е^ считаются
равными, если и только если они коллинеарны, имеют равную длину и
направлены в одну сторону. Таким образом, элементами пространства Е^
являются свободные векторы, точка приложения которых может быть
произвольной. Иначе говоря, «геометрический вектор» а из Е^ — это целое
множество равных векторов (рис. 1.1.2).
Операцию сложения векторов в £3 осуществляют по известному правилу
параллелограмма (рис. 1.1.3). Нулевой вектор 0 изображают геометрической
точкой.

14
Глава 1. Тензорная алгебра
Рис. 1.1.1.
Направленный отрезок из
пространства Е$
Рис. 1.1.2.
Геометрический вектор из
пространства Е$
Рис. 1.1.3. Сложение
геометрических векторов по
правилу параллелограмма
Рис. 1.1.4. Умножение
геометрических векторов
Умножение вектора а на число s в Е$ изображают вектором, коллинеар-
ным а, длина которого равна s|a| (где |а| — длина вектора а), а направление
совпадает с а, если s > 0, и противоположно ему, если s < 0 (рис. 1.1.4).
о ei
o'ei
s
s
s
s
s
s
■' e,J
a3e3
θ3^^
У е2
а
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ί α262
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Рис. 1.1.5. Геометрическое изображение формулы (1.1.1) в пространствах £?2 (β) и £з (б)
Формуле (1.1.1) также можно дать геометрическую интерпретацию: это
разложение вектора а, образованного главной диагональю параллелепипеда,
по трем векторам е$, принадлежащим трем смежным ребрам
параллелепипеда, с общей точкой приложения (рис. 1.1.5). Заметим, что координаты аг
вектора а — это отношения длин соответствующих ребер параллелепипеда
|aQeQ| к длинам базисных векторов:
а1
|aQeQ|/|eQ|, a = 1,2,3. D
Здесь и везде далее по повторяющимся греческим индексам суммирования
нет.

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
15
Пример 1.1.2. Множество
столбцы
, элементами которого являются координатные
/а'\
9
a
'ь2'
W
W
— упорядоченные совокупности произвольных действительных чисел (аг,Ьг е
е К), называют арифметическим пространством или пространством
координатных столбцов. Далее эти столбцы для компактности будем записывать
в строчку: а= (αϊ, ..., αη)τ (индекс «τ» — знак транспонирования). D
Доказательство того, что Шп является линейным пространством, оставим
в качестве упр. 8 к § 1.1.
1.1.3. Замена базиса и инвариантность векторов
Если перейти к любому другому базису е[ в Сп, то вектор а снова можно
разложить по этому базису, однако компоненты а'г вектора а в этом базисе
будут другими:
(1.1.2)
а = а/ге! = аге7·
Теорема 1.1.1. При замене одного базиса щ в пространстве Сп на другой
е[ ε Сп, компоненты аг и а'г всякого вектора а е Сп в этих базисах
связаны соотношением:
а? =Р\а'\ (1.1.3)
где Р\ — матрица п-го порядка, компоненты которой представляют
собой коэффициенты разложения векторов базиса е' по базису ef.
J - TDJ
PJi*r
(1.1.4)
▼ Действительно, подставляя формулу (1.1.4) в (1.1.2), получаем
а = (анР{ )е,- = аРе,, (1.1.5)
отсюда, в силу единственности разложения вектора по базису, приходим к
формуле (1.1.3). А
Соотношение (1.1.2) чрезвычайно важно для практического применения:
его называют свойством инвариантности вектора, т. е. физические
величины, которые описываются векторами, не зависят от выбора базиса.
Компоненты же этих векторов меняются при переходе от одного базиса к другому, но
по вполне определенному закону (1.1.3), согласованному с формулой замены
базиса (1.1.4).
Пример 1.1.3. Соотношение (1.1.2) имеет наглядное изображение в
пространстве Ε<ι — на плоскости (рис. 1.1.6), показывающее, что при замене

16
Глава 1. Тензорная алгебра
|а'2е''
базиса вектор а не меняется, но меняются его
компоненты. D
Матрица Р\ , как всякая матрица п-го порядка,
представляет собой таблицу размером η χ η:
(Р\)
рп
г η
Рис. 1.1.6. Разложение
вектора а по двум
различным базисам е* и е'
Теорема 1.1.2. Матрица Р\ является
невырожденной, т. е. ее определитель (детерминант) отличен
от нуля\
det (P\)^0. (1.1.6)
▼ Действительно, если бы det (Р\ ) = 0, то строки
этой матрицы были бы линейно зависимы [3], и тогда нашлись бы такие числа
η
sa, что Vj: Σ saPJa = 0. Умножая это соотношение на векторы е^·, находим,
η η
что Σ saPJa^j = 0. Или с учетом (1.1.4) Σ s<*ea — 0, т. е. получили бы, что
а=\
а=\
Ί'
, е^ — линейно зависимы, что невозможно, так как е^ — базис. А
Поскольку имеет место соотношение (1.1.6), то для (Р\ ) существует
обратная матрица Q* , такая, что
<?Л = «ν
где бгк — символ Кронекера
«** =
0, г φ к,
1,
к.
(1.1.7)
(1.1.7а)
Для символа Кронекера <5г- справедливо свойство свертки индексов, т. е. для
любой матрицы Аг ■ имеют место формулы
Α\δ\ = Α\, Akj6\
ju k — Λ fc» ^ ju k — A j, (1.1.76)
так как при суммировании по индексам j и к у символа δ\ только одна
ненулевая и равная единице компонента при j = к. Используют также символы
Кронекера £и и 6^у значения которых совпадают с 53i.
1.1.4. Векторное подпространство
Определение 1.1.2. Непустое множество С! элементов из векторного
пространства С называют векторным (линейным)
подпространством, если:

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
17
1) для любых элементов а. и Ъ из С их сумма а + b также
принадлежит С'\
2) произведение любого а е С на произвольное число s также
принадлежит С
Каждое линейное пространство С содержит, по крайней мере, два
подпространства: нулевое, состоящее только из элемента 0, и само пространство
С. Эти подпространства называют несобственными, а все остальные —
собственными.
Пусть имеется два подпространства С! и С!' линейного пространства С.
Множество всех векторов а, принадлежащих одновременно С и С",
называют пересечением линейных подпространств и обозначают С Π С".
Определение 1.1.3. Множество всех векторов а, представляющих собой
сумму а = а' + а", где а' е С, а" е С", называют суммой линейных
подпространств и обозначают как С + С".
Теорема 1.1.3. Пересечение С Π С" и сумма £ + С" двух линейных
подпространств из С сами являются линейными пространствами в С.
Доказательство теоремы оставим в качестве упр. 14 к § 1.1.
Определение 1.1.4. Прямой суммой двух линейных
подпространств С и С" из С называют их сумму С + С" при условии, что
пересечение подпространств С! Π С" — нулевое подпространство.
Прямую сумму обозначают как С! Θ С".
Теорема 1.1.4. Каждый элемент а е С Θ С" можно разложить
единственным образом в виде суммы
а = а' + а",
где а1 е С, а" е С".
▼ Действительно, пусть существует еще одно разложение а = Ъ' + Ь",
где Ь' е С, Ъ" е С". Тогда существует вектор (а' — Ъ')> принадлежащий С,
и одновременно, в силу а' — Ь' = Ъ" — а", принадлежащий С", т. е. а' — Ъ' е
е С П С". Но поскольку С Π С" — нулевое подпространство, то а' = Ь' и
a" = b". A
1.1.5. Евклидовы n-мерные пространства
Евклидовы пространства широко применяют в МСС. Дадим их
определение.
Определение 1.1.5. Вещественное линейное пространство назовем
евклидовым Еп, если в нем определена операция скалярного
умножения, которая любой паре векторов а и Ъ сопоставляет вещественное
число, обозначаемое как а · Ь, и которая обладает следующими
свойствами:

18
Глава 1. Тензорная алгебра
1) а · b = b · а;
2) (a + b) с = a b + b с;
3) (sa) · b = s(a · b);
4) a · a ^ 0 (причем равенство достигается, только если а = 0);
где s — произвольное действительное число.
Длиной вектора а называют число
(а-а)'/2.
а
(1.1.8)
В Еп имеет место неравенство Коши — Буняковского
a b^ |a||b|. (1.1.8а)
Доказательство этого неравенства следует из соотношения
(psi + qb) · (pa + qb) = p2\a\2 + 2pqa · b + tf2|b|2 ^ 0,
где ρ и q — числа, которые выбираем в виде ρ = |b|2, q = —а · b.
Из неравенства Коши — Буняковского следует неравенство
треугольника
|а + Ь| ^ |а| + |Ь|.
Действительно, из определения (1.1.8) имеем
|а + Ь|2 = (а + Ь) · (а + Ь) = |а|2 + 2ab + |b|2 ^
(1.1.86)
^ |а|2 + 2|а||Ь| + |Ь|
(|а| + |Ь|)2,
отсюда следует (1.1.86).
Пример 1.1.4. Пространство Кп, в котором скалярное произведение любых
двух элементов а= (а1, ..., an)T и b = (б1, ..., Ьп)Т введено следующим
образом:
1 η
является евклидовым пространством, так как все аксиомы 1-4 очевидным
образом при этом выполняются. D
Пример 1.1.5. В пространстве геометрических
векторов Е% скалярное произведение вводят как произведение
длин векторов а и b на косинус угла между а и b
(рис. 1.1.7):
а · b = |a| |b| cos 99, (1.1.9)
поскольку понятия длины и угла в Е% имеются
аксиоматически. Заметим, что формула (1.1.8) в Е% являет-
операции скалярного ся не самостоятельным определением, а следствием из
произведения в Ег определения (1.1.9). Угол φ между векторами выбирают
Рис. 1.1.7.
Геометрическое изображение

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
19
по определению наименьшим, поэтому его значение лежит в промежутке
—π ^ ψ ^ π. D
В случае евклидова пространства £п, не совпадающего с Ε<ι и Е^, априори
нет понятия угла φ, и его вводят с помощью формулы скалярного
произведения
cosy? =
a b
(1.1.10)
Ненулевые векторы а и b в Еп называют коллинеарными, если существует
вещественное число s, такое, что а = sb. Для коллинеарных векторов по
формуле (1.1.10) имеем
slbl2
cos </? =-1—5-= 1, т. е. φ = 0. (1.1.10а)
slb I
Таким образом, как и в пространстве Е^у угол между коллинеарными
векторами равен нулю.
Векторы а и b называют ортогональными, если
b
Π
Рис. 1.1.8.
Геометрическое
изображение
ортогональных векторов в Е$
ei
ез
в2
а · b = 0.
Из формулы (1.1.10) следует, что угол φ между
ортогональными векторами равен ±π/2.
Систему векторов ai, ..., am в евклидовом
пространстве называют ортогональной, если любые два вектора
этой системы ортогональны.
Ортогональную систему еь ..., еп, все векторы
которой имеют единичную длину |e^| = 1, называют ортонор-
мированной.
Пример 1.1.6. В пространстве Е^ ортогональные векторы
а и b — это векторы, принадлежащие перпендикулярным
прямым (рис. 1.1.8). Ортонормированный базис е^ в Е^
изображен на рис. 1.1.9. D
Определение 1.1.6. Ортогональным
дополнением линейного подпространства Е'п с Еп называют
множество Е^~ всех векторов ае4> ортогональных каждому элементу из Е'п.
Теорема 1.1.5. Ортогональное дополнение Е^~ линейного
подпространства Е'п с Еп является линейным подпространством Е^~ с Еп, причем
сп = сп 0 сп ,
dim En = dim E'n + dim E'^~.
▼ Доказательство оставим в качестве упражнения. Его также можно
найти в курсах линейной алгебры, например, в [3]. А
Рис. 1.1.9.
Ортонормированный
базис в Е$

20
Глава 1. Тензорная алгебра
Пусть имеется n-мерное евклидово пространство Еп, тогда в нем можно
выбрать базис ei... еп и ввести матрицу дц из попарных скалярных
произведений
gij=ei-ej, i,j=\,...,n. (l.l.ll)
Эту матрицу называют фундаментальной (или метрической).
Если для базиса е^ фундаментальная матрица является единичной
9ij = Sij = \/ ' i,j = 1, ..., η, (1.1.12)
[U ι=3,
то такой базис называют ортонормированным.
В n-мерном евклидовом пространстве Еп всегда существует ортонормиро-
ванный базис.
Теорема 1.1.6. Фундаментальная матрица является невырожденной,
т. е.
det(^)^0. (1.1.13)
▼ Доказательство оставим в качестве упр. 2 к § 1.1. А
Из теоремы 1.1.3 следует, что всегда в Еп существует обратная
метрическая матрица glJ', удовлетворяющая соотношению
g^gjk=b\. (1.1.14)
1.1.6. Линейные преобразования векторных пространств
В МСС широко используют отображения векторных пространств.
Определение 1.1.7. Если имеет место закон, ставящий в соответствие
каждому элементу абМ единственный элемент Ъ е Λί, то говорят,
что имеется отображение Λ множества Μ в множество Л/\ которое
обозначают как Λ : Μ —> TV, или в виде зависимости
Ь = Л(а), аеМ, ЪеАГ. (1.1.15)
Вектор Ь, определяемый по формуле (1.1.15), называют образом а, а
вектор а — прообразом Ъ.
Отображение (1.1.15) называют сюръективным, если для каждого b e
е λί существует а е Μ такой, что A(a) = b. Отображение (1.1.15) называют
инъективным, если из ai φ а2 следует, что Α(μ.\) Φ А(а2), где ai,a2 е М.
Если отображение одновременно сюръективно и инъективно, то его называют
взаимнооднозначным (биективным).
Если Μ и λί — два линейных вещественных пространства С и С!
размерности η и ш, то (1.1.15) определяет отображение А: С —> С! пространства
С в С. В этом случае отображение (1.1.15) называют также оператором,

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
21
действующим из С в С!. Если С! есть пространство вещественных чисел К,
то (1.1.15) называют функционалом.
Отображение А : С —» С! часто записывают в виде функции b = /(a), где
Отображение А : £п —» К называют вещественнозначной функцией,
отображение Л : Μ —» К (т. е. b = /(а), где Ь.абМ) — скалярной функцией
скалярного аргумента, отображение А : Кп —» К — скалярной функцией
многих переменных, отображение А : К —» Кп — многомерной функцией
скалярного аргумента многих переменных, а отображение А : Кп —» Кт —
многомерной функцией многих переменных (п> 1, т > 1).
Функцию (1.1.15) обычно записывают следующим образом:
Ь1 = A\aj),
где
а-(α1, ..., αη)(ΞΚη, Ъ = {b\ ..., Ът) eRm.
Определение 1.1.8. Если отображение (1.1.15) удовлетворяет следующим
условиям:
1) А(зц +аг) = А(а.\) + А{^), для любых а.\, а2 е С;
2) A(seli) = sA(a), для любого а е С и любого вещественного s
(однородность степени 1),
то его называют линейным (или линейным оператором).
Если С и С совпадают, то линейное отображение (1.1.15) называют
линейным преобразованием.
Пример 1.1.7. Скалярное произведение в Еп
g = g(a) = a b, Va e En, g e Ш, b e En,
в котором один из векторов, например, b —
фиксирован, а вектор а — произволен,
является линейным функционалом g : Sn —> R.
В частности, если Еп = Ε<ι {Ε<ι здесь
множество векторов, принадлежащих ПЛОСКОСТИ Рис. 1.1.10. Геометрическое изоб-
П), то этот функционал имеет наглядное ражение линейного функционала
изображение (рис. 1.1.10), являясь отображе- g ' 3^
нием всех векторов а, принадлежащих плоскости П, на прямую, которой
принадлежит вектор b. D
1.1.7. Матрица линейного преобразования
Пусть имеется линейное n-мерное пространство Сп, тогда в нем можно
выбрать базис из η векторов: е\ ...еп. Если над Сп осуществляют линейное
преобразование Л: Сп —> Сп, то выбранному базису будет соответствовать

22
Глава 1. Тензорная алгебра
единственный набор из η векторов: А(е\)... А(еп). Поскольку векторы А(е$)
также принадлежат £п, то их можно разложить по базису ei...еп:
η
Α^) = ΣΑίί*> J=l> ■··. Ъ О·1·16)
z=l
где Аг ■ — коэффициенты разложения. Эти коэффициенты образуют матрицу
η-го порядка, называемую матрицей линейного преобразования.
Поскольку при фиксированном г коэффициенты A3i образуют
координатные столбцы (А\ ...А^у векторов A(ei), то можно также сказать, что
матрица линейного преобразования имеет в качестве столбцов координатные
столбцы векторов Л(е^) в базисе е^.
Выберем произвольный элемент а е Сп, ему будет соответствовать образ
b = A(a), также принадлежащий Сп. Разложим а и b по базису е\ . ..еп, в
котором мы ввели матрицу линейного преобразования А\\
h = bjejy a = a<ei. (1.1.17)
Согласно свойствам 1 и 2 линейного преобразования (см. определение
1.1.8), имеем
b = A(a) = А(а%) = аМ(е<) = а1А3\ е7- = b>ejf (1.1.18)
отсюда получаем
&=А\а\ (1.1.19)
т. е. компоненты любого вектора а и его образа b всегда связаны линейно с
помощью матрицы линейного преобразования. Поэтому говорят, что линейное
преобразование полностью определено своей матрицей.
Очевидно, что матрица линейного преобразования определена
неоднозначно: выбирая различные базисы в (1.1.16), будем получать, вообще говоря,
различные матрицы A3i. Однако все такие матрицы будут обладать
некоторыми общими свойствами. Укажем их.
Выберем два базиса е* и е^ в Сп и построим по (1.1.16) для каждого
матрицу линейного преобразования: Аг ■ и A,lj. Эти матрицы связывают
компоненты аг вектора а е Сп и его образа b согласно (1.1.19):
У=А3\а\ Ъ'3=А'{ан. (1.1.20)
Однако, ej и ej, аг и а/г, а также Ы и Ъ'3 связаны матрицей перехода Рг- по
формулам (1.1.3) и (1.1.4), тогда получаем
0 = Q\V = Q\A\ak = (У^\Р\ а11. (1.1.21)
Сравнивая соотношение (1.1.21) со второй формулой в (1.1.20), приходим к
следующей теореме.

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
23
Теорема 1.1.7. Матрица линейного преобразования при замене базиса е^
в пространстве Сп на другой базис е[ изменяется следующим образом:
A\ = Q\AlkP\. (1.1.22)
1.1.8. Изоморфные пространства
Между разными линейными пространствами возможны определенные
соответствия.
Определение 1.1.9. Два линейных пространства С и С называют
изоморфными, если существует линейное взаимнооднозначное
отображение А: С —► С
Условие существования изоморфных пространств определяет следующая
теорема.
Теорема 1.1.8. Два конечномерных линейных пространства изоморфны
тогда и только тогда, когда совпадают их размерности.
▼ Доказательство теоремы оставим в качестве упр. 13 к § 1.1. Его можно
также найти в [3]. А
1.1.9. Сопряженное пространство
Рассмотрим два линейных пространства Сп и С, одно из которых {С)
совпадает с пространством вещественных чисел R, и предположим, что задан
линейный функционал /: Сп —> К, обозначаемый
Ь = /(а), ае£п, ЬеШ (1.1.23)
и называемый, согласно п. 1.1.6, линейным функционалом на Сп. Согласно
определению 1.1.8, линейный функционал удовлетворяет двум аксиомам:
1) /(ai +а2) = /(ai) + /(а2) для любых аь а2 <Е Сп\
2) /(sai) = s/(a) для любого а е Сп и любого s€R.
Выберем некоторый базис ei... еп в Сп и разложим по нему произвольный
элемент а из £n: a = a*e;. Тогда значение функционала / (т. е. образ а), в
силу свойств линейности 1 и 2, можно представить следующим образом:
/(а) = }{а1ег) = аг/(ег) = а1 /г, (1.1.24)
где fi — образы векторов е*: fi = /(е^), fa Ε R. Числа fa не зависят от
элемента а, а определяются только базисом е^ и функционалом /, поэтому
назовем их компонентами функционала /.
Формула (1.1.24) составляет содержание следующей теоремы.
Теорема 1.1.9. Любой линейный функционал на Сп можно представить в
виде разложения (1.1.24), где fi — компоненты функционала, являющиеся
значениями функционала на некотором базисе Сп.

24
Глава 1. Тензорная алгебра
Согласно п. 1.1.7, каждому линейному отображению Л : Сп —> Ст
соответствует матрица отображения А размером πι χ п. Для линейного функционала
эта матрица имеет размеры 1 χ η, т. е. представляет собой координатную
строку длиной п. По определению эта строка состоит из значений
функционала на базисных векторах из Сп, т. е. это строка компонент функционала,
обозначим ее следующим образом:
fT = (/i.--/n) = (/(ei).../(en)). (1.1.25)
По теореме 1.1.9 каждому линейному функционалу / на Сп соответствует
координатная строка fт. С другой стороны, каждая строка fт, умноженная на
координатный столбец а произвольного вектора а из £п, согласно формуле
(1.1.24) образует функционал, который можно записать в виде
/(а)=Г-а = /;а\ (1.1.26)
где компоненты аг для всех a e Сп берутся в одном и том же базисе
ei...en. Несложно установить, что функционал (1.1.25) будет линейным.
Таким образом доказана следующая теорема.
Теорема 1.1.10. Множество С* всех линейных функционалов на Сп
изоморфно множеству координатных строк длиной п.
Введем на множестве С* следующие операции.
Определение 1.1.10. Суммой линейных функционалов f и g на Сп
называют линейный функционал h, который всякому а е Сп ставит в
соответствие число /г(а) = /(a) +g(a), а произведением функционала f
на число s e К называют функционал д, который каждому аб£п ставит
в соответствие число g(a) = s/(a).
Теорема 1.1.11. Множество С* всех линейных функционалов на Сп с
введенными на нем по определению 1.1.6 операциями сложения и умножения
на число образует n-мерное линейное пространство.
▼ Согласно теореме 1.1.10, существует взаимнооднозначное отображение
множества С* во множество координатных строк длиной п. При этом из
представления (1.1.26) и определения 1.1.10 следует, что для любого аб£п
сумма двух функционалов h = f + g соответствует сумме координатных строк
fT + gT, так как
/i(a) = fT.a + gT-a=(F + gT).a, (1.1.27)
а произведение g = sf соответствует строке sfт, так как
iKa) = s(fT-a) = (sf)T.a. (1.1.28)
Поскольку множество координатных строк длиной η является линейным
n-мерным пространством (см. упр. 8 к § 1.1) и для него выполнены все
аксиомы 1-8, то они будут выполнены и для операций в £*, следовательно,
С* является линейным пространством. В силу теоремы 1.1.8, оно изоморфно

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
25
n-мерному пространству координатных строк, и по теореме 1.1.5 С* имеет
размерность п. А
Определение 1.1.11. Линейное пространство С* всех линейных
функционалов на Сп называют сопряженным пространством по отноше-
HUK) К *-*γι.
1.1.10. Базис сопряженного пространства
Выберем в пространстве Сп некоторый базис ei...en, тогда для всякого
вектора а из Сп имеет место разложение а = аге$. Введем набор η линейных
функционалов на Сп специального типа
е\а)=а\ (1.1.29)
т. е. каждый г-й функционал ег(а) сопоставляет всякому а из Сп его г-ю
компоненту (число) в базисе е*.
Очевидно, что функционалы (1.1.29) действительно обладают свойствами
линейности. Если в качестве а в формуле (1.1.29) выбирать векторы базиса
ej, ТО ПОЛуЧИМ
е*(е,·) = <*V (1.1.30)
так как компоненты векторов е^· в том же базисе равны бг ·.
По аналогии с (1.1.25) образуем координатные столбцы, состоящие из
значений функционалов ег(а) на векторах е^· при фиксированном г:
е*={е*(ех), .... ег(еп))?. (1.1.31)
Тогда произвольный функционал / из £*> согласно (1.1.24) и (1.1.29), можно
представить в виде разложения по функционалам е1, ..., еп:
/ = e7i = fT-e, (1.1.32)
а соответствующий ему координатный столбец f — в виде разложения по
координатным столбцам ег:
f = fie\ (1.1.33)
Таким образом, е1 ...еп действительно образуют базис в пространстве
координатных столбцов, а функционалы е1 ...еп — базис в С*.
Заметим, что построенный базис e!...en зависит от выбора базиса
θι ... Gn В Х^тг·
Определение 1.1.12. Базисы е[ в Сп и е'г в С* называют взаимными
(или биортогональными), если они удовлетворяют соотношению
е'\^)=61у (1.1.34)
Очевидно, что построенные выше базисы ег и е; являются взаимными в
силу соотношения (1.1.30).

26
Глава 1. Тензорная алгебра
Элементы f пространства координатных столбцов, соответствующего
пространству £*, сопряженному к £п, называют также ковариантными векторами
или ковекторами (индексы у ковариантного базиса ег стоят вверху).
1.1,11, Замена базиса в сопряженном пространстве
Пусть в пространстве Сп имеется два базиса е* и ej, связанных
соотношениями (1.1.4). Построим для каждого из них соответствующие функционалы
ег и е,г по формуле (1.1.29):
е*(а)=а\ е'*(а) = а'\ (1.1.35)
где а — произвольный вектор из Сп, а = аге^ = а/ге^. Используя формулу
(1.1.3) связи компонент а'г = Q1aJ', получаем
eti(a) = Qijaj=Qije>(a). (1.1.36)
Если ввести координатный столбец, состоящий из значений функционалов
е/г(а) на векторах е^·:
eli=(e*(e1)...e'<(en))Tf (1.1.37)
то из (1.1.36) получим следующую теорему.
Теорема 1.1.12. При замене базиса е* на е[ по формуле (1.1.4) в
пространстве Сп соответствующие базисы ег и е/г в С*п связаны соотношениями
e,i = QijeP, &>=Р\е'\ (1.1.38)
Введем по формулам (1.1.24) компоненты произвольного функционала /
из С* в базисах ег и е/г:
Л = /(<*), П = М), (1-1.39)
тогда из соотношений
/(а) = /(аЦ) = olfj = /(o^ej) = а"# = а?С?}& (1.1.40)
получим утверждение следующей теоремы.
Теорема 1.1.13. При замене базиса е* на е[ по формуле (1.1.4) в
пространстве Сп, компоненты произвольного функционала в соответствующих
взаимных базисах ег и е/г связаны следующими соотношениями:
Ь = Ъ/1. fi = Giif}- (1-1.41)
1,1,12, Пространство, сопряженное с евклидовым пространством
Между элементами Сп и С* можно установить взаимнооднозначное
соответствие (изоморфизм), которое будет зависеть от выбора базиса. Однако,

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
27
если Сп является евклидовым пространством £п, то изоморфизм может быть
установлен независимо от базиса, что позволяет отождествить пространства
£п и £^.
Действительно, поскольку в Еп определено скалярное произведение, то,
зафиксировав некоторый элемент b е £п, получим линейный функционал
/(a)=b-a, Vae£n. (1.1.42)
Меняя Ь, будем находить различные функционалы /. Следовательно,
можно ввести отображение ф: £п —> Е*, где / = ф(Ъ) = Ъ · a, b е Еп, f е Ε*.
Следующая теорема позволяет установить, что это отображение
взаимнооднозначно.
Теорема 1.1.14 (Рисса). Всякий линейный функционал f на евклидовом
пространстве Еп можно однозначно представить в виде скалярного
произведения (1.1.42), где Ъ — некоторый элемент из Еп.
▼ Выберем некоторый базис е* в £п, тогда, согласно теореме 1.1.6, всякий
линейный функционал / можно представить в виде (1.1.24), где а = аге; —
произвольный вектор из Еп, a fy — компоненты функционала /. С помощью
этих компонент всегда можно образовать вектор b = blei, выбирая Ъг = gl^fjt
где gli — матрица, обратная к фундаментальной (1.1.14). Этот вектор b и
будет искомым элементом из Еп, обеспечивающим возможность представления
(1.1.42), так как для всякого а е Еп (см. упр. 9 к § 1.1):
b а = дуаУ = аг9г^к}к = а1 }г = /(b). (1.1.43)
Для доказательства единственности представления (1.1.42) предположим
противное, что существуют два различных вектора bi,b2 б £п, такие, что
/(а) = bj · а и /(а) = Ь2 · а. Тогда можно образовать разность /(а) — /(а) =
= (bj — b2) · а = 0. Поскольку это соотношение выполнено для любого а е £п,
то, следовательно, должно выполняться равенство bi = b2, что противоречит
сделанному допущению. А
Согласно определению 1.1.7 и теореме 1.1.14, введенное отображение
ф: Еп —> Е* является взаимнооднозначным и не зависит от базиса в £п.
Следовательно, Еп и £^ — изоморфны, и их можно отождествить: £^ = £п, в
этом смысле Еп называют «самосопряженным».
1.1.13. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора
в евклидовом пространстве
Ввиду отождествления Еп и £^ можно не делать различия между вектором
Ь, однозначно определяющим функционал /, и координатным столбцом
функционала /. Тогда соотношение (1.1.26) можно представить в виде (1.1.42):

28
Глава 1. Тензорная алгебра
/(a) = f-a, (1.1.44)
где f — элемент из Еп.
В частности, формула (1.1.30), связывающая векторы базисов е^ и ег в
форме (1.1.42), примет вид
e^ej) =ei-ej =δ^, (1.1.45)
т. е. ег и е7 взаимно ортогональны.
После отождествления Еп и Е* всякий элемент из Е* можно разложить
по базису из Еп, например ег = e^ej. Подставляя это выражение в формулу
(1.1.45), получаем
е* · ej = eikek · е,- = eikgkj = S*jt (1.1.46)
т.е. егк — матрица, обратная фундаментальной: еи = дгК Таким образом,
доказана следующая теорема.
Теорема 1.1.15. В евклидовом пространстве Еп сопряженный базис ег
связан с исходным ej с помощью матриц gij и g%i\
е1 = gijej, е, = д^еР. (1.1.47)
Соотношение (1.1.47) позволяет переходить от разложения произвольного
элемента а е Еп в основном базисе ej к разложению во взаимном ег и
наоборот:
а = alei = algikek = акек. (1.1.48)
Определение 1.1.13. Контравариантными компонентами вектора
aein называют его компоненты аг в базисе е$, а ковариантны-
ми — компоненты а* в базисе ег.
Из соотношения (1.1.48) получаем связь аг и щ.
Теорема 1.1.16. Ковариантные αι и контравариантные аг компоненты
всякого вектора а е Еп связаны с помощью фундаментальной
матрицы 9if
аг = glkak, ak = gkia\ (1.1.49)
Формула (1.1.35) в самосопряженном пространстве Еп приобретает вид
е'-а = а\ (1.1.50)
Соотношение (1.1.50) можно получить и непосредственно из (1.1.48).
Скалярно умножая (1.1.48) на ej, с учетом (1.1.46) получаем
альтернативную ей формулу
ej · а = aj. (1.1.51)
Пример 1.1.8. В пространстве Е2 (на плоскости) можно построить наглядное
геометрическое изображение векторов взаимного базиса е\ Используем для
этого свойство (1.1.46) их ортогональности с ej. В пространстве Е2 имеем
ез-е^О, ei-e2 = 0, ej-e^l, е2-е2=1, (1.1.52)

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
29
т. е. вектор е1 ортогонален к в2, а еА — к еь а длины векторов е1 и ег связаны
с длинами |ei| и |ег| соотношениями, вытекающими из формул (1.1.9):
|eQ| = ±-—-i , α =1,2, (1.1.53)
|eQ| sine/?
где φ — угол между ei и β2 («+», если 0 ^ φ ^ π, и «—», если —π ^ </? ^ 0).
На рис. 1.1.11 изображены векторы взаимного базиса ег в пространстве
Ε<ι для случая, когда π/2 ^ φ ^ π.
Для того чтобы геометрически изобразить ковариантные и контравариант-
ные компоненты а* и аг вектора а из ^2, воспользуемся формулами (1.1.48),
(1.1.51):
аа = a eQ = |a| |eQ|cos^Q = a^|eQ|, aQ = |aQeQ|/|eQ| = ajj7|eQ|, (1.1.54)
где обозначены: ajj* = |aQeQ| — параллельная проекция вектора а на вектор
е<* (осуществляемая параллельно вектору ер, β ф а) и а^ = |a|cos^Q —
ортогональная проекция вектора а на вектор eQ (осуществляемая параллельно
вектору еР, β ф а), а фа — угол между векторами а и eQ.
Рис. 1.1.11. Геометрическое Рис. 1.1.12. Геометрическое представление
изображение векторов взаим- ковариантных и контравариантных компо-
ного базиса в Ег нент вектора в единичном базисе еа в Ег
Если векторы еа имеют единичную длину, то ковариантные компоненты
аа совпадают с ортогональными проекциями а^, а ковариантные
компоненты аа — с параллельными проекциями ajj* (рис. 1.1.12). D
1.1.14, Правила расстановки индексов
В тензорном исчислении существуют правила расстановки индексов у
различных объектов, некоторые из них уже использовались выше. Перечислим
эти правила.
А. Объекты могут иметь верхние (контравариантные), нижние
(ковариантные) и смешанные индексы. Например, из уже введенных объектов нижние
индексы имеют:
©г' Okj» 9ij»

30
Глава 1. Тензорная алгебра
верхние:
Skj, д*, e\
смешанные:
Qki, Ρ*у <5γ
Число индексов, как будет показано в дальнейшем, может быть, в принципе,
любым.
У объектов со смешанными индексами иногда используют обозначение Qk {
или Qkiy чтобы подчеркнуть, что к — первый индекс, а г — второй (или,
наоборот, — Qk1.). Если порядок индексов не имеет значения, то применяют
также запись индексов «один над другим», например, 6f.
Б. Складывать, вычитать и приравнивать (т. е. подвергать действию
операций со знаками «+», «—» и «=») можно только объекты с
одинаковыми индексами, т. е. должны совпадать: число, обозначение и расположение
(верхний-нижний) индексов у объектов. Порядок же расположения индексов
может быть различным. Например, правильными записями являются:
(ц + bi, Jj-d/, ^'=^ + 7·",
неправильными:
αι + bj, с\ - d\, kij = p>ik + η,.
В первом случае нарушено обозначение индексов, во втором — расположение,
в третьем — число и расположение.
В. Во всех других операциях могут участвовать объекты с неодинаковыми
индексами, например, в скалярном произведении (1.1.11) у е^ и е^-
обозначения индексов разные, и их число у каждого объекта не совпадает с числом
индексов у gij. Однако объекты (ej · е^) и дц уже связаны операцией «=»,
поэтому индексы их должны быть согласованы с правилом Б. В дальнейшем
будут введены и другие операции.
Г. В операциях умножения, как обычного числового, так и скалярного
(а также векторного и тензорного, которые будут введены ниже),
повторяющиеся индексы должны располагаться следующим образом: один вверху —
другой внизу, например
η
хгег = 2_] x%ei — χΧ^\ + х е2 + · · · + ^Пеп>
г=1
3
a%j = y^cfbjj,
г=п

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
31
причем считают, что по этим повторяющимся индексам идет суммирование от
1 до η (в трехмерном пространстве от 1 до 3). Повторяться могут и индексы
у одного и того же многоиндексного объекта, например
В этом случае также по этим индексам идет суммирование. Далее будет
показано, что суммирование индексов у одного объекта — это частный случай
операции скалярного умножения (свертки). Повторяющиеся индексы
«взаимно уничтожаются» в формулах с операциями сложения и приравнивания (см.
правило Б), т.е. правильными будут, например, следующие записи:
а + Ъ\ = с/, Q^B* = Aik, а1Р/ +bl = c\
поэтому повторяющиеся индексы еще иначе называют немыми, а
неповторяющиеся — свободными индексами.
Д. В евклидовом пространстве Еп умножение на метрические матрицы gij
или дгз приводит, соответственно, к «опусканию» или «подниманию»
индексов. Это свойство называют «жонглированием индексов», его, в частности,
используют при переходе от векторов базиса е* к векторам взаимного базиса
ег по (1.1.47), вообще же
Aikgkj = Aijt Вг^ = В*.
Е. Особый случай представляет ортонормированный базис ё$, для
которого ej · ej = 6ij\ тогда, на основании (1.1.11), получим
Qij = Oij,
т. е. метрическая матрица в ортонормированном базисе — единичная,
единичной же будет и обратная метрическая матрица: дгз = 5гК Векторы базиса,
взаимного к ё$, можно вычислить по формуле (1.1.47):
& =gijej = Sijej, (1.1.55)
т.е. ё1 = <5lj'ej = ej и т.д.; таким образом, ёг и ё* совпадают. Однако для
того, чтобы сохранить правило А расстановки индексов, будем для
обозначения равенства этих векторов использовать формулу (1.1.55). Точно также
в дальнейшем будем поступать со всеми объектами, относящимися к орто-
нормированному базису: вводим верхние и нижние индексы согласно правилу
А, понимая, что численное значение величины от этого не изменяется. Этим
объясняется необходимость использования различных символов Кронекера
Sij, 5li и 6j, значения которых одинаковы. Согласно этому же правилу, можно
определить ковариантные и контравариантные матрицы перехода:

32
Глава 1. Тензорная алгебра
численные значения компонент которых равны между собой (Q\\ = Q\,
О12 = Q\ И τ· Д·)·
Ж. В операциях дифференцирования считают, что производная по объекту
с верхним индексом дает объект с нижним индексом и наоборот:
dfi 7 dfi
а*3 ~ ΊΓΎ' ai ~
dxj' г дх0 '
это правило будет использовано в § 1.2.
3. Для обозначения индексов применяют малые латинские буквы (г, j,
к, /, т и др.). В этом случае, если не оговорено особо, предполагают, что
индекс пробегает значения 1, ..., η в n-мерных пространствах и 1, 2, 3 — в
трехмерных. Иногда в качестве индексов используют также индексные
объекты, например 21,22, ... В этом случае получаются многоярусные индексные
объекты:
pi\ п. . п3\32
Г г2 ' ί/г ι *2» " '
однако, как и в предыдущем случае, такая запись означает, что каждый из
индексов 2'ь 2-2 пробегает значения 1, ..., η (или 1, 2, 3 для трехмерного
случая).
Если хотят подчеркнуть, что индексы пробегают только два значения,
например, 1 и 2, то для них часто используют заглавные латинские буквы:
a/, b1, Q*j, I, J =1,2.
Греческие буквы в качестве индексов часто используют для того, чтобы
применять повторяющиеся индексы, по которым нет суммирования:
Qaa> 9аа, & = 1, ... , П (ИЛИ 1,2,3).
Кроме того, в трехмерных пространствах в целях придания компактности
формулам греческие индексы используют в формулах с циклической
перестановкой индексов, например, вместо трех формул
Q\j = δ\δ{ + δ\δ{, Qtl = δ\δ{ + δ\δΙ Q\j = δ\δ{ + δ\δ{
можно применить одну
Ql = Щ + δ%
где предполагают, что α, β,η пробегают значения от 1 до 3, но все они не
равны и меняются циклическим образом: если а = 1, то β = 2, η = 3; если
а = 2, то β = 3, 7 = 1; если а = 3, то β = 1, η = 2.
Упражнения к § 1.1
Упражнение 1. Используя формулы (1.1.4) и (1.1.7), показать, что
ei = Qjie'j1 o!i = Qiio!K

§ 1.1. Сведения из теории векторных пространств
33
Упражнение 2. Доказать теорему 1.1.5.
Упражнение 3. Доказать, что любая система ai ... ап векторов линейного
пространства £, включающая в себя нулевой вектор, является линейно зависимой.
Упражнение 4. Доказать, что каждая подсистема линейно независимой системы из
С сама является линейно независимой.
Упражнение 5. Показать, что компоненты аг вектора а е С в базисе е^ определяются
однозначно.
Упражнение 6. Доказать, что множество всех непрерывных функций одной
независимой переменной х, определенных на отрезке [0,1], образует линейное пространство.
Упражнение 7. Доказать, что пространство всех непрерывных функций одной
переменной, определенных на отрезке [0,1], является бесконечномерным.
Упражнение 8. Доказать, что множество Шп, элементами которого являются
координатные упорядоченные совокупности η произвольных действительных чисел
(а1, ..., ап)т, является n-мерным линейным пространством.
Упражнение 9. Показать, что скалярное произведение векторов а и b из Еп можно
представить в виде
a b = gijtftf,
где аг и Ь3' — их компоненты в некотором базисе е^. Если же этот базис ортонорми-
рованный, то
η
a=l
Упражнение 10. Используя формулы (1.1.38) замены базиса в пространстве С*п,
показать, что обратная метрическая матрица glj (1.1.11) при замене базиса
преобразуется следующим образом:
Упражнение 11. Показать, что длину вектора а е £п можно вычислить через его
компоненты аг и а» в базисах е^ и ег следующим образом:
\а\ = (д*ага,)1'2 = (дг,а*а?)1'2.
Если же базис е; ортонормированный, то
/ η \ 1/2 / η ч 1/2
|а|=(^ЕК)2] =(^>)2) ■
Упражнение 12. Построить геометрическое изображение векторов ег в
пространстве ϋ?2 для случаев, когда угол φ между векторами ei и ег составляет:
а) -π ^ φ ^ -π/2; б) -π/2 ^φ^0\ в) 0 ^у? ^ π/2.
Упражнение 13. Доказать теорему 1.1.8.
Упражнение 14. Доказать теорему 1.1.3.
Упражнение 15. Используя формулу (1.1.4) замены базиса, показать, что
метрическая матрица д^ (1.1.11) при замене базиса преобразуется следующим образом:
9'ij = Ρ\ Plj 9kl-

34
Глава 1. Тензорная алгебра
A3 к
tijki t
§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
1.2,1, Символы Леви-Чивиты
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство Е$. Введем в этом
пространстве символы Леви-Чивиты е^к,ег^к следующим образом:
'О, если есть совпадающие индексы i,j,k\
1, если все индексы i,j,k различны и образуют
четную подстановку : (123), (231), (312); (1.2.1)
— 1, если все индексы i,j,k различны и образуют
нечетную подстановку : (132), (213), (321).
Здесь i,j,k пробегают значения 1, 2, 3.
Очевидно, что четные подстановки индексов не меняют значений символов
Леви-Чивиты, а нечетные — меняют только знак:
^ijk — ^kij — tjki — ^ikj — ^kji — tjik- yl.Z.Z)
Непосредственно можно проверить, что символы Леви-Чивиты
удовлетворяют следующим соотношениям:
еу*еу* = 6, eijkeilm = ήφ - δ[δ™, eijke»l = 2Sl (1.2.3)
а также
6<J'%=0, (1.2.4)
где Tij — компоненты произвольной симметричной матрицы, для которой
Τ — Τ
±гз — ±3%·
Символы Леви-Чивиты удобны, в частности, при записи формулы для
детерминанта матриц. Пусть имеется некоторая неособенная матрица
третьего порядка Лг·, i,j = 1,2,3, тогда ее детерминант определяют следующим
выражением:
det {А\) = А\А\А\ - А\А\А\ - А\А\А\-
- А\А\А\ + А\А\А\ + А\А\А\. (1.2.5)
Теорема 1.2.1. Детерминант (1.2.5) матрицы Аг ■ всегда можно
представить в виде ,
det μ4,-) = \Чзке™1 AimA>nA\ . (1.2.6)
▼ Действительно, перебирая в правой части выражения (1.2.6) все шесть
ненулевых значений е^ь находим шесть выражений следующего вида:
ememnlA'A\A\ , ememnlА[тА3пА2,, и т. д.

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
35
Каждое из этих выражений содержит еще по шесть ненулевых слагаемых.
Суммируя все эти слагаемые и приводя подобные с учетом того, что
^123 = ^231 = ^312 = 1> ^132 = ^213 = ^321 = ~1»
получаем в точности формулу (1.2.6). А
Формулу (1.2.6) можно представить в несколько ином виде, если
расписать покомпонентно только один из символов Леви-Чивиты:
det (A'j) = yijk{A\A{A% - А4А2 + A4Ali-
- Ai>A\Ak3 + AlA\Ak2 - Αμμί). (1.2.7)
Поскольку по индексам г, j, k суммирование идет справа, то, меняя местами
пары индексов, убеждаемся, что все шесть слагаемых в правой части равны
между собой, поэтому
det (A'j) = ^кА\А^А% αφβφΊφα, α, β, Ί = 1, 2, 3, (1.2.8)
где α, β, 7 образуют любую четную подстановку. При нечетной подстановке
следует поменять знак.
Еще одним способом записи формулы (1.2.8) является следующий:
det (Аг3)етп1 = Ч^тА?пАк. (1.2.9)
В его справедливости также легко убедиться, непосредственно расписав
(1.2.9) по индексам га, п, /.
Поскольку матрица Аг ■ является невырожденной, то для нее существует
обратная матрица (A~l)lj, удовлетворяющая соотношениям
А^{А-')\ = {А-^0А\ = ё\. (1.2.10)
Тогда, умножая соотношение (1.2.9) слева и справа на (A~l)lpemns, получаем
det (А^)етп1етп%А-1)1р = eijkemni:А'1тА>\6кр. (1.2.11)
С учетом свойств (1.2.3) и свойства символов Кронекера находим
2det (Α^)δ!(Α-ι)ιρ = ечРе™А>тА\. (1.2.12)
Используя свойство (1.2.2), приходим к следующей теореме.
Теорема 1.2.2. Для всякой невырожденной матрицы Аг ■ компоненты
обратной матрицы {А~1)г ■ имеют вид
Теорема 1.2.3. Для всякой невырожденной матрицы Аг ■ имеет место
формула
dA/dAsp = Α(Α~ι)ρ8, Δ = det (Λ* ■)· (1.2.14)

36
Глава 1. Тензорная алгебра
▼ Детерминант матрицы det (Аг ■)> согласно формуле (1.2.5), можно
рассматривать как кубическую функцию многих переменных (а именно, девяти),
где в роли переменных выступают компоненты Аг ·. Тогда можно вычислить
частные производные от этой функции. Найдем их, используя правило
дА\1дА'р = #&. (1.2.15)
В справедливости этой формулы несложно убедиться непосредственно.
Дифференцируя соотношение (1.2.6) с учетом (1.2.15), получаем
8^3Α% = (\Ι(>)ίφ^η1(δ\δ^ηΑ\ + AimSia%Akl + А*тА'п6к%), (1.2.16)
или с учетом свойств δ\:
8А/дА% = I {е^1 А\А\ + eiskem*>1 А1 тАк, + ефет^А'тА^п). (1.2.17)
Учитывая свойства (1.2.2) символов Леви-Чивиты, находим, что все три
слагаемых в правой части (1.2.17) совпадают, поэтому, воспользовавшись
формулой (1.2.13), получаем
ΘΑ/ΘΑ% = (1/2) е^е^пА\А\ = А(А~1У3. А (1.2.18)
Формулы (1.2.6), (1.2.9), (1.2.13), (1.2.18) можно применять и к матрицам
с полностью нижними или полностью верхними индексами, например, для
матриц gij и дгК Учитывая, что det (gij) = g, из (1.2.6) получаем
g = (\/6)e^kemnlgmignjgkl, (1.2.19)
а из (1.2.9) следует формула
у/9 tijk = {\1у/9) emnlgmi9nj9ik· (1.2.20)
Из (1.2.13) находим явное выражение, связывающее метрическую и
обратную метрическую матрицы:
fl« = (\/(2д)Утпе>ыдктд1п, (1.2.21)
а из (1.2.18) имеем
dg/dgtj = ggv. (1.2.22)
Формулы (1.2.19)—(1.2.22) широко применяют в приложениях.
1.2.2. Векторное произведение
С помощью символов Леви-Чивиты введем в пространстве <% еще одну
операцию с векторами — векторное произведение, которая ставит в
соответствие всякой паре векторов а и b из ^ элемент с тоже из Е$.

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
37
Определение 1.2.1. Векторным произведением векторов а иЪ из
пространства 8$ называют следующий вектор с из 8$:
c-axb^ eijka^ek = (l/y/g) β^αφ^. (1.2.23)
Векторное произведение обозначают знаком «х».
Последнее равенство в формуле (1.2.23) действительно имеет место в силу
формул (1.1.47), (1.1.49) и (1.2.20).
Замечание 1.2.1. Тот факт, что элемент с, определяемый по (1.2.23),
является снова вектором из £з, а также факт независимости векторного
произведения от выбора базиса е^ нуждаются в доказательстве, которое будет
представлено в п. 1.2.7.
Замечание 1.2.2. Для пространства <% с векторным произведением обычно
не вводят дополнительное обозначение, что мы и будем делать в дальнейшем.
Теорема 1.2.4. Для векторного произведения (1.2.23) имеет место
формула
axb = Sn, (1.2.24)
S = |а| |b|siny>, (1.2.25)
где φ — угол между векторами а.иЪ(0^(р^п),ап — единичный вектор,
ортогональный к а и Ь, иначе говоря:
1) вектор а х b ортогонален а и Ь;
2) длина вектора а х b равна произведению длин векторов а и b на
синус угла между ними:
|а χ Ь| = S = |а| |b| sin φ. (1.2.26)
▼ Если хотя бы один из векторов а и b нулевой, то формула, очевидно,
имеет место, так как слева и справа в ней получаем нуль. Если векторы а
и b ненулевые и коллинеарны, т. е. а = sb, где s ф 0, то, согласно (1.1.10а),
угол между ними равен нулю: φ = 0 и simp = 0, тогда и выражение справа
в (1.2.24) будет равно нулю. Векторное произведение (1.2.23) коллинеарных
векторов также будет равно нулю, так как для них а = sblei, Ъ = blei и
а х b = Sy/g €ijkblb^ek = 0, в силу свойства (1.2.4) символов Леви-Чивиты.
Таким образом, для коллинеарных векторов формула (1.2.24) также имеет
место.
Рассмотрим случай, когда а и b — ненулевые и неколлинеарные, тогда
они линейно независимы и с их помощью можно построить базис е^ в Ε<ι.
е^а, е'2 = Ъ, е'3 = п, (1.2.27)
где η выбираем так, чтобы он был ортогонален к а и b и имел единичную
длину: η · а = 0, η · b = 0, |n| = 1. В этом базисе а = а,ге[, Ъ = Ь,ге[, причем

38
Глава 1. Тензорная алгебра
ап = 1, а'2 = а'3 = 0, Ьп = 6/3 = О, б'2 = 1, а метрическая матрица ^
имеет компоненты
|а|2 a b О4
(<&) = |ab |b|2 О
О О 1
гз Сг ^з
(1.2.28)
Тогда
5 = V9U922 siny? = \Jg'ug'22 γ 1 - cos2 </?
Вычислим cosy? из определения (1.1.9):
cos<^ = (a-b)/(|a| |b|) = g\2l\jQuO^ >
1 — cos2 y? =
011 022
0?2
011022
011022
(1.2.29)
rfle^ = det(^·).
Таким образом, выражение для S принимает вид
011022
0
011022
(1.2.30)
Вычислим а х b в базисе е[, используя формулу (1.2.23):
axb=V7 e123a'W3 = V7 е'3.
(1.2.31)
/зЛ/
В силу свойств (1.1.46) векторов сопряженного базиса: ее' = 1,
>/3|
т. е.
\/\е'3\ = 1, кроме того, вектор ем ортогонален векторам е\ и е
./3
следовательно, е" может отличаться от е^ = η только направлением, т. е.
е/3 = ±п = ±е'3. Однако, согласно свойствам (1.1.35) векторов взаимного
базиса, возможен только знак «+», т.е. е/3 = е^ = п. Подставляя (1.2.30) в
(1.2.31), действительно получаем формулу (1.2.24). А
Пример 1.2.1. Формула (1.2.24) позволяет получить наглядное
изображение векторного произведения в Е^ (рис. 1.2.1): а х b — это вектор,
ортогональный векторам а и Ь, длина которого
равна S — площади параллелограмма,
построенного на векторах а и Ь.
---v Заметим, что выбор направления вектора
у' п, а, следовательно, и векторного произведе-
у" ния а х Ь, в формуле (1.2.24) не определен.
В пространстве Е$ аксиоматически направ-
_ « п « r л ление η выбирают так, чтобы векторы а, b, n
Рис. 1.2.1. Геометрическое изоб- r r
ражение векторного произведения образовывали правую тройку, т. е. вектор η
в пространстве Ег был направлен в ту сторону от плоскости,

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
39
определяемой векторами а и Ь, отсюда кратчайший поворот от а к b кажется
совершающимся против часовой стрелки. D
Теорема 1.2.5. Векторы взаимного и основного базисов в <% связаны с
помощью операции векторного произведения:
e7 = (l/vS)eaxe^, e7^eaxe^, (1.2.32)
а Φ β Φ 7 Φ α, α, /3, 7 = 1> 2, 3.
▼ Действительно, рассмотрим векторное произведение векторов базиса
еп х ет в £з и воспользуемся определением (1.2.23), в котором сделаем
замену а —► еп = о\^ и b —> ет = 53mej, тогда получим
enxem = v5 eijkSln6Jmek = y/g enmkek, (1.2.33)
в частности
e2xe3 = v5 e1· (1-2-34)
Аналогично доказываем вторую формулу в (1.2.32). А
1,2.3. Смешанное и двойное векторные произведения
Определение 1.2.2. Последовательное применение операций векторного,
а затем скалярного умножения для трех векторов a, b,c e 8$.
(ах b)-c = c-(ax b) (1.2.35)
называют смешанным произведением.
Смешанное произведение, очевидно, приводит к образованию скаляра φ:
(p = c-{axb) = y/ij ецка1}Р<*. (1.2.36)
Определение 1.2.3. Двойным векторным произведением
называют вектор d, образованный из трех векторов а, Ь, с е 8$ следующим
образом:
d = ax (b x с). (1.2.37)
Согласно определению (1.2.23), находим компоненты d:
d = (\/y/9)eljkal(^elmjblcm)ek = (e^kelmjaiblcm)ek = dkek. (1.2.38)
Используя вторую формулу в (1.2.3), преобразуем (1.2.38) к виду
d=(-SilS^ + SimSf)aibldnek =
= (-aiblck + ambkcm)ek = (а · c)b - (а · b)c. (1.2.39)
Таким образом, приходим к формуле
ax(bxc) =b(a-c)-c(a-b). (1.2.40)

40
Глава 1. Тензорная алгебра
1.2.4. Вычисление объема
Умножим скалярно обе части соотношения (1.2.32) на е^:
вг ' \&п X &т) = у 9 €птк& ' &г = у 9 ^птг = у 9 ^гптп· (1.Z.41)
Рассмотрим частный случай этой формулы:
ei · (е2 xe3) = v5 е123 = у/9- (1.2.42)
Величину у/д называют объемом параллелепипеда, построенного на
базисных векторах.
Пример 1.2.2. Покажем, что в пространстве Е$ у/д — это действительно
объем |У| параллелепипеда, построенного на векторах ег. Используя свойства
скалярного и векторного произведений, получаем
у/д = е\ · (е2 х ез) = |βι ||β2 х ез| cos(p\ = \е\ \ cos(p\S = hS = \V\. (1.2.43)
Здесь S (согласно примеру 1.2.1) — площадь параллелограмма,
лежащего в основании параллелепипеда, построенного на векторах е2 и ез, а
h = |ei|cosy?i — его высота. D
1.2.5. Преобразование объема при замене базиса
Рассмотрим вопрос о том, как преобразуется объем у/д при замене базиса
е^ на е[ по формуле (1.1.4). Метрическая матрица дц при такой замене
преобразуется по формуле (1.1.10):
д'ц = Pmi Plj9ml, (1.2.44)
9ы = Q'mP\ 9iy (1-2.45)
Эти формулы можно рассматривать как обобщение закона преобразования
(1.1.3) на случай двухиндексных объектов, поэтому соотношения (1.2.44) и
(1.2.45) также называют тензорным законом преобразования.
Вычислим определитель матрицы д\л
д' = det {g'i3) = (det (P^ ))2det (gml) = (det (P^ )fg, (1.2.46)
или, вводя обозначение для определителя якобиевой матрицы
A = det (Qmi ), (1.2.47)
получаем, что
y/j=±Ay/i>. (1.2.48)

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
41
Поскольку всегда должно выполняться условие у/д > 0, то формула (1.2.48)
имеет вид
у/д=\Ь\у/Р. (1.2.49)
Таким образом, скаляр у/д не является инвариантом при произвольной замене
базиса (1.1.4) (для инварианта должно было бы выполняться равенство у/д1 =
= у/9).
1.2.6. Преобразование символов Леви-Чивиты при замене базиса
Воспользуемся формулой (1.2.9), которую применим к якобиевой
матрице QV:
emnl = (l/A)Q*mQ\Q* Ujkt Δ = det (Q^). (1.2.50)
Умножая (1.2.50) слева и справа на у/д, с учетом (1.2.49) получаем
формулу для преобразования компонент у/д е^к:
у/д етп1 = (|Δ|/Δ) Q^Qi^t y^ eijk. (1.2.51)
Аналогично можно получить обратную формулу
у7? ецк = (Δ/|Δ|) Ρ™ F) Plk^ emnl, (1.2.52)
а также формулу для компонент (l/%/g)eyfc:
(1/vW* = (A/\A\)QimQ\Qkl(l/^)em'u. (1.2.53)
Формулы (1.2.52) и (1.2.53) можно рассматривать как закон преобразования
трехиндексных объектов у/д вф и (\/у/д) еи7с при замене базиса е* —> е[.
Очевидно, что из-за наличия множителя (Δ/|Δ|) этот закон отличается от
тензорных законов (1.1.3) и (1.2.45), если бы мы обобщили его на случай
трехиндексных объектов:
y/jeljk = Ρ™ Pnj Plky/j emnl. (1.2.54)
1.2.7. Преобразование векторного произведения при замене базиса
Рассмотрим в пространстве 8$ какой-либо базис е*, тогда все возможные
базисы е[ в 8$ можно разделить на два класса: правые — если замену базиса
по формуле (1.1.4) осуществляют с Δ > 0, и левые — если Δ < 0. Сам базис
е; попадает в правый класс, так как для него Δ = 1 > 0. Очевидно, что классы
базисов не зависят от выбора исходного базиса е^ — от него зависит лишь
название — какой класс правый, а какой левый.
Рассмотрим в базисе е^ векторное произведение с двух векторов аиЬиз
£з» определенное по формуле (1.2.23).

42
Глава 1. Тензорная алгебра
Выберем еще один произвольный базис е^ из 8$ и введем по отношению
к нему векторное произведение тех же векторов а,Ье^ по формуле,
аналогичной (1.2.23):
с' = (ах Ь)' = yftf eijkaHb'je'k = c'ke'k, (1.2.55)
где ап,0 — компоненты в базисе е^; efk — базис, взаимный к е[.
Выражение у/д7 eijk преобразуется по закону (1.2.52), поэтому
4 = \Ϊ9' tijka'W = (Δ/|Δ|) Ρ™ Ρ» Р1к^ етп1анЬ'^ =
= (Δ/|Δ|) у/д emnlambnPlk. (1.2.56)
Здесь мы использовали свойство (1.1.3) для компонент а'г и Ь'К Поскольку
выражения
ci = y/g етп1атЪп (1.2.57)
являются компонентами векторного произведения с = а х b, определенного
по (1.2.23) в базисе е*, то из (1.2.56) следует, что
4 = (Δ/|Δ|) Plkch (1.2.58)
с' = (Δ/|Δ|) с. (1.2.59)
Закон преобразования (1.2.58) компонент Ск векторного произведения
с = а х b отличается от тензорного закона (1.1.3) наличием коэффициента
Δ/|Δ| = ±1; следовательно, векторное произведение не является
инвариантом при любых заменах базисов (1.1.4), а значит его нельзя считать
вектором из 8$, поскольку, согласно п. 1.1.2, вектор — это инвариантный
объект.
С другой стороны, неинвариантность векторного произведения «не очень
сильная»: если замену базиса е^ —> е^ осуществляют только в подмножестве
правых базисов, для которых Δ > 0 и Δ/|Δ| = 1, то из (1.2.58) и (1.2.59)
следует, что
с'к = Р1кси с7-с, (1.2.60)
а если осуществляют переход к подмножеству левых базисов е[, для которых
Δ < 0 и Δ/|Δ| = — 1, то векторное произведение меняет знак:
4 = -P'fcQ, c' = -c. (1.2.61)
Пример 1.2.3. В пространстве Е$ векторное произведение а х b,
определенное в базисе е*, образующем правую тройку (см. пример 1.2.1), и в левом
базисе е^, отличается только направлением вектора с (рис. 1.2.2). D
Объект с, имеющий в каком-либо базисе е^ из 8$ компоненты q,
преобразующиеся при замене базиса (1.1.4) по закону (1.2.58), называют аксиальным
вектором, или псевдовектором.

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
43
i
ез
У
▲
7
«*'
*
а
/
/
/
/
/
к,/
i
е3
*4
t
L
еГ
/
с'
чг
/
а
/
/
/
/
/
α
Рис. 1.2.2. Геометрическое изображение векторного произведения в правом е* (а)
и левом ei (б) базисах
Векторы а из ^з в этом случае называют истинными векторами, или
полярными векторами.
1.2.8. Преобразование смешанного произведения
и векторов взаимного базиса при замене основного базиса
Смешанное произведение трех истинных векторов a, b и d из £з можно
представить в виде
</? = (axb)-d = d-c = die1, c = axb = c^e*
(1.2.62)
Вычислим его в двух различных базисах е* и ej, используя формулу (1.2.58)
для преобразования компонент векторного произведения:
φ' = d% = (Δ/|Δ|)Ρ»4 CiQ\dk = (Δ/|Δ|) V = (Δ/|Δ|)ν. (1.2.63)
Таким образом, смешанное произведение, вообще говоря, не является
скалярным инвариантом относительно любой замены базиса (1.1.4), его
инвариантность имеет место только при замене базиса в рамках одного класса, когда
Δ>0.
Определяя двойное векторное произведение трех истинных векторов d =
= а х (Ь χ с) по формуле (1.2.37) в базисе е^ив базисе е[у с учетом формулы
(1.2.38) получаем, что а' = d, т. е. d является истинным вектором.
Проверим, что векторы взаимного базиса е\ вычисляемые по формуле
(1.2.32), при замене базиса (1.1.4) действительно преобразуются по формуле
(1.1.38), т. е. являются истинными векторами, хотя векторы eQ χ θβ таковыми
не являются. Записывая формулу (1.2.33) в базисе е[у получаем
enmke'k = (\/^)(e'nxe'm). (1.2.64)
Переходя к векторному произведению в базисе е^ по формуле (1.2.59) и
используя формулы (1.2.49), (1.1.4) и (1.2.50), находим

44
Глава 1. Тензорная алгебра
jk _ J^[_^_p/ х р/ _ _^_ pi pj р. χ Р. — Л Ρ* pj F..;pfc
' ~~ /σ ΙΔΙ ~ ία г 3 ~' rn^jk^
= ^Р1п^тЯ3гЯР,Я\^Рьек = enmtQ\ek. (1.2.65)
Выбирая различные несовпадающие значения индексов η и га, несложно
заметить, что полученная формула
Сптке' =£пт1Я1ке (1.2.66)
действительно эквивалентна формуле (1.1.38): efk = Qkiel, т.е. векторы
взаимного базиса — истинные векторы.
1.2.9. Алгебраические операции
с истинными и аксиальными векторами
В МСС как истинные, так и аксиальные векторы, применяемые для
описания тех или иных физических величин, могут одновременно
участвовать в одних и тех же формулах. Как правило, все формулы, описывающие
физические процессы, являются инвариантными, т. е. не зависят от выбора
базиса. В этом случае можно указать общие правила корректного написания
таких формул, в которых применяют алгебраические операции с истинными
и аксиальными векторами.
1. В векторных уравнениях вида
а+Ь = с (1.2.67)
все входящие векторы должны быть одновременно либо истинными, либо
аксиальными. Складывать аксиальные векторы с истинными в этих уравнениях
не корректно, поскольку в этом случае результат будет зависеть от выбора
базиса.
2. В уравнениях, образованных формулами скалярного, векторного,
смешанного и двойного произведений
а · b = φ, а х b = с, а х (b χ с) = ψ, (а χ b) · с = ζ, (1.2.68)
могут участвовать одновременно истинные и аксиальные векторы, но тогда
правая часть этих уравнений должна быть объектом согласованного типа (см.
упр. 13 к §1.2).
Упражнения к § 1.2
Упражнение 1. Доказать формулы (1.2.3) и (1.2.4).
Упражнение 2. Доказать, что
G — „ г- € &п X &т·

§ 1.2. Векторное и смешанное произведения
45
Упражнение 3. Доказать, что
Упражнение 4. Доказать, что
е* хеР = -^ eijkek.
у/9
&к — η €кпт& Χ β
Упражнение 5. Показать, что е^ χ ег = 0.
Упражнение 6. Доказать, что циклическая перестановка не меняет результата
смешанного произведения:
(а х Ь) · с = (с χ а) · b = (b x с) · а.
Упражнение 7. Показать, что
а χ b = -b х а, а χ а = 0, (а х b) · а = 0.
Упражнение 8. Показать, что если е$ — три ортогональных вектора единичной
длины,то
ei χ ej = ек, г Φ j Φ к = г.
Упражнение 9. Используя соотношение (1.2.3) и формулу (1.2.6), доказать, что
детерминант произведения матриц равен произведению детерминантов:
det (^ШС- ) = det (S\Jdet (С™).
Упражнение 10. Используя результаты упр. 9 и определение (1.2.10) обратной
матрицы, показать, что
det (i4ii) = (det (Л"1)^·)"1.
Упражнение 11. Показать, что
en x em = —j= £ gni9mjGky det (A j)€mnl\A j fc = tijk-A mA n·
Упражнение 12. Используя свойство (1.2.40) двойного векторного произведения,
показать, что
(ег χ ej) х е* = S\ej - дцег.
Упражнение 13. Используя формулу (1.2.59), показать, что:
1) скалярное произведение двух аксиальных векторов а и b образует
инвариантный скаляр;
2) векторное произведение двух аксиальных векторов образует снова аксиальный
вектор, а векторное произведение истинного и аксиального векторов образует
истинный вектор;
3) двойное векторное произведение трех аксиальных векторов образует
аксиальный вектор;
4) двойное векторное произведение трех истинных векторов h = (a x b) x с
является истинным вектором, использовать при доказательстве представление
h = d χ с = —=■ eljkdiCjek = hkek, d = a x b.
V9

46
Глава 1. Тензорная алгебра
Упражнение 14. Используя свойство (1.2.4), показать, что
det (aldj) = 0.
Упражнение 15. Используя свойства (1.2.3) и (1.2.4), показать, что
det (α2δ) - Ь%) = 6α4(α2 - |b|2), |b|2 = Ъ%.
§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
1.3.1. Отношение эквивалентности
Для определения тензоров на линейном пространстве Сп нам потребуются
некоторые сведения из теории множеств. Приведем их.
Рассмотрим два произвольных множества Μ и Л/\
Определение 1.3.1. Декартовым произведением множеств Μ и
Μ называют множество, состоящее из всех возможных упорядоченных
пар элементов (ab), где а€М и b е ЛЛ Такое множество обозначим как
Μχλί.
Аналогично вводят декартово произведение η множеств М\, ..., Мп и
обозначают его М\ χ ... χ Μη, а также п-ю декартову степень множества
М, которую обозначают следующим образом:
Мп = Мх...хМ (пштук). (1.3.1)
Пример 1.3.1. Примером декартова произведения является арифметическое
пространство Кп, элементы которого представляют собой упорядоченные
наборы вещественных чисел (х1 ...хп), и которое можно рассматривать как п-ю
декартову степень: Κη = Κ1 χ Μ1 χ ... χ Κ1. D
Пример 1.3.2. Третья декартова степень множества Е^ образует множество
«тривекторов»: Ез = Е^ χ Ε^ χ Ε^, элементами которого являются наборы из
трех векторов (рис. 1.3.1) — тройки: (а^аз), (Ь^Ьз) и т. п. D
В множестве Μ часто необходимо найти
эквивалентные в некотором смысле элементы.
Говорят, что на множестве Μ задано
отношение эквивалентности между его элементами, если
определено некоторое правило, устанавливающее
эквивалентность (неразличимость) элементов a, b е Μ
между собой. Отношение эквивалентности обознача-
Рис. 1.3.1. тройки векто- ют знаком «~», а элементы а, Ь, связанные отноше-
ров — элементы множе- ^
Л п π нием эквивалентности, обозначают а ~ b и называют
ства JfcL3
эквивалентными.
Отношение эквивалентности удовлетворяет следующим аксиомам для
любых а, Ь,с б М:

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
47
1) а~а (рефлексивность);
2) если а ~ Ь, то b ~ а (симметричность);
3) если а ~ b и b ~ с, то а ~ с (транзитивность).
Определение 1.3.2. Подмножество всех элементов из М,
эквивалентных фиксированному элементу аеМ, называют классом
эквивалентности, содержащим а, и обозначают его как [а]. Всякий элемент
из класса эквивалентности [а] называют представителем
класса [а].
Пример 1.3.3. Рассмотрим хорошо известное нам трехмерное пространство
«геометрических» векторов Е$, в котором каждый
вектор а «представляет только сам себя», а
отношение эквивалентности между векторами а и b введем
по признакам их равенства (см. пример 1.1.1). Тогда
классом эквивалентности всякого вектора а является
множество равных ему векторов (все множество век- рис. 1.3.2. Класс эквива-
торов, которые могут быть совмещены параллельным лентности «геометрическо-
переносом) (рис. 1.3.2). Это множество в примере го>> вектоРа
1.1.1 было названо свободным вектором. D
Теорема 1.3.1. Любой класс [а], где а е М, однозначно определяется
любым своим представителем; иначе говоря, для любых а,ЬеМ их
эквивалентность а ~ b равносильна совпадению их классов: [а] = [Ь].
▼ Докажем теорему в одну сторону. Пусть а ~ Ь, тогда выберем
произвольный элемент с е [а]. Из определения 1.3.2 следует, что с ~ а, но тогда,
в силу аксиомы 3, должно быть с ~ Ь, т.е. се [Ь]. Таким образом, любой
элемент, принадлежащий [а], принадлежит и [Ь], значит [а] с [Ь]. Однако
если выбрать произвольный элемент d е [Ь], то d ~ b, а, следовательно, в
силу транзитивности d ~ а, поэтому [Ь] с [а]. Это означает, что [а] и [Ь]
совпадают: [а] = [Ь].
Докажем в обратную сторону: пусть [а] = [Ь], тогда аб [Ь]; по
определению 1.3.2 это означает, что а ~ b. A
Имеет место еще одна важная теорема.
Теорема 1.3.2. Множество π^(Μ) всех классов эквивалентности по
отношению ~ разбивает все множество Μ на непересекающиеся
подмножества.
▼ Действительно, пусть имеется множество π~(Μ) всех классов
эквивалентности, но какой-либо элемент а е Μ не попадает в π^(Μ). Тогда
можно образовать еще один класс эквивалентности, состоящий из одного
этого элемента: [а] = а; аксиомы 1-3 для него будут выполнены. Поскольку
по предположению а ^ π^(Μ), то и [а] не принадлежит π^(Μ). Но это
противоречит условию теоремы, что π^(Μ) содержит все классы из М.
Полученное противоречие доказывает, что все элементы Μ входят в π^(Μ).

48
Глава 1. Тензорная алгебра
Покажем теперь, что различные классы эквивалентности не пересекаются.
Пусть противное: имеются различные классы [а] и [Ь] такие, что [а] П [b] φ 0.
Тогда можно выбрать элемент с такой, что с е [а] и с е [Ь]. Тогда с ~ а и
с ~ Ь, а значит, в силу аксиомы 3, а ~ b и по теореме 1.3.1 [а] = [Ь], что
противоречит допущению о различии этих классов. А
1.3,2. Фактор-пространство
Пусть отношение эквивалентности задано на линейном пространстве £,
при этом аксиомы 1-3 дополним еще двумя: для любых a, b и с е С
4) если а ~ Ь, то а + с ~ b + с;
5) если а ~ Ь, то aa. ~ ah.
Применив теорему 1.3.2, получим, что пространство С можно разбить на
непересекающиеся классы эквивалентности:
C=\J[a\. (1.3.2)
Между этими классами можно определить операции сложения и умножения
на число:
• суммой классов [а] + [Ь] называют класс [а + Ь] элементов,
эквивалентных сумме а + Ь;
• произведением класса [а] на число s называют класс [sa] элементов,
эквивалентных элементу sa, т. е.
[a] + [b] = [a + b], s[a] = [sa]. (1.3.3)
Определение 1.3.3. Множество всех классов эквивалентности линейного
пространства С называют фактор-пространством [С]
пространства С.
Очевидно, что имеет место следующая теорема.
Теорема 1.3.3. Фактор-пространство [С] линейного пространства С само
является линейным пространством по отношению к операциям (1.3.3).
Отметим, что хотя, согласно (1.3.2), объединение элементов всех классов
[а] тоже образует все пространство £, фактор-пространство
[С] не совпадает с £, так как его элементами являются
сами классы. В силу эквивалентности элементов в классе,
класс можно отождествлять только с одним из его
представителей, что мы и будем делать в дальнейшем.
Рис. 1.3.3. Векто- т» < 0 л π д.
Пример 1.3.4. Пример фактор-пространства — простран-
ры С ОбЩИМ нача- г г- rr-rrrr rr
лом — представи- ство геометрических векторов £3, элементами которого
тели классов в Еъ являются свободные векторы — классы эквивалентности. В

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
49
качестве представителей классов в Е% обычно используют векторы, имеющие
общее начало (рис. 1.3.3). D
1.3.3. Тензорное произведение линейных пространств
Рассмотрим два линейных пространства Сп и Ст, т^ п. Образуем из них
множество Спт, представляющее собой п-ю декартову степень от декартова
произведения Сп χ Cm, т. е.
*~пт — \*~п х *~т) · (1.0.4)
Согласно определению 1.1.13, элементами множества Спт являются
упорядоченные наборы А длиной (2п), составленные из элементов пространств
£"п и Ст, т. е.
А = (щЬИ) = (а1ь[Ча2ьИ ...anbNj , (1.3.5)
где a.i 6 Сп, Ь^ 6 £т (г = 1, ..., n), A e Спт. Индекс у векторов Ь^ взят в
скобки, чтобы не путать их с элементами сопряженного пространства. Наборы
вида (1.3.5) будем далее называть векторными наборами, а векторы а* —
левыми векторами, Ь^ — правыми векторами.
Введем операции сложения и умножения на число векторных наборов
(а*Ыг1) из множества
Два векторных набора назовем однотипными, если они имеют
одинаковые векторы а^ е Сп или Ыг1 е £т (г = 1, ..., ή).
Определение 1.3.4. Суммой двух однотипных элементов множества
Спт называют следующие наборы:
(a<bW) + (a<cW) = (а,(ьИ + cW))f (1.3.6)
(a<bW) + (dibM) = ((а* + d<)bW). (1.3.7)
Произведением элемента множества Спт на число s называют
наборы вида
8(a<bM) = ((eaiJbW) = (a^bM)). (1.3.8)
Из определений (1.3.5)—(1.3.7) для однотипных элементов следует, что
(a<bW) = (aiS) <=> Ъ® = S, г = 1, ..., п, (1.3.9)
(a<bW) = (dibW) <=^ * = &>.
Введем на множестве £пт отношение эквивалентности следующим
образом.
Определение 1.3.5. Элементы А и В множества Спт называют
эквивалентными, если выполнено хотя бы одно из условий:
а) элементы А и В состоят из одних и тех же пар векторов афШ, ...,
anbtn], но упорядоченных, вообще говоря, различным образом;

50
Глава 1. Тензорная алгебра
б) один элемент может быть получен из другого с помощью операции
(1.3.8);
в) все пары векторов ajbW, ..., anb^ и порядок их расположения у
элементов А и В совпадают, кроме тех пар, у которых один из
векторов — нулевой вектор 0.
Пример 1.3.5. Приведем примеры элементов А и В пространства £зз {п = 3),
эквивалентных согласно правилам а, б и в соответственно:
А = (афШагЬИазЬИ) ~ (азЬ^агЬ^ьШ) = В, (1.3.10)
А = (ai
-.((eaOiib^ieaaJiib^JieaaJ^b^^B, s φ 0, (1.3.11)
А = (ai0a2b^0b^) ~ (Ob^]a2b^a30) = В. D (1.3.12)
Несложно убедиться, что введенное отношение эквивалентности
удовлетворяет аксиомам 1-3.
Выбирая некоторый элемент А е Спт, с помощью правил а-в находим все
эквивалентные ему элементы, в результате получаем класс эквивалентности
[А] элемента А.
Перебирая все элементы А е Спт, получаем множество всех классов
эквивалентности множества Сптп, которое, аналогично определению 1.3.3,
назовем фактор-пространством [Спгп] множества Спт.
Для [Спт] вводят специальное обозначение.
Определение 1.3.6. Тензорным произведением линейных
пространств Сп и Ст размерности пит называют фактор-пространство п-й
декартовой степени от декартова произведения пространств Сп χ Ст по
отношению к введенной в определении 1.3.5 эквивалентности и
обозначают его как
Сп®Ст = [Спт] = [(Сп X Ст)П], (1-3.13)
где ® — знак тензорного произведения.
Определение 1.3.7. Элементы Τ множества Сп®Ст называют
тензорами на линейных пространствах Сп и Ст и обозначают
следующим образом:
T=[A] = [a<bN]f (1.3.14)
где щ е Сп, Ь^ е Ст, А е Спт, Τ е Сп ® Ст.
Пример 1.3.6. Покажем как выглядят элементы А из пространства £22> если
С2 — Е2 — двумерные пространства геометрических векторов, т. е. η — т — 2.
Векторный набор (1.3.5) в (£2 χ £2)2 имеет вид
A=(aibWa2bt2J). (1.3.15)

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
51
8L2--
Поскольку а^ и Ы11 — геометрические векторы, то
элемент А можно также изобразить геометрически как
упорядоченную совокупность четырех векторов,
имеющих общее начало (рис. 1.3.4).
Порядок векторов в наборе А условимся
изображать следующим образом: левые векторы в каждой
паре ai,a2 будем изображать жирными стрелками, а
правые ЬШ,Ы21 — простыми. На векторах каждой пары
(ajbW) или (a2bt2l) римскими цифрами будем
проставлять номер пары: I или II. Тогда эквивалентные в
смысле а по определению 1.3.5 векторные наборы А и В будут изображены
так, как показано на рис. 1.3.5, а.
Рис. 1.3.4.
Геометрическое представление
векторного набора А из
пространства £22
Рис. 1.3.5. Геометрическое изображение векторных наборов в £22, эквивалентных в
смысле а, б и β (определение 1.3.5)
Эквивалентные в смысле б наборы будут изображаться так, как показано
на рис. 1.3.5,6, а в смысле в — как на рис. 1.3.5, в, где нулевой вектор
t>W = 0, как обычно, изображаем точкой.
Как было отмечено в п. 1.3.1, все эквивалентные элементы в классе можно
отождествлять с одним из его представителей. В качестве такого
представителя для #22> очевидно, можно брать элемент А, общий вид которого показан
на рис. 1.3.4. Согласно определению 1.3.7, этот элемент есть тензор Τ из
множества Е22 = #2 ® #2 — (^2 х ^2)2·
Иначе говоря, с точностью до отношений эквивалентности а, б и β из
определения 1.3.5 тензор Τ из множества #22 представляет собой
упорядоченный набор четырех векторов a^b^ e Е^\
Т= [А] = [aibWa2b[2]].
(1.3.16)

52
Глава 1. Тензорная алгебра
Условимся также, что если у тензора Τ в какой-либо паре щЪ^ один из
векторов является нулевым, в качестве представителя класса будем выбирать
тензор с полностью нулевой парой: а^Ь^ = 00, и при геометрическом
изображении тензора эту пару будем изображать только точкой.
Например, тензор, данный на рис. 1.3.5, в, будем далее изображать, как
это показано на рис. 1.3.6. Такая условность вполне оправдана, поскольку, в
силу эквивалентности в, у пар аО, Ob второй вектор вообще произволен.
Суммой двух тензоров Τ и В из Е22 '·
Τ = [aibWasb^] и В = [alC^SL2c[\ (1.3.17)
согласно определению (1.3.6), является тензор S, у
которого правые векторы пар являются суммой
соответствующих правых векторов от тензоров Τ и В:
КЫЧ+с^^ааСьИ+сИ)!. (1.3.18)
Рис. 1.3.6.
Геометрическое изображение
тензоров из Е22 вида
[aiOa2b[21l
т + в =
ai
Таким образом, геометрическое правило сложения двух
тензоров заключается в сложении соответствующих
правых векторов по правилу параллелограмма и неизменности двух левых
векторов, в результате снова образуется объект вида (1.3.15) (рис. 1.3.7, а).
ьи +*га
а2::
а
Рис. 1.3.7. Геометрическое изображение операций сложения двух тензоров (а)
и умножения тензора на число (б)
Аналогично осуществляют сложение двух правых однотипных тензоров.
Умножение тензора Τ на число s, согласно (1.3.8), в Е22 имеет вид
sT = s[aibWa2b[2]] = [sn(sb^)sL2(sb[2])]. (1.3.19)

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
53
Геометрический тензор sT изображен на рис. 1.3.7, б. D
Пример 1.3.7. Аналогично можно ввести в трехмерном пространстве Е$
тензорное произведение Е^з = Е$ 0 Е$ = [Е$ χ #з]3> элементами которого
являются тензоры
Т =
аф^азЬ^азЬИ
(1.3.20)
Геометрически такие тензоры Τ е Е33, с точностью до
указанных эквивалентностей а, б и в из определения
1.3.5, могут быть изображены как упорядоченные
наборы шести векторов a^b^ e Е$ (рис. 1.3.8).
Правила изображения упорядоченных векторов для тензора
Τ б #зз аналогичны двумерному случаю. Подобным же рИс. 1.3.8. Геометриче-
образом можно геометрически изобразить операции с ское изображение тен-
тензорами из Е33. D 30Ра т е Ез3
1.3.4. Базисные диады
Построим в множестве Сп ® Ст специальную систему элементов, т. е.
классов. Для этого выберем некоторый базис ei ...en в Сп и базис hi ...hm
в £т, и построим на их основе следующие системы векторов в Сп и Ст\
Э-г — 6j,
ЬЙ. = 6\hk, г, j = 1, ..., η, к=\,
, т.
(1.3.21)
Объект ЬЙ, представляет собой совокупность различных векторов из Ст,
например, Ь1^ — векторы
Ъ[$ = δ\\ι2 = h2, bf2] = 6fh2 = О, ..., b$ = S?h2 = 0 и т. п.
Подставляя эти векторы при фиксированных j и к в наборы (1.3.5),
получаем систему из пт элементов пространства Спт\
A{jk) = (eihfk) = (ei^-hfc)), j=\, ...,n, k=\,...,m. (1.3.22)
Теорема 1.3.4. Все элементы системы (1.3.22) принадлежат различным
классам эквивалентности [А^] пространства Спт по отношениям а, б
и в.
Доказательство теоремы рекомендуем выполнить в качестве упр. 1 к § 1.3.
Введем для классов эквивалентности элементов A(jfc) специальное
обозначение
ej^hk = [ei(6ijhk)]. (1.3.23)
Назовем эти классы базисными диадами.

54
Глава 1. Тензорная алгебра
В развернутом виде базисные диады (1.3.23) имеют вид
е^· ® hfc = [е\0...ejhk ...en0], (1.3.23а)
т. е. все пары, кроме e^h^, стоящей на j-м месте, являются парами вида е^О,
Mi-
Перейдем к новому элементу класса в (1.3.23а). Используем для этого
свойство в из определения 1.3.5, заменяя пары е^О на Oh;. Тогда получим
ej ® hQ = [Ohj ... ejha ... 0hn] =
= [(^ej)h! ... (£е,-)Ьа ... (^e,)hn] = [(^е,)Ьг].
Здесь мы использовали свойство символов Кронекера Slaej = 0, если % φ а.
Таким образом, наряду с представлением (1.3.23а) имеет место и
альтернативное представление для базисных диад
ei<8)hfc = [(4ei)hi]. (1.3.236)
В силу определения, базисные диады (1.3.23) являются тензорами из
771·
Особую ситуацию представляет случай, когда η = 1, например, когда £п —
пространство вещественных чисел £\ = К. Тогда вектор базиса ej в таком
пространстве всего один — это некоторое ненулевое число s, и имеется т
базисных диад (1.3.236):
s®hfc = [shfc], к = 1, ..., т, hk <E £т,
т. е. векторный набор состоит всего из одной пары sh^.
Аксиоматически полагают, что такие базисные диады являются векторами
из пространства £ту т. е.
s<g)hfc = shfc. (1.3.24)
Пример 1.3.8. Выберем в двумерном пространстве Ε<ι оба базиса е^ и h^
совпадающими: h; = е^ (г = 1,2), тогда во множестве Е22 (см. пример 1.3.3)
базисные диады (1.3.23) будут иметь явный вид:
ei ® ei = [eieie20], e2 ® ei = [eiOe2ei],
е2 ® е2 = [eiOe2e2], ei ® e2 = [eie2e20]. (1.3.25а)
Следуя общему правилу, изложенному в примере 1.3.6, геометрическое
изображение тензоров е* ® е^- — базисных диад (1.3.24) — показано на
рис. 1.3.9.
Совпадающие векторы в паре, например в ei 0ei, изображены двойной
стрелкой: полужирной — левый, а светлой — правый векторы пары. Пары с
нулевыми векторами изображают точкой. D

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
55
Рис. 1.3.9. Геометрическое изображение базисных диад в Е22
Пример 1.3.9. В трехмерном пространстве £33 базисные диады имеют вид
ei ® ej = T(lj·) = [е1е^е20е30], е2 ® е, = Т(2<7·) = [eiOe2eje30],
е3 <8> е7· = T(3j) = [е10е20е3е^·]. (1.3.256)
Их можно изобразить геометрически подобно базисным диадам в £22. D
1.3.5. Диадный базис
Важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.3.5. Класс эквивалентности [а^Ь^] любого элемента а^Ь^ из
Спт можно представить в виде линейной комбинации классов
эквивалентности системы (1.3.22):
η т
[А] = [а,ьИ] = ^^Г^[Ада], (1.3.26)
з=\ к=\
где Т^к — коэффициенты.
Поскольку классы [А] и [А^)], согласно определениям 1.3.6 и 1.3.7,
являются тензорами из Сп®£>т, то с учетом обозначения (1.3.23) получим
еще одну формулировку теоремы 1.3.5.
Теорема 1.3.5а. Любой тензор Τ = [А] на линейных пространствах Сп и
Ст можно представить в виде линейной комбинации базисных диад:
T = Tjkej®hk. (1.3.27)
Прежде чем доказать теорему 1.3.5, сделаем два замечания. Во-первых,
согласно (1.3.3) и теореме 1.3.3, нами определены три вида действий с
классами: сложение, умножение на число и переход к новому представителю
данного класса. Во-вторых, по определению (1.3.6), (1.3.7) эквивалентных
элементов складывать можно только классы, содержащие однотипные
элементы из Спт. В частности, все элементы системы (1.3.22) однотипные, поэтому
сложение их классов в формуле (1.3.26) правомерно.

56
Глава 1. Тензорная алгебра
▼ Выберем произвольный элемент (а^Ь^) из Спт и представим его класс
в виде суммы классов однотипных элементов:
[щЪЩ = [aibWa20 ... an0] + ... + [а10 ... aQb^ ... an0] + ...
... + [a10...an_10anbN]. (1.3.28)
В этих классах элементы имеют только по одной, вообще говоря, ненулевой
паре векторов ааЫа1, а остальные — это пары вида а^О.
Разложим векторы з^ и Ь^ по базисам: з^ = aJaej, Ыа1 = bakhk, тогда
каждый класс в сумме (1.3.28) можно представить следующим образом:
т
[а10 ... aabM ... ап0] = Σ Ъак[эцО... s^hk ... ап0] =
fc=l
т
= J2bak№l...(aiej)hk...0hn} =
т η τη η
= Σ Σ ^Чм · · · e;h* · · · enQ] = Σ Σ ьак<ъ ®h* (J·3·29)
к=\ з=\ к=\ з=\
Здесь мы применили теорему 1.3.1 для замены элемента в классе на
эквивалентный, фактически поменяли пары а;0 на Oh; для того, чтобы получить
правые однотипные классы, а затем после выполнения линейных операций
(1.3.7), (1.3.8) с классами еще раз поменяли пары Oh; на егО.
Последнее равенство в (1.3.29) действительно имеет место, поскольку,
меняя местами пары e^h^ и е^О, стоящие на а-м и j-м местах, а затем, меняя
пару е^О на eQ0, приходим к упорядоченному по возрастанию векторов е*
классу е^ <g) hfc = [ei0...eQ0...ejhfc ...епО] (см. (1.3.23а)).
Подставляя (1.3.29) в (1.3.28), получаем
т η
Τ = [a<bW] = Σ Σ <bakeJ ® hfc' (L3·30)
k=\ j,a=\
что совпадает с выражением (1.3.27), причем
η
Tjk = ^<bak- A (1.3.31)
Следствием теоремы 1.3.5 является еще одно важное утверждение.
Теорема 1.3.6. Тензорное произведение Сп ® Ст линейных пространств
Сп и Ст размерности пит само является линейным пространством
размерности пт.
▼ Действительно, с помощью теоремы 1.3.5 появляется возможность
складывать классы неоднотипных элементов из Спт: для этого надо предваритель-

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
57
но эти классы представить в виде (1.3.30), а затем уже складывать, используя
правила сложения (1.3.6)—(1.3.8) для классов однотипных элементов:
[щЪЩ + [фсМ] = а\Ык^ ®hfc + d^c^ej ®hk =
= {а3^к + djiCik)ej ®Ък = \^{{а3\Ь1к + d?iCik)hk)] (1.3.32)
и
з[щЪ®] = [Sa<bW].
Несложно проверить, что эти операции с элементами пространства Сп ® £т
удовлетворяют аксиомам 1-8 линейного пространства, отсюда следует, что
£>п Θ £m — линейное пространство. В частности, нулевым элементом 0 в
£>п Θ £m является тензор [а;Ь^], у которого все а; = 0 и Ь^ = 0.
Эквивалентными ему являются тензоры, для которых только а^ = 0 или Ы11 = 0.
Установим размерность пространства Сп ® Ст. Для этого заметим, что
базисные диады (1.3.23) являются элементами пространства Сп ® Ст, а набор
всех базисных диад е^· ® h^ (.7 = 1, ..., η; к = 1, ..., τη) образует линейно
независимую систему в этом пространстве. Действительно, предположим, что
нашлась такая ненулевая система коэффициентов Tjk, для которой выполнено
соотношение
Tjkej (8) hfc = 0. (1.3.33)
Выбирая некоторых представителей классов, получаем из (1.3.33) и (1.3.23)
О = Т>*(е^Ь*)) = (ei(Tifchfc)) = (eib«). (1.3.34)
Отсюда, на основании (1.3.9), находим, что Ь^ = ТгкЪ.к = 0, но это
противоречит тому, что hi ...hm — базис в Ст. Таким образом, базисные диады
ej ® hfc образуют линейно независимую систему в Сп ® £т. Кроме того, на
основании теоремы 1.3.5а, любой элемент из Сп®Ст линейно выражается
через них, а значит, е^· ®Ъ.к — базис в пространстве Сп ® £т, называемый
диадным базисом. Число элементов в диадном базисе равно пт, отсюда
получаем, что
dim (Сп ® Ст) = пт. А (1.3.35)
Формула (1.3.27) является обобщением для тензоров формулы разложения
вектора а е Сп по базису (1.1.1), таким образом, поскольку е^ ® h^ — базис,
то естественно назвать коэффициенты Tjk в (1.3.27) компонентами тензора
в этом диадном базисе, их число равно пт. С другой стороны, формула
(1.3.27) фактически является формулой (1.1.1), но записанной для линейных
пространств специального вида — обладающих внутренними конструкциями
типа Сп ® Ст.

58
Глава 1. Тензорная алгебра
1.3.6. Тензоры второго ранга
Пусть пространства Сп и Ст совпадают: Ст = Сп (п = га), и базисы h;
и е^ в Сп тоже совпадают: h; = е^ (г = 1, ..., п). Тогда из определения 1.3.6
получаем тензорное произведение Сп ® Сп, элементами которого являются
тензоры Т; на основании (1.3.27), эти тензоры можно представить в виде
Τ = Т1къ
efc, г,к= 1, ..., п. (1.3.36)
Такие тензоры из Сп ® Сп называют тензорами второго ранга на линейном
пространстве Сп.
Формулу (1.3.36) называют формулой разложения тензора второго
ранга по диадному базису.
Используя общее определение (1.3.23) базисных диад, находим
е* ® ек = [ej(^efc)] = [(^е^е,·], (1.3.37)
тогда тензор второго ранга (1.3.36) можно записать в виде
Т = Г*[е,$е*)] = ЫТкб{ек)} = [ej(T»ek)].
Здесь мы использовали свойства линейности (1.3.7) и (1.3.8).
Таким образом, мы получили формулу, устанавливающую связь
представлений тензора второго ранга в диадном базисе и в виде классов
эквивалентности:
Τ = ГЧ ® ек = МГЧ)] = [СГ*е<)е*]. (1.3.38)
Формулы (1.3.38) и (1.3.31) позволяют легко пе-
(rj f "/* реходить от одного представления к другому: ес-
' ли известны компоненты Тгк в диадном базисе, то
по (1.3.38) находим векторы а^ и Ь^
(разумеется только с точностью до эквивалентности а-в):
ai = ei, bW = Тгкек, и если, наоборот, известны
векторы а^ и Ь^, то по (1.3.31) находим Тгк.
Пример 1.3.10. Тензоры Τ из пространства £22
(п = 2), определенные формулой (1.3.16), являются
тензорами второго ранга. Если известны
компоненты тензора Ти в базисе е*, то, согласно формуле
(1.3.38), получаем
Τ = [ei(Tnei + T12e2)e2(T21ei + Г22е2)].
ei Tne,
Рис. 1.3.10.
Геометрическое изображение тензора Τ
в #22 и его компонент
С помощью этой формулы можно дать наглядное геометрическое изображение
тензора Τ из £22 и его компонент Ти (рис. 1.3.10). Диадный базис состоит
из четырех элементов, столько же имеется компонент ТгК D

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
59
Пример 1.3.11. Тензоры Τ из пространства Е^ (п = 3), определенные
формулой (1.3.20), являются тензорами второго ранга. Их геометрическое
изображение показано на рис. 1.3.8. Согласно формуле (1.3.36), диадный
базис в #зз состоит из девяти базисных диад е* ® е^·, таково же число
компонент тензора ТгК D
1.3.7. Тензоры высших рангов
Часто в МСС встречаются тензоры более высокого ранга, чем второй.
Для определения этих тензоров построим рекуррентную
последовательность тензорных произведений линейных пространств.
Шаг г = 1. Выбираем пространства Ст и Сп совпадающими: Ст = Сп
(п = т), тогда Спт = Сп® Сп и его элементами являются тензоры второго
ранга (1.3.36).
Шаг г = 2. Поскольку, на основании теоремы 1.3.6, Сп ® Сп также
является линейным пространством, то его можно выбрать в качестве пространства
Ст в определении 1.3.6. Базис hi...hm этого пространства Ст состоит из
т = п2 элементов, в качестве которых можно взять базисные диады е* ® е^·
(гJ = 1, ..., η), где е^ — базис в Сп\
h(j_1)n+fc = ej ®efc, j,k = 1, ..., п. (1.3.39)
Тогда из определения 1.3.6 получим
Сп®Ст = Сп®Сп® Сп (1.3.40)
— снова линейное пространство. Его элементами являются тензоры
третьего ранга, которые, на основании (1.3.27), можно представить в виде
3Т = Tikei®hk, г=1, ...,n, fc=l, ...,m, m = n2. (1.3.41)
Если ввести трехындексные компоненты
Tiji =Ti,(j-\)n+i^ i,j,l= 1, .·., η, (1.3.42)
то формулу (1.3.41) с учетом (1.3.39) можно записать следующим образом:
3T = Tij'zei<8>ej<8>ez. (1.3.43)
Тензоры ej ® ej ® е/ назовем базисными триадами. Эти тензоры образуют
базис в пространстве Сп® Сп® Сп.
Шаг г = к — 1. Выстраивая далее аналогичным образом рекуррентную
последовательность, на шаге г = к — 1 придем к /с-кратному тензорному
произведению линейных пространств £п, для которого введем специальное
обозначение
Т<?к) = Сп®Сп®...®Сп, т = пк-\ (1.3.44)

60
Глава 1. Тензорная алгебра
Линейное пространство Тп называют пространством контравариантных
тензоров k-го ранга.
Элементами линейного пространства Тп являются контравариантные
тензоры к-го ранга, которые обозначают следующим образом:
fcT = Til-i*eil<8)...<8)eifcf (1.3.45)
где тензоры е^ ® ... ® е^ называют базисными полиадами, они образуют
базис в Тп , который называют также полиадным базисом, а Тц-Лк —
компоненты тензора в этом полиадном базисе.
Число элементов в полиадном базисе равно пк, таково же число компонент
Тч"Лк тензора к-то ранга. Формулу (1.3.43) называют формулой разложения
тензора к-го ранга по полиадному базису.
Теорема 1.3.7. Всякий контравариантный тензор k-го ранга кТ из
пространства Тп можно представить в виде класса эквивалентности:
кТ = [щ к~1Т^...ап к~1тМ] = [а* к~1Т% (1.3.46)
где a.i — некоторая система векторов из Сп, a fc_1TW — некоторая
система контравариантных тензоров (к — \)-го ранга из пространства
J-n > 2 = 1, ... , П.
▼ Действительно, согласно определению 1.3.7, тензор k-το ранга кТ —
это элемент пространства Тп (1.3.44), которое является частным случаем
тензорного произведения пространств Сп ® Ст, где Ст = Сп ® ... ® Сп (к — 1
штук), т.е. кТ ε Сп ® Ст. Тогда, согласно определению 1.3.7, кТ можно
представить в виде (1.3.14): кТ = [гцЫ1!], где а^ е Сп, а Ь^ — элемент
пространства Ст = Сп ® ... ® Сп. Однако элементами такого пространства
Ст являются тензоры (к — 1)-го ранга, т. е. Ы11 в данном случае отличаются
от fc_1TW просто обозначением, и, следовательно, формула (1.3.46)
действительно имеет место. А
Пример 1.3.12. Если Сп = Е$, то пространство тензоров второго ранга Т% '
совпадает с введенным ранее пространством Е^ = Е% ® Е$. Тензоры третьего
ранга 3Т € Ti , согласно формуле (1.3.44), можно представить в виде
3Т = [aiT^UsT^asT^], (1.3.47)
где Т?М — тензоры второго ранга из Т% — Е^з, г = 1,2,3. Для этого же
тензора 3Т справедливо разложение (1.3.41) по триадному базису е* ®ej <8>е/,
который в данном случае имеет З3 = 27 элементов, столько же имеется и
компонент тензора Тг^1.
Базисные триады, согласно формуле (1.3.7), можно представить в виде
классов эквивалентности:
ei ® е* ® ej = 3T(hj) = [βιΤφ)β20β30],

§ 1.3. Тензоры на линейных пространствах
61
е2 ® е* ® ej = 3T(2ij) = [eiOe2T(ij)e30], (1.3.48)
е3 <8> е* ® ej = 3T(3ij) = [eiOe2Oe3T(ij)].
Здесь Т(у) — базисные тензоры (1.3.256) второго ранга, а 0 — это нулевой
тензор второго ранга: 0 = [е10е2ОезО].
Поскольку по определению классов все элементы е^ и Т^ — это
представители соответствующих классов, то, подставляя представителей классов
базисных диад (1.3.25) в (1.3.43), можно получить полное представление
базисных триад, например
ei ® е2 ® е3 = [ei(eiOe2e3e30)e2(eiOe2Oe30)e3(eiOe2Oe30)]. (1.3.49)
Векторный набор в таком классе состоит из 21 вектора. D
1.3.8. Тензоры на сопряженном пространстве
Выберем теперь в определении 1.3.6 в качестве Сп и Ст сопряженные
к ним пространства £* и £^ с базисами е1 ...еп и hl ...hm. Элементами
тензорного произведения С*п ® £^ являются тензоры вида
Т = [аЧэм], а* 6 £;, ЪщеС*т, (1.3.50)
где агЬ^] — векторные наборы вида (1.3.5), а [ ] — класс эквивалентности
по отношениям, приведенным в определении 1.3.5.
Для тензоров типа (1.3.48) остаются справедливыми теоремы 1.3.4-1.3.6,
в частности, сопряженные базисные диады имеют вид
eJ"<8)hfc = [ei(^ihfc)], (1.3.51)
а разложение произвольного тензора Τ (1.3.50) из С*пт = С*п ® С*ш по
базисным диадам принимает вид
T = TiZei<8>hz, (1.3.52)
где введены обозначения
Тц = а\Ъп (1.3.53)
для компонент тензора Τ в сопряженном диадном базисе, причем
а^-а^е·7', h{j] = biZhz. (1.3.54)
Согласно теореме 1.3.3, множество С*пп является линейным пространством.
Если построить рекуррентную последовательность тензорных
произведений, аналогичную построенной в п. 1.3.7, то на шаге г = к — 1 придем к
линейному пространству вида
Tf°> = C®...®C (1.3.55)
4 ч, '
к

62
Глава 1. Тензорная алгебра
называемому тензорным пространством Тп {Сп), элементами которого
являются
fcT = Til...inei,<8)...<8)ei* (1.3.56)
— тензоры к-то ранга, называемые ковариантными тензорами.
Если же, начиная с шага г = ρ (где ρ < к) данной рекуррентной
последовательности в качестве пространства Ст снова выбирать Сп, то на шаге
г = к — 1 придем к линейному пространству
т^ = сп®...®сп®сп®...®сп, q = k-P, (1.3.57)
4 -ν ' Ч ν· "
ρ Я
называемому тензорным пространством Тп (Сп), элементами которого
являются
fcT = Ti1...ipP+1'"<fce<1 ® · · · ® е*" <8) eip+l ® .. · ® eifc, \^p<k, (1.3.58)
— тензоры к-го ранга, называемые смешанными (или ко-контравариантными)
тензорами.
На основании теоремы 1.3.6 заключаем, что размерность пространства
Тп определяется по формуле
dimTn^ =np+q. (1.3.59)
Для всех трех типов тензоров (1.3.45), (1.3.56) и (1.3.58) вводят единую
классификацию.
Определение 1.3.5. Тензорами типа (p,q) называют элементы
линейного пространства Тп , где р^ 0, q^ 0 (целые числа).
Таким образом, ковариантные тензоры (1.3.45) — это тензоры типа (к,0),
где ρ = к, q = 0; контравариантные тензоры (1.3.56) — это тензоры типа (0, к),
где ρ = 0, q = к; а смешанные (1.3.58) — это тензоры типа (р, q) с ρ > 0,
q = к — ρ > 0.
Тензоры первого ранга из пространства Тп — это просто векторы, их
обозначаем как обычно абТ,[ , а из пространства Тп — это ковекторы,
их также обозначаем как b e %i .
Тензоры нулевого ранга — это числа (в более общем случае они могут
быть числовыми функциями (см. гл. 2)), называемые скалярами.
Упражнение к § 1.3
Упражнение 1. Доказать теорему 1.3.4.

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
63
§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
1.4.1, Изменение компонент тензоров при замене базиса
Обратим внимание на то, что определение тензора кТ из пространства
Тп не зависит от выбора базиса ег в порождающем пространстве £п, т. е.
тензор — это инвариантный объект. Однако компоненты этого тензора при
замене базиса ег· на е^ е Сп, так же как и компоненты вектора а (1.1.3) из Сп
могут меняться. Установим закон их изменения.
Пусть в пространстве Сп выбран новый базис e'if связанный с базисом ег·
матрицей преобразования Р\ (1.1.4).
Поскольку ej е £п, то на его основе можно образовать базисные диады
е[ ® е'к, которые, очевидно, также являются тензорами второго ранга, т. е.
элементами из Тп .
Установим связь между е' ® е'к и е^· ® ек. Для этого воспользуемся
формулой (1.3.21), в которой в качестве векторов а; и Ь^ выберем
ai = efi = Pliel, (1.4.1)
Ъ% = 6^е'к = (У^щ, i,j,k=\, ..., η. (1.4.2)
Тогда из (1.3.23) находим
e'j ® е'к = [ej(^ei)] = Р'^Р^ ® ег. (1.4.3)
Отсюда получаем формулу связи диадных базисов
е^егк = Р^Р\е^ег. (1.4.4)
Очевидно, что имеют место обратные соотношения
е; <8> ег = Q\ Q\ ej <8> e'fc. (1.4.5)
Произвольный тензор Τ из Τη , согласно теореме 1.3.2, можно
разложить по всякому диадному базису, проделаем это для базисов е'- ® е'к и
е/ <8>ег\
Τ = T'jke'j <g> е'к = Т^кР^Р1кег ® ez = Гг/ег· <g> ez. (1.4.6)
Здесь мы учли свойство инвариантности тензора Т.
Отсюда получаем связь компонент Т^к и Тг1 в разных базисах ег и е£:
Т* = TljkPijPLk. (1.4.7)
Выберем в сопряженном пространстве Сп два базиса е/г и ег, связанные
матрицей преобразования Рг по формулам (1.1.38). Образуем на основе
этих базисов базисные диады е·7 ® ек и е'·7 ® e/fc, являющиеся элементами
пространства 7п .

64
Глава 1. Тензорная алгебра
Разложим тензор е/г ® е'к по диадному базису е3; ® ек с помощью формул
(1.3.48)—(1.3.52), в которых в качестве ковекторов аг и Ьед выбираем
ai = e'i = Qijei, (1.4.8)
b[J = ^e/fc = VQfczezf z,jr,/c,Z = 1, ..., η,
тогда получим
е'' Θ efk = [е*(б{е'к)] = Q<* <%Qfcz e* Θ ez. (1.4.9)
В результате приходим к соотношению между сопряженными базисными
диадами
e'j®e'k = QjiQklei®el. (1.4.10)
Аналогично устанавливаем, что смешанные диадные базисы связаны
соотношениями
е* Θ ек = Q^P] e'j ® e'z, е1®ек = P^Q1 kefj ® e{. (1.4.10a)
Обратные соотношения имеют вид
ej ® е,к = Р\ Q\ ej Θ ек, е* ® е'к = QljPlkeP ®et. (1.4.106)
Если выбрать произвольный тензор Τ из пространства Τη , то его можно
разложить по формуле (1.3.50) как по диадному базису ег ® efc, так и по
е/г <g)e/fc, тогда с учетом (1.4.10) получим
Τ = rjke'j Θ е,к = T'jkQ\ Q\ e* ® el = Тае* ®e'. (1.4.11)
В силу единственности разложения элементов линейного пространства по
базису, окончательно имеем
Τα = Τ^^ (1.4.12)
т-(20)
— соотношение между компонентами тензора из Тп в различных
сопряженных диадных базисах
ВооС
теорема.
Теорема 1.4.1. Базисные полиады в пространстве Тп (р ^ 0, q ^ 0) при
замене базиса в порождающем их пространстве Сп\ е'г = Р\щ и
сопряженном κ нему пространстве Сп: е/г = Q% ^ преобразуются следующим
образом:
е*' ® ... ® ен» ® е^+| ® ... ® < = Qj',... Я%?%+, ■ ■ ■
...Pjki е" ® ... ® е"· ® eJ'i,+1 ®... ®eJ'*. (1.4.13)
Вообще же для тензоров из пространства Тп имеет место следующая

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
65
Компоненты произвольного тензора кТ типа (p,q) из Тп при такой
замене базисов преобразуются следующим образом:
гр+1...гк = Qjl QJP pip+i pik Т> ip+i-.J^ (1A14)
l\...lp τ l\ ^ Ip Jp+\ Jk 3\·'·3ρ v '
Идея доказательства аналогична приведенной выше для случаев ρ =
= 2, q = О и ρ = О, q = 2, детали доказательства оставляем в качестве упр. 1
к §1.4.
Закон (1.4.14) преобразования компонент тензоров при замене базисов
называют тензорным законом.
Замечание 1.4.1. Обратим внимание на формулу (1.4.6). Согласно
определению базисных диад и операций с ними, эту формулу, переходя к классам
эквивалентности, можно записать двояко:
Т = [е4(Г'е;)] = ШТаке'к)\, (1.4.15)
или, вводя обозначения
Ъ = Тае1, Ъ'М=Тпке'к, (1.4.16)
имеем
T = [eibM] = [e{b'W]. (1.4.17)
Векторы Ы11 и ЬГИ, очевидно, связаны между собой матрицей Qlm:
Ь'М=<УтьН, е$ = Р>,·. (1.4.18)
Формулы (1.4.17) и (1.4.18) определяют еще один вид эквивалентности
тензоров, формально не описанный нами в аксиомах а-в определения 1.3.5 —
это переход от исходных векторных наборов е^Ь^ к новым e^brW, в которых
векторы выражаются по формулам (1.4.8) тензорного закона пробразования.
Однако вышеприведенный вывод формулы (1.4.17) показывает, что нет
необходимости вводить аксиоматически еще одну эквивалентность, поскольку
она является следствием основных эквивалентностей а-в.
Пример 1.4.1. Формулы (1.4.17) и (1.4.18) в пространстве Е22 наглядно
показывают, что совершенно различные векторные наборы могут быть
представителями одного и того же класса эквивалентности, т. е. тензора. И
наоборот, тензор путем перехода к новому базису может изображаться совершенно
различными векторными наборами, но равноправными в смысле введенных
эквивалентностей.
На рис. 1.4.1, α и в показаны два эквивалентных векторных набора а
и в соответственно, являющихся представителями одного и того же
тензора Т. На рис. 1.4.1,6 показано преобразование одного векторного набора

66
Глава 1. Тензорная алгебра
®
e2z-
ЬП]
ei
ьи-
а
Рис. 1.4.1. Геометрическое изображение эквивалентных векторных наборов (а) и (в)
для одного и того же тензора Т; преобразование одного векторного набора в другой (б)
еф^^Ы2] в другой e^b^^e^b7^ для случая, когда матрица преобразования
Plj — есть матрица поворота на угол φ:
Р\ =
cos φ sin φ
- sin φ cos φ
0 ^ φ < 2π.
Обратная к ней матрица Ql ·, очевидно, есть матрица поворота на угол —φ. В
общем же случае, чтобы получить эквивалентные векторные наборы нужно
совершить линейное преобразование Рг- с левыми векторами е^ и обратное
преобразование Q1 · — с правыми Ь^.
Таким образом, в пространстве Е22 слова «представление тензора Τ в
разных диадных базисах» означает изображение тензора различными
эквивалентными векторными наборами, связанными тензорным законом
преобразования (1.4.18).
Все сказанное относится и к пространству Е^· □
1.4.2. Тензорные признаки
Пусть имеются компоненты Ти некоторого объекта. Для того чтобы
установить, являются ли они компонентами тензора, можно попытаться проверить
соблюдение тензорного закона (1.4.7) при переходе из одного базиса в другой.
Выполнение соотношения (1.4.7) называют прямым тензорным признаком.
Однако можно поступить по-другому, если компоненты Т1·7 участвуют в
каком-либо алгебраическом тензорном уравнении с другими компонентами
В%\ Cli и др., про которые известно, что они являются компонентами тензора,
например
Тг3 _|_ βι3 — Qij
или
ΤυΒ„
С
ik
(1.4.19)
тогда без непосредственной проверки можно утверждать, что Тгз тоже
являются компонентами тензора. Такой способ называют обратным тензорным
признаком.

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
67
Справедливость обратного тензорного признака для операций сложения
очевидна, проверим операцию свертки. Используя (1.4.7), перейдем в (1.4.19)
к новому базису е[:
Tijpk Qtn Bl^ = PispkpCsp^
Домножая на QsiQtk, получаем
QSiQ\P\ Qmj T»Blm = Q\Qmj Т»Вьт = Cst.
Отсюда находим, что действительно при переходе к новому базису
компоненты Ти преобразуются по тензорному закону
T'sm = QsiQmjTij.
1.4.3. Сложение и умножение тензоров на число
Поскольку все введенные выше тензоры кТ являются элементами
соответствующего линейного пространства 7^ , (ρ ^ 0,q ^ 0), то их можно
складывать с себе подобными и умножать на число, например
кТ + кВ = T^"Akei{ ®...®eik+ B^~Akei{ <8>... <8> е»к =
= (Ti,-<* + J5<1-<*)eil<8)...<8)eifc, (1.4.20)
sfcT = (sri'"i*)eil®...®eifc.
1.4.4. Тензорное произведение тензоров
Для тензоров из Тп можно определить операцию тензорного
произведения.
Определение 1.4.1. Тензорным произведением двух тензоров тТ
m-го ранга и fcB к-го ранга из пространств Т„(Сп) и Тп q (Cn) (p + q =
= га, ρ' + q' = к) :
тТ = Тц_г/р+1''Лте^®...®ег*®е1р+1®...®е1гп,
кВ = В^ЛрУ+1"Лке^ ® ... ® eV ®е,р/+1 ® ... ®eik,
называют тензор (к + т)-го ранга
m+kr^ _ mr£ ^ fc-p _ ψ ip+i...im β ггп+р/+[...ггп+к ^{
l\...lp lrn+\...lrn+p/
■ ·. ® e*" <g> eip+{ (8)... <8> eim <g> eim+l <8)... <8) e^+p' Θ eim+p/+1 Θ ... Θ eifc+m,
(1.4.21)
являющийся элементом пространства ТпР ,q+q {Cn).

68
Глава 1. Тензорная алгебра
Результат тензорного произведения m+fcC = тТ ® fcB не зависит от
выбора базисов е$, е·7. Действительно, если бы мы выбрали другие базисы е[, е'·7,
то, согласно правилу операции тензорного произведения (1.4.21), получили
бы тензор т+кс', отличающийся от т+кс штрихами у базисов и компонент
Т- ■ гр+1'-Лгп и в p'+i··· к^ Однако, поскольку это действительно ком-
поненты тензоров, то они связаны с соответствующими нештрихованными
компонентами по тензорному закону (1.4.14), т.е. согласованы с законом
изменения векторов базиса. Поэтому, переходя к базису е$, получаем, что
m+fcC/ в точности совпадет с т+кС (1.4.21).
Рассмотрим частный случай, когда т = к = 1, а тТ и fcB — векторы а и
, « о-(01)
b из линейного пространства Тп .
Определение 1.4.2. Диадой векторов а иЪ из Тп называют
тензорное произведение этих векторов и обозначают в соответствии с (1.4.21)
следующим образом:
а ® b = αΨθι ® ej, (1.4.22)
где а = аге^ и b = Wej.
Если в (1.4.22) подставить разложения векторов а и b по базису ej, то
получим важное следствие о возможности вынесения коэффициентов из-под
знака тензорного произведения:
αΨθί ® ej = (а*е*) ® (b?ej). (1.4.23)
Диада является частным случаем тензора второго ранга (1.3.36), ее
компоненты Ти = агЫ. Тогда из соотношения (1.3.38) с учетом (1.3.23) получаем
a® b = flW'ej ® е^ = [e^aVej)] = е; <g) (aWej), (1.4.24)
а также
a<g)b = [(aVe^ej] = (aVe*) ® ej. (1.4.25)
Поэтому имеют место формулы
(агвг) <8> (6^'ej) = агЬР(ег ® ej) = е* <g> (albPej) = (aVe*) ® ej. (1.4.26)
Пример 1.4.2. Если а и b — векторы из пространства
7S — Ε<ι, η = 2, то диада (1.4.22) имеет вид
a<g)b = [ег{аЪ)] = [ei(a1b)e2(a2b)], г = 1,2, (1.4.27)
т. е. у диады все правые векторы сг пар е^сг коллинеарны:
сг = агЪ. Геометрическое изображение диады (1.4.27) пока-
Рис. 1.4.2. Диада ЗЗНО на рис. 1.4.2. D
а <8) Ь в простран- Аналогично можно дать определение полиады — тен-
стве Е2 зорного произведения к векторов: ai ® ... ® а^.

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
69
Теорема 1.4.2. Полиада векторов ai, ..., а^ из 7J ' удовлетворяет
соотношению
ai ®... ®afc = (ai[ei{)®... ®{aikeik) = ai] ...aikei{ ®... ®eifc, (1.4.28)
где ei — базис в порождающем пространстве Сп.
▼ Доказательство этой теоремы методом математической индукции
оставим в качестве упр. 2 к § 1.4. А
Теорема 1.4.3. Имеет место следующая формула тензорного умножения
базисных полиад:
(еи ® ... ® е*р ® eip+1 <g>... <g> eim) <g> (е·71 ® ... ® eV ® eJp/+1 ® ... ® eifc) =
= е*1 ® ... ® е*р ® eip+1 ® ... ® eim ® е·7'1 ® ... ® eV ® eJp/+1 0 ... 0 eifc.
(1.4.29)
▼ Доказательство, очевидно, следует из определения 1.4.1, если в
качестве тензоров тТ и fcB выбрать соответствующие базисные полиады. А
С помощью формул (1.4.28) и (1.4.29) можно выполнять формальные
операции с полиадными базисами:
• коэффициенты при полиадных базисах можно вносить в любом порядке
под знак тензорного умножения;
• скобки при тензорном умножении базисных полиад можно опускать.
Заметим, что в § 1.3 при определении тензоров на пространствах Сп и
£т, полагалось выполненным условие т ^ п. Используя это условие, мы
рекуррентным способом ввели базисные полиады
eii ® h(i2...zfc) =eii ® (βί! ®...®eifc) = β*, ® ...®eifc.
Однако после введения операции тензорного умножения (1.4.21) перемножать
тензоры тТ и fcB можно уже при любом соотношении чисел тик.
Пример 1.4.3. Тензорное умножение тензора второго ранга Teii на Сп
и вектора а е Сп (Т = Tue^ ® е^·, а = аге;, е* 6 Сп) имеет вид
Τ ® a = (Г^'е^ ® ej) ® (а*ег) = T^Ve* ® е, ® е/.
Тензорное умножение тензора кТ е Тп на скаляр seK дает снова тензор
(s fcT) б 7^ . Действительно, из определения (1.4.21) имеем
krT®s = (T^~ikei{ <8>... <8> е»> = (sT^'~ik)ei{ ® ... ® eik = s fcT, (1.4.30)
так как s — по определению, это тензор нулевого ранга. D

70
Глава 1. Тензорная алгебра
1.4.5. Транспонирование тензоров
Для каждого тензора кТ к-ro ранга из Тп можно ввести
транспонированные тензоры — тензоры, у которых меняется порядок нумерации векторов
в полиадном базисе:
fcT(m1...mfc)=ri,...ifce.^ ®...(g)eiTOfc, (1.4.31)
гаь ..., тк е {1, ..., к}, i\, ..., гк <Е {1, ..., га},
где (т\ ...rrij...nik) — некоторая подстановка. Индекс щ в этой подстановке
указывает на то, что вектор базиса ejm. находится на j-м месте в полиадном
базисе е; ® ... е; ... ® е; .
Перенумеровав индексы у векторов e^m. так, чтобы эти векторы
нумеровались по возрастающей, получим альтернативное представление
транспонированного тензора к-ro ранга
fcT(m,...mfc) = Tiwr.AWke^ (g) ^2 (8)... (8>eifc, (1.4.32)
где (гУ1 ...Wj ...Wk) E {l ...к} — обратная к (mi ...rrij ...т^) подстановка
(поэтому для нее используем букву w, похожую на перевернутую га). Число
Wj в этой подстановке указывает на то, что индекс iWj компоненты тензора
кТ находится на j-м месте, т. е. Ttw\---twj---twkM
Найти обратную подстановку можно, например, записав подстановку в
матричном виде, поменяв затем верхнюю и нижнюю строки и переставив
столбцы так, чтобы в верхней строке получился ряд 1... к:
/1 ... j ... к \ (тп\ ... rrij ... тпк\ /1 ... I ... к \
\т\ ... rrij ... тк) \\ ... j ... к ) \w\ ... wi ... wk) '
(1.4.33)
Элементы исходной и обратной подстановки, очевидно, связаны
соотношениями
j = wmj или l = mwi Vj, / e {1, ..., к}. (1.4.34)
Вообще же подстановку с элементами (т^ ...гпц . ..га^) называют
произведением подстановок с элементами (т\ ...mi...rrik) и (гι ...ц ...г&).
Подстановку (т\ ...тп) называют ортогональной, если она совпадает со
своей обратной подстановкой (w\ ...wm):
wj=mj, j=\,...,k или j = mmj Vj=\,...,k. (1.4.35)
Для ортогональной подстановки формулу (1.4.32) можно записать в виде
fcT(mi...mfc) =Ггт,...гт,е.1 0ιι0^ (1.4.36)
Для тензоров второго ранга Τ6ΐ1 используют специальное обо-

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
71
значение для операции транспонирования —
индекс «т»: \?J
Т τ = Т(2) = Tij 0 Tji 0 У , T12et Tnei
(1.4.37) -V е,
Очевидно, что подстановка (77117712) = (12)
для тензора второго ранга является орто- ^2 ; Ы21\^*кЬШ
тональной, поэтому имеет место и второе *
равенство в (1.4.35). Т21ег^
Пример 1.4.4. Рассмотрим тензор второ-
ГО ранга Τ е Е22. Если имеется геомет- Рис· 1ЛЗ- Геометрическое изобра-
г жение тензора Τ , транспонирован-
рическое изображение этого тензора (см. ного к т в Е
рис. 1.3.10), то тензор Тт будет иметь вид
(1.3.16): Тт = [a<bW], где а* = еь a bM = Tkiek (i,k= 1,2), а его
геометрическое изображение дано на рис. 1.4.3. D
Пример 1.4.5. Для тензора четвертого ранга 4Т е Тп .
4Т = Tii...Ueii ® e.2 ® ei3 Θ ei4 (1.4.38)
можно ввести уже 24 различных транспонированных тензора, например
4Т(4321) = Тг,г2гзг4е.4 ^ % ^ ^ ^ ^ = ^Wi^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ (1.4.39)
4Т(3142) = Тг,г2гзг4е.з ^ е^ ^ ^ ^ ^ = 7*2ЧМзе^ (g) е*2 Θ β;3 Θ β;4 (1.4.40)
и так далее. В первом случае подстановка (4321) является ортогональной, а
во втором случае (3142) — нет. D
1.4.6. Жонглирование индексами тензоров
в евклидовых пространствах
Если порождающее пространство является евклидовым (£п = Еп), то, в
силу его самосопряженности (Еп = 8£), все линейные пространства Тп {Сп)
совпадают для ρ и q таких, что ρ + q = k. Поэтому можно рассматривать,
например, только пространства Тп (Sn).
Для тензоров из этого пространства Тп можно ввести дополнительно
операцию жонглирования индексами (опускания или поднятия).
Пусть имеется тензор fcT € Ti .
fcT = T<1-<*eil<8)...<8)eifc, (1.4.41)
где е; 6 Sn. В соответствии с формулой (1.1.47) можно перейти к взаимному
базису для части векторов:
kT = г*>—**е*, ® ... ® eip ® (gip+ljp +1 ...9ikjkeP^ ® ... ® «Л). (1-4.42)

72
Глава 1. Тензорная алгебра
В силу свойства линейности базисных полиад (см. (1.4.28) и результат упр. 1
к § 1.4), метрические матрицы можно вынести из-под знаков тензорного
умножения, тогда получаем
кт = Til-ikgip+dp+l ...gikjkeix <g>... <g> eip <g) e·7'^1 ® ... ® ejk. (1.4.43)
Введем следующее обозначение по аналогии с (1.1.49):
грг\...гк _j,i\...ip ip+\jp+\ ^ ikjk^ Μ 4.44)
*/р^г ι * * **//с
в результате будем иметь
кТ = Τί]-Λρ ·ρ+μ Akei{ ®...®eip® e^1 ®...®e\ (1.4.45)
Компоненты Тч'-Лк называют контравариантными компонентами
тензора fcT eTn \ а χ1]··Λρ — смешанными компонентами.
г " » гр+[..лк
Саму операцию (1.4.44) поднятия или опускания индексов у компонент
тензора из Тп ' называют жонглированием индексами.
(к)
Определение 1.4.3. Тензорным пространством Еп называют
линейное тензорное пространство, порожденное евклидовым
пространством Еп\
£(k)=Tm{Sn) (1446)
с введенной в нем операцией (1.4.44) жонглирования индексами.
1.4.7. Скалярное умножение тензоров в евклидовых пространствах
Поскольку в Еп определено скалярное произведение векторов, то для
тензоров из Еп можно определить операцию скалярного умножения.
Определение 1.4.4. Скалярным k-κратным произведением тензоров
тТ и 1~В из пространств Еп и Еп называют тензор m+l-2kc из про-
странства Еп .
m+l-2kC = mT^_:/lB = Til--A™eil®...®eirn' ... · Bj'-jlejx ® ... ®eh =
k
= Т*1-^, ΒΛ-ΛΛ+ι-Ae,, ® ... Θ eimk β eJfe+1 ® ...® eA. (1.4.47)
где 1 ^k^muk^l.
В дальнейшем под Еп ' будем понимать пространство Тп {Еп), в котором
имеются обе операции — жонглирования индексами и скалярного умножения.
Теорема 1.4.4. Имеет место следующая формула k-кратного скалярного
умножения базисных полиад:
(е», (8)... (8) eim) ;_^(ejl <8>... <8> eiz) =
к

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
73
= 9гтз\9%т-хз2 · · · 9im-k+ijke4 ® · · · <8 eim_fc Θ ejfc+1 <8 ... <8> ejp (1.4.48)
(ej, Θ ... Θ eim) ^^(е·71 <8>... <8 е·7') =
fc
= Я1 Й2 , ... δ{* и ,βί, <8 .. · <8 eirn <8 е·7^1 <8 ... <8 е·7'. (1.4.49)
1т 'т-1 4га —fc+1 ' "т — /с ^ '
▼ Действительно, поскольку базисные полиады — это набор тензоров
mT(Sl...Sm) и l^(p\...pi) co специальными компонентами
mT(ei...efn)=(5Jl...(5i-eil(8)...(8)e<TOf
'B(Pi...p,)=^!---^!eJi®-®ei|f (1.4.50)
то, подставляя их выражение в (1.4.47) и переводя часть векторов ejm_fc+1, ...,
e^m во взаимные векторы elrn~k+',..., егт по (1.1.47), получаем формулу
(1.4.48). Аналогично устанавливаем справедливость формулы (1.4.49) (см.
упр. 2 к § 1.4). А
Следствием теоремы 1.4.4 являются, например, следующие формулы,
широко используемые в МСС:
(е* <8 ej) · ek = е* <8 (ej · ек) = е* <8 ддк = 9jk^iy (1 -4.51)
ек · (ej <8 е^) = (efc · е*) <8 е, = gkiej, (1.4.52)
(ei®ej) · (efc <8е/) = gjkei®eh (1.4.53)
(е* <8 е^) · · (efc <8 ez) = ^fc^z· (1.4.54)
Обратим внимание на то, что в формулах (1.4.51) и (1.4.52) мы
воспользовались свойством (1.4.30) тензорного умножения тензора на скаляр дц.
Из (1.4.51) и (1.4.52) следуют дополнительные к перечисленным в п. 1.4.3
правила действий с базисными полиадами:
• порядок выполнения скалярного и тензорного умножения векторов
базиса можно менять местами (формулы (1.4.51)), (1.4.52));
• знак тензорного умножения скаляра на вектор (тензор) можно опускать.
Пример 1.4.6. Если Τ е Еп — тензор второго ранга, то его скалярное
произведение на вектор с е £п справа или слева, согласно определению 1.4.4,
имеет вид
Τ с = (T'ei Θ ej) - (скек) = Г^е» Θ (е, · efc) = T^ckei9jk = Tikckeiy
(1.4.55)
с Τ = скек · {Tijei <8 е,) = ckTij{ek · e,) <8 ej = ckTkjej. (1.4.56)
Используя представление (1.3.14) тензора в виде классов эквивалентности,
эти соотношения можно записать в виде
Τ · с = [е* · ЪЩ · с = e<(bM с) = d, bW = Tikek, (1.4.57)

74
Глава 1. Тензорная алгебра
с · Τ = с · [е* · ЪЩ = (с · e*)bW = f. D
(1.4.58)
Пример 1.4.7. Представления (1.4.57), (1.4.58) формул скалярного
умножения тензора на вектор позволяют дать наглядное геометрическое изображение
этой операции в £22.
Согласно (1.4.57), скалярное умножение тензора Τ на вектор с справа
представляет собой вектор d, образуемый путем сложения двух левых
векторов ei и е2, умноженных предварительно на скалярные произведения с с
правыми векторами ьШ и Ы2Ь
Τ с = [eibWe2b[21] · с = ei(b^ · с) + е2(Ь^ с) = d. (1.4.59)
Геометрический способ построения такого вектора d показан на рис. 1.4.4.
Скалярное умножение тензора Τ на вектор с слева дает вектор f,
представляющий собой сумму правых векторов ьШ и Ы21, предварительно
умноженных на скалярное произведение с с левыми векторами е\ и е2:
с · Τ = с · [ефШегЬИ] = (с · е{)Ъ^ + (с · e2)b^ = f. (1.4.60)
Геометрическое построение вектора f приведено на рис. 1.4.5. D
(се2)ЬИ
Рис. 1.4.4. Геометрическое
изображение скалярного
произведения тензора на вектор справа
Рис. 1.4.5. Геометрическое
изображение скалярного произведения
вектора на тензор слева
Теорема 1.4.5. Скалярное умножение тензора второго ранга Те^„ на
базисные диады е^ ® е^· (е* е Еп) дает компоненты этого тензора Ттк в
диадном базисе ег ® е3':
Τ · (ei0ej) =ei T e.
Τ,
г j
(1.4.61)
•(2)
▼ Действительно, поскольку em ® e^ — диадный базис в Еп~', то
всякий тензор Τ из этого пространства можно представить в виде разложения
(1.3.36) по этому диадному базису. Осуществляя двукратное скалярное
умножение Τ на em<g)efc, согласно (1.4.47) и (1.4.54), получаем
(ет Θ efc) = Tij(ei <8> е,) · · (ет <8> efc) = Tijgjmgik = Tkm. (1.4.62)

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
75
Аналогичный результат получим, если умножить Τ слева на е^ и справа
на е.
&Ϊ · А. ' Qj — &i · yl
mk.
ek) · ej =
-unk
mk
= Ттк(е{ · em) Θ (efc · e,·) = TmKgimgkj = Тц
(1.4.63)
Определение 1.4.5. Единичным (метрическим) тензором второго
ранга Ε в пространстве ft называют тензор
Е = е»<8>е\ (1.4.64)
Очевидно, что, в силу формул (1.1.47), имеют место следующие
представления единичного тензора:
Ε = д^ег ® ej = е·7 ® е, = gtjei ® е^·. (1.4.65)
Если рассмотреть другой базис е[> связанный с е* соотношениями (1.1.4),
то, используя формулы (1.4.10а) преобразования смешанных диадных
базисов, получаем
Ε - ei ® е* = Qj · Р\ ej ® еп = Sje'j ® e'z = ej Θ e,j. (1.4.64a)
Таким образом, единичный тензор Ε имеет одно и то же представление в
различных базисах — тем самым он определен корректно (т. е. его определение
(1.4.64) не зависит от выбора базиса).
Представление единичного тензора в виде классов
эквивалентности имеет вид
Ε = gij[ei <g) ej] = gij[ek{Skej)\ = [ek{gkjej)\ = [ekek],
(1.4.66)
или
E= [eie^.ene"]. (1.4.67)
•(2),
Рис. 1.4.6.
Геометрическое изображение
единичного тензора в
пространстве £п\Е2)
Пример 1.4.8. В пространстве ft (-^2)» η = 2,
единичный тензор имеет вид
Е- [eie^e2]. (1.4.68)
Его геометрическое изображение показано на рис. 1.4.6. D
Теорема 1.4.6. Скалярное умножение всякого тензора k-го ранга fcT e ft
на Ε 6 ft дает тот же самый тензор кТ:
fcT-E = E-fcT = fcT. (1.4.69)
▼ Из определения (1.4.64) и с учетом свойств (1.4.48), имеем
:Т-Е = Гг1-**(е
г ι
eik)-(ej(S>eP)
= Т
г\..Лк
"ϊ ι
eik-\
е 9ikj ~ -L ег
■г ι
eik=kT. (1.4.70)

76
Глава 1. Тензорная алгебра
Второе равенство можно доказать аналогично. А
Двукратное скалярное умножение тензора кТ на единичный тензор Ε
называют операцией свертки, она приводит к образованию тензора (к — 2)-го
ранга:
кТ Ε = Г1-^, Θ ... Θ eifc) · · (e, Θ ej) =
= ^1···<έ-ν.βίι®···^,.ί=Γ<1·'^^ (1.4.71)
Для тензора второго ранга Τ из (1.4.71) получаем скаляр
Т--Е = Т\. (1.4.72)
Теорема 1.4.7. Для произвольных тензоров второго ранга Т,В, А е Еп и
вектора а е Еп имеют место следующие соотношения:
а А = АТ а, (А · В)т = Вт · Ат. (1.4.73)
(А Т) В = А (Т В) = В Α Τ = Τ В А. (1.4.74)
▼ Доказательство этой теоремы оставим в качестве упр. 3 к § 1.4. А
Формулы (1.4.73) и (1.4.74) широко применяют в МСС.
Квадратом тензора, кубом тензора и вообще k-й степенью тензора
второго ранга АеЙ называют следующие тензоры:
Α·Α = Α2, Α·Α·Α = Α3, A-...-A = Afc. (1.4.75)
к
Аналогами тензора Ε в пространстве Еп \£п) тензоров четвертого ранга
являются первый, второй и третий единичные тензоры, определяемые
следующим образом:
Δι = е* <8> ег ® ек ® ек = Ε ® Ε,
Δπ = е^ <8> ек ® ег ® е\ Ащ = е* ® efc ® efc ® е\
а также симметричный единичный тензор четвертого ранга
Δ = (1/2)(Δπ + Δι„).
Компоненты этого тензора в тетрадном базисе имеют вид
Δ = (1/2)(вг 0 е* <8) ег ® е/ + е* ® ez ® е/ ® ег) = Aljklei ® е^·
Aij'fcZ = (l/2)(5<fc^z + (5<z5J'fc).
Тензоры (1.4.76) обладают следующими свойствами (см. упр. 4 к § 1.4):
Δι · · Τ = /ι(Τ)Ε, /ι(Τ) = Τ · · Ε, Δπ · · Τ = Ττ,
Δπι Τ = Τ, Δ · · Τ = (1/2)(Τ + Ττ) (1.4.80)
(1.4
(1.4
ек ® е/.
(1.4
(1.4
.76)
.77)
.78)
.79)

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
77
Δι · · 4Ω - Ε ® Ε · · 4Ω, Δπ · · 4Ω - Ω<2134),
Am · · 4Ω = 6Ω, Δ · · 4Ω = (1/2)(Ω(2134) + Ω), (1.4.81)
для произвольных тензоров Τ е Ε% и 4Ω e Ε% К
Из формул (1.4.80) и (1.4.81) следует, что истинным единичным тензором
в пространстве Еп является тензор Дщ.
В заключение этого параграфа сформулируем еще одну очевидную, но
важную теорему.
Теорема 1.4.8. Тензорное пространство Еп с введенным в нем скалярным
произведением элементов-тензоров
(p(kT,kB)=kT· ... .^В^···1) (1.4.82)
к
является евклидовым пространством.
▼ Для доказательства следует проверить аксиомы 1-4 евклидова
пространства (см. п. 1.1.5). Их выполнение становится очевидным, если записать
скалярное произведение в каком-либо базисе е^ е Еп:
y>(fcT,fcB) = T<1-<*J5<1...ifc, (1.4.83)
где
*T = ri"-i*eil®...<8>eifc, fcB = Д,...^1 <8>... <8>e<fc. A (1.4.84)
В дальнейшем тензорное пространство Еп с введенной операцией ска-
(fc)
лярного умножения (1.4.82) будем обозначать как Еп
Согласно определению (1.1.8), длиной тензора кТ из евклидова простран-
с(к)
ства Еп ' следует назвать величину
|fcT| = (кТ· ... . ^χ^···1))1/2. (1.4.85)
к
1.4.8. Независимые компоненты тензоров
Рассмотрим произвольный тензор кТ из некоторого подпространства 7^ с
С Тп\ к = р + q, который в некотором полиадном базисе имеет вид
fcT = ril>!<ipJ',---JV1<8)...<8)e<p<8)ej1<8)...<8)eJ"«. (1.4.86)
Образуем из компонент Т{ i n'"3q этого тензора каким-либо образом
координатный столбец (Т1 ... Тг... Тк°)т, где число ко = np+q — общее число
компонент тензора к-ro ранга, ко = dim Τη'.

78
Глава 1. Тензорная алгебра
Говорят, что среди компонент Ti >л 3['"3q тензора имеется только к'0
независимых, если существует матрица D1 ■ размером (ко — к'0) χ &о, Ранг
которой равен (ко — к'0), такая, что имеют место ко — kf0 соотношений
DVTJ'=0, i=\, ..., ко-к'0. (1.4.87)
Числом независимых компонент тензора кТ из 7^ называют число к'0 для
тензора с максимально возможным количеством ненулевых компонент.
Теорема 1.4.9. Число к'0 независимых компонент тензора кТ из
некоторого подпространства 7^ с Тп равно размерности этого
подпространства:
к'0 = а[тХ^к0. (1.4.88)
▼ Рассмотрим произвольный тензор кТ из 7^. Поскольку 7^ — линейное
пространство, то в нем можно выбрать базис fcA(s), s = 1, ..., Ν, из N
тензоров, где N = dim 7^, и разложить кТ по этому базису:
N
fcT = ^T^fcA(s), (1.4.89)
где Т^ — коэффициенты разложения. Если образовать координатный
столбец (Т1 ...Тк°)т из компонент Т{ ^л Jl'"Jq тензора кТ в некотором базисе ег и
столбцы (ЛК ... ΛΑ)τ из компонент А,^ i Jl'"Jq базисных тензоров fcA(s),
то (1.4.89) можно записать в виде
N
Столбцы Al,s образуют матрицу размером ко χ Ν, причем rang (^глл) = Ν,
так как это координатные столбцы из компонент N базисных тензоров.
Тогда существует квадратная матрица Аг, ч порядка N, образованная из Аг, ч
вычеркиванием (ко — N) строк и перенумерацией оставшихся строк, у
которой det Als φ 0. Из вычеркнутых строк образуем матрицу Als размером
(ко — Ν) χ N. Обозначим (Т1 ...ΤΝ)τ координатный столбец, образованный
из (Г1...Г*50)1" вычеркиванием элементов с теми же номерами, что и при
формировании матрицы А\у Из вычеркнутых же элементов образуем столбец
(f1...ffco)T. Тогда соотношение (1.4.90) можно разбить на две группы:
Ν Ν
s=\ s=\
(1.4.91)

§ 1.4. Алгебраические операции с тензорами
79
В силу невырожденности матрицы Aly из первой группы найдем Т^ =
— Σ^ ^Ί*7' где Aj — матрица, обратная к ΑΙ у Подставляя Т^ во вторую
группу соотношений, получаем
Ν Ν
^-ΈΈ^ψτ^0' г=\, ...,k0-N. (1.4.92)
Если снова образовать единый координатный столбец
(Т1 ...Т1... Тк°)т = (Т1... Tko~Nj;]- m p m fN\ T5 с ι .4.93)
то соотношение (1.4.92) можно переписать следующим образом:
£>^=0, г= 1, ..., ko-N, (1.4.94)
где D1- — блочная матрица размером (ко — Ν) χ ко вида D = (Е^-^А);
#з = Σ E^(S)^SJ (* = 1. ···> ko - Ν\ J = 1, ..., Ν)\ Eko_N - единичная
s=\ j=\
матрица порядка (ко — Ν). Поскольку матрица D1 имеет, очевидно, ранг
(ко - Ν), то из (1.4.94) и (1.4.87) следует, что среди компонент Т{ _· Jx'"3q
независимых не более N штук, т. е. к'0 ^ N (случай к'0 < N возможен, если
существуют и другие соотношения кроме (1.4.94), связывающие компоненты
тензоров из 7^). Однако тензор кТ с максимальным числом компонент к'0,
который удовлетворяет только условиям (1.4.94), будет обладать и разложением
(1.4.89), т.е. также принадлежит пространству 7^. Для этого тензора
существует только к'0 = N независимых компонент, что и доказывает теорему. А
Упражнения к § 1.4
Упражнение 1. Доказать теорему 1.4.1.
Упражнение 2. Доказать теорему 1.4.2.
Упражнение 3. Доказать теорему 1.4.7.
Упражнение 4. Доказать, что единичные тензоры четвертого ранга (1.4.76)
обладают свойствами (1.4.80) и (1.4.81).
Упражнение 5. Используя определение 1.4.4, показать, что тензор второго ранга
Τ · В, являющийся произведением двух тензоров второго ранга Τ и В, имеет
следующие компоненты:
T-B = TikBkjei®ej.

80
Глава 1. Тензорная алгебра
§1.5. Собственные значения и собственные векторы
тензора второго ранга
1.5./. Свойства собственных значений
Определение 1.5.1. Собственными значениями λα, Ха и собст -
венными векторами eQ, eQ е £п тензора второго ранга АеЙ (£п)
называют такие числа {вообще говоря, комплексные) и ненулевые тройки
векторов {вообще говоря, комплексно-значных), которые обеспечивают
выполнение условий
А · е,
λα^Οί)
λα£<
а
1,
п.
(1.5.1)
Базис eQ называют левым, a eQ — правым собственным базисом. Далее
обозначим (i = л/^Т) — мнимую единицу.
Пример 1.5.1. Рассмотрим тензор А е Е22- Скалярное умножение тензора А
на вектор е имеет геометрическую интерпретацию (см. пример 1.4.7 и
формулу (1.4.59)). Вектор е является правым собственным для А, если результат
скалярного умножения А-е дает вектор Ае, коллинеарный е (рис. 1.5.1).
Задача заключается в нахождении таких векторов е
для каждого тензора A. D
Если известны компоненты Аг · тензора А в
некотором базисе ei е Еп: А = А1 е^ ® е7', а левый и
правый собственный базисы eQ, eQ представлены в
виде разложения по этому базису:
Рис. 1.5.1. Геометричес
кое изображение собст
венного вектора для тен
зора А= [eibtl]e2b[2]]
ea = P\eiy ea = Q%e\ (1.5.2)
то уравнения (1.5.1) можно записать в компонентном
виде
(A1 j - \αδιι)Ρ3α = 0, (A%j - \а6г^г = 0. (1.5.3)
Эти уравнения и представляют собой системы линейных уравнений для опре-
о . о
деления матриц Р3а и Qa- при фиксированном а. Ненулевые решения таких
систем существуют только при тех λα, λα, которые обеспечивают равенство
нулю определителей
det {Alj - Χαδ^) = 0, det (A^ - Χαδ^) = 0. (1.5.4)
Поскольку λα и λα охватывают все множество корней этих уравнений, то,
очевидно, что
λα = λα, (1.5.5)

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 81
а единственное уравнение в (1.5.4) представляет собой уравнение
относительно λα:
V(Xa) = det (A'j - λαδ%) = 0 (1.5.6)
и называется характеристическим уравнением, а Р(Х) —
характеристическим полиномом, который является полиномом п-й степени относительно λα.
Характеристический полином всегда можно представить в виде
η
ν(\) = Σ(-\)%\β, (1.5.6а)
/3=1
где Ьр — коэффициенты полинома, зависящие только от Аг ·, причем
bn=U Ьп-1 = А\, Ъ0 = det (А^). (1.5.66)
Поскольку характеристический полином Р(Х) явным образом зависит от
матрицы Аг · в выбранном базисе е^ Ε Еп, то возникает вопрос о том, зависит
ли Ρ(λ), а значит и его корни λα от выбора базиса в Еп.
Теорема 1.5.1. Для всякого тензора А е Еп (Еп) его характеристический
полином Р(Х) (1.5.6) и собственные значения Ха (а. = 1, ..., п) не зависят
от выбора базиса е* е Еп.
▼ Перейдем к новому базису е^ в Еп, связанному с е* соотношениями
(1.1.4), тогда компоненты тензора А в этих базисах будут связаны по
формулам (1.4.14):
Α^ = ρ\Ρ1^. (1.5.7)
Вычисляя характеристический полином (1.5.6) Р'(Х') для этой матрицы,
находим
Ρ'(λ) = det (A') - λό*,) = det (QikPljA\ - λ^) = det (Q'^A*, -
- λδ\ )Ριό) = det (Qifc)det (A\ - \5kt )det (Plj) = det (A\ - \5kt) = Ρ(λ),
т. е. вид полинома Ρ(λ) действительно не зависит от выбора базиса в Еп.
Следовательно, не зависят от выбора базиса и его корни λ^. А
Из (1.5.6) следует, в частности, что
det (Aij - Xa9ij) = 0, det (A* - Xagij) = 0. (1.5.8)
1.5.2. Разложение тензора второго ранга
по собственному диадному базису
Теорема 1.5.2. Пусть у тензора А е Еп \Еп) существуют собственные
векторы eQ и е^ (α, β = 1, ..., η), образующие базис в пространстве Еп
и являющиеся взаимно ортонормированными, т. е.
О Οβ
Ga · θ
С (1.5.9)

82
Глава 1. Тензорная алгебра
тогда тензор А можно представить разложением по собственному диад-
ному базису eQ ® е^:
А = ^ AQ£Q <g> £Q, (1.5.10)
т. е. матрица компонентов тензора в собственном диадном базисе —
диагональная.
ТТ о ° ° ft
▼ Действительно, поскольку, по условию теоремы, eQ и ер — взаимно
ортогональны, то е^ является взаимным к eQ базисом в Еп (сравните формулы
(1.1.46) и (1.5.9)). Тогда тензорное произведение eQ ® е^ — это диадный
смешанный базис в пространстве Еп \Еп).
Следовательно, всякий тензор, в том числе А е Еп , можно разложить по
этому диадному базису:
A=°Aijei®eP. (1.5.11)
Умножая первое уравнение в (1.5.1) слева на е^, получаем
¥ · А ■ в„ = \а& ■ еа = \Х = А*;У · е, ® # · ё„ = А*$% = АРа, (1.5.12)
О
т. е. матрица Аг · — диагональная, и ее ненулевые значения совпадают с
собственными значениями:
Ααβ = \αδ$. А (1.5.13)
Пример 1.5.2. Как было отмечено в примере 1.4.1, представление тензора
А б #22 в различных диадных базисах можно рассматривать как переход от
одного векторного набора к другому, эквивалентному ему и также
представляющему тензор А. В этом смысле переход от базиса е^ ® е^· к собственному
о о
диадному базису е^ ® е^· — это просто эквивалентное представление тензора,
но в определенном смысле более удобное, поскольку в нем матрица компонент
является диагональной, а если использовать представление тензора в виде
классов эквивалентности, то левые и правые векторы — коллинеарны:
η
А = А^ег <8> е? = [е;Ьи] = ^ Хаеа ®еа = [e»bw],
Ъ®=А*&, Ъ^ = Хаеа.
На рис. 1.5.2 изображен пример тензора А в исходном диадном базисе е^ ® е^·
о о
и в собственном диадном базисе е* ® е*.
Например, если е* (г = 1,2) — ортонормированный базис, а матрица
/3 2\
компонент Alj в нем имеет вид (Аг ■) = I 1 , то ег совпадают с е$,
характеристическое уравнение имеет вид Р(Х) = (3 — λ)(2 — λ) — 2 и имеет

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 83
ЫЧ=А,е
1*51
а
Рис. 1.5.2. Эквивалентные представители тензора А в исходном базисе (а)
и в собственном базисе (б)
о
корни λι = 4, λ2 = 1. Компоненты собственных векторов Рга находим из
уравнения (1.5.3), которое принимает вид
(^-А2^2=(^)(^)=0.
У каждой из двух систем уравнений независимым является только одно
уравнение
-Р\+2Р12=0 и Р12 + Р22 = 0.
Решение этих уравнений находим с точностью до константы, поэтому,
например, получим
р\
1, Р\
0,5;
1, Р5
-1
Тогда собственные векторы (1.5.2) примут вид
о _ _ о
ei=ei+U, 5е2, е2 = е\ - е2.
Векторы Ыг1 = А1 -е7' имеют вид
b^ = 3ei+2e2, b^ = ei +2e2,
°г ι °
а векторы blQJ = AQeQ выглядят следующим образом:
£Ш =4ei +2e2, b[2] = ei -e2.
Полученные результаты позволяют построить эквивалентные геометрические
изображения тензора А в базисе е* в виде векторного набора е^Ь^ и в
собственном базисе — в виде векторного набора е^Ь^ (рис. 1.5.2). D
Рассмотрим квадрат тензора А2 (1.4.59), где А удовлетворяет условиям
теоремы 1.5.2:

84
Глава 1. Тензорная алгебра
3 3 3
А2 = А· А = ΣΣΧα*α®*α ' ΧΡ*Ρ®*β = Σλα^α®βα, (1.5.14)
α=1β=1 α=1
т. е. собственными значениями тензора А2 являются λ2, а собственные
векторы совпадают с eQ. Очевидно, что имеет место следующая теорема.
Теорема 1.5.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.5.2, тогда для любого
целого к > 0 имеет место разложение к-й степени тензора второго ранга
Ак по собственному диадному базису тензора А е £п .
η
Ак = ^\каеа®еа, (1.5.15)
т. е. Ак имеет тот же собственный базис, что и А, а его собственные
значения равны λ^, где λ^ — собственные значения тензора А.
1.5.3. Свойства собственных векторов
Теорема 1.5.2 ничего не говорит о том, существуют ли взаимно
ортогональные собственные базисы тензора А. Рассмотрим этот вопрос.
Теорема 1.5.4. Если все собственные значения Ха тензора второго ранга
А е Sn (Sn) попарно различны (т. е. нет кратных корней у
характеристического уравнения (1.5.6)), то собственные векторы eQ, а также еР,
образуют базисы в пространстве Еп (α, β = 1, ..., η), которые могут
быть попарно ортонормированы:
ёа.|"=е (1.5.16)
▼ Докажем теорему методом математической индукции по числу г
собственных векторов. Покажем вначале, что любая пара различных
собственных векторов (т. е. г = 2) eQ и е^ (α φ η; α,η Ε {1, ..., η}), не может быть
линейно зависимой. Действительно, если существуют такие числа sa и s7,
что вектор
о о
а = saea + s7e7 = 0 (1.5.17)
является нулевым, то, скалярно умножая А на а, получаем
О О О О / 1 Г 1 С>\
.А. · а =: SqJ\. * Gq. ~т~ S»-y^\. · 6»-у =: SqAqQq ~т~ S'-yA'-ув'-у =: U. ( l.U.lo)
Однако, умножая а на λ7, одновременно имеем и другое соотношение
А7а — SfyAyGfy -\- s7A7e7 — U, ^l.u.iyj
вычитая которое из (1.5.18), находим, что sQ(AQ — A7)eQ = 0. Поскольку eQ —
ненулевой, а λα φ λ7, по условию теоремы получаем, что sa = 0. Но тогда из
(1.5.17) следует, что и s7 = 0. Таким образом, линейная комбинация (1.5.17)

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 85
может быть только тривиальной, а значит действительно любая пара векторов
еа и е7, α Φ 7> является линейно независимой.
Предположим теперь, что любая система из г = η — 1 собственных векто-
о 0
ров eQ линейно независима, но существуют такие числа s\, ..., sn, что все η
собственных векторов eQ (а = 1, ..., п) линейно зависимы: Ье J] saea = 0.
Тогда, вычисляя вектор с = А · b — ХрЪ = 0, являющийся нулевым, где λβ —
одно из собственных значений, получаем, что имеет место уравнение
η
с= J] sa(\a - \β)θα = 0, (1.5.20)
α=\,αφβ
т.е. нашлись такие (п — 1) ненулевых числа sa(Xa — λβ), α= 1, ..., η;
α φ β (так как λα φ λβ), что система из (η — 1) собственного вектора eQ
(а = 1, ..., η; α φ β) является линейно зависимой. Однако это противоречит
сделанному выше утверждению. Таким образом, система из всех η
собственных векторов eQ (а = 1, ..., п) — линейно независима. Но в n-мерном
пространстве Еп такая система всегда является базисом. Аналогично доказываем,
что векторы е^ (β = 1, ..., η) тоже образуют базис в Еп.
Покажем взаимную ортогональность eQ и е^. Умножая первое уравнение
в (1.5.1) на е^ слева, а второе — справа на е^:
θβ · А · eQ = λαθβ · eQ, θβ · A · eQ = ΧβΙΡ · eQ, (1.5.21)
получаем, что должно выполняться соотношение
(λα - \β)εΡ · eQ = 0.
Отсюда при некратных корнях λα Φ λβ следует, что
У-ёа = ^а, α φ β. (1.5.22)
Собственные векторы еа и еа определяются неоднозначно. Действительно,
если eQ — собственный вектор, то кеа — тоже собственный вектор (к φ 0).
Для устранения неоднозначности собственные векторы можно нормировать:
еа-еа=\, а =1,2,3. (1.5.23)
Оба соотношения (1.5.22) и (1.5.23) эквивалентны общим соотношениям
ортогональности (1.5.16). А
Характеристический полином (1.5.6а) имеет η корней λ, среди которых
могут быть и комплексные, и кратные корни. Каждый собственный вектор eQ
соответствует только одному собственному значению λα.
Из теоремы 1.5.2 следует, что при некратных собственных значениях
о
каждому λα соответствует тоже один собственный вектор eQ.

86
Глава 1. Тензорная алгебра
Рассмотрим тензоры, которые могут иметь и кратные собственные
значения.
Теорема 1.5.5. Пусть существуют га линейно независимых собственных
векторов е\...ет тензора АеЙ {Еп), соответствующих собственному
значению λ, тогда существует такой базис е[ в Еп, что матрица
компонент Anj тензора А в диадном базисе е[ ® е'·7 имеет блочный вид
(AHi)
/λ 0
0 λ
V о
\
Λ'
^22 /
(\Em
\°
Α'\
Λ\2
Α'
(1.5.24)
где Ет — единичная матрица т-го порядка, А\2 — матрица размером
га χ (η — га), α А22 — матрица размером (п — τη) χ (п — т).
тт и О О 0
▼ Действительно, поскольку ei...em являются линейно независимыми,
о
то их можно выбрать в качестве первых га векторов базиса е[ в Еп: е[ = е^
(г = 1, ..., га). Если га = п, то на этом построение базиса закончено. Если
га < п, то дополним векторами efm+l ...e'n до базиса в Еп и запишем матрицу
Anj компонент тензора А в диадном базисе е[
произведение А · е^:
А · е[ = А · еj = Ае^ = Ае', г = 1,
е-. Вычислим скалярное
га;
г=1
В силу единственности разложения вектора по базису
(1.5.25)
A,j
\δ{, j = 1, ..., га,
0, j = га+ 1, ..., η,
г=\,
, га.
(1.5.26)
Отсюда находим, что матрица А13, действительно имеет вид (1.5.24). Базис
ej, как всякий базис в Еп, связан некоторой невырожденной матрицей Рг· с
базисом вг, в котором задана матрица Аг · компонент тензора А. Матрицы
Аг ■ и Л/г- в базисах е* и ej связаны соотношением (1.5.7). А
Теорема 1.5.6. Каждому собственному значению λ тензора A€ft \En)
может соответствовать несколько линейно независимых собственных
векторов eQ, при этом их число га не может превышать кратности s
собственного значения А = Aq, т. е. га ^ s.
▼ Для доказательства этого факта воспользуемся теоремой 1.5.5 о
существовании базиса е' е Еп, в котором матрица А,г ■ компонент тензора А

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 87
имеет блочный вид (1.5.24). Поскольку характеристический полином V{\) не
зависит от базиса (теорема 1.5.1), вычислим его в базисе е\ ...е'п:
V{\) = det {AHj - Щ) = (λο - A)mdet {A'22 - A£n_m). (1.5.27)
Здесь мы для вычисления детерминанта воспользовались формулой
разложения по первому столбцу, а Еп-т — единичная матрица размером
(η — πι) χ (п — т). Поскольку det (A22 — \Еп-т) также может иметь корень
Aq, то из (1.5.27) следует, что общая кратность s корня Aq, вообще говоря,
больше, чем число га. А
Если среди λα есть кратные корни, то собственные векторы могут и не
образовывать базис, так как среди них могут оказаться линейно зависимые
собственные векторы.
Существует особый класс тензоров второго ранга — симметричные, у
которых независимо от наличия кратности собственных значений всегда
существует базис из собственных векторов. Рассмотрим эти тензоры.
1.5.4. Симметричные тензоры второго ранга
(2)
Определение 1.5.2. Тензор второго ранга Aeft; называют симмет -
ричным, если он совпадает со своим транспонированным тензором:
А = АТ. (1.5.28)
Теорема 1.5.7. Для симметричного тензора матрица его компонент в
любом диадном базисе является симметричной:
А*ъ
-.?'
Aij = Ajit A
U
Αβ.
(1.5.29)
▼ Рассмотрим некоторый базис е* е Еп и представление (1.5.29)
тензора А в диадном базисе ei®ej. Тогда по определению (1.4.31)
транспонированного тензора имеем Ат = А^е* ® е^·. Поскольку разложение тензора
А по диадному базису единственно (так как диадный
базис — это базис в Еп ), то действительно Аи = А7'1.
Аналогично доказываем теорему для взаимного
базиса е\ А
Пример 1.5.3. Симметричный тензор А е Е22 имеет
следующее представление в виде классов
эквивалентности:
А=[еМ% г= 1, 2,
Ъ^ = А\е1 + А\е\ Ь^ = А12е1 + А22е2.
На рис. 1.5.3 приведен пример геометрического
изображения симметричного тензора A. D
Рис. 1.5.3.
Геометрическое изображение
симметричного тензора
второго ранга А е Е22

88
Глава 1. Тензорная алгебра
Теорема 1.5.8. Множество всех симметричных тензоров второго ранга
А е Sn (Еп) образует линейное подпространство Sn (Еп) С Еп (En)
размерностью
dimSW(£n) = ^(n2 + n).
▼ Доказательство, заключающееся в проверке аксиом из определения
1.1.2, оставим в качестве упр. 1 к § 1.5. А
Для симметричного тензора А результат скалярного умножения на вектор
а слева и справа одинаков (см. (1.4.57)):
А а = а Ат = а А, (1.5.30)
о
в частности, если а = eQ — левый собственный вектор тензора А, то для
симметричного тензора он, очевидно, совпадает с правым: eQ = eQ (сравните
с (1.5.1)). Таким образом, существует единственный собственный базис eQ
всякого симметричного тензора.
Теорема 1.5.9. Пусть симметричный тензор Aeft (£n) в некотором
базисе ej е Еп имеет вещественные компоненты Аг ·, тогда все его
собственные значения Ха — вещественны.
▼ Представим тензор А разложением по базису е^: А = A^ei ® e^·. Пусть
λα — некоторые собственные значения тензора А, вообще говоря,
комплексные, a eQ — левый собственный вектор, вообще говоря, комплексно-значный,
соответствующий λα. Разложим этот вектор eQ по базису ег: eQ = Q^e·7
о
и рассмотрим вектор ёа, компоненты которого в базисе е7 являются
κόμπο о °
лексно-сопряженными к Qa-, т. е. eQ = Q^e7.
Поскольку λα — собственные значения, то b = еа · А — AQeQ = 0, тогда и
о
b · ёа = 0, в результате получаем уравнение
eQ-A-eQ = AQeQ-eQ. (1.5.31)
Запишем это уравнение в базисе ег:
ψ = \αφ, (1.5.32)
где
φ = AVQ" QOj , φ = д1Щ% Q«. . (1.5.33)
Рассмотрим комплексно-сопряженное число ф. Согласно правилам
действия с комплексными числами,
ф = AVQ* Qaj = АгЩ<*г Q", = АгЩ% Qaj = АгЩ% Qaj . (1.5.34)
Поскольку матрица Агз — симметричная, то
ф = AjiQai Qaj = AijQ% Qaj =ф, (1.5.35)

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 89
т. е. число φ совпадает со своим комплексно-сопряженным, а значит оно
является вещественным.
Поскольку фундаментальная матрица дгэ — симметричная, аналогично
устанавливаем, что φ = φ,τ. е. число φ тоже вещественное; причем поскольку
о
ёа — ненулевой вектор, то φ > 0. Тогда из (1.5.32) получаем, что λα = φ/φ,
а поскольку ф и φ — вещественные, то и λα — тоже вещественное. А
Для дальнейшего исследования свойств собственных векторов
симметричного тензора нам потребуется ввести понятие инвариантного
подпространства.
Определение 1.5.3. Если имеется тензор Aeft (£n)» то
подпространство Е'п с Еп называют инвариантным {или инвариантным
относительно тензора А), если Va е Е'п вектор b = A · а также принадлежит
подпространству Е'п.
Определение 1.5.4. Для всякого тензора А е Еп \Еп) множество £"(А) с
С Еп, состоящее из всех собственных векторов еа этого тензора,
соответствующих одному собственному значению λα, и нулевого вектора
О 6 Еп, называют собственным подпространством £"(А) тензора А.
Определенное таким образом множество ££(А) действительно является
подпространством в £п и инвариантно относительно тензора А (упр. 2 к
§ 1.5).
Пример 1.5.4. Пусть в пространстве Е22 имеется
тензор (рис. 1.5.4):
А = Аие\ ®ei + А22е2 <8>е2,
ei -е2 = 0, |eQ| = 1, а = 1,2.
Очевидно, что его собственные значения совпадают с
Х\ = Ап и λ2 = A22, a ei являются его собственными
векторами е$, тогда множества
А22е2
е2 = := Allei aeE'
Е'а — {а £ ^2 : а = kea, k e
ol= 1,2,
ei
Рис. 1.5.4. Пример
тензора А и инвариантных
относительно него
подпространств Е'а
состоящие из векторов, коллинеарных eQ, являются линейными
подпространствами в Е2 и инвариантны относительно А, так как
А а = кАааеа = Aaaa, Va e Ea. D
Определение 1.5.5. Пусть ε' с εη — инвариантное подпространство
относительно тензора Aed (£n)» тогда тензор A' e £т (£') называют
ограничением тензора А на подпространстве ε', если
Va (Ξ £' А' а - А а.

90
Глава 1. Тензорная алгебра
Из определения следует, что
dim S${S') = m2 = (dim E')2.
Пример 1.5.5. Для рассмотренного в примере 1.5.4 тензора А е #22
инвариантными подпространствами являются множества Е'а, а= 1,2. Тогда тензоры
A' f £(α)·
А'а = Аааеа®еа, α= 1,2,
являются ограничением тензора А на подпространстве Е^, так как
Va е Е'а : А^ · а = Aaaa = A a. D
Теорема 1.5.10. £с/ш подпространство Е'п с £п инвариантно
относительно симметричного тензора А, то ортогональное дополнение этого
подпространства Е'^- также является инвариантным относительно А.
▼ В силу инвариантности пространства Е'п, для всякого aG^ вектор
А · а б Е'п, но тогда любой вектор b е ££*- ортогонален к а и А · а, т. е.
b · А · а = 0. Однако, в силу симметричности А, имеем а · (А · Ь) = 0, Va е Е'п.
Иначе говоря, вектор А · b тоже ортогонален всем элементам из Е'п, а значит
он принадлежит Е'^-. А
Теорема 1.5.11. Для всякого симметричного тензора А е Еп (£п)»
имеющего в некотором базисе е^ е Еп вещественные компоненты, существует
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов eQ этого
тензора.
▼ Докажем теорему методом математической индукции по числу г
размерности пространства Ег (г = 1, ..., п).
При г = 1 получаем пространство Е\ одномерных векторов a6ii вида а =
= аге^. Соответствующее ему пространство тензоров Е\ \Е\) также является
одномерным: всякий тензор А е Е\ {Ex) имеет вид А = Апе\ ® ei. Скалярное
умножение А на а дает
А · а = Апе\ ® е\ · а1е\ = (Апа\д\\)е\ = Аа, λ = Апд\\,
т.е. каждый вектор аб^| является собственным для А е Е\ (Е\) и в
качестве искомого базиса е\ можно взять любой ненулевой вектор из Е\.
Предположим, что утверждение теоремы истинно для случая (п — 1)-го
пространства £η_ι. Рассмотрим пространство Еп. Всякий тензор Aeft (£п)
на этом пространстве имеет, по крайней мере, одно собственное значение λ ι
(если собственные значения все совпадают), тогда существует собственное
подпространство £^(А), имеющее размерность 1, и собственный вектор в нем
е. Рассмотрим ортогональное дополнение Е'п_х — Еп±(А) к £^(А). Согласно
теореме 1.1.5, Е'п является подпространством размерности (п — 1), а из
теоремы 1.5.10 следует, что Е'п_х инвариантно относительно А.

§ 1.5. Собственные значения и собственные векторы тензора второго ранга 91
Введем ограничение А' тензора А на подпространстве Е'п_х. Тензор А'
также является симметричным, поскольку он совпадает с А на том же
множестве Е'п_х, на котором он определен. Если eQ — собственный вектор
тензора А7, то он является собственным и для А. Таким образом, мы по-
(2)
строили симметричный тензор А' е ^^(^-ι)· Тем самым выполнены все
условия данной теоремы для шага индукции (п — 1), а значит в пространстве
Е'п_х существует ортонормированный базис из векторов е2 ...е'п, собственных
для тензора А'. Но эти векторы являются собственными и для А, в силу
построения тензора А', и все они ортогональны к еь так как ei e £n(A), а
ег-.-епб^СА).
о о о
Таким образом, βιβ2·..βη и есть искомый ортонормированный
собственный базис в Еп. А
Теорема 1.5.12. Всякий симметричный тензор А е Sn (Sn) можно
представить разложением по собственному диадному базису:
А = Σ Χα*α ®*<* = [вгЬи], b[a] = AQeQ,
причем все Ха — вещественные.
▼ Действительно, согласно теореме 1.5.11, для симметричного тензора
А е Sn(Sn) всегда существует ортонормированный базис независимо от
кратности собственных значений, тогда по теореме 1.5.2 тензор А всегда
можно представить разложением (1.5.10) по собственному диадному базису,
а по теореме 1.5.9 все λ являются вещественными. А
Пример 1.5.6. Поскольку для симметричного
тензора А б #22 всегда существует ортонормированный
собственный базис, то это означает, что всегда
существует такое представление тензора из его класса
эквивалентности, которое изображает А двумя
парами коллинеарных векторов а^Ь^ — попарно
ортогональных (рис. 1.5.5):
β,·β2 = 0, bl'l ■ ЬИ = 0. D
Рис. 1.5.5. Геометрическое
изображение
симметричного тензора в его
собственном базисе
Упражнения к § 1.5
Упражнение 1. Доказать теорему 1.5.8.
Упражнение 2. Доказать, что собственное подпространство ££(А) тензора А
является подпространством в Еп и инвариантно относительно А.

92
Глава 1. Тензорная алгебра
§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
1.6.1, Векторное произведение тензоров
Рассмотрим трехмерное евклидово пространство 8$ и порождаемое им
тензорное евклидово пространство 8$ {8s)· Напомним, что для 8s мы определили
операцию векторного умножения векторов (см. § 1.2). Аналогичным образом
в пространстве 8% (8s) можно ввести векторное умножение тензоров.
Определение 1.6.1. Векторным произведением двух тензоров
тТ е 8о (8s) и'Вб 8^(8s) называют тензор т+г_1с из пространства
8^т+~ (8s), построенный следующим образом:
= у/9 UmjxkTix'"imBjx-'jlei{ ®...®eirn_{ ®ek®ek®...®ejr (1.6.1)
Теорема 1.6.1. Векторное произведение полиадных базисов из £3 (£з) и
8% (8s) вычисляют по формуле
(ei{ ® ... ® eim) χ (ej{ ® ... ® ejt) =
= \/я ^imj[k^i{ ® · ·. Θ eim_, ® efc ® ej2 ® ... ® eJr (1.6.2)
▼ Доказательство теоремы очевидным образом вытекает из определения
1.4.1. А
Теорема 1.6.1 устанавливает еще одно правило действия с полиадными
базисами (см. пп. 1.4.3 и 1.4.6):
• скобки при векторном умножении полиад могут быть опущены и
произведено векторное умножение двух соседних векторов базиса е;т и е71
по правилу (1.2.33).
Обычно в приложениях используют векторное умножение тензора второго
ранга на вектор:
а χ Τ = <це* х TjmeP ® ет = (1/'y/g)eijkaiTjmek ® ет, (1.6.3)
Τ χ а = Tjmei ® ет χ <це* = (l/y/g)emikTjmai&i ® efc. (1.6.4)
1.6.2. Детерминант тензора второго ранга и обратный тензор
Ранее в § 1.2 было введено понятие детерминанта (определителя) матрицы
Аг ■ по формуле (1.2.5).

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
93
Определение 1.6.2. Детерминантом тензора второго ранга Τ е
6 £3 (£з) называют детерминант матрицы из его смешанных компонент,
взятых в каком-либо базисе е^ е £з:
det T = det (Г*,·)· (1.6.5)
Детерминант тензора, определенный таким образом, не зависит от того, в
каком именно базисе взяты компоненты TV Действительно, пусть имеются
два базиса е* и е^ е £з> а ^V и ^/г? — компоненты тензора Τ в этих базисах,
тогда
Τ = Tjei <g> ej = Τ') e[ <g> e'·7'. (1.6.6)
Используя правила преобразования компонент тензора второго ранга (1.4.14),
получаем
det (Τ*,) = det (пЯ'зЛ ) = det (P\)det (Q^)det (Γ*,) = det (Τ*,)
(1.6.7)
— свойство инвариантности детерминанта, т. е. независимости его от выбора
базиса (здесь использованы результаты упр. 9 и 10 к § 1.2).
Используя формулу (1.2.6), выражение для детерминанта тензора можно
представить с помощью символов Леви-Чивиты:
det Т = (1 /6)eyfcemn,TimTinI*/ . (1.6.8)
(2)
Если тензор второго ранга Те^ является неособенным, т. е. det Τ φ 0,
то для него существует обратный тензор Т-1 е Е^ (£з)» удовлетворяющий
соотношению
Т"1 Т = Е. (1.6.9)
Компоненты обратного тензора образуют обратную матрицу к матрице
компонент исходного тензора. Действительно, пусть Т-1 = T*ej <g) е·7, тогда
соотношение (1.5.9) принимает вид
Г'-е» (8) е? · Т\ ek <8> ez = ек <8> ек. (1.6.10)
С учетом (1.4.45) имеем
TiiTj,ei®el = ei®ei,
3-l Ι^ι
отсюда получаем, что компоненты Тг- и Т\ тензоров Τ х и Τ связаны
соотношением _
Т\Т\ =δ}, (1.6.11)
которое, согласно (1.2.10), и означает, что Тг- = (Т_1)г · — обратная матрица
к Г,.
С помощью теоремы 1.2.2 компоненты обратного тензора Τ ι можно
вычислить явным образом через компоненты тензора Т.

94
Глава 1. Тензорная алгебра
1.6.3. Симметричные тензоры второго ранга в 8$
В МСС широко применяют симметричный тензор второго ранга А,
который, согласно определению 1.5.2, совпадает со своим транспонированным
тензором:
А = АТ. (1.6.12)
Согласно теореме 1.5.7, компоненты этого тензора в любом базисе обладают
симметрией, т. е.
A = Aijei®ej, Aij = Aji, (1.6.13)
поэтому матрица компонент этого тензора имеет вид
/Л11 А12 А13\
(Aij)= \АХ2 А22 А23) . (1.6.14)
\Л31 А23 А33)
Таким образом, ввиду наличия соотношений (1.6.13), у симметричного
тензора второго ранга А 6 5J из девяти компонент независимыми (см.
п. 1.4.8) являются только шесть (теорема 1.5.8).
Согласно теореме 1.5.12, симметричный тензор А всегда можно
представить разложением по собственному диадному базису:
з
А = ^AQeQ<g)eQ, (1.6.15)
а=\
причем все λα (а = 1,2,3) — вещественные, a eQ — ортонормированы и
совпадают с eQ.
Пусть А — неособенный тензор: det А ф 0, тогда для него имеет место
формула (1.5.9):
А~1-А = Е. (1.6.16)
Умножим слева и справа это соотношение на собственный вектор е^
тензора А:
А~1-А-е0 = Е-е0 = е0, (1.6.17)
а затем подставим сюда вместо А его разложение (1.6.15) по собственному
диадному базису:
з з
А"1 · ^ λαβα <8> ёа · ё/з = Α-1 ·5^λα<$βα = Α-1 ·\β1β = *β. (1.6.18)
а=\ а=1
Здесь мы использовали свойство ортонормированности (1.6.16).
Перенося \β в правую часть, окончательно получаем
Α-χ.Ιβ = \βΧΙβ. (1.6.19)

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
95
Из этого выражения следует, что собственные векторы обратного тензора А-1
совпадают с собственными векторами исходного тензора А, а собственными
значениями у А-1 являются λ^1. Тогда тензор А-1 также можно представить
разложением по собственному базису в виде
з
Α"1 =$^λ-1βα<8>£\ (1.6.20)
Аналогично можно представить разложением по собственному базису любую
отрицательную степень тензора А~к, к = 1,2, ... Если учесть результат
(1.6.15), то можно записать общую формулу для разложения любой целой
степени симметричного тензора А е S% (£3) по собственному диадному
базису
з
Ак = ^\каеа®еа, fc = ±l,±2, ..., (1.6.21)
где eQ, λα — собственные векторы и собственные значения тензора А.
1.6.4. Положительно определенные тензоры
Определение 1.6.3. Положительно определенным называют тен-
(2)
зор А б S3 (£з)> для которого квадратичная форма
f = а · А · а = Aijaiaj > 0 (1.6.22)
для любого ненулевого вектора а = а^ег е Е$.
Теорема 1.6.2. Все собственные значения положительно определенного
тензора Ае^ (£з) — положительны.
λα>0, а =1,2,3. (1.6.23)
▼ Поскольку тензор А симметричен, то для него всегда существует
разложение (1.6.21), причем λα — вещественны. Тогда любой вектор аб^з
можно разложить по базису eQ: a = аге;.
Поскольку тензор А является положительно определенным, то из (1.6.21)
и (1.6.22) следует, что должно выполняться соотношение
з
ί = Σλα(°αα)2>0 У°аа, (1.6.24)
а это возможно только при выполнении (1.6.23). А
Со всяким симметричным тензором А можно связать центральную
поверхность второго порядка, называемую тензорной поверхностью. Для этого

96
Глава 1. Тензорная алгебра
по компонентам А1^ составляют квадратичная форма
{\/2)Aijaiaj = / = const, (1.6.25)
которая в трехмерном пространстве координат a* e R3 образует либо
эллипсоид, либо гиперболоид, либо их вырождение.
Подставляя (1.6.24) в (1.6.25), получаем, что квадратичную форму можно
привести к диагональному виду:
з
/ = (1/2) Σ\α(αα)2· (1.6.26)
Если тензор А — положительно определенный, то, в силу (1.6.23), все
собственные значения положительны, и поверхность, описываемая
уравнением
з
/-(1/2) 5>Q(2Q)2 = const, О·6·27)
а=\
представляет собой эллипсоид, главные направления которого совпадают с
направлениями собственных векторов eQ.
Если все собственные значения совпадают: λα = λ, α = 1,2,3, то
уравнение (1.6.27) является уравнением сферы, для которой все направления —
главные.
(2)
Симметричные тензоры второго ранга А и В € 5J (βζ) называют соосны-
ми, если их собственные базисы eQ совпадают
з з
А = ^2 A*eQ<g>eQ, В = ^2 Ваеа ® еа, (1.6.28)
при этом собственные значения Аа и Ва различны; если же Аа = Ва, то
тензоры А и В совпадают А = В.
Скалярное произведение соосных тензоров А и В образует симметричный
тензор
(Α·Β)Τ = Α· В, (1.6.29)
а их скалярное произведение — коммутативно, т. е. переставимо:
Α·Β = Β·Α. (1.6.30)
1.6.5. Кососимметричные тензоры второго ранга
Определение 1.6.4. Тензор второго ранга Ω е £д (£з) называют косо-
симметричным, если
Ω = -Ωτ. (1.6.31)

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
97
Всякий произвольный тензор Τ6ζ (£з) всегда можно представить в
виде суммы симметричного и кососимметричного тензоров
T = TS + Tfc, (1.6.32)
где
Ts = (1/2) (Τ + Тт), Tk = Ω = (1/2) (Τ - Ττ). (1.6.33)
Обозначим компоненты кососимметричного тензора Ω в базисе е^ ® е^ как
Ω = Ω^βί<8)Θ7·, (1.6.34)
тогда
Ω* = -Ω4. (1.6.35)
Из (1.6.35) следует, что диагональные компоненты Ω*·7' равны нулю: Ωαα = О,
и тензор Ω имеет только три независимые компоненты, поэтому на основе
всякого кососимметричного тензора можно построить вектор ω, называемый
вектором, сопутствующим кососимметричному тензору (или аксиальным
вектором):
ω = иле\ шг = -(1/2) y/geijkiljk. (1.6.36)
Теорема 1.6.3. Кососимметричный тензор и сопутствующий ему вектор
связаны соотношениями
Ω - ω χ Ε, Qik = (\/y/^)eikjUi. (1.6.37)
▼ Действительно, из определения (1.6.36) вектора ω получаем
wxE = wxe|0e/ = {^/y/g)^jk^j9ik^i ® ez =
= -(y^/2y^)eijkejspnsPei ®ek = (1/2)Л^в^ ®ek =
= Ω^β» <8> efc = Ω. (1.6.38)
Здесь использовано определение векторного произведения (1.2.23) и свойства
(1.2.3). Таким образом, первая формула в (1.6.37) доказана.
Умножая теперь формулу (1.6.36) слева и справа на (\/у/д)егтп и
используя свойство (1.2.3) символов Леви-Чивиты, получаем вторую формулу в
(1.6.37):
(l/y/9)JmnUi = -(\/2)eljke™nWk = -(\/2)(ф% - <^)Ω>"* =
= -(l/2)(Qmn - Ппт) = Ппт. А
Найдем собственные значения кососимметричного тензора. Свойство
кососимметричности (1.6.35), означает, что его компоненты Ω*·7 образуют матрицу
О Ω12 -Ω134
Ω^'= ( -Ω12 Ο Ω23 ) . (1.6.39)
Ω13 -Ω23 0

98
Глава 1. Тензорная алгебра
Составляя характеристическое уравнение (1.5.6)
V(X) = g det (Qij - Xgij) = -λ(λ2 + ω2) = 0, (1.6.40)
находим собственные значения
λι = -\ω, λ2 = ίω, λ3 = 0,
ω2 = 4 (Σ^™* + 2(<"1<*W2 + fcW3 + <*>з"1013) 1 · (1.6.41)
1.6.6. Ортогональные тензоры
(2)
Определение 1.6.5. Тензор второго ранга О е 8% {8$) называют
ортогональным, если
От = 0"1
(1.6.42)
(1.6.43)
(1.6.44)
ек, (1.6.45)
(1.6.46)
Для ортогонального тензора всегда выполняется соотношение
Οτ·0 = 0·Οτ = Ε.
Введем компоненты тензора О в диадном базисе:
О = Oijei®e?y
тогда
О От = О^Ок1 е, ® ej · е, ® ек = О^О^ъ ® ек = Ε = δ\^
или
о1рк3 = &ющ = δΐ
Осуществляя жонглирование индексами, формулу (1.6.46) можно
представить также в виде
01рткдгт = 9зк· (1.6.46а)
В частности, в ортонормированном базисе ej компоненты Ог^ ортогонального
тензора О удовлетворяют соотношениям
буУ£ *iTO = *;*. (1.6.466)
Рассматривая по отдельности случай совпадающих значений индексов j и
к и несовпадающих их значений, из (1.6.466) получаем известное свойство
ортогональных матриц Ог ■ (компонент ортогонального тензора в
ортонормированном базисе):
з з
Σ(Οαβ)2=1 £0^0%= 0, α,0,7= 1,2,3, (1.6.46b)
— строки или столбцы ортогональных матриц, умноженные сами на себя,
дают единицу, а перемноженные попарно — дают нуль.

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
99
Из (1.6.46) следует, что на девять компонент тензора О наложены шесть
связей, следовательно, произвольный ортогональный тензор имеет не более
трех независимых компонент.
Определитель ортогонального тензора равен ±1, так как
1 - det (Ε) - det (От · О) - det (От) · det (О) - (det (О))2, (1.6.47)
отсюда
det (0) = ±1. (1.6.48)
Если выбрать некоторый базис ег е £з> то с помощью ортогонального
тензора О получим новый базис е[ е 8%.
е;=е»-0 = От-еь (1.6.49)
который обладает следующими свойствами:
• метрические матрицы д[- и дц совпадают, так как
g'ij = е- · e'j = е* · О · От · е, = е* · е, = дц\ (1.6.50)
• углы фц между базисными векторами е* и соответствующие углы ф'^
между е[ одинаковы. Действительно, по (1.1.9) и (1.1.11):
/ / еа ' е/9 9αβ 9αβ , . /1 С С1 \
cos^Q/3 = J = = р = cos^Q/3; (1.6.51)
• длины векторов не изменяются:
leLl = y/g^t = V9^ = |ea|. (1.6.52)
Пример 1.6.1. Формулы (1.6.49)—(1.6.52) в Е$ означают, что преобразование
(1.6.49) произвольного базиса е* в 8$, осуществляемое с помощью
ортогонального тензора, происходит «жестким» образом — без изменения углов и
длин, т.е. это преобразование поворота вокруг некоторой оси с вектором
сз, которое может сопровождаться зеркальным отражением относительно
некоторой плоскости, если det О = — 1. Если же det О = 1, то происходит
собственно поворот. D
Выберем два вектора с\ и с2 в плоскости, ортогональной вектору с3, для
определенности положим |cQ| = 1. Поскольку тензор О осуществляет поворот
вокруг оси с вектором сз, то сз не изменяется:
с3 = От.с3 = с3, (1.6.53)
а векторы ci и с2 поворачиваются в своей плоскости «жестким образом» на
некоторый угол ψ:
c4 = Ot-cq, (1.6.54)
так что
с\ — с\ cosy? + с2 sin φ, с2 = —с\ sin φ + с2 cosy?. (1.6.55)

100
Глава 1. Тензорная алгебра
Очевидно, что с'а также будут ортонормированы, тогда тензор О можно
представить в виде
з з
О = Ε · О = ^ са <8> са · О = ^ са <8> <4. (1.6.56)
Подставляя сюда (1.6.55), получаем
О = ci ® (ci cos φ + С2 sin φ) + C2(—c\ sin φ + c2 cos φ) + C3 ® C3 =
= (ci ® ci + C2 ® C2) cos y> + (ci ® C2 — C2 ® ci) sin y> +
+ C3 ® C3 = Ε cosy? + C3 ® сз(1 — cosy?) — Ε χ C3siny?. (1.6.57)
Здесь мы воспользовались свойствами векторного произведения,
приведенными в упр. 7 и 8 к § 1.2.
Таким образом, всякий ортогональный тензор О всегда можно
представить в виде (1.6.57).
Вычислим собственные значения ортогонального тензора. Из (1.6.57)
следует, что в базисе cQ тензор О имеет компоненты
(cos φ sin φ 0\
-siny> cosy? 0 J . (1.6.58)
Составляя характеристическое уравнение (1.5.6), получаем
P(A)=det {0^-λδ}) = (1 -A)(A2-2Acosy>+l) = 0, (1.6.59)
отсюда
A3=l, Ai=e"4 А2 = еЧ (1.6.59а)
таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 1.6.4. Ортогональный тензор всегда имеет одно действительное
собственное значение, равное 1, и два, вообще говоря, комплексных.
Из (1.6.53) следует, что собственный вектор, соответствующий значению
А = 1, совпадает с с3, т.е. ез = е3 = сз- Два других собственных вектора
являются, вообще говоря, комплексными, их находим, записывая разложение
(1.5.10) тензора О по собственному базису:
О = е~{<ре\ (gie1 + е{<ре2 ® е2 + с3 ® с3 = (ei ®e* +
+ е2 ® е ) cosy? — i(ei ® е1 — е2 ® е ) sin у? + сз ® сз- (1.6.60)
Сравнивая (1.6.60) и (1.6.57), находим
в! = е2 = (1/\/2)(С1 - ic2), ё2 = е1 = (1/л/2)(С1 + ic2). (1.6.61)

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
101
1.6.7. Главные инварианты тензора второго ранга
В МСС широко применяют свертки тензора второго ранга Tg^ (^з) и
его степеней с метрическим тензором Е:
/ι (Τ) = Τ · · Ε, /ι (Τ2) = Τ2 · · Ε, (1.6.62)
/ι(Τ3) = τ3 Ε = Γ3 +Γ|2 +Г33з + 3(ΓΠ(Γ22 + Γ23)+
+f22(ff2 + Г2з) + Гзз(Г23 + Г2з)) + 6Г12Г13Г2з.
Здесь Tij — компоненты тензора Τ в ортонормированном базисе ej.
Введем определитель симметричного тензора Τ по формулам (1.6.5) и
(1.2.5):
det Τ = fuf22f33 - ТпГ2з - Т22Т\3 - f33ff2 + 2fl2fl3f23. (1.6.63)
На основе скаляров (1.6.62) введем так называемые первый, второй и
третий главные инварианты тензора второго ранга:
/!(Т)=Т..Е,
h(T) = ^(/2(Т) - /!(Т2)) = Г„Г22 + ГцГзз + Г22Гзз - Г22 - Г23 - Т23,
73(Т) = det (T). (1.6.64)
Термин «главный инвариант» будем пока использовать просто как
названия для скаляров (1.6.64), далее в гл. 4 будет показано, что /а(Т)
действительно являются инвариантами (т. е. не изменяющимися величинами) при
определенных преобразованиях.
Непосредственной проверкой нетрудно установить, что
det (Τ)-(1/6) (7f(T)-37i(T)72(T2) + 271(T3)). (1.6.65)
Теорема 1.6.5. Главные инварианты /а(Т) симметричного тензора
второго ранга Τ можно выразить через его собственные значения λα.
▼ Действительно, если λα — собственные значения Т:
(Т - λαΕ) · ёа = 0, (1.6.66)
то можно составить характеристический полином
V(X) = det (Τ - λΕ) = det {Гц - Χδχ), (1.6.67)

102
Глава 1. Тензорная алгебра
тогда
Р(Х) = (Гц - λ)(Τ22 - λ)(Γ33 - λ) - (Г,, - λ)Τ|3 - (Τ22 - λ)Τ23-
- (Τ33 - λ)Τ?2 + 2Τ,2Τ13Τ23 = det(T) - λ2(Τπ + τ|2 + Τ23)-
- A(iiii22 + ^11^33 + ^22^33 ~ -1-\2 ~~ -*23 ~~ 1\Ъ) ~~ Λ =
= /3(Τ) - λ/2(Τ) + λ27ι(Τ) - λ3. (1.6.68)
С другой стороны, полином V(X) можно представить через его корни AQ:
V(X) = (λι - λ)(λ2 - λ)(λ3 - λ) = -λ3 + λ2(λι + λ2 + λ3)-
- λ(λιλ2 + λιλ3 + λ2λ3) + λιλ2λ3.Α: (1.6.69)
Сравнивая эти два представления, находим связь между λα и инвариантами
/а(Т):
/ι(Τ) = λι + λ2 + λ3, /2(Τ) = λιλ2 + λιλ3 + λ2λ3,
/3(Τ) = λιλ2λ3. Α (1.6.70)
Поскольку λα являются собственными значениями тензора Т, то
характеристический полином V{\) при каждом λ = λα обращается в нуль. Тогда из
(1.6.68) имеем
λ3 = Ιι(Τ)λ* - Ι2(Τ)λα + Ι3(Τ), α = 1,2,3. (1.6.71)
Тензор Т можно разложить по собственному базису eQ согласно (1.5.10):
з
Τ = Σλ***®*α· (1.6.72)
Рассмотрим тензорные степени Т2 и Т3. В силу (1.5.15), для Т2 и Т3
имеет место аналогичное разложение
з
Тп = ^Х2еа®еа, η = 2,3. (1.6.73)
Заменим в разложении для Т3 коэффициенты λ3 их выражениями (1.6.71):
ззз
Т = 1,(Т)^А2еа(8)еа-12(Т)^Ааёа(8)еа + 1з(Т)^ёа(8)ёа. (1.6.74)
а=\ а=\ а=\
Если тензор Τ неособенный, то, умножая (1.6.74) на Т-1, получаем
Т-1-(1/73(Т))(Т2-71(Т)Т + 72(Т)Е). (1.6.75)
Воспользовавшись представлениями (1.6.72) и (1.6.73), придем к
уравнению
Τ3 = 7ι(Τ)Τ2 - /2(Т)Т + /3(Т)Е, (1.6.76)

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
103
которое по форме аналогично характеристическому уравнению (1.6.71), если
вместо λα подставить сам тензор Т. В этом состоит утверждение следующей
теоремы.
Теорема 1.6.6 (Гамильтона — Кэли). Неособенный тензор удовлетворяет
своему характеристическому уравнению.
Из (1.6.76) следует важный вывод: любую тензорную степень Тп (п > 3)
можно выразить только через первые две степени Τ2, Τ и Е, например
Τ4 = Τ3 Τ = /!(Т)Т3 - 72(Т)Т2 + /3(Т)Т -
= /ι (/ι Τ2 - Ι2Ύ + 73Ε) - /2Τ2 + /3Τ =
= (72-72)Τ2-(/ι/2-/3)Τ + /ι/2Ε и т.д. (1.6.77)
1.6.8. Тензоры п-го ранга в трехмерном евклидовом пространстве
Общее определение тензоров η-го ранга на линейных пространствах Сп
было дано в п. 1.3.7.
Тензор η-го ранга ηΩ в трехмерном евклидовом пространстве £д (£з)
можно представить разложением по полиадному базису:
ηΩ = Ω<,···<*Θίι®βί2®...<8>Θίη, п^ 1, (1.6.78)
где Ω*1···*" — компоненты тензора η-го ранга в полиадном базисе е;, ®...
...®ein.
Компоненты тензора ηΩ при замене базиса е* на е[ = Р\ ej преобразуются
согласно (1.4.14):
Qii-in=pii mmmpin tfji-jn, (1.6.79)
Примером тензора третьего ранга является тензор Леви-Чивиты,
определяемый как .
6 = y/geijke1 ® е·7 ® ек = ——eijkei ® е, ® ек. (1.6.80)
у/9
Отметим, что сами символы Леви-Чивиты е^ь еи7с не являются
компонентами тензора, так как не преобразуются по тензорному закону (1.6.79).
Примером тензора четвертого ранга является единичный тензор
четвертого ранга Δ, определяемый согласно (1.4.72):
Δ = - (е* <8> е* ® ег ® е/ + е* ® ez ® е/ ® ег) = Aljklei ® е, ® efc ® е/. (1.6.81)
1.6.9. Симметричные тензоры п-го ранга
Среди тензоров четвертого ранга важную роль играют тензоры,
обладающие симметрией компонент следующего вида (по первому и второму

104
Глава 1. Тензорная алгебра
индексам, по третьему и четвертому индексам, а также по парам индексов
(1,2) <-(3,4)):
£^1*2*3*4 — QkUhU Q4kh4 — Qi2444 QH^hU — fthUUk (1.6.82)
т. е. удовлетворяющие соотношениям
4Ω<1234) - 4Ω<2134), 4Ω<1234) = 4Ω<1243\ 4Ω^1234) = 4Ω(3412). (1.6.83)
Такие тензоры являются аналогом симметричного тензора второго ранга, и
поэтому их называют симметричными тензорами четвертого ранга.
Из формул (1.4.81) следует, что для симметричных тензоров четвертого
ранга тензор Δ, определенный по (1.4.72) или (1.6.81), играет роль
единичного:
4Ω·· Δ = 4Ω. (1.6.84)
Отметим, что для произвольных тензоров четвертого ранга, не обязательно
обладающих симметрией вида (1.6.83), настоящим единичным тензором
является тензор Δπι, определенный по (1.4.76).
На множестве симметричных тензоров четвертого ранга определяют
понятие взаимно-обратных тензоров четвертого ранга 4К к 4Ω, которые связаны
соотношением
4Ω··4Κ = Δ. (1.6.85)
Из произвольного тензора второго ранга А можно образовать
симметричный тензор Τ путем операции симметрирования
Τ = i(AT + А) = ^(А(21) + А<12)). (1.6.86)
Аналогичная операция симметрирования для произвольного тензора
четвертого ранга имеет вид
4С = 4Ω<·> = !(Ω<1234) + Ω<2134) + Ω<1243) + Ω<2143) +
+ Ω<3412) + Ω<3421) + Ω<4312) + Ω<4321)). (1.6.87)
Тензор
4С = С*1<2<3*4ег,<8)...<8)ег4, (1.6.88)
очевидно, обладает симметрией компонент (1.6.82).
Симметричный тензор четвертого ранга может быть образован и другими
перестановками, например, если тензор 4Ω сам обладает двумя первыми
условиями симметрии (1.6.83) (по индексам 1, 2, а также 3 и 4), то тензор
4Ф = ί(4Ω<2314) +4Ω<3214) +4Ω<1432) +4Ω<4132)) (1.6.89)
обладает полной симметрией компонент (1.6.82).

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
105
Иногда применяют также симметричный тензор шестого ранга 6Ω,
обладающий симметрией индексов внутри каждой пары и по парам:
6^(123456) _ 6^(213456) _ 6^(124356) _ 6^(123465) /j g gQN
6^(123456) _ 6^(125634) _ 6^(563412) _ 6^(341256) и т д
Из произвольного тензора шестого ранга 6Ω можно образовать симметричный
тензор путем введения операции симметрирования, например, следующим
образом:
6С = 6Ω<"> = -Ι(6Ω<·>56 + 6Ω<·>65 + 6Ω<·>12 + 6Ω<·>21 + 6Ω<·>34 + 6Ω<·>43).
48ν '
(1.6.91)
Здесь операция 6Ω^'^12 означает симметрирование вида (1.6.87) по четырем
индексам г^нЛъЛь ПРИ фиксированных индексах i\,i<i, стоящих на пятом и
шестом местах и т. п.
Тензор 6С вида (1.6.91) обладает симметрией компонент типа (1.6.90).
Упражнения к § 1.6
Упражнение 1. Показать, что если в двойном скалярном произведении двух
тензоров А и В один из тензоров симметричен, то второй тоже можно симметризовать,
т. е.
Α··Β = Τ··Β, если В = ВТ, где Τ = (1/2) (А + Ат).
Упражнение 2. Показать, что для кососимметричного тензора из (1.6.35) следует
Ω^· = —ilji, но для смешанных компонент, вообще говоря, это соотношение не имеет
места.
Упражнение 3. Используя определение (1.6.80) тензора Леви-Чивиты и определение
(1.6.36) вектора ω, показать, что для кососимметричного тензора Ω имеет место
формула, обратная к (1.6.37),
ω = (1/2) е-· Ω,
а также имеют место формулы Ω = —ω · е = —е · ω.
Упражнение 4. Используя определения (1.2.23) и (1.6.36), показать, что скалярное
умножение кососимметричного тензора Ω на произвольный вектор а можно
представить в виде
Ω · а = w χ a, a-i] = axw.
Упражнение 5. Показать, что соотношение (1.6.37) для кососимметричного тензора
можно также представить в виде
Ω = Εχω = ωχΕ.
Упражнение 6. Показать, что компоненты вектора ω, определяемого по (1.6.36),
можно представить в явном виде
ωι=ν^Ω32, ω2 = ν^Ω13, W3 = v5fi21.

106
Глава 1. Тензорная алгебра
Упражнение 7. Показать, что тензор Леви-Чивиты (1.6.80) можно представить в
виде
€ = -Ε χ Ε.
Используя свойства (1.2.3) символов Леви-Чивиты, показать, что имеют место
соотношения
€ · € = Ац — Alii, € · · € = —2Е, € · · · € = —6,
где тензоры Ац и Δπι определены по (1.4.76).
Упражнение 8. Показать, что собственные векторы eQ, соответствующие
собственным значениям λα кососимметричного тензора Ω, могут быть представлены в виде
ё3 = е3=о;/|И, е, = е2 = (l/v^)(ci - ic2), e2 = е1 = (1/>/2)(с, + ic2),
где ci и С2 — некоторые вещественные нормированные векторы \са\ = 1.
Упражнение 9. Показать, что всякий кососимметричный тензор Ω является
особенным, т. е. det (Ω) = 0.
Упражнение 10. Показать, что если два векторных базиса е^ и е[ связаны с
помощью ортогонального тензора Q:
ei = QT-eif
то тензор Q можно представить в виде тензорного произведения векторов базиса —
исходного в; и конечного е/г, полученного ортогональным преобразованием: Q =
= е; ® е'\ Показать, что если имеются два ортонормированных базиса с^ и cQ,
связанных соотношениями
c'j = ci cos φ + C2 sin φ, c2 = — ci sin φ + C2 cos ζ/ί), Сз = ез, 0 ^ φ ^ 2π,
то эти два базиса также можно связать с помощью некоторого ортогонального
тензора Q: с^ = QT · cQ. Найти компоненты этого тензора в базисе cQ.
Упражнение 11. Используя формулу (1.2.13) для компонент обратной матрицы,
показать, что компоненты Ог ортогонального тензора О в ортонормированном базисе
ёг удовлетворяют соотношениям
е^к6к10'тО\ = етпк6кЮ1р,
eijkOlmOjn = emniOk = emniOpq6pkS q.
Упражнение 12. Показать, что операция свертки двух тензоров четвертого ранга
4Ω(1) = Ω^'^θϊ, ®...®еи, 4Ω(2) =nWji-j<ej{ ®...®ei4,
т. е. скалярное умножение по всем четырем индексам приводит к образованию
скаляра
4о0) 4П(2) = Ы1) . . 0(2)г1г2г3г4
Упражнение 13. Показать, что для симметричного тензора второго ранга Τ имеет
место соотношение
ТОТ Δ = Τ2 · · Ε.
Упражнение 14. Показать, что для всякого тензора второго ранга Τ и четвертого
ранга 4Ω имеет место соотношение
Τ··4Ω·· Τ = Τ®Τ····4Ω.

§ 1.6. Тензоры в трехмерном евклидовом пространстве
107
Упражнение 15. Показать, что квадрат симметричного тензора Τ можно
представить в виде
Τ2 = Δ · Δ ТОТ.
Упражнение 16. Показать, что векторное произведение вектора на произвольный
тензор п-го ранга имеет вид
axntt = (l/v^) €&1сцП^..Лпеи <8> е*2 ® ... ® ein.
Упражнение 17. Показать, что для любого тензора второго ранга Τ имеет место
соотношение
Τ Δ = Δ Τ = (1/2)(Τ + Ττ).
Упражнение 18. Используя свойство (1.2.40) двойного векторного произведения,
показать, что для любых двух векторов а и b имеет место формула
Ex(axb) = b<g>a-axb.
Упражнение 19. Показать, что для любых тензоров второго ранга А и В имеют
место соотношения
А · · В = Вт · · Ат = Ат · · Вт, А В = В А.
Упражнение 20. Показать, что если А — симметричный тензор, а В — кососиммет-
ричный, то
А В = 0.
Упражнение 21. Показать, что формулу (1.2.40) двойного векторного произведения
можно представить в виде, сохраняющем порядок следования векторов:
а χ (Ь χ с) = а · (Ь ® с)т - (а · Ь)с.
Показать также, что
(Ь · Τ) χ а = b · (Τ χ а).
Упражнение 22. Показать, что для произвольных тензоров второго ранга А, В, С
и D имеют место соотношения
(А · В) · -(С · D) = (D ® В)(3214) · · · -(С ® А) = (В ® D)(1432) · · · -(С ® А) =
= (D ® В)(1432) · · · -(А ® С) = (В ® D) · · · -(А ® С)(1432).
Упражнение 23. Показать, что имеет место следующая формула перестановки
множителей в скалярном произведении:
&·ηΩ = ηΩ(23···η1) -а.
Упражнение 24. Используя результаты упр. 19, 20 и формулу (1.6.32), показать, что
двойное скалярное произведение произвольных тензоров второго ранга А и В всегда
можно представить в виде
А В = (1/2) (А · · В + Ат · · Вт), А В = As Bs + Ak Bk.
Если кроме того, для кососимметричных тензоров Ак и Вк ввести сопутствующие
векторы ω а и и?в по формуле из упр. 3:
Ак = -ωА · €, Вк = -ωв · е,

108
Глава 1. Тензорная алгебра
то свертку тензоров А и В можно представить еще в виде
А·· В = As --W -2ωΑ·ωΒ.
Упражнение 25. Показать, что имеет место формула е · · (а ® b) = b x а.
§ 1.7. Псевдотензоры
1.7Л. Общие замечания о псевдотензорах
Выше уже отмечалось, что не всякий объект с индексами является
тензором, а только обладающий свойством инвариантности, т. е. компоненты
которого при переходе из одного базиса в другой преобразуются специальным
образом — по закону (1.4.14).
Ранее мы уже говорили, что существуют объекты, которые не
преобразуются по тензорному закону, и, следовательно, не являются компонентами
каких-либо тензоров, в частности, это относится к символам Леви-Чивиты
В пп. 1.2.5-1.2.8 было показано, что существует ряд объектов, которые
преобразуются по закону, «близкому» к тензорному (1.4.14), но несколько
от него отличающемуся. Такие объекты играют важную роль в тензорном
исчислении, и их объединяют в отдельный класс — псевдотензоров.
1.7.2. Общее определение относительных тензоров и псевдотензоров
Определение 1.7.1. Относительным тензором п-го ранга
называют объект ηΩ, имеющий в полиадном базисе представление вида
пп = пч..Лт еи ® ... ® eirn ® eim+l <8>... <8> ein, (1.7.1)
компоненты которого при замене базиса е^ Ε Еп на любой другой базис
е[ Ε Sn преобразуются по закону
Ω*1-*"1 · = χΙΔΓΟ*1 · ...Qim Pjrn+{ ...Pjn njl'"jm
lm+[...ln I I ^ J\ 4 Jm lm+l In Jm+l---JnJ
χ = Δ/|Δ|. (1.7.2)
Таким образом, в законе преобразования (1.7.2) участвуют два числа: κ и
w, причем κ может принимать значения только 1 или — 1, a w — некоторое
целое число, которое может быть и отрицательным. При этом различают
четыре класса:
• если κ = 1, a w Φ 0, то ηΩ называют относительным тензором п-го
ранга веса w\
• если κ = 1, a w = 0, то ηΩ называют тензором п-го ранга (или
истинным тензором);

§ 1.7. Псевдотензоры
109
• если χ может принимать значение —1, a w = О, то ηΩ называют
псевдотензором п-го ранга',
• если χ может принимать значение —1, a w Φ О, то ηΩ называют
относительным псевдотензором п-го ранга веса w.
Очевидно, что данное выше понятие истинного тензора п-го ранга
совпадает с понятием тензора п-го ранга в силу совпадения формул (1.4.14) и
(1.7.2) при к = 1 и ω = 0.
Сравнивая законы преобразования (1.2.49), (1.2.54), (1.2.59), (1.2.63) и
(1.7.2), получаем, что
• у/g является относительным тензором нулевого ранга (относительным
скаляром) веса w = — 1;
• векторное произведение двух истинных векторов axb является
псевдотензором первого ранга (т. е. псевдовектором);
• смешанное произведение трех истинных векторов а · (b x с) является
псевдотензором нулевого ранга (т. е. псевдоскаляром);
• тензор Леви-Чивиты е с компонентами у/д t^ является псевдотензором
третьего ранга.
Обратные соотношения для компонент относительных тензоров, очевидно,
имеют вид
Qji-im, =x\A\~wPjl. ...Pjrn Qim+l ...Qin- Q'il-im.
Jm+l---Jn II l! lm ^ Jm+1 ^ Jn Ът+\...Ъп
(1.7.3)
Если рассматривать замену базиса ег на е[ в рамках только одного класса,
то Δ > 0, к — 1, и псевдотензоры преобразуются как истинные тензоры, а
относительные псевдотензоры веса w как относительные тензоры веса w.
Упражнение к § 1.7
Упражнение 1. Показать, что для произвольного относительного вектора а и
относительного тензора Τ формулы представления в различных базисах следует записывать
в виде (сравните с формулами (1.4.11) и (1.1.2))
а = сы& = x|A|wa;e'\ Τ = Т^ ® ej = х^^-е* <g> e,j,
или в виде
а = а[е'г = к'\А\-ш(це\ Τ = 7£е/£ О efj = >с\А\~шТ^е{ ® ej.

Глава 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
§2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах
2.1.1. Аффинное пространство
В МСС физические величины, подобные векторам силы, скорости и
другие, имеют не просто тензорный характер, а представляют собой тензорные
поля, т. е. тензоры, меняющиеся при переходе от одной точки пространства к
другой. Таким образом, необходимо определить еще один объект, в котором
кроме понятий векторов и тензоров есть еще и понятие точки.
Пусть имеется некоторое векторное пространство Сп.
Определение 2.1.1. Множество Лп называют n-мерным аффинным
пространством, а его элементы — точками (их обозначают
заглавными буквами А, В, С, ...), если на этом множестве задано отобра-
эюение
Лп х Лп —> £п, сопоставляющее каждой упорядоченной паре точек
А, В единственный вектор χ из пространства Сп {который обозначают
также как АВ) и обладающее следующими свойствами:
1) для любой точки А е Лп и любого вектора хе£п существует
единственная точка В е Лп такая, что АВ = х;
2) для любых трех точек А,В,С£ Лп выполняется соотношение Шаля:
АВ + ВС + СА = 0,
где 0 — нулевой вектор из Сп.
Векторное пространство £п, участвующее в определении 2.1.1,
называют пространством, присоединенным к Лп или пространством векторов
пространства Лп- Векторами из Лп называют элементы пространства £п,
присоединенного к Лп.
Для всякого вектора АВ = хиз пространства Лп точки А к В называют
соответственно началом и концом вектора. Пару элементов Лх, где А е
е Лп, ахб£п (пространство Сп является присоединенным к Лп) называют
вектором х, приложенным в точке А.

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 111
Из соотношения Шаля следует, например, что
VA е Ли : ЛА = О,
а также, что
Wl, Be Л,
АВ = -ΒΑ.
Пример 2.1.1. Вся терминология аффинного пространства составлена так,
что если в качестве пространства Сп выбрать Е% (см. пример 1.1.1), а в
качестве множества точек Ап взять множество геометрических точек из того
же пространства Е^у то эта терминология будет иметь буквальный ее смысл.
Так «начало и конец вектора» в таком аффинном пространстве Е% будут
означать геометрические точки начала и конца геометрического вектора. То
же самое относится и к понятиям, вводимым далее. D
2.1.2. Декартова система координат в пространстве An
Определение 2.1.2. Совокупность некоторой точки О е Ап и
базиса ej...en из пространства Сп, присоединенного к Ап, называют
декартовой системой координат в Ап и обозначают как Ое^.
Точку О при этом называют началом координат.
Из определения 2.1.2 следует, что декартову систему координат в Ап
также можно рассматривать как совокупность η векторов базиса е* из Сп,
приложенных к одной точке О е Ап-
Пример 2.1.2. На рис. 2.1.1 изображена декартова система координат Ое; в
пространстве Ап = Е$У введенном в примере 2.1.1. D
Пусть имеется некоторая декартова система координат Ое; в Лп.
Рассмотрим произвольный вектор χ = О А из Ап, приложенный в точке О.
Определение 2.1.3. Декартовыми координатами хг вектора χ =
= О А из Ап в декартовой системе координат Ое^ в Ап называют
компоненты соответствующего вектора χ из пространства £п,
присоединенного к Ап, в базисе ei e Сп.
Рис. 2.1.1. Декартова сие- Рис. 2.1.2. Вычисление координат
тема координат в Е% вектора

112
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
τ
Поскольку вектору О А соответствует единственный элемент хб£П) а
вектор χ однозначно раскладывается по базису е^ е Сп: χ = хгег> то
координаты хг вектора О А определены однозначно. В выбранной декартовой системе
координат Oei вектор О А = х, где А — произвольная точка из Ап, называют
радиус-вектором точки А.
Если А, В — произвольные точки из An, то координатами хг вектора
χ = АВ в декартовой системе координат Ое» из An называют разность
декартовых координат хгв и х\ радиус-векторов ОВ = х# и О А = х^, т. е.
х* = х*в - х\. (2.1.1)
Пример 2.1.3. На рис. 2.1.2 показаны координаты вектора АВ из
пространства Е$ элементарной геометрии, вычисляемые по формуле (2.1.1). D
2.1.3. Плоскости и прямые β пространстве Ап
Пусть в пространстве Сп, присоединенном к Ап, имеется некоторое
подпространство Ст (т^п).
Определение 2.1.4. Пусть А — некоторая точка из Ап, тогда множество
Ат с An, состоящее из всех таких точек В е Ап, для которых
существует вектор χ € Ст С Сп такой, что АВ = х, называют т-мерной
плоскостью в An, натянутой на подпространство Ст и точку А.
Очевидно, что фиксированная точка А также принадлежит Ат, так как
для нее существует вектор АА = О — нулевой вектор, который принадлежит
любому Ст (так как это подпространство).
Определение 2.1.5. В пространстве Ап одномерные плоскости называют
прямыми, а (п— \)-мерные — гиперплоскостями.
Рис. 2.1.3. Плоскость Е% и век- Рис. 2.1.4. Координатные оси и
тор, принадлежащий этой плоско- координатные плоскости в
прости в пространстве Е% странстве Е$

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 113
Определение 2.1.6. Пусть в Лп имеется декартова система координат
Oei, тогда прямые, каждая из которых натянута на точку О и
подпространство С[ с Сп, базис которого состоит только из одного вектора
е$, называют осями декартовой системы координат и обозначают
как Охг, где хг — декартовы координаты. Гиперплоскости в Лп,
каждая из которых натянута на точку О и подпространство С" с Сп,
базис которого состоит из (п — 1) векторов е\...еп кроме е^, называют
координатными плоскостями.
Пример 2.1.4. На рис. 2.1.3 показана плоскость Ε<ι из пространства
элементарной геометрии Е%, которой принадлежит геометрический вектор χ = АВ.
В пространстве Е% определение 2.1.6 вводит обычные, хорошо известные в
элементарной геометрии, оси координат Охг и координатные плоскости С'а =
= Па, которые мы можем наглядно изобразить подобно тому, как это показано
на рис. 2.1.4. D
Координатные плоскости Па в Лз часто обозначают как Οχ/3χΊ, где
<* Φ β Φ 7 Φ α.
2.1.4. Аффинное евклидово пространство
Определение 2.1.7. Аффинное пространство Ап называют аффинным
евклидовым (или точечным евклидовым) и обозначают 8%, если его
присоединенное векторное пространство Сп — евклидово, т. е. Сп = Еп.
Впространстве 8% определены скалярное произведение векторов АВ = χ
и CD = у, где A, B,C,D е 8%, а х, у е 8п:
АВ-сЗ = х-у, (2.1.2)
—>
длина вектора АВ из 8%:
\АВ\ = {ΑΒ.ΑΒγ/2 = |х| ^(х-х)1/2, (2.1.3)
а также расстояние между точками А,Ве8%:
1(А,В) = \АВ\. (2.1.4)
Расстояние 1(А, В) можно выразить через декартовы координаты точек
А, В в декартовой системе координат Ое* в 8%:
12(А,В) = χ χ = (х%) ■ (xjej) = gijxlxj, (2.1.5)
где хг — декартовы координаты вектора АВ, связанные с ή и а:гб по формуле
(2.1.1), а % = ei - ej — метрическая матрица, для которой в аффинном
евклидовом пространстве будем ставить знак «~» сверху. Обозначение дц
оставим для метрической матрицы в специальном базисе (см. п. 2.1.8).

114
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
В пространстве 8п существует ортонормированный базис ё;, далее его
будем называть также декартовым, базисом. Если ё* выбрать в качестве базиса
декартовой системы координат в £^, то получим прямоугольную декартову
систему координат Оё^.
В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между
любыми точками А и В из 8% вычисляем следующим образом:
12{А,В) = Sijxixj, (2.1.6)
так как ё* · ej = δ^. Декартовы координаты в базисе ё; также будем
обозначать как хг.
2.1.5. Изоморфные аффинные пространства
Определение 2.1.8. Два точечных евклидовых пространства 8% и 8£
с присоединенными векторными пространствами 8п и 8'п,
соответственно, называют изоморфными, если существует такое
взаимнооднозначное отображение /: 8* —> 8'£ и такой изоморфизм F: 8п —> 8'п,
что для любых точек А,Ве8% выполняется соотношение
Ίίϋ = F{AB), где А'= f{A), В' = f(B) € С-
Аналогично можно дать определение изоморфных аффинных пространств
Ап и А'п (не обязательно точечно-евклидовых).
Теорема 2.1.1. Всякие два точечно-евклидовых пространства 8% и 8!£
одинаковой размерности изоморфны, причем изоморфизм однозначно
определяется заданием образа f(A) e 8па одной из точек А е 8% и заданием
изоморфизма F: 8% —> 8'£.
▼ Доказательство теоремы можно найти, например, в [3]. А
2.1.6. Метрическое пространство
и метризованное точечно-евклидово пространство
В дальнейшем будем использовать некоторые свойства метрического
пространства, поэтому напомним его определение и некоторые важнейшие
теоремы [16].
Определение 2.1.9. Метрическим пространством X называют
множество, в котором определено отображение I : Χ χ X —> К+ (или I =
= /(а, Ь)), ставящее в соответствие любой паре a, b элементов из
X неотрицательное действительное число I е К+ (которое называют
расстоянием между а и Ъ) и удовлетворяющее следующим аксиомам
для любых а, Ь, с е X:
1) /(а,Ь) > 0 при а^Ъи /(а,а) = 0;

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 115
2) Z(a,b) = Z(b,a);
3) /(а, с) ^ /(a, b) + Z(b, с) (неравенство треугольника).
Пусть ε — некоторое положительное число, тогда ε-окрестностью точки
а б X называют множество U£(a) таких точек b е X, для которых
/(а, Ь) < ε,
о
а множество Е/е(а) = С/е(а) \ {а} (т. е. совпадающее с ε-окрестностью точки
а кроме самой этой точки) — проколотой ε-окрестностью точки а.
Точку аб ί/ называют внутренней точкой множества U С X, если
существует ε-окрестность этой точки Е/е(а), целиком принадлежащая £/:
£4 (а) С U.
Точку а называют изолированной точкой множества U С X, если а е U
о
и существует такая ее проколотая ε-окрестность Е/е(а), которая не содержит
точек из множества U.
Точку a. e U называют граничной точкой множества U С X, если в
любой ее ε-окрестности Е/е(а) имеются точки, принадлежащие U, и точки, не
принадлежащие С/.
Точку а б X называют предельной точкой множества U с X, если для
любой ε-окрестности этой точки существует точка b е U, Ъ φ а.
Пусть имеется бесконечная последовательность точек а; е U, г = 1, ...,
п, ... множества U с X. Эту последовательность называют сходящейся, если
существует такая точка а е Л\ что Υε > 0 Зп б Ν, что Уг > η а; 6 С/е(а).
Это условие записывают еще следующим образом:
lim /(аг,а) = 0.
г—>оо
Точку а называют пределом последовательности а; (предельной точкой)
и обозначают как lim a^ = а.
г—»оо
Последовательность а; 6 С/ С Л?, г = 1, 2, ..., называют сходящейся в себе
(или последовательностью Коши, или фундаментальной), если
lim Z(aj,aj) = 0,
т. е. Υε Зп е А/", что \/i,j > N /(а^а^·) < ε.
Всякая последовательность является сходящейся тогда и только тогда,
когда она является последовательностью Коши (признак Коши).
Множество U с X называют:
• открытым, если оно вместе с каждой своей точкой а е U содержит и
некоторую ε-окрестность этой точки;
• ограниченным, если существует такое положительное вещественное
число с (конечное), что для любых двух точек a, b e U: /(a, b) ^ с;
• замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки;

116
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
• замыканием множества U' а X, если U представляет собой
объединение множества U' и всех его предельных точек (такое U обозначают
как Ό')\
• связным, если его нельзя представить в виде объединения двух
непересекающихся его подмножеств, каждое из которых не содержит
предельных точек другого;
• областью V, если оно является связным и открытым;
• замкнутой областью V, если оно является замыканием области V с
сХ;
• компактным, если всякая его бесконечная последовательность точек
а; е U, г = 1, 2, ..., содержит предельную точку а в этом множестве U;
• континуальным, если оно связное и компактное.
Границей Σ (или поверхностью) области V называют множество всех ее
предельных точек.
Теорема 2.1.2. В конечномерном пространстве X:
1) всякое компактное множество U с X является замкнутым и
ограниченным;
2) во всякой ε-окрестности Е/е(а) любой точки а е U континуального
множества U с X содержится бесконечное число точек этого
множества.
▼ Действительно, если бы нашлась такая точка а е U и такая ε-
окрестность Е/е(а) с U, что в ней содержалось бы лишь конечное число к
точек щ ε U, г = 1, ..., к, то можно было бы построить новую ε-окрестность
Е/е/(а), где ε' < min /(a, a^), в которой уже не содержалось бы ни одной точки
из U, а это противоречит связности U (показать это противоречие оставим в
качестве упр. 13 к § 2.1). А
Пример 2.1.5. Рассмотрим точечное евклидово пространство 8% с введенным
в нем расстоянием по формуле (2.1.5). Это пространство 8% является
метрическим, так как аксиомы 1 и 2 (см. определение 2.1.9), очевидно, выполнены.
Для проверки аксиомы 3 рассмотрим три точки А, В, С е 8% и три вектора
АВ = х, ВС = у и АС = χ + у (согласно соотношению Шаля), тогда по
определению (2.1.4) получаем
1(А,С) = \АС\ = ((х + у) · (х + у))1/2 = (|х|2 + |у|2 + 2(х.у))1/2 <
^ (|х|2 + 2|х||у| + lyl2)1/2 = |х| + |у| = 1(А,В) + 1(В,С).
Здесь мы использовали неравенство (1.1.8а) Коши — Буняковского.
Пространство 8% с введенным в нем по формуле (2.1.4) расстоянием
1(А, В) называют метризованным, его можно рассматривать в качестве
метрического пространства X. В метризованном пространстве Е$ ε-окрестность
представляет собой внутренность сферы с радиусом ε (шар). Это пример

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 117
В
открытого множества. Сама сфера — множество всех предельных точек шара
(см. точку В на рис. 2.1.5), а объединение шара и его сферы образует
замкнутое множество — замкнутый шар.
Шар является связным множеством,
и поэтому представляет собой область V
в Щ. Примером несвязного множества
является совокупность двух
непересекающихся шаров. Замкнутый шар является
компактным множеством, а
следовательно, и континуальным множеством.
Для метризованного пространства ££
имеют место все данные выше
определения множеств метрического
пространства. В частности, ε-окрестность точки
А е ££ определяют как множество всех точек Af e ££ таких, что в декартовой
системе координат Ое^ выполняется соотношение
А*
б
Рис. 2.1.5. Открытое (а) и замкнутое (б)
множества в пространстве Е$ (шар и
замкнутый шар в Е$)
1(А, А') = (§у04 - х\){х?А, - 4))'/2 < е. □
(2.1.7)
Пример 2.1.6. Пусть имеется произвольное евклидово пространство 8п со
скалярным произведением
р(а,Ъ) = а-Ъ Va,be£n, (2.1.8)
тогда оно всегда может быть метризовано путем введения расстояния
1(а,Ъ) = |а- Ь| = ((а- Ъ) · (а- Ь))1/2. (2.1.9)
Аксиомы 1 и 2 (см. определение 2.1.9) очевидно выполняются. Для
проверки аксиомы 3 достаточно воспользоваться неравенством треугольника
(1.1.86) для скалярного произведения. Запишем его для трех векторов а - Ь,
b — с и а — с:
|(а - Ъ) + (Ъ - с)| ^ |а - Ъ| + |Ъ - с|. (2.1.10)
Возвращаясь теперь к расстоянию /(а, с) действительно получаем
i(a, с) = |а - с| ^ |а - Ь| + |Ь - с| = Z(a, b) + Z(b, с). D
(2.1.11)
Доказанное в примере 2.1.6 утверждение позволяет дать несколько
широко используемых далее примеров метризованных евклидовых пространств.
Пример 2.1.7. Пространство координатных столбцов Rn с введенным в нем
расстоянием
η
1/2
Z(a,b) =={£>»-б")
(2.1.12)

118
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
где а = (а1, ..., ап)т, b = (6, ..., bn)T е Кп, является метрическим
пространством. D
Пример 2.1.8. Тензорное евклидово пространство £А с введенным в нем
скалярным произведением (^(fcT,fcB) (см. (1.4.82)) и расстоянием
/(fcT,fcB) = [>Т-*В);_^(*Т-*В)^'л)У/2 V кТ, кВ е 4fc) (2.1.13)
fc
также является метрическим пространством. D
Отметим еще одно свойство метризованных евклидовых пространств Еп с
расстоянием (2.1.9). Если b = 0 — нулевой элемент из £n, a s — число, то
/(sa, 0) = \s\l(a, 0). (2.1.14)
Действительно, из (2.1.9) имеем
l{sa,0) - ((sa) · (sa))1/2 = И(а-а)1/2 = |s|/(a,0).
2.1.7. Непрерывные и дифференцируемые функции
на метрических пространствах
В МСС широко используют понятие отображения f : X —> У (см.
определение 1.1.7) одного метрического пространства X с метрикой 1Х в другое
метрическое пространство У с метрикой 1уу а также понятие функции b = /(a),
а.е X, Ъ еУ (см. п. 1.1.6). Приведем основные определения и свойства для
этих отображений.
1. Если задана функция f : U с X —> УУ а е X — предельная точка
подмножества U' с U, то пределом функции f в точке а по множеству
U' называют точку b e У, у которой для всякой ε-окрестности Е/е(Ь) суще-
о
ствует такая проколотая (5-окрестность U$(a) точки а, что для всех точек
о
а' е {V Π U§(a)} их образы /(а7) принадлежат Е/е(Ь). Это условие, как
правило, записывают следующим образом:
b=lim/(a) или /(а7) -> b при а7 -> а. (2.1.15)
а'—»а £/'
и'
о
Если проколотая окрестность Е/$(а) в этом определении оказывается целиком
принадлежащей £/7 (в частности, это так, если а — внутренняя точка
множества £/7), то точку b = /(a) называют просто пределом функции в точке а и
обозначают
b= lim /(a7). (2.1.16)
а'—»а
Очевидно, что понятие предела функции по множеству является более
общим — оно применимо и для граничных точек множества U' (в этом случае

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 119
оно является обобщением понятия одностороннего предела скалярных
функций одного аргумента / : К —> К.
Теорема 2.1.3 (критерий Коши существования предела). Функция
f : U С X —> У имеет предел в предельной точке а е U тогда и только
тогда, когда для всякого ε > 0 существует такая δ > О, что для любых
двух различных точек а', а" е U, удовлетворяющих условию lx(a!,a.") < δ,
выполняется условие /у(/(а/),/(а//)) < ε.
▼ Доказательство этой теоремы можно найти в [13]. А
2. Функцию f : U с X —> У называют непрерывной в точке а е Е/,
являющейся предельной точкой множества U, если существует предел функции
/(а7) при а' —> а, равный значению функции в этой точке, т. е.
lim Да') = Да). (2.1.17)
а'—»а
[/
Это условие можно записать следующим образом: функция / : U с X —> У
непрерывна в точке а е U, если для всякой ε-окрестности Е/е(Ь) образа этой
точки b = /(а) б 3^ существует такая (5-окрестность Е/^а) точки а, что образ
/(а7) любой точки ar e {U nUs(a)} принадлежит окрестности Е/е(Ь).
Еще одна эквивалентная форма этого условия такова: функция / : U С
а X ^У непрерывна в точке а е Е/, если Υε > 0 существует £ > 0 такая, что
для всех точек а'б[/ таких, что ^(а'.а) < δ, выполняется условие /y(br,b) <
< ε, где b' = /(a7), a b = /(a).
Различие определений существования предела и непрерывности функции
в точке, как известно, состоит в том, что во втором случае а е U и /(а) = Ь.
Если функция / : U С X —> 3^ непрерывна в каждой точке множества Е/,
то ее называют непрерывной в U.
Важный частный случай представляет такая ситуация, когда / : V с X —>
—> 3^ является функцией b = /(a), непрерывной в ограниченной области V из
X, тогда непрерывным продолжением этой функции на замыкании V с X
называют такую функцию b = /(a):
/(а) = |(5aj' & G ^' где /(а) = lim Да'), a' G V, (2.1.18)
(/(а), ае{У\У}, а'^а
(при условии, что этот предел существует), — которая является непрерывной
уже во всем замыкании V С X.
3. Аналогично определяем непрерывные в точке и в области: скалярную
функцию скалярного аргументам / : К —> К, многомерную функцию многих
переменных / : Мп —> Rm и др.
Все эти определения корректны, поскольку пространство Кп может быть
метризовано (см. упр. 7 к § 2.1).

120
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Для функции / : Кп —> Еп существует понятие предела на
бесконечности; под таким пределом понимают точку b е Еп, у которой для всякой
ε-окрестности Е/е(Ь) существует такое неотрицательное вещественное число
с, что для всех точек а е Кп, удовлетворяющих условию |а| = /(а, 0) > с,
выполняется условие /у(Ь,/(а)) < ε, где / — расстояние в Кп, а 1У — в
метризованном пространстве £п. Это условие записывают следующим образом:
b= lim /(а) или /(а) —> b при |а| —> оо. (2.1.19)
|а|—»оо
Говорят, что функция / : U С X —> Кп имеет бесконечный предел (или
обращается в бесконечность) в предельной точке а е £/7 подмножества £/7 с £/,
если для всякого неотрицательного вещественного числа с существует такая
о о
(5-окрестность U§(a) точки а, что для всех точек а7 е {U' Π Us (a)} их образы
/(а7) удовлетворяют условию |/(а7)| = £(/(а),0) > с, где / — расстояние в
метризованном пространстве Кп. Это условие для случая η = 1 записывают
в виде
lim /(а7) = +оо или /(а7) -> +оо при а7 -> а. (2.1.20)
а'—*а £/'
Критерий Коши существования предела на бесконечности формулируют
следующим образом:
Υε>0 3c>0:Va7,a77eKn: 1(а',0)>си /(а",0)>с^
/у(/(а7), /(а"))<е. (2.1.21)
4. Функцию / : U С X —> У называют ограниченной на множестве U,
если множество f(U) = {b : b = /(а), а б С/, b e }>} — ограничено.
В частности, функция f :U с X —>Ш ограничена, если существует такое
число С е R, С > 0, что |/(а)| ^ С, Va e £/.
Если функция / : V С Л? —> Μ непрерывна на замыкании области V", то
она ограничена в V" и принимает все значения на отрезке [7711,7712], где m<i =
= max /(a) — максимальное значение на V, а т\ = min /(a) — минимальное
&£V _ aeV
значение на V (теорема Вейерштрасса, ее доказательство можно найти в
[12]).
Непрерывную функцию / : V с Еп —> Е'т называют финитной, если она
обращается в нуль вне некоторой замкнутой области Е/с(0) С V, т. е.
ЗсеМ, VaeV /(a,0)>c, /(а)-0бС (2.1.22)
а носителем supp / функции b = /(a) называют замыкание множества тех
точек а е V, в которых /(а) /О G £m. Здесь Еп к Е'т — метризованные
евклидовы пространства, а I — расстояние в Еп.

