Author: Ходот Т.Г. Ходот А.Ю. Велиховская В.Л.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика геометрия топология учебник
ISBN: 978-5-09-015973-9
Year: 2007
Text
Т. Г. Ходот А. Ю. Ходот
Наглядная
геометрия
Учебник
для учащихся 6 классов
общеобразовательных
учреждений
Москва «Просвещение» 2007
УДК 373.167.1:51
ББК 22.151я72
Х69
Ходот Т. Г.
Х69 Математика : наглядная геометрия : учеб, для учащихся 6 кл.
общеобразоват. учреждений / Т. Г. Ходот, А. Ю. Ходот. — М. :
Просвещение, 2007. — 143 с. : ил. — ISBN 978-5-09-015973-9.
Предлагаемый учебник содержит вторую часть курса «Наглядная геомет-
рия», главная цель которого, кроме развития пространственных представлений
и логического мышления, подготовить учащихся 6 классов к успешному усвое-
нию систематического курса геометрии средней школы: создать целостные пред-
ставления об этом курсе, на конструктивном уровне познакомить со всеми гео-
метрическими фигурами, встречающимися в школьном курсе, способствовать
развитию навыков изображения фигур, формированию правильной математиче-
ской речи.
УДК 373.167.1:51
ББК 22.151я72
ISBN 978-5-09-015973-9
© Издательство «Просвещение», 2007
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2007
Все права защищены
Дорогой шестиклассник!
Мы продолжаем заниматься геометрией.
В прошлом году мы занимались геометри-
ческими фигурами: мы использовали их для
изображения формы предмета, научились
конструировать их модели, рисовать и неко-
торые из них строить с помощью чертёжных
инструментов. Кроме того, мы занимались
измерением фигур: ты знаешь, как опреде-
лить длину линии, площадь плоской фигуры,
объём тела, меру угла.
В этом году мы будем рассматривать ком-
бинации известных тебе фигур, обсуждать
различные варианты взаимного расположения
этих фигур и их частей. Мы сможем теперь
обсуждать более серьёзные вопросы, в том
числе и связанные с творческим конструиро-
ванием. Ты познакомишься с симметричны-
ми фигурами и поймёшь, чем они интересны
и как можно их использовать для созда-
ния новых, приятных для глаза форм и конст-
рукций.
И конечно, мы предложим тебе новые
интересные задачи, которые помогут развить
сообразительность, гибкость ума, внимание,
память. Полистай учебники пятого и шестого
классов и найди в них иллюстрации ко всему
тому, о чём мы сейчас говорили. Интересно
посоревноваться с друзьями: кто больше най-
дёт таких иллюстраций и придумает соответ-
ствующих примеров.
А начнём мы с повторения.
Мы повторим материал, в основном, ре-
шая задачи. При этом ты будешь узнавать
об известных фигурах что-нибудь новое. По-
вторяя какую-нибудь тему, сначала поста-
райся решить задачи, а затем обязательно
найди соответствующий материал в учебнике
пятого класса. Здесь появятся новые важные
задачи. Весь новый материал в главе 1 мы
отмечаем знаком CZJ . Мы советуем тебе вни-
мательно относиться к повторению, так как
в дальнейшем при изучении нового материа-
ла все изложенные здесь факты будут исполь-
зованы.
Глава 1___________________
Повторение.
Знакомые и новые понятия
Какие геометрические
фигуры бывают
1.1. Самые общие воспоминания.
1.1. Разбей на две группы фигуры, изобра-
жённые на рисунке 1. Объясни своё решение.
Назови каждую из этих фигур.
1.2. Нарисуй какую-нибудь конструкцию из
плоских фигур. Является ли твоя конструк-
ция плоской фигурой?
1.3. Нарисуй какую-нибудь конструкцию из
пространственных фигур. Является ли твоя
конструкция пространственной фигурой?
1.4. Нарисуй геометрические фигуры, описы-
вающие форму предметов, изображённых на
рисунке 2.
1.5. Нарисуй какие-нибудь предметы, форма
которых изображена фигурами рисунка 3.
1.6. Верно ли, что если одна окружность про-
ходит через центр другой окружности такого
же радиуса, то они пересекаются?
Подсказка. Рассмотри случай, когда окруж-
ности не лежат в одной плоскости.
Рис. 1
Рис. 2
§ 1
4
Глава 1
Повторение Знакомые и новые понятия
Рис. 4
1.7. Какую из следующих фраз иллюстрирует
рисунок 4?
а) Круг лежит между прямоугольником и тре-
угольником.
б) Круг отличается от треугольника тем, что
не имеет углов.
в) Три замкнутые линии, одна из которых —
пятизвенная ломаная, имеют только одну об-
щую точку.
1.8. Определи закономерность (рис. 5) и выпи-
ши номера рисунков в порядке, соответствую-
щем этой закономерности.
LXJ 1.2. Новые задачи. Мы начали изучение геометрии с игры:
со спичками, с танграмом, с кубиками. Но есть игры, участвуя в ко-
торых можно потренироваться в способах размышления и поисках
ответа. Можно сказать, что эти игры почти математические задачи.
Одна из таких игр — игра «Да и нет». В ней надо отгадать заду-
манный объект, задавая вопросы, на которые ведущий может отве-
чать только «да» или «нет».
Приведём пример такой игры. Предположим, ведущий загадал
призму. Игроки спрашивают:
«Это геометрическая фигура?» — «Да».
«Это плоская фигура?» — «Нет».
«Имеет основание?» — «Да».
«Можно ли её увидеть как круг?» — «Нет».
«Имеет рёбра?» — «Да».
Один игрок «отгадывает»: «Это пирамида!» На основании инфор-
мации, полученной из ответов ведущего, нельзя однозначно утверж-
дать, что загадана пирамида. Игрок не учёл того, что среди фигур,
обладающих всеми этими свойствами, могут быть и призмы. Для
уточнения можно задать вопрос: «У этой фигуры больше одного осно-
вания?» Подумай, нельзя ли задать более точный вопрос, ответ на
который даёт возможность точно определить загаданную фигуру.
5
§ 1. Какие геометрические фигуры бывают
5
Рис. 7
В задачах мы будем предлагать готовый
набор признаков геометрического объекта.
Нужно будет по этим признакам определить
объект. Приведём пример такой задачи.
1.9. Про фигуру известно, что она: 1) плоская;
2) имеет один конец; 3) может быть сконст-
руирована из отрезков. Нарисуй эту фигуру.
Есть ещё одна игра, которая называется
«Ассоциации».
Слово ассоциация (от лат. associare — соединять)
имеет корень socius — товарищ. Ты знаком с рас-
пределительным законом сложения чисел: склады-
вая числа, можно объединять их в группы, напри-
мер: а + b + с = а + (Ь + с). Математики говорят,
что сложение обладает свойством ассоциативно-
сти.
В другом значении — это связь между какими-то
предметами или явлениями, возникающая при вос-
приятии человеком одного из них. Например, ше-
лест листвы может ассоциироваться с шёпотом.
В игре «Ассоциации» ведущий должен на-
звать человека, загаданного остальными игро-
ками. Ведущий может задавать вопросы: «С ка-
ким деревом этот человек ассоциируется?»,
или «Какое животное он напоминает?», или
«С каким атмосферным явлением он связыва-
ется?» и так далее. На основании ответов ве-
дущий строит гипотезу (делает предположение)
о росте человека, цвете его волос и глаз, люби-
мых занятиях и даже о характере. Понятно,
что можно загадывать не только известного
человека, но и предметы, явления, абстракт-
ные понятия, в том числе и геометрические.
Поиграй с друзьями в эти игры: они инте-
ресны, полезны и очень увлекательны.
Мы предложим задачи, основанные на
принципах этой игры: те, в которых требуется
указать какие-нибудь (чаще всего конкретные)
геометрические ассоциации, возникающие при
рассматривании картинки или чтении слова.
Вот две такие задачи.
1.10. Какие из следующих слов или слово-
сочетаний ты можешь связать с картин-
кой (рис. 6): а) объединение; б) пересечение;
в) штриховая линия; г) многогранный угол;
д) общая вершина; е) сфера; ж) пятиугольни-
ки? В каждом случае объясни причину уста-
новленной тобой связи.
1.11. Выбери картинки (рис. 7), которые ты
связываешь со всеми следующими словами
и словосочетаниями: 1) круг; 2) взаимное
расположение; 3) класс.
6
Глава 1
Повторение.
Знакомые и новые понятия
§ 2
Отрезки. Конструкции
из отрезков
2.1. Отрезки, лучи, прямые.
2.1. На рисунке 8 изображены точки М, N,
Р, Q. Определи, пересекаются ли: а) отрезки
MN и PQ; РМ и NQ; б) лучи MN и PQ; М
в) прямые РМ и NQ. Если возможно, укажи
точку пересечения. Q
2.2. Определи закономерность (рис. 9) и вы-
пиши номера рисунков в порядке, соответству-
ющем этой закономерности. р*
2.2. Ломаные и многоугольники. Рис. 8
2.3. Какая картинка лишняя (рис. 10)?
2.4. Какие ломаные плоские, какие — пространственные (рис. 11)?
2.5. Звенья замкнутой ломаной ABCD совпадают с рёбрами тетраэд-
ра ABCD. Сделай рисунок. Является ли ABCD четырёхугольником?
2.6*. Нарисуй какой-нибудь многогранник, имеющий 6 граней. Ка-
кую форму имеют его грани?
Рис. 9
§2. Отрезки. Конструкции из отрезков
7
5 6
Рис. 13
Рис. 14
2.7. Объедини фигуры (рис. 12) в группы.
Объясни своё решение. Возможно ли другое
объединение фигур?
2.8. Имеются рейки длиной 29 см, 15 см, 6 см,
15 см, 10 см. Из каких реек можно сделать
модель треугольника? Какого вида треуголь-
ники получатся?
2.9. Определи закономерность (рис. 13) и вы-
пиши номера рисунков в порядке, соответству-
ющем этой закономерности.
2.10. Построй равнобедренный треугольник
с боковой стороной, равной 4 см.
2.11 Построй отрезок АВ, длина которого
6 см. Построй, если возможно, равнобедрен-
ный треугольник с основанием АВ, в кото-
ром боковая сторона равна: а) 5 см; б) 3 см;
в) 2 см; г) 12 см.
Совет. Воспользуйся циркулем.
2.12. Построй треугольник АВС, в котором
сторона АВ равна 4 см, углы А и В соответст-
венно равны: а) 29° и 80°; б) 45° и 45°; в) 34°
и 110°; г) 105° и 100°. Всегда ли можно вы-
полнить соответствующее построение? В каж-
дом из возможных случаев определи вид полу-
чившегося треугольника.
Напоминание. В треугольнике не может
быть больше одного прямого или тупого угла.
2.13. Построй треугольник, стороны которого
соответственно равны: 3 см, 4 см, 6 см.
2.14. Можно ли разбить на два прямоуголь-
ных треугольника остроугольный треуголь-
ник? А прямоугольный или тупоугольный тре-
угольник? Сколько способов такого разбиения
ты можешь предложить?
2.15* . Из каких трёх одинаковых треуголь-
ников можно составить равносторонний тре-
угольник?
2.3. Цилиндры, конусы.
2Л 6. Нарисуй треугольную и четырёхуголь-
ную призмы.
2.17. Нарисуй треугольную и четырёхуголь-
ную пирамиды.
8
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
Рис. 16
Рис. 17
2.18. Тетраэдр, сделанный из пластилина, разрезают ножом на
две части. Какая фигура может получиться в сечении (в месте раз-
реза)?
Проверь себя. Некоторые варианты изображены на рисунке 14.
2.19* . Какая фигура может получиться при пересечении плоскостью:
а) треугольной призмы; б) куба?
2.20. Определи закономерность, которой связаны рисунки (рис. 15),
и выпиши их номера в порядке, соответствующем закономерности.
2.21. Выбери картинки (рис. 16), которые ты связываешь со всеми
следующими словами и словосочетаниями: 1) вершина; 2) боковая
поверхность; 3) круг; 4) конструирование. Объясни свой выбор.
2.22^ . Каким фрагментом можно заменить выделенный фрагмент
иллюстрации (рис. 17) для того, чтобы у неё появился другой гео-
метрической смысл?
§2. Отрезки. Конструкции из отрезков
9
§ 3
Круглые фигуры
3.1. Круг и окружность.
3.1. Нарисуй круг. Закрась красным цветом его внутренность,
а окружность обведи синим. Чем отличаются круг и окружность?
3 2*. О чём говорится в изображённом фрагменте книги, в котором
осталась лишь последовательность иллюстраций (рис. 18)?
3.3. Построй окружность с радиусом 2 см и отметь на ней точку А.
Проведи через эту точку: а) радиус окружности; б) диаметр окружно-
сти; в) хорду, отличную от диаметра; г) хорду длиной 3 см; д) хорду
длиной 5 см. Сколько решений имеет задача в каждом случае?
3.4*. Построй окружность с радиусом 3 см и выбери на ней произ-
вольную точку М. Проведи через точку М две произвольные взаимно
перпендикулярные хорды МА и МВ. Измерь расстояние между точ-
ками А и В. Повтори те же действия для двух других взаимно пер-
пендикулярных хорд, проходящих через точку М, и для другой точки
окружности. Что ты заметил?
Проверь себя. Хорда АВ каждый раз равна 6 см. Это диаметр
данной окружности. Таково свойство всех прямых углов с вершинами
на данной окружности и сторонами, пересекающими эту окружность.
СО 3.2. Хорда. Оказывается, слово хорда
в геометрии употребляется не только для от-
резков в окружности или круге, но и для лю-
бых других фигур.
Хордой произвольной фигуры называют от-
резок, который соединяет две точки её гра-
ницы и других общих точек с этой границей
не имеет.
3.5. Какой отрезок является хордой: а) мно-
гоугольника ABCDEF-, б) фигуры F (рис. 19)?
3.6. Объедини картинки (рис. 20) в группы,
объясни принцип их объединения.
3.7. Построй прямой угол и какую-нибудь его
хорду. Измерь её. Можно ли построить:
а) ещё одну хорду этого угла той же длины;
б) наибольшую хорду этого угла; в) наимень-
шую хорду этого угла?
3.8. Построй отрезок АВ, длина которого 6 см.
С помощью чертёжного треугольника или
10
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
3
1
Рис. 20
2
4
5
шаблона построй прямой угол, для которого отрезок АВ является
хордой. Построй ещё несколько таких углов. Нарисуй линию, на ко-
торой лежат вершины всех таких углов. Сравни результат с резуль-
татом задачи 3.4.
Подсказка. Смотри рисунок 21.
3.9. Нарисуй пятиугольник ABCDE. Построй
какую-нибудь его хорду, соединяющую две
вершины.
Хорда многоугольника, соединяющая две
его вершины, называется диагональю мно-
гоугольника.
амечание. Так как хорда многоугольника
не совпадает ни с какой его стороной, то она
может соединять только две несоседние вер-
шины этого многоугольника (рис. 22).
Как это часто бывает, по тому, как образовано сло-
во диагональ, можно догадаться о его смысле.
Корень этого слова gonia (греч.) — угол. С пристав-
кой dia — насквозь — мы уже встречались в слове
диаметр. Таким образом, диагональ — это отре-
зок, идущий сквозь многоугольник, из угла в угол.
Диагональ можно провести и в многогран-
нике. Так же как и в многоугольнике, диаго-
наль многогранника — это его хорда, соединя-
ющая две вершины многогранника, не лежа-
щие в одной грани (рис. 23).
3.10. Сколько диагоналей имеют четырёх-
угольник, шестиугольник?
3.11. Нарисуй прямоугольный параллелепи-
пед и какую-нибудь его диагональ. Сколько
всего диагоналей имеет прямоугольный парал-
лелепипед?
Рис. 21
§ 3. Круглые фигуры
11
Рис. 25
3.12. Приведи примеры многоугольника и
многогранника, у которых нет диагоналей.
Проверь себя. Диагоналей не имеют тре-
угольники, треугольные призмы, всевозмож-
ные пирамиды (почему?).
3.3. Круглые тела. Среди так называемых
круглых тел тебе известны круговой цилиндр
и круговой конус. Если их поставить на гори-
зонтальную плоскость и рассекать другими го-
ризонтальными плоскостями, то каждый раз
будут получаться круги (рис. 24). Но «самым
круглым телом», конечно же, является шар:
какой бы плоскостью мы ни пересекали шар,
каждый раз будем получать круг (рис. 25).
Шар — это пространственная фигура
(тело), которая с геометрической точки зрения
аналогична (похожа) кругу: шар имеет центр
и радиус, все точки шара удалены от его цент-
ра на расстояние, не большее чем радиус. По-
верхность шара называется сферой. Все точки
сферы удалены от центра шара (который явля-
ется также и центром сферы) на расстояние,
равное длине радиуса.
Сферой с центром в точке О и радиусом г
называется поверхность, состоящая из всех
точек пространства, которые удалены от
точки О на расстояние, равное г.
Шаром с центром в точке О и радиусом г
называется тело, состоящее из всех точек
пространства, которые удалены от точки О
на расстояние, не большее чем г.
Шар и сфера, так же как круг и окруж-
ность, имеют радиус, диаметр и, конечно же,
хорды (рис. 26). Определения этих отрезков
дословно повторяют определения радиуса, диа-
метра и .хорды круга и окружности. Сформу-
лируй их.
3.13. Приведи примеры различных природных
объектов и предметов, сделанных руками чело-
века, которые имеют форму шара или сферы.
Рис. 27
12
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
Рис. 28
Рис. 31
3.14. Нарисуй известные тебе круглые тела — геометрические фигуры.
3.15. Какое словосочетание ты используешь при описании отли-
чия одной фигуры от другой (рис. 27): а) «может кататься только
по окружности»; б) «имеет основания»; в) «тень — многоугольник»;
г) «верх и низ — одно и то же»; д) «есть рёбра»; е) «сделаны из разных
материалов».
3.16. Какую из фигур рисунка 28, а, можно увидеть так, как показа-
но на рисунке 28, б?
3.17. Какие из следующих слов или словосочетаний можно связать
с картинкой (рис. 29): а) конус; б) пересечение; в) куб; г) конструи-
рование; д) развёрнутый угол; е) равенство; ж) класс; з) дюйм?
Ответ объясни.
3.18. Какая картинка лишняя (рис. 30)?
§4
Углы
4.1. Общие вг»ппр,шИнямия об у г арх.
4.1. Среди фигур (рис. 31) найди углы. Какие
из них плоские? Назови элементы каждого
из углов: вершины, стороны, рёбра, грани.
4.2. Найди среди углов (рис. 32) прямые углы.
Проверь свой выбор.
§4. Углы
13
4.3. Какие виды плоских углов ты знаешь? Нарисуй по два угла каж-
дого вида.
4.4. Выбери картинки, которые ты связываешь со всеми следующими
словами и словосочетаниями: 1) тупой угол; 2) касание; 3) равные
углы (рис. 33).
4.5. Определи закономерность, которой связаны рисунки (рис. 34),
и выпиши их номера в порядке, соответствующем закономерности.
4.6.
4.7.
4.8.
АВ = 3 см, АС = 4 см, Z.A — 55°;
АВ - 5 см, А А = 11°, ZB = 24°;
АВ = АС = 4 см, АА = 115°;
АВ = АС = 5 см, ZA = 29°;
АС - 4 см, АА = АС = 40°;
АС = 3 см, ZA = ZC = 100°.
Построй острый и тупой углы и биссектрису каждого из них.
С помощью циркуля и линейки построй прямой угол и угол 45°.
Нарисуй две пересекающиеся прямые. Построй биссектрисы
каждого из четырёх образовавшихся углов.
Что ты заметил?
4.9. Построй треугольник и биссектрисы его
углов. Что ты заметил?
4.10. Построй треугольник АВС так, чтобы:
а)
б)
в)
г)
Д)
е)
Всегда ли можно решить эту задачу? (Всегда
ли задача имеет решение?) Определи сумму
углов каждого из построенных треугольников.
Что ты заметил?
4.11. Построй равнобедренный треугольник
АВС, один из углов которого: а) 90°; б) 11°;
в) 60°; г) 34°; д) 45°; е) 100°. Сколько таких
треугольников можно построить в каждом
случае (сколько решений имеет задача)?
4.12. Построй и вырежи из картона 3 одина-
ковых равнобедренных треугольника с углом
120° между боковыми сторонами. Сконструи-
руй фигуру, прикладывая их последователь-
но боковыми сторонами так, чтобы тупые
углы имели общую вершину. Какую фигуру
ты получил?
Рис. 34
14
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
4.13. Сколько нужно взять одинаковых равнобедренных треугольни-
ков, чтобы, решая задачу, аналогичную предыдущей, построить мно-
гоугольник с равными сторонами, если известно, что угол между
боковыми сторонами равнобедренного треугольника равен: а) 90°;
б) 72°; в) 60°? Какой многоугольник в каждом случае получается?
Замечание. Такие многоугольники, как у тебя получились, назы-
ваются правильными', у них все стороны равны и все углы равны. Ты
уже встречался с правильным шестиугольником в пятом классе.
4.14*. Решая задачи 4.12, 4.13, ты построил правильные треуголь-
ник, четырёхугольник (квадрат), пятиугольник, шестиугольник. Ка-
кие ещё правильные многоугольники ты можешь построить?
L=ZI 4.2. Перпендикулярность.
Две прямые называются взаимно перпендикулярными, если при
их пересечении образуются прямые углы (рис. 35).
Две плоскости называются взаимно перпендикулярными, если
при их пересечении образуются прямые двугранные углы (рис. 36).
4.15. Начерти прямую. Отметь точку, не лежащую на этой прямой,
и проведи из этой точки к ней перпендикуляр.
4.16. Начерти негоризонтальную прямую I и выбери три точки А,
В, С, не лежащие на этой прямой. Построй перпендикуляры из этих
точек на прямую I. Что ты заметил?
4.17. Начерти три прямые а, Ь, с, проходящие через одну точку. Обо-
значь эту точку буквой М. Построй проходящие через точку М пря-
мые, перпендикулярные соответственно прямым а, Ь, с.
4.18. Определи закономерность, которой связаны рисунки (рис. 37),
и выпиши номера в порядке, соответствующем этой закономерности.
4.19. Нарисуй прямоугольный параллелепипед ABCDA^B^C^^ Вы-
дели разными цветными карандашами три пары взаимно перпендику-
лярных прямых, на которых лежат его рёбра.
4.20. Определи, на каком из рисунков (рис. 38) отрезок АВ — пер-
пендикуляр к прямой а.
4.21. Объясни, почему каждое ребро прямоугольного параллелепипе-
да перпендикулярно плоскости той грани, которую оно пересекает.
§ 4. Углы
15
§ 5
Алгоритмы
Как и раньше, мы будем большое внимание уделять применению
имеющихся знаний. В этом нам поможет знание об алгоритмах.
Ты, возможно, слышал это слово. Что оно означает? Откроем
Энциклопедический словарь юного математика («Педагогика», 1989)
и прочитаем: «Алгоритм — точное предписание, определяющее про-
цесс перехода от исходных данных к искомому результату». Конеч-
но, с алгоритмами ты не раз встречался и на уроках математики, и во
многих других ситуациях. Например, ещё во 2 классе, когда ты учил-
ся складывать двузначные числа, ты читал в учебнике:
Нужно сложить два числа 34 и 23.
1. Пишу десятки под десятками, а единицы под единицами.
2. Складываю единицы: 4 + 3 = 7.
3. Пишу 7 под единицами.
4. Складываю десятки: 3 + 2 = 5.
5. Пишу 5 под десятками.
6. Читаю ответ: сумма равна 57.
Это алгоритм. Здесь сформулировано точное правило, по кото-
рому можно от исходных данных (двух слагаемых 34 и 23) перейти
к искомому результату (сумме 57). Ясно, что нет смысла называть
алгоритмом последовательность операций, ко-
а торые выполняются только для конкретного
—-----случая.
Важное свойство, которым должен обла-
дать алгоритм, — это массовость, т. е. возмож-
Рис. 39
ность применения к меняющимся исходным
данным. И хотя мы рассмотрели пример с кон-
кретными числами, приведённый алгоритм
может быть применён и к другим натураль-
ным числам.
В геометрии ты тоже не раз встречался
с алгоритмами. Например, ты знаешь алго-
ритм измерения данного отрезка с помощью
линейки, данного угла с помощью транспорти-
ра, построения биссектрисы угла и угла, рав-
ного данному (вспомни эти алгоритмы).
В качестве ещё одного примера рассмот-
рим способ деления отрезка пополам. Конеч-
но, это можно делать на глаз или с помощью
линейки с делениями. Но в том и другом слу-
чае построение не будет точным. Более точным
оно получится, если будет выполнено цирку-
лем и линейкой.
Опишем алгоритм деления отрезка попо-
лам этими инструментами.
Пусть требуется разделить пополам отре-
зок АВ (рис. 39, а).
1. Построим какую-нибудь окружность с
центром в точке А, радиус которой больше
половины данного отрезка (рис. 39, б).
2. Построим окружность с центром в точ-
ке В, равную первой, и обозначим точки С и D
пересечения окружностей (рис. 39, в).
16
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
a
n-угольник
n отрезков
точка
каркас
пирамиды
(-)P<(O)PG
=> (4)PS
г
INPUT POINT; POSITION{V(1)..V(n)}
LET P=POINT; PG=POSITION{V(1)..V(n)}
FROM V=1 TO n DO
CREATE SEGMENT{P,V(k)}
LET S(k)=SEGMENT{P,V(k)}
END
CREATE PIRAMIDSKELETON{PG,S(1)..S(n)}
LET PS(P,PG)=PIRAMIDSKELETON{PG,S(1).-S(n)}
OUTPUT PS(P,PG)
Рис. 40
3. Построим прямую CD и обозначим буквой М точку пересече-
ния прямых АВ и CD (рис. 39, г). Это и есть середина отрезка АВ.
(В 7 классе мы докажем, что это так.)
Записать алгоритм можно по-разному. Порядок действий можно
описать обычными словами — так, как мы это только что сделали,
а можно коротко изложить на специально придуманном языке.
Рассмотрим, например, алгоритм построения каркаса пирамиды,
с которым мы уже встречались.
Чтобы построить каркас пирамиды, возьмём многоугольник, точ-
ку, не лежащую в его плоскости, и соединим отрезками эту точку
со всеми вершинами многоугольника. Мы получим каркас пирамиды.
Этот алгоритм можно записать с помощью рисунков (рис. 40, а),
схемы (рис. 40, б), символов и буквенных обозначений (рис. 40, в),
программы для компьютера (рис. 40, г).
В дальнейшем ты будешь знакомиться с разными алгоритмами
и потренируешься в составлении новых алгоритмов.
§ 5. Алгоритмы
17
Отношения в геометрии
6.1. Отношение отрезков. Ты знаком с отношением двух чисел
и знаешь, что отношение чисел — это частное от деления этих чисел.
В геометрии тоже есть понятие отношения. Это отношение отрезков.
Под отношением отрезков обычно понимают отношение их длин.
6.1. Выпиши пары отрезков (рис. 41), отношение которых одинако-
вое. Определи на глаз это отношение и проверь своё мнение, измерив
отрезки.
6.2. Построй отрезок АВ, длина которого 4 см и отрезок CD так,
чтобы отношение отрезков АВ и CD было: а) 1 : 2; б) 2 : 1; в) 2 : 3.
6.3. Построй какой-нибудь отрезок MN. Построй отрезок PQ так, что-
бы отношение этих двух отрезков было 1:4. Сколько таких разных
отрезков ты можешь построить?
_ Проверь себя. Эта задача отличается от предыдущей тем, что
в задаче 6.2 у <азан порядок отрезков (АВ и CD), а в этой задаче
порядок отрезков не указан. Поэтому можно построить два различных
отрезка PQ, таких, что MN : PQ — 1 : 4 и MN : PQ = 4:1.
Ты знаешь, что геометрия изучает форму реальных предметов.
На рисунке 42 изображены разные предметы. Каждый из них имеет
какую-нибудь часть прямоугольной формы. Эти прямоугольники
имеют разную форму: на рисунке 43, а — длина прямоугольника рав-
на его ширине, это квадрат; на рисунке 43, б длина прямоугольни-
ка в три раза больше его ширины; на рисунке 43, в — в четыре раза
больше.
6.4. Сравнивая форму прямоугольников (рис. 44), разбей их на груп-
пы. Измерь стороны каждого из них и определи отношение его сто-
рон, исходящих из одной вершины.
Рис. 43
18
Глава 1
Повторение.
Знакомые и новые понятия
__Проверь себя. Можно в каждую группу
отнести прямоугольники, имеющие одина-
ковую форму. Отношение неравных сторон
прямоугольников первой группы равно 1 : 2,
второй группы — 1:3, третьей группы —
3:5, четвертой группы — 1:1.
6.5. Построй три прямоугольника: ABCD,
MNPQ и DFKL, у которых известны длины
сторон: АВ - 3 см, AD = 4 см; MN = 4,5 см,
MQ = 6 см; DF = 2 см, DL = 5 см. Что ты за-
метил?
__Проверь себя. Прямоугольники ABCD и
M.NPQ имеют одинаковую форму, и при этом
отношения их сторон равны между собой:
3:4 = 4,5 : 6 (проверь это!); прямоугольники
ABCD и DFKL имеют разную форму, и при
этом отношения их сторон 3 : 4 и 2 : 5 не рав-
ны между собой.
Мы пришли к важному выводу:
Отношение неравных сторон прямоугольни-
ка определяет его форму.
6.6. Построй прямоугольные треугольники,
стороны прямых углов которых: а) 3 см и
4 см; б) 4,5 см и 6 см; в) 3 см и 5 см. Сравни
форму этих треугольников. Построй ещё пря-
моугольный треугольник с отношением сто-
рон, равным 3 : 5. Что ты заметил?
Пиоверь_себя. Первый и второй треуголь-
ники имеют одинаковое отношение сторон,
содержащих прямой угол, и одинаковую фор-
му, а первый и третий треугольники — разное
отношение этих сторон и разную форму.
6.7. Построй какой-нибудь параллелограмм
с острым углом 45°, неравные стороны которо-
го относятся как: а) 2 : 3; б) 3 : 5; в) 4 : 6.
Сравни форму этих параллелограммов. Что ты
заметил?
Решая задачи, можно заметить, что при
данном угле между двумя сторонами треуголь-
ника или параллелограмма отношение этих
сторон определяет форму этих фигур (рис. 45).
Рис. 44
Рис. 45
19,0 мм
§6. Отношения в геометрии
19
6.2. Подобные фигуры. Про фигуры, имеющие одинаковую фор-
му, математики говорят, что они подобны.
6.8. Построй два прямоугольника: ABCD со сторонами 3 см и 4 см
и MNPQ со сторонами 6 см и 8 см.
Ты видишь, что прямоугольники имеют одинаковую форму, отно-
шение сторон первого прямоугольника (3 : 4) равно отношению сто-
рон второго прямоугольника (6 : 8). Кроме того, видно, что стороны
второго прямоугольника получаются из сторон первого умножением
на число 2. Понятно, что если мы построим прямоугольники со
сторонами 12 см и 16 см, 1,5 см и 2 см и т. д. (т. е. станем умно-
жать стороны прямоугольника ABCD на одно и то же число), то
будем получать прямоугольники той же формы, что и прямоуголь-
ник ABCD.
Два прямоугольника называются подобными, если стороны одно-
го из них получаются из соответствующих сторон второго умножени-
ем на одно и то же число.
Это число называется коэффициентом подобия.
Так как отношения неравных сторон подобных прямоугольников
одинаковые (в нашем случае АВ : AD = MN : MQ = 3 : 4), то можно
сказать и по-другому:
Два прямоугольника подобны, если их стороны пропорциональны.
Для прямоугольников ABDC и MNPQ, изображённых на рисун-
ке 46, можно сказать так: прямоугольник MNPQ подобен прямо-
угольнику ABDC с коэффициентом подобия, равным 2, а прямоуголь-
ник ABDC подобен прямоугольнику MNPQ
- 1
с коэффициентом подобия, равным —.
Ci
6.9. Построй какой-нибудь прямоугольник
и другой прямоугольник, подобный первому
с коэффициентом подобия: а) 3; б) 2,5; в) —;
О
Г) 1|; д) 2|.
6.10. В прямоугольнике ABCD длины сто-
рон равны 12 см и 10 см. Известно, что пря-
моугольник PMKL подобен прямоугольни-
ку ABCD с коэффициентом 1-, а прямоуголь-
ник QRST подобен прямоугольнику ABCD
2
с коэффициентом -. а) Расположи эти прямо-
О
угольники в порядке возрастания длин их сто-
рон. Ответ объясни, б) Построй прямоуголь-
ник QRST.
Рис. 46
6.11. Построй треугольник АВС со сторонами
АВ - 1,5 см, АС - 2 см. Как ты думаешь, если
теперь мы построим треугольник MNP, сторо-
ны которого MN и МР в два раза больше
отрезков АВ и АС, обязательно ли получим
треугольник той же формы?
20
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
Проверь себя. Конечно, нет. Меняя угол М,
мы можем менять форму треугольника, сохра-
няя при этом отношение сторон MN и МР
(рис. 47, а, б). При этом сторона NP будет
менять свою длину, и только в одном поло-
жении она будет в два раза больше сторо-
ны ВС (рис. 47, в). Именно в этом случае тре-
угольник MNP станет той же формы, что и
треугольник АВС. Поэтому можно сказать,
что
Два треугольника называют подобными,
если все стороны одного из них получаются
из соответствующих сторон другого умно-
жением на одно и то же число.
Это число тоже называется коэффициентом
подобия.
6.12. Стороны треугольника АВС равны 3 см,
5 см и 4,5 см. Определи периметр треуголь-
ника DEF, подобного треугольнику АВС с ко-
эффициентом подобия, равным: а) 2; б) 0,5;
в) 1,3. Попробуй решить задачу двумя спосо-
бами.
6.13. Построй треугольник АВС. Построй тре-
угольник МРК, подобный треугольнику АВС
с коэффициентом подобия 2. Затем построй
треугольник НТЕ, подобный треугольни-
ку МРК с коэффициентом подобия —. Подоб-
ны ли треугольники АВС и НТЕ? Если да,
то каков коэффициент подобия этих треуголь-
ников?
Рис. 47
Подобными могут быть не только параллелограммы или треуголь-
ники, но и фигуры произвольной формы.
Две фигуры называются подобными, если все отрезки одной
из них получаются умножением соответствующих отрезков другой
на одно и то же число. Это число называется коэффициентом по-
добия фигур.
Примерами подобных фигур могут быть фотографии, сделанные
с одного негатива и имеющие разные размеры, модели машинок,
кораблей, самолётов — копии настоящих машин, в которых все раз-
меры корпуса и других частей уменьшены в одно и то же число
раз (рис. 48).
Подобные фигуры встречаются в природе, их используют в архи-
тектуре, технике, декоративно-прикладном искусстве (рис. 49). При-
веди свои примеры подобных фигур, встечающихся в жизни.
Интересно, что равные фигуры тоже являются подобными: в них
все соответствующие отрезки равны, а значит, коэффициент подобия
равных фигур равен 1. С такой ситуацией ты встретился, решая зада-
чу 6.13.
§6. Отношения в геометрии
21
Рис. 50
22
Глава 1
Повторение Знакомые и новые понятия
Важное замечание. Раньше мы, говоря о форме предметов, срав-
нивали эту форму на уровне своих ощущений, представлений. Теперь
мы можем сказать более грамотно: два предмета имеют одинаковую
форму, если геометрические фигуры, их изображающие, подобны.
6.14. Распредели фигуры (рис. 50) по группам так, чтобы в группе
оказались подобные фигуры.
6.3. Масштаб. На уроках географии вы сталкиваетесь с географи-
ческими картами одной и той же местности, выполненными в разных
масштабах.
Слово масштаб пришло к нам из немецкого языка: Mafl — мерка и Stab — па-
лочка. Дословный перевод: масштаб — мерная палочка.
Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояния между
точками на карте меньше, чем реальные расстояния между объекта-
ми, которые эти точки изображают.
Так, на рисунке 51 масштаб карты 1 : 1 000 000. Это значит, что,
например, расстояние в 10 км на карте изображается отрезком 1 см
(объясни почему). На рисунке 52 масштаб карты 1 : 100 000, т. е. на
этой карте отрезок в 1 см изображает 1 км. Значит, все расстояния
между точками на первой карте в 10 раз меньше соответствующих
расстояний на второй карте. Коэффициент подобия фигур, изображён-
ных на этих картах, равен 0,1.
6.15. Верно ли, что любые два квадрата подобны?
6.16. Объясни, почему все круги подобны.
6.17. Верно ли, что все ромбы подобны?
6.18. Верно ли, что любые два равносторонних треугольника по-
добны?
Рис. 52
Рис. 51
§6. Отношения в геометрии
23
Подсказка. Посмотри на диагонали ромбов.
Рис. 53
6.19. По картам определи расстояние между
отмеченными точками. Определи расстояние
между пунктами, изображёнными этими точ-
ками.
6.20. Объясни, почему на всех географиче-
ских картах изображения одной и той же
местности подобны.
6.4*. Некоторые замечательные отноше-
ния В геометрии. Обратил ли ты внимание
на то, что стандартные листы (большой лист
ватмана, бумага для черчения, писчая бумага,
некоторые блокноты, страницы книг) имеют
одну и ту же форму? Так кажется на первый
взгляд.
Исследуем этот вопрос с геометрической
точки зрения.
Возможно, ты знаешь, что размеры такой
бумаги (и в том числе ватмана) обозначаются
Al, А2, ... . Встречаются листы размера АО.
Лист АО имеет размеры 841 х 1189,
А1 — 594 х 841,
А2 — 420 х 594,
АЗ — 297 х 420 и т. д.
(Проверь это! Все размеры принято выражать
в миллиметрах.)
Обрати внимание на то, что каждый сле-
дующий лист есть половина предыдущего:
чтобы получить из первого листа второй, до-
статочно первый сложить, разделив пополам
его большую сторону (рис. 53).
Действительно,
594 ~ 1189 : 2, 420 ~ 841 : 2 и т. д.
Конечно, такое обстоятельство очень удоб-
но на производстве: при изготовлении бумаги
стандартных размеров почти не остаётся от-
ходов.
Самое замечательное состоит в том, что
при этом сохраняется приближённое значение
отношения их сторон: значения
1189 : 841, 841 : 594, 594 : 420...
для всех прямоугольников одинаковые. Каж-
дое из них приближённо равно 1,4.
Итак, все стандартные листы бумаги по-
добны между собой, а значит, действительно
имеют одинаковую форму.
Существуют и другие размеры бумаги:
ВО, Bl, В2, ...; СО, Cl, С2, ... . Они построены
по тому же принципу и имеют то же значение
отношения длины прямоугольника к его ши-
рине — 1,4... . При этом ВО имеет размеры
в миллиметрах 1000 х 1414, СО — 917 х 1297.
24
Глава 1
Повторение.
Знакомые и новые понятия
6.21. Возьми различные листы бумаги и для
каждого проверь, получается ли при склады-
вании пополам новый лист той же формы.
6.22. Вычисли, какие размеры имеет лист:
а) А4; б)* ВЗ; в)* С2.
6.23. Вычисли коэффициент подобия листов: I
а) А1 и АЗ; б) А1 и А4; в) А2 и А6.
6.24. Подобны ли листы бумаги А4 и В4,
В4 и С4, А4 и С4? В случае положительно-
го ответа вычисли коэффициенты подобия.
6.25. Определи, есть ли среди твоих учебни-
ков и тетрадей такие, в которых страница (об-
ложка) имеют ту же форму, что и стандартные
листы писчей бумаги.
6.5*. Гармоническая пропорция. Форма
предмета может интересовать нас с практи-
ческой точки зрения (удобство, вместимость
и пр.), а также с точки зрения эстетической. По тому, как расположе-
ны части предмета по отношению друг к другу, мы судим о красоте,
гармоничности этого предмета. Что же может обеспечить эту красоту?
6.26. Представь себе, что на белом альбомном листе, расположен-
ном вертикально, тебе для поздравления друга надо написать
«ПОЗДРАВЛЯЮ!». Расположи это слово на листе так, чтобы это
было, на твой взгляд, красиво.
Сравни своё решение с обложкой учебника по геометрии (рис. 54).
Ты видишь, что середины букв слова СТЕРЕОМЕТРИЯ находятся на
одной прямой (на рисунке она обозначена буквой Z). Положение этой
прямой выбрано не случайно. Оказывается, фигура или форма како-
го-нибудь предмета (надписи) производит лучшее для глаза впечатле-
ние тогда, когда его вертикальная ось — в нашем случае ось АС об-
ложки — делит все её горизонтальные отрезки пополам, а сама эта
ось делится (в нашем случае прямой I) в отношении, которое называ-
ется золотым сечением (или золотым отношением).
Золотое сечение — это такое деление отрезка на неравные части,
при котором меньший отрезок так относится к большему, как боль-
ший ко всему отрезку.
Оно приближённо равно 0,62:
АВ : ВС = ВС : АС ~ 0,62.
Золотое сечение также называют гармонической пропорцией.
Пропорция — потому, что здесь участвуют два равных отношения.
А гармоническая — создающая гармонию, приятные для глаза впе-
чатления.
Гармония (по-гречески harmonia) образовано от слова harmozo — приводить
в порядок. В русском языке слово «гармония» означает созвучие, согласие,
соразмерность, равновесное соединение частей.
Принято считать, что понятие о золотом делении ввёл в научный
обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик, который
§6. Отношения в геометрии
25
Рис. 55
В
В
В
Рис. 56
a : b ~ 0,62
m : n ~ 0,62
жил в VI в. до н. э. Есть предположение, что
Пифагор своё знание золотого деления позаим-
ствовал у египтян и вавилонян. И действи-
тельно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов,
барельефов зданий, предметов быта и укра-
шений из гробницы Тутанхамона свидетельст-
вуют о том, что мастера Древнего Египта ши-
роко пользовались золотым сечением при их
создании.
Древние греки считали принцип золото-
го сечения основополагающим в искусстве
(скульптуре, архитектуре, декоративном ис-
кусстве). На примере скульптуры греческого
бога Аполлона (рис. 55) мы можем наблюдать
воплощение идеальных представлений греков
о человеческой фигуре: на рисунке показаны
некоторые золотые отношения в человече-
ской фигуре, применённые скульптором. (Эта
скульптура была найдена в XV в. недалеко
от Рима. Она является мраморной копией
с бронзового оригинала, выполненного в IV в.
до н. э.)
6.6*. Как построить отрезки, находящие-
ся в ЗОЛОТОМ отношении? Любой отрезок
можно разделить в золотом отношении цирку-
лем и линейкой. Это делается так.
Построим произвольный отрезок АВ, для
которого требуется произвести золотое сечение
(рис. 56, а).
1. Из точки В проведём перпендикуляр
к прямой АВ. (Вