Е.К. ЮНИН
1п11И1ВЮ’Ч1МТ©Т1п1Ы^
11ЮЯ1Е1ШШ1Я1
oraMiHioir©
imcTimoTA
МОСКВА "НЕДРА" 1983
УДК 622.24.053.6:534.2
Юиин Е.К. Низкочастотные колебания бурильного инструмента. М.,
Недра, 1983, с. 132.
Рассмотрены низкочастотные колебания системы долото - бурильная
колонна, вызываемые взаимодействием шарошечных долот с забоем в
бурящейся скважине. Проанализировано влияние интенсивных низкочас-
тотных колебаний бурильной колонны на эффективность разрушения
горных пород шарошечными долотами. Предложен алгоритм отработки
долот. Освещены вопросы динамики системы долото - бурильная колон-
на при проводке наклонных скважин. Впервые даны рекомендации по
выбору профиля наклонной скважины в процессе ее проектирования, что-
бы предотвратить различные осложнения, вызываемые интенсивным!
продольными колебаниями бурильной колонны.
Для научных и инженерно-технических работников буровых пред-
приятий нефтяной и газовой промышленности. Может быть полезна сту-
дентам старших курсов нефтяных вузов и факультетов, обучающихся по
специальности ’’Бурение нефтяных и газовых скважин”.
Табл. 2, ил. 61, список лит. - 27 наэв.
Рецензент д-р техн, наук Р.М Эйгелес (ВНИИБТ)
2504030300- 030
043(01) - 83
243-82
© Издательство ’’Недра”
1983
ИГЕДИСЛиВИЬ
Динамическим процессам, протекающим в бурильном инстру-
менте, а также вопросам взаимодействия вооружения долота с
забоем посвящено большое количество работ: как специальных
монографий, статей, так и учебной литературы (хотя в учебни-
ках, предназначенных именно для студентов-буровиков, вопро-
сы динамики совместной работы долота и колонны бурильных
труб применительно к показателям процесса бурения освещены
недостаточно).
На протяжении ряда лет результаты экспериментальных ис-
следований по внедрению инденторов в поверхность горной по-
роды должны были привлекаться, насколько это возможно, для
целей совершенствования вооружения шарошечных долот, по-
скольку последние разрушают горную породу путем внедрения
в нее зубцов. При этом здесь используются такие характеристи-
ки, как удельная объемная работа разрушения; время контакта,
необходимое для разрушения горной породы при воздействии на
нее индентора, и т.п. Однако в ряде случаев практика бурения
противоречит рекомендациям, полученным исходя из экспери-
ментов по статическому и динамическому внедрению инденто-
ров в образцы горных пород. Последнее, видимо, можно объяс-
нить слишком формальным подходом к использованию экспери-
ментальных данных в силу того, что аналитическое описание про-
цессов разрушения горной породы крайне сложно, а в ряде слу-
чаев просто невозможно. Это полностью относится и к вопросам
внедрения как одиночных, так и групповых инденторов в по-
верхность горных пород. Следовательно, эти вопросы подлежат
дальнейшему обсуждению.
К настоящему времени установлено, что волновые процессы
в бурильной колонне могут очень сильно влиять на эффектив-
ность разрушения горных пород. При этом степень их влияния
определяется как компоновкой бурильной колонны и парамет-
рами режимов бурения, так и механическими свойствами разбу-
риваемых пород. Следует отметить, что эти вопросы также еще
далеки от их полного разрешения как в научном, так и в практи-
ческом планах.
В книге рассмотрены некоторые вопросы динамики буриль-
ного инструмента при проводке скважин на нефть и газ, а также
взаимодействия инденторов с горной породой.
При изложении ряда вопросов, связанных с динамикой рабо-
ты бурильного инструмента, необходимо применение довольно
3
сложного математического аппарата, вызванного спецификой
раздела науки, именуемого математической физикой. Однако
автор, где это представлялось возможным, стремился к предель-
но упрощенным расчетным схемам исследуемых явлений, в ко-
торых учитывались физико-механические факторы первостепен-
ной важности. Последнее делалось для того, чтобы избежать из-
лишне громоздких математических выкладок, часто затеняю-
щих физическую сущность. Это замечание, в частности, относит-
ся к главе I, где в основном рассматривается качественная сто-
рона исследуемых процессов.
Глава I
О ПАРАМЕТРАХ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ИНДЕНТОРОВ С ГОРНОЙ ПОРОДОЙ
§ 1.	НЕКОТОРЫЕ ОСОБЕННОСТИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ЕДИНИЧНЫХ ИНДЕНТОРОВ С ПОРОДОЙ
Создание математических моделей процессов, протекающих при
разрушении горных пород, очень сложно. Поэтому с целью выяв-
ления интересующих закономерностей будем прибегать к упро-
щенным моделям, что даст возможность выявить в первую оче-
редь качественную картину протекания исследуемых процессов.
Учитывая трудности аналитического описания процессов
внедрения инденторов в горную породу, можно сделать ряд до-
пущений.
1.	Взаимодействие инденторов с породой (которая будет
представлена в трех вариантах: идеально-пластичная, идеальная
упруго-пластичная и идеальная упруго-пластичная с упрочнени-
ем) вызывает только упруго-пластичную деформацию породы
без образования объемных выколов и трещин.
2.	Конфигурация выемки, образующейся в породе после воз-
действия на нее индентора, полностью совпадает с частью инден-
тора, погрузившегося в породу.
3.	Энергия, подводимая к породе с целью ее разрушения, рас-
ходуется по прямому назначению только частично. Оставшаяся
ее часть рассеивается в виде упругих волн в массиве породы,
идет на повышение температуры индентора и породы и тд. Вви-
ду того, что все составляющие энергетических потерь учесть
сложно, в ряде случаев часть их во внимание не принималась.
Это не влияет на качественную сторону исследуемых процессов.
4.	Поскольку одним из параметров, характеризующих эф-
фективность разрушения горной породы, является удельная объ-
емная работа разрушения, а в нашем случае рассматривается
только пластическая деформация породы, то будем рассматри-
вать некоторую условную объемную работу разрушения А у, рав-
ную отношению энергии, подведенной с целью деформирования
среды, к объему лунки, возникшей в породе при воздействии на
нее индентора.
Рассмотрим схему взаимодействия при внедрении падающего
индентора в сплошное полупространство, представленную на
рис. 1.
Пусть цилиндрическое тело массой ши диаметром основания
5
a
Рис. 1. Расчетная схема по взаимодейст-
вию падающего индентора с деформируе-
мой средой
Рис. 2. Диаграмма усилие-внедрение для
идеальной упруго-пластичной среды
D падает с высоты Н и внедряется в направлении оси Ох в полу-
пространство. Считаем, что падающий цилиндр - абсолютно
жесткий, а вещество, заполняющее полупространство, образует
идеальную упруго-пластичную среду. Зависимость усилия сопро-
тивления Р от внедрения х индентора в полупространство пред-
ставлена на рис. 2, где Ру - усилие, при котором начинается те-
кучесть, ах - соответствующая ему глубина внедрения.
Очевидно, что цилиндр начинает контактировать с поверхно-
стью полупространства, обладая энергией 3 = mgH, где g -
ускорение свободного падения в поле силы тяжести Земли (см.
рис. 1,д). С момента контакта индентора с полупространством
вплоть до углубления нижнего основания цилиндра на величину
х = хт происходит упругая деформация полупространства (рис.
1,6). Далее индентор начинает пластически деформировать рас-
сматриваемую среду, проникая на некоторую глубину х, до тех
пор, пока не израсходуется вся его начальная энергия Э. При
этом, как видно из рис. 1 ,в, х = хт + h, где h - глубина пласти-
ческого внедрения индентора. Очевидно, что при внедрении ин-
дентора на глубину х часть энергии Э пошло на упругое дефор-
мирование полупространства. В итоге (рис. 1 ,г), извлекая ин-
дентор из деформированной среды, получаем выемку диамет-
ром D и глубиной h (величина хт, характеризующая меру упру-
гой деформации, обращается в нуль после снятия нагрузки).
6
Рис.З. График для определения количе-
ства энергии, пошедшей на деформацию
упруго-пластичной среды
Рассмотрим теперь зависимость удельной объемной работы
разрушения Ау (т.е. работы, потребной на разрушение единицы
объема среды) от количества подводимой к разрушаемой среде
энергии 3. Указанная величина является одной из важнейших,
характеризующих энергоемкость разрушения горных по-
род [21].
Будем подходить и сейчас, и в дальнейшем к этому вопросу с
двух позиций: с точки зрения именно того количества энергии
(обозначим его через Эо), которое необходимо для разрушения
(в данном случае деформации) среды, и с точки зрения общего
количества энергии Э (в данном случае Э = mgH), подводимого
к разрушаемой среде.
На рис. 3 изображен стрелками ход процесса создания выем-
ки в полупространстве по схеме, представленной на рис. 1. Вна-
чале при изменении х от нуля до значения лт происходит упругая
деформация среды. Затем начинается пластическое углубление
индентора (после достижения усилия воздействия Р величины
Р ) вплоть до значения х = х^ + h (это легко установить из рис.
3). После снятия нагрузки с деформируемого полупространства
и после исчезновения упругой составляющей деформации значе-
ние х будет равным величйне h, т.е. глубине выемки в полупро-
странстве.
Очевидно, что количество энергии 3Q, пошедшее именно на
создание выемки, будет равно площади паралеллограмма, огра-
ниченного зависимостью Р(х), линией разгрузки и осью Ох (на
рис. 3 эта площадь заштрихована), откуда Эа = P^h .
Объем выемки V в полупространстве (см. рис. 1,г) равен
V = itPPhl^.
Следовательно, удельную объемную работу, идущую только
лишь на разрушение (деформирование) материала, которую
обозначим через A v, можно записать в виде A v = 3 IV=
= P^h^irD2h , т.е.	°
ЛоК = ат>	(О
где от — напряжение текучести деформируемой среды (предел
текучести).
Итак, для рассмотренной модели упруго-пластичной среды
7
удельная объемная работа AqV равна пределу текучести от Фи-
зически полученный результат очевиден: для того, чтобы заста-
вить деформироваться среду, следует произвести работу да еди-
нице пути силой, равной усилию текучести (см. рис. 2 И 3), при-
ходящемуся на единицу площади.
Заметим, что зависимость объема выемки V от энергии 3Q в
рассматриваемом случае имеет вид
^ = Э0/от.	(2)
Теперь рассмотрим удельную объемную работу разрушения с
точки зрения общего количества энергии 3, подводимого к де-
формируемой среде.
В лабораторных условиях для целей построения диаграмм
’’усилие—внедрение”, ’’удельная объемная работа разрушения —
подводимая энергия” и т.д. очень часто используют различные
копровые установки как наиболее простые из лабораторных
установок, служащих для определения указанных выше характе-
ристик горных пород [24]. Механизм взаимодействия таких
установок с испытуемой породой принципиально ничем не отли-
чается от процесса, схематически изображенного на рис. 1.
Если считать копер (в нашем случае это цилиндр) абсолютно
жестким, а энергию 3 целиком расходуемой на разрушение (де-
формацию) породы, что обычно и принимается на практике, то в
этом случае удельную объемную работу разрушения А у можно
записать в виде А у = Э/V.
Очевидно, что 3 = mgH пойдет частично на упругую деформа-
цию среды, а частично — на пластическую, т.е., как это видно из
рис. 3, получаем
3 = 3 + -Рх ,
о 2 т т
где второе слагаемое — доля энергии, расходуемая на упругую
деформацию среды. Легко догадаться, что после снятия нагруз-
ки величина упругой деформации постепенно стремится к нулю
(из-за частичного восстановления первоначальной формы полу-
пространства) и, следовательно, доля энергии, пошедшая на
упругую деформацию, может считаться безвозвратно потерян-
ной. Поэтому назовем ее работой (энергией) потерь Ап, откуда
Э = Э„ +АП.
о п
Выразив отсюда энергию 3Q и подставив в выражение для V
и А у, получим
Э - А
К =------1,	(3)
а
т
8
ntc 4. Зависимость парамет-
ров процесса разрушения
упруго-пластичной среды от
количества подводимой энер-
гии
Рис. 5. Расчетная схема по вза-
имодействию падающего
упругого индентора с идеаль-
но-пластичной средой
AV ~
Э~АП
(4)
Зависимости (1), (3) и (4) графически показаны на рис. 4,
откуда видно, что чем ближе значение энергии Э к величине Ап,
тем выше удельная объемная работа А у, причем при стремлении
Э к Ап удельная работа А у стремится к бесконечности. Физиче-
ски это оправдывается тем, что при Э = Ап происходит только
упругая деформация среды, в то время как разрушение (пласти-
ческая деформация) отсутствует. Хотя Э Ф 0, но V = 0. По мере
увеличения подводимой энергии Э удельная работа А у прибли-
жается к AQy. Объем же выемки V возрастает прямо пропор-
ционально начальной энергии ударника Э = mgH.
Теперь рассмотрим схему взаимодействия упругого инден-
тора с идеально-пластиштым полупространством (рис. 5).
Пусть индентор пренебрежимо малой массы с плоским осно-
9
ванием диаметром U посредством пружины (размером / в сво-
бодном состоянии и обладающей коэффициентом жесткости к)
связан с массивным телом массой т, центр тяжести которой рас-
положен над поверхностью полупространства на высоте Н (рис.
5,а). При падении на полупространство ударник, обладающий
энергией 3 = mgH, расходует ее на преодоление сил сопротивле-
ния внедрению индентора со стороны деформируемой среды и на
создание энергии упругой деформации самого ударника (рис.
5,6). Пусть при уменьшении скорости внедрения индентора в по-
лупространство до нуля условная пружина, характеризующая
упругость ударника, преобретает из-за поджатия размер Z < I.
Лунка, полученная в результате пластической деформации полу-
пространства, изображена на рис. 5,в. Зависимость усилия внед-
рения Р от глубины внедрения х показана на рис. 5,г; здесь же
стрелками указано протекание процесса внедрения.
Очевидно, что в рассматриваемом случае справедливо равен-
ство 3 = 3Q + Ап, где 3Q = РТх - количество энергии, пошедшее
именно на образование лунки; Ац — работа (энергия), пошед-
шая на создание упругой деформации ударника, т.е. работа, бес-
полезная с точки зрения разрушения среды (работа потерь).
Работу AQy запишем в виде
Работа же потерь будет количественно равна потенциальной
энергии сжатия условной пружины:
Лп = ^^o-U2-
Наряду с этим, поскольку сила, действующая со стороны по-
лупространства на индентор, равна усилию поджатия пружины
(так как масса индентора близка к нулю), то к(1 — I ) = Р ,
откуда
*('0-'к)2 [*(/0-/к)]2
л	и Л	V	ГК	I
п	2	2к	2к
Следовательно, энергия, которой обладает ударник в началь-
ный момент взаимодействия с полупространством, будет равна
Э = Э„ +Р2/2к.
о т'
Таким образом, энергия, подводимая с целью разрушения
10
Рис. 6. Зависимость удельной
объемной работы разрушения
от количества подводимой
энергии и упругости инденто-
ра (к} < кг)
Рис. 7. Идеализированная диа-
грамма усилие - внедрение
для высокопластичных и
сильно пористых пород
полупространства, разделяется на
(пластической деформации)
энергию, идущую непосредственно по назначению (энергия Эо
пластической деформации среды), и на энергию потерь. Соотно-
шение этих энергий в рассматриваемом случае в зависимости от
коэффициента жесткости ударника к показано на рис. 6,а. Чем
жестче ударник, тем меньше работа потерь.
Работа A v может быть выражена как
„ а а Э
. Э Э	т
и " V °т ~
или же
Э - Р*/2к
(5)
Из формулы (5) следует, что значение удельной объемной
работы разрушения А у в большой мере будет определяться
11
жесткостью ударника: чем выше жесткость, тем ближе A у к
AqV (т.е. к истинной удельной объемной работе разрушения).
На рис. 6,6 в качестве примера приведены две зависимости А у
для различных значений к, откуда видно, что при к^ < к^ и од-
ном и том же значении Э = удельная работа А > А .
Наконец, рассмотрим взаимодействие индентора с полупро-
странством, материал которого подчиняется зависимости Р - х,
показанной на рис. 7. Представленная зависимость в некотором
приближении подобна зависимости нагрузка — глубина вдавли-
вания штампа для высокопластичных и сильно пористых пород
[21]. Процесс образования и форму выемки, полученной в по-
лупространстве при воздействии на него ударника, обладающего
начальной энергией Э, принимаем аналогичными соответствую-
щим процессам, представленным на рис. 1 и 5. Последователь-
ность нагружения полупространства указана на рис. 7 стрелками.
Очевидно, что величину энергии Эо в данном случае можно
записать как (см. рис. 7)
,	Р + Р
Э = -(Р- PJx„ +Рх = ---------х.
о 2Ч т7 п т п 2 п
Из этого выражения объем V полученной выемки в полупро-
странстве можно представить в виде
где 5 = -пЬ1 /4 - площадь поперечного сечения лунки (или, что
одно и то же, цилиндрического штампа).
Выразим теперь нагрузку Р > Р? через величину .
Согласно рис. 7 справедливо равенство
Э = - Рх + (х - хт)Р + - (х - хт)(Р - Р ) - 2 (х- х„)Р.
о 2ttV tzT2v т7 v t-'2v п7
Очевидно, что
Р
tg Oj
х~хп
X - X
т
Р-Р
т
tg «2
Подставив эти соотношения в выражение для Эо, после эле-
ментарных преобразований и приведения подобных членов полу-
чим относительно Р квадратное уравнение:
(-^-------— + Р^х - 23 = 0, где х = Р / tg а
tg а2 tgtg а2 т т 0	т т
12
откуда
р = V^+гё^ ,
(6)
tg a tg а
где в = --------------
tg а, - tg а2
Следовательно, объем лунки связан с энергией 3Q как
25Э„
Г= ------,
Pr + VPT2 + 20ЭО
ИЛИ
23
V = ------- -° в -----------,	(7)
a [1 + V1 + 2---ГЭ ]
т	(а/)2 0
где °т=Т)т/5 — предел текучести.
Удельная объемная работа
л ' Эо
AoV = — > 0ТКУДа
а / а
+ Л +	-Л].	(8)
Работа A v выразится как A v =3/V.
Поскольку энергия ударника при контакте с полупростран-
ством частично расходуется на потери, характеризуемые работой
Ап, то Эо = 3 - Ап, откуда
20- Лп)
г /-------5---------,
от[1 + <1+2---;О-ЛП)]
(о/)
(9)
G о	/ Д
А V = э—+ V1 + 2 ^<э - лп)1 •	(10)
Рассмотрим частный случай, когда А = const.
Тогда можно показать, что зависимость А у от 3 имеет стро-
13
гии минимум в точке j = j*, где
(И)
При этом минимальное значение A v = Ау^п будет равно
а 5
т	__________________
+	/ уДЦв 2 O S
---[1 +V1 + (--------) (1 + 2—====-)]. (12)
1 + 2^ V
Зависимости (8), (9) и (10) изображены в координатах
(А у, Э) и (К, Э) на рис. 8, откуда видно, что удельная работа
Аоу монотонно увеличивается с возрастанием энергии Э, в то
время как А у вначале уменьшается по мере роста Э, а затем при
Э > Э* начинает увеличиваться, асимптотически приближаясь к
AQy при Э, стремящемся к бесконечности. Объем же лунки V
монотонно возрастает с увеличением Э.
Рассмотрим случай, когда ударник абсолютно жесткий. В си-
лу этого предположения он не сможет запасать потенциальную
энергию сжатия и тем самым работа потерь А целиком опреде-
лится площадью треугольника аххп (см. рис. 7):
А„ - - (х - х )Р.
п 2 v п7
Наряду с этим, поскольку х - х = Р/ tg а , то А =
= P2l2tgai.
Воспользовавшись зависимостью (6), получим
Р2 + 2вэ Р2 а
А = —--------1= —L_ + JLj .
2tga[ 2tg af tg ctj 0
Учитывая, что 3Q = Э - Ап, из последнего соотношения имеем
2рт2 + 9э 1 (ат5)2 + вэ
4	= ________= 1_____________
п в + tg в + tg а}
После подстановки полученного значения Ап в формулу
и несложных преооразовании зависимость л у
рассматриваемого случая запишем в виде
от j для
a d Q
А ~ т
V *	(От5)2
Э----------
2tg
[1 +
1+2
tg a j Р2
——М.(1з)
(aS)2	2tg
tg а.
где 1? =-----------------> 0.
tg % - tg а2
Зависимость (13) качественно идентична зависимости (10)
(см. рис. 8). Точка минимума в данном случае находится как
(14)
(15)
Рассмотрим взаимосвязь между величинами AQy и А у во
всех изученных нами случаях.
Отношение этих величин независимо от конкретно рассмат-
риваемого случая записывается следующим образом:
Av = Э
Aov э ~ Ап
(16)
Зависимость (16) показывает, что наиболее полно энергия Э,
подводимая к среде с целью ее разрушения (деформирования),
реализуется либо в случае равенства нулю работы потерь Лп, ли-
бо когда энергия Э значительно превосходит в темпах своего
прироста энергию (работу) потерь Ап.
Итак, во всех рассмотренных в настоящем параграфе случаях
взаимодействия ударника с деформируемым полупространст-
вом следует отметить, что по диаграмме Ау — Э нельзя пол-
ностью судить об эффективности разрушения среды, контакти-
рующей с индентором.
Действительно, в отличие от диаграммы A qV - Э, характери-
зующей эффективность разрушения только лишь породы (в на-
шем случае — полупространств с различными характеристиками
Р - х), диаграмма А у - Э учитывает и рассеяние энергии (рабо-
ту потерь Д ), а потому не может служить объективной оценкой
15
Рис. 8. Теоретические зависимо-
сти параметров разрушения вы-
сокопласгичной горной породы
от количества подводимой энер-
гии
разрушаемости породы, осдп
величина А зависит как от ме-
п
ханических характеристик
ударника (что видно, напри-
мер, из рис. 6), так и от потерь
в самой деформируемой среде
(см. рис. 3 и 7) в виде упругих
волн, распространяющихся от
места контакта ударника с по-
лупространством (при реаль-
ных копровых установках —
через фундамент основания в
грунт); звуковых волн, также
уносящих часть энергии, и тщ.
Более того, по характеристике
породы, каковой является диа-
грамма A v - Э, нельзя судить и
о наиболее подходящем количестве энергии, которое требуется
подвести к среде для наиболее эффективного ее разрушения.
Действительно, обратимся к последнему из проанализиро-
ванных случаев (см. рис. 7 и 8).
Пусть на некоторой конкретной установке для породы, ха-
рактеризуемой зависимостью усилие — внедрение, представлен-
ной на рис. 7, получена зависимость А у - Э, показанная на рис.
8. Тогда, очевидно, если учитывать только характер зависимости
А у от Э, то с целью наиболее экономичного процесса разруше-
ния (деформирования) полупространства следует подводить ко-
личество энергии Э, определяемое формулами типа (11) и (14),
поскольку в этом случае удельная объемная работа разрушения
Ау будет минимальной [формулы (12) и (15)].
В то же время это противоречит зависимости (16), показы-
вающей, что с точки зрения эффективного использования энер-
гии нужно подводить такое ее количество, чтобы Э было много
больше А .
Если же строить зависимости А у - Э на различных по своим
свойствам установках (в отличие от названной выше конкрет-
ной), то точки минимума для различных установок будут неоди-
наковыми.
В рассмотренных случаях было получено либо монотонное
убывание А у от Э (см. рис. 4 и 6), либо эта зависимость содер-
жит один минимум (см. рис. 8). Однако можно показать, что
при зависимости Р - х, аналогичной зависимости усилие-внед-
рение, типа пластично-хрупких пород, приведенной на рис. 9, за-
16
Рис. 9. Диа1рамма усилие-
внедрение, содержащая
скачок разрушения горной
породы
Рис. 10. Зависимость параметров разру-
шения породы, имеющей диаграмму
усилие-внедрение со скачком разруше-
ния, от количества подводимой энергии
висимость А у - Э будет подобна той, которая изображена на
рис. 10, т.е. имеет уже две ярко выраженные экстремальные точ-
ки (на этом же рисунке приведены зависимости AQ у и V, как
функции переменной величины Э).
Характер установленных теоретических зависимостей весьма
близок к кривым А у - Э, получаемым экспериментально [8,
25 и др.]. Это же указывает на то, что использовать данные зави-
симости А у - Э для повышения эффективности процесса разру-
шения горных пород следует весьма осторожно, поскольку, не
говоря уже об отличии экспериментальных установок у различ-
ных исследователей, слишком уж велика разница между механи-
кой разрушения породы на экспериментальных лабораторных
установках и в процессе проводки глубокой скважины.
§ 2. О ВЛИЯНИИ ЧАСТОТЫ ВРАЩЕНИЯ ДОЛОТА
НА ИНТЕНСИВНОСТЬ РАЗРУШЕНИЯ ЗАБОЯ
Многие исследователи используют результаты по динамическому
внедрению инденторов с целью рассмотрения эффективности
взаимодействия вооружения шарошечных долот с породой при
разрушении последней.
В связи с этим проанализируем взаимодействие индентора и
породы с точки зрения временных факторов.
Пусть имеется образец из идеального упруго-пластичного ма-
териала, в который внедряется недеформируемый ударник мас-
сой т с начальной высоты Н (рис. 11,д). При этом в начальный
2-994 •	5 0 3 26 1
“Г. - •>.
17
Рис. 11. Расчетная схема по взаимодействию вооружения зубчатого венца
с упруго-пластичной средой в случае отождествления процессов разруше-
ния породы падающим индентором и зубчатым венцом
момент времени t = 0 он обладает кинетической энергией Э,
равной mgH, откуда начальная скорость соударения р опреде-
лится по общеизвестной формуле (если пренебречь потерями
энергии при взаимодействии индентора с окружающей средой)
р0 = л/^Я.	(17).
Пренебрегая весом ударника mg по сравнению с силами
инерции и сопротивления внедрению в образец, можно записать
уравнение движения ударника в процессе контактирования с об-
разцом (см. рис. 11 ,а): тх = - Р, где
I — х при хе [0,лт],
Р =1 J
(18)
Начальные условия: 1.х(г = 0) = 0, 2.х(г = 0) = v
Исходя из характера силы сопротивления внедрению инден-
тора в образец^, задачу (18) следует разбить на два этапа: упру-
гое внедрение при изменении хе [0, хт] и пластическое внедре-
ние при х > х .
18
упругое внеорение.
В этом случае уравнение движения (18) принимает вил
Р
х + —— .г = О,
тх
т
откуда с учетом начальных условий получаем
(19)
Время упругого внедрения Z определим из выражения (19),
положив в нем x(Zy) = *т, откуда
(20)
Имея в виду, что mv° = 2Э, время Z можно выразить через на-
чальную кинетическую энергию, как
(21)
Пластическое внедрение
В этом случае уравнение (18) запишем в виде тх = — Р^.
Взяв условно и в этом случае начальное время t = 0, запи-
шем начальные условия как
1	.Г = 0:л- = х‘т.
2	. Г = 0 : х = x(f ) = i’0Vl —
Начальное условие (2) получено путем дифференцирования
по времени выражения (19) в момент t = t , определяемый по
формуле (20).
С учетом начальных условий решение в стадии пластического
внедрения запишем как
(22)
Очевидно, что максимальная глубина пластического внедре-
ния 3 будет достигнута в момент времени Г = Z (время пласти-
19
ческого внедрения), когда скорость внедрения обращается в
нуль. Следовательно, продифференцировав формулу (22) по
времени, приравняв после этого нулю и решив полученное урав-
нение относительно времени, найдем время / пластического
внедрения:
откуда (после несложных преобразований)
или же через энергию
(23)
(24)
Полное время взаимодействия индентора Гр (время разруше-
ния образца, или, что то же самое, время внедрения индентора на
максимальную глубину 6) равно сумме времени упругого внед-
рения t и пластического Гп,что согласно формулам (20) и (23)
дает
Если же воспользоваться зависимостями (21) и (24), то по-
лучим-выражение Г через энергию Э
(26)
Следует отметить, что говорить о времени разрушения поро-
ды индентором можно только в том случае, когда его время воз-
действия на породу t > Z поскольку при t < / разрушения по-
роды нет, а есть лишь упругая деформация. Это замечание —
принципиального характера. В частности, оно отражено и в фор-
мулах (25) и (26). Действительно, если индентор обладает на-
чальной энергией взаимодействия Э, меньшей по величине упру-
20
гой энергии деформации Ап = ^х^Р? (в предыдущем параграфе
было показано, что эту величину можно трактовать как беспо-
лезную, имея в виду разрушение, работу потерь Дп), то подко-
ренные выражения в формулах (25) и (26) становятся отрица-
тельными, а время Г — комплексной величиной, что в рассмат-
риваемом случае лишено физической сущности.
Из формулы (25) следует, что при постоянной массе ударни-
ка (т = const) чем выше начальная скорость взаимодействия
v , тем больше Г , т.е. тем больше время реализации кинетиче-
ской энергии, подведенной к образцу1. Формула же (26) пока-
зывает, что при постоянной кинетической энергии удара (Э =
= const) время реализации энергии Э тем выше, чем больше
масса ударника т. Оба отмеченных вывода согласуются с экспе-
риментом [21].
Полученные результаты используем для целей изучения ха-
рактера взаимодействия вооружения шарошечных долот с гор-
ной породой.
Обычно при подобном анализе отождествляется, с одной сто-
роны, время г , характерное именно для взаимодействия инден-
тора с образцом породы, и время контакта Гк зубца шарошки с
забоем, которое в первом приближении определяется как
Г =
к Гги
д
(27)
где ид — частота вращения долота, об/мин; i — передаточное от-
ношение шарошки; z — число зубцов на периферийном венце.
С другой стороны, отождествляются энергетические характе-
ристики процесса разрушения (Э, A v и т.п.).
Отождествление отмеченных параметров приводит к меха-
низму взаимодействия вооружения с породой, показанному на
рис. 11,6. Здесь зубцами венца шарошки являются инденторы,
идентичные применяемым, например, в копровых установках, а
закон внедрения зубца в породу такой же, как индентора, — в
образец. В рассматриваемом случае для упрощения вооружение
принято в виде цилиндрических плоских инденторов, а разруша-
емая порода — идеально упруго-пластична. При этом разрушение
ее происходит таким же образом, как и в случае разрушения
(деформации) идеально упруго-пластичного полупространства
плоским цилиндрическим индентором, описанным в § 1 настоя-
1 Для этого достаточно продифференцировать время t по переменной
i>o и убедиться, что первая производная всегда положительна.
21
щей главы (см. рис. 1, 2, 3). Поскольку при воздействии воору-
жения на породу часть породы деформируется, а часть — выдав-
ливается из лунки наружу, то будем считать, что выдавленная
порода (которая в реальных условиях аналогична шламу) удаля-
ется с поверхности забоя (что по аналогии с процессом бурения
соответствует идеальной очистке забоя). Однако с целью упро-
щения анализа взаимодействия вооружения с породой будем
считать, что форма лунки полностью повторяет форму цилиндри-
ческого зубца шарошки.
Для проводимого далее анализа воспользуемся записью t
по формуле (26).
Из формулы (3) имеем Э = атУ + Ап-
Но объем лунки И = 8S (где 8 — величина максимального
углубления индентора, S — площадь поперечного сечения), а ра-
бота потерь Ап = -^T*T-
Следовательно, Э = а^8 + *
С учетом же того, что о S = Р , окончательно получаем
Э = 2р л-(2-L + 1).
2 т т х
т
Подставляя это выражение энергии в формулу (26) и прини-
мая Г = tK, определяемое по зависимости (27), находим
Формула (28) определяет углубление долота за один оборот
в зависимости от частоты вращения и , если при завершении од-
ного оборота зубцы не попадают в уже существующую выемку
вторично. Если же это попадание происходит, то количественное
соотношение уже не будет соответствовать формуле (28), так
как углубление за оборот здесь несколько больше, чем 5. Одна-
ко качественная картина этой зависимости практически не изме-
нится. Поэтому можно воспользоваться формулой (28), не вно-
ся существенной погрешности.
Во-первых, как видно из (28), при стремлении лд -+ 0 углуб-
ление 5 Физически это очевидно, поскольку по принятой
расчетной схеме при действии постоянной силы большей, чем си-
ла текучести, индентор будет неограниченно углубляться при не-
ограниченном времени приложения силы. Однако согласно рис.
11 зубец не может внедриться на величину, большую чем его вы-
сота <5q , так как далее в контакт с породой должно вступать тело
22
шарошки, а потому контактные усилия резко снизятся и станут
меньше предела текучести <гт. Следовательно, начиная с частоты
вращения и*, определяемой из (28), как
(29)
и (в порядке убывания) до значения частоты вращения и = О
углубление 8=80 = const. Глубже зубцы в породу войти не
могут.
Во-вторых, минимальное значение углубления 3=0 будет
при частоте вращения nQ. Согласно формуле (28) при 3 = 0
п0
120
W1Z
тх
т
(30)
При значениях же нд > nQ углубление 8 будет всегда ну-
левым.
Следовательно, 8=3 при [0, л*], 8 определяется по
формуле (28) при нд€ [и* nQ] и 8 = 0 при пд > nQ. Зависи-
мость 3 от ид изображена на рис. 12 [пунктиром продолжена
3 (пд), определяемая по формуле (28)]. Как видно из рис. 12, в
общих чертах она похожа на аналогичные зависимости, получае-
мые экспериментально.
На этом же рисунке изображена зависимость механической
скорости v от частоты вращения долота и . При этом Зиг свя-
заны друг с другом, как
>’ =	(31)
Вид v (ид) только лишь на участке изменения идЕ [0, п*]
отражает экспериментально установленное увеличение механиче-
ской скорости v с возрастанием частоты вращения долота ид
(осевая нагрузка на долото, расход промывочной жидкости и
прочие факторы при этом остаются неизменными). Но как толь-
ко частота ид > п*, то с увеличением ид механическая скорость
v начинает уменьшаться вплоть до нуля (при ид > nQ).Получен-
ный вывод противоречит экспериментальным данным, по край-
ней мере в пределах вплоть до максимальных частот вращения
породоразрушающего инструмента, используемых в современ-
ном бурении. Это же указывает на то, что в данном случае интен-
23
Рис. 12. Теоретические зависимо-
сти углубления долота за один
оборот и механической скорости
от частоты вращения при разру-
шении горной породы, модели-
руемой упруго-пластичной сре-
дой
ментально. Однако общая к;
сивность падения углубления 8
превалирует над возрастанием
частоты вращения долота и ,
хотя зависимость 6 (ид) в об-
щих чертах и напоминает экспе-
риментальную.
Следовательно, полностью
отождествлять процессы взаи-
модействия породоразрушаю-
щих элементов с горной поро-
дой для единичных инденторов
и для шарошечных долот при про-
чих равных условиях нельзя.
Действительно, проведен-
ные рассуждения показали, что
уменьшение времени контакта
породоразрушающего элемента
с разрушаемой средой ведет к
снижению интенсивности углуб-
ления долота за один оборот,
что подтверждается и экспери-
ина зависимости механической
скорости от частоты вращения долота уже не соответствует
опытным данным. Более того, как показано в работе [15],вре-
мя контакта вооружения шарошечных долот в диапазонах частот
их вращения, применяемых в настоящее время на практике, не
должно являться решающим фактором в отношении образова-
ния объемных выколов горной породы.
В связи с отмеченным целесообразно проанализировать влия-
ние степени очистки забоя от выбуренной породы на углубление
долота 8 за один его оборот и механическую скорость г в зави-
симости от частоты вращения ид долота при постоянной осевой
нагрузке (и при прочих равных факторах) в области эффектив-
ного объемного разрушения горной породы.
На рис. 13 показан зубчатый венец радиусом R (расстояние
от центра венца, начальное положение которого обозначено через
О , до вершины зубца), зубцы которого при контактировании с
горной породой внедряются в нее на глубину h. Направление
вращения венца с угловой скоростью указано на рисунке
стрелкой. Угол между радиусами, соединяющими центр венца с
вершинами двух соседних зубцов, равен ф. Угол, образуемый
прямой, соединяющей вершину зубца, находящегося на дне лун-
ки, и вершину зубца, коснувшегося породы, с плоскостью забоя,
обозначим через X.
24
Рис. 13. Схема взаимодействия вен-
ца шарошечного долота с разрушае-
мой поверхностью горной породы
Рис. 14. Расчетная схема по взаимо-
действию зубчатого венца с поверх-
ностью породы
Обозначив условно венец посредством системы жестко свя-
занных между собой радиусов-векторов, соединяющих центр
венца с вершинами его зубцов, приходим к расчетной схеме, изо-
браженной на рис. 14.
Рассмотрим теперь процесс взаимодействия зубчатого венца
с горной породой [18].
Пусть при взаимодействии с породой зубец К разрушает не-
который объем породы, углубляясь на величину h (рис. 14).
Примем, что выбуренные частицы (на рис. 14 они обозначены
черными кружочками) при взаимодействии с промывочной
жидкостью приобретают некоторую усредненную скорость и с
этой скоростью (на рис. 14 направление ее указано стрелкой)
выходят из пространства между зубцами, поднимаясь далее в
затрубное пространство.
25
Следует отметить, что распределение скоростей частиц весьма
сложно и подвержено многим факторам чисто случайного проис-
хождения. Поэтому с целью упрощения примем, что все частицы,
вымываемые жидкостью, проходят через просвет между зубцом
Q и поверхностью забоя, характеризуемый расстоянием Н (уз)
(уз — угол поворота венца, отсчитываемый от положения макси-
мального внедрения зубцов К и N).
На рис. 14 показаны (не считая начального положения, харак-
теризуемого центром Он) два последовательных положения зуб-
чатого венца при повороте на угол у (положения ONKQ и
dN'KQ').
Выразим зависимость расстояния Н от текущего угла пово-
рота венца уз в момент, когда один из зубцов (на рис. 14 это
опорный зубец Л') находится на дне лунки разрушенного участка
породы.	,	,
Очевидно, LO'CK = я — — , откуда угол КО'В запишем в
виде
LKO'B = тг-(л-у) - уз= у -у>,
а угол Q'O'B вычислим как сумму угла ф и угла КО'В:
LQ'JO'B = -^ф — <р.
Тогда Н (уз) = О'К cos LKO'B -h-O'Q' cos L Q'O'B.
Отсюда вследствие того, что d К = dQ' = R (R — радиус венца),
для Н (уз) получаем следующее выражение:
Н(ч>) = R [cos (у— у>) - cos( у ф - - у>) ] - й.
Объем выбуренной породы, проходящей через зазор высотой
//(уз) за время dt, запишем в виде dV = $NqH(yj)dt, где N —
усредненное число частиц, отнесенное к единице высоты зазора,
каждой из которых приписывается усредненный объем q; & —
коэффициент расхода, зависящий от качества промывки.
~	- -и т
Обозначив Nq через w, получим V =	/ Н(>p)dt.
о
Время Т, когда Н (уз) = 0 (т.е. зубец Q коснется породы) бу-
дет равно
Т=
26
ф
R [cos( — — р) — cos(
Угол X — угол поворота венца при углублении зубца Q в по-
роду на глубину h, когда зубец К также еще контактирует с
породой.
Считая, в первом приближении со = const, имеем, что dp =
= сошdt, откуда dt — dp/co, соф — X = рк — конечное
значение угла р, когда Н = 07
С учетом замены переменной t на р интеграл для определе-
ния V принимает вид
к, «Vх
(а)
Ш 0
что дает
V = -^7. -Г/? [sin — sin + sin(— + X) + sin( — - X)] -
сош L L 2	2	2	2
- (^ - Л)й} .
Воспользовавшись формулами суммы и разности синусов двух
углов, а также тем, что (см. рис. 13) h = 2R sin— sinX, после
ряда преобразований получим	2
V —	'2R sin -у) - h2	2/? sin ~ cos i)/ - (ф — X)/zJ>. (32)
Если же через v обозначить число поражений забоя зубцами за
один оборот долота, а через F — площадь забоя, то углубление
долота за один его оборот 6 можно выразить в виде
8 = Fv/F.	(33)
В то же время величина 8 связана с линейной зависимостью
с глубиной h , как 8 = pth , где д = const.
На основании записанных соотношений имеем
V = F8lv.	(34)
Если промывка забоя идеальная, т.е. все выбуренные части-
цы успевают проскочить через зазор Н и уйти в затрубное про-
странство, то углубление за один оборот долота 8 при постоян-
ной осевой нагрузке не будет зависеть от угловой скорости со ,
или, что то же самое, от частоты вращения долота «д, так как
сощ и п связаны посредством передаточного отношения i зави-
д	Itn i
симостью со = ---— .
ш зо
27
Это согласно рассматриваемой схеме (см. рис. 14) объясня-
ется тем, что для одного и того же долота и при неизменной осе-
вой нагрузке число поражений забоя v зубцами за один оборот
не зависит от частоты вращения долота. А поскольку все части-
цы удаляются с забоя, то в данном случае углубление за один
оборот 8 = 80 = const.
При превышении некоторой угловой скорости, характеризуе-
мой частотой п*, когда уже не все выбуренные частицы успевают
выйти из-под зубца Q, можно выразить в формуле (32) h через
S, — через частоту вращения долота лд. Тогда будем иметь
30 №	/	. ф 2	.82	. ф
V = ------ [V(2/<sin —) — (—) — 2Ksin — cos ф —
it in	2 u	2
д
-(0-Х)-].	(35)
Д
Далее заметим (см. рис. 13), что
8	ф
h = — = 2/?sin — sin А, откуда
Д	2
ч		s
л = arcsin --------1-- .
• Ф
2ц R sin —
Воспользовавшись теперь соотношениями (34) и (35) (при-
равняв их правые части), после несложных преобразований полу-
чим взаимосвязь между 5 ипд:
/ ф	ф
g	/ 2g«siny 2 2pi?sin —
arcsin---------- + V (---------) — 1--------------cos ф —
0	8	5
2дЛ sin у
I niP-F
- 0 = —и.	(36)
ЗОЙХц Д	1 ’
Таким образом, при лд < п* имеем 3=8Q = const; при
и > п* определить 8 можно из соотношения (36).
Частоту п* следует вычислить из (36) путем подстановки
вместо 8 величины 8„.
о
Рассмотрим случай разрушения относительно твердой поро-
ды при небольшой осевой нагрузке, что с качественной стороны
будет полностью соответствовать общему случаю, описываемо-
му формулой (36).
28
поскольку здесь п , а следовательно, и 6 малы, то справедли-
во неравенство
ф
2
откуда, пренебрегая первым членом в левой стороне соотноше-
ния (36) и учитывая, что в подкоренном выражении первый
член много больше единицы, имеем
0
211R sin —
2	,, rriiiF
----------- ( 1 - COS ф) = -----Л„ + ф .
6	Д
Имея в виду, что
1 ф
1 — cos ф = 2sin — ,
получаем
4/1R , . ф 3 TriflF
-22— (SIH—) = ----
8	2	30v$w

откуда после замены синуса через его аргумент (ввиду малости
ф/2) и нахождения из данного уравнения величины 6 взаимо-
связь между углублением долота за один оборот 5 и частотой его
вращения лд может быть представлена в виде
бо
15дЯ Уыф3д
3()Рн'ф-& + rri/iFn^
при идЕ (0, и*),
при лд > л*
(37)
Именно в таком виде настоящая зависимость получена в ра-
боте [18]. Как указывалось выше, критическую частоту враще-
ния долота п* найдем из равенства 8Q = 8 (и*), тогда согласно
формуле (37) получим
* ISwRi^3	25о
л* = --------— (1----------) 1? .
7ri/?80	иФ^
(38)
Можно показать, что выражение в круглых скобках всегда
положительно, а значит, с улучшением качества промывки (ко-
эффициент г? возрастает), при прочих равных условиях, увели-
чивается и значение л*.
Механическая же скорость согласно формуле (31) будет
равна
29
'О'д
15(JlR VwiJj3 Зид
3OlA~0t? + irifil'n
"Ри "л - tu> " ) >
при г/д > п*.
(39)
На рис. 15 изображены зависимости 8=8 (и ) и г = v (и ),
полученные по формулам (37) и (39). Каждая конкретная кри-
вая на рис. 15 соответствует неизменному расходу промывочной
жидкости (i? = const) , и для случаев т?, < i?2 < имеем не-
равенства и* < п* < п*.
Кривые, описываемые формулами (37) и (39),хорошо под-
тверждаются аналогичными зависимостями, получаемыми экспе-
риментально [19 и др.]. Это же служит подтверждением тому,
что именно зашламление забоя в результате некачественной про-
мывки является основным фактором, при прочих равных усло-
виях, падения интенсивности
Рис. 15. Теоретические зависимо-
сти углубления долота за один
его оборот и механической ско-
рости от частоты вращения
разрушения горной породы с уве-
личением частоты вращения
долота.
В заключение следует отме-
тить, что рассмотренная расчет-
ная схема верна только лишь в
том случае, когда в контакте с
горной породой одновременно
могут находиться не более двух
зубцов одного и того же венца.
Это подтверждено эксперимен-
тально [15]. Кроме того, рас-
смотренный процесс взаимо-
действия вооружения с горной
породой наиболее всего соот-
ветствует стендовым условиям
отработки долот, поскольку
волновые процессы, происходя-
щие в механической системе
долото - бурильная колонна
при проводке глубоких с. ва-
жин, могут в ряде случаев су-
щественно влиять на динамику
взаимодействия долота с забо-
ем и искажать проанализиро-
ванный механизм разрушения
горной породы [17].
30
§ 3. выводы
На основании изложенного выше можно установить сле-
дующее.
Во-первых, к характеристикам горных пород типа удельной
объемной работы разрушения А у надо относиться очень осто-
рожно, поскольку она не является объективной характеристи-
кой разрушаемости породы с точки зрения энергетики этого
процесса.
Во-вторых, физика процесса разрушения горной породы в
лабораторных условиях существенно отличается, при прочих
равных условиях, от аналогичных процессов в случае проводки
скважин на.нефть и газ, поскольку здесь каналом подвода энер-
гии является бурильная колонна (теоретически эквивалентная
стержню весьма большой протяженности).
Выше были рассмотрены процессы внедрения ударников в
деформируемые материалы, при этом пренебрегали весом удар-
ников по сравнению с силами, возникающими на поверхности
контакта индентора с разрушаемой средой. Последнее, как по-
казывает опыт, вполне допустимо.
Остановимся на аналогичном процессе в случае, когда инден-
тор соединен непосредственно со стержнем большой протяжен-
ности, что подобно в некоторой степени бурильной колонне.
Пусть (рис. 16,а) полубесконечный стержень площадью по-
перечного сечения S2 лежит на горизонтальной плоскости. При-
чем между стержнем и плоскостью силы трения равны нулю. Ма-
териал стержня характеризуется модулем Юнга £. К торцу
стержня жестко прикреплен индентор цилиндрической формы с
площадью поперечного сечения 3’] из недеформируемого мате-
риала. Считаем, что масса индентора пренебрежимо мала.
Допустим, что в некоторый момент времени к индентору
прижимается силой Р образец из идеально-пластичного материа-
ла (зависимость усилие —внедрение показана на рис.5,г), и при
этом сила Р > Рт, гдеРт — усилие текучести. За время Т контак-
та индентора с образцом в последнем образуется в результате
пластической деформации лунка глубиной 3 и площадью попе-
речного сечения .S^ (см. рис. 16,а).
Согласно рассматриваемой схеме взаимодействия индентора
с образцом, с одной стороны, как бы частично вводится в про-
цесс взаимодействия бурильная колонна в ее простейшем вари-
анте (однородная и полубесконечная); с другой стороны, распо-
лагая ее горизонтально и пренебрегая силами взаимодействия с
основанием, на котором она лежит (трение отсутствует), можно
использовать результаты, полученные в § 1 настоящей главы,
31
Рис. 16. Взаимодействие разрушаемого образца с индентором,
присоединенным к полубесконечному упругому стержню
так как на рассматриваемые далее процессы вес стержня ника-
кого влияния не оказывает (при процессах, изложенных выше,
вес ударника не учитывался).
В данном случае процесс аналогичен в некоторой степени
процессу взаимодействия упругого ударника с идеально-пластич-
ной средой (см. рис. 5).
В результате взаимодействия индентора с образцом по стерж-
ню начнет распространяться продольная волна возмущения со
скоростью к; при этом величину перемещения и сечения с теку-
щей координатой х в момент времени t согласно теории волно-
вых процессов можно записать, как некоторую функцию f от
переменных х и t:
Вид функции найдем из краевого условия при х = 0.
Усилие на торце полубесконечного стержня, передаваемое ин-
дентором, будет равно усилию текучести Рт = aTSt, где ат — на-
пряжение текучести материала образца. Это математически мож-
но записать как

ES„
= —/('>•
х = о
о
где /(г) — производная по времени t, т.е. скорость перемещения
торца стержня вдоль оси Ох. Обозначим эту скорость через iiQ.
32
тогда
о °	[
%=/(')= — *•	(40)
Наряду с этим перемещение торца стержня uQ = f(t) можно
записать в виде
а 5,
"°=/(') = Т5ГК''
(41)
За время Т взаимодействия индентора с образцом волна воз-
мущения распространится на расстояние кТ, и, следовательно,
сечения этого участка стержня будут иметь скорость йд (см.
рис. 16,6), определяемую по формуле (40).
Очевидно, что в момент времени Т можно представить учас-
ток стержня длиной кТ, все сечения которого движутся с одина-
ковой скоростью йд, как движение тела массой m = pS2nT, где
р — плотность материала стержня. Откуда кинетическая энергия
этого участка К будет равна
1	-	1 1 2
K=^mu2a = кГ(—к) .
2	0	2	2 v ES2
Имея в виду, что к = у/Е/ р, последнее соотношение можно
записать
К = -
2
'W1 г
ES2
На рис. 16,в изображена эпюра перемещений поперечных се-
чений стержня вдоль оси Ох в момент времени t = Т. Поскольку
по длине стержня величина ид = const, то эпюра ид (х, 7) линей-
на. Следовательно, потенциальную энергию сжатия П участка
стержня длиной кТ можно вычислить как работу силы Р при
возрастании ее от нуля до Рт по линейному закону в зависимо-
сти от перемещения торца полубесконечного стержня ид. Тогда
П= -
2
П = Lpu = Iff,S
2 т о 2 т 1
<W’ г
ES2
о S,
-LJL кт, т.е.
ES2
3-994
33
Полная же энергия, поглощенная щсржлсм ла
времени Т, очевидно, будет равна сумме кинетической К и по-
тенциальной П энергий. Если же считать, что вся подведенная к
системе энергия Э тратится на разрушение (пластическую дефор-
мацию) образца, в результате чего индентор делает в нем выем-
ку объемом V = 5j6, и на сообщение стержню энергии, равной
сумме К и П, то последнюю с точки зрения разрушения породы
можно трактовать как работу потерь Ац, откуда Ап = К + П,
или же
(о/,)2
А„ = --------кТ.
п ES
(42)
Тогда согласно формуле (5) для удельной объемной работы
разрушения А у имеем
-4 V СТТ ""	2
v т
Э - -------КТ
ES2
(43)
Из формулы (42) следует, что работа потерь тем больше,
чем тверже порода (т.е. чем больше Р^ = ^т^1)> дольше время
подведения энергии за единичный акт индентора с породой (вре-
мя Т) и чем меньше жесткость Е8г бурильной колонны.
Обратимся теперь к формуле (5), дающей значение А v для
случая упругого ударника, обладающего коэффициентом жест-
кости к (см. рис. 5).
В случае одной и той же породы и одного и того же ударника
(т.е. Рт =	= const) для сопоставимости характеристик А у
необходимо их равенство. Только лишь в этом случае, получая
характеристики пород А у на копровой установке, можно ис-
пользовать полученные зависимости для расчетов процессов,
протекающих при разрушении породы по механической схеме
рис. 16.
В силу сказанного приравняем правые части равенств (5)
и (43):
а Э
Р2
т
Э- ---
2к
<\Э
W*
Э - --- КТ
ES2
Сокращая левую и правую части на отЭ и принимая во внима-
34
ние соотношение Г = от^1, можно видеть, что данное равенство
возможно только в том случае, когда
Рт Рт
— = — кТ, откуда
2 к	Е S
2
ГКТ
(44)
Формула же (44) указывает на то, что коэффициент жестко-
сти ударника должен зависеть не только от жесткостных харак-
теристик колонны и материала колонны ($2, а также Е и р, через
которые выражается к), но и от времени взаимодействия цнден-
тора с породой Т. Чем меньше время взаимодействия Т, тем
жестче должен быть ударник. Таким образом, кривые Ау,
снятые на одной и той же установке (т.е. с неизменными механи-
ческими характеристиками), неприменимы для целей проекти-
рования процессов бурения в реальных условиях, тем более, что
величина Ау, как было показано в § 1 настоящей главы, вооб-
ще не является объективным показателем процесса разрушения
горной породы, что подтверждается формулой (43). Подобное
замечание можно отнести и к зависимостям усилие — внедрение,
получаемым экспериментально при динамическом внедрении
штампа в породу [15].
Все сказанное лишний раз подтверждает опасность огульного
перенесения результатов лабораторных экспериментов по взаи-
модействию инденторов с образцами горных пород на реальные
процессы разрушения породы при проводке скважин на нефть
и газ.
Глава II
ВЛИЯНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ, ПРОИСХОДЯЩИХ
В БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЕ, НА ЭФФЕКТИВНОСТЬ
РАЗРУШЕНИЯ ГОРНЫХ ПОРОД ШАРОШЕЧНЫМИ ДОЛОТАМИ
§ 1. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ ДОЛОТА
И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА МЕХАНИЧЕСКУЮ СКОРОСТЬ
В работе [ 17] показано, что в случае роторного способа бурения
в системе долото — бурильная колонна при определенных усло-
виях могут возникать крутильные автоколебания. Причиной их
35
Рис. 17. Расчетная схема для опреде-
ления частоты крутильных автоко-
лебаний одноразмерной бурильной
колонны
появления служит падающая
моментная характеристика
шарошечного долота (мо-
мент сопротивления враще-
нию долота со стороны забоя
Мс уменьшается с увеличе-
нием угловой скорости до-
лота со, что изображено на
рис. 17,а). В то же время в
предыдущей главе было по-
казано, что с изменением ча-
стоты вращения долота из-
меняется и механическая
скорость v (см. рис. 15),
Следовательно, крутильные
автоколебания, как, впро-
чем, и вообще неравномер-
ность вращения долота при
неизменной осевой нагрузке,
одном и том же расходе про-
мывочной жидкости и про-
чих равных факторах долж-
ны определенным образом
сказываться на механичес-
кой скорости. В частности,
согласно данным работы [5]
автоколебания уменьшают
механическую скорость.
Рассмотрим одноразмер-
ную бурильную колонну в
скважине глубиной Н, верх-
ний торец которой вращается с угловой скоростью се, характе-
ризуемой частотой вращения ротора (см. рис. 17,а).
Как легко видеть, за время t верхнее сечение бурильной ко-
лонны, эквивалентной однородному стержню длиной Н, повер-
нется на угол со Л В то же самое время поперечное сечение стерж-
ня, задаваемое координатой х, повернется на угол <р, который
является функцией независимых переменных X и t, причем
хе [О,Я].
Закон движения подобных систем описывается волновым
уравнением
= Х2 Ь2>р
bt2 bx2
(45)
36
где л — скорость распространения малых крутильных возму-
щений.
Граничные условия для рассматриваемого случая можно
записать [17]:
1.х = 0:	2.х = Н: GIn^-=
Р ах с at
где G — модуль Юнга второго рода материала стержня; / — по-
лярный момент инерции его поперечного сечения.
Прежде чем задать начальные условия при t = 0, рассмотрим
равномерное вращение стержня, характеризуемое углом поворо-
та i/>0: <pQ = со г + Фо (х), где Фо (х) — разница углов поворотов
сечений при х = 0 (устье скважины) и с текущей координатой х.
Эта разница в данном случае возникает из-за наличия сопротив-
ления вращению колонны со стороны забоя Мс- Для простоты
исследования силу сопротивления вращению со стороны стенки
скважины в расчетную схему вводить не будем, поскольку, как
будет показано ниже, на конечных результатах она практически
не скажется.
Подставив i/>0 в уравнение (45) и краевые условия, после не-
сложных преобразований получим Ф^' (х) = 0. Граничные
условия:
1.х = О:Фо=О, 2.х = Я : G/рФд = —Afc(w),
Л/С(щ)
откуда Ф (х) = ---------х, и можно представить в виде
GI
Р
art--------х.
GI
р
Рассмотрим те добавочные углы поворота Ф(х, t), на кото-
рые поворачиваются поперечные сечения стержня относительно
углов поворота при равномерном вращении. Тогда будем
иметь
Л/С(сс)
(Л = CJT--------X + ф(х, t) .
GIP
Положим, что в момент t = 0 угол будет равен
Л/с(ш)
=	аГ= a7- = w-
37
далее
dio ЭФ 92io Э2Ф
— = со + — , —— =------------,
dr dr	dt2	dt2
9^ = мс(ш) ЭФ 92^ = Э2Ф
dx	GJ?	dx	dx2	dx2
Подставив полученные значения угла <р и его производных в
уравнение (45) и граничные условия, получим
Э2Ф = х2 Э2Ф
Эг2 Эх2
(46)
Граничные условия:
ЭФ	ЭФ
1.х = 0:Ф=0, 2.х = Н: GI = МАи>) - И (со + —).
’	Р dx с	с dt
Начальные условия:
ЭФ
3. / = 0 : Ф = 0, 4. / = 0 :	= 0.
dt
Задача (46) описывает крутильные колебания стержня, жест-
ко заделанного в сечении х = О (см. рис. 17,5). Углы поворота
сечения этого стержня с координатой х в момент времени t за-
даются величиной Ф (х, f).
В работе [17] установлено, что механическая система, мате-
матически представленная задачей (46), при определенных усло-
виях может входить в режим крутильных автоколебаний с ча-
стотой v:
v = \/4H.	(47)
Следовательно, угловая скорость бурильной колонны d^dt,
равная
За?	ЭФ
— = СО + ---,
dt	dt
также периодически будет изменяться во времени, причем пери-
од Т можно записать:
Т=4Н/\.	(48)
Рассмотрим свободные колебания стержня, показанного на
38
рис. 17,6. В этом случае его нижний торец (х — Н) свободен, а
ЭФ
потому АГ ( —) = 0 и, следовательно,
с де
Э2Ф	Э2Ф
----= X2 —- .
dt2	Эх2
Граничные условия:
ЭФ
1.х=0: Ф=0, 2.x = Я: — = О-
ОХ
Представим величину Ф (х, t) как Ф (х, Г) — А (х)е , где
А (х) — амплитуда крутильных колебаний, зависящая только от
переменной х; Ь - частота собственных крутильных коле ании,
i — мнимая единица.	, ,
Подставив в уравнение и граничные условия величину
г), после несложных преобразований получим:
о 2
Л"(х) + (^) Л(х) =0.
Л
Граничные условия:
1.х = 0: 4 = 0, 2.х = Я:4* = 0.
Очевидно, что решение полученного дифференциального
уравнения можно записать в виде
4(х) = CjSin — +C2cos ,
где Cj и С2 — произвольные постоянные интегрирования.
Граничные условия приводят к следующей системе линейных
уравнений для определения Ct и С2:
'о-с; + 1 -с2 = 0,
ан „	. ан „	„
cos —— Cl — sin —— С — 0.
Л	Л
Для того, чтобы полученное решение не было тривиальным
(т.е. чтобы не были одновременно равны нулю коэффициенты
Cj и С2), необходимо равенство нулю определителя этой систе-
мы, откуда
О.Н
со s —— = 0, и собственные круговые частоты
Л
39
Рис. 18. Характер зависимости угловой скорости вращения долота во вре-
мени при возникновении крутильных автоколебаний системы долото -
бурильная колонна
Рис. 19. К установлению взаимосвязи между частотой крутильных и про-
дольных колебаний породоразрушающего инструмента
Q = — (к + к = 0, 1,2,3,...
к я 2
Поскольку частота рк колебаний и круговая частота £2К свя-
заны между собой, как 12 к = 2лг>к, то к-я частота собственных
колебаний
»
v = А (й+ -).
к 2Я v 2 ’
Очевидно, что минимальное значение частоты собственных
крутильных колебаний при к = 0 будет равно vQ = Х/4Я.
Сопоставляя частоты р0 с частотой крутильных автоколеба-
ний р, определяемой по формуле (47), можно сделать следую-
щий вывод: частота крутильных автоколебаний бурильной ко-
40
Рис. 20. К объяснению уменьшения ме-
ханической скорости в результате раз-
вития крутильных автоколебаний бу-
рильной колонны
лонны равна основной ча-
стоте ее свободных кру-
тильных колебаний.
Остановимся на влия-
нии крутильных автоко-
лебаний на механическую
скорость бурения.
Характер изменения
угловой скорости долота
сод показан на рис. 18 [17]
Поскольку угловая
скорость долота о>д и уг-
ловая скорость шарошки
о>ш связаны прямо про-
порциональной зависимо-
стью посредством переда-
точного отношения ша-
рошки, то величина
является также периодической с периодом Т. На рис. 19 показа-
ны два последовательных положения венца, перекатывающегося
по забою с угловой скоростью <л>ш- Так как угловая скородть
прямо пропорциональна частоте вращения долота лд, то за
один период крутильных автоколебаний Т частота вращения до-
лота будет изменяться от минимального (лд — Дл) до макси-
мального значения (лд + Дл), где лд — частота равномерного
вращения долота (или, что то же самое, частота вращения рото-
ра), а Дп- изменение частоты вращения долота, вызванное не-
равномерностью его движения (рис. 20).
Предположим, что частота вращения долота половину перио-
да Т будет равна (лд - Дл), чему соответствует значение меха-
нической скорости vmin, а половину периода Т равна (лд + Дл),
чему соответствует значение vmax- Это примерно соответствует
крутильным автоколебаниям системы долото — бурильная ко-
лонна [17].
Тогда, очевидно, проходка за один оборот
„	Т	Т vmin pmax _
Н = v . — + г — —------------------- Т.
о min 2 max 2	2
Механическую же скорость в этом случае г можно записать
в виде
Н v + v
о min max
р = — =------------- .
1 Т	2
41
Рис. 21. Область возможных значений меха-
нической скорости при наличии крутильных
автоколебаний породоразрушающего ин-
струмента
Но, как видно из
зависимости г от ид
(см. рис. 20), имеет
место неравенство
<г.
Таким образом,
при развитии кру-
тильных автоколеба-
ний механическая
скорость v имеет тен-
денцию к снижению.
При этом очевидно,
что чем больше раз-
мах частоты Ди при
неизменном значении
ид, тем ниже величи-
на v (снижение v с
увеличением Ди изо-
бражено на рис. 20 стрелкой, противоположной направлению оси
ординат). Очевидно, что минимальное значение г = vn будет тог-
да, когда размах Ди = ид. При этом частота вращения будет из-
меняться от нуля (остановка долота на забое) до итах= 2ид,
чему соответствует некоторое значение v = v, а скорость vn бу-
дет (см. рис. 20):
1 ~
v = - v.
л 2
(49)
На рис. 20 по оси абсцисс отложено критическое значение ча-
стоты вращения долота и*, при превышении которого интенсив-
ность разрушения горной породы на забое начинает падать (см.
рис. 15). Далее, из изложенного следует, что при изменении нд
в пределах [0, и*/2] при неравномерном вращении долота меха-
ническая скорость v не уменьшается, а соответствует значению
частоты вращения нд, что вытекает из линейной зависимости v
от ид при изменении ид от нулй до и*. Это позволяет оценить
пределы изменения механической скорости в случае возникнове-
ния крутильных автоколебаний следующим образом (рис. 21).
Пусть имеется зависимость v от ид. Тогда согласно зависимо-
сти (49) из начала координат (точка О) проводим прямую до
пересечения с графиком функции v (ид). Полученную хорду де-
лим пополам. Расстояние от середины хорды до оси абсцисс (ось
Оид) и будет давать нам ту минимально возможную механиче-
скую скорость, которая может быть в случае развития крутиль-
ных автоколебаний механической системы долото — бурильная
42
колонна. Проведя таким образом пучок прямых из начала коор-
динат до пересечения с графиком функции v (ид) и соединив се-
редины полученных хорд плавной кривой (на рис. 21 геометри-
ческое место середин этих хорд изображено штрих-пунктирной
линией), получим кривую минимально возможных значений ме-
ханической скорости в случае крутильных автоколебаний. Само
же множество возможных значений величины v заключено меж-
ду графиком v (ид) и кривой, полученной указанным выше спо-
собом (на рис. 21 эта область значений v при изменении пд от
нуля до некоторого значения п заштрихована).
Максимальное относительное изменение г] скорости v можно
представить в виде
V - V	V
71 = ----- 100% = (1 - —) 100 %.
V	V
Очевидно, что если известна зависимость г(ид), то согласно
получению оценки для vn значение скорости v = г (2и ), откуда
” (2лд)
7J = [1-------— ] 100%.
2р(Ид)
Воспользуемся в данном случае зависимостью v (пд), опреде-
ляемой формулой (39). Поскольку указанная оценка справедли-
ва для значений частот вращения долота ид > nQ = п*/2, то со-
гласно зависимости (39) имеем
V	(2п ) = ---—-------------- ,
д ЗОи-шфи + iri[lF2n^
15иЯУыф3дп
V	Ю = --------------------- >
д ЗОГ’н’)//# + Я/цЛ’Пд
откуда после подстановки указанных величин в формулу для
определения г) и несложных преобразований получаем
я/ptFn
Г) = ------------------100%.
ЗОРи/ц/и + 277/д F лд
Максимальное значение 1? (при неизменной осевой нагрузке
на долото, неизменном расходе промывочной жидкости и прочих
равных условиях) будет равно пределу правой части выражения
(50) при ид которой, как нетрудно видеть, равен 50 %.
43
Следовательно, грубая оценка указывает на то, что в некото-
рых случаях наличие крутильных автоколебаний бурильного ин-
струмента может снизить механическую скорость на половину.
Таким образом, любая неравномерность вращения долота,
при прочих неизменных параметрах режима бурения, а не только
крутильные автоколебания может вызвать уменьшение механи-
ческой скорости, особенно в случаях некачественной промывки
забоя в процессе проводки скважины.
§ 2.	О ЧАСТОТЕ КРУТИЛЬНЫХ АВТОКОЛЕБАНИЙ
СИСТЕМЫ ДОЛОТО - БУРИЛЬНАЯ КОЛОННА
В предыдущем параграфе было установлено, что частота кру-
тильных автоколебаний, возникающих в системе долото — бу-
рильная колонна, равна основной частоте свободных крутиль-
ных колебаний бурильной колонны [см. зависимость (47)].
Прежде чем перейти к этому вопросу с точки зрения экспери-
мента [5], получим формулу для определения собственных кру-
тильных частот в случае если бурильная колонна состоит из трек
разнородных участков длиной Z Z2, L, у которых полярные
моменты инерции соответственно I , I , I (материал участ-
-fir	pi Р2 pi
ков длиной<2 и£ считаем одинаковым,характеризующимся
модулем сдвига G). Глубина скважины Н H = lx+l2+L.
Повороты сечений каждого участка колонны характеризу-
ются соответственно углами (х, /),	(х, t) и (х, t)
(рис. 22,а).
Рассуждая теперь аналогично тому, как это было сделано для
механической системы, представленной на рис. 17, введя доба-
вочные углы поворотов поперечных сечений бурильной колонны
Ф( (х, г), Ф2 0е, 0 и Ф3 (х> 0 относительно углов поворота соот-
ветственно на участках xG [O.ZJ.xG [Z(, Z] +Z2] и xG [Zt + Z ,
H] при ее равномерном вращении (рис. 22,6), можно записать
систему дифференциальных уравнений и граничные условия, от-
куда определить закон нахождения собственных частот:
Э2Ф,	82Ф
—= х2-------- ,
Эг2	Эх2
Э2Ф,	Э2Ф,
= X2-----~
Эг2	Эх2
44
Граничные условия:
1.х = 0: Ф, =0
1	.х=11 : Ф, =Ф2
ЭФ
3	' Х = /] ’’ !Р1 ~&Г ~
= 1
Р2 дх
4	.х = 1г+12 : Ф2 = Ф3
ЭФ
5	- = /1+/2:/р21Г
ЭФ
= I —~
рз дх
ЭФ3
6	. х — Н : —- = 0.
Эх
Начальные условия
для определения собст-
венных частот нам не по-
требуются.
Решение системы
уравнений (51) ищем в
Рис. 22. Расчетная схема для определения
частоты крутильных автоколебаний
трехразмерной бурильной колонны
виде Ф] (х, t) = At (х)е'^, Ф2 (х, t) = А2 (х)е'^г, Ф3 (х, t) =
~ А3 (х)е1^, где £2 — собственная частота колебаний; i — мни-
мая единица.
После подстановки Ф] (х, t), Ф2 (х, t), Ф3 (х, t) в уравнения
(51) и граничные условия 1—6, сокращения полученных выраже-
ний на величину e'^z и несложных преобразований для опреде-
ления A j (х), А г (х) и А3 (х) получим следующую систему диф-
ференциальных уравнений:
О 2
<(х) + ф Л1(х)=0,
Л
О 2
А" (х) + О А2 (х) = 0,
Л
..	Q 2
Л'(х) + флз(х)=0.
J	Л Л
(52)
45
Граничные условия:
1.х = 0 : А{ =0
l.x = ll-.Al=A2
3	- X  IpiA j - lp2^2
4	.x = /1 +z2 -.A2 =Л3
5	.х = /1+/2:/Р2л;=/рзл;
6	.x =H : A'3 = 0.
Очевидно, что решения уравнений (52) можно записать в
виде

А (х) = С sin — + С2 cos — Л	Л
, . Л	„	£1х
А2	= С3 31П Y + С4 C°S	’
> Ч „	£1х	„	J2x
А3 (х) = С5 sin — + С6 cos —
Далее, как и в предыдущем параграфе, подставив значения
A j (х), А2 (х) и А3 (х) в граничные условия 1—6, получим систе-
му линейных однородных уравнений для определения постоян-
ных интегрирования , С, С С4, С5, С6. Требование нетри-
виальное™ решения приводит к равенству нулю определителя,
составленного из коэффициентов при неизвестных С(, С2, С ,
С<> CS> Cf
Раскрыв определитель, после ряда преобразований получаем
уравнение для определения собственных частот крутильных ко-
лебаний механической системы, представленной на рис. 22:
Z Л/, fiZ2 I QZ]
7P2
П/2 Ш,
tg — tg— = L
(53)
В уравнении (53) известные величины I, I , L, I I
т X	~	1	2	pi pz
Ip3, Л, a неизвестная - Q .
Частота собственных колебаний v вычисляется по формуле
v = Sl/lir.
46
Таблица 1
Типоразмер долота	Б-214СГ	4К-214СГ	5К-214СГ	4К-214СГ
Глубина сква- жины, м	1847	2304	2759	2825
Частота враще- ния ротора ид, об/мин	100	90	72	80
Осевая нагруз- ка на долото Р, МН	0,12	0,14	0,20	0,18
/рм Я	СБТ 140x11, 856	СБТ 140x11, 610	СБТ 140x9, 1149	СБТ 140x9, 2294
X « 1, м о 2 X о	СБТ 127x9, 820	СБТ 127x9, 1150	СБТ 127x9, 1140	СБТ 127x9, 372
о L, м	УБТ 178x90, 171	УБТ 178x90, 144	УБТ 178x90, 170	УБТ 178x90, 159
Замеренная частота автоко- лебаний V, 1/мин	19	16	13	13
Частота авто- колебаний , 0 вычисленная по формуле (53), 1/мин	19,108	16,147	13,567	13,7
Погреш-	0,57	0,92	4,36	5,46
ность, %
Рассмотрим теперь значение величины основной (наимень-
шей) частоты vQ, вычисляемое по соотношению (53) согласно
промысловым данным.
В ряде случаев при отработке долот диаметром 214 мм на
площадях Нефтекумского УБР объединения Ставропольнефте-
газ было зафиксировано возникновение крутильных автоколе-
баний. Компоновка бурильной колонны состояла из стальных
бурильных труб (СБТ).
В табл. 1 приведены данные, полученные в промысловых
условиях и вычисленные в соответствии с формулой (53) по из-
вестным компоновкам.
47
Из приведенных данных видно, что теоретически вычислен-
ная частота крутильных автоколебаний очень хорошо совпадает
с замеренной в промысловых условиях. Разница теоретической
и экспериментальной частот невелика, а некоторое превышение
теоретической частоты над экспериментальной можно объяснить
наличием сил сопротивления вращению бурильной колонны в
скважине, которые при теоретических исследованиях в расчет
не принимались. Однако особой погрешности, как видно, этим
не вносится. Также установлено, что по мере углубления сква-
жины погрешность определения i>0 возрастает. Это, видимо, так-
же можно объяснить возрастанием диссипативных сил.
Следовательно, можно утверждать, что на частоту крутиль-
ных автоколебаний конструктивные особенности долота, частота
вращения ротора, осевая нагрузка на долото и механические
свойства разбуриваемых пород заметного влияния не оказыва-
ют. Частота крутильных автоколебаний системы долото — бу-
рильная колонна полностью определяется основной (низшей)
частотой свободных крутильных колебаний колонны бурильных
труб.
§ 3. ПРОДОЛЬНЫЕ АВТОКОЛЕБАНИЯ БУРИЛЬНОЙ
КОЛОННЫ КАК СЛЕДСТВИЕ КРУТИЛЬНЫХ
Как было показано выше, в случае некачественной очистки за-
боя скважины от выбуренной горной породы возникновение
крутильных автоколебаний бурильного инструмента влечет за
собой уменьшение механической скорости. Но не только это вы-
зывают автоколебания. В ряде случаев они могут порождать
сильные продольные автоколебания в системе долото — буриль-
ная колонна [17].
Действительно, пусть крутильные автоколебания возникли.
Тогда частота вращения долота будет изменяться от минималь-
ного значения «min = «д - Ди до максимального «тах = пд + Ди
(при частоте вращения ротора ид = const) за один период авто-
колебаний Т, равный периоду свободных крутильных колебаний
системы долото - бурильная колонна. Поскольку же динамиче-
ская составляющая осевой нагрузки на долото (а точнее ее мак-
симальное значение) в случае высокочастотных зубцовых коле-
баний прямо пропорциональна при прочих равных условиях ча-
стоте вертикального перемещения и (Н, t) (см. рис. 19) нижней
части бурильной колонны, соединенной непосредственно с доло-
том [2, 17 и др.], то очевидно следующее.
За время одного полупериода, когда угловая скорость доло-
та щд имеет максимальное значение (см. рис. 18), то максималь-
48
ное значение имеет и угловая скорость шарошки , что повле-
чет увеличение частоты зубцовых колебаний и возрастание дина-
мической составляющей осевой нагрузки на долото.
В следующий полупериод сод становится минимальным; ми-
нимальным становится и а>ш, что уменьшает частоту зубцовых
колебаний и тем самым динамическую составляющую осевой
нагрузки. Очевидно, что подобная картина будет повторяться
периодически с периодом крутильных автоколебаний Т. Следо-
вательно, осевая нагрузка на долото Рд будет периодически из-
меняться во времени t относительно значения статической со-
ставляющей Рст (осевой нагрузки на долото, создаваемой весом
бурильной колонны), причем период изменения Рд будет равен
периоду крутильных автоколебаний Т (рис. 23).
Но это не единственный фактор, изменяющий периодически
величину осевой нагрузки на долото.
Рассмотрим зависимость углубления долота 6 за один оборот
от частоты вращения долота ид (рис. 24,6). В, силу развития кру-
тильных автоколебаний половину периода при частоте вращения
”min долото бУдет иметь механическую скорость Р] = 3max«min
а половину периода (при частоте вращения «тах) — механиче-
скую скорость v2 = Smin«max (рис. 24,а).
Пусть (рис. 25) начальное положение долота отмечено гори-
зонтальной линией а — а (след пересечения плоскости, проходя-
щей через забой и перпендикулярной к оси скважины, с плоско-
стью рисунка) и пусть до начального положения долота (линия
а —а) оно имело механическую скорость v = 5ид. При этом счи-
таем, что точно с такой же скоростью подается инструмент (т.е.
при х = 0 верхнее сечение бурильной колонны движется также
со скоростью г). Очевидно, что в этом случае, если не учитывать
зубцовые колебания (например рассматривать шарошечные до-
лота с вооружением в виде сплошных венцов), нагрузка на до-
лото будет неизменной, равной
Если бы за период автоколебаний Т механическая скорость
была бы постоянной и равной Г], то долото углубилось бы на
величину Нj = V] Т (рис. 25,а), а при v2 — на величину Н2 = v2T
(рис. 25,6). Тогда разность указанных проходок АН = Н -
Н} = (v2 - vt)T, откуда изменение механической скорости из-
за неравномерности вращения долота можно записать так (см
рис. 24,а):
л Д//
Др =-----= Р_ — Р .
р	2	1
Очевидно, что изменение скорости углубления долота по от-
4-994	49
Рис. 23. Изменение во времени высокочастотной составляющей осевой
нагрузки на долото при работе системы долото - бурильная колонна
в режиме крутильных автоколебаний
Рис. 24. Примерная зависимость ме-
ханической скорости и углубления
долота за один оборот от частоты
его вращения
Рис. 25. Изменение проходки на
долото за один период крутиль-
ных автоколебаний
ношению к скорости подачи инструмента г вызовет и изменение
осевой нагрузки на долото, которое обозначим через ДР.
Для грубой оценки величины ДР можно воспользоваться
формулой для определения динамической составляющей осевой
нагрузки на долото в случае однородной полубесконечной ко-
лонны [2]:
др =
К
50
где F — площадь поперечного сечения бурильной колонны; Е —
модуль Юнга материала бурильной колонны; к - скорость рас-
пространения малых продольных возмущений в бурильной ко-
лонне.
Далее рассчитаем величину ДР.
Пусть бурильная колонна состоит из стальных бурильных
труб площадью сечения F = 48 см2 (скорость к 1,2 4500 м/с, мо-
дуль Юнга Е = 2 • 105 МПа). Частоту вращения ротора ид прини-
маем равной 3,55 об/с, а изменение частоты в результате кру-
тильных автоколебаний Ди = 2,41 об/с. Тогда «min= ид — Ди =
= 1,14 об/с, а итах= и + Ди = 5,96 об/с.
Рассмотрим раз&уривание мрамора ’’коелга” долотом
1БД-151Т (вооружение в виде сплошных венцов).
Тогда согласно экспериментальным данным работы [15]
v =v(n )= 37,5 м/ч; г, = v (и . ) = 7,5 м/ч при осевой на-
грузке на долото Рд = 0,06 МН. Тогда
Др = v2 - vi = 30 м/ч = м/с,
и изменение осевой нагрузки ДР будет равно
2•10ъ -48
др =	= о,оо18 мн.
4500-120
Таким образом, второй составляющей периодического изме-
нения осевой нагрузки на долото будет величина ДР, возникаю-
щая из-за различной интенсивности разрушения забоя в резуль-
тате изменения частоты вращения долота ид. Очевидно, что пе-
риод изменения осевой нагрузки на долото в этом случае также
равен периоду крутильных автоколебаний Т бурильной колонны
(рис. 26). Отмеченное явление, по-видимому, вызывает периоди-
ческое изменение величины Рд при развитии крутильных автоко-
лебаний, когда горная порода разрушается посредством шаро-
шечных долот с вооружением шарошек в виде сплошных венцов
(долота типа БД). Если же порода разрушается зубчатыми доло-
тами, то на отмеченное изменение осевой нагрузки ДР наклады-
вается изменение динамической составляющей от зубцовых ко-
лебаний (см. рис. 23), т.е. зависимости, изображенные на рис. 23
и рис. 26, складываются, и изменение во времени t осевой на-
грузки на долото Рд будет также периодическим (рис. 27).
Итак, при возникновении крутильных автоколебаний систе-
мы долото — бурильная колонна осевая нагрузка на долото бу-
дет изменяться во времени с частотой, равной наименьшей часто-
те свободных крутильных колебаний системы долото — буриль-
ная колонна.
51
Рис.26. Изменение во
времени низкочастот-
ной составляющей
осевой нагрузки на
долото при наличии
крутильных автоко-
лебаний бурильного
инструмента
Рис. 27. Характер из-
менения во времени
осевой нагрузки на
долото при работе си-
стемы долото - бу-
рильная колонна в
режиме крутильных
автоколебаний
Изложенное положение аналитически можно записать так:
/’дС) =рда+п-	(54)
Поскольку осевая нагрузка на долото будет периодически
изменяться, то при определенных условиях в системе долото —
бурильная колонна может возникнуть явление резонанса. Это
явление, поскольку оно вызвано наличием именно крутильных
автоколебаний (колебаний, причиной которых является источ-
ник непериодического характера), в дальнейшем будем имено-
вать продольными автоколебаниями механической системы до-
лото — бурильная колонна [17].
При исследовании поведения механических систем, законы
движения которых описываются линейными дифференциальны-
ми уравнениями, в результате воздействия на них сил периодиче-
ского характера (но не чисто гармонических) с некоторым пери-
одом Т поступают следующим образом. Силу, действующую на
механическую систему, разлагают в ряд Фурье и затем изучают
поведение системы при воздействии на нее силы чисто гармони-
ческого характера, являющейся членом разложения исходной си-
лы (в нашем случае этой силой является сила Р ). Результирую-
щее же поведение системы будет определяться суммой ее реак-
ций на воздействие от каждого члена разложения исходной силы
в ряд Фурье [ 13,22 и др.].
Пусть разложение силы Рд (?) в ряд Фурье записывается сле-
дующим образом:
52
„ , . ao , 2km , . 2kirt.	....
P„(t) ~—+ S (a ..cos---------+ b. sin----),	(55)
Д	9	л т л T
L к=1	1	1
T	г
2 , _	. , ,	2	‘	. 2kirt ,
где a =	- f P	(t)dt,	ak=	-	J	P (r) cos—-dt,
/ 0	/	0	M *
T
1	Ikltt
b. = — f P (f) sindt, it =1,2,3,...
к т о a T
Для дальнейших исследований более выгодно выражение для
Рд (55) записать так:
а Л оо
^д(0 = — + 2 TfcSintcjfc? + фк),	(56)
_ Гч Тч ,	ак	2fcTT
где Рк = V4 + Ь2к, фк = arctg	= — .
Теперь перейдем к математической модели системы доло-
то - бурильная колонна.
В дальнейшем будем рассматривать бурильную колонну с
двумя разнородными участками — участком длиной 1, состоя-
щим иЗ нормальных бурильных труб с поперечным сечением Ft,
и участком утяжеленных бурильных труб длиной L и попереч-
ным сечением F2 (рис. 28,а). Участки длиной I и L принимаем
эквивалентными однородным прямолинейным стержням с пло-
щадями поперечных сечений соответственно F kF. Глубину
скважины обозначим через Н. Очевидно, что Н = 1 + Z.
Принимаем также, что материал нормальных и утяжеленных
бурильных труб — одинаковый и характеризуется плотностью р
и модулем Юнга Е.
Примем, что талевая система с буровой вышкой эквивалент-
на упругой пружине с коэффициентом жесткости с. Так как по
мере углубления скважины в результате подачи бурильного ин-
струмента длина ветвей талевого каната изменяется, то изменя-
ется и жесткость условной пружины, т.е. величина с является не-
которой функцией от времени t. Очевидно, что если принять вре-
мя начала бурения после очередного наращивания бурильного
инструмента равным нулю, а время прекращения бурения перед
последующим наращиванием обозначить через f , то функция
c(f) будет изменяться от максимального значения с0 при Г=0
до минимального ск при t = tK (см. рис. 28,6).
53
Рис. 28. Расчетная схема для иссле-
дования работы бурильной колонны
в режиме интенсивных низкочастот-
ных продольных колебаний
Уменьшение <?(/) при
увеличении t объясняется
тем, что более короткая
ветвь талевой системы обла-
дает большей жесткостью.
Следовательно, по мере
удлинения ветви талевой си-
стемы (т.е. по мере подачи
бурильного инструмента)
коэффициент жесткости
уменьшается. Но поскольку
скорость изменения величи-
ны <?(?) пренебрежимо мала
по сравнению со скоростью
протекания волновых про-
цессов в бурильной колонне
(эту скорость мы обозначим
через к и к = \/£7р), то при
анализе поведения системы
долото - бурильная колонна
в результате воздействия на
нее силы Рд(/) величину
c(t) будем считать медленно
изменяющимся параметром
и в условиях задачи, описы-
вающей динамику буриль-
ной колонны, принимать ее
постоянной величиной.
Ввиду того, что на часто-
ту продольных колебаний
бурильной колонны статиче-
ская составляющая осевой
нагрузки на долото Р (см. рис. 23), определяемая начальным
членом aQ ряда Фурье (56), не влияет в случае роторного спосо-
ба бурения (предполагаем, что скважина вертикальна и буриль-
ная колонна не потеряла устойчивость), то в дальнейшем будем
учитывать только динамическую составляющую нагрузки на до-
лото Рд (0, определяемую суммой ряда Фурье (56) при измене-
нии индекса к от единицы до бесконечности.
Итак, обозначив через и переменные во времени t со-
ставляющие перемещений сечения бурильной колонны относи-
тельно постоянных во времени смещений, вызываемых дефор-
мацией колонны от воздействия на нее статической составляю-
54
щей Р осевой нагрузки на долото соответственно на участках
изменения независимой переменной х от нуля (точка О на рис.
28,а) до / йот / до Я, получим [17]
д2и	д2и
	= к2 -,
дг2------------дх2-(57)
д2 и	д2и.
2	2	2
---- = К1 —--- .
< dr2	Эх2
Граничные условия:
Э“1
1.	х = 0: — = hu,
Эх 1
2.	х = 1:и{ =и2,
ди	ди
3.	х = I: —- = в — ,
дх	дх
ди	. оо
4.	х = Н:— =---------Б Р. sin(oj. t + ф.).
дх	EF2 k = { к к к
Здесь h = с/ EF} — приведенная жесткость закрепления верх-
него сечения бурильной колонны; 6 = F / F .
Поскольку в дальнейшем будут рассмотрены только устано-
вившиеся решения, то нет необходимости в начальных условиях.
Кроме того, будет представлять интерес в основном частота сво-
бодных колебаний механической системы, описываемой задачей
(57). Поскольку этот параметр мало изменяется при наличии
диссипативных сил [27], то исходные дифференциальные урав-
нения в формуле (57) записаны без учета последних.
Принимая во внимание изложенное выше для к-х слагаемых
uik(x, t) и u2k(x, t) функций uj (x, Г) и u2 (x, t), задачу (57)
можно записать в виде
(58)
55
Граничные условия:
2. x = l-.uik = u2k,
В задаче (58) вместо переменной t фигурирует новая пе-
ременная
т = t + — .
(59)
Решив задачу (58) и затем перейдя согласно формуле (59)
от переменной т к переменной t, получим окончательное реше-
ние задачи (57):
и} (х, 0=2 и!к(х>
к = 1
(60)
% (*, 0=2 и2к 
к = 1
Решение задачи (58) ищем в виде
t<lfc(x, = ^lfc(x)sin wfcT+Blfc(x)coswfcT,
и2к (х, т) =А2к(х') sin шкг + В2к(х) cos ыкт.
После подстановки указанных величин в задачу (58), приве-
дения подобных членов и приравнивая нулю коэффициентов при
sinw^T и coso>fcr получаем систему дифференциальных уравне-
ний с краевыми условиями для определения функций к(х),
Агк^>Ва^ иВ2/Дх):
Г ,, шк 2
и;их) + (^) я1Л(х) = о,
(61)
56
*;;to+(—)*1Jtto=o,
2
<л(х) + (^)Я2Л(х)=0,
„	шк *
L^w + (^-) *2*to=o.
(61)
Граничные условия:
1	. х = 0:Л'1Л = ЙЛ1Л, B\k=hB^,
2	- x = 1  Aik=A2k’ Bik=B2k’
3	.x = i-.A'ik = eA'2k, в'1к = ев'2к,
4	.х = Н:А'2к= -^L, В'2к = 0.
Г 2
/
Решения системы дифференциальных уравнений (61) имеют
вид:
6J.X	о>,х
Агк to = Ci*sin — + C2*C°S ~К~ ’
со.х	шкх
В!к to = Сзк “п — + С.к cos — -
(62)
А2к^ = Csk йп— + Сбк COS —- ,
IV	п
шкх	Шкх
В2к to = С2к йп — + Свк cos ,
гдеС1Л> С2к’ сзк’ С4к’ С5к’ Сбк’ С2к’ сзк - постоянные ин-
тегрирования, подлежащие определению из граничных условий.
После подстановки найденных решений в граничные условия
получаем систему линейных уравнений для определения посто-
янных интегрирования.
Получая из этой системы постоянные интегрирования, тем
самым находим ы]Л(х, т) и и2к(х, т). Подставляя их затем с
учетом соотношения (59) в формулы (60), получаем решение
задачи (57).
Однако представляет интерес не вид решения задачи (57), а
57
состояние резонанса системы долото — бурильная колонна при
воздействии на нее периодической составляющей осевой нагруз-
ки на долото Рд(г), порождаемой крутильными автоколебания-
ми бурильного инструмента.
Приравняв нулю определитель полученной системы, найдем
соотношение, связывающее круговую резонансную частоту ык
бурильной колонны с механическими и геометрическими пара-
метрами бурильной колонны:
wfc/ (б - l)wfc wfc/
+——----------------tg —
tg-------= -------------------------------------
K	0	“k'	/Д 2
- 1)tg + + fe —
(63)
Преобразуем соотношение (63) к более удобному для даль-
нейшего анализа виду.
Принимая во внимание I = Н — L и воспользуясь фбрмулой,
выражающей тангенс разности двух углов, имеем
шкН ukL
^к{ _ .ШкН	'g ~К tg ~К
К	tg—К	К *	COkL O)kH
1 + tg---tg-------
к к
Поскольку cok — произвольная круговая частота разложения
осевого усилия на долото, то любая гармоника разложения
Рд(г), если ее частота удовлетворяет соотношению (63), может
вызвать резонанс в системе долото - бурильная колонна. Это ка-
сается и частот, кратных количеству шарошек долота, при резо-
нировании на которых породоразрушающий инструмент выраба-
тывает ухабообразные забои [17]. Поэтому при дальнейшем из-
ложении будем опускать индекс к в условии резонанса, подразу-
мевая при этом, что со — любая круговая частота некоторого пе-
риодического возмущения, действующего на долото со стороны
забоя.
Подставив теперь преобразованное выражение для тангенса в
соотношение (63) и решив полученное уравнение относительно
соЯ
tg — , окончательно имеем
„ соя
tg^r =
. 2 СО/. (б - 1)со со/.
1 + б tg2----—-I— tg —
К	Kh К
.	6JL Ш	1 U>L
е-_
(64)
58
что же касается основной частоты усилия гд (jj, которая рав-
на частоте крутильных автоколебаний £2, то согласно установ-
ленному выше она определится как минимальная частота сво-
бодных крутильных колебаний стержня, состоящего из двух раз-
нородных участков длиной / и L соответственно с полярными
моментами инерции I и I, заделанного в верхней части (рис.
28,в; Ф( и Ф2'~ текущие углы поворотов сечений). Очевидно,
что уравнение собственных частот этой механической системы
можно получить из соотношения (53), положив в нем 12 = О,
/1=/>/рЗ=/Р2:
, £2/ х
^tgvtg-=1-
(65)
Обозначая отношение полярных моментов инерции через Д
и принимая во внимание, что I = Н — L, формулу (65) можно
преобразовать к следующему виду:
А	1 L
Я- = -—- [/я + arctg(— ctg——)] ,/ = 0, 1,2,3,...
} Н — L	и	Л
Основная же частота П определится из полученного уравне-
ния при / = 0:
Я = —A— arctg (-1- ctg ~).	(66)
п L	и Л.
Для дальнейшего более удобной будет несколько иная фор
ма записи соотношения (66):
г= W— arctg(-e,g — ).
(67)
Поскольку период Т выражается через частоту £2 как Я =
= 2я/ Т, то частоты гармоник разложения Рд (t) в ряд Фурье
(55) запишутся так:
2/стг	£2
со. =------ = 2кя------- = Ш , т.е.
к т	2тт
= кП ,
(68)
к = 1,2,3,...
Если обозначить через и наружный и внутренний диа-
59
метры нормальных бурильных труб, а через £>2 и d2 — соответст-
венно утяжеленных бурильных труб, то легко показать, что
D2 +
$ = ——~е.
D>d\
(69)
§ 4. ЗОНЫ СОПОСТАВИМОСТИ ДИНАМИКИ РАБОТЫ
ДОЛОТА В СТЕНДОВЫХ И В ПРОМЫСЛОВЫХ
УСЛОВИЯХ ДЛЯ ВЕРТИКАЛЬНЫХ СКВАЖИН
Прежде чем переходить к вопросу, разбираемому в настоящем
параграфе, рассмотрим способ нахождения частоты и периода
автоколебаний в случае двухразмерной бурильной колонны, со-
стоящей из нормальных бурильных и утяжеленных бурильных
труб (см. рис. 28). В качестве примера рассчитаем бурильную
колонну из стальных бурильных труб СБТ размером 127x9 и
утяжеленных УБТ размером 178x90 (геометрия сечений пред-
ставлена на рис. 29: диаметры и относятся к СБТ; D2 и
d2 — кУБТ).
В данном случае
в = fLl „ “L, s,62,
D* - d2} (127)2 - (109)2
d = (178) +	- 5,62 = 7,98 [согласно формуле (69)].
(127)2 + (109)2
На рис. 29 представлена сплошной линией зависимость отно-
шения глубины скважины Н к длине утяжеленного низа буриль-
ной колонны L от параметра J2T/X, построенная по формуле
(67). На этом же рисунке штрих-пунктирной линией показана
зависимость отношения длины утяжеленного низа L к периоду
крутильных автоколебаний Т. Последняя получается из очевид-
ного равенства как
S1L	2я L	2ir L
— =--------=--------, откуда имеем, что
X	т X	X т
L _ \ П1
Т 2л7 X
По диаграмме, изображенной на рис. 29, зная глубину сква-
60
жины Н и длину УБТ L,
можно определить период
автоколебаний Т.
Для этого, зная отно-
шение H/L=tiq, прово-
дим прямую, параллель-
ную оси абсцисс, до пере-
сечения со сплошной ли-
нией, дающей зависимость
Н/L от QZ./X. Затем из
точки пересечения А про-
водим вертикаль до пере-
сечения в точке В со
штрих-пунктирной лини-
ей, представляющей зави-
симость LIT от I2Z/X.
Проведя теперь из точки
В прямую, параллельную
оси абсцисс, до пересече-
ния с осью L/Т в точке
|0, получаем
T=L/50.	(70)
Рис. 29. Номограмма для определения
частоты и периода крутильных автоколе-
баний двухразмерной колонны
Или же, поскольку H = ri0L, то период Т можно записать
еще так:
T=H/nala.	(71)
В частности, на рис. 29 т?а = 1,25, £0 = 330 м/с, откуда Г =
= 0,0042 Н (глубина Н берется в метрах, период Т получается в
секундах). Зная теперь глубину скважины Н и учитывая, что
L =0,8Н, сразу же определяем период крутильных автоколе-
баний Т.
Очевидно, что из геометрических соображений L < Н, по-
скольку длина УБТ не превосходит глубины скважины. В слу-
чае однородной колонны (когда для нахождения периода Т не-
обходимо принять Н = L, откуда т? = 1) £/ Т= 800.
Отсюда, поскольку L = Н, получаем Т= Н/800.
Учитывая, что скорость распространения малых крутильных
колебаний X = 3200 м/с (именно это значение было принято при
построении диаграммы на рис. 29), находим выражение для пе-
риода крутильных автоколебаний в случае однородной буриль-
ной колонны длиной Н: Т= 4Н/\. Именно такое соотношение
61
получено в работе [17] при изучении крутильных автоколеба-
ний однородной колонны. В данном случае значение Т для од-
нородной колонны является также предельным при стремлении
L к нулю для выражения (67), причем в этом пределе следует
лишь величину выразить через Т.
Следовательно, зная глубину скважины Н и длину УБТ L,
по диаграмме находим период Т. Зная период Т< по формуле
(68) рассчитаем все частоты <х>к возмущающего усилия Рд(г)
как

2 ТТЛ
т

к = 1,2,3,...
Теперь вновь обратимся к условию продольного резонанса,
определяемого формулой (64).
Очевидно, что формулу (64) можно записать следующим
образом:
шН
— = 1 я + arctg
. 2 Wt (6 ~ 1)Щ GjL
1+0 tg2-------------- tg --
К Kh к
„ GjL GJ „ 2 GJL’
(0-1)tg-7F + ^(1 + 6tg
(73)
/ =0, 1,2,...
h-n
х
Рис. 30. К заданию гра-
ниц изменения приве-
денной жесткости креп-
ления верхнего сечения
бурильной колонны
В связи с тем, что в процессе буре-
ния будет изменяться во времени коэф-
фициент жесткости талевой системы
с (Z), то будет также изменяться во
времени и коэффициент h в выраже-
нии (73), поскольку согласно задаче
(57) приведенная жесткость закрепле-
ния верхнего сечения бурильной ко-
лонны записывается как
/1=^2.	(74)
Рассмотрим два предельных случая
закрепления верха бурильной колонны:
Л=0, что соответствует свободному
закреплению, и h _*°°, что соответст-
вует абсолютно жесткому закреплению
верхнего сечения бурильной колонны
62
(рис. 30). Значениям приведенной жесткости h = 0 и h -> °°, как
легко видеть из зависимости (73), будут соответствовать сле-
дующие соотношения:
ыЯ,
"«Л
(в - l)tg
= ]*- arctg --------------—j- ,
= о	1 + 0 tg2 —
к
(75)
шя.
h
‘*etsV
= / « + arctg ---—- ,
л	\jjL
(в -1) tg —
к
(76)
/ =0,1,2
Запишем разность левых частей соотношений (73) и (75),
которую согласно теории круговых функций можно
вить как
предста-
ЫЯ ЫН.
~к ~ '~к '
Kh
= arctg — > 0 при h > 0.
Отсюда
получаем, что
к ’h=0
ыН
Аналогично разность между левыми частями (76)
будет
и (73)
и>Я.
к л-»
cdH	со
—- = arctg -г- > 0 при п > 0, откуда
К	Кп
ЫН . СЭЯ.
Объединяя оба неравенства в одно, имеем
ин. шя . а>я.
(77)
Полученное неравенство указывает на. то, что все значения
шН/к, определяемые по формулам (73), будут ограничены
величинами, получаемыми по формулам (75) и (76)
Выведем еще одно соотношение, которое будет использо-
ваться в дальнейшем.
63
Сумма рассмотренных выше разностей будет равна
, ьзН	Ь)Н1 . Kh	со
I v - <+1( v>*.. - т> = ,ге‘8 „+ агс'ейГ'
откуда
,ы//.	. Kh	со
( —)	-( —)	= arctg — + arctg — .
к h->°° к л = о	ш 6 Kh
Обозначим — = z и рассмотрим предел
lim(arctgz + arctg----т—) = lim arctg --------
Дг - о	z+Дг Дг -»о (-----------f--
z + Дг
,. z (z + Дг ) + 1 x я
= Inn arctg --т-------= arctg 00 = — .
Дг. о	2
Следовательно, исходя из изложенного, находим
, w// .	я
(-^г)	= s . откуда
к h =о	2
(78)
Это равенство указывает на то, что зависимость (75) является
зависимостью (76), уменьшенной на одну и ту же величину,
равную я/2. Последнее обстоятельство существенно облегчит в
дальнейшем ряд выкладок.
Соотношения (67), (68), (77) и (78) позволяют выделить
возможные зоны развития продольных автоколебаний системы
долото - бурильная колонна в зависимости от компоновки бу-
рильной колонны и частоты вращения долота при роторном
способе бурения.
В дальнейшем будем рассматривать процессы, характерные
для разрушения горных пород трехшарошечными долотами, по-
скольку последние получили наибольшее распространение.
На рис.31 показан ухабообразный забой, получаемый при
разбуривании горной породы трехшарошечным долотом в ре-
жиме продольных автоколебаний. Римскими цифрами I, II и III
обозначены впадины забоя, образуемые соседними возвышенно-
64
стями (ухабами). Как по-
казывают промысловые
данные, в результате ин-
тенсивных низкочастот-
ных продольных колеба-
ний системы долото — бу-
рильная колонна в подав-
ляющем большинстве слу-
чаев образуются именно
такие забои при разруше-
нии породы трехшарошеч-
ными долотами, хотя не
исключены случаи и боль-
шего числа ухабов, крат-
ного количеству шарошек
долота (например шесть
или девять).
Рассмотрим возмож-
ные случаи контактов ша-
рошек долота со впадина-
ми забоя.
На рис. 32 показан в
плане ухабообразный за-
бой, где римскими цифра-
ми обозначены впадины
забоя, а арабскими циф-
рами 1, 2 и 3 — номера
шарошек трехшарошечно-
го долота.
Очевидно, что в разум-
Рис. 31. Ухабообразный забой, вырабо-
танный трехшарошечным долотом
Рис. 32. Возможные виды контакта ша-
рошек трехшарошечного долота со впа-
динами ухабообразного забоя
ных пределах возможны три вида контакта: долото контактиру-
ет с одними и теми же впадинами забоя (рис. 32,а), ’’прыгает”
через одну впадину (рис. 32,6), каждая шарошка контактирует
по очереди со всеми впадинами забоя (рис. 32,в). Если обозна-
чить через N число продольных колебаний долота за один обо-
рот, то в первом случае N = 1, во втором — N = 3/2, в третьем —
N= 3. Теоретически могут быть и другие значенияN (например,
контакт долота со впадинами через два оборота и т.д.), однако
практически эти случаи маловероятны из-за слишком длительно-
го ’’зависания” долота над забоем, причиной которого является
именно динамическая составляющая осевой нагрузки на долото.
Поэтому в дальнейшем указанные три случая будем считать
основными.
Частоту продольных колебаний v долота в 1 с представим
5-994
65
в виде
и N
д
v “ "бО"
(79)
Здесь нд - частота вращения долота (ротора), об/мин.
Круговую частоту запишем как
itn N
со = 2яь> = —
30
(79, а)
Все дальнейшие зависимости для удобства будем рассматри-
вать в координатах nRL ).
После подстановки в формулу (73) величины со, выражен-
ной через п и N, после несложных преобразований получим
формулу (7^) в координатах (паН, п^ЬУ.
ЗОк
\H=~N
[/ + arctg
Я
1tNn L д 1 ItNn L 1tNn L
i + 0tg2	—5-tg_____?-
30K hL 30к 6 30к
TTjVn L , TtNn L nNn L ’
(0 _ 1) tg —+ 2-----(i+0tg2 _A_)
30K hL ЗОН s 30K
j = o, 1,2,...
(80)
Соотношения (77) и (78) теперь соответственно примут вид
(и Я).	< пН < (пН).	.	(81)
'•Д/Л — Q Д	Д 7 И -» 00	v
1 5 LZ
(идЯ)Л=0 = (лдЯ)А__—.	(82)
Выражение же (76) (именно им и будем пользоваться в дальней-
шем) запишем как
,	ЗОк г. 1
(«Д^)А_= D +-arctg
TTNn L
l + 0tg2 ---~
30K
TTNn L
(83)
/ = 0, 1,2,...
В частности, при J = 0 формула (83) примет вид
66
w:
ЗОк
fljV
arctg
1+ 0tg2
ITNn L
a
3OK
(0-l)tg
1TNn L
Д
3OK
(84)
С учетом выражения (84) имеем
<85>
/ = 0, 1,2,...
Неравенство (81) перепишем:
(лдя)й ° + Цг ® - D < \н < V>'h °+irf- (86)
Условие же того, что глубина скважины Н всегда превосхо-
дит длину утяжеленных бурильных труб (Я > Л), будет иметь
вид
п L Си Н.
д д
(87)
В § 3 настоящей главы было отмечено, что для развития про-
дольных автоколебаний системы долото - бурильная колонна
необходимо совпадение какой-либо частоты возмущающей силы
на долоте Рд (t), определяемой по формуле (72), с какой-либо
резонансной частотой, вычисляемой из соотношения (73) при из-
вестных параметрах Н, L, h, 6,д. Задавшись глубиной скважи-
ны Я и длиной УБТ L при известных 0 и 0, определяемых гео-
метрией поперечных сечений колонны, находим по формуле
(67). основную частоту свободных колебаний бурильной колон-
ны, равную частоте крутильных автоколебаний Q, а затем по
формуле (68) вычисляем частоты а>к всех высших гармоник си-
лы Рд (г). Подставляя затем полученные значения со*. в формулу
(64), находим то значение параметра h , которому соответствует
частота автоколебаний Кроме того, частота должна сов-
падать с каким-либо значением частоты ш, рассчитываемой по
формуле (79,а) и являющейся условием образования ухабооб-
разного забоя. Если указанное совпадение имеет место, то при
отмеченных значениях параметров Я, L, h, в, в системе доло-
то — бурильная колонна будут развиваться продольные автоко-
лебания.
Указанный способ нахождения условии возникновения про-
дольных автоколебаний весьма громоздок и сложен. Кроме то-
67
Рис. 33. К объяснению метода по-
строения кривых продольных авто-
колебаний двухразмерной буриль-
ной колонны
го, он фиксирует числовые
значения параметров Н, L и
h дискретно, в то время как
полезнее было бы знать их
непрерывное изменение зна-
чений, т.е. то множество их
значений, при которых воз-
никают продольные автоко-
лебания. Именно в этом слу-
чае можно воспользоваться
соотношениями (81) —(86),
записанными в координатах
(Ид^ \L).
Рассмотрим координат-
ную ПЛОСКОСТЬ («ДЯ, ЛДА),
(рис. 33), а точнее ее часть,
которая лежит ниже прямой
L = Н, поскольку точки пло-
скости, лежащие выше этой
прямой, из-за неравенства (87) интереса не представляют. Фик-
сируем теперь некоторое конкретное значение номера гармони-
ки /. Тогда в указанной части координатной плоскости (пдН,
идА) множество возможных значений величины пдН в зависи-
мости от изменения величины ид£ изобразится некоторой об-
ластью (на рис. 33 она заштрихована), границы которой опреде-
ляются неравенствами (86). Очевидно, что отмеченная область
является не чем иным, как областью, где возможны резонансные
продольные колебания системы долото — бурильная колонны.
Теперь обратимся к зависимости Н/L как функции величи-
ны Ш./Х, представленной на рис. 29. Зададимся некоторым со-
отношением Н/L, которое обозначим через т)0. Тогда Н =
откуда
"RH = WL-
(88)
Проведем эту прямую в координатной плоскости ид£)
Значению г?0 на оси абсцисс соответствует величина д0, т.е.
Отсюда, имея в виду, что по формуле (68)	= Ю, получаем
68
Наряду с этим согласно сказанному выше необходимо для про-
дольных автоколебаний,чтобы
и N 1Гп N
“к = 2я^ = 2я
Подставив полученное значение со* в предыдущее соотноше-
ние, после несложных преобразований имеем
.	30 АА
и £ ~---------
Д я n °
(89)
к = 1,2,3,...
Фиксируем теперь некоторое значение к и проводим прямую,
параллельную оси п^Н, из точки оси нд£, определяемой уравне-
нием (89). Пересечение прямых, соответствующих формулам
(88) и (89), дает в координатной плоскости точку, которую
обозначим через А (см. рис. 33). Если эта точка попадает в об-
ласть продольного резонанса, то в этом случае возможно разви-
тие продольных автоколебаний, поскольку могут совпасть неко-
торые частоты продольных свободных колебаний бурильной ко-
лонны и частоты возмущающей силы на долоте Рд (г). Если же
точка А лежит вне зоны продольного резонанса, то продольные
автоколебания при соответствующих значениях и Н uL, кото-
рые можно легко определить, зная п^Н и ид£, не возникнут.
Весь дальнейший способ построения взаимосвязи п^Н и ид£
с точки зрения возникновения продольных автоколебаний оче-
виден. Зафиксировав некоторые значения / и к, будем непрерыв-
но изменять значения величины т?0, а следовательно, и зависящей
от нее д0. В результате точка А прочертит в плоскости
naL) некоторую кривую (см. рис.33). Отрезок этой кривой, ле-
жащий в заштрихованной зоне (зоне продольного резонанса), и
будет являться графическим изображением взаимосвязи вели-
чин п^Н и ид£, опасной с точки зрения возникновения продоль-
ных автоколебаний бурильного инструмента. Изменив значение
к, но оставив значение / прежним, получим еще одну аналогич-
ную кривую, и т.д. Таким образом, варьируя номерами гармо-
ник / и к, получаем в плоскости (лдЯ, ид£) Семейство линий,
при изменении вдоль которых произведений п^Н и ид£ возмо-
жен случай возникновения продольных автоколебаний системы
долото — бурильная колонна.
Описанный процесс построения можно упростить. Действи-
тельно, как показывает опыт [5, 17], частота крутильных коле-
баний в случае глубоких скважин мала. В результате анализа бы-
69
по установлено, что при реальных величинах Н, L и г? в соотно-
шении (65) аргументы, стоящие под знаком тангенса, малы по
абсолютной величине, а потому значения тангенсов указанных
аргументов можно приближенно заменить самими аргументами.
Поскольку соотношение (65) можно записать как
Ш, 1
18 —Г~ «— =
то в силу отмеченного данное равенство можно представить в
виде
Q.L 1
X Г '
Отсюда круговая частота крутильных автоколебаний будет
иметь вид
£2 = Х -	- .	(90)
(Н — L)
Проверка полученной формулы по данным, представленным
на рис. 29, указывает на ее вполне пригодную точность для инже-
нерных расчетов.
Далее находим частоту как
Поскольку, как было показано выше, нужно, чтобы
, то получаем, что
ли N

30	L)
Возведя левую и правую части в квадрат, после несложных
преобразований находим
г и / г/ ЗОХХ 2
ид£. пН- (Пд1) = (—^) , откуда
(91)
к = 0,1,2,...
70
следовательно, зная сиишишспиь	М сиилицпми D 1U1W
кости (п„Н, tipL) построить кривые, задаваемые этим соотно-
шением. Куски этих кривых, заключенные в зонах продольного
резонанса, и будут искомыми.
При построении кривых продольных автоколебаний (в даль-
нейшем их будем так именовать) в формулах (83), (86) и (91)
должно быть одно и то же значение N.
Рассмотрим теперь те конкретные значения N — 1, N = 3/2 и
/V = 3, которые приняты нами при построении кривых продоль-
ных автоколебаний. Из этих значений несколько особняком
стоит значение N = 3. И вот почему.
Пусть в забое, состоящем из однородного материала, имеет-
ся, как показано на рис. 34, сектор нулевой твердости, т.е. поро-
да из этого сектора изъята [16]. Предположим, что на каждую
шарошку трехшарошечного долота в случае одновременного
контакта их с забоем действует сила, в 3 раза меньшая осевой
нагрузки на долото (рис. 34, a, i = 1, 2, 3 - порядковый номер
шарошки). В этом случае области контакта всех трех шарошек
находятся вне сектора нулевой твердости (см. рис. 34,а). По Ме-
ре вращения долота в некоторый момент одна из шарошек (на
рис. 34,б — шарошка 2) займет место в секторе, где порода от-
сутствует. В этом случае осевое усилие, действующее на нее, рав-
но нулю, и нагрузка на две оставшиеся шарошки будет равна
осевой нагрузке на долото. Тогда нагрузка на каждую из этих
шарошек будет равна половине осевой нагрузки на долото [см.
диаграмму (Г , г) на рис. 34, б]. Увеличение нагрузки на ша-
рошки повлечет за собой увеличение углубления долота в поро-
ду на этом участке. Описанное явление будет повторяться триж-
ды за один оборот долота. Последнее будет вызывать пульсацию
осевой нагрузки на долото трижды за оборот.
Примерно такое же изменение осевой нагрузки Рд во време-
ни t изображено на рис. 35, где через обозначено время одно-
го оборота долота. Если сектор нулевой твердости заполнить ка-
ким-либо материалом, отличающимся по физико-механическим
свойствам от остальной части забоя, то принципиально картина
не изменится. Следовательно, неоднородность забоя по физико-
механическим свойствам (различные части забоя имеют различ-
ную твердость) также является причиной изменения осевой на-
грузки’ на долото за один его оборот. Причем в этом случае
N=3.
Следовательно, помимо режима продольных автоколебаний
в случае N = 3 при неоднородной породе возможна работа си-
стемы долото — бурильная колонна в режиме интенсивных про-
дольных колебаний (продольные автоколебания могут возни-
71
Рис. 35. Характер изменения во
времени низкочастотной состав-
ляющей осевой нагрузки на до-
лото при взаимодействии его с
неоднородным забоем
Рис. 34. К заданию граничных условий на забое бурящейся скважины при
исследовании продольных низкочастотных резонансных колебаний систе-
мы долото - бурильная колонна в случае неоднородности поверхности
забоя
Кать и в однородной породе). Конечно, построив область изме-
нения величины лдЯ по соотношениям (86) приЯ = 3 и затем
найдя отрезок линии по формуле (91), заключенный в области
продольного резонанса, получим для этого случая кривую про-
дольных автоколебаний. Однако процедура нахождения этой
кривой — излишняя, так как наряду с продольными автоколе-
баниями в этой зоне при неоднородности породы могут возни-
кать и продольные резонансные колебания, чего не будет в
остальных зонах изменения величины лдЯ. В силу сказанного
при N = 3 необходимо построить зону продольного резонанса и
при подборе частоты вращения долота ид и длины УБТ L доби-
ваться того, чтобы произведение п^Н не находилось в этой зоне.
Поскольку произведения п Н и ид£ нам известны, то при
ид = const связь между п^Н и Я, а также между п L и L выра-
зится графически в координатах (лдЯ, ид) и L) прямы-
ми линиями. Последнее обстоятельство дает возможность по-
строить в случае двухразмерной колонны номограмму, позво-
ляющую в случае роторного способа бурения подбирать частоту
вращения долота пд и длину УБТ L таким образом, чтобы прой-
ти заданный интервал бурения без возникновения интенсивных
низкочастотных продольных колебаний (как автоколебаний,
так и резонансных), отрицательно влияющих на механическую
скорость, проходку на долото и долговечность бурильного ин-
струмента.
Ниже приводится пример построения подобной номограммы
72
Лд#'Л7'*йоВ/мин
Рис. 36. Номограмма для определения эон сопоставимости динамики ра-
боты трехшарошечного долота в стендовых и промысловых условиях при
двухразмерной компоновке бурильной колонны
Таблица 2
N- 1
лд/., м/мин О 4800 9600 14400 19200 24000 28800 33600
идЯ, м/мин 75400 55700 44400 39400 38400 39100 41000 43700
№3/2
лд£, м/мин 0	4800	9600	14400	19200	24000	28800	33600
лдЯ, м/мин 50300	32500	26400	25750	27500	30000	33300	36800
.V = 3
лд£, м/мин 0	4800	9600	14400	19200	25010	28800	33600
лдЯ, м/мин 25100	13100	13680	16650	20300	25100	28250	32000
для в = 5,62, £ = 7,98 по зависимостям (84), (86) и (91). Чис-
ловые значения величины (лдЯ^ ПРИ ~ 1 > и сведены
в табл. 2.
По данным, приведенным в табл. 2, можно построить иско-
мую номограмму (рис. 36): Отрезки линий - это кривые про-
дольных автоколебаний для случаев N = 1 nN= 3/2, а заштри-
хованные участки — области продольного резонанса при N = 3.
Ниже приводится пример пользования номограммой.
Необходимо пробурить интервал от 1250 до 1500 м. Этот ин-
тервал по оси Я обозначен через Д, причем начальная точка буре-
ния а соответствует Н = 1250 м, а конечная точка /3 — Н =
= 1500 м. Пусть частота вращения ротора мд = 60 об/мин, а дли-
на УБТ, которой соответствует на оси L точка 3, будет равна
150 м. Проводим из точки а прямую, параллельную оси п^Н, до
пересечения с прямой, которой соответствует частота вращения
ротора (долота) ид = 60 об/мин. Обозначим эту точку пересече-
ния через а. Аналогичное построение делаем и в плоскости
(идА, £). Точку пересечения прямой, проведенной из точки 8
параллельно оси идА, с прямой, где ид = 60 об/мин, обозначим
через у. Теперь из точки а проводим прямую, параллельную оси
идА, а из точки у - прямую, параллельную оси п^Н. Точку neper
сечения этих прямых, лежащую в плоскости (идЯ, ид£), °®°‘
значим через В и назовем ее изображающей точкой.
Из рис. 36 видно, что по мере углубления скважины точка а
будет двигаться по направлению к точке /3, точка а — по направ-
74
38400 43200 48000 52800 57600 62400 67200 75400
46700	49900	53 800	57 200	61000	64600	68800	75400	
								
38400	43 200	50200	52800	57600	62400	67 200	72000	75400
40600	44500	50300	52500	56500	60000	64000	72000	69800
38400	43 200	48000	52800	57600	62400	67 200	72000	75400
35400	37400	33600	15840	12 870	14500	18550	22400	25 100
лению к точке 0', а изображающая точка В — по направлению к
точке В'. Заданный интервал Д будет полностью пробурен в тот
момент, когда изображающая точка займет положение В' (на-
правления движения всех точек по мере углубления скважины
указаны на рис.36 стрелками). Поскольку же отрезок прямой
ВВ', являющийся траекторией изображающей точки в плоскости
(п Н, n^L ), не пересекает ни одной кривой продольных автоко-
лебаний и не заходит ни в одну из областей продольного резо-
нанса, то можно сделать вывод, что при длине УБТ L = 150 м и
частоте вращения ротора лд = 60 об/мин интервал Д = 1250—
1500 м может быть пробурен без опасности возникновения ин-
тенсивных низкочастотных продольных колебаний. Подбирая
таким образом для всех разбуриваемых интервалов по глубине
скважины соответствующие сочетания длин УБТ и частот враще-
ния долота, чтобы изображающая точка в плоскости (идЯ,
лд£) всегда находилась только в областях, свободных от кри-
вых продольных автоколебаний и лежащих вне зон продольного
резонанса (т.е. траектория изображающей точки не должна пере-
секать кривых продольных автоколебаний и заходить в области
продольного резонанса), можно целиком пробурить скважину
заданной глубины без опасности возникновения интенсивных
продольных колебаний.
Как видно из номограммы, представленной на рис. 36, вся
координатная плоскость (ид/7, представляет собой объе-
динение зон продольного резонанса, кривых продольных автоко-
75
лебаний и областей, свободных от наличия двух указанных фак-
торов. Короче говоря, это те зоны, где отсутствуют интенсивные
низкочастотные продольные колебания бурильного инструмента.
Если же в этих областях отрабатывать долота, производя при
этом практически идеальную промывку забоя с целью макси-
мального приближения зависимости механической скорости от
частоты врап!ения долота к линейной (см. рис. 15, 20 и 21), то
тем самым влияние наддолотного инструмента на процесс буре-
ния в вертикальной скважине будет минимальным. А потому
процесс бурения в данном случае будет наиболее приближенным
к стендовым условиям отработки долот.
Следовательно, указанные зоны есть зоны сопоставимости
динамики работы долота в стендовых и промысловых условиях
для вертикальных скважин, и именно в этих зонах следует отра-
батывать опытные партии долот для сравнения с результатами
их отработки в стендовых условиях. Кроме того, в этих зонах
нужно также проектировать режимы бурения, поскольку в них
отсутствуют интенсивные низкочастотные продольные колеба-
ния, отрицательно сказывающиеся как на эффективности разру-
шения горных пород, так и на долговечности бурильного инстру-
мента.
Рассмотрим случай однородной колонны, когда все выклад-
ки, представленные выше, резко упрощаются.
В этом случае неравенства, аналогичные неравенствам (86),
оценивающие зоны продольного резонанса, запишем как
+	(92)
/ = 0, 1,2,...
Соотношение же, аналогичное формуле (91), но только уже не
приближенное, а точное, определяющее кривые продольных ав-
токолебаний, принимает вид
к= 1,2,3,...
Номограмма, аналогичная номограмме рис. 36, также резко
упрощается (рис. 37). Здесь по оси ординат отложено произведе-
ние иЯ, а по оси абсцисс — глубина скважины//. Заштрихован-
ные полосы есть зоны продольного оезонанса, а жирные поямые
в данном случае являются кривыми продольных автоколебаний.
Зависимости глубины скважины Н от частоты вращения ротора
76
о то а -^гооо -~зооо—г н,*

\//7/>7./>^7/7^^Ш///777^/^Д///72////П об/мин
^^^^»/ЯШШИ>>’.'Ш£.’У/ЯН/Яи/НЛ

«а
\ушшмтм^шш/07гшя№шшмУ№тк*тА

^/2Z7


77777777777Т-,
*7777/717
))))))))))))))))))))))f///m
800000
п=200
ТШШШТШШШЛШШШШ


//////7/7//////777/7777777777777777777777777/77777777^^
пц*А	‘
"к’» мин
п^ЗОО
Рис. 37. Номограмма для определения зон сопоставимости динамики ра-
боты трехшарошечного долота в стендовых и промысловых условиях в
случае одноразмерной бурильной колонны
(долота) лд в случае лд = const в координатах (п^Н, Н) изобра-
жены штрих-пунктирными прямыми, исходящими из начала ко-
ординат. Если теперь на оси Я зафиксировать точку а, соответст-
вующую некоторой глубине скважины, то при вращении буриль-
ной колонны с определенной частотой ид изображающая точка Л
будет лежать в точке пересечения прямой, проведенной из точки
а параллельно оси идЯ, и прямой ид = const, соответствующей
этой частоте вращения (на рис. 37 а соответствует И = 1600 м
при частоте вращения пд = 30 об/мин).
77
По мере углубления скважины при нд = const (движение от
точки а по направлению к (3 и далее к 7 на оси Н указано стрел-
ками) изображающая точка движется по этой прямой (направле-
ние движения здесь также указано стрелками). Очевидно, чтобы
процесс углубления скважины происходил в отсутствие интен-
сивных низкочастотных колебаний, необходимо, чтобы изобра-
жающая точка всегда находилась вне зон продольного резонанса
и не лежала на прямой продольных автоколебаний (в данном
случае кривые продольных автоколебаний трансформируются в
прямые).
Рассмотрим процесс проводки скважины более подробно.
Если принять ид = const, то при этой фиксированной частоте
воашения долота можно построить по глубине скважины зоны
возможного возникновения продольного резонанса и продоль-
ных автоколебаний (рис. 38). Для этого точки пересечения пря-
мой ид = const (в качестве примера на рис. 37 взята прямая ид =
= 30 об/мин) с прямыми продольных автоколебаний и граница-
ми зон продольного резонанса сносятся на ось Н, а затем соот-
ветствующие области строятся по глубине скважины так, как
показано на рис. 38: жирные линии — это прямые продольных ав-
токолебаний, а заштрихованные прямоугольники - это области
продольного резонанса. Точки а, (3 и 7 для ид = 30 об/мин на
рис. 37 переходят в горизонтальные прямые а, /3 и 7 на рис. 38,
которые и делят скважину по глубине на горизонты, где могут
происходить интенсивные продольные низкочастотные колеба-
ния системы долото — бурильная колонна, и горизонты, где эти
колебания при данной фиксированной частоте пд отсутствуют
(на рис. 37 из-за малости масштаба точка а одновременно соот-
ветствует и продольным автоколебаниям, и границе зоны про-
дольного резонанса; на рис. 38 при ид = 30 об/мин на соответст-
вующем горизонте нанесены две точки а). Как видно из рис. 38,
в зависимости от частоты вращения долота пд расслоение сква-
жины по глубине на горизонты интенсивных низкочастотных
продольных колебаний может значительно варьировать (на рис.
38 расслоения по низкочастотным вибрациям произведены для
частот вращений долота ид = 30, 60, 100, 120 и 200 об/мин).
Следует заметить, что по мере увеличения частоты вращения до-
лота возрастает и число горизонтов, соответствующих интенсив-
ным низкочастотным вибрациям. Так, если при проводке сква-
жины глубиной Н = 4000 м, как видно из рис. 38, при ид =
= 60 об/мин в бурильном инструменте можно возбудить низко-
частотные колебания песять раз, причем из них число продоль-
ных автоколебаний будет равно пяти, то при ид = 120 об/мин
уже можно попасть в аналогичные зоны двадцать раз, и при этом
78
Рис. 38. Схема изменения зон низкочастотных продольных резонансных
колебаний и автоколебаний при разбуривании горной породы трехшаро-
шечным долотом в зависимости от частоты его вращения в случае одно-
размерной бурильной колонны
в режимы продольных автоколебаний бурильного инструмен-
та — десять.
Незаштрихованные по глубине скважины зоны, из которых
изъяты прямые продольных автоколебаний, и будут как раз зо-
нами сопоставимости динамики работы долота в стендовых и в
промысловых условиях, о которых говорилось выше.
Пусть нам известен характер проходимых пород. На рис. 38
разрез скважины представлен тремя горизонтами: Aj = 0-800 м
79
Рис. 39. Характер зависимости мак-
симального значения осевой нагруз-
ки на долото от частоты его вра-
щения
Рис. 40. К выбору траектории изо-
бражающей точки процесса бурения
с целью сведения к минимуму ве-
роятности возникновения интенсив-
ных низкочастотных продольных
колебаний системы долото — бу-
рильная колонна
представлен однородны-
ми породами, Д2 = 800—
1800 м - неоднородными
трещиноватыми породами,
Дз = 1800-4000 м - одно-
родными породами. В этом
случае при прохождении ин-
тервалов Д1 и Д3 частоты
вращения ротора следует
подбирать так, чтобы исклю-
чались области, примыкаю-
щие непосредственно к пря-
мым продольных автоколе-
баний (в силу однородности
пород появление резонанс-
ных колебаний здесь исклю-
чено). При прохождении же
интервала Д2 следует исклю-
чать как области продоль-
ных автоколебаний, так и
области резонансных коле-
баний.
На диаграмме рис. 36 и
рис. 37, а также и на рис. 38
зоны продольных автоколе-
баний представлены некото-
рыми линиями, в связи с чем чисто теоретически вероятность
поподания в режим продольных автоколебаний незначительна.
Однако это не совсем так. Опасность возникновения резонанса
имеется практически не только при каком-то конкретном
соотношении параметров механической системы, характеризую-
щем состояние резонанса, а в некоторой области изменения
этих параметров, примыкающей непосредственно к указанному
конкретному соотношению.
Так, на рис.39 показан примерный характер изменения мак-
симального значения осевой нагрузки на долото в зависимости
от частоты его вращения (или, что то же самое, от частоты его
вертикальных перемещений, поскольку последняя связана с ча-
стотой вращения долота ид прямой пропорциональной зависи-
мостью). Точки резонанса, как видно из рис. 39, соответствуют
значениям лд = и ид = «3, где Р принимает максимальные
значения. Однако осевые нагрузки Рд значительны по своей ве-
личине не только в точках п1 и л3, но и в некоторых областях
80
этих точек (на рис.39 они заштрихованы). Наоборот, при ид =
= я' осевая нагрузка на долото минимальна. Следовательно,
подбирать частоту вращения долота в данном случае нужно так,
чтобы траектория изображающей точки находилась примерно на
равных расстояниях от кривых продольных автоколебаний. На
рис. 40 в качестве примера показана подобная траектория, изо-
браженная прерывистой прямой, лежащей между кривыми про-
дольных автоколебаний и областями продольного резонанса бу-
рильной колонны в плоскости (идЯ, ид^)-
В заключение следует отметить, что именно в зонах сопоста-
вимости динамики работы долота в стендовых и в промысловых
условиях для вертикальных скважин надо набирать эмпириче-
ский материал типа зависимостей механической скорости буре-
ния и стойкости долота от и ид, а также от количества и ка-
чества промывки для целей оптимизации процесса проводки
скважины, поскольку в этих зонах воздействие наддолотного
инструмента на долото минимально, и на первый план выступа-
ют как отмеченные сейчас параметры, так и свойства проходи-
мых горных пород. Естественно, что в силу сказанного и опти-
мизацию процесса бурения следует проводить именно в этих
зонах.
§ 5. ВЫВОДЫ
Исследования, проведенные в настоящей главе, позволяют сде-
лать следующие выводы.
Во-первых, неравномерность вращения долота в случае не-
качественной промывки забоя ведет к уменьшению механиче-
ской скорости.
Во-вторых, периодическая неравномерность вращения доло-
та, вызываемая крутильными автоколебаниями, в ряде случаев
может вызывать интенсивные продольные автоколебания систе-
мы долото — бурильная колонна.
В-третьих, интенсивные продольные резонансные колебания
бурильной колонны иногда вызываются также и неоднородно-
стью забоя по механическим свойствам.
Все перечисленные виды колебаний отрицательно сказывают-
ся на эффективности разрушения породы и долговечности бу-
рильного инструмента.
Отмеченное отрицательное влияние интенсивных низкоча-
стотных продольных колебаний на эффективность разрушения
горной породы в процессе проводки скважины и на долговеч-
ность бурильного инструмента, а также, при прочих равных фак-
торах, резкое отличие динамики долота в условиях нормальной
6-994
81
Рис. 42. Ухабообразный забой с дву-
мя впадинами, вырабатываемый
двухшарошечным долотом, и спо-
собы контакта шарошек долота со
впадинами забоя
Рис. 41. График изменения во времени жесткости условной пружины, за-
меняющей талевую систему и буровую вышку
работы и в случае продольных колебаний приводят к необходи-
мости выделения зон сопоставимости динамики работы долота в
стендовых и в промысловых условиях или, что то же самое, зон
отсутствия интенсивных продольных низкочастотных- колебаний
системы долото — бурильная колонна.
Заметим, что при выделении указанных зон изменялся сум-
марный коэффициент жесткости талевой системы, буровой выш-
ки и т.д. в пределах от нуля до бесконечности (рис. 41, штрих-
пунктирная линия), хотя, как было отмечено выше, за время бу-
рения Гк от начала предыдущего до начала последующего нара-
щивания бурильного инструмента коэффициент жесткости c(t)
меняется от максимального с0 = с(0) до минимального значе-
ния ск = с(?к) (см. рис.28, 41). Конечно, тем самым были не-
сколько расширены зоны возникновения интенсивных продоль-
ных низкочастотных колебаний системы долото — бурильная ко-
лонна, т.е. введен некоторый ’’коэффициент запаса”. Однако та-
кой подход выгоден тем, что позволяет использовать получен-
ные результаты независимо от типа буровой вышки, талевой си-
стемы и т.д., являясь в этом случае унифицированным.
Следовательно, имея альбом номограмм, подобных той, ко-
торая изображена на рис. 36, для всевозможных сочетаний бу-
рильных труб и утяжеленных бурильных труб (т.е. для различ-
ных б и 15) можно оперативно подбирать длину УБТ L и частоту
вращения долота «д с целью сведения к минимуму вероятности
возникновения интенсивных низкочастотных продольных коле-
баний бурильного инструмента в процессе проводки скважины.
82
Выше были рассмотрены случаи разрушения горных пород
трехшарошечными долотами с симметричным расположением
шарошек, поскольку именно этот тип долот получил в настоя-
щее время наибольшее распространение. Однако и при ином
числе шарошек проведенные выше рассуждения принципиально
не меняются. Рассмотрим, например, двухшарошечное долото.
На рис. 42,а показан ухабообразный забой с двумя впадина-
ми, который может образоваться в результате возникновения
низкочастотных продольных колебаний при обработке забоя
двухшарошечным долотом. На рис. 42 (как и везде далее) рим-
скими цифрами обозначены порядковые номера впадин, араб-
скими - шарошек. Одному продольному колебанию за оборот
(N = 1) соответствует схема контакта шарошек со впадинами
забоя, изображенная на рис. 42,6. Двум продольным колебани-
ям за оборот (JV = 2) соответствует схема контакта на рис. 42, в.
Как было показано выше, в случае трехшарошечного долота
продольный резонанс возникает тогда, когда число колебаний
долота за оборот равно трем (т.е. равно числу шарошек), а сво-
бодная частота продольных колебаний бурильной колонны будет
равна указанной частоте изменений забойного возмущающего
фактора. Указанные рассуждения можно совершенно без измене-
ния перенести и на конструкции долот, содержащие иное число
симметрично расположенных шарошек (в том числе и на двух-
шарошечное долото). Таким образом, зоны продольного резо-
нанса нужно строить для частоты продольных колебаний, числен-
но равной за один оборот долота числу его шарошек. Исходя же
из способа построения кривых продольных автоколебаний, оче-
видно, что построение этих кривых для данного случая не обяза-
тельно, поскольку при проектировании режимов бурения следу-
ет избегать работы бурильного инструмента в зонах продольного
резонанса. Кривые же продольных автоколебаний указанной ча-
стоты лежат именно в этих зонах. Следовательно, необходимость
построения кривых продольных автоколебаний при этом отпада-
ет. Указанному как раз и соответствует схема контакта шаро-
шек долота с забоем, показанная на рис. 42,в.
Кроме рассмотренного выше забоя с двумя ухабами при
разбуривании горной породы двухшарошечным долотом воз-
можно также образование забоя, содержащего четыре ухаба.
Один из видов контакта шарошек со впадинами показан на рис.
43 (N = 4). Возможны и другие виды контакта.
Следовательно, метод построения зон сопоставимости дина-
мики работы долота в стендовых и в промысловых условиях
для вертикальных скважин единообразный. Для выделения
этих зон следует найти области продольного резонанса и кривые
83
Рис.43. Контакт шарошек
двухшарошечиого долота со
впадинами, когда поверх-
ность забоя содержит четыре
ухаба
Способы контакта шарошек и впадин
Продольные авто- Продольный
колебания резонанс
Рис.44. К объяснению по-
строения зон сопоставимости
динамики работы долота в
стендовых и промысловых
условиях
продольных автоколебаний системы долото — бурильная колон-
на. Способ построения можно свести к стандартной схеме, изо-
браженной на рис. 44 (на примере двухшарошечного долота).
На первом этапе рассматриваются возможные способы кон-
такта шарошек долота со впадинами ухабообразного забоя. Для
случая 7V, равного числу шарошек долота (на рис. 44 число
N = 2), строятся зоны продольного резонанса согласно методу,
описанному в предыдущем параграфе настоящей главы. Для
остальных способов контакта (N = 1 и N = 4) строятся кривые
продольных автоколебаний. При этом следует отметить, что ви-
ды контактов долота с забоем весьма многообразны, но все их
смысла строить не имеет, поскольку некоторые из них малове-
роятны (например, в рассматриваемом случае ’’перепрыгивание”
каждой шарошки долота через два ухаба при забое с четырьмя
ухабами, что соответствует N = ^l3, т.е. четыре вертикальных
колебания за три оборота долота) и практически на промыслах
не зафиксированы, хотя теоретически возможность их существо-
вания не исключена. Колебания же с более высокими частотами
(для долот, содержащих три шарошки и более, это частоты, пре-
84
вышающие частоту продольного резонанса} сказываются уже
менее существенно на интенсивности низкочастотных волновых
процессов в бурильном инструменте, возникают сравнительно
редко при роторном способе бурения, а потому могут не прини-
маться во внимание при выделении зон соответствия динамики
работы долота.
В заключение отметим, что выделение зон отработки долот
без возникновения интенсивных низкочастотных продольных
колебаний может дать значительный экономический эффект уже
потому, что отпадает необходимость применения различных га-
сителей низкочастотных колебаний, а также сводится к миниму-
му все разнообразие компоновок бурильной колонны: можно
употреблять только лишь двухразмерную колонну, подбирая
надлежащим образом длину утяжеленных бурильных труб L и
частоту вращения долота и . В то же самое время исключение
интенсивных низкочастотных колебаний, как известно, положи-
тельно влияет и на эффективность разрушения горной породы, и
на долговечность бурильного инструмента.
Наконец, если все-таки применение многоразмерной компо-
новки бурильной колонны необходимо, то, используя прибли-
женные методы, можно также строить зоны сопоставимости от-
работки долот. Об одном из таких оценочных методов будет
сказано ниже.
Глава III
ДИНАМИКА БУРИЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА
В СЛУЧАЕ ПРОВОДКИ НАКЛОННЫХ СКВАЖИН
§ 1.	ОСНОВНОЕ ОТЛИЧИЕ В ПОДХОДЕ ИЗУЧЕНИЯ
ДИНАМИКИ БУРИЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА
ПРИ ПРОВОДКЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ
И НАКЛОННЫХ СКВАЖИН
В предыдущих главах в основном рассматривались процессы,
протекающие в бурильном инструменте при проводке скважин
малой пространственной кривизны, что позволяло принимать бу-
рильную колонну эквивалентной прямолинейному стержню и не
учитывать силы трения, действующие по его длине (это вполне
оправдано для задач, разобранных выше).
Рассмотрим динамику бурильного инструмента в случае зна-
чительной кривизны скважины, когда силами взаимодействия
бурильной колонны со стенками скважины пренебрегать нельзя.
85
Выведем дифференциальное уравнение, описывающее дина-
мику продольных колебаний бурильного инструмента, при сле-
дующих предположениях.
1.	Так как радиус кривизны скважины в любой точке ее оси
гораздо больше диаметра бурильной колонны, то напряжениями
изгиба в поперечных сечениях колонны пренебрегаем, посколь-
ку последние связаны с радиусом кривизны колонны обратно
пропорциональной зависимостью.
2.	Принимаем колонну эквивалентной тяжелому однородно-
му стержню, лежащему на стенке скважины.
3.	Сила трения связана с весом стенки q через коэффициент
трения кт пары металл — горная порода; в общем случае кт счи-
тается функцией скорости перемещения поперечных сечений
стержня и координаты сечения стержня.
4.	Скорость продольных перемещений поперечных сечений
бурильной колонны, вызываемых взаимодействием вооружения
долота с забоем, принимаем по своей абсолютной величине на-
много больше механической скорости (это предположение поз-
воляет принимать бурильную колонну неподвижной по отноше-
нию к скорости углубления скважины между двумя наращива-
ниями инструмента, что вполне допустимо).
Рассмотрим плоский случай, т.е. когда искривленная сква-
жина лежит в вертикальной плоскости. Сделанные допущения
позволяют обратиться к расчетной схеме, изображенной на
рис.45.
Свяжем начало, координат с устьем скважины (точка О на
рис.45,а). Ось Ох направлена вертикально, а ось Оу — горизон-
тально. Профиль скважины при этом описывается некоторой
функцией у = /(х). Введем также ось OS, совмещенную с осью
бурильной колонны. Как видно из рис. 45, координата некоторо-
го текущего поперечного сечения S есть не что иное, как его рас-
стояние от верхнего торца колонны.
Изучать будем только продольные перемещения элементов
бурильной колонны вдоль оси OS, возникающие в результате
взаимодействия долота с горной породой в процессе проводки
скважины.
Выделим на некотором расстоянии S от начала координат не-
который элемент стержня Д5, который из-за его малости будем
считать прямолинейным. На этот элемент будет действовать вес
q&S, направленный под некоторым углом а по отношению к оси
выделенного элемента (рассматриваемый участок на рис.45,а
выделен пунктирным прямоугольником). Угол а является функ-
цией координаты 5, т.е. a = a(S). При изменении переменной х
от нуля до Н величина S изменяется от нуля до S = S .
86
Рис. 45. К выводу дифференци-
ального уравнения продольных
колебаний бурильной колонны в
скважине криволинейного про-
филя (плоский случай)
Рис. 46. График функции sgn
Силы, действующие на выделенный элемент, показаны на
рис.45,6. Через u(S, t) обозначено перемещение поперечного се-
чения стержня с координатой S в момент времени t.
Уравнение движения выделенного элемента согласно рис.
45, б можно представить в виде
рРД5 — = EF	du(S' 9] + ДР- ДР ,	(94)
dt2	dS	3S	тр
87
где р — плотность материала стержня; г — площадь поперечного
сечения стержня; Е— модуль Юнга материала стержня; ДР —
составляющая веса элемента, направленная вдоль его оси;
ДР — сила трения, направленная противоположно движению
элемента стержня.
Очевидно, что
ДР = k ArVsgn (^-),
1 р 1	at
где ДгУ — сила нормального давления на элемент со стороны
стенки скважины, а функция sgn(^-), которую запишем как
sgn(—) = <
or
1 при > О,
О при ~^=0,
ot
_ 1 при < О,
(95)
показывает, что сила трения, действующая на элемент стержня
со стороны горной породы, всегда направлена противоположно
скорости движения элемента du/'dt. Вид этой функции показан
на рис.46. Очевидно, что ДР = pgFASsina, AN = pgFAScosa,
где g — ускорение свободного падения в поле силы тяжести
земли.
Подставив полученные выражения для ДР и ДРтр в уравне-
ние движения элемента (94), поделив левую и правую части по-
лученного выражения на Д5 и перейдя к пределу при AS ->0,
получим
ди	,ди 2 d2u
sr-г + &Tgcosasgn(—) = к2 —- + #sina,
dt т	or ds2
(96)
где к = у/е) р — скорость распространения малых продольных
колебаний вдоль стержня (скорость звука в стержне).
Уравнение (96) описывает динамику стержня при продоль-
ном перемещении. В дальнейшем будем его использовать в не-
сколько видоизмененной записи.
Угол а связан с функцией у = /(х), описывающей конфигура-
цию скважины как
, и	.	„ dy . .
tg( - - а) = ctg а = — = f (х),
88
откуда несложно получить, чти
sina =
1	f'(X>
r====------, cos a = —r - ,
l+[/(x)]2	V1+ [f (*)]2
Подставив полученные значения sina и cos a в уравнение
(96), окончательно получим
Э2« . *Х<*> ,дих ,д2и. S
--- + г—	---" sgn( ) = К ------ + —	,
dt2 V1+ [/(х)]2 dt ds2 V1+ [/(х)]2
где
S = / V1+ [f’(x)]2dx.
О
(97)
(98)
Дифференциальное уравнение (97), в котором переменные S
и х связаны соотношением (98), выражающим текущую длину
участка бурильной колонны между устьем скважины и попереч-
ным сечением колонны, имеющим координату х по вертикали
(ось Ох), и будем анализировать. Профиль скважины в этом
уравнении (в координатной плоскости хОу) задается функцией
y=f(x) (рис.45,a).
В дальнейшем будет необходимо рассматривать волновые
процессы, происходящие в системе долото — бурильная колонна.
С этой целью запишем исходное уравнение для динамической со-
ставляющей (т.е. переменной во времени t) перемещений сече-
ний стержня нд (х, t).
Представляя исходное решение уравнения (97) в виде сум-
мы и =	(х, t) +	(х), где uQ (х) — статическая составляю-
щая решения, зависящая только от координаты х, учитывая, что
а..	Э (и + и)	ди
sgn( — )= sgn(—£-------)= sgn(-?-),
Ot	Ot	Ot
после подстановки в исходное уравнение имеем
д2и
___д
Эг2
*т«/'(х)
Л □. Г//„Л 12
ди	д2 и
/ Д \	2 Д
sgn(----) = К.2————
dt ds2
Э2и
+ к2-----
ds2
+ ° .
х/1+ [/'(X)]2
89
А теперь потребуем, чтобы
X —Т- + ~л ,  ,= = 0.
as2 Vi+ [/ «]
Выразим операцию дифференцирования по переменной S че-
рез переменную х. Из формулы (98) имеем
d _ d dx _ 1 d __ / 1 d
dS dx dS dS dx V1+ l/W]2 dx
dx
d2 _ d (JL)=	1 d f______________1 d )
dS2 dS dS \Л + [/'(*)]2 dx [\/1+ [/'(x)]2 dx)
Следовательно, дифференциальное уравнение для определе-
ния статической составляющей (х) будет иметь вид
к2 — 1 A J -1,	=0,
Vl+[/'(x)]2 dx [V1+ [/'(х) ]2 dx J Vl+tf'(x>]2
или же
d f 1 Al	= _ g_
dx [x/1 + [/' (x) ]2 dx J К 2
Это уравнение — с разделяющимися переменными, и решение его
легко находится:
----------------------------
— = (С,	-	Ах)А + [Г(х)]2.
dx	1	К2
Поскольку
g	_	gp _	т
К2	Е	Е	’
где у — удельный вес материала бурильных труб, то окончатель-
но получаем
\ (х) = С2 + J (С; - -L х) х/1+ [/(х)]2 dx,	(99)
С
где С и Сг — постоянные интегрирования, подлежащие опреде-
лению из граничных условий.
90
уравнение же для определения динамической составляющей
решения, очевидно, можно записать в виде
д2 и к gf'(x)	ди	д2и
—5- + /	sgn(—) = к2 -
dt2 V1+ [/'(х)]2	ar	as2
Итак, основным отличием в подходе к изучению динамики
бурильного инструмента в случае наклонных скважин по сравне-
нию с вертикальными скважинами является наличие существен-
ных диссипативных сил по длине бурильной колонны, опреде-
ляемых, как это видно из уравнений (97) и (100), коэффициен-
том трения к (величиной в общем случае переменной) и конфи-
гурацией скважины, задаваемой функцией у = /(х).
§ 2. ДИНАМИКА БУРИЛЬНОЙ КОЛОННЫ
В СЛУЧАЕ НАКЛОННОЙ СКВАЖИНЫ
ВЕСЬМА БОЛЬШОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ
Прежде чем перейти к динамике бурильной колонны весьма
большой протяженности, обратимся к уравнению (100), описы-
вающему динамическую составляющую перемещений бурильной
колонны в процессе проводки скважины.
Отметим, что решение этого уравнения даже в простейшем
случае кт= const весьма сложно. Нас будут интересовать волно-
вые процессы в бурильной колонне, возникающие в результате
взаимодействия долота с забоем бурящейся скважины. А, как
известно, этот процесс можно, в некотором приближении, рас-
сматривать периодическим во времени.
Поэтому с целью упрощения задачи рассмотрим случай, ког-
да в результате взаимодействия долота с горной породой на бу-
рильную колонну действуют возмущающие факторы чисто гар-
монического характера.
Пусть нижний торец колонны перемещается во времени t по
синусоидальному закону, т.е. при S=S (см. рис.45,а) име-
ем, что
SH) = Ао sin cot.	(101)
В установившемся режиме перемещения сечений во времени
t можно также принять в виде [17]
S) = A (5)sin(w? + 0 (S)),	(102)
где A (S) и ф (S) — соответственно амплитуда и фаза установив-
91
шихся продольных колеоании поперечного сечении иурильнои
колонны, имеющего координату S.
Продифференцируем теперь функцию иа(1, $) по перемен-
ным t и S:
ди	д2и
—— = соЛ (5)cos(coZ + 0(5)), —= -со2 Л (5) sin (wZ + ф(5)),
dt	dt
-2- = А (5) ф' (5) cos (wZ + ф (S)) + А' (5) sin (wZ + ф (S)),
ds
д2и
—» = [Л(5)ф"(5) + ^'(5)0'(5)]cos(coZ + 0(5)) +
dS2
+ {л"(5)- [0'(5)]2Л(5)} sin(wZ + ф (S)).
Сделаем замену переменной, положив
т = toZ + ф (5).
Тогда, очевидно, оператор дифференцирования по Z примет вид
д д дт д д2 д , д ,	2 д2
___ —________= 60 — , ------ = — (со —) = со ------ ,
dt дт dt дт dt2 dt дт дт2
а соответствующие производные запишем как
ди	Э2н
—~ = шА (S) cos г, ——- = — <о2Л (5) sin т,
dt	dt2
ди
—— = Л(5)0'(5) cos т + Л'(5)8шт.
Э2н	(
-4 = [A (SW"(S) + 24W'(S)]cos т+ {A"(S) -
dS2	L
-[ф'(5)]2Л(5)}8Шт.
Очевидно, что справедливо равенство
ди
sgn( —^-) = sgn(ob4 (5) cos т) = sgn(cos т), так как соЛ (5)> 0.
dt
Далее, в наиболее общем случае коэффициент трения бу-
92
ди
дем считать некоторой функцией от —— и S, откуда
at
ди
к =	<^(S)COS т).
1	dt 1
С учетом изложенного после подстановки соответствующих
производных от t) в уравнение (100) и приведения по-
добных членов получим
d~2 + К—)2
dS2 К
. d2 ф
Sin 7 + (А -=- +
dS2
dA d]t,	gf'(x)k (S, GX4(S)cos7)
+ 2-------) COS 7 = .... .........------- Sgn(cOS7). (103)
dS dS	K2x/1+[/(*)]2
Итак, уравнение (103) дает новую форму записи уравнения
(100), имея в виду, что решение ищем в форме (102). Приме-
ним к уравнению (103) метод усреднения [17].
В силу периодичности величин, входящих в уравнение (103),
по переменной т для того, чтобы получить среднее значение ам-
плитуды продольных колебаний А (5) и фазы ф(5) поперечного
сечения стержня, имеющего координату S, нужно сначала умно-
жить левую и правую части уравнения (103) на sinrdr и проин-
тегрировать его в пределах от 0 до 2я, а затем поступить анало-
гичным образом, умножив уравнение (103) Hacosrdr. В резуль-
тате получим систему уравнений для нахождения Я и ф:
~ [(—/ - (—/1-4 -	X
dS2 к dS	ПК2 VI + [/ (*)]
Я/2	ЗЯ/2	27Г
X ( J A: sinrdr— j ^sinrJr + J к sinrdr),
0	7Г/2	37Г/2
(104)
Д d2 Ф +2—	= J.________х
dS2 dS dS як2 \Л+ [/'(*) ]2
Я/2	ЗЯ/2	2Я
X ( / cos rdr — f Аг cos rdr + f cos rdr).
0	Я/2	ЗЯ/2
Граничные условия для определения постоянных интегриро-
вания будут следующими.
Считая вышку, талевую систему (см. гл. И, § 4) эквивалент-
93
ными некоторой пружине с коэффициентом жесткости с, для
5 = 0 (см. рис. 45,а) можно записать
ди
—— = hu , где h = с/ EF.
dS «
Отсюда с учетом формулы (102)
А — cos (cot + ф) + — sin (cot + ф) = hA sin(cot + ф).
dS	dS
Раскрыв теперь скобки перед косинусом и синусом суммы
двух углов, сгруппировав полученные члены при sin cot и cos со t
и приравняв коэффициенты при sin cot и coscot нулю, получим
dA
dS
dA
dS
_ A — = hA,
dS
+ Ad±=hA.
dS
Из этой системы однозначно определим, что при 5 = 0
=	^ = 0.
dS	dS
(105)
В то же самое время приняв, что при 5 = 5н перемещение бу-
дет пд(5н, t) =H0sincot, из (102) со всей очевидностью выте-
кает второе граничное условие при 5 = 5Д:
А = Ао, ф = 0.
(Ю6)
Таким образом, система обыкновенных дифференциальных
уравнений (104) с граничными условиями (105) и (106) позво-
ляет оценить динамические возмущения в бурильной колонне
при проводке наклонной скважины.
Естественно, что данный метод — приближенный, однако ино-
гда он позволяет получать и точные решения [ 17].
Рассмотрим наклонную скважину весьма большой протяжен-
ности, когда бурильную колонну можно принять эквивалентной
полу бес конечному стержню. Сказанное будет справедливо-, если
забойные возмущения, затухая по длине бурильной колонны, не
доходят до устья скважины.
Начало координат удобнее поместить в нижнем торце колон-
ны (точка Of на рис. 47), а ось 5 направить от забоя к устью
скважины.
94
Рис. 47. К выявлению взаимосвязи координат х и S текущего поперечного
сечения бурильной колонны криволинейного профиля
При этом форма записи системы дифференциальных уравне-
ний (104) совершенно не изменится [последнее можно легко
проверить, заменив переменную 5 на (5Н — S), поскольку имен-
но такую замену переменной 5 произведем, поместив начало ко-
ординат в точку О(, т.е. на забой].
Граничные же условия будут:
1.5 = 0 : А = Ло , ф = 0,
2. ИтЯ = 0, поскольку из-за наличия диссипативных сил по дли-
не 5 -> °° бурильной колонны амплитуда забойного возмущения
будет уменьшаться вплоть до нуля.
Рассмотрим частный случай, когда коэффициент трения бу-
рильной колонны о стенку скважины будет постоянной величи-
ной, т.е. = к = const.
Исходная система (104) принимает вид
^4 + и—/-(—ш = о,
dS2 К dS
А + 2 —	f(x)
dS2 dS dS ЯК2 хЛ+ [/'(*) Р
(Ю7)
Граничные условия:
1.5 = 0 : А = А ф = 0;
2. lim А = 0.
5
95
в дальнейшем коснемся наклонных скважин, конфигурация
которых задается некоторой функцией f(x) (см. рис.47,а), а
сейчас рассмотрим прямолинейную наклонную скважину, ось
которой составляет с вертикалью Ох угол aQ (рис.47,б). Оче-
видно, что в данном случае уравнение оси скважины можно запи-
сать (начальным искривленным участком в области точки О с
целью простоты пренебрегаем): f(x) = xtg aQ. Отсюда f (х) =
= tg ад1 и после несложных тригонометрических преобразований
правой части второго уравнения системы (107) имеем
—2 + [(—/-(—)2М=о,
dS2 К dS
 <108)
л d2^ dAdi^ 4M3n“o
dS2 dS dS	it к2
Граничные условия:
1.5 = 0 : А = Ло , 0 = 0;
2. lira А = 0.
S -> °°.
Прежде чем перейти к исследованию задачи (108), заметим,
что ось скважины и ось бурильной колонны не совпадают (на-
пример, как показано на рис.47,6, в районе забоя эти оси могут
даже иметь переменный угол наклона друг к другу, но, очевид-
но, этот участок по сравнению с длиной бурильной колонны пре-
небрежимо мал), однако практически по всей длине скважины
их можно считать для наших целей параллельными. В силу отме-
ченного несущественным является: направлена ли координатная
ось О] S по оси скважины или же по оси бурильной колонны.
На рис.48 изображен полубесконечный однородный прямо-
линейный стержень, лежащий на горизонтальном основании
(рис.48,а), на торец которого наложено гармоническое возму-
щение с амплитудой Ад и периодом Т (рис.48,б), т.е. ид =
= Ад sin cot, где gj = 2тг/Т.
Поскольку между стержнем и основанием действует сила
трения, то по мере распространения возмущения вдоль стержня
амплитуда А (5), которая при 5 = 0 будет равной Ад, уменьша-
ется. Вполне возможен вариант, что при некотором значении
5 = 50 волновое возмущение полностью затухает, иначе А (50) =
= 0. Назовем величину Sg границей распространения краевого
динамического возмущения (далее для краткости величину 50
будем именовать просто границей возмущения).
96
a s
Рис.48. Расчетная схема по изучению динамики прямолинейного стержня,
лежащего на горизонтальном основании (между контактирующими по-
верхностями стержня й основания действует сила трения, подчиняющаяся
закону Амонтона - Кулона)
Рис. 49. К пояснению понятия "механический аналог”
На рис. 49,а показано абсолютно твердое тело массы т, лежа-
щее на горизонтальном основании, соединенное упругой пружи-
ной, которая имеет линейную характеристику упругости (жест-
кость пружины равна с0), с неподвижной преградой. Тело массы
т может перемещаться в горизонтальном направлении вдоль
оси Оу.
Если между телом массой т в процессе его движения и по-
верхностью основания, по которому оно движется, действует
диссипативная сила, по своему происхождению идентичная силе
сопротивления, действующей между стержнем и поверхностью
подставки, по которой он перемещается (стержень — полубеско-
нечный), то в этом случае механическая система масса т — жест-
кость <?0 является механическим аналогом по отношению к ука-
занному выше стержню.
Придадим массе т относительно положения равновесия (точ-
ка О на рис.49,а) некоторое начальное смещение AQ и затем
7-994	97
предоставим самой сеое. с течением времени i	лиие-
баний A (t) будет уменьшаться, и в некоторый момент времени
t = tQ колебания полностью затухнут, т.е. А (Z ) = 0 (рис.49,б).
Таким образом, длительность воздействия некоторого крае-
вого возмущения у стержня характеризуется границей распро-
странения Sa, а у механического аналога — временем полного за-
тухания колебаний t . В то же самое время амплитуде A (S) рас-
пространяющегося по стержню граничного возмущения можно
сопоставить амплитуду А (Г) свободных колебаний механическо-
го аналога. Распространение граничного возмущения в стержне
является свободным процессом в том смысле, что по длине
стержня отсутствуют дополнительные источники как подвода,
так и поглощения энергии, а потому уменьшение A (S) по мере
возрастания S происходит только за счет диссипативной силы,
действующей между основанием и стержнем. В механическом
аналоге амплитуда А (?) также уменьшается с увеличением t
лишь за счет диссипативной силы, возникающей между телом
массы т и основанием. А поскольку характер силы сопротивле-
ния движению (диссипативной силы) и в том и в другом случае
один и тот же, то, очевидно, должны быть подобными и Зависи-
мости А (5) и А (Г) в процессе изменения Sat. Это высказыва-
ние будет отправной точкой при исследовании задачи (108).
Рассмотрим механический аналог стержня, динамика которо-
го описывается задачей (108).
У механического аналога (см. рис.49,а) сила диссипации
должна быть
Р =^nsgn(—).
тр о 6 V dt
Уравнение движения механического аналога (согласно рис.
49,а) запишем в виде
d2 у	d /dy \
что, после элементарных преобразований, даст
М’ + и2 у + д sgn( —) = 0,
dt2 °	° dt
где w0 = y/ejm. д Q = PJm .
Решение этого уравнения приведено в работах [3, 27]. Зави-
симость амплитуды колебания от времени механического анало-
98
га представим в виде
2Др
2Д0
1ГШлАп
, 00
при t > —-----
2Д0
(Ю9)
Время полного затухания колебательного процесса в механи
ческом аналоге будет
~ 2^0
(ИО)
Переходим теперь к задаче (108).
В силу подобия амплитуд Л (t) и A (S) запишем амплитуду
A (S) как
(A -0S при S < S ,
Л($) = 7
(0 при S > So .
Очевидно, что А (0) = А и первое краевое условие задачи
(108) выполняется. Выполняется и второе краевое условие, по-
скольку А = 0 при S > $0. А так как неравенство S> SQ не
ограничено сверху, то А = 0 и при S -> °°.
Исследуем A (S) при S < SQ.
Подставив значение A (S) в дифференциальные уравнения
исходной задачи, получим

. 0 dS2 dS ПК2
Из первого уравнения следует, что (согласно Ад — pS =#= 0)
f со 2	2
(~) ~ (ттг) = °’ 0ТКУДа
ГЪ	йо
d'i/ _ + СО
dS~ ~ ~ к"
Очевидно, что в связи с убыванием A (S) при возрастании S
99
коэффициент (3 должен быть строго положительным; это позво
ляет установить, что производная от фазы должна быть отрица-
тельной, т.е.
<1ф	со
— =------, и из второго уравнения получаем, что
dS	к
2ksinaQ
|3 = --------. Далее
ЯКШ
ф = С — —S,
к
и чтобы удовлетворить краевому условию при 5 = 0, нужно по-
ложить постоянную интегрирования С = 0.
Итак, окончательное решение задачи (108) запишем в виде
2Msin“o
7ГКСС
5 при 5 < S Q ,
при 5 > 50 ,
ф(5)= --^.5.
лс
Следовательно, волновое возмущение, распространяющееся
от забоя, согласно формуле (102) примет вид
2k г sin я	,,
о о „ , . , со „ ,	„ . „
——------5)sin(wZ- —5) при5<50,
(Ш)
при 5 > 5Q .
50 найдем из условия равенства нулю мд(г, 5) [или, что то же
самое, Л (5) ], откуда для получаем
яксоЛ0
2Vsinao
(П2)
Интересно также отметить, что согласно формуле (111) вол-
новое возмущение распространяется вдоль бурильной колонны
со скоростью к, откуда время Z* достижения возмущением гра-
ницы распространения находим делением 50 на к:
Т* = -----------
2/c0«sina0
(ИЗ)
100
Если же в формуле (JIJJ со заменить на a>Q, а нмссю вели-
чины &0#sina0 поставить играющую ее роль в аналоге величину
д0, то приходим к формуле (110). Короче говоря, формулы,
(110) и (113) идентичны по своей структуре.
Вернемся к формуле (112), определяющей границу распро-
странения возмущения SQ в случае прямолинейной наклонной
скважины, в которой находится однородная бурильная колонна
(все предыдущее относилось именно к такой колонне), и заме-
тим следующее.
Круговая частота со продольных колебаний долота связана с
частотой вращения долота ид в минуту и с числом колебаний до-
лота за один оборот W[cm. гл. II, § 4, формула (79,а) ], как
После подстановки этой величины в формулу (112) послед-
няя принимает вид
0	60 /cQg sin aQ
Из механики сплошной среды известно, что состояние резо-
нанса в некотором замкнутом объеме упругой среды мо-
жет иметь место только лишь при наличии в ней отраженных
волн. В частности, например, в полубесконечном однородном
стержне при наличии возмущающего фактора периодического
характера на его торце состояние резонанса не достигается ни-
когда, поскольку отсутствует обратная (отраженная) волна. В
то же время в однородном стержне конечных размеров при пе-
риодическом возмущении на его торце возможно возникновение
резонансного состояния.
Обратимся теперь к формуле (114). Пусть длина скважины
(или, что то же самое, бурильной колонны) от устья до забоя
будет равна некоторой величине (см. рис.45,а).
Тогда очевидно, что при 50 > 5Н от верхнего торца буриль-
ной колонны будет отражаться динамическое возмущение, при-
шедшее с забоя, и прямая волна, суммируясь с обратной, при
определенном соотношении фаз может привести к тому, что про-
дольные колебания колонны будут усиливаться. Наоборот, есл1
SQ < 5Н, то забойное возмущение не достигает устья скважины,
а это указывает на то, что обратная волна отсутствует и состоя-
ние резонанса в этом случае невозможно.
Рассмотрим крайний случай, когда aQ = тг/2, т.е. скважина го-
101
5о
ризонтальна. Обозначив границу возмущения в этом случае через
Sg , по формуле (114) получим
я2 Лп NA
_	до
60 ко*
Очевидно, что взаимосвязь между Sg и S запишем в виде
= 50/sinaQ.	(116)
(И5)

Пусть долото на забое генерирует колебания с амплитудой
Ад и частотой nRN. Тогда в плоскости скважины, откладывая
влево и вправо по горизонтали от точки О (устье скважины) ве-
личину Sg и проведя из
Рис.50. К выявлению области возможно-
го возникновения продольного резонан-
са системы долото - бурильная колонна
в случае прямолинейной наклонной
скважины
крайних~точек отрезков
длиной S две вертикали
(рис.50,а), находим, что
область между этими дву-
мя вертикалями (на рис.
50 она заштрихована) яв-
ляется не чем иным, как
областью возможного
возникновения продоль-
ного резонанса системы
долото — бурильная ко-
лонна.
Отсюда видно, что ес-
ли бурить прямолинейную
скважину под углом ад к
вертикали, то резонанс-
ный режим возможен
только до тех пор, пока
не достигается граница
выделенной области (на
рис. 50,а эта граница до-
стигается долотом в точке
е; при этом длина буриль-
ной колонны равна SQ).
Как только длина скважи-
ны позволяет выйти за
пределы указанной зоны,
то возникновение резо-
нанса при забойном воз-
мущении с частотой n^N и
102
аМШ1И1уДиИ	nCAJlfUHCnV ^П4 pnc.ju ли yidtlKH ПривиДКИ
скважин, соответствующие отрезкам ab и cd).
Очевидно, вращая плоскость скважины вокруг вертикали
(ось Ох), в пространстве получаем цилиндрическую поверх
ность, делящую полупространство, в котором бурится прямоли
нейная наклонная скважина, на две области — область возможно-
го возникновения продольного резонанса и область его отсутст-
вия (рис. 50,6). Следовательно, для того чтобы построить об-
ласть возможного возникновения продольного резонанса, по па-
раметрам Aq и n^N забойного возмущения вычисляется величи-
на 50, и ею как радиусом на дневной поверхности проводится
окружность с центром в устье скважины. Круг с центром в устье
скважины (точка (?) будет основанием вертикального цилиндра,
внутренняя область которого и будет областью возможного воз-
никновения резонанса (см. рис. 50,6).
Пример. На Арланской и Раевской площадях Башкирии, со-
гласно данным работы [20], значение коэффициента трения kQ в
интервале глубин 400—1600 м, замеренного экспериментально
для стальных бурильных труб размером 140x10 мм, равно
0,17—0,19 (примем kQ =0,18).
Рассмотрим низкочастотные продольные колебания трехша-
рошечного долота, возникающие в результате взаимодействия
его с неоднородным по своим физико-механическим свойствам
забоем. В этом случае 7V= 3 (см. гл. II, § 4). Пусть частота вра-
щения долота ид = 180 об/мин, а амплитуда забойного возмуще-
ния AQ = 2 мм.
Итак, к = 5000 м/с (для стальных труб), g = 9,81 м/с2, kQ =
= 0,18, N = 3, Aq = 2 • 10~3 м, «д = 180 об/мин.
По формуле (115) получаем
Я я2 5000•180•3-2 • 10 3
5 =---------------------- «= 500 м.
0	60	0,18-9,81
Следовательно, если скважина бурится под углом aQ = 60°,
то при достижении длины скважины
5о
500
6(F
= 580 м
можно уже не опасаться возникновения интенсивных продоль-
ных низкочастотных вибраций.
При = 30° искомая длина прямолинейной скважины будет
уже 50 = 1000 м. При 5 > 1000 м интенсивные низкочастотные
колебания также должны отсутствовать.
Ранее рассматривался случай прямолинейной наклонной
103
Рис. 51. Расчетная схема для получе-
ния зависимости изменения амплиту-
ды забойного возмущения по длине
бурильной колонны в скважине кри-
волинейного профиля
скважины, пзучим динами-
у ку однородной бурильной
колонны, профиль которой
в плоскости хОу описывает-
ся некоторой функцией у =
= f(x) (рис. 51).
Нахождение решения за-
дачи (107) для общего слу-
чая профиля скважины не-
посредственным интегриро-
ванием системы дифферен-
циальных уравнений пред-
ставляется весьма сложным.
Но этого можно избежать пу-
тем использования зависи-
мости A (S) в случае прямо-
линейной наклонной сква-
жины.
Действительно, выделим
элементарный участок стер-
жня, длину которого из-за
его малости можно принять
равной длине прямолинейно-
го участка Д5 (см. рис. 51). Пусть в точке 5 касательная к оси
скважины образует с вертикалью угол «(5), а в точке (S +
+ Д5) — угол а(5+Д5). Поскольку элементарный участок
скважины заменим хордой Д5, то, очевидно, эта хорда составит
с вертикалью Ох угол a(S +0Д5), где в = const и 0< в < 1.
Тогда, воспользовавшись решением для прямолинейного стерж-
ня, можно записать приближенное равенство:
2к g sin a(S + 0Д5)
A (S + Д5) ~ Л (5 ) — --——--------— AS, откуда
A (S + Д5) - Л (5 )
Д5
2М
---sin a (S + в AS).
ЯКО)
Переходя в полученном равенстве к пределу при AS ~*0,
записываем:
dA
dS
-----sina (5).
якш
Проинтегрируем полученное дифференциальное уравнение, при-
няв начальное условие: 5 = 0, А = AQ.
104
после интегрирования получим
2*0* «
А (5) =Ап------— J sina(S)dS .
°	ЯКСО 0
(117)
Границу возмущения 50, очевидно, можно найти из соотно-
шения (117), положив A (SQ) = 0, откуда уравнение для опреде-
ления 50 представим в виде
С
° О	ЯКСОЛ
f sina(S)dS = ------- .	(118)
о	2*о*
Найдем взаимосвязь sin&(S) и профиля скважины /(х). Из
рис. 51 следует, что tg a (S) = /'(х). Это дает
- tga(S) _	/'(х)
sin а (5) = - - - - --7=====- .
Vl+tg2a(S) VI+ [/(*)]
Переменные же S их, как следует из рис. 51, связаны между
собой соотношением
5 = /V1+ [/’(х)]2^.
Заменив теперь в полученных соотношениях ш через п и N,
окончательно получим
(	60	* g S
A(S) = А — — —— / sina(5)<ZS,
0 я2 Кп N о
д
So	тг2 Кп NA
f sina(S)dS=---------*—- ,
< о V	60 kQg	(119)
sina(5) =	,
VITF(x)]2
s= J V1+ [/’(X)]2dx .
Итак, уравнения (119) дают возможность установить закон
изменения амплитуды возмущения А (5) по длине колонны и
границу возмущения SQ в общем случае профиля скважины,
определяемый графиком у = f (х).
8-994
105
можного возникновения продоль-
ного резонанса системы долото -
бурильная колонна в случае на-
клонной скважины криволинейного
профиля
Из уравнения (118) вы-
текает соотношение
So
f sina(S)dS =S0,	(120)
о
где SQ — граница возмуще-
ния в прямолинейной гори-
зонтальной скважине, опре-
деляемая по формуле (115).
Рассмотрим произволь-
ную криволинейную скважи-
ну (рис. 52). Радиусом SQ
очертим круг с центром в
устье скважины (точка О) и
построим цилиндр, внутрен-
няя часть которого является
областью возможного про-
дольного резонанса (см. рис.
50). На рис.52 показан.учас-
ток скважины, расположен-
.ный в плоскости хОу и
ограниченный устьем (точка
О) и точкой О пересечения
скважины с поверхностью цилиндра. На этом участке выберем
некоторую точку S и рассмотрим элементарный отрезок длиной
AS (дифференциал длины дуги). Касательная в точке 5 образует
с вертикалью Ох угол а (5)'.
Произведение sin a (S) AS есть не что иное, как длина проек-
ции отрезка AS на горизонталь, параллельную оси Оу (отрезок
подкасательной). Обозначив длину этого отрезка через AS', по-
лучим AS' «= sina(S)AS, или же в дифференциалах dS' =
= sina (S)dS.
Проинтегрировав теперь это выражение при изменении пере-
менной S' от нуля до So, найдем соотношение (120).
Установленный факт указывает на то, что область возможно-
го продольного резонанса для прямолинейной наклонной сква-
жины будет являться одновременно областью возможного про-
дольного резонанса и для криволинейной скважины.
Следовательно, зная величину So, определяемую по формуле
(115), можно сразу же для скважины любой кривизны (в том
числе, очевидно, и для скважин, обладающих пространственной
кривизной) построить область возможного продольного резо-
106
Рис. 53. Область возможного воз-
никновения продольного резо-
нанса системы долото - буриль-
ная колонна в случае наклонной
скважины криволинейного про-
филя
Рис. 54. К примеру определения
границы возмущения для криво-
линейной скважины, профиль
которой является дугой окруж-
ности
нанса. Она будет точь-в-точь такой же, как и в случае наклонной
прямолинейной скважины.
На рис. 53 показан вид этой области. На участке проводки
криволинейной скважины Оа имеется возможность возникнове-
ния резонанса, а на участке ab эта возможность отсутствует.
Из изложенного видно, что данный способ позволяет легко
определять длину скважины (или, что то же самое, длину бу-
рильной колонны), при которой забойное возмущение уже не
доходит до устья, — графически это отрезок ООГ на рис. 52.
Следовательно, построив заданный профиль скважины, нужно от
точки О (устье) отложить отрезок SQ и из его конца провести
вертикаль до пересечения с осью скважины в точке Ot. Искомая
длина будет равна длине кривой ОО{.
В качестве примера рассмотрим криволинейную скважину,
представляющую дугу окружности радиусом R (рис.54). Най-
дем для этой скважины границу возмущения SQ согласно фор-
мулам (119).
Профиль скважины, показанной на рис. 54, в координатах
(х, г) определяется функцией
у = f(x) = R — \/R2 — х1 . Далее
107
откуда
sina (S') =

Теперь, чтобы воспользоваться формулой для нахождения SQ,
выразим х через S как
о, . Н . х .
= R(arcsin — — arcsin —) ,
R	R
откуда получим, что
sina (5) = — = sin (arcsin------—).
я	Л R
Из рис.54 легко установить,что sinaQ = Н/R, откуда aQ =
= arcsin Н[R. Следовательно, имеем
~ So	So	s
S = / sina(S)dS = f sin(a —= R [cos(a -
0 о	о ° R
- COS a ], откуда
R	v
So
so = R [a0 - arccos ( — + cos a0)].
Нам, естественно,интересно узнать, каков должен быть при
заданном радиусе скважины R угол aQ, чтобы забойное возму-
щение затухало как раз на устье скважины. В этом случае вели-
чина SQ - aQR. Подставив это значение SQ в формулу для ее
определения, получим
So
aQR = R [a0 — arccos (—— + cos ao)] , откуда
SQ
arccos (-я- + cos a) =0, что дает
R	o
108
ao=arccos(l-----^).	(121)
Найдем угол aQ путем построения области возможного воз-
никновения продольного резонанса. Из рис. 54 очевидно сле-
дующее:
/?-?0
cos а0 = —— , откуда
а0 = arccos(l - —).
Найденное значение в точности совпадает с формулой
(121), полученной на основании соотношений (119). В то же
время число операций вычислительного характера в последнем
случае гораздо меньше, чем в предыдущем.
Границу же возмущения для скважины, профиль которой
является дугой окружности (см. рис. 54), можно представить
в виде
S
5о = aQR = R arccos(l - —).
Предложенный метод построения области возможного воз-
никновения продольного резонанса указывает путь к выбору
профиля наклонной скважины в стадии проектирования с целью
уменьшения интервала ее проводки в области, где возможно
возникновение продольных колебаний бурильного инструмента.
Так, согласно рис. 55, если конечной точкой скважины служит
точка Ь, то профиль скважины, определяемый дугой Оа2Ь, пред-
почтительнее, чем профиль О a {Ь, поскольку участок проводки
скважины Оа2 в области резонанса в первом случае меньше, чем
аналогичный участок Оа t во втором случае. Таким образом, в
первом случае будет меньше вероятность возникновения различ-
ного рода осложнений, причиной которых могут служить резо-
нансные продольные системы долото — бурильная колонна.
И наконец, хотя построение областей продольного резонанса
производилось для сухого трения, однако данный способ позво-
ляет оценить указанные области и для других случаев зависимо-
сти силы трения F от скорости перемещения dujdt бурильной
колонны по стенке скважины. Действительно, если из зависимо-
сти Ртр(ди/Эг) можно выделить составляющую, подчиняющую-
ся, закону трения Амонтона— Кулона (рис. 56 эта составляющая
показана штриховой прямой Ртр = PQ, где PQ — минимальное аб-
солютное значение силы трения при изменении от - vQ до оо), то
109
Рис. 56. К оценке размера области возмож-
ного возникновения продольного резонан-
са бурильной колонны при силе трения ко-
лонны о стенку скважины, не подчиняю-
щейся закону Амонтона-Кулона
Рис. 55. К выбору профиля скважины с малым участком проводки в об-
ласти возможного возникновения продольного резонанса бурильной ко-
лонны
из энергетических соображений ясно, что область возможного
возникновения резонанса исходной механической системы будет
целиком находиться в области резонанса, определяемой выде-
ленной составляющей PQ силы трения. Последнее и дает оценку
области возможного возникновения продольного резонанса бу-
рильного инструмента в случае исходной зависимости силы тре-
ния колонны о стенку скважины.
Все изложенное выше относилось к однородной бурильной
колонне. При наличии участка длиной L, состоящего из утяже-
ленных бурильных труб, оценить область возможного продоль-
ного резонанса можно следующим образом.
Рассмотрим полубесконечную бурильную колонну в верти-
кальной скважине [т.е. aQ = 0 и диссипативный член в волновом
уравнении (100) также обращается в нуль], компоновка кото-
рой включает участок УБТ длинойL (рис. 57,а). Амплитуду гар-
монического забойного возмущения (продольное перемещение
нижнего сечения участка УБТ) обозначим через Ад.
Можно показать, что амплитуда продольного перемещения в
месте соединения бурильных и утяжеленных бурильных труб
при установившемся движении, которую обозначим через AL , в
рассматриваемом случае записывается как
1 + а
al=a0_________
L °	/WA 2
VI + 2а cos 2-+ О
к
(122)
110
где
-F.
♦х
Рис.57. Границы изменения области возможного возникновения продоль-
ного резонанса бурильного инструмента в случае двухразмерной буриль-
ной колонны
— коэффициент отражения падающей волны в
а =
F
2
месте соединения утяжеленных бурильных труб с площадью по-
перечного сечения F и бурильных труб с площадью поперечно-
го сечения F2.
Считая величину L гораздо меньшей длины наклонной сква-
жины, можно оценить радиус цилиндрической поверхности, огра-
ничивающей зону возможного продольного резонанса, положив
в формуле (115) амплитуду AQ равной AL, вычисляемой по
формуле (122), поскольку при S > L можно рассматривать уже
просто однородную колонну, к нижнему сечению которой (S =
= L) приложено гармоническое возмущение с амплитудой A L
Обозначив указанный радиус через , по формуле (115) пс
лучим
~ Я2 К л NAl
S. =-------------, откуда, с учетом (122), имеем
L 60 kog
'______________1 + а______________
[	й"
V1 + -О cos 2 - — + О
К
(123)
111
при г г коэффициент отражения и и. о лим случае ми-
нимальное значение величины л£ будет при cos 2 — = 1:
~	coL
Максимальное же значение S. будет при cos 2-— = -1:
L-.	к
'V 1 + Л
(SL )max = So ГТУ '
Полученные два равенства позволяют выделить интервал из-
менения SL как
SL =50<1-	(124)
ь О 1-0
Подставив вместо а его значение через F и F2, формулу
(124) можно записать и так:
SL =50(1-^/Г2).	(125)
Наличие участка УБТ приводит к тому, что радиус цилиндри-
ческой поверхности, ограничивающей зону возможного продоль-
ного,резонанса системы долото — бурильная колонна, может из-
меняться в пределах, оценка которых производится согласно со-
отношению (125). Примерная картина изменения указанной зо-
ны изображена на рис. 57,6. Отметим, что величину SL можно
сделать меньше, чем SQ. Для этого достаточно отрицательности
коэффициента отражения о, или, что то же самое, требования не-
равенства F < F2.
§3. ВЫВОДЫ
Итак, при значительных диссипативных силах, действующих
по длине бурильной колонны, динамика ее может сущест-
венно отличаться от динамики при проводке вертикальных сква-
жин малой пространственной кривизны, где диссипативные си-
лы, возникающие в результате взаимодействия бурильной ко-
лонны со стенками скважины, сравнительно невелики по своей
величине.
Что же касается построения в массиве бурящейся горной по-
роды цилиндрических областей, ограничивающих зоны возмож-
112
ного возникновения продольного резонанса, то радиус ? иско-
мого цилиндра, очевидно, нужно искать, исходя из максимально-
го значения'величины ojAq, характеризующего продольное пере-
мещение нижнего сечения бурильной колонны:
где Т — период забойного возмущения.
Величины Т иЛ0 можно выявить по записям продольных ко-
лебаний долота в условиях бурящейся скважины, поскольку та-
кие данные имеются и в отечественной, и в зарубежной лите-
ратуре.
При оценке влияния на величину SQ утяжеленных бурильных
труб амплитуда продольного* перемещения AL в месте соедине-
ния утяжеленных бурильных труб с бурильными трубами вы-
числялась, исходя из расчетной схемы для полубесконечной
колонны (при 5 > L отраженная волна отсутствует), располо-
женной вертикально (силы трения малы, и ими можно прене-
бречь) и имеющей утяжеленный низ длиной L (см. рис. 57, а).
Конечно, расчетную схему для этого случая можно было бы
уточнить, взяв, например, для этой цели на участке изменения
5G [О, L] уравнение для продольных перемещений сечений ко-
лонны в виде [17]
Э2и	к ди	д2и
dt2 SQ- S dt ds2
(126)
Последнее уравнение Получено путем замены в волновом
уравнении для скважины малой кривизны
Э2и	ди	д2и
—+ 2д= к2 —(127)
dt	dt	dS
,, к
коэффициента д на величину	; именно этой величине
Л _ — 5
будет равен коэффициент д, если предположить, что решением
уравнения (127) является функция ua(S, t), определяемая вы-
ражением (111). При S > L волновое возмущение следует ис-
кать в форме решения (102). Однако для вполне удовлетвори-
тельной оценки изменения границы можно использовать со-
отношения (123) и (125).
113
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Итак, проведенный анализ некоторых особенностей разрушения
пород механическим способом показал следующее.
Удельную объемную работу разрушения горной породы в
свете экспериментальных зависимостей, полученных к настоя-
щему времени, нельзя считать объективной характеристикой с
точки зрения энергетики этого процесса.
Действительно, как было показано в гл. 1, неучет энергии
рассеяния при экспериментальных замерах объемной удельной
работы разрушения может быть причиной ее уменьшения с уве-
личением подводимой энергии к разрушаемому объекту.
В то же время энергия рассеяния, не учитываемая в подоб-
ных экспериментах, может быть довольно значительной [11].
Далее было показано, что при диапазонах частот вращения
шарошечных долот п , используемых в настоящее время при
разрушении горных пород, падение интенсивности разрушения
горной породы с увеличением частоты вращения долота объяс-
няется в основном увеличением зашламленности забоя, посколь-
ку при неизменных осевой нагрузке и расходе промывочной
жидкости с увеличением частоты вращения породоразрушающе-
го инструмента качество промывки ухудшается. При этом в слу-
чае идеальной очистки забоя зависимость механической скоро-
сти бурения v от нд выражается прямой линией, а при увеличе-
нии зашламленности забоя, начиная с некоторого значения нд =
= п* (см. рис. 15), эта зависимость становится более сложной. В
частности, для относительно твердых пород и при сравнительно
малых осевых нагрузках для объемного разрушения породы по-
лучена зависимость v (ид), выражаемая формулой (39), которую
для нд > н* можно записать как
1 >
(128)
где С и С — некоторые эмпирические коэффициенты.
Рассмотрим полученную зависимость в свете эксперимен-
тальных данных (рис. 58).
Пусть точка а зависимости г (и ) соответствует началу ухуд-
шения промывки (нарушению линейной зависимости >’ от и ) и
пусть ей соответствуют ид = и* v — v*. Точка же b определяет
максимальное значение частоты вращения долота п — п , ис-
Д	ГИЯ X
114
Рис. 58. Сопоставление экспериментальной и теоретической зависимости
механической скорости бурения от частоты вращения долота
пользовавшееся в эксперименте, которой соответствует значение
механической скорости v = г •
Тогда для определения коэффициентов С, и С2 может быть
записана система уравнений
<
С.п
1 max	_
1 + С л	“ Гтах
I 2 max
решив которую, имеем для С и С2
(129)
На рис. 58 приведены эмпирические зависимости (сплошные
линии) v от ид при постоянных осевой нагрузке на долото и рас-
ходе промывочной жидкости для различных горных пород (кри-
вая 1 — мел, кривая 2 — известняк, кривая 3 — мрамор, кривая
4 — гранит), взятые из работы [21] .
115
Согласно изложенному по формулам (129) были рассчитаны
коэффициенты С{ и С2, а затем исходя из соотношения (128)
были построены теоретические кривые (прерывистые линии,
соединяющие расчетные точки, отмеченные крестиками). Из рис.
58 видно вполне удовлетворительное совпадение теоретических
кривых с экспериментальными, причем чем тверже порода, тем
меньше наблюдаемая разница [напомним, что формула (128)
получена для относительно твердых пород]. В случае мрамора
(кривая 3) теоретическая и экспериментальная кривые практи-
чески совпадают. Обработанные согласно изложенной методике
экспериментальные данные, представленные в работах Ю.Ф. По-
тапова, В.В. Симонова и С.В. Синева, также показывают удовлет-
ворительное совпадение теории и эксперимента. Все это позволя-
ет надеяться, что именно некачественная промывка забоя явля-
ется одной из основных причин, вызывающих падение интенсив-
ности разрушения горной породы шарошечными долотами при
возрастании частоты их вращения.
Как было показано в гл. II, § 1, посвященном анализу кру-
тильных автоколебаний системы долото — бурильная колонна,
некачественная промывка забоя может существенно снизить ме-
ханическую скорость при возникновении неравномерности вра-
щения додота, в частности при возникновении крутильных авто-
колебаний бурильного инструмента. Кроме того, крутильные ав-
токолебания вредны еще и тем, что вызывают периодические из-
менения нагрузок, причем это изменение носит ударный харак-
тер [17]. Последнее уменьшает долговечность рабочих элемен-
тов системы долото — бурильная колонна.
Однако крутильные автоколебания опасны еще и тем, что
при определенных условиях могут быть первопричиной продоль-
ных автоколебаний бурильного инструмента. Низкочастотные
интенсивные продольные колебания могут также возникнуть и в
случае неоднородного по своим механическим свойствам забоя
(резонансные колебания).’
Отмеченные два вида низкочастотных продольных колебаний
(резонансные и автоколебания) отрицательно влияют как на эф-
фективность разрушения горной породы, так и на работоспособ-
ность породоразрушающего инструмента [15, 17].
При построении зон низкочастотных продольных колебаний
(резонансных и автоколебаний) условная жесткость талевой си-
стемы, буровой вышки и т.д. изменялась в пределах [0, °°),
т.е. эти зоны строились с ’’запасом”. В силу такого приема по-
строения попадание изображающей точки в зону низкочастотных
колебаний не является необходимым условием возникновения
интенсивных продольных колебаний бурильного инструмента,
116
---------- ~~
ласть значений параметров процесса бурения, чем искомые. Кро-
ме того, для возникновения низкочастотных продольных резо-
нансных колебаний наряду с попаданием изображающей точки в
зону низкочастотных колебаний необходимо наличие неоднород-
ности проходимых пород, поскольку именно этот фактор в ос-
новном предопределяет разницу механических свойств забоя в
различных его частях. Следовательно, если долото отрабатывает-
ся в зоне продольных интенсивных низкочастотных колебаний,
то это еще не означает, что в данном случае указанные колебания
обязательно возникнут. Наоборот, если эти колебания имеют
место, то изображающая точка, соответствующая сочетанию па-
раметров исследуемого процесса бурения, будет обязательно ле-
жать в зоне колебаний.
Таким образом, в зонах продольных интенсивных низкочас-
тотных колебаний эти колебания могут быть, а могут и не
наблюдаться. В зонах же сопоставимости динамики работы доло-
та в стендовых и промысловых условиях они отсутствуют
всегда.
Прямое подтверждение возникновения продольных низко-
частотных резонансных колебаний породоразрушающего ин-
струмента, имеющих место при наличии неоднородного по сво-
им механическим свойствам забоя, а также продольных автоко-
лебаний в изотропной породе было получено в лабораторных
условиях на специально созданных опытных стендах [15, 16, 17,
26]. При расчетных параметрах, заложенных в механические ха-
рактеристики стенда, все испытуемые типы трехшарошечных
долот (зубчатые, штыревые, долота с вооружением в виде
сплошных венцов) независимо от вида разбуриваемых пород
(известняк, мрамор, гранит) всегда входили в режим продоль-
ных автоколебаний с образованием характерных ухабообразных
забоев (см. рис. 31). Аналогичное нужно сказать и в отношении
резонансных продольных колебаний.
Что же касается промысловых условий, то наличие сильных
продольных низкочастотных колебаний с образованием ухабо-
образных забоев и отрицательное воздействие этого явления на
процесс проводки скважины отмечаются в ряде работ.
В августе 1977 г. в Альметьевском УБР объединения Тат-
нефть на Сармановской площади в скв. 12164 автором работы
[1] были проведены промысловые испытания опытных трехша-
рошечных долот с герметизированной маслонаполненной опо-
рой. Отработка долот проводилась в интервале 919—1324 м при
следующей компоновке бурильной колонны: долото, объемный
двигатель Д2-172М, УБТ диаметром 178 мм и длиной £ = 16 м,
117
бурильные трубы 1 Ы1В диаметром и / мм ^nmvn»» ..........
пов УБТ и бурильных труб построена на рис. 36 номограмма по
выявлению зон сопоставимости динамики работы долота в стен-
довых и промысловых условиях). Частота вращения долота
п = 200 об/мин.
При разбуривании серпуховско-окского горизонта (968—
1078 м) визуально наблюдались интенсивные низкочастотные
колебания ведущей бурильной трубы. Как отмечается в работе
[1], за сравнительно короткий промежуток времени бурения
вооружение долот, отработанных в указанном интервале, было
разрушено на 80 %, а радиальный люфт шарошек достигал 4—
5 мм. Отметим, что аналогичный износ был у долот, отработан-
ных на опытном стенде в режиме резонансных колебаний и авто-
колебаний [15,16,17,26].
Если же теперь построить на номограмме рис. 36 траекторию
изображающей точки, соответствующей частоте вращения долота
ид = 200 об/мин, длине УБТ L = 16 м и интервалу бурения Н =
= 958—1078 м, то можно видеть, что эта траектория целиком ле-
жит в зоне интенсивного низкочастотного продольного резо-
нанса.
При проводке скв.1 на площади Чолоки ГССР Ахтырского
УБР были отмечены интенсивные продольные низкочастотные
вибрации. Компоновка бурильной колонны включала УБТ диа-
метром 299 мм и длиной 12 м, УБТ диаметром 229 мм и длиной
83 м и УБТ диаметром 203 мм и длиной 8 м (общая длина УБТ
L = 103 м), а также бурильные трубы диаметром 140 мм с тол-
щиной стенки 10 мм. Частота вращения ротора нд = 95 об/мин.
Породы, которые были представлены сильно раздробленными и
трещиноватыми известняками с пропластками мергелей, разбу-
ривали трехшарошечным долотом Д394С. Ниже представлены
интервалы, в которых наблюдались колебания.
Порядковый номер
интервала........... 1	2	3	4	5	6	7
Интервал, м......... 1235-	1351-	1441-	1493- 1522-	1547-	1717
1247	1373	1474	1516 1547	1659
В гл. П, § 4 был разобран случай двухразмерной бурильной
колонны и именно для такой компоновки был дан пример по-
строения зон сопоставимости динамики работы трехшарошечно-
го долота, представленный номограммой на рис. 36. Сейчас же
мы имеем случай четырехразмерной компоновки, поскольку
утяжеленный низ бурильной колонны состоит из трех участков
118
juLt каждый kj ки1ирыл uiJiKHdcicM (ji игольных площадью
поперечного сечения. Поэтому так как задача построения зон
сопоставимости при этом аналитически существенно услож-
няется, то мы прибегнем к некоторым упрощающим допу-
щениям, которые позволят
дать приближенный способ на-
хождения искомых зон.
На рис.59,д показана рас-
четная схема бурильной ко-
лонны для рассматриваемого
случая. Заменим утяжеленный
низ бурильной колонны сосре-
доточенной массой т, жестко
соединенной с бурильной ко-
лонной в поперечном сечении с
координатой х = Н — L, и при-
ложим в центре массы т осе-
вую нагрузку на долото Р . В
результате приходим к расчет-
ной схеме, изображенной на
рис. 59,6.
Если под нагрузкой Рд под-
разумевать динамическую со-
ставляющую осевой нагрузки
на долото, равную PQ sin щГ
(здесь PQ — амплитудное значе-
ние Р , ш — круговая частота
изменения Рд во времени г), то
согласно полученной расчетной
схеме задачу по определению
собственных частот колебаний
рассматриваемой механической
системы можно записать в виде
д2и Ь2и
Д _ 2	>
др- к 1?
Рис. 59. Расчетная схема для по-
строения зон сопоставимости ди-
намики работы допота в стендо-
вых и промысловых условиях
при многоразмерной компонов-
ке бурильной колонны
Граничные условия:
1. х = 0 :
Эк
в
дх
= hu ,
д
где h = с/ EF„
119
2. х = Н - L : т —= -EF —— — Рп sinwt.
Эг2	дх °
Здесь h — приведенная жесткость крепления верха бурильной
колонны, с - жесткость талевой системы, вышки и т.д.; EmF —
модуль Юнга и площадь поперечного сечения бурильной колон-
ны на участке [О, Н — L]; к — скорость распространения ма-
лых продольных возмущений в колонне на участке xG [О,
H-L].
Заметим, что масса т утяжеленного низа бурильной колонны
будет равна
3
т = 2	,	(131)
1 = 1
где р., Fi иЕ - соответственно плотность материала, площадь
поперечного сечения и длина Его участка утяжеленного низа. По-
скольку интерес представляют собственные частоты механиче-
ской системы, изображенной на рис. 59,6, то начальные условия
в задаче (130) несущественны.
Мы не будем искать решения задачи (130), так как ход рас-
суждений здесь совершенно такой же, как в случае нахождения
уравнения собственных частот продольных колебаний для двух-
размерной колонны (см. гл. II, § 3), а запишем сразу же соотно-
шение, из которого можно определить резонансную частоту про-
дольных колебаний механической системы, изображенной на
рис. 59,6:
t О1(Н — L}
tg ---------
к
К hEF - О12т
W EF + K2hm
(132)
Очевидно, что формулу (132) можно переписать следующим об-
разом:
СО (И — L )	К (hEF — W2т)
	 = )тг + arctg 	-- ,
К------------------------------------01 (EF + h К т)
j = 0, 1,2, ...
Проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям при выво-
де формулы (86) (см. гл. II, § 4) для получения зон продольно-
го резонанса в случае двухразмерной бурильной колонны, полу-
чаем соотношения, определяющие зоны продольного низкочас-
тотного резонанса в рассматриваемом случае многоразмерной
120
бурильной колонны:
+ ^(2,-1х„д(//-л)<
< |»а<я-£>|»7>	<|34>
/ = 0, 1,2,..., где
г /и г\л/= ° ^Ок *	30£F
[и (Н - £)],	=-----arctg -------.
1 Д	nN 6 TtKmNn
д
Кроме того, должно выполняться условие
ид(Я-£)>0,	(135)
которое указывает на то, что длина утяжеленных бурильных
3
труб L = S L. не превосходит глубины скважины Н (заме-
i = 1
тим, что i может быть и больше трех; его значение равно числу
разнородных участков утяжеленного низа бурильной колонны).
Предложенный способ построения зон продольного резонан-
са приближенный, причем он тем точнее, чем больше по своей ве-
личине разность (Н - L).
На рис. 60,а в координатах [лд (Н - L), ид] построены зоны
продольного низкочастотного резонанса для трехшарошечного
долота (N = 3) согласно соотношению (134). Числовое значение
параметра EF/m для исследуемого случая (скв. 1 на площади
Чолоки ГССР) равно 26601 м/с2; скорость распространения ма-
лых продольных возмущений вдоль бурильной колонны к =
= 5000 м/с. Зоны продольного резонанса на рис. 60,а заштрихо-
ваны. Как видно из рисунка, интервалы 3—7 частично или же це-
ликом лежат в зоне продольного резонанса. Вне этой зоны лежат
интервалы 1 и 2.
Заметим, что для анализируемого сейчас случая величина
QI?/IQ = 36798 м/с2, где G - модуль упругости второго рода;
1р — полярный момент инерции поперечного сечения бурильной
колонны на участке изменения xG[0, H — L]; I — момент
инерции утяжеленного низа бурильной колонны длиной L отно-
сительно оси вращения (оси Ох). В то же самое время соотноше-
ние для определения собственных частот крутильных колебаний
механической системы, изображенной на рис. 59,6, в случае абсо-
лютно жесткого закрепления верхнего сечения бурильной колон-
ны (координата х = 0)и ненагруженного нижнего торца (см. гл.
9-994
121
Рис. 60. Номограмма для определения зон сопоставимости динамики работы долота в стендовых и
промысловых условиях при многоразмерной компоновке бурильной колонны
ii,	s i-2j можно записать в виде
tg £1" - £) =	2-,	(136)
где £2 — собственная круговая частота крутильных колебаний
бурильной колонны, X — скорость распространения малых кру-
тильных возмущений вдоль бурильной колонны (для стальных
труб X = 3200 м/с).
Как было установлено выше (см. гл. II, § 1-2), в случае раз-
вития крутильных автоколебаний системы долото — бурильная
колонна частота этих колебаний равна основной частоте свобод-
ных крутильных колебаний бурильной колонны. Поскольку при
большой протяженности бурильной колонны частота £2'мала, то
правая часть уравнения (136) велика в числовом отношении, а
потому значение параметра £2 (Н — L) /X, стоящего под знаком
тангенса, будет отличаться от я/2 на малую величину. Тогда спра-
ведливо приближенное равенство
. £2(Я — L) t . я £2(Я - £),
Ч—---------- =etg(----------------) =
- 1 ~ 1
z я £2(Я - L\ ~я £2 (Я — £) ’
tg Т X	2 X
что после подстановки в соотношение (136) и решения получен-
ного уравнения относительно £2 дает приближенную формулу
для определения круговой частоты крутильных автоколебаний в
рассматриваемом случае:
2 Я - L	\го
X	GI
р
Наряду с этим выше было установлено (см. гл. II), что при сов-
падении к-й частоты гармоники переменной составляющей осе-
вой нагрузки на долото £2*. = Ш (где к = 1,2,3,...), возникаю-
щей в результате крутильных автоколебаний колонны, с какой-
либо j -й частотой гармоники собственных продольных колеба-
ний бурильной колонны устанавливается режим продольных ав-
токолебаний системы долото - бурильная колонна. Но посколь-
ку £2^ выражается через N и лд как
яЛп
„	Д
123
то зависимость величины от остальных параметров можно
представить так:
TT.-Vh
д
30
я к
— ——-------—— , откуда получаем
—---- + ---
X	GI
р
М Ч , 15*	Х/0	.
п(Н- L) = \(-------------« ).
'/у	GJ	°-
Р
к = 1,2,3,...
(138)
Метод построения кривых резонанса изложен выше (см. гл.
П, § 4).
На рис. 60,а нанесены кривая продольных автоколебаний
для случая N = 1 и часть аналогичной кривой для случая N = 6
(т.е. долото совершает шесть колебаний за оборот). Интервал 2
как раз находится на кривой автоколебаний для случая N = 1, а
интервал 1 лежит в районе кривой автоколебаний для слу-
чая N = 6.
Таким образом, из семи исследованных интервалов шесть
попадают в зону интенсивных низкочастотных продольных коле-
баний и лишь первый интервал можно считать выпадающим (хо-
тя он лежит около кривой N = 6) из общей картины. Следова-
тельно, приведенные промысловые данные вполне удовлетвори-
тельно совпадают с теорией.
Заметим, что для данного приближенного способа выделения
зон сопоставимости динамики работы долота также можно по-
строить номограмму, аналогичную номограмме в случае двух-
размерной колонны (см. рис. 36).
Способ построения указанной номограммы показан на рис.
60,6.
тп
В координатах (ид (Н — L),	) согласно соотношениям
(134) и (135) строятся зоны продольного низкочастотного резо-
нанса для наиболее общего случая значения числа 7V, равного чис-
лу шарошек на долоте, поскольку в этом случае может возник-
нуть как продольный резонанс, так и продольные автоколебания
(на рис.60,б эти зоны заштрихованы). Затем в координатах
тп •
(пдЕ, ) строится семейство прямых для различных посто-
янных значений величины EF/m. Аналогичные семейства пря-
мых для различных постоянных значений лд строятся в коррди-
124
натах inRL, L) и (лд(/7 — L) ,Н — L). Все названные сейчас си-
стемы координат исходят из одного и того же начала (точка ).
/ „
Далее в координатах (и (Н — L), ---) строятся кривые про-
р
дольных автоколебаний для остальных возможных значений N
(на рис. 60,6 они изображены прерывистыми линиями). Эти кри-
вые строятся согласно соотношениям (134), (135) и (138) по
методу, изложенному в § 4 гл. II. Затем в координатах (п L,
Тп
од,
——-) строится семейство прямых для различных постоянных
GI
р
значений величины Gl^f IQ. Пользоваться номограммой нужно
следующим образом.
Пусть для конкретной компоновки бурильной колонны нам
известны параметры L, EF/ т и GI^/IQ и пусть при данной ком-
поновке нужно пробурить участок массива горной породы, ха-
рактеризуемый интервалом А по оси (И — L) (рис.60,6). Тогда
нужно подбирать частоту вращения долота (ротора) ид так, что-
бы траектория ВВ' изображающей точки В лежала вне зон низ-
кочастотного продольного резонанса и не пересекала кривых
продольных автоколебаний бурильного инструмента, а также, по
возможности, не примыкала своими начальными и конечными
точками слишком близко к указанным зонам. В этом случае ве-
роятность возникновения интенсивных продольных низкочастот-
ных колебаний бурильной колонны должна резко уменьшаться.
Как видно из изложенного, экспериментальные данные не-
плохо подтверждают теоретические выводы, связанные с воз-
никновением интенсивных продольных низкочастотных колеба-
ний механической системы долото — бурильная колонна в про-
цессе проводки скважины. В связи с этим можно надеяться, что
осуществление на практике рекомендаций по отработке долот в
зонах сопоставимости динамики работы породоразрушающего
инструмента в стендовых и промысловых условиях может дать
значительный экономический эффект.
Теперь вновь обратимся к взаимодействию вооружения ша-
рошечных долот с забоем.
Как было показано в. гл. I, характеристики, снимаемые при
динамическом внедрении индентора с горной породой, в общем
случае не сопоставимы с аналогичными характеристиками при
разрушении породы вооружением шарошечных долот. Аналогич-
ное замечание относится и к статическому взаимодействию ин-
денторов уже хотя бы потому, что снимаемые характеристики
типа усилие — внедрение существенно зависят от механических
свойств самой установки, посредством которой снимаются эти
125
характеристики [ 15]. Далее отметим, что в силу соизмеримости
породоразрушающих элементов шарошечных долот с областями
неоднородности горной породы, определяемых структурой и
текстурой последней, вряд ли возможно привлечение механики
сплошной среды для целей познания процессов взаимодействия
вооружения долота с горной породой при ее разрушении. Поэто-
му объективным показателем работоспособности долота может
являться эффективность разрушения горной породы непосредст-
венно самим долотом в стендовых и промысловых условиях.
С этой точки зрения для выявления наиболее совершенной
конструкции долота, по нашему мнению, нужно поступать сле-
дующим образом.
1.	На основе сопоставления в стендовых условиях несколь-
ких типов конструкций долот выбирается вид долота, наиболее
удовлетворяющий выдвинутым требованиям с точки зрения его
работоспособности (эффективность разрушения горной породы,
износостойкость рабочих элементов долота и тд.).
2.	Отработка выбранного на основе стендовых испытаний ти-
па долота на промыслах производится в зонах сопоставимости
динамики работы долота в стендовых и промысловых условиях.
3.	Закономерности эмпирического характера, получаемые
при отработке породоразрушающего инструмента в стендовых
условиях, должны применяться для целей оптимизации процесса
бурения только в зонах сопоставимости динамики работы доло-
та. В частности, в этих же зонах должны подбираться и соответст-
вующие параметры различного рода волновых отражателей, слу-
жащих ддя подвода энергии отраженных волн к горной породе с
целью интенсификации ее разрушения [ 16].
На рис. 61 приведен алгоритм процесса отработки долот в зо-
не сопоставимости. В качестве примера рассматривается наибо-
лее употребляемое в настоящее время на практике трехшаро-
шечное долото с симметричным расположением шарошек.
Исходной позицией является тип долота (двухшарошёчное,
трехшарошечное и тд.). Согласно отрабатываемому типу долота
строится схема возможных способов его контакта с забоем, ког-
да последний приобретает ухабообразную форму в результате
возникновения интенсивных низкочастотных продольных коле-
баний системы долото — бурильная колонна. Для N, равного
числу шарошек долота, строятся при заданном значении пара-
метра 6 = FJ F , где F2 и Ft - соответственно площади попереч-
ных сечений утяжеленных и нормальных бурильных труб (на
рис.61 для рассматриваемого случая N=3; бурильная колон-
на — двухразмерная), зоны продольных резонансных колебаний.
Для остальных способов контакта (на рис. 61 им соответствуют
126
Рис. 61. Алгоритм отработки шарошечных долот в зоне сопоставимости
динамики работы долота в стендовых и промысловых условиях
значения N= 1 и N=3/2) строятся кривые продольных авто-
колебаний.
Объединение зон продольных резонансных колебаний и кри-
вых продольных автоколебаний дает нам номограмму по опре-
делению зон сопоставимости динамики работы долота (см. рис.
36). Далее, исходя из требуемой осевой нагрузки на долото Р
(статическая составляющая), оценивается длина утяжеленных
127
бурильных труб L. Исходя же из качества промывки забоя, ко-
торая в случае развития крутильных автоколебаний бурильной
колонны может существенно повлиять на механическую ско-
рость v, для данного расхода промывочной жидкости Q= Qq
оценивается частота вращения долота ид так, чтобы она nd воз-
можности не превосходила половины значения частоты враще-
ния и*, при которой начинается снижение темпа роста i’M при
увеличении «д в результате некачественного удаления шлама с
поверхности забоя (см. гл. II, § 1). После этого производится
взаимосвязанная доводка значения «д и L так, чтобы траектория
изображающей точки В процесса бурения целиком находилась в
зоне сопоставимости.
При выбранных таким образом параметрах нд и L и осу-
ществляется процесс проводки скважины в некотором интерва-
ле. Затем показатели промысловой отработки долот (проходка,
механическая скорость, долговечность долота и т.д.), совокуп-
ность которых обозначим через { 5д } , сравниваются с аналогич-
ными показателями {Зс} стендовых испытаний долот при тех
же самых значениях Рст, нд и Qo. Из всего изложенного следует,
что разность между этими показателями {Д5} = { £с ~	}
при прочих равных условиях должна быть минимальной. Поря-
док последовательности проведения операций показан на рис. 61
стрелками.
Что же касается наклонного бурения, то здесь нужно отме-
тить следующее.
При малых зенитных углах, когда силы диссипации по длине
бурильной колонны относительно невелики по абсолютной вели-
чине, отрабатывать шарошечные долота можно согласно алгорит-
му, приведенному на рис. 61. Если же кривизна скважины значи-
тельна, то способ отработки долота является в настоящее время
проблематичным.
Нужно также отметить, что результаты отработки шарошеч-
ных долот в промысловых условиях согласно предложенному
алгоритму ни в коем случае не будут полностью совпадать с ре-
зультатами отработки долот аналогичного типа в стендовых
условиях. Последнее обусловлено давлением столба промывоч-
ной жидкости на забой, условиями залегания горных пород, а
также многочисленными факторами чисто случайного происхож-
дения. Однако по отношению динамики процесса взаимодейст-
вия вооружения шарошечных долот с разрушаемой горной поро-
дой эта разница сводится к минимуму, а потому расхождение
между результатами промысловых и стендовых испытаний
сокращается.
Из всего изложенного материала логически следует ряд за-
128
дач, решение которых, по нашему мнению, будет способствовать
лучшему пониманию динамических процессов, происходящих в
системе долото — бурильная колонна при проводке скважин на
нефть и газ, и тем самым совершенствованию методов отработ-
ки долот с целью повышения эффективности разрушения гор-
ных пород.
1.	Номограмма по оперативному выявлению зон сопостави-
мости динамики работы шарошечных долот в стендовых и про-
мысловых условиях при проводке вертикальных скважин была
построена (в аналитическом плане) точным методом только для
двухразмерной бурильной колонны и как частный случай для
одноразмерной. Для многоразмерной бурильной колонны был
дан приближенный метод построения номограммы, который
иногда не гарантирует от существенных ошибок при выделении
зон сопоставимости динамики работы долот. Отсюда вытекает
задача построения номограммы по выявлению искомых зон для
многоразмерной колонны либо точным методом, либо прибли-
женным, но в последнем случае с указанием оценки получаю-
щейся погрешности.
2.	При малых углах наклонных скважин для отработки ша-
рошечных долот можно пользоваться алгоритмом, предложен-
ным при проводке вертикальных скважин. Однако для скважин
большой кривизны при многоразмерной компоновке бурильной
колонны вопрос остается открытым. Последнее указывает на не-
обходимость нахождения алгоритма отработки долот для этого
случая.
3.	Метод построения зон возможного продольного резонанса
бурильного инструмента указывает путь к построению профиля
наклонной скважины, участок проводки которой в зоне возмож-
ного продольного резонанса минимален, однако не решает зада-
чу полностью. Следовательно, нужно отыскать способ построе-
ния оптимального профиля наклонной скважины с точки зрения
минимальности ее части, находящейся в зоне возможного про-
дольного резонанса системы долото — бурильная колонна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Аксенов В.Е. Исследование работы долот с герметизированной масло-
наполненной опорой. Дис. на соиск. учен. степ. кавд. техн. наук. М., 1978,
196 с. с илл.
2.	Балицкий П.В. Взаимодействие бурильной колонны с забоем сква-
жины. М., Недра, 1975.
3.	Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в
теории нелинейных колебаний. М., Наука, 1974.
4.	Василев Ю.С., Никитин ЮМ. Регулирование динамической нагрузки
на долото. - НТС ’’Бурение”, № 9, изд. ВНИИОЭНГ, М., 1974, с. 12-14.
5.	Вопияков ВЛ., Посташ С.А., Колесников П.И. Возникновение авто-
колебаний бурильной колонны - критерий износа шарошечных долот. -
НТС ’’Бурение”, 1974,№ 8, с. 23-25.
6.	Ворожбитов М.И. Метод определения параметров единичного взаи-
модействия долота с забоем по данным записи естественных вертикаль-
ных вибраций шарошечного инструмента. - В кн.: Докл. на Всесоюзной
научно-технической конференции по разрушению горных пород при буре-
нии скважин. Уфа, 1973, с. 363-369.
7.	Выскребцов В.Г., Варсобин Ю.Е. Анализ работы шарошечных долот
по форме вершин кернов большого диаметра. - Нефтяное хозяйство,
1975, № 6, с. 41-44.
8.	Гришин А.С., Королько Е.И., Мустафин Ф.Л. О разрушении горных
пород у стенки скважины. - В кн.: Докл. на Всесоюзной научно-техниче-
ской конференции по разрушению горных пород при бурении скважин.
Уфа, 1973, с. 99-102.
9.	Дзидзигури АА., Диланов ГМ., Сепиашвили Н.Д. О выборе опти-
мальной компоновки низа бурильного инструмента по коэффициентам
отражения. - В кн.: Материалы I Всесоюзной конференции по динамике и
прочности нефтепромыслового оборудования, изд. АзИНЕФТЕХИМа,
Баку, 1974, с. 197-199.
10.	К вопросу применения виброгасителей при бурении твердых по-
род / З.Г. Керимов, Г.Н. Джалил-Заде, М.А. Садыхов и др. - Ученые
записки АзИНЕФТЕХИМа, 1973, №4, с. 28-32.
11.	Мавлютов МВ. Разрушение горных пород при бурении скважин.
М., Недра, 1978.
12.	Мельников В.И. О влиянии динамики бурильной колонны на энер-
гетический баланс шарошечного долота. - В кн.: Материалы III отрасле-
вой конференции молодых специалистов Министерства нефтяной про-
мышленности, Баку, 1972, М., 1973, с. 22-37 с ил.
13.	Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.,
Наука, 1971.
14.	Результаты испытаний волнового отражателя / В.И. Мельников,
Н.А. Жидовцев, А.Т. Левченко и др. - НТС ’’Бурение”, изд. ВНИИОЭНГ,
М., 1973, №1, с. 7-11.
15.	Симонов В.В., Выскребцов В.Г. Работа шарошечных долот и их
совершенствование. Недра, 1975.
16.	Симонов В.В., Палащенко ЮА., Юнин Е.К. Разрушение горных
пород шарошечными долотами. - Итоги науки и техники, сер. "Раэработ-
ка нефтяных и газовых месторождений”, т. 9, М., 1977, с. 5-52 с ил.
1-7	. Симонов В.В., Юнин Е.К. Влияние колебательных процессов на
работу бурильного инструмента. М., Недра, 1977.
130
18.	Симонов В.В., Юнин Е.К., Волик Д.Л. анализ
вращения долота на интенсивность разрушения забоя. - В кн.: Процессы
разрушения горных пород и пути ускорения бурения скважин. Докл. на
второй Всесоюзной научно-технической конференции по разрушению
горных пород при бурении скважин. Уфа, 1978, с. 246-250 с ил.
19.	Синев С.В. К методике исследования процесса бурения модельны-
ми микродолотами на лабораторном буровом стенде. - В кн.: Процессы
разрушения горных пород и пути ускорения бурения скважин. Докл. на
второй Всесоюзн. научно-технической конференции по разрушению гор-
ных пород при бурении скважин. Уфа, 1978, с. 160-164 с ил.
20/	Сорокин В.Н. Исследование влияния сил сопротивления в скважи-
не на закручивание бурильной колонны от реактивного момента турбобу-
ра. - Дне. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Уфа, 1975, 136 с. с ил.
21.	Спивак А.И., Попов А.Н. Механика горных пород. М., Недра, 1975.
22.	Халфман Р.Л. Динамика. М., Наука, 1972.
23.	Чепелев В.Г., Фетисенко Н.П., Абакумов В.И. Телеметрическая
система для исследования вибраций бурильной колонны и осевой нагруз-
ки на долото при электробурении. - Нефтяное хозяйство, 1970, № 1.
24.	Эйгелес PJ4., Стрекалова Р.В. Расчет и оптимизация процессов бу-
рения скважин. М., Недра, 1977.
25.	Энергоемкость разрушения горных пород при наличии зоны пред-
разрушения и снятия блокировки / М.Р. Мавлютов, К.И. Вдовин, Р.М. Са-
каев, Р.Ш.Уразаев. - В кн.: Докл. на Всесоюзн. научно-технической кон-
ференции по разрушению горных пород при бурении скважин. Уфа, 1973,
с. 95-98.
26.	Юнин Е.К. Автоколебания, возникающие при бурении шарошечны-
ми долотами. - В кн.: Проблемы бурения скважин и добычи нефти, Докл.
на конференции молодых ученых и специалистов, изд. АзИНЕФТЕХИМа,
Баку, 1973, с. 39-40.
27.	Яблонский АА., Норейко С.С. Курс теории колебаний. М., Выс-
шая школа, 1971.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие................................................ 3
Глава I. О параметрах процесса взаимодействия инденторов с гор-
ной породой ............................................... 5
§	1. Некоторые особенности взаимодействия единичных инденто-
ров с породой.............................................. 5
§2	.0 влиянии частоты вращения долота на интенсивность разру-
шения забоя .............................................. 17
§ 3.	Выводы............................................... 31
Глава II. Влияние волновых процессов, происходящих в буриль-
ной колонне, на эффективность разрушения горных пород шаро-
шечными долотами.......................................... 35
§ 1.	Неравномерность вращения долота и ее влияние на механиче-
скую скорость............................................. 35
§2.0	частоте крутильных автоколебаний системы долото - бу-
рильная колонна........................................... 44
§ 3.	Продольные автоколебания бурильной колонны как следст-
вие крутильных............................................ 48
§ 4.	Зоны сопоставимости динамики работы долота в стендовых
и в промысловых условиях для вертикальных скважин......... 60
§ 5.	Выводы............................................... 81
Глава III. Динамика бурильного инструмента в случае проводки
наклонных скважин......................................... 85
§ 1.	Основное отличие в подходе изучения динамики бурильного
инструмента при проводке вертикальных и наклонных скважин
§ 2.	Динамика бурильной колонны в случае наклонной скважины
весьма большой протяженности............................... 91
§ 3.	Выводы ..............................................  112
Заключение................................................. 114
СО1СПЛЛ nUHUKininnUDni aunnn
НИЗКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БУРИЛЬНОГО ИНСТРУМЕНТА
Редактор издательства С.М. Каешкова
Обложка художника В.Ф. Крохотинова
Художественный редактор В.В. Шутько
Технический редактор О.А. Колотвина
Корректор А.А. Передерннкова
Оператор И.А. Новикова
ИБ №4883
Подписано в печать 18.12.82. Т-10201. Формат 84 х 108/32. Бумага
офсетная № 1. Набор выполнен на наборно-пишущей машине типа ИБМ
’’Композер”. Печать офсетная. Усл. печ. л. 7,14. Усл. кр.-отт. 7,45.
Уч.-изд. л. 6,93. Тираж 1400 зкз. Заказ 994	/8773-5. Цена 1 р. 10к.
Ордена ’’Знак Почета” издательство ’’Недра”, 103633, Москва, К-12,
Третьяковский проезд, 1/19
Тульская типография Союзполиграфпрома при Государственном комитете
СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
г. Тула, проспект Ленина, 109.
УВАЖАЕМЫЙ ТОВАРИЩ!
ИЗДАТЕЛЬСТВО ’’НЕДРА”
ГОТОВИТ К ПЕЧАТИ-НОВЫЕ КНИГИ
ДОБКИН В.А., НИКИТИН Г.М., УТРОБИН А. А. Обслуживание и
ремонт гидравлических забойных двигателей: Учеб, пособие для рабочих.
10 л, ил. 25 к.
Изложены необходимые сведения по гидравлическим забойным
двигателям, их эксплуатации, ремонту, контрольно-измерительным
приборам и приспособлениям, применяемым при ремонте забойных
двигателей. Рассмотрены комплектация, отбраковка узлов и деталей
турбобура, их сборка и регулировка, контроль качества ремонта. В
заключение уделено внимание технике безопасности, промышленной са-
нитарии и противопожарным мероприятиям.
Для подготовки и повышения квалификации рабочих, занятых
ремонтом трубобуров. Может быть использовано при профессиональном
обучении рабочих на производстве.
БУЛАТОВ А.И. Технология цементирования нефтяных и газовых
скважин. - 2-е изд., перераб. и доп. 20 л., ил. 1 р. 40 к.
Во втором издании (1-е изд. - 1973) на основе последних достижений
науки, техники и передового опыта изложены вопросы технологии цемен-
тирования нефтяных и газовых скважин. Основное внимание уделено
новым методам, а также изучению факторов, улучшающих качество
разобщения пластов. Рассмотрены проблемы вытеснения буровых
растворов тампонажными, их технологические свойства, влияние на
качество разобщения пластов комплекса мероприятий (расхаживание
обсадных колонн, цементирование, применение скребков, буферной
жидкости и др.). Освещены основные направления совершенствования
техники и технологии цементирования скважин. Даны рекомендации по
рациональному расположению оборудования.
Для инженерно-технических и научных работников буровых пред-
приятий нефтяной и газовой промышленности.
ИСПЫТАНИЕ нефтегазоразведочных скважин в Филиппе/ uunivn-
ко В.С., Казаков А.Г., Обморышев К.М. и др. 20 л., ил. 1 р. 40 к.
Изложены опыт работ и результаты экспериментальных исследований
по испытанию нефтегаэоразведочных скважин в колонне. Проанализиро-
ваны факторы, влияющие на результаты испытаний. Описаны методы
возбуждения притока и гидродинамических исследований пластов и
скважин. Даны рекомендации по проведению этих исследований и обра-
ботке данных промысловых наблюдений. Рассмотрены различные методы
интенсификации притока и увеличения производительности скважин.
Приведен необходимый справочный материал по оборудованию, прибо-
рам, устройствам и инструменту, применяемым при испытании глубоких
разведочных скважин.
Для инженерно-технических и научных работников буровых пред-
приятий нефтяной и газовой промышленности. Может быть полезна
студентам нефтяных и геологоразведочных вузов.
ПЕРЧИК А.И. Словарь-справочник по экономике нефтегазодобываю-
щей промышленности. — 2-е изд., перераб. и доп. 18 л. 1 р. 30 к.
В третьем издании (2-е изд. - 1976) учтены изменения и внесены
дополнения, которые произошли в экономике, организации и планиро-
вании нефтегазодобывающей промышленности за последние годы.
Введены новые показатели и термины по нормированию, автоматизиро-
ванным системам управления, материально-техническому снабжению,
финансам, статистическому учету, прогнозированию, управлению ка-
чеством, правовому регулированию деятельности предприятий и др.
Наряду с формулировкой терминов даны краткие примеры расчетов. При
изложении материала учтены действующие отраслевые терминологиче-
ские стандарты.
Для инженерно-технических и научных работников нефтяной и газо-
вой промышленности.
КАРАЕВ М.А. Гидравлика буровых насосов. - 2-е изд., перераб. и
доп. 15 л., ил. 80 к.
Рассмотрены современные буровые поршневые насосы, используемые
при бурении нефтяных, газовых и геологоразведочных скважин. Проана-
лизировано влияние основных параметров глинистых растворов на гид-
равлические показатели буровых насосов и их обвязок. Во второе изда-
ние (1-е изд. - 1975) включены номограммы для определения подачи
буровых насосов, приведены более современные данные по составляю-
щим к.п.д., по определению полезной мощности насосов. Описаны но-
вые трехцилиндровые поршневые насосы. Освещены сменные узлы и
быстроизнашиваемые детали. Уточнен гидравлический расчет пневмо-
компенсаторов и построены номограммы.
Для инженеров-буровиков, а также для конструкторов и проекти-
ровщиков, занимающихся изготовлением буровых насосов для нефтега-
зовых скважин.
ПУСТОВОИТЕНКО И.П., СЕЛЬВАЩУК А. II. Справочник мастера по
сложным буровым работам. - 3-е изд., перераб. и доп. 20 л., ил. 1 р. 40 к.
Третье издание (2-е изд. - 1971) значительно переработано и допол-
нено сведениями по новому оборудованию, инструменту и приспособле-
ниям, применяемым при ликвидации аварий и осложнений. Приведены
необходимые справочные сведения по объемам трубного, затрубного
пространства бурильных, обсадных и насоснокомпрессорных труб; по
потерям давления в различных элементах бурильной колонны. Изложены
причины аварий, осложнений, а также методы и средства их предупреж-
дения и ликвидации. Рассмотрены конструкции ловильного инструмента,
приспособлений и устройств для ликвидации аварий. Описаны способы
определения местоположения и интенсивности поглощений. Дана краткая
техническая характеристика бурового оборудования и инструмента.
Для инженерно-технических работников и мастеров буровых пред-
приятий нефтяной и газовой промышленности.
Интересующие Вас книги Вы можете приобрести в местных
книжных магазинах, распространяющих научно-техническую
литературу, или заказать через отдел ’’Книга — почтой” мага-
зинов:
№ 17 — 199178, Ленинград, В.О., Средний проспект, 61;
№ 59 — 127412, Москва, Коровинское шоссе, 20
Издательство ’’Недра"