Кристиан Кассель
Владимир Тураев
Группы кос

Christian Kassel
Vladimir Turaev
Braid Groups
With the graphical assistance
of Olivier Dodane
Springer

К. КАССЕЛЬ, В. Г. ТУРАЕВ
Группы кос
Перевод с английского
С. Н. Малыгина
Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 515.162.8
ББК 22.152
К28
Кассель К., Тураев В. Г.
К28 Группы кос / Перевод с англ. С. Н. Малыгина. — М.:
МЦНМО, 2014. —422 с.
ISBN 978-5-4439-0245-6
Книга посвящена увлекательному и актуальному разделу
математики— теории кос, сочетающей богатство чисто
алгебраической структуры и тесные связи с важными разделами маломерной
топологии, в частности, с теорий узлов и зацеплений. В данной
монографии, помимо прочего, обсуждаются такие недавние
результаты, как точность представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу
и линейный порядок на группах кос.
Авторы книги — активно работающие математики, внесшие
существенный вклад в развитие излагаемой ими теории. Книга будет
полезна студентам старших курсов математических факультетов,
аспирантам и научным работникам.
ББК 22.152
Translation from the English language edition:
Braid Groups by Christian Kassel, Vladimir Turaev.
Copyright © 2008 Springer Science+Business Media, LLC.
All Rights Reserved.
© Springer-Verlag
Science+Business Media,
LLC, 2008.
ISBN 978-0-387-33841-5 (англ.) © МЦНМО,
ISBN 978-5-4439-0245-6 перевод на рус. яз., 2014.

Оглавление
Предисловие 8
Глава 1. Косы и группы кос 12
§ 1.1. Группы кос Артина 12
§ 1.2. Косы и диаграммы кос 16
§ 1.3. Группы крашеных кос 33
§ 1.4. Конфигурационные пространства 41
§ 1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 48
§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы 53
§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные
пространства 60
Замечания 67
Глава 2. Косы, узлы и зацепления 69
§ 2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях .... 69
§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории 75
§ 2.3. Теорема Александера 84
§ 2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 87
§ 2.5. Теорема Маркова 96
§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 101
§ 2.7. Доказательство леммы 2.11 117
Замечания 125
Глава 3. Гомологические представления групп кос 127
§ 3.1. Представление Бурау 127
§ 3.2. Неточность представления Бурау 133
§ 3.3. Приведенное представление Бурау 144
§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 148
§3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 156
§ 3.6. Шнуры и арки 164
§3.7. Доказательство теоремы 3.15 178
Замечания 194

6 Оглавление
Глава 4. Симметрические группы и алгебры
Ивахори — Гекке 196
§ 4.1. Симметрические группы 196
§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке 210
§ 4.3. Следы Окняну 218
§4.4. Полином Джонса — Конвея 221
§ 4.5. Полупростые алгебры и модули 223
§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке 243
Замечания 245
Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке 247
§ 5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц 247
§ 5.2. Решетка Юнга 252
§ 5.3. Полунормальные представления 260
§ 5.4. Доказательство теоремы 5.11 264
§ 5.5. Простота полунормальных представлений 269
§ 5.6. Простота приведенного представления Бурау 274
§ 5.7. Алгебры Темперли—Либа 277
Замечания 294
Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды
положительных кос 296
§ 6.1. Моноиды 296
§ 6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 301
§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 311
§ 6.4. Гарсайдовы моноиды 317
§ 6.5. Моноид положительных кос 323
§ 6.6. Обобщенные группы кос 331
Замечания 339
Глава 7. Порядок на группах кос 341
§ 7.1. Упорядочиваемые группы 341
§ 7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 347
§ 7.3. Порядок Деорнуа 352
§ 7.4. Нетривиальность а -положительных кос 358
§ 7.5. Редукция ручек 363
§ 7.6. Подход Нильсена—Тёрстона 383
Замечания 385

Оглавление 7
Приложение А. Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z)
образующими и соотношениями 387
Замечания 390
Приложение Б. Расслоения и гомотопические
последовательности 391
Приложение В. Алгебры Бирман — Мураками — Венцля.... 393
Приложение Г. Самодистрибутивные слева множества .... 397
§ ГЛ. Самодистрибутивные слева множества,
автоморфные множества и квандлы 397
§ Г.2. Действие моноида положительных кос 398
§Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные слева
множества 400
Замечания 403
Литература 404
Предметный указатель 417

Предисловие
Теория групп кос представляет собой один из наиболее
пленительных разделов топологии малых размерностей. Ее красота
происходит из привлекательной геометрической природы кос и из их
тесных связей с другими замечательными геометрическими
объектами, такими как узлы, зацепления, гомеоморфизмы поверхностей
и конфигурационные пространства. На более глубоком уровне
интерес математиков к этой теме обусловлен той важной ролью, какую
играют косы в разнообразных областях математики и теоретической
физики. В частности, изучение кос естественно приводит к разным
интересным алгебрам и их линейным представлениям.
Группы кос впервые появились, хоть и неявно, в статье Адольфа
Гурвица, опубликованной в 1891 г., которая была посвящена
разветвленным накрытиям поверхностей. В явном виде понятие косы было
введено Эмилем Артином в 1920-х гг. с целью формализовать
топологические объекты, моделирующие переплетение нескольких нитей
в евклидовом трехмерном пространстве. Артин обратил внимание
на то, что косы с фиксированным числом п нитей образуют группу,
которую он назвал п-й группой кос и обозначил через Вп. С тех пор
косы и группы кос широко изучались топологами и алгебраистами.
Это привело к богатой теории с многочисленными ответвлениями.
В 1983 г. Воган Джонс, занимаясь операторными алгебрами,
открыл новые представления групп кос, из которых он вывел свои
знаменитые полиномы узлов и зацеплений. Открытие Джонса привело
к сильному увеличению интереса к группам кос. Среди более
недавних важных результатов в этой области—упорядочиваемость группы
кос Вп, доказанная Патриком Деорнуа в 1991 г., и линейность группы
кос Вп, доказанная Дааном Краммером и Стивеном Бигелоу в 2001-
2002 гг.
Главная цель настоящей книги—дать обстоятельное введение в
теорию групп кос и показать разнообразие ее аспектов. Книга
предназначена для студентов и аспирантов, а также для всех математи-

Предисловие
9
ков и физиков, интересующихся косами. Предполагая только
базисные познания в топологии и алгебре, мы даем более подробное
изложение тем повышенной сложности, включающих вспомогательный
материал по топологии и алгебре, часто выходящий за рамки
традиционных изложений теории кос. В частности, мы рассматриваем
основные свойства симметрических групп, теорию полупростых алгебр
и язык разбиений и таблиц Юнга.
Теперь мы более подробно расскажем о содержании книги.
Глава 1 касается оснований теории кос и групп кос. В частности, мы
описываем связи с конфигурационными пространствами,
автоморфизмами свободных групп и с группами классов отображений проколотых
кругов.
В главе 2 мы изучаем связь между косами и зацеплениями в
евклидовом трехмерном пространстве. Центральный результат этой
главы — описание Александера — Маркова ориентированных
зацеплений в терминах классов марковской эквивалентности кос.
Глава 3 посвящена двум замечательным представлениям группы
кос Вп: представлению Бурау, которое было введено Вернером Бурау
в 1936 г., и представлению Лоуренс — Краммера — Бигелоу, которое
было введено Рут Лоуренс в 1990 г. Мы используем технику
скручиваний Дена для доказательства того, что представление Бурау неточно
при больших п, как было впервые установлено Джоном Муди в 1991 г.
С помощью введенного Стивеном Бигелоу понятия шнуров в
проколотых кругах мы доказываем теорему Бигелоу—Краммера о точности
представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу. В этой главе мы
также строим для зацеплений полином Александера — Конвея от одной
переменной.
Глава 4 касается симметрических групп и алгебр Ивахори — Гек-
ке, тесно связанных с группами кос. В качестве их приложения мы
строим для зацеплений полином Джонса — Конвея от двух
переменных, известный также под названием полином HOMFLY или
полином HOMFLY-PT, который обобщает два фундаментальных полинома
от одной переменной для зацеплений, а именно уже упомянутый
полином Александера — Конвея и полином Джонса.
Глава 5 посвящена классификации конечномерных представлений
общих алгебр Ивахори — Гекке в терминах диаграмм Юнга. В
качестве приложения мы показываем, что (приведенное) представление
Бурау группы кос Вп неприводимо. Мы также обсуждаем алгебры Тем-
перли—Либа и классифицируем их конечномерные представления.

10
Предисловие
В главе 6 представлено решение Гарсайда проблемы сопряжения
в группах кос. Следуя Патрику Деорнуа и Луису Парису, мы вводим
понятие гарсайдова моноида, являющегося моноидом с
соответствующими свойствами делимости. Мы показываем, что группа кос Вп
есть группа частных гарсайдова моноида положительных кос с п
нитями. Мы также обсуждаем аналогичные результаты для обобщенных
групп кос, ассоциированных с матрицами Кокстера.
Глава 7 посвящена упорядочиваемое™ групп кос. Следуя Деорнуа,
мы доказываем, что для каждого п группа кос Вп упорядочиваема.
Книга завершается четырьмя короткими приложениями:
приложение А о модулярной группе PSL2(Z), приложение Б о расслоениях,
приложение В об алгебрах Бирман — Мураками — Венцля и
приложение Г о самодистрибутивных множествах.
Все главы книги в большой степени не зависят друг от друга.
Читатель может начать с первого параграфа главы 1 и затем свободно
изучать остальную часть книги.
Несомненно, теория кос слишком обширна, чтобы ее можно было
исчерпывающе изложить в одной книге. В настоящей книге
полностью опущены ее важные разделы, которые касаются ее связей с
математической физикой, квантовыми группами, алгебрами Хопфа и
сплетенными моноидальными категориями. По этим темам мы отсылаем
читателя к монографиям [Lus93], [CP94], [Tur94], [Kas95], [Maj95],
[KRT97], [ES98].
Здесь также не представлены вычисления групп гомологии и ко-
гомологий групп кос (см. [Арн70], [Вай78], [Sal94], [CS96]),
автоматные структуры на группах кос (см. [ECHLPT92], [Mos95]) и
приложения к криптографии (см. [СЧЯ93], [AAG99], [KLCHKP00]).
За дополнительными сведениями по теории кос мы отсылаем
читателя к следующим монографиям и обзорным статьям: [Bir74], [BZ85],
[Han89], [Kaw96], [Mur96], [MK99], [Вер99], [Iva02], [BB05].
Настоящая книга выросла из докладов [Kas02], [Tur02],
сделанных авторами на семинаре Бурбаки в 1999 и 2000 гг., и из лекций
для студентов, прочитанных К. Касселем в университете имени Луи
Пастера в Страсбурге в 2002-2003 гг. и В. Тураевым в университете
Индианы в Блумингтоне в 2006 г.

Предисловие
11
Благодарности
Нам приятно выразить свою благодарность Патрику Деорнуа,
Николаю Иванову и Гансу Венцлю за полезные обсуждения и
комментарии. Мы особо обязаны Оливье Додану, нарисовавшему рисунки к этой
книге и проведшему нас через лабиринт форматов и команд ВДЖа.
Кристиан Касселъ,
Владимир Тураев
Страсбург,
3 марта 2008 г.

Косы и группы кос
В этой главе мы обсудим основы теории кос и групп кос.
§ 1.1. Группы кос Артина
Здесь мы введем группы кос и обсудим некоторые их простые
свойства.
1.1.1. Основное определение
Дадим алгебраическое определение группы кос Вп для любого
положительного целого числа п. Это определение формулируется в
терминах задания группы образующими и соотношениями.
Определение 1.1. Группой кос Артина Вп называется группа,
заданная 71 — 1 образующими <7Ь сг2,..., сгп_1 икосовыми соотношениями
для всех i, j = 1,2,..., п — 1, для которых \i — j\>2,n
cncn+icn - cn+icncn+i
для i = 1,2, ...,7i — 2.
По определению группа В\ = {1} тривиальна. Группа В2
порождена одной образующей ai, и соотношений для нее нет. Это бесконечная
циклическая группа. Как мы вскоре увидим, группа Вп при п > 3
неабелева.
Для всякого гомоморфизма / группы кос Вп в любую группу G
элементы {st = /(c7i)}i=iv..,n-i группы G удовлетворяют косовым
соотношениям _
SiSj — SjSi
для всех i,; = 1,2,..., 71 — 1, для которых \i — j\ > 2, и

§ 1.1. Группы кос Артина
13
для i = 1,2,..., 7i — 2. Справедливо обратное утверждение, которое мы
запишем в виде следующей леммы.
Лемма 1.2. Если элементы sb ..., sn_i группы G удовлетворяют
косовым соотношениям, то существует единственный гомоморфизм
групп f:Bn->G, для которого St — f{p\) для всех i — 1,2,..., п — 1.
Доказательство. Обозначим через Fn свободную группу,
порожденную множеством {сгь..., crn_i}. Существует единственный
гомоморфизм групп f:Fn->G, для которого /(о*) = 5* для всех i = 1,2,..., п — 1.
Этот гомоморфизм индуцирует гомоморфизм групп /: £п —> G при
условии, что f{r~lr') = 1, или, что эквивалентно, при условии, что
/(г) =/(г/) для всех косовых соотношений г=г'. Дяя первого косового
соотношения мы имеем
ffadj) = f{CFi)f{CFj) = SiSj = SjSi = /(0;)/(c7i) = ftdjCFi).
Аналогично для второго косового соотношения имеем
KviVi+\Vi) = SiSi+iSt = Si+iSiSi+i = /(a-i+iOfCJi+i). □
1.1.2. Проекция на симметрическую группу
Мы применим предыдущую лемму к симметрической группе G=<5n.
Каждый элемент группы 6П представляет собой перестановку
множества {1,2,..., п}. Рассмотрим простые транспозиции sb ..., sn_i e 6П,
определенные тем правилом, что S* переставляет элементы i и i + 1
и оставляет все остальные элементы множества {1,2, ...,п}
неподвижными. Легкое упражнение — проверить, что простые
транспозиции удовлетворяют косовым соотношениям. По лемме 1.2 существует
единственный гомоморфизм групп п: Вп —> 6П, для которого S* = п{а{)
для всех i = 1,2,..., п — 1. Этот гомоморфизм сюръективен, потому
что, как хорошо известно, простые транспозиции порождают
группу 6П. (Дополнительные сведения о структуре группы 6П см. в §4.1.)
Лемма 1.3. Группа кос Вп при п>3 неабелева.
Доказательство. Группа 6П при п > 3 неабелева, потому что S1S2 ф
Ф 525i. А так как проекция Вп —> 6П сюръективна, группа Вп тоже
неабелева при п > 3. □
1.1.3. Естественные вложения
Из соотношений, задающих группу кос Вп (см. определение 1.1),
ясно, что формула i(<7i) = о* для i = 1,2,..., п — 1 определяет гомомор-

14
Глава 1. Косы и группы кос
физм групп
t: Вп -»Вп+1.
В следствии 1.14 будет доказано, что гомоморфизм i инъективен. Он
называется естественным, вложением.
Иногда бывает удобно рассматривать Вп как подгруппу группы
Bn+i посредством вложения i. Таким образом, мы получаем
возрастающую цепь групп В\ с В2 с В3 с ...
Взяв композицию вложения i с проекцией тг: Вп+\ —> 6п+ь мы
получим композицию проекции тг: Вп —> 6П с каноническим вложением
<5П с-> 6n+i. (Последнее вложение продолжает каждую перестановку
множества {1,2,..., п} до перестановки множества {1,2,..., п + 1},
оставляющей неподвижной элемент п +1.) Иначе говоря, имеет место
коммутативная диаграмма
Вп >&п
'I | (1Л)
Вп+1 > &п+1 •
1.1.4. Группа В3
Уже простейшая некоммутативная группа кос Вз представляет
значительный интерес. Эта группа порождена двумя образующими
<7i И <72, ПОДЧИНЯЮЩИМИСЯ ОДНОМу СООТНОШеНИЮ G\G2(J\ = <72<7i<72.
ПОЛОЖИВ х — G\GiO\ и у — o"i(72, мы получим образующие х, у группы Вз,
подчиняющиеся одному соотношению х2 = у3 (проверьте). Из этого
соотношения следует, в частности, что элемент х2 = (сг\сг2&\)2 лежит
в центре группы В3. (В п. 1.3.3 мы вычислим центр группы Вп для
всех п.)
Группа В3 обладает гомоморфизмом в SL(2, Z), который
отображает (7i и (72 в матрицы
(S О И (-! о)
соответственно. Этот гомоморфизм сюръективен, и его ядро есть
бесконечная циклическая группа, порожденная элементом ((7i(72(7i)4.
Доказательство см. в книге [Mil71, теорема 10.5] или в приложении А.
Труппа Вз появляется в теории узлов как фундаментальная группа
дополнения к трилистнику К с S3. Трилистник К можно определить
как подмножество трехмерной сферы S3 = {(zi,z2)€.C2: |2i|2+|22l2 = lL
состоящее из точек {z\, z2), для которых z\ + z\ = 0; см. его изображе-

§ 1.1. Группы кос Артина
15
ние на рис. 2.1. В теории узлов хорошо известен изоморфизм
n1(S3\K)*(x,y\x3=y2)=B3.
С алгебраической точки зрения основа этого изоморфизма —
гомеоморфизм
S3\K*SL(2,R)/SL(2,Z);
см. [МП71, §10].
Упражнение 1.1.1. Покажите, что существует такой гомоморфизм
групп /: Вп —> Z, что /(о*) = 1 для всех i = 1,..., п — 1. Докажите, что
он индуцирует изоморфизм Вп/[Вп, Bn]=Z, где [Вп, Вп] —коммутант
группы Вп.
Упражнение 1.1.2. Проверьте, что формула сг^сгг1 для i=l,2,...,
71 — 1 определяет инволютивный автоморфизм группы Вп. Докажите,
что этот автоморфизм не является сопряжением ни на какой элемент
группы Вп.
Упражнение 1.1.3. Проверьте следующие соотношения в В3:
Упражнение 1.1.4. Докажите, что для любого п>\ группа Вп
порождена двумя элементами <7i и a=<7i<72...crn_1. (Указание: <7i=al~1<7ia1~l
для всех i.)
Упражнение 1.1.5. Пусть / — гомоморфизм из группы кос Вп в
некоторую группу. Если /(о*) коммутирует с f((Ji+i) для некоторого i,
то f(Bn) — циклическая группа. Если /(ст*) =/(05) для некоторых i<j,
причем либо j ф i + 2, либо п ф 4, то f(Bn) — циклическая группа.
Упражнение 1.1.6. Докажите, что каждый элемент сг^от1,1 < i <
< ; < 7i — 1, принадлежит коммутанту [Вп, Вп] и порождает [Вп, Вп]
как нормальную подгруппу в Вп при условии, что либо j ф1 + 2, либо
71 ф 4. (Указание: вначале рассмотрите случай j = i + 1.)
Упражнение 1.1.7. Проверьте тождество
^й-гоТ1 = (<Ji(Ji+{)~l[(Ji+2cr^1,(Ti(T^+\](Ti(Ti+i,
где 1 < i < 7i — 3 и [a, b] = arlb~lab.
Упражнение 1.1.8. Докажите, что при пф 3,4 коммутант группы
[Вп,Вп] совпадает с [Вп,Вп].

16
Глава 1. Косы и группы кос
Упражнение 1.1.9. Докажите, что [В3,В3]—свободная группа
ранга 2. (Топологическое доказательство: используйте тот факт, что
трилистник представляет собой расслоенный узел рода 1.)
Упражнение 1.1.10. а) Определим автоморфизмы а[, о'г, и'ъ
свободной группы F2 с двумя образующими а и Ъ формулами
а'1(а) = а, а[(Ъ) = аЪ,
*^а) = Ъ-1а, *№) = Ъ,
<7з (а) = а, <7з (Ь) = Ьа.
Докажите, что существует такой гомоморфизм гр: В4 —> Aut(F2), что
i/j(<7i) = о[ для i = l,2,3. Проверьте, что ^(oicr^"1) есть сопряжение
на элемент а и ^(o^oioj^oj"1) есть сопряжение на элемент Ъ~1а в F2.
б) Рассмотрим гомоморфизм групп В4 —> Вз, отображающий cri
и <7з в <7i, а сг2 в сг2. Докажите, что его ядро порождено элементами
criсг^"1 и G2(J\(J^cr"1■. Выведите из этого, что это ядро является
свободной группой ранга 2.
§ 1.2. Косы и диаграммы кос
В этом параграфе мы дадим интерпретацию групп кос в
геометрических терминах. Будем обозначать через I замкнутый отрезок [0,1]
в множестве вещественных чисел R. Под топологическим отрезком
мы будем понимать любое топологическое пространство, гомеоморф-
ное отрезку J = [0,1].
1.2.1. Геометрические косы
Определение 1.4. Геометрической косой из п > 1 нитей
называется такое множество Ъ с R2 х I, образованное п дизъюнктными
топологическими отрезками, называемыми нитями геометрической
косы Ь, что проекция R2 x J -»J отображает каждую нить гомеоморфно
на J и
Ъ П (R2 х {0}) = {(1,0,0), (2,0,0),..., (и, 0,0)},
Ъ П (R2 х {1}) = {(1,0,1), (2,0,1),..., (и, 0,1)}.
Ясно, что любая точка геометрической косы Ъ пересекает каждую
плоскость R2 х {0}, t e I, ровно в одной точке и соединяет точку
(i, 0,0) с точкой (5(0,0,1), где i,s(i) e {1,2, ...,п}.
Последовательность (s(l),5(2), ...,s(ti)) представляет собой перестановку множе-

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
17
t = 0
t = l
Рис. 1.1. Геометрическая коса из 4 нитей
ства {1,2,..., п}. Будем говорить, что эта перестановка
соответствует геометрической косе Ь.
Пример геометрической косы изображен на рис. 1.1. Здесь х, у —
координаты в R2, х-ось направлена направо, у-ось направлена вдаль
от читателя и t-ось направлена вниз. Этой косе соответствует
перестановка (1,3,2,4).
Две геометрические косы Ъ и Ь' из п нитей называются
изотопными, если Ъ можно непрерывно продеформировать в Ь/ в классе кос.
На более формальном языке геометрические косы Ъ и Ь' изотопны,
если существует такое непрерывное отображение F: Ъ х I -» R2 х I,
что для каждого s е I отображение Fs: Ъ —> R2 х /, переводящее х е b
в F(x, 5), является вложением, образ которого представляет собой
геометрическую косу из п нитей, F0 = idb: b —> b и Fi (b) = b/. Всякое Fs
автоматически отображает каждую концевую точку косы b в себя.
Отображение F, а также семейство геометрических кос {Fs(b)}seI
называются изотопией косы b = F0(b) в косу Ъ' = Fi(b).
Очевидно, что отношение изотопии является отношением
эквивалентности на классе геометрических кос из п нитей.
Соответствующие классы эквивалентности называются косами из п нитей.
Для любых двух геометрических кос Ъ\, Ъч с R2 х / из п нитей мы
определим их произведение b\b2 как множество таких точек (х, у, t) e
е R2 х /, что О, у, 2t) е Ьь если 0 < t < 1/2, и О, у, 2t-l)e Ъ2, если
1/2 < t < 1. Очевидно, bib2 есть геометрическая коса из п нитей.

18
Глава 1. Косы и группы кос
Ясно, что если геометрические косы Ъ\ и Ъ2 изотопны геометрическим
косам Ь[ и Ь'г соответственно, то геометрическая коса Ъ^Ь-i изотопна
геометрической косе Ь'^Ь'Т Поэтому формула (Ьь Ъ-i) ^>b\bi определяет
умножение на множестве кос из п нитей. Это умножение
ассоциативно и имеет нейтральный элемент, которым является тривиальная
коса 1п, представленная геометрической косой
{1,2,...,ti}x{0}xJcR2xJ.
Ниже мы увидим, что множество кос из п нитей относительно этого
умножения является группой, канонически изоморфной группе кос Вп.
Каждая геометрическая коса изотопна некоторой геометрической
косе b с I2 х /, являющейся гладким одномерным подмногообразием
в R2 x J, ортогональным R2 х {0} и R2 х {1} вблизи концевых точек.
При работе с косами часто бывает удобно ограничиться такими
гладкими представителями.
Замечание 1.5. Определение изотопии для геометрических кос
можно ослабить, заменив условие, что Fs(b) есть геометрическая коса,
на условие, что в процессе деформации Fs край дЪ остается
поточечно неподвижным. Определение изотопии также можно усилить,
потребовав, чтобы отображения {Fs}s продолжались до некоторой
изотопной деформации произведения R2 х J, постоянной на крае.
Артин в статье [Art48a] доказал, что для обоих сформулированных
здесь условий получающиеся отношения эквивалентности на классе
геометрических кос совпадают с тем отношением изотопии, которое
было определено выше; ср. с теоремой 1.40.
1.2.2. Диаграммы кос
Для задания геометрической косы можно нарисовать ее проекцию
на Е х {0} х / вдоль второй координаты и указать в каждой точке
перекрещивания, какая нить проходит «под» другой нитью. Чтобы
избежать локальных сложностей, мы будем применять эту
процедуру исключительно к тем геометрическим косам, проекции которых
на R х {0} х J обладают только двойными трансверсальными
перекрещиваниями. Эти рассмотрения приводят нас к понятию
диаграммы косы.
Диаграммой косы из п нитей называется множество ® с R х /,
расщепленное в виде объединения п топологических отрезков,
называемых нитями диаграммы @, для которого выполнены следующие
три условия:

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
19
1) проекция R x J -> / отображает каждую нить гомеоморфно на J;
2) каждая точка произведения {1,2,..., п} х {0,1} является концевой
точкой некоторой единственной нити;
3) каждая точка произведения R х / принадлежит не более чем двум
нитям. В каждой точке пересечения двух нитей эти нити
пересекаются трансверсально, при этом одна из них называется
проходящей под другой (а также проходом), а другая — проходящей над
первой (а также переходом).
Заметим, что никакие три нити диаграммы косы ® никогда не
пересекаются в одной точке. Точка пересечения двух нитей
диаграммы ® называется перекрестком или двойной точкой диаграммы ®.
Требование трансверсальности в условии 3
означает, что в некоторой окрестности
перекрестка диаграмма ® выглядит с
точностью до гомеоморфизма как подмножество
{(*, у) • ху = 0} в R2. Из условия 3 и
компактности нитей легко следует, что количество
перекрестков любой диаграммы ® конечно.
На рисунках нить, проходящая под
перекрестком, графически изображается
разорванной вблизи этого перекрестка; а нить, Рис. 1.2. Диаграмма
проходящая над перекрестком, изображается косы из 4 нитей
непрерывной линией. Пример диаграммы
косы приведен на рис. 1.2. На нем верхняя горизонтальная прямая
представляет Rx {0}, а нижняя горизонтальная прямая представляет R х {1}.
Впоследствии мы иногда будем рисовать эти прямые, а иногда нет.
Опишем теперь связь между косами и диаграммами кос. Сначала
сопоставим каждой диаграмме косы ® некоторый класс изотопии
геометрических кос. С помощью очевидного отождествления R х I = R х
х {0} х I мы можем считать, что диаграмма ® лежит в Rx {0} x/cR2 х J.
В маленькой окрестности каждого перекрестка диаграммы ® мы
немного сдвинем (вдавим) bRx(0, °°) х / ту нить, которая проходит
под другой, изменяя при этом только вторую координату и оставляя
неизменными первую и третью координаты. Тем самым диаграмма
косы ® преобразуется в геометрическую косу из п нитей. Ее класс
изотопии корректно определен и называется косой, представленной
диаграммой 9). Эта коса обозначается /?(®). Например, диаграмма
косы на рис. 1.2 представляет косу, изображенную на рис. 1.1.

20
Глава 1. Косы и группы кос
Рис. 1.3. Изотопия диаграмм кос
Легко видеть, что любую косу /3 можно представить некоторой
диаграммой косы. Чтобы получить ее, вначале выберем
представляющую /3 геометрическую косу Ь, общую относительно проекции вдоль
второй координаты. Это значит, что проекция геометрической косы Ъ
bRx{0}x/=:RxJ может иметь только двойные трансверсальные
пересечения. В каждой точке пересечения этой проекции будем
считать нитью, проходящей над другой, ту нить, в которую проецируется
поддуга косы Ъ с большей второй координатой. Таким образом, мы
получили диаграмму косы ^, и ясно, что /3(@) = /3.
Две диаграммы кос ^ и & из п нитей называются изотопными,
если существует такое непрерывное отображение F: Of х I —> R х I,
что для каждого sel множество % = F(® х {5}) с R x J является
диаграммой косы из 71 нитей, % = & и &\ = &'.
II Понятно, что для каждого s G I перекрест-
1^1 ки диаграммы ^ отображаются в
перекрестна^ = 1.1 ки диаграммы % и при этом сохраняются
yz и свойства нитей проходить под или над дру-
' ■ 7. . J г°й- Семейство диаграмм кос {%}sei назы-
I I вается изотопией диаграммы $0 = ® в диа-
Рис. 1.4. Произведение грамму &i = &. Пример изотопии приведен
диаграмм кос На рис. 1.3. Очевидно, что если диаграмма &
изотопна диаграмме &, то /З(^) = /3(^0-
Для любых двух диаграмм кос &\ и 9}2 из п нитей их произведение
&\^2 получится, если мы расположим 0)\ сверху ^2 и сожмем
получившуюся диаграмму так, чтобы она поместилась в R х J; см. рис. 1.4.
Ясно, что если диаграмма 9)\ представляет косу /3i и диаграмма 2}2
представляет косу fc, то произведение диаграмм ^i^2 представляет
произведение кос /З1/З2.
1.2.3. Движения Рейдемейстера диаграмм кос
Преобразования Г12 и &з диаграмм кос, изображенные на рис. 1.5а
и 1.56, а также обратные к ним преобразования Щ1 и Щ1 (получен-
А

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
21
п2
л2
Рис. 1.5а. Движение Рейдемейстера П2
^ \ I Л
Рис. 1.56. Движение Рейдемейстера ft3
ные обращением стрелок на рис. 1.5а и 1.56) называются движениями
Рейдемейстера. Эти движения произошли из теории узлов и диаграмм
узлов, где они были введены Куртом Рейдемейстером; см. [Rei83]
и § 2.1. Эти движения влияют только на положение диаграммы в круге
внутри R х /, а остальная часть диаграммы при этом не изменяется.
Движение Г12 затрагивает две нити и создает два добавочных
перекрестка (как показано на рис. 1.5а, имеется два типа ^-движений).
Движение ^з затрагивает три нити и сохраняет неизменным
количество перекрестков. Все эти преобразования диаграмм кос сохраняют
соответствующие косы с точностью до изотопии.
Будем говорить, что две диаграммы кос @ и &' являются К-экви-
валентными, если & можно преобразовать в У конечной
последовательностью изотопии и движений Рейдемейстера Vt^1, П^1. Очевидно,
что если & и & являются R-эквивалентными, то /З(^) = Р№')-
Следующая теорема показывает, что верно обратное утверждение.
Теорема 1.6. Две диаграммы кос тогда и только тогда
представляют изотопные геометрические косы, когда эти диаграммы К-экви-
валентны.
Доказательство. Эта теорема является аналогом для кос
классического результата Рейдемейстера о диаграммах узлов; см. [BZ85],

22
Глава 1. Косы и группы кос
[Mur96] и гл. 2. Главное утверждение здесь — что диаграммы
изотопных геометрических кос R-эквивалентны. Доказательство его
проведем в четыре шага.
Шаг 1. Введем некоторые обозначения, которые будут
использоваться в последующих шагах. Рассмотрим геометрическую косу b с
с R2 х / из 71 нитей. Для £ = 1,.,.., п обозначим £-ю нить косы Ь, т. е.
ту нить, которая проходит через точку (£, 0,0), символом Ь*. Каждая
плоскость R2 х {t}, t G J, пересекает нить Ъ{ в одной точке; обозначим
ее через bi(t). В частности, Ь*(0) = (£, 0,0).
Пусть р— евклидова метрика в R3. Для любого вещественного
числа б > 0 цилиндрическая е-окрестностъ нити Ъ{ состоит из всех
точек {х, t) е R2 х I, для которых р((х, t), bt(t)) < е. Эта окрестность
пересекает каждую плоскость R2 x {t} с R2 x J, t е J, по открытому
кругу радиуса е с центром в точке bi(t).
Для разных £, j е {1,..., п} функция t *-* p(bi(t), bj(t)) есть
непрерывная функция на J с положительными значениями. Ввиду
компактности I у этой функции есть минимум. Положим
\Ъ\ = \ min minp(bi(t), bj(t)) > 0.
Ясно, что цилиндрические |Ь|-окрестности всех нитей косы b
попарно дизъюнктны. (На самом деле \Ь\—максимальное вещественное
число, обладающее этим свойством.)
Для любой пары геометрических кос b, b/ из п нитей и любого
£ = 1,..., 71 функция t *-> p(bi(t), b't(t)) есть непрерывная функция на I
с неотрицательными значениями. Ввиду компактности I у этой
функции есть максимум. Положим
р{Ъ, Ь') = max maxp(bi(t), b'At)) > 0.
Покажем, что функция р удовлетворяет аксиомам метрики.
Действительно, р{Ъ, V) — р{Ь', Ь); р(Ьу Ъ') = 0 в том и только том случае, когда
b = Ь'\ для любых геометрических кос b, Ь' Ь" из п нитей выполняется
неравенство
р(Ъ,Ъ")<р(Ъ,Ъ') + р(КЬ").
Последнее утверждение следует из того факта, что для некоторых
1 = 1,...,пи(б/ мы имеем
р(ъ,ъ") = pfeCO.b-'W) <
< pMt), Hit)) + р(Ь,'(0,b?(t)) < р(Ъ,Ъ') + р(Ъ',Ь").

§ 1.2. Косы и диаграммы кос 23
Заметим также, что
|Ы<|Ь'|+р(Ь,Ь'). (1.2)
Действительно, для некоторых tG/и разных i,) = 1,..., п имеем
|b| = |p(b,(t),b,(t))<
< §(Р(ь-со, ь;со)+рШ, ь;ю)+р(ь;со, мо)) <
<|(p(b,b/) + 2|b'|+p(b/,b)) = |b/| + p(b,b/).
Шаг 2. Назовем геометрическую косу полигональной, если все
ее нити составлены из последовательных (линейных) отрезков; см.
рис. 1.6. Покажем, что любую геометрическую косу Ъ из п нитей
можно аппроксимировать полигональными косами. Выберем целое
число N>2n индекс i = 1,..., п. Для к = 1,..., N рассмотрим отрезок
в R2 х / с концевыми точками fyf —тт—J и hi—J. Объединение всех
этих N отрезков является ломаной линией, которую мы обозначим
через bf. Ее концевые точки — bf(0) = Ы(0) = (i, 0,0) и bf (1) = Ь£(1).
Для достаточно большого N эта ломаная линия лежит в
цилиндрической |Ь|-окрестности нити Ъ{. Поэтому для достаточно большого N
ломаные линии Ь^,..., b% дизъюнктны и составляют полигональную
косу bN, аппроксимирующую исходную косу Ъ. Кроме того, для любого
вещественного числа е>0и всех достаточно больших N мы имеем
Рис. 1.6. Полигональная коса из 4 нитей

24
Глава 1. Косы и группы кос
p(b, bN) < е. Например, на рис. 1.6 показана полигональная
аппроксимация косы, изображенной на рис. 1.1.
Теперь переформулируем понятие изотопии кос в полигональной
ситуации. С этой целью введем так называемые А-движения
полигональных кос. Пусть Л, В, С — такие три точки в R2 x J, что третья
координата точки А строго меньше третьей координаты точки В, а та
в свою очередь строго меньше третьей координаты точки С.
Движение А (ЛВС) применяется к полигональной косе Ъ с R2 х I всякий
раз, когда эта коса пересекает треугольник ABC в точности по
отрезку АС. (Под треугольником ABC мы понимаем линейный двумерный
симплекс с вершинами А, В, С.) При этом предположении движение
А (ЛВС) заменяет в полигональной косе Ъ отрезок АС на ЛВ U ВС,
а остальная часть косы Ъ остается неизменной; см. рис. 1.7, на
котором треугольник ABC затушеван. Обратное движение (А(ЛВС))"1
применяется к полигональной косе, пересекающей треугольник ABC
в точности по ЛВ и ВС. При этом движении ЛВ и ВС заменяется на АС.
Движения А(ЛВС) и (А(ЛВС))-1 называются /^-движениями.
t
Рис. 1.7. А-движение
Очевидно, что если полигональные косы связаны А-движением,
то они изотопны. Докажем обратное утверждение.
Утверждение 1.7. Если полигональные косы Ъ иЪ' изотопны, то
Ъ можно преобразовать в Ъ' некоторой конечной
последовательностью А-движений.
Доказательство. Сначала проверим это утверждение в
предположении, что р{Ъ,Ъ') < |Ь|/10. Будем считать, что i-я нить Ъ{
составлена из К > 1 последовательных отрезков с вершинами Л0 = (£, 0,0),
Ai,...,AKeR2 xl. Будем записывать эту нить в виде Ь* = Л0Лг... Л#.
Аналогично будем считать, что Ъ[ = B0Bi... BL, L > 1, В0, Вь ..., BL e.
G R2 х /. Заметим, что Л0 = В0 и Ак = BL eR2 x {1}. Подразделяя

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
25
Ъ{ и Ъ[ на меньшие отрезки, мы можем добиться того, чтобы
выполнялось равенство К = L, у точек А/ и В; была одинаковая третья
координата для всех j = О,1,..., К и длины отрезков А/А/+1 и BjBj+i
были меньше |Ь|/10 для всех j = О,1,..., К — 1. Из предположения,
что р{Ъ,Ъ') < |Ь|/10, следует, что длина каждого горизонтального
отрезка AjBj меньше |Ь|/10. Движение (A(AoAiA2))-1 преобразует
Ъ{ = A0Ai... Ак в нить А0А2 ... Ак = В0А2 ... Ак. Движение A(B0jBiA2)
преобразует последнюю нить в BqB\A2 ... Ак. Продолжая рассуждение
по индукции и применяя движения (A(B/A;+iA/+2))-1 и A(BjBj+iAj+2)
при j = 0,..., К — 2, мы преобразуем bz в Ъ[. Из условий на длины
следует, что все промежуточные нити, а также определяющие эти
движения треугольники B;A;+iA/+2j BjBj+iAj+2 лежат в цилиндрической
\Ъ\-окрестности нити Ъ{ и потому они дизъюнктны с цилиндрическими
\Ъ\-окрестностями других нитей косы Ъ. Применяя эти
преобразования к i — 1,..., и, мы получим тем самым последовательность А-дви-
жений, преобразующую Ъ в Ъ'.
Теперь рассмотрим произвольную пару изотопных
полигональных кос Ь,Ъ'. Пусть F: b х I -> R2 х I — изотопия, преобразующая
Ъ = F0 (b) Bb'=Fi (b) (при 0 < 5 < 1 косы Fs (b) могут быть
неполигональными). Из непрерывности отображения F следует, что функция 1x1->
—> R, (5,50 ■-> p(Fs(b), Fs/(b)), непрерывна. Эта функция равна 0 на
диагонали s=s/ квадрата / х /. Из этих фактов и неравенства (1.2) следует,
что функция / —> R, 5 ■-> |Fs(b)|, непрерывна. А так как |Fs(b)| > 0 при
всех 5, найдется такое вещественное число е > 0, что |Fs(b)| > e для
всех s el. Далее, из непрерывности функции (5,5^ ■-> p(Fs(b),Fs<(b))
вытекает, что для некоторого достаточно большого целого числа N
и всех к = 1,2,..., N имеет место неравенство
p{F{k-i)/N(b),Fk/N(b)) < ^.
Проаппроксимируем каждую косу Fk/N(b) такой полигональной
косой рк, что p(Fk/N(b),pk) < е/10. За р0 и pN примем b и Ъ'
соответственно. Ввиду неравенства (1.2) имеем
Ы > \Fk,N(b)\-p(Fk/N(b),pk) > g.
В то же время
р(Рк-ъРк) < p{pk-i,F(k-iyN(b)) +
+ /o(F(fc-i)/JV(b),Ffc/N(b)) +p(Fk/N(b),pk) < Ц-.

26
Глава 1. Косы и группы кос
Следовательно, p(pk~i, Рк) < \Рк\/2 для к — 1,...,N. По доказанному
в предыдущем абзаце рк-\ можно продеформировать в рк некоторой
последовательностью А-движений. Взяв композицию этих
преобразований Ъ = ро ■-> р\ •->... >-> рм = Ъ', мы получим искомое преобразование
Ъ ■-> Ъ'. Доказательство утверждения 1.7 завершено. □
Шаг 3. Назовем полигональную косу общей, если ее проекция
в RxJ = Rx{0}xJ вдоль второй координаты имеет только двойные
трансверсальные перекрещивания. Немного пошевелив вершины
произвольной полигональной косы Ъ (оставляя неподвижным ее край дЪ),
мы сможем аппроксимировать эту косу общей полигональной косой.
Кроме того, для любых общих полигональных кос Ъ и Ь', связанных
последовательностью А-движений, мы можем, немного пошевелив
вершины промежуточных полигональных кос, добиться того, чтобы
эти полигональные косы также были общими. Запишем следствие
этих соображений и утверждения 1.7.
Утверждение 1.8. Если общие полигональные косы Ъ иЪ'
изотопны, то Ъ можно преобразовать в Ъ' некоторой конечной
последовательностью таких А-движений, что все промежуточные
полигональные косы будут общими.
Ддя представления общих полигональных кос мы можем
применить технику диаграмм кос. Диаграммы общих полигональных кос
представляют собой диаграммы кос, нити которых составлены из
последовательных прямолинейных отрезков. Без потери общности мы
всегда можем считать, что вершины этих отрезков не совпадают с
перекрестками диаграмм.
Утверждение 1.9. Диаграммы любых двух общих полигональных
кос, связанных А-движением, являются К-эквивалентными.
Доказательство. Рассмотрим А-движение А (ЛВС), связывающее
общую полигональную косу Ъ с общей полигональной косой V.
Выберем точки А! и С внутри отрезков АВ и ВС соответственно. Выберем
точку D внутри отрезка АС так, чтобы ее третья координата
находилась строго между третьими координатами точек А! и С. Применив
к косе Ъ движения A(AA'D) и А(£>С'С), мы преобразуем отрезок АС
в ломаную линию A4/DC/C. Применив затем движения (AfA'DC'))-1
и А^А'ВС), мы получим косу Ь'. Тем самым показано, что
движение А (ЛВС) можно заменить последовательностью четырех
А-движений по меньшим треугольникам (для этого следует выбрать точки

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
27
А!, С, D так, чтобы промежуточные полигональные косы были
общими). Это разложение движения А (ЛВС) можно итерировать. Таким
образом, подразделяя треугольник ABC на меньшие треугольники
и разлагая А-движения в композиции А-движений по меньшим
треугольникам, мы можем свести картину к случаю, в котором проекция
треугольника ABC в R x J пересекает остальную часть диаграммы
косы Ъ либо по отрезку, либо по двум отрезкам, пересекающимся
в одной точке.
Рассмотрим первый случай. Если обе концевые точки
рассматриваемого отрезка лежат на АВ U ВС, то движение А (ЛВС) диаграммы
косы Ъ есть движение Г12- Если же одна концевая точка отрезка
лежит на АС, а другая лежит на АВ U ВС, то диаграмма преобразуется
изотопией.
Рассмотрим теперь второй случай, когда проекция треугольника
ABC в R x J пересекает остальную часть диаграммы косы по двум
отрезкам, пересекающимся в одной точке. Аналогично первому случаю
рассмотрим несколько подслучаев. Подразделяя при необходимости
треугольник ABC на меньшие треугольники и разлагая наше А-дви-
жение в композицию А-движений по меньшим треугольникам, мы
можем свести картину к случаю, в котором движение сохраняет ту
часть диаграммы, которая лежит вне некоторого маленького круга
в R х I, и изменяет диаграмму внутри этого крута по одной из
следующих шести формул:
d+d+d+~d+d+d+, d+d+d-~d-d№, d-d-dx~d+2d-d-,
d\d2d\ ~ d2 ^2 у d\d2d\ «-* d2 d\d2 > drd2 dl *~> d2 dl"d2 •
Здесь d*1 и d^1 обозначают диаграммы кос из трех нитей,
изображенные на рис. 1.8; определение произведения диаграмм кос см. на
рис. 1.4. Мы советуем читателю нарисовать картинки этих
преобразований.
X IX
<*i d- d+2 d~
Рис. 1.8. Диаграммы d+, dj, dj, dj
X

28
Глава 1. Косы и группы кос
Остается доказать, что в каждом из этих случаев диаграммы в левой
и правой частях R-эквивалентны. Преобразование d^d^d^ ■-> d2d\d2
есть не что иное, как движение Пз- Для остальных пяти
преобразований R-эквивалентность доказывается следующими
последовательностями движений:
Доказательство утверждения 1.9 завершено. □
Шаг 4. Теперь мы можем закончить доказательство теоремы 1.6.
Очевидно, что R-эквивалентные диаграммы кос представляют
изотопные косы. Для доказательства обратного утверждения рассмотрим
две диаграммы кос &i, $2, представляющие изотопные косы.
Каждую из этих диаграмм %, i = 1,2, выпрямим вблизи ее перекрестков,
а остальную часть аппроксимируем ломаными линиями так, как мы
делали это на шаге 2. Тем самым мы получим диаграмму Щ общей
полигональной косы Ъ1. Если аппроксимация достаточно близкая,
диаграмма 3f[ будет изотопна диаграмме % (ср. упражнение 1.2.1 ниже).
Тогда косы Ь1 и Ъ2 будут изотопными. Из утверждения 1.8 следует, что
косу Ь1 можно преобразовать в косу Ъ2 некоторой конечной
последовательностью А-движений в классе общих полигональных кос.
Согласно утверждению 1.9 диаграммы $}[ и Si2 являются R-эквивалентными.
Следовательно, диаграммы $}\ и $}2 являются R-эквивалентными. □
В следующем упражнении использованы обозначения, введенные
на шаге 1 доказательства теоремы 1.6.
Упражнение 1.2.1. Если геометрические косы Ъ и Ъ' имеют одно
и то же количество нитей и р(Ь, Ъ') < \Ъ\, то они изотопны друг другу.
решение. Требуемую изотопию F: b x I ->R2 x I можно получить,
переместив каждую точку bt(t) в b't(t) по прямой, соединяющей эти
точки, т. е. по построению
F(bi(t)9s)=sbi0:) + (l-s)bi(t)

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
29
для t, 5 е J и £ = 1,..., п, где 71 — количество нитей косы Ъ. Чтобы
убедиться в том, что F — изотопия косы Ъ в косу Ь', достаточно проверить,
что для каждого s el отображение Fs: b —> R2 x I, переводящее bi(t)
в sbi(t) + (1 — s)b[(t), является вложением. Так как третьи координаты
точек bi(t) и b^t) равны t, третья координата точки sbi(t) + (1 — s)b[(t)
тоже равна t. Поэтому ограничение отображения Fs на любую нить Ь(
косы b есть вложение. Кроме того,
p(bi(t),FsMt))) < р(мо,ь;(о) < р(.ъ,ъ') < \ъ\.
Следовательно, образ нити bz при отображении Fs лежит в
цилиндрической |Ь|-окрестности нити bz. Из этого следует, что образы разных
нитей косы b при отображении Fs не пересекаются.
1.2.4. Группы кос
Обозначим через Зп множество кос из п нитей с определенным
выше умножением. Из следующей леммы вытекает, что 08п — группа.
Лемма 1.10. Каждый элемент 13 е <%п обладает двусторонним
обратным /З-1 в &п.
Доказательство. Для i = 1,2,..., п — 1 определим две
элементарные косы сг+ и сгг представляющими их диаграммами, имеющими
только один перекресток; см. рис. 1.9.
Мы утверждаем, что косы сг^,..., сг+_1? сг~,..., а~_г е £%п
порождают <%п как моноид. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим
произвольную косу /3 из 71 нитей, представленную диаграммой &. Небольшой
деформацией диаграммы ^cRx/в некоторой окрестности ее
перекрестков мы можем добиться того, чтобы у разных перекрестков
диаграммы <$ были разные вторые координаты. Тогда найдутся такие
вещественные числа
0 = t0 < ti < ... < tfc_i < tfc = 1,
что в пересечении диаграммы & с каждой полосой R x [t;, tj+{]
имеется ровно один перекресток и он лежит внутри этой полосы.
Значит, это пересечение представляет собой диаграмму элементарной
косы сг+ или а[~ для некоторого i = 1,2,..., ti — 1. Получившееся в
результате разложение диаграммы ® в виде произведения к диаграмм
кос показывает, что
/3 = 0(0) = <т,Х2 •••<'. (1-3)
где каждое £; есть либо +, либо — и i\,..., ik е {1,2,..., п — 1}.

30
Глава 1. Косы и группы кос
1 i-1 i i + 1 i + 2 n
I I V I I
1 i-1 i i+1 i+2 n
11X11
Рис. 1.9. Элементарные косы сг+ и err
Ясно, что сг+стг = сг.~ст.+ = 1 для всех i. (Соответствующие
диаграммы кос связаны движением £12.) Следовательно, 13~1 = а^ек... cr7£2<j~£l
есть двусторонний обратный к /3 элемент в Зп (здесь мы используем
соглашение — + = — и = +)• □
Лемма 1.11. Элементы а+,..., <7nh_1 е $п удовлетворяют косо-
вым соотношениям, т. е. &*&* = о}+<^+ для всех тех i, j = 1,2,..., п—1,
для которых \i — j\ >2,и ^сг^а^ = а^га^а^г для i = 1,2,... ,п — 2.
Доказательство. Первое соотношение следует из того факта, что
его стороны представлены изотопными диаграммами. Диаграммы,
представляющие стороны второго соотношения, отличаются на
движение Рейдемейстера ^з- □
Теорема 1.12. Для е = ± существует единственный гомоморфизм
групп ipe: 3$п^ 3%п, для которого (ре(о*) = а? для всех£ = 1,2,... ,п — 1.
Гомоморфизм ipe является изоморфизмом.
Доказательство. Для определенности будем считать, что е = +
(случай е = — можно разобрать аналогично или свести к случаю е = +
с помощью упражнения 1.1.2). Существование и единственность
гомоморфизма ф+ вытекают непосредственно из лемм 1.2 и 1.11.
Доказательство леммы 1.10 показывает, что элементы erf,..., <7rJ"_1 порож-

§ 1.2. Косы и диаграммы кос
31
дают <%п как группу. Эти образующие принадлежат образу
гомоморфизма ф+. Следовательно, гомоморфизм <р+ сюръективен.
Далее мы построим такое отображение гр: 3&п^Вп как множеств,
что ipoip+ = id. Из этого будет следовать, что гомоморфизм (/?+ инъек-
тивен. Как в доказательстве леммы 1.10, представим произвольную
косу /3 е 38п такой диаграммой Э, перекрестки которой имеют
различные вторые координаты. Это приведет к разложению вида (1.3).
Положим
iK») = КГ'КГ2... кг* g <£„,
где (сг;)+ = <7i и (<7i)~ = сгг1. Мы утверждаем, что гр($1) зависит только
от /3. В силу теоремы 1.6 нужно проверить только тот факт, что я/>(^)
не изменяется при изотопиях диаграммы ^ и ее движениях Рейдемей-
стера. Если изотопия диаграммы & сохраняет порядок двойных точек
диаграммы относительно второй координаты, то разложение (1.3)
не изменяется и потому сохраняется я/>(^). Если изотопия меняет
порядок двух двойных точек диаграммы & (как на рис. 1.3), то для
некоторых I, j е {1,2,..., п — 1}, для которых \i — j\ > 2, член cr^rf
в разложении (1.3) заменится на сгра?1. Вследствие первого косового
соотношения в определении 1.1 оба разложения перейдут при
отображении гр в один и тот же элемент группы Вп.
Движение ft 2 (соответственно Щ1) диаграммы @ вставляет
(соответственно удаляет) в разложении (1.3) член сг*сг[~ или сг^а*. Ясно,
что при этом 1р{&) сохраняется.
Движение ^з диаграммы & заменяет последовательность а+сг^сг*
в разложении (1.3) на о-^га^а^г Благодаря второму косовому
соотношению в определении 1.1 оба разложения перейдут при
отображении я/j в один и тот же элемент группы Вп. Движение Щ1
рассматривается аналогично.
Таким образом, мы показали, что отображение гр из £%п в Вп
определено корректно. По построению я/j о у?+ = id. Следовательно,
гомоморфизм ф+ одновременно сюръективен и инъективен. □
Соглашения 1.13. Начиная с этого места мы будем
отождествлять группы Вп и &&п с помощью изоморфизма </?+. Элементы
группы Вп впредь будут называться косами из п нитей. Мы будем писать &i
вместо сг+. В этом обозначении сгг = (сг+)-1 = сгг1.
Проекцию тг: Вп —> 6П группы кос на симметрическую группу
можно легко описать в геометрических терминах. Для геометрической
косы Ъ из тг нитей перестановка тг(Ь) е 6П переводит каждый элемент

32
Глава 1. Косы и группы кос
i € {1,2,..., п} в единственный элемент j € {1,2,..., п}, для которого
у той нити косы Ь, которая прикреплена к (i, 0,0), вторая концевая
точка — 0",0,1).
Следствие 1.14. Для всех п естественное вложение i: Вп -+ Вп+х
инъективно.
Доказательство. На геометрическом языке отображение i: Вп —»
—» Bn+i добавляет к геометрической косе Ь из п нитей еще одну верти»
кальную нить справа, которая совершенно не зацепляет косу Ь.
Обозначим получившуюся косу из п+1 нитей через t(b). Если Ъ\ и Ъг —две
такие геометрические косы из п нитей, что коса i{b\) изотопна косе
ifa), то, ограничив эту изотопию на первые слева п нитей, мы
получим изотопию Ь\ в Ьг- Следовательно, отображение i инъективно. □
Замечания 1.15. 1. Некоторые авторы, включая Артина [Art25],
используют изоморфизм ^- для отождествления групп Вп и <%п. Мы
следуем другой статье Артина [Art48a], в которой эти группы
отождествляются с помощью изоморфизма у>+.
2. В определении геометрических кос из п нитей мы за
множество концевых точек приняли {1,2, ...,п} х {0} х {0,1}. Вместо
{1,2,...,7i} мы могли бы взять произвольное множество из п
различных вещественных чисел. Но поскольку такое множество можно
непрерывно продеформировать в {1,2,...,п} в R, мы получили бы
тогда ту же самую группу кос.
Упражнение 1.2.2. Докажите, что для произвольной
геометрической косы Ъ с R2 х I найдется такой круг U с R2, что Ъ с U x J.
(Указание: проекция косы Ъ в плоскость R2 — компактное множество.)
Упражнение 1.2.3. Докажите, что для произвольной изотопии
кос {bs}se/ найдется такой круг U с R2, что bs с U x J для всех s € /.
Упражнение 1.2.4. Пусть U — открытый круг в R2, содержащий
точки (1,0),..., (п, 0). Докажите, что любая геометрическая коса из
п нитей Ъ с R2 х J изотопна некоторой геометрической косе, лежащей
bUxI.
решение. Согласно упражнению 1.2.2 существует такой круг U\ с R2,
что bcUixI. Увеличив U\, мы можем считать, что 1)\ э U. Существует
такое маленькое в > 0, что
ЬП (R2 х [0,е]) с U х [0, е] и Ьп (R2 х [1-е, 1]) с U х [1-е, 1].

§ 1.3. Группы крашеных кос
33
Оставляя неизменной ту часть косы Ь, которая лежит в
(R2 х [0, е/2]) U (R2 х [1 - е/2,1]),
и сжимая U\ х [е, 1 — е] в U х [е, 1 — е], мы получим геометрическую
косу в U х [0,1], изотопную исходной косе Ь.
Упражнение 1.2.5. Для такого круга I/, как в упражнении 1.2.4,
докажите, что любые две геометрические косы, лежащие в U x J и
изотопные в R2 х /, изотопны уже в U х I.
Упражнение 1.2.6. Для геометрической косы Ъ с R2 x J из п нитей
обозначим через Ь ее образ при инволюции в R2 х /, отображающей
(дс, у, t) в (х, у, 1 — t), где х, у € R, t € /. Проверьте, что Ь —
геометрическая коса. Покажите, что если Ъ представляет элемент р € <%п, то Ь
представляет обратный элемент /S-1. Выведите отсюда, что если
элемент р представлен диаграммой косы Ф, то обратный элемент /3~1
представлен образом диаграммы ^ при отражении относительно
прямой R х {1/2}.
§ 1.3. Группы крашеных кос
В этом параграфе мы введем так называемые крашеные косы
и используем их для доказательства важных алгебраических свойств
групп кос.
1.3.1. Крашеные косы
Ядро естественной проекции п: Вп -+ <5п называется группой
крашеных кос (а также группой чистых кос) и обозначается через Рп:
РГ1=Кег(тг: В„-^6„).
Элементы группы Рп называются крашеными косами из п нитей (а
также чистыми косами из п нитей). Геометрическая коса из п нитей
представляет элемент группы Рп в том и только том случае, когда для
всех i = 1,..., 71 у той нити этой косы, которая прикреплена к (i, 0,0),
вторая концевая точка — (i, 0,1). Такие геометрические косы
называются крашеными (а также чистыми).
Впоследствии важную роль будет играть крашеная коса Аи из п
нитей, где 1 < i < j < п; она изображена на рис. 1.10. С помощью
образующих ах,..., <7„_i эту косу можно записать как
*и = ОМЧ-2 • ■ • °мо?°м • • • ^стД

34
Глава 1. Косы и группы кос
1 i-1 i f + 1 ;-l ; ; + 1 п
1—I—I—I—г?—| г
J I I I 1_^ I L
Рис. 1.10. Коса Atj из п нитей, 1 < i < j < п
Косы {Aij}ij сопряжены друг другу в группе Вп. Действительно,
положим
для любых i, j, 1 < i < j < п. Простое упражнение — проверить на
картинках, что для любых i, j, fc, 1 < i < j < к < п, имеют место равенства
ajykAua~£ = Aitk и а^А^а'^ = Ajtk. (1.4)
Вскоре мы увидим, что косы {Aiyj}ij не взаимно сопряжены в
подгруппе Рп.
Из коммутативности диаграммы (1.1) следует, что гомоморфизм
вложения ы Вп-> Вп+г отображает Рп в Pn+i. Индуцированный
гомоморфизм Р„ —> Pn+i будет обозначаться тем же символом <,. На
геометрическом языке гомоморфизм t: Рп —> Pn+i добавляет к крашеной
косе Ъ из п нитей еще одну вертикальную нить справа, которая
совершенно не зацепляет косу Ь. Согласно следствию 1.14 гомоморфизм
i: Рп -* Р„+1 инъективен. Иногда бывает удобно рассматривать Рп
как подгруппу группы Рп+г с помощью вложения t. Таким образом,
мы получаем возрастающую цепь групп Pi с Р2 с Р3 с ... Ясно, что
Pi = {1} и Рг — бесконечная циклическая группа, порожденная
элементом A\t2 = of.
1.3.2. Забывающие гомоморфизмы
Определим забывающий гомоморфизм fn: Рп -* Рп-г следующим
образом. Представим элемент группы Рп некоторой геометрической
косой Ь. Для всех i = 1,2,..., п ее i-я нить соединяет (i, 0,0) с (£, 0,1).
Выдернув (т. е. удалив) п-ю нить из косы Ь, мы получим косу /П(Ь)
из п — 1 нитей. Очевидно, что если коса Ъ изотопна косе Ь', то коса

§ 1.3. Группы крашеных кос
35
fn(b) изотопна косе /П(Ь0- Переходя к классам изотопии, мы
получаем корректно определенное отображение /п: Рп —> Рп-\. Из
определения умножения для геометрических кос ясно, что fn —
гомоморфизм групп. Из геометрического описания естественного вложения
i: Pn_i —> Рп ясно, что /not = idpn_1. Это дает еще одно доказательство
инъективности вложения i и следствия 1.14. Из этого равенства также
следует, что гомоморфизм fn сюръективен.
Для п > 2 положим
Ц1 = Кег(/п:Р„->Рп-1).
Заметим, что, поскольку гомоморфизм fn имеет сечение, группа Рп
изоморфна полупрямому произведению Рп-\ с Un. Любую крашеную
косу Р е Рп можно единственным образом разложить в произведение
ВВДа Р = с(Р')Рп, (1.5)
где jS' е ?„_! и /Зп е ип. Здесь /3' = /п(/3) и рп = tC/SO"1/»- Продолжая
это разложение по индукции, мы получаем, что каждую крашеную
косу Р можно единственным образом записать в виде
Р = РгРз...Рп, (1.6)
где Pj G Uj с Pj с Рп для j = 2,3,..., п. Разложение (1.6) называется
нормальной формой (а также расчесанным видом) крашеной косы р.
Авторы не могут удержаться от соблазна процитировать последний
абзац статьи Артина [Art48a]: «Хотя доказано, что каждую косу
можно продеформировать в аналогичную нормальную форму, автор этой
статьи убежден в том, что любая попытка выполнить это над живым
человеком приведет к яростным протестам и дискриминации
математики. Поэтому он не советует проводить такой эксперимент».
Из рис. 1.10 ясно, что А()П е Un для i = 1,2,..., п — 1. Мы
сформулируем теперь фундаментальную теорему о вычислении группы Un.
Теорема 1.16. Для всехп>2 группа Un свободна с п — 1
образующими {A>}i=l,2,...,n-1.
Доказательство этой теоремы будет дано в § 1.4. Остальная часть
этого пункта будет посвящена следствиям из теоремы 1.16.
Следствие 1.17. Группа крашеных кос Рп допускает такую нор-
мольную фильтрацию
^uPcU^c.cut'^Pn,
что UJP/u{t~1} есть свободная группа ранга n — i для всех i.

36
Глава 1. Косы и группы кос
Доказательство. Положим [/„0) = {1}, а для i = 1,2,..., п — 1 по-
Тогда
ложим m rtt „
t/,il) = Кег(/^+1... fn-г/п: Рп -> Р„_0
UF/Ut1* = Ker(/n_i+1: P„_i+1 - Рп_,) = [7яЧ+1. П
Следствие 1.18. fjpyrma крашеных кос Рп не имеет кручения, т. е.
не имеет никаких нетривиальных элементов конечного порядка.
Это утверждение вытекает непосредственно из следствия 1.17,
поскольку свободные группы не имеют кручения. Группа кос Вп
также не имеет кручения; этот факт будет доказан другими методами
в п. 1.4.3.
Следствие 1.19. Группа крашеных кос Рп порождена п(п — 1)/2
элементами {Ai,j}i<i</<n-
Это утверждение следует из формулы (1.6) и теоремы 1.16.
Приведем список определяющих соотношений для образующих {Ai,j}i<i</<n
группы Рп:
г
I Atj, если 5 < i или i<r <s < j,
- I AriAuAl), если s = i,
A-}AuArtS = \ r>J (1.7)
ArjAsJAijAs)Arj, если i = r<s<j,
[ArJASJA;^A-]AijAsjArjAj)A;t)i если г < i < s < j.
Выполнение этих соотношений в Рп проверяется непосредственно
на соответствующих картинках. Тот факт, что все соотношения
между {A,j}i<i</<n следуют из этого списка, можно проверить с
помощью процесса переписывания Реидемеистера — Шрейера; см.
приложение 1 к книге [Нап89], написанное Ларсом Гэде. В настоящей книге
мы используем соотношения (1.7) только один раз, в п. 7.2.3.
Следствие 1.20. Имеет место изоморфизм Рп/[Рп, Рп] — Zn(ri~1)/2.
Доказательство. Ввиду следствия 1.19 абелева группа Рп/[Рп>Рп]
порождена элементами, представленными косами Ау, где 1 < i < j < п.
Для доказательства линейной независимости этих элементов
достаточно для каждой пары 1 < i < j < n построить такой гомоморфизм
групп 1и: Рп -> Z, что k,j(.Aij) = 1 и lij(Ans) = 0 для всех пар (г,8),
отличных от (i, j).
Возьмем элемент (3 е. Рп и представим его диаграммой косы f£.
Ориентируем все нити диаграммы ^, начиная сверху (с уровня t = 0)

§ 1.3. Группы крашеных кос
37
и заканчивая низом (уровнем t = 1). Обозначим через ^-(®)
количество перекрестков диаграммы 0, в которых i-я нить проходит над ;-й
нитью слева направо, а через l^XSf) — количество перекрестков
диаграммы ^, в которых i-я нить проходит над j-й нитью справа налево.
Положим
Непосредственно проверяется, что число kj(P) инвариантно
относительно изотопии и движений Реидемеистера диаграммы ^. По
теореме 1.6 число hj(P) представляет собой корректно определенный
инвариант косы р. (Этот инвариант также можно определить как
коэффициент зацепления i-й и j-й компонент зацепления в R3,
полученного замыканием косы /3; ср. гл. 2.) Отображение kj: Рп-^Ъ
является гомоморфизмом групп, принимающим значение +1 на A(j
и значение 0 на всех остальных АГ)5, т. е. при (г, s) Ф (i,;). □
Следствие 1.21. Группа кос Вп и все ее подгруппы финитно an-
проксимируемы.
Доказательство. Напомним, что группа G называется финитно
аппроксимируемой (а также резидуально конечной или остаточно ко-
печной), если для каждого элемента jS е G \ {1} существует такой
гомоморфизм / из G в некоторую конечную группу, что /Q3) /1. Известно,
что свободные группы финитно аппроксимируемы (см. [LS77, гл. IV,
§ 4], [MKS66, § 6.5]) и что полупрямое произведение двух конечно
порожденных финитно аппроксимируемых групп финитно
аппроксимируемо (последний результат принадлежит Мальцеву; см. [Мал40]).
Поэтому, применяя индукцию по п, из теоремы 1.16 получаем, что
группа крашеных кос Рп финитно аппроксимируема.
Заметим, что любое расширение (не обязательно полупрямое)
финитно аппроксимируемой группы Р при помощи конечной группы
финитно аппроксимируемо. Это утверждение можно легко вывести
из того факта, что пересечение конечного семейства подгрупп
группы Р конечного индекса есть подгруппа конечного индекса. А так как
группа Вп представляет собой расширение группы Рп при помощи 6П
и группа Рп финитно аппроксимируема, группа Вп тоже финитно
аппроксимируема. Остается заметить, что все подгруппы финитно
аппроксимируемой группы тоже финитно аппроксимируемы. □
Группа называется хопфовой, если все ее сюръективные
эндоморфизмы инъективны.

38
Глава 1. Косы и группы кос
Следствие 1.22. Группа кос Вп и все ее конечно порожденные
подгруппы хопфовы.
Доказательство. Всякая конечно порожденная финитно
аппроксимируемая группа хопфова (см. [LS77, гл. 4, теорема 4.10], а также
[Neu67]). □
Следствие 1.23. Для i = 1,2,..., п выдергивание i-u нити
определяет гомоморфизм групп ft: Pn—>Pn-i- Ядро гомоморфизма ft есть
свободная группа ранга п — 1 со свободными образующими A^i,..., Ai-\tu
Ац+i,..., Ai>n.
Доказательство. Положим щ)П = <7n_i<7n_2 ...о* и заметим, что
для любой косы /3 е Рп выдергивание ti-й нити из косы а^/ЗаГ^ дает
косу
ln-i^(j8)ln-i = ^(jB).
Следовательно, ft(p) = /nfa^jSarJ), где ft = ff. Поэтому
Kerfi = a^(Kerfn)aUn = a^UnaUn.
Остается применить теорему 1.6 и заметить, что сопряжение на
элемент а:-*, как следует из соотношений (1.4), преобразует множество
MJ-,n}i/=i,2,...,n-i в множество {Аи,..., At-U, Ац+Ъ ..., AUn}. □
1.3.3. Центр группы кос Вп
Центром группы G называется ее подгруппа, состоящая из всех
элементов g e G, для которых gx=xg для любого х е G. Центр группы G
обозначается через Z{G).
Теорема 1.24. Если п>3,то Z{Bn) = Z[Pn) есть бесконечная
циклическая группа, порожденная элементом 6п = А%, где
Ап = (ага2 ... cjn-i)(o-iC72 ... <тп-2)... (оь 02)01 € Вп.
Доказательство. Косу Лп можно получить из тривиальной
косы 1п, наполовину перекрутив ее, для чего нужно зафиксировать верх
этой косы и перевернуть ряд нижних концов на угол тт. См. диаграмму
косы Л5 на рис. 1.11.
Косу 6п = Лп можно получить из тривиальной косы 1п,
полностью перекрутив ее, для чего нужно зафиксировать верх этой косы
и перевернуть ряд нижних концов на угол 2тг. Имеем
п(Лп) = (п,71-1,...,1) евп.

§ 1.3. Группы крашеных кос
39
Рис. 1.11. КосаДз Рис. 1.12. Коса у5
Следовательно, 9п GPn. Простое упражнение состоит в том, чтобы
вычислить вп индуктивно исходя из t(9n-i)y где t: Рп-\ е Рп —
естественное вложение. В результате получаем, что вп = t(en-i)y, где
Г = Гп = Л1уПА2,п . • • An-i,n G Рп;
см. диаграмму косы 75 на рис. 1.12.
Возьмем в произведении (JiAn единственный перекресток в
диаграмме косы at и непрерывно опустим его сверху вниз. Как легко
видеть, мы получим Ancrn-i. Итак,
GiAn = Anan-i (1.8)
для всех i = 1,2,..., п — 1. Из этого следует, что элемент 9п
коммутирует со всеми образующими группы Вп:
GtOn = (JiAnAn = Anan-iAn = AnAnGi = QnGi.
Значит, eneZ(Bn).
Докажем теперь индукцией по п > 2, что все элементы центра
Z{Pn) суть степени элемента вп. Для п = 2 это очевидно, так как
группа Р2 порождена элементом А\>2 = 92 = а*. Докажем индуктивный
переход. Возьмем элемент /3 е. Z(Pn), n > 3. По формуле (1.5) имеем
/3 = б(^/)/3„, где l3' = fn(l3)ePn-i и^п€Un. Несложные геометрические
соображения показывают, что определенная выше коса у = уп
коммутирует с любым элементом из подгруппы t(Pn-i) с Рп, в частности
с б(/3')- Поскольку элемент /3 лежит в центре группы Рп, он
коммутирует с у. Поэтому у коммутирует с /Зп = б(/3')-1/3- Следовательно, группа
G с Un, порожденная элементами /Зп и у, абелева. По теореме 1.16
группа Un свободная, и потому все ее подгруппы свободны. Из этого

40
Глава 1. Косы и группы кос
следует, что G — бесконечная циклическая группа. Далее напомним,
что в доказательстве следствия 1.20 был определен гомоморфизм
kj - Рп —> ^ для всех i,j, 1 < i < j < п. Ясно, что Zi,n(y) = 1, поэтому
элемент у должен быть образующей группы G. Следовательно, рп = ук для
некоторого целого fc. Так как забывающий гомоморфизм fn: Рп —»P„_i
сюръективен, получаем, что /3' = /nQ3) e Z(Pn_i). По предположению
индукции /3/ = (0n-i)m для некоторого целого т. Далее мы докажем,
что т = к. Так как у коммутирует с i(0n-i), мы получаем, что
Р = iGBOA. = t((0n-i)m)rk = t((0n-i)k)rk = Wn-i)r)k = ol
Из определений и разложения /3 = t((0n-i)m)yk следует, что
litTl(P) = к для всех i = 1,2,..., п — 1. В частности, Zi,n(/3) не зависит
от i. Так как /3 лежит в центре Z(Pn), элемент сг^х/Зсг^ также
лежит в центре Z(Pn). По доказанному выше целое число l^nicrn-iPa^)
не зависит от i = 1,2,..., п — 1. Исходя из определений и используя
разложение /3 = 6((0n_i)m)yk, мы получаем равенства
hA^n-iP^n-i) = Kn(P) = т
и
In-lA^n-lP^n-l) = ln-l,n(P) = к-
Следовательно, т = к.
Центр группы кос Вп при п > 3 проектируется в тривиальную
подгруппу симметрической группы 6П, так как Z(<5n) = {1}.
Поэтому Z[Bn) с Z[Pn) с (6п) с Z[Bn), где (0П)—циклическая подгруппа
группы Вп, порожденная элементом вп. Значит,
z(Bn) = z(pn) = (en).
Применяя следствие 1.18, получаем, что (9п) — бесконечная
циклическая группа. □
Следствие 1.25. Для тфп группы Вт и Вп не изоморфны.
Доказательство. Из теоремы 1.24 следует, что образ центра Z(Bn)
в Вп/[Вп, Вп] = Z является подгруппой группы Z индекса п[п — 1).
Если группа Вт изоморфна группе Вп, то т[т — 1) = п[п — 1), откуда
получаем, что т = п. □
Упражнение 1.3.1. Выведите следствие 1.20 из задания группы Рп
образующими {Aij}i<i</<„ и соотношениями (1.7).
Упражнение 1.3.2. Проверьте, что А* = (cri<72... ow-i)".

§ 1.4. Конфигурационные пространства
41
Упражнение 1.3.3. Проверьте, что Рп — минимальная
нормальная подгруппа группы кос Вп, содержащая элемент о\ = Ai)2.
Упражнение 1.3.4. Проверьте равенства (1.4), используя только
выражение Aij через ai,..., crn_i и косовые соотношения между
этими образующими.
Упражнение 1.3.5. Покажите, что всякая нетривиальная
подгруппа группы крашеных кос Рп имеет нетривиальный гомоморфизм на Z.
(Указание: каждая свободная группа обладает нормальной
фильтрацией со свободными абелевыми последовательными факторами.)
§ 1.4. Конфигурационные пространства
В этом параграфе мы обсудим подход к косам,
основывающийся на конфигурационных пространствах. В качестве приложения мы
докажем теорему 1.16.
1.4.1. Конфигурационные пространства
упорядоченных множеств точек
Пусть М — топологическое пространство и
Мп = МхМх...хМ
— произведение п > 1 экземпляров пространства М с топологией
произведения. Положим
&п(М) = {(иъ и2,..., ип) еМп:щф щ для всех i ф ;}.
Это подпространство произведения Мп называется
конфигурационным пространством упорядоченных наборов п (различных) точек
пространства М.
Если М — топологическое многообразие (возможно, с краем ЭМ),
то конфигурационное пространство &п (М) является топологическим
многообразием размерности п dim(M). Ясно, что каждый
упорядоченный набор 71 точек многообразия М можно продеформировать в
некоторый упорядоченный набор п точек из внутренности М° = М\дМ
многообразия М. Если dim(M) >2иМ связно, то всякий
упорядоченный набор 71 точек из М° можно продеформировать в любой другой
такой набор. Поэтому для таких М многообразие &пШ) связно. Его
фундаментальная группа называется группой крашеных кос (а также
группой чистых кос) многообразия М из п нитей.

42
Глава 1. Косы и группы кос
Для М = R2 мы снова получаем ту же самую группу крашеных
кос Рп, которую мы рассматривали выше. Чтобы убедиться в этом,
сопоставим каждой крашеной геометрической косе Ъ с R2 х I путь
J —>^п№2)5 отображающий t e J в набор (ui(t), u2(t),..., un(t)),
определенный тем условием, что i-я нить косы Ъ пересекает плоскость
R2 х {t} в точке {щ[г), t) для всех i = 1,2,..., п. Этот путь начинается
и заканчивается в наборе п точек
qn = «1,0), (2,0),..., (72, 0)) € J^(R2).
Обратно, любой путь (cti, а2,..., ап): J —> ^(R2), начинающийся
и заканчивающийся в точке qn, определяет крашеную
геометрическую косу
UU(ai(t),t).
Эти конструкции взаимно обратны и дают биективное соответствие
между крашеными геометрическими косами и петлями в (&n(R2), qn).
При этом соответствии изотопия кос соответствует гомотопии петель.
Поэтому Рп = TTiC^CR2), Чп)- Группа кос Вп допускает аналогичную
интерпретацию, которую мы обсудим в п. 1.4.3.
Вернемся теперь к произвольному связному топологическому
многообразию М размерности не меньше 2. Полезно обобщить
определение конфигурационного пространства &п{М), запретив несколько
точек в М° = М\дМ. Точнее, зафиксируем некоторое конечное
подмножество Qm с М°, состоящее из т > 0 точек, и положим
Топологический тип этого пространства зависит от М, т и п, но не от
выбора Qm. Ясно, что &о,п(М) = &п(М) (M)=M\Qm.
Для описания связи между разными конфигурационными
пространствами нам понадобится понятие локально тривиального
расслоения. Для удобства читателя мы напоминаем это понятие в
приложении Б.
Лемма 1.26. Пусть М — связное топологическое многообразие
размерности не меньше 2 с дМ = 0. Для любых п,г,п>г>1, забывающее
отображение р: &п(М) ~* &гШ)> определенное формулой
p(izi,...,un) = (izi,...,izr),
является локально тривиальным расслоением со слоем #Г)П_Г(М).

§1.4. Конфигурационные пространства
43
Доказательство. Отметим точку и0 = (iz°,..., и?) е ^Г(М). Слой
р-1 (и0) состоит из наборов (и®,... ,u^,V\,..., vn-r) еМг, где все и®,...,
Ur, Vi,..., vn-r различны. Положив Qr = {u°,..., и®}, мы получим
&г,п-гШ) = {fa,..., vn-r) е (M\Qr)n"r: vt ф ц при i ф ;}.
Очевидно, что формула (u°, ...,u®,v\,..., vn-r) •-> fa,..., vn-r)
определяет гомеоморфизм p_1(iz°) ^ &Г)П-Г(М).
Докажем локальную тривиальность отображения р в некоторой
окрестности точки и0. Для каждого i = 1,2,..., г выберем такую
открытую окрестность Ui с М точки и?, что ее замыкание Ui представляет
собой замкнутый шар с внутренностью [/*. Поскольку точки и®,..., и®
различны, мы можем считать, что окрестности U\,...,Ur попарно не
пересекаются. Тогда
U = Uг х Uг х ... х Uг
является окрестностью точки и0 в ^Г(М). Убедимся в том, что
ограничение отображения р на U есть тривиальное расслоение, т. е.
существует гомеоморфизм р_1(С7) —> U х ^г)П-г(М), коммутирующий
с проекциями на U.
Ниже мы построим для каждого i = 1,2,..., г такое непрерывное
отображение ft: Ui x Ui —> Ui, что для каждой точки и е Ui отображение
0": Ui —> Ui, переводящее v е Ui в ft (и, v), является гомеоморфизмом,
переводящим и? в и и поточечно неподвижным на граничной
сфере dUi. Для любой точки и = (ui,..., ur) G [/ определим отображение
0": М —> М формулами
!0i(ui,v), если и е Ui для некоторого i = l,2, ...,г,
i>, если v e.M\[JUi.
i
Ясно, что это отображение ви: М —> М представляет собой
гомеоморфизм, непрерывно зависящий от и и отображающий точки и®,..., и?
в ui,...,ur соответственно. Формула
fa иъ..., vn-r) ~ fa 0"fa), • • •, eu(vn-r))
определяет гомеоморфизм U х &г,п-гШ) —» Р_1(^0, коммутирующий
с проекциями на U. Обратный к нему гомеоморфизм определяется
формулой
(u,i;b...,y„-r)^(u,(0ur1(i'i),...,(0ur1(^-r)).
Итак, р\у: р~г(Ю -* U есть тривиальное расслоение.

44
Глава 1. Косы и группы кос
Осталось построить отображения ft. Мы можем считать, что
Ui = U — открытый единичный шар в евклидовом пространстве RdimM
с центром в начале координат щ = 0. Зафиксируем гладкую функцию
от двух переменных Я: [0,1) х [0,1] —> R, удовлетворяющую
свойствам Х[х, у) = 1, если х > у, и Я(х, у) = 0, если (х + 1)/2 < у, где
х € [0,1) и у е [0,1]. Для каждой точки и е U определим
векторное поле /" на замкнутом единичном шаре U = {v e RdimM: \\v\\ < 1}
по формуле
/UG>) = A(||u||,|M|)u.
Выбор функции Я обеспечивает равенства /" = и на шаре радиуса \\и\\
с центром в начале координат и /" = 0 вне шара радиуса (||и|| + 1)/2
с центром в начале координат. Обозначим через {9U>V: U —> £7}t€R
поток, определенный векторным полем /", т.е. такое (единственное)
семейство диффеоморфизмов шара U на себя, что 0"'° = id и ddUtt /dt =
= fu(v) для всех v е 17, £ е R. Диффеоморфизм 0u>t гладко зависит
от и и £, поточечно неподвижен на граничной сфере ЭС7 и отображает
начало координат в tu. Значит, отображение ft: U х U —> С7,
определенное формулой ft(u, i>) = б"»1 (у) для u е [7, и € С7, удовлетворяет
всем требуемым условиям. □
Лемма 1.27. Пусть М — связное топологическое многообразие
размерности не меньше 2 с дМ = 0. Для любых т, п, г, т > 0, п > г > 1,
забывающее отображение
p:^m,n(M)->^m,r(M),
определенное формулой р(и\,..., un) = (ui,..., иг), является локально
тривиальным расслоением со слоем &т+Г)П-г(М).
Доказательство. Эта лемма получается применением леммы 1.26
KM\Qm. □
Напомним, что связное многообразие М называется асферичным,
если его универсальное накрытие стягиваемо, или, что эквивалентно,
если его гомотопические группы щ(М) равны нулю для всех i > 2.
Лемма 1.28. Для любых т > 0, п > 1 многообразие ^m,n№2)
асферично.
Доказательство. Рассмотрим определенное выше расслоение
^ш,п№2) -> <^m,i№2) = R2\Qm
со слоем c^m+i^-iCR2). Напишем точную гомотопическую
последовательность этого расслоения:

§1.4. Конфигурационные пространства
45
... —> ni+1(R2\Qm) —> 7il(^m+1,n_1(R2)) -^
—> 7Ii(^m,n№2)) —> ^(R^Qm) —> ...
Заметим, что R2 \ Qm деформационно ретрагируется на букет т
окружностей. Букет окружностей асферичен, так как его универсальное
накрытие представляет собой дерево и потому оно стягиваемо.
Поэтому R2 \ Qm асферично, следовательно, тг* (R2 \ Qm) = 0 для всех i > 2.
Из написанной точной последовательности следует, что для всех i > 2
имеет место изоморфизм
Индукция показывает, что для всех i > 2 имеем
^(^m,n(R2)) = rc£(^m+n_i,iCR2)) = ^(R2\Qm+n_!) = 0. П
1.4.2. Доказательство теоремы 1.16
Применив лемму 1.26 к М = R2, мы получим локально
тривиальное расслоение р: ^п(М2) -> <^n-i(R2) со слоем «^n-i,i(R2). Его
гомотопическая последовательность дает короткую точную
последовательность
1 —> п^п-^М2)) —> tuC^CR2)) -^ TnC^-iCR2)) —> 1, (1.9)
где мы использовали тривиальность группы 7i2(^n-i(R2)) (по
лемме 1.28) и тривиальность 7io(^n-i,i(R2)) (так как <^n-i,i(R2) связно).
При изоморфизмах 7Ti(«^n(R2)) = Рп и 7ri(«^n_i(R2)) = Рп-г
гомоморфизм р# в точной последовательности (1.9) отождествляется с
забывающим гомоморфизмом fn: Рп —> Pn_i из п. 1.3.2. Перепишем
последовательность (1.9) в виде
1 —> 7n(^n_i,iCR2)) —> ^ -^ P„-i —> 1. (1Л0)
Чтобы вычислить Tii С^п-1д (R2)) = Tii (R2 \ Qn-i), мы примем за Qn-i с
с R2 множество {(1,0), (2,0),..., (п — 1,0)} и в качестве отмеченной
точки в R2\Qn-i возьмем а0 = (п, 0). Ясно, что 7ii(R2\Qn_i, а0) есть
свободная группа ранга п—1 со свободными образующими jci, , xn_i,
изображенными на рис. 1.13.
Гомоморфизм Tii C^n-i,i (R2)) —» -Рп = тг 1 С^п (R2)) в точной
последовательности (1.10) индуцирован вложением R2\Qn-i = <^n-i,i(R2) <-*
<-> &п (R2), сопоставляющим каждой точке а е R2 \ Qn_i набор п точек
((1,0), (2,0),..., (п — 1,0), а). Сравнивая рис. 1.10 и 1.13, мы
замечаем, что этот гомоморфизм отображает xi в Ai)Tl для всех L Теперь

46
Глава 1. Косы и группы кос
у^ (1,0) (i,0)
а0 = (л, 0)
Рис. 1.13. Образующие дсь ..., хп_! группы 7иг(R2 \Qn_i, a0)
утверждение теоремы 1.16 непосредственно следует из точной
последовательности (1.10). □
1.4.3. Конфигурационные пространства
неупорядоченных множеств точек
Снова рассмотрим конфигурационное пространство &т,п(М),
ассоциированное с целыми числами т > 0, п > 1 и со связным
топологическим многообразием М размерности не меньше 2. На &т,пШ) =
= <^n(M\Qm) действует симметрическая группа 6П перестановками
координат. Рассмотрим факторпространство
^m,n(M)=^m,n(M)/6n.
Так как действие группы 6П на ^т>п Ш) не имеет неподвижных точек,
естественная проекция &т,п(М) —> ^m,n(A0 является накрытием.
Следовательно, щ(&т,пШ)) — Щ^т.пШ)) ДЛЯ всех ^2й ^m,n(M) еСТЬ
связное топологическое многообразие размерности Tidim(M).
Точками пространства ^т,пОЮявляются неупорядоченные множества п
различных точек из M\Qm. Группа п\{^т,п{№)) называется группой кос
многообразия M\Qm из п нитей. Мы будем писать ^П(М) вместо
Для М = R2 мы таким образом снова получаем группу кос Ар-
тина Вп. Действительно, группа Вп канонически изоморфна группе
7ri(^n(R2),q), где q — точка в ^n(R2) = ^0,n№2), представленная
неупорядоченным множеством
{(1,0), (2,0),..., (п,0)} с R2.
Этот изоморфизм получается сопоставлением геометрической косе
Ъ сR2 х I петли I—t^n(R2), отображающей каждую точку tеI в
единственное множество btсR2 из п точек, для которого ЪП(R2x{t}) = btx{t}.
Следствие 1.29. Для любого п>1 группа кос Вп не имеет кручения.

§1.4. Конфигурационные пространства
47
Доказательство. По лемме 1.28 с т = О многообразие &n(R2)
асферично. Значит, ^(^„(R2)) = 7Г;(^П(М2)) = 0 для всех i > 2.
Отсутствие кручения в группе Вп = ^(^„(R2), q) мы выведем с помощью
следующих классических соображений с использованием
целочисленных гомологии пространств и групп. Если группа Вп содержит
нетривиальную конечную циклическую подгруппу А, то существует
накрытие ^ —> ^n(R2), для которого TiiC^) = А. Для этого накрытия имеем
тс* (V) = TiiC^CR2)) = 0 для всех i > 2, следовательно, ^ есть
пространство Эйленберга — Маклейна К(А, 1). Его группы
целочисленных гомологии суть ДС^) = Н[(А) = А для всех нечетных i > 1. Но это
противоречит тому факту, что ^ — многообразие размерности 2п. □
Замечание 1.30. Переформулируем следствие 1.29: если а е Вп
есть m-й корень из тривиальной косы (т. е. ат = 1), т > 1, то а = 1.
Вообще говоря, корни из нетривиальных кос неединственны.
Например, (<71<72)3 = (cr2<7i)3, хотя <7i<72 ф (J2(J\. Известно, что m-й корень
из любой косы единствен с точностью до сопряжения; см. [Gon03].
1.4.4. Пространство ^n(R2) как пространство полиномов
Имеется красивое описание конфигурационного пространства
^n(R2) в терминах полиномов. Отождествив R2 с С, мы получим
J^(R2) = &п(С) = {(ui, u2,..., un) € С1: щ ф щ при i ф ;}.
Напомним, что fc-й элементарный симметрический полином от п
комплексных переменных определяется как
pk(u) = (-l)k ]Г uilUi2...uik
l^i1<i2<...<ik^n
для к = 1,2,...,п. Рассмотрим рър2,...,рп как функции на ^п(С).
Эти функции инвариантны относительно действия симметрической
группы 6П на &п (С) перестановками координат и потому
индуцируют отображение ^n(R2) = ^пСС) —> Сп. Это отображение является
гомеоморфизмом на множество всех (zi,z2, . ..,zn) € Сп, для
которых полином tn + zitn_1 + z2tn~2 + ... + zn не имеет кратных
корней. Обратное к нему отображение сопоставляет каждому такому
набору (zi, z2,..., zn) неупорядоченное множество корней полинома
tn + Zit""1 + Z2tn"2 + . . . + Zn.
Упражнение 1.4.1. Докажите следующее обобщение леммы 1.28.
Пусть М — связная поверхность с дМ = 0, и пусть тп > 0—любое

48
Глава 1. Косы и группы кос
целое число (если поверхность М гомеоморфна сфере S2 или
вещественной проективной плоскости RP2, то мы считаем, что тп > 0).
Тогда многообразия ^mn(M) и ^т^С^О асферичны для всех п ^1.
(Указание: универсальное накрытие любой связной поверхности,
отличной от S2 и Ш>2, гомеоморфно R2 и потому стягиваемо.) Выведите
из этого, что группы 7ii(^m>n(M)) и ^Л^т.пШ)) не имеют кручения.
Упражнение 1.4.2. Проверьте, что ni(^2(^2)) = {1}. (Указание:
используйте забывающее расслоение &2(S2) —> &\ (S2) = S2.) Выведите
из этого, что 711(^2 (S2)) = Z/2Z.
Упражнение 1.4.3. Проверьте, что отображение SO(3) —> <^з(л>2),
сопоставляющее каждому элементу g специальной ортогональной
группы SO(3) тройку векторов
(g(l,0,0),g(0,l,0),g(0,0,l))GS2,
является гомотопической эквивалентностью. Выведите из этого, что
тпС^з(£2)) = Z/2Z и card tti(*3(S2)) = 12
(вычисление группы 7ii(c^n(S2)) для всех п см. в статье [FV62]).
Упражнение 1.4.4. Пусть U с R2 — открытый круг. Докажите, что
гомоморфизм 711(^(10,^) —> TiiC^nCR2)^), индуцированный
вложением, является изоморфизмом для любой точки q е ^(^0-
Упражнение 1.4.5. Пусть b — крашеная геометрическая коса в
R2 х J, и пусть Ь' — ее подкоса, образованная несколькими нитями
косы Ъ. Докажите, что любая изотопия подкосы Ъ' в классе
геометрических кос продолжается до некоторой изотопии косы Ъ в классе
геометрических кос. (Указание: используйте лемму 1.27.)
§ 1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп
В этом параграфе мы реализуем группу кос Вп как группу
автоморфизмов свободной группы Fn с 71 образующими jci, х2,..., хп.
1.5.1. Сплетающие автоморфизмы группы Fn
Автоморфизм if группы Fn называется сплетающим (а также ко-
совым), если выполнены следующие два условия:
1) найдется такая перестановка \х множества {1,2,... ,п}, что
элемент (p(xk) сопряженв^ с элементом х^к) длявсех/се{1,2,...,п};
2) w(xix2,..xk)=xiX2...xk.

§1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 49
Чтобы привести примеры сплетающих автоморфизмов группы Fn,
мы заметим, что всякий эндоморфизм группы Fn полностью
определяется его действием на образующих jci, Х2,..., хп. Непосредственно
проверяется, что следующие формулы определяют два обратных друг
к другу сплетающих автоморфизма ст; и стг1 группы Fn для i = 1,2,...,
71-1:
&i(Xk) =
xk+i,
х~гхк-1Хк,
хк
XkXk+lXk ,
Хк-1,
хк
если k = i,
если к = i + 1,
в остальных случаях,
если k = i,
если к = i + 1,
в остальных случаях.
а~Чхк) =
Обозначим множество сплетающих автоморфизмов группы Fn
через Вп. Из определений следует, что автоморфизм, обратный к
сплетающему автоморфизму, тоже сплетающий и что композиция двух
сплетающих автоморфизмов тоже сплетающий автоморфизм.
Поэтому множество Вп относительно композиции уф = уогр для у,гр еВп
является группой.
Сформулируем теперь основную теорему, связывающую косы со
сплетающими автоморфизмами.
Теорема 1.31. Сопоставление <j{ ■-> at, i = 1,2,..., п — 1,
определяет изоморфизм Вп-* Вп.
Образ элемента ^еВп при изоморфизме Вп —> Вп будет
обозначаться через /3. В доказательстве теоремы 1.31 мы дадим
непосредственное определение элемента /3. Еще одна интерпретация /3 будет
дана в §1.6.
Теорема 1.31 доставляет решение проблемы тождества слов в
группе Вп. Для группы, заданной образующими и соотношениями,
проблема тождества слов заключается в нахождении алгоритма,
позволяющего решить вопрос, представляет ли заданное слово от образующих
нейтральный элемент группы. По теореме 1.31 коса /3 € Вп тогда
и только тогда равна 1, когда 13 = id. Последнее же условие может
быть проверено легко; достаточно проверить, что Р(хк) = хк для всех
к = 1,2,..., п.
Факторизуя действие группы Вп = Вп на Fn по коммутанту
последней группы, мы получаем ее действие на решетке Fn/[Fn,Fn] = Ъп

50
Глава 1. Косы и группы кос
с базисом xi,...,xn, определенным элементами хь ...,хп. Покажем,
что это действие определяется канонической проекцией тг: Вп —> &п.
Действительно, автоморфизм решетки Zn, индуцированный
сплетающим автоморфизмом а и представляет собой транспозицию векторов
±i и Xi+i. Поэтому для любой косы |ЗеВп автоморфизм решетки Zn,
индуцированный сплетающим автоморфизмом /3, действует как
перестановка тг (/3) на векторах хь ..., хп.
1.5.2. Доказательство теоремы 1.31
Косовые соотношения для <7Ь ..., an-i e Вп можно легко
проверить непосредственным вычислением (они также вытекают из
последующих рассуждений в этом абзаце). Поэтому соответствие <7; ■-> at
определяет гомоморфизм групп Вп->Вп. Дадим теперь другое
определение этого гомоморфизма. Напомним естественное вложение i: Вп —>
—>Bn+i, группу крашеных кос Pn+i с £п+1 и забывающий гомоморфизм
/n+i: Pn+i ->Рп. Если /3 еВп и u € Un+1 = Ker/n+1, то б(^)иб^)-1 еРп+1,
так как Pn+i —нормальная подгруппа в Bn+i- Более того, из
определения гомоморфизма /n+i следует, что
Следовательно, соответствие и ■-> i(/3)iu(/3)_1 определяет некоторый
автоморфизм группы С/п+1. Таким образом, мы получили
гомоморфизм £ группы Вп в группу AutC/n+1 автоморфизмов группы С/п+1.
По теореме 1.16 группу С/п+1 можно отождествить со свободной
группой Fn, если положить хк = Ak)Tl+i е Un+i, k = l,2,...,n. Покажем, что
при этом отождествлении имеет место равенство £(/3) = /3 для всех
/3 е Вп. Действительно, это равенство достаточно проверить на
образующих 01,..., 0п-1 группы Вп. Это равносильно проверке равенств
( Afc+i,n+i, если к = U
L(0-i)AKn+1L(<Ji)
-1
Ак n+iAk-i,n+iАм+ь если fc = i + 1,
Чс,п+Г
^ ^fc,n+i в остальных случаях.
А для этого надо нарисовать соответствующие диаграммы кос и
убедиться в том, что диаграммы обеих частей проверяемых равенств
представляют изотопные косы.
Докажем инъективность гомоморфизма Вп —> Вп, /3 •-> /3.
Рассмотрим косу /3 е Вп, для которой /3 = 1. При факторизации по
коммутанту (абелианизации) автоморфизм /3 определяет тождественный
автоморфизм факторгруппы Un+i/[Un+i, Un+\]. Следовательно, тг(/3) = 1,

§1.5. Сплетающие автоморфизмы свободных групп 51
поэтому /3 е Рп с Вп. Разложим /3 по формуле (1.6): /3 — /32/33 ... /Зп,
где fa G Ц с Pj с Рп, j = 2,3,..., п. Если /3 Ф 1, то какое-то Д
отлично от 1; возьмем наибольшее такое i < п. Тогда /3 = /32/33 • • • А- Так
как /3 = 1, имеем £(/3) = 1, следовательно, б(/3) е Рп+1
коммутирует со всеми элементами из С/п+1, в частности с A>+i. Заметим, что
/?2>/Зз> • • • > А-1 — косы из i — 1 нитей, считая слева направо. Поэтому
они коммутируют с А,п+1- Следовательно, /3; коммутирует с A>n+i.
Согласно следствию 1.23 косы Ац,..., Д-!,*, A,i+i,..., A>+i являются
свободными образующими свободной подгруппы группы Pn+i. Нам
известно, что /3; коммутирует с Д->П+1 и лежит в группе Ui cPtc Pn+1,
порожденной элементами Ai}i,..., A-i,;. Это возможно только тогда,
когда Pi = l, что противоречит выбору L Значит, /3 = 1.
Докажем сюръективность гомоморфизма Вп —> Вп,/3 >-> /3.
Возьмем произвольный нетривиальный сплетающий автоморфизм ip
группы Fn. По определению для каждого к = 1,2,..., п имеем
4>(xk)=AkXijL(k)Ab1,
где Ак — некоторое слово в алфавите xf1,..., дс*1. Мы всегда можем
выбрать слово Ак таким образом, чтобы произведение Акх^к)А^г
было приведенным, т. е. не содержало подслов вида хгх^г и х^гхг.
По определению сплетающего автоморфизма имеем
А1х^1)А\1А2х1х{2)А~1... АпХ^А'1 = хгх2 ...хп. (1.11)
Мы утверждаем, что найдутся такой номер j e {1,2,... ,п — 1}и такое
(возможно, пустое) слово А от xf1,..., х*1, которые удовлетворяют
одному из двух следующих условий:
а) имеется равенство слов Aj = А^Хцц+уА,
б) имеется равенство слов Aj+i = AjX~}~A.
Из этого утверждения будет следовать, что кр лежит в образе
гомоморфизма Вп —> Вп, /3 >-> /3. Чтобы убедиться в этом, определим длину
автоморфизма кр как сумму чисел букв в словах Акх^к)А^1 по всем
к — 1,2,..., п. Если выполнено условие а), то гомоморфизм
можно вычислить следующим образом. Оба автоморфизма у и уо^
одинаково действуют на хк при к ф j, j + 1, и
(paj(xj) = <p(xj+1) = Aj+iXm+dAJ^,
4>&j+1(xj+1) = <р(х£\х,^ -

52
Глава 1. Косы и группы кос
— Aj+iX^j+1)Aj+1Aj+iX^j+i)Ax^j)A x^u+1)Aj+1Aj+iX^j+i)Aj+1 —
= Aj+iAx^j)A Aj+1.
Слово Aj+iA короче слова Л; = Aj+ix^+^A. Поэтому длина
автоморфизма ipJj меньше длины автоморфизма у. Аналогично если
выполнено условие б), то длина автоморфизма yo-j1 меньше длины
автоморфизма ^р. Из этого следует, что у можно свести к тождественному
автоморфизму, взяв его композиции с подходящими 5; и стГ1.
Таким образом, у есть произведение автоморфизмов сг;. Следовательно,
у? лежит в образе гомоморфизма Вп-> Bn,/3 ■-> /3.
Остается доказать сформулированное выше утверждение.
Назовем букву Хц(к), входящую в середину слова Акх^к)А^г, специальной.
Каждая буква *i, ...,хп входит в левую часть равенства (1.11) как
специальная ровно один раз. Из равенства (1.11) следует, что его
левая часть редуцируется к правой за конечное число всевозможных
свободных редукций (т. е. сокращений вида хгх^г =х^гхг = 1).
Предположим, что при этих редукциях специальная буква х^) сокращается
с буквой х~1у Переберем все случаи вхождения именно этой буквы
x~L в левую часть равенства (1.11). Она не может входить в подслово
AcXju(k)^1, потому что оно по условию приведенное. Если она входит
в А^г, то мы имеем равенство слов А^г = Вх~\,А~^ для
некоторого В. Его можно переписать как случай з) с j = к — 1 и А = В-1. Если
эта буква дс"К стоит где-нибудь справа от специальной буквы х^к+\)у
то мы имеем случай а) с j = к. Аналогично если эта буква х~К входит
в Ак+1 или стоит где-нибудь слева от специальной буквы x^-i), то мы
имеем случай б). Остается разобрать случай, когда сделанное
предположение не выполнено, т. е. когда все специальные буквы в левой
части равенства (1.11) не сокращаются с другими буквами. Это может
быть только тогда, когда ц(к) = к для всех к, А\ и Ап —пустые слова
и каждая пара А^гАк+1 сокращается, так что Ак = Ak+i для всех к.
Но тогда ip = id, что противоречит нашему выбору if. □
Замечание 1.32. Теорема 1.31 дает еще одно доказательство
финитной аппроксимируемости группы Вп. Действительно, по теореме
Баумслага — Смирнова (см. [ВаибЗ], [СмибЗ]) группа автоморфизмов
произвольной финитно аппроксимируемой группы финитно
аппроксимируема. Так как свободная группа Fn финитно аппроксимируема,
ее группа автоморфизмов и все ее подгруппы тоже финитно
аппроксимируемы.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
53
Упражнение 1.5.1. Для любого целого г обозначим через а\г)
автоморфизм группы Fn, определенный такими же формулами, что
и для &i, с тем единственным отличием, что
&i (*;+i) = xi+ixixi+i-
Проверьте, что 5^ , a2,..., cf^-i удовлетворяют косовым
соотношениям. (Получающееся в результате представление Вп —> Aut(Fn) точное
для всех г Ф 0; см. [ShpOl].)
Упражнение 1.5.2. Пусть F2n— свободная группа с 2п
образующими аь ..., ап, Ьь..., Ъп. Для j = 1,..., 2п + 1 определим
автоморфизм а! группы F2n следующим образом. Для четного j = 2i положим
о']'(ад=Ь~1щ, (J-{ak) — ak при кф\ и (J-{bk) — bk для всех к. Если j
нечетно, то <J-{ak) = ak для всех к. Далее, cr[(bi) = a.ibi и <j[(bk) = bk при к> 1;
<72П+1(ЬП) = bnan и o"2n+1(bfc) = Ък при к <п. Для остальных нечетных
j = 2i +1 положим cr/(bi) = Ьщат^, (j!(bi+i) = af+ia^bf+i и a/(bfc) = bk
при k^i,i + l. Проверьте, что а[,..., <J2n+1 удовлетворяют косовым
соотношениям. Проверьте, что соответствующий гомоморфизм В2п+2 —>
—> Aut(F2n) отображает центр группы В2п+2 в единицу. (При п = 1 мы
снова получаем формулы из упражнения 1.1.10.)
§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
Здесь мы обсудим подход к косам, основывающийся на их
интерпретации как изотопических классов гомеоморфизмов двумерного
круга.
1.6.1. Группы классов отображений
Пусть М — ориентированное топологическое многообразие
(возможно, с краем дМ). Пусть Q — некоторое конечное (возможно,
пустое) подмножество внутренности М° =М\дМ многообразия М. Под
автогомеоморфизмом пары (М, Q) мы будем понимать такой
гомеоморфизм f:M->M, который поточечно неподвижен на крае дМ,
неподвижен на Q как на множестве и сохраняет ориентацию
многообразия М. Первые два условия означают, что /(*) = х для всех х е дМ
и f(Q) = Q- Любой автогомеоморфизм пары (М, Q) индуцирует
некоторую перестановку множества Q, которая может быть тривиальной или
нетривиальной. Заметим, что если многообразие М связно и его край
непуст, то любой его гомеоморфизм М —> М, поточечно неподвижный
на крае дМ, автоматически сохраняет ориентацию многообразия М.

54
Глава 1. Косы и группы кос
Два автогомеоморфизма пары (М, Q) называются изотопными,
если их можно включить в некоторое непрерывное однопараметри-
ческое семейство автогомеоморфизмов пары (M,Q). Точнее говоря,
два автогомеоморфизма /0 и /i пары (М, Q) называются изотопными,
если их можно включить в такое семейство {ft}tei
автогомеоморфизмов пары (M,Q), что отображение М х I —> М, переводящее пару
(х, t), х е M, t е J, в /t(x), непрерывно. Такое семейство называется
изотопией, связывающей /0 с /ь Ясно, что изотопия
автогомеоморфизмов пары (М, Q) является отношением эквивалентности и что
изотопные автогомеоморфизмы индуцируют одну и ту же перестановку
множества Q.
Группой классов отображений Ш{М, Q) пары (М, Q) называется
группа изотопических классов автогомеоморфизмов пары (M,Q),
умножение в которой определено как композиция: fg = f°g для
/, g G ШШ, Q). Положим Ш{М) = 9П(М, 0).
Важный пример, в котором группу Ш{М) легко вычислить,
доставляет шар. Для замкнутого шара D — Dn размерности п > 0
справедливо равенство 9#(D) = {1}. Оно следует из классической теоремы
Александера — Титце: всякий автогомеоморфизм шара D изотопен
тождественному отображению в классе автогомеоморфизмов шара D.
Приведем доказательство этой теоремы. Мы можем считать, что D —
единичный шар в W1 с центром в начале координат 0. Обозначим
евклидову норму вектора zgR" через |z|. Для любого
автогомеоморфизма h шара D формула
(z, если t < |z| < 1,
th[-), если|^|<Г,
определяет изотопию {ht: D —> D}teI, связывающую ho — id с hi = h.
Заметим, что если h(0) = 0, то ht(0) = 0 для всех t el. Поэтому также
справедливо равенство Ш[р, {0}) — {1}.
Изучение групп классов отображений приводит к обширной и
разветвленной теории; см. недавний обзор [Iva02] о группах классов
отображений поверхностей. Мы сосредоточимся на одной серии групп
классов отображений в случае, когда М — двумерный круг и Q —
подмножество в М° из п точек, где п = 1,2,... Оказывается,
получающаяся в результате группа 9Л(М, Q) есть не что иное, как группа
кос Вп. Остальная часть этого параграфа будет посвящена точной
формулировке этого утверждения.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
55
1.6.2. Полускручивания
Пусть М — ориентированная поверхность (возможно, с краем),
и пусть Q — конечное подмножество в М°. Под аркой (а также
опорной дугой или опирающейся на проколы дугой)г в (М, Q) мы
понимаем подмножество в М, гомеоморфное отрезку I = [0,1] и не
пересекающееся с Q U дМ, не считая двух концевых точек, которые должны
принадлежать Q. Подчеркнем, что все рассматриваемые здесь дуги
простые, т. е. не имеют самопересечений.
Пусть а с М — арка в (М, Q). Полускручивание
Ta:(M,Q)->(M,Q)
получается в результате изотопии тождественного отображения id: М—>
—>М, поворачивающей дугу а в М вокруг ее средней точки на угол тг
в направлении, предписанном ориентацией многообразия М. Вне
некоторой малой окрестности дуги а в М полускручивание та равно
тождественному отображению. Ясно, что та(а) = a, Ta(Q) = Q и что та
индуцирует транспозицию в Q, меняющую местами концевые точки
дуги а. Заметим, что при точно таком же повороте дуги а, только
в противоположном направлении, мы получаем т^1.
Ради полноты изложения дадим более формальное определение
полускручивания та. Отождествим некоторую малую окрестность U
дуги а с открытым единичным кругом {z € С: \z\ < 1} так, чтобы
выполнялось условие а = [—1/2,1/2] и ориентация на М
соответствовала ориентации комплексной плоскости С против часовой стрелки.
По определению гомеоморфизм та: М —>М тождествен вне U и любую
точку zgC, для которой \z\ < 1/2, отображает в —z, а точку z е.С,
для которой 1/2 < \z\ < 1, отображает в ехр(—2ni\z\)z. Ясно, что та €
G 9Л(М, Q) не зависит от выбора U. Действие полускручивания та
на кривую в М, трансверсально пересекающую дугу а в одной точке,
изображено на рис. 1.14.
1 G
a
Рис. 1.14. Действие полускручивания та на трансверсальную кривую
1 Англ. термин — spanning arc. —Прим. перев.

56
Глава 1. Косы и группы кос
Сформулируем несколько свойств полускручиваний.
1. Если /: (М, Q) —> (М', Q') — сохраняющий ориентацию
гомеоморфизм двух пар и а — арка в (М,Q), то /(а) является аркой в (М', Q')
ит/(а)=/та/-1€Ш1(М/,0/).
Это свойство очевидно. Неформально говоря, оно утверждает, что
если мы применим конструкцию полускручивания для двух
экземпляров одной и той же поверхности, то получим два экземпляра одного
и того же гомеоморфизма.
2. Если две арки а и а' в (М, Q) изотопны в классе арок в (М, Q)
(в частности, у них одинаковые концевые точки), то та = та*
bSW(M,Q).
Действительно, если дуги аиа' изотопны, то существует
автогомеоморфизм / пары (М, Q), тождественный на Q, в целом изотопный
тождественному отображению и переводящий а на а7. В силу
свойства 1 имеем г
to! — Tf (а) — /W '
А так как автогомеоморфизм / изотопен тождественному
отображению, получаем, что /та/-1 = та.
3. Каждый автогомеоморфизм пары (М, Q) индуцирует
автогомеоморфизм многообразия М, для чего нужно забыть Q.
Получающийся в результате гомоморфизм групп Ш(М, Q) —> 9Л(М)
отображает та в 1. Это ясно из определений.
4. Если арки а и /3 в (М, Q) не пересекаются, то
ТаТ0 = Т0Та € 0Л(М, Q). (1.12)
Для доказательства нужно выбрать непересекающиеся
окрестности дуг аи)3в конструкциях та и т^.
5. Для любых двух арок а и /3 в (М, Q), имеющих одну общую
концевую точку и кроме нее нигде больше не пересекающихся,
справедливо равенство
таТ0Та = тртатр е ЯЛ(М, Q). (1.13)
Доказательство этой фундаментальной формулы начнем с
равенства таЦЗ)=т71(а), которое можно проверить, нарисовав дуги та(/3) и
т^1(«)- Это равенство понимается как изотопия в классе арок в (М, Q).
По свойству 2 имеем
TTe(j8)=TT-i(a).

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
57
В силу свойства 1 из этого следует, что тат^та г = т„ 1татр. Последнее
равенство эквивалентно равенству (1.13).
1.6.3. Изоморфизм Вп = 9Jt(D, Qn)
Для п> 1 обозначим через Qn cR2 множество {(1,0), (2,0),..., (л, 0)}
из 71 точек. Пусть D — замкнутый круг в R2, содержащий в своей
внутренности множество Qn. Мы ориентируем круг D против часовой
стрелки. Для каждого f = 1,2,... ,п — 1 рассмотрим дугу
at = [i,i + l] x{0}cD.
Эта дуга пересекает множество Qn только в своих концевых точках
и потому определяет полускручивание
TaieWl(D,Qn).
Из формул (1.12) и (1.13) следует, что та1,..., тап1 удовлетворяют
косовым соотношениям из § 1.1. По лемме 1.2 существует такой
гомоморфизм групп
rj:Bn->OT(D,Qn),
ЧТО Г7(<7;) = Та. ДЛЯ BCeX i = 1, ... , 71 — 1.
Напомним, что в п. 1.5.1 была определена группа сплетающих
автоморфизмов Вп. Сейчас мы определим некоторый гомоморфизм
групп р: Wl(D, Qn) —> Вп. Выберем какую-нибудь отмеченную точку
d G dD; см. рис. 1.15. Ясно, что фундаментальная группа 7ii(D\Qn, d)
есть свободная группа Fn ранга п с образующими jci, х2,..., хп,
представленными петлями Xi,X2, ...,ХП, изображенными на рис. 1.15.
d
Рис. 1.15. Петли Хъ...,Хп в D\Qn

58
Глава 1. Косы и группы кос
Ограничение каждого автогомеоморфизма / пары (D, Qn) на D\Qn
дает автогомеоморфизм дополнения D\Qn. Последний
автогомеоморфизм отображает точку d е dD в себя и индуцирует некоторый
автоморфизм р(/) группы Fn = 7ii(D\Qn,d). Этот автоморфизм зависит
только от изотопического класса /: если два автогомеоморфизма
пары (D,Qn) изотопны, то их ограничения на D\Qn изотопны reldD
и потому индуцируют один и тот же автоморфизм группы Fn.
Проверим, что р (/) является сплетающим автоморфизмом
группы Fn. Петлю Хк на рис. 1.15 можно продеформировать в D\Qn в
маленькую петлю, обегающую точку (к, 0) по часовой стрелке.
Гомеоморфизм / отображает эту маленькую петлю тоже в маленькую петлю,
обегающую по часовой стрелке некоторую точку (/i(fc), 0), где /i(fc) e
е{1,2, ...,п}. Последнюю петлю можно продеформировать в D\Qn
в петлю Хц(К). Значит, петлю f{Xk) можно продеформировать в петлю
Хц(к) в D \ Qn. (При этой деформации отмеченная точка f(d)=d может
перемещаться по D\Qn.) Из этого следует, что гомотопические классы
этих двух петель p(f)(xk) и х^к) сопряжены в группе ni(D\Qn,d).
Тем самым проверено условие 1 из определения сплетающего
автоморфизма. Условие 2 следует из того факта, что произведение Х\Х2 • • • хп
представлено петлей dD с отмеченной точкой d. Гомеоморфизм /
поточечно сохраняет эту петлю, и потому гомотопический класс этой
петли в группе 7ii(D\Qn, d) инвариантен относительно р(/).
Из сказанного мы заключаем, что соответствие / ■-> р (/)
определяет отображение р из 93?(D, Qn) в Вп. Это отображение является
гомоморфизмом групп, так как
РШ) = Р(/ °g) = р(Л ° P(g) = p(J)p(g)
для любых /,gG Wl(D, Qn).
Теперь мы можем сформулировать основную теорему,
связывающую косы с гомеоморфизмами.
Теорема 1.33. Для любого п > 1 гомоморфизмы г) и р являются
изоморфизмами. Следующая диаграмма коммутативна:
Вп
^| Ч^ (1.14)
Wl(D,Qn)-^->Bn,
где Вп —> Вп, /3 >-> /3, — изоморфизм, определенный в § 1.5.

§ 1.6. Косы и гомеоморфизмы
59
Эта фундаментальная теорема позволяет нам отождествить
группу кос Вп с группой классов отображений Wl(D, Qn). Отныне у нас
есть три разные геометрические интерпретации группы Вп: с
помощью геометрических кос из п нитей, с помощью конфигурационного
пространства п точек на плоскости и с помощью гомеоморфизмов
двумерного круга с п выделенными точками. Именно это
разнообразие геометрических ликов группы Вп делает ее такой
привлекательной.
Коммутативность диаграммы (1.14) означает, что /3 = р(г)(13)) для
любого элемента /3 еВп. Это равенство можно проверить сразу. Так
как р, г\ и /3 >-> /3 — гомоморфизмы групп, достаточно проверить это
равенство на образующих <7Ь... <7n-i. Нужно проверить, что p(Ta.)=<7i
для всех i = 1,2,..., п — 1. Формулы р(та.)(хк) = хк при к ф i, i + 1
и p(Ta.)(xi) = xi+i вытекают непосредственно из определения та..
Равенство p(Ta.)(xl+i) = x^xiXi+i можно проверить непосредственно
или вывести из формулы р{та.){х\ ...хп) = Х\ ...хп. Следовательно,
мы имеем р (та.) = сг*. Ввиду коммутативности диаграммы (1.14) и
теоремы 1.31 для доказательства теоремы 1.33 только остается показать,
что г) — изоморфизм. Это будет сделано в § 1.7.
Ясно, что для каждого i = 1,..., п — 1 полускручивание та.: D —> D
представляет собой диффеоморфизм относительно стандартной
гладкой структуры на круге D, индуцированной из стандартной гладкой
структуры на плоскости R2. Целые степени диффеоморфизмов и их
произведения тоже диффеоморфизмы. Поэтому из сюръективности
гомоморфизма г\ вытекает следующее утверждение.
Следствие 1.34. Произвольный автогомеоморфизм пары (D, Qn)
изотопен в классе автогомеоморфизмов этой пары некоторому
диффеоморфизму (D, Qn) -> (D, Qn).
Упражнение 1.6.1. Пусть М, Q такие, как в п. 1.6.2.
а) Рассмотрим вложенный r-угольник Р с М, г > 3,
пересекающий Q в точности по своим вершинам. Двигаясь по его краю дР в
направлении, задаваемом ориентацией многообразия М, мы
последовательно пройдем по всем сторонам этого r-угольника Р, которые мы
обозначим ai, ct2,..., аг. Каждая сторона щ является аркой в (М, Q).
Докажите, что
^"а2 Та2 • • • ^"ar_j = ^a2 ^a3 • • • ^ar •
{J/казание: при г = 3 перепишите это равенство в виде т^т^т^ = таз;
при г ^ 4 воспользуйтесь индукцией.)

60
Глава 1. Косы и группы кос
б) Рассмотрим г > 2 арок в (М, Q), имеющих одну общую
концевую точку а е Q и кроме нее нигде больше не пересекающихся.
Обойдем вокруг точки а в направлении, задаваемом ориентацией
многообразия М, встречающиеся по пути арки обозначим через аь аг,..., аг.
Докажите, что
Таг ^а2 ^CLi = ^а2 ^"«i ^а2
коммутирует с та. при всех i, 3 < i < г. Выведите из этого, что
справедливо равенство
r^alPr^a2r^al = /^a2/^a1PTflt2,
где /3 — произвольный элемент группы, порожденной
полускручиваниями Таз, Та4, ..., Таг.
Упражнение 1.6.2. Докажите, что SWfS1) = {1}. (Указание: для
произвольного автогомеоморфизма / окружности S1 взяв при
необходимости его композицию с подходящим поворотом этой окружности, мы
можем считать, что / имеет неподвижную точку. Разрезав окружность
в этой точке, мы получим автогомеоморфизм замкнутого отрезка,
который, как нам известно, изотопен тождественному отображению.)
§ 1.7. Группы гомеоморфизмов
и конфигурационные пространства
В этом параграфе мы обсудим группы гомеоморфизмов
многообразий, их связи с конфигурационными пространствами и приложения
к косам.
1.7.1. Группы гомеоморфизмов
Пусть М — компактное связное ориентированное топологическое
многообразие (возможно, с краем), и пусть Q — конечное
подмножество вМ°=М\дМ. Обозначим через Тор(М, Q) группу всех
автогомеоморфизмов пары (М, Q), т. е. группу всех сохраняющих ориентацию
автогомеоморфизмов многообразия М, которые поточечно
неподвижны на крае дМ и неподвижны на Q как на множестве. Умножение
в Тор(М, Q) задается композицией: fg = f°g для /,ge Top(M, Q). Мы
снабдим Тор(М, Q) компактно-открытой топологией. Ради полноты
изложения напомним определение и основные свойства этой
топологии, отсылая за доказательствами к книгам [ФР84, п. 2.7 гл. 1 и § 2]
или [Ке155]. Для любого компактного подмножества К с М и любого

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 61
открытого подмножества U с М пусть
ЩК, !/) = {/€ Тор(М, Q): /(К) с U].
Такие множества N(X, С/), а также их конечные пересечения и
произвольные объединения таких пересечений объявляются открытыми
подмножествами в Тор(М, Q). Тем самым определена
компактно-открытая топология на множестве Тор(М, Q), превращающая его в
топологическую группу. Здесь обращение / •-> f~l в Тор(М, Q)
непрерывно вследствие очевидного равенства
{/-1: / € N[K, U)} = N(M\U,M\K).
В этом месте необходима компактность многообразия М.
Известно, что отображение / произвольного пространства X в
Тор(М, Q) тогда и только тогда непрерывно, когда непрерывно
отображение ХхМ^М, сопоставляющее точке (х, у) е X х М точку /(*) (у).
Применяя этот факт кХ = 1, мы получаем, что два
автогомеоморфизма пары (М, Q) изотопны в том и только том случае, когда их можно
соединить некоторым путем в Тор(М, Q), т. е. тогда и только тогда,
когда они лежат в одной и той же компоненте линейной связности
пространства Тор(М, Q). Следовательно,
ЯЛ(М, Q) = тго(Тор(М, Q)). (1.15)
Положим Тор(М) = Тор(М, 0). Очевидное вложение Тор(М, Q) °->
°-> Тор(М) превращает Тор(М, Q) в замкнутую подгруппу
топологической группы Тор(М).
Группа Тор(М) тесно связана с конфигурационными
пространствами неупорядоченных точек из М°, которые были введены в п. 1.4.3.
ДЛЯ 71 > 1 ПОЛОЖИМ
Чтобы описать связь между Тор(М) и *^п, выберем какое-нибудь
подмножество Q с М°, состоящее из п точек. Определим отображение
вычисления е = eQ: Тор(М) —> ^ по формуле е(/) = /(Q), где / € Тор(М).
Из определений легко вывести, что е — сюръективное непрерывное
отображение.
Лемма 1.35. Отображение вычисления е: Тор(М) —> *#п является
локально тривиальным расслоением со слоем Тор(М, Q).
Доказательство. Пусть &п = &п{М°) — конфигурационное
пространство 71 упорядоченных точек из М°. Покажем, что отображение е

62
Глава 1. Косы и группы кос
можно разложить в композицию некоторого отображения с: Тор(М) —>
—> &п с накрытием ^ —> %• Чтобы построить отображение с, как-ли-
будь упорядочим множество Q и определим с по формуле с(/) = /(Q),
где / е Тор(М), считая, что порядок в /(Q) индуцирован из порядка
в Q. Для доказательства леммы достаточно доказать, что
с—локально тривиальное расслоение. Доказательство же последнего
утверждения очень похоже на доказательство леммы 1.26. Докажем
локальную тривиальность отображения с в некоторой окрестности точки
и0 = (izj,..., и°) €^п. Для каждого i = 1,2,..., п выберем такую
окрестность Ui с М° точки и°, чтобы ее замыкание Ui было замкнутым
шаром с внутренностью Ui. Так как все точки и^, ...,и„ различны,
мы можем считать, что окрестности Ui,...,Un попарно не
пересекаются. Тогда U = U\ х [/2 х ... х Un—окрестность точки и0 в &п.
Докажем, что ограничение отображения с на U является тривиальным
расслоением. Для каждого i = 1,2,..., п существует такое
непрерывное отображение 0*: Ui x Ut —> Ui, что, положив 0"(i>) = 0;(и, v), мы
получим гомеоморфизм 0": Ui —> Ui, который отображает и? в и и для
которого граничная сфера dUi поточечно неподвижна (см.
доказательство леммы 1.26). Для любой точки и = (ui,..., ип) е U мы определим
гомеоморфизм 6й: М —> М по формулам
{0"' (у), если у G l/j, где i = 1,2,..., п,
и, если v sM\\jUi.
i
Ясно, что гомеоморфизм 6й: М->М отображает точки и\,..., и„ в
точки i/i,..., un соответственно. Заметим, что с-1 (и0) представляет собой
замкнутую подгруппу группы Тор(М), состоящую из всех / е Тор(М),
для которых /(и°) = и°, i = 1,2,..., п. Соответствие (и, /) >-> 0"/
определяет гомеоморфизм
ихсгЧн0)-^"1^),
коммутирующий с проекциями на [/. Обратный к нему гомеоморфизм
отображает каждую точку g е с-1([/) в пару (c(g), (0c(g))-1g) € I/ x
Замечание 1.36. Два элемента из Тор(М) имеют одинаковый
образ при отображении вычисления е в том и только том случае, когда
они лежат в одном и том же левом классе смежности подгруппы
Тор(М, Q) в группе Тор(М). Заметим, хотя нам это и не понадобится,
что отображение вычисления е индуцирует гомеоморфизм
однородного факторпространства Тор(М)/Тор(М, Q) на ^п.

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 63
1.7.2. Параметризующие изотопии
Здесь мы покажем, что геометрические косы естественно
определяют однопараметрические семейства гомеоморфизмов двумерного
круга. Впоследствии эта конструкция будет служить рабочим
инструментом.
Для 71 > 1 обозначим через D с R2 замкнутый шар, содержащий
в своей внутренности множество
Q = Qn = {(1,0), (2,0),..., (72,0)}. (1.16)
Изотопия {ft: D —> D}teI в классе автогомеоморфизмов шара D
называется нормальной, если /o(Q) = Q и /i = id/). Другими словами,
нормальная изотопия есть путь в Top(D), соединяющий некоторую
точку в Top(D, Q) с тождественным гомеоморфизмом icb е Top(D).
Для любой нормальной изотопии {/t: D —> D}teI множество
|J(/t(Q),t)cR2x/
tel
является геометрической косой из п нитей. Мы будем говорить, что
изотопия {ft}tei параметризует эту геометрическую косу.
Лемма 1.37. Для любой геометрической косы bcD° x J изп нитей
существует нормальная изотопия, параметризующая эту косу.
Доказательство. Рассмотрим отображение вычисления
е = eQ: Top(D) -> Ъп = <tfn(D°),
сопоставляющее гомеоморфизму / е Top(D) его значение /(Q). Как
уже было замечено в п. 1.4.3, коса Ъ определяет петлю /ь: I —> ^п,
отображающую каждую точку t e J в единственное подмножество bt
из и точек в R2, для которого Ъ П (R2 x {t}) =btx {t}. Эта петля
начинается и заканчивается в точке q = e(idD) е ^п, представленной
множеством Q. По лемме 1.35 и свойству поднятия гомотопии в локально
тривиальных расслоениях (см. приложение Б) петля /ь поднимается
до некоторого пути р: I —> Top(D), начинающегося в некоторой точке
из e-1(q) =Top(D, Q) и заканчивающегося в id/). Путь /ь является
нормальной изотопией, а равенство e/b = fb означает, что эта изотопия
параметризует косу Ъ. □
1.7.3. Доказательство теоремы 1.33
ПустьD,Q = Qn, ^n = ^n(D°),e=eQ:Top(D)->cgnHq = e(idD)e<gn —
те же объекты, что и в п. 1.7.2. По лемме 1.35 отображение е является

64
Глава 1. Косы и группы кос
локально тривиальным расслоением со слоем е l(q) = Top(D, Q). Это
расслоение индуцирует отображение
д: тц{^шЧ) -> 7i0(Top(D,Q)) =m(D,Q).
Напомним определение отображения д, следуя приложению Б.
Возьмем произвольный элемент /3 е к\{У>п>Ч) и представим его
некоторой петлей /: I —> <^п, начинающейся и заканчивающейся в точке q.
По свойству поднятия гомотопии для расслоения е эта петля
поднимается до некоторого пути /: I —> Top(D), начинающегося в
какой-то точке из e~l(q) — Top(D, Q) и заканчивающегося в icb. Тогда
по определению д(/3) = [/(0)] е 7r0(Top(D, Q)). То, что д(/3) зависит
только от /3, можно увидеть непосредственно: если //—другая петля,
представляющая элемент /3, то гомотопия между / и /' поднимается
до некоторой гомотопии между произвольными поднятиями / и /'
в Top(D). Эта гомотопия дает путь в Top(D, Q), соединяющий /(0)
с />(0). Значит, [/(0)] = [/40)].
Покажем, что отображение d: n^^^q) —> 9tt(D, Q) является
гомоморфизмом групп. Для этого рассмотрим две петли / и g в ^,
начинающиеся и заканчивающиеся в точке q и представляющие
соответственно элементы /3, у е тг^^, q). Пусть /, g: J —> Top(D)
—поднятия петель /,g, заканчивающиеся в idD. Заметим, что для любого
t е J выполняются равенства
e(/(t)g(0)) = /(t)g(0)(Q) - /(t)(Q) = f(t).
Поэтому путь I —> Top(D), t »-> /(t)g(t), является поднятием петли /,
заканчивающейся в точке /(l)g(0) = g(0). Произведение этого пути
на g есть поднятие произведения /g: I —> ^п, которое заканчивается
в id/) и начинается в /(0)g(0). Следовательно,
а(^г) = [/(0)g(0)] = [/(0)][f(0)] = э(/ЗЖГ).
Напомним, что Вп = ttiC^,q); см. упражнение 1.4.4. Покажем,
как можно описать гомоморфизм d:Bn — TriC^, q) —> 9tt(D, Q) в
терминах параметризующих изотопии. Пусть Ъ — геометрическая коса,
представляющая элемент /3 е Вп. Тогда для любой нормальной
изотопии {/t: D —> D}t€/, параметризующей косу b (см. п. 1.7.2), d(/3) е
е 9Jt(D, Q) есть изотопический класс отображения /0: (D, Q) —> (D, Q).
Мы утверждаем, что д = г\, где rj: £п —> Ш{В, Q) — гомоморфизм,
определенный в п. 1.6.3. Для этого достаточно проверить совпадение
д и г\ на образующих о*, i = 1,2,..., п — 1. А так как 17(07) = та., нужно

§ 1.7. Группы гомеоморфизмов и конфигурационные пространства 65
только проверить, что d(<7i) = таг Обозначим через {gt: D —> D}teI
ту самую изотопию, которая участвует в определении
полускручивания та.. Она получается при повороте дуги щ в D вокруг ее средней
точки против часовой стрелки. Эта изотопия связывает
тождественное отображение go = id: D —> D с g\ = та.. Тогда
{/t = gi_t:D->D}t€/
есть изотопия, связывающая /0 = та с f\ = id. Легко видеть, что
геометрическая коса
|J(/t(Q),t)cR2x/
tel
представляет элемент aiGBn. Следовательно, d(<7i) = [/0] = таг
По теореме Александера — Титце (п. 1.6.1) любую точку
множества Top(D, Q) с Top(D) можно связать с id/) eTop(D) некоторым путем
в Top(D). Из этого следует, что гомоморфизм
r) = d:n1^n,q)^nQ(Top(D,Q))=<m(D,Q)
сюръективен. Из коммутативности диаграммы (1.14) и теоремы 1.31
следует, что гомоморфизм г) инъективен. Значит, г\ — изоморфизм. □
Замечание 1.38. Доказательство теоремы Александера — Титце
в п. 1.6.1 на самом деле показывает, что точка {idp} является
деформационным ретрактом пространства Top(D). Поэтому тг;(Тор(1))) = О
для всех i > О, и из точной последовательности расслоения е: Top(D) —>
—> ^n(D°) непосредственно следует, что гомоморфизм д: ni(4>n,q) —>
—> 7i0(Top(D, Q)) является изоморфизмом.
1.7.4. Приложения
Мы сформулируем здесь два дальнейших приложения введенной
выше техники.
Теорема 1.39. Для любой геометрической косы b из п нитей
топологический тип пары (R2 х J, Ь) зависит только от числа п.
Доказательство. Выберем такой круг D с R2, чтобы выполнялось
условие b с D° х I. Тогда множество Q = Qn, определенное
формулой (1.16), будет лежать в D°. По лемме 1.37 существует
нормальная изотопия {ft: D —> D}teI, параметризующая косу Ъ. Соответствие
(х, t) »-> (/t(x), t) определяет гомеоморфизм F:DxI->DxI,
отображающий Q х I на Ъ и поточечно неподвижный на 3D х I. Продолжив F
тождественным образом на (R2\D) x J, мы получим гомеоморфизм

66
Глава 1. Косы и группы кос
R2 х I —» R2 х I, отображающий Q х I на Ъ. Заметим, что этот
гомеоморфизм сохраняет уровни в том смысле, что он коммутирует с
проекцией на I. □
Теорема 1.40. Всякая изотопия любой геометрической косы в
R2 x J продолжается до некоторой изотопии всего произведения R2 x J
на себя, постоянной на крае.
Доказательство. Обозначим Г = R2 x J. Пусть Ъ с Т —
геометрическая коса из 71 нитей, и пусть F:bxI^>T — изотопия косы Ь. Таким
образом, для каждого s el отображение Fs:b^T, переводящее х е Ь
в F(x,s), является вложением, образ которого есть геометрическая
коса и F0 = idb. Далее мы построим такое непрерывное отображение
G: Т х I —» Г, что для каждого s el отображение Gs: T —> Г,
переводящее х е Т в G(x,s), будет гомеоморфизмом, который поточечно
неподвижен на дТ, продолжает Fs и таков, что Go = idj.
Пусть Q с R2 — множество {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}, и пусть D —
такой замкнутый круг в R2, что Q с D° и F(b х I) с D° x I. Для
любых s,t el обозначим через /(s, t) единственное подмножество в D°
из 71 точек, для которого
ft(b)n(Dx{t})=/(s,t)x{t}.
Соответствие (5, t) »-> f(s,t) определяет непрерывное отображение
/: I2 -> ^n(D°). Ясно, что /(5,0) = /(5,1) = Q для всех s £ J и что
b = Ut6//№0x{t}.
Рассмотрим расслоение вычисления е = eQ: Top(D) —> ^n(D°). По
свойству поднятия гомотопии для этого расслоения петля t »-> /(0, t)
поднимается до некоторого пути t >-> /(0, t) в Top(D),
заканчивающегося в id/) и начинающегося в некоторой точке из Top(D, Q).
Применив теперь свойство поднятия гомотопии для этого же расслоения
относительно пары (7, Э7), в результате получим, что последний путь
продолжается до такого поднятия /: I2 —> Top(D) отображения /, что
/(5,1) = idD и /(s, 0) = /(0,0) для всех sel.
Определим гомеоморфизм g(s, t): R2 —>R2 как тождественное
отображение на R2 \D и как /(s, t) о (/(0, t))-1 на D. Ясно, что g(s, t) есть
непрерывная функция от s, t e J и что
g(0,t)=g(s,0)=g(s,l)=id
для всех s,t el. Имеем
g(s, t)(/(0, t)) - g(s, t)(/(0, t)(Q)) - /(5, t№) = /(5, t).

Замечания
67
Теперь непосредственно проверяется, что отображение G:T х I —> Г,
переводящее (a, t, s) в (g(s, t)(a), t), где а € R2, s,tel, обладает всеми
требуемыми свойствами. □
Упражнение 1.7.1. Пусть / — произвольный автогомеоморфизм
двумерной сферы S2, неподвижный в некоторой точке a е S2 и
изотопный тождественному отображению id: S2 —> S2. Докажите, что он
изотопен тождественному отображению в классе
автогомеоморфизмов сферы S2, неподвижных в точке а.
решение. Применив лемму 1.35 к М = S2, Q = {а} и п = 1, мы получим
локально тривиальное расслоение Top(S2) —> S2 со слоем Top(S2, {a}).
Так как 7i0(Top(S2, {a})) = OT(S2, {a}) и 7i0(Top(S2)) = OT(S2), это
расслоение дает точную последовательность
7ii(S2) -> OT(S2, {a}) -> OT(S2).
Поскольку 7ii(S2) = 0, ядро гомоморфизма M(S2, {a}) —> 9Jt(S2)
тривиально. Из этого следует требуемое свойство автогомеоморфизмов
сферы S2.
Замечания
Определения кос и групп кос, а также значительная часть
результатов этой главы принадлежат Эмилю Артину; см. [Art25], [Art48a],
[Art48b]. Среди прочего эти работы содержат стандартное задание
групп кос образующими и соотношениями и теорию сплетающих
автоморфизмов из § 1.5. Следует отметить, что сплетающие
автоморфизмы изучались Гурвицем в работе [Hur91] в 1891 г.; см. также [Mag72],
[Bri88].
Образующие Ai}j групп крашеных кос Рп и определяющие
соотношения для них были введены Бурау в статье [ВигЗЗ]; см. также [Мар45],
[Art48a], [Cho48]. Теорема 1.16 принадлежит Фрёлиху (см. [Fr636]),
А. А. Маркову (см. [Мар45]), Артину (см. [Art48a]). Нормальная форма
кос была открыта Марковым (см. [Мар45]) и Артином (см. [Art48a]).
Теорема 1.24 была получена Артином (см. [Art48a]) и Чжоу (см.
[Cho48]). Следствие 1.25 принадлежит Артину (см. [Art48a]).
Теория кос с точки зрения конфигурационных пространств
впервые изучалась Фоксом и Нойвиртом (см. [FoN62]) и Фаделлом и Ной-
виртом (см. [FaN62]). Определения и результаты § 1.4 взяты из
статьи [FaN62]. На интерпретацию конфигурационного пространства
^n(R2) в терминах полиномов указал В.И.Арнольд в работе [Арн70].

68
Глава 1. Косы и группы кос
Использованная в п. 1.7.3 теорема Александера — Титце была
доказана Титце (см. [Tiel4]) и Александером (см. [А1е23Ь]). Лемма 1.35
принадлежит Бирман (см. [Bir69a]). Теорема 1.40 принадлежит Артину
(см. [Art48a]).
Упражнения 1.1.4 и 1.1.5 принадлежат Артину (см. [Art25],
[Art48b]). Упражнения 1.1.6 и 1.1.8 принадлежат Е.А.Горину и
В.Я.Лину; см. [ГЛ69], а также [Lin96]. Упражнение 1.1.7
принадлежит Горину. Упражнение 1.1.10 принадлежит Касселю и Рейтенау-
эру [KR07] (см. также доказательство свободности ядра гомоморфизма
В4 —> В3 в работах [Gas62] и [ГЛ69]). Упражнение 1.4.3 принадлежит
Фаделлу и Ван Бускирку (см. [FV62]). Упражнение 1.5.1
принадлежит Ваде (см. [Wad92]). Упражнение 1.6.1 принадлежит Сергиеску
(см. [Ser93]).

Ша^
КОСЫ, УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ
В этой главе мы изучим связь между косами, узлами и
зацеплениями. На протяжении всей главы мы будем обозначать через I
замкнутый отрезок [0,1] в R.
§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях
Здесь мы кратко обсудим необходимые для последующего
понятия из теории узлов. За более подробными изложениями теории
узлов мы отсылаем читателя к монографиям [BZ85], [Kaw96], [Mur96],
[Rol76].
2.1.1. Основные определения
Пусть М — трехмерное топологическое многообразие, возможно
с краем дМ. Геометрическим зацеплением в М называется локально
плоское замкнутое одномерное подмногообразие в М. Напомним, что
многообразие называется замкнутым, если оно компактно и его край
пуст. Замкнутое одномерное подмногообразие L с М называется
локально плоским, если каждая его точка обладает такой окрестностью
U с М, что пара (С/, С/ n L) гомеоморфна паре (R3,R x {0} х {0}).
Из этого условия следует, что L с М° =М\дМ. Оно также исключает
все виды локально дикого поведения L в М°.
Будучи замкнутым одномерным многообразием, любое
геометрическое зацепление в М должно состоять из конечного числа
компонент, гомеоморфных стандартной единичной окружности
S1 = {zeC: \z\ = l}.
Пространство, гомеоморфное стандартной окружности S1,
называется (топологической) окружностью. Геометрическое зацепление,
состоящее из 71 > 1 окружностей, называется зацеплением из п компо-

70
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
нент или п-компонентным зацеплением. Например, граница п
дизъюнктно вложенных двумерных кругов в М° является тривиальным
п-компонентным зацеплением в М.
Однокомпонентные геометрические зацепления называются
геометрическими узлами. Примеры нетривиальных узлов и зацеплений
в R3 показаны на рис. 2.1, где изображены узлы трилистник,
восьмерка и зацепление Хопфа.
80(g) OD
Рис. 2.1. Узлы и зацепления в R3
Два геометрических зацепления L и V в М называются
изотопными, если L можно продеформировать в V некоторой изотопией
объемлющего многообразия М в себя. Здесь под изотопией многообразия М
(в себя) мы понимаем такое непрерывное семейство гомеоморфизмов
{Fs: М —>M}s€/, что F0 = гйм: М ^М. Непрерывность этого семейства
означает, что отображение I —> Тор(М), s*-* Fs, непрерывно, или, что
эквивалентно, непрерывно отображение
Мх J->M, 0,s) ->FsO),
где х е М, sel; см. п. 1.7.1. Говорят, что изотопия {Fs}s€/
многообразия М является изотопией L в Z/, если Fi(L) = Z/. Зацепления L и V
изотопны, если существует изотопия L в V. Изотопные
геометрические зацепления имеют одинаковое количество компонент. Другими
словами, количество компонент есть изотопический инвариант
геометрических зацеплений.
Отношение изотопии, очевидно, является отношением
эквивалентности на классе геометрических зацеплений в М.
Соответствующие классы эквивалентности называются зацеплениями в М.
Зацепления, имеющие только одну компоненту, называются узлами.
Основная цель теории узлов — это классификация узлов и зацеплений.
Если многообразие М имеет гладкую структуру, то любое
геометрическое зацепление в М изотопно такому геометрическому
зацеплению, которое как одномерное многообразие является гладким

§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 71
подмногообразием в М. Поэтому, работая с зацеплениями в гладких
трехмерных многообразиях, мы всегда можем ограничиться их
гладкими представителями.
2.1.2. Диаграммы зацеплений
Техника диаграмм кос, которую мы обсуждали в гл. 1, может быть
распространена на зацепления. Мы ограничимся случаем, в котором
объемлющее трехмерное многообразие является произведением
поверхности Е (возможно, с краем дЕ) на отрезок I. Для п > 1
диаграмма зацепления с п компонентами на поверхности Е по определению
представляет собой подмножество О) с Е\дЕ, являющееся
объединением 71 окружностей с конечным числом пересечений и
самопересечений, причем каждое (само) пересечение есть такая точка, в которой
пересекаются ровно две ветви диаграммы ^, причем одна из них
считается выделенной и называется проходящей под другой (а также
проходом), а другая — проходящей над первой (а также переходом),
В некоторой окрестности любой своей точки диаграмма ^ выглядит
либо как прямая линия в R2, либо как множество {(х, у): ху = 0} с R2,
в котором выделена одна из линий х = 0, у = 0. Окружности,
составляющие диаграмму ^, называются компонентами диаграммы @.
(Само) пересечения этих окружностей называются перекрестками или
двойными точками диаграммы ^. Заметим, что никакие три
компоненты диаграммы ^ не пересекаются в одной точке.
Ветвь диаграммы зацепления, проходящая под перекрестком,
графически изображается разорванной линией. Картинки на рис. 2.1
можно рассматривать как диаграммы зацеплений на плоскости.
Каждая диаграмма зацепления ^ на поверхности Е представляет
некоторое зацепление
1(0) с 27 х/.
Оно получается из диаграммы $J с Е = Е х {1/2}, если ветви,
проходящие под перекрестками, вдвинуть в Е х [1/2,1). Зацепление L(®)
определено корректно с точностью до изотопии.
Заметим, что каждое зацепление в Е х I можно представить
некоторой диаграммой зацепления на Е. Чтобы убедиться в этом,
представим заданное зацепление таким геометрическим зацеплениемLcExI,
проекция которого в Е имеет только двойные трансверсальные
пересечения. В каждом таком пересечении будем считать проходом ту
ветвь, в которую проецируется поддуга зацепления L с большей /-ко-

72
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ординатой. Таким образом, мы получили диаграмму зацепления на Е,
представляющую изотопический класс геометрического зацепления L.
Две диаграммы зацеплений ^ и & на Е называются изотопными,
если существует такая изотопия поверхности Е на себя, которая
преобразует ^ в &. Точнее говоря, диаграммы ^ и & называются
изотопными, если существует такое непрерывное семейство
гомеоморфизмов {Fs: Е —> E}seh что F0 = id^ и F\{9)) = &. Понятно, что F\
отображает перекрестки диаграммы ^ в перекрестки диаграммы &
и при этом сохраняются свойства ветвей проходить под или над
другими. Ясно, что если диаграммы <$ и & изотопны, то геометрические
зацепления L(^) и L{&) изотопны в £ xl.
Преобразования Пь П2> ^з диаграмм зацеплений, изображенные
на рис. 1.5а, 1.56 и 2.2, а также обратные к ним преобразования
называются движениями Рейдемейстера. Эти движения влияют только на
часть диаграммы, которая лежит в некотором круге в Е, и сохраняют
неизменной остальную часть диаграммы. Заметим, что для того,
чтобы осуществить эти движения, мы отождествляем этот круг в Е с
некоторым кругом в плоскости картинок. Если поверхность Е
ориентирована, то мы используем только такие отождествления кругов, которые
переводят ориентацию поверхности Е в ориентацию в плоскости
картинок, направленную против часовой стрелки. Для
неориентированной поверхности Е мы используем произвольные отождествления.
По сравнению с теорией диаграмм кос нам понадобятся здесь
два дополнительных движения Пь которые изображены на рис. 2.2.
Эти движения добавляют к диаграмме завиток или перекручивание.
Обратные движения П"1 удаляют такие завитки из диаграмм
зацеплений. С другой стороны, в ситуации диаграмм зацеплений достаточно
одного П2-Движения: два П2-Движения, изображенные на рис. 1.5а,
можно получить одно из другого изотопией поверхности Е,
поворачивающей маленький двумерный круг в поверхности Е на угол 180°.
Г
Рис. 2.2. Движения Пг

§2.1. Узлы и зацепления в трехмерных многообразиях 73
Покажем, что классическая теория Рейдемейстера для диаграмм
зацеплений на плоскости R2 обобщается на диаграммы на
поверхности Е: две диаграммы зацеплений на И тогда и только тогда
представляют изотопные зацепления в И х J, когда эти диаграммы можно
связать некоторой конечной последовательностью изотопии и
движений Рейдемейстера П*1, f^1» ^з1- Действительно, любую изотопию
геометрического зацепления в Е х I можно разложить в композицию
конечного числа локальных изотопии, которые изменяют зацепление
только внутри цилиндра вида U x J, где U — маленький открытый
круг в Е. А так как пара (U x J, U х {1/2}) гомеоморфна паре (R2 x J,
R2 х {1/2}), мы можем применить стандартную технику
Рейдемейстера к той части диаграммы зацепления, которая лежит в U. Из этого
следует, что при такой локальной изотопии диаграмма изменяется
с помощью последовательности движений fi*1, fi^1» ^з1*
2.1.3. Упорядоченные и ориентированные зацепления
Зацепления допускают ряд естественных дополнительных
структур. Здесь мы опишем две такие структуры: упорядоченность и
ориентацию. Геометрическое зацепление с п компонентами называется
упорядоченным, если его компоненты пронумерованы числами 1,2,..., п.
Под изотопией упорядоченных зацеплений мы понимаем изотопии,
сохраняющие порядок. Диаграммы зацеплений легко упорядочить:
для этого достаточно приписать числа 1,2,..., п к компонентам этой
диаграммы и не изменять их при изотопиях.
Ориентацией геометрического зацепления L в трехмерном
многообразии М называется ориентация этого зацепления,
рассматриваемого как одномерное многообразие. На рисунках ориентация
указывается стрелками на компонентах зацепления. Под изотопиями
ориентированных зацеплений мы понимаем изотопии, сохраняющие
ориентацию. Каждое ориентированное зацепление L с М является
одномерным циклом и представляет некоторый класс гомологии
[L]€Hi(M)=Hi(M;Z).
Этот класс является изотопическим инвариантом зацепления L. В
самом деле, компоненты двух изотопных ориентированных зацеплений
попарно гомотопны и потому попарно гомологичны.
Чтобы задать ориентацию зацепления, представленного
диаграммой зацепления на поверхности, достаточно ориентировать все
компоненты этой диаграммы. Каждое движение Рейдемейстера опреде-

74
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ляет несколько ориентированных движений Реидемеистера диаграмм
ориентированных зацеплений, сохраняющих ориентации линий.
Следует подчеркнуть, что при ориентировании всех линий на рис. 2.2
в одном и том же направлении (вверх или вниз) мы получаем
четыре ориентированных Hi-движения. Аналогично два движения П2 на
рис. 1.5а дают восемь ориентированных П2-движений. В двух из них
обе линии направлены вниз (до и после движения). Эти два
ориентированных ^-движения называются косообразными и
обозначаются £l\r. Два ориентированных П2-движения, в которых линии
направлены вверх, можно представить как композицию движений П^г и из°"
топий, поворачивающих двумерный круг на угол 180°. Об остальных
ориентированных П2-движениях, в которых линии направлены в
противоположных направлениях, говорят, что они некосообразны.
Аналогично движение Пз на рис. 1.56 определяет восемь ориентированных
П3-движений. Любые семь из них можно представить как композиции
восьмого движения и ориентированных П2-движений (см. [Tur88]
или [Тга98]). Поэтому достаточно рассматривать только то
ориентированное Пз-движение, в котором все три линии направлены вниз.
Говорят, что это движение косообразно, и оно обозначается П^.
Из упомянутой в конце п. 2.1.2 теоремы Реидемеистера следует,
что любые две диаграммы ориентированных зацеплений на
поверхности Е тогда и только тогда представляют изотопные
ориентированные зацепления в £ х J, когда эти диаграммы можно связать
некоторой конечной последовательностью сохраняющих ориентацию
изотопии и ориентированных движений Реидемеистера.
2.1.4. Коэффициент зацепления
В качестве приложения диаграмм зацеплений мы определим
целочисленный коэффициент зацепления любых двух узлов в И х J, где
Е — произвольная ориентированная поверхность (для
неориентированной поверхности £ коэффициент зацепления определен только
по модулю 2). Пусть Li, L2 — не пересекающиеся ориентированные
узлы в И х I. Представим упорядоченное ориентированное зацепление
Li U L2 какой-нибудь диаграммой на поверхности Е. Обозначим
через 1+ (соответственно 1~) количество тех перекрестков этой
диаграммы, в которых линия, представляющая узел Lb проходит над линией,
представляющей узел L2, в направлении слева направо
(соответственно справа налево). Здесь левая и правая стороны ориентированной
линии s определены условием, что ориентация поверхности И совпа-

§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории
75
дает с ориентацией, задаваемой парой векторов, первый из которых
касается линии s и положительно ориентирован, а второй направлен
от правой стороны линии s к левой ее стороне. Непосредственно
проверяется, что коэффициент зацепления
lk(LbL2) = Z+-reZ
инвариантен относительно изотопии и ориентированных движений
Рейдемейстера. Следовательно, lk(Li,L2) — корректно определенный
изотопический инвариант зацепления L\ UL2.
Упражнение 2.1.1. Докажите, что произвольный геометрический
узел L в ориентируемом трехмерном многообразии обладает такой
открытой окрестностью U э L, что пара (С/, L) гомеоморфна паре
(R2 х S1, {х} х S1), где х € R2.
Упражнение 2.1.2. Докажите, что если две диаграммы
ориентированных зацеплений на R2 изотопны в двумерной сфере S2 = R2 U {оо}}
то они представляют изотопные ориентированные зацепления в R3.
(Указание: достаточно проверить это утверждение для изотопии, в
процессе которой ветвь диаграммы проходит через точку оо е S2.)
Упражнение 2.1.3. Для любой ориентированной поверхности £
и любых двух непересекающихся ориентированных узлов Lb L2 с Е х I
имеет место равенство
lk(L1,L2)-lk(L2,L1) = [L1]-[L2],
где [Li] • [L2] eZ— индекс пересечения классов гомологии [Li], [L2] е
G Hi(17). (Указание: это равенство очевидно в случае, когда L\ с 17 х
х [0,1/2], L2 с £ х [1/2,1]; оно сохраняется, когда ветвь узла L\
проходит через ветвь узла L2.) Выведите из этого равенства, что если
поверхность £ вложена в сферу S2, то lk(Lb L2) = lk(L2, Li).
§2.2. Замкнутые косы в полнотории
Здесь мы введем некоторые зацепления в полнотории,
называемые замкнутыми косами, и классифицируем их в терминах кос.
2.2.1. Полнотории
Под полноторием мы понимаем произведение V = D x S1
замкнутого двумерного круга D на окружность S1 = {z € С: \z\ = 1}. Полно-
торие V является компактным связным ориентируемым трехмерным

76
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
многообразием с краем
dV = dD xS1 &S1 xS1.
Ясно, что
V° = V\dV = D°xS\
где D° = D\dD. Полноторие естественно появляется в теории узлов
как замкнутая регулярная окрестность произвольного узла в любом
ориентируемом трехмерном многообразии. Используя гомеоморфизм
D ъ I х I, мы получаем
Vf*IxIxS1f*S1xIxL
Техника диаграмм зацеплений из § 2.1 позволяет нам представлять
зацепления в V диаграммами на кольце S1 х I.
2.2.2. Замкнутые косы
Геометрическое зацепление L в полнотории V = D x S1 называется
замкнутой п-косой, где п > 1, если L пересекает каждый двумерный
круг D х {z}, где z е S1, трансверсально в п точках. Ясно, что
ограничение на L проекции V —> S1 полнотория на второй множитель
дает неразветвленное п-листное накрытие L —> S1. Мы всегда будем
снабжать зацепление канонической ориентацией, которая получается
поднятием на L стандартной ориентации на S1, направленной против
часовой стрелки. Таким образом, точка, движущаяся по компоненте
зацепления L в положительном направлении, проектируется в точку,
движущуюся по S1 против часовой стрелки без остановок или
изменения направления движения. Класс гомологии [L] € Hi (V) = Z
ориентированного зацепленияL с V вычисляется по формуле [L] =n[{x} x S1],
где х G D —любая точка.
Например, если Q — конечное подмножество в D°, то зацепление
Q х S1 с V является замкнутой п-косой, где п = card(Q). Замкнутая
3-коса изображена на рис. 2.3. Наш интерес к замкнутым косам
вызван их связью с косами. Эта связь будет обсуждаться в последующих
пунктах.
Две замкнутые косы в полнотории V называются изотопными,
если они изотопны как ориентированные зацепления. Заметим, что
не требуется, чтобы промежуточные при изотопии зацепления были
замкнутыми косами. Несколько злоупотребляя краткостью, мы будем
изотопические классы замкнутых кос в V также называть замкнутыми
косами в V.

§ 2.2. Замкнутые косы в полнотории
77
Рис. 2.3. Замкнутая 3-коса в V
Вообще говоря, произвольное зацепление в У не изотопно
никакой замкнутой косе в V. Например, зацепление, лежащее внутри
маленького трехмерного шара в V, никогда не изотопно какой-либо
замкнутой косе. Более общим образом, любое ориентированное
зацепление в V, гомологичное т[{х} х S1], где m < 0 и х eD, не изотопно
никакой замкнутой косе в V. Еще одно препятствие будет обсуждаться
в упражнении 2.2.4.
2.2.3. Замыкание кос
Опишем, как любая коса /3 из п нитей определяет некоторую п-ко-
су в полнотории. Зафиксируем замкнутый круг D с R2, содержащий
в своей внутренности множество Q = {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}.
Заметим, что полноторие V = D х S1 можно получить из цилиндра D х I
отождествлением (х,0) = (х, 1) для всехxgD. (Здесь мы
отождествляем 1/д1 с S1 с помощью стандартного гомеоморфизма 1/д1 —> S1,
t н-> exp(27iit).) Выберем какую-нибудь геометрическую косу Ъ сD° x J,
представляющую косу /3 (такая геометрическая коса Ъ существует;
см. упражнение 1.2.4). Обозначим через Ъ с V ее образ при проекции
D х I —> V. Очевидно, что Ъ есть замкнутая п-коса в V. Ее каноническая
ориентация определяется направлением на Ь, ведущим от Q х {0}
к Q х {1}. Если Ъ' с D х I—другая геометрическая коса,
представляющая косу /3, то коса Ъ изотопна косе Ь' в D х I (ср. упражнение 1.2.5).
Из доказательства теоремы 1.40 следует, что существует изотопия
произведения D х I, постоянная на крае и преобразующая косу Ъ в косу Ь'.
Эта изотопия индуцирует некоторую изотопию между Ъ и Ъ' в V. Сле-

78
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
довательно, изотопический класс замкнутой п-косы Ъ зависит только
от /3. Этот класс называется замыканием косы /3 и обозначается ^.
Заметим, что любая замкнутая п-коса L с V изотопна /3 для
некоторой косы /3 е Вп. Действительно, мы можем продеформировать L
в классе замкнутых кос так, чтобы выполнялось условие
ln(Dx{l}) = Qx{l}.
Разрезав полноторие V по кругу D х {1}, мы получим косу в D x J,
замыкание которой есть L.
Данное выше описание замыкания /3 несколько неудобно для
рисования картинок. Часто бывает удобнее следующее эквивалентное
описание. Заметим, что при склеивании двух экземпляров D х I по
D х dl=D x {0,1} мы снова получим V. Рассмотрим в первом
экземпляре D х I геометрическую косу, представляющую косу /3, а во втором —
тривиальную косу Qx/. При описанном выше склеивании мы
получим /3; см. рис. 2.4. Диаграмма зацепления в S1 x J, представляющая
замыкание /3, получается при замыкании косы /3 так, как изображено
на рис. 2.5.
Рис. 2.4. Замыкание косы /3 Рис. 2.5. Диаграмма замыкания /3
Теорема 2.1. Для любого п>1и любых /3, /3' € Вп замкнутые косы
Р и J3' тогда и только тогда изотопны в полнотории, когда косы 13
и /3' сопряжены в группе Вп.
Теорема 2.1 дает изотопическую классификацию замкнутых п-кос
в полнотории: изотопические классы замкнутых п-кос биективно
соответствуют классам сопряженности в группе Вп. В частности, любой
инвариант сопряженности элементов группы Вп определяет некоторый

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
79
изотопический инвариант замкнутых п-кос. Например,
характеристический полином любого конечномерного линейного представления
группы кос Вп дает некоторый инвариант замкнутых п-кос. Теорема 2.1
ставит задачу найти алгоритм, решающий вопрос, сопряжены ли два
заданных элемента группы Вп. Мы займемся этой задачей в гл. 6.
2.2.4. Доказательство теоремы 2.1
Прежде всего заметим, что сопряженные элементы группы Вп
определяют изотопные замкнутые косы. Другими словами,
афаГ1 = Р
для любых а, /3 е £п. Для доказательства этого равенства нужно
составить диаграмму косы а/За-1 из трех диаграмм для трех сомножителей.
Затем будем двигать верхнюю диаграмму, представляющую косу а,
по п параллельным нитям направо и далее до тех пор, пока она не
подойдет снизу к диаграмме косы а~1. Отсюда следует, что
офог1 = for^a = /3.
Докажем обратное утверждение: любые косы с изотопными
замыканиями в V = D х S1 сопряжены. Для этого нам понадобится более
подробно изучить замкнутые косы в V. Положим V=D x R. Умножив D
на универсальное накрытие
R-^S1, t -> exp(27iit),
мы получим универсальное накрытие V —> V. Обозначим через Г
скольжение V —> V, переводящее (х, t) в (х, t + 1) для всех х е D, t € R.
Пусть L — замкнутая п-коса в V. Тогда ее прообраз L с V
представляет собой одномерное многообразие, пересекающее каждый круг
D х {t}, где t G R, трансверсально в п точках. Из этого следует, что L
состоит из п компонент, каждая из которых гомеоморфна R. Больше
информации об L можно получить, представив L как замыкание
некоторой геометрической косы Ъ с D х /, где мы отождествляем 1/д1 с S1.
Тогда
1= (J Тт(Ъ).
meZ
В силу п. 1.7.2 мы можем написать
b = |J(/t(Q),t),
tel

80
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
| Ь |
| ь |
Рис. 2.6. Гомеоморфизм (D x R, Q x R) ^ (D x R, L)
где {/t: D —> D}t€/ — такое непрерывное семейство гомеоморфизмов,
что /o(Q) = Q, /i = icb и для каждого t гомеоморфизм ft поточечно
неподвижен на крае 3D. Определим сохраняющий уровни
автогомеоморфизм произведения V = D x R по правилу
(х,^(/Иг]/-м(х),г),
где х е D, t е R и [t] — наибольшее целое число, меньшее или равное t.
Этот гомеоморфизм поточечно неподвижен на крае 3V = 3D x R, и он
отображает Q x R на L; см. рис. 2.6. Значит, он индуцирует
гомеоморфизм (D\Q) х R a* V\L, откуда следует, что D\Q = (D\Q) x {0} с V\L
является деформационным ретрактом пространства V\L.
Выберем какую-нибудь точку d е 3D, как на рис. 1.15, и
положим d = (d, 0) G V. Ясно, что индуцированный вложением
гомоморфизм i: 7ii (D \Q, d) —> tti (V \L, d) является изоморфизмом. По
определению T(d) = (d, 1). Ограничение скольжения Г на V\L индуцирует
изоморфизм 7ii(V\L,d) —> ^i(V\L, 7(d)). Рассмотрим изоморфизм
7Zi(V\L,T(d)) —> ^i(V\L,d), полученный сопряжением петель с
помощью пути d х [0,1] с 3D х R с V \L. Композиция Г# этих двух
изоморфизмов является автоморфизмом группы п\{у \L, d). Из данного
выше описания многообразия L следует коммутативность диаграммы
7n(D\Q,d) —
Р(/о)
я,(0'
\Q,d)-
— Я1 (V\L,d)
l—> n1(V\
т#
L,d),

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
81
где р(/о) — автоморфизм группы 7ii (D\Q, d), индуцированный
ограничением автогомеоморфизма /0 на D\Q; ср. п. 1.6.3. Покажем, что
i~lT#i = p(/o). Действительно, доказательство теоремы 1.33
показывает, что введенный в п. 1.6.3 гомоморфизм r\:Bn-* 9tt(D,Q)
отображает косу /3 G Вп, представленную геометрической косой Ь, в
изотопический класс гомеоморфизма /о: (D,Q) —> (D,Q). Отождествим,
как мы это делали в п. 1.6.3, группу Tii (D\Q, d) со свободной
группой Fncn образующими ось х2,..., дсп. По теореме 1.33 получаем, что
р(/о) = PV(P) = P есть сплетающий автоморфизм группы Fn,
соответствующий косе /3. Следовательно, i~lT#i = /3.
Возьмем теперь две косы /3, /3' е Вп с изотопными
замыканиями в У. Представим их геометрическими косами b,b' с D х I и
обозначим через L, V с У их соответствующие замыкания. По условию
существует такой гомеоморфизм g: V —> У, который отображает L
на V с сохранением их канонических ориентации и который
изотопен тождественному отображению idy: У —> У. Значит, ограничение
гомеоморфизма g на край ЭУ изотопно тождественному отображению
id: dV —> ЭУ. Поэтому g|av продолжается до некоторого
гомеоморфизма g': У —> У, равного тождественному отображению вне некоторой
узкой трубчатой окрестности края ЭУ в У. Мы можем считать, что эта
окрестность не пересекается с Z/, так что g' тождественно на V. Далее,
гомеоморфизм h = (g')-1&: V ->V поточечно неподвижен на крае ЭУ
и отображает L на V с сохранением их канонических ориентации. Так
как гомеоморфизм h поточечно неподвижен на ЭУ и индуцированный
вложением гомоморфизм п\ (ЭУ) —> 7ii (У) = Z сюръективен, h
индуцирует тождественный автоморфизм группы п\(у). Поэтому h
поднимается до такого гомеоморфизма h: V ->V, который поточечно
неподвижен на ЭУ, причем hT = Th и h(L) = V. Следовательно, h индуцирует
изоморфизм h#: 7ii (У \L,d) —> 7ii (У \L',d), коммутирующий с Г#.
Рассмотрим автоморфизм у = (i')~lh#i группы Fn = ^i(D\Q,d),
где/: rci(D\Q,d)^rci(y\L,d)Hi': 7ii(D\Q,d) -> 7ii(y\L',d) —
изоморфизмы, индуцированные вложениями. Имеем равенства
J8' = GT1^'
и
^Дуг1 = (О-'Я*»-1^!!-1^*)-^' = (0_1г#1" = Д'.
Мы утверждаем, что у является сплетающим автоморфизмом
группы Fn. Из этого следует, что /3 и /3' сопряжены в группе сплетающих

82
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
автоморфизмов группы Fn. А по теореме 1.31 из этого следует, что /3
и /3' сопряжены в группе кос Вп.
По определению классы сопряженности образующих
хи x2,...,xneFn = 7Ti (D\Q, d)
представимы малыми петлями, обегающими точки из Q в D.
Вложение D\Q = (D\Q) х {0} cV\L отображает эти петли в малые петли
в V\L, обегающие компоненты прообраза L. Гомеоморфизм h: V —> V
преобразует эти петли в малые петли в V \Z/, обегающие компоненты
прообраза V. Последние же петли представляют классы
сопряженности образов элементов Х\, х2,..., хп при вложенииD\Q= (D\Q)x{0}с
с V\Z/. Следовательно, автоморфизм у> преобразует с точностью до
перестановки классы сопряженности элементов х\, х2,..., хп в себя.
Первое условие в определении сплетающего автоморфизма
проверено. Второе условие гласит, что if (x) = х, где
х = xix2 ... хп G Fn = п 1 (D \ Q, d).
Заметим, что элемент х представим петлей dD с отмеченной точкой d.
Вложение D\Q = (D\Q) x {0} с V\L отображает эту петлю в dD x {0}.
Так как гомеоморфизм h поточечно неподвижен на dV, получаем, что
h#i(x) = i'(x), и потому у{х) = х. □
2.2.5. Диаграммы замкнутых кос
Диаграммой замкнутой косы в кольце S1 xl называется такая
диаграмма & ориентированного зацепления в S1 x J, что при движении
точки по ^ в положительном направлении ее проекция на S1
движется по S1 против часовой стрелки, не останавливаясь и не меняя своего
направления. Другими словами, ограничение проекции S1 х I —> S1
на ^ является сохраняющим ориентацию накрытием над S1 (с
ветвлением в перекрестках диаграммы &). Количество точек диаграммы ^,
проектирующихся в заданную точку на окружности S1, не зависит
от выбора этой точки, если перекрестки диаграммы & считать с
кратностью 2. Это число называется числом линий диаграммы ^.
Примеры диаграмм замкнутых кос с п линиями в S1 х / можно получить,
замыкая обычные диаграммы кос из п нитей, как показано на рис. 2.5.
Каждая диаграмма замкнутой косы в S1 х / очевидным образом
представляет некоторую замкнутую косу в полнотории S1 x I x I;
ср. п. 2.1.2. Ясно, что каждая замкнутая коса в S1 x I x I может быть
представлена некоторой диаграммой замкнутой косы в S1 х I.

§2.2. Замкнутые косы в полнотории
83
К диаграмме замкнутой косы мы можем применять движения Щг>
Г^зГ и обратные к ним. Эти движения действуют так, как показано
на рис. 1.5а и 1.56, где проекции на горизонтальную и
вертикальную оси на плоскости картинки соответствуют проекциям на I и S1
соответственно. Эти движения оставляют диаграмму в своем классе
диаграмм замкнутых кос и сохраняют изотопический класс замкнутой
косы, представленной этой диаграммой.
Лемма 2.2. Две диаграммы замкнутых кос @ и &' в S1 х I тогда
и только тогда представляют изотопные замкнутые косы в
полнотории S1 х J х J, когда О) можно преобразовать в &f некоторой конечной
последовательностью изотопии {в классе диаграмм замкнутых кос)
и движений (П*)*1, (П§г)±1.
Доказательство. Нужно только доказать, что если диаграммы ®
и &' представляют изотопные замкнутые косы в полнотории, то Of
можно преобразовать в ®' некоторой конечной последовательностью
изотопии и движений (Q^)*1, (fig1")*1. Выберем точку zgS1 так, чтобы
отрезок {%} х I не пересекал перекрестки диаграмм Of и ®'. Разрезав
& и ®' по этому отрезку, мы получим две диаграммы кос b и Ь'
соответственно. По теореме 2.1 они представляют сопряженные косы.
Применяя П^-движение к диаграмме ® в некоторой окрестности
отрезка {%} х J, мы можем преобразовать Ъ в о^-ЬстГ"1 и a[~lbat для любого
i = 1,2,..., п — 1. Применяя такие движения рекурсивно, мы можем
преобразовать диаграмму косы Ъ в любую сопряженную к ней диаграмму.
Поэтому мы можем считать, что Ъ и V представляют изотопные косы.
Тогда в силу теоремы 1.6 эти диаграммы можно связать некоторой
конечной последовательностью изотопии и косообразных движений. Эта
последовательность индуцирует последовательность изотопии и косо-
образных движений, преобразующих диаграмму @ в диаграмму ®'. □
Упражнение 2.2.1. Проверьте, что для любой косы ^еВп число
компонент ее замыкания /3 равно числу циклов в разложении
перестановки я(/3) € 6П в произведение коммутирующих циклов.
Упражнение 2.2.2. Замыкание любой крашеной косы /3 € Рп
является упорядоченным зацеплением с п компонентами, а его i-я
компонента является замыканием i-й нити косы /3 для всех i = 1,2,..., п.
Докажите, что для любых /3, /З7 еРп их замыкания /3 и /3' тогда и только
тогда изотопны в полнотории в классе упорядоченных
ориентированных зацеплений, когда /3 и /3' сопряжены в группе Рп.

84
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Упражнение 2.2.3. Докажите, что если две замкнутые косы L, V с
с V = D х S1 изотопны, то они изотопны в классе замкнутых кос
в V, т. е. существует такая изотопия {Fs: V —> V}se/ замкнутой косы L
в замкнутую косу Z/, что FS(L) является замкнутой косой для всех sel.
(Указание: используйте теорему 2.1.)
Упражнение 2.2.4. Пусть L с V — замкнутая коса. Докажите, что
ядро индуцированного вложением гомоморфизма ni (V \L) —> tii (V) = Z
является свободной группой. (Указание: в обозначениях п. 2.2.4 это
ядро изоморфно Ui(V\L,d).)
§23. Теорема Александера
Мы докажем здесь принадлежащую Дж. У. Александеру
фундаментальную теорему о том, что все зацепления в R3 изотопны замкнутом
косам.
2.3.1. Замкнутые косы в R3
Возьмем евклидову окружность на плоскости R2 х {0} с R3 с
центром в начале координат О = (0,0,0). Отождествим замкнутую
цилиндрическую окрестность этой окружности в R3 с полноторием V=D xS1.
Под замкнутой п-косой в R3 мы будем понимать ориентированное
геометрическое зацепление в R3, лежащее в V с R3 как замкнутая п-коса
с канонической ориентацией, определенной направлением против
часовой стрелки (ср. рис. 2.3, на котором плоскостью R2 х {0} служит
плоскость рисунка).
В частности, для любой косы /3 еВпее замыкание |ЗсУ
определяет замкнутую косу в R3 посредством вложения V с R3; ср. рис. 2.4. Эту
замкнутую косу мы также будем обозначать /3 и называть замыканием
косы /3. Диаграмма замыкания /3 получается из диаграммы косы 13
соединением нижних концевых точек с верхними концевыми точками
с помощью п стандартных дуг; ср. рис. 2.5, на котором нужно
проигнорировать пунктирные окружности. Подчеркнем, что замкнутые косы
в R3 суть ориентированные геометрические зацепления.
Например, замыкание тривиальной косы из п нитей есть
тривиальное п-компонентное зацепление. Замыкание косы afl e В2
представляет собой тривиальный узел. Замыкание косы af2 e В2 является
ориентированным зацеплением Хопфа. Более общим образом,
замыкание косы <7{" е В2, т е Z, является так называемым торическим
(2,т)-зацеплением (или торическим зацеплением типа (2, т)). Оно

§ 2.3. Теорема Александера
85
состоит из двух компонент при четном т и одной компоненты при
нечетном т.
Можно дать эквивалентное и вместе с тем более
непосредственное определение замкнутых кос в R3. Рассмотрим координатную ось
I = {(О,0)} х R с R3, пересекающую плоскость R2 х {0} в начале
координат О = (0,0,0). Вращение в плоскости R2 х {0} вокруг точки О
по направлению против часовой стрелки определяет положительное
направление вращения вокруг прямой L Ориентированное
геометрическое зацепление L с R3 \£ называется замкнутой п-косой, если при
движении точки X е L по L в направлении, определенном
ориентацией L, вектор, направленный из точки О в точку X, будет вращаться
в положительном направлении вокруг прямой L Покажем
эквивалентность этого определения предыдущему. В открытой полуплоскости
в R3, ограниченной прямой I, возьмем какой-нибудь круг D с центром
в R2 х {0}. Вращая круг D вокруг прямой £, мы заметем полноторие
V = D х S1. Взяв круг D достаточно большим, мы можем считать, что
заданное зацепление L с R3 \£ лежит внутри этого полнотория V. Ясно,
что L — замкнутая коса в смысле первого определения в том и только
том случае, когда L — замкнутая коса в смысле второго определения.
Теорема 2.3 (Дж.У. Александер). Любое ориентированное
зацепление в R3 изотопно некоторой замкнутой косе.
Доказательство. Под полигональным зацеплением мы будем
понимать такое геометрическое зацепление в R3, компонентами
которого являются замкнутые ломаные линии. Вершинами и ребрами
полигонального зацепления мы будем называть вершины и ребра его
компонент. Хорошо известно, что всякое геометрическое зацепление
в R3 изотопно некоторому полигональному зацеплению (ср.
доказательство теоремы 1.6). Нам нужно доказать только то, что любое
ориентированное полигональное зацепление L с R3 изотопно
некоторой замкнутой косе. Слегка пошевелив вершины зацепления L в R3,
мы получим полигональное зацепление, изотопное зацеплению L.
С помощью таких малых деформаций мы можем обеспечить, чтобы
выполнялось условие L с R3 \t и чтобы ребра зацепления L не
лежали в плоскостях, проходящих через ось I — {(0,0)} х R. Рассмотрим
в зацеплении L ребро
ACcLcR3\£,
считая, что направление от А к С совпадает с ориентацией
зацепления L. Говорят, что ребро АС положительное (соответственно от-

86
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
рицателъное), если при движении точки X е АС от А к С вектор,
направленный из начала координат О е t в точку X, будет вращаться
в положительном (соответственно отрицательном) направлении
вокруг прямой L Из предположения, что ребро АС не лежит в плоскости,
содержащей прямую t, следует, что это ребро либо положительное,
либо отрицательное. Говорят, что ребро АС зацепления L допустимое,
если найдется такая точка Bet, что треугольник ABC будет
пересекаться с L только по АС.
Если все ребра зацепления L положительные, то L — замкнутая
коса и доказывать нечего. Рассмотрим далее случай, когда в
зацеплении L имеется отрицательное ребро АС. Опишем теперь процедуру
замены ребра АС последовательностью положительных ребер. Будем
предполагать, что ребро АС допустимое. Тогда имеется такая точка
Bet, что треугольник ABC пересекается с L только по АС. В плоскости
треугольника ABC возьмем несколько больший треугольник ABfC,
содержащий точку В внутри себя, пересекающий прямую t только в
точке В и пересекающий зацепление L по АС; см. рис. 2.7. К зацеплению L
применим А-движение А{АВ'С), которое
заменяет АС на два положительных
ребра АВ' и В'С (аналогичные движения
геометрических кос см. в п. 1.2.3; по
сравнению с ситуацией кос мы не накладываем
здесь никаких условий на третью
координату вершин). Получившееся в
результате полигональное зацепление изотопно
Рис. 2.7. Треугольник АВ С исходному зацеплению L и имеет на одну
отрицательную вершину меньше, чем L.
Предположим теперь, что ребро АС не допустимое. Заметим, что
каждая точка Р отрезка АС содержится в некотором допустимом по-
дотрезке ребра АС. (Чтобы убедиться в этом, выберем точку Bet так,
чтобы отрезок РВ пересекал зацепление L только в точке Р. Затем
немного «утолщим» этот отрезок внутри треугольника ABC так, чтобы
получившийся треугольник Р~ВР+ пересекал зацепление L по своей
стороне Р~Р+ с АС, содержащей точку Р. Эта сторона Р~Р+ и есть
допустимый подотрезок ребра АС.) Так как ребро АС компактное, мы
можем разбить его на конечное число допустимых подотрезков. Так же
как и ранее, применим к каждому из них А-движение. Для этого мы
предварительно выберем различные для разных подотрезков точки
В е t и достаточно близкие к ним точки В', чтобы они оставались вне

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
87
других ребер зацепления L. Поскольку ребро АС не лежит в плоскости,
содержащей прямую £, определяющие эти Д-движения треугольники
пересекаются только в общих вершинах последовательных подотрез-
ков ребра АС (чтобы убедиться в этом, рассмотрите проекции этих
отрезков и треугольников на плоскость {0} х М2, ортогональную
прямой £). Следовательно, эти А-движения не мешают друг другу, и их
можно выполнить в любом порядке. Они заменяют АС с L на
конечную последовательность положительных ребер, начинающуюся в
точке Л и заканчивающуюся в точке С. Получившееся в результате
полигональное зацепление изотопно исходному зацеплению L в R3.
Применяя эту процедуру по индукции по всем отрицательным ребрам
зацепления L, мы получим замкнутую косу, изотопную зацеплению L. □
Упражнение 2.3.1. Проверьте, что при замыкании кос о\ еВ2и
о~2 е В2 получаются неизотопные ориентированные двухкомпонент-
ные зацепления, которые в то же время изотопны, если их
рассматривать как неориентированные зацепления. {Указание: рассмотрите
коэффициент зацепления его компонент.)
Упражнение 2.3.2. Убедитесь в том, что замыканием косы of
является трилистник, изображенный слева на рис. 2.1 и снабженный
некоторой ориентацией. Убедитесь в том, что замыканием косы
(jj-1 <72(Jj-1 <72 является узел восьмерка, изображенный на рис. 2.1 и
снабженный некоторой ориентацией.
Упражнение 2.3.3. В замыкании косы сх"1 а*2... a1-"1 (ri,r2,..., rm e
е Z) обратили ориентацию всех компонент. Покажите, что
полученное ориентированное зацепление в R3 будет изотопно замыканию
косы ar.m ...<j]2<jr.1.
lm l2 ll
§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
По теореме Александера каждое ориентированное зацепление
L с R3 изотопно некоторой замкнутой косе. Полезно уметь находить
такую косу исходя из диаграммы зацепления L. Приведенное выше
доказательство теоремы Александера не слишком полезно: в ходе
этого доказательства диаграмма изменяется некоторыми глобальными
преобразованиями, которые мало контролируются. В этом параграфе
мы опишем простой алгоритм, по каждой диаграмме зацепления L
дающий косу, замыкание которой изотопно исходному зацеплению L.
Между прочим, это дает другое доказательство теоремы Александера.

88
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2.4.1. Предварительные определения
Прежде всего мы заметим, что любые две непересекающиеся
ориентированные (топологические) окружности на сфере S2
ограничивают некоторое кольцо в S2. Говорят, что эти окружности несогласова-
ны, если их ориентация индуцирована некоторой ориентацией этого
кольца. В противном случае эти окружности называются
согласованными. Например, две ориентированные концентрические окружности
в R2 с S2 согласованы, если они обе ориентированы либо по
направлению часовой стрелки, либо против часовой стрелки.
Рассмотрим диаграмму ориентированного зацепления & в R2.
Вблизи каждого перекрестка х диаграмма & выглядит либо как 2-ко-
са <7ь либо как 2-коса а"1. Сглаживание диаграммы & в
перекрестке х заменяет эту 2-косу на тривиальную 2-косу, а остальная часть
диаграммы & остается при этом неизменной; см. рис. 2.8.
Сглаживая диаграмму <$ во всех ее перекрестках, мы получим некоторое
замкнутое ориентированное одномерное подмногообразие в R2. Оно
состоит из конечного числа непересекающихся ориентированных
(топологических) окружностей, называемых окружностями Зейфер-
та диаграммы &. Их количество обозначим п(^). Две окружности
Зейферта диаграммы 0 называются согласованными (соответственно
несогласованными), если они согласованы (соответственно несогла-
сованы) в S2 = R2 U {оо}. Количество пар несогласованных
окружностей Зейферта диаграммы & обозначается h{&) и называется
высотой диаграммы <$. Ясно, что 0 < h(^) < п(п — 1)/2, где п = п{&).
Оба числа п{&) и fr(f^) являются изотопическими инвариантами
диаграммы 0.
Рис. 2.8. Сглаживание перекрестка
Диаграмму ориентированного зацепления & в R2 назовем
диаграммой замкнутой косы из п нитей, если она лежит в кольце S1 х I с R2
и является диаграммой замкнутой косы в этом кольце в смысле п. 2.2.5.
Понятно, что все нити диаграммы & ориентированы против часовой
стрелки.

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
89
Примеры таких диаграмм получаются из диаграмм кос из п нитей,
в которых верхние и нижние концевые точки соединяются п
непересекающимися дугами в R2 так, как изображено на рис. 2.5, а
ориентация нитей индуцирована ориентацией косы, направленной сверху
вниз. Сглаживая диаграмму замкнутой косы & из п нитей во всех
ее перекрестках, мы получаем некоторую диаграмму замкнутой косы
из п нитей без перекрестков. Такая диаграмма состоит из п
непересекающихся концентрических окружностей в R2 с ориентацией против
часовой стрелки. Поэтому n{9f) = п и h{&) = 0.
2.4.2. Изгибания и сжимания диаграмм зацеплений
Рассмотрим диаграмму ориентированного зацепления & в R2.
Обозначим через , , 0
Щ с R2
объединение всех компонент диаграммы ^, в котором мы забываем
информацию о том, как одни из них проходят над (или под)
другими. Это 4-валентный граф в R2, вершины которого — перекрестки
диаграммы ty. Под ребром диаграммы ty мы будем понимать
компоненту связности дополнения к множеству перекрестков в |®|.
Ребрами диаграммы & являются вложенные дуги или окружности в R2
(окружности возникают из тех компонент диаграммы Э, которые
не пересекаются с другими компонентами). Под областью
диаграммы & мы будем понимать компоненту связности дополнения R2 \ |®|.
Будем говорить, что область / диаграммы <$ примыкает к ребру а
этой диаграммы, если ребро а содержится в замыкании области /.
Будем говорить, что область / примыкает к окружности Зейферта S
диаграммы @, если область / примыкает по крайней мере к одному
ребру этой диаграммы, содержащемуся в S. Область / диаграммы &
называется дефектной областью, если она примыкает к двум
разным ребрам ai и а2 этой диаграммы, которые содержатся в разных
и несогласованных окружностях Зейферта этой диаграммы.
Ориентированная вложенная дуга с с R2, соединяющая некоторую точку
ребра а\ с некоторой точкой ребра а2 и лежащая (за исключением
своих концевых точек) в области /, называется редукционной дугой
диаграммы & в области /. Определение несогласованности
окружностей Зейферта Si и S2 можно переформулировать, сказав, что одно
из ребер а\ и а\ пересекает редукционную дугу с справа налево, а
другое — слева направо. Если даны такие аь а2 и с, мы можем применить
к диаграмме <$ второе движение Реидемеистера, потянув поддугу

90
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
fli
с
>
а2
Рис. 2.9. Изгибание по дуге с
ребра <2i по дуге с так, чтобы затем
надвинуть ее над ребром а2; см. рис. 2.9.
Мы назовем это движение изгибанием
диаграммы @ по дуге с, включающим
(несогласованные) окружности Зейферта
Si и S2. Результат этого
движения—диаграмма изотопного зацепления.
Обратное движение называется сжиманием.
Например, рассмотрим диаграмму & тривиального узла в R3,
изображенного слева на рис. 2.10. Ее граф |®| имеет две вершины и четыре
ребра. Сгладив диаграмму & в обоих перекрестках, мы получим три
окружности Зейферта. Все они ориентированы против часовой
стрелки, и одна из них окружает остальные две. Две меньшие окружности
несогласованы друг с другом и согласованы с большей окружностью.
Поэтому п(^) — 3 и h{&) = 1. Диаграмма & имеет одну дефектную
область. Редукционная дуга этой области изображена пунктирной
стрелкой в левой части рис. 2.10. Изогнув диаграмму & по этой
дуге, мы получим диаграмму, изображенную в правой части рис. 2.10.
Эта диаграмма—диаграмма замкнутой косы в кольце, ограниченная
пунктирными окружностями. (Она изотопна диаграмме замыкания
косы (7i(72(7i(7^1.) Позже мы увидим, что этот пример типичен в том
смысле, что любую диаграмму ориентированного зацепления можно
преобразовать некоторой последовательностью изгибаний и
изотопии в диаграмму замкнутой косы.
Рис. 2.10. Пример изгибания
Следующие три леммы дают ключ к преобразованиям диаграмм
зацеплений в диаграммы замкнутых кос.
Лемма 2.4. Если диаграмма <$' получена изгибанием диаграммы
ориентированного зацепления & в R2, то n(9f') = n{9f) и h(9f') = h{9f) — 1.

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
91
Доказательство. Рассмотрим несогласованные окружности
Зейферта Si и S2 диаграммы ®, фигурирующие в определении изгибания;
см. рис. 2.11. Малый двуугольник, возникающий при изгибании,
дает окружность Зейферта диаграммы ®', которую мы обозначим S0.
Оставшиеся части окружностей Si и S2 дают еще одну окружность
Зейферта диаграммы &, которую мы обозначим Soo. Все другие
окружности Зейферта диаграммы & переходят в У без изменений. Поэтому
п{&/) = п{&). Заметим, что окружности Зейферта в & и & не проходят
через затушеванные области на рис. 2.11.
Рис. 2.11. Окружности Зейферта до и после изгибания
Сравним теперь высоты h(Qf) и h{9}'). Сначала заметим, что
окружности Зейферта Si и S2 ограничивают непересекающиеся круги D\
и D2 соответственно в S2 = R2 U {оо}. Для i = 1,2 обозначим через d;
количество окружностей Зейферта диаграммы &, лежащих в
открытом круге D° = Д \ЭД. Пусть d — количество окружностей Зейферта
в &, лежащих в кольце S2 \ (Di UD2) и не согласованных с Si. Наконец,
пусть h — количество пар несогласованных друг с другом окружностей
Зейферта диаграммы ®, отличающихся от Si и S2. Мы утверждаем, что
Для этого достаточно проверить, что количество пар несогласованных
друг с другом окружностей Зейферта диаграммы Э, включая Si или S2
или обе эти окружности, равно di + d2 + 2d + 1. Для i = 1,2 любая
ориентированная окружность в D° не согласована либо с Si, либо с S2,
но не с обеими этими окружностями сразу. Такие окружности дают
вклад di + d2. Ориентированная окружность в S2\(DiUD2) не
согласована с Si тогда и только тогда, когда она не согласована с S2. Такие
окружности дают вклад 2d. Наконец, окружности Si и S2 не
согласованы друг с другом, давая вклад 1.
Мы утверждаем, что
ft(0O = h + di + d2 + 2d = ft(») -1.

92
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Для этого достаточно проверить, что количество пар
несогласованных друг с другом окружностей Зейферта диаграммы ®', включая S0
или Soo или обе эти окружности, равно di + d2 + 2d. Для i = 1, 2 любая
неориентированная окружность в D° всегда не согласована либо с S0,
либо с Soo, но не с обеими этими окружностями сразу. Такие
окружности дают вклад d\ + d2. Ориентированная окружность в S2 \ (Di U D2)
не согласована с S0 тогда и только тогда, когда она не согласована с Soo,
иначе говоря, когда она не согласована с Si. Такие окружности дают
вклад 2d. Наконец, окружности So и Soo согласованы друг с другом.
Следовательно, h{&) = h{9f) — 1. □
Лемма 2.5. Диаграмма ориентированного зацепления & в R2
тогда и только тогда имеет дефектную область, когда h{&) ф 0.
Доказательство. Разрезав сферу S2 по окружностям Зейферта
диаграммы ®, мы получим компактную поверхность И с краем. Для
перекрестка х диаграммы & обозначим через ух прямой отрезок
около этого перекрестка, соединяющий окружности Зейферта так, как
показано на рис. 2.12. Все эти отрезки не пересекаются друг с другом,
и каждый из них лежит в некоторой компоненте поверхности П.
Рис. 2.12. Отрезок ух
Ясно, что если диаграмма & имеет дефектную область, то h{&) > 0.
Докажем обратное утверждение: если h{&) > 0, то диаграмма & имеет
дефектную область. Сначала докажем, что существуют такая
компонента F поверхности £ и такие две окружности Зейферта в dF, что их
ориентация индуцирована ориентацией этой компоненты. Возьмем
две не согласованные друг с другом окружности Зейферта Si и S2
диаграммы & и рассмотрим какую-нибудь ориентированную вложенную
дугу с с R2, соединяющую точку окружности Si с точкой
окружности S2. Мы можем считать, что дуга с пересекает каждую окружность
Зейферта диаграммы ® трансверсально не более чем в одной точке.
Рассмотрим множество пересечений дуги с со всеми окружностями
Зейферта, включая концевые точки. Это конечное множество. В каж-

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм
93
дой его точке соответствующая окружность Зеиферта направлена либо
в левую, либо в правую сторону дуги с. Несогласованность
окружностей Зеиферта Si и S2 означает, что эти направления в концевых
точках дуги с противоположные. Перебирая последовательно все точки
этого множества в положительном направлении дуги с, мы найдем
пару подряд идущих точек, в которых направления соответствующих
окружностей Зеиферта противоположны. Поддуга дуги с между этими
точками определяет компоненту F поверхности Е с требуемыми
свойствами. Предостережение: эта поддуга может пересекаться с
некоторыми отрезками ух; тогда она не лежит ни в какой области диаграммы $.
Рассмотрим подробнее такую компоненту F поверхности И, что
в ее крае dF имеется не менее двух окружностей Зеиферта,
ориентация которых индуцирована из некоторой ориентации компоненты F.
Зафиксируем эту ориентацию компоненты F. Назовем окружность
Зеиферта в dF положительной, если ее ориентация индуцирована
ориентацией компоненты F, и отрицательной в противном случае.
По предположению в крае dF имеется не менее двух положительных
окружностей Зеиферта. Если компонента F не содержит отрезков ух,
то F° = F\dF является областью диаграммы ^, примыкающей не
менее чем к двум положительным окружностям Зеиферта в dF.
Следовательно, эта область дефектная. Предположим теперь, что
компонента F содержит некоторые отрезки ух. Удалив их из F, мы получим
некоторую подповерхность F'cF. Ясно, что любая компонента /
этой подповерхности F' примыкает не менее чем к одному отрезку ух
и внутренность компоненты / является областью диаграммы &.
Каждый отрезок ух с F соединяет положительную окружность Зеиферта
в dF с отрицательной. Поэтому компонента / примыкает не менее чем
к одной положительной и не менее чем к одной отрицательной
окружности Зеиферта. Если компонента / примыкает не менее чем к двум
положительным или не менее чем к двум отрицательным
окружностям Зеиферта, то / — дефектная область. Предположим теперь, что
каждая компонента / подповерхности F' примыкает ровно к одной
положительной и ровно к одной отрицательной окружности Зеиферта.
Заметим, что, двигаясь из этой компоненты / в любую соседнюю
компоненту подповерхности F/ по некоторому отрезку ух с F, мы
встретимся с этими же самыми окружностями Зеиферта. А так как
компонента F связна, мы можем перейти описанным способом из любой
компоненты подповерхности F/ в любую другую компоненту.
Следовательно, край dF содержит ровно одну положительную и ровно одну

94
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
отрицательную окружность Зейферта. А это противоречит нашим
предположениям. Итак, диаграмма & имеет дефектную область. □
Лемма 2.6. Любая диаграмма ориентированного зацепления $
в R2, для которой h{&) ~ 0, изотопна в сфере S2 = R2 U {оо} некоторой
диаграмме замкнутой косы в R2.
Доказательство. Пусть Е и {ух}х те же, что и в доказательстве
предыдущей леммы. Предположим, что h{^f) = 0. Мы должны доказать,
что диаграмма & изотопна в S2 некоторой диаграмме замкнутой косы
в плоскости R2 = S2\{oo}. Если край некоторой компоненты
поверхности Е состоит из трех или более компонент, то две из них должны
быть несогласованы в S2, что противоречит нашему предположению
h{&) = 0.
Всякая компактная связная подповерхность двумерной сферы,
край которой имеет одну или две компоненты, есть круг или кольцо.
Поэтому поверхность Е состоит только из кругов и колец. Индукция
по числу кольцевых компонент поверхности Е показывает, что
окружности Зейферта диаграммы О) можно продеформировать некоторой
изотопией сферы S2 в объединение непересекающихся
концентрических окружностей на плоскости R2. Применяя эту изотопию сферы S2
к диаграмме ^, мы можем считать, что с самого начала окружности
Зейферта диаграммы О) — концентрические окружности на
плоскости R2. Из равенства fr(^) = 0 следует, что все эти окружности
ориентированы в одном и том же направлении: либо по часовой стрелке,
либо против часовой стрелки. В первом случае применим к диаграмме <$
еще одну изотопию, которая проталкивает все окружности Зейферта
через точку оо е S2 так, что в конечном положении все они станут
концентрическими окружностями в R2, ориентированными против
часовой стрелки. Подвергнув диаграмму ® еще одной изотопии, мы
можем дополнительно считать, что все окружности Зейферта
концентрические, а отрезки ух радиальные, т. е. содержатся в некоторых
радиусах. Получившаяся в результате диаграмма зацепления транс-
версальна ко всем радиусам и потому представляет собой диаграмму
замкнутой косы. □
2.4.3. Алгоритм
Теперь мы можем описать алгоритм, который любую диаграмму $
ориентированного зацепления L в R3 преобразует в некоторую
диаграмму замкнутой косы этого зацепления. Для этого достаточно для

§2.4. Зацепления как замыкания кос: алгоритм 95
каждой дефектной области этой диаграммы выполнить операцию
изгибания. В силу лемм 2.4 и 2.5 этот процесс остановится после h{9f)
шагов и даст диаграмму У зацепления L, для которой п(^') = п{&)
и h($') = 0. По лемме 2.6 диаграмма & изотопна в S2 некоторой
диаграмме замкнутой косы % в R2. Эта диаграмма ^0 также
представляет зацепление L; ср. упражнение 2.1.2. Так как число
окружностей Зейферта есть изотопический инвариант, получаем, что п(%) =
= п{9}') = п(^). Поэтому % —диаграмма замкнутой косы сп = п{&)
дугами. Если диаграмма <$ имеет к перекрестков, то диаграмма &0
имеет к + 2h{&) перекрестков. Соответствующая коса представлена
некоторым словом длины к + 2h($) <fc + 7i(n — 1) от образующих
(J1±1,...,(J*i1€BIl.
Отметим одно следствие из этого алгоритма.
Следствие 2.7. Если ориентированное зацепление в R3
представлено некоторой диаграммой с п окружностями Зейферта, то оно
изотопно некоторой замкнутой п-косе.
Обратное к этому следствию утверждение также верно, так как
нам известно, что всякая диаграмма замкнутой косы из п нитей
имеет 71 окружностей Зейферта.
Упражнение 2.4.1. Докажите, что сглаживание любого
перекрестка (или произвольного числа перекрестков) в диаграмме
ориентированного зацепления не увеличивает числа дефектных областей.
решение. Пусть & — диаграмма ориентированного зацепления, х —
ее перекресток и &х—диаграмма ориентированного зацепления,
полученная из диаграммы & сглаживанием ее в перекрестке х. Заметим,
что диаграммы & и &х имеют одно и то же количество окружностей
Зейферта. Обозначим через ух прямой отрезок около перекрестка х,
соединяющий две окружности Зейферта, такой, как показан на рис. 2.12.
Обозначим через / ту область диаграммы &х, которая содержит
отрезок ух- Если дополнение f\yx связно, то диаграммы Of и &х имеют
одни и те же области. Поэтому они имеют равное количество
дефектных областей. Предположим, что отрезок ух разделяет область / на два
связных куска /i и /2, тогда это области диаграммы &. Достаточно
доказать, что если /i и fo не дефектные области диаграммы Э, то /
не является дефектной областью диаграммы $х- Так как область /i
(соответственно область /2) не дефектная, она примыкает не более
чем к двум окружностям Зейферта. А так как отрезок ухс f соединяет

96
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
окружности Зейферта разных знаков (относительно любой
ориентации области /), эти окружности разные и согласованы друг с другом.
Следовательно, области /i и /2 примыкают к одной и той же паре
разных согласованных друг с другом окружностей Зейферта. Область /
примыкает к тем же окружностям. Поэтому область / не дефектная.
§2.5. Теорема Маркова
В этом параграфе мы сформулируем фундаментальную теорему,
позволяющую описать все косы с изотопными замыканиями в R3. Эта
принадлежащая А. А. Маркову теорема основывается на так
называемых марковских движениях кос.
2.5.1. Марковские движения
Представление ориентированного зацепления в R3 в виде
замкнутой косы далеко не единственно. Как мы знаем, если две косы /3, /З'е£п
сопряжены друг другу (мы записываем это как /3 ~с /3'), то их
замыкания /3, /3' изотопны друг другу в полнотории и потому в R3. Вообще
говоря, обратное утверждение неверно. Например, замыкания кос <7i
и ст^1 из двух нитей представляют собой тривиальные узлы, хотя эти
косы не сопряжены друг другу в группе Bi = Z. Имеется еще одна
простая конструкция кос с изотопными замыканиями. Для любой
косы /3 е Вп рассмотрим косы <7пб(/3) и a^tiP), где t — естественное
вложение Вп <—> Bn+\. На картинках легко заметить, что замыкания
кос <7пб(/3) и ст^С/З) изотопны замыканию /3 в R3.
Для кос /3, у£.Вп преобразование /З^у/Зу"1 называется первым
марковским движением и обозначается Мь Преобразование /3 >-> <7„б(/3),
где е = ±1, называется вторым марковским движением и
обозначается М2. Заметим, что преобразование, обратное к Mi-движению, тоже
является Mi-движением. Мы будем говорить, что косы /3 и /3'
(возможно, с разным числом нитей) М-эквивалентны, если их можно связать
некоторой конечной последовательностью движений Mi, M2, M^\ где
М"1 —преобразование, обратное к Мг-движению. Мы будем
записывать это как /3 ~ /3'. Ясно, что М-эквивалентность ~ является
отношением эквивалентности на дизъюнктном объединении \\п>1 Вп всех
групп кос. Например, косы <j\, erf1 е В2 являются М-эквивалентными.
В самом деле, используя равенства
а^СТ^СТ^1 = (J\l(J2l(Jll И 0"Г1<72"1<71 = (J20'il(J21,

§2.5. Теорема Маркова
97
мы получаем
_1 _i _i о —1 —1 —1
= <72 О"! <72 CJf (72 = <J1 <J2 О" i &2 =
= C7f1CT^"1C7iCr2 = C72C7f ^^^г = &2&11 ~ Cf1.
Мы видели, что замыкания М-эквивалентных кос изотопны как
ориентированные зацепления в R3. Следующая глубокая теорема
утверждает, что, обратно, любые две косы с изотопными замыканиями
М-эквив ал ентны.
Теорема 2.8 (А. А. Марков). Две косы {возможно, с разным числом
нитей) имеют изотопные замыкания в евклидовом пространстве R3
в том и только том случае, когда эти косы М-эквивалентны.
Фундаментальное следствие из этой теоремы дает описание
множества изотопических классов ориентированных зацеплений в R3
в терминах кос.
Следствие 2.9. Пусть 5£—множество всех изотопических
классов непустых ориентированных зацеплений в R3. Отображение
\Jn>1Bn —> 5£, сопоставляющее всякой косе изотопический класс ее
замыкания, индуцирует биекцию фактормножества (LJn^i^n)/~ на $£.
Здесь сюръективность следует из теоремы Александера, а инъек-
тивность — из теоремы Маркова.
Доказательство теоремы 2.8 начинается в п. 2.5.3 и занимает всю
остальную часть этой главы.
2.5.2. Функции Маркова
Следствие 2.9 позволяет отождествить изотопические
инварианты ориентированных зацеплений в R3 с функциями на множестве
LIn>i^n> постоянными на классах М-эквивалентности. Это приводит
нас к следующему определению.
Определение 2.10. Функцией Маркова со значениями в
множестве Е называется последовательность отображений множеств
{fn- Вп ~* Е}п>1,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) для всех п > 1 и всех а, /3 е £п выполняется равенство
Ма13) = Ша); (2.1)

98
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2) для всех 71 ^ 1 и всех /3 £ Вп выполняются равенства
Ш) = /n+ifaijB) и Ш)=/п+Лст;113). (2.2)
Например, для любого элемента е £ £ постоянные отображения
£п -»£, отображающие Вп в е для всех п, образуют функцию Маркова.
Более интересные примеры функций Маркова будут даны в гл. 3 и 4.
Покажем, что любая функция Маркова {fn: Bn -»£}n>i определяет
некоторый £-значный изотопический инвариант / ориентированных
зацеплений в R3. Пусть L — произвольное ориентированное
зацепление в R3. Выберем косу /3 £ Вп, замыкание которой изотопно L,
и положим /(L) = /п(/3) £ £. Заметим, что /(L) не зависит от
выбора косы /3. Действительно, если /3' £ Вп>—другая коса, замыкание
которой изотопно L, то по теореме 2.8 косы /3 и /3' являются М-экви-
валентными. Из определений М-эквивалентности и функции Маркова
непосредственно следует, что /п(/3) = /п'С^О- Функция / есть
изотопический инвариант ориентированных зацеплений: если LhL7 —
изотопные ориентированные зацепления в R3 и /3 £ВП — коса, замыкание
которой изотопно L, то замыкание косы /3 также будет изотопно V
*№=fnP=fa').
2.5.3. Основная лемма
Мы сформулируем здесь важную лемму, которая понадобится в
доказательстве теоремы 2.8. Начнем с того, что введем некоторые
обозначения. Для любых двух кос а £ Вт и /3 £ Вп образуем их тензорное
произведение а ® /3 £ Вт+п, расположив /3 справа от а так, чтобы эти
косы не пересекались и не зацеплялись друг за друга; см. рис. 2.13.
Здесь вертикальные линии представляют семейства параллельных дуг,
количество которых указано у этой линии.
п
1 р 1
п
т-\
а®/3
т-\
т
а
т
Рис. 2.13. Тензорное произведение кос
Чтобы получить диаграмму тензорного произведения а ® /3,
нужно диаграмму косы /3 поместить справа от диаграммы косы а так,

§2.5. Теорема Маркова
99
чтобы у них не было общих перекрестков. Например, 1т ® 1п = 1т+п,
где 1т — тривиальная коса из т нитей. Ясно, что
а®/3 = (а® 1п)(1т ® /3) = (1т ® Р)(а® 1„).
Заметим также, что
(а® /3)®у = а®(/3 ®у)
для любых кос а, /3, у. Это позволяет нам не писать здесь скобки и
писать просто а ® /3 ® у.
Пусть даны знак е = ± и любые целые числа т,п> О, для
которых m + 71 > 1. Определим для них косу о"т,п € Вт+П. Рассмотрим
стандартную диаграмму косы G\ е B2, состоящую из двух нитей с
одним перекрестком. Заменим ту нить, которая проходит над другой,
на т параллельных нитей,
расположенных очень близко друг к другу.
Аналогично заменим нить, которая проходит под
первой, на п параллельных нитей, тоже
расположенных очень близко друг к
другу. В результате мы получим диаграмму
косы из т + 71 нитей и тп перекрестков.
+ Рис. 2.14. Косы
Эта диаграмма представляет косу а^п е + _
£ Вщ+п- Если в этой диаграмме заменить
все проходы нитей над другими в проходы под теми же нитями, мы
получим диаграмму косы а~>п е Вт+п. Косы а+>п € Вт+п и а~>п € Вт+п
схематически изображены на рис. 2.14. В частности,
°т,0 = °т,0 = °"0,т = °"о5т = ^т
для всех т>1. Ясно, что (о"т)П)-1 = сгй*™. Для всех т,пи е.
Удобно определить символы а^0, <7^0 и 10, считая, что все они
представляют пустую косу с нулевым количеством нитей 0, которая
удовлетворяет тождествам 0®а=а®0=а для любой косы а.
Лемма 2.11. Для любых целых чисел т, п > 0, г, t > 1, знаков
е, v = ± и кос а е Вп+Г, /3 е Bn+t, 7 ^ #m+t, 5 е Bm+r рассмотрим косу
(а, /3, у, 5 | е, v) = (lm ® а ® lt) (lm+n ® crtyr) (lm ® /3 ® lr) (ст~^ ® lt+r) x
X (1П ® у ® 1г)(1п+т ® С7~Л(1п ® 5 ® lt)(c7m,n ® V+t) € Bm+n+r+t.
Класс М-эквивалентности косы (а, /3, у, 5 | £, v) не зависит от е, у, и
(а, /3, у, 5 | е, v> - (5, r, jB, а | е, v). (2.3)

100
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Мы советуем читателю нарисовать диаграмму косы (а, /3, у, 5 \ е, v)
для е = v = +. Мы нарисуем замыкание этой косы, используя
следующие соглашения. Будем представлять себе диаграммы кос лежащими
в квадрате JxJcRx/и считать, что нити выходят из его верхней
стороны /х {0} и входят в нижнюю сторону J x {1}. Стандартная
ориентация нити в диаграмме косы направлена от ее начала (выхода)
к концу (входу). Квадрат 1x1 можно поворачивать вокруг его
центра на угол тг/2. Повернув квадрат I x I на угол п/2 против часовой
стрелки (соответственно по часовой стрелке), мы преобразуем любую
картинку а в этом квадрате в некоторую другую картинку в этом же
квадрате, которую мы обозначим через а+ (соответственно а_). Если
а —диаграмма косы, то у повернутых диаграмм а+ и а_ начала и
концы нитей окажутся на вертикальных сторонах квадрата. Заметим
также, что а++ = а , где а++ = (а+)+ и а = (а_)_.
Выберем и зафиксируем какие-нибудь диаграммы кос а, /3, у, 5,
которые мы будем обозначать соответственно теми же буквами а, /3,
у, 5. Небольшое размышление должно убедить читателя в том, что
рис. 2.15 представляет замыкание косы (а, /3, у, 5 \ +, +).
Рис. 2.15. Замыкание косы (а, /3, у, б | +, +)
Остальная часть доказательства теоремы 2.8 пройдет следующим
образом. В § 2.6 мы выведем эту теорему из леммы 2.11. В § 2.7 мы
докажем лемму 2.11. В этих двух параграфах используется разная
техника, и их можно читать в любом порядке.
Упражнение 2.5.1. Проверьте, что косы
(a,p,r,5\e,v) и {а,/3,у, 5 | -e,-v)
имеют изотопные замыкания. Проверьте, что
(а, /3, у, 5 | е, v) ~с {у, 5,а,/3\ -е, - v). (2.4)
(Указание: поверните замкнутую косу на рис. 2.15 на 180°.)

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 101
Упражнение 2.5.2. Проверьте М-эквивалентность (2.3) для т=п=0.
§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
Начнем с того, что введем еще одно марковское движение.
2.6.1. Движение М3
По определению второе марковское движение М2 преобразует
косу /3 е Вп в o"n(/3 ® li) e Bn+i, где е = ±1. Мы определим еще одно
движение кос Мз, которое преобразует косу /3 е £п в <7i(li®/3)e Bn+i.
Можно проверить непосредственно, что движение Мз сохраняет
изотопический класс замыкания.
Лемма 2.12. Движение М3 разлагается в композицию движений
Mi и М2.
Доказательство. Напомним, что в п. 1.3.3 была определена коса
Ап е Вп. По формуле (1.8) имеем
An(7iA-1 = (7n-ieBn (2.5)
для всех п > 1 и всех i = 1,..., п — 1. В частности,
An+i<JiA~l1 = aneBn+i.
Переходя в этом равенстве к обратным элементам в группе £п+ь
получаем
A^af^Ji^n (2.6)
для е = ±1. Далее проверим, что для любого )ЗеВп имеет место
равенство
A^iCli ® 13)Л-1г = Лп/ЗЛ-1 ® 1ь (2.7)
Обе части этого равенства мультипликативны по /3, поэтому
достаточно проверить его для /3 = <7; е Вп, где i = 1,..., п — 1. Имеем
l1®<ji = ai+ieBn+i
и
Ai+lUl ® O-iMn+l = Ai+l^i+l^+i = C7(„+i)-(i+i) = °n-i € Bn+i.
В то же время AnGiA^1 = an-i еВпи
AnCJiAn1 ® li = o-n_< € Bn+1.

102
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Равенство (2.7) доказано. Умножив равенство (2.6) на равенство (2.7),
мы получаем
Ai+io/(li ® /3)4-+i = ^(Лп/ЗЛ-1 ® 1г),
или, что эквивалентно,
CTfCl! ® /3) = Л-^СТ^^/ЗЛ-1 ® 1!)Лп+1.
Следовательно, движение М3 является композицией сопряжения при
помощи элемента Лп движения М2 с сопряжением при помощи
элемента д~1г □
Из этой леммы следует, что движения Mi, M2, Мз порождают то же
самое отношение эквивалентности ~ на множестве Цп^1#п, что и
движения Mi, М2.
2.6.2. Редукция теоремы 2.8 к утверждению 2.15
Сейчас мы переформулируем теорему 2.8 в терминах замкнутых
кос в полнотории V с R3. Обозначим через М2 преобразование
замкнутых кос в полнотории У, заключающееся в замене замыкания косы /3
из п нитей на замыкание косы а£ (li ® /3), где е = ±1. Обозначим
через Мз преобразование замкнутых кос в полнотории V,
заключающееся в замене замыкания косы /3 из п нитей на замыкание косы
<j((li ® /3), где е = ±1. Движения, обратные к М2 и Мз, будем
обозначать через М^1 и М^"1 соответственно. В силу теоремы 2.1 для
доказательства теоремы 2.8 достаточно доказать следующее утверждение.
Утверждение 2.13. Любые две замкнутые косы в полнотории V,
представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3,
можно связать некоторой последовательностью движений М^ \ М^1 и
изотопии в V.
Здесь и далее все последовательности движений считаются
конечными. В утверждении 2.13 под изотопией в V мы понимаем движение,
заключающееся в замене замкнутой косы в У на другую замкнутую
косу в V, изотопную первой в классе ориентированных зацеплений в V.
Утверждение 2.13 можно переформулировать в терминах диаграмм
замкнутых кос в кольце, определенных в п. 2.2.5. Обозначим через М2
(соответственно Мз) преобразование диаграмм замкнутых кос,
заключающееся в замене замыкания диаграммы косы /3 из п нитей на
замыкание диаграммы косы а£ (/3 ® li) (соответственно <j((1i®/3)), где
е = ±1. Движения М2 и Мз суть в точности движения М2 и Мз, перефор-

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 103
мулированные в терминах диаграмм. Движения диаграмм замкнутых
кос, обратные к М2 и Мз, будем обозначать через М^1 и М^"1
соответственно. Напомним, что нами были определены (см. п. 2.1.3 и 2.2.5)
косообразные движения Рейдемейстера 0% и 0%т. Для доказательства
утверждения 2.13 достаточно доказать следующее утверждение.
Утверждение 2.14. Любые две диаграммы замкнутых: кос в кольце
А с R2, представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3,
можно связать некоторой последовательностью движений (fij^)*1,
(f^)*1, М^1, М31 и изотопии в классе диаграмм ориентированных
зацеплений в А.
Здесь изотопии должны начинаться и заканчиваться
диаграммами замкнутых кос в кольце А (с их каноническими ориентациями),
но при этом не требуется, чтобы промежуточные диаграммы
ориентированных зацеплений были диаграммами замкнутых кос.
Далее мы редуцируем утверждение 2.14 к другому утверждению,
которое формулируется в терминах так называемых нулевых диаграмм.
Мы будем использовать обозначения и терминологию, введенные
в §2.4. Назовем нулевой диаграммой (или 0-диаграммой)2 такую
диаграмму ориентированного зацепления ^ в R2, что h(^) = 0 и все
ее окружности Зейферта ориентированы против часовой стрелки. Из
этих условий следует, что окружности Зейферта диаграммы Of
образуют систему концентрических окружностей в R2. Пронумеруем их
числами 1,2,..., п(^), начиная от самой маленькой (иначе говоря,
самой внутренней) окружности и продолжая к самой большой (иначе
говоря, самой внешней). Заметим, что косообразные движения Qt£
и Q^T преобразуют нулевые диаграммы в нулевые диаграммы.
Движение fti, добавляющее к нулевой диаграмме завиток слева или справа,
вообще говоря, не дает нулевой диаграммы. (Здесь левая и правая
стороны диаграммы определяются ее ориентацией и ориентацией в R2
против часовой стрелки.) Однако для любой нулевой диаграммы $
если Hi-движение добавляет левый завиток в точке этой диаграммы,
которая лежит на самой внутренней окружности Зейферта, то в
результате получается нулевая диаграмма &'. Этот завиток становится
самой внутренней окружностью Зейферта диаграммы &. Такое
преобразование %) —> & будем обозначать через П1^. Аналогично если
добавить правый завиток в точке диаграммы ®, которая лежит на самой
Англ. термин — О-diagram.—Прим. перев.

104
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
внешней окружности Зейферта, и затем протащить этот завиток через
точку оо g S2 так, чтобы он окружил эту точку, то в результате
получится снова нулевая диаграмма ®" в R2. Этот завиток становится самой
внешней окружностью Зейферта диаграммы ®". Такое
преобразование О) —> &' будем обозначать через f^xt. Далее под П-движениями
нулевых диаграмм мы будем понимать преобразования 0%, Q%T, Q}™,
fijxt, обратные к ним преобразования и изотопии в R2.
Утверждение 2.15. Любые две нулевые диаграммы в R2,
представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3, можно связать
некоторой последовательностью П-движений.
Покажем, что из этого утверждения следует утверждение 2.14.
Сначала заметим, что диаграммы замкнутых кос в кольце А с R2 являются
нулевыми диаграммами и для них П1^ = М2 и £1^ = Мг. Рассмотрим
теперь две диаграммы замкнутых кос ? и ^ в А, представляющие
изотопные ориентированные зацепления в R3. Согласно
утверждению 2.15 существует такая последовательность нулевых диаграмм
*& = ^i, ^2, • • •, ^т = ® в R2, что каждая нулевая диаграмма %+i
получается из нулевой диаграммы % некоторым П-движением.
Конструкция из доказательства леммы 2.6 показывает, что каждая
диаграмма % изотопна некоторой диаграмме замкнутой косы S8t в
кольце А. Ясно, что если %+i получается из % в результате движения
(О*)*1, (П*)*1, №i1nt)±1, №Г)±1' то *+i получается из Sk в
результате движения (0^)±г, (fil^)*1, M31, М^1 соответственно. Небольшое
размышление показывает, что если %+i получается из % в результате
изотопии в R2, то <%i+i получается из 9&i в результате изотопии в А.
Тем самым доказано утверждение 2.14.
2.6.3. Редукция к лемме 2.17
Напомним, что в п. 2.1.2 и 2.4.2 мы определили изотопии,
изгибания и сжимания диаграмм зацеплений. Доказательство
утверждения 2.15 начнем со следующей леммы.
Лемма 2.16. Пусть 8 и 8' — нулевые диаграммы в R2,
представляющие изотопные ориентированные зацепления в R3. Тогда
существует такая последовательность нулевых диаграмм 8 = 8i,82,...,8m = 8/,
что для каждого i = 1,2,..., т — 1 диаграмма 8i+i получается из
диаграммы 8{ некоторым £1-движением или некоторой
последовательностью изгибаний, сжиманий и изотопии в сфере S2 = R2 U {оо}.

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
105
Доказательство. Так как диаграммы 8 и 8' представляют
изотопные зацепления, их можно связать некоторой
последовательностью следующих ориентированных движений Рейдемейстера: а) fi*1;
б) (fil^)*1, (fil^)*1, изотопии в R2; в) некосообразные движения Q,^1.
Заметим, что создаваемые этими движениями промежуточные
диаграммы могут иметь положительную высоту. Мы преобразуем эту
последовательность движений в другую последовательность,
состоящую только из изгибаний, сжиманий, изотопии в S2 и П-движений,
преобразующих нулевые диаграммы в нулевые диаграммы.
Напомним, что в п. 2.4.2 некосообразное движение Г^,
включающее две разные окружности Зейферта, названо изгибанием. Всякое
некосообразное движение Г^, включающее только одну окружность
Зейферта, можно представить в виде композиции двух движений Пь
изгибания и сжимания; см. рис. 2.16. Поэтому мы можем считать, что
в рассматриваемой нами последовательности движений все движения
типа в) являются изгибаниями и сжиманиями.
< < <
/
< <
Рис. 2.16. Разложение движения П2
Пусть g — преобразование типа б) в рассматриваемой нами
последовательности, которое применяется к диаграмме зацепления ^
с fr(^) > 0. Заметим, что преобразование g сохраняет множество
окружностей Зейферта диаграммы и потому сохраняет ее высоту. Так
как h{&) > 0, диаграмма <$ имеет дефектную область. В этой области
мы можем выбрать редукционную дугу, не пересекающуюся с тем
кругом, где преобразование g изменяет диаграмму О). Обозначим
через г соответствующее сжимание диаграммы <$. Ясно, что
преобразования г и g диаграммы ^ коммутируют. Мы заменим преобразование

106
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
<$ —> g(!$) в рассматриваемой нами последовательности на
последовательность _i
0 -^ r(^) -^ gr(^) -^ r~lgr{&) = g(0).
Теперь операция g проделана над диаграммой с меньшей высотой.
Поступая таким образом, мы сможем постепенно понизить ее до
нуля. Тем самым мы сможем заменить преобразование g на
последовательность изгибаний, сжиманий и только одного движения типа б),
которое обозначим через g', некоторой диаграммы &' высоты 0. Если
окружности Зейферта диаграммы &' ориентированы против
часовой стрелки, то & есть нулевая диаграмма, a g/ — П-движение.
Если окружности Зейферта диаграммы &' ориентированы по часовой
стрелке, то мы разложим движение g' в композицию изотопии
сферы S2, преобразующей ^' в нулевую диаграмму (ср. доказательство
леммы 2.6), П-движения последней диаграммы и обратной изотопии.
Пусть g = £li — операция типа а) в рассматриваемой нами
последовательности, которая применяется к диаграмме зацепления ® (в R2).
Добавляя в эту последовательность изгибания и сжимания, как мы
делали это выше, мы можем считать, что fr(^) = 0. Сопрягая в случае
необходимости преобразование g при помощи некоторой изотопии
сферы S2, мы можем считать, что окружности Зейферта диаграммы О)
ориентированы против часовой стрелки, т. е. что О) является нулевой
диаграммой в R2. Предположим, что завиток, который добавляет
преобразование g к дуге а диаграммы &, расположен слева от нее. Если
дуга а лежит в первой (т. е. самой внутренней) окружности Зейферта
диаграммы ^, то g = ГУ™. Если дуга а лежит на m-й окружности
Зейферта диаграммы ^, где т > 2, то мы применим т — 1 движений Q%,
чтобы протолкнуть дугу а под т — 1 меньшими окружностями
Зейферта диаграммы ^ внутрь круга, ограниченного самой внутренней
окружностью Зейферта. Затем мы применим движение П1™ к дуге а
и протолкнем получившийся в результате завиток под первыми т — 1
окружностями Зейферта на то место, где он должен был бы находиться
после первоначального движения g = fii. Это проталкивание должно
выполняться с осторожностью: сначала проталкиваются все
рассматриваемые т — 1 окружности Зейферта над перекрестком, создаваемым
движением П1^. Это равносильно т — 1 движениям
которые анализировались в доказательстве теоремы 1.6. (Этот
анализ показывает, что эти движения представляют собой композиции

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 107
т-1 А
А 1
т-1 А
т-1 А
с
п"11
с{
\
У
т-1 А А 1 т-1 А А 1
с
Рис. 2.17. Разложение движения Пг
движений {С1^)±г и (^зг)±10 После этого мы проталкиваем эти m — 1
окружности Зейферта над остальной частью завитка, что
равносильно m — 1 сжиманиям. Получившаяся в результате цепочка движений,
которая схематически изображена на рис. 2.17, преобразует
диаграмму & в ту же самую диаграмму g(®), что и само преобразование g.
Таким образом, мы можем заменить движение & —> g(^) на конечную
последовательность движений (0^г)±г, (f^1*)*1, Q}™, преобразующих
нулевые диаграммы в нулевые диаграммы, после которых следуют
тп — 1 сжиманий. Если завиток, который добавляет преобразование g,
расположен справа от дуги а, то мы действуем так же, как и в
предыдущем случае, только проталкиваем дугу а по направлению к внешней
(бесконечной) области диаграммы & в R2, а затем применяем
преобразование ftjxt. □
Лемма 2.17. Любые две нулевые диаграммы в R2, связанные
последовательностью изгибаний, сжиманий и изотопии в S2, можно
связать некоторой последовательностью £1-движений.
Из этой и предыдущей лемм следуют утверждение 2.15 и
теорема 2.8. Остальная часть этого параграфа посвящена доказательству
леммы 2.17.

108
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
2.6.4. Доказательство леммы 2.17, часть I
Здесь мы рассмотрим простейший случай леммы 2.17, в котором
последовательность движений, связывающих две нулевые диаграммы,
состоит из одних только изотопии.
Лемма 2.18. Если две нулевые диаграммы изотопны в S2 =R2U{oo}5
то они изотопны в R2.
Доказательство. Рассмотрим две нулевые диаграммы & и & в R2,
изотопные в S2. Тогда они имеют одинаковое количество окружностей
Зейферта N > 1. Если N — 1, то 9) и & являются вложенными
окружностями в R2, ориентированными против часовой стрелки. По теореме
Жордана о кривой любая вложенная окружность в R2 ограничивает
некоторый круг. Из этого следует, что всякая окружность изотопна
некоторой малой метрической окружности в R2. А так как любые
две метрические окружности в R2, снабженные ориентацией против
часовой стрелки, изотопны в R2, это же утверждение верно для
топологических окружностей Of и &.
Предположим, что N>2. Так как диаграммы & и & изотопны в S2,
существует такое непрерывное семейство гомеоморфизмов [Ft: S2 —>
—> S2}tei, что F0 = id и гомеоморфизм Fi преобразует ® в &. По
непрерывности все эти гомеоморфизмы Ft сохраняют ориентацию.
Окружности Зейферта диаграммы 9) разбивают сферу S2 на N — 1 колец
и два круга Dt = Д-(^) и D0 = Do(^), ограниченные соответственно
самой внутренней и самой внешней окружностями Зейферта
диаграммы &. Напомним, что сфера S2 = R2 U {оо} ориентирована против
часовой стрелки и потому все окружности Зейферта диаграммы &
также ориентированы против часовой стрелки. Ясно, что ориентация
самой внутренней окружности Зейферта ЭД согласована с
ориентацией круга Dt, индуцированной из ориентации сферы S2. Напротив,
ориентация самой внешней окружности Зейферта dD0 не согласована
с ориентацией круга D0, индуцированной из ориентации сферы S2.
Из этого следует, что гомеоморфизм Fi: S2 —>S2 отображает круг А (32)
обязательно на круг D{{&), а круг D0(^) непременно на круг D0{&),
но не наоборот.
Так как оо eD0(^), получаем, что Fi(oo) eD0(®'). Поэтому найдется
замкнутый круг В в дополнении к диаграмме & в сфере S2, который
содержит точки оо и F\ (оо). Переместив точку Fi (оо) в точку оо внутри
круга В, мы получим некоторое непрерывное семейство гомеоморфизмов
{gt • S2 —> S2}tei, для которого go = id, gi(Fi(oo)) = оо и все гомеоморфиз-

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 109
мы gt равны тождественному отображению вне круга В (ср.
доказательство леммы 1.26). Поэтому giFi(^) = g\{&) — &. Однопараметриче-
ское семейство гомеоморфизмов {gtFt: S2 -> S2}te/ связывает g0F0 — id
с g\F\. Иначе говоря, гомеоморфизм g\V\ изотопен тождественному
отображению в классе автогомеоморфизмов сферы S2. Согласно
упражнению 1.7.1 гомеоморфизм g\¥\ изотопен тождественному
отображению в классе автогомеоморфизмов сферы S2, неподвижных в точке оо.
Ограничив все гомеоморфизмы из этой изотопии на R2 = S2\{°°}, мы
получим изотопию диаграммы ® в диаграмму ^ в М2. □
2.6.5. Доказательство леммы 2.17, часть II
Рассмотрим последовательность движений из условий леммы 2.17.
По соображениям общего положения мы можем считать, что все
промежуточные диаграммы, которые получаются в результате этих движений,
лежат в R2 = S2\ {<*>}. Мы будем обозначать изгибания и сжимания
стрелками, направленными в сторону диаграммы с меньшей высотой.
Так, обозначение ^ <— Of -^ св' означает, что диаграмма зацепления ^
преобразуется в диаграмму ^ сжиманием, обратным к изгибанию s
диаграммы &, а диаграмма & преобразуется в диаграмму с€'
сжиманием s'. Заметим, что ft(V) = h(c6/) = h{Qf) — 1, поэтому функция высоты h
имеет локальный максимум в Of. Мы назовем такую
последовательность ^ <— Of —> с€' локальным максимумом. Наша стратегия будет
состоять в том, чтобы заменить локальные максимумы на (более
длинные) последовательности движений диаграмм с меньшей высотой.
Для локального максимума ^ <-^- ^ -^-» Ч>' рассмотрим
редукционные дуги изгибаний s и s'. По соображениям общего положения
мы можем считать, что для всех локальных максимумов в
рассматриваемой нами последовательности движений эти редукционные дуги
имеют различные концевые точки и пересекаются трансверсально
в конечном числе точек. Это число обозначим через s • s'.
Лемма 2.19. Для любого локального максимума ^ ^- Of -^-> *€'',
для которого s • s/ Ф 0, существует такая последовательность
изгибаний и сжиманий
что Si • s't = 0 для всех L
Доказательство. Поскольку редукционные дуги диаграмм
зацеплений ориентированы, мы можем говорить об их левых и правых сто-

110
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
ронах (относительно ориентации в R2 против часовой стрелки).
Каждую редукционную дугу с диаграммы ^ можно немного подвинуть
влево или вправо так, чтобы ее концевые точки остались на &. В
результате мы получим непересекающиеся редукционные дуги,
определяющие то же самое изгибание (по крайней мере с точностью до
изотопии). Будем обозначать эти дуги через q и сг соответственно.
Пусть сие7 — редукционные дуги изгибаний s и s/ соответственно.
Сначала предположим, что s • s' > 2. Далее мы докажем, что существует
редукционная дуга с" диаграммы ®, не пересекающаяся с дугой с'
и пересекающая дугу с менее чем в s • s/ точках. Рассмотрим
последовательность
где s" — изгибание по дуге с". Имеем
s.s" = |cnc"|<s-s' и s/-s" = \c'nc"\=0.
Продолжая рассуждать таким образом, мы можем свести лемму к
случаю 5 • s/ — 1. А теперь построим дугу с". Возьмем в пересечении с f\ d
две разные точки А и В так, чтобы поддуга АВ с с не пересекала с'.
Обращая в случае необходимости ориентации дуг с и с7, мы можем
считать, что обе дуги сие7 направлены от Л к Б. Сначала
предположим, что дуга с' пересекает дугу с в точке А слева направо. Если дуга с'
пересекает дугу с в точке В справа налево, примем за с" дугу, которая
сначала проходит по с[ до точки ее пересечения с q близ точки Л,
затем по q до точки ее пересечения с с[ близ точки В и после того
по с[. Если дуга с' пересекает дугу с в точке В слева направо, примем
за с" дугу, которая сначала проходит по с[ до точки ее пересечения с сг
близ точки А, затем по сг до точки ее пересечения с с'г близ точки В
и после того по dr. Легко проверить, что в обоих случаях дуга с"
обладает требуемыми свойствами; см. рис. 2.18. Аналогично разбирается
случай, когда дуга с1 пересекает дугу с в точке А справа налево.
А
Рис. 2.18. Дуга с"

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11
111
Остается рассмотреть случай s • s/ — 1. Мы утверждаем, что
существует редукционная дута с" диаграммы ^, не пересекающаяся
с с U с7. Считая это утверждение доказанным, мы добавим ^^-> ^ 4- 9)
в рассматриваемую нами последовательность, как мы уже делали это
ранее, и лемма будет доказана. Перейдем к доказательству
существования дуги с". Обозначим через О единственную точку пересечения
с П d и через / — ту область диаграммы 9), которая содержит дуги с
и d (кроме их концевых точек). Далее, обозначим концевые точки
дуги с на ^ через А\ и А2, а концевые точки дуги d на 9) — через А3иА4.
Обозначим через S; окружность Зейферта диаграммы &, проходящую
через А{. По определению редукционной дуги Si Ф S2 и S3 ф S4.
Заметим, что дугу А\0 иОАз можно немного продеформировать так, чтобы
получилась некоторая дуга с^з в /\(с U с'), идущая из точки на Si
в точку на S3. Ту же дугу с противоположной ориентацией обозначим
через сзд. Аналогично определяются дуги ci)4 и с4,ъ см. рис. 2.19.
Если две из окружностей Si, S2, S3, S4 совпадают, пусть для
определенности Si = S4, то окружности Si = S4 и S3 ф S4 различны. Так
как d — редукционная дуга, они не
согласованы друг с другом. Следовательно,
d' = ciy3 есть редукционная дуга,
удовлетворяющая нашим требованиям.
Итак, можно считать, что все
окружности Si, S2, S3, S4 различные. Их
топологическое положение в сфере S2 = R2 U {<*>}
определено однозначно: они
представляют собой границы четырех дизъюнктных
кругов в S2, пересекающих перекрестко-
образный граф с U d в его четырех
концевых точках. Если окружности Si и S3
не согласованы друг с другом, то с^з есть
искомая редукционная дуга в /\(с U d) и доказательство
завершено. Будем считать, что окружность Si согласована с окружностью S3.
А так как окружность S4 не согласована с окружностью S3,
окружность Si согласована также с окружностью S4. Заметим, что дуги с^з
и ci)4 не редукционные.
Напомним, что ранее были определены непересекающиеся
отрезки ух, соединяющие окружности Зейферта диаграммы Of, где х
пробегает по всем перекресткам диаграммы & (см. рис. 2.12). По
соображениям ориентации концевые точки каждого такого отрезка ух
С1,3,
О
Рис. 2.19. Дуги с, с'
и окружности Sb S2, S3, S4

112
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
непременно лежат на разных, но согласованных друг с другом
окружностях Зейферта.
Далее мы разберем три разных случая.
Случай 1: к окружности Si не прикреплен ни один из отрезков ух.
Построим редукционную дугу диаграммы &, соединяющую S3 с S4.
Для этого сначала пройдем по дуге сзд до точки, близкой к Si, затем
обойдем вокруг Si, после чего пройдем по дуге Ci4. Так как ни один
из отрезков ух не соединен с Si, построенная дуга лежит в /\ (с Uс7).
Случай 2: прикрепленные к окружности Si отрезки ух соединяют
ее с одной и той же окружностью Зейферта S. Сначала предположим,
что S Ф S3. Построим редукционную дугу с77, соединяющую S3 с S
в /\ (с U с7). Для этого сначала пройдем по дуге сзд до точки, близкой
к Si, затем будем обходить вокруг Si до тех пор, пока не столкнемся
первый раз с отрезком ух, прикрепленным к Si, после чего, держась
близко к ух, продолжим движение, пока не дойдем до S. Если S = S3,
то S Ф S4 и мы можем применить ту же самую конструкцию, только
заменив S3 на S4.
Случай 3: отрезки ух, прикрепленные к окружности Si,
соединяют ее не менее чем с двумя окружностями Зейферта. Можно найти
два таких отрезка у\ и у2, у которых одни концевые точки е\ и е2
лежат на Si, а другие на разных окружностях Зейферта, и такую дугу
d с Si\{Ai}, соединяющую точки е\ и е2, чтобы она не пересекала
все остальные отрезки ух, прикрепленные к Si. Тогда небольшая
деформация дуги у\ U d U у2 дает редукционную дугу с" диаграммы ®,
не пересекающуюся с с и с7. □
Лемма 2.20. Для любого локального максимума Ч> ^- & -^ c€t',
для которого s • s' — 0, существуют такие последовательности
изотопии в S2 и изгибаний ^ —>...—> ^ и св' —>... —> *&*, что либо *&* = ^
либо ^ и ^1 суть нулевые диаграммы в R2, связанные 0,-движениями.
Доказательство. Обозначим через сие7 редукционные дуги
изгибаний 5 и 57 диаграммы &. Из условия s • s7 = 0 следует, что дуги сие7
не пересекаются. Следовательно, изгибания s и s7 выполняются в
непересекающихся областях плоскости, и потому они коммутируют друг
с другом. Предположим, что они включают разные пары окружностей
Зейферта диаграммы & (эти пары могут иметь одну общую
окружность). Тогда с7 является редукционной дугой для ^ = s{9j), а с
является редукционной дугой для св' — $,(3. Обозначим через & диаграмму
зацепления, полученного изгибанием диаграммы ^ по дуге с7, или,

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 113
что эквивалентно, изгибанием диаграммы св' по дуге с.
Последовательности ^ —> & и св' —> & удовлетворяют лемме.
Предположим теперь, что изгибания s и s/ включают одни и те же
(разные и не согласованные друг с другом) окружности Зейферта Si
и S2 диаграммы Of. Сначала предположим, что диаграмма $ имеет
редукционную дугу сь не пересекающуюся с с и с7 и включающую
какую-нибудь другую пару окружностей Зейферта. Тогда изгибания s, s7,
5i по дугам с, с7, с\ соответственно коммутируют друг с другом.
Последовательности ^ -^» ^i -^> & и с€' ^ <€[ -^ & удовлетворяют лемме.
Предположим теперь, что все редукционные дуги диаграммы ^,
не пересекающиеся с с U с7, включают окружности Зейферта Si и S2.
Выберем такие их обозначения, чтобы дуга с была направлена от Si
к S2. Предположим сначала, что дуга с7 тоже направлена от Si к S2.
Окружности Si и S2 ограничивают в сфере S2 непересекающиеся
круги D\ и D2 соответственно. Дуги сие7 лежат в кольце S2\(Dl UD^),
ограниченном Si U S2. Эти дуги разбивают это кольцо на два
топологических круга Из и D4, где Из П D4 = с U с7.
Заметим, что отличные от Si и S2 окружности Зейферта
диаграммы Of не пересекаются с Si U S2 U с U с7. Поэтому множество
окружностей Зейферта диаграммы Of можно разбить на четыре
дизъюнктных семейства: окружности, лежащие в Db в D2, во
внутренности Вз и во внутренности D4. Первые два семейства включают в себя
Si = dD\ и S2 = SD2, тогда как другие два семейства могут быть
пустыми. Чтобы проанализировать положение окружностей Зейферта
в Di, заметим, что любая редукционная дута диаграммы ®, которая
лежит в круге D\, либо уже не пересекается с с и с7, либо ее можно
сделать не пересекающейся с с U с7 с помощью малой деформации
вблизи ее концевых точек. Поскольку такая дуга не может
пересекаться с S2, из наших предположений следует, что диаграмма &
не имеет редукционных дуг в круге D\. Те же самые рассуждения, что
и в доказательстве леммы 2.6, показывают, что окружности Зейферта
диаграммы ®, лежащие в круге Db образуют систему t> 1
концентрических согласованных друг с другом окружностей, в которой самой
внешней окружностью является Si. Эта система t концентрических
окружностей с одинаковой ориентацией схематически изображена
на рис. 2.20 левым овалом. Аналогичные рассуждения показывают,
что окружности Зейферта диаграммы Of, лежащие в круге Di
(соответственно в кругах Вз и D4), образуют систему г > 1
(соответственно п > 0 и m > 0) концентрических окружностей с одинаковой

114
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
--. с'
Рис. 2.20. Диаграмма ®
ориентацией, изображенную на рис. 2.20 правым (соответственно
верхним и нижним) овалом. Диаграмма Of восстанавливается из этих
четырех систем концентрических окружностей, если добавить в них
некоторые косы а € Вп+Г, /3 € Bn+t, у € Bm+t, 5 € Bm+r; см. рис. 2.20,
где мы использовали обозначения а_, Д_, у+,5+, введенные после
формулировки леммы 2.11.
Так как окружности Si и S2 не согласованы друг с другом, они
должны иметь одинаковую ориентацию (по часовой стрелке или
против часовой стрелки). Предположим для определенности, что они
ориентированы против часовой стрелки. (Случай ориентации по
часовой стрелке можно свести к предыдущему, обратив ориентации
диаграмм ^, Of, <&'.) Тогда окружности из двух других семейств будут
ориентированы по часовой стрелке: иначе мы легко могли бы найти
какую-нибудь редукционную дугу, соединяющую Si с одной из этих
окружностей и не пересекающуюся с с U с7.
Напомним, что диаграмма ^ получается из диаграммы & в
результате изгибания 5, которое заключается в том, что некоторая под-
дуга окружности Si тянется по дуге с по направлению к
окружности S2 и затем нахлестывает S2 сверху. По аналогии с этой операцией
определим суперизгибание по дуге с, которое тянет слева по этой
дуге целую связку t окружностей, до тех пор пока они не нахлестнут
сверху г правых окружностей. Суперизгибание представляет собой

§2.6. Вывод теоремы Маркова из леммы 2.11 115
композицию rt обычных изгибаний, первое из которых есть s. Кроме
того, к получившейся в результате диаграмме зацепления мы можем
применить еще одно суперизгибание по дуге в S2, которая проходит
от нижней точки диаграммы ® вниз до °о и затем от оо вниз до
верхней точки диаграммы ®. (Здесь, конечно, важен тот факт, что мы
рассматриваем диаграммы в S2, так что допускаем редукционные
дуги и изотопии в S2.)
Выполнив два указанных суперизгибания диаграммы ®, мы
получим диаграмму зацепления *&*, изображенную на рис. 2.15. (На
самом деле легче заметить обратное, т. е. что диаграмма % дает
диаграмму Of с помощью двух суперсжиманий, обратных к описанным
выше суперизгибаниям.) Замечательный, хотя и очевидный факт
состоит в том, что ^ является диаграммой замкнутой косы и, в
частности, нулевой диаграммой. В обозначениях леммы 2.11
диаграмма ^ представляет замыкание косы (а, /3, у, 5 | +, +). Как мы видели,
существует последовательность rt + тп изгибаний ®-^ ^ —>...—> ^
в сфере S2.
Аналогично мы можем применить к диаграмме &
суперизгибание по дуге с', направленной от Si к S2, и затем еще одно
суперизгибание по короткому вертикальному отрезку с", ведущему от нижней
точки верхнего овала к верхней точке нижнего овала на рис. 2.20.
В результате мы получим некоторую диаграмму зацепления,
изотопную диаграмме зацепления с€^, изображенной слева на рис. 2.21.
(Здесь снова легче проверить, что обратные движения преобразуют
^4 в ^.) Как и выше, существует последовательность rt Л- тп
изгибаний @ X <$' ->...-> ^ в сфере S2.
Диаграмма ^4 выглядит похожей на диаграмму замкнутой косы,
но это не совсем так, потому что ее окружности Зейферта
ориентированы по часовой стрелке. Протянув нижнюю часть этой диаграммы
Рис. 2.21. Диаграммы <С и <€1

116
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
через точку оо е S2, мы получим, что диаграмма ^4 изотопна в
сфере S2 диаграмме замкнутой косы ^, изображенной справа на рис. 2.21.
Эта диаграмма представляет замыкание косы (5, у, /3, а | +, +). В силу
соотношения (2.3) косы (а, /3, у, 5 | +, +) и (5, у, /3, а | +, +) являются
М-эквивалентными. Поэтому диаграммы ^ и *&*, представляющие
замыкания этих кос, связаны ^-движениями. Тем самым мы
получили последовательности изгибаний и изотопии ^ —>...—> ^ и Ч>' —>
—>...—> ^4 —> *€*> удовлетворяющие лемме.
Если дуга d направлена от S2 к Si, то рассуждения аналогичны,
только косу (5, у, /3, а \ +, +) нужно заменить на косу (5, у, fi, а | +, —).
Но по первому утверждению леммы 2.11 это не изменяет класса М-эк-
вивалентности косы. Доказательство леммы 2.20 завершено. □
2.6.6. Доказательство леммы 2.17, часть III
Под высотой последовательности изгибаний, сжиманий и
изотопии диаграмм зацеплений в S2 мы понимаем максимальную высоту
тех диаграмм, которые встречаются в этой последовательности. Мы
докажем лемму индукцией по высоте т последовательности,
связывающей две нулевые диаграммы в R2.
Если т — 0, то последовательность состоит только из изотопии
в S2. В этом случае лемма 2.17 следует непосредственно из леммы 2.18.
Предположим, что т > 0. Ясно, что преобразование диаграммы
зацепления в S2, получающееся в результате изотопии, за которой
следует изгибание (соответственно сжимание), можно получить также
как изгибание (соответственно сжимание), за которым следует
изотопия. Поэтому все изотопии в рассматриваемой нами
последовательности изгибаний, сжиманий и изотопии в S2 можно передвинуть в
конец этой последовательности. В частности, все диаграммы высоты т
в этой последовательности входят в нее как локальные максимумы,
т. е. они получаются из предыдущей диаграммы сжиманием и дают
следующую диаграмму с помощью изгибания. Согласно лемме 2.19
мы можем заменить эту последовательность на другую, имеющую
те же самые начальную и конечную нулевые диаграммы, ту же
высоту т и, кроме того, удовлетворяющую условию s • s/ — 0 во всех
ее локальных максимумах Ч> <Л- <$ -^ <$'. По лемме 2.20 для каждого
такого локального максимума существует последовательность
изотопии, изгибаний и сжиманий
^ —>... —> ^ ~ ^ <— ... <— ^ ,

§2.7. Доказательство леммы 2.11
117
где ~ обозначает либо совпадение ^ = *&£, либо ft-движения,
преобразующие ^ в ^ (которые тогда являются нулевыми
диаграммами). Высота всех диаграмм зацеплений в этой последовательности
меньше или равна, чем h^) = hi^') < h{^i) < т. Заменив каждый
локальный максимум <€ ^- <$ -^-> с€/ такой последовательностью, мы
получим конкатенацию последовательностей высоты не больше т — 1
с последовательностями ft-движений нулевых диаграмм. По
предположению индукции из этого следует утверждение леммы. □
§2.7. Доказательство леммы 2.11
Мы начнем с того, что определим на множестве кос полезную
инволюцию /3 ■-> Д.
2.7.1. Инволюция р -> р
Для любой косы /3 е Вп положим Д = Anj3 Л^1 € Вп, где AnGBn —
коса, определенная в п. 1.3.3. Так как A% лежит в центре группы Вп,
автоморфизм /3 ►-> Д группы Вп является инволюцией. Из формулы (2.5)
следует, что если
/3 = а>.Г2...ст;\
' h l2 1т
где 1 < ib i2,..., im < п -1 и гь г2,..., rm е Z, то
' п-ix n-i2 n-im
А из этого следует, что диаграмму косы Д можно получить из
диаграммы косы Р в R х I = Ш х I х {0}, повернув ее вокруг прямой
{(л + 1)/2} х R х {0} в R3 на угол п. Это геометрическое описание
инволюции Р^Р показывает, что а ® /3 = Д ® а для любых кос aGBm
и Р G Вп. Заметим также, что а/3 = аД для любых а,Р^Вп и что
\п — 1п. Из определений легко вывести, что а£,п — °"п,т Для любых
т,п>0иг = ±.
Лемма 2.21. Если косы Р и Р' являются Ы-эквивалентными, то
и косы Р и Р' являются Ы-эквивалентными.
Доказательство. Имеем Д ~с /3 ~ /3' ~с р'. П
2.7.2. Призрачные косы
Здесь мы введем класс призрачных кос. Пусть 1леВп+к, п>1,к>0.
Будем называть косу (л п-призрачной справа и писать (л = 1п, если для
любого т>0и любой косы /3 € Бт+П имеет место М-эквивалентность

118
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
\т
\т \п lfc \т \п
Рис. 2.22. Формула (0 ® lfc)(lm ® /х) ~ 0
(/3 ® lfc)(lm ® м) ~ /3; см. рис. 2.22. Примеры призрачных справа кос
будут приведены ниже. Если в этом определении взять т = 0и /3 = 1п,
то мы получим, что ix = 1п => ix ~ 1п. (Обратное утверждение, вообще
говоря, неверно.)
Для любой n-призрачной справа косы ^еВп+к мы определим
некоторое движение (преобразование) кос, обозначаемое через M(/i). Для
любых т > О, а, /3 е Бт+П, р £Вт движение M(/i) преобразует косу
/3(р®1п)авкосу (/3®lfc)(p®ju)(a®lfc); см. рис. 2.23. Обратное к нему
преобразование заменяет множитель р ® (л на р ® 1п и вычеркивает lfc,
стоящую справа в остальных сомножителях. Движение M(/i) и
обратное к нему преобразование сохраняют класс М-эквивалентности косы.
Действительно,
Р(р ® 1„)а ~с а/3(р ® 1П) ~ (а/3(р ® 1„) ® lfc)(lm ®/i) =
= (а ® lfc) (jB ® lfc) (p ® ln+fc) (lm ® ц) =
= (а ® lfc)(jB ® lfc)(p ® /i) ~c (jB ® lfc)(p ® /i)(a ® lfc).
m
т
Й
а
мы
m
m
m
а
m I n |m In lfc
Рис. 2.23. Преобразование М(/х)

§2.7. Доказательство леммы 2.11
119
Пусть [л G Вп+к, п > 1, к > 0. Косу (л будем называть п-призрачной
слева и писать [л =' 1п, если (lfc ® /3)(/л ® lm) ~ /3 для любых т> 0,
п+т- Для любой п-призрачной слева косы \л и любых а, /3 Е Вп+т,
р G Вт мы обозначим через M'Qi) движение, преобразующее косу
/3(1П ® р)а в косу (lfc ® /3)(/л ® p)(lfc ® «)• Вычисления, аналогичные
приведенным выше, показывают, что это движение и обратное к нему
преобразование сохраняют класс М-эквивалентности косы.
Лемма 2.22. Пусть [л е Вп+к, п > 1, к > 0. Если /л = 1п, то Д ='1п.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент /3 е Bn+m, m > 0,
и положим у = (1к®/3) х (Д®1т). Нам нужно проверить, что у ~/3.
Очевидно, у~с7=(Д®1к)х(1т®м)- Таккак/л=1п, имеем (^<8>lfc)(lm®ju)~
~ Д ~с ^ • Следовательно, у ~ ^. □
Для п > 1 положим 0^ = Л„ € Вп и бп" = Ли2 € Вп. Ясно, что для
любого б — ± имеют место равенства
ft? — Ап6£Ап = 0/1-
В качестве упражнения читатель может проверить, что
6Z = {.ви ® li)<„4^u = aln_x{U ® б^К^д. (2.8)
Следующая лемма доставляет основные примеры призрачных кос.
Доказательство этой леммы дано в алгебраической форме. Здесь и
далее мы настоятельно советуем читателю рисовать картинки,
соответствующие таким формулам.
Лемма 2.23. Для любых п> 1 и е = ± положим
Vn,e = (In ® 0п£)а1п = <п(0гГ' ® 1п) € Б2п.
Тогда
Цп,в = {Ой' ® 1п)<п = С7п,„(1п ® #гГ) € В2п
^ Mn,f = 1/1э Mn,f — In? Mn,f = In? Mn,f — 1п«
Доказательство. Мы будем изображать графически косу 9£
квадратиком со знаком б внутри него. Два изображения косы (лп-
представлены на рис. 2.24. Из них получатся изображения косы (лп>+, если
поменять в перекрестках прохождение над другой нитью на
прохождение под ней, а знак + в квадратике на знак —.
Указанные в лемме разложения элемента \лще получаются из
разложений элемента (лПуЕ и геометрической интерпретации инволюции
/л ь-> Д. По лемме 2.22 из формул \xne = 1п, Цп,£ = 1п будет следовать,

120
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Мп-
что (лПуе =' 1п, (лП)е =' 1п. Чтобы доказать утверждение, что коса (лПуе
является п-призрачной справа, мы должны проверить, что
08®ln)(lm®^n>ff)~j8
для любой косы /3 G Вт+п, т > 0. Ясно, что
08 ® 1п)(1ш ® Мп,,) = 08 ® l„)(lm ® 1„ ® 0пе)(1т ® <п) =
= 08 ® 0„-ff)(lm ® <п) ~с (1т ® <п)(/3 ® 6^).
Остается доказать, что
(lm®<n)O8®0^)-jB. (2.9)
Формула jun>e = 1п также следует из формулы (2.9), так как
(jB ® 1П) (lm ® Цп,е) ~с Urn ® Дп,*) 08 ® 1„) =
= (1т ® <п)(1т+п ® 0^)08 ® 1„) =
= (1т®<п)О8®0,Г).
Доказательство формулы (2.9) проведем индукцией по п. Для п — 1
мы имеем 0~* = 12 и lm ® о£п = ат+1, где <г++1 = am+i и а~+1 = o^\v
Преобразование сгт+1(/3 ® \{) ь-> /3 есть обратное марковское
движение. Поэтому формула (2.9) выполняется при п = 1. В индуктивном
шаге мы будем использовать тождество
<п = «_!,„ ® ll)(ln-l ® <п)'
Для п > 1 имеем
(1ш®<п)О8®0^) =
= (lm ® <п)(1т ® 1п ® 0^)08 ® 1П) =
= (1т ® 0п"' ® 1п)(1т ® <п)08 ® 1П) =
= (1т ® 0,Г* ® 1п)(1т ® <_1п ® li)(lm+n-i ® <п)(/3 ® 1п) ~с
~с (1т+п-1 ® <„)(/? ® 1п)(1т ® $Г* ® 1п)(1т ® <-!,„ ® W =
= (lm+2n-2 ® ^i i)(lm+n-l ® Crf n-1 ® ljx

§2.7. Доказательство леммы 2.11
121
х (/5 ® 1„)(lm 9 вп £ ® 1„)(1т ® <_! п О li) ~
~ (lm+n-l ® <„-l)(/3 ® ln-l)(lm ® вп* ® ln-i)(lm ® <-!,„ ® ll),
где последнее преобразование есть MJ1. Получившаяся в результате
коса сопряжена к
(lm ® вп£ ® l„-i)(lm ® a*_1>n)(lm+n-l ® 4„-l)(^ ® ln-l) =
= (1т ® $Г' ® l„-l)(lm ® <п_1 ® VOClm ® <-1,п)(Р ® ln-l) =
= (1т ® С<п_1 ® ln-l)(lm ® <-1,„)(0 ® ln-l)-
Подставляя в последнюю косу разложение
0n-£<n-l = ^("Kl)"1 = ^Tn-lCll ® 0n"-l).
которое следует из формулы (2.8), мы получаем
(lm®cT1-n_1®ln_i)(lm+i®0^!1®ln-i)(lm®o-ne_ln)(^®ln_i) =
= (lm ® ct^j ® l„_i) (lm в a'_ljn) 08 ® 0-Д) ~с
~с(1т®апе_1п)(^®0-_е1)(1т®ст1^_1®1п_1) =
= (1т+1 ® <-i,„-i)(lm ® ^_1Д ® 1„-i)(J8 ® б,ГЛ)(1т ® ^_! ® ln-l) =
= (1т+1®апе_1_п_1)(^®0-Д),
где
/З^Опво^дЖ^сг^).
По предположению индукции
(lm+1 ® ot^X/S' ® 0-Д) ~ /В' = (1т в a„"_u)0(lm в а^лГ1 ~с 0.
Это завершает доказательство формулы (2.9) и леммы. □
Лемма 2.24. Для любых целых чисел т,п>0,г>1и кос /3 е Вт+Г,
у е Вт+п класс Ы-эквивалентности косы
а£ = (Р® l„)(lm ® <г)(г ® 1г)(1т ® о-~п)
не зависит от е = ±. (Здесь при т = п = 0 считается, что у = 10.)
Доказательство. Если п=0, то <Уп,г=&п,гИ> следовательно, а+=а-.
Если m = 0, то а+ — /3 ® у = а_. Предположим, что m > 1 и п > 1.
Докажем, что а+ ~ а_; см. рис. 2.25.
Сначала перепишем множитель 1т ® сг+г в выражении для а+,
используя очевидное разложение
lm ® <Тп,г = (lm ® <г<п)(1т+г ® In) Urn ® OW». (2.10)

122
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
\г \п
т
т
(г \п
Рис. 2.25. а+ ~ а_
r n n т г п
Рис. 2.26. гф = гф1гф2грз
По лемме 2.23 класс М-эквивалентности косы а+ сохраняется при
преобразовании, которое заменяет член 1п в множителе lm+r ® 1п
■pro T/'OfV
Дп - = (#п+ ® ln)cJ^n = С7^„(1„ ® 0П+),
а все остальные множители в выражении для а+ тензорно умножает
на 1п. При этом правая часть равенства (2.10) преобразуется в косу
<ф = (lm ® <го>+ ® 1„)(1т+г ® 0П+ ® 1л)(1т+г ® о-~п)(1т ® а~г 0 1п).
Рисунок 2.26 показывает, что -0 = гр1гр2'Фз, где
^1 = 1т+гДп,-, t/>2 = lm ® СГ~Г ® 1П, я/>3 = lm+n ® СГ+ГС7+П.
Следовательно,
а+ ~ (0 ® 12п)'01'02'0з(Г ® 1г+п)(1т ® 0"г7п ® 1п) =
= ЯМ/? ® 12п)'02(Г ® 1г+п)^з(1т ® 0"г7п ® 1п) ~с
~с (j8 ® 12п)'02(Г ® 1г+п)^з(1т ® 0"г7п ® ln)^b

§2.7. Доказательство леммы 2.11
123
На соответствующих картинках мы замечаем, что
'ФзО-т ® °т ® 1п)^1 = Urn ® <7г7п ® ln)(lm+r ® Дп,-)(1т ® ^г^п ® 1Л).
Поэтому
а+ ~ (/3 ® 12п)(1ш ® о-~г ® 1п)(у ® 1Г+П) х
X (lm ® аг7п ® 1л)(1т+г ® Дп-)(1т ® <г^п ® 1п).
Согласно лемме 2.23 мы можем заменить Цп- на 1п и одновременно
вычеркнуть те 1п, которые стоят справа в остальных множителях.
С учетом тождества <J^n<Jn,r — Ъ+п мы получаем
а+ ~ (/3 ® l„)(lm ® cj~r)(r ® 1г)(1т ® о>+) = а_. П
Лемма 2.25. В предположениях леммы 2.24 тсласс Ы-эквивалент-
ности косы
(1„ 0 j8)fa?n ® lm)(lr ® у) (07^ ® lm)
не зависит от е = ±.
Доказательство. Применим к утверждению леммы 2.24
инволюцию (л •-> Д и воспользуемся леммой 2.21. □
2.7.3. Доказательство леммы 2.11
Независимость от знака е следует из леммы 2.25, в которой
символы г, п,т,е,/3 иу нужно заменить соответственно на
п, т, t + r, -e, (а®1,)(1п®о£)08®1г), (у ® lr)(lm ® oy7)(S ® lt).
Независимость от знака v следует из того факта, что сопряженные
косы М-эквивалентны, и леммы 2.24, в которой символы п, т, б, /3, у
нужно заменить соответственно на
t, m + n, v, (ln®5)(a^n®lr)(lm®a), (lm® j8)(o^® lt)(ln®y).
Докажем теперь формулу (2.3). В силу первого утверждения леммы
достаточно рассмотреть случай е = v. Рассмотрим косу
((a,j8,r,5|e» = (a®r)(ln®^>r®lt)(ln®0^®a^r)(lri®a^m®lr)x
х (/3 ® 5) (1П ® a-ft ® 1Г) (1„ ® в~£ ® o>7)(1П ® ar7^ ® lt) € Bm+n+r+t.
Заметим очевидную сопряженность
((а, /3, г, 5 | г)) ~с ((/3, а, 5, г I -в)). (2.11)
Мы утверждаем, что
(а,13,у,5\е,е)~((а,13,у,5\е)). (2.12)

124
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
Рис. 2.27. Доказательство формулы (2.12)
Отсюда будет следовать формула (2.3) при v = e: применив формулы
(2.12), (2.11) и (2.4), мы получим
(а, /3, у, 5 | е, е) ~ (/3, а,5,у\ -е, -е) ~ (5, у, /3, а \ е, е).
Формула (2.3) при v=—e следует тогда из первого утверждения леммы.
Последовательность движений, доказывающая формулу (2.12) для
б = +, изображена графически на рис. 2.27. (Эти движения можно
описать алгебраически, что, однако, будет менее поучительным.) Здесь
вместо кос мы нарисовали их замыкания. Это экономит место и не
мешает аргументации, так как сопряженные косы М-эквивалентны.
Первая и последняя диаграммы на рис. 2.27 представляют
замыкания кос (а, /3, у, 5 | +, +) и ((а, /3, у, 5 \ +)) соответственно. Первое

Замечания
125
преобразование — одиночное движение M(jUm_). (Было бы логичнее
писать ++ в квадратике, но мы пишем просто +.) Следующие два
движения — изотопии в классе диаграмм замкнутых кос (это
равносильно сопряжению кос). Заметим, что рядом стоящие квадратики С +
и — есть не что иное, как тривиальная коса; это разложение
тривиальной косы нужно для следующего движения. Четвертое движение —
обратное к М'(Цт-)9 а последнее — изотопия диаграмм замкнутых кос.
Поскольку все эти движения сохраняют класс М-эквивалентности кос,
мы доказали формулу (2.12) для е — +. Случай б = — рассматривается
аналогично с помощью зеркального образа рис. 2.27. □
Упражнение 2.7.1. Проверьте, что движения М2 и М3
соответствуют друг другу при инволюции /3 ■-> Д на множестве кос.
Упражнение 2.7.2. Пусть [л е Вп4.ъ п>1,к>0, — п-призрачная
справа коса. Проверьте, что 1Г ® (л = 1г+п для любого г > О и что
(5 ® lfc)jii(5-1 ® 1к) = 1п для любой косы 5 е Вп.
решение. Для любой косы /3 € Вт+г+п, т > О, имеем
08 ® lfc)(lm ® 1г ® М) - (Р ® lfc)(lm+r ® М) ~ j8.
Для любой косы /3 е Бт+П, т> 0, имеем
08 ® 10(lm ® (5 ® U)M(5_1 ® lfc)) -
= (jB ® 1к) (1т ® 5 ® 1к) (1т ® м) (1т ® 5-1 ® 1к) ~с
~с (1т ® 5"1 ® lfc)(j8 ® 1к)(1т ® 5 ® 1к)(1т ® м) =
= ((1т ® O/SUm ® 5) ® 1к)(1т ® м) ~ (1т ® О/ЗОл ® 5) ~с /3.
Замечания
Содержание §2.1 стандартно. Теорема 2.1 впервые была указана
Артином (см. [Art25]) без доказательства; см. также [Mor78, Th. 1]
и [BZ85, Prop. 10.16].
Теорема 2.3 принадлежит Александеру; см. [А1е23а]. Алгоритм из
п. 2.4.3, преобразующий диаграмму зацепления в диаграмму
замкнутой косы, принадлежит Вожелю (см. [Vog90]), улучшившему
предшествующую конструкцию Ямады (см. [Yam87]). Изгибания были
введены Вожелем (под другим названием). Высота диаграммы зацепления
была введена Трачиком (см. [Тга98]), который также сформулировал
леммы 2.4-2.6. Наше доказательство лемм 2.5 и 2.6 основывается

126
Глава 2. Косы, узлы и зацепления
на соображениях из статьи [Vog90, Sect. 5]. Следствие 2.7
принадлежит Ямаде (см. [Yam87]). Упражнение 2.4.1 принадлежит Трачику
(см. [Тга98]).
Теорема 2.8 была анонсирована А. А. Марковым (см. [МагЗб])
в 1936 г. Первое опубликованное доказательство появилось в
монографии [Bir74]. Согласно книге [Bir74, p. 49] это доказательство
«основывается на записках, сделанных на семинаре в Принстонском
университете в 1954 г. Докладчик нам неизвестен...». Разные
доказательства были даны Беннекеном (см. [Веп83]), Мортоном (см. [Мог86])
и Трачиком (см. [Тга98]). Приведенное выше доказательство теоремы
Маркова следует работе Трачика [Тга98].

::!.Д; rf*i^J3i<3L; Ч&\ х
Гомологические представления
групп кос
Группы кос, рассматриваемые как группы изотопических
классов автогомеоморфизмов проколотых кругов, естественно
действуют на группах гомологии топологических пространств, полученных
из этих проколотых кругов функториальными конструкциями. Здесь
мы обсудим две такие конструкции и изучим получающиеся
линейные представления групп кос: представление Бурау (§ 3.1-3.3) и
представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу (§ 3.5-3.7). В качестве
применения представления Бурау мы построим в § 3.4 полином Алексан-
дера — Конвея от одной переменной для зацеплений в R3. В качестве
применения представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу мы
докажем в п. 3.5.4 линейность групп кос Вп для всех п.
§3.1. Представление Бурау
Для всех п > 1 В. Бурау определил линейное представление группы
кос Вп квадратными матрицами порядка п над кольцом лорановых
полиномов г т _
A = Z[t,t_1].
Это представление широко изучалось с разных точек зрения. В этом
параграфе мы определим представление Бурау и обсудим его
основные свойства.
3.1.1. Определение
Зафиксируем п > 2. Для i = 1,..., п — 1 рассмотрим следующую
квадратную матрицу порядка п над кольцом A = Z[t, Г"1]:
А-1 о о о А
гг 0 1-t t О
Ul 0 1 0 О I '
V о оо /„_<_! у

128 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где через 1к обозначена единичная матрица порядка к. При i — 1 в
верхнем левом углу матрицы Ui нет единичной матрицы. При i = п — 1
в нижнем правом углу матрицы Ui нет единичной матрицы.
Подставив t = 1 в определение матриц U\,..., Un-i, мы получим
перестановочные матрицы порядка п. Поэтому матрицы Ui,..., Un-i можно
рассматривать как однопараметрические деформации перестановочных
матриц.
Каждая матрица Ui имеет блочно-диагональный вид, в котором
блоками служат единичные матрицы и матрицы
И1 Г' о) о-ч
порядка 2. По теореме Гамильтона — Кэли каждая квадратная
матрица М порядка 2 над кольцом Л удовлетворяет равенству
М2 - tr(M)M + det(M)/2 = 0,
где tr(M) —след матрицы М и det(M) —детерминант матрицы М. Для
M = U мы получаем равенство U2 — (1—i)U—tl2— 0. Так как единичные
матрицы тоже удовлетворяют этому равенству, мы получаем, что
и?-{1-т-ип = о
для всех i. Полученное равенство перепишем в виде
Ui(yi-a-t)In) = tIn.
Следовательно, матрица Ui обратима над Л, и обратная к ней матрица
равна
Ur1 = r1(Ui-a-t)In) =
Из блочного вида матриц U\,..., Un-\ следует, что UtUj — UjUt для
всех i и ;, для которых \i — j\ > 2. Также имеет место равенство
UiUi+1Ui = Ui+1UiUi+1
для всех i — 1,..., п — 2. Чтобы проверить его, достаточно проверить
равенство
'1-t t 0\fl 0 0\fl-t t 0\
1 0 0 0 1-t Ml 0 0=
0 0 17 VO 1 07 V 0 0 17
(\ 0 0\fl-t t 0\fl 0 0
=[0 1-t t 1 0 0 0 1-t t
VO 1 07 V 0 0 17 V0 1 0.
Это простое упражнение на умножение матриц.
//-1
0
0
0
0
0
г1
0
0
1
1-Г1
0
0
0
0
h-i-

§3.1. Представление Бурау
129
По лемме 1.2 формула грп (о-;) = Ut, i — 1,..., п — 1, определяет
некоторый гомоморфизм грп группы кос Вп при п>2в группу GLn (Л)
обратимых квадратных матриц порядка п над Л. Это и есть представление
Бурау группы кос Вп. В частности, при п — 2 это представление
является гомоморфизмом В2 —> GL2(yV), отображающим образующую <j\
группы В2 — ^ в матрицу (3.1). Условимся считать, что представление
Бурау я/>1 тривиальной группы В\ есть тривиальный гомоморфизм
Вг-^СЫЛ).
Заметим, что detlf; = —t для всех L Из этого следует, что для
каждой косы /3 е Бп имеет место равенство
det^(j8) = (-t)<«,
где (/3) е Z — образ косы /3 при гомоморфизме Бп -> Z, отображающем
образующие сгь ..., оу^ в 1.
Представления Бурау {ipn}n>i согласованы с естественными
вложениями i: Вп <-> Бп+Ь так как для любого п>1и любой косы /3 е Вп
справедливо равенство
wiGB»=(^ ;). (з.2)
3.1.2. Унитарность
Изучение представления Бурау грп: Вп —> GLn(yV) в значительной
степени было сосредоточено на его ядре и образе. В этом пункте мы
докажем простое свойство его образа, заключающееся в том, что он
содержится в довольно узкой подгруппе группы GLn(yV). Впоследствии
это свойство не будет использоваться.
Рассмотрим инволютивный автоморфизм кольца Л, А ►-> А, А е Л,
отображающий t в Г"1. Для матрицы А = (Ау) над Л положим А = (Ajj).
Через АТ будем обозначать транспонированную к А матрицу Ат = (А^).
Через Qn обозначим нижнетреугольную квадратную матрицу
порядка п над Л, в которой на главной диагонали стоят 1, над ней нули,
а под ней 1 — t:
Пп =
( 1 О О
1-t 1 О
1-t 1-t l
Vl-r
(Л
о
о
U
1-t 1-t
Теорема 3.1. Для любого п > 1 и любой матрицы А е ipn(Bn) с
с GLn(yV) имеет место равенство
АПпАТ = Пп. (3.3)

130 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Доказательство. Если равенство (3.3) верно для матрицы А, то
оно верно также и для обратной к А матрицы, так как, умножив это
равенство слева на Л-1 и справа на (Ат)~\ мы получим ту же самую
формулу, в которой А заменяется на Л-1. Если равенство (3.3) верно
для двух матриц А\ и А2, то оно верно и для их произведения:
А1А2Пп(А1А2)т = AiA2nnAT2Al = МПпА\ = Пп.
Далее, поскольку матрицы U\,..., Un-\ порождают группу ipn(.Bn),
достаточно доказать равенство (3.3) для А — Ui, i — 1,..., п — 1.
Представим матрицы А = Ut и Пп в блочном виде:
fli-i 0 0 Л ( Ц_! 0 0 \
А = I 0 U 0 , Пп = \ K2jL-i П2 0 ,
V 0 0 In-i-\J \Kn-i-\,i-\ ^n-t-1,2 ^n-i-lj
где
a Kp5g — матрица размера p x q, у которой все элементы равны 1 — t.
Непосредственное вычисление показывает, что
_ „. Г _^-i _ 0 0 \
АПпАт = \ UK2ti-i UQ2UT 0 .
V^n-i-l,t-l Kn-i-l,2U fln-i-ij
Заметим, что UK2 t—i — К2 i—i, так как
Аналогично Kn-i-iy2UT = iCn-i-i,25 так как
ci-t,i-t)i/7'=(i-t,i-o(17t j) = a-t,i-t).
С помощью непосредственного вычисления получаем, что UQ2UT=Q2.
Подставляя эти формулы в выражение для АПпАт, мы получим, что
АПпАт = Пп. □
Применив к равенству (3.3) инволюцию А ►-> А и
транспонирование, мы получим, что АО^Ат — О^. Поэтому для любой матрицы
A е грп(Вп) и любых А, /л е Л имеет место равенство
А(\Пп + 1лЙп)Ат = \Пп + (лЙп •
В частности, полагая Я = /i = 1, мы получаем равенство
АвпАт = вп, (3.4)

§3.1. Представление Буpay
131
следующая матрица порядка п:
( 2 1-Г1 1-Г1 ... 1-гЛ
1 1-t 2 1-Г1 ... 1-Г1
1-t 1-t 2 ... 1-Г1
\jL-t 1-t 1-t ... 2 у
Матрица Оп эрмитова в том смысле, что в£ = вп.
Замечание 3.2. Сопоставив элементу t € Л комплексное число £
с абсолютной величиной 1, мы получим кольцевой гомоморфизм
р^: Л —> С. Инволюция Я ь-> Я на кольце Л соответствует при р^
комплексному сопряжению. Применение гомоморфизма р% к элементам
квадратных матриц порядка п над Л определяет гомоморфизм групп
GLn(yV) —> GLn(C), который также будет обозначаться через р%. Его
композиция с грп дает представление
Pc = p^n:Bn->GLn(C).
Из формулы (3.4) следует, что
Pd&Pd®n)PzWT = Pd®n)
для всех /3 е Вп. Для С — 1 мы имеем р^(вп) = 2/п. Следовательно,
эрмитова матрица р^(вп) положительно определена для всех £,
достаточно близких к 1. Для таких £ матрицы в Р^{Вп) с GLn(C) получаются
транспонированием и сопряжением из унитарных матриц.
3.1.3. Ядро представления ^л
Гомоморфизм группы в группу матриц называется точным, если
его ядро тривиально. Гомоморфизм ipi точен, так как В\ = {1}.
Покажем, что гомоморфизм гр2 также точен. Матрица U = UiE. GL2(yl),
в которую переходит при гомоморфизме гр2 образующая <j\ группы
В2 = Z, удовлетворяет равенству
(1, —1)1/ = (—t, о = -t(i, -1).
Следовательно, (l,—l)Uk = (—t)fc(l,—1) для всех k е Z, откуда мы
можем заключить, что U имеет бесконечный порядок в группе GL2(X).
В п. 3.3.2 мы покажем, что Kei"03 = {1}. Для п > 4 вопрос о точности
представления %pn, т. е. вопрос, верно ли, что Кег грп — {1}, в течение
долгого времени оставался открытым. Заметим, что Кег грп с Кег ipn+i
при вложении Вп с Вп+1. Поэтому если Кег ipn ф {1}, то также Кег грт ф
Ф {1} для всех т> п.
где Оп = Пп + Ql

132 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Теорема 3.3. Для п > 5 справедливо неравенство Кеггрп Ф {1}.
На момент написания книги (2007 г.) было неизвестно3, верно ли,
что Кег'04 = {1}.
Мы укажем в явном виде косы из пяти и шести нитей, которые
аннулирует представление Бурау. Положим
у — аАа^а^а\а^а~2а^2а^а~ъа2<Уъ^\^2^\^2^ £ В5.
Тогда коммутатор
Р = [Г^4Г_15 ст4сгза2сг12а2сгза4]
является нетривиальным элементом в ядре Kei"05 с #5. Здесь
коммутатор [а, Ь] элементов а и Ь определен по формуле
[a,b]=a~1b~1ab.
Коса р представлена словом длины 120 от образующих а*1, сг^1,
сг^1, ст^1 (заметим, что коса у имеет длину 26, а косы о~ху и у~га4
имеют длину 25). Для п — 6 мы можем предъявить более короткое
слово, представляющее элемент из ядра. Положим
Коммутатор
Р' = [г°зГ-1> сгз]
является нетривиальным элементом из ядра Кег грв с В^. Коса р'
представлена словом длины 44 от образующих. Тот факт, что косы р и р7
лежат в ядре представления Бурау, в принципе может быть проверен
непосредственным вычислением. А тот факт, что эти косы
нетривиальны, может быть получен с использованием решения
проблемы тождества слов в группе Вп, которое было приведено в п. 1.5.1,
или с помощью нормальной формы кос, которая будет обсуждаться
в п. 6.5.4, или же с помощью редукции простых ручек из § 7.5. Однако
эти вычисления не выясняют геометрических причин, по которым
косы р и р' лежат в ядре представления Бурау. Такие причины будут
обсуждаться в § 3.2.
Упражнение 3.1.1. Покажите, что ядро Кегя/^ с Вп инвариантно
при инволютивном антиавтоморфизме h: Вп —> Вп, отображающем
<Ji в себя при i = 1,..., п — 1. (Указание: проверьте, что UT — DUtD'1
для всех i = 1,..., п — 1, где D=Dn — диагональная матрица порядка п,
3 Ответ на этот вопрос неизвестен и в момент выхода перевода. —Прим. перев.

§3.2. Неточность представления Бурау
133
в которой на главной диагонали стоят 1, t, t2,..., tn г. Выведите из
этого, что
iPn(Hl3))=D-1xpn(l3)TD
для всех /3 еВп.)
§ 3.2. Неточность представления Бурау
Цель этого параграфа — доказать теорему 3.3 для п > 6. Случай
п — 5 несколько более тонкий; в этом случае мы отсылаем читателя
к статье [Big99]. Начнем с изучения гомологических представлений
групп классов отображений поверхностей.
3.2.1. Гомологические представления
Пусть Е — связная ориентированная поверхность (возможно, с
краем ЭХ1). Напомним, что под автогомеоморфизмом поверхности Е мы
понимаем сохраняющий ориентацию гомеоморфизм Е —> Е,
поточечно неподвижный на крае. Изотопические классы
автогомеоморфизмов поверхности Е образуют группу классов отображений Ш(Е);
см. п. 1.6.1, где мы принимаем М = Е и Q = 0. Каждый
автогомеоморфизм поверхности Е индуцирует некоторый автоморфизм
группы гомологии Я = Hi (E\ Z). Ясно, что изотопные
автогомеоморфизмы поверхности Е гомотопны и потому индуцируют один и тот же
автоморфизм группы Я. Тем самым определен гомоморфизм групп
Ш{Е) —> Aut(H), который называется гомологическим представлением
группы ОТ(Г).
Напомним определение формы пересечения Н х Я —> Z. Это косо-
симметрическая билинейная форма, значение которой [а] • [/3] е Z
на классах гомологии [а], [/3] € Я, представленных
ориентированными петлями а, /3 на поверхности Е, равно алгебраическому числу
пересечения этих петель, которое вычисляется следующим образом.
Немного продеформировав петли а и /3, мы можем считать, что они
пересекаются трансверсально в конечном множестве точек,
отличающихся от самопересечений петель а и /3. Тогда
[«]•[/?]= J] sp>
реап/З
где бр — +1, если касательные векторы к петлям аи|5в точке р
образуют положительно ориентированный базис, игр=-1в противном
случае. Эта сумма не зависит от выбора петель а и /3 в их классах

134 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомологии и определяет билинейную форму Я х Я -> Z. Тождество
М * [/?] — ~~ [fi]' М показывает, что эта форма пересечения кососим-
метрична. Действие группы Ш{Е) на Я сохраняет форму пересечения.
Имеется более общий «скрученный» вариант гомологического
представления, который возникает в следующей ситуации. Для
определенности предположим, что дЕ Ф 0, и зафиксируем какую-нибудь
отмеченную точку d e дЕ. Рассмотрим некоторый сюръективный
гомоморфизм (/? фундаментальной группы П\{Е,d) на группу G. Пусть
Е —> Е— накрытие, соответствующее ядру гомоморфизма (/?. Группа
скольжений этого накрытия (накрывающих преобразований
поверхности Е) отождествляется с G. Выберем произвольную точку d e dZ1,
лежащую над d, и рассмотрим группу относительных гомологии Я =
= Н\{Е, Gd; Z), где Gd — G-орбита точки d, т. е. множество всех
точек поверхности Е, лежащих над d. Действие группы G на Е
индуцирует левое действие этой группы на Я и превращает Я в левый
модуль над групповым кольцом Z[G]. Это свободный модуль ранга
п — rkHi(E, Z), как следует из того факта, что поверхность Е
деформационно ретрагируется на объединение п простых замкнутых петель
на этой поверхности, пересекающихся только в общей начальной
точке d (здесь мы существенно используем предположение дЕ ф 0;
ср. рис. 1.15, где Е — дополнение к п точкам в круге). Обозначим
через АШ:(Я) группу Z[G]-линейных автоморфизмов модуля Я. Ясно,
4ToAut(H)=GL„(Z[G]).
По определению любой автогомеоморфизм / поверхности Е
поточечно неподвижен на ее крае дЕ, в частности неподвижен в
точке d. Поэтому он индуцирует некоторый автоморфизм /#
фундаментальной группы П\{Е,d). Обозначим через Шу(Е,d) группу
изотопических классов таких автогомеоморфизмов / поверхности Е, что
ipof# = tp. Построим гомоморфизм УЯу^Е,d) —> АШ:(Я), называемый
скрученным гомологическим представлением группы Ш^{Е,d).
Каждый автогомеоморфизм / поверхности Е, представляющий элемент
группы Ш^{Е, d), единственным образом поднимается до некоторого
гомеоморфизма /: Е—>Е,неподвижного в точке d. Равенство <^о/#=(^
обеспечивает коммутирование гомеоморфизма / с действием
группы G на Е. Поэтому гомеоморфизм / поточечно неподвижен на
орбите Gd, так как /(gd) = g/(d) = gd для всех g e G. Пусть /* —
автоморфизм группы Я = Н\(Е, Gd; Z), индуцированный гомеоморфизмом /.
Так как гомеоморфизм / коммутирует с действием группы G, этот
автоморфизм Z[G]-линеен. Сопоставление /•->/* определяет гомо-

§3.2. Неточность представления Бурау
135
морфизм групп Ш^{Е, d) —> Aut(H). Это и есть гомологическое
представление. На группе Н имеется естественная форма пересечения,
которую сохраняет группа Шу(Е, d), но нам она не понадобится.
3.2.2. Гомоморфизм <РП
Мы применим общую схему построения скрученных
гомологических представлений к проколотым кругам. Зафиксируем п > 1. Пусть
Q — множество {(1,0), (2,0),..., (гг, 0)} с R2, и пусть D — замкнутый
евклидов круг в R2, содержащий Q в своей внутренности. Снабдим
круг D ориентацией против часовой стрелки, как на рис. 1.15.
Заметим, что для любой точки р из внутренности круга D группа
Hi(D\{p};Z)^Z
порождена классом гомологии малой петли, обходящей точку р
против часовой стрелки. Всякая петля у в D\{p} представляет
умноженную на к эту образующую, где к — число оборотов петли у вокруг
точки р. Положим
E = D\Q
и зафиксируем какую-нибудь отмеченную точку d е дЕ = 3D.
Рассмотрим гомоморфизм <р фундаментальной группы n\(E,d) в
бесконечную циклическую группу {tk}kGz, отображающий гомотопический
класс петли у в t~w^r\ где w(y)—полное число оборотов петли у,
которое определяется как сумма чисел оборотов петли у вокруг точек
(1,0), (2,0),..., (гг, 0). Ядро гомоморфизма у определяет некоторое
бесконечнолистное циклическое накрытие Е —> Е. Мы отождествим
группу его скольжений с бесконечной циклической группой {tk}kez-
Выберем какую-нибудь точку dGdE над d и положим
Н^Н^Е, \Jtkd;Z).
keZ
Заметим, что любой автогомеоморфизм круга D, переставляющий
точки подмножества Q, сохраняет полное число оборотов петель в Е.
Это очевидно для малых петель, обходящих точки из Q, а для
произвольных петель верно потому, что их полные числа оборотов зависят
только от их классов гомологии в группе Н\(Е\ Z) = Zn, которая
порождена классами гомологии малых петель. Поэтому ограничение
автогомеоморфизмов на Е определяет гомоморфизм групп
m{D,Q)->m{p{E,d).

136 Глава 3. Гомологические представления групп кос
(На самом деле это изоморфизм, но нам это не понадобится.) Взяв
композицию этого гомоморфизма со скрученным гомологическим
представлением Ш^{Е, d) -> Aut(H), определенным в п. 3.2.1, мы
получаем гомоморфизм групп
tfn:OT(D,Q)->Aut(H).
Образ гомеоморфизма / е OT(D, Q) при гомоморфизме Фп есть
автоморфизм /# группы Я, индуцированный поднятием /: Е —> Е
ограничения f\s: Е —> Е, которое оставляет неподвижной точку d.
В следующих двух пунктах мы покажем, что Кег Фп ф{1} при п > 6.
После этого мы покажем, что гомоморфизм \Рп эквивалентен
представлению Бурау грп для всех п. Из этого будет следовать неточность
представления Бурау при п > 6.
3.2.3. Ядро гомоморфизма <РП
Здесь мы изложим конструкцию элементов из Кег#п, в которой
используются полускручивания вокруг арок, определенные в п. 1.6.2.
Будем говорить, что арки а и /3 в (D, Q) трансверсальны, если
у них нет общих концевых точек и если они трансверсально
пересекаются в конечном числе точек. Для любых трансверсальных арок а
и /3 в (D, Q) мы определим их алгебраический коэффициент
пересечения (а, /3) е А — Z[t, Г-1]. Рассмотрим открытые дуги а Г) Е — а\да
и /ЗОЕ = 13\др на поверхности Е = D\Q. Произвольно ориентируем
их и выберем произвольные поднятия 5, /3 с Е этих дуг с
индуцированными ориентациями. Далее положим
(a,/3) = ^(tfc5-0)tfceA, (3.5)
keZ
где tka • J3 G Z — алгебраическое число пересечения ориентированных
дуг tka и /3 на Е. Заметим, что, несмотря на то что дуги tka и /3
не компактны, число их пересечений конечно и, более того, сумма
в правой части равенства (3.5) конечна. Это объясняется тем, что
накрытие Е —> Е отображает дугу /3 биективно на /3, а множество
(Ufcez **<*) n P — биективно на конечное множество а Г) /3. Из этого
также следует, что каждая точка р е а П /3 с Е поднимается в точку
пересечения дуги tka с /3 ровно для одного k = kpe.Z. Поэтому
(а,/3)= J] £Ptkp> (3-6)
реапр

§3.2. Неточность представления Бурау
137
где бр — ±1 — знак пересечения дуг а и /3 в точке р. В качестве
упражнения читатель может проверить, что для любых точек p,q е а Г) /3
разность кр — kq равна полному числу оборотов петли в S, которая
сначала идет от р к q по дуге а, а потом от q к р по дуге /3. Выражение
(а, /3) определено только с точностью до умножения на ±1 и степени
элемента t, зависящих от выбора ориентации на дугах а и /3 и выбора
их поднятий 5 и /3. Для нас это не имеет значения, поскольку нас
интересует только вопрос, равно ли (а, /3) нулю или нет. Заметим, что
ф,а) = J](tkJ3-a)tk = £(/8 • rfc5)tfc =
fceZ fceZ
= - £(rfc5 • $)tk = - £>fc5 ■ J3)rk = -КШ,
fc€Z fc€Z
где черта сверху обозначает инволюцию в Л, отображающую t в Г-1.
Следовательно, (а, /3) — О => (/3, а) = 0.
Как нам известно, каждая арка а в (D,Q) определяет
полускручивание та: (D,Q) —> (D,Q), действующее тождественным образом
вне некоторой круговой окрестности дуги а и отображающее дугу а
на себя посредством инволюции, обращающей ориентацию.
Ограничив полускручивание та на Е = D \ Q, мы получим автогомеоморфизм
поверхности Е, который мы будем обозначать также та.
Лемма 3.4. Пусть а и /3 — трансверсалъные арки в (D,Q). Если
(а, 13) = 0, то ЯпЫ^р) = ФпО^Та).
Доказательство. Чтобы доказать эту лемму, мы вычислим
гомологическое действие полускручиваний. Для разминки вычислим
действие полускручивания та на группе Н =Hi{H; Z). Рассмотрим
петлю а' в круге D, изображенную на рис. 3.1. Эта петля имеет вид
восьмерки, и ее единственное самопересечение лежит на дуге а.
Ориентируем дугу а и петлю а' так, чтобы выполнялось равенство [а] -[а7] =—2,
где [а] е Hi (D, Q; Z) — класс относитель- а/
ных гомологии дуги а и [а7] е Н — класс f~~ ^^^^^^^^а^^
гомологии петли а'. Точка • обозначает у ' ^^^^^ ' У
билинейную форму пересечения
Рис.3.1. Петля а.
Hi (D, Q; Z) х Я —> Z, ассоциированная с аркой а
определенную ориентацией круга D против часовой стрелки.
Влияние полускручивания та на любую ориентированную кривую,
трансверсальную к дуге а, состоит в том, что в каждое пересечение

138 Глава 3. Гомологические представления групп кос
дуги а с этой кривой вставляется (а/)±1; см. рис. 1.14. Легко
проверить, что для любого элемента ft e Я имеет место равенство
Автоморфизм Фп(та) группы Я = Hi[E, (Jkez tkd\ %) определен
формулой ^п{Уа) — (^а)*5 где та : Е —> Е— поднятие гомеоморфизма
та'. Е —> Е, для которого точка d неподвижна. Заметим, что
ассоциированная с дугой а петля а' на поверхности Е имеет нулевое полное
число оборотов и потому поднимается до некоторой петли а' на Е.
Рассмотрим произвольный ориентированный путь у в Е с концевыми
точками в [Jk<EZtkd. Влияние гомеоморфизма та на путь у состоит
в том, что в каждое пересечение пути у с прообразом петли а в Е
вставляется поднятие петли (а/)±1. Поэтому автоморфизм (та)*
действует на классе относительных гомологии [у] е Я по формуле
(т«)*([г]) = [г] + Аг|аг
где Яг е Л — лоранов полином, коэффициентами которого
являются алгебраические числа пересечений пути у с поднятиями петли а
на Е. Так как (а, /3) = О, каждое поднятие петли а имеет нулевое
алгебраическое число пересечений с любым поднятием дуги /3 на. Е
и, следовательно, с любым поднятием /3' петли /3' на Е. Поэтому
Ц> = 0 и (та)*([/3']) = [/3']. Аналогично (т Д ([у]) = [у] + /ir[/3'] для
всех таких путей у, которые мы рассматривали выше, и некоторого
/ir е Л. Из равенства (/3, а) = 0 следует, что (тД([а']) — [а7]. Отсюда
мы заключаем, что для всех у имеют место равенства
Следовательно, (татД = (т^Та)*. □
Для доказательства того, что Ker#n ф {1}, остается построить две
арки аи /3, удовлетворяющие условиям леммы 3.4 и такие, что татр Ф
Ф трта в группе Wl(D,Q). Для п = 6 такие арки аир изображены
на рис. 3.2. Для проверки равенства (а, /3) = 0 мы используем
формулу (3.6) и следующие после нее вычисления (это мы оставляем
esxGxS)
а
Рис. 3.2. Арки аир для п = 6

§3.2. Неточность представления Бурау
139
сделать читателю в качестве упражнения). Чтобы доказать, что та
и тр не коммутируют в группе Ш{р, Q), можно, например,
выполнить трудоемкое вычисление с использованием действия группы
классов отображений на фундаментальной группе ni(E, d). В следующем
пункте мы дадим геометрическую аргументацию.
3.2.4. Скручивания Дена
К доказательству того, что два полускручивания не
коммутируют, мы привлечем теорию скручиваний Дена. Начнем с
соответствующих определений. Пусть Е— произвольная ориентированная
поверхность. Под простой замкнутой кривой на поверхности Е мы
понимаем образ вложения S1 <—> Е° — Е\дЕ. (Заметим, что простые
замкнутые кривые не предполагаются ориентированными.) Всякая
простая замкнутая кривая с на поверхности Е определяет некоторый
автогомеоморфизм tc поверхности Е, который называется
скручиванием Дена вокруг кривой с. Это определение таково. Положим / = [0,1]
и отождествим цилиндрическую окрестность кривой с в Е с S1 х I так,
что с = S1 х {1/2} и произведение ориентации против часовой стрелки
на S1 = {z G С: \z\ = 1} и направленной направо ориентации на I
соответствует заданной ориентации на Е. Скручивание Дена tc: Е —> Е
тождественно вне S1 x J и отображает каждую точку (х, 5) £ S1 х I в
{e2nisx,s)eS1xL
Ясно, что tc — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм. Его
изотопический класс не зависит ни от выбора цилиндрической
окрестности кривой с, ни от выбора ее отождествления с S1 х /. Заметим,
что если / — автогомеоморфизм поверхности Е, то /(с)—простая
замкнутая кривая на поверхности Е и t/(c) = ftcf~l, где равенство
означает изотопию в классе автогомеоморфизмов поверхности Е.
Говорят, что две простые замкнутые кривые с и d на
поверхности Е изотопны, если существует автогомеоморфизм поверхности Е,
который изотопен тождественному отображению и переводит
кривую с на кривую d. Ясно, что если кривые end изотопны, то tc = td.
Вопрос, коммутируют ли (с точностью до изотопии) два
скручивания Дена, имеет простое геометрическое решение, содержащееся
в следующей лемме.
Лемма 3.5. Пусть с и d — простые замкнутые кривые на
поверхности Е. Скручивания Дена tc и td тогда и только тогда коммутируют

140 Глава 3. Гомологические представления групп кос
с точностью до изотопии, когда кривые cud изотопны
непересекающимся простым замкнутым кривым.
Доказательство. Если кривые с и d не пересекаются, то у них
есть непересекающиеся цилиндрические окрестности, поэтому
скручивания Дена tc и ta, очевидно, коммутируют. Если кривые end
изотопны непересекающимся простым замкнутым кривым с' и d', то
tc = tc> коммутирует с ta = t^. Доказательство обратного
утверждения основывается на технике и результатах, изложенных в трудах
семинара [Тга79], которые мы сейчас воспроизведем. Для простых
замкнутых кривых с и d на поверхности Е обозначим через i{c, d)
минимальное число пересечений простых замкнутых кривых на
поверхности U, изотопных кривым с и d и пересекающихся друг с другом
трансверсально, т. е.
i(c, d) = minfcardfV n d')) > 0,
c\d'
где с' и d' пробегают все пары простых замкнутых кривых на
поверхности U, изотопных кривым end соответственно и таких, что с' и d'
пересекаются трансверсально. В частности, i{c, с) = 0, так как кривая с
изотопна некоторой простой замкнутой кривой, не пересекающейся с ней.
Предложение 1 на с. 68 трудов семинара [Тга79] включает в себя
как частный случай следующее утверждение: если c,d,e — три
простые замкнутые кривые на поверхности Е, то
|i(tc(d),e)-i(c,d)i(c,e)|<i(d,e).
Полагая е = d, мы получаем
i(tc(d),d)=i(c,d)2. (3.7)
Из этого следует, что если сие7 — такие простые замкнутые кривые
на поверхности Е, что tc = tc', то i{c, d) = i{c', d) для любой простой
замкнутой кривой d.
Предположим теперь, что два скручивания Дена tc и ta
коммутируют. Тогда _,,,-!_,
td—tctdtc —4(d)-
В силу предыдущего абзаца i{tc{d),d) = i{d, d) =0. Ввиду равенства (3.7)
имеем i{c, d) = 0. Следовательно, кривые end изотопны
непересекающимся простым замкнутым кривым. □
Следующая лемма дает необходимое геометрическое условие того,
чтобы две простые замкнутые кривые на ориентированной
поверхности были изотопны кривым с меньшим числом пересечений.

§3.2. Неточность представления Бурау
141
Лемма 3.6. Пусть cud — простые
замкнутые кривые на поверхности Е, трансверсально
пересекающиеся в конечном числе точек. Если
кривые cud изотопны простым замкнутым I \ ^
кривым с1 и d1 на Е, которые трансверсальны п л л „
^ ,/ / m Рис.3.3. Двуугольник
и удовлетворяют неравенству card (г П <г) <
< card (с П d), то кривые cud имеют «двуугольник», т. е.
вложенный в Е круг, край которого состоит из некоторой поддуги кривой с
и некоторой поддуги кривой d, а его внутренность не пересекается
с объединением cud; см. рис. 3.3.
Доказательство этой леммы см. в работах [Тга79, р. 46-48] или
[PROO, Prop. 3.2].
Полускручивания вокруг дуг связаны со скручиваниями Дена
следующим образом. Предположим, что Е = M\Q, где М —
ориентированная поверхность и Q — конечное подмножество в М° = М\дМ.
Пусть а — арка в (М, Q). Рассмотрим замкнутый круг в М,
содержащий в своей внутренности дугу а и пересекающий подмножество Q
только в концевых точках дуги а. Обозначим через с = с(а) с Е край
этого круга. Эта простая замкнутая кривая определяется дугой а с
точностью до изотопии в Е. Скручивание Дена tc: Е —> Е можно
вычислить исходя из полускручивания та: Е —> Е по формуле
Действительно, обе части действуют тождественным образом вне
некоторой круговой окрестности дуги а, а также внутри меньшей
концентрической круговой окрестности этой дуги. В кольце между краями
этих кругов обе части tc и т« действуют как скручивание Дена вокруг
срединной окружности этого кольца.
Теперь мы можем доказать, что ассоциированные с
изображенными на рис. 3.2 дугами а, /3 полускручивания т«, т| € Ш{р, Q) не
коммутируют. Если бы это было так, то их ограничения на круг с шестью
проколами Е =D\Q также коммутировали бы. Тогда коммутировали
бы скручивания Дена
tc(a) — та : Е -> Е и tc(fi) = Тр: Е -> Е.
В этом случае в силу лемм 3.5 и 3.6 кривые с(а) и с(/3) непременно
образовывали бы двуугольник в Е. Но, нарисовав эти кривые, мы
видим, что они имеют 16 пересечений друг с другом и не образуют
никаких двуугольников в Е. Следовательно, полускручивания та и т^
не коммутируют.

142 Глава 3. Гомологические представления групп кос
3.2.5. Эквивалентность представлений
Следующая теорема показывает, что построенное в п. 3.2.2
представление Фп группы кос Вп эквивалентно представлению Бурау грп
для всех п > 1. Напомним, что в п. 1.6.3 был определен изоморфизм
Теорема 3.7. Существует такой изоморфизм групп /i: GLn(y\) ->
что коммутативна диаграмма
Вп !—>an(D,Q)
^п
(3.8)
GLn(A) ——*Aut(H).
Доказательство. Сначала вычислим Л-модуль
Н = Н1(е, \Jtkd;Z).
keZ
Заметим, что поверхность Е деформационно ретрагируется на граф
Г сЕ, образованный одной вершиной d и п ориентированными
петлями Xi,..., Хп на поверхности Е, которые изображены на рис. 1.15.
Полные числа оборотов этих петель равны —1. Гомоморфизм у отображает
представленные этими петлями образующие фундаментальной группы
п\{Е, d) в t. Бесконечнолистное циклическое накрытие Е
поверхности Е деформационно ретрагируется на бесконечный граф Г с Е с
вершинами {tkd}kez и ориентированными ребрами {tkXi}kGZ,i=i,-.,n, где
каждое ребро tkXt соединяет вершину tkd с вершиной t(tkd) ~ tk+1d
и ориентировано от первой из них к последней. Образующая t
действует на графе Г, отображая ребро tkXt на ребро tk+1Xi. Клеточный
цепной комплекс пары (г, (Jkez tkd) равен 0 во всех размерностях,
кроме 1, где он равен ф"=1 АХ*. Поэтому
Я = Нг(ё9 (J tkd; Z) = Н^Г, (J tkd; z) = 0Л[Х(]
keZ keZ i=l
является свободным Л-модулем с базисом [Xi],..., [Хп]. С помощью
этого базиса мы стандартным образом отождествим Aut(H) с GLn(yV).
Матрица (Ay) е GLn(yV) действует на Я так, что каждый элемент
базиса [Xj] отображается в J\ Xij[Xi].
Определим изоморфизм групп
Ia: GL„(A) -> GL„(A) = Aut(H)

§3.2. Неточность представления Бурау
143
как композицию транспонирования матриц и их обращения: /i(lO =
= (ит)~г для U G GLn(yV). Для проверки коммутативности
диаграммы (3.8) нам нужно убедиться в том, что для всех кос /3 € Вп
выполняется равенство
Так как обе его части мультипликативны относительно /3,
достаточно проверить его на множестве образующих группы Вп. В качестве
такого множества мы возьмем множество образующих а"1,..., о~\.
Выберем i = 1,...,п — 1. Гомеоморфизм rjfcr.-1): D—>D меняет местами
точки (i, 0), (i + 1,0) G Q, вращая дугу [i, i + 1] x {0} на угол п по
часовой стрелке. Этот гомеоморфизм оставляет петли Хк неподвижными
при к ф i, i + 1, преобразует петлю Х{ в петлю, гомотопную
произведению XiXi+iXf1, а петлю Xi+i преобразует в Х[. Поднятие этого
гомеоморфизма на Е оставляет пути Хк неподвижными при к ф i, i +1,
преобразует путь Xi+i в путь Х[ и растягивает путь Х[ в путь
Индуцированный автоморфизм Фпг\(ст.-1) модуля Я действует по
правилам _
( (l-t)[Xi]+t[Xi+1], если к = U
[Xfc]—> < М, если fc = i + l,
^ [Xfc] в остальных случаях.
Матрица этого автоморфизма в базисе [Xi],..., [Хп] в точности равна
Замечания 3.8. 1. Аналогичными методами, распространенными
на дуги, соединяющие точки из Q с отмеченной точкой dGdD, можно
доказать, что Kei"05 Ф Ш; см. [Big99].
2. Применив конструкцию из п. 3.2.1 к естественной проекции
TiifZ1, d) —> HifZ1), мы получим матричное представление подгруппы
Торелли группы ОТ(Г), состоящей из автогомеоморфизмов
поверхности S, тождественно действующих на группе HifZ1). В случае, когда
Е — дополнение к п точкам в двумерном круге, подгруппа Торелли
есть группа крашеных кос Рп, а это представление — вариант
представления Гасснера группы Рп квадратными матрицами порядка п над
Z[H1{E)]=Z[t*\...,t?].
Дополнительные сведения о представлении Гасснера можно найти
в книге [Bir74] и в работе [РегОб].

144 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Упражнение 3.2.1. Покажите, что дуги а и /3 на рис. 3.2 (где
п = 6) можно вычислить по формулам а — rKyi)(a3) и Р — чСУгХаз),
где а3 — арка [3,4] х {0} в (D, Q), yi=cricr~1cr~1cr4 и у2 = af2cr2cr52cr~1.
Выведите отсюда, что коммутатор [^Озст"1, у2&зТ^1] представляет
собой нетривиальный элемент ядра Кег грв- Из этого следует, что
упоминавшаяся в п. 3.1.3 коса р' = [у21Yi(J3Y:[1Y2, 0"з] есть нетривиальный
элемент ядра Кегя/^.
Упражнение 3.2.2. Покажите, что определенный в п. 1.6.3
изоморфизм Вп = Ш{р, Q) переводит центр группы Вп на бесконечную
циклическую подгруппу в OT(D, Q), порожденную скручиванием Дена
вокруг простой замкнутой кривой в D \ Q, которая получается
вдавливанием окружности 3D внутрь D\Q.
Упражнение 3.2.3. Покажите, что если простая замкнутая
кривая с на поверхности Е ограничивает круг в Е, то скручивание Дена tc
изотопно тождественному отображению.
§3.3. Приведенное представление Бурау
В этом параграфе мы докажем, что представление Бурау
приводимо. В качестве приложения этого результата мы докажем точность
представления грз- Во всем этом параграфе Л = Z[t, t_1].
3.3.1. Редукция представления т/>п
Напомним, что в п. 3.1.1 были определены матрицы
l/b...,l/n_!€GLnU).
Как и ранее, символ 1к обозначает единичную матрицу порядка к.
Следующая теорема показывает, что представление Бурау приводимо.
Теорема 3.9. Пусть п > 3 и Уь V2,..., Vn-i — квадратные
матрицы порядка п — 1 над кольцом Л, заданные равенствами
Vi =
-t 0
0
110
0 0 /п_з
vt =
fh-2
0
0
0
\o
\
,
J
0
1
0
0
0
Vn-
0
t
-t
1
0
-1 —
0
0
0
1
0
(In-3
0
0 1
V о о
о Л
0
0
0
In-i-2j
0
t
-t

§3.3. Приведенное представление Бурау
145
при 1 < i < п — 1. Тогда для всех i = 1,..., п — 1 имеет место равенство
С-^С = ^ J), (3.9)
где С — квадратная матрица порядка п, заданная равенством
С = Сп =
(\ 1 1
0 11
0 0 1
1о
о о
1
и *i — строка длины п — 1, равная 0 при i < п — 1 и (0,..., 0,1) при
i = п -1.
Доказательство. Для i = 1,..., п — 1 положим
V/
*-Й ?)■
Достаточно доказать, что £/;С = CV? для всех i. Зафиксируем i и
заметим, что fc-й столбец матрицы UiC равен сумме первых к столбцов
матрицы Ut для любого к — 1,..., п. Непосредственное вычисление
показывает, что матрица UiC получается из матрицы С заменой (i, Q-ro
элемента на 1 — t и (i + 1, i)-ro элемента на 1. Аналогично 1-я строка
матрицы CV/ равна сумме последних I строк матрицы У/ для любого
I — 1,..., п. Непосредственное вычисление показывает, что матрица
CV? получается из матрицы С в точности теми же заменами, что
описаны выше. Следовательно, UiC — CV/. □
Так как матрицы Ui,..., Un-i e GLn(A) удовлетворяют косовым
соотношениям, сопряженные матрицы C-1£/iC,... ,C~lUn-iC также
удовлетворяют косовым соотношениям. Из формулы (3.9) следует, что
матрицы Vi,...,Vn-i также удовлетворяют косовым соотношениям.
Очевидно, что эти матрицы обратимы над А и потому принадлежат
GLn_i (Л). По лемме 1.2 формула iprn{<Ji) — V[ определяет гомоморфизм
групп гргп: Вп —> GLn_i(A) для всех п > 3. Этот гомоморфизм
называется приведенным представлением Бурау. При п — 2 мы определим
приведенное представление Бурау как гомоморфизм грг2: В2 —> GLi(A),
отображающий элемент 0\ в матрицу (—t). Это значение выбрано так,
чтобы формула (3.9) была верна и в случае п = 2. Из этой формулы
следует, что для любого п>2и любой косы /3eBn имеет место равенство
c-Vn(flc = (*»<« J), (зло)

146 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где *£ — строка длины п — 1 над Л, зависящая от /3. Следующая лемма
показывает, как вычислить эту строку по матрице я/^С/?)-
Лемма ЗЛО. Пусть щ — i-я строка матрицы гргп(13) — In-i для
i — 1,..., п — 1. Тогда
п-1
-{l + t + ... + tn~1)*p= ^(l + t + ... + t')a;.
Доказательство. Рассмотрим Л-модуль Лп, элементы которого
отождествляются со строками длины п над Л. Умножение строк на
матрицы определяет правое действие группы GLn(A) на Лп.
Непосредственное вычисление показывает, что вектор
удовлетворяет равенству EUt =E для всех L Следовательно, Егрп(13)=Е.
Тогда вектор
F = EC = (1,1 + t,l + t + t2,...,l + t + ... + tn_1) G Лп
удовлетворяет равенствам
Ff^) (()=ECC-1^n{l3)C = EC = F.
Вычитая из получившегося равенства FIn = F, получаем
Это равенство означает, что линейная комбинация строк at матрицы
i>n(P) -In-i с коэффициентами 1,1 + t, 1 +1 +12,..., 1 + t + ... + tn~2
равна -(1 + t + ... +1""1)*^. □
Эта лемма показывает, что при переходе от представления Бурау
к его приведенной форме информация не теряется. В частности, если
'Фп(Р) — In-i, то *£ = 0 и грп(Р) = 1п. Поэтому Кеггргп с Кеггрп.
Обратное включение непосредственно следует из формулы (3.10). Значит,
Кегя/^ = Кег ipn.
Замечание 3.11. Гомологическая интерпретация приведенного
представления Бурау Кегя/^ получается при замене Л-модуля
H=H1(Z, [jtkd;Z]
keZ
Ь

§3.3. Приведенное представление Бурау
147
на Л-модуль Яг = Н\(Е\ Z). Напишем точную гомологическую
последовательность пары (JC, [jkeZtkd):
Hi( (J tkd; z) -> Яг -> Я -> Н0( (J tfcd; Z) -> Я0(Г; Z).
В ней самый левый член равен нулю, так как пространство [jkeZ tkd
дискретное. Поэтому гомоморфизм НГ->Н есть вложение, так что мы
можем рассматривать Яг как подмодуль модуля Я. Ясно, что
Н0( (J tfcd; z) = Л, Я0(Г; Z) = Z
и гомоморфизм H0{{JkeZtkd; Z) -> Щ(И;Ъ) является
гомоморфизмом А —> Z, отображающим t в 1. Ядро этого гомоморфизма (t — 1)Л
есть свободный Л-модуль ранга 1. Поэтому фактормодуль Н/Нг
является свободным Л-модулем ранга 1, откуда следует, что Я = Яг Ф А.
Действие группы OT(D, Q) на Я сохраняет Яг и дает гомологическую
интерпретацию приведенного представления Бурау гргп. Однако это
действие не сохраняет дополнительный модуль А. Это геометрическая
причина того, что представление Бурау можно редуцировать, но оно
не является прямой суммой своей приведенной формы с одномерным
представлением. В качестве упражнения читатель может проверить,
чтоН^Л"-1.
3.3.2. Точность представления Бурау i/>3
Мы докажем, что представление Бурау гр3 точное. Рассмотрим
гомоморфизм групп (/?: GL2(A) -> SL2(Z), получающийся при
подстановке t ь-> — 1. Он преобразует приведенные матрицы Бурау
*=(~; ;)• *=G -О
в целочисленные матрицы
ai = v(Vi) = Q J), a2 = v(V2) = (j "}).
Согласно приложению А группа SL2(Z) порождена
транспонированными матрицами А — а[, В = а\ с определяющими соотношениями
ABA = BAB и (ABA)4 = 1. Следовательно, группа SL2(Z) порождена
матрицами ai,a2 с определяющими соотношениями aia2ai = a2aia2
и (aia2ai)4 = 1.
Гомоморфизм <р о грг3: Бз —> SL2(Z) отображает стандартные
образующие C7i и сг2 группы Б3 в ai и а2 соответственно. Ясно, что этот

148 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомоморфизм сюръективен и его ядро является нормальной
подгруппой, порожденной косой (ctiO^cti)4. Так как эта коса центральна в Б3,
изучаемое ядро есть циклическая группа ((ctiO^cti)4) с В3-
Следовательно,
Кегя/^з с Кег((/? огрг3) = (OiO^cti)4).
Заметим, что
Wi = (_? ~o) и (Wi)2 = (o °3).
Поэтому для любого ненулевого fceZ имеем
Следовательно, Кегя/^з = Кегя/^ = Ш-
Упражнение 3.3.1. Покажите, что я/^((сг1... <Jn-i)n) — tnIn-i Для
всех п > 2. (Указание: используйте гомологическую интерпретацию
представления гргп и заметьте, что косе (cii... crn_i)n соответствует
в группе OT(D, Q) скручивание Дена вокруг окружности в D,
концентрической с 3D.) Заметим, что аналогичное равенство для грп
неверно, например, i/^Cof) ф t2I2.
§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений
В этом параграфе мы с помощью приведенных представлений Бу-
рау гр\, грг2,... и теории марковских функций из п. 2.5.2 построим
полиномы Александера — Конвея от одной переменной для зацеплений.
3.4.1. Пример марковской функции
В этом пункте мы построим марковскую функцию со значениями
в кольце лорановых полиномов Z[s, s-1]. Ассоциированный с ней
инвариант зацеплений мы изучим в следующем пункте. Обозначим через
g:A = Z[t,r1]-^Z[s,s-1]
кольцевой гомоморфизм, отображающий t в s2. Для любой косы /3
из п > 2 нитей рассмотрим следующую рациональную функцию от s
с целочисленными коэффициентами:
/„08) = (-1)"+15~<У!;-Г1) g(det(^03) - /„-О),
где (/3) е Z— образ косы /3 при гомоморфизме Вп —> Z, который
отображает образующие G\,..., оп-\ в 1. Например, при п — 2 и к е Z

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 149
имеем
/2(of) =-s-*(s + s-1r1((-s2)k-D.
В частности, /2(0-1) = /гСсг"1) = 1. По определению /i(Bi) = 1.
Лемма 3.12. Отображения {fn: Bn —> Z[s,s-1]}n^i образуют
марковскую функцию.
Доказательство. Выберем какую-нибудь косу /3 еВп, п > 1.
Сопряжение косы /3 в группе Вп сохраняет как (/3), так и detfi/^QS) — /n-i),
и потому сохраняет /п(/3). Отсюда следует первое условие из
определения марковской функции.
Положим /3+ = t(l3)crn GBn+i, где б — естественное вложение Вп <—>
<—> Вп+ь Далее проверим, что /n+i(/3+) = /п(/3). При п = 1 мы имеем
/3 = 1, /3+ = C7i и /г08+) = /2(0-1) = 1 = /i(/3). Предположим, что п > 2.
Сначала заметим, что имеют место равенства
sn - s~n
Sn-1-(P)
l+s2 + sA + ... + sXn-»
и
n-l-(j8) = (n + l)-l-<j8+).
Поэтому требуемая формула /n+i(/3+) = /п(/3) эквивалентна формуле
(l + t + ... + t"-1)det(^+1(^+)-/n) =
= -(l + t + ... + tn)det(^(^)-/n_i). (3.11)
В силу равенств (3.2) и (3.10) получаем
***№)=(*■„<» ?)=(» !)П
^п(/8) 0 0
1 0
о о
Следовательно,
Заметим, что
1 _
С-1 =
/"1 -1 0
0 1 -1
0 0 1
0 0 0
Vo о о
.. 0
.. 0
.. 0
.. 1
.. 0
оЛ
0
0
-1
1/

150 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Непосредственное вычисление показывает, что произведение первых
трех (соответственно последних трех) матриц в правой части
равенства (3.12) равно
Лп_2 0 0 0>
0 1 t 0
0 0 1-t 1
V 0 0 1 1,
Чтобы перемножить эти две матрицы, мы представим первую из
них в виде
Ли О») О (Л [Х Y °
*)з 1—11, соответственно
,001/
Н 1 "I =
0 0 1/
z т о
Р Q 1
Vo о о
где X — квадратная матрица порядка п — 2 над A,Y — столбец над Л
высоты п—2, Z и Р — строки над Л длины п—2 и Т, QeA. Перемножая,
получаем
Л/^Ж) оЛ =
(X Y tY 0s
Z Т tT 0
Р Q tQ-t 0
Vo о 1 i>
Следовательно,
fX-In-2 Y tY Л
^+i08+)-/n= Z Г-1 tT .
V Р Q tQ-t-lJ
Чтобы вычислить детерминант этой матрицы порядка п, мы
умножим (п — 1)-й столбец на — t и прибавим результат к п-му столбцу.
В результате получим
det(^+1(j8+)-/n)=detJ,
где
fX-In_2 Y 0 \
J = \ Z Г-1 t .
V Р Q -t-l7
Заметим, что
ШР)-1п-1=(^~2П~2 Г-l) И *'=(Р Q)'
Из этих формул и леммы 3.10 следует, что, складывая строки
матрицы J с коэффициентами
1, 1 + t, 1 + t + t2, ..., l + t + ... + tn-1,
мы получим новую нижнюю строку, в которой первые п — 1 элементов
равны 0. Последний, п-й ее элемент равен
(l + t + ... + tn-2)t+(l + t + ... + tn~1)(-t-l)=-(l + t + ... + tn).

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 151
Поэтому
(l + t + ... + t"-1)det(^+1(^+)-/n)-
fX-In-2 Y 0
= det Z т-l t
V 0 0 -(1 + £ +... + tn)
Отсюда следует формула (3.11). Таким образом,
/n+i(<7ni(j8)) =/n+i(t(j8)an) =/n+i(j8+) =/„(j8).
Аналогичные рассуждения показывают, что /п-нСотГМ/?)) = /п(/3).
Тем самым проверено второе условие из определения марковской
функции. □
Для любого ориентированного зацепления L с Ш3 положим /(L) =
= fn(P), где /3 — произвольная коса из п нитей, замыкание которой
изотопно L. Согласно п. 2.5.2 и предыдущей лемме /(L) является
изотопическим инвариантом зацепления L, не зависящим от выбора
косы /3. Мы изучим этот инвариант в следующем пункте.
3.4.2. Полином Александера — Конвея
Полином Александера — Конвея (от одной переменной)
представляет собой фундаментальный и исторически первый
полиномиальный инвариант для ориентированных зацеплений в Е3. Он
распространяется до полиномиального инварианта от двух переменных для
ориентированных зацеплений в Ш3, известного под названием
полинома Джонса — Конвея или полинома HOMFLY-PT. Последний
полином будет построен в § 4.4 в контексте алгебр Ивахори — Гекке.
Начнем с аксиоматического определения полинома
Александера— Конвея. Будем говорить, что три ориентированных зацепления
L+, L_, Lq с R3 образуют тройку Конвея, если вне некоторого
трехмерного шара в Ш3 они совпадают, а внутри этого шара выглядят как
на рис. 3.4. Полиномом Александера — Конвея для зацеплений
называется отображение V, сопоставляющее каждому ориентированному
зацеплению L с R3 некоторый лоранов полином V(L) eZ[s, s-1] и
удовлетворяющее следующим трем аксиомам:
1) полином V(L) инвариантен относительно изотопии зацепления L;
2) если L — тривиальный узел, то V(L) = 1;
3) для любой тройки Конвея L+, L_, Lq с R3 выполняется равенство
V(L+)-V(L_)-(5-1-5)V(L0).

152 Глава 3. Гомологические представления групп кос
® Ф QI:
L+ L_ L0
Рис. 3.4. Тройка Конвея
о
L+ L_ Lo
Рис. 3.5. Пример тройки Конвея
Последнее равенство известно как скейн-соотношение Александе-
ра — Конвея.
В качестве примера вычисления, в котором используется
скейн-соотношение, рассмотрим тройку Конвея L+, L_, Lq, изображенную на
рис. 3.5. Здесь L+ (соответственно L_) получается из
ориентированного зацепления Lcl3 добавлением малого положительного
(соответственно отрицательного) завитка. Оба зацепления L+ и L_ изотопны
зацеплению L, в то время как Lo есть дизъюнктное объединение
зацепления L с тривиальным узлом. Из аксиом 1 и 3 следует, что V(L0) = 0.
Отсюда мы заключаем, что отображение V аннулирует все
зацепления, получаемые как дизъюнктное объединение непустого
зацепления с тривиальным узлом. В частности, отображение V аннулирует
все тривиальные зацепления с двумя или более компонентами.
Теорема 3.13. Полином Александера—Конвея существует и
единствен. Построенный в п. 3.4.1 инвариант f зацеплений в R3 совпадает
с полиномом Александера — Конвея.
Доказательство. Сначала мы докажем единственность, т. е. что
существует не более одного отображения из множества
ориентированных зацеплений в R3 в кольцо Z[s, s-1], удовлетворяющего акси-

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 153
омам 1-3. Для этого потребуется понятие возрастающей диаграммы
зацепления, которое мы сейчас введем. Диаграмма ^
ориентированного зацепления на плоскости Ш2 называется возрастающей, если она
удовлетворяет следующим двум условиям:
а) компоненты диаграммы ^ можно так занумеровать числами от 1
до т (где т — число ее компонент), что в каждом перекрестке
разных компонент компонента с меньшим номером проходит под
компонентой с большим номером;
б) на каждой компоненте диаграммы ^ можно так отметить
некоторую точку (отличную от перекрестка), что, начав из этой точки
движение по компоненте в положительном направлении, мы
всегда достигнем самопересечения этой компоненты в первый раз
по дуге, проходящей снизу, и во второй раз по дуге, проходящей
сверху.
Пример возрастающей диаграммы зацепления изображен на
рис. 3.6. Простое геометрическое упражнение — убедиться в том,
что зацепление, представленное
возрастающей диаграммой, непременно тривиальное.
Предположим теперь, что существуют два
отображения из множества ориентированных
зацеплений в Ш3 в кольцо Z[s, s-1],
удовлетворяющие аксиомам 1-3 полинома
Александера — Конвея. Обозначим через V их разность.
Нам нужно доказать, что V = 0.
Из аксиом и вычисления, сделанного пе- Рис. 3.6. Возрастающая
ред формулировкой теоремы, явствует, что диаграмма зацепления
V — изотопический инвариант зацеплений,
который аннулирует тривиальные узлы и зацепления и
удовлетворяет скейн-соотношению Александера — Конвея. Докажем индукцией
по N, что V аннулирует все ориентированные зацепления,
представленные диаграммами зацеплений с N перекрестками. Для N — 0 это
очевидно, так как зацепление, представленное диаграммой без
перекрестков, тривиально. Предположим, что наше утверждение верно
для некоторого N. Пусть L — ориентированное зацепление,
представленное диаграммой с N +1 перекрестками. Поменяв местами порядок
прохода дуг в одном перекрестке, мы получим диаграмму другого
зацепления V'. Зацепления L, V вместе с зацеплением Lo, полученным
из любого из них сглаживанием рассматриваемого перекрестка, обра-
сбЪ

154 Глава 3. Гомологические представления групп кос
зуют тройку Конвея, такую, как изображена на рис. 3.4. Зацепление Lq
представлено диаграммой с N перекрестками. По предположению
индукции V(Lo) = 0. Из скейн-соотношения получаем, что V(L) = V(Z/).
Таким образом, значение инварианта V на зацеплении L не
изменится, если проходы дуг поверх других заменить на проходы под ними.
Вместе с тем этими операциями можно преобразовать нашу
диаграмму в некоторую возрастающую диаграмму. А так как V аннулирует
зацепления, представленные возрастающими диаграммами,
получаем, что V(L) = 0. Это завершает шаг индукции. Следовательно, V = 0.
Чтобы доказать остальные утверждения теоремы, достаточно
показать, что построенный в предыдущем пункте инвариант зацеплений
/ удовлетворяет аксиомам полинома Александера — Конвея. В силу
следствия 2.9 и изложенных выше результатов / является
корректно определенным изотопическим инвариантом зацеплений.
Поскольку тривиальный узел L есть замыкание тривиальной косы из одной
нити, получаем, что /(L) = 1. Теперь проверим, что / удовлетворяет
скейн-соотношению Александера — Конвея.
Для любых п > 2, i е {1,..., п — 1} и двух кос а, /3 е Вп мы видим
непосредственно из определений, что замыкания кос ааф, aa7lf5
и а/3 образуют тройку Конвея зацеплений в Ш3. Доказательство
теоремы Александера (теорема 2.3) показывает, что, обратно,
произвольная тройка Конвея зацеплений в R3 возникает таким образом при
некоторых п, i, а, /3. Итак, нужно доказать тождество
Мааф)- /„(ааг1 j8) = (s"1 -s)/n(a/3).
Так как функция fn инвариантна относительно сопряжения в группе Вп
и коса 0{ сопряжена с косой 0\ в группе Вп (см. упражнение 1.1.4),
мы можем считать без потери общности, что i — 1. Дальнейшее
сопряжение с помощью а позволяет считать, что а — 1. Следовательно, нам
нужно доказать, что для любой косы $ е Вп выполняется равенство
Uci^-Ua-1^ = (5"1 -s)/n(/3).
Оно сводится к равенству
s-'gdD^-sgiD-) = (5-1 -s)g(Do), (3.13)
где
£>± = det^^af1^) -/n_j) и Do = det(^(/S) - J„_i).
Умножив обе части равенства (3.13) на s, мы получим
D+-tD_ = (1-0 А).

§ 3.4. Полином Александера — Конвея для зацеплений 155
Для проверки последнего равенства представим я/^С/З) в виде
(а Ь х\
1>Tn(fi) = [c d у ,
\Р q MJ
где а, Ь, с, d е Л, х и у — строки над Л длины п — 3, р и q — столбцы
над Л высоты п — 3 и М — квадратная матрица над Л порядка п — 3.
По определению Do = det Ao> где
га-\ Ь
А0 = | с d-1
q
Также имеем
Vn(<7ij8) = ( 11 0 )| с d
Вычтем /п_1 и затем умножим первую строку на —Г"1, после чего
вычтем первую строку из второй. В результате получим D+ = —t det A+,
где
Аналогично
г/'пОГ^Ч rl х 0 )[с d yl^l^a+c t~lb+d Г1х+у
Вычтем /n_i и затем добавим первую строку ко второй, после чего
умножим первую строку на —t. В результате получим D_ = —t-1 det A_,
где fa + t b x \
А-= с-1 d-1 у
V Р q М-/п_зУ
Матрицы Ао, А+, А_ отличаются только первыми столбцами, которые
мы обозначим Aq, A\, Ai соответственно. Ясно, что
-tAi+Al = (l-t)Aj.
Отсюда мы заключаем, что D+ — tD_ = (1 — t)Do.
Функция L •-> /(£,) удовлетворяет всем условиям из определения
полинома Александера — Конвея за исключением того, что априори
она принимает значения в поле рациональных функций от 5, а не в его
подкольце лорановых полиномов Z[s, s-1]. Однако, применив скейн-со-
отношение и индукцию по числу перекрестков в диаграмме
зацепления, которую мы проводили в начале доказательства, мы замечаем, что

156 Глава 3. Гомологические представления групп кос
все значения инварианта / являются целочисленными полиномами
от 5—5-1. В частности, все эти значения являются полиномами от 5. □
§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу
В этом параграфе мы обсудим одно линейное представление группы
кос Бп, которое впервые было определено Р. Лоуренс и изучено Д. Крам-
мером и С. Бигелоу. Определение этого представления основывается
на изучении некоторого бесконечнолистного накрытия над
конфигурационным пространством пар точек в проколотом круге.
Зафиксируем п > 1 и будем использовать введенные в п. 3.2.2
символы D, Q = {(l,0),...,(n,0)}, E = D\Q.
3.5.1. Конфигурационные пространства & и ^
Обозначим через & пространство упорядоченных пар
отличающихся точек в проколотом круге Е. Иными словами, пространство &
является дополнением к диагонали {(х, x)}xez в Е х Е. Ясно, что & —
некомпактное связное четырехмерное многообразие с краем. Оно
имеет естественную ориентацию, полученную возведением в квадрат
ориентации в Е против часовой стрелки. В обозначениях п. 1.4.1 мы
Соответствие (х, у) ■-> (у, х) для различающихся х, у € Е
определяет инволюцию на &. Факторпространство ^ по этой инволюции есть
пространство пар отличающихся точек в Е. Поскольку инволюция
(,х, У) ^ (у> х) на & сохраняет ориентацию и не имеет неподвижных
точек, пространство ^ является ориентированным некомпактным
связным четырехмерным многообразием с краем. Отметим, что
проекция & —> ^ представляет собой двулистное накрытие. В
обозначениях п. 1.4.3 мы имеем <€ = %(£) = ^,2^).
Впоследствии неупорядоченная пара отличающихся точек х, у е
е E будет обозначаться {х, у}. Отметим, что {х, у} — {у, х} е ^.
Любой (непрерывный) путь £: I —> ^, где I = [0,1], можно записать в
виде £ = {£ 1, £2}, где £ь £2 • I —> Я — (непрерывные) пути. Равенство
£ - {£ь £2} означает, что £(s) = {£i(s), ^2(5)} для всех sg/. Путь £
является петлей, если {£i(0), £2(0)} = {£i(l), £2(1)}, так что либо
5i(0) = 5i(i)742(0) = 52(i),
либо
?l(0) = C2(D^?l(l) = ?2(0).

§ 3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 157
В первом случае пути £i и £2 являются петлями в Е. Во втором случае
пути £i и £2 не являются петлями, но их произведение Е,^
определено корректно и является петлей в Е.
Определим два числовых инварианта w и и для петель в Ч>'.
Рассмотрим произвольную петлю Е, — {£ъ<?2} в ^. В случае, когда £i
и £2 — петли, положим и){Е) — if(£i) + иЧ£2), где ш(£;)—полное
число оборотов петли Е,{ вокруг {(1,0),..., (п, 0)}; см. п. 3.2.2. В
случае, когда £i(l) = £2(0), произведение Е,^ будет петлей в Е и мы
положим ш(£) = ш(<^1^2)-
Чтобы определить второй инвариант и{Е), рассмотрим
отображение г , Л г , Л
s^ ff "У5 -Л-,^сС. (3.14)
Оно отображает точки 5 = 0,1 либо в одинаковые, либо в
противоположные числа. Поэтому отображение
^UiM-bwiJ-' s (ЗЛ5)
является петлей на S1. Ориентация окружности S1 против часовой
стрелки определяет образующую группы HifS1; Z) = Z. Петля (3.15)
на S1 гомологична умноженной на к этой образующей, где к е Z. Мы
положим по определению и(£) = к. Заметим, что и(Е) четно, если
<?i и <^2 — петли, и нечетно в противном случае. Инварианты и){Е)
и и(£) сохраняются при гомотопиях петли Е, и аддитивны
относительно умножения петель.
Например, рассмотрим петлю Е, — {Е,\, £2}, где Е,\ —постоянная
петля в точке z е Е и £2 — произвольная петля b^\{z}. Тогда w(£) =
= ш(£2) и и(£) = 2v, где у — число оборотов петли £2 вокруг точки z.
В частности, если £2 — малая петля, обходящая против часовой
стрелки какую-нибудь точку в Q, и z е ЭГ = dD, то ш(?) = 1 и и{Е,) = 0.
В другом примере выберем какой-нибудь малый круг В с Е и две
разные точки a,bG dB. Пусть путь £i (соответственно £2) параметризует
дугу в дВ, ведущую от а к b (соответственно от b к а) против часовой
стрелки. Для петли Е, = {£ь £2} имеем ш(£) = iv(E,iE,2) — 0 и и(£) — 1.
3.5.2. Накрывающее пространство ^ и модуль J*?
Зафиксируем раз и навсегда две разные точки di,d2 £ дЕ = 3D
и примем с = {di, d2} за отмеченную точку в пространстве ^.
Сопоставление ,гл ,гл

158 Глава 3. Гомологические представления групп кос
определяет гомоморфизм <р фундаментальной группы tti^, с) в
мультипликативную свободную абелеву группу с образующими q, t.
Примеры из предыдущего пункта показывают, что этот гомоморфизм
сюръективен.
Обозначим через ^ —> ^ накрытие, соответствующее подгруппе
Кег (/? фундаментальной группы tti^, с). Образующие q и t действуют
на ^ как коммутирующие скольжения, и ^ = ^/(q, t). Любая петля £
в ^ тогда и только тогда поднимается до некоторой петли в ^, когда
ш(О = и(?) = 0.
Теперь убедимся в том, что двулистное накрытие & —> ^ является
фактором накрытия ^ -> ^. Заметим, что любая петля £ = {£ь £2}
на ^ тогда и только тогда поднимается до некоторой петли на ^,
когда £i и <^2 представляют собой петли на Е. А последнее условие
выполняется в том и только том случае, когда и{Е) четно.
Следовательно, накрытие & —> ^ определяется подгруппой фундаментальной
группы TTif^c), образованной гомотопическими классами петель £,
для которых u(£) е 2Z. Поэтому ^ = ^/(q, t2) есть фактор
пространства ^ по группе гомеоморфизмов, порожденной q и t2.
Действия q и t на ^ индуцируют действия q и t на абелевой
группе J*f = H2(^; Z). Они превращают <#? в модуль над
коммутативным кольцом R = Z[q±1, t±1]. Модуль Ж может быть вычислен в явном
виде с помощью деформационной ретракции пространства ^ на
некоторое двумерное клеточное подпространство; см. [Big03], [PP02]. Это
вычисление показывает, что Ж является свободным Я-модулем ранга
п(п-1)/2, т.е.
^^Яп(п-1)/2 (з.16)
Дополнительные сведения о структуре модуля Ж можно найти в п. 3.5.6.
3.5.3. Действие группы Вп на Ж
Как нам известно из § 1.6, группа кос Вп канонически изоморфна
группе классов отображений OT(D, Q). В оставшейся части этой главы
мы не будем делать различий между этими двумя группами. Мы
сейчас построим действие группы Вп на Ж. Любой автогомеоморфизм /
пары (D, Q) индуцирует гомеоморфизм /: ^ -> ^ по формуле
№,у» = {/(*),/МЬ
где х,у — различные точки в Е — D\Q. Ясно, что /(с) = с, и потому
мы можем рассмотреть автоморфизм /# фундаментальной группы
п\{^€, с), индуцированный гомеоморфизмом /.

§3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 159
Лемма 3.14. Имеет место равенство if о /# = <р.
Доказательство. Нам нужно доказать, что wof# = wnuof# = u.
Первое равенство доказывается точно такими же рассуждениями, как
в п. 3.2.2. Чтобы доказать второе равенство, рассмотрим вложение
конфигурационных пространств ^ = ^(^О *-* ^liP),
индуцированное вложением И <-* D. Определение числового инварианта и для
петель в <& дословно распространяется на петли в ^(Р) и дает
гомотопический инвариант для петель в ^(Р)- Из доказанной в п. 1.6.1
теоремы Александера — Титце следует, что индуцированный
автогомеоморфизмом / пары (D, Q) автогомеоморфизм пространства ^(Р)
гомотопен тождественному отображению. Следовательно, и о /# = и,
И ПОТОМУ ф О /# = {р. П
Из равенства у о /# = у следует, что гомеоморфизм /
единственным образом поднимается до некоторого отображения /: ^ -> ^,
неподвижного во всех точках в ^, которые лежат над с. Это же
равенство обеспечивает коммутирование отображения / со
скольжениями пространства ^. Отображение / является гомеоморфизмом,
обратным к /_1. Поэтому индуцированный эндоморфизм /* группы
Ж — Н2{с€\ Z) представляет собой R-линейный автоморфизм.
Рассмотрим отображение
Bn=OT(D,Q)->AutRC#f),
переводящее изотопический класс гомеоморфизма / в /*: Ж —> Ж'.
Это отображение есть гомоморфизм групп. Он называется
представлением Лоуренс — Краммера—Бигелоу группы кос Вп.
Фундаментальное свойство этого представления содержится в следующей теореме.
Теорема 3.15. Представление Лоуренс—Краммера—Бигелоу
группы кос Вп точное для всех п > 1.
Эта теорема доказана в § 3.6 и 3.7. Можно предъявить матрицы,
описывающие действие образующих о\,..., on-i ^Вп на Ж\ см. [Кга02],
[BigOl], [Bud05]. В изложенном ниже доказательстве теоремы 3.15
не используются ни эти матрицы, ни изоморфизм (3.16).
3.5.4. Линейность группы кос Вп
Мы говорим, что группа G линейная, если существует инъектив-
ный гомоморфизм групп G -> GLtt(M) для некоторого целого числа
N > 1. Сформулируем важное следствие из теоремы 3.15.
Теорема 3.16. Для всех п > 1 группа кос Вп линейная.

160 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Покажем, что эта теорема следует из теоремы 3.15 и
изоморфизма (3.16). Выбрав какой-нибудь базис R-модуля Ж, мы можем
отождествить AutRC#?) с матричной группой GLn(n_i)/2(R). Кольцо
R — ^[q*1, t±x] можно вложить в поле вещественных чисел,
сопоставив q и t любые алгебраически независимые вещественные числа.
Это вложение индуцирует вложение
GLn(n_i)/2(R) ^ GLn(n-i)/2(R).
Взяв его композицию с представлением Лоуренс — Краммера — Биге-
лоу, мы получим точный гомоморфизм Вп —> GLn(n_i)/2(M).
Мы приведем еще одно доказательство теоремы 3.16, в котором
никак не используется изоморфизм (3.16). Это доказательство дает
вложение группы кос Вп в GLw(M) для N — п(п + 1). Начнем с простой
алгебраической леммы.
Лемма 3.17. Пусть L = Z[xf1,X21] — кольцо лорановых полиномов
от переменных Х\, х2. Пусть С — свободный L-модуль конечного ранга
N > 1. Для произвольного L-подмодуля Н модуля С группа AutL(H)
его L-автоморфизмов вкладывается в GLw(M).
Доказательство. Обозначим через Q = Q(xb x2) поле
рациональных функций от переменных *i,x2 с рациональными
коэффициентами. Ясно, что Q есть поле частных кольца L. Рассмотрим Q-векторное
пространство H = Q®LH. Так как Я — подмодуль свободного L-модуля,
он не имеет L-кручения, и потому естественный гомоморфизм Н -^>Н,
отображающий h € Я в 1 ® h, инъективен. Любой L-автоморфизм
модуля Я единственным образом продолжается до некоторого Q-ав-
томорфизма векторного пространства Я. Тем самым группа А1^(Я)
вложена в GLm(Q), где т = dimQ Я. Поле Q можно вложить в поле
вещественных чисел R, сопоставив хг и х2 какие-нибудь
алгебраически независимые вещественные числа. Это дает вложение AutL(H) с
с GLm (Q) с GLm (R). Заметим, что вложение i: HC-^G индуцирует
гомоморфизм Q-векторных пространств H-^>C = Q<8>lC. Этот гомоморфизм
инъективен, потому что каждый элемент из его ядра, будучи
умноженным на некоторый элемент из L, дает элемент из Ker(i) = 0.
Следовательно, т < dimQ C = N, поэтому Аи^(Я) с GLm(M) с GLwQR). □
Заметим, что для любого топологического многообразия М с
краем дМ вложение М° =М\дМ <—> М является гомотопической
эквивалентностью. Гомотопически обратное к нему отображение М —> М°
можно получить, вдавливая М в М° с помощью цилиндрической
окрестности края дМ в М.

§3.5. Представление Лоуренс — Краммера —Бигелоу 161
Теперь мы можем доказать теорему 3.16. Ясно, что &° = &\д&
есть дополнение к диагонали {(х,x)}x&z° в S° x S°. Согласно
лемме 1.26 сопоставление любой упорядоченной паре точек ее первой
точки представляет собой локально тривиальное расслоение &° —> Е°,
слой которого — дополнение к точке в Е°. База Е° этого расслоения
деформационно ретрагируется на букет п окружностей, а его слой
деформационно ретрагируется на букет п + 1 окружностей. Из этого
следует, что тотальное пространство &° деформационно
ретрагируется на некоторое двумерное клеточное разбиение X с &°, имеющее
одну нульмерную клетку, 2п + 1 одномерных клеток и п{п + 1)
двумерных клеток. Так как вложение &° <—> & является гомотопической
эквивалентностью, вложение Х^^ также является гомотопической
эквивалентностью.
Напомним, что в п. 3.5.2 мы показали, что ^ можно
рассматривать как накрытие над & с группой скольжений Z x Z, порожденной q
и t2. Ограничение накрытия Ч> —> & на X с & определяет накрытие
X —> X с той же самой группой скольжений, где X — прообраз
подпространства Хв^.А так как вложение Х^^ — гомотопическая
эквивалентность, вложение Хс-^с€ тоже гомотопическая эквивалентность.
Клеточный цепной комплекс пространства X имеет вид С2 —» С\ —> Со,
где каждый член Q есть свободный модуль над кольцом
R0 = Z[q±\t±2]cR.
Ранг К0-модуля Q равен числу i-мерных клеток в X. Следовательно,
Ж = Я2(^; Z) = Н2(Х; Z) = Кег(Э: С2 -> Сг)
является К0-подмодулем модуля С2. Применим теперь лемму 3.17 к
нашей ситуации
xi =q, x2 = t2, С = С2, Н = Ж и ЛГ = п(п + 1).
По этой лемме группа К\И^(Ж) вкладывается в GLw(R). Композиция
с вложениями
Вп ^ Аигк(Ж) ^ Аиг^Ж),
доказывает теорему. □
3.5.5. Полуторалинейная форма на Ж
Определим на модуле Ж естественную R-значную полуторалиней-
ную форму. Ориентация многообразия ^ поднимается на ^,
превращая его в ориентированное (четырехмерное) многообразие.
Рассмотрим ассоциированную форму пересечения Ж х Ж —> Z. Чтобы вычис-

162 Глава 3. Гомологические представления групп кос
лить ее значение gi • g2 на классах гомологии g\,g2 £ <#?, надо
представить эти классы трансверсальными двумерными циклами Gi,G2
в многообразии ^ и подсчитать пересечения этих циклов со
знаками ±, определенными ориентацией многообразия ^. Форма
пересечения ЖхЖ->Х симметрическая и инвариантна относительно
действия сохраняющих ориентацию гомеоморфизмов ^ —> сё. В
частности, эта форма инвариантна относительно действия скольжений q, t.
Определим спаривание
( , ) '. 3%* х Jtf* —> R
по формуле
(gi,g2)=Yi^ktl8i-82)qktl. (3.17)
k,leZ
Сумма справа конечная, так как упомянутые выше двумерные циклы
G\ и G2 лежат в компактных подмножествах в ^ и потому циклы
qktlG\ и G2 пересекаются только для конечного множества пар (к, I).
Спаривание (3.17) инвариантно относительно сохраняющих
ориентацию гомеоморфизмов ^ —> Ч>, которые коммутируют со
скольжениями q, t. В частности, это спаривание сохраняется при действии
группы кос Вп на Ж.
Лемма 3.18. Для любых gi,g2e3tf ureR имеют место равенства
(#2, gi) = (gi, gi), (gi, rg2) = r(gi, g2), (rgi, g2) = r(gi, g2), (3.18)
где r •-> r — инволютивный автоморфизм кольца R, отображающий q
в q~l ut в t_1.
Доказательство. Имеем
<&, gi) = X! ^^ • z^1 = Si te* * №&№ =
MeZ k,l€Z
M€Z fc,l€Z
Для проверки равенств (gi,rg2> = r(gbg2) и (rgi,g2> = r(gi,g2>
достаточно рассмотреть случай г = qlf, где i, j e Z. Имеем
(gi, qVft) = X! fo¥*i • 9£^2)qfct1 =
fc,l£Z
= q4 J] k, I € ZCq^t'-^x • Ыч*'^' = q'fteb &}
I/

§3.5. Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу 163
и
Wgi.gz) = J] (qk+itl+jgi -g2)qktl =
k,leZ
= q'lrj J] (qk+itl+)gi ■ gz)qk+itl+j = Ч'1ГЦ§1, g2). D
k,leZ
Согласно Бадни (см. [Bud05]) форма ( , ): Ж х Ж -> R
невырождена в том смысле, что детерминант ее матрицы в некотором (и, тем
самым, в любом) базисе модуля Ж не равен нулю. Кроме того, если
мы заменим q и t на алгебраически независимые комплексные числа,
то получим отрицательно определенную эрмитову форму; см. [Bud05].
Это дает инъективный гомоморфизм группы кос Вп в унитарную
Группу ^(n-D/2.
3.5.6. Замечания
Сделаем несколько замечаний, чтобы читатель освоился с
модулем Ж. Впоследствии эти замечания не будут использоваться.
Совсем легко убедиться в том, что модуль Ж нетривиален и на
самом деле довольно большой. Пусть X и X — те же пространства, что
в доказательстве теоремы 3.16. Заметим, что кольцо R0 = Z[q±l, t±2]
вкладывается в поле Q = Q(q,t2) рациональных функций от
переменных q, t2. Для Ro-модуля Я обозначим размерность Q-векторно-
го пространства Q ®я0 Я через гкЯ. Проверим, что гкЖ > п{п — 1).
Действительно,
гкЯ0(Х; Z)-rkH1(X; Z) + гк J*? = * (X) = п{п - 1),
где #(Х)—эйлерова характеристика пространства X. Для каждой
нульмерной клетки х в X существует путь в X, соединяющий ее с qx,
поэтому (1 — q)x является границей одномерной цепи. Значит,
Q®RH0(X;Z) = 0 и гкЯ0(Х;£)=0.
Следовательно, гк Ж > п(п — 1). Из изоморфизма (3.16) следует, что
Ж ^ К£(п_1) как Ко-модуль.
Конкретные элементы модуля Ж могут быть получены из
произвольных непересекающихся арок а и /3 в (D, Q). Рассмотрим
ассоциированные с этими дугами петли а', /3': S1 —> Е, такие, как на рис. 3.1.
Выбирая эти петли достаточно близко к дугам а и /3, можно считать,
что они не пересекаются. Соответствие
(si,s2)^{aXs1),l3'(s2)}e<g

164 Глава 3. Гомологические представления групп кос
для 5i, 52 e S1 определяет вложение тора S1 x S1 в пространство ^.
Индуцированный этим вложением гомоморфизм фундаментальных
групп отображает всю группу ni(Sl х S1) в ядро гомоморфизма if.
Отсюда следует, что это вложение поднимается до некоторого вложения
тора S1 x S1 в ^. Можно показать, что фундаментальный класс тора
представляет нетривиальный класс гомологии в Ж. Такие классы,
соответствующие разным способам выбора пар дуг а, /3, переставляются
действием группы Вп на Ж. Аналогичная, но более тонкая
конструкция применима к парам арок в (D, Q), которые пересекаются в одной
общей концевой точке. Эта конструкция дает некоторое отображение
ориентируемой замкнутой поверхности рода 2 в с€; см. [Big03]. Кроме
того, каждая арка в (D, Q) определяет некоторое отображение
ориентируемой замкнутой поверхности рода Зв^; см. [Big03] и п. 3.7.1.
Применяя эти конструкции к дугам
[1,2]х{0}, [2,3]х{0}, ..., [л-1,л]х{0}
в (D, Q) и к парам этих дуг, мы получаем п{п —1)/2 классов гомологии
в Ж, составляющих R-базис модуля Ж.
§3.6. Шнуры и арки
В этом параграфе мы определим и изучим так называемые шнуры
в круге с п проколами U = D\Q, где Q = {(1,0),..., (п, 0)} с D и п > 1.
В следующем параграфе шнуры будут существенным образом
использованы в доказательстве теоремы 3.15.
3.6.1. Шнуры
Шнуром (а также опирающейся на край дугой)4 в проколотом
круге S называется такая ориентированная вложенная дуга NcS, что
dN = NndE.
Край dN дуги N состоит из двух ее концевых точек, лежащих на крае
круга дЕ — 3D. Пример шнура изображен на рис. 3.7.
Далее мы сосредоточимся на пересечениях шнура N с арками
в (D,Q). Пусть а — арка в (D,Q), пересекающая шнур N трансвер-
сально в конечном числе точек. Рассмотрение пересечений шнура N
с аркой а можно упростить, если привлечь двуугольники, которые мы
4 Англ. термин — noodle (вермишелина, макаронина).—Прим. перев.

§3.6. Шнуры и арки
165
Рис. 3.7. ШнурЛГ;
использовали в п. 3.2.4. Двуугольник для шнура N и арки а
представляет собой вложенный круг в Е° — £\д£, край которого образован
некоторой поддугой шнура N и некоторой поддугой арки а, а
внутренность этого круга не пересекается с N и а; ср. рис. 3.3, где с, d следует
заменить на JV, а. Каждый двуугольник определяет очевидную
изотопию дуги a (relda), уменьшающую число точек пересечения N Г) а
на два. Следующая лемма показывает, что, обратно, если существует
такая изотопия, то пара дуг JV, а имеет двуугольники.
Лемма 3.19. Если существует изотопия арки a
(relda),уменьшающая число точек пересечения N Па, то пара дуг N, а имеет не менее
одного двуугольника.
Доказательство. Мы выведем эту лемму из леммы 3.6, продлив
дуги N и а до простых замкнутых дуг в некоторой большей
поверхности. Выберем замкнутые круговые окрестности [/i,[/2cD концевых
точек дуги а так, чтобы выполнялось условие U\ П £/2 = Ut П N = 0 для
i — 1,2 и чтобы каждая окружность dUt пересекала дугу а ровно в
одной точке. Рассмотрим проколотый круг D- = D\ (Щ U Щ). Ясно, что
dD-=dUiU3U2UdD. Образуем теперь новую поверхность S, склеив
следующие три куска: проколотый круг D_, кольцо А — S1 х [0,1] и
проколотый тор Т, который получается из тора S1 x S1 при вырезании
некоторого малого открытого круга. (Вместо тора можно взять любую
ориентируемую поверхность положительного рода.) Поверхности D_,

166 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Рис. 3.8. Поверхность S
А и Т склеиваются по гомеоморфизмам ЗА ъ dU\ U дЩ и дТ ъ dD,
выбранным так, чтобы получившаяся в результате поверхность S была
ориентируемой. Соединив точки а П dU\ и а П дЩ в кольце А, мы
продлеваем дугу а П D_ до некоторой простой замкнутой кривой а
на поверхности S; см. рис. 3.8. Аналогично продлеваем дугу N с D_
до некоторой простой замкнутой кривой N на поверхности S, пройдя
один раз по параллели проколотого тора Т.
Если существует изотопия дуги a (rel да), уменьшающая число
точек пересечения N П а, то существует изотопия продленной кривой а
в S, уменьшающая число точек пересечения N П а. По лемме 3.6 пара
JV, а имеет хотя бы один двуугольник в S. Такой двуугольник не может
подойти к N и а с разных сторон, и потому он не пересекается ни с Г,
ни с Л. Следовательно, этот двуугольник лежит в D_ и представляет
собой двуугольник для пары дуг N, а. □
3.6.2. Алгебраический коэффициент пересечения шнура и арки
Пересечение шнура N и арки а может быть измерено в терминах
так называемого алгебраического коэффициента пересечения (или
просто коэффициента пересечения) (N, а). Это элемент кольца Ij[q±l, t*1],
определенный с точностью до умножения на мономы qwtu, где w e Z
и и G 2Z с Z. Коэффициент пересечения (ДГ, а) зависит от выбора
ориентации арки а, которую мы начиная с этого момента зафиксируем.
Как и ранее, мы снабдим проколотый круг Е ориентацией против
часовой стрелки. Ориентации арки а и проколотого круга Е позволяют
нам говорить о «правой» и «левой» сторонах арки а в S. Немного
сдвигая влево арку а (и оставляя неподвижными ее концевые точки),
мы получаем «параллельную» ориентированную арку or в (D, Q), име-

§3.6. Шнуры и арки
167
ющую те же самые начальную и конечную концевые точки, что и
арка а, и более нигде не пересекающуюся с аркой а. Немного
пошевелив шнур N, мы можем считать, что он пересекает арку а трансвер-
сально вт>0 точках z\,...,zm (нумерация произвольна). Мы
выберем параллельную дугу а" настолько близкой к арке а, чтобы арка а~
пересекала шнур N трансверсально в т точках z~,..., я~, где каждая
пара точек zT, zt соединена короткой поддугой дуги JV, лежащей в
узкой полоске в Е, ограниченной дугами or U а; ср. рис. 3.9, на котором
упомянутая полоска затушевана. Для i е {1,..., т} обозначим через
е{ — ±1 знак пересечения дуг N и а в точке zt (напомним, что обе эти
дуги ориентированы). Таким образом, е* = +1, если шнур N
пересекает арку а в точке Z{ слева направо, и е* = — 1 в противном случае.
Обозначим начальную и конечную концевые точки шнура N через d~
и d соответственно. Зафиксируем произвольные точки
z~ Ga~\da~, ze.a\da
и зафиксируем пути 6~ и в в Е, ведущие соответственно от d~ к z~
и от d к z, образы которых не пересекаются (этим путям позволяется
пересекать дуги N, а~ и а в других точках).
Напомним, что ранее было определено пространство ^
неупорядоченных пар различающихся точек в проколотом круге S. Для любой
пары индексов i, j е {1,..., т} определим петлю £у в ^ следующим
образом. Обозначим через /3.~ поддугу арки а~, ведущую от z~ к z~.
Это ориентированная вложенная дуга, причем ее ориентация может
быть противоположна к ориентации арки а~. Аналогично обозначим
через Pj поддугу арки а, ведущую от z к Zj. Затем обозначим через
у~. и yu ПОДДУ™ шнура JV, ведущие от точек яг, я, е JV к концевым
точкам шнура N. Это непересекающиеся ориентированные дуги. Они
определены только положением точек zj и Zj на шнуре N и не зависят
от ориентации шнура N. Напомним, что в п. 3.5.1 было введено
обозначение для путей в ^. Рассмотрим пути {в~, в), {/Зг, #} и {уг., уи)
в ^. Они ведут от {d~, d} e <£ к {z~, z} е <£, от {z~, z} к {z~, Zj} е ^
и от {zT, Zj) к {d~, d) соответственно. Произведение этих трех путей
?и = (б". 6НРГ> №гй> ги) (ЗЛ9)
представляет собой петлю в ^, которая начинается и заканчивается
в точке {d~, d}. Положим
т m
(N, а) = J] 2 е^<?ш(?Jt"(fu) e Zfo", t±J],

168 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где w и и — целочисленные инварианты петель в ^, которые были
определены в п. 3.5.1. Выражение в правой части этого равенства
не зависит от нумерации точек в пересечении N Г) а. При другом
выборе точек z~, z, в~, в все петли ^tj умножаются слева на одну
и ту же петлю в ^ вида {£ь ^гЬ гДе £i и <?2 — петли в Е. Тогда (N, а)
умножится на некоторый моном от q±l, t±2.
Например, если шнур N не пересекается с аркой а, то (N, а) — 0.
Если шнур N пересекает арку а ровно в одной точке, то т — 1 и
(N, а) — qktl для некоторых k, I e Z.
Мы установим два фундаментальных свойства коэффициента
пересечения шнура и арки.
Лемма 3.20. Коэффициент пересечения (N, а) инвариантен
относительно изотопии дуг N и а в проколотом круге Е, постоянных
в концевых точках.
Доказательство. Достаточно зафиксировать N и доказать, что
коэффициент (N, а) инвариантен относительно изотопии арки а.
Общую изотопию арки а в S можно разложить в конечную
последовательность локальных движений трех типов:
1) изотопия арки а в Е, в процессе которой арка а все время транс-
версальна к шнуру N;
2) малая часть арки а сдвигается поперек малой части шнура N;
3) движение, обратное к движению типа 2.
Из определений ясно, что движение типа 1 не изменяет коэффициента
(N, а). Любое движение типа 2 добавляет две точки пересечения zm+i,
zm+2 к множеству N П а — {z\,... zn). Для определенности
предположим, что поддуга шнура N, соединяющая точку zm+i с точкой zm+2,
лежит справа от арки а; см. рис. 3.9. Ясно, что при этом движении
сохраняются знаки et = ±l для всех i — 1,..., m, а для всех i,j = l,...,m
Рис. 3.9. Дополнительные пересечения

§3.6. Шнуры и арки
169
петли £у, вычисленные до и после движения, гомотопны друг другу.
Поэтому такие пары индексов (£, j) дают одинаковый вклад в
выражение для (N, а) до и после движения. Для i — 1,..., т + 2 петли
?i,m+i и ?i,m+2 гомотопны. Из очевидного равенства em+i — —ет+2
следует, что вклады от пар индексов (£, т + 1) и (£, m + 2)
противоположны по знаку, т. е. взаимно сокращаются. Аналогично для любого
i = 1,..., т петли £m+i,i и £m+2,i гомотопны, и вклады от пар индексов
(т + 1,0 и (т + 2,0 взаимно сокращаются. Следовательно,
коэффициент пересечения (N, а) при этом движении сохраняется. □
Будем говорить, что арку а в (D,Q) можно снять изотопией со
шнура JV, если существует такое непрерывное семейство арок {as}se[o,i]
в (D,Q), что а0 — а и арка а\ не пересекается со шнуром N. Такое
семейство {as}s называется изотопией арки а. Заметим, что арки as
обязательно имеют одинаковые концевые точки.
Лемма 3.21. Арку а тогда и только тогда можно снять
изотопией со шнура N, когда {N, а) = 0.
Доказательство. Если существует изотопия {as}s арки a = ао в Z1,
для которой арка а\ не пересекается со шнуром JV, то (N,a) = (N,ai)=0.
Трудная часть этой леммы — обратное утверждение. Применив к
арке а предварительную изотопию, мы можем считать, что арка а
пересекает шнур N трансверсально в минимальном числе точек zi,...,zm,
где т > 0. В предположении, что т > 1, покажем, что (N, а) ф 0.
Будем придерживаться обозначений, введенных выше в
определении коэффициента (N, а). Для любых i, j G {1,..., т} положим wtj =
= w&j) G Z и uUj = u&j) G Z. Тогда
m m
(N,a) = YlYieiWWiJtUiJ- (3-20)
;=i i=i
Заметим, что
6t = (-1)^
для всех i. В самом деле, если £{ — +1, то шнур N пересекает арку а
в точке Zi слева направо, и потому пути уГ. и уц заканчиваются
соответственно в точках d~ и d. Тогда £ц имеет вид {£ь £2}, где £ь £2 —
петли в Е. В этом случае
ии = и(£у)=0 (mod 2).
Аналогично если Si——1, то иу—1 (mod 2). В обоих случаях et = (—1)"«.«.
Будем использовать лексикографический порядок в множестве
мономов qwtu, где w, и g Z. Точнее говоря, будем писать q^t" > q"7*:"',

170 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где w, и, w', и' е Z, если либо w > w'', либо w = w' ии> и'. Назовем
упорядоченную пару индексов (£, j), где i, j е {1,..., т}, максимальной
(для данных дуг N и а), если qwutuu > qwk,i^kj. для всех к, I е {1,..., т}.
Максимальная пара обязательно существует, поскольку
лексикографический порядок на множестве мономов линейный. Максимальная
пара может быть неединственной. Мы утверждаем, что
если пара (i,j) максимальна, то иц = Ujj. (3.21)
Из этого утверждения следует, что каждая максимальная пара
индексов (£, j) дает в коэффициент (N, а) вклад
Si6jqw^tu^ = (-l)"M(_i)^q^ut"u =qwuit4j.
Вклады от всех максимальных пар — один и тот же моном, который
после приведения подобных членов входит в (N, а) с положительным
коэффициентом. Следовательно, (N, а) ф 0.
Чтобы доказать утверждение (3.21), мы сначала вычислим
инварианты wij для всех (не обязательно максимальных) индексов i, j е
е {1,..., т}. Обозначим через r\~r петлю в Е, полученную как
произведение пути 0~/3-~ на путь, идущий от точки zT к точке d~ по шнуру N.
Обозначим через r\j петлю в Е, полученную как произведение пути
9Pj на путь, идущий от точки Zj к точке d по шнуру N. Мы утверждаем,
что
ши = ш(я7) + ш(гц). (3.22)
Действительно, рассмотрим сначала случай, когда входящий в
формулу (3.19) путь уГ заканчивается в точке dr. Тогда путь Yij
заканчивается в точке d, а пути 0~j37y~ и Ofyyij являются петлями и инвариант
Wij равен сумме их полных чисел оборота. В этом случае
формула (3.22) следует из равенств rjr = в~137у~ и r\j — Ofyytj. Рассмотрим
теперь другой случай, когда путь у7 заканчивается в точке d. Тогда
путь уи заканчивается в точке d~ и
г)7 = 0-prY-N-\ rij = e^N,
где N рассматривается как путь из точки d~ в точку d. По определению
инвариант wtj равен полному числу оборотов петли 0~j8f yf.0$уу.
Эта петля гомотопна в S петле
O-prY-N-^fiYuNN-1 = vT'NvjN-1.
Последняя петля гомологична в Е петле r\Tr\j. Из этого следует
формула (3.22).

§3.6. Шнуры и арки
171
Внимательно рассматривая петли r\J и г\{, мы замечаем, что
разность между их классами гомологии [г)~[]у [97J e H\{E\ Z)
представляется петлей, которая сначала проходит от точки d к точке d~ по
шнуру N~l, затем от точки d~ к точке z~ по пути в~, после чего от
точки z~ к точке z по некоторому пути, лежащему в полоске между
арками от и а, и, наконец, от точки z к точке d по пути б-1.
Следовательно, разность [rjr] — [tj;] G HifZ1; Z) не зависит от i. Из этого
следует, что число
W = ш{г]Г) -w{r]i) eZ
не зависит от i. Ввиду формулы (3.22) для всех i,j = l,...,m имеет
место равенство
WiJ = w(rii) + w (т^) + W. (3.23)
Предположим, что пара индексов (£, j) максимальная. Тогда
число wtj максимально среди всех целых чисел щ^. Согласно формуле
(3.23) оба числа w{r\i) и w{r\j) должны быть максимальными среди
всех чисел w(r\k). Значит, w{r\i) = w{r\j) и шц = wtj. Из
максимальности пары (i,j) следует, что иц < utj. Мы утверждаем, что иц = uij.
Для i = j это бесспорно, поэтому будем считать, что i Ф j.
Доказательство нашего утверждения проведем от противного.
Предположим, что иц < щ^. Обозначим через /i (вложенную) поддугу арки а,
соединяющую точки zt и zjy и через v— (вложенную) поддугу шнура N,
соединяющую эти же точки. Дугу (л ориентируем по направлению от Z{
к Zj, а дугу v — по направлению от Zj к zt. Произведение [iv есть петля
вГс отмеченной точкой zt. Рассмотрим отдельно два случая.
Случай 1. Дуга v подходит к арке а в точке Zi справа (другими
словами, дуга v не проходит через точку zp. Тогда петля /i v не проходит
через точку z~[ и мы можем рассмотреть число оборотов и е Z этой петли
вокруг точки %т. Мы утверждаем, что и > 0. Чтобы убедиться в этом,
вычислим v следующим образом. Как мы уже отмечали, 2v — u{{zT, /iv}),
где и — инвариант петель в ^, определенный в п. 3.5.1, и zT
обозначает постоянный путь в точке яг. Заметим, что $ ~ Д/i, где символ ~
означает гомотопию путей в E\{zj) с фиксированными концевыми
точками. Из предположения, что дуга v не проходит через точку яг,
следует, что у~( = у7. и уц = v~lYu'> см- Рис- З.Ю. Тогда
?U = {^". вШ, Шгй, Ги) ~ {в~, в}{07, Д}{2-, цvHy-,, Гц}-
Последняя петля гомологична в <£ петле
{0-0}{A-,A-}{ry,ry}{*r.Mv} = §y{*r./*v}.

172 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Рис. 3.10. Случай 1: пути уи и Хи
Поэтому
2v = u({zt , ixу}) = u(Zij) - u(£M) = uUj - иц.
Из предположения, что иц < Uij, следует, что и > 0.
Введем в рассмотрение еще одну петлю. Рассмотрим короткую
поддугу шнура N, соединяющую точку zt с точкой %т в полоске между
арками а и оГ. Выберем в малой окрестности этой поддуги такую
петлю р, что
1) петля р начинается и заканчивается в точке zt;
2) петля р не проходит через точку яг и обматывается вокруг нее и раз
по часовой стрелке;
3) петля р имеет и — 1 трансверсальных самопересечений;
4) петля р пересекается с петлей [ху только в точке zt; см. рис. 3.11.
Заметим, что число оборотов петли [xvp
вокруг точки z7 равно 0. Следовательно, эта
петля поднимается в соответствующее
накрытие над дополнением к {z~[}. Опишем теперь
это поднятие более подробно.
Пусть D. = D \ {z7} и р: D. —> D. —
универсальное (бесконечнолистное циклическое)
накрытие. Обозначим через Д: [0,1] —>D#
произвольное поднятие пути /i (так что рД = /i).
Существует единственное поднятие у: [0,1] ->
—> D. пути у, для которого 9(0) = Д(1). Также
рассмотрим единственное поднятие р: [0,1]—>
->D. петли р, для которого р(0) =v(l). Несколько злоупотребляя
обозначениями, мы будем обозначать пути /i, у, р, Д, у, р и их образы
одинаковыми буквами. Так как число оборотов петли [хур вокруг
точки zj равно нулю, ее поднятие Д у р есть петля. Благодаря нашему
выбору петли р ее поднятие р представляет собой вложенную дугу в D.,
которая пересекает Д? только в концевых точках. Однако вложенные
Рис. 3.11. Петля р
для v = 3

§3.6. Шнуры и арки
173
дуги Д и 9 в D. могут пересекаться еще в нескольких точках помимо их
общей концевой точки Д(1) =9(0). Обозначим через а первую точку
на дуге Д, которая принадлежит дуге 9 (возможно, а = Д(1)). Затем
обозначим через Да начальный отрезок дуги Д, идущий от точки Д(0)
к точке а, и через 9а конечный отрезок дуги 9, идущий от точки а
к точке 9(1). Положим
5 = Да9ар.
По самому построению петли 5 она не имеет самопересечений.
Поэтому образ этой петли есть вложенная окружность в D., которую мы
будем обозначать тем же символом 5. Отождествим D. с полуоткрытой
полосой R х [0,1) с R2 так, чтобы ориентация в D., индуцированная
ориентацией в D. против часовой стрелки, отождествлялась с
ориентацией в R2 против часовой стрелки. Из теоремы Жордана о кривой
следует, что окружность 5 ограничивает вложенный круг Б с D..
Теперь проверим, что петля 5 обходит круг В против часовой
стрелки. Обозначим через С ту компоненту разности D.\p, которой
принадлежит точка zj. Сначала проверим, что С dp [В) = 0.
Действительно, предположим, что существует такая точка Ъ е Б, что p(b) е
е С. Соединим точку рф) с любой другой точкой Ь' е С некоторой
дугой в С. Эта дуга поднимается до некоторой дуги в D.,
начинающейся в точке Ь. Последняя дуга не пересекается с петлей 5, так
как ее проекция в D. не пересекается ни с /i, ни с v, ни с р. Значит,
эта поднятая дуга лежит во внутренности В° = В\дВ круга Б, и ее
конечная концевая точка проектируется в точку Ъ'. Следовательно,
С с р{В). Так как круг В компактен, его образ р{В) также компактен.
С другой стороны, ясно, что компонента С не содержится ни в каком
компактном подмножестве проколотого круга D.. Это противоречие
доказывает, что С П р{В) = 0. Далее заметим, что компонента С
лежит справа от петли р. Если бы круг В лежал справа от р с 5, то
тогда мы бы непременно имели С Пр(Б) ^ 0 — противоречие. Значит,
круг В лежит слева от р и от 5. Следовательно, петля 5 обходит круг В
против часовой стрелки.
Мы утверждаем, что В П p~l (Q) = 0. В самом деле, будучи
компактным подмножеством в D., круг В может содержать только конечное
число точек дискретного множества p^iQ) с D.. Заметим, что пути
/i, v, р лежат в Е=D \ Q и потому не пересекаются с Q. Следовательно,
дВ П p~x{Q) — 0, так что В П p~^{ff) с Б°. Петля 5 = дВ гомологична
в В\р~г(0) сумме малых петель, обходящих точки из В\р~г(0)
против часовой стрелки. Эти последние петли гомеоморфно проектиру-

174 Глава 3. Гомологические представления групп кос
ются на малые петли, обходящие соответствующие точки из Q против
часовой стрелки. Следовательно,
card (Б п р~г[0)) = w(po 5),
где ш(ро 5) — полное число оборотов петли р о 5 в S вокруг точек
из Q. Имеем равенство
po5 = ^avap,
где fjLa = p(fia) — начальный отрезок дуги /i, идущий от точки Zi к
точке р{а) по арке а, и va = р(уа) — конечный отрезок дуги v, идущий
от точки р{а) к точке zt по шнуру N. Значит, р{а) е N П а, и,
следовательно, р{а) — zk для некоторого fc£{l,...,n}. Так как петля р
стягиваема в Е, петля /iavap гомотопна петле /iava в Z1 и
w(/xavap) = w(/xava).
Напомним, что для петель щ и щ в Е отмеченной точкой служит
конечная концевая точка d шнура N. Разность между классами
гомологии этих петель [r)k], [r)i] £ Hi (a; Z) не зависит ни от выбора
пути 0, ни от выбора его конечной концевой точки я £ а. Принимая
z — zt, мы немедленно получаем из определения петель г\к и r\u что
[Щ] ~ [Vi] = \PaVal- ПОЭТОМУ
wfaaVa) = Ы{г)к) - w(r]i).
В итоге имеем
card (Б np_1(Q)) = ">(р о 5) = w(pa у ар) = w{^ava) = w(r)k) - w{r]i).
А так как число и){г\{) максимально, мы получаем, что
card(5np-1(Q))<0.
Следовательно, В П р~г[0) = 0.
Нам понадобится несколько простых фактов о накрытии р: D. —>
—> D.. Группа его скольжений представляет собой бесконечную
циклическую группу, порожденную скольжением g: D.->D.,
соответствующим петле, обходящей точку %{ против часовой стрелки. Множество
р-1 (N) состоит из бесконечного числа непересекающихся замкнутых
отрезков в D., концевые точки которых принадлежат краю 3D.. Эти
отрезки можно так пронумеровать, что скольжение g будет
увеличивать номер на 1. Из этого следует, что всякое нетривиальное
скольжение D. —> D. отображает каждую компоненту прообраза р-1 (N)
на другую компоненту этого прообраза. Те же факты справедливы
для прообраза р-1 (а) с D. с тем единственным отличием, что его

§3.6. Шнуры и арки
175
компонентами являются замкнутые отрезки, лежащие во
внутренности накрывающего пространства D..
Мы утверждаем, что при наших предположениях пара дуг N, а
имеет двуугольник. Из этого будет следовать, что пересечение N П а
не минимально. А последнее противоречит нашему выбору арки а
в ее изотопическом классе. Поэтому предположение иц < Uij должно
быть неверным, и, значит, иц — Uij.
Сейчас мы построим двуугольник для пары дуг N, а. Сначала
предположим, что
B°np-\N)^0 или В°Пр-\а)^0
(или же верны оба условия). Заметим, что окружность 5 = дВ
составлена из трех вложенных дуг: лежащей в р-1(°0 ДУ™ Да, лежащей
в p-1(Af) дуги va и дуги р, пересекающей множество p-HN) Up-1 (а)
только в двух своих концевых точках. Отметим, что край
одномерного многообразия р-1(А0 содержится в 3D. и потому лежит вне
круга Б. Если В° П p~l(N) ф 0, то В° П p~l(N) представляет собой
конечное множество непересекающихся вложенных дуг, концевые
точки которых лежат на Да. По крайней мере одна из этих дуг вместе
с некоторой поддугой дуги Да ограничивает круг D\ с Б,
внутренность которого не пересекается с p~l(N). Если же В° П p~l(N) = 0, то
за Di мы примем круг Б. Аналогично граница прообраза р~1{а) с D.
содержится в p~l{Q) и лежит вне круга Б. Если внутренность D\
круга D\ пересекается с р~1{а), то они пересекаются по конечному числу
непересекающихся вложенных дуг, концевые точки которых лежат
на р-1 (N) П dD\. По крайней мере одна из этих дуг вместе с некоторой
поддугой из p~l(N) П dD\ ограничивает вложенный круг D2 с D\,
внутренность которого не пересекается с р~1{а). Если же D\ П р~1{а) = 0,
то за D2 мы примем круг D\. В любом случае край круга D2
образован дугой из р~г(Ы) и дугой из р-1(а)> а внутренность D£ круга D2
не пересекается с p~l(N U а). Тогда
D°2nh(dD2)=0
для любого нетривиального скольжения h: D.->D. накрытия р: Dm->
—> D.. Из упомянутых выше свойств множеств р-1 (N) и р-1 (а) следует,
что dD2 П h{dD2) = 0. Из этого следует, что либо D2 П h{dD2) = 0,
либо D2 содержится во внутренности круга h(D2). Во втором случае
h~l{D2) с D£, что противоречит тому факту, что D£ не пересекается
с p~l(N U а). Остается первый случай D2 П h(dD2) = 0. Итак, круг D2
не пересекается со своими образами при нетривиальных скольже-

176 Глава 3. Гомологические представления групп кос
, дР.
^W^ р~Чр)
" g
Рис. 3.12. Случай у = 3
ниях накрытия р: D.->D.. Следовательно, ограничение накрытия р
на круг D2 инъективно. Из этого следует, что образ р(#2) этого круга
является двуугольником для пары дуг N, а в S.
Остается построить двуугольник для пары дуг N, а в случае, когда
В° П p-1QV U а) = 0. Множество р-1(р) состоит из у экземпляров
прямой R, вложенной в D.; эти прямые пересекают друг друга в
бесконечном числе точек (см. рис. 3.12, где и — 3). Дуги (ла и va лежат
в той компоненте разности D.\p, которая примыкает к dD. ъS1 за
исключением точек /ia (0) = va (l) = Z{. Поэтому дуги Да и va лежат в той
компоненте разности D.\p~l(p)f которая примыкает к 3D. ъ R за
исключением точек Да(0) = Д(0) и va(l) = v(l), лежащих на p_1fe) с
с р~г(р). Ясно, что va(l) = gv(p,a(.0)), где g: D. -> D. — выбранная
выше образующая группы скольжений и и > 0 — число оборотов петли
/i v вокруг точки z7. Круг Б, ограниченный петлей 5 = fiaVap, должен
содержать область между дугой fxava и р-1 (р) (эта область затушевана
на рис. 3.12). Рассматривая рис. 3.12, мы немедленно замечаем, что
при и > 2 эта область должна пересекаться с g(fiaVa)- А это
противоречит предположению, что В° П р~г(Ы и а) = 0. Из этого следует, что
и = 1, так что р~г(р) есть не что иное, как прямая, и В — область
между этой прямой и дугой fi,ava- Тогда круг В проектируется в D.
инъективно, петля р ограничивает малый круг, содержащий точку %т,
и объединение этого круга с р{В) и есть двуугольник для пары дуг
N, а. Это завершает доказательство равенства иц = i/y в случае 1.
Случай 2. Дуга v подходит к арке а в точке zt слева (другими
словами, дуга v проходит через точку zp. Немного вдавим дугу v вблизи
точки zT в E\{zT] так, чтобы точка zT лежала слева от получающейся
дуги. Обозначим эту новую дугу через V; она также ведет от точки Zj
к точке Zi. Петля (л V не проходит через точку яг, и мы можем рассмот-
Д. <

§3.6. Шнуры и арки
177
Рис. 3.13. Случай 2: пути у^- и уи
реть число у ее оборотов вокруг точки %т. Мы утверждаем, что и > 0.
Сначала заметим, что точка яг разделяет дугу у на две поддуги Vi
и v2, первая из которых ведет от точки Zj к точке zr, а вторая —
от точки яг к точке z*. Справедливы равенства уГ = V27i,i и уг. = У~гуц]
см. рис. 3.13. Как и в случае 1, мы имеем /3, ~ jSi/i. Поэтому
5и = {0", 0}{j8f, A-Kru, ги) - {е~> 0НА~> ШъцугНгц, rub
Последняя петля гомологична в ^ петле
{e-,e}{l3r,l3i}{rri,Tui}{v2^v1} = ^ui{v2,^v1}.
Из определений и конструкции дуги У легко вывести, что
и({Уг, /*vi}) = "({*Г> /л/}) — 1 = 217 — 1.
Следовательно,
2и-1 = и{{у2,^У1}) = и^и)-и^ц) = ии-иц.
Из предположения, что u^ < Uij, следует, что у > 0. Остальная часть
доказательства равенства иц = Uij протекает так же, как в случае 1,
с тем отличием, что вместо дуги у мы всюду используем дугу V.
Аналогичные рассуждения доказывают, что Ujj = Uij для любой
максимальной пары индексов (i, j). Это равенство также можно
вывести из полученных выше результатов с помощью следующей
симметрии для петель £у, определенных формулой (3.19), где i,j —
произвольная (не обязательно максимальная) пара элементов из множества
{1,..., т}. Будем записывать эти петли как
подчеркивая их зависимость от данных, перечисленных в скобках.
Аналогичные обозначения будут использованы для wy = w{^ij) и
Uij — u(%ij). Обозначим через — N шнур, получающийся из шнура N
обращением ориентации. Аналогично обозначим через —а и — а~
арки в (D,Q), получающиеся обращением ориентации из арок а и or

178 Глава 3. Гомологические представления групп кос
соответственно. Ясно, что арка —а лежит слева от арки —от, так что
мы можем положить {—а~)~ — —а. Шнур — N пересекает арки — сг
и {—а~)~ = —а в тех же точках, что и прежде, и мы пронумеруем их
точно так же, за исключением того, что Zi превратится в z~[ и наоборот
(для всех 0- Из определений следует, что
&,ДЛГ, a, z~, z, в~, в) = £Д-ЛГ, -а", z, яГ, в, в~)
для всех i,j. Отсюда следуют аналогичные формулы для wtj и utj.
Далее, если пара (i, j) максимальна для дут N, а, то пара (j, £) будет
максимальна для дуг (—N, —от) и в силу полученных выше
результатов мы получим
uu{N> а> z~> z> в~> в) = ЧЛ~М> ~а+> z> z~> в> в~) =
= Ujj(-N, -a+, z, z~, в, в~) = UjjQSf, а, z~, z, в~, в).
Из этого мы делаем вывод, что иц — utj — Ujj для любой максимальной
пары индексов (i, j). Это доказывает утверждение (3.21) и лемму. □
§3.7. Доказательство теоремы 3.15
Доказательство начинается с двух конструкций. По каждой арке а
мы построим некоторый вектор в Ж, а по каждому шнуру N мы
построим некоторую ориентированную поверхность в ^. Затем мы
вычислим коэффициент пересечения (N, а) в терминах этих векторов
и поверхностей. Это вычисление будет использовано в последнем
пункте настоящего параграфа для завершения доказательства теоремы.
3.7.1. Классы гомологии, ассоциированные с арками
Зафиксируем произвольную ориентированную арку а в круге с
проколами (D, Q), где Q = {(1,0), (2,0),..., (п, 0)}. Выберем
непересекающиеся замкнутые круговые окрестности
l/i,l/2,...,l/„cD°=D\dD
точек (1,0), (2,0),..., (п, 0) соответственно. Мы всегда будем считать,
что арка а пересекает круговые окрестности Ui своих концевых точек
по радиусам этих кругов и не пересекает остальные U(. Обозначим
через U множество всех неупорядоченных пар {х, у} е <^, для которых
хотя бы одна из точек x,yeE = D\Q принадлежит (J"=1 Ui. Пусть U с
с ^ — прообраз множества U при накрывающем отображении ^ -> ^.

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
179
Ясно, что пространство U инвариантно относительно действия
скольжений q,t на ^. Это действие превращает группы целочисленных
гомологии пространства U и группы целочисленных относительных
гомологии пары (^, U) в модули над кольцом Ztq*1, 1±г]. Далее мы
ассоциируем с аркой а некоторое подмножество в H2(^, U; Z),
состоящее из так называемых а-классов.
Рассмотрим параллельную ориентированную арку а-, такую, как
в п. 3.6.2. Напомним, что a U от ограничивает узкую полоску вГи что
аГ)а~ = да = да~. Рассмотрим множество Sa с ^, состоящее из всех
пар {х, у}, где хе.а~\да~ и у е а \ да. Таким образом, Sa — (or\да~) х
х (а\да). Так как Sa односвязно, вложение Sa <-> ^ поднимается
до некоторого вложения Sa <-> ^. Зафиксируем такое поднятие и
обозначим его образ через Sa. Мы рассматриваем Sa и Sa как открытые
квадраты в силу отождествления
Sa*Sa = (а~\да~) х (а\да).
Поверхности Sa и Sa имеют естественную ориентацию, полученную
как произведение ориентации в а- и а. Выберем какие-нибудь под-
дуги 5 с а\да и s~ с а~\да~ так, чтобы их концевые точки и
дополнения к ним в соответствующих арках а и а~ лежали в (J"=1 If*.
Тогда S = s~ х 5 будет концентрическим замкнутым подквадратом в Sa,
граница которого и дополнение в Sa лежат в U. Ориентированная
поверхность S представляет некоторый элемент модуля ЯгС^, U; Z),
не зависящий от выбора поддуг s и s~. Обозначим этот элемент
через [S]. При другом выборе поднятия Sa элемент [S] умножается
на некоторый моном от q и t.
Образ элемента [S] при граничном гомоморфизме
H2(^,[/;Z)->Hi(Lr;Z)
представляется ориентированной окружностью дБ с U. Следующая
лемма показывает, что ее класс гомологии [SS] е Hi(£/; Z)
аннулируется элементом (q — l)2(qt -h 1).
Лемма 3.22. В модуле Hi (U; Z) имеет место равенство
(q-l)2(qt + l)[dS]=0.
Доказательство. Пусть арка а опирается на концевые точки (ръ 0)
и (Р2>0), где рьР2 £ {1,2, ...,п}. Для краткости мы будем
обозначать точку (р;,0) просто через ри где i = 1,2. Для i = 1,2 выберем

180 Глава 3. Гомологические представления групп кос
ft
«2
Рис. 3.14. Дуги аъ а2, а3, ft, ft, ft, Гь Г 2
какую-нибудь точку щ е Ц,., лежащую в полоске между арками а
и а. Рассмотрим точки А, А'', В,В/ е S и восемь путей
«ь «2, аз, ft, ft, ft, Гь Г2
в проколотом круге Е, изображенные на рис. 3.14. Пути аь а2, а3, ft,
ft, ft представляют собой вложенные дуги, а ^ — петли в круге UPi,
обходящие точку pt и имеющие отмеченные точки щ при i — 1,2.
Понятно, что арка а сначала идет по радиусу круга UPl от точки р\ к
точке А, затем по пути а2 от точки А к точке А', после чего по радиусу
круга UP2 от точки Л7 к точке р2 (упомянутые радиусы не изображены
на рис. 3.14). Арка от сначала идет по радиусу круга UPl от точки р\
к точке Б', затем по пути jS^"1, обратному к пути ft, от точки В' к
точке В, после чего по радиусу круга UP2 от точки В к точке р2- Пути а2
и ft следует представлять себе длинными и почти полностью
исчерпывающими соответствующие арки а и а-, а радиусы кругов UPl, UPl
и дуги аь ft с [/Pl и а3, ft с (7Р2 представлять короткими.
Рассмотрим в U следующие петли с отмеченной точкой e = {i/i,i/2} =
= {u2,ui}£[/:
ai = {yi,u2}, a2 = {ulyy2},
Ъ\ = {аь ftftft}{a2a3, Ui}, b2 = {aia2a3, ft}{u2, ftft},
где символы U\ и u2 означают постоянные пути в точках U\ и и2
соответственно. Заметим, что обе петли Ъ\ и Ъ2 гомотопны в ^ петле
{aia2a3,ftftft}.
(Разумеется, из этого не следует, что петли Ъ\ и Ъ2 гомотопны в U.)
Гомотопические классы петель аь а2, Ьь Ъ2 в фундаментальной группе
п — п\(U, е) будут обозначаться теми же символами аь а2, Ьь Ь2.
Символ ~ будет обозначать гомотопию в U для петель в U с отмеченной

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
181
точкой е. Для любых х, у Е п положим
ХУ — У~1Ху G 71 И [Х,у] =Х~1ХУ =X~ly~lXy G 71.
Заметим, что в группе тг выполняются следующие соотношения:
[аъа2] = 1, [аь biaibi] = 1, [а2, b2a2b2] = 1. (3.24)
Первое соотношение очевидно, так как
aia2 ~ {yi,y2} ~a2ai.
Соотношения [ab biaibi] = 1 и [а2, b2(i2b2] — 1 доказываются
аналогично друг другу, и мы докажем только первое из них. Рассмотрим
ориентированные дуги 01 и 02 на dUPl, изображенные на рис. 3.14. Эти дуги
ведут от точки В' к точке Л и от точки А к точке В' соответственно,
и их произведение в\ 02 представляет собой петлю, параметризующую
край dUPl. Мы утверждаем, что
biaibi ~ {иь /3i/320ia2a3}. (3.25)
Из этого будет следовать, что
aibiaibi ~ {уь "2>{"i, j8ij820ia2a3} ~ (Гь ^i^20ia2a3} ~
~ {иъ j8ij820ia2a3}{rb "2} ~ biaibiai.
Таким образом, [ai,biaibi] = 1. Докажем теперь соотношение (3.25).
Сначала заметим, что
bi^ ~ {аъ 131р2Рз}{а2аз, Ы
и
bi ~ {ui, ftfe}{aia2a3, /33} = {/3i/32, щ}{/33, aia2a3}.
Поэтому
biaibi ~ {аь ^i^2^3}{a2a3^i^2, yi}{j83, ai<z2a3}.
Путь a2a3/3i/32 гомотопен в £\у1 пути 02. (Под гомотопией путей мы
всегда понимаем гомотопию с неподвижными концевыми точками
путей.) Следовательно,
biaibi ~ {аь Р113213з}{02, Y1HP3, aia2a3} ~
- {аь ftfoJM, fe}{02, riHB', «iH/Зз, a2a3} ~
~ {«i, P1P2HO2, fen«i}{fe, a2a3}.
Заметим, что путь PzYiQ-i гомотопен в UPl пути 0i. Поэтому
biaibi - {ab /3i/32}{02, 0i}{^3, «2^3}.

182 Глава 3. Гомологические представления групп кос
А так как произведение а^/Зз гомотопно постоянному пути и\, мы
получаем
Mibi ~ {ui, I3il329ia2a3},
и соотношение (3.25) доказано.
Определим в группе тг следующие четыре элемента:
a = a.21ai, Ъ^Ъ^Ъъ Ci = [abbi], C2 = [a2,b2].
Тогда справедливы равенства
сЛ = a, qiaici = 1 = cb22a2c2, c2bab* = аЪа'съ (3.26)
Чтобы убедиться в этом, перепишем все эти четыре равенства в
терминах ai,a2,bi,b2. Первые три соотношения являются следствиями
соотношений (3.24), а в последнем соотношении обе части равны
a^b^aibi.
Выберем какое-нибудь поднятие ее^ отмеченной точки е = {и\, 1/2}.
Группа тг = 7ii(U,e) равна подгруппе группы тг = n\{lJ,e),
образованной гомотопическими классами петель £ в U, для которых ш(£) =
= и(£) = 0. Мы утверждаем, что a,b,ci,c2 е тг. Действительно, для
i = 1,2 мы имеем ш{щ) = ш(у*) — 1 и
w(bi) = w(aia2a3/3i/32/33) = 0.
Из определений следует, что u(ai) = и(а2) = 0 и u(bi) = u(b2) = 1.
Следовательно, w(a) = u(a) = 0 и w(b) = u(b) = 0, а значит, a, b e тг.
Коммутатор любых двух элементов группы тг принадлежит
подгруппе тг, поэтому с\, с2 е тг.
Образ любого элемента х е тг при естественной проекции тг —>
-* Hi(U; Z) будет обозначаться [х]. Ясно, что если х е тг и у е тг, то
ху е тг. Мы утверждаем, что для любых х е тг и у е тг имеет место
равенство
[ху]=д-шЫГм(у)[х], (3.27)
где использована структура R-модуля на Hi(U; Z). Чтобы убедиться
в его справедливости, мы представим элементы х и у некоторыми
петлями I; и г) в U с отмеченной точкой е. Тогда элемент ху € тг
представляется петлей rj-1^ в U. Эта петля поднимается до
некоторого пути jUi/i2jU3 в U, где путь /ii есть поднятие петли rj-1, которое
начинается в точке е и заканчивается в точке
путь /i2 есть поднятие петли £, начинающееся в точке е', и путь //з
есть поднятие петли 97, которое начинается в конечной точке пути [х2.

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
183
Так как петля £ представляет элемент х е п, путь \х2 есть петля,
которая начинается и заканчивается в точке е''. Путь (л3, будучи поднятием
петли г\, начинающимся в точке е', должен быть обратным к пути ix\.
Следовательно, путь ti\tx2tx3 является петлей, и ее класс гомологии
в модуле Hi(U;Z) равен классу гомологии петли \х2. А последний
класс гомологии равен q~w^yh~u^[x].
Применяя равенство (3.27), мы получаем [aai] = q"1^] и
[cb1iaic1]=q-1r1[c1] + Ы, [cb22a2c2]=q-1r1[c2] + [с2],
[c2bab4 = [с2] + W+r'la], [aba*a] = [а]+Ч~г[Ъ] + Ы.
Вместе с равенствами (3.26) мы получаем следующие соотношения
в модуле Hi(l/;Z):
(q-l)[a] = 0, (qt + l)[ci] = 0 = (qt + 1)[с2],
(q-1-l)[b] = (r1-l)[a] + [c2]-[c1].
Комбинируя эти соотношения, мы получаем
(q-l)2(qt+l)[b]=0. (3.28)
Чтобы вычислить класс гомологии [S] e H2^, U; Z), нам нужно
выбрать дуги 5 с а и s~ с а~, которые используются в определении
поверхности S. В качестве s возьмем а2, а в качестве s~ возьмем /32.
Концевые точки этих дут и их дополнения в а- и а, как и требуется,
лежат в UPl U UP2 с (J"=1 [/,-. Окружность дБ cU параметризована
петлей в U, являющейся поднятием следующей петли Ь' в U с отмеченной
точкой {А, Б}: ,
b^iAtkHabB'HA'iforHabB}-1.
Мы утверждаем, что петля Ь' гомотопна следующей петле Ь" в U
с отмеченной точкой {А, В}:
Ь" = {А, 132133}{а2а3, Ul}{u2, ^3}"1{а2а3, В}~\ (3.29)
Чтобы убедиться в этом, заметим очевидные равенства путей (с
точностью до гомотопии в U)
{А, 133}{а2а3, иг] = {а2а3, /33} = {а2, В'}{а3, j83}.
Поэтому
{а2а3, щ} = {А, 133Гг{а2, В'}{а3, &}.
Аналогичные рассуждения показывают, что
{и2, fofo}-1 = {a3, ft Г1 {А\ М'Наз, В}.

184 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Подставляя эти выражения в формулу (3.29) и замечая, что
M,j82j83} = M,j82}{A,j83} и {а2а3,В}-1 = {а3,ВГ1{а2,В}-\
мы заключаем, что петля Ь' гомотопна петле Ь". Заметим теперь, что
Ь\ = {al913il32l33}{ci2ci3, иг] ~ {аъ j8i}{A, 132133}{а2а3, иг},
Ъ2 = {а1а2а3,131}{и2,Р213з} ~ {аъ j8i}{a2a3,B}{u2, j82j83}.
Поэтому петля Ь" гомотопна петле
{abiSir^ibJ^abiSi}
в U. Последняя петля свободно гомотопна в U петле Ъ\Ъ^1. А так как
петля bib^1 сопряжена к петле Ъ — Ъ^}Ъ\ в группе тг, петли Ь" и Ъ
свободно гомотопны в U. Отсюда мы заключаем, что петля Ь' свободно
гомотопна петле Ъ в U. Поскольку петля Ь1 поднимается до петли 3S
в U, любая гомотопия петли Ь' поднимается до некоторой гомотопии
окружности 3S в U. Следовательно, окружность дБ свободно
гомотопна некоторому поднятию петли Ъ в U. Теперь утверждение леммы
непосредственно вытекает из равенства (3.28). □
Из леммы 3.22 и точной гомотопической последовательности
... -> H2(U; Z) -> Ж -> Н2(«, U; Z) -> Hi (У; Z) ->...
пары (^,10 следует, что класс гомологии
(q-l)2(qt+l)[S]GH2(^,L/;Z)
является образом некоторого элемента v ^Ж при индуцированном
вложением гомоморфизме Ж —> Я2(^, U; Z). Любой такой элемент
и е. Ж называется а-классом относительно кругов Ui,...,Un или,
короче, а-классом. Каждый а-класс можно представить некоторым
двумерным циклом в ^, который получается при склеивании двумерной
цепи (q — l)2(qt + 1)S с некоторой двумерной цепью в U,
ограниченной циклом (q — l)2(qt + l)dS.
Ясно, что а-класс определяется аркой а только с точностью до
прибавления элементов из образа гомоморфизма H2(U; Z) -> Ж,
индуцированного вложением U <—> ^, и до умножения на мономы от q и t
(последние возникают из-за неоднозначности выбора поверхности Sa).
Это полностью описывает неопределенность в построении а-класса.
Действительно, легко проверить, что множество а-классов не
зависит от выбора дуг 5 с а\да и s~ с а~\да~, которые используются
в определении поверхности S. (Чтобы убедиться в этом, заметим,
что поверхности S, определенные дугами 5, s~ и парой бблылих дуг,

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
185
отличаются друг от друга на некоторое кольцо в U.) Покажем теперь,
что множество а-классов не зависит от выбора кругов U\,...,Un.
Лемма 3.23. Множество а-классов в Ж не зависит от выбора
кругов Ui,...,Un.
Доказательство. Пусть имеются две системы {t/J"=1 и {Ц'}"=1
замкнутых круговых окрестностей точек из множества Q = {(1,0), (2,0),
..., (п, 0)} во внутренности D°, такие, как в начале этого пункта. Пусть
U и U' —два подмножества в ^, ассоциированные с этими системами
кругов описанным выше способом. Сначала предположим, что Щ с Ui
для всех i. Мы можем рассматривать Ui и U[ как концентрические
круги с центром (i, 0). По предположениям арка а либо не пересекает
круг Ui, либо пересекает его по радиусу, пересечение которого с
меньшим кругом и! является радиусом последнего круга. Стягивая каждый
круг Ui в U[ по радиусам, мы получаем такую изотопию {Fs: D —>D}se/
круга D в себя, что F0 = id, для каждого 5G/ гомеоморфизм Fs
поточечно неподвижен на dD U Q и оставляет неподвижной (как множество)
арку а и Fi(Ui) = U[ для всех i. Индуцированные гомеоморфизмы
{Fs: ^ —> c€)s<zi образуют такую изотопию пространства ^ в себя, что
F1(U) = U'.
Далее заметим, что каждый автогомеоморфизм / пары (D, Q)
преобразует арку а в арку /(а) и ориентация арки а индуцирует ориентацию
арки /(а). Из определений ясно, что индуцированный гомоморфизм
/*: Ж -> Ж отображает множество а-классов, строящихся по системе
кругов {Ui}i, на множество /(а)-классов, строящихся по системе кругов
{f(Ui)}i- Применим это замечание к / = F\ и заметим, что /(а) = а,
f{Ui) — U[ для всех i и /* = id (так как гомеоморфизм f = F\ изотопен —
и потому гомотопен — гомеоморфизму F0 = id). Отсюда следует, что
множество а-классов, строящихся по системе кругов {£/г}"=1, совпадает
с множеством а-классов, строящихся по системе кругов {£//}"=i- Общий
случай получается по транзитивности с использованием третьей
системы кругов {£/"}"=i> такой, что U" cUidU! ддя всех i — 1,..., п. □
3.7.2. Поверхности, ассоциированные со шнурами
Для любого шнура N в круге D множество
F = FN = {{x,y}e<g:x,ye№ = N\dN}
представляет собой поверхность вс€° = с€\дс€, гомеоморфную
открытому треугольнику {{х\, х?) £ (0,1)2: Х\ < Х2}. Поэтому поверхность F

186 Глава 3. Гомологические представления групп кос
гомеоморфна плоскости R2. Так как F стягиваема, она поднимается
до некоторой поверхности
F = FNc<£° = €£\d<e,
также гомеоморфной плоскости R2. Ясно, что ^° — открытое
ориентированное гладкое четырехмерное многообразие и F — гладкое
двумерное подмногообразие.
Лемма 3.24. Поверхность F является замкнутым подмножеством
в <*?°.
Доказательство. Выберем произвольную точку а е C£°\F.
Обозначим ее проекцию в ^ через {х, у} е ^, где х, у — разные точки
из Е. Так как а е с€°, получаем, что х, у е Е°. Если х ф N или у ф N,
то точки х и у обладают такими непересекающимися открытыми
окрестностями Ux, Uy с U°, что по крайней мере одна из них не
пересекается со шнуром N. (Здесь мы используем тот очевидный факт,
что N — замкнутое подмножество в S.) Тогда Ux x Uy является
открытой окрестностью точки {х,у} в C£°\F и ее прообраз в ^°
является открытой окрестностью точки а, содержащейся в C€°\F. Если
х, у е JV, то точки х и у обладают такими непересекающимися
открытыми круговыми окрестностями Ux, Uy с S°, что каждая из них
пересекается со шнуром N по открытому интервалу. Тогда Ux х Uy
является открытой окрестностью точки {х,у} е F, гомеоморфной
открытому четырехмерному шару и пересекающейся с поверхностью F
по открытому двумерному кругу. Прообраз этой окрестности в ^°
состоит из непересекающихся открытых четырехмерных шаров. Один
из них пересекается с поверхностью F по открытому двумерному
кругу, а остальные не пересекаются с F. Точка а е C£°\F, лежащая над
{х,у} е F, должна принадлежать одному из тех открытых
четырехмерных шаров, которые не пересекаются с F. Отсюда мы заключаем,
что во всех случаях точка а обладает открытой окрестностью в €ё°,
не пересекающейся с F. Следовательно, множество ^°\F открыто
в €€°, а множество F замкнуто в с€°. □
Отметим одно важное следствие этой леммы: пересечение
поверхности F с любым компактным подмножеством в ^° компактно. Мы
используем это свойство для определения целочисленного
коэффициента пересечения поверхности F с произвольным элементом
модуля Ж. Прежде всего ориентируем поверхность F, считая, что в точке
{х, у} — {у, х} G F ориентация поверхности F равна произведению
ориентации шнура N в точках х е № и у е №, причем вначале берется

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
187
та точка, которая ближе к начальной точке шнура N. Ориентация
поверхности F обычным образом поднимается на F, так что
поверхность F становится ориентированной. Поскольку, как было замечено
в п. 3.5.4, вложение ^° <—> ^ является гомотопической
эквивалентностью, получаем, что
Ж = H2(ce;Z)=H2(ce°;Z).
Остальная часть определения совершенно стандартна. Чтобы
определить коэффициент пересечения F • и е Z для v е Ж, мы возьмем
какой-нибудь двумерный цикл V в ^°, представляющий элемент v.
Ввиду сделанных выше замечаний цикл V пересекает поверхность
F ъ R2 по некоторому компактному подмножеству, которое
непременно лежит внутри некоторого замкнутого двумерного круга в F.
Мы можем немного пошевелить цикл УвГ так, чтобы сделать его
трансверсальным к этому кругу и чтобы при этом цикл V
по-прежнему не пересекался с остальной частью F. Тогда множество F П V
будет дискретным и компактным. Поэтому оно конечное и мы можем
подсчитать его точки со знаками ±, определенными ориентациями
^, F и V. Стандартные рассуждения из теории гомологических
пересечений показывают, что получившееся в результате целое число
F • v = F • V зависит только от v. Точнее говоря, любые два
двумерных цикла Vi и V2 в с€°, представляющие элемент и е Ж, отличаются
на границу некоторой трехмерной цепи в с€°\ такую цепь можно
сделать трансверсальнои к F и рассмотреть ее пересечение с F, которое
представляет собой компактное ориентированное одномерное
многообразие. Из того факта, что это одномерное многообразие имеет
одинаковое количество входов и выходов, следует, что F • Vi = F • V2.
По аналогии с формулой (3.17) мы для любого и е Ж положим
по определению
(F,v)= ^(q^F-vtft1. (3.30)
k,leZ
Здесь qktlF есть образ поверхности F при скольжении qktl накрытия
Ч> —> с€. Заметим, что, когда к и I пробегают Z, поверхность qktlF
пробегает все возможные поднятия поверхности Fb^. Априори сумма
в правой части равенства (3.30) может быть бесконечной, но
лемма 3.25 утверждает, что она конечная.
Такие же вычисления, как в доказательстве леммы 3.18,
показывают, что при другом выборе поднятия F поверхности F выражение
(F, и) умножается на некоторый моном от q±l, t±l.

188 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Лемма 3.25. Пусть г ■-> г* — инволюция кольца R = 2i[q±l,t±l],
переводящая q в q и t в —t. Пусть N — шнур в круге D, и пусть а —
ориентированная арка в круге с проколами (D,Q). Тогда для любого
а-класса и е Ж имеет место равенство
(Fn, v) = -(q - l)2(qt + 1)<АГ, a)*, (3.31)
где (N, a) e R — коэффициент пересечения, определенный в п. 3.6.2.
Доказательство. Заметим, что левая часть равенства (3.31)
определена с точностью до умножения на мономы от q±l, t±l, в то время
как правая часть определена с точностью до умножения на мономы
от q±l, t±2. Это равенство понимается в том смысле, что обе его части
имеют общего представителя. Тогда все представители его правой
части будут также представлять левую часть.
Передвинув концевые точки шнура N по окружности dD, мы
можем продеформировать шнур N в шнур N' с начальной точкой d\ и
конечной точкой d.2, где d\, d-i £ 3D — точки, использующиеся в
конструкции накрытия Ч>'. Поверхности FN и FN> отличаются только на
некоторое подмножество в цилиндрической окрестности края дЧ> в ^. Мы
можем выбрать поднятия FN и Fjv так, чтобы они отличались только
на некоторое подмножество в цилиндрической окрестности края дЧ>
в ^. Так как элемент и может быть представлен двумерным циклом
в дополнении к такой окрестности, получаем, что (FN,v) = (FN<,v).
Из определений следует, что (JV, а) = (N', а). Таким образом, без
потери общности мы можем считать, что начальная точка шнура N
совпадает с d\, а его конечная точка — с d2.
Равенство (3.31) достаточно доказать для специального выбора
поднятия F = FN Ctf. Зафиксируем некоторое поднятие (Те ^ точки
с = {d\,d2) £ ^. За F мы примем то поднятие поверхности F = FN,
которое содержит точку Z.
Нам нужно точно указать поднятие Sa с ^ поверхности Sa,
определенной в п. 3.7.1. С этой целью зафиксируем точки z~ (£ а~ и z e а,
а также зафиксируем пути 0~ибв проколотом круге S = D\Q,
которые идут от точки d\ к точке z~ и от точки di к точке z соответственно
и образы которых не пересекаются. Рассмотрим путь {в~, в} в ^,
идущий от точки с = {d\, с^} к точке {z~, z). Обозначим через 0 поднятие
этого пути в ^, начинающееся в точке (Г. Путь 0 заканчивается в точке
0(1), лежащей над {z~, z} е Sa. За Sa с ^ мы примем то поднятие
поверхности Sa, которое содержит точку 0(1). Поверхности Sa и Sa
ориентированы так, как это было сделано в п. 3.7.1.

§3.7. Доказательство теоремы 3.15 189
Будем считать, что шнур N пересекает арку а (соответственно
арку а~) трансверсально в т точкахz\,...,zm (соответственно в
точках z~, ...,я^) так, как в п. 3.6.2. Тогда поверхность F пересекает
поверхность Sa трансверсально в точках {z~[,Zj}, где i, j = 1, ...,m.
Поэтому для любых к, I £ Z образ поверхности F при скольжении qktl
пересекает поверхность Sa трансверсально не более чем в т2 точках.
Складывая соответствующие знаки пересечений, мы получаем целое
число, которое обозначается qktl(F) • Sa £ Z. Положим
ст= J](q¥F-Sa)q¥eR.
k,lsZ
Сумма в правой части равенства конечная (она содержит не более
т2 членов).
Далее мы вычислим а. Заметим, что для каждой пары i, j £ {1,..., m}
существуют и единственны такие целые числа fcjj, Uj £ Z, что qki>itl^F
пересекает Sa в точке, лежащей над {яг, Zj} £ ^. Обозначим через
St j = ±1 соответствующий знак пересечения. Тогда
т т
Выразим теперь правую часть этого равенства в терминах петель £у
и других данных, определенных в п. 3.6.2 (где d~ = d\ и d = d2). Мы
утверждаем, что
qhjtkj = wtfij),
или, иными словами, что ktj = w{^ij) и ltj = и(£и) для всех i,j.
Действительно, мы можем поднять петлю £у до пути 0/3 у в ^,
начинающегося в точке (Г, где 0,/3,у— поднятия путей {в~, в}, {/3^,$},
{уГ Yij} соответственно. В силу выбора поверхности Sa точка 0(1) =
= /3 (0) принадлежит ей. Тогда путь /3 целиком лежит на Sa. Путь 0/3у,
будучи поднятием петли £у, заканчивается в точке
r(l) = V(?u)(c)€V>(?u)FJv.
Следовательно, поднятие у пути {уГ у{;} лежит на <^(^ij)F, и точка
у(0) = /3{1) лежит над {z7, Zj} и принадлежит (/?(£;j)FnSa. Тем самым
наше утверждение доказано.
Далее мы утверждаем, что для всех i, j имеет место равенство
ви = -(-1)"Ки)^е,,

190 Глава 3. Гомологические представления групп кос
где Et (соответственно е,) — знак пересечения дуг N и а в точке Z[
(соответственно в точке %•). Прежде всего заметим, что stj есть знак
пересечения поверхностей FN и Sa в точке {яг, Zj} е ^. Обозначим
через х~ (соответственно х) положительный касательный вектор к
шнуру N в точке %т (соответственно в точке Zj). Обозначим через у~
(соответственно у) положительный касательный вектор к арке от
в точке zj (соответственно к арке а в точке Zj). Для определенности
будем считать, что точка zT находится ближе к точке d\ по шнуру JV,
чем точка %. Тогда ориентация поверхности FN в точке {яг, Zj}
определяется парой векторов (х~, х). Ориентация поверхности Sa в точке
{z~,Zj} определяется парой векторов (у-, у). Отмеченная ориентация
многообразия ^ в точке {zf, Zj} равна умноженной на £(Ej ориентации
этого многообразия, определенной четверкой касательных векторов
(х~,у~,х,у).
Тогда
£U = -EiEj = -(-ly^^EiEj,
поскольку в рассматриваемом случае пути уг и уи заканчиваются
в точках d\ и d.2 соответственно и число u(£;j) четное. Аналогично
рассматривается случай, в котором точка Zj находится ближе к
точке d\ по дуге JV, чем точка z[.
Подводя итог, получаем
тп тп
ст = ^ 2(-(-1)u№j)^^)9Ii;№j)tIl№j) = -(N, а)*.
i=i j=i
Теперь мы можем доказать равенство (3.31). Пусть Ui,...,UnnU
такие, как в п. 3.7.1. Выбирая круги Ui,...,Un достаточно малыми,
мы можем считать, что они не пересекаются со шнуром N. Тогда
qktlFf)U = 0 (3.32)
для всех к, I G Z. Напомним, что а-класс и представляется суммой
двумерной цепи в U и двумерной цепи (q — l)2(qt + 1)S. Ввиду
формулы (3.32) двумерная цепь в U не дает вклада в (F, и), поэтому мы
можем без опасений заменить и на (q — l)2(qt + 1)S. По определению
ScSa есть такая подповерхность в Sa, чтоSa\ScU. Вследствие этого
аналогичные рассуждения показывают, что в вычислении (F, и) мы
можем заменить S на Sa. Точно такие же вычисления, как в
доказательстве леммы 3.18, приводят к равенствам

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
191
(F, v) = (q - l)2 (qt + 1) J] (q¥F • Sa)qfctz =
fc,l€Z
= (q-l)2(qt + l)a=-(q-l)2(qt + D(N,a)*. □
Лемма 3.26. Если автогомеоморфизм f круга с проколами (D, Q)
представляет элемент из ядра Кег(Вп —> AutR(J*?)), mo для любого
шнура N и любой ориентированной арки а в (D, Q) имеет место
равенство (N,/(a)) = (N, a).
Доказательство. Как мы уже заметили ранее, гомоморфизм
/* '. Зъ —► Зъ
отображает каждый a-класс и е Ж в /(а)-класс. Из формулы (3.31)
и условия /* = id следует, что
4q-l)2(qt+l)(^/(a))* = <^
Поэтому (N, /(a)) = (N, а). П
3.7.3. Завершение доказательства
Выберем произвольный элемент в ядре Кег(Бп —> AutR(J^)).
Согласно следствию 1.34 его можно представить некоторым гладким
автогомеоморфизмом / крута D, переставляющим точки множества
Q = {(1,0),..., (п, 0)}. Мы докажем, что гомеоморфизм / изотопен
тождественному отображению (rel Q U dD). Из этого будет следовать,
что
Ker(Bn->AutRC#f)) = {l}.
Начнем со следующего утверждения.
Утверждение 3.27. Арку а в круге с проколами (D, Q) тогда и
только тогда можно снять изотопией со шнура N, когда арку /(a)
можно снять изотопией с N.
Чтобы убедиться в этом, произвольным образом ориентируем
арку а и снабдим /(a) ориентацией, индуцированной
гомеоморфизмом /. Из леммы 3.26 следует, что (JV, /(a)) = 0 тогда и только тогда,
когда (JV, a) = 0. По лемме 3.21 это значит, что арку а можно снять
изотопией со шнура N тогда и только тогда, когда арку /(a) можно
снять изотопией со шнура N.
Мы применим утверждение 3.27 к следующим аркам и шнурам.
Обозначим для i = 1,..., п — 1 через at арку [i, i + 1] х {0} с D и через
Ni — шнур, изображенный на рис. 3.7. Мы будем считать, что шнуры

192 Глава 3. Гомологические представления групп кос
Ni,..., Nn-i попарно не пересекаются (тогда их концевые точки
расположены на окружности 3D последовательно). Ясно, что арка а* не
пересекается со шнуром Nj при всех j ф i, i + 1. Из утверждения 3.27
следует, что арку f{a{) можно снять изотопией со шнура Nj при
j ф i, i + 1. Значит, арка f{a{) может заканчиваться только в точках
(i, 0) и {i + 1,0). Другими словами, арка /(щ) имеет те же самые
концевые точки, что и арка щ для всех i. При п > 3 из этого следует,
что гомеоморфизм / индуцирует тождественную перестановку
множества Q. Предположим, что п > 3, откладывая случаи п = 1 и п = 2
на конец доказательства.
Как уже было объяснено, мы можем снять изотопией арку /(cti)
со шнура ДГз. Эта изотопия продолжается до некоторой изотопии
(relQ U 3D) гомеоморфизма /, так что мы с самого начала можем
считать, что арка /(cti) не пересекает шнур ДГз. Аналогично арку/(ai)
можно снять изотопией со шнура ДГ4. В силу результатов п. 3.6.1 это
можно сделать некоторой последовательностью изотопии,
уничтожающих двуугольники, образованные парой дуг (ЛГ4, /(cti)). Так как дуги
ЛГ4 и /(cti) не пересекаются со шнуром ДГз, ни одна из них не образует
двуугольника со шнуром N3. Следовательно, изотопии по упомянутым
двуугольникам не создают пересечений арки /(cti) со шнуром N3.
Повторяя это рассуждение, мы можем обеспечить дизъюнктность арки
/(cti) со всеми шнурами N{ для i = 3,4,..., п — 1. Нарисовав эти
(непересекающиеся) шнуры, мы легко замечаем, что в дополнении к ним
все арки изотопны арке cti. Тогда, применив еще одну изотопию, мы
можем устроить так, чтобы выполнялось равенство /(cti) = «i-
Заметим, что все автогомеоморфизмы замкнутого отрезка, для которых
концевые точки неподвижны, изотопны тождественному
отображению. Поэтому мы можем далее произотопировать гомеоморфизм /
так, чтобы он стал тождественным на арке а.\. Применив
аналогичную процедуру к арке а2, мы можем обеспечить равенство /|«2 = id
при сохранении равенства /|ttl = id. Продолжая в таком же духе, мы
сможем произотопировать гомеоморфизм / так, чтобы он поточечно
сохранял отрезок [1,п] х {0}. Еще одной изотопией мы можем
добиться того, чтобы в некоторой открытой окрестности этого отрезка
в круге D выполнялось равенство / = id. Другими словами, / = id
вне некоторой кольцеобразной окрестности А края 3D в проколотом
круге Z = D\Q.
Отождествим кольцеобразную окрестность А с 3D х [0,1] так,
чтобы окружность 3D с ЗА отождествилась с 3D х {0}. Гомеоморфизм

§3.7. Доказательство теоремы 3.15
193
/|д: А —> А должен быть изотопен (reldA) fc-й степени скручивания
Дена по окружности dD х {1/2} с А для некоторого к е Z; см.,
например5, [Iva02, Lemma 4.1.А]. Итак, гомеоморфизм / изотопен fc-й
степени gk, где g — автогомеоморфизм круга D, действующий на А
как скручивание Дена и на D \ А как тождественное отображение.
Мы утверждаем, что гомеоморфизм g действует на модуле Ж как
умножение на моном q2ntb для некоторого b e Z. (На самом деле b = 2,
но нам это не понадобится.) Тогда индуцированный гомоморфизм
/*: Ж —> Ж будет умножением на q2nktbk. При fc ф О гомоморфизм /*
не может быть тождественным: если бы это было так, то
выполнялось бы равенство
(д2п¥*-1)Я? = 0,
что ввиду линейности отображения
je^>Z[q±l,t±l], v~(FN,v),
означало бы, что это отображение равно нулю для любого шнура N.
Согласно лемме 3.25 мы будем иметь (JV, а) = О для всех дуг N и а.
Но последнее утверждение неверно, как было замечено перед
формулировкой леммы 3.20. Это противоречие показывает, что fc = 0.
Следовательно, гомеоморфизм / изотопен тождественному отображению.
Чтобы вычислить действие гомеоморфизма g на модуле Ж,
рассмотрим гомеоморфизм g: ^ —> ^, определенный по формуле
8({x,y}) = {g(x),g{y)}
для различающихся х,у е S; ср. п. 3.5.3. Рассмотрим его поднятие
g: Ч> —> Ч>, неподвижное на всех точках, лежащих над отмеченной
точкой с = {d\, d2} £ <€. Так как g — id вне А, получаем, что g — id
вне множества {(х, у) £ ^: х £ А или у £ А}. Обозначим через Ас^
прообраз этого множества при проекции накрытия Ч> —> Ч>.
Гомеоморфизм g должен действовать на дополнении ^ \ А как скольжение qatb
для некоторых а, Ъ £ Z. Множество А представляет собой трубчатую
окрестность края д^ в ^, и поэтому любой двумерный цикл в ^
может быть продеформирован в ^\А. Следовательно, гомеоморфизм g
действует на модуле Ж как умножение на qatb.
Далее мы проверим, что а = 2п. Для i — 1,2 определим путь 5;: I —>
—>А по формуле 5;(s) — di xs, где s£/=: [0,1] и d\,d2^ dD—те точки,
5 В этой работе цитируемая лемма сформулирована для диффеоморфизмов, но
всякий гомеоморфизм двумерной поверхности изотопен некоторому диффеоморфизму. —
Прим. перев.

194 Глава 3. Гомологические представления групп кос
которые используются в конструкции ^. Положим 5 = {5Ь 52}: I -> ^,
и пусть 5: J -> ^ — произвольное поднятие пути 5. Точка 5(0) лежит
над точкой с, и потому g(5(0)) = 5(0). Точка 5(1) лежит в замыкании
дополнения ^\А, и потому g(5(l))=qatb5(l). Итак, путь go 5: /->^
идет от точки 5(0) к точке qatb5(l). Умножив на 5-1, мы получим
путь 5_1(g о 5) в ^, идущий от точки 5(1) к точке qatb5(l). По
определению накрытия ^ —> ^ целое число а должно равняться значению
инварианта w на петле, полученной при проектировании последнего
пути в ^. Эта петля есть не что иное, как
6-1<go8) = {8i1(go81),8?(go82)}.
Следовательно,
a = w(5-\g о б)) = w(5~Hg о 5i)) + w{8?{g ° 52)).
Остается заметить, что w(8~[l(g о 5;)) = п для i = 1,2. Это завершает
доказательство в случае п>3.
Остальные случаи п — 1,2 легки. Для п = 1 нечего доказывать,
так как В\ = {1}. Группа Б2 бесконечная циклическая, и квадрат ее
образующей есть скручивание Дена, как и в предыдущих абзацах.
Как только что объяснено, оно представляет элемент бесконечного
порядка в AutR(J*f).
Замечания
Представление Бурау хрп впервые определил Бурау в работе [Bur35].
Вариант теоремы 3.1 был впервые получен Сквайером (см. [Squ84]),
использовавшим вместо Эп другую, более сложную матрицу.
Матрица Оп в теореме 3.1 была указана Перроном; см. [РегОб].
Точность представлений гр2 и грз известна давно; см. [Bir74]. Муди
(см. [Моо91]) первым доказал, что представления грп неточны при
п > 9. Лонг и Патон (см. [LP93]) обобщили аргументацию Муди на
случай п > 6. Бигелоу (см. [Big99]) доказал, что представление гр5
неточное. Наше изложение в § 3.2 следует идеям и технике этих статей.
Примеры из п. 3.1.3 взяты из статьи [Big99]. Доказательство
леммы 3.5 сообщил авторам Николай Иванов; см. также [PR00, Prop. 3.7].
Теорема 3.7 фольклорная. Приводимость представлений грп хорошо
известна; см. [Bir74].
Полином Александера — Конвея представляет собой обобщенный
Дж. X. Конвеем полином Александера для зацеплений; см. изложение

Замечания
195
в книге [Lic97]. Бурау вычислил полином Александера для
замыкания косы исходя из ее матрицы Бурау; см. [Bir74]. Обобщение этого
результата на полином Александера — Конвея (§ 3.3 и второе
утверждение в теореме 3.13) принадлежит В. Г.Тураеву (неопубликовано).
Представление Лоуренс — Краммера — Бигелоу — это одно из
семейства представлений, определенных Лоуренс в работе [Law90]. Эта
работа была инспирирована изучением полинома Джонса для
зацеплений и касалась представлений алгебр Гекке, возникающих из
действий групп кос на группах гомологии конфигурационных пространств.
Теорема 3.15 была доказана независимо друг от друга и с разных
точек зрения Краммером (см. [Кга02]) и Бигелоу (см. [BigOl]), после
того как Краммер доказал ее для п = 4в работе [КгаОО]. Теория шнуров
(§ 3.6) и изложенное в § 3.7 доказательство теоремы 3.15 принадлежат
Бигелоу; см. [BigOl]. (В цитируемой работе Бигелоу также использует
понятие вилки, введенное Краммером в работе [КгаОО]. Здесь мы
обошлись без использования вилок.) Дополнительные сведения по этой
и связанным с ней темами можно найти в обзорах [Big02], [Tur02],
[ВВ05].

:щ§ШШШ^
Симметрические группы
и алгебры ивахори — гекке
Изучение группы кос Вп естественно приводит к так называемой
алгебре Ивахори — Гекке Нп. Эта алгебра представляет собой
конечномерный фактор групповой алгебры группы Вп, зависящий от двух
параметров q и z. Наш интерес к алгебрам Ивахори — Гекке
обусловлен их связью с косами и зацеплениями, а также красивой теорией
их представлений, которая будет обсуждаться в следующей главе.
В качестве приложения теории алгебр Ивахори — Гекке мы
определим полином Джонса — Конвея от двух переменных для
ориентированных зацеплений в евклидовом трехмерном пространстве. Этот
полином, известный также как HOMFLY или HOMFLY-PT, обобщает
как полином Александера — Конвея, определенный в предыдущей
главе, так и знаменитый полином Джонса для зацеплений.
Для q = 1 и z = О алгебра Ивахори — Гекке Нп является групповой
алгеброй симметрической группы &п. Для произвольных значений
параметров алгебра Нп обладает целым рядом свойств групповой
алгебры симметрической группы 6П. Поэтому мы начнем с того, что
напомним основные свойства симметрической группы &п.
§4.1. Симметрические группы
Симметрической группой &п, п > 1, называется группа всех
перестановок множества {1,2, ...,п}. Групповым законом в ней
служит композиция перестановок, а нейтральным элементом —
тождественная перестановка, неподвижная на всех элементах множества
{1,2,...,л}.

§4.1. Симметрические группы
197
4.1.1. Задание симметрической группы вп
образующими и соотношениями
Зафиксируем целое число п > 1. Для целых чисел i и j, К i < j < п,
мы обозначим через ту перестановку, меняющую местами i и j, и
оставляющую неподвижными все остальные элементы множества
{1,2,..., п}. Такая перестановка называется транспозицией. Всего
имеется п(п —1)/2 транспозиций в группе 6„.
В случае j = i + 1 мы вместо ту будем писать s*. Транспозиции
5i,..., 5П_1 называются простыми транспозициями. Легкое
упражнение — проверить, что простые транспозиции удовлетворяют
следующим соотношениям для всех i, j = 1,..., п — 1:
SiSj — SjSi, если \i — j\ > 2,
SiSjSt = SjStSj, если \i — j\ = 1, (4.1)
sf = l.
Обозначим через Gn группу с образующими si,...,sn_i и
соотношениями, получающимися из равенств (4.1) заменой каждого St
на S(. Группа G\ тривиальна. Группа G2 имеет одну образующую sb
подчиняющуюся единственному соотношению s\ = 1; отсюда
следует, что G2 — циклическая группа порядка 2. Для каждого п имеется
канонический гомоморфизм групп Gn -> G„+i, отображающий St e. Gn
в si G Gn+i для i = 1,..., n — 1.
Теорема 4.1. Для всех п > 1 существует такой гомоморфизм
групп if: Gn —> Gn+i, что (/?(si) = s; для всех i — 1,..., п — 1.
Гомоморфизм if является изоморфизмом.
Из определения группы Gn и соотношений (4.1)
непосредственно следует существование (и единственность) гомоморфизма if. Би-
ективность гомоморфизма if будет доказана в п. 4.1.2 с помощью
лемм 4.2 и 4.3.
Теорема 4.1 доставляет стандартное задание группы 6П
образующими и соотношениями. В качестве ее применения определим знак
перестановки. По определению группы Gn существует единственный
гомоморфизм групп %: Gn —> {±1}, для которого x(k) = —1 для всех
i = 1,..., п — 1. Знак s{w) e {±1} перестановки w e 6П определяется
по формуле
Ясно, что e(si) — x(st) = —1 для всех i — 1,..., п — 1.

198 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Лемма 4.2. Для любого п > 1 каждый элемент группы Gn можно
записать в виде слова с буквами sb ..., sn-i, в которое буква in_i
входит не более одного раза.
Доказательство. Будем действовать индукцией по п. Сделанные
выше вычисления групп G\ и G2 показывают, что это утверждение
верно при п = 1ип = 2. Предположим, что лемма верна для п — 1 > 2,
и докажем ее для п. Так как s? = 1, или, что эквивалентно, sr1 = St для
всех i = l,..., п — 1, любой элемент группы Gn можно записать в виде
слова с буквами s\,..., sn_i.
Пусть w — wiSn-iw2sn-iW3 — такая запись элемента из Gn, в
которую буква sn-i входит по крайней мере дважды. Мы можем считать,
что sn-i не входит в w2. Следовательно, w2 принадлежит образу
группы Gn-i в Gn при каноническом гомоморфизме Gn-\ -> Gn. По
предположению индукции мы можем записать элемент w2 в виде слова с
буквами Si,..., sn-2, в которое буква sn_2 входит не более одного раза.
Если буква sn-2 не входит в слово Ш2, то оно представляет собой
слово с буквами sb ..., sn_3. Но мы имеем соотношения sn_iSi =5isn_i
для всех i < п — 3. Поэтому w2 коммутирует с sn_i и
W = WiSn-iW2Sn-iW3 = WiW2S^_lW3 = WiW2W3.
Таким образом, мы уменьшили число вхождений буквы sn_i в w на 2.
Если буква sn-2 входит в слово w2 ровно один раз, то w2 — w'sn-2w'\
где w' и w" — слова с буквами sb ..., sn_3. Ясно, что w' и w"
коммутируют с 5n_i и
W = WiSn_i W2Sn_i Ш3 = WiSn-iW* Sn-2w" Sn-iW3 = Wi W^n-iS^Sn-i ^"Шз.
Используя соотношение sn_isn_2sn_i = sn-2sn-iSn-2, получаем
w = wiw'fsn-2sn-isn-2w''fw3.
Таким образом, мы уменьшили число вхождений буквы sn_i в слово w
на 1. Итерируя эту процедуру, мы добьемся требуемого. □
Определим в группе Gn следующие подмножества:
Ei = {l,sih
^2 = {l,52,S2Si},
^3 = {l,53,S3S2,S3S2Si},
Еп-\ — {l,5n_i,Sn_iSn_2, ... , Sn-\Sn-2 ...S2Si}.
Заметим, что card tt = i -h 1 для всех i — 1,..., n — 1.

§4.1. Симметрические группы
199
Лемма 4.3. Любой элемент группы Gn можно записать в виде
произведения W\W2 ... wn-i, где wt G St для всех i — 1,..., п — 1.
Доказательство. Докажем эту лемму индукцией по п. Для п — \
ип = 2 утверждение очевидно. Предположим, что оно верно для
п — 1 > 2, и докажем его для п. Ввиду леммы 4.2 достаточно
рассмотреть элемент w G Gn, представленный в виде слова с буквами
sb...,sn_i, в которое буква sn_i входит ровно один раз, а именно
w = WiSn-iW2, где W\\\W2 — слова с буквами h\,..., sn_2. По
предположению индукции w2 = U\U2 ... ип-2, где щ G Z1; для всех i — 1,..., п — 2.
Так как sn_iS; = SfSn_i при i < п — 3, все элементы из Ё( при i < п — 3
коммутируют с кп-\. Следовательно,
W = WiSn-1W2 = WiSn-1U1U2 .. . Un-2 = WiU1U2 . .. Un-3Sn-iUn-2.
В последнем выражении элемент W\U\U2 ...ип_з приходит из Gn-\
и по предположению индукции может быть разложен в произведение
V\V2 ... ь>п-25 где ut G Z1! для всех i = 1,..., п—2, тогда как sn_iun_2 G 1^-!.
□
4.1.2. Доказательство теоремы 4.1
Хорошо известно (и легко доказывается), что простые
транспозиции 5i,..., 5n_i порождают симметрическую группу бп. Поэтому
гомоморфизм (/?: Gn—>6П сюръективен. Следовательно, cardGn>card<5n=n\.
С другой стороны, рассмотрим отображение (/?', переводящее (шь W2,
..., wn-i) G Z1! x t2 x ... x Гп_1 в Wi w2 ... шп_1 G Gn. Из леммы 4.3
следует, что отображение (/?' сюръективно. Следовательно,
card Gn < I I card £t — n\.
Итак, card Gn — card 6П. Значит, (/?: Gn —> 6П есть биекция. П
Как было только что подмечено в этом доказательстве,
отображение (/?': ti х £2 х • • • х Zn-i —> Gn сюръективно. Поскольку card Gn =
= п! = cardfZ1! x t2 x ... х £„_i), это отображение является биекцией.
Таким образом, мы получили следствие из теоремы 4.1.
Следствие 4.4. Рассмотрим в группе 6П следующие подмножества:
£l = {l,Si},
^2 = {l,52,525i},
£3 — {1, 5з, S3S2, S3S2S1},
^п-1 — {l55n_i,5n_i5n_2, ... ,5n_i5n_2 . ..S2S1}.

200 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Для любой перестановки w e 6П существует единственный элемент
Оь ш2,..., шп_1) G Z1! х Г2 х ... х Гп_ь
для которого w — w\W2 ... i^n-i-
4.1.3. Приведенные выражения и длина перестановки
Так как sr1 = st для всех i — 1,..., п — 1 и элементы si,..., Sn-i
порождают группу бп, любая перестановка w е бп может быть
разложена в произведение w = 5^5^... s*r, где ib h, • • -, W £ {1,2,..., n — 1}.
Если г минимально среди всех таких разложений перестановки w,
то мы говорим, что s^s^^.s^ есть приведенное выражение
перестановки w и что 5ij5i2... s*r есть приведенное слово. Перестановка может
иметь много разных приведенных выражений.
Определим длину А(ш) перестановки w как длину г любого
приведенного выражения s^s^.-.s^ перестановки w. Отметим следующие
факты.
1. Если 5ij5i2... str — приведенное выражение перестановки w, то
Sir • • • 5i2 5ij — 5ir • • • 5i25ii
есть приведенное выражение перестановки w~l, Отсюда следует, что
А(ш-1) = А(ш) для любой перестановки w.
2. Если 5ц512...51г — приведенное слово, то для любых индексов
1 < р < q < г усеченное слово 5ip5ip+1 ... stq является приведенным.
3. Нейтральный элемент 1е6п является единственным
элементом длины 0, а простые транспозиции — единственными элементами
длины 1.
4. Знак e{w) любой перестановки w можно вычислить по его
длине А(ш) по формуле
e(w) = (-1)я(ш). (4.2)
Лемма 4.5. Для любой перестановки w e 6П и любой простой
транспозиции St е 6П имеют место равенства
A(s£w) = А(ш) ± 1 u A(wsi) = А(ш) ±1.
Доказательство. По определению длины слова имеем
А(^ш) < А(ш) + 1.
Заменив в этой формуле w на s;w, мы получим
А(ш) = А(5?ш) < А(5гш) + 1.

§4.1. Симметрические группы
201
Следовательно, А(ш) — К A(s; ш) < А(ш) +1. По формуле (4.2) имеем
e(s;w) = e(si)e(w) — —e(w),
откуда следует, что Afow) ф А(ш). Значит, Afow) — А(ш) ± 1.
Заменим в этом равенстве w на w~l и используем факт 1 и
соотношение 5Г1 = si, в результате чего получим
X(wsi) = A((wsi)_1) = А(5ГХ ш-1) = Afo ш-1) = А(ш-1) ± 1 = А(ш) ± 1
— другое искомое равенство. □
4.1.4. Инверсии и теорема о замене
Для любой перестановки w е 6П мы определим инверсию этой
перестановки как такую пару целых чисел (i,j), 1 < i < j < п, что
w(i) > w(j). Обозначим через 7(ш) множество всех транспозиций
ту е 6П, соответствующих всем инверсиям (i,j) перестановки ш.
По определению мощность множества J(w) равна количеству всех
инверсий перестановки ш.
Ясно, что 1(1) — 0 и J(s;) = {5J для всех i = 1,..., п — 1. Также
заметим, что ту е /(т^) для любой транспозиции ту е 6П.
Чтобы сформулировать следующую лемму, напомним, что аш-
метрическойразностью А А В двух подмножеств Л и Б данного
множества G называется
АДВ = (АиВ)\(АпВ).
Симметрическая разность является ассоциативной и коммутативной
операцией на множестве всех подмножеств данного множества G,
нейтральным элементом которой служит пустое множество. Если G —
группа, то для всех g е G имеет место равенство
g"1 (A A B)g = (g-1 Ag) A (g-lBg), (4.3)
где g_1 Ag для А с G и g e G определяется как
g~1Ag = {g~1ag:aeA}.
В доказательстве следующей леммы мы используем элементарное
равенство
{Ли {а}, если а ф А,
(4.4)
Л\{а}, если а € А.
Лемма 4.6. Для всех v, w € 6П имеет место равенство
I(vw) = w~ll{v)w Al(w).

202 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Доказательство. Докажем лемму индукцией по А(ш).
1. Если А(ш) = 0, то w = 1 и
w~lI{v)w А/(ш) = 1{у) А 0 = I(v) = I(vw).
2. Если А(ш) = 1, то w = sk для некоторого к = 1,..., п — 1. Мы
должны доказать, что для всех v e 6П имеет место равенство
/(^^/(уКДЫ. (4.5)
Сначала проверим, что
I(vsk)\{sk}=Sb1I(v)sk\{sk}. (4.6)
Действительно, транспозиция ту принадлежит /(i>Sk)\{sk} тогда и
только тогда, когда Ttj^sk и (ysfc)(i) > (i>Sk)(j)- В случае Ttj^sk имеем
sk(i) < sk(j), и поэтому (vsk)(i) > (usjOC/) тогда и только тогда, когда
пара (sk(i), sk(j)) является инверсией перестановки у. В свою очередь,
это эквивалентно тому, что ту ^skn s^ijs^1 = TSk(i),sk(j) G I(v). А
последние условия эквивалентны тому, что ту е 5^1/(y)5fc\{sfc}. Таким
образом, равенство (4.6) доказано.
Далее, заметим, что включение sk e /(у) имеет место тогда и
только тогда, когда sk ф I{ysk). В самом деле, неравенство и (к) > и (к + 1)
эквивалентно тому, что
(i/SfcXfc) = у (fc + 1) < у (fc) = (i/sfc)(fc + 1).
Теперь мы можем доказать равенство (4.5). Если sk e /(у), то,
как мы только что заметили, sk ф I(vsk). Поэтому, используя
равенства (4.6) и (4.4), получаем
I(ysk) = I(vsk)\{sk}= s~4(v)sk\{sk} = 5~1/(i;)sfc A {sfc}.
Если sk ф I(v), то sk e I(vsk) и, используя равенства (4.6) и (4.4), мы
получаем
I(vsk) = (I(vsk)\{sk)) U {sfc} = {s^I(v)sk\{sk}) U {sfc} =
= 5~1/(i;)5fc U {sfc} = s^jr(i/)sfc A {sfc}.
3. Если A(w) > 1, то w — usk, где u e 6П и A(u) = A(w) — 1. Имеем
/(уш) = I(vusk) - s^I{vu)sk A {sk} =
= s-\u-1nv)uAl(u))skA{sk} =
= (s^ir1/^)^ Д s^J&Osfc) A {sfc} =
= s^u^lMusjt A (s^/faK A {sfc}) = w~lI[v)w А J(w).

§4.1. Симметрические группы
203
Здесь второе и шестое равенства следуют из случая А(ш) = 1,
третье— из предположения индукции, четвертое — из формулы (4.3),
а пятое — из ассоциативности операции А. □
Лемма 4.7. Пусть Т = {tij : 1 < i < j < п} с 6„. Для любой
перестановки w e 6П справедливы следующие утверждения:
1) A(u/)=caidJ(ii/);
2) А(ш) < п(п —1)/2 и А(ш) = п{п —1)/2 в том и только том случае,
когда I(w) — Т;
3) /(ш) = {теТ: Я(шт) < Я(ш)};
4) A(ix;si) = А(ш) + 1 тогда и только тогда, когда w(i) < w(i + 1).
Доказательство. 1. Пусть г = А(ш) и ш = S£1S£2 Sir —
приведенное выражение для перестановки ш. Повторное применение леммы 4.6
показывает, что
I(w) = I(silSi2...Sir) = {t1}A...A{tr},
где ti,..., tr G 6П — транспозиции, определенные формулами
tk = (.sik+1...sirr1sik(.sik+1...sO (4.7)
для 1 < к < г. В частности, tr = Sir. Заметим, что
ii;tfc =s£lS£2...S£k_1S£fcs£fc+1 ...sir(s£k+1 ...s<rr4(4+i -"Ч) =
= 5i1...5iM5?fc5£fc+1...Sir, (4.8)
где шляпка над элементом указывает на то, что его нужно вычеркнуть.
Мы утверждаем, что все транспозиции t\,...,tr попарно различны.
Докажем это от противного. Предположим, что tp — tq для некоторых
p<q. Аналогично только что сделанному вычисление показывает, что
W = Wt$ = Wtptq =Sil..Sip..Siq... Sir.
Тогда А(ш) < г — противоречие. Следовательно, I(w) представляет
собой дизъюнктное объединение одноточечных множеств {ti},..., {tr}
и имеет г = А(ш) элементов.
2. Имеем А(ш) = card J(w) < card T = п{п -1)/2.
3. В доказательстве п. 1 мы показали, что I{w) — {t\,..., tr} и
wtk=sil...sik...sir
для всех fc = 1,..., г. Поэтому A(wtfc)<A(w) для всех fc, т. е. А(шт)<А(ш)
для любого т е 1(ш).

204 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Если т е Т не принадлежит J(w), тот = т-1тт ф т-1/(ш)т, тогда
как tg/(t). Следовательно,
т € т-1/(ш)т А 7(т) = 7(шт).
Рассуждая, как выше, получаем
А(ш) = А(шт2) < А(шт).
4. В силу леммы 4.5 и п. 3 равенство X(wsi) = А(ш) + 1 имеет
место тогда и только тогда, когда st ф I(w), что эквивалентно
неравенству ш(0 < w(i + 1). П
Докажем теперь так называемую теорему о замене.
Теорема 4.8. Пусть silt..., sir — приведенное выражение для
перестановки w е 6П (г = А(ш)). Если A(wsj) < А(ш), где j е {1,..., п — 1},
то существует такое к е {1,..., г}, что i^s; = s^... s^... sir. Если
X(sjw) < А(ш) для некоторого j е {1,..., п — 1}, то существует такое
k € {1,..., г}, что SjW = stl... fik... s,r.
Доказательство. В доказательстве леммы 4.7 (1) мы показали,
что I{w) — {tb..., tr}, где ti,..., tr — транспозиции, определенные
формулами (4.7). Если X(wsj) < А(ш), то Sj е J(w) по лемме 4.7 (3).
Следовательно, Sj = tk для некоторого к е {1, ...,г}. По формуле (4.8)
получаем _
u;s; = ix;tfc=5i1...Sik...Sir.
Второе утверждение теоремы выводится из первого, если заменить w
на w~l. □
Следствие 4.9. Пусть w е 6П. Если A(a>Sj) < А(ш) для некоторого
j е {1, ...,п — 1}, то существует приведенное выражение для
перестановки w, которое заканчивается на s/. Если \{sjw) < А(ш) для
некоторого j е {1,..., п — 1}, то существует приведенное выражение
для перестановки w, которое начинается с s;.
Это следствие непосредственно вытекает из предыдущей теоремы:
если \{wsj) < А(ш), то wsj — s^...s[k...sir, и w — s^...sik...Sirs; есть
приведенное выражение для перестановки w, так как его длина равна
г = А(ш). Второе утверждение доказывается аналогично.
Мы завершим этот пункт леммой, которая нам понадобится позже
в доказательстве леммы 4.18.
Лемма 4.10. Если Xfawsj) = А(ш) и Afow) = A(ws,) для w e 6П
и некоторых i, j е {1,..., п — 1}, mo Siii; = wsj и SiWSj — ш.

§4.1. Симметрические группы
205
Доказательство. 1. Сначала предположим, что
X(siw) — X(wsj) > X(siwsj) — А(ш).
По лемме 4.6 получаем
I(siw) = w~lI{si)w A I{w) = {w^siw} А J(w).
Так как Afows,) < A(siw) и A(ws;) > А(ш), из леммы 4.7 (3) следует,
что Sj принадлежит I(siw) и не принадлежит /(ш). Следовательно,
Sj = w^siw, а значит, S[iv = wsj и SiWSj — wsj — w.
2. В случае Afow) = X(wsj) < Afows,) = A(w) будем рассуждать
аналогично, используя равенства
I(w) = I(si(siw)) = {iv^siw} Al(siw). □
4.1.5. Эквивалентность приведенных выражений
Для п > 1 обозначим через Мп множество всех конечных
последовательностей целых чисел из множества {1,...,п — 1}, включая
пустую последовательность. Снабдим множество Мп ассоциативным
умножением, задаваемым конкатенацией. Таким образом, Мп
становится моноидом, в котором нейтральным элементом служит пустая
последовательность.
На множестве Мп рассмотрим отношение эквивалентности ~,
порожденное следующими двумя семействами соотношений:
Siaj^-SiCbO^ (4.9)
для всех Si, S2 е Мп и всех i, j е {1,..., п — 1}, для которых \i — j\ > 2, и
Si (i, j, i)S2 ~ Si (j, i,j)S2 (4.10)
для всех Si,S2 еМп и всех i, j е {l,...,n —1}, для которых |i — j| = 1.
Заметим, что эквивалентные последовательности имеют одинаковую
длину. Отношение эквивалентности ~ было выбрано так, чтобы
выполнялось условие
(£ъ...,У ~ 0'ъ...,л) емп => s£l...5ifc = s;i...sjk € e„.
Лемма 4.11. Если s^... Sik u s;i... sjk — приведенные выражения для
одной и той же перестановки w е &п, то (ib..., ik) ~ (ji,..., jk) в Мп.
Эта лемма показывает, что для любой перестановки w e 6П мы
можем перейти от одного приведенного выражения для этой пере-

206 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
становки к любому другому приведенному выражению для этой же
перестановки только с помощью соотношений
SiSj — SjSi, если \i — j\ ^ 2,
SiSjSi = SjSiSj, если \i — j\ = 1.
Доказательство. Докажем лемму индукцией по fc. Если к = 0, то
w — 1 имеет только одно приведенное выражение. Если к — 1, то w =st
для некоторого i и w имеет только одно приведенное выражение.
Предположим, что к>2.Из равенства s^... sik — sjl... sjk следует,
что Si2...Sik = Si^...5jk. Так как s*2...s;k — приведенное выражение,
мы получаем, что
Usi.Sj,... sjk) = A(s,2. .. sik) = k-l<k = A(s;i... sjk).
Следовательно, по теореме 4.8 существует такое целое число р, 1 <р <fc,
что
si2...sik=silsJl...sJk=sJl..Sjp...sJk. (4.11)
Так как слова si2... stk и Sjx... s] ... Sjk представляют одну и ту же
перестановку и имеют одинаковую длину к — 1 и так как s*2... sik —
приведенное выражение, получаем, что 5J]L sj Sjk также приведенное
выражение. По предположению индукции (i2,..., ik) ~ Оъ • • • > jp, • • • > jk)-
Следовательно,
Сь *2,. •., ik) ~ (ii, jb •.., jP,..., Л). (4.12)
Слово Sjr..Sj , будучи частью приведенного слова 5;i...5jk, также
приведенное. Из второго равенства в формуле (4.11) следует, что
silSjl...Sj _xSj = Sjx...Sj; _j. Домножив обе части этого равенства справа
на Sjp и воспользовавшись тем, что sj = 1, получаем, что s^... sjpl —
— Sjx... Sj . Оба слова в последнем равенстве имеют одинаковую
длину р, и второе из них (s;i...Sj) приведенное, поэтому первое из них
(s^s^...Sjp J также приведенное. Если р < к, то мы можем применить
предположение индукции и получить эквивалентность
(ibJ2,...,jP-i) ~0'i,..., jp)-
Используя ее и эквивалентность (4.12), получаем
Сь 1*2,..., У ~ (ibJb...,Jp,...,Jfc) = (ibji,..., jp-i)C/p+b...,Jfc) ~
~ (jb • • • , jp)(jp+l> • • • , jk) = (jb >--,jp, jp+1, • • • , jk),
что и требовалось доказать.

§4.1. Симметрические группы
207
Если р — к, то формула (4.12) превращается в эквивалентность
Сь 12,..., У ~ Сь jb • • •, Л-i). Отсюда следует, что
5ii5Ji- • • sJk-i — ShSi2-- • Ч = 5Ji5J2* • • 5Л*
Итак, для того чтобы доказать импликацию
stl...sik = 5Л...sjk => (ii,..., У ~ (ji,..., jfc),
достаточно доказать импликацию
s*is;i• • • sh-i = sh• • • 5А => (£ь h> • • •, jk-i) ~ О'ь • • •, Л). (4.13)
Начнем теперь рассуждать заново с приведенными выражениями
5jj... s,-fc = SjjS/j... Sj^. Действуя, как и выше, мы видим, что для того
чтобы доказать импликацию (4.13), достаточно доказать импликацию
Sj'i Sjj S;i... Sjk_2 — Six Sjj 5/2... 5jfc_1 =>
=> О'ь ii, h, • • •, Л-2) ~ (ii, ji, J2, • • •, jk-i). (4.14)
Докажем импликацию (4.14) сначала в случае |i'i — ji| > 2. Тогда
siisJi=sJish и
S*i s;'i Sh • • • s;fc-2 = SJi S*i 5Ji • • • 5Л-2 = Sh SJi Sh • • • SJk-i •
Сократив слева на Sj^, мы получаем
SJl • • • SA-2 = SJ*2 * * * SJk-2 *
Обе части являются приведенными выражениями длины к—2. По
предположению индукции (ji,..., jfc_2) ~ (J2,..., jk-i). Используя эту
эквивалентность и формулу (4.9), получаем
О'ь ii, jb • • •, h-г) = О'ь У Оь • • •, h-г) ~
~ (ll, jl)0*2, • • • , jfc-l) = (ll, jb J2, • • • , jfc-l),
что и требовалось доказать.
В случае \i\ — j\\ — 1 мы снова действуем, как ранее, и сводим
доказательство импликации (4.14) к тому, чтобы показать, что
Sh SJi Sh SJi • • • SJk-3 ~ Sh Sh Sh Sh • * * Sk-2 ^
=> Ob jb lb jb • • • , jfc-3) ~ (jb il, jl, J2, • • • , jfc-2).
Из этого равенства вместе с соотношением SjlSilSjl =5^^^ следует, что
5Л Sh Sh Sh • • • SJfc-3 = Sh Sh Sh SJi • • • 5Л-з = SJi Sh Sh Sh • • • SA-2 •
После сокращения слева на SjlSilSjl получаем
SJk-3

208 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Так как обе части этого равенства являются приведенными
выражениями длины fc — 3, мы можем применить предположение
индукции и получить эквивалентность (;ь ..., jfc_3) ~ 0*2..., jk-i)- Отсюда
и из формулы (4.10) получаем
(*ъ )ъ iiji, • • •, Л-з) = (ii, )ъ ii)0b • • •, jk-з) ~
~ 0'ъ ii, Ji)(J2, • • •, h-г) = 0'ъ hji, J2, • • • > Л-г),
что и требовалось доказать. П
Следующая теорема полезна для определения отображений
симметрических групп в моноиды.
Теорема 4.12. Для любого моноида М и любых элементов Xi,...,
xn-i G М, удовлетворяющих соотношениям
XiXj = XjXi, если \i — j\>2,
XiXjXi = XjXiXj, если \i — j\ = l,
формула , Л
p(w)=xil...Xik,
где w — перестановка из <5nuw=Sil...Sik — произвольное ее
приведенное выражение, корректно определяет отображение р: бп —> М как
множеств.
Доказательство. Определим гомоморфизм моноидов р': Мп-*М
по формуле ,,. . ч
Р (ii,...,ik)=Xi1...xik
для всех (ii,..., ik) G Мп. Мы утверждаем, что p'(S) — p'(S') для всех
S, S' еМп, для которых S ~ S'. Действительно, по определению
эквивалентности ~ это утверждение достаточно доказать в случае, когда
S = Si(i, j)S2 и S' = Si(j, i)S2 (соответственно S = Si(i, j, QS2 и S' =
= SiCbl"» j)^), где Si, S2 GMn и i, j G {1,..., n-1} таковы, что \i—j\ > 2
(соответственно \i — j\ = 1). По условиям теоремы
p'(SiO\ j)S2) = p/{S1)xixjp/(S2) = p'(S1)xjxip'(S2) =p'(S1V,QS2),
если \i — j\ > 2, и
рЧ51аЛ052)=рЧ51)х^х£рЧ52)=рЧ51)х^х;рЧ52)=рЧ510\^;)52),
если |i —j| = 1.
Проверим, что отображение р определено корректно, т. е. если
Six... Sik и 5/j... Sjk — приведенные выражения для перестановки wG<5n,
то _
Xj.... Xi, — Xj.... Xi, .

§4.1. Симметрические группы
209
По лемме 4.11 имеем (ib ... У ~ (jb ..., jk) в Мп, а по доказанному
выше утверждению получаем
xtl...xik = p'(ii, ...,У = р'О'ъ..., jk) = xh...xjk. П
4.1.6. Самый длинный элемент группы вп
Обозначим через ш0 G 6П перестановку i ■-> п + 1 — i для всех i G
€{1,...,л-1}, т.е.
■*-(; .-1 ::: "I1 ;)■ (4Л5)
Ясно, что шо — единственная перестановка w G бп, для которой
ш(0 > w(j) для всех i, j G {1,..., п — 1}, i < j. Иными словами, w — Wo
тогда и только тогда, когда множество I(w) состоит из всех
транспозиций. По лемме 4.7 (1) имеем А(ш0) = п(п — 1)/2и X{w) <п[п — 1)/2для
w ф Wo. По этой причине перестановка wq называется самым длинным
элементом группы &п. Установим еще два свойства перестановки w0
(второе будет использовано в п. 6.5.2).
Лемма 4.13. Если перестановка w е.<5п удовлетворяет
неравенству h(wsi) < А(ш) для всех i G {1,..., п — 1}, то w — ш0.
Доказательство. Из леммы 4.7 (3) следует, что Si G/(ш) для всех i.
Тогда w(i) > w(i + 1) для всех i. Этим неравенствам удовлетворяет
единственная перестановка шо. □
Лемма 4.14. Для любых перестановок u,ve. 6П, удовлетворяющих
условию ии — w0, имеет место равенство А(и) + А(у) = А(ш0).
Доказательство. Для и — w0 и и — 1 лемма тривиально верна.
Мы утверждаем, что для любой перестановки и G 6П, и ф шо,
существует такая последовательность s^,..., sir простых транспозиций, что
us{x... sir = wo и Afus^... sir) = A(u) + г. Прежде чем мы докажем это
утверждение, покажем, что из него следует лемма для иии = и~г wo —
— $ix...str. Ясно, что А(у) <ги
А(ш0) = \{uv) < A(u) + А(у) < A(u) + г = Afus^... str) — A(w0).
Значит, A(u) + A(y) = A(w0).
Теперь докажем наше утверждение. Так как и Ф w0, по лемме 4.13
найдется такая простая транспозиция s^, что X(usiJ > A(u). По
лемме 4.5 мы имеем Afus^) = A(u) + 1. Если AfusjJ = А(шо), то us^ — w0
ввиду единственности в 6П элемента ш0 максимальной длины и все

210 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
доказано. Если AfusjJ < A(u), то опять по лемме 4.13 мы можем найти
такую простую транспозицию si2, что Afus^SiJ > Afusij. Тогда
ACusijSiJ = AfusiJ +1 = A(u) + 2.
Если Afus^SiJ = А(шо), то izs^s^ = wo и все доказано. Иначе мы
продолжим действовать, как раньше, до тех пор пока не получим искомую
последовательность Sil9...,Sir. □
Упражнение 4.1.1. Пусть A(s^... s;r) < г. С помощью теоремы 4.8
докажите, что найдутся такие р, q е {1,..., г}, р < q, что
sh'" К ~ s*i• • • sh • • • \ • • • Ч'
где шляпка над членом означает, что он вычеркнут из выражения.
Упражнение 4.1.2. Выведите теорему 4.1 из теоремы 4.12,
используя ее для построения отображения 6П —> Gn, обратного слева
к отображению ip: Gn -> &п.
Упражнение 4.1.3. а) Покажите, что слово Wk,i — sksk-i ...si
является приведенным для каждой пары (fc, Z), 1 < Z < fc < n — 1.
б) Докажите, что слово Щ^и^^ ... Щсгаг, получающееся
конкатенацией слов из п. а), является приведенным в случае fci < &2 < • • • < К-
Упражнение 4.1.4. Для любого целого числа к> 1 положим [k]q —
— 1 + q +... + qk~l e Z[q]. Покажите, что
2 qA(u;)-[l]j2]q[3]q...[n]q.
ween
(Указание: используйте упражнение 4.1.3 и следствие 4.4.)
Упражнение 4.1.5. Докажите, что для любой перестановки ш е бп
и любого целого числа i = 1,..., п — 1 тогда и только тогда имеет место
равенство A(s;w) = А(ш) + 1, когда w-1(i) < w~l[i + 1).
§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
4.2.1. Задание образующими и соотношениями
Зафиксируем целое число п>1и коммутативное кольцо R вместе
с двумя его элементами q,z e R. Мы предполагаем, что элемент q
обратим в кольце R.
Определение 4.15. Алгеброй Ивахори—Гекке Нп — Hn(q,z)
называется ассоциативная R-алгебра с единицей, порожденная элементами

§4.2. Алгебры Ивахори —Гекке
211
Ti,..., Tn-i, подчиняющимися соотношениям
Щ = Щ (4.16)
для i, j — 1,..., п — 1, удовлетворяющих условию \i —j\>2,
ТЛ+Л^ТмЪТм (4.17)
для £ = 1, ...,п —2 и
T?=zTt + ql (4.18)
для i — 1,..., п — 1. По определению Hi = Hf (q, z) = R.
Любой элемент алгебры Нп является линейной комбинацией
мономов Т^\... Tir, включая пустой моном, который мы отождествляем
с единицей 1 алгебры Нп. Ввиду соотношения (4.18) каждая
образующая Ti обратима в алгебре Нп и обратным к ней служит элемент
T^=q-\Ti-zl). (4.19)
Следовательно, каждый моном \Т{2... 7}г обратим в алгебре Нп.
По теореме 4.1 для q — 1, z — О мы имеем изоморфизм
H*(q,z)^R[en].
4.2.2. Однопараметрические алгебры Ивахори — Гекке
Многие авторы рассматривают однопараметрическую алгебру
Ивахори — Гекке H^iq), которая по определению равна Hn(q,z), где
z = q — 1. Алгебра H^iq) является ассоциативной Я-алгеброй с
единицей, порожденной элементами 7\,..., Tn_i, подчиняющимися
соотношениям (4.16), (4.17) и
T.2 = (q-l)T; + ql. (4.20)
По существу при рассмотрении однопараметрических алгебр
Ивахори — Гекке, а не двухпараметрических алгебр Ивахори — Гекке не
происходит потери общности. Действительно, двухпараметрическая
алгебра Hn(q,z) изоморфна некоторой алгебре вида H^{qf),
возможно после замены кольца скаляров. Чтобы убедиться в этом,
рассмотрим задание алгебры H^{q,z) образующими и соотношениями,
описанными в п. 4.2.1. Для i = 1,..., п — 1 положим Г/ = u~lTi для
некоторого обратимого элемента и. Ясно, что элементы Т[,..., Т^_г
удовлетворяют соотношениям (4.16) и (4.17). Из соотношения (4.18) мы
получаем
{Tl)2 = u-lzT! + iClq
для i — 1,..., п — 1. Обозначим через Я' наименьшее кольцо,
содержащее R и корень и квадратного полинома X2 + zX — q: если R содер-

212 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
жит корень этого полинома, то Я7 = R; в противном случае кольцо Я7
является квадратичным расширением кольца R. Тогда отображение
Tt ■-> uTf (i = 1,..., п — 1) индуцирует изоморфизм алгебр я£(д, z) =
4.2.3. Базис алгебры Нп
Вернемся к двухпараметрической алгебре Ивахори — Гекке Нп —
= Hn(q,z). Далее мы покажем, что Нп является свободным Я-модулем
с базисом, индексированным элементами симметрической группы &п.
Напомним обозначения из §4.1: символ si для i — 1,..., п — 1
обозначает простую транспозицию, меняющую местами i и i +1, а А(ш)
обозначает длину перестановки w е 6П.
Лемма 4.16. 1. Для каждой перестановки w е 6П существует
единственный элемент TwGHn, для которого Тш = Т1г... Ttr всякий раз,
когда задано приведенное разложение w=sil... str для перестановки w.
2. Для любой перестановки w e 6П и любой простой
транспозиции St имеют место равенства
{Ts.w, если Afow) > А(ш),
qTs.w + zTw, если X(siw) < А(ш).
Заметим, что если w = 1е &п, то Tw = 1 е Яп.
Доказательство. 1. Это утверждение следует из соотношений
(4.16), (4.17) и теоремы 4.12.
2. Пусть 5^... 5ir — приведенное выражение для перестановки w.
Если X(stw) > А(ш), то SiS^.-.s^ является приведенным выражением
для S[W. Поэтому Ts.w — TiTw.
Если A(siit>) < А(ш), то в силу следствия 4.9 мы можем считать, что
слово w начинается с Sj, т.е. s^ =si. Тогда st2...Sir является
приведенным выражением для S{W. Используя соотношение (4.18), получаем,
что
^Тш = ^^...^г = Т.2^2...Т^^^2...^г+д^2...^г=2Тш + дТ51Ш. □
Теорема 4.17. Модуль Нп над R есть свободный модуль ранга п\
с базисом {Tw: w e 6П}.
Доказательство. Через Я обозначим Я-подмодуль модуля Яп,
натянутый на векторы Tw, w е &n. По лемме 4.16 (2) Я является левым
идеалом модуля Яп. Так как 1 = Ti е Я, получаем, что Н = Нп. Остается
показать, что векторы Tw, w е бп, линейно независимы над R. С этой

§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
213
WSj>
целью построим некоторое действие алгебры Нп на свободном R-mo-
дуле ранга л!.
Пусть V— свободный R-модуль с базисом {ew}WG&n,
индексированным элементами w е 6П. Следующим образом определим 2л— 2
гомоморфизмов {Li, Ri: V —> V}"^1. Дяя i = 1,..., л — 1 положим
es.w, если Afow) > A(w),
qeSiw + ^еш, если Afow) < А(ш),
если A(wsi) > А(ш),
(4.22)
деШ5. + зеш, если A(wsi) < А(ш).
Д7Ш завершения доказательства теоремы 4.17 нам понадобятся
следующие три леммы.
Лемма 4.18. Имеют место равенства
LiRj = R/L;
для всех i, j = 1,..., л — 1.
Доказательство. Достаточно проверить, что LiRj(ew) = RjLi(ew)
для всех w е 6„. Разберем отдельно шесть случаев в зависимости
от длин элементов w, stiv, wsj и 5iif5j. В доказательстве мы будем
неоднократно использовать формулы (4.21) и (4.22).
1. Если А(ш) < A(siw) = A(w5/) < Afows,), то
LiRj^e^J = Lj^e^.J— es.ws. = кде^.ц^ = RjLi^ei^J.
2. Если A(w) > А(5^ш) = А(ш5/) > Afows,), то
LjRjCeu;) = qU(eWSj) + zUiew) = qiqes-ws, + zeWSj) + z(qeSiW + zew) =
= q(qes.WSj + zes.w) + *(деШ5. + zew) = qRj(es.w) + zRj(ew) = RjU(ew).
3. Если A(w) < Afo w) = A(ws,) > Afe ws,), то неизбежно Afe wsj) =
= А(ш). По лемме 4.10 мы имеем S{iv = wsj. Тогда
Ljкдвц^ — \-»i(£wsj) = q^stwsj ' zews. — qes.ws. + zeSiW — \\j\6s.w) — i\jLi(ew).
4. Случай A(w) > Afow) = A(ws,) < Afowsj) доказывается
аналогично случаю 3.
5. Если A(wsj) < А(ш) < AfoiiO > Afews,) = А(ш), то
URj(ew) = qLi(eu,Sj) H-zLiCeu;) = qeSiU,s. + zes.w = Rj(eSiW) = RjU(ew).
6. Случай \($iiu) < A(w) < X(wsj) > X(siWSj) — А(ш) доказывается
аналогично случаю 5. D

214 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Лемма 4.19. Пусть s^... s*r — приведенное выражение для
перестановки шебп. Положим R=Rir...R^R^ GEnd^(V) ц L=Li1Lj2.. .Ljr €
G End^(V). Тогда имеют место равенства
ew = R(e1)=L(e1).
Доказательство. Равенство ew = R(ei) доказывается индукцией
по г = Я(ш). Для г = 1 это равенство вытекает из определения R = Rtl.
Для г>2 положим ix;/ = 5i15i2...5ir_1 HR/ = Rjr_1...Rj2Rj1 и предположим,
что R'(ei) = вц/. Так как Я(ш) = X(wfS{r) > A(w'), по формулам (4.22)
имеем
R(ci) = Rir(R4ei)) = RiMw) = ewsir = ew.
Аналогично доказывается равенство ew = L(ei). D
Лемма 4.20. Эндоморфизмы Ц,..., Linl R-модуля V
удовлетворяют соотношениям (4.16), (4.17) и (4.18), в которых Tt заменены на L*.
Доказательство. 1. Если Afow) > Я(ш), то
Ь?(еш) = U(eSiw) = qew + zes.w = zU(ew) + qew.
Если A(siw) < A(w), то
Ь?(еш) = Ь1(де5.ш + *еш) = zU(ew) + деш.
2. Пусть 5ix5i2... str — приведенное слово для перестановки w е 6П
и R = R*r... Ri2Rtl. Если |f - j\ = 1, то
LiLjU(ew) = LiLjLiR(ei) = RLiLjLifci) = R(ew) = R(eWj) =
= RLjLiLj(ei) = LjLjLjRfei) = Ц-Ь£ЬДеш).
Здесь второе и шестое равенства верны в силу леммы 4.18, первое,
третье, пятое и седьмое — в силу леммы 4.19, а четвертое равенство
следует из соотношения SiSjSi = SjSiSj в группе 6„.
3. Аналогично доказываются равенства Li Lj=L; Li вслучае \i—j\>2
С ПОМОЩЬЮ СООТНОШеНИЙ 5^5^ = SjSi. П
По лемме 4.20 существует гомоморфизм алгебр Нп—>Епс1я(У),
отображающий Т{ в Li для i = 1,..., п — 1. Другими словами, алгебра Яп
действует на пространстве V по формуле
TiV = Li(v)
для всех i; € V и i = 1,..., п — 1. Из леммы 4.19 следует, что Twe\ = ew
для всех w e 6П.

§4.2. Алгебры Ивахори —Гекке
215
Теперь мы можем доказать линейную независимость элементов Tw,
wG&n, модуля Яп. Допустим, что существует аддитивное соотношение
]►] awTw = 0,
ween
где aw G R для всех w е 6П. Применив обе части к е\ е V, получим
weGn we<5n
Так как множество {еш}ше6„ является базисом пространства У,
получаем, что aw = О для всех ш. Это доказывает линейную независимость
элементов Tw e Нп и завершает доказательство теоремы 4.17. □
4.2.4. Следствия из теоремы 4.17
Здесь мы установим два полезных следствия из теоремы 4.17.
Сначала заметим, что существует гомоморфизм алгебр t: Я„ —> Яп+1,
отображающий каждую образующую 7J алгебры Нп (i = 1,..., п — 1)
в образующую Tt алгебры Нп+\. Гомоморфизм t превращает Нп+\ в
левый и правый Яп-модуль по формулам ha = i(h)a и ah = ai{h) для
h6Hn,a6Hn+i.
Предложение 4.21. Гомоморфизм i: Hn —> Я^+i инъективен.
Модуль Hn+i, рассматриваемый как левый Нп-модуль, является
свободным модулем ранга п + lc базисом {1, 7^, ГпГп_ь..., ТпТп-\... Г2Г1}.
Доказательство. По определению элементов Tw имеем i(Tw) = Гш
для всех шб6п, где в правой части w рассматривается как элемент
группы 6п+1. По теореме 4.17 гомоморфизм t отображает базис
модуля Нп в подмножество базиса модуля Яп+1. Поэтому гомоморфизм t
инъективен.
Ввиду следствия 4.4 каждый элемент w e 6n+i\©n можно
единственным образом записать в виде w = w'snsn-i... sk для некоторых
w' € 6П и такого целого числа fc, что 1 < к < п. Мы утверждаем, что
Гш = Ги/ГпГ11_1...Гк. (4.23)
Действительно, так как перестановка и/, рассматриваемая как
элемент группы 6„+i, неподвижна на п + 1, получаем, что
ix/(n) < w'Oi + 1) = л + 1.
Поэтому по лемме 4.7 (4) имеем А(ш') < A0i/s„). Более общим
образом, для любого /, 1 < / < п, имеем
(w'snSn_i ... Sz+i) (0 = (Ш75П5П_1 ... Si+2) (0 = • • • = (Vs^-i) (0 =

216 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
= (u/'sn)(0 = (И/)© < Л + 1 = И/'(п + 1) = (W'sn)(n) =
= (w'SnSn-^tn - 1) = ... = (w'snSn-l • • • Sl+i)(l + 1).
Поэтому по лемме 4.7 (4) получаем
n5n-l • • •Sl+lSl)»
Отсюда по индукции следует, что если s^... Sir — произвольное
приведенное выражение для перестановки w/ е 6„, то s^... SirsnSn-i... 5fc
является приведенным выражением для перестановки ш.
Следовательно, по определению элементов Tw и Гц/ имеем
Tw = Ti1>" \ТпТп-1 ...Тк = Tw'TnTn-\... Тк,
т. е. формула (4.23) доказана.
Так как элементы Tw, где w е 6n+i, порождают Яп+1 как R-модуль, из
формулы (4.23) следует, что элементы {1, Тп, TnTn-i,..., ТпТп-\... T2Ti}
порождают Яп+1 как левый Яп-модуль. Их линейная независимость
над Нп вытекает из линейной независимости элементов Tw, w е 6n+i,
надЯ. П
Предложение 4.22. Для любого л > 2 имеется изоморфизм R-мо-
дулей
if: Нп е (Яп ®Нп_г Нп) -> Яп+1,
который для любого aGHnu любого конечного семейства {bi, C(}i с Нп
задается формулой
i i
Доказательство. Так как алгебра Нп-\ порождена элементами
Гь ..., Тп-2 и Т{Гп = TnTi при i < л — 2, получаем, что
^ (Ьй ® с) = Ь/гГпс = bTnhc = ip(b® he)
для всех h е Яп_! и b,c e Нп. Это показывает, что отображение </?
определено корректно. Ясно, что ц> является гомоморфизмом левых
Нп -модулей.
По предложению 4.21 алгебра Нп есть свободный левый Нп-\
-модуль с базисом
{1, Tn-i, Tn-iTn-2,..., Tn-iTn-2 ... Г2Г1}.
Поэтому Нп е (Яп ®нп_! Нп) является свободным левым Яп-модулем
с базисом
{1}и{1®1,1®Гп_ь1вГп_1Гп-2,...,1вГп-1Гп_2...Г2Г1}.

§4.2. Алгебры Ивахори — Гекке
217
Гомоморфизм ф отображает этот базис в множество
{1}и{Гп > TnTn-i, TnTn-iTn-2,..., TnTn-iTn-2 ...
которое по предложению 4.21 является базисом левого Нп-модуля Hn+i.
Отсюда следует, что <р — изоморфизм. П
Упражнение 4.2.1. Покажите, что сопоставление Tt —> — qTr1, i =
= 1,..., п — 1 определяет автоморфизм алгебры Нп.
Упражнение 4.2.2. Докажите, что любой гомоморфизм алгебр
Нп —> R отображает все 7*, i = 1,..., п — 1, в один и тот же корень
полинома X2 — zX — q.
Упражнение 4.2.3 (алгебра Гекке, ассоциированная с GLn(Cq)).
Пусть Cq — конечное поле мощности q, и пусть G = GLn(Cq).
Обозначим через C(G) комплексное векторное пространство всех функций
из G в С. Для любого элемента g e G определим функцию
5gGC(G),
равную нулю всюду, кроме элемента g, на котором ее значение
равно 1. Для любых функций /, f e C(G) обозначим через / * f e C(G)
функцию, заданную формулой
(/*/')(*) = £/(/O/'Ch-1*)
/1GG
для всех g e G. Для / G C(G) положим
gGG
а) Покажите, что {5g}geG является базисом пространства C(G),
операция * ассоциативна и e(J */7) = e{j)e(f) для всех /, /7 G C(G).
б) Пусть Б с G — подгруппа верхнетреугольных матриц.
Определим C{B\G/B) как подпространство пространства C(G), состоящее
из всех функций /, для которых f(bg) = /(gb) = /(g) для всех g e
€G,b GB. Покажите, что подпространство C(B\G/B) замкнуто
относительно операции * и что функция
является единицей (относительно операции *).
в) Для любой перестановки w E 6П рассмотрим множество БшБ
всех элементов группы G вида ЬшЬ7, где Ь, Ъ' G Б и перестановка w

218 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
отождествлена с соответствующей перестановочной матрицей.
Определим 5W как такую функцию на G, которая равна 1/ card(B) на BwB
и 0 вне BwB, Покажите, что {5w}w(=&n является базисом пространства
C(B\G/£). Указание: используйте разложение Брюа
G= [J BwB.
шее„
г) Докажите, что для всех ш, и/ е бп и g € G имеет место равенство
(5Ш * 5w>){g) = ^щ2 сагс!(БшБ ПgB(wTlB).
д) Вычислите card (BstB) для каждой простой транспозиции Si Е 6П.
Покажите, что функция 5S. * 5Si равна нулю вне В U BsiB и
(5s.*5s.)(g) = q5o
для любого g е Б. С помощью гомоморфизма £: C(B\G/B) —> С
выведите отсюда, что
55l*5Si = (q-l)5Si+q50.
е) Докажите, что для всех простых транспозиций st и
перестановок w е 6„, для которых Afow) > А(ш), имеет место равенство
ж) Сделайте вывод, что алгебра C(B\G/£) изоморфна алгебре
Ивахори — Гекке H^iq).
§4.3. Следы Окняну
Как в предыдущем параграфе, мы зафиксируем коммутативное
кольцо R вместе с двумя его элементами q,z GR. Мы будем теперь
предполагать, что оба элемента q и z обратимы в R. Цель этого
параграфа — построить для всех п > 1 некоторый след тп: Нп —> R на
алгебре Ивахори — Гекке Нп = H^{q,z). В следующем параграфе этот
след будет служить средством для построения полиномиального
инварианта от двух переменных для зацеплений.
Мы будем действовать индукцией по п. Для п = 1 мы определим
Ti: Hi = R —> R как тождественное отображение. Для п = 2 мы
определим след т2: Н2 —> R на базисе {1,7\} формулами
т2(1) = ~ и t2(7i) = 1. (4.24)

§ 4.3. Следы Окняну
219
Предположим, что след тп: Нп —> R определен для некоторого п > 2.
Далее мы определим след тп+1: Яп+1 -^Яс помощью изоморфизма
(/?: Нп е (Нп ®нп_! Нп) —> Hn+i из предложения 4.22. Положим
T„+i(y(a)) = -j^Tn(a)
и
Tn+i (</> (Ь ® с)) = т„ (be)
для всех а,Ь,сеНп. Индукция по п показывает, что след тп: Нп —> R
линеен над R, т. е. тп(га) = гтп(а) для всех г е R,a e Нп. Линейная
форма тп называется следом Окняну на алгебре Ивахори — Гекке Нп.
Предложение 4.23. Для всех п > 1 и всех a,bGHn имеют место
равенства
1) тп(аЪ) = тп(Ъа),
2) тп+1(Тпа) = тп+1 {Т~1а) = т„(а).
Доказательство. 1. Равенство тп (ab) = тп (Ьа) мы докажем
индукцией по п. Для п = 1 и п = 2 оно верно потому, что алгебры Hi и Н2
коммутативны. Предположим теперь, что это равенство верно для т„,
и докажем его для t„+i. Так как алгебра Hn+i порождена элементами
Гь..., Тп и </? — изоморфизм, достаточно показать, что
tn+l(C0Ti) = Tn+1(TiCO)
для всех элементов со из образа изоморфизма <р и всех i = 1,..., п.
1а. Если со = </? (а) для некоторого а € Яп, то по определению следа
тп+1 имеем ( l-q
Tn+1(coTi) =
-тп(аТ{), если i < п,
если i = п,
-Tn(Tia), если i < п,
(тп(а), если i = п.
Равенство Tn+i(a>7f) = Tn+i(TiCo) следует отсюда по предположению
индукции.
16. Предположим теперь, что со = y?(a ® b) = аГпЬ для некоторых
a, b € Яп. Если i < п, то
Тп+1(б>75) = Tn+1(aTnbTi) = Tn(abTi) = тп(Т\аЪ) =
= Tn+1(TiaTnb) = Tn+1(TiCo),
где третье равенство верно по предположению индукции.

220 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
При i = п мы должны проверить равенство
тп+1 (аТпЪТп) = тп+1(ТпаТпЬ).
Рассмотрим четыре случая.
1бь Если а и Ъ принадлежат Hn_b то они коммутируют с Тп и
равенство очевидно.
162. Пусть а е Нп-\ и Ъ = b'Tn-ib", где Ь' Ъ" е Яп_!. Заметим, что а,
Ь' и Ь" коммутируют с Гп. Имеем
тп+1(аГпЬГп) = тп+1(аГпЬ/Гп_1Ь//ГГ1) = т^аСа^^Г^^Ь77) =
= Тп^аЪХ-гТпТп-гЪ") = т^аЬ'Г^Ь") =
= zTniabX^b") +Ччп{аЪ'Ъ") = zTn{ab) +q^Trl_1(ab/b//).
С другой стороны,
Тп+^ГяаГяЬ) = тп+1 (Tn2ab) = 2Tn+i (ГпаЬ) + qTn+i(ab) =
= zTn{ab) + q^T^ab'T^b") = *тп(аЬ) + q^T^ab'b"),
и мы получили то же самое выражение.
163. Аналогично рассматривается случай b 6 H„_i и a = a'Tn-\a",
гдеа',а"еНп-1.
164. Предположим, что a = а!Тп-\а" и b = b'Tn-ib", где а' а", Ъ', Ъ" б
ен„_1. Тогда
тп+1(аТпЬГп) = Tn+iCaTnb'rn^b'Tn) = T^abXT^Tnb") =
= Тп+^аЬ'Гп-^пГп-хЬ") = Tn(abX-ib") =
= 2Tn(ab/r„_ib") + qTn (ab'b") =
= zTn(ab)+qxn(a'Tn-1a"b'b") = zTn(ab) + qxn-1(a'a"b'b").
С другой стороны,
Тп+ЛТпаТпЪ) = Tn+1(Tna'Tn-ia"Tnb) = тп+1(а!ТпТПг.1Тпа"Ъ) =
= тп+1(а%-1ТпТп-.1а"Ь) = т^а'Г^а"^ =
= zTn(a'Tn-1a"b) + qzn{a'a"b) =
= 2T„ (ab) +qTn(aV/b/Tn_ib//) = ZT„(ab) + qT„_i(a'a"b/b"),
и требуемое равенство доказано.
2. По определению следа t„+i имеем
Tn+i(Tna) = Tn+i((/?(l ® a)) = тп(а)

§ 4.4. Полином Джонса — Конвея
221
для всех а е Нп. Так как Tnl = q 1Tn — q 1zl, мы получаем
Vn+i(Tn1a)=q~1Tn+1(Tna)-q~1ZTn+1(a) =
= q~lTn{a) ^q~lzTn{a) = тп(а). П
Упражнение 4.3.1. Покажите, что значения следа т3: Н3 —> R на
базисе {1,Ti,T2,TiT2,T2Ti, TiT2Ti} алгебры Я3 равны
Т3(1) = ^^!, Тз(Г!)=Тз(Г2) = Ц^,
Тз(ТгТ2) = т3(Т2Тг) = 1, ЫТгЬТг) = z + S^ZSlm
§4.4. Полином Джонса — Конвея
В этом параграфе мы используем изложенную выше теорию
алгебр Ивахори — Гекке для построения полиномиального инварианта
от двух переменных для ориентированных зацеплений в R3.
Напомним, что в п. 2.5.2 было определено понятие марковской функции
на группах кос. Далее мы построим в явном виде одну марковскую
функцию. Пусть R — коммутативное кольцо, в котором выделены два
обратимых элемента q, z. Пусть Нп = H^(q, z) — соответствующая
алгебра Ивахори — Гекке, л > 1, и пусть Щ —группа обратимых
элементов алгебры Яп. Рассмотрим гомоморфизм групп соп: Вп —> Н*,
отображающий ст* в Т{ для i = 1,..., л — 1. Композиция
гомоморфизма соп с построенным в § 4.3 следом Окняну тп: Нп —> R дает
отображение тп о соп: Вп —> R. Из предложения 4.23 немедленно вытекает
следующее предложение.
Предложение 4.24. Семейство {т
п ° ып: Вп —> R}n>i является
марковской функцией.
Далее докажем основную теорему этого параграфа. В ее
формулировке используется понятие тройки Конвея зацеплений из п. 3.4.2.
Теорема 4.25. Для любого ориентированного зацепления L с R3
и любой косы /3 € Вп, замыкание которой изотопно зацеплению L,
элемент , ч , ГГЛ^
IL(q,z) = Tn(con(l3))eR
зависит только от изотопического класса зацепления L. Для
тривиального узла О этот элемент равен
Io(q,z) = l-

222 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
Для любой тройки Конвея (L+,L-,L0) ориентированных зацеплений
в R3 имеет место равенство
К (<?, z) - qIL_ (q, z) = zILq (q, z).
Доказательство. Первое утверждение следует из теории
марковских функций из п. 2.5.2 и предложения 4.24. Тривиальный узел О
можно реализовать как замыкание тривиальной косы 1 е В\ = {1},
П°ЭТОМУ Jo(q,«)=T1(0,1(l))=T1(l) = l.
Проверим, что элемент A=IL+ (q,z)—qIL_ (q,z)—zILq (q, z) равен нулю
для любой тройки Конвея ориентированных зацеплений (L+, L_, L0).
Как было замечено в п. 3.4.2, такую тройку можно произотопировать
в тройку Конвея (L+, l/_, Lq), где
L'+ = ааф, Lf_ = 'аагГр, Lf0 = af5
для некоторых а^ЕВпиККп-1. Используя соотношение (4.18),
получаем
А = 4n(o)n(aGif5))-q4n(ojn(aa-lf5))~z4n(u>n(af5)) =
= Tn(con(a)Ticon(l3))-qTn(con(a)Tr1con(l3))-zTn^
= TntcOntam-qTr1 -zl)con(l3)) = 0. □
Следствие 4.26. Существует такой изотопический инвариант
L*-+Pl (х, у) ориентированных зацеплений в R3 со значениями в кольце
Z[x, х-1, у, у-1], что его значение на тривиальном узле О равно 1
и для любой тройки Конвея ориентированных зацеплений (L+, L_, L0)
имеет место равенство
xPL+ (х, у) - x~lPL_ (х, у) = yPLo (х, у)
(скейн-соотношение). Такой инвариант зацеплений L •-> Pi{x, у)
единствен.
Доказательство. Пусть R = Z[x, х-1, у, у-1] — кольцо лорановых
полиномов от двух переменных х, у с целочисленными
коэффициентами. Положим Pl(x, у) = /L(q, z) е. R, где IL(q, z) — инвариант
зацеплений, который дает теорема 4.25 для q = х-2 и z = х-1 у. Ясно, что
Ро(.х> У) — 1о(.Ч> z) = 1. Если (L+, L_, L0) —тройка Конвея, то по
теореме 4.25 имеем
xPL+ (*, у) - x~lPL_ (х, у) - yPLo (х, у) =
= x(PL+ (х, у) -x~2PL_ (x, у) -x-Vl0 (х, у)) =

§4.5. Полупростые алгебры и модули
223
= x(lL+ (q, z) - qIL_(q, z) - zILq(q, z)) = 0.
Единственность полинома Pi{x, у) доказывается точно так же, как
единственность полинома Александера — Конвея в теореме 3.13. □
Мы назовем Рь(х,у) полиномом Джонса—Конвея зацепления L.
В литературе его также называют полиномом HOMFLY, полиномом
HOMFLY-PT и полиномом Джонса от двух переменных.
Заметим, что полином Джонса — Конвея PL (x, у) является
обобщением полинома Александера — Конвея V(L), который был определен
в п. 3.4.2. А именно, V(L) = PL(1, s_1 —5). Это непосредственно следует
из единственности в теореме 3.13.
Положив х = t~l и у = t1/2 — Г"1//2 в Pl(x, у), мы получим полином
Джонса от одной переменной
VL(t) = ft (Г1, t1/2 - Г1'2) е Z[t1/2, Г1/2],
удовлетворяющий скейн-соотношению
r4+(t) -tvL_{t) = {tll2-rll2)vLoit).
Упражнение 4.4.1. Определим зеркальный образ L
ориентированного зацепления L в R3 как образ зацепления L при отражении
относительно некоторой плоскости в R3. Докажите, что
Pz{x,y)=PL{x-\-y)
Упражнение 4.4.2. Вычислите полином PL для узлов и
зацеплений, изображенных на рис. 2.1, если их снабдить всеми возможными
ориентациями.
§4.5. Полупростые алгебры и модули
Этот параграф представляет собой краткое изложение теории
конечномерных полупростых алгебр над полем. Зафиксируем
некоторое поле К. Под алгеброй мы понимаем ассоциативную К-алгебру
с единицей 1^0. Алгебра конечномерна, если она конечномерна как
векторное пространство над К.
4.5.1. Полупростые модули
Пусть А — алгебра. Под А-модулем мы понимаем левый А-модуль,
т. е. К-векторное пространство М вместе с таким К-билинейным
отображением АхМ —> М, (а, т) —> am, что афт) = (аЬ)гп и1т = т для

224 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
всех а,Ъ е А и т е М. Отображение а —> (гп —> агп) (а е Л, теМ)
определяет гомоморфизм алгебр Л —> Endx(M) со значениями в
алгебре К-линейных эндоморфизмов А-модуля М. Обратно, любой
гомоморфизм алгебр #: А —> EndK(M) определяет структуру А-модуля
на М по формуле am = #(a)(m) Для a £ А и гл е М.
Под конечномерным А-модулем мы понимаем А-модуль, который
конечномерен как векторное пространство над К,
Гомоморфизмом А-модулей f:M-^M/ называется такое
JC-линейное отображение, что f(arri) = af(m) для всех а е А и m e M. Через
Нотд(М, М') мы обозначаем векторное пространство всех
гомоморфизмов А-модулей М-^>М'. Мы также полагаем EncU (М)=Нотд (М,М).
Если М' — такое линейное подпространство А-модуля М, что
am' G М' для всех a e А и гл' е М', то мы говорим, что М' является
А-подмодулем или, короче, подмодулем А-модуля М. В этом случае
вложение М' ^-> М является гомоморфизмом А-модулей.
Определение 4.27. 1. Говорят, что А -модуль М простой, если
он не имеет никаких других А-под модул ей, кроме ОиМ.
2. Говорят, что А-модуль полупростой, если он изоморфен прямой
сумме конечного числа простых А-модулей.
3. Говорят, что А-модуль М вполне приводимый, если для любого
А-подмодуля М' модуля М существует такой А-подмодуль М", что
М = М'®М".
Заметим, что всякий простой А-модуль полупрост и что если
А-модуль М вполне приводим, то любая короткая точная
последовательность А-модулей 0 —> М' —> М —> М" —> 0 расщепляется, т. е. М=М' Ф М".
Предложение 4.28. Пусть М — конечномерный А-модуль,
Следующие утверждения эквивалентны:
1) модуль М полупрост;
2) модуль М вполне приводим;
3) модуль М разлагается в сумму М = ^ieIMi простых
подмодулей Mi.
Доказательство. Сначала докажем импликацию 2) => 3).
Предположим, что модуль М не равен нулю и вполне приводим. Так как он
конечномерен над К, он должен иметь ненулевые подмодули
минимальной размерности как векторные пространства над К; такие подмодули
обязательно простые. Обозначим через М' сумму всех простых
подмодулей модуля М. Это ненулевой подмодуль модуля М. Если М' = М, то

§4.5. Полупростые алгебры и модули
225
все доказано. Если это не так, то, поскольку модуль М вполне приводим,
существует такой ненулевой подмодуль М" с М, что М = М' Ф М".
Модуль М" должен иметь ненулевой подмодуль минимальной
размерности. Это простой подмодуль модуля М, не содержащийся в М', что
противоречит определению подмодуля М'. Следовательно, М' = М.
Далее докажем импликацию 3) => 2). Предположим, что М =
= ^ieIMi — сумма простых подмодулей М;. Пусть V с I —
максимальное подмножество, для которого М{ Ф О для всех i Gl' и сумма Xiier ^
прямая. Такое подмножество V существует, и оно конечное, потому
что модуль М конечномерный. Обозначим М' — ^ш' М{. Мы
утверждаем, что М' = М, откуда следует, что М — прямая сумма конечного
числа простых подмодулей. Чтобы доказать это утверждение,
достаточно проверить, что Мк с М' для каждого k<El\I'. Ясно, что Мк ПМ'
является подмодулем модуля Мк. Так как М^ — простой модуль,
получаем, что либо MkC\M' = 0, либо MkC\M'=Mk. Если МкГ\М' = 0, то сум-
ма Siej'uik} M{ пРямая? что противоречит максимальности
подмножества V. Следовательно, МкГ\М' — Мк, откуда следует, что Мк с М7.
Наконец, докажем импликацию 1) => 2). Предположим, что М =
— (BieiMi — прямая сумма простых подмодулей и индексирующее
множество / конечное. Пусть М' — подмодуль модуля М. Рассмотрим
максимальное подмножество V с /, для которого сумма М' + ][]1(Е// М{
прямая. Рассуждения, аналогичные тем, что были в предыдущем
абзаце, показывают, что М' + ][]1(Е// М{ — М. Положим М" — ^ieIf M{. Тогда
М' $ М" = М. Это значит, что модуль М вполне приводим. □
Предложение 4.29. Пусть М — конечномерный полупростой А-мо-
дулъ. Любой А-подмодулъ модуля М полупрост, и любой фактормодуль
модуля М полупрост.
Доказательство. Пусть М0 — подмодуль модуля М. Обозначим
через Mq сумму всех простых подмодулей модуля М0. Так как по
предложению 4.28 модуль М вполне приводимый, получаем, что М=М'0 ФМ",
где М" — некоторый подмодуль модуля М. Отсюда и из того, что
Mq с М0, следует, что М0 = Mq Ф (М0 П М"). Если М0 П М" ф 0, то этот
модуль содержит некоторый ненулевой простой подмодуль, который
в свою очередь содержится в Mq, что невозможно. Следовательно,
М0 П М" = 0, и М0 = Mq есть сумма простых подмодулей. В силу
предложения 4.28 модуль М0 полупрост.
Докажем, что фактормодуль модуля М по подмодулю М'
полупростой. По предложению 4.28 существует такой подмодуль М" с М, что

226 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
М = М' еМ;/. В предыдущем абзаце было доказано, что модуль М"
полупростой, следовательно, М/М' = М" тоже полупростой модуль. П
Напомним, что кольцом с делением называется кольцо, в
котором каждый ненулевой элемент обратим. Левый модуль над кольцом
с делением D называется левым D-векторным пространством. Любое
левое D-векторное пространство V имеет базис, и любые два базиса
пространства V имеют одинаковую мощность, поэтому имеет смысл
понятие размерности dimD V пространства V (эти результаты можно
доказать точно так же, как соответствующие результаты для
векторных пространств над полем).
Следующее предложение называется леммой Шура.
Предложение 4.30. 1. Пусть М и М' — простые А-модули. Если
М иМ' не изоморфны как А-модули, то Нотд(М, М') = 0.
2. Кольцо Епс1д(М) эндоморфизмов любого ненулевого простого
А-модуля М является кольцом с делением.
3. Если основное поле К алгебраически замкнуто и М — ненулевой
конечномерный простой А-модуль, то А\тк EncU(M) = 1.
Доказательство. 1. Пусть / е Ноли (М, М'). Ядро Кег /
гомоморфизма / является подмодулем модуля М. Так как модуль М простой,
получаем, что либо Кег/ = М, либо Кег/ = 0. В первом случае / = 0.
Во втором случае гомоморфизм / инъективен. Его образ /(М)
является подмодулем модуля М'. Ввиду простоты последнего модуля либо
/(М) = 0, либо /(М) = М'. Если /(М) = 0, то / = 0. Если /(М) = М',
то / есть изоморфизм М —> М7, что противоречит условию. Итак, / = 0.
2. В доказательстве п. 1 показано, что каждый ненулевой
эндоморфизм / е EncU(M) есть биекция. Легко проверить, что обратное
к / отображение /_1 является гомоморфизмом А-модулей.
Следовательно, элемент / е EncU(M) обратим.
3. Для любого скаляра X s К эндоморфизм т •-> Ягп
принадлежит EncU(M). Обратно, пусть / е EncU(M). Так как поле К
алгебраически замкнуто и М — конечномерное К-векторное пространство,
эндоморфизм / имеет ненулевое собственное подпространство для
некоторого собственного значения XsK. Собственное пространство
Кег(/ — Aidjvr), будучи ненулевым подмодулем простого модуля М,
должно совпадать со всем модулем М. Следовательно, / = Я idjvf. Это
значит, что EncU(M) = К. D
Следствие 4.31. Если поле К алгебраически замкнуто иМ,М' —
изоморфные ненулевые простые А-модули, то dim^ Нотд(М, М') = 1.

§4.5. Полупростые алгебры и модули
227
Пусть А— множество классов изоморфизма всех ненулевых
конечномерных простых А-модулей. Для каждого Я е А зафиксируем
некоторый простой А-модуль Уя в классе изоморфизма Я. Для любого
целого числа d > 1 обозначим через v£ прямую сумму d экземпляров
модуля Уя- Примем соглашение, что v£ = 0 при d = 0. Следующее
предложение, известное как теорема Крулля—Шмидта, утверждает, что
разложение любого полупростого модуля в прямую сумму простых
модулей единственно.
Предложение 4.32. Если для некоторых семейств {й(Я)}яел и
{е(Я)}яел неотрицательных целых чисел имеется изоморфизм А-мо-
дулей е<(А)=е^,
то d(X) = е(Я) для всех ЯеЛ.
Доказательство. Возьмем какое-нибудь Я0 £ А и положим D =
= Епс1д(Уяо)- Используя предложение 4.30 (1), получаем
HomA(© У?(А), VAo) = П НотА(УЛй(Л), УЛо) = Ц Но1Па(Ул, Уд,)"™ й
ЯеЛ ЯеЛ ЯеЛ
Аналогично
НотА(0УЛе(А),Уло) = ^о).
ЯеЛ
Из условия следует, что Dd^) ^ /)е(я0) ц0 предложению 4.30 (2)
кольцо D является кольцом с делением. Вычисляя размерности над D, по-
ЛуЧаеМ d (Я0) = dimD Dd(Ao) = dimD De(Ao) = e (Я0). □
4.5.2. Простые алгебры
Определение 4.33. Алгебра А называется простой, если она
конечномерна и не имеет других двусторонних идеалов, кроме 0 и себя
самой.
Приведем типичный пример простой алгебры.
Предложение 4.34. Пусть V— конечномерное левое векторное
пространство над кольцом с делением D. Тогда алгебра EndpfV) простая.
Доказательство. Возьмем какой-нибудь базис {vi,... ,vd}
пространства V. Имеем V = Dv\ е ... Ф Dvd. Для i, j e {1,..., d} определим
fij gA = Encb (V) по формуле fij (i^) = 5jjkVi для всех к = 1,..., d (здесь

228 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Sj^ обозначает символ Кронекера, равный 1 при j = к и 0 в остальных
случаях). Легко проверить, что {fij}ije{i,...,d} является базисом
кольца А, рассматриваемого как векторное пространство над D, и что
fij ° fk,i = 5j,kh Для всех i, j, к, I
Пусть I — ненулевой двусторонний идеал в Л, и пусть / е I —
ненулевой элемент. Разложим / по базису: / = ]£]. . atjfij, где aij е D
для всех i, j е {1,..., d}. Предположим, что a^i ф 0 для некоторых к, I e
G{l,...,d}.Тогда
d
/fc,fc ° / ° fi,i = 2_j aufk,k ° fu ° fi,i = ctk,ifk,i
U=i
принадлежит идеалу J. Отсюда следует, что f^i £ /. Из соотношения
fu = fi,k о fk,i о/z,j следует, что fu el для всех i, j е {1,...,d).
Следовательно, I = A. D
Следующее предложение обратно к предыдущему. Это вариант
теоремы Веддербёрна.
Предложение 4.35. Для любой простой алгебры А существуют
такое кольцо с делением D и такое конечномерное D-векторное
пространство V, что А = EndpfV).
Доказательство. Возьмем в алгебре А какой-нибудь левый идеал
V с А минимальной положительной размерности над К (возможно,
V=A). Этот идеал является Л-модулем и, ввиду условия минимальности,
простым модулем. Из предложения 4.30 (2) следует, что D = EncUfV)
есть кольцо с делением. Осталось применить следующую лемму (в
которой нужно положить I = V). □
Лемма 4.36. Пусть А — алгебра, не имеющая никаких других
двусторонних идеалов, кроме 0 и самой себя. Для любого ненулевого
левого идеала I с А существует изоморфизм алгебр A = EndD(I), где
D=EncU СО и рассматривается как левый D-модуль, в котором
структура модуля, т. е. действие D на I, определена по формуле (/, х) «->/(*)
для всех f e D и xsl.
В этой лемме мы не накладываем никаких условий на
размерность алгебры А, которая может быть конечной или бесконечной.
Доказательство. Для любого элемента as А определим La
(соответственно Ra) как левое (соответственно правое) умножение на a
в А. По определению
La(b)=ab и Ra(b)=ba (4.25)

§4.5. Полупростые алгебры и модули
229
для всех Ъ € А. Имеем равенства
LaoLb=Lab и RaoRb=Rba (4.26)
для всех а,Ъ е А Так как I—левый идеал алгебры А, получаем, что
La(J) с I для всех a e А, откуда следует, что La e End*; СО- А так как
LaC/M) = a/M = /(ax) = /(La(x))
для всех / е D и х е J, эндоморфизм La принадлежит Endp(J).
Определим теперь отображение L: А —> End£>(J), сопоставляющее
каждому элементу аеЛ эндоморфизм La еEndp(J). Так как LaoLb=Lab
для всех a, b e А и La = id/, отображение L является гомоморфизмом
алгебр. Покажем, что L — изоморфизм. Его ядро является
двусторонним идеалом алгебры А. Так как L ф О, из условий леммы следует, что
это ядро должно равняться нулю, т. е. гомоморфизм L инъективен.
Доказательство сюръективности гомоморфизма L немного
сложнее. Еслихе/, toR^CO с/. Мы утверждаем, что Rx<ED = EndAQ).
Действительно, „ , . Г Л Г Л т, Г Л
aRx(y) = а (ух) = {ау)х = Rx(ay)
для всех a е А и х, у е. I. Если и е EndD(I), то
и (ух) = и(Кх(у)) = Кхи(у) = и[у)х
для всех х, у е J. В частности, для любых аеАих, уе/ имеем
u(yax) = i/(y(ax)) = иООа*-
Иными словами, для всех а е Л и у е J имеет место равенство
i/oLya=Lu(y)a. (4.27)
Далее, IA является ненулевым двусторонним идеалом алгебры А. По
условию леммы IA = А. Тогда из равенства (4.27) следует, что и о Lb £
е L(A) с EndpCO для всех u e End/)(J) иЬеА Это показывает, что
образ гомоморфизма L является левым идеалом в Endp(J). А так как
id/ = Li принадлежит этому образу, он равен всей алгебре Endp(J), т. е.
гомоморфизм L сюръективен. D
4.5.3. Модули над простой алгеброй
Здесь мы докажем, что каждая простая алгебра имеет
единственный (с точностью до изоморфизма) ненулевой простой модуль.
Предложение 4.37. Пусть А — простая алгебра. Каждый ее
ненулевой левый идеал I минимальной размерности является простым
А-модулем, и каждый ненулевой простой А-модуль изоморфен модулю I.

230 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
Доказательство. Пусть I — ненулевой левый идеал в Л
минимальной размерности. Каждый Л-подмодуль V в I является левым идеалом
алгебры А. В силу предположения о минимальности идеала I должно
выполняться либо условие V — 0, либо условие V — I. Следовательно,
I — простой Л-модуль; он конечномерен, так как алгебра А
конечномерна.
Пусть М — произвольный ненулевой простой Л-модуль. Положим
/0 = {о. ЕЛ: am = 0 для всех тп €М}.
Легко проверить, что /0 является двусторонним идеалом алгебры А
и /0 Ф А, так как 1 е А не аннулирует модуль М. А так как алгебра А
простая, получаем, что /0 = 0. Далее, IM ф 0; в противном случае мы бы
имели I с /0 = 0. Следовательно, существует такой элемент гл е М, что
1тп ф 0. Рассмотрим гомоморфизм Л-модулей / —> М, х •-> хт. Этот
гомоморфизм не равен нулю и отображает один простой Л-модуль
в другой простой Л-модуль. По предложению 4.30 (1) этот
гомоморфизм / —> М является изоморфизмом. D
Следствие 4.38. Каждая простая алгебра имеет некоторый
ненулевой простой модуль. Он конечномерен и единствен с точностью до
изоморфизма.
Доказательство. Каждая конечномерная алгебра имеет
некоторый ненулевой левый идеал минимальной размерности. Поэтому оба
утверждения этого следствия непосредственно вытекают из
предложения 4.37. □
Предложение 4.39. Каждый конечномерный модуль над простой
алгеброй полупрост.
Доказательство. Пусть Л — простая алгебра. Рассмотрим Л как
левый модуль над самой собой. Сначала докажем, что этот Л-модуль
полупрост.
Согласно предложению 4.35 мы можем считать, что Л = EndpfV)
для некоторого кольца с делением D и некоторого конечномерного
D-векторного пространства V. Выберем какой-нибудь базис {v\, ...,vd}
в пространстве V над D. Определим отображение Л = EndpfV) —> VD,
Это гомоморфизм Л-модулей. Ясно, что он инъективен. А так как
dimp Л = d2 = dini£) Vd, он является изоморфизмом. Чтобы доказать,
что Л-модуль Л = Vd есть конечная прямая сумма простых Л-модулей,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
231
достаточно проверить, что V — простой Л-модуль. Допустим, что
существует ненулевой Л-подмодуль V с V. Возьмем какой-нибудь
ненулевой вектор v' е V. Для каждого i = 1,..., d мы можем построить
такой элемент fi e A = EndD(V), что fi(y') = V[. Отсюда следует, что
Av/ = V и потому V = V.
Теперь рассмотрим произвольный конечномерный Л-модуль М.
Так как он имеет конечное число образующих над А, он является фак-
тормодулем свободного Л-модуля Аг конечного ранга г (т. е. прямой
суммой г экземпляров Л). Выше мы доказали, что Л-модуль Л
полупрост. Следовательно, Л-модуль Лг также полупрост. Полупростота
модуля М следует из предложения 4.29. D
Далее мы докажем важное следствие из этих предложений. Пусть
М — простой модуль над простой алгеброй Л. Согласно следствию 4.38
модуль М конечномерен. Из предложения 4.30 (2) мы знаем, что
D = End^(M) — кольцо с делением. Так как модуль М конечномерный,
кольцо D также конечномерно. Размерности алгебры Л, модуля М
и кольца D над основным полем К связаны между собой следующим
образом.
Следствие 4.40. В принятых выше обозначениях А = Endp(M) и
А. . (dimKM)2
dim^= * J .
dimK D
Доказательство. Кольцо с делением D = End^ (М) действует на М,
превращая М в левое D-векторное пространство конечной
размерности над К с D. Это векторное пространство имеет конечный базис
над D мощности, скажем, d. Из леммы 4.36 и предложения 4.37
следует, что Л = Endp(M), а последний модуль изоморфен матричной
алгебре Md(D). Следовательно,
dim*: Л = &\тк Md (D) = dinip Md (D) dim^ D = d2 dim^ D.
Остается заметить, что dim^ M = dimp M dim^ D = d dim^ D. □
4.5.4. Радикал конечномерной алгебры
Пусть Л — конечномерная алгебра над К. Выбрав в Л
какой-нибудь базис, мы можем отождествить End^CA) с матричной алгеброй
Мп{К), где п = dimKA. След матриц индуцирует линейную форму
Tr: EndK(A) —> К. Легко проверяется, что форма Тг не зависит от
выбранного базиса.

232 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
С помощью изоморфизмов Ra e Епс1к(Л), а еЛ, определенных
формулой (4.25), мы определим билинейную форму ( , ): Л х Л —> К по
Ф0РМУЛ6 <a,b)=Tr(Rab) (4.28)
для всех a,b е А. Билинейная форма ( , ) называется формой следа
алгебры Л.
Лемма 4.41. Для любых а,Ь,с<ЕА имеют место равенства
(а, Ь) = (Ь, а) и (ab, с) = (a, be) = (b, ca).
Доказательство. Равенство (ab, с) = (a, be) следует из формулы
Щаъу = Ra(bc)- Доказательство равенства (a,b) = (b,a) основывается
на хорошо известном свойстве следа, а именно Тг(/ о g) = Tr(g о /)
для всех /, g e End*; (Л). Имеем
(а,Ъ) = Tr(Rb oRa) = Tr(Ra oRb) = (b,a).
Наконец, используя доказанные равенства, получаем
(a, be) = (be, a) = (b, ca). D
Ядро J (Л) формы следа, т. е. векторное пространство
7(Л) = {а е Л: (а, Ь) = О для всех Ъ е Л},
называется радикалом алгебры Л.
Лемма 4.42. Радикал J (Л) является двусторонним идеалом
алгебры А.
Доказательство. Пусть а е Л и b e J (Л). Нам нужно проверить,
что ab, Ъа е J (Л), т. е. (ab, с) = 0 и (Ъа, с) = О для произвольного с е Л.
Применяя лемму 4.41, получаем
(ab, с) = (Ь, са)=0 и (Ъа, с) = (Ъ, ас) = 0. □
Пусть {Ля}я<ЕЛ — некоторое семейство алгебр над К с единицами
1я € Ля. Их произведением А = Y\xeA ^ называется алгебра, которая
как множество равна прямому произведению Пя<ел^я> а операции
сложения, умножения на скаляр и умножения задаются покоординатно:
Оа)а + (Ьа)а = (а* + Ъх)х, Шх)х = (Ья)я, Оа)а • №а)а = ОаЬа)а
для всех ая, Ья ^ Ля и fc G К, где Я е Л. Единицей алгебры Л служит
вектор (1я)я- Для каждого Я е Л имеется естественное вложение Ля ^-> Л,
отображающее элемент а е Ля в семейство [а^)^еЛ е. А, где а^ = а для

§4.5. Полупростые алгебры и модули
233
[л = Я и ам = 0 для 11 Ф Я. Мы будем отождествлять алгебру Ах с ее
образом в А. При этом отождествлении Ля является двусторонним
идеалом алгебры А и АаДи = 0 для Хф\х.
Если все алгебры {Аа}а<ел конечномерны и индексирующее
множество А конечное, то алгебра Па<ел ^а конечномерна и следующее
предложение позволяет вычислить ее радикал.
Предложение 4.43. Если А — произведение конечного семейства
{Ах}хел конечномерных алгебр, то
ХеЛ
Доказательство. При сделанных предположениях алгебру А
можно отождествить с прямой суммой 0Аел^А- Из определения
произведения в А следует, что каждое правое умножение Ra e Endx(A), где
a = (ая) а ^ Л есть прямая сумма правых умножений Ra;i по всем Я е Л.
Поэтому форма следа ( , ) алгебры А равна сумме форм следа ( , )а
алгебр {Ая}а<ел, т.е.
(ОаЗа, (Ьа)а> = ^(аА,&А>А
ХеЛ
для всех (qa)a, (&а)а е А. Отсюда следует, что Пхел j(ax^a) с J(A).
Докажем теперь обратное включение. Пусть (<2а)а ^ J {А) и Ьм € Лм
для некоторого деА Рассматривая Ьм как элемент алгебры Л
посредством естественного вложения Лм <-> Л, мы получаем
(ам,Ьм)м = ((ая)АА)=0.
Поскольку это равенство верно для всех Ьм е Лм, мы имеем ам е JfA^).
Следовательно, элемент (аа) а принадлежит Па<ел Д^а)- О
Напомним, что идеал I алгебры А называется нилъпотентным,
если существует такое N>1, что IN = О, т. е. если а\... а^ = 0 для всех
ai,...,ajv€/.
Предложение 4.44. Любой нильпотентный левый идеал
конечномерной алгебры А содержится в радикале J (А).
Доказательство. Пусть I—нильпотентный левый идеал алгебры А.
Чтобы доказать включение I с J(A), нужно проверить, что (a, b) = О
для всех а € / и Ь е Л. Положим с = ba si. Так как идеал I
нильпотентный, получаем, что cN = О для некоторого N > 1. Следовательно,
(RC)N = RC* —0- Иными словами, Rc есть нильпотентный эндоморфизм

234 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори — Гекке
алгебры Л. Поэтому его след равен нулю. По лемме 4.41 и формуле
(4.28) имеем
(a,b) = (b,a)=Tr(Rc) = 0. □
4.5.5. Полупростые алгебры
Определение 4.45. Алгебра А называется полупростой, если она
конечномерна и J (Л) = 0.
Эквивалентное определение: алгебра полупростая, если она
конечномерна и ее форма следа невырождена.
Предложение 4.46. Конечномерная алгебра А тогда и только
тогда полупроста, когда для некоторого базиса {а\,..., ап} этой алгебры
выполняется неравенство det((af, a,)^-^...^) Ф 0.
Доказательство. Невырожденность симметрической билинейной
формы ( , ) на конечномерном векторном пространстве с базисом
{а\,...,ап} эквивалентна тому, что детерминант det((al-,aj)ljj=ij...jrl)
отличен от нуля. D
Примеры 4.47. 1. Если G — конечная группа и характеристика
поля К не делит card G, то групповая алгебра K[G] полупростая (это
утверждение известно как теорема Машке). Действительно,
множество G является базисом алгебры K[G], и, как легко проверить, для
всехg,hsG имеет место равенство
/ M_JcardG' earagft = l,
(g' '"(О, eomgMl.
Отсюда можно вывести, что форма следа на групповой алгебре K[G]
невырождена.
2. Пусть А = Y\xeA ^я — произведение конечного семейства
алгебр. Ясно, что алгебра А конечномерна тогда и только тогда, когда
все алгебры Ля конечномерны. Отсюда и из предложения 4.43 следует,
что алгебра А полупроста тогда и только тогда, когда все алгебры Ля
полупросты.
3. Все простые алгебры над полем характеристики нуль
полупростые. Это следует из предложения 4.35 и упражнения 4.5.5 (см. п. 4.5.7).
Предостережение. Простая алгебра над полем К характеристики
р > 0 не обязательно полупроста. Например, алгебра МР{К)
квадратных матриц порядка р над полем К простая по предложению 4.34,
но ее форма следа равна нулю, следовательно, J{MP{K)) = МР(К)
(см. упражнение 4.5.5).

§4.5. Полупростые алгебры и модули
235
4.5.6. Теорема о структуре полупростых алгебр
Под подалгеброй алгебры А над полем К мы понимаем такое
ненулевое К-векторное пространство А! с А, что ah e А' для всех а,Ъ^А'
и существует элемент V е А', удовлетворяющий условию \'а = aV = a
для всех а е А'. Тогда 1'/0и ограничение умножения в Л на Л7
превращает А' в алгебру с единицей V. Ясно, что элемент V совпадает
с единицей 1 алгебры А тогда и только тогда, когда 1 е А'.
Лемма 4.48. Пусть А — алгебра и {Ая}а<ел — такое конечное
семейство подалгебр алгебры А, что А = (§)хел ^я и Ах Ар = О для любых
Хф\х. Тогда верны следующие утверждения.
1. Подалгебра Ах является двусторонним идеалом алгебры А для
любого Я € Л.
2. Для любого Я е Л определим элемент 1я £ Ах из разложения
АеЛ
Этот элемент 1х принадлежит центру алгебры А и является
единицей подалгебры Ах.
3. Отображение /: Па<ел ^я —> Л определенное формулой
/((ал)л) = Х!ая€Л'
А<еЛ
является изоморфизмом алгебр.
Доказательство. 1. Имеем
-АДи = ^-у Ах Ар = Ар Ар С Ад.
АеЛ
Аналогично доказывается включение ЛМЛ с Ам.
2. Если а € Л, то
^ а1я = а1 = а = 1а = ^ 1яа.
АеЛ АеЛ
Так как Ах —двусторонний идеал алгебры А, получаем, что alx, 1a<2 e
е Ая- В силу единственности разложений в прямой сумме alx — 1а<2-
Таким образом, 1х является центральным элементом алгебры А.
Так как АхАр = О для Я ф /х, для каждого элемента ам е Ар имеем
ар = 1ам = 2J Ua/i = Vv
А<ЕЛ

236 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
Аналогично ам = ам1м. Таким образом, 1м является единицей
подалгебры Лм.
3. Ясно, что отображение / биективно. Если а = (ал)л> Ь = (Ья)я ^
/(<0/(Ь) = Г J] аА) (J] &я) = £ аяЬя = /(аЬ).
Здесь второе равенство следует из условия АаДи = 0 для Хф \х. Тем
самым показано, что / — изоморфизм алгебр. □
Сейчас мы докажем основную теорему о структуре полупростых
алгебр.
Теорема 4.49. Для любой полупростпой алгебры А существует
такое конечное семейство простых подалгебр {Ая}а<ел алгебры А, что
А = 0я«ел ^я и АхА^ = О для любых Хф\х. Такое семейство подалгебр
единственно.
Доказательство. Будем действовать по индукции по
размерности алгебры А над полем К. Если dim^ A = 1, то алгебра А обязательно
простая.
Предположим, что dim^ A > 1 и что теорема верна для всех
полупростых алгебр размерности меньше dim^ А. Пусть I с А —
произвольный ненулевой двусторонний идеал минимальной размерности.
Ясно, что I не содержит никаких других ненулевых идеалов алгебры А.
Если I = А, то алгебра А простая и теорема доказана. Если I ф А, то
положим ,
Г = {аеЛ: (а, Ъ) = О для всех Ъ е. /},
где ( , ) — форма следа (4.28). Из леммы 4.41 следует, что I1 является
двусторонним идеалом алгебры А. Так как форма следа невырождена
и 0 ф I ф А, получаем, что 0 ф I1 ф А и
dirriK I + dirrix I1 = dim*; A.
Пересечение I П I1 представляет собой двусторонний идеал
алгебры А, содержащийся в I. Ввиду минимальности идеала I имеем
либо I Г\ I1 = I, либо I П I1 = 0. Равенство I Г\ I1 = I эквивалентно
включению I cl1, что эквивалентно тривиальности формы следа на I.
Мы утверждаем, что это невозможно. Действительно, так как идеал I
минимален, двусторонний идеал I2 cl равен либо 0, либо I. Из
равенства I2 = 0 следует, что алгебра А содержит ненулевой нильпотентный
левый идеал, что невозможно по предложению 4.44. Значит, I2 = J,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
237
поэтому любой элемент z <El представляется в виде z = ^t xiyi, где
*i, У( GI- Если форма следа тривиальна на J, то
(l,z)=^(l9xiyi)=Yi(xi,yi) = 0.
i i
Следовательно, 1 е J1, и двусторонний идеал I1 равен всей
алгебре Л — противоречие.
Таким образом, мы доказали, что I П I1 = 0. А так как dim*: I +
+ dim*: I1 = dim*; Л, мы получаем Л = I е I1. Поскольку произведения
идеалов II1 и J1/ содержатся в I П I1 = 0, они равны нулю. Точно
так же, как в лемме 4.48 (2), проекции единицы алгебры Ав I и I1
являются единицами в I и I1 соответственно. Таким образом, I и I1
являются подалгебрами алгебры Л, и Л = I х J1.
Любой двусторонний идеал J с J алгебры I автоматически
является двусторонним идеалом алгебры Л. Так как идеал I минимален, мы
имеем либо J = 0, либо J = I. Следовательно, алгебра I простая. Из
равенства A = I xl1 и предложения 4.43 следует, что Jf/1) с J [А). А так
как J (Л) = 0, получаем, что и Jf/1) = 0, что доказывает полупростоту
алгебры I1.
Поскольку dirrix I1 < dim^ Л, мы можем применить к I1
предположение индукции. Поэтому существует такое конечное семейство
{Ал}лел' простых подалгебр алгебры I1, что
ЛеЛ'
и ЛяЛм = 0 для любых А Ф [л из А!. Мы получим искомое семейство
Ма}а<ел простых подалгебр алгебры Л, если положим А — A! U {Ао}
иАЯо=/.
Чтобы доказать единственность семейства {Ах}хел, рассмотрим
произвольный ненулевой двусторонний идеал J алгебры Л. Имеем
ХеЛ
Каждое произведение J Ах является двусторонним идеалом в Ля, а так
как Ля —простая алгебра, J Ах равно либо 0, либо Ля- Следовательно,
существует такое непустое подмножество Ло с Л, что J = (&хел0 ^х-
Это доказывает, что J есть подалгебра алгебры Л. Кроме того, J
проста как алгебра тогда и только тогда, когда множество Ло состоит
только из одного элемента Ао, и тогда J = Ля0. Отсюда можно сделать

238 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
вывод, что семейство {Ля}я<ел состоит из всех ненулевых
двусторонних идеалов алгебры Л, которые просты как алгебры. Это доказывает
утверждение теоремы о единственности. D
Выведем следствия из леммы 4.48 и теоремы 4.49.
Следствие 4.50. Любая полупростая алгебра является
произведением простых алгебр.
Следствие 4.51. Пусть J — двусторонний идеал полупростой
алгебры А. Тогда J и факторалгебра A/J являются полупростыми
алгебрами.
Доказательство. Рассмотрим разложение Л=0Я(ЕЛЛя алгебры Л,
доставляемое теоремой 4.49. Согласно примеру 4.47 (2) каждая
подалгебра Ля полупроста. Как мы видели в доказательстве теоремы 4.49,
существует такое подмножество А^аА, что J=(&xeA ^я- По лемме 4.48
получаем т—г т—г
J= |]Ля и A/J^ [] ЛЯ.
ХеЛ0 ХеЛ\Л0
Опять используем пример 4.47 (2), утверждающий, что конечные
произведения полупростых алгебр полупросты. □
4.5.7. Модули над полупростой алгеброй
Сначала найдем вид простых модулей над полупростой алгеброй.
Предложение 4.52. Пусть А — полупростая алгебра, и пусть
{Ах}хел — семейство простых подалгебр алгебры Л, доставляемое
теоремой 4.49. Для каждого ненулевого простого А-модуля М
существует единственный элемент Я е Л, для которого М = А\М. Кроме
того, М является простым Ax-модулем, и ЛММ = 0 для всех \хфХ.
Доказательство. Пусть М — ненулевой простой Л-модуль.
Каждое произведение А\М является Л-подмодулем модуля М. Мы можем
представить модуль М в виде суммы этих подмодулей:
M = AM=Y^ AxM. (4.29)
ХеА
Поскольку МфО, существует такой элемент Я е А, что А\М Ф 0. Ввиду
простоты модуля М имеем А^М = М. Мы утверждаем, что ЛММ = 0
для [лф Я. Действительно, каждый элемент гл е М можно разложить
в сумму т = 5]i ЩЩ, где а, е Ля и гл, е М. Если а е Лм, где \хф Я,
то am = Yti aaimi — 0> так как \Ах = 0, и наше утверждение
доказано. Далее, мы утверждаем, что Ля-модуль М простой. В самом деле,

§4.5. Полупростые алгебры и модули
239
пусть N — ненулевой Ля-подмодуль модуля М. Определив действие
подалгебры Лм, ix Ф Я, на N как нулевое, мы превратим N в Л-подмодуль
Л-модуля М. А так как М прост как Л-модуль, получаем, что N=M. □
Теорема 4.53. Любой конечномерный модуль над полупростпой
алгеброй полупростп.
Доказательство. Рассмотрим конечномерный модуль М над
полупростой алгеброй Л. Разложим алгебру Л в произведение простых
подалгебр {Ля}я<ел, предписанное теоремой 4.49. Каждое векторное
пространство А\М с М является конечномерным модулем над Ля.
По предложению 4.39 Ля-модуль А\М полупростой. Так как простой
Ля-модуль прост и как Л-модуль (где все Лм, /х Ф Я, действуют нулевым
образом), каждый Ля-модуль А\М является полупростым Л-модулем.
Из формулы (4.29) следует, что модуль М есть сумма простых
подмодулей. Из предложения 4.28 следует, что Л-модуль М полупростой. D
Теперь подведем итоги теории представлений (конечномерной)
полупростой алгебры Л. Пусть {Ля}я<ел — множество всех ненулевых
двусторонних идеалов алгебры Л, которые просты как алгебры. Это
множество конечно. Для каждого ЯеЛ существует единственный
с точностью до изоморфизма простой Ля-модуль Уя- Мы рассмотрим Vx
как Л-модуль, полагая ЛмУя — 0 для /х Ф Я. Тогда Л-модули {Уя}а<ел
простые и каждый простой Л-модуль изоморфен в точности одному
из них. Кроме того, для каждого конечномерного Л-модуля М
существуют единственная функция dM: Л —> N и изоморфизм Л-модулей
м-0^м(Я)- (4-3°)
ХеЛ
Функция им называется вектором размерности модуля М.
Пусть Dx — кольцо с делением EncU06,)- Следующая теорема
вытекает из следствия 4.40, леммы 4.48 и теоремы 4.49.
Теорема 4.54. В принятых выше обозначениях
Следствие 4.55. Если основное поле К алгебраически замкнуто,
то гомоморфизм алгебр
A^Y\EndK(Vx),
А<еЛ
определенный как произведение по всем Я € Л гомоморфизмов алгебр
А —> Епс1к(Уя), индуцированных действием алгебры А на Ух, является

240 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
изоморфизмом. Кроме того,
dimKA=^(dimKVA)2.
ХеЛ
Доказательство. Применив предложение 4.30 (3) к простому
А-модулю Va> мы получим dirrix Dx = 1. Следовательно, Dx = К. Тогда
настоящее следствие представляет собой переформулировку
теоремы 4.54. П
Упражнение 4.5.1. Пусть А — конечномерная алгебра с
радикалом J = J(A).
а) Покажите, что факторалгебра A/J полупростая.
б) Докажите, что для каждого xeJ элемент 1 + х обратим в А.
Упражнение 4.5.2. Пусть V—конечномерное векторное
пространство над полем К. Покажите, что каждый К-линейный автоморфизм
алгебры А = End^fV) является сопряжением на некоторый элемент
алгебры А. (Указание: всякий автоморфизм алгебры А определяет
новую структуру А-модуля на V; затем используйте тот факт, что
над алгеброй А имеется только один простой модуль с точностью
до изоморфизма.)
Упражнение 4.5.3. Пусть А — полупростая алгебра и М —
конечномерный А-модуль. Покажите, что существует изоморфизм алгебр
EndA(M)^ Y\ MdM{x)EndA(Vx).
ХеЛ(А)
Упражнение 4.5.4. Пусть К — алгебраически замкнутое поле и
А — полупростая К-алгебра. Докажите, что существует изоморфизм
А-модулей А = 0я<ел(а) V*А> где d* = dim* Уя*
Упражнение 4.5.5. Пусть D — кольцо с делением. Для 1 < £, j < п
обозначим через Eij E Mn(D) матрицу, все элементы которой равны
нулю, кроме (£,;)-го элемента, равного 1.
а) Проверьте, что след умножения справа на Eij в матричной
алгебре Mn(D) равен п, если i = j, и 0 в остальных случаях.
б) Докажите, что форма следа алгебры Mn(D) задается формулой
(а,Ъ) = пЩаЪ)
для всех a,bG Mn(D).
в) Выведите из этих фактов, что алгебра Mn{D) тогда и только тогда
полупростая, когда число п обратимо в кольце D.

§4.5. Полупростые алгебры и модули
241
Упражнение 4.5.6. Пусть К — поле характеристики р > О и G —
циклическая группа порядка р. Покажите, что (g — 1)р = 0 е K[G] для
всех g e G. Выведите отсюда, что групповая алгебра KtG] содержит
ненулевой нильпотентный идеал и потому не полупростая.
Упражнение 4.5.7. Пусть А — конечномерная алгебра над полем К
характеристики нуль. Докажите, что все элементы радикала
алгебры А нильпотентны. (Элемент а е А называется нильпотентный, если
aN = О для некоторого целого числа N > 1.)
решение. Положим d = dim^ А. Для каждого а е J (Л) и любого п > 1
Tr((Ra)") = Tr(Ra.) = (a, a""1) = 0.
Обозначим через Аь ..., Ad собственные значения правого
умножения Ra в алгебраическом замыкании поля К. Из предыдущих равенств
следует, что
У A? + ... + A£ = 0
для всех п > 1. Ввиду формул Ньютона (которые требуют, чтобы
основное поле имело характеристику нуль) все элементарные
симметрические полиномы от Ai,...,Ad равны нулю. Отсюда следует, что
характеристический полином правого умножения Ra является
мономом степени d и потому (Ra)d = 0. Следовательно, ad = (Ra)d(l) = 0.
Упражнение 4.5.8. Пусть К — поле характеристики нуль.
Докажите, что любая конечномерная К-алгебра А, не содержащая
ненулевых нильпотентных левых идеалов, полупроста.
решение. Достаточно доказать, что J = J(A) = 0. Предположим, что
J ф 0, и рассмотрим какой-нибудь ненулевой левый идеал I с J
минимальной размерности над К. По условию идеал / не нильпотентен
и, в частности, I2 ф 0. Следовательно, существует такой элемент х si,
что 1х ф 0. Ввиду минимальности идеала / и того, что 1х с /, мы имеем
равенство 1х = I. Значит, существует такой элемент eel, что ех = х.
Отсюда следует, что , ч 9
х = ех = е(ех) =е х.
Таким образом, мы получили, что (е — е2)х = 0. Левый идеал
1' = {уе1:ух = 0}
является собственным подидеалом идеала /, так как 1х ф 0. Из
минимальности идеала / следует, что V = 0. Так как е — е2 е V, получаем,
что е — е2. Значит,
е = е2 = е3 = ...

242 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
Далее, согласно упражнению 4.5.7 элемент е G I с J нильпотентен
(в этом месте мы используем предположение о том, что
характеристика основного поля равна нулю). Из этих двух фактов мы заключаем,
что е = 0. Следовательно, х = ех = 0 и 1х = 0, что противоречит выбору
элемента х. Значит, J = 0.
Упражнение 4.5.9. Элемент е алгебры А называется идемпотен-
том, если е = е2.
а) Покажите, что если е е А — идемпотент, то / = 1 — е также идем-
потент.
б) Предположим, что идемпотент е е А центральный, т. е. он
коммутирует со всеми элементами алгебры А. Положим / = 1 — е.
Докажите, что Ае и Af являются двусторонними идеалами алгебры А;
что если рассматривать Ае и Af как алгебры, то элементы ей/
являются единицами этих алгебр соответственно; и что
отображение Ае х Af —> А, (а, Ь) •-> а + Ъ является изоморфизмом алгебр.
в) Покажите, что единственным ненулевым центральным идемпо-
тентом простой алгебры является ее единица.
Упражнение 4.5.10. Ненулевой центральный идемпотент е
алгебры А называется примитивным., если его нельзя представить в виде
суммы двух ненулевых центральных идемпотентов, произведение
которых равно нулю.
а) Докажите, что если е — примитивный центральный идемпотент
алгебры Л, то не существует таких алгебр А\ и А2, что Ае = А\ х Л2-
б) Пусть А — произведение г < °о простых алгебр. Покажите, что
существует единственное множество {еь ..., ег) примитивных
центральных идемпотентов алгебры Л, для которого ekei = 0 для всех
к ф I из множества {1,..., г} и ег +... + ег = 1.
Упражнение 4.5.11. Пусть А — конечномерная алгебра.
Докажите следующие утверждения.
а) Сумма любых двух нильпотентных левых идеалов алгебры А
является нильпотентным левым идеалом.
б) Любой ненильпотентный левый идеал алгебры А содержит
некоторый ненулевой идемпотент.
в) Сумма J всех нильпотентных левых идеалов алгебры А является
двусторонним идеалом.
г) Если основное поле имеет характеристику нуль, то J есть радикал
алгебры А.

§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке
243
§4.6. Полупростота алгебр Ивахори — Гекке
Мы вернемся к алгебрам Ивахори — Гекке H^(q), которые были
определены в п. 4.2.2, где п — положительное целое число, R —
коммутативное кольцо ид — обратимый элемент кольца R.
Сначала проанализируем поведение алгебры H„(q) при замене
скаляров. Пусть задан гомоморфизм коммутативных колец /: R —> S.
Тогда для любого целого числа п > 1 и обратимого элемента q E R мы
имеем R-алгебру H^(q) и S-алгебру H^(q), где q = /(q) e S.
По теореме 4.17 алгебра H^(q) есть свободный R-модуль ранга п\.
Поэтому мы можем отождествить Епс1я (H„(q)) с матричной алгеброй
Mn!(R). Это позволяет нам определить R-билинейную форму следа
( , )*:H*(q)xH*(q)-^R
алгебры Hn(q) по формуле (4.28), где Rc e Епс1я (H„(q)) —умножение
справа на элемент с е H^(q). Аналогично определим S-билинейную
форму следа (i),H^XH^).S
алгебры Hn(q).
Предложение 4.56. Существует такой изоморфизм S-алгебр
y:S®RH*(q)^>HS(q),
что
(w(s®x),w(s'®x'))s = Ss'fttx,x')R) (4.31)
для всех s,s' е S и х,х' е H„(q).
Доказательство. Положим ip(s ® 7*) = sTt e H„(tq) для всех s e S
и£ = 1,...,п — 1. Легко проверяется, что тем самым определен
гомоморфизм S-алгебр « ч <. _л
По теореме 4.17 алгебра H^(q) есть свободный R-модуль с базисом
{7^: ше6п}. Аналогично Н„(с[) есть свободный S-модуль с тем же
самым базисом. Ясно, что при гомоморфизме у> базис {1 ® 7W: ш е 6П}
алгебры S ®я H^(q) переходит в базис {7^: ш€б„} алгебры H^(q).
Поэтому <р — изоморфизм.
Ввиду S-билинейности для доказательства равенства (4.31)
достаточно проверить его для s = s' = 1, х = ТШ и х' = Тш<, где w, wf € 6„.
Имеем
(<р(1 0 Tj, <р(1 0 7^)}s = (Г„, Га/Ь - Тг(КТЛ/: H*(q) -> H*(q)) -

244 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
= /(Tr(RTw7V : H*(q) -> HJ?(q))) = /((Гы> Г„/)я).
Здесь мы использовали тот факт, что структурные константы для
умножения базисных элементов Тш е Н„ (q) равны образам
соответствующих структурных констант для умножения базисных элементов
Ты е Hn(q) при отображении /. □
Напомним, что элемент кольца называется алгебраическим, если
он является корнем некоторого ненулевого полинома с
коэффициентами в кольце целых чисел Z. Сейчас мы докажем основной результат
этого параграфа.
Теорема 4.57. Пусть К — поле, характеристика которого не
делит п\. Алгебра H%(q) полупроста для всех q sK\{0}, кроме
некоторого конечного числа алгебраических элементов из q е К\ {О,1}.
Отметим без доказательства более точный результат Венцля (см.
[Wen88]): алгебра H„(q) полупроста, если q не является корнем из
единицы порядка d, где 2 < d < п.
Доказательство. Если q = 1, то алгебра H^(q) =K[<Sn]
полупроста согласно примеру 4.47 (1).
Предположим теперь, что q Ф 1. По определению алгебра H*(q)
полупроста тогда и только тогда, когда ее форма следа ( , )к
невырождена. Рассмотрим базис {Тсо}сое&п алгебры H*(q). По
предложению 4.46 алгебра H%(q) тогда и только тогда полупроста, когда
det((Tu), Tco>)K)COjCO>een ф 0.
Пусть R = Z[q0, qQ1]—кольцо лорановых полиномов от одной
переменной q0, и пусть i: R —> К — такой гомоморфизм колец, что
i(qo) = q- На R-алгебре H%(q0) имеется форма следа ( , )R, которая по
предложению 4.56 связана с формой следа алгебры H„(q) формулой
{Та>, Ты>)к = i((Tcj, T^)R)
для всех со, со1 е. 6П. Поэтому
det((rfi,, Тй/)к)й)^е6п = i(P(q0))>
где
D(q0) = det((rfi,, 7^)r W^en е R.
Иными словами, det((T(1), Т^^кО^а/е© ^ ^ равно значению лоранова
полинома D(q0) в точке qo = q.

Замечания
245
Мы утверждаем, что D(q0) Ф 0. Для доказательства этого
утверждения рассмотрим гомоморфизм колец я: R —> Q, отображающий
q0 в 1. По предложению 4.56 существует изоморфизм Q-алгебр
Этот изоморфизм отображает базис {1® Тсо}со^<5п алгебры Q®rH„ (q0)
в базис {Tco}coe(Sn алгебры Я^(1). Форма следа ( , )R алгебры H„(q0)
связана с формой следа ( , >q алгебры Я^(1) формулой
(Т<о, Tcj')q = п{(ТШ9 T^)R)
для всех со, со' е 6П. Следовательно,
det((7,u), T(0<)q)(0t(0<een = rc(D(q0)).
Из полупростоты алгебры Я^(1) = Q[6„] и предложения 4.46 следует,
что det((Tu), 7^')^)^^ / 0. Тем самым доказано, что D(q0) / 0.
В заключение отметим, что К-алгебра H^(q) полупроста тогда и
только тогда, когда значение лоранова полинома D(q0) в точке qo = q
отлично от нуля, т. е. тогда и только тогда, когда q не является корнем
полинома D(qo) в поле К. Наконец, заметим, что ненулевой лоранов
полином имеет конечное число корней и его корни алгебраичны. □
Упражнение 4.6.1. Пусть R = Z[q0, q^1]. Вычислите форму следа
на алгебре H^(q0) при п = 2 и покажите, что соответствующий
лоранов полином D(qo) (который был определен в предыдущем
доказательстве) равен (qo +1)2.
Замечания
Задание образующими и соотношениями (4.1) симметрической
группы принадлежит Е. X. Муру; см. [Моо97]. В §4.1 мы следовали
Матасу; см. [Mat99, Sect. 1.1]. Результаты этого параграфа будут
распространены на группы Коксетера в § 6.6.
Следуя идее Андре Вейля, Шимура (см. [Shi59]) определил алгебру
преобразований в связи с операторами Гекке в теории чисел. Эта
алгебра была определена как алгебра Б-биинвариантных функций на
группе G с операцией свертки, где В — такая подгруппа группы G, что
[В: В П хВх~1] < оо для всех xgG.B статье [Iwa64] Ивахори назвал
алгебру преобразований Шимуры кольцом Гекке и предъявил ее задание
образующими и соотношениями в случае, когда G — группа Шевалле
над конечным полем Cq и В — ее подгруппа Бореля.

246 Глава 4. Симметрические группы и алгебры Ивахори —Гекке
Алгебра Ивахори — Гекке из определения 4.15 является
алгеброй Шимуры, ассоциированной с группой Шевалле G = GLn(Cq)
(более подробно см. упражнение 4.2.3), см. [Вои68, гл. IV, §2,
упражнения 22-24], [GHJ89, Sect.2.10], [GP00, Sect. 8.4].
В § 4.2-4.4 мы по существу следовали статье [HKW86, Sects 4-6].
Построенный в § 4.3 след принадлежит Окняну (см. [FYHLM085] и
[Jon87, Sect. 5]). Существование полинома Джонса — Конвея от двух
переменных, построенного в § 4.4, было доказано Фрейдом, Йетте-
ром, Хосте, Ликоришем, Миллетом, Окняну, Пшитыцким и Трачиком
вскоре после того, как Воган Джонс летом 1984 г. открыл полином
Джонса; см. [Jon85], [Jon87], [FYHLM085], [РТ87]. Открытие
полинома Джонса и его обобщений заложило основания для квантовой
топологии; см. [Tur94], [Kas95], [KRT97].
Содержание § 4.5 стандартно и может быть найдено в таких
книгах, как руководства Бурбаки [Вои58], Кэртиса и Райнера [CR62],
Пирса [Pie82], Дрозда и Кириченко [ДК94], Бенсона [Веп98], Ленга
[Lan02]. Заметим, что для полей положительной характеристики наше
определение полупростой алгебры более ограничительно по
сравнению с определением, данным в этих книгах. Лемма 4.36 принадлежит
М. Рифелю.

Шйа5;^
Представления алгебр
Ивахори — Гекке
В этой главе мы изучаем линейные представления однопараметри-
ческих алгебр Ивахори — Гекке, которые были определены в п. 4.2.2.
Наша цель — классифицировать их конечномерные представления
над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль в терминах
разбиений и диаграмм Юнга. В качестве приложения мы докажем,
что определенное в §3.3 приведенное представление Бурау неприво-
димо. Мы завершим главу обсуждением алгебр Темперли—Либа.
§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
Здесь мы введем язык разбиений, который обычно используется
для описания неприводимых представлений симметрических групп.
Мы используем этот язык в § 5.3 для построения простых модулей над
алгебрами Ивахори — Гекке.
5.1.1. Разбиения
Разбиением неотрицательного целого числа п называется
конечная последовательность Я = (Яь Я2,..., Яр) положительных целых
чисел, удовлетворяющая условиям
\1>\2> ...>ЛР и |Я| = Я1 + Я2 + ... + Яр = гс.
Тот факт, что Я является разбиением числа п, мы будем записывать
как Я Ч п. Целые числа hi, Л2, • • •, Лр называются частями
разбиения Я, а р — количеством частей. По определению число п = О имеет
единственное разбиение, а именно пустую последовательность 0.
Пусть \ = (\ъ\2,----> Яр) — разбиение на р частей. Положив Хк — О
для всех к > р, мы можем отождествить конечную
последовательность Я с бесконечной последовательностью (Xk)k^i целых чисел, ин-

248 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
дексированных числами к = 1,2,... Эта последовательность почти
нулевая в том смысле, что Хк = О для всех достаточно больших к,
и невозрастающая: Хк > Хк+г для всех к. Каждая почти нулевая невоз-
растающая последовательность (Xk)k^i целых чисел возникает
описанным способом из разбиения А = (Аь А2,..., Ар) числа п = ^к>1 Хк,
где р = max{fc: Хк ф 0}. В частности, пустое разбиение 0 соответствует
постоянной нулевой последовательности.
5.1.2. Диаграммы
Разбиение А = (Аь А2,..., Ар) числа п > 0 удобно представлять
его диаграммой D(A) (которую также называют диаграммой Ферре,
а также схемой Юнга), которая определяется как множество
D(A) = {(г, 5):Кг<риК5< Аг}.
В частности, диаграммой пустого разбиения служит пустое
множество. Из определений следует, что D(A) = D(A') тогда и только тогда,
когда А = А7. $
Диаграмму D(A) можно графически пред- ^
ставить как семейство клеток на плоскости R2, I | | | |
каждая из которых имеет центр в соответству- г I I I
ющей точке (г, s) е R2. Первая строка диаграм- I
мы D(A) состоит из Х\ клеток, вторая строка— у I I
из А2 клеток и так далее до последней, р-й стро- Рис 5 л Диаграмма
ки, состоящей из Ар клеток. Полное количество разбиения (3,2,2,1)
всех клеток равно |А| = п. На рисунках мы
будем придерживаться соглашения, что ось г идет вниз, а ось 5
направо. Например, на рис. 5.1 изображена диаграмма D(A) разбиения
А = (3,2,2,1).
5.1.3. Операции над разбиениями
Здесь мы определим несколько операций над разбиениями,
которые нам понадобятся впоследствии. Для любых двух разбиений
А = (Ак)^1 и А7 = {X'k)k>i (возможно, разных целых чисел) мы
определим последовательности целых чисел А Л А7 и А V А7 формулами
(А Л А')* = min(Afc, Xfk) и (А V А')* = max(Afc, Xfk)
для всех к > 1. Эти две последовательности не возрастают, почти
нулевые и потому определяют разбиения. Ясно, что
D(AAA/)=D(A)nD(A/) и D(A V A7) =D(A) UD(A').

§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
249
Рис. 5.2. Диаграмма разбиения,
сопряженного к разбиению (3,2,2,1)
Сопряженным (а также транспонированным) к разбиению Я Ч п
называется разбиение Ят Ч п, диаграммой которого является
множество {(г, 5): (5, r)eD(A)}. Другими словами, диаграмма разбиения Ят
получается из диаграммы разбиения Я, если в ней поменять местами
строки и столбцы. Например, для разбиения Я = (3,2,2,1)
сопряженным разбиением будет Ят = (4,3,1) (см. рис. 5.2).
5.1.4. Таблицы
Таблица Т состоит из разбиения Я Ч п вместе с биекцией
D(A)->{l,2,...,n},
которая называется нумерацией таблицы (а также размещением или
расстановкой чисел по клеткам диаграммы) и обычно обозначается
той же буквой Г. Значения этой функции называются числами,
соответствующими клеткам. Разбиение Я
называется формой таблицы Г. На рис. 5.3 показаны
две таблицы формы (3,2,2,1).
Композиция размещения чисел в
таблице Г с п клетками с перестановкой <т
множества {1,2,..., п} дает размещение чисел в дру- Рис. 5.3. Две таблицы
гой таблице сгТ той же формы. В частности, формы (3,2,2,1)
таблица SiT получается из таблицы Г, если в
ней поменять местами размещение чисел i и i +1. Ясно, что а = о' «=»
ф=» аТ = о'Т и что для двух таблиц одинаковой формы одну из них
можно получить из другой с помощью некоторой единственной
перестановки чисел. Следовательно, количество таблиц формы ЯН л
равно п\.
5.1.5. Стандартные таблицы
Таблица Т формы ЯЧп называется стандартной, если размещенные
в ней числа возрастают слева направо в каждой строке и сверху вниз
в каждом столбце, т. е. если размещение чисел Т: £(Я) —> {1,2,..., и]
удовлетворяет условию
T(r,s)<r(r',sO
Ш
гг
2
3
4
5
6
8
71

250 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
для всех (г, 5), (г7,s') е D(A), удовлетворяющих условиям г < г7 и 5 < s'.
Например, правая таблица на рис. 5.3 стандартная, а левая нет (так
как число 4 расположено под числом 6).
Обозначим через 5я множество всех стандартных таблиц формы Я
и положим /я = card^. Перемена местами строк и столбцов дает
биекцию между 5я и 5я^, где Ят— сопряженное к Я разбиение.
Следовательно, /я = /я.
Упражнения 5.2.2 и 5.2.3 (см. ниже) дают явные формулы для /я
для некоторых разбиений Я. Общая формула для /я, которая
называется формулой крюков, дана в упражнении 5.2.6.
Следующее свойство чисел {/я}я будет играть ключевую роль
в классификации простых модулей над алгебрами Ивахори — Гекке.
Теорема 5.1. Для всех п > 1 имеет место формула
АЧп
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 5.2.4.
5.1.6. Осевое расстояние
Пусть Т — таблица с п клетками. Предположим, что число i e
е {1,..., п — 1} стоит в клетке (г, 5) таблицы Г, а число i + 1 стоит
в клетке (г7, sO этой таблицы. Положим
dT(i) = (s'-r')-(s-r) eZ. (5.1)
Целое число s — r называется осевым расстоянием числа i в
таблице Г (это алгебраическое расстояние от клетки (г, 5) до диагонали
{(х, х): х € R} в R2). Тогда число drd) равно разности между осевыми
расстояниями клеток с числами i +1 и i. В следующей лемме выпишем
несколько важных свойств числа dr(0-
Лемма 5.2. Пусть Т — таблица с п клетками и i, j e {1,..., п — 1}.
1. Тогда ,
, ,.л \-dT(0, если j = i,
dsT(i) = <
S'TW ( dT(i), eaiu\i-j\>2.
2. Предположим, что 1фп — 1,и положим d = drd), e = dr(i + 1).
Тогда
dsjU) = -ds,5,+1r(i + 1) = dSiSi+lSiT(.i +1) = -d,
dsl+,rO' +1) = -dWlT(0 = <*s,s1+1s,r(0 = -e,
d,,T(i +1) = d1(+lT(0 = -diA+1T(0 = -dsM*,T(i + l)=d + e.

§5.1. Комбинаторика разбиений и таблиц
251
Доказательство. 1. Пусть (r,s)—клетка таблицы Г с числом i
и (г7,s7) — клетка таблицы Г с числом i: + 1. Тогда (г, 5) является
клеткой таблицы stT с числом i + 1, а (г7, s7) является клеткой таблицы stT
с числом i. Из этого следует, что
dSiT(i) = (s-r)-(s'-r/)=-dT(i).
Если ; = i, то dSjr(0 = dSfr(i) = —dj(i). Если |i — j\ > 2, то таблицы Г
и s,T имеют одинаковые клетки с числами i и i + 1. Поэтому
ds.T(0=dr(0-
2. Предположим, что числа i, z: + 1, i + 2 стоят соответственно
в клетках (г, 5), (r7, s7), (r", s") таблицы Г. Тогда d = (57 — г7) — {s — r)
ие = (s77 — г") — (s7 — г7). Равенства ds.r(0 = —d и ds.+1r(i + 1) = —е
вытекают из п. 1. Так как числа i + 1 и £ + 2 стоят соответственно
в клетках (г, 5) и (r77,s77) таблицы SiT, получаем, что
de,r(i + l) = (s"-r")-(s-r) =
= (&" - Г") - &' - Г')) + (&' " Г') - (5 - Г)) = d + в.
Числа £ и £ +1 стоят соответственно в клетках (г, 5) и (г77, s77) таблицы
st+iT. Поэтому
d4|+1r(i) = (s,,-r,,)-(s-r) = d + e.
Аналогично вычисляются ds.s.+lT(;), ds.+lS.r(j) и ds.s.+lS.T(j) для j =£, i + l.
а
Если таблица Г стандартная, имеется следующая дополнительная
информация.
Лемма 5.3. Пусть Т — стандартная таблица с п клетками,
1. Если числа iui + 1 стоят в одной и той же строке таблицы Г,
то dr(0 = 1.
2. Если числа iui + 1 стоят в одном и том же столбце
таблицы Т, mo dr(0 =—1.
3. Если числа iui + 1 стоят в разных строках и разных столбцах
таблицы Т, mo |dr(OI ^ 2.
4. Во всех случаях \dr(i)\ < п — 1.
Доказательство. Пусть (г, 5) и (г7, s7) — клетки таблицы Т с
числами i и i + 1 соответственно.
1. Если числа i и i + 1 стоят в одной и той же строке, то они
обязательно находятся в соседних клетках, поэтому г7 = ги57 = 5 + 1;
следовательно, dr(0 = 1.

252 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
2. Если числа i и i +1 стоят в одном и том же столбце, то г' = г +1
и s' = 5; следовательно, dT(0 = —1.
3. Предположим, что числа i и i + 1 стоят в разных строках и
разных столбцах. Если г' > г, то непременно s' < s. Действительно, в
противном случае рассмотрим число к в клетке {r',s) таблицы Г. Так
как таблица Т стандартная, имеем i < к < i + 1, что невозможно.
Следовательно,
dT(i) = (s/-s)-(r/-r)<-l-l = -2.
Если г' < г, то по тем же причинам, что и выше, мы имеем s' > s.
В этом случае
dT(Q = (/-5) - (г7-г) > 1 + 1 = 2.
В обоих случаях |dT(OI ^ 2.
4. Число |dr(OI может достигать самого большого значения
только в случае, когда одно из чисел i и i +1 стоит в самой нижней клетке
первого столбца, а другое в самой правой клетке первой строки. Если
форма таблицы Г есть разбиение (Яь Я2,..., Яр) числа п, то
|dT(i) | < (Ai -1) + (р -1) < Ai -1 + Я2 + ... + Яр = л -1. □
Упражнение 5.1.1. а) Определим бинарное отношение < на
множестве всех разбиений, полагая Я < Я7, если 2Э(Я) с D{X'). Покажите,
что отношение < является частичным порядком.
б) Докажите, что для любых разбиений Я и Я7 верны следующие
утверждения:
1) ЛлЛ'^Л^ЛУЛ'иЛлЛ'^Л'^ЛчЛ';
2) если разбиение /х удовлетворяет неравенствам /х < Я и /х < Я7, то
]U < Я Л Я';
3) если разбиение v удовлетворяет неравенствам Я < v и Я7 < у, то
X\JX' < v.
§5.2. Решетка Юнга
В этом параграфе мы изложим необходимые подготовительные
сведения и затем докажем теорему 5.1.
5.2.1. Углы
Углом диаграммы D{X) разбиения Я (или, проще, углом
разбиения Я) называется такая клетка (г,5)еБ(Я),чтони (г,5+1),ни (г+1,5)

§5.2. Решетка Юнга
253
| ix
|х|
XI
не принадлежат диаграмме D(A). На рис. 5.4 крестиками отмечены
три угла разбиения (3,2,2,1).
Ясно, что всякое непустое разбиение имеет
по меньшей мере один угол и что разные углы
находятся в разных строках и разных столбцах.
Кроме того, каждое разбиение Я определяется
множеством своих углов: диаграмма разбиения Я
состоит из углов и клеток, лежащих левее угла
и выше угла.
Если (г, 5) —угол диаграммы D{X), то Яг > Ar+i. Если мы положим
[ Хк при кфг,
Як — 1 при к = г,
Рис. 5.4. Углы
разбиения (3,2,2,1)
Mfc
то последовательность (//к)к будет невозрастающей и потому будет
определять разбиение /х числа п — 1, где п = |Я|. Ясно, что D(/x) =
= £(Я) \ {(г, 5)}. Мы будем говорить, что разбиение /х получено из
разбиения Я удалением угла, и символически записывать это как /х ^-> Я.
На рис. 5.5 изображены три диаграммы, полученные удалением утла.
из диаграммы D(3,2,2,1).
Рис. 5.5. Диаграммы, полученные удалением
угла из диаграммы D(3,2,2,1)
Заметим, что если разбиения ЯНпидН(п-1) удовлетворяют
условию D(ju) с £(Я), то /х ^-> Я, т. е. разбиение /х получается из
разбиения Я удалением некоторого угла.
Лемма 5.4. Пусть Я ц Я7—разные разбиения одного и того же
положительного целого числа. Тогда существует не более одного
разбиения /х, удовлетворяющего условиям /х <-> Я ц /х <-> Я7, ц не более
одного разбиения v, удовлетворяющего условиям Я <-> v и Я7^-> v. Кроме
того, разбиение [л, удовлетворяющее условиям /х ^-> Я и /х ^-> Я7,
существует тогда и только тогда, когда существует такое разбиение v,
что Я <-> v а Я7 <-> v.
Доказательство. Пусть разбиение /х таково, что /х ^-> Я и /х ^-> Я7.
Тогда D(/x) с£(Я) П£(Я7) и cardD(/x) = л-1, где л = |А| = |А7| > 1. Так

254 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
как А ф Я7, получаем, что card D (Я) П D(A7) < п. Отсюда следует, что
D(ju) = D(A) П D(A7) = D(A Л Я7),
где Я Л Я7 — разбиение, определенное в п. 5.1.3. Следовательно, // =
= АЛА7, и разбиение /х непременно единственное. Заметим также, что
card D(Я V А7) = card(D(Я) и D(A7)) =
= card D (Я) + card D (А7) - card(D(Я) П D(A7)) =
= 2п-(п-1) =п + 1.
Следовательно, v = Я V Я7 есть такое разбиение числа п +1, что Я ^-> v
и Я7 «-» v.
Аналогичные рассуждения показывают, что если разбиение v
таково, что Я^-> v и Я7^-> v, то непременно v=AvA7 и разбиение //=АЛА7
таково, что /х^-> А и /х с-> Я7. Отсюда непосредственно следует лемма. □
Лемма 5.5. Пусть А = (Яь Я2,..., Ар) — произвольное разбиение.
Предположим, что существует I таких разбиений /х, что /х^-> А. Тогда
существует I + 1 таких разбиений v, что А <-> v.
Доказательство. Ясно, что клетка (г, 5) тогда и только тогда
является углом разбиения А, когда Аг > Аг+1 (здесь мы отождествляем
разбиение А с бесконечной невозрастающей почти равной нулю
последовательностью целых чисел). Таким образом, количество I всех
тех разбиений /х, для которых [л <—> А, равное количеству углов
разбиения А, равно количеству всех тех г > 1, для которых Ar > Ar+i.
Если разбиение v таково, что А <-> v, то
(А* при/с/г,
[ Ajt + 1 при к: = г
для некоторого целого числа г> 1. Если г > 2, то из условия, что v
является разбиением, следует, что
vr-i = Ar_i > vr = Ar + 1,
а значит, Ar_i > Ar. Обратно, если Ar_i > Ar для некоторого г > 2, то
формула (5.2) определяет разбиение v, для которого А «-> v. Количество
таких разбиений равно количеству всех тех г>2, для которых Ar_i > Аг,
следовательно, равно количеству I всех тех г > 1, для которых Ar > Ar+i.
Но имеется еще одно разбиение v, для которого А ^-> v, а именно
разбиение, задающееся формулами V\ — Ai + 1 и v^ = Xk для fc > 2.
Итак, количество всех разбиений v, для которых А <-> v, равно I +1. □

§ 5.2. Решетка Юнга
255
5.2.2. Решетка Юнга и диаграммы Б р аггел и
Рассмотрим ориентированный граф % вершинами которого
служат все разбиения неотрицательных целых чисел, включая пустое
разбиение 0. Вершины /х и Я соединены в графе <& единственным
ориентированным ребром \х —> Я, если разбиение /х получается из
разбиения Я удалением некоторого угла. Это ребро также обозначается
как /X ^-> Я. Граф %/ называется решеткой Юнга.
Для каждого п > 0 обозначим через % конечный
ориентированный подграф графа % вершинами которого служат такие
разбиения Я, что | А| < п; каждое ребро графа <& между двумя вершинами из
% по определению является ребром подграфа %. Графы %, ^i, Щ,,...
называются диаграммами Браттели. Решетка Юнга <$/ равна
объединению этих графов. На рис. 5.6 изображена диаграмма Браттели %у
у нее 18 вершин и 25 ребер.
1 И I II
гттт
ш' „ ^ Г" №
i
Г
Рис. 5.6. Диаграмма Браттели Ф£
Лемма 5.6. Для любого разбиения Я число /я = card 5я равно
количеству ориентированных путей в решетке Юнга <3/, ведущих из 0 к Я.
Доказательство. Клетка с самым большим числом п в
стандартной таблице Т формы Я Ч п обязательно является углом. Удалив эту
клетку, мы получим разбиение Я^п_1^ числа п — 1 и стандартную таб-

256 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
лицу формы Я^п_1). Удалив из этой таблицы угол с числом п — 1, мы
получим разбиение Я(п_2) числа п — 2 и стандартную таблицу формы
^(п-2) Продолжая этот процесс до тех пор, пока не останется клеток,
мы получим ориентированный путь
0 = я(°> -* Я(1) -*...-* Я(п"1} -* Я(п) = Я (5.3)
в решетке Юнга ^. Этот путь однозначно определяется таблицей Г.
Обратно, начнем с произвольного ориентированного пути (5.3)
в решетке Юнга ^, ведущего из 0 к Я Ч п. На каждом шаге при
переходе от Я^_1) к А® добавляется клетка с числом i e {1,...,п}.
В результате мы получим стандартную таблицу формы Я.
Тем самым мы определили взаимно обратные биекции между
множеством 5я стандартных таблиц формы Я и множеством
ориентированных путей в решетке Юнга % ведущих от 0 к Я. В
частности, /я = card 5a равно количеству ориентированных путей в решетке
Юнга ^ ведущих от 0 к Я. D
Рассуждения в ходе доказательства леммы 5.6 показывают, что
каждый граф <% и решетка Юнга <& — (Jn % связны.
5.2.3. Операторы D и U
Пусть Z[<^] —свободная абелева группа с базисом {Я},
индексированным всеми вершинами решетки Юнга ^. Определим линейные
отображения D,U: Z[<^] —>Z[<^] следующими формулами: для А Ч п > 1
положим
D(A)= J]/i и 17(A) =]£ v.
/i^->A A^->v
Напомним, что если Я — разбиение числа п и /х с-> Я, то /х есть
разбиение числа п — 1; аналогично если Я <-> v, то v есть разбиение числа
п + 1. Будем по определению считать, что D{0) = 0и U{0) = v0, где
v0 = (1) — единственное разбиение числа 1.
Выпишем одно комбинаторное свойство операторов D и U,
связывающее их с целыми числами /я. Мы будем использовать следующее
обозначение: для к > 1 через Dk (соответственно Uk) обозначается
композиция к экземпляров оператора D (соответственно U). Мы также
определим D0 и U0 как тождественное отображение id группы Z[<^].
Лемма 5.7. Для любого разбиения Я Ч п > О имеют место
равенства __
£П(А)=/Я0 и £/"(0) = 2]/яЯ.
АЧп

§5.2. Решетка Юнга
257
Доказательство. Из определений следует, что для каждого к > 1
мы имеем
D*(A)= J] Z - Е Я(П-к) =
Я("-к) о->я("-к+1) ^...^ А(п_1) ^ А МН (n-fc)
где /^ — количество ориентированных путей в решетке Юнга,
ведущих от /X к Я. Для fc = п имеется только одно разбиение /х числа
п — к = О, а именно /х = 0, и тогда по лемме 5.6 выполнено равенство
/^ = /я. Тем самым получена требуемая формула для Dn(X).
Аналогичные рассуждения показывают, что для каждого
разбиения дНт^О справедливо равенство
UnM= J] &X-
АЧ(т+п)
Применив это равенство кт = Ои[л = 0, мы получим требуемую
формулу для Un (0). □
Операторы D и U обладают следующим замечательным свойством.
Лемма 5.8 (соотношение Гейзенберга). Имеет место равенство
DU-UD = i±
Доказательство. Пусть Я Ч п > 1. По лемме 5.4 имеем
(Ш)(Я) = J] D(v) = Xi Г S Я0 =аяЯ+ Е Я/' (5-4>
где а+— количество всех разбиений v Ч (п + 1), удовлетворяющих
условию Я ^-> v, и Л+ (Я) — множество всех разбиений Я7 Ч п, отличных
от Я, для которых существует (не обязательно единственное)
разбиение v Ч (п + 1), удовлетворяющее условиям Я <-> v и Я7 <-> v.
С помощью той же леммы 5.4 мы получаем
(ШЖА) = J] ВД = J] Г J] Я'] = <£* + J] А', (5.5)
/i^A /i^->A /1^Я' A'<eA-(A)
где а^ — количество всех разбиений [л Ч (п — 1), удовлетворяющих
условию /X ^-> Я, и А~(Я) — множество всех разбиений Я7 Ч п, отличных
от Я, для которых существует (не обязательно единственное)
разбиение ix Ч (п — 1), удовлетворяющее условиям /х с-> Я и /х с-> Я7.

258 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
По лемме 5.4 множества А+(Я) и А (Я) совпадают, а по лемме 5.5
имеем а^ = а~^ + 1. Вычитая равенство (5.5) из равенства (5.4), мы
получаем (ш-И»(А) = А.
Последнее равенство верно также для Я = 0, так как (DU — UD){0) =
= D(vo) = 0. □
Выведем следующую более общую формулу: для каждого л > 1
имеет место равенство
DUn-UnD = nUn-\ (5.6)
Оно доказывается индукцией по л. При л = 1 равенство (5.6)
совпадает с равенством из леммы 5.8. Для л > 2 по предположению индукции
и лемме 5.8 имеем
DUn = (ШП-1)1У = (t/^D + (л - 1)£/п"2)£/ = I/^DI/ + (л - l)*/*"1 =
= Un~l(UD + id) + (л -1)!/"-1 = £/nD + л£/п_1.
5.2.4. Доказательство теоремы 5.1
Из леммы 5.7 немедленно получаем
(я"[/пх0)=Г2(/А)2У
чАЧп
Поэтому для доказательства теоремы 5.1 достаточно проверить, что
также верно равенство
(Оп1/П)(0) = л!0.
Докажем это равенство индукцией по л. Случай л = 0 тривиален. Для
л > 1 имеем
(Dn£/n)(0) = (Dn-\DUn))W = {Dn-\UnD + nUn-l)){<Z>) =
= (Dn_1l7rl)(D(0)) + n(Dn-lUn-l){0) = л(л- 1)! 0 = л! 0.
Здесь второе равенство следует из формулы (5.6), а четвертое — из
предположения индукции и того, что D(0) = 0. □
Замечание 5.9. Тождество из леммы 5.8 показывает, что Ъ\%/\
является модулем над алгеброй Вейля Z(D, U)/(DU — UD — 1). Другой
классический пример модуля над этой алгеброй дают полиномы от
одной переменной t, на которых D действует как дифференцирование
d/dt, a U действует как умножение на t.
Упражнение 5.2.1. Вычислите /я для всех разбиений Я Ч л, л < 5.
(Указание: используйте диаграмму Браттели Щ на рис. 5.6.)

§ 5.2. Решетка Юнга
259
Упражнение 5.2.2. Пусть А = (Аь Яг,..., Яр) —такое разбиение,
что р > 1 и Я2 = ... = Ар = 1. Покажите, что
^=(\+!7а)-
(Указание: используйте индукцию по Ai +р.)
Упражнение 5.2.3.
а) Пусть А = (Аь А2) — разбиение на две части. Покажите, что
гЯ = /гА1 + А2Л f Ai + A2A = Ai-A2 + lfAi + A2*
1 V Я2 J V Я2 -1 У Ах +1 V Я2 -
б) Докажите, что
Е (/<Л"я")2=^т(2„")-1-
Х1>Х2>1
\1+\2=п
{Указание: используйте тождество Si^^Xfr-yvA-y' Где г'5' ^ —
положительные целые числа, для которых к < г + 5.)
Упражнение 5.2.4. а) Покажите, что существует единственное
семейство g(Ai,..., Ар) целых чисел, где Аь..., Ар — произвольные
неотрицательные целые числа, р> 1, для которого
1) g(Ai,..., Ар) = 0, если только не выполнены неравенства Ai >
>...>АР,
2) g(0) = 1, и если Ар = 0, то g(Ab ..., Ар_ь Ар) = g(Ab..., Ap_i),
3) если Ai > ... > Ар > 1, то
р
g(Ab ..., Ар) = 2^g(Ab..., Ai — 1,..., Ар).
;=i
б) Докажите, что для любого разбиения А=(Аь Аг,..., Ар) числа п
имеет место равенство /я = g(Ab ..., Ар). (Указание: задать
стандартную таблицу с п клетками — то же самое, что задать стандартную
таблицу с п — 1 клетками и указать, куда поместить п-ю клетку.)
Упражнение 5.2.5. Пусть х\,..., хр — независимые переменные,
и пусть полином Л(хь ..., хр) определен формулой
Д(хь...,хр)= Y\ (^_Л5)
Ki<j<p
при р > 2 и формулой A(xi) = 1 при р = 1.

260 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
а) Покажите, что
^XtAixu ...,xt +y,... ,хр) = (xi + ... + хр + ^-^—у)Д(.Х1,... ,хр).
i=i
(Указание: в левой части стоит однородный полином,
антисимметричный ПО Х\, ...,Хр.)
б) Покажите, что целые числа g(Ai,..., Яр) из упражнения 5.2.4
удовлетворяют равенствам
g(Ab...,Ap) = Л(Я1+р-1,Я2 + р-2,...,Яр)
(Ях + .-. + Лр)! (Я1+р-1)!(Я2+р-2)! ...Яр!
при условии, что Ях + р — 1 > Я2 + р — 2 > ... > Яр.
Упражнение 5.2.6 (формула крюков). Пусть D = D(X)
—диаграмма разбиения Я. Для (£,;) е D крюк: Н^ состоит из клетки (£,;)
вместе со всеми клетками диаграммы D, лежащими под клеткой (i,j)
в том же столбце, и со всеми клетками, лежащими правее клетки
(£,;) в той же строке. Количество hij клеток в крюке Hij называется
длиной крюка и вычисляется по формуле
hu = Xi + Xj-i-j + i9
где Ят — разбиение, сопряженное с Я.
а) Докажите, что
П
hs =
(Я1+р-1)!(Я2+р-2)! ...Яр!
Л(Х1+р-1,Х2+р-2,...,Хр)-
(ij) SD
б) Используя упражнения 5.2.4 и 5.2.5, докажите формулу крюков
1 l(i,j)eD"iJ
§ 5.3. Полунормальные представления
В этом параграфе мы вернемся к алгебрам Ивахори — Гекке H^iq)
из п. 4.2.2 и для каждого разбиения Я числа п построим Н„ (д)-модуль
у^. Начнем с того, что введем несколько обозначений.
5.3.1. q-целые числа и q-фа кто риалы
Зафиксируем коммутативное кольцо R и обратимый элемент q eR.
Для каждого целого числа п > 1 положим
[n]q = l + q + ... + qn-1eR (5.7)

§5.3. Полунормальные представления
261
и [n]\q = [l]q[2]q ... [n]q G R. Мы также положим [0]q =0и
[n]q = -qn[-n]q (5.8)
для п < 0. Заметим, что [l]q = 1, [—l]q = —q_1 и
[m + n]q = [m]q + qm [n]q = qn [m]q + [n]q (5.9)
для всех целых чисел тип.
Для заданного положительного целого числа п мы будем говорить,
что элемент q является п-регулярным, если элемент [n]\q обратим
в кольце R, или, что эквивалентно, если элементы [l]q, [2]q,... ,[n]q
обратимы в кольце R. Если элемент q является п-регулярным, то он
fc-регулярен для всех к = 1,..., п.
Напомним, что для таблицы Г по формуле (5.1) были определены
целые числа dr(l),..., dr(n — 1). Положим
аг(0 = J.-y, ^Я и Ьг(0=аг(0-9€Л. (5.10)
Поскольку 1 < |dr(0l < п — 1 по лемме 5.3, элементы аг(0 и Ьг(0
кольца R определены корректно при условии, что элемент q является
(п — 1)-регулярным.
Позже мы будем использовать очевидную импликацию
dr(0 = dr(i) => (аг(0 = ar(0 и Ьт(0 = &г(0)-
Лемма 5.10. Если элемент q является (п — 1)-регулярным, то
aT(i) = q «=> dT(0 = l " ат(0 = -1 <=* dT(0=-l- (5.11)
Доказательство. Положим d = dr(0- Тогда
аг(0=9 <=> [d]q = qd_1 <=> [d-l]q = 0.
Так как элемент q является (п—1)-регулярным и d < п, элемент [d — l]q
равен нулю тогда и только тогда, когда d = 1. Аналогично
доказывается вторая эквивалентность. □
5.3.2. Модуль Vx
Далее мы будем предполагать, что элемент q eR является (п—1)
-регулярным. В этом предположении мы для каждого разбиения Я Ч п
построим Н„ ^)-модуль V^.
Рассмотрим свободный R-модуль Уя = Vf с базисом {ит}те?х, где
5я — множество всех стандартных таблиц формы Я. Используя
определенные в предыдущем пункте элементы ат(0 и Ьт(0 кольца R, мы

262 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
определим действие образующих Гь ..., Тп-\ алгебры Hn(q) на базисе
модуля Уя по формуле
TtVT = aT{i)vT + bT{i)vs.T. (5.12)
Здесь S{T — таблица, получающаяся из таблицы Г переменой местами
чисел i и i + 1. Если таблица SiT не стандартная, то мы полагаем
vSiT = 0. Заметим, что элемент аг(0 обратим в кольце R.
Теорема 5.11. Формула (5.12) определяет на Vx структуру левого
Нп^)-модуля.
Доказательство теоремы 5.11 будет дано в §5.4. Модуль Уя
называется полунормальным, представлением алгебры H^(q). По
определению его ранг над R равен количеству /я стандартных таблиц
формы Я, или, что эквивалентно, количеству ориентированных путей
в диаграмме Браттели %, ведущих от 0 к Я.
Примеры 5.12. 1. Рассмотрим разбиение Я = (п),
соответствующее одной строке из п клеток. Имеется единственная стандартная
таблица Т формы (п). Поэтому модуль У(п) имеет только один
базисный вектор Vt- По лемме 5.3 и формулам (5.10) и (5.12) образующие
алгебры Hn(q) действуют на векторе Vj по формуле
TiVT = qvT (5.13)
для всех i = 1,..., п — 1.
2. Для сопряженного разбиения (1,..., 1) также имеется только
одна стандартная таблица V'. Модуль У{\,...,\) имеет единственный
базисный вектор vr* По лемме 5.3 и формулам (5.10) и (5.12)
образующие алгебры Hn(q) действуют на векторе иг по формуле
TiVr=-vr (5.14)
для всех i = 1,..., п — 1 (здесь vSir = 0 для всех £)•
Так как q и — 1 суть все корни полинома X2 — (q — 1)Х — q, модули
V(n) и V(i 1) являются единственными H^(q)-модулями ранга 1 над R.
5.3.3. Ограничение на подалгебру H^^q)
Здесь мы установим одно важное свойство полунормальных
представлений. Мы будем пользоваться следующим обозначением: когда
Hn(q)-модуль V рассматривается как Н^_г (q)-модуль при помощи
естественного вложения t: H^_x(q) ^->H^(q) (см. предложение 4.21), мы
обозначаем его V\hr_ (q).

§ 5.3. Полунормальные представления
263
Предложение 5.13. Для любого разбиения Я числа п существует
канонический изоморфизм H^_2 ^-модулей
VaIh^) = © V,-
/Iе-*А
Доказательство. Как мы заметили в доказательстве леммы 5.6,
число п в стандартной таблице формы Я Ч п обязательно
находится в некотором углу этого разбиения. Поэтому мы можем разбить
множество всех стандартных таблиц формы Я на подмножества,
определяемые углами, в которых находится число п. Таким образом, мы
получаем разбиение
^я = Ц Pp. (5.15)
/Iе-*А
А так как базис {ит} модуля Va индексирован элементами
множества 5я, мы получаем разложение R-модулей
/i^->A
Из формулы (5.12) следует, что образующие Гь ..., Гп_2 (но не
образующая Тп-{) сохраняют это разложение. D
Замечание 5.14. При замене скаляров полунормальные
представления ведут себя хорошо. Пусть /: R —> S — гомоморфизм
коммутативных колец и задан (п — 1)-регулярный обратимый элемент q e. R.
Тогда его образ q = /(q) будет (п — 1)-регулярным в кольце S. В этой
ситуации мы имеем H^iq) -модуль v£ и H„(q)-модуль v£. Согласно
предложению 4.56 имеем
S®RH*(q)^HS(c[).
Аналогично имеется изоморфизм Я^ (q) -модулей
S®RV*^V*. (5.16)
Пусть R0 = Q[qo> %l, (tn~l] ^0)_1] —наименьшее подкольцо поля
рациональных функций Q(qo), содержащее кольцо лорановых
полиномов Q[qo, q^1] и дробь 1/[п — 1]!qo. Ясно, что qo является (п —
^-регулярным обратимым элементом кольца R0. Для любого разбиения Я Ч п
R Rn
изложенная выше конструкция дает Hn°(q0) -модуль V^°. Этот модуль
универсален в следующем смысле. Для любого коммутативного
кольца R и любого (п — 1)-регулярного обратимого элемента q e R
существует единственный гомоморфизм колец f:R0-^R, отображающий

264 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
qo в q. Ввиду формулы (5.16) мы имеем изоморфизм Н„ (д)-модулей
V^R^V^0. (5.17)
Замечание 5.15. Применив изложенную выше конструкцию к R=Q
и q = 1, мы получим для каждого разбиения А Ч л некоторый модуль
V® над Я^(1) = Q[6n]. Тем самым Н„ (д)-модуль V* является
специализацией некоторого представления симметрической группы 6П.
Замечание 5.16. Обозначим через H£(q)x группу обратимых
элементов алгебры H^(q). Напомним, что имеется гомоморфизм групп
со: Вп —> Hn(q)x, отображающий образующую <т; группы кос Вп в 7J
для i = 1,..., л — 1. Для любого разбиения Я числа л обозначим через
ni:H*(q)^EndR(yi)
гомоморфизм алгебр, индуцированный действием алгебры H^(q) на
модуле Уя- Композиция гомоморфизмов со и тгя дает гомоморфизм
групп р\:Вп-^> AutflCVa,). Так как R-модуль Уд свободный ранга /я, мы
можем отождествить группу АШд(Уд) с группой обратимых матриц
порядка /я над R. Таким образом, мы получили представление рд
группы кос Вп матрицами порядка /я. По определению H^(q) матрица
Pa(0i), где i = 1,..., л — 1, удовлетворяет квадратичному соотношению
Pa to)2 - (q - 1)Ра(<7,-) - ?//* = О
(здесь /^ обозначает единичную матрицу порядка /я).
§5.4. Доказательство теоремы 5.11
Положим Р = {±1, ±2,..., ±(л — 1)} с Z. Для любого d € Р положим
/(d) = |^,
где элемент [d]q был определен в п. 5.3.1. Элемент /(d) кольца R
корректно определен и обратим, так как элемент q <eR обратим и
(л—^-регулярен.
Лемма 5.17. Пусть d,esP таковы, что d + esP. Тогда
l)/(d)+/(-d)=q-l,
2) /(d)/(e) = /(d + e)(/(d) -/(-e)).
Доказательство. 1. Применяя формулу (5.8), получаем
/(d)+/(-d) = T^- + 7^- = T^ £l_ = £zl = q_i.
[d]q [~d]q [d]q q^fd], [d]q ч

§5.4. Доказательство теоремы 5.11
265
2. Используя формулы (5.8) и (5.9), получаем
/(<*)/(е) [d + e]q [d]q+qd[e]q = i qd
f(d + e) [d]q[e]q [d]q[e]q [e]q + [d]q
= f(d)-^=f(.d)-f(.-e). D
Для доказательства теоремы 5.11 достаточно показать, что
определенные формулой (5.12) операторы 7\,..., Тп-\ удовлетворяют
соотношениям (4.16), (4.17) и (4.20).
5.4.1. Доказательство соотношения (4.16)
Если \i — j\ > 2, то по формуле (5.12) имеем
^•7;1;т=ат(0аг0>г+аг(0ЬгУ^
Здесь последнее равенство верно потому, что по лемме 5.2 (1) имеем
dsjti) = dT{j),
а так как скаляры ат(;) и ЬтО) являются функциями от drQ'), получа-
asjti) = cltU) и bs.r(;)=bT(;).
Кроме того, SjSi = S[Sj. Следовательно, выражение TjTiUj симметрично
по i и ;. Значит, TjTiVr = T[Tjvt Для всех Т.
5.4.2. Доказательство соотношения (4.17)
Пусть i € {1,..., п — 2}. Имеем
TiTi+1TiVT = (aT(0aT(i + l)ar(i) + bT(0as,T(i + l)bs.T(0K +
+ (aT(i)aT(i + l)bT(0 + brtOcis.Tti + l)as.T(0Kr +
+ aT(i)bT(i + l)as.+lT(0^+1r + aT(0br(i + 1)Ь51+1т(0^15,+1т +
+ bT(i)bSiT(i + 1)а5.+15.т(0^1+151т + bT(.i)bSiT(i + l)bs.+lS.T(0iVI+i^.
Аналогично
7}+17;-7-+ii;r = (ar(i + l)^^^
+ (aT(i + l)aT(0bT(i +1) + bT(i + l)as.+lT(0as.+lT(i +l)K+1r +
+ aT(i + l)br(0aSfr(i + iKr + aT(i + l)bT(0bs,r(i + l)^+isfr +
+ bT(i + l)bs.+lT(0as.s.+lT(i + l)^sI+1r +
+ bT(i + l)bSi+lT(0bSiSt+lT(i + l)^+1sA+1r.

266 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
Чтобы доказать равенство нулю вектора
w = TiTi+1TiVT-Ti+1TiTi+1vT,
достаточно проверить, что равен нулю коэффициент при каждом из
шести векторов vT, vs.T, vSi+lT, vSiSi+1T, vSi+iSit, vSisi+1sj в w.
1. Коэффициент А при ит в w равен
A = aT(i)aT(i + l)aT(0 + bT{i)aSiT{i + l)bs.r(0 ~
- aT{i + l)aT{i)aT{i +1) - bT(i + l)aSt+1r(0bSl+1r(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем aSlr(i + 1) = aSl+1r(0> поэтому
A = aT{i)aT{i + 1) {aT[i) — aT{i + 1)) +
+ as,T(i + 1) (br(0bstr(0 - br(i + l)bS|+1r(i + 1)).
Положим d = dr(i) и e = dr(i + 1). Из формул (5.10) находим
aril) = /Ут(0) = /№, bT(0 = /(d) - q,
ar(i + l)=/(dr(i + l))=/(e) и bT(i +1) = /(e)-q.
По лемме 5.2 (2) имеем
ds,r(0 = -d, dSlT(i + 1) = ds,+lT(0 = d + e, dSt+lT(i + 1) = -e,
поэтому as,T(i + 1) = aSi+lT(i) = /(d + e) и
MO = /HO -q, b5t+lT(i + 1) = f(~e)-q.
Итак,
^ = /(d)/(e)(/(d)-/(e)) +
+ /(d + e)((/(d)-q)(/(-d)-q)-(/(e)-q)(/(-e)-q)).
Используя лемму 5.17 (2), получаем А = /(d + e)Ao, где
A) = (/(d) -/(-e))(/(d) - /(e)) +
+ (/(d) - q) (/HO - q) - (/(e) - q) (/(-e) - q) =
= (/(d) - q)((/№+/HO) - (/(e) + /HO)).
Используя лемму 5.17 (1), мы получаем Л0 = 0. Следовательно, А =
= /(d + e)A0 = 0.
2. Коэффициент Б при i;s.r в w равен
Б=ат(0ат(1+1)Ьт(0+Ьт(0а51т(1+1)а51т(0-ат(1+1)Ьт(0а51т(1+1):=
= bT(0 (aT(i)ar(i +1) - (aT(i + l)-a5lT(i))aStT(i +1)).

§5.4. Доказательство теоремы 5.11
267
Как и выше, положим d = dr(0 ие = dr(i + 1). Тогда по лемме 5.2 (2)
имеем в = Ш(тт _ (/(е) _/(_d))/(d + e)).
Применим к /(d)/(e) лемму 5.17 (2) и вынесем /(d + е) за скобки,
а внутри скобок после перегруппировки слагаемых останется
(/(d) + /(-d))-(/(e)+/(-e)).
Двукратное применение леммы 5.17 (1) показывает, что это
выражение равно нулю.
3. Коэффициент С при vs.+1t в w равен
C = ar(Obr(i + l)aS|+1r(0-
- aT(i + l)aT(0bT(i + 1) - bT(i + l)as,+lT(0aSl+1r(i + 1) =
= bT(i + l)(aT(0a5I+1r(0 -aT(i)aT{i + 1) -as.+lT(0asI+1r(i + 1)).
Используя те же обозначения, что и выше в п. 1 и 2, и лемму 5.2 (2),
мы получаем
С = bT(i + l)(/(d)/(d + е) -/(d)/(e) - /(d + е)/(-е)).
Выражение в скобках равно нулю по лемме 5.17 (2).
4. Коэффициент D при vs.s.+1t в w равен
D = ar(i)br(i + l)bs.+lT(0 -br(i + l)bs,+1r(0as,s,+1r(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем dr(0 = ds.Sl+1r(i + 1), откуда следует, что
D = (aT(i)-aSiSi+lT(i + l))bT(i + l)bs,+lT(0 = 0.
5. Коэффициент Е при vs.+iS.t в w равен
Е = bT(0bs,r(i + l)as.+lS.T(0 -aT(i + l)bT(i)bs.r(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем ds.+lS.r(0 — drd + 1)? откуда следует, что
Е = (as.+lS,r(0 -aT{i + l))bT(i)bSiT{i + 1) = 0.
6. Коэффициент F при vs.s.+lSiT в ш равен
i7 = br(0bs,r(i + l)bSt+1s,r(0 -bT(i + l)bS|+1r(0bS|S|+1r(i + 1).
По лемме 5.2 (2) имеем
dT(0 = dSiSi+lT(i +1), dStT(i +1) = ds,+1r(0, dsi+1sfr(0 = dr(i +1),
из чего следует, что F = 0.

268 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
5.4.3. Доказательство соотношения (4.20)
Если числа i и i + 1 находятся в одной и той же строке таблицы Г,
то по лемме 5.3 (1) имеем dr(0 = 1, что в силу соотношений (5.11)
эквивалентно тому, что аг(0 = q и &т(0 = 0. Следовательно,
образующие Т[ действуют на vj по формуле
T(Ut = qvr-
Тогда
(T?-(q-m-q)vr = (q2-(q-l)q-q)vT = 0.
Если числа i и i +1 находятся в одном и том же столбце таблицы Г,
то по лемме 5.3 (2) имеем dr(0 = —1, что в силу соотношений (5.11)
эквивалентно тому, что ат(1)=—1. Так как таблица S(T не стандартная,
имеем vSiT = 0и
T(uT = -vt,
откуда следует, что
(7]2-(q-l)7;-q)i* = 0.
Если числа i и i + 1 стоят в разных строках и разных столбцах
таблицы Г, то векторы {uj, vs.t} порождают свободный R-подмодуль
ранга 2 модуля УЯ- Образующая Т{ действует на этом подмодуле как
матрица г
м = ЫЛ0 Ь5.т(0
\рт(0 ачг(0
Чтобы проверить соотношение (4.20) на этом подмодуле, достаточно
доказать, что след матрицы М равен q — 1, а ее детерминант равен —q.
Положим d = dr(0- Из лемм 5.2 (1) и 5.17 (1) следует, что
TrM = aT(0 + aStT(0=/(d)+/(-d)=q-l
и
detM = ат(0а51т(0 -Ьт(0Ь5,т(0 =
= /Ю/НО - (/(d) -q)(/("d) -q) =
= (/У)+/НО)? - q2 = (« -1)9 - q2 = -q.
Тем самым завершено доказательство соотношений (4.16), (4.17), (4.20)
и теоремы 5.11. D
Упражнение 5.4.1. Пусть /, g — функции из множества Р = {±1,
±2,..., ±(п — 1)} в множество обратимых элементов коммутативного
кольца R. Для любой стандартной таблицы Теп клетками и любого
i = 1,..., п — 1 положим ar(0 = /(dr(0) G Д и bj{i) = g(dr(0) е ^.

§5.5. Простота полунормальных представлений 269
а) Покажите, что формула (5.12) определяет структуру левого
Hn(q) -модуля на Va при условии, что функции / и g удовлетворяют
следующим трем условиям:
1)/(1) = 9или/(1)=-1;
2) для всех d е Р выполняются соотношения
/(d)+/(-d)=q-l и g(d)g(-d)=/(d)/(-d)+q;
3) для всех d,esP, для которых d+esP, выполняется соотношение
/(d + e)(/(d)-/(-e))=/(d)/(e).
б) Покажите, что если выполнены все условия из п. а), то для всех
de.P выполняются соотношения
у-рг- при /(1) = q,
/(d) = {
[d]q
-1
I [d]q
g(d)g(-d)=q
при/(1)=-1
[d-l]Jd + l]q
([d]q)2 '
Упражнение 5.4.2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле
характеристики нуль, и пусть Я — разбиение числа п. Покажите, что
формулы
1 , l-dr(0 1 , лАШ2-1
SiVT = lAi)VT + ^AirVs'T и SiVT = UT)VT+ dT(i) *V'
где i = 1,..., л — 1, определяют две структуры К[6П]-модуля на К-век-
торном пространстве с базисом {vt}t, индексированным
стандартными таблицами Г формы Я.
§ 5.5. Простота полунормальных представлений
В этом параграфе К будет алгебраически замкнутым полем,
характеристика которого не делит л!, где л — фиксированное
положительное целое число. Также будет фиксирован (л — 1)-регулярный элемент
q <еК\{0}, для которого алгебры Ивахори — Гекке H^(q),...,H^(q)
полупросты. По определению (л — 1)-регулярности и теореме 4.57 это
предположение выполняется для всех значений q, кроме некоторого
конечного числа алгебраических элементов из К\{0,1}. Мы будем
свободно пользоваться определениями из §4.5. Для упрощения
обозначений мы положим Va — V|f для любого разбиения Я.

270 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
Теорема 5.18. Модуль Уд над H^(q) простой для любого
разбиения Я числа л. Для любого простого конечномерного H^q)-модуля V
существует единственное разбиение Я Ч л, для которого V = Уд.
Так как н£(1) = К[<5п], эта теорема, в частности, дает
классификацию неприводимых представлений симметрических групп над К.
Доказательство. Будем действовать индукцией по л. При п = 1
мы имеем Я = (1). Как было замечено в примере 5.12 (1), модуль V(i)
одномерен и потому прост. Так как Hf (q) = К, ясно, что любой
простой H*(q)-модуль изоморфен модулю Vj^) = К.
Предположим, что Ум— простой H£_j(q)-модуль для любого
разбиения /х числа п — 1 и что любой простой H^_j(q) -модуль
изоморфен некоторому единственному модулю вида Ум. В этом утверждении
единственность означает, что из того, что Ум = Ум', следует, что /х = /х7.
Сначала покажем, что если Уд = Уд' — изоморфизм Я^(д) -модулей,
где Я и Я7 — разбиения числа л, то Я = Я7. Действительно, по
предложению 5.13 мы имеем изоморфизм H^_j(q)-модулей
По условию алгебра H£_2 (q) полупростая, а по предположению
индукции модули Ум и fy простые. Поэтому в силу предложения 4.32
имеем
{/х Ч (л -1): /х <^> Я} = {// Ч (л -1): /х' -* Я7}.
Так как множество углов разбиения Я равно дополнению к f] я D(/x)
в диаграмме £(Я), разбиения Я и Я7 имеют одинаковые углы. А
поскольку каждое разбиение определяется своими углами, получаем,
что Я = Я7.
Далее мы покажем, что H*(q)-модуль Уд простой для любого
разбиения Я числа л. Пусть У— ненулевой H*(q)-подмодуль модуля Уд.
Рассмотрим У и Уд как H^_j(q)-модули. Согласно предложению 5.13
имеем
/1е-» А
По предположению индукции это разложение в прямую сумму простых
H^iq)-модулей и модули Ум в этом разложении попарно
неизоморфны. Возьмем какой-нибудь ненулевой простой H^_j(q) -подмодуль У7
модуля У. Мы утверждаем, что существует такое разбиение /х с-> Я, что
У7 = Ум. Сначала покажем, что существует такое разбиение /х ^-> Я, что

§5.5. Простота полунормальных представлений 271
У = Ум. Если бы это было не так, то для всех таких /х по
предложению 4.30 (1) мы бы имели Нотнк (д)(У, VM) = 0. Но в цепочке
0 Нот^^У', Vy) = Нот^^У', Уд) э Нот^^У', У)
самый левый модуль тогда был бы равен нулю, в то время как
самый последний отличен от нуля. Это противоречие доказывает, что
У7 = Ум для некоторого /х с-> Я. Простые модули Ум попарно
неизоморфны, поэтому опять в силу предложения 4.30 (1) получаем, что
Нотнк (д)(У7, У,/) = 0 для всех /х7 ф /х, /х7 <—> Я. В частности, проекция
подмодуля У7 с Уд на каждое слагаемое V^ равна нулю для всех /х7 <-> Я,
кроме /х7 = /х. Отсюда мы заключаем, что У7 = Ум.
Если имеется только одно такое разбиение /х Ч (л — 1), что /х ^-> Я,
то У7 = Ум = Уд. Следовательно, У = Уд, и мы доказали, что модуль Уд
простой.
Предположим, что имеется еще одно разбиение /х7 <-> Я,
отличное от /х. Так как /х ^-> Я, диаграмма D(/x) получается из диаграммы
£(Я) удалением некоторого угла; пусть это будет угол (г, 5).
Аналогично диаграмма D(/x7) получается из диаграммы £>(Я) удалением
угла (г7,57). Ясно, что, так как /х / М7, мы также имеем (г, 5) ф (г7,s7).
Рассмотрим стандартную таблицу Г формы Я, в углу (г, 5) которой
стоит число л, а в углу (г7, s7) стоит число л — 1 (очевидно, такая
таблица Г существует). Заметим, что таблица sn-iT, которая получается
из таблицы Т переменой местами чисел л — 1 и л, тоже стандартная.
Рассмотрим вектор
Тп-гит = aT(n-l)vT + bT(n-l)vSn_lT e Уд. (5.18)
Разложим этот вектор в соответствии с предложением 5.13. По
определению вложения Ум ^->Уд, данному в доказательстве предложения 5.13,
с учетом того, что /х получается из Я удалением угла (г, 5) с числом л,
мы видим, что
VT € V = Ум.
Аналогично vSti1t £ Ум'. Поскольку числа л — 1 и л находятся в углах
таблицы Г, они расположены в разных строках и разных столбцах.
Поэтому по лемме 5.3 (3) имеем с*г(л — 1) ф 1. С учетом первой из эк-
вивалентностей (5.11) отсюда следует, что aj{n — 1) ф q и, значит,
Ът{п — 1) ф 0. Тогда из равенства (5.18) мы получаем, что вектор
vsn-iT G V/i' является линейной комбинацией векторов vt и Tn-\VT,
которые оба принадлежат У. Итак, модуль У содержит некоторый

272 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
ненулевой элемент из V^. А так как V^—простой H£_j(q) -модуль
и пересечение У П V^ является его ненулевым H^_j(q) -подмодулем,
мы получаем V DV^ = V^, т.е.Уэ V^. Это включение верно для всех
разбиений \х' <^-> Я, отличных от \х. Так как У э V = Ум, мы получаем
/1/(->А
Таким образом, У = Уя, и модуль V\ простой.
Наконец, мы покажем, что любой простой конечномерный H%(q)-
модуль изоморфен модулю V\ для некоторого Я Ч п. Это будет
следовать из соображений простого подсчета размерностей. Так как
алгебра H*(q) полупростая, она имеет конечное число простых
конечномерных модулей (рассматриваемых с точностью до изоморфизма).
Эти модули содержат попарно неизоморфные модули вида V\. Если бы
алгебра H^(q) имела хотя бы один ненулевой простой
конечномерный модуль, не изоморфный модулю вида Vx, то по следствию 4.55
и теореме 5.1 мы бы имели
dim*Hftq) > £(dimKyA)2 = J]{fx)2 = n\.
AHn AHn
Но это противоречит теореме 4.17, утверждающей, что dimK Hn(q)=n\.
а
Для любого разбиения Я числа п обозначим через
7Гя:Н£(д)-^Е1к1к(Уя)
гомоморфизм алгебр, индуцированный действием алгебры H*(q) на
модуле V\. Следующий результат непосредственно вытекает из
теоремы 5.18 и следствия 4.55.
Следствие 5.19. Гомоморфизм алгебр к\ индуцирует изоморфизм
алгебр ^
H«{q)-^Y\EndK{Vx).
AHn
Упражнение 5.5.1. Найдите размерности всех простых модулей
над H*(q) для п < 5. {Указание: используйте упражнение 5.2.1.)
Упражнение 5.5.2. Пусть К — алгебраически замкнутое поле,
содержащее кольцо Z[q,q_1]. Покажите, что существует изоморфизм
алгебр H%(q) = К[<&п]. (Указание: используйте следствие 5.19 и
замечание 5.15.)

§5.5. Простота полунормальных представлений 273
Упражнение 5.5.3. Покажите, что оба К[6П]-модуля из
упражнения 5.4.2 простые и они изоморфны друг другу. (Указание:
рассмотрите ограничения на K[(5n-i] и проведите индукцию по п.)
Упражнение 5.5.4 (алгебры путей). Пусть К — поле и п —
положительное целое число.
а) Определим g?n как К-векторное пространство с базисом {ESj}s,t,
индексированным всеми парами (S, Г) стандартных таблиц
одинаковой формы Я Ч п. Мы снабдим &>п структурой алгебры, полагая
_(Es,r, если Г-S',
EsjEs',r ~ л „ „ , „,
{ О, если Т ф S'.
Вектор ^тЕт,т является единицей этой алгебры. (Алгебра 2?п
называется алгеброй путей.) Покажите, что алгебра g?n изоморфна
произведению матричных алгебр
9n = Y[Mfxon,
АНп
где /я — количество стандартных таблиц формы Я. (Указание:
сначала рассмотрите элементы ESj, где S,T — стандартные таблицы
заданной формы Я, и покажите, что их линейная оболочка является
подалгеброй алгебры ^п, изоморфной Mfx(K).)
б) Каждому базисному элементу ESj £ &n-\ сопоставим элемент
i(Es,T) = 4£iEs>,rePn,
S',T
где Sf и Tf пробегают множество всех стандартных таблиц с п
числами, которые получаются из таблиц S и Г соответственно добавлением
клетки с числом п. Покажите, что таким образом определен инъек-
тивный гомоморфизм алгебр i: &п-\ —> ё?п-
в) Для Я Ч п определим ^-модуль U\ как К-векторное
пространство с базисом {иТ}т, индексированным всеми стандартными
таблицами Г формы Я, на котором алгебра £?п действует по формуле
Г us, если Т = Т',
Es'r"r = l0, если Г ф Г.
Покажите, что если рассматривать [/д как 2?п-\ -модуль при помощи
вложения i: £?n-i -> &*п, то

274 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
г) Докажите, что ^-модуль U\ простой для каждого разбиения
ЯНпи что любой простой ^-модуль изоморфен модулю этого вида.
§ 5.6. Простота приведенного представления Бурау
В этом параграфе мы покажем, что определенное в п. 3.3.1
приведенное представление Бурау группы кос неприводимо.
Начнем с одного свойства матриц V\,..., Vn-\ e GLn_i (Л), которые
были определены в теореме 3.9, где Л = Z[t, t_1]. Пусть К —
алгебраически замкнутое поле, содержащее кольцо Л (мы можем принять
К = С). Рассмотрим (п—1)-мерное векторное пространство S£n-\,
состоящее из всех столбцов над К высоты п — 1. Матрицы Vb..., Vn_i
действуют на S£n-\ как левое матричное умножение.
Лемма 5.20. Пусть п>3и clgK. Равенствам VtV = av, где vGS£n-i,
удовлетворяет для всех i = 1,..., п — 1 только один нулевой вектор.
Доказательство. Из вида матрицы Vi явствует, что ее
собственными значениями являются только 1 и —t. Поэтому достаточно
доказать лемму для а = 1 и а = — t.
Легко проверить, что собственное пространство действия
матрицы Vt на ££п-\, соответствующее собственному значению —1, есть
гиперплоскость в if„_i, состоящая из всех столбцов, £-й элемент
которых равен нулю. Ясно, что пересечение всех этих гиперплоскостей
равно нулю.
Следовательно, собственное пространство матрицы V; для второго
собственного значения, т. е. —t, одномерно. Для доказательства
леммы достаточно доказать, что эти одномерные подпространства,
соответствующие i = 1 и i = 2, не совпадают. Немедленно проверяется, что
для матрицы Vi (соответственно V2) это собственное пространство
порождается вектором (1 + t)v\ — V2 (соответственно tv\ — (1 +1)^), где
(vi,..., vn-i) —канонический базис пространства S£n-\. В заключение
заметим, что эти два вектора не коллинеарны (здесь мы используем
тот факт, что t2 + t + l/0B К). D
Далее мы установим связь матриц Vi,..., Vn_i с алгеброй Ивахо-
ри — Гекке H^(t). (Здесь мы используем параметр t, а не q, который
мы использовали в предыдущих параграфах настоящей главы,
чтобы наши обозначения были согласованы с обозначениями из гл. 3.)
Согласно теореме 4.57, так как поле К имеет характеристику нуль
и элемент t e К неалгебраичен, каждая алгебра H^(t) полупроста.

§ 5.6. Простота приведенного представления Бурау 275
Напомним, что алгебра Ивахори — Гекке была определена с помощью
образующих Гь ..., Тп-\.
Предложение 5.21. На векторном пространстве 5£п-\
существует, единственная структура Н% [^-модуля, для которой каждая
образующая Т{ (£ = 1,..., п — 1) действует на 5£п-\ как умножение на
матрицу -Vt.
Доказательство. Из п. 3.3.1 нам известно, что матрицы Уь • • •, Уп-\
удовлетворяют соотношениям (4.16) и (4.17). Поэтому матрицы —Уь
..., —Vn-\ также удовлетворяют этим соотношениям. Легко проверить,
что каждая матрица VJ- удовлетворяет равенству
(У( ~In-i)(Yi + tln-г) = V? + (t - 1)щ ~ tln-г --= 0.
Следовательно,
(-Vi)2 = (t-l)(-Vi) + tIn-l
для всех i = 1,..., n — 1. Другими словами, матрицы — Vb ..., ~Vn-i
удовлетворяют соотношению (4.20), в котором q заменено на t. □
Из теоремы 5.18 следует, что H^(t)-модуль !£п-\ разлагается в
прямую сумму простых модулей вида V\, где Я — разбиение числа п
(определение модуля Уя см. в § 5.3). Как мы увидим ниже, на самом деле
модуль 5£п-\ простой.
Теорема 5.22. Существует изоморфизм H%(t)-модулей J£n-\~Ух[п),
где А[п] —разбиение (2,1,1,..., 1) числа п.
Доказательство. Мы докажем эту теорему индукцией по п.
1. Если п = 2, то в соответствии с п. 3.3.1 образующая 7\
действует как умножение на матрицу (t) порядка 1. Положив t = q в
формуле (5.13), мы видим, что S£\ является простым модулем Va[2]» гДе
Я [2] = (2) —разбиение, диаграмма которого состоит из одной строки
с двумя клетками.
2. Предположим, что теорема верна для всех положительных
чисел к <п, где п — заданное целое число, не меньшее чем 3.
Рассмотрим естественную проекцию 5£п-\ —> %п-г-> которая получается
удалением нижнего элемента в столбце из S£n-\. Заметим, что все матрицы
—Vi,..., —Vn-2 имеют вид
-«-С? 4
где V^.° e GLn-2(A) —матрица, определенная приведенным
представлением Бурау группы кос Вп-ъ и bi — строка длины п ~ 2, равная 0

276 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
при i < п — 2 и (0,..., 0, —1) при i = п — 2. Таким образом, проекция
ifn_! —> ifn-2 индуцирует точную последовательность H^_x{t)-модулей
О _> у _> J^-xl^^ -> ^п_2 -> О,
где 5£п-\\нк (t) есть -%-ь рассматриваемый как Я* (t) -модуль при
помощи естественного вложения Н%_г (t) <^-> H%(t), и У — одномерный
#£_! (О -модуль, состоящий из столбцов, в которых первые п — 2
элемента равны нулю. Так как образующие Гь ..., Гп_2 действуют на У
как умножение на —1, получаем, что H^_x(t)-модуль У изоморфен
модулю Ум[п_1], где//[п — 1]—разбиение (1,..., 1) числа п —1. А из
того, что алгебра Н*_г (t) полупростая, следует, что модуль S£n-\ \нк_ (t)
полупростой, а значит, в силу предложения 4.28 он вполне приводим.
Таким образом, существует изоморфизм H^_1(t) -модулей
^n-ilH^(t) = ^n-2ey.
Используя предположение индукции, мы получаем следующие
изоморфизмы H^_1(t) -модулей:
-%-iIhj_iW = &п-2 е У ^ уЯ[п-1] е ум[п_!]. (5.19)
Из предложения 5.13 и вида изоморфизмов (5.19) следует, что
если Уя входит в разложение модуля S£n-\-> то диаграмма разбиения Я
такова, что при удалении любого из ее углов мы получим либо
диаграмму разбиения [л[п — 1], либо диаграмму разбиения Я[п — 1] (и
никаких других). Далее, согласно лемме 5.20 модуль S£n-\ не может
содержать одномерного представления. Этот факт вместе с
примерами 5.12 показывает, что диаграмма разбиения Я имеет по меньшей
мере две строки и два столбца. Таким образом, для разбиения Я
остается очень небольшой выбор—такое разбиение Я обязательно равно
либо разбиению Л[п], либо разбиению (2,2) числа п = 4.
Следовательно, при п ф 4 существует изоморфизм $£п-\ = (Ух[п])а
для некоторого неотрицательного целого числа а. Если ограничить
этот изоморфизм на подалгебру Н^_г^), мы получим изоморфизм
i?n-ilnj.l(o = (Уя[п-1])а е (Ум[п-1])а.
Сравнивая его с разложением (5.19), в силу единственности
разложения (предложение 4.32) мы получаем а = 1, и теорема доказана
в случае п ф 4.
При п = 4 имеем
^3-(vA[4])ae(y(2,2))b

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
277
для некоторых неотрицательных целых чисел а и Ъ. Ограничив этот
изоморфизм на подалгебру H^(t), мы получим
^3lHf(t) = (VA[3])(a+b)®(VM[3)])a.
Снова сравнивая полученное разложение с разложением (5.19), мы
получаем а + Ь~ 1 и a — 1, откуда следует, что Ъ = 0, и теорема доказана
в случае п = 4. □
Следствие 5.23. Приведенное представление Бурау
i)rn:Bn^GLn-dK)
неприводимо.
Доказательство. Неприводимость представления грТп означает, что
оно сохраняет в Кп~1 только подпространства 0 и Кп~1. Пусть имеется
такое подпространство W, тогда
для всех i = 1,..., п ~ 1. По определению действия алгебры H%(t) на
S£n-\ векторное пространство W является H*(t)-подмодулем модуля
S£n-\. А так как согласно теореме 5.22 модуль S£n-\ простой, мы
получаем, что либо W = О, либо W = Кп~1. □
Упражнение 5.6.1. Проверьте, что
In-i-Vi-V2 + VXV2 + V2Vi ~ ViVaVi - 0.
Выведите отсюда, что i^n-i является модулем над факторалгеброй
алгебры H^(t) по двустороннему идеалу, порожденному элементом
1 + Тг + Т2 + 7i72 + ад + 7ir27i.
(Эту факторалгебру мы будем обсуждать в п. 5.7.2.)
§5.7. Алгебры Темперли —Либа
Мы завершим эту главу изучением семейства алгебр, тесно
связанных с алгебрами Ивахори — Гекке.
5.7.1. Определение и приведенные слова
Для простоты мы будем вести рассмотрения над полем С
комплексных чисел. Зафиксируем целое число п> 2 и ненулевое
комплексное число а.

278 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
Определение 5.24. Алгеброй Темперли—Либа Ап(а) называется
С-алгебра, порожденная л — 1 элементами еь..., en_i, подчиненными
соотношениям
eiej = ejei (5.20)
для i, j = 1,2,..., л — 1, удовлетворяющих условию \i~j\>2,
eiejei = ei (5.21)
для i, j = 1,2,..., л — 1, удовлетворяющих условию \i — j\ = 1, и
е\ = ае{ (5.22)
для i = 1,2,..., л — 1.
Любое слово вц... в{г в алфавите {еь ..., en-i) представляет
некоторый элемент алгебры Ап{а). Пустое слово представляет единицу 1
алгебры Ап(а).
Определим индекс непустого слова w = et1... etr как максимум всех
индексов ii,..., ir, входящих в слово w. Если индекс слова w равен р,
то мы будем говорить, что ер—максимальная образующая слова w.
Будем считать, что индекс пустого слова равен 0.
Лемма 5.25. Любое непустое слово w — е^... etr равно в алгебре
Темперли—Либа Ап{а) скалярному кратному некоторого слова, в
которое максимальная образующая входит ровно один раз.
Доказательство. Проведем индукцию по индексу р слова w. Если
р = 1, то слово w представляет собой положительную степень
буквы е\. Из соотношения (5.22) мы получаем е\ — а{~1е\ для всех i > 1.
Следовательно, лемма 5.25 верна для р — 1.
Предположим, что лемма 5.25 верна для всех слов индекса
меньше р. Рассмотрим непустое слово w = el]L... etr индекса р.
Предположим, что буква ер входит в слово w не менее двух раз. Тогда слово w
имеет вид w = Wiepw'epW2, где W\ и w2 —произвольные слова, a w' —
слово индекса I < р.
Если I < р — 1, то ввиду соотношения (5.20) слово w' коммутирует
с ер. Поэтому, используя соотношение (5.22), имеем
w = Wiepw/epW2 = u)\w'e^wi = awiw'epW2.
Таким образом, мы уменьшили количество вхождений буквы ер в
слово w на 1.
Если I = р — 1, то по предположению индукции мы можем считать,
что буква е\ = ер-\ входит в подслово w' только один раз, так что
w/ = w3ep-iW4, где ш3 и ш4 — слова, индекс которых не
превосходит р — 2. Следовательно, слова ш3 и ш4 коммутируют с ер. Используя

§5.7. Алгебры Темперли —Либа
279
соотношение (5.21), мы получаем
w = Wiepw'epw2 = w\epw3ep-\W4epu)2 =
= WiW3epep-iepw4W2 = WiW3epw4W2.
Мы опять уменьшили количество вхождений буквы ер в слово ш на 1.
Продолжая рассуждать рекурсивно, мы можем преобразовать
слово w в скалярное кратное такого слова, в которое максимальная
образующая входит ровно один раз. □
Для 1 < к < п ~ 1 определим ЕП)к как множество таких наборов
(£ъ ---,ik,h,---, jk) из 2fc целых чисел, что
О < ii < i2 < ... < ifc < л, 0 < л < J2 < ... < jk < п
и
Для такого набора s = (£ь ..., £&, Л» • • •» jjt) положим
es - (e^e^-i... ек){еке{2-Х... eJ2)... fafcelW ... ejk).
В этом выражении для е§ внутри каждой пары скобок индексы
убывают слева направо. Заметим, что индекс слова е§ равен ik. Мы будем
говорить, что слово вида е§, где
5 е Еп = Епд U ЕЩ2 U ... U ЕП)П-1,
называется приведенным словом в алгебре Темперли—Либа Ап{а).
Лемма 5.26. Линейная оболочка множества {е§}§еЕп приведенных
слов совпадает со всей алгеброй Темперли—Либа Ап(а).
Доказательство. Достаточно доказать, что любое слово w—e^... elr
является скалярным кратным некоторого приведенного слова. Мы
проведем индукцию по индексу р слова w.
Если р = 1, то слово w есть скалярное кратное буквы еь
являющейся приведенным словом.
Пусть р > 1. Предположим, что каждое слово индекса, индекс
которого меньше р, является скалярным кратным некоторого
приведенного слова, индекс которого меньше р. Пусть w — произвольное
слово индекса р. По лемме 5.25 слово w является скалярным кратным
некоторого слова шо = W\epW2, где W\ и w2 — слова, индекс которых
меньше р. По предположению индукции мы можем считать, что
слово и)2 приведенное. Это значит, что
w2 = e§ = fe^-i... e/Jfe^-i... eh)... fekelW ... ejk)
для некоторого s = (£ь ..., ik, jb ..., jk) e ЕпЛ, где ik < p.

280 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
Если ik< р — 2, то слово w2 коммутирует с ер и
ePw2 = fe^-i... e/Jfo^-i... eJ2)... fekelW... ejk)(ep).
Если ik = p — 1, то
epw2 = fe^-i... e/Jfe^-i... e,-2)... {epeikeik-i... ejk).
В обоих случаях слово wq равно в алгебре Темперли — Либа Ап{а)
некоторому слову вида w'{epep-\... eq), где w' — слово индекса р' <р
и q < р. По предположению индукции мы можем ограничиться
случаем w' = е§> для некоторого s7 = (i7,..., iz7, ;7,...,)[) е Е^. Имеем
iz7 — p'<p\ положим q7 = jz7.
1. Если q7 < q, то слово
w0 = wf(epep-i ...eq) = es>(epep_i...eq)
приведенное.
2. Если q7 > q, то u/ = w"(ep'ep'-i... eq'), где q < q7 < p' < p и
слово ш77 имеет индекс, меньший чем р7. Если q7 < р — 2, то, используя
соотношения (5.20) и (5.21), получаем
eq'(epep-l • • • eq) — ер£р-1 • • • ^q'+lK^q'^q'+l^q'J^q'-l • • • 6q =
— £р£р—1 . . . 6q/+2^q/^q/—1 • • • &q =
= (е^вд/-!... eq){epep-i... eq>+2).
Поэтому
w0 = w"{eq>eq>-i ...eq)(epep_i...eq'+2).
Так как слово w"{e^e^-\ ...eq) имеет индекс, меньший чем р,
слово w0 имеет вид, рассмотренный в случае 1, откуда и следует нужный
результат.
Если q7 = р — 1, то р1 = q7 = р — 1 и, применяя соотношение (5.21),
имеем
£q' l^p^p—1 • • • £q) = l^p—l^p^p—1J • • • £q = £p—1 • • • £q«
Поэтому w0 = w77(ep_i... eq), где подслово ш77 имеет индекс, меньший
чем р' = р — \. Таким образом, слово w0 имеет индекс р — 1, и нужный
результат следует из предположения индукции. □
Лемма 5.27. Имеет место равенство
п + 1 V п J
Целое число ( п )/(п + 1) называется п-м числом Каталана.

§5.7. Алгебры Темперли— Либа
281
Доказательство. Каждому элементу (ib ..., ik, ;ь ..., jk) GEn>fc мы
сопоставим путь
(0,0) -> (ib 0) -> (ib ja) -> (i2, ji) -> (i2, j2) -> • • •
• • • -> (ifc, Л-i) -> (ifc, л) -> (п, л) -> (л, n)
в множестве (R x Z) U (Z x R) с R2. Это ориентированная
полигональная линия, в которой чередуются горизонтальные и вертикальные
ребра, все горизонтальные ребра направлены направо, а все
вертикальные ребра вверх. Назовем такой путь допустимым путем из (0,0)
в (л, л). Допустимый путь, возникающий из некоторого элемента
множества Еп, лежит под диагональю {(х, у) е R2: х = у}, т. е. в октанте
{(х, у) е R2: 0 < у < х}. Ясно, что каждый лежащий под диагональю
допустимый путь из (0,0) в (л, л) может быть получен таким способом
из некоторого единственного элемента множества Еп.
Подсчитаем теперь допустимые пути из (0,0) в (л, л), лежащие
под диагональю. Перенеся параллельно допустимый путь из (0,0) в
(л, л) на вектор (1,0), мы получим допустимый путь из (1,0) в (л+1, п),
не пересекающий диагональ. Обратно, любой допустимый путь из
(1,0) в (л+1, л), не пересекающий диагональ, представляет собой
некоторый параллельно перенесенный допустимый путь из (0,0) в (л, л),
лежащий под диагональю.
Чтобы подсчитать все допустимые пути из (1,0) в (л + 1, л),
которые не пересекают диагональ, мы вычтем из количества всех
допустимых путей из (1,0) в (л + 1, л) количество всех допустимых путей,
пересекающих диагональ.
Любой допустимый путь из (1,0) в (л + 1, л) имеет л единичных
горизонтальных ребер и л единичных вертикальных ребер. Поэтому
количество допустимых путей из (1,0) в (л + 1, л) равно
биномиальному коэффициенту f n J.
Каждому допустимому пути у из (1,0) в (л + 1, л), который
пересекает диагональ, мы следующим образом сопоставим допустимый
путь у' из (0,1) в (л + 1, л). Возьмем точку (£, \) на пересечении
диагонали с путем у, для которой i минимально, затем заменим часть
пути у от (1,0) до (i, 0 на ее отражение относительно диагонали,
после чего примем за у1 объединение этой отраженной части пути
от (1,0) до (i, 0 с оставшейся частью пути у от (i, i) до (л +1, л). Ясно,
что путь у' допустимый. Любой допустимый путь из (0,1) в (л + 1, л)
обязательно пересекает диагональ и поэтому получается описанным
способом из некоторого единственного допустимого пути из (1,0)

282 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
в (п +1, п). Далее, любой допустимый путь из (0,1) в (п + 1, п) имеет
п + 1 единичных горизонтальных ребер и п — 1 единичных
вертикальных ребер. Поэтому количество всех допустимых путей из (0,1)
в (п +1, п) равно биномиальному коэффициенту ( j^+Л- Он также
равен количеству всех допустимых путей из (1,0) в (п +1, п), которые
пересекают диагональ.
Подводя итог, мы видим, что
Camhn~Vn) U + lJ- n\n\ (n + l)!(n-l)! "
Из лемм 5.26 и 5.27 немедленно вытекает следующее
неравенство.
Предложение 5.28. Имеет место неравенство
dimcAn(a)<^(2n").
Мы позже (следствие 5.32 или замечание 5.35) увидим, что на
самом деле это неравенство является равенством.
5.7.2. Связь с алгебрами Ивахори — Гекке
Здесь мы установим связь между алгебрами Темперли—Либа Ап (а)
и однопараметрическими алгебрами Ивахори — Гекке Hn(q) — Н„ (q).
Напомним, что алгебра Hn(q) была определена с помощью
образующих Гь..., Гп_ь
Теорема 5.29. Пусть числа q,a E С\{0} удовлетворяют
равенству a2 = {q + l)2/q.
1. Существует такой сюръективный гомоморфизм алгебр \Р: Нп (q) —>
-^Ап(а),что
*(71) = ^е*-1 (5.23)
для всех i = 1,..., п — 1.
2. При п — 2 гомоморфизм Ф: Нп (q) —> Ап (а) является изоморфизмом.
3. При п > 3 ядро гомоморфизма Ф является двусторонним идеалом
алгебры Hn(q), порожденным, элементом 1 + 7i + Т2 + Т\Т2 + Г2Г! +
+ Г1Г2Г1.
Заметим, что из условия на а и q в этой теореме следует, что

§5.7. Алгебры Темперли — Либа
283
Доказательство. 1. Для i = 1,..., п — 1 положим
U = Ф(Тд = ±±±е{ -1 е Лп(а). (5.24)
Формула (5.23) определяет гомоморфизм алгебр Ф: Hn{q) —> Лп(а)
при условии, что элементы tb ..., tn_i удовлетворяют соотношениям
(4.16), (4.17) и (4.20), в которых 7} заменены на t;. Проверим эти
соотношения.
Соотношение (4.16), очевидно, следует из соотношения (5.20).
Убедимся, что выполнено соотношение (4.17). Если \i — j\ = 1, то,
используя соотношения (5.21) и (5.22), получаем
Отсюда и из равенства (q + 1)2/а2 = q следует, что
ищ - tjtitj = (^)3(е< -ej) - (^) а(е,- -е,) + (^)(е, -е,) =
= Ф((^)'-й + 1) +!)(*-*) =
= ^(Ч-(« + 1) + 1)(«|-<5) = 0.
Убедимся, что выполнено соотношение (4.20). Используя
соотношение (5.22), получаем
t,2-(q-l)tl-q = (^ei-l)2-(q-l)(i±iei-l)-q =
Г« + М2в2 ,« + !,, (q-l)(q + l). , г- ^ „
= l""7~J е,-2-^-е, + 1 ei + (q-l)-q =
= 1—J «е-2^-е; е, =
= i±2((q + l)-2-(q-l))e« = 0.
Из формулы (5.23) следует, что
для всех i = 1,..., п — 1. Поэтому все образующие е, алгебры Ап(а)
принадлежат образу гомоморфизма Ф: Нп (q) —> Ап (а), что доказывает
сюръективность гомоморфизма Ф.

284 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
2. Алгебра А2{а) порождена одним элементом е, подчиняющимся
соотношению е — ае. Легко проверить, что сопоставление е •-> ———
определяет гомоморфизм алгебр А2{а) —> H2(q), обратный к \£.
3. Из формулы (5.24) следует, что
Подставляя эти выражения для еь..., еп-\ в соотношения (5.20)-(5.22),
мы получаем соотношения для t\,..., tn_i. Легко видеть, что
соотношение, полученное таким способом из соотношения (5.20)
(соответственно из (5.22)), эквивалентно соотношению (4.16)
(соответственно (4.20)), в котором 7} заменены на t;.
Если \i — j\ = 1, то из соотношений (5.21) и (4.20) получаем
eieJei-ei = {^Tl) fc + l)(tj + l)(t1- + l)-^Tfe + l) =
= й+1й^г,"+1)^+1)(г|+1)"9(г|+1^ =
= (^l)^fct^+tl'tj'+t^
Это доказывает, что
1 + tt + t/ + Щ + t/t£ + rft/tf = 0
для всех i,j, для которых \i — j\ = 1. Поэтому ядро 1п гомоморфизма
Ф: Ип(я) —» Лп{а) является двусторонним идеалом алгебры Hn(q),
порожденным элементами
1 + 7} + 7} + 71-7} + 7J7i + 1\Щ
для всех i = 1,..., п — 1, для которых \i — j\ = 1. Так как 7}7}7! = 7/7}7J-,
достаточно рассмотреть образующие, соответствующие парам (£,;),
где ; = i +1. Следовательно, 1п есть двусторонний идеал алгебры Hn(q),
порожденный элементами
1 + 7} + 7J+1 + 7i7i+1 + 7}+17} + 7J7J+17},
где1* = 1,...,л-1.
Далее, как было замечено в упражнении 1.1.4, для i = 2,..., п — 1
в группе кос Вп имеет место равенство
<7f = (0-1C72 • • • ^n-l)M(Ji((7i(72 . . . Gn-i)~{i~l\

§5.7. Алгебры Темперли —Либа
285
Обозначим через со образ элемента <Ji<T2 ... crn-i в алгебре Hn(q) при
мультипликативном гомоморфизме Вп —>Hn(q), отображающем сг*1 в
Т*1 для всех L Ясно, что элемент со обратим в Нп (q) и Тх■ = со1~1 Т\ со~^~^.
Отсюда следует, что
1 + 7} + 7}+i + TJi+i + 7i+i7£ + 7i7;-+i7} =
= со{~1{1 + 7i + Г2 + ТгТ2 + Т2Тг + Г1Г2Г1)со"(|"-1}
для всех i = 1,..., п — 1. Следовательно, двусторонний идеал /„
порожден одним элементом 1 + Тг + Т2 + Г^ + r2Ti + TiT2Ti. D
5.7.3. Полупростой случай
На протяжении всего этого пункта мы будем предполагать, что q и
а — ненулевые комплексные числа, связанные условием а2 = (q + l)2/q
из теоремы 5.29, и что предположения § 5.5 выполняются для q и
целого числа п > 3. В частности, из них следует, что алгебра Ивахори —
Гекке Hn(q) полупростая и потому в силу следствия 4.51 алгебра
Темперли— Либа Ап{а) тоже полупростая.
Согласно теореме 5.18 любой простой Hn(q)-модуль имеет вид
Уя = V^ для некоторого разбиения Я числа п. Мы можем задаться
вопросом, какой модуль Уя индуцирован из некоторого Ап (а) -модуля
с помощью сюръекции Ф: Hn(q) —>Л„(а). Другими словами, для каких
разбиений Я числа п имеет место равенство
InVx = 0, где In = Ker(^: Hn(q) -> Ап(а))?
Лемма 5.30. Если Я = (Яь Яг,..., Яр) — такое разбиение целого
числа п > 3, что Я; е {1,2} для всех i = 1,..., р, то InVx = 0.
Заметим, что разбиения в лемме 5.30 — в точности те разбиения,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов.
Доказательство. В силу теоремы 5.29 (3) достаточно показать,
что элемент
X = 1 + 7\ + Т2 + Т{Т2 + Г27\ + ЪЪТ, G H3(q) С Hn(q)
действует на Уя тривиально. Проведем индукцию по п > 3.
Пусть п = 3. В этом случае имеются только два разбиения числа п,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов, а именно
Я = (1,1,1) и [л = (2,1). Как нам известно, модуль Уя одномерен,
и все образующие Т{ действуют на Уя как умножение на —1. Отсюда
следует, что элемент X действует на Ух тривиально. Модуль Ум двумер-

286 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
1 2| 13
Т Г
ный с базисом {vT,vT'}, где Г и Г7 —
стандартные таблицы формы ix, изображенные
на рис. 5.7. Заметим, что Т' = s2Т и ни одна
из таблиц SiT и SiT' не стандартная. Имеем
Рис. 5.7 Две стандарт- d (1) = г = _^ (1) и d (2) = _2 = _dr(2)
ные таблицы формы/i __ ,Г1М ,г-,0л
Используя формулы (5.10)-(5.12), мы
получаем, что образующие 7\ и Гг алгебры Hn(q) действуют на базисе
{ит, vr) модуля Ум как умножения на матрицы
Г1 = |? ?) и Т2 = - 1 ( '
^0 -1) q + 1 ^l + q + q2 -q2
Отсюда получаем, что
ТгТ2=-
ч ч2
q + 1 {-(1 + q + q2) q2
q -q
q + 1 I q(l + q + q2) q2
ШТ^
2 2
ч -q
2
q + 1 l-q(l + q + q2) -q
Из этих вычислений следует, что X = 0 на Ум.
Пусть п> 4, и пусть Я — разбиение числа п, диаграмма
которого состоит из одного или двух столбцов. Далее, X е H3(q) с Hn_i(q).
По предложению 5.13 имеем разложение
VAk_I(q)=©VM,
где ]U пробегает все разбиения числа п — 1, получающиеся из
разбиения Я удалением угла. Диаграмма такого разбиения /х также состоит
из одного или двух столбцов. По предположению индукции элемент X
действует на V^ как нуль. Следовательно, элемент X действует на Va
как нуль. D
Предложение 5.31. Для любого п > 3 имеет место соотношение
dimc/n = n!-^T(2nn)>0. (5.26)
Для любого разбиения Я числа п тогда и только тогда выполняется
равенство InVx = 0, когда диаграмма разбиения Я состоит из одного
или двух столбцов.

§5.7. Алгебры Темперли —Либа
287
Доказательство. Обозначим через к\\ Hn(q) —> Endc(V^)
гомоморфизм алгебр, индуцированный действием алгебры Hn(q) на
модуле Уя- По лемме 5.30 имеем п\{1п) = 0 для всех разбиений Я,
диаграммы которых состоят из одного или двух столбцов, поэтому
изоморфизм из следствия 5.19 инъективно отображает идеал 1п
в произведение
Y] ЕпсНУя),
АеЛ>3(п)
где Л^з(п) — множество всех разбиений числа п, диаграммы которых
состоят не менее чем из трех столбцов. Следовательно, по теореме 5.1
имеем
Л<ЕЛ>3(п) АеЛ<2(п)
где Л^2(п) —множество всех разбиений числа п, диаграммы которых
состоят из одного или двух столбцов. Напомним, что /я = /я , где
Ят — сопряженное к Я разбиение (см. п. 5.1.5). Для любого разбиения
Я € Л^2(п) сопряженное разбиение Ят состоит из не более чем из двух
частей, и мы выводим из упражнения 5.2.3 (б), что
Е </V=E</A')2=^r(2„")- e«)
А<ЕЛ<2(п) Яг
Следовательно,
dimc/n<n!-^I(2nn). (5.29)
С другой стороны, из определения идеала 1п и предложения 5.28
следует, что
dime In = dime H„(9) - dimc А, (а) > л! - ^ (^). (5.30)
Сопоставляя неравенства (5.29) и (5.30), мы получаем равенство в
формуле (5.26).
Из формул (5.26), (5.27) и (5.28) следует, что
dimc/n= Ya ^Я)2' (5-31)
ЛеЛ>3(п)
Так как /я > 0 для любого Я/0и множество Л>з(я) непусто,
получаем, что dime In > 0. Кроме того, из вычисления dime In следует, что
инъекция
/„-> f] EndcOb) (5.32)
ЛеЛ>3(п)

288 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
является изоморфизмом алгебр. Поэтому 1пУх — яя(/п)Уя = 0 тогда и
только тогда, когда Я ф Л>3(я), что эквивалентно тому, что Я е Л<2(я).
Следствие 5.32. Пусть п > 2.
1. Размерность алгебры Ап{а) как комплексного векторного
пространства равна -, ,2п\
dimcA„(a) = jrTI(J.
2. Множество {её}§еЕп приведенных слов является базисом
пространства Ап{а).
3. Гомоморфизм алгебр Ап(а) —> Лп+1(а), определенный правилом
е{ •-> е; для всех i = 1,..., п — 1, является инъекцией.
4. Алгебра Ап{а) полупростая. Любой простой Ап{а)-модуль
изоморфен некоторому единственному модулю вида Ух, где Я—разбиение
числа п, диаграмма которого состоит из одного или двух столбцов.
Доказательство. 1. Для п>3 это утверждение следует из
предложения 5.31, так как
dimc Л,(a) = dimc Hn(q) - dimc /„.
Для п = 2 утверждение 1 проверяется непосредственно.
2. По леммам 5.26 и 5.27 множество приведенных слов
порождает пространство Ап{а) и состоит из
^T(2n") = dimcAn(a)
векторов. Следовательно, это множество является базисом.
3. Этот гомоморфизм отображает базис пространства Ап(а) в
подмножество базиса пространства Ап+1(а); следовательно, он инъек-
тивен.
4. Мы уже заметили, что алгебра Ап(а) полупростая. Пусть Я —
разбиение числа п, диаграмма которого состоит из одного или двух
столбцов. По лемме 5.30 алгебра Ап{а) = Hn(q)/In действует на
модуле Уд,- Если бы модуль Ух не был простым как Ап(а)-модуль, то
он не был бы простым и как Hn(q)-модуль, что противоречило бы
теореме 5.18.
Ввиду следствия 5.19 и изоморфизма (5.32) мы имеем
изоморфизмы алгебр
An{a)^Hn{q)IIn^ W EndcOb).
А<ЕЛ<2(п)
Следовательно, каждый простой Ап (а) -модуль изоморфен модулю
вида Ух для некоторого Я е Л<2(п). □

§5.7. Алгебры Темперли —Либа
289
5.7.4. Графическая интерпретация алгебр Темперли —Либа
Мы завершим наш обзор теории алгебр Темперли—Либа тем, что
дадим графическую интерпретацию их элементов.
Для п > 1 простой п-диаграммой D назовем такое дизъюнктное
объединение п гладко вложенных дуг в R х [0,1], что его край 3D
состоит из точек (1, 0),..., (п, 0) и (1,1),..., (п, 1), D \dD с R х (0,1)
и касательный вектор к каждой из этих дуг в концевой точке
параллелен прямой {0} х R. Две простые п-диаграммы называются
изотопными, если их можно продеформировать друг в друга в классе
простых п-диаграмм. На рис. 5.8 и 5.9 изображены все простые
п-диаграммы с точностью до изотопии для п = 1,2,3.
Рис. 5.8. Простые 1- и 2-диаграммы
и w
(Л
(Л Г\
Рис. 5.9. Пять простых 3-диаграмм
Лемма 5.33. Количество изотопических классов простых
п-диаграмм равно п-му числу Каталана ——г f п ).
Доказательство. Под полуокружностью мы будем понимать
евклидову полуокружность в верхней полуплоскости R х [0, +<»),
концевые точки (и центр) которой лежат на прямой R х {0}. Ясно, что
если в произвольной простой п-диаграмме верхние концевые точки
потянуть вниз так, как показано на рис. 5.10, то мы получим
объединение п дизъюнктных вложенных дуг в полуплоскости R х [0, +<»),
2п концевых точек которых лежат на прямой R х {0}. Такое
объединение мы можем произотопировать в систему п дизъюнктных
полуокружностей. Эти преобразования устанавливают биективное
соответствие между изотопическими классами простых п-диаграмм и изо-

290 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
1 D |
Рис. 5.10. Превращение простой п-диаграммы
в систему полуокружностей
топическими классами п дизъюнктных полуокружностей. Поэтому
достаточно подсчитать количество изотопических классов таких систем.
Припишем концевой точке полуокружности метку L
(соответственно R), если это левая (соответственно правая) концевая точка
полуокружности. Пусть теперь дана система п дизъюнктных
полуокружностей. Читая метки концевых точек этой системы слева направо
и перемещаясь по прямой R х {0}, мы получим некоторое слово w
длины 2п в алфавите {L, R}. Слово w в этом алфавите называется
словом Дика, если в него буква L входит столько же раз, сколько буква R,
и если ни в каком префиксе этого слова число вхождений буквы R
не превосходит числа вхождений буквы L. Легко видеть, что каждое
слово Дика длины 2п возникает из некоторой системы п дизъюнктных
полуокружностей, единственной с точностью до изотопии.
Далее мы каждому слову Дика w длины 2п сопоставим
полигональный путь Гш в R2 с последовательными вершинами (хо,Уо), (*bji),
• • •, (х2п, У2п)- Здесь х0 = уо = 0 и для каждого к е {1,..., 2п} точка
(*к, Ук) определяется по индукции по формулам хк=хк-г +1 и ук=Ук-г,
если fc-я буква в слове w есть L, и хк = xk-i ^ Ук— Ук-\ + 1> если fc-я
буква в слове w есть R. Поскольку в слово w буква L входит п раз
и буква R тоже п раз, путь Гш ведет из точки (0,0) в точку (п,п).
Ясно, что путь Гш допустим в том смысле, который был определен
в доказательстве леммы 5.27. Кроме того, путь Гш лежит под
диагональю из-за условия на префиксы слова w. Обратно, любой допустимый
путь из (0,0) в (п,п), лежащий под диагональю, имеет вид Гш для
некоторого единственного слова Дика w длины 2п.
Итак, количество изотопических классов простых п-диаграмм
равно количеству допустимых путей из (0,0) в (п, п), лежащих под
диагональю. По лемме 5.27 это количество равно п-му числу Каталана. □
Зафиксируем ненулевое комплексное число а. Обозначим через
А'п{а) комплексное векторное пространство, натянутое на изотопи-
f\

§5.7. Алгебры Темперли— Либа
291
ческие классы простых п-диаграмм. По лемме 5.33 размерность
пространства А'п(а) равна n-му числу Каталана. Каждая простая п-диа-
грамма D представляет некоторый вектор из А'п{а), который мы будем
обозначать [D].
Снабдим пространство А'п(а) структурой ассоциативной алгебры.
Для любых двух простых п-диаграмм D иВ/ определим D # D' как
одномерное подмногообразие в R х [0,1], полученное присоединением
диаграммы D к верхней части диаграммы Df и последующим
сжатием получившегося результата в R х [0,1]. Тогда D # D' представляет
собой дизъюнктное объединение п вложенных дуг и некоторого
числа fc(D, D') > О вложенных окружностей. Удалив эти окружности, мы
получим простую п-диаграмму, которую мы будем обозначать D oD'.
Положим [D]m=a^\DoD%
Легко проверить, что эта формула определяет ассоциативное
умножение на А'п{а). Простая п-диаграмма
1„ = {1,...,л}х[0,1]
представляет единицу алгебры А'п{а).
Следующая теорема дает графическую интерпретацию алгебры
Темперли — Либа Ап (а).
Теорема5.34. Для 1 = 1,...,п—1 обозначим через е[ простую
п-диаграмму, изображенную на рис. 5.11. Сопоставление
е*-> [e-L i = l,...,n-l,
определяет изоморфизм алгебр Ап(а) —> А'п(а).
i+1 i+2
Рис. 5.11. Простая п-диаграмма е[
Доказательство. Приятное упражнение — проверить, что
элементы [е[],..., [e^_j] алгебры А'п{а) удовлетворяют определяющим
соотношениям (5.20)-(5.22) алгебры Ап{а). Следовательно, существует

292 Глава 5. Представления алгебр Ивахори —Гекке
такой гомоморфизм алгебр /: Ап(а) —> А'п{а), что /(е*) = [e't] для всех
i = 1,..., п — 1. Проверим теперь, что / является изоморфизмом.
Достаточно проверить, что гомоморфизм / сюръективен, так как по
предложению 5.28 мы имеем
dime А,(а) < ^(2ПП) = dime Kid).
Таким образом, достаточно доказать следующее утверждение: если
простая п-диаграмма D не изотопна единичной п-диаграмме 1П, то
она равна в алгебре А'п(а) произведению элементов вида [е\], [е'2],...,
Докажем это утверждение индукцией по п. При п = 2 диаграмма D
изотопна диаграмме е\ и утверждение верно. Предположим, что это
утверждение верно для всех простых диаграмм с п — 1 дугами, и
докажем его для простой диаграммы Den дугами. Выпишем нижние
концевые точки диаграммы D в порядке слева направо: Pi,..., Рп. Так
как [D] ф [1п], в диаграмме D найдется дуга, соединяющая две
нижние концевые точки этой диаграммы. А поскольку дуги диаграммы D
дизъюнктны, в диаграмме D найдется дуга, соединяющая две
последовательные нижние концевые точки этой диаграммы. Обозначим через
i = i(D) минимальное число i = 1, 2,..., п — 1, для которого точки Pi
и Pt+i соединяются некоторой дугой диаграммы D. Далее проведем
индукцию по i(D).
Если i(D) > 1, то, как мы сейчас покажем, [D] = [D7] [е[], где D' —
простая п-диаграмма, для которой i{D') = i(D) — 1. Диаграмма D/
получается из диаграммы D следующим преобразованием в некоторой
окрестности точек Pt-i,Pi,Pi+i. Вначале мы немного продеформируем
дугу диаграммы D, выходящую из точки Р{-\, чтобы для этой дуги
появились локальный максимум и локальный минимум функции
высоты. Затем потянем вверх эти локальные максимумы и минимумы,
пока не добьемся того, чтобы локальный минимум лежал строго выше
той дуги диаграммы D, которая соединяет точки Pi и Pi+i. Тогда мы
можем обособить дугу е[ и представить D как D = D' о е[. Переходя
к изотопическим классам, мы получаем равенство [D] = [D7]^].
Остается рассмотреть случай i(D) = 1. Построим простую п-диа-
грамму D" так, чтобы выполнялось условие [D] = [D"][ej].
Рассмотрим ту дугу диаграммы D, которая выходит из самой левой верхней
концевой точки в R х {1}. Возьмем маленькую часть этой дуги вблизи
верхней концевой точки и потянем ее вниз так, чтобы она была
близка к той дуге диаграммы D, которая соединяет точки Pi и Р2. Это поз-

§5.7. Алгебры Темперли—Либа
293
волит нам обособить дугу е\ и представить [D] в виде [D] = [D"][ej].
Ясно, что диаграмма D" содержит нить, соединяющую самую левую
нижнюю концевую точку с самой левой верхней концевой точкой.
Другими словами, диаграмма D" получается добавлением слева
вертикального отрезка к некоторой простой (п — 1)-диаграмме. Из
предположения индукции следует, что [D"] является произведением
элементов вида [е^],..., [^.J. Тем самым наше утверждение доказано
и доказательство теоремы завершено. □
Замечание 5.35. Из теоремы 5.34 следует, что размерность
алгебры Темперли — Либа Ап{а) равна п-му числу Каталана. Это дает еще
одно доказательство следствия 5.32 (1). Но это доказательство более
общее, так как оно верно для произвольного значения комплексного
параметра а.
Упражнение 5.7.1. Пусть К = Си !£п-\ —#£(<?)-модуль,
определенный в § 5.6. С помощью теоремы 5.22 и леммы 5.30 покажите,
что 5£п-\ является модулем над алгеброй Темперли — Либа Ап{а), где
a2 = (q + l)2/q.
Упражнение 5.7.2 (идемпотенты Джонса — Венцля). Пусть и—
такое ненулевое комплексное число, что и2к ф 1 для всех к = 1,..., п.
Положим a = —(и + и'1). Определим элементы /ь ..., fn e Ап(а) по
индукции, полагая /]=1и
uk-i_u-(k-i) ^
]к — Jk-1 Н £ Zfc Jk-l^k-lJk-1
U —U
для всех к = 2,..., п. Покажите, что /fc2 = fk для всех к = 1,..., п и что
Uiy ••• >fn) — единственная последовательность элементов алгебры
Лп(а), для которой fk — 1 является линейной комбинацией непустых
слов в алфавите {еь ..., e^-i} для всех к = 1,..., п и для всех I < к
верны равенства
eifk = fkei = 0.
Упражнение 5.7.3. Пусть Сп = ( п J/(n +1) — п-е число Каталана.
а) Покажите, что
п
^п+1 = / j ^i^n—i
i=0
для всех п > 0. (Указание: каждое слово Дика w длины не менее 2
можно единственным способом записать в виде w = LwiRw2, где w\
и w2 — (возможно, пустые) слова Дика.)

294 Глава 5. Представления алгебр Ивахори — Гекке
б) Выведите следующую производящую функцию для чисел Ката-
лана: ^
ЕС гп_ 1-Л^4^
^пХ " 2х
п=0
Замечания
До 1983 г. по существу единственным интересным известным
линейным представлением группы кос Вп было представление Бу-
рау. Ситуация радикально изменилась, когда Воган Джонс ввел в
рассмотрение алгебры Темперли — Либа и использовал их для
построения новых представлений групп кос; см. [Jon83], [Jon84], [Jon86],
[Jon87], [Jon89]. Вскоре после этого Н. Ю. Решетихин и В. Г. Тураев,
воодушевленные трудами Джонса, показали, как получить
конечномерные представления групп кос из представлений квантовых групп;
см. [Tur88], [RT90]. Обстоятельные введения в теорию квантовых
групп и их связей с косами и зацеплениями см. в книгах [Tur94],
[Kas95], [KRT97]. В этой главе мы следовали «двойственному» подходу
к представлениям групп кос Вп, основывающемуся на теории алгебр
Ивахори — Гекке.
Содержание §5.1 стандартное; см, например, [Jam78], [FH91],
[Ful97], [SagOl]. Наше доказательство теоремы 5.1 следует Стенли;
см. [Sta88], а также [SagOl, Sect. 5.1]. Эту теорему также можно доказать
с помощью соответствия Робинсона — Шенстеда, дающего биекцию
еп ^ Ц 5я х 5я;
АНп
см. [Knu73, Sect. 5.1.4], [Ful97, Chap. 4], [SagOl, Chap.3].
Формула крюков в упражнении 5.2.6 принадлежат Фрэйму,
Робинсону и Троллу (см. [FRT54]); доказательство см., например, в
книгах [Knu73, Sect.5.1.4], [Gol93, Sect. 12], [SagOl, Chap.3]. В
формулировке этого упражнения мы следовали книге [Mat99, Chap. 3, Ex. 25].
Упражнение 5.5.4 взято из книги [GHJ89, Chap. 2] (см. также статью
[Ram97]).
Модули Уя в §5.3 были построены Хёфсмитом (см. [Ное74]) как
обобщение полунормальных представлений Юнга симметрических
групп. Общая теория полунормальных представлений дана в статье
[Ram97]. В § 5.3-5.5 мы следовали работам [Ное74], [Wen88], [Ram97].
Люстиг (см. [Lus81]) построил изоморфизм из упражнения 5.5.2 в
явном виде.

Замечания
295
Изложение теории алгебр Ивахори — Гекке и их представлений
без предположения полупростоты можно найти, например, в работах
[DJ86], [DJ87], [Gec98], [Mat99].
Джонс (см. [Jon84], [Jon86], [Jon87]) обратил внимание на тот
факт, что приведенное представление Бурау группы кос Вп появляется
как простой модуль, ассоциированный с разбиением (2,1,..., 1).
Линейные представления алгебр Темперли — Либа впервые
возникли в физике в работе Темперли и Либа [TL71]. Сами алгебры
Темперли—Либа были введены Джонсом (см. [Jon83]) при изучении
подфакторов. Джонс (см. [Jon84], [Jon86]) также связал эти
алгебры с алгебрами Ивахори — Гекке и с группами кос. Идемпотенты
Джонса — Венцля из упражнения 5.7.2 были введены Джонсом в
работе [Jon83]. Определяющая их индуктивная формула принадлежит
Венцлю (см. [Wen87]). Эти идемпотенты играют важную роль в
теории инвариантов трехмерных многообразий (см. [Tur94, Sect.XII.4]).
Читателю, интересующемуся числами Каталана, мы советуем
поближе ознакомиться с книгой [Sta99, Ex. 6.19], где перечислены 66
множеств, мощность каждого из которых равна п-му числу Каталана.
В §5.7 мы по существу следовали книге [GHJ89, Sects 2.8-2.11].
Дополнительные сведения о графической интерпретации алгебр
Темперли— Либа можно найти в работах [Kau87], [Kau90], [Kau91],
[Tur94, Sect.XII.3].
Также следует отметить, что Форманек и др. классифицировали
все комплексные неприводимые представления групп кос Вп в
размерностях не больше п; см. [For96], [FLSV03]. Дополнительную
информацию о представлениях группы кос В3 можно найти в работах [TW01],
[TubOl]. Факторалгебры групповых алгебр для групп кос по
кубическим соотношениям были исследованы Фунаром и др.; см. [Fun95],
[BF04].

;ЙЙРЙ:<5
Гарсайдовы моноиды и моноиды
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОС
Группы кос можно рассматривать как группы частных некоторых
моноидов, которые называются моноидами положительных кос. Эти
моноиды принадлежат более широкому классу так называемых гар-
сайдовых моноидов. В этой главе мы исследуем свойства моноидов
и особенно гарсайдовых моноидов. В качестве приложения этой
теории мы изложим решение проблемы сопряженности для групп кос.
Мы также обсудим обобщенные группы кос, ассоциированные с
матрицами Коксетера.
§6.1. Моноиды
6.1.1. Определения и примеры
Моноидом называется множество М, наделенное бинарной
операцией (умножением) М х М —> М, ассоциативной и имеющей
нейтральный элемент. Для любых элементов а,Ь е М образ пары (а, Ь) е
GM хМ при умножении обозначается ab и называется произведением
элементов а и Ъ. Ассоциативность означает, что {аЪ)с = а(Ьс) для всех
а,Ь,с е М. Нейтральный элемент 1 е М удовлетворяет равенствам
al = la = a для всех aGM. Такой элемент всегда единствен.
Говорят, что моноид М обладает свойством левого
(соответственно правого) сокращения, а также сокращения слева (соответственно
сокращения справа), если для всех a, b,csM справедливы импликации
ab = ac => Ъ = с (соответственно Ъа = са => Ь = с).
Элемент а моноида М называется обратимым, если существует
такой элемент Ъ еМ, что ab = ba = 1. Моноид называется группой,
если все его элементы обратимы.

§6.1. Моноиды
297
Отображение / моноида М в моноид М' называется
гомоморфизмом моноидов, если f{ab) = f(a)f(b) для всех a,b e M и если оно
отображает нейтральный элемент моноида М в нейтральный элемент
моноида М'.
Примеры 6.1. 1. Множество неотрицательных целых чисел
относительно операции сложения является моноидом. Он обозначается N.
2. Множество положительных целых чисел относительно
операции умножения является моноидом. Он обозначается Nx.
3. Свободным моноидом над множеством X называется такой
моноид X*, содержащий X как подмножество, что любое отображение
множества X в произвольный моноид М продолжается единственным
образом до некоторого гомоморфизма моноидов X* —> М. Это
свойство определяет X* с точностью до изоморфизма моноидов. Легко
показать, что каждый элемент w моноида X* можно единственным
способом представить в виде некоторого слова в алфавите X, т. е. в
виде произведения нескольких элементов из X с X*. Число элементов
из X в этом разложении (подсчитанное с кратностями) называется
длиной слова w и обозначается через l(w). Ясно, что Z(l) = 0,1(х) = 1
для х е X и l{ww') = l(w) + l(w') для любых w, w' e X*. Для X = 0
моноид X* состоит только из одного нейтрального элемента; это
тривиальный моноид.
Моноиды из примеров 6.1 обладают свойствами левого
сокращения и правого сокращения, и их нейтральные элементы суть
единственные обратимые элементы.
6.1.2. Делимость в моноидах
Если а = be, где а,Ь,с — элементы моноида М, то мы говорим, что
элемент b является левым делителем элемента а, а элемент с является
правым делителем элемента а. Мы также говорим, что элемент а
является правым кратным элемента b и левым кратным элемента с.
Мы пишем b 4 а и а ^ с. Например, Наиа>1 для всех aGM, так
как а — \а — а\.
Лемма 6.2. Отношения ^ и ^ в любом моноиде рефлексивны
и транзитивны.
Доказательство. Рефлексивность отношения =^ следует из
тождества а = а\, а транзитивность — из ассоциативности умножения.
Доказательства для отношения ^ аналогичны. D

298 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.1.3. Атомные моноиды
Для любого элемента а ф 1 моноида М положим
||а|| = sup{r > 1: а = ai...аг, где аь ... ,аг еМ\{1}} е {1,2,..., оо}.
Также положим ||1|| = 0. Легко проверить, что для любых элементов
a,b gM имеет место неравенство
||аЫ|>||а|| + ||Ы|.
Заметим, что ||а|| =■ 0 тогда и только тогда, когда a = 1.
Элемент а^М называется атомом, если ||а|| — 1. Иными словами,
элемент а<ЕМ является атомом, если а Ф 1 и из разложения a = а\... аг
следует, что для всех £, кроме одного, а* = 1. Любой элемент a sM,
для которого ||а|| конечное, разлагается в произведение a = а\... аг,
где г = ||а|| и аь ..., аг — атомы. Это объясняет следующее
определение: моноид М называется атомным, если для всех а<ЕМ число ||а||
конечное.
В качестве упражнения читатель может проверить, что
определенные выше моноиды N и Nx атомные, а также что все свободные
моноиды атомные. Моноид {1,х} с умножением
x2 = xl = lx = x, 11 = 1
не является атомным. Группы не имеют атомов и не атомны (за
исключением тривиальной группы).
Лемма 6.3. Если элементы aub атомного моноида М
удовлетворяют условиям а =^ Ъ и Ъ ^ а, то а = Ъ. Аналогично если а^ЪиЪ^а,
то а = Ь.
Доказательство. Так как а =4 b =4 а, существуют такие u,v e M,
что Ь = аии a — bv. Тогда a = auv и
\\a\\ = \\auv\\>\\a\\ + \\u\\ + \\v\\.
Отсюда следует, что ||ц|| = ||i;|| = 0. Следовательно, u = v = 1 и а = Ь.
Аналогично рассматривается отношение ^=. □
Из лемм 6.2 и 6.3 следует, что отношения ^ и ^ на любом
атомном моноиде являются частичными порядками.
Для любого подмножества Е атомного моноида М мы говорим,
что элемент a e E максимален (соответственно минимален)
относительно =^, если b ^ а (соответственно а ^ Ь) для всех b e E.
Максимальный (соответственно минимальный) элемент подмножества Е

§6.1. Моноиды
299
может не существовать, но если он существует, то он единствен в силу
леммы 6.3. Аналогичные определения применимы к отношению ^=.
Уравнение аЪ = 1 в атомном моноиде М имеет единственное
решение: а = 1, Ъ = 1. Действительно, если аЪ = 1 для а, Ъ еМ, то 1 =^ а =^ 1,
откуда следует, что а = 1иЬ = 1.В частности, нейтральный элемент
является единственным обратимым элементом моноида М.
6.1.4. Задание моноида образующими и соотношениями
Рассмотрим множество X и некоторое подмножество R в X* х X*.
Обозначим через ~ наименьшее отношение эквивалентности на X*,
содержащее все пары (шхгш2, w\r,w2), где (г, г7) eR и шь ш2 £Х*.
Иными словами, ~ есть наименьшее отношение эквивалентности на X*,
для которого wirw2~ Wir'w2 для всех (г, г7) е R и шх, ш2 € X*.
Определим М как множество классов эквивалентности для отношения ~.
Ясно, что на множестве М имеется единственная структура моноида,
для которой проекция Р: X* —> М является гомоморфизмом
моноидов. Элементы множества X называются образующими моноида М,
а элементы множества R называются соотношениями в моноиде М.
Мы говорим, что (X\R) является заданием моноида М образующими
и соотношениями.
Ясно, что множество Р(Х) с М порождает моноид М в том
смысле, что каждый элемент моноида М является произведением
элементов этого подмножества. Для любого соотношения (г, г7) е R элемент
Р(г) = Р{г') моноида М называется релятором, ассоциированным
с заданием (X\R). Впоследствии мы часто будем вместо соотношения
(г, г7) е R писать г = г7 и не различать образующую х е. X и ее проекцию
Р(х) в моноиде М.
Заметим, что любое отображение / множества X в моноид М7
тогда и только тогда индуцирует гомоморфизм моноидов М —> М7,
когда для продолжения /*: X* —> М7 отображения / на моноид X*
выполняются равенства /*(г) = /*(г7) для всех (г, г7) е R.
Определим несколько полезных классов заданий моноидов
образующими и соотношениями. Задание (X|R) моноида образующими и
соотношениями называется конечным, если оба множества X и R
конечные. Задание (X\R) моноида М образующими и соотношениями
называется взвешенным, если существует такой гомоморфизм моноидов
I: М —> N, что £ (х) > 1 для всех х еХ. Гомоморфизм £ называется весом.
Задание (X\R) моноида М образующими и соотношениями
называется уравновешенным по длине, если /(г) = Z(r') для всех (г, г7) е R,

300 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
где I —функция длины на моноиде X*, определенная в п. 6.1.1. Тогда
формула £(х) = 1 для всех хеХ определяет канонический вес I: М —>N.
Таким образом, все уравновешенные по длине задания моноидов
образующими и соотношениями суть взвешенные задания. Обратное
утверждение неверно: например, задание (х, у \ х3 = у2) является
взвешенным, но оно не уравновешено по длине.
Лемма 6.4. Если моноид М имеет взвешенное задание (X\R)
образующими и соотношениями, то он атомный и все его атомы
содержатся в множестве X образующих. Если моноид М имеет
уравновешенное по длине задание (X\R) образующими и соотношениями,
то множество его атомов совпадает с множеством X образующих
и \\а\\ — £(а) для всех asM, где I — канонический вес на моноиде М.
Доказательство. Пусть имеется такой гомоморфизм моноидов
I: М —> N, что 1{х) > 1 для всех образующих х е X. Тогда 1{а) > 1
для всех а еМ\{1}. Если элемент а<ЕМ разлагается в произведение
а\... аг, где аь..., аг еМ\ {1}, то I(а) = I(а{) + ... + £(аг) > г.
Следовательно, £(а) > ||а||, поэтому М — атомный моноид. Из того факта, что
любое порождающее подмножество моноида должно содержать все
его атомы, следует, что все атомы моноида М принадлежат множеству
образующих X. Второе утверждение этой леммы является
непосредственным следствием из определений. D
6.1.5. Проблема тождества слов и проблема делимости
Проблема тождества слов для задания (X\R) моноида М
образующими и соотношениями состоит в следующем: для любых двух слов
w, w/ е X*, представляющих некоторые элементы а, а' е М,
определить, верно ли, что а = а'. Тесно связанная с этой проблемой проблема
левой (соответственно правой) делимости состоит в следующем: для
любых двух слов w, w1 е X*, представляющих некоторые элементы
а, а' € М, определить, верно ли, что а^а' (соответственно а ^ а').
Обе эти проблемы — проблему тождества слов и проблему
делимости— можно легко решить для конечного взвешенного задания
(X\R) моноида М образующими и соотношениями. Пусть I: М —> N —
вес, так что £(х) > 1 для всех х е X. Заметим, что значение веса I
на любом элементе а<ЕМ, представленном некоторым непустым
словом w е X*, больше или равно, чем длина слова w. Обозначим через
W(a) с X* множество всех слов, представляющих элемент а. Длина
всех этих слов не превосходит С (а). Так как множество X конечное,

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 301
число слов, длина которых не превосходит £(а), конечное и
множество W{a) конечное. Чтобы перечислить все элементы множества W(a),
мы начнем с заданного слова w, представляющего элемент а, и
последовательно применим к каждому уже найденному слову из
множества W{a) всевозможные подстановки вида
w\rwi <—> w\rfW2,
где (г, г') е R. Так как множество R конечное, эта процедура также
конечная. Она дает решение проблемы тождества слов: два элемента
a,a' gM тогда и только тогда равны, когда W{a) = W{a').
Мы также получаем решение проблем левой и правой
делимости. Именно, а =4 а' тогда и только тогда, когда некоторый префикс
(начальный отрезок) слова из W{a') принадлежит множеству W(a).
Аналогично а' ^ а тогда и только тогда, когда некоторый суффикс
(конечный отрезок) слова из W{a') принадлежит множеству W(a).
§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности
В этом параграфе мы определим и изучим некоторый моноид Мх,
получаемый по заданному моноиду М и заданному его
подмножеству 27. При соответствующих предположениях мы получим
нормальную форму для элементов моноида Мх и решим проблему
сопряженности в моноиде Мх.
6.2.1. Моноид Ms
Пусть М — моноид, и пусть 27 с М — его подмножество,
содержащее нейтральный элемент 1. Обозначим через Мх моноид,
порожденный символами [а], где а пробегает подмножество 27, по модулю
определяющих соотношений [1] = 1 и [a] [b] = [ab] для всех тех а,Ь<Е
е 27, для которых ab е 27. Имеется гомоморфизм моноидов р: Мх —> М,
определенный формулой р([а]) — а для всех а е 27.
Определение моноида М^ можно перефразировать, отождествив
произведение \а{\ ... [ar] в М^ (где аь..., ar e 27) с
последовательностью (ai,..., ar). Тогда М^ есть множество классов эквивалентности
конечных последовательностей (ab...,ar) элементов из 27
относительно эквивалентности, порожденной соотношениями
(аь ..., щ-1, а[а", щ+ъ ..., аг) ~ (аь ..., а;_ь а-, а-7, щ+i,..., аг),
если а^а" е 27, а также соотношением эквивалентности, в котором
пустая последовательность эквивалентна одноэлементной последова-

302 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
тельности (1), где 1 е 17. Произведение в М% индуцировано
конкатенацией последовательностей, т. е. записыванием их подряд.
Сформулируем основную теорему о структуре моноида М^.
Теорема 6.5. Пусть М — атомный моноид, и пусть Е— такое
его подмножество, что 1 е Е и выполнены три следующих условия:
(*i) все левые делители и все правые делители элементов из Е
принадлежат подмножеству Е;
(*2) для любых а,Ь,с<ЕЕ если аЪ = ас или Ъа = са, то Ъ = с;
(*з) для любых а,Ь<Е Е множество {х е Е: х ^ Ъ и ах е Е) обладает
некоторым максимальным {относительно ^4) элементом.
Тогда для любого Е, е Мх существует единственный элемент а(£) е Е,
для которого [а(£)] является левым делителем элемента £,
максимальным, среди всех левых делителей элемента £, лежащих в
множестве {[a]}aG2: с М%. Кроме того, существует единственный элемент
а>(£) е Мх, для которого Е, = [«(£)]&>(£).
Доказательство. Доказательство проведем в пять шагов.
Шаг 1. Согласно условию (*3) для любых элементов a,bsE
множество {х s E: х =4b иах € Е} обладает некоторым максимальным
элементом с е Е. Тогда b = cd для некоторого d е М. По условию (*х)
имеем d е Е, а по условию (*2) элемент d единствен. Положим а2{а, Ъ) =
= ас е Е и со2{а, b) = ds E. Ясно, что
а2 (a, Ъ) со2 (a,b)=ab. (6.1)
Например, для всех a € Е имеем
а2(а, 1) = а2(1,а) -а и со2{а, 1) = а>2(1,а) = а.
Мы утверждаем, что для любых a,b,c е 17, для которых ab е 17,
имеют место равенства
a2(ab, с) = a2(a, а2(Ъ, с)) (6.2)
и
co2(ab, с) = со2(а, а2(Ь, с))со2(Ь, с). (6.3)
Оставшаяся часть шага 1 будет посвящена доказательству этого
утверждения. Мы используем следующее наблюдение: если а,Ъ,с еМ
таковы, что ас s Е и ab =4 ас, то b =4 с. Действительно, если ас = abd,
где d е М, то из предположения ас е 17 и условия (*х) следует, что
а, с, fed е 17. По условию (*2) мы имеем с = bd, так что Ь =$ с.

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 303
По определению а2(Ь, с) = bd, где d — максимальный элемент, для
которого d ^ с и bd e Е. Аналогично
а2(а, а2(Ъ, с)) = а2(а, bd) = ad',
где d' — максимальный элемент, для которого df =^ bd и ad7 e 27. Так
как b =^ bd и по предположению ab е 17, мы имеем b =^ d'. Записав
это условие как d' = be, где е е 27, мы получим a2(a, bd) = abe, где
be =^ bd g 17 и abe e 17. Согласно сделанному выше наблюдению e=4d^c,
откуда следует, что е ^ с. Далее, a2 (ab, с) = ab/, где / — максимальный
элемент, для которого / ^ с и ab/ е 17. Следовательно, е ^ /. С другой
стороны, из условий / =^ с и Ь/ е 17 следует, что / ^ d и b/ =^ bd. Из того,
что ab/ e 17, следует, что bf ^d' = be. Значит, / ^ е. Тогда по лемме 6.3
имеем е = / и
a2(ab, с) = ab/ = abe = ad7 = a2(a, a2(b, с)).
Равенство (6.2) доказано. Чтобы доказать равенство (6.3), заметим,
что, используя равенства (6.1) и (6.2), мы получим
а2{аЪ, с)со2{а, а2(Ъ, с))со2(Ъ, с) =
= «2 (а, а2(Ъ, с))со2(а, а2(Ъ, с))со2(Ъ, с) =
= аа2(Ь, с)со2(Ь, с) = abe = a2{ab, c))co2{ab, с).
В силу условия (*2) отсюда следует равенство (6.3), если мы
докажем, что произведение со2(а, a2(b, c))co2(b, с) принадлежит
подмножеству Е. По определению существует такой элемент d e Е, что а2(Ъ, с) =
= bd G Е и с = dco2[b, с). Обозначим через / максимальный элемент
множества Е, для которого / =$ bd и a/ e E. Так как b ^ bd и ab e 27,
существует такой элемент е е 27, что f — be. Тогда
bd = fco2{a, bd) = beco2(a, bd).
По условию (*2) имеем d = eco2{a, bd) и
ea>2(a, a2(b, c))co2(b, с) = есо2{а, bd)co2(b, с) = dco2(b, с) = с.
Последнее равенство показывает, что элемент со2{а,а2[Ь,с))со2[Ъ,с)
является правым делителем элемента с е 27, и потому по условию (*i)
он сам принадлежит подмножеству Е.
Шаг 2. На этом шаге мы докажем следующее утверждение:
существует единственное отображение а: МЕ —> Е, для которого
1) а(1) = 1;
2) a([a]rj) = а2(а, a(rj)) для всех а е 27 и rj e М^.

304 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Напомним, что в начале этого пункта был определен гомоморфизм
моноидов р: Мх —> Е. Для любого Е, е Мх положим Н(£) = ||р(£)Н > 0.
Мы назовем Н(£) высотой элемента £ е М^. Ясно, что
для любых £, £' е Mr. Заметим, что Я(£) = 0 тогда и только тогда,
когда £ = 1, а также что Я(£) = 1 тогда и только тогда, когда £ = [а],
где а — атом моноида М, принадлежащий подмножеству 17. Чтобы
убедиться в этом, рассмотрим разложение элемента Е, в произведение
£ = [а{\... [аг], где аь ..., аг е U. Тогда
Н(0 = ||рК)||> 11^11 + ... ||аг||.
ЕслиЯ(£)=0, тоах = ...=аг = 1 и £ = 1. Если Н(£) = 1, то все элементы
ах,..., аг G 17 равны 1, кроме одного элемента, являющегося атомом.
Для £ е Мг определим а(£) индукцией по высоте элемента £. Для
£ = 1 мы положим а(£) = 1 е 17. Если Я(£) = 1, то £ = [а] = [а]1 для
некоторого атома а е 17, и для того, чтобы выполнялось равенство 2,
мы должны положить а(£) = а2{а, 1) = а.
Предположим теперь, что для некоторого целого числа к> 1
отображение а определено на всех элементах £ высоты не больше чем к
так, что при этом выполняются свойства 1 и 2, если Я([а]т}) < fc.
Возьмем произвольный элемент £ моноида М^ высоты fc + 1. Мы можем
представить элемент £ в виде произведения £ = [а] г/, где а е 27, а / 1
и г} е Мх. Тогда Я([а]) >1и Я(т}) < Я([а]т}), так что значение а{г))
уже определено. Для того чтобы выполнялось равенство 2, мы должны
положить а(£) = а2(а, a(rj)). Мы должны проверить, что а2(а,а(т})
не зависит от выбора разложения £ = [а]г/. По определению моноида
Мг и предположению индукции для этого достаточно проверить, что
а2(а, а{г)) = а2{а\ а([а"]т))),
где а = а'а" и а7, а" е Е\ {1}. Так как
H([a"]ij) < H([a]ij) -ЯСМ) < Я([а]т>),
из предположения индукции следует равенство а([а"]г)) = а2(<а", а(г))).
Используя равенство (6.2), получаем
а2{а\ а([а"]т))) = а2{а\ а2{а", а{у)))) = а2(а'а", а(т))) = а2(а, а(т))).
Следовательно, отображение а корректно определено на всех
элементах моноида Мх высоты не больше чем к + 1 и удовлетворяет

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 305
свойствам 1 и 2. Это завершает индукцию и доказывает наше
утверждение.
Шаг 3. Далее мы проверим, что для любого £ е МЕ элемент [а(£)]
моноида Мх является левым делителем элемента £, максимальным
среди всех левых делителей элемента £, лежащих в множестве
{[а]}а<ЕГСМГ.
Проведем индукцию по высоте Н(£). С помощью проекции р: М^—>
—>М легко показать, что все делители единицы 1 в Мх равны 1.
Поэтому если Н(£) = 0, то [а(£)] = £ = 1 является единственным левым
делителем единицы 1 еМ^. Если Н(£) > 1, представим £ в виде
произведения £ = [а]7} для некоторых а е27\{1} и т? еМ^. Тогда Н(г])<Н(^)
и а(£) = а2(а, а(7})). Поэтому а(£) = аЬ для некоторого b e 27,
удовлетворяющего условию b =$ а{г]). По предположению индукции элемент
[а(17)] является левым делителем элемента г). Следовательно,
[а(0] = И] = [а] [Ь] « [а][а(г,)] * [а]Ч = ?.
Значит, элемент [а(£)] является левым делителем элемента £,
принадлежащим множеству {[а]}ае27. Покажем, что это максимальный
элемент с этими свойствами. Предположим, что Е, = [а']г)' для
некоторых а1 е Е и г/ е. М^. Тогда а(£) = а2{а', а{т\')) = а'Ъ' для некоторого
Ъ' е. U. Следовательно, а1 =$ а(£) и [а7] =$ [а(£)].
Шаг 4. Мы утверждаем, что существует единственное
отображение со: Mz —> Mr, для которого
1) о>(1) = 1;
2) ^([а]^) = [со2(а, а(т7))]а>(т7) для всех а е 27 и т? е Ms.
Значение отображения со на любом элементе £ е Mz мы
определим индукцией по высоте этого элемента. Положим со(1) = 1.
Предположим, что для некоторого целого числа к > 1 отображение со
определено на всех элементах £ высоты не больше чем к так, что при этом
выполняются условия 1 и 2, если Н([а]г)) < fc. Возьмем
произвольный элемент £ моноида М^ высоты fc + 1. Мы можем представить
элемент Е, в виде произведения Е, = [a]rj, где а е 27\{1} и ^ G ^г-
Тогда H(t}) < Н(£) и значение cofr?) уже определено. Для того чтобы
выполнялось равенство 2, мы должны положить
">(?) = [w2(a,a(r?))]co(rj).
Мы должны проверить, что &>(£) не зависит от выбора разложения
£ = [а]г/. По определению моноида М^ и предположению индукции

306 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
для этого достаточно проверить, что
<о2(а, a(7j)Mij) = со2(а', а([а,,]т?))а)([а,,]т?)>
где а = а'а" и а7, а" е 2\ {1}. Нам известно, что «([a"]^) = a2(a7/, a(rj)).
Так как H{\a"]r)) <H([a]rj), из предположения индукции следует
равенство co([a"]r}) = [&>2(a(r})]a>(r}). Используя равенство (6.3),
получаем
a>2(a' a([a,,]T?))a>([a,,]i?) = a>2(a', aaCa", а(т?)))а>([а,,]т?) =
= 6)2(0', otoCa", a(r>)))[co2(a", a(r>))Mr>) =
= co2(a'a", а(т}))со(т}) = co2(a, a(r)))co(r)).
Следовательно, отображение со корректно определено на всех
элементах моноида Мх высоты не больше чем к + 1 и удовлетворяет
свойствам 1 и 2. Это завершает индукцию и доказывает наше
утверждение.
Шаг 5. Чтобы завершить доказательство теоремы, остается
показать, что для любого ^€М^ элемент rj = a>(£) является единственным
элементом моноида М^, для которого Е, = [а(£)]т}. Проведем
индукцию по высоте Н(£). Если Н(£) = 0, то £ = 1, а(£) = 1, а>(£) = 1
и утверждение очевидно. Предположим, что для некоторого целого
числа к > 1 наше утверждение справедливо для всех £ высоты не
больше чем к. Возьмем произвольный элемент Е, моноида Мх высоты к +1.
На шаге 3 было показано, что £ = [a(£)]rj для некоторого rjGMx. Ясно,
что а(£) /1и потому H(rj) < Н(£).
Положим 0 = [а(£)] [a(rj)]. По определению отображения а имеем
а{в) = а2{а^),а{г))) = а^)Ъ
для некоторого элемента Ъ е. Е, для которого [b] =$ [a(rj)] =$ rj.
Следовательно, a(£) =$ a(0) и
[a(0)] = [а(ШЬ] * [а(?)]т? = ?.
Так как [а(£)] —максимальный левый делитель элемента £ в
множестве {[a]}aG27, мы имеем [а(£)] = [а(0)]. Проектируя это равенство
в моноид М, мы получаем
a(S) = a(0) = a2(a(£),a(Tj)).
Поэтому a(£)a(rj) = a2(a(£), a(r}))a(r}). С другой стороны, в силу
равенства (6.1) имеем
a(£)aO?) = «2(a(?), a(r}))co2(a(£), a(r))).

§ 6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 307
Комбинируя эти равенства, мы получаем
а2(а(%), а{г]))а{у)) = а2(а{£), а(г?))со2(а(£), а(г))).
По условию (*2) мы можем сократить обе части этого равенства слева
на а2Ы%), «О?))- Поэтому a{r\) = co2(a(£), a(rj)) и
*>№) = *>([а(£)]ч) = [co2(a(£), aO?))Mi?) = [a(rj)]co(rj) = rj,
где последнее равенство следует из предположения индукции. Это
показывает, что £ = [а(£)]&>(£) и что любой элемент rj е Мх,
удовлетворяющий равенству Е, = [а(£)]7}, равен со(Е). П
6.2.2. Нормальная форма в Ms
Если выполнены условия теоремы 6.5, то любой элемент £ е М^
можно по индукции разложить в произведение следующим образом:
5 = [а(ОМО = [«(Ша("К))]"2К) -
= ИО] [a(o)K))] [a(a>2K))]a>3K)
Этот процесс разложения в произведение может остановиться на г-м
шаге, где г — минимальное целое число, удовлетворяющее условию
a>r+1(£) = 1. Такое г существует и не превышает ||р(£)||, так как в лю"
бом разложении элемента £ в произведение образующих [а], где ае U,
самое большее ||р(£)|| образующих может отличаться от 1. (Здесь
полезно заметить, что а{г)) ф 1 для любого ц е Мх \ {1}.)
Эти наблюдения приводят нас к понятию нормальной формы для
элементов моноида Мх- Нормальной формой элемента Е, е Мх
называется такая последовательность (аь а2,..., аг) элементов
подмножества U, все из которых отличны от 1, что £ = [ai] [a2]... [ar] и
a; = a([a;][al+i]...[ar])
для всех i = 1,2,..., г. Сделанные выше замечания показывают, что
каждый элемент £ е Мх имеет некоторую нормальную форму.
(Нормальной формой единицы 1 еМ^ служит пустая последовательность.)
Из единственности в последнем утверждении теоремы 6.5 следует
единственность нормальной формы.
6.2.3. Сокращения в Ms
Здесь с помощью теоремы 6.5 и определенного в ее
доказательстве отображения а2: U x U —> 17 мы установим свойство левого
сокращения для моноида Ых-

308 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Лемма 6.6. Если выполнены условия теоремы 6.5, то моноид Мх
обладает свойством левого сокращения.
Доказательство. Нам нужно показать, что £т} = £0=>7} = 0 для
любых £, rj, 0 е Мх- Сначала предположим, что £ = [а] для
некоторого а е 17. Тогда а(Е,г)) = а2(а, a(rj)) —аЪ^Е для некоторого Ъ е 17,
удовлетворяющего условию Ъ ^ а{г)). Отсюда получаем равенства
аЪ = а{$г)) = а(£0) = а{[а]в) = а2(а, а(0)) = ас
для некоторого с =$ а(0). Из них следует, что Ь = с^ а(0). Тогда
существуют такие элементы г\\ в' е Мх, что [b]rj' = rj и [Ь]в/ = 0. Как нам
известно, а>(£т}) есть единственный элемент х е М^, для которого
Е,г) = [a(£rj)]x = [ab]x. Так как
?»? = [a][b]r?/ = [ab]Tj/,
мы имеем a>(£rj) = г/7. Аналогично о>(£0) = в'. Следовательно,
tj'= co(£tj) = <о(£0) = 0' и rj = [b]rj/ = [b]0/ = 0.
В общем случае £ = [а\\ [а2]... [ar], где аь а2,..., ar e 17. Как мы
только что доказали, из равенства [aj [a2]... [ar]^7 — fai] fe] • • • far] 0
следует, что [a2]... [ar]rj = [a2]... [ar]0. Продолжая по индукции, мы
получаем r\ = 0. □
6.2.4. Проблема тождества слов в Ms
Мы говорим, что подмножество ГсМ является взвешенным, если
существует такое отображение I: Е —> N, что £ (1) = 0, £ (а) > 1 для всех
а / 1 и £ (а) + £ (Ь) = £ (а + Ъ) для тех a, b e 27, для которых ab е 17. Тогда
отображение t продолжается до гомоморфизма моноидов Мх —> N,
который превращает описанное выше задание моноида Мх
образующими и соотношениями во взвешенное. Если к тому же множество U
конечное, то п. 6.1.5 дает решение проблемы тождества слов и
проблемы делимости в Мх-
6.2.5. Проблема сопряженности в Ms
Проблема сопряженности в группе G состоит в нахождении
процедуры, позволяющей для любых заданных элементов а, /3 е G решить,
существует ли такой элемент yeG, что а = у&у~1, или, что
эквивалентно, ау = уР- Обобщение этой проблемы на моноиды — проблема
сопряженности в моноиде М, которая состоит в нахождении
процедуры, позволяющей для любых заданных элементов а,Ь еМ решить,

§6.2. Нормальные формы и проблема сопряженности 309
существует ли такой элемент с е М, что ас = сЪ. Следующая лемма
дает ключ к проблеме сопряженности в моноиде МЕ.
Лемма 6.7. Пусть моноид М и подмножество U с М
удовлетворяют условиям теоремы 6.5. Для любых заданных элементов а,Ъ е Мх
тогда и только тогда существует элемент с е Мх,
удовлетворяющий условию ас = сЪ, когда существуют такие последовательности
ао = а, а\, ..., аг = Ъ элементов моноида МЕ и С\, ..., сг элементов
подмножества U, что
di-dci] = [ci]ai
для всех i = 1,..., г.
Доказательство. Если такие последовательности имеются, то
ас = сЪ для с = [с{\ [с2]... [сг]. Обратно, пусть существует такой
элемент с е Мг, что ас = сЪ. Проведем индукцию по длине г нормальной
формы (сь...,сг) элемента с. Если г = 1, то с = [с\] и доказывать
нечего. Предположим, что г > 2. Так как
[ci] = [а(с)] =^с^сЪ = ас,
мы имеем
d < а{ас) = а2(а, а(с)) = а2(а, a(ci)).
Поэтому
[с\] < [a2(a,a(ci))] ^ асъ
Следовательно, существует такой элемент а\ е М^, что \с{\а\ — а\с{\.
Имеем
[ci]ai [с2]... [сг] = a [ci] [с2]... [сг] = ас = cb = [ci] [с2]... [cr]b.
По лемме 6.6 мы можем сократить последнее равенство слева на [с\].
В результате получим a\d — с'Ъ, где с' = [с2]... [сг] — нормальная
форма длины г — 1. Мы можем применить предположение индукции. □
Лемма 6.7 доставляет решение проблемы сопряженности в М^.
Предположим, что моноид М и его подмножество Е удовлетворяют
условиям теоремы 6.5 и что подмножество Е конечное. Также
предположим, что моноид Mz допускает конечное взвешенное задание
образующими и соотношениями (например, достаточно
предположить, что подмножество Е является взвешенным в смысле п. 6.2.4),
вследствие чего в М% разрешима проблема тождества слов. Чтобы
определить, сопряжены ли два элемента a,b е Мх (в том смысле, что
существует такой элемент с е М^, что ас = cb), сначала заметим, что
вес сопряженных элементов в МЕ одинаков. Так как в Мх имеется

310 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
только конечное число элементов с заданным весом, для элемента а
имеется только конечное число сопряженных к нему элементов.
Лемма 6.7 показывает, что для того, чтобы найти все такие элементы,
достаточно ко всем уже известным сопряженным к а элементам
применять всевозможные сопряжения на элементы из Е, до тех пор пока
мы не перестанем находить новые элементы. Таким образом, мы
получим некоторый конечный список а\,... ,as элементов, сопряженных
к а в Ые- Если Ъ = щ для некоторого i, то элемент Ъ сопряжен к а,
в противном случае элемент Ъ не сопряжен к а.
6.2.6. Обширные множества
Подмножество Е с М называется обширным, если 1 е Е и
моноид М обладает таким заданием образующими и соотношениями, что
все его образующие и реляторы принадлежат подмножеству Е.
Лемма 6.8. Пусть Е — такое обширное подмножество моноида М,
что все левые делители элементов из Е также принадлежат
подмножеству Е. Тогда гомоморфизм моноидов р: М% —> М является
изоморфизмом.
Доказательство. Так как множество Е содержит множество
образующих моноида М, гомоморфизм р сюръективен. Нам только нужно
доказать его инъективность. Сначала заметим, что если а\,...,ап —
такие элементы подмножества Е для п > 2, что а = а\а2 ... ап е Е, то
[а] = [ai][a2]... [а„]. Действительно, элемент а\а2 является левым
делителем элемента а, и по условию леммы а\а2 £ Е. По
определению моноида Mz мы имеем [ai][a2] = [aia2]. Продолжая рассуждать
по индукции, мы получим [aj[a2]... [ап] = [a].
Далее рассмотрим задание (X\R) моноида М образующими и
соотношениями. Пусть Р: X* —> М — естественная проекция. По условию
леммы Р(х) е Е для всех х е X и Р(г) = Р{г') е. Е для всех (г, г') е R.
Определим гомоморфизм моноидов Q: X* —> Мх по формуле Q(x) =
= [рМ] Для х G X. Из сделанного выше замечания следует, что для
любого г е X*, для которого Р(г) € Е, имеет место равенство Q(r) =
— У(г)]« Поэтому для любого соотношения (г, г') е R мы имеем
Q(r) = [P(r)] = [P(r')]=Q(r/).
Отсюда следует, что существует такой гомоморфизм моноидов q: M —>
—> Мг, что Q = qP. Тогда
«Р(№)]) = 9(Р М) = QM = [Р (*)]

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 311
для всех хеХ.А так как множество Р(Х) порождает моноид М,
получаем, что qp — id. Поэтому гомоморфизм р инъективен. □
Лемма 6.8 показывает, что при соответствующих предположениях
на подмножество 27 имеет место изоморфизм Мх = М и все
полученные выше свойства моноида Мх будут верны для моноида М.
Упражнение 6.2.1. Покажите, что (а\,..., аг) является нормальной
формой элемента из Мх тогда и только тогда, когда (a*, a*+i) является
нормальной формой произведения [щ] [a;+i] для всех £ — 1,..., г — 1.
Упражнение 6.2.2. Заметим, что для любого подмножества 27 с М,
для которого 1 е 27, подмножество {[a]}a(E2; моноида Мх обширное.
Выведите отсюда следующее утверждение, частично обратное к
лемме 6.8: если гомоморфизм моноидов р: Мх —> М является
изоморфизмом, то подмножество 27 обширное.
Упражнение 6.2.3. Проверьте, что для любого множества X
подмножество 27 = X U {1} свободного моноида М — X* является
взвешенным, обширным и удовлетворяет всем условиям теоремы 6.5. Для
этих М и 27 проверьте непосредственно все утверждения, доказанные
в этом пункте.
§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды
6.3.1. Группы частных
Гомоморфизм моноидов i:M-^>G называется универсальным, если
G — группа и для любого гомоморфизма моноидов / моноида М в
произвольную группу G' существует единственный гомоморфизм групп
g: G —> G', для которого f = gi. Каждый моноид М допускает
некоторый универсальный гомоморфизм в группу. Чтобы убедиться в этом,
возьмем произвольное задание {X\R) моноида М образующими и
соотношениями и рассмотрим группу G, определенную тем же самым
заданием {X\R) образующими и соотношениями. Тождественное
отображение idx: X —> X продолжается до гомоморфизма моноидов M-^G,
который, как легко видеть, универсален. Из определения
универсального гомоморфизма М —> G следует, что он единствен с точностью
до композиции с изоморфизмом групп. В частности, группа G
корректно определена с точностью до изоморфизма. Эта группа
называется группой частных моноида М и обозначается Gm- Задание группы
частных Gm образующими и соотношениями можно получить, взяв

312 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
произвольное задание моноида М образующими и соотношениями
и рассмотрев его как задание группы.
Моноид М называется вложимым, если существует некоторый
инъективный гоморфизм моноида М в группу. Ясно, что моноид М
тогда и только тогда вложим, когда универсальный гомоморфизм
М —> GM инъективен. Например, вложение N с-> Z показывает, что
моноид N вложим. Легко видеть, что это вложение является
универсальным гомоморфизмом, поэтому Gn = Z.
Ясно, что вложимые моноиды обладают свойствами левого и
правого сокращения. Например, моноид {1, х} с умножением хх = х не
обладает свойством левого сокращения (так как х ф 1), и потому он
не вложим. Группа частных этого моноида тривиальна.
6.3.2. Предгарсайдовы моноиды
Определение 6.9. Предгарсайдовым моноидом называется пара
(М, А), состоящая из моноида М и такого его элемента А, что
множество Е = ЕЛ всех левых делителей элемента А удовлетворяет
следующим условиям:
1) множество 27 конечное, порождает моноид М и совпадает с
множеством всех правых делителей элемента А;
2) если элементы а, Ъ е 27 таковы, что Аа = АЪ или аА = ЪА, тоа = Ь.
Элемент AgM называется гарсайдовым элементом моноида М.
Заметим, что множество 27 всех делителей элемента А замкнуто
относительно левой и правой делимости, т. е. все левые делители и все
правые делители элементов множества 27 принадлежат множеству 27.
Ясно, что 1 е 27 и A G 27.
Примеры 6.10. Любое положительное целое число является
гарсайдовым элементом моноида N. Моноид Nx не имеет гарсаидовых
элементов. Все элементы конечной группы гарсайдовы. Более
интересные примеры будут даны в последующих параграфах.
Лемма 6.11. Пусть (М, А) — предгарсайдовмоноид, а 27сМ
—множество всех делителей элемента А.
1. Для всех a,b,cG 27 если ас = be или са = cb, то а = Ъ.
2. Существует такая биекция 5: 27 —> 27, что Аа — 5 {а) А для всех
aG27.
3. Если N — порядок биекции 5 (гл. е. минимальное положительное
целое число, для которого 5N = id), то ANa = aAN для всех aGM.

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 313
4. Для любого элемента а Е М существует такое положительное
целое число г, что а =4 Аг и Аг ^ а.
Доказательство. 1. Так как се 27, существует такой элемент dGM,
что cd = А. Тогда из равенства ас = be следует аЛ = acd = bed = ЪА.
Значит, а = Ъ по условию 2 определения 6.9. Аналогично доказывается
импликация са = сЪ => а — Ъ с помощью такого элемента е Е М, что
ее — А.
2. Так как любой левый делитель гарсайдова элемента А является
его правым делителем и обратно, для каждого элемента а Е 27
существуют такие элементы а' 5{а) Е 27, что Л = а'а и Л = 5(а)а7. В силу
утверждения 1 этой леммы элементы а' и 5(a) определены
единственным образом. Имеем
Аа = 5(а)а'а = 5(a) А. • (6.4)
Так как множество Е конечное, для доказательства биективности
отображения 5: 27 —> U достаточно проверить, что оно инъективно.
Пусть 5(a) = 5(b), тогда
Аа = 5(а)А = 5(Ъ)А = АЪ.
По условию 2 определения 6.9 из этого следует, что а = Ь.
3. Индукцией по п мы получаем из равенства (6.4), что Апа =
= 5п(а)Ап для всех а Е 27. (Здесь 5П — п-кратная композиция
отображения 5.) Так как 5N = id, получаем, что ANa = 5N(a)AN = aAN для
всех а Е 27. Другими словами, элемент AN коммутирует с каждым
элементом множества 27. А так как это множество порождает моноид М,
элемент AN коммутирует со всеми элементами моноида М.
4. Запишем элемент а в виде произведения а = а\...аг, г> 1,
элементов множества 27. Для каждого элемента at существует такой
элемент Ь( Е 27, что biat = А. Положим Ъ = 5r_1 (br)... 5(Ъ2)Ъ\. Мы
утверждаем, что Ъа = Аг, откуда следует, что Ar ^ а. Действительно,
Ъа = 5г-1(Ъг)...5(Ъ2)Ъ1а1...аг = 5г-1(Ъг)...5(Ъ2)Аа2...аг =
= 5г-г(Ъг)... АЪ2а2 ...аг = 5г-г(Ъг)... 52(Ъ3)А2а3 ...аг =
= 5г-г(Ьг)... А2Ъ3а3 ...ar = ... = Ar~%ar = Аг.
Аналогичное доказательство показывает, что если <ад = А для i =
= 1,...,ги
с = сг5-1(сг-1)...5-^-1\с1),
то ас = Аг. Таким образом, а ^ Аг. □

314 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.3.3. Вложимость предгарсайдовых моноидов
Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид. При условии, что
моноид М обладает свойством левого сокращения, мы дадим явную
конструкцию группы частных моноида М. Отсюда будет следовать, что
моноид М вложим.
Пусть N > 1 — порядок биекции 5: 27 —> 27. Согласно лемме 6.11
элемент AN e M является центральным. Рассмотрим произведение
Я = М х N моноидов М и N с покоординатным умножением
(a,p){b,q) = (ab,p + q)
для всех а, Ъ е М и р, q е N. Нейтральным элементом моноида Я
служит (1,0).
Определим отношение ~ на моноиде Я, полагая {а,р) ~ (fc, q),
если /У^а = z\pNb. Например, (Z\N, 1) ~ (1,0). Покажем, что ~
является отношением эквивалентности. Рефлексивность и
симметричность очевидны. Проверим транзитивность. Предположим, что (а, р) ~
~ [Ъ, q) ~ (с, г). Это значит, что AqNa = ApNb и ^rNb = AqNc.
Следовательно,
AqNArNa = ArNAqNa = ЛгЛ/ЛрЛ/Ь = ApNArNb = ApNAqNc = AqNApNc.
Так как моноид М обладает свойством левого сокращения, мы можем
сократить обе части получившегося равенства на AqN и получить
равенство ArNa = ApNc. Таким образом, (а, р) ~ (с, г).
Обозначим через G = Я/~ множество классов эквивалентности
и через л: Я —> G — соответствующую проекцию. Так как ^N —
центральный элемент в М, на множестве G имеется единственная
структура моноида, для которой п — гомоморфизм моноидов. Определим
гомоморфизм моноидов i: М —> G по формуле i(a) = я (а, 0) для aGM.
Теорема 6.12. Пусть {М, А) — предгарсайдов моноид, и пусть
моноид М обладает свойством левого сокращения.
1. Построенный выше моноид G является группой, а гомоморфизм
i: М —> G инъективен.
2. Любой элемент группы G можно записать в виде i(A)si(a), где
seZuaeM.
3. Гомоморфизм моноидов i: М —> G универсален, поэтому G
представляет собой группу частных GM моноида М.
Доказательство. 1. Если i(a) = i(b) для а,Ъ еМ, то (а,0) ~ (Ь,0)
в Я. Отсюда следует, что а — А°а = А°Ъ = Ь. Инъективность
гомоморфизма i доказана.

§6.3. Группы частных и предгарсайдовы моноиды 315
Любой элемент gGG имеет вид п(а,р) для некоторых а е М
и р е N. Проверим, что произвольный элемент g = п(а,р) обратим.
По лемме 6.11 (4) существуют такой элемент Ъ е М и такое целое
число г > 1, что ab = /У*. Умножая элемент Ь справа на некоторую
степень элемента Л, мы можем считать, что г = qN для некоторого
целого числа q > р. Тогда
(а, р) (b, q - р) = (ab, q). (6.5)
Так как Л°аЬ = Лг = AqNl, мы имеем {ab,q) ~ (1,0) и 7r(ab,q) =
= тг(1,0) = 1. Тем самым показано, что элемент g = тс(а, р) обладает
правым обратным, который мы обозначим через g'. В свою очередь
элемент g' обладает правым обратным g" и
g=g(g'g")=(gg')g"=g"-
Иными словами, элемент g' обратен слева к элементу g. Это
доказывает, что G — группа.
2. Обозначим через £ центральный элемент (1, +1) е Я = М х N.
Положив a = 1, b = /XN и р = q = +1 в равенстве (6.5), мы
получим 7r(£)£(^)N = 1. Отсюда следует, что тг(£) = i(A)~N. Любой
элемент моноида Я имеет вид {а,р) = £р(а, 0) для некоторых a G М
и р G N. Поэтому каждый элемент группы G можно записать в виде
л(£)р i(a) = i(A)~pN Ka), где а е М и р е N.
3. Для любого гомоморфизма / моноида М в группу G'
рассмотрим отображение Я = М х N —> Gf, которое элементу (а, р) е М х N
ставит в соответствие f(A)~pNf{a). Это отображение постоянно на
классах эквивалентности в Я и индуцирует гомоморфизм групп G=H/^^>
—> G'. Композиция последнего гомоморфизма с вложением i: М —> G
равна /. Единственность гомоморфизма групп G —> G' в классе таких
гомоморфизмов, композиция которых с i равна /, следует из того
факта, что множество i(M) порождает G как группу. □
Следствие 6.13. Предгарсайдовы моноиды, обладающие свойством
левого сокращения, вложимы.
Это следствие показывает, в частности, что для предгарсайдовых
моноидов из свойства левого сокращения следует свойство правого
сокращения.
Впоследствии мы будем отождествлять элементы предгарсайдова
моноида М, обладающего свойством левого сокращения, с их
образами в группе частных GM; в результате такой моноид М становится
подмножеством своей группы частных Gm-

316 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.3.4. Проблема сопряженности в группе частных
Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, обладающий свойством
левого сокращения. Проблему сопряженности в его группе частных
G = GM следующим образом можно свести к проблеме сопряженности
в моноиде М. Как мы знаем, для любых а, /3 Е G существуют такие
а, Ъ е М с G и 5, t e Z, что а = Asa и /3 = Azb. Возьмем такое целое
число и, что оно не превосходит min(s, t) и делится на число N из
леммы 6.11 (3). Положим а' = As~ua е М и Ъ1 = Аг~иЪ е М. Ясно,
что а = Аиа' и /3 = ЛиЬ'. Мы утверждаем, что элемент а сопряжен
с элементом /3 в группе G тогда и только тогда, когда а! сопряжен с Ъ1
в моноиде М. Действительно, предположим, что а'с — сЪ' для
некоторого с G М. Так как и делится на N, элемент Аи является степенью
элемента AN, и потому это центральный элемент. Поэтому
ас - Аиа'с = АисЪ' = сАиЪ' = ф.
Обратно, если ау = у/3 для некоторого у е G, то у = Аис для
некоторого с Е М и некоторого целого числа у, делящегося на N. Заменив
а,/3,у в равенстве ау = у/3 их выражениями от а\ Ъ\ с и использовав
центральность элементов Аи,Аи, мы получим
Au+Va'c = Au+Vcb'.
Сократив обе части этого равенства слева на Аи+и, получим о!с — сЪ'.
6.3.5. Случай атомного моноида М
Для атомного моноида М утверждение 2 теоремы 6.12 допускает
следующую более тонкую формулировку.
Теорема 6.14. Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, и пусть
моноид М нетривиален, обладает свойством левого сокращения и
атомный. Тогда любой элемент его группы частных G = GM э М можно
единственным способом записать в виде Asb, где s e Z и Ъ — элемент
из М, не являющийся правым кратным гарсайдова элемента А.
Доказательство. Сначала заметим, что \\А\\ > 0. Действительно,
если || Л || = 0, то А = 1. Поскольку М — атомный моноид, из
замечаний в конце п. 6.1.3 следует, что 27^ = {!}. А так как множество Ед
порождает моноид М, получаем, что М = {!}, что противоречит
нетривиальности моноида М.
По теореме 6.12 любой элемент группы G имеет вид Asа, где
s e Z и а е М. Обозначим через t наибольшее неотрицательное целое

§6.4. Гарсайдовы моноиды
317
число, для которого А1 "4 а в М; такое число t существует потому, что
из условия А1 ^ а следует, что
t\\a\\< \\Л(\\ < ||а||< оо.
Тогда а = А1Ь для некоторого bGM, удовлетворяющего условиям А ^ Ъ
и Asa = As+tb. Поэтому указанное число t существует.
Предположим, что Asb = AS'V для некоторых 5,5'gZ и таких
Ь, Ъ' G М, что АукЬиА^Ь'. Мы можем считать, что s> s'. Разделив
обе части этого равенства на As', мы получим As~sb = Ъ'. Так как
элемент Ъ' не является правым кратным элемента А в М, получаем,
что s—s' = 0. Следовательно, s = s' иЬ = Ь', что доказывает
единственность. □
Упражнение 6.3.1. Пусть (М, А) —предгарсайдов моноид, и пусть
моноид М нетривиальный, обладает свойством левого сокращения
и атомный. Докажите, что любой элемент группы частных Gm можно
единственным способом записать в виде aAs, где seZ и элемент aGM
не является левым кратным гарсайдова элемента А.
Упражнение 6.3.2. Обобщите конструкцию группы G из п. 6.3.3
на произвольный предгарсайдов моноид (М, А). (Указание:
определите отношение ~ на Я, положив (а, р) ~ (b, q), если zXs+^Na = z\s+pNb для
некоторого s > 0. Заметьте, что получившийся гомоморфизм М —> G
тогда и только тогда инъективен, когда моноид М обладает свойством
левого сокращения.)
§6.4. Гарсайдовы моноиды
6.4.1. Определение и леммы
Пусть (М, А) — предгарсайдов моноид, и пусть 27 — множество всех
левых (и правых) делителей гарсайдова элемента А. Заметим, что,
поскольку множество 27 порождает моноид М, все атомы моноида М
принадлежат множеству 27. Иными словами, все атомы моноида М
обязательно являются левыми делителями гарсайдова элемента А.
Определение 6.15. Пара (М, А) называется гарсайдовым
моноидом, если моноид М атомный и для любых двух его атомов s и t
множество
{а Е 27: s =4 а и t =4 а}
обладает некоторым минимальным (относительно =^) элементом AS}t-

318 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
По лемме 6.3 минимальный элемент ASjt единствен. Отметим, что
AStt = AtjS е 27, s ^ ASyt, t ^ As,t и
{a e 27: s ^ а и t ^ a} = {a e 27: As,t ^ a}.
Любой атом s G M является минимальным элементом множества
{a е U: s =^ a}, поэтому Л5|5 = s.
Лемма 6.16. Если (М, Л) — гарсайдов моноид, то множество 27
удовлетворяет всем условиям теоремы 6.5.
Эта ключевая лемма позволяет нам применить результаты § 6.2
к гарсайдовым моноидам. Оставшаяся часть настоящего пункта
посвящена доказательству леммы 6.16. Нам нужно проверить, что
множество 27 удовлетворяет условиям (*i)-(*3) теоремы 6.5. Условие (*i)
непосредственно следует из определения предгарсайдова моноида.
Условие (*2) было проверено в лемме 6.11. Проверка условия (*з) —
трудная часть доказательства. Начнем с двух лемм. В обеих леммах
мы предполагаем, что (М, А)—гарсайдов моноид, 27— множество
всех левых (и правых) делителей гарсайдова элемента А и S с 27 —
множество всех атомов моноида М.
Лемма 6.17. Пусть Е — непустое конечное подмножество
моноида М, удовлетворяющее следующим двум условшш.:
1) если aeM,bGE и a^b,mo aGE;
2) если aGE и s,t GS таковы, что as, at е Е, то aAS}t £ Е.
Тогда множество Е обладает некоторым максимальным
(относительно =4) элементом.
Доказательство. Пусть с — такой элемент множества Е, что ||с||
максимально (мы будем говорить, что элемент с имеет максимальную
в Е высоту). Мы хотим показать, что Е = {а Е М: а =^ с}. По условию 1
этой леммы {а е М: а ^ с} с Е. Обратное вложение докажем от
противного. Если оно не выполнено, то существует такой элемент Ъ е Е,
что Ъ ^ с. Представим этот элемент Ъ в виде произведения атомов
Ъ = Si... sn для некоторого п, где sb ..., sn e S. Положим a = si... sk,
где k < п — максимальное целое число, удовлетворяющее условию
а =4 с (возможен случай к — 0, тогда мы считаем, что а = \). Ясно, что
а ЕЕ и что существует такой атом sgS (фактически s=sk+i), что as ЕЕ
и as ^ с. Среди всех элементов а с этими свойствами выберем элемент
максимальной высоты. Так как элемент с имеет максимальную высоту
в Е, получаем, что ||a|| < \\as\\ < ||с||, Отсюда, ввиду того что а ^ с,

§6.4. Гарсайдовы моноиды
319
следует, что существует такой атом tcS, что at ^ с. Тогда непременно
t^s. Итак, мы имеем элементы a, as и at в множестве Е. По условию 2
имеем aAs,t ^ Е. Из условий as 4 aASjt и as ^ с следует, что аЛ^ ^ с.
Разложим элемент ASyt в произведение
A;,t = t<?i<?2 • • • qm,
где qi,..., qm e S. Существует такой номер i = 1,..., m, что
atqiq2...qi_i ^c и atqiq2 ...qt £ с
Положим a'=atqiq2... qt—i. Из включения аЛ^€E следует, что a', a7q; €
€Е. По выбору i мы имеем a'qi ^ с. Таким образом, элемент а1 обладает
теми же свойствами, что элемент а. Вместе с тем \\а'\\ ^ \\at\\ > \\a\\,
что противоречит выбору а. □
Лемма 6.18. Для любых элементов a,b e 27 множество
Е = {х<=М:х4аих4Ъ}сЕ
обладает некоторым максимальным (относительно =0 элементом.
Доказательство. Так как множество 27 конечное, множество Е
также конечное. Ясно, что 1 е Е и потому множество Е непусто.
Очевидно, что множество Е удовлетворяет условию 1 леммы 6.17.
Проверим, что оно удовлетворяет условию 2. Нам нужно показать, что для
х е Е если xs и xt являются левыми делителями обоих элементов a
и Ь для некоторых 5, t e S, то элемент xAs>t также является левым
делителем элементов а и Ь. Пусть элемент у е 27 таков, что ху = а.
По условию xs^a = xynxt^a = ху. По лемме 6.11 (1) из этого
следует, что 5 =^ у и t =^ у. По определению 6.15 имеем AS)t ^ У,
следовательно, xAs>t ^ху = а. Аналогично xAS)t ^ Ъ. Теперь можно применить
лемму 6.17, утверждающую, что множество Е обладает некоторым
максимальным элементом. □
Теперь мы можем проверить условие (*3) теоремы 6.5. Возьмем
какие-нибудь элементы а, Ъ е 27. Так как а 4 А, получаем, что А = аа'
для некоторого а1 € 27. По лемме 6.18 множество
{хеМ: х4а' их4Ь} CZ
обладает некоторым максимальным относительно =^ элементом с. Мы
утверждаем, что элемент с максимален в множестве
{хеМ: х 4 Ъ и axe 27}.
Действительно, по определению имеем с =^ а', откуда следует, что
ас ^ аа' = А, а значит, ас е 27 и элемент с принадлежит указанному

320 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
множеству. Покажем, что элемент с максимален в нем. Рассмотрим
произвольный элемент d из этого множества, т. е. d е 27, d ^ Ъ и ad e 27.
Тогда ad < А = аа', из чего по лемме 6.11 (1) (левой сократимости
в 27) следует, что d ^ а'. Поэтому элемент d принадлежит множеству
{х е М: х 4 а1 и х 4 Ъ], значит, d 4 с. □
6.4.2. Обширные гарсайдовы моноиды
Гарсайдов моноид (М, А) называется обширным, если множество
27 с М всех делителей гарсайдова элемента А обширно в смысле
п. 6.2.6. Выпишем свойства обширного гарсайдова моноида (М, А),
вытекающие из доказанных выше результатов.
1. Имеет место изоморфизм М^: = М (лемма 6.8). Иными словами,
моноид М обладает заданием образующими [а], где а пробегает
множество 27, и соотношениями [1] = 1 и [a][b] = [ab] для всех
тех a,b E 27, для которых ab e 27.
2. Для любого элемента а^М существует единственный левый
делитель а[а) е 27 элемента а, максимальный среди всех левых
делителей элемента а, лежащих в множестве 27 (теорема 6.5).
3. Любой элемент а^М единственным образом разлагается в
произведение а = а\а2 ... ат некоторых элементов аь аг,..., ат е 27\ {1},
г> 0, удовлетворяющих условию щ = afeai+i... аг) для всех i =
= 1,2,...,г (п.6.2.2).
4. Естественный гомоморфизм моноида М в его группу частных Gm
инъективен (лемма 6.6 и следствие 6.13). В частности, моноид М
обладает свойствами левого и правого сокращения.
5. Если М ф {1}, то любой элемент группы частных Gu э М можно
единственным способом записать в виде Asb, где 5 е Z и элемент
Ъ е М не является правым кратным гарсайдова элемента А
(теорема 6.14).
6. Проблема сопряженности в группе частных Gm эквивалентна
проблеме сопряженности в моноиде М (п. 6.3.4). Последняя проблема
разрешима, если моноид М обладает некоторым конечным
взвешенным заданием образующими и соотношениями (п. 6.2.5).
6.4.3. Общие делители и кратные в гарсайдовых моноидах
Для любых к > 2 элементов аъ ..., ак моноида М мы говорим, что
элемент d^M является левым наибольшим общим делителем (левым
НОД) элементов аь ...,ак, если d 4 at для всех i = 1,... ,к и d' ^ d

§6.4. Гарсайдовы моноиды
321
для любого элемента d1 e М, удовлетворяющего условию d' ^ щ для
всех i = 1,..., к. Заменив =^ на ^, мы получим аналогичное понятие
правого наибольшего общего делителя.
Мы говорим, что элемент т^М является правым наименьшим
общим кратным (правым НОК) элементов а\,..., а^, если ai^m для
всех i = 1,..., к и т =^ т' для любого элемента т! е М,
удовлетворяющего условию ai 4 т' для всех i = 1,..., к. Имеется аналогичное
понятие левого наименьшего общего кратного. Для атомного
моноида М наибольшие общие делители и наименьшие общие кратные
единственны, если только они существуют.
Условие в определении 6.15 можно переформулировать, сказав,
что любые два атома обладают некоторым правым наименьшим
общим кратным. Свойство 2 в п. 6.4.2 можно переформулировать,
сказав, что гарсайдов элемент А и любой элемент asM обладают
некоторым левым наибольшим общим делителем. Эти свойства гарсайдовых
моноидов можно обобщить следующим образом.
Теорема 6.19. Пусть (М, А)— обширный гарсайдов моноид. Тогда
любое конечное семейство элементов моноида М обладает
единственным левым наибольшим общим делителем и единственным правым
наименьшим общим кратным.
Доказательство. Пусть b,csM. Рассмотрим множество
Е = {а е М: а 4 Ъ и а ^ с}.
Чтобы доказать, что элементы Ъ и с обладают левым наибольшим
общим делителем в М, достаточно проверить, что множество Е
удовлетворяет условиям леммы 6.17. Условию 1 оно, очевидно,
удовлетворяет. Множество Е конечное, так как ||а|| < ||Ь|| для любого а е Е,
поэтому элемент а является произведением не более чем ||Ь|| атомов
моноида М, а множество всех атомов моноида М, будучи
подмножеством множества 27, конечно.
Проверим условие 2. Предположим, что заданы элемент а е Е
и такие атомы 5, t еМ, что as,atsE. Представим элемент Ъ как Ъ = аЪ\,
где Ъ\ е М. Так как моноид М обладает свойством левого сокращения,
из условия as ^Ъ = аЪ\ следует, что 5 =^ Ьь а из условия at ^Ъ = аЪ\
следует, что t =^ Ь\. Рассмотрим максимальный левый делитель а[Ъ{)
элемента Ь\ в 27. В силу его максимальности s ^ a(bi) и t ^ a(bi).
Поэтому ASjt 4 a(bi) =^ Ъ\. Следовательно, ASft <bi и aASjt =^ ab\ = Ъ.
Аналогично aAst =^ с. Тем самым доказано, что aAst e E.

322 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Утверждение, что любое конечное семейство элементов моноида М
обладает левым наибольшим общим делителем, теперь легко
доказывается индукцией по мощности этого семейства.
Докажем существование правых наименьших общих кратных.
Пусть аь ..., a.k е М. Ввиду леммы 6.11 (4) существует такое целое
число г > 1, что щ ^ Аг для всех i = 1,..., к. Рассмотрим множество
X = {х е М: at 4 х 4 Аг для всех i = 1,..., fc}. Так как множество всех
атомов моноида М конечное и все левые делители элемента Аг пред-
ставимы в виде произведения не более чем г||Л|| атомов, множество
всех левых делителей элемента Аг конечно. Поскольку оно содержит
множество X, множество X также конечное. Обозначим через т
левый наибольший общий делитель всех элементов множества X. Мы
утверждаем, что т является правым наименьшим общим кратным
элементов аь ..., а^. Действительно, элементы аь ..., а*; являются
левыми делителями всех элементов множества X и потому левыми
делителями элемента т. Поэтому элемент т является общим правым
кратным элементов аь ..., а^.
Пусть т'—другое общее правое кратное элементов аь ..., ак.
Обозначим через т" левый наибольший общий делитель элементов т'
и Аг. Проверим, что т" е X. Во-первых, т" < Аг. Во-вторых, так как
каждый элемент щ является левым делителем элементов т' и Лг, он
является левым делителем элемента т.". Тем самым доказано, что
т" еХ. По определению элемента т имеем т 4 т". А так как т." ^ т',
получаем, что т ^ т\ и наше утверждение доказано. □
Упражнение 6.4.1. Для ae27 пусть а'ЕГ — элемент, однозначно
определенный равенством аа' = Л. Пусть с — левый наибольший
общий делитель элементов о1 и Ъ е Е. Докажите, что с — максимальный
элемент множества {х е 27: х ^ Ъ и ах е 27}. {Указание: это
доказательство содержится в доказательстве леммы 6.16.) Выведите из этого,
что ct2(a, b) = ас.
Упражнение 6.4.2. Пусть (М, А) — гарсайдов моноид, и пусть
27 — множество всех делителей гарсайдова элемента А. Докажите, что
пара (Mz, [А]) является обширным гарсайдовым моноидом.
Упражнение 6.4.3. Пусть М — моноид с образующими х, у и
определяющим соотношением хух = у2. Докажите, что пара (М, А = у3)
является обширным гарсайдовым моноидом с атомами х, у. (Указание:
для различения элементов моноида М используйте гомоморфизмы
этого моноида в моноид N и в группу (а, Ъ \ а2 = Ъ3 = 1).)

§6.5. Моноид положительных кос
323
§6.5. Моноид положительных кос
6.5.1. Задание образующими и соотношениями
Для п > 1 обозначим через В+ моноид, порожденный п — 1
образующими <7ь &2, • • •, &n-i и соотношениями
<Ji<jj = <Jj<Ji, если \i — j\> 2,
<Ji<jj<Ji = <Jj<Ji<Jj, если |i — j| = 1,
где t, j = 1, 2, ...,n — 1. Моноид B+ называется моноидом
положительных кос из п нитей, а его элементы — положительными косами6
из п нитей. По определению моноид В+ тривиальный. Моноид Bj
порожден одной образующей <j\ и пустым множеством соотношений;
он изоморфен моноиду N неотрицательных целых чисел.
Данное выше задание моноида В+ образующими и
соотношениями конечно и уравновешено по длине в смысле п. 6.1.4. В п. 6.1.5
дано решение проблемы тождества слов для моноида В+. Кроме того,
из леммы 6.4 следует, что моноид В„ атомный с атомами оь ..., crn_i
и ||а|| = 1{а) для всех asB^, где I: В£ —> N — гомоморфизм моноидов,
определенный формулой 1{р\) — 1 для i = 1,..., п — 1.
Положим
Д, = (Oi . . . Crn_2CTn-i)(cri . . . СГП_2) . . . (СГ1СГ2)СГ1 G В£.
Следующая теорема помещает моноид В£ в рамки теории
гарсайдовых моноидов и доставляет фундаментальный пример гарсайдовых
моноидов.
Теорема 6.20. Для всех п > 1 пара (В£, Лп) является обширным
гарсайдовым моноидом.
Доказательство этой теоремы будет дано в п. 6.5.3 с помошью
предварительных результатов из п. 6.5.2. В этом доказательстве мы
будем использовать терминологию и результаты из § 4.1. Применения
теоремы 6.20 будут обсуждены в п. 6.5.4.
6.5.2. Приведенные косы
Снова, как в §4.1, рассмотрим симметрическую группу 6П,
состоящую из всех перестановок множества {1,..., п]. Далее мы определим
отображение р: <5п-^Вп как множеств. Рассмотрим простые транспо-
6 Коса тогда и только тогда положительная, когда ее можно представить некоторой
диаграммой косы без отрицательных перекрестков.—Прим. перге.

324 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
зиции 5i,..., 5n_i е6П. По определению простая транспозиция 5*
переставляет местами элементы i и i +1, а остальные элементы множества
{1,..., п} оставляет неподвижными. Простые транспозиции
порождают группу 6П, поэтому каждый элемент w е6п можно выразить в виде
слова w=Si1Si2...Sir, где i\, t'2,...,ire{l, ...,n—1}. Если г минимально,
то это приведенное выражение и мы положим р(ш) = сг^сп2 ...спг.
По теореме 4.12 получаем, что p{w) есть корректно определенный
элемент моноида В+. Также определим гомоморфизм моноидов
тг:В+->6„
по формуле 7i((7i) = 5i для всех i = 1,..., п — 1. Ясно, что тг о р = id,
откуда следует, что отображение р инъективно.
Положим B^ed = р (6П) с В+. Это конечное множество мощности п\,
и ограничение гомоморфизма тг: В+ —> 6П на подмножество B^ed
является биекцией. Мы будем называть элемент моноида В+ приведенным,
если он лежит в B„ed. Атомы 0\... crn_i моноида В J — приведенные
элементы, так как <Ji — p {s\) для i = 1,..., п — 1.
Напомним, что в п. 4.1.3 была определена длина А(ш) элемента
w е6„ как длина г любого приведенного выражения 5^5^... 5;г для
элемента w. Из определений ясно, что А(тг(а)) < £(а) для всех а е В+.
Дадим полезную алгебраическую характеризацию подмножества B^ed.
Лемма 6.21. Элемент а моноида В+ является приведенным тогда
и только тогда, когда А(тг(а)) = t{a).
Доказательство. Если а = p{w) для некоторого w e 6П, то
*(а) = А(ш) = А(тг(а)).
Обратно, пусть а = сг^ ... <т1;. еВ+, где г = (,{а) = А(тг(а)). Тогда тг(а) =
= 5^... 5ir есть приведенное выражение в6пиа = р (тг(а)) е B^ed. D
Лемма 6.22. Любой левый или правый делитель произвольного
приведенного элемента из В„ является приведенным элементом.
Доказательство. Если а,Ъ е Вп иаЪ е BJfd, то
t(a) +£(Ь) = £(аЬ) = А(тг(аЬ)) = А(тг(а)тг(Ь)) < А(тг(а)) + А(тг(Ь)).
Так как £(а) ^ А(тг(а)) и£(Ь)> А(тг(Ь)), эти неравенства на самом деле
являются равенствами. По лемме 6.21 из этого следует, что а,Ь еB„ed.
□
Лемма 6.23. Для и,и е6„ равенство p(u)p(v) = p(uv) имеет
место тогда и только тогда, когда Х{и) + X{v) = X(uv).

§6.5. Моноид положительных кос
325
Доказательство. Положим а=р(и)р(и)^В^. Мы имеем п(а) = ии
к(ии) = Я(тг(а)) < 1(a) = 1(рШ +i(fi(v)) = А (и) + X(v).
Поэтому аеBrnd тогда и только тогда, когда X(uv) = A(u) + X(v). С
другой стороны, а е B„ed тогда и только тогда, когда а = р{п{а)) = p(uv).
□
Напомним, что в п. 4.1.6 была определена перестановка wq =
= (п, п — 1,..., 2,1); это единственный элемент w0 e 6П максимальной
длины. Легко проверить, что
Wq = (Si... Sn-2Sn-i)(Si.. . S„_2) .. . (SiS2)Si.
Так как длина Я(ш0) слова в правой части этого равенства равна
п(п —1)/2, это приведенный элемент. Поэтому
p{w0) = (C7i ... Crn_20Vi-l)(Ol • • • °n-l) • • • (<Tl<T2)CTi = Ai-
Таким образом, мы доказали, что Лп — приведенный элемент.
Лемма 6.24. Любой элемент моноида £„ тогда и только тогда
является приведенным, когда он является левым (или правым)
делителем элемента Ап.
Доказательство. Поскольку Ап — приведенный элемент, по
лемме 6.22 все его левые и правые делители являются приведенными
элементами.
Обратно, пусть а = р(п[а)) е B^ed. Положим Ъ = р(тг(а)-1ш0) е
е Brnd, и = п[а) ии = п(Ъ) = тг(а)-1ш0. Имеем ии = ш0. Следовательно,
по лемме 4.14 получаем
Я(и) + A(i>) = А(ш0).
Из этого равенства и леммы 6.23 следует, что аЪ = Ап. Следовательно,
а — левый делитель элемента Ап. Аналогичные рассуждения
показывают, что а — правый делитель элемента Ап. □
6.5.3. Доказательство теоремы 6.20
В п. 6.5.1 мы заметили, что моноид £„ атомный с атомами сгь ...,
<7n_i. Докажем, что пара (£„, Ап) является предгарсайдовым
моноидом, проверив условия 1 и 2 из определения 6.9.
По лемме 6.24 множество всех левых делителей элемента Ап
совпадает с множеством всех правых делителей элемента Ап и совпадает
с множеством BJ,ed. Последнее множество конечно и содержит
образующие <7ь ..., <7п-1 моноида £+. Условие 1 проверено.

326 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Далее проверим условие 2. Вначале докажем, что Апа=АпЪ => а—Ъ
для a, bsBrnd. Применив гомоморфизм моноидов л: В+ —>6П, получим
п(Ап)п(а) = п{Апа) = п{АпЬ) = n(An)n(b) G в„.
Так как 6П — группа, получаем, что п{а) = тг(Ь). Отсюда следует, что
а = р(тг(а)) = р(тг(Ь)) = Ь.
Аналогично доказывается импликация аЛп = ЬЛП => а = Ь.
Для любых t, j € {1,..., п — 1} положим
[ <7;, если t = ;,
CTij = < сг^сг/сг; = (JjCiiCrj, если |t — ;| = 1,
^ CTiO) = <7;<7i, если \i — j\ > 2.
Положим Si j — n((Jij) g 6n. Легко проверить, что sy = SiSj g 6n есть
приведенное выражение при \i — j\ > 2, а также что sy = 5i5;5i g 6n
есть приведенное выражение при \i — j\ = 1. Тогда оу = p(s;>;-) g £„ed
для всех i,j. Следовательно, множество BJfd обширное.
Для завершения доказательства теоремы 6.20 остается проверить
условие из определения 6.15. Заметим, что сг; =^ <7;>; и сг; =^ <7;j для всех
t,;. Мы утверждаем, что <Jij есть минимальный элемент в множестве
{a G Brnd: (Ji4an (jj =4 а}.
Мы должны доказать, что для любого элемента a g B„ed,
удовлетворяющего условиям (Ji ^ а и ау =^ а, имеем o"i j =^ а. Случай i = j тривиален.
Рассмотрим случай i Ф ]. Так как элементы множества B„ed находятся
во взаимно однозначном соответствии с элементами группы 6П при
гомоморфизме л: В+ —> 6П, достаточно установить, что если
w = п[а) = Siii = SjU
для некоторых элементов и, и G 6П, удовлетворяющих условию Х{и) =
= Я(у) = Я(ш) — 1, то существует такой элемент w' G 6П, что ш = $i,; и/
и Я(ш') = Я(ш) — h(sij).
Докажем последнее утверждение. Сначала заметим, что и Ф и, так
как Si Ф Sj. Рассмотрим для и приведенное выражение s^.^s^, где
r — X[w) — 1. Имеем
U = SiW = SiSjU = SiSjS^... Sir.
Так как Я(и) < Я(ш), из теоремы 4.8 следует, что и получается из
5;5ц...Sir вычеркиванием одной из образующих. Если эта
вычеркнутая образующая — самая левая Sj, то и = s^... s;r = у, что невозможно.

§6.5. Моноид положительных кос
327
Значит, и — Sjiv', где
и некоторая образующая Si вычеркнута. Поэтому Я(к/) < г — 1 =
= Я(ш) — 2. Так как ,
W =SiU =SiSjW ,
мы получаем, что Я(к/) = Я(ш)—2. Таким образом, наше утверждение
доказано в случае, когда \i — j\ > 2, т. е. когда stj = SiSj.
Далее рассмотрим случай \i — j\ = 1. Используя сделанные
вычисления, получаем
U = SjW = 5j5ili = SjSiSjW' = SjSiSjS^... Si . . . 5fr.
Так как A(i>) < Я(ш) = г + 1, из теоремы 4.8 вновь следует, что и
получается из SiSjS^...si ...Sir вычеркиванием одной из образующих.
Если эта вычеркнутая образующая — самая левая st, то
и = SjS^.. Sip...sir= Sjiv' = и,
что невозможно. Если эта вычеркнутая образующая — образующая Sj
во второй позиции, то
v = siSil...sip...Sir=siw/.
Мы получили SiSjiv' — w— SjU = SjSiiv', откуда следует, что S[Sj = SjS[.
Но в рассматриваемом случае \i — j\ = 1 это невозможно.
Следовательно, и = SiSjiv", где w" получается вычеркиванием некоторой
образующей из и/ — Siv.Sip ...Sir. Поэтому X{w") < г —2 = Я(ш) —3 и
W = SjU = SjSiSjW" = SijU)".
Тогда, конечно, Я(ш") = Я(ш) — 3. П
6.5.4. Применения теоремы 6.20
По теореме 6.20 пара (В£, Ап) обладает всеми свойствами
обширных гарсаидовых моноидов; см. п. 6.4.2 и 6.4.3. Мы дадим здесь сводку
этих свойств.
1. Моноид Вп задается образующими [а], где а пробегает
множество Brnd, и соотношениями [1] = 1 и [а][Ъ] = [ab] для всех тех
a, be Brnd, для которых ab e £„ed. Используя биекцию р: <5п-^ B„ed
и лемму 6.23, мы можем сделать вывод, что моноид В+ задается
образующими [и], где и пробегает симметрическую группу 6П,
и соотношениями [1] = 1 и [и][и] = [ии] для всех тех и, и е 6П,
для которых Х{и) + X{v) = X{uv).

328 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
2. Любое конечное семейство элементов моноида В + обладает
единственным левым наибольшим общим делителем и единственным
правым наименьшим общим кратным.
3. Любой элемент а е В+ имеет нормальную форму (аь а.2,..., аг),
г ^ 0, где аь а2,..., аг — единственные элементы из B^ed \ {1}, для
которых а = aia.2 ...ar и щ является левым наибольшим общим
делителем элементов щщ+х ...аг и Лп для всех i — 1,2,..., г.
4. Моноид В„ вкладывается в свою группу частных. По определению
группа частных моноида В+ имеет то же самое задание
образующими и соотношениями, что и моноид В+, и есть не что иное, как
группа кос Вп. Таким образом, гомоморфизм моноидов В+ -+ Вп,
отображающий сг; е В+ в сг; е Вп для всех £ = 1,..., п — 1, инъек-
тивен. Впоследствии мы будем отождествлять моноид В* с его
образом в группе Вп.
5. При п > 2 любую косу )ЗеВп можно единственным способом
записать в виде /3 = Asnb, где 5 е Z и элемент b eВ„ с Вп не является
правым кратным косы Лп.
6. Проблема сопряженности в группе Вп эквивалентна проблеме
сопряженности в моноиде В„ и может быть решена так, как описано
в п. 6.2.5.
Дополним этот список следующей теоремой.
Теорема 6.25. Любое конечное семейство элементов моноида В„
обладает единственным правым наибольшим общим делителем и
единственным левым наименьшим общим кратным.
Доказательство. Рассмотрим отображение rev: В+ —» В„,
получающееся чтением слов от образующих crb ..., <Jn-i справа налево, т. е.
геу(сг£1сг£2... сг;г1сг;г) = (Jir(Jir_, ... сг^сг^.
Это отображение определено корректно, поскольку определяющие
соотношения моноида В+, будучи прочитанными справа налево, дают
те же самые соотношения. Отображение rev является инволютивным
антиавтоморфизмом моноида В+ в том смысле, что rev2 = id, rev(l) = 1
и rev(ab) = rev(b)rev(a) для всех а,Ъ^В+. Ясно, что а<Ъ тогда и только
тогда, когда rev(a) ^ rev(b) для а, Ъ еВ+. С помощью этих фактов легко
вывести существование правых наибольших общих делителей и левых
наименьших общих кратных из существования левых наибольших
общих делителей и правых наименьших общих кратных.
Единственность следует из леммы 6.3. □

§6.5. Моноид положительных кос
329
Заметим, что гарсайдов элемент Лп е В+ с Вп был определен как
коса в п. 1.3.3 (см. рис. 1.11 для п = 5).
6.5.5. Вычисления
Данное в свойстве 5 из п. 6.5.5 разложение /3 = Asnb любой косы
/3 еВп может быть вычислено в явном виде. Представим косу /3
некоторым словом от образующих сгъ ..., <Jn-i и обратных к ним элементов.
Определим элементы v* е В+ формулами v;<7; = Лп. Тогда сг.-1 = A~l v*.
В слове, представляющем косу /3, заменим все вхождения букв сгг1
на A~lvi и разложим все элементы vt по образующим <7Ь... ,<7n_i.
Получившееся слово содержит только образующие <Jt (но не обратные
к ним элементы) и отрицательные степени элемента Лп. С помощью
тождеств
сцЛп = ДпСТп-г, (6.6)
где i = 1,..., п—1 (ср. с формулой (1.8) в § 1.3), мы можем передвинуть
все степени элемента Лп влево. Таким образом, мы получим
разложение /3 = Asnb, где 5 е Z и Ъ е В„. Если Ь не является правым кратным
элемента Лп, то это искомое разложение косы /3. Если Лп < Ь, то
Ь = ЛпУ, где Ь' еВ+ и /3 = Л„+1Ь/. Заметим, что для проверки верности
условия Лп^Ь достаточно вычислить а(Ъ) е B^ed и посмотреть, верно
ли, что а(Ъ) = Лп. Затем мы проверяем, верно ли, что W является
правым кратным элемента Лп, и т.д. Этот процесс останавливается
после не более чем 2t[b)/[n{n — 1)) шагов.
Для примера применим эту процедуру к косе
/3 = о-~1(72о'10'22 Gв4-
Как и в п. 6.1.5, обозначим через W{a) множество всех слов от <7Ь...,
crn_i, представляющих элемент as В*. Из равенств
Л4 = СПСГ2СГзО'10'20'1 — CTi (72 СГ3СГ2 (71(72
мы получаем а'1 — A^cri^oso'i^ и сг^1 = А~^<j\<j2&?>V2V\-
Следовательно,
j8 = (^4Via2a3cJia2)(c72CJi)(^4Via2CJ3a2CJi)(^41cJiCJ2CJ3CJ2CJi) =
где
а = <7i<72(73(7i(72, Ь = <72<7i,
С = <73(72(71(72(7з = G\ Ог^З^О!-

330 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
Вычислим а(аЪс2), чтобы узнать, верно ли, что abc2 является
правым кратным элемента А4. Заметим, что а, Ъ и с являются
приведенными косами. Согласно упражнению 6.4.1, так как ссг2 = А4, мы
имеем а{с2) = а2{с, с) = сс\ где с' —левый наибольший общий
делитель элементов а2 и с. Далее, множество W(c) состоит из шести слов
О3О2СГ1СГ2СГ3, О1О2СГ3 СГ2СГ1, О1О3О2СГ3СГ1,
о'гСТз^о'гО'з, о'зО'г^о'зО'ъ стзО'г^о'гО'з-
Поэтому с' = 1и а(с2) = с. Из равенства b{a2G3<J2<Ji) = А4 мы получаем
а(Ъс2) = а2(Ъ, а(с2)) = а2(Ъ, с) = ЪЪ\
где Ь'—левый наибольший общий делитель элементов сг2сгзсг2сг1 и с.
Далее,
И^(сГ2СГзСГ2СГ1) = {О2О3О2О1, СГ3СГ2СГ3СГ1, СГ3СГ2СГ1СГ3}.
Сравнивая с W(c), мы получаем Ъ' — а^г^ъ Следовательно, a{bc2) — d,
где d = СГ2СГ1СГ3СГ2СГ1. Наконец, из равенства a<j\ — А4 следует, что
а{аЪс2) = а2{а, а[Ъс2)) = агС^, d) = аа',
где а7 —левый наибольший общий делитель элементов о\ и d. Список
W(d) = {(Т2СГ1СГ3СГ2СГ1, СГ2СГ3СГ1СГ2СГ1, (Т2СГ3СГ2СГ1СГ2,
СГ3СГ2СГ3СГ1СГ2, СГ3О2СГ1СГ3СГ2}
показывает, что а7 = 1. Следовательно, а{аЪс2) — аф А4. Поэтому abc2
не является правым кратным элемента А4 и
Р = А~3аЪс2
есть искомое разложение косы /3.
Мы предлагаем читателю проверить, что нормальной формой
элемента abc2 является (a, d, e, Ь), где а, Ь, d определены выше и е =
= СГ\СГ2&1&3&2-
Упражнение 6.5.1.
а) Дайте алгебраическое доказательство тождеств (6.6) в £+.
б) Докажите, что Ап является левым (и правым) наименьшим
общим кратным элементов оь ..., crn_i в £+.
в) Докажите, что центр моноида £„ порожден элементом А2.
г) Покажите, что rev(An) = Ап.
д) Покажите, что rev(B„ed) = £„ed. (Указание: p{w~l) — rev(p(if)) для
ween.)

§6.6. Обобщенные группы кос
331
§6.6. Обобщенные группы кос
Здесь мы определим обобщенные группы кос и обобщенные
моноиды кос. Их определение непосредственно навеяно теорией групп
Коксетера. Начнем с краткого введения в теорию групп Коксетера.
6.6.1. Группы Коксетера
Матрицей Коксетера называется симметрическая матрица А =
— (a*,t)s,tes, где S — конечное множество, aSfS — 1 для всех 5 е S и aSjt e
е {2,3,..., оо} для всех 5 Ф t е S. Каждой такой матрице А мы
следующим образом сопоставим некоторый граф /д: его вершинами служат
элементы множества S, и вершины 5, t e S соединены единственным
ребром, если aS)t > 3. В том случае, если as,t > 4, мы снабдим ребро,
соединяющее вершины 5 и t, меткой ast. Получившийся в результате
граф с метками называется графом с метками матрицы Коксетера А.
Каждую матрицу Коксетера можно однозначно восстановить по ее
графу с метками.
Каждой матрице Коксетера А = (as,t)S}tes мы также сопоставим
некоторую группу WA, следующим образом задав ее образующие и
соотношения: ее образующими служат элементы множества S, а ее
соотношения таковы:
(st)a- = 1, (6.7)
где s, t пробегают все пары элементов множества S, для которых ав^Ф оо.
Так как as,s = 1, соотношение (6.7) для s = t превращается в
равенство s2 = 1, которое эквивалентно соотношению s-1 = 5 для всех 5 е S.
Для s^t соотношение (6.7) можно переписать в виде
sts... = tst..., (6.8)
ast множителей ast множителей
где 5, t пробегают множество S и обе части определены при 2 < aS)t < °°
и имеют aSft множителей. Другими словами, группа WA порождена
элементами множества S, подчиняющимися соотношениям s2 = 1 (5 е S)
и соотношениям (6.8). Группа Wa называется группой Коксетера,
ассоциированной с матрицей Коксетера А (или с графом с метками Га).
Если S = {1,2,..., п — 1}, п ^ 1, и матрица А — (aij)ijes задана
формулой /
1 при i = j,
au=l 3 npH|i-j| = l, (6.9)
I 2 при|1-Л>2,

332 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
то задание группы WA образующими и соотношениями совпадает с
заданием (4.1) образующими и соотношениями для симметрической
группы 6„. Таким образом, группы Коксетера обобщают
симметрические группы.
Снова рассмотрим произвольную матрицу Коксетера А = (aSft)Sftes-
Ввиду соотношений s2 = 1 для s е S любой элемент w e WA может
быть представлен в виде произведения w = Si... sr элементов sb ..., sr
множества S. Минимальное число г в таком разложении элемента w
называется длиной элемента w и обозначается А(ш). Разложение w =
= 5i... sr, где г = А(ш) и 5i,..., sr е S, называется приведенным
представлением элемента w (вообще говоря, оно не единственно).
Нейтральным элементом группы WA является единственный
элемент длины 0. Элементы длины 1 в группе WA суть в точности
образующие S G S.
Многие свойства симметрических групп обобщаются на группы
Коксетера. Отметим следующее обобщение теоремы 4.12 (ее
доказательство см. в статье [Mat64] и в книгах [Вои68, гл. IV, § 1, предл. 5],
[GP00, Sect. 1.2]).
Теорема 6.26. Пусть М—моноид, и пусть задано некоторое
множестве его элементов xs е М, 5 е S, удовлетворяющих соотношениям
XsXtXs ... = X{XsXt ...
ast множителей ast множителей
для всех тех s, t e S, для которых 2 < aS)t < °°- Для любого элемента
w€WA возьмем произвольное приведенное выражение w=Si...sr.
Формула р (ш) =х$1 ... xSr корректно определяет отображение р : WA —> М
как множеств.
В таблице 6.1 мы привели список графов с метками, состоящий
из четырех бесконечных семейств графов Ап (п> 1), ВСп (и > 2),
D„ {п> 4), hijri) (m = 5 и т> 7) и семи исключительных графов.
Нижние индексы в обозначениях графов в этой таблице указывают
на число вершин. Можно доказать, что все группы Коксетера,
ассоциированные с этими графами с метками, являются конечными
группами. Кроме того, любая конечная группа Коксетера является
прямым произведением некоторого конечного семейства групп
Коксетера, ассоциированных с графами из таблицы 6.1, см. [Вои68, гл. VI,
§ 1, п° 1] или [Hum90, Sect. 2.7]. Приведем также следующую лемму;
см. [GP00, Prop. 1.5.1].

§6.6. Обобщенные группы кос 333
Таблица 6.1
Графы конечных групп Коксетера
Gi о—о
72(гл) о—о
Лемма 6.27. Группа Коксетера Wa тогда и только тогда конечна,
когда существует такой элемент Шо е WA, что X(wqs) < Я(ш0) для
всех s E S. Такой элемент Wq (если он существует) единствен и
удовлетворяет неравенствам Я(ш) < Я(ш0) для всех w e Wa, w ф wq.
Элемент Wq g Wa называется самым длинным элементом группы
Коксетера WA.

334 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
6.6.2. Обобщенные моноиды положительных кос и группы кос
Для любой матрицы Коксетера А — (aSft)Sftes мы определим
моноид В\ (соответственно группу ВА) как моноид (соответственно
группу), порожденный элементами множества S и соотношениями (6.8).
(Отличие от WA состоит в том, что мы опустили здесь соотношения
s2 = 1, 5 е S.) Моноид Вд называется обобщенным моноидом
положительных кос, ассоциированным с матрицей Коксетера А, а группа ВА
называется обобщенной группой кос, ассоциированной с матрицей
Коксетера А. Из п. 6.3.1 следует, что группа ВА является группой
частных моноида Вд.
По определению группа Коксетера WA является факторгруппой
группы ВА по нормальной подгруппе, порожденной элементами s2
для всех s Е S. Ясно, что композиция
тг: B+->BA->WA
сюръективна. Когда А — матрица с элементами вида (6.9), мы имеем
ВА= Вп и ВА = Вп.
Описанное задание моноида £д образующими и соотношениями
конечное и уравновешено по длине в смысле п. 6.1.4. Поэтому п. 6.1.5
дает решение проблемы тождества слов и проблемы делимости для
моноида £д. Из леммы 6.4 следует, что моноид £д атомный, его
атомами являются 5 е S и ||а|| = £(а) для всех а е £д, где I: £д —> N —
гомоморфизм моноидов, определенный по формуле l{s) — 1 для всех
5 е S. Ясно, что моноид £д тривиален тогда и только тогда, когда S = 0.
По теореме 6.26 существует единственное отображение р : И^ —>
—>£д как множеств, для которого p(w) = s\... 5ге£д, где if = si...sr —
произвольное приведенное выражение. Ясно, что пор— \&Wa, где
тг: £д —> И^ — проекция. Следовательно, отображение р инъективно.
Положим £дес1 = р(И^) с £д. Мы будем говорить, что элемент
моноида £д приведенный, если он лежит в B^d. Например, нейтральный
элемент и образующие seS моноида £д — приведенные элементы.
Также заметим, что А(тг(а)) < £(а) для всех а е £д.
Следующая лемма обобщает леммы 6.21-6.23 и доказывается
аналогично.
Лемма 6.28. 1. Элемент а е £д является приведенным тогда
и только тогда, когда А(тг(а)) = £(а).
2. Все левые делители и все правые делители любого приведенного
элемента из Вд являются приведенными элементами.

§6.6. Обобщенные группы кос
335
3. Для и,и ^WA тогда и только тогда имеет место равенство
р (и)р (и) = р (ии), когда Х(и) + Х(и) = Х(ии).
Предположим теперь, что группа Wa конечная. По лемме 6.27
существует единственный элемент wq e Wa максимальной длины.
Положим А = р (ш0) е Вд. Следующая лемма обобщает лемму 6.24 и
доказывается аналогично.
Лемма 6.29. Любой элемент моноида Вд тогда и только тогда
является приведенным, когда он является левым {или правым)
делителем элемента А.
Теперь мы можем сформулировать основную теорему этого пункта.
Теорема 6.30. Пусть А — произвольная матрица Коксетера, для
которой ассоциированная группа WA конечная. Тогда пара (Вд, А)
является обширным гарсайдовым моноидом.
Доказательство. Мы уже заметили, что моноид Вд атомный. Так
как обе части соотношения (6.8) представляют приведенные
выражения в Wa, множество Вдд обширно. Доказательство условий 1 и 2
из определения 6.9 воспроизводит соответствующую часть
доказательства теоремы 6.20 с очевидными изменениями. Остается
проверить условие из определения 6.15. Для 5, t e S положим
4s,t = {
если s^t.
множителей сь г множителей
Элемент ASft принадлежит подмножеству Br£d и является правым
общим кратным элементов s и t. Мы утверждаем, что AS)t < а для любого
а е Вдй, удовлетворяющего условиям 5 < а и t < а. Так как элементы
подмножества Br^d находятся во взаимно однозначном соответствии
с элементами группы WA при отображении п: Вд —> Wa, достаточно
установить, что если w = п(а) = su = tu для некоторых и, и е WA,
удовлетворяющих условию Я(и) = X{v) = Я(ш) — 1, то существует
такой элемент w''^WA, что w = n(AS)t)w/ и X(w') = X(w) — X(n(ASft)).
Это сводит наше утверждение к некоторому утверждению о
группах Коксетера. Его доказательство см. в книге [GP00, Sect. 1.1.7 и
Lemma 1.2.1]. □
Из теоремы 6.30 следует, что если группа WA конечная, то пара
(£д, А) обладает всеми свойствами обширных гарсайдовых моноидов,

336 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
которые были сформулированы в п. 6.4.2 и 6.4.3. Мы дадим здесь
сводку этих свойств.
1. Моноид Вд задается образующими [а], где а пробегает множество
B™d, и соотношениями [1] = 1 и [а] [Ъ] = [аЪ] для всех тех а, Ъ е£дес1,
для которых аЪ е BT£d. Используя биекцию р: WA —> Br^d и
лемму 6.28 (3), мы можем сделать вывод, что моноид £д задается
образующими [и], где и пробегает группу WA, и
соотношениями [1] = 1 и [и] [и] = [ии] для всех тех и, и е WA, для которых
Я(и) + Я(у) = Я(иу).
2. Любое конечное семейство элементов моноида £д обладает
единственным левым наибольшим общим делителем, единственным
правым наибольшим общим делителем, единственным левым
наименьшим общим кратным и единственным правым наименьшим
общим кратным. (Существование правого наибольшего общего
делителя и левого наименьшего общего кратного доказывается
аналогично теореме 6.25 с помощью инволютивного
антиавтоморфизма моноида £д, поточечно неподвижного на S.)
3. Любой элемент а е £+ имеет нормальную форму (аь ..., аг), г > О,
где аь ..., аг — единственные элементы из B^ed \ {1}, для которых
а = а\... аг и щ является левым наибольшим общим делителем
элементов щщ+1... аг и Л для всех i = 1,2,..., г.
4. Естественный гомоморфизм моноидов £д —> ВА инъективен.
5. Если S Ф 0, то любой элемент /3 ^ВА можно единственным
способом записать в виде /3 = Asb, где 5 е Z и элемент Ь е £д с £д
не является правым кратным элемента Л.
6. Проблема сопряженности в группе ВА эквивалентна проблеме
сопряженности в моноиде £д и может быть решена так, как описано
в п. 6.2.5.
6.6.3. Теорема Брискорна
В п. 1.4.3 мы интерпретировали группу кос Артина £п как
фундаментальную группу некоторого конфигурационного пространства.
Здесь мы дадим аналогичную интерпретацию обобщенной группы
кос £д, ассоциированной с матрицей Коксетера А = (as>t)s,tes-
Начнем с того, что отождествим группу Коксетера WA,
ассоциированную с матрицей Коксетера А, с некоторой группой матриц.
Пусть V — вещественное векторное пространство с базисом {es}seS,
индексированным множеством S. Определим симметрическую били-

§6.6. Обобщенные группы кос
337
нейную форму ( , ) на V по формуле
fc, et) = — cos — = cosf л —— J,
x ' aStt V aSJtJ'
где мы считаем, что n/aSft = О, если aSft = 00. в частности, мы имеем
(es, es) = cos(O) = 1 для всех 5Е5.
Для каждого s е S определим эндоморфизм ц3 пространства V
по формуле
lJLs(v) = v-2(es,u)es,
где и е V. Так как (es, es) Ф 0, подпространство Hs = {у е У: (es, у) = 0},
ортогональное к вектору es, является гиперплоскостью, не
содержащей вектор es. Имеет место ортогональное разложение
V = Hs®Res.
Так как /xs(es) = — es и /х5(у) = v для всех и е Hs, эндоморфизм /xs
инволютивен и равен ортогональному отражению относительно
гиперплоскости Hs.
Лемма 6.31. Для всех s, t е S порядок композиции /xs/xt равен aSyt.
Доказательство. 1. Если aSft = оо5 то
(jtxsjtxt)(es) = /xs0s + 2et) = -es + 2(et + 2es) = 3es + 2et
и
(MsMt)(et) = -/xs(et) = -2es - et.
Отсюда следует, что композиция /xs/xt неподвижна на векторе es + et.
Используя этот факт и равенство
Gusiut)(es) = es + 2(es + et),
легко проверить по индукции, что
(/xs/xt)r(es) = es + 2r(es + et)
для всех г>0. Это показывает, что композиция /xs/xt имеет
бесконечный порядок.
2. Выше мы заметили, что /xs — инволюция. Поэтому при s = t
порядок композиции jjLsjjit = [л* равен 1 = aS}S.
3. Остается рассмотреть случай, когда s Ф t и aSjt < оо. Заметим,
что композиция HsHt поточечно неподвижна на Hs П Ht и оставляет
инвариантным двумерное подпространство nSft с У, натянутое на
векторы es и et. Имеем V = (Hs П Ht) Ф nS)t. Ограничив симметрическую

338 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
билинейную форму ( , ) на ns>t, мы получим симметрическую
билинейную форму
(es, es) (eS9 et}\ __ f 1 - cos(7i/aS)t;A
(es,et) (et,et)J \^-cos(7r/aSjt) 1 J'
Из неравенств 2 < as>t < °° следует, что 0 < cos(7i/aS)t) < 1, а значит,
последняя билинейная форма положительно определена. Поэтому
мы можем рассматривать nst как евклидову плоскость, в которой
векторы es и et имеют норму 1, а угол между ними равен л — n/aS)t.
Хорошо известно, что композиция двух плоских отражений является
вращением на угол, равный удвоенному углу между векторами,
определяющими эти отражения. Значит, ограничение композиции /xs/xt
на плоскость nst представляет собой вращение на угол 2n — 2n/aS)t =
= —2n/aSft (mod 2тг). Поскольку композиция /iSjUt поточечно
неподвижна на Hs П Ht, ее порядок равен aS)t. □
Ввиду этой леммы отражения ц5 удовлетворяют соотношениям (6.7).
Следовательно, имеется гомоморфизм групп [л: WA —> Aut(V),
определенный по формуле /x(s) = ц5 для всех s € S. Можно показать, что /х
есть инъективный гомоморфизм на некоторую дискретную подгруппу
группы Aut(V). Он реализует группу WA как группу матриц,
порожденную отражениями.
До конца этого пункта мы будем предполагать, что группа Коксе-
тера W = WA конечная. Пусть {Hi}ieI — множество всех
гиперплоскостей пространства V, являющихся образами гиперплоскостей Hs
(s e S) при автоморфизмах пространства V, лежащих в подгруппе
fx(W) с Aut(V). Так как группа W конечна, множество {Н(}(е1 также
конечное.
Обозначим через Vе = V ®r С комплексификацию вещественного
векторного пространства V. Действие /i группы W на вещественном
пространстве V продолжается до некоторого действия группы W на
комплексном пространстве Vе комплексно-линейными
автоморфизмами. Рассмотрим комплексные гиперплоскости
HLC = Щ %ССУ€
для i е I. Так как действие группы W на вещественном
пространстве V переставляет гиперплоскости {Hi}ieI, ее продолженное
действие на комплексном пространстве Vе переставляет комплексные
гиперплоскости {H^}iej. Следовательно, мы получаем действие группы W

Замечания
339
на множестве
E = VC\[JH^
iel
Это открытое подмножество в комплексном векторном пространстве Vе,
и потому оно является комплексным многообразием комплексной
размерности card(S).
Группа W действует на многообразии Е гомеоморфизмами, не
имеющими неподвижных точек и сохраняющими комплексную структуру.
Факторпространство W\E естественно наследует структуру
комплексного многообразия размерности card(S). Проекция Е —> W\E
является неразветвленным накрытием. Так как комплексные
гиперплоскости Hf имеют вещественную коразмерность 2 в Vе, многообразия Е
и W\E связны.
Зафиксируем какую-нибудь точку
psVnE = V\[JHi.
iel
Для каждого s € S рассмотрим ломаную линию в Vе,
последовательно соединяющую вершины р, р + \/—Тр, Hs(p) + V—lp и /xs(p). Эта
ломаная линия лежит в Е и проектируется в некоторую петлю в W\E,
начинающуюся и заканчивающуюся в проекции р € W\E точки р.
Эта петля представляет некоторый элемент фундаментальной группы
Ui(W\E, p), который мы обозначим через s.
Теорема 6.32 (Брискорн). Отображение S —> ni(W\E,p), s *-* s,
индуцирует изоморфизм групп Ва — Ui(W\E, p).
Доказательство см. в статьях Брискорна [Bri71] или Делиня [Del72].
Эти авторы также доказали, что многообразие W\E асферично, т. е.
все его высшие гомотопические группы равны нулю; см. [Del72], [Bri73].
Так как Е—> W\E является накрытием, многообразие Е также асферично.
Его фундаментальная группа изоморфна ядру проекции В а —> W = WA.
Это ядро обобщает группу крашеных кос Артина.
Замечания
Проблема тождества слов в группах кос впервые была решена
Артином; см. [Art25]. Гарсайд (см. [Gar69]) определил моноиды
положительных кос и изучил их свойства. Это привело его к новому
решению проблемы тождества слов и к решению проблемы
сопряженности в группах кос. Он также распространил эти результаты на неко-

340 Глава 6. Гарсайдовы моноиды и моноиды положительных кос
торые обобщенные моноиды положительных кос. Деорнуа и Парис
(см. [DP99]) абстрагировали идеи, содержащиеся в статье [Gar69],
и определили понятие гарсайдова моноида. При написании этой
главы мы использовали следующие источники: [DP99], [Mic99], [GP00],
[Deh02], [BDM02]. Данное в этой главе определение (пред)гарсайдова
моноида немного отличается от определений, предлагаемых в этих
работах.
Систематическое изучение обобщенных моноидов положительных
кос и обобщенных групп кос, ассоциированных с конечными группам
Коксетера, было предпринято Брискорном (см. [Bri71], [Bri73]), Бри-
скорном и Сайто (см. [BS72]) и Делинем (см. [Del72]). Обобщенные
группы кос также называются группами Артина или группами
Аршина— Титса. В литературе также можно найти выражение группы кос
сферического типа, означающее обобщенные группы кос,
ассоциированные с конечными группами Коксетера. Теорема 6.26 принадлежит
Мацумото; см. [Mat64]. Теорема 6.32 была высказана в качестве
гипотезы Ж. Титсом и впервые доказана Брискорном; см. [Bri71].
Описание обобщенных групп кос в терминах диаграмм кос можно найти
в статье [А1102].

Глава 7
Порядок на группах кос
Основная цель этой главы — показать, что группы кос обладают
естественным линейным порядком.
§7.1. Упорядочиваемые группы
В этом параграфе мы изложим общие сведения об
упорядочиваемых группах. Все группы будут записываться мультипликативно, и их
нейтральные элементы будут обозначаться символом 1.
7.1.1. Порядки
Порядком на множестве X называется отношение < между
элементами этого множества, обладающее следующими свойствами для
Bcexx,y,zeX:
1) (рефлексивность) х < х;
2) (антисимметрия) (х < у) и (у < х) =Ф (х = у);
3) (транзитивность) (х < у) и (у < z) => (х < z).
Мы также будем писать у>х вместо х < у. Мы пишем х < у или,
что эквивалентно, у > х, если х < у и х ф у. Ясно, что не существует
таких элементов х, у € X, что одновременно х < у и у < х.
Порядок называется линейным, если для любых х, у € X имеет
место одна из трех возможностей: либо х = у, либо х < у, либо х > у.
Отображением, сохраняющим порядок (а также монотонным или
изотопным), из упорядоченного множества (X, <) в упорядоченное
множество (Xf, <0 называется такое отображение /: X —> X1, что для
любых элементов х, у € X, для которых х < у, выполняется неравенство
/(*)<'/(у).

342
Глава 7. Порядок на группах кос
7.1.2. Основные сведения об упорядочиваемых группах
Порядок < на группе G называется левоинвариантным
(соответственно правоинвариантным), если
х < у => zx < яу (соответственно х < у =$> xz < yz)
для всех x,y,zsG. Порядок на группе, являющийся одновременно лево-
инвариантным и правоинвариантным, называется биинвариантным.
Группа называется упорядочиваемой, если она обладает
некоторым левоинвариантным линейным порядком. Заметим, что группа G
с левоинвариантным линейным порядком < также обладает
правоинвариантным линейным порядком <', который определяется для
х, у е G по правилу х <' у, если х-1 < у-1.
Например, аддитивная группа поля вещественных чисел R
упорядочиваема, так как стандартный линейный порядок на R левоинвари-
антен. Ясно, что все подгруппы упорядочиваемой группы
упорядочиваемы.
Следующие конструкции позволяют строить из упорядочиваемых
групп новые упорядочиваемые группы.
Лемма 7.1.1. Пусть Gb..., Gr —упорядочиваемые группы. Тогда их
прямое произведение G\ х ... х Gr является упорядочиваемой группой.
2. Пусть G — группа и Н — ее нормальная подгруппа. Если на Н и
G/H имеются левоинвариантные линейные порядки, то на группе G
имеется единственный левоинвариантный линейный порядок, для
которого вложение Н с-^ G и проекция р: G —> G/H сохраняют порядок.
Кроме того, если левоинвариантные линейные порядки на Н и G/H
биинвариантны и zxz~l > 1 для всех z e G и тех х е Н, для которых
х > 1, то определенный этими порядками левоинвариантный
линейный порядок на группе G биинвариантен.
Доказательство. 1. Пусть <;—левоинвариантный линейный
порядок на группе G(. Определим отношение < на прямом произведении
G = Gi х ... х Gr, полагая (хь ..., хг) < (уь ..., уг), если либо Xt = yt для
всех i е {1,..., г}, либо найдется такой номер i € {1,..., г}, что х, = 35
для всех j < i и xi <i yt. Легко проверить, что это отношение является
порядком на G. Он называется лексикографическим порядком. Так как
порядки на Gi,..., Gr линейные, лексикографический порядок на G
также линейный. Докажем, что он левоинвариантен. Возьмем в G три
элемента
х = (хь ..., хг), у = (уь • • •, Уг), z = (*ъ • • • > *г).

§7.1. Упорядочиваемые группы
343
Если х < у, то найдется такой номер i е {1,..., г}, что х;- = у;- для всех
j < i и xi <i у[. Поэтому ZjXj = £;у;- для всех j < i и ад- <г Ziyi ввиду
левой инвариантности порядка <;. Следовательно, zx < zy.
2. Определим отношение < на группе G, полагая х < у, если
либо р(х) < р(у) для заданного порядка на G/Hy либо р(х) = р(у)
и х-1у > 1 для заданного порядка на Я (заметим, что если р(х) =р(у),
то х-1у е Я). Легкое упражнение — проверить, что тем самым
определен левоинвариантный линейный порядок на группе G. Кроме того,
любой левоинвариантный линейный порядок на G, относительно
которого отображения Я <-» G и р: G —> G/Я сохраняют порядок,
непременно имеет такой вид.
Предположим, что заданные на Я и G/H линейные порядки би-
инвариантны и zxz~l > 1 для всех zgGh тех х е Я, для которых
х > 1. Проверим, что порядок < на G правоинвариантен. Пусть х < у
для х,у е G. Так как порядок на G/Я правоинвариантен, из условия
р(х) < р(у) следует, что
p(xz) = рООрО) < р(у)рО) = р(у*)
для всех £ е G. Следовательно, в этом случае xz < yz. Если р(х) — р(у)
и х-1у > 1, то
p(xz) = р(х)рО) = р(у)рО) = p(yz)
и
(х0)~1(уЮ = ^"1(х-1у>>1,
так как по условию сопряжение сохраняет элементы х > 1.
Следовательно, и в этом случае тоже xz < yz. □
Из леммы 7.1 и упорядочиваемое™ группы R следует, что все
конечномерные вещественные векторные пространства и их
аддитивные подгруппы упорядочиваемы.
Не все группы упорядочиваемы. Например, конечная группа
упорядочиваема тогда и только тогда, когда она тривиальна (см. также
предложение 7.5).
7.1.3. Положительный конус
Для любого подмножества & группы G определим
^~1 = {xgG:x~1g^}
и
S?2 = {z e G: существуют такие х, у е ^*, что z = ху}.

344
Глава 7. Порядок на группах кос
Лемма 7.2. Для любого подмножества 9 группы G выполняются
импликации
9П{1} = 0 <=> 9~1П{1} = 0 <= 9П9~г=0.
Если 92 с 9, то 9 П{1} = 0=> 9 Г) 9~1 = 0.
Доказательство. Если 1 е 9, то 1 = I-1 е <?~1. Это доказывает,
что9~1Г){1} = 0=>9Г){1} = 0. Заменив здесь 9 нз.9~1, мы получим
обратную импликацию.
Для доказательства импликации 9 П 9~г = 0 => 9 П {1} = 0 мы
проверим, что 9 П {1} ф 0 ^> 9 П9~ 1ф 0. Если ^ п {1} ф 0, то 1 е 9
и1 = 1~1 е9~г. Следовательно, 1^9 П9~г.
Чтобы доказать последнее утверждение этой леммы, мы проверим,
что 9 П9~1 ф0^>9Г\{1}ф0. Если х е9 П^_1, то х-1 е9 П0»-1.
Поэтому 1 = хх-1 е ^2 с 9. Следовательно, 9 П {1} ф 0. □
Лемма 7.3. Пусть на группе G задан левоинвариантный
порядок <. Положим 9 = {xeG:x>l}. Тогда 9~1 = {xeG: x<1}, 92 с9
и 9 П {1} = ^-1 П{1} = 9 П 9~г = 0. Если порядок < линейный, то
9\J{1}U9~1 = G.
Доказательство. Если х е <? -1, то х-1 е 9, поэтому 1 < х-1.
Умножив это неравенство слева на х, мы получим х<1. Аналогично из
неравенства х < 1 следует, что 1 = х-1х < х-11 = х-1, поэтому х-1 е 9
и х е 9~1. Это доказывает, что 9~1 — {х е G: х < 1}.
Из аксиомы антисимметрии следует, что9 и ^*-1 = {х € G: х < 1}
не пересекаются. Дизъюнктность этих подмножеств с множеством {1}
вытекает из определения отношения <.
Если х,у е9, то ху > xl = х > 1, поэтому ху ^9. Итак, 92 с 9.
Если порядок < линейный, то для любого х е G непременно имеем
либо х > 1, либо х = 1, либо х < 1. Поэтому 9 U {1} U 9~l = G. □
Определенное в этой лемме множество 9 = {х е G: х > 1}
называется положительным конусом, ассоциированным с порядком <.
Элементы множества 9 называются положительными относительно
порядка <. Следующая теорема показывает, что любой
левоинвариантный линейный порядок на группе можно восстановить по его
положительному конусу.
Теорема 7.4. Пусть 9 — такое подмножество группы G, что
92с9 и!ф9. Тогда на группе G существует единственный
левоинвариантный порядок <,для которого 9 = {хeG: х>1}. Eckuz9z~x<z9

§7.1. Упорядочиваемые группы
345
для всех zeG,mo порядок < биинвариантен. Если S? \J{l}\JS?~l =G,
то порядок < линейный.
Доказательство. Сначала докажем единственность порядка. В
силу левой инвариантности неравенство х < у эквивалентно
неравенству 1 = х~1х < х~1у. Последнее же неравенство эквивалентно
включению x~ly G 9. Это доказывает, что левоинвариантный порядок
на группе G с положительным конусом 9 непременно определяется
формулой
х<у <^> 0 = У или* Ly е@>). (7.1)
Далее мы докажем существование. По лемме 7.2 из условий 2?2 с
<z& и 1ф@> следует, что^П{1} = ^-1П{1} = ^П^-1 = 0. Определим
бинарное отношение < на группе G по формуле (7.1). Проверим,
что оно удовлетворяет аксиомам порядка. Рефлексивность следует
из определения.
Антисимметрия. Если х < у и у < х, то либо х = у, либо x~ly e g?
и y~lx G g?. Так как у~1х = (х-1у)-1, во втором случае мы получаем
х~1у е 9 П^-1 = 0 — противоречие. Следовательно, х — у.
Транзитивность. Если х-1у, y~lz G £$*, то х-1£ = (x~ly)(y~lz) G
Покажем, что порядок < левоинвариантен. Возьмем два элемента
х,у gG, для которых х < у. Тогда либо х = у, либо х-1у G ^. Если
х = у, то zx — zy для всех z^G. Если х-1у G^*, то (zx)-1 (zy) = х-1у G^*.
В обоих случаях zx <zy.
Предположим, что zS?z~l с g? для всех zgG. Возьмем два
элемента х, у G G, для которых х < у. Тогда либо х = у, либо х-1у G ^. Если
х = у, то xz — yz для всех z gG. Если х-1у G <? и z e G, то элемент
(xz)-1^) = z~l(x~ly)z принадлежит подмножеству z~lS?z и потому
подмножеству &. Это доказывает, что отношение < правоинвариантно.
Если 9 U {1} U^-1 = G, то для любых х, у g G имеет место одна из
трех возможностей: либо х-1у G g?, либо х-1у g ^-1, либо х-1у = 1.
В первом случае х < у, во втором случае у-1х = (х-1у)-1 g ^ и потому
у < х, в последнем случае х = у. Это доказывает, что порядок <
линейный. □
7.1.4. Свойства упорядочиваемых групп
Здесь мы установим два свойства упорядочиваемых групп.
Предложение 7.5. Любая упорядочиваемая группа G не имеет
кручения.

346
Глава 7. Порядок на группах кос
Доказательство. Мы должны показать, что хп не равно 1 ни для
каких целого числа п > 1 и х е G, отличного от 1. Предположим, что
х > 1. Тогда в силу левой инвариантности
хп = (хп-1)х>хп-11=хп-1
для любого п > 1. По индукции хп > х > 1, следовательно, хпф1. Если
х < 1, то х~1 > 1 и х~п = (х-1)" ^ 1. Значит, хп ф 1. □
Предложение 7.6. Если G—упорядочиваемая группа и R —
кольцо без делителей нуля, то групповая алгебра R[G] не имеет делителей
нуля.
Доказательство. Возьмем в R[G] произвольные ненулевые
элементы со = J]pi=1 ngi и со' = Y*J=i sjhj, где gb ..., gp и hi,..., ftq —
элементы из G, а гь ..., гр и 5i,..., sq — элементы из R. Мы можем
считать, что все ri,..., гр и 5i,..., 5q отличны от нуля и элементы группы
hi e G пронумерованы так, что hi < hi < ... < hq. В силу левой
инвариантности порядка g{h\ < gihj для всех i = 1,..., р и j = 2,..., q.
Поскольку порядок линейный, найдется единственный номер i0, для
которого gi0hi < gih\ для всех i ф i0. Мы утверждаем, что (£0,1) —
единственная пара (£, j), для которой gi0hi = gihj в G. Действительно,
как было замечено выше, g;0fti < g;0ft; для всех j ф 1 и если i ф i0, то
gi0hi <gih\ <gihj. Следовательно, коэффициент при g;0fti в coco' gR[G]
равен ri0S\. Поскольку R не имеет делителей нуля, этот коэффициент
отличен от нуля. Значит, coco' фО. □
Гипотеза о делителях нуля (которую иногда называют гипотезой
Капланского) утверждает, что если G — группа без кручения и R —
кольцо без делителей нуля, то групповая алгебра R[G] не имеет
делителей нуля. Предложение 7.6 показывает, что эта гипотеза
справедлива для упорядочиваемых групп.
7.1.5. Биупорядочиваемые группы
Группа называется биупорядочиваемой, если она обладает
некоторым биинвариантным линейным порядком. Например, любая
упорядочиваемая абелева группа биупорядочиваема, поскольку любой
левоинвариантный порядок на абелевой группе обязательно биинва-
риантен. Все подгруппы биупорядочиваемой группы биупорядочивае-
мы. Мы установим еще одно свойство биупорядочиваемых групп.
Лемма 7.7. Пусть G — биупорядочиваемая группа. Тогда хп—уп^>
=$> х = у для любых х,у е G и любого положительного целого числа п.

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 347
Доказательство. Начнем со следующего наблюдения: в биупоря-
дочиваемой группе из неравенств х<у их' <yf следует, чтоxxf <уу''.
Действительно, в силу левой и правой инвариантности порядка xxf <
< xyf < x'y1. Исходя из этого замечания, применяя легкую индукцию,
получаем, что х <у=>хп <уп для всех положительных целых чисел п.
Пусть теперь х, у е G таковы, что хп = уп. Так как порядок линейный,
имеет место одна из трех возможностей: либо х = у, либо х < у, либо
у < х. Ввиду предыдущего замечания последние два случая не могут
встретиться. Значит, х — у. □
Групповые кольца биупорядочиваемых групп имеют другие
интересные свойства. Например, А.И.Мальцев (см. [Мал48]) и Нейман
(см. [Neu49]) доказали, что целочисленное групповое кольцо любой
биупорядочиваемой группы можно вложить в некоторую алгебру с
делением.
Первые две группы кос Bi = {l} nB2 = Z биупорядочиваемы.
Группа кос Вп при п>3не биупорядочиваема. Действительно, согласно
замечанию 1.30 имеем <J\<J2 Ф &г<Уъ но {рхОг)2 — (c^i)3- Из леммы 7.7
следует, что группа Вп не биупорядочиваема.
§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы
Основной результат этого параграфа — следующая теорема.
Теорема 7.8. Группа крашеных кос Рп биупорядочиваема для всех
п>1.
Чтобы доказать эту теорему, мы сначала изучим разложения
Магнуса свободных групп и затем покажем, что свободные группы
биупорядочиваемы. Теорема 7.8 доказана в п. 7.2.3. Ни эта теорема, ни ее
доказательство не будут использованы в последующем.
7.2.1. Разложение Магнуса
Зафиксируем непустое множество X. Мы определим кольцо
(некоммутативных) формальных степенных рядов над X. Обозначим через
X* свободный моноид над X; см. пример 6.1 (3). Под формальным
степенным рядом над X мы понимаем произвольную формальную сумму
2 wex* nwW, где W пробегает моноид X* и riw eZ. Такие формальные
суммы можно обычным образом складывать, тем самым они
образуют аддитивную абелеву группу, которая обозначается через Z[[X]].

348
Глава 7. Порядок на группах кос
Умножение в X* индуцирует некоторое умножение в Z[[X]]; оно
превращает Z[[X]] в кольцо, единицей которого является нейтральный
элемент 1 е X*.
Напомним функцию длины I: X* —> N, представляющую собой
единственный морфизм моноидов, отображающий все элементы из
X в 1. Мы говорим, что формальный степенной ряд a = ^iWeX* nwW e
е Z[[X]] имеет степень не меньше г, где г — положительное целое
число, если nw = 0 для тех W е X*, для которых t{W) < г. Ясно, что
произведение формального степенного ряда степени не меньше г
на формальный степенной ряд степени не меньше 5 есть формальный
степенной ряд степени не меньше r + s.
Для формального степенного ряда а = ]►] WeX* nwW обозначим
через е(а) = п\ eZ коэффициент при нейтральном элементе 1 €Х*. Легко
показать, что ряд а обратим в кольце Z[[X]] тогда и только тогда,
когда е{а) = ±1. Например, для любого х е X полином 1 + х е. Z[[X]]
обратим, и обратным к нему является формальный степенной ряд
£fc>o(-Dfc*fc-
Доказательство следующей леммы оставлено читателю.
Лемма 7.9. Для любых х е X и к е Z существует такой
формальный степенной ряд hk (x) от переменной х, что
(l + x)fc = l + fcx + x2hfc(x).
Обозначим через G(X) с Z[[X]] подмножество тех формальных
степенных рядов а е Z[[X]], для которых б-(а) = 1. Это множество
является группой относительно умножения.
Предложение 7.10. Пусть F — свободная группа, свободно
порожденная множеством X. Гомоморфизм групп /х: F —> G(X), определенный
формулой /х(х) = 1 + х для всех х е X, инъективен.
Формальный степенной ряд /х(ш) называется разложением
Магнуса элемента w e F.
Доказательство. Существование и единственность
гомоморфизма /х следуют из определения свободной группы F. Чтобы проверить
его инъективность, возьмем нетривиальный элемент w eF и запишем
где х\, х2,..., хг е X таковы, что Xi ф х2, х2 ф х3, ..., xr_i ф хг и все
целые числа fcb fc2,..., fcr отличны от нуля. По лемме 7.9 имеем

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 349
М(ш) = (1 + хг)к* (1 + х2)*2 • • • (1 + *г)К = (1 + fc^*1 + jcfhfci (jci)) х
х (1 + к2хк22 + x|hfc2(x2))... (1 + krxk/ + xr2hfcr(xr)).
Раскрывая скобки в правой части этого равенства, мы видим, что этот
ряд содержит единственный моном видаХ\Х2 ...хг. Коэффициент при
этом мономе равен к\к2 ...кгфО. Следовательно, /х(ш) ф\. П
7.2.2. Свободные группы биупорядочиваемы
Предложение 7.11. Пусть F — свободная группа, свободно
порожденная множеством X. Любой линейный порядок на X продолжается
до некоторого биинвариантного линейного порядка на F.
Доказательство. Линейный порядок на X следующим образом
индуцирует порядок < на X*:
1) на X с X* порядок < совпадает с заданным порядком;
2) если для Wi, W2 e X* длины удовлетворяют неравенству t{W{) <
< £(Щ), то полагаем W\ < W2;
3) если Wi, Vl^ E X* имеют одну и ту же длину, то упорядочим их
лексикографически: пусть W\ =х\... хг и W2=у2... уг, где Х(, у еХ
для всех i, тогда полагаем W\ < W2, если найдется такой номер
к < г, что хк < ук и xt = yi для всех i < к.
Порядок < на X* линейный и биинвариантный; последнее означает,
что из того, что Wi <W2, следует, что WW\ < WW2 и WiW < W2W для
всех WeX*.
По предложению 7.10 если элемент wgF отличен от нейтрального
элемента 1, то /х(ш) /1е Z[[X]]. Напишем
/х(ш) -1 = ^ nwW,
w
где W пробегает множество всех тех непустых слов в X*, для которых
целое число nw отлично от нуля.
Одно из слов W в этом разложении /х(ш) — 1 должно быть
наименьшим относительно определенного выше линейного порядка на X*.
Обозначим это наименьшее слово через V{w) и положим n{w) =
= ny(w) Ф 0. Наконец, положим 9 = {w e F\{1}: n{w) > 0}. Ясно, что
элемент w из F\{1} тогда и только тогда лежит в &, когда /х(ш) имеет
вид
1 + n{w)V + ^ nwW, где V ф 1 и n{w) > 0.
w>v

350
Глава 7. Порядок на группах кос
Мы утверждаем, что множество 9 удовлетворяет всем условиям
теоремы 7.4 и потому определяет некоторый биинвариантный
линейный порядок на F. Из определений следует, что 1 £ 2?. Для
доказательства того, что 2?2 с 3>, рассмотрим два элемента w, wf e & и их
разложения Магнуса
^(ш) = 1 + n{w)V + ^ nwW
w>v
и
ti{w,) = l + n{w')V+ ]Г nv
W9
w
w>v
где n{w) > 0 и п(к/) > 0. Разложим /х(шк/) =/х(ш)/х(к/) как
формальный степенной ряд. Используя биинвариантность порядка на X*, мы
легко получаем (
[ п(ш), если V < V',
n(ww') = I n{w')9 если V > V',
[ n{w) + n{w')9 если V = V'.
Во всех случаях п(шк/) > 0, откуда следует, что wwf e.&>.
Из тождества /х(ш-1) = 0х(ш))-1 легко вывести, что 2?~х есть
множество всех тех w е F \ {1}, для которых п(ш) < 0. Из этого вместе
с инъективностью гомоморфизма /х следует, что 9 и{1}и^-1 = F.
Остается проверить, что wg?w~x с & для всех w е F. Если
формальный степенной ряд /eZ[[X]] имеет нулевой свободный член
и при этом WeX*, то
(i + /)w(i + /r1 = w+ 2 mw^'
для некоторых целых mw>. Отсюда следует, что
niww'w'1) =n{w/)
для всех ш, и/ из F\{1}. Поэтому w&w~x с <? для всех ш е F. П
Следствие 7.12. Все свободные группы биупорядочиваемы.
7.2.3. Доказательство теоремы 7.8
Напомним обозначения и результаты из § 1.3. Прежде всего,
группа крашеных кос Рп порождена п{п —1)/2 косами Aij (1 < i < j < п),
изображенными на рис. 1.10. Далее, для каждого п > 2 имеется точная
последовательность
1 -> Un -> Рп -> Рп_! -> 1,

§7.2. Группы крашеных кос биупорядочиваемы 351
в которой отображение Рп —> Рп-\ есть гомоморфизм fn
выдергивания самой правой нити из крашеной косы nUn — свободная группа
с п — 1 образующими Х\ = Ai>n,..., Xn-i = An-i,n- Мы снабдим
группу Un определенным выше биинвариантным линейным порядком,
считая, что на множестве образующих задан порядок Х\ < Х2 <... < Хп-\.
Так как Pi = {1}, получаем, что Рг = Ui = Z — биупорядочиваемая
группа. Из леммы 7.1 (2) индукцией по п получаем, что группа Рп
обладает единственным левоинвариантным линейным порядком,
относительно которого гомоморфизмы Un-^Pnnfn: Pn-^Pn-i сохраняют
порядок.
По лемме 7.1 (2) этот порядок на группе Рп будет биинвариантным,
если мы покажем, что /Зи/З'1 > 1 для любой косы )5еРпи любого
элемента u e £/п, для которого и > 1. Заметим, что из соотношений (1.7)
следует, что сопряжение образующей Х[ = А[уП группы Un с помощью
образующей Ar>s группы Рп при s <п равносильно сопряжению
образующей Xt с помощью произведения образующих группы Un. Это же
верно и при s = п, так как Ar?n e Un. Таким образом, во всех случаях
A~}XiAr>s =Xi по модулю коммутанта [Un, Un] группы Un. Отсюда
следует, что /3Xil3~1=Xi по модулю [Un, Un] для всех /ЗеРп и te{l, ...,п —1}.
Другими словами, ^Х^-1 = Х(Щ для некоторого щ е [Un, Un].
Вычислим разложение Магнуса элемента /3Xi/3-1 по формуле
КРХф'1) = КХ(Щ) = (1 + X;Mli;).
Из упражнения 7.2.1 следует, что ц^щ) = 1+ (формальный степенной
ряд степени не меньше 2). Поэтому /х(^Х^-1) = 1 + Х[ + (формальный
степенной ряд степени не меньше 2). Тогда разложение Магнуса
элемента /Зи/3-1, где и g Un, получается из /х(и) заменой каждого Х{
на сумму Х{ с некоторым формальным степенным рядом степени не
меньше 2. Следовательно, разложения Магнуса элементов и и /Зи/3"1
имеют одинаковые первые непостоянные члены. Отсюда следует, что
/Зи/3-1 > 1 тогда и только тогда, когда и > 1. □
Упражнение 7.2.1. Покажите, что для любых х, у еХ имеет место
равенство /х(х-1у-1ху) = 1 + {ху — ух) + (формальный степенной ряд
степени не меньше 3).
Упражнение 7.2.2. Найдите все биупорядочиваемые группы G,
входящие в точную последовательность 0—>Zr—>G—>Z—>0.
Упражнение 7.2.3. Покажите, что для любой упорядочиваемой
группы G и любого кольца R все обратимые элементы групповой

352
Глава 7. Порядок на группах кос
алгебры R[G] имеют вид rg, где г — некоторый обратимый элемент
кольца R и g е G.
Упражнение 7.2.4. Элемент е кольца называется идемпотентом,
если е2 = е. Покажите, что всякое кольцо без делителей нуля имеет
только два идемпотента: 0 и 1.
§ 7.3. Порядок Деорнуа
Зафиксируем целое число п > 1. Цель этого параграфа —
построить левоинвариантный линейный порядок на группе кос Вп,
определенный П. Деорнуа.
7.3.1. Косовые слова
Словом длины т > 1 над множеством А (его также называют
словом в алфавите А) называется отображение w: {1,2,..., т) —> А.
Такое слово кодируется выражением ш(1)ш(2)... w(m). Например, для
а,Ъ е А выражение aba кодирует слово {1,2,3} —> А, отображающее
1,2,3 соответственно в а, Ь, а. По определению имеется единственное
пустое слово 0 длины 0. Элементы множества А называются буквами.
Для любых а е А и т > 1 слово аа...а, составленное из т букв а,
обозначается через ат. Записывая подряд слова и и w над А, мы
получаем их конкатенацию uw. Например, для любых аеАит, п>1
конкатенация слов ат и ап есть ат+п.
Мы будем говорить, что слово и является подсловом слова w, если
W = W\VW2 ДЛЯ НеКОТОрЫХ (ВОЗМОЖНО, ПУСТЫХ) СЛОВ Ш] И Ш2.
Косовым словом называется слово над множеством {сгь ..., crn_i,
сг"1,..., сг^}. Каждое косовое слово w представляет некоторый
элемент группы кос Вп. Поскольку слово w представляет тот же самый
элемент группы Вп, что и слово ifcr^cr^1)-^ для любого к > 1,
каждый элемент группы Вп может быть представлен бесконечным числом
косовых слов. Пустое косовое слово представляет нейтральный
элемент 1 группы Вп.
Обратным к непустому косовому слову w = of1 ... ofr, где et = ±1,
называется косовое слово
W = О■ r ...<J. \
lr lj
Если слово w представляет элемент /3 е Вп, то обратное слово ш-1
представляет обратный элемент /З-1.

§7.3. Порядок Деорнуа
353
Мы определим индекс непустого косового слова w как
наименьшее целое число i е {1,..., п — 1}, для которого буква <Jt или буква сг^1
входит в слово w. Индексы любого непустого косового слова и
обратного к нему слова равны. Пустое косовое слово не имеет индекса.
7.3.2. сг-положительные и о*-отрицательные косы
Косовое слово w мы назовем (Ji-положителъным, если его индекс
равен i и в него не входит буква а^1. В ai-положительное косовое
слово не входят ни буква сгг1, ни буквы сг,*1, для которых k < i.
Косовое слово w мы назовем (Ji-отрицателъным, если обратное
к нему слово <7;-положительно. Это равносильно тому, что индекс
слова w равен i и в слово w не входит буква G{.
Косовое слово w мы будем называть а-положительным
(соответственно о-отрицательным), если оно at -положительно
(соответственно <Ji-отрицательно) для некоторого i е {1,..., п — 1}.
Определение 7.13. Элемент группы кос Вп называется
^-положительным (соответственно (Ji-отрицательным), если он может быть
представлен некоторым (^-положительным (соответственно
(^-отрицательным) косовым словом.
Элемент группы кос Вп называется а-положительным
(соответственно а-отрицательным), если он (^-положителен
(соответственно <Ji-отрицателен) для некоторого t е {1,..., п — 1}.
Образующие о"ь сг2,..., crn_i группы Вп, очевидно, сг-положительны.
Более общим образом, любой элемент определенного в § 6.5 подмо-
ноида положительных кос В* группы кос Вп есть сг-положительный
элемент. Существуют сг-положительные элементы группы Вп, не
принадлежащие подмоноиду В+ (например, Oicr^1).
Предупреждение: не все косовые слова, представляющие
сг-положительные элементы группы Вп, сг-положительны. Например,
возьмем косовое слово w = cj\(J2{(J~l)N, где N > 1. Индекс этого слова
равен 1, но оно ни сг-положительно, ни сг-отрицательно. Тем не
менее оно представляет сг-положительную косу /3 е Вп. В самом деле,
повторное применение соотношения g2(Ji<J2 — <J\<J2<J\ Дает равенство
N N
0%0\02 =GiG2CJi
для всех N > 1. Умножив обе части этого равенства на a^N слева
и на <j~n справа, мы получим
/3 = oic^crf^ = a2~Na1a2.

354
Глава 7. Порядок на группах кос
Слово ст^<7i<72, представляющее косу /3, сг-положительно. Поэтому
коса /3 является а -положительной.
Обозначим через & подмножество группы Вп, состоящее из всех
сг-положительных элементов.
Лемма 7.14. Подмножество группы Вп, состоящее из всех сг-от-
рицателъных элементов, совпадает с 2?~х, и 2?2 с 2?.
Доказательство. 1. Пусть /3— а -отрицательный элемент
группы Вп. Тогда его можно представить некоторым сг-отрицательным
косовым словом w. По определению обратное к нему слово w~x
является сг-положительным. Оно представляет косу /З-1 еВп. Тогда /З-1 е^
и, следовательно, /3 е &~1. Обратное включение доказывается
аналогичным образом.
2. Пусть /3, /3' е &. Тогда коса /3 может быть представлена
некоторым <Jt-положительным косовым словом w, а коса /3'— некоторым
о}-положительным косовым словом и/ для некоторых целых чисел i
и j. Если i < j, то слово ww' является at -положительным. Если i > j,
то слово ww' является сг;-положительным. В обоих случаях коса /3/3'
представлена сг-положительным косовым словом. □
7.3.3. Определение порядка Деорнуа
Здесь мы сформулируем основной результат этой главы.
Теорема 7.15. Для любого п > 1 группа кос Вп обладает таким
левоинвариантным линейным порядком <, что 1 < /3 тогда и только
тогда, когда коса /3 является а-положительной.
Этот порядок < на группе кос Вп называется порядком Деорнуа.
Отметим, что /3 < у для любых /3, у е Вп, если либо /3 = у, либо Р~гу G &* •
Из теоремы 7.15 следует, что группа кос Вп упорядочиваема. Поэтому
в силу предложений 7.5 и 7.6 группа кос Вп не имеет кручения (этот
факт уже был доказан в гл. 1; см. следствие 1.29) и групповое кольцо
Z[Bn] не имеет делителей нуля.
При п = 2 любое сг-положительное косовое слово обязательно
имеет вид а* для некоторого к > 1. Соответствие а* >-+к устанавливает
изоморфизм группы В2 с группой Z. При этом изоморфизме порядок
Деорнуа на группе В2 совпадает со стандартным линейным порядком
на группе Z.
Теорема 7.15 является непосредственным следствием теоремы 7.4,
леммы 7.14 и следующих двух лемм.

§ 7.3. Порядок Деорнуа
355
Лемма 7.16. Подмножество & не содержит 1.
Лемма 7.17. Любой элемент /3 еВп, отличный от 1, либо сг-поло-
жителен, либо а-отрицателен. Другими словами, & U {1} U^-1 — Вп.
Лемма 7.16 будет доказана в п. 7.4.2, а лемма 7.17 — в конце п. 7.5.2.
7.3.4. Свойства
Перечислим несколько свойств порядка Деорнуа. Сначала
заметим, что косы а[ и сг*+1сг[, где г > 1 и 5 е Z, суть сг-положительные
элементы группы Вп. Поэтому для порядка Деорнуа имеем цепочку
неравенств
... > о\а\ > of > <7i > ... > о\ > о\ > сг2 > ... > а^_г > о^_х > crn_i.
Предложение 7.18. 1. Коса crn_i является наименьшим сг-поло-
жителъным элементом группы Вп.
2. Группа Вп не имеет ни максимальных, ни минимальных элементов.
Доказательство. 1. Предположим, что существует такой элемент
/3 е^, что /3 <crn-i; это эквивалентно тому, что /З-1 crn_i е^. Пусть w —
cri-положительное слово, представляющее косу /3. Коса /3-1crn_i
представлена словом w~lcrn-i. Если i < п — 1, то слово w~xon-\ будет
(^-отрицательным, что ввиду лемм 7.2, 7.14 и 7.16 противоречит сг-поло-
жительности косы /3-1crn_i. Следовательно, i = n — l,nw = (crn_i)r для
некоторого целого числа г>1. Значит, элемент ^~1сгп_1 равен 1, если
г = 1, и принадлежит подмножеству ^~1, если г > 1. Оба утверждения
ввиду лемм 7.2, 7.14 и 7.16 противоречат сг-положительности косы
/3-1crn-i. Следовательно, не существует такого /3 е g?, что /3 < (Jn-i-
2. Так как а\ > 1 > сг"1, из левоинвариантности порядка следует,
что /Зо"! > /3 > /Зет"1 для любого /3 е Вп. Поэтому группа Вп не имеет
ни максимального элемента, ни минимального элемента. □
Стандартный порядок на группе Z архимедов, что в терминах
группы B2 = Z означает, что для любых элементов а, /3 е В2, для
которых 1 < а < /3, найдется такое целое число г > 2, что /3 < аг. Иными
словами, для любого элемента а^В2П^ попарно непересекающиеся
интервалы {р eBi^ <fi <^)ksZ
покрывают всю группу В2. Это свойство не распространяется на Вп
при п > 3, так как 1 < а2 < 0\ и ar2 < <j\ для всех г ^ 2. Тем не менее,
используя центральный элемент A% группы Вп (см. теорему 1.24), мы
получаем следующий результат.

356
Глава 7. Порядок на группах кос
Предложение 7.19. Интервалы {/3 еВп: А2к </3 <^n(fc+1)}fceZ
образуют разбиение группы Вп.
Доказательство. Так как элемент А2 принадлежит подмоноиду
положительных кос В„, мы имеем А2 > 1. Следовательно, ... < А~6 <
< А~4 < Ли2 < 1 < An < A* < An <... Поэтому для доказательства
предложения достаточно доказать, что для любого элемента /3 е Вп
найдутся такие положительные целые числа г и 5, что А~2г < /3 и /3 < Ап .
Действительно, предположим, что такие неравенства имеются. Тогда
существует наибольшее целое число к, для которого А2к < /3. По
определению числа к неравенство Ап < /3 уже неверно. А так как
порядок линейный, получаем, что А2}к+1* > /3.
Теперь докажем существование такого положительного целого
числа 5, что /3 < Ап . Рассмотрим какое-нибудь косовое слово w,
представляющее косу /3 е Вп. Предположим, что в это слово буква <j\
входит ровно 5 раз (если она не входит в слово w ни разу, мы
считаем, что 5 = 0). Тогда мы можем написать w = w0(JiWi... <J\WS, где
w0,..., ws — косовые слова, в которые буква <j\ не входит (но буква
сг"1 может входить). В моноиде положительных кос В+ образующая <j\
является делителем элемента Ап, а потому и элемента А2.
Следовательно, А^ = G\v для некоторого элемента i/GBjc^. Тогда коса
/3-1Л„представлена словом
а так как Л„ —центральный элемент, коса /3-1Л„также
представлена словами
Шс
стг 1A2lws}1 ...<j1 1A2lw0 гА2 = ws 1vws}l... uw0 1G\v.
В последнее слово буква <j\ входит по меньшей мере один раз, а буква
о~х ни разу. Поэтому это слово сг-положительно, откуда следует, что
1 < /3-Mf+1)- Значит, Р < 4(s+1).
Мы оставляем читателю аналогичную проверку того факта, что
если буква сг^1 входит в слово w ровно г раз, то A^2r <i /3. □
Замечание 7.20. Лейвер (см. [Lav96]) доказал, что <7;/3 >/3 для всех
/3e£nHie{l,...,n — 1}, откуда следует, что порядок Деорнуа обладает
так называемым свойством подслова (другие доказательства см. в
работах [Bur97], [Wie99]). По теореме Хигмэна (см. [Hig52]) из этого
в свою очередь следует, что подмоноид положительных кос В+ с
порядком Деорнуа является вполне упорядоченным множеством, т. е. любое

§ 7.3. Порядок Деорнуа
357
его подмножество имеет минимальный элемент. Из этого следует, что
порядок Деорнуа < продолжает порядок делимости в моноиде В+,
который в гл. 6 обозначался =^, т. е. а^Ь=> а<Ъ для любых а,Ъ е В„.
7.3.5. Группа бесконечных кос
Обозначим порядок Деорнуа на группе Вп через <п. Напомним,
что в п. 1.1.3 было определено вложение ь: Вп с-^ Bn+i- Следующая
лемма немедленно вытекает из определений.
Лемма 7.21. Вложение i: Вп <-» Bn+i сохраняет порядок Деорнуа,
т. е. /3 <п /3' ^> i(/3) <n+1 iQS') для любых /3, /3' е Вп.
Обозначим через Boo = (JnM5" индуктивный предел групп Вп
относительно вложений i. По определению любой элемент из Boo
лежит в некоторой группе Вп. Групповые структуры на группах Вп
естественно продолжаются до групповой структуры на Boo. Группа Boo
называется группой бесконечных кос.
Предложение 7.22. На группе Boo существует единственный ле-
воинвариантный линейный порядок, для которого вложения Вп <-» Boo
сохраняют порядок. Как упорядоченное множество Boo изоморфно
упорядоченному множеству Q рациональных чисел.
Доказательство. 1. Пусть /3,/3' еВоо. По определению найдется
такой номер п, что /3,13' е Вп. Мы положим /3 <ос /3', если /3 <п $'.
Из леммы 7.21 следует, что это определение не зависит от выбора п.
Таким образом, на группе Boo корректно определено бинарное
отношение <оо. Легкое упражнение — проверить, что отношение <оо
является левоинвариантным линейным порядком на группе Boo и что
вложения Вп с-^Воо сохраняют порядок. Также легко проверить, что
отношение <оо есть единственный порядок на группе Boo, для которого
вложения Вп с-^ Boo сохраняют порядок.
2. Со времен Кантора хорошо известно, что линейно
упорядоченное множество X тогда и только тогда изоморфно множеству
рациональных чисел Q со стандартным порядком, когда X счетно, не имеет
максимальных элементов и между любыми двумя его элементами
найдется некоторый третий элемент. Проверим, что множество Boo
удовлетворяет этим условиям.
Группа Boo порождена элементами о"!, <72, <73,... Поскольку любая
группа со счетным числом образующих счетна (см. упражнение 7.3.3),
группа Boo счетна.

358
Глава 7. Порядок на группах кос
Если бы группа Boo имела некоторый максимальный
(соответственно минимальный) элемент /3, то этот элемент /3 был бы
максимальным (соответственно минимальным) элементом группы Вп,
где п — номер той группы кос, которой принадлежит элемент /3. Это
противоречило бы предложению 7.18 (2). Следовательно, группа Boo
не имеет ни максимальных, ни минимальных элементов.
Чтобы доказать, что между любыми двумя элементами группы Boo
найдется некоторый третий элемент, в силу левой инвариантности
достаточно доказать, что для любого /3 е Boo, для которого 1 < /3,
существует такой элемент а, что 1 < а < /3. Элемент /3 принадлежит
некоторой группе Вп. Мы положим
a = i{{3)cj~l еВп+i.
Так как индекс а -положительного слова, представляющего косу /3,
меньше п, коса а является сг-положительной. Поэтому 1 < а в группе
Bn+i и потому в группе Boo. С другой стороны, а-1/3 = сгп в группе Boo,
что показывает, что коса а-1/3 является сг-положительной.
Следовательно, а < /3. □
Упражнение 7.3.1. Покажите, что группа Boo изоморфна группе,
порожденной счетным множеством образующих {сгь <72, оз,...},
подчиняющихся косовым соотношениям из определения 1.1.
Упражнение 7.3.2. Пусть X — любое счетное линейно
упорядоченное множество без максимальных и минимальных элементов и
такое, что между любыми двумя его элементами найдется некоторый
третий элемент. Постройте сохраняющую порядок биекцию X —> Q,
где Q снабжено естественным порядком.
Упражнение 7.3.3. Покажите, что свободная группа со счетным
числом образующих счетна. Выведите из этого, что любая группа
со счетным числом образующих счетна.
§ 7.4. Нетривиальность а-положительных кос
Цель этого параграфа — доказать лемму 7.16. Для этого мы
определим действие группы кос Вп на свободной группе Foo со счетным
базисом.
7.4.1. Действие группы кос Вп на группе F^
В п. 1.5.1 мы определили автоморфизмы с?ь ..., crn_i свободной
группы Fn со свободными образующими xi,...,xn. Напомним формулы

§7.4. Нетривиальность сг-положительных кос
359
( xk+i, если к = i,
cri(xk) = < x^Xk-iXt, если fc = i + 1,
у хк в остальных случаях.
Обратные к ним автоморфизмы стг1 задаются формулами
( хкхк+1Х~г, если к = i,
VifrkT1 = { хк-1} если к = i + 1,
хк в остальных случаях.
.
Ясно, что эти формулы распространяются на свободную группу Foo
со счетным числом образующих {х\, х2, х3,...}. Тем самым определен
гомоморфизм групп Вп —> Aut(Foo). Мы обозначим образ косы |ЗеВп
в группе Aut(Foo) при этом гомоморфизме через /3.
Обозначим через т эндоморфизм группы Foo, определенный
формулой т(хк) =Xk+i для всех к > 1. Покажем, что эндоморфизм т
инъективен. Действительно, определим эндоморфизм т_ группы Foo по
формулам т_(х^) = xt-i для всех к > 2 и t_(xi) = 1; тогда инъективность
эндоморфизма т следует из соотношения т_от = id.
Наконец, для любого эндоморфизма у группы Foo мы определим
эндоморфизм Г((/?) по формулам
(хь если/с = 1,
(T((^(xfc_i)), если/с>1.
Лемма 7.23. 1. Для всех i е {1,..., п — 2} выполняются равенства
ТШ = ог£+1.
2. £стш с/? т^ id, mo Г((/?) ф id.
3. Если эндоморфизм if инъективен, то эндоморфизм Г((/?) тоже
инъективен.
Доказательство. 1. Утверждение следует из определений.
2. Если ГО) = id, то
^ОООс)) = Т((р)(хк+1)=хк+1 = ТОО
для всех к > 1. Так как эндоморфизм т инъективен, отсюда следует,
что ф(хк) = ль Для всех fc ^ 1. Следовательно, у? = id.
3. Мы покажем, что T(y){w) ф 1 для любого w e Foo, отличного
от 1. Представим элемент w некоторым словом над множеством
{xi,X2,...} U {х^1,х^1,...}. Мы можем считать, что это слово непусто

360
Глава 7. Порядок на группах кос
и приведено, т. е. оно не содержит подслов вида xix^1 и хг1*; ни для
какого i > 1. (Впоследствии мы будем использовать тот факт, что
всякое непустое приведенное слово представляет некоторый
нетривиальный элемент группы Fx; доказательство можно найти в
книгах [LS77, §1.1], [Ser77, §1.1].)
Если в приведенное слово, представляющее элемент w, не
входат буквы xi и х"1, то найдется такой элемент w' e Foo, отличный
от 1, что w = т(ш'). По определению преобразования Г мы имеем
Г((/?)(ш) — ^(^(^О)- Тогда из инъективности эндоморфизмов рт
следует, что Г((/?)(ш) Ф 1.
Предположим, что в приведенное слово, представляющее элемент w,
входат буквы Хр где е = ±1. Тогда мы можем записать это слово в виде
t(wo)x^t(wi)x^2 ... TOr_i)xf т(шг),
где fci, /с2,..., кг — ненулевые целые числа и ш0, w\,..., шг_ь "Л- —
такие слова с буквами xj^x^x^1,..., что слова t(il>i),...,t(ilv_i)
непусты и приведены. По определению преобразования Т имеем
Г(^)(ш) = т(^(ш0))х^Ч(^(ш1))х^..т(^(шг_1))х^гт(^(шг)).
Так как слова т(шх),..., т(шг_х) непустые и приведенные, они
представляют нетривиальные элементы группы Foo. Ввиду инъективности
эндоморфизмов т и (р элементы
T0/?(wi)),...,T((/?(wr_i))
группы Foo нетривиальны, поэтому они представлены непустыми
приведенными словами с буквами х^1, х^1,... Отсюда следует, что
Обозначим теперь через Е множество тех элементов группы Foo,
которые могут быть представлены приведенными словами,
заканчивающимися на х"1.
Лемма 7.24. Имеют место вложения
1) а-ЧЮсЕ;
2) Г((/?)(Е) С Е для любого инъективного эндоморфизма (р группы Foe.
Доказательство. 1. Возьмем произвольный элемент множества Е
и представим его некоторым приведенным словом wx^1. Тогда w есть
такое приведенное слово, которое заканчивается не на xi.
Предположим, что „_г _г „_г _г _г
сг1 [wxl ) = сг1 (w)xix2 хг

§7.4. Нетривиальность сг-положительных кос 361
не принадлежит множеству Е. Тогда в слово d-^l{w) должна входить
буква xi, которая сокращается с последней буквой х"1. Из
определения сг^1 следует, что слово w содержит либо х2, либо х\, либо х~г.
В первом случае можно написать w = W\x2w2, где буква х2 такова,
что д-^1{х2) =х\ сокращается с последней буквой х"1 слова cr~l{wx~l).
Так как слово w приведенное, слово w2 (также являющееся
приведенным словом) не может начинаться с буквы х~г. Далее,
5:^1(ШХ^1) = G^l{w)XiX2lX^1 = G^tw^XiO-^iw^XiX^X^1.
Так как самая левая буква х\ в правой части этого равенства
сокращается с последней буквой х~г, слово между этими двумя буквами
должно представлять 1 е Foo, т. е. должно выполняться равенство
J^1{w2)xiX21 = l
в группе Foo. Следовательно,
°11(М>2) = x2x~l = x~lxxx2x~l = a^tx^xj.
Так как автоморфизм ст~1 биективен, отсюда следует, что w2=х^гх\ —
это приведенное слово, которое начинается с х~1, что противоречит
выбору слова w.
Если слово w содержит букву х\, где е = ±1, то мы можем
аналогично написать w = w\x\w2. Тогда
(J^ilVX^1) = G^1{w)XiX21Xi = (J^^W^XiX^X^CJ^tw^XiX^X^1.
Так как самая левая буква х\ в правой части этого равенства
сокращается с последней буквой х~1, рассуждая как и выше, мы получаем
равенство е _г~_1г . _х л
х\хх сг1 [w2)xix2 = 1
в группе Foo. Следовательно,
^il{w2) = xix\~ex~l = a^ixl'6).
Ввиду инъективности автоморфизма сг^1 мы получаем w2 = x\~e,
откуда следует, что w = W\Xi, что противоречит выбору слова w. Итак,
во всех случаях _ -,, л^
<j~1{wx~1)<eE.
2. Как и ранее, представим произвольный элемент из Е
некоторым словом wx^1, где w — приведенное слово, которое заканчивается
не на xi. Предположим, что T(y){wx~l) не принадлежит множеству Е.
Так как

362
Глава 7. Порядок на группах кос
последняя буква х^1 в слове T(y){w)x~1 должна сокращаться с той
буквой х\, которая входит в%)(ш).
Мы утверждаем, что слово w содержит букву х\. Если это не так,
то слово w содержит только буквы х~1 и xfl, где 1>2.По определению
Г((/?) из этого следует, что Г((/?)(ш) содержит буквы х^1 и х*1, где i >2,
и не содержит буквы xi — противоречие. Поэтому мы можем написать
w = w\X\W2, где буква х\ такова, что ее образ Т(у){х{) = х\
сокращается с последней буквой х"1 в слове Г((/?)(шх^1). Таким образом,
T^){wx~l) = ТММх? = T^)(w1)x1T(iP)(w2)x-\
По предположению самая левая буква х\ в правой части этого
равенства сокращается с последней буквой х"1. Следовательно, Г((/?)(ш2)=1.
А так как эндоморфизм Г((/?) инъективен по лемме 7.23 (3), получаем,
что w2 = 1. Значит, слово w = w\X\ заканчивается на хь что
противоречит выбору слова w. П
7.4.2. Доказательство леммы 7.16
Мы сначала докажем, что каждый о\ -отрицательный элемент /3 е£п
нетривиален. Для этого достаточно показать, что
РШфхъ
где /3 —образ элемента ^еВпв группе Aut(Foo).
Каждый а\ -отрицательный элемент /3 имеет разложение вида
Р = /W'/W1 • • • Рг-КГ^Рг,
где г > 1 и /Зо, Pi,..., pr-i, pr — слова от образующих <72,... <Jn-i и
обратных к ним. По лемме 7.23 (1) для каждого к — 0,1,..., г существует
такой автоморфизм фк группы Foo, что рк = T(yk). Поэтому
Р = PoZ^PiZi1... Pr-i°i% =
Применим обе части этого равенства к образующей xi группы Foo. Так
TbPr) Oi) =хг и a~l (xi) = Xix2x~\
мы имеем
P{xi) = {T(ip0)d-1T^i)d-K..T(ifr-i))(xiX2x-1).
Поскольку Xix^xi принадлежит множеству Е приведенных слов в Foo,
которые заканчиваются на х^"1, из леммы 7.24 следует, что также
/3(xi) е Е. Следовательно, /3(xi) ф хг.

§ 7.5. Редукция ручек
363
Для завершения доказательства мы используем гомоморфизм
групп sh: Bn-i —> Вп, определенный формулой sh(<7;) = <ji+i для всех
i = 1,..., п — 2. На геометрическом языке отображение sh перемещает
геометрическую косу Ъ вправо, добавляя слева от нее вертикальную
нить, не зацепляющую ни одну нить косы Ъ. По этой причине мы
называем sh гомоморфизмом перемещения или сдвига (по-английски
shift, что объясняет обозначение sh). Этот гомоморфизм инъективен:
этот факт можно доказать с помощью рассуждений, аналогичных тем,
что использовались в доказательстве следствия 1.14; также можно
заметить, что гомоморфизм sh сопряжен к естественному вложению
i: Bn-i —>£п (сопрягающим элементом служит <Ji<j2'- &п-ъ см.
упражнение 7.4.1).
Теперь мы докажем, что все элементы из & нетривиальны. Пусть
/3 — <Ji -положительный элемент группы Вп, где i > 1. По определению
<Ji-положительного элемента и гомоморфизма сдвига sh существует
такой <7i-положительный элемент а е В„, что /3 = shl-1(a). Тогда
обратный элемент а~1 является 0\ -отрицательным и по доказанному
выше аф 1. А так как гомоморфизм sh инъективен, получаем, что
/3 Ф 1. Итак, мы доказали, что 1 £ 2?. □
Упражнение 7.4.1. Докажите, что для всех /3 е Вп-\ справедливо
равенство sh(/3) = {(JiG2 ... crn_i)i(/3)(cri02 ... ow-i)"1.
§7.5. Редукция ручек
Цель этого параграфа—доказать лемму 7.17, утверждающую, что
любая коса либо сг-положительна, либо сг-отрицательна, либо
тривиальна. Доказательство требует некоторых предварительных понятий
и вспомогательных результатов.
Зафиксируем целое число п > 1. Как и в п. 7.3.1, под косовыми
словами мы понимаем слова с буквами
сгь ..., стп_ь о"Г\ • • •, &n-v
Мы говорим, что косовое слово w содержит косовое слово и, если
слово и является подсловом слова w. Косовое слово wf называется
префиксом косового слова w, если существует такое косовое слово ш",
что w = wfw". Аналогично косовое слово w" называется
суффиксом косового слова w, если существует такое косовое слово к/, что
w = w'w".

364
Глава 7. Порядок на группах кос
7.5.1. Ручки
Определение 7.25. Косовое слово вида G[Ug71 или cr^udi, где
i € {1,..., п — 1} и и —либо пустое слово, либо косовое слово индекса
больше £, называется сггручкой. Знак сг;-ручки и равен +1, если и =
= (Jiucrf1, и —1, если и = cr^ucji.
Подручкой мы будем понимать любую <7;-ручку, где t€{l,... ,п—1}.
На рис. 7.1 изображены две сг;-ручки, слева со знаком +1 и справа
со знаком —1 (пустые прямоугольники изображают произвольные
косы из n — i нитей).
V
А
V/
Л
1 i-1 i i+li+2 n 1 i-1 i i+li+2 n
Рис. 7.1. crt-ручки
Полезно заметить, что любая crn_i-ручка обязательно имеет вид
GVi-iO^i или сг~Дсгп-1.
Следующая лемма непосредственно вытекает из определений.
Лемма 7.26. Любое косовое слово индекса i € {1,..., п — 1}, не
содержащее сггручек, либо (Ji-положителъно, либо ^-отрицательно.
Есть конкретный способ увидеть сг^-ручки, содержащиеся в любом
заданном Косовом слове w: для этого нужно вычеркнуть из этого
слова все буквы сг^1, где j > i, получив тем самым (возможно, более
короткое) слово w[i]. Косовое слово w содержит <7;-ручку, если w[i]
содержит подслово вида сг^1 или cr^cri.
Рассмотрим, например, косовое слово
Тогда
W = СГ1СГ2СГ3СГ4СГ3 1<J1 1СГ3 1<J2 1<Уъ&2&\&Ъ&2 1(71 *•
w[l] =cr1cr~1cr1cr~1,
w[2] = a1a2(J^1a21(J20-i(J21(Ji1,
W[3] = СГ1СГ2СГзСГз"1СГ]"1СГз"1СГ2"1СГзСГ2СГ1СГзСГ2"1СГ^ \
w[4] = w.

§7.5. Редукция ручек
365
Мы видим, что слово w имеем три а\ -ручки, а именно СГ1СГ2СГ3СГ4СГ3 ст1,
G~1G~lG~lG3G2CJ1, Gi<J3G~l<J~l, ОДНу СГ2-руЧКу G~lG3G2, ОДНу СГ3-руЧ-
ку ОзОЧСГз"1 и ни одной <74-ручки.
Определение 7.27. Ручка и, содержащаяся в Косовом слове w,
называется простой, если w = W\vw2, где w\v — самый короткий
содержащий ручку префикс слова w.
Лемма 7.28. 1. Всякая простая ручка не содержит других ручек.
2. Любое косовое слово, содержащее по крайней мере одну ручку,
содержит единственную простую ручку.
Доказательство. 1. Пусть имеется косовое слово w = Wiuw2, где
и — простая ручка. Предположим, что и = w'uw", где и — некоторая
ручка. Тогда W\w'u представляет собой префикс слова w, содержащий
ручку. По условию w\v = W\w'uw" есть самый короткий содержащий
ручку префикс слова w, поэтому W\w'u — W\w'uw". Следовательно,
слово w" пустое. Так как и = wfu и и — ручки, первые и последние
их буквы противоположны друг к другу, поэтому первые буквы этих
слов одинаковые. Так как и —ручка, получаем, что и = и.
2. Пусть w — косовое слово, содержащее по крайней мере одну
ручку. Рассмотрим множество всех префиксов слова w, которые
содержат ручки. Это множество непусто, так как ему принадлежит само
слово w. В этом множестве имеется самый короткий префикс, он
имеет вид w\vw2, где и —ручка. Так как префикс w\v содержит ручку,
получаем, что w2 = 0n ручка и простая.
Предположим, что существует другая простая ручка и'', для
которой Wiv = w[vf. Тогда одно из слов и ии/ обязательно содержит другое.
В силу п. 1 из этого следует, что v' — v. □
Ввиду леммы 7.28 мы можем говорить о единственной простой
ручке, определяемой данным косовым словом. Мы можем
перефразировать определение 7.27, сказав, что простая ручка косового слова w
есть первая ручка этого слова, которая входит в него целиком, если
читать слово w слева направо. Например, простой ручкой слова
w = <j2<Ji<j~lа^зсг^1<j2<Ji
является а"3~1сг4сгз (а не Gicr^1 а^з^1)•
7.5.2. Редукция простой ручки
Наша цель — начав с произвольного косового слова, получить сг-по-
ложительное или а -отрицательное Косове слово, постепенно избавляясь

366
Глава 7. Порядок на группах кос
от простых ручек. Мы достигнем этой цели с помощью некоторого
итеративного процесса, который повторяется до тех пор, пока не
останется ни одной ручки.
Определение 7.29. Пусть и — <7;-ручка вида и = а?исг^е, где i €
€ {1,..., п — 1}, е = ±1 и и —либо пустое слово, либо слово, индекс
которого больше i. Редукцией ручки v называется косовое слово,
полученное из слова и заменой каждой буквы сг.^ на crrje1o,£±1cr^.1.
Замечания 7.30. 1. Редукцией сг;-ручки и = сг?ист^е, где и —
косовое слово, индекс которого больше i +1, является слово и. В частности,
редукцией сг* -ручки сг5сгГе является пустое слово.
2. Индекс редукции ручки и больше или равен индекса ручки v.
На рис. 7.2 изображена редукция <J\-ручки знака +1, в которую
не входят буквы <xf \ а на рис. 7.3 изображена редукция cri-ручки
"о
"о
Рис. 7.2. Редукция сгг-ручки, в которую не входит буква сг2±1
"о
\
"1
\
"2
ч,
"о
"1
"2
Рис. 7.3. Редукция G\ -ручки, в которую входит буква сг2

§ 7.5. Редукция ручек
367
знака +1, в которую входят две буквы <72 и не входит буква сг~1.
Прямоугольники и0,1*ъ "2 на этих рисунках представляют косовые слова,
которые либо пусты, либо имеют индекс, не меньший чем 3.
Косы на рис. 7.2 изотопны. Косы на рис. 7.3 тоже изотопны. Это
частный случай следующего простого, но фундаментального свойства
редукции.
Лемма 7.31. Любая ручка представляет тот же элемент
группы Вп, что и ее редукция.
Доказательство. Это утверждение следует из соотношений
е ±i -e f°f> если;>1 + 2,
{°i+i°? °lv если; =i + l,
которые вытекают из косовых соотношений в определении 1.1 (здесь
е = ±1). □
Пусть w — косовое слово, содержащее по крайней мере одну ручку.
Заменим в слове w простую ручку этого слова на ее редукцию и
обозначим результат через red(if). Затем определим по индукции слово
xedk (ш) для к > 0 следующим образом. Для к = 0 положим red°(w) = w.
Для к > 1 в случае, когда redfc-1(if) содержит хотя бы одну ручку,
положим redk(w) = red(redfc_1(i[;)), а если redfc_1(u;) не содержит ручек,
то считаем, что слово redk(w) не определено. Будем говорить, что
косовое слово вида redfc(it>), где к > 0, получено из слова w редукцией
простых ручек. Согласно замечанию 7.30 (2) редукция простых ручек
не уменьшает индекса косового слова.
В качестве иллюстрации применим редукцию простых ручек к ко-
совому слову
w = а1а2а3а4^1о-20-^1а^1а21азО-2^1^зО-21о-^1. (7.2)
Получаем (на каждом этапе мы отмечаем простую ручку фигурной
скобкой)
W = GiG2 О3О4СГ3"1 СГ2СГ1-1СГз~1СГ2"1СГзСГ2СГ1СГзСГ2"1СГ1-1,
red(lf) = а1<Т2<Г41сТ3<Г402011 СГ^СГ^СГз^^СГзСГ^СГ^1,
V
red2(w) = o-21cf1 a2cr~1(j3(j4(j~1 о-1а2сг~1сг21сгзСГ2Сг1сгзСг~1сг^1,
> v '
red3(if) = o-2~1cr1cr^1cr^1(J2cr3a4cr1 ^cr^a^1 сгз^сг^зсг^сг'1,

368
"лава 7. Порядок на группах кос
СГо
СГо
СГо
СГ2СГзСГ4СГ1СГз~1 (72~1СГзСГзСГ2 СГхСГзСГ^1^]-1,
СГ2СГ3СГ4СГ1 СГ~1СГз <72СГз~1СГзСГ2СГ~1СГ1СГзСГ2~1СГ]"1,
СГ2СГ3СГ4 СГ1СГ2 <73~1(7з Ог&ъХ а^аъ&гХ °\Х •>
<72<73(74(71(72(72(7з~1 ахОзСГо^СГ-,"1,
4 v '
<72<73<74<7i(72(72 <73~1(7з СГ^СГ^СГг,
<72СГ3(74(7i(72 (72(72 * О^ 1(72,
<72<7з<74 <J\<Jl<J~{X <72,
-1
(72(7з(74(72 (7i(72(72
red4(lf) = 0^0\0^
red5(if) = cr^Vicr^
red6(if) = cr^cricr^
red7(if) = cr^cricr^
red8(if) = <j21(Ji0'4
red9(if) = cr^cricr^
red10(w) = a^cricr^
redn(w) = <J21<ji<j4
red12(lf) = Cr^OiOj XCT3 x<73 x<72<73(74(7i(72(72.
Слово red12(if) не имеет ручек; оно о\-положительно.
Процесс редукции простых ручек должен остановиться, как
утверждает следующая лемма.
Лемма 7.32. Для каждого косового слова w существует такое
целое число к > 0, что редукция redk(w) не содержит ручек.
Теперь мы можем доказать лемму 7.17 — последний
недоказанный ингредиент в доказательстве теоремы 7.15. Пусть дано косовое
слово w, представляющее косу /3 € Вп. В силу леммы 7.32 при
некотором к редукция redfc(if) не содержит ручек. Поэтому по лемме 7.26
косовое слово redk(w) либо пустое, либо а -положительное, либо а
-отрицательное. Но по лемме 7.31 слово redfc(if) представляет косу /3.
Значит, коса /3 либо тривиальна, либо <7 -положительна, либо <7
-отрицательна. Это доказывает лемму 7.17.
Итак, нам осталось доказать лемму 7.32. Доказательство
опирается на четыре вспомогательных результата, а именно на леммы 7.35,
7.36, 7.37 и 7.39, и будет дано в п. 7.5.8.
Замечание 7.33. Лемма 7.32 дает алгоритм, превращающий
каждое косовое слово w в некоторое косовое слово, которое либо пусто,
либо сг-положительно, либо сг-отрицательно и при этом
представляет тот же элемент группы кос Вп, что и исходное слово w. Этот
алгоритм дает альтернативное решение проблемы тождества слов
в группе кос Вп.

§ 7.5. Редукция ручек
369
7.5.3. Граф Кэли
В упомянутых выше четырех вспомогательных результатах
используются некоторые конечные подграфы графа Кэли группы кос Вп.
Определение 7.34. Графом Кэли группы Вп называется граф Г,
вершинами которого служат элементы группы Вп, а ребра
определены следующим образом: для любых /3 € Вп и £ = 1,... ,п — 1 имеется
единственное ребро, соединяющее вершины /3 и /Зет;.
Ориентированным ребром в графе Г называется ребро, в котором
отмечена одна из его концевых точек; эта концевая точка называется
начальной, а другая концевая точка называется конечной. Если
имеется ориентированное ребро а, то это же ребро с противоположной
ориентацией обозначается а, т. е. начальной (соответственно
конечной) вершиной ребра а служит конечная (соответственно начальная)
вершина ребра а.
Следующим образом снабдим метками все ориентированные
ребра графа Г. Если ориентированное ребро а имеет начальную
вершину /3 и конечную вершину /Зет; для некоторого i е {1,..., п — 1}, то
метка 1{а) определяется как L(a) = сг;. Если это ребро имеет конечную
вершину /3 и начальную вершину fieri, то метка L(a) определяется как
1{а) = сг"1. В обоих случаях метка L(a) есть однобуквенное косовое
слово, представляющее косу /З^1^ е Вп, где /30 — начальная вершина
ребра а и Pi —его конечная вершина.
Путем в графе Кэли Г называется такая конечная
последовательность а\, а2,..., ак ориентированных ребер графа Г, что для всех i =
= 1,..., fc — 1 конечная вершина ребра at совпадает с начальной
вершиной ребра ai+i- Начальной вершиной пути называется начальная
вершина первого ребра аь а конечной вершиной пути — конечная
вершина последнего ребра а^ этого пути. Для каждого пути a = (ai, a2,..., а^)
определен противоположный путь а=(ак,...,а2,а1).По определению
пустым путем в графе Г считается вершина этого графа, которая
рассматривается и как начальная, и как конечная вершина этого пути.
Пустой путь не имеет ребер.
Каждый путь a = (ab а2,..., ак) в графе Г мы снабдим меткой,
представляющей собой косовое слово
L(a)=L(ai)L(a2)...L(ak)
длины fc, полученное конкатенацией меток ориентированных ребер
ai,a2,...,afc. Для пустого пути а его меткой L(a) считается пустое

370
Глава 7. Порядок на группах кос
слово. Ясно, что метка 1{а) представляет косу fi^fii е Вп, где /30—
начальная вершина пути а и Pi — конечная вершина этого пути.
Обратно, для любой вершины /30 графа Г и любого косового слова w
в графе Г имеется единственный путь а с начальной вершиной /30,
для которого L(a) — w. Таким образом, имеется взаимно
однозначное соответствие между множеством путей в графе Г с начальной
вершиной /S0 и конечной вершиной /3i и множеством косовых слов,
представляющих косу /З^/Зо- Заметим, что для любого пути а
справедливо равенство L(a) = (L(a))-1.
7.5.4. Подграф Гг
Рассмотрим определенный в п. 6.5.1 элемент Ап моноида
положительных кос £+. Напомним, что в лемме 6.11 (4) было показано,
что каждый элемент моноида В+ является левым делителем элемента
Агп = (ЛпУ для некоторого г > 0. Определим для каждого целого
числа г > 0 граф Гг как полный подграф графа Г, вершинами которого
являются левые делители элемента Агп подмоноида В£. Так как длина
любого левого делителя элемента Агп не может превышать длины
элемента Агп и множество элементов подмоноида £„ заданной длины
конечно, множество вершин подграфа Гг конечно. А так как число
ребер, заканчивающихся в заданной вершине, не превосходит п — 1,
подграф Гг конечен.
Путь в подграфе Гг — это такой путь в графе Г, вершины и ребра
которого принадлежат подграфу Гг.
Лемма 7.35. Обозначим через Nr количество ребер в подграфе Гг.
Для i G {1,..., п— 1} любое (Ji-положителъное (соответственно
^-отрицательное) косовое слово, являющееся меткой некоторого пути
в подграфе Гг, содержит букву <Ji [соответственно сг^1) не более чем
Nr раз.
Доказательство. Мы дадим доказательство для
сг{-положительного случая. Аналогичным образом можно рассмотреть <Ji
-отрицательный случай.
Рассмотрим путь a = (аь а2,..., ак) в подграфе Гг, меткой
которого является <Jt-положительное слово w. В слово w не входит буква сг^1,
а каждая буква <Ji в слове w является меткой некоторого
ориентированного ребра, входящего в путь а. Чтобы доказать лемму, достаточно
проверить, что все ребра с меткой ai в этом пути различны.
Предположим, что это не так, т. е. as — at для некоторых s и t, 1 < s <t <k,

§ 7.5. Редукция ручек
371
и L(as) = L(at) = <Ji. Рассмотрим непустой подпуть
а' = (as,...,at-i).
Этот подпуть лежит в подграфе Гг, и его меткой служит некоторое
подслово и слова w. Так как и есть подслово <Ji-положительного
слова и в него по крайней мере один раз входит буква <Ji (а именно,
L(as)), оно cri-положительно. С другой стороны, конечная вершина
подпути а' совпадает с начальной вершиной ориентированного ребра
at — as. Иными словами, путь а' является петлей. Поэтому слово и
представляет тривиальную косу. Но, как следует из леммы 7.16, сг-по-
ложительное слово не может представлять тривиальную косу.
Следовательно, все ребра с меткой <Ji в пути а различны. □
Лемма 7.36. Для любого косового слова w найдутся целое число
г > О и путь в подграфе Гг с меткой w.
Доказательство. Рассмотрим произвольный путь а = {а\,а2,...,ак)
в графе Г с заданной меткой w. Обозначим начальную вершину
ребра а\ через /Зо, а конечную вершину ребра at — через /3; (1 < i < fc).
По определению пути начальной вершиной ребра ai является /3;_i для
i = 1,..., fc. Согласно п. 6.5.4 существует такое целое число 5 > 0, что
Asn/3i E B+ для всех i = 0,1,..., fc. Рассмотрим «сдвинутый» путь
А5п(а) = (А5паъ...,А5пак),
где Asnai — ориентированное ребро графа Г с начальной вершиной
AsnPi-i и конечной вершиной Asn/3i для i = 1,..., fc. Меткой пути Asn(a)
также является слово w. Все вершины этого пути принадлежат подмоно-
иду Вп. По лемме 6.11 (4) существует такое целое число г > 0, что
элементы Asnp0, AsnPi, ..., Asnpk являются левыми делителями элемента Агп.
Отсюда следует, что сдвинутый путь Asn(a) лежит в подграфе Гг. □
7.5.5. Выполнение редукции простых ручек в подграфе Гг
Пусть a — путь в графе Г с начальной вершиной /Зо и меткой w.
Согласно п. 7.5.3 в графе Г существует единственный путь с
начальной вершиной /30 и меткой red(if). Мы обозначим этот путь через
red(a). По лемме 7.31 слово red(if) представляет тот же элемент
группы кос Вп, что и слово w. Поэтому конечные вершины путей а и red(a)
совпадают.
Лемма 7.37. Если а — путь в подграфе Гг, г > 0, то путь red(a)
тоже лежит в подграфе Гг.

372
Глава 7. Порядок на группах кос
Данное в п. 7.5.6 доказательство этой леммы основывается на
следующем разложении редукций простых ручек на элементарные шаги.
Пусть w и к/ — косовые слова. Мы будем говорить, что слово w'
получается из слова w элементарной редукцией, если слово к/
получается из слова w заменой некоторого подслова и в слове w на слово и',
где замена и*-+и' есть одна из следующих подстановок:
ofo-r6 .-* 0, где е = ±1, (7.3)
a?af -* afa?, где е = ±1, к = ±1 и |f-j| > 2, (7.4)
o-i(J-+\ -* о-г^о-^сл+го-ь (7.5)
сг"1^! -* o-MCJiO-r^o-'1, (7.6)
o-^cJi -* (JiO-i^o-r1^, (7.7)
o-i+io-'1 -* crrV^criCri+i. (7.8)
Лемма 7.38. От любого косового слова w к его редукции red(w)
можно перейти некоторой конечной последовательностью
элементарных редукций.
Доказательство. Достаточно проверить, что можно перейти от
простой ручки и к ее редукции и' некоторой конечной
последовательностью элементарных редукций. Далее, простая <7;-ручка и
обязательно имеет один из двух следующих видов.
1. Если в ручку и не входят буквы о"^*, то
и = o/uoo-f8, (7.9)
где е = ±1и подслово щ либо пустое, либо его индекс строго больше
i + 1. В этом случае v' — u0. Подстановкой (7.4) мы преобразуем
ручку и в слово сг.есгГеио и далее это слово преобразуем в и0 с помощью
подстановки (7.3).
2. Если в ручку и входит буква crf+1, к = ±1, то в него не входит
буква су~^{\ в противном случае оно бы не содержало <Ji+i-ручек, что
противоречило бы лемме 7.28 (1). Отсюда следует, что ручка и имеет
вид
и = crfuocr^u^^ ... Ur^o-^UrO-'6, (7.10)
где е = ±1, к = ±1, г > 1 и подслова и0}...,иг либо пусты, либо их
индекс строго больше i +1. В этом случае редукцией ручки и является
слово
v' = иоа-^а^щаг^а^ ... иг-Хи^ха\агмиТ. (7.11)

§7.5. Редукция ручек
373
Разберем теперь отдельно четыре случая в зависимости от
значений е и к.
A. Если е = 1 и к = —1, то
U = (JiU0 Crr+\Ul(jr+\u2 ... Ur-iCjr^UrO--1.
Так как индекс подслова и0 строго больше i + 1, к подслову,
отмеченному фигурной скобкой, можно применить подстановку (7.4), в
результате которой ручка и преобразуется в слово
и0 о-(сг~+\ Uicr"1^ ... Ur-го-г^игсгг1.
Применив к подслову, отмеченному фигурной скобкой, подстановку
(7.5), мы получим
^(^CrrVi+^^liiCr^^ ... Ыг-гСГГ^игСГГ1].
Подслово в квадратных скобках имеет тот же вид, что и и, но короче.
Итерируя подстановки (7.4) и (7.5), мы получим слово
Наконец, применив к подслову (JiUrCrf1 подстановки (7.3) и (7.4), мы
получим слово i/, написанное в формуле (7.11).
Б. Если е = — 1 и к = 1, то мы действуем так же, как в предыдущем
случае, только используя подстановку (7.6) вместо (7.5).
B. Если е = — 1 и к = —1, то
Здесь мы начнем действовать справа: с помощью подстановки (7.4)
преобразуем ручку и в слово
о-г^ост^и^^иг ... ur_i сг£~\сг£ ur.
Далее с помощью подстановки (7.7) преобразуем это слово в слово
[cTr1uoa^1u1a^1u2...ur-1ai](ai+1ar1a^1)ur.
В полученном слове подслово в квадратных скобках имеет тот же вид,
что и и, но короче. Затем, итерируя подстановки (7.4) и (7.7), мы
получим слово
Наконец, применив к подслову g^uqGi подстановки (7.3) и (7.4), мы
получим слово i/, написанное в формуле (7.11).

374
Глава 7. Порядок на группах кос
Г. Если е = 1 и к = 1, то мы действуем так же, как в предыдущем
случае, только используя подстановку (7.8) вместо (7.7). □
7.5.6. Доказательство леммы 7.37
Пусть слово к/ получается из метки w пути а некоторой
элементарной редукцией, и пусть а' — путь в графе Г с меткой и/ и той же
начальной вершиной, что и у пути а. Ввиду леммы 7.38 достаточно
доказать, что путь а1 лежит в подграфе Гт. Последовательно разберем
каждую из подстановок (7.3)-(7.8).
1. Подстановка (7.3). Если слово w' получается из метки w
подстановкой (7.3), то путь а' получается из пути а удалением некоторой петли.
Так как путь а лежит в подграфе Гг, путь af тоже лежит в подграфе Гг.
2. Подстановка (7.4). Мы можем предполагать, что слово cj.ecr.fc
(e = ±l,fc = ±l) является меткой некоторого пути в подграфе Гг с
начальной вершиной Ро и конечной вершиной Pi. По предположению
Аь А)Сг.е и )8i = Рост* erf — вершины подграфа Гг. Так как подстановка
(7.4) заменяет crfcr? на crfcrf, мы должны проверить, что j8ocr.fc
является вершиной подграфа Гг, т. е. является левым делителем элемента Агп
в моноиде В+.
Если е = к = 1, то мы должны проверить, что /30сг; является левым
делителем элемента Лгп. Но Po<Jj является левым делителем
элемента l3o<jj(Ji = l3o<Ji(jj = Pi, который по предположению является левым
делителем элемента Лгп.
Пусть е = 1 и к = — 1. По определению вершин /30 и /3i имеем
равенство Pi<jj = Po<Ji. В частности, &{ и о) являются правыми делителями
элемента p0<Ji. В § 6.5 мы доказали, что <7;сг; = GjGi является левым
наименьшим общим кратным элементов <Ji и о). Поэтому существует
такой элемент /3 е £+, что /ЗоО"; = P<Jj(Ji. Следовательно, /30 = /?сг;.
Вершина Рост"1 = Р лежит вВ„ и является левым делителем элемента Лгп,
что и требовалось.
Случай е = —1 сводится к предыдущим, если обратить ориентацию
путей.
3. Подстановка (7.5). Предположим, что слово сг£сг.~\ является
меткой некоторого пути в подграфе Гг с начальной вершиной /30 и
конечной вершиной Pi. Это значит, что косы /30, Po&i и j8i = PoO'tcr^
принадлежат подмоноиду Вп и являются левыми делителями элемента Агп.
Мы должны показать, что косы
Ро°Г+\> Роо^о-г1, jBoo-^o-fVi+i (7.12)

§7.5. Редукция ручек
375
тоже принадлежат подмоноиду В„ и являются левыми делителями
элемента Лгп.
Элемент /Зо<Т; = Pi&i+i подмоноида В + является левым кратным
элементов <Ji и <7i+i. Отсюда следует, что /Зосг; является левым кратным
левого наименьшего общего кратного элементов ai и <Ji+i, которое,
как было показано в §6.5, равно <7;<7;+icr;. Следовательно, существует
такой элемент /3 е В+, что /Зосг; = Patai+iat. Поэтому /30 = Рсг^+г-
Косы (7.12) можно выразить через косу /3 следующим образом:
Ро&Г+\ = ffViCTi+lCTfr! = fiCTi,
Ро^м^Г1 = РфГ1 = Р>
Ясно, что эти косы принадлежат подмоноиду В„. Так как они являются
левыми делителями элемента
l3<Ji<ji+1<Ji = l3(Ji+1<Ji<Ji+1 = l30<Ji,
они также являются левыми делителями элемента Лгп.
4. Подстановка (7.6). Предположим, что слово crrVi+i является
меткой некоторого пути в подграфе Гг с начальной вершиной /30 и
конечной вершиной Pi. Тогда косы
А), Р = jSoO-f1» ft = AxrfVi+i = ^cri+i
принадлежат подмоноиду В+ и являются левыми делителями
элемента Лгп. Мы должны показать, что косы Po&i+i, PoVi+iVi и /Зосг^+^сгг^
принадлежат подмоноиду В+ и являются левыми делителями
элемента Агп.
Ясно, что косы PoCTi+i, PoO'i+iCJi и
^ocri+icricr."^ = Pocr^1<Ji+i<Ji = P\<J{
принадлежат подмоноиду B+. Нам известно, что косы /30 = /Зет; и /3i =
= P(Ji+i являются левыми делителями элемента Агп. Из этого следует,
что правое наименьшее общее кратное элементов /Зет; и P<Ji+i из
подмоноида В+ является левым делителем элемента Лгп. Мы
утверждаем, что правое наименьшее общее кратное элементов /Зет; и /3<T;+i
равно /3/х, где /х = <7i<7i+icri есть правое наименьшее общее кратное
элементов ai и о^ц. Действительно, ясно, что /3/х является правым
кратным элементов /Зет* и /3<7i+i. Пусть v = /Зсг^/З' — P<JiP" —
произвольное правое кратное элементов /Зет; и /3<7i+i, где /3', /3" еВ+. Так как
моноид В„ обладает свойством левого сокращения, сг^/З'' = 0{+\Р" есть

376
Глава 7. Порядок на группах кос
правое кратное элементов сг; и <ji+i и, следовательно, правое кратное
элемента ц. Поэтому v является правым кратным элемента jS/iH
наше утверждение доказано. Из предыдущих рассуждений следует, что
Pcncri+icn — l3<Ji+i<Ji<Ji+i является левым делителем элемента Лгп. Тогда
элементы
PoVi+i = /3(Ji(Ji+i, Poo-i+idi = l3(Ji(Ji+i(Ji
PoO-i+lCJiCJ^ = poCT^CT^CTi = l3(Ji+i(Ji.
также являются левыми делителями элемента Агп.
5. Подстановки (7.7) и (7.8). Слова в подстановках (7.7) и (7.8)
обратны к словам в подстановках (7.6) и (7.5) соответственно.
Поэтому мы можем, обратив ориентации путей, рассуждать так же, как
и выше. □
7.5.7. Критические префиксы и критические ручки
Рассмотрим косовое слово w индекса i е {1,..., п—1}. Пусть e(w) =
= ±1 — таково, что самое левое вхождение буквы erf21 в слово w есть
сг . Определим критический префикс P(w) слова ш как самый
длинный префикс слова w, заканчивающийся на букву сг и в который
не входит буква ст. Например, если i = 1 и
Ш = <7i <72 <7з G^1 CFlCF^1 ^l^^1 <J\1 <J21 <J31 ^l0^,
TO е(ш) = 1 И Р(ш) = СГ1СГ2СГзСГ~1СГ1СГз~1СГ1.
Обозначим через й(ш) количество сг*-ручек, содержащихся в
слове ш. Если й(ш) ^ 1, то существует единственная сг*-ручка, первая
буква сг которой является последней буквой критического
префикса Р(ш). Мы назовем эту ручку критической ручкой слова w. Легко
видеть, что критическая ручка слова w — это единственная
стручка и, входящая в разложение w — W\VW2, где w\v — самый короткий
префикс слова w, содержащий <7;-ручку. Существенная разница между
критической ручкой и простой ручкой (см. определение 7.27) косово-
го слова индекса t в том, что критическая ручка — это всегда <7;-ручка,
тогда как простая ручка может быть о)-ручкой, где j > i. Из
определений следует, что простая ручка слова w содержится в критической
ручке и если простая ручка является <Ji -ручкой, то она совпадает с
критической ручкой. Проиллюстрируем разницу между критическими
и простыми ручками на примере следующих трех слов индекса 1.
1. Если w = а"1(72сгзсг2~1сг1сг^1сг1сгзсг2"1сг:1~1сг2~1, то критическая ручка
этого слова есть сггстзсг^1^1, а простая ручка — о^озст"1.

§7.5. Редукция ручек
377
2. Если w — 0\ОгОъОг а^°ъ а\Оъ<Уг , то У этого слова нет Oi-py-
чек и потому нет критических ручек, а простая ручка есть — это
3. Если w = 0\ а2 сгз &2 <J\ с^з"1 &i сгз сг^1 G\X <J21 > то пРост°й ручкой этого
слова является <j\-ручка GiG^cj^1о-~г. Эта ручка также является
критической ручкой слова w.
Заметим, что если слово является меткой некоторого пути а в
графе Г, то все его подслова, в частности критический префикс, простая
ручка и критическая ручка, являются метками соответствующих под-
путей пути а.
Лемма 7.39. Пусть w — косовое слово индекса i, содержащее по
крайней мере одну ручку. Предположим, что слово w является меткой
некоторого пути а в подграфе Гг с начальной вершиной /Зо- Тогда
h(red(w)) < h(w). Если h(red(w)) = h(w) > 1, то e(red(w)) = e(w)
и в подграфе Гг существует такой путь a(w), что
1) начальной вершиной пути a(w) служит конечная вершина пути
p(w) с начальной вершиной /30 и меткой P(w), а конечной
вершиной пути a{w) служит конечная вершина пути p(red{w)) с
начальной вершиной /Зо и меткой P(red(w));
2) если индекс простой ручки слова w строго больше i, то путь a{w)
пустой; если же индекс простой ручки слова w равен i, то в метку
пути a(w) ровно один раз входит буква сг и ни разу буква <j\.
На рис. 7.4 изображены пути a, red(a), подпуть p{w) пути а, под-
путь p(red(w)) пути red(a) и путь a(w).
Доказательство. Если h(w) = О, то слово w не содержит <7;-ручек
и переход от w к red(w) происходит редукцией некоторой сг;-ручки,
где j > i. Ясно, что редукция red(w) не содержит сг^-ручек.
Следовательно, h(red(w)) = О = h(w).
Рис. 7.4. Путь a{w)

378
Глава 7. Порядок на группах кос
Предположим теперь, что h(w) > 1. Мы можем написать
W = ЩСТ^СТ? ... Vp-rfVp (J*Vp+1(jre Up+2(jf ... , (7.13)
4 v '
где р > 0, vo, v\,..., Vp-i, up, Vp+i, vp+2 — косовые слова, индекс которых
больше i, e = ±1 и фигурной скобкой отмечена критическая ручка
слова w, которая существует ввиду того, что h(w) > 1. Под о{ в
формуле (7.13) мы понимаем первую букву а^1, находящуюся правее
критической ручки слова w, в том случае, когда такая буква там
имеется, и пустое слово, если такой буквы нет, т. е. в том случае, когда
все буквы правее критической ручки суть а^1, где j > i. Ясно, что
Р(ш) = ща?ща? ... Vp-xolvpol.
Сначала предположим, что индекс простой ручки слова w строго
больше i. Тогда простая ручка слова w должна быть под словом в иг для
некоторого г е {0,1,..., р + 1}, потому что по определению простой
ручки она не может лежать справа от критической ручки. Тогда слово
red(if) получается из w заменой иг на red(i;r). Эта операция не влияет
на <7;-ручки. Следовательно, h(red(w)) = h(w) и e(red(w)) = е(ш).
Критический префикс ведет себя при редукции следующим образом: если
г = р + 1, то P(red(if)) = P(w); если г < р, то P(red(w)) получается
из P(w) заменой иг на red(yr). В обоих случаях P(red(w))
представляет тот же элемент группы кос Вп, что и Р(ш). Поэтому пути p(w)
и p(red(w)) имеют одинаковые конечные вершины и мы принимаем
за а(ш) пустой путь.
Предположим теперь, что индекс простой ручки слова w равен i.
Тогда эта ручка должна быть критической ручкой <J?Vp+i<j^e. Слово
red(w) получается редуцированием этой ручки. По лемме 7.28
простая ручка не содержит никаких других ручек. Поэтому слово vp+i
либо не содержит букв сг^, либо содержит буквы сг^, но не буквы
сг.^. Рассмотрим эти случаи отдельно.
А. Предположим, что слово vp+i не содержит букв а^. Тогда слово
red(if) получается из w заменой простой ручки сг?ир+1сг^е на ир+\.
Если р = 0, то
ft(red(w)) < h(w)
и лемма доказана. Предположим, что р > 1. Тогда
red(if) = VQGfvxG*... Up-г o-*vpVp+1Vp+2crf... (7.14)
4 v '
Сравнивая формулы (7.13) и (7.14), мы видим, что h(red(w)) < h(w),
если не выполнено равенство а[ — сг.~е. В последнем случае в фор-

§7.5. Редукция ручек
379
муле (7.14) фигурной скобкой отмечена критическая ручка редукции
red(if),
h(red(w)) — h(w) >1 и e[red{w)) = е(ш).
Так как
P(red(w)) = vog?v\G? ... ty-iof,
мы имеем
P(w)=P(Yed(w))vpo-*.
Кроме того, путь p(red(w)) является подпутем пути р(ш),
следовательно, подпутем пути а. Примем за а(ш) путь с меткой cr^v"1,
начинающийся в конечной вершине пути р(ш). Ясно, что a{w) является
подпутем обратного пути а, следовательно, a(w) лежит в подграфе Гг.
Конечная вершина пути а(ш) совпадает с конечной вершиной пути
p(red(if)). На рис. 7.5 изображены части путей а и red(a) в
подграфе Гг. Путь a(w) (с противоположной ориентацией) показан в серой
зоне этого рисунка. В метку cr^v^1 пути a[w) ровно один раз входит
буква сг~е и ни разу буква сге.
критическая ручка слова w
P(w)
°t
I 1
P(red(w))
1
I
iv—*^
VP -Jr' и \
г
Чр+2 >
of
критическая ручка редукции red(w)
Рис. 7.5. Доказательство леммы 7.39: случай А
Б. Предположим, что в слово ир+\ входит буква сг.Д и не входит
буква af ,, т. е.
Up+1 = иоСГ^Щ . . . Hq-iCT^Uq,
где q > 1 и uo,iii,...,iiq-i,iiq — косовые слова, индекс которых не
меньше i + 2. Если р = 0, то
red(w) = vouoa^a^cr^ui... щ-гст^аГ*a?+1uqv2CTf...
Ясно, что h(red(w)) < h(w) и все доказано. Если р> 1,то редукция
red(if) равна
voGfvxaf ... Ур-i о-^ириоаГ+\о-ге a?+1ui... и^сгГ^сгГ6a*+1uqvp+2(jf...

380
Глава 7. Порядок на группах кос
Фигурной скобкой отмечена критическая ручка редукции red(if), и мы
имеем h(red(w)) = h(w) > 1 и e(red(w)) = e(w). Кроме того,
P(w) = P(red(w))vp(T?9
как и в случае А, и точно так же можно завершить доказательство.
На рис. 7.6 изображены части путей а и red(a) в подграфе Гг. Путь
a{w) (с противоположной ориентацией) показан в серой зоне этого
рисунка.
критическая ручка слова w
P(w)
Uq
\СГ.
of Vv.,:-/' \ Vn+7. of
.+ &&&&■>■■■ p+2 >
I
P(red(w))
u$\
ot ^
-> >- —
.. X
критическая ручка редукции red(w)
Рис. 7.6. Доказательство леммы 7.39: случай Б
В. Наконец, предположим, что в слово vp+i входит буква сг.е+1 и не
входит буква cr^fv т. е.
Vp+l = UoCT^m . . . Uq_iCTf+1liq,
где q > 1 и uo,ui,...,Uq-i,Uq — косовые слова, индекс которых не
меньше £ + 2. Тогда редукция red(if) равна
VotfViCT? . . . yp-lCJ^pUoCjr^Cjfcj^Ui . . . Uq-lO^ <Jj(JeMUqVp+2vf^- •
Если о/ — пустое слово или / = е, то ft(red(w)) < й(ш) и все доказано.
Если / = — е, то h(red(w)) = й(ш) ^ 1 и критическая ручка редукции
red(if) отмечена фигурной скобкой. Тогда мы имеем e(red(w)) = e(w).
Полагая и = vo<jfvi<jf... vp-i<jfvp, мы получаем
Р(ш) = усг.е и P(red(w)) = vuoo-r^o-eo-^m ... Uq-icr^cr.6.
Пусть а(ш) —путь с меткой
L = U0C7f+1Ui . . . "q-lCjf+jUqCJpUq V^,
начальной вершиной которого является конечная вершина подпути
р(ш) пути а. На рис. 7.7 путь a(w) показан в серой зоне. Мы видим,
что конечная вершина пути a(w) совпадает с конечной вершиной
подпути p(red(if)) пути red(a), а ребрами пути а(ш) служат ребра либо

§7.5. Редукция ручек
381
критическая ручка слова w
P(w) I
I e Km.^Sm.a. _ "ь*-* '
*$ku-?L
"oN
P(red(u/))
критическая ручка редукции red(w)
Рис. 7.7. Доказательство леммы 7.39: случай В
пути а, либо пути red(a). По лемме 7.37 путь red(a) лежит в
подграфе Гг, следовательно, путь a(w) также лежит в подграфе Гг. В слово L
ровно один раз входит буква сгге и ни разу буква сг.е. □
7.5.8. Доказательство леммы 7.32
Здесь мы используем доказанные ранее леммы для доказательства
того, что процесс редукции простых ручек в конце концов
останавливается. Доказательство проведем индукцией по убыванию индекса i слова w.
При i = п — 1 слово w состоит из букв а^\ и любая ручка имеет
вид (^n-i^n-v РеДУЦиРовать ее означает вычеркнуть ее, следовательно,
длина слова уменьшится на 2. Очевидно, что для достаточно
большого к слово redk(w) не будет содержать ни одной ручки.
Предположим, что лемма справедлива для всех косовых слов,
индекс которых больше i, и пусть w — некоторое косовое слово индекса i.
Допустим, что лемма 7.32 неверна для слова w. Это значит, что для
всехк>0 существует redk(w), т.е. каждое косовое слово itfc = redk(w)
имеет по меньшей мере одну ручку. По лемме 7.39 неотрицательные
целые числа h(it^) образуют невозрастающую последовательность,
которая на каком-то месте должна стать постоянной. Отбросив
конечное число Щс, мы можем считать, что существует такое целое
число h, что h(wk) = h для всех к > 0. По определению w^+i получается
из Щс редуцированием простой ручки, которая представляет собой
либо (Ji -ручку, либо о)-ручку для некоторого j > i. Обозначим через К
множество всех целых чисел к, для которых простая ручка слова itfc
является <7;-ручкой. Далее мы докажем сначала, что К бесконечно,
а затем — что К конечно. Из этого противоречия следует, что наше
предположение было неверно, т. е. лемма 7.32 верна для слова w.

382
Глава 7. Порядок на группах кос
Сначала докажем, что множество К бесконечно и h > 1. Для
любого к > 0 косовое слово щ имеет вид
где е = ±1, слова и0,v\, v2,...,vp имеют индекс строго больше i и
слово w' либо начинается с буквы сгге (в этом случае h = ft(itk) > 0),
либо пустое (в этом случае h = 0). По предположению индукции для
каждого г е {0,1,..., р} существует такое кг > 0, что слово redfc(i;r)
не содержит ручек. Мы утверждаем, что
redfc°(^c) = redk°(u0)(j[v1a*v2 ... erf vpw'. (7.15)
Ясно, что это верно для fco = 0, т. е. в случае, когда подслово щ не
содержит ручек. Если подслово и0 содержит какую-нибудь ручку, то оно
содержит простую ручку слова itfc, поэтому редукция red(it^)
получается из слова Щс редуцированием простой ручки подслова vo. Процесс
редукции продолжается до тех пор, пока не будут устранены все ручки
в под слове щ. Это доказывает равенство (7.15). Аналогичные
рассуждения показывают, что для fc' = к + fc0 + к\ +... + кр имеет место равенство
uv = redko+kl+" '^(Wk) =
= red^oKred^iKred^)... afred^(up)wf.
Если w' = 0, то слово щ не содержит ручек, что противоречит
нашему предположению о бесконечности последовательности (itfc)k-
Следовательно, слово wf должно начинаться с буквы сг^6. Но тогда мы сразу
видим, что сг;-ручка <j?redkp(vp)<j7* является простой ручкой слова it^.
Следовательно, fc' € К. Таким образом, для каждого к > 0 существует
такое к' € К, что к'>к. Это доказывает, что множество К бесконечное.
Это рассуждение также показывает, что h = ft(itfc) > 1.
Докажем теперь, что множество К конечное. По лемме 7.36
косовое слово w является меткой некоторого пути в подграфе Гг для
некоторого г > 0. Из леммы 7.37 следует, что для каждого к > 0 слово w^
является меткой некоторого пути в подграфе Гг. Применим к слову w^
лемму 7.39. Выше мы заметили, что h > 1. Обозначим через е общее
значение чисел e(itfc) для всех к. Рассмотрим тот путь a(itfc), который
дает лемма 7.39, и его метку Lk = L(a(it^)). Если к £ К, то Lk = 0;
если же к € К, то в слово Lk ровно один раз входит буква сг~е и ни разу
буква сг.е. Для каждого целого I > 0 пути а(ш0), а(шх),..., а{щ) можно
сцепить последовательно, поскольку согласно лемме 7.39 начальная
вершина каждого пути a{ws) совпадает с конечной вершиной пути

§ 7.6. Подход Нильсена — Тёрстона
383
a{ws-\). Каждый из путей а(шо), a{w{),..., а{щ) лежит в подграфе Гг,
поэтому сцепленный путь a[wo)a[wi)... а{щ) также лежит в
подграфе Гг. Меткой сцепленного пути служит конкатенация L0Li... L?, в
которую по лемме 7.39 не входит буква сг.е, а буква сгг6 входит столько
раз, сколько имеется элементов из К в множестве {0,1,..., I}. По
лемме 7.35 число таких вхождений буквы сг7е ограничено сверху
некоторым целым числом Nr. Отсюда следует, что
card(lCn{0,l,...,Z})<Wr
для любого I > 0. Поэтому множество К конечное. Таким образом, мы
добились требуемого противоречия. □
Замечание 7.40. Редуцирование простых ручек позволяет нам
избавиться от всех ручек в любом Косовом слове. Действительно, в
доказательстве леммы 7.17 нам нужно было только убить сг;-ручки в косо-
вых словах индекса L Этого можно было достичь редуцированием
одних только критических ручек. А последние можно редуцировать после
того, как мы избавимся от содержащихся в них о^ц -ручек. Мы
поддерживаем читателя в желании осуществить процесс редукции
критических ручек надлежащим образом. Соответствующим образом
определенная редукция критических ручек быстрее редукции простых ручек,
потому что при этом нужно убить меньше ручек, в чем можно
убедиться, например, применив оба способа редукции к косовому слову (7.2).
§ 7.6. Подход Нильсена — Тёрстона
В завершение этой главы мы кратко опишем геометрический
метод введения порядка в группы кос. Этот метод, основывающийся на
предложении 7.41, требует достаточно хорошего знания
гиперболической геометрии и классической работы Нильсена [Nie27] о
гомоморфизмах поверхностей.
Предложение 7.41. Пусть группа G действует на линейно
упорядоченном множестве X сохраняющими порядок биекциями и имеется
такой элемент множества X, стабилизатор которого тривиален.
Тогда группа G упорядочиваема.
Напомним, что стабилизатором элемента а € X называется
подгруппа группы G, состоящая из всех элементов, неподвижных в точке а.
Доказательство. Для / е G и Ъ € X обозначим через /(b) е X
результат действия преобразования / на точку Ь. По условию Ъ <Ъ' =>

384
Глава 7. Порядок на группах кос
=* /(b) < /(Ь') в X для всех Ь, Ь' е X и / € G, а также существует такая
точка а € X, что /(а) = а => / = 1. Для /, g € G определим / <а g, если
/(а) < g(a) для заданного линейного порядка на множестве X. Ясно,
что отношение <а на G рефлексивно и транзитивно. Покажем, что
оно антисимметрично. Действительно, из того, что / <a g и g <a /,
следует, что /(а) < g(a) < /(а). Значит, /(a) = g(a), что эквивалентно
тому, что (g_1/)(a) — a- Поэтому g~lf = 1 и, следовательно, f = g.
Таким образом, мы проверили, что <а является порядком на группе G.
Так как порядок на множестве X линейный, порядок <а на группе G
также линейный.
Остается проверить, что порядок <а левоинвариантен. Пусть f^ag
в группе G и ft € G. Так как /(a) < g(a) и элемент ft действует на
множестве X как сохраняющая порядок биекция, мы получаем
(h/)(a) = h(f(a)) < h(g(a)) = (hg)(a).
Следовательно, ft/ <a ftg. □
Пусть S — замкнутая связная ориентированная поверхность рода
один с п > 1 отмеченными точками Рь..., Рп. Пусть на ней задана
простая замкнутая кривая С, разделяющая поверхность S на
поверхность Si рода один и круг S2, содержащий все отмеченные точки
(случай п = 3 см. на рис. 7.8). По теореме 1.33 группа кос Вп изоморфна
группе классов отображений М, состоящей из изотопических
классов сохраняющих ориентацию автогомеоморфизмов поверхности S,
тождественных на Si и переставляющих отмеченные точки.
Рис. 7.8. Поверхность S
Снабдим дополнение S\{Pi,... ,Рп} полной гиперболической
метрикой, для которой кривая С является геодезической, а отмеченные
точки каспами. Зафиксируем на кривой С какую-нибудь начальную
точку х0. Гиперболическая метрика позволяет нам отождествить
универсальное накрытие над S\{Pi,... ,Рп} с внутренностью D° =D\dD
единичного круга D на плоскости С. Кроме того, мы можем считать,
что центр 0 круга D проектируется в точку х0. Любой сохраняющий

Замечания
385
ориентацию автогомеоморфизм ip поверхности S, неподвижный в
точке хо и переставляющий отмеченные точки, можно единственным
образом поднять до некоторого автогомеоморфизма (р открытого
круга D°, неподвижного в точке 0. Нильсен (см. [Nie27, Sect. 10]) показал,
что автогомеоморфизм (р продолжается до некоторого сохраняющего
ориентацию автогомеоморфизма Ф круга D. Он также доказал, что
dtp = <P\dD зависит только от изотопического класса
автогомеоморфизма {р. Следовательно, группа классов отображений Л = Вп действует
сохраняющими ориентацию гомеоморфизмами на окружности 3D.
Это действие неподвижно в некоторой точке z € dD. В качестве z мы
можем взять одну из концевых точек компоненты прообраза кривой С
в круге D, проходящей через 0. Тем самым мы получили действие
группы кос Вп на R = dD\{z} сохраняющими ориентацию
гомеоморфизмами и потому сохраняющими порядок гомеоморфизмами.
Применим теперь предложение 7.41 к этому действию, где G = Bn
и X = R. Чтобы мы могли заключить, что группа кос Вп
упорядочиваема, нам нужно проверить, что подмножество Y с R, состоящее из
точек с тривиальным стабилизатором, непусто. Дополнение Z = R\7
представляет собой объединение множеств неподвижных точек
действий dip, где ip пробегает все элементы группы М = Вп, отличные
от единичного. Так как группа Вп счетна, Z есть счетное объединение
таких множеств неподвижных точек. Согласно работе [Nie27, Sect. 14]
для любого ip ф 1 множество неподвижных точек действия dip
является замкнутым подмножеством с пустой внутренностью. Из теоремы
Бэра (см., например7, [Ке155, гл. 6] или [Rud66, Th. 5.6]) следует, что
внутренность подмножества Z пустая. Поэтому дополнение Y = R\Z
всюду плотно в R и, значит, непусто.
Замечания
Общие сведения об упорядочиваемых группах можно найти в
книгах [MR77] и [Pas77]. Целый ряд возникающих в топологии групп
упорядочиваемы; см. [RW00], [SW00], [RW01], [Gon02], [BRW05].
В изложении доказательства биупорядочиваемости групп крашеных
кос мы следовали работам [KR03], [DDRW02, Sect. 9.2].
7 А также Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и
функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004, или любое другое издание, гл. II, § 3, теорема 2. —
Прим. перев.

386
Глава 7. Порядок на группах кос
Представленный в § 7.3 левоинвариантный линейный порядок
был открыт Деорнуа в 1991-1993 гг.; см. [Deh94]. До тех пор не было
известно, упорядочиваемы ли группы кос. Изложение большей части
§ 7.3 следует работам [DehOO], [DDRW02, Chap. 1]. Теорема 7.15
принадлежит Деорнуа. Предложение 7.19 было доказано в статье [МНОЗ].
В изложении доказательства леммы 7.16 мы следовали статье [Lar94].
Редукция ручек впервые была определена в статье [Deh97]; см.
также [DehOO, Chap. Ill], [DDRW02, Chap. 3]. На практике алгоритм,
который дает лемма 7.32, оказывается весьма эффективным, более
быстрым, чем другие имеющиеся алгоритмы.
Геометрический подход, изложенный в § 7.6, основывается на
наблюдении У. Тёрстона, которое было записано X. Шортом и Б. Вистом.
Этот подход приводит к семейству левоинвариантных линейных
порядков на группах кос Вп, в которое входит порядок Деорнуа.
Классификация этих порядков дана в статье [SW00]; см. также [DDRW02,
Chap. 7]. Для предложения 7.41 имеется красивая обратная теорема
при X = R: любая счетная упорядочиваемая группа действует на R
сохраняющими порядок гомеоморфизмами так, что существует
точка в R с тривиальным стабилизатором (см. [GhyOl] или [DDRW02,
Prop. 7.1.1]).
Имеются другие доказательства упорядочиваемое™ групп кос,
среди которых особенно следует отметить работы Фенна, Грини,
Рольфсена, Рурка и Виста [FGRRW99], Шорта и Виста [SW00], Функа
[FunOl] и И. А. Дынникова (неопубликовано). См. также
монографии [DehOO], [DDRW02], [DDRW08] и обзор [Kas02].

•ШйлсШйШ*
Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z)
ОБРАЗУЮЩИМИ И СООТНОШЕНИЯМИ
Пусть SL2(Z) —группа квадратных матриц порядка 2 с
элементами из кольца целых чисел Z и детерминантом 1. Ее центр — группа
порядка 2, порожденная скалярной матрицей —/2, где /2 — единичная
матрица. Факторгруппа
PSL2(Z) = SL2(Z)/H2>
называется модулярной группой; ее можно отождествить с группой
рациональных функций на комплексной плоскости С, имеющих вид
(az + b)/{cz + d), где а, Ь, с, d —такие целые числа, что ad — bc = l.
Рассмотрим следующие три задания групп образующими и
соотношениями:
(а, Ъ\аЪа = bob, {aba)4 = 1), (АЛ)
<5,t|53 = t2,t4 = l), (А.2)
(s,t\s3 = t2 = l). (A.3)
Лемма АЛ. 1. Задания (АЛ) и (А.2) определяют одну и туже
группу G с точностью до изоморфизма. Группа G изоморфна факторгруппе
группы кос Вз по центральной подгруппе, порожденной элементом
(CJ1CJ2CJ1)4.
2. Группа Н, определенная заданием (А.З), изоморфна факторгруппе
группы кос Вз по ее центру.
Доказательство. 1. Легко проверить, что взаимно обратные
подстановки т т _i т _i о
s = ab, t — aba и a = s Ч, b = t s
преобразуют задание (АЛ) в (А.2) и наоборот. Это доказывает, что
задания (АЛ) и (А.2) определяют изоморфные группы.
Заменив а на о\ и b на сг2 в задании (АЛ), мы видим, что группа G
изоморфна факторгруппе группы В3 по нормальной подгруппе, по-

388
Приложение А
рожденной элементом (<Ji<J20'i)4- Этот элемент равен квадрату
элемента (сг1сг2сг1)2, который по теореме 1.24 порождает центр Z(£3)
группы В3.
2. Из заданий (А.2) и (А.З) ясно, что группа Я равна
факторгруппе группы G по нормальной подгруппе, порожденной элементом
53 = t2 € G. При отождествлениях s = ab = <Ticr2, t = aba = o\GiV\ мы
имеем равенство Я — £з/^(£з)- О
Рассмотрим матрицы
Ч* О - Ч-i !)•
Ясно, что A,Be SL2(Z). Легко проверить справедливость равенств
АВА = ВАВ и (АВА)4 = 1.
Следовательно, существует гомоморфизм /: G —> SL2(Z), для которого
/(а)=Аи/(Ь)= В. Для 5 = ab и t = aba с помощью быстрого
вычисления получаем
f(s) = AB = (_°1 }) и /(f) = ABA = (_J J). (A.4)
/(t2) = (/W)2 = (ABA)2 = (^-J _;) = -/2. (A.5)
Ввиду последнего равенства гомоморфизм / индуцирует гомоморфизм
/^ = G/(t2)^PSL2(Z).
Теорема А.2. Гомоморфизмы
/:G^SL2(Z) и f:H = B3/Z(B3) ^PSL2(Z)
являются изоморфизмами.
Доказательство. Мы утверждаем, что гомоморфизм /: G —> SL2(Z)
тогда и только тогда инъективен (соответственно сюръективен), когда
гомоморфизм /: Я —> PSL2(Z) инъективен (соответственно
сюръективен). В самом деле, / отображает подгруппу (t2) с G на группу
порядка 2, порожденную элементом —/2. Так как t4 = 1, подгруппа (t2)
имеет порядок не более 2. Следовательно, гомоморфизм / индуцирует
изоморфизм подгруппы (t2) на подгруппу {±/2}. Из этого немедленно
следует наше утверждение.
Поэтому чтобы доказать теорему, достаточно показать, что
гомоморфизм /: G —> SL2(Z) сюръективен, а гомоморфизм /: Я —> PSL2(Z)
инъективен.

Задания групп SL2(Z) и PSL2(Z) образующими и соотношениями 389
Сначала проверим, что матрицы А = f{a) и В = /(b) порождают
группу SL,2(X), из чего следует, что гомоморфизм /: G —> SL2(Z) сюръ-
ективен. С этой целью мы покажем, что произвольную матрицу М €
€ SL2(Z) можно выразить в виде некоторого слова от A±l и В±г. Нам
будет удобно обозначить элементы Ь и d матрицы
М = (с d)eSL2(Z)
через Ъ{М) и d(M) соответственно. Положим Т = f(t) = ABA e SL2(Z).
Если Ь = 0, то а = d = ±1 и либо М = В_с, либо М = -12ВС = Т2ВС.
Таким образом, в этом случае матрицу М можно выразить в виде
слова от А±г и В±г.
Если d = 0, то be = —1. Либо Ъ = — с = 1 и тогда М = А~аТ, либо
b = —с = —1 и тогда М = АаТ3. В обоих случаях матрицу М можно
выразить в виде слова от А±г и В±г.
Предположим теперь, что ни Ъ = Ъ{М), ни d = d{M) не равны нулю.
Заметим, что
Ь{АМ) = Ъ{М) + d{M), d{AM) = d{M) (A.6)
и
Ь(Ш) = d(M), d(TM) = -Ъ{М). (А. 7)
Из равенств (А.6) следует, что, умножив матрицу М слева на
подходящую положительную или отрицательную степень матрицы А, мы
получим такую матрицу АпМ, что
0<\b(AnM)\<\d(AnM)\.
Из равенств (А.7) видно, что при умножении слева на матрицу Г
элементы Ь и d с точностью до знака меняются друг с другом. Таким
образом, мы можем уменьшать абсолютные величины Ь и d до тех
пор, пока одна из них не станет равна нулю. Следовательно, умножая
матрицу М слева на степени А или Т, мы можем свести
доказательство к рассмотренным выше случаям Ъ = 0 или d = 0.
Докажем теперь, что гомоморфизм /: Я —> PSL,2(X) инъективен.
Из задания (А.З) группы Я видно, что это свободное произведение
циклической группы порядка 3, порожденной элементом 5, и
циклической группы порядка 2, порожденной элементом t. Поэтому любой
отличный от единичного элемент группы Я единственным образом
выражается в одной из следующих форм:
w = seitse4...ts£r, wt, tw, twt, t,

390
Приложение А
где б-,; — ±1 (i = 1,..., г) (определение свободных произведений групп
и описание нормальных форм их элементов можно найти, например,
в книгах [LS77, разд. 1.11], [Ser77, Sect. 1.1]). Следовательно,
достаточно показать, что ни один из этих элементов не принадлежит ядру
гомоморфизма /.
Элемент t не принадлежит ядру гомоморфизма / ввиду
соотношений (А.4). Так как элемент twt = twt~l сопряжен к w и tw сопряжен
к wt, достаточно проверить, что j{w) ф 1 и j{wt) Ф 1.
Начнем cwt= (se4)(se2t)... (s^t). Так как s"1*: = аи
st={r1s2)-1=b~1eH,
мы имеем /(s-1t) = А и f(st) = В-1, где А и В — образы матриц Aw В
соответственно в группе PSL2(Z). Отсюда следует, что j(wi) является
непустым произведением матриц А и В-1. Тогда достаточно
проверить, что никакое непустое произведение матриц
ч; о - в_,=о;)
не равно ±/2. Такое произведение состоит только из
неотрицательных элементов, и после каждого умножения на А или В-1 сумма
недиагональных элементов строго возрастает. Поэтому никакое такое
произведение не может равняться ±/2.
Если бы выполнялось равенство f{w) = 1, то мы имели бы
f(wt)=m = (_°1 J).
Но это невозможно, так как j{wt) есть произведение матриц А и В-1
и потому состоит только из неотрицательных элементов, тогда как
у правой матрицы есть элементы противоположных знаков. Это
противоречие доказывает, что /(ш) ф\. □
Замечания
Приведенные выше доказательства были инспирированы книгой
[Rei32, 2.8-2.9]. Имеются альтернативные доказательства, в которых
используется действие группы PSL2(Z) на верхней полуплоскости
Пуанкаре (см. [Ser70, § VII.1]) или методы алгебраической it-теории
(см. [МИ71, §10]).

Расслоения и гомотопические
последовательности
В этом приложении мы напоминаем некоторые понятия из теории
расслоений, нужные в основном тексте книги. За более подробными
сведениями мы отсылаем читателя, например, к книге [ФР84, гл. 5].
Непрерывное отображение р:Е-*В называется локально
тривиальным расслоением со слоем F, если для каждой точки из В
существует ее окрестность U с В вместе с гомеоморфизмом U х F —> р~г(и),
композиция которого с отображением р равна проекции на первый
множитель U х F -+U. Ясно, что в этом случае слой F гомеоморфен
прообразу р~1(Ъ) при любом выборе be. В. Пространства Е иВ
называются соответственно тотальным пространством и базой
расслоения р. Отображение / топологического пространства X в Е
называется поднятием отображения /: X —> В, если р о / = /.
Положим I = [0,1]. Говорят, что отображение р: Е —> В
обладает свойством поднятия гомотопии относительно топологического
пространства X, если для произвольных отображений /: X —> Е и
g: X х I —> В, удовлетворяющих условию g(x, 0) = р(/(х)) для всех
х € X, существует такое поднятие
g:XxI-*E
отображения g, что g(x, 0) = f{x) для всех х € X.
Более общим образом, говорят, что отображение р: Е —> В
обладает свойством поднятия гомотопии относительно пары
топологических пространств (X, А с X), если для произвольных отображений
/: X —> Е, g: X х I —> £ и любого поднятия h: А х I —> Е отображения
gUx/, удовлетворяющего равенствам g(x, 0) = р(/(х)) для всех х € X
и h(x, 0) = f{x) для всех х € А, существует такое поднятие
g:XxI-*E
отображения g, что g(x, 0) = /(х) для всех х € X и gUx/ = ft.

392
Приложение Б
Отображение р: Е —> В называется расслоением в смысле Серра,
если оно обладает свойством поднятия гомотопии относительно всех
кубов 1п, п = О,1,... Например, все локально тривиальные
расслоения являются расслоениями в смысле Серра. Известно, что всякое
расслоение в смысле Серра обладает свойством поднятия гомотопии
относительно любой пары (полиэдр, подполиэдр).
Основное свойство расслоения в смысле Серра р: Е —> В — это
существование точной последовательности, в которую входят
гомотопические группы тотального пространства, базы и слоя расслоения р.
Точнее, выберем какую-нибудь точку е € Е, положим Ъ = р(е) € В,
и пусть F — р~1(Ъ) с Е — слой расслоения р над точкой Ь. Тогда
имеется бесконечная (в левую сторону) последовательность
...^7i2(F,e)^7r2(E,e)^7r2(B,b)^7T1(F,e)^
—> ttiCE, е) —> Tii(В, Ь) —> 7i0(F, е) —> п0(Е, е) —> тг0(В, Ь),
в которой морфизмы i# и р# индуцированы вложением i: Fс-^ Е и
проекцией р: Е —> В соответственно. Члены этой последовательности
являются группами за исключением трех последних членов, каковые
являются множествами с отмеченным элементом, представляющим
отмеченную точку в пространстве. Морфизмы этой
последовательности являются гомоморфизмами за исключением трех самых правых
стрелок, которые являются отображениями множеств с
отмеченными элементами. Эта последовательность называется гомотопической
последовательностью расслоения р. Она точна в том смысле, что
образ каждого морфизма равен ядру следующего морфизма (для трех
самых правых стрелок под ядром мы понимаем прообраз отмеченного
элемента).
Граничный гомоморфизм д: тгп(В, Ь) —> 7in_i(F, е) определяется
следующим образом. Представим любой элемент а € тгп(В, Ь)
некоторым отображением а: 1п —> В, для которого a(dln) = Ъ. По свойству
поднятия гомотопии для расслоения р относительно пары (Jn-1, д/п-1)
для отображения а существует такое поднятие а: In = In~l xI-+E, что
aO^xllfi^aidl^xO^e.
Ограничение поднятия 2 на 1п~1 х {0} =1п~1 дает отображение 1п~1 —>Е,
переводящее 1п~1 в р~1[Ъ) = F, a dln~l в е. Это отображение
представляет d(a) € 7in_i(F, е).

Врртажеше;В •
Алгебры Бирман — Мураками —
Венцля
Здесь мы кратко обсудим одно семейство конечномерных алгебр,
являющихся факторалгебрами групповых алгебр для групп кос. Это
семейство называется алгебрами Бирман — Мураками — Венцля по
имени впервые определивших его Дж. Мураками, Дж. Бирман и Г. Венцля.
Мы также обрисуем интерпретацию представления Лоуренс — Крам-
мера — Бигелоу из § 3.5 в терминах представлений этих алгебр.
Мураками в работе [Mur87] и независимо Бирман и Венцль в
работе [BW89] определили двухпараметрическое семейство
конечномерных С-алгебр , ,ч
Cn(a,Z),
где а и I —такие ненулевые комплексные числа, что а4 Ф 1 и I4 ф 1.
Для i = 1,..., п — 1 положим
По определению алгебра Сп(а,1) есть факторалгебра групповой
алгебры С[В„] по соотношениям
е{ст{ = Г1еи eiGi-^i = lei} е{и~1\е{ = '"^i,
где t = 1,..., п — 1 в первом соотношении и i = 2,..., п — 1 в последних
двух соотношениях. Заметим, что первоначальное определение в
статье [BW89] содержит больше соотношений; более короткий список,
воспроизведенный выше, см. в статье [Wen90]. Алгебра Сп(а, I)
называется алгеброй Бирман — Мураками — Венцля (или, кратко,
БМВ-алгеброй). Она допускает геометрическую интерпретацию в терминах
так называемых скейн-классов Кауфмана для плетений в евклидовом
трехмерном пространстве. Это семейство алгебр является
деформацией алгебры, определенной Р.Брауэром; см. [Вга37].

394
Приложение В
Алгебраическая структура и представления алгебр Сп(а, I) были
изучены Венцлем (см. [Wen90]), который доказал следующие три факта.
1. Для общих а и I алгебра Сп(а, I) полупростая. Здесь слово «общие»
означает, что а не является корнем из единицы и V--TI не
является целой степенью числа — ^Г~\а. (Последние два числа
соответствуют г и q в обозначениях Венцля.) В последующем мы будем
считать, что а и I общие в этом смысле.
2. Простые конечномерные Сп (а, I)-модули индексируются
разбиениями Я неотрицательных целых чисел т, для которых т < п
и т = п (mod 2). Простой Сп(а, I)-модуль, соответствующий
разбиению Я, будет обозначаться через Упд. Взяв композицию
естественного гомоморфизма С[ВП] —> Сп(а,1) с действием алгебры
Сп(а, I) на модуле Упд, мы получаем неприводимое представление
Bn^Aut(Vn,A).
3. Естественное вложение Bn-i c-^ Вп индуцирует вложение
C„-i(a,Z)<-*C„(a,Z)
для всех п > 2. Кроме того, Cn(a,/)-модуль УП)я, где Я Ч т,
разлагается как Cn_i (a, 0-модуль в прямую сумму 0М Уп-1,м, где /х
пробегает все разбиения, диаграммы которых получаются из
диаграммы разбиения Я вычеркиванием или (при т<п)
добавлением одной клетки. Каждое такое разбиение ц встречается в этом
разложении с кратностью 1.
Утверждения 2 и 3 позволяют нам нарисовать диаграмму Браттели
для последовательности
Ci(a,Z)cC2(a,Z)c...
На этажах этой диаграммы с номерами п = 1,2,... мы поместим все
разбиения Я Ч т, для которых m < п и m = и (mod 2). Затем каждое
разбиение Я на п-м этаже мы соединим ребром с каждым разбиением
на (и — 1)-м этаже, диаграмма которого получается из диаграммы
разбиения Я вычеркиванием или (при т<п) добавлением одной клетки.
Например, первый этаж состоит из разбиения (1), соответствующего
тавтологическому одномерному представлению алгебры Ci(a, I) = С.
На втором этаже находятся три разбиения: (2), (1,1) и 0 — пустое
разбиение нуля. Все эти три разбиения соединены с единственным
разбиением на первом этаже. Каждое разбиение Я числа т>0
встречается на этажах с номерами т, т + 2, т + 4,...

Алгебры Бирман — Мураками — Венцля
395
Как и в случае алгебр Ивахори — Гекке, диаграмма Браттели
БМВ-алгебр дает полезный метод вычисления размерности модуля
Упя, где Я— разбиение на и-м этаже. Из утверждения 3 ясно, что
dim Упд равно числу путей в диаграмме Браттели, ведущих из
единственного разбиения на первом этаже в разбиение Я. Здесь под
путем мы понимаем путь, вершины которого лежат на
последовательно возрастающих этажах. Проиллюстрируем этот способ вычисления
на нескольких примерах.
1. Обозначим через /х[и] = (1,..., 1) разбиение числа п, диаграмма
которого состоит из одного столбца с п клетками. Пусть /х'[п] = (и) —
сопряженное к /х[п] разбиение числа п, диаграмма которого состоит
из одной строки с п клетками. Имеется только один путь от
единственного разбиения на первом этаже к разбиению /х[п], расположенному
на п-м этаже. Следовательно,
сНтУП)М[п] = 1
для всех п > 1. Аналогично
dimVnjM/[fl] = 1.
Для п > 3 алгебра Сп(а, I) имеет два одномерных представления.
В обоих все ei действуют нулевым образом, а все <Ji действуют как
умножение на одно и то же число, равное либо а, либо а"1. Мы
так выберем соответствие между неприводимыми Сп(а, /)-модулями
и разбиениями, чтобы все <Ji действовали на модуле Уп,м[п] как
умножение на а и на модуле Vn,^[n] как умножение на а-1.
2. Для п > 2 обозначим через Х[п] = (2,1,..., 1) разбиение
числа п, диаграмма которого имеет два столбца с п—1 клетками в первом
столбце и одну клетку во втором столбце. Для п> 3 разбиение Х[п\,
расположенное на п-м этаже, соединено только с двумя разбиениями
на (п — 1)-м этаже, а именно с Я[и — 1] и {л[п — 1]. Следовательно,
dim УП)я[п] = dim Vn-i^fn-i] +dimVrn„ijM[n_i] = dim V„-i,A[n-i] + 1-
Имеем Я [2] = /x/[2], поэтому dim V2,A[2] = 1. Значит, dim Vn,x[n] —n — 1
для всех п > 2.
3. Для п > 3 рассмотрим разбиение ц [п—2], расположенное на п-м
этаже. Оно соединено с тремя разбиениями на (п —1)-м этаже, а
именно с ц[п — 1], 1л[п — 3] и Я[п —1]. Следовательно,
dim V„,jLi[n-2] = dim Vn-i,M[n-i] + dim V„-i, м[п-з] + dim Vn-i,A[n-i] =
= 1 + dim Vn-i,M[n-3] + n - 2 = dim Уп-1,м[п-з] + n -1.

396
Приложение В
Мы полагаем по определению /х[0] = 0 и выводим из утверждения 3,
что
dim УП)М[0] = dim VijM[i] = 1.
Поэтому для всех п > 2 имеет место равенство
л\™ и п[п-1)
Из этого следует, что размерность модуля Уп,д[п-2] совпадает с
рангом представления Лоуренс — Краммера — Бигелоу группы кос Вп над
Zfq*1, t*1]. Это наводит на мысль, что оба эти представления могут
быть связаны друг с другом. Для того чтобы описать эту связь, мы
перемасштабируем представление Вп —> Aut(Vn^[n-2]), разделив
действие каждого <Ji на а.
Теорема В. 1 (Дзинно). Представление Лоуренс — Краммера —
Бигелоу, вычисленное при q = —а~2 и t = аЧ~1, изоморфно
перемасштабированному представлению Вп —> Aut(VrnM[n_2]).
Из этой теоремы следует, что представление Лоуренс —
Краммера— Бигелоу неприводимо и что после подстановки q = —a~2,
t = a?l~l € С оно пропускается через проекцию Вп —> Сп(а, I).

Щмс^рйеГГ:;-'
Самодистрибутивные слева
множества
Мы дадим здесь краткое введение в так называемые
самодистрибутивные слева множества, тесно связанные с группами кос.
§ Г.1. Самодистрибутивные слева множества,
автоморфные множества и квандлы
Самодистрибутивным слева множеством (или LD-множеством)
называется пара (X, *), состоящая из множества X и бинарной
операции *:Хх1->Х, удовлетворяющей тождеству
а * (Ь * с) = (а*Ъ) * (а * с) (Г.1)
для любых а,Ь,с € X. Морфизмом /: (X,*) —> (X', *)
самодистрибутивных слева множеств называется такое отображение множеств
/: X —> X', что для всех а,Ъ е.Х выполняется равенство
Да*Ь)=/(а)*/(Ь).
Понятие самодистрибутивного слева множества очень
естественно: для любого элемента а множества X, снабженного какой-нибудь
бинарной операцией *: X х X —> X, рассмотрим левое умножение
La: X —> X, определенное по формуле La(b) = а * Ъ для всех Ь € X.
Равенство (Г.1) можно переформулировать в виде
La(b*c) =La(b)*La(c).
Таким образом, самодистрибутивное слева множество есть
множество, снабженное бинарной операцией, которая сохраняется всеми
левыми умножениями. Термин «самодистрибутивное слева» появился
в результате того факта, что бинарная операция, удовлетворяющая
тождеству (Г.1), дистрибутивна слева относительно самой себя.

398
Приложение Г
Дистрибутивное слева множество {X, *) называется автоморф-
ным множеством8, если левое умножение Ъ^а*Ъ биективно для всех
а € X. Автоморфное множество, удовлетворяющее тождеству а^а — а
для всех а € X, называется квандлом9.
Примеры ГЛ. 1. Формула a*b = b определяет
самодистрибутивную слева операцию на любом множестве. Тем самым оно становится
квандлом.
2. Для любого моноида Ъ € М и любого фиксированного элемента
е € М положим а*Ъ — Ъе, а,Ъ € М. Тогда пара (М, *) будет
самодистрибутивным слева множеством. Оно тогда и только тогда является
автоморфным множеством, когда для элемента е в моноиде Ъ € М
существует обратный слева к нему элемент. Оно тогда и только тогда
является квандлом, когда Ъе — Ъ для всех Ъ е М.
3. Для любой группы G положим а*Ъ = аЪа~1 для а,Ъ е G. Пара
(G, *) является квандлом.
4. Пусть R — кольцо nt ER. Для любых а,Ъ еК положим
a*b = (l-t)a + tb. (Г.2)
Это самодистрибутивная слева операция. Пара (R, *) тогда и только
тогда является автоморфным множеством (в действительности
квандлом), когда элемент t обратим в кольце R.
§ Г.2. Действие моноида положительных кос
Здесь мы свяжем самодистрибутивные слева множества с
моноидами положительных кос В+, которые были определены в § 6.5. Для
любого самодистрибутивного слева множества {X, *) и любого
целого числа п > 2 рассмотрим произведение п экземпляров множества
X: Хп = X х X х ... х X. Для i = 1,..., п — 1 положим
CTiiai,..., a„) = (ab ..., щ-i, щ *ai+i,щ,ai+2,...,a„), (Г.З)
где ai,..., crn_i — стандартные образующие моноида положительных
косВп и ai,...,an gX.
Лемма Г.2. Формула (Г.З) наделяет множество Хп левым
действием моноида положительных кос В„. Это действие тогда и только
8 Англ. термин — rack, перевод следует предложению Брискорна (см. замечания
к этому приложению). —Прим. перев.
9 Англ. термин — quandle. —Прим. перев.

§ Г.2. Действие моноида положительных кос
399
тогда продолжается до некоторого левого действия группы кос Вп,
когда пара (X, *) является автоморфным множеством.
Под левым действием моноида В+ на Хп мы понимаем такое
отображение , „
что 1Л = А и Р(Р'А) = {&Р')А для всех А е Хп и /3, /3' е В+.
Дадим геометрическое описание этого действия. Представим косу
/3 €£+ некоторой диаграммой косы @ из и нитей и только
положительными перекрестками. Раскрасим и нижних концевых точек
диаграммы @ слева направо в цвета аь • • •, ап ^ X. Продолжим эту
раскраску вверх по нитям диаграммы @, руководствуясь тем правилом, что
цвета остаются неизменными до тех пор, пока
fli*Q2 Qi аз
мы не дойдем до перекрестка. В перекрестке
цвет а нити, проходящей сверху, остается
неизменным, тогда как цвет Ъ нити, проходящей
снизу, меняется на а * Ь. Набор (Ьь ...,Ь„)еХп
цветов верхних концевых точек диаграммы 9)
удовлетворяет равенству а\ fl2 аз
(Ьь ..., Ъп) = /3(аь ..., ап). Рис. ГЛ. Правило
^, ~ о о „ - раскрашивания косы
Случаи и = 3 и р = <7i см. на рис. ГЛ.
Доказательство. 1. Для доказательства того, что формула (Г.З)
наделяет произведение Хп левым действием моноида
положительных кос В+, достаточно проверить, что для всех А = (аь ..., ап) € Хп
выполняются равенства
(Ji{<JjA) = Gj{GiA)
для тех i, j e {1,..., п — 1}, для которых \i — j\ > 2, и
(Ji{Gi+i{(JiA)) = cr£+1(cr£(crl4.1A))
для всех i е {1,..., п — 2}. Первое равенство тривиально. Для
доказательства второго равенства сначала вычислим
Oi{Pi+\i°iA)) =
= (аь ..., (Ц-1, (а( * ai+i) * (а; * ai+2), щ * а;+ь щ, ai+3,..., а„),
а потом
cri+i(<Ji(<Ji+iA)) = (аь ..., ai_i, а* * (а;+1 *а;+2), а; *а;+ъ щ, ai+3,..., ап).
Ввиду тождества (Г.1) оба выражения равны.

400
Приложение Г
2. Действие моноида положительных кос В„ на Хп тогда и только
тогда продолжается до некоторого левого действия группы кос Вп,
когда для всех i = 1,..., п — 1 отображения Л •-> сг-Л биективны. Из
определений ясно, что это условие эквивалентно биективности всех левых
умножений Ь •-> а*Ъ. □
§ Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные
слева множества
Пусть даны самодистрибутивное слева множество (X, *) и
элементы а, с € X. Будем писать а < с, если а*Ъ = с для некоторого Ъ € X.
Например, если X — автоморфное множество, то а-< с для всех а,сеХ.
Определим на любом самодистрибутивном слева множестве X
бинарное отношение <, полагая а^Ъ, если а — Ъ или существуют такие
элементы ао, аь ..., аг еХ, что а = а0 -< а\ <... -< аг = Ъ. Будем говорить,
что самодистрибутивное слева множество X упорядочиваемо, если
отношение < является порядком на X. В этом случае отношение ^
называется каноническим порядком на X. Например, автоморфное
множество (X, *) тогда и только тогда упорядочиваемо, когда
множество X состоит только из одного элемента. Это наводит на мысль,
что упорядочиваемые самодистрибутивные слева множества сильно
отличаются от автоморфных множеств.
Приведем три примера упорядочиваемых самодистрибутивных
слева множеств. В п. 7.4.1 мы рассматривали свободную группу Foo
со счетным множеством образующих {хь х2, х3,...}. В обозначениях
этого пункта определим бинарную операцию * на группе
автоморфизмов Aut(Foo) по формуле
у * \\) = у о Г(я/0 о 5^ о Г((/?-1) (Г.4)
для любых у, я/j €Aut(Foo). Читатель может проверить, что эта формула
действительно определяет самодистрибутивную слева операцию и что
самодистрибутивное слева множество (Aut(Foo),*) упорядочиваемо
(см. упражнение Г.3.4).
Второй пример упорядочиваемого самодистрибутивного слева
множества доставляет группа бесконечных кос Boo (см. п. 7.3.5),
наделенная бинарной операцией
/3*13'= (3 shGBOo-i sht/T1), (Г.5)
где /3,13' € Boo и sh — сдвиг, определенный в п. 7.4.2. Гомоморфизм
групп Boo —> Aut(Foo), являющийся прямым пределом инъективных

§ Г.З. Упорядочиваемые самодистрибутивные слева множества 401
гомоморфизмов Вп —> Aut(Fn), определенных в п. 1.5.1, представляет
собой морфизм самодистрибутивных слева множеств. Это
наблюдение можно использовать для проверки того, что операция (Г.5) са-
модистрибутивна слева и что самодистрибутивное слева множество
(Boo, *) упорядочиваемо (см. упражнение Г.З.5).
Третий пример упорядочиваемого самодистрибутивного слева
множества доставляет свободное самодистрибутивное слева множество
с одной образующей. Это самодистрибутивное слева множество
характеризуется следующим универсальным свойством.
Предложение Г.З. Существует такое самодистрибутивное слева
множество (D, *) с отмеченным элементом х € D, что для
произвольного самодистрибутивного слева множества (X, *) и любого элемента
аеХ существует единственный морфизм самодистрибутивных слева
множеств /: D —>Х, для которого /(х) = а. Такое самодистрибутивное
слева множество (D, *) единственно с точностью до изоморфизма.
Доказательство. Следуя Бурбаки, определим понятие магмы как
множества, наделенного бинарной операцией *. Рассмотрим
свободную магму Mag с одной образующей х (подробности см. в книге [Вои70,
Chap. I, Sect. 7]10). Любой ее элемент можно представить в виде
положительной степени образующей х, снабженной полным набором
скобок, например х, х * х, (х * х) * х, х * (х * х), ((х * х) * х) * х,
(х * (х * х)) * х, х * ((х * х) * х), х * (х * (х * х)), (х * х) * (х * х),...
Бинарная операция * на множестве Mag для слов W\ и w-i
определяется по формуле [w{] * (шг).
Обозначим через ~ наименьшее отношение эквивалентности на
магме Mag, удовлетворяющее условиям t\ * [ti * £3) ~ (fi * ^2) * (ti * ^з)
и t\ * ti ~ t[ * t*2, если t\ ~ t[ и ti ~ t'2. Далее, обозначим через D
множество классов эквивалентности ~ на магме Mag. Тогда по
определению отношения эквивалентности ~ бинарная операция * на Mag
индуцирует на множестве D некоторую самодистрибутивную слева
операцию, которую мы также будем обозначать через *.
Для любого самодистрибутивного слева множества (X, *) и
любого выделенного элемента а € X определим отображение /': Mag —> X
по индукции, полагая /'(*) = а и
/,(tl*t2)=/,(tl)*/,(t2)
Русский перевод этой книги выполнен с более раннего издания, в котором понятие
магмы отсутствует.—Прим. перев.

402
Приложение Г
для всех ti, ti € Mag. Так как множество X самодистрибутивно слева,
отображение /' индуцирует некоторый морфизм
самодистрибутивных слева множеств /: D —> X, для которого /(х) = а. Легко показать,
что такой морфизм / единствен.
Единственность самодистрибутивного слева множества D с
точностью до изоморфизма следует из его универсального свойства. □
Теорема Г.4. Самодистрибутивное слева множество (D, *)
упорядочиваемо, и его канонический порядок линейный.
Доказательство см. в статье [Deh94] или в книге [DehOO, Chap. V].
Упражнение Г.3.1. Пусть Ех—множество ненулевых векторов
в евклидовом векторном пространстве. Для а,Ъ €Ех определим а*Ъ
как отражение вектора Ь относительно гиперплоскости,
ортогональной к вектору а. Докажите, что (Ех, *) — автоморфное множество.
Упражнение Г.3.2. а) Пусть Fs — свободная группа с множеством
образующих S. Наделим произведение Xs=Fs><S бинарной операцией
Ol, Si) * (W2, S2) = O1S1W"1, 52),
где wi, w<i € Fs и 5i, 52 € S. Докажите, что (Xs, *) — автоморфное
множество.
б) Докажите, что всякое автоморфное множество X является
фактором автоморфного множества Xs, где S—любое порождающее
множество автоморфного множества X.
Упражнение Г.3.3. Пусть A=Z[t, t-1] — кольцо лорановых
полиномов с целочисленными коэффициентами. Это автоморфное множество
относительно бинарной операции, определенной по формуле (Г.2).
Докажите, что соответствующее действие группы кос Вп на Лп линейное
и изоморфно представлению Бурау из § 3.1.
Упражнение Г.3.4. Докажите, что пара (Aut(Foo),*), где
операция * определена по формуле (Г.4), является упорядочиваемым
самодистрибутивным слева множеством. (Указание: используйте
множество Е из п. 7.4.1.)
Упражнение Г.З.5. Докажите, что пара (Aut(Boo), *), где
операция * определена по формуле (Г.5), является упорядочиваемым
самодистрибутивным слева множеством.
Упражнение Г.З.6. Докажите, что существует биекция между
свободной магмой Mag, определенной в доказательстве предложения Г.З,

Замечания
403
и множеством планарных бинарных деревьев с корнями. Покажите,
что число элементов магмы Mag, в которые образующая х входит п
раз, равно числу Каталана I n J/(и + 1).
Замечания
Идею использовать автоморфные множества для слов и для
построения представлений групп кос можно найти, например, в статьях
Джойса [Joy82], С.В.Матвеева [Мат82] и Брискорна [Bri88] (термин
«автоморфные множества» принадлежит Брискорну; см. историческое
изложение теории автоморфных множеств в статье [FR92]). Джойс
и Матвеев сопоставили каждому узлу некоторый квандл,
определяющий этот узел с точностью до изотопии и зеркального отражения.
Поэтому уже немалое время автоморфные множества и квандлы
привычны для топологов.
С другой стороны, упорядочиваемые самодистрибутивные слева
множества, особенно те из них, канонические порядки которых
линейны, изучаются совсем недавно, в основном в теории множеств.
Причина этого в том, что впервые упорядочиваемые
самодистрибутивные слева множества были замечены в теории больших
кардиналов и их первая конструкция опиралась на аксиому большого
кардинала. Чтобы избежать использования этой аксиомы, Деорнуа изучал
свободное самодистрибутивное слева множество D из § Г.З. Больше
подробных сведений о притоке идей из теории множеств в группы кос
можно найти в работах [Lav92], [DehOO, Chap. XII]. Отметим, что Лей-
вер (см. [Lav92]) доказал, что всякое упорядочиваемое
самодистрибутивное слева множество, порожденное одним элементом, изоморфно
свободному самодистрибутивному слева множеству D.
Теорема Г.4 принадлежит Деорнуа; см. [Deh94]. Упражнение Г.3.1
взято из статьи [Bri88], а упражнения Г.3.2-Г.3.5 — из книги [DehOO].

Литература
[Ale23a] Alexander J. W. A lemma on systems of knotted curves // Proc. Nat.
Acad. Sci. 1923. V.9, №3. P. 93-95.
[Ale23b] Alexander J. W. Deformations of an га-cell // Proc. Nat. Acad. Sci.
1923. V. 9, № 12. P. 406-407.
[Ale28] Alexander J. W. Topological invariants of knots and links // Trans.
AMS. 1928. V. 30, № 2. P. 275-306.
[A1102] Allcock D. Braid pictures for Artin groups // Trans. AMS. 2002. V. 354,
№9. P. 3455-3474.
[AAG99] Anshel I.,Anshel M., Goldfeld D. An algebraic method for public-key
cryptography // Math. Res. Lett. 1999. V.6, №3-4. P. 287-291.
[Art25] Artin E. Theorie der Zopfe // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1925.
V.4, № LP. 47-72.
[Art48a] Artin E. Theory of braids // Ann. of Math. (2). 1947. V. 48, № 1.
P. 101-126.
[Art48b] Artin E. Braids and permutations // Ann. of Math. (2). 1947. V. 48,
№3. P. 643-649.
[Bau63] Baumslag G. Automorphism groups of residually finite groups // J.
London Math. Soc. 1963. V.38, №1. P. 117-118.
[Bax72] Baxter R. J. Partition function for the eight-vertex lattice model //
Ann. Physics. 1972. V.70, №1. P. 193-228.
[Bax82] Baxter R. J. Exactly solved models in statistical mechanics. London:
Academic Press, 1982. (Рус. перев.: Бэкстер Р. Точно решаемые
модели в статистической механике. М.: Мир, 1985.)
[BF04] Bellingeri P., Funar L. Polynomial invariants of links satisfying cubic
skein relations // Asian J. Math. 2004. V.8, №3. P. 475-509.
[Ben83] Bennequin D. Entrelacements et equations de Pfaff // Third Schnep-
fenried geometry conference. V. 1 (Schnepfenried, 1982). Paris: Soc.
Math. France, 1983. (Asterisque; V. 107-108). P. 87-161.
[Ben98] Benson D. J. Representations and cohomology. I: Basic
representation theory of finite groups and associative algebras. Second
edition. Cambridge: Cambridge University Press, 1998. (Cambridge
Stud. Adv. Math.; V. 30).

Литература
405
[BDM02] Bessis D., Digne F., Michel J. Springer theory in braid groups and the
Birman —Ко —Lee monoid // Pacific J. Math. 2002. V. 205, №2.
P. 287-309.
[Big99] Bigelow S. The Burau representation is not faithful for n = 5 //
Geom. Topol. 1999. V.3. P. 397-404 (electronic).
[BigOl] Bigelow S. Braid groups are linear // J. AMS. 2001. V. 14, № 2.
P. 471-486.
[Big02] Bigelow S. Representations of braid groups // Proceedings of the
International Congress of Mathematicians. V. II (Beijing, 2002).
Beijing: Higher Ed. Press, 2002. P. 37-45,
[Big03] Bigelow S. The Lawrence — Krammer representation // Topology and
geometry of manifolds (Athens, GA, 2001). Providence, RI: AMS,
2003. (Proc. Sympos. Pure Math.; V.71). P. 51-68.
[Bir69a] Birman J. S. Mapping class groups and their relationship to braid
groups // Comm. Pure Appl. Math. 1969. V. 22, № 2. P. 213-238.
[Bir69b] Birman J. S. Automorphisms of the fundamental group of a closed,
orientable 2-manifold // Proc. AMS. 1969. V.21, №2. P. 351-354.
[Bir74] Birman J. S. Braids, links, and mapping class groups. Princeton, NJ:
Princeton University Press, 1974. (Ann. of Math. Studies; V.82).
[BB05] Birman J. S., Brendle Т. E. Braids: a survey // Handbook of knot
theory. Amsterdam: Elsevier B.V., 2005. P. 19-103.
[BKL98] Birman J., Ко К. Я., Lee S. J. A new approach to the word and the
conjugacy problem in the braid groups // Adv. Math. 1998. V. 139,
№2. P. 322-353.
[BW89] Birman J. S., Wenzl H. Braids, link polynomials and a new
algebra // Trans. AMS. 1989. V. 313, №1. P. 249-273.
[Bou58] Bourbaki N. Algebre. Paris: Hermann, 1958. Chapitre VIII. (Рус. пе-
рев.: Бурбаки H. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука,
1966. Гл. VIII, с. 119-325.)
[Bou68] Bourbaki N. Groupes et algebres de Lie. Paris: Hermann, 1968. (Рус.
перев. глав IV-VI: Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Группы Ко-
кстера и системы Титса, группы, порожденные отражениями
системы корней. М.: Мир, 1972.)
[Bou70] Bourbaki N. Algebre. Paris: Hermann, 1970. Chapitres I—III. (Рус.
перев. более раннего издания: Бурбаки Н. Алгебра.
Алгебраические структуры, линейная и полилинейная алгебра. М.: Физмат-
лит, 1962.)
[BRW05] Boyer S., Rolf sen D., Wiest B. Orderable 3-manifold groups // Ann.
Inst. Fourier (Grenoble). 2005. V.55, №1. P. 243-288.

406
Литература
[Bra37] Brauer R. On algebras which are connected with the semisimple
continuous groups // Ann. of Math. (2). 1937. V. 38, №4. P. 857-872.
[Bri71] Brieskorn E. Die Fundamentalgruppe des Raumes des regularen
Orbits einer endlichen komplexen Spiegelungsgruppe // Invent. Math.
1971. V. 12, №1. P. 57-61.
[Bri73] Brieskorn E. Sur les groupes de tresses [d'apres Arnold] // Seminaire
Bourbaki (1971/1972), Exp. No. 401. Berlin: Springer-Verlag, 1973.
(Lecture Notes in Math.; V. 317). P. 21-44. (Рус. перев.: Брискорн Э.
О группах кос (по В. И. Арнольду) //Математика. Сб. переводов.
1974. Т. 18, вып.З. С. 46-59.)
[Bri88] Brieskorn E. Automorphic sets and braids and singularities // Braids
(Joan S. Birman, Anatoly Libgober, eds.). Providence, RI: AMS, 1988.
(Contemp. Math.; V.78). P. 45-115.
[BS72] Brieskorn £., Saito K. Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen // Invent.
Math. 1972. V. 17, №4. P. 245-271.
[Bud05] Budney R. D. On the image of the Lawrence — Krammer
representation // J. Knot Theory Ramifications. 2005. V. 14, №6. P. 773-789.
[Bur33] Burau W. Uber Zopfinvarianten // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.
1933. V. 9, № LP. 117-124.
[Bur35] Burau W. Uber Zopfgruppen und gleichsinnig verdrillte Verkettun-
gen // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg. 1935. V. 11, №1. P. 179-186.
[Bur97] Burckel S. The wellordering on positive braids // J. Pure Appl.
Algebra. 1997. V. 120, № 1. P. 1-17.
[BZ85] Burde G., Zieschang H. Knots. Berlin: Walter de Gruyter, 1985.
(De Gruyter Studies in Math.; V.5).
[CP94] Chari V., Pressley A. A guide to quantum groups. Cambridge:
Cambridge University Press, 1994.
[Cho48] Chow W.-L. On the algebraical braid group // Ann. of Math. (2).
1948. V.49, №3. P. 654-658.
[CS96] De Concini C, Salvetti M. Cohomology of Artin groups // Math. Res.
Lett. 1996. V. 3, № 2. P. 296-297.
[Con70] Conway J. H. An enumeration of knots and links, and some of their
algebraic properties // Computational Problems in Abstract Algebra
(Proc. Conf, Oxford, 1967). Oxford: Pergamon Press, 1970. P. 329-358.
[CR62] Curtis C. W., Reiner I. Representation theory of finite groups and
associative algebras. New York — London: Interscience Pubishers,
John Wiley & Sons, 1962. (Pure and Appl. Math.; V.XI). (Рус. перев.:
Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и
ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969.)

Литература
407
[Deh94] Dehornoy P. Braid groups and left distributive operations // Trans.
AMS. 1994. V.345, №1. P. 115-150.
[Deh97] Dehornoy P. A fast method for comparing braids // Adv. Math. 1997.
V.125, №2. P. 200-235.
[DehOO] Dehornoy P. Braids and self-distributivity. Basel — Boston: Birkhau-
ser, 2000. (Progress in Math.; V.192).
[Deh02] Dehornoy P. Groupes de Garside // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4).
2002. V. 35, № 2. P. 267-306.
[DDRW02] Dehornoy P., Dynnikov /., Rolf sen D., Wiest B. Why are braid groups
orderable? Paris: Soc. Math. France, 2002. (Panoramas et Syntheses;
V.14).
[DDRW08] Dehornoy P., Dynnikov I., Rolf sen D., Wiest B. Ordering braids.
Providence, RI: AMS, 2008. (Math. Surveys and Monographs; V.148).
[DP99] Dehornoy P., Paris L. Gaussian groups and Garside groups, two
generalisations of Artin groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1999.
V.79, №3. P. 569-604.
[Del72] Deligne P. Les immeubles des groupes de tresses generalises //
Invent. Math. 1972. V. 17, №4. P. 273-302.
[D J86] Dipper R., James G. Representations of Hecke algebras of general
linear groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1986. V. 52, №1. P. 20-52.
[DJ87] Dipper R., James G. Blocks and idempotents of Hecke algebras of
general linear groups // Proc. London Math. Soc. (3). 1987. V. 54,
№ LP. 57-82.
[Dra97] Drdpal A. Finite left distributive algebras with one generator // J.
Pure Appl. Algebra. 1997. V. 121, №3. P. 233-251.
[Eps66] Epstein D. B. A. Curves on 2-manifolds and isotopies // Acta Math.
1966. V. 115, № LP. 83-107.
[ECHLPT92] Epstein D. B. A., Cannon J. W., Holt D. F., Levy S. V. F., Paterson M. S.,
Thurston W. P. Word processing in groups. Boston, MA: Jones and
Bartlett Publishers, 1992.
[ES98] EtingofP, Schiffinann O. Lectures on quantum groups. Boston, MA:
International Press, 1998. (Lectures in Math. Phys.).
[FV62] Fadell £., Van Buskirk J. The braid groups of E2 and S2 // Duke
Math. J. 1962. V. 29, № 2. P. 243-257.
[FaN62] Fadell E., Neuwirth L. Configuration spaces // Math. Scand. 1962.
V. 10. P. 111-118.
[FGRRW99] Fenn Д., Greene M. Г., Rolf sen D., Rourke C, Wiest B. Ordering the
braid groups // Pacific J. Math. 1999. V.191, №1. P. 49-74.
[FR92] Fenn R., Rourke C. Racks and links in codimension two // J. Knot
Theory Ramifications. 1992. V. 1, №4. P. 343-406.

408
Литература
[For96] Formanek E. Braid group representations of low degree // Proc.
London Math. Soc. (3). 1996. V.73, №2. P. 279-322.
[FLSV03] Formanek £., Lee W., Sysoeva /., Vazirani M. The irreducible complex
representations of the braid group on n strings of degree < n //
J. Algebra Appl. 2003. V. 2, № 3. P. 317-333.
[FoN62] Fox R., Neuwirth L. The braid groups // Math. Scand. 1962. V. 10.
P. 119-126.
[FRT54] Frame J. S., Robinson G. de В., Thrall R. M. The hook graphs of the
symmetric groups // Canadian J. Math. 1954. V. 6. P. 316-324.
[FYHLM085] Freyd P. J., Yetter D. N., Hoste J., Lickorish W. B. R., Millett K., Ocnea-
nu A. A new polynomial invariant of knots and links // Bull. AMS.
(N. S.). 1985. V. 12, №2. P. 239-246.
[Fr636] Frohlich W. Uber ein spezielles Transformationsproblem bei einer
besonderen Klasse von Zopfen // Monatsh. Math. Phys. 1936. V. 44,
№ LP. 225-237.
[Ful97] Fulton W. Young tableaux. With applications to representation
theory and geometry. Cambridge: Cambridge University Press, 1997.
(London Math. Soc. Student Texts; V.35). (Рус. перев.: Фултон У.
Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений и
геометрии. М.: МЦНМО, 2006.)
[FH91] Fulton W., Harris J. Representation theory. A first course. New York:
Springer-Verlag, 1991. (Graduate Texts in Math.; V.129).
[Fun95] Funar L. On the quotients of cubic Hecke algebras // Comm. Math.
Phys. 1995. V. 173, №3. P. 513-558.
[FunOl] Funk J. The Hurwitz action and braid group orderings // Theory
Appl. Categ. 2001/02. V.9, №7. P. 121-150 (electronic).
[Gar69] Garside F. A. The braid group and other groups // Quart. J. Math.
Oxford Ser. (2). 1969. V. 20, №1. P. 235-254.
[Gas62] Gassner B. J. On braid groups // Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg.
1962. V. 25, № 1-2. P. 10-22.
[Gec98] Geek M. Representations of Hecke algebras at roots of unity // Semi-
naire Bourbaki (1997/98), Exp. No. 836. Paris: Soc. Math. France,
1998. (Asterisque; V.252). P. 33-55.
[GP00] Geek M., Pfeijfer G. Characters of finite Coxeter groups and Iwahori —
Hecke algebras. Oxford: Clarendon Press, 2000. (London Math. Soc.
Monographs (N.S.);V. 21).
[GhyOl] Ghys E. Groups acting on the circle // Enseign. Math. (2). 2001.
V.47, №3-4. P. 329-407.
[Gol93] Goldschmidt D. M. Group characters, symmetric functions, and the
Hecke algebras. Providence, RI: AMS, 1993. (Univ. Lect. Series; V.4).

Литература
409
[Gon02] Gonzdlez-Meneses J. Ordering pure braid groups on compact,
connected surfaces // Pacific J. Math. 2002. V. 203, №2. P. 369-378.
[Gon03] Gonzdlez-Meneses J. The nth root of a braid is unique up to conju-
gacy // Algebr. Geom. Topol. 2003. V.3. P. 1103-1118 (electronic).
[GHJ89] Goodman F. M., de la Harpe P., Jones V. F. R. Coxeter graphs and
towers of algebras. New York: Springer-Verlag, 1989. (MSRI Publ.;
V.14).
[Han89] Hansen V. L. Braids and coverings: selected topics. With appendices
by Lars Gaede and Hugh R. Morton. Cambridge: Cambridge Univ.
Press, 1989. (London Math. Soc. Student Texts; V.18).
[HKW86] De la Harpe P., Kervaire M., Weber C. On the Jones polynomial //
Enseign. Math. 1986. V.32, №3-4. P. 271-335.
[Hig52] Higman G. Ordering by divisibility in abstract algebras // Proc.
London Math. Soc. (3). 1952. V.2, №1. P. 326-336.
[Hoe74] Hoefsmit P. N. Representations of Hecke algebras of finite groups
with BN-pairs of classical type. Ph. D. thesis. University of British
Columbia, 1974.
[Hum90] Humphreys J. E. Reflection groups and Coxeter groups. Cambridge:
Cambridge University Press, 1990. (Cambridge Stud. Adv. Math.;
V.29).
[Hur91] Hurwitz A. Uber Riemann'sche Flachen mit gegebenen Verzweigung-
spunkten // Math. Ann. 1891. V. 39, № 1. P. 1-61.
[Iva88] Ivanov N. V. Automorphisms of Teichmtiller modular groups //
Topology and geometry — Rohlin Seminar. Berlin: Springer, 1988.
(Lecture Notes in Math.; V. 1346). P. 199-270.
[Iva92] Ivanov N. V. Subgroups of Teichmtiller modular groups / Translated
from the Russian by E. J. F. Primrose and revised by the author.
Providence, RI: AMS, 1992. (Trans. Math. Monographs; V.115).
[Iva02] Ivanov N V. Mapping class groups // Handbook of geometric
topology. Amsterdam: North-Holland, 2002. P. 523-633.
[Iwa64] Iwahori N. On the structure of a Hecke ring of a Chevalley group
over a finite field // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. 1.1964. V. 10, № 2.
P. 215-236.
[Jam78] James G. D. The representation theory of the symmetric groups.
Berlin: Springer-Verlag, 1978. (Lecture Notes in Math.; V.682).
[Jon83] Jones V. F. R. Index for subfactors // Invent. Math. 1983. V. 72, № 1.
P. 1-25.
[Jon84] Jones V. F. R. Groupes de tresses, algebres de Hecke et facteurs de
type IIj // С R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math. 1984. V. 298, № 20.
P. 505-508.

410
Литература
[Jon85] Jones V. F. R. A polynomial invariant for links via von Neumann
algebras // Bull. AMS. (N. S.). 1985. V. 12, №1. P. 103-111.
[Jon86] Jones V. F. R. Braid groups, Hecke algebras and type 11г factors //
Geometric methods in operator algebras (Kyoto, 1983). Harlow:
Longman Sci. Tech., 1986. (Pitman Res. Notes Math. Ser.; V.123).
P. 242-273.
[Jon87] Jones V. F. R. Hecke algebra representations of braid groups and link
polynomials // Ann. of Math. (2). 1987. V. 126, №2. P. 335-388.
[Jon89] Jones V. F. R. On knot invariants related to some statistical
mechanical models // Pacific J. Math. 1989. V.137, №2. P. 311-334.
[Joy82] Joyce D. A classifying invariant of knots, the knot quandle // J. Pure
Appl. Algebra. 1982. V.23, №1. P. 37-65.
[Kas95] Kassel C. Quantum groups. New York: Springer-Verlag, 1995.
(Graduate Texts in Math.; V. 155). (Рус. перев.: Касселъ К. Квантовые
группы. М.: ФАЗИС, 1999.)
[Kas02] Kassel С. L'ordre de Dehornoy sur les tresses // Seminaire Bourbaki
(1999/2000), Exp. No. 865. Paris: Soc. Math. France, 2002. (Asteris-
que;V.276).P.7-28.
[KR07] Kassel C, Reutenauer C. Sturmian morphisms, the braid group B4,
Christoffel words and bases of F2 // Ann. Mat. Рига Appl. (4). 2007.
V.186, №2. P. 317-339.
[KRT97] Kassel C, Rosso M., Turaev V. Quantum groups and knot
invariants. Paris: Soc. Math. France, 1997. (Panoramas et Syntheses; V. 5).
(Рус. перев.: Кассел К., Россо М., Тураев В. Квантовые группы и
инварианты узлов. М.: ИКИ, 2002.)
[Kau87] Kauffman L. H. State models and the Jones polynomial // Topology.
1987. V. 26, № 3. P. 395-407.
[Kau90] Kauffman L. H. An invariant of regular isotopy // Trans. AMS. 1990.
V.318, №2. P. 417-471.
[Kau91] Kauffman L. H. Knots and physics. River Edge, NJ: World Scientific
Publishing Co., Inc., 1991. (Series on Knots and Everything; V. 1).
[Kaw96] Kawauchi A. A survey of knot theory. Basel: Birkhauser Verlag, 1996.
[Kel55] Kelley J. L. General topology. Toronto — New York — London: D. Van
Nostrand Company, Inc., 1955. (Рус. перев.: КеллиДж. Общая
топология. М.: Наука, 1968; 2-е изд, М.: Наука, 1981.)
[KR03] Kim D. M., Rolf sen D. An ordering for groups of pure braids and
fibre-type hyperplane arrangements // Canad. J. Math. 2003. V. 55,
№4. P. 822-838.
[Knu73] Knuth D. E. The art of computer programming. V. 3: Sorting and
searching. Reading, Mass.: Addison-Wesley Publishing Co. — Lon-

Литература
411
don: Don Mills, Ont., 1973. (Рус. перев.: Кнут Д. Е. Искусство
программирования для ЭВМ. Т. 3: Сортировка и поиск. М.: Мир,
1978.)
[KLCHKPOO] Ко К. Я, Lee S. J., Cheon J. Я, Han J. W., Kang J.S., Park С New
public-key cryptosystem using braid groups // Advances in crypto-
logy — CRYPTO 2000 (Santa Barbara, CA). Berlin: Springer, 2000.
(Lecture Notes in Comput. Sci.; V.1880). P. 166-183.
[KraOO] Krammer D. The braid group B4 is linear // Invent. Math. 2000.
V.142, №3. P. 451-486.
[Kra02] Krammer D. Braid groups are linear // Ann. of Math. (2). 2002.
V.155, № LP. 131-156.
[Lan02] Lang S. Algebra. Revised third edition. New York: Springer-Verlag,
2002. (Graduate Texts in Math.; V. 211). (Рус. перев. первого англ.
издания 1965 г.: Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.)
[Lar94] Larue D. М. On braid words and irreflexivity // Algebra Universalis.
1994. V. 31, № LP. 104-112.
[Lav92] Laver R. The left distributive law and the freeness of an algebra of
elementary embeddings // Adv. Math. 1992. V. 91, № 2. P. 209-231.
[Lav95] Laver R. On the algebra of elementary embeddings of a rank into
itself // Adv. Math. 1995. V. 110, № 2. P. 334-346.
[Lav96] Laver R. Braid group actions on left distributive structures, and well
orderings in the braid groups // J. Pure Appl. Algebra. 1996. V. 108,
№ LP. 81-98.
[Law90] Lawrence R. J. Homological representations of the Hecke algebra //
Comm. Math. Phys. 1990. V.135, №L P. 141-191.
[Lic97] Lickorish W. B. R. An introduction to knot theory. New York: Springer-
Verlag, 1997. (Graduate Texts in Math.; V.175).
[Lin96] Lin V. Braids, permutations, polynomials — I. Preprint Max-Planck
Institut 118. Bonn, 1996.
[LP93] Long D. D., Paton M. The Burau representation is not faithful for
n>6// Topology. 1993. V.32, №2. P.439-447.
[Lus81] Lusztig G. On a theorem of Benson and Curtis // J. Algebra. 198L
V.71, №2. p. 490-498.
[Lus93] Lusztig G. Introduction to quantum groups. Boston, MA: Birkhauser
Boston, Inc., 1993. (Progress in Math.; V.110).
[LS77] Lyndon R. C, Schupp P. E. Combinatorial group theory. Berlin:
Springer-Verlag— New York: Heidelberg, 1977. (Ergebnisse der Mathematik
und ihrer Grenzgebiete; Bd.89). (Рус. перев.: Линдон Р., Шупп П.,
Комбинаторная теория групп. М.: Мир, 1980.)

412
Литература
[Mag72] Magnus W. Braids and Riemann surfaces // Comm. Pure Appl. Math.
1972. V. 25, № 2. P. 151-161.
[MKS66] Magnus W., Karrass A., Solitar D. Combinatorial group theory:
Presentation of groups by generators and relations // New York —
London — Sydney: Interscience Publishers, John Wiley and Sons, Inc.,
1966. (Рус. перев.: Магнус В., КаррасА., СолитэрД.
Комбинаторная теория групп. Представление групп в терминах образующих
и соотношений. М.: Наука, 1974.)
[МР69] Magnus W., Peluso A. On a theorem of V. I. Arnol'd // Comm. Pure
Appl. Math. 1969. V. 22, №5. P. 683-692.
[Maj95] Majid S. Foundations of quantum group theory. Cambridge:
Cambridge University Press, 1995.
[МагЗб] Markoff A. Uber die freie Aquivalenz der geschlossenen Zopfe //
Матем. сб. 1936. Т. 1, №43, вып. 1. С. 73-78.
[Mas98] Maschke H. Ueber den arithmetischen Charakter der Coefficienten
der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen // Math.
Ann. 1898. V.50, №4. P. 482-498.
[Mat99] Mathas A. Iwahori — Hecke algebras and Schur algebras of the
symmetric group. Providence, RI: AMS, 1999. (Univ. Lect. Series; V.15).
[Mat64] Matsumoto H. Generateurs et relations des groupes de Weyl
generalises // С R. Acad. Sci. Paris. 1964. V. 258. P. 3419-3422.
[Mic99] Michel J. A note on words in braid monoids // J. of Algebra. 1999.
V.215, № LP. 366-377.
[Mil71] Milnor J. Introduction to algebraic JC-theory. Princeton, N. J.:
Princeton University Press — Tokyo: University of Tokyo Press, 1971.
(Annals of Math. Studies; №72). (Рус. перев.: Милнор Дж. Введение
в алгебраическую JC-теорию. М.: Мир, 1974.)
[Моо91] Moody J. A. The Burau representation of the braid group Bn is
unfaithful for large n // Bull. AMS. (N. S.). 1991. V. 25, № 2. P. 379-384.
[Moo97] Moore E. H. Concerning the abstract group of order k\ and -k\
holohedrically isomorphic with the symmetric and the alternating
substitution-groups on k letters // Proc. London Math. Soc. (1). 1897.
V.28, № LP. 357-366.
[Mor78] Morton H. R. Infinitely many fibred knots having the same
Alexander polynomial // Topology. 1978. V.17, №1. P. 101-104.
[Mor86] Morton H. R. Threading knot diagrams // Math. Proc. Camb. Phil.
Soc. 1986. V. 99, № 2. P. 247-260.
[Mos95] Mosher L. Mapping class groups are automatic // Ann. of Math. (2).
1995. V. 142, № 2. P. 303-384.

Литература
413
[MR77] Botto Мига R., Rhemtulla A. Orderable groups. New York —Basel:
Marcel Dekker, Inc., 1977. (Lecture Notes in Pure Appl. Math.; V. 27).
[Mur87] Murakami J. The Kauffman polynomial of links and representation
theory // Osaka J. Math. 1987. V. 24, №4. P. 745-758.
[Mur96] Murasugi K. Knot theory and its applications / Translated from the
1993 Japanese original by Bohdan Kurpita. Boston, MA: Birkhauser
Boston, Inc., 1996.
[MK99] Murasugi K., Kurpita B. I. A study of braids. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers, 1999. (Mathematics and its Applications; V.484).
[Neu49] Neumann В. Н. On ordered division rings // Trans. AMS. 1949. V. 66,
№ LP. 202-252.
[Neu67] Neumann H. Varieties of groups. New York: Springer-Verlag New
York, Inc., 1967. (Рус перев.: Нейман X. Многообразия групп. М.:
Мир, 1969.)
[Nie27] Nielsen J. Untersuchungen zur Topologie der geschlossener zweisei-
tigen Flachen // Acta Math. 1927. V 50, № 1. P. 189-358. (English
translation by John Stillwell in Nielsen Jakob. Collected
mathematical papers. Boston — Basel — Stuttgart: Birkhauser, 1986.)
[PP02] Paoluzzi L., Paris L. A note on the Lawrence — Krammer — Bigelow
representation // Algebr. Geom. Topol. 2002. V. 2. P. 499-518.
[PR00] Paris L., Rolf sen D. Geometric subgroups of mapping class groups //
J. Reine Angew. Math. 2000. V.521. P. 47-83.
[Pas77] Passman D. S. The algebraic structure of group rings. New York —
London — Sydney: Wiley-Interscience, 1977. (Pure Appl. Math.).
[Per06] Perron B. A homotopic intersection theory on surfaces: applications
to mapping class group and braids // Enseign. Math. (2). 2006. V 52,
№1-2. P. 159-186.
[Pie82] Pierce R. S. Associative algebras. New York — Berlin: Springer-Verlag,
1982. (Graduate Texts in Math.; V 88). (Рус. перев.: Пирс Р.
Ассоциативные алгебры. М.: Мир, 1986.)
[РТ87] Przytycki J. Я., Traczyk P. Invariants of links of Conway type //
Kobe J. Math. 1987. V.4, №2. P. 115-139.
[Ram97] Ram A. Seminormal representations of Weyl groups and Iwahori —
Hecke algebras // Proc. London Math. Soc. (3). 1997. V 75, № 1.
P. 99-133.
[Rei32] Reidemeister K. Einfuhrung in die kombinatorische Topologie.
Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn, 1932.
[Rei83] Reidemeister K. Knot theory / Translated from the German by L.
Boron, С Christenson and B. Smith. Moscow — Idaho: BCS Associates,
1983.

414
Литература
[RT90] Reshetikhin N. Yu., Turaev V. G. Ribbon graphs and their invariants
derived from quantum groups // Comm. Math. Phys. 1990. V. 127,
№ LP. 1-26.
[Rol76] Rolf sen D. Knots and links. Berkeley, Calif.: Publish or Perish, Inc.,
1976. (Mathematics Lecture Series; V.7).
[RW00] Rourke C, Wiest B. Order automatic mapping class groups // Pacific
J. Math. 2000. V.194, №1. P. 209-227.
[RW01] Rolf sen D., Wiest B. Free group automorphisms, invariant order-
ings and topological applications // Algebr. Geom. Topol. 2001. V. 1.
P. 311-320 (electronic).
[Rud66] Rudin W. Real and complex analysis. New York — Toronto, Ont.—
London: McGraw-Hill Book Co., 1966.
[SagOl] Sagan В. E. The symmetric group. Representations,
combinatorial algorithms & symmetric functions. Second edition. New York:
Springer-Verlag, 2001. (Graduate Texts in Math.; V. 203). (First
published by Wadsworth & Brooks. Pacific Grove, CA: Cole Advanced
Books & Software, 1991.)
[Sal94] Salvetti M. The homotopy type of Artin groups // Math. Res. Lett.
1994. V.l, № 5. P. 565-577.
[Ser70] Serve J.-P. Cours d'arithmetique. Paris: Presses Univ. de France, 1970.
(Рус. перев.: Серр Ж.-П. Курс арифметики. М.: Мир, 1972.)
[Ser77] Serve J.-P. Arbres, amalgames, SL2. Paris: Soc. Math. France, 1977.
(Asterisque; №46). (Рус. перев.: Серр Ж.-П. Деревья, амальгамы
и SL2 // Математика. Сб. переводов. 1974. Т. 18, № 1. С. 3-51;
№2. С. 3-27.)
[Ser93] Sergiescu V. Graphes planaires et presentations des groupes de
tresses // Math. Z. 1993. V. 214, №3. P. 477-490.
[Shi59] Shimura G. Sur les integrales attachees aux formes automorphes //
J. Math. Soc. Japan. 1959. V.ll, №4. P. 291-311.
[SW00] Short H., Wiest B. Orderings of mapping class groups after
Thurston // Enseign. Math. (2). 2000. V.46, №3-4. P. 279-312.
[ShpOl] Shpilrain V. Representing braids by automorphisms // Internat. J.
Algebra Comput. 2001. V.ll, №6. P.773-777.
[Squ84] Squier С. С. The Burau representation is unitary // Proc. AMS. 1984.
V.90, №2. P. 199-202.
[Sta88] Stanley R. P. Differential posets // J. AMS. 1988. V. 1, № 2. P. 919-961.
[Sta99] Stanley R. P. Enumerative combinatorics. V. 2. Cambridge:
Cambridge University Press, 1999. (Cambridge Stud. Adv. Math.; V.62).
(Рус. перев.: Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. Де-

Литература 415
ревья, производящие функции и симметрические функции. М.:
Мир, 2009.)
[TL71] Temperley H. N. V., Lieb E. H. Relations between the "percolation"
and "colouring" problem and other graph-theoretical problems
associated with regular planar lattices: some exact results for the
"percolation" problem // Proc. Roy. Soc. London Ser. A. 1971. V. 322,
№1549. P. 251-280.
[Tiel4] Tietze H. Uber stetige Abbildungen einer Quadratflache auf sich
selbst // Rend. Circ. Math. Palermo. 1914. V.38, №1. P. 247-304.
[Tra79] Travaux de Thurston sur les surfaces // Seminaire Orsay. Paris: Soc.
Math. France, 1979. (Asterisque; V. 66-67).
[Tra98] Traczyk P. A new proof of Markov's braid theorem // Knot theory
(Warsaw, 1995). Warsaw: Polish Acad. Sci., 1998. (Banach Center
Publ.;V. 42). P. 409-419.
[TubOl] Tuba I. Low-dimensional unitary representations of B3 // Proc. AMS.
2001. V. 129, № 9. P. 2597-2606.
[TW01] Tuba /., Wenzl H. Representations of the braid group B3 and of
SL(2, Z) // Pacific J. Math. 2001. V. 197, № 2. P. 491-510.
[Tur88] Turaev V. G. The Yang — Baxter equation and invariants of links //
Invent. Math. 1988. V.92, №3. P. 527-553.
[Tur94] Turaev V. Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Berlin:
Walter de Gruyter, 1994. (De Gruyter Studies in Math.; V. 18).
[Tur02] Turaev V. Faithful linear representations of the braid groups //
Seminaire Bourbaki (1999/2000), Exp. No. 865. Paris: Soc. Math. France,
2002. (Asterisque; V.276). P. 389-409.
[Vog90] Vogel P. Representation of links by braids: a new algorithm //
Comment. Math. Helv. 1990. V.65, №1. P. 104-113.
[Wad92] Wada M. Group invariants of links // Topology. 1992. V. 31, № 2.
P. 399-406.
[Wen87] Wenzl H. On a sequence of projections // С R. Math. Rep. Can. J,
Math. 1987. V. 9, № LP.-9.
[Wen88] Wenzl H. Hecke algebras of type An and subfactors // Invent. Math.
1988. V. 92, № 2. P. 349-383.
[Wen90] Wenzl H. Quantum groups and subfactors of type B, C, and D //
Comm. Math. Phys. 1990. V.133, №2. P. 383-432.
[Wie99] Wiest B. Dehornoy's ordering of the braid groups extends the sub-
word ordering // Pacific J. Math. 1999. V. 191, №1. P. 183-188.
[Yam87] Yamada S. The minimal number of Seifert circles equals the braid
index of a link // Invent. Math. 1987. V. 89, № 2. P. 347-356.

416
Литература
[Yan67] Yang С. N. Some exact results for the many-body problem in one
dimension with repulsive delta-function interaction // Phys. Rev.
Lett. 1967. V.19, №23. P. 1312-1315.
[ZinOl] Zinno M. G. On Krammer's representation of the braid group //
Math. Ann. 2001. V.321, №1. P. 197-211.
[Арн70] Арнольд В. И. О некоторых топологических инвариантах
алгебраических функций // Тр. ММО. 1970. Т. 21. С. 27-46.
[Вай78] Вайнштейн Ф. В. Когомологии групп кос // Функц. анализ и его
прил. 1978. Т. 12, вып. 2. С. 72-73.
[Вер99] Вершинин В. В. Группы кос и пространства петель // УМН. 1999.
Т. 54, вып. 2(326). С. 3-84.
[ГЛ69] Горин Е.А., Лин В. Я. Алгебраические уравнения с
непрерывными коэффициентами и некоторые вопросы алгебраической
теории кос // Матем. сб. 1969. Т. 78(120), №4. С. 579-610.
[ДК94] Дрозд Ю. А., Кириченко В. В. Конечномерные алгебры. Киев:
Вища школа, 1980.
[Лин79] Лин В. Я. Косы Артина и связанные с ними группы и
пространства. М.: ВИНИТИ, 1979. (Итоги науки и техн. Сер. Алгебра.
Топол. Геом.; Т. 17). С. 159-227.
[Мал40] Мальцев А. Об изоморфном представлении бесконечных групп
матрицами // Матем. сб. 1940. Т. 8(50), №3. С. 405-422.
[Мал48] Мальцев А. И. О включении групповых алгебр в алгебры с
делением // ДАН СССР. 1948. Т. 60, №9. С. 1499-1501.
[МНОЗ] Малютин А. В., Нецветаев Н. Ю. Порядок Деорнуа на группе
кос и преобразования замкнутых кос // Алгебра и анализ. 2003.
Т. 15, вып. 3. С. 170-187.
[Мар45] Марков А. А. Основы алгебраической теории кос // Тр. МИАН.
1945. Т. 16.
[Мат82] Матвеев С. В. Дистрибутивные группоиды в теории узлов //
Матем. сб. 1982. Т. 119(161), №1(9). С. 78-88.
[СЧЯ93] Сидельников В. М., Черепнев М. А., Ященко В. В. Системы
открытого распределения ключей на основе некоммутативных
полугрупп // Доклады РАН. 1993. Т. 332, №5. С. 566-567.
[СмибЗ] Смирнов Д. М. К теории финитно аппроксимируемых групп //
Укр. матем. журнал. 1963. Т. 15, №4. С. 453-457.
[ФР84] Фукс Д. Б., Рохлин В. А. Начальный курс топологии:
геометрические главы. М.: Наука, 1977.

Предметный указатель
Д-движение 24
Ап 38, 101, 323, 355, 370
М-эквивалентность 96
PSL2(Z) 387
q -факториал 261
q-целое число 260
SL2(Z) 15, 147, 387
HOMFLY полином 223
HOMFLY-PT полином 223
Автогомеоморфизм 53
автоморфное множество 398
алгебра 223
— конечномерная 223
, радикал 232
, форма следа 232
— полупростая 234, 236, 238, 244, 288,
394
— простая 227
— путей 273
—, подалгебра 235
—, произведение 232
алгебраический коэффициент
пересечения 136, 166
Александера—Конвея полином 151,
223
— скейн-соотношение 152
Александера теорема 85
Александера—Титце теорема 54
арка 55
Артина—Титса группа 340
атом 298
Бирман—Мураками — Венцля
алгебра 393
биупорядочиваемая группа 346
Браттели диаграмма 255, 394
Брискорна теорема 339
Брюа разложение 218
буква 352
Бурау представление 127, 402
приведенное 145, 274
Веддербёрна теорема 228
Вейля алгебра 258
вектор размерности 239
вес 299
— канонический 300
высота диаграммы зацепления 88
Гарсайдов моноид 317
обширный 320
— элемент 312
Гекке кольцо 245
гипотеза о делителях нуля 346
гомоморфизм модулей 224
— моноидов 297
универсальный 311
гомотопическая последовательность
392
граф с метками 331
группа 296
— без кручения 36
— бесконечных кос 357, 400
— биупорядочиваемая 346
— классов отображений 54
— кос 12, 46, 328, 399
В3 14, 147, 387
многообразия 46
обобщенная 334, 340

418
Предметный указатель
группа кос сферического типа 340
, естественное вложение 14
, коммутант 15
, центр 38
— крашеных кос 33, 41, 339, 347
, забывающий гомоморфизм 34
, многообразия 41
, центр 38
— линейная 159
— модулярная 387
— остаточно конечная 37
— резидуально конечная 37
— свободная 13, 35, 45, 48, 348, 400
— симметрическая 13, 46, 196, 212,
245, 323, 332
— упорядочиваемая 342
— финитно аппроксимируемая 37
— хопфова 37
— частных 311
— чистых кос 33, 41
Двуугольник 165
делитель 297
— левый 297
— правый 297
Дена скручивание 139
Деорнуа порядок 354
дефектная область 89
Джонса—Венцля идемпотенты 293
Джонса—Конвея полином 223
Джонса полином 223
диаграмма 248
— Браттели 255, 394
— замкнутой косы 82, 88
линия 82
— зацепления 71
возрастающая 153
— косы 18, 399
изотопия 20
перекресток 19
, нить 18
, —, проходящая под 19
— разбиения 248
— Юнга 248
Дика слово 290
длина перестановки 200, 212
— слова 297
— элемента 332
дуга опорная 55
—, опирающаяся на край 164
—, — на проколы 55
Забывающий гомоморфизм 34
задание моноида 299
взвешенное 299
— — конечное 299
уравновешенное по длине 299
замыкание косы 84
зацепление 70
— геометрическое 69
ориентированное 73
упорядоченное 73
— полигональное 85
— торическое 84
— тривиальное 70
Зейферта окружности 88
несогласованные 88
согласованные 88
знак перестановки 197
Ивахори —Гекке алгебра 210, 218, 246,
282
идемпотент 242
изгибание 90
изотопия автогомеоморфизмов 54
— арок 169
— геометрических зацеплений 70
— диаграмм зацепления 72
— кос 17
— нормальная 63
— параметризующая 63
— простых замкнутых кривых 139
инверсия перестановки 201
индекс косового слова 353
Капланского гипотеза 346
Каталана число 280, 289, 295, 403
квандл 398

Предметный указатель
419
Коксетера группа 331
— матрица 331
кольцо с делением 226
компактно-открытая топология 60
компонента диаграммы зацепления 71
Конвея тройка 151, 221
конкатенация слов 352
конфигурационное пространство 41, 46,
156
корень тривиальной косы 47
коса 17, 31
— сг-отрицательная 353
— сг-положительная 353
— сг;-отрицательная 353
— сг;-положительная 353
— геометрическая 16
— замкнутая 76, 82, 83
— крашеная 33
— полигональная 23
общая 26
— положительная 323
приведенная 324, 332, 333
— призрачная 117
— тривиальная 18
— чистая 33
косовое слово 352
сг-отрицательное 353
сг-положительное 353
сг;-отрицательное 353
сг;-положительное 353
косовой автоморфизм 48
косовые соотношения 12, 30
коэффициент зацепления 75
— пересечения 136
кратное 297
— левое 297
— правое 297
критический префикс 376
Крулля — Шмидта теорема 227
Кэли 369
— граф 369
Лексикографический порядок 169, 342,
349
линейная группа 159
локально тривиальное расслоение 42,
391
Лоуренс—Краммера—Бигелоу
представление 156, 159, 396
Магма 401
Магнуса разложение 348
Маркова теорема 97
— функция 97, 221
марковское движение второе 96
первое 96
третье 101
Мацумото теорема 332
Машке теорема 234
многообразие замкнутое 69
— локально плоское 69
множество автоморфное 398
— вполне упорядоченное 356
модуль 223
— вполне приводимый 224
— полупростой 224
— простой 224
моноид 296
— атомный 298
— вложимый 312
— гарсайдов 317
— положительных кос 323, 398
обобщенный 334, 340
— предгарсайдов 312
— свободный 297, 347
— тривиальный 297
Наибольший общий делитель 320
наименьшее общее кратное 321
некоммутативный формальный
степенной ряд 347
нильпотентный идеал 233
— элемент 241
Нильсена —Тёрстона подход 383
нить диаграммы косы 18
, проходящая над 19
, — под 19
— косы 16

420
Предметный указатель
нормальная форма 307, 328, 330, 336
косы 35
нумерация таблицы 249
Область диаграммы зацепления 89
примыкающая 89
обобщенная группа кос 334, 340
обобщенный моноид положительных
кос 334, 340
образующая моноида 299
обратимый элемент 296
обширное множество 310
Окняну след 219
осевое расстояние 250
остаточно конечная группа 37
отображение изотонное 341
— монотонное 341
—, сохраняющее порядок 341
Оерекресток диаграммы зацепления
71
перестановка 196
—, соответствующая геометрической
косе 17
переход 19
подмодуль 224
подслово 352
полноторие 75
положительная коса 323
положительный конус 344
— элемент 344
полунормальное представление 262
полуокружность 289
полупростая алгебра 234
полускручивание 55, 137
порядок 341, 400
— биинвариантный 342
— левоинвариантный 342
— лексикографический 169, 342, 349
— линейный 341
— правоинвариантный 342
— частичный 298
предгарсайдов моноид 312
представление гомологическое 133
скрученное 134
— полунормальное 262
префикс 363
приведенная положительная коса 324,
335
приведенное выражение 200
— представление элемента 332
— слово 200, 279, 360
проблема делимости 300, 308
— сопряженности 308, 316, 328, 336,
339
— тождества слов 49, 300, 308, 339, 368
простая алгебра 227
— замкнутая кривая 139
противоположный путь 369
проход 19
путь в графе Кэли 369
, конечная вершина 369
, метка 369
, начальная вершина 369
Радикал алгебры 232
разбиение 247
— сопряженное 249
— транспонированное 249
раскрашивание косы 399
расслоение в смысле Серра 392
расчесанный вид косы 35
ребро диаграммы зацепления 89
редукционная дуга 89
редукция простых ручек 367
— ручки 366
резидуально конечная группа 37
Рейдемейстера движение 21, 72
косообразное 74
ориентированное 74
релятор моноида 299
ручка 364
— критическая 376
— простая 365
Самодистрибутивное слева множество
397
свободное 401

Предметный указатель
421
самодистрибутивное слева множество
упорядочиваемое 400
, канонический порядок 400
, морфизм 397
самый длинный элемент 209, 325, 333
свободная группа 13, 35, 45, 48, 348,
400
свободный моноид 297, 347
свойство поднятия гомотопии 391
— подслова 356
— сокращения 296
сглаживание диаграммы зацепления 88
сдвиг 363, 400
сжимание 90
симметрическая разность 201
скейн-соотношение 222
слово 297, 352
— приведенное 200, 279, 360
— пустое 352
соотношения в моноиде 299
сплетающий автоморфизм 48
суперизгибание 114
суперсжимание 115
суффикс 363
схема Юнга 248
Таблица 249
— стандартная 249
Темперли—Либа алгебра 278
тензорное произведение кос 98
теорема о замене 204
точный гомоморфизм 131
трансверсальные арки 136
транспозиция 197
— простая 13, 197, 212, 324
Угол разбиения 252
узел 70
— восьмерка 70, 87
— геометрический 70
— тривиальный 151, 221
— трилистник 14, 70, 87
упорядочиваемая группа 342
Ферре диаграмма 248
финитно аппроксимируемая группа 37
форма пересечения 133
— следа 232, 243
— таблицы 249
формула крюков 250, 260, 294
Хопфа зацепление 70, 84
хопфова группа 37
Центр группы 38
цилиндрическая окрестность 22
Число оборотов 135
полное 135
Шнур 164
Шура лемма 226
Эквивалентность представлений 142
Юнга диаграмма 248
— решетка 255
— схема 248

Кристиан Кассель
Владимир Георгиевич Тураев
Группы кос
Подписано в печать 05.08.2014 г. Формат 60x90Vi6- Бумага офсетная.
Печать офсетная. Печ. л. 26,5. Тираж 1000 экз. Заказ № 1516
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83.
Отпечатано с электронных носителей издательства. ОАО «Тверской
полиграфический комбинат». 170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5.
Телефон: (4822) 44-42-15, (495) 748-04-67. Телефон/факс: (4822) 55-42-15.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-72-85.
E-mail: biblio@mccme.ru, http://biblio.mccme.ru

К. Кассель, В. Г. Тураев
Группы кос

Вы держите в руках монографию,
посвященную увлекательному и актуальному
разделу математики - теории кос. Группы
кос замечательны тем# что сочетают
богатство чисто алгебраической структуры
и тесные связи с важными разделами
маломерной топологии, в частности, с
теорией узлов и зацеплений.
Авторы книги - активно работающие
математики, внесшие существенный вклад в
развитие излагаемой ими теории.
ISBN 978-5-4439-0245-6
9||785443"902456||>