§2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 121
5. Если отображение / : X —> У является взаимнооднозначным, то
существует обратное отображение /_1 : У —> X, которое называют обратной
функцией: а = /_1(b), a e X, b e У.
Функцию b = /(а), осуществляющую отображение / : U С X —> У
называют линейной, если это отображение является линейным (см. определение
1.1.8).
6. Точка а'е f/, в которой функция / : U С X —> У определена (т. е.
имеет образ /(а7) с У этой точки), но не является непрерывной, называют
точкой разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут образовывать
подмножество в U С X. В пространстве X = Кп часто встречаются такие
подмножества: линии разрыва и поверхности разрыва (см. п. 2.1.9, а также
т. 2, гл.4).
Функцию / : V С X —> У называют кусочно-непрерывной в V, если:
а) существует конечное или счетное число непересекающихся областей в
Vk С X, таких, что V = υ&ν&;
б) функция / непрерывна в каждой Vk и имеет непрерывное продолжение
в Vk;
в) / ограничена на V.
7. Многомерную функцию многих переменных / : U С Кп —> £т называют
бесконечно малой при а7 —> а, если lim /(а) = 0, где а — предельная точка
а'—»а
С/, а 0 — нулевой элемент в метризованном евклидовом пространстве Ет.
Функцию / : U С Кп —> £т называют бесконечно большой при а' —> а, где
а € [/' С ί/, если lim /(а7) = оо (см. определение 1.3.4).
а'—»а
[/'
В МСС часто используют символы сравнения функций. Пусть имеются
две функции / : U С Шп —> ^т и#:£/сКп—> £т, а — предельная точка
множества U. Тогда, если существуют такие два числа с > 0 и δ > 0, что Va7 e
о
6 Е/$(а) выполняется соотношение |/(а7)| ^ с|^(а7)|, то говорят, что функция
/(а7) ограничена по сравнению с д(а!) при а7 —> а, и пишут
/(а7) - 0(<?(а7)) при а7 -> а. (2.1.23)
Если же существует еще одна функция h : С/ с Кп —> £т, такая, что
lim /i(a7) = 0, и выполняется соотношение /(а7) = h(af)g(af) в некоторой
а'—»а
и'
о
окрестности Е/$(а), то говорят, что функция /(а7) является бесконечно малой
по сравнению с #(а7) при а7 —> а, и пишут
/(а7) - о(^(а7)) при а7 -> а. (2.1.24)
В приложениях часто вместо (2.1.24) применяют также запись
/«<?, (2.1.24а)

122
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
и говорят, что функция / много меньше функции д. Часто встречается,
например, ситуация, когда д(а) = 1 — константа, запись / «с 1 в этом случае,
согласно (2.1.24) и (2.1.24а), означает, что /(а7) = о(1) при а' —> 0, или
Υε > 0 3δ > 0 : Va' е ϋδ(0) : |/(а')| - /(/(а7),0) < ε.
8. Рассмотрим функцию b = /(а) многих переменных / : U С Кп —> }Л
Если для нее в точке а е С/ существует предел
lim A°/efa') = j4, α€{1,...,η}, (2.1.25)
Δαα-»0 5α dar
то этот предел называют частной производной функции f в точке а по
переменной аа. Здесь введены обозначения: аа — значения координатной строки
а = (а1, ..., аа, ..., ап) е Rn, Δαα — некоторое приращение переменной αα,
при котором точка
а' = (α1, ..., αα_1, αα + Δαα, αα+1, ..., αη) (2.1.26)
принадлежит (5-окрестности Щ(а.), фигурирующей в определении предела
функции, a AQ/(a') = /(а7) — /(а) — приращение значения функции.
Если у = Ет — метризованное евклидово пространство, то условие
существования частной производной (2.1.25), согласно сформулированному выше
определению предела функции, можно переписать в эквивалентном виде:
Υε 3δ > 0 такое, что для всех а7, для которых справедливо неравенство
/ η \ 1/2
/(а',а) = ^(aQ,-aQ)2 = |Δαα| < δ, (2.1.27)
одновременно выполняется и соотношение
Ч^-£■·)"■ (21'28)
Здесь расстояние /(а7, а) определено в метризованном пространстве Кп (см.
пример 2.1.6), а /у(а, 0) — расстояние в метризованном пространстве 8т.
Если рассматривают многомерную функцию многих переменных / : U с
cRn^Rm (т.е. Ь< = /<(^')), а=(а!, ..., ап) € Rn, b = (Ь1, ..., bm) (Ξ Km),
и в точке ae(7 существуют все частные производные по всем переменным,
то из них можно составить матрицу Якоби:
(dfx/dax ... д/Чда1
т-[ / '. ι· *■*>
\dfm/dal ... д^/да1

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 123
9. Функцию многих переменных / : U С Кп —> Ет (Ет — метризованное
евклидово пространство) называют дифференцируемой в точке а е U, если
существует такая линейная по Да функция, обозначаемая
b - dfa(Aa), Да е U С Kn, be Smt (2.1.30)
что для нее справедливо условие: для всякого числа ε > 0 существует такое
δ > 0, что для всех элементов а7 е С/, удовлетворяющих соотношению
/ η \ 1/2
/(а,а7) = f^(aQ/-αα)2 = |Δα| < (5, (2.1.31)
выполняется и условие
гу(А/(а-А^-^(Аа),0)<£, (2.1.32)
где
Д/(а, Да) = /(а + Да) - /(а), Да = а7 - а (2.1.33)
называют приращением функции и приращением аргумента соответственно.
Здесь /(а, а7) — расстояние в пространстве Кп, а /у(а, Ь) — расстояние в
метризованном Ет, 0 е £т — нулевой элемент в £т.
Линейную функцию dfа(Аа), обозначаемую чаще как df(Aa), называют
дифференциалом функции /(а). Индекс а здесь указывает на то, что эта
линейная функция зависит от точки а.
Теорема 2.1.4. Если функция f : U С Кп —> £т является
дифференцируемой в точке ае ί/, /ио ί/ этой функции существуют все частные
производные (2.1.25), а ее дифференциал в этой точке имеет вид
#«(Да) = £ ^L Аа«. (2.1.34)
α=1
▼ Поскольку для дифференцируемой функции ее дифференциал dfа(Аа)
по определению представляет собой линейную функцию, то, выбирая
некоторый базис ег в Rn и записывая приращение Да = Аагег в этом базисе,
получаем, что дифференциал можно представить в виде
dfа{Аз) = dfa(ei)Aa\ (2.1.35)
Поскольку условие (2.1.32) для дифференцируемой функции /(а)
выполняется для всех а7 таких, что /(а7, а) < δ, то оно будет выполняться и для частного
вида элементов а7 е Кп, имеющих вид (2.1.26). Для этих а7 находим
dfa(Aa) = df(ea)Aaa (2.1.36)

124
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Используя свойство расстояния в метризованном евклидовом пространстве
(2.1.14), получаем
1У (^0± - df(ea),0^j < ε. (2.1.38)
Отсюда следует, что частная производная в точке а существует и равна
^=dfa(ea), ae{\, .... п}. (2.1.39)
Подставляя это выражение в (2.1.35), убеждаемся, что формула (2.1.34)
действительно имеет место. А
Соотношение (2.1.34) для функции b = /(аг), как известно, формально
записывают в виде
df=^da\ (2.1.40)
Здесь мы применили соглашение о суммировании.
Теорема 2.1.5. Если функция многих переменных f : U С W1 —> У в
некоторой окрестности точки а имеет все частные производные (2.1.25),
являющиеся непрерывными функциями в этой точке, то эта функция
дифференцируема в точке а.
▼ Доказательство этой теоремы оставим в качестве упражнения, его
также можно найти в учебниках по математическому анализу (см., например
[12]). А
Если функция / : V с W1 —> У является дифференцируемой в каждой
точке области V, то ее называют дифференцируемой в области V.
Функцию /(а) : V С Кп —> У, определенную в замыкании V области V с
С Кп, называют дифференцируемой в замыкании V, если:
1) она имеет все частные производные df /даг в области V, являющиеся
непрерывными функциями в V;
2) существуют непрерывные продолжения для всех частных производных
д//даг на замыкании области V.
В силу теоремы 2.1.5, функция, дифференцируемая в замыкании V,
является дифференцируемой в самой области V.
Дифференциал b = dfа(Аа) = /i(a) является некоторой функцией от а,
уже необязательно линейной. К этой функции b = /г(а) можно снова
применить условие дифференцируемости (2.1.32). Если оно выполняется в точке
а б U, то исходную функцию b = /(a) называют дважды дифференцируемой
в точке а, а дифференциал dha(Aa) — вторым дифференциалом и
обозначают d2f = dh — d(df), причем двукратное применение формулы (2.1.34) дает
d2 /а(Да,Да') = -^ do* = Д (^tdaj) da\ (2.1.41)
J V У да1 да1 Уда3 ) V ;

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 125
Выражения
±(EL)=JtL (2.1.42)
да1 Уда3) да1 да3 V ;
называют вторыми частными производными функции b = /(a) в точке
леи.
Очевидно, что при совпадающих индексах г = j вторые частные
производные (2.1.42) совпадают. При несовпадающих г и j получаем смешанные
производные д2//дагда:>, которые переставимы в точке а€(7:
д2 f d2f
-Д^ = -^, (2.1.43)
да1 да3 да3 да1 V ;
если в этой точке а смешанные производные непрерывны. Доказательство
этого утверждения можно найти в [13].
Продолжая эти построения рекуррентным образом, приходим к понятию
частных производных функции b = /(a) k-το порядка:
дк f
dail ...daik'
Многомерную функцию многих переменных / : V С Шп —> Кт, имеющую
в каждой точке области V все частные производные вплоть до порядка к,
которые являются непрерывными функциями в этой области V, называют
к-непрерывно-дифференцируемой функцией в V. Множество всех таких
функций в V называют классом /с-непрерывно-дифференцируемых функций
в V и обозначают Ck(V,Rm).
Если же m = 1, то этот класс обычно обозначают просто Ck(V).
Многомерную функцию многих переменных / : V С Кп —> Мт,
определенную в замыкании ограниченной области V и имеющую в каждой точке
области V все частные производные вплоть до порядка к, которые
1) являются непрерывными функциями в этой области V;
2) обладают непрерывным продолжением в замыкании V,
называют к-непрерывно-дифференцируемой в замыкании V. Множество всех
таких функций называют классом k-непрерывно-дифференцируемых
функций в V и обозначают Ck(V,Rn), или Ck(V), если m = 1.
Множество всех непрерывных в области V (или V") функций / : V с Кп —>
—> Rm называют классом непрерывных функций в V (или V") и обозначают
C(V,Km) (или С{?Лт)).
Если в сформулированном выше определении число к заменяют на символ
оо (т. е. предполагают существование непрерывных производных для любого
числа к), то такой класс обозначают C°°(V,IRm) или C^^VyR171) и называют
классом бесконечно-дифференцируемых функций.
В МСС иногда встречается выражение, похожее на (2.1.40), но вместо
df/да1 в нем стоят некоторые функции /ζ(α·7'): Jida1. Возникает вопрос: при

126
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
каких условиях на функции fi(aP) это выражение образует полный
дифференциал, т. е. существует такая функция /(а·7), что
df = fi da*. (2.1.43a)
Ответ на него дает следующая теорема.
Теорема 2.1.6. Пусть функции /^(а·7) дифференцируемы в односвязной
области V, и их производные dJi/daP являются непрерывными в V,
тогда для того, чтобы выражение fida* имело полный дифференциал (т. е.
существовала дважды непрерывно-дифференцируемая в V функция /(аг),
удовлетворяющая (2.1.43)), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
условия взаимности в V
dfi/daj =dfj/da\ (2.1.436)
▼ Необходимость условия (2.1.436) очевидна, поскольку если существует
функция /(аг), удовлетворяющая (2.1.43а), то для нее fa = df/da1 и,
следовательно, dfi/daP = д2 f jdoPda1. Поскольку по предположению функции
dfi/daP — непрерывны в V, то можно менять порядок вычисления вторых
производных д2//даЮаг = д2//дагда^, но это и означает выполнение
условий (2.1.43а).
Доказательство достаточности условий (2.1.436) можно найти в [16]. А
2.1.8. Криволинейные координаты
Вернемся снова в пространство 8%. Пусть в пространстве 8% выбрана
декартова система координат Ое;, тогда любой точке А е 8% будет однозначным
образом поставлен в соответствие ее радиус-вектор χ = О А, причем
х = ^еь (2.1.44)
а е; — базис в 8п.
По декартовым координатам хг всегда можно образовать координатный
столбец — (χ1 ...χη)τ — элемент пространства Кп.
Рассмотрим отображение некоторого множества Vx С Кп в Кп, которое
обозначим как
x*' = x*\Xj)t (2.1.45)
где (Xl...Xny e Vx сШп и (xl...xny eRn.
Определение 2.1.10. Отображение (2.1.45) называют регулярным
порядка к в Vx, если оно является взаимно-однозначным и представляет
собой к раз непрерывно-дифференцируемую n-мерную функцию от η
переменных, т. е. принадлежащую классу Ck(Vx,Rn), а якобиан отображения
отличен от нуля:
det (дх1/дХ^ φ О, VX* € Vx. (2.1.46)

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 127
Будем всегда полагать, если не оговорено противное, что число к всегда
выбрано в соответствии с порядком частных производных, входящих в
рассматриваемые выражения.
Взаимная однозначность отображения (2.1.45) позволяет найти обратное
отображение
Xi = Xi(xj). (2.1.47)
Определение 2.1.11. Координатный столбец
{Xх ...ХпУ eVx cKn,
представляющий собой аргумент регулярного отображения (2.1.45)
декартовых координат хг точки А е 8% называют криволинейными
координатами точки А.
Поскольку всякой точке А £ 8% однозначно поставлены в соответствие ее
радиус-вектор χ в декартовой системе координат Ое;, декартовы координаты
хг и криволинейные координаты Хг, то будем далее использовать следующие
эквивалентные записи этого соответствия:
А = А(х*), А = А{Х% А = А(Х1...Хп), (2.1.48)
а также
x = x{Xj) (2.1.49)
и эквивалентную ей запись
x = xi(Xj)ei. (2.1.50)
Отображение (2.1.45) часто называют также преобразованием
координат.
Обратим внимание на то, что векторы базиса е*, в силу построения, не
зависят от координат Xх или хг. Это обстоятельство далее будем широко
использовать.
Пример 2.1.9. В пространстве Е$ часто применяют цилиндрические
координаты Хг, которые вводят следующим образом. Пусть хг (г = 1,2,3) —
декартовы координаты точки А в декартовой системе координат Ое^ (рис. 2.1.6),
тогда соотношения (2.1.45) вида
χ —г cos φ, χ = г sin φ, χ — ζ, (2.1.51)
где Xх = г (полярный радиус точки А на плоскости Οχιχ2), Χ2 = φ
(полярный угол точки А на плоскости Οχιχ2), Χ3 = ζ (осевая координата),
определяют цилиндрические криволинейные координаты г, ф, z. D
Пример 2.1.10. В пространстве Е% применяют также сферические
криволинейные координаты τ,ΰ,φ, которые определены соотношениями (рис. 2.1.7)
ι су О
χ = г sin ΰ cos φ, χ = r sin $ sin 0, χ = rcos$, (2.1.52)

128
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
где Xх — г (радиус точки А), X2 = ΰ (меридиональный угол), X3 = φ
(азимутальный угол). D
Рис. 2.1.6. Цилиндрическая Рис. 2.1.7. Сферическая
система координат система координат
Отображение (2.1.45) конечно же не является единственным — можно
ввести и другие криволинейные координаты Х'г:
х1 = х1(Х^), (2.1.53)
где {Х,х ...Χ,η)τ е Vx сКп, {χι...χη)τ eRn.
Полагая, что отображение (2.1.53) также является регулярным, можно
установить взаимнооднозначное соответствие между Xх и Х'г, т. е. всегда
существует отображение
X* = XH{Xj) и Xj = Xj{XH), (2.1.54)
причем
det {dXH/dXj) φ 0,
и кроме (2.1.48) можно ввести соответствие между точкой Л и ее
координатами Х'г\
А = А{ХН) или х = х(А"*). (2.1.55)
2.1.9. Поверхности и кривые
Определение 2.1.12. Пусть имеется некоторая область V£ с Шт, т ^ п,
тогда ее отображение на область Ύχ из 8%
Пт: ^cRm-V*c££
называют т-мерной поверхностью Пт в 8% и обозначают как
х = х(£1...£т), (2.1.56)
или
χί = χί(ξι...ξη), г= 1. ..·, п> (2.1.57)

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 129
где (ξχ... £m)T — координатный столбец из V^ с Кт; χ — вектор из 8% в
декартовой системе координат Ое*: χ = xlei, а ранг якобиевой матрицы
равен га:
rang {дх*/д&) = т. (2.1.58)
Если га = η — 1, το (п — 1)-мерную поверхность Πη_ι называют
гиперповерхностью, или просто поверхностью в 8%. Если га = 1, то Πι называют
кривой в 8%у а само уравнение (2.1.57) — параметрическим заданием
кривой.
Пусть имеется радиус-вектор χ = xlei точки А из 8% в декартовой системе
координат и определены криволинейные координаты Хг, так что имеет место
(2.1.49), тогда отображение
х = х(Х1, ..., Xj~\ ξ, Xj+\ ..., Χη), (2.1.59)
в котором зафиксированы (η— 1) криволинейных координат Хг, кроме г =
= j, а вместо X·7 рассматривается параметр ξ е К1, называют координатной
линией. Для координатной линии используют также обозначение X·7.
Пример 2.1.11. В цилиндрической системе координат Xх = г, X2 = ф,
X3 = ζ пространства Е% (см. пример 2.1.6) координатная линия Xх — это
луч, направленный по радиусу г, начало которого находится на оси Οζ\
координатная линия X2 — это окружность радиуса г с центром на оси Οζ,
принадлежащая плоскости, ортогональной к плоскости Оххх2; координатная
линия X3 — это прямая, параллельная оси Οζ (см. рис. 2.1.6). D
2.1.10. Векторы локального базиса
Рассмотрим преобразование координат (2.1.49). Пусть А = А(ХХ, ...,
Хп) — некоторая точка из 8% с криволинейными координатами Xх, А! —
— А!(Xх, ..., Χ7-1, ξ, Χ·7-1"1, ..., Χη) — некоторая точка, которая
имеет значения криволинейных координат, совпадающие с Xх кроме ξ Φ Χ·7
(г = 1, ..., η; j e {1, ..., η}), тогда, полагая функцию (2.1.49)
дифференцируемой, по формуле (2.1.25) можно ввести вектор, называемый вектором
локального базиса:
Δχ д~х.
lim —^ = ^^ , j e {1, ..., га},
(2.1.60)
J ΔΧ^-ο ΑΧ3 дХ3
гцеАх = АА', ΔΧ·7' =ξ-Χΐ.
В силу построения, точка А' принадлежит
координатной линии (2.1.59) X·7, тогда вектор
Tj является касательным к координатной ли- Рис. 2.1.8. К определению векто-
нии X·7 в точке А (рис. 2.1.8). ра локального базиса

130
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Теорема 2.1.7. Совокупность всех η векторов yj {j — 1, ..., η) (2.1.60)
образует базис в пространстве 8п, присоединенном к 8%.
▼ Согласно (2.1.50), имеем
д* дхг-щ. (2.1.61)
J дХ3 дХ3
Здесь мы использовали факт независимости базиса е^ от координат X7.
Поскольку е^ — базис в 8п, а якобиева матрица (дхг/дХ:>) по
предположению (2.1.46) всегда невырождена, то векторы i-j, j = 1, ..., η, являются
линейно независимыми. Число этих векторов г^· равно размерности
пространства £п, поэтому они действительно образуют базис в этом пространстве. А
Векторы Yj (2.1.60) зависят от выбора точки А е 8%, поэтому их называют
векторами локального базиса.
Если снова рассмотреть функцию (2.1.49), то, предполагая ее
дифференцируемой, можно получить выражение для дифференциала этой функции dx,
который, в силу (2.1.61), можно представить в виде
<9х
дХ~3
dx=-^j dXj = YjdXK (2.1.62)
Это одна из основополагающих формул тензорного анализа. Дифференциалу
dx можно придать следующий смысл. Поскольку dx — вектор в пространстве
8%у определенный в точке А(Х\ ..., Хп) этого пространства, то концом
этого вектора является точка А', такая, что
dx = AA', (2.1.63)
а точки А и А' имеют декартовы координаты хгА и х\ + dxA, где
dxA = (дх1/дХ3)А dXj, (2.1.63а)
согласно (2.1.45).
Такую точку А' е 8* с координатами хгА, = хгА + άχ\ будем называть
бесконечно близкой к точке А е 8%, а вектор dx = А А' — элементарным
радиус-вектором. Это определение соответствует интуитивному смыслу,
который обычно вкладывают в понятия «близкие точки» и «бесконечно малый
радиус-вектор».
Расстояние между бесконечно близкими точками в 8% вычисляем
следующим образом:
l(A, A') = gijdxidxj = |dx|. (2.1.64)

§2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 131
2.1.11. Якобиевы и метрические матрицы
Поскольку ej и г* представляют собой базисы в Еп, то соотношение
(2.1.61) можно рассматривать как формулу замены базиса, тогда якобиеву
матрицу (дхг /дХ3) перехода от одного базиса к другому обозначим как
Qij = dxi/dXj. (2.1.65)
В силу взаимной однозначности функций (2.1.45), в любой точке Л(Хг)
детерминант якобиевой матрицы всегда отличен от нуля:
det {QJ\) = det (дх3/дХ1) φ 0, (2.1.66)
поэтому для матрицы (2.1.65) всегда существует обратная якобиева матрица
р*. = дХ1/дх3, (2.1.67)
которая удовлетворяет соотношениям
Р'^к = Я^Р\=6\. (2.1.68)
С помощью матриц Q1 · и Рг- соотношение (2.1.61) запишем в виде
Тз=фри ej = Fijri. (2.1.69)
Если базис е^ = ej — ортонормированный, то якобиевы матрицы (2.1.65)
и (2.1.67) будем обозначать как Q1 · и Рг·, тогда формулы (2.1.69) примут вид
rj = Q*jeb ё7- = Р^. (2.1.70)
Если в точке А е 8% имеется два набора криволинейных координат Xх и
Х'\ то можно ввести векторы нового локального базиса
r^ = Qij.ejt Q*j = дх*/дХ'*. (2.1.71)
Оба локальных базиса г* и т[, на основании соотношения (2.1.54), связаны
между собой якобиевой матрицей Q1 :
_ дх*{Х'\Х*)) _ дх^дх^дГ[ _ дГ[, _ 3 ,
дхг *3 ~ дхП θχη дхг *3 ~ θχί Г1 ~ Ч г *> \ΔΛ.ΙΔ)
r'j^P'jTi, (2.1.73)
где
Q3. = дХ'3/дХ\ Ρ) = дХг/дХ'3. (2.1.74)
Обозначим скалярное произведение векторов локального базиса как
гг · ij = 9ijt г- · Tj = g[y (2.1.75)

132
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Здесь матрица д^ — это знакомая нам метрическая матрица (1.1.11).
Скалярное произведение векторов ег· обозначим следующим образом:
gij =ei-ej. (2.1.76)
Метрические матрицы д^, д[, и д^ связаны между собой с помощью
якобиевых матриц Q1 ■ и Q* ■:
gij = Ti · tj = Q\ Qljek · e, = Q\ Ql$ki,
9ij = Q\Qljg'ki- (2.1.77)
Если Bi = ej — ортонормированный базис, то дк1 = 6кь и формула (2.1.77)
принимает вид
9,j=QkiQlM (2.1.78)
Поскольку gij — всегда невырожденная, то для нее существует обратная
метрическая матрица д^к:
9г^к = &гк- (2-1.79)
Аналогично существует и обратная метрическая матрица дг:>:
5«5** = *4*. (2.1.80)
2.1.12. Векторы взаимного базиса
Поскольку пространство £п, присоединенное к ££, является
самосопряженным (см. п. 1.1.11), то для п, как и для всякого базиса в £п, существует
взаимный базис в том же пространстве £п, который обозначим как г\
удовлетворяющий соотношениям типа (1.1.46):
Ti-ri =δί (2.1.81)
Взаимный базис г·7, так же как и г*, зависит от выбора точки А в Е% и
называется взаимным локальным базисом.
Согласно теореме 1.1.15, базисы г* и г7 связаны с помощью метрических
матриц д^ и gli\
гг = <?%·, тг = д^. (2.1.82)
Согласно теореме 1.2.5, в пространстве £з между векторами гг основного
и взаимного базисов имеют место соотношения
^ хт, = у/д eljkrk, тг χ г* = (1/у/д) ег^гь (2.1.83)
из которых следуют формулы, аналогичные (1.2.41),
гг· · (tj х rfc) = yfg eijk, г* · {rj χ rk) = (l/y/g) eijk, ^ = (π χ r2) · r3.
(2.1.84)

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 133
Теорема 2.1.8. Всякие два локальных базиса тг и г'\ взаимных к
локальным базисам yj и г'· из £п, определенным в одной и той же точке А е 8%,
связаны между собой с помощью якобиевых матриц'.
т1 = Р13т'\ T'i = QijrK (2.1.85)
▼ Для г/г и т[ справедливы формулы (2.1.82)
T* = g*3T'.t (2.1.86)
где gni — матрица, обратная к <^·, для которой имеет место соотношение
glj = г} · г$ = Р* ptjTs · rt = Ρ* P*jgst. (2.1.87)
Тогда для д,гэу как для всякой обратной матрицы (Р* и gst —
невырожденные):
9ai = Ql SQJ t9st ■ (2.1.88)
Подставляя формулы (2.1.88) и (2.1.73) в (2.1.86), с учетом формул (2.1.82)
получаем
rH = Q\Q\gstPkj vk = Q\s!tgstrk = Q\gskrk = Q\rs. (2.1.89)
Второе соотношение в (2.1.85) доказываем аналогично. А
В частности, если локальный базис т[ выбран совпадающим с ё; (т. е.
криволинейные координаты Х,г совпадают с декартовыми хг, а базис е* —
ортонормированный), то из (2.1.85) следует, что
14 = 0^', &=Pijrj. (2.1.90)
Напомним, что базисы ё* и оР совпадают.
2.1.13. Тензорные поля в аффинных пространствах
Поскольку для всякого пространства Ап имеется присоединенное
векторное пространство £п, а для Сп всегда можно построить тензорное
пространство Тп'(£п) (см. гл. 1), то можно установить соответствие между Ап
И 1п
Определение 2.1.13. Отображение
кТ: Ап^Т^ХСп), (2.1.91)
ставящее в соответствие каждой точке А из аффинного пространства
Ап тензор кТ к-го ранга из тензорного пространства Тп\Сп), p + q =
= к, порожденного пространством Сп присоединенным κ Αη, называют
полем тензора к-го ранга и обозначают следующим образом:
кТ = кТ{А). (2.1.92)

134
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Если в Ап выбрана декартова система координат Ощ, то в (2.1.92) в
качестве аргумента можно записать радиус-вектор χ = О А точки А или ее
декартовы координаты хг или криволинейные координаты Xх:
fcT = fcT(x), кТ = кТ{хг), кТ = кТ{Хг). (2.1.93)
В МСС используют все эти четыре формы записи тензорных полей.
Поле тензора первого ранга называют векторным полем и обозначают
следующими способами:
а = а(Л), а = а(х), а = а(а:<), а = а(Хг). (2.1.94)
Поле тензора нулевого ранга называют скалярным полем и обозначают
φ = φ(Α), φ = φ(χ), φ = φ(χί), φ = φ(Χί). (2.1.95)
Поскольку в каждой фиксированной точке А пространства Ап тензорное
поле кТ(А) является обычным тензором к-ro ранга, его можно представить
разложением по тензорному базису (см. (1.3.58)):
*Т(Л) = Ti|...i^,-<*(A)ei' ® ... ® е* ®eip+1 ® ... ® eik, (2.1.96)
где е{ — базис в Сп\ ег — базис в ££; Ti ^р+1"Лк(А} _ компоненты тензора,
вообще говоря, зависящие от точки А е Ап-
2.1.14. Тензорные поля в точечно-евклидовых пространствах
Рассмотрим случай, когда в определении 2.1.13 в качестве пространства
Ап выбирают точечное евклидово пространство 8%, а в качестве Тп (Сп) —
тензорное евклидово пространства 8к(8п), тогда вместо (2.2.1) имеем
отображение
fcT: ε^ε^(εη), (2.1.97)
называемое полем тензора k-го ранга в точечно-евклидовом пространстве.
Для этого поля также будем использовать обозначения (2.1.93).
В точечном евклидовом пространстве 8% в качестве базисов е* и ег можно
выбрать локальные базисы г* и г\ зависящие от точки А е 8% с
криволинейными координатами X1. Тогда разложение (2.1.96) можно представить в
тензорном базисе, образованном из векторов г*, гг:
kT(Xl) = Ti{.>+{''Ak(Xly' ® ... ® г4" ® rip+[ ® ... ® rifc. (2.1.98)
В частности, для векторного поля и поля тензора второго ранга имеем
a(Xl) = aj(Xl)ri(Xl) = aj(Xl)rj(Xl)y (2.1.99)
T(Xl) = Tij{Xl)n ® tj = TijT1 ® rj = TjTi ® rj. (2.1.100)

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 135
Формулы (1.4.14) преобразования координат тензора при замене базиса
Yi —> г[ и формулы (1.4.44) жонглирования индексами при переходе г^ —> гг
для тензорных полей, очевидно, тоже имеют место, например
Tij = Tmlgimgjl = T\ glj, Tij = Р1т P\ T,ml, (2.1.101)
а также
а{ = ^дЧ, а1 = Р^а'К (2.1.102)
Единичный (метрический) тензор Е из пространства 8^(Сп), согласно
определению 1.4.5, имеет вид
Е = «*<8>е*, (2.1.103)
и в соответствии с его свойством (1.4.64а) в любом базисе, в том числе и в
локальном γϊ, сохраняет свой вид, т. е.
Ε = 14 (Br* = rj ®rj. (2.1.104)
Используя формулы (2.1.82), находим, что компонентами метрического
тензора в диадных базисах г^ ® г^· иг1® г7 являются метрические матрицы дгз
и gif
Ε = gijTi ® rj = gijY1 ® rj. (2.1.105)
2.1.15. Непрерывные и дифференцируемые тензорные поля
Для того чтобы распространить введенное в п. 2.1.7 понятие
дифференцируемое™ на тензорные поля, рассмотрим случай, когда в определении
2.1.13 пространство Лп — метризованное Kn, a Sn(Sn) — метризованное
тензорное евклидово пространство с введенным в нем расстоянием (2.1.13).
Иначе говоря, рассмотрим тензорное поле
кТ = кТ{Х1), (2.1.106)
которое отождествляется с функцией многих переменных вида
кТ: Rn -> Φ (S^). (2.1.106a)
Здесь мы фиксировали в пространстве 8* криволинейные координаты Х\
Значения же этой функции — тензоры кТ — поместим в метризованное
пространство 8п (8%) с расстоянием (2.1.13). Тогда для такой функции
многих переменных будут справедливы все определения, сформулированные
в п. 2.1.7, в частности, определения непрерывности и дифференцируемости
функций. Перепишем эти определения непрерывности и дифференцируемости
еще раз, используя тензорную символику.
Определение 2.1.14. Тензорное поле кТ(Хг), рассматриваемое как
функция многих переменных (2.1.106а), называют непрерывным в точке

136
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
{Хг} = {Xх... Χη)τ е Кп, если \/ε > 0 36 > О, такое, что для всех точек
η
Х'г, таких, что 1{Хг,Х'г) = (Σ {Ха ~ Х,а)2)^2 < δ, выполняется условие
а=1
1{кТ{Х1), кТ{Хн)) < ε, (2.1.107)
где /(·,·) — расстояние (2.1.13) в пространстве Еп (££)·
Если представить тензоры кТ(Хг) в некотором ортонормированном
базисе eji
kT(Xi)=fil-ik(Xi)eil®...®eik,
то компоненты тч~Лк(Хг) при каждом фиксированном значении набора
индексов i\ ...%k представляют собой скалярные функции многих переменных
fii...ik . Rn _^ К1#
Если тензорное поле fcT(X*) непрерывно в каждой точке Хг области V с
С Кп, то каждая компонента Тч-'Лк = та{",ак в любом базисе г* представляет
собой непрерывную в V скалярную функцию многих переменных, т. е. для
нее по любому ε > 0 3δ > 0: \/Х'г таких, что 1(Хг,Х'г) < δ выполняется
условие
|7*1...<*к(Х*) _ ra'-°*(A"i)| < ε (2.1.107а)
Действительно, по любому числу ε > 0 из условия непрерывности тензорного
поля всегда найдется такое δ > 0, что для всех Х,г : /(Х\Х/г) < 5
выполняется (2.1.107). Выберем Х/г из этого же условия 1{Хг,Х'г) < δ и составим
неравенство
= i2(fcT(A'<),fcT(A"i)) <ε2.
Истинность этого неравенства очевидна, и из него действительно следует
формула (2.1.107а).
Определение 2.1.15. Тензорное поле кТ(Хг), рассматриваемое как
функция многих переменных (2.1.1 Оба), называют дифференцируемым в
точке {X1} = (X1... Χη)τ Ε Шп, если существует такое линейное по АХг
поле, обозначаемое как
fcB = dfcT(AA'<), {АГ}еГ( kBeS%(Sn), (2.1.108)
которое удовлетворяет условию: для всякого числа ε > 0 существует
такое число δ > 0, что для всех точек Х'г, таких, что
/ η \ 1/2
1{Х\ X'1) =1^2(Ха- Х,а)2 < δ,

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 137
выполняется условие
I (АкТ(Х\АХх) - d fcT(AX*),fcO) < ε, (2.1.109)
где
AkT{X\ ΑΧ1) = kT(X1' + AXX) - kT(Xl), АХ1 = Χ'1 - Χ1. (2.1.110)
Здесь 1(-,кО) — расстояние (2.1.13) в пространстве Sk(S%); kO — нулевой
тензор к-го ранга.
Тензорное поле d kT называют дифференциалом тензорного поля кТ
(или просто дифференциалом тензора).
Аналогично переформулируем определение 1.4.1 частной производной для
тензорного поля.
Определение 2.1.16. Если для тензорного поля кТ(Хг), рассматриваемого
как функция многих переменных (2.1.106а), в точке {Хг} 6 W1 существует
предел
Ит АадУ} = |Д, α={1 η), (2.1.111)
ΔΧα-*ο ΑΧα дХ
то этот предел называют частной производной тензорного
поля кТ(Хг) в точке {Хг} по переменной Ха.
Здесь, как и ранее,
Аа кТ{Хх) = кТ{Х'х) - кТ(Х*), (2.1.112)
а {Х'х} = (Χι, ..., Χα~\ Χα + ΑΧα, Χα+ι, ..., Хп) - точка в
пространстве Кп, принадлежащая (5-окрестности и${Хг), фигурирующей в определении
предела функции (см. (2.1.15)).
Формула (2.1.40) для дифференциала тензора d kT выглядит следующим
образом:
d fcT(A^) = ?-T dX\ (2.1.113)
Если теперь выбрать некоторый базис е^ € £^, то, в силу определения
декартовых и криволинейных координат Хг, этот базис не зависит от Xх,
тогда тензор кТ(Хх) в каждой точке Xх в этом базисе имеет вид
kT(Xi)=Til-ik (Хг)еи®...®егк. (2.1.114)
Из (2.1.111) получаем
~дХ^ = ~дХ^~ Gi[ ® •'•<8>е**' (2.1.115)
где
f)rpl\...lk Д rpl\...lk
^V^= lim Λνα (2.1.116)
дХа δχ«-»ο ΑΧα ν ;

138
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
— частные производные от компонент тензорного поля кТ(Хг),
рассматриваемые как скалярные функции многих переменных:
Т*1~Лк(Х*) : Шп -> К (2.1.117)
при фиксированном наборе значений индексов гь ..., г^.
Аналогично тому, как это было проделано в п. 2.1.7, можно ввести и
частные производные га-го порядка от тензорного поля кТ(Хг):
0-.(*Τ(Χ')). (2.1.118)
дХч ... dXlm v '
Определение 2.1.17. Множество всех полей тензоров кТ(Хг),
рассматриваемых как функции (2.1.106а) в метризованном тензорном
пространстве Еп (£п)» имеющие в каждой точке Xх некоторой области V с Шп
все частные производные вплоть до порядка га, которые являются
непрерывными функциями в этой области по метрике (2.1.13),
называют классом т-непрерывно-дифференцируемых тензорных
полей k-го ранга и обозначают Cm(V,Sn )·
Определение 2.1.18. Множество всех полей тензоров к-го ранга кТ(Хг),
рассматриваемых как функции
kT: FcKn^ Ф{В%) (2.1.119)
в метризованном тензорном пространстве Еп (£«)» имеющие в каждой
точке Xх ограниченной области VcRn все частные производные вплоть
до порядка га, которые являются непрерывными функциями в этой
области V по метрике (2.1.13) и допускают непрерывное продолжение
по этой же метрике (2.1.13) на замыкании V, называют классом
т-непрерывно-дифференцируемых в замыкании V полей тензоров
k-го ранга и обозначают Cm(V,Sn ').
2.1.16. Пространство непрерывно-дифференцируемых тензорных полей
В МСС широко используют еще одно важное понятие функционального
анализа — нормированное пространство. Напомним его определение.
Определение 2.1.19. Нормированным пространством называют
линейное пространство С (не обязательно конечномерное), в котором
определено отображение || а || С —> К+, ставящее в соответстввие
каждому элементу а из С действительное неотрицательное число || а ||
(которое называют нормой элемента а), и удовлетворяющее следующим
аксиомам:
1) (невырожденность) \\ а ||^ 0, причем \\ а ||= 0, если и только если
а = О;

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 139
2) (однородность) || sa ||= \s\ || a ||, Vs e К и Va е С; (2.1.120)
3) (неравенство треугольника)
|| а + Ь 11^11 а || + || b || Va,b e С.
Каждое нормированное пространство можно метризовать, если ввести в
нем расстояние
Z(a,b) =||a-b|| . (2.1.121)
Несложно убедиться, что аксиомы 1-3 нормы обеспечивают выполнение
аксиом 1-3 метрического пространства.
Пример 2.1.12. Пространство координатных столбцов Шп с введенной на нем
нормой
η
|| а ||= (Σ(αα)2)1/2, а=(а!, ..., ап)бГ (2.1.122)
является нормированным пространством.
Аксиомы 1 и 2 очевидно удовлетворяются, а доказательство аксиомы 3
оставим в качестве упр. 12 к § 2.1. D
Пример 2.1.13. Класс Cl(V) непрерывных скалярных функций многих
переменных / : V С Шп —> К, заданных в замкнутой области V, с введенной
нормой
||/||о=тах|/(а)| (2.1.123)
образует нормированное пространство.
Аксиомы 1 и 2 также выполняются тривиально, а для доказательства
выполнимости аксиомы 3 следует рассматривать свойство модуля |/| для
любых двух чисел / и h е R:
|/(а) + Л(а)|<|/(а)| + |А(а)|, f,h€Cl(V). (2.1.124)
Поскольку это неравенство имеет место Va е Кп, то оно сохраняется, если его
записать для точки а7 е V, в которой функция |/(а) + /г(а)| имеет максимум:
|| / + h ||= max \f + h\ = |/(a') + /i(a')| ^
^ |/(a')| + |/i(a')l ^max|/(a)|+max|/i(a)| =|| / || + || /ι ||, (2.1.125)
a&V a&V
что и доказывает утверждение. D
Пример 2.1.14. Класс Cl(U,Rm) непрерывных многомерных функций
многих переменных f : D С Кп —> Кт, заданных в замкнутой области £/, с
введенной нормой
га
|| f ||=тах(^(Г(а))2)1/2 (2.1.126)

140
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
также образует нормированное пространство, где
а-(а1, .... ап)тбГ, f(a) = (/!(a), .... /т(а))т (Ξ К™,
fa: ОсШп^Ш. (2.1.127)
Доказательство этого утверждения заключается в проверке аксиом 1-3. D
Теорема 2.1.9. Всякое евклидово пространство Еп со скалярным
произведением </?(а, Ь) = а · b всегда можно нормировать, введя в нем норму
следующим образом:
|| а ||= (a-а)1/2^ |а|. (2.1.128)
▼ Действительно, аксиомы 1 и 2 очевидно выполнены, а аксиома 3
оказывается выполненной в силу неравенства Коши — Буняковского (2.1.86). А
Пример 2.1.15. Следствием этой теоремы является утверждение о том, что
тензорное пространство Еп со скалярным произведением (2.1.14) также
можно нормировать по формуле (2.1.128):
и krr\ и ιfcf-pi I^T"* . . fcrp(fc...l) 11/2 ι—J С") λ 1 90Λ
k
Теорема 2.1.10. Класс Cx{V,En ) непрерывно-дифференцируемых полей
k-го ранга
kT(Xl) : V сШп^Ёпк)(Е^)
в замыкании ограниченной области V С Е% с введенной на нем нормой
|| kT |L(fc)= max \кТ{Х*)\ = max \кТ{Х{) · ... >r(fc...i)pr*)|i/2 (2.1.130)
к
является нормированным пространством.
▼ Выполнимость аксиом 1 и 2 очевидна. Для доказательства аксиомы 3
запишем норму (2.1.130) в каком-либо базисе е* е Е%
|| кТ || (fc)= max \Т1"^(Х1)Ти.,Лк(Х1)\^2. (2.1.131)
В силу тензорного характера преобразования компонент тч-Лк, Т^...^ при
замене базиса е^ —> ej, эта норма очевидно не зависит от выбора базиса.
Из компонент Тч"Лк всякого тензора к-то ранга всегда можно образовать
координатный столбец (fl .../m)T e Km, где m = nk, например, следующим
образом:
fl _ jill...И f2_rp\\..A2 fn_rp\\..An
гп —η /τ-ill...nl rn —n+l τ-ι11...η2 rn т-ΊΙ...ππ
(2.1.132)
rnk—n rp\n...nn rnk—n+\ rp2n...nn rnk rpnn...nn

§ 2.1. Тензорные поля в аффинных и метрических пространствах 141
тогда норма (2.1.131) будет в точности совпадать с нормой (2.1.126), для
которой выполняется аксиома 3. Следовательно, она будет выполняться и в
пространстве С1 (V\ft )· ^
Упражнения к § 2.1
Упражнение 1. Показать, что для цилиндрической системы координат (см. пример
2.1.6) якобиевы матрицы Q1 ■ и Р1-, определенные соотношениями (2.1.30), имеют
вид
/cos0 -rsin0 0\ / COS(f> s[n(f> °N
Qij = sin0 rcos0 0] , P\ =
0 0 1/
— sin φ - cos φ 0
r r
\ 0 0 1
Упражнение 2. Показать, что для сферической системы координат (см. пример 2.1.7)
якобиевы матрицы Q* ■ и Р1- имеют вид
(sin $ cos 0 r cos $ cos 0 — rsin$sin0N
sin $ sin 0 r cos # sin φ r sin # cos φ
cos # — r sin # 0
(sin ϋ cos 0 sin # sin φ cos #
(l/r)cos$cos0 (1 /r) cos # sin φ — (l/r)sin#
-(l/r)(sin0/sintf) (l/r)(cos0/sintf) О
Упражнение 3. Показать, что для цилиндрической системы координат векторы
локального базиса имеют вид
ri = cos0ei + sin0e2, Г2 = — rsin0ei + rcos0e2, Г3 = §з,
а для сферической системы координат:
ri = sin$cos0ei + sin$sin0e2 + сов^ёз,
r2 = г cos ϋ cos фё\ + г cos ϋ sin 0β2 — r sin #ёз,
гз = (—sin0ei + cos0e2)rsin?9.
Упражнение 4. Показать, что для цилиндрической системы координат метрические
матрицы gij, glj и детерминант д имеют вид
10 0
9ij = | 0 г2 0
О 0 1
2 г» I J>i — I с\ ι ιΛ с\ I а = г2
а для сферической системы координат
10 0
Or2 0
,0 0 r2sin2^
д = rq sinz $
ЯП = I 0 г2 0

142
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Упражнение 5. Показать, что для цилиндрической системы векторы взаимного
локального базиса имеют вид
г1 = ri = cos фё\ + sin фё2,
2 1 1 _ 1 _ з
г = ^Г2 = — sin0ei + -cos0e2, r = г3 = ез,
г г г
а для сферической системы координат
г1 = ri = sin$cos0ei + sin$sin0e2 + сов^ёз,
г = ^гГ2 = - cos$cos0ei Н— cos$sin0e2 sin#e3,
г г г г
г3 = ^г^г-гз = —— (-sin0ei +cos0e2).
г sin υ г sin 17
Упражнение 6. Используя свойство (1.2.40), показать, что имеет место следующая
формула (сравните с результатами упр. 12 к § 1.2);
(г* χ г,) XTl = Sirj-gljri.
Упражнение 7. Показать, что пространство координатных строк в!пс введенной
на нем метрикой по формуле (2.1.4)
/„ \1/2
l(A,B) = \AB\=\Ti(xiA-xiB)2\ ,
где А = (х\, ..., х'д), В = (ххв, ..., χ'β) с Еп, является метрическим пространством.
Упражнение 8. Используя формулы (2.1.75), (2.1.79) и (2.1.82), показать, что
„г i Aj
г · rJ = g J.
Упражнение 9. Используя формулы (2.1.68) и (2.1.77), показать, что имеют место
следующие соотношения между якобиевой и обратной якобиевой матрицами:
Ρ j — 9 Q k9mj>
причем для случая ортонормированного базиса е^ = ё» эта формула примет вид
* j — У W k°mj-
Упражнение 10. Используя соотношения (2.1.77) и (2.1.79), показать, что обратные
матрицы дг:> и #υ связаны с помощью обратных метрических матриц:
9« = Р\Р\ ды,
а в случае ортонормированного базиса е^ = ё^ эта формула имеет вид
gij =pikpji5ki
Упражнение 11. Используя формулы (2.1.82) и результат упр. 10, показать, что

§ 2.2. Ковариантное дифференцирование
143
а в случае ортонормированного базиса е^ = е, эти формулы примут вид
Упражнение 12. Доказать неравенство треугольника для нормы (2.1.122).
Упражнение 13. Показать, что если существует такая точка а из множества U Ε
еЛ*, в некоторой ε-окрестности Е/е(а) которой больше нет других точек из этого
множества U, то U не является связным.
§ 2.2. Ковариантное дифференцирование
2.2.1. Символы Кристоффеля
Большинство законов МСС записывают с помощью дифференциальных
соотношений между тензорными величинами. Поскольку эти законы должны
быть «объективны», т. е. не зависеть от выбора системы координат, то и
дифференцирование тензоров должно учитывать это свойство. Оказывается
однако, что обычные частные производные от компонент тензора не являются
компонентами какого-либо другого тензора, поэтому применяют специальное
ковариантное дифференцирование тензоров, которому и посвящен настоящий
параграф.
Рассмотрим точечное евклидово пространство 8%. Пусть в нем выбрана
декартова система координат Ое^, введены некоторые криволинейные
координаты Xх по формуле (2.1.45), а также определены векторы локальных базисов
Г{ И Гг.
Поскольку локальные векторы базиса
dx ,„fc,
-Λ**)
дХг
зависят от координат Хк точки А е ££, в которой они определены, то имеется
векторное поле Гг = Гг(Хк)у где г* е 8п.
Рассмотрим производные векторов базиса дтг/дХК Поскольку при
фиксированных значениях г и j объект dri/dX^ тоже является вектором из 8п,
то его можно разложить по векторам базиса г^·:
дг{/дХ* = Т%тк. (2.2.1)
Коэффициенты разложения Г^ называют символами Кристоффеля
(коэффициентами связности), они симметричны по нижним индексам:
Г*. = I* , (2.2.2)
так как я я я
дъ = dx = chk_ ,2 2 2 ,
дХк дХ1дХк дХг У ' ' )

144
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Символы Кристоффеля не являются компонентами тензора, при переходе
из одной системы координат в другую они преобразуются по закону,
отличному от тензорного (см. упр. 1 к § 2.2).
Вычислим производные от векторов взаимного базиса дтк /дХг. Для этого
продифференцируем соотношение между г* и гг (2.1.81):
г,-г* = <$?', (2.2.3)
тогда
дХк дХк ЭХ
Умножая это уравнение тензорно на гг, получаем
drj/dXk = -TJikr\ (2.2.4)
2.2.2. Связь символов Кристоффеля с метрической матрицей
Символы Г^· связаны с матрицей дц. Действительно, дифференцируя
(2.1.75), имеем
Эдн dYi · г,- dri drj
- - - Гj + Гг -
дХк дХк дХк 3 дХк>
или с учетом обозначения (2.2.1)
d9ij/dXk = rjfcr, · г; + η ■ Tljk ■ г, = T\k9lj + Tljkgu. (2.2.5)
Меняя местами индексы г и /с, получаем
dgkj/dX1 = rlki9lj + Γιβ9Μ. (2.2.6)
Меняя в (2.2.5) местами индексы j и к, аналогично находим
dgik/dX* = Tl%jgik + Tlkj9ll. (2.2.7)
Складывая (2.2.6) и (2.2.7) и затем вычитая из полученного выражения
уравнение (2.2.5), с учетом симметрии символов Кристоффеля и ды имеем
d9kj dgik dgij _ ι w w n ,
~dX* ~ΘΧΪ ~ ~3Χ^ ~ ki j j i>igik+
+ Tlkjgu - Tlik9lj - Tljk9il = 2Tlijgik. (2.2.8)
Умножая левую и правую части на (\/2)дкт, придем к следующей теореме.
Теорема 2.2.1. В пространстве 8% символы Кристоффеля Г"?,
определяемые формулой (2.2.1), зависят только от метрической матрицы д^ и ее
первых производных:
Гт - -nkm (dgkj _ι_ ®9ik - dgij λ (9 9 СП
li>~2g \дХ^дХ> дХк)' У ]

§ 2.2. Ковариантное дифференцирование
145
Отсюда следует, что в ортонормированной декартовой системе координат
Oei, в которой gij = Tjij = δ^ = const, символы Кристоффеля тождественно
равны нулю: ТЩ = 0.
Часто используют формулу, связывающую символы Кристоффеля Г^
с дг'\
т^т *■ Am fOgim , OQki Ogk m\ *■ Am
og ira /ο ο ι r\\
km ~2Q \~dx* ^dJC* ~ ~dXr) ~ 2Q ~dx*' iz.z.iuj
В трехмерном пространстве 8$ вычислим с учетом формулы (1.2.22)
производную по Хк от детерминанта метрической матрицы д = det (д^):
dXk dgijdXk дХк кт V J
Из (2.2.10) и (2.2.11) следует, что
Trn lj9= JL Щя (2.2.12)
km 2g dXk ^g дХк v J
2.2.3. Символы Кристоффеля первого рода
В пространстве 8%, умножая Г™ на дтк согласно правилам жонглирования
индексами, получаем
Г^Тс = Гт9тк (2.2.13)
— полностью ковариантные символы, называемые символами Кристоффеля
первого рода. Для Г™ в этом случае используют название символов
Кристоффеля второго рода.
Из (2.2.9) и (2.2.13), очевидно, следуют соотношения между Гф и
метрической матрицей:
г = }_ (dgik_ .dgjk_ _ dgij_\ (2 2 14)
tjk 2 \dXj dXi dXk) ' \ · · )
2.2.4. Градиент скаляра
Пусть имеется скалярное поле (р(Хк), заданное в пространстве 8% (т.е.
элемент из пространства 8п (8%)).
Определение 2.2.1. Пусть в пространстве 8% задано скалярное поле
φ(Χι) Ε 8η (8%), тогда градиентом скаляра называют векторное
поле, определенное в виде
V<p = rk-^ (2.2.15)
ψ dXk v }
и являющееся элементом пространства 8п (8%).

146
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
В формуле (2.2.15) V — символ Гамильтона, называемый набла-
оператором, который трактуют как действие символического вектора
V = rfc-^. (2.2.16)
дХк v J
Вводя обозначения для компонент разложения вектора Vy> по базису гк:
Vkip = d<p/dXk, V<p = Vk<prk, (2.2.17)
получаем ковариантную производную скаляра, которая, очевидно, совпадает
с обычной частной производной.
Для векторов и тензоров такого совпадения, как увидим далее, уже не
существует.
Замечание 2.2.1. Поскольку градиент скаляра Vy> — это векторное поле, то
его можно разложить по любому другому базису, например, по декартову ё;,
тогда из (2.2.15) получим для Vy> следующее представление:
V<p = ei (д(р/дхг), φ = φ(χι).
Пример 2.2.1. Вычислим градиент длины радиус-вектора |х|. Записывая его
координатное представление, получаем
з ,з з
vw = °tde = «.έ(Σ(*β)2),/ί = ^(Σ(^)2)1/νΣ2-α
дха
дхг θχιΧΔ^κ ' ' 2ν^4 ' > ^ дхг
а=\ /3=1 а=\
3 3
= -rV У Χαδΐ = Л У ^ёа = Л>
|х| ^ г χ ^ χ
а=\ а=\
т. е.
V|x| = х/|х| и Vi|x| = d\x\/dxi = х{/\х\ (2.2.15a)
(χi совпадает схгв базисе ё*). D
Пример 2.2.2. Вычислим градиент от функции 1/|х|:
д 1 _ 1 д\х\ _ Хг
дхг |х| |х|2 dxi |x|3'
_ 1 _,; д 1 1 7- X
V ^ = ег-— — = =■ хге<
II <~> II ι |Я г ι |Я »
\Щ oxi |х| 1x1е* 1x1е*
так как 1 1
vA = "A> ν»Λ = —^· D (2.2.156)
|χ| |x|d |χ| |x|d
Пример 2.2.3. Аналогично вычислим градиент функции 1/(|х — х'|, где х' —
некоторая фиксированная точка:
~ 1 ё14~ г--Цт = ё* ?—г г-Х—п= χ/~^·α (2.2.15b)
|χ-χ'| дх* |χ-χΊ д^-ж'* |χ-χΊ |χ-χΊ3

§ 2.2. Ковариантное дифференцирование
147
2.2.5. Ковариантные производные компонент вектора
Рассмотрим произвольное дифференцируемое векторное поле a(Xfc),
заданное в 8%.
Выберем прямоугольную декартову систему координат Ое^ и представим
векторное поле a(Xk) в базисе ё* и в локальном базисе г$:
a(Xk) = a\Xk) ei = а1(Хк)Тг,
где йг(Хк), аг(Хк) — декартовы и ковариантные компоненты векторного поля
соответственно.
Используя формулу (2.1.114), представим частные производные от
векторного поля в виде
да/дХк = (да1(Х3)/дХк) ej.
Найдем выражение для этих производных, используя разложение (2.1.53)
вектора а по локальному базису г^:
да. dalTi da%Qii _ _ до? =j _ idQji _ _
дХк дХк дХк вг дХк iGj+a dXkBj
да? л dri да? 7· ?' ( до? ,·„?' λ /η η m\
= г г* + α—τ = тГг + α Τ?. r7- = τ + α?Τΐ r7. (2.2.18)
дХк дХк дХк гк 3 \дХк гк) 3
Величину, стоящую в скобках, называют ковариантной производной от
контр авариантных компонент вектора и обозначают как
V*»* = |£ + Л**. (2.2.19)
Ковариантную производную от ковариантных компонент вектора
определяют как
Vm = |^ - Т{кц. (2.2.20)
Тогда производную от самого вектора а можно представить в виде
да/дХк = VkajTj = rjVkdj. (2.2.21)
Контравариантной производной от, соответственно, ковариантных и
контравариантных компонент вектора называют следующие величины:
\7maj = gmk\7kaj и V"V = gmk\7kaj. (2.2.22)
2.2.6. Градиент вектора
Определение 2.2.2. Пусть в пространстве Е% задано векторное поле
а(Хг) eSn(S%), тогда градиентом вектора а называют тензор-

148
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
ное произведение векторов взаимного базиса rk и частных производных
да/дХк, вычисленных в одной и той же точке пространства 8%:
V®a = rfc®^. (2.2.23)
dXk V ;
Подставляя в (2.2.23) формулу (2.2.21), получаем
V <g> а = тк ® rjVkaj. (2.2.24)
Из (2.2.24) следует, что градиент вектора — это тензорное поле второго
ранга в каждой точке 8%, т. е. элемент пространства 8п (££)·
Вычислим дифференциал вектора da, рассматривая его как приращение
вектора а, обусловленное переходом из точки А е 8% с координатами Хк
в точку А\ с координатами Хк + dXk. Согласно (2.1.113), имеет место
следующая формула для дифференциала:
da = ^-dXk. (2.2.25)
дХк v J
Если в качестве а выбрать радиус-вектор х, то получим элементарный радиус-
вектор (см. п. 2.1.4)
dx = -^dXk = rkdXk. (2.2.26)
Умножим (2.2.26) слева и справа на г*, тогда имеем
г* · dx = г* · YkdXk = г* · rmgmkdXk = gimgmkdXk = б{аХк = dX\ (2.2.27)
Следовательно, (2.2.25) можно преобразовать в виде
(2.2.28)
В итоге получим
da=(V<g>a)T-dx. (2.2.29)
Таким образом, транспонированный градиент вектора (V<8>a)T связывает
приращения вектора а с соответствующими приращениями радиус-вектора χ
при переходе от А(Хк) к А\(Хк + dXk) в пространстве 8%.
Для тензора (V<8>a)T, на основании (2.2.16), справедливо формальное
представление
(V®a)T-^®r^ VkajYj ® rk. (2.2.30)
Теорема 2.2.2. В пространстве 8% градиент вектора V ® а, определенный
по (2.2.23) в точке А е 8%, является тензорным полем второго ранга,
а ковариантные V^a·7, V^a? и контравариантные Vla,j, V*aJ' производные
являются компонентами тензора в каждой точке А е 8%.
▼ То, что V ® а в каждой точке А е 8% является тензором, следует,
например, из (2.2.29) по обратному тензорному признаку, так как da и dx —

§ 2.2. Ковариантное дифференцирование
149
это тензоры первого ранга. Следовательно, при переходе из одной системы
координат Xх в другую Х,г его компоненты преобразуются по тензорному
закону. Но из (2.2.23) следует, что его компонентами являются VjOj, V^a·7 и
Уга^, Vхaj в соответствующих тензорных базисах:
V ® а = ViajY1' <g> rj = VjaV <g> r, = \/га^{ ® rj = VVr* ® г,·. (2.2.31)
Таким образом, в отличие от частных производных даг/дХк и daj/dXk,
ковариантные и контравариантные производные являются компонентами
тензора. А
2.2.7. Ротор вектора
Определение 2.2.3. Пусть в трехмерном пространстве 8% задано
векторное поле а(Хг), тогда ротором вектора называют векторное поле,
определенное следующим образом:
V χ а = гг χ — = rot а = 2ω. (2.2.32)
дХг ν ;
Используя определение (1.2.23) векторного произведения, находим
компоненты ротора
V х а = ^-eijkViajTk. (2.2.33)
Вектор ω называют вектором вихря. Как всякий вектор, образованный
векторным произведением двух полярных векторов, ω является аксиальным
вектором, т.е., вообще говоря, псевдовектором (см. §1.7). Кроме того, ω
является вектором, сопутствующим некоторому кососимметричному тензору
Ω, который можно образовать по формуле
Ε χ ω = -Го ® гг χ г7 χ τ = -го ® ( (гг · τ ) г7 - (гг · г7) τ ) =
2г дХ3 2 г VV дХ3) ν 'дХ3)
= H^0r'"ri0^) = ^((V0a)T"V0a)· (2·2·34)
Здесь использовано свойство (1.2.40) двойного векторного произведения, а
также определение (2.2.23) градиента вектора.
Определим тензор Ω следующим образом:
Ω = 1 ((V ® а)т - V ® а), (2.2.34а)
тогда формула (2.2.34) приводит к соотношению (1.6.37) между Ω и ω (см.
упр. 4 к § 1.6):
Ω = Εχω = ωχΕ. (2.2.346)

150
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Кососимметричный тензор Ω, определенный формулой (2.2.34а), называют
тензором вихря, с его помощью транспонированный градиент вектора всегда
можно представить в виде
(V<g>a)T = s + n, (2.2.35)
где
ε = def a = - (V ® а + (V ® а)т) (2.2.36)
— симметричная часть, называемая линейным тензором деформации над а.
Подставляя разложение (2.2.35) в (2.2.29), получаем формулу Гельм-
гольца:
da = (V <g> а)т · dx = ε · dx + Ω · dx = ε · dx + ω χ dx, (2.2.37)
которая определяет приращение вектора а в окрестности точки А(Хг) е Εξ
через тензоры линейной деформации и вихря.
2.2.8. Дивергенция вектора
Определение 2.2.4. Пусть в пространстве 8% задано векторное поле
а(Хг), тогда дивергенцией вектора называют скалярное поле
V · а = гг · -^ = Via1 = div a. (2.2.38)
С учетом (2.2.12) и (2.2.19) выражение (2.2.38) можно представить в виде
V-a=-L^-^. (2.2.39)
у/9 дХг У }
Упражнения к § 2.2
Упражнение 1. Используя (2.2.9) и (2.2.14), а также (2.1.77), доказать, что
символы Кристоффеля при переходе из системы координат Xх в X'1 преобразуются по
формулам
д2Х'т
р/с р/с г\т г\п γΐΐ ι υ ■*■ р/с
1 ij — Г I Ч г Ч jL πιη~τ~ βχίβχ-j Г m»
2 ΛτΙΤΠ
rij/c — Q i QUj Q kFijl + i j9mnQnk·
Упражнение 2. Используя формулу (2.2.9), показать, что в цилиндрической системе
координат ненулевые символы Кристоффеля второго рода имеют вид
^22 = —г> Γ2ι = 1/г,
а ненулевые символы Кристоффеля первого рода имеют вид
Г122 = г, Γ22ΐ = -г.

§ 2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров
151
Упражнение 3. Показать, что в сферической системе координат ненулевые символы
Кристоффеля второго рода имеют вид
Г22 = -г, Г'3 = -г sin2 ΰ, Г23 = - ^ sin20, Г22 = Г?з = 1 /г, Г|3 = ctg ΰ,
а символы Кристоффеля первого рода имеют вид
Г221 = -г, Г3з1 = -rsin2tff Г332 = -(l/2)r2sin2tf,
Г122 = г, Гт = г sin2 ΰ, Γ233 = (l/2)r2 sin 2ΰ.
Упражнение 4. Показать, что дифференциал скаляра у>(Хк) можно представить в
виде
άφ = Vy> · dx..
Упражнение 5. Показать, что в ортонормированной декартовой системе координат
градиент скаляра имеет вид
a=l
Упражнение 6. Показать, что V ® χ = Е, V · χ = 3, V χ χ = 0.
Упражнение 7. Показать, что в декартовой системе координат формулы (2.2.20) для
градиента, (2.2.38) — для дивергенции и (2.2.32) — для ротора вектора имеют вид
V7 dak ,. дсц . sr^fdap <9α7\_ ι ο ι _ζ
\/iCLk = —г, div a = —τ, rot a = > —£ £ ea, α Φ ρ Φ 7 Φ α.
dx1 dx1 ^Kdx1 dx*3' -ГН-Г1Т
a=l
Упражнение 8. Показать, что ротор вектора (2.2.32) можно представить в виде
символического определителя
rot а = —=■
V9
Π г2 г3
Vi V2 V3
а\ a2 a3
где Vi умножают на a,j слева.
Упражнение 9. Используя результат упр. 6, показать, что V^J = 5j.
§ 2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров
второго и высших рангов
2.3.1. Ковариантные производные тензора
Рассмотрим в пространстве 8% дифференцируемое поле тензора второго
ранга Т(Хт) е Cl(V,8n) и воспользуемся формулой (2.1.100) разложения
поля по тензорному базису е* ® е^:
T(Xm) = Tij(Xk)ei®ej.

152
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Используя формулу (2.1.115), получаем, что частные производные от этого
поля можно представить в виде
дТ dfij , vm,_ __
τ = r(Xm)ei ® e7·.
дХк дХкК J J
Подобно тому, как это было проделано в п. 2.2.5, преобразуем частную
производную по Хк от Т(Хк) следующим образом:
ВТ 8 ■ ■ 8Tij ■■ 8r
дХк дХкК J' дХк J дХ
+ Т*П ® Ц* = |рг* ® *1 + Т*ГГкгт ® г, + Г«г; ® Г#гт =
= (S+Tmjrimk+2*nit*)Гг ®г^=Vfcr°ri ® г> ■(2·3·!>
Здесь введено обозначение ковариантной производной контр авариантных
компонент тензора второго ранга
VkTij=S+TmJT™k+г""г^· (2·3·2)
Ковариантные производные ковариантных компонент тензора
определяют следующим образом:
дТг
VfcT^· = ——^ - Тт<7Т^ - ГгтГ^., (2.3.3)
а ковариантную производную смешанных компонент тензора в виде
дТ
j ~~ Qvlt ' jimk λ m1 jk>
VkTi i = %~ TjTTk + Ά mTi«*· (2·3·4)
Умножая ковариантные производные на обратную метрическую матрицу gkm,
получаем контравариантные производные компонент тензора второго ранга:
ymTij = gmkVkTij^ утТ.. = дтку ^ ym^ = ^VfcT^·. (2.3.5)
Из определений (2.1.104), (2.3.1) и формул (2.2.1), (2.2.4) следует, что
производная от метрического тензора Ε по Xх тождественно равна нулю:
ΘΈ д , ,ч dri л дгг _,- л π7· ,-
Г = rfc ® Гг) = гТ ® Гг + Ti ® Г = Г?, Г?· ® Гг - ΓΙ,-Γ^ <g> T3.
дхк QXk\ ) дхк дхк гк J kj г
Осуществляя замену индексов во втором слагаемом г <-> j и учитывая
свойство (2.2.2) симметрии символов Кристоффеля, действительно получаем, что
дЕ/дХк = 0. (2.3.1а)

§ 2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров
153
Рассмотрим в 8% произвольное поле тензора k-го ранга
Р
Т(Х*) = Гг,-гр, ■ г^...^^®г^..^^( ρ + 9 = /с, (2.3.6)
причем его компоненты т,г1"'гр- · (Хг) будем считать непрерывно-
дифференцируемыми функциями координат Xх точки А е 8%.
Определение 2.3.1. Ковариантной производной от компонент
поля тензора Гг1'"гр· ■ k-го ранга fcT, определенного в 8%, называют
объект
s=l
...-EIA<ri""<i,...i.=m...i,· * + « = *■ (2·3·7)
s=l
Здесь обозначение is = m означает, что индекс is заменяем на индекс га.
2.3.2. Дифференциал тензора
По аналогии с дифференциалом вектора определим дифференциал
тензора k-го ранга d fcT, рассматривая его как приращение тензора fcT,
обусловленное переходом из точки A(Xl) e 8% в близкую точку А\ е 8% с координатами
Хк + dXk. Согласно формуле (2.1.113), имеем
dkT = dkT = ?-^dXl. (2.3.8)
дХ1 v ;
Используя формулу (2.2.27), получаем
d кТ = dx · г* <8> ^-ϊ = dx · V <g> fcT. (2.3.9)
Здесь введено обозначение для градиента тензора k-го ранга
V Θ кТ = τ1' Θ ^Д = УгГ^-^г* <8> г», <8>... <8> rin. (2.3.10)
Теорема 2.3.1. Градиент тензора k-го ранга, определенный в
пространстве 8% по формуле (2.3.8), представляет собой тензор (к + \)-го ранга,
а ковариантные \7^г[-Лп и контравариантные \/гтг["Лп производные
являются компонентами этого тензора в соответствующих тензорных
базисах.
▼ Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.2.2 и основано
на соотношении (2.3.9). А
В силу этой теоремы, ковариантные и контравариантные производные
тензоров при переходе из одной системы координат в другую преобразуются
по тензорному закону.

154
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
2.3.3. Ковариантные производные метрической матрицы
Если в качестве Тц в формулах (2.3.3) выбрать метрическую матрицу gij,
то из (2.2.9) получим
_ dgij 1 / dgji dgkj dgki \
vkyij — Qj{k *■ kiiJmj *■ kjiJmi — ^^k 2\dXk dXl dX3)
_ищ дды_дм\0 (2311)
2\dXk дХ3 дХг) }
т. e.
Vfc^-=0, Vkgij = 0. (2.3.12)
В трехмерном пространстве Εξ из (2.3.12) и (1.2.19) следует, что
Ук9 = \^semnlVk{gmi9njgsl) = 0. (2.3.13)
Таким образом, мы доказали следующую теорему.
Теорема 2.3.2 (Риччи). В пространстве Е% ковариантная производная
метрических матриц дц и дгз и определителя g в Е$ равны нулю.
Из теоремы Риччи следует, что при всех операциях ковариантного
дифференцирования gij, gli и g можно считать константами и выносить из-под
знака ковариантной (но не частной!) производной.
2.3.4. Градиент и дивергенция тензора второго ранга
Если Τ — тензор второго ранга, то из определения (2.3.10) следует, что
градиент тензора второго ранга имеет вид
V®T = ri®|^ = V^V ® rj ® rfc. (2.3.14)
Определение 2.3.2. Дивергенцией тензора второго ранга Τ
называют вектор
V · Τ = rk · -^ ξ div Т. (2.3.15)
dxk \ )
Используя формулу (2.3.1), находим компоненты дивергенции тензора
V · Τ = rk · VkTijTi <g) Tj = ViThj. (2.3.15a)
Дивергенцию тензора с учетом (2.3.2) и (2.2.12) можно представить в
виде
ν τ = ът*ч = (fg + г*тг^ + г^г™) г,- = (|g+
+ ir l£ ^h + Шгт = ά έ(^ ri^ (2-ЗЛ5б)

§ 2.3. Ковариантное дифференцирование тензоров
155
или иначе
V · Τ - (y/g — + ?Д. гЛ -L г,- + ltf-Timr7- -
VV dJT <9Хг J у/9 J тг 3
(-4^(^^) + Г^гт)г,· (2.3.15b)
у/9 дХг
Оба представления (2.3.156) и (2.3.15в) часто используют в МСС.
2.3.5. Ротор тензора
Определение 2.3.3. Пусть в пространстве Е% задано поле тензора
второго ранга Т(Хк), тогда ротором тензора второго ранга называют
тензорное поле
дТ
V χ Τ = гг χ -^ = rot Т. (2.3.16)
дХг v J
Используя формулу (1.6.3) для векторного произведения вектора и
тензора, находим компоненты V χ Τ:
VxT = l e^ViTjirk ®rl = y/j ефЧ*Т'1тк Θ rz. (2.3.17)
По теореме 2.3.2 (Риччи) находим ковариантные и контравариантные
компоненты ротора тензора:
V Χ Τ = (l/y/g) €*'* 9lm ViTjm Tk®*l =
= (\/y/g) €«* ν<Γ/ тк®п = v^ eijk VVZ* vk®vl. (2.3.18)
С учетом формулы (2.1.83), соотношения (2.3.17) и (2.3.18) можно
переписать в виде
V χ Τ = VlTjlYi χ tj <8> rz = ViTj-zr* χ r7' <8> rz = V^V χ г, Θ rz. (2.3.19)
Подставляя в (2.3.18) выражения (2.3.3) и (2.3.4) для ковариантных
производных, в силу свойств символов Леви-Чивиты (1.2.4) и символов Кристоф-
феля (2.2.2), получаем
Χ Τ = -L е«* у- № _ ^р^ _ TmTa.j Гк Θ г;
= шеФ κώ+т^)Тк ® Γί· (2·3·20)

156
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Поскольку, согласно (2.2.1), Г^ г/ = дг3/дХг, то последнюю формулу в
(2.3.20) можно записать также в виде
yfg \dXi J дХ1)'
ИЛИ , ο
VxT = 4 eijk гк Θ -^-{ΤΜ). (2.3.21)
Если Ω — кососимметричный тензор, то, используя формулу (2.3.17) и
представление (1.6.37) компонент Ω·?7 этого тензора через компоненты ω3
сопутствующего вектора ω, получаем формулу для ротора
V χ Ω = y/g eijk ViQjl rfc <g) 17 = eijkesmj ν*ω8 rk <8> rm =
-(«-%m)V4r^rm =
= Vmuk rk <8> rm - V^i rfc (8) rfc = V <g> ωτ - E(V · w),
т. e.
Vxii-V®wT- E(V · ω). (2.3.22)
При выводе этой формулы использовано свойство (1.2.3) символов Леви-
Чивиты, а также свойства (2.2.24) и (2.2.38) градиента и дивергенции
вектора.
2.3.6. Дивергенция тензора третьего ранга
Кроме дивергенции тензора второго ранга (2.3.15) применяют также
дивергенцию тензоров третьего ранга 3Т = Ty'mri ® Yj ® гт, которая
представляет собой тензор второго ранга, определяемый по аналогии с (2.3.15):
V . 3Т = тк · ^ = div 3T, (2.3.23)
Компоненты тензора (2.3.23) находим, используя результат упр. 4 к § 2.3:
V 3Т = тк · Vfcrij'mri Θ rj ®rm = ViTijmTj ® rm. (2.3.24)
С учетом формул (2.2.1), (2.2.12) и (2.3.7), дивергенцию (2.3.23) можно
представить также в виде
V · 3Т = ViT^Tj ®rm =
\дХ* + у/9 дХ*1 )Т>®
dTs tor Tksm
дХк
^rn + τ^τ® rmTksm+
+ г,- ® ^~kTkjs = ^ ^ WgT*» v3 ® Гт). (2.3.25)

§ 2.4. Свойства ковариантных производных
157
Упражнения к § 2.3
Упражнение 1. Используя формулу (2.3.17), показать, что если Τ — симметричный
тензор, то двойная свертка его ротора с метрическим тензором дает нуль:
/i(VxT) = E--V хТ = 0.
Упражнение 2. Используя формулу (2.3.22), показать, что если Ω — кососимметрич-
ный тензор, то двойную свертку его ротора с метрическим тензором можно выразить
следующим образом:
1\ (V χ Ω) = Ε · ·V χ Ω = -2V · ω,
где ω — вектор, сопутствующий Ω.
Упражнение 3. Используя свойство (2.3.1а) метрического тензора, показать, что из
(2.3.14), (2.3.15) и (2.3.16) следует
V®E = 0, V-E = 0, VxE = 0.
Упражнение 4. Методом, использованным при доказательстве формулы (2.3.1),
показать, что для поля тензора fc-ro ранга (2.3.6) имеет место аналог формулы (2.3.1)
|^ϊ = VmTtl'"tpjl_jqги ® ... ® rip ® г* ® ... ® т^, p + q=\.
§ 2.4. Свойства ковариантных производных
2.4.1. Коварианпгное дифференцирование суммы тензорных полей
Пусть в пространстве 8% имеются произвольные векторные поля а(Хг)
и Ъ(Хг), а также тензорные поля Т(Хг) и В(Хг). Рассмотрим свойства
ковариантных производных от сумм этих полей.
Из определения ковариантных производных (2.2.19) и (2.3.2) следует
аддитивность операции ковариантного дифференцирования:
Vk(aj + У) = g(y} + (am + bm)rJm), = Vfca^ + УкЬ>, (2.4.1)
Vfc(r> + BV) = -^-k{Ti] + В») + (Τ"* + Bmi)rmk+
+ (Г™ + Bim)Tjmk = VkTij + VkBij, (2.4.2)
тоже самое относится, очевидно, ко всем другим комбинациям индексов.
Из аддитивности ковариантных производных следует аддитивность набла-
оператора во всех рассмотренных операциях: градиенте, дивергенции и
роторе. Например, для векторов имеем
V ® (а + b) = Vi{aj + ЪР)т1 ® г, = V ® а + V ® Ь,

158
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Vx(a + b)-i eijkVi(aj + bj)rk -Vxa + Vxb, (2.4.3)
V · (a + b) = V*(a4 tf) = V · а + V · b.
Аналогичные правила справедливы и для полей тензоров второго ранга
V <g> (Τ + В) = Vk(Tij + Bij)rk <g) η <g> Tj = V <g> Τ + V <g> В,
Vx(T + B) = VxT + VxB, (2.4.4)
V-(T + B) = V-T + V-B.
2.4.2. Дифференцирование произведений вектора и тензора на скаляр
В пространстве 8% ковариантные производные произведения скалярного
поля ф{Хк) на другое скалярное поле (р(Хк), или векторное поле а.{Хк),
или тензорное поле П(Хк) вычисляют по формальным правилам
дифференцирования произведения классических функций. Действительно, согласно
определениям (2.2.17), (2.2.19) и (2.3.2):
ViM) ξ ^ = ψνίφ + <?V^, (2.4.5)
о Χ
ν^φαη = g + ^a-rlfc = a'V^ + pV*»', (2.4.6)
Vfc(Vr«) = ^ + ^(Τ^Γ^ + Г"Т^) = νν^ + Τ« VfcV>. (2.4.7)
Аналогичные формулы имеют место и для других комбинаций индексов.
Образуем с помощью этих формул градиент произведения скаляров
ν{φφ) = ν^φφΥ = ψνφ + φ^φ, (2.4.8)
градиент, ротор и дивергенцию произведения скаляра на вектор:
V ® (<ра) = Vfc(^a')rfc ® Tj = V<p ® а + <^V ® а, (2.4.9)
V χ (φ&) = — €iikVi(4>aj)rk =
= — eijk(Vnpa,j + (^Viaj)rfc = Χ7φ χ а+ <pV χ а, (2.4.10)
ν9
V· (<ра) = Vi(^a') = V^-a + ^V-а, (2.4.11)
а также градиент, ротор и дивергенцию произведения скаляра на тензор:
V<8>(y>T) = V<^<g>T + ^V<g>T, (2.4.12)
V χ (φΤ) = νφ χ Τ + φ\7 χ Τ, (2.4.13)
V · (y>T) = Vy> · Τ + φν · Τ. (2.4.14)

§ 2.4. Свойства ковариантных производных
159
Как и ранее, векторное произведение рассматриваем только для
пространства £3 ·
2.4,3. Дифференцирование произведений двух векторов
Вычислим, используя определение (2.3.4), ковариантную производную от
произведения компонент двух векторных полей а и b 6 ξ:
V*( A") = f^f - α* Μ?* + атЬ0Гтк = (Vfca% + а*УкЪР (2.4.15)
Используя эту формулу, найдем градиент скалярного произведения двух
векторов
V(a · b) = Vk{a%)rk = \/ка1т\ + ЧкЪ*тк(ц =
= \/ка1тк ® г; · fyr7' + Vfc^rfc ® π · а? г7' = (V 0 а) · b + (V 0 Ь) · а. (2.4.16)
Формально эту операцию можно было бы записать как V®(a-b), однако
для градиента скаляра знак тензорного произведения обычно не используют.
Аналогично вычисляем градиент векторного произведения двух векторов
V <8> (а х b) = Vm(y/g ефа1Ъ?)гт ® rk = ^ eijk{{Vта1)ЪР +
+ aiVm&j)rm<g>rfc = (V<g>a) x b - (V <8> b) x a. (2.4.17)
Здесь использовано свойство (2.2.31), а также свойство (1.6.4) векторного
произведения тензора на вектор.
Вычислим две возможные дивергенции векторного а х b и тензорного
а ® b произведений (очевидно, что дивергенцию от скаляра а · b образовать
невозможно):
V · (а х Ь) = Vfc(v^ βφαΨ) = ^ (eljk{VkcJ)V - ekji(VkV)al) =
= y/g 6fcijVfcaV' · Ьттт - у^ e^V'W · amrm =
= (V xa)-b-(V xb)-a, (2.4.18)
V · (a® b) = Ук{акЪ>)т0 = {Укак)Ъ>т0 + акУкЪ>т0 =
= (V-a)<8>b + a-V<8>b. (2.4.19)
Наконец, вычислим два возможных ротора от векторного и тензорного
произведений векторов:
V χ (а х Ь) = &кеатпЩатЪп)гк = -(<М - 6гп6кт)(\7гатЪп + amV<bn)rfc =
= {(Vnak)bn + akVnbn - bkVmam - a*V^fc) rk =
= b · V (8) а + а( V · b) - b( V · a) - a · V <g> b. (2.4.20)

160
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Здесь использованы определения векторного произведения (1.2.23) и ротора
(2.2.33), а также свойство (1.2.3) символов Леви-Чивиты:
V χ (а <8) Ь) = — eijkVi{ajbm)Tk <8> тт = — e^V^·)^ <8> Ьттт-
- -^ ejikajVibmrk <8> rm = (V χ а) <8> b - а х (V <8> b). (2.4.21)
В МСС применяют формулы векторного умножения вектора и ротора
другого вектора а х (V χ с) и (а х V) χ с. Вычислим их, используя формулы
двойного векторного произведения (см. (1.2.40) и упр. 21 к § 1.6), заменив в
них вектор b на градиент V:
а χ (V χ с) =а· (V<8>c)T-a· V <8> с, (2.4.21а)
(ах V) xc = a-(V<8>c)T-a<8>(V-c). (2.4.216)
2.4.4. Дифференцирование произведений вектора на тензор
Убедимся вначале, что правило ковариантного дифференцирования
формально сохраняется и для произведений компонент тензора Τ и вектора а:
VfcCP'a,) = (jg + Т^Гтк + ГТ^) а,-
- Т»атГ% + Т» £L = (ν*Γ«)ο, + T»Vkal. (2.4.22)
Пользуясь этим правилом, вычислим градиенты от скалярного произведения
тензора на вектор:
V <8) (Т · а) = Vi(Tjkaky <8> г, = (ViTjky <8> τ, <8> rk · amrm+
+ ViOfcr* <8> TjkTj = (V (8) Τ) · а + (V <8> а) · Тт (2.4.23)
V (8) (а · Τ) = Vi(ajTjky ®rk = V*aV <8> Tj · Tmfcrm Θ rfc+
+ ViTjfcr* <8) rfc (8) rj · amrm = (V <8> a) · Τ + (V <8> TT) · a. (2.4.24)
Вычислим дивергенцию от скалярного произведения тензора на вектор:
V · (Т · а) = Vi(Tikak) = (ViTik)ak + TikViak =
= (V-T)-a+T·. (V®a)T, (2.4.25)
V · (a · Τ) = Vi{akTki) = (V · TT) · a + Τ · ·V ® a,

§ 2.4. Свойства ковариантных производных
161
дивергенцию от векторного произведения:
V-(Txa) = l \/г(ет^ак)тт = J=. €т^(У^)алгто+
+ -]=■ ет^Т% V№rm = (V · Τ) χ a + (Ττ · V) χ a, (2.4.26)
V9
V · (a x Τ) = V, (-L е^аттЛ rk = -L 6^(V,am)Tjfcrfc-
_ _L €mii{ViTjk)Tkam = (V χ a) · Τ - a · (V χ Τ) (2.4.26a)
v9
и дивергенцию от тензорного произведения:
V · (Τ <g) a) = {VkTkjai)Tj ® rl = {VkTkj)cnYj ® rl + TkjVkcnYj ® rl =
= VkTkjrj ® a/r' + Tij')rj ® r* · \/кщгк ®rl =
= (V · T) <g) a + TT · V <g> a. (2.4.27)
Здесь использовано формальное определение набла-оператора как вектора, а
также формулы (2.3.16) для ротора тензора.
Вычислим также роторы от скалярного произведения тензора на вектор:
V χ (Т · а) = J=. JikVi(Tjmam)rk = -±= e^k(ViTjm)amrk+
+ -L eijkTjm\7iamrk = (V χ Τ) · a - (Τ χ V)T · a, (2.4.28)
V x (a- T) = -1- ei^kVl(amTr] )тк = --^ e^T™ V*amrfc+
+ -1- e^(WT7 )rfcam - (V x TT) · а - (Ττ χ V) · а (2.4.29)
и роторы от векторного произведения тензора на вектор:
V χ (Τ χ а) - е^ке1тпУг(Т^ап)тк ® т1 =
= ,β Qmn(l e«kViT™)anTk ® τ1 - y/g elmn^ ^гкТ™Уг)аптк ® τ1 =
= (V χ Τ) χ а - (ΤΤ χ V) χ а, (2.4.30)
V χ (а χ Τ) = e^kemnjVi(amT} )rk ®rl =
= -(W " ^m)(Viamr7 + a^ViT^ )vk ®rl =
= (-VmamTfcz + ViakT\ - а^Т*] + акУ{Г\ )тк®т1 =
= -(V · а)Т + (V <g> а)т · Τ - а · V <g> Τ + а ® V · Т. (2.4.31)
Эти правила широко используют при безындексной записи уравнений МСС.

162
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
2.4.5. Дифференцирование произведения тензоров
Рассмотрим два тензора Τ и В и покажем, что ковариантные производные
от произведений их компонент также можно вычислить по правилам
формального дифференцирования произведения классических функций
v^bz ) = ^ΟΓ,Β™ ) + (τ^Γΐ - τ3τ%ό)Β™ +
+ Т3{В\Т™к - В™ ТЫ = (Vfcr,)B™ + Т*}ЧкВГп . (2.4.32)
Свертывая по индексам j и га, получаем отсюда, в частности
VfcCT*, В'п) = (УкТ^)В\ + Т^кВ\. (2.4.33)
Вычисляя с помощью (2.4.33) дивергенцию от скалярного произведения
Τ · В, получаем вектор
V · (Т · В) = Vfc(T*. Β*η)τη = (VfcT*. )BVn + Τ) VkB\rn =
= (VfcT*· )rj · Bsnrs ®гЧ Т) г* Θ тк · -VsBsnvs Θ rm Θ rn =
= (V · Τ) · В + Тт · V <8> Β. (2.4.34)
Упражнения к § 2.4
Упражнение 1. Используя формулу (2.4.15), доказать, что
V ® (а ® Ь) = (V ® а) ® b + (V ® Ь) · г* ® а ® г*.
Упражнение 2. Используя формулу (2.4.14), доказать, что
V · (φΕ) = νψ.
Упражнение 3. Используя результаты упр. 9 к § 2.2 и формулу (2.4.26), показать,
что
V · (Τ χ х) = (V · Τ) χ χ + € · · Т,
а если Τ — симметричен, то
V · (Τ χ х) = (V · Τ) χ х.
Упражнение 4. Доказать, что
V · (а ® Т) = (V · а)Т + а · V ® Т.
Упражнение 5. Доказать, что
V-(xxT) = -χ· (V χ Τ).
Упражнение 6. Доказать, что
а х (V χ Ь) = (V ® Ь) · а - а · (V ® Ь).

§ 2.5. Ковариантные производные второго порядка
163
ν^ = Γ*Θ — (rk^). (2.5.1)
ψ дхг V axkJ v J
Упражнение 7. Доказать, что
- V|a| = а · V <g> a - (V ® а) · а.
§ 2.5. Ковариантные производные второго порядка
2.5.1. Двукратное дифференцирование скаляров
Рассмотрим операцию двукратного ковариантного дифференцирования, и
начнем с двукратного применения набла-оператора к скалярному полю φ(ΧΙς)
в пространстве 8%.
Однократное применение оператора V к φ приводит к градиенту скаляра
(2.2.15), представляющего собой векторный объект, поэтому при повторном
применении V возникнут три объекта: градиент от градиента, дивергенция
от градиента и ротор от градиента. Рассмотрим первый случай:
д_ (rk δφ
dXi V dXf
Дифференцируя произведение в скобках по частям, с учетом (2.2.4)
получаем выражение для градиента от градиента скаляра
V®V^- ( θ.φ . - ^Г%) г* Θ rfc, (2.5.2)
\dXldXk дХт lk) v y
представляющего собой симметричный тензор второго ранга. Если в
определении (2.5.1) использовать обозначение (2.2.17) и (2.2.23) для ковариантных
производных, то получим альтернативное (2.5.2) представление
V <g> νφ = г* (8) -^ (Vfc(^rfc) = ViiVkipy <g> rfc. (2.5.3)
Сравнивая (2.5.2) и (2.5.3), находим выражение для вторых ковариантных
производных скаляра
V,V№ = VtViV = -^^ - ^Tfk. (2.5.4)
В силу того, что первая ковариантная производная скаляра совпадает с
частной производной (см. формулу (2.2.17)), мы получили правило независимости
вторых ковариантных производных скаляра от порядка дифференцирования.
Дивергенцию от градиента скаляра определим следующим образом:
д ik δψ
дХ1 V дХ1
Дифференцируя по частям выражение в скобках, получаем
V-Vv^fJfer-^raV, (2.5.6)
V · νφ = г* · /- (tk^) . (2.5.5)
Ύ дХг V дхЧ ν '
дХ*дХк дХ'

164
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
т. е. эта операция образует скаляр, называемый часто лапласианом над φ.
Запись лапласиана через ковариантные производные имеет вид
Αφ = V · νφ = г* · -β- (Vfcy>rfc) - ViV^r* · rk = V*VV = V'V^. (2.5.7)
Пример 2.5.1. Вычислим лапласиан от длины радиус-вектора |х|, используя
при этом результат (2.2.15а) для V;|x|:
Δ|χ| = V^|x| = -1 Ш=Л^-4М = Й"^ = Л-П
дхг \|х|/ |х| дхг |хр дхг |х| \х\6 |х|
(2.5.7а)
Пример 2.5.2. Вычислим лапласиан от функции 1/|х|, используя формулы
(2.2.15а) и (2.2.156):
AJ_ _ πίπ _j_ _ _^г^_ L дх% ι Ъх% ^ΙχΙ
Ι Ι — V *Ι Ι — ι Λ ~ ι Λ о г ' ι ι4 о г
Χ Χ ΧΓ Χ dz* Χ dz*
ΙχΙ ΙχΙ ΙχΙ
т. е.
Δ Д- = 0. D (2.5.76)
|χ|
Скалярное поле <^(^fc), удовлетворяющее уравнению
Αφ = 0, (2.5.7в)
называют гармоническим (или гармонической функцией). Как следует из
(2.5.76), поле 1/|х| является гармонической функцией.
Пример 2.5.3. Вычислим лапласиан от скалярного произведения χ · а, где
а(х) — произвольное дифференцируемое векторное поле, используя формулы
(2.4.16) и (2.4.25):
Δ(χ · а) = V · V(x -a) = V-(V®x-a+V®a-x) =
= V · а + V · (V ® а · χ) = V · а + (V · (V ® а)) · х+
+ V<g>a·· (V<g>x)T = Aa-x + 2V-a, (2.5.7r)
так как V®x = Eh V · V ® а = Да. D
Ротор от градиента скаляра в пространстве Εξ вычисляют следующим
образом:
VxV9 = rfx — (г*-^Л . (2.5.8)
Ψ дХг \ dXk) v ;
Переходя к ковариантным производным, получаем
V χ νφ = 4- c<J'fcViV^rfc = 0, (2.5.9)
у/9

§ 2.5. Ковариантные производные второго порядка
165
так как символ Леви-Чивиты сворачивается по двум индексам с
симметричным тензором ViVj(^ (см. (1.2.4)), т.е. ротор от градиента скаляра всегда
равен нулю.
2.5.2. Двукратное дифференцирование векторов
Двукратное применение набла-оператора V к векторному полю а из Εξ
приводит к образованию различных тензоров:
VAWa = riA^(rfcV^) A,Ve{®,x,·}, (2.5.10)
в зависимости от сочетания знаков операций Λ и V тензорного, векторного и
скалярного умножения.
Переходя в (2.5.10) сначала для одного набла-оператора, а затем для
другого к ковариантным производным, с учетом (2.2.18) и (2.3.10) получаем
VAWa = r<A^|i (Vfca,rfc V r>) = ЩЧщУ A rk V г* (2.5.11)
— представление в тензорном базисе набла-операции второго порядка над
вектором.
Теорема 2.5.1. В пространстве Е% ковариантные производные от
компонент векторного поля и, вообще, поля тензора любого ранга kil(Xl)
являются перестановочными при двукратном дифференцировании:
ViVjQil-ik = VjViQil-ik. (2.5.12)
▼ Образуем разность ковариантных производных
ViVfcn*1-4* - VfcV^1··^ = Mikil-in. (2.5.13)
В ортонормированной декартовой системе координат Охг всегда имеем
Miktl'"tn = 0, так как в ней Г^ ξ 0, и ковариантные производные совпадают
с частными. Но, согласно теореме 2.1.7, ковариантные производные тензоров
являются компонентами тензора, тогда в произвольных криволинейных
координатах Xх имеем
Mikil'"in = Q*iQkkpi{i> '-pini> Щ^"Л'п = °> (2·5·14)
1 n
откуда следует (2.5.12). A
Рассмотрим наиболее часто используемые сочетания операций Λ и V в
(2.5.11).
Дивергенцию от градиента вектора получим, если в (2.5.11) знак Λ
заменим на ·, а знак V — на ®:
Да = V · V ® а = \7г\7кау · rk ® rj = V^a^. (2.5.15)

166
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
В результате находим вектор, для которого используют также название
лапласиан вектора.
Градиент от дивергенции вектора получаем при обратном сочетании
знаков скалярного и тензорного произведений:
V ® V · а = ViVkdjr1 ® гк · rj = ViVkakr\ (2.5.16)
Ротор от ротора вектора находим из (2.5.11), выбрав в качестве V и Л
знак векторного произведения:
V χ (V χ а) = ViVfcajr* x (rk x rj) =
Используя свойство (1.2.3) символов Леви-Чивиты, а также (2.5.15) и
(2.5.16), получаем
rot rot а = V χ (V χ а) - (δ*δ{ - 6k:<j£)VfcV'αμη =
= VnVJ"ajTn - ViV^r* = V <g> V · а - Да. (2.5.18)
Дивергенция от ротора вектора всегда дает нуль:
div rot а = V · (V х а) = ViV^r* · (rk χ г7') =
= -J=- e^ViV^r* · rm = -j=- €*'тУтоУ*а,· = 0, (2.5.19)
в силу свойства (2.5.12) перестановочности ковариантных производных и
свойства (1.2.4).
Ротор от градиента вектора также есть нулевой тензор:
V χ V ® а = ViVkdjr* χ rk ® rj = — eikjViVkajrm <g> rj = 0, (2.5.20)
в силу того же свойства (1.2.4) символов Леви-Чивиты, свернутых по двум
индексам с симметричными производными V^Vfe.
При перестановке операций получаем уже ненулевой тензор — градиент
от ротора вектора
V ® V χ а = ViVkdjr* ® гк χ г7' = — ehjmV iV ка^т. (2.5.21)
2.5.3. Двукратное дифференцирование тензоров второго ранга
Двукратное применение набла-оператора к тензору второго ранга Τ
приводит к образованию следующих тензорных объектов:
V Λ VV Τ = г* Λ ^- (rk V J^) , Λ, V € {Θ, χ , ·}, (2.5.22)

§ 2.5. Ковариантные производные второго порядка
167
с различными сочетаниями знаков операций Л и V.
Общее представление этих тензоров в тензорном базисе имеет вид
V Л VV Τ = ViVfcTj^r* Л тк V г* ® rm. (2.5.23)
Градиент от дивергенции тензора второго ранга представляет собой
снова тензор второго ранга
V <g> V · Τ = ViVfcT^r* <g> rm. (2.5.24)
Тензорами второго ранга также являются дивергенция от градиента
тензора, называемая лапласианом тензора
ΔΤ = V · V <g> Τ = Vi\/%mTj <g) rm, (2.5.25)
и ротор от ротора тензора
V χ (V χ Т) = ViVfcT^r* х (rfc χ r>) ®rm = e^e^^V kTjmra <g> rm.
(2.5.26)
Используя свойство (1.2.3) символов Леви-Чивиты, получаем, что
V χ (V χ Т) = {Skji - (^V'VfcT^r5 Θ rm =
= Vj^VsTjmrs ®rm- VfcVfcTsmrs ® rm = V Θ V · Τ - ΔΤ, (2.5.27)
т. е. имеет место соотношение
Vx(VxT) = V<g>V-T- ΔΤ, (2.5.27а)
где введено обозначение для оператора Лапласа от тензора Τ второго ранга
ΔΤ - V · V <8> Τ = VfcVfcTsmrs <g) rm. (2.5.28)
Дивергенция от ротора тензора аналогично (2.5.19) образует нулевой
вектор:
div rot T = V · (V χ Τ) = ViVkTjmT* · (rfc x rj) ®rm =
= _L ^nVnVkTjmvm = 0. (2.5.29)
Перестановка операций в (2.5.29) приводит к ротору от дивергенции
тензора
V χ (V · Т) - ViVfcT^r* χ rm = -^ eimjViVkT^rj. (2.5.30)
Для тензора определена операция дивергенции от дивергенции, образующая
скаляр
div div T = V · (V · Τ) = ViVkTik. (2.5.31)

168
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
2.5.4. Тензор несовместимости
Важную роль в МСС играет тензор несовместимости
Ink Τ = V χ (V χ Τ)τ, (2.5.32)
являющийся тензором второго ранга.
Компоненты этого тензора, согласно (2.3.17), имеют вид
Ink Τ = - eijkemnl ViVmTjnrk Θ rz, (2.5.33)
9
Установим еще одну формулу для этого тензора, используемую в МСС.
Если из формулы (2.5.27) вычесть формулу (2.5.32), то получим
Ink Τ = V χ ((V χ Τ)τ - (V χ Τ)) + V <8> V · Τ - ΔΤ. (2.5.34)
Преобразуем выражение в скобках, используя представление (2.3.19) для
ротора тензора:
V χ Тт - V χ Τ = (rj <g> (г* χ Tj) - (r* χ rj) <g> rz) ViTjl =
= Ε χ ((r* χ Tj) x rz)ViTJ'z ,Ex (Sivj - д^)\7^1 =
= Ε χ (νζΓ'ζΓ, - Ъ(дъТ31)г\ (2.5.35)
Здесь использованы результаты упр. 18 к § 1.6 и упр. 6 к § 2.1, являющиеся
следствием формулы (2.2.40) двойного векторного произведения.
Пусть тензор Τ является симметричным, тогда с учетом (2.3.15а) и
(2.2.15) формулу (2.5.35) можно переписать в виде
VxTT-VxT = Ex ((V-T- V<g)7i(T)), (2.5.36)
или, вводя кососимметричный тензор
tt = VxTT-VxT, (2.5.37)
следующим образом:
Ω = Εχ(ν·Τ-ν<8>/ι (Τ)). (2.5.38)
Сравнивая формулы (2.5.38) и (1.6.37), с учетом упр. 5 к § 1.6 заключаем,
что вектор ω = V · Τ — V ® /ι (Τ) является сопутствующим тензору Ω,
следовательно, для него справедлива формула (2.3.22):
νχΩ = ν<8>ωτ- E(V · ω) =
- (V <g> V · Τ)τ - V <g> V <g> 7i(T) - Ε (V · V · Τ - Δ7ι(Τ)), (2.5.39)

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 169
подставляя которую в (2.5.34), с учетом обозначения (2.5.37) получаем
искомую формулу
Ink Τ = (V <g> V · Т)т + V <g> V · Τ - ΔΤ+
+ (ΕΔ - V <g> V)/i (Τ) - E(V · V · Τ). (2.5.40)
Из этой формулы следует (см. упр. 5 к § 2.5), что тензор несовместимости от
симметричного тензора тоже является симметричным, т. е.
InkT = (InkT)T, (2.5.41)
если Т = ТТ.
Упражнения к § 2.5
Упражнение 1. Используя формулы (2.5.11) и (2.5.15), показать, что
V· (V<g>a)T = V<g> V а.
Упражнение 2. Доказать, что для ротора от ротора вектора порядок следования
операций существенен и
(V χ V) χ а = 0.
Упражнение 3. Доказать, что
E--VxV<g>T = Vx Vi"i(T) = 0, h (Τ) = Ε··Τ.
Упражнение 4. Доказать, что
Ε · · V <g> V <g> Τ = Vi Vfc/i (T)r* ® rk.
Упражнение 5. Используя формулу (2.5.40), показать, что тензор Ink T,
определяемый по (2.5.32), является симметричным, если симметричен Т.
§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных
криволинейных координатах
2.6.1. Ортонорлшрованный локальный базис
В пространстве 8% при решении различных задач часто применяют
криволинейные ортогональные координаты Xх. В этом случае переходят от
безындексной записи уравнений к компонентной. Поэтому полезно записать
основные дифференциальные операторы, введенные выше, в ортогональных
координатах Xх.
Криволинейные координаты Xх точки А е 8% называют
ортогональными, если соответствующие им локальные векторы базиса Тг{Хг) являются
взаимно-ортогональными:
ri-rj = 6ij, гфэ. (2.6.1)

170
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Рассмотрим пространство Εξ. В ортогональных криволинейных
координатах Хк метрическая матрица д^ является диагональной:
/°· ^j е ft' ° θ\ МП
9%з = гг · гз = \ , т. е. gij = 0 д22 0 . (2.6.2)
{9аа, 1=3= а, \ 0 0 033/
Введем обозначения для ее компонент
у/д^ = На, α =1,2,3, (2.6.3)
где На называют параметрами Ламе.
Определитель д в ортогональных координатах имеет вид
g = det(gij) = (HlH2H3)2. (2.6.4)
Обратная матрица дгэ тоже является диагональной, и ее элементы
вычисляют следующим образом:
Vg^ = 4- = -л=- (2-6-4а)
■"а уУаа
И?
Введем единичные (ортонормированные) векторы локальных базисов га
?* = £rl=raV9^· (2-6.5)
/
где длины векторов базиса обозначены как
|г I _ (г .« \1/2 _ / ч1/2 _ег
|ха| — \La lol) — \Уаа) — ло>
|га| = (rQ · г")1/2 = (gaaY/2 = —= = -J-. (2.6.6)
В силу того, что
5ааГ° y/toZ rQ = f, (2.6.7)
получаем, что единичные векторы базиса гаиг° совпадают.
Очевидно также, что
rQ · гβ = г" ·rg =0, α # /3, (2.6.8)
VSW #/3/3
т. е. базис rQ действительно является ортонормированным.
Векторы базиса rQ направлены по нормали к координатным поверхностям
Ха = const и по касательным к координатным линиям Ха в сторону их
возрастания.

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 171
2.6.2. Физические компоненты тензора
Произвольные векторное поле а и поле тензора второго ранга Τ в
пространстве £3 можно представить в ортонормированном локальном базисе ri
следующим образом:
з з
а = alYi = Σ аал/д^га = а% = αιτ1 = ^ _^ψ* = £-r\ (2.6.9)
α=\ α=1
3
α=\β=\
= TijY1 ® rj = TjTi <g) rj. (2.6.10)
Здесь введены компоненты вектора а1, а* и тензора Ти, Т^·, Тг- в
ортонормированном локальном базисе г$:
—о. о: / -^ "·α
CL — CL у/даа > αα
' 9аа
(2.6.11)
(2.6.12)
v9a.OL
V у/д^ ^9ββ Ρ РЧ 9ββ
или с использованием параметров Ламе
а? = ааНа, аа = ^, Та? = Τα?ΗαΗβ, Ταβ = -^-. (2.6.13)
Определение 2.6.1. В пространстве 8% компоненты Ти тензора второго
ранга Τ и компоненты а? вектора а в ортонормированном локальном
базисе гi называют физическими.
Из (2.6.12) следует, что физические компоненты Г*·7', Ту и Тг- совпадают,
также как совпадают и компоненты Ту', Ту- и Тг· в ортонормированном
декартовом базисе ё;.
2.6.3. Символы Кристоффеля в ортонормированном локальном базисе
Если координаты Хг ортогональны, то дц и дгз — диагональны, и формулы
(2.2.10) для символов Кристоффеля в этой системе координат примут вид
α φ β, α, β = 1,2, 3,
так как дар = 0 при α φ β.

172
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Напомним, что по повторяющимся греческим буквам суммирования нет.
Переходя к параметрам Ламе даа = Н%, даа = 1/#а> получаем
При другом сочетании индексов имеем
fod9W ^9ββ\ _ 1 αα^ββ _ 1 ®Ηβ _ ΗβδΗβ
ββ ~ 29 \ 3Χβ дХк) ~ 2 дХа ~ 2Η2 дХа ~ Η2 дХа'
(2.6.16)
При полностью совпадающих индексах из (2.2.9) находим
■ра —п^а (9 Ука _ ™9θίθί \ 1 gg и9аа 1 uHq, (О f\ ]7\
аа ~ 29 \ дХа дХа) ~ 29 дХа ~ НадХа' [ ]
При всех неравных индексах символы Кристоффеля равны нулю:
Τβι~29 1^П+^~да-°· (2'ЬЛ7а)
Итак, получили следующие выражения для символов Кристоффеля
второго рода:
га _ _\_дНа_ га _ _ Щ_ ®Щ_ ра _ _\_дНа_ (9(\]R\
αβ Ηα3Χβ' ββ Н2адХаУ аа НаЭХа' ^-о.ю;
Иногда, особенно при явной (т. е. покомпонентной) записи формул в
ортогональном базисе, удобно использовать следующее обозначение для
производных от параметров Ламе:
Ηαβ = δΗα/δΧβ. (2.6.18а)
2.6.4. Производные от векторов
ортонормированного локального базиса
Часто в различных задачах необходимо иметь значения производных от
векторов ортонормированного локального базиса θτα/ΟΧβ. Вычислим их,
используя определения (2.6.6) и (2.2.1):
дга д /та \ 1 дга 1 дНа J_ / 1 дНа \
3χβ 3χβ \hJ на 3χβ Hi 3χβГа на V αβ на 3χβ a)Tm'
(2.6.19)
Используем свойства (2.6.18) символов Кристоффеля:
Ш* = 1Г^ " ludtf) IT/* + Γ«βΊΓ/β = Η^Γβδχ*Τβ> α^β> (2'6·20)
зха \ аа на зха) наГа^ на Τβ + на Τί Щ3χβΤβ н2 эх^*Ί'
7 (2.6.21)

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 173
Слагаемые в скобках равны нулю в силу (2.6.18). Возвращаясь снова к
ортонормированному локальному базису, окончательно имеем
&га/дХР = ^-(дЩ/дХа) τβ, α^β,
drJdX* = ~(дНа/дХР)т0 - -±τ(δΗα/δχ-ν)τΊ, (2.6.22)
Ηβ ΗΊ
а Φ β Φ 7 Φ α·
Обе эти формулы, очевидно, можно объединить в одну
&=t{1kw*»-ikwfr'*h а^-ш (2·6·23)
7=1
2.6.5. Градиент вектора в ортонормированном локальном базисе
Вектор а из 5J, согласно (2.6.9), всегда можно представить в
ортонормированном локальном базисе rQ:
з
а = αιτι = ^2 ^οία, аа = аа/На. (2.6.24)
а=1
Запишем формулу (2.2.23) для градиента вектора V ® а в базисе rQ,
используя (2.6.7), (2.6.24):
з
V®a = г
и _ да ν^4 ία Λ да
® τ =7 -τ
dxk A^ F
α=1
3
dxk ^ #* зхс
α=1
= Σϋ§^^+Σ|3.°^· (2-6-25)
α,/3=1 α, 7=1
Во вторую сумму подставим формулу (2.6.23), поменяв в ней предварительно
индексы круговой перестановкой: a —> j, β —> a, 7 —> β, тогда получим
3 3
1 да β ν-^ αΊ / 1 дНа _ 1 ΘΗΊ
(2.6.26)
α, /3=1 7=1
Учитывая свойство символа δαΊ, окончательно получаем
**■ = t (i^-£%il+^E^g)-^· (2-6-27)
a,/3=1 7=1

174
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Для дальнейшего анализа введем обозначения
з
_ 1 дар αα дНа w _ 1 γ^ αΊ дНа (С) fi ~~.
ααβ ~ ΊΓαωτ ΗαΗβ8χβ' αα ~ 1Га ^ ηί дх^ { ]
7=1
тогда компоненты градиента вектора можно представить в виде
з
V<g)a= ^2 {ααβ + δαβαα)τα®ΐβ· (2.6.29)
α,β=\
2.6.6. Ротор вектора в ортонормированном базисе
Приведенный выше для градиента вектора вывод полностью сохраняется,
если знак ® заменить на знак векторного произведения χ, поэтому для ротора
вектора имеем
da 3
V X а = Тк X —^ = Σ (α<*/? + δαβ&α) Га Χ Г β. (2.6.30)
αβ=\
Поскольку rQ χ rQ = 0, a ra χτβ = r7 (α, β, η образуют четную
подстановку), то в этой сумме ненулевыми являются слагаемые только при α φ β.
Это означает, что второе слагаемое в скобках вообще пропадает. Тогда
з
ν х а = Σ (αα^ ~ α/?α)^7' αφβφηφα, (2.6.31)
7=1
где при каждом η индексы α, β, η образуют четную подстановку.
Подставляя вместо ααβ их выражения (2.6.28), после приведения
подобных слагаемых окончательно получаем
ν-=^Σ(«-^)*7?7. (2.6.32)
7=1
2.6.7. Дивергенция вектора
Для дивергенции вектора воспользуемся формулами (2.2.39) и (2.6.4), в
результате получим
з
v'a=a^ = ^£d^W· **e*i**· (2·6·33)

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 175
2.6.8. Градиент скаляра
Градиент скаляра, определяемый по формуле (2.2.15), согласно формуле
(2.6.5), имеет следующие физические компоненты:
^ = ^ = Σ^^ = Σ^. (2-6.34.)
где
дХ1 ^На дХс
φα = — ^-. (2.6.346)
ψα На дХа ν ;
2.6.9. Лапласиан скаляра
Если в формуле (2.6.33) в качестве а выбрать градиент скаляра а = νψ,
то получим формулу для лапласиана скаляра
з
^ = 7'^=жЕ^(те)· **β*1**- (2.6.34b)
2.6.10. Линейный тензор деформации над вектором а
Используя определение (2.2.36) линейного тензора деформации над
вектором а и складывая формулу (2.6.29) со своей транспонированной, получаем
! ! 3
ε = - (V <g> a + (V <g> а)т) = - ^ (ααβ + αβα + 2δαβάα) τα®τβ. (2.6.35)
<*,β=1
Если обозначить физические компоненты этого тензора как εαβ, то с учетом
обозначений (2.6.28) имеем
з
ε= Σ εαβΤα®τβ, (2.6.36)
α,β=\
где
1 даа , 1 дНа^ 1 дНс
Γβ^αβ + Έ^
£аа на дха + нан0 δχβαβ + ΗαΗΊ дх^а7'
*«=¥Мк)+¥.МЮ· (2-6-37)
2.6.11. Дивергенция тензора
Тензор второго ранга Τ в ортонормированном локальном базисе г; можно
представить в виде (2.6.10).

176
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Вычислим наиболее часто применяемую операцию — дивергенцию тензора
Τ в базисе rQ. Воспользуемся формулами (2.3.156) и (2.6.13):
V Τ ' д
(V9T^) = Ι £ gfs (A J2 fafifi) . (2.6.38)
Д = Я1Я1Я3.
Преобразуем это выражение с учетом формулы (2.6.23)
дифференцирования векторов базиса Τβ, в результате получим
ν·τ4Σέ(έ4ν
α,β=\
3
+ х Σ wjAw^^-w^^h^^^' <2·6·39>
α,β=1
3 . _ . _ 3
где
^ 4 έ (^ (^)+Д № - f-§0) · (2·6·4°)
α=\
Если расписать явным образом все девять слагаемых в сумме (2.6.39), то
выражение (2.6.40) можно также представить в виде
1 / д ~ д ~ д ~
+ ΗβΤΊα-τ^ - Ηβ-^Ταα + Ηα-^ΤΊβ - Η<*-^Τββ) (2.6.41)
(два слагаемых в (2.6.39) в скобках при а = η взаимно уничтожаются).
Часто в МСС, особенно при численных расчетах, возникает
необходимость сохранения дивергентности выражений (2.6.39) в физических
компонентах, т. е. чтобы все функции в V · Т, кроме у/g, стояли под производными
д/дХг. Это можно сделать, если вновь обратиться к форме (2.6.38) и перейти
от физического базиса г; к декартову ej с помощью якобиевой матрицы Q3i:
Ti = QJi ej. (2.6.42)
Тогда, подставляя (2.6.42) в (2.6.38) и вынося ej за знак производной,
получаем
V-T = J. Σ^(£ Σ^Κ (2-6.43)
α,7=1 \ /3=1 /

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 177
2.6.12. Ротор тензора
Найдем физические компоненты ротора тензора Т, используя определение
(2.3.16), свойство (2.3.20) и формулы (2.6.5), (2.6.12) перехода к физическим
компонентам тензора:
VxT-i eijkrk ® -^т(тДг) =
ι 3 f) 3
= Δ Σ Яа^га®^(Я7Х)г7Ргр). (2.6.44)
а,/3,7=1 р=1
В силу свойств символов Леви-Чивиты, в этой формуле вместо суммы по
всем трем индексам α, β, η можно оставить сумму только по одному индексу,
например, по а. Тогда, учитывая, что еа(31 = —еа7/3, можно переписать
формулу (2.6.44) в виде
з
V х Т = i Σ (αβΊΐ* ® (^ΗΊΤΊΡνρ) - -±^{Щ%ртр)), (2.6.45)
α,/9=1
αφ β φ η φ α.
Вычислим производные, стоящие в скобках, используя формулу (2.6.23):
——β(ΗΊΤΊρΥρ) = ——β(ΗΊΤΊΡ)Υρ + ΗΊΤΊρ——β =
з
~Ш^[ Ί Ίρ)Τρ+ Ί ΊΡ^\ΊΓβΜ^ βω~ΚΜ^ ρβΓω~
3 -^
_ У^ГдЯ7Т7Р£ ι it τ (δβωδΗβ δρβ дНр\\ (9 п лсл
- 2^[ θχβ 6<*> + М'*1'"{нрдХ<> ΗωΘΧ»)\' l j
ω=1
Поменяв местами в этой формуле индексы η ^> β, получим выражение
д л
для производной ——(ΗβΤβρΤρ). Подставляя оба эти выражения в формулу
(2.6.45), приходим к окончательному выражения для ротора тензора
з ^
M = VxT= Σ Μαωτα®γω, (2.6.47)
α,ω=1
где
Μαω
з <~· -^
1 V^ tJ ^7 Γ ί 8ΗΊΤΊρ ( ΘΗβΤβρ \ χ
Ρ=ι

178
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
, иг (δΡ" dff/з δΡβ дНр \ и - (δΊω 8ΗΊ δΡΊ дНр\\ / су η л ял
+ п^р\НрдХр ншдх") ηβ1βρ\Ηρθχ^ нидх")Г ^b'46j
α Φ β Φ 7 Φ α·
Явные выражения для компонент Μαω, вычисленные по формуле (2.6.48),
приведены в упр. 17 к § 2.6.
Очевидно, что компоненты транспонированного ротора тензора в
физическом базисе являются компонентами матрицы Μωα, транспонированной к
Μαω (2.6.48):
з ^
V χ Ττ = Σ Μωατα®τω. (2.6.49)
α,ω=\
2.6.13. Лапласиан вектора
Выберем в качестве тензора Τ градиент вектора Τ = V ® а, дивергенция
такого тензора дает лапласиан вектора а. Найдем его компоненты в базисе rQ:
з
Aa = V-V<g>a=^ c7r7. (2.6.50)
7=1
Используя формулы (2.6.39) и (2.6.40), где в качестве TQ7 следует взять
aQ7 + £Q7aQ, получаем
-!ν^_?_/Ά ^ Δ ( дЩ дНр\\
с7 - Δ L· [дХр \нрару + ΈρΈ, \а^дх^ appdxv) +
+ ^^7(ЯаЯ/3а7), α φβφΊ + α, (2.6.51)
где аР1 и а7 определяют по формулам (2.6.28). Явные выражения для
компонент с7 приведены в упр. 16 к § 2.6.
2.6.14. Тензор несовместимости
Для того чтобы найти физические компоненты тензора несовместимости,
определенные формулой (2.5.32), следует представить этот
дифференциальный оператор второго порядка в виде суперпозиции ротора и
транспонированного ротора, т. е.
Ink Τ = V χ Μτ, Μ = V χ Τ,
(2.6.52)

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 179
а затем дважды воспользоваться формулами (2.6.47) и (2.6.48). В результате
получаем физические компоненты оператора несовместимости
з
η = Ink Τ = Σ Vap rQ Θ τβ, (2.6.53)
α,β=1
где
Vc
3 -~~ -~~
_ ^c/ ^αβΊ\(3ΗΊΜΡΊ ΰΗβΜρβ\χ
д<уи дНу др<у дНр
Η ρ дХр Ηω dXL
(2.6.54)
а компоненты Мп вычисляем по формуле (2.6.48). Явный вид физических
компонент ηαω для трех важнейших ортонормированных базисов приведен в
упр. 19 к §2.6.
2.6.15. Дивергенция тензора третьего ранга
В заключение запишем в физических компонентах дивергенцию тензора
третьего ранга 3Т = Tumr; ® tj ® гт:
N = V · 3Т = Σ Νβι*β ® *
/3.7=1
Используем для этого формулу (2.3.25):
з
(2.6.55)
V· 3T = ^i(^T^mr^rm) = i^^(A ΣΐαβΊτβ®τ.
ΐν^ а /δ
α=1 ~ /3,7=1
(2.6.56)
Раскрывая скобки и учитывая формулы (2.6.23) дифференцирования векторов
ортонормированного базиса, получаем
д / А
χ Σ
α,/3,7=1
3
-==-T,
α/37 J
Г/3 Θ r7+
+Σ^,
ρ=ι
:/37
1 <9Яа г 1 5Я/3
'Orvn
ΗβδΧβ ap НрдХр
δαβ)*ρ®*Ί +
+^§f^-£s^)f'ef')]· (2-6-56a)
Подставляя (2.6.56а) в (2.6.55) и производя замену индексов, находим
компоненты

180
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
_3
N* = i Σ [^ (έ^)+ #S^ (f/
_Т дН*\ I А
αοη3Χβ) Н„Н.
βθίΊ3Χα
дНа
a-LJ.<y
νΊβαΜ^ ~ ^αβα~ωΒ) ' (2·6·57)
Упражнения к § 2.6
Упражнение 1. Используя определение (2.6.3) и результаты упр. 4 к § 2.1, показать,
что в декартовых координатах Ха = ха параметры Ламе — единичные: #ι = #2 —
= #3=1» в цилиндрических координатах имеют вид: #1 = 1, #2 — г, Hi = 1,
в сферических координатах #1 = 1, #2 = г, #3 = rsin$.
Упражнение 2. Показать, что матрица производных Ηαβ, введенная по формуле
(2.6.18а), для декартовых координат Ха = ха является единичной:
Ηαβ = 0,
для цилиндрических координат отличен от нуля только элемент #2ΐ = 1, поэтому
/о о о\
(На0) = 1 0 0 ,
\о о о/
а для сферических координат отличны от нуля элементы
#2ΐ = 1, #3i = sin$, #32 = rcosu,
поэтому
/О О 0N
(#Q/3) = 1 0 0
ysin ϋ r cos ϋ 0y
Упражнение 3. Показать, что для цилиндрической системы координат (см. пример
2.1.9 и упр. 1, 3, 4 и 5 к § 2.1) ортонормированный базис rQ имеет вид
γι = ег = cos φ ei + sin φ ёг, гг = е^ = — sin φ ё\ + cos 0 ёг, ?з = ег,
причем в каждой точке Μ вектор ег направлен вдоль радиальной полупрямой,
соединяющей ось Οζ и точку ΛΊ, вектор е^ — по окружности вокруг оси Oz, ae2-
вдоль прямой, параллельной Οζ (рис. 2.6.1).
Упражнение 4. Показать, что для сферической системы координат (см. пример
2.1.10 и упр. 2, 3, 4 и 5 к § 2.1) ортонормированный базис га имеет вид
г ι = er = sin $ cos 0 ei + sin $ sin 0 ёг + cos$ ёз,
?2 = &u = cos # cos 0 ei + cos$ sin 0 ёг — sin # ёз,
r3 = e0 = - sin 0 ei + cos 0 ёг,
причем в каждой точке Μ вектор er направлен вдоль радиальной полупрямой,
исходящей из начала координат, вектор е#
по касательной к параллели (рис. 2.6.2).
по касательной к меридиану, a eq

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 181
X3
s
' "Чс
ζ
'
>
e<t>
χ
Рис. 2.6.1. Ортонормирован-
ный базис в цилиндрической
системе координат
Рис. 2.6.2. Ортонормированный
базис в сферической системе
координат
Упражнение 5. Используя формулу (2.6.23) и результаты упр. 1 и 2, показать, что
для цилиндрической системы координат отличны от нуля только следующие
производные от векторов ортонормированного (физического) базиса:
дег
~дф
= е,
деф
~дф
— θΓ,
для сферической системы
дег дег . Q де-э де-э Q деф Q
Упражнение 6. Показать, что формулу (2.6.32) для ротора вектора можно записать
в виде символического определителя
rot a =
1
Н\Н2Н$
Н\е\ Я2е2 Я3е3
д/дХ1 д/дХ2 д/дХ3
Н{а\ Н2а2 Ща3
Упражнение 7. Показать, что формула (2.6.32) для ротора в декартовых координатах
имеет вид
_ (да,2 даг\ _ . ( да\ даг\ _ . ( да\ <9аг\ _
-дх дх
в цилиндрических координатах
_ _ 1 (daz _ дгаф\ /даг _ daz
г \ дф dz ) V dz дг
\ , 1 /дгаф даг\
а в сферических координатах
V χ а
= _!_(
rsinu \
δ^ιηΰαψ) да$
д-д
дф
ег+
+
1 / 1 даг д(гаг)\ 1 /д(га-&) даг\
г Vsin$ дф дг ) г \ дг д-д )
Упражнение 8. Показать, что формула (2.6.33) для дивергенции в декартовых
координатах имеет вид
__ да , да , да
V а= —г Η 2 Η з'
дх дх дх

182
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
в цилиндрической системе координат
τ-τ 1 <9 , ч . 1 даф daz
гот г оф OZ
а в сферической системе координат
Упражнение 9. Показать, что градиент скаляра Vy>, согласно (2.6.34а), в декартовых
координатах имеет вид
з
Vc/? = 2_]фаёа, φα = θφ/θχα, а =1,2,3,
а=1
в цилиндрических координатах его физические компоненты имеют вид
δφ Ι δφ δφ
φ*=*· φ*=τ Έφ· ψζ = Ίϊ·
а в сферических координатах
δφ 1 δφ 1 δφ
от гот/ r sin ι? αφ
Упражнение 10. Показать, что формула (2.6.34в) для лапласиана скаляра ^ в
декартовой системе координат имеет вид
<9(χ')2 <9(х2)2 <9(х3)2
в цилиндрической системе координат
,2 , с»2
^ ГОТ V ОТ У ^r2 <90 + ^2'
а в сферической системе координат
Упражнение 11. Показать, что формулы (2.6.37) для компонент линейного тензора
деформации εαβ в декартовой системе координат имеют вид
— О&а. ι о о
£аа — ~К а & — ^ > А "»
1 (да\ да,2\ _ 1 ( да\ да^\ _ 1 (δα<ι δά^\
εη = 5Кё? + i?J· ει3 = 215? + 5?J· ε23 = 2<^ + 5?λ
в цилиндрической системе координат
_ даг _ 1 δαψ ar _ daz ~ _ δαζ даг
от г оф г oz or OZ

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 183
2£ =}-^+rJL (?±) 2с z = даф | * да*
гф г дф дг \ г J ' φζ dz r дф '
а в сферической системе координат
_ даг _ 1 да-э аг
or r οϋ г
_ 1 даф ar atfCtg ϋ ~ _ 1 даг да$ а$
г sin it" дф г г г г д$ дг г
0 даф , 1 даг <и о 1 да# , 1 ^аФ 1 + о
2ефг = -^- + ^^^-^г - —, 2ε0^ = —— —- + --~f - -a0ctg tf.
ОТ Г Sin 17 Оф Г Г Sin 17 (70 Г ΟΌ Г
Упражнение 12. Показать, что в декартовой системе координат формулы (2.6.40)
для компонент 67 дивергенции тензора второго ранга Τ имеют вид
Ь = дТа[ I дТа2 I дТа3
дх дх дх
в цилиндрической системе координат
1 дгТгг . 1 дТфг dTzr Тфф
г дг г дф dz r
, 1 5гГг^ 1 <9Т<^ 5Г20 Г^г , 1 5гГг2 1 дТ^
^0 = 5 1 οΊ ' Б 1 ' °ζ — Б ' ~я1 г-
дТ
zz
г дг г дф dz г г дг г дф dz
а в сферической системе координат
К = -г д-(^ Тгг) + —^-т —(sin^T^r) + -^- '
rl дг rsmv \dv σφ / г
, 1а/2т u ι / а ,. ,™ ч , агф*\ , Tor-r^ctgι?
h l д ( ϊτ \ . l (д (,\ ^ \ _i_ ^«λ ι ^r+T^ctgi7
6* = 7o~r{r Тгф) + ^ Ш8штф) + "af J + ; ·
Упражнение 13. Показать, что формулы (2.6.28) имеют явный вид
_ 1 даа _ аа дНа _ ι о Ч
_ 1 <9аг αϊ дН\ _ 1 0ai аг <9#г
αΐ2 " Ж 5F " Жщ дх~2' а21 ~ н~2 дх~2 ~ Жщ дх1,
_ 1 да,2 αϊ дН\ _ 1 0αι аз дН$
а13 " яГ 5F " ад 5F* аз1 " щ Ъ~х~ъ " я^з aF'
_ 1 0аз аг 0Яг _ 1 дач аз 9Яз
а23 " Яг 53? " Я2Я3 5F' а32 " Щ ~дХ~ъ " Я2Я3 53?'
αι ~ Я, \дНхдХх ' <ЭЯ2<9Х2 ' 0Я3ах3
_ 1 / αϊ дН\ аг 0Я[ аз 0Я[ \
" яТ ν дт ох1 дщ 53? дщ Ъх1)'
w _ 1 / αϊ дН2 аг 0Я2 аз 0Я2 \
0,2 ~ Я2 Ья, дХ{ дН2 οχ* + ая3 дХЧ '
w _ 1 / αϊ 0Я3 аг 0Я3 аз 0Я3 \
аз " я3 Ья, ах1 <эя2 ах2 0я3 ах3/'

184
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Упражнение 14. Показать, что в цилиндрической системе координат матрица ααβ
(2.6.28) и аа имеют вид
«ι ι α\2 а\з
(ααβ) = [ θ2ΐ α22 о,2з | =
α3ι α32 a33j
/ даг
дг
1 даг αψ
г дф г
. даг
даф
дг
1 даф
г дф
даф
~dz~
а\ = О, а2 = аг/г, а3 = 0,
а в сферической системе координат
(ααβ) =
/ даг
дг
1 даг а-э
г д$ г
1 даг
да-э
дг
1 да$
аф
1 да± _ а±с{ ΰ
rsin$ дф г rs'mu дф г
daz \
дг
1 daz
г дф
daz .
dz '
даф \
дг
1 даф
г¥
1 да^
rsin$ дф '
а\ = 0, а2 = ar/r, α3 = (ar/r) + (a<j/r)ctg tf.
Упражнение 15. Показать, что формулы (2.6.51) имеют явный вид
Cl = s(eF№Ji3eil) + 5р(Я'Язй21) + ^з(Я'Я2й31) +
+ Щ{о\2Н\2 ~ а22Я21) + #2(αΐ3#13 - 033-^31) + 777й"№Я3а1Н,
1 / Λ Λ Λ
°2 = Δ (^т(Я2Яза12) + ^№^зй22) + ^з(Я1Я2а32)+
+ ——2{Н\Ща2) + Н\(а2зН2з ~ 033Щ2) + Щ(а<2\Н2\ - αιιΗη)),
ι / Λ Λ Λ
°3 = Δ (^"(Я2Яза1з) + -^2{Н\Нза2з) + -^з(Я1Я2а33) +
+ -—з(Я1Я2а3) + Я1(а32Я32 - а22Щз) + Я2(а31Я31 - ац#1з))
Здесь использованы обозначения (2.6.18а).
Упражнение 16. Показать, что в декартовых координатах лапласиан вектора имеет
компоненты
с7 = Δ α7, где Δ =
в цилиндрических координатах
аг 2 даф
д1
+
д1
+
д1
д(х{)2 д(х2)2 д(х3)2
, 7=1,2,3,
Ааг к к
г2 г2 дф '
Л аф 2 ааг Л
сф = Ааф f + -9 -дх» сг = Даг,
где
Δ =
<9г2
+ 1^ +
1 д1
+
а2
rdr г2 дф2 dz2'

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 185
а в сферических координатах
с = Δα - ^ - ?^cte ϋ — ^
r r r sin 47 °Ψ
a$
c$ — Δα# - 2 . 2
7- —-
C0 = Ααφ -
2cosi9 da<t> 2 da
r sin # r sin"
αψ 2cosi9 да$
г2 du'
2 <9ατ
г sin $ г sin" ιΰ дф r sin 0 дф'
где
<9
2 5
1 д1
Δ= ^г + - Т^ + ^Т ^ +
ctg ΰ д
дг2 г дг ' г2 а^2 ' г2 м
+
а2
г2 sin2 ΰ дф2 '
Для доказательства этих формул воспользоваться одним из следующих способов:
1) подставить в формулы выражения для ααβ и аа из упр. 13;
2) подставить в выражения для компонент 67 из упр. 12 компоненты Ταβ = ααβ +
+ дарйау где ααβ и άα взяты из упр. 13; после всех подстановок переобозначить
θ/γ на С/у.
Упражнение 17. Показать, что явный вид компонент Μρω ротора тензора в
физическом базисе
з
Μ = V Χ Τ = Σ Μ<*β*<* ®ί/3,
α,β=1
вычисленных по формуле (2.6.48), таков
Μ 1 (дНг% дН2%
Мп н2щ \ ах2 дхг
м22 =
м33 =
1
1 (дИ,%2 _ дЩТзЛ
дХъ дХ[ )
(дН2% дН{Т{Ъ
ΗιΗ2 \ дХ'
дХ'
+
+
+
Ни /9 Н2\ ^
123 - тт тт ^32»
Н\2
Н\Н2
Н2г
Н2Н$
Н\Н2
^31 - тт тт ^13»
Н2Н$
Τχ2-
■^2Ь
Н\Н$
Μ
12
1 (дНъТъ2 дН2Т22 ~ ~
= тт тт п„9 ГТТч г Щз133 + ^32-* 23
н2нг \ дх
дХс
М2\ =
1 fdHiTn дНгТг{
Н\Нг V дХ
дХ]
- #13^33 - #31^13
м13
= 1 (дЩПг _ дН2Т2г _
н2нг \ ох'
дХс
#23^32 - #32^22
М31 =
м23 =
1
(дН2Т2\ дН\Т\\ ~
V дХ1 дХ2
ПхИ2 V 0Х1
1
2^22
Н\Нг V ах
dH\T\z яЯ3Г3з . „ ^ . „ ^
i Η Ή 13-^31 + Щ\1\\
дХ'
М32
1 ( дН2Т22 дН\Т\2 и π тт
— тт тт ^.,1 —о ^*2mi — -л.
я,я2 V ах1
&Г
2^21
+
+
+
Н2\
Н2Н
Н2\
Н\Н2
Ηз\
Η$Η\
Η\ζ
Н\Н$
#32
Н$Н2
#23
Н2Н$
■Ϊ31,
^32,
Т2Ь
^23.
fi2,
Γΐ3·

186
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Упражнение 18. Показать, что в декартовых координатах формулы для компонент
ротора тензора (см. упр. 17) имеют вид
Мц = 731,2 - 721,3, М22 = 7l2,3 - ^32,Ь Щз = 723,1 - 7Ί3,2,
М\2 = 7з2,2 — 722,3. ^21 = Гц,з - Хз1,1» ^13 = ^33,2 ~ 723,3»
Щ\ = 721,1 - 7Ί ι,2, Μ23 = Γΐ3,3 - 7зз,Ь М$2 = ^22,1 - 7Ί2.2-
Здесь и далее обозначены частные производные
f =Ш f _ $U
J3>i — о г ' JJ>™ ~
дхг "J' дх1дхк
в цилиндрических координатах компоненты ротора тензора имеют вид
М_ ^ dTzr _ дТфг _ ΤΖφ ,, _ дТГф _ дТгф
г оф oz г oz or
МдТфг 1 дТгг . Τφζ , , 1 дТгф ОТфф Tzr
zz — ~~о ШГ "" ' Мгф — БТ Б ' '
or г оф г г оф oz г
МО 1 гг 01 zr ι/ 01 фф 1 01гф , ■*■ фф J-rr
Фг = ~а Б—» Μζφ = —Б БТ~ "" '
oz or ^ or г оф г
dTrz _ dTzz д , _ дТфг _ 1_ дТгг . ТфГ — ТГф ** _ ^ dTzz _ ΟΤφΖ
oz or or г оф г г оф oz
Μφζ = ^-^, Mzr = ^^---^+^r лг\ Mrz = -
oz or
а в сферических координатах
w _ 1 /дsinдТфГ _ дТ$г\ Т#ф - Тф$
г sin ΰ \ dz дф ) г
л j * &Ггв 1 дгТф# ctg ϋπ лж 1 <9 sin rT^ 1 лт, яд
М^ = —т-^ -— -^ Тгф, Мфф = 5 ^ όΤΤφόϋ,
Г Sin 47 (70 Г ОГ Г Г ОГ Г
Л/Г 1 (дъ\п$Тф$ дТ$$\ ТфГ . ctg ^^
r sin ϋ \ οϋ оф J г г
Л/Г 1 дТгг 1 дгТфг ТГф Л/Г 1 дгТ-эг 1 <9ТГГ Тг^
Л«0г = :—η ~^2 Б » Мфг — Б БТ~ Η »
г sin г/ σ0 г or г г or г οϋ г
Л/Г 1 fdsinΰΤφφ дТ#ф\ T#r ctg ϋ ^
r sin ν \ οϋ оф J г г
Л/Г 1 /5ГГ^ 1 <9Т<^\ Trr ctg i?^ n, 1 5гГ^^ 1 <9Trtf
Мфф = —:—г I —тг— ^— Ι Η 1 ir0, M0^ = 5 τ: ·
г sin г/ \ Оф г or / г г г or г οϋ г
Упражнение 19. Используя результаты упр. 18 и формулы (2.6.52), показать, что в
декартовых координатах компоненты тензора несовместимости η = Ink T имеют вид
Vl\ = 722,33 + ^33,22 ~ №з + ^32),23» ??22 = ^11,33 + ^33,11 ~ №з + ^3l),13»
^733 = 7Ί 1,22 + 722,11 - (7*12 + 72ΐ),ΐ2,
^?12 = (^13,2 + ^32,1 - ^12,3),3 _ ^33,12, ^?21 = (Ώΐ,2 + 723,1 ~ ^21,з),3 ~ ^33,12,
^?13 = №з,1 + ^12,3 - ^13,2),2 ~ ^22,13» Щ\ = (^32,1 + 721,3 ~ ^31,2),2 ~ 7^22,13»
^723 = №з,2 + 721,3 - Ϊ23,ΐ),1 - Гц,23, ^?32 = (Гз1,2 + Γΐ2,3 ~ Гзг.О,! ~ Гц,23,
гг

§ 2.6. Дифференцирование в ортогональных криволинейных координатах 187
а в цилиндрических координатах
I d2Tzz \dTzz д2Тфф 1(д(Тфг+Тгф) d(Tzr + Trz)\
Vrr г2 дф2 г дг + dz2 r\ дгдф + дг )'
_ d2Tzz d2Trr d2(Trz + Tzr)
Щф дг2 dz drdz
}_д_(дТфф\ 1 d2Trr _ ±дТгг _ }_д_( д(ТГф + ТфГ)\
Vzz г2дг\ дг ) + г2 дф2 г дг г2дг\ дф )'
ч2лг. 1 о2г
Vrz г2 дгХ дф ) г дгдф г2 да2 rdrV dz J r
1 дТг
дф J г дгдф г2 дф2 г дг V dz ) τ dz
1 dTrr
' rr
Vzr г2 дгУ дф ) г дгдф г2 дф2 гдгУ дг ) + г dz '
= -<L(\<LrT ) \ 1 д (гдТгф) | 1дТфг | д (ldTzA 1 &т*
ф дгхгдг z ) г дг\ дг ) г дг дг\г дф ) г дгд
= -д_(1д_гТ ) | 1 д (гдТфг) | 1дТгф | д (1дТгЛ 1 д2т-
дг\гдг ) г дг\ дг / г дг дг\г дф ) τ дгдф'
= I <92Ггг | д2Тгф 1дТф1_д_/]_дТ11\ _ д2Тгф
г дгдф дтдг г дг дг\г дф ) дг2
= I dTzr | дТФ* \дТгф д /ldTzz\ д2Тфг
г дгдф дтдг г дг дг\г дф / дг2
Упражнение 20. Показать, что формулы (2.6.57) для физических компонент
дивергенции тензора третьего ранга N = V · 3Т имеют явный вид
N" = {(^(^зТиО + ^Я.ЯзГг^ + ^зСЯ.ЯзГзп))^-
+ „ rr (№21 +Т'п2)Я12 - (Г221 +Т212)Я21)) +
+ rr rr (№31 +^113)Я13 - (Тз31 +^31з)Яз1),
+ н н ((Г212 +^22l)^i2 - (Γι ΐ2 + ^121)^12) +
+ ц- „ (№з2 + Г22з)Я2з - (Г332 + Г32з)Яз2),
N33 = l(
(Я2Я3Г133) + —-^(Я^зГгзз) + —з(Я1Я3Г3зз)) +
НХ пХ /
дХ[ ч " " """ дХ^ * " *""" дХ'
+ ц- и ((Г313 +Г33ОЯ31 - (Γι 13 + Г131)Я13))+
+ „ ц- ((Г323 + Г332)Я32 - (Г223 + Г232)Я2з),

188
Глава 2. Дифференциальное исчисление тензорных полей
Ni3 = ^ (^(ЯаЯзГмз) + -^-2(ЩН3Тт) + -±-^ЩН2Тш)) +
+ н н (Τ\23Η\2 -Г22з)Я21) + ^ (№33 ~ Гш)Я1з +
1-пз
+ (Ϊ331 - Г333Я31) + „ „ ((Г312Я32 - Г212Я23),
^31 = ^ (-^(Н2Н3ТШ) + Л-2(НхЩТт) + Λ_(ΗιΗ2Τ33{)) +
+ // я (№и - ^31з)Яз1 + (Γιзз - Гш)Я1з) +
+ ц- ц- (Г321Я32 - Г221Я23 + (Г132Я12 - Г232Я21),
-^23 = д (^т^тт(Я2Я3Г!2з) + -—^{Н\Н3Т223) + —-з(Я1Я2Г32з)^ +
+ ц- ц- (Г231Я21 - Гцз#12) + ц- ц- (Г321Я31 - Г121Я1з) +
Г1\П<1 Г1\П2,
+ „ гг ((Г233 - Г222)Я23 + (Г321 - Г22з)Я32),
^32 = д ^ТТ7г(Я2Я3Г132) + -—^{Н\Н3Т232) + —-3 (Н\Н2Т332)) +
+ и ц- (Г231Я21 - Γΐ3ΐ#ΐ2) + тт тг (Г312Я31 - Гц2Я1з) +
+ ^ ^ ((Гз22 - Гззз))Я32 + (Г233 ~ Г222)Я2з),
^12 = { (^(ЯаЯзГца) + ^(ЩН3ТШ) + -^(НхН2Тш))л-
+ // j/ (№22 - Гш)Я12) + (Γΐ2ΐ - Г222)Я21) +
+ xj гг №32Я13 - Г332Я31) + „ (Г213Я23 - Г31з)Я32,
ti\jtiz п.2Г1ъ
Ν21 = Δ (аХ1^2^3^12^ + ~^2^HlH3Tm^ + ^7з(Я1Я2Гз21)^ +
+ н н (№ll - Г12ОЯ21) + (Γΐ22 - Гш)Я12) +
+ тт и №2зЯ13 - Г323Я31) + „ (Г231Я23 - Г331)Яз2·
ti\jtiz П.2П.2,

Глава 3
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ
Важную роль в МСС играет операция интегрирования тензорных полей
ηΩ(χι), заданных в некоторой области V трехмерного евклидова пространства
£з> либо на двумерной поверхности Σ в 8$, либо на некоторой кривой С из
8$ · Введем эту операцию для тензоров с помощью операций интегрирования
обычных скалярных функций скалярного аргумента.
§ 3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
3.1.1. Длина дуги кривой
Согласно определению 2.1.12, кривая С в пространстве 8$ представляет
собой отображение отрезка [£о>£лг] £ К1 на замкнутую область Vx С 8$
(рис. 3.1.1) и обозначается в соответствии с (2.1.56) следующим образом:
х = х(0> ξο^ξ^ΪΝ, (3.1.1)
или
χ* = χ\ξ), (3.1.2)
Рис. 3.1.1. К определению
кривой в пространстве Е$
где χ — радиус-вектор точек из 8% в прямоугольной
декартовой системе координат Оё;, т. е. χ = хгёг\
ξ — параметр.
За положительное направление кривой С, по
определению, выбираем направление,
соответствующее возрастанию параметра ξ.
Далее всегда будем полагать, что функции
(3.1.2) являются непрерывно-дифференцируемыми на всем отрезке [£o>£iv]> в
этом случае говорят о гладкой кривой С. Иногда рассматривают непрерывные
кривые С, для которых функции (3.1.2) являются только лишь непрерывными
на отрезке [£о>£#] и могут содержать точки недифференцируемости.
Пусть две соседние точки А и Af с радиус-векторами х(£) и χ(ξ + Δξ),
находящиеся на гладкой кривой С, соединены вектором Δχ (рис. 3.1.2):
Δχ = χ(ξ + Δξ)-χ(0· (3-1.3)

190
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Устремляя Αξ —> 0, получаем элементарный радиус-вектор dx, который
связывает бесконечно близкие точки А я Af на кривой С. Из определения dx
следует, что он направлен по касательной к кривой С. Также по касательной
к С направлен и вектор скорости движения по кривой dx/άξ.
Элементарной длиной дуги кривой С назовем скаляр ds, равный длине
элементарного вектора |dx| между бесконечно близкими точками А я Af на
кривой С:
ds = \dx.\ = (dx · dx) ' .
(3.1.4)
Очевидно, что ds является функцией
параметра ξ, тогда можно определить функцию
s(£) как
*ю
ds,
(3.1.5)
Рис. 3.1.2. К определению длины ξ0
дуги кривой
называемую длиной дуги кривой С,
соединяющей точки Д)(х(£о)) и ^(х(0) (расположенные на кривой С уже
произвольным образом) с радиус-векторами х(£о) и χ(0·
Подставляя уравнение (3.1.4) в (3.1.5), получаем явное представление для
длины дуги:
з
1/2
л/dx · dx =
£о
£о
.i=l
άξ.
(3.1.6)
3.1.2. Векторные характеристики кривой
Элементарную длину дуги ds (3.1.4) можно записать в ином виде
cix
ds =
άξ
άξ.
(3.1.7)
С помощью этого соотношения между дифференциалами ds и άξ, можно
перейти от параметра ξ, характеризующего движение по кривой С, к
параметру s — длине дуги. Тогда все характеристики кривой можно рассматривать
как функции длины дуги s. Например, само задание кривой в виде (3.1.1)
можно представить следующим образом:
X = X(s), S\ ^ S ^ S2,
(3.1.8)
ИЛИ
хг = xl(s),

§ 3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
191
где справа стоят, конечно, уже другие функции по сравнению с (3.1.1). Также
от вектора скорости движения по кривой (άκ/άξ) можно перейти к вектору
(dx/ds):
dx. _ dx ds ,~ « Q4
~άξ ~ ~ds~ άξ' У · - )
Вектор
t = dx/ds (3.1.10)
называют единичным вектором касательной к кривой С. Так же как и
(dx/άξ), он направлен по касательной к С, и, в силу соотношения
.t, \dx\ = ds = ^ (3.1.11)
ds ds
действительно имеет единичную длину.
Дифференцируя вектор t no s, получаем вектор кривизны кривой С:
к = ^ = ^. (3.1.12)
ds ds2
Этот вектор ортогонален вектору t. Действительно, дифференцируя по s
соотношение t · t = 1, имеем
^.t + t-^=0, (3.1.13)
ds ds
откуда, в силу независимости скалярного произведения от порядка
множителей, получаем
«•t = 0. (3.1.14)
Поскольку t направлен по касательной к кривой С в некоторой точке А, то
вектор «;, в силу (3.1.13), направлен по нормали к С в той же точке.
Определение 3.1.1. В пространстве 8% кривизной кривой С в точке
А называют длину вектора к в этой точке и обозначают как к.
Выражение для кривизны кривой к через декартовы координаты, согласно
(3.1.12) и (3.1.8), имеет вид
к = \к\ =
Величину
2„ 6 /1^ 2
cfx
ds2
.г=1
= Σ m · (3-1.15)
RL=\/k (3.1.16)
называют радиусом кривизны кривой С в точке А. Из определений (3.1.15)
и (3.1.16) следует, что к и Rl — всегда неотрицательны:
fc>0, RL>0. (3.1.16а)
Единичный вектор
u = Rlk (3.1.17)

192
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
называют вектором главной порхали к кривой
Замечание 3.1.1. Вектор ν, в силу определений (3.1.12) и (3.1.17), можно
представить в виде
(3.1.17а)
. dt f d2x
ds ds2
Поскольку к > О, то из (3.1.17а) следует, что вектор и направлен в ту же
сторону, что и векторы dt/ds и d2x/ds2, т. е. в сторону вогнутости кривой С
в точке А (рис. 3.1.3), поскольку
t(A')-t(A)
ν = к lim
As->0
As
Обратим внимание на то, что направление вектора t (3.1.10) зависит от
направления параметризации x(s) кривой С (т. е. если ввести параметр
s = sq — s, то t(s) = dx/ds = —dx/ds = —t(s)), а направление вектора ν —
нет: ν всегда направлен в сторону вогнутости кривой С.
С помощью ν и t можно построить вектор
b = t χ ιλ
(3.1.18)
называемый единичным, вектором, бинормали. В силу свойства векторного
произведения (теорема 1.2.4), он ортогонален t и ι/, и, в силу (1.2.26),
действительно имеет единичную длину.
t(A>)
Рис. 3.1.3. К определению
направления вектора ν главной
нормали к кривой С
Рис. 3.1.4. Сопровождающий
трехгранник пространственной кривой
В силу свойств (см. упр. 7 к § 1.2) векторного произведения, из (3.1.18)
следуют также формулы
ν — — t χ b, t = ν χ b.
(3.1.19)
Таким образом, в каждой точке А кривой С е 8% определены три взаимно
ортогональных единичных вектора t, v и b из пространства £з» которые
образуют тройку векторов, называемых сопровождающим трехгранником
пространственной кривой С (рис. 3.1.4).

§ 3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
193
Эти три вектора определяют три точки В, С и D е Εξ такие, что
AB = t, AC = u, AD = h. (3.1.20)
Определение 3.1.2. Плоскость П& в пространстве Е$, которой
принадлежат точки А, В и С е Е$, определенные по (3.1.20), называют
соприкасающейся; плоскость Н.„, которой принадлежат точки А, В
и D е Е$, называют спрямляющей, а плоскость Ylt, которой
принадлежат точки А, С и D е Е$, — нормальной.
3.1.3. Кручение кривой
Если вся кривая С принадлежит одной плоскости Π (плоская кривая), то
эта плоскость Π совпадает с соприкасающейся плоскостью Щ. Для плоской
кривой единичный вектор бинормали b постоянен, т. е. не меняет не только
единичную длину, но и направление, поэтому dh/ds = 0.
Для неплоской кривой эта производная отлична от нуля: dh/ds φ 0, и
характеризует отклонение кривой от плоской формы. Поэтому вектор
г = dh/ds (3.1.21)
называют вектором кручения.
Дифференцируя (3.1.18), с учетом (3.1.12), (3.1.21) получаем
r = KXi/ + tx—. (3.1.22)
as
Поскольку векторы к и и, в силу (3.1.17), коллинеарны, то к χ и = 0, поэтому
T = tx^. (3.1.23)
as
По свойству (1.2.24) векторного произведения из (3.1.23) следует, что г
ортогонален вектору t. С другой стороны, поскольку b — единичный вектор,
то, дифференцируя соотношение b-b= 1, аналогично (3.1.13) и (3.1.14),
получаем, что b ортогонален dh/ds = τ. Таким образом, г ортогонален b и
t, следовательно, коллинеарен вектору нормали и:
t = -tis, (3.1.24)
где τ — коэффициент пропорциональности.
Определение 3.1.3. Коэффициент пропорциональности τ между вектором
кручения τ и вектором ν главной нормали к кривой С, взятый с обратным
знаком, называют кручением кривой С.
В отличие от кривизны /с, кручение τ может быть как положительным,
так и отрицательным. Обратную к нему величину
Rt=\/t (3.1.25)

194
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
называют радиусом кручения. Найдем выражение для кручения т.
Умножая (3.1.24) скалярно на ι/, с учетом (3.1.23) имеем
τ
= -(txJ).„. (3.1.26)
Подставим в (3.1.26) вместо ν его выражение (3.1.17) через вектор
кривизны к:
d{Rn) (dR г>^к\
г = — t χ -Ц—- · Rk
\ ds ds /
-R^(txK)-K-R2(tx^).K. (3.1.27)
ds \ ds /
Поскольку вектор (t χ к) ортогонален «;, то первое слагаемое в (3.1.27) равно
нулю. Второе слагаемое в (3.1.27) преобразуем согласно свойству смешанного
произведения векторов (см. упр. 6 к § 1.2):
r = R2(txK).^. (3.1.28)
ds
Подставляя в (3.1.28) вместо t и к их выражения (3.1.10) и (3.1.12) через
радиус-вектор х, имеем
,2 /αχ (Γχλ d3x
ds ds2 J ds1
т = #[!£хЦ\.Ця (3.1.29)
Заметим, что смешанное произведение в (3.1.29) представляет собой объем
параллелепипеда, построенного на векторах dx/ds, d2x/ds2 и d3x/ds3,
поэтому (3.1.29) можно представить в виде
r = JR2det(g). (3.1.30)
3.1.4. Формулы Френе
Формулы Френе позволяют выразить производные от векторов
сопровождающего трехгранника через сами векторы t, b и v. Из (3.1.12) и (3.1.17а)
следует первая формула Френе
dt/ds = kv. (3.1.31)
Из (3.1.21) и (3.1.24) вытекает вторая формула Френе
dh/ds = -ru. (3.1.32)
Дифференцируя первую формулу (3.1.19) с учетом (3.1.31) и (3.1.32),
получаем
dvjds = — kv χ b + rt χ v. (3.1.33)

§ 3.1. Кривые в трехмерном евклидовом пространстве
195
Еще раз используя формулы (3.1.18) и (3.1.19), находим третью формулу
Френе
dv/ds = -kt + тЪ. (3.1.34)
Упражнения к § 3.1
Упражнение 1. Разложим векторы сопровождающего трехгранника t, v и b no
векторам неподвижного декартова базиса ёг:
t = tie1, v = щёг, b = Ьгёг.
Показать, что для декартовых компонент U, Vi и bi имеют место выражения через
компоненты радиус-вектора
г _ dx^_ _ _ J_dV ι _ i dxi d2xj
U~ ds* Щ~ k ds^ bk~ k€ijkds ds*'
Упражнение 2. Показать, что из формул Френе (3.1.31), (3.1.32) и (3.1.34) следуют
уравнения для координат векторов сопровождающего трехгранника:
dti/ds = кщ,
dbi/ds = —тщ,
dvijds = —kti + rbi.
Упражнение 3. Используя формулы Френе из упр. 2, доказать, что если вдоль
кривой С кривизна к = 0, то эта кривая С представляет собой прямую линию.
Упражнение 4. Используя упр. 2, доказать, что если вдоль кривой С кручение г = О,
то эта кривая С является плоской.
Упражнение 5. Показать, что из (3.1.9) выражение для параметра ds/άξ имеет вид
ds/άξ = |х|, где χ = dx/άξ.
Упражнение 6. Используя результат упр. 5, показать, что если кривая С задана в
виде (3.1.1), то из (3.1.16) и (3.1.18) следует выражение для кривизны
к = |х χ х|/|х|3.
Упражнение 7. Показать, что выражение для к, представленное в упр. 6, может
быть также записано в виде
ι ■ м-1 / · -^2
|х||х| -(х-х)
/ν — 5 ·
1*1
Упражнение 8. Используя результаты упр. 5 и 6, показать, что если кривая С задана
в виде (3.1.1), то из (3.1.29) можно получить выражение для кручения
χ χ χ · х
|х χ х|
Упражнение 9. Показать, что для кривой С, представляющей собой винтовую
линию, для которой уравнения (3.1.1) имеют вид
1 9 ^ г\
χ = a cos ξ, χ = a sin ξ, χ = b£, a > О

196
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
(если b > О, это правая винтовая линия; если b < О — левая), длина дуги s
пропорциональна ξ:
s = ξχ/α2 + b2 .
Упражнение 10. Показать, что для винтовой линии кривизна к и кручение г
постоянны:
к = а/(а2 + б2), τ = b/(a2 + б2).
Упражнение 11. Показать, что из (3.1.9) и (3.1.31) следует формула
X = St + -^*Л
называемая формулой разложения ускорения движущейся точки на тангенциальную
и нормальную составляющую.
Упражнение 12. Показать, что плоскую кривую £, принадлежащую координатной
плоскости Ох1х2, можно задать в параметрическом виде (3.1.2)
С: χα = χα(ξ), а =1,2, ξ0 < 4^ 6ν,
или, вводя полярные координаты г, φ по формулам х1 = rcos0, х2 = rsin0, кривую
С можно задать в параметрическом виде в полярных координатах:
С: г = г(£), φ = φ(ξ), ξο<ξ<ξΝ,
или в явном виде в полярных координатах
С : г = г(ф), 0о ^ Φ < Φν·
Упражнение 13. Используя результат упр. 12, показать, что элементарную длину
дуги (3.1.4) плоской кривой можно представить в полярных координатах
ds= VV'2 + г2ф'2 άξ,
где г' = dr/άξ, φ' = άφ/άξ.
Учитывая, что полярные координаты г, φ совпадают с цилиндрическими
координатами г, φ при ζ = const, и используя результат упр. 5 к § 2.6, показать, что для
плоской кривой
χ = г(ф)ег(ф), дег/дф = е^, деф/дф = —ег.
Упражнение 14. Используя формулы (3.1.9), (3.1.10), а также результат упр. 13,
показать, что для плоской кривой С единичный вектор касательной можно представить
в виде
t = (l/VV'2 + rV2)(r'er + гф'еф).

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
197
§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
3.2Л. Поверхности в ££
Согласно определению 2.1.12, поверхность Σ в пространстве 8$
представляет собой отображение области Vx С К2 на область Vx с 8ξ и обозначается
в соответствии с (3.1.56):
х = х(Х1, X2), (Х\ X2)eVx CM2 (3.2.1)
или с помощью трех функций
х1 = х1(Х\Х2), г =1,2,3, (3.2.2)
зависящих от двух аргументов Xх и X2, где Xх и X2 — криволинейные
координаты на поверхности Σ.
Три функции (3.2.2) предполагают однозначными, непрерывными и
имеющими непрерывные производные до второго порядка в некоторой области Vx
изменения аргументов X1, I = 1,2.
Здесь и далее в этой главе заглавные латинские буквы в индексе
пробегают значения от 1 до 2: I, J, К, L = 1, 2, а малые латинские — как обычно
от 1 до 3: г, j, k, I = 1, 2, 3.
3.2.2. Локальные векторы базиса и метрическая матрица
на поверхности
Подобно тому, как в п. 2.1.10 вводились локальные векторы базиса г*
в пространстве 8$, введем два локальных вектора базиса р7, I = 1,2, на
поверхности Σ с 8$ (рис. 3.2.1), определенной формулой (3.2.2):
дх
Ρι =
dXJ
Эти векторы в каждой точке А е Σ с 8$
направлены по касательной к координатным
линиям X1 = const поверхности Σ.
Компоненты локальных векторов р1 в
ортонормированном декартовом базисе ё*
обозначим как р\\
Pi
р}е».
(3.2.4)
Введем метрическую матрицу
поверхности
91j = Pi · Pj, (3.2.5)
(3.2.3)
χ\
^ч(М
/χ
^4^
Χ
ι " ~^*^
Ρ2 χ
Чх2 /
Ας
χ'
χ
Рис. З.2.1. Поверхность в
трехмерном евклидовом пространстве

198
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
которая имеет размер 2x2. Определитель метрической матрицы gjj отличен
от нуля:
д = det (ди) = <?ц <?22 ~ 92\2 Φ °> (3.2.6)
полагаем, что
011 > 0> 022 > 0, дцд22 - 92\2 > °-
Для матрицы ди существует обратная метрическая матрица поверхности
[И
ди = 922/д, д22 = дп/д, t2 = -ml 9* (3.2.7)
gIJ с компонентами
причем
9U9JK = δ'κ, (3.2.8)
где δ1κ — двумерный символ Кронекера
S'K = i°· Ι = Κ· (3.2.9)
к \\, ΙφΚ.
Введем векторы взаимного локального базиса поверхности
p'=g'JPj. (3.2.10)
3.2.3. Вектор нормали к поверхности
Пусть имеется поверхность Σ с 8$, в каждой точке А которой определены
векторы локального базиса на поверхности р7, тогда единичным вектором
нормали η к поверхности Σ в точке А называют вектор
n = (l/y/g)Plxp2. (3.2.11)
Используя определение (1.2.23) векторного произведения, можно показать
(см. упр. 1 к § 3.2), что формула (3.2.11) эквивалентна
n= ,PlXp2,, (3.2.12)
|Pi x P2I
откуда вытекает, что вектор η действительно единичный:
пп=1. (3.2.13)
Используя свойства векторного произведения, получаем, что векторы рх и
р2 ортогональны к п:
η·ρ7 = 0 7=1,2.
Часто в МСС рассматривают случай, когда криволинейные координаты
Xх и X2 на поверхности Σ являются ортогональными, т. е.
9и = Pi Pj = uij.

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
199
Коэффициенты
V:
9с
а
1,2,
аналогичные параметрам Ламе На в трехмерном пространстве, называют
параметрами Ламе поверхности Σ.
Тройка векторов р{, р2 я η в этом случае будет взаимно-ортогональной.
Если же векторы р1 нормировать обычным образом:
Ра Ра Ра ι о /о О 1 Д\
= ψ, а=\,2,
ι ι г~—
\Ра\ У/Яаа
то эта тройка ρλ, р2> п будет ортонормированной.
3.2.4. Кривые на поверхности
Пусть имеется кривая С с 8$, которая целиком принадлежит некоторой
поверхности Σ с 8$. Тогда каждой точке А этой кривой С соответствует
некоторое значение ξ е (£ь£г) и одновременно некоторое значение параметров
{Xх,X2) с Ύχ. Таким образом, для кривой С с Σ имеет место отображение
(£ι&) с
1
которое можно записать в виде
х = х(Х1(0.*2(0)·
VXC
(3.2.15)
Vxc
Рис. 3.2.2. К определению
элементарного радиус-вектора,
связывающего две близкие точки поверхности
Рассмотрим две бесконечно близкие
точки Л и Л7 (см. п. 2.1.10) с радиус-векторами
χ и χ' = χ + cbc, лежащие на этой кривой С
(рис. 3.2.2). Эти две точки являются
началом и концом элементарного радиус-вектора
dx = χ' — χ. Согласно (3.2.1) и (3.2.3), для
dx имеем выражение
dx = pIdXI. (3.2.16)
Длина элементарного радиус-вектора,
согласно (3.1.4), есть элементарная длина дуги ds кривой С:
ds2 = \dx\2 = dx-dx. (3.2.17)
Подставляя (3.2.16) в (3.2.17) для квадрата элементарной длины дуги ds2,
получаем
ds2=gIJdXIdXJ. (3.2.17а)
Определение 3.2.1. Квадратичную форму (3.2.17а) называют первой
квадратичной формой поверхности, а ди — коэффициентами
первой квадратичной формы поверхности в 8$.

200
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
3.2.5. Элементарная площадка поверхности
Рассмотрим точку А на поверхности Σ, ей соответствуют
значения X1 криволинейных координат поверхности: А = А(Х\Х2) и
радиус-вектор х(Хд). Рассмотрим также две бесконечно близкие к А точки
A\(Xl + dXl,X2) и А2(Х\Х2 + dX2), которым соответствуют элементарные
радиус-векторы άκα = AAat a= 1,2.
Согласно (3.2.3), для dxa имеют место соотношения
dxa = padXa, о; = 1,2 (3.2.18)
(здесь суммирования по а нет).
Ориентированной элементарной площадкой поверхности Σ с 8£ в точке
А называют вектор άΈ (рис. 3.2.3), определяемый как векторное произведение
элементарных радиус-векторов dxa:
άΈ = άχι xdx2. (3.2.19)
В силу свойства (1.2.24) векторного произведения, вектор άΈ ортогонален к
с?ха, а = 1,2, и поэтому коллинеарен вектору п:
(ΙΈ = ndE, (3.2.20)
где η — единичный вектор нормали к поверхности Σ в точке А.
Рис. 3.2.3. К определению элементар- Рис. 3.2.4. К определению
элементарной площадки поверхности ного вектора нормали
Коэффициент пропорциональности άΣ в формуле (3.2.20) называют
площадью элементарной площадки.
Подставляя (3.2.20) и (3.2.18) в (3.2.19), получаем
ηάΣ = Pi х p2dXldX2. (3.2.21)

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
201
С учетом определения (3.2.11) вектора нормали, из (3.2.21) находим
(1Т> = лД dXldX2 (3.2.22)
— выражение для площади элементарной площадки άΣ.
3.2.6. Вторая квадратичная форма поверхности
Для двух близких точек поверхности Μ и М' с радиус-векторами χ и
х' = χ + dx рассмотрим векторы нормали η и η' = η + dn к поверхности
Σ (рис. 3.2.4), где dn — элементарный вектор нормали, определенный по
аналогии с (3.2.16):
dn = n/dX7, (3.2.23)
где
n7 = дп/дХ1 (3.2.24)
— производные вектора нормали, а п рассматривают как функцию координат:
п = п{Х\Х2).
Составим скалярное произведение dn и dx; с учетом (3.2.16) и (3.2.23)
имеем
-dx · dn = bIJdXIdXJ. (3.2.25)
Здесь введено обозначение для скалярного произведения
Ьи = -Pl - nj. (3.2.26)
Определение 3.2.2. Выражение (3.2.25) называют второй
квадратичной формой поверхности, а Ьи — коэффициентами второй
квадратичной формы.
Представим выражение (3.2.26) для Ьи в несколько ином виде. Вспомним,
что векторы р7, определенные в некоторой точке «М, направлены по
касательным к кривым на поверхности Σ, совпадающим с координатными линиями
X1 = const. Тогда р7 будут ортогональны вектору нормали п, проведенному
из той же точки, т. е.
Ρι · η = 0. (3.2.27)
Обозначим вторую производную от радиус-вектора как
'» = !£ = айо- (3·2·28)
Тогда, дифференцируя (3.2.27) по XJ, получаем
Ри'п = -Pi' nJ = bu> (3.2.29)
или с учетом (3.2.28)
Ьи = д* . · п. (3.2.30)

202
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Из этого выражения, очевидно, следует симметричность коэффициентов
второй квадратичной формы поверхности Ьи.
Подставим в (3.2.29) вместо η его определение (3.2.11), тогда выражение
для коэффициентов Ьи примет вид
Ьи = (1/\/Ю Ри · Р\ х Р2 (3.2.31)
3.2.7. Тензоры и псевдотензоры на поверхности
Рассмотрим кроме координат Xх на поверхности Σ еще одни
криволинейные координаты Х,г. Тогда в каждой точке Μ поверхности имеем два
локальных базиса pj и р\, связанных соотношением
p'j = (дХк/дХ")Рк.
две метрические матрицы ди и g'jj = р\ · p'Jy между которыми существует
связь
д'и = (dXK/dX") {dXL/dX'J)gKL,
и два набора коэффициентов второй квадратичной формы:
Ьи = -?Ч - Г^> «и = —P4j ' 4^4-г (3-2-32)
дХ^Х-7 |ρι χ РйГ dX'tdX'3 ΙρΊ χ Ρ2Ι v ;
Вычисляя по этим формулам детерминанты g и gf, находим
s/ψ = (1/|Δ|) y/lj, Δ = det (dXfI/dXK).
Векторное произведение р\ χ ρ'2 преобразуем с учетом определений
(1.2.23) и (3.2.4):
./ „ _/ - н >з^к_ дх' dxj ьдХ1 дХ^
Р\ х Р2 = UjkPiPi^" = еф-^1-^1^^г\^12
дХ1 dXJ дХп дХ'
дХ1 dXJ 1
Здесь учтено, что ра χ ра = 0 (а = 1,2). Подставляя полученное соотношение
в выражение для b'IJy получаем формулы преобразования при переходе к
новой системе координат
, |А| д2х дХК dXL Рх χ р2 А дХк dXL η 9 W
°IJ Δ dXKdXL дХ'1 dX'J ' \ру χ р2\ |Δ| дХ'1 dX'J KL' { ]
Согласно введенной в п. 1.7.2 классификации, скаляр yfg является
относительным тензором веса ω = — 1, а коэффициенты второй квадратичной
формы образуют симметричный псевдотензор второго ранга, определенный на
поверхности Σ:
В = Ъир1 ®pJ = bIJpj <g) pj. (3.2.34)

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
203
Метрический тензор на поверхности Ε определяют по аналогии с Е:
Ё = 9UP1 ® р3 = gIJPi ® Pj·
3.2.8. Деривационные формулы
Выше в каждой точке поверхности Σ была определена тройка векторов
рх, р2, п, которую называют сопровождающим трехгранником
поверхности. Деривационные формулы Гаусса — Вейнгартена описывают изменение
векторов сопровождающего трехгранника.
Рассмотрим эти векторы
dpj/dXJ = pjj и nj = dn/dXJ.
Их всегда можно разложить по векторам какого-либо базиса, например, по
сопровождающему трехграннику:
Ри = Г^Рк + Ьип, (3.2.35)
П/ = cjpj + d7n, (3.2.36)
где f|j, bu, cj и di — коэффициенты разложения. Установим вид этих
коэффициентов.
Умножая (3.2.35) скалярно на п, в силу ортогональности р1 и п, получаем
Ри-п = Ъи. (3.2.37)
Сравнивая (3.2.37) с (3.2.29), находим, что Ъи — это коэффициенты второй
квадратичной формы: _
Ьи = Ъи. (3.2.38)
Умножая (3.2.35) скалярно на pL, с учетом (3.2.5) и (3.2.27) получаем
Pu-PL = ru9KL = riJL. (3.2.39)
Продифференцируем теперь (3.2.5)
Pil Pj + Pi Pjl = dgu/dXL. (3.2.40)
Меняя местами в (3.2.40) индексы J <-> L, получаем
Ри Pl + Pi Pjl = dgIL/dXJ. (3.2.41)
Если поменять местами в (3.2.40) индексы I <-> L, то
Ры Pj + Pl Pji = dgjb/dX1. (3.2.42)
Учитывая симметрию p7J, из (3.2.39)-(3.2.42) находим выражение для
коэффициентов Γ/jl:
1 f&qiL , dgJL dgTJ
(
^ _ ^j = г (3.2.43)
dXJ ax7 dXL ' u L v ;

204
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Если сравнить (3.2.43) с выражением (2.3.14) для символов Кристоффеля
Гуь то увидим сходство этих формул с точностью до замены трехмерных
индексов на двумерные. Таким образом, коэффициенты Tul (3.2.43)
естественно определить как двумерные символы Кристоффеля первого рода.
Символы второго рода находим умножением соотношения (3.2.43) на
обратную метрическую матрицу:
ГЬ = rIJLgLK = ЬШ (Щ + Щ~ Щ) . (3.2.44)
IJ иьу 2у ydxj 9χΙ dxLj ν ,
Умножая формулу (3.2.36) скалярно на η, получаем
n7 · η = άι. (3.2.45)
Однако, поскольку η · η = 1, то
η7 · η = 0, (3.2.46)
поэтому
аг = 0. (3.2.47)
Наконец, умножая (3.2.36) на рк, получаем
Щ-Рк = cJi9jk- (3.2.48)
Используя определение (3.2.26) коэффициентов Ъ\к, из (3.2.48) выражаем с/:
с/ = -gJKbKI = -bJj, (3.2.49)
где bj — смешанные коэффициенты второй квадратичной формы.
Подставляя (3.2.38), (3.2.47) и (3.2.49) в (3.2.35), (3.2.42), получаем
следующую теорему.
Теорема 3.2.1. Изменение векторов сопровождающего трехгранника
описывается следующими соотношениями для производных:
Pu = r?jPK + bun, (3250)
П/ = -bjpj.
Соотношения (3.2.50) называют деривационными формулами, первая из
которых была установлена Гауссом, а вторая — Вейнгартеном.
3.2.9. Ковариантное дифференцирование на поверхности
Заметим, что для трехмерного пространства символы Кристоффеля Г^·
вводились, согласно (2.3.1), как коэффициенты разложения производной
dri/dXi по локальному базису г;, а формула (2.3.9) связи Г^· с метрической
матрицей д^ была установлена в виде следствия.
Для двумерной поверхности аналогичное разложение (2.3.1) не
существует; как следует из деривационных формул (3.2.50), двумерное дифференциро-

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
205
вание локальных векторов базиса pj приводит к разложению по трехмерному
базису pj, п. Поэтому за определение двумерных символов Кристоффеля
Tfj более естественно принять формулу (3.2.44), являющуюся в точности
аналогом трехмерного соотношения (2.3.9), тогда деривационные формулы
(3.2.50) будут их следствием. Это и было проделано в п. 3.2.8.
Далее, с помощью двумерных символов Кристоффеля можно определить
ковариантную производную от компонент вектора на поверхности Σ.
Определение 3.2.3. Ковариантной производной на
поверхности от контравариантных и ковариантных компонент вектора
называют величины
V/aJ = j£+ fjKaK, V,aj = J^ - f fjaK, (3.2.51)
а от контравариантных и ковариантных компонент тензора второго
ранга — величины
f)TIJ
УкТи = ^ + r'KLTJL + VKLT
IJ _ {^__ , Р/ WL , W ^IL
дХ1
дТи
дХ1
ЧкТи = ££ - TLKITLJ - TLKJTLI. (3.2.52)
Здесь αϊ и TIJ — компоненты вектора и тензора на поверхности:
а = αιρ1 = a1 pj, Τ = Тир1 <8> pJ = TIJpj <8> pd. (3.2.53)
Аналогично определяют ковариантные производные на поверхности от других
компонент.
Если в соотношениях (3.2.52) в качестве Τ взять метрический тензор
Е, то получим формулы, являющиеся аналогом формулы Риччи (2.4.12) в
трехмерном случае.
Теорема 3.2.2. Ковариантная производная на поверхности от компонент
метрического тензора на поверхности равна нулю:
VKgIJ = 0, Vk9ij = 0, Vk9 = 0, (3.2.54)
Доказательство этой теоремы оставим в качестве упр. 3 к § 3.2.
Дифференцирование векторов и тензоров на поверхности отличается от
трехмерного случая. Действительно, например
да. _ d(aJpj) _ da1 /
эх* - ~ω^ ~ dx*Pl + a PlK ~
= Ίϊ^κΡι + а1(ГшРь + biKn) = (Vxa7)p7 + a7b/xn, (3.2.55)
о X
т. е. частная производная от вектора а на поверхности уже не является
«вектором на поверхности».

206
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
3.2.10. Условия интегрируемости
Вернемся к деривационным формулам (3.2.50) и посмотрим на них как
на систему дифференциальных уравнений относительно векторов
сопровождающего трехгранника р/,п. Очевидно, что эта система будет
переопределена: она содержит пять векторных уравнений относительно трех векторных
неизвестных, значит ее решение существует не всегда. Поскольку система
имеет первый порядок производных относительно р7, п, то условием ее
интегрируемости будет равенство вторых смешанных производных:
д2Р1 д*Р1
dXJdXK dXKdXJ
д2п д2п
дХ1дХк дХкдХ1'
Вычислим эти производные. Дифференцируя (3.2.50), получаем
(3.2.56)
(3.2.57)
дх~кРи = ^wPl + HjPlk + ^n + bunK, (3.2.58)
д dbj uJ
di*ni = -di*Pj-blPjK-
Подставляя сюда выражение для pLK и ηχ из (3.2.50), находим
д§кРи = (§ + fbf йс - bub^j Рм + (Ц^ + fjfjbuc) n, (3.2.59)
-к + гЬкЪ?) Рь ~ bibjKn. (3.2.60)
дХ1
Подставляя теперь формулу (3.2.59), а также (3.2.59) с заменой индексов
J <-> К, в условие интегрируемости (3.2.56), получаем уравнение, которое
должно выполняться при любых рм и п. Тогда, приравнивая коэффициенты
при рк и η нулю, записываем условие интегрируемости (3.2.56) в виде
gl + Г£,Г& - f|f - ГИ = Ъ„Ь% - bIKbf, (3.2.61)
§£-|Ρ + Γ^-Γ^ = 0. (3.2.62)
В результате подстановки (3.2.60) в (3.2.57) и приравнивания
коэффициентов при ρj и η нулю находим вторую группу условий интегрируемости:
J^f - U + f JMKbf - Г « = 0, (3.2.63)
bibjK - bibj, = 0. (3.2.64)

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
207
Введем обозначение
RkjiM = f^ " f# + f"f™ - f 'K^J- (3·2·65)
Компоненты RKjjM являются компонентами тензора 4R четвертого ранга
на поверхности Σ (см. упр. 16 к § 3.2), называемого тензором кривизны
поверхности или тензором Римана — Кристоффеля
4R = RKJIMpK ® pJ ® ρ1 ® рм = Rkjimpk ® ρ3 ® ρ1® рм·
Полностью ковариантные компоненты тензора кривизны Rkjil вычисляем
путем умножения (3.2.65) на метрическую матрицу:
Rkjil = Rrji IJml- (3.2.66)
С учетом (3.2.65), (3.2.66), формулы (3.2.61) можно представить в виде
ЬиЬкь - bixbjL = Rkjil- (3.2.67)
Уравнения (3.2.62) с учетом определения (3.2.52) ковариантной производной
и симметрии символов Кристоффеля Tjfcj = TjK принимают вид
УкЬи - VjbIK = 0. (3.2.68)
Отметим, что (3.2.67) содержит всего одно тождественно не равное нулю
уравнение _
Ь?2-ЬцЬ22 = Д1212, (3.2.69)
а (3.2.68) — два таких уравнения
Vib/2-V2b/i =0, /=1,2. (3.2.70)
Уравнение (3.2.69) называют уравнением Гаусса, а (3.2.70) — уравнениями
Петерсона — Кодацци.
Рассмотрим две оставшиеся группы условий интегрируемости (3.2.63) и
(3.2.64). Уравнения (3.2.64) выполняются всегда, при любых комбинациях
индексов, в чем можно убедиться непосредственно, перейдя к ковариантным
компонентам
9JM(biMbJK ~ ЬкмЬл) = 0. (3.2.71)
В уравнениях (3.2.63) также перейдем к ковариантным компонентам Ьи.
Произведем дифференцирование по частям и сгруппируем слагаемые следующим
образом:
(дЪ1М дЪКм\ mj , и ( ®9 ι t^J ~lm\
)9MJ + bIL(^w + riiKg
дХк дХ1 /У \дХ
'LJ
^J ~LM
-Ъкь[^г + Г"М1ГМ 1 = 0. (3.2.72)

208
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Учитывая свойства (3.2.54) метрической матрицы, преобразуем выражения в
скобках во втором и третьем слагаемых:
||ί + Г JMK~9LM = -rLMKgJM, (3.2.73)
тогда (3.2.72) будет иметь вид
& ~ w+^шЬкь ~f Wb/t) 9'м = α (3-2J4)
Сравнивая (3.2.74) с (3.2.62), заключаем, что условие интегрируемости
(3.2.74), а значит, и (3.2.63) удовлетворяются, если только выполнены условия
(3.2.62).
Таким образом, условия (3.2.63) и (3.2.64) не вносят никаких новых
уравнений дополнительно к уравнениям Гаусса и Петерсона — Кодацци (3.2.69),
(3.2.70), и мы доказали следующую теорему.
Теорема 3.2.3. Необходимыми и достаточными условиями
интегрируемости деривационных формул (3.2.50) относительно векторов
сопровождающего трехгранника р7, η являются уравнения (3.2.69) и (3.2.70).
3.2.11. Основная теорема теории поверхностей
Зададимся теперь вопросом о возможности определения самой
поверхности по известным функциям первой и второй квадратичных форм. На
этот вопрос положительно отвечает следующая основная теорема теории
поверхностей.
Теорема 3.2.4. Пусть заданы дважды непрерывно дифференцируемые
функции
9и = 9и(Х\Х2) (3.2.75)
и один раз непрерывно дифференцируемые функции
Ъи = Ъи(Х1,Х2), (3.2.76)
для которых выполнены условия интегрируемости Петерсона — Кодацци
(3.2.70) и Гаусса (3.2.69), а также условие положительной определенности
9ιΛιϋ > 0, ξ2 + ξ22 φ 0 (3.2.77)
для всякого ненулевого вектора ξι, тогда существует поверхность в К3
х = х{Х\Х2) (3.2.78)
трижды непрерывно дифференцируемая, для которой ди и Ъи являются
коэффициентами первой и второй квадратичных форм.
Эта поверхность определена с точностью до перемещения в пространстве
как жесткого целого.

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
209
▼ Для доказательства теоремы воспользуемся результатами п. 3.2.10, из
которых следует, что если выполнены условия интегрируемости (3.2.69) и
(3.2.70), то деривационные уравнения (3.2.50) имеют решение относительно
функций pj и п, причем р1 обладает симметричной производной:
dPl/dXJ = dpj/dX1. (3.2.79)
Если теперь на (3.2.3) посмотреть как на систему уравнений относительно
функций х(Х1,Х2), то опять получим переопределенную систему первого
порядка. Ее решение существует, если функции р7, считающиеся
известными, удовлетворяют условию (3.2.79). Но это условие действительно
выполнено, как было отмечено выше, таким образом, существует вектор-функция
(3.2.78), определяющая поверхность в трехмерном евклидовом
пространстве. А
3.2.12. Векторы нормальной и геодезической кривизны
Пусть имеется некоторая кривая С на поверхности Σ, заданная
параметрически как функция длины дуги:
x = x(X1(s),X2(s)). (3.2.80)
Используем аппарат, разработанный в § 3.1, для описания кривых в
пространстве. Продифференцировав (3.2.80) по s, получим вектор касательной к
кривой С:
Дифференцируя еще раз, находим вектор кривизны кривой С:
dt dX1 dXJ d2X! ,0 0 ооч
K = T = Pij-^—^ + Pi—r- 3.2.82
ds 1J ds ds L ds2
Здесь мы учли формулы (3.2.3) и (3.2.4).
Теорема 3.2.5. Вектор кривизны к кривой на поверхности всегда
можно однозначно представить в виде суммы двух ортогональных
векторов, называемых вектором нормальной кривизны кп и вектором
геодезической кривизны к9 (рис. 3.2.5):
к = кп + Kg. (3.2.83)
Здесь
К"п — кпп, κ9 = kgTi x t, (3.2.84)
a kn и kg — некоторые коэффициенты.
▼ Для доказательства утверждения (3.2.83) достаточно показать, что все
три вектора к, η и η χ t лежат в одной плоскости, тогда они являются линей-

210
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
но зависимыми, и один из них
действительно можно выразить через два
другие. Но все эти векторы ортогональны
вектору касательной t: вектор нормали
η — по определению ортогонален
любому вектору из касательной
плоскости Et, в том числе и вектору t;
вектор к = dt/ds ортогонален t согласно
(3.1.14); а η χ t ортогонален t в силу
свойств векторного произведения. Тем
самым, действительно, векторы п, к и
(η χ t) лежат в одной плоскости, а
значит, разложение (3.2.83) имеет место. А
Определение 3.2.4. Плоскость, содержащую вектор нормали η и вектор
касательной t к кривой £, называют плоскостью нормального
сечения поверхности.
Заметим, что поскольку кривая С на поверхности была выбрана
произвольно, то через фиксированную точку Μ поверхности можно провести
сколько угодно таких кривых. Следовательно, в одной и той же точке Μ
существует бесконечное множество плоскостей нормального сечения, каждая
из которых проходит через один и тот же вектор нормали η и различные
векторы касательной t.
3.2.13. Нормальная и геодезическая кривизны кривой на поверхности
Выражая к через вектор нормали и к кривой С, запишем (3.2.83) в виде
ku = knii + kgii χ t. (3.2.85)
Умножив (3.2.85) скалярно на вектор η или (nxt), получим связь кривизны
К С Κγι И n,q.
kn = kcose, (3.2.86)
kg = к sin (9, (3.2.87)
cos0 = (i/-n), sin0 = v -(nxt), (3.2.88)
где θ — угол между соприкасающейся плоскостью кривой С в данной точке
и плоскостью нормального сечения.
Таким образом, из (3.2.86) и (3.2.87) становится понятным смысл
коэффициентов кп и кд\ они характеризуют кривизну кривых, являющихся
проекциями кривой С на плоскость нормального сечения и соприкасающуюся
плоскость в данной точке М.
Рис. 3.2.5. К теореме 3.2.5

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
211
Определение 3.2.5. Коэффициенты в представлении (3.2.85) называют:
кп — кривизной нормального сечения или нормальной кривизной,
a kg — геодезической кривизной кривой С на поверхности (3.2.86).
Радиусом нормальной кривизны гп и геодезической кривизны rg называют
обратные к кп и к9 величины
гп = l/kn, rg = \/кд. (3.2.89)
Замечание 3.2.1. Из формул (3.2.86) и (3.2.87) следует, что кп и кд, а также
гп и гд, могут иметь как положительные, так и отрицательные значения, в
зависимости от знака cos# и sin#. Напомним, что кривизна к кривой всегда
неотрицательна (см. замечание в п. 3.1.2).
Поскольку для фиксированной кривой С направление ν всегда
фиксировано (совпадает с направлением вогнутости кривой С), то в зависимости от
ориентации нормали η поверхности из (3.2.86) получим либо положительные
кривизны кп, либо отрицательные. Правило определения знака кп и гп
следует из (3.2.88): если проекция нормали η к поверхности на нормаль и к кривой
С положительна, то cos# > 0 и кп > 0, гп > 0, если же нормаль η выбрана
так, что η · ν = cos# < 0, то кп < 0 и гп < 0.
Формула (3.2.86) составляет содержание следующей теоремы.
Теорема 3.2.6 (Менье). Нормальная кривизна кп поверхности, которую
имеет кривая С на плоскости нормального сечения равна кривизне к этой
кривой, умноженной на косинус угла Θ.
Из этой теоремы следует, что если провести через данную точку Μ
кривой С плоскость наклонного сечения, проходящую через вектор касательной
t и составляющую некоторый угол cos0r с плоскостью нормального сечения,
то кривизна к' наклонного сечения будет связана с кп формулой
кп = к'соъв'. (3.2.90)
Получим еще одну формулу для нормальной кривизны кп. Подставляя
(3.2.88) и (3.2.82) в (3.2.86):
кп = kv · η = — · η = pjj · η— -—, (3.2.91)
as as as
а затем выражая p7J · η, согласно (3.2.29), через bu, a ds2, согласно (3.2.17а),
через ди, находим
Таким образом, пришли к следующему утверждению.
Теорема 3.2.7. Кривизна кп нормального сечения поверхности Σ в точке
{Xх, X2), плоскость которого проходит через бесконечно близкую точку
этой поверхности с координатами (X1 + dXl, X2 + dX2), равна отноше-

212
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
нию второй и первой квадратичной форм, построенных на приращениях
координат dX1.
Очевидно, что меняя направление касательной в данной точке (Х\ X2)
(т. е. меняя значение dX1), получаем различные значения кп.
Обозначая вторую квадратичную форму как
ά2φ = budXldX\ (3.2.93)
формулу (3.2.92) можно записать в виде
кп = d2ip/ds2. (3.2.94)
Можно также представить (3.2.92) следующим образом:
(Ьи - kngIJ)dXIdXJ = 0. (3.2.95)
3.2.14. Главные кривизны поверхности
Таким образом, в каждой точке поверхности Μ существует
бесконечно много нормальных кривизн кп, но оказывается среди них существуют
две преимущественные кривизны. Для их установления рассмотрим тензор
второй квадратичной формы В (3.2.34) с коэффициентами Ьи. Поскольку
В является симметричным тензором второго ранга и определен на
поверхности (т.е. в двумерном пространстве), то, согласно § 1.5, у него имеется
два действительных собственных значения к\ и к2 и собственный базис из
двух взаимно-ортонормированных векторов р7, т. е. В можно представить в
диагональном виде:
2
В - Ъир1 ® pJ = Σ к«°Ра ® °Ра, (3.2.96)
1° I 1
причем |р7| = 1.
Определение 3.2.6. Кривые на поверхности Σ, векторами касательной
о
t к которым являются векторы pj, называют главными
направлениями.
Если известны коэффициенты квадратичных форм bjj и #/j в каком-либо
базисе р1, то собственные значения ка тензора В находим из
характеристического уравнения
det (В - каЕ) = 0 или det (bu - kagu) = 0, α= 1,2, (3.2.97)
или в матричной записи
Ьц - кадп 612 - кад12
Ь\2 ~ кад\2 Ъ22 - кад22
0. (3.2.98)

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
213
Выберем в точке Μ новую локальную систему координат
X1' = XIf(XJ), (3.2.99)
локальный базис которой р'1 совпадает с р1. В этом локальном базисе, в силу
ортонормированности р7, метрическая матрица #7J оказывается единичной:
Ё = д'иР1 ® У, д'и = ρ'ι · p'j = °Pi Pj = */j. (3.2. lOO)
. о
базис ρj также совпадает ср/( а вторая квадратичная форма Ъ13, согласно
(3.2.96), является диагональной:
b'II = kI, Ъ\2 = 0. (3.2.101)
Выберем две бесконечно близкие точки Μ и М\ с координатами (Xй,X2') и
(Xй + dXu,X2'). Тогда, подставляя (3.2.97) и (3.2.101) в (3.2.92), получаем,
что кривизна нормального сечения, проходящего через точки Μ и М\,
вычисляется по формуле
W = b^l = *i- (3.2.102)
Выбирая нормальное сечение, проходящее через точки Μ и М.2 с
координатами (Xй,X2') и (Xй,X2' + dX2'), аналогично находим, что
k(2) = k2. (3.2.103)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3.2.8. Два собственных значения к\ и к2 тензора второй
квадратичной формы В представляют собой кривизны двух нормальных
сечений, плоскости которых проходят через пары бесконечно близких точек
(М,М\) и (Μ,Μ.2), принадлежащих главным направлениям pj
поверхности Σ в точке М.
Определение 3.2.7. Собственные значения ki тензора В к\ и к2 называют
главными кривизнами поверхности.
Таким образом, для каждой точки Μ поверхности Σ с вектором нормали
η существуют две плоскости нормального сечения Σι и Σ2, проходящие через
пары точек (М,М\) и (М,М2), которым соответствуют главные кривизны к\
и к2. Такие плоскости Σι и Σ2 называют главными нормальными сечениями.
Выберем нормальное сечение Σ7, проходящее через бесконечно близкую
к Μ точку М' с координатами (Xх' + dXv, X2' + dX2'), тогда кривизна к„
этого нормального сечения, согласно (3.2.92), будет иметь вид
ки-Ы^'? + 9Шх*Т (3'2Л04)
Поскольку метрическая матрица g'jj — единичная, то вводя угол а
между главным нормальным сечением Σι и сечением Σ7 (рис. 3.2.6), формулу

214
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
(3.2.104) можно записать в виде
кп = к\ cos2 a + &2 sin2 <*. (3.2.105)
где
cos a =
dXv
Ι Μ
Ρ, ^'\ Л
sin о; =
y/(dX1')2 + (<ZX2')2 '
4Σ
yJ(dX1')2 + (<Df2')2
(3.2.106)
Рис. 3.2.6. Нормальные сечения по
верхности
Таким образом, мы пришли к
следующей теореме.
Теорема 3.2.9. Кривизна кп
произвольного нормального сечения поверхности
связана с главными кривизнами поверхности по формуле (3.2.105), которую
называют формулой Эйлера.
Теорема 3.2.10. В направлениях главных кривизн кривизна нормального
сечения поверхности кп принимает экстремальные (максимальное и
минимальное) значения, равные к\ и к2.
Τ Действительно, пусть для определенности к\ ^ к2. Рассмотрим кп как
функцию угла <*, тогда из формулы Эйлера имеем
кп(а) = (к{ - к2) cos2 а + к2. (3.2.107)
Отсюда следует, что
Vc* к2 = кп (^) ^ кп(а) ^ кп(0) = ки
это и доказывает утверждение теоремы. А
3.2.15. Гауссова и средняя кривизны
В п. 1.6.7 было показано, что симметричный тензор второго ранга из
пространства 8% '(£з) имеет три главных инварианта (1.6.64). Аналогично
тензор второй квадратичной формы В, принадлежащий пространству £J[ (£2)»
имеет два главных инварианта:
Я (В) = ^В · Е, К (В) = det (В) = det (&/).
(3.2.108)
Записывая эти инварианты в собственном базисе pj тензора В, из (3.2.96)
и (3.2.100) получаем
2 2
к\ +&2
Я = (1/2) 5>α(Ρα® Ρα)" ΣΦβ®Ρβ) =
(3.2.109)
α=1
β=\

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
215
К = det 1^2 к<*°Р<* ® Ра ] = kih-
Таким образом, доказано следующее утверждение.
Теорема 3.2.11. Инвариант Η тензора второй квадратичной формы В
есть полусумма главных кривизн, поэтому его называют средней
кривизной поверхности, а инвариант К(В) — произведение главных кривизн,
его называют полной (или г а у с с о в о и) кривизной.
Записывая эти инварианты через компоненты тензоров в произвольной
системе координат X1, получаем
Η = 2bu9IJ = 2b/ = 2^11^22 + b229\\ ~ 2bi2#i2),
К = det {bIKgKJ) = 4det (bIK) = ί, (3.2.110)
где
b = det (6/ΛΓ) = 6ιι622-6ι2. (3.2.111)
Напомним, что, согласно уравнению Гаусса (3.2.69), Ъ выражается через
компоненту тензора кривизны i?i2i2» тогда (3.2.110) можно записать в виде
K = -Rm2/9- (3.2.112)
Из формулы (3.2.112) следует теорема.
Теорема 3.2.12 (основная теорема Гаусса). Гауссова кривизна
поверхности К зависит только от коэффициентов первой квадратичной формы
поверхности gjj и их первых и вторых производных.
▼ Действительно, поскольку Л1212» согласно (3.2.65), выражается только
через Tjj и их производные, а символы Кристоффеля, в свою очередь, —
только через ди и их производные, то из (3.2.112) вытекает утверждение
теоремы. А
Из основной теоремы Гаусса следует, что кривизна К поверхности может
быть определена только по измерениям на поверхности без выхода в
трехмерное пространство 8$.
3.2.16. Классификация точек поверхности
Зафиксируем какую-либо точку Μ с координатами (X1, X2) на
поверхности Σ и возьмем произвольную бесконечно близкую к ней точку М' с
координатами (Xх + dX\ X2 + dX2), соединенную с Μ некоторой кривой
С. Кривизну нормального сечения кп, плоскость которого проходит через
нормаль к поверхности в точке Μ и точку М', вычисляют по формуле
(3.2.92). Нас будет интересовать вопрос о значениях кп, если кривую С
выпускать из точки Μ во всех возможных направлениях.

216
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Поскольку в знаменателе (3.2.92) стоит квадрат длины дуги кривой ds2,
то он всегда положителен, и знак кп определяется знаком числителя. В
числителе же стоит вторая квадратичная форма
d2ip = bu(X\ X2)dXIdXJi (3.2.113)
которая при фиксированных значениях X1 и переменных dX1 представляет
собой алгебраическую поверхность второго порядка (тензорную поверхность
Коши) в пространстве (dX\ dX2). Вид этой поверхности зависит от
детерминанта
det [Ьи) = Ь = ЬххЬ72-Ь\2. (3.2.114)
Если Ъ > 0, то знак этой формы при любых значениях dX1 всегда одинаков,
следовательно, кривизна кп любого нормального сечения имеет один и тот же
знак. Такую точку Μ поверхности называют эллиптической.
Если Ъ < 0, то знак формы (3.2.113) меняется при произвольных
значениях dX\ следовательно, в данной точке Μ имеются нормальные сечения
с противоположными значениями кривизны кп. Такую точку Μ называют
гиперболической.
Если Ь = 0, то форма (3.2.113) представляет собой полный квадрат и,
следовательно, кп не меняет знака для всех dX1, т. е. при произвольных
нормальных сечениях. Однако имеется одно положение нормального сечения,
при котором кп обращается в нуль. Такую точку Μ поверхности называют
параболической.
Если Ьи = 0, то кривизна кп для всех dX1 равна нулю, и поверхность
в окрестности точки Μ представляет собой плоскость. Такую точку Μ
называют точкой уплощения.
Точку поверхности, в которой нормальные кривизны кп одинаковы для
всех нормальных сечений, называют омбилической (или точкой закругления).
Для омбилической точки главные кривизны совпадают к\ = к2.
Поскольку д > 0, то, согласно (3.2.110), знак b полностью определяет знак
гауссовой кривизны К, следовательно:
• в эллиптической точке: К > 0;
• в гиперболической точке: К < 0;
• в параболической точке: К = 0.
3.2.17. Линии кривизны
Определение 3.2.8. Линиями кривизны называют такие кривые
χ,=χ(χ](ί). Χ](ξ)), /=1,2, (3.2.115)
на поверхности Σ, направления касательных к которым в каждой точке
совпадают с одним из направлений главной кривизны.

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
217
В (3.2.115) функции Xf(£) обозначают криволинейные координаты X3,
изменяющиеся вдоль кривой в зависимости от некоторого параметра ξ и
соответствующие 7-й линии кривизны. Поскольку направления главной кривизны
соответствуют направлениям собственных векторов р1 тензора В, то имеем
два семейства линий кривизны на поверхности, причем эти семейства взаимно
ортогональны.
Получим дифференциальное уравнение линий кривизны. Согласно
определению этих линий, направление касательной к ним, определяемое вектором
άχ/άξ, пропорционально главному направлению, задаваемому вектором р7,
т. е.
dx dXj о
ϊ—^7-=ΊΡτ> («3.2.По)
dXJ δξ ΙΗΙ ν J
где 7 — коэффициент пропорциональности.
Разложим векторы ηρι по локальному базису р7:
7P/ = A/pJ> (3.2.117)
где λ/ — некоторая матрица коэффициентов.
В силу того, что и р7, и ρj лежат в касательной плоскости к поверхности,
разложение (3.2.117) действительно имеет место. Тогда (3.2.116) с учетом
(3.2.117) и (3.2.3) можно представить в виде
dXj
Οξ
■Pj = Mpj, (3.2.118)
или τ
^- = λ/. (3.2.119)
Это и есть дифференциальное уравнение двух линий кривизны: I = 1,2. Их
также можно записать в виде
их1 λ1
^| = ^|Ξλα, α =1,2. (3.2.120)
Функции λα можно выразить через коэффициенты первой и второй
квадратичных форм. Действительно, для нахождения собственных векторов ра
тензора В имеем уравнение
(В - каЕ) · ра = 0. (3.2.121)
Или в компонентах, используя (3.2.117),
(Ъи ~ kagu)\Ja = 0. (3.2.122)
Независимое уравнение в (3.2.122) только одно, например
{Ьп - кадп)Ха + (Ь12 - кадХ2) = 0. (3.2.123)

218
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Главные кривизны ка являются собственными значениями тензора В и
определяются из (3.2.97):
(Ьп - кади)(Ь22 - кад22) - {ЪХ2 - кад12)2 = 0. (3.2.124)
Выражая из (3.2.123) ка через λα и подставляя их в (3.2.124), получаем
квадратное уравнение для нахождения λα:
{gub\2 -gnbiifii + igwbii -gi\b22)^a + g22b\2 -дпЬ22 = 0, (3.2.125)
решая которое, находим два значения λ ι и \2 через коэффициенты форм ди
и Ъи.
3.2.18. Геодезические линии
Определение 3.2.9. Геодезическими линиями (или просто
геодезическими) называют такие кривые на поверхности Σ, у которых в каждой
точке нормаль к кривой совпадает с нормалью к поверхности.
Уравнение геодезической удобно задать в параметрическом виде (3.2.80).
Получим дифференциальное уравнение геодезической линии.
Из определения геодезической следует, что для нее в каждой точке
выполняется соотношение
η = is,
или
кп = к. (3.2.126)
Воспользуемся разложением (3.2.83) для вектора кривизны к кривой по
поверхности, тогда (3.2.126) можно представить в виде
кп = кпп + кд. (3.2.127)
Поскольку вектор кд ортогонален к п, то из уравнения (3.2.127) следует, что
N,g = kgis = 0, k = kn, kg = 0, (3.2.128)
т. е. вектор геодезической кривизны вдоль геодезической линии равен нулю,
а кривизна геодезической совпадает со своей нормальной кривизной.
Геодезическая кривизна kg также равна нулю.
Подставим в (3.2.127) вместо к его выражение (3.2.82):
P"^rnr+p'-tf- = knn· (3-2Л29)
и воспользуемся деривационными формулами (3.2.35), тогда
~к dX1 dXJ . dX1 dXJ Sx1 . ,0 n , ΟΛ4
τΐ'Ίΰ4Γρκ + b"^^fn + Pl^J- = fc"n· (3-2Л30)

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
219
Учитывая, что для нормальной кривизны кп имеет место формула (3.2.92), в
которой ds2 = gIJdXIdXJt окончательно получаем
*Ξ1 + γ%^*!£ = ο (3.2.131)
ds2 ds ds v '
— дифференциальное уравнение геодезической линии.
3.2.19. Геометрия в окрестности поверхности
Во многих задачах МСС рассматривают такие области V в трехмерном
пространстве ££» У которых один из характерных размеров много меньше двух
других. Такие трехмерные тела называют оболочками, а математически их
удобно рассматривать как окрестность некоторой фиксированной поверхности
Σ, задаваемой параметрически, как и ранее, некоторой вектор-функцией, но
для которой будем в этом параграфе использовать специальное обозначение
Р = Р(Х\ X2), (3.2.132)
где ρ — трехмерный радиус-вектор точки М, принадлежащей поверхности Σ;
X1 — криволинейные координаты на поверхности.
В компонентной записи (3.2.132) имеет вид
р* = ?(Х\ X2). (3.2.133)
Определение 3.2.10. Окрестностью поверхности Σ (3.2.132)
называют трехмерную область Vh в евклидовом пространстве 6%, каждая
точка М' в которой имеет радиус-вектор вида
χ = р(Х\Х2) + Х3п(Х\х2). (3.2.134)
Здесь η — вектор нормали к
поверхности Σ (рис. 3.2.7), проходящей через
точку М'\ ρ — радиус-вектор точки
Μ на поверхности, для которой
построена нормаль п; X3 — третья
координата, отсчитываемая по нормали к
поверхности и изменяющаяся в
некоторой области:
-\<χ>
h
<2·
(3.2.135)
Значение h может быть
константой (h = const), тогда говорят об
окрестности (оболочке) постоянной
толщины; если h — переменная: h =
χ
ζ3
*Н-...
Γ<Ξ> / ^:;;;;ч>
^ ^Of ^ / / ,'
"^>/9^\. хч ' / '
vvC ^v ч ' / '
,/Λ4\44 ///
УХ Ν· \ ч ' / '
JY Ч \ Ч / / /
Уж ^ Ч*. ^' / 1
Jw ^ ^^ \ / /
"УС/У ч \^ ι / /
/ Ρ \ч/
яг
Рис. 3.2.7. К определению окрестности
поверхности

220
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
— h(Xl,X2), тогда говорят, что окрестность (оболочка) имеет переменную
толщину.
Термин «окрестность» подразумевает, что максимальное значение h мало
по сравнению с характерным размером dim Σ поверхности Σ:
max /ι «dim Σ, (3.2.136)
где под dim Σ понимают, например, наибольшее расстояние между любыми
точками поверхности Σ.
Полагаем, что область Vh является односвязной (если таковой является
поверхность Σ) и не содержит самопересечений: действительно как бы ни
была искривлена поверхность Σ, надлежащим выбором параметра h всегда
можно добиться требуемых свойств для Vh.
Таким образом, если радиус-вектор р(Хх,Х2) точек поверхности Σ
зависит только от двух координат, то радиус-вектор х(Хг), г = 1,2,3,
определяемый по (3.2.134), зависит уже от трех координат, но специальным образом.
3.2.20. Векторы локальных базисов и метрические матрицы
в окрестности поверхности
Применим к соотношению (3.2.134) аппарат, рассмотренный в гл. 1.
Дифференцируя (3.2.134) по X1 (г = 1,2,3), с учетом определений (3.2.3) и
(3.2.24) получаем
*i = j£i=Pi + xW (3.2.137)
Используя деривационные формулы (3.2.50), преобразуем (3.2.137) к виду
ti = Pl- Xhjpj = (ί/ - Xhj)pj. (3.2.138)
Дифференцируя (3.2.134) по X3, имеем
r3 = n. (3.2.139)
Формулы (3.2.138), (3.2.139) определяют векторы основного локального
базиса в окрестности поверхности.
Перемножая г/ и yj скалярно, получаем компоненты трехмерной
метрической матрицы в окрестности поверхности:
ди = г/ · rj = {δ? - Χ%?)(δ5 - XhLj)gKL = gu - 2X3bu + (X3)2b?bKJ,
gI3 = r7 · r3 = (<J/ - Xh^pj · η = 0, ди = r3 · r3 = η · η = 1. (3.2.140)
Здесь мы воспользовались формулой (3.2.27).
Формулы (3.2.140) показывают, что д^ выражаются через коэффициенты
первой и второй квадратичной форм поверхности Σ.

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
221
Свойство (3.2.136) «малости» окрестности поверхности является
основанием для использования здесь и далее линейного приближения по координате
X3, при котором слагаемые при (X3)2 и выше отбрасывают. Например,
метрическая матрица в линейном приближении имеет вид
9u = 9iJ-2X3bIJf 0/3 = 0, 0зз=1· (3.2.141)
Определитель g метрической матрицы gij вычислим, используя свойство
(3.1.84):
у^ = (π х г2) · η = (δ{ - X3b\)(Si - X3bJ2)(Pl x Pj) · η.
Учитывая, что ρα χ ρα = 0, а также определение (3.2.11) вектора нормали
Р\ х Р2 = \/#п> получаем
у/д = у/3{1- ХЩ + (X3)2(b\b22 - b\b\)).
Переходя, согласно (3.2.110), к инвариантам Η и К, окончательно имеем
у/д = у/^{\- 2Х3Н + (Х3)2К). (3.2.142)
Компоненты обратной метрической матрицы дг^ в окрестности
поверхности при сохранении только линейных по X3 слагаемых определяют по
формулам
gIJ = gIJ + 2X3bIJ, g13 = 0, д33 = \, (3.2.143)
которые проверяют непосредственным вычислением
9U9JK = (9IJ ~ 2X3bu)(gJK + 2X3bJK) =
= Sf + 2X3(gubJK - gJKbu) = Sf. (3.2.144)
Векторы взаимного базиса гг в окрестности поверхности, используя
линейное приближение по X3, вычисляем следующим образом:
г7 = g"rj = (g,J + 2X3b")(Sf - X3bf)pK = (# + X3b'j)pJ. (3.2.145)
Трехмерный метрический тензор Е в окрестности поверхности, имеющий
компоненты д^, в локальном базисе гг ® г7 можно записать в линейном
приближении в виде
Ε = π ® гг = gijY1 <g) r7 = 17 ® г7 + η ® η =
= (<*/ - X3bj)pj Θ (δ*κ + X3blK)pK + η ® η =
= Ρι ® ρ1 + X3{-bJKpj <8> ρκ + bJKpj <8> ρκ) + η ® η,
или, используя определение двумерного метрического тензора Ε из п. 3.2.7,
в линейном приближении получаем
E = E + n<g)n. (3.2.146)

222
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
3.2.21. Деривационные формулы в окрестности поверхности
Рассмотрим вторые производные от радиус-вектора χ точек из окрестности
поверхности:
#х dTi xij. (3.2.147)
дХгдХ3 dXJ
Подставляя вместо χ его выражение (3.2.134), с учетом (3.2.138) и
деривационных формул (3.2.35) на поверхности находим
= (г* - X3 {^jbf - TfMbf)) Рк + (bu - XhfbKJ)n, (3.2.148)
при других комбинациях индексов
х/з = ^|з(Р/ - Х3Ь?рк) = -Ь?рк,
хз/ = 5т = п' = -$Рк> хзз = 0. (3.2.149)
о Χ
Формулы (3.2.148) и (3.2.149) представляют собой деривационные формулы
в окрестности поверхности. Из них при X3 = 0, очевидно, следуют
деривационные формулы Гаусса — Вейнгартена (3.2.50), если учесть, что
x/j
χΖ=0 = Ρυ· (3-2.150)
3.2.22. Линии кривизны в качестве криволинейных координат
Часто в МСС используют частный случай криволинейных координат X1
поверхности, у которых координатные линии X1 = const совпадают с линиями
кривизны этой поверхности. Запишем основные соотношения в окрестности
поверхности для этого случая.
Как было отмечено в п. 3.2.17, линии кривизны взаимно
ортогональны, поэтому координатные линии X1 также будут ортогональными. Тогда
метрические матрицы #/j, ]jIJ и вторая квадратичная форма Ьи являются
диагональными:
212 = 0, gl2 = 0, Ь12 = 0, (3.2.151)
и собственные направления тензора В совпадают с направлениями
координатных линий.

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
223
Главные кривизны поверхности ка находим из уравнения (3.2.97), которое
в данном случае имеет вид
Ь\\ -kagu О
О &22 - ка922
= 0. (3.2.152)
Из (3.2.152) получаем
/cQ = ^ = J_. (3.2.153)
Введенные по (3.2.153) величины Ra называют главными радиусами
кривизны поверхности.
Гауссова и средняя кривизны в данном случае имеют вид
К = ^
ЬцЬ22 1
и и > Η =-J^(buh2 + b22gu) = U-}- + -!-). (3.2.154)
g\ig22 #ι#2 2^11^22 2 \ R{ R2J
Введем параметры Ламе На в окрестности поверхности и Аа на
поверхности: . .
На — у9аа — /—— > ^а — у 9оса — /^— · (o.Z.lOO)
Тогда коэффициенты второй квадратичной формы поверхности можно
представить в виде
baa = A2JRa. (3.2.156)
Согласно (3.2.141), в линейном приближении На будут иметь вид
г χ?>
На = у9аа ~ 2Х3Ьаа = V9aa 1^Ьа(х. (3.2.157)
\/9аа
С учетом формул (3.2.155) и (3.2.156) получаем
На = Аа(1~-£)' (3.2.158)
Используя свойство (3.2.151), из (3.2.44) найдем выражения для
ненулевых двумерных символов Кристоффеля:
1 дАа ~! 1 dg22 A2 dA2 /ooicm
l««-2gaadX« ~ АадХ^ i22_ 2gudX'~ А2дХ1' ^·ΖΛ™)
11 2g22dX2 A\3X2' 12 2?αα0χ0 A>^' *ΨΡ'
Запишем уравнение Петерсона — Кодацци с учетом формы (3.2.62):
^T-^+fi2feu-r^1fe/2 = 0> «=1,2, (3.2.160)
и уравнение Гаусса в форме (3.2.61):
(И - §-+р^й -ff|F") ~9ш=-**· (3·2·161)

224
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Учитывая (3.2.151) и заменяя Ьаа по формуле (3.2.156), a Tfj — по (3.2.159),
получаем уравнение Петерсона — Кодацци в виде
д /Л2\ 1 дА2 д (Ах\ 1 дАх
_ (Αϊ
1 \R>.
dXl\R2J RidX1' dX2\RiJ R2dX2' (3.2.162)
Уравнение Гаусса (3.2.161) после аналогичных преобразований принимает
вид
д
1 дА2\ _д_ (_}_дАх\ = _ММ_
дХ1 \AldXlJ дХ2 \A2dX2J R1R2
( 1 ЬАХ\
\А28Х2)
(3.2.163)
Уравнения (3.2.162) и (3.2.163) нашли широкое применение в МСС.
Упражнения к § 3.2
Упражнение 1. Используя формулы (3.2.5), (3.2.6) и (1.2.23), доказать соотношение
(3.2.12).
Упражнение 2. Показать, что координатные линии на поверхности Σ пересекаются
под углом χ:
cos χ = g\2/V9U922, sin*= \/g/(gii922) ·
Упражнение 3. Доказать формулы Риччи (3.2.54) в двумерном случае, используя
определения (3.2.52) и (3.2.43).
Упражнение 4. Обозначив компоненты объекта ри в декартовом базисе как
Ри = Phei, p\j = dx'/idX'dX-1),
показать, что из (3.2.31) следует формула для коэффициентов второй квадратичной
формы
Ьи = (1/УЮ tijkplup\p2·
Упражнение 5. Показать, что формулу, приведенную в упр. 4, можно представить
также в виде
V9
Ри Ри Ри
р\ р\ р\
р\ р\ р\
Упражнение 6. Явным способом задания поверхности называют случай, когда
'Х1=х\
< X2 = х2,
^х3 = х3(х\х2).
Показать, что при этом векторы локального базиса р7 имеют вид
Pi = ё/ + (дх3/дх1)ё3,
а метрическую матрицу вычисляют следующим образом:
.3\2 Я„3 Л 3 /я^3ч2 /я^3ч2
9с
. , /дх*у ~ дх* дх* ~ , , (дх*\г , (дх*\г
дх^
дх1
дх^
■ дх2

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
225
Упражнение 7. Показать, что для поверхности эллипсоида вращения, заданной в
неявной форме
(хх/а)2 + (х2/а)2 + (х3/с)2 =1, а2 > с2,
параметрическая форма имеет вид
1 19 9 19^ 9
χ = a cos X sin Χ , χ = a sin Χ sin Χ , я = с cos X .
Упражнение 8. Показать, что для эллипсоида вращения (см. упр. 7) матрицы
коэффициентов локальных базисов рг3 имеют вид
/ i\_ /-asinX1 sinX2 acosX'sinX2 0
J \ acosX1 cosX2 acosX^osX2 —csinX2
Упражнение 9. Показать, что коэффициенты первой квадратичной формы для
эллипсоида вращения имеют вид
п ,_ (a2 sin2 X2 0 λ
^9и)-{ 0 a2 cos2 X2 +с2 sin2 XV'
а обратная метрическая матрица —
ы^_ f(a2sm2X2)-1 О
О (a2cos2X2 + c*sinzX*)-
Упражнение 10. Показать, что коэффициенты второй квадратичной формы для
эллипсоида вращения имеют вид
,, ч ас /sin2 X2 О
у/а2 cos2 X2 + с2 sin2 X2 \ ° 1
Упражнение 11. Поверхностью вращения называют поверхность, которую можно
явно задать в виде
(*2)2 + (*3)2 = /V).
где f(x]) — некоторая неотрицательная функция, ось Ох1 является осью вращения.
Показать, что в параметрической форме поверхность вращения можно задать
следующим образом:
(V ^(Х1),
< x2 = f(z)cosX2,
У = /(z)sinX2,
где X1 = 5 — длина дуги, отсчитываемая по меридиану; X2 = φ — угол,
отсчитываемый по параллели поверхности вращения; г = \/(х1)2 + (х2)2 — расстояние от точки
на поверхности до оси вращения (гфг — цилиндрические координаты (рис. 3.2.8),
причем dz/ds = \/у/\ + f'2 = а, где /' = df/dz.
Упражнение 12. Показать, что матрица коэффициентов plj локального базиса для
поверхности вращения имеет вид
/a a/'cosX2 afsmX2\ = /p\ ρ2 ρ]
{Pj) \0 -/sinX2 /cosX2 J U Pi Pi

226
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
где /' = df/dz. Показать, что векторы plt р2 и η ориентированы так, как показано
на рис. 3.2.8, и η · ν > 0.
Показать, что метрические матрицы для поверхности вращения имеют вид
Рис. 3.2.8. К упр. 11 и 12 Рис. 3.2.9. К упр. 15
Упражнение 13. Показать, что для поверхности вращения коэффициенты р\3 имеют
вид
ι Лч 0\ 2 fa2f"cosX2 -afsinX2\
PlJ-\0 θ)9 PlJ~ \-afsinX2 -fcosX2)'
3 fa2f" sin X2 af cos X2\
PlJ~ \afcosX2 -fsinX2)'
где f fi 2
da / / a of . 2 ef/
oi = — = - / J .2λ2, a2 = ai/' + a2/".
as (l-i- ^ )
Упражнение 14. Используя результаты упр. 5, 12 и 13, показать, что коэффициенты
второй квадратичной формы для поверхности вращения имеют вид
Ьц = -f"/yf(l +/'2)3, &22 = //л/ГТТ* , *>12 = 0.
Упражнение 15. Показать, что если в упр. 11 в параметрическом задании
поверхности вращения за координату X2 выбрать угол ф' = — ф, отсчитываемый в обратном
направлении (по часовой стрелке, если смотреть со стороны положительных
значений ζ), то формулы, представленные в упр. 12-14, изменятся следующим образом:
t fa af sin X2 a/'cosX2\ ~ /1 0 λ { (αχ Ολ
Ρι ~ VO fcosX2 -fsinX2) ' 9IJ ~ VO /2У ' PlJ -\0 Oj '
2 fa2f" sin X2 af cos X2\ 3 / a2cosX2 -a/'sinX2\
P/J " V a/' cos X2 f sin X2 J ' PlJ ~ \-af sin X2 -fcosX2 J'

§ 3.2. Поверхности в трехмерном евклидовом пространстве
227
Показать, что базис ΡιΡ2η Β данном случае ориентирован так, как показано на
рис. 3.2.9, и для него η · ν < 0.
Упражнение 16. Используя формулу (3.2.67), показать, что компоненты Rkjil
действительно являются компонентами тензора четвертого ранга.
Упражнение 17. Используя (3.2.97) и (3.2.110), (3.2.111), показать, что главные
кривизны ка являются корнями квадратного уравнения
к\ - 2Нка + К = 0.
Упражнение 18. Показать, что матрица коэффициентов Л/ ортонормированных
собственных векторов р7 может быть вычислена с помощью системы уравнений
λα/λα = λα, 9и^а\а = 1, а =1,2,
где Λα определяют из уравнения (3.2.125).
Упражнение 19. Показать, что каждая точка минимальной поверхности является
либо точкой уплощения, либо гиперболической точкой.
Упражнение 20. Показать, что для минимальной поверхности и только для нее
асимптотические линии образуют ортогональную сетку.
Упражнение 21. Показать, что для сферы и только для нее все точки поверхности
являются омбилическими.
Упражнение 22. Доказать, что координатные линии X1 = const являются линиями
кривизны тогда и только тогда, когда вдоль этих линий
bi2=0, gi2 = 0.
Упражнение 23. Доказать, что координатные линии тогда и только тогда являются
асимптотическими линиями, когда вдоль них
Ь\2 = 0, 012 = 0.
Упражнение 24. Показать, что если координатные линии X1 = const являются
линиями кривизны, то главные кривизны вычисляют по формуле
ка = оаа/ даа, ос = ι,ζ.
Упражнение 25. Показать, что для эллипсоида вращения (см. упр. 7—10) главные
кривизны вычисляют по формулам
kl = Ε k2 = ™
aVa2 cos2 Х2 + с2 sin2 X2 ' (a2 cos2 X2 + с2 sin2 X2f/2 '
Упражнение 26. Показать, что для эллипсоида вращения (см. упр. 7—10)
меридианы (кривые Xх) и параллели (кривые X2) являются линиями кривизны, главные
направления совпадают с касательными к меридиану и параллели, гауссову кривизну
вычисляют следующим образом:
К = с2/(a2 cos2 X2 + с2 sin X2)2,
и все точки поверхности — эллиптические.

228
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Упражнение 27. Показать, что для поверхности вращения, у которой η · ν > О (см.
упр. 11 — 14) главные кривизны вычисляют следующим образом:
_ /" _ 1
^1 = Т. .<к ч/о » ^2 —
(1+/'2)3/2' /х/ГТТ^'
а у которой η · ν < О (см. упр. 15):
^Ι = ΤΊ ГлкТл>> /С2 = —
(1+/'2)3/2' Л/Ш*'
гауссова кривизна одинакова для обоих случаев:
/"'
К = -
/0 + /'2)2
Упражнение 28. Показать, что для каждой точки (Х1,Х2) поверхности вращения
справедливы следующие утверждения:
• если f"(x) < 0, то это эллиптическая точка;
• если f"(x) > О, то это гиперболическая точка;
• если f"(x) = 0, то это параболическая точка.
Упражнение 29. Показать, что если для поверхности вращения f" = 0 (конус или
цилиндр) в каждой точке, то у нее имеется единственное семейство асимптотических
линий: X2 = const.
Упражнение 30. Убедиться непосредственно, что из (3.2.160) следует (3.2.162), а из
(3.2.161) следует (3.2.163).
Упражнение 31. Показать, что для поверхности вращения ненулевые символы
Кристоффеля имеют вид
// pll ρ pi pi
J pi J J τι J
111-TT71· ^-"ΪΤΤ5· Γι2"7·
Упражнение 32. Используя результат упр. 31 и формулу (3.2.131), показать, что
если поверхность вращения — цилиндр (/ = const), то геодезическими линиями
являются винтовые линии (см. упр. 9 к § 3.1):
IV
X2
^х3
= %,
= f cos ξ,
= /sin£.
§ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей
3.3.1. Определение интеграла от тензора, заданного вдоль кривой
Пусть в пространстве Eg имеется некоторая кривая С, заданная
соотношениями (3.1.1). Точки х(£о) и x(£iv) назовем началом и концом этой
кривой. Пусть на множестве С с Εξ задано поле тензора ηΩ(Α) n-ro ранга,

§ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей
229
имеющее в ортонормированном декартовом базисе #з
следующий вид:
пП{А) = Ω*1···^)^ <8>... <8> ein, A = A{xl) e С.
(3.3.1)
Компоненты тензора Ω*1···**1 являются
функциями декартовых координат х\ которые изменяются
вдоль кривой С (3.1.1).
Разобьем отрезок [£o.£iv] на N частей: ху
[ίο.ίΐ]. ···. [ία-1,ία], ···. KiV-l.iiv]. ЭТИМ ОТреЗ-
кам соответствуют N частей кривой С (рис. 3.3.1),
началом и концом которых являются пары точек
Рис. 3.3.1. Разбиение кривой
на N частей
где
х(0)>х(1); ···; χ(α-1).χ(α); ···". x(iV-l).x(iV).
χ(α) = χ(ία) ИЛИ Χ\α) = Χ1(ξα), Ο- = 0, . . . , Ν.
Длины дуг этих частей кривой обозначим как
ASa =
ds, a = 1, ..., Ν,
(3.3.2)
(3.3.3)
(3.3.4)
€α-Ι
и введем максимальное значение среди ASi'.
ΑΙ = max {AsQ},
a=\,...,N
называемое максимальным шагом разбиения кривой.
На каждом отрезке [ξα.ξα+ι] возьмем еще по одной точке ξα с
координатами
*(а) =**&). а=1, ..., 7V, (3-3.5)
и образуем тензор интегральных сумм
N
nV) = Enn(*(«))As- (3·3·6)
который, очевидно, является тензором того же ранга, что и ηΩ.
Компоненты этого тензора Sll'"ln в декартовой системе координат ё*
связаны с йг1"Лп следующим образом:
N
SllN]'ln = ^^''^(x\a))Asa, (3.3.7)
где
ι oil.. Лп —
(3.3.8)

230
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Поскольку каждая компонента Ω1ι···1η является обычной классической
функцией координат хг, то для нее можно положить, что существуют пределы
сумм (3.3.7) при стремлении к нулю максимального шага разбиения кривой
N
П\...1п _
ΔΖ-»0
^0ΣΩ<,"'<ηΗα))Δ«α. (3.3.9)
Определение 3.3.1. Предел (3.3.9) называют интегралом от
компонент тензора ηΩ вдоль кривой С (или криволинейным
интегралом от компонент тензора) и обозначают как
Qil-in(xi)ds = Sil-in. (3.3.10)
Определение 3.3.2. Криволинейным интегралом первого рода от
тензора ηΩ, заданного вдоль кривой С, называют объект
nS = Sll-"lneil
Ώ(χ)ώ. (3.3.11)
Теорема 3.3.1. Введенный по формулам (3.3.9), (3.3.11) объект nS
является тензором п-го ранга.
▼ Действительно, поскольку ηΩ(χ(α)) (а = 1, ..., Ν) представляют собой
N различных тензоров, то их компоненты преобразуются при переходе из
декартова базиса в какой-либо базис r^ = Qlkei следующим образом:
ω<-·<»(4.)) = «S.)"*"^1*. -Qi*»· (3·3·12)
Здесь Qk^"kn — компоненты тензора ηΩ(χ(α)) в базисе г^.
Поскольку якобиева матрица Qlk одинакова для всех членов суммы (3.3.9)
и не зависит от числа разбиений N, то, используя известные свойства
пределов, можно вынести произведение якобиевых матриц за знак предела:
§il...in =Qil^mmmQin^Skl...knt (3.3.13)
Skl...kn= lim *yQb-bnA (3.3.14)
Поскольку длины дуг Asa не зависят от выбора базиса, то из (3.3.13) и
(3.3.14) следует, что Sll'"ln являются компонентами тензора. А
Если кривую С задать в параметрическом виде (3.1.8) как функцию длины
дуги:
xi = xi(s), O^s^l, (3.3.15)

§ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей
231
где / — длина всей кривой С:
ds, (3.3.16)
1 =
то тензор ηΩ (его компоненты Ω*1 ···*") также можно рассматривать как
функцию от s: ηΩ(χ(δ)) = ηΩ(δ). Интеграл (3.3.11) в этом случае будет
обычным одномерным определенным интегралом с переменной интегрирования s,
изменяющейся от 0 до I:
ι
nS =
n{s)ds, (3.3.17)
о
причем компоненты S4'"ln этого тензора имеют вид
ι
ог\...гп _
Uil-in{s)ds. (3.3.18)
3.3.2. Криволинейные интегралы второго рода от тензора
Криволинейный интеграл от тензора можно образовать иным способом.
Пусть имеется разбиение (3.3.3) кривой С точками X(Q) (а = 0, ..., N).
Векторы, соединяющие эти точки, обозначим как
ΔΧ(α) = Χ(α) - Χ(α-1) ИЛИ Ща) = Х\а) ~ Х\а-1)>
Χ(α)=Χ(ξ(α)). CL=\t ..., Ν. (3.3.19)
Им соответствуют приращения параметра ξ:
^ζα = ζα — ζα— 1»
среди которых имеется максимальное Δξ = max {Δξα}.
Тензор интегральных сумм составим, в отличие от (3.3.8), путем
скалярного умножения векторов Δχ(α) на транспонированные тензоры
(пП(х(а)))(т»-т*) (см. гл. 1):
N
n_lTW = Σ ΔχΜ · "«Ы)1"""·""'· (3-3.20)
Тензор п_1Т(дг) имеет ранг на единицу меньше, чем ηΩ (т.е. (п — 1)), и
его компоненты в декартовой системе координат имеют вид
α=1
(3.3.21)

232
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Здесь идет суммирование по %\.
Устремляя максимальное приращение параметра Αξ к нулю: Αξ —► 0, а
N —> оо, предполагаем, что при этом существуют следующие пределы для
каждого набора индексов гь ..., гп-\'·
fi,..in = lim^^-'·"^^^. (3.3.22)
Δξ-»0
а=\
Определение 3.3.3. Пределы (3.3.22) называют скалярными
криволинейными интегралами второго рода от компонент тензора и
обозначают следующим образом:
ч
n(xl)dxi[ =7*2-4
(3.3.23)
Определение 3.3.4. Скалярным криволинейным интегралом второго рода
от тензора ηΩ, заданного вдоль кривой £, называют тензор (п— \)-го
ранга П_1Т с компонентами τιι~·1η-1, определяемыми по формуле (3.3.23).
Для этого тензора также используют интегральное обозначение
п-\
Τ = τ12'
•In pi
Ί2
dx.^m,-m^(x).
(3.3.24)
Обозначение для элементарного радиус-вектора dx = dxlei использовано
в (3.3.23) и (3.3.24) на том основании, что при Αξ —> 0 малые векторы Δχ(α),
как было отмечено в п. 3.1.1, стремятся к элементарному вектору dx вдоль
кривой С.
Если в формулах (3.3.20)-(3.3.24) поменять знак скалярного
умножения «·» на знак векторного умножения «х», то получим векторные
криволинейные интегралы второго рода:
ург\..лП£
Ч
rpki2...in _ ekji\fi.
υ
dxxnn(mi---m^(x),
(3.3.25)
(3.3.26)
Здесь efej'1 — символ Леви-Чивиты (см. п. 1.2.1).
Если в формулах (3.3.20)-(3.3.24) также поменять знак скалярного
умножения «·» на знак тензорного умножения «(g)», то получим тензорный
криволинейный интеграл второго рода:
n+lrp _ j^ii...in+ig.
'*n+l
dx<g)nn(x),
(3.3.27)

§ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей
233
где
jii\...in+\ _
Ω^-'^+ν)^1
(3.3.28)
3.3.3. Связь между криволинейными интегралами
первого и второго рода
Тем же способом, что и в п. 3.3.1, можно показать, что компоненты
fi2...inf j*i...inf fii...in+if определяемые по формулам (3.3.23), (3.3.26) и
(3.3.28) преобразуются по тензорному закону при переходе в новую систему
координат, и, следовательно, криволинейные интегралы второго рода (3.3.24),
(3.3.25) и (3.3.27) являются тензорами (п — 1)-го, η-го и (п + 1)-го рангов
соответственно.
Установим связь между криволинейными интегралами первого и второго
рода.
Пусть кривая С задана в параметрическом виде (3.3.15). Используя
формулы (3.1.9) и (3.1.10), от элементарного вектора dx можно перейти к
элементарной длине дуги:
dx = t ds, t = Рё». (3.3.29)
Тогда интеграл (3.3.24) можно представить в виде обычного определенного
интеграла
П—\\
t.»n<mi-m")(s)ds.
(3.3.30)
Здесь длина дуги выступает в роли переменной интегрирования,
изменяющейся от 0 до /.
В компонентной записи формула (3.3.30) имеет вид
ι
2*2·
ft*"i ···*"" (S)pi(s)ds.
(3.3.31)
Здесь tl(s) — компоненты единичного вектора касательной к кривой С (т. е.
косинусы углов, которые имеет касательная к кривой с осями декартовой
системы координат).
Аналогичным образом можно преобразовать векторный криволинейный
интеграл (3.3.25):
ι ι
t(s) x nn^mi-"mn\s) ds, Tki2"An = ekii[
U{s)U
''W[ ... bWn
{s)ds (3.3.32)

234
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
и тензорный криволинейный интеграл (3.3.27):
ι ι
π+lrp
t{s)®nil{s)ds, fi,-<"+1 =
&{s)U*2-in+l{s)ds. (3.3.33)
Формулы (3.3.17) и (3.3.30), (3.3.32), (3.3.33) устанавливают связь между
криволинейными интегралами первого и второго рода.
Если кривая С задана в параметрическом виде (3.3.2), то криволинейные
интегралы первого и второго рода (3.3.17) и (3.3.30) можно представить
следующим образом:
UN
£о
dx
Ш) ^ <%, s^-ln
ξΝ / з \ V2
ξο
(3.3.34)
а также
71—1ι
£ν
£ν
dx
^••'•'"'"(O^di. (3.3.35)
_ . nQ(mi...mn)/'t,j . ^t rpi2...in _
To же самое представление можно получить и для векторного и тензорного
криволинейных интегралов.
Если направление интегрирования по ξ или по s меняется, то меняются
местами точки Х(0) = х(£о) и x(iv) — х(Слг), а у интегралов (3.3.17), (3.3.30),
(3.3.32), (3.3.33) — пределы интегрирования и знак «+» на «—» перед
интегралом.
3.3.4. Независимость скалярного криволинейного интеграла
от пути интегрирования
Пусть тензор ηΩ является не произвольным, а потенциальным:
ηΩ = ν®η_1Φ = V^^-V1®^®...®^, (3.3.36)
где η_1Φ — тензор-потенциал (η — 1)-го ранга.
Вычислим для него подынтегральное выражение в скалярном
криволинейном интеграле (3.3.24), выбирая подстановку транспонирования специальным
образом
(mi, ..., тп) = (1, Ш2, ···> ™>п), (3.3.37)
т.е. на первом месте обязательно стоит индекс г ι, а все остальные индексы
произвольны.

§ 3.3. Криволинейные интегралы от тензорных полей
235
Тогда подынтегральное выражение
dy..nn(\m2...mn) = (dXV·) . Уг.Ф^-^Г*1 Θ Г;2
Г*.
= ν,·**™1 ···*"'»-^χν,-
гг ι =
д „._
ах2
фт,...тп_1{гА-г = ^ п-1 фгщ ...mn_! (3.3.38)
представляет собой полный дифференциал от тензора потенциала.
Записывая формулу (3.3.38) в декартовой системе координат (Хг = хг) и
подставляя ее в (3.3.24), получаем
п-1
Т =
d
п—\-ц,т\...тп-
Ф
п-1
W
п—\-л,т\...тп-
Ф
■п-1
(Х )_η-1φ™ι...%-,( ),
(3.3.39)
Здесь использована формула Ньютона — Лейбница интегрирования
дифференциала от обычных функций.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 3.3.2. Если тензор ηΩ — потенциален, т. е. удовлетворяет
(3.3.36), то скалярный криволинейный интеграл второго рода от него
не зависит от кривой £, по которой происходит интегрирование (т. е.
от пути интегрирования), и определяется только разностью значений
тензора потенциала П_1Ф в конечной и начальной точках.
3.3.5. Криволинейные интегралы по замкнутому контуру
Если у кривой С начальная и конечная точки совпадают: Х(0) = X(jv)> то
такую кривую называют замкнутой (или замкнутым контуром).
Криволинейные интегралы первого и второго рода (3.3.11), (3.3.24),
(3.3.25) и (3.3.27) в этом случае обозначают следующим образом:
nS = οηΩ(χ)ώ, η~ιΎ = odx · »n<mi-m*)(x), (3.3.40)
£ £
nT = odx χ ^(^-^(χ), n+1T - odx <g> ηΩ(χ).
£ £
Определение 3.3.5. Скалярный криволинейный интеграл в (3.1.40) по
замкнутому контуру называют циркуляцией тензора ηΩ.
Если тензор ηΩ потенциален, то для него имеет место формула (3.3.39),
но если скалярный криволинейный интеграл берут по замкнутому контуру,
то начальная и конечная точки кривой совпадают, а значит и значения
тензора потенциала П_1Ф в них также совпадают. Таким образом, имеет
место следующая теорема.

236
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Теорема 3.3.3 (о циркуляции потенциального тензора). Если тензор ηΩ
потенциален
то циркуляция любого его транспонированного тензора nfi(lm2---^n) равна
нулю:
J>dx-nn<lm2-m") =0. (3.3.41)
Упражнения к § 3.3
Упражнение 1. Показать, что для вектора а при η = 1 криволинейные интегралы
второго рода (3.3.24), (3.3.25) и (3.3.27) могут быть представлены в виде
t =
ώί ■ а =
а · dx, t =
dx χ a = —
a x dx, Τ =
dx<S>a.= ( a.® dx) .
Упражнение 2. Показать, что если п = 2, то криволинейные интегралы второго рода
(3.3.24), (3.3.25) и (3.3.27) могут быть представлены в виде
t =
άχ·Ω =
Ωτ·(ίχ,
Т =
dxx Ω = -( Ωτ xcbcV,
5Τ =
dx <g> Ω = (
\(23ΐ;
Ω®ίίχ)
Упражнение 3. Показать, что для двусвязной области V в трехмерном евклидовом
пространстве циркуляция потенциального тензора является постоянным тензором (не
зависящим от координат):
odx · *ω0"»2···™«) = *-ΐχ = const,
если интеграл берут по любому, лежащему в области V контуру, несводимому
непрерывным преобразованием в точку, причем тензор П-1Т одинаков для всех таких
контуров.
§ 3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей
3.4.1. Поверхностный интеграл первого рода
Рассмотрим некоторую ограниченную поверхность Σ в пространстве Εξ,
заданную соотношениями (3.2.1).
Предполагаем известными (см., например [12]) сведения о том, как
определяется поверхностный интеграл
/{χ^άΣ
(3.4.1)

§ 3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей
237
от классической кусочно-непрерывной функции f(xl), заданной на
поверхности Σ. Здесь άΣ — площадь элементарной площадки поверхности,
определяемая по формуле (3.2.22).
Пусть на этой поверхности Σ задано поле тензора к-го ранга кП(х1) с
декартовыми компонентами йг1--Лк(хг(Х{,Х2)).
Определение 3.4.1. Поверхностным интегралом первого рода от
тензорного поля kil, заданного на поверхности Σ с 8$, называют тензор
к-го ранга fcS, компонентами которого в декартовой системе координат
Sl[-"lk являются поверхностные интегралы от компонент йг[~Лк, т. е.
:S = 5'*1-**eil <8>...<8>eifc
'Ω{χ.)άΣ, (3.4.2)
где ,
£i,...ifc = ^'-^(ar^dE. (3.4.3)
Σ
Так же, как это было проделано в п. 3.3.1, можно показать, что S4'"4
преобразуются по тензорному закону
8Ц..Лк = рЦ^ _ρί££ίΐ..Λ (3.4.4)
при переходе к другому базису г/ = Q1^.
Отметим, что здесь якобиевы матрицы Qll и Рг1 не зависят от
координат хг.
Формула (3.4.4) позволяет получить компоненты тензора kS
поверхностного интеграла в любой системе координат.
Используя формулу (3.2.22) для άΣ можно записать поверхностный
интеграл (3.4.2) в виде
kS= ЬЩХ^у/ЗаХ^Х2, (3.4.5)
где тензор kil(xl(X1)) = кП(Х1) рассматривают как функцию
криволинейных координат, а Σχ представляет собой двумерную область значений этих
координат X1, соответствующую поверхности Σ в трехмерном пространстве.
В этом случае для поверхностного интеграла используют обозначение в виде
двойного интеграла.
Формулу (3.4.5) называют формулой замены переменных в
поверхностном интеграле.
3.4.2. Поверхностные интегралы второго рода
Если для определения криволинейных интегралов второго рода мы
использовали элементарный радиус-вектор кривой dx, то для аналогичных

238
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
поверхностных интегралов второго рода применяют вектор ориентированной
площадки (3.2.19) ηάΣ, который можно представить в виде (3.2.21).
В декартовом базисе этот вектор, на основании (3.2.4), имеет вид
з з
ηάΣ = Σ Ρα\ Ρβ2^ι{Ηριάχ1"άχ1) = Σ άχαάχβ*Ί, (3.4.6)
α Φ β ΦΊ Φ α, α,/3,7 = 1,2,3,
где ргj — якобиева матрица поверхности, определяемая соотношением (3.2.4),
a P7fc — обратная якобиева матрица на поверхности
р\ = дХ1/дхк, р1! = dxl/dXJ
(3.4.7)
Определение 3.4.2. Скалярным поверхностным интегралом
второго рода от поля тензора fcH(x) называют следующий тензор
(к — \)-го ранга:
к-\г£ _ грг2..Лк^
ч
'Ч
η · fcH(x) άΣ.
(3.4.8)
Здесь
rj42...ik — V^
Q^-ik{xi)6i}dxadx0
Ζ-ιχ
(3.4.9)
— двойной интеграл, определяемый как для обычных классических функций.
Областью интегрирования здесь является двумерная область Σχ изменения
координат ха, а = 1,2, соответствующая поверхности Σ.
Определение 3.4.3. Векторным поверхностным интегралом
второго рода от поля тензора fcH(x) называют тензор k-го ранга кТ,
определяемый по формуле
Тг1---г*ё,·,
'*fc
η χ fcn(x)dE.
(3.4.10)
Тензор кТ имеет следующие компоненты в декартовом базисе:
2*3*2'~*к — V^ eJaii
0-ί'(χί)άχβάχΊ.
(3.4.11)
Определение 3.4.4. Тензорным поверхностным интегралом второго
рода от поля тензора кП(х) называют тензор (к + \)-го ранга
к+\гр _
2*i...ik+iQ.
Ч
'Ч+\
η^ΙςΩ{χ.)άΣ.
(3.4.12)

§ 3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей
239
Компоненты этого тензора в декартовом базисе имеют вид
rj->i\...ik+\
= Σ
α=1Σ
Clil-iksirk+ldxadx0.
(3.4.13)
3.4.3. Формулы Стокса
Формулы Стокса позволяют от поверхностных интегралов переходить к
криволинейным. Предполагаем известной (см., например [12]) формулу
Стокса для классической, непрерывной вместе со своими производными скалярной
функции }(хг), заданной на некоторой кусочно-гладкой незамкнутой
поверхности Σ, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С:
дх1
of(xl)dxj
πι?—г άΈ.
Л л А
(3.4.14)
Формула (3.4.14) записана в декартовой системе координат, где ftk —
компоненты вектора нормали η к поверхности Σ, направление которого выбирают
согласованно с направлением обхода контура С от начальной точки к
конечной: из конца вектора п, проведенного в любой точке поверхности, обход
контура С виден осуществляемым против часовой стрелки.
Умножая (3.4.14) на вектор базиса ej, получаем инвариантную форму
записи формулы Стокса
или
of(xl)dxjej
с
o/(x)dx =
дх1 3
η χ V/dE.
(3.4.15)
(3.4.16)
Здесь использованы определения векторного произведения (1.2.23) и
градиента скаляра (2.2.17).
Обообщением формулы Стокса (3.4.16) на случай тензора произвольного
k-το ранга является следующая формула:
odx<g)fcn(x)
пх V <8> fcn(x)dE.
(3.4.17)
В декартовых компонентах эта формула имеет вид
οΩ^-^+ι^)^! =ei[jl
дх1
Пз-^№--лы(х*)а£.
(3.4.18)

240
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Справедливость формулы (3.4.18) непосредственно следует из (3.4.14),
поскольку при каждом фиксированном наборе индексов гг, .·., ik+\ формула
(3.4.18) в точности совпадает с (3.4.14).
Формулу (3.4.17) называют тензорной формулой Стокса.
Имеет место также скалярная формула Стокса
odx· fcH(x) =
с
В декартовом базисе она имеет вид
(η χ V) · fcH(x)dE.
д =.
(3.4.19)
С Σ
Перепишем формулу (3.4.20) следующим образом
3 /г
Σ odxaQ%--lk(xl)-eajl
(3.4.20)
α=1
η^Ω^ΜΣΐ =0.
(3.4.21)
Зафиксировав какой-либо набор индексов гг, ..., г&, для каждого из
значений а = 1,2,3 в скобках мы снова получим формулу Стокса (3.4.14),
где роль / играет функция £ϊ%'"4. Таким образом, из (3.4.14) следует
истинность скалярной формулы Стокса (3.4.19). Очевидно, что любая перестановка
индексов г\, ..., ik не изменит сути доказательства, поэтому имеет место
скалярная формула Стокса, обобщающая (3.4.19),
odx-fcn<mi-m*)
(nxV).fcfi(m,...mt) άΈ
(3.4.22)
Наконец, имеет место векторная формула Стокса
d>dx χ ^Ω =
(η χ V) χ kft dE,
(3.4.23)
которая в декартовой системе координат выглядит следующим образом
e8tilodxtUi^-ik(xi) = eaji^tl
с i
Преобразуем это выражение к виду
дх1 v ;
(3.4.24)
дх1
0.
(3.4.25)
6sZil Пах1й^-^(х1)-е^1
Сравнивая (3.4.14) с выражением в скобках при каждом фиксированном
наборе индексов гь ..., г&, убеждаемся в том, что из (3.4.14), очевидно,

§ 3.4. Поверхностные интегралы от тензорных полей
241
вытекает (3.4.25), что и доказывает истинность векторной формулы Стокса
(3.4.22).
Упражнения к § 3.4
Упражнение 1. Используя формулу (2.4.216), показать, что при η = 1 из (3.4.23)
следует
Φόχ χ а = (п · (V Θ а)т - η <g> V · а) άΣ,
с ς
где а — вектор ηΩ при η = 1
Упражнение 2. Используя результаты упр. 1 и п. 2.2.6, показать, что если в качестве
а выбрать радиус-вектор х, то
odx χ
х = -2 ϊηάΣ.
Упражнение 3. Показать, что из (3.4.17) и (3.4.19) при η = 1 следует
odx · а = оа· dx — (nxV)-adE= η · (V χ а) άΣ,
с с ς ς
odx Θ a = (η χ V) Θ a άΣ.
с ς
Упражнение 4. Показать, что из (3.4.19) и (3.4.23) при к = 2 следует
)Ωτ·<Ζχ= (ηχ ν)·Ω<*Σ,
odx χ Ω
}(η χ V)
χ ΩάΣ.
Упражнение 5. Используя скалярную формулу
Стокса для вектора (см. упр. 3) и теорему о среднем жз
для поверхностного интеграла, показать, что
(V х а)п = η · (V χ а) = lim (1/ΔΣ) о а · tds,
δς—о
АС
т. е. проекция ротора вектора а на произвольное
направление с вектором η в точке А (с вектором х)
есть предел отношения циркуляции этого вектора а
вдоль малого контура Δ£, ограничивающего малую х\
плоскую площадку ΔΣ, которая содержит точку А,
к площади этой площадки ΔΣ (рис. 3.4.1).
i
/si
^η /ΔΣ
у у
— /AC
Χ χ
χ'
Рис. 3.4.1. К упр. 5

242
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
3.5,1. Элементарный объем
Пусть имеется некоторая область V с Εξ, ограниченная поверхностью Σ с
С Εξ · Рассмотрим произвольную точку А е V и три бесконечно близкие к ней
точки Аа, а = 1,2,3, которым соответствуют элементарные радиус-векторы
αΧα = ЛЛа'. д
dxa = -^dXa = radXa, (3.5.1)
где Ха - криволинейные координаты.
Элементарным объемом называют скаляр dV, представляющий собой
смешанное произведение элементарных радиус-векторов:
dV = cbq · (dx2 x йхз). (3.5.2)
Подставляя (3.5.1) в (3.5.2), получаем следующее выражение:
dV = ri- (г2 х r3)dXldX2dX3 = ^/gdXldX2dX3. (3.5.3)
3.5.2. Определение объемного интеграла от тензорного поля
Как и в случае поверхностного интеграла, предполагаем известным
определение объемного интеграла (см., например [12])
/(χήάΥ (3.5.4)
ν
от скалярной кусочно-непрерывной функции f(xz), заданной в области V
трехмерного точечного евклидова пространства Е$·
Напомним свойство объемного интеграла (доказательство см. в [12]): если
существует интеграл от функции f(xl) в ограниченной замкнутой области
V С Εξ, то существует и интеграл от функции |/(:гг)| в V, причем
f(xl)dV\ <
V V
к.
\f(xl)\dV. (3.5.4a)
Пусть имеется тензорное поле Ω(χ), заданное в некоторой области V с
С Εξ. Объемным интегралом от компонент тензора назовем интеграл вида
fii,-<fc(a:<)dVr = f<,-<*, (3.5.5)
ν
где при каждом фиксированном наборе индексов гь ..., ik имеем обычный
объемный интеграл (3.5.4) от классической функции.

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
243
Определение 3.5.1. Объемным интегралом от тензорного поля fcH(x),
заданного в Е$, (или просто от тензора) называют тензор к-го ранга fcT,
имеющий компоненты в декартовом базисе, вычисляемые по (3.5.5). Для
этого интеграла введем обозначение
-T = Tl-%kei
eik ~
;Ω(χ) dV.
(3.5.6)
ν
Используя формулу (3.5.3), объемный интеграл (3.5.6) можно представить
в виде тройного интеграла
Т =
1 j*v2 j*v3
'U(Xl)y/gdXvdXzdX
(3.5.7)
Vx
Здесь тензор ^Ω рассматривают как функцию криволинейных координат X1,
a Vx представляет собой область значений этих координат в пространстве R3,
соответствующую области V в трехмерном пространстве Εξ. Формулу (3.5.7)
называют также формулой замены переменных в объемном интеграле.
3.5.3. Формула Гаусса — Остроградского
Формула Гаусса — Остроградского является аналогом формулы Стокса и
позволяет переходить от объемных интегралов к поверхностным и наоборот.
Полагаем известной (см., например [12]) формулу Гаусса —
Остроградского для классических функций f(xz)y заданных в некоторой замкнутой
трехмерной области V, ограниченной кусочно-гладкой поверхностью Σ:
' df
f{xx)njdL
дх^
dV,
(3.5.8)
ν
где функцию }(хг) предполагаем непрерывной вместе со своими
производными вплоть до границы Σ области V.
Формула (3.5.8) записана в декартовой системе координат, где щ —
компоненты вектора нормали к поверхности Σ, направленной во внешнюю
сторону по отношению к области V.
Умножая (3.5.8) на векторы декартова базиса ej, приходим к инвариантной
записи Л г
fix^ujePdY, - ; ='
дх3
§W,
ν
или
/(x)ndE
VfdV.
(3.5.9)
(3.5.10)
ν

244
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
3.5.4. Формулы Гаусса — Остроградского для тензоров
Обобщением формулы (3.5.10) для тензора k-ro ранга является тензорная
формула Гаусса — Остроградского
n<g>fcn(x)dE
V <g> кП dV.
ν
В декартовых координатах она имеет вид
nilfii2-ifc+,(a:i)dE =
д .^•••ifc+1 dV.
дхг
(3.5.11)
(3.5.12)
ν
Формула (3.5.12) следует из (3.5.8): фиксируя какой-либо набор значений
индексов 22, .·., ifc+ь мы сразу получаем формулу Гаусса — Остроградского
(3.5.8) для классических функций.
Скалярной формулой Гаусса — Остроградского называют обобщение
формулы (3.5.8) для тензоров
η · кП άΈ =
V · кП dV.
ν
В компонентах формула (3.5.13) имеет вид
nilQil-ik(xi)dE
Vi^-^ix^dV.
(3.5.13)
(3.5.14)
ν
Для доказательства этой формулы перепишем ее в декартовом базисе
Σ
naQai2-ikdZ-
д nai*'-ikdV
дха
0.
(3.5.15)
ν
Зафиксировав какой-либо набор индексов г-2, ..., гь для каждого из значений
а = 1,2,3 в скобках вновь получим формулу Гаусса — Остроградского (3.5.8),
где роль / играет функция Ω0*2···**. Следовательно, из (3.5.8) вытекает
истинность (3.5.13) и (3.5.14).
Векторной формулой Гаусса — Остроградского называют следующее
обобщение формулы (3.5.8):
η χ кШЪ
к
V χ "Ω dV,
Σ V
которое в декартовой системе координат имеет вид
д Л
Л3%\
щй£-гк άΣ = 6134
Ω,*2-** dV.
дх3 ч
(3.5.16)
(3.5.17)
ν

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
245
Доказательство того, что (3.5.17) является следствием (3.5.8), проводят
так же, как и для скалярной формулы Гаусса — Остроградского.
3.5.5. Производная тензорного поля по направлению
Для дальнейшего рассмотрения нам требуется ввести определение
производной по направлению.
Пусть имеются некоторое дифференцируемое в замыкании области V
поле тензора fcH(x) и поле некоторого фиксированного вектора Ь(х), тогда
выражение
b-V<8> кП, (3.5.18)
дкП
дЪ
определенное в замыкании области V, называют производной тензорного
поля по вектору Ь.
В частности, если fcH(x) — поле тензора нулевого ранга, т. е. скалярное
поле </>(х), а в качестве вектора b выбран вектор нормали η к поверхности
области V, то выражение
g = n-VHE (3.5.19)
определяет производную скалярного поля по нормали, а если в качестве
fcH(x) выбрано поле вектора а(х), то выражение
— = η· V0aL
on IZj
(3.5.20)
называют производной векторного поля по нормали к поверхности Σ.
Для производной по нормали к поверхности Σ от
радиус-вектора χ точек этой поверхности имеем
дх
дп
а также
n-V®x = n-E = n,
(3.5.20а)
0|х|
1 дх · χ
1 дх
χ
X · П
X
cos(x, η),
дп 2|х| дп |х| дп
(3.5.206) рис. з.5.1. К определе-
где cos(x, η) — косинус угла между векторами χ и η Нию производной по нор-
(рис. 3.5.1). мали к поверхности Σ
3.5.6. Формулы Грина
Запишем формулу Гаусса — Остроградского (3.5.16) для векторного
поля а(х):
n-adE= V-adV. (3.5.21)
ν

246
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Следствием этой формулы являются формулы Грина.
Пусть и(х) и v(x) — дважды непрерывно-дифференцируемые в области
V и непрерывно-дифференцируемые в замыкании V скалярные поля. Тогда
дивергенция векторного поля а = uVv удовлетворяет соотношению
V а = V (uVv) = uV · Vv + Vu · Vv = uAv + Vu · Vv. (3.5.22)
Подставляя это соотношение в (3.5.21), получаем первую формулу Грина
uAv dV +
Vu · Vv dV =
wVu · η άΈ.
(3.5.23)
ν
ν
С учетом определения производной скалярного поля по нормали (3.5.19),
формулу Грина (3.5.23) можно записать в виде
uAvdV+
Vu · Vv dV
ν
V
Меняя местами и <=* υ, из (3.5.24) получаем
vAu dV +
Vu · Vv dV =
w— ah.
on
du
on
(3.5.24)
(3.5.25)
ν
ν
Вычитая (3.5.25) из (3.5.24), приходим ко второй формуле Грина
dv ди
(uAv - vAu) dV
ί ον ди
\ дп дп
άΣ.
(3.5.26)
ν
В частном случае, если и = υ, то из (3.5.25) находим
иАи dV +
IVwl dV =
ди
дп
(3.5.27)
ν
ν
3.5.7. Формулы Гаусса
Если в (3.5.24) положить, что г* = 1, то получим формулу Гаусса
AvdV
— άΣ,
дп
(3.5.28)
ν
которая является частным случаем формулы Гаусса — Остроградского
(3.5.21).
Если в формуле Гаусса — Остроградского (3.5.13) в качестве поля ^Ω
выбрать градиент вектора V ® а, то в силу того, что V · V ® а = Да,

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
247
получаем векторную формулу Гаусса
AadV
on
η · V ® ΆάΣ.
ν
Аналогично находим тензорную формулу Гаусса
дкП
Δ kildV
дп
dE.
ν
(3.5.29)
(3.5.30)
3.5.8. Теоремы об интегральном тождестве и о среднем значении
Рассмотрим некоторые важные для МСС теоремы о свойствах интегралов
от тензорных полей.
Теорема 3.5.1 (об интегральном тождестве). Пусть ηΩ(χ) — поле тензора
п-го ранга, определенное и непрерывное в ограниченной области V с Εξ,
удовлетворяющее интегральному тождеству
ιΩ(χ) dV = 0
(3.5.31)
ν
для всякой подобласти V с V, тогда это тензорное поле тождественно
равно нулю во всей V:
ηΩ(χ) =0 Vx e V. (3.5.32)
▼ Обозначим Ω*1*··*"· — компоненты тензора ηΩ в ортонормированном
базисе ej. В силу непрерывности поля ηΩ(χ), функции йг1--Лп(х) также
являются непрерывными в V (см. п. 2.1.15). Тождество (3.5.31) эквивалентно
системе тождеств
Ω*ι···*η(χ) dV = 0 VVr с V (3.5.33)
ν
для каждого фиксированного набора гь ..., гп.
Допустим противное: тождество (3.5.32) не имеет места, тогда найдется
такой набор индексов (ц ...гп) = (j\ ...jn) и такая точка xq 6 V, что
значение функции Ω·7ι·*··7η(χο) φ 0 — отлично от нуля в этой точке. Пусть для
определенности оно является положительным: Ω·71····7η(χ0) > 0. Тогда, в силу
непрерывности функции Ω·7ι····7η(χ) в V, по любому числу ε > 0, в том числе
по ε = (1/2)Ω·7ι····7η(χ0) всегда найдется такое δ > 0, что Vx б Е/$(хо) С У
выполняется неравенство
\njl-jn(x) -njl"-jn(x0)\ < ^''-^(хо).
(3.5.34)

248
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Возможны две ситуации в каждой точке χ е Us(xq): 1) Ω·7ι"··7η(χ0) ^ Ω·7'1····7'" (χ);
2) 0 < Ω·?1····7η(χ0) < Ω·7'1····7'"(χ). Β первом случае из (3.5.34) следует
Ω*-·**(хо) - Ω^-^(χ) < ^Ω^-^(χο), (3.5.35)
откуда
Ω*-J»(χ) > iiV'-^ixo) > 0. (3.5.36)
Второй случай сразу обеспечивает неотрицательность Ω·7ι"··7η(χ). Таким
образом, во всем шаре и$(хо): Ω·7ι··*·7η(χ) > 0. Тогда интеграл от этой функции
тоже положителен (см. [13]):
^-^(х) dV>0, (3.5.37)
т. е. мы нашли такую область V' = и$(хо) С V, где выполняется неравенство
(3.5.37), но это противоречит исходному интегральному тождеству (3.5.33),
которое выполняется для всякой V с V. Полученное противоречие и
доказывает теорему. А
Аналогичным образом доказывают такие же теоремы для поверхностного
и криволинейного интегралов.
Теорема 3.5.2. Пусть ηΩ(χ) — поле тензора п-го ранга, определенное и
непрерывное на ограниченной двумерной поверхности Σ в пространстве
8$, удовлетворяющее интегральному тождеству
ηΩ(χ) άΣ = 0 (3.5.38)
Σ'
для всякой подповерхности Σ' с Σ, тогда это тензорное поле
тождественно равно нулю на всей поверхности Σ:
ηΩ(χ) = 0 Vx е Σ. (3.5.38а)
Теорема 3.5.3. Пусть ηΩ(χ) — поле тензора п-го ранга, определенное и
непрерывное на кривой С в Eg, удовлетворяет интегральному тождеству
ηΩ(χ) ds = 0 (3.5.39)
с
вдоль всякой части С кривой С, тогда это тензорное поле тождественно
равно нулю на всей кривой С\
ηΩ(χ) = 0 Vx e С. (3.5.39а)
Далее нам понадобится теорема о среднем значении. Сформулируем ее.
Теорема 3.5.4 (о среднем). Пусть /(х) и φ(χ.) — два скалярных поля,
определенных и непрерывных в связной области V; /ς(χ) ^ <^ς(χ) — два

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
249
поля, определенных и непрерывных на некоторой поверхности Σ,
являющейся двумерным связным множеством, а Д(х) и </>l(x) _ два поля,
определенных и непрерывных не некоторой непрерывной кривой С, причем
φ{χ), ^ς(χ) и ^l(x) we меняют знака соответственно в V, Σ и С, тогда
существуют такие точки xq Ε V, χς 6 Σ и х^ е £, «шо выполняются
следующие интегральные соотношения:
ν
V
/(хМх) ^ = /Ы
/Σ(χ)№(χ)# = /Σ(χΣ)
/l(x)^l(x) dV = /L(xL)
¥>(x) dV,
(^Σ(χ) dE,
(^L(x) ds.
(3.5.40)
▼ Докажем первое соотношение в (3.5.40). Пусть для определенности
</?(х) ^ 0 в V. Поскольку /(х) непрерывна в V, то она ограничена в V (см.
теорему Вейерштрасса в п. 2.1.7), тогда существуют такие числа т\ и m<i, что
гп\ ^ /(х) ^ га2 Vx б V", mi = гшп/(х), га2 = тах/(х), поэтому выполняются
xev xev
следующие неравенства: πΐ\φ(χ) ^ /(х)</?(х) ^ га2<^(х), Vx б V. Интегрируя
эти неравенства по V, получаем
т\
φ(χ)άΥ ^
/(x)<p(x)dV ^ га2
φ(χ)άΥ.
(3.5.41)
у
у
V
Поскольку </?(х) ^0 и </?(х) ^ 0 в V, то <р = Jy <p(x)dV > 0, тогда,
разделив полученное неравенство на число ф, получим, что πΐ\ ^ га ^ га2, где
(1/<р) Jy /(x)</?(x)dV = га. Поскольку /(χ) непрерывна в V, то она принимает
все значения от минимального до максимального, тогда по числу га всегда
найдется такая точка xq 6 V, что /(хо) = га, но это и означает, что для нее
справедливо первое соотношение в (3.5.40).
Второе и третье соотношения в (3.5.40) доказывают аналогично. А
3.5.9. Теоремы о стягивании интегралов к точке
Важную роль в МСС играют теоремы о так называемом стягивании
интегралов к точке. Для их формулировки используем понятие специальной
области: Vh (см. п. 3.2.14) — окрестности некоторой ограниченной
поверхности Σ/г, являющейся частью двумерной поверхности S с Εξ. Радиус-вектор
точек χ области Vh определяется уравнением (3.2.134), в котором введены
криволинейные координаты X1 на поверхности Σ^ и семейство линий X3,
ортогональных к Σ^, причем для Vh'. —h/2 < X3 < /г/2.

250
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Обозначим Vh+ и Vh- — верхнюю и нижнюю части области Vh, для
которых выполняются условия 0 < X3 < h/2 и —h/2 < X3 < О соответственно,
а также Σ^± — верхнюю и нижнюю боковые поверхности области Vh, для
которых X3 = ±/ι/2, и Σ^± — верхнюю и нижнюю торцевые части
поверхности области Vh, для которых 0 < X3 < h/2 и — h/2 < X3 < 0 соответственно,
а X1 удовлетворяют уравнению контура £ς* X1 = X^(s), 0 ^ s ^ sq, где
£ς — замкнутый контур, ограничивающий поверхность Σ^ (рис. 3.5.2, а).
Поверхность всей области Vh обозначим как dVh, а поверхность областей Vh±
как dVh±. Очевидно, что dVh± = ΣΛ± U ΣΛ±, и 0Vh = ΣΛ+ U ΣΛ_ U ΣΛ+ U ΣΛ_
(черта сверху, как и всегда, означает замыкание области).
Рис. 3.5.2. Область Vh (окрестность поверхности Σ/ι) в системе координат X1 (а),
с поверхностью Σ^ (б), пересечение поверхностей Σ^ и Σ^, (в)
Координаты X1 на поверхности Σ^ введем специальным образом. Возьмем
произвольную точку Μ € Σ, Μ φ £ζ в качестве начала координат X7,
линии семейства X2 будем полагать замкнутыми и расположенными таким
образом, чтобы контур Съ совпадал с одной из линий этого семейства и его
уравнение имело вид χ = xe(Xq,X2), где Xq = const = г^, а 0 ^ X2 ^ Xq.
Семейство линий X1 в этом случае имеет общую точку — точку М, и может,
например, совпадать с геодезическими линиями на Σ^, соединяющими точку
Μ с точками контура £ς.
Отметим, что в качестве координат X1 всегда можно выбрать длины дуг
соответствующих координатных линий, что мы и будем делать в дальнейшем.
Область Σ/j полагаем допускающей введение такой системы координат X1
(рис. 3.5.2, а).

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
251
Далее нам потребуется также поверхность Σ^, уравнение которой имеет
вид
Σ'Λ : χ = р{Х\Х20Л) + xM^UJi), (3.5.42)
0<Χι<Χ^=τΈ, -h/2< X3 <h/2, X2 = const.
Эта поверхность содержит координатные линии семейств Xх и X3, а X2 для
нее остается константой и принимает значение Х% или X2 (рис. 3.5.2, б).
Поверхности Σ^ и Σ^ пересекаются по кривой С, состоящей из сегментов
двух координатных линий семейства Х\ соответствующих значениям X2 =
= X2 иХ2 = X2:
С: χ = ρ(Χι,χΙχ), 0^Χι^τΈ. (3.5.43)
Поверхность Σ^ разделяет Σ^ на две части Σ^+ и Έ'Η_ (рис. 3.5.2, в).
С поверхностями Σ^± поверхность Σ^ пересекается по кривым L± (см.
рис. 3.5.2, в), а с Σ^± — по парам кривых L± и L±, которые, в силу
построения области Vh, являются сегментами прямых линий. Обозначим:
L = L+ U L- U L+ U L- U L+ U L_. Имеет место следующая теорема.
Теорема 3.5.5. Для области Vh — окрестности некоторой ограниченной
поверхности Σ^, построенной указанным выше способом, объемы \Vh±\ и
площади поверхностей |Σ^±|, |Σ^±| и |Σ^±| вычисляют следующим
образом:
\νΗ±\ = \\ΈΙι\(\τ\ΗΈ + ^ΚΈ), (3.5.44)
|Sh±| = |Eh|(l=F^E + ^£E), (3.5.45)
\Zh±\ = \b:\\ ν^2Ϊ· (3·5·46)
\Σ'Η±\ = \С\\ ^Ш, (3.5.47)
|Sft| = |£E|rE v^, (3.5.48)
ι
ГЦ
|£±Ι=Σ (^μϊ^Βμ + Λ^μ)172^1, (3.5.49)
Μ=0 Q
ГЕ
|£|=Σ V^m d^1 = (ν^ο+ν^ι")ΓΣ, (3.5.50)
Μ = 0 Q
где |Σ^| — площадь поверхности Σ^; |£ς| — длина контура £ς; #ς # if ς —
средние значения от средней и гауссовой кривизн Η и К по поверхности

252
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Σ^; у/922± — среднее значение от у/дю no Σ^±; y/g\\± — среднее по Σ^±;
y/g — среднее по Σ^; Ам, Вм и См — здесь функции от Xх:
Ам = 9и(Х »-Х"м)» Вм = Ьц(Х >ХМ)> См = (b\bki)\xi Х2 , (3.5.51)
' М
Μ = 0,1.
▼ 1. Для доказательства (3.5.44) воспользуемся формулой (3.5.7):
\Vh±\
dV
y/jj dXx dX2 dX[
(3.5.52)
vh± vh±
Учитывая, что в окрестности поверхности Vh якобиан y/g связан с у/§ —
якобианом поверхности Σ — по формуле (3.2.142) (это точная формула), то
из (3.5.52) находим
\Vh±\ =
уД (1 -2X3H + {X3)2K)dXx dX2 dX3,
(3.5.53)
vh±
где y/g, Η и К зависят только от Xх и X2. Учитывая теперь формулу (3.2.22)
для элементарной площадки άΣ и интегрируя по X3, получаем
\Vh±\ = \
άΣτ
К*
Η άΣ +
hc
К άΣ
= ^\ΣΗ\τ^ΗΈ\ΣΗ\ + ^ΚΈ\ΣΗ\, (3.5.54)
откуда действительно следует (3.5.44).
2. Для доказательства (3.5.45) используем формулу (3.2.22):
<h±\
άΣ =
g± dX dX'
(3.5.55)
Σ»±
Σ/ΐ±
Здесь g± — определитель метрической матрицы gfj на поверхности Σ^±, его
вычисляют по тем же формулам (3.2.140) и (3.2.142):
9и - 9u\Xb=±hi2·
(3.5.56)
Л1
у/9± = V9\X3=±h/2 = у/9 0 ThH+—K)
Подставляя теперь (3.5.56) в (3.5.55), приходим к формуле (3.5.45).
3. Докажем формулу (3.5.46). Для этого применим формулу (3.2.19) к
вычислению площади элементарной площадки dE, построенной на векторах
dx2 = v<idX2 и сЬсз = ndX3, лежащих в касательной плоскости к поверхности
Σ&±:
dEh = |dx2 x dx3| = |г2 х n\dX2 dX3 = y/g^dX2 dX3, (3.5.57)

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
253
так как
|г2 х п| = у/д\г1\ = у/дд
и
'922
(3.5.58)
Здесь учтены формулы (3.2.140), согласно которым матрица д^ — г* · г^· имеет
вид
fQ\\ 9\2 0х
9ij = I 012 922 0 1 . (3.5.59)
0 0 1
Поскольку у/д22 зависит от X3 (см. (3.2.140)), то площадки dE при X3 >0
и X3 < 0 будут различаться. Тогда для площади торцевых поверхностей Σ^±
имеем
±h/2
<h±
rg^i ds dXK
(3.5.60)
Здесь учтено, что в качестве координаты X2 всегда можно выбрать длину
дуги s соответствующей координатной линии Xх = const.
Воспользовавшись теперь теоремой о среднем, получаем формулу (3.5.46):
|£/г±| = ±у/д22±
±h/2
о ct
h
ds dX3 = „szy/g22± »
где
*Σ = |£ς|
(3.5.61)
(3.5.62)
— длина дуги контура |£ς|.
4. С помощью введенной системы координат X1, площадь |Σ^| можно
представить в виде
ΓΣ S£
άΣ
уД dX1 dX2
yg dX ds
0 0
τ~Σ Ss
= \fg dXx ds = yfg r^s^, (3.5.63)
о о
что и доказывает формулу (3.5.48).
5. Доказательство формулы (3.5.47) аналогично доказательству,
проделанному в п. 3: так как векторы dx.\ и ащ, в силу построения, лежат в
касательной плоскости к Σ^, то
dE'h = |dxi x dx3| = y/gudXl dX3,
(3.5.64)

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
255
в виде образов концентрических кругов, построенных в координатах
(n:>fe)> где #ς = £ςΑς — угол, в этом случае Νχ = 2π).
Для областей Vh такого семейства имеют место следующие соотношения,
являющиеся следствием (3.5.46), (3.5.48) (3.5.68) и (3.5.69):
|ΣΛ±| _ hsY,y/g22±
V922± _^
P^l±Vh, ΡΈ± =
у/922±
= const.
(3.5.70)
Тогда имеет место следующая теорема.
Теорема 3.5.6 (о стягивании интегралов к точке). Пусть область V с 8$
разделена двумерной гладкой поверхностью S на две непустые части V+
и V-, и пусть построено однопараметрическое семейство поверхностей
Vh с общей точкой Μ Ε S с радиус-вектором хм> удовлетворяющее
условиям а-г, тогда для всякого тензорного поля fcH(x), определенного в V,
непрерывного и интегрируемого в V±, а на S имеющего конечный разрыв',
всякого поля fcT(x), определенного, непрерывного и интегрируемого на 5;
всякого поля fcA(x), определенного, непрерывного и интегрируемого на
Σ^ ± и имеющего конечный разрыв на С; всякого поля fcB(x),
определенного, непрерывного и интегрируемого на С, имеют место предельные
соотношения
lim т=г-.
h->0 Σ,,
;Ω(χ) dV = 0,
Vh
lim ——.
h-*0 Σ,,
k
hi
Ω(χ) άΣ = κΩ+(χΜ) + ЙП_(ХЛ1),
dVh
lim ■——;
1
lim 7-TT
h-*0 \Ц к
Σ'
1
fcT(x) dV = kT(xM),
fcA(x) άΣ = 0,
lim 7-77
h-*o \C\ κ
1
lim —7
h-*0 \C\ k
fcB(x) ds = kB(xM),
fcA(x) ds = kA+(xM) + fcA_(x^),
где
k
k
k
Ω±(χ) = lim *Ω(χ), *A±(x) = lim fcA(x)
X-*XM
v±
Σ'
ΧΛ1
(3.5.71)
(3.5.72)
(3.5.73)
(3.5.74)
(3.5.75)
(3.5.76)
(3.5.77)
hn±
— предельные значения тензорных полей, вычисленные по разные стороны
от поверхности Σ в точке Μ Ε Σ (см. (2.1.17)).

256
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
▼ 1. Представим интеграл в (3.5.71) в виде суммы интегралов по Vh+ и
Vh- и воспользуемся теоремой о среднем:
кШУ =
:ΩάΥ +
шу = kii+\vh+\ + kii-\vh-\t
(3.5.78)
Ун
vh-
Vh-
где kft± — среднее значение по Vh±. Разделим (3.5.78) на |Σ^| и учтем
соотношение (3.5.44):
*п dv = *п+ g - \н. + *-Ц + *п_ β + \н. + h-R*
Ун
(3.5.79)
Поскольку Σ/г — гладкая поверхность, а #ς и К^ имеют конечные значения
при любом /ι, тогда, устремляя h —> 0, из (3.5.79) действительно получаем
(3.5.71).
2. Представляя интеграл (3.5.72) в виде суммы интегралов по Σ^± и Σ^±
и применяя теорему о среднем, получаем
Ω άΣ = ^Ω+ΙΣ^+Ι + *Ω_|ΣΛ_| + ''Ω+ΙΣ^+Ι + *:Ω_|Σ/ι_|. (3.5.80)
ovh
Здесь kil± — среднее значение по Σ^±, a kft± — по Σ^±. Разделим (3.5.80)
на |Σ^| и учтем соотношения (3.5.45), (3.5.46), а также (3.5.70):
h
К*
dVh
ΩάΣ = κίί+(\ - ϊιΗΈ + ^-ΚΣ) + *Ω_(1 + /ι#Σ + ^-#ς)+
+ ^Ω+ΡΣ+ν^ + ^_PE_v^. (3.5.81)
Поскольку для гладкой поверхности Σ^ функции Ρς± и fcn± имеют конечные
значения, то, устремляя h —> 0, из (3.5.81) действительно получаем (3.5.72):
1
lim .„ .
h-*0 Σ J
Ω άΣ = lim *Ω+ + lim *Ω_ = il+(xM) + Ω_(χ^). (3.5.82)
h—*0 h—*0
dVh
Последнее равенство в (3.5.82) получено вследствие свойства непрерывности
поля ^Ω в областях Vh+ и Vh- вплоть до поверхности S.
3. Формула (3.5.73) следует предельным переходом из следующего
соотношения:
1
кТ άΣ = τ^-ΑΣ}
Σ л
Τ,
(3.5.83)
где fcT = fcT(x) — среднее значение поля кТ в некоторой точке χ
поверхности Σ/г.

§ 3.5. Объемные интегралы от тензорных полей
257
Возьмем любое ε > О, в силу непрерывности поля fcT(x) на 5, всегда
найдется такое число δ > О, что Vx е 5: |х — хл*| < δ будет выполнено |Т(х) —
— Τ(χχ)| < ε. Положим /iq = {δ / Νγ,Αγ)2, тогда V/ι < /iq и Vx e Σ^, в силу
(3.5.68) и (3.5.69), выполняется неравенство
|х - *м\ ^ τΈ = N^A^y/h ^ ΝΈΑΈλ/κ~0 = δ, (3.5.84)
а следовательно, выполняется и |Т(х) — Τ(χχ)| < ε. Полученное
утверждение и есть математическая запись предельного перехода
lim fcT(x) = fcT(XAA (3.5.85)
4. Используя теорему о среднем, для областей Σ^± получаем
кА άΣ = kA+\Z'h+\ + *Α_|Σ'Λ_|. (3.5.86)
ς;
Применяя формулу (3.5.47), находим
|1 | fcA άΣ = кА+±^ + fcA_^vinr. (3.5.87)
К
Отсюда при h —> 0, в силу ограниченности значений fcA и у/дГГ Β Vh±,
действительно получаем формулу (3.5.74).
5. Формулу (3.5.75) легко установить предельным переходом при h —> О
из соотношения
J_
Μ J "" \с.
с
где fcB — среднее значение в некоторой точке χ контура С е Σ^. Поскольку
при h —> 0, в силу непрерывности поля fcB(x) на 5, выполняется соотношение,
аналогичное (3.5.85), то из (3.5.88) следует (3.5.75).
6. Представим интеграл по контуру L в виде суммы интегралов по кривым
L±y L± и L± (см. рис. 3.5.2, в) и применим к каждому интегралу теорему о
среднем:
;А ds = fcA+|L+| + fcA_|L_| + fcA+|Z+| + fcA_|Z_| + fcA+|L+| + fcA_|£_|.
(3.5.89)
Применяя формулы (3.5.49) и (3.5.50), в предельном переходе получаем
\im\L±\/\£\ = 1. (3.5.90)
h—»0
кВ ds = j%\£\ = кВ = fcB(x), (3.5.88)

258
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Поскольку L± и L± представляют собой отрезки прямых (это утверждение
следует из уравнения (3.2.134) для точек Vh при фиксированных значениях
Xl,X2 = const и -/г/2 < X3 < /г/2), то
lim
\L-
\L±\ = \L±\ = h/2
1
lim
h
= 0.
(3.5.91)
(3.5.92)
^° |£| 2(v^ + λ/Α~ι)ΝέΑέ h-° ^
Здесь мы использовали формулы (3.5.50), (3.5.68) и (3.5.69).
Из (3.5.89), (3.5.90) и (3.5.91), очевидно, следует формула (3.5.76), так
как fcA(x) — непрерывное поле на Σ^+ и Έ'Η_ вплоть до границы S. А
Упражнения к § 3.5
Упражнение 1. Показать, что в цилиндрической системе координат элементарный
объем (3.5.3) имеет вид
dV = г dr άφ dz.
Упражнение 2. Показать, что в сферической системе координат элементарный объем
(3.5.3) имеет вид
dV = г sin ϋ dr άύ άφ.
Упражнение 3. Показать, что из (3.5.11), (3.5.13) и (3.5.16) для вектора при η = 1
следует
η <g> а άΈ =
ς ν
η · а άΈ =
V ® a dV,
V-adV,
ν
a <g> η άΈ =
ς ν
η χ a άΈ =
ν
(V<g>a)W,
V χ a dV.
Упражнение 4. Показать, что из (3.5.11), (3.5.13) и (3.5.16) для тензора второго
ранга при η = 2 следует
η <g> Ω άΣ =
V ® Ω dV,
η χ Ω ciE =
V χ Ω dV,
ν
η · Ω dE =
Ωτ ·ηάΣ =
ν
V-QdV.
ν
Упражнение 5. Используя результаты упр. 4 и соотношение (2.4.25), доказать
справедливость формулы
η · Ω · а άΣ
V · (Ω · a) dV
((ν·Ω)·& + Ω··(ν<^)τ) dV.
ν
ν
Упражнение 6. Доказать справедливость формулы
χ χ η · Ω άΣ = -
(η · Ω) χ χ άΣ =
(χ χ V · Ω) dV - 2
ωάΥ,
ν
ν

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
259
где ω — вектор, сопутствующий кососимметричной части тензора Ω
Упражнение 7. Используя скалярную формулу Гаусса — Остроградского для вектора
(см. упр. 3) и теорему о среднем, показать, что
V · а = lim —- η · а άΣ,
Δν-οΔν J
ΔΣ
т. е. дивергенция вектора в точке χ области есть предел отношения потока вектора
через малую замкнутую поверхность ΔΣ, окружающую точку х, к объему AV,
ограниченному этой поверхностью.
§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
3,6.1. Определение несобственных интегралов
В МСС кроме объемных интегралов (3.5.4) от ограниченных функций
на ограниченном множестве V с 8$ используют также интегралы от
неограниченных функций /(#*) в области V с 8%, называемые несобственными
интегралами второго рода, и интегралы от ограниченных функций f(xl) на
неограниченном множестве, например, на всем 8%, называемые
несобственными интегралами первого рода.
Введем эти несобственные интегралы предельным переходом.
1. Пусть функция f(xz): Vc^-^M1 удовлетворяет следующим условиям
(рис. 3.6.1):
• определена в ограниченной области V <z8$;
• непрерывна на замыкании всякого множества V \ С/^хо), где С/$(хо) —
5-окрестность точки xq € V, целиком принадлежащая V: Us{x-o) С V;
• обращается в бесконечность (см. п. 2.1.7) в точке xq € V.
Тогда во всякой области V \ Us(xo) существует интеграл (3.5.4).
Рассматривая вещественное число δ на промежутке 0 < δ < δο (число #о
выбирают из условия Us0 С V), можно определить функцию
Η{δ)= | ί{χ*)αΎ9 0<δ<δ0. (3.6.1)
Если эта функция Ιι(δ) имеет предел в точке δ = О,
то этот предел называют несобственным интегралом
второго рода от функции /(#*) на области V и
обозначают так же, как и (3.5.4):
[ f(xl) dV = lim f(xl) dV. (3.6.2)
Рис. 3.6.1. К
определению несобственного ин-
V V\Ug(xo) теграла второго рода

260
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
В этом случае говорят также, что несобственный интеграл сходится при
х->х0.
2. Пусть функция fix1) удовлетворяет следующим условиям:
• определена на всем пространстве 8%;
• для всякого вещественного положительного числа г > 0 является
непрерывной на замыкании шара £/к(0) = {хг' |х| < г}.
Тогда на этом множестве Ur(0) существует интеграл (3.5.4) от функции f(xl):
h(r) = fix') dV, r > 0.
(3.6.3)
WO)
В результате будет определена функция h(r).
Ur{0)
S?\V
Рис. 3.6.2. К определению
несобственного интеграла первого
рода по всему пространству 8$
Рис. 3.6.3. К определению
несобственного интеграла первого рода по
внешности ограниченной области V
Если у этой функции существует предел на бесконечности (см. п. 2.1.7),
т.е.
Зй0€Е: Υε>0 3r0 : Vr > r0 |/ц>-Л(г)| < ε,
(3.6.4)
то этот предел ho называют несобственным интегралом первого рода от
функции /(#*) по всему пространству 8% (рис. 3.6.2) и обозначают как
| /(х') dV = Дт | /(χή dV.
(3.6.5)
v0
Ur(0)
В этом случае говорят также, что несобственный интеграл сходится при
|х| —> +оо.
Частный случай представляют собой несобственные интегралы первого
рода от функций /(жг), определенных во внешности ограниченной области V
(рис. 3.6.3), т. е. в 8% \ V. Для них функции /i(r) имеют вид
Кг) = | fix1) dV,
(3.6.6)
Ur(0)\V

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
261
где г выбираем таким образом, чтобы V С {7Г(0). Тогда несобственный
интеграл первого рода обозначают как
fix') dV = lim I fix') dV.
J г-юо J
(3.6.7)
VooNv
ur(0)\v
3. Пусть функция fix1) удовлетворяет следующим условиям:
• определена на всем пространстве 8%;
• для всяких двух различных вещественных положительных чисел г ι > г 2
является непрерывной на замыкании полого шара:
Unr2 = ^п(хо) \ *Л-2(хо);
(3.6.8)
• обращается в бесконечность в точке хо € ££·
Для такой функции на каждом полом шаре Urir2 существует интеграл (3.5.4)
от fix1)у который всегда можно представить в
виде
Ь2Ы + Мп)= | №)dV9 (3.6.9)
и,
Пг2
h2ir2)= | №)dVt Λι(π)= J fixl)dV,
ur
Ur
Τ0Γ2 ^rjTQ
для 7*i и Г2, удовлетворяющих условию
Г2<Ч<Г\-
i ( frfo
\ w^
Сг-0Г2
CJr^
^XO/
^ιΛίπο
Рис. 3.6.4. К определению
несобственного интеграла
третьего рода по всему
пространству ει
Если функция h\(r\)t определенная на (0,го),
имеет предел в точке г\ = О, а функция /ьгСгг)»
определенная при гг > г*о, имеет предел на бесконечности, то говорят, что
существует несобственный интеграл третьего рода от функции fix1) по
всему пространству 8% (рис. 3.6.4), и обозначают его как
I fix1) dV = lim ι /(aOdV+lim ' fix*) dV. (3.6.10)
J ri->oo J r-2—0 J
Ко
tfr
tfr
'Пг0 ^»Х)Г2
В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится при χ —> xq и
|х| —> +оо.
Если же функция fix1):
• определена во внешности ограниченной области V (т. е. в 8$ \ V);
• обращается в бесконечность в точке xq € 8%, хо φ V;
• является непрерывной на замыкании всякого полого шара Urir2(xo),
вложенного в 8ξ \ V,

262
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
то функции Ы(гг) вводят следующим образом*
Мп)= | f(J)dV9 h2(r2)= I f(a*)dV9 (3.6.11)
UrxrQ (xo)nV
и,
Г0Г2
ДЛЯ ЛЮбыХ 7*1 И Г2, уДОВЛвТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ Г2 < Го < 7*У < 7*1, V С
С ^г?г0(х0)·
\ *ν
СуоГ2
(го?
""^ν. С/Г1Го
Гр\\
^ч\у
Если /ii(ri) имеет предел в точке г\ = 0, а
^2(7-2) имеет предел на бесконечности, то
говорят, что существует несобственный интеграл
третьего рода по внешности ограниченной
области V (рис. 3.6.5), и обозначают его как
ί
f(x*) dV= lim /*ι(η)+ lim й2Ы-
П-юо r2->0
(3.6.12)
Замечание 3.6.1. Функции hi(ri) (3.6.9)
определены неоднозначно, так как значение числа
го остается произвольным. Однако это
обстоятельство не приводит к некорректности
интеграла (3.6.10), поскольку при любом значении
го сумма пределов в (3.6.10) остается
постоянной.
Замечание 3.6.2. Из определений (3.6.10) и (3.6.2), (3.6.6) следует, что
несобственный интеграл третьего рода всегда можно представить в виде
суммы несобственного интеграла первого рода на области Voo \ Uro(0) и
интеграла второго рода на области Uro(0):
Рис. 3.6.5. К определению
несобственного интеграла третьего
рода по внешности ограниченной
области V
Όο Voo\Ur0(0) UrQ(0)
dV.
(3.6.13)
Замечание З.6.З. Сформулированные определения несобственных
интегралов первого и третьего рода можно обобщить на случай произвольного
конечного числа особых точек хо«: г = 1, ..., ΛΓ, в которых функция /(#*)
обращается в бесконечность (рис. 3.6.6). Например, для интеграла третьего
рода на внешности ограниченной области V в этом случае вводят N функций
^2г(^2г) И фуНКЦИЮ h\(r\)l
Мп)= J
f(xj) dV,
VX=V U, t/r-оДхОг),
г=1
tfP,(0)\Vi

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
263
МЫ =
и.
\
0ir2i(x<h)
f(xj)dV, i=l,
Ν,
(3.6.14)
где Г2г < roi < rj < ri, a rj выбирают из условия того, что Uroir2i(xoi) с
С Uri(0), V с С/п(0), Уг = 1, ..., N. Если функции /&2г(г2г) имеют пределы
при Г2г —* 0, а функция /ii(ri) при π —> оо, то говорят, что существует
несобственный интеграл третьего рода по
внешности ограниченной области V, и обозначают
его так же, как и (3.6.12):
J
N
ί{χι)άν= lim Mn) + V lim Mr&).
»ч—»rv< f » /». ^Q
Π—»O<0
i=l
Г2Г
Voo\V
(3.6.15)
Этот интеграл, очевидно, также можно
представить в виде суммы интегралов первого и
второго рода:
} /-V- }
Voo\V
KooNV,
Ν
г=1
fdV.
^0,(Χ0ί)
Рис. 3.6.6. К определению
несобственного интеграла третьего
рода от функции fix1) с N особыми
точками, определенной во
внешности ограниченной области V
(3.6.16)
В случае несобственного интеграла третьего рода по всему пространству
££» также имеют место формулы (3.6.15) и (3.6.16), в которых множество V
следует положить пустым: V = 0.
Замечание 3.6.4. Данные выше определения 1-3 предполагают сходимость
несобственных интегралов по определенному типу областей — по шарам
радиуса г. Такие интегралы называют еще интегралами в смысле главного
значения и относят их к условно сходящимся интегралам, в отличие от
абсолютно сходящихся, предел которых не зависит от вида областей. Для задач
МСС достаточно, как правило, ограничиться указанными выше главными
значениями интеграла, что далее и будет сделано.
3.6.2. Признаки сходимости несобственных интегралов
Далее нам потребуются достаточные признаки сходимости несобственных
интегралов.
Теорема 3.6.1. Для сходимости несобственного интеграла третьего рода
от функции f(xx), определенной на всем 8% и удовлетворяющей условиям
подраздела 3 из п. 3.6.1, достаточно, чтобы:

264
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
1) существовала функция f{xz), удовлетворяющая условиям
подраздела 3 из п. 3.6.1, для которой интеграл третьего рода \ f(xl)dV
ν*
сходится при χ —> xq и |х| —> +оо;
2) имело место следующее неравенство на всяком полом шаре ?7Г]Г2(хо):
|/(^)| < \f(x% Va:* 6 1ГГ1Г2(хо).
(3.6.17)
▼ Рассмотрим произвольные положительные числа ε\ и ε2. Поскольку
интеграл J f(xl)dV сходится, то по определению существуют пределы функций
V*
h\(r\)
f(xl)dV, h2(r2)
Kxl)dV
(3.6.18)
Г0Г2
r2r0
при r\ —> 0 и Г2 —> 0 соответственно. Тогда, согласно критерию сходимости
Коши (см. п. 2.1.7), по числам ει и ε2 всегда найдутся такие положительные
числа δ и г® (г^), что при всех попарно несовпадающих г\, г'[ и г2, г2',
удовлетворяющих условиям
\r2-r'2'\<5y r\>r°{, r'{>r°x, (3.6.19)
имеют место неравенства
Ып)-Ы4)\
!(χι)άν\<ε2, \hl(r\)-hl(r'{)\ =
f(xl)dV\ < ε,
Ur'r"
r2r2
rlrl
(3.6.20)
(Здесь для определенности выбраны г[ > г'[ и r2 > r2, в противном случае в
интегралах меняются местами г\, г'[ и г2, г2.)
Рассмотрим разности \h\(r\) — h\(r")\ и \h2(r'2) — h2(r2)\, где функции
h\(r\) и h2(r2) определяют по (3.6.9), а г\ и г", а также г2 и г2 —
произвольные положительные несовпадающие числа, удовлетворяющие условиям
(3.6.19). Тогда, в силу (3.5.4а), (3.6.17) и (3.6.20), имеют место неравенства
IMri)-Mr7)|
!{xlW\ <
\}{xl)\dv<
Ur'r"
rlrl
Ur'r"
rlrl
<
Kxl)dV <
/V)^|<£1, (3.6.21)
rlrl
i/r/r//
rlrl
IM^2)-^2W)I
f(xl)dV\ <
|/(a:<)|dV<
i/r/r//
r2r2
r2r2

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
265
< fix^dV ^ | Kxl)dV\ < ε2,
U I II U I II
r2r2 r2r2
которые и доказывают, согласно критерию Коши, сходимость функции /12(^2)
при r<i —> 0 и функции h\(r\) при ri —> +00 и существование соответствующих
пределов lim /г2(г2) и lim ^ι(π)· Но, согласно определению из подразде-
Г2—*0 г\—*+оо
ла 3 п. 3.6.1, это и означает сходимость интеграла третьего рода от функции
}{хг) при χ —> xq и |х| —> +оо. А
Теорема 3.6.2. Для сходимости несобственного интеграла второго рода
от функции f{xz), определенной на ограниченной области V с Εξ и
удовлетворяющей условиям, указанным в подразделе 1 п. 3.6.1, достаточно,
чтобы.
1) существовала такая функция }{хг), определенная на той же
области V и удовлетворяющая тем же условиям из подраздела 1
п. 3.6.1, для которой сходится несобственный интеграл второго
рода ifix^dV;
ν
2) имело место неравенство
|/(^)| < /V), Vf€K\ 1Ъ(хо). (3.6.22)
Здесь Us(xq) — произвольный шар радиусом δ, целиком вложенный в V.
▼ Доказательство этой и следующей теорем, осуществляют тем же
способом, что и доказательство теоремы 3.6.1. Оставим это доказательство в
качестве упр. 1 к § 3.6. А
Теорема 3.6.3. Для сходимости несобственного интеграла первого рода
от функции }{хг), определенной на всем Е% и удовлетворяющей условиям,
указанным в подразделе 2 п. 3.6.1, достаточно, чтобы:
а) существовала функция f(xl), которая также удовлетворяет
условиям из подраздела 2 п. 3.6.1 и для которой интеграл первого рода
J }{хг) dV сходится при |х| —> +оо;
б) имело место неравенство (3.6.22) для всякого шара Us(xq).
▼ Доказательство теоремы также оставим в качестве упр. 1 к § 3.6. А
3.6.3. Объемный потенциал
Важную роль в МСС играют несобственные интегралы от степенных
функций |х — χο|-λ и их комбинаций с непрерывными функциями.
Теорема 3.6.4. Пусть скалярная функция ξ(χ) удовлетворяет следующим
условиям:
• определена во всем пространстве Εξ\

266
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
• существуют такие числа к и X (к > О, 2 < λ < 3), что при всех χ
выполняется неравенство
ιλ
|«х)| ^ fc/|x|A Vx€£3a;
(3.6.23)
• кусочно-непрерывна в замыкании всякого полого шара Urir2(0),
тогда
1) несобственный интеграл третьего рода
ФЫ= f ^rdV, r = |x-x0|, 1^μ<3
(3.6.24)
vQ
сходится при |эс| —*- +оо wx->xq, где хо — произвольная точка в 8%\
2) существуют такие два числа R\ > О и к\ > О, что Vi? > R\
\ψ(*ο)\ < &ι/|χ0|λ+μ-2 Vx0 € URRl(0). (3.6.25)
Т Отметим, что условиям теоремы удовлетворяет функция ξ(χ), кусочно-
непрерывная во всяком шаре Ur(0), а также функция ξ(χ), неограниченная в
точке 0.
Характерный график функции ξ(χ) вдоль прямой, соединяющей точки О
и хо показан на рис. 3.6.7.
^Го2Г22 1Χθ)
Уг01Г21 \У)
ипА0)
Рис. 3.6.7. Геометрические построения для потенциала Ньютона
В частности, условиям теоремы удовлетворяет сама функция (&/|χ|λ)
введем для нее специальное обозначение
к
F(x,x0) =
|х|А|х-х0Г
Vx,x0€££.
(3.6.26)

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
267
В силу (3.6.23) и (3.6.26), имеет место неравенство
%^F(x,x0) Vx,x0e£3a.
(3.6.27)
Рассмотрим вначале случай, когда xq φ 0, при этом функции (ζ/r) и
F(x, xq) имеют две особые точки: х = 0их = xq, в которых они обращаются
в бесконечность. В соответствии с определениями из п. 3.6.1, несобственный
интеграл (3.6.16) третьего рода от такой функции определяют с помощью
трех функций /ii(ri), h2\{r2\) и h22{r22):
¥>(хо)
dV =
dV +
dV +
5г dV, (3.6.28)
Vo
Voo\V\
Urm (0)
^rn9(xo)
где
4т dV = lim h\(r\)t
γ* г* .. . —
r\—»oo
Voo\V!
^r01(0)
— dV = lim /i2i(r2i),
' Г21—*U
^rn;)(xo)
dV = lim h22(r22),
r22-»0
(3.6.29)
Mn)
h22(r22) =
4dvr>
^2l(^2l)
4^>
Γμ
ί/r, (0)\Vi
r01r21( )
4<^,
F^^fOjU^Jxo)
(3.6.30)
r02r22^X0^
Здесь числа r0i, r2\, tq2, r22 и ri выбраны таким образом, чтобы r2i < r0i <
< г® < r\ и выполнялись следующие условия: шары Е/Г01Г21(0), £/Г02Г22(хо) не
пересекаются и вложены в шар Е/го(0) (см. рис. 3.6.7).
1. Покажем, что все три несобственных интеграла в (3.6.28) сходятся.
Рассмотрим вначале первый интеграл и покажем, что участвующая в его
определении функция h\(r\) имеет предел при г\ —> оо.
Выберем два произвольных числа г[ и г", таких, что г°х < г" < < г[ < п,
тогда для функции имеет место следующая оценка:
Ыг[) - Ы(г'{)\
dV -
hW
^,(0)\V,
^-(0)\ν,
3ΐ ^l<
Здесь использовано неравенство (3.6.23)
Щ dV^k
dV
Γμ|χ|λ
(3.6.31)
Ur,r,,(0)
ur,r,,(0)
Ur[r,,(0)

268
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Поскольку г = χ — xq, to, используя свойство скалярного произведения
векторов, имеем неравенство треугольника (1.1.86):
= |г| = |х - хо| = \/(х ~ хо) · (х - хо) = ν Iх!2 + 1хо|2 - 2|χΙΙχοΙ cos7 ^
^ л/|х|2 + |xol2 — 2|х||хо| = |х| — |хо|» (3.6.32)
где 7 — Угол между векторами χ и xq. Здесь мы также учли, что в шаре
иг{Го{0) всегда |х| > |х0|.
Введем число m = (|xo|/rJ) + 1. Поскольку в шаре Ur ro(0) всегда
выполняется условие г > г ρ то имеем
г>го= Ы
m - 1
Отсюда с учетом (3.6.32) получаем следующие неравенства в шаре Ur ro(0):
тпг > г + |xq| ^ |х|.
Подставив это неравенство в (3.6.31), запишем оценку для функции h\(r\)
следующим образом:
|ft,(r|)-ft,(ri')|<fcm'*
2π π ri
dV ■ "V
|χ|λ+μ
Ιζηιμ
sin ΰ άΰ
R2 dR
#μ+λ
(3.6.33)
i/r/r//(0) О О
Здесь мы осуществили замену переменных по формуле (3.5.7), выбрав в
качестве криволинейных координат Xх сферические координаты Xх = R = |х|,
X2 = ΰ, X3 = φ с центром в точке χ = 0. Якобиан этого преобразования
имеет вид у/д = R2smu.
Вычисляя интеграл по радиусу, получаем (в силу того, что λ + μ > 3)
IMnJ-Mn)! < —-;—o(ri ri )<
(3.6.34)
Из (3.6.34) следует, что по любому числу ε > 0 всегда найдется такое число
С
^(μ + Α-3)ε,/
что для всяких чисел г[ > г'[ > с будет выполнено условие
■, , ,ч , , /л, , 8πΑ;?7ΐμ 8πΑ;?7ΐμ
\h\(r\) - h\(r{)\ ^ —г-—τ < ——τ = ε,
1 V lJ V 1Л (M + A-3)r;; λ+μ~3 (μ + λ - 3)ολ+μ-3
т. е. функция /ii(ri) действительно имеет предел при г\ —> оо (см. (2.1.21)).
Рассмотрим теперь второй интеграл в (3.6.28) и покажем, что функция
^2i(r2i) имеет предел при Г2\ —> 0. Поскольку функция {\/τμ) в шаре С/Г01Г21(0)

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
269
является ограниченной: |1/Γμ| < с, то для любой пары чисел г21, г21,
удовлетворяющих условиям 0 < Г21 < rid < r'2x < tq\, имеет место следующая оценка
(с учетом того, что λ < 3):
\h2i(r'2l) - h2l(r'2\)\ =
dV -
bdV\ =
%'21<°>
dV\ <
Щ dV ^ ck
dV
χ
Uri r» (0)
r21r21
= 4nck
U I II
2121
Uri rii
r21 21
21
R dR А-кск , , 3_A „ 3_A
R'
3-A
(r
21
— r,
'21
Акск
21
·)
< !^((<5 + 4)3-λ-4,3-λ) < ^/-X- (3.6.35)
Здесь учтено, что функция f(x) = (δ + χ)3_λ — χ3_λ при 2 < λ < 3 является
монотонно убывающей.
Из (3.6.35) следует, что Υε > 0 существует такое число
(3-λ)ε\ΐ/(3-λ)
Ρ~Α)ε\
\ 4ккс )
что Vr21, r'2V удовлетворяющих условию |г21 — г'2\\ < δ, выполняется
неравенство
IM'iO-M'iOKe. (З·6·36)
означающее, что предел функции /121(^21) ПРИ r2i —> О существует.
Аналогичным образом рассмотрим третий интеграл в (3.6.28) и покажем,
что /122(^22) имеет предел при Г22 —> 0. Поскольку функция ξ(χ) ограничена в
шаре £/Го2Г22(хо): |£| < сь то для любой пары чисел г22, г22, удовлетворяющих
условиям 0 < Г22 < г22 < г22 < го2, имеет место следующая оценка (в силу
того, что μ < 3):
\h22(r'22) - h22(r22)\ =
ξ
τμ
Η^Κ
%г22(хо)
%42(Χθ)
<
Μ <fl/ < Cl
22
iT сШ
R»
Uri rn (xo)
r22r22
£/_
'22'22
22
i^(r'3"" - r" 3"") < Ι^ί»-", (3.6.37)
ο — μ ΔΔ ΔΔ ο - μ

270
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
если 2 ^ μ < 3. Если же 1 ^ μ < 2, то, в силу монотонного возрастания
функции }{х) — (δ + χ)3~μ — χ3~μ, вместо (3.6.37) получаем следующую
оценку:
\h22(r'22) - н22(42)\ < |^(43-- - r'^-η < ^-((δ + r02)3-^ - τ30~η.
(3.6.37a)
Из (3.6.37) и (3.6.37а) следует, что Υε > 0 всегда существует такое число
х /(3-μ)ε\ν(3-μ)
^ = ( о- ) ПРИ 2 < μ < 3
2ποι /
2тгс, +Γ°2 У
- r02 при 1 ^ μ < 2,
что V r22, r2'2, удовлетворяющих неравенству |r22 — r22 \ < δ, выполняется
\h22(r'22) - h22(r22)\ ^ε,
означающее, что предел функции h22(r22) при г22 —> 0 существует.
Таким образом, согласно определению из подраздела 3 п. 3.6.1, существует
несобственный интеграл третьего рода (3.6.28).
2. Покажем, что имеет место оценка (3.6.25). Отметим, что поскольку в
качестве функции ξ(χ) можно выбрать функцию &/|χ|λ, то из доказанного
выше утверждения следует, что существует интеграл третьего рода от
функции (3.6.26):
ψ(χ0) =
F(x,x0) dV,
(3.6.38)
Vo
причем, в силу (3.6.23), для него верна оценка
Ψ(*θ)
dV <
F(x, x0) dV.
(3.6.39)
va
vn
Обратим внимание на то, что интеграл ф(хо) зависит только от длины
вектора |xq|. Действительно, переходя к сферическим координатам ΙΙ,φ,ΰ с
центром в точке 0, получаем
2π π оо
ψ(χ0) =
iTsintf d<j>dtidR
0 0 0
RX(R2 + |x0|2 - 2Д|х0| cos7)M/2
= Ф(Ы)·
(3.6.40)
Здесь, как и ранее, R = |х|, а также использована формула (3.6.32) для
|х — хо|, угол 7 между векторами χ и xq зависит только от координат φ и ΰ.

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
271
Осуществим замену переменных в интеграле (3.6.40), полагая и = Я/|х0|,
тогда получим снова функцию ψ(|χο|) при значении |xq| = 1, поделенную на
|λ+μ-2.
ΙχοΙ
Ф(Ы) =
1
χο
λ+μ-2
2πποο
0 0 0
sin?9 άφάϋάιι
ιΚΐ)
и (и + 1 - 2wcos7)
μ/2
χο
λ+μ-2
(3.6.41)
Поскольку интеграл ψ(|χο|) — сходящийся, то значение ψ(\) — конечно,
тогда, подставляя (3.6.41) в (3.6.39), приходим к следующей оценке:
~ к\ ~
ψ(Χθ) ^ Ф{Ы) = | ,л+и-2> fel = W)>
|хог
которая совпадает с (3.6.25). А
Несобственный интеграл третьего рода (3.6.24) при μ = 1 называют
объемным потенциалом или потенциалом Ньютона
" €(χ)
7(*о) =
dV', г = χ — xq|
(3.6.42)
va
Из теоремы 3.6.4 следует, что этот интеграл является сходящимся при
|х| —> оо и χ —> xq и удовлетворяет условию (3.6.25) с μ = 1:
*1
|7(хо)1 <
|хо
λ-1
Vxo6irMl(0).
(3.6.42а)
Теорема 3.6.5. 1. Являются сходящимися при χ —> xq следующие
интегралы второго рода:
к .__ 4πΑτ3-λ
г ак =
Ur(xo)
V
|х-хо
к
|х-х0
р(хг)
0 < λ < 3,
ν
χ-χοΙ
3-Л '
х dV, х0 € V, 0 < λ < 3,
у dV\ х0 € V, 0 < λ < 3,
/(**) dV, x0 e V,
(3.6.43)
(3.6.44)
(3.6.45)
(3.6.46)
ν
если V — ограниченная область в Е£, р(хг) — непрерывная функция в V,
а }{хг) удовлетворяет условиям подраздела 1 из п. 3.6.1 и для нее имеет
место неравенство
1/(^)1 <
к
|х-хо|
, * > 0, 0 < λ < 3, Vx e V \ %(х0),

272
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
где Us(xq) ~ произвольный шар, вложенный в V.
2. Является сходящимся при |х| —> оо и χ —> xq интеграл третьего рода
по внешности ограниченной области V с 8%:
х - хо|
dV\ 1 ^ μ < 3, х0 £ V,
(3.6.47)
Уоо\У
если функция ξ(χ) удовлетворяет условиям теоремы 3.6.4 при 0 φ V (если
же 0 е V, то условие (3.6.23) яа ξ можно ослабить, достаточно лишь,
чтобы выполнялось λ > 2).
▼ Доказательство этой теоремы осуществляют тем же методом, что был
использован при доказательстве теоремы 3.6.4. Подробности доказательства
оставим в качестве упр. 2 к § 3.6. А
3.6.4. Обобщенные формулы Грина
С помощью несобственных интегралов первого рода можно
сформулировать обобщение формулы Грина (3.5.26).
Теорема 3.6.6. Пусть функция <р(х) является дважды
непрерывно-дифференцируемой в замыкании ограниченной области V, имеющей гладкую
поверхность Σ, тогда значение этой функции φ(χο) в V можно
представить через ее значение </?(х) на поверхности Σ, нормальную производную
δφ/δη(χ.) на Σ и лапласиан Δ</?(χ) в V:
4π(^(χ0)
д /1
(£w-*<()K
Δ^(χ)
dV, Vx0 E V. (3.6.48)
ν
Здесь г = |x — xq|.
▼ Рассмотрим точку xq б V. Выберем некоторое число г > О, такое, что
шар Е/г(хо) целиком вложен в V: Е/г(хо) С V. Тогда в области V \ Е/г(хо)
функция 1/г является дважды непрерывно-дифференцируемой, и к этой
области можно применить вторую формулу Грина (3.5.26), полагая, что
и{х) = <р(х), а и(х) = 1/г, тогда поскольку Δ(1/γ) = 0, имеем
Αφ
V\Ur(xo)
где обозначены
ад =
αΎ = Ι0 + Ι(δ),
д /1
(3.6.49)
1<V
\ дпг г дп/ ' \ дп \г/ г дп/
Σδ(χο)
Здесь Σ^(χο) — поверхность шара Е/$(хо) (сфера радиуса (5) (рис. 3.6.8).

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
273
Σδ(χ0)
Рис. 3.6.8. К теореме 3.6.6
Преобразуем интеграл на этой сфере. Поскольку в формуле Грина нормаль
рассматривают как внешнюю к поверхности области, то для сферы Σ^χο)
g = n-VV> = eP.V^ = -g, g = n-en|VH = |VHcos7, (3.6.51)
где en — единичный вектор, коллинеарный вектору градиенту |Vy?| на сфере
Er(xo): Vy? = |Vy?|en, а η — угол между η и еп (см. рис. 3.6.8). Тогда,
поскольку на сфере Σ^χο) г = 7, имеем
зд. J (^»(i).Ete2)
άΣ =
Σδ(χο)
= J (g - £^β) dE = 4^2 (Ψψ> _ cos7lJ^|x^ (з 6 52)
Σδ(χο)
Поскольку все функции здесь являются непрерывно-дифференцируемыми на
Е^(хо), мы применили теорему о среднем значении для поверхностных
интегралов, где х* — некоторая точка на сфере Σ$(χο).
Введем функцию h(6), участвующую в определении (3.6.1) несобственных
интегралов первого рода:
h(6)= [ ^-dV. (3.6.53)
В силу (3.6.49) и (3.6.51), эта функция удовлетворяет уравнению
h(6) = -Ι(δ) -Ι0 = -4тг(у?(х*) + 5cos7|Vv?|x*) - Jo-
Переходя в этом уравнении к пределу, получаем
(3.6.54)
lim h(6) = — Iq — 4π</?(χο).
(3.6.55)

274
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Однако, поскольку по определению (3.6.1) в левой части этого уравнения
стоит несобственный интеграл второго рода
Αφ
lim h(S)
δ->0
χ - χοΙ
dV,
ν
то окончательно имеем
4тг^(хо) = -
^dV-I0,
г
(3.6.56)
(3.6.57)
ν
что с учетом обозначения (3.6.26) в точности соответствует формуле (3.6.48),
которую называют второй обобщенной формулой Грина. А
Теорема 3.6.7. Пусть функция φ(χ) является дважды
непрерывно-дифференцируемой в замыкании ограниченной области V, имеющей гладкую
поверхность Σ, тогда значение этой функции φ(χο) в V можно выразить
через значения этой функции φ(χ) на поверхности Σ и градиент V</?(x) в
V (первая обобщенная формула Грина):
4тг<^(хо) = Vy>(x) · V ОЛ dV - у>(х) A f I) dY> Vx0 € V. (3.6.58)
V Σ
▼ Доказательство этой теоремы осуществляют методом, использованным
при доказательстве теоремы 3.6.6; оставим его в качестве упр. 3 к § 3.6. А
Рассмотрим случай неограниченной области V. Для того чтобы обобщить
формулы Грина, ограничимся особым классом функций.
Определение 3.6.1. Скалярную функцию </?(х), определенную во
внешности ограниченной области V (т. е. в V\ = S$\V), называют
регулярной на бесконечности, если существуют такие три числа к\ > О,
&2 > 0 и Rq > 0, что V с ^Яо(О) и VR > Rq выполняются следующие
неравенства:
к
Их)| < £L |V^(x)| <
χ
к2
χ
Vxet/^(0).
(3.6.59)
Теорема 3.6.8. Пусть функции и{х) и υ {к)
1) определены во внешности V\ ограниченной области V;
2) дважды непрерывно-дифференцируемы во всякой области Vr =
= Е/д(0) \ V, где Ur(0) — произвольный шар, содержащий область V
(рис. 3.6.9);
3) регулярны на бесконечности,
тогда имеют место первая и вторая формулы Грина для области V\:
uAvdV+
Vu · Vv dV =
и—- dlj,
on
V\
v{

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
275
[ (uAv - vAu) dV = [ (и^ -v^j άΣ. (3.6.60)
Здесь Σ — поверхность области V, a J / dV — несобственные интегралы
V\
первого рода по V\.
Τ Рассмотрим число R > jRq, где Rq определяем из условия регулярности
функций и и г>, тогда шар Ur(0) содержит в себе область V, а в области
У и = Ur(0) \ V можно рассмотреть интеграл
h(R) = (иΑν - Vu · Vv) dV. (3.6.61)
Vr
В области Vr имеет место первая формула
Грина (3.5.23), поэтому \ ( / /NVr
Л(Л)= [ ugdE+LgdE. (3.6.62) ^^=^4(0)
Σ /Q) Σ Рис. 3.6.9. К теореме 3.6.8
Оценим поверхностный интеграл по Σβ(0), используя свойство
регулярности и и ν:
[ u|£dE| = | [ un.VvdE\^ [ H|Vv|dE^ ί ^ άΣ =
4nkk\
R '
Ед(0) ЕД(0) ЕД(0) ЕД(0)
(3.6.63)
Здесь мы учли, что площадь поверхности сферы Σβ(0): J άΣ = 4nR2.
Ед(0)
Отсюда следует, что
lim " u|u· dE = 0, lim h(R) = \u^- άΣ. (3.6.64)
β-юо J On R-^oo J On
Ед(0) Е
Второе предельное соотношение, согласно определениям (3.6.6) и (3.6.7), и
означает существование несобственного интеграла первого рода J (uAv -
Vi
- Vu · Vv)dV, значение которого совпадает с ju(dv/dn) άΣ, т. е. действи-
Е
тельно имеет место первая формула Грина (3.6.60).
Вторая формула Грина является очевидным следствием первой, а
Замечание 3.6.5. Формула Гаусса (3.5.28) уже не имеет места для Vi =
= £3 \ V — внешности ограниченной области, поскольку при выводе (3.5.28)
полагают и = 1, а эта функция уже не является регулярной на бесконечности.

276
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
3.6.5. Определение несобственных интегралов от тензорных полей
Пусть имеется поле тензора к-го ранга кП(х), определенное в некоторой
ограниченной области V с Εξ. Пусть йг1"Лк(х) — компоненты этого
тензорного поля в декартовом базисе ej, рассматриваемые при каждом фиксированном
наборе индексов гь · · ·, Ч как обычные классические функции. Положим, что
существует такая точка xq € V, в которой все функции Ω11···**(χ) обращаются
в бесконечность, но при этом существуют несобственные интегралы (3.6.2)
от этих функций. Обозначим эти интегралы так же, как и (3.5.5):
грг\...гк
Ω·ι····*(χ) dV = lim
<5-»0
Ω^-'^χ) dV. (3.6.65)
ν ν\νδ(χ0)
Определение З.6.2. Несобственным интегралом второго
рода от поля тензора к-го ранга fcH(x), заданного в ограниченной
области V с Εξ, и декартовы компоненты которого йг[--Лк(х.) обращаются
в бесконечность в некоторой точке xq Ε V, называют тензор k-го ранга
кТ, имеющий компоненты Тг[-Лк в декартовом базисе, вычисляемые по
(3.6.65) при условии, что указанные интегралы существуют.
Для этого несобственного интеграла сохраняют стандартное обозначение
(3.5.6). Можно также использовать представление (3.5.7).
Определение 3.6.3. Если имеется поле тензора fcH(x), компоненты
Ql[---lk(x.) которого в декартовом базисе ё* при фиксированном наборе
i\, ..., ik представляют собой функции, удовлетворяющие условиям
подраздела 3 из п. 3.6.1, и для которых существуют несобственные
интегралы третьего рода, то тензор к-го ранга кТ, имеющий следующие
компоненты в декартовом базисе ef.
rpl[...lk _
V
Ω*ι-**(χ) dV, (3.6.66)
называют несобственным интегралом третьего рода от
тензорного поля fcH(x).
Заметим, что в сформулированном определении так же, как и в
определениях из подразделов 1 и 3 п. 3.6.1 несобственных интегралов первого и
третьего рода, точку xq, в которой подынтегральная функция обращается в
бесконечность, мы полагали фиксированной. Однако можно менять значение
xq, выбирая их из области V. В этом случае подынтегральную функцию
можно представить как функцию двух аргументов fcH(x,x0), которая по первому
аргументу удовлетворяет условиям подраздела 1 (или 3) из п. 3.6.1, в
частности, обращается в бесконечность при совпадении аргументов, т. е. при χ —> xq,

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
277
а по второму аргументу предполагается непрерывно-дифференцируемой в
замыкании ограниченной области V с 8%.
Тогда несобственные интегралы (3.6.65) и (3.6.66) можно рассматривать
как несобственные интегралы второго и третьего рода, зависящие от
параметра:
*Т(х0) = [*Ω(χ,χο) dV = |Ω^··^(χ,χ0) dVeu Θ... 0eifc, (3.6.67)
ν ν
fcT(x0)= f*n(x,xo)dV. (3.6.68)
v0
3.6.6. Формулы Гаусса — Остроградского
для несобственных интегралов второго рода
Формулы Гаусса — Остроградского (3.5.11), (3.5.13) и (3.5.16) были
записаны в предположении о том, что все подынтегральные функции в
ограниченной области V являются дифференцируемыми и не имеют особенннос-
тей. Однако эти формулы можно применять и для
функций с особенностями, т. е. для случая
несобственных интегралов второго рода.
Теорема 3.6.9. Пусть функция fcH(x) — поле
тензора k-го ранга, дифференцируемое в
замыкании ограниченной области V, тогда имеет
место обобщенная тензорная формула Гаусса —
Остроградского
Гтт^Л0(хЛ лтл Г*®*П^ Л λ о
V & I —^ 1 dV = з— ^Σ» 0 < λ < 2.
ν ς
(3.6.69)
Здесь г = |х - xqI (χ, χο € V); Σ — поверхность области V.
Τ Рассмотрим некоторый шар Us{x-o) радиусом δ с центром в точке xq,
целиком лежащий в области V, и разобьем область V на две части V =
= Us(x.o)UVi, где V\ = V \ %(хо) (рис. 3.6.10). Составим по V\ и %(хо)
следующие интегральные выражения:
•Ω«1···<*(χ)
Рис. 3.6.10. К теореме 3.6.9
■υ
'"■"о-Ш
)nv-i£
Лк
(*)-#■
Лк
τ «ι-
ма I
Лк
άΣ,
τ г\...гк —
i3i
■ί
η,-Ω*1'
лк
άΣ. (3.6.70)
Σδ(χο)

278
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
1\..Лк
Интегралы 1^'" к не зависят от δ. Для 12~1'" к имеет место оценка
\i$-,k№ <
!!ЬШ1 1 άΣ < пЬ . ό = 4тгС",-,М2-\ (3.6.71)
Σδ(χο)
так как все функции Ω*1···** ограничены на всякой сфере |Ω11*··^| < Сч"Лк =
= const, |fij| ^ 1, а на сфере Σ$(χο): г = δ.
Функции ΐΛι'"4(δ) тождественно обращаются в нуль при любом δ,
поскольку, в силу построения этой функции,
Л?-*(*)
д /Ω*1-**
дх3
dV -
ft ■Oll"-*fc
^ άΣ-
η -Ω*1"·**
^ άΣ = 0,
V\ Σ Σδ(χο)
(3.6.72)
она представляет собой не что иное, как выражение формулы Гаусса —
Остроградского (3.5.11), примененной для области V\, в которой все
подынтегральные функции не имеют особенностей.
Тогда можно составить функции Ιι-'"4(δ), участвующие в определении
(3.6.1) несобственного интеграла второго рода:
д /Ω*1-**
иг\..Лк
П3
(δ)
д ПГ-"1к\
d?V rx )
аУ = 1п)1~Лк(6)+1*1-1к
1Ь
L3j
(3.6.73)
vi
.ai...ak > q всегда найдутся такие числа
При каждом фиксированном наборе индексов αϊ, ..., ак, β по любым
наперед заданным числам ε^1
ха|...а._Г £Т"ак У/(2~Л)
что при всех δ < δ0^ι'"α,ΐ будут верны оценки
\hf-ak{6) - 13р['"ак\ < 12%'"акШ < 4кС%1''-ак{60%1"-ак)2-х = е%1'~ак,
(3.6.74)
которые и означают, что функции №'"4(δ) при £ —► 0 имеют пределы,
совпадающие с 13ц"Лк:
г\--лк{Я\ _ Т г\'-лк
\imhill-lk(6)=L
δ->0
3j
(3.6.75)
Однако, согласно определению (3.6.2), эти пределы lim Η(δ) и есть несоб-
д - ■
ственные интегралы от функций —Т(Пц--Лк/гх):
дх3
д /Ω*1
дх3
(Пч-гк\
dV
τ) ■Ω*1"·**
^ άΣ.
(3.6.76)
ν

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
279
Домножая эту формулу на полиаду ё·7 ® ё^ ® ... ® ejfc, действительно
приходим к формуле (3.6.69). А
Таким же способом доказываем обобщенные скалярную и векторную
формулы Гаусса — Остроградского, являющиеся аналогами формул (3.5.13) и
(3.5.16):
η ·*Ω
ν Й?)"-
Vx
ν
dV
ηχ^Ω
dE,
dE, 0 < λ < 2.
(3.6.77)
у
В частности, если fcH(x) — скалярная функция /о(х), то из (3.6.69) получаем
49 " =
(3.6.78)
ν
3.6.7. Формулы Гаусса — Остроградского
для несобственных интегралов первого рода
Рассмотрим случай неограниченной области. Формулы Гаусса —
Остроградского имеют место и в этом случае, однако не для всяких тензорных
полей, а для регулярных на бесконечности.
Определение 3.6.4. Поле тензора k-го ранга fcH(x), определенное во
внешности ограниченной области V {т. е. eV\ = S$\V), называют
регулярным порядка а на бесконечности, если существуют такие
тензоры kilQ uk+lil\y имеющие все положительные конечные значения Ω^'"4,
Ω Λ1'"4 в базисе ё$, и такое число Rq > 0, что V/2 > Ro выполняются
неравенства
\№·'^(χ)\<ς$^, а>0,
χ
дП
l\...lk
(χ)
дх3
r\i\...ik
<-ltt^ Ухе[/ДЛо(0).
Χ
1+α
(3.6.79)
Теорема 3.6.10. Пусть поле тензора k-го ранга fcH(x):
1) определено во внешности V\ ограниченной области V;
2) дважды непрерывно-дифференцируемо во всякой области Vr =
= Ur(0) \ V, где Ur(0) — произвольный шар, содержащий V;
3) регулярно третьего порядка на бесконечности,
тогда имеет место формула Гаусса — Остроградского для несобственных
интегралов первого рода

280
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
[ V 0 kft dV = [ η 0 кП άΣ. (3.6.80)
Vi Σ
Здесь Σ — поверхность области V.
Τ Рассмотрим произвольное число R > jRq, где Rq определяем из условия
регулярности поля тензора fcO, тогда шар Ur(0) содержит в себе область
V (рис. 3.6.11), а в области Vr = Ur(0) \ V можно рассмотреть следующие
интегралы:
Σ
Н\У'ЛНВ) = Г -?-гП*1"Лк(х) dV (3.6.81)
J J дх3
Vr
В области Vr имеет место формула Гаусса —
Vr Остроградского (3.5.12), поэтому
• Ея(0) hf"ik{R) = η,-Ω*1"·** dE. (3.6.82)
Рис. 3.6.11. К теореме 3.6.10 Σ«+Σ
Оценим поверхностные интегралы по Σβ(0),
используя свойство регулярности (3.6.79) третьего порядка (а = 3):
ЕЯ(0) ЕД(0) ЕД(0)
(3.6.83)
так как на сфере Σβ(0) |χ| = Л.
Отсюда следует, что для каждого набора компонент i\, ..., ij^j
существуют пределы
lim njUil'"ik άΣ = О, lim №'"ik(R) = [η,-Ω*1-** dE, (3.6.84)
β—*0 J β—юо J J
Ея(0) Σ
которые и означают существование несобственного интеграла J* V 0 fcO dV
Vi
первого рода, значение которого совпадает с /п 0 ^Ω c/Σ, т. е. имеет место
Σ
формула Гаусса — Остроградского (3.6.80). А
3.6.8. Градиент объемного потенциала
Важнейшим для МСС примером несобственных интегралов от тензорного
поля первого ранга, т. е. от векторного поля, является градиент объемного
потенциала 7(хо)» задаваемого несобственным интегралом (3.6.42):

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
281
v(x0) = Vo7(xo) = ^Г^ё* = щё\
(3.6.85)
Здесь V = ёг(д/дхг) и Vq = ёг(д/дхг0) — набла-операторы относительно
переменных χ и xq соответственно.
Если бы было установлено, что 7(хо) является дифференцируемой
функцией, то набла-оператор мог бы быть внесен под знак интеграла в (3.6.42) и
для градиента Vq7 получили бы выражение
^г(хо)
ν = Vo7(*o)
$7
£(χ)ν0
1 dV=^Le\
X-XQ
V*
дх
о
«χ)
д
дх
Vo
о
1
Iх - χοΙ
dV = -
vn
дх}
Xq — Χ
Iх - χο|
(3.6.86а)
:ξ(χ) dV. (3.6.866)
Здесь мы учли результат вычисления градиента V(l/|x|) (см. пример 2.2.2).
Следующая теорема утверждает, что формулы (3.6.86) действительно
имеют место.
Теорема 3.6.11. Пусть функция ξ(χ) удовлетворяет всем условиям
теоремы 3.6.4:
• она определена во всем 8ξ\
• кусочно-непрерывна в замыкании всякого полого шара Е/ПГ2(0);
• существуют такие числа к > 0 и 3>λ>2, что при всех xg^J
выполняется неравенство
к
1«х)1 <
χ
(3.6.87)
тогда
1) объемный потенциал (3.6.42) является дифференцируемой по xq
функцией в любой точке xq ограниченной области V с 8$, и для Vo7
имеет место формула
ν = Vo7(*o) = -
хр -х
Ιχ-χο|ι
■ί(χ) dV\
(3.6.88)
2) существуют такие числа к\ > 0 и Rq > 0, что VR > Rq
к2
|Vo7(xo)l <
ΙχοΙ
Vxo6irMl(0).
(3.6.89)
▼ 1. Согласно определению (см. п. 2.1.14), дифференцируемость
тензорного поля означает существование такого линейного по Ахг0 поля
д^у
άη = -Γ--Δχι0 = V07 · dxo = ν · dx0,
ox0
(3.6.90a)

282
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
которое удовлетворяет условию \/ε > 0 3δ: Vx0 |xq — х0| < δ выполняется
Ω = |7(х&) - 7(хо) - <*у| < ε. (3.6.906)
где A#j = а$ - #0.
Выберем произвольное число ε > 0 и рассмотрим некоторое #ι > 0,
значение которого уточним далее. Тогда, полагая, что значения Xq будут
выбираться из шара ί/$,(χο), разобьем интегралы (3.6.42) и (3.6.86а) на две части:
0η
7(xo)=7l(xo) + 72(xo)>
дх\
(xo) = ^H(xo) + fe(xo)>
где
Ε^ι (χο) Vioo
(3.6.91)
(3.6.92)
^Ια(Χθ) -
J &»
0*1 (Χθ)
|χ-χοΙ'
) dV, ^2(Χθ) = - J I
Xq-X1
VU
|χ-χοΓ
£(χ) dV.
Здесь Vioo = Voo \ U\s{^q) — внешность шара U\s(*o) (рис. 3.6.12).
Составим выражение Ω (3.6.90) с учетом обозначений (3.6.91), (3.6.92):
Ω ξ |7(х£,) - 7(хо) - Рг&4\ = l7l(xi,) + 72(х£,Ь
дх{
%,(хо)
- 71 (хо) - 72(хо) - ΨηΔχΙ - ψ2ζΔχΙ\. (3.6.93)
Оценим это выражение, разбив его на три части:
Ω < Ωι + Ω2 + Ω3, (3.6.94)
где
Рис. 3.6.12. К теореме 3.6.11
«ι = l72(x0) " 72(хо) - 1>*Δ4\, (3.6.95)
Ω2 = \фиАхг01 Ω3 = |7l(xo - 7ι(χο)Ι·
Оценим каждое слагаемое по отдельности.
Поскольку при |xq — xqI < δι область Vioo не
содержит точек Xq и xq, то функции 7г(хо)» 72(хо) и ^2г(хо) не имеют
особенностей, и 7г(хо) является дифференцируемой в Us^xq). Тогда по числу ε/З из
определения (2.1.32) дифференцируемости функции 72 найдется такое число
#2 > 0, что будет выполнено неравенство
Ωι = Ыхо) - 72(хо) - feA4l < з Vx° G u*A*o)-
Оценим Ω2 в формуле (3.6.94):
(3.6.96)

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
283
Ω2 = №„Δ4| ^ \Ы\*4\ ^ Ε I I ^r-^dV\6{ <
Щ (χο)
<ЗС?>
<5ΐ 2ππ
Γ r2sin# d# d</> dr
= 12тгС0?, (3.6.97)
0 0 0
так как |£| < С и -г^ г ^ 1.
|х-хо|
Оценим Ω3:
Пз<|7.К)| + Ыхо)1<с( } ^+ } ^). (3.6.98)
Щ (χο) t^, (χο)
В силу (3.6.43)
J А-»*· 1й«1 A-4-* (3M9)
C^l (Χθ) USl (Χθ) ^25! (Xq)
Здесь мы учли, что шар радиуса 2δ\ с центром в точке х0 всегда содержит
в себе шар £/$,(χο) (рис. 3.6.13). Тогда
П3<б7гСТ?. (3.6.100)
Если теперь выбрать число δ = min{£i,£2},
то при всех |х0 — хо| < δ будут выполнены все
три неравенства (3.6.96), (3.6.97) и (3.6.100), и,
следовательно,
Ω<3 + 3 + 3=ε'
(3.6.101)
«*«)
Ή, (Χθ)
Рис. 3.6.13. К оценке Ω3
что и требовалось доказать.
2. Для доказательства неравенства (3.6.88) воспользуемся формулой
(3.6.87), истинность которой мы доказали выше. Из (3.6.87) следует
|ν| = | [ ЦаУ\^ [ 1^W= [ ЩаУ, (3.6.102)
va
va
va
где г = χ — xq, а г = |г|. Поскольку функция ξ(χ) удовлетворяет условиям
теоремы 3.6.4, то, согласно этой теореме, интеграл J* (\€\/r2)dV является
v0
сходящимся при |х| —> +эс их-> xq, и для него имеет место оценка (3.6.25),
в которой следует положить μ = 2:
J
Ifl
dV <
v0
Λ.
ы
Vx€t/Ml(0).
(3.6.103)

284
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Подставляя (3.6.103) в (3.6.102), окончательно получаем
h
ы
где R\ определяем по теореме 3.6.4.
Таким образом, оценка (3.6.88) доказана, а
Μ = lv07l ^ т^а Vx€t/Ml(0), (3.6.104)
3.6.9. Градиент от объемного потенциала второго рода
Вспомним, что кроме объемного потенциала (3.6.24) по всему
пространству Εξ, ранее был введен и объемный потенциал (3.6.45) по ограниченной
области V.
С помощью формулы Гаусса — Остроградского (3.6.78) легко доказать
следующее утверждение для этого объемного потенциала.
Теорема 3.6.12. Пусть функция ξ(χ) является кусочно-непрерывной в
ограниченной области V с Εξ (рис. 3.6.14), тогда объемный
потенциал второго рода
7(xo) = j^ xo^, г=|х-хо| (3.6.105)
V
является дифференцируемой функцией в любой точке xq
области V, и для Vo7 имеет место формула
Рис. 3.6.14. К те- ν = V07(Xo) = " ί V (-) ξ(χ) dV. (3.6.106)
ореме 3.6.12 J Vr/
Если же ξ(χ) — дифференцируема в V, то для Vo7> кроме того, имеет
место формула
ν = Vo7(xo) = [ ^ψ^-dV - [ ^ψ^-άΈ Vx0 € V, (3.6.106а)
V Σ
где Σ — поверхность области V.
▼ Действительно, по функции ξ(χ), дифференцируемой в V, всегда можно
составить кусочно-непрерывную функцию
= Ш при χ «ε У.
[0 при χ £ F, χ € £3»
определенную во всем пространстве Εξ.
Функция ξ(χ) очевидно будет удовлетворять всем условиям теоремы
3.6.11 на бесконечности, тогда, согласно этой теореме, существует дифферен-

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
285
цируемая во всем пространстве 8$ функция
' €(χ)
7(*о)
dV, х0 е 81
v«
для которой
ν = V07(xo) = -
х0 -χ
f(x) dV.
(3.6.108)
(3.6.109)
Vo
Поскольку ξ(χ) = 0 вне V, то, очевидно, что в области V потенциал 7(хо)
совпадает с 7(хо)> определенным по (3.6.105), a Vo7(xo) совпадает с Vo7
в V:
1
Vo7(*o) = V07(xo) = -
х0 - χ
ξ(χ) dV = -
(i)f(x)dK (3.6.110)
v«
V
Следовательно, формула (3.6.106) действительно имеет место. Здесь мы учли,
что V0(l/r) = -V(l/r).
Представляя интеграл (3.6.110) с помощью формулы Гаусса —
Остроградского (3.6.78), приходим к формуле (3.6.106а):
ν = Vo7(*o) = -
«x)v(J)
dV = -
о
dV +
^dV =
V
V
ν
г
^ dV. A (3.6.111)
Σ V
3.6.10. Лапласиан объемного потенциала
В МСС широко используют не только градиент ν = Vq7 объемного
потенциала (3.6.42), но и его лапласиан Δ07 = Vq · v. Вычислим Δ07(χο)
вначале для случая, когда область V не содержит особую точку xq.
Теорема 3.6.13. Пусть функция £(х) удовлетворяет всем условиям
теоремы 3.6.4, тогда во всякой области V (ограниченной или представляющей
собой внешность ограниченной области), не содержащей особую точку xq,
лапласиан Aq7 от объемного потенциала второго рода (или первого рода
в случае, когда V является неограниченной):
7(*о) =
dV, х0 $ V, г = |х-хо|,
(3.6.112)
ν
равен нулю в области V\ = 8$ \ V:
Ао7(хо) = 0 VxoeVi.
(3.6.113)

286
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Как и выше, индекс «О» у операторов Vo и Δο означает, что
дифференцирование проводят по переменной xq.
Если область V — ограничена, то V\ является неограниченной, и наоборот
(рис. 3.6.15).
Рис. 3.6.15. Взаимное расположение областей V и V\ для объемного потенциала
первого рода для ограниченной области V {а) и для ограниченной области V\ (б)
Отметим, что поскольку в формуле (3.6.42) участвует несобственный
интеграл третьего рода, а в (3.6.112) — первого рода, такие термины мы
будем применять и для объемного потенциала.
▼ А. Рассмотрим вначале случай, когда область V является ограниченной
(рис. 3.6.15, а). Тогда можно внести оператор Лапласа под знак интеграла,
поскольку функция (ξ/r) является дифференцируемой в такой области V и
не имеет особенностей:
Δ(Γ,(χο) = |bo^dV = J£(χ)Δ0 (J) dV = О, (3.6.114)
ν ν
поскольку A(l/r) = 0 (см. (2.5.76)). Это соотношение выполняется для всех
xo£V.
Б. Пусть область V представляет собой внешность ограниченной области
Vi (рис. 3.6.15, б). В этом случае также можно внести оператор Лапласа под
знак интеграла, однако мы должны показать существование такого
несобственного интеграла первого рода. Воспользуемся определениями (3.6.6),
(3.6.7) и введем функцию (3.6.6)
h(r)= [ Δ0(^)^, (3.6.115)
Ur(0)\Vi
где Ur(0) — шар, содержащий область Vi. Следовательно, для всякого ε > О
найдется такое г$ (из условия ограниченности области VI), что при всех г > tq
будет справедлива оценка
\Цг)\<е. (3.6.116)
Эта оценка действительно имеет место, поскольку h(r) = 0, так как область
Ur(0) \ V\ — ограничена, и к ней применим рассмотренный выше случай А.

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
287
Неравенство (3.6.116) означает существование нулевого предела /iq = О
функции h(r) при г —* оо, а значит и существование несобственного интеграла
первого рода
i Δο(^) dV = 0> (3.6.117)
который совпадает с Δο7(χο) и значение которого равно нулю.
Сходимость интеграла первого рода (3.6.112) в случае неограниченной
области V обеспечивается условиями на функцию ξ(χ) на бесконечности. А
Замечание 3.6.6. В случае ограниченной области V, интеграл по V не
является несобственным, и требования на функцию ξ(χ) в бесконечности,
очевидно, являются излишними, достаточно только ее кусочной непрерывности в V.
3.6.11. Уравнение Пуассона
Вычислим теперь лапласиан Δο7 от объемного потенциала для случая,
когда область V содержит особую точку xq. Здесь также рассмотрим два
случая: V — ограничена или V совпадает со всем пространством 8%.
Теорема 3.6.14. Пусть ξ(χ) — дифференцируемая функция, a V£
является кусочно-непрерывной в ограниченной области V, содержащей особую
точку xq, тогда объемный потенциал второго рода
7(х0) = f ^ dV, х0еУ,
ν
удовлетворяет уравнению Π у ас с о на в области V:
Δο7(χο) = -4тг£(хо) Vx0 € V.
(3.6.118)
(3.6.119)
Здесь г = |х — хо|.
Τ Согласно теореме 3.6.11, градиент V7 объемного потенциала второго
рода можно представить следующим образом:
v(x0) = V0o = - f £V (i) dV9 x0 € V. (3.6.120)
ν
Покажем, что v(xq) также является
дифференцируемой в V. Для этого воспользуемся
стандартным приемом и разобьем область V на две части:
V = Vi U С/а(хо)» где Us(x.o) — шаР с центром в
точке хо, целиком вложенный в V, a V\ = V \ %(хо)
(рис. 3.6.16). Представим v(xq) в виде суммы:
ν(χ0) = νι(χο) + ν2(χο),
(3.6.121)
Рис. 3.6.16. Взаимное
расположение точек χ и хо для
уравнения Пуассона

288
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
fv(^) dV. (3.6.122)
где
vi(xo) = - f«x)v(J) dV, v2(x0)
V\ U5(xo)
Поскольку точка xq лежит вне области V\, то функцию vi(xq) можно
дифференцировать обычным образом, внося производную под знак интеграла, тогда
получаем
Vo-vi(xo) = -
ξ(χ)ν0 · V (i) dV = ξ(χ)Δ (^) dV = 0, (3.6.123)
vi
Vi
поскольку Δ(1/γ) = 0.
Преобразуем функцию v2(xq), воспользовавшись формулой (3.6.78)
Гаусса — Остроградского для несобственных интегралов:
v2(xo) = -
о
dV +
^dV =
^dV-
^<ffi.
Us(xo) υδ(χ0) υδ(χ0) Σδ(χ0)
(3.6.124)
Здесь поверхностный интеграл по сфере Σ^(χο) является дифференцируемой
функцией в точке xq, поскольку xq не принадлежит этой сфере. Объемный
же интеграл от функции V£/r хотя и имеет особенность в точке xq, однако,
поскольку функция V£ — кусочно-непрерывна в Us(xo), то, согласно теореме
3.6.12, этот интеграл будет дифференцируемой функцией по xq в области V.
Следовательно, функция v2(xq) также является дифференцируемой, а, значит,
и ν = vi + v2 также дифференцируема в точке xq 6 V.
Найдем само выражение для Vq · v2. Согласно теореме 3.6.12 (см.
формулу (3.6.106)), градиент от объемного интеграла в формуле (3.6.124) можно
представить следующим образом:
и5Ы)
а=\
1 θξ
г дха
dV
з
Σ
Us(x0)
д /1\ δξ
дх% \г) дха
dV
V0(^)-VfdK (3.6.125)
υδ(χο)
Отметим, что область U$(xq), содержащая особую точку х0, при
дифференцировании по xq остается без изменения. Тогда для Vq · v2 имеем
V0 · v2 =
•ш-'«
dV -
.(й-е
άΣ.
(3.6.126)
υδ(χο)
Σδ(χο)

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
289
V0 (±) νξ dV\ ^ C\
%=\πδΟχ, (3.6.127)
r2
Для первого слагаемого в точке xq имеет место следующая оценка
\т\ = ι
^δ(χο) ^δ(χο)
так как функция V£ ограничена на шаре: |V£| < С\.
Поскольку на сфере Σ^χο)
-'·(;)—<·>■';-* Ш"1 (;)-?-?· <"'">
то поверхностный интеграл в (3.6.126) можно вычислить с помощью теоремы
о среднем:
^•V0(-)dE = -j
ξάΣ =
«x*W)
4π<52
δ'
Σδ(χο) Σδ(χ0) Σδ(χο)
(3.6.129)
где ξ(χ*(£)) — значение функции ξ (χ) в некоторой точке х*(δ) на сфере
Е$(хо), зависящей от радиуса δ этой сферы.
Тогда для Vo · ν имеем
V0 · ν - V0 · vi + V0 · v2 = -4πξ(χ,(<*)) + 1{δ). (3.6.130)
Поскольку левая часть этого соотношения не зависит от δ, то и суммарное
значение правой части также не должно зависеть от δ. Следовательно, можно
выбрать любое подходящее значение δ для вычисления правой части
соотношения (3.6.130). Выберем предельное значение £ —► 0, тогда
lim ξ(χ*(<*)) = ξ(χο), Hm I (δ) = 1(0) = 0. (3.6.131)
δ—»0 δ—»0
Первый предел очевиден, поскольку при £ —► 0 точка х*(£) на сфере Е$(хо)
стягивается к xq. Значение второго предела следует из неравенства (3.6.127),
поскольку Υε > 0 3δο = ε/(4π(7ι): V<5 < δο выполняется неравенство
\1{δ)\ <Ш0С{ =e. (3.6.132)
Используя значения пределов (3.6.131), получаем
Ао7(хо) = V0 · ν = -4πξ(χο), (3.6.133)
т.е. потенциал (3.6.118) действительно удовлетворяет уравнению Пуассона
(3.6.119). А
Перейдем к случаю, когда область V совпадает со всем пространством Εξ.
Теорема 3.6.15. Пусть функция ξ(χ) удовлетворяет всем условиям
теоремы 3.6.4, тогда объемный потенциал 7(хо) (3.6.42) является
единственным решением уравнения Пуассона в Εξ:
Δο7(χο) = -4πξ(χ0) Vxo€£3a (3.6.134)

290
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
вместе с дополнительными условиями на бесконечности: существуют
такие три числа R\ > 0, k\ > 0 и &2 > 0, что VR > R\
hi
|7(х0)|<^Ь, (3-6.135)
|Vo7(xo)l <τ\ Vx0 б URRl(0). (3.6.136)
ΙχοΙ
Число 2 < λ < 3 определяют из условия (3.6.23) на функцию £(х).
▼ 1. Выберем произвольное число tq > 0 и рассмотрим шар E/ro(xo), a
также введем обозначение Vi = £3 \ ^о(хо) Для внешности шара. Рассмотрим
две функции
71 (хо)
^dV И 72 (хо)
г
-dV\ (3.6.137)
где как всегда г = |х — xq|.
Поскольку точка xq не принадлежит области Vi, то по теореме 3.6.13
лапласиан от функции 7ι(χο) равен нулю: Δ7ι(χο) = 0. Область С/го(хо)
является ограниченной, поэтому к 72(хо) применима доказанная выше
теорема 3.6.14, согласно которой Δ072(χο) — —47г£(хо). Следует отметить, что
объемный потенциал 7(хо) (3.6.42) есть сумма: 7(хо) — 7ΐ(χο) + 72(хо)> тогда
его лапласиан можно вычислить следующим образом:
Δο7(χο) = Δ07ΐ(χο) + Δ072(χο) = -4πξ(χο), (3.6.138)
что и требовалось доказать.
2. То, что объемный потенциал 7(хо) и его градиент Vo7(xo)
удовлетворяют условиям (3.6.135) и (3.6.136), следует из теорем 3.6.4 и 3.6.11.
3. Покажем, что объемный потенциал 7(хо) является единственным
решением уравнения Пуассона с условиями (3.6.135) и (3.6.136), а
именно покажем, что если имеется какое-то другое решение w(x) системы
(3.6.134)—(3.6.136), то оно совпадает с объемным потенциалом (3.6.42).
Выберем еще одно решение системы (3.6.134)—(3.6.136), по
предположению отличающееся от объемного потенциала, т. е. функцию,
удовлетворяющую соотношениям
А0и{х0) = -4πξ(χ0) Vx0 e ££,
|V0w| < -\, \и\ < -4Ьт Vx0 e U(0). (3.6.139)
ΙχοΙ ΙχοΙ
Зафиксируем теперь точку х0 и построим, как обычно, два полых шара
С/Г1ГО(хо) и £/ГоГ2(хо) (рис. 3.6.17), для которых применим вторую формулу
Грина (3.5.26), выбирая в ней в качестве и(х): и(х) = 1/|х —xq| = 1/г, а в

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
291
качестве и(х) — функцию (3.6.139), в которой произведем замену
обозначения аргумента xq —* χ.
Поскольку в Urm(xo) и ^г0г2(хо) функции и и ν по крайней мере
дважды непрерывно-дифференцируемы и
Αν = 0, то из (3.5.26) получим следующие
соотношения:
«х)
4π
J
dV = /0(r0) - I2(r2),
i/r0r2(xo)
(3.6.140)
4π
| MdK = J,(r,)-/0(n)).
^rir0(xo)
(3.6.141)
где обозначены поверхностные интегралы:
in
rC*o^V (ςπ(χ0)
■ΣΓ2(χ0)
Σγο(χο)
Рис. 3.6.17. К теореме 3.6.15
г = 0,1,2.
(3.6.142)
Здесь Ση(χο) — поверхность шара Un(x.o) (сфера), а нормаль η в (3.6.142)
выбираем внешней по отношению к сфере: η = ег, где ег — радиальный
вектор базиса сферической системы координат (см. упр. 3 к § 2.6). Знак минус
у интегралов в правой части соотношений (3.6.140) и (3.6.141) появляется
вследствие того, что во второй формуле Грина (3.5.26) интеграл берут по
внешней поверхности области интегрирования — в
данном случае по UrQr2 и Uriro. Поэтому для Uror2 интеграл
12 по ЕГ2, а для Urir0 интеграл Iq по ЕГо берут со знаком
минус (см. рис. 3.6.17).
На сферах Ση(χο) имеют место формулы (3.6.51):
ди _ _ ди
-=n-Vw = er-Vu = F,
on or
ди
тг- = η · Vw = η · en| Vd = |Vd cos7,
on
(3.6.143)
Ση(χ0)
Рис. 3.6.18. К теореме
3.6.15
где βη — единичный вектор, коллинеарныи градиенту
Vw на сфере Ση(χ0): Vw = |Vw|en; 7 — Угол между векторами η и еп
(рис. 3.6.18).
Тогда интегралы 1\(г\) и /2(^2) можно преобразовать следующим образом:
Ег2(хо) Ег2(хо)
= —4тгт|
\ 4
) , cos7i*-, 1
Г2
χ*/'
(3.6.144)

292
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
/,(п) =
д (\ \ cos 7
\ дп\г)
Vwl )άΣ = -
и cos7,„ ι \ ,ν-.
-ο Η -Vd dE.
Τι ri /
Σπ (χ0) Σπ (χο)
(3.6.145)
Поскольку здесь подынтегральная функция в /2(^2) является непрерывно-
дифференцируемой, применим теорему о среднем для поверхностных
интегралов, где х* — некоторая точка на сфере Ση(χο).
Введем две функции h\(r\) и h2(r2), участвующие в определении
интеграла третьего рода:
h\(r\) = 4π
«х)
х-хо
■dVt h2(r2) = 4π
€(χ)
|x-x0
■dV. (3.6.146)
4r0
rQr2
В силу соотношений (3.6.140) и (3.6.141), эти функции удовлетворяют
уравнениям
Μη) = /ι(η) - *о0"о). МЫ = Ыго) - hfa)·
(3.6.147)
Вычислим пределы этих функций при г2 —> 0 и г\ —> +оо.
Поскольку го — фиксировано, а подынтегральная функция в io(ro)
непрерывна на ΣΓο(χο), то интеграл /о(го) всегда существует и имеет конечное
значение.
Тогда, в силу (3.6.144), имеем
lim h2(r2) = I2(r0) - lim I2(r2) = I2(r0) + 4πω(χ0),
Г2~*0 Г2~*0
(3.6.148)
так как
lim /2(^2) = -4тг lim(w(x*) + r2\Vu(x*)\ cos7) = -4πη(χ0), (3.6.149)
поскольку при г2 —> 0 точка х* стремится к х0, а функции и(х) и Vw(x)
по предположению являются непрерывными, а значит и ограниченными во
всяком шаре Е/г(хо).
Покажем, что
lim /i(ri) = 0.
г\—*оо
(3.6.150)
Воспользуемся определением предела функции и выберем произвольное
число ε > 0, по которому всегда найдется такое число r\ = max{R\,r"} (где
R\ определяем из условий (3.6.135) и (3.6.136), г" = (4π(Α;ι + к2)/е)1/х), что
для всех г > г[ имеет место оценка

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
293
ΙΊ(π)Ι<
<
Στ-(χο)
u/r2\dZ +
Er(xo)
,λ+2
άΣ =
cos j/r\\^u\dE <
4π(Α;2 + Α;ι) 4к(к\ + к2)
<
J' λ
= ε. (3.6.151)
Στ-(χο) ΣΓ(χ0)
Здесь мы вычислили интегралы по сфере ΣΓ(χο) от констант к\ и &2.
Доказанное неравенство (3.6.151) и означает существование предела
(3.6.150). Тогда из (3.6.150) и (3.6.147) следует
lim /ii(r1) = -/0(r0), (3.6.152)
поскольку /о(го) не зависит от г\. Из (3.6.148) и (3.6.152) получаем
lim /12(^2) + lim /ч(п) = 4πη(χ0). (3.6.153)
r2-»0 ri-*oo
Однако, согласно определению левой части (3.6.146) — функций /ij(rj) и
определению (3.6.8), соотношения (3.6.153) представляют собой не что иное,
как интеграл третьего рода от функции 4πξ(χ)/|χ — xq|, т.е. имеет место
соотношение « _ s
£(*)
и(х0)
х-хо
dV,
(3.6.154)
поскольку функция £(х)/|х — xq| удовлетворяет всем условиям подраздела 3
из п. 3.6.1.
Сравнивая соотношение (3.6.154) с определением объемного потенциала
(3.6.42), убеждаемся, что эти формулы в точности совпадают, откуда следует,
что функция u(xq) есть не что иное, как 7(хо)> т· е·
и(хо) = 7(*о)>
что и доказывает теорему. А
3.6.12. Объемный векторный потенциал
Еще одним важным для МСС примером несобственного интеграла от
векторного поля является объемный векторный потенциал Ь(х0), который
отличается от объемного скалярного потенциала 7(хо) (3.6.42) только
формальной заменой скалярного поля £(х) — на векторное (1/2π)ω(χ):
b(xo) = «Г
Ζ7Γ
w(x)
dV,
г = х-хо
(3.6.155)
va
Теорема 3.6.16. Пусть векторное поле ω(χ) удовлетворяет следующим
условиям:

294
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
• определено во всем пространстве Е%\
• существуют такие числа к > 0 и 2<λ<3, что для всех хе^й
выполняется неравенство
μ(χ)| < А; (3.6.156)
|х|
• ω(χ) — кусочно-непрерывная функция вместе со своими
производными в замыкании всякого шара £/rr0(xo) c конечным числом
непересекающихся ограниченных поверхностей разрыва Σ?, причем на
каждой Σ? скачок нормальной составляющей равен нулю: [ωη] = О,
где ωη = ω · η, α η — вектор нормали к Σ? (χ0 φ Σ?),
тогда объемный векторный потенциал (3.6.155)
1) удовлетворяет векторному уравнению Пуассона
А0Ь(х0) = -2ω(χο); (3.6.157)
2) является соленоидальным
V0-b = 0, (3.6.158)
если ω(χ) — соленоидально в областях дифференцируемости
ν0·ω = 0; (3.6.159)
3) удовлетворяет следующим условиям на бесконечности: 3r\, k\ > О и
/с2 > О, такие, что Vr > r\:
|Ь(х0)| < r\z-x, |V0 x b(x0)| < -\, Vx0 e ϋ^(0). (3.6.160)
та ΙχοΙ
▼ 1. Для доказательства (3.6.157) достаточно записать векторный
потенциал (3.6.155) и само уравнение (3.6.157) в декартовом базисе ё$:
~ьг^)=I
^(х) dV, (3.6.161)
х - хо
ДЬ* = -2о>\ (3.6.162)
Поскольку каждая компонента £>г(х), в силу предположения (3.6.156),
удовлетворяет условиям теоремы 3.6.4 на функцию ξ(χ), то, применяя
теорему 3.6.15 для каждой функции Ьг(х), получаем, что уравнения (3.6.162), а
значит и (3.6.157) действительно выполняются.
Согласно той же теореме 3.6.15, имеют место оценки (3.6.135) и (3.6.136)
для каждой компоненты &г(хо); но тогда в силу
1/2
2 \ < h
χ0

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
295
Кп ~~\~ гС
|с*| = \νβν - νΊΙβ\ ^ \νβΐΊ\ + \νΊΙβ\ ^ \vv\ + |v^| ^ * ,7,
Ιχο|
IcI^lVxbH^lc^l2)1/2^
k2
a=\
lxol
(3.6.163)
действительно выполняются условия (3.6.160). Здесь
h
3 х V2
.2
^α=\ / \α=1
1/2
(3.6.164)
a fcf, &£ (a — 1,2,3) — константы, определяемые теоремой 3.6.15 для каждой
функции ώα (где α φ β φ η φ α).
2. Для доказательства (3.6.158) вычислим дивергенцию векторного
потенциала
φ = V0 · b(x0) = ±-
Ζ7Γ
ζπ
cb
о
1
2V
d^(x)dV _ J_
дхг г 2π
v«
г / ζπ
cb
ν·ω(χ)
dV-
Vo
K>
2π"
'w(x)\ ,„ 1
m
dV = -
2π
■ω(χ)
(^))dV\ (3.6.165)
Vo
v«
в силу (3.6.159). Отметим, что существование всех несобственных интегралов
в (3.6.165) обеспечивает теорема 3.6.4. Воспользуемся теперь определением
(3.6.10) несобственного интеграла третьего рода для скалярной функции
V-(w/r):
Vn · b = lim
Π—»00
V· (-)dV+ lim
Vr/ r2-*0
v-fif)*,.
(3.6.166)
чго
r0r2
Рассмотрим интегралы по Е/Г1Го(хо) и С/ГоГ2(хо). Функция о; может терпеть
разрыв в этих областях, однако, поскольку по предположению все
поверхности разрыва Σ? ограничены и число их конечно, то можно всегда найти
такие числа г'2 > 0 и г\ > 0, что ни в шаре Urir'y ни в Ur/r2 нет поверхностей
разрыва при r\ > r[> r<i < г'2 (рис. 3.6.19). Тогда интегралы по Uriro и Uror2
можно представить в виде
*ι(η)
N
г Ζ J
i=\
V · -dV +
r
V · -dV,
r
ΊΓ0
V,
u„
•jr,

296
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
N
ω
ίΛ-лто _ V%2 U
\
из
V · -dV,
г
(3.6.167)
Г0Г2
2Г2
где Vn = Vi П t/y./^ и V^2 = Vi П {7Г0Т./ (г = 1, ..., Ν), aVi — области
непрерывной дифференцируемости функции ω в шаре Ur/r/. Граница каждой области
Vn — это поверхность Σ^, представляющая собой совокупность нескольких
поверхностей Σ!? и, возможно, сферы Σ^ или Σ^, а области V^ имеют
границами Σ# также поверхности Σ^ или сферы Σ^, Σ^.
Рис. 3.6.19. К теореме 3.6.16
В каждой из областей Уц и ^2, а также в Unrr и Urrr2 можно применить
теорему Гаусса — Остроградского и перейти к поверхностным интегралам:
Σ л Στ· j ΣΓ/
Ν
i2(r2) = J2 I τ^Σ+ ι τ^Σ + ' 7^Е- (3.6.168)
*=1 τ·.,. ν ν .
-42 *->г2
Поскольку от п и Г2 зависят только интегралы по сферам ΣΓ, и Σ^, то в
пределе получаем
г,
limoo/1(r1) = E }^Σ+|^Σ,
i=1 Σϋ Σ ,
Ν
lim /2(^2
Г2_>0
— Σί2 Σ/
(3.6.169)

§ 3.6. Несобственные интегралы от тензорных полей
297
так как
lim
Σ
lim
r2-*0
^άΣ= lim (4тгг?
2^n(xJ)
r\
o,
^άΣ = lim (4тгг?
r r2-*0 V
2^η(Χ2)
^2
= 0.
(3.6.170)
(3.6.171)
При выводе формул (3.6.170), (3.6.171) мы воспользовались теоремой о
среднем, где ωη(χ2) и ^π(χΐ) — значения функции ωη(χ) в некоторых точках
на сферах ΣΓ2 и Ση, причем х£ —> хо при Г2 —> 0, а ωη(χο) имеет конечное
значение.
Справедливость (3.6.170) следует из неравенства (3.6.156): по
произвольному ε > 0 всегда можно найти такое число г" = (Зк/е)1^х~1\ что имеет
место следующая оценка при всех г ι > г'{:
2>г\к ЗА;
|ηα;η(χϊ)| < η|^(χΐ)ΙΙ^(χ*)Ι < 3Πμ(χ*)| <
Г\
Подставляя теперь (3.6.169) в (3.6.166), получаем
N
v0-b = £
К)
//\А—1
= ε.
(3.6.172)
г=1
^Σ +
г
Г
^άΣ = 0.
(3.6.173)
Σϊΐ+Σ^2 ^r> ^r'
1 2
Поскольку в эту сумму интегралов каждая часть поверхности разрыва Σ?, а
также ΣΓ/, ΣΓο и ΣΓ/ входят дважды — как часть границы некоторой области
Vi и как часть границы смежной с ней области Vjy при этом направление
нормали η для этих областей будут взаимно противоположны, а функция
ωη — всегда непрерывна по предположению, поэтому все интегралы от ωη/τ
взаимно сократятся. Тем самым теорема доказана. А
Замечание 3.6.7. Векторный потенциал (3.6.155) является единственным
решением уравнения Пуассона (3.6.157) в указанном классе функций, что
является следствием единственности решения скалярного уравнения Пуассона
(3.6.162) в силу доказанной теоремы 3.6.15.
Упражнения к § 3.6
Упражнение 1. Доказать теоремы 3.6.2 и 3.6.3, используя метод, примененный при
доказательстве теоремы 3.6.1.
Упражнение 2. Доказать теорему 3.6.5, используя метод, примененный при
доказательстве теоремы 3.6.4.
Упражнение 3. Доказать теорему 3.6.7, используя метод, примененный при
доказательстве теоремы 3.6.6.

298
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
§ 3.7. Тензорные дельта-функции
3.7.1, Определение дельта-функции
До сих пор мы рассматривали только дифференцируемые тензорные поля
(см. п. 2.3.1). Однако в МСС встречаются и недифференцируемые поля,
такими являются дельта-функции, представляющие собой скалярное поле
специального вида. Как известно (см. [16]), дельта-функцию (^-функцию)
можно вводить с помощью δ-образных непрерывно-дифференцируемых
функций вида
с£ехр ι —9 ' ■ .9 ) ПРИ Iх! ^ ε>
Λ(χ) =
2 ι ι2
ε - χ
(3.7.1)
О
при |х| > ε, χ е 8%,
где с£ — константа, выбираемая из условия
Л
=ε 3( ехр(
1 - 1х
ia)dV
-1
Μ^ε
(3.7.2)
Графики функций /е (3.7.1)
представляют собой «шапочки» (рис. 3.7.1) в
пространстве 8% = К.
Важнейшим свойством ^-образных
функций является следующая теорема.
Теорема 3.7.1. Пусть <р(х) — произвольная непрерывная в V С 8% функция,
тогда выполняется предельное соотношение
-1 -1/2 -1/4 0 1/4 1/2 1 х
Рис. 3.7.1. Графики 5-образных функций
lim
Л(хМх) dV
V
φ(0), если 0 е V,
О, если 0 £ V.
(3.7.3)
▼ В силу непрерывности </?(х), для любого числа η > 0 (η е Щ существует
такое число εο > 0, что при всех х, таких что |х| ^ εο, будет выполняться
неравенство |</?(х) — φ{0)\ < η. Пусть точка 0 принадлежит области V: 0 е V,
тогда при всех ε ^ εο выполняются неравенства
fe(x)tp(x) dV - <р(0)\
4πε'
Их) - φ(0)) dV\ <
ν
Ve
<
4πε'
3_
4πε'
\φ(χ)-φ(0)\άν^η^\νε\=η, (3.7.4)
νε

§ 3.7. Тензорные дельта-функции
299
где V£ = {χ : |х| < ε}; \V£\ = 4πε3/3 — объем этой области. Из этого
неравенства и следует соотношение (3.7.3).
Если же 0 φ V, то всегда найдется такое εο, что для всех ε ^ εο области
V и V£ не будут иметь общих точек, и, следовательно, интеграл обращается
в нуль:
| [/e(xMx)dV|=0<T/, (3.7.5)
ν
что и означает справедливость второго утверждения в формуле (3.7.3). А
В теории обобщенных функций, к которым относятся и ^-функции,
функции </?(х) выбирают из множества непрерывных (или даже бесконечно
непрерывно-дифференцируемых) финитных (см. п. 2.1.7) функций, т.е.
обращающихся в нуль вне некоторого шара: Vx : |х| > С, где С е К.
Определение 3.7.1. Отображение δ : φ (χ) —> φ(0), которое ставит в
соответствие каждой непрерывной в области V с 8% финитной функции
φ{χ.) 6 C(V,K) ее значение в нуле φ(0) е К, ес/ш точка 0€^J
принадлежит области V, и значение OeR e противном случае, называют
дельта-функцией и обозначают следующим образом:
5(*M*)dV=H0)> «™0€^ (3.7.6)
V ;νΛ ; 1θ, если 0 Φ V. V У
ν κ
Согласно определению 1.1.8, дельта-функция представляет собой
линейный функционал (см. упр. 1 к § 3.7).
Из (3.7.6) и (3.7.3) следует, что имеет место следующее предельное
соотношение для всякой функции </?(х) б C(V,R):
lim
ε-*0
Л(х)^(х) dV =
ν ν
δ(χ)φ(χ) dV. (3.7.7)
В МСС на основе (3.7.7) часто используют следующее соглашение: под
символом δ {к) у называемым также дельта-функцией, понимают ^-образную
непрерывно-дифференцируемую функцию типа /е(х), удовлетворяющую
предельным соотношениям (3.7.6) и (3.7.7). Такое соглашение позволяет
использовать дельта-функцию δ {к) в соотношениях, имеющих место для
непрерывно-дифференцируемых функций, например
V-a(x)+6(x) = <*(x), (3.7.8)
где 6(х) — некоторое скалярное, а(х) — векторное дифференцируемое поле;
δ(χ.) — дельта-образная функция, например функция /е(х), удовлетворяющая

300
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
предельному соотношению, в данном примере следующему:
lim
e-*0j
(V · а(х) + Ь(х)Мх) dV
δ{χ)φ{χ) dV
ν
ν
lim
e-»0
Л(х)^(х) dV
φ(0), OGV,
ν
О,
Q$V.
Из (3.7.6) следует еще одно широко используемое ее свойство. Если
хо 6 8% — некоторая точка, то имеет место соотношение
δ(χ. — xqV(x) dV =
ν
ν
<J(x )φ(χ + хо) dV = { (3.7.9)
О, χ0 φ V.
Введенное определение 3.7.1 дельта-функции справедливо для
пространств 8% с различной размерностью. В МСС применяют одномерную
дельта-функцию £(х), удовлетворяющую соотношению
δ(χ — χο)φ(χ) dx =
φ{χο), хо е (α,b),
О,
#o i {a,b),
(3.7.10)
двумерную функцию &(x), определенную на некоторой двумерной
поверхности Σ в ^з и удовлетворяющую соотношению
fe(x-x0V(x) άΣ
(^(х0), х0 е Σ,
0,
хо i Σ,
(3.7.11)
а также трехмерную ^-функцию, определенную в области V с εξ и
удовлетворяющую соотношению (3.7.9).
3.7.2. Определение тензорных дельта-функций
В МСС возникает необходимость применения предельных соотношений
(3.7.6) не только к скалярным полям </?(х), но и к полям тензоров более
высокого ранга fcT(x). Для этого введем обобщение определения (5-функции.
Под финитным тензорным полем fcT(x) будем понимать
соответствующую функцию кТ : V С ε% —> Ёп , являющуюся финитной (см. п. 2.1.7), т. е.
для которой Зс б R : fcT(x) ξ fc0 e £&fc), Vx <E V : |x| > с
Определение 3.7.2. Отображение δ : fcT(x) —> fcT(0), которое ставит в
соответствие каждому непрерывному в области V с ££ финитному полю
fcT(x) б C(V,£n ) значение этого поля fcT(0) β нулевой точке 0 е £^J, ес/ш
точка принадлежит области V, и нулевой тензор к0 е £π β противном

§ 3.7. Тензорные дельта-функции
301
случае, называют тензорной дельта-функцией и обозначают
следующим образом:
ν
^^,Т,_ГТ(°)> если 0 <Ξ F,
Ό, если О φ V.
*(x)*T(x)dV=4fc;w· I:/ (3-7.12)
ν
или
Очевидно, что нет необходимости вводить новое обозначение для
тензорной ^-функции, вместо этого переходя к представлению тензорного поля
в декартовом базисе ej, интеграл в (3.7.12) будем понимать следующим
образом:
S(x)T^---lk(x)dV)eil®...®eik=eil®...®eikl к " о '
(3.7.13)
W' ' (3.7.14)
V
Последнее соотношение в точности эквивалентно определению (3.7.6)
^-функции, примененному к каждой компоненте тензорного поля Тц-Лк(х.).
Таким образом, введенное выше определение тензорной дельта-функции не
является самостоятельным, однако оно удобно, поскольку позволяет
проводить интегральные операции с тензорами, подобно тому, как это было
проделано в § 3.3-3.5.
Следствием определения (3.7.12) является аналог соотношения (3.7.9):
ν
>fcnv.^ лтл _ J fcT(xo)> если х0 е V,
Ό, если х0 φ V.
ί(χ - хо)*Т(х) dV = <fc, — u_7 (3.7.15)
Это соотношение также имеет место для пространств 8% различной
размерности. Так в МСС применяют одномерную тензорную ^-функцию δ(χ) в
пространстве £f:
.fcnv^ j_ _ J кт(хо)> если х0 е {а,Ъ),
Ό, если #0 φ (a,b),
5(x-x0)kT(x)dx={^^" ""'"" υΖ У,' (3-7.16)
двумерную ^-функцию &(х)
.fco^ ^ _ lfcn(xo)' если χο e Σ,
Ό, если х0 φ Σ
&(х-хо)*П(х)^=^ "^ —u::' (3.7.17)
и трехмерную ^-функцию, удовлетворяющую соотношению (3.7.12).

302
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
Кроме того, можно ввести и одномерную тензорную ^-функцию — 6с(х),
определенную на кривой С в пространстве £| и удовлетворяющую
соотношению
*Ω(χο) · t(xo), xo e £,
0£(χ - χοΓΩ(χ) · dx = < kh
с
ι
о,
щ&£,
(3.7.18)
а также
j
<$£(х — xo)fcfi(x) χ dx =
:Ω(χ0) х t(xo), xo e С,
ι
Sc{* - xo)fc^(x) ® dx =
4 xo ^ £,
fcn(xo)®t(xo), x0eC,
fc+10,
xo ^£.
(3.7.19)
В МСС рассматривают также и случаи смешанных интегральных
соотношений, например, когда имеется некоторая гладкая поверхность Σ в
пространстве ££ (рис. 3.7.2), описываемая уравнением (3.2.1):
хг = хг(Х\Х2), (Х\Х2) eVxC Μ2,
и область V С £%» такая, что каждая ее точка хг eV принадлежит некоторой
кривой С из семейства
х* = х%Х\Х2), ξ0<ξ<ξΝ.
Здесь X1, X2 — параметры семейства.
Пусть в этой области V задано
тензорное поле fcfi(x), а ^(х — хо) —
одномерная ^-функция, определенная на кривых
£, причем за точку хо будем выбирать
точку пересечения кривой С и
поверхности Σ. Тогда соотношение (3.7.18)
можно записать для каждой кривой С этого
семейства, причем это соотношение будет
параметрически зависеть от точки хо Ε Σ.
Рис. 3.7.2. Задание областей в 8$
Проинтегрируем соотношение (3.7.18) по всей поверхности Σ:
(5£(х - щ)кП{х) · dxcffi = ί Ηί(χο) · tdE. (3.7.20)
Σ£ Σ
В силу построения области V, интеграл JJ в левой части (3.7.20) есть не
Σ£
что иное, как объемный интеграл по всей области V, в результате получаем

§ 3.7. Тензорные дельта-функции
303
искомое интегральное соотношение
,fc-l.
где
к— 1 о к
££(χ-χοΓ_ΙΩ(χ)(2ν
fc-l
Ω(χ) ά,Έ,
(3.7.21)
ν
Ω = *Ω t.
3.7.3. Производные от дельта-функции
В МСС применяют также производные от ^-функций. Для их определения
рассмотрим формальное интегральное соотношение
V<*(xMx) dV =
δ(χ)φ(χ) dV
<J(x)Vy>(x) dV =
ν
V
<J(x)Vy>(x) dV =
к
-Vy>(0), xGV,
0, χ ί V,
(3.7.22)
которое имеет место, если φ(χ) — непрерывно-дифференцируемая финитная
на V функция (sup φ с V), δ (χ) заменяем на дифференцируемую ^-образную
функцию, Σ — поверхность области V. Соотношение (3.7.22) и лежит в
основе определения производной (градиента дельта-функции).
Если ^-образная функция — это /е(х) (3.7.1), то график функции V/e =
= df/dx в случае £% = Ш имеет вид, показанный на рис. 3.7.3.
Рис. 3.7.3. График производной ^-образной функции /ε
Определение 3.7.3. Отображение V5 : fcT(x) —► — (V ® fcT)(0), которое
ставит в соответствие каждому непрерывно-дифференцируемому в
области V с £% финитному тензорному полю kT e Cl(V,£n ) значение
градиента этого поля с обратным знаком — (V ® fcT)(0) в нулевой точке О Ε £%,
если эта точка принадлежит области V, и нулевой тензор k0 e £п в

304
Глава 3. Интегральное исчисление тензорных полей
противном случае, называют градиентом тензорной δ-функции
и обозначают следующим образом:
V<*(x) 0 fcT(x) dV = - <*(x) V 0 fcT(x) dV =lk
ν
V
■V0fcT(o), oev,
o,
(3.7.23)
Следствием этого определения является интегральное соотношение
V<*(x - х0) 0 fcT(x) dV = - <J(x - х0) V 0 fcT(x) dV =
ν
ν
V0fcT(xo), x0€V,
(3.7.24)
k0, x0 £ К
Определение справедливо для пространств £% различной размерности,
в частности, в МСС применяют производную одномерной ^-функции δ(χ),
обозначаемую как δ'(χ) и удовлетворяющую соотношению
δ'(χ - x0)kT(x) dx = - δ(χ - x0)—kT(x) dx =
д
θχ*Τ(χ0), x0e(a,b), {372Б)
k0, x0(£(a,b).
Упражнения к § 3.7
Упражнение 1. Показать, что ^-функция, введенная по определению 3.7.1, является
линейным функционалом (см. п. 1.1.6).
Упражнение 2. Показать, что градиент ^-функции, введенный по определению 3.7.3,
является линейным функционалом.

Глава 4
ТЕНЗОРНЫЕ ФУНКЦИИ И ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Обратимся к трехмерному арифметическому пространству R3, и
рассмотрим линейные преобразования координат в нем. Множество таких
преобразований может образовывать особую алгебраическую структуру — группу.
Группы широко применяют в МСС. В данной главе мы познакомимся с
понятием группы на примере групп линейных преобразований в R3, а затем
рассмотрим понятия тензорных функций и тензорных операторов в R3.
§4.1. Линейные преобразования координат
4././. Формы представления линейных преобразований координат
Рассмотрим частный случай преобразований координат (2.1.9) в
арифметическом пространстве R3.
Линейное преобразование координат определим как
X* = А\хг + А>, хг = BijXj + В\ (4.1.1)
где A3i и Ai, Вг ■ и В^ — матрицы, не зависящие от хг и χϊ. Преобразование
(4.1.1) называют также аффинным.
В случае центральных преобразований: А1 = Вг = 0. Каждому
линейному центральному преобразованию соответствует матрица А1 ·, являющаяся
обратной к Вг :
А^В\ = А\В^ = 5{. (4.1.2)
Далее будем также использовать матричное представление
преобразований (4.1.1) с помощью матриц 3x3:
(^ ι ^2 ^ з\
А\ А\ А\\. (4.1.3)
А\ А\ А\)
Кроме того для описания линейных преобразований иногда удобно
использовать кристаллографические оси, проходящие через начало координат
О и вектор
h = hlei.

306
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
[ПО]
ж2[010]
[110]
(010)
Рис. 4.1.1. Обозначения
кристаллографических осей
Рис. 4.1.2. Обозначения
кристаллографических плоскостей
Для таких осей используют обозначения [hlh2h% а кристаллографические
плоскости, ортогональные к этим осям h, обозначают круглыми скобками:
(hlh2h?). Например, сами координатные оси Оха в этих символах будут
обозначены как [100], [010] и [001]. Ось, проходящую через главную
диагональ куба, обозначим как [111] и т.п. (рис. 4.1.1). Если h% принимают
отрицательные значения, то в этом случае над ними сверху ставится черта,
например [ПО]. Примеры кристаллографических плоскостей приведены на
рис. 4.1.2.
Рассмотрим важные частные случаи центральных преобразований.
4.1.2. Важнейшие линейные преобразования
Укажем основные типы линейных преобразований.
1. Унимодулярными называют преобразования, определитель матрицы
которых Аг · не меняет знака:
det(^) = l (или-1). (4.1.4)
2. Ортогональными называют преобразования, которым соответствует
ортогональная матрица Аг^ (для нее выполняются условия (1.6.46)):
A^Af = δ]
и
вг3в^ = δ]
(4.1.5)
Согласно результатам п. 1.6.6, ортогональное преобразование — это поворот
вокруг какой-либо оси или отражение относительно какой-либо плоскости.
Замечание 4.1.1. Для ортогональных матриц индексы г и j можно поднимать
и опускать без изменения значения элементов матриц (но менять местами
индексы нельзя!). Иначе говоря, равны между собой элементы А12 = А2,
А1п = А{п, хотя, вообще говоря, Αι2 φ Α2ι. Такое правило, как мы знаем,
действует для компонент векторов и тензоров в декартовом базисе. Однако
координаты хг — это и есть компоненты радиус-вектора χ в декартовом

§ 4.1. Линейные преобразования координат
307
базисе: χ = хгёг, а Xх при ортогональных преобразованиях тоже являются
компонентами некоторого нового ортонормированного базиса, так что
указанное правило поднятия и опускания индексов у матрицы Лг вполне оправдано.
Этим правилом мы воспользовались при записи (4.1.5). Эти же формулы
можно записать иначе:
AijAik = 5jk, BijBik = Sjk, (4.1.5a)
Кроме того, если использовать для матриц буквенные обозначения А, В и
т.д. (нежирные заглавные буквы), то соотношения (4.1.5) примут вид
ΑΆτ = Ε, ΒΒτ = Ε, (4.1.56)
где Ε — единичная матрица.
3. Собственно ортогональными называют преобразования, для которых
одновременно выполнены условия (4.1.4) и (4.1.5).
4. Преобразованием трансверсальной изотропии называют
преобразование поворота вокруг оси Ох3 на произвольный угол ф, матрица Аг ■ которого
имеет вид
(cos φ sin φ 0Ч
-sin0 cos0 Ο
0 0 1,
Для этой матрицы выполнены соотношения
Ai,V = i?, Α\=δ\, Α\ = δί
— — — )г
j'rii uj' 'ri i ui ' "^ 3 3'
где 0 ^ φ ^ π.
^-"
( Λ
(4.1.6)
x3=X3
~χ'
ИГ ^
V^^2
Xх
Рис. 4.1.З. Преобразования Q%
Ось Ох3 в этом случае называют осью
бесконечного порядка (или осью
трансверсальной изотропии).
Подставляя (4.1.6) в (4.1.1), получаем
соотношения между «старыми» хг и «новыми» X'1
координатами (рис. 4.1.3):
Xх = соБфх1 +sin0x2, X2 = -sin^x1 +cos0x2, Xх = x3. (4.1.7)
Рассмотрим частные случаи преобразования трансверсальной изотропии.
5. Тождественное преобразование, которому соответствует единичная
матрица
/1 0 0Ν
(Аг3) = Е= 0 1 0| , (4.1.8)
\0 0 1
означает поворот на угол φ = 0 или 2π.

308
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
6 Преобразование поворота на угол φ = π/2 вокруг оси Ох3:
0 1 0\
(A^) = Ql/2-.[-\ 0 0.
0 0 1/
(4.1.9)
Преобразование поворота на угол φ = π/2 вокруг осей Ох1 и Ох2
определяют аналогичным образом:
>т/2_
1 0 0'
Q\' ---- |0 0 1
0 -1 0,
Ό 0 -1
Ql/2=-- [0 10
1 0 0
(4.1.10)
7. Преобразование поворота на угол φ = 2π/3 и φ = —2π/3 вокруг оси
Ох3:
/ -1/2 \/3/2 0\ /-1/2 -\/3/2 0\
(Л^-) = 5!= -ν/3/2 -1/2 0 , 52= U/3/2 -1/2 0 . (4.1.11)
\ о οι/ \ о οι/
8. Преобразование зеркального отражения относительно плоскостей
Ох2х3, Ох1х3 и Ох1х2 определяется, соответственно, матрицами
(A*) = R,=
1 0 0
| О 1 0
0 0-1
(4.1.12)
при этом одна из осей меняет свое направление
на противоположное, а две другие не изменяются
(рис. 4.1.4).
Девять независимых преобразований
Е, Qll2, Ra, 57, а = 1,2,3; 7= U, (4.1.13)
х~=Х2
играют ключевую роль в описании свойств
симметрии сплошных сред. Суперпозицией этих девяти
Рис. 4.1.4. Преобразование преобразований можно построить еще 12
важнейших преобразований:
зеркального отражения R\
Q-"'2 = (Ql'2) \ Da = Ql = OTj2 ■ QTj2,
T^Rb-Q}'2, Mi = Ql'2 ■ Ql'2', M2 = Q-*I2-Q-"I2,
C = R\R2Rb α,β = 1,2,3; β φ α, (4.1.14)
где индексы α, β выбираем круговой перестановкой (α, β) = (1,2), (2,3) и
(3,1), т.е.
Ά = R3Q1/2, T2 = Д, Ql'2, T3 = R2Ql/2.

§ 4.1. Линейные преобразования координат
309
Здесь и далее операции транспонирования ( )т и умножения (·) матриц
соответствуют операциям с тензорами второго ранга (1.4.37) и (1.4.47) (см.
также упр. 5 к § 1.4):
{ _ % л_ (А\ А\ А^
(Aj ) = (A j) = \ А 2 А 2 A 2
\А з А з А 3>
(Rl-R2)ij = (Rl)ik(R2)kj.
Матрица С определяет преобразование инверсии (т. е. центрального
отражения) относительно начала координат:
Еще 29 матриц образуют суперпозицией матриц (4.1.14):
RaTa, ΌαΤβ, ΌαΜΊ, RaM1, CTa, ΟΜΊ, (4.1.15)
α,β= 1,2,3, 7=1,2.
π/2
Три матрицы ϋαΤβ = Qq при а ^ β уже учтены при введении матрицы
Οβ , а три матрицы RpTa = Qa — при введении поворотов Q~^ . Далее
для обозначения поворотов на ±7г/2 будем использовать именно эти матрицы:
RaTfi И RβTa.
С помощью матриц 57 можно образовать еще 14 матриц:
С57, RaSl7 DaSl7 a= 1,2,3, 7=1,2. (4.1.16)
Итого имеется множество из 64 матриц (4.1.13)—(4.1.16).
4.1.3. Тензоры линейных преобразований
С точки зрения теории линейных пространств, изложенной в § 1.1,
центральное преобразование координат (4.1.1) соответствует замене декартова
базиса ёг на новый ортонормированный базис е^ в пространстве £$:
Ъ = В\ё,, ej=Aijei. (4.1.17)
Действительно, если выбрать в пространстве R3 вектор χ с координатами
хг в базисе ё;, то в новом базисе е* он будет иметь координаты Хг, так
как, согласно (4.1.1) и (4.1.17), имеем χ = хгёг = xlAJ{ej = X^ej. Сравнивая
формулы (4.1.17) и (1.1.4) с учетом замены обозначений базисов е[ —> ё*,

310
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
устанавливаем, что в рассматриваемом случае матрицы Рг , <2г перехода от
одного базиса к другому имеют вид
Fij=Aij, <3^ = βν (4.1.18)
Тогда можно образовать тензор второго ранга
Q = Aijej^ei, (4.1.19)
который называют тензором линейных преобразований.
Если матрица Аг ■ — ортогональная, то, в силу (4.1.5) и (1.6.46), тензор
Q — тоже ортогональный. Для него транспонированная матрица совпадает с
обратной (см. п. 1.6.6), поэтому получаем
QT = S<iei(g)eJ". (4.1.19а)
Таким образом, каждой из 64 ортогональных матриц преобразований
(4.1.13)-(4.1.16) соответствует тензор линейных преобразований. Будем эти
тензоры обозначать той же буквой, что и матрицы, т. е.
Е, 03 , Ra> Sa и т. д.
Тензор Е, определенный таким образом, очевидно, действительно является
метрическим тензором.
4.1 А. Изомерные тензоры
Отметим, что выбор ортонормированного базиса ё; в п. 4.1.3 был
произвольным, поэтому координаты хг можно отнести и к другому ортонормиро-
ванному базису ej:
x = xie'i = xiAjie,i = Xje,i.
Тогда с помощью базиса ё[ также можно образовать тензор линейных
преобразований
Q' = А1 ^ ^ ё[. (4.1.20)
Вообще говоря, тензоры Q' и Q - различны, хотя компоненты у них
одинаковые.
Определение 4.1.1. Тензоры, обладающие одинаковыми компонентами, но
отнесенные к различным базисам, называют изомерными.
Таким образом, в отличие от матрицы линейных преобразований Аг ·,
каждый тензор линейных преобразований Q связан с конкретным базисом ё$.
Везде далее, если не оговорено специальным образом, будем считать, что Аг ■
представляют собой компоненты тензора Q (4.1.19) в базисе ё*.

§ 4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 311
Упражнения к § 4.1
Упражнение 1. Показать, что матрица поворота Q^ (4.1.6) имеет собственные
значения
λ, =е**, А2 = е-**, А3 = 1.
Упражнение 2. Показать, что если матрица Аг ■ — ортогональная и базис ё* — ор-
тонормированный, то для базиса ег, взаимного к е$, введенного по (4.1.17), имеют
место формулы
ei = Aij&i1 &=А\е\ ei-ej=Sij, ei-ej=Sij.
§ 4.2. Группы преобразований
в трехмерном евклидовом пространстве
4.2.1. Определение группы
Рассмотрим не одно, а множество преобразований координат (4.1.1).
Оказывается, что эти множества могут обладать определенной симметрией,
например, образовывать группу.
Определение 4.2.1. Множество Μ называют группой G, если в нем
определена операция умножения
а,ЪеМ —> с = а-ЪеМ, (4.2.1)
которая обладает следующими свойствами:
1) ассоциативность
(а - Ь) · с = а · (Ь · с);
2) существует левая единица, т. е. такой элемент е £ М, что
е · а = а;
3) для любого а существует левый обратный элемент а~1 £ Μ такой,
что
а-1 - а = е.
Группу G называют коммутативной (или абелевой), если
a-b = b-a. (4.2.2)
Если группа имеет конечное число элементов, то ее называют точечной
(или конечной)', если бесконечное, то — непрерывной.
4.2.2. Сингонии, классы и группы симметрии
Поскольку у нас определено произведение двух матриц Alj и В\ как
матрица Сгк с компонентами Сгк = Аг -В3к, определена единичная матрица

312
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
δγ Аг Ж = Аг k и для всякой невырожденной матрицы существует обратная
(A~l)Jk: Αι^(Α~ι)\ = 5к, то множества матриц могут образовывать группы.
Оказывается, что из 64 преобразований, описываемых матрицами
(4.1.13)—(4.1.16), можно образовать 32 точечные группы преобразований, эти
группы объединяют в семь систем (синеоний), сингонии состоят из одного
или двух классов.
I. Триклинная сингония (триклинный класс (Е)):
группы G{ = {E], G2 = {E,C}.
II. Моноклинная сингония (моноклинный класс (М)):
группы G3 = {E,R3}, G4 = {E,D3}, G5 = {E,C,R3,D3}.
III. Ромбическая сингония (класс ортотропии (О)):
группы G6 = {E,Rl,R2,D3}, G7 = {E,Da}, G8 = {E,C,Ra,Da}.
IV. Тетрагональная сингония:
тетрагональный класс (Т)
группы G9 = {E,D3,D7T3}, Gl0 = {Ε, Ό3^ΊΤ3}, j=\,2;
G\\ = {Ε, С, R3, D3, R1T3, ΌΊΤ3};
класс квазитрансверсальной изотропии (К3)
группы Gl2 = {Ε, Da, T3, DaT3}, Gl3 = {Ε, Rj, D3, T3, #7T3, D3T3},
G\4 = {E, Da, CT3, RaT3}, Gi5 = {E, C, Ra, Da, T3, CT3, RaT3, DaT3},
q= 1,2,3.
V. Ромбоэдрическая (тригональная) сингония:
Л-ромбоэдрический класс (А)
группы Gi6 = {Ε, S7}, Gn = {Ε, S7, С, CS7};
^-ромбоэдрический класс (В)
группы Gis = {£,S7, #i,#iS7}, G19 = {E,S1,Dl,DlS1}',
G2o — {Ε, 57,C,C57, R\, R\Sl7D\, Z>i57}.
VI. Гексагональная сингония (гексагональный класс (Я)):
G2\ = {E,S1,R3R3S1}, G22 = {Ε,8Ί,ϋ3,ϋ38Ί}',
G23 = {Ε, 57, С, С57, R3, R3Sl7 D3, Ό38Ί},
G24 = {E, 57, R2, R2Sly R3, R3Sly D2, ϋ23Ί},
G2s = {E, o7, Da, DaS^\,
^26 — {E,Sl7R\, R\S1, R2, R2S1, D3, Ό38Ί},
(jr2j = \L·, <b7, C, C<b7, Ha, Haby, Day Dab^f,
7=1,2; a= 1,2,3.
VII. Кубическая сингония (класс квазиизотропии (К)):
G2S = {E,Da,M1,DaM1},
G29 = {Ε, С, Ra, Da, M7, CMa, RaM1, ΌαΜΊ},
G30 = {E, Da, Ta, ΌαΤβ, Μ7, ΌαΜΊ},
G3\ = {E, Da, CTa, RaTp, M7, ϋαΜΊ},

§ 4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 313
^32 = {Е, С, Ra, Da, Ta, CTa, ϋαΤβ, ΌαΤβ, ΜΊ, СМ1, RaM1, ΌαΜΊ}.
В скобках указано обозначение класса Е, М, О, Т, К3, К, А3, В3, Н.
Непрерывных групп, называемых также текстурами, существует семь
штук, объединенных в два класса.
Класс трансверсальной изотропии (Тз):
Сзз = {Qt О^ф^ 2тг}; G34 = {Q*, 0^φ^2π; Q^R3};
С35 = {Qt 0 ^ φ ^ 2тг; #7Q^}; G3e = {Qt, 0^φ^2π; D^};
G37 = {Qt (Κ <^ 2π; D^RaQ*} 7 = 1,2.
Класс изотропии (I):
С38 = {Qm, Ο^φ, χ^2π,0^θ^π};
C39 = {Qm, Ο^φ, χ^2π,0^θ^π; RaQct>xe}·
Здесь Цфхе — матрица поворота на углы φ, χ и θ вокруг осей Οχι, ее
компоненты имеют вид
(сфсх — βφβχοθ —οφβχ — βφβχοθ вфвв \
βφοχ + οφβχοθ -βφβχ + οφβχοθ -сфвв I , (4.2.3)
sxs9 οχβθ ев )
где с = cos, s = sin.
Матрицу ζ>3 поворота на угол φ вокруг оси Ох$ определяют по (4.1.6).
Определение 4.2.2. Подгруппой Ss группы Gs называют
подмножество элементов группы Gs, которое само образует группу относительно
той же операции умножения, определенной в Gs.
Отношение групп Ss и Gs в этом случае обозначают Ss С Gs.
Максимальной группой в классе называют такую Gs, для которой
выполняется соотношение Gi с Gs для всех групп из данного класса.
Максимальные группы в классах показаны в табл. 4.2.1.
Таблица 4.2.1. Максимальные группы в классах
Класс
Максимальная
группа
Ε
Gs
Μ
G5
О
G8
Τ
Gu
Кз
G\5
A3
G\7
B3
G20
К
G32
T3
G34
I
G39
Эти группы иногда называют соответственно названию класса: G$ —
моноклинная группа, G& — группа ортотропии, G34 — группа трансверсальной
изотропии и т. д.
Группа изотропии G39 совпадает с полной группой ортогональных
преобразований I, содержащей все ортогональные матрицы (4.1.5).

314
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.2.3. Оси анизотропии
Поскольку с каждым преобразованием координат (4.1.1) можно связать
как матрицу преобразований А3{, так и тензор Q линейного преобразования,
то введенным выше группам преобразований Gs (s = 1, ..., 39)
соответствуют не только группы матриц A3i1 но также группы, составленные из
соответствующих тензоров преобразований. Буквенные обозначения для элементов
этих групп одинаковы и соответствуют обозначениям п. 4.2.2.
Поскольку тензоры линейных преобразований определены нами по
формуле (4.1.19) в некотором фиксированном базисе, например ё*, то и группы
тензоров преобразований будут отнесены к тому же базису, который
называют кристаллофизическим базисом (главным базисом анизотропии), а оси
декартовой системы координат Охг, связанной с базисом ej, называют осями
анизотропии.
Далее, если не оговорено специальным образом, подразумеваем, что
группы тензоров преобразований отнесены к декартову базису ё*.
4.2.4. Симметрическая группа
Множество всех подстановок (mi ...тп) длиной η также образует
группу, поскольку в этом множестве имеется единичный элемент —
тождественная подстановка (12...п), определены произведение подстановок:
(7711 ...тп)(г\ ...гп) — (тц •••min) и обратная подстановка (mi ...mn)(w\ ...
...wn) = (12...η). Эту группу называют симметрической.
4.2.5. Симметричные тела
Ранее мы рассматривали свойства только самих преобразований
координат (4.1.1). Пусть теперь в пространстве М3 определена некоторая
ограниченная замкнутая область V. Будем называть ее далее конечным телом В.
Тело В называют неоднородным {составным или кусочно-однородным),
если для него введено разбиение на конечное число замкнутых областей Vi,
общими точками которых могут быть только точки на их границах. Если
же для области V такое разбиение не введено, то будем называть тело В
геометрически однородным или просто однородным.
Без ограничения общности далее будем рассматривать тела, образующие
связные множества. Если введена некоторая система координат хг, то каждой
точке тела Μ Ε В можно взаимнооднозначно поставить в соответствие
координаты хг G V, т. е. ввести биективное отображение
φ : В —> V С М3.

§ 4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 315
Однако такое отображение не единственно возможное. Переходя к новой
системе координат Xх, получаем другое отображение φχ\ В —» Vx С М3, где
Ух — область изменения координат Xх точек Μ € В (рис. 4.2.1).
Исследуем как связаны между собой образы тел V и Vx, если системы
координат хг и Xх связаны ортогональными преобразованиями (4.1.1).
При таких преобразованиях каждая точка Μ тела с координатами ххм в
области V имеет координаты Х3М в области Vx, причем расстояние s между
любыми двумя точками Μ и λί, принадлежащими В, в областях V и Vx не
меняется, так как
з з
β = Σ(*Α« - aft)2 = Σ В"з (Χί< ~ Xb)Bai (Хм ~ Χ&) =
α=1
α=1
= 6у(Х'м - Χ&(ΧτΜ ~ Xk) = Σ,^Μ ~ -Xft)2. (4-2.4)
α=1
согласно свойству (4.1.5). Это означает,
что при ортогональных преобразованиях
область V преобразуется в область Vx как
жесткое целое в пространстве R3.
Будем говорить, что тело В
обладает симметрией (является симметричным)
относительно ортогонального
преобразования (4.1.1), если образ тела В до и после
такого преобразования неотличим (т. е.
области V и Vx совпадают).
Если тело В — неоднородное, то для
его симметрии необходимо, чтобы области
У % и Vix совпадали.
Тело может быть симметричным
относительно нескольких преобразований.
Будем говорить, что тело является симметричным относительно группы
Gs, если оно симметрично относительно каждого преобразования в этой
группе.
Рис. 4.2.1. Преобразование тел при
ортогональных преобразованиях
координат
4.2.6. Оси симметрии
При ортогональных преобразованиях, как было показано в п. 1.6.3, образ
тела В может либо поворачиваться вокруг некоторой оси, либо зеркально
отражаться относительно некоторой плоскости или центра. В первом случае
det (АгЛ = 1, во втором — det {Ах ■) = — 1. Возможно также совместное
действие этих преобразований.

316
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Анализируя приведенные в п. 4.1.2 матрицы Аг- ортогональных
преобразований, нетрудно заключить, что в рассмотренных выше точечных группах
присутствуют повороты только на углы: π/3, π/2, (2/3)π, π и 2π, т. е. на
2π/η, где η =1, 2, 3, 4 и 6. Поворот на 0 эквивалентен повороту на 2π.
Вообще же для конечных тел возможны повороты и на другие углы, при
которых имеет место симметрия.
Поворот на углы 2π и 0 является тождественным преобразованием и
описывается матрицей Е. Матрицы Аг^ соответствующие другим углам
поворота, указаны в п. 4.1.2.
Если тело В — симметрично относительно преобразования поворота на
угол 2π/η, то говорят, что оно обладает осью симметрии п-го порядка.
На рис. 4.2.2 изображено неоднородное тело, имеющее вертикальную
ось симметрии четвертого порядка. Тело, изображенное на рис. 4.2.3, имеет
ось симметрии третьего порядка h[lll], равнонаклоненную к координатным
осям Ох7.
Рис. 4.2.2. Пример оси сим- Рис. 4.2.3. Пример оси
симметрии четвертого порядка метрии третьего порядка
Одно и то же тело может иметь несколько осей симметрии. Так куб с
шаром внутри имеет четыре оси третьего порядка, направленные по главным
диагоналям куба, три оси четвертого порядка, нормальные к каждой паре
параллельных граней, и шесть осей второго порядка, проходящих через
середины ребер, противолежащих по отношению к центру куба (рис. 4.2.4). Для
них также используют название главные оси симметрии.
В непрерывных группах Тз-класса возможны повороты на произвольный
угол относительно оси Ох3, а в группах изотропного класса — относительно
любой оси. Такие оси называют осями бесконечного порядка. На рис. 4.2.5
показано, что, например, тело В в виде конуса имеет одну ось бесконечного
порядка, а шар — бесконечное число таких осей.
Тела, имеющие хотя бы одну ось бесконечного порядка, называют телами
вращения. Для них можно ввести цилиндрические координаты г, φ, ζ, так что
ось О ζ совпадает с осью бесконечного порядка (осью вращения), а область

§ 4.2. Группы преобразований в трехмерном евклидовом пространстве 317
Рис. 4.2.4. Оси симметрии для ку- Рис. 4.2.5. Оси симметрии бес-
ба с шаром внутри: · — η = 2, конечного порядка для конуса,
А — η = 3, ■ — η = 4 цилиндра и шара
V тела вращения можно представить как декартово произведение V = V χ
χ [0,2π], V С Μ2, т.е. координаты г,φ,ζ всякой точки Μ G V таковы, что
r,2GV', а (/> G [0,2π]. Это представление области V называют вращением
двумерной области V относительно оси вращения.
4.2.7. Плоскости симметрии и центр симметрии
Если тело В является симметричным при преобразованиях отражения
относительно некоторой плоскости, то говорят, что оно обладает плоскостью
симметрии. Преобразование отражения относительно плоскостей Ох^х1
описывается матрицами Ra (см. § 4.1).
Последовательное отражение относительно трех координатных плоскостей
приводит к преобразованию инверсии, являющейся отражением относительно
точки О — центра симметрии. Это преобразование описывает матрица С.
Если тело В является симметричным при преобразованиях инверсии, то
его называют центрально-симметричным. На рис. 4.2.2 изображено тело,
имеющее плоскость симметрии, а на рис. 4.2.4 — центрально-симметричное
тело.
4.2.8. Зеркально-поворотные и инверсионно-поворотные оси
Комбинацию поворота на угол 2π/η вокруг какой-либо оси и
отражения относительно плоскости поворота называют зеркально-поворотным
преобразованием. Если тело В является симметричным относительно такого
преобразования, то говорят, что оно обладает зеркально-поворотной осью
п-ео порядка. Комбинацию оси бесконечного порядка и ортогональной к
ней плоскости зеркального отражения называют зеркально-поворотной осью
бесконечного порядка.

318
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Если тело В является симметричным при преобразованиях поворота на
угол 2π/η вокруг какой-либо оси с последующим отражением относительно
центра О, то говорят, что тело обладает инверсионно-поворотной осью п-го
порядка.
4.2.9. Соответствие между элементами симметрии
и матрицами преобразований
Оси и центр симметрии, а также плоскости отражения называют
элементами симметрии. Каждую матрицу Аг ■ ортогонального преобразования
можно отнести к одному из элементов симметрии. На основании результатов
п. 4.1.2 и упражнений к §4.1, составлена табл. 4.2.2 соответствия между
матрицами преобразований Аг ■ точечных групп Gs и элементами симметрии
(здесь α Φ β Φ 7 φ Ρ', α, β =1,2,3; j, ρ =1,2).
Таблица 4.2.2. Матрицы преобразований, соответствующие элементам симметрии
Элемент симметрии
Ось симметрии η-го порядка (поворот):
η = 1 (тождественное преобразование)
п = 2
η = 3
η = 4
η = 6
Плоскость симметрии (зеркальное отражение)
Зеркально-поворотные оси η-го порядка:
η = 3
η = 4
η = 6
Инверсионно-поворотные оси η-го порядка:
п= 1
η = 3
η = 4
Центр симметрии
Матрицы преобразований Аг ■
Ε
S7, М7, DaM/з, DQMa
ϋαΤβ, D75p
£>3S7
-*^a> -*a> Ι^α-Ι-Οίΐ -tt^fiJp
DaTp
CMa, RaMa, RaMp, C57
С
С
Упражнения к § 4.2
Упражнение 1. Показать, что множества преобразований, представленных в п. 4.2.2,
действительно являются группами, т. е. удовлетворяют определению 4.2.1.

§ 4.3. Индифферентные тензоры
319
Упражнение 2. Показать, что внутри классов имеют место следующие отношения
групп:
GiCGi, i=l, ...,32; d С G5, i = 3,4,5;
GiCG8, г = 6, 7, 8; G< С Gn, i = 9, 10, 11;
G,CG15, г = 9 15; G,6cGi7, d С G20 г = 16, ...,20;
G,CG27, г = 21, ...,27; G, С G32, г = 28, ...,32;
Gi С G37, г = 33, ..., 37; G38 С G39·
Упражнение 3. Показать, что
G$ с G34, G§ с G35, G-j с G36, G$ с G37·
Упражнение 4. Показать, что группа G34 является максимальной по отношению
ко всем группам точечных классов, a G37 — максимальной ко всем группам Gi,
г= 1, ..., 37.
Упражнение 5. Показать, что все линейные невырожденные (det Агj Φ 0)
преобразования, определяемые по (4.1.1) образуют группу линейных преобразований.
Упражнение 6. Показать, что все нелинейные невырожденные преобразования
координат, определяемые формулами (2.1.45), (2.1.46), образуют группу криволинейных
преобразований.
Упражнение 7. Показать, что множество всех унимодулярных преобразований
(4.1.4) образуют группу, называемую собственной унимодулярной (С/о).
Упражнение 8. Показать, что все ортогональные преобразования (4.1.5) образуют
группу, называемую полной группой ортогональных преобразований. Показать, что
эта группа совпадает с группой изотропии G39 = /.
Упражнение 9. Показать, что собственно-ортогональные преобразования образуют
группу, которую называют группой собственно-ортогональных преобразований
(Ιο). Показать, что эта группа совпадает с группой G38 = ^о·
Упражнение 10. Показать, что множество всех преобразований (4.1.4), в которых
допускается как +1, так и — 1, образуют группу, называемую полной
унимодулярной (U).
Упражнение 11. Показать, что из определения 4.2.1 следует, что левая единица
является также и правой единицей, а левый обратный элемент является также и
правым обратным.
§ 4.3. Индифферентные тензоры
4.3.1, Преобразование компонент тензоров
при линейных преобразованиях координат
При линейных преобразованиях (4.1.1), сопровождающихся заменой
базиса (4.1.17), формулы (1.4.12) преобразования компонент Ωυ произвольного
тензора Ω второго ранга имеют вид
Uij = ilklB\Blk, tlkl = Α\Αιό№. (4.3.1)

320
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Аналогичным образом преобразуются компоненты любого тензора п-го
ранга ηΩ:
ηΩ = Ω*1-*ηβ<1 <g>...<g>e<n = Uil-ineil 0...0ein n^ 1,
QU-in = ςιή..·3ηΑ4 Ai ,432.
3\ 3n v >
4.3.2. Определение индифферентных тензоров
Определение 4.3.1. Если при любых линейных преобразованиях координат
(4.1.1) компоненты йг[--Лп некоторого тензора ηΩ в базисе ё* не
изменяются, т. е.
Ωίι-ΐη=Ωί,···ίη, n^l, (4.3.3)
то такой тензор ηΩ называют индифферентным относительно
преобразований (4.1.1).
Определение 4.3.2. Если условие (4.3.3) неизменяемости компонент
ζΐ4"Λη выполнено только для некоторой группы Gs линейных
преобразований (4.1.1), то такой тензор ηΩ называют индифферентным
относительно группы Gs, а группу Gs в этом случае называют
группой симметрии тензора ηΩ.
Не все компоненты индифферентных тензоров являются независимыми,
так как между ними существуют зависимости, вытекающие из (4.3.2) и
(4.3.3),
йц-Лп = UJ[-JnA4h .-•Alnjn, η ^ 1. (4.3.4)
В частности, индифферентным является сам тензор линейных
преобразований Q, компоненты которого совпадают с матрицами преобразований (см.
п. 4.1.3):
Q = Aijej®ei. (4.3.5)
Действительно, используя формулы (4.1.17) и упр. 2 к §4.1, перейдем в
новый базис:
Q = А^ёР 0 ёг = А^А\ Bimem 0 ek = А\ 61тет 0 ек = А\ е* 0 efc. (4.3.6)
Отсюда и следует, что компоненты тензора Q в базисах ё* и е$ совпадают.
Используя тензор линейных преобразований Q, можно сформулировать
условие индифферентности тензора.
Теорема 4.3.1. Тензор ηΩ является индифферентным относительно
группы Gs, если и только если скалярное умножение на любой тензор
линейных преобразований Q из группы Gs не изменяет значений этого тензора
ηΩ, т. е.
ηΩ = ηΩ · ... · (Q 0 ... 0 Q)(2n-1.2n-3 3,1,2,4 2n)_ (4.3.7)

§ 4.3. Индифферентные тензоры
321
Τ Покажем эквивалентность формулировок (4.3.4) и (4.3.7). Тензор
Q 0 ... 0 Q имеет компоненты
Qtg)...tg)Q = A\ ...А\ёк' ®ё*, 0 ... 0 ёкп 0 ё*п, (4.3.8)
П
тогда (4.3.7) в компонентном виде можно записать следующим образом:
^'••^eil...ein = ^--^ejl0...0ejn.....^1fci...^\efc-0...
... 0 ё*3 0 ekl 0 ei, 0 ei2 0 ... 0 ein = Ω^-'Μ^ ... Α\δ^ ...
...^;eil0...0ein = ^'1--^Mi'i...^neil0...0ein. (4.3.9)
Сравнивая в этом равенстве первое и последнее выражения получаем, что
формула (4.3.9) будет выполнена тогда и только тогда, когда выполнена
формула (4.3.4), что и требовалось доказать. А
Найдем с помощью (4.3.7) условие индифферентности вектора а:
a = a-Q или а{ = а?А^, (А^)ева (4.3.10)
и тензора второго ранга Т:
Т = Т (Q0Q)(3124) или fij = Тк1А\А\. (4.3.11)
Это выражение можно также представить в следующем виде (см. упр. 1 к
§ 4.3):
T = QT-T-Q. (4.3.12)
4.3.3. Изомерные группы симметрии
Понятие (4.3.3) индифферентности тензора, а также альтернативные
формулировки (4.3.4) и (4.3.7), непосредственно связаны с фиксированной
системой координат хг, к которой отнесена группа симметрии. Аналогично можно
определить тензоры, индифферентные относительно группы G's, отнесенной
к другой ортогональной системе координат Х'г с базисом ё[ (см. пп. 4.1.4 и
4.2.3):
Я*\..лп ==Ω'Μ...*ηϊ (4.3.13)
где Ci'4'"%n — компоненты тензора ηΩ в базисе ё[, а Ωηι-·Λη — в базисе
< = &&:
»η = ΩΛ·-·"θί1®...®< = ΩΛ'···-δ;ι®...®^η. (4.3.14)
Тогда выражение (4.3.4) будет иметь вид
jyii...i» = QfJi-JnAii mmtAin (4.3.15)

322
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
а выражение (4.3.7) примет вид
ηΩ = ηΩ ·... · (Q' <g> ... <g> Q'), (4.3.16)
где СУ — тензор линейных преобразований группы G's, определенный в базисе
ё'г (формула (4.1.20)).
Для тензора второго ранга это соотношение имеет вид
T = Q'T T Q'. (4.3.17)
Один и тот же тензор ηΩ, индифферентный относительно группы Gs,
связанной с одной системой координат хг, вообще говоря, не будет
индифферентным относительно группы G's, связанной с другой системой
координат Х'г.
Если двум группам симметрии Gs и G's соответствуют тензоры линейных
преобразований Q и Q', которые являются изомерными (см. п. 4.1.4), то
такие группы также называют изомерными. Изомерным группам
соответствуют, очевидно, одни и те же матрицы преобразований Аг ·, но различные
оси анизотропии. Далее к обозначениям групп симметрии, у которых оси
анизотропии отличаются от осей координат Охг, будем добавлять штрих « V
4.3.4. Группа симметрии произвольного симметричного тензора
второго ранга
Установим группу симметрии произвольного симметричного тензора
второго ранга Т.
Как было показано в п. 1.6.3, для Τ всегда существует три вещественных
собственных значения Аа и три ортонормированных собственных вектора еа:
з
Т = 5>аёа®ёа, т-е. Τ'αβ=Ξ\αδαβ,
о
таким образом, Τ в базисе еа имеет диагональный вид.
Выберем в качестве осей анизотропии оси декартовой системы координат
с базисом ё'а = еа и покажем, что все матрицы из группы ортотропии G& (см.
п. 4.2.3): Е, С, Ra и Da (a = 1,2,3) сохраняют без изменения
компоненты Т**\
Г'" = А\ А\Т'Ы, А\ е {E,C,Ra,Da}. (4.3.18)
Действительно, поскольку все указанные матрицы, включая Χ"υ, —
диагональные, то это соотношение можно переписать в виде
Τ,ββ = (Αβ0)2Τ,ββ. (4.3.18а)

§ 4.3. Индифферентные тензоры
323
Однако, в силу ортогональности матриц из группы G%: (^4 #)2 = 1, и,
следовательно, соотношения (4.3.18а) и (4.3.18) всегда выполнены.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4.3.2. Произвольный симметричный тензор второго ранга Τ Ε
е £g обладает группой симметрии G'8, принадлежащей к классу орто-
тропии, оси анизотропии которой совпадают с собственными
направлениями тензора.
4.3.5. Тензорный базис
Теорема 4.3.3. Множество всех тензоров п-го ранга, индифферентных
относительно фиксированной группы преобразований Gs, образует
конечномерное линейное пространство размерности к ^ Зп.
Τ Действительно, множество всех тензоров η-го ранга в евклидовом
пространстве £3, согласно теореме 1.3.6, образует линейное пространство
7д размерности т = п3. Множество всех индифферентных тензоров п-го
ранга 2"з является подмножеством £д К Очевидно, что это множество Jg
само является подпространством, так как индифферентной является сумма
(ηΩι + ηΩ2) любых двух индифферентных относительно одной и той же
группы Gs тензоров ηΩι и ηΩ2, тоже самое относится и к произведению
тензора ηΩ на число. Поскольку размерность подпространства Хд € £3
не может превосходить размерности пространства £3 , то' следовательно,
dim Х^п) = к ^ Зп = = т = dim £^п). А
Следовательно, в пространстве Хд существует базис ηΩ(β) (β = 1, ..., к),
называемый тензорным базисом, такой, что любой индифферентный тензор
ηΩ фиксированного ранга η можно представить в виде разложения по этому
базису:
ηΩ = £ηΩ(/,)7/?, η^Ι, (4.3.19)
или
к
Ωί1-1η = Σ^'1η- (4-ЗЛ9а)
7=1
где 7/з — коэффициенты разложения.
4.3.6. Образующие и направляющие тензоры
Тензоры, входящие в тензорные базисы ηΩ(7) для различных п,
взаимосвязаны между собой: для одной и той же группы преобразований Gs
существует минимальный набор тензоров 0S7 (7= 1, ..., ks), на основе

324
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
которого с помощью только операции тензорного умножения, сложения и
транспонирования образуются все тензоры ηΩ(7) для любого η ^ 1. Эти
тензоры 0S7, имеющие, вообще говоря, различный ранг, называют образующими
тензорами группы Gs.
Образующие тензоры 0S7 обладают следующими свойствами:
• все они являются индифферентными относительно фиксированной
группы преобразований Gs (группы симметрии);
• любой тензор, являющийся индифферентным относительно группы Gs
может быть образован из тензоров 0S7 с помощью операций тензорного
умножения, транспонирования и сложения.
Образующие тензоры можно разложить по любому базису, например, по
базису е*:
°з(7) = 6Χ)η*4 ® · · · ® ein = °Х)П*ч ® ■ · · e<n, (4.3.20)
s= 1, ..., оУ, Τ == 1> ···> "'β*
где 0*/'Vln — компоненты образующих тензоров в декартовом базисе ё^, а
О*1/*;1" — в произвольном базисе е*. Все образующие тензоры Os(7), в свою
очередь, выражаются только через 17 тензоров, называемых направляющими
тензорами. Перечислим их:
векторы
ёа; (4.3.21)
тензоры второго ранга
=2
о
е^ = еа0еа, Ε, Ωα = θβ 0 е7; (4.3.22)
тензоры третьего ранга
з
€, Td = ^ ёа 0 ё/з 0 ё7,
Оз/г = ei ® (ei 0 ei - ё2 0 ё2) - ё2 0 (ei 0 ё2 + ё2 0 ё\); (4.3.23)
тензоры четвертого ранга
з
&3d = ё3 0 D3fc, О^ = ^ ёа 0 ёа 0 ёа 0 ёа, (4.3.24)
Th = ё?0ё| + ё|0ё^ + ё^0ё?, а + β + η + α, α,β,-γ= 1,3;
тензор шестого ранга
D6d = D3^ 0 D3^. (4.3.25)
Используют также тензоры
о о
Ωα = Ωα - Ω^ = ёр 0 ё7 - ё7 0 ββ. (4.3.26)

§ 4.3. Индифферентные тензоры
325
Компоненты этих направляющих тензоров в декартовом базисе еа имеют
вид
(ёа)1 = С
&Г = &'а (ЕГ = ^'. W = Щ ~ δ% fig = Щ,
3
a=l
(D3/lp = δ\(δ\δ\ - δ>2δξ) - δ\(δ\δ* + φί), (4.3.27)
з
(D3d)<iW = **3( W. (О*)"*' = Σ £№L
α=1
(D6d)<J'fcZmn = Djjf 0 D^n.
Компоненты направляющих тензоров в произвольных криволинейных
координатах Хг приведены в [7].
4.3.7. Образующие тензоры различных групп симметрии
Направляющие тензоры являются индифферентными по отношению к
разным группам Gs линейных преобразований декартовых координат хг. Ниже
приведены образующие тензоры некоторых наиболее широко используемых в
МСС групп, составленные из направляющих тензоров.
Для всех групп G\, ..., G39 образующие тензоры приведены в [7].
Триклинная синеония
°i(7) = lei) fci = 3'
02{1) = {ё2а,Па} k2 = 6, a =1,2,3, /3=1,2. (4.3.28)
Ромбическая синеония
°б(7) = (ёз> Е, ё^} fc6 = 4, 07(7) = {Е, €, ё^} /с7 = 4,
08(7) = {^} £8 = 3. (4.3.29)
Класс трансверсальной изотропии
°зз(7) = {Е,ё3,б}, 034(7) = {Е,ё3,П3}, 035(7) = {Е,ё3},
036(7) = {Е, ё§, е}, 037(7) = {Е, ё§}. (4.3.30)
Класс изотропии
038(7) = {Е,е}, 039(7) = {Е}, a =1,2,3, /3=1,2. (4.3.31)

326
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.3.8. Симметричные направляющие и образующие тензоры
Важный случай представляют симметричные тензоры второго ранга Τ и
четвертого ранга 4Ω, при этом симметрию тензора четвертого ранга понимают
как выполнение условий (см. п. 1.6.10)
4П = №к1ъ®е
ekWei,
Т'ъ
(4.3.32)
Q^kl = QJikl = Q^lk = Qklii T^ = T^
Все симметричные тензоры Т и 4Ω, являющиеся индифферентными (по
условию (4.3.3)) относительно группы симметрии Gs, выражаются линейно
через тензорный базис в виде (4.3.19). Тензорный базис симметричных
тензоров в каждой группе строят из симметричных комбинаций образующих
тензоров Os(7), а те, в свою очередь, — из симметричных комбинаций
направляющих тензоров. Укажем эти симметричные тензоры (табл. 4.3.1).
Таблица 4.3.1. Симметричные направляющие тензоры
Векторы
Тензоры второго ранга
Тензоры четвертого ранга
^а
Оа = ё/з ® ё7 + ё7 ® ё/з, ё2а, Ε
Ω3ά = -(Ό3ά·ΩΊ3)^
В табл. 4.3.1 введена операция (·) симметрирования тензора четвертого
ранга
D<> = D<f4) + 0<Г> + D<f <> + В*-23» (4.3.33)
a D\, ' означает транспонированный тензор четвертого ранга (см. п. 1.4.5).
Тензор Оа образован симметрированием тензора Ω(
Οα = Ωα + Ω*.
(4.3.34)
В декартовом базисе е* тензоры, указанные в табл. 4.3.1, имеют
компоненты
(ёау = 51 (§*)* = £& (е)« = ^,
з
(4.3.35)
α=1
(п3/1рг = (δ\δί + б'2бШ5[ - δ%δι2) + (δ\δί - δ2δ{){δ\δι2 + δ%δ[),

§ 4.3. Индифферентные тензоры
327
(ПМ)«Ы = {δ\δ{ + 44)(4 4 + 44) + (44 + δ\δ{){δ\ δ[ - <52fc4)+
+ (44 + 44x44 + 44) + (44 - 44x44 + 44).
(D3p' = (44 + 44x44 - δ!δι2) - (44 + 44x44 + 44)+
+ (δ\δ\ - 44)(44 + 44) - №4 + 44)(44 + 44)·
Для симметричных тензоров четного ранга образующие тензоры Os(7)
одинаковы внутри каждого класса и совпадают с образующими тензорами
максимальных групп в классах (табл. 4.3.2).
На основе этих образующих тензоров строят тензорные базисы для
индифферентных симметричных тензоров второго и четвертого рангов. Такие
тензорные базисы будут приведены далее.
Таблица 4.3.2. Симметричные образующие тензоры классов
Триклинный Е'-класс
Ортотропный О-класс
Трансверсально-изотропный Тз-класс
Изотропный /-класс
0Ε(Ί) = {еа}
Οθ(7) = {ёа}
0Тз(7) = {Е, ё32}
0/(7) = {Е}
4.3.9. Симметричные направляющие тензоры третьего ранга
Для тензоров третьего ранга 3Ω также можно ввести понятие симметрии.
Наиболее часто в МСС используют тензоры, обладающие симметрией по
второму и третьему индексам:
3Ω = 3Ω<132> или Ω^ = Ω*4 (4.3.36)
где
3Ω = Ω^θ; 0е7· 0efc.
Тензоры третьего ранга, обладающие такими свойствами, будем называть
симметричными.
Тензорный базис (4.3.19) для индифферентных симметричных тензоров
третьего ранга строят из представленных ниже симметричных комбинаций
направляющих тензоров (4.3.21)-(4.3.25):
ёа, ёа, Td, D3h,
Eh = Ε ® ё3 + (Ε ® ё3)(132), B3d = Td . ё2 + (Td . ё|)^132>, (4.3.37)
Oad = е - ё2 + (б · e2Jm\ A3h = O3h · Ω3, K3d = Ω3 · Td,
N3d = Td^3 + (Td^3)(132).

328
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Для тензоров (4.3.37) имеют место следующие соотношения (см. [7]):
B3d = ei <g>Oi + ё20О2,
Oad = θβ®Οβ-θΊ®0Ί, α,β,Ύ = 1,2,3, a φ β φ η φα,
A3h = ei 0 03 + ё2 0 (ё? - ё|), (4.3.38)
R3d = ei 0 02 - ё2 0 Οι, N3d = 2ё3 0 (ё| - ё?) - R3d.
Компоненты направляющих тензоров в декартовом базисе ёа имеют вид
Ef = δ»δΙ + F% Bgk = δ\ φΙ + φΙ) + δί(δίδ$ + φ*),
бы = 4(ψ£ + ^) - «W + δ№)'
Щн = №Α + Φι) + 4(Φ* - Φ5). (4-3-39)
Д&* = *ί(Φί + «№) - №Α + Фз).
Ngf = 4(Фз + ^) - δ[{6$ + δ{δ!) + Щ(4% - ij'if).
В § 4.6 из этих направляющих тензоров будут построены тензорные
базисы для различных групп симметрии Gs.
4.3.10. Число независимых компонент индифферентного тензора
В пп. 4.3.1-4.3.9 мы указали способ построения тензорного базиса (4.3.19)
в пространстве Jg индифферентных тензоров — с помощью образующих
тензоров групп. Однако открытым остался вопрос о числе к — размерности
пространства 2д Для различных п. Это число к, очевидно, совпадает с
числом элементов в тензорном базисе (4.3.19), а также, согласно теореме
1.4.9, с числом независимых компонент тензора ηΩ Ε 2д .
Формулы для числа к можно установить с помощью теории матричных
представлений групп (см. [1,2, 24, 36, 47]). Вывод этих формул представлен
в работе [7]. В табл. 4.3.3 приведены данные о числе к для основных групп,
используемых в МСС.
Упражнения к § 4.3
Упражнение 1. Доказать, что из (4.3.11) следует (4.3.12).
Упражнение 2. Показать, что если компоненты тензора четвертого ранга 4Ω
удовлетворяют условиям симметрии (4.3.32) в какой-либо системе координат хг, то в
любой другой системе координат хг/, полученной невырожденным преобразованием
также будут выполнены эти же условия симметрии.
Упражнение 3. Доказать, что если тензор ηΩ — индифферентен, то любой
транспонированный тензор nn^mi"""mTl^ тоже является индифферентным.
Упражнение 4. Используя единственность решения уравнения Т-Т-1 = Е,
доказать, что если симметричный невырожденный тензор второго ранга Τ индифферен-

§ 4.4. Скалярные инварианты
329
Таблица 4.3.3. Число к независимых компонент векторов и
симметричных тензоров второго, третьего и четвертого рангов, индифферентных
относительно различных групп симметрии
Син-
гония
Трик-
линная

Ромбическая
Класс
симметрии
Триклинный
Ортотропный
Трансвер-
сально-
изотропный
Изотропный
Группа
Gs
Gx
G2
Gb
G7
Gs
G33
G34
G35
G36
G37
G38
G39
Число к

Векторы
n= 1
3
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
Симметричные тензоры
второго
ранга
6
3
2
1
третьего
ранга
18
0
5
3
0
4
0
3
1
0
0
0
четвертого
ранга
21
9
5
2
тен относительно какой-либо группы Gs, то обратный к нему тензор Τ ] также будет
индифферентным относительно той же группы Gs.
Упражнение 5. Используя единственность решения уравнения 4С · · 4С-1 = Δ,
доказать, что если тензор 4С является симметричным и индифферентным относительно
группы Gs, то обратный к нему тензор С-1 также будет индифферентным
относительно той же группы Gs.
Упражнение 6. Показать, что из (4.3.27) и табл. 4.3.1 следуют формулы (4.3.35) для
симметричных направляющих тензоров в декартовой системе координат.
Упражнение 7. Показать, что если какие-либо компоненты, например, контравари-
антные (4.3.3), сохраняются при линейных преобразованиях, то любые другие —
ковариантные, смешанные — также сохраняются при тех же преобразованиях.
§ 4.4. Скалярные инварианты
Кроме индифферентных тензоров, сохраняющих свои компоненты при
определенных преобразованиях, в МСС широко применяют скалярные
функции от тензоров, также не изменяющиеся при линейных преобразованиях
координат.

330
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.4.1. Определение скалярных инвариантов
Определение 4.4.1. Скалярным инвариантом тензора ηΩ п-го
ранга относительно группы преобразований Gs называют функцию
1(a) . J<n) _> м?
1^ = &\П) = №(№··'*»), (4.4.1)
от компонент тензора Ω11···1η в некотором базисе ё*, не изменяющуюся
при любых преобразованиях в данной группе Gs, т. е.
j(s)^ii...i„) = ^фг^.Лпу (4.4.2)
Здесь
Qil-in = Qii-inAii _ Ain y^i £ q /44.З)
3\ jn J ч '
Замечание 4.4.1. Определение 4.4.1 включает в себя задание кристаллофи-
зического базиса ё* или осей анизотропии. Фиксируя группу Gs матриц
преобразования и меняя базис на ej, получаем другие инварианты /(β)(Ω/11 ···'")
тензора ηΩ = Ω/Ι1···1ηθ£ ® ... ® ej относительно изомерной группы
симметрии G'a.
Далее, если не оговаривается особо, полагаем, что инварианты
рассматриваются в базисе ё*.
Замечание 4.4.2. Согласно определению 4.4.1, скалярный инвариант тензора
можно рассматривать и как функцию /^s^: 7g —*· ^» и> после фиксирования
кристаллографического базиса ё*, как функцию /^s^: Шк —» R, ставящую в
соответствие набору компонент Ω11···1η тензора в базисе ё$ вещественное число.
Здесь к = Зп — число компонент тензора, равное размерности пространства
7д . Оба эти подхода эквивалентны.
Замечание 4.4.3. Если у тензора ηΩ не все компоненты Ω*1*··1" являются
независимыми (например, когда тензор ηΩ — симметричный по какой-либо
а(п®) а(п) ^- т(п)\
группе индексов σ, τ. е. принадлежит подпространству 5£ = S^ J С Т£ ),
то число к будет меньше, чем Зп. В этом случае, будем всегда полагать, что
аргументами функции /(β)(Ω11*··1η) являются только к независимых
компонент тензора ηΩ. Набор этих компонент Ω11···*η представляет собой элемент
пространства Шк, и для него будем применять обозначение Ω'1···'" Ε Шк.
4.4.2. Независимые инварианты
Инвариантов относительно фиксированной группы Gs у каждого тензора
ηΩ существует бесконечное множество (любой инвариант, умноженный на
число — тоже инвариант), поэтому выделяют функционально независимые

§ 4.4. Скалярные инварианты
331
инварианты тензора (будем их называть также просто независимыми). Дадим
их определение.
Определение 4.4.2. Отображение f : Rr —» R (r ^ 1) называют
тривиальной функцией от г аргументов и обозначают как f(I\, ..., Ir), где
(1\, ..., Ir) G W, если существует такая область W с W, что для любых
несовпадающих элементов (1\, ..., 1Г) с W и (I*, ..., I*) с W, их образы
совпадают:
/(/,, ...,7r) = /(/f, .... Гг). (4.4.4)
Соответственно функция f(I\, ..., Ir) — нетривиальная, если в любой
области W с W всегда найдутся несовпадающие элементы (1\, ..., 1Г) с W
и (/*, ..., /*) с W, образы которых также не совпадают.
Определение 4.4.2 применимо для функций /, непрерывных во всем Мг.
Если же / является непрерывно дифференцируемой в Мг, то для нее
справедлива следующая теорема.
Теорема 4.4.1. Пусть функция f(I\, ..., Ir) непрерывно дифференцируема
в W, тогда она является тривиальной в том и только в том случае,
когда существует область W с W, в которой все ее частные производные
тождественно равны нулю: df/δΐβ = 0, β = \, ..., г.
Τ Действительно, если / — тривиальная, то существует область W, в
которой выполняется (4.4.4) для любых Ц ^ 1% из W. Тогда для всякого
фиксированного набора (Ι\, ..., Ιβ, ..., Ir) можно образовать функцию
(τ τλ f(I\, ..., Ιβ, ..., Ir) - f{I\, ..., Ιβ, ·■-, Ir) n
g0(I\, ..., Ir) = -T τϊ = 0,
предел которой при Iβ —»I^ совпадает с частной производной:
lim 9β(Ι\, · ··» Ir) = df/δΐβ = 0.
В силу построения, этот предел всегда равен нулю во всей W.
Наоборот, если у функции / все частные производные равны нулю в
некоторой области W, то / является константой в W. Тогда, очевидно, что
(4.4.4) всегда выполняется. А
Следствие. Из этой теоремы следует, что непрерывно дифференцируемая
функция / является нетривиальной тогда и только тогда, когда в любой
области W с Шг в какой-либо точке найдется хотя бы одна не равная нулю
частная производная df/δΐβ ф0, β Ε {1, ..., г}.
Примером тривиальной функции является тривиальная линейная
комбинация (см. п. 1.1.2) инвариантов f = s\I\ + ... + srIr, для которой выполнение
условия (4.4.4) эквивалентно тому, что sa = 0 (а = 1, ..., г).
Определение 4.4.3. Если для системы скалярных инвариантов /α(ηΩ)
(а = 1, ..., г) тензора ηΩ относительно группы Gs существует нетри-

332
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
виальная функция f(I\, ..., Ir), тождественно равная нулю при всех
значениях компонент йг1"-гп:
/(ΐι(ηίι··Λη)...ΙΓ(Ωίι··Λη)) = 0 Ш1~Лп еШ, (4.4.5)
то такую систему инвариантов называют функционально
зависимой.
Определение 4.4.4. Систему скалярных инвариантов /α(ηΩ) (а = 1, ..., г)
тензора ηΩ относительно группы Gs называют функционально
независимой, если для любой нетривиальной функции }(1\, ..., Ir) от
этих инвариантов найдутся такие значения компонент йг1'"гп, что
/(/ιίΩ*»···*»), ..., 1г(№-*»))ф0. (4.4.6)
Эти определения обобщают понятие линейной независимости элементов
системы.
Далее будем полагать, что инварианты /α(Ω11···1η) и соответствующие
функции f(I\, ..., Ir) принадлежат одному классу: либо непрерывных, либо
непрерывно дифференцируемых функций в соответствующих пространствах.
4.4.3. Функциональный базис
Определение 4.4.5. Систему из г скалярных инвариантов ца'(И) (еде
7 = 1, .·., г) тензора ηΩ относительно группы преобразований Gs
называют функциональным базисом инвариантов тензора
относительно группы преобразований Gs, если:
1) она является функционально независимой в области Wj.+ с Мг;
2) любой иной, не входящий в эту систему, скалярный инвариант
тензора ηΩ относительно этой же группы преобразований Gs может
быть представлен в виде функции от этих инвариантов ц\
Функциональный базис, очевидно, всегда не является единственным.
Отметим, что скалярные инварианты (4.4.1) могут быть установлены для
любого тензора ηΩ, не обязательно являющегося индифферентным.
В [7] доказана теорема о том, что число г функционально независимых
инвариантов не может быть больше числа к — независимых компонент
тензора ηΩ.
В силу теоремы Вейерштрасса [12], любой инвариант Ζ^Ω'1 ···'",
представляющий собой непрерывную функцию на замкнутом множестве значений
{Ω11···Ζη} £ V С Шк, можно приблизить тензорными полиномами
оо
7^)(ηΩ) = Σ ρΟ^} · ... · ηΩ0...0ηΩ, ρ = nm,
т=0 т

§ 4.4. Скалярные инварианты
333
где рО\\ — тензоры р-го ранга, индифферентные относительно группы Gs.
В силу этого представления, независимые скалярные инварианты /7(ηΩ)
относительно группы Gs могут быть образованы с помощью операции свертки
направляющих тензоров 07 в данной группе с данным тензором ηΩ и его
тензорными степенями ηΩ 0 ηΩ и ηΩ 0 ηΩ 0 ηΩ, и т. д.
Такие инварианты называют полиномиальными. Другие —
неполиномиальные — инварианты в МСС используют крайне редко, и здесь они не
рассматриваются.
На практике использование полиномиальных инвариантов степени выше
третьей оказывается весьма затруднительным, поэтому при построении
функциональных базисов стараются ограничиться низшими полиномиальными
инвариантами.
Заметим также, что когда говорят о независимых инвариантах и
компонентах тензора ηΩ, фактически неявно предполагают, что этот тензор
имеет максимально возможное число ненулевых и различных между собой
компонент.
Кроме функциональных базисов в МСС также рассматривают
расширенные системы инвариантов /7 (ηΩ) (j = \, ... , ζ; ζ ^ г), которые
могут быть функционально зависимыми, но любой другой инвариант тензора
/(s)(nn) относительно той же группы Gs можно представить в виде функций
от /7 , 7 = 1, · · ·, ζ (т. е. в определении 4.4.5 п. 2 выполняется для
расширенной системы, а п. 1 — необязательно). Примеры расширенных систем будут
приведены в п. 4.5.4.
4.4.4. Инварианты вектора
Независимые скалярные инварианты вектора а = агщ относительно
группы Gs могут быть образованы с помощью операции скалярного произведения
вектора а с образующим вектором 0(7) (тензорами размерности η = 1)
соответствующей группы Gs, а также скалярного произведения тензора а 0 а с
образующими тензорами второго ранга Ов(7). При этом число г независимых
инвариантов вектора не может превышать г ^ к = 3.
Исходя из перечня (4.3.27) направляющих векторов и тензоров,
указанным выше способом можно построить только следующие инварианты
вектора а:
о
— — ι ι9 — 9 —9 — —
а · еа = аа, a 0 a · · Ε = |a| , a 0 a · · еа = aa, a 0 a · · Ωα = αραΊ.
(4.4.7)
В зависимости от принадлежности направляющих тензоров той или иной
группе Gs, получаем из набора (4.4.7) инварианты вектора /7 относительно
данной группы Gs. Ниже приведены инварианты вектора а, построенные

334
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
указанным способом для всех групп Gs, s — 1, ..., 39. В скобках выписана
явная запись инвариантов через компоненты а« вектора в базисе ё*.
Триклинная синеония:
G\ : 1У = аёа = аа, а = 1,2,3, г = 3; {α\,ά2,α3};
(2) ° - - (2) ° -
£?2 : /j = a · Ωι · a = а2<г3, /g a ' ^2 · a — αι&3> (4.4.8)
r(3) ι i2 о г- - - - ι 12Ί
Ц = |a|z, r = 3; {α2α3, αια3, |a|z}.
Ромбическая синеония:
G6 : J^6) = a · ё20 · a = ά2β, 1^ = a · e3 = a3,
0=1,2, r = 3; {af, 4 a3}; (4.4.9)
Gs, s = 7,8: /is) = ae^ a = a2a, a =1,2,3, r = 3; {af, a|, a§}.
Трансверсальная изотропия:
Gs, 5 = 33,35: /is) = |a|2, 4s)=a3, r = 2; {|a|2, a3}; (4.4.10)
Gs, 5 = 34,36,37: /ί5) = |a|2, J<e) = а2, г = 2; {|a|2, a2}.
Язот/юяшг:
Gs, 5 = 38,39: /f^^lal2, r=l; {|a|2}. (4.4.11)
Теорема 4.4.2. Функциональный базис независимых инвариантов вектора
а относительно группы Gs с I состоит из г элементов, где
• г = 1 для группы Gs изотропного класса',
• г = 2 для групп Gs трансверсально-изотропного класса;
• г = 3 для групп Gs с I триклинной и ромбической сингоний.
Τ Доказательство теоремы 4.4.2 приведено в [7]. А
Упражнения к § 4.4
Упражнение 1. Используя определение 4.4.3, показать, что система из одного
скалярного инварианта /ι(ηΩ) и нулевого инварианта li = 0 всегда функционально
зависима.
Упражнение 2. Показать, что для групп Gs, s= 1,6,7,8,33, ..., 39, скаляр
Ja\ + α^ также является инвариантом вектора а.
§ 4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга
4.5.1. Пространство симметричных тензоров
Рассмотрим симметричные тензоры второго ранга Т, т. е.
удовлетворяющие условию (1.6.12).
Согласно теореме 1.5.8, множество всех симметричных тензоров второго
ранга образует линейное пространство <So » являющееся подпространством
в Г<2>.

§ 4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга
335
4.5.2. Построение инвариантов симметричного тензора
Функционально независимые скалярные инварианты симметричного
тензора второго ранга Τ с компонентами
T = iijei®ej (4.5.1)
в базисе ё* относительно группы симметрии Gs, принадлежащей к некоторому
классу, можно построить с помощью операций свертки симметричных
образующих тензоров 0(7) (см. табл. 4.3.2) данного класса симметрии с самим
тензором Т, либо его тензорными степенями Т2, Т0ТиТ0Т0Т, Т3.
Исходя из перечня (см. табл. 4.3.1) направляющих симметричных
тензоров, получаем, что указанным выше способом можно построить следующие
скалярные инварианты тензора Т:
— — — —9 —
Τ · · еа 0 е0 = Ταβ, Τ · · еа = Таа,
Т..Е = Г11+Г22 + Гзз, Τ.·03 = 2Γ12 (4.5.2)
— линейные инварианты, образуемые сверткой Τ с направляющими
векторами ёа или тензорами второго ранга ё2, Ε и 03:
Т2 · · Ε = Г2 + Г2, + Г2з + 2(Т?2 + Т|3 + Т23),
Τ · · Оз = 2(ТцТ[2 + Τ\ίΤίί + Т\з?2з),
Т2 · · 4 = Т2аХ + Т22 + Т23, (03 · Т) ·. (ё2 · Т) = 2t13t23,
(ё2 - Т) · · (ё2 · Т) = Г23, (Е - ё3) · Τ ·. (ё2 . Т) = Г2з + Г|3, (4.5.3)
Т0Т....О^Т2+Т22 + Тз2з,
Τ 0 Τ · · · · D3 = 4(Г13(Гп - Г22) - 2Г12Г23),
Т®Т···· Ω3^ = 4Τ12(Τ11-Τ22),
Τ 0 Τ . · · · Пы = 4(Г2з(Гц - Г22) + 2Г12Г13)
— квадратичные инварианты, образуемые сверткой квадрата тензора Т2
или Τ 0 Τ с направляющими тензорами второго ранга Е, Оз, ё2 или
четвертого ранга О^, D3, Ω3Λ, H3d;
грЗ
·0(α), Τ20Τ····4Ο(α), (Τ2·0(α))··(Τ·0(/3))τ,
(T-0(Q))-(T.0W)--(T-0(7))T,
(Τ··40(α))·(Τ·0(/3))··(Τ·0(7))τ,
(Τ·0(α))·(Τ··40(/3))··(Τ··40(7))τ и т.п.,
0(α) 6 {Ε, 03, ё2 }, 40(α) = {Oh, D3, Ω3/ι, n3d}
(4.5.4)

336
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
— кубические инварианты, образуемые сверткой куба тензора Т3 с
направляющими тензорами второго ранга Е, Оз и ё2, или третьей степени тензора
Τ 0 Τ 0 Τ с направляющими тензорами четвертого ранга.
Среди последних наиболее распространенными являются инварианты
(Т · Oh) · (Τ · · Oh) · · (Τ · · Oh) = Γ?, + Г32 + Г333, (4.5.5)
Τ2 <g> Τ · · · · Oh = Τ,3, + ί232 + Г33з + Γ,, (Γ?2 + f,23)+
+ f22(f22 + f|3) + Тзз(Т23 + T|3).
Сформулируем теорему, из которой следует, что все введенные скаляры
(4.5.2)-(4.5.5) действительно являются инвариантами.
Теорема 4.5.1. Любой скалярный полином тензора второго ранга Т:
/(T)=2nO^_;T0...0T, n2*l, (4.5.6)
2п η
где 2пО — тензор (2п)-го ранга, индифферентный относительно группы
Gs, является скалярным инвариантом тензора Τ относительно той же
группы Gs.
Τ Запишем выражение для / в базисе ё;, совпадающем с осями
анизотропии тензора 2nO = 04"'%2neix 0 ... 0 ёгп:
f(fij) = Oi'--J*«Thni2n_l...Ti2il, (4.5.7)
а также в базисе е*, связанном с ё*, ортогональной матрицей Аг · £ Gs (ё* =
f(T- Λ — n^-'-hnT· ■ Τ ■ — Π3ΐ·~32η Δ*ι Ai2n T ■
JK-Lij)—^ ±г2п12п ·' · ±Чг\ — ν л j{···^ j2n ±i2ni2n-\ ·· ·
...fi2il = 0^-^fhnkn^ ... fhjl = /(fy), V^. e Gs. (4.5.7a)
Откуда получаем, что скаляр /(Т) удовлетворяет условию (4.4.2) и,
следовательно, является инвариантом относительно группы Gs. A
4.5.3. Главные инварианты тензора
Наиболее часто в МСС применяют главные инварианты тензора /а(Т),
образованные с помощью метрического тензора Ε по формулам (1.6.64):
/!(Т) = Т..Е,
h(T) = i(/f(Т) - /i(T2)) = fnf22 + ГцГзз + f22f33 - t\2 - Т2з - t|3,
/3(Τ) = det (Τ) = i (J?(T) - З/^ВДТ2) + 2/! (Τ3)), (4.5.8)

§ 4.5. Инварианты симметричного тензора второго ранга
337
которые, очевидно, являются инвариантами относительно любой группы
преобразований Gs, так как метрический тензор входит в число образующих
тензоров каждой группы.
Остальные скаляры в (4.5.2)-(4.5.5) являются инвариантами относительно
уже не произвольной группы (класса) симметрии Gs, а только той, которой
принадлежит образующий тензор 0(7), с помощью которого образован
данный инвариант.
Теорема 4.5.2. Собственные значения Ха симметричного тензора Τ
также являются инвариантами относительно всех классов симметрии.
Τ В силу теоремы 1.6.5, собственные значения Аа могут быть
представлены как функции от главных инвариантов:
λβ = λβ(/1(Τ), /2(Τ), /3(Т)).
Однако, поскольку Ια(Ύ) являются инвариантами относительно всех групп
Gs, то таковыми будут и Аа. А
Теорема 4.5.3 (Гамильтона — Кэли). Неособенный тензор Т, т. е. для
которого det Т^О, удовлетворяет своему характеристическому уравнению
Τ3 = /ι (Т)Т2 - /2(Т)Т + /3(Т)Е. (4.5.9)
Τ Эта теорема была доказана в п. 1.6.8. А
Из теоремы следует важный вывод: любую тензорную степень Τη (η > 3)
можно выразить только через первые две степени Τ2, Τ и Ε (см. (1.6.77)).
4.5.4. Функциональные базисы независимых инвариантов
симметричного тензора второго ранга
Среди всего множества инвариантов представляет интерес выделение
полного набора функционально независимых инвариантов для каждого класса
симметрии.
Ниже приведены функциональные базисы независимых скалярных
инвариантов 1а симметричного тензора Т, построенные с помощью наборов
(4.5.2)-(4.5.5) и соответствующие фиксированному классу симметрии (Gs).
В скобках представлено явное выражение инвариантов {l\ , ..., Ir } через
компоненты Х^· тензора Τ в базисе ё;.
Триклинный Е-класс:
ΙαΕ) = Τ · · ёа 0 ёа, ΐ£α = -Τ · · (ё7 0 ё/з + ё0 0 ё7),
α, β, j = 1,2,3, ol + β т^7 т^а>
{Гц, f22, Гзз, f23, Ti3, f12}. (4.5.10)

338
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Ортотропный О-класс:
АО)
25
/£» = Τ·.4. а-
= (§? · т) · · (ё| · τ
{Гц, Г22,
= 1,2,3;
).
?33>
Трансверсально-изотропный Τ
7<3) = (Е -
43' = (Ε - Φ '
г(3) _
J4 —
4)-
• т··
гр2
7(о:
^23'
АО)
1А
• = (ё
*f3.
з-/сласс:
т,
(ё§-
Е-
Т),
7(3)2
' i2
= (ei-T)·· (ё§.
i?-T)-(el.T)..
^12^13^23 }·
f2 — Α e3'
7<3) = det (Τ).
-2lf\
τ),
(δ§·
>
•τ),
(4·
.5.11)
{Гц + t22, T33, η23 + f*3, Τ2 + f|2 + 2Τ22, det (Τ)}. (4.5.12)
Изотропный I-класс:
jW=J7(T), 7=1,2,3. (4.5.13)
Теорема 4.5.4. Для симметричного тензора второго ранга Τ
функциональный базис независимых инвариантов относительно группы Gs с I
состоит из г элементов, где
• г = 3 для групп Gs изотропного класса',
• г = 5 для групп Gs трансверсально-изотропного класса;
• г = б для групп Gs триклинного и ортотропного классов.
Τ Доказательство теоремы 4.5.4 приведено в [7]. А
В силу теоремы 4.5.4, все другие скаляры из (4.5.2)-(4.5.4), являющиеся
тоже инвариантами относительно данной группы Gs, могут быть выражены
в виде некоторой функции от инвариантов ц' соответствующего
функционального базиса.
В частности, второй и третий главные инварианты всегда можно выразить
через ц' любого класса. Другие примеры приведены в упражнениях к
данному параграфу.
Замечание 4.5.1. Функциональный базис (4.5.11) обладает определенными
недостатками: у него отсутствует симметрия относительно круговой замены
индексов 1 —» 2 —» 3, наличие которой иногда бывает полезным для
приложений, кроме того при нулевом значении компонент с несовпадающими
индексами, например, Т\$, в базисе (4.5.11) обратятся в нуль сразу два инварианта
(в данном примере Т23 и Τι2Τΐ3Τ23), что не позволяет выразить обе ненулевые
компоненты (в рассматриваемом случае Т22 и Т^) через базис. Поэтому для
класса ортотропии вместо базиса (4.5.11) часто используют расширенную
систему инвариантов, состоящую из (4.5.11) и еще одного дополнительного
инварианта
/<°> = (в? ■ т) · · (4 ■ т) = ff2,

§ 4.6. Линейные тензорные функции
339
эта система свободна от указанных недостатков, однако система I& ' (а =
= 1, ..., 7) — функционально зависима.
Упражнения к § 4.5
Упражнение 1. Используя соотношение между /7(Т) и собственными значениями
λα положительно-определенного тензора Т, а также свойство
/?(Т) - 3/2(Т) = Ι ((λ, - λ2)2 + (λ2 - λ3)2 + (Аз - λ,)2),
показать, что имеют место неравенства для инвариантов
/ι(Τ) > 3/'/3(Т), /2(Т) ^ 3/32/3(Т), /2(Т) ^ 3/2(Т).
Упражнение 2. Проверить, что скаляр (ё\ · Т) · · (ё| · Т) = Tf2 является инвариантом
относительно ортотропного класса О (т. е. проверить выполнение условий (4.4.2)),
но уже не является независимым, так как выражается через полный набор инвари-
т(О)
антов ц .
Т2 _ ΑΟ)2/(τ{0)τ{0)λ
Упражнение 3. Показать, что скаляры ТцТ22 - 7f2, (Тц - Т22)2 + 4Tj22, а также
h(T) выражаются через полный набор инвариантов Тз-класса Ц и являются
инвариантами относительно Тз-класса.
Упражнение 4. Используя формулу (4.5.9), доказать, что /з(Т) всегда можно
представить в виде
/3(Т) = Ι (/ι(Τ3) - /?(Т) + 3/,(Т)/2(Т)) .
Упражнение 5. Показать, что формула (4.5.9) имеет место также и для
несимметричного тензора Т.
§ 4.6. Линейные тензорные функции
4.6.1. Определение тензорной функции
Рассмотрим два тензора nS и тТ η-го и га-го рангов, принадлежащие
пространствам Т^п'{Е^) и Т^т'{Е^) соответственно. В МСС большую роль
играют законы соответствия между различными тензорами, называемые
тензорными функциями.
Определение 4.6.1. Отображение пространства тензоров Т^ (£з) в
пространство 7^п'(£3) называют тензорной функцией и обозначают
как пТ : Т^ (£3) —*· Т^ (£$) или в виде зависимости
nS = nT(mT) VmTGT3(m), nS € Г3(п). (4.6.1)
Кроме формального установления закона соответствия тензоров nS и тТ,
запись (4.6.1) содержит утверждение, что тензорная функция не меняется при

340
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
nS = Sll---lneil
= Tjl'--jmejl ® .
^ = ^-ineil
^..^θ,^^-^^.^θ^
••®eim=^'1-^e;i(g)...(g)ejm,
. ®...®e<n = J^i··-^, &...&<
замене базиса, т. е. если записать компонентное представление функции
(4.6.1) в каком-либо базисе, например в е*:
то при переходе в любой другой базис ej = P3i gj это представление примет
вид
§И\..Лп — JTf4---in(rp'3\...3m\ (4.6.3)
Здесь компоненты тензоров обозначены в базисах е$ и ej:
(4.6.4)
Учитывая правило (см. (1.4.14)) преобразования компонент тензора при
замене базиса ei на ej:
ci[...in __ pi ι pin cfk[...kn nri\...im _ pi\ pirn nrfj\.--jm (Λ β Κ\
k\ ' ' ' kn ' j\ 2m \ ' ' J
и подставляя (4.6.2) и (4.6.3) в (4.6.5), получаем
pi\ pin j:'k\...kn(rp'j\"-3m\ _ jri\...in (pj\ pjm rpll{...lm\ (4 6 6)
K\ Kn \ ' Μ I'm
Таким образом, фраза о неизменяемости тензорной функции при переходе
из одной системы координат в другую означает, что компонентное
представление этой функции преобразуется по закону (4.6.6).
4.6.2. Индифферентные тензорные функции
Важную роль в МСС играют тензорные функции, компонентное
представление которых сохраняется при замене базиса ё* на е*, которая соответствует
линейному преобразованию координат (4.1.1):
pi...in =<рч...г„^ (4.6.7)
где Ρ^··Λη — компонентное представление функции пТ в декартовом базисе
ёг, который выступает в качестве базиса е'{.
Определение 4.6.2. Тензорные функции (4.6.1), удовлетворяющие условию
(4.6.7), называют индифферентными.
Подставляя (4.6.7) в (4.6.3), (4.6.2), получаем, что если в базисе ё*
индифферентная тензорная функция связывает компоненты S4'"ln и Т·7'1···-7'™
с помощью соотношений
ог\...гп _ jri\-'-in(rpj\-'-jm\

§ 4.6. Линейные тензорные функции
341
то компоненты тензоров nS и тТ в базисе е* будут связаны теми же самыми
функциями:
gi\...in _ jri\.-.insjiji...jm\ (4.6.8)
Определение 4.6.3. Если функция пТ (4.6.1) удовлетворяет свойству
(4.6.7) не для всех преобразований координат (4.1.1), а только для тех,
которые образуют некоторую группу Gs, то такую тензорную функцию
называют индифферентной относительно группы Gs.
Группу Gs в этом случае называют группой симметрии тензорной
функции пТ.
Не все компоненты индифферентной тензорной функции являются
независимыми; в силу (4.6.6) и (4.6.7), между ними имеется связь
Αί] Αίη J?kl---kn(TJl--'Jm) — ^\--Лп(ДЗ\ ДЗт Jil\...lm\ (46.9)
К\ К-п \ ' Μ I'm
Здесь соотношение (4.6.6) записано для линейных преобразований (4.1.1),
для которых якобиевы матрицы имеют вид (4.1.18), а «штрихованные»
компоненты T'ix~'im заменяют на Т·3'1····7'™.
4.6.3. Определение линейной тензорной функции
Определение 4.6.4. Тензорную функцию (4.6.1) называют линейной,
если она удовлетворяет двум условиям:
1) тензорная функция от суммы двух тензоров тТ\ и тТ2,
принадлежащих 7д , есть сумма тензорных функций от каждого из этих
тензоров:
n;F(mTi +mT2) = n;F(mTi) +n;F(mT2); (4.6.10)
2) тензорная функция от произведения тензора тТ е Т^т' на
вещественное число А ^ 0 есть произведение числа на тензорную
функцию от тТ:
пТ{ AmT) = \nF(mT). (4.6.11)
Наиболее часто в МСС используют центрированные тензорные функции,
т. е. функции, удовлетворяющие условию
nF(m0) = пО. (4.6.12)
Здесь тО и пО — нуль-тензоры га-го и η-го рангов.
Теорема 4.6.1. Всякая линейная центрированная тензорная функция
может быть представлена в виде
nS = nF(mT) = η+τηΩ · ... · (™т)(т"А\ (4.6.13)
т
где η+πιΩ — некоторый фиксированный тензор (п + т)-го ранга из Т}п+т\

342
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
В отличие от nS и тТ, являющихся переменными, тензор η+7ηΩ не
меняется и характеризует данную линейную тензорную функцию. Будем называть
его тензором, задающим линейную функцию.
Τ Для доказательства теоремы 4.6.1 выберем в качестве базисов Т^п' и
Т^т' полиадные базисы е^ 0 ... 0 e^n и е7'1 0 ... 0 е·7™, и разложим по ним
nS и тТ. В силу линейности (4.6.10), имеем
nS = nSi{...in^ (g)... (g) ein = nF(Tjx...jme?i 0 ... 0 e*») =
Разлагая теперь тензоры n^r(e?1 0 ... 0 β7™) по полиадному базису в 7д :
^(e·71 0 ...0ejm) = Qil"-injl'"jmeil 0...0ein, (4.6.14a)
находим коэффициенты разложения Ω11*··1"·7'1····7'™, которые являются
компонентами некоторого тензора (п + га)-го ранга.
Действительно, возьмем другой базис е[ = Р3{ ej и проведем в нем те же
самые построения. Тогда получим, что
nF(e'jl 0 ... 0 e'jm) = 0*1-ы-Эгпе^ ® ... ® е;п.
Откуда, заменяя базис, находим
nF(ekl 0...0efcm) = рЧ ...Pfcm Pjm+1
3\ Зт гт+[
U U ^> О . ■ V^V a a a V^V ^-Z О
ί,η-ΐ-η Jm+1 ^ ^ jm+n
^"L" firtl-<"+meim+1 ® ... ® e, +n. (4.6.146)
Сравнивая (4.6.14а) и (4.6.146), убеждаемся, что Ωι1,··1η+τη преобразуются по
тензорному закону. Таким образом, мы построили тензор η+7ηΩ, компоненты
которого в базисах е$ и ej имеют вид
-+-Ω = П*'-^ег1 0 ... 0егп+т = Ω*-^^, 0 ... ® <+т,
и который удовлетворяет (4.6.13). А
Компонентное представление линейной тензорной функции (4.6.13) будет
иметь вид
£»,....„ = jri,...»» = П^"*»+™Ггп+1...*п+т. (4.6.15)
Поскольку Ω11,·,1η по определению есть компоненты тензора, то, очевидно,
что условие (4.6.6) для линейной функции (4.6.13) будет всегда выполнено
при любом тТ.

§ 4.6. Линейные тензорные функции
343
4.6.4. Примеры линейных функций
С помощью одного и того же тензора η+7ηΩ можно построить, вообще
говоря, несколько различных тензорных функций. Действительно,
переобозначив в (4.6.13) индексы η —» га, а (п + га) —» п, получим
то пгл > (п—тгу\{п—т, п—т—1, .... 1) (АР. ]Р.\
п = 0,1,
га = 0, 1,
п.
Отсюда следует, что при фиксированном п, меняя га от 0 до п, можно
построить η + 1 различных тензорных функций.
Например, при η = 0 из (4.6.16) получаем обычную скалярную функцию
Для η > 1 вместо mS и n_mT используем обозначения, которых
придерживаемся везде в тексте: скаляры °S и °Т обозначим как S и W; векторы lS
и 1Т — как s и а; тензоры второго ранга 2S и 2Т — как S и Т. Для тензоров
ηΩ, задающих линейную функцию, примем далее обозначения
0г^ _
Зг-% — 3ι
Ω ξ Ω, Ώξξο, ζΩξξΚ, όΩ = όΜ, 4ΩξΤ
(4.6.17)
Тогда при η = 1 из (4.6.16) получаем две линейные функции, которые во
введенных обозначениях имеют вид
(4.6.18)
га -
га -
= 0,
= 1,
S = c a
s = cW
(ИЛИ S = ClCLi)',
(или sl = clW)
При η = 2 находим три функции:
m = 0, S = К Τ
га = 1, s = К · а
га = 2, S = КЖ
При η = 3 имеем четыре функции:
m = 0, 5 = 3М · · · 3W
m= 1, s = 3Μ· · Τ
m = 2, S = 3M a
m = 3, 3S = 3МЖ
При η = 4 получаем пять функций:
m = 0, 5 = 4С · · · -4W
m=\, s = 4M---3W
m = 2, S = 4C--T
ra = 3, 3S = 4C-a
ra = 4, 4S = 4CW
(или S = K^Wji)\
(или sl = K^cij);
(или £У =ХУ'Ж).
(или£ = М^И^);
(или si = M^kTkj)\
(или £У = M^kak);
(или S^ = M^W).
(или£ = С^И^);
(или s* = C^Wfly);
(или 5У = C^'fc/T/fc);
(или Sijk = C^klai);
(или S^kl = C^klW).
(4.6.19)
(4.6.20)
(4.6.21)

344
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.6.5. Индифферентные линейные тензорные функции
Рассмотрим линейные тензорные функции (4.6.16), которые являются
индифферентными относительно некоторой группы Gs.
Подставляя (4.6.16) в (4.6.7), получаем, что если линейная
индифферентная функция в исходной системе координат хг с базисом ё* имеет вид
5i,-im=fii'-i»f<m+1...in, (4.6.22)
то в любой другой системе координат Хг, получающейся из хг с помощью
линейного преобразования (4.1.1), соответствующего данной группе Gs, эта
функция будет иметь вид
qii...im — ryi[--'inrri
^ — 46 -*гт+1...г„>
τ. е. компоненты тензора ηΩ при таких преобразованиях не изменяются:
Qii...in+m _ Qii...in+т^ (4.6.23)
Сравнивая (4.6.23) с (4.3.3), заключаем, что имеет место следующая
теорема.
Теорема 4.6.2. Тензор ηΩ, задающий линейную индифферентную
относительно группы Gs тензорную функцию (4.6.16), является
индифферентным относительно той же группы Gs.
Если подставить (4.6.15) и (4.6.23) в соотношение (4.6.9), то получим
flfc,...fcMMfci ...А\ = Ω<ι-<η V (А\) € Ga. (4.6.24)
Это соотношение означает, что между компонентами индифферентного
тензора существуют зависимости (см. также (4.3.4)).
Условие индифферентности (4.6.24), согласно п. 4.3.2 (формула (4.3.7)),
можно записать с помощью тензора линейных преобразований Q,
определенного формулой (4.3.5):
ηΩ = ηΩ ·...· (Q®...®Q)(2n-1>2n-3 з, 1.2,4, ...,2п)^ (4.6.25)
η η
где
Q = А15ёР ®ёг.
Например, условия индифферентности вектора с и тензора второго ранга
К, третьего ранга 3М и четвертого ранга 4С будут иметь вид
с = с Q, 3М = 3М··· (Q®Q®Q)(531246\
4C = 4C-...(Q0Q0Q0Q)(75312468).

§ 4.6. Линейные тензорные функции
345
Из теоремы 4.6.2 следует, что для описания индифферентной линейной
тензорной функции достаточно рассмотреть соответствующий
индифферентный задающий тензор ηΩ.
Для индифферентных относительно фиксированной группы
преобразований Gs тензоров, как было установлено в п. 4.3.5, существует разложение по
тензорному базису (4.3.19) в пространстве 1% :
к
"Ω = ΣηΩ{β)Ίβ, (4.6.26)
/3=1
или
к
^-1η = Σ^)'1η' (4·6·27)
/3=1
где ηΩ(/3) — тензорный базис для группы Gs\ 7/3 — коэффициенты
разложения. Этот тензорный базис может быть организован с помощью образующих
тензоров группы 0§{Ί) (см. п. 4.3.7).
Подставляя (4.6.25) в (4.6.16), получаем первое представление линейной
индифферентной тензорной функции (через тензорный базис)
к
™S = Σ 7/3ηΩ(/3) · n_mT. (4.6.28)
/з=1
Вторым представлением индифферентной линейной тензорной
функции назовем компонентное представление, например, в декартовом базисе ё*:
к
5<i-i- = ^7^-i»fim+1...in. (4.6.29)
/3=1
Заметим, что в этих представлениях одна линейная функция отличается от
другой только значениями констант 7/3 (в рамках одной группы
симметрии Ga).
Соответствующие представления (4.6.26) и (4.6.27) будем называть
первым и вторым представлениями задающего тензора ηΩ.
Укажем далее тензорные базисы ηΩβ и представление задающего тензора
ηΩ для различных групп симметрии, ограничиваясь наиболее
распространенными в МСС значениями η =1, 2, 3 и 4. Будем при этом использовать
символику (4.6.17).
4.6.6. Индифферентные линейные векторные функции
Как было отмечено в п. 4.3.7, тензорные базисы могут быть построены с
помощью только образующих тензоров 0^(7) группы Gs. Рассмотрим случай

346
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
индифферентных тензоров первого ранга (векторов): !Ω = с, т.е. в (4.6.25)
положим η = 1. Тогда в тензорный базис 3Ω(β) могут входить только
образующие тензоры групп из наборов (4.3.28)-(4.3.31) рангом не выше η = 1. Если
таких образующих тензоров нет в какой-либо группе Gs, то индифферентной
линейной векторной функции в этой группе нет. Соответствующие
компоненты сг задающего вектора в этом случае будем полагать равными нулю.
В табл. 4.6.1 даны вторые представления (4.6.27) задающего вектора с
линейной функции для разных групп симметрии.
Таблица 4.6.1. Вторые представления задающего
вектора с для разных групп симметрии
Триклинная сингония
Ромбическая сингония
Трансверсальная изотропия
Изотропия
3
G\\ С1 = Σ Ία$α
α=1
G2 : ё = 0
Ge : с* = 7<ζ
G7,s : с* = 0
^33,35 : С* = jSl3
^34,36,37 : С* = 0
^38,39 : С* = 0
Максимальное число ненулевых констант 7/з У линейной векторной
функции равно 3 и достигается в группе G\. Для групп Gs при s = 4, 6, 10,
13, 16, 18, 22, 26, 33, 35 имеется только одна константа 7» а Для ^з —
две. Для остальных групп Gs не существует соответствующих ненулевых
индифферентных линейных тензорных функций, что отражено в (4.6.26) как
с* = 0.
4.6.7. Индифферентные линейные функции второго ранга
Рассмотрим случай линейных функций (4.6.16) при η = 2, причем кроме
условия индифферентности (4.6.23) будем считать выполненными условия
симметрии для задающих тензоров 2Ω = К, т. е.
К = КТ или Kij = Kji. (4.6.30)
Для случая η = 2 часто используют еще одно, третье представление
задающего тензора К — в матричном виде:
/кп к12 к13\
(К) = К22 К23 . (4.6.31)
\сим. К33/

§ 4.6. Линейные тензорные функции
347
Матричное (третье) представление линейной тензорной функции второго
ранга может быть также введено для функций вида (4.6.19) при т = 1:
К" К12 К13'
К12 К22 К23\ \а2\, (4.6.32)
£13 £23 £33^
где компоненты векторов s и а введены в виде координатных столбцов в
базисе ёг.
Максимальное число независимых компонент у симметричного тензора
второго ранга равно шести, так как на девять возможных комбинаций из Кг^
наложены три условия симметрии (4.6.30):
К12 = К21, К1г = Кг\ К2г = Кг2. (4.6.33)
Условие (4.6.30) с г = j, очевидно, образует тождества.
Индифферентность тензора К по отношению к той или иной группе
симметрии Gs приводит к появлению дополнительных условий (4.6.24)
Kij = КЫА\А\, \/{А\) е Gs (4.6.34)
на компоненты Кг^ и число к независимых компонент еще уменьшается. Это
число к может быть определено с помощью теории характеров матричных
представлений (см. п. 4.3.10 и табл. 4.3.3).
Тензорный базис 0^(7) (4.6.26) симметричных индифферентных тензоров
второго ранга К будет состоять только из симметричных образующих
тензоров рангом выше второго. Эти тензоры приведены в табл. 4.3.2. Заметим, что
они одинаковы для разных групп Gs в пределах фиксированного класса.
Ниже даны первое, второе и третье представления задающего тензора К
для различных классов, а также используемые образующие тензоры.
Триклинный Ε-класс {ёа}:
з
К = ^7аёа ® ea + 74(ei 0ё2 + ё2 0ei) +7б(ё1 ® ё3 + ё3 ® ej)+
+ 7б(ё2 0ё3 + ё3 0ё2),
3
kij = Σ-ъад.+74(од + ад)+ъ(щ + <¥?)+7б(4*з + ад.
/£11 £12 £134 / ^ 7Д
(**) = К" К22 К2*) = [ 74 72 76 . (4.6.35)
\£13 £23 £33 1 I ^ 7з 1

348
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Ортотропный О-класс {е^}
з
Κ^ = ^2ΊαδΙδΙ (4.6.36)
α=1
(4.6.37)
Трансверсально-изотропный Т^-класс {Ε,β^}:
Kij = ъ(& " Фз) + Ί2δι3δΙ
(4.6.38)
7 0 0\
Ю3 = Ίδ%3, Кгз = | О 7 О I . (4.6.39)
О О 7/
Для групп симметрии ^-класса у тензора К достигается максимальное
число независимых констант — 6, для ортотропного класса — 3, для групп Т$-
класса — 2 константы, и для групп /-класса — одна независимая константа.
Если тензор К невырожден, то соотношения (4.6.19) при га = 2 и (4.6.32)
можно обратить
а = L · s,
где L — симметричный тензор, обратный к К и имеющий матричное
представление
/L\\ L\2 L\z
(L) = I L\2 L22 L23
\L13 L23 L33
причем
или
К L = E
KijLjk = δ\.
Используя результаты упр. 2 к § 4.3, получаем, что если К —
индифферентен относительно какой-либо группы симметрии, то и L — индифферентен
относительно той же самой группы Gs. Это означает, что обратный тензор L
для каждого класса симметрии будет иметь ту же структуру (4.6.35)-(4.6.39),
что и тензор К.

§ 4.6. Линейные тензорные функции
349
4.6.8. Индифферентные линейные функции третьего ранга
Для индифферентных линейных тензорных функций третьего ранга
(формулы (4.6.16), η = 3) задающим тензором является тензор третьего ранга
3Ω = 3М (формулы (4.6.17) и (4.6.20)). Будем далее считать его
симметричным (см. п. 4.3.9), т. е.
3М = 3М(132> или Mijk = Mikj.
(4.6.40)
Наличие симметрии (4.6.40) приводит к сокращению числа максимально
возможных независимых компонент My'fc: из З3 = 27 компонент остаются
только 18, так как условия (4.6.40) накладывают девять ограничений на
компоненты.
Условия индифферентности (4.6.24) тензора 3М по отношению к группам
симметрии Gs
MW3 = MJihhAn Аъ Ач ^ (Ai л е Gs, (4.6.41)
JI J2. Jo J
еще уменьшают число независимых компонент (см. табл. 4.3.3).
Для симметричного тензора третьего ранга также можно дать матричное
представление, для этого расположим его независимые компоненты в виде
матрицы 3x6:
/Μ111 Μ122 Μ133 ч/2М123 ч/2М131 ч/2М112\
(3М)= М2П М222 М233 ч/2М223 ч/2М231 ч/2М212 . (4.6.42)
W311 M322 ^ззз 72 М323 ч/2М331 ч/2М312/
3x6'
Появление коэффициентов V2 в этой матрице позволяет записать
линейную функцию третьего ранга (4.6.20) при т = 1 также в матричном виде
{ s } = (3М){Т},
3x1 3x6 6x1
(4.6.43)
где { s }и{Т} — координатные столбцы из компонент вектора s и симмет-
3x1 6x1
ричного тензора Т, построенные следующим образом:
/-1\
{ s }= Is2), {T} =
3x1 з 6x1
\5 /
( Т-и )
Т<п
V2f23
ч/2Т31
(4.6.44)
\V2fl2J
Если координатные столбцы { } имеют различные размеры, как в данном
случае, то в матричной записи указывают их
: размер
Эквивалентное для

350
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
(4.6.43) и (4.6.20) компонентное представление линейной функции третьего
ранга имеет вид
ei = MijkTjk. (4.6.45)
Хотя для тензоров третьего ранга не существует понятия обратного
тензора, однако аналогом обратной к линейной функции третьего ранга (4.6.20)
т = 1 можно считать функцию (4.6.20) при т = 2:
S = 3M(231)-a,
(4.6.46)
где S — симметричный тензор второго ранга. Его компонентное (второе)
представление имеет вид
Sij = Mkijak, (4.6.47)
а матричное (третье) —
{S} = (3M)T{a},
6x1 6x3 3x1
(4.6.48)
или
\
511
S22
533
ч/2 523
ч/2 531
{V2Sl2J
(
Μ111
Μ122
Μ133
Μ211
Μ222
Μ233
Μ311
Μ322
Μ333
\
ч/2М123 ч/2М223 ч/2М323
\/2Μ131 \/2М231 \/2М331
{V2Mm ч/2М212 ч/2М312у/
(4.6.49)
Здесь обозначение (3М)Т означает, что к матрице (3М) применено
транспонирование.
Тензор 3М и в случае линейной функции (4.6.46) обладает симметрией
вида (4.6.40). Сравнивая матричные представления (4.6.43) и (4.6.49), легко
заметить, что введение в матрицы (3М) и (3М)Т коэффициентов \/2
позволило сохранить структуру столбцов { } и матриц ( ) в «обратной» функции
(4.6.49) (см. упр. 2 к § 4.6).
Если тензорные функции (4.6.43) и (4.6.46) индифферентны относительно
какой-либо группы Gs, то соответствующий тензор 3М можно представить
разложением (4.6.26) по тензорному базису данной группы. Тензорные базисы
групп строят с помощью направляющих тензоров, приведенных в п. 4.3.9.
Как и для тензоров первого ранга, ненулевые индифферентные тензоры
третьего ранга существуют не во всех группах Gs, а только в тех, в которых
нет преобразования центральной симметрии С. Ниже приведены по три
представления (тензорное, компонентное и матричное) ненулевых
индифферентных тензоров 3М в тензорном базисе различных групп и классов симметрии.
В фигурных скобках указаны образующие тензоры Ов(7) групп.

§ 4.6. Линейные тензорные функции
351
Триклинный Е-класс
Группа G\ {ёа,а= 1,2,3}:
*М = Σ (d<*ea + ^З+аёа 0 ё| + 4+аёа ® Ц + ^9+а(ёа ® ё^+
= 1
+ (ё2 0 ё/з)(132)) + ^ΐ2+α(4 ® ё7 + (ё2 0 ё7)<132)) + ^15+аёа 0 Оа),
а=1
а,/?,7 = 1,2,3; α φ β Φ 7 Φ <*.
Mijk = Σ {а«5Ш + *+aU^ + de+aWi + *+«(Wi + №£)+
a=l
+ <*12+а(ОД# + №%) + dl5+aU(^ + Φ*))' (4·650)
(d\ d4 άη Vzdie v2di3 V2dio\
d8 d2 d5 y/2d\\ V2dn V2dl4) =
d6 d9 d3 V2d{5 V2di2 \/2d18/
/Μ111 Μ122 Μ133 ч/2М123 ч/2М131 ч/2М112>
= Μ211 Μ222 Μ233 \/2Μ223 V2M231 V2M212
\Μ311 Μ322 Μ333 V2Mm \/2M331 ч/2М312.
Здесь da — константы разложения по тензорному базису.
Индексы в формуле (4.6.50) и далее следует расшифровывать следующим
образом: если в сумме по а значение а = 1, то β = 2, 7 = 3; если а = 2, то
β = 3, 7 = 1; если a = 3, то /? = 1,7 = 2. Таким образом, тензор 3М в данной
группе имеет максимальное число независимых компонент — 18.
Ортотропный О-класс
Группа G6 {ё2,ё|,ё3}:
з 2
3М = Σ ^аёз 0 ё2 + Σ ds+a (ё2 0 ё2 + (ё2 0 ё3)(132)),
а=\ а=1
3 2
Mijk = Σ da^Ja + Σ *+а(№з + **Ж). (4-6.51)
α=1 α=1
/0 0 0 0 V2d4 0\
(3Μ) = 0 0 0 ч/2<25 0 0 Ι =
\di d2 d3 0 0 0/

352
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
0 0 0 0 V2Mm О"
0 0 0 \/2М232 О О
ДЗП ^322 д^ЗЗЗ о 0 0,
Тензор 3М имеет пять независимых констант.
Группа G7 {Oad,a:= 1,2,3}:
з з
3М = Σ daOad, M^k = ^da (^Л + 3$) - №δβ + $*£))·
(4.6.52)
/0 0 0 V2{d3-d2) О О
(3М) = 0 0 0 0 V2(di -d3) О
\0 О О О О V2{d2-dl)J
Тензор 3М имеет три независимые константы.
Трансверсально-изотропный Т3-класс
Группа G33:
3М = diEh + d2e3 0 Ε + d3e3 0 ё§ + d403d,
Mijk = d{(6ij6l + 6ikSJ3) + ά2δ\δ^ + <*з<*з<*з<*з +
+ (Ц(8[(6>$ + ф£) - %(&$ + ^5)), (4.6.53)
/0 0 0 у/2<Ц V2d{ 0'
(3М) = I О О О V2di -V2d4 О
\d2 d2 di + d2 + d3 0 0 0,
Тензор 3М имеет четыре независимые константы.
Группа G3c,:
3М = d\Eh + d2e3 0 Ε + d3e3 0 ё§,
Mij* = dx (SijSl + Л^) + d2Sl3Sjk + d3<^<$, (4.6.54)
/0 0 0 0 y/2dx 0\
(3M) = j 0 0 0 V2di О О J =
\d2 d2 d\ + d2 + d3 0 0 0/
0 0 0 0 V2M131 0^
0 0 0 V2Mm 0 0
дзп д^зп ^ззз о 0 0,
Тензор 3М имеет три независимые константы.
Группа G3e:
3М = dQ3d,

§ 4.6. Линейные тензорные функции
353
Mijk = ά(δ\(δ{δξ + 4$) - 4(^з^ + <*ί<*3))» (4.6.55)
/0 0 0 V2d 0 0N
(3М) =000 0 -y/2d О
\0 О О О О О,
Тензор 3М имеет одну независимую константу.
Для всего изотропного класса (/) индифферентными тензорами третьего
ранга являются только нулевые тензоры
/о о о о о о\
(3М) =000000. (4.6.56)
\0 О О О О О/
4.6.9. Индифферентные линейные функции четвертого ранга
Если задающий тензор четвертого ранга 4С связывает симметричные
тензоры второго ранга S и Т, то его компоненты в любом базисе, в частности
в декартовом, обладают симметрией следующего вида (см. (4.3.32)):
Qijkl = Qjikl^ Qijkl = Qijlk^ (4.6.57)
gijki = gkiijm (4.6.58)
Первая группа соотношений (4.6.57) содержит 27 независимых уравнений
для c%ikl: каждой из трех пар неповторяющихся индексов (i,j) = (12,23,13)
соответствует девять пар индексов (k,l) = (11,22,13,31,21, ...).
Вторая группа соотношений содержит 18 независимых уравнений: каждой
из трех пар неповторяющихся индексов (k,l) = (12,23,13) соответствует
только шесть пар индексов (11,22,33,12,13,23), так как перевернутые пары
(21,31,32) уже учтены в первой группе соотношений.
Третья группа соотношений содержит 15 независимых уравнений: первой
паре индексов (11) соответствует пять соотношений со всеми другими парами
(кроме перевернутых (21, 32, 31), так как они уже учтены в первой и второй
группе), второй паре (12) — уже четыре соотношения и т.д., т.е. всего
5+4+3+2+1 = 15 соотношений.
Число к независимых компонент тензора Сг^к1, удовлетворяющего
условиям (4.6.57), (4.6.58), равно
к = к\- к2,
где к\ — общее число компонент тензора Сг^к1\ к2 — число независимых
условий, наложенных на эти компоненты. Таким образом, имеем к\ — З4 = 81
и &2 = 27 + 18 + 15 = 60, и, следовательно, к = 81 — 60 = 21. Заметим, что
число к совпадает с размерностью соответствующего пространства ц ' ин-

354
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
дифферентных тензоров четвертого ранга, обладающих симметриями (4.6.57),
(4.6.58) (см. п. 4.3.10 и табл. 4.3.3).
Приведенное вычисление числа /с2 справедливо для группы Gs с I, у
которой больше нет никаких ограничений на компоненты Clikl, т.е. для
триклинной группы Е. Для других ортогональных подгрупп Gs с /, включая
саму полную ортогональную группу /, существуют дополнительные
ограничения на число независимых компонент, в результате /с2 > 60, а к < 21.
Значения числа к для групп О, Т^ и I приведены в табл. 4.3.3.
Для тензора четвертого ранга с типом симметрии (4.6.57), (4.6.58) третье
(матричное) представление вводят с помощью матрицы 6x6:
/С1111 С1122 С1133 ч/2С1123 ч/2С1113 ч/2С1112\
£2222 £2233 ^2 С2223 ^/2^2213 ^ С2212
£3333 72 С3323 \/2(73313 \/2(73312
сим. 2С2323 2С2313 2С1212
2£i3i3 2C1212
2£1212
(4с) =
(4.6.59)
Введем также представление для компонент симметричных тензоров S и
W с помощью координатных столбцов
{S} =
6x1
S22
S33
V2S23
V2SIZ
\V2Sl2J
{Т} =
6x1
/ Г11 \
2^22
грЗЗ
V2T23
\/2Г13
\V2Tl2J
(4.6.60)
тогда для линейной тензорной функции четвертого ранга (4.6.21) т = 2
можно дать третье (матричное) представление
{S} = (4С){Т},
(4.6.61)
6x1
6x6 6x1
Тензорный базис Ов(7) (4.6.26) для индифферентного тензора четвертого
ранга 4С, обладающего симметрией (4.6.57), (4.6.58) будет состоять из
симметричных образующих тензоров, представленных в табл. 4.3.1. Так же как
и для тензора второго ранга, тензорный базис одинаков для всех групп Gs в
пределах фиксированного класса.
Ниже даны первое, второе и третье представления тензора четвертого
ранга 4С, индифферентного относительно различных классов, а также
образующие тензорных классов, участвующие в этих представлениях.

§ 4.6. Линейные тензорные функции
355
Триклинный Ε-класс {еа}:
С = Σ (А«ё* 0 ёа + Лз+а(ё^ 0 ё* + ё* 0 ё|) + А6+аОа 0 Оа+
а=\
+ А9+а(ё* 0 Οι + Οι 0 ё*) + Ai2+a(e2 0 02 + 02 0 ё* )+
+ А15+а(ё2 0 03 + 03 0 ё2а) + А18+а(О0 0 07 + О.
« Φ β Φ 7 7^ OL,
з
О/?)),
а=1
+ А9+а(ад(<5*4 + 44) + 44(44 + 44)) +
+ λι2+α(44(44+44) + *5*L(*i^ + 44))+
+ a,5+q(44(44 + 44) + 44(44 + 44))
+
:fcri
rfcr/
+ Al8+a ((ОД + ОД)(*% + 6kJp) + (<^ + δί,ηΜδί + <^)
ν + μ + β + ν, ρφω^Ί^ ρ, ρ,ω,ν,μ,α,β,ύ= 1,2,3. (4.6.62)
Индексы в формуле (4.6.62) выбирают следующим образом: если,
например, а = 1, то β = 2, 7 = 3, и, следовательно, ^ = 1, μ = 3 и μ = 1, ω = 2.
В матричном представлении тензор С имеет общий вид (4.6.59) и
содержит максимальное число независимых констант — 21:
/Αι Аб А5 v2Aio
А2
(4С) =
ч/2А13 \/2А16\
А4 ч/2Ац λ/2Αι4 \/2Αΐ7
А3 ч/2А12 ч/2А15 \/2А18
2А7
сим.
V
2А21
2А8
^2
Ортотропный (ромбический) О-класс {е^}:
з
4С = ^ (А"ёа ® ёа + А3+а(ё| 0 ё* + ё* £
2А2о
2Αΐ9
2А9
е|) + А6+аО(
(4.6.63)
Оа),
6ijkl = Σίλαδ'ΜδΙ + λ3+α(4ψί^ + W^) +
а=1
α Φ β Φΐ Φ α, α, 0,7 = 1.2,3,

356
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
(4с) =
/с1111
V
£1122 £1133 q
£2222 £2233 Q
£3333 о
сим. 2С2323
0
0 \
0 0
0 0
0 0
2£1313 о
2£1212у
/Αι Α6
А2
сим
А5
А4
Аз
0
0
0
2А7
0 0 \
0 0
0 0
0 0
2А8 0
2А9/
Индифферентный относительно ортотропного класса тензор 4С имеет
девять независимых компонент.
Отметим, что тензоры Оа (а = 1,2,3) не являются индифферентными
относительно О-класса, однако как показано в [7], тензоры четвертого ранга
Оа 0 Оа уже индифферентны относительно О-класса.
Трансверсально-изотропный Τ^-класс {ё2,Е}:
^2 ~ -2
^2 , -2
С = ΑιΕ 0 Ε + А2ё3 0 eg + А3(Е 0 Ц + Ц 0 Е)+
+ Α4(Οι 0 Οι + 02 0 02) + 2Α5Δ, (4.6.65)
Qijki = XlSijSki + д2^^^^ + A3(^'^4 + $3Siskl)+
+ А4((^з + Ф2)(*2*з + *з4) + №^з + 6Ш^з + Φί)) +
+ А5(<ЛЯ'Ч(№),
/6
1111
(4С) =
£1122 £1133 Q
£1111 £1133 ο
£3333 ο
сим. 2С2323
/Αι+2Α5 Αι
Αι + 2Α5
сим.
\
0 0 \
0 0
0 0
0 0
2£2323 ο
£1111 _ £Π22у
Αι+Α3 0 0
Αι+Α3 0 0
Α'" 0 0
2Α2 + 2Α5 0
2Α2 + 2Α5
°\
0
0
0
0
2Α5/

§ 4.6. Линейные тензорные функции
357
А"' = Αι + А2 + 2А3 + 2А5.
Тензор 4С в данном классе имеет пять независимых компонент.
Изотропный 1-класс:
4C = AiE®E + 2A2A,
gijki = Xl5ij5ki + x2($ikSji + ^/^fc^
/Αι+2Α2 Αι Αι 0
Αι+2Α2 Αι 0
Αι + 2Α2 0
сим. 2А2
V
(4.6.66)
(4С) =
0
0
0
0
2Α2
°\
0
0
0
0
2Α2/
Тензор 4С в данном классе имеет две независимые компоненты.
Упражнения к § 4.6
Упражнение 1. Доказать, что если тензор 4С обладает симметрией вида (4.6.57),
(4.6.58) в какой-либо системе координат, то в любой другой системе координат эта
симметрия сохраняется.
Упражнение 2. Показать, что если в матричных представлениях (4.6.42) и (4.6.49)
симметричного тензора третьего ранга убрать коэффициенты л/2, то в
соответствующей линейной функции (4.6.43) и «обратной» функции (4.6.49) векторы {S} и {Т}
будут иметь вид
{т} =
/ ?„ \ /sn\
2~22
^33
1/2Т23
1/2Гз1
\1/2Г12У
. {S} =
£22
533
531
S23
\sl2J
т. е. структура матричной записи будет различной в прямой и «обратной» функциях.
Упражнение 3. Показать, что если для матрицы (4С) использовать не (4.6.59), а
представление
(4С)
/Сии С\\22 Cuss Cll 12 Cll 13 Сц2з\
С2222 ^2233 ^2212 ^2213 ^2223
Сзззз C3312 C3313 С3323
СИМ. С\2\2 С\2\3 С\223
Ci313 С132З
V С2323/

358
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
то ему будут соответствовать векторы {S} и {Т}, имеющие различную между собой
структуру:
(S"\ /ΓιΛ
{S} =
522
533
512
513
6x1
Т22
^33
2Т12
2Т13
\S23J \2T23J
а обратная к ней матрица (4П) в этом случае примет вид
/Пип Пц22 Πι 133 2ПШ2 2Пшз
(4П) =
6x6
U2222 П2233 2П2212 2П2213
Пзззз 2Пзз12 2Пзз1з
СИМ. 4П1212 4Πΐ2ΐ3
4Π13ΐ3
^
>
2П1123\
2П2223
2Пзз23
4Π^23
4Πΐ323
4П2323/
>
т. е. имеет отличную от (4С) структуру (поэтому предпочтительным является
матричное представление (4.6.59)).
Упражнение 4. Используя правила умножения блочных матриц, показать, что для
линейной тензорной функции (4.6.61), индифферентной относительно группы Gs,
существует обратная линейная тензорная функция
{ Т } = (4Ц){ S },
6x1 6x6 6x1
индифферентная относительно той же группы Gs, причем матрица (4П) имеет ту же
самую структуру (4.6.63)-(4.6.65), что и соответствующая ей матрица 4С.
§4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
4.7.1. Определение скалярной функции
Рассмотрим нелинейные тензорные функции, определение которых дано в
п. 4.6.1. Начнем с частного случая, когда в формуле (4.6.1) тензор nS имеет
нулевой ранг (п = 0):
s = f(mT). (4.7.1)
Определение 4.7.1. Тензорную функцию вида (4.7.1) называют
скалярной функцией тензорного аргумента.
Компонентное представление такой функции в базисе г; имеет вид
8 = f(Tjl-jm). (4.7.2)
В силу (4.6.6), при замене базиса е^ на е[ значение скалярной функции не
меняется:
f(T'ji...jm) = f^pji ...Pjr Trll-lm). (4.7.3)

§ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
359
Определение 4.7.2. Скалярную функцию (4.7.1) называют
индифферентной относительно группы линейных преобразований
Gs, определяемых по (4.1.1), если вид самой функции /(т^'1····7'™) не
изменяется:
f(Tjl-jm) = f(fjl"-jm) (4.7.4)
при переходе из системы координат хг в Xх (с соответствующей заменой
базиса ёг на е*), причем
Tji...jm = fh...imAJ^ ...Aj™m, У{А\}е Gs. (4.7.5)
С использованием тензора линейных преобразований Q = Аг ,ё\ ® ё] (см.
пп. 4.3.2 и 4.6.1), условие индифферентности (4.7.4) скалярной функции
(4.7.1) можно записать в следующем виде:
/(тТ) = /(тТ ·... · (Q <g>... <g> Q)(2n_1' 2n"3· ··" 3- u 2· 4· ··- 2ηΛ. (4.7.6)
т т
Например, для скалярной функции от вектора это условие имеет вид
/(a) = /(a-Q), (4.7.7)
а для скалярной функции от тензора второго ранга —
/(T) = /(QT-T-Q). (4.7.8)
Подчеркнем, что из соотношения (4.7.3) следует, что вид функции /(Т) может
меняться при переходе в новую систему координат, но не меняется значение
этой функции, а из (4.7.4) следует, что и вид функции /(Т) не должен
меняться. Например, если скалярная функция — это просто компонента
вектора в базисе е*: s = /(а) = а3, то при переходе в декартов базис ё*
она будет иметь другой вид f'(al) = А?аг, но значения этих функций будут
совпадать:
/(«') = «3 = 4?3S = f(a%
в силу того, что аг — компоненты вектора. Однако индифферентной такая
функция /(а) будет только относительно некоторых групп симметрии,
например Г3.
Из определения 4.7.2 следует, что все скалярные инварианты /7(тТ) от-
(s)
носительно группы Gs, в том числе инварианты ц ;, определенные в п. 4.5.3,
являются индифферентными функциями относительно той же группы Gs.
Так например, длина вектора s = /(а) = |а| = /| '(а) — индифферентна
относительно группы G39 = /.

360
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.7,2. Дифференцирование скалярной функции
по тензорному аргументу
Важную роль в МСС играют формулы дифференцирования скалярной
функции (4.7.1) по тензорному аргументу.
Пусть имеется компонентное представление (4.7.2) функции /. Вычислим
дифференциал от этой функции, как от функции многих переменных:
df(Tj[-jm) = —^L^dTjl-jm. (4.7.9)
Производные df/дТ^··^171 образуют компоненты некоторого тензора, который
обозначим как
™fT = ?l= df , eJ1 0...0e^\ (4.7.10)
Определение 4.7.3. Тензор (4.7.10) называют тензором производной
скаляра f no тензорному аргументу или просто тензором
производной.
Очевидно, что т/т является тензором того же ранга, что и тТ.
Введем еще один тензор, называемый дифференциалом тензора d(mT),
который обладает компонентами dT^'-^m:
d(mT) = dTj'-jmej{ 0 ... 0ejm. (4.7.11)
Отметим, что ранее в пп. 2.1.15 и 2.3.2 мы уже вводили дифференциал
тензора fcT Ε Ёп {£%)· Поэтому, выбирая в качестве е* локальный базис r^ Ε
Ε Е$, из формул (4.7.11) и (2.3.9), (2.3.10) получаем, что в базисе щ = г;
dTji...jm = ах^гТ*1-*™. (4.7.11а)
Транспонирование дифференциала тензора дает объект
d(mT)(m...i) = dTji~-jmejm 0 ... 0 ejr (4.7.12)
Преобразуем выражение (4.7.9) следующим образом:
df = df . dTjl~'jm = df . Sj} ...5&аТ*1~Лт =
= dTlLjm ejl 0 ... 0 e^ · ... · e,m 0 ... 0 е^Г'"Ч (4.7.13)
Здесь применено свойство е* · е3' = Sj. Используем теперь определение
введенных тензоров df/дТ и d(mT), тогда придем к следующей теореме.
Теорема 4.7.1. Дифференциал скалярной функции (4.7.1) от тензорного
аргумента представляет собой выражение вида
df = mfT··..· d(mT)(m-ll (4.7.14)

§ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
361
Например, если т — 2, то формула (4.7.14) имеет вид
df = fT..dT\ (4.7.15)
Для симметричного тензора Τ функцию / необходимо представить в виде
/(2*) =/(5(2^ +Г*)), (4.7.16)
тогда формулу (4.7.9) для дифференциала можно записать следующим обра-
df = UMJ + ^L)dTij, (4.7.17)
а тензор производной (4.7.10) примет вид
/т = т^^(е* 0 ej + ej 0 еЧ = £ (Ж. + -ДЛе* 0 ej. (4.7.18)
2 дТг° 2\дТг° дТ°г)
Таким образом, для вычисления производной от скаляра / по
симметричному тензору надо вначале вычислить частную производную df/dTij по всем
девяти компонентам без учета симметрии Т1·7', а затем у результата
дифференцирования д//дТгз поменять индексы г «-> j и сложить обе производные с
коэффициентом 1/2.
Из (4.7.18) следует, что производная скаляра по симметричному
тензорному аргументу является симметричным тензором:
(/т)т = /т, если Т = ТТ. (4.7.19)
4.7.3. Дифференцирование инвариантов вектора
Рассмотрим случай, когда в качестве скалярной функции выбраны
инварианты /γ (а) вектора а, рассмотренные в п. 4.4.4:
Да) = /W(a), (4.7.20)
где s — номер группы симметрии Gs\ 7 — номер инварианта в
соответствующем полном наборе.
Вычислим производные по а от различных инвариантов ц\э),
приведенных в п. 4.4.4.
Инвариант Ц (а) = \а\2.
Вычислим сначала частные производные
-z-M2 = -—(amangmn) = S™am + δ?αη = 2ait
σα σα
а затем составим вектор согласно (4.7.10)
|о|* = ^ = 2о^ = 2а, (4.7.21)
который и дает искомое выражение для производной от инварианта.

362
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Инварианты Ц (а) = а2.
Вычислим частные производные по декартовым компонентам
даг даЛ }
(по а суммирования нет), и составим вектор согласно (4.7.10)
да2
да
= 25faaei = 2aaea. (4.7.22)
Инварианты Ц J(a) = аа.
Частные производные и производная от инварианта имеют вид
Инварианты ц (а.) = ααάβ, α φ β.
Частные производные и производная от инварианта имеют вид
даайв с - , г - даайв _ _ ,-- /л η пл\
i = οίααβ + di0aa, = a0ea + aae0. (4.7.24)
Инварианты |α|2, α2 и αααβ квадратично зависят от компонент α*, поэтому
можно вычислить производные от них по симметричному тензору а® а = а2.
Все эти инварианты можно рассматривать как линейные тензорные
функции от а2, поэтому получаем общую формулу для производной линейной
скалярной функции от симметричного тензора Т:
/(Τ) = Τ Ω = ТтпПпт, (4.7.25)
где Ω — некоторый фиксированный тензор. Тогда
Of _1 0 {Тгпп+Тпт)Ппт= {{δ™δη + δγδη)ςΐητη= 1(Ппт + Птп),
0Tij 2 dTij J""nm 2V l 3 3 ггш 2
и, следовательно, имеет место следующая теорема.
Теорема 4.7.2. Тензор производной от линейной скалярной функции (4.7.1)
от симметричного тензора второго ранга Τ вычисляют по формуле
^(Т .. Ω) = {-(Ппт + Птп)еп ®ет= {-(П + Ωτ). (4.7.26)
Если тензор Τ несимметричен, то
^(Τ··Ω) = Ω. (4.7.27)
Используя формулу (4.7.26), получаем
д|а|2 д f 2 т»\ -п &<ί 9 f 2 -2\ -2
J^ = 5?(a..B) = BI ^| = ^(a..eQ) = ea)
^ = Α(«2·.ΩΩ) = ΩΩ. (4.7.28)
да да.

§ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
363
4.7.4. Дифференцирование главных инвариантов тензора второго ранга
Выберем в качестве скалярной функции / первый главный инвариант
1\ (Т) тензора второго ранга Τ и его степеней Тп и вычислим их производные
по Т.
Производные инварианта Ι\(Ύ) = Ε · · Τ находим, используя (4.7.27),
/ι(Τ)τ = Ε. (4.7.29)
Далее вычисляем частные производные от /ι(Τη) (η =2 и 3):
О т /г»-,2\ @ /rpimkrpinl „ „ \ /fmr/ίφηΐ , rpimkcncl
/ι СП = ^(TmKTmgnkglm) = (^ЙГ" + Ттк5Щ)дпкд1т = 2Tjh
дТ3 ОТ'3
^7,(Т3) = ^j(TmkTnlTstgnkglsgtm) = {S^TnlTst-
+ δϊήΤ"*Τ« + ЩТткТ*)дпкдидЬп = 3T™Tmi. (4.7.30)
Тогда производные от инвариантов имеют вид
/ι(Τ2)τ = 2Т^е* <g> ej = 2ТТ, /i(T3)T = 3Tf Tmij <g> eJ' = 3Τ2τ. (4.7.31)
Таким образом, имеет место следующая теорема.
Теорема 4.7.3. Выражения для тензора производной от первого
инварианта степеней тензора Τ имеют вид
/ι(Τ)τ = Ε, /ι(Τ2)τ = 2Ττ, /ι(Τ3)τ = 3Ττ2. (4.7.32)
Выберем в качестве скалярной функции / второй и третий главные
инварианты /гОГ) и /з(Т) тензора Т. Согласно (4.5.8) и (4.5.9) (см. п. 4.5.3), эти
инварианты можно выразить через 1\\
73(Т) = ±(7?(Т) - 37,(Т)7,(Т2) + 27!(Т3)), (4.7.33)
72(Т) = 1(72(Т)-7,(Т2)).
Дифференцируя (4.7.33) по Т, с учетом (4.7.32) получаем
/з(Т)т = Тт2 - /!(Т)ТТ + Е/2(Т), /2(Т)Т = Ε/ι(Τ) - Тт. (4.7.34)
Используя следствие (1.6.75) формулы Гамильтона — Кэли, можно также
записать (4.7.34) в виде
д-М?± = 73(Т)Т = 7з(Т)Т"'. (4.7.35)

364
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.7.5. Формулы дифференцирования линейных, квадратичных
и кубических инвариантов тензора второго ранга
относительно различных групп симметрии
В данном разделе выведем формулы для дифференцирования скалярной
функции /(Т), в качестве которой выбираем инварианты Ц симметричного
тензора Τ второго ранга относительно различных групп симметрии Gs:
/(Τ) = /»(Т). (4.7.36)
Как было показано в п. 4.4.3, полные наборы независимых инвариантов
всех групп симметрии Gs (s = 1, ..., 39) могут быть получены с помощью
свертки тензорных степеней Т, Т0ТиТ0Т0Т. Тогда можно считать, что
любой из инвариантов /*(Т) может быть представлен в виде либо линейной
функции
/ = Τ · · Ω, (4.7.37)
либо квадратичной функции
/ = Τ®Τ····4Ω, (4.7.38)
либо кубической функции
/ = Т®Т®Т 6Ω, (4.7.39)
где ηΩ (η = 2,4,6) — некоторые индифферентные в группе Gs тензоры,
составленные из образующих тензоров этой группы.
Производная от линейной функции (4.7.37) была получена выше:
Α(Τ..Ω) = ί(Ω + Ωτ). (4.7.40)
Для вычисления производной от квадратичной и кубической функций, найдем
их частные производные с учетом правила расшифровки скалярного
произведения тензоров высших рангов, приведенного в упр. 12 к § 1.6:
О "-^тпппЫсл \ 1С /гртгп ι гт-тт\(гт-ikl , n-ilk"
(TmnTwnifenm) = 7^й(Ттп + Тпт)(Ты + TiK)Qlknm =
= \ ((δ™δ] + δ?δ?)(ΤΗ + Tlk) + φ] + Щ)(Ттп + Тпт)^П1кпт =
= \Tst [{gskglt + gslgtk)(Sllkjl + Qlkij) + (gsmgtn + gsngtm)(ilijnm + ttjinm)) =
= -^Tstes 0 e* · · (V ® efc + efc 0 el)(ftlkji + Ω^·)+
+ (en 0 em + em 0 en)(ilijnm + Qjinm)). (4.7.41)
Здесь произведение обратных метрических матриц представлено в виде
gskgit = е*® е* . . е* ® efc5

§ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
365
gsmgtn = es ® е* . . е™ ® е™5 и т> д>
Составляя теперь выражение для тензора производной (4.7.10) от скалярной
функции, находим
А(т ® т · · · ·4ω) = ^--(ттп Tk%knmy ® P> = It · .(4ω<1243) + 4ω<2143)+
+ 4Ω(1234) + 4Ω(2134) + 4^(3412) + 4Ω(3421) + 4Ω(4312) + 4^^(4321)^
или, используя определение операции симметрии (1.6.87), получаем
следующую теорему.
Теорема 4.7.4. Тензор производной от скалярной квадратичной функции
симметричного тензора второго ранга вычисляют по формуле
■£-(Т <g> Τ · · · ·4Ω) = 2Т · .4Ω<-) = 2 4Ω(-) · · Т. (4.7.42)
Второе равенство справедливо ввиду симметрии Τ и 4Ω^.
Если тензор 4Ω — симметричный, т.е. удовлетворяет условиям (1.6.83),
то из (4.7.42) имеем
А(т <g> Τ · ■ · ·4Ω) = 2Т · ·4Ω = 24Ω · · Т. (4.7.43)
Если квадратичный инвариант имеет структуру вида
/ = (А · Т) · · (В · Т) = Τ <g> Τ · · · · (A <g> B)(1432) (4.7.44)
(см. упр. 22 к § 1.6), где А и В — симметричные тензоры, то формула (4.7.42)
принимает вид
А ((А · Т) · · (В · Т)) = 2(А ® В)1-1 · · Т. (4.7.45)
Здесь вторую операцию симметрирования [·] определяют по формуле (1.6.89).
Для нахождения тензора производной от кубической функции (4.7.39)
необходимо вычислить частную производную
(TmnTKtT<*>n„lknm) = ^-^j(Tmn + Тпт)(Ты + Г*){Т"+
+ ιφβ)ηρΜααη = i ((гы + т1к)(г>р + -p">){Qpqlkji + a„tkij)+
+ {Tnm + Tmn){Tkl + Tlk){a..lknm + Пу/кпт)), (4.7.46)
Переходим к ковариантным компонентам, разбивая каждое из трех
слагаемых в (4.7.46) еще на два, например,
(гы + Tlk)(TqP + TP4)(Slpqlkj. + Ω ) = \.TstTab({gskglt + gsl gtk){ga* g"?+
+ 9αν9^) + (9ак9Ы + 9al9bk){9sq9tp + 9sp9t4)) (^„ikji + VnlHj).

366
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Далее представляем произведение метрических матриц в виде свертки
двух тензоров четвертого ранга, причем для одного из них (например, левого)
фиксируем расположение индексов, например
gakgblgsqgtP = е« 0 е* 0 еа 0 eb ez 0 efc 0 е^ 0 eg.
Проделав эти операции, подставим итоговое выражение частной производной
(4.7.46) в тензор производной, в результате получим
^(Τ ® Τ ® Τ 6Ω) = -^J(TmnTklT'»'Qpqlknm)ei ® β* =
= 1т® Τ · · · · (6Ω«65 + 6Ω«56 + 6Ω«34 + 6Ω<·>43 + 6Ω<·>12 + 6Ω<>21)·
16
Или, используя обозначение операции симметрирования (см. (1.6.91)),
получаем следующую теорему.
Теорема 4.7.5. Тензор производной от скалярной кубической функции от
симметричного тензора второго ранга имеет вид
■£-(Т 0 Τ 0 Τ 6Ω) = ЗТ 0 Τ · · · ·6Ω<·> = 3 6Ω<> · · · · Τ 0 Τ. (4.7.47)
Тензор 6Ω^"} является симметричным тензором шестого ранга (см.
(1.6.90)). Если же исходный тензор 6Ω уже является симметричным, то из
(4.7.47) следует, что
-^-(Т 0 Τ 0 Τ 6Ω) = 36Ω · · · ·Τ 0 Τ. (4.7.48)
4.7.6. Тензоры производной от инвариантов тензора второго ранга
относительно различных групп симметрии
Применив формулу (4.7.40) к линейным инвариантам /*(Т) разных групп
симметрии, получим следующие тензоры производной от линейных
инвариантов:
^-А(Т..ё2)-ё2 9jSl-l-0 α-123
дТ ~ дТ ~ дТ ~2 «— ι,ζ,ο,
™I_ = Ε - ё§, ^- = Ε. (4.7.49)
дТ ό дТ у '
Остальные линейные инварианты классов совпадают с указанными выше,
например
Т(0) _ т(Е) Л _ 1 9 <*. i
/(°) = /f), а =1,2,3; J<3> = ήΕ\ (4.7.50)
поэтому совпадают и их тензоры производной:
д!^/дТ = ё2а, а =1,2,3; дп3)/дТ = ё3. (4.7.51)

§ 4.7. Скалярные функции тензорного аргумента
367
Применяя формулу (4.7.45) к различным квадратичным инвариантам
групп симметрии Gs (п. 4.5.5), после расшифровки операции
симметрирования [·] получаем:
яг(О) α ι
ЭТ = Й((^ ' Т) · ' (^ · Т)) = 5°' 0 0l T (47'52)
— для ортотропного класса;
<э/(3) ι
3 = -(Οι0θι+Ο20θ2)··Τ,
дТ 2
'(3)
= 2(Δ - - (θι 0 Οι + 02 0 02) - ё§ 0 ё§) · · Τ (4.7.53)
— для трансверсально-изотропного класса.
Кубических инвариантов во всех рассматриваемых группах симметрии
всего два:
/3(Т) и 40). (4.7.54)
Тензор производной от третьего главного инварианта уже был вычислен в
п. 4.7.4 (для симметричного тензора Т):
^|Р = Т2 - 1Х(Т)Т + Е/2(Т). (4.7.55)
Еще один кубический инвариант имеется в классе ортотропии, его можно
представить в виде
4О) = (ё?.Т).(ё2.Т).(ё2.Т) = Т0Т0Т (ё20ё20ё2)(165432).
(4.7.56)
Используя формулу (4.7.47), получаем
ζ- = З((ё2 0 ё2 0 ё2)(165432))И ...· Τ 0 Т. (4.7.57)
δ_ή0)
дТ
Можно показать (см. упр. 2 к § 4.7), что тензор шестого ранга,
участвующий в этом выражении, представим следующим образом:
((ё?®ё2®ё2)<165432>){'} = 1 Σ '(ОавО^+ОрОО^ОО,^^,
αφβφΊφα
(4.7.58)
тогда
^- = 36Om....T0T. (4.7.59)

368
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.7.7. Некоторые специальные случаи
дифференцирования скалярных функций
1. В МСС иногда возникает необходимость дифференцирования
скалярной функции тензорного аргумента /(Т) по обратному тензору Т-1. Для
этого следует связать производную от F по Т-1 с производной по Т.
Используя формулу (4.7.15), получаем
d/(T) = /T..dTT = /T-,..dT-lT =
= -/τ-ι ·· (Τ-1τ·^Ττ·Τ-1τ) = -(Τ-1τ./τ-ι · Т-1т).· dTT, (4.7.60)
откуда находим искомые соотношения
dfr = -Τ"1 т. /т_, · Т"1 т, dfT-i = -Тт · /т · Тт. (4.7.61)
При выводе соотношений (4.7.60) мы использовали следующие очевидные
формулы:
Тт . Т-1т = Έ άΎτ . Т-1т = _Тт . dT-\T (4.7.62)
2. Иногда возникает необходимость дифференцирования скалярной
функции /(Т) по Τ · Тт. Для этого следует связать производную /т-т-'С^) с
производной /т(Т).
Используя ту же самую формулу (4.7.15) для дифференциала, получаем
df = /τ · · dTT = /т-т- ■ · d(T ■ Ττ)τ = fr.TT · · (Τ · <ΓΓΤ+
+ dT · Тт) = (/т.Тт · Τ) · · dTT + (Ττ · /τ.Ττ) · · dT =
= (fr.Tr · Τ) · · dTT + ((/τ.τ')τ ■ Τ) · · dTT = 2(/г.т' · Τ) · · dT\ (4.7.63)
Отсюда находим искомые соотношения
/т = 2/т.т-Т, fT.Tr=l-fT.T-1. (4.7.64)
Здесь мы использовали результат упр. 18 к § 1.6 и учли, что /ттт —
симметричный тензор второго ранга, поскольку Τ · Тт — всегда симметричен.
Упражнения к § 4.7
Упражнение 1. Доказать справедливость формулы (4.7.57).
Упражнение 2. Записывая явное компонентное представление тензоров, показать,
что тензор (4.7.58) имеет компоненты
(ё? Θ 4 Θ φ(165432) = Si^^^ei, Θ ... Θ ei6.
Применяя операцию симметрирования {·}, доказать справедливость формулы
(4.7.58).

§ 4.8. Потенциальные тензорные функции
369
Упражнение 3. Используя определение (4.7.10) тензора производной, показать, что
имеют место правила дифференцирования скалярных функций по тензору,
совпадающие с обычными правилами дифференцирования:
ά(φφ) = (φφΎ + <ψφΎ) ■ ■ dT\ d (|) = \(ψφΎ - φΦτ) ■ · dT\
Упражнение 4. Доказать, что
^(Т2 · · Ω) = ((Ω Θ Ε)(1423> + (Ω Θ Ε)(4123>) Τ = Ω Τ + Τ Ω,
если Τ и Ω — симметричные.
§ 4.8. Потенциальные тензорные функции
4.8. ί. Определение потенциальной тензорной функции
Определение 4.8.1. Тензорную функцию (4.6.1) или (4.6.2) называют
потенциальной, если существует скалярная функция ψ(ηΤ)
тензорного аргумента, называемая потенциалом, тензор производной от
которой совпадает с этой функцией:
"S = »*ГТ) = J4- (4-8.1)
Очевидно, что для потенциальных тензорных функций тензоры nS и ПТ
имеют одинаковый ранг.
В компонентах формула (4.8.1) имеет вид
$,...<« = ?it...in(Tj>-3n) = дайзгСГ*···*1). (4.8.2)
При замене базиса е$ на е[ компонентное представление потенциальной
функции, согласно (4.6.3), изменяется следующим образом:
дф'
дТ'
где
S'. · =р. ■ (т'^-"^)= п 7 . , (4.8.3)
г\...гп г\...гп\ > f\rpii\...xn ' ν /
С. . _ Г)3\ глЗп nf гтЗУ'-'Зп — рЗ\ pjn rpii\...in (Л й Л\
причем, в силу инвариантности тензорной функции (4.8.1), имеют место
соотношения
υψ (rrfki...kn\ _ nj\ ГлЗп υψ ( pfcl -phn rpfl\...ln\ (Л Й K\

370
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4.8.2. Индифферентные потенциальные тензорные функции
Согласно общему определению (4.6.8), индифферентная тензорная
функция не меняет свой вид при переходе из одной системы координат хг в другую
Хг, осуществляемом в рамках определенной группы Gs преобразований,
например линейных. Применительно к потенциальной тензорной функции, это
свойство индифферентности относительно группы Gs записывают следующим
образом: если имеет место соотношение
£,...;„ = ^t^C^1 ···'") (4.8.6)
в декартовой системе координат Охг, то при переходе в другую систему
координат Хг, получающуюся с помощью линейного преобразования в группе
Gs, характеризуемого матрицами Аг ■ и Вг ·, вид зависимости Si{...in от Т^'1····7'"
в новой системе координат не меняется и определяется формулой (4.8.2).
Очевидно, выполнена следующая теорема.
Теорема 4.8.1. Если скалярная функция ψ(Γ·?1····?η) является
индифферентной относительно группы Gs, т. е. для нее выполнена формула (4.7.4)
из п. 7.7Л:
ф(Т^) = ф(А\...Л1пТк*-к«), V{^}eG„ (4.8.7)
mo потенциальная тензорная функция (4.8.2) также является
индифферентной относительно группы Gs.
Условие (4.8.5) для компонент индифферентной потенциальной функции
имеет вид
&Ψ /fk{...kn\ (4 8 8)
причем в левую часть необходимо после дифференцирования подставить
соотношение
rjnk\...kn _ дк[ дк-п rpl[...ln (Л Ω Q\
1\ ' ' ' ln ' \ · · )
4.8.3. Представление потенциальной функции в тензорном базисе
Теорема 4.8.2. Индифферентная относительно группы Gs скалярная
функция ψ{ηΤ) всегда может быть представлена как функция полного
набора функционально независимых скалярных инвариантов l\s\nT)
относительно той же группы симметрии:
φ(ηΎ) = φ(Ι^(ηΎ)), 7=1, ...,г. (4.8.10)
Τ Действительно, если скалярная индифферентная функция ψ(ηΤ) не
выражается через инварианты 7^(ПТ), то ее саму можно рассматривать как

§ 4.8. Потенциальные тензорные функции
371
еще один независимый скалярный инвариант тензора ПТ, а это
противоречит полноте набора /7 . Таким образом, представление (4.8.10) всегда
возможно. А
Вычислим тензор производной от ψ (4.8.10) и подставим его в (4.8.1),
тогда получим
»S = V-**g£. (4.8.11)
7=1 Τ
Перепишем это соотношение в виде
г
nS = ^2φΊ(ΐ[8\ηΤ), ..., /^(ηΤ))ηΗ^(ηΤ), (4.8.12)
7=1
где введены обозначения для тензоров производной от инвариантов
nH^ = dl\s)/dnT (4.8.13)
и скалярных функций
φΊ = δφ/δΙΊ, (4.8.14)
которые, очевидно, удовлетворяют условиям взаимности
δφΊ/δΙβ = δφβ/δΙΊ. (4.8.15)
Запись (4.8.12) называют представлением потенциальной тензорной
функции в тензорном базисе.
Действительно, любая потенциальная тензорная функция (4.8.1) может
быть представлена в виде разложения (4.8.12), причем в рамках одной и
той же группы симметрии Gs одна функция отличается от другой только
коэффициентами φΊ, а тензоры ПН7 не изменяются. Поскольку полный
набор инвариантов Ц8' строят с помощью образующих тензоров групп ηΩ7
и тензорных степеней от ПТ, то и ПН7 зависит от этих же самых тензоров.
Установим далее эти тензоры ПН7 для η = 1 (векторные функции) и
η = 2 (тензорные функции второго ранга) и различных групп симметрии.
4.8А. Потенциальные векторные функции
Рассмотрим случай η = 1, тогда потенциальная функция (4.8.1) имеет вид
s = f(a) = dil>/da, (4.8.16)
где ψ является функцией инвариантов вектора относительно группы Gs\
<ψ = <ψ(ή8\*)), 7=1, .... г. (4.8.17)

372
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Представление (4.8.11) для векторной функции имеет вид
-Σ^?=Σ^,!)(^ ..·. #\*))% (4.8.18)
7=1 ^ 7=1
где φΊ = дф/дцК
Используя выражения для вектора производной дц /да, полученного в
п. 4.7.3, запишем представление (4.8.18) векторной функции относительно
различных групп симметрии Gs.
Триклинная синеония:
з
G\: s = Σν?7(αι,α2,α3)β7,
α=1
3
G<2.\ s= J] ^(^^,αι^,αι^ίία^βα + ααβ^),
α=1
<x ί β ί 7 τ'4 λ» α,/5,7 = 1,2,3.
Ромбическая синеония:
2
G6: s = 2 J] </?7а7ё7 + <р3ё3, </?7 = ν?7(α^,α|,α3),
α=1
3
^7, 8: s = 2 ^ </?7а7ё7, φΊ = φΊ(α\, α^, α3).
α=1
(4.8.19)
(4.8.20)
(4.8.21)
Трансверсально-изотропный класс.
G$4,36,37^ s = 2</?ia + 2</?2а3ё3, ΨΊ = 4>i(\a\2, аз)'
^33, 35^ s = 2</?ia + v?2e3, </?7 = φΊ(\α\2,α3).
Изотропный класс:
G38)39: s = 2v?a, ν? = ν?(|α|2). (4.8.22)
4.8.5. Общее представление потенциальных тензорных функций
второго ранга
Рассмотрим случай η = 2, тогда потенциальная функция (4.8.1) имеет вид
S = ;F(T) = дф/дТ, (4.8.23)
где S и Τ — симметричные тензоры второго ранга; ψ — скалярная функция,
зависящая от инвариантов тензора Τ относительно группы Gs:
ψ = ψ(45)(Τ)), τ= 1 г. (4.8.24)

§ 4.8. Потенциальные тензорные функции
373
Представление (4.8.12) для функции второго ранга имеет вид
S = 5>7('iS)(T), .... 4S)(T))-^A (4.8.25)
7=1
где
φΊ = &ψ/δΐΜ(Τ). (4.8.26)
В качестве инвариантов /7 (Τ) выберем полные наборы инвариантов
различных классов, приведенные в п. 4.5.5.
Как было показано в п. 4.7.5, все эти инварианты являются либо
линейными
/00(Τ) = Τ··Ω75), 7=1.··.,™, (4.8.27)
либо квадратичными
/W(T) = T(g)T....4n^, 7 = ™+l, ···, Я, (4.8.28)
либо кубическими
/£)(Т)=Т®Т®Т 6Ω!>), 7 = 9+1, ..., г, г^б, (4.8.29)
где Ω7 , 4Ω7 и 6Ω7 — тензоры, построенные с помощью образующих
тензоров групп; га — число линейных инвариантов; т^ — число квадратичных
инвариантов, т^ = q — га; газ — число кубических инвариантов в группе,
газ = г — q.
Тензоры производной от этих инвариантов вычислены в п. 4.7.5 (формулы
(4.7.27), (4.7.42) и (4.7.47)) и в общем виде могут быть записаны следующим
образом:
dlis)
^- = nW 7=1, ...,m; -^L. = 24Ω^<·> · · Τ, Ί = m+1, ..., q;
7 =36Ω^·.·.Τ®Τ, 7 = 9+1, ..., г. (4.8.30)
Тогда представление (4.8.25) можно записать в виде
га q r
S = J2 </>7Ω« + 2 J2 <Ъ*ПУ{-) · · Τ + 3 Σ Ψ^){'} · · · · Τ ® Τ,
7=1 7=rn+l 7=9+1
(4.8.31)
Ψί = φΊ{ΐ\Β){Ύ), ..., /W(T)) = ^|y. (4.8.32)
Следует отметить, что тензоры Ω7 , 4Ω7 '' и 6Ω7 '' не зависят от
тензора Т, а меняются только при переходе от одного класса симметрии к
другому. Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4.8.3. Всякая потенциальная тензорная функция (4.8.23)
второго ранга, индифферентная относительно некоторой группы Gs, может

374
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
быть представлена в виде разложения (4.8.31) по тензорным степеням Е,
Τ и Τ 0 Τ — не выше второй степени.
Для одной и той же группы Gs одна потенциальная функция (4.8.23)
отличается от другой только коэффициентами φΊ, которые являются
скалярными функциями (4.8.32) инвариантов If'(T).
4.8.6. Потенциальные тензорные функции второго ранга
относительно различных групп Gs
Запишем представление (4.8.31) потенциальной тензорной функции для
каждого класса симметрии. Будем исходить из представления (4.8.25), в
которое подставим выражения для тензоров производной дц'/дТ каждого
класса симметрии, полученные в п. 4.7.6.
Представление тензорной функции (4.8.31) запишем в безындексном виде
и в компонентной форме в декартовом базисе ё*.
Триклинный Ε-класс (га = б, га2 = 0, газ = 0):
з
S = Σ (W7 + 2V>3+707), (4.8.33)
г1
7=1
φΊ = φΊ(Τ\\, Τ22, Гзз, Τ23, Γΐ3, Τ12).
Ортотропный О-класс (га = 3, га2 = 2, газ = 1):
з {
S = Σ ^ё7 + 2(φ*°ι 0 0l + ^5°2 0 °2 + ^7°3 ® °з) " ' Т+
7=1
+ 3v?66Om · · · · Τ 0 Τ, (4.8.34)
з ■
S« = Σ ¥>7<ОД + 2 (^Γ23 + f 12f 13V>6)(^ + <¥'2)+
7=1
+ 1(^3 + ν>6Τ12Τ23)(<^3 + <^ΐ) + ^7Τ12 + φ6Τι3Τ23)(δ\δΐ + 4*{),
^7 = ^№b ^22» ^33» ^23' ^13' ^12^13^23» ^Ъ)·
Трансверсально-изотропный Т$-класс (га = 2, га2 = 2, газ = 1):
S = (</?! + /2</?5)(Е - ё§) + (φ2 + ^ь)Щ+
+ (g^iOi 0 Οι + 02 0 02) + 2</?4(Δ - -(Οι 0 Οι +
+ 02 0 02) - ё§ 0 ё§ - φ5Ιι*)) · · Τ + <д>Т2,

§ 4.9. Квазилинейные тензорные функции
375
Sij = (φι + I2<PsWJ + (φ2 ~φ\- 2φ4Τ33)δ\δ{ +
+ (φ3 - 2φ,){(δ\δ{ + 5'з4)Ъз + (δ\4 + δ'3δ{)Τι3) +
+ (2φ4 - hφ5)Τ» + VbtiktkK (4.8.35)
φΊ = ψΊ(Τη + Γ22, Γ33, Τ 23 + Τ%3, Γ,2, + ?! + 2f,22, det Τ).
Изотропный Ι-класс (πι = \, πι2 = 1, m3 = 1):
S = (φι + Ιχφ2 + Ι2φζ)Ε - (φ2 + Ι{φζ)Τ + φ3Τ2, (4.8.36)
Sij = (φι + ΪΧΨ2 + Ψ3)^ ~ (Ψ2 + Im)Tij + φζΤ^\
φΊ = φΊ{ϊ\(Τ), 72(Τ), 73(Τ)).
Функции φΊ во всех соотношениях (4.8.33)-(4.8.3б) потенциальны, т. е.
удовлетворяют соотношениям взаимности:
δφΊ/ΟΙ{β8) = Θψβ/ΘΐΜ. (4.8.37)
Сделаем ряд замечаний к представленным выше выражениям:
1) в ортотропном О-классе потенциал ψ, а следовательно, и коэффициенты
φΊ, удобно рассматривать как функции не шести, а семи инвариантов
(среди которых, естественно, только шесть независимых) — добавлен
инвариант Ц ' = Tf2, в этом случае выражения для потенциальных
функций Sli(Tkl) становятся симметричными по отношению ко всем
трем индексам;
2) инварианты 1\ и Ц, входящие в представленные выше тензорные
функции, всегда могут быть выражены через инварианты ц'
соответствующего класса симметрии (см. упражнения к § 4.5).
Упражнение к § 4.8
Упражнение 1. Исходя из общего представления (4.8.31) потенциальных тензорных
функций и формул п. 4.7.6 для тензоров производных дц /дТ, доказать
справедливость представлений тензорных функций для различных групп Gs, приведенных в
п. 4.8.6.
§ 4.9. Квазилинейные тензорные функции
4.9.1. Определение квазилинейных функций
Рассмотрим потенциальную тензорную функцию второго ранга (4.8.23).
Как было показано в п. 4.8.5, ее всегда можно представить в виде разложения
(4.8.31) по тензорному базису относительно каждого класса симметрии.

376
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Определение 4.9.1. Частный класс тензорных потенциальных функций
(4.8.1), для которых разложение (4.8.31) по тензорному базису содержит
только тензорные степени не старше первого порядка, т. е. Ε и Т:
т q
7=1 7=m+l
называют классом квазилинейных потенциальных функций.
Из (4.8.31) и (4.9.1) следует, что для квазилинейных потенциальных
функций
φΊ = ^ = 0, 7 = <7+l, ..-, г, (4.9.2)
т. е. потенциал зависит, вообще говоря, не от всего набора инвариантов Ц8'
данной группы Gs, а только от линейных и квадратичных инвариантов:
ψ = ψ(/ι(Τ), ..., /,(т)). (4.9.3)
Понятие квазилинейности, или иначе тензорной линейности, может быть
распространено и на непотенциальные тензорные функции, об этом пойдет
речь в § 4.12.
4.9.2. Квазилинейные функции различных классов симметрии
Рассматривая разложения потенциальных функций по тензорному базису
для различных классов симметрии, представленных в п. 4.8.6, нетрудно
заметить, что для некоторых классов тензорные функции являются
квазилинейными, без дополнительных допущений вида (4.9.3). Очевидно, что это те классы,
у которых потенциал ψ не зависит от кубических инвариантов. Так, для
триклинного ^-класса потенциальные функции являются квазилинейными, и
их разложения (4.8.31) и (4.9.1) по тензорному базису совпадают.
Остальные классы содержат кубические инварианты. Ниже приведены
разложения квазилинейных тензорных функций по тензорному базису для
этих классов.
Ортотропный О-класс:
з .
s = Σ (v^ + 2^з+7(°7 ® 07) ■ ■ Τ), (4.9.4)
7=1
з ■
7=1
Ψί — ^№ΐ» ^22» ^33» ^23' ^13' Τ\2)·

§ 4.9. Квазилинейные тензорные функции
377
Трансверсально-изотропный Т^-класс:
5 = </?ι(Ε - ё§) + </?2ёз + (W°i ® °ι + °2 ® 02)+
+ 2ν?4(Δ - i(Oi 0 Οι + 02 0 02) - ё§ 0 ё§)) · · Т, (4.9.5)
6 = φχ& + (φ2 -φχ- 2φΑΤΖ2>)δ\δ{ +
+ 2(^з " ¥>4)((4^ + ЭД^З + (ОД + ОД№з) + 2φ4Τ*,
φΊ = </?7(Тц + Τ22, Τ33, ^13 + ^23' ^11 + ^22 + 2^12)·
Изотропный 1-класс:
S = (v?i+Jiv?2)E-vVr, (4.9.6)
S* = (^ + /ι у>2)<Р' - φ2ΊΑύ, ^7 = ^7 №. ^) ·
Для ортотропной квазилинейной функции потенциал ψ и коэффициенты
φΊ (7 = 1, ..., 6) зависят от шести независимых инвариантов, в число
которых не входит кубический инвариант Τχ^Τ^Τχ^.
4.9.3. Представление квазилинейных функций
с помощью тензора четвертого ранга
Квазилинейные функции можно сделать совпадающими по форме с
соответствующими линейными тензорными функциями, описанными в пп. 4.6.4
и 4.6.9:
S = 4С · · Т. (4.9.7)
Для этого следует преобразовать функции φΊ таким образом, чтобы можно
было выделить симметричный тензор четвертого ранга 4С при Τ в
квазилинейных функциях п. 4.9.2. Проделаем эти операции для каждого класса,
начиная с изотропного.
Изотропный 1-класс.
В формуле (4.9.6) введем две новые функции Αι и А2, зависящие от
инвариантов Ιχ, /2:
Αι(/ι,/2) = ψ2 + ψ, A2(/lf/2) = -2φ2, (4.9.8)
тогда расшифровывая линейный инвариант Ιχ = Ε · · Τ, преобразуем (4.9.6) к
виду
S = ΧχΙχΈ + 2Α2Δ Τ = (ΑιΕ 0 Ε + 2Α2Δ) Τ = 4C T, (4.9.9)
где тензор четвертого ранга 4С определен по формуле (4.6.66). Однако, в
отличие от линейной тензорной функции, для квазилинейной функции
коэффициенты Αι, Α2 уже не константы, а некоторые функции инвариантов Ιχ, /2.

378
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Трансверсально-изотропный Т^-класс.
Представим функции φ\, ..., φ$ в формулах (4.9.5) следующим образом:
ψΐ = Mil + Ц ) + А34 , А4 = Ψ3 - ¥>4. V?4 = А5,
VP2 - ^ - 2φ443) = X2lf] + λ3(/{3) + if}), (4.9.10)
где Αι, ..., Α5 — функции инвариантов 1\\ ..., /^ » тогда (4.9.5) можно
представить в следующем виде:
S = {\x(l[V + if}) + A3/f })Е + (A2/f} + Α3(/ί3) + /<3)))ё§+
+ (Α4(Οι 0 Οι + 02 0 02) + 2Α5Δ) · · Т. (4.9.11)
Расшифровывая линейные инварианты l\' + Ц — Ε · · Τ, Ц = Τ · · eg,
получаем
S = (ΑιΕ 0 Ε + А2ё§ ® ё§ + А3(Е 0 ё§ + ё§ 0 Е)+
+ Α4(Οι 0 Οι + 02 0 02) + 2Α5Δ) Τ = 4С Т. (4.9.12)
Тензор 4С совпадает с соответствующим тензором (4.6.65).
Ортотропный О-класс.
Девять функций Αι, ..., Ад от инвариантов ц ' вводят в формулах (4.9.4)
следующим образом:
φ« = \«Ι{°) + \ζ+ΊΙ{°)+λζ+βΐ\°\ αφβφηφα, α,β,Ί = 1,2,3;
¥>а+з = 2А6+а. (4.9.13)
Тогда, расшифровывая линейные инварианты ц — Τ · · ё^, приводим (4.9.4)
к виду
з
S = ΣΜ0) + Л3+740) + W^0))ea + А6+а(Оа 0 Оа) · · Τ =
3
= Σ (А«ё« 0 ё« + А3+7(4 ® ё7 + ё7 ® ё^ +
+ А6+а(Оа0Оа))..Т = 4С-.Т. (4.9.14)
Здесь тензор 4С определяют по формуле (4.6.64).
Триклинный Е-класс.
Двадцать одну функцию Αι, ..., Α2ι от инвариантов Ι\ \ ..., ц ' в
формулах (4.8.33) вводят следующим образом:
Ψα = λαΙ{αΕ) + λ3+74Ε) + \^βΐψ} + 2A9+a/f} + 2A12+a/f} + 2A15+a/f),

§ 4.9. Квазилинейные тензорные функции
379
^з+а = 2 Σ χ3α+6+ΛΕ) + 4λ18+7/^ + 4λ18+^ + 4Α6+α/^, (4.9.15)
α φ β ^7 ¥" α> α,/5,7 = 1,2,3.
Расшифровывая линейные инварианты /i = Τ · · ё^, ц+а = ^Τ · · Οα,
убеждаемся, что выражение (4.8.33) действительно можно привести к виду
(4.9.7), в котором тензор 4С выражаем по формуле (4.6.62).
4.9.4. Потенциалы линейных тензорных функций
Представление с помощью тензоров четвертого ранга позволяет легко
получить из квазилинейной обычную линейную тензорную функцию с
образующим тензором 4С. Для этого нужно положить все Аа = const.
Найдем выражения для потенциалов ψ, которые соответствуют линейной
тензорной функции с образующим тензором 4С из п. 4.6.9 для каждой
группы. Для этого вспомним, что
дф/дф = φΊ,
и воспользуемся соотношениями между φΊ и Аа, введенными в п. 4.9.4.
Триклинный Е-класс.
Из (4.9.15) имеем
9Ψ = λ„ 4£> + А3+/3 4£) + λ3+7 lf] + 2 έ λ3-+6+α 4+1 (4.9.16)
9ΙΪΕ)
δΨ _οΓ\ . τ(Ε) , ο\ . λΕ) , ο\ . λΕ) , ο\. λΕ)
— 2 2^ Аза+6+ω Ik, + 2Αΐ8+7 Ι3+β + 2λ\8+β Ι3+Ί + 2Аб+а Ι3
Решением этой системы уравнений является скалярная функция от инва-
т(Е)
риантов ц .
Ψ = Σ G Αα /f >2 + Α3+α 7f >7f > + 2Α6+Ω С2 + 4Α18+α /$,/$+
α=1
+ 2Α9+α Ι{αΕ)Ι{4Ε) + 2Α
12+α + 2Αΐ5+α Ι{αΕ)Ι{6Ε))+Ψο, (4.9.17)
которая и будет потенциалом линейной тензорной функции в триклинном
классе, а ψο — постоянная интегрирования.
Тензор производной от этой функции имеет вид
дф/дТ = 4С·· Т, (4.9.18)
где тензор 4С определяют по формуле (4.6.62).

380
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Ортотропный О-класс.
Потенциал линейной функции имеет вид
з
^ = Σ(ϊλ«ΐ{°)2 + ^α^Γ + 2А6+а^з) + Φθ· (4.9.19)
α=1
Тензор производной от этой функции образует линейную функцию (4.9.14)
с тензором 4С (4.6.64).
Частные производные дф/дЦ ' приводят к формулам (4.9.13), в которых
следует положить все Аа = const.
Трансверсально-изотропный Т^-класс.
Потенциал имеет вид
ψ = ^(λ,/[3)2 + A2/f)2) + λ3/,(3)43) + 2λ443) + Α543) + ψο, (4.9.20)
Α2 = Α2 + 3Αι + 2Аз + 2Α5, Аз = Αι + Аз, Α4 = Α4 + Α5,
ему соответствует тензор четвертого ранга 4С (4.6.65) и коэффициенты
(4.9.10).
Изотропный 1-класс.
Потенциал имеет вид
Φ = ^(Αι + A2)/f - А2/2 + ψ0, (4.9.21)
ему соответствует тензор 4С (4.6.66) и коэффициенты φΊ (4.9.8).
С использованием тензора четвертого ранга 4С потенциал ψ для линейных
потенциальных функций всех классов симметрии можно представить в виде
ψ = ^ 4С · · · · Τ 0 Τ + ψο· (4.9.22)
Действительно, рассматривая ψ как скалярную функцию квадратичного типа
(4.7.38), можем вычислить тензор производной согласно (4.7.43)
дф/дТ = 4С<-> Τ = 4С Τ = S, (4.9.23)
так как 4С является симметричным тензором четвертого ранга.
Таким образом, функция (4.9.22) действительно является потенциалом
для всех линейных тензорных функций (4.9.23).
§ 4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
4.10.1. Определение спектрального представления
Для квазилинейных потенциальных функций можно дать еще одну форму
представления, основанную на так называемом спектральном представлении
тензоров. Дадим определение этих представлений.

§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
381
Рассмотрим пространство симметричных тензоров второго ранга S^ .
Теорема 4.10.1. Пространство S^ ' можно разбить на прямую сумму
ортогональных подпространств V(a), инвариантных относительно
некоторой группы преобразований Gs, являющейся подгруппой полной
ортогональной группы преобразований Iq:
^2) = Ρ(1)θ...θΡ(η)) Gsc/0. (4Л0.1)
Иначе говоря, любой симметричный тензор второго ранга Τ можно
представить суммой
Т = ЕРИ' п^6> (4Л0·2)
где каждый тензор Р(а) обладает следующими свойствами:
1) (прямая сумма подпространств) Р(а) является симметричным тензором
второго ранга, принадлежащим подпространству V(ay,
2) (ортогональность подпространств) Р(а) — взаимно-ортогональны, т. е.
Р(а) · · Р(/3) = 0, если αφβ\ (4.10.3)
3) (инвариантность подпространств) Р(а) является индифферентной
тензорной функцией относительно группы преобразований Gs, т. е.
QT · Р(о)(Т) · Q = P(Q)(QT Τ Q), (4.10.4)
где Q — тензор линейных преобразований, соответствующий группе
преобразований Gs;
4) тензор Р(а) является линейной тензорной функцией от Т:
Р(а) = Р(а)(Т) = 4Г(а) · · Т, а=1,...,п. (4.10.5)
Отметим, что формула (4.10.4) определяет линейное преобразование
подпространства V(a) в себя, если ее переписать в виде
(Q ® Q)<2431> · · Ρ(β) = Ρ'(α), Ρ(β), Ρ'(α) € V{a). (4.10.6)
Поскольку Pjax = P(a)(QT · Τ · Q) тоже принадлежит P(a), то V(a) —
действительно инвариантное подпространство относительно преобразования (4.10.6).
А так как (4.10.6) имеет место для любого Q Ε Gs, то V(a) — инвариантно
относительно группы преобразований.
Возможность представления (4.10.2) тензора Τ докажем ниже
конструктивно, т.е. построив в пп. 4.10.3-4.10.6 эти представления для различных
групп симметрии.
Определение 4.10.1. Представление (4.10.2), обладающее свойствами 1-4,
называют спектральным представлением симметричного
тензора второго ранга.

382
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Впервые спектральное представление (4.10.2) было установлено Б.Е. По-
бедрей.
Тензоры Р(а) называют обобщенными девиаторами или р-тензорами,
или еще ортопроекторами, причем 4Ι\α) — некоторые постоянные тензоры
четвертого ранга, не зависящие от Т, а только от образующих тензоров Ов(7)
группы симметрии Gs.
Среди этих 4Ι\α) имеются приводимые, т. е. полученные тензорным
произведением некоторого симметричного тензора второго ранга а^:
4Г(а) = — а(а) 0а(а), а= 1, ..., т < п. (4.10.7)
аа
Для тензоров 41\а) и а(а) вводим инварианты
.2
(а
1/2
Γ(α)=4Γ(α)····4Γ(α), а = т+1, ..., п, (4.10.8)
«а = (а(а) · · а(а)) , а= 1,
т.
Из условия индифферентности функции Р(а)(Т) следует, что тензоры
4Га и а(а) должны быть индифферентны сами, т. е. должны удовлетворять
условиям (4.3.7), (4.3.12):
QT. а(в) · Q = а(а), 4Г(а) = 4Г(а) · ·. · (Q 0 Q 0 Q 0 Qp3i2468)5 (4Л0.9)
или в компонентном виде
а(а) = аг(1)ёг 0 ё,·, tfa) = afa)A\A\ , (4.10.10)
4Г(а) = Г|-'^ёг1 0 ёг2 0 ёгз 0 ёг4, Г^ = Γΐ£*Α\ ... А%
где Агk — произвольная матрица преобразований из группы Gs.
4.10.2. Инварианты, связанные со спектральным представлением
Введем с помощью тензоров Р(а) инварианты тензора и обозначим их,
в отличие от инвариантов, введенных в §4.3, как Υα(Ύ). Для тех Р(а), у
которых 4Ι\α) является приводимым, инвариант Υα определяем по формуле
Υα(Ύ) = — а(а) · · Т, а= 1, ..., т, (4.10.11)
причем из (4.10.5) и (4.10.7) следует, что
Р(а) =-?-Уаа(а), (4.10.12)
"■а
а скаляр (4.10.11) называют спектральным линейным инвариантом.
Для остальных Р(а) (а = т + 1, ..., п) инварианты вводят по формуле
ΚΩ(Τ) = (Ρ(α)··Ρ(Ω))1/2 (4.10.13)

§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
383
тральное
и называют спектральными квадратичными инвариантами. Заметим, что
для линейных инвариантов (4.10.11) также справедлива формула (4.10.13).
С учетом (4.10.12), разложение любого тензора второго ранга Τ (4.10.2)
может быть представлено в виде
т η
T = ^^Ftt(T)+ Σ Ρ(«)(Τ)· (4Л0·14)
α=1 a=m+l
Отметим два важных свойства спектральных разложений, которые будут
использоваться в дальнейшем.
Умножая скалярно Р(а) на Т, с учетом представления (4.10.2) и
ортогональности Р(а) получаем
η
р(а)--т = ЕРИ'-р(/з)=РИ"РИ = Уа2' <*=1, ..., п. (4.10.15)
Рассмотрим скалярный квадрат тензора Τ · · Τ и подставим вместо Τ спек-
[льное разложение (4.10.2), тогда с учетом ортогональности Р(а) получим
η η η
/,(Τ2)=Τ··Τ= Σ Ρ(β) ■ · Ρ(0) = Σ Ρ(α) · · Ρ(α) = Σ Υ2> (4·10·16)
α,β=1 α=1 α=1
т. е. сумма квадратов всех спектральных инвариантов Υα всегда образует один
и тот же инвариант — след от квадрата тензора
7,(Т2) = ХХ2. (4.10.17)
4.10.3. Спектральное представление для класса изотропии
Τ Докажем теорему 4.10.1.
Покажем, что введенные в п. 4.10.1 спектральные представления
существуют. Начнем с класса изотропии — (/).
Образующий тензор Ов(7) в этом классе только один (см. п. 4.3.7) — это
тензор Е. Тогда существует только один тензор второго ранга а(а), а ащ —
его инвариант:
a(i) = E, ш=1, а(1) = (Е · · Е)1/2 = >/3. (4.10.18)
Спектральный линейный инвариант определяют выражением
У,(Т) = -i-a(1) · · Τ = -Lt · · Ε = -U,(T). (4.10.19)
α(0 V3 V3

384
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Сооответствующий ему тензор Р^) определяют формулой (4.10.12):
Р(1) = -^У,а(1) = 1/,(Т)Е. (4.10.20)
Второй обобщенный девиатор строим следующим образом
1
3
P(2) = T-i/iE. (4.10.21)
Соответствующий ему тензор 4Г(2) имеет вид
4Г(2) = Δ - Ы ® Е. (4.10.22)
о
В декартовой системе координат тензоры а^) и 4Г(2) имеют вид
Щх)=№, αι = >/3, (4.10.23)
Г*'*' = X-(5ik5jl + SilSjk) - UijSkl.
Других обобщенных девиаторов в этом классе нет, т. е. число η = 2 для
класса изотропии.
Покажем, что построенные таким образом тензоры Р(а) являются
обобщенными девиаторами.
Проверим справедливость формулы (4.10.2). Действительно, складывая
тензоры Р(а), получаем
Τ = 1/iE + (Τ - i/iE) = P(1) + P(2). (4.10.24)
Проверим ортогональность Р(^ и Ρ(2)» τ· е· справедливость (4.10.3):
P(D · · Р(2) = \ΐιΈ · · (Τ - Ι/,Ε) = 1(7? - 7? 1ε · · Ε) = 0, (4.10.25)
так как Ε · · Ε = 3.
В компонентной записи тензоры Ρ(α) имеют вид
Pft = Ι /ι №, Pfa = fv - I h Slj (4.10.26)
Τ'= ^δ* + P$y (4.10.27)
Представление (4.10.27) называют разбиением тензора на шаровую и деви-
аторную части.
Спектральный квадратичный инвариант определяем по (4.10.13):
У(2) = (Р(2)--Р(2))1/2· (4.Ю.28)

§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
385
Этот инвариант называют интенсивностью тензора Т, вычислим его в
декартовой системе координат:
з
Г2 = К2 = PijPij = Σ PL + 2(Ρι22 + Р?з + PL·)- (4-Ю.29)
Поскольку Pij = fij — (\/3)fkkSij, получаем
Рп = Tn - ^(Tii + t22 + t33) = i ((tn - T22) + (f„ - t33)),
P22 = 5 ((T22 - T„) + (t22 - T33)), P33 = i ((T33 - tn) + (T33 - t22)),
Pi2 = fl2, Pi3 = T13f P23 = T23. (4.10.30)
Тогда, подставляя (4.10.30) в (4.10.29), после приведения подобных членов
получаем
т;2 = g ((Гц -122)2 + (tn -133)2 + (t22 -133)2 + 6(t22 +123 + f^))
(4.10.31)
— часто используемое представление второго спектрального инварианта в
декартовой системе координат.
4.10.4. Трансверсально-изопгропный класс
В этом классе существует два образующих тензора второго ранга 0(в)7
(см. п. 4.3.7) — это Ε и ё2, поэтому можно образовать два тензора а(а):
а(1)=ё§ и а(2)=Е-ё§, m = 2, (4.10.32)
причем их инварианты принимают следующие значения:
а\\) =ё3®ё3 · · ё30ё3 = |ё3|4 = 1, (4.10.33)
а22) = (Е - ё3 0 ё3) · · (Е - ё3 0 ё3) = 3 - 2ё3 · ё3 + 1 = 3 - 2 + 1 = 2.
Им соответствуют линейные спектральные инварианты тензора Т:
У,(Т) = Т.-ё§, У2 =-i-T · · (Е - ё!) (4.10.34)
и обобщенные девиаторы Р(а):
Р0) = Fie3 0 ё3, Р(2) = 4=-*2(Е - ё3 0 ё3). (4.10.35)
Полное число ортогональных подпространств V(a) в данном случае равно
η = 4, а оставшиеся два р-тензора вычисляют следующим образом:
Р(3) = Т - ^У2(Е - 4) + ΥΜ - (Τ · S§ + δ§ · Τ), (4.10.36)

386
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Р(4) = (Т-ё§ + ё§-Т)-2У1ё§.
Тензоры 4Г(з) и 4Г(4), соответствующие этим девиаторам, имеют вид
4Г(3) = Δ - ±(Е - ё§) 0 (Ε - ё§) - ё2 0 ё2 - i(Oi 0 θ! + 02 0 02),
4Г(4) = ^(Οι 0 θ! + 02 0 02). (4.10.37)
То, что эти тензоры соответствуют девиаторам (4.10.36), проверяют
непосредственно умножением 4Ι\α) на Т, при этом следует учесть очевидное
соотношение
Т-ё§ + ё§-Т= (2e§®e§ + i(Oi 0θι + 02 0 02)) Т. (4.10.38)
Справедливость (4.10.2) следует из построения тензоров (4.10.35) и
(4.10.18).
Проверим ортогональность Р(а):
Р(1) · · Р(2) = ^ё3 0 ё3 · · (Е - ё3 0 ё3) = ^J(Nl2 - |ё3|4) = 0, (4.10.39)
так как |ё2| = 1. Аналогично можно установить ортогональность других
тензоров Р(а).
Запишем выражения для двух спектральных квадратичных инвариантов.
Выражение для инварианта У4 имеет вид
У42 = Ρ(4)··Ρ(4) = (Т ·§§ + §§· Τ)··(Τ ·§§ + §§· Т)-
- 4У[ (Т · ё§ + ё§ · Т) · · ё§ + 4Υ12. (4.10.40)
Учитывая, что
=2\ /т =2ι /= m = ι2 лЛ
(т.ё^).-(т-ё^) = (ё3-т-ёзГ = гЛ
:·θ|)··§| = (§|·τ)··§| = ]
(§|·τ)··(τ·§1) = β|··τ2,
(T-e§)-.e§ = (S§.T)-.e§ = y,, (4.10.41)
■-2 rr.\ /rri ~2\ -2 rr.2
получаем
F42 = 2ё§ · · Τ2 + 2>f - 8У,2 + 4lf = 2(ё§ · · Τ2 - Υ?). (4.10.42)
Выражение для инварианта Уз найдем с помощью соотношения (4.10.16):
У32 = Ιχ (Τ2) - Υ? - У22 - У42· (4.10.43)
Запишем компоненты тензоров а(а) и Г(а) в декартовой системе
координат:
й(1)у = ^гЗ^'З» й(1) = 1»
fl(2)y = uifyi + fe<^2, fl(2) = >/2, (4.10.44)

§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
387
Г(3)г?М = 2^ik$jl + Silujk) ~ ^klSll + Sk2Si2)(Si\Sji + fe<b'2) +
+ fefefe^S - gfefe + ^г4з)^3 ~ Т^^З + %4з№з>
r(4)zjfc/ = 7>№*^3 + ^Аз)<Ь'3 + ^(^"^З + ^'4з)^гЗ ~ 2^3^3^гЗ^'3·
Выражения для обобщенных девиаторов произвольного симметричного
тензора Τ имеют вид
pWo = ^ззйз^з»
P(2)ij = -^~2 ($ij ~ <*гЗ<^з) = -^""2 №ΐ^Ί + <Wj2),
^(3)υ = %j ^"2 №ι^ί + $i2$j2) + ^зз^з^з - №з<Ь'3 + Tj35i3), (4.10.45)
P(4)ij = Ϊ3^·3 + Tj35i3 - 2f335i35j3 = fxs(5i\5j3 + 5i35j\) + Т23(^2^-з + йз^г)·
Инварианты Ya тензора Т вычисляют следующим образом:
Υ\ = Гзз, У2 = ^TijiSij - Si3Sj3) = п 22,
*з = TijTij - Г33 - „(Гц + Г22) - 2Tk3Tk3 + 2Г3з =
= ^((Τιι-Τ22)2 + 4η22), (4.10.46)
F42 = 2(tfc3tfc3 - t23) = 2(Т2з + t|3).
Матричное представление обобщенных девиаторов имеет вид
/о о о \ /ι о о\
Р(1)у= 0 0 0, P(2)ii = £ILp2 0 10, (4.10.47)
\0 0 Гзз/ \0 О О/
/№ι-Γ22)/2 Γ12 0\ /0 0 Г13'
Рт=[ fi2 (г22-гп)/2 о , Р(4)у= ρ о г23
V о оо/ \г,з г23 о
4.10.5. Ортотропный класс
В этом классе имеется три индифферентных симметричных тензора
второго ранга ё2, общее же число обобщенных девиаторов максимально и равно
шести, т. е.
ш = 3, η = 6. (4.10.48)
Тензоры а(а) и 4Ι\α) имеют вид
SL(
-2
{a)=eza, α =1,2,3, α(α) = 1, (4.10.49)

388
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4Г(а) = 2°а-3 ® Оа_3, а = 4, 5, 6.
Обобщенные девиаторы определяют следующим образом:
Р(а)=Уаё2а, а =1,2,3, (4.10.50)
где
¥а = Т--ё2а (4.10.51)
— линейные спектральные инварианты; для а = 4, 5, 6 имеем
Ρ(α) = ^0Ω_3(Τ··0Ω_3). (4.10.52)
Проверим, что все свойства р-тензоров (4.10.2)—(4.10.5) выполнены.
Спектральное представление (4.10.2) проверяем, переходя к компонентной
записи
ι
Σ рм = Е(у«ё« + 2°«+з(т · · °°+з)) =
α=1 α=1
3
= Σ(«<% + W + «$)fo/0 = Т' (4-10.53)
α=1
ol + β + Ί + OL, α,β,Ύ= 1,2,3.
Индифферентность функций Ρ(α)(Τ) очевидна, так как все тензоры ё^,
Оа 0 Оа индифферентны относительно класса ортотропии.
Взаимная ортогональность Р(а) вытекает из ортогональности векторов
базиса ёа:
Р(а) · · Р(/3) = ё2а · · ё| = 0, а^/3, а,/? =1,2,3, (4.10.54)
Ρ (а) · · Ρ (£+3) = ё« · · Οβ = ёа 0 ёа · · (ё7 0 ё5 + ё6 0 ё7) =
= 2(ёа.ё7)(ёа-ё^) = 0, а,/?, 7,5 =1,2,3, /3 ^ 7 ^ <* ^ 0,
Р(а+3) '· р(/з+3) = Оа·· О/? = 0, а^/3, а,/? = 1,2,3.
Квадратичные спектральные инварианты определяют по формулам
(4.10.15):
Yl = Ρ(α) · · Τ = i(T · · Οα_3)2, α = 4,5,6. (4.10.55)
Запишем также все введенные тензоры в декартовом базисе ё*:
^(a)ij = via.Oja.i Οί = Ι,Ζ,Ο, (Zq; = 1,
1 (3+a)ijfc/

§4.10. Спектральное представление тензоров второго ранга
389
Обобщенные девиаторы и инварианты имеют вид
P(a)ij — Taa6iaSja, a = 1,2,3; Р(4)у = ^23 №2^3 + ^3^2)»
P(5)ij = ^1з(^г1^3 + Ui3$jl), P(6)ij = T\2^il^j2 + fefyl)' (4.10.57)
Ya = Taa, a =1,2,3; Y4 = V2\f23\, Y5 = y/2\fl3\, Y6 = V2\fl2\.
Обобщенные девиаторы имеют матричное представление:
'ίπ 0 0\ /0 0 0\ /0 0 0
Р(1)У=| 0 0 0, Р(2)у= 0 Г22 0 , Р(з)у= О О О
(4.10.58)
0 0 0/ \0 О О
Ό 0 0\ /00 Т13
Р(ад=|0 О Т23 , Рт= 0 0 0 |, Рт=\Т}
β г23 о/ \т13 о о
4.10.6. Триклинный класс
В этом классе имеется шесть индифферентных симметричных тензоров
второго ранга: ёа ® ё#, следовательно, все числа тип совпадают и равны
шести:
т = п = 6, (4.10.59)
а обобщенные девиаторы являются линейными. Тензоры а(а) имеют вид
а(а)=ёа> α =1,2,3, α(α) = 1, (4.10.60)
а(а+3) = g(e0 ® ё7 + ё7 ® ё^) = -Оа, а(а+3) = 1.
Спектральные инварианты определяют по формулам
γα = т · · ё2а = iiE\ γ3+α = It .. οα = /^, α = ι,2,3. (4.ιο.6ΐ)
Поэтому обобщенные девиаторы имеют вид
Р(а) = Yae2at Р(3+а) = \Уз+аОа, * = 1,2,3. (4.10.62)
Очевидно, что все свойства р-тензоров при таком построении выполняются.
В декартовом базисе ё; введенные объекты имеют вид
α,β,Ί= 1,2,3, α + β + Ί + α, (4.10.63)
а также
P(a)ij = Ya$ia$ja, P(a+3)ij = n^ft/?^ + δ^δ^β). (4.10.64)

390
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Спектральные инварианты имеют вид
*б = 1*2з|. *5 = 1?13|, П = |Г12|. (4.10.65)
Матричное представление обобщенных девиаторов также очевидно —
каждая матрица (P(a)ij) имеет одну ненулевую компоненту тензора Т:
Рт=\о т22 о , p{3)ij =
Р(4)у= Г12 0 0 , Р(5)у= 0 0 0 , Ρ(6)ϋ =
(4.10.66)
4.10.7, Сравнение спектральных инвариантов Υα
с инвариантами групп 1^
Для триклинного класса спектральные инварианты Υα и Ι& , введенные
в п. 4.5.5, как было показано в п. 4.10.6, совпадают.
Для остальных рассмотренных классов: /, Тз и О, — число спектральных
инвариантов Υα на один меньше, чем инвариантов 1^; причем отсутствует
кубический инвариант в каждом классе. В классе ортотропии — это ц ' =
— Т\2Т\3Г23, а в остальных — это /3 — det Т.
Этот результат естественен, так как само построение инвариантов Ya
предполагает, что могут возникнуть либо линейные, либо квадратичные
инварианты.
Вспомним теперь результаты п. 4.10.1, где было указано, что в построении
квазилинейных тензорных функций участвуют как раз линейные и
квадратичные инварианты. Поэтому применение спектральных инвариантов является
еще одним (весьма удобным, как будет показано в §4.11) способом для
описания квазилинейных функций.
Упражнение к § 4.10
Упражнение 1. Показать, что из взаимной ортогональности тензоров Р(а) следует
4Г(а) · ·4Γ(/3) = 0, α φ β, α,β= 1, ..., η.

§ 4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 391
§4.11. Спектральные представления
квазилинейных тензорных функций
4,11,1, Спектральное представление двух тензоров
Спектральное представление, введенное в §4.10, обладает важным
свойством: оно одинаково в рамках одной и той же группы симметрии Gs для
всех симметричных тензоров. Это означает, что если имеются два
симметричных тензора S и Τ второго ранга и фиксирована группа симметрии Gs, то
спектральные представления этих тензоров записывают следующим образом:
S = EPS· T = E<)'· (4-11.1)
(S) (Т)
где Pfa4 и PQj — обобщенные девиаторы тензоров,
P^=P(a)(S)=4r(a)..S, (4.11.2)
(α) = г(а)^)~ *(α)
= τ»,
(a)
ρ£))ΞΡ(α)(Τ)=4Γ(α).·Τ, α=1 η.
Из представления (4.11.2) следует, в частности, что тензоры Ρ) с и PL/
взаимно ортогональны:
p(f) · · Р(Д = °. «^. (4-И·3)
Спектральные инварианты тензоров Τ и S обозначим следующим образом:
ГГ,Га(Т) = (р£)..р(Т))1/2> Ω=1ι...>η,
yjs> = Ya(S) = (p[f> · · Р[5)'/2. (4.11.4)
Среди них имеются по m линейных инвариантов, для которых
PW =?*<«>· PW = ¥*«")· "=L ·■·.">· (4-11.5)
4.11.2. Спектральное представление приращения потенциала
Пусть два симметричных тензора S и Τ связаны потенциальной
квазилинейной функцией
S = ;F(T) = дф/дТ, (4.11.6)
где ψ — потенциал.

392
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Составим дифференциал от функции ψ, рассматривая ее как скалярную
функцию от Τ (см. (4.7.15)):
«ty = ||..dT. (4.11.7)
Здесь учтено, что Τ — симметричный тензор. Если теперь подставить (4.11.6)
в (4.11.7), то получим условие потенциальности в виде
# = S·· dT. (4.11.8)
Подставляя в (4.11.8) спектральные представления (4.11.1) тензоров S и
Т, окончательно имеем
η
*^ = Σ PS· ·<<ο· (4·π·9)
α=1
Дифференциал тензора dP\} определен в п. 4.7.2 и представляет собой
симметричный тензор
dP^=dP^ei^ejt (4.11.10)
где Р,^\ ' — компоненты девиатора,
Очевидно, что тензоры dv\\ будут взаимно ортогональны к Р) J (αφ β),
что и учтено в (4.11.9).
Формулу (4.11.9) называют спектральным представлением приращения
потенциала квазилинейной функции.
4Л 1.3. Вывод спектрального представления квазилинейной функции
Как было показано в п. 4.9.1, потенциал ψ квазилинейной функции
может зависеть только от линейных и квадратичных инвариантов тензора
Т. Выберем в качестве этих инвариантов спектральные инварианты Υα(Τ)
относительно какой-либо группы симметрии Gs:
Ψ = Ψ(Υ{Τ\...,ΥΡ), (4.11.12)
тогда
а=\ а
(Т)
Дифференциал dYa вычислим следующим образом:
dYP = -^dY™2, α=1, ...,η. (4.11.14)

§ 4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 393
Поскольку Ya является, согласно (4.11.4), квадратичной скалярной функ-
(а)
цией от PLj, to ее дифференциал находим по формулам (4.7.15) и (4.7.45)
dY^ = Si · · <) = 2Р(3 · · <)' « = 1. -. п. (4.11.15)
(а)
Подставляя (4.11.15) и (4.11.14) в (4.11.13), получаем
Подставляя (4.11.16) в (4.11.9), имеем
\VJ <*Ψ_Ρ(τ) _ р(5)λ . dp(D _ 0 (411 17)
В силу независимости приращений девиаторов, из (4.11.17) вытекает
следующий результат.
Теорема 4.11.1. Обобщенные девиаторы двух симметричных
тензоров второго ранга, связанных квазилинейной потенциальной функцией
(4.11.6), пропорциональны друг другу:
ρ (5) _ φα ρ (Τ) α — \ η (4 1118Ϊ
α
Коэффициенты пропорциональности являются скалярными функциями от
спектральных инвариантов Υ& .
ψα = Ψα(ΥΐΤ) Y^]) = δψ/ΘΥ^Κ (4.11.19)
Соотношения (4.11.18) называют спектральным представлением
квазилинейной тензорной функции (4.11.6). Это представление впервые было
установлено Б.Е. Победрей.
Подставляя в первые т соотношений (4.11.18) выражения (4.11.5),
получаем
Υ& = φα(γ}τ), ..., ΥΡ) = δψ/ΘΥΡ. (4.11.20)
Умножая оставшиеся соотношения (4.11.18) при а = т+ 1, ..., η скалярно
сами на себя, с учетом определения (4.11.4) квадратичных инвариантов
получаем, что соотношения (4.11.20) имеют место и для оставшихся индексов
а = т + 1, ..., п. Здесь учтено, что φα ^ 0.
Если подставить (4.11.18) в (4.11.1), то получим еще одно представление
квазилинейной функции
8 = Σ^,(Γ) у^Ку (4·π·21)
α=1 α

394
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Поскольку первым а = 1, ..., т обобщенным девиаторам соответствуют
линейные инварианты (4.10.11), то это соотношение можно переписать с учетом
(4.10.12):
S~L· ^ а(«) + L· ^Ψ) Р(а)· (4.11.22)
a=l a=m+\ a
На практике используют одно из трех представлений квазилинейной функции
(4.11.6):
1) (4.11.22), которое называют полным спектральным представлением;
2) (4.11.18), (4.11.19), называемые укороченным спектральным
представлением (т. е. не выписано явное выражение S ~ Т);
3) (4.11.20), являющееся соотношением между инвариантами, когда не
выписывают явным образом даже соотношения между обобщенными
девиаторами.
Очевидно, что все эти представления эквивалентны.
4.11.4. Спектральное представление линейной тензорной функции
Если тензорная функция (4.11.6) линейная, то, как было показано в
п. 4.9.4, потенциал φ представляет собой сумму квадратичных инвариантов
тензора Τ и квадратов линейных инвариантов. С использованием
спектральных инвариантов потенциал ψ для линейной функции имеет вид
т η
Ψ = Ψο+|Σ ΟαβΥρΥρ + Σ CaaYP\ (4.11.23)
α,β=\ a=m+\
где Οαβ — константы.
Подставляя это выражение в (4.11.20), получаем, что линейные
инварианты связаны только с линейными, квадратичные — с квадратичными:
т
.(Г)
Υ^) = Σ°<*0Υβ > α=1 m,
а=\
У^] = СааУР, a = m+l, ..., η. (4.11.24)
Подставляя теперь (4.11.24) в (4.11.18), имеем
ρ[^ = ΟααΈ>ζ], а = т+\, ..., п. (4.11.25)
Если же подставить (4.11.24) в (4.11.22), то получим полное спектральное
представление линейной тензорной функции
т γ(Τ) η
S= ЕС"/^а(а)+ Σ C-PS· (4.11.26)
α,/3=1 a=m+l

§4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 395
Наконец, если в (4.11.26) подставить определение (4.10.11) линейных
инвариантов и (4.10.5) девиаторов, то линейную функцию приведем к явному
виду
т
сг
где
= Σ Til·aW ® Ά(β) + Σ Саа4ГМ · · Τ Ξ 4С · · Τ, (4.11.27)
η
4C= Σ ^faW®a(/3)+ Σ ^αα4Γ(Ω) (4.11.28)
а,/э=1 а=т+1
является тензором четвертого ранга, задающим линейную функцию. В силу
единственности линейной функции, это тот же самый тензор, который был
введен в п. 4.6.9.
Формула (4.11.28) устанавливает связь между 4С и двухиндексными
константами Οαβ.
Получим обратные к (4.11.28) соотношения. Образуем для этого свертку
тензора 4С с тензорами (1/(а7а«$))а(7) 0 а^, а затем с 4Ι\α). Тогда, учитывая
результаты упр. 1 к § 4.10,
Саа4Г(а) а(7) 0 а(<5) =0, а = т + 1, ..., п, j,5 = 1, ..., га,
0, если (α, β) Φ (j,S),
Са/За(7) 0 а(<5) а(а) 0 а(/3) = ^ а, /?, 7, δ = 1, ..., га,
Сара2аа20, если (α,β) = (<у,6),
4Г .... 4Г = ί0' если <*ФР>
\Т2, если а = β; α,β = га + 1, ..., п,
(4.11.29)
и из (4.11.28) находим
Са/3 = (1/(ааа/3))а(а) ·-4С · · а(/3) при α,/З = 1, ..., т, (4 11 30)
Саа = (1/Т*)4С 4Г(а) при а = га + 1, ..., п.
Далее рассмотрим спектральное представление тензорных функций,
индифферентных относительно различных классов симметрии.
4.11.5. Спектральное представление изотропных тензорных функций
Пусть квазилинейная тензорная функция (4.11.6) является изотропной,
т. е. индифферентной относительно класса изотропии. Тогда спектральные
представления (4.11.1) тензоров Τ и S имеют вид (4.10.24):
S = p(S) + I/^SJE, Τ = Р<т) + i/i(T)E, (4.11.31)
о о

396
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
где р(5) иР^ — девиаторы.
Спектральные инварианты тензоров вычисляют следующим образом (см.
(4.10.19), (4.10.29)):
Υ[τ) = (1/4/3)/ι(Τ), η(5) = (l/V3)/i(S), (4.11.32)
Yp = Ти = (р(т) · · р^))1/2, г2(5) = su = (р^ · · р^))1/2.
Соотношения (4.11.20) между инвариантами представляют собой две
функции от двух аргументов:
Υχ -Ψι^η^ι h (4.11.33)
Укороченное спектральное представление (4.11.18) изотропной
квазилинейной функции имеет вид
р(*> = (*,2(Ги)У<Т>)/Ти)Р<г>,
γ^ = Ψλ{τη,γΡ). {4·Π·34)
Полное же спектральное представление имеет следующий вид:
S = 1-{φί(Τη,ΥΡ)-φ2(Τη,Υ^)^)Έ+ ^(Г^У»(Г))Т. (4.11.35)
Частным случаем соотношений (4.11.33) являются уравнения, в которых
линейные инварианты связаны линейно, а квадратичные — нелинейно:
Υχ ~όΚΥι ' (4.11.36)
Su = 2G(\-uj(Tu))Tu.
Здесь ϋΓ и G — константы; о;(Ти) — нелинейная функция А.А. Ильюшина,
удовлетворяющая условию ω(0) = 0.
Тогда укороченное спектральное представление (4.11.36) принимает вид
р(3) = 2С(1-и;(Ги))р(т). V J
Если функцию ω(Τη) выбрать в виде
{О Τ < Τ*
"^ ' (4.11.38)
(1-*)(1-(Γ·/Γ„)), TU^T* (0<fc<l),
то функция Su = SU(TU) является кусочно-линейной:
S = 12GTu' Ти ^Т*' (4 11 39)
" l2G(l-(l-fc)(l-(r*/ru)))ru, TU>T*.

§ 4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 397
4Л 1.6. Трансверсально-изотропные функции
Пусть функция F(T) — трансверсально-изотропная, т. е. Gs = Т3. В этом
случае четыре инварианта тензоров S и Τ имеют вид (см. п. 4.10.4)
У/Т) = Τ · · ё§, У2(Т) = (1/л/2) Τ · · (Е - ё§) = Т/у/2,
γ(τ)2 = Т2 .. Е _ (Т .. Е)2 + 1 (Υ(Τ) + т .. Е)2 _ 2χ2 .. ё§, (4.11.40)
Κ4(Τ)=2(Τ2··β2-η(Τ)2);
и _
у/5) = S · · ё§, Y2{S) = (1/л/2) S · · (Ε - ё§) = 5/>/2,
y3(5)2 = S2·· E-(S·· Ε)2 + ί(η(5) + 8·- E)2-2S2·· ё§, (4.11.41)
Соотношения (4.11.20) между четырьмя инвариантами Y& и Ya
представляют собой четыре функции от четырех аргументов:
^5)=V?№(T)> ...,П(Т)). α=1· •■•»4· (4.11.42)
Полное спектральное представление (4.11.22) с учетом (4.10.32) имеет
вид
s = vi(xp,..., υΓ})4 + ^ixP η(Γ))(Ε-Φ+
,^.^,^.^, (4.1L43)
В случае линейной трансверсально-изотропной функции, все φα линейно
выражаются через инварианты Υ„ .
φχ =CnYl{T)+Cl2Y^T), Ψ2 = 0Χ2ΥΙΤ)+022ΥΡ, (4.11.44)
φ3 = 033Υ^τ\ φ4 = 044Υ}Τ),
где Са/з — константы.
В декартовой системе координат линейное соотношение (4.11.43) имеет
вид
Sij = (С11Г33 + Cl2f)Sl3Sj3 + ^t33 + ^fλ (SnSji + Mi2)+
- f -
+ CAA{fi35j3 + fj3Si3 - 2Г3з^з^з). (4.11.45)

398
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Сравнивая это представление с выражением (4.6.21) §ij = Сф{Тк1 для
различных случаев: Х33 ^ 0> остальные Тц = 0; Т\\ ^ 0, остальные Тц = 0;
Т\з т^ 0, остальные Тц = 0, находим связь четырехиндексных компонент Сф1
с двухиндексными Сар:
П П П П С\2 п С22 + Сзз
^3333 = ^11» ^2233 = W133 = ~Έγ > <-Ί111 = ■= ,
2Ci3i3 = 2C2323 — C44, 2C1212 = C33· (4.11.46)
Рассмотрим пример нелинейной трансверсально-изотропной функции.
В простейшей модели функция φα имеет вид
φχ = С„(1 -ω,(^(τ)))Γ,(τ) + С|2У2(Т),
V2 = Ci2YlT) + C22(l - ω2(ΥΡ))Υρ, (4.11.47)
% = Сзз(1 - ^з(^з(Т)))^3(Т), Ψ4 = C44(l - u,4(Y}T)))Y}T),
т.е. имеется только четыре нелинейные функции ωα{Υα ), зависящие от
одного своего аргумента.
Аналитическое задание этих функций можно осуществить также с
помощью кусочно-линейных функций:
(0 Υ^ < Τ*
где Т£ — пределы пропорциональности; ка — константы.
4Л1.7. Орпгопгропные функции
Рассмотрим ортотропные функции (4.11.6). В этом случае тензоры S и Τ
имеют по шесть инвариантов (см. п. 4.10.5):
YP=T..e2a, a =1,2,3; (4.11.49)
У}Т)2 = ^ (Т · · (ё2 0 ё3 + ё3 0 ё2))2 = 2Т23,
П(Т)2 = ^ (Т · · (ё! 0 ё3 + ё3 0 ёО)2 = 2Т23,
У6Т)2 = ^ (Т · · (ei 0 ё2 + ё2 0 ei))2 = 2Г22,
Fi5) = S-.e2, α =1,2,3; (4.11.50)
У4{8)2 = \ (S · · (ё2 0 ё3 + ё3 0 ё2))2 = 252з,
Y5S)2 = ^ (S · · (ei 0 ё3 + ё3 0 ё!))2 = 2523,

§ 4.11. Спектральные представления квазилинейных тензорных функций 399
^б5)2 = \ (s '' (ei ® ё2 + ё2 ® ёО)2 = 2522,
соотношения между которыми имеют общий вид (4.11.20), т. е. представляют
собой шесть функций от шести аргументов.
Полное спектральное представление (4.11.22) имеет вид
S = £ъ<уГ>, .... ΥΡ)4 + ± ^(y.(r),-T)-n(T))pg). (4.11.51)
α=1 α=3 α
В декартовой системе координат это соотношение имеет вид
з
α=1
+ ^(^ ... , У6(Г))Г 13№l^-3 + Mil) + <Ρ4(ΧΗ ■ ■ ■ , П(Т))^23№2^3 + ^йЗД,
(4.11.52)
где
У6(т) = л/2|Г12|, У5(Т) = ν^2|Γ13|, ΥΡ = л/2|Г23|. (4.11.53)
В случае линейной функции, </?а линейно выражаются через инварианты
уСО _ у (Г).
cpi = од00 + c12r2(T) + c13r3(T),
V?2 = C12yP + C22F2(T) + C23F3(T), (4.11.54)
Ψ3 = 013Υ{{Τ) + C23F2(T) + C33F3(T),
V?4 = С44Г4(Т), (^5 = С55Г5(Т), φ6 = C66F6(T).
В декартовой системе координат линейные соотношения (4.11.52) и
(4.11.54) имеют вид
з
Sij = 2_^ ΟαβΤββδιαδ^α + С44^23(^2^3 + fe^j2) +
+ ^55^13 № 1 ^3 + fe^j 1) + ^66^12 № 1 $j2 + Ui2$j 1) · (4.11.55)
Сравнивая это представление с выражением (4.6.21) Sij = Cijk{Tkl для
различных частных случаев: Τββ Φ 0, остальные Тц — 0; Ταβ ф 0, остальные
Tij = 0, находим связь компонент Сцы и Οαβ\
Οααββ = &αβ, α,β= 1,2,3; С44 = 2С2323,
С55 = 2С1313, С66 = 2С1212. (4.11.56)

400
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Простейшая нелинейная модель ортотропной функции предполагает, что
φχ = СпУГ + С12УР + С13УР,
Ψ2 = CX2YlT) + С22У2(Т) + С23У3(Т), (4.11.57)
Ψ3 = Cl3YlT) + С23У2(Т) + С33(1 - ω(ΥΡ))Υρ,
Ψα = Саа(\ - ωα(ΥΡ))ΥΡ, α = 4,5,6,
т. е. имеем четыре функции одного аргумента ωα{Υα ), вид которых может
быть выбран так же, как в (4.11.48).
§ 4.12. Непотенциальные тензорные функции
4.12.1. Представление непотенциальных функций в тензорном базисе
Наиболее часто в МСС применяют рассмотренные выше потенциальные
тензорные функции, однако в ряде случаев встречаются также функции, не
обладающие потенциалом ψ. Рассмотрим эти функции.
Теорема 4.12.1. Пусть имеется тензорная функция (4.6.1) второго ранга,
являющаяся индифферентной относительно некоторой группы Gs {т. е.
для нее выполняются условия (4.6.8) и (4.6.9)), но, вообще говоря, не
обладающая свойством потенциальности (4.8.1):
S = ;F(T) (4.12.1)
или
Sij =Fj{Tkl), (4.12.2)
где S«T- симметричные тензоры второго ранга, тогда эту тензорную
функцию всегда можно представить в виде суммы
η
S = J>aHis), (4.12.3)
где фа — скалярные индифферентные относительно Gs функции
инвариантов тензора Т:
φα = Φα(ΐ[8)(Τ), ..., 4S)(T)), a= 1, ..., η, (4.12.4)
а тензоры Щ являются либо тензорами-константами
U^ = U^, а=\,...,т, (4.12.5)
либо линейными тензорными функциями от Τ
Η^=4Η^··Τ, α = πι+\, ..., q, (4.12.6)

§ 4.12. Непотенциальные тензорные функции
401
либо квадратичными тензорными функциями
Η^=6Η^····Τ®Τ, a = q+l, ...,n. (4.12.7)
Число п, очевидно, не может быть больше 6.
Тензоры
Н2», 4Hi'> и 6Hi2> (4.12.8)
являются индифферентными тензорами относительно группы Gs и состоят из
образующих тензоров группы Gs.
Подставив (4.12.4)—(4.12.7) в (4.12.3), получим представление
непотенциальной функции в тензорном базисе:
т q
S = J>a(4s) /W)H(?)+ Σ ψα(71^...,7Μ)4Η(0··Τ+
α=\ a=m+\
η
+ Σ Ψα(/ί8), ...,45))6Η<,2)····Τ0Τ. (4.12.9)
a=q+l
Докажем теорему 4.12.1 только для изотропного случая, для других групп
доказательство приведено в [7].
4.12.2. Теорема об инвариантах тензоров,
связанных тензорной функцией
Перед тем как перейти к рассмотрению изотропных тензорных функций,
установим связь между инвариантами /7(Т) тензора Τ и инвариантами /7(S)
тензора S относительно одной и той же группы Gs, если эти тензоры связаны,
вообще говоря, непотенциальной тензорной функцией (4.12.1),
индифферентной относительно Gs.
Каждый из инвариантов /7(Т) (7 = 1, ..., г) является, как было отмечено
в п. 4.7.1, скалярной тензорной функцией, индифферентной относительно
группы Gs, т. е. удовлетворяет условию (4.7.8):
/7(Т) = /7(QT Τ Q), VQ G {Gs}, (4.12.10)
где Q — тензор линейных преобразований из группы Gs.
Построим некоторый инвариант Ι'Ί(β) тензора S относительно той же
группы Gs. Знак «'» означает, что структура зависимости Г от S может
отличаться от любой из функций /7(Т), но из инвариантности V вытекает,
что
J7(S) = J7(QT · S · Q), VQ e {Gs}. (4.12.11)

402
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Поскольку S является функцией от Т, то J^(S) можно рассматривать как
некоторую скалярную функцию от Т:
ζ(8)=^(Τ)) = ζ(Τ). (4.12.12)
Покажем, что эта функция 7^(Т) также является индифферентной
относительно Gs. Используем свойство индифферентности функции (4.12.1),
которое можно записать в виде
QT · ;F(T) · Q = ;F(QT Τ Q). (4.12.13)
Тогда инвариант V при линейных преобразованиях в группе Gs преобразуется
следующим образом:
/;(т) = /;(^(т)) = /;(qt . ^m. q) = /;(^(qt · τ. q)) = /;(qt τ q),
(4.12.14)
т.е. удовлетворяет свойству (4.12.10). Но всякая скалярная функция от Т,
индифферентная относительно Gs, является по определению инвариантом
относительно этой группы.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4.12.2. Если два тензора S и Τ связаны индифферентной
относительно Gs тензорной функцией (4.12.1), то любой инвариант от одного
тензора Ι'Ί{β) является одновременно инвариантом другого тензора Τ
относительно той же группы симметрии Gs.
4.12.3. Теорема о соосности тензоров,
связанных изотропной тензорной функцией
Теорема 4.12.3. Пусть два симметричных тензора S и Τ связаны
тензорной функцией (4.12.1), являющейся индифферентной относительно
изотропного класса I (такие функции будем называть изотропными),
тогда эти тензоры S и Τ являются соосными (см. п. 1.6.4), т. е. имеют
один и тот же собственный базис.
Τ Как было показано в п. 4.3.4, всякий симметричный тензор Τ
обладает группой симметрии G9, принадлежащей к классу О-ортотропии, причем
главный базис анизотропии е^ совпадает с собственным базисом еа. Иначе
говоря, Τ индифферентен относительно О'-класса, и для него выполняются
соотношения (4.3.17)
T = Q,T-T-Q/, VQ'GiG'g}, (4.12.15)
где СУ — ортогональный тензор линейных преобразований из группы орто-
тропии Gg с главным базисом анизотропии еа.

§ 4.12. Непотенциальные тензорные функции
403
Составим тензор Q/T · S · Q' и преобразуем его следующим образом:
Q/T S Q' = Q/T · :F(T) · Q' = :F(Q,T Τ Q') = ^(T) = S. (4.12.16)
Здесь учтено, что ^"(Т) — изотропная функция, следовательно, для нее
второе равенство в строке имеет место для произвольного ортогонального
тензора, в том числе и для Q'.
Из соотношения (4.12.16) следует, что тензор S индифферентен
относительно той же группы ортотропии Gf9. Но ортотропный тензор второго ранга,
как было установлено в п. 4.6.7, имеет диагональный вид в главном базисе
о
анизотропии, а значит базисы е = ei совпадают с собственным базисом
тензора S в силу единственности последнего.
Таким образом, действительно собственные базисы тензоров S и Τ
совпадают. А
4.12.4. Представление изотропной функции в тензорном базисе
Рассмотрим вновь тензорную функцию (4.12.1), предполагая ее
индифферентной относительно класса изотропии. Поскольку тензоры S и Т,
связываемые этой функцией, соосны, то их можно записать в едином собственном
базисе:
з з
S = J^Saea®ea, T = ^Taea®ea. (4.12.17)
Выберем в качестве базисных тензоров На следующие:
зз з
Hi = Ε = Σ 6α ® еа, Н2 = Τ = Σ Γ"«*α ® еа, Н3 = Т2 = ^ Т*еа <g> ёа.
а=1 а=1 а=1
(4.12.18)
Поскольку при изучении инвариантных характеристик мы рассматриваем
тензоры с максимально возможными ненулевыми и различными компонентами
(см. п. 4.4.3), то эти тензоры На всегда будут линейно независимыми. Тогда
можно рассматривать (4.12.18) как систему линейных уравнений
относительно трех тензоров еа 0еа. Решая систему (4.12.18), найдем эти тензоры:
з
еа®еа = ^<фа0Щ, (4.12.19)
/3=1
причем коэффициенты ψαβ зависят только от Та, которые являются
инвариантами тензора Т:
Ψαβ = Ψαβ(Ιι(Τ), /2(Т), /3(Т)). (4.12.20)

404
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Подставляя тензоры (4.12.19) в (4.12.17), получаем представление тензора S
по базисным тензорам Н^. Оно состоит из трех слагаемых:
S = ψιΕ + φ2Ύ + фъТ2, (4.12.21)
где
з
</>/? = Σ>α/Α*· (4.12.22)
α=1
Поскольку ψαβ являются функциями от инвариантов тензора Т, а
собственные значения Sa тензора S, согласно теореме 4.12.2, всегда можно считать
функциями от /7(Т), то функции φ β — тоже есть функции от инвариантов
тензора Т:
φβ = φβ(Ιι(Ύ),Ι2(Ύ),Ι3(Ύ)). (4.12.23)
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 4.12.4. Всякая изотропная тензорная функция (4.12.2),
связывающая симметричные тензоры второго ранга, может быть представлена
в виде (4.12.21), который является частным случаем представления в
тензорном базисе (4.12.9).
Представление (4.12.21) отличается от представлений в других классах:
оно содержит только три базисных тензора. Функции φ β (4.12.23), вообще
говоря, не являются потенциальными.
4.12.5. Полиномиальные изотропные тензорные функции
Рассмотрим непотенциальную изотропную тензорную функцию от
несимметричного тензора Τ — полиномиальную функцию, образованную
тензорными степенями:
оо
S = :Г(Т) = с0Е + ciT + с2Т2 + с3Т3 + ... = Σ cnTn, (4.12.24)
п=0
где под Т° понимают метрический тензор Е, а сп — константы.
Теорема 4.12.5. Функция (4.12.24) является изотропной.
Τ Действительно, так как при замене Τ на QT · Τ · Q, где Q —
произвольный ортогональный тензор, тензорные степени преобразуются как
(QT Τ Q)n = (От Τ О) QT T Q ... QT T Q =
4 ^ '
η
= QT Τ Τ ... Τ Q = QT Tn Q,
η

§ 4.12. Непотенциальные тензорные функции
405
а, следовательно, полиномиальная функция (4.12.24) удовлетворяет условию
(4.12.13):
оо / оо \
^(QT-T.Q) = ^cn(QT.T.Q)- = QT. l£cnTn).Q = QT..F(T).Q. A
п=0 \η=0 /
(4.12.25)
Записывая тензор Τ в собственном базисе (1.5.10):
з
Т=^Ааеа®еа, (4.12.26)
любую целую степень Тп можно представить в виде диагонального тензора в
том же базисе (1.5.15):
з
Тп = ^А£еа®еа. (4.12.27)
а=1
Тогда полиномиальную функцию (4.12.24) можно выразить следующим обра-
30М: 3 /ос N 3
S = Σ ί Σ сп\2 \βα(8βα = Σ /(^βα ® ββ, (4.12.28)
α=1 \η=1 / α=1
/(λ) = Σα"χη· (4.12.29)
π=1
Таким образом, всякой полиномиальной изотропной тензорной функции ^"(Т)
(4.12.24) может быть сопоставлена обычная функция /(А), которая имеет
аналогичную структуру, если аргумент Τ заменить на А.
Очевидно, что верно и обратное утверждение: по всякой
полиномиальной обычной функции можно образовать изотропную тензорную функцию
(4.12.28).
Используя это свойство изотропных функций, можно построить тензорные
функции — аналоги элементарных функций. Для этого надо представить эти
функции разложением в степенные ряды (4.12.29) в окрестности точки А =
= 0, сходящиеся в некотором интервале |А| ^ Aq, а затем, заменив А на Т,
построить тензорную функцию — аналог (4.12.28).
Например, функция «синус от тензора» будет иметь вид
1 1 °° (-\\п
s = sinT = т - It3 + 1т5 +... = £ ^тад, (4.12.30)
n=0
«косинус от тензора»
оо
(-!)nrr.2n
S = cosT = ^i^rT2", (4.12.31)
n=0

406
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
«логарифм от тензора» —
00 (-\\п~х
S = In (Ε + Τ) = Σ — τη> (4.12.32)
η=0
«экспонента от тензора» —
οο
S = exp T = ^ -]τη· (4.12.33)
η=0
Для экспоненты от тензора, очевидно, выполняются свойства обычной
экспоненты, например
оо
ехр(Т1+Т2) = ^1(Т1+Т2Г =
п=0
оо
= Σ МТ" + пТГ1 · Т2 + ... + пТ?! · Т^"1 + Т£) =
п=0
= (ΣiT") · (Σ^2J = βχρτι·ехрτ2· (4·12·34)
\π=0 / \η=0 /
Транспонируя (4.12.28), устанавливаем важное свойство полиномиальной
функции
ST = (^(Т))т = :Г(ТТ). (4.12.35)
Пусть тензор Τ = Ω — кососимметричен, тогда по (4.12.35)
(ехр Ω)τ = ехр Ωτ = ехр (-Ω). (4.12.36)
Умножая тензор ехр Ω на транспонированный к нему, по (4.12.36) и (4.12.34)
получаем
ехр Ω · (ехр Ω)τ = ехр Ω · ехр Ωτ = ехр (Ω - Ω) = Е, (4.12.37)
таким образом, экспонента от кососимметричного тензора образует
ортогональный тензор.
Вернемся снова к полиномиальному представлению (4.12.24) и
воспользуемся теоремой Гамильтона — Кэли (см. п. 4.5.3), которая справедлива в том
числе и для несимметричных тензоров Τ (см. упр. 5 к § 4.5). Согласно этой
теореме, любую тензорную степень Тп выше второй η > 2, можно выразить
через Τ2, Τ и Т° = Е. Тогда из представления (4.12.24) вытекает следующая
теорема.
Теорема 4.12.6. Всякую изотропную тензорную полиномиальную
функцию (4.12.24) всегда можно представить в виде
S = :Г(Т) = φ0Έ + φ{Ύ + φ2Ύ2, (4.12.38)

§ 4.12. Непотенциальные тензорные функции
407
где φα — скалярные функции от инвариантов тензора Т:
φα = φα(Ιι(Ύ), /2(Τ), /3(Т)). (4.12.39)
Сравнивая (4.12.38) с формулой (4.12.21), которая была выведена для
симметричных тензоров, получаем, что разложение изотропной тензорной
функции по базису Τ2, Τ и Ε возможно и для несимметричных тензоров, но
только для полиномиальных функций (4.12.24). Заметим, что для
симметричных тензоров условие полиномиальности не использовалось.
Условие полиномиальности является существенным, так например,
линейная изотропная тензорная функция
S = 4C·· Τ,
связывающая несимметричные тензоры S и Τ (где 4С — тензор четвертого
ранга, индифферентный относительно полной ортогональной группы и не
обладающий симметрией вида (1.6.83)), не является полиномиальной и не
может быть представлена в виде (4.12.38).
Пусть теперь известен вид (4.12.24) полиномиальной функции F(T) с
коэффициентами а. Найдем функции φα (4.12.39) в соответствующем
представлении (4.12.38). Для этого подставим разложение (4.12.36) тензора Τ по
собственному базису в (4.12.38):
з
S = JF(T) = Σ (φ0 + φίλα + Ψ2>1) °*α ® ee. (4.12.40)
α=1
Сравнивая (4.12.40) с представлением (4.12.28) функции (4.12.24), находим,
что должны выполняться равенства коэффициентов при собственном
тензорном базисе:
<Λ) + ν?ιλα + ν?2λ*= ДАа), а= 1,2,3, (4.12.41)
где функцию /(Аа) определяем по (4.12.29).
На соотношения (4.12.41) можно смотреть как на систему трех линейных
уравнений относительно φα. Определитель этой системы имеет вид
Δ =
1 Αι Α2
1 А2 А2
1 А3 А2
= (λι-λ2)(λ2-λ3)(λ3-λ1), (4.12.42)
его называют определителем Вандермонда.
Как и при рассмотрении тензорных базисов в п. 4.12.3, мы предполагаем,
что тензор Τ содержит максимально возможное число ненулевых и различных
компонент. Тогда все Аа отличны от нуля и различны. Следовательно, Δ ф 0
и существует решение системы (4.12.41) относительно φα:
Ψο
= {(/(Αι)Α2Α3(Α3 - λ2) + /(λ2)λιλ3(λι - Α3) + /(Α3)Α!Α2(Α2 - Αι)),

408
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
VI = {(/(λι)(Α| - λ§) + /(Α2)(λ| - А?) + /(А3)(А? - λ!)), (4.12.43)
Ψ2 = ^(/(λ,)(λ3 - Α2) + /(λ2)(λ, - Аз) + /(λ3)(λ2 - λ,)).
Поскольку Αα являются инвариантами тензора Τ и выражаются через Ι\ (Т),
/2(Т) и /з(Т) (см. (1.6.71)), то и φα являются функциями /а(Т).
§ 4.13. Дифференцирование тензорных функций
4.13.1. Тензор производной тензорной функции
Часто в МСС возникает необходимость дифференцирования тензорной
функции по тензорному аргументу:
nS = nF(mT). (4.13.1)
Определение 4.13.1. Тензором производной тензорной функции
(4.6.1) по тензорному аргументу называют тензор (п + т)-го ранга
^ Ξ ("+-)ST = ^-— ei,e...8ei,8e"8...eeh. (4.13.2)
Замечание 4.13.1. Если аргумент тензорной функции (4.6.1) — тензор
второго ранга Τ — является симметричным, то вначале надо вычислить
производные дТч"Лп/дТ^2 без учета симметрии Т^'1·7'2, а затем у результата
дифференцирования поменять индексы j\ *=; J2 и сложить обе полученные
производные с коэффициентом (1/2), т. е.
(п+2)^=2{Ъ^+Ъ^)щ'®---®щ«®е3,®е32- (4ЛЗ-3)
Составим дифференциал тензора dnS, используя определение (4.7.11),
dnS = dSi{-inei{ <g>... <g>e<n. (4.13.4)
Поскольку в компонентной записи функция (4.13.1) в базисе щ имеет вид
S4...in = jr<i...i„^rfci-..fcm^ (4.13.5)
то всегда можно вычислить дифференциал этой функции, рассматривая ее
как обычную функцию многих переменных:
dS4'"ln = —.—-dT^-3™. (4.13.6)

§ 4.13. Дифференцирование тензорных функций
409
Подставляя в (4.13.4) выражение (4.13.6), преобразуем получившееся
выражение следующим образом:
QjiJ\·..От ll %п
дГ
1...гт
-е;,
Qj"j\---jm
.._ Л
*1
-е;, (X)... (X) е7· (X) eJ
^■■■*£^1""-*т =
8) ... 0 ejm · ... · ekm 0 ..
.®ek{dTk'~'km.
(4.13.7)
Используя определение (4.13.2) тензора производной, этому выражению
можно придать вид
dns = (n+m)gT^_^ ^тТ)(т...1)? (4.13.8)
т
где ^Т)^···1) — транспонированный тензор от дифференциала Τ (см.
(2.3.8) и (4.7.11)).
Формула (4.13.8) дает инвариантное определение производной тензора
функции по тензорному аргументу. Фактически эту производную вычисляют
по формуле (4.13.2).
Пример 4.13.1. Вычислим тензор производной от векторной функции
векторного аргумента
а = a(b) = a(bk) = а\Ък)щ. (4.13.9)
Согласно (4.13.1), получаем тензор второго ранга
да даг(Ьк) ,· ,. ,„ ,ΛΝ
аь = аь = ^®е'· (4·13·10)
Если, например, а(Ь) — линейная функция от Ь:
а = ао + П-Ь = ао + fiyW, (4.13.11)
где ао и Ω не зависят от Ь, то из (4.13.11) получаем
ab = fiyei<g>eJ'. (4.13.12)
Если же а зависит только от длины вектора |Ь| = ЬгЬ{\
а = а(|Ъ|) = а'(|Ъ|)е<, (4.13.13)
то из (4.13.10) получаем
аь = ^е, D (4Л3.14)
Пример 4.13.2. Вычислим тензор производной от следующей тензорной
функции тензорного аргумента:
S = ;F(T) = rj(Tkl)ei 0 Βά. (4.13.15)

410
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Согласно (4.13.2), получаем
St= %TL„ 4®eJ®e"'®en. (4.13.16)
Отсюда формула (4.13.8) принимает вид
dS = 4ST·· dT\ (4.13.17)
Если Τ — симметричный, то формула (4.13.3) примет вид
2 [ дТтп + дТг
St = н ^й» + ^ш U 0е,· 0 е™ 0 е". (4.13.18)
В частности, если S — линейная функция от тензора Т:
S = 4М · · Τ = MijklTlkei 0 ej7 (4.13.19)
где 4М не зависит от Т, тогда из (4.13.16) получаем
ST = Mijkl6lm6*ei 0 ej 0 em 0 en = 4M<1243). (4.13.20)
Если же тензор Τ — симметричен, тогда следует воспользоваться формулой
(4.13.18), в результате находим
ST = i (Mijkl + Mij7fc) e* 0 еа 0 efc 0 e, = 4M + 4М<1243>. D (4.13.20a)
4.13.2. Производная произведения скалярной и тензорной функций
Пусть ψ(Τ) — скалярная функция, a S(T) — тензорная функция от
одного и того же тензора. Вычислив тензор производной от их произведения
и применив определение (4.13.2) для функции (фБ), получим
(</;S)t = ^Щ^-е1 0 е> 0 ек 0 е
дТ
dip ^ , дТ{
дТк1^+^дТ
(^^■+^^)ei0e^'0efc0e/ = S0^T + ^ST. (4.13.21)
Здесь мы использовали определение (4.7.10) тензора производной от скаляра
ψτ, а также применили обычное правило дифференцирования произведения
функций.
Подставляя (4.13.21) в (4.13.17), найдем выражение для
дифференцирования произведения скалярной и тензорной функций
d(ipS) = (S 0 <ψτ + V>ST) · · dT\ (4.13.22)

§ 4.13. Дифференцирование тензорных функций
411
4.13.3. Производная произведения тензоров
Подставим в определение (4.13.16) вместо S произведение S · В, где
S = ;F(T) и B = G(T) (4.13.23)
— тензорные функции от одного и того же тензора Т, тогда получим
(S · В)т = ^№mGW)e* 0 еР 0 ек 0 е' =
= {^9nmGmj + Г*п9ппЩ&) ег ® е* ® е* ® е' =
= (g|^0(e^e-)^0e^mj +
+ jr.ne* 0 en - em 0 e>' §^<%g) 0 efc 0 e' =
= (fp£e* 0 en 0 ep 0 e9 · · ег 0 efc · em 0 e?Gmj +
+ J^ 0 en · ^^em 0 e> 0 e? 0 e* · · e/ 0 efc) 0 efc 0 el. (4.13.24)
Здесь несколько раз использовано свойство Οζο*} = е^ 0 eg · · е/ 0 е&.
Последнее выражение можно переписать в следующем виде:
(S · В)т = ((ST · · е/ 0 efc) · В + S · (Вт · · е/ 0 efc)) 0 ек 0 е1. (4.13.25)
Таким образом, формальное правило дифференцирования произведения
функции для тензорных функций уже видоизменяется.
Используя свойство
ек 0 е1 · · άΤτ = ек 0 е1 · · е, 0 е, dTij = dTkl (4.13.26)
и выражение (4.13.25), получаем для дифференциала от произведения
тензорных функций следующее выражение:
d(S · В) = (ST · · dTT) В + S BT dTT. (4.13.27)
Пример 4.13.3. Вычислим производную от квадрата тензора по самому
тензору, т. е. <9Т2/<9Т. Полагая в формуле (4.13.25) S = Τ и В = Т, находим
^ = (Т · Т)т = ((Δ · · et 0 efc) · Τ + Τ · (Δ · · e, 0 efc)) 0 ek 0 el. (4.13.28)
Здесь мы учли, что дТ/дТ = Δ (см. упр. 1 к §4.13). Используя свойство
тензора Δ (см. упр. 17 к § 1.6), получаем
— = -(е/ 0 ек + ек 0 е/) · Τ 0 ек 0 ez + -Τ · (et 0 ек + ек 0 е/)) 0 ек 0 е1 =
= x(e/0efc + efc0e/) · Τ 0 efc 0 е'+ Τ · Δ. D (4.13.29)

412
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4 Л ЗА. Тензоры второй производной
С помощью определения (4.13.2) можно найти тензор второй производной
от тензорной функции (4.13.15) тензорного аргумента. Для этого формулу
(4.13.16) надо применить дважды, в результате получим
д2 S 0 д (dSν д ( dFj ^ ^ т^ п\
дТдТ хх ЭТ\ЭТ; дТ\дТ7
= uGi 0 е,- 0 em 0 en 0 efc 0 e*. (4.13.30)
flrpmnflrpkl ' J www v ,
В данном случае Stt является тензором шестого ранга.
Важный для МСС частный случай представляет вторая производная от
скалярной функции тензорного аргумента, для которой
^XJ = φττ = —^ rj-e1 ®eJ 0 efc 0 el (4.13.31)
3Ύ8Ύ ^ dT3dTkl
— тензор четвертого ранга.
Если Τ — симметричный тензор второго ранга, то формула (4.13.31)
принимает вид
Ψύύ = ^(φφΐ + 4>jiki + 4>%jik + <PjiikGl Θ ej 0 ek 0 e*, (4.13.32)
ГД6 я2
Пример 4.13.4. Если тензор первой производной φγ имеет вид
φΎ(Ύ) = (А 0 В) · · Τ = А(В · · Т), (4.13.33)
то тензор второй производной вычисляют следующим образом:
Vtt = ^(А(В · · Т)) = А® А(в · · Т) = 1а® (В + Вт). D (4.13.34)
4.13.5. Тензоры второй производной от инвариантов
В МСС также иногда применяют тензоры второй производной от
инвариантов симметричного тензора второго ранга Т, т. е.
d2i^(T) д /а#>(т)
дТдТ дТ \ дТ
(4.13.35)
представляющие собой тензоры четвертого ранга. Очевидно, что эти тензоры
отличны от нулевого тензора четвертого ранга, только если ii (T) —
квадратичные или кубические инварианты.

§ 4.13. Дифференцирование тензорных функций
413
Вычислим тензоры второй производной от квадратичных инвариантов /2,
гА , Ц и ц ', используя формулу (4.13.34) и формулы (4.7.33), (4.7.52),
(4.7.53) для первой производной. Таким образом,
^ = ^(0,β01..Τ) = 1θ1®01, (4.13.36)
д2 /(3) 1 д 1
3 = o7vf((°1 ® °1 + °2 ® °2) ' * Τ) = -(Οι 0 Οι + 02 0 02),
дТдТ 2ЭТ44 ' ' Δ L; ' 2
β2 f(4) Я 1
Jf|f=2^((A-i(O10O1+O20O2)-ei0ei).T) =
(4.13.37)
= 2Δ- (Οι <g>Oi +02®02)-2ё§®ё§, (4.13.38)
^ /2 ^(ΕΙι(Τ)-Τ>Ε®Ε-Δ. (4.13.39)
этот ат
Тензор второй производной от третьего инварианта /з(Т) находим,
используя формулу (4.7.55):
d2h _οτ2 о dhm апдт
этэт " ет" " эт(/1(т)т) + Е0 "ет"· (4ЛЗ-40)
С учетом (4.13.21), (4.13.29) и (4.7.34) получаем
d2h
дТдТ
= Τ · Δ - Τ 0 Ε - Ιχ (Τ)Δ + /ι (Τ)Ε 0 Ε - Ε 0 Ττ+
+ g (e/ 0 efc + efc 0 e/) · Τ 0 ek 0 ez. (4.13.41)
4.13.6. Производная тензорной функции
от сложного тензорного аргумента
В МСС используют операцию вычисления производной тензорной
функции от сложного тензорного аргумента:
nS = n;F(fcB(mT)). (4.13.42)
Согласно общему определению (4.13.1), тензор производной от такой
функции по тТ вычисляем, переходя к компонентному представлению:
dnS аТ1-'" ,·, -■
= :—— е?-, 0 ... 0 е?- 0 еп 0 ... 0 eJm =
= dBi,..ik&TJ>...jme4®-®ei«®^®--®^ =
= ί£Ξζ%\' ·' **«*. ® · · · ® e*» ® (Sri6" ® · · · ® eim) · (4-13·43)

414
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Заменяя символы Кронекера скалярными произведениями векторов
основного и взаимного базисов, получаем /с-кратное произведение диад:
Sls\...Slskkeh ®...®elk · ... -eefc ® ... ® ев1. (4.13.44)
к
Подставляя (4.13.44) в (4.13.43), приходим к формуле
dnS дГ'"Лп ,,
- -е;, 0 ... <g>ei_ 0ем 0 ...
дтТ dBll-lk Ч
ι /дВ81'"8к ■ \
... 0eifc · ... · :—^es. 0 ... 0eSl 0е·?' 0 ... 0eJm . (4.13.45)
к
Откуда для функции (4.13.42) окончательно имеем
dnS _ дпТ fdhB\(b i.fe+i *+"0
^ mT " ^ кв C_^_^^fJ · (4.1,3.4b)
Пример 4.13.5. Вычислим производную скаляра от сложного линейного
тензорного аргумента следующего вида:
ψ = ψ{4Μ-- Τ). (4.13.47)
Используя формулу (4.13.46), получаем
!£=»ί..№){1Μ] Β = «Μ··Τ. (4.13.48)
дТ дВ \дТ/ v ;
Применяя формулу (4.13.27) для производной от линейной функции,
находим Вт = 4М(1243\ тогда (4.13.48) принимает вид
Ψτ = Ψβ··4Μ(2143). (4.13.49)
В частности, если
4
ТО
M = (QT0Q)<1432), (4.13.50)
В = (QT 0 Q)(1432) T = QT T Q, (4.13.51)
Ψτ = V>b(Qt ® Q)(4123) = ^И ® ^ * · (QklQsPeP ® ei ® efc ® e*) =
= j^QklQSJ*k ®es = Qkmek 0 em · ^-e* 0 е* · Qspep 0 es = Q · Ц · QT.
Таким образом, имеет место формула
^(QT-T-Q) = Q-g.QT, B = QT T Q. G (4.13.52)

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
415
Упражнения к § 4.13
Упражнение 1. Используя определение (4.13.2) тензора производной, доказать, что
для несимметричного тензора Ω и симметричного тензора Τ имеют место формулы
дП/дП = Δι, ЭТ/ЭТ = Δ.
Упражнение 2. Используя формулу (4.13.25), доказать, что для несимметричного
тензора Ω формула (4.13.29) имеет вид
дП2/дП = ек Θ et · Τ Θ ek Θ el + Τ · Δπ.
§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
4.14.1. Скалярные функции нескольких тензорных аргументов
В МСС, кроме рассмотренных выше скалярных функций одного
тензорного аргумента, иногда применяют скалярные функции, аргументами которых
являются одновременно несколько тензоров:
s = /(m'T(1), m»T(2), ..., m"T(n)), (4.14.1)
где maT(a) — тензор ранга та, или в компонентном представлении
о _ f (грЧ'-Лггц rrJl"-Jm2 rpki...kmn\ (Л 1 Л θ\
J \ 0) ' (2) ' ·"' (п) )· \4Λ4.Δ)
Определение 4.14.1. Отображение декартова произведения η
пространств тензоров T^mk\E%) (k = 1, ..., п) в пространстве М1 называют
скалярной функцией от η тензорных аргументов и
обозначают как /: Т^т{' χ ... χ Т^тп' —» R1, или в виде зависимости (4.14.1).
При замене базиса е* на е[ значение такой скалярной функции не
меняется:
J у-{\) »···^(η) ) -·4 fc, *··^ ^/(i)
...,ΡΛ ...Pj7n rf'r^V (4.14.3)
' Μ tm„ (n) / V '
В то же время вид функции / при таких преобразованиях может меняться.
Определение 4.14.2. Если при любых линейных преобразованиях вида
(4.1.1) относительно группы Gs вид самой функции f не меняется, то
такую скалярную функцию (4.14.1) называют индифферентной
относительно группы Gs:
/ (τ*,1;"'"",..., τ?;;··*"-) = / (τ;,1)··'"",..., τ^Α, (4.14.4)

416
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
где компоненты тензоров преобразуются следующим образом:
Тн..лта = fk,...kmaAii^ м^ β = 1, .... n, V(A\) e Gs. (4.14.4а)
"та
Здесь в качестве базиса е[ выступает базис е*, в котором компоненты j,*1""lma
тензоров обозначают как Т,г\"ггПос, а матрица Рг· принимает значение Аг ■
(см. п. 4.1.3).
4.14.2. Совместные инварианты нескольких тензоров
Индифферентная относительно некоторой группы Gs скалярная функция
нескольких тензорных аргументов, очевидно, является инвариантом
относительно данной группы Gs. Построенные таким образом инварианты называют
совместными инвариантами тензоров miT(i) ...mnT(n) относительно
группы преобразований Gs. Будем обозначать их следующим образом:
j(s) = jWpT(1)...m»T(n)). (4.14.5)
Среди всех совместных инвариантов η тензоров относительно данной
группы Gs можно выделить функционально независимые.
Определение 4.14.3. Систему совместных инвариантов Ja(T^l" m', ...,
fV\'lrnn) (a = 1, ..., ζ) тензоров miT(!), ..., mnT(n) относительно
группы Gs называют функционально независимой, если для любой
нетривиальной функции /(·/}, ..., Jr ) от этих инвариантов найдутся
п\ , ..., ТД , что
(1) (π)
/(J(s)(tz,...imi ^fi^imn)t _ j^)(t^--Wl ...t^y·^)) ^0. (4.14.6)
В противном случае систему совместных инвариантов называют
функционально зависимой.
Определение 4.14.4. Систему совместных инвариантов (4.14.5) J7 (7 =
= 1, ..., ζ) относительно Gs называют функциональным базисом
совместных инвариантов η тензоров "^Т^)... mnT(n), если
1) эта система является функционально независимой;
2) любой иной, не входящий в эту систему совместный инвариант
относительно этой же группы Gs, можно представить в виде функций
от J7 (7= 1, ..., г).
Определение 4.14.5. Систему совместных инвариантов (4.14.5) J7 (7 =
= 1, ..., ζ) относительно Gs называют расширенной системой,
если для нее выполняется условие 2 из определения 4.14.4 для всех
возможных значений компонент Т,1|1"1та G R
(а)

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
417
Как отмечалось в п. 4.4.3, расширенная система инвариантов может быть
функционально зависимой, однако ее часто бывает удобно использовать
вместо соответствующего функционального базиса.
Определение 4.14.6. Систему совместных инвариантов J1 (7 = 1, ···, ζ')
(4.14.5) относительно группы Gs называют согласованной, если
выполняется следующее условие: при нулевых значениях любых к < η
тензоров maiT(ai) = 0, ..., такТ(ак) = О система
^ΓΤ(1)...0...0...^Τ(η) = 45)ρ.Τ№)) ..., т*Тт) (4.14.7)
образует функциональный базис совместных инвариантов j\s* (7 = 1,
ζ") от I тензоров относительно той же группы Gs.
Здесь αϊ, ..., otk и β\, ..., β\ — непересекающиеся подстановки,
совокупность их значений образует весь набор индексов: {а\, ..., ak}U{P\, ...,
βι} = {1, ..., η}, a k + l = η.
Примеры функциональных базисов и расширенных систем для различных
групп Gs будут приведены далее.
Замечание 4.14.1. Так же как и скалярные инварианты одного тензора,
совместные инварианты «/(ТЛ'" т' ...Т!К"гтп) можно рассматривать как
функции вида J: Шк —> R1, где к = к\ + ... + кп, а ка — число независимых
компонент тензора j^'"lma.
Имеет место следующее утверждение (доказательство см. в [7]).
Теорема 4.14.1. Число ζ независимых совместных инвариантов тензоров
miT(!), ..., mnT(n) в функциональном базисе не может быть больше
суммарного числа к независимых компонент всех этих тензоров:
ζ ^ к = к\ + ... + кп,
где ка — число независимых компонент тензора ШаТ(ау
Если, как и в случае инвариантов одного тензора (см. п. 4.4.3), способ
выражения одного совместного инварианта через другие ограничен
полиномиальными соотношениями, то число ρ неприводимых совместных
инвариантов (т. е. тех, которые не выражаются полиномиально через другие),
образующих минимальный рациональный базис, может быть больше к.
В дальнейшем нас будут интересовать только функционально
независимые совместные инварианты, именно их и применяют обычно в МСС.
4.14.3. Функциональные базисы совместных инвариантов
двух симметричных тензоров
Рассмотрим наиболее частый для МСС случай — совместных инвариантов
двух симметричных тензоров Τ и В второго ранга:

418
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
jW = jW(T,B), 7=1, .··.*, 5=1, ...,39. (4.14.8)
Тогда, согласно теореме 4.14.1, максимальное число ζ элементов в
функциональном базисе совместных инвариантов относительно какой-либо группы
Gs, являющейся подгруппой полной ортогональной группы /, не превышает
к= 12:
z^ 12.
Совместные инварианты J^ , так же как и инварианты одного тензора,
могут быть образованы с помощью операций свертки направляющих тензоров
07 в данной группе с каждым из тензоров Τ и В, а также их тензорными
степенями: Τ2, Β2, Τ · В и т. п.
Инварианты каждого из тензоров Ι^(Τ) и /«γ (В) также могут входить
в функциональный базис совместных инвариантов. Однако простое
объединение таких инвариантов ц\Т) и Ι^(Β) даже в случае, когда их по
шесть штук, относительно той или иной группы Gs не обязательно образует
функциональный базис совместных инвариантов.
Ниже приведены функциональные базисы независимых совместных
инвариантов двух тензоров для различных классов симметрии, в скобках
представлены явные выражения совместных инвариантов через компоненты Тц и
Bij тензоров в декартовом базисе ё$.
Триклинный Е-класс:
4Ε) = ΐίΕ)(Τ), 4+1 = /<я)(В), «=1, ...,6, (4.14.9)
{Тц у T22, Γ33, Γ23, T13, T\2, B\\, B22, B33, B23, #13, B12},
z= 12.
Ортотропный О-класс:
4°) = /£>)(Τ), α=1,...,6, 4% = 1{°\В), β= 1,2,3,6, (4.14.10)
7^ = (ё2.Т)..(ё2.В), J^ = (e2.T)..(e2.B),
С rp rp rp rp2 rp2 rp rp rp ту Q О
(ill, I22, -i33> ^23' 713» 712^ 13^23» ^11. £>22> ^>33>
^23^23, ^13^13, ^12^13^23}, z = 12.
Трансверсально-изотропный Т^-класс:
43> = 7<,3>(T), α=1, ...,5, 4% = lf(B), /3=1, ...,4, (4.14.11)
J<3> = ((Ε - φ · Τ) · · (ё! · Β), J\f = Τ Β - 2j[3> - J<?b<?\

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
419
{Γιι + т22, т33, η23 + т|3, г?! + т222 + 2т22, det τ,
Бц+Б22, #33> ^13 + ^23' ^11+^22 + 2^12' ^13-^13 + ^23-^23»
В\\Т\\ + #22^22 + 2Т12В12}, 2= 11.
Изотропный 1-класс:
47) = /в(Т), J^a = /a(B)f a =1,2,3, (4.14.12)
jj7) = Τ В, jW = Τ2 · · В, 47) = Τ В2,
{Т\, \{{Τ\)2-ΤόΤ\), det Τ, 5V, ±((Β\)2-Β^), det В,
Т*,В^, Τ\Τ\Β\ , Τ\Β\Β\ }, г = 9.
Теорема 4.14.2. Функциональный базис совместных инвариантов двух
симметричных тензоров второго ранга относительно одной и той же
группы Gs с I состоит из ζ элементов, где
• ζ = 9 для групп Gs изотропного класса;
• ζ = 11 для групп Т^-класса;
• ζ = \2 для групп триклинного и ортотропного классов.
В качестве функциональных базисов могут быть выбраны совместные
инварианты (4.14.9)—(4.14.12). Доказательство теоремы см. в [7].
4.14.4. Функциональные базисы совместных инвариантов
двух векторов
В МСС (главным образом в электродинамике сплошных сред) применяют
также совместные инварианты двух векторов:
4e) = jW(a,b), 7=1. ..·.*; 5=1, ...,39. (4.14.13)
Согласно теореме 4.14.1, число ζ в этом случае не превышает числа к = 6:
ζ ^6.
is)
Функциональные базисы таких совместных инвариантов J7 ' для
нескольких основных групп симметрии Gs в базисе ё* приведены ниже.
Триклинная сингония (группа G\)\
J7 = а · β7, ^з+7 = е^' ^ =
{аь α2, α3, &ι, 62, Ы- (4.14.14)
Ромбическая сингония (группа opmomponuu G% = О):
Jf) = (а-ё7)2, j£\ = (ё7 -а)(ё7 -b), 7 = 1,2,3,
{α2, α2, α2' й1&ь «2^2, «эМ- (4.14.15)

420
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Трансверсальная изотропия (группа G3j = Т3):
j[3> = |a|2, jf = (а · ё3)2, Jf = |b|2, jf = (Ь.ё3)(а.ё3), if = a · b,
{|а|, 4, |b|, о3Ь3. а%}. (4.14.16)
Изотропия (группа G39 = /):
J,(/) = |a|2, J^I] = \b\\ 4Г)=а-Ъ. (4.14.17)
Функциональный базис совместных инвариантов двух векторов
относительно групп G\ и £?8 состоит из шести элементов, относительно группы / —
из трех элементов, а относительно группы Т3 — из пяти элементов:
ζ = б, Gs = G\, G^ = О,
ζ = 5, Gs = G37 = Γ3,
ζ = 3, Gs = G39 = /·
Для группы G\ из системы (4.14.14) обнулением вектора а либо b
образуются снова функциональные базисы от одного векторного аргумента:
ц '(а) = j\ (а, 0) и Ц '(Ъ) = J^(0,h), 7 = 1,2,3. Следовательно, базис
(4.14.14) в этой группе является согласованной системой.
Иная ситуация для других групп. Полагая b = 0, для системы (4.14.15)
в группе О получаем, что существует функциональный базис инвариантов
только от одного векторного аргумента — а:
Jf)(a) = jf)(a,0) = {a?, a2, a2},
а, полагая а = 0, находим, что система j\ '(О, Ъ) φ ц '(Ъ) не образует базиса
относительно одного вектора Ь. Чтобы устранить этот недостаток, вместо
функционального базиса (4.14.15) можно рассмотреть расширенную систему
совместных инвариантов следующего вида:
Jf)(a,b), 7=1. .-.б, J^)6(a,b) = (ei.b)2, 7=1,2,3, (4.14.18)
{α2, а\, а2, а\Ъ\, а2Ь2, а3Ь3, Ъ\, Щ, Щ},
которая уже образует согласованную систему.
Аналогичным же образом расширенная система для группы G37 имеет,
например, следующий вид:
jf(a,b), т= 1 5, 43)(а,Ь) = (Ь.ё3)2, (4.14.19)
{|а|2, а2, |6|, а3Ь3, а%, б2}.

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
421
Для изотропной же группы G39 базис (4.14.17) является согласованной
системой, поскольку обнулением одного из векторов а или b получаем
функциональный базис одного векторного аргумента
j[I](R,0) = /<7)(а), 41 }(0,Ь) = /<7>(Ъ), 41 }(а,0) = jf }(0,b) = 0.
4.14.5. Функциональные базисы совместных инвариантов
тензора второго ранга и вектора
Рассмотрим случай совместных инвариантов от симметричного тензора
второго ранга и вектора:
jW = J^(T,a), 7=1, .... ζ. (4.14.20)
Такие инварианты применяют обычно в электродинамике сплошных сред.
Число ζ в этом случае не превышает суммарного числа независимых
компонент тензора Τ и вектора, т. е.
причем
ζ = б для группы изотропии Gs = G39 = /,
ζ = 8 для группы трансверсальной изотропии Gs = G^-j = Т3,
ζ = 9 для групп ортотропии G$ = О и G\.
Приведем примеры функциональных базисов для этого случая.
Триклинная сингония (группа G\)\
JW = Τ · · ё*, J^3 = «jjT · · (ёа <g> ё0 + ё0 <g> ёа),
У1ь)6 = а.ё7, α,β,Ί= 1,2,3, α φ β φ Ί φ α, (4.14.21)
{Τ\\, Τ22, Τ33, Т2з, Γ13, Τ\2, αϊ, «2. «з}·
Ромбическая сингония (группа ортотропии Gg = О):
jf) = T..^f 7=1,2,3, J<°> = (ef.T)..(e§.T),
jf} = (ё? · Т) .. (ё| · Т), 40) = (ё? · Т) · (4 · Т) · · (ё§ · Т), (4.14.22)
jW = а · ё| · Τ · ё§ · a, J^0) = а · ё? · Τ · ё§ · a, jf] = а · ё? · Τ · ё\ · а,
{Гц, Г22, Т3з, Т23, Г13, Г12Г13Г23, Тгз^аз, Γι3αια3, Τ^αια^}.
Трансверсальная изотропия (группа G37 = 7з):
Jf3) = (Е - ё|) · · Т, Jf =Т..ё|, Jf = (Е-ё§).Т..(фТ),
= (a-e3) ,

422
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
{Гц + Т22, Гзз, η23 + Г23, Г?! + 2Г22 + Г22, det Τ, 4
α3(Τι3αι +Τ23α2), Гц α? + 2Γι2αια2 + Γ^α2,}. (4.14.23)
Изотропия (группа G39 = /):
jW = J7(T), 7=1,2,3, Ji7) = |a|2, 47)=a-T.a, J^ = a · Τ2 · a.
(4.14.24)
4.14.6. Функциональные базисы совместных инвариантов
тензора второго ранга и двух векторов
Рассмотрим случай совместных инвариантов от симметричного тензора
второго ранга Τ и двух векторов а и Ь:
4e) = jW(T,a,b), 7=1. ·.·.*; 5=1, ...,39. (4.14.25)
Такие инварианты также применяют в основном в электродинамике. Число
ζ в этом случае не превышает суммарного числа независимых компонент
тензора Τ и двух векторов, т. е.
ζ ^6 + 3 + 3= 12,
причем
ζ = 12 для групп ортотропии Gs = 0 и G\,
ζ = 11 для трансверсально-изотропной группы G37 = 7з,
ζ = 9 для группы изотропии £?з9 — ^·
Примеры функциональных базисов совместных инвариантов указанного
типа для четырех важнейших групп представлены ниже.
Триклинная сингония (группа G\)\
7(ΐ)_τ -2 r(i)_!rn 0 7(1) _ = 7(1) _ь.ё .-из
{Гц, Г22, Гзз, Т2з, Γι3, Γΐ2, αϊ, «2, α3, &ι, Ь2, &з}· (4.14.26)
Ромбическая сингония (группа ортотропии G8 = О):
jf)=T-.e2, 7=1,2,3, ji0) = (e2.T)..(e2.T),
jfU(e2.T)..(e2.T), jf^(e2.T).(e2.T)..(e2.T),
j\0) = a · ё2, · Τ · ё§ · а, J<0) = а · ё2 · Τ · ё§ · а,
40) = а · ё2 · Τ · ё| · a, J^} = а · ё| · Τ · ё§ · b, (4.14.27)
j{f} = а · ё§ · Τ · ё? b, Jl°] = а ё2 · Τ · ё| · Ь,

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
423
{Т\\, Т22, Т3з, Т23, Т13, Т12Т2зТ13, Т23а2аз, Τι за ι аз,
Τ12αια2, Т2за2Ьз» Т13а36ь Τι2αι&2}
Трансверсальная изотропия (группа G37 = Т3):
J<3> = (Ε - φ · · Τ, jf=T..ef, jf = (E-e§).T..(^.T),
jf = T2..E-jf)2-2jf, jf =detT, 43» = (a-e3) ,
^3)=а-ё2.Т.(Е-ё2).а, jf^a-T-a-jf jf-^jf,
jf = (a · e3)(b · ё3), J$ = a - ё§ - Τ - (Ε - ё§) - b,
j|3) = (a T · b - jf ]jf] - jfj - b · ё§ ■ Τ · Ε - ё§) · а, (4.14.28
{Тп + Т22, Т33, Т23 + Т|3, Г?! + 27?2 + Т22, det Τ, α2,
α3(Τ13αι + Τ23α2), Tnaf + 2Τ12αια2 + Τ22α2, α363.
«3(Ti35i + Τ2362), Tnaibi + Τ12(αι&2 + а2Ъ\) + Т22а2Ь2}.
Изотропия (группа G39 = Л:
J77)=J7(T), 7=1,2,3, ^7) = |а|2, 47)=а-Т.а,
47) = а · Т2 · а, j\I] = а · b, ^7) = а · Τ · b, J{91] = а · Τ2 · b. (4.14.29)
Из всех этих базисов только базис (4.14.26) является согласованной
системой: обнуление в системе (4.14.26) в соответствии с условием (4.14.17)
компонент векторов а или Ь, или тензора Т, или одновременно а, Т, или
Ь,Т или а, b образует снова базисы инвариантов векторов /7 (а), Ц'(Ъ),
тензора ц (Т), либо базисы совместных инвариантов J7 '(T, а), J7 '(T,b),
либо J7 (а, b).
Для остальных групп, чтобы удовлетворить условию (4.14.7), вводят
расширенные системы, которые можно выбрать следующими.
Группа ортотропии G% = О:
jf)(T,a,b), 7=1. .... 12, J^ = (ё? · Т) · · (ё2-Т),
<Лз+7 = (*Ч ' а) . ^16+7 = №ч ' ' ' 7 = 1.2,3,
г(°) к ^2 гр -2 к АО) , -2 гр -2 к
j2q = b · е2 · 1 · е3 · b, J21 = b · et · 1 - е3 · b,
(0)_и .2.т.ё2.Ь) j^ = (a.e7)(b-e7), 7=1,2,3, (4.14.30)
J£"=b-6
40) = {г„,т22,
Тзз. Т23, Т13, Τι2Τ23Τι3, Τ23α2α3, Τι3αια3,
Τι2αι62, Τ12, alf a2, a3, &ι
Т23626з. Т13Ьз5ь T126ib2, a\b\, a2b2, α363}·
Т\2а\а2, T23a2b3, Τι3α36ι, Тх2а\Ъ2, Т22, а2, а2, а2, Ь2, b2, b\,

424
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Группа трансверсальной изотропии G37 = Т$:
Jf (T,a,b), 7=1, ..·, Π, J$ = |a|2, J[l] = |b|2,
J^Hb-ёз)2, J^ = b.e§.T.(E-e§).bf J^a-b,
J$ = b · Τ b - j[l]43) - 2j[l\ J$ = b · e3 · Τ · (Ε - ё2) · a, (4.14.31)
{Тп + T22, t33, Т2з + f%3, fft + 2t22 + T|2, det Τ, α§, a3(T13ai + Г2за2),
Τιια2 + 2Τι2αια2 + Τ22α2>, a363, α3(Γ136ι + T2362),
tnaibi+ti2(ai62 + a2bi)+t22a262, |a|2, |b|2, Щ,
h(Ti3h+T23b2), tnb2 + 2ti26ib2 + t2262, b3(r13ai + f23a2), a b}.
Группа изотропии G39 = /:
jW(T,a,b), 7=1, .... 9, Ji(o} = |b|2,
jfP = b Τ · b, jfP = b T2 · b. (4.14.32)
4.14.7. Дифференцирование скалярных функций
нескольких тензорных аргументов
В МСС важную роль играют частичные дифференциалы от скалярной
функции (4.14.2) по одному из тензорных аргументов:
M-tJ^^w^'- *€{1· -· η}· (4Л4'33)
Определение 4.14.7. Тензором частной производной
скалярной функции от η тензоров по k-му тензорному аргументу
называют тензор
т*/т = -У- = l! . е* 0 ... 0 е*»*, Дг€{1 п}. (4.14.34)
{к)
Этот тензор имеет тот же ранг, что и аргумент-тензор ткТ^ку С учетом
(4.14.34) и определения (4.7.11) дифференциала тензора, частичный
дифференциал скалярной функции можно представить в виде, аналогичном (4.7.14):
dkf = m"hm ·... · d(m"T(k))^-[\ (4.14.35)
Для тензоров второго ранга (тк = 2) эта формула имеет вид
dkf = /tw · · dTJk), fee {1,2}. (4.14.36)

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
425
Полный дифференциал от скалярной функции (4.14.2) представляет собой
сумму частичных дифференциалов
η η
d/Г T(l) ...m»T(n)) = Σ>/ = Emt/T(t) ·... •С'Тщ)'""···1». (4.14.37)
fc=l fc=l
Рассмотрим примеры дифференциалов от скалярной функции различных
аргументов.
1. Для случая скалярной функции двух тензоров (п = 2) второго ранга
имеем
df(T,В) = /т · · άΤτ + /в · · <ШТ. (4.14.38)
Если тензоры Τ и В — симметричные, то вычисление тензоров производной
/т и /в должно осуществляться по правилам (4.7.16) и (4.7.17).
Рассмотрим в качестве скалярной функции / (4.14.2) совместные
инварианты / = Ja двух тензоров Τ и В относительно какой-либо группы Gs.
Очевидно, что если совместный инвариант содержит компоненты только одного
тензора, то тензоры производных от них будут совпадать с соответствующими
тензорами производных обычных инвариантов ί . Поэтому вычислим
производные только от инвариантов Jas' из функциональных базисов классов,
приведенных в п. 4.14.3, которые содержат компоненты обоих тензоров Τ и
В. Возможны два вида таких инвариантов:
1) квадратичный совместный инвариант
(4.14.39)
/ = (Т ® В) · · ·
2) кубический совместный инвариант
/ = (Т ® В ® В) · ·
·4Ω;
6Ω,
(4.14.40)
где 4Ω и 6Ω — тензоры, индифферентные относительно группы Gs.
Для вычисления тензора частной производной /в рассмотрим тензор Τ
как фиксированный, тогда скалярные функции (4.14.39) и (4.14.40) можно
свести соответственно к линейной относительно В функции
/ = Β··Ω, Ω = 4Ω··Τ (4.14.41)
и квадратичной относительно В функции
/ = (В®В)···· 4Ω, 4Ω = 6Ω··Τ. (4.14.42)
Тогда, используя правила (4.7.40) и (4.7.43) дифференцирования линейных
и квадратичных функций, получаем
А(Т а в · ■ · ■ 4Ω) = А(В . ■ Ω) = Ι (Ω + Ωτ) = ί(4Ω + 4Ω<2134>) · · Τ,
(4.14.43)

426
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
а также
4-(T<g>B<g>B 6Ω) = Α(®·.·. 4Ω) = 24Ω(')·· Β. (4.14.44)
σΒ σΒ
Если совместный инвариант (4.14.43) имеет структуру вида
/ = (А · Т) · · (С · В) = (Т ® В) · · · · (А ® С)<1432\ (4.14.45)
где А и С — симметричные тензоры второго ранга, то формула (4.14.43)
принимает вид
А ((А · Т) · · (С · В)) = i ((А ® С)(1432) + (А 0 С)(4132>) · · Т. (4.14.46)
Применим полученные правила для вычисления тензоров частных
производных от совместных инвариантов функциональных базисов в различных
классах симметрии.
В триклинном классе нет инвариантов, содержащих компоненты обоих
тензоров.
В ортотропном классе есть два таких совместных инварианта:
dJ{0) 1 8Т{0) 1
^Ш- = ί(0ι ® Ο0 · · Τ, ^- = ±(02 ® 02) - · Τ (4.14.47)
в силу симметрии Т.
Для трансверсально-изотропного Тз-класса их также два:
а/(3) ι
ю =ΐ(ο1®ο1 + ο2®ο2)··τ,
дВ 4
г(3)
^- = (Δ - -(Οι ® Οι + 02 ® 02) - ё2 ® ё2] · · Т. (4.14.48)
Для изотропного класса имеется четыре совместных инварианта, поэтому
я № я /О
^- = Α··Ύ, ^- = Δ.·Τ2, (4.14.49)
я И7) я tW
^- = Τ В + В Т, ^- = Т2 В + В Т2.
2. Если же рассматривать скалярную функцию от двух векторов, то из
(4.14.32) получаем
#(а, Ъ) = /а · da + /b · dh. (4.14.50)
Рассмотрим в качестве такой скалярной функции совместные инварианты
(4.14.13) / = <Ζγ (а, Ь). Если совместный инвариант содержит компоненты
только одного вектора, то векторы производных /а или /ь совпадают с
соответствующими векторами производных обычных инвариантов вектора /is^(a).
(s)
Поэтому вычисляем /а, /ь только для инварианта J) ' с участием обоих
векторов.

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
427
В наборе (4.14.15) из группы G\ триклинной сингонии таких инвариантов
нет.
В базисе (4.14.15) из ортотропной группы О таких инвариантов три, для
них имеем
^j£> =(а-ё7)ё7, 7=1,2,3. (4.14.51)
В базисе (4.14.16) трансверсально-изотропной группы Тз таких
инвариантов только два, поэтому имеем
д т(3) _ /Ь 5 Ϊ5 ^ ^ -ίορ^ρ ^ И3) - Ь ^ 7<3) - Ά
-J4 -(b.e3)e3f ^J4 -(а-ез)ез, ^J5 - b, — J5 -a.
(4.14.52)
В базисе (4.14.17) группы изотропии G39 = / такой инвариант один, для
него получаем
й4П = Ь, |^>=, (4.Н.53)
3. Рассмотрим дифференциал от скалярной функции / = /(Т,а),
аргументами которой являются симметричный тензор и вектор, тогда формула
(4.14.52) принимает вид
4f(T, а) = /т · dT' + /a · da. (4.14.54)
Вычислим /т и /а для случая, когда / = j\s'(T,a) — совместные
инварианты (4.14.18), как и ранее, ограничиваясь только инвариантами J7(T,a),
зависящими от обоих аргументов.
В базисе (4.14.19) группы G\ из триклинной сингонии таких инвариантов
нет.
В базисе (4.14.20) группы ортотропии О таких инвариантов три, вычислим
для них производные:
^ = £(т·· («■«*«■«£)) =
= -^ааар(ёа ® ё0 + ё0 ® ёа) = -άαάβΟΊ, (4.14.55)
ί J7+6 = £j(fa0aaa^ = Ταβ(άαδξ + а^)ё*' = Та0(ааё0 + а"ёа),
а,/5,7= 1,2,3; а ^ β ^ j ^ а.
В базисе (4.14.21) группы трансверсальной изотропии Тз таких
инвариантов два, вычислим для них производные:
Й^3) = Й(Т" ((Е-ёз)-а®а-ёз)) = ^,а3(ё1®ё3+
1 CL'X
+ ё3 0§ι) + 2«2аз(ё2^ё3 + ё3 Θ ё2) = -j(a\02 + α2Οι),

428
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
^jf] = Τ13(α% + a3ei) + Т23(а2ё3 + a3e2), (4.14.56)
д 7(3) - д Τ · . Га <я а! ^ 7(3) 7(3) ^ г^ -
— 9 — 9 — /— — \ _9 — 9 _9 — 9 — —
= а 0 а — а3е3 — а3(а\02 + а20\) — aiei + а2е2 + ^\а203,
— 43) = a Τ + Τ a - 2а3ё3 - 2Т13{а1ё3 + δ3§ι) - Т23(а2ё3+
+ а3ё2) = 2Tnaiei + 2Т22а2ё2 + 2T12(aie2 + а2ё\).
В базисе (4.14.22) группы изотропии таких инвариантов тоже два, для
них имеем
dJ{I) dJ{I) з ■ ■
^г=а®а, ^ = ^(Va% = a.T + T-a, (4.14.57)
дт(П дт(П
—|- = а®Т-а + а-Т®а, —*— = а · Т2 + Т2 · а.
σΤ да.
4. Рассмотрим дифференциал от скалярной функции /(Т,а, Ь),
аргументами которой являются симметричный тензор второго ранга и два вектора,
тогда формула (4.14.32) принимает вид
d/(T,a,b) = /τ · · άΎΊ + /а · da+ /b · dh. (4.14.58)
Вычислим /т, /а и /ь для случая, когда / = J7s'(T,a, b) — совместные
инварианты (4.14.23). Как прежде, ограничимся только инвариантами,
зависящими от двух или трех аргументов одновременно.
В базисе (4.14.24) группы G\ таких инвариантов нет.
В базисе (4.14.25) группы ортотропии О таких инвариантов шесть,
вычислим их производные:
д4°\ ι д4°\ _ , ч э4°\
= τ;αααβΟΊ, я = Ta0(aaee + aeea), д. = О,
дТ 2""' д& -«кч-ч-к · -ν-»/. дъ
ή? ι - дЛ? - - д№
ejiS 1 - д4°\ _ _ _ djg> -
— ηα<χύβΟΊ, —— = Tapbpea, = Ταβααθβ,
дТ 2%Λμι* да -«а^-«» дъ
а,/3,7 = 1,2,3, α + β + Ί + (χ. (4.14.59)
В базисе трансверсально-изотропной группы G37 = Т3 таких инвариантов
пять, вычислим их производные:
&/(3) а3 _ &/(3)
7 = -^(αι02 + α2Οι), -^— = T13(aie3 + a3e{) + T23(a2e3 + а3е2),
<9Т 2 ч ' Δ Δ х/' «9а
г(3)
= afef + а2ё2 + й\й203,
OJq _2_2 _2_2
дТ

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
429
&/(3)
—— = 2Tnaiei +2Τ22α2β2 + 2Τ12(αιθ2 + а2е\),
/)τ(3) ητ(3) пт{3) пт{3)
а/(3) - - a/(3)
10 - (T136i + Т2з62)ёз, ^-=аз(Т1зё1+Т2зё2),
da ч ιο ι Δ> °' дЪ
w.(3) _ 9 _ 9 ι _
= aibief + α262β2 + ~(αι&2 + α2&ι)°3> (4.14.60)
<9Τ
а/(3)
-£- = (Tnbi + T1262)ei + (Γ126ι + Τ2262)β2,
<9J(3) - - - -
-τ^- = (Тп αϊ + Ti2a2)ei + (Τ!2αι + Τ22α2)β2,
В базисе (4.14.29) группы изотропии Ι таких инвариантов тоже пять, их
производные имеют вид
^=а®а, _^ = а.Т + Т.а, -^ = 0,
-£- = а<8>Т-а + а-Т<8>а, -£— = а · Т2 + Т2 · а, —S- = 0,
=-(а®Ь + Ь®а), —*— = Т Ь, —f- = Т · а,
дТ 2
dj{1) dj{1) dJin
dJ(/) 1
—|г- = -(а0Т-Ь + Ь-Т0а + Ь0Т-а + а-Т0Ь),
dJ^/да = Τ2 · b, dJ^/дЪ = а Т2.
4.14.8. Определение тензорной функции
нескольких тензорных аргументов
Кроме скалярных функций вида (4.14.1) в МСС применяют также
тензорные функции нескольких тензорных аргументов.
Определение 4.14.8. Отображение декартова произведения η
пространств тензоров Т^тк' (к = 1, ..., п) в пространство 7д ' называют
тензорной функцией от η тензорных аргументов и обозна-
чают как тТ :Т^ ' χ ... χ Τ^ ' —» Т£ ' или в виде зависимости
mS = m^m,T(i)j _ ? m"T(n)), VmS G T3(m), m*T(fc) G T3(mfc), (4.14.62)
k = 1, ..., η.

430
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
В компонентном представлении, например, в базисе е* такие функции
имеют вид
Si,.. лт = Я,.. .гт (Т&· ··*"'... Т^ "*"«). (4.14.63)
При замене базиса е* на ej = P3i Gj значения такой функции меняются по
тензорному закону
-Г | p'l p^ml rp,3\-—3m\ pS[ psmn грГк[...ктп\
^г,...гт ^ ^ -..-Г jm/(l) > ···» ^ fci '^ fcm/(n) J -
— (lqi (lQrn T' iT'h.--lrnx Trs{...smn\ /414644
Определение 4.14.9. Тензорную функцию (4.14.63) называют
индифферентной относительно группы Gs, если вид функции не меняется
при всех преобразованиях в этой группе:
^I...tm=^iI...tm, (4.14.65)
где Тгх..Лт ~ компонентное представление тензорной функции в базисе
ё{, связанном с осями анизотропии.
Из (4.14.64), (4.14.65) и (4.1.18) следует, что для индифферентной
тензорной функции нескольких аргументов выполняются условия
-77 (rph-'-lrrn rpS\...Smn\ _
••-.^■•^X^··*-), V(A\)eGa. (4.14.66)
4.14.9. Псевдопотенциальные тензорные функции
нескольких тензорных аргументов
Для тензорных функций нескольких тензорных аргументов введем
понятие псевдопотенциальности, которое, вообще говоря, отличается от
обычного понятия потенциальности тензорной функции.
Определение 4.14.10. Псевдопотенциальной или
потенциальной по k-му тензорному аргументу называют функцию вида
(4.14.63), для которой существует скалярная функция
ψ = ψ (т^'^ , ..., 1^Лт, ..., 7£5"втп), (4.14.67)
тензор частной производной от которой по k-му аргументу совпадает с
функцией (4.14.63):
(к)
5<1...<n=a^/a7?'rf-f (4.14.68)

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
431
или в тензорном виде
nS = di>/dmT{k), ^ = V(miT(1)...mT(fe)...m»T(n)). (4.14.69)
Из определения псевдопотенциальной тензорной функции следует, что
ранг т тензора S совпадает с рангом аргумента mT(fc).
Очевидно, что если скалярная функция (4.14.68) является
индифферентной относительно группы Gs, то соответствующая ей псевдопотенциальная
тензорная функция также является индифферентной относительно Gs.
Рассмотрим примеры псевдопотенциальных тензорных функций, которые
будем использовать в дальнейшем.
1. Пусть nS — тензор второго ранга, тогда псевдопотенциальная тензорная
функция (4.14.69), зависящая от двух симметричных тензоров второго ранга,
имеет вид
S = ;F(T, В) = дф/дВ. (4.14.70)
Индифферентную относительно группы Gs скалярную функцию ψ(Τ, В)
всегда можно представить как функцию от полного набора совместных
инвариантов Ja(T,B) из функционального базиса относительно той же группы
симметрии:
ψ(Τ,Β)=<ψ(^\Τ,Β)), 7=1. .... *. (4.14.71)
Обозначим ζ — число совместных инвариантов J7 в функциональном
базисе группы Gs, а г — число инвариантов ΙΊ одного тензора Τ относительно
этой группы Gs. Далее будем полагать, что инварианты /7(Т) полностью
входят в набор J7: J7 = J7(T), 7 = 1» ···> г- Тогда от тензора В зависят
только J7, для которых 7 = г + 1, ..., ζ.
Вычисляя тензор частной производной от ψ, получаем, что
псевдопотенциальную функцию (4.14.70) можно представить в виде
S= у -Ц,^. (4.14.72)
7=7·+1 7
Так же, как и для функции одного тензорного аргумента, введем тензорный
базис
H7S) = dJ%/dB, Ί=\,...,ζ-τ, (4.14.73)
и скалярные функции
φΊ = дф/djifl, Ί=\, ...,z-r. (4.14.74)
Отсюда получим следующую теорему.
Теорема 4.14.3. Всякую псевдопотенциальную тензорную функцию
(4.14.70), индифферентную относительно группы Gs, можно представить

432
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
в виде разложения по тензорному базису Н7 :
z—r
8 = Σ<ρΊ(48)(Τ,Β), ..., 48\Т,В))и^\ (4.1475)
7=1
Если тензорная функция является потенциальной по другому аргументу
S = Т(Т, В) = дф/дТ, (4.1476)
то формально для нее можно получить точно такое же представление, однако
вид тензоров Н7 и их число при этом могут отличаться.
Выберем в качестве совместных инвариантов J7 (7 = 1, ..., ζ)
функциональные базисы, приведенные в п. 4.14.2, тогда, используя результаты
вычисления тензоров частных производных <9J7+r/<9B, содержащиеся в п. 4.14.7,
найдем базисные тензоры Н7 . В итоге получим следующие представления
(4.1475) для различных классов симметрии.
Триклинный Ε-класс, в этом случае представление (4.14.75) совпадает с
(4.8.33):
з
S = E(^+«^3+707), φΊ = φΊ(4Ε), .... J$). (4.14.77)
7=1
Ортотропный О-класс:
s = Σ ^e? + 4 (^4θ1 ® °ι + ν?5θ2 ® θ2+
7=1
+ φ703 0 03) · · Τ + 3v?66Om Β 0 Β, (4.14.78)
Трансверсально-изотропный Т^-класс:
S = (φι + φ6Ι2(Β))Έ + (y>2 - V?i - ^2(В))ё§ + -(Οι 0 Οι +
+ 02 0 02) · · (φ3Β + (у - ¥>5)τ) + φ5Ύ - φ^Ιχ (Β)Β + φ6Β2, (4.1479)
V?7 = V?7 (j{3), ..., J^J ·
Изотропный 1-класс:
S = (<Ρι + </^ι(Β) + ¥>з*г(В))Е - (у>2 + ^ι(Β))Β + v?3B2 +
+ </?4T + φ5Ύ2 + <ρ6(Τ · Β + Β · Τ) + φ7(Ύ2 · Β + Β2 · Τ), (4.14.80)
φΊ = φΊ yj\I], ..., jff) .

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
433
В представлениях (4.14.78) и (4.14.79) кроме функциональных базисов
совместных инвариантов j!f' (7 = 1, ..., ζ) добавлено еще по одному
инварианту Jjg и Jj2 (т.е. рассмотрены расширенные системы). Их введение
обеспечивает возможность предельного перехода к функции одного
тензорного аргумента S = Т{Т) = Τ(Τ,Ύ), если положить В = Т.
Если же такой предельный переход не учитывают, то функцию φγ,
соответствующую инварианту jjg . φη = дф/dJ^ , можно положить равной нулю.
Для Тз-класса то же самое относится к функции φ§ = d\jj/dj\2 ·
Добавочные инварианты имеют вид
^ = (ё! - Т) - - (ё| - В), J<*> = det В.
(4.14.81)
Для изотропного класса добавочные инварианты не вводят.
2. Рассмотрим семейство трех псевдопотенциальных тензорных функций
вида (4.14.69), зависящих от одного тензорного аргумента и двух векторных:
's = ^(T,a,b) = ^(T,a,b),
c=^(T,a,b),
d=^/>(T,a,b),
(4.14.82а)
(4.14.826)
(4.14.82b)
где ψ — индифферентная относительно группы Gs с I скалярная функция,
а Т и S — симметричные тензоры второго ранга. Всякую такую скалярную
функцию ψ можно представить как функцию от функционального базиса
совместных инвариантов j\s'(T,a, b) относительно той же группы Gs:
V>(T,a,b)=^4s)(T,a,b)), 7 = 1,
(4.14.83)
Число ζ' совместных инвариантов часто удобно выбрать большим, чем ζ:
ζ' ^ ζ.
Подставив функцию (4.14.83) с указанным набором совместных инва-
f (7 =
функций в тензорных базисах
риантов J^°' (7= 1, ..., ζ') в (4.14.82), получим представление тензорных
S= ЕЫ45)(Т,а,Ь))н£°,
/3=1
ζ'
Μ,
(а)(а)
β
с= ЕЫ^7 №a,b))h
β=\
d=E^(4S)(T,a,b))h^s)(b);
β=\
(4.14.84)

434
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
где < и hf aU£)(b) -
Н<*> - dj{VS)
тензорный и векторные базисы:
и(а)(а) _ <^±_
^ ~ да '
Ы45)(Т,а,Ь)) = ^,
ϋϋβ
h(e)(b) _ dJ/3S ,
1 ^ /3 ^ г'.
(4.14.85)
Выбрав в качестве J7 (T,a, b) расширенные системы инвариантов
(4.14.26), (4.14.30)-(4.14.32) для групп G\, G%, G37 и G39> приведенные в
п. 4.14.6, и воспользовавшись результатами вычисления частных производных
от совместных инвариантов (4.14.51)—(4.14.53), от инвариантов тензора
второго ранга /7 (Т) (см. п. 4.7.6) и от инвариантов вектора Ц \&)
(см. п. 4.7.3), получим, что представления (4.14.84) для различных групп
симметрии имеют следующий вид.
Триклинная сингония, группа G\\
S= E(V?7e7+ о^3+7°7)>
7=1 l
3
С = Е^6+7ё7'
7=1
3
d = Е^9+7ё7'
7=1
(^7 = (^7(J1(1)(T,a,b), ..., J^f (T,a,b)), 7= 1,
(4.14.86)
12,
r(i
где J)4 - базис (4.14.26).
Ромбическая сингония, группа opmomponuu G% = О:
3 / _ 1 __ _- -- \
7=1Ч Ζ '
+ 2^4θι 0 Οι + φ502 0 02 + </?ι303 0 03) · · T+
+ 3(ρ6 bO,
Τ® Τ,
С = Σ (2</?13+7а7е7 + V?22+7^7e7 + ^/3^6+7(а/Зеа + «αβ/^Η
7=1
3
d = Σ (2^13+7^7ё7 + ^22+7й7ё7 + Ταβφΐ9+Ί(ύβ€>α + Ьаё0) +
7=1
+ Ταβφ$+Ίαβθβ),
<p7 = <p7(J<0)(T,a,b), ..., J^}(T,a,b)), τ = 1 25,
где J7 (T, a, b) — расширенная система (4.14.30).
(4.14.87)

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
435
Группа трансверсальной изотропии G37 = Т$.
S = (φι + </*Л(Т))Е + (φ2 - φχ - 2φΑΤκ)ϊ\+
+ φ5(Ύ2 - /ι(Τ)Τ) +{ψ- φ4)(Οι ® θ! + 02 ® 02) · · Τ+
3
+ Σ 57°7 + 54ё? + 55ё|, (4.14.88)
7=1
з з
7=1 7=1
где
51 = 2^7U2U^ + ^10^3^2 + ^17^2^3 + ^15^2^з),
^2 = 2(^7άια3 + (^10^3^1 + ν?ι7αιδ3 + </?15Мз),
S3 = ^8«ι«2 + 2(^11(^1^2 + a2b\) + φ\Φ\12),
s4 = φφ\ + y?nai6i + φ\φ\, s5 = φ$α2 + ^ца252 + <£i6&i>
ci = φ7Τι3α3 + 2φ8(Τηαι + Tx2a2) + V?n№i&i + Ά2^) +
+ ^17^13^3 + 2φΐ2θ>1 + ^18^1,
c2 = φ7Τ23άζ + 2φ%(Τ22α2 + Τ\2α\) + <pn(Ti2&i + ^22^2) +
+ ^17^23^3 + 2(/?12«2 + V?18&2>
C3 = ^7№з«1 + Т2Ъа2) + (ψ9 + ν?1δ)&3 + ^10(^13^1 + f23b2) + 2(φ6 + ^12)^3»
Ji = (/?ΐ5Γ1363 + 2(/?ι6(Γιι6ι +Τ{212) + <^ιι(Γιιαι + Τι2α2)+
+ ^10^13^3 + 2^13^1 + ^18^1»
h = ψΐδΆϊΗ + 2<ρι6(ΤΊ25ι + f22b2) + <Pn(f\20>l + Τ22ά2) +
+ ^10^23^3 + 2^13^2 + ^18^2»
d3 = y?i5(f 13&1 + Т23Ь2) + (ψ9 + V^isfe + φ\7(Τ\3α\ + ί23α2) + 2(φ\4 + </?1з)&3·
Здесь
V?7 = (^7(J1(3)(T,a,b), ..., J^(T,a,b)), Ί = \, ..., 18,
a J7 (T, a, b) — расширенная система (4.14.31).

436
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Группа изотропии G39 = /:
где
S = ψιΕ + ψ2Τ + φ3Ύ2 + φ5Ά 0 а + <pnb 0 b+
+ 9^s(a 0 b + b 0 a) + (/?6(a 0 Τ · a + a · Τ 0 a)+
+ <p12(b 0T-b + b-T0b)+ (4.14.89)
+ 2^э(а 0T-b + b-T0a+b0T-a + a-T0b),
с = 2φ4Ά + 2</?5a · Τ + 2</?6a · Τ2 + φ-jb + </?8b · Τ + φφ · Τ2,
d = 2</?10Ь + 2</?цЬ · Τ + 2</?12b · Τ2 + φ7Ά + </?8a · Τ + </?9a · Τ2,
<p7 = <p7(j<7)(T,a,b), ..., J^(T,a,b)),
^l=^l+/l(T)(^2 + /2(T)^3, ^2 = -(^ + /1(ТЫ,
a J7 (T, a, b) — расширенная система (4.14.32).
Соотношения (4.14.87)—(4.14.89) можно представить также в
эквивалентной тензорно-квадратичной форме с помощью тензоров шестого,
четвертого, третьего и второго рангов:
'S = 4C·· Τ + ξΤ2+ 6L···· (Т0Т)+
+ (3МИ + 3Ν(α)) · а + (3М<6) + 3Ν<6)) · b,
с = Κ(α) · а + КИ) · b + Τ · · (3Μ(α) + 2 3Ν(α)),
d = Κ^ · b + Κ<α6) · a + Τ · · (3Μ(6) + 2 3Ν(6)).
Для группы ортотропии G% = О эти тензоры имеют вид
! 3
3Ν(α) = - ^((/?6+707 0 (аае0 + а0еа) + </?9+7°7 ® ύβ^),
7=1
1 3
3]\j(b) = _ ^((/?19+707 0 (Ьаер + &£βα) + (/?9+7°7 ® «αβ/з),
7=1
3 3 3
KW = 2 £ ^13+7ё2, К<6> = 2 £ V>i6+7e2, K(ab) = 2 £ ^^
7=1 7=1 7=1
(4.14.90)
ξ = 0, 6L = 3</?6 6Om, 3М<а) = О, 3М^ = О,
(4.14.91)
4c = E(^)e>e,) + fo10O1 + fo20O2 + fo30O3.
, 40)
7=1 г

§ 4.14. Тензорные функции нескольких тензорных аргументов
437
Для группы трансверсальной изотропии G$j = Т$\
3Ν(α) = 41{рх 0 (а2ё3 + а3ё2) + 02 0 {й\ёъ + а3ё0)+
+ у (03 0 (aie2 + а2ё0) + ^|^(Οι 0 ё2 + 02 0 ё0+
+ ^р (°ι ® Мз + 02 0 Мз) + ^р(03 0 (Mi + М2Ж
+ {φφ\ + 2^п^)ё1 ®ё1 + (^8«2+ 2^п^2)ё20ё2,
3N(6) = ^5 (Οι 0 (Мз + Мг) + 02 0 (Мз + Μθ) +
+ у^(03 0 (М2 + Μι)) + ^(Οι 0 ё2 + 02 0 ё0 +
+ ^(°1 ® «2ё3 + 02 0 aie3) + ^-(Оз 0 (aie2 + а2§0)+
+ {ψ\Φ\ + -^Р\\а\)ё\®ё\ + (</?8&2 + 2^и«2)ё20ё2,
6LeO, £ = <#>. 3М^=0, 3М^ = 0, (4.14.92)
К^ = 2у>6ё§ + 2ν?12Ε, Κ® = 2φ14ϊΙ + 2у>13Е, К<а» = <р9ё§ + φιΒΈ.
4с = ^g(T)E 0 Е + (^ _ ,ц _§ 0 _2+
+ (у - y>4)(Oi 0 Οι + 02 0 02) - ^ι(Τ)Δ.
Для группы изотропии G39 = I-
3N(a) = v?5a0E+ -</?8b0E, 3N(6) = <pnb<g>E + -</?8a0E,
3M^ = v?6(a 0 Τ + a · Τ 0 E) + ^(b 0 Τ + b · Τ 0 E),
3M^) = <p12(b 0 Τ + b · Τ 0 E) + ^(a 0 Τ + a · Τ 0 E),
K(a) = 2</?4E, K® = </?7E, K(a6) = 2v?i0E, 6L = 0,
ζ = φ3, 4C = ψ-Ε · Ε + ψ2Δ. (4.14.93)
В случае, если тензорная функция (4.14.90) является квазилинейной по
Т, то ξ = 0, 6L = 0, а тензоры 4С совпадают с соответствующими тензорами
для квазилинейных функций S(T) одного тензорного аргумента.
Упражнение к § 4.14
Упражнение 1. Показать, что скалярные функции
J2(60) = b · 4 · Τ · ё§ · а = ί23Μ3, А? = b ■ ё§ · Τ · ё? ■ а = Т13Мь
J2(80) = b · ё? · Τ · 4- а = fl2bia2, 4°] = Ъ · 4· Τ · ё§ ■ b = Т2зМз,

438
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
4°] = Ъ · ё? · Т · ё§ · b = Т13М3, J2(20) = b · 4· Τ · ё? · b = f 12δ,α2,
АО) _ . -2 . _ й2 τ(θ) _ b . =2 . b _ г2
являются совместными инвариантами вида (4.4.25) J7 (T, a, b) относительно
группы G% = О, однако не являются независимыми и выражаются через функциональный
базис (4.14.27):
<п\ J{0)J{0) <n\ J{0)J{0) <n\ J{0)J{0)
J26 — j(O) ' J27 — j(O) ' J28 — j(O) '
J9 J7 J8
(n\ J{0)J{0) tn\ J(0)J(0) r™ J(0)J(0)
t(O) _ ^iQ ^26 j(0) _ J\\ J<n j{0) _ ^28 J\2
J20 — j(O) ' J21 — 7(θ) ' J22 — 7(θ) '
J7 J8 J9
^ j(O) j(O) j(O) j(0)j(0)j(0) ,j(0),j{0)j{0)
j{0) _ J4 ^8 J9 j(°) _ J5 J7 J9 j(°) _ lJ6 \J7 J8
14 1 ,(0)i ,(Ο) ' J15 it(0)|7(0) ' J16 т(О) т(О) t(O)
\J6 \J7 \J6 \J8 J4 J5 J9
rn^ J{0)J{0)J{0) <n\ J{0)J{0)J{0) <n\ \J{0)\J{0)J{0)
j(O) _ ^4 J2\ J11 jiP) _ J5 J\0 Jcn j{0) _ \JQ 1^20 ^21
17 ι t(0)i t(O) ' *M8 , ,(0)i ИО) ' «Ίθ ,(θ) j(O) j(O)
Кб \J7 \u6 \J\7 °A u5 J<11
§ 4.15. Тензорные операторы
В МСС кроме тензорных функций применяют также и их обобщения —
тензорные операторы. Рассмотрим их.
4.15.1. Процесс изменения тензора и предыстория
Пусть имеется множество Vt тензоров k-го ранга из пространства £д (£з)>
в котором каждый элемент — тензор kT(t) — соответствует некоторому
значению параметра t (времени) из множества М+о неотрицательных чисел,
иначе говоря, имеется отображение
kT(t): R+o —> VTcE{3k)(E3), (4.15.1)
которое будем записывать также в виде
kT = kT{t), iGR+o- (4.15.2)
Если значение τ выбрать на отрезке 0 ^ τ ^ t, то отображение кТ(т),
0 ^ τ ^ t, будем называть процессом изменения тензора вплоть до момента
t или просто тензорным процессом. Процесс изменения тензора является
обобщением понятия обычной функции /(т), заданной на отрезке [0,£].
Предысторией тензора кТ называют процесс его изменения с обратным
временем отсчета и обозначают следующим образом:
*Т* = *Т*(Т) = ; v ' (4.15.3)
0, T^t.

§ 4.15. Тензорные операторы
439
4.15.2. Тензорное функциональное пространство
Рассмотрим два произвольных процесса fcTi и fcT2 и их предыстории
кТ\ (т) = fcTi (t - τ) и кТ$(т) = kT{(t-T),0<T<t, причем *Т*1>2(т) = 0 при
τ ^ t. Введем скалярное произведение процессов кТ\ и кТ2:
f к гг\ κ
(КТ, · *Т2)г =
fcrpi
fcrr<i /_\\fc...l 2,
Τΐ(τ).....(*Τ|(τ))*-ν(τ)ίίτ,
(4.15.4)
где 7(т) — некоторая непрерывная положительная, монотонно убывающая
функция, называемая функцией памяти, определенная на [0, оо) и
интегрируемая с квадратом, т. е. удовлетворяющая условию
7 (r)dr = 7о < +оо.
(4.15.5)
В силу того, что feTj 2 = 0 ПРИ τ ^ t, скалярное произведение (4.15.4) можно
представить в виде
' krr\ к
(*Т, · *Т2)« =
fcrrii
fcrrit/_\\fc...l~2.
Τί(τ)-...-(*Τι2(τ))*-ν(τ)(ίτ.
(4.15.6)
Если представить процессы fcTi и кТ2 в базисе е$ декартовой системы
координат Oef.
fcT1>2(r) = Т*;}"$(т) ёг1 0 ... 0ёг„ (4.15.7)
то формулы (4.15.4) и (4.15.5) примут вид
'km fe
(*Т,-кТ2)г =
T^lj"■*(* - r)r(2)il...tt(i - r)7^(r)dr. (4.15.8)
Нормой процесса изменения тензора kT E kHt назовем корень из
скалярного произведения его с самим собой:
||fcT ||t=(fcT· kT)lt/2. (4.15.9)
Просто нормой тензора кТ £ kHt будем называть корень из модуля его
полной свертки в момент t\
\кТ\ = |fcT(i)___; (^(t))*-1!172 = \f^"Ak{t)fi{„Ak{t)\x/2. (4.15.10)
к
Будем использовать также полную норму || ||ι процесса:
|| fcT||i = || kT \\t +|fcT|. (4.15.11)

440
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Определение 4.15.1. Множество всевозможных процессов изменения
тензоров k-го ранга кТ(т), 0 ^ τ ^ t' < +оо, которые
1) при τ < 0 дополняют нулевыми значениями: kT(r) = 0,т<0;
2) имеют в базисе ej декартовой системы координат компоненты
Тг1--Лк(т), являющиеся измеримыми, суммируемыми с квадратом
функциями, т. е. удовлетворяющими уравнению
(kTukT2) =
fiiy.ikp _ T)f{2)ii_ik(tf - τ)Ί2(τ)άτ < +oc, (4.15.12)
для любой пары элементов кТ\ и кТ2 из этого множества;
3) при каждом фиксированном τ являются элементами пространства
£з (£3) c введеными в нем обычным образом операциями сложения и
умножения на число,
называют тензорным функциональным пространством и
обозначают как kH[Q,tf] или kHt'.
Определение измеримости функций можно найти, например, в [16].
Пространство k/Ht>, очевидно, является евклидовым пространством:
сложение процессов kT\(r) + кТ2(т) и умножение их на число s кТ(т)
осуществляют для фиксированного одного и того же значения т, где кТ(т) Ε £g (£3)» а
^з (^з) — вектоРное пространство. Операцию скалярного умножения в кН#
вводят по формуле (4.15.4).
В отличие от Е$ и £д , пространство кН# является бесконечномерным — в
нем не существует конечного базиса. Однако в нем справедливо неравенство
(1.1.8а), которое для бесконечномерных пространств называется
неравенством Шварца и имеет вид
(fcTi ·*Τ2) ^|| fcTi II II кТ2 || . (4.15.13)
Здесь и далее примем обозначение || · || = || · ||t/.
4.15.3. Гильбертово пространство
Определение 4.15.2. Векторное евклидово бесконечномерное
пространство Η называют гильбертовым пространством, если выполнены
следующие условия: всякая сходящаяся в себе последовательность
элементов ап £ Η (η = 1, 2, ...) (см. п. 2.1.6) является сходящейся в Н, т. е.
удовлетворяет условию
lim || ап-а||2=0, (4.15.14)
п—>оо

§ 4.15. Тензорные операторы
441
где предельная точка а принадлежит этому пространству: а е Н. Здесь
|| а ||= (а-а)1/2 — норма, введенная по определенному в Η скалярному
произведению (а · Ь).
Это определение корректно, поскольку евклидово пространство Н, как
отмечалось в п. 2.1.6, всегда можно метризовать, т.е. ввести расстояние
/(а, Ь) =|| a —b ||2, а значит в нем определены все понятия метрического
пространства (см. п. 2.1.6).
Теорема 4.15.1. Пространство kHf является гильбертовым.
Τ Для доказательства достаточно перейти к декартову базису ё* и
рассмотреть функции компонент Тгх"Лк(т) тензоров кТ(т) Ε кН#. Эти функции
Τ11···ΙΑ:(τ) можно рассматривать как элементы многомерного пространства
измеримых суммируемых с квадратом функций .Ц [0,t], гДе гп = Зк, о котором
известно (см. [16]), что оно является гильбертовым. А
4.15.4. Определение тензорного оператора
Важную роль в МСС играют отображения тензорных функциональных
пространств — тензорные операторы.
Определение 4.15.3. Если имеет место закон, который каждому
процессу тТ е mHt' ставит в соответствие единственным образом процесс
nS G nHt', то говорят, что имеется отображение пТ тензорного
функционального пространства mHt' в nHt>, называемое также тензорным
оператором, которое обозначают следующим образом:
пТ: mHt> ^nHt>, (4.15.15)
или в виде зависимости
nS==njr(mT)5 nSl enHf VmT* emHt'. (4.15.16)
В МСС применяют также тензорные операторы от многих тензорных
переменных
пТ : mxHt> х ... х mkHt> —> ηΉν,
которые записывают в символическом виде
nS = njfc.(miTb _? т><Тк), (4.15.17)
nSenHt> V^T/G^ftt/, l=\,...,k.
Если в формуле (4.15.17) η = О, то имеем скалярный оператор от многих
тензорных переменных:
φ = φΓιΤι, ..., mkTk). (4.15.18)

442
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Кроме безындексного представления тензорного оператора (4.15.17),
используют также эквивалентное ему компонентное представление
тензорного оператора
8ч..лп =pl...in(rrjl...jmj _ TJkl'-jk), (4.15.19)
где компоненты тензоров введены в базисе е*:
nS(r) = S*'-^K 0 ... 0e,n, TO'T«(r) = Т;1"Лт1(т)е{1 ® ... ®еЦ1
1= 1, ..., k, O^r^t, (4.15.20)
a JF%\'-ln — компоненты тензорного оператора в базисе е*.
Определение 4.15.4. Тензорный оператор (4.15.16) называют
линейным, если для любых двух процессов тТ\(т), тТ2(т) Ε mHt и любых
вещественных s еШ имеют место соотношения
п£(тт{ + тт2) = nF(mT{) + п£(тт2),
nF(s mT{) = s nF(mT{). (4.15.21)
Пример 4.15.1. Простейшим примером тензорного оператора является
линейный оператор Вольтерры
т =
[Т(т) · · Т\т) dr + 4C·· T(t), O^t^t', (4.15.22)
где VS(£), T(t) Ε 2Hf — процессы изменения тензоров второго ранга, 4Г(т) —
тензор-функция времени (процесс), не зависящая от Т*(т) и S(r) и
фиксированная для данного оператора, называемая также ядром оператора, а 4С —
тензор-константа.
Поскольку Т*(т) = 0 при τ ^ £, то осуществляя в (4.15.22) замену
переменных t — T—>r, получаем еще одну форму линейного оператора Вольтерры:
t
S(t)= 4Γ(ί-τ)·· T(r)dr + 4C·· T(i), O^t^t', (4.15.23)
о
которую можно записать также в форме Больцмана с учетом правила
интегрирования по частям: t
S =
4-,. χ д
R(*-r)·· ^T(r)dr, (4.15.24)
στ
^ 4R{t)/dt = -4Γ(ί), 4R(0) = 4C,
где 4R(£) — тензор-функция времени, называемая ядром оператора.
Оператор Вольтерры значениям процесса S(t) в момент времени £ ставит в

§ 4.15. Тензорные операторы
443
соответствие значения процесса Т(т) не только в момент τ = t, но и во все
предшествующие моменты времени 0 ^ τ < t.
Компонентные представления операторов Вольтерры и Больцмана
(4.15.22)—(4.15.24) в базисе щ имеют следующий вид:
t
Sij(t) =
r^{t-T)Tkl{r)dT + C^klTkl{t),
Sij =
Rijkl{t-r)^(r)dT. D
ОТ
(4.15.25)
Пример 4.15.2. Примером нелинейного оператора, используемого в МСС,
является скалярный квадратичный оператор типа Вольтерры
φ = φ(Τ) = φ0 + -Τ.. 4С · · Τ + T(t)
[ri(i-T)..T(r)dr+
t t
1
+ 2
T(n) · · 4Γ(ί -TUt- τ2) · · Τ(τ2) άτι άτ2, (4.15.26)
о о
а также квадратичный оператор типа Больцмана
t t
φ = ф(Т) = φ0 + -
дТ
дТ
^-(η) · · *R(t - rut - τ2) · · ^-(τ2) dn dr2, (4.15.27)
дт\
дт2
О О
компонентное представление которого имеет вид
t t
φ = φο + 2
ду*(* - η,ί - Т2)^Тфх)^Тк1{т2) dn άτ2. (4.15.28)
>г?7г/.
0 0
Здесь 4Γ(τι,τ2) и 4R(ri,r2) — двухмоментные процессы изменения тензоров
4Г и 4R, 0 < т\ < t, 0 < т2 < t, также называемые ядрами оператора и
представляющие собой отображение вида Г : (0, t) χ (Ο,ί) —» £g (£3)· Эти
ядра не зависят от Т* и S. D
Теорема 4.15.2. При переходе из одного базиса е$ β другой базис е'· /сож-
понентное представление (4.15.19) тензорного оператора преобразуется
следующим образом:
QV.-QV^'-Nii
l-.-Jm
- к )
= FHl-in(Qjlli...Q
/
1
lm ι 1
y?m
Μ · · ·'mi
. V11, -ΟΤ Л ")· (4·15·29)

444
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
где Т,ч'"гп — компоненты тензорного оператора в базисе ej; Qli —
'■е'·
якобиева матрица: щ = Q^e'·.
Τ Доказательство теоремы оставим в качестве упр. 1 к § 4.15. А
4.15.5. Тензорные функции
Частным случаем тензорных операторов являются тензорные функции,
рассмотренные в §§ 4.6-4.12:
™S = n;F(mT). (4.15.30)
Если тензорная функция связывает два процесса изменения тензоров nS(t) и
тТ(£), то ее записывают следующим образом:
nS(t) = nF(mT(t)), (Kt^t'. (4.15.31)
Часто в МСС возникает необходимость дифференцирования тензорных
функций (4.15.31) по времени. Эту операцию осуществляют с помощью
уже введенной в §4.13 операции дифференцирования тензорной функции
по тензорному аргументу, полагая сам этот аргумент зависящим от t (т. е.
рассмотрим тензорную функцию от процесса изменения тензора тТ(£)):
nS(t) = nF(mT(t)) = P'-in(T^-j™{t))ei{ 0 ... 0 ein. (4.15.32)
Тогда полную производную от такой тензорной функции будем вычислять по
правилу дифференцирования сложной функции:
dnS fd=4t i\. _ dPl-in dfjl-jm_ _ ,Лле0о\
_=^_^...»jeii0...0ein = ____eii0...0ein. (4Л5.33)
Здесь мы учли, что ё$ не зависят от t.
Используя свойства символа Кронекера, преобразуем это выражение
следующим образом:
dnS dFx-in _ _ _,-. _,- dT^...km _
— ei{ 0 ... 0 ein 0 ел 0 ... 0 eJm · ... · — ekm 0 ... 0 efcl
(4.15.34)
dt дт3'···3™ ' n dt
Поскольку
dmT(m...i)=dffc1...fcmefcmgiieefci| (4.15.35)
то в результате приходим к следующей теореме.
Теорема 4.15.3. Полная производная по времени от тензорной функции
(4.15.31), аргументом которой является процесс изменения тензора,
равна т-кратной свертке тензора производной от этой функции с полной
производной от транспонированного тензорного аргумента:
ι пц j miri(m...l)
^ = ST ·... · ^Λ . (4.15.36)
dt dt y J

§ 4.15. Тензорные операторы
445
Обратим внимание на то, что при выводе формулы существенным образом
использовался не зависящий от t базис ё*.
Пример 4.15.3. Если применить формулу (4.15.36) к скалярной функции, то
получим
ψ=^φ(Τ) = φτ.-Τ\ D (4.15.37)
4.15.6. Непрерывность и ограниченность тензорных операторов
Вернемся к операторам общего вида (4.15.15) и рассмотрим понятия
непрерывности и ограниченности операторов.
Определение 4.15.5. Тензорный оператор (4.15.15)
пТ : U С mHt> —> V С nHt>
называют непрерывным в области U с mHt', если для всякого
процесса тТ е U выполняется условие \/ε > 0 3δ > 0 такое, что для любого
процесса тТ, для которого (тТ + mT) e U и
||mT||i<£, (4.15.38)
выполняется условие близости значений операторов
|| п:F(mT + mT) - nF(mT) || < ε. (4.15.39)
Определение 4.15.6. Тензорный оператор (4.15.15)
ητ: υ с mntl —> ν с nnt>
называют ограниченным в U, если образ nJr(Uf) всякого
ограниченного подмножества U' с U является ограниченным подмножеством в V,
т. е. пТф') = V'cV.
Теорема 4.15.4. Пусть тензорный оператор (4.15.15)
пТ : mHti —> nUt'
является линейным, тогда он является ограниченным в mHt', если
и только если он ограничен в единичной замкнутой ε-окрестности
υχ(™Ό) = {тТ G mHt :|| тТ ||К 1} с центром в точке т0 е тПи т. е. если
существует такое число 0 < С < +оо, что
|| n;F(mT) || ^ С, V mT G Ux (m0) с mHt>· (4.15.40)
Τ Пусть оператор nj^(mT) ограничен в m'Ht/, тогда, согласно определению,
образ всякого ограниченного множества из m'Ht>, в частности ?7i(m0), будет
ограничен, что и обеспечивает выполнение условия (4.15.40).
Докажем теорему в обратную сторону. Пусть выполнено условие (4.15.40).
Выберем произвольное ограниченное множество U' С m/Htf, тогда 3R > 0,

446
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
такое, что || тТ \\\^ R, VWT G U'. Следовательно, соответствующий ему
элемент mT/R будет лежать в U\(m0), т. е. || mT/R \\\^ 1 и, согласно (4.15.40),
|| nJr(mT/R) ||^ С. Вычислим норму образа nJr(mT) произвольного элемента
mT G U'. В силу линейности оператора, имеем
|| njc-(mT) || = || R nF{mT/R) ||^ RC < +оо, (4.15.41)
т. е. nj^(mT) — действительно ограничен. А
Теорема 4.15.5. Пусть тензорный оператор (4.15.15)
пΤ : mHt> —> nUt>
является линейным, тогда он является ограниченным в m/Ht>, если и
только если
3C>0, VmTGm^: ||n;F(mT) ||^ С || mT||i . (4.15.42)
Τ Пусть оператор nJr(mT) является линейным и ограниченным, тогда,
согласно теореме 4.15.4, он ограничен в U\(m0). Выберем произвольный
ненулевой элемент mT G mHt', тТ φ m0. Тогда элемент^ mT = mT/ || mT ||i
имеет единичную норму || mT ||i= 1 и, следовательно, mT G ?7i(m0), а, в силу
(4.15.41), || nF(mT ||^ С, поэтому
II S{ L) || = || J-{ 1/ II 1 Hi) 11 = 11 J-{ I)/ || 1 ||i|| =
= ||n;F(mT) || /||mT||i^C, (4.15.43)
отсюда следует (4.15.42).
Если mT = m0 G m'Ht>, то, в силу линейности оператора, nJr(m0) = п0, и
условие (4.15.42) тоже выполнено.
Докажем теорему в обратную сторону. Пусть оператор n^"(mT) является
линейным и выполнено условие (4.15.42) VmT G mHt'. Тогда это условие
выполняется и для тТ, имеющего единичную норму || тТ ||= 1, т.е. для
mT G ?7i(m0), поэтому для него из (4.15.42) следует (4.15.40), а, согласно
теореме 4.15.4, это влечет за собой ограниченность оператора (4.15.15). А
Теорема 4.15.6. Линейный тензорный оператор
пТ : mUt> —> nUt>
непрерывен тогда и только тогда, когда он ограничен.
Τ Пусть nj^(mT) — непрерывен. Предположим противное, что он не
ограничен, тогда, согласно теореме 4.15.4, образ nJ:(U\(TnO)) единичной
окрестности ?7i(m0) — не ограничен в m/Ht'·. Это означает, что У k G N существует такой
элемент тТк G Ui(mO) и || тТк ||К 1, что || п^(тТк) \\^ к. Следовательно,
элемент тТк = тТп/к тоже принадлежит U\ (mO) и
||mTfc ||i = ||mT||i /к, (4.15.44)

§ 4.15. Тензорные операторы
447
а также _
|| nF(mTk) 11 = 11 nF(mTk) || /к ^ 1. (4.15.45)
Таким образом, мы нашли такое число ε = 1, что для любого δ > О существует
такой элемент тТк Ε ?7i(m0), что || mTfc — m0 ||i^ \/к < δ {к выбираем из
условия \/к < δ), и одновременно
|| nF(mTk) - nF(m0) 11 = 11 nF(mTk) 11 = 11 nF(mTk) \\/k^\=e.
Это означает, что оператор nj^(mT) не является непрерывным в нуле, что
невозможно. Значит, сделанное допущение ложно, и оператор nj^(mT)
ограничен.
Докажем теорему в обратную сторону. Если оператор nj^"(mT) ограничен,
то, согласно теореме 4.15.5, справедливо условие (4.15.42). Выберем
произвольное число ε > О, тогда найдется такое δ = ε/C, что для любого элемента
mT Ε U$(m0) такого, что || тТ — т0 ||< δ, согласно (4.15.42), выполняется
соотношение
|| nF(mT) - mF(m0) \\ζ С || mT ||< C5 = ε, V mT Ε ^(m0), (4.15.46)
но, согласно определению 4.15.5, это означает непрерывность оператора в
нуле.
Рассмотрим произвольный элемент тТ ε m/Ht>, элемент mTi,
принадлежащий некоторой его (^-окрестности: mTi Ε U$(mT), и элемент mT = mTi — mT,
принадлежащий ^-окрестности нуля: mT Ε %/(m0). Выберем произвольное
число ε > 0, тогда по нему, из условия непрерывности (4.15.46) оператора в
нуле, найдем такое число δ > О, что для любого mT e и$(т0) выполняется
соотношение _
||n;F(mT) ||^ ε. (4.15.47)
Это означает, что для любого элемента mTi E U$(mT) будет выполнено
соотношение
|| nF(mT{) - nF(mT) 11 = 11 nF(mT{ - mT) 11 = 11 nF{mT) ||< ε, (4.15.48)
т. е. оператор n^"(mT) — действительно непрерывен в произвольной точке
тТ Ε mHt'. A
Очевидно, следствием теорем 4.15.5 и 4.15.6 является еще одна теорема.
Теорема 4.15.7. Линейный оператор (4.15.15) непрерывен тогда и только
тогда, когда выполняется условие (4.15.42).
4.15.7. Дифференцирование тензорных операторов
Рассмотрим вопрос о дифференцировании тензорных операторов общего
вида (4.15.15), вообще говоря, не являющихся тензорными функциями. В
этом случае вместо обычной полной производной функции (4.15.36) вводят

448
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
функциональную производную по Фреше.
Для определения производной по Фреше
удобно представить сам оператор (4.15.16) в
несколько ином виде:
ns(t) = nF{mT) = п f (тт{г),тт\т)),
т=0
О ^ t ^ tf < +оо.
(4.15.49)
В этой записи в качестве аргумента оператора
вместо процесса тТ(т), 0 ^ τ ^ t, выбрана
эквивалентная ему совокупность (тТ(£),тТ*(т)),
О < τ ^ t ^ t' из значений тензора в момент
времени t и предыстории этого тензора. Такую
совокупность будем называть проколотым
процессом (рис. 4.15.1). В силу того, что тТь(т) = О
при τ ^ t, областью значений аргумента τ у
оператора всегда может быть выбрана полуось
О ^ τ < +оо.
Переформулируем в терминах ε ~ δ
обычное определение дифференцируемости по
времени тензорного процесса nS(r) £ n/Ht>.
Определение 4.15.7. Тензорный процесс
nS(r) G nHt' называют дифференцируемым в точке t Ε (0,t'), если
существует такой линейный по At процесс D nS, обозначаемый как
Рис. 4.15.1. Процесс
изменения тензора Τ(τ) (α),
предыстория тензора Ть{т) {б) и
проколотая предыстория тензора
(Γ(ί),Τ*(τ))(β)
DnS(t,At) = ^-^At,
at
(4.15.50)
и удовлетворяющий условию \/ε > 0 3δ > 0 такое, что ΥΔί,
удовлетворяющего t + At ^ t' и At < δ, одновременно выполнено условие
где
\AnS\/At<e,
Δ nS = nS(t + At) - nS(t) - D nS(t, At),
(4.15.51)
(4.15.52)
a Ate
(0,доопределение 4.15.8. Тензорный оператор (4.15.49) называют
дифференцируемым по Фреше в точке тТ Ε U области U с mHt>, если
существуют операторы дТ : mHt —> nHt и δΤ : mHt' —» nHf,
обозначаемые как
д
dF(mT, mT) =
δΡ^Τ] т
e-T(t)£(",TM"*<T»
~ η оо
J DtT=0
mrp(m.
Т(*),тТ*(т)1 тТ*(т))
О
№.
(4.15.53)
(4.15.54)

§ 4.15. Тензорные операторы
449
— непрерывные и линейные по аргументам mT(t) и тТ*(т)
соответственно, и удовлетворяющие условию \/ε > О 3δ такое, что для всякого
процесса (тТ(г),тТ\т)), для которого (mTi(t),mT^(r)) с U и
||mT||i<£, (4.15.55)
одновременно выполняется условие
|| Δη:Γ|| / || mX ||i<£r, (4.15.56)
где
AnF = nSi(i) - nS(t) - д ™;F(mT,mT) - δ ™;F(mT|mT). (4.15.57)
Здесь использованы обозначения
nSi (t) = п Τ (mTi (t), mT\ (τ)), nS(t) =nF (mT(t), тТ*(т)) (4.15.58)
т=0 т=0
И
ГТ{(г),тТ\(т)) = (mT(t) + mT(t), тТ\т)) + тТ\т)). (4.15.59)
Правая часть оператора (4.15.53) представляет собой скалярное умноже-
ние двух тензоров: mTim---u и д J7 /дтТ — тензора производной тензорной
т=0
функции (4.15.49) по тензорному аргументу тТ(£), который вычисляют по
правилу (4.13.2).
Оператор (4.15.54) называют производной по Фреше.
Обозначим Uf — множество процессов mT(£) е mHf, имеющих
непрерывные производные по t: mT(t) и mT(t), принадлежащие mHt'· Ввиду
непрерывности процессов mT(t) и mT(t) на [0,tf], они являются ограниченными,
т. е. существуют такие числа С\, С2 > О, что Vt Ε [0, t']:
\mT(t)\ ^ С{, \mf(t)\ ^ С2. (4.15.60)
Очевидно, что норма этих производных также ограничена:
ГПгтл ||2
,2im
Y\mT(t-r)\zdr^Ct
.2^2
Υ(τ)άτ = %Ci < +oo, (4.15.61)
о о
|| mT ||N Chi < +oo. (4.15.62)
Теорема 4.15.8. Пусть тензорный оператор (4.15.49) является
дифференцируемым по Фреше в ™Ήν, тогда существует такое t E (0,t'), что для
всех процессов тТ(т) е Ut процесс nS(t) дифференцируем по t и имеет

450
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
место следующее правило дифференцирования тензорного оператора по
времени:
ί ns«=a4wr?o{mT{i)-mTi(T)) · - · I mT(m-,)w+
D °°
~DtT'=o'
+ ^7 Г (тТ(Ь),тТ\т)\Т\т)). (4.15.63)
Τ Фактически требуется доказать, что функция от времени t: nS(t) =
t
= п Τ (тТ(£),тТ*(т)), задаваемая оператором (4.15.49), удовлетворяет
услать
вию (4.15.50) дифференцируемости по t, причем ее производная dnS/dt в
формулах (4.15.50)—(4.15.52) совпадает с правой частью выражения (4.15.63),
т. е.
lS(t) = д nF(mT,mT) + SnF(mT\ mT). (4.15.64)
П\
Иначе говоря, при выполнении условия
Υε > 0 3δ > 0 такое, что \/At: t + At ^ t' и At < δ,
должно иметь место
Ω =|| ^-(nS(t + At) - nS(t)) - д ™;F(mT,mT) - δ ™;F(mT|mT) ||< ε.
(4.15.65)
Докажем выполнимость этого условия. Рассмотрим некоторое Δί-приращение
момента времени: t + At ^ tf, и определим процесс Т(т), участвующий в
определении 4.14.5, следующим образом:
mT(r) = mT(t + At) - mT(r), O^r^t. (4.15.66)
Предыстория этого процесса имеет вид
mT*(r) =mT(t - τ) = mT(t + At - τ) - mT(t-r), 0<r<+oo. (4.15.67)
Очевидно, что тТ*(т) = 0 при т ^ t + At, а процесс тТ\(т) выражается
следующим образом:
™Ti(T) = mT(r) + mT(r)= mT(r + Ai),
mT\(T) = mT(t + At-T)= ™τί+Δί(τ)· (4.15.68)
Установим свойства этого процесса тТ(т).
А. Поскольку процессы тТ с Ut — дифференцируемы по t, то, согласно
определению 4.15.7, по всякому ει найдется такое δ\, что \/At: t + At < t\ и
At < δ\ выполняется условие
1
At
■j-(mT(t + At)- mT(t))- mT(t) = ^mT- mT <ει, (4.15.69)
1
Δί

§ 4.15. Тензорные операторы
451
тогда
^ТО)| =
Δί
тгр
+ \тТ\ < ει + С\ = С\ < +оо. (4.1570)
Здесь мы использовали (4.15.60).
Б. Рассмотрим другую норму того же процесса:
1 N тпг\ ц2_ 1
Δί1
Δί1
,2/,\im
Y(r)\mT(t + At-r)- mT{t-r)\zdT =
Δί
At"
72(r)
-f mT(i - τ + u)du
du
dr <
oo Δί
<
At
At2
72(r)
0 0
lT(t-T + u)\2dudT. (4.15.71)
Здесь использовано неравенство Шварца (4.15.13). Меняя порядок
интегрирования и учитывая (4.15.61), получаем
Δί
1
mnp ιι2
т \\i< ^~
Δίζ " "" ~ Δί
Аналогично получаем
Ύ(τ + и) \\t du ^ %C{ < +oo, t + u<t'. (4.15.72)
о
Δί
|| mT ||2=|| mT(r + Δί) - mT(r) ||2^ Δί
В. Проводя те же преобразования, получаем еще одну оценку
о
Т(т + и) ||t du ^ 7ο<?|Δί2.
(4.15.73)
Δί
7
-ί(™Τ(ί + Δί-τ)- mT(i-r))- mT(i-r)
AA6
dr
о
Δί
Αϊ
72(r)
(mt(i-r + w)- mT(i-r))<b
dr <
0 0
oo Δί
<
At_
Δ?
72(r)
0 0
lT(i -r + u)- mT(i - r)\2du dr ^
Δί
< —
^ Δί
lT(r + u)- mrt(r) ||2 du. (4.15.74)

452
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Используя (4.15.73), находим, что при 0 ^ и ^ At
11 Δί
Г. Из (4.15.70) и (4.15.72) следует, что
rarri
тТ ||?^ Δί27ο<?|. (4.15.75)
rarri и
1111 <7oCi+Clf (4.15.76)
Δί
а из (4.15.69) и (4.15.75) при At < <5ι и Δί ^ t\ - t получаем
miry
„ At mT\\^^C2 + ei. (4.15.77)
Рассмотрим функцию Ω (4.15.65) и преобразуем ее следующим образом:
Ω =|| (^-(nS(t + Δί) - nS)) - -^-д η?(™Ύ, mT) - -U ^(™Т|тТ)) +
mi-ri mi-ri
+ д nF(mT, —- - mT) + δ nF(mT\—- - mt) II . (4.15.78)
y At ' v ' Δί ' " v '
Здесь мы воспользовались свойством линейности операторов д пТ и δ ηΤ.
Используя неравенство треугольника, получаем
Ω ^Ωι +Ω2 + Ω3, (4.15.79)
Ω! = -i- \\nS{t + At) -nS(t) - д nF(mT,mT) - δ nF(mT\mT) ||, (4.15.80)
rarp
Ω2 =|| д nF(mT, —- - mT) ||, (4.15.81)
rarj-i
Ω3 =|| δ nF(mT\-^ - mt) || . (4.15.82)
Дадим оценку по отдельности каждому из трех слагаемых в правой части
неравенства (4.15.79).
Поскольку по определению оператора (4.15.49)
оо . оо
nS(i + Δί) - nS(i) = Τ (mT(i + At),mTt+At(r)) - Τ (mT(i), тТ\г)) =
т=0 т=0
оо оо
= :F(mTi(i),mTi(r))- ^•(TOT(i),mTt(r)) = Si(i)-S2(i), (4.15.83)
т=0 т=0
(здесь мы использовали формулы (4.15.68) и обозначения (4.15.58)), тогда
имеем
Ωι = ~L " Sl^ " S2^ " д n^(mT,mT) - δ ™;F(mT|mT) II . (4.15.84)
Так как оператор (4.15.49) дифференцируем по Фреше, имеет место
неравенство (4.15.56) при выполнении (4.15.55), т.е. по всякому ει > 0 найдется
такое #2(ει), что если || тТ ||ι< δ\, то
II гпт| II
«ι < gi" д""· (4.15.85)

§ 4.15. Тензорные операторы
453
Поскольку, по условию теоремы, операторы дТ и δΤ — непрерывные и
линейные по второму аргументу, то, согласно теореме 4.15.5, существуют
такие числа С3 > 0 и С$ > О, что
mrin mrin
Ω2 =|| д ";F(mT, -± - mT) ||^ С3 || -^ - mT ||i, (4.15.86)
mrri mrwi
ς}3 =\\ δ nF(mT\—--mT) ЫС4 || -r^-mt ||i . (4.15.87)
о и ν ι At ) ιι\ <* и д^ iii ν /
Выберем произвольное число ε > О и определим ει как
ει = ^ . (4.15.88)
7oCi + Ci + 2(С3 + С4)
По числу ει из условий (4.15.69) и (4.15.85) найдутся такие δ\(ε\) и ^(ει),
а, следовательно, существует и такое значение
5 = mln{5lt J2 ~, -^-}, (4.15.89)
7oCi + Ci 70^2
что если At < δ и At ^ £' — ί, то имеет место Δί < δ ^ #ι и выполняются
неравенства (4.15.76) и (4.15.77), которые принимают вид
|| тТ ЦК (7oCi + <5ι)Δ£ <: (7oCi +6ι)δζ δ2, (4.15.90)
mrj-ι
„ Δί πιΤ\\ι^Ίύ02δ + ει^2ει. (4.15.91)
Следовательно, выполняется и неравенство (4.15.85), которое с учетом
(4.15.76) принимает вид
Ωι ^ei(7oCi+Ci). (4.15.92)
Тогда из (4.15.92) и (4.15.86), (4.15.87) следует, что
Ω ^ Ωι + Ω2 + Ω3 ^ ei(7oCi + С χ) + 2(C3 + CA)ex =
= ει(7ο<?ι + Cx + 2(C3 + C4)) = ε, (4.15.93)
что и требовалось доказать. А
Формулы (4.15.57), (4.15.58) иногда записывают в виде
пТ (mT(t) + mT(t), тТ*(т)+ тТ*(т)) = п£(тТ(г),тТ*(т))+
т=0 V / т=0
+ д ™;F(mT,mT) + 5 п^г(тТ|шт) + 0(тТ), (4.15.94)
где о(тТ) = Δ ηΤ — оператор, удовлетворяющий (4.15.56).
Замечание 4.15.1. Теорема 4.15.8 позволяет вычислять производные по Фре-
ше от операторов (4.15.49) посредством вычисления обычной производной по
t от функций S(t) согласно формуле (4.15.63).
Приведем пример применения этой формулы.

454
Глава 4. Тензорные функции и тензорные операторы
Пример 4.15.4. Вычислим производные по Фреше от линейного
оператора Больцмана (4.15.24). Используя формулу (4.15.63), вычисляем обычную
производную по t по правилу дифференцирования интеграла с переменным
верхним пределом
t
1 S = 4R(0)·. ^(ί) +
dt w dty J
4-d/
dT
Kf(t-T)--—(r)dT,
0
где 4R'(y) = д 4К(у)/ду.
Сравнивая (4.15.95) с (4.15.63), находим
t
d
дГ = Щ0)· ^Τ(ί), ЪТ =
d
nK'(t - τ) · · jtT(r)dr,
о
(4.15.95)
(4.15.96)
— операторы частной производной и производной по Фреше, которые,
очевидно, являются линейными. D
Упражнение к § 4.15
Упражнение 1. Доказать теорему 4.15.2.

Литература
1. Акивис Μ.Α., Гольдберг В.В. Тензорное исчисление. М.: Физматлит, 2005. 304 с.
2. Багавантам С, Венкатарайуду Т. Теория групп и ее применение к физическим
проблемам: Пер. с англ. М.: КомКнига, 2006. 296 с.
3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит,
2008. 312 с.
4. Будак Б.М., Фомин СВ. Кратные интегралы и ряды. М.: Физматлит, 2002. 512 с.
5. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М.: Наука, 1978. 296 с.
6. Горшков А.Г., Рабинский Л.Н., Тарлаковский Д.В. Основы тензорного анализа и
механика сплошной среды. М.: Наука, 2000. 256 с.
7. Димипгриенко Ю.И. Тензорное исчисление. М.: Высш. шк., 2001. 576 с.
8. Димипгриенко Ю.И. Нелинейная механика сплошной среды. М.: Физматлит, 2009. 624 с.
9. Дубровин Б.Α., Новиков СП., Фоменко А.Т. Современная геометрия: методы и
приложения: В 3 т. Т. 1. Геометрия поверхностей, групп преобразований и полей. М.: УРСС,
2001. 336 с.
10. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М.:
Физматлит, 2004. 464 с.
11. Ильин В.Α., Лозняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Физматлит, 2005. 280 с.
12. Ильин В.Α., Лозняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 1. М.: Физматлит,
2005. 644 с.
13. Ильин В.Α., Куркина А.В. Высшая математика. М.: Проспект, 2002. 592 с.
14. Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Кри-
щенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 336 с.
15. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Четвериков В.Н. Дифференциальное исчисление
функций многих переменных / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2000. 456 с.
16. Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа.
М.: Физматлит, 2006. 572 с.
17. Коренев Г.В. Тензорное исчисление. М.: Изд-во МФТИ, 1996. 256 с.
18. Кострикин А.И. Введение в алгебру: В 3 т. Т. 1. Основы алгебры. Т. 2. Линейная алгебра.
М.: Физматлит, 2004. 272 с, 368 с.
19. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начало тензорного исчисления. М.: Наука, 1965.
436 с.
20. Курош А.Г. Теория групп. СПб.: Лань, 2005. 648 с.
21. Лохин В.В., Седов Л.И. Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных
аргументов // Прикладная математика и механика. 1963. Т. 27. № 3. С. 393-399.

456
Литература
22. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
23. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.
24. Мак-Конел А.Дж. Введение в тензорный анализ: Пер. с англ. М.: Физматгиз, 1963. 412 с.
25. Морозова В.Д. Введение в анализ / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. 408 с.
26. Най Дж. Физические свойства кристаллов: Пер. с англ. М.: Изд-во иностр. лит., 1960.
386 с.
27. Петров А.3. Пространства Эйнштейна. М.: Физматгиз, 1961. 464 с.
28. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986. 286 с.
29. Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр II: Линейная алгебра. М.: Наука, 1986.
400 с.
30. Рашевский П.К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: УРСС, 2010. 664 с.
31. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: УРСС, 2003. 432 с.
32. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2 т. Т. 1, 2. Спб.: Лань, 2004. 528 с, 560 с.
33. Сиротин Ю.И., Шаскольская Н.П. Основы кристаллофизики. М.: Наука, 1979. 640 с.
34. Смирнов В.И. Курс высшей математики: В 2 т. Т. 2. СПб.: БХВ-Петербург, 2008. 848 с.
35. Сокольников И.С. Тензорный анализ: Теория и применения в геометрии и механике
сплошных сред: Пер. с англ. М.: УРСС, 2010. 376 с.
36. Спенсер Э. Теория инвариантов: Пер. с англ. М.: Мир, 1974. 156 с.
37. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков: Пер. с англ. М.: Наука, 1965. 456 с.
38. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 2004.
798 с.
39. Abraham R., Marsden J.E., Ratiu T. Manifolds, Tensor Analysis and Applications. Springer,
1988. 456 p.
40. Boehler J.P. Application of Tensor Functions in Solid Mechanics. Springer, 1987. 432 p.
41. Defant Α., Floret K. Tensor Norms and Operator Ideals. Elsevier Science, 2001. 376 p.
42. Dimitrienko Yu.I. Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions. Dordrecht/Boston/London:
Kluwer Academic Publishers, 2003. 662 p.
43. Heinbockel J.H. Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics. Trafford
Publishing, 2001. 432 p.
44. Papastavridis J.G. Tensor Calculus and Analytical Dynamics. CRC Press, 1998. 378 p.
45. Sharafutdinov V.A. Integral Geometry of Tensor Fields. VSP Int. Sci. Publishers, 1994. 440 p.
46. Simmons J.G. A Brief on Tensor Analysis. Springer, 1997. 244 p.
47. Wooster W.A. Tensors and Group Theory for the Physical Properties of Crystals. Claredon
Press, 1973. 386 p.

Предметный указатель
Базис 13
- биортогональный 25
- взаимный 25
- локальный 132
поверхности 198
- декартов 114
- диадный 57
- кристаллофизический 314
- ортонормированный 20
- полиадный 60
- тензорный 323
- собственный 80
- левый 80
- правый 80
- триадный 59
- функциональный 332
- совместных инвариантов 416
Базисная диада 53
- сопряженная 61
- полнада 60
- триада 59
Вектор 13, ПО
- аксиальный 42
- бинормали 192
- вихря 149
- главной нормали 192
- касательной 191
- коллинеарный 19
- кривизны 191
- геодезической 209
- нормальной 209
- кручения 193
- локального базиса 129
единичный 170
- нормали к поверхности 198
- ортогональный 19
- полярный 43
- приложенный в точке ПО
- свободный 13
Вектор собственный 80
- сопутствующий кососимметрич-
ному тензору 97
Векторный набор 49
- однотипный 49
Винтовая линия 195
Гиперплоскость 112
Гиперповерхность 129
Главные кривизны поверхности 213
- направления на поверхности 212
- нормальные сечения 213
Градиент вектора 147
- деформации 12
- от градиента скаляра 163
- от дивергенции вектора 166
- тензора 167
- от ротора вектора 166
- скаляра 145
- тензорной ^-функции 304
Группа 311
- Абелева 311
- изомерная 322
- коммутативная 311
- конечная 311
- максимальная 313
- непрерывная 311
- полная ортогональных
преобразований 313
- унимодулярная 319
- симметрии тензора 320
- тензорной функции 341
- симметрическая 314
- собственно-ортогональных
преобразований 319
- собственно унимодулярная 319
- точечная 311
Девиатор обобщенный 382
Дельта-функция 299
- тензорная 301

458
Предметный указатель
Детерминант матрицы 16
- тензора 93
Диада 68
Дивергенция вектора 150
- от градиента вектора 165
- скаляра 163
- тензора 167
- от дивергенции тензора 167
- от ротора вектора 166
- тензора 167
- тензора 154
Дифференциал вектора 148
- тензора 137, 153, 360
- функции 123
- частичный 424
Длина вектора 18, 113
- дуги 190
- элементарная 190
- тензора 77
Замкнутый контур 235
Замыкание множества 116
Инвариант 42, 330
- квадратичный 335
- кубический 336
- линейный 335
- полиномиальный 333
- скалярный 330
- совместный 416
- спектральный квадратичный 383
- линейный 382
- тензора главный 101, 336
- функционально независимый 330
Инвариантность вектора 15
Инвариантный объект 63
Индекс 29
- немой 31
- свободный 31
Интеграл вдоль кривой 230
- криволинейный векторный второго
рода 232
- от компонент тензора 230
- первого рода 230
- скалярный второго рода 232
- тензорный второго рода 232
Интеграл несобственный второго
рода 259, 276
- первого рода 259
- третьего рода 261, 276
- объемный 243
- поверхностный векторный второго
рода 238
- первого рода 237
- скалярный второго рода 238
- тензорный второго рода 238
- тройной 243
Интенсивность тензора 385
Квадрат тензора 76
Класс 312
- (Л)-ромбоэдрический 312
- (Б)-ромбоэдрический 312
- гексагональный 312
- изотропии 313
- квазиизотропный 312
- квазитрансверсально-изотропный
312
- кубический 312
- моноклинный 312
- ортотропии 312
- тетрагональный 312
- трансверсальной изотропии 313
- триклинный 312
- эквивалентности 47
Ковектор 26
Компоненты вектора 13
- ковариантные 28
- контравариантные 28
- тензора в диадном базисе 57
- в полиадном базисе 60
- контравариантные 72
- независимые 78
- смешанные 72
- физические 171
- функционала 23
Координатные столбцы 25
- строки 24
- линии 129
- плоскости 113
Координаты декартовы 111

Предметный указатель
459
Координаты криволинейные 127
- ортогональные 169, 198
- полярные 196
Коэффициенты второй квадратичной
формы поверхности 201
- первой квадратичной формы
поверхности 199
- связности 143
Кривая 129
- гладкая 189
- замкнутая 235
- непрерывная 189
- плоская 193
Кривизна гауссова 215
- геодезическая 211
- главная поверхности 213
- кривой 191
- нормального сечения 211
- полная 215
- средняя 215
Кручение кривой 193
Куб тензора 76
Лапласиан 164
- вектора 166
- тензора 167
Линии геодезические поверхности 218
- кривизны 216
Максимальный шаг разбиения
кривой 229
Матрица линейного преобразования 22
- метрическая 20
- в окрестности поверхности 220
- обратная 20
- поверхности 197
- обратная 16
- якобиева на поверхности 238
- ортогональная 306
- фундаментальная 20
Множество замкнутое 115
- компактное 116
- континуальное 116
- ограниченное 115
- открытое 115
- связное 116
Набла-оператор 146
Начало вектора ПО
- координат 111
Неравенство Коши — Буняковского 18
- треугольника 18
- Шварца 440
Норма процесса изменения тензора 439
- тензора 439
Область 116
- замкнутая 116
Образ 20
Обратная матрица 16
- подстановка 70
Объем параллелепипеда 40
- элементарный 242
Ограничение тензора на
подпространстве 89
Окрестность поверхности 219
- точки 115
- проколотая 115
Оператор 20
- линейный 21
- тензорный 441
- дифференцируемый по Фреше 448
- линейный 442
Больцмана 442
Вольтерры 442
- непрерывный 445
- ограниченный 445
Операция жонглирования индексами 71
- свертки 16
- скалярного умножения 17
Определитель Вандермонда 407
- матрицы 16
Ортогональное дополнение 19
Ортопроектор 382
Ось анизотропии 314
- бесконечного порядка 307, 316
- вращения 316
- декартовой системы координат 113
- зеркально-поворотная 317
- инверсионно-поворотная 318
- кристаллографическая 305
- симметрии главная 316
- η-го порядка 316

460
Предметный указатель
Ось трансверсальной изотропии 307
Отношение эквивалентности 46
Отображение 20
- биективное 20
- взаимнооднозначное 20
- инъективное 20
- линейное 21
- регулярное 126
- сюръективное 20
Параметры Ламе 170
- поверхности 199
Параметрическое задание кривой 129
Пересечение линейных
подпространств 17
Плоскость кристаллографическая 306
- т-мерная 112
- наклонного сечения 211
- нормальная 193
- нормального сечения поверхности 210
- симметрии 317
- соприкасающаяся 193
- спрямляющая 193
Площадь элементарной площадки
поверхности 200
Поверхность 116, 129
- вращения 225
- т-мерная 128
Подгруппа 313
Подпространство векторное 16
- инвариантное 89
- относительно тензора 89
- линейное 16
- несобственное 17
- собственное 17, 89
Подстановка обратная 70
- ортогональная 70
Поле векторное 134
- скалярное 134
- тензорное 133
- дифференцируемое 136
- непрерывное 135
Полиада 68
Последовательность Коши 115
- сходящаяся 115
- в себе 115
Потенциал 369
- объемный (Ньютона) 271
Правая тройка векторов 38
Предел последовательности 115
- функции 118
Представитель класса 47
Представление задающего тензора
второе 345
первое 345
третье 346
- преобразования матричное 305
- спектральное квазилинейной
тензорной функции 393
полное 394
укороченное 394
- приращения потенциала
квазилинейной функции 392
- спектральное тензора 381
- тензорного оператора безындексное
442
компонентное 442
- тензорной функции компонентное 340
второе 345
матричное 347, 354
непотенциальной в тензорном
базисе 401
первое 345
потенциальной в тензорном базисе
371
третье 347
Предыстория тензора 438
Преобразование аффинное 305
- зеркального отражения 308
- зеркально-поворотное 317
- инверсии 309
- линейное 21
- координат 305
- ортогональное 306
- собственно 307
- тождественное 307
- трансверсальной изотропии 307
- унимодулярное 306
- центральное 305
Приращение аргумента 123
- функции 123

Предметный указатель
461
Произведение векторное 37, 92
- двойное 39
- декартово 46
- класса на число 48
- подстановок 70
- скалярное векторов 17
- процессов 439
- тензоров /с-кратное 72
- смешанное 39
- тензорное линейных пространств 50
- тензоров 67
- функционала на число 24
- элемента множества на число 49
Производная ковариантная 153
- на поверхности 205
- от ковариантных компонент
вектора 147
тензора 152
- от контравариантных компонент
вектора 147
тензора 152
- от смешанных компонент тензора
152
- скаляра 146
- контравариантная 152
- от ковариантных компонент
вектора 147
тензора 152
- от контравариантных компонент
вектора 147
- по нормали к поверхности 245
- по Фреше 449
- тензорного поля по вектору 245
- частная тензорного поля 137
- функции 122
Прообраз 20
Пространство арифметическое 15
- аффинное ПО
- евклидово 113
- векторное 12
- векторов ПО
- гильбертово 440
- евклидово 17
- изоморфное 23, 114
- линейное 12
Пространство метризованное 116
- метрическое 114
- нормированное 138
- порождающее 63
- сопряженное 25
- тензорное 62
- евклидово 72
- функциональное 440
Процесс двухмоментный 443
- изменения тензора 438
дифференцируемый 448
Прямая 112
Псевдовектор 42
Псевдотензор 108
Радиус кривизны 191
- кручения 194
Радиус-вектор 112
- элементарный 130
Разбиение тензора на шаровую и
девиаторную части 384
Размерность пространства 13
Разность двух векторов 13
Расстояние между точками 113
Ротор вектора 149
- от градиента вектора 166
- скаляра 164
- от дивергенции тензора 167
- от ротора вектора 166
- тензора 167
- тензора 155
Свертка индексов 16
Символы Кристоффеля 143
- второго рода 145
- первого рода 145
двумерные 204
- Леви-Чивиты 34
Сингония 312
- гексагональная 312
- кубическая 312
- моноклинная 312
- ромбическая 312
- ромбоэдрическая 312
- тетрагональная 312
- триклинная 312

462
Предметный указатель
Система векторов ортогональная 19
- ортонормированная 19
- инвариантов расширенная 416
- согласованная 417
- функционально зависимая 332, 416
независимая 332, 416
- координат декартова 111
прямоугольная 114
Скаляр 62
Собственные векторы 80
- значения 80
Сопровождающий трехгранник
пространственной кривой 192
- поверхности 203
Степень k-я тензора второго ранга 76
- п-я декартова 46
Сумма классов элементов 48
- линейных подпространств 17
прямая 17
- линейных функционалов 24
- однотипных элементов множества 49
- тензоров 52
Текстура 313
Тензор 50
- вихря 150
- второго ранга 58
- деформации линейный 150
- единичный (метрический) 75
- задающий линейную функцию 342
- изомерный 310
- индифферентный 320
- относительно группы 320
- интегральных сумм 229
- ковариантный 62
- кососимметричный 96
- кривизны поверхности 207
- линейных преобразований 310
- на линейном пространстве 50
- направляющий 324
- напряжений 12
- неособенный 93
- несовместимости 168
- образующий 324
- обратный 93
- относительный η-го ранга 108
Тензор ортогональный 98
- положительно определенный 95
- производной 360
- тензорной функции по
тензорному аргументу 408
- частной 424
- ранга к 60
- Римана — Кристоффеля 207
- симметричный 87
- смешанный 62
- соосный 96
- типа (р, q) 62
- транспонированный 70
- третьего ранга 59
Тензорная поверхность 95
Тензорный закон 40, 65
- признак 66
- обратный 66
- прямой 66
Теорема Гамильтона — Кэли 103, 337
- Гаусса 215
- Коши о существовании предела 119
- Менье 211
- об интегральном тождестве 247
- о среднем 248
- о стягивании интегралов к точке 255
- о циркуляции потенциального
тензора 236
- Рисса 27
- Риччи 154
- теории поверхностей основная 208
Точка бесконечно близкая 130
- внутренняя 115
- граничная 115
- поверхности гиперболическая 216
- омбилическая 216
- параболическая 216
- уплощения 216
- эллиптическая 216
- предельная множества 115
- пространства аффинного
n-мерного ПО
- разрыва функции 121
Триада базисная 59
Умножение скалярное 17

Предметный указатель
463
Уравнение Гаусса 207
- Петерсона — Кодацци 207
- Пуассона 287
- векторное 294
- характеристическое 81
Фактор-пространство 48
Форма поверхности вторая
квадратичная 201
- первая квадратичная 199
Формула Гаусса 246
- Гаусса — Остроградского
векторная 244
- скалярная 244
- тензорная 244
- Гельмгольца 150
- Грина 246
- обобщенная 274
- деривационная 204
- замены переменных в объемном
интеграле 243
в поверхностном интеграле 237
- разложения тензора второго ранга
по диадному базису 58
- Стокса 239
- векторная 240
- скалярная 240
- тензорная 240
- Френе вторая 194
- первая 194
- третья 195
- Эйлера 214
Функционал 21
- линейный 23
Функция бесконечно большая 121
- бесконечно малая 121
- вещественнозначная 21
- гармоническая 164
- дельта- 299
- дифференцируемая 123
- дважды 124
- непрерывно 125
- кусочно-непрерывная 121
Функция линейная 121
- непрерывная 119
- нетривиальная 331
- обратная 121
- ограниченная 120
- памяти 439
- скалярная 21
- регулярная на бесконечности 274
- индифферентная относительно
группы линейных преобразований 359
- от η тензорных аргументов 415
- тензорного аргумента 358
- тензорная 339
- изотропная 402
- индифферентная 340
относительно группы 341
- линейная 341
- от η тензорных аргументов 429
- полиномиальная 404
- потенциальная 369
квазилинейная 376
по k-щ тензорному аргументу 430
- псевдопотенциальная 430
- тривиальная 331
- финитная 120
- центрированная 341
- ^-образная 298
Характеристический полином 81
Характеристическое уравнение 81
Циркуляция тензора 235
Число независимых компонент
тензора 78
Эквивалентные элементы 46
Элементарная длина дуги 190
- площадка поверхности 200
ориентированная 200
Элементарный объем 242
Элементы симметрии 318
Ядро оператора 442

Учебное издание
Димитриенко Юрий Иванович
МЕХАНИКА СПЛОШНОЙ СРЕДЫ
В четырех томах
Том 1
ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
Редактор И. Е. Овчеренко
Технический редактор Э. Л. Кулакова
Художник С. С. Водчиц
Корректор JI. Н. Петрова
Компьютерная графика, компьютерная верстка И. Д. Димитриенко
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№77.99.60.953.Д.003961.04.08 от 22.04.2008 г.
Подписано в печать 09.12.2010. Формат 70x100 1/16.
Усл. печ. л. 37,7. Тираж 500 экз.
Заказ
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
E-mail: press@bmstu.ru
http://www.press@bmstu.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н. Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.
Тел.: 8-499-263-62-01.

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана