П. 51 Великина
СБОРНИК ЗАДАЧ
п о
П. Я. Великина
СБОРНИК ЗАДАЧ
по
ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ 6-8 КЛАССОВ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАНИЕ 2-е,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО „ПРОСВЕЩЕНИЕ*
Москва 1971
513(07)
В27
1 м
7^
Великина П. Я.
В 27
Сборник задач по геометрии для 6—8 классов.
Пособие для учителей. Изд. 2, иереработ. и доп.
М., «Просвещение», 1971,
207 с. с илл.
6—5
79—70
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА
им. Горькего
МГУ
513 (07)
ПРЕДИСЛОВИЕ
В целях повышения эффективности учебного процесса
необходимо четко представлять закономерную логиче-
скую последовательность всех этапов обучения, чтобы
на каждом этапе использовать строго целенаправлен-
ные приемы активной познавательной деятельности уча-
щихся.
Приобретение знаний, умений и навыков.осуществля-
ется учащимися в процессе выполнения разнообразных
упражнений, при решении задач, поэтому подбор упраж-
нений в определенной системе с учетом их последователь-
ности и разнообразия есть одно из важных условий ко-
ренного улучшения качества знаний учащихся.
При составлении и подготовке сборника ко второму
изданию мы ставили перед собой цель не только трени-
ровать учащихся в усвоении программного материала, но
и развивать их сообразительность, находчивость, конст-
руктивные способности И" математическое мышление.
Мы такж-е имели в виду посредством задач познакомить
учащихся с идеями движения, соответствия и функцио-
нальной зависимости и тем самым несколько при-
близить школьный курс геометрии к современной гео-
метрии.
Каждая тема сборника содержит устные упражнения
и задачи, решение которых экономит время урока и раз-
вивает внимание учащихся.
Для развития логического мышления учащихся пред-
ложены задачи, в которых требуется найти необходимые
3
и достаточные условия того или иного факта: равенства,
подобия фигур и т. д. (см. задачи 103, 119, 154, 720, 1296
и др.), или задачи, в которых предлагается сформули-
ровать обратную теорему, составить задачу, обратную
данной (см. задачи 161, 200, 305, 876 и др.), задачи на
отыскание геометрических мест точек (см. задачи 360,
386, 438, 1239, 1262, 1336 и др.).
Главы I и II переработаны, в них увеличено количе-
ство задач. В соответствии с новой программой по мате-
матике в сборник включены новые главы и параграфы.
Дополнена глава X задачами, которые решаются с по-
мощью теорем синусов и косинусов; в главу VIII введен
параграф 3 с задачами по теме: «Свойство биссектрисы
угла треугольника». Включена новая глава (VII) по
теме «Повторение», также новыми задачами для повто-.
рения дополнена глава XIV.
. Значительно увеличено число задач к главе XIII на
применение геометрических преобразований. Такие за-
дачи имеются в других главах (см. задачи 1039, 1062,
1227, 1249, .1302, 1309, 1322—1332 и др.), которые по
усмотрению учителя могут быть использованы для клас-
сных занятий.
Задачи 541—557 будут способствовать развитию кон- .
структивных способностей, и их решение вызовет инте-
рес у учащихся.
В определенной системе даны задачи родственного
содержания (см. 317—319, 437, 443, 444, 733, 1117, 1276
и др.), решение таких задач способствует развитию ма-
тематического мышления.
Не оставлен без внимания и вопрос систематического
повторения, для чего включены задачи, к которым в от-
ветах даны несколько способов решения (см. 1062, 1118,
1239, 1282, 1294 и др.). Решение каждой задачи дает воз-
можность не только эффективно вести повторение, но
также способствует математическому развитию уча-
щихся.
Учителю необходимо познакомиться со всем задан-
ным материалом, и тогда станет ясно, как им пользо-
ваться.
Мы надеемся, что сборник окажет учителю некото-
рую-помощь в достиженйи цели, поставленной перед
школой: поднять уровень математического образования
учащихся.
4
Автор считает своим долгом выразить благодарность
профессору 3. А. Скопецу за внимательное отношение к
моей работе.
Выражаю признательность доценту Н. М. Бескину за
внимательный просмотр рукописи, а также учителю шко-
лы’№ 36 Е. И. Бершадю, заслуженному учителю школы
№ 32 Белянкину М.(П., учительнице школы № 71 Эльки-
ной Е. М., взявшим на себя труд по проверке пособия в
работе с классом.
Глава I
ПРЯМАЯ, ЛУЧ, ОТРЕЗОК, УГОЛ
§ 1.	Прямая, луч, отрезок
I.	Через точку провести несколько прямы:
2.	Из точки А провести несколько лучей.
3.	Чем отличаются друг от друга прямая линия, луч
и отрезок?
4.	Сколько можно провести через две точки: 1) пря-
мых линий; 2) лучей; 3) кривых линий?
5.	Как расположены две прямые, если две точки од-
ной из них совпадают с двумя точками другой?
6.	Отрезок а равен отрезку Ь, а отрезок Ь равен от-
резку с. Что можно сказать об отрезках: 1) с и с;
2) a+Z>; 3) & + с?
7.	Отрезки АВ и CD не имеют общих концов, и все
точки второго из них принадлежат первому. Чему равна
разность этих отрезков?
8.	Как записать условие того, что: 1) отрезок ВС в
три раза меньше отрезка АС; 2) отрезок АС в два раза
боль.пе отрезка ВС?
9.	Точки Л, В, С и D попарно соединены между со-
бой отрезками. Сколько при этом образовалось отрезков?
10.	От точки А отложены на одной прямой два отрез-
ка: ЛВ = 2,4; АС—6,8. Найти расстояние между середи-
нами этих отрезков. (Два случая.)
11.	На прямой от точки А в одном направлении отло-
жены два отрезка АВ н АС (АС>АВ). Какой отрезок
СЕ нужно отложить от точки С на прямой АВ, чтобы от«
резки АС и BE оказались равными?
6
а -Ь
।
С и D. Выразить от-
12.	Прямая разбивает
плоскость на две части, и—" 	'	1
Разбивается ли плоскость
на две части отрезком?
13.	По сумме S и раз-
ности d отрезков а и b
(черт. 1) построить эти от-
резки.
14.	Отрезки KL и КМ £
равны (черт. 2). При ка-
'ком условии отрезки ME
и FL будут: 1) равны;
2) FL>.ME', 3) FL<ME1
15.	Как расположены
точки A, N и В, если: 1)
4W=Btf и 4W + BW==4B;
2) AN—BN^AB? •
16.	На отрезке А В взяты
резок CD всеми возможными способами через остальные
образовавшиеся отрезки.
17.	На чертежах 3 и 4 отрезки АВ и CD равны. Найти
на чертежах еще пары равных отрезков.
18.	Даны отрезки ДВ= 10, ВС—5, принадлежащие
одной прямой. Как расположены точки А, В и С, если А С
меньше 15?
19.	Отрезок а разделен произвольной точкой на два
отрезка'. Чему равно расстояние между серединами этих
отрезков?
20.	Отрезок а разделен на три равные части. Какую
часть отрезка а составляет расстояние между серединами
первой и третьей частей?
21.	Отрезок, равный 36, разделен тремя произвольны-
ми точками на четыре части. Расстояние между середи-
нами крайних частей, равно 30. Определить расстояние
между серединами средних частей.
22.	Расстояния между тремя точками А, В а С, рас-
положенными на одной прямой, таковы: 1) 4В = 15;
СВ=7; ДС=8; 2)-4В=12, ВС=15, АС=3. Как распо-
ложены данные точки в каждом случае?
А О В С А ВС В
г"	1	... ——I	I""	I ....  I
Черт. 3.	. Черт. 4.
7
23.	Вдоль улицы длиной 813,6 м по прямой линии от
одного ее конца до другого через каждые 4,52 м требу-
ется произвести посадку деревьев. Сколько для этого
нужно вырыть ям?
24.	По данным отрезкам а и Ь построить отрезок
(2а—Ь).
25.	Отрезок разделен на части в отношении 1:2:3.
Расстояние между серединами первых двух полученных
частей равно 3. Определить длину данного отрезка.
26.	Из данной точки А провести луч, проходящий че-
рез данную точку В.
27.	Построить прямую, проходящую через данную
точку А и пересекающую прямую МР в данной на ней
точке В. При любом ли положении данных точек и дан-
ной прямой задача имеет решение?
28.	Привести примеры использования основных
свойств прямой на практике.
29.	Образуют ли три ребра, куба, исходящие из одной
вершины, ломаную линию?
30.	Показать на модели куба: 1) выпуклые; 2) невы-
пуклые; 3) выпуклые замкнутые; 4) выпуклые незамк-.
нутые ломаные линии.
31.	Практическая работа. Найти на геогра-
фической карте приближенно наименьшее расстояние:
1) между Ленинградом и Москвой; 2) от Москвы до сто-
лиц республик СССР, пользуясь масштабом карты.
32.	На отрезке АВ, равном 192 м, взята точка С так,
что-ЛС: СВ = 15 :17; на АС отложен отрезок CD, равный
2
-у ВС. Найти расстояние между серединами крайних
частей.
33.	Отрезок АВ делится точкой С в отношении 7:8, а
точкой D в отношении 13:17; расстояние между D И С
равно 3 м. Найти длину АВ.
. 34. На прямой отложены два равных отрезка АС и
СВ. На отрезке СВ взята точка D, которая делит его в
отношении 4:5. Найти отрезок между серединами отрез-
ков АС и DB, если CD=\2 м.
35.	Два равных отрезка АВ и CD покрывают друг
друга на у- своей длины. Найти длину отрезка AD, ес-
ли ВС = 5.
8
§ 2.	Углы смежные, вертикальные и развернутые
36.	Луч, произвольно проведенный из вершины пря-
мого угла, делит его на два угла. Доказать, что угод
между биссектрисами образовавшихся двух углов ра-
вен 45°.
37.	Углы АОВ и ВОС (черт. 5) равны.. Проведены
биссектрисы OD и ОЕ данных углов. Найти на чертеже
угол, равный данным. Сколько пар равных углов имеется
еще на чертеже?
38.	По чертежу 6 ответить на такие вопросы: 1) Сколь-
ко углов на чертеже? 2} 2$.ВАС— ^DAE; есть ли еще
равные углы на чертеже? 3) Выразить угол CAD всеми
возможными способами через остальные образовавшиеся
углы.
39.	Развернутый угол разделен на четыре равные ча-
сти. Чему равен угол между биссектрисой угла первой
части и биссектрисой угла четвертой части?
40.	Чему равен угол между биссектрисами смежных
углов?
41.	(Устно.) Угол больше смежного с ним в три раза.
Определить этот угол.	' ,
42.	Сумма данного угла и двух смежных с ним равна
330°. Чему равен данный угол?
43.	В вершине угла, равного 170°, восставлены перг
пендикуляры к его сторонам. Определить угол между
перпендикулярами.
44.	Построены биссектрисы смежных углов. Какими
были данные смежные углы, если на чертеже образова-
лись три прямых угла и четыре равных?.
45.	Чему равны углы между биссектрисами углов,
образованных от взаимного пересечения двух прямых?
9
46.	Внутри угла COD находится угол АОВ. Первый
«з данных углов равен 140°, второй —100°. Вычислить
угол между биссектрисами углов АОС и BOD, если луч
-ОВ лежит внутри угла AOD.
47.	Угол АОВ находится внутри угла COD. Доказать,
что биссектрисы углов СОА и BOD взаимно перпендику-
лярны, если сумма данных углов равна 180°.
5
48.	Один из смежных углов составляет -jy другого.
Определить углы.
49.	(Уртно.) Один из смежных углов на 50% больше
другого. Определить углы.
50.	(Устно.) Сумма двух углов равна 180®. Будут ли
эти углы смежными? Иллюстрировать ответ чертежом'.
51.	(Устно.) Сформулируйте теорему, обратную тео-
реме; «Вертикальные углы равны». Иллюстрировать от-
вет чертежом.
52.	На поверхности модели куба укажите равные
углы.
53.	Из вершины Л угла ВАС, равного 120°, проведены
биссектриса АО угла и луч AD, делящий угол ВАС
:в отношении 3:5. Определить угол DAO.
54.	Два угла с общей вершиной расположены о^ин
вне другого. Найти каждый из них, если стороны одного
перпендикулярны к сторонам другого и один в три раза
больше другого.
55.	Два равных тупых угла имеют общую сторону,
а две другие стороны взаимно перпендикулярны. Опреде-
лить тупой угол.
56.	Из точки О проведены лучи ОА, ОВ и ОС. Угол
между биссектрисами углов АОВ и СОВ равен 150°.
Определить угол СОА, если ОАД.ОВ. Выполнить чертеж.
57.	Даны два угла с общей вершиной. Стороны одно-
го угла перпендикулярны к сторонам другого. На'йти эти
углы, если разность между ними равна прямому углу.
58.	Дан угол АОВ, в котором проведена биссектриса
OF, Через вершину О проведена прямая DE. Найти ус-
ловие, при котором DE будет перпендикулярна OF.
59.	Из точки В отрезка МАЛ проведены два луча В А и
ВС. Угол АВС составляет угла АВМ и меньше его
на 42°. Найти углы ABM, ABC, NBC.
10
60.	(Устно.) ,Могут ли оба смежных угла быть остры-
ми, тупыми, прямыми?
61.	Вычислить смежные углы, если разность между
ними равна прямому углу, ч
62.	Определить смежные углы, если один из них со-
ставляет угла между их биссектрисами.
63.	Угол между биссектрисой одного из смежных уг-
лов и их общей стороной равен: 1) -у; 2) другого
смежного угла. Найти смежные углы.
64.	Доказать, что дополнительный угол, равный мень-
шему из двух смежных углов, равен полуразности смеж-
ных углов.
4
65.	Из вершины угла АОВ, равного — d, проведен
луч ОС, одинаково отклоненный от сторон этого угла.
Определить величину этого отклонения. (Два случая.)
66.	Сумма трех углов, из которых первый и третий
смежные, равна Найти эти углы.
67.	Углы АВС и CBD смежные. Угол АВС равен
2
-у d. Доказать, что угол, составленный биссектрисой
угла АВС и перпендикуляром, восстановленным из точ-
ки В к АВ, равен углу АВС.
68.	Разделить прямой угол на три равные части.
69.	Чем отличается развернутый угол от прямой ли-
нии?
70.	Две прямые а и Oi пересдаются в точке О. Мо-
жет ли сумма любых трех углов из четырех образовав-
шихся с общей верширой О быль:
1)' равна; 2) меньше; 3) больше 270°?
71.	Что служит биссектрисой развернутого угла?
72.	Из точки О проведены четыре луча: ОА, ОБ, ОС,
OD. Угол АОВ равен углу COD и угол ВОС равен углу
DOA. Доказать, что лучи ОА и ОС, а также ОВ и OD
образуют прямые линии.
73.	Можно ли построить вертикальный угол для угла,
который больше развернутого?
74.	Доказать, что: 1) биссектрисы двух вертикаль-
ных углов образуют прямую линию; 2) биссектрисы
двух углов с общими сторонами, общей вершиной и в
11
сумме составляющие полный угол, образуют прямую
линию.
75.	Даны два прилежащих угла АОВ и BOD, сумма
которых равна 250°, а их отношение равно 12:13. Про-
должение стороны АО делит угол BOD на два угла,
разность которых равна 20°. Найти все углы, получив-
шиеся на чертеже.
76.	(Устно.) Из точки О проведены в порядке их пе-
речисления лучи ОВ, ОС, ()D, ОЕ, которые образуют че-
тыре угла, отношение которых равно 1:2:3:4. Будут ли
лучи OD и ОЕ продолжениями лучей ОВ и ОС?
77.	Из вершины угла АВС внутри его проведен луч
BD. Угол ABD равен 25° и составляет угла CBD.
Чем будет служить луч BF, проведенный внутри угла
CBD, если BE перпендикулярен АВ.
78.	Из вершины угла АВС, равного 160°, проведены
два луча: ВО, делящий данный угол пополам, и BD, де-
лящий его в отношении 7:9. Доказать, что BD перпен-
дикулярен АВ, и найти угол DBO.
Глава //
ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1.	Треугольник и его элементы
79.	(Устно.) Верно ли утверждение: высота тре-
угольника меньше каждой его стороны?
80.	(Устно.) Верно ли утверждение: медиана — это
прямая линия, делящая сторону треугольника пополам?
81.	(Устно.) В каком треугольнике одна из его
главных линий совпадает с его стороной?
82.	(Устно.) В каком треугольнике его главные ли-
нии. проходящие через одну вершину, совпадают?
83.	(Устно.) Как расположены вершины равнобед-
ренных треугольников, построенных на общем основа-
нии?
84.	Практическая работа. Провести высоты в
прямоугольном и тупоугольном треугольниках.
85.	(Устно.) Чем отличается биссектриса треуголь-
ника от биссектрисы угла?
86.	(Устно.) В каком треугольнике все высоты схо-
дятся в одной вершине?
12
87.	(Устно). 1) Какие линии треугольника (биссектри-
са, медиана, высота) лежат всегда внутри треугольника?
2)	Какая линия треугольника может^ совпасть со
стороной его?
3)	Какая линия треугольника может лежать вне его?
4)	Сколько высот треугольника может лежать вне
его?
88.	Треугольник, периметр которого равен 24, делит-
ся высотой на два треугольника, периметры которых
равны 12 и 20. Найти высоту треугольника.
89.	-(Устно.) Треугольник, периметр которого равен
.22, делится медианой на два треугольника с периметра-
ми 12 и 16. Найти длину медианы.
90.	(Устно.) Могут ли -две стороны треугольника
быть перпендикулярными к третьей его стороне?
91.	(Устно.) Может ли внешний угол треугольника
при основании равнобедренного треугольника быть:
прямым, острым, тупым?
92.	Сколько тупых внешних углов может иметь тре-
угольник? Рассмотреть все возможные случаи.
93.	В треугольнике АВС найти такую точку, которая
одинаково удалена от его сторон АВ и ВС и одинаково
удалена от вершин А и С.
94.	Доказать, что если каждая из высот равносто-
роннего треугольика равна h, то проекция одной из них
й
на другую равна •
95.	Дан треугольник АВС (черт. 7). Доказать, что
<1 «2; <2<<£3.
96.	Доказать, что в вогнутом четырехугольнике
ABCD (черт. 8) <4=<1+<£24-<3.
97.	Медиана, проведенная к одной из боковых сторон
равнобедренного треугольника, делит его периметр на
две части: 15 и 9. Найти стороны равнобедренного тре-
угольника.
98.	Найти точку, .равноудаленную: 1) от всех вершин
треугольника; 2) от всех его сторон.
99.	Доказать, что если в треугольнике АВС <^.С= 120°,
то из отрезков: 1) а, с я а + Ь; 2) с, b и а + b можно
построить треугольник.
100.	В равнобедренной треугольнике АВС угол В ра-
вен 150°. Доказать, что его высоты, лежащие вне тре-
угольника, равны.
101.	В треугольнике АВС АВ = ВС—14. Перпендику-
ляр, проведенный к боковой стороне АВ через ее сере-
дину, пересекает основание АС в точке Е. Точка Е сое-
динена с вершиной В. Периметр треугольника ВЕС ра-
вен 40. Найти основание АС треугольника АВС.
§ 2.	Признаки равенства треугольников
102.	(Устно.) Назовите несколько признаков равен-
ства равнобедренных треугольников.
103.	. Два треугольника АВС и ABD построены на об-
щей стороне АВ. Какие основные элементы этих тре-
угольников должны быть соответственно равными, что-
бы треугольники были равны?
104.	На общей стороне АВ построены два треуголь-
ника АВС и ABD, у которых AC=BD и ВС-AD. Вер-
шины С и D этих треугольников соединены прямой.
Найти на чертеже пары равных треугольников для слу-
чая, когда точки 'С и D лежат по одну сторону от общей
стороны, й для случая, когда эти точки лежат по разные
стороны от прямой.
105.	Внутри равностороннего треугольника АВС взя-
та точка О, которая соединена со всеми его вершинами.
Найти на чертеже равные треугольники, если <^ОВС —
—<^ВС0.
106.	Каждая из сторон равностороннего треугольни-
ка АВС продолжена: АВ — за вершину В, ВС — за вер-
шину С, АС— за вершину А. На этих продолжениях
построены точки Вь Ct и At так, что BBi = CCl=AAi.
Выявить вид треугольника AtBtCi.
107.	На основании АВ равнобедренного треугольни-
ка АВС отложены равные отрезки AD и ВК. Точки D и
К соединены с вершиной С. Сколько треугольников об-
разовалось на чертеже? Сколько среди них пар равных?
Сколько равнобедренных?
14
108.	В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием АВ проведены медианы AD и BEL Периметр тре-
угольника АВС равен 110, а периметр треугольника
ACD на 10 больше периметра треугольника АВЕ. Опре-
делить стороны треугольника АВС.
109.	Построены серединные перпендикуляры равных
сторон равнобедренного треугольника. Доказать, что от-
резки этих перпендикуляров, заключенные внутри тре-
угольника, равны. Рассмотреть случаи, когда треуголь-
ник остроугольный, тупоугольный;, 'Прямоугольный.
119.	Доказать, что сумма расстояний каждой точки
основания равнобедренного треугольника от его боковых
сторон есть величина постоянная, равная высоте, прове-
денной на боковую сторону.
ill.	Доказать, что высоты (медианы), проведенные к
боковым сторонам равнобедренного? треугольника, рав-
ны. Рассмотреть отдельно? случаи, когда треугольник
остроугольный и тупоугольный.
112.	Доказать, что перпендикуляры^ проведенные к
сторонам угла на равных расстояниях от его вершины,
пересекаются на биссектрисе этого угла.
11&.	Доказать, что сумма расстояний произвольно
взятой точки внутри равностороннего треугольника до
его сторон есть величина постоянная (равная высоте
треугольника).
114.	На боковых сторонах равнобедренного треуголь-
ника АВС с основанием АВ отложены равные .отрезки
BD и АЕ. Доказать, что отрезки AD и BE равны.
115.	Две вершины треугольника находятся на рав-
ных расстояниях от прямой, проходящей через третью
его вершину. Доказать, что эта прямая делит противо-
положную сторону пополам или параллельна ей.
116.	Два равных отрезка точкой их пересечения де-
лятся пополам. Доказать, что расстояния концов одного
отрезка до прямой, содержащей второй отрезок, равны.
117.	В треугольниках АВС и AJiiC\ высоты CD и
C5£>i равны. Найти условия, при которых данные тре-
угольники равны.
118.	Доказать, что два треугольника равны, если две
стороны и медиана, проведенная к третьей стороне, од-
ного треугольника соответственно равны двум сторонам
'И медиане, проведенной к третьей стороне, другого тре-
угольника.
&
15
119.	Стороны АС и AiCt треугольников АВС и AiBiCi
равны; медиана CD равна медиане CiDi. Дополнить ус- i
ловие наименьшим числом равенств между соответству- |
ющими элементами, чтобы треугольники АВС и AiBiCi I
оказались равными. -	I-
120.	В треугольниках АВС и	AC=AlCi,
<C=<XCi и биссектриса CD равна биссектрисе CJ)i.
Доказать, что треугольники равны.
121.	Квадрат ABCD повернут на 45° вокруг' верши-
ны А (по часовой стрелке). Сторона CiDi повернутого
квадрата AB[C}Di пересекает сторону ВС в точке М.
Доказать, что AM есть биссектриса угла DiAB.
122.	Доказать, что если сторона и соответствующие
ей медиана и высота одного треугольника, равны соот-
ветствующим элементам второго треугольника, то эти
треугольники равны.
123.	Доказать, что треугольники равны, .если две сто-
роны, и высота, опущенная на третью сторону, одного тре-
угольника соответственно равны двум сторонам и высоте,
опущенной на третью сторону, другого треугольника.
124.	В равнобедренном треуюльнике проведены вы-
соты к боковым сторонам. Доказать, что прямая, сое-
диняющая точку их пересечения с вершиной треуголь-
ника, делит угол при вершине пополам.
125.	Доказать, что если две высоты треугольника
равны, то треугольник равнобедренный.
126.	Дано: BD1.AC, <1=<2, AK=DL, AO=DO
(черт. 9). Сколько пар равных треугольников изобра-
жено на чертеже?
127.	Дано: <1=<2 А В .LAD, DEA.BE, AB = DE
(черт. 10 ). Доказать: 1) Д4ВС=ДСД£; 2) соединить
Черт. 10.
16
точки А с Е, В с D и выявить вид треугольников АСЕ и
ADE; 3) доказать, что /\ABD = ^BED, /\ABE—£\ADE.
128.	Дано: АВЛ.ВЕ, BE±DE (черт. 11).
1)	Дополнить условие наименьшим числом ра-
венств между основными элементами треугольников,
чтобы эти треугольники стали
равными.
2)	Соединить точки А с Е,
В с D и выявить на чертеже
еще три пары равных треуголь-
ников.
129.	Дано: 1)	<1=<2,
DE=BC, AB—EF (черт. 12);
2) <1=<2, <4=<5; DE—A
=ВС\ 3) AB=EF, DE=BC,
AD = CF. Доказать, что во всех
трех случаях &ABD=&CEF.
130.	Дано:. 1)	<Х1=<2,
AD=BC (черт. 13); 2) <1 =
=<£2, DE=CE, AC=BD-
3) <1=<2, <3=<4, АС—
— BD. Доказать, что во всех
трех случаях ДАВЛ = ДСАВ.
131.	П р а кт и ч е с ка я ра-
бота. Сделать все необходи-
мые и достаточные измерения •
и установить, равны ли тре-
угольники (черт. 14).
Черт. 13.
Черт. 14.
2 Ц. Я- Великина
17
НАУЧНАЯ БИБЛИОТЕКА
им. Горького
MTV
132.	Практическая p-а б о т а. Измерить расстоя-
ние между двумя недоступными точками:
а)	пользуясь признаками равенства треугольников;
б)	пользуясь осевой симметрией.
133.	Построить треугольник по разности сторон а и
Ь, стороне с и углу В.
134.	Построить треугольник, если даны его периметр
и два угла а и 0.
135.	Построить треугольник по двум его сторонам и
разности углов, противолежащих им.
136.	Построить прямоугольный треугольник по кате-
ту и разности гипотенузы и второго катета.
137.	-Построить прямоугольный треугольник по сум-
ме катета и гипотенузы и острому углу.
138.	Построить треугольник, если даны два его угла
и разность двух его сторон, противолежащих данным
углам.
§ 3.	Зависимость между сторонами и углами
треугольника
139.	Дан треугольник АВС с тупым углом при вер-
шине С. Произвольная точка К. стороны АС соединена
с. вершиной В. Доказать, что ВК>ВС, ВК<АВ.
140.	В треугольнике АВС проведена высота CD и на
отрезке AD взята точка М, которая соединена с верши-
ной С. Доказать, что АС>МС.
141.	Какая из высот прямоугольного треугольника
наименьшая?
142.	Доказать, что если две стороны треугольника
не равны, то медиана, заключенная между ними, состав-
ляет с меньшей из этих сторон угол больший, чем с дру-
гой стороной.
,	143. Как расположены относительно друг друга вы-
сота, биссектриса и медиана в любом треугольнике, ис-
ходящие из одной вершины?
144.	Доказать, что если вершина С треугольника
АВС соединена с любой точкой D стороны АВ, то
ВС+АС-АВ ^Т) ВС+АС+АВ
2	2
145.	Доказать, что сумма медиан треугольника
3
меньше его периметра.
18
146.	Две стороны равнобедренного треугольника рав-
ны 1) 5 и 3; 2) 6 и 2. Чему равна третья сторона для
каждого случая?
147.	Углы треугольника относятся как 1:2:3. Могут
ли его стороны относиться как 1:2:3?
148.	Одна сторона треугольника равна 1,5, другая —
0,7. Определить третью сторону, зная, что она выражает-
ся целым числом.
§ 4.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
149.	Доказать, что два треугольника равны, если уг-
лы при основании и биссектриса угла при вершине одно-
го треугольника равны соответствующим элементам
другого треугольника.
150.	Построить треугольник по стороне, равной 4,2,
и проведенным к ней высоте и медиане, соответственно
равным 1,6 и 1,9.
2-й вариант
151.	Доказать, что два треугольника равны, если две
стороны и высота, опущенная на третью сторону, одного
треугольника равны соответствующим элементам Друго-
го треугольника.
152.	Дано: <1=<2, <А=<В1, АА^ВВ,. (черт. 15)
Доказать, что A4BC=AA15iCi.
3-й вариант
153. На высоте CD, опущенной на основание АВ рав-
нобедренного треугольника АВС, взята точка М, которая
О Or Черт. 15.	соединена с вершинами А и d. Доказать, что треугольники. АМС и ВМС равны. В X	О, С	А А,	В, Черт. 16.
2*
19
154. Дано: <C=<Ci=90°,
.	<£1 = <£2 (черт. 16). Найти необ-
/	ходимые и достаточные	условия
\/	равенства треугольников	АВС и
.д/С	।
\	4-й вариант	j
Л	155. В равнобедренном тре- !
угольнике АВС с тупым углом
Черт. 17.	при вершине С проведены вы-
•	соты к боковым сторонам, про-
должения которых пересекаются в точке F. Доказать, >
что эти высоты равны, а треугольник ABF равнобедрен-
ный.
156.	Доказать, что сумма высот любого треугольни-
ка меньше периметра этого треугольника.
-!
5-й вариант
157.	Дано: AB—AD, BC=DE (черт. 17). Доказать,
что ДЛСД = ДЛВ£.
158.	Построить треугольник по двум сторонам и вы-
соте; опущенной на третью сторону.
Г лава 111
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
$ 1, Параллельные прямые
159.	(Устно.) При каком положении секущей равны ।
все углы, образованные двумя параллельными прямыми
и этой секущей?
160.	Как расположены друг относительно друга бис-
сектрисы двух равных и двух неравных углов, образо-
ванных при пересечении двух параллельных прямых
третьей?
161.	Доказать, что биссектриса внешнего угла при
вершине равнобедренного треугольника параллельна его
основанию. Сформулировать и доказать обратную тео-
рему.
162.	Сторона АВ треугольника. ЛВС больше стороны
АС. От вершины Л на стороне АВ отложен отрезок ЛD,
равный CD. Доказать, что биссектриса угла CDB па-
раллельна или перпендикулярна стороне АС.
20
163.	Из точки А выходят три
луча. На одном из крайних лучей
взята точка К, через которую про-
ведена прямая, пересекающая
средний луй в точке М. Найти
условия, при которых отрезок
КМ будет параллелен второй
стороне угла, если известно, что
КМ=АК.
164.	Элементы четырехуголь-
ника ABCD связаны условиями:
1) <Л=<В, AD — BC; 2) AD =
=ВС, AC—BD. Доказать, что в
обоих 'случаях ЛВЦСД.
165.	Дано: AB\\CD, BE\\CF
(черт. 18). Найти условия, при ко-
торых треугольник АВЕ равен
треугольнику DCF.
166.	Через две точки, произ-
вольно взятые на основании рав-
нобедренного треугольника, про-
ведены прямые, соответственно
параллельные его боковым сторонам. Выяснить вид и ко-
личество треугольников, образовавшихся при этом на
чертеже.
167.	Две параллельные прямые пересечены третьей
прямой так, что один из образовавшихся углов равен
1 -g- d. Под какими углами его биссектриса пересекает
вторую параллель?	,
168.	Дано: 1) <SED = 70°, <£ЕДС=20°. Чему дол-
жен равняться угол АВС, чтобы прямая АВ была па-
раллельна прямой CD (черт. 19)? 2) Прямая АВ парал-
лельна прямой CD, •^.ABC=3Q°, <£CDE = 40°. Опреде-
лить угол BED.
169.	Угол ВАС равен 30°. Из точки D стороны АВ
опущен перпендикуляр DE на сторону АС; из точки Е
опущен перпендикуляр EF на сторону АВ, а из точки
F — перпендикуляр FM на. сторону АС. Определить FM,
если DE равен 10.
170.	Назвать инструменты школьной мастерской, на
которых можно иллюстрировать параллельные прямые.
21
§ 2.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
171.	Доказать, что биссектрисы двух накрест лежа-
щих углов, образующихся при пересечении двух парал-
лельных прямых третьей прямой, параллельны.
172.	Дано: <£АВЕ—38° (черт. 20). Чему'должен рав-
няться угол BCD, чтобы прямые АВ и CD были парал-
лельны.
2-й вариант
173.	Доказать, что биссектрисы соответственных уг-
лов, получающихся при пересечении двух параллельных
прямых третьей прямой, параллельны между собой.
174.	Через данную точку провести прямую, парал-
лельную данной прямой.
3-й вариант
175.	Через вершину С треугольника АВС проведена
прямая, параллельная биссектрисе угла А и пересека-
ющая продолжение стороны АВ в точке D. Доказать,
что AC=AD.
176.	В треугольнике АВС проведена биссектриса уг-
ла А, которая пересекает сторону ВС в точке D. Из точ-
ки D проведена прямая, пересекающая сторону АС в
точке Е так, что AE=DE. Доказать, что DE параллель-
на АВ.
§ 3.	Сумма углов треугольника и многоугольника
177.	(Устно.) Определить вид треугольника, в кото-
ром сумма двух углов: а) меньше третьего, б) равна
третьему, в) больше третьего.
178.	(Устно.) Сколько острых,
.z	прямых, тупых внешних углов
у*	может иметь треугольник?
jr	179. (Устно.) В равносторон-
-	& S_________нем' треугольнике проведены две
в	медианы. Чему равны утлы меж-
’ -	ду ними?
180.	(Устно.) Высота равно-
Черт. 20.	бедренного треугольника делит
22
его на два равнобедренных треугольника. Выявить вид
этого треугольника.
181.	(Устно.) В каком треугольнике каждый внешний
угол вдвое больше внутреннего: 1) смежного с ним;
2) не смежного с ним?
182.	(Устно.) Выявить вид равнобедреннего тре*
угольника, если угол при его основании в три раза мень-
ше смежного с ним угла.
' 183. (Устно.) Найти углы треугольника АВС, если
А + 8 = 103°, А— В=63°.
184.	(Устно.) Два угла треугольника * относятся как
2:3. Найти углы треугольника, если третий угол равен
35°.
185.	(Устно.) Может ли больший угол треугольника
быть меньше 60°?
186.	(Устно.) Может ли меньший угол треугольника
быть больше’ 60°?
187.	(Устной Может ли больший угол четырехуголь-
ника быть меньше 90°, а меньший угол — больше 90°? -
188.	В равнобедренном треугольнике сумма всех
внутренних углов с одним из его внешних углов равна
290°. Определить углы треугольника.	, *
189.	Биссектрисы двух внутренних углов треугольни-
ка пересекаются под углом 45°. Выявить вид треуголь-
ника..
190.	Два угла треугольника относятся как 3:7, а
третий угол на 20% меньше суммы двух первых углов.
Найти углы треугольника.
191.	Определить углы треугольника, если известно,
2	;; 1
что один угол треугольника составляет другого и —
третьего.
192.	Доказать, что углы между биссектрисами ост-
рых углов и биссектрисами внешних тупых углов прямо-
угольного треугольника равны или дополняют друг дру-
га до 180°.
193.	Угол при основании АВ равнобедренного тре-
угольника АВС равен 50°. Высоты треугольника пересе-
каются в точке О. Вычислить угол АОВ.
194.	Угол С при вершине равнобедренного треуголь-
ника АВС равен 70°. Проведена биссектриса угла А, ко-
торая пересекает • сторону ВС в точке D. Доказать, что
AD<AC.	-
23
195.	Биссектриса угла при основании равнобедрен- .
ного треугольника образует, с противолежащей стороной
угол в 75°. Определить углы треугольника.
196.	Угол при вершине равнобедренного треугольни-
ка составляет 25% угла при основании. Вычислить углы4
треугольника и угол между биссектрисами углов при
основании.
197.	Угол между высотами, проведенными к боковым
сторонам равнобедренного треугольника, равен 40°.
Найти углы треугольника. Рассмотреть два случая,
когда данный треугольник: а) остроугольный; б) тупо-
угольный.
е 198. Угол при вершине равнобедренного треугольни-
ка относится к углу при основании как 4:7. В каком от-
ношении делит высота, опущенная на боковую сторону,
угол при основании? ж	.
199.	Угол при вершине С равнобедренного треуголь-
ника АВС равен 120°. Проведены биссектриса АЕ и вы-
сота AD угла А. Выявить вид треугольника ADE.
200.	Угол С при вершине равнобедренного треуголь-
ника АВС относится к углу при основании как 1:2. Про-
ведена биссектриса угла при основании. Выявить вид
образовавшихся треугольников. Какие теоремы исполь-
зованы при решении этой задачи?
201.	Угол при основании АВ равнобедренного тре-
угольника АВС относится к углу при вершине как 1:4.
В вершине В восставлен перпендикуляр к стороне АВ,
который пересекает продолжение стороны АС в точке
D. Выявить вид треугольника BCD.
202.	Угол С при вершине равнобедренного треуголь-
ника АВС равен 80°. Боковая сторона ВС продолжена
за вершину на отр-езок CF, рдвный ВС. Доказать, что -
отрезок AF перпендикулярен АВ и ЛВ>ЛВ.
203.	В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием АВ проведена биссектриса угла А. Из ее основа-
ния D опущен перпендикуляр DE на сторону АВ. Опре-
делить угол ADC, если <£С+<£Л2)Е= 100°.
204.	В равнобедренном треугольнике АВС с основа-
нием АВ проведена биссектриса угла В. Из ее основа-
ния D опущен перпендикуляр DF на сторону АВ. Опре- ',
делить угол BDC, если <£C + <£ADF= 150°.
205.	Высоты AD и СЕ треугольникаАВС пересекают-
24
ся в точке М. Определить угол DME, если угол ВС А
5	1
равен -Q-d, угол ВАС равен -j- d.
206.	Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника
АВС продолжена в обе стороны так, что АЕ=АС, BD —
=ВС. Точки Е и D соединены с вершиной С. Доказать,
что <C£D+.<CD£, = 45°.
207.	Доказать, что в треугольнике, у которого раз-
ность углов при основании равна прямому углу, бис-
сектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине
равны.
208.	При вершине С треугольника АВС проведены
биссектрисы внутреннего и внешнего углов, причем пер-
вая биссектриса образует со стороной АВ угол CDF,
равный 60°. Доказать, что 2CD=FD, где F — точка пере-
сечения второй биссектрисы с продолжением стороны
АВ.
209.	Сумма внутренних углов треугольника с одним
из его внешних равна 230°. Определить углы треуголь-
ника, если известно, что разность углов треугольника;
не смежных с внешним, равна 10°.
210.	(Устно.) Угол А равен 60°. Из точки М, взятой'
внутри угла, опущены перпендикуляры на его сторо^
ны. Чему равен угол, образованный этими перпендикуляр
рами?	-  
211.	(Устно.) При каком числе сторон многоугольни-
ка суммы его внутренних и внешних углов равны?
212.	В выпуклом четырехугольнике ABCD <£А:<£В —
= 7:8, <£С=150°, а угол D меньше угла В на 20°. Опре?,
делить углы четырехугольника ABCD.	!
213.	Доказать, что отрезок прямой, соединяющий ос-
нования двух высот (медиан), проведенных к боковым,
сторонам равнобедренного треугольника, параллелен
его основанию.
§ 4.	Углы с соответственно параллельными
и перпендикулярными сторонами
214.	В прямоугольном треугольнике АВС проведена
высота CD из вершины прямого угла на гипотенузу.
Указать образовавшиеся равные углы.
215.	В остроугольном треугольнике проведены его
высоты. Указать три пары образовавшихся равных уг-
лов.
25;
216.	Через точку М, расположенную внутри угла,
проведены прямые, параллельные сторонам угла. Ука-
зать образовавшиеся равные углы.
217.	На основании свойств каких углов уровень и
отвес позволяют судить об отклонениях плоскости от
горизонтального и вертикального положений? Приведи-
те примеры, где пользуются этим свойством углов на
практике. С какой целью?
218.	Назовите прибор для измерения углов, устрой-
ство которого основано на свойстве углов с соответст-
венно перпендикулярными сторонами.
219.	Катеты АС и ВС прямоугольного треугольника
'АВС повернуты около каждой из вершин А и В на 90° в
противоположных направлениях и занимают положение
А А, и BBt (рассмотреть два случая). Доказать, что
сумма расстояний точек Ai и до гипотенузы равна
гипотенузе, а точки С и Bt лежат на одной прямой.'
220.	Доказать, что биссектрисы двух углов с соответ-
ственно параллельными сторонами параллельны, при-
надлежат одной прямой или взаимно перпендикулярны.
221.	Доказать, что биссектрисы двух углов с соответст-
венно перпендикулярными сторонами параллельны, при-
надлежат одной прямой или взаимно перпендикулярны.
222.	Даны два угла с соответственно перпендикуляр-
ными сторонами. Определить эти углы, если:
а)	один больше другого в три раза;
б)	один больше другого на 36°;
в)	один из них относится к другому как 7:11.
223.	Доказать, что три прямые, соответственно hep-
пендикулярные сторонам треугольника й не проходящие
через одну точку, образуют треугольник, равноугольный
с данным.
§ 5.	Примерные контрольные работы
1-й вариант	>
224.	Биссектриса угла В треугольника АВС пересе-
кает сторону АС в точке D под углом 100®. ^Определить
углы треугольника АВС, если ВО = ВС.
225.	Доказать, что если две стороны треугольника не
равны, то высота треугольника, выходящая из общей
вершины этих сторон, составляет с большей из них боль-
ший угол, чем с меньшей.
26
2-й вариант
226.	Острый угол прямоугольного треугольника ра-
вен 45°. Найти длину гипотенузы, если сумма ее длины
с длиной высоты, опущенной на гипотенузу, равна 10,5.
227.	В треугольнике АВС <£4=60°, <£0=50°. Под
каким углом пересекаются высоты АЕ и CD?
3-й вариант
228.	На основании АВ равнобедренного треугольника
АВС взяты произвольно точки М и N, через которые
проведены параллельные прямые к его сторонам АС и
ВС. Вычислить: 1) все образовавшиеся углы, если угол
при'вершине треугольника АВС равен 60°; 2) сколько
равнобедренных треугольников образовалось на чертеже?
229.	Построить два угла с перпендикулярными сто-
ронами, чтобы один был в три раза больше другого.
4-й вариант
230.	В равнобедренном треугольнике АВС с углом
при вершине С, равном 30°, проведена высота AD. До-
казать, что AC—2AD, и вычислить углы треугольника
ABD.
231.	Доказать, что сумма расстояний от внутренней
точки треугольника до его вершин больше половины его
периметра.
Глава IV
Ч ЕТЫРЕХУГОЛ ЬН И КИ
§ 1. Параллелограмм
232.	(Устно.) Можно ли утверждать, что четырех-
угольник, у которого две стороны параллельны, а две
другие равны, есть параллелограмм?
, 233. (Устно.) Назовите наименьшее число элементов
параллелограмма, которыми он однозначно определяется.
234.	(Устно.) Почему точка пересечения диагоналей
параллелограмма является его центром симметрии?
235.	(Устно.) На какой угол нужно повернуть парал-
лелограмм вокруг его центра симметрии, чтобы он сов-
местился сам с собой?
27
236.	На стороне параллелограмма взята точка N.
Как найти ей_ симметричную точку Nt относительно цен-
тра симметрии параллелограмма?
237.	(Устно.) Может ли диагональ параллелограмма
быть .равной одной из его высот?
238.	(Устно.) Сколько треугольников и сколько пар
равных треугольников на чертеже, на котором изобра-
жены параллелограмм и его диагонали?
239.	(Устно.) Почему сумма расстояний любой точ-
ки, лежащей внутри параллелограмма, до всех его сто-
рон есть величина постоянная?
240.	(Устно.) Один из углов параллелограмма сос-
тавляет 25% другого его угла. Найти углы параллело-
грамма.	.
241.	Стороны параллелограмма равны а и & (а>Ь).
Найти отрезки, на которые биссектриса угла параллело-
грамма делит его большую сторону.
242.	Доказать, что угол между высотами параллело-
грамма, проведенными из одной вершины, равен одно-
му из его углов.
243.	Доказать, что биссектрисы двух неравных внеш-
них углов параллелограмма и биссектрисы углов, при-
лежащих к одной стороне, перпендикулярны, а биссект-
рисы противоположных углов параллельны или принад-
лежат одной прямой.
244.	Найти сумму двух углов, из которых один равен
углу параллелограмма, а другой — углу между высота-
ми, проведенными из той же вершины параллелограмма.
Рассмотреть два случая. '
245.	На сторонах ВС и CD параллелограмма ABCD
построены равносторонние треугольники DCN и ВСЛ1,
расположенные с этим параллелограммом по разные
стороны соответственно от ВС и CD. Доказать, что тре-
угольник AMN равносторонний. Рассмотреть случай,
когда треугольники DCN и ВСМ построены с' той же
стороны от ВС и CD, что и параллелограмм.
246.	В параллелограмме ABCD проведены прямые
AAt и СС1 так, что углы DAAi и CtCB равны (точка /It
лежит на стороне CD, точка Ct — на стороне АВ). До-
казать, что четырехугольник AAtCCt — параллелограмм.
247.	Всегда ли биссектрисы внутренних углов парал-
лелограмма, пересекаясь, образуют прямоугольник?
248.	Доказать, что середины дву^х противолежащих
28
сторон четырехугольника и середины его диагоналей яв-
ляются вершинами параллелограмма. Выяснить, в ка-
ком частном случае эта теорема теряет силу.
!	249. На плоскости четырехугольника дана точка М.
Доказать, что точки, симметричные с точкой М относи-
тельно середин сторон четырехугольника, являются вер-
шинами параллелограмма.
250.	В параллелограмме ABCD отношение смежных
сторон равно 1:2. Середина М большей стороны АВ сое-
динена с вершинами С и D. Доказать, что угол CMD
равен 90°.
251.	В треугольнике АВС проведена медиана CD. Из
середин Е и F отрезков AD и BD проведены прямые, па-
раллельные медиане, пересекающиеся со сторонами АС
и ВС соответственно в точках К и L. Доказать, что
/аидд.
252.	На основании АВ равнобедренного треугольни-
ка АВС взята произвольно точка М, через которую про-
ведены прямые, параллельные его сторонам. Доказать,
что периметр образовавшегося параллелограмма не за-
висит от положения toikh М на стороне АВ.
253.	Даны параллелограммы ABCD и AEFD. Дока-
зать, что в общем случае четырехугольник BEFC — па-
раллелограмм. Выяснить, в каком случае теорема теря-
ет силу.
254.	Точки F, Е, D являются соответственна середи-
нами сторон АС, ВС и АВ треугольника АВС. Точки F
и Е соединены отрезком прямой, который продолжен на
отрезок ЕК, равный EF. Доказать, что стороны тре-
угольника CDK равны медианам треугольника АВС.
255.	Диагонали выпуклого четырехугольника равны
10 и 12. Вычислить периметр четырехугольника, верши-
нами которого служат середины сторон данного. Выяс-
нить, при каких условиях полученный четырехугольник
будет прямоугольником, квадратом, ромбом.
256.	Построить параллелограмм:
а)	по диагоналям и углу между ними;
б)	по стороне, соответствующей высоте и диагонали;
в)	по смежным сторонам и высоте.
257.	Построить центр параллелограмма, не исполь-
зуя при этом построении его вершин.
258.	Построить треугольник по двум сторонам и ме-
диане, проведенной к третьей стороне.
29
259.	Построить треугольник по медианам та, тъ, те
треугольника АВС.
260.	Разрезать треугольник на две части так, чтобы
из полученных частей можно было сложить параллело-
грамм.
261.	Построить четырехугольник, если известны три
его стороны и два внутренних острых угла, прилежащих
к четвертой стороне.
§ 2. Прямоугольник
262.	(Устно.) Точки пересечения осей симметрии пря-
моугольника с его сторонами служат вершинами неко-
торого четырехугольника. Определить вид этого четырех-
угольника.
263.	(Устно.) Под каким углом пересекаются диаго-
нали прямоугольника, если его меньшая сторона отно-
сится к диагонали как 1:2.
264.	(Устно.) Диагональ прямоугольника равна а.
Чему равен периметр четырехугольника, вершины кото-
рого являются серединами сторон прямоугольника?
265.	(Устно.) Два угла четырехугольника прямые.
Будет ли он -прямоугольником? Выполнить чертеж.
266.	В прямоугольнике ABCD проведены биссектри-
сы углов А и С, которые пересекают стороны CD и АВ
соответственно в точках М и N. Выявить вид' четырех-
угольника AMCN.
267.	В прямоугольнике ABCD сторона AD меньше
стороны CD. Доказать, что если биссектрисы каждой
пары углов, прилежащих к большей стороне, пересекают-
ся’ на противоположной стороне, то они своим пересече-
нием образуют квадрат.
268.	Периметр прямоугольника делится биссектри-
сой его угла на две части, разность которых равна 20.
Найти стороны прямоугольника,, если его периметр ра-
вен 80.
269.	В прямоугольнике ABCD из вершины D опу-
щен перпендикуляр на диагональ АС. Доказать, что
угол, образованный этим перпендикуляром и второй ди-
агональю BD, равен разности углов, которые диагональ
АС образует со смежными сторонами прямоугольника.
270.	Точки пересечения осей симметрии прямоуголь-
ника с его сторонами- служат вершинами второго четы-!
80
рехугольника, а середины сторон последнего — верши-
нами третьего четырехугольника. Найти отношение пе-
риметров первого и третьего четырехугольников.
271.	Точка У отражена последовательно от двух пер-
пендикулярных прямых. Доказать, что после второго от-
ражения получается точка Л/2, симметричная с точкой N
относительно точки пересечения данных прямых.
272.	Диагональ прямоугольника делит его угол в от-
ношении 1:2. Определить диагональ прямоугольника,
если сумма обеих диагоналей и меньших сторон рав-
на 24.
273.	Построить прямоугольник по стороне и углу
между диагоналями.
§ 3. Квадрат
274.	(Устно.) Внутри какого параллелограмма суще-
ствует точка, равноудаленная от всех его вершин и рав-
ноудаленная от всех его сторон?
275.	Доказать,гчто диагонали квадрата служат ося-
ми симметрии четырехугольника, вершинами которого
служат середины сторон данного квадрата.-
276,	Доказать, что если через две противоположные
вершины квадрата провести параллельные прямые, а че-
рез две другие вершины — прямые, перпендикулярные
к первым, то четыре проведенные прямые в*пересечении
образуют квадрат.
277.	На стороне квадрата взята точка М. Построить
симметричные ей точки относительно всех осей симмет-
рии- квадрата.
278.	Доказать, что биссектрисы углов прямоугольни-
ка, не являющегося квадратом, своим пересечением об-
разуют квадрат.
279.	Построить квадрат: а) по разности его диагона-
ли и стороны; б) по сумме его диагонали и стороны.
280.	Построить квадрат; чтобы три его вершины ле-
жали на трех параллельных прямых.
§ 4. Ромб
281.	(Устно.) При каком условии диагональ ромба
равна его стороне?
282.	. (Устно.) Может ли диагональ ромба быть в два
раза больше его стороны?
21
283.	(Устно.) В каком ромбе сторона равна его вы-
соте?
284.	(Устно.) Могут ли неравные ромбы иметь равные
периметры?
285.	Биссектриса угла между стороной и диагональю
ромба встречает его другую диагональ под углом 80°.
Определить углы ромба.
286.	Сторона ромба составляет с его диагоналями два
угла, из которых один больше другого на 50%. Вычис-
лить углы ромба.
287.	Сторона ромба образует с продолжениями диаго-
налей углы, относящиеся как 4:5. Найти углы ромба.
288.	Доказать, что расстояния центра симметрии ром-
ба до всех его сторон равны между собой.
289.	Построить ромб: а) по диагонали и высоте; б) по
периметру и диагонали.
§ 5.	Средняя линия треугольника.
Трапеция
290.	(Устно.) В треугольнике проведены все его сред-
ние линии. Найти отношение .периметров данного* тре-
угольника и треугольника, образованного средними ли-
ниями.
291.	В треугольнике проведены все его средние ли-
нии. Периметр образованного ими треугольника ра-
вен 18. Определить стороны данного треугольника, если
они относятся как 5:6:7.
292.	Высота СО и основание АВ равнобедренного
* треугольника АВС соответственно равны 8 и 12. Из се-
редин К и L сторон АС и ВС опущены перпендикуляры
AW и ML на основание АВ. Определить вид полученного
четырехугольника KLMN и его периметр.
293.	Из точки пересечения диагоналей прямоугольни-
ка опущены перпендикуляры на две его смежные сторо-
ны. Определить периметр полученного прямоугольника,
если периметр данного прямоугольника равен 28.
294_. В остроугольном треугольнике проекции двух
сторон на третью равны 4 и 6. Вычислить проекции ме-
диан треугольника на ту же сторону.
295.	Доказать, что периметр четырехугольника с вер-
шинами в серединах сторон данного четырехугольника
равен сумме его диагоналей.
32
296.	(Устно.) 1) Чему равен угол между биссектриса-
ми двух углов трапеции, прилежащих к боковой стороне?
2) При каком условии одна из диагоналей трапеции бу-
дет биссектрисой угла при основании? 3) Середины сто-
рон равнобедренной трапеции попарно соединены. Выя-
вить вид полученного четырехугольника.
297.	В равнобедренной трапеции высота, проведенная
из вершины тупого угла, делит большее основание на
отрезки 10 и 20. Найти отношение ее оснований.
298.	Диагональ равнобедренной трапеции делит ее
острый угол пополам. Определить среднюю линию тра-
пеции, если ее периметр равен 132, а основания относят-
ся как 8:9.
299.	Доказать, что отрезок средней линии трапеции,
заключенный между ее диагоналями, равен полуразности
оснований трапеции.
300.	Диагонали, трапеции делят ее среднюю линию
на три равные части. Доказать, что одно основание в два
раза больше другого.
301.	Доказать, что вершина угла, образованного бис-
сектрисами двух углов трапеции, прилежащих к боковой
стороне, находится на ее средней линии или на ее про-
должении.
302.	Тупой угол прямоугольной трапеции равен 120°.
Определить ее среднюю линию, если меньшая диагональ
трапеции и большая боковая сторона равны а.
303.	Средняя линия равнобедренной трапеции рав-
на 30, верхнее основание—17, а боковая сторона — 26.
Определить углы трапеции.
304.	Биссектрисы углов при основании трапеции пере-
секаются на ее втором основании. Доказать, что второе
основание равно сумме боковых сторон трапеции.
305.	В равнобедренной трапеции диагонали служат
биссектрисами ее острых углов. Доказать, что тупой угол
трапеции равен тупому углу между ее диагоналями.
Сформулировать обратную теорему.
306.	Одна боковая сторона трапеции ABCD больше
другой боковой стороны на 4 и меньше, нижнего основа-
ния на 2. Вычислить стороны трапеции, если сумма бо-
ковых сторон и верхнего основания равна 16, а диаго-
наль АС является биссектрисой угла А.
307.	Через конец меньшего основания трапеции, рав-
ного а, проведена прямая, которая делит трапецию на
3 П. Яь Великина	33
ромб и равносторонний треугольник. Определить углы,
периметр а среднюю линию трапеции.
308.	Средняя линия равнобедренной трапеции делит-
ся диагональю на части 2 и 5. Определить углы трапеции,
если боковая сторона равна 6.
309.	В равностор'оннем треугольнике АВС проведены
две прямые,’ параллельные сторонам ВС и АС так, что
их отрезки MN и KL, расположенные внутри треуголь-
ника, отсекают два треугольника KLB и CMN с пери-
метрами 12 и ”27. Найта разность периметров пар тра-
пеций: 1) OLBN и МСКО; 2) АСКС и AMNB (О — точка
пересечения прямых MN и KL).
310.	Диагональ равнобедренной трапеции равна а.
Определить периметр четырехугольника, вершинами ко-
торого служат середины сторон трапеции.
311.	Построить трапецию: а) по ее основаниям, боко-
вой стороне и диагонали; б) шэ четырем ее сторонам;
в) по трем ее сторонам и диагонали; г) по трем ее сто-
ронам и высоте.
312.	Построить прямоугольную трапецию, если даны
ее большее основание и боковые стороны.
313.	Построить равнобедренную трапецию по боль-
шему основанию а, высоте h и диагонали т.
§ 6.	Замечательные точки треугольника
314.	Высоты треугольника пересекаются в точке Н.
Указать ортоцентры треугольников АНВ, ВИС,.СНА.
315.	В каком треугольнике совпадают точки пересе-
чения высот, медиай и биссектрис?
316.	Доказать, что шесть углов, образованных высо-
тами остроугольного треугольника, попарно равны углам
треугольника.
317.	Точка М— середина стороны CD, точка N.— се-
редина стороны ВС параллелограмма ABCD. Доказать,
что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные
части.
318.	Диагональ АС параллелограмма ABCD равна
15. Середина М стороны А.В соединена с вершиной D.
Определить отрезки, на которые отрезок DM делит отре-
зок АС.
319.	Середины Е и F сторон AD и ВС параллело-
грамма ABCD соединены с вершинами В и D. Доказать,
что эти прямые делят диагональ АС на три равные части.
Э4
§ 7.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
320.	Доказать, что сумма двух неравных высот парал-
лелограмма меньше суммы его "диагоналей.
321.	Периметр трапеции равен 40, меньшее основа-
ние— 10, через конец которого проведена прямая, парал-
лельная боковой стороне. Чему равен периметр получен-
ного треугольника?
2-й вариант
322.	Угол В прямоугольного треугольника АВС равен
30°. Отрезок KL соединяет середины катета ВС и гипо-
тенузы АВ. Выявить вод четырехугольника ACKL и вы-
числить его среднюю линию, если гипотенуза АВ рав-
на 16.
323.	Построить параллелограмм по двум сторонам и
одному из его углов.
3-й вариант	.
324.	Биссектрисы углов А и В параллелограмма
ABCD делят сторону CD на три части. Определить каж-
дую часть, если стороны параллелограмма равны 5 и 12.
325.	Определить углы равнобочной трапеции, у ко-
торой верхнее основание равно боковой стороне, а диа-
гональ перпендикулярна боковой стороне.
4-й вариант
326.	Дан'квадрат ABCD. На сторонах АВ, ВС, CD.
и АД отложены соответственно равные отрезки ААЬ ВВ{,
CCt aDDt. Точки At,, Bit Clr и Di последовательно соеди-
нены. Доказать, что четырехугольник AiBtCiDt — квад-
рат.
327.	Чему равен угол ромба, если высота ромба де-
лит его сторону пополам?,
5-й вариант
328.	Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо-
угольника на его диагональ, делит ее в отношении 1:3, а
угол ADC в отношении 1:2. Определить длину диагона-
ли, если меньшая сторона прямоугольника равна 16.
329.	На какой угол нужно повернуть параллелограмм
вокруг его центра симметрии, чтобы он совместился сам
с собой? (Ответ обосновать.)
3*	35
6ч1^ариант
330.	Доказать, что в равнобедренной трапеции диаго-
> нали разбивают трапецию на четыре треугольника, из
которых два, прилежащие к основаниям, равнобедрен-
ные, а два, прилежащие к боковым сторонам, равны.
331.	У четырехугольника диагонали равны и перпен-
дикулярны. Будет ли четырехугольник квадратом? Явля-
ются, ли эти условия необходимыми или достаточными
для квадрата? (Ответ обосновать.)
Г лава V
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
§ 1. Теорема Пифагора
332.	Доказать, что разность квадратов двух сторон
треугольника равна разности квадратов их проекций на
третью сторону.
333.	Произвольная точка М высоты CD треугольника
АВС соединена с вершинами А а В. Доказать, что
АС2—ВС2=АМ2—ВМ2.
334.	Доказать, что если диагонали четырехугольника
ABCD взаимно перпендикулярны; то AD2jrBC2~
=ЛВ2+СВ2.
335.	В плоскости прямоугольника ABCD взйта произ-
вольно точка М, которая соединена со всеми его верши-
нами. Доказать, что АМ2 + CM2 —BM2 + DM2.
336.	В треугольнике АВС проведена высота CD. На
боковых сторонах треугольника ВС и АС ’ построены
прямоугольные треугольники МСВ п CNA, у которых
катеты МВ и NA соответственно равны отрезкам гипоте-
нузы AD и BD (Л и В —вершины прямых углов). Дока-
зать, что CM=CN.
337.	Из вершины С квадрата ABCD со стороной,
равной 4, прдведена прямая, которая пересекает сторону
AD в точке К. Определить высоту ВМ треугольника
ВКС, если отрезок КС равен 5.
338.	Определить сторону ВС треугольника ЛВС, если
сторона_ЛС=7У2, проекция стороны ВС на сторону АВ
равна У51, а <£САВ=45а.
339.	На основании АВ равнобедренного треуголь-
ника ЛВС взята точка М. Доказать, что АМ-ВМ —
=ВС2—СМ2.
36
340.	Угол ВАС треугольника АВС равен 135°. Опреде-
лить сторону ВС, если /4С=]/50, ДВ=7.
341.	На продолжении диагонали АС ромба ABCD взя-
та произвольная точка Р, которая соединена отрезком1
с вершиной В. Доказать, что АР-СР = РВ2—АВ2.
342.	Доказать,- что если диагональ равнобочной'
трапеции равна большему ее основанию, то боковая сто-
рона есть среднее пропорциональное между диагональю
и разностью оснований.
343.	Доказать, что разность квадратов диагоналей
прямоугольной трапеции равна разности квадратов се
оснований.
344.	Из произвольно взятой точки С на дуге АВ сек-
тора АОВ, содержащего 90°, опущен перпендикуляр CD
на радиус АО, который пересекает биссектрису OF угла
ВОА в точке N. Доказать, что CD2+ND2 = R2 (R — ради-
ус сектора).
345.	Высота AD равнобедренного треугольника АВС.
делит боковую сторону АС на отрезки 2 и 7, считая от
основания. Определить высоту DE треугольника ABD.
346.	Определить высоты .треугольника, если его сторо-.
ны-равны 13, 14, 15.	'
347.	Одна из диагоналей параллелограмма служит »
его высотой. Определить диагонали, если периметр па-
раллелограмма равен 50, а разность его сторон равна
единице.
348.	Определить высоту трапеции, если ее основания .
равны 8 и 21, а боковые стороны— 14 и 15.
349.	Диагональ АС трапеции ABCD перпендикулярна , •
ее боковой стороне ВС. Определить высоту трапеции и,,
диагональ АС, если основание АВ равно 26, боковая
сторона ВС равна 10.
350.	Сторонь! АС и ВС треугольника АВС соответст-
венно равны 8 и 15, угол САВ равен 30°. Определить
проекции сторон АС й ВС на сторону АВ.
351.	Из середины катета прямоугольного треугольни- .
ка опущен перпендикуляр на гипотенузу. Доказать, что
разность квадратов отрезков гипотенузы равна квадрату
второго катета.
352.	Доказать, что квадрат медианы прямоугольного
треугольника, проведенной к катету, равен разности ’
квадрата гипотенузы и 0,75 квадрата катета, соответст-
вующего медиане.	'
37
353.	Гипотенуза АВ прямоугольного треугольника
АВС равна с. Точки М и N, расположенные соответствен-
но на катетах ВС и АС, соединены с вершинами А а В.
Определить длину отрезка MN, если AM2+LBN2=m2.
354.	Две равные окружности радиуса R пересекаются
так, что каждая из них проходит через центр другой.
Найти длину их общей хорды.
355.	Доказать, что квадрат стороны треугольника, ле-
жащей против угла в 120°, равен неполному квадрату
суммы двух других сторон, а сторона, лежащая против
угла в 60°, — неполному квадрату их разности.
356.	Бамбуковый ствол переломлен бурей так, что вер-
шина ствола коснулась земли на расстоянии 3 единиц от
его основания. На какой высоте переломлен ствол, если
высота ствола равна 9 единицам?
357,	Доказать, что если из вершины В основания АВ
равнобедренного треугольника АВС опущен перпендику-
ляр BD на сторону АС, то AB2£BC2+AC2=AD2+'l
+ 2CD2+3BD2.
35	.8. Пусть с—гипотенуза, а и b — катеты прямо-
угольного треугольника. Доказать, что из отрезков
a-[-b, hc, c+hc можно построить прямоугольный тре-
угольник.
359.	Средняя линия равнобедренной трапеции равна
20, высота — 15. Определить диагональ и боковую сторо-
ну трапеции, если ее основания относятся как 3:7.
360.	Найти геометрическое место точек, разность
квадратов расстояний которых от концов данного отрезка
есть величина постоянная.
361.	Основание с равнобедренной трапеции равно ее
дигонали. Найти боковую сторону этой трапеции, если
разность ее оснований равна т.
362.	Средняя линия равнобедренной трапеции равна
18, отношение оснований равно 1:5. Определить высоту
трапеции, если ее боковая сторона равна 15.
§ 2.	Площадь многоугольника
363.	(Устно.) Найти геометрическое место вершин С
равновеликих треугольников, имеющих общее основа-
ние АВ.
364.	(Устно.) Определить площадь квадрата по его
диагонали I,
38
365.	(Устно.) Диагонали ромба равны 6 и 8. Опреде-
лить его сторону и площадь.
366.	Трапеция своими диагоналями разделена на че-
тыре треугольника. Доказать, что треугольники, приле-
жащие к боковым сторонам, равновелики.,
367.	Как изменится площадь квадрата, если увели-
чить его диагональ в п раз?
368.	Высота равнобедренной трапеции равна h, а ее
площадь Л2. Под каким углом пересекаются ее диаго-
нали?
369.	На диагонали BD параллелограмма ABCD взята
точка М, через которую проведены прямые KL и NE,
соответственно параллельные сторонам 4В,и ВС. Найти
на чертеже две пары равновеликих трапеций.
370.	Периметр прямоугольника равен 28, а разность
смежных сторон равна 2. Определить диагональ и пло-
щадь прямоугольника.
371.	Высоты параллелограмма равны h и hlt а пери-
метр его равен 2р. Определить площадь параллело-
грамма.
372.	Определить площадь равнобедренной трапеции,
если ее диагональ, равная I, образует с большим основа-
нием угол 45°.
373.	Середины сторон прямоугольника служат верши-
нами четырехугольника, а середины сторон последнего —
вершинами третьего четырехугольника'. Найти отноше-
ние площадей первого и третьего четырехугольников.
374.	Через вершины треугольника проведены прямые,
параллельные его противоположным сторонам. Найти
отношение площади данного треугольника к площади
треугольника, образованного проведенными тремя пря-
мыми.
375.	Будут ли равновелики прямоугольники, если
сторонами одного из них служат катеты прямоугольного
треугольника, ‘а сторонами второго — гипотенуза и опу-.
щенная на нее высота? Записать вывод словами и фор-
мулой.
376.	Найти внутри треугольника такую точку, чтобы
отрезки, соединяющие ее с вершинами треугольника, де-
лили его на три равновеликие части.
377.	Выявить вид треугольника, если а+йа = 6-£йг>,
где а и Ь — его стороны, а Й« и Ьь— соответствующие им
высоты.
39
378.	Разделить треугольник на две равновеликие части
прямой, проходящей через точку, данную на его стороне.
379.	Периметр равнобедренного треугольника равен
50. Боковая сторона треугольника на 1 больше основа-
ния. Определить площадь треугольника.
380.	Сторона и диагональ прямоугольника соответст-
венно равны 6 и 10. Из вершины прямоугольника опущен
перпендикуляр на диагональ. Определить площадь пря-
моугольника и отрезки, на которые перпендикуляр делит
диагональ.
381.	Диагонали прямоугольника, равные по 2д, пере-
секаются под углом 60°. Определить площадь прямо-
угольника, если одна его сторона равна Ь. Установить
зависимость между а и Ь.
382.	Периметр прямоугольника равен 68; разность
его сторон равна 14. Середины сторон прямоугольника
образуют четырехугольник. Найти сторону этого четы-
рехугольника, установить вид его, а также отношение
площадей данного четырехугольника и полученного.
383.	Определить площадь равнобедренной трапеции,
у которой боковая сторона, верхнее основание и средняя
линия соответственно равны 13, 6 и 15.
384.	Средняя линия равнобедренной трапеции делится
диагональю на части 2 и 5'. Определить площадь трапе-
ции, если ее боковая сторона равна 5.
385.	Диагонали четырехугольника равны и перпенди-
кулярны. Чему равна его плГощадь, если диагональ рав-
на а?
386.	Найти геометрическое место точек Л4, располо-
женных внутри треугольника АВС, для которых сумма
площадей треугольников АМС и ВМС равна площади
треугольника АМВ.
387.	Доказать, что если через точки, делящие высоты
треугольника, считая от соответствующего основания,
в отношении 1:2, провести прямые, параллельные соот-
ветствующим сторон’ам треугольника, то их точка пере-
сечения совпадет с точкой пересечения медиан тре-
угольника.	.
388.	Один из углов ромба равен 30°. Доказать, что
его сторона является средней пропорциональной величи-
ной между его диагоналями.
389.	Высота равностороннего треугольника равна 5.
На одной из его сторон дана точка, расстояние которой
40
©т другой стороны равно 3. Нййти расстояние этой точки
от третьей стороны.
390.	Земельный участок имеет вид выпуклого четырех-
угольника. Как провешиванием одной прямой, проходя-
щей через одну из вершин, разделить его площадь по-
полам?
391.	Доказать, что медианы треугольника делят его
площадь на шесть равновеликих треугольников.
392.	Верхнее основание трапеции равно 4. Секущая
прямая делит трапецию на равновеликие параллело-
~ грамм и треугольник. Найти нижнее основание трапеции
и ее среднюю линию.
393.	Преобразовать равнобедренную трапецию в рав-
новеликий: 1) прямоугольник; 2) параллелограмм.
394.	Данный параллелограмм разделить прямыми, ис-
ходящими из одной вершины, на три (четыре) равнове-
ликие части.
395.	Практическая работа. Непосредственным
измерением определить площадь фигур, данных на чер-
тежах 21—24.	-
41
§ 3.	Взаимное расположение прямых и плоскостей
в пространстве
396.	(Устно.) Каким может быть взаимное располо-
жение двух прямых в пространстве? .
397.	(Устно.) Что можно сказать о взаимном распо-
ложении двух перпендикуляров к одной прямой?
398.	(Устно.) Две прямые не пересекаются. Можно
ли через них провести плоскость?
399.	(Устно.) Справедливо ли -для пространства пред-
ложение: из данной точки, взятой на прямой, можно
к ней восставить перпендикуляр, и притом только один?
400.	(Устно.) Всегда ли параллельные прямые лежат в
одной плоскости? Иллюстрировать ответ на модели куба.
401.	Показать на модели куба: 1) параллельные диа-
гонали двух противоположных граней; 2) скрещиваю-
щиеся диагонали двух противоположных граней.
402'	. (Устно.) Всегда ли три, четыре точки в простран-
стве определяют плоскость, проходящую через них?
403.	Показать на модели куба отрезки, параллельные
грани куба.
404.	Прямая а параллельна плоскости. Скольким
прямым, расположенным в плоскости, она параллельна?
405.	Прямая параллельна плоскости. Каково может
быть взаимное расположение этой прямой с любой пря-
мой, лёжащей на этой плоскости?
406.	Даны две рересекающиеся прямые, и на каждой
из них взято по одной точке. Будут ли данные прямые,
а также прямая, проходящая через взятые на них точки,
лежать в одной плоскости?
407.	Как расположены: 1) две плоскости друг относи-
тельно друга, если они имеют три общие точки; 2) три
плоскости, имеющие только одну, две общие точки?
Привести примеры, показать на модели куба.
408.	Показать на модели куба ребра, перпендикуляр-
ные его граням.
409.	Показать на модели куба: 1) параллельные
и перпендикулярные грани; 2) двугранные углы.
§ 4.	Поверхность и объем прямой призмы
410.	(Устно.) Объем куба равен 125. Чему равна его
поверхность?
411.	(Устно.) Сумма всех ребер куба равна 24. Опре-
делить его поверхность и объем.
42
412.	Ребра прямоугольного параллелепипеда относят-
ся как 3:4:5. Определить его объем, если его полная по-
верхность равна 94.
. 413. Основанием прямой призмы служит ромб с диа-
гоналями 24 и 10. Определить поверхность и объем приз-
мы, если ее меньшая диагональ равна 26.
414.	В основании призмы лежит квадрат со стороной,
равной 3. Призма разделена плоскостью на два равнове-
ликих клина. Определить поверхность клина, если высо-
та призмы равна 4. Изготовить развертку клина.
415.	В основании прямого параллелепипеда лежит
ромб с диагоналями 6 и 8. Определить поверхность' и
объем параллелепипеда, если диагональ большего диа-
гонального сечения равна 10.
416.	Основанием прямой призмы ABCA^BiCt служит
равнобедренный . треугольник АВС с основанием АВ,
равным 16. Определить объем данной призмы, если пло-
щадь основания равна 120, а отрезок CtF (/ — середи-
на основания АВ) равен 25.	,
417.	Практическая работа. Непосредственным
измерением определить объем шпунтов, данных на чер-
тежах 25—27.
§ 5.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
418.	Сторона ромба равна 6, а его острый угол — 60°.
Определить площадь ромба.
419.	Основанием прямой призмы служит прямоуголь-
ник, диагональ которого, равная 8, делит угол в отноше-
нии 1:2. Определить объем призмы, если диагональ приз-
мы равна 10.
43
2-й вариант
420.	Построить прямоугольник по диагонали, равной
13, и углу между диагоналями, равному 46°. Непосредст-
венным измерением определить площадь прямоуголь-
ника.
421.	Осйованием прямой призмы служит равнобедрен-
ная трапеция. Средняя линия трапеции равна 16, а раз-
ность оснований — 8. Определить объем призмы, если
диагональ трапеции, равная 20, равна высоте призмы. 1
S-й вариант
422.	Диагональ равнобедренной трапеции перпенди-
кулярна ее боковой стороне. Определить йлощадь тра-
пеции, если ее диагональ и боковая сторона соответст-
венно равны f75 и 5.
423.	Медная Пластинка имеет форму треугольной
призмы, основанием которой служит треугольник, одна
сторона и соответствующая ей высота которого равны
20 см и 12,5 см.
Определить толщину пластинки, если ее вес равен
1112,5 г. (Удельный вес меди равен 8,9 Г/см3.)
4-й вариант
424.	Непосредственным измерением определить пло-
щадь детали (черт. 28), предварительно разделив ее на
треугольники и четырехугольники.
425.	Основанием прямой призмы ABCD A1B1C1D1
служит прямоугольник с периметром, равным 68, и раз-
ностью смежных сторон, равной 14 (черт. 29). Опреде-
лить поверхность и объем призмы AOB/)iOiBit если Высо-
та данной призмы равна диагонали основания.
5-й вариант
426.	Определить площадь тра-
пеции, если ее боковые стороны
равны 13, 14, а основания —
5 и 20.
: 427. Основанием прямой приз-
мы служит прямоугольник со сто-
ронами 3 и 4. Определить диаго-
наль призмы, если ее объем ра-
вен 144.
6-й вариант.
428.	Разделив плоскую фигуру
(черт. 30) на треугольники и че-
тырехугольники, вычислить непо-
средственным измерением ее пло-
щадь с точностью до 0,1.
429.	Основанием прямой приз-
мы служит прямоугольный тре-
Черт] so
угольник, гипотенуза и катет которого соответственно
равны 10 и 8. Определить высоту призмы, если ее объем
равен 144.
1-й вариант
430.	Определить площадь детали (черт. 31) непосред-
ственным измерением, разделив ее на четырехугольники.
Ответ дать с точностью до 0,01.
431.	Основанием прямой призмы служит равносторон-
ний треугольник со стороной, равной 10,0. Определить
объем призмы, если диагональ боковой грани равна 26,0.
Примечание. При выполнении контрольных работ пользо-
ваться таблицами квадратных корней из чисел, а также учитывать
правила действий с приближенными числами.
Глава VI
ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР
§ 1. Основные понятия. Вписанные углы
432.	(Устно.) При каком условии сегмент может быть
назван сектором?
433.	(Устно.) В окружности проведены три радиуса.
Сколько образовалось секторов?
45
434.	(Устно.) Что служит центром симметрии и осью
симметрии окружности?
435.	(Устно.) Может ли медиана прямоугольного тре-
угольника, проведенная к гипотенузе, совпасть с его
высотой?
436.	(Устно.) В треугольниках какого вида центр
описанной окружности лежит на его медиане?,
437.	(Устно.) В каком треугольнике одна из его меди-
ан равна половине соответствующей ей стороны?
438.	Найти геометрическое место вершин треуголь-
ников, имеющих общее основание АВ, в каждом из
которых медиана, проведенная к основанию, равна дан-
ному отрезку тс.
439.	(Устно.) Углы треугольника относятся как
3:5:12. Как расположен относительно треугольника
центр описанной около него окружности? (Ответить, пе
вычисляя углов.)
440.	(Устно.) Расстояние, от вершины С треугольни-
ка АВС до центра вписанной в него окружности равно
2d. Чему равен угол треугольника при этой вершине, ес-
ли радиус вписанной окружности равен d?
441.	(Устно.) Что является геометрическим местом:
а)	середин равных хорд данной окружности;
б)	вершин прямоугольных треугольников, построен-
ных на данной гипотенузе;
в)	центров окружностей, проходящих через две дан-
ные точки;
г)	середин хорд, исходящих из данной точки окруж-
ности;
д)	центров равных окружностей, проходящих через
данную точку;
е)	центров окружностей, касающихся прямой в дан-
ной точке;
ж)	центров окружностей, касающихся двух данных
прямых а и Ъ, если: 1) прямые параллельны; 2) прямые
пересекаются?
442.	(Устно.) Из точки А окружности О проведены
диаметр и хорда. Какой угол образуют они между собой,
если хорда равна радиусу?
443.	(Устно.) Гипотенуза прямоугольного треуголь-
ника равна а. Определить расстояние между ортоцент-
ром треугольника и центром описанной окружности.
46
444.	(Устно.) Треугольник, наибольшая сторона кото-
рого равна 5, вписан в окружность. Определить радиус
окружности, если вершины треугольника делят окруж-
ность в отношении 1:2:3.
445.	(Устно.) В окружности радиуса, равного 5, про-
ведена хорда на расстоянии 2,5 от центра. Определить
дугу, стягиваемую этой хордой.
446.	(Устно.) Около равнобедренного треугольника
описана и в него вписана окружность. На какой из глав-
ных линий треугольника лежат их центры?
447.	Стороны треугольника равны а, Ь, с. Доказать,
что через каждую пару его вершин и основания двух вы-
сот, опущенных из этих вершин на противоположные им
стороны, можно провести окружности и определить их
радиусы.
448.	Дан отрезок 4В. Найти точку М, отстоящую от
концов А и В отрезка на расстояния, равные данным
отрезкам а и Ъ. При каком условии задача имеет реше-
ние?
449.	Сколько решений имеет задача: построить прямо-
угольный треугольник но гипотенузе и медиане, прове-
денной из вершины прямого угла?
450.	Один из острых углов прямоугольного треуголь-
ника равен 35°. Под каким углом виден каждый его ка-
тет из центра описанной окружности?
451.	Две окружности радиуса г пересекаются в точ-
ках А и В. Определить в градусах меньшую из дуг, огра-
ниченную точками пересечения, если угол между радиу-
сами, проведенными в точку пересечения окружностей,
4 ,
равен -g-«.
452.	Из точки А, взятой на окружности, под углом
30° проведены диаметр АВ и хорда АС. В точке С пост-
роена касательная, пересекающая продолжение диамет-
ра в точке D. Доказать, что треугольник A CD равнобед-
ренный.	.
453.	В окружность вписан треугольник АВС. Углы
А и В соответственно равны 50° и 70°, Определить угол,
образованный касательной к окружности в вершине -С
и продолжением стороны АВ.
454.	Высота, опущенная из вершины С вписанного
в окружность треугольника АВС, продолжена до пересе-
чения с окружностью в точке Е. Эта точка соединена
47
с точкой D, диаметрально противоположной вершине
С, Доказать, что отрезок DE параллелен отрезку АВ.
455.	Около прямоугольного треугольника АВС описа-
на окружность. Из конца диаметра проведена хорда, па-
раллельная медиане, проведенной к гипотенузе. Дока-
зать, что катет треугольника служит биссектрисой угла,
образованного диаметром и хордой.
456.	Доказать, что касательные к окружности, прове-
денные в вершинах прямоугольника, вписанного в эту
окружность, образуют ромб. Выяснить, в каком случае
ромб' будет квадратом.
457.	В данный угол А вписана окружность, касаю-
щаяся сторон угла в точках В и С. В произвольно взятой
точке D окружности проведена касательная. Определить
периметр треугольника, образованного касательной и сто-
ронами угла, если длина отрезка касательной, заключен-
ного внутри угла, равна 5, а длина отрезка АВ равна 10.
Рассмотреть два случая.
458.	В равнобедренный треугольник АВС с основа-
нием АВ вписана окружность с центром в точке О. Бис-
сектрисы углов при основании треугольника продолжены
до пересечения с описанной окружностью в точках М
и Af. Выявить вид четырехугольника OMCN.
459.	Доказать, что угол, образованный двумя каса-
тельными к окружности, вдвое больше угла, образован-
ного хордой АВ, соединяющей точки касания с радиусом, *
проведенным в одну из этих точек.
460.	Концы хорды данной окружности недоступны.
Построением определить длину хорды.
461.	В окружности проведены две равные, не парал-
лельные между собой хорды без общих концов. Доказать,'
что концы этих хорд являются вершинами равнобочной
трапеции.
462.	Доказать, что из всех хорд, проходящих через
данную точф, расположенную внутри окружности, но
не являющуюся ее центром, наименьшая та, которая
этой точкой делится пополам.
463.	Доказать, что сторона треугольника, лежащая
против угла в 30°, равна радиусу окружности, описанной
около этого треугольника.
4§4.	В окружности с центром в точке О проведена
хорда АВ, которая продолжена на отрезок ВС, равный
радиусу. Прямая ОС пересекает окружность в точке
48
D (точка О лежит между точками С и D). Доказать, что
<ЛОД = 3<ЛСД.
465.	Доказать, что сумма диаметров окружностей,
вписанной в прямоугольный треугольник и описанной
около него, равна сумме его катетов.
466.	Около равностороннего треугольника АВС опи-
сана окружность. На дуге ВС взята произвольная точка
М. Доказать, что АМ = ВМ + СМ.
467.	Высота CD треугольника АВС при своем про-
должении встречает описанную окружность в точке К;
построена точка Л/, диаметрально противоположная точ-
ке С. Доказать, что <£KCW=|<Xfi—<£Л |, а также вы-
явить вид четырехугольника AK.NB.
468.	Высоты треугольника АВС, проведенные из вер-
шин А и В, при своем продолжении встречают окруж-
ность, описанную около треугольника АВС, соответствен-
но в точках Е и D. Доказать, что: 1) ортоцентр С тре-
угольника АВН делит дугу ECD пополам; 2} отрезки ЕН
и DH делятся-пополам соответственными сторонами тре-
угольника (Н— ортоцентр треугольника АВС).
469.	Доказать, что окружность, проходящая через
ортоцентр треугольника и через две его вершины, равна
окружности, описанной около треугольника.
470.	В остроугольном треугольнике АВС проведены
высоты AL, BN, СМ. Доказать, что отрезки этих высот
служат биссектрисами треугольника LMN.
471.	Касательные к окружности О, проведенные
в концах данного диаметра АВ,, пересекают произволь-
ную касательную t в точках С и D. Определить угол
DOC.
472.	Дан отрезок А В, равный а. Из точек А и В как
из центров радиусом А В проведены окружности, пересе-
кающиеся в точке N. В криволинейный треугольник ANB
вписана окружность. Определить радиус этой окруж-
ности.
473.	Построить треугольник по двум сторонам и вы-
соте, проведенной к третьей стороне.
474.	Построить треугольник по стороне "Й и высотам
hb и йс.
475.	Построить треугольник по стороне а, высоте ha
и углу А.
476.	Построить треугольник по стороне а, углу А и
сумме s сторон b и с,
4 п. Я. Великина	39
§ .2. Длина окружности. Площадь круга
477.	Радиус окружности увеличен на 5,0. Как изме-
нится длина окружности?
478.	Окружность длиннее своего диаметра на 10,5.
Определить площадь круга (вычисления вести с по-
мощью таблиц).
479.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
10. На какой угол нужно повернуть треугольник вокруг
вершины прямого угла, чтобы катеты описали секторы,
сумма площадей которых равнялась 25 л?
480.	Из точки А, взятой на окружности радиуса 6,
проведены под углом 90° две равные хорды АВ и АС.
Определить площадь части круга, ограниченной этими
хордами и дугой ВС.
481.	Доказать, что радиус окружности, вписанной
в треугольник, равен частному от деления его площади
на полупериметр.
482.	Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника
соответственно равны 6 и 10. Определить длину окруж-
ности, вписанной в треугольник, и площадь части тре-
угольника, расположенной вне окружности.
483.	В окружности проведены две параллельные хор-
ды длиной 6 и 8 (по обе стороны от центра), расстояние
между которыми равно 7. Определить длину окружности
н площадь круга.
484.	Даны две концентрические окружности, длина
хорды большей окружности, касающейся меньшей ок-
ружности, равна 6. Определить площадь кольца, образо-
ванного этими окружностями.
485.	Найти длину ремня, туго натянутого на два шки-
ва, если их радиусы равны 0,9 и 0,3, а расстояние между
их центрами равно 2,4 (для прямой передачи).
486.	На диаметре круга радиуса г как на стороне
построен равносторонний треугольник. Вычислить пло-
щадь части треугольника, находящейся вне круга.
487.	Практическая работа. Посредством изме-
рения определить площадь шаблонов по чертежам
32—34.
488.	Точка касания окружности, вписанной в прямо-
угольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки т.
и л. Доказать, что площадь треугольника равна тп.
50
Черт. 32.
Черт. 33.	Черт. 34.
489.	Стороны треугольника равны 13,0, 14,0, 15,0.
Найти радиус окружности, касающейся двух сторон тре-
угольника, если центр окружности расположен на сред-
ней (по длине) стороне.
490.	В окружность вписан четырехугольник ABCD.
Острый угол между его диагоналями равен 38°, дуга CD
равна 58°, <XS=<^c£>=90°. Найти остальные углы че-
тырехугольника.
491.	Длина окружности вала после обработки равна
39,25 см,, толщина снятой стружки — 0,5 см. Определить
длину окружности вала до обработки.
492.	Глубина резания при обработке вала была 1 см,
длина окружности вала до обработки равна 78,5 см, Оп-
ределить длину окружности вала после обработки.
493.	На сверлильном станке
производится сверление отверстия
диаметром 20 мм, глубиной 80 мм.
Определить время сверления, ес-
ли скорость резания равна
160 мм!сек и подача на один обо-
рот— 0,22 мм (черт. 35).
§ 3.	Поверхность и объем
цилиндра	-
494.	Глушитель автомашины
состоит из двух цилиндров, встав- §
ленных один в другой, причем
больший цилиндр имеет длину '
750 мм и диаметр 150 мм, а мень-
ший (внутренний) цилиндр — со-
ответственно длину 500 мм и диа-
4*
51 -
Черт. 36.
метр 100 мм. Определить: 1) количество
железа-толщиной 1 мм, необходимого для
изготовления глушителя, если удельный
вес железа равен 7,8 Г/см3; 2) количество
отверстий диаметром 5 мм, просверлен-
ных на внутреннем цилиндре, если общая
площадь отверстий равна 981,5 кв. мм (черт. 36).
495.	В цилиндре мотоциклетного двигателя диаметра
100 мм во время взрыва смеси возникает давление, рав-
ное 30 атмосферам и передаваемое на крышку цилиндра.
Определить, сколько болтов должны укреплять крышку,
чтобы она не оторвалась во время взрыва, если диаметр
каждого болта равен 6 мм и допустимое напряжение на
разрыв равно 12 кГ/кв. мм (черт. 37).
496.	Охлаждающая рубашка одноцилиндрового дви-
гателя имеет форму полого цилиндра (черт. 38). Опреде-
лить внутренний диаметр рубашки, если объем ее равен
330 см3, высота —12 см и внешний диаметр равен 1,2 от
внутреннего.	'
497. Как определить длину L при-
водного ремня, пользуясь только ука-
занными размерами на чертеже 39.
Черт. 38.	Черт. 39.
Б2
Черт. 40.
498. Из четырехкантного дере-
вянного бруска с квадратным по-
перечным сечением выдолбили
паз, как показано на чертеже 40.
Определить объем оставшейся
части бруска, если а = 5,0 см,
6 = 20,0 см, г=2,5 см.
, 499. В помещении размерами
16Х 10X4,5 м имеется вентилятор,
диаметр его . круглого отверстия,
равен 16 см. Скорость движения
воздуха, проходящего через от-
верстие, равна 80 см/сек. За какое
время через отверстие может пройти весь воздух, находя-
щийся в помещении?
500. Поверхность цилиндра равна 100 л. Определить
радиус основания и высоту цилиндра, если их отношение
равно 1;2.
501. Радиус основания равностороннего цилиндра1
равен 4. Найти отношение его поверхности к объему.
. 502. Диагональ осевого сечения равностороннего ци-
линдра равна а. Определить его поверхность и объем.
503.	Прямоугольник, диагональ которого равна 13,0,
свернут в цилиндр. Определить поверхность и объем ци-
линдра, если его высота равна 5,0.
504.	Каково должно быть отношение сторон прямо-
угольника, чтобы, свернув его, получить равносторонний
цилиндр?
§ 4.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
505.	Угол при вершине равнобедренного треугольника
равен 70°. На его боковой стороне как на диаметре пост-
роена полуокружность, пересекающая основание тре-
угольника. Найти части (в градусах), на которые разде-
лилась эта полуокружность.
506.	Высота цилиндра 6. Развертка боковой Поверх-
ности цилиндра — прямоугольник, диагональ которого
равна 10. Определить объем цилиндра.
1 Равносторонний цилиндр — цилиндр, у которого осевое сече--
ние — квадрат.
53
507.	Через концы диаметра окружности проведены
две параллельные хорды. Какая точка будет служить их
центром симметрии? (Ответ обосновать.)
2-й вариант
508^ Длина дуги в 30° равна 3. Определить площадь
сектора, содержащего 50°.
509.	Каждая из двух окружностей проходит через
центр другой. Определить угол между касательными
к этим окружностям в их точке пересечения.
510.	Периметр прямоугольника равен 36, а отноше-
ние смежных сторон равно 1:2. Прямоугольник свернут
в цилиндр. Определить его объем.
3-й вариант
511.	Угол, составленный касательной к окружности
и хордой, равен 60°. Определить плошадь круга, если
хорда равна 6.
512.	В цилиндрический сосуд, в котором находилась
вода, опущен куб, объем которого равен 64. Насколько
поднялась в сосуде вода, если радиус основания цилинд-
ра равен 4?
513.	Запишите условие того, что точка М лежит вне
окружности, на окружности, внутри окружности.
4-й вариант
514.	Через точку А окружности проведены хорда АВ
и диаметр АС. Определить угол ВАС я острый угол ме-
жду хордой н касательной к окружности в точке В, если
хорда АВ делит окружность в отношении 5 : 7.
• 515. Непосредственным измерением определить пло-
щадь штампа по чертежу 41.
516.	Через концы отрезка АВ, равного а, проведены
окружности. Чему равен радиус наименьшей из прове-
денных окружностей?
5-й вариант
517.	Через точку касания двух окружностей прове-
дены секущие ВС и DE (точки В и D лежат на одной
окружности)..Доказать, что хорды BD и СЕ параллель-
ны (рассмотреть два случая).
54
Черт. 41.
, Черт. 42.
518.	Из цилиндра удалена его часть, как показано на
чертеже 42. Определить объем оставшейся части, если
длина дуги АВ равна 4,0, <£ДОВ=40°, ft = 6,0.
519.	Как изменится площадь круга, если его радиус
увеличить на 2?
6-й вариант
520.	Из точки А окружности проведены диаметр АВ и
хорда АС, которай продолжена за точку С на расстоя-
ние СК, равное АС. Доказать, что АВ=ВК.
'521. Вычислить суточный расход воды в трубе, диа-
метр которой равен 4,0 см, при скорости течения воды
15,0 см/сек.
522.	Окружность делится двумя ее точками в отноше-
нии 5:7. Найти отношение площадей получившихся
секторов.
Глава VIf
ПОВТОРЕНИЕ
523.	Один из внешних углов треугольника равен 42°.
Может ли какой-либо из других внешних углов треуголь-
ника быть равным 89°?
524.	Один из внешних углов треугольника равен
116°. Может ли быть равен 80° какой-либо из других
внешних углов треугольника?
525.	Одна сторона треугольника равна 30, другая —
29. Найти третью сторону, если известно, что она вдвое
больше одной из данных.
526.	Одна сторона треугольника равна 22, другая —
38. Найти третью сторону, зная, что она вдвое меньше
одной из данных.
55
527.	В равнобедренном треугольнике ЛВС биссектри-
ваугла А при основании пересекает высоту BD, опущен-
ную на основание АС, равную 10, в точке М, отстоящей
от боковой стороны на 4. На каком расстоянии точка М
находится от вершины В треугольника АВС?
528.	В равнобедренном треугольнике АВС точка пе-
ресечения биссектрисы угла А при основании и высоты
BD треугольника, равной 12, отстоит от вершины В на
8-д-_ На каком расстоянии эта точка находится от боко-'
вой Стороны?
529.	В треугольнике АВС АВ = ВС = 12. Перпендику-
ляр,’ проведенный к боковой стороне ВС через ее середи-
ну, пересекает основание А С в точке Е. Точка Е соедине-
на с вершиной В. Периметр треугольника АВЕ равен 26.
Найти основание АС треугольника АВС.
530.	В прямоугольном треугольнике один острый угол
равен 59°. Проведена прямая DE, пересекающая гипоте-
нузу в точке D, катет АС — в точке Е. Угол BDE равен
148°. Найти углы четырехугольника EDBC и треугольни-
ка A DE.
531.	Доказать, что перпендикуляры, опущенные из
концов какой-либо стороны треугольника на медиану
этой стороны, равны между собой.
532.	Один из углов треугольника равен 34°. Опреде-
лить острый угол, образованный биссектрисами двух дру-
гих углов треугольика.
533. Даны три параллельные прямые а, Ь, 4 с
(черт. 43). Доказать, что <£3=<)г1-|-<£2.
534. (Устно.) Прямые а и fli параллельны. Из точки
О опущены перпендикуляры на а и сц.
Как расположатся эти перпендику-
ляры?
535. Если через точку пересечения
биссектрис двух углов треугольника
АВС, прилегающих к одной стороне,
провести прямую, параллельную этой
стороне (KL\\AB), то отрезок прямой,
заключенный между двумя другими
сторонами треугольника, равен сумме
отрезков этих сторон, считая от треть-
ей стороны. Доказать, что KL=AK+BL.
Б6
' 536. Прямые АВ и CD пересекаются под углом. 28°.
Через произвольную точку проведены две другие прямые:
одна параллельно АВ, другая перпендикулярно CD. Най-
ти больший угол между проведенными прямыми.
537.	Даны две пересекающиеся прямые. Перпендику-
ляр к ,одной из них и параллельная к другой пересека-
ются под углом в 148°. Найти угол между данными пря-
мыми.
538.	(Устно.) Чему равна сумма двух *углов: одного
между биссектрисами двух внутренних углов треуголь-
ника, другого — между биссектрисами при тех же вер-
шинах внешних углов?
539.	Доказать, что в четырехугольнике угол, образо-
ванный биссектрисами двух углов, прилежащих к одной
стороне, равен полусумме двух других углов четырех-
угольника.
. .540. Из точки, взятой внуфри четырехугольника^ на
его стороны опущены перпендикуляры. Три угла между
этими перпендикулярами равны 79°, 92°, 137°. Найти уг-
лы четырехугольника.	.
541.	Построить фигуру, центрально симметричную
данному равностороннему треугольнику относительно
точки пересечения медиан.
542.	Начертите, какое положение займет равносторон-
ний треугольник, если его повернуть вокруг точки пере-
сечения высот: 1) на 60°; 2) на 90°.
543.	Дан квадрат. Начертить, какое он займет поло-
жение, если его повернуть вокруг точки пересечения его
диагоналей: 1) на 45°; 2) на 90°.
544.	Начертить, какое положение займет равнобед-
ренный прямоугольный треугольник АВС (угол' б пря-
мой), если его повернуть вокруг точки В на 45°.
545.	Построить фигуру, центрально симметричную
данной окружности, приняв за центр симметрии: 1) точ-
ку» лежащую вне этой окружности; 2) точку, лежащую
на. окружности; 3) центр окружности.
546.	Имеет ли центр симметрии: 1) равносторонний
треугольник; 2) две пересекающиеся прямые; 3) две па-
раллельные прямые; 4) равнобедренная трапеция; 5) две
равные окружности; 6) два равных и параллельных от-
резка; 7) прямой угол? Имеют ли эти фигуры оси сим-
метрии?
: 57
547.	Дан параллелограмм ABCD, диагонали которого
пересекаются в точке О. Сколько можно построить цент-
рально симметричных четырехугольников, для которых ;
точка О будет их центром симметрии?	|
548.	На какой угол и вокруг какой точки нужно по:
вернуть: а) параллелограмм; б) ромб; в) квадрат; г) рав- ?
посторонний треугольник, чтобы произошло самосовме-
щение.
549.	Разрезать равносторонний треугольник на четы-
ре треугольника так, чтобы из них можно-было сложить
два параллелограмма.
550.	На чертеже. трапеция ABCD задана тремя ее
вершинами А, В, С и точкой О пересечения ее диагона-
лей.,Как восстановить чертеж трапеции?
551.	Доказать, что прямая, проходящая через точку
пересечения диагоналей равнобедренной трапеции па-
раллельно ее основанию, делит угол между диагоналя-
ми пополам.
552.	Разделить параллелограмм прямой на равнобед-
ренный треугольник и трапецию.
553.	(Устно.) Могут ли все четыре внутренних угла
четырехугольника быть: тупыми, острыми, прямыми?
554.	Разделить четырехугольник на три равновеликие
части.	.	(
555.	Разделить прямоугольный треугольник с острым
утлом 30° на три равных прямоугольных треугольника.
556.	Разделить равнобедренную трапецию так, чтобы
из получившихся двух частей можно было сложить:
1) треугольник; 2) параллелограмм.
557.	Стороны равностороннего треугольника разде-
лить тремя прямыми так, чтобы на чертеже получились
три равновеликих параллелограмма и три равновеликие
трапеции.
' 558. Определить число сторон выпуклого многоуголь-
ника, если известно: 1) сумма внутренних углов много-
угольника равна сумме его внешних углов; 2) сумма
внутренних углов многоугольника вдвое меньше сум-
мы его внешних углов; 3) сумма внешних углов много-
угольника в два раза меньше суммы его внутренних
углов.
559.	Как изменится сумма углов выпуклого много-
угольника, если число его сторон: .1) увеличить на два;
2) увеличить в два раза?
58
560.	(Устно.) Чему равно отношение катета к гипоте-
нузе в равнобедренном прямоугольном треугольнике?
561.	(Устно.) Может ли отношение 6 катета к гипоте-
нузе быть: 6<1; 6=1; 6>1.
562.	(Устно.) Чему равно отношение гипотенузы пря-
моугольного треугольника к ее медиане?
563.	(Устно.) Почему в прямоугольном треугольнике
высота, проведенная к гипотенузе, меньше каждого из
катетов?
564.	В треугольнике высота равна 5, боковая сторона
13, а угол между основанием и другой боковой стороной
составляет 45°. Найти основание треугольника.
565.	Два угла треугольника равны 45° и 30°. Мень-
шая его сторона равна 4. Найти бблыпую сторону.
566.	В окружности О проведена хорда АВ и на ней
взята произвольная точка Р. Точка Р соединена с цент-
ром окружности. Доказать, что AP-BP—R2—(Р, где
R — радиус окружности, d — расстояние точки Р от цент-
ра О.
567.	Расстояние хорды от центра окружности равно
половине радиуса. На какие дуги делит эта хорда окруж-
ность?
568.	(Устно.) При каком расположении двух окруж-
ностей к ним можно провести только три общие каса-
тельные?
569.	Какую линию образуют центры всех окружно-
стей, касающихся двух данных концентрических окруж-
ностей?
570.	(Устно.) Вершина угла, опирающегося на диа-
метр, лежит внутри круга. Что можно утверждать о ве-
личине этого угла?
571.	(Устно.) Какие четырёхугольники могут быть
вписаны в окружность?
572.	Построить графики функций C=2kR и S=aR2?
V—a3, где а — ребро куба, V — его объем.
573.	Стороны угла . касаются данной окружности.
Какую линию опишет вершина этого угла, если, не из-
меняя своей величины, этот угол будет изменять свое
положение так, что его стороны будут касаться окруж-
ности?
574.	Доказать, что: 1) если общие внутренние каса-
тельное АС и BD двух окружностей взаимно перпенди-
кулярны, то сумма хорд AD и ВС, соединяющих точки
59
касания, равна линии центров ОС^; 2) если общие внеш-
ние касательные АВ и CD двух окружностей взаимно
перпендикулярны, то. разность хорд AD и ВС. со-
единяющих точки касания, равна линии центров ОО{.
Глава VIII
УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ РАЗВИТИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ
§ 1.	Вписать пропущенные слова
575.	Отрезок прямой короче..., соединяющей его
концы.
576.	Два отрезка называются равными, если их кон-
цы...’ движением.
577.	Из всякой точки, ..., можно опустить на прямую !
перпендикуляр, и притом только один.
578.	Два угла, у которых одна сторона общая, ..., на-
зываются смежными углами.
579.	Угол, смежный с ... углом многоугольника, назы-
вается внешним углом многоугольника.
580.	Замкнутая плоская кривая линия ..., все точки ко- •
торой одинаково удалены от одной точки, называется
окружностью; эта точка называется ... окружности.
581.	Равным дугам ... соответствуют равные централь-
ные углы.	'
582.	Из двух неравных хорд ... хорда ближе к центру.н
583.	Хорды, ... от центра равны.
584.	Биссектриса угла, ... треугольника есть одновре-
менно его медиана и высота.
585.	Равным наклонным, ..., соответствуют и равные
проекции.	’	5 •
586.	Если точка лежит на ..: отрезка, то она одина-
ково удалена от концов этого отрезка. ' z ’	-
587.	Если точка одинаково удалена от концов неко-
торого отрезка, то она лежит на ... этого отрезка. .
588.	В двух ... треугольниках против равных сторон
лежат ... углы.
589.	Если ... треугольника равны, то треугольник рав-
нобедренный.
590.	В треугольнике против ... стороны лежит боль-
ший (меньший) угол.	.. .
60 •
591.	Если сумма ... равна 180°, то прямые параллель-
ны,
592.	Если ... углы равны, то прямые параллельны.
593.	Если катет прямоугольного треугольника равен...,
то он лежит против угла в 30°.
594.	Внешний угол треугольника равен .... не смеж-
ных с ним.
595.	Если противоположные стороны четырехуголь-
ника, ... то он является параллелограммом.
596.	Если две противоположные стороны четырех-
угольника ..., то он является параллелограммом.
597.	Если диагонали четырехугольника .... то он яв-
ляется параллелограммом.
598.	Если диагонали параллелограмма ..., то парал-
лелограмм-квадрат.
599.	Если углы ... трапеции равны, то она равнобед-
ренная.
600.	Равнобедренная трапеция... ось симметрии.
601.	Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит ...
пополам.
602.	Дуги, ... двумя параллельными хордами, ... .
603.	Дуги, заключенные между касательной и ... ей
хордой, равны.
604.	Вписанные углы ..., опирающиеся на ..., равны.
605.	Прямая, перпендикулярная к радиусу в его кон-
це, ..., есть касательная к этой окружности.
606.	Если суммы обеих пар противоположных углов
четырехугольника равны, то около него ... .
607.	Если суммы противоположных сторон четырех-
угольника равны, то можно.....
608.	Если соответственные стороны двух треугольни-
ков равны, то треугольники ..., если же равны их соот-
ветственные углы, то треугольники ... .
§ 2.	Составление текстов задач по чертежу
609.	Дано: «£/=«£2, <Х-3=<Х4. Доказать, что
<£000=90° (черт. 44).
610.	Дано: «£/00=119° (черт. 45). Определить углы
12 3.
’ 611. Дано: 1) АС=ВС, ADd.BC, <С=35°. Опреде-
лить угол DAB.
2) АС=ВС, <£0=50°. Определить <£С/О и <£С
(черт. 46).
61

Черт. 45.
1) <СВ£=110°,
Черт. 47.
С
612. Дано: 1) <СВ£=110°,
АС=ВС (черт. 47). Определить
угол С.
2)	<С=45°, АС=ВС. Опре-
делить угол СВЕ.
613.	Дано: АС=ВС, <Л =
=2<С (черт. 48). Определить
углы В и С.
614.	Дано:АС=ВС,4С—2АВ,
периметр треугольника АВС ра-
вен 30. Определить АС и АВ
(черт. 49).
615.	Дано: а||&,	<Х1=<£2,
<£3=<£4 (черт. 50). Доказать:
«llv.
616.	Дано:	<£1=<£2,
<£3=<£4 (черт. 51). Доказать: ,
ы_1_о.
617.	Дано: <С=20°,
АС—ВС = СЕ (черт. 52).
Доказать: АВХВ£.
Е
Черт. 48. Черт; 49. .
В
Черт. 50.	Черт. 51.	"Черт. 52.
62
618.	Дано: с||6,	<1=20°,
«£2=55° (черт. 53). Определить
<3.
619.	Дано: <£1><£2 (черт.
54). Доказать, АС<ВС.
620.	Дано: АС<ВС (черт.55).
Доказать: <£1<<£2, <£3><£4.
621.	Дано: 1) KM = LM, АК=
—AL (черт. 56). Доказать: <£1 =
=<2„
2) Дано: KM-LAK, LM.LAL,
AK=AL (черт. 57). Доказать:
<1=<2.
622. Дано: 1) <£3=<£4, ЛВ =
— CD (черт. 58). Доказать, что
AE—DE.
2) AB=CD, <1=<2. Дока-
зать, что ВЕ=^СЕ.
€23. Дано: <С=<С1=90°,
<£1=<£2, АС—А1С1. Проверить
равенство, треугольников АВС 11
AiBiCi (черт. 59).
A	L
Черт. 56.
A L
&
A UB
Черт. 61.
Черт. 62.
Черт. 63.
624.	Дано: <1=<2, AB^Crft,
<£3=<£4 (черт. 60). Проверить спра-
ведливость равенства: ДЛВС=
= ДЛ1В1С1.
625.	Дано: ЛВ#ВС, <1=<2,
АВ —a, AD—b (черт. 61). Определить
DE и СЕ.
626.	Дано: СД#ЛВ, ЛВ=ЛД,
<£1:<£2=4:5 (черт. 62). Определить
<А и <£D.
627.	Дано: ABCD — трапеция, KL—
средняя линия, XL=10, a:b—3:7. Оп-
ределить а и b (черт. 63).
628.Дано: ^>АС:^ВС:^АВ—5:6:
:7 (черт. 64). Определить <£Л, <£В,
<С.
629. 1) а — касательная, ^ВАЕ—
=40° (черт. 65).^ВС:^ЛС=4:3. Оп-
ределить <£САВ.
2) <£ЛВС=70°, оЛВ:^ВС=4:7,
а — касательная. Определить <£1 и <£2
(черт. 66).
Черт. 64.
64
§ 3; Формулировка обратных,теорем
В упражнениях 630—652 даны тексты теорем и пред-
лагается учащимся написать обратные к ним теоремы,
а также установить верность обратных теорем для каж-
дого случая.
630. Сумма смежных углов равна 180°.
|	631. Вертикальные углы равны.
632.	1) Углы при основании равнобедренного тре-
угольника равны. -
2)	В равнобедренном треугольнике биссектриса угла
при вершине есть одновременно и медиана, и высота.
3)	В равностороннем треугольнике все углы равны.
633.	1) Если две наклонные, проведенные к прямой,
из одной и той же точки, равны, то равны и их проекции.
2)	Если из одной и той же точки проведены к пря-
мой две наклонные, то та из них больше, которая имеет
большую проекцию на эту прямую.
3)	Если какая-нибудь точка лежит на перпендикуля-
ре, проведенном через середину отрезка, то она одина-
ково удалена от концов этого отрезка.
4)	Если какая-нибудь точка лежит на биссектрисе
угла, то она одинаково удалена от сторон угла.
634.	Во всяком треугольнике против равных сторон
лежат равные углы.
635.	1) В равных треугольниках против равных сто-
рон лежат равные углы.
2) Катет прямоугольного треугольника, лежащий
против угла 30°, равен половине гипотенузы.
636.	Если катеты двух прямоугольных треугольников
равны, то равны и их гипотенузы.
637.	1) Если при пересечении двух прямых третьей
прямой внутренние (внешние) накрест лежащие углы
равны, то эти две прямые параллельны.
2)	Если какие-нибудь соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
3)	Если сумма каких-нибудь двух внутренних или
двух внешних односторонних углов равна 2d, то эти две
прямые параллельны.
638.	Во всяком параллелограмме:
1)	противоположные стороны равны;
2)	противоположные углы равны;
3)	две противоположные стороны равны и парал-
лельны.
5 П. Я. Великина	65
639.	1) В любом параллелограмме диагонали, пересе-
каясь, делятся пополам.
2)	У квадрата диагонали равны и перпендикулярны.
3)	У прямоугольника диагонали, равны.
4)	Параллелограмм имеет центр симметрии.
5)	Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и де-
лят углы ромба пополам.
640.	I) Углы при основании равнобедренной трапеции
равны.
2) Средняя линия трапеции параллельна основаниям
и равна их полусумме.
641.	Если диагонали, двух квадратов равны, то равны
и их площади.
642.	Если у двух треугольников а=аь то тре-
угольники равновеликие. .
643.	1) Если поверхности и объемы двух кубов равны,
то равны и их ребра.
2)	Если стороны прямоугольного треугольника изме-
рены одной и той же единицей, то квадрат длины гипо-
тенузы равен сумме квадратов длин катетов.
. 644. Если в окружности или в равных’ окружностях
равны центральные углы, то равны и соответствующие
им дуги.
645.	1) Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит
эту хорду и стягиваемые ею дуги пополам.
2)	Если прямая перпендикулярна к радиусу в конце
его, лежащем на окружности, то она касается окружно-
сти.
3)	Если касательная параллельна хорде, то точка
касания делит дугу, стягиваемую хордой, пополам.
646.	Большая хорда ближе к центру.
647.	Если радиусы двух окружностей равны, то равны
и длины этих окружностей.
648.	Если радиусы двух кругов равны, то равны и их
площади.
649.	Если равны радиусы двух шаров, то равны и их
поверхности и объемы.
650.	Около всякого правильного многоугольника мож-
но описать окружность.
651.	Если четырехугольник вписан в окружность, то
сумма его противоположных углов равна 2d.
652.	Если четырехугольник описан около окружности,
то суммы его противоположных сторон равны.
66
Глава IX
ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ. ПОДОБИЕ
§ 1.	Пропорциональные отрезки
653; На отрезке АВ длиной 10 ед. взята точка М так,
что AM ;ВМ —2:3. На продолжении АВ за точку В най-
ти такую точку N, чтобы A/V:BN=3:1, и определить
длину каждого из образовавшихся отрезков.
654.	АВ и BD— отрезки на одной стороне угла А; АС
и ЕС —отрезки на второй его стороне. Будут ли парал-
лельны прямые ВС и DE, если известно, что: I) AB:BD =
=3:2, АС=1,8. ЕС=1,2; 2) АС:ЕС=0,5:0,75, АВ=1Д
ВО=2,5?
655.	Через вершину В параллелограмма ABCD про-
ведена прямая, пересекающая продолжение стороны АО
в точке Е, а сторону СО — в точке Е. Определить отре-
зок ДЕ, если сторона АО равна 5, а BE:ЕЕ=3:2.
656.	Боковые стороны АО и ВС трапеции ABCD про-
должены до их взаимного пересечения в точке М.
1) Определить отрезок СМ, если AD:MD= :0,375,
ВС=5; 2) Определить отрезок ВС, если МС=4,5,
АО:МО=4- :0,25.
у
657.	Отрезок АВ, равный 78, разделен на части в от*
ношении -|-:0,8:	Определить каждую часть.
§ 2.	Подобие треугольников и многоугольников
658.	(Устно.) Подобны ли четырехугольники, если сто-
роны одного пропорциональны сторонам другого?
659.	(Устно.) Установить несколько признаков подо-
бия двух прямоугольников, двух ромбов, двух паралле-
лограммов.
660.	(Устно.) Можно ли пересечь две стороны тре-
угольника прямой, не параллельной третьей, так, чтобы
образовался треугольник, ему подобный?
661.	Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и
12. К гипотенузе в ее середине восставлен перпенди-
куляр, пересекающий продолжение меньшего катета. Оп-
ределить длину отрезка перпендикуляра, расположен-
ного внутри треугольника.
5*	57
662.	Доказать, что диаметр окружности, вписанной в
равнобедренную трапецию, есть средняя пропорциональ-
ная между ее основаниями. ,
663.	Из точки S, расположенной0вне окружности, про-
ведены две секущие SAB и SDE. Доказать, что -^5- ==
Lf'O
ES
= ЗУ , где А, В, D и Е— точки, преесечения секущих с
окружностью.
664.	Доказать, что высоты параллелограмма обратно
пропорциональны соответствующим им сторонам.
665.	Доказать, что две трапеции подобны, если соот-
ветственные стороны этих трапеций пропорциональны.
666.	В окружность вписан равнобедренный треуголь-
ник, основание которого равно 6, а боковая сторона — 5.
Определить площадь круга, определяемого данной ок-
ружностью.
66?. Высота прямоугольного треугольника, опущен-
ная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит пря-
мой угол в отношении 1:2. Доказать, что гипотенуза де-
лится основанием высоты в отношении 1:3.
668.	Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекают-
ся в точке О. Определить основания трапеции, если ее
средняя линия равна 24, а ЛО:СО=3:1.
669.	На окружности О, в которой проведены два пер- .
пендикулярных диаметра АВ и CD, взята точка Р. Пря-
мая ВР пересекает продолжение диаметра CD в точке Е.
Доказать, что OF-OE=r2, где F— точка пересечения
хорды АР с диаметром CD, г — радиус окружности.
670.	Сумма сходственных высот двух подобных тре-
угольников равна 36, коэффициент подобия треугольни-
ков равен 2. Определить высоты.
671.	В данный угол вписаны три окружности, сред-
няя из которых касается двух других. Доказать, что ра-
диус средней окружности является средней пропорцио-
нальной величиной между радиусами крайних окружно-
стей.
672, Радиус окружности равен 8, хорда АВ —12.
В точке А проведена касательная, а из точки В — хорда,
параллельная касательной. Определить расстояние меж-
ду касательной и хордой.
673.	В окружность вписан четырехугольник ABCD.
Доказать, что если касательные к окружности в верши-
68
нах А и С четырехугольника пересекаются на продолже-
нии его диагонали BD, то	»
674.	Две окружностр пересекаются в точках А и В.
Через точку А проведены к окружностям касательные,
пересекающие окружности в точках Ь и С. Доказать,
ЛС« вс
ЧТ0 AD* BD '
675.	Угол С треугольника АВС равен 120°. Доказать,
что биссектриса этого угла треугольника равна
(а и Ь — стороны, заключающие данный угол).
676.	Ферма моста ограничена дугой АМВ окружно-
сти О. Высота фермы равна 3,0, длина пролета —12,0.
Определить радиус дуги АМВ.
677.	Доказать, что радиус окружности, проходящей
через середины сторон треугольника, равен половине
радиуса окружности, описанной около этого треуголь-
ника.
678.	Доказать, что отрезок прямой, лежащий внутри
трапеции и проходящий через точку пересечения ее диа-
гоналей параллельно основаниям, делится этой точкой
пополам.
679.	Дана окружность О и вне ее точка Р. На отрез-
ке ОР найти такую точку М, чтобы отрезок касательной,
проведенной к окружности из этой точки, был равен МР.
680.	Три прямые исходят из одной точки. Доказать,
что если по одной из них движется какая-либо точка, то
расстояния ее от двух других прямых сохраняют одно
и то же отношение.
681.	Точки М и N являются серединами сторон АВ и
CD параллелограмма ABCD, Отрезки DM и BN пересе-
каются диагональю АС соответственно в точках Ai и
а отрезки AN и МС пересекают вторую диагональ в точ-
ках Di и Bi. Доказать, что четырехугольник AiBiCiDi
есть параллелограмм, подобный и подобно расположен-
ный данному, причем отношение их соответственных сто-
рон равно
682.	Основание АВ и высота CD равнобедренного тре-
угольника АВС соответственно равны 3 и 4. Через вер-
шины А и В и середину О высоты CD треугольника про-
ведены прямые, пересекающие боковые стороны в точ-
ках К и L. Вычислить площадь треугольника CKL.
ф
683.	Угол В треугольника АВС тугюй. Проведены вы-
сотыВО и СЕ {D и Е—основания высот). Доказать, что
треугольники АВС и ADE подобны.
684.	Прямоугольники вписаны в треугольник * так,
что две вершины каждого прямоугольника лежат на его
основании, а две другие — на боковых сторонах.. Дока-
зать, что если периметры вписанных прямоугольников
равны, то с = /1с.
685.	Доказать, что если площади двух прямоуголь-
ных треугольников относятся как квадраты их гипотенуз,
то треугольники подобны.
686.	Из произвольной точки D, взятой на^ основании
АВ треугольника АВС, проведены две прямые, парал-
лельные сторонам ВС и АС, пересекающие-их соответ-
ственно в точках F и /С Доказать, что сумма длин ок-
ружностей, описанных около треугольников ADK и DBF,
равна длине окружности, описанной около треугольни-
ка ЛВС.
687. Доказать, что если через точку, взятую внутри
окружности, провести две пересекающиеся хорды, то про-
изведение отрезков одной из них равно произведению
отрезков другой.
688.	В окружность вписан четырехугольник, произ-
ведения противоположных сторон которого равны. Дока-
зать, что касательные, проведенные в двух противопо-
ложных вершинах четырехугольника, пересекутся на пря-
мой, проведенной через вторую пару противоположных
вершин (или параллельны ей).
689.	Доказать, что произведение двух сторон треуголь-
ника равно произведению диаметра описанной около
него окружности и высоты, опущенной на третью сто-
рону.	
690.	Доказать, что во всяком четырехугольнике со
взаимно перпендикулярными диагоналями, вписанном в
окружность, сумма квадратов каждой пары противопо-
ложных сторон равна квадрату диаметра этой окруж-
ности.
691.	В концах диаметра АВ окружности О проведены
касательные. Касательная, проведенная в произвольной
точке N этой окружности, пересекает первые ’две каса-
тельные и диаметр соответственно в точках /(, L и М.
, КМ KN
LM ~~ LN ’
Доказать, что
70
692.	Две окружности пересекаются в точках А и В.
Касательные к окружностям в точке А пересекают окруж-
ности в точках М и N. Доказать, что середины хорд-ДМ
н AN и точки А и В принадлежат одной окружности.
695.	Углы В и D четырехугольника ABCD прямые.
Из точки М, взятой на диагонали АС, проведены пря-
мые МР и MQ, соответственно перпендикулярные пря-
ЛП П	МР 1 М Q .
мым ВС и AD. Доказать, что	= L
694.	Определить высоту, опущенную на боковую сто-
рону равнобедренного треугольника, если боковая сторо-
на и основание соответственно равны 10 и 12.
695.	Диаметр АВ данной окружности продолжен за
точку В. Через точку С, расположенную на продолже-
нии этого диаметра, проведена прямая CD перпендику-
лярно АВ. Доказать, что если произвольную точку М
перпендикуляра CD соединить с точкой А и обозначить
через вторую точку пересечения прямой AM с окруж-
ностью, то произведение АА( -AM имеет постоянное зна-
чение.
696.	Из точки /(, делящей пополам дугу АВ окруж-
ности О, проведена произвольная хорда, пересекающая
хорду АВ. Доказать, что произведение секущей хорды
на ее отрезок от точки К до точки пересечения с хор-
дой АВ равно квадрату хорды АК.
697.	В равнобедренном треугольник? АВС с основа-
нием АВ вписана окружность с центром 0, Определить
отношение отрезков высоты треугольника, проведенной
из вершины С, на которые она делится точкой О, если
ВС=30, 4В=48.
698.	Доказать, что квадрат биссектрисы треугольника
равен разности между произведением заключающих ее
сторон и произведением отрезков третьей стороны, на ко-
торые сторона делится биссектрисой.
699.	В произвольной точке D гипотенузы АВ прямо-
угольного треугольника АВС восставлен к ней пер-
пендикуляр, пересекающий катет ВС в точке Е, а про-
должение катета АС — в точке К, Доказать, что
AD-BD=DK-DE,
700.	Доказать, что для всякого треугольника радиус
описанной окружности равен частному от деления произ-
ведения сторон треугольника на его учетверенную пло-
щадь.
71
А	в пендикулярных хорд окружности,
Черт. 67.	равная 9, делится второй, хордой на
две, части в отношении 1:2. Найти
расстояние каждой хорды от центра окружности и пло-.
щадь соответствующего ей круга, если один отрезок вто-
рой хорды равен 2.
702.	Паркетная плитка, имеющая форму ромба с
диагоналями 30 и 40, окаймлена рамкой, площадь кото-
рой равна площади плитки. Определить ширину рамки.
703.	Какой длины должна быть поднога стропильной
фермы, если длина стропильной ноги равна .10, а длина
ригеля составляет от длины затяжки (АВ— затяжка,
KL — ригель, АС— стропильная нога, АК — поднога)
(чёрт. 67).	,	•
704.	Пролет треугольной строительной фермы АВ ра-
.	СО	1	„
вен а. а уклон равен —. Определить длину рас-
коса £W, если известно, что DN = BN (чер. 68).
705.	Построить треугольник по следующим условиям,
а) по двум сторонам и биссектрисе угла между ними;
б) по стороне а, отношению сторон сг.Ь и углу' С.
706.	Построить треугольник по углу А, стороне а и
отношению двух других сторон.
707.	Построить прямоугольный треугольник по его
периметру и отношению катетов.
708.	Построить треугольник по высоте и отношению
сторон (hb—8, a:b:c=2:3:4). -
709.	Построить треугольник по следующим данным:
hc, А, а:Ь.
§ 3.	Свойство биссектрисы угла треугольника
.	710. (Устно.) Чему равны углы между биссектриса-
ми острых углов в прямоугольном треугольнике?
711.	(Устно.) В равностороннем треугольнике пррведе-
ныДйе медианы. Чему равен острый угол между ними?.
72
712.	(Устно.) Биссектриса прямого угла треугольни-
ка делит гипотенузу на части в отношении 2:5. В каком
отношении высота делит гипотенузу?
713.	Дан треугольник АВС, в котором угол В туцрй.
Построена окружность, касающаяся сторон АВ и ВС,
имеющая центр О на стороне АС. Найти отношение
АО-.ОС, если 4В = 20, ВС=30.
714.	Вычислить углы треугольника, в котором высо-
та и медиана, проведенные из одной вершины, делят
угол при этой вершине на, три равные части.
715.	В окружность О вписан равнобедренный тре-
угольник АВС, боковая сторона которого равна 10, а вы-
сота, опущенная из вершины С на основание, равна 6.
Найти отрезки, на которые делится боковая сторона тре-
угольника биссектрисой угла при основании, и радиус
окружности.
716.	По двум сторонам треугольника и биссектрисе
угла между ними определить отрезки третьей стороны,
если биссектриса равна 24 см, а стороны, ее заключаю-
щие, равны 45 см и 20 см.	,	, ,
717.	Доказать, что в треугольнике АВС, у которого
разность углов при основании АВ равна прямому углу,
биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине
С равны.
718.	В треугольнике АВС сторона АС делится бис-
сектрисой внутреннего угла В на отрезки 40=12,
С0 = 3. Найти радиус окружности с центром на прямой
АС, проходящей через точки В и О.
719.	Углы А и В треугольника АВС соответственно
равны 30° и 50°. Доказать, что стороны треугольника
связаны соотношением а =—, где а, Ь, с — стороны
треугольника.	.	*
§ 4.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
'720. Сформулировать условия подобия двух равно-
бедренных треугольников.
721.	В треугольниках АВС и 41-BjCi угол В) равен
углу С, а угол В — углу 4ь Определить стороны тре-
угольников, если АС—2, В]С1=4, сторона 4jCj больше
стороны АВ на 2,2, 4jB] = 2,8. '
73
722.	Построить треугольник, если дано: /пс, <£С, а:5.
2-й вариант
723.	Дан равнобедренный треугольник. Провести
прямую, не параллельную его сторонам, которая отсекает
от данного треугольника ему подобный. То же длй пря-
моугольного треугольника.
724.	Коэффициент подобия двух подобных треуголь-
ников АВС и равен 1,5 (А1В1:АВ = 1,5). Прове-
дены биссектрисы углов С и С\. Определить длину бис-
сектрис, если их разность равна 4.
725.	Построить треугольник, если дано: 1е, <С и а.Ь
(1е — биссектриса угла С).
3-й вариант
726.	Через вершину А квадрата ABCD проведена
прямая, пересекающая сторону CD в точке Е, а продол-
жение стороны ВС — в точке F. Указать на чертеже по-
добные треугольники.
727.	Высоты АЕ и CD треугольника АВС пересекают-
ся в точке Н. Определить эти высоты, если их сумма
равна 18, АЯ = 8, С// = 4.
728.	Построить треугольник по его углам А и В и
биссектрисе угла С.
4-й вариант
729.	Будут ли подобны два ромба с равными пери-
метрами?
730.	Основания трапеции равны 21 и 9-|-, а боковые
стороны —10 и 15. Отрезок прямой, проведенный. парал-
лельно основаниям, равный 14, делит эту трапецию на
две подобные между собой трапеции. Определить сторо-
ны трапеций.
731.	Стороны двух подобных треугольников относятся
как 3:4, а разность их площадей равна 70. Определить
площади этих треугольников.
5-Й вариант
732.	Найти условия подобия двух ромбов, двух пря-
моугольников.
733.	Через вершину А основания АВ равнобедренного
треугольника АВС и середину высоты CD проведена пря-
74
мая, которая пересекает боковую сторону ВС треуголь-
ника в точке L. Доказать, что CL:BL= 1:2,
734.	Наибольшие стороны двух подобных многоуголь-
ников равны 15 и 5, а разность их периметров равна 80.
Чему равны периметры этих многоугольников?
6-й вариант
735.	Стороны угла .4 пересечены одной прямой в точ-
ках К и L, а второй прямой — соответственно в точках
М и N, причем KL'.MN—-^ :0,25, AM —15. Какова долж-
на быть длина АК, чтобы данные прямые были парал-*
лельны?
736.	Через вершину А квадрата ABCD, сторона кото-
рого равна 4, проведена прямая, пересекающая сторону
CD в точке Е, а продолжение стороны ВС — в точке М.
Определить отрезок AfC/если DE:CE=3:2.
737.	Определить периметры двух подобных треуголь-
ников, если их сходственные стороны относятся как
— :0,2, а разность их периметров равна 20.
7-й вариант
738.	Угол D трапеции ABCD равен углу АСВ. Опре-
делить диагональ АС, если средняя линия трапеции рав-
на 8, а основания относятся как 3:5.
739.	На продолжении стороны АВ (за точку В) парал-
лелограмма ABCD взята точка F. Определить отрезок
BF, если АВ = 10, АЕ:СЕ=4,5:3 (Е— точка пересечения
прямой DF с диагональю АС),.
740.	Из вершины прямого угла прямоугольного тре-
угольника опущена высота на гипотенузу. Назвать по
чертежу три пары подобных треугольников. *
8-й вариант
741.	Радиус окружности равен 8, хорда АВ равна 12.
Через точку А проведена касательная, а из точки В —
хорда ВС, параллельная касательной. Определить рас-
стояние. между касательной и хордой.
742.	В треугольнике АВС угол В тупой. Проведены
высоты BD и СЕ (D и Е — основания высот треуголь-
ника). Доказать, что треугольники АВС и ЛОЕ подобны.
75
743.	Будут ли подобны треугольники, на которые раз*
бивает треугольник его биссектриса, его высота? Рас-
смотреть различные случаи.
9-й вариант	*
744.	В концах диаметра АВ окружности О проведены
касательные. Касательная, проведенная в точке N этой
окружности пересекает первые две касательные и диа-
метр соответственно в точках К, L и М. Доказать, что
КМ _ KN
LM ~ LN '
745.	В окружность вписан четырехугольник ABCD.
Доказать, что если касательные к окружности в верши-
нах четырехугольника А и С пересекаются на продол-
жении его диагонали BD, то произведения противопо-
ложных сторон четырехугольника равны;
746.	Стороны одного треугольника больше сторон
другого на 2. Подобны ли эти треугольники?
10-й вариант
747.	Основание АВ и высота CD равнобедренного тре-
угольника АВС равны соответственно 3 и 4. Через вер-
шины А и В и середину О высоты CD данного тре-
угольника проведены прямые, пересекающие боковые
стороны в точках К и L. Найти отрезок KL.
748.	Доказать, что если высота разностороннего тре-
угольника разбивает его на два подобных треугольника,
то данный треугольник прямоугольный.
749.	Доказать, что два ромба подобны, если они име-
ют по равному острому углу.
Глава X
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ОСТРОГО И ТУПОГО УГЛА
§ 1.	Решение прямоугольного треугольника
750.	На крышке парового цилиндра диаметра 350 мн
требуется просверлить 8 отверстий для болтов. Опреде-
лить расстояния между центрами этих отверстий
(черт 69), если центры должны отстоять от краев крыш-
ки на 50 мм.
.76
751.	Определить, какие углы а
(конусность) имеют конусы Мор-
зе (черт. 70). D»12,3 мм,
</»9,4 мм, Ifn 54 мм,
(Конусы Морзе употребляют-
ся для закрепления инструмен-
тов в сверлильных, фрезерных и
других станках. Они бывают под
номерамй 0—7, но конусность у
них одна.)
752.	Вычислить длину парал-
лели земного шара под географи-
ческой широтой ф, если радиус земного шара равен R.
753. Требуется провести железную дорогу между
пунктами 4 и В, удаленными друг от друга (по прямой
линии) на расстояние 12,5 км. Почвенные условия за-
ставляют провести железную дорогу в форме дуги, радиус
R которой равен 8 км. Определить длину железнодорож-
ной линии.
754.	Определить положение центра тяжести однород-
ной пластинки, имеющей вид прямоугольного треуголь-
ника, если длина одного катета равна 8 см, а прямая
линия, соединяющая середины обоих катетов, наклонена
к одному из них под углом 63*30'.
755.	Построением и решением прямоугольного тре-
угольника определить высоту предмета, к основанию ко-
торого можно подойти.
756.	Какую силу надо приложить к вагону весом 8,0 т,
чтобы удержать его в равновесии на рельсовом пути, на-
клоненным к горизонту под углом 28'?
Черт. та
757.	С наблюдательногопункта: замечают под углом
(р’ЗО' самолет, пролетающий над башней, высота кото-
рой 79,5 м. Прямая из того же наблюдательного пункта
к верхушке башни образует с горизонтальной плоскостью
угол 20’45'. На какой высоте находится самолет?
758.	На наклонной плоскости, составляющей с гори-
зонтом угол 20’45', находится тело весом 40 кг. Опреде-
лить, с какой силой оно стремится скатиться;по. наклон-
ной плоскости и какое давление оно производит на эту
плоскость.
759.	Силы в 7,25 кг я 10,3 кг действуют на одну и ту
же точку тела под прямым углом друг к другу. Опреде-
лить равнодействующую этих сил и углы, образуемые ею
с каждой из составляющих.
760.	Около окружности описана равнобедренная тра-
пеция с периметром 2р и острым углом а. Определить
площадь трапеции.
761.	Около окружности описан ромб с острым углом в.
Вычислить периметр и площадь ромба, если его большая
диагональ равна d.
762.	Диагональ прямоугольника равна d, а острый
угол между диагоналями равен а. Вычислить площадь
прямоугольника при d«7,5 см, а «43° 15';
763.	Меньшая диагональ параллелограмма с острым
углом а равна его меньшей стороне а. Вычислить пло-
щадь параллелограмма.
764.	Ромб со стороной а делится диагональю на два
равносторонних треугольника. Определить его площадь
и радиус окружности, вписанной в ромб.
765.	Высота равнобедренного треугольника, опущен-
ная на его боковую сторону, равна h, а острый угол при
основании рацен а. Определить площадь треугольника.
766.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
10. Квадрат, построенный на катете Ь, составляет. 0,75
площади квадрата, построенного на гипотенузе. Найти
основные элементы треугольника.
767.	Вычислить площадь кругового сектора, если ра-
диус окружности равен 7,0, а хорда, стягивающая дугу,
сектора, равна 8,5.
768.	В круге О проведен диаметр АВ, равный 14,08,
и хорда АС, делящая полуокружность АСВ на части
в отношении 3:5 (считая от точки Л). Определить рас-
стояние центра до хорды АС и площадь сектора АОС.
78
769.	На стороне данного угла <р на расстоянии а от
его вершины дана точка М. Найти на этой стороне такую
точку N, чтобы отрезок MN был равен расстоянию точки
N до второй стороны угла.
770.	Диагональ равнобедренной трапеции, равная dt
перпендикулярна к боковой стороне и является биссек-
трисой угла при основании, равного 60®. Определить
площадь трапеции.
. 771. Практическая работа. Из вершины С пря-
мого угла прямоугольного треугольника АВС опустить
высоту CD. Обозначив катеты треугольника через а и
гипотенузу — через с, высоту — через Л, отрезки гипоте-
нузы— через р и q. заполнить таблицу, рассматривая
каждый из образовавшихся треугольников на чертеже:
sin А	h 1		
cos А		ъ с	
tg А			h
Используя таблицу, доказать следующие зависимости:
а) а2=ср; б) b2—cq\ в) h2—pq\ г)	д) a2-j-b2==
=c®; прочитать и записать каждое равенство слонами.
772, Катет прямоугольного треугольника равен 6, а
его проекция на гипотенузу равна 3,6. Определить гипо-
тенузу и второй катет. •
773.	Из вершины прямого угла прямоугольного тре-
угольника проведена высота, разделяющая гипотенузу
на отрезки 4 и 9. Определить катеты данного тре-
угольника.
774.	В прямоугольный треугольник с катетами 5 и 12
вписана окружность. Определить расстояние центра
окружности до высоты, опущенной на гипотенузу.
775, Стороны прямоугольника, равные 8 и 15, спроек-
тированы на его диагональ. Вычислить полученные про-
екции.
776.	Из вершины прямого угла прямоугольного тре-
угольника проведены высота и медиана, соответственно
равные 12 и 15. Определить стороны треугольника.
777,	Из точки А, взятой вне окружности О радиуса
15, проведены к ней касательные АВ и АС. Определить
79
площадь круга, построенного на отрезке ВС как на диа-
метре, если расстояние тбчки А до центра данной окруж-
ности равно 25.
778.	Из вершины С прямого угла прямоугольного тре-
угольника АВС опущен перпендикуляр CD на гипотену-
зу. На отрезке CD как на диаметре построена окруж-
ность, которая на катетах АС и ВС отсекает хорды тип.
Определить катеты.
779.	В прямоугольном треугольнике катеты равны 75
и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием
опущенной на нее высоты, как на диаметрах построены
полуокружности, расположенные от гипотенузы по одну
сторону с данным треугольником. Определить отрезки ка-
тетов, заключенные внутри этих полуокружностей.
780.	Через гипотенузу А В прямоугольного треуголь-
ника АВС проведена плоскость Р. Расстояние от верши-
ны С до этой плоскости Р равно Л. Определить гипотену-
зу АВ, если катеты наклонены к плоскости Р под угла-
ми а и р.
781.	Из точки S, взятой вне плоскости Р, проведены
перпендикуляр, равный h, и две наклонные, составляю-
щие с плоскостью Р углы 30° и 45е. Определить отре-
зок, соединяющий основания наклонных, если угол меж-
ду проекциями наклонных равен 90°.
782.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда,
равная d, образует с плоскостью основания угол а. Опре-
делить объем параллелепипеда, если диагональ основа-
ния делит угол в отношении 1:2.’
783.	Основанием прямой призмы служит ромб со сто-
роной а и острым углом а. Определить боковую поверх-
ность и объем призмы, если ее меньшая диагональ со-
ставляет с плоскостью основания угол р.
784.	Сторона АВ треугольника АВС находится на
плоскости Р, а две другие стороны наклонены к этой
плоскости под углами аир. Определить проекции сто-
рон АС и ВС на плоскость Р, если расстояние вершины
С до ллоскости Р равно h.
§ 2.	Решение остроугольных и тупоугольных
треугольников
785.	Доказать, что для прямоугольного треугольника
справедливы зависимости: a*«2Stga; 62«»2Sctga, где
а, Ъ, с — стороны треугольника, а S —его площадь.
80
786.	Доказать, что высота треугольника делит осйбва-
ние его на части, обратно пропорциональные тангенсам
прилежащих углов.
787.	В треугольнике АВС угол А равен 55°30', проти-1
волежащая ему сторона равна 7, а прилежащая—8. Най-
ти третью сторону, углы В и С и его площадь.
788.	Доказать, что биссектриса внутреннего угла тре-
угольника делит противоположную ему сторону на части,
обратно пропорциональные синусам прилежащих к ней
углов.
789.	Доказать свойства биссектрис внутреннего и
внешнего углов треугольника, пользуясь теоремой сину-
сов.
790.	В равнобедренном треугольнике угол при осно-
вании равен а. Найти отношение площади треугольника
к площади вписанного в него круга.
791.	Вычислить площадь трапеции, если ее основания
равны а и с, а прилежащие к одному из них углы равны
а и р.
792.	Стороны параллелограмма равны а и Ъ, а угол
между диагоналями равен а. Найти площадь параллело-
грамма. .
793.	В треугольнике один из его углов равен а и со-
ставлен сторонами а и Ъ. Определить третью сторону при
о, равном 45°, 60®, 90°.
794.	В Окружности О проведены диаметр CD и па-
раллельная ему хорда АВ. На диаметре или на его про-
должении взята произвольно точка М. Доказать, что
сумма АМ2+ВМг не зависит от положения хорды при
заданном положении точки М.
795.	В квадрат ABCD вписан равнобедренный тре-
угольник AEF (точка Е лежит на стороне ВС, точка F —
на стороне. СО и AE=AF). Тангенс угла AEF равен 3.
Найти косинус угла FAD.
796.	В окружность О вписан прямоугольник, диаго-
наль которого равна d, а угол между диагоналями равен
а. Найти отношение площади круга к площади прямо-
угольника.
797.	В треугольнике даны сторона а и прилежащие к
ней углы аир. Найти остальные стороны и площадь
треугольника.
798.	Основания равнобедренной трапеции равны а и
с (с>а). Диагональ BD образует с нижним основанием
6 п. Я. Великина	81 .
угол а. Найти боковую сторону, площадь и диагональ
трапеции.
799.	В окружность радиуса /? вписан треугольник,
два угла которого равны, а и р. Определить его стороны
и площадь.
S00.	Силу, равную 23 кг, требуется разложить на две,
составляющие с направлением данной силы углы соот-
ветственно 47* и 54°. Определить величину каждой из
этих сил.
801.	Две стороны треугольника равны а и Ь, а угол
ими составленный, равен 120°. Найти высоту, опущенную
на третью сторону.
. 802. В треугольнике даны сторона а и два прилежа-
щих к ней угла а и р. Найти длину биссектрис ха, Хь.
803.	Вычислить диагонали параллелограмма, в кото-
ром угол равен 112’30', а стороны соответственно равны
а и Ь,_	.	,
804.	Диагональ параллелограмма, равная 6,8, обра-
зует с одной стороной его угол 62°; сторона эта равна 5,7.
Вычислить другую сторону и площадь параллелограмма.
805.	В треугольнике АВС даны две стороны Ь и с
и угол А, равный ЗО0. Найти сторону равнобедренного
треугольника, площадь которого равна площади дан-
ного.
,806. Вычислить площадь круга, описанного около тре-
угольника, у которого одна сторона равна 5, а прилежа-
щие к ней углы равны ЗТ’ЗО' и 79е.
807.	В окружность вписан треугольник, одна сторона
которого равна с, а прилежащие к ней углы — 60’ и 45°.
Найти отношение площади круга к площади треуголь-
ника.
§ 3.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
808.	Сторона ромба равна, 3,2, а острый угол — 63’.
Определить его диагонали и площадь.
809.	Диагональ прямоугольного параллелепипеда об-
разует с его основанием угол а. Определить его боковую
поверхность и объем, если диагональ основания равна d,
а отношение сторон основания равно 1:2.
82
2-й вариант '	-
810.	Средняя линия равнобедренной трапеций равна
8,0, одно основание больше другого на 8Д Определить
периметр и площадь трапеции, если угол при большем
основании равен а.
811.	Определить объем и поверхность цилиндра, если
его высота равна 5,6 а диагональ осевого сечения состав-
ляет с основанием угол, равный 57*15'.
3-й вариант
812.	В окружности проведены диаметр АВ и перпен-
дикулярная к нему хорда CD. Определить длину ду-
ги CAD, если длина хорды С£> равна 5,5, а ее расстояние
до центра —1,5.
813.	Основанием прямоугольного параллелепипеда
служит квадрат со стороной, равной 4,0. Определит!»
объем параллелепипеда, если его диагональ наклонена-
к плоскости основания под углом 47°15'.
4-й вариант
814.	Высоты параллелограмма относятся как 3:4.
Вычислить углы параллелограмма и его площадь, если
его периметр равен 42.
815.	Диагональ прямоугольника равна 15, а смеж-
ные стороны относятся как 3:4. Прямоугольник свернут
в цилиндр. Определить его поверхность и объем.
5-й вариант
816.	Доказать, что произведение расстояний центра
окружности, вписанной в треугольник, до его вершин
равно частному от деления куба радиуса окружности на
произведение синусов половин углов треугольника.
817.	Основанием прямой призмы служит равнобед-
ренный треугольник АВС, в котором боковая сторона АС
равна 6,7, а угол при основании — 50°1(У. Определить бо-
ковую поверхность призмы, если диагональ большей бо>-
ковой грани составляет со стороной основания угол 62*.
6-й вариант
818.	В прямоугольном треугольнике АВС с гипоте-
нузой АВ угол В равен 37°13', а радиус R описанной ок-
ружности равен 6,4. Определить углы, на которые делит
угол А медиана, проведенная к стороне а.
6*	83
819.	Вычислить объем прямоугольного параллелепи-
педа, если его высота равна h, диагональ наклонена к
плоскости основания под углом а, а ее проекция на
плоскость основания образует с одной из сторон осно-
вания угол р.
7-й вариант
820.	Определить площадь общей части двух пересе-
кающихся кругов, если их радиусы равны 6,0 и 5,0, а их
общая хорда равна 6,0.
821.	Основанием прямой призмы служит параллело-
грамм ABCD, диагональ BD которого является одной из
его высот, сторона АВ равна а, острый угол — а. Опреде-
лить объем призмы, если ее меньшая диагональ накло-
нена к плоскости основания под углом р.
Глава XI
ВПИСАННЫЕ И ОПИСАННЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
§ 1.	Вписанные и описанные многоугольники
' 822. (Устно.) Около окружности описан четырехуголь-
ник. Могут ли его стороны относиться как 1:3:5:4?
823.	(Устно.) Три последовательные стороны четырех-
угольника, описанного около окружности, относятся:
1) как 1:3:4; 2) как 3:5:7. Определить его стороны, если
периметр четырехугольника равен 30.
824.	(Устно.) Для нахождения центра круга пользу-
ются центроискателем. На каком свойстве устроен этот
прибор?
825.	(Устно.) Как расположен центр окружности, опи-
санной около треугольника, если его углы относятся:
1) как 1:2:3; 2) как 3:4:5; 3) как 1:1:4.
826.	Найти площадь прямоугольной трапеции, опи-
санной около окружности, если ее меньшая боковая сто-
рона равна 8, а острый угол при основании равен 30°.
827.	Около окружности радиуса 3,5 описан ромб с
острым углом 30°. Определить площадь части ромба, рас-
положенной вне окружности.
828.	Около окружности описана равнобедренная тра-
пеция, периметр которой в m раз больше длины окруж-
ности. Определить углы трапеции (т=2),
84
§ 2.	Правильные многоугольники*
829.	(Устно.) На какой угол нужно повернуть пра-
вильный треугольник вокруг его центра, чтобы он сов-
местился сам с собой?
830.	(Устно.) Найти отношение центрального угла
правильного многоугольника к его внешнему углу.
831.	(Устно.) Сколько осей симметрии имеет правиль-
ный многоугольник?
832.	(Устно.) Какой правильный многоугольник имеет
центр симметрии?
833.	Наибольшая диагональ правильного многоуголь-
ника составляет с его стороной угол, равный 67,5°. Сколь-
ко сторон у этого многоугольника?
834.	Чему равны диагонали правильного шестиуголь-
ника, если его сторона равна а?
835.	Определить число сторон правильного много-
угольника, если внешний угол многоугольника равен -д-
его внутреннего угла.
836.	В окружность О радиуса г вписан четырехуголь-
ник ABCD. Доказать^ что хорда AD равна хорде ВС,
если АВ—г, BC=rj[2, CD=r]/3. Выявить вид четырех-
угольника ABCD.
837.	Пусть АВ, ВС, CD — три последовательные сто-
роны правильного многоугольника, имеющего центр в
точке О. Доказать, что если продолжить стороны АВ
и CD до их взаимного пересечения в точке Oi, то
четырехугольник OiAOC может быть вписан в окруж-
ность.
838.	Сторона АВ правильного треугольника АВС точ-
ками М и N делится на три равные части. Эти точки со-
единены с вершиной С. Определить углы, образованные
прямыми СМ и CN со сторонами АС и ВС.
839.	Из точки, находящейся вне окружности, на рас,
стоянии d от центра проведены две касательные, состав,
ляющие угол ф. Определить площадь правильного тре-
угольника, вписанного в эту окружность, если d«12,0,
Ф л? 25 3 .
840.	Вычислить площадь клумбы, имеющей форму
правильного пятиугольника, если расстояние от ^верши-
ны пятиугольника до середины противоположной'сторо-
ны равно d(d«9,4 jw).
85
841.	Какими равными правильными, многоугольника -
ми могут быть плитки, чтобы ими -выложить паркетный
пол?.
842.	Дан правильный шестиугольник со стороной а.
Из каждой его вершины описана окружность радиусом,
равным половине его стороны. Определить площадь той
части шестиугольника, которая остается вне окружно-
стей.	,
843.	Три окружности радиуса г попарно внешне каса-
ются. Определить площадь криволинейного треугольни-
ка, образованного этими окружностями, если г «3,0.
,844. Четыре окружности радиуса г попарно внешне
, касаются. Определить, площадь криволинейного четырех-
угольника, образованного меньшими дугами этих окруж-
ностей, если г «3,0.
845.	Длина окружности радиуса г разделена на шесть
равных частей. Из точек деления как из центров прове-
дены окружности радиуса г, которые своим пересечением
образуют шестилепестковую розетку. Вычислить пло-
щадь розетки.
846.	Из вершин прямоугольного треугольника с кате-
тами 3 и 4 как из центров описаны три попарно касаю-
щиеся окружности. Вычислить радиусы этих окружно-
стей и определить площадь криволинейного треугольни-
ка, образованного дугами этих окружностей.
847.	В круге радиуса г проведены две параллельные
хорды, соответственно равные аз и а6 (а3— сторона пра-
вильного вписанного треугольника, аъ — сторона пра-
вильного вписанного шестиугольника). Определить часть
площади круга, ограниченную хордами. Рассмотреть
случай, когда центр расположен между хордами, и слу-
чай, когда центр не расположен между ними.
848.	В круг радиуса г вписан правильный четырех-
угольник, а в него вписан круг. Во второй круг вписан
правильный треугольник. Определить отношение площа-
дей четырехугольника и треугольника.
849.	В круг вписан правильный четырехугольник со
стороной, равной а. Определить площадь правильного
восьмиугольника, вписанного в этот же круг.
- 850. Доказать, что площадь правильного треугольни-
ка равна а3, где а — сторона треугольника.
«6
851.	В окружность радиуса г вписаны правильные
треугольник и шестиугольник. Найти отношение их пло-
щадей.
852.	Около правильного треугольника со стороной,
равной а, описана и в него вписана окружность. Опре-
делить площадь кольца.
853.	Две окружности радиуса г расположены так, что
каждая проходит через центр второй. Определить пло-
щадь круга, вписанного в криволинейный треугольник,
Имеющий своими вершинами центры окружностей и од-
ну из точек их пересечения.
854.	Около равнобедренного треугольника с боковой-
стороной, равной 2, описана окружность. Определить
часть площади круга, расположенную вне треугольника,
если отношение высоты, опущенной на основание, к ра-
диусу описанной Окружности равно 1:2.
855.	Высота CN треугольника АВС равна 10. На ка-
ком расстоянии от вершины С нужно провести прямую,
параллельную противоположной стороне АВ, чтобы тре-
угольник разделился на две равновеликие части?
856.	Каждая из двух сторон треугольника разделена
в отношении 1:2:3. В каком отношении находятся площа-
ди частей треугольника, рассеченного прямыми, соединя-
ющими соответственные точки деления, к площади дан-
ного треугольника?
857.	Найти отношение площади данного треугольника
к площади треугольника, имеющего своими сторонами
медианы данного,треугольника.
858.	Середина К стороны АВ квадрата ABCD соеди-
няется с точками С и D; середина L стороны CD этого
квадрата соединяется с точками А и В. Выявить вид че-
тырехугольника, образованного построенными прямыми,
и доказать, что его площадь составляет площади
квадрата.
859.	Точки Е и F являются серединами сторон АВ и
ВС квадрата ABCD, а М — точкой пересечения прямых
СЕ и DF. Доказать, что площадь треугольника DM С со-
ставляет пятую часть площади квадрата.
860.	Из точки М, взятой на окружности, радиуса R,
проведены две хорды МА и МВ. Определить хорду АВ,
если хорда МА равна /?. а хорда МВ равна	,
87
861.	На стороне Л В правильного вписанного треуголь-
ника АВС как на основании построен равнобедренный
треугольник, боковая сторона которого равна стороне
правильного вписанного в эту окружность четырехуголь-
ника. Определить отрезки, на которые делится ради-
ус ОС вершиной М, построенного равнобедренного тре-
угольника АВМ.
§ 3.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
862.	Чему равно отношение радиусов вписанной и
описанной окружностей около правильного треугольни-
ка?
863.	Отношение числа сторон двух правильных мно-
.гоугольников равно 2:3, а отношение пары внутренних
углов равно 6:7. Определить число сторон каждого мно-
гоугольника.
864.	Является ли ромб правильным четырехугольни-
ком?
2-й вариант
865.	В окружность вписаны квадрат и правильный
шестиугольник. Периметр шестиугольника равен 18. Оп-
ределить площадь квадрата.
866.	В четырехугольнике проведены все биссектрисы
внутренних углов. Доказать, что пересечением биссект-
рис образовался четырехугольник, около которого можно
описать окружность, или же все биссектрисы имеют об-
щую точку.'
867.	Является ли прямоугольник правильным четы-
рехугольником? (Ответ обосновать.)
3-й вариант
' 868. Определить диаметр валика, если он опилен под
квадрат со стороной, равной 10,1.
869.	Черед вершину угла С треугольника АВС прове-
дены его внутренняя и внешняя биссектрисы, а из вер-
шины В восставлен перпендикуляр к стороне АВ, пере-
секающий внешнюю биссектрису в точке К. Доказать,
что около четырехугольника CDBK можно описать ок-
ружность (точка D лежит на стероне АВ)>
?" ч88 "
870.	Найти отношение сторон правильного вписанно-
го шестиугольника и описанного квадрата около одной и
той же окружности.
4-й вариант
871.	Середины сторон правильного шестиугольника
соединены попарно между собой. Доказать, что получен-
ный шестиугольник тоже правильный и что площадидан-
ного и полученного шестиугольников относятся как 4:3.
872.	В окружность О вписан правильный треугольник
АВС. Из вершины С проведена хорда СМ, на которой
взята точка N так, что CN=AM. Доказать, что треуголь-
ник BMN тоже правильный.
873.	Сколько осей симметрии имеет правильный ше-
стиугольник? (Ответ обосновать.)
5-й вариант
874.	Определить число сторон правильного много-
угольника, у которого центральный угол меньше .его
внутреннего на 36°.
875.	Общая хорда двух пересекающихся окружностей,
равная 6,0, служит для одной окружности стороной пра-
вильного вписанного четырехугольника, а для другой —
стороной правильного вписанного треугольника. Опре-
делить расстояние между центрами окружностей.
876.	Две стороны треугольника, вписанного в окруж-
ность радиуса R, равны R и /?УЗ. 1) Определить третью
сторону треугольника и сформулировать теорему, обрат-
ную той, с помощью которой решена задача. 2) Где рас-
, положен центр окружности?	•
6-й вариант
877.	Доказать, что центральный угол правильного
многоугольника равен внешнему углу многоугольника.
878.	Центры двух пересекающихся окружностей рас-
положены по одну сторону от их общей хорды, равной 4;
хорда в одной окружности служит стороной правильного
вписанного четырехугольника, а в другой — стороной
правильного вписанного шестиугольника. Вычислить
длину линии центра.
879.	Сторона правильного вписанного в окружность
треугольника больше стороны вписанного в эту же ок-
ружность квадрата на 4 единицы. Определить площадь
круга.
.89,
Г лаза X11
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЁЛ
§ 1. Призма и пирамида
880.	Сколько квадратных метров оцинкованного-же-
леза требуется на изготовление бака, имеющего форму
прямоугольного параллелепипеда, вмещающего 2700 л
воды, если его основанием служит прямоугольник раз-
мером 1,8 мХ 1,2 м?
881.	Чугунная-деталь имеет форму бруска разме-
ром 50,0X40,0X25 мм (черт. 71). В этом бруске про--
фрезерован паз в виде ^ласточкина хвоста». Определить
вес детали, если размеры сечения паза таковы:
а 25,0 мм', fr «15,0 мм, h »12,0 мм, I ж 50,0 мм.
. 882. Силосйая башня, имеющая форму правильной
восьмиугольной призмы со стороной основания, равной
2,80 м, и высотой — 7,50 м, покрыта крышей в виде вось-
миугольной пирамиды. Определить: 1) сколько листов
кровельного железа размером 1,4X0.7 м потребуется для
покрытия башни, если высота пирамиды равна апофеме
основания; 2) сколько тонн силоса вместит башня, если
удельный вес силоса равен т|- ГIcMXi
883. Сколько полотна 0,60 м шириной нужно на па-
латку, имеющую форму правильной четырехугольной
пирамиды, если сторона основания равна 3,0 м, а апофе-
ма— 5,0 м? (Расходы материала на швы составляют
8% боковой поверхности пирамиды.)
884. Диагональ бо-
ковой грани правиль-
ной треугольной приз-
мы составляет со сто-
роной основания угол,
равный а. Определить
поверхность и объем
призмы, если сторона
основания призмы рав-
на а.
885.	Определить объ-
ем правильной четырех-
угольной призмы, его-
90
рона основания которой равна а, если диагональ призмы
наклонена к плоскости ее оснований под углом 45°.
886.	Наибольшая диагональ правильной шестиуголь-
- ной призмы составляет с плоскостью ее основания угол а.
Определить поверхность и объем призмы, если сторона
основания призмы равна а. Начертить развертку призмы,
если а=45°, а=4 см.
887.	Основанием прямой призмы служит ромб, сторо-
жа и меньшая диагональ которого равна 5,0. Определить
..объем призмы, если’ее меньшая диагональ равна 13,0.
; .888. Основанием прямой призмы служит равнобед-
ренная трапеция, диагональ которой является биссект-
рисой острого угла, равного 2а. Средняя линия трапеции
равна 10,0, а ее основания относятся как 3:7. Определить
объем призмы, если ее диагональ наклонена к плоскости
основания под углом 0.
889.	Доказать, что плоскость, проходящая через сто-
рону основания треугольной пирамиды и середину про-
тивоположного ребра, делит ее на две равновеликие пи-
рамиды.
890.	Доказать, что если боковые ребра пирамиды
равны, то ее вершина проектируется в центр окружности,
описанной около ее основания.	' .
891.	Боковые ребра треугольной пирамиды равны.
Найти условия, при которых вершина пирамиды проек-
тируется: 1) на ее основание; 2) на одну из сторон осно-
вания; 3) вне основания.
892.	(Устно.) Какого вида многоугольник может слу-
жить основанием пирамиды, если ее боковые ребра рав-
ны между собой?
893.	Вычислить полную поверхность четырехуголь-
нбй пирамиды, у которой все ребра равны а.
894.	Сторона основания правильной треугольной пи-
рамиды равна а, а боковое ребро, равное b наклонено к
плоскости основания под углом а. Определить боковую
поверхность и объем пирамиды.
895.	Боковая поверхность правильной четырехуголь-
ной пирамиды равна 48. Определить объем пирамиды,
есди сторона основания и апофема пирамиды относятся
как 2:3.
, 896. Диаметр t/ окружности, описанной около основа-
ния правильной шестиугольной пирамиды, равен его бо-
ковому ребру а. Определить угол наклона бокового реб-
91
ра к плоскости основания и объем пирамиды, если аж
«6,0. Построить развертку пирамиды.
897, (Устно.) Основанием четырехугольной пирами-
ды служит прямоугольник. Вершина пирамиды проекти-
руется в центр основания. Что можно сказать о боковых
ребрах пирамиды.
898.	Основанием пирамиды служит прямоугольник со
сторонами 5,0 и 12,0. Определить объем пирамиды, если
ее вершина проектируется в точку пересечения диагона-
лей основания, а боковое ребро равно диагонали осн'ова-
ния. ,	. .
899.	(Устно.) Определить полную поверхность тре-
угольной пирамиды, каждое ребро которой равно а.
900.	Основанием пирамиды служит правильный ше-
стиугольник со стороной а. Одно из боковых ребер пер-
пендикулярно к плоскости основания и равно его сторо-
не. Определить каждое боковое ребро пирамиды.
901.	(Устно.) Основанием пирамиды служит равно-
бедренная трапеция, а ее каждое боковое ребро рав-
но 13,0. Определить объем пирамиды, если радиус опи^
санной окружности около основания равен 5,0, а площадь
основания равна Q.
902.	Боковое ребро правильной четырехугольной пи-
рамиды, равное 10,0 образует с ее высотой угол 30°. Оп-
ределить объем пирамиды.
903.	Объем правильной 'четырехугольной пирамиды
равен V, а высота — Я. Определить апофему пирамиды.
904.	Как из шести равных отрезков построить четыре
равносторонних треугольника?
905.	У четырехугольной пирамиды все ребра равны.
Определить объем пирамиды, если ее боковая поверх-
ность равна 25f3.
906.	Практическая работа. Вычисление по-
верхностей и объема геометрических моделей и деталей
непосредственным измерением.
Примечание. При решении задач на вычисление поверх-
ностей и объемов геометрических тел использовать таблицы и
'логарифмическую линейку.
§ 2. Конус и цилиндр
907.	Угол между образующей и осью конуса ра-
вен 45°, образующая равна 6,5, Определить боковую по-
верхность конуса.
92
9С8. (Устно.) Высота прямого конуса равна 4,0, а диа-
метр основания — 6,0. Определить поверхность и объем
конуса.
909.	Доказать, что <р=360° sin-1-, где <р—угол разверт-
ки конуса, р — угол осевого сечения конуса.
910.	(Устно.) Чему равен угол развертки равносто-
роннего конуса (конус, у которого осевое сечение явля-
ется равносторонним треугольником)?
911.	Определить поверхность и объем равносторонне-
го конуса, если его образующая равна I.
912.	(Устно.) Может ли угол развертки поверхности
конуса равняться 360°?
913.	Определить угол развертки конуса, если диаметр
его основания равен 8,0, а образующая равна 5,0.
914.	Четверть круга свернута в коническую поверх-
ность. Доказать, что образующая соответствующего ко-
нуса относится к радиусу основания как 4:1.
915.	Боковая поверхность конуса равна 36л, а обра-
дующая конуса в три раза больше радиуса основания.
Определить объем конуса.
916.	Образующая конуса наклонена к плоскости осно-
вания под углом 60°. Определить объем конуса, если
длина окружности основания равна С.
917.	Доказать, что если высота конуса равна, больше
или меньше радиуса его основания, то угол при верши-
не осевого сечения конуса будет соответственно прямым,
острым или тупым.
, 918. Форма цистерны для хранения нефти представ-
ляет собой цилиндр в нижней части и конус в верхней.
Радиус основания цилиндра равен 6,0 м, высота — 5,0 м,
образующая конуса — 7,5 м. Определить объем цистерны,
919. Жестяной сектор с углом развертки 120° и радиу-
сом, равным 5,0 см, свернут в коническую поверхность,
основание которой закрыто жестяным кругом. Опреде-
лить полную поверхность конуса.
920.	Определить вес металла, который необходимо
высверлить из квадратного железного вала для посадки
в нем конусной шпильки длиной 1,5 см и диаметром
0,8 см (удельный вес железа равен 7,8 Г /см3).
921.	Сектор с углом, равным 270°, свернут в кониче-
скую поверхность. Определить площадь этой поверхно-
сти, если радиус сектора равен 7,1.
93
622.	Практическая работ а. Раздать учащимся
весколько мотков медной проволоки и предложить им
определить длину проволоки, если ее удельный вес ра-
вен &, 8. Г/см3.,
923.	Практическая работа. В цилиндр, напол-
ненный водой, опустить деталь неправильной формы и
по разности уровней воды в цилиндре определить объем
детали.
924.	Практическая рэ бот а. Вычисление поверх-
ностей и объемов цилиндров и конусов (но моделям) не-
посредственным измерением их элементов с помощью
штангенциркуля, мерной вилки, центроискателя и дру-:
гих приборов. Вычисления вести с пбмощыо таблиц и ло-
гарифмической линейки.
1	925. В железном цилиндре высверлена коническая
воронка, радиус которой равен радиусу основания ци-
' линдра, а высота — половине высоты его. Во сколько раз
цилиндр стал легче?
926.	Из железной детали цилиндрической формы, ра-
диус основания которой равен г, а высота —h, высверли-
ли отверстие цилиндрической формы, имеющее ту же вы-
соту, а радиус основания в два раза меньший. Опреде- *
лить объем и полную поверхность полученной детали
(ось у обоих цилиндров общая).
927.	Одно бревно в три раза толще, но в три раза ко-
роче другого. Найти отношение их весов. Какой должна
быть длина второго бревна, чтобы их веса были равны?
§ 3. Шар
928.	(Устно.) При каком условии шаровой сегмент
можно назвать шаровым сектором?
929.	(Устно.) Радиусы двух шаров относятся как 1:2.
Чему равно отношение их поверхностей и объемов?
930.	(Устно.) Как изменятся поверхность и объем ша-
ра, если радиус увеличить (уменьшить) в ге раз?
931!. Найти зависимость между диаметрами трех сфер,
если поверхность одной из них равна сумме поверхностей
двух других сфер.
932.	Радиусы двух сфер равны г и Определить от-
резок их‘ общей внешней касательной, если расстояние
между центрами сфер равно d.
933.	На каком расстоянии находится глаз наблюда-
94	.
теля от центра шара радиуса 5,0, если он вадит шар под
углом 60°?
 934. Доказать, что поверхность шара-диаметра 2г рав-
на полной поверхности цилиндра, радиус основания и
высота которого равны г,
935.	Найти парные отношения объемов цилиндра, ша-
ра и конуса, если диаметры и высоты цилиндра и конуса
равны диаметру шара (тела Архимеда).
936.	Определить радиус шара, если его объем содер-
жит столько кубических единиц, сколько квадратных еди-
ниц содержит его поверхность.
937.	Объемы шара и цилиндра равны. Определить
высоту цилиндра, если радиус шара, равный трем, равен
радиусу основания цилиндра.
938.	Угол при вершине осевого сечения конуса прямой.
Найти отношение объемов конуса и шара, если радиус
шара равен радиусу основания конуса.
939.	В цилиндрический сосуд, у которого диаметр ос-
нования равен 20,0 см, налита вода до высоты 15,0 см.
В воду опущен шар, радиус которого равен 6,0 см. До
какой высоты поднялась вода в сосуде?
940.	Свинцовый шар диаметром 6,0 см сплющен а
круглый лист толщиной 1,8 мм. Определить диаметр ли-
ста.
941.	Из железного шара, весящего Р кг* выпиливает-
ся куб, диагональ которого равна диаметру шара. Опре-
делить вес отходов железа (удельный вес железа равен
7,8 Г 1см*),
942.	Найти вес полого шара, если
наружный диаметр его равен 160,0 мм,
» внутренний ~ 110,0 мм (удельный вес
металла равен 7,5 Г/см3).
943.	Чугунный шар покрыт брон-
зовой оболочкой 2,5 мм толщиной.
Сколько граммов бронзы израсходова-
но на это покрытие, если диаметр шара
равен 7,5 ел?
944.	Определить поверхность и объ-
ем шарового пальца рулевого управ-
ления машины по размерам, данным
на чертеже 72 (шаровой палец нахо-
дится в переднем мосту любой автома-
шины). О «6,0, d«2,5, /«6,4.
Черт. 72.
945.	Поверхность шара радиусом 2 равна поверхности
конуса, образующая и радиус основания которого Отно-
сятся как 2:1. Определить объем конуса.
§ 4.	Примерные контрольные работы
1-й вариант
946.	Основанием прямой призмы служит правильный
треугольник, вписанный в круг радиуса боковые гра-
ни ее — квадраты. Определить объем призмы.
947.	Высота и образующая конуса относятся как
12:13. Определить полную поверхность конуса, .если его
объем равен 800 псм3.
948.	Радиус основания цилиндра увеличен в четыре
раза, а высота уменьшена во столько же раз. Как изме-
няется поверхность и объем цилиндра?
2-й вариант
949.	Определить боковую поверхность правильной
треугольной призмы, если сторона основания равна а, а
угол, составленный диагональю боковой грани СО сторо-
ной основания, равен а.
950.	Сторона основания правильной четырехугольной
пирамиды равна а, а угол наклона бокового ребра к
плоскости основания а. Определить объем пирамиды.
951.	Вычислить обьем’равностороннего конуса по раз-
вертке его боковой поверхности, равной S.
3-й вариант
952.	По готовой модели шара определить его поверх-
ность и объем, пользуясь мерной вилкой или штангенцир-
кулем.
953.	Охарактеризуйте углы (черт. 73), образованные
элементами прямоугольного параллелепипеда.
954.	Диагональ осевого сечения цилиндра образует с
плоскостью его основания угол 43°15'. Определить объ-
ем цилиндра, если его высота равна 6,1 см.
4-й вариант
955.	Сколько потребуется серебра на серебрение 40
медных шариков диаметром 2,5 см, если покрыть их сло-
ем серебра 0,02 мм?
96
956.	Сектор радиуса г с центральным углом 60° свер-
нут в конус. Определить объем конуса.
957.	Охарактеризовать: углы (черт. 74), образован-
ные линейными элементами правильной четырехугольной
пирамиды.
5-й вариант
958.	Боковое ребро правильной треугольной пирами-
ды наклонено к плоскости основания под углом 55°10', а
радиус описанной окружности около основания равен
4,2.	Определить объем пирамиды.	-
959.	Полукруг радиуса г свернут в коническую по-
верхность. Определить полную поверхность и объем ко-
нуса.
960.	Как относятся поверхности -(объемы) куба и ша-
ра, если ребро куба равно диаметру шара?
6-й вариант
961.	В правильной четырехугольной пирамиде апофег-
ма наклонена к плоскости основания под углом 53°20',
а радиус описанной окружности около основания ра-
вен 4,2. Определить объем пирамиды.
962.	Определить боковую поверхность и объем кону-
са, если образующая конуса наклонена к плоскости осно-
вания под углом а, а радиус основания равен г.
963.	Диагональ осевого сечения цилиндра равна 5,0,
а высота—4,0. Определить объем цилиндра,
7 п. Я. Великина	97
Глава Xlll	»
ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
§ 1.	Осевая симметрия
964.	Сколько осей симметрии имеют две данные точки?
965.	Построить две оси симметрии двух пересекаю-
щихся прямых.
966.	На сторонах угла взяты две точки на равных
расстояниях от его вершины. Доказать, что эти точки
симметричны относительно биссектрисы угла.
967.	Даны два равных отрезка. Построить две оси,
отражая от которых (последовательно) один из отрез- £
ков, можно получить второй отрезок.	I
968.	Доказать, что если треугольник имеет две оси |
симметрии, то он имеет и третью ось симметрии.	|
969.	Доказать, что треугольник равнобедренный, ес- ,
ли' его медиана и биссектриса, выходящие из одной вер-
шины, совпадают.
970.	Доказать, что треугольник равносторонний, если
центр вписанной в него окружности совпадает с точкой
пересечения его медиан.
971.	Сколько осей симметрии имеет треугольник?
972.	Сохраняется ли ориентация при осевой симмет-
рии?
973.	Доказать, что прямые а и b и симметричные с '*
ними относительно оси прямые oj и пересекаются под
равными углами, т. е. <(’a,6)e<(ai,&i).
974.	Доказать, что серединные перпендикуляры к
двум симметричным относительно оси отрезкам симмет-
ричны относительно той же оси.
975.	Отрезки АВ, ВС, CD выпуклой ломаной линии
ABCD равны. Углы В и С, составленные отрезками ло-
маной линии, также фавны. Доказать, что BC\\AD.
976.	Доказать, что сумма расстояний любой точки ос- i
нования равнобедренного треугольника до боковых сто- |
рон равна высоте, опущенной на боковую сторону.
977.	Назвать типы параллелограммов, вписываемых |
в окружность.
978.	Сколько осей симметрий имеет окружность?	t
979.	Построить фигуры, симметричные треугольнику, *
четырехугольнику, окружности относительно данной оси.
•98
980.	Как измерить расстояние между недоступными
вершинами двух углов, пользуясь осевой симметрией?
981.	Две окружности пересекаются в точках Л и В.
Доказать, что их общая хорда АВ симметрична сама се-
бе относительно линии центров данных окружностей.
982.	Назовите четырехугольники, имеющие только од-
ну ось симметрии.
983.	В четырехугольнике ABCD AB=AD, ВС—DC.
Доказать, что четырехугольник имеет ось симметрии,
984.	Доказать, что точка, симметричная ортоцентру
треугольника относительно середины стороны треуголь-
ника, лежит на описанной около него окружности.
985.	Построить равнобедренный треугольник по осно-
ванию и высоте, опущенной на нее.
986.	Дан угол с недоступной вершиной S и произ-
вольная точка М. Провести через точку М прямую так,
чтобы она проходила через недоступную вершину S,
987.	Дан угол с недоступной вершиной S. Удвоить
этот угол.
988.	Даны два угла а и at, симметричные относитель-
но оси MN. Доказать, что биссектрисы углов тоже сим-
метричны относительно оси MN.
989.	Дан треугольник АВС с недоступной верши-
ной А. Опустить из вершины А на сторону ВС перпенди-
куляр.
990.	Два равных треугольника приложены друг к дру-
гу. равными сторонами. Является ли прямая, содержа-
щая общую, сторону, осью симметрии для полученного
четырехугольника?
991.	Вершины А, В, С треугольника недоступны. По-
строить отрезки, равные сторонам треугольника.
992.	Дана прямая / и точки А и В по разные стороны
от нее. На прямой I найти точку М, чтобы разность рас-
стояний ее от точек А в В была наибольшей.
993.	Даны прямая I и две точки А и В по одну сторо-
ну от нее. Найти на прямой I такую точку М, чтобы сум-
ма АМ + ВМ была наименьшей.	'
994.	Дан угол XOY и внутри него точка А. Найти на
его сторонах такие точки В и С, чтобы треугольник АВС
имел наименьший периметр.
. 995. Построить треугольник по сторонам а и b и раз-
ности а углов А—В.
7*
99
996.	Две окружности пересекаются в точках А и В.
Точки А и В соединены между собой и с центрами О и
О| окружностей. Доказать, что прямая OOi является
осью симметрии треугольников АОО\ и ВООЬ
997.	Почему диаметр окружности, перпендикулярный
к хорде, делит эту хорду пополам?
998.	Две окружности пересекаются в точках А а В.
Построить ось, относительно которой точка А симметрич-
на В.
999.	Даны две окружности равных радиусов. На-
звать оси симметрии данных окружностей.
1090.	Дан угол с недоступной вершиной 3 и на одной
из сторон угла точка Af. Определить расстояние от точ-
ки М до недоступной вершины.
§ 2.	Центральная симметрия
1001.	Назовите геометрические фигуры, имеющие
центр симметрии.'
1002.	Даны два равных и параллельных отрезка. По-
строить их центр симметрии.
1003.	Имеют ли две пересекающиеся прямые центр
симметрии?
1004.	Сохраняется ли ориентация при центральной
симметрии?
1005.	Доказать, что если четырехугольник обладает
центральной симметрией, то он параллелограмм.
1006.	Найти геометрическое место центров симметрии
двух параллельных прямых.
1007.	Выяснить, будет ли фигура, состоящая из трех
прямых, из которых две параллельны, а третья их пере-
секает, иметь центр симметрии.
1008.	Какие правильные многоугольники имеют центр
симметрии?
1009.	В окружности О проведены две равные и парал-
лельные хорды. Найти их центр симметрии.
1010.	Точка М отражается последовательно от двух
перпендикулярных прямых. Доказать, что после второго
отражения получим точку Л42, симметричную точке Л4 от*
носительно точки пересечения данных прямых.
1011.	Точка М отражена относительно середин сторон
треугольника АВС. Доказать, что отраженные точки Mt,
М2 и М$ являются вершинами треугольника MiM2M9,
равного данному треугольнику АВС,
100
1012.	Точка М отражается относительно вершин, тре-
угольника последовательно в точки Mi, Л12, М3. Доказать,
что середина отрезка, соединяющего начальную точку М
с точкой Ма, не зависит от выбора точки М.
1013.	Доказать, что точки, симметричные с произволь-
ной точкой Л1 относительно середин сторон четырех-
угольника, являются вершинами параллелограмма.
1014.	Точка отражается последовательно около вер-
шин параллелограмма. Доказать, что после четвертого
отражения она займет исходное положение.
1015.	На прямой даны два равных отрезка АВ и CD.
Построить их центр симметрии.
1016.	В параллелограмме ABCD проведена диаго-
наль АС. Доказать, что окружности, описанные около
треугольника АВС и ACD, равны между собой, и найти
их центр симметрии.
1017.	Через диаметрально противоположные точки А
и В окружности проведены параллельные хорды АС и
BD. Доказать, что хорда CD есть диаметр окружности.
1018.	Построить центрально симметричный шести-
угольник.
1019.	Через центр симметрии параллелограмма про-
ведены две произвольные секущие, пересекающие соот-
ветствующие пары противоположных сторон. Доказать,
что точки пересечения секущих являются вершинами па-
раллелограмма.
1020.	Около окружности описан шестиугольник, у ко-
торого противоположные стороны попарно параллельны.
Доказать, что они попарно равны.
1021.	Треугольники АВС и AtBiCt симметричны отно-
сительно точки О. Доказать, что точки Mt и пересече-
ния медиан этих треугольников симметричны относи-
тельно точки О.
1022.	Доказать, что если прямая I, пересекающая
равные окружности Oi и О2, делит пополам отрезок ли-
нии центров этих окружностей, то окружности О] и О2
высекают на Z равные хорды.
1023.	Точка М — центр симметрии параллелограм-
ма ABCD; N, S, Р, Q — точки пересечения медиан тре-
угольников ABM, CDM, BCM, ADM. Доказать, что че-
тырехугольник NSPQ — параллелограмм.
1024.	Четырехугольник ABCD — параллелограмм, Qi
и Q2 —центры окружностей, вписанных в треуголь-
loi
ник АВС и ADC. Доказать, что отрезки AC, BD, QiQ2
пересекаются в одной точке.
1025.	Привести примеры фигур, имеющих бесконеч-
ное число центров симметрии.
1026.	Построить отрезок, соответствующий данному
в преобразовании центральной симметрии с*центром в
данной точке О. (Циркулем и линейкой.)
1027.	Построить прямую, соответствующую данной
прямой в преобразовании центральной симметрии с дан-
ным центром О.
1028.	Построить четырехугольник, который имеет
центр симметрии в данной точке О. Каков вид этого че-
тырехугольника? Сформулировать и доказать теорему,
подтверждающую ответ.
1029.	Доказать, что любая прямая, проходящая через
точку пересечения диагоналей параллелограмма, делит
его на две равные фигуры.
1030.	Существует ли центр симметрии у треугольника,
пятиугольника?
1031.	(В параллелограмме ABCD последовательно сое-
динены середины всех его сторон. Выявить вид получен-
ного четырехугольника.
1032.	Дана трапеция ABCD. Построить соответствую-
щую ей фигуру в преобразовании центральной симмет-
рии. г
1033.	В параллелограмме ABCD отложены отрез-
ки AM — CN на .противоположных сторонах AD и ВС.
Доказать, что точки М и JV симметричны относительно
центра симметрии параллелограмма.
1034.	Доказать, что график функции у — х3 г- цент-
рально симметричная фигура,относительно начала коор-
динат.
1035.	Доказать, что две равные окружности, касаю-
щиеся внешним образом, симметричны относительно точ-
ки касания.
,	§ 3. Параллельный перенос
1036.	Доказать, что углы при основании равнобедрен-
ной трапеции равны.
1037.	Точка А отражена от точки М, и полученная
точка Д] отражена от точки N в точку А2. Доказать, что
AA2 = 2MN и AA2\\MN.
КЙ
1	1038. С помощью каких преобразований можно ок-
ружность преобразовать в равную ей окружность?
1039, Доказать, что в равнобедренном треугольнике
разность расстояний каждой точки, взятой на продолже-
нии основания, до его боковых сторон или их продолже-
ний есть величина постоянная, равная высоте, опущенной
на боковую сторону.
1040.	Определить величину угла, вершина которого не
помещается на чертеже.
1041.	Определить отрезок, соединяющий середины ос-
нований трапеции, если известны все ее стороны. 1
1042.	Две параллельные прямые р и q пересечены
третьей прямой s. Построить равносторонний треуголь-
ник с данной стороной так, чтобы его вершины находи-
лись на прямых р, q и S,
1043.	Доказать, .что диагонали равнобедренной тра-
пеции равны.
1044.	Отрезок,, соединяющий середины двух противо-
положных сторон четырехугольника, равен полусумме
двух других его сторон. Доказать, что четырехуголь-
ник— трапеция.
1045.	Точка А отражается последовательно около че-
тырех сторон прямоугольника PQRS, сперва относитель-
но PQ; полученную точку Л1 относительно QR и т. д. До-
казать, что полученная точка Л< находится от точки А
на расстоянии, не зависящем от выбора исходной точки.
1046,	В равнобедренной трапеции острый угол равен
60°. Доказать, что меньшее основание равно разности
большего основания и боковой стороны.
1047.	Построить трапецию:
а) по разности оснований, боковым сторонам и одной
диагонали; б) по ее основаниям и диагоналям.
1048.	Построить треугольник по двум его сторонам и
разности противолежащих им углов.
1949.	Построить трапецию по разности ее оснований,
двум ее острым углам и диагонали.
§ 4.	Вращение
1050.	Даны две точки. Найти геометрическое место
центров вращений, переводящих одну точку в другую.
1051.	Отрезок АВ повернуть на угол <р около данного
центра О.
103
1052.	Даны две пересекающиеся прямые. Найти ге-
ометрическое место точек, около которых можно осуще-
ствить поворот одной прямой, чтобы она совпала с дру- !
грй. Определить угол поворота.
1053.	Прямая а повернута около одной точки на
угол а, и полученная прямая а\ повернута около другой
точки в том же направлении на угол 0. Доказать, что по-
лученная после второго поворота прямая а2 образует с
прямой а угол а+0.
1054.	Некоторая точка А повернута около одной дан- '
ной точки на угол 90°, и полученная точка At повернута
около второй данной точки на такой же угол в том же	,
направлении. Доказать, что середина отрезка, соединя-	;
ющего точку А с полученной точкой Аг, не зависит от
выбора точки Л.
1055.	Вращением на какой угол около своего центра
равносторонний треугольник (квадрат) может быть сов-
мещен сам с собой?	।
1056.	Доказать, что если поворотом около точки О
на 90° четырехугольник может быть совмещен сам с со-
бой, то этот четырехугольник — квадрат, а О — его
центр.	.
1057.	Две равные окружности пересекаются. На какой *
угол надо повернуть одну из них около точки их пересе-
чения, чтобы она совпала с другой окружностью?
1058.	Даны две равные окружности. Найти геометри-
ческое место точек, около которых можно осуществить
вращение одной окружности, чтобы она совпала с дру- ;
гой окружностью?
1059.	В треугольнике АВС угол В равен 15°, угол С —
30°. В вершине А к стороне АВ восставлен перпенди-
куляр, пересекающий сторону ВС в точке D. Доказать,
что отрезок BD вдвое больше стороны АС.
1060.	Построить равносторонний треугольник так, что-
бы его вершины лежали на трех параллельных прямых.
1461. Построить треугольник по данной стороне ,а
углу <р, прилежащему к ней, и сумме двух других
сторон.
1062. Дан ромб ABCD, острый угол В которого ра-	|
вен 60°.- Прямая MN отсекает от сторон ВС и CD отрез-	|
ки СМ и CN, сумма которых равна стороне ромба. Дока- i
зать, что треугольник AMN равносторонний.
1®4
§ 5.	Гомететня н педебие
1063; (Устно;) Какая взаимосвязь существует между
центральной симметрией и гомотетией?
1064.	(Устно.) В каком случае гомотетичные фигуры
равны?
1065.	Доказать, что треугольник АВС гомотетичен в
треугольником AiBiCi, если Ait Ви — середины сторон
ВС, СА и АВ треугольника АВС. Найти коэффициент го-
мотетии.
1066.	Дан четырехугольник ABCD. Построены точки
пересечения Ль Cj, Di медиан треугольников BCD,
CDA, DAB и АВС. Доказать, что четырехугольник
AiBiCi гомотетичен четырехугольнику ABCD, и найти
коэффициент гомотетии.
1087.	Стороны треугольника АВС параллельны соот-
ветствующим сторонам треугольника А\В}Сг. Доказать,
что треугольник AiB^Ct гомотетичен треугольнику АВС.
Отметить особый случай.
1068.	Доказать, что при гомотетии медиана, высота и
биссектриса треугольника преобразуется в медиану, вы-
соту, биссектрису гомотетичного треугольника.
1069.	Около треугольника Л^Сь вершины которого
находятся в серединах сторон данного треугольника
АВС, описана окружность. Найти ее радиус, если радиус
окружности, описанной около треугольника АВС, ра-
вен/?.
1070.	Сколько центров гомотетии имеют две неравные
(равные) окружности?
1071.	Построить центр гомотетии двух параллельных
отрезков.
1072.	Отрезки АВ и Л^ принадлежат одной прямой.
Построить центр гомотетии, переводящий отрезок АВ в
отрезок Л1Вь
1073.	Отрезок Л1В1 гомотетичен отрезку АВ. Доказать,
что. отрезок Л1В1 гомотетичен В А и найти зависимость
между коэффициентами гомотетии К\ и Кг-
1074.	Построить параллелограмм, если даны отноше-
ние двух его сторон, угол Между ними и одна из его диа-
гоналей.	•	’ i
1075.	Доказать, что если центр гомотетии двух окруж-
ностей лежит на одной из них, то обе окружности каса-
ются в этом центре гомотетии.
. Ю5
1076.	Построить центры гомотетий, переводящих дан-
ную окружность в другую данную окружность.
1077.	В данйый сектор МОМ вписать квадрат так, что-
бы две смежные его вершины находились на дуге MN
сектора, а две другие — на радиусах, ограничивающих
сектор.
1078.	Построить треугольник по двум углам и медиа-
не, проведенной из вершины третьего угла.
1079.	Построить треугольник по углу, противолежа-
щей стороне и отношению двух других сторон.
1080.	Построить треугольник по углу С, отношению
его сторон а и Ъ и биссектрисе (медиане) угла С.
1081.	В данный остроугольный треугольник вписать
ромб с данным острым углом <р так, чтобы две его веп-
шины принадлежали одной из сторон треугольника.
Глава XIV
ЗАДАЧИ ПО КУРСУ VI—VIII КЛАССОВ
1082.	Найти угол, под которым пересекаются биссект-
рисы острых углов треугольника, если его тупой угол
равен 120°.
1083.	Угол при вершине равнобедренного треугольни-
ка равен 135°; из его вершины проведены две прямые
так, что каждая из них отсекает от основания отрезок,
равный боковой стороне. Найти угол между этими пря-
мыми.
1084.	Один угол треугольника равен разности двух
других. Найти наибольший угол треугольника.
1085.	Какие буквы нашего алфавита имеют ось сим-
метрии? Какие цифры имеют ось симметрии?
1086.	На внешней биссектрисе угла С треугольника
АВС взята произвольная точка Доказать, что СА +
4- СВ CjX 4- CtB. •	—
1087.	Внутри каждого ли параллелограмма существу-
ет точка, равноотстоящая от всех его вершин (от всех его
сторон)?
1088.	Из вершины тупого угла параллелограмма про-
ведены две высоты, образующие угол а, равный 45°. Сто-
роны параллелограмма равны а и Ь. Определить Проек-
цию одной из сторон параллелограмма на другую.
1089.	Доказать, что параллелограмм делится диаго-
налями на четыре равновеликих треугольника,
106
1090.	Периметр прямоугольника равен 28, а площадь
его —48. Найти длину окружности, описанной около
прямоугольника.
1091.	Площадь параллелограмма равна 120, расстоя-
ние от его центра симметрии до большей стороны рав-
но 4, периметр — 50. Определить стороны и диагонали
параллелограмма.
1092.	В треугольник АВС вписан прямоугольник со
сторонами 10 и 18, причем большая его сторона лежит на
стороне АВ, равной 48. Определить высоту CD треуголь-
ника АВС.
1093.	Найти внутри выпуклого четырехугольника та-
кую точку, чтобы сумма ее расстояний до всех его вер-
шин была наименьшей.
1094.	Расстояния центра тяжести треугольника от его
сторон относятся как 2:3:4. Определить длину каждой
стороны треугольника, если его периметр равен 26.
1095.	Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 26, а высота, опущенная на основание, равна 10.
Определить радиус окружности, описанной около дан-
ного треугольника.
1096.	В прямоугольный треугольник вписана окруж-
ность, точка касания которой делит гипотенузу на части
10 и 3. Определить радиус этой окружности.
1097.	Доказать, что меньшей медийне треугольника
соответствует большая сторона.
1098.	Доказать, что площадь треугольника равна по-
ловине произведения двух его сторон на синус угла меж-
ду ними, а площадь параллелограмма равна произведе-
нию двух его смежных сторон на синус угла между ни-
ми. (Если угол тупой, то рассмотреть соответствующий
внешний угол треугольника.)
1099.	Полуокружность с диаметром АВ разделена на
три равные части точками С и D. Определить площади
треугольников CBD и АСВ, если радиус окружности ра-
вен г.
1100.	В прямоугольный треугольник вписана полуок-
ружность с центром на гипотенузе. Доказать, что отре-
зок, соединяющий точки касания полуокружности с ка-
тетами, равен биссектрисе прямого угла.
1101.	Если в точке D диаметра АВ полуокружности
радиуса г восставить к нему перпендикуляр, пересека-
ющий полуокружность в точке С, а точку и соединить
107
с. точкой Е, серединой полуокружности АС В, то
CD*+ED*=2R*.	'
1102. К окружности из данной точки проведены две
касательные. Найти длину окружности, если расстояние
между точками касания равно 8, а расстояние точки до
хорды, соединяющей точки касания, равно 9.
1103. Доказать, .что отрезок прямой, соединяющий ос-
нования двух высот остроугольного треугольника, отсе-
кает треугольник, подобный данному.
1104.	Доказать, что сумма расстояний оснований двух
высот треугольника до середины его третьей стороны
равна этой стороне.
1105.	Две окружности О и Oi, радиусы которых отно-
сятся как 3:1, касаются внешне в точке К. Общая внеш-
няя касательная касается их соответственно в точках А
и В. Доказать, что углы Л ОК и КО^В относятся как 1:2.
1106.	В окружность вписан прямоугольник ABCD. Од-
на его ось симметрии пересекает окружность в точках К
и L, а вторая — в точках М и N. Точки К и L соединены'
с точками Л и В, а точки М и N — с Ли D .Определить
углы четырехугольника ABLK и ADMN, если меньшая
сторона AD прямоугольника ABCD равна радиусу окруж-
ности.
1107.	Концы отрезка постоянной длины скользят по
рторонам данного угла S. Перпендикуляры к сторонам
Угла в концах отрезка пересекаются в точке Р. Найти
геометрическое место точек Р.
1108.	Ползун В стержневого шарнирного механизма
при повороте стержня АО вокруг точки О (черт. 75) со-
вершает поступательное движение вдоль оси В\Въ. Вы-
числить ход ползуна (путь, который проходит ползун из
левого крайнего положения в правое крайнее положение) ,
если радиус стержня АО равен г, ползун АВ равен I, а
расстояние точки О от оси В1В2 равно h.
1109.	Из точки А, взятой на окружности О радиуса R,
проведены две равные хорды АВ и
АС под углом 60°. Точки В и С со-
{	) единены с центром О окружности.
J Определить площадь фигуры
АВОС.
\——=“3	1110. Хорда данного круга пере-
°	.г. секает его диаметр под углом 45° и
.Черт. 75. делится в точке пересечения на от-
108
резки 2 и 8. Определить расстояние хорды от центра и
плошадь круга.
1111.	В треугольнике АВС проведены высоты BD и
СЕ, которые продолжены до пересечения с описанной
около треугольника окружностью соответственно в точ-»
ках М и N. Доказать, что дуги AM и AN равны.
1112.	В сегмент с дугой 120е и высотой h вписан пря-»
моугольник, у которого основание в четыре раза больше
высоты. Определить стороны прямоугольника.
1113.	В трапеции проведена средняя линия. Будут ли
образовавшиеся трапеции подобны?
1114.	Внутри угла А взята точка М и ее расстояния
до сторон угла равны а и Ь. Определить расстояние точки
М до вершины угла, если он равен 120°, 45°, 60°.
. 1115. Доказать, что хорда, проведенная через середи-»,
ну радиуса окружности перпендикулярно к нему, равна
стороне правильного треугольника, вписанного в эту ок-»
ружность.
1116. Определить радиус окружности, вписанной, в
сектор радиуса г, если его дуга содержит а градусов.
., 1117. Через вершину А треугольника АВС проведена
прямая, пересекающая противолежащую ей. сторону ВС
в точке F так, что CF\BF**\ :2. Доказать, что отрезок
AF делит медиану CD пополам.
1118.	Через вершину О квадрата ОАВС проведена се-»
кушая, встречающая стороны АВ и ВС (или их продол-»
жения) соответственно в точках Р и Q. Доказать, что
_L - J	L-
OQ* ОА* ;
1119.	Основания трапеции ABCD равны а и с, а вы-»
сота — h. Прямая, параллельная основаниям трапеции,
делит ее на две равновеликие части. Определить расстоя-
ние этой прямой до меньшего основания трапеции.
1120.	(Устно.) Как изменится поверхность и объем
цилиндра, если образующую и радиус основания увели-»
чить в два раза?
1121.	Доказать, что сумма внутренних углов пятико-
нечной звезды равна 180°.
1122.	Точка О —середина отрезка АВ. На отрезках
АВ, АО и ВО как на диаметрах построены по одну сто-
рону от АВ три полуокружности. Определить радиус ок-
ружности, касающейся этих трех полуокружностей, если
AB=d.
109
1129.	Бревно цилиндрической формы опилено так,
что получился брус с наибольшим шестиугольным сече'
нием. Какой процент составляют отходы?
112$. Каждое ребро правильной шестиугольной приз-
мы равно а. Выполнить чертеж и hji чертеже выделить
призму, об'рем которой равен —|.
1125.	Угол осевого сечения конуса равен 90°. Опре-
делить угол развертки конической поверхности и пло-
щадь развертки, если образующая конуса равна 4,5.
1126.	Угол развертки боковой поверхности конуса
равен 200°. Определить объем конуса и угол его осевого
сечения, если радиус сектора равен 6,5.
,1127. Как изменится поверхность (объем)’ шара, ес-
ли его радиус увеличить или уменьшить в п раз?
1128.	В треугольнике АВС из вершины С проведены
высота, биссектриса и медиана, которые делят угол С
на три равные части. Найти углы треугольника.
1129.	Стороны треугольника равны 18, 11, 15. Найти
длину биссектрисы угла А, если сторона а равна 11.
1189.	В треугольнике две стороны равны 5 и 10, а угол
между ними — 120°. Определить длину биссектрисы дан-
ного угла.
1131.	Из точки К, делящей пополам дугу окружно-
сти, стягиваемую хордой АВ, проведены хорды, пересе-
кающие хорду АВ. Доказать, что произведение такой
хорды на её отрезок от точки К до точки пересечения с
хордой АВ равно квадрату хорды АК.
1132.	В треугольник АВС (АВ—ВС)' вписана окруж-
ность с центром в точке О. Определить отношение отрез-
ков высоты треугольника, проведенной из вершины В,
на которые она делится точкой О, если ВС=30, АС=48.
1133.	Если один угол треугольника тупой, то два дру-
гих .... Сформулировать обратную теорему. Верна ли
она?
1134.	В прямоугольном треугольнике медиана, про-
веденная к гипотенузе, равна ....
Сформулировать обратную теорему.
1135.	(Устно.) Две стороны треугольника равны 3 и 4.
Какова может быть его наибольшая площадь?
1136.	Как будет изменяться площадь треугольни-
ка АОВ (черт, 76),. если ОА будет неподвижна, верши-
на В займет положение Bi, В3, В3, В^. При каком положе-
нии точки В плошадь
треугольника АОВ
будет наибольшей	ВУ"	Хз
(наименьшей)?	/
1137.	(Устно.) Где /	/
расположены верши- #,!----:-----------)---- д—‘—
ны равновеликих I ° j
треугольников с об- \	/
шнм основанием?	х. ./
1138.	Каким дол-
жен быть треуголь- . Черт. 76.
ник со сторонами 12
и 5, чтобы его площадь была наибольшей? Вычислить его
'площадь.
1139.	Равносторонний треугольник со стороной, рав-
ной а, наложен на равный ему треугольник. После это-
го один из взятых треугольников повернут вокруг ах об-
щего центра на угол 60°. Определить вид многоугольни-
ка, который составлен общей частью взятых треугольни-
ков и найти сторону этого многоугольника.
1140.	Стороны треугольника равны 14 и 13. Чему рав-
на его площадь, если угол между данными сторонами ра-
вен 60е?
1141.	В правильный треугольник, высота которого
равна 27, вписана окружность. Найти радиус окружно-
сти, касательной к двум сторонам этого треугольника и
первой окружности.
1142.	Два отрезка АВ и €D пересекаются в точке М.
ДМ=6, ВЛ4«=8, СЛ1 = 12, ОЛ1«»3,5. Лежат ли точки А,
В, С, D на одной окружности?
1143.	Из точки А, взятой вне круга, проведены две
секущие ADB и ЛЕС, сумма отрезков секущих равна 125.
Внешние отреэки секущих АО и АЕ относятся как 2:3.
Найти длины отрезков каждой секущей.
1144.	Две окружности внешне касаются. В их общей
точке восставлен перпендикуляр к линии центров. До-
казать, что касательные, проведенные из любой точки
перпендикуляра к данным окружностям, равны.
1145.	Даны две концентрические окружности. Дока-
зать, что сумма квадратов расстояний любой точки, взя-
той на одной из них от концов любого диаметра другой,
есть величина постоянная.
111
'1146. Построить по четырем сторонам четырехуголь-
ник ABCD,-зная, что диагональ АС делит угол А попо-
лам.
1147.	Доказать, что треугольник равносторонний, если
центр вписанной в него окружности совпадает с точкой
пересечения его медиан.
1148.	(Устно.) Какой отрезок симметричен отрезку,
лежащему на оси симметрии?
1149.	Через данные точки А и В провести две прямые
так, чтобы образовавшиеся при этом углы делились дан-
ной прямой пополам.
1150.	К двум внешне касающимся окружностям ра-
диусов R и -у проведена общая касательная. Опреде-
лить радиус окружности, касающейся двух данных и их
общей касательной.
1151.	(Устно.) Какие четырехугольники могут быть
описаны около окружности?
1152.	В данной трапеции проведены диагонали. Ука-
зать на чертеже пропорциональные отрезки, подобные
треугольники.
1153.	Стороны одного треугольника больше сторон
другого на 3. Будут ли треугольники подобны?
1154.	(Устно.) Верно ли, что все равнобедренные тре-
угольники подобны? Рассмотреть различные случаи.
1155.	Выяснить, когда подобны треугольники, на ко-
торые разбивает треугольник его биссектриса, его высо-
та? Рассмотреть различные случаи.
1156.	Через вершину треугольника провести прямую
так, чтобы она отсекала треугольник, подобный данному.
1157.	(Устно.) Назовите неподобные четырехугольни-
ки с соответственно пропорциональными сторонами.
1158.	В треугольнике АВС проведена биссектриса уг-
ла А, на которую опущены перпендикуляры из концов
стороны ВС. Назовите пары подобных треугольников.
Глава XV
ПРИМЕРНЫЕ ГОДОВЫЕ КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
VI класс
1-й вариант
1159.	Периметр равнобедренного треугольника АВС
равен 50. К боковой стороне ВС проведена медиана AL,
Определить стороны треугольника АВС, если периметр
112
треугольника ACL больше периметра треугольника ABL
на 4.
1160.	Углы А, В и С треугольника АВС относятся как
5:6:7. Определить угол между биссектрисой угла А и
высотой CD.
1161.	Построить оси симметрии двух пересекающихся
прямых.
2-й вариант
1162.	Выяснить, будут ли равны треугольники АВС и
AiBiCt, если ВС=Л1С1, •^С1=<^сЛ, <^Bi=<£C.
1163.	В равнобедренном треугольнике проведены бис-
сектрисы углов при основании. Доказать, что один из уг-
лов между биссектрисами равен углу при основании тре-
угольника. Вычислить этот угол, если угол при вершине
треугольника равен 120°.
1164.	Какой треугольник имеет три оси симметрии?
3-й вариант
1165.	Из точек В и В<, находящихся на равных рас-
стояниях от вершины угла S, восставлены к его Сторонам
перпендикуляры, пересекающиеся в точке О. Доказать,
что треугольники SBO и SBtO равны.
1166.	Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найти
отношение его внешних углов.
1167,	Постройте ось симметрии для сторон угла.
4-й вариант
1168.	Угол А треугольника АВС равен 54°, а угол В —
46°. Через точку М стороны Л С проведена прямая, пере-
секающая сторону ВС в точке а продолжение сторо-
ны ЛВ—в точке Р. Определить углы треугольника BNP,
если угол CMN равен 70°.	А
1169.	Дано: Л С=Л В (черт. 77). Дока- д D
зать: DC<BD.	/\ Я
1170.	Вставьте пропущенные слова:	/ у/7
каждая точка, лежащая на биссектрисе / А /
данного угла, ... от сторон угла.	] / \ /
5-й вариант	I/ V
1171.	Из вершин треугольника ЛВС в Е с
проведены лучи, делящие каждый угол Черт. 77.
8 П. Я. Великина	113
Черт. 79
треугольника в отноше-
нии 1:2, а своим пере-
сечением образуют тре-
угольник AtBiCi (черт,
78, а и б). Определить
углы треугольника
AtBiCi, если <ХВ=84°,
<С=63°.
1172, На сторонах
АВ, ВС и АС равносто-
роннего треугольника
АВС (или на их про-
должениях) взяты со-
ответственно точки Е, F и D так, что AE=BF—CD. До-
казать, что треугольник DEF равносторонний (черт. 79).
1173. Сформулируйте какую-нибудь теорему, для ко-
торой обратная не верна.
6-й вариант,	к
1174.	Доказать, что два треугольника равны, если
основание, медиана, проведенная к основанию, и боковая
сторона одного треугольника равны соответственным эле-
ментам второго треугольника.
1175.	Угол С треугольника. ЛВС равен 45°. Биссектри-
са BD угла В равна отрезку AD. Определить углы Л и В
треугольника ЛВС. Установить вид треугольника ЛВС,
1176.	Если две стороны треугольника не равны, то
против большей из этих сторон лежит больший .угол.
Сформулировать обратную теорему.
114
7-й вариант
1177.	В равнобедренном треуголь-
нике АВС с основанием АВ '(черт. 80)
AM = BN, <£1=<£2. Выявить на черте-
же три пары равных треугольников.
1178.	Внешний угол при вершине С
равнобедренного треугольника АВС
равен 150°. Из вершины С проведена
прямая, которая пересекает продолже-
ние основания АВ в точке D, так что
BC=BD. Определить углы треугольника ACD.
1179.	Почему треугольник является жесткой фигурой?
VII класс
1-й вариант
1180.	Доказать, что высота и медиана прямоугольного
треугольника, проведенные к гипотенузе, образуют угол,
равный разности острых углов треугольника.
1181.	В круг вписан прямоугольник, периметр которое
го равен 28, а разность смежных сторон равна 2. Опреде-
лить площадь круга.
1182.	Основанием прямой призмы служит квадрат со
стороной, равной 5. Определить боковую поверхность и
объем призмы, если диагональ боковой грани равна 13.
2-й вариант
1183.	В окружность вписан треугольник АВС. Из вер-
шины С опущена высота CF, которая продолжена до пе-
ресечения с окружностью в точке Е. Доказать, что DE||
||АВ, если D диаметрально противоположна точке С.
1184.	Периметр ромба равен 52, а одна из его диаго-
налей равна 10. Вычислить вторую диагональ и площадь
ромба.
1185.	Основанием прямой призмы служит равносто-
ронний треугольник со стороной 9. Определить объем
призмы, если диагональ боковой грани равна 15.
3-й вариант
1186.	Через точку касания двух окружностей проведе-
ны две секущие, концы которых соединены хордами. До-
казать, что эти хорды параллельны.
8*
115
1187.	Из точки А, взятой на окружности, проведены
хорда АС и диаметр АВ под углом 60° друг к другу. Че-
рез точку В проведена к окружности касательная, встре-
чающая продолжение хорды АС в точке D. Вычислить
отрезок BD, если радиус окружности равен 5.
1188.	Основанием прямой призмы служит равнобед- '
•ренная трапеция, средняя линия которой равна 9, а раз-
ность оснований —6. Вычислить боковую поверхность
призмы, если диагональ трапеции перпендикулярна бо-
ковой стороне, образует с нижним основанием угол 30°
и равна высоте призмы.
4-й вариант
1189.	Диаметр АВ и хорда АС некоторой окружности
образуют угол 30°. Через точку С проведена к окружно-
сти касательная, встречающая продолжение АВ в точ-
ке D. Доказать, что треугольник ACD равнобедренный.
1190.	Из точки М, взятой вне окружности, проведе-
ны к ней касательные AM и ВМ, а через точку В проведен
диаметр ВС. Доказать, что прямые АС и ОМ параллель-
ные. (О —центр окружности.)
1191.	Диагональ осевого сечения цилиндра равна 13.
Вычислить объем цилиндра, если его высота равна 12.
5-й вариант
1192.	Ромб с острым углом 40° повернут около своего
центра симметрии на 90°. Определить на чертеже все
углы образовавшейся фигуры. *
1193.	Дано: <C4F-135°, <СМ-120° (черт. 81).
Доказать: AD>BD.
1194.	Деталь имеет форму бруска размером 6,ОХ7,ОХ,
Х20,0, в котором профрезерован паз, как показано на
чертеже 82. Определить объем детали, если диаметр паза
равен 5,0 единицам.
Пб
6-йвариант
1195.	Найти отношение смежных сторон паралле1-
лограмма, если биссектрисы углоб, прилежащих к
одной его стороне, пересекаются на противоположной
стороне.
1196.	Средняя линия трапеции равна 12,5, а разность
оснований равна 13. Определить площадь трапеции, если
боковые стороны ее равны 15 и 14. (Вычислить с помо*
щью логарифмической линейки.)
1197.	Диагональ осевого сечения цилиндра равна 10.
Определить объем цилиндра, если его высота относится
к диаметру основания как 4:3.
7-й вариант
1198.	Перпендикуляр, опущенный из вершины прямо-
угольника на его диагональ, делит прямой угол в отноше-
нии 4 :5. Определить угол между этим перпендикуля’ром
и второй диагональю.
1199.	Основанием прямой призмы служит прямой
угольный треугольник, катеты которого равны 5,0 и 12,0.
Определить боковую поверхность и объем призмы, если
высота призмы равна 20,0.	;
1200.	Две трубы диаметрами 6,0 и 8,0 требуется за*
менить одной трубой с той же пропускной способностью.
Определить диаметр такой трубы. VIII
VIII класс
1-й вариант
1201. В треугольнике АВС проведена прямая, пере-
секающая стороны АС и ВС соответственно в точках'
К и L так, что ^ABC—<i£.CKJL. Определить стороны
треугольника CKJL, если ДС=8, ЛВ=14, ВС=10,
О/С==5.
1202. Образующая конуса наклонена к плоскости его
основания под углом 48° 15', Вычислить боковую поверх-
ность и объем конуса, если радиус основания равен 6,5.
1203. Вычислить наименьший радиус заготовки круг-
лой формы, чтобы из нее можно было получить деталь
квадратной формы со стороной 5,2.
117
2-й. вариант
1204.	В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD угол
ADC равен углу АСВ. Вычислить стороны АВ и ВС, если
AD = 7, DC=5 и ЛС=10.
1205.	Определить объем правильной четырехугольной
пирамиды, если сторона основания равна а, а угол на-
клона бокового ребра к плоскости основания равен а. Вы-
числить объем при а=4,5, а=47°.
1206.	Как изменится объем конуса, если радиус осно-
вания увеличить в два раза, а высоту уменьшить в четы-
ре раза?
3-й вариант
,1207. В остроугольном треугольнике АВС проведены
высоты СЕ и BD, пересекающиеся в точке Н. Доказать,
что DC-ВН=ВЕ-СН.
1208. Определить боковую поверхность правильней
шестиугольной пирамиды, если радиус окружности, опи-
санной около основания, равен г, а боковое ребро наклон
нено к плоскости основания под углом 60°. Пользуясь
таблицами и линейкой, вычислить боковую поверхность
пирамиды при г=8,8. -
1209. Как относятся поверхности и объемы двух ша-
ров, если их радиусы относятся как 2:3?
4-.й вариант
1210. Через вершину Л параллелограмма ABCD про-
ведена биссектриса этого угла, которая пересекает сто-
рону CD в точке F, а продолжение стороны ВС — в точ-
ке Е. Доказать, что треугольник CEF равнобедренный.
121Т. Образующая конуса равна 13. Разность между
высотой и радиусом основания равна 7. Вычислить боко-
вую поверхность и объем конуса.
1212. Как относятся объемы двух цилиндров, если их
радиусы оснований относятся как 1:2, а высоты — как
1:4?
5-й вариант
. 1213. В треугольник вписан параллелограмм, угол ко-
торого совпадает с углом треугольника. Стороны тре-
угольника, заключающие этот угол, относятся как .4:5,
118
а параллельные им стороны параллелограмма соответ*
ственно равны 12 и 10. Определить стороны треугольника,
заключающие их общий угол.
1214; Сумма ребра одного куба с ребром второго ку*
ба равна 5, а сумма их объемов равна 35. Определить
длину ребра каждого куба.
1215.	Периметр прямоугольника равен 34, а разность
смежных сторон равна 7. Прямоугольник свернут в ци-
линдр. Определить его объем.
6-й вариант
1216.	В окружность радиуса 6 вписан треугольник,
две стороны которого равны 9 и 4. Определить высоту,
опущенную на третью сторону.
1217.	Высота конуса равна 12, а его объем равен 100л.
Определить его боковую поверхность
1218.	Как изменится поверхность и объем шара, если
радиус шара увеличить в два раза?
7-й вариант
1219.	В угол, равный 60°, вписаны две касающиеся
друг друга окружности. Определить радиус меньшей
окружности, если радиус большей окружности равен /?.
1220.	Основанием пирамиды служит прямоугольный
треугольник с катетами 6 и 8. Определить объем пира-
миды, если каждое ее боковое ребро равно 13.
1221.	Как изменится объем конуса, если его радиус
основания увеличить в три раза, а высоту уменьшить
в три раза?
Глава XVI
ЗАДАЧИ ДЛЯ ВНЕКЛАССНОЙ РАБОТЫ
VII класс
1222.	В данный квадрат вписан другой квадрат. До*
казать, что у обоих квадратов общий центр сим-
метрии.
1223.	Треугольник вписан в окружность. Доказать, что
отрезок, соединяющий основания двух высот треуголь*
ника, перпендикулярен к радиусу окружности, проведен*
ному в третью вершину.
119
1224.	Доказать, что если отрезок, соединяющий сере-
дины одной пары противолежащих сторон четырехуголь- '
ника, образует равные углы с другой парой его сторон, j
то стороны второй пары равны между собой.	!
1225.	В равнобедренном треугольнике АВС проведена
высота CD, в треугольнике CBD — высота DE. Сере-
дина М отрезка DE соединена с вершиной С. Доказать,
что отрезок СМ перпендикулярен АЕ. (АВ — основание
треугольника АВС).
1226.	Высота и медиана треугольника, выходящие из
одной вершины и расположенные внутри него, образуют
со сторонами треугольника выходящие из той же вер-
шины соответственно равные углы. Доказать, что тре-
угольник прямоугольный или равнобедренный.
1227.	Диагонали равнобедренной трапеции ABCD .пе-
ресекаются в точке О под углом 60° (ДВ|[С£>,
<£406=60°). Доказать, что середины К, L, М отрез-
ков OD, ОА и боковой стороны ВС служат вершинами
равностороннего треугольника KJLM. '
. 1228. В четырехугольнике ABCD противоположные
. ©тороны АВ и CD равны. Доказать, что npaMaaj соеди-
няющая середины диагоналей четырехугольника, пересе-
кает равные стороны под равными углами.	,
1229. Три равные окружности имеют общую точку М
и, кроме того, попарно пересекаются в точках Р, Q, %.
Доказать, что точка М — ортоцентр треугольника PQP.
1230. Дан параллелограмм ABCD и точка Е иа его
стороне ВС. Отрезок АЕ и диагональ BD пересекаются ,в
точке К так, что АК.:ЕК*=2‘Л, BK:DK—i:2. Дока-
зать, что точка Е — середина стороны ВС.
' 1231. В параллелограмме ABCD, в котором DC—2AD.,
из точки С опущен перпендикуляр СЕ на сторону.AD
(или на ее продолжение). Доказать, что угол ВМЕ в
три раза больше угла АЕМ, если точка М—середина АВ.
1232. На двух сторонах АС и ВС треугольника АВС
вне его построены квадраты CAAiM и CBB^N. Доказать,
что прямые А\В и АВ\ пересекаются на высоте треуголь-
ника, проведенной через вершину С (или на ее продол-
жении).
1233. На .сторонах АС и ВС треугольника ЛВС вне
его построены полуокружности. Середины Р и Q этих
’полуокружностей соединены с.серединойМ стороны АВ
120
й’с основанием Ct высоты СС].'Доказать, что <£PA1Q =
==<PC,Q=90o, PM = QM.
1234 В окружность О вписан треугольник ЛВС,.а ,в
него вписана окружность Оь Биссектрисы внутренних
углов треугольника АВС продолжены до пересечения с
окружностью О в точках С] и В\. Доказать, что
точка О] является ортоцентром треугольника ЛД1С1. ,,
1235. Через точку А окружности О проведена хорда
А В, а через точку В — касательная; диаметр, перпенди-
кулярный радиусу ОА, встречает касательную и хорду
(или ее продолжение) соответственно в точках С и D.
Доказать, что треугольник BCD равнобедренный..
1236. Две окружности пересекаются в точках А и fl.
В одной окружности проведена хорда ЕР, а в дру-
гой — параллельная ей хорда CD. Доказать, что углы
ЕАС и FBD равны.	.	,
, ( 1237. Через точку пересечения двух окружностей про-
ведена секущая, встречающая вторично эти окружности
в точках А н В. Доказать, что касательные к окруж-
ностям" в точках А и В пересекаются под постоянным
углом.
1238.	Две окружности пересекаются в точках А и В.
Через точку А проведена произвольная прямая, встречаю-
щая окружности в точках С и D. Доказать, что угол
CBD имеет постоянную величину.
1239.	На данной прямой I взяты две точки А и В.
Найти геометрическое место точек М, в которых каса-
ются друг друга две окружности, касающиеся прямой 1 в
данных точках А и В.	. . ..
1240.	Если хорду окружности разделить на три рав-
ные части и точки деления соединить с центром, то соот-
ветствующий центральный угол* не разделится на три
равные части. Доказать это предложение и выяснит^,
какая из трех частей центрального угла будет наи-
большей.
1241.	Окружность, проведенная через вершины ту-
пых и одного из острых углов ромба, делит большую
его диагональ на части 5 и 1,4. Определить сторону
ромба.
1242.	Доказать, что окружности, построенные на двух
сторонах треугольника как на диаметрах, пересекаются
на третьей стороне или на ее продолжении.	..
121
1243.	Доказать, что биссектрисы внутренних углов
любого четырехугольника, пересекаясь, образуют четы-
рехугольник, около, которого можно описать окруж-
ность, или же эти биссектрисы пересекаются в одной
точке. Проверить это же утверждение для биссектрис
внешних углов.
1244.	В прямоугольнике со сторонами а и & проведена
диагональ и в каждый из полученных треугольников
вписана окружность. Найти отрезок диагонали, ограни-
ченный точками касания.
1245.	Из вершины С треугольника АВС проведены
высота CD, биссектриса CF и прямая СО, соединяющая
вершину С с центром описанной окружности. Доказать,
что прямая CF делит угол OCD пополам.
1246.	На отрезке АВ взята точка С, в точках А и В
восставлены к нему по одну сторону от АВ перпендику-
ляры AAi и BBit равные соответственно ВС и АС. Дока-
зать, что точка С есть центр симметрии квадрата, пб;
строенного на отрезке AjBj как на стороне.
1247.	Точка N отражается дважды относительно всех
вершин треугольника АВС так, что получаются по-
следовательно отраженные точки Wi, Wa, А'з, Ni, N?,
N». Доказать, что точка We совпадет с данной точ-
кой N.
1248.	В треугольнике АВС проведены средняя линия
BiCi и медианы АК и СВ[. Доказать, что прямая, про-
веденная через вершину С и Точку пересечения О сред-
ней линии B[Ci с медианой АК, пересечет АВ в точке F
так, что AF=-g- АВ.
1249.	На прямой / взяты последовательно три точки
Л, В и С и на отрезках АВ и АС по разные стороны
от прямой I построены равносторонние треугольники
ABD и ACN. Доказать, что середины К и L отрезков DC
и BN и точка Д служат вершинами равностороннего
треугольника AK.L.
1250.	Внутри треугольника взята произвольно точка.
Доказать, что сумма отношений расстояний этой точки
от сторон треугольника к длинам соответствующих высот
равна единице.
1251.	Треугольник вписан в окружность. Из точки,
взятой на окружности, опущены перпендикуляры на сто-
роны треугольника. Доказать, что основания этих пер-
122
иендикуляров расположены на одной прямой (прямая
Симеона).
1252.	Прямая встречает стороны АВ, ВС и АС тре-
угольника АВС соответственно в точках г, х и у так,
что перпендикуляры к сторонам треугольника в этих
точках пересекаются в одной точке Р. Доказать, что
эта точка лежит на окружности, описанной около тре-
угольника.
' 1253. Через середину 4( стороны АВ квадрата ABCD
проведена прямая A.jC, через середину В] стороны ВС—
прямая B[D, через середину Ct стороны CD—прямая АС^
и через середину D\ стороны AD—прямая D\B. Доказать,
что четырехугольник, образованный построенными пря-
~	2
ными, есть квадрат со стороной, равной -у отрезка А}С.
1254.	Даны две окружности О и О] и прямая I. На
прямой I построить такую точку М, чтобы касательные,
проведенные из нее к данным окружностям, образовали
с данной прямой равные углы.
1255.	Даны прямая Р и окружность О. Построить
прямоугольный равнобедренный треугольник, две верши-
ны, которого лежат соответственно на прямой и окруж-
ности, а вершина прямого угла совпадает с данной точ-
кой А окружности.
1256.	Из 24 равных отрезков сложить 6, 7, 9 квад-
ратов.
 1257. Разрезать прямоугольник со сторонами 18 и 8
так, чтобы из полученных частей можно было сложить
квадрат.
121>8. Квадрат со стороной, равной 21, разрезан,
как показано на чертеже 83. Сложите из полученных
частей прямоугольник. Вычислите площади квадрата и
прямоугольника и найдите ошибку.
VIII класс
1259.	Боковая высота равнобедрен-
ного треугольника делит его площадь
в отношении 1:3. Определить меньшую
из площадей, если основание треуголь-
ника равно 24.
1260.	В угол вписаны трн окруж-
ности так, что две крайние проходят
через центр средней. Найти радиус
123
средней окружности, если радиусы крайних равны 2? и г.
1261.	В прямой угол вписана окружность радиуса 2?,
Найти радиус вписанной в этот угол окружности, ка-
сающейся данной окружности.
1262.	Дан треугольник АВС. Найти геометрическое
место точек М, для которых перпендикуляры, проведен-
ные через вершины треугольника к отрезкам AM, ВМ,
СМ, пересекаются в одной точке.
1263.	Дан параллелограмм, большая диагональ ко-
торого равна а, а стороны —& и с. Вычислить площадь
кольца, образованного двумя окружностями, диаметры
которых равны диагоналям параллелограмма.
1264.	Дана прямоугольная трапеция ABCD (ABJL.BC,
А В .LAD), Точка Р делит сторону АВ на части, про-
порциональные прилежащим сторонам трапеции^ Пер*
пендикуляр, опущенный из точки Р на сторону CD, пере-
секает ее в точке Q. Доказать, что QP— биссектриса
угла AQB. •
1265.	На диагонали А С ромба ABCD взята точка Р.
Доказать, что АР>СР=АВ2—РВ2.
1266.	Доказать, что если Н — ортоцентр треугольника
АВС и Ci — основание его высоты, проведенной из верг
шины С, то ACi-BCi=CC{-HCi.
1267.	Найти площадь треугольника АВС по радиусу R
описанной окружности и двум его углам С я В. (2?=15,
<С=45°, <В=60°.)
1268.	Доказать, что для всякого вписанного в окруж-
ность четырехугольника, произведение его диагоналей
равно сумме произведений его противоположных сторон
(теорема Птолемея),
1269.	В круге с центром О проведена хорда АВ.
На радиусе ОА как на диаметре описана окружность.
Доказать, что площади двух сегментов, отсекаемых хор-
дой А В от обоих кругов, относятся как 4:1.
1270.	Через концы А и В диаметра АВ окружности О
проведены хорды АС и BD, пересекающиеся в точке Р.
Доказать, что AB2—AC'AP+'BD‘BP.
1271.	Около окружности описан ромб ABCD. Прове-
дена произвольная касательная MN, которая отсекает
на смежных сторонах АВ и ВС отрезки AM и CN. До-
казать, что произведение AM'CN постоянно,
1272.	Две равные окружности О» и О2 радиуса R
проходят одна через центр другой и пересекаются в точ-
ках Р и Q. Линия центров OiOa продолжена до пере*
сечения с окружностью 0$ в точке А, которая соединена
с точками Р и Q. Прямые АР и QOi пересекаются
в точке В, а прямые РОу и AQ — в точке С. Доказать,
что треугольник АВС равносторонний.
1273.	Выразить отрезок, соединяющий середины двух
противоположных сторон четырехугольника, через его
стороны и диагонали.
1274.	В окружность, радиус которой равен R, вписан
равносторонний треугольник АВС. Середина D дуги АВ
соединена отрезком с серединой F стороны ВС и отрезок
DF продолжен до пересечения с окружностью в точке К.
Определить отрезки DK, DF и KF.
1275.	В окружность вписан четырехугольник ABCD,
Его противоположные стороны CD и АВ, ВС и AD про*
должены до взаимного пересечения в точках N и F.
Доказать, что биссектрисы угЛов BFA и CNB перпенди*
кулярны.
1276.	Высота CD равнобедренного треугольника АВС
с основанием АВ разделена на три равные части.
Через точку А и точки деления проведены прямые, раз*
деляющие боковую сторону, равную 30, на три отрезка,
•Определить эти отрезки.
1277.	Катеты прямоугольного треугольника равны
3' и 6. Вычислить биссектрису прямого угла этого тре-
угольника.	г	,
1278.	Два равнобедренных прямоугольных треуголь-
ника АВС и Л1ВС| имеют общую вершину В. Отрезок
СС\, соединяющий вершины прямых углов, равен d. On*
ределить отрезок AAt и угол, под которым пересекаются
отрезки СС\ и АА\.
1279.	В окружность радиуса /? вписан правильный
пятиугольник, в котором проведены все его диагонали.
Доказать, что образовавшийся диагоналями пятиуголь-
ник также правильный.
1280.	Доказать, что отрезок прямой, проведенной
параллельно основаниям трапеции и делящий ее на две
равновеликие части, вычисляется по формуле КМ2—
д3 -4- С3	т»
= —, где а и с — основания трапеции, а д/И-рав-
ноделящая.
»	1281. В трапеции ABCD проведены диагонали А С
и BD, пересекающиеся в точке F. Из вершины С прове-
дена прямая СК, параллельная AD, которая пересекает
125
BD в точке L так, что DF—BL. Определить отношение
АВ .CD.
1282.	Доказать, что произведение отрезков, отсекае*
мых произвольной касательной к данной окружности
на двух касательных к той же окружности в концах
диаметра, равняется квадрату радиуса.
1283.	На гипотенузе прямоугольного треугольника,
катеты которого равны 3 и 4, построен квадрат. Найти
расстояние от центра квадрата до вершины прямого
угла данного треугольника. (Центр квадрата и вершина
прямого угла лежат по разные стороны от гипотенузы.)
1284.	Доказать, что расстояние d между центрами
окружностей, описанной около треугольника и вписан*
ной в него, вычисляется по формуле d2=R2—2Rr, где
R и г—радиусы описанной и вписанной окружностей
около треугольника (формула Эйлера).
1285.	Доказать, что для любого треугольника имеет
место неравенство /?^2г, где R и г— радиусы описанной
и вписанной окружностей. Выяснить, в каком случае
имеет место равенство.
1286.	Около равнобедренного треугольника АВС с ос*
нованием АВ и углом 120° при вершине описана окруж»
ность. Доказать, что отрёзок, соединяющий центр опи-
санной окружности с ортоцентром треугольника, равен
диаметру описанной окружности.
1287.	Сторона правильного треугольника равна а.
Из его центра радиусом у описана окружность. Опре*
делить площадь части треугольника, лежащей вне этой
окружности.
1288.	В правильный треугольник, сторона которого
равна а, вписана окружность. Из вершины треугольника
радиусом, равным половине стороны треугольника, про-
ведена вторая окружность. Найти площадь, общую для
соответствующих кругов.
1289.	Найти зависимость между сторонами треуголь-
ника, чтобы из его высот можно было построить другой
треугольник.
1290.	Дана средняя линия AiBt треугольника АВС.
Пользуясь одной линейкой, построить последователь-
1111 1
ность отрезков длиной: .-у, у, у, у,..., ~ , если,
АВ = 1.
126
.1291. В окружность вписан правильный шестиуголь-
ник. Пользуясь одной линейкой, построить радикса
(п=2, 3, 4,5).
1292.	В треугольнике АВС имеет место равенство
=ACi'BC, где С2— основание высоты he. Выявить,
будет ли данный треугольник прямоугольным.
1293.	Доказать справедливость формулы tg-y=
для 0<х<<180°, пользуясь равнобедренным треуголь-
ником с углом х при вершине.
1294.	Из точки С окружности О проведены хорды
С А и СВ, а из середины М дупл АС В опущен перпен-
дикуляр MN на хорду ВС. Доказать, что AC.+_NC=BN,
где N— основание перпендикуляра.
1295.	Из точки D, взятой на гипотенузе прямоуголь-'
ного треугольника АВС, восставлен перпендикуляр, ко-
торый пересекает катет Ъ, описанную около треугольника
окружность и продолжение второго катета соответствен-
но в точках К, В ti'F. Доказать, что KD-FD—ED2.
1296.	К двум окружностям радиусов Rar проведены
внешняя и внутренняя касательные. Доказать, что
ft—t22=r4Rr, где 6 — отрезок внешней касательной,,
/2 —отрезок внутренней касательной.
1297.	Точка М, взятая на плоскости треугольника АВС,
соединена со всеми его вершинами. В треугольниках
ДМВ, АМС и ВМС проведены средние линии 4iBi, Д]С|
и fiiCr, а также соединены попарно А2,В2,С2 точки пере-
сечения медиан этих треугольников. Определить отноше-
ние сходственных сторон треугольников АВС, А^С^
и А2В2С2.
1298.	Из точки, взятой вне окружности, проведены
к ней две касательные. Доказать, что расстояние любой.
точки окружности до хорды, соединяющей точки каса-
ния, есть средняя пропорциональная между расстояния-
ми от этой точки до касательных.
1299.	Внутри прямоугольного треугольника АВС
(А — вершина прямого угла) дана точка О, служащая
вершиной равновеликих треугольников О АВ, О АС, ОВС,
Доказать, что ОВ2^-ОСа*=5ОА2.
1300.	Как построить сечение куба плоскостью, чтобы
оно было правильным «-угольником? Выяснить, для ка-
ких значений п задача возможна.
Ш
1301.	Из произвольной точки М, взятой внутри пра-
вильного треугольника АВС, проведены перпендикуляры
AID; ME и MF соответственно на стороны ВС, Ас, АВ.
„	MD + ME + MF
Доказать, что отношение  С£ -t- AF есть число
иррациональное.
1302.	Доказать, что для всякой трапеции имеет место
. М* + пг—рг—а*	.	
зависимость: ао= ———~~——, где а и о—основания,
р и q — непараллельные стороны, т и я —диагонали.
1303.	Два равновеликих параллелограмма ОАВС и
OAiBiCi имеют общий угол О (точка лежит на сто*
роне ОА, точка С — на стороне ОС\). Доказать,у что
прямые BBt и AiC параллельны.
1304.	Из точки Р, расположенной внутри равносто*
роннего треугольника АВС, сторона А В видна под углом
150®. Доказать, что отрезки АР, ВР, СР могут служить
сторонами прямоугольного треугольника.
1305.	Доказать, что если через концы диаметра про-
ведены две пересекающиеся хорды, то сумма произведе-
ний каждой хорды на ее отрезок от конца диаметра до
точки пересечения есть величина постоянная.
1306.	Сторона АС треугольника АВС делится основа-
нием D биссектрисы угла В на отрезки 12 и 3. Найти
радиус окружности с центром на прямой АС, проходя-
щей через точки В и D.
1307.	Дана окружность и две точки 4 и В вне ее.
Из точек А и В к окружности проведены по одной ка-
сательной AM и BN (М и Af—точки касания). Доказать,
что прямая MN делит АВ на отрезки, отношение кото-
рых равно отношению прилежащих отрезков касательных.
1308.	Построить треугольник по двум сторонам, зная,
что сумма соответствующих им высот равна третьей
высоте.
1309.	Дана окружность, ее диаметр АВ и точка С,
не лежащая ни на окружности, ни на диаметре. При
помощи одной линейки опустить из точки С перпендику-
ляр на диаметр или на его продолжение.
1310.	Во всякой неравнобедренной трапеции сумма
оснований относится к их разности так, как разность
квадратов диагоналей относится к разности квадратов
боковых сторон.
1311.	На сторонах АВ и АС треугольника АВС взяты
соответственно точки D и Е так, что площадь треуголь- i
128	i

ника АВС в два раза больше площади треугольника
ADE. Проведена медиана МС, встречающая отрезок DE
в точке N. Доказать, что NM-ND—NE-NC.
1312.	Доказать, что отрезок прямой, проходящей
через середину основания равнобедренного треугольника
и заключенный между одной боковой стороной и про-
должением другой, больше основания этого треуголь-
ника (середина основания принадлежит отрезку).
1313.	Определить биссектрису AD треугольника АВС,
если известно, что AC+DC=-m, АВ—DB = n.
1314.	Доказать, что сумма квадратов расстояний от
двух данных точек, расположенных на диаметре окруж-
ности на одинаковом расстоянии от ее центра, до лю-
бой точки этой окружности есть величина постоянная.
1315.	Через произвольную точку, взятую внутри
треугольника АВС, проведены прямые, соответственно
параллельные его сторонам. Доказать, что отрезки alt
&ь Ct этих прямых, ограниченные сторонами треуголь-
ника, удовлетворяют условию:	=2, где
а, Ь, с — соответствующие стороны треугольника.
1316.	На сторонах прямоугольного треугольника с
катетами а а b построены во внешнюю сторону квад-
раты, центры которых соединены отрезками прямых.
Найти площадь полученного треугольника.
1317.	Середина F боковой стороны ВС трапеции
ABCD соединена с концами второй боковой стороны AD.
Доказать, что площади трапеции ABCD и треугольника
ADF относятся как 2:1.
1318.	В треугольнике АВС высота hc относится к бис-
. сектрисе внешнего угла этого треугольника при верши-
не С как 1:2. Найти разность углов Ви А.
1319.	Два равных между собой равнобедренных пря-
моугольных треугольника с катетом а имеют общую вер-
шину прямого угла. Катеты одного треугольника образу-
ют углы 30° с катетами другого. Найти площадь общей
части двух данных треугольников.
1320.	Через середину М хорды АВ окружности прове-
дены две произвольные хорды PQ и PiQi. Отрезки PQi и
P\Q пересекают хорду АВ в точках С и D. Доказать,
что AC=BD.
1321.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна
с, а один из его острых углов равен а. Найти длину бис-
.9 П. Я. Великина	129
-сектрисы каждого внутреннего угла данного треуголь-
ника.
1322.	На сторонах треугольника АВС во внешнюю
сторону построены квадраты ACDE и BCFG. Доказать,
что продолжение медианы СМ треугольника АВС явля-
ется высотой треугольника CDF.
1323.	Данный отрезок АВ повернуть на угол <р около
данного центра О; построить точку Сь соответствующую
точке С, расположенной на АВ.
1324.	На стороне АВ треугольника АВС отложены
равные отрезки AM—BN; через точки М и N проведены
прямые МР и NP, параллельные сторонам АС и ВС тре-
угольника. Доказать, что точка Р принадлежит медиане
CD проведенной из вершины С.
1325.	Дан треугольник АВС. В точках пересечения
его биссектрис с описанной вокруг треугольника окруж-
ностью проводятся касательные к окружности. Доказать,
что образованный этими касательными треугольник го-
мотетичен треугольнику АВС.
1326.	Доказать, что если центр гомотетии двух ок-
ружностей лежит на одной из них, то обе окружности
касаются в этом центре гомотетии.
1327.	Произвольная точка Q плоскости соединена с
вершинами треугольника АВС; середины отрезков 4Q,
BQ, CQ обозначим через D, Е, F. Доказать, что треуголь-
ник DEF подобен треугольнику, образованному средни-
ми линиями треугольника АВС.
1328.	Из произвольной точки Q опущены перпендику-
ляры QA4, QN, QP на стороны треугольника АВС; через
середины отрезков QN, QM, QP- проведены прямые, па-
раллельные соответствующим сторонам треугольника
АВС. Доказать, что треугольник, образованный этими
последними тремя прямыми, подобен треугольнику, об-
разованному средними линиями треугольника АВС.
1329.	Через точку М пересечения общих внешних ка-
сательных К и L окружностей /? и S проведена прямая,
пересекающая окружность R в точках А и В, а окруж-
ность S — в точках С и D; прямая К касается окруж-
ностей R и S в точках Е и F. Доказать, что треугольник
АВЕ подобен треугольнику CDF.
1330.	В окружности проведены два радиуса. Как про-
вести хорду, чтобы она .этими радиусами делилась на
три равные части?
130
1331.	1) Построить треугольник по двум углам и вы*
соте, проведенной из третьей вершины треугольника.
2)	Построить треугольник ABtCi с периметром mlt по-
добный данному с заданным периметром
1332.	Через точку, данную внутри угла, провести пря-
мую так, чтобы отрезок ее, заключенный между сторо-
нами данного угла, делился дайной точкой в отноше-
нии т: п.
1333.	Конны отрезка АВ служат центрами двух ок-
ружностей радиуса АВ, пересекающихся в точке М.
В криволинейный треугольник АМВ, образованный дуга-
ми этих окружностей и отрезком АВ, вписан круг. Опре-
делить площадь этого круга, если отрезок АВ равен а.
1334.	Две окружности пересекаются в точках А и В.
Касательные к окружностям в точке А пересекают окруж-
ности в точках М и N. Доказать, что середины Р и Q
хорд AM и AN и точки А я В принадлежат одной окруж-
ности.
1335.	На прямой, проходящей через центр О окруж-
ности радиуса 12 см, взяты точки А и В так, что ОЛ =
= 15 см, АВ=5 см. Из точек А и В проведены касатель-
ные к окружности, точки касания которых лежат по од-
ну сторону от прямой ОДД. Найти площадь треуголь-
ника АВС, если С—точка пересечения этих касательных.
1336.	Пусть А и At — точки касания общей касатель-
ной к двум окружностям; М и Mi—Две точки пересече-
ния этих окружностей соответственно с некоторой пря-
мой, параллельной АА{. Найти геометрическое место то-
чек Р пересечения прямых AM и
1337.	Если черед точку А, взятую в плоскости круга,
провести к кругу произвольную секущую AMtM, то пря-
мые, соединяющие М и Afi с одним из концов диаметра,
проходящего через Л, отсекают на прямой, перпендику-
лярной к этому диаметру и проходящей через точку А,
два отрезка, произведение которых постоянно. Доказать.
1338.	На основании АВ треугольника АВС дана точ-
ка М. На каком расстоянии от этого основания нужно
провести прямую, ему параллельную, пересекающую сто-
роны АС и ВС в точках Ь и Е, чтобы площадь треуголь-
ника DEM была максимальной?
1339.	Доказать, что в треугольнике АВС, стороны ко-
торого ЛВ=4, ВС=3, ЛС=У5, медианы АК и CL пер-
пендикулярны.
9*	'	131
1340.	Из точки А, находящейся на расстоянии 5 слот
центра- окружности радиуса 3 см, проведены две секу»
щие ARC и ALB, угол между которыми равен 30°. К, С,
L, В — точки пересечения секущих с окружностью. Най-
ти площадь треугольника AKL, если площадь треуголь-
ника АВС равна 10 см2.
1341.	На продолжениях медиан АК, BL, СМ треуголь-
ника АВС взяты точки Р, Q, R так, что Р/( — -^- АК,
LQ= ~-BL, MR — -у СМ. Найти площадь треугольника
PQR, если площадь треугольника АВС равна 1 см2.
1342.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ =
—АС—Ь, ВС=а, <^,BAC—2Q°. Найти зависимость меж-
ду его (сторона ми.
1343.	В треугольнике прямая, соединяющая центр
вписанной окружности с Точкой пересечения медиан, па-
раллельна стороне треугольника. Доказать, что эта сто-
рона есть среднее арифметическое двух других сторон.
1344.	Дан равнобедренный треугольник АВС с углом
при вершине, равном -у-. Доказать, что между его сто-
ронами существует зависимость a3+b3=2(a+b)ab, где
а —основание треугольника, b — боковая сторона.
1345.	В равнобедренной трапеции основания равны
а и Ь, а угол диагонали с основанием равен а. Найти
длину отрезка, соединяющего точку пересечения диаго-
налей с серединой боковой стороны трапеции.
1346.	В треугольнике АВС <^.А—^В=а, АВ—а,
АН — высота, BE — биссектриса (точка Н на ВС, точка
Е на АС). Точки Н и Е соединены отрезком. Найти пло-
щадь треугольника СНЕ.
1347.	Две стороны аиЬ треугольника АВС составля-
ют угол, равный 120°. Определить высоту, опущенную на
третью сторону.
J32
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Глава I
3. Прямая не ограничена, отрезок ограничен с одной стороны,
отрезок — часть прямой, ограниченный с обеих сторон. 4. 1) Одну;
2). бесконечно много; 3) бесконечно много. 5. Прямые совпадают.
6. a—ct а+5==5+с. 7. AC+BD. 8. АС—ЗВ С, АС—2ВС. 9. 6 отрез-
ков. 10. 2,2. 11. Отрезок, равный АВ. 12. Нет. 14. 1) Если EK=FK$
2) FK>EK\ 3) FI(<EK. 15. На одной прямой; 1) причем точка N
находится между точками А и В% 2) точка В —между точками А
и N. 16. Тремя способами. 17. AD^BC, AC^BD. 18. Точка С — меж-
а 2а
ду точками Я и В. 19. -у. 20. у. 21. 12. 22. 1) Точка С—между
точками А и В; 2) точка А — между точками С и В. 23. 181. 25. 12.
27. Если данная точка А находится на прямой MPt тогда' нет ре-
шения. 29. Нет. 32. 130. 33. 90. 34. 21. 35. 35. 37. Угол DOE\ две па-
ры. 38. 1) 6; 2) 2LBAD-/.CAE. 39. 135°. 40. 90°. 41. 135° 42. 30°.
43. 10°.	44. Равными. 45.	Прямые. 46. 120°. 47.	90°.	48. 50°,	130е.
49. 72°,	108®. 50. Могут и не быть. 53. 15°. 54.	45°,	135°. 55.	135°.
56. 60°.	57. 45°, 135°. 58.	Если Z.DO.4 «. Z ВО£.	59.	96°, 54°,	30°.
60. Нет.	Нет. Да. 61. 45е,	135°, 62. 75е, 105°. 63. 1) 60°, 120°; 2)	90е,
90°. 65. — dt -jd. 66. 18°, 162°. 70. 1) равна, если а и ai перпенди-
кулярны; 2) да; 3) нет. 73. Да. 75. 110°, 120°, 130°, 55°. 76. Нет.
77. Биссектрисой угла АВЕ. 78. 10е.
Глава II
79.	В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со
сторонами, h0<c\ в других ^треугольниках меньше боковых сторон.
80. Нет. 81. В прямоугольном, 82. В равнобедренном. 83. На
серединном перпендикуляре. 85. Биссектриса треугольника — отре-
зок; биссектриса угла-*луч. 86. В прямоугольном. 87. 1) Биссектри-
сы внутренних углов, медианы; 2) высота в прямоугольном тре-
угольнике; 3) две высоты в тупоугольном треугольнике? 4) две. 88. 4.
89. 3. 90. Нет. 91. Да. 92. Три, если треугольник остроугольный; два,
если треугольник тупоугольный или прямоугольный.
133
93» Точка пересечения биссектрисы угла В и серединного пер-
пендикуляра к стороне АС. 94. Пусть BE и СМ—высоты треугольника
ABC, OD—проекция ОМ, ОЕ—проекция СО, но так как OD и ОЕ—
катеты прямоугольных треугольников ODM и СОЕ, лежащие против
углов 30°, значит, OD=~- ОМ, ОЕ— -^СО, тогда OD+OE= А.(ОМ-|-
+СО) = -^-см.
95.	Воспользоваться свойством внешнего угла треугольника.
96.	Продолжить СО до пересечения с АВ, а затем воспользо-
ваться свойством внешнего угла треугольника. 97. 4, 10. 98. 1) центр
описанной окружности; 2) центр вписанной окружности. 99. Повер-
нуть сторону ВС вокруг точки С на 60° и точку Bi соединить с точкой
В. Получаем треугольник ABBi со сторонами а, с и а+b; повер-
нуть сторону АС на 60° и полученную точку Ai соединить с точкой А.
Получаем треугольник ABAi со сторонами Ь, с, а+Ь. 100. Провести
высоты CD и АЕ и доказать равенство треугольников BCD и АВЕ.
101.	26. Решение. Перпендикуляр DE в треугольнике АВЕ
является одновременно медианой и высотой, значит, треугольник
АВЕ — равнобедренный, в котором АЕ^ВЕ. Согласно условию,
В£-ьС£=26, но ВЕ—АЕ, тогда С£+А£=26=АС.
102.	1) Боковая сторона и основание одного треугольника соот-
ветственно равны боковой стороне и основанию второго треуголь-
ника; 2) боковая сторона и угол при вершине или при основании
одного треугольника равны соответствующим элементам второго
треугольника; 3) если равны основания и угол при основании или
при вершине.
103.	1) Если AC^BD и Z.CAB^Z.ABD\ 2) если AC—BD-, ВС=
—AD. ,
104.	I) ДАВС=ДАШ); 2) ДАСР=ДВСР. .
105.	£\АСО=ЛАВО, 106. Равносторонний. 107. 6; две пары; два.
108. 30, 40, 40.
109.	Доказать равенство пары прямоугольных треугольников.
НО. Из точки М, взятой на основании АВ равнобедренного тре-
угольника АВС, опустить перпендикуляры MN и ME соответственно
на стороны ВС и АС. Провести высоту AL, на которую опустить
перпендикуляр МК, тогда KL-MN. Доказать равенство треуголь-
ников АКМ и АЕМ, откуда будет следовать равенство отрезков
АК и ME.
113.	Через взятую точку провести прямую, параллельную одной
из сторон треугольника, а затем воспользоваться результатом зада-
чи 109.
114.	^ Доказать равенство треугольников ABD и АВЕ.
115.	Пусть прямая, проходящая через вершину С треугольника
АВС, пересекает сторону АВ в точке D. Из вершин А и В опустить
перпендикуляры АЕ и BF на проведенную прямую, а затем доказать
равенство треугольников ADE и BDF, Доказать, что четырехуголь-
ник AEBF — параллелограмм.
117.	1) Если равны соответствующие стороны, заключающие рав-
ные высоты; 2) если соответственно равны углы, образованные рав-
ными высотами и сторонами, прилежащими к ним.
118.	В треугольниках АВС и AjBiCi провести медианы CD и
C]D( и продолжить'их соответственно на отрезки DE и DxEi так,
134
чтобы EiDt^CiDu CD=*ED. Соединить точки .£ и В, £i и В{. Дока-
зать равенство треугольников ACD и BDE, А\Сф^ и BXD{E\\ отсю*
да будет следовать, что АС^ВЕ, АХС\ = ВХЕЪ Далее доказать равен-
ство пар треугольников ВСЕ и BiCiEi, BCD и B1C1D1, тогда заклю-
чаем, что ДЛВС=ДЛ1В]С1.
119.	1) ВС«В1СЬ	2)	/ДгС^ь
Использовать результат задачи 118.
120.	Доказать равенство треугольников ACD и AiCiDi, отсюда
ZCAD=ZCiAiDi; значит, равны треугольники АВС и AiBiCi.
121.	Провести диагональ АС, после поворота сторона AD зай-
мет положение A£h на диагонали АС, а сторона C\D\ пусть пересе-
чет сторону ВС в точке Л4, сторона АВ займет положение АВ\ под
углом 45° к АВ. Доказать равенство треугольников AD\M и АВМ,
откуда будет следовать искомое утверждение.
122.	Пусть в треугольниках АВС и AjBiCi проведены высоты
CD и CiDi, медианы СЕ и С\ЕЬ которые равны. Доказать, что
ДС£)£=ACiDiBij AACD^AAiCiDi, а затем легко увидеть, что
ДВСВ—ДВ1С1Е1. Из равенства трех пар треугольников будет сле-
довать равенство данных треугольников АВС и А\В^С\.
123.	Доказать равенство двух пар треугольников, полученных
на чертеже, откуда будет следовать равенство данных треугольни-
ков, при условии, что углы при третьей стороне острые.
124.	Пусть в треугольнике АВС с основанием АВ проведены бо-
ковые высоты АЕ и BF, которые пересекаются в точке О. Доказать
равенство пар треугольников АВЕ и ABF, CFO и СЕО; отсюда бу-
дет следовать, что СО — биссектриса угла С. 126. Три пары.
127. Равнобедренные. 141. Опущенная на гипотенузу.
142.	Пусть в треугольнике АВС АС<ВС. Провести медиану CD
и продолжить ее на отрезок DE^DC; точку Е соединить с верши-
ной В. Доказать равенство треугольников ACD и BDE; отсюда сле-
дует, что АС—ВЁ, 4LACD—2-BED. Далее из треугольника ВСЕ ут-
верждение будет доказано.
143.	Меньшая сторона, высота, биссектриса и медиана. Восполь-
зоваться результатом задачи 142.
144.	Воспользоваться зависимостью между сторонами в треуголь^
нике. 146. 1) 3, 5; 2) 6. 147. Нет. 148. 2, 1.
Глава III
Г59.	Если секущая перпендикулярна параллельным прямым.
160.	Биссектрисы двух равных углов параллельны, двух не рав-
ных — перпендикулярны.
161.	Воспользоваться свойством внешнего угла треугольника.
‘	162. Воспользоваться свойством внешнего угла CDB и призна-
ком параллельности прямых.
163.	Если отрезок АА1 — биссектриса угла А.
164.	1) Из вершин С и D опустить перпендикуляры CF и DE на
сторону АВ и доказать равенство треугольников ADE и CBF, отсюда
AB\\CD; 2) доказать равенство треугольников ABD и АВС, откуда
Zu4=Z_B; из равенства треугольников ADC и BCD следует: ZJ)=«
=Z_C, тогда CD\\AB.
165.	1) AF^DE; 2) BE^CF; 3) AB — CD.
166.	Три равнобедренных треугольника.
167.	60°, 120°. 168. 1) 50°; 2) 70°. 169. 7,5.
13$
170.	Лучковая пила, тиски.
177.	а) Тупоугольный; б) прямоугольный; в) остроугольный.
178.	Острых — один, прямых — один, тупых — три.
179.	60°. 180. Прямоугольный. 181. В равностороннем.
182.	Прямоугольный. 183. 20е, 77°, 83°. 184. 58е, 87°.
185.	Нет. 186. Нет. 187. Нет в обоих случаях..
188.	70°, 70°, 40°; 70°, 55е, 55е. 189. Прямоугольный.
190.	30°, 70°, 80°. 191. 24°, 60°, 96°.
192. Учесть, что угол между биссектрисами смежных углов ра-
вен 90°. 193. 100°.
194. Воспользоваться зависимостью между углами и сторонами
треугольников.
_ 195. 70е, 70°, 40°, 50°, 50*, 80е. 196. 20*, 80*. 80°, 80°. 197. 1) 70е,
70е. 40е; 2) 140°, 20°, 20°. 198. 2:5.
199.	Прямоугольный равнобедренный. 200. Равнобедренные.
201. Равносторонний.
202.	Доказать, .что треугольник ACF равнобедренный, тогда
=90°. В треугольнике AFB сторона AF лежит против угла
50е, а сторона Ав — против угла 40°, отсюда AF>AB. 203. 102°.
204. 60°. 205. 120°.
206.	Воспользоваться свойством внешнего угла треугольника.
207.	Учесть, что угол между биссектрисами смежных углов ра-
вен 90°.
209.	20°, 30*, 130е» 210. 120°. 211. 4. 212. 60°, 70°, 80°, 150°.
213.	Пусть в треугольнике АВС с основанием АВ проведены
высоты (медианы) АЕ и BF. Доказать равенство треугольников
АВЕ и ABF, тогда Получатся равные накрест лежащие углы.
214.	/.А^ЛВСй, £ACD=*£CBD.
215.	Пусть в треугольнике АВС СК, BL, AM — zvg высоты, Н —
ортоцентр; тогда /ЛАКАЛИ CM, /ЛСН-ХЛВН, £LAH=Z_MBH.
217.	На свойствах угдов со взаимно параллельными сторонами.
218.	Эклиметр.
219.	В треугольнике АВС провести высоту CD. Доказать равен-
ство двух пар треугольников: DCB и FBBit ACD и ЕАА\, принимая
во внимание, что	Z./4CD; £J)CB=£.B{BFt как углы со
взаимно перпендикулярными сторонами (черт. 84)«
222.	а) 45е,. 135°; б) 72°, 108°; в) 70°, 110*.
223.	Воспользоваться свойством двух острых углов со взаимно
перпендикулярными сторонами»
224.	40°, 60*, 80°. 225. Воспользоваться зависимостью между
сторонами и углами треугольника. 226. 7. 227. 70°. 228. 65е, 130е» 50е.
229. 45°, 135°. 230. 15*, 75е, 90е.
231.	Учесть, что сторона треугольника болыре разности двух
других его сторон.
232.	Нет. Может быть равнобедренная трапеция.
233.	Две смежные стороны и угол между ними; две смежные
стороны и диагональ. 234. По
свойству диагоналей параллело-
грамма. 235. На 180°.
А Я
Черт. 84.
236. Через взятую точку и точ-
ку пересечения диагоналей про-
вести прямую, которая пересечет
противоположную сторону в иско-
мой точке.
135
237. Да. 238. Четыре пары равных. .
239. Потому, что сумма расстояний равна сумме его высот.
240. 144°, 36е. 241. 6, а—Ь.
242. Воспользоваться свойством углов со взаимно перпендику-
, лярными сторонами.
243.	Биссектрисы двух смежных углов образуют прямой угол.
АВМ^	Д0КЗЗаТЬ Равенств0 тРеУгольников ADNt NMC и
246.	Доказать равенство треугольников ADA\ и ВСС& отсюда
следует, что AiC~AC\, AiCliACi; значит, четырехугольник AZhCCi—
параллелограмм.
247.	Исключая ромб.
248.	В четырехугольнике ABCD провести диагонали и восполь-
зоваться свойством средних линий в треугольниках ADC и BDC.
Теорема теряет силу, если четырехугольник — параллелограмм.
249.	Отраженные точки Л^, Мз> соединить с точкой М и
вершинами четырехугольника ABCD, а также попарно между со-
бой. Доказать равенство треугольников МИ Л14 и Al2CAlh откуда
следует, что MiAfawAMft. Далее доказать равенство треугольников
МаВМз и MtDMi, отсюда	Значит, четырехугольник
— параллелограмм.
251.	Воспользоваться свойством - средней линии в треугольниках
ACD и BCD.
252.	Сумма сторон параллелограмма равна сумме боковых сто-
рон треугольника.
,	253. Теорема теряет силу, когда точки В, Е, С, В лежат на
одной прямой.
254.	В треугольнике АВС провести все его медианы, соединить
точку К с точками В и D. Доказать, что четырехугольники AERD,
AFKB, FCKB — параллелограммы, откуда будет следовать, что сто-
роны треугольника CDK равны медианам треугольника АВС.
255.	Если четырехугольник будет соответственно ромбом, квад-
ратом, прямоугольником.
257. На стороне АВ параллелограмма ABCD возьмем произ-
вольную точку А4, на противоположной стороне CD — произволь-
ную точку N. Находим середину Р отрезка MN. Точка Р лежит на
средней линии параллелограмма. (Средняя линия параллелограмма
соединяет середины противоположных его сторон). Аналогичным по-
строением находим вторую точку Q на этой средней линии. Прямая
PQ пересекает другую пару сторон параллелограмма ВС и AD в
точках Е и F. Середина и отрезка EF является центром паралле-
лограмма, что легко доказать.
259.	Пусть в треугольнике АВС проведены медианы AAiBBi и
£С1, которые .пересекаются в точке М. Продолжив отрезок MCi на
отрезок NCu равный AfCi, и соединив точки N и А, получим тре-
угольник ACiN, равный треугольнику МВС\ (доказать). Из равен-
ства этих треугольников следует, что AN—BM, тогда в треугольнике
2	2	2
AMN известны все его стороны, равные— та> — ть и — тс,
О	О	о	*
Значит, его можно построить и получить вершину А искомого тре-
угольника. Вершины В и С можно построить, пользуясь методом
центральной симметрии.
262. Ромб. 263. 60°. 264. 2а. 265. Может не быть. 266. Параллело-
грамм. 268. 15 и 25. 269. Опустим перпендикуляр DF на диагональ
137
АС, углы, которые образует диагональ АС со смежными сторо-
нами прямоугольника обозначим через а и (), тогда а-Ь^=90°,
/LODF—900—2а (1), где О —точка пересечения диагоналей; а=»
=90°—р. Подставив значение а в уравнение (1), утверждение бу-
дет доказано.
270. 1:2. 272. 8. 274. У квадрата. 280. Пусть расстояния между
параллельными U, S и V будут соответственно а и Ь. Из точки А,
взятой на средней параллели (S), строим два прямоугольных тре-
угольника АРВ и ARD по двум катетам а и Ъ так, чтобы точка А
была их общей вершиной, катет РВ, равный Ь, лежал на крайней
параллели (U), а калет RD, равный а, лежал на параллели U (пря-
мые углы в вершинах Р и к). Радиусом, равным их гипотенузе
(AB—AD), из точек В и D проводим окружности, и их точка пе-
ресечения будет четвертой вершиной S квадрата A BSD, что легко
доказать. Примечание. Если расстояния между параллельны-
ми V, S, V равны, то достаточно построить квадрат так, чтобы на
каждой из двух параллельных прямых лежало по две вершины, а
затем повернуть квадрат на 45° вокруг одной из его вершин.
281. Если его острый угол равен 60°. 282. Нет. 283. У квадрата.
284. Например, ромб и квадрат, если их стороны равны. 285. 40э и
140°. 286. 72° и 108°. 287, 60° и 120°. 290. 2:1. 291. 10, 12, 14. 292. 20.
293. 14. 294. 1, 7, 8. 297. 1:3.
298. 34. 299. В трапеции ABCD воспользоваться свойством сред-
ней линии в треугольниках ABD и BCD. 300. Воспользоваться ре-
шением задачи 299.
301. Воспользоваться результатом решения задачи 296 и тем,
что биссектриса угла является г. м. точек, равноудаленных от сто-
рон угла. 302. 0,75 а. 303. 120° и 60*. 306. 10, 8, 4, 4. 307. 60°, 120°,
5 а, ~|~ а. 308. 120е и 60е. 309. 1) 15; 2) 5. 310. 2 а. '
314. Соответственно вершины С, А и В.
317. Провести диагональ АС и воспользоваться свойством ме-
диан треугольников ADC и АВС, 318. 10 и 5.
Указание. Провести диагональ BD и рассмотреть треуголь-
ник ABD, приняв во внимание свойство медиан треугольника ABD.
319. Провести диагональ BD и рассмотреть треугольник ABD.
321. 20. 322. 6. 324. 5, 2, 5. 325. 120° и 60е. 327. 60°. 328. 32. 329. На
180°. 334. Нет. Необходимые, но недостаточные.
Глава V
332.	В треугольнике АВС провести высоту CD. Из треугольни-
ков ACD и BCD определить CD2, пользуясь теоремой Пифагора, а
затем приравнять правые части равенств.
333.	Воспользоваться результатом задачи 332, рассматривая
треугольники АВС и АВМ.
334.	Рассмотреть треугольники ADC и АВС, применив резуль-
тат задачи 332.
335.	Провести прямую через точку М, параллельную сторонам
АВ и CD, К треугольникам ADM и СВМ применить результат за-
дачи 332.
336.	Провести высоту CD треугольника АВС и применить ре-
зультат задачи 332 к треугольнику АВС.
337.	3,2.
138
Указание. По теореме Пифагора определить отрезки DK и
ВК из треугольников KDC и АКВ, а затем, применив результат за-
дачи 332, найти отрезок КМ из треугольника ВКС. Зная, чему рав-
ны отрезки КМ .и КВ, найти отрезок ВМ.
338.	10. Воспользоваться дважды теоремой Пифагора.
339.	Провести высоту CD. По теореме Пифагора, из треуголь-
ников BCD и DCM определить ВС2 и СМ2, полученные равенства
вычесть. Получим: ВС2—СМ2= (BD+DM) (BD—DM), но BD+DM —
=ВМ, BD—DM-AM.
340.	13. 341. Провести диагональ BD ромба ABCD, а затем
применить к треугольнику АВР результат задачи 332.
342.	Провести в трапеции ABCD диагональ АС и высоту CF.
Применить результат задачи 332 к треугольнику АВС.
343.	Определить квадраты диагоналей АС и BD трапеции
ABCD из треугольников ADC и ABD и полученные равенства вы-
честь.
344. Соединить точку С с центром О окружности. Рассмотреть
треугольник CDO. заменив OD2 на DN*.
345. 5 Указание. По теореме Пифагора вычислить AD
3
и АВ, применить результат задачи 332 к треугольнику ABD.
346.
168	56
-jj-, —g-, 12. Воспользоваться результатом задачи 332.
347.	5, V601.
168	120	- ----
348.	-jg-. 349. -jy , 24. 350. 4УЗ, f209.
351.	В треугольнике АВС с прямым углом при вершине С из
точки К — середины катета ВС опустить перпендикуляр KL на
гипотенузу 4Й, провести высоту CD и точку К соединить с верши-
ной А. Из треугольников AKL, BKL, АСК определить соответствен-
но AL2, BL2 и АК\ Вычесть BL2 из AL2 и в полученной разности
заменить АК2 его значением, тогда получим искомое равенство.
352.	Пусть в треугольнике АВС с гипотенузой АВ проведена
медиана BE. Обозначив стороны треугольника через а, b и с, опре-
делить из треугольника ВСЕ:
М 4а*+Ь*	с*+3а*	^+3(с2—51)	ЗЬ*
ВЕг = аг j'=-------f--------—-----------4-----4-
353. Ут2—с2. Указание. Из треугольников /ШС и BCN опре-
делить AM2 и BN2 и полученные равенства сложить, затем сделать
соответствующие замены.
354. КУЗ. 356. 4.
357.	Опустить высоту CD на основание АВ и воспользоваться
теоремой Пифагора, затем сделать соответствующие замены.
358.	Проверить, пользуясь теоремой Пифагора.
359.	25 я 17. Указание. Доказать, что проекция диагонали
на нижнее основание равна средней линии трапеции, а затем вос-
пользоваться теоремой Пифагора.
360.	Пусть на прямой даны две точки 4 и В. Построить иа пря-
мой точку D так, чтобы разносгь квадратов ее расстояний до точек
4 и В была равна квадрату длины данного отрезка k. Построив
прямоугольный треугольник АВС по катетам АВ и ВС, равным k,
строим серединный перпендикуляр Ей к 4 С, который пересечет 4В
139
в искомой точке D, Точка D единственная, так как серединный пер-
пендикуляр к прямой бывает только один (черт. 85, а). Воспользо-
вавшись задачей 332, мы докажем, что точка D принадлежит г. м«
точек, которое представляет перпендикуляр CD (черт. 85, б). По чер-
тежу легко видеть, что точка F, взятая вне перпендикуляра CD, не
может отвечать требованиям задачи, иначе мы пришли бы к выво-
ду, что из точки D прямой. АВ к ней восставлены два перпендику-
ляра CD и FD, что быть не может, значит, CD — искомое геометри-
ческое место точек.
361.	Ут& Указание. Из вершины С трапеции ABCD про-
вести высоту CF, затем воспользоваться результатом задачи 332,
рассматривая треугольник АВС, 362. 9. 363. Прямая, проходящая
через вершину С параллельно АВ.
I2	.
384. -g- . 365. 5, 24 кв. ед.
366. В трапеции ABCD провести диагонали АС и BD, которые
пересекутся в точке О, Треугольники АВС и ABD равновелики, а
площадь треугольника 4ОВ —их общая часть; отсюда следует,
что треугольники AOD и ВОС тоже равновеликие.
367. па. 368. 90°. 369. АЛМ& и ВМ№С, CLMD и ADME.
Phji D
370. 10 и 48 кв. ед. 371.	372. -g-.
373. 1:4. 374. 1:4. 375. Да; ab^chc.
376.	В треугольнике ЛВС провести высоты CD и АЕ и каждую
высоту разделить на три равные части.Через точки, отсекающие
одну треть высоты, считая от основания, провести прямые, парал-
лельные сторонам АВ и ВС; точка их пересечения будет искомой.
Для доказательства соединить точку пересечения со всеми верши-
нами треугольника АВС, тогда легко видеть, что утверждение до-
казано.
377.	Равнобедренный или прямоугольный. Из формулы площа-
ди треугольника имеем: ha » -у, Л*»—£”• Найденные значе-
ния ha и hb подставить в условие и полученное выражение преоб-
разовать в произведение, равное нулю. Приравняв каждый из сом-
ножителей нулю, получим ответ.
378.	В треугольнике АВС провести медиану CD, соединить взя-
тую точку М на стороне АВ с вершиной С, из точки D провести
прямую DE параллельно отрезку СМ. Далее через точки М и Е
(точка Е на стороне ВС) провести прямую ME, которая разделит
140.
треугольник на две равновеликие части АСЕМ. и МВЕ. Пусть CD
и ME пересекаются в, точке О. Площади треугольников MCD и
СМЕ равны (Л4С — их общее основание, а вершины D и Е нахо-
дятся на DE\\CM)*t отсюда площади треугольников СОЕ и MOD
равны. Дальнейшее очевидно.
379.	120 кв ед. 380. 48 кв. ед.; 3,6; 6,4. 381. Ь=а}3.
ср
382.	13; ромб; 2:1. 383. 75 кв. ед. 384. 28 кв. ед. 385. -у-
386.	Средняя линия, параллельная АВ.
387.	Воспользоваться результатом задачи 376.
388.	Выразить площадь ромба через его сторону и данный угол,
а также через его диагонали и полученные равенства, выражаю-
щие площадь ромба, приравнять.
389.	2) Указание В треугольнике АВС провести высоту CD
и на стороне А С взять точку К так, чтобы ее расстояние до сто-
роны ВС равнялось Х£=3, Из точки К провести прямую КМ, па-
раллельную АВ, и из точки К опустить перпендикуляр КЕ на сто-
рону 4В. Пусть /V —точка пересечения КМ и CD, тогда KL—CN
как высоты равностороннего треугольника СКМ\ отсюда следует,
что KE=DW=2.
390.	В данном четырехугольнике ABCD провести диагонали АС
и BD. Через точку О — середину диагонали BD — провести прямую
ОМ параллельно АС, соединить точку О с точками А и С (точка
М на стороне AD). Через точки С и М провести прямую СМ, ко-
торая будет искомой. Треугольники DOC и ВОС равновеликие,
треугольники AOD и АОВ равновеликие, отсюда четырехугольники
AOCD и АОСВ тоже равновеликие. Треугольники АОМ и МОС
равновеликие, тогда треугольники AFM и FOC равновеликие, где
F — точка пересечения АО и МС. Остальное очевидно.
391.	-Пусть медианы CD, АЕ и BF треугольника АВС пересека-
ются в точке О, тогда, обозначив площади равновеликих треуголь-
ников AOD и DOB через а, площади треугольников ВОЕ и СОЕ
через Ь, площади треугольников COF и AOF через с, можно соста-
вить равенства: 4) 2а+с=26+с, 2) 2а+6=2с+6, отсюда следует,
что a — b=ct
392.	12, 8.
394. 1) Разделить каждую из смежных сторон параллелограм-
ма на три равные части и точки деления соединить с противоле-
жащей вершиной. Из той же вершины провести диагональ, тогда
легко доказать, что параллелограмм разделился на три равновели-
кие части.
2)	Каждую из двух смежных сторон параллелограмма разде-
лить пополам и точки деления соединить с противолежащей вер-
шиной. Из той же вершины провести диагональ, тогда параллело-
грамм разделится на четыре равновеликие части.
396.	1) Параллельными; 2) скрещивающимися; 3). пересекающи-
мися; 4) могут совпасть.
397.	Если они восставлены из разных точек прямой, то они мо-
гут быть параллельными или скрещивающимися. v
398.	Можно, если они параллельные; нельзя, если они скре-
щивающиеся.
399.	Нет. Из данной точки прямой можно к ней восставить
перпендикуляр; не один. 400. Нет.
141
402.	1) Если три точки не лежат на одной прямой, то они
определяют единственную плоскость; в противном случае таких плос-
костей бесконечное множество; 2) через четыре точки, в общем слу-
чае, нельзя провести ни одной плоскости.
404.	Бесконечному множеству прямых, параллельных с данной
прямой.
405.	Может быть параллельна с одними прямыми, лежащими
в плоскости и скрещивающейся с другими прямыми этой пло-
скости.
406.	Да.
407.	1) Совпадают; 2) пересекаются в этой точке; 3) пересека-
ются по прямой, проходящей через эти две точки.
410. 150 кв. ед. 411. 24 кв. ед., 8 куб. ед.
412. 60 куб. ед. 413. J248 кв. ед., 2880 куб. ед.
414. 48 кв. ед 415. 120 кв. _ед. 144 куб. ед. __
416. 2400 куб. ед. 418. 18V3 кв. ед. 419. 96]/3 куб. ед.
421. 3840 куб. ед. 422. «32,4 кв. ед. 423. 1 см.
426.	140 кв. ед. 427. 13. 429. 6. 431. 600V3 куб. ед.
Г л а в а V I
432.	Когда хорда равна диаметру. 433. 6<
434.	Центр окружности, любой диаметр.
435.	В равнобедренном прямоугольном треугольнике.
436.	В равнобедренном, равностороннем и прямоугольном.
437.	В прямоугольном; медиана, проведенная к гипотенузе.
438.	Окружность. Радиус ее равен данной медиане.
439.	Вие треугольника, но внутри его тупого угла.
440. 60°.
441.	а) Концентрическая окружнрсть радиуса, равного расстоя-
нию от центра окружности до хорды, или точка, когда хорды рав-
ны диаметру; б) концентрическая окружность, построенная на гипо-
тенузе как на диаметре без общих концов; в) серединный перпен-
дикуляр к отрезку, соединяющему данные точки; г) окружность,
касательная к данной окружности в данной точке, диаметр которой
равен радиусу данной окружности; д) окружность радиуса, рав-
ного радиусам проведенных окружностей с центром в данной точ-
ке; е) перпендикуляр к прямой в данной точке, кроме этой точки;
ж): 1) прямая, параллельная данным, равноотстоящая от них и
проходящая через середину отрезка, являющегося расстоянием
между параллельными; 2) оси симметрии этих прямых,
а
442.	60°, 443. “ • 444’ 2>5‘ 445‘ 120°‘
446.	На высоте, проведенной из его вершины на основание.
а b с
447-	~2~< Т*1 2 '
448.	а+Ь>~АВ. Из концов А и В отрезка АВ провести окруж-
ности радиусов, равных а и Ъ.
449.	Бесконечное множество. 450. 116° и 70°. 451. 60°.
452.	Равнобедренный, в котором AC^DC. 453. 20°.
454.	Чтобы DE и АВ были параллельны, необходимо и доста-
точно, чтобы /.ABD^ZBDE; <LCAB~£.CDB (опираются на
дугу ВС), отсюда zS4C£==ZjDCB, тогда равны дуги АЕ и ВД
142
Далее сложить дуги, какими измеряются углы ABD и BDE, и
утверждение будет доказано.
455.	Воспользоваться результатом задачи 443.
456.	Воспользоваться свойством касательных, проведенных к
окружности из точки, взятой вне ее, и теоремой об измерении уг-
ла, составленного касательной и хордой. Ромб будет квадратом,
если квадрат вписан в окружность.
457.	30, 20. 458. Ромб.
459.	Соединить концы хорды АВ с центром' окружности.
460.	1 -й способ. Через центр окружности провести диаметр
параллельно хорде АВ. Прямая, симметричная с прямой АВ отно-
сительно диаметра, пересекает окружность в точках Д] и В^ так,
что ЛВ=41Вь
2-й	способ. Из центра окружности опускаем перпендикуляр
на хорду и радиусом, равным длине перпендикуляра, проводим
ркружность, концентрическую с данной. Касательная к окружности
(второй) в любой ее точке определяет своим пересечением с дан-
ной окружностью хорду, равную хорде А В.
462.	Через взятую точку провести две хорды и на них спроек-
тировать центр окружности. Принять во внимание зависимость
между хордами и их расстоянием от центра.
463.	Описать окружность около треугольника. Для случая, ког-
да треугольник прямоугольный, решение очевидно. Для двух дру-
гих случаев провести диаметр из конца одной стороны угла, рав-
ного 30°, конец которого соединить с концом второй стороны это-
го угла. Получаем прямоугольный треугольник, в котором один
острый,угол равен 30°. Остальное очевидно.
464.	Соединить центр окружности с концами хорды АВ. Рас-
смотреть треугольник ВиС и сравнить его углы при основании с
центральным углом AOD.
465.	Из центра вписанной окружности провести радиусы в точ-
'ки касания ее со сторонами треугольника, а затем воспользовать-
ся свойством касательных, проведенных к окружности из точки,
взятой вне ее.
466.	1 -й способ. Провести хорду CD параллельно ВМ, со-
единить точку D с точками А и В. Пусть хорды CD и AM пересе-
каются в точке К. Доказать, что треугольники С КМ и AKD равно-
сторонние, а четырехугольник КМВи — параллелограмм: Из дока-
занного будет следовать, что СМ = КМ. AK~DK = BM, тогда СМ+
+ВМ—АМ.	-
2-й способ. Повернуть хорду ВМ на угол 60° тогда отрезок
ВМ займет положение ML. и треугольник MlLB равносторонний.
Доказать, что ЛДА£== ДСВ.М, отсюда AL = CM. но BM-^LM, зна-
чит, СМ+ВМ ~АМ.
467.	Равнобедренная трапеция. Указание. В треугольниках
ACD и CBN углы CAD и CNB равны, тогда Z-ACD—Z..NCB, от-
сюда \jAK = ^BN, значит, AK^BN. Далее /-CDB^ACKN^90°,
следовательно, AB\\KN и четырехугольник AKNB — равнобедренная
трапеция. \>ВС+<уВЯ==180°, оДС+^ДХ-Ь 180°, отсюда
^AC+oKN~kjBC или	из последнего ра-
венства
468.	Пусть высоты треугольника АВС пересекаются в точке Я;
продолжения высот, проведенных из вершин А и В. встречают
окружность соответственно в точках D и Et а стороны АС и ВС —
143
в точках К и L. В прямоугольных треугольниках АКН и ВЕН
/.AHK—Z-BHL, отсюда /LKAH — 4HBL, тогда
ЛКАН == ZHBL===Z_.EAC==* /.CBD. Значит, в треугольниках АНЕ и
ВНЕ) А К и BL являютсй одновременно высотами и биссектрисами,
тогда они и медианы этих треугольников, т. е. ЕК^НК, HL-LD.
469.	Воспользоваться свойством углов со взаимно перпендику-
лярными ’ сторонами, откуда будет следовать равенство дуг, кото-
рое стягиваются их общей хордой, значит, их радиусы равны.
470.	Пусть высота' AL, BN и СМ треугольника АВС пересека-
. ются в точке Н. Описать окружности около треугольника АВС и
четырехугольников LHMB и LCNH, тогда ZJYLAf ==Z-#BM,
ZJiCN = £HLN, но Z.HCN=/LHBM (как углы со взаимно перпен-
дикулярными сторонами), отсюда ZJHLM=Z_HLN, т. е. AL — бис-
сектриса угла NLM треугольника NLM. Предоставляем читателю
доказать, что BN и СМ тоже биссектрисы углов LNM и LMN тре-
угольника LNM. 471. 90е.
Указание. Пусть t касается окружности в точке К. Дока-
зать равенство пар треугольников ОВС и КОС, AOD и DOK. Из
равенства треугольников' следует, что ОС и OD — биссектрисы
смежных углов АОК и КОВ, отсюда угол DOC равен 90°.
472.	-g- а. Указание. Принять во внимание, что конец А
отрезка АВ, центр вписанной окружности и точка касания лежат
на одной прямой. Решать задачу, пользуясь теоремой Пифагора.
477. Юл 479. 90°. Указание. Обозначить катеты через х и
у, а угол поворота — через <р, тогда х24-£/2=100,	+ -ggQ-==25ic.
Решить уравнение относительно <р, затем сделать соответствующую
замену.
Ж 18(2+л).
481.	Центр вписанной окружности соединить со всеми верши-
нами треугольника, провести радиусы в точки касания. Вычислить
площади трех полученных треугольников, найденные площади сло-
жить и приравнять к площади треугольника в который вписана
окружность.	.
482.	4л; 4(6—л) кв. ед. 483. Юл; 25л кв. ед. 484. 9л кв. ед.
гг _________________
485. «8,4. 486. у- (ЗуЗ-л) кв. ед.
488.	Воспользоваться теоремой Пифагора, предварительно со-
единив центр вписанной окружности со всеми вершинами треуголь-
ника, тогда по свойству касательных имеем: (m-hr)2+ (л4-г)2«
==(m+n)2. После преобразований получим: r(m + n-f-r) =*тп, но
т+п+г—р, отсюда гр—тп} но S~rp (см. задачу 481), Значит,
489.	Соединить центр окружности с вершиной С. Спроектиро-
вать боковые стороны треугольника на его третью сторону и вы-
числить их проекции, а также высоту треугольника АВС. Зная вы-
соту, вычислить площадь треугольника АВС и приравнять ее сум-
ме площадей треугольников АСО и ВСО, высотами которых слу-
жат радиусы окружности. Из центра окружности провести радиусы
в точки касания.
490.	110° и 70°. 491. «42,4. 492. 23л. 493. «2,38 мин.
494. «4,32 кг. 495. 7 болтов. 496. «9,6. 497. а+&+с+2лг.
144
тга9
498. «402 см2. 499. «12 час. 500. 5 и 10. 501. 1:2. 502.кв. ед.
. и 2У?,ХХ,куб. ед. 503. 60 ,кв. ед. и «57,3 куб. ед. 504. л.
16
505. 110° и 70°. 506. «31 куб. ед. 507. Центр окружности.
508. «14,33 кв. ед. 509. 120°, 510. «68,8 куб. ед. 511. 12л кв. ед.
512. '«1,27. 513. d>R, d-R, d<R. 518. Я 518. «550 куб. ед.
519. 4л(г4-1) кв4 ед. 521. «163 гектолитра. 522. 5:7,
Г л а в а V 11	<.
I
523. Нет. 524. Нет. 525. 58. 526. 19. 527, 6, 528. 3*р 529. 14.
530. 90°, 148°, 59®, 63®; углы треугольника ADE 31°, 32°, 117°.
531. Рассмотреть и доказать равенство треугольников. 532. 73°.
Воспользоваться свойством внешнего угла треугольника. 533. Про-
должить ML до пересечения с а и воспользоваться свойством внеш-
него угла треугольника (черт. 42).
534. Сольются, 535. Доказать, что треугольники BOL и АОК
равнобедренные.
536. 62°, 537. 58°. 538. 180®.
539. Указание. Обозначить углы А и В четырехугольника
ABCD через 2а и 2£; пусть биссектрисы углов А и В пересекают-
ся в точке М под углом ср, тогда ф=»а+Р; ZC4-ZD«s360°—2(а+.
4-£-, отсюда следует, что 2qp=Z-C 4-Z-Z). 540. 128°, 43®, 88®, ЮГ.
546. 1) Нет; 2) один; 3) бесчисленное множество; 4) не имеет
центра симметрии, а имеет ось симметрии; 5) один; 6) один;
7) не имеет центра симметрии, а имеет ось симметрии.
/ I) Имеет три оси симметрии; 2) t две оси симметрии (биссектри-
сы вертикальных углов; 3) ось параллельная прямая к данным
двум параллельным прямым и на равном расстоянии от них;
4) одну ось симметрии, перпендикулярную к основаниям и деля-
щую их пополам; 5) две оси, если они не имеют общих точек, тог-
да одна ось — прямая, проходящая через их центры, а« вторая —
серединный перпендикуляр к линии центров; 6) 4 оси; 7) одну —
биссектриса угла. 547. Два. Указание. Провести высоты парал-
лелограмма из одной пары противоположных вершин, а затем из
второй пары провести высоты, тогда получим два прямоугольника.
Остальное очевидно. 548. а), б )на 180®, в) на 90®, г) на 120®. 549. По
средним линиям.
550.	Указание. Соединить попарно точки А, В, С. АС прой-
дет через точку О. Чтобы найти точку D, нужно провести через
точку С прямую, параллельную АВ, а затем через точки В а О
провести прямую, которая пересечет верхнее основание в точке D.
551.	Указание. Учесть, что диагонали . своим пересечени-
ем образуют два равнобедренных треугольника. Остальное оче-
видно.	. ...
552.	Указание. Провести биссектрису одного из углов тра-
пеции. 553. Нет. Нет. Да. 554. Решение. В четырехугольнике
ABCD разделить каждую из одной пары противоположных сторон
на три равные части, провести диагональ АС, соединить прямыми
зя&здрно точки деления с вершинами и между собой, как показано
’ Ю п. Я. Великина	.	145
Черт. 86.	Черт. 87.
на чертеже 86, тогда Sabf = ~5acd U); $всм = “^“Sabc (И).
1
Сложив равенства I и II, получим: Sadf-^Sbcm^^^abcd,
^cmb^^suf', Smfn-^nfa, тогда Smefn — -^" Sabcd~Scmж+
.+ •$ A NF*
* 555. Точка £ — середина гипотенузы, ABJJEF и пусть EF пере-
сечет катет ВС в точке F, которую соединить с вершиной A EF
в треугольнике ABF является медианой и высотой^ значит,, тре-
угольник BFE равен треугольнику AFE. При точке F образовалось
три равных угла по 60°, отсюда &BFE—AAFC, так как у них общая
гипотенуза и равные острые углы. Итак, треугольник АВС разде-
лен на три равных прямоугольных треугольника (черт, 87).
556.	1) Разрезать по диагонали и сложить полученные тре-
угольники равными боковыми сторонами} 2) срезать один прямо-
угольный треугольник по высоте.
557.	Провести средние линии,
558.	1) 4; 2) 3; 3) 6.	_
659.	1) На 360°; 2) на 180’п. 560. ¥2- . 561. Да. Нет. Нет.
562.2:1.
563. Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме
квадратов двух других сторон (если они изморены одной единицей
длины), то треугольник прямоугольный. Доказательство.
Пусть с2=а?+Ь2. Доказать, что треугольник прямоугольный. До-
пустим, что он не прямоугольный. Построим треугольник с катета-
ми а и b и получим новый треугольник, у которого	но
с2==а2-|-Ь2, по условию, тогда c2=Ci2 и С\=с. Треугольник, данный
й построенный, имеют по три равных стороны, значит, они равны,
отсюда ZC=ZCi=90°, т. е. при данном условии треугольник пря-
моугольный.
564. 17. 565. 2(У2+У6).
566. Решение. Из треугольника САМ имеем: ЛЛ12=7?2—ОМ2,
ОМЛ-АВ. Из' треугольника ОМР имеем: MP2=d2—OM2. Вычитая
последние два равенства', получим: AM2—MP*=R2—d2 или (AM*h
4-М/*)(АЧ—MP)=R2—d\ или AP-PB=R2—Л	-
146
Черт. 88.
567. 120° и 240°. 568. Когда они внешне касаются.
569.	Пара окружностей радиусов —и * ~~2—
угол тупой.
571.	Любой прямоугольник, равнобедренная трапеция.
572.	Прямую, проходящую через начало координат, параболу
с вершиной в начале координат, кубическую параболу.
573.	Концентрическую окружность радиуса, равного расстоянию
от вершины угла до центра окружности.
574.	1) Если внутренние касательные взаимно перпендикуляр*
ны, тогда треугольники (черт. 88) OAD, AFD, BOiC и BFC — равно-
бедренные с углами при основаниях,, равными по 45°, отсюда следуетз
24К=2/?1^- =₽У2=4О; 2^В=гуТ=ЙС; 4D+SC=y2(R4-r);
GOi = OF4-FOr==Y2(/?+r). OOi—AD+BC. 2) В точки касания про-
вести радиусы. Стороны полученных квадратов равны /? и г, а диа<
гонали R/2 и гУ2. Линия центров окружностей равна разности диаго-
налей квадратов и разности хорд, указанных в условии задачи.
Глава VIII
575.	Всякой другой линии.
576.	Могут быть совмещены.
577.	Взятой вне прямой»
578.	А две другие составляют прямую линию.
579.	Внутренним. 580. На плоскости.
,581. Одной или . равных окружностей.
582. Большая. 583: Равноудаленные.
584.	При вершине равнобедренного треугольника.
585.	Проведенным из одной и той же точки, взятой вне прямой.
586.	Серединном перпендикуляре.
587.	Серединном перпендикуляре.
588.	Равных; равные углы. 589. 1) Две стороны; 2) два угла.
590.	Большей (меньшей).
591.	Каких-нибудь двух внутренних иля внешних односторон-
них углов, образованных при пересечении двух прямых третьей
прямой.
10*	147
592.	Каких-нибудь два соответственных или накрест лежащих
угла, образованных при пересечении двух прямых третьей прямой.
593.	Половине его гипотенузы.
594.	Сумме двух внутренних углов.
595.	Попарно равны. 596. Равны и параллельны.
597 В точке их пересечения делятся пополам.
598.	Равны и перпендикулярны. 599. При основании.
600.	Имеет только одну. 601. Эту хорду и стягиваемую ею
дугу.
602.	Заключенные между; равны.
603.	Параллельной. 604. <Одной окружности или равных окруж-
ностей; равные дуги или на одну и ту же дугу.
605.	Лежащем на окружности. 606. Можно описать окружность.
607.	В него вписать окружность. 608. Равны, подобны.
609.	Проведены биссектрисы OD и ОС смежны^ углов КОЕ и
и EOL. Доказать, что угол DOC равен 90°.
610.	Прямые АВ и CD пересекаются в точке О так, что угол
AOD равен 119°. Определить остальные углы.
611.	1) Угол С при вершине равнобедренного треугольника
АВС равен 35°. Проведена боковая высота AD. Определить угол
DAB. 2) Угол при основании равнобедренного треугольника равен
50°, Проведена боковая высота AD. Определить углы CAD и С.
612.	1) Внешний угол равнобедренного треугольника АВС при
вершине В равен 110°. Определить углы треугольника. 2) Угол С
при вершине равнобедренного треугольника АВС равен 45°. Опре-
делить его внешний угол при вершине В.
'613	. Угол при основании равнобедренного треугольника в два
раза больше угла при вершине. Определить углы треугольника.
614.	Боковая сторона* равнобедренного треугольника в два раза
больше его основания. Определить стороны треугольника, если его
периметр равен 30.
615.	Две параллельные прямые а и b пересечены третьей пря-
мой /. Проведены биссектрисы и и v двух соответственных углов<
Доказать, что прямые и и v параллельны.
616.	Две параллельные прямые а и b пересечены третьей пря-
мой /. Проведены биссектрисы а и о двух неравных углов' Дока-
зать, что и u v перпендикулярны.
617.	Боковая сторона АС равнобедренного треугольника АВС
продолжена на отрезок СЕ, равный АС. Точки В и Е соединены
отрезком BE. Доказать, что отрезок BE перпендикулярен ЛВ.
618.	Из точки С, взятой между параллельными прямыми а. и Ь,
проведены прямые, пересекающие а и b соответственно в точках К
и L так, что 211=20°, 222=55°. Определить 213.
619.	Стороны треугольника АВС продолжены за вершины Л и
В. Доказать, что ЛС<ВС, если Zl>Z2.
620.	Стороны треугольника АВС продолжены за вершины А
и В. Доказать, что Z.K212; Z-3> Z4, если АС<ВС.
621.	1) В четырехугольнике AKML проведена диагональ АМЛ
Доказать, что 211 = Z 2, если известно, что AK—AL, KM=^LM.
2)	Углы К и L четырехугольника AKML прямые. Доказать,
чур диагональ AM образует равные углы со сторонами АК и Л£,
если последние равны.
148	~
622.	1) Стороны треугольника ВСЕ продолжены за вершины
В и С так, что AB = CD; Z_3=Z4. Точки А и D соединены с вер-
шиной Е. Доказать, что треугольник ADE равнобедренный.
2)	Внешние углы 1 и 2 треугольника ADE равны. На стороне
AD взяты точки В и С так, что AB=CD. Доказать, что треуголь-
ник ВСЕ равнобедренный.
623.	Катеты АС и AiCi прямоугольных треугольников АВС я
AiB^t равны, Zl=Z-2. Выяснить, будут ли равны данные' тре-
угольники.
624.	Стороны АВ и В\С\ треугольников АВС и А1В1С1 равныв
* Z.3=ZL4. Выяснить, будут ли равны данные треугольники.
625.	В параллелограмме ABCD проведена биссектриса углаА*
пересекающая сторону CD в точке Е. Определить отрезки DE и СЕ9
если АВ=а, AD-b.
626.	Сторона ромба образует с его диагоналями углы, которые
относятся как 4:5. Определить углы оомба.
627.	Средняя линия трапеции ABCD равна 10. Определить ее ос-
нования, если они относятся как 3:7.
628.	Окружность точками А, В и С делится так, что ^АСт
:^ВС:оАВ=5:6:7. Определить углы CAB, АВС, АСВ.
629.	1) В окружности О проведены, хорды АВ и АС, а также
проведена касательная а. Определить угол САВ, если ZBA£=403,
ч>ВС:^АС=4:3.
2)	Вписанный угол АВС окружности О равен 70э. Через его
вершину В проведена касательная а. Определить углы, которые ка-
сательная образует с хордами АВ й ВС, если ^АЙ:оВС=4:7.
630.	Сумма двух углов равна 180е/ Будут ли углы смежными?
Могут и не быть.
63	L Два угла равны. Будут ли они вертикальными? Могут и
не быть.	* 
632. Если углы, прилежащие к одной стороне треугольника, р^в-
ны, то треугольник равнобедренный. Верна.
* 633. Если равны проекции наклонных, проведенных из точки на.
. прямую,' то и наклонные равны. Верна.
634.	Во всяком треугольнике против равных углов лежат рав-
ные стороны.
635.	В равных треугольниках против равных углов лежат рав-
ные стороны. Верна.
636.	Если гипотенузы двух прямоугольных треугольников равны,
то равны и их катеты. Может и не быть. ’	*. •
637.	1) Если две параллельные прямые пересечены третьей, 10*
внутренние (внешние) накрест лежащие углы равны. Верна.
3)	Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой,
то сумма двух внутренних (внешних) односторонних углов- рав-
на 180°.
638.	Если у четырехугольника противоположные стороны попар*
но параллельны, то четырехугольник — параллелограмм. Верна.
639.	Если у четырехугольника диагонали равны и перпендику-
лярны, то четырехугольник — квадрат. Может и не быть.
640.	Если углы при основании трапеции равны, то трапеция
равнобедренная.
641.	Если площади двух квадратов равны, то равны их диаго-
нали. Верна.
642.	Если два треугольника равновелики, та равны их основания
и соответствующие им высоты. Может и не быть.
643.	Если ребра двух кубов равны, то равны их поверхности и
©бъехмы. Верна.
644.	Равным дугам окружности или равных окружностей соот-
ветствуют равные центральные углы. Верна.
645.	Если хорда делит вторую хорду и стягиваемые ею дуги по*
волам, то первая хорда является диаметром. Верна.
646.	Из двух хорд та больше, которая ближе к центру. Верна.
647.	Если длины двух окружностей равны, то равны их радиусы.
Верна.
648.	Если площади двух кругов равны, то равны их радиусы.
Верна.
649.	Если равны поверхности и объемы двух шаров, та равны их
радиусы.. Верна.
650.	Если около многоугольника описана окружность, то он пра-
вильный. Может и не быть.
651.	Если сумма двух противоположных углов четырехугольника
равна 180®, то около него можно описать окружность. Верна.
652.	Если суммы противоположных сторон четырехугольника рав?
вы, то он может быть описан около окружности. Берна. '
Г л а в a I X
*653. 4, 6, 5, 10, 15, И. 654 1) Да; 2) нет.
655. 3-у. 656. I) 7,5; 2) 6. 657. 16, 32, 30.
658.	Не обязательно.
659.	Если стороны пропорциональны, то прямоугольники подоб-
ен, если два ромба имеют по одному равному углу; если у двух
параллелограммов смежные стороны одного пропорциональны сторо-
жам другого и углы, заключенные между ними, равны.
660.	Да. 661. «2,7.
662.	В трапеции ABCD провести высоты СЕ и DF, тогда
 b а~~Ь
ВС——2—» ВЕ~—g » где а и Ь соответственно нижнее и верх-
нее основания трапеции. Далее решать треугольник ВСЕ по теоре-
ме Пифагора.
663.	Соединить точки В и D, А и Е, а затем рассмотреть подо-
бие треугольников ASE и BSD,
664.	Провести высоты параллелограмма и рассмотреть подобие
полученных треугольников.
665.	В трапециях ABCD и AiBiCiDi провести СЕ и CiEi, сеот^
ветственно параллельные AD AiDi. Доказав подобие треугольников
ВСЕ и В1С1Е1, легко доказать, что углы трапеций соответственно
равны.
666.	«30,6 кв. ед.
667.	Воспользоваться свойством катета, лежащего против угла в
30е; а затем теоремой Пифагора.	-
668.	12 и 36.
669.	Рассмотреть подобие двух пар треугольников AOF и FEP,
АРВ и ОВЕ; написать пропорциональность сходственных сторон и
156
полученные равенства почленно умножить, тогда получим равен-
ство:
OF-OE R*
‘	AP-FP ~ ЕРВР	W
Далее из подобия треугольников APB я FEP следует равенство:!
AP-FP=*EP-BP. Сделав соответствующую замену в равенстве (1),
получим искомое равенство.
670.	24, 12. ; У к а з а н и е. Использовать теорему об отношении
площадей подобных треугольников.
671.	Обозначив радиусы окружностей через Яг, Яг, Яз, рассмотреть
подобие треугольников О2ОзЬ и О[О2К (черт. 89). 672. 9. 673. Пусть
касательные к окружности в точках А и С и продолжение диаго-
нали BD пересекаются в точке F. Рассмотреть подобие двух пар
треугольников BFC и DFC, ABF и ADF.
674.	Треугольники АВС и ABD подобны (£ADB — £BAC;
AD BD AD АВ
£ВАВ^£АСВ), отсюда =	• Перемно-'
жить полученные равенства.
675.	Повернув сторону АС на 60е (по часовой стрелке), полу<
чим треугольник AAiC, в котором сторона AAi будет параллельна
биссектрисе CD угла С (доказать). Рассмотреть подобие треуголь-
ников aAiB и CBD.	4
676.	«7,5. 677. Воспользоваться свойством периметров подоб-*
ных треугольников.
678. Из подобия пар треугольников АВС и COL, ADC и АКО,
~	ь	а AC b АО
АВО я йСО следует: — = 0^(1); — = до (2); — =	.
b 
Поделив почленно равенства (I) и (2) ив частном заменив— от*
АО
ношением. qq , получим, что к—у.
679. Из точки Р к отрезку ОР восставить перпендикуляр PL,
равный OK—R. Из точки L провести касательную к окружности.
Точка пересечения касательной с отрезком 'ОР будет искомой
точкой.
686. На одной из трек проведенных прямых взять две точки й
каждую спроектировать на каждую из оставшихся двух прямых.
Рассмотреть две пары получившихся при атом подобных ''треуголь-
ников.	.
154
681.	Пользуясь свойством медиан треугольников ADC и АВС,
BCD и ABD, доказать, что четырехугольник A\B{C\D\— параллело-
грамм, Далее рассмотреть подобие треугольников DOC и DiOCi.
682.	Провести DF параллельно Л£, тогда OL — средняя линия в
треугольнике CDF, a DF —средняя линия треугольника ABL, отсю-
да боковая сторона ВС точками L и F разделились на три равные
части. Рассмотреть подобие треугольников ЛВС a CKL (О —точка
пересечения AL и В К) (черт. 90).
683.	Около четырехугольника BCED описать окружность (Z.D-E
4-ZLE—180*)» тогда, соединив точки D и Е, получим: /LBCD^
с== Z.BED, отсюда треугольники ЛВС и ADE, имеющие один общий
угол А, кроме пары равных, будут подобны.
684.	В треугольнике ЛВС проводим LR параллельно ВС (черт.
91). Из условия задачи следует:	(1), но LF=*
«= KF + /(1, LD^RP—NP—NR. Подставив значение LF и LD в урав-
нение (1), получим, что LK—NR. Треугольники LRN и ЛВС подоб-
ны (их углы равны), значит, AB:A//?=CS:£/C но LK^NR, отсюда
ЛВ = СВ.	2	2 2
685.	Из условия задачи следует:.
S2 d	a22 + b22
Воспользовавшись свойством пропорции и преобразовав последние
два отношения, получим; (а^а^Ь^Ьъ) : (аЛ—— 0, отсюда
Oj	b ।
aib<r-a2bi«=0, или~^“ =	значит,треугольники подобны (аь Ьь Сц
51 —стороны и площадь одного треугольника, а а2, Ь2, с2 и Sa—
стороны и площадь второго треугольника).
686.	Из подобия треугольников ADK и BDF следует: — = -gp,
г + гI	АК+КС R АС
ИЛИ~Й— “ —DF—=	где ** Г* РадиУсы окружное-
тей, описанных около треугольников ЛВС, ADR, BDF,--~ =
Умножив последнее равенство на 2лг, получим: 2ov+2nri—2л/?.
688.	Воспользоваться решением задачи 673.	1
689.	Для прямоугольного треугольника утверждение очевидна.
Для доказательства того, что теорема остается в силе для остро*
152
угольного в тупоугольного треуголь-
ников, следует описать окружность
около каждого из них, затем из вер-
шины 4 провести диаметр А К и
точку К соединить с вершиной С, из
которой провести высоту CD тре-
угольника АВС. Далее рассмотреть
подобие треугольников BCD и АСК.
690.	Воспользоваться результатом
задачи 689, рассматривая треуголь-
ники АВС и ABD. Полученные равен-
ства почленно возвысить в квадрат и
результаты сложить 4О24-В02 заме-
нить на А В2.
Черт. 92.
691. Рассмотреть подобие треугольников ЛКА1 и BLM и произ-
вести замену касательных BL и АК равными им NL и О.
692. Из подобия треугольников АВМ и ABN имёем:
MB АВ AM PM t
'АВ' NB ^'AN^AQ9 (черт. 92). ДВРМсо A4QB (равные уг-
лы заключены между пропорциональными сторонами), отсюда
BAf РМ ~
д-д — Jq • Стороны ВМ и АВ как сходственные стороны подобных
треугольников лежат против равных углов МРВ и AQB, но
/Л4РВ+2-ЛРВ«®180°, тогда 2L4 РВ 4-180°, значит,'точки Л,
Р» В, Q принадлежат одной окружности.
693, Рассмотреть две пары подобных треугольников АВС и МРС,
ADC и AQM. Написать пропорциональность сходственных сторой и
полученные равенства сложить. 694. 9,6. 695. Соединить точку Ai с
точкой В и рассмотреть подобие треугольников Л2ЙС и Лр4В| отсю-
да следует, что АА^-АМ=2/?-АС.
696.	В окружности провести хорду АВ, а из точки К —середины
дуги Л В —провести диаметр KD и хорду KL, которые пересекут
хорду АВ соответственно в точках Р и F. Точку D соединить с
точками £ и Л, а последнюю соединить е точкой К. Из подобия тое-
KF РК —
угольников KLD и KPF следует:	(1), По известной
формуле, из прямоугольного треугольника AKD имеем: АК2^=
KD-КР» но из равенства (1) следует, что KF-LK^KD-PKl тогда,
заменив KD-KP на Л№, получим искомую зависимость.
697.	5:4. 698. Около треугольника АВС описать окружность,
провести биссектрису CD и ее продолжить до пересечения с ок-
ружностью в точке Е, последнюю соединить с вершиной Л. Из по-
_	лс ЕС CD+ED
добия треугольников АСЕ и CBD имеем: рс = вс ~ —ВС— *
или АС-ВС—CD2+CD-ED, но CD ED^AD BD (см. задачу 687),
тогда CD2-АС-ВС—CD-ED~AC-BC-AD-BD.
699.	Рассмотреть подобие треугольников AKD и DBE.
700.	Воспользоваться результатом задачи 689, а затем значение
в. 2S
hc = — подставить во взятое равенство.
701.	1Д 3,5; 32,5л кв. ед. 702. 12(у£~ 1),
153

703. 3,75. 704. —	. 710. 45е, 135*. 711. 60е. 712. 4:25. 713. 2:3.
Указание. Провести радиусы $ точки К и L — точки касания ок-
ружности со сторонами ВС и АВ треугольника АВС. Доказать ра-
венство треугольников OBL и ОВК, откуда будет следовать, что
О В — биссектриса угла АВС, а затем воспользоваться ее свойством.
714. 30°, 60°, 90°. Указание. Пусть в треугольнике ABC CD и
СЕ соответственно высота и медиана, проведенные из вершины С*
тогда в треугольнике ACD СЕ является биссектрисой угла ACDt
CD — биссектриса и медиана треугольника ВСЕ. Обозначим BD че-
рез х, тогда BD—DE=x} а А£=2х. Пользуясь свойством биссектри-
сы СЕ, получим CD: АС—1:2, значит, угол DAC равен 30°, тогда
угол ACD равен 60°, угол ВС А равен 90°, угол СВА —60°.
2	111
715.	6 уд-; 3 -уу; 8 — . Указание. Пользуясь теоремой Пи-
фагора, вычислить сторону АВ, которая равна 16; затем но свойству
биссектрисы внутреннего угла треугольника найти отрезки боковой
стороны. Зная длину всех сторон треугольника АВС, доказать, что
угол ВСА тупой. Продолжить высоту CD до пересечения с окруж-
ностью в точке Е, * которую соединить с вершиной В. Из треуголь-
ника ВСЕ найти DE по формуле а2=с*р, тогда диаметр окружности
2
будет равняться 16 -g— .
716.	12 см и 27 см. У к а з а н и е. Воспользоваться результатом
задачи 698 и свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника.
717.	У к а з а я я е. Учесть, что угол между биссектрисами двух
смежных углов равен 90а. Провести биссектрисы СЕ и СО, внутрен-
него и внешнего углов треугольника АВС, где О— точка пересече-
ния внешней биссектрисы е продолжением стороны АС. Вычислить
все углы полученных треугольников, тогда будет доказано, что
треугольник DCE прямоугольный равнобедренный с углом при ос-
новании DE, равном 45°.
716.	4. У к а з а н и е. Из вершины В провести биссектрисы BD и
BF внутреннего и внешнего углов треугольника АВС, тогда угол
DBF равен 90°, значит, он должен опираться на диаметр окружнос-
ти, центр которой находится на продолжении стороны АС. Обозна-
чив отрезок CF через %, воспользоваться свойствами биссектрис
внутреннего и внешнего углов треугольника.
719.	Решение. Провести биссектрису CD угла АСВ « рассмот-
реть все углы. Обозначим стороны треугольника через a, Ь, с, отре-
зок AD—к, тогда DB=c—х, &АВС oo^ADC,	» и^и
х b	b2
~b~ = отсюда x—AD= (Г). По свойству биссектрисы внут-
AD AC	к b
реннего угла треугольника gg = ggr , или “ “J" ♦ отсюда
b-c
* = =AD (И). Сравнив значения AD из равенств (I) и (II),
6a be
имеем: — =	. Решив: последнее равенство относительно а,
получим искомое соотношение.
154
. 721. 2; 1,4; 2,2; 2,8; 4; 4,4. 724. 12 и 8. 727. 10; 8. 730. 21; 14; 6;
1
9; 14; 4; 6; 9^. 731. 160 кв. ед. и 90 кв. ед. 733. Провести Df па-
раллельно AL, тогда EL — средняя линия треугольника DCF, я
DF— средняя линия треугольника ABL (точка £ —середина высо-
ты CD).
2.
734. 40 и 120. 735. 12. 736.. 2-у, 737. 100 в Ш.
738. 2]/15. 739. 5. Рассмотреть подобные треугольники AEF и
DEC.
7401 Провести высоту CD на гипотенузу, тогда получим, что на-
ры треугольников АВС и ACD* АВС и BCD* ACD и BCD подобны.
74L 9. Указание. Из центра О окружности опустить перпен-
дикуляр ОК на хорду ABt а из точки Я, BL — перпендикуляр на ка-
сательную AF. Доказать подобие треугольников ОВК и АВЕ Напи-
сав пропорцию из сходственных сторон, найдем искомое расстояние.
742. Проводим высоты BD и СЕ соответственно на сторону АС и
на продолжение стороны АВ. Из подобия треугольников ABD и
АСЕ имеем: jg = тогда угол Л— общий для треугольни-
ков АВС и ADE, а стороны треугольников, заключающие этот угол,
нропорциональны, значит, треугольники АВС и ADE подобны.
744.	Пусть касательная, проведенная в точке N, пересекает каса-
тельные в течках L и К/а продолжение диаметра — в точке №. Из
подобия треугольников АМК и BLM написать пропорцию цз их
сходственных сторон и заменить, пользуясь свойством касательных,
проведенных из точки, взятой вне круга, АК и BL им равными KN
и >£.
745.	Пусть касательные и продолжение диагонали BD пересека-
ются в точке К. Доказать подобие двух пар треугольников AKD и
АВК, ВКС и KDC. Написав пропорции из соответственно сходст-
венных сторон и приняв во внимание свойстве касательных, прове-
денных из точки, взятой вне круга, утверждение будет доказано.
746. Нет в общем случае. Верно для равносторонних треугольников.
747.	1. Указание. В треугольнике BCD провести ОМ парал-
3
лельно ВО, тогда ОЛ=	Д2ХШ, отсюда AL:OL=4:l.
АВ АО 3
Из подобия треугольников АВО и LOK следует:	== Jq = — >
откуда Д«1.	>
749, Если у ромбов сеть- по одному равному углу, то все их уг-
лы равны, а стороны ромбов всегда пропорциональны, значит, они
подобны.
Глава X
4
754. '-g- от
, «37,2 кг.
~2 '’х
750. «95,7. 751. ЗЧСУ. 752. 2лЯ cos <р. 753..« 14,2 км,
данного катета. 756. «0,06 т. 757. «420 м. 758. «14,7 кг.
2d
759. «12,6 кг, 36е» 64* 760.	si па кв. ед. 761.-— ;
’	. COS^—
2
кв. ед. 762. «
765. -
767. «32 кв. ед. 768.
' asincp
19,3 смг, 763. 2a2slnacosa кв. ед. 764. —%- кв. ед >
Л2	—
-2sin2a” кв’ ед‘ 766‘ 5' 5^3’ 30°’ 60°-
5,8, «29,1 кв. ед.
d*V 3
769 1—Slny ’ где 0°<Ф<90 • 77°-----4-------кв. 772« 10> 8*
_	___ 1	13	4
773. 2/13, 3/13. 774. 1“[у. 775.	; 13-jy. Воспользоваться фор-
мулой а2—ср [с — гипотенуза, р —проекция катета а), 776'. 6/5,
12/57Указание. Как известно, медиана прямоугольного треуголь-
ника, проведенная на гипотенузу, равна ее половине, значит, гипо-
тенуза равна 30. По теореме Пифагора, найти отрезок DE, равный
9» тогда AD=6. Дальнейшее очевидно.
w2 + /i8 m3+n8
777. 144лкв. ед. 778. ———. Указание. Из точ-
ки D опустить перпендикуляры DK и DL соответственно на АС й
ВС, тогда четырехугольник KCLD — прямоугольник. В прямоуголь-
ная треугольнике ACD отрезок KD равен п, CKj=*tn> тогда по фор-
и2
муле ft2=po находим: п2=/и*А/С откуда АК=*-^г, значит, АС=*
п2 /п2+п2	т	'
"~тп	—m— 113 треугольника BCD находим катет ВС,
779. Пусть DK—CL=y, а DL=CK=x. (черт. 93). По формуле
Л2=р<? имеем:	f/2=x(75—х);	х2=100//—75х+х2;	100у=75х;
4	4	4
р* ——0(75»~ y)t отсюда у®36, тогда BL=64, АД=27,
4	h ___________________
*=* —.36^=48. 780.	^-/sin2a+sin2₽. 781. 2h.
У 3 df8COS2aSina
782.	------Г”------(куб. ед.).
4
а	а
783.	8fl2sin~2' tg 0 кв. ед.; 2а’ sin -§rsinatgp куб. ед.
784.	ftctga; Actgp. 785. Указдниё. Вычислить площадь тре-
угольника в зависимости от его катетов, затем выразить один катет
яерез другой, пользуясь определением тангенса угла.
786. Определить тангенсы углов, прилежащих к стороне, на ко-
торую опущена высота, и полученные равенства разделить.
787. Указание. Центр вписанного круга соединить с вершина-
ми треугольника, провести перпендикуляры в точки касания, а за-
тем определить отрезки АО, ВО, СО из со-
ответствующих треугольников А ОМ, ВОМ,
С	COL и полученные равенства перемножить.
АХ/	788. Указание. В треугольнике АВС
/	провести биссектрису CD, тогда из тре-
/7 х	Р I
угольника BCD:	а из треуголь-
fcw. -	q i
В	В ника ACD: Hna=sinA • Полученные равен-
Чёрт. 93. ства разделить.
156
Черт. 95.
Черт. 94.
789. Указание. Применить теорему синусов к треугольникам
BCD и ACD, учитывая, что sin (180°—а) == si па, затем полученные
равенства разделить; для доказательства свойства биссектрисы
внешнего угла треугольника применить теорему синусов к треуголь-
никам ВСЕ и АСЕ, затем полученные равенства разделить
(чер. 94, а, б).	,
tga
790.----. Указание. Обозначив основание треугольника че«
rtg4
рез а, прилежащий к нему угол — а, выразить высоту, опущенную
на основание, радиус круга, а затем площадь треугольника и пло-
щадь круга и взять их отношение.
(я2—c2)sina sinp	-
791, —2sin(a ft) " ‘У03306, Перенести боковую сторо-
ну ВС параллельно самой себе на отрезок CD, равный с; затем при-
менить теорему синусов к треугольнику ADE и найти DE=bC
(черт. 95). Из треугольника ВСК вычислить высоту СК, затем и пло-
щадь трапеции.
(62—£a)tga
792.	g-----• Указание. Пусть диагонали параллелограмма
ABCD АС и BD пересекаются в точке О, Обозначив отрезки АО и
ВО через хи у, а угол ЛОВ —через а, площадь параллелограмма
будет равна 2ху sin а. Воспользовавшись зависимостью между сторо-
нами и диагоналями параллелограмма, выразить х2+у2 через а и Ь,
Из треугольника АОВ, по теореме косинусов, вычислить квадрат
стороны АВ и из полученного равенства определить ху и его значе-
ние подставить в равенство для площади параллелограмма.
793.	^a2+b2—ab\ ^а2-\-Ь2, У к а з а н и е. Восполь-
зоваться теоремой косинусов.
794.	АМ2+ВМ2=2(Я2+ОМ2). Решение, а) В окружности О
провести диаметр CD и параллельную ему хорду АВ. На диаметре
CD взять произвольно точку М> затем точки О и М соединить о
концами хорды АВ (черт. 96 а, б, в). Применяя теорему косинусов
и треугольникам ВОМ и АОМ, находим:
ВМ2-Я2+ОМ2—2R-OM-cos ВОМ (I)?
^M2=/?2 + OM2+2/?OAf-cosBOM (II).
Сложив равенства (I) и (II), получим: ЛЛ12+ВЛ42==2(/?2+ОЛ<2)«
б) Если точка Af взята на продолжении диаметра CD, рассматрива-
ются те же треугольники и ответ будет тот же, в) Если хорда перй-
157
Черт. 9б
Черт. 97.
ходит в касательную, то искомая сумма равна 2МЕ2, где Е — точка
касания. __	%
795.	Решение. Пусть сторона квадрата равна к. BE —
^FD—y, тогда CE=.CF—x—у. Согласно условию, tgAEF=3, зна-
чит, £/<—1, АК=&, отсюда AF=AE=fflQ. Из треугольника AFD
х2-ьр2=Ю. Из треугольника CEF находим: 2(х—^)2=4, или л#=4.
{х2 -4- и2 — 10	~г~	г~~
’ отсюда х=2у2; у—1/2,
2/ТГ 2/ 5~
Из треугольника AFD: cos FAD== —^==?~-—g-----(черт. 97),
тс ____ £Sina asinp a^sinasinp
79в- 2зкш- 797' sin(a-Hf) ; sin(a+M: 2sln(a+{i) ' У K a 3 a'
а и e; Воспользоваться теоремой синусов.
7W:4-y(a+Oztgsa+(c-ar;	2!±L
799. 2#sina; 2Rsinf);’ 2/tein(*a+$); 2a2sma-sinp-sin(a4-P). Ука-
зание. Воспользоваться теоремой синусов или провести диаметр; CD
и точку D соединить с точками А и В, тогда из треугольников ACD
и BCD определить стороны АС и ВС, а сторону АВ найти из тре- {
угольника АВС с помощью теоремы синусов.
890. 19, 17. Указание. Решать с помощью Теоремы синусов,
пользуясь таблицами и логарифмической линейкой.
. ub 3
801. he= “2”У lj-afr4.fr2 * Указание. Найти площадь тре-
угольника, третью сторону, затем ——приравнять, найденной площа-
ди треугольника, откуда найдется йс. .
ОАО Я81Па . «SiOP----------------------------------------
s»(.+4)  ,in (н-л.) •
/а*+»*+0,76ай. Решать с помощью теоремы косинусов.
804. «6,5; «34,2 (ед2). Указание. Вторую сторону найти из
треугольника ABD по теореме косинусов; провести высоту DE на
продолжение стороны АВ, а затем найти площадь.
т/"
805- —-*> . 800. «7,8л (ед2). Указание. Пусть сторона А В рав-
/з
158
на 5 и прилежащие к ней углы равны 79е и 37°30'. Провести диа-
метр BD и точку D соединить с точкой А, тогда из треугольника
ABD найти диаметр.
2я .
807.	,—— Указание. Пусть сторона АВ равна £,а при-
у 6 sin 75
лежащие к ней углы равны 60° и 45е, тогда угол^ВСЛ равед 75% По
теореме синусов найти сторону АС, затем найти площадь треуголь-
ника АВС. Провести диаметр BD и точку D соединить с Я, тогда из
треугольника ABD найти диаметр, затем площадь круга. ___
.tg<, 6/ 5rf2tga
5 *	*
19°30', «36 кр. едч
33°31л и
7,6 кв. ед.
2d»
808. «5,4; «3,3; «8,9 кв. ед. 809. -у
8
810.	(l+2cosa), 32tga кв. ед.
811.	«63 кв. ед.; «56,8 куб. ед.
812.	«6,7. 813. «97,6 куб. ед. 814. 160°3(У,
815. «108 кв. ед., «103 куб. ед. 817. «356 кв. ед. 818.
«ИН6'. 819. h3 ctg* a sin 0 cos £ куб. ед. 820.
821. a3 tg2 atg 0 куб. ед.
Глава XI
’ 822. Нет. 823. 1) 3; 6; 9; 12; 2) 4,5; 7,5; 10,5; 7,5. 824. На свойст-
ве касательных, проведенных к окружности из одной точки.
825. 1) На большей стороне треугольника; 2) на плоскости тре-
угольника; 3) вне плоскости треугольника. 825 «96 кв. ед.
827. «59,6 кв. ед.
828.	«39W, «140°30'. 829. 120°. 830. 1. 831. п. 832. С чет<
ным числом сторон. 833. 8. 834. a/З; 2а. 835. 5. 836. Равнобедренная
трапеция. *
837.	Учесть свойство углов вписанного четырехугольника.
.. 838. «19°10'. 839 «9,2 кв. ед. 840. «64 кв. ед.
841. Треугольники, квадраты, шестиугольники. Указание. Во--
круг одной точки можно уложить столько плиток, во сколько раз
угол при вершине плитки, равный
180°(/г—2) 2п
----— = «—• Очевидно, что —л должно быть целым
2п 2/14-4—4	4 .lft
числом. -^“2= и_2	=-^=2+‘>
если п—2 будет кратно 4. Делителями 4 являются
п—2 = 1, тогда п=3, если и—2=2, тогда и=4;
842. у (3/3—л) кв. ед. 843. «1,4 кв. ед. 844.
845. г2 (2л—3/3) кв. ед. 845. 1, 2, 3, «0,46 кв.
г2	—и	-1 бу^ 3 	—
у (л+/3) кв. ед. 848.—. 849. л2/2 кв. ед. 851. 1:2. 852. у
Зг
кв. ед. 853. у (см. задачу 472). 854. «10,8 кв. ед. Центр описан-
ной окружности вне плоскости треугольника. 855. 5/2. 856. 1:8:27.
159
180°<л—2) /
—-------, меньше 360 , т. е.
2п
360:
 4
тогда/^22^Удет числом,
1, 2, 4, значит
п—2=4, /2 = 6.
«7,7 кв. ед.
ТСГ2
ед. 847.—,
857,4:3. Решение. В треугольнике АВС провести медианы
CD, AF, BE, (<Герт. 98). Отрезок EF продолжить на отрезок
FK—EF. Точку К -соединить с точками D, В, С. Треугольник CDK
имеет своими сторонами отрезки, равные медианам треугольника
АВС. Доказательство; четырехугольники АЕКВ и СЕВК — паралле-
лограммы. Далее, Scdo+Sfo k+Scfk=Scdk> но Sdob—Sfok',
^CFKs=ScEF'i S с DO~i~E о D В	А В С f 5 С Е F = 5 с F К = 0,255 а В С (ПО
свойству площадей подобных треугольников АВС и CEF), тогда
К	— С 4.	1 С	—С
’858. Ромб. Соединить точки К и L. 859. Из равенства треуголь-
ников DCF и ВСЁ (черт. 99) следует Z1 = Z2, Z-2+Z-3=90°, отсю-
да Z_l+Z_3=90°, значит, ZZWC=90d. Треугольники CDF и DMC
подобны, тогда ^^2. “ тгй =^:5. Остальное очевидно.
$ DFC
8во.-у{у2+убГ. set. “f" (3-V5);-f-
862. 1:2. 863. Шестиугольник и девятиугольник.
. 864. Нет, не равны углы. 865. 18 кв. ед. 866. Воспользоваться
свойством внешнего угла треугольника. 867. Нет, 868. «14,4.
869. Учесть, что угол, образованный биссектрисами смежных углов,
равен 90°. 870. 1:2. 872. Соединить точки М и N с вершиной В. До-
казать, что треугольники CBN и АВМ равны, отсюда будет следо-
вать, что треугольник NBM равнобедренный с углом при основании,
равным 60°, значит он равносторонний. 873. 6, 874. 5. 875. «4,7.
87в. 2/?. 878. «1,5. 879. 16л(5+2У$.
I
Глава XII
880. «9,7 м\ 881. 296 г. 882. I) «55 листов; 2) «190 т. 883. 54 ле.
884. 3a2tga кв. ед.,^!1С|2^3 куб. ед. 885. а3У2 куб. ед. 886. 12a2 tg a
кв. ед., a3tg_a3yJ куб. ед.
887. 150УЗ куб. ед. 888. 480 cos a tg 2a tg £.
889.	Спроектировать вершину пирамиды и середину бокового
ребра на плоскость основания, тогда отсеченная пирамида с основа-
нием данной пирамиды имеет высоту, равную половине высоты дан-.,
ной пирамиды, значит, ее объем равен половине объема данной.
160
890.	Спроектировать вершину пирамиды
на ее основание и проекцию соединить со
• всеми вершинами основания пирамиды. Рас-
смотреть и доказать равенство полученных
треугольников, откуда будет следовать
справедливость утверждения.
891.	Если основанием пирамиды служит:
1) остроугольный; 2) прямоугольный; 3) ту-
поугольный треугольник.
892.	Любой многоугольник, около кото-
рого можно описать окружность.
893.	а2(14-УЗ) кв. ед. _
За У 462—-я2	У 3 a2b sina
894.		-------- кв. ед.,----[2----
куб. ед. 895. куб. ед. 896. 60°; 40,5 куб. ед.
897. Равны. 898. 130УЗ куб. ед. 899. &2УЗ кв. ед. 900. аУ2, 2а:аУ5.
250/ 3 '	11/ 4№4-3v
901. 4Q. 902.—5—куб. ед. 903. у —77-----------.
904.	Построить четырехугольную пирамиду, у которой все ребра
будут равны. 905.	куб. ед. 907. «94 кв. ед. 908. 15л кв. ед.,
о
12л куб. ед.
909.	Принять во внимание, что длина окружности основания
конуса равна длине дуги развертки его боковой, поверхности, а за-
тем заменить отношение — на sin -у (черт. 100).
я/2	яР/з*
910.	186’ 911. — кв. ед., —куб. ед. 912. Нет. 913. «288е.
914. Воспользоваться результатом задачи 909. 915. я16У6 куб. ед.
с3/ 3	Зя/2
916. "’"24тс'а “ * 91?- 35 кв. ед. 920. «1,95 г. 921. -4> кв. ед.
922. Найти вес мотка взвешиванием, по весу и удельному весу
найти объем; с помощью штангенциркуля найти площадь поперечно-
го сечения, а затем и длину.
Зяг2/г	Зкг
925. В шесть раз. 926.——куб. ед.; —(2ft+г) кв. ед. 927. 3:1;
длиннее в девять раз. 928. Если хорда равна диаметру. 929. 1:4;
1:8. 930. В п2 раз, в п3 раз. 931. D\ 4-D2 *=Р*.; где Di, D2, D3 —диа-
метры шаров.
933. 10. 935. 3:2:1. 936. 3. 937. 4. 938. 1:4. 939. «18 см.
940. 20Y2" см. 941. ^^.(луЗ—2) кг. 942. «10,9 кг. 943 « 387 г.
944. «168 смг1 «144 см3. 945.	куб. ед-	КУ^. ед.
947. 360л см2. 948. Поверхность не изменится, объем увеличится в че-
тыре раза. 949. За2 tg а кв. ед. 950.	куб. ед.
И П. Я. Великина
161
951. ^j/^— куб. ед. 954 « 202 куб. ед. 955. ж 16,5 г. 956.
куб. ед. 958. «45 кв. ед. 959.	€д. 2^1куб.ед.
.	яг*	w*t г а
960. 6:л. 961. «46 куб. ед. 962. т—- кв. ед., -я- куб. ед
Ww 4л	W
963. 9л куб. ед.
Глава XIII
964.	Две точки имеют две оси симметрии. Перпендикуляр, прове-
денный к отрезку, соединяющему эти точки в его середине, и пря-
мая, проходящая через эти точки.
965.	Построить биссектрисы двух пар вертикальных углов.
966.	Соединить данные точки и построить биссектрису угла.
967.	Пусть данные равные отрезки АВ и AjBi произвольно рас-
положены. За первую ось симметрии Ц принимаем серединный пер-
пендикуляр отрезка ДЛь Отражаем отрезок АВ относительно оси
1ъ полученный отрезок Л1В2 отражаем относительно биссектрисы /2
угла В1ЛА.
968.	Пользуясь определением оси симметрии, установить равен-
ство всех сторон такого треугольника.
969.	Предположим, что треугольник АВС неравнобедренный
(АС С ВС) (черт. 101). Отражаем треугольник ACD около оси CD,
и пусть он займет положение CD А}. На основании симметрии следу-
ет, что AD—A}Dt тогда треугольник AiDB равнобедренный.
/_СЛ1Р+2.ВЛ1В = 180°, ZJDBA1+ /Л1В£=180в, поэтому ZAjBjE®
= 2СЛ1В. Но ZЛ1B£ как внешний по отношению к треугольнику
ЛВС больше угла СЛдР, равного углу CAD. Следовательно, наше
допущение привело к противоречию, а потому остается принять, что
треугольник АВС. равнобедренный. 970. Согласно условию, каждая
медиана совпадает с соответствующей биссектрисой. Далее смотри
предыдущую задачу. 97L Равносторонний треугольник имеет три
оси симметрии, равнобедренный — одну, разносторонний — ни од-
ной. 972. Нет. 973. Пусть прямые а я щ симметричные относительно
оси /, пересекаются в точке А, а прямые b и ^1 — в точке В (черт.
102). В силу симметрии треугольников АМВ и AMiS ZAMB«®
ZAA^B, отсюда равны и вертикальные углы.
D
В

Черт.
103.. .

Черт. 104.
относительно АН в
074. При отражении середина одного отрез-
ка переходит в середину второго отрезка, углы
при этом переходят им в .равные, в частности,
прямой угол в прямой (см. предыдущую зада-
чу.) Остальное очевидно.
975. Построить серединный перпендикуляр
к ВС и отразить ломаную относительно этого
перпендикуляра.
976. Пусть PF и PD— перпендикуляры,
опущенные на боковые стороны треугольника
АВС, а АК— высота, опущенная на сторону^
ВС (черт. 103). Отражаем PF относительно АВ,
полученный отрезок РЕ, равный PF, лежит на
одной прямой с' PD, кроме того, ,ЛАРР~
= ^АЕР—90°, в силу симметрии. Остальное
очевидно и легко доказать. 977. Прямоугольник,
квадрат. 978. Бесчисленное множество.
982. Равнобедренная трапеция, дельтоид,
(дельтоид—фигура, образованная из двух рав-
нобедренных треугольников, приложенных рав-
ными основаниями).
983. Провести диагональ АС и воспользо-
ваться предыдущей задачей. 984. Пусть АЕ,
BD и.С Д’ —высоты треугольника ABC, а Н—
точка их пересечения (черт. Ю4). Продолжив 4
> высоту СК до пересечения с окружностью в
точке F и соединив точки F и В, получим тре-
угольник HBF. Но ZACF — Z2 (их стороны
взаимно перпендикулярны), ZACF=Z3 (опи-
раются на одну дугу AF), отсюда Z2=Z&,
значит, треугольник HBF равнобедренный.
Проведя диаметр имеем: точка Я отражена
точку F, а затем отражаем точку F относительно диаметра MN в
точку Hi. Отсюда следует, что НН* проходит через точку L — сере-
дину АВ, т. е. через: точку пересечения двух перпендикулярных осей
АВ<и -МН. Точка F лежит на окружности; значит, и точка сим-
метричная точке F, лежит на той же окружности.
986.	Через точку М провести прямую, встречающую стороны дан-
ного угла в тачках А и В. Строим треугольник АВВг, симметричный
с треугольникам ABS относительно прямой АВ. Прямая, симмет-
ричная с прямой MSi относительно прямой АВ, является искомой.
987.	Согласно условию задачи, построить такой угол с вершиной
в точке S, чтобы он был в два раза больше данного и чтобы одна
из сторон угла была для него биссектрисой.
Построение. На одной из сторон данного угла берем произ-
вольно две точки А и В, Строим точки А{ и Вь симметричные с А а
В относительно второй стороны угла. Прямая AtBi проходит через
точку S, и угол BSB* является искомым.
989.	Строим в треугольнике АВС две высоты, выходящие из
вершин А и В, и находим ортоцентр И данного треугольника. Из точ-
ки Н опускаем на прямую АВ перпендикуляр. Этот перпендикуляр
пройдет через вершину С и поэтому является искомым.
999. Да. 99 L Возьмем произвольную прямую Г, строим прямые,
симметричные с АВ, ВС, СА относительно прямой I. Построенные
11*	16^
прямые своим пересечением образуют треугольник 4iBiCi, симмет-
ричный данному, и отрезки 4i#i, BiCi, AiCi соответственно равны
АВ, ВС, АС.
992. Пусть прямая I и точки А и В расположены -так, как показа-
но на чертеже 105. Отразим точку А около прямой I, получим сим-
метричную ей точку 4j. Через точки Л1 и В проводим прямую, кото-
рая пересекает I в точке Л4. Взяв на прямой / другую точку С, сое-
динив ее с точками A, At и В, получаем треугольник BAiC.
AC—BC—AiC—BC^AiB. Искомая разность будет максимальной,
если точки 41, В, С будут лежать на одной прямой, т. е. на 4*C.
Эта разность будет наибольшей и существует при условии, если
BBi^=AiCi, и не существует, если BBi=4iCi.
993. Пусть прямая I и точки А и В расположены так, как пока-
зано на чертеже 106. Отразим точку В относительно прямой I, тогда
ВМ~В\М, но согласно симметрии любая точка оси I дает равенство
BN—B^N, значит,	Чтобы сумма AN+BN имела
наименьшую длину, необходимо, чтобы точки A\N и В\ лежали на
прямой АВ\, т. е. чтобы роль точки N играла точка М. Отсюда по-^
строение: отразить точку В относительно прямой I и отраженную*
точку Bi соединить с точкой 4; Тогда 4Bj пересечет прямую / в ис-
жомой точке М.
994. Предположим, что задача решена и треугольник ABiCi иско-
‘	мый (черт.. 107). Одна его вершина А
известна, тогда искомыми вершинами
будут В\ и Ср Установим их свой-
ства: а) очевидно, что В лежит на
стороне угла Ох, а С —на Оу. Для
установления других свойств отра-
зим точку А от стороны угла ОХ
и Оу, тогда получим отраженные
точки В2 и Cz. Соединим точки В2 и
С2 прямой, которая пересекает Ох и
Оу в точках В и С. Очевидно, что
BiBa+BjCi+CiCa равняется перимет-
ру треугольника ABiCi. Требуется,
чтобы эта сумма была наименьшей, а
это возможно, если точки В2, Ви Си
Cz будут принадлежать одной прямой
164
BzCzt положение которой известно. Искомые точки, если они сущест-
вуют, будут точками пересечения Ох и Оу с. прямой В2С2. Пост-
роение. Отражаем точку А относительно сторон данного угла и
полученные отраженные точки соединяем между собой, тогда полу-
чим точки В и С, которые соединены с точкой А. Треугольник АВС
искомый. Задача имеет; решение только в том случае, когда данный
угол острый.
995.	Анализ. Допустим, что искомый треугольник построен.
Проводим в треугольнике АВС ось симметрии для точек А и В. От-
ражаем отрезок АС около оси /, тогда точка А перейдет в точку В,
точка С — в точку С4. Соединяем точки В и Ct, тогда получим тре-
угольник CCiB, в котором известны две стороны ВС и BCi и угол
между ними, равный А—ЛСВА—а. По этим трем элементам тре-
угольник построить можно, я он будет искомым. Таким образом,
задача свелась к построению треугольника СС\В. Задача имеет од-
но решение.
996.	Для треугольников АОО< и BOOt OOi является осью сим-
метрии, так как четырехугольник A OBOi —- дельтоид для которого
001 т- ось симметрии, что легко доказать.
997.	Диаметр является осью симметрии для окружности, значит,
любую хорду, к которой он перпендикулярен, будет делить пополам.
998.	Линия центров, продолженная в обе стороны до пересечения
с данными окружностями.
1000.	В точке М восставляем перпендикуляр к стороне угла, пере- -
секающий вторую сторону угла в точке А. Строим треугольник
АМВь симметричный с треугольником AMS относительно прямой
AM. Отрезок MSi является искомым.
1001.	Окружность, параллелограмм, правильный шестиугольник
и др.
1002.	Построить центр симметрии параллелограмма, вершины кото-
рого совпадают с концами отрезка.
1003,	Точка их пересечения служит их центром симметрии.
1004.	Да. 1006. Прямая, параллельная данным и равноудаленная
от них.
1007.	Имеет. Центром симметрии будет середина отрезка, опреде-
ляемого из секущей параллельными прямыми.
1008.	С четным числом сторон,-
1009.	Центр окружности. '	'	•	”
1010.	Соединить точки М и М2 с точкой пересечения данных пря-
мых, а затем доказать равенство пары полученных треугольников.
1011.	Пусть точки Р, Q, Я —середины сторон треугольника АВС
{черт, 108), PQ— средняя линия треугольников АВС и ЛШ2Мз.

Черт. 108,	Черт/ 109/ •
165
—средняя линия треугольников АВС и АШ1М2. Р/? —средняя
линия треугольников АВС и МММ- Отсюда легко доказать равен-
ство сторон треугольников АВС и М\М2М3.
1012.	Пусть точка F — середина отрезка ММ3 (черт. 100). Очевид-
но, что AF — средняя линия треугольника Ш^ЛГз, а ВС — средняя
линия треугольника MiM2M3. Отсюда AF=BCt т. е. отрезок AF ра-
вен, параллелен и сонаправлен с отрезком ВС, и поэтому точка F
не зависит от выбора точки М.
J013. Соединив попарно середины сторон четырехугольника, по-
лучЙМ Ййраллелограмм. Отразить .произвольную точку относи-
тельно вершин этого параллелограмма, воспользоваться свойством
средней линии каждого из полученных треугольников.
1014.	Отразить точку М относительно вершин Л и В, соединить
отраженную точку М2 с точкой М\ АВ будет средней линией треуголь-
ника AfMiAf2. Отразив М2 относительно вершин С и О, получим тре-
угольник ММ2М3, в котором CD — средняя линия. Отсюда следует,
что точки М и Ма совпадают,
1015.	Центром симметрии является середина отрезка, ограничен-
ного крайними точками, являющимися концами данных отрезков.
1016.	Треугольники АВС и A CD симметричны относительно центра
параллелограмма, поэтому описанные около них окружности имеют
своим центром симметрии центр параллелограмма.
1017.	Провести через середины хорд АС и BD прямую, которая
пройдет через центр окружности. Отразить точки С и В относитель-
но этой прямой. Точка С отразится в точку А, точка В — в точку D.
Йо АВ — диаметр, значит, и CD — диаметр.
1619. Пусть в параллелограмме ABCD через центр симметрии О
проведены секущие и MN. Соединив попарно точки М, К, L, N',
получим четырехугольник MKLN, Доказать, равенство треугольников
BOL и OKD*t ОСМ и AON. Из равенства треугольников будет сле-
довать, что диагонали четырехугольника MKLN -— KL n,MN точкой О
делятся пополам, значит, четырехугольник — параллелограмм. ,
1020.	Воспользоваться центральной симметрией.
1021.	В силу симметрии треугольников АВС и А&Сг, треуголь-
ники также равны (черт. ПО). Относительно центра Асимметричны
и равны их соответствующие медианы AiEi и ДЕ, тогда четырех-
угольник АМИРИ1 — параллелограмм, в котором 441 и —диа-
гонали, значит, точка О делит их пополам, отсюда точки Ah и Ж
симметричны относительно центра О,
1022.	Согласно условию задачи, окружности равны и их центры
симметричны относительно сере-
дины отрезка OiO?, значит, ок-
ружности симметричны относи-
тельно точки О. Но прямая / сим-
метрична сама себе, поэтому точ-
ки пересечения прямой I и окруж-
ности 01 симметричны точкам пе-
ресечения / с окружностью О2.
1023.	Из равенства треугольни-
ков АВМ и CMD следует, что ме-
дианы, проведенные, на соответст-
Черт. ПО’	венно равные стороны АВ и CD
1&5
равны, отсюда MN=MS, по той же причине из равенства треугольни-
ков AMD и ВМС MP=MQ (черт. 111). В четырехугольнике NPSQ
диагонали NS и PQ точкой М делятся пополам, значит, NPSQ — па-
раллелограмм.
14)24. Треугольник ACD симметричен треугольнику АВС (черт.
112), Повернем треугольник ACD вокруг точки О на 180е*, тогда он
перейдет в треугольник АВС, окружность Q2> вписанная в треуголь-
ник ACD, перейдет в окружность Qj, вписанную в треугольник АВС,
центр <2г перейдет в центр Qt. Поэтому точки Qz и Qi симметричны
относительно точки О, значит, отрезок QiQ2 пройдет через точку О
пересечения диагоналей АС и BD параллелограмма ABCD.
1031. Параллелограмм. Точка пересечения построенного паралле-
лограмма совпадает с центром данного параллелограмма.
1033. Пусть центром симметрии параллелограмма будет точка О.
Доказать равенство треугольников CON и ДОМ, откуда будет следо-
вать равенство отрезков ON и ОМ, значит, ючки М и N симметрич-
ны относительно центра симметрии параллелограмма.
1036. В равнобедренной трапеции ABCD перенести сторону AD
параллельно себе на отрезок CD. В треугольнике СВЕ с,торона
СЕ=ВС, значит, Z£=Z.d. Кроме того, Z_4 = Z£ как соответствен^
ные, следовательно, Z_4~ZLB. 1037. Воспользоваться свойством сред-
ней линии треугольника. 1038. Параллельным переносом, централь-
ной и осевой симметрией и вращением. 1030. Пусть расстояниями
точки М до боковых сторон будут MN и КМ; BF высота, опущен-
ная на боковую сторону АС (черт. 113). Провести BE параллельно
FN, треугольники МВЕ и МВК равны (доказать). Четырехугольник
NFBE — прямоугольник, значит MN—KM = BF. 1040. Из точки, взя-
той внутри угла, провести прямые, параллельные сторонам угла.
16?
1041. -fi- ?2а2+2Ь2— (d~с)2. Указание. Пусть серединами ос-
нований АВ и CD трапеции ABCD Ьукуч соответственно точки Л1 и
/V. Перенести параллельно себе боковые стороны AD и ВС в точку ДО,
тогда получится треугольник, в котором будут известны все три сто-
роны, a MN будет медианой, которую легко определить по извест-
ной формуле (а и b — боковые стороны, с — верхнее основание, d —
нижнее основание). 1042. Из произвольной точки А, прямой q радиу-
сом, равным данному отрезку, проводим засечку Ct, на прямой р
строим равносторонний треугольник AiBiCi (черт, 114), Через точку
Bi проводим прямую, параллельную прямым р и q, встречающую
прямую s в точке В. Треугольник A^Ci переносим параллельно на
вектор В\В, Треугольник АВС искомый. 1043. Перенести диагонали*
трапеции параллельно себе по обе стороны одного основания на от-
резок, равный второму основанию. 1044. Перенести AD и ВС парал*
лельно себе в направлении стороны АВ так, чтобы точки А и В сов-
местились с серединой М стороны ABt а точки С и D заняли поло-
жение и Di. Доказав, что точки Ci, N, Di лежат на одной пря-
мой (точка Л/— середина CD), получим треугольник DiMCu в кото-
ром медиана MN равна полусумме AD и ВС, что противоречит
свойству медианы треугольника, следовательно, точки М, С>, Д ле^
жат на одной прямой и АР параллельна ВС.
1045. у(2PQ)2+ (2PS)2. Указание. Расстояние ДД4 найти из:
треугольника АТ2А4 (черт. 115), пользуясь теоремой Пифагора.
1046. Перенести боковую сторону параллельно себе в направлении •
АВ на отрезок, равный меньшему основанию. 1050. Геометрическим'
местом центров вращения является серединный перпендикуляр к пря-
мой, соединяющей данные точки. 1051. Из центра О опустить пер-
пендикуляр ОМ на отрезок А В или его продолжение, повернуть ОМ
вокруг центра О на угол <р. Через конец Mi повернутого отрезка
ОМ построить к OMi перпендикулярную прямую, которая и будет
искомой.
1052. Геометрическим местом точек поворота являются их оси сим-
метрии; угол поворота равен 180е — <р, где ф —один из углов меж*1
ду данными прямыми. 1053. См. решение задачи 1051 (черт. 116);
1054. Результатом обоих вращений есть вращение на 180®, т. е. цен-
тральная симметрия, центр которой не зависит от выбора точки Л.'
1055. 120° и 90®. 1057. Повернуть на угол ОАО\, где О и Oi — цент--
ры окружностей, а точка 4 — одна из точек пересечения, 1058. Гео-'
168
Черт. 117.
метрическим местом точек вращения есть серединный перпендикуляр
отрезка, соединяющего центры окружностей 1059. Повернуть сторо-
ну А С вокруг вершины А на 120°; треугольник АСС\ равнобедрен*
ный с углами при основании, равными 30*. Доказать, что треугольни-
ки АВСХ и ADC\ тоже равнобедренные, в которых АСх—ВСх, АС{=»
=DCi. Ci —точка пересечения ACi со стороной ВС.
1060.	На прямой о берем произвольную точку Л, а точка С ис-
комая. Выполнить поворот плоскости вокруг точки А на 60°^ для чего
опускаем перпендикуляр АР на прямую и (черт. 117) и повернем его
на 60°. Считая перпендикуляр жестко связанным с прямой и в точке Р,
после поворота точкам Р займет положение Ри прямая и перейдет
в положение их, точка В сольется с точкой С, Поэтому точка С есть
точка* пересечения s и «ь Получив вторую вершину С, третью вер-
* шину легко построить. Можно получить второй треугольник, симмет-
ричный АВС, если повернуть АР на 60° в противоположном направ-
лении.
1061.	Построить треугольник по сумме двух сторон, данной сто-
роне а и углу ф между ними. Затем построить серединный перпен-
дикуляр к стороне, противолежащей углу ф, который отсечет отре-
зок, равный одной из сторон искомого треугольника. Точка пересе-
чения перпендикуляра со стороной, равной сумме двух других сто-
рон, и является третьей вершиной искомого треугольника.
1062.	Провести диагональ АС (черт. 118). Повернуть треугольник
АВС на 60° вокруг вершины А (по часовой стрелке). Отрезок Л С
совместится с АВ, отрезок CN — с равным ему отрезком Вм, что лег-
ко доказать. В итоге отрезок AN сов-
местится с AM, тогда треугольник
AMN равнобедренный с углом в 60°
при вершине А.
1063.	Центральная симметрия —
это гомотетия с центром в центре сим-
метрии и коэффициентом, равным
1064.	Если коэффициент гомотетии
равен ±1.
1065.	Коэффициент гомотетии ра-
вен —2.
1066.	Воспользоваться свойством
нелиан треугольника. Рассмотреть па-
сы гомотетичных треугольников. Ко-	Черт. 119<

эффициент гомотетии для каждой пары гомотетичных треугольников
равен — -д- (черт. 119).
* 1967. Особый случай, когда стороны треугольников не только по-
парно параллельны, но и попарно равны; тогда один треугольник
может быть преобразован в другой с помощью параллельного пе-
реноса.
1069. “2”- 1070. Два. Один центр внешний, другой внутренний. *
Если окружности концентрические или равны их радиусы, то они
имеют лишь один внутренний центр гомотетии.
1071.	Один центр гомотетии параллельных отрезков АВ и ЛЛ
лежит на пересечении прямых АА[ и ВВЬ а другой — на пересечении
прямых АВ[ и А[В.
1072.	Построить на данных отрезках как на диаметрах окружно-
сти. Если оба отрезка сонаправлены, то центр гомотетии внешний и
им является центр подобия окружностей.
1073.	/G + /C2=O.
1075^ Центр гомотетии двух окружностей лежит на их Линии*
центров. Если же центр гомотетии лежит на одной из них, то этот
центр» гомотетии принадлежит и второй из них, следовательно, слу-
жит их точкой пересечения. В силу симметрии окружностей относи-
тельно их линии центров и вторая их общая точка также совпадает
с центром гомотетии и окружности касаются.
, 1976. Общий центр двух концентрических окружностей является
их центром гомотетии; если окружности имеют внешнее касание, то
точка касания является их центром гомотетии; если окружности име- .
ют внутреннее касание, то точка касания является одним центром
гомотетии; вторым центром гомотетии будет точка пересечения от-
резков прямых, соединяющих накрест концы двух параллельно про-
веденных радиусов в обеих окружностях; если окружности не имеют
общих точек и лежат одна вне другой, то одним центром гомотетии
будет точка пересечения их общих касательных, а вторым — точка
пересечения внутренних касательных; если окружности пересекаются,
то Центрами гомотетии будут точка пересечения общих внешних ка-
сательных н точка пересечения их линии центров с их общей хордой.
Глава XI V.
, 1062. 30°.
1083. 22а30'. 1084. 90®. 1086. Отразить ВС относительно
биссектрисы СС1. Соединить точки В и
М с точкой Ci (черт. 120). Треугольники
ВСМ и ВСМ равнобедренные. -Из тре-
угольника ЛМС1 имеем 4Af<4Ci+AfCi,
или АС-^-ВС <C.ACi.A"BCi,
а}Г2 bVT
1087. В ромбе. 1088. -Ap-»	’
Указание. Доказать, что угол, между
высотами параллелограмма равен остро-
му углу параллелограмма, а затем ре-
шить прямоугольный треугольник. _____
1090; Юя. 1091. 10, 15, У145, У505.
1092. 16. 1093. Точка пересечения его
170
диагоналей. 1094. 6, 8, 12. 1095. 33 Д 1696. 2. Указание. Восполь-
зовавшись свойством касательных и обозначив радиус воин
санной окружности через г, с помощью теоремы Пифагора опреде-
лить значение г и одновременно длину всех сторон треугольника. Да-
лее воспользоваться формулой S—гр.
1097. Пусть CD, АЕ и BF — медианы треугольника АВС — пересе-
каются в точке О, Если Л С > ВС,* то в треугольниках ACD и BCD,
имеющих по две равные стороны, а третьи стороны не равны,
Z-4DC>ZCDB^ Из треугольников AOD и BOD следует, что
АО ВО, ила	BF, отсюда AE>BF.
1099. Г .VJL, —	3, кв. ед. 1100. Соединить центр окружности
4	2
с вершиной прямого утла, провести радиусы в точки касания, тогда
получится квадрат, в котором данный отрезок будет диагональю.
1101. Соединить точку Е с центром О, Из треугольников OCD и
DOE определить CD и ED я полученные равенства сложить. 1102.
а?27Д 1103, Пусть CD, АЕ и BF— высоты треугольника АВС, тогда
около четырехугольника AFEB можно описать окружность диамет-
ром АВ. Соединив основания высот АЕ и BF, получим треугольник
СЕР. Угол С общий для треугольников АВС и CFE. Очевидно, что
Z.C77£=a+B=Z_CBX. Отсюда треугольники АВС и CFE подобны,
a~ZFAE, fr-ZBEA.
1194. Провести высоты ВК и AL, диаметром АВ описать окруж-
ность около четырехугольника AKLB. Точки К и L соединить е
центром.
1105.	Провести радиусы в точки касания, прямую В А 4—-парал-
лельно линии центров. Из прямоугольного пэеугольника вычислить
угол ДА1В, равный центральному углу ДОл, /ДВД1=30°, значит,
/Л ОХ=60°, а центральный угол ВОЛ будет равняться 120°.
1106.	75°, 105°, 120е, 60°. 1107. Дуга радиуса, равного PS, ограни-
ченная перпендикулярами к сторонам угла.
Ц08. 2У(г+/)2—А2. 1109- R2 кв. ед
1110.	3, 34л кв. ед.
1111.	Воспользоваться свойством углов со взаимно перпендику-
лярными сторонами.
1112.	0,6А, 2,4А. Пусть вершины прямоугольника Си Е, лежат на
хорде АВ, а вершины D и F — на окружности. Провести радиус ОХ
перпендикулярно АВ, который пересечет СЕ в точке^Е, a DF —в теч-
ке И Соединить центр О с точками Д, В, F\ OL~	тогда
R=*2h, MO=ML+OL=h+x, a MF =2x. По теореме Пифагора ре-
шить треугольник OMF, откуда, решая квадратное уравнение отно-
сительно х, найдем стороны прямоугольника, (х—меньшая сторо-
на), 1113. Нет. 1114. 2 j/ fe»+a2-aft , 2 у2 ab ;
2	.
- Пусть угол Д равен 120° и проекциями точки М на стороны угла
будут В и С (черт. 121) . Около четырехугольника АВМС ойисать ок-
171
Мерт. 121.
rsin-2-
1116. ----------
14- sin-у
ружность, из точки С опустить перпендику-
ляр СЕ на ВМ. Угол ВМС равен 60° и если
ВЛ4 = а, СМ — Ь, тогда из треугольника СМЕ.
b biF о
имеем: МЕ=^,СЕ= -L- .Учесть, что хор-
да ВС стягивает дугу 120°, а потому равна
RV3, а затем, найдя ВС из треугольника
ВСЕ, это значение приравнять Р]/3, откуда
найти /?, а расстояние AM равно диаметру.
Для углов 60° и 45° решать аналогично
(черт. 122 а, б).
1117.	Пусть отрезок AF пересекает медиану
CD в точке Р. Провести через точку D отрезок, параллельный АЕ,
который пересечет ВС в точке Е, тогда DE — средняя линия в тре-
угольнике ABF и BE—FE.
1118.	Из подобия треугольников О АР и OQC (черт 123) имеем:
OQ СО OQ2 CQ2
ОР 1=3 О А * или OP2 в ОА9 ’ н0 QC2—OQ2—OC9'
Подставив значение QC2 в последнее равенство и разделив члены
равенства на ОQ2, получим искомое равенство.
Примечание, Эта задача имеет несколько способов решения.
/l /1 /~ fib Л. £2	\
1119.	ё—/г ( ' ———л! Указание. В трапеции ABCD про-
вести СЕ параллельно AD (черт. 124). Пусть равноделящая КМ — у9
CD—a, В.А — С, СР=х, MN — y—a, FP—h—х. Из подобия треуголь*
с—a	h
ников. ВСЕ и MCN и по свойству их высот имеем = ~ , атсюда
—a)	h(y~a) h(c—у)
, тогда FP = h— —----—=	-	(1). Из ра в новели-
' • пкмг„ лкклв .	а+у h(y—a) lc+y)(e—y)h
кости трапеции DKMC и А л МВ следует: —~с~а ~—~2(с—а)— 9
отсюда 'у = "j/"~ту~- . Значения у подставляем в равенство (1) а
находим искомое расстояние.
1120.	Увеличится соответственно в 4 и 8 раз. 1122. у. Указание.
Соединить центры трех окружностей, в полученном равнобедренном
треугольнике опустить высоту на основание. Воспользоваться теоре-
мой Пифагора.
1123.	«17,3%. П25. «45 кв. ед.: «254°. 1126. «67c20'j
«73 ед.8.
1127.	Поверхность и объем увеличатся соответственно в п2. и
п3 раз.	_________________________
1128.	30®, 60°, 90°. 1129. 4fl5 Указание. Воспользоваться
свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника и результа-
том задачи 698.
ИЗО.	3-у. Указание. Воспользоваться зависимостью между
- сторонами тупоугольного треугольника и найти третью сторону, а
затем результатом задачи 698.
1131.	Указание. Провести диаметр DK й хорду LK, которые •
пересекут харду, Л В соответственно в точках Р и F, Соединить точ-
ку L с точкой D, точку А — с точкой К. Рассмотреть подобие двух
пар треугольников АРК и AKDt DLK и FPK. Сравнить полученные
пропорции.
1132.	5:4. Указание. По теореме Пифагора определить вы-
соту BD треугольника АВС, Провести радиус вписанной окружнос-
ти в точку касания К и рассмотреть подобие треугольников ABD
и ВКО, 1133. Обратная теорема не верна. 1134. Обратная верна.
1135. 0<S^6. Знак равенства имеет место, если треугольник пря-
моугольный.
1136.	Наибольшая площадь будет, когда вершина В займет по-
ложение В2, и равна нулю, когда она займет положение #4, так как
при этом положении треугольник вырождается в прямую АВ4.
1137.	На прямой, проходящей через вершину, параллельно осно-
ванию. 1138. 30 кв. ед. Прямоугольным. 1139. Правильный шестиуголь-
ник со стороной, равной у. 1140.^^3 . 1141. 3. 1142. Нет. 1143.50, 75g
1145. 2(Я2+г2). Указание. Точку С окружности Si соединить е
точками А и В — концами диаметра АВ окружности S2, затем про-
вести диаметр CD и конец его — точку D — соединить с точками
Л и В, тогда получаем четырехугольник ACBD, в котором
. диагоналями служат диаметры АВ и CDt делящиеся пополам их
173
общим центром О, значит, четырехугольник 4CBD параллелограмм.
Такое же построение делаем, взяв точку Ci- на окружности S*
В обоих случаях пользуемся зависимостью между сторонами и диа-
гоналями параллелограмма.
1146. Анализ. Допустим, что четырехугольник построен4» его
диагональ АС является биссектрисой угла 4. Отразив треугольник
A DC около АС как оси, получаем треугольник AD^C, равный тре-
угольнику ADC. Тогда стороны треугольника BCD\ соответственно
равны: CD\ — bt ВС=с, BDi = d—a (a, b, с, d— стороны четырех-
угольника). По трем известным сторонам треугольник построить мож-
но. Построение. Строим треугольник BCDi и получаем две верши-
ны В и С искомого четырехугольника. Вершина 4 находится на рас-
стоянии d от Di. Отложив от Di отрезок а, получим 4 — третью вер-
шину четырехугольника, которую соединяем с вершиной С, а затем
отражаем треугольник ACDi около АС как оси и получаем четвертую
вершину D. Четырехугольник ABCD искомый.
1147. Как известно, центр вписанной окружности является точ-
кой пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, а центр
может совпасть с точкой пересечения медиан, если треугольник
равносторонний. 1148. Отрезок, лежащий на оси симметрии, симмет-
ричен сам себе. 1149. Указание. Отразить точку 4 около данной
прямой как около оси и через отраженную точку 41 и точку В про-
вести прямую, пересекающую данную прямую в точке С, кото-
рую соединить с точкой 4. В полученном равнобедренном тре-
угольнике AAtC ^данная прямая делит угол АСА[ пополам.
1156. R (3—2/2), R’(3+2/2). Решение. Из треугольника
О {СО3: СО3 == / (R+х)2- (R—х)2 ~ 2/Rx. 
' Из треугольника 02003:030^
Из треугольника OiMOv-N02^CD~OsC+03D==
__ _____________________________________
Далее O3D+O3€^C£N=M72, или 2/Rx+/2Rr«R/2. _
Решив последнее равенство, находим: х=О3М=R (3—2/2).
Если рассмотреть случай, когда	a O2B=R, тогда
x=R (3+2/2) (черир. ,125). .
Н51.Трапеция, ромб и др. 1153. Нет. 1154. Нет. 1153» Пусть бис-
сектриса* угла 4 пересекает сторону ВС в точке М (черт. 126). Опу-
174
стив' из вершин В и С перпендикуляры CD и BE, рассмотреть подо-
бие'двух пар треугольников ВМЕ и CDM, ADC и АВЕ. Сравнив
полученные пропорции, теорема будет доказана. Примечание.
Один из способов доказательства свойства биссектрисы внутреннего
угла треугольника.
Глава XV
1159. 18, 18, 14. 1160. 65°. 1162. Нет. 1164. Равносторонний.
1166. 7:6:5. 1167. Прямая, содержащая биссектрису этого угла.
1168. 134°, 30°, 16°. 1171. 49*, 78°, 53°, 30°, 77°, 73*. 1175. Равнобед-
ренный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине В.
1178, 75*, 67°, 30', 37°30/. 1179. Три стороны треугольника опреде-
ляют его однозначно. 1180. Учесть, что медиана, проведенная к ги-
потенузе, равна ее половине, а также свойство углов со взаимно
перпендикулярными сторонами. 1181. 25л кв*, ед. 1182. 240 кв. ед.,
300 куб. ед.
1183. Соединить точки D и В, рассмотреть углы треугольников
АСЕ и BCD, откуда будет следовать равенство дуг АЕ и BD. Дока-
зать, что Z.ABD+ ZBDE= 180°, через дуги, на которые они опира-
ются.	_
1184. 24:120 кв. ед. 1185. 243]/3«420 куб. ед.
. . 1186. Провести общую касательную через точку касания и вос-
пользоваться теоремами об измерении вписанных углов и углов, сос-
тавленных касательной и_хордой.
118(7. 10V3. 1188. 180УЗ кв. ед. 1191. 75л куб. ед. 1194. «771 куб.
ед. 1195. 1:2. 1196. «161,5 кв. ед. 1197 72л куб. ед. 1198. 10°.
1199. «00 кв. ед., 600 ед.» 1200. 10. 1201. 5, 4, 7. 1202. «196 кв. ед.,
«332 куб. ед. 1203. «3,7. 1204. 20 и 14. 1205. «23 куб. ед. 1206.
Не изменится. 1207. Рассмотреть подобие треугольников DCH и
ВЕН. 1208. «450 кв. ед. 1209. 4:9; 8:27. 1211. 65л кв. ед., Ю0я куб.
180°	75
ед. 12Г24. 16:1. 1213. 20 и 25. 1214. 2 и 3. 1215.“^— , или — куб. ед.
1216. 3. 1217. 65л кв. ед. 1218. 4 раза, 8 раз. Ш9. £ . 1220. 96 куб.
ед. 1221. Увеличится в 3 раза.
Глава XVI
1223 . Пусть AL и ВК — высоты треугольника АВС, около кото-
рого описана окружность О (черт. 127). Через вершину С проводим
касательную СР, которая перпендикулярна радиусу ОС. Описываем
окружность О* около четырехугольника AKLB радиусом, равным
половине АВ. Zl = Zi, ZK£B+ZJ=H80°; ZJUB+Zl3« 180° (смеж-
ные): Zl==Z-3; Z2=ZJ, значит, Z2= Z3, тогда KL||CP, но CPJLOC,
значит, ОС перпендикулярен К£.
1224.	1-й способ. Стороны AD и ВС четырехугольника ABCD
переносим параллельно себе на равные отрезки DE и ЕС, отсюда
четырехугольники ADET и ECBF — параллелограммы, в которых АТ
равно и параллельно BF, тогда четырехугольник ATBF — параллело-
грамм, в котором N — точка пересечения диагоналей (черт. 128),
Z1=Z.2 по условию, Zl1=Z-4, Z2= Z3, отсюда Z4«=Z3, тогда
175
треугольник TEF\ в котором Выявляется медианой и биссектрисой,
будет равнобедренным, в котором TE—FE. значит, AD=BC.
2-й способ. Проводим диагонали АС и BD (черт, 129), а точ-
ки /V и F—тих середины. Отрезки и FM— средние линии тре-
угольников ADC и ABD, отсюда они равны и параллельны, тогда че-
тырехугольник MNEF— параллелограмм, но угол NEM равен углу
MEF, следовательно, MNEF — ромб, в котором NE—EF, но они яв-
ляются средними линиями треугольников ADC и BDC, значит, АО»
~ВС
1225.	Проводим DW||AB, и через точку /V— прямую NL\\BD, зна-
чит, перпендикулярно CD (черт. 130). В треугольнике CDN DE,
LN и СК — высоты. В треугольнике АВЕ отрезок DN — средняя ли-
ния, параллельная АВ, отсюда CICLDN, CKJLAE{ CNLLAE (точка
N — середина отрезка ВВ).
1226.	1) Продолжить высоту CD на отрезок DE> равный CD,
CF —на отрезок FPt равный FC (черт. 131). Четырехугольник
АСВР — параллелограмм (диагонали в точке F делятся пополам),
треугольник АСЕ равнобедренный (AD — медиана и высота), тогда
отрезок АС виден под одним и тем же углом а, отсюда четырех-
угольник АСРЕ описуемый. DF в треугольнике СЕР — средняя линия,
но CDJl-DF, значит, CBJLPB и угол СЕР, как вписанный, должен
опираться на диаметр СР, тогда и угол САР, опирающийся на диа-
метр СР, тоже прямой, а если
\	в параллелограмме один угол
. прямой, значит, он — прямо-
угольник, отсюда треугольник
D	прямоугольный с прямым
•	углом при вершине С.
/	/	%) Описать окружность око-
/	ло треугольника АВС, продол-
/ Л/угХХ	жить высоту и медиану до пе-
/ JK I /г\А	ресечения с окружностью со*
/ / \ \ г \\	ответственно в точках В и К
LS \SJ	(черт. 132). У треугольников
д **	!------—-тЧ g ACD и СВК по два равных уг-
М	ла, значит, и третьи угль* рав-
Черт. 129.	ны, тогда ZADC» ZKBC=906r
176

с
отсюда СК — диаметр и делит хорду АВ в точке F пополам, а это
возможно тогда, если диаметр перпендикулярен хорде, но из точки С
на хорду опущен перпендикуляр CD, следовательно, медиана долж-
на служить одновременно и высотой, а это возможно только при ус-
ловии, если треугольник АВС равнобедренный. '
1227.	Треугольники АОВ и DOC равносторонние Пусть BL, LM,
КМ, СК — соответственно медианы треугольников АОВ, BLC, В КС,
DCO. В равностороннем треугольнике АОВ медиана BL является
одновременно и высотой, отсюда треугольник BLC прямоугольный,
тогда LM-BM^CM (чер‘т. 133). В треугольнике ВКС угол ВКС
прямой, отсюда КМ~ВМ=СМ. В треугольнике AOD отрезок KL —
AD
средняя линия, значит, KL= “тр . Итак, треугольник KLM равносто-
ронний.
1228.	Пусть точки М и ДО —середины диагоналей АС и BD. Про-
должение отрезка MN пересекает АВ и CD в точках F и Е. Сторо-
ны АВ и CD переносим параллельно в точку М, тогда АВ равна и
параллельна МР-, CD равна и параллельна MQ (черт. 134), но ДВ =
= CD, треугольник MPQ равнобедренный (MP=MQ), MS — средняя
линия треугольника ACD, значит, точка S — середина стороны AD
отсюда NS— средняя линия треугольника ABD. Треугольник MSN
равнобедренный. Четырехугольник PMNT — параллелограмм, отсюда
Z2 = Z6= Z1. Итак, Z1 == Z2.
Черт. 133.
12 л. Я. Великина
Черт. 135.
1229.	Доказать равенство трех пар углов (черт. 135), тогда
rZ 1 +Z 2+Z_3=90°, отсюда ZA/Vk=90°, значит, NR.LPQ, по этой же
причине QLJ.PR, РКЛ-QR. Тогда М — ортоцентр треугольника PQR.
1230.	Провести диагональ АС и воспользоваться свойством диаго-
налей параллелограмма и свойством медиан треугольника.
1231.	Провести MN\\AD и точки М и V соединить с точкой Е
(черт. 136). Треугольник DEC прямоугольный, отсюда Следует, что
EN—DN—AD—MN, тогда AMNE — равнобочная трапеция, а тре-
угольник EMN равнобедренный. Z1 = Z2, поэтому Z_4==ZJ 4-Z2==
=s2Zl, но ZA = ZNMB, отсюда АЕМВ—ЗААЕМ,
1232.	Из вершин А и В опускаем перпендикуляры на АВ} и А\В
до пересечения с продолжением CD соответственно в точках Ni и N2.
ABCNz—AABBe, (Zl —Z2; Z3=Z4; ВС=BBt), отсюда AB=CN2.
AACN^AABAc (Z7=28; Z6= Z5; AAi=ЛС), отсюда AB=±CNit
значит, CNz — CN^ т. e. точки N\ и N2 должны совпасть (черт. 137),
тогда получим треугольник ABNi, в котором DNit AFt BE являются
высотами, которые, как известно, пересекаются в одной точке, тем
самым доказано искомое утверждение.
1283. Основание Ct высоты /к, являясь вершиной прямых углов
АС}С и ССХВ, должно служить точкой пересечения окружностей, по-
строенных на сторонах АС
и ВС как на диаметрах
(черт. 138). Углы РСгС и
CCiQ, как вписанные, опи-
рающиеся на дуги 90°, рав-
ны по 45°, отсюда угол
PC\Q |>авен 90°. уочки Л4 и
О — середины сторон АВ и
Черт. 137.	Черт, 138.
178
Черт. 139.
ВС, a Q — середина дуги ВС. Пусть продолжение QM пересе-
чет окружность в точке С3, тогда ZC3QC=45°,ZC2AfQ измеряется
— (4>C2Q4-^C3Ali)f но vCsMt — uCsCz, поэтому сумма этих дуг
равна 180°, aZPMQ=90°, ZPQM== 45°, отсюда PM — QM.
1234.	Длина окружности О вершинами треугольников АВС я
AiBiCi разделилась на три пары равных дуг. Угол С1В4Д< измеря-
ется полусуммой дуг CiB и Д1В, угол BiCiC измеряется,
половиной дуги BiC, но суС1В4-'-'Д1В+оВ1С’« 180°, отсюда сумма
углов CiBiF и BiCiC равна 90°, значит, треугольник BiCiF прямо-
угольный при вершине F, т. е. CFLMiBi. Так же доказывается пер-
пендикулярность биссектрис с остальными сторонами треугольника
А1В1С1, отсюда Л— ортоцентр треугольника Д1В1С1 (черт. 139).
1235.	Угол MBA измеряется половиной дуги ВпА, угол ADF.
(черт. 140) измеряется у (оДА—<уВС) ^-у-х^ВпА, отсюда Z-МВД =•
= Z4DF==ZDBC, значит, треугольник BCD равнобедренный.
1236.	Четырехугольники ABFE и ABLK вписанные, тогда Zl-f*
+ Z4==180°, Z_4+Z_5=180°, отсюда Z1 = Z5 (черт. 141), Z54-ZG=«
===180°, Z 1+Z6== 180°, значит, хорды KL, DC и EF параллельны,
тогда ^CK^^DL, отсюда Z_2 =
~£LBD, следовательно, ЛЕАС-
~FBD, как смежные к равным
углам САК и LBD,
; . Черт. 141.	:	..Черт., 142.
12*	J71
1237.	Из чертежа 142 очевидно, что Z/1+ZB== ZCs+ZD, в силу
равенства вертикальных углов, тогда ZCi = ZC2.
• 1238. Через точку А провести две секущие CD и C}Db их концы
соединить с точкой В. Остальное очевидно
1239.	Геометрическим местом точек является окружность диамет-
ра АВ. Соединить Л4 —точку касания окружностей — с точками А и
В, а затем провести через точку М общую касательную, которая пе-
ресечет прямую АВ в точке F, тогда MF—AF=^BF по свойству ка-
сательных, проведенных к окружностям из точки F. Отсюда следует,
что точка Л4 лежит на окружности диаметра АВ.
1240.	Принять во внимание результат задачи Xs 142.
1241.	Пусть точками пересечения окружностей с диагональю АС
будут F и Л (черт. 143). Очевидно, что треугольник ADF прямо-
угольный, в котором OF =1,8, ЛО?=3,2. Пользуясь результатом за-
дачи Xs 332, имеем: Л£)2—FD2=AO2—FO2 — 7, тогда' по теореме Пи-
фагора ЛР24-ГО2==25, или х2+(х+7)2 = 25, откуда x=3==/;D.
Сторона AD—J/AF2—DF2=]/25—9 = 4.
1242.	Пусть окружности О и Oi пересекаются в точках С и D,
тогда Z.ADC— ZCDB=90°, отсюда точка D — общая точка окруж-
ностей и принадлежит АВ. Рассмотреть два случая, когда треуголь-
ник остроугольный и тупоугольный.
1243.	Очевидно, что а+р+ф+ф= 180° (черт. 144), но a+p=Z1,
<p+t|)=Z2. Сложив почленно последние два равенства, получим:
Z l-f-Z2= 180е =?= Z3+Z4, отсюда четырехугольник Л4В1С1Р1 опи-
суемый. Биссектрисы в ромбе и квадрате пересекаются в одной
точке.
1244.	а—Ь. Воспользоваться свойством касательных, проведенных
к окружности из точки, взятой вне круга.
1245.	Треугольники АСЕ и CDB прямоугольные в вершинах Л
и D. ЛАЕС— ЛАВС, отсюда ЛАСЕ— EDCB, значит, \^АЕ—\уВМ,
или ^AFiA-^FiE^^BFi + ^MFi, но v^Fi = oBFi (CF — биссек-
триса, откуда oAlf 1 = <уГ1£, где CF — биссектриса угла MCE
(черт. 145).
1246.	Доказать равенство треугольников AiAC и СВВ\, отсюда
будет следовать, что треугольник Л1СВ1 прямоугольный при верши-
не С (черт, 146). Остальное очевидно.
;180
1247.	Отразив точку N дважды относительно вершин, будет оче-
видно (черт. 147), что четырехугольник N1N1NN3— параллелограмм,
в котором WiW4=WW3‘, четырехугольник NiNiNiNs тоже параллело-
грамм, в котором ЛГ1ЛГ4=ЛГ2ЛГ5. Отразив N* относительно точки В,
получим точку ЛГб, тогда четырехугольник N2N5NqN6 — параллело-
грамм, в котором	значит, точки N и We должны сов-
падать.
1248.	Из равенства треугольников CiEO и B[OF следует, что
С^Е«ВtF; CiE — средняя линия треугольника ACF, отсюда 2Ci£=
=AFt тогда ABi=3CiEt или АВ=6С{Е и —2С\Е~АЕ
(черт. 148).
1249.	Повернем треугольник ABN вокруг точки А на 60°, тогда
точка В совместится с точкой D, вершина N треугольника. AN С сов*
местится с вершиной С треугольника ANC, а медиана AL совместит-
ся с медианой АК\ отсюда следует, что треугольник AKL равнобед-
ренный с углом при вершине Л, равным 60°, значит, он равносторон-
ний (черт. 149).
1250.	Взятую точку S спроектировать на каждую сторону тре-
угольника АВС, а затем ее соединить со всеми его вершинами. Опре-
делить площади треугольников ASB, BSC, ASC, сложить их и прирав-
нять площади треугольника АВС. В последнем равенстве заменить
формулы площади тре-
стороны треугольника их выражением из
угольника 5= и предложение бу-
дет доказано.
1251. Спроектировать взятую точку Р
на стороны треугольника АВС, тогда че-
тырехугольники РхСу и zPCB описуемые,
Черт. 148.
’Ш.
отсюда лЕРху = Z PC у, Z Pxz=/_РВг;
Л_РСу~ /. PBz, но ZPx#—ZPxz,ereK),Ha
следует, что отрезок ху совладает с отрез-
ком yz, т. е. точки х, у, z принадлежат одной
прямой (черт. 150).
1252. Точки Р, х, у, С Лежат на . одной
окружности (черт. 150, задача 1251), тогда
ZPxj/=ZPCt/, ZPxz — /.PBz, но точки х,
у, z лежат на одной прямой, отсюда
Z.Pxy= /.Pxz, а из равенства последней
пары углов следует, что APCy—ZJPBz, зна-
чит, точки Р, 4, В, С принадлежат одной
окружности.
1253. Доказать равенство двух пар тре-
угольников CDK и BCL, DKCi и AiBM
(черт. 151). Четырехугольники AAiCCi и DDiBBt — параллелограммы,
четырехугольник KLMN — прямоугольник (доказать}. Отрезки BiL
AiM — соответственно средние линии треугольников CDK и BCL<
Пусть Bi£s=4iJW==x, тогда CL~ML=2xt отсюда CCi—5х, значит,
2
KL = Af£==-g- CiC. По условию, решать также.
1254. Отразить каждую окружность относительно данной прямой
и построить общие внутренние касательные, их точка пересечения
будет искомой, что легко доказать.
1255. Повернув радиус ОА на 90° вокруг точки А, из точки Oi,
как из центра, радиусом, равным OiAi, строим окружность О<. По-
вернем окружность на угол '0401, равный 90°, тогда окружности О
и Oi совпадут и совместятся при этом углы СОА л AO^Bt Треуголь-
ники СОА и АО1В равны, так как они равнобедренные (боковые сто-
роны их равны как радиусы, равных окружностей), а углы при вер-
шинах равны, тогда равны их углы rtpn основании, т. е. Z1==Z2;
Z3~J-Z_2=90°, Z3+Z-l=90°, а 4В=АС, что следует из равенства
треугольников АОС и AOiB (черт. 152). х
1259. 36]/7 кв. ед. Пусть в треугольнике АВС с основанием АВ
боковая высота AD делит боковую сторону так, что CD:BD=3:1.
Провести высоты CF и DE треугольников АВС и ABD. По извест-
ной формуле, DE2~AE-BE DE~3}7. Площадь треугольника ABD
равна 36|7 кв. ед. Воспользоваться подобием треугольников CBF и
BDEt
С,
D 8}	&
L
D, в
Черт, 151.

132
2Rr
R+r
1260.
• Провести радиусы в точка касания
и рассмотреть
две пары подобных треугольников.
1261. (34-2У2)#. Воспользоваться формулой /2=4/?г, где f —об*
щая внешняя касательная, проведенная к двум окружностям, R а
г — радиусы окружностей.
1262. Геометрическое место точек М — окружность, описанная
около треугольника АВС. По чертежу 153, о утверждение очевидно.
Допустим, что точка М не лежит на окружности (черт. 153,6), тогда
около четырехугольников CMBMi и АМВМ^ можно описать окружно*
сти, из которых одна пройдет через точки С, М, В, Afb а вторая —
через точки А, М, В, Ми но три точки М, В, Afi общие, тогда точка
А и С тоже должны быть общими. Таким образом, допущение нас
привело к противоречию,
те
1263.-g- (а2—62—с2). Воспользоваться зависимостью между стен
ронами и диагоналями параллелограмма.
1264.	Описать окружности около четырехугольников APQD я
PBCQ, провести их диагонали, тогда Z.3=Z4, Z.1 —Z2. В силу про*
порциональности сторон и равенства углов А и В треугольники APD
и РВС будут подобны, а из подобия следует равенство углов, про*
тиволежащих пропорциональным сторонам, т. е. Z3=Z2, отсюда
Z.3=Z_2 =Z4=Z1. PQ — биссектриса ZAQB (черт. 154).
1265.	Пусть диагонали АС и BD пересекаются в точке О. Из тре^
угольника АРВ, по известной формуле, определить АВ2, а затем, сде-
лав соответствующие преобразования и заменить отрезки, теорема^
будет доказана.	.
1266.	Рассмотреть подобие треугольников ACCi и НСХВ.
1267.	(з+уз) ив. ед. Описать окружность около треугольника
АВС, провести высоту AD, тогда 4С=7?УЗ, АВ»/?|2. Остальное
очевидно.
1263. Во вписанном четырехугольнике ABCD провести диагонДля
1АС и BD. При вершине С построить угол DCE, равный углу ACS
(точка Е — на диагонали BD). Рассмотреть две пары подобных тре*
угольников DEC и АВС, С BE я ACD, отсюда следует: 1) ac^xDEi
2) bdL~xBE, где a, b, с, d —стороны четырехугольника, а х —диагоч
.Черт. 154.
В
Черт. 155
валь АС. Сложив почленно равенства 1 и 2, сделав соответствую*
шие замены отрезков, теорема будет доказана (черт. 155).
1269.	Углы при вершинах О и О\ двух равнобедренных треуголь-
ников AO\D и ЛОВ равны, тогда площади двух секторов АОф и
АОВ, имеющие равные центральные углы, относятся как квадраты
их радиусов (как 1:4), Отрезок OiD —средняя линия треугольника
АОВ (чёрт. 156). Отсюда A4OiDco АДОВ, а их площади будут от-
носиться как 1:4, тогда и площади отсеченных сегментов относятся
как 1:4.
1270.	Точки С и D соединить с концами диаметра, из точки Р опу-
стить перпендикуляр, который пересечет АВ в точке Е. Из подобия
вар треугольников АВС и APE, ABD и РВЕ написать пропорцио-
нальность сходственных сторон, и, используя свойство пропорции,
написать два равенства, их сложить, и после соответствующей заме-
ны утверждение будет доказано.
1271.	Пусть Р, Т, S — точки касания, с окружностью сторон ром-
ба АВ я ВС п касательной MN (черт, 157). Обозначив угол ОАМ
через а, а угол АМО — через <р, убеждаемся, что и угол OMS тоже
равен fps Z NMB «180°—2<р; £MBN -180е—2а. Z.CNM «360°—
- —2а—2ф	(как внешний угол треугольника NMB), отсюда
Z0№С = ZONS—180°—а—ф, тогда ZAMO=* £NOC~<p. Треуголь-
ники АОМ и NOC подобные, отсюда
Черт, 156.
Черт. 157,
184
«2+€2+u2+/2-b2~rf2 _
1273.--------4---------.Пусть точки К и L — середины сто*
ров AD и ВС четырехугольника ABCD. Соединить точку L с точка-
ми 4 и D, а затем из треугольников ABC, BDC и ALu, по извест-
ной формуле, найти AL2, DL2, KL2 (ал bt ca d — стороны четырех-
угольника, и —его диагонали).
1274.	^1,	1Г,	> Точку D соединить с точками С, К и
В, тогда получатся три прямоугольных треугольника CDB, СКВ,
DBF; CD—2R; BD^tR. Из треугольника DBF по теореме Пифагора
находим: DF- 2Ц2-. ACKf CVAZW, отсюдаFK =
2	FB иг
=	5Л12_.
14	7	>
1275.	Пусть NO и FO -— биссектрисы углов N и F, а О — точка
их пересечения (черт. 158). Z3+Z4=180°j /3+Д5=И80в, значит,
Z4=Z5; Zl = 2p+180°—Z4; Д1«2а+Д5, отсюда 2p4-180°-Z.4==
=2a+Z4; 2₽+ 180°=2a+2Z5, или 0+9Oe~a+Z5; a+Z-5==
«180°—-Zqp; p 4-90*= 180°—Z-ф, или	отсюда в треугольни-
ке SOF ZSOF^Wr.
1276.	Пусть точки Oi и О2 делят высоту CD на три равные час-
ти, Ог делит CD на две части так, что СО2:О2£>==2:1, отсюда Ог—
точка пересечения медиан; тогда В£«15. Из точки О* проводим
ОгОь параллельно Oi/C	ДО2О8Ь, но точка О2 —центроид,
значит, AOi^OzL^-A, тогда ЛО3:О3£=ь2:1. ДСО2ОаССДСО1К, от-
сюда СК«=КО3. Пусть 0&L=x, тогда КОз=*СК»2х, отсюда С£ =
=5л==15; х®3; KL~3x~fy СД«2х=6 (черт. 159).
1277.	2У2. 1-й способ. Из вершины С провести биссектрису CD
и высоту СЕ, Определить гипотенузу АВ треугольника АВС, Вос-
пользовавшись свойством биссектрисы угла С, определить отрезки
AD и BD, По формуле ab^che определить СЕ, а затем по формуле
Пифагора найти АЕ и CD.
2-й способ, По формуле АС'ВС—AD>BD**CD2 (см. зада-
чу 698).	__
1278.	df2; 45°. Треугольники
CBCi и ABAt подобны, так как
Z_CBCi~ABAl и они заключены
между пропорциональными сто-
С
-4 D &
Черт. 158.	Черт. 159.
185
ранами, отношение которых равно а:Ь, где а — катет одного тре-
угольника, а b — катет второго . (черт. 160), отсюда имеем:
ЛВ AAi — AAL —'
или- - =У2, 4Л1=б/у2. Отрезок BS виден под
одним и тем же углом (Z-SCiB — ZS4tB как углы, лежащие против
сходственных сторон в подобных треугольниках), с^довательно,
точки Ль Су 5, В лЛкат на одной окружности, тогда АС]5Ль опи-
рающийся на дугу С1Ль,равную 90°, будет равняться 45°.
1280. Пусть КМ — равно делящая, тогда (c+/)/h=Ma+0» ИЛЙ
a±l hi	• ЛДО /г2	я—I
7+7 = X (черт- 161)- Д^^Д^’ TOr«a от = "й7 ’	=
t + /	4- с*
с= ; ci2—F ~ l2—&, отсюда az+c2—2/2, /2 = КМ2 = --------
(ЛВ = о; CD = c; DE=A; KF=h2).
1281. Ltl3L . Решение. 1) Обозначим АВ через a, CD через
b, DF через т, FL через п> BL через т.^
а т + п AF
2) ДЛ^ВсоДВГС, отсюда х^-у —	— = ~CF'
т AF
8) АЛОВ оо ACFL, откуда — ~ -Qp = х.
4) АЛВГоэ &CDF, откуда——= х, или-тг-+1 =х,—==х—1 (1),
Ifl	Ffl	fit?
~=х (2).. Перемножив равенства (1) и (2), получим 1 = (х— 1)х, от-
сюда, решив последнее равенство и учитывая, что х>0, получим:
х_ 1 + Кб
----2----
1282. 1-й способ. Из треугольника COD: OE2—CE-DE по фор-
муле h2=pq, так как 2 COD=90°, что легко доказать из двух пар
треугольников АСО н'СОЕ, EOD и BOD, приняв во внимание, что
угол, образованный биссектрисами двух смежных углов АОЕ и EOF
всегда прямой. Заменить СЕ на AC, DE — на BD, и зависимость бу-
дет доказала.
2-й способ. Из треугольника CLD: CD2—LD2=CL2 (черт. 162),
или (ЛС+BD)2— (ЛС—ВП)2=4^2, отсюда AC-BD~R\
3-й способ. Рассмотреть подобие двух, пар треугольников. Л С/4 * * 7
и OEF, OEF и BDFt написать пропорциональность цх сходственных
;Г86
2?
Черт. 164,
сторон и полученные пропорции пере-
множить, принять во внимание, что
EF2—AF-BF (по свойству секущей
AF и касательной EFt проведенных
цз точки F); сделав соответствую-
щую замену, получим искомую зави-
симостью
4-й способ. ЛАОС «> ЛВОО^
ААОС= Z.ODB как углы со взаимно
перпендикулярными сторонами, тогда
АС АО
OB ~ BD 1 отсюда АС*ВО=^
AO-BO=R2. __
1283.	3,5У2. По теореме Пифагора
найти АВ (черт. 163). Легко ридеть,
что описанная окружность около
треугольника АВС должна пройти че-
рез центр симметрии квадрата. Вос-
пользоваться теоремой Птолемея (см.
задачу 1268).
1284.	R2—2Rr. Пусть /и О —со-
ответственно центры вписанной и опи-
санной окружностей (черт. 164) около
треугольника АВС, Через точки О
и А1 —середину АВ проводим ди-
аметр DP, концы которого соединяем
с вершиной С, Далее проводим ДО/ХДВ, ILA-DP, Z.BID изме*
\jBD+\jCE \yAD-Y^AE ^jDE
ряется полусуммой дуг: ----g------ = -------2----- ~	*
2
2
DE
Угол DBE вписанный и тоже измеряется дугой——отсюда следу-
ет, что треугольник BID равнобедренный (НО=Л)). Из треугольника
IOD имеем: IO2^ID2+0D2—2OD-LDt d2^BD2+Rz-2R-LD (1).
В треугольнике BPD угол BPD=90c> отсюда BD2=2R-DM. Значе-
ние BD2 подставить в уравнение (1), тогда получим:
42=2/?ШН-/?2—2RLD=R2+2R (DM—LD),
йли d2=R2—2R(LD-DM) =R2^2R-LM=R2—2Rr.
1285.	Воспользоваться результатом задачи 1284 и принять во
внимание, что для любого треугольника сОО, для равностороннего
d=0.
•Ж
1286.	Пусть AF, BE, CD — высоты треугольника ABC, которые
при своем продолжений пересекаются в точке Н. Доказать, что тре-
угольник АВН равносторонний,	Из треугольника BHD оп-
ределяем DH • ОН=DH+DO	+ "у ~ 2/?,
1287.	£ЗУЗ—л) квж ед.
18
,288. 21=2^ т. ед.
1289.	bc+ac>ab. Как известно, в треугольнике ha:hb'.hc~-^ : у •.
: у; умножив правую часть равенства на abc, получим: Ла:Аь:Лс==
^=bc\ac\ab. Тогда необходимым и достаточным условием будет
bc+aoab,
1290.	Концы средней линии соединить с противолежащими вер-
шинами треугольника, которые пересекутся в точке К, тогда через
точку пересечения провести прямую, параллельную средней линии,
которая отсечет от стороны треугольника одну треть ее, что’легко,
доказать, рассмотрев подобие полученных треугольников, учитывая'
свойство медиан треугольника (Ai/MBC; AiDi —середины сторон
АВ и ВС). Точку А* соединим с вершиной С и через точку Ki {пе-
ресечение СА2 й ACq) проводим прямую параллельно КА2, которая
отсечет от АВ отрезок АА3, равный ~^~АВ. Продолжая процесс та-
1 1
ким же образом, будем получать на АВ отрезки, равные у
1 1*
“,..., у отрезка АВ.
1291.	Провести диагонали АЕ, FCt AD и BE, и последние три из
них как диаметры окружности пересекаются в точке О —центре ок-
ружности. Четырехугольник AOEF— ромб, его диагонали OF и АЕ
пересекаются в точке Mi, которая делит радиус пополам. Соединить
точку Л41 с вершиной В > М\В делит радиус АО так, что отрезок
ОМ2 равен —, что легко доказать из подобия треугольников М^ВС
и MiM20. Точку М2 соединяем с вершиной С, тогда на радиусе ОВ
И
получим точку Мз такую, что	, что следует из подобия тре-
угольников CM2D и МзМ2О. Далее соединяем М3 ^с вершиной D и
получаем на радиусе ОС точку М4 так, что	.
1292.	Нет.
1293.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АВ про-
ВЕ	х
вести высоты CD и BE.	СЕ—ВЕ ctgx; AE—BEtg^ ;
BE	х 1 cos х , х
СЕ+АЕ=ВС; уу BEctgx+BFtg ; sin х = sin х
X 1 — COS X
2 m sin х •	,
1Й8
Черт. 165.
1294.	1-й способ. MQ— диаметр, точка М —середина дуги
АСВ, отсюда	значит, CQ — биссектриса * угла АСВ.
Угол АСВ с углом РСВ смежные, но угол MCQ прямой, a CQ —•
биссектриса, значит, СМ — биссектриса угла РСВ; ДРСМ=ДМС№,
откуда CP^CN, ДАРМ—ДМВМ, тоТда AP—BN, или ЛС+СР—BJV,
AC-]-NC~BN (черт. 165,а),
2-й способ. Откладываем отрезок NO—NC. &CMN=AMNOt
отсюда ZMCB—ZMON (черт. 165,6). ZMCB измеряется тр ^ВМ,
1 1
ZMON измеряется-^-(^СМ4-о В/С), или-^ (оЛС+^СМ), отсюда
оЛС=оВЛ, тогда ZCM4 = Z/CMB, <AACM = AMOBf значит,
АС—ОВ, AC+NC~OB+ON~BN.
3-й способ. Перпендикуляр MN продолжить до пересечения с
окружностью в точке Q (черт. 165, в). В треугольнике BSQ QN —
высота и биссектриса, поэтому треугольник равнобедренный, значит,
Z_QSB=ZSBQ, SN—BN. Четырехугольник AQBC вписан в окруж-
ность, тогда ZSBQ+Z^Q= 180°, ZCHQ+ZSHC== 180°, откуда
следует, что ZSBQ=4^C, но ZSBQ==ZЛSC, значит, Z-SAC —
=Z_CSA, т. е. треугольник Л5С равнобедренный, в котором 5С=ЛС.
SC+CN=BNt AC+CN^BN.
' 1295. Соединить точку Е с концами диаметра АВ, тогда из тре-
угольника АВЕ по известной формуле имеем: DE2—AD-BD (1).
Рассмотреть две пары подобных треугольников АВС и ADK\ АВС и
BDF. Написав пропорциональность сторон,, перемножить пропорции
почленно и сделать замену, учитывая равенство (1).
1296. Соединить центры окружностей,
провести OiE параллельно внешней каса-
тельной (черт. 166). Из треугольника
OOiE найти h, а из треугольника 00 \F—
iz, пользуясь теоремой Пифагора.
1297. 6:3:2. Пусть Л2, В2 и С2 — точ-
ки пересечения медиан треугольников
. АМС, ВМС и MBA (черт. 167). Треуголь-
ники AiCBi и CAzBz подобные, точки
Hi, Л2 и С лежат на одной прямой (до-
казать); из подобия следует, что Л2В2==
ЬД89
с
—	. Рассматривая подобие еще двух пар треугольников, легко до-
казать, что в2С2 —> ^2C2=~ t тогда получим, что AB'.AiBiiAzBt—
=6:3:2. 1298. Доказать подобие двух лар треугольников (черт. 168)
AACD оо АВСЕ; AAFC со ABCD.
Написав пропорции из сходственных сторон, последние перемно-
жить, и утверждение будет доказано.
1299.	Спроектировать, данную точку О на катеты АВ и АС. Пусть
ее. проекциями будут соответственно точки N и М. Соединить точку
О со всеми вершинами треугольника АВС. Вычислить ОВ2 и ОС2 из
треугольников 0BN и ОСМ, пользуясь теоремой Пифагора, а затем
полученные равенства сложить. Scoa = ~^~BAbc (по условию).
АС — их общее основание, тогда AN=OM=-g АВ, значит,
2	*
BN = ~3 АВ=20М. Сравнивая площади треугольников АОВ и
АВС, также докажем, что CM—20N. Приняв во внимание, что
ОМ2+О№ = ОА2 и сделав соответствующие замены в равенстве для
суммы ОВ2+ОС2, получим искомую зависимость.
1300.	Для пв*=3 или 4 — бесчисленное множество решений; для
л—5 секущая плоскость должна пересечь пять из шести плоскостей
граней куба, но противоположные грани куба попарно параллель-
ны, значит, линии сечений должны быть параллельны, что не имеет
места для правильного пятиугольника; при л=6 получаются 4 плос-
кости сечения.
у о
1301.	. Соединить данную точку М со всеми вершинами тре-
о 
угольника АВС. Из треугольников BMD и BMF имеем: BD2+MD2 =
= М£2-}-(а—AF)2. Из треугольников СМЕ и DMC: СЕ2+МЕ2 =
^MD2+(a—BD)2. Из треугольников AMF и АМЕ: AF2+MF2 =
= А4£2-}-(а—ЕС)2. Сложив все три равенства и упростив полученный
За
результат, получим: ВР+С£+Л£=-^~, как известно, ME+MD-^
ду§“
= //=—£—, где а — сторона треугольника, Н — высота. Ос-
тальное очевидно.
1302.	Перенести боковую сторону ВС п диагональ АС параллель-
но самим себе на отрезок Ь, равный верхнему основанию OD дан»
’ЙЬ
ной трапеции ABCD (черт. 169). Прове-	4	~
' сги медиану DF треугольника ADD^.	Jx
Вычислить, по известной -формуле, DF2	У/\\\ /\
каждого из треугольников ADDi и DBE / / \\ЛХ. \
и приравнять полученные равенства. При- / /
нять во внимание, что ADt = a—b, а X !\ \Х
BE~а+Ь.	£------i------------А
1303.	Пусть L — точка пересечения £ A F D, В
сторон ВС и 4iBb Параллелограммы „	™
AiABL и LCC*B\ равновеликие, прове-	р '
сти их диагонали А\В и тогда тре-
угольники ’AiBBt и CBBi тоже равновеликие с их общим основанием
BBi, отсюда следует, что их высоты должны быть равными, а это
будет тогда, когда их вершины At и С будут лежать на прямой, па-
раллельной BBi.
1304.	Повернуть отрезок СР около точки С на 60°, тогда СР зай-
мет положение CPit значит, треугольник CPPi равнобедренный с уг-
лом при вершине, равном 60°, следовательно, он равносторонний.
Доказать равенство треугольников АРС и CBPlt положив, что
ZPPiB = a; ZPiPB=P, тогда ZCPiB = 60c+a. Окончательно:
150o+60°+a+60°+₽=360o, значит, ХРВЛ=90°.
1305.	Пусть хорды АС и BD пересекаются в точке Е. Соединив
точки С и D с концами диаметра АВ, получим два подобных тре-
АЕ BE
угольника ADE и С BE, отсюда = ~gjT, или AE-CE—BE-ED.
Из тупоугольного треугольника ABEt по известной формуле, вычис-
лить АВ2. Заменив АЕ*СЕ равным произведением BE-DE, после
некоторых преобразований получим: AB2-AE‘AC+BE-BD—4R2.
1306,	R—4. Провести биссектрисы BD и BF внутреннего и внеш-
него углов треугольника из вершины В, которые образуют угол,
равный 90°, значит, он должен опираться - на диаметр окружности.
Воспользоваться свойствами биссектрис внутреннего и внешнего уг-
лов треугольника.
1307.	1-й способ. Пусть MN пересекает АВ внутри окружности
и AM^-BN. Соединить точку А с точкой В, точку М—с N, и их
точкой пересечения будет О. При точке О строим AN ОС — 2 NOB.
Очевидно, что ОС пересечет продолжение BN в точке С. Доказать
подобие треугольников CON и АОМ, записать пропорциональность
их сходственных сторон, затем использовать свойство биссектрисы
ON треугольника ВОС. Сравнить полуденные пропорции, й после
некоторых преобразований теорема будет доказана.
2-й	способ. Если AM\\BNt fb ЛАОМ сю AN0B, и теорема сра-
зу доказывается.
3-й	способ. Следует рассмотреть случай, когда АВ и MN пере-
секаются вне окружности.
1368.	Пусть a, b и с—стороны треугольника, ha, hb, hc — высоты,
t 2S 2S t 2S	2S 2S 2S
тогда ; hb~—; hc= отсюда по условию:-^ 4-^-= у
111	ab
или — 4- -J- = —, отсюда c=TL Если а и b данные отрезки,
U U C	U •у V
то с можно найти построением, как четвертую пропорциональную к
отрезкам at b и а+b, а затем строить искомый треугольник по трем
его сторонам.
Л91
1309. Соединить данную точку С с концами диаметра, тогда по-
лучим треугольник АВС. Пусть АС и ВС пересекают окружность
соответственно в точках К и L, которые тоже соединяем с концами
диаметра, тогда ВК и AL будут высотами ДЛВС, и пусть их точкой
пересечения будет точка О. Следовательно, перпендикуляром из точ-,
ки С на диаметр будет третья высота треугольника, проходящая через
точку О.
1310. Обозначим нижнее и верхнее основания трапеции соответ-
ственно через а и Ь, диагонали АС и BD — через тип, боковые
стороны AD и ВС —через d и с. Перенести параллельно самим себе
AD и . BD на отрезок, равный Ь, затем проводим высоту СК
{черт. 170). Из треугольников АСК и CKF имеем: 1) СК2=/и2—ЛК2;
СК2=п2—КР; /и2—ДК2=л2—№; или т2—п2==ЛК2—KF2; т2—п2=
~(a+b)(AK-KF).
AK—b+EK (1); KF=b+BK (2).
Вычтем из равенства (1) равенство (2), тогда получим:
т2—л2
ak-kf=ek-bk, —=ВК-ВК (3).
2)	CK2f=c2—ВК2; CK2=d2—EK2; c2—BK2=d2—EK2t иди c2—d2 =
ш В К2—ЁК2\ c2—d2 « (a—b) (ВК—ЕК), или
с2—rf2	d2—с2
-^-ВК-ЕК; -^-ЕК-ВК (4).
/П2—Л2 flf2—с2
Сравнив равенства (3) и (4); получим;	~ у • или из
т2<—л2	я-Н
' свойств пропорции имеем:	*
1311. Из равновеликости треугольников АМС и ADE следует
равновеликость треугольников MDN и CNE, имеющих цо равному
углу, тогда, по известной формуле, MN-DN=NE-NC, (Точки Л, В,
С расположены по часовой стрелке.)
1312. Через середину О основания АС равнобедренного тре-
угольника АЙС проведен отрезок ED и ему симметричный отрезок
MN (черт. 171). Треугольники MOD и NuE подобны, отсюда
ЕО EN
D& ~	* но BW>AfD, значит, BO>DO.
Средняя линия трапеции делит диагонали пополам, тогда АС
меньше средней линии трапеции EMDN, т. е.
Из треугольников., EON и MOD соответст-
вен но имеем:	у
2£0>£W (2), 2QD>MD (3),
>АС (1).
Черт. 170.

EN+MD
Сложив равенства (2) и (3), получим: EO+DO>--------g  и приняв
во внимание равенство (1), следует ED> А С.
|313г Утл. Воспользоваться результатом задачи 698, а также
свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника. В равенстве
для квадрата биссектрисы заменить АВ и BD, пользуясь равенст-
вом АВ—BD^n, и, приняв во внимание равенство
—4В-С£> = 0, теорема будет доказана.
.1314. Взять две точки Л и F2, расположенные на диаметре на
одинаковом расстоянии от центра, затем взять две произвольные
точки F3 и F4 на окружности, соединить /4 с F3; F2 с Ft, Провести
диаметры FtF& и F3F5, соединить Ft с F®; F2 с F$. Доказать, что четы-
рехугольники FtF$F2Fs и FiFtF2Fb — параллелограммы и воспользо-
ваться зависимостью между сторонами и диагоналями параллело-
грамма.
1315.	.Через взятую точку О внутри треугольника АВС провести
Р£||АС; КН\\ВС; FL\\AB. Рассмотреть три пары, подобных треуголь-
ников, так как каждая проведенная прямая- отсекает от треугольника
АВС треугольник, ему подобный. Написав пропорциональность сход-
ственных сторон, принять во внимание, что FL*=AD+BK, Все три
равенства сложить. Заменив АК+&К и BD+AD на с теорема бу-
дет доказана (точка D лежит на АВ, Е — на ВС, L — на. АВ),
(а-\-Ь)*
1316.	—. Середину О гипотенузы А В соединить с Оь О2,
центрами построенных квадратов, тогда площадь треугольника
O1O2O3 разделится на площади трех треугольников, которые легко
вычислить через катеты.
1317.	Провести среднюю линию, а затем вычислить площадь
треугольника ADF как сумму площадей двух треугольников, приняв
за основание треугольников EF— среднюю линию трапеции.
1318. В треугольнике CDE (черт. 172) Z.CED=3Q3j
1	180°—
ЛЕСВ= -75- ZFCB- ---------—- = 90° - -у- ; Л.СВЕ- 180*—90°-К
+	— 30°=60°+4^ , НО ЛСВЕ= 180°—Л.СВА, тогда Z.C8A =
— 180°—60°— — = 120°— —, отсюда 2Л.СВА = 240°—Л.С, иля
Z.C+'2 ZCBA =240°. Далее
П>
12>.
Z-C+2Z8=240°
Z.C+ZA + ZS= 180°
Черт. 172.
13 П. Я. Великина
И	О
Черт. 173.
193
Вычесть почленно равенства (1) и (2), получим:
_ Z.B—60°.
1319. а2(2—|3) кв. ед. Рассмотреть все углы треугольников, полу-
ченных на чертеже 173, отсюда будет следовать, что треугольник
BMD равнобедренный, в котором DM — BM, тогда ADMP — ^MBN,
Зная углы треугольников РМС и MNC, установить, что эти тре-
угольники равнобедренные и равные. PQ — высота треугольника
РМС. Легко видеть, что APKC = APQC, откуда AK=PK=PQ.
Обозначив РК через х, тогда РС—2х, КС —а—х. По теореме Пифа-
гора из треугольника РКС имеем: РКгАтКС2=РС2, или
(а—-х)2=4х2. Решив последнее уравнение, найдем PQ и СМ,
а затем и площадь.
1320. Из центра окружности опускаем перпендикуляры OF, ОМ
и OFi соответственно на хорды АВ, PQi и PiQ и соединяем центр с
точками С и D, а точку Af— с точками F и Ft (черт. 174). Очевид-
но, треугольники MPQi й MQPi подобны, a AfF и MF} служат их
медианами, отсюда следует равенство углов MFQi и AfFiQ, тогда
2LOFM— ZOFiM. Окружности, описанные около , четырехугольников
OFCM и OFiDM, пересекаются в точках О и М, тогда в силу равен-
ства углов OFM и OFiM дуги, стягиваемые хордой ОМ, равны, сле-
довательно, равны диаметры окружностей ОС и OD. Треугольники
ОСМ и 0MD равны, значит, CM=DM, отсюда AC—BD.
—С COS а *	CSina .	С Sin а-СО§ а
Sin а—cos а ’	/	а\’	Sin (135°—а)
cosy45 —g j
Указание. Биссектрисы BD и АЕ находить из треугольников
BCD и АСЕ, биссектрису CF находить из треугольника BCF, поль-
зуясь свойством биссектрисы внутреннего угла треугольника и ре-
зультатом задачи 698 (черт. 175).
1322.	Повернуть треугольник АВС вокруг точки С на 90° (черт.
176), тогда вершийа А совместится с вершиной Ci, вершина В — с
F, а медиана СМ перейдет в медиану CMi. Точки С и Мi являются
серединами сторон треугольника DC^F, значит, СМ\ параллельна
OF, в результате поворота медианы СМ на 90° ZMCM^ — Z-CKF
- следовательно, МК перпендикулярен DF> Tt е. СК — высота тре-
угольника DCF.
Черт. 174.
Черт. 175.
в
Черт. 177.
на угол ф вокруг точки О,
В на угол ф й получаем от-
1323.	Повернуть данный отрезок АВ
а для этого поворачиваем его концы Ли
резок Л1В1. Радиусом, равным ОС проводим дугу до пересечения с.
AiBi и получим искомую точку Ci (черт. 177).
1324.	Треугольники АВС и MNP гомотетичны, так как их углы1
равны, а стороны параллельны. Для доказательства достаточно рас-.
DM.
смотреть гомотетию с центром в точке D и коэффициентом	•
На основании определения свойств гомотетии точка Р должна ле-
жать на медиане CD (черт. 178).
1325.	Пользуясь известными теоремами об измерении углов, впи-
санных в окружность, и углов с вершинами, взятыми вне круга,
легко доказать равенство углов, при соответствующих вершинах тре-
угольников АВС и Л1^С1 (черт. 179). В треугольнике BB2N
Z.CB2N~Z.FCB2 как углы, измеряющиеся -g- ^В2С, отсюда следует,
что хорда АС параллельна касательной Д1С1. Окончательно, соот-
ветствующие углы треугольников АВС и AyBiCi равны, а стороны
параллельны, значит, треугольники гомотетичны.
" ”	“ лежит на линии их
из них, то этот центр
1326. Центр гомотетии двух окружностей
центров. Если центр гомотетии лежит на одной
гомотетии принадлежит и второй из них и,
следовательно, служит их точкой пересече-
ния. В силу симметрии окружностей относи-
тельно их линии центров вторая их общая
точка совпадает с центром гомотетии и ок-
ружности касаются.
в.
В?
Л М
В
Черт.- 178.
N
D
. \2ф
N С
А
С
Черт. 179.
13*
1327.	Воспользоваться свойством средней линии треугольника.
1328.	Воспользоваться свойством средней линии треугольника, а
затем доказать равенство углов треугольников АВС и Л1В1С1
(черт. 180).
1329.	Окружности Oi и Од гомотетичны с центром гомотетии в
точке At При данной гомотетии точки А, В, Е окружности Oi пере-
ходят в соответствующие точки С, D, F окружности О2, по этой
причине AE\\CF; BE\\DF, тогда £ВЕА = Z.CFD; значит, треугольник
АВЕ подобен треугольнику CFD и, более того, они гомотетичны с
'СМ
центром гомотетии в точке М и	(черт. 181).
1330.	- Провести два произвольных радиуса АО и ВО и их кон-
цы соединить (черт« 182), затем продолжить хорду АВ в обе сторо-
ны так, чтобы ЛВ«ЛЛ = ВС, точки D и С соединить с центром О,
тогда получим точки пересечения OD и ОС с окружностью. Соеди-
нив Л1 с Bit докажем, что хорда Л4В1 поделилась радиусами О А и
ОВ на три равные хорды. Очевидно, что Z3=Z4, тогда OC—OD,
отсюда AiD—BiC. Треугольники AiOBi и О DC равнобедренные,
следовательно, СОЦЛ1В1. Рассмотрев три пары треугольников ОВС и
ОМВ-, АВО и LMO-, OAD и OLAi, и на основании их подобия будет
.доказано равенство отрезков MBi, LM и Л1£.
1331.	1) 1-й способ. Строим произвольный треугольник по двум
заданным углам, принимая точки Л и С за вершины треугольника,
^черт. 183). Из произвольной точки Е прямой АС восставим перпен-
дикуляр ЕК, равный данной высоте, а затем проводим через точку
К прямую, параллельную АС, определим вершину Bi искомого
треугольника. Наконец проводим BiCi параллельно ВС\ треугольник
ЛВ^! искомый, что легко доказать.
2-й способ. На стороне
BD, равной высоте искомого
треугольника, строим дуги двух п	л	А Л
сегментов: один, 1 вмещающий	—Т'*
данный угол Л, другой — вме-
щающий угол С; проводим АС
перпендикулярно к BD в точ-	I О I
хе D; треугольник АВС иско-	\	J
мый. В первом случае задача
решена методом подобия, а во
втором случае — методом гео-
метрических Мест.	Черт. 182.
196
Черт. 183.
2) Дан треугольник АВС (черт. 184). На продолженной стороне
АС откладываем отрезок AD, равный периметру данного треугольни-
ка. От вершины А откладываем ADi — m. Точку D соединяем с В,
Через Di проводим BiDi параллельно BD и B4Ci параллельно ВС.
Треугольник AB/Ci подобен данному с заданным периметром, рав-.
ным т. Задача допускает несколько способов решения.
1332.	Ьй способ. Строим AK=n, AL*=m и LH\\EF. Через.точ-
ки В и А проводим прямую ВС, ВС — искомый отрезок. Для дока-
зательства рассмотреть подобие треугольников ALB и АСК.
1333.	"~64—• Решение. Как известно, если две окружности
касаются внутренним образом, то их центры и точка касания ле-
жат на одной прямой (черт. 185), тогда OiF2=OiO2=/?=a; Оз/д —
=O3f2=r; OiOs==a—г.
Из треугольника O1O3F1 имеем: (а—г)2=г2 4- -у-. Решив пос-
За
леднее равенство, найдем, что r=«	, значит, площадь вписанного
9 '
круга равна па\
1334.	Решение. Z.BP2W+zLAPB=18O° (1)< ЛАМ В -• вписан-
ный в окружность Oi, измеряется—АВ, a £BAN, образованный
касательной AN к окружности Oi и ее хордой АВ также измеряется
“2~vABf значит, ZtAAfB = ZBA^ ZA^B^Z_BAЛ1, так как каждый
Черт. 184.
Черт. 185.
№
1
- измеряется тВ, отсюда = -сяе-
дует равенство третьих углов АВМ
и ABN треугольников АВМ и ABN
(черт. 186). ДДЯМоэ ДДВ-V, зна-
‘ ВМ АВ AM РМ
чит> АВ ” BN ~~ Л№ AQ ' или
ВМ РМ
АВ =	. &РМВ<х> ДДВ<2, так
ВМ АВ
как рм = jq , а углы между ними
равны, следовательно, Z_BPA1 =
=Zj4QB. Заменив в равенстве (1)
угол ВРМ равным ему углом AQB, получим: Z.AQBA-^АРВ~ 180.,
тогда в четырехугольнике AQBP сумма одной пары противоположных
углов равна 180 , следовательно, точки Д, Р, В, Q принадлежат одной
окружности.	.	'
1335.	19,5 кв. ед. Решение. Воспользовавшись теоремой о
свойстве касательной и секущей, проведенных из точки, взятой вне
круга, имеем: BF2 = BL*BN i—32-8; BF—16 (черт. 187). Треугольник
OFB прямоугольный, тогда его площадь равна: Sofb= • 16-12=
f 1
=	if-2Q-FM; FM—9fi. Из треугольника OFM находим
РМ ВМ
ОМ, равный 7, 2, тогда 7Ш = 12,6. ABMF со ABCN.	;
CJV=7,8.
SAbc — ~2~AB-CN—]9,5 кв. ед.
1336.	Пусть 7? и Ri — радиусы данных окружностей, h — рас-
стояние между прямыми AAi и MiM (черт. 188), тогда из треуголь-
ников ЛМВ и AiMiLi имеем: AM2—2Rfy AiMi2^=2Rik> отсюда
ЛЛ1:Д1Л41г=у/?:у/?1. Если Р— точка пересечения ДМ и Д1М1, тогда
пользуясь свойством параллельных прямых, пересекающих стороны
wnw	' .РМ РМ1 ^АР А1р	АР
угпа MPMt, имеем: а)Ж =ВД, или Ь)	или c)jjj =
AM
=	< Из пропорции [а), пользуясь свойством: сумма членов пер-
вого кратного отношения так относится к своему последующему, как
сумма членов второго кратного отношения относится к своему после-
дующему, получена пропорция (Ь), а из последней — пропорция (с),

тогда AP:AiP=AM:AlMi = ^R:^Kl. Очевидно, что отношение рас-
стояний точки Р от двух данных точек А и А^ сохраняет постоянное
зцачешЦ и поэтому геометрическое место точек Р — окружносТЁ: Что-
бы построить геометрическое место точек Л нужно провести биссек-
трисы внутреннего и внёшнего углов треугольника А{РА при вершине
Р PC и PD. Отрезок CD будет диаметрам окружности, Для доказа-
тельства нужно воспользоваться свойствами биссектрис внутреннего
и внешнего углов треугольника А^РА (окружность Аполлония). -
1337.	Пусть BBi — диаметр окружности, проходящей через точ-
ку А (черт,. 189). Точка А может лежать внутри круга иля
•на окружности; А и ЛГ1— точки пересечения прямых ВМ и ВМ{ с
прямой A2V, проходящей через точку А и перпендикулярной к АВК
£Ш{В= ZlAMiNt, как вертикальные и измеряющиеся -у- ^ВМ.
Дуга-ВЛ! равна 90°—-2'<>'A4A4tBi==90o—Z_ABM = Z_MNA. Треугольни-
ку^ AM
ки AMN и ANiMi — подобны, откуда = -“4^, или AW-A№t =
AM-AMt, т. е. произведение AN'ANi постоянно.
1338.	-у-. Решение. Провести С К-LAB и ОЕЦАВ. Пусть
CK—fi, АВ —а, а искомое расстояние FK=x (черт. 190). Треугольни-
а h	ак
ки АВС и CDE— подобны, тогда pg = frZy отсюда DE—a— — .
Sdem=—"1Г“- Как известно, квадратный трехчлен будет
иметь максимум, если коэффициент при х2 меньше нуля и при
Ь	/ а \ ( а \ h
х=— *2а»т- е- -------2~J	значит, DE нужно прове-
сти через середину СК. Задача имеет множество решений, так как
точка Л! взята произвольно на АВ.
1339.	Решение. По известной формуле, вычислить длину ме-
диан АК и CL, в зависимости от сторон треугольника; или достроить
данный треугольник до параллелограмма, продолжив медиану А К
uat отрезок, ей равный, а затем продолжить медиану CL на отрезок,
Черт. 190.
,4"
с
ей равный, и в обеих случаях вое*
пользоваться зависимостью между
сторонами и диагоналями парал-
лелограмма. Зная длину медиан,
станут известными их отрезки КО и
обратной теореме Пифагора, будет доказана перпендикулярность ме-
диан АК и CL (черт. 191).
1340.	1,6 (cjw2). Решение.	или 10==*
=• TfAB-ACi отсюда Л£-ЛС=40 (черт. 192).	AL*AKk
Xsin 30о=арЛ1*ЛЛ. Из треугольника АОМ АМ*=^ОА2—ОМ2. Далее:
АМ^АВ-АЦ А№*=АС-АК, или 162~ЛВ-ЛС-Л£-Л/<, отсюда
Л1.ЛХ«=6,4; SAKL = 4” ’6,4*=» 1,6 (см2).
9	115
1341.	1 "Тб* • Решение. О7?= СМ+ ~2~ СМ** —е - СМ
(черт. 193)}
ОР = у’ЛК 4- -^-АК = 4*^ 0 <?= ТВ/'+4“ BL=Tflz-
12	2
Saob= ~2~ • ~^~AJ( • — BL • sin ЛОВ	(1)
Sqop - -у • 4"B2' ’ 's,n Q0D	(2)
- Поделив равенство (1) на равенство (2) и приняв во внимание,
что sin ЛОВ*=з1п<2ОР, получим: Saob:Sqoi>»16:25. Вычислив пло-
щади треугольников СОВ и QOR и взяв их отношение, получим так
же 16:25; такое же отношение площадей треугольников АОС и ROPf
$АОВ	$СОВ	$АОС
Следовательно: <г-— «== -г;-= -к-. Из свойства ряда рав-
&QOP	^QOR	^ROP	r
ных кратных отношений: сумма всех предыдущих членов ряда рав-
ных кратных отношений так относится к сумме всех последующих,
как каждый предыдущий относится к своему последующему, тогда
Злвс:5роЛ== 1:	=25:16.
2Q0.
с
Черт. 193.
Черт. 194.
20° н
1342.	a3+b3=3ab2. Решение. Проводим BD под углом _
ВС и AKJlBD, тогда Д4ВС<х> ABDC (черт. 194). На основании no-
DC а	а2
добия, имеем:	= у, откуда DC=* -у. Из треугольника ABD
AD2=AB2+BD2—2BD-BKi (1) AD2=b2+a2—ab, но AD~AC—CD~
a2	a2
—b—-у,тогда (2) AD2**(b—)\. Сравнив значения AD2 из pa-
a*
венств (I) и (2), получим b2+a2—ab=* (Ь—-£-}\ что после упроше*
ния дает зависимость: a3+b3**3ab2.
<О4О П	e 1 , t .25 ON^DE^r.
1343. Решение. SAbc=-g”сЛс} Л.=-у- CE = hc — r
h 3	fi
&ABC co д СЕМ, тогда <= откуда hc=3r; r «= -у", (1)
2S	S C 2S S
r = но r*= — (2). Тогда	, или 2/> = 3c; a + b +
,	a + b
+ c s= 3c; с =з—2— .
1344. a3+b3=*2(a+b)ab. Решение. Отложить на стороне BQ
отрезок CD, равный а; из точки D опустить перпендикуляр на ABt
71
провести DF параллельно АВ. Из треугольника BDE-. cos —у =*
b	b а
= 2(6~л) W (черт. 195), ЛАВС со &CDFt отсюда — =	»
И2	тс
CF =	» Из треугольника CDF имеем: CF2—2a*--2a2 cos у;
/Л « л* \ Я '	Е
2а2; cos^r =»
(2). Сравнив значения для
равенств (1) и (2) получим:
26а~а2
, или: a9+b3~2(a+b)abt
отсюда cos у
2Ь2^а2
~	2Ь2
тс
COS у ИЗ
b	_
2 (b^a) “ 2Ь2
1345. 4^; / а» +	+ 2a6cos2a.‘
Решение. Пусть АВ=а* CD^b\ *zABD—
^САВ—а. Применив теорему синусов к Черт. 195.
О
23Г
л
треугольнику АОВ, имеем:	—
b	ОС
ОВ	а
Жа>ОТСК,ДаОВ= 27777
v	ь
Из треугольника DOC; = 7^77- ; ОС = (черт. 196).
Применяя теорему косинусов, из треугольника ВОС получим:
а2 1 Ь*
ВС* = ОС3 + ОВ3-2ОС.ОВ. cos 2«; ВО =да+ 7^7 -
2ab cos 2а	1	______________
~ 4 cos® а > нли ВС ° 27777	^+b3~2ab cos 2« .
*3иая все три стороны треугольника ВОС, находим его медиану ОК*.
ОК=-±- У 2ОС*+2ОВ*—ВС*
1 ~1/	2а*	262 а2 -Н 62—2a&-cos2a
2 г 4 cos2/ 4 cos2a	4 cos2 а
• ОК- = 4'сач а У а3 + Ь3+2аЬ СОЗ 2а .
* vvO Сл-
1346. ~2^j'na ' s[п2«) • Р е ш е н и е. Из треугольника АВН'.АН—
=а sin а, угол-ЯСВ равен 180°—2a, тогда из треугольника АСН
- я sin a
имеем АС=ВС=
АВ АЕ
На основании свойства биссектрисы угла В = ~СЕ (0 (чеРт
197). Обозначим АЕ через х, тогда СЕ—АС—‘X. После соответст-
jssin2a	х
вующеи замены р равенстве (I) получим: ~~gtn a = J’gj'n g---»
sin 2a Л
a Sin a	a sin a
отсюда x= sin«+sin.2a	тогда	д- -
a sin a	(	1	1	\
Sin a-f- sin 2a ”*a sin a ( sin 2a Sin a-|-sin 2a /*
202
a sin2a
CB =^п&ЪИ1а+Ш2а)'	2“ >
л 1	a sin2» sin 2a
SCHE= у Л Sina • COS 2« s|n (sJn 2a) .
1 a2 sin8a cos 2a
ScHE — 2 sin a4-sin 2a *
1347.^-1/ —-—ill—— . По известным формулам найти
2 V a2+ab+b2	г j
площадь треугольника АВС и его третью сторону е. Приравнять
площадь произведению chc и из последнего равенства най-
4
ти hc.
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1962*^°Г^аММа	школы». Математика. М., Учпедгиз,
«Требования к учебникам по математике для средней школы».
«Математика в школе»,- I960, Xs 1, стр. 56—59.
В. А. Жаров. Основные принципы построения задачника по
геометрии. Ярославль, 1960.
П. А. Компанийц. О сознательности знаний учащихся по
математике. М., Учпедгиз, 1953.
И. Я. Д е п м а н. К вопросу о повторении при преподавании ма-
тематики. «Математика в школе», 1962, № 1, стр. 36—41.
П. Я. Великина. Задачи для систематического повторения
геометрии в школе. Ярославль, 1959.
П. Я. Великина. Улучшение преподавания математики путем
правильной организации систематического повторения. «Математика
в школе», 1962, № Г, стр. 42—50.
О. А. Аракелян. Некоторые вопросы повторения математики
в средней школе. М., Учпедгиз, 1960. .
Д. П о й а. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.
Е. Ф. Данилова. Как помочь учащимся находить путь к ре-
шению геометрических задач. М., Учпедгиз, 1958.
Е. С. Березанская, Н. А. Колмогоров, Ф. Ф. Наги-
бин, Р. С. Черкасов. Сборник задач и вопросов по геометрии.
М, Учпедгиз, 1959.
Ж. А д а м а р. Элементарная геометрия, ч, 1, Планиметрия. М.,
Учпедгиз, 1948.
Н. А. Глаголев. Элементарная геометрия. Планиметрия. М.,
Учпедгиз, 1944.
Г. П. Сенников. Решение задач на построение в VI—VIII
классах. Пособие для учителей, М., Учпедгиз, 1955.
И. С. Г р а д ш т е й н. Прямая и обратная теоремы. М., Физмат-
гиз, 1959.
Б. И. Крельштейн. Необходимые и достаточные условия в
математике. М., Учпедгиз, 1961.
К. С. Барыбин. Сборник задач по геометрии. Планиметрий.
М., Учпедгиз, 1958.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ..........................................t	3
Глава I. Прямая, луч, отрезок, угол .«•««.*;«	®
§ 1. Прямая, луч, отрезок .  ................... • —
§ 2. Углы смежные, вертикальные и развернутые « . . -9
Глава II. Треугольники	12
§ 1. Треугольник и его элементы	.т- '
. §	2. Признаки равенства треугольников ....... М
§ 3.	Зависимость между сторонами и углами треугольника 1®
§ 4.	Примерные контрольные работы . . ...... 19
Гл а в a III. Параллельность..........................  20
§ 1.	Параллельные прямые.............................
§ 2.	Примерные контрольные работы	21
§ 3.	Сумма углов треугольника и многоугольника ..«**•
§ 4.	Углы с соответственно параллельными и перпенди-
кулярными сторонами.................................21
§ .5	. Примерные контрольные работы . ....... 21
Глава IV. Четырехугольники . . «... s ..... 27
§ 1.	Параллелограмм . . ................
§ 2.	Прямоугольник	30
§ 3.	Квадрат .  ..................................  31
§ 4.	Ромб . .......................•............  ,	—
§ 5.	Средняя линия треугольника. Трапеция ..... 32
§ 6.	Замечательные точки треугольника...............34
§ 7.	Примерные контрольные работы . ( . « . ... 35
Глава V. Площади многоугольников ,......................36
§ 1.	Теорема Пифагора  ..............  ...	. ... —
§ 2.	Площадь многоугольника ........................31
205
§ 3.	Взаимное расположейие прямых и плоскостей в прост-
ранстве ............................. .	«	.	•	42
§ 4.	Поверхность	и объем прямой призмы . .	*	.	.	~
§ 5.	Примерные контрольные работы...............	. . 43
*
Глава V 1.' Окружность и круг. Цилиндр ....... . 45
§ 1.	Основные понятия. Вписанные * углы ...............“
§ 2.	Длина окружности. Площадь круга	50
§ 3.	Поверхность и объем цилиндра в...............	. 54
§ 4.	Примерные контрольные работы t	53
Глава VII. Повторение .............................*	. . 55
Глава VIII. Упражнения для развития математической ре-
чи учащихся .............................................50
§ L	Вписать пропущенные слова . .. . . ♦ .	4	.	,	.	—
§ 2.	Составление текстов задач по чертенку .	.	.	»	^	61
§ 3.	Формулировка обратных теорем	65
Глава IX. Пропорциональные отрезки. Подобие ... * 67
§ 1.	Пропорциональные отрезки.......................—
§ 2.	Подобие треугольников и многоугольников	<	...	^
§ 3.	Свойство биссектрисы угла треугольника	.	.	s	.	72
§ 4.	Примерные контрольные работы ......................73
Глава X. Тригонометрические функции острого и тупого угла 76
§ I.	Решение прямоугольного треугольника ..............—•
§ 2.	Решение остроугольных и тупоугольных треугольни-
ков .............................................. 80
§ 3.	Примерные контрольные работы ........ 82
Глава XI. Вписанные и описанные многоугольники. Пра-
вильные многоугольники.................................  .	84
§ 1.	Вписанные и описанные многоугольники . . , . , —
§ 2.	Правильные многоугольники . -. . ...... 85
§ 3.	Примерные контрольные работы ........ 88
Глава XII. Вычисление объемов и поверхностей геометри-
ческих тел . , . ,.........................................90
§ 1.	Призма и пирамида ...... ..........................—
§ 2.	Конус и цилиндр.................................  92
§ 3.	Шар....................................  .	, < . 94
§ 4.	Примерные контрольные работы . ...................96
1?
Глава XIII. Задачи на применение геометрических преоб-
разований  ............................................98
§ 1. Осевая симметрия	—
$ 2. Центральная симметрия . » ......... ,100.
206
§ 3.	Параллельный перенос.........................102
§ 4.	Вращение .	................№
§ 5.	Гомотетия и подобие........................  105
Глава X IV. Задачи по курсу VI—VIII классов .... 106
Глава XV. Примерные годовые контрольные работы . . , И2
VI	класс......................................
VII	класс ..................................<
VIII	класс ...................................Н7
Глава XVI. Задач идля внеклассной работы........,119
VI	I класс ................................  .	—
- VIII класс . ..................................123
Ответы, указания, решения . . . , ... * . . . « . . 133
Палина Яковлевна Великина
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ
для 6 — 8 классов
Редактор Л. А. Сидорова.
Переплет М. Ф. Ольшевского
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор В. Ф. Коскина
Корректоры Р. Б. Штутман, М. В. Голубева
Сдано в набор 6/VI1 1970 г. Подписано к печати
2/П 1971 г. МХЮЗ1/». Бумага тип. № 3. Печ. л. 6,5.
Усл. печ. л. 10,92. Уч.-изд. л. 11,61. Тираж 150 тыс.
вкз. (Пл. 1971 г. № 79). Издательство «Просвеще-
ние» Комитета по печати при Совете Министров
РСФСР.
Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Типография № 2 Росглавполиграфпрома,
г. Рыбинск, ул. Чкалова. 8.
Заказ 2450
Цена без переплета 31 к., в переплете 41 к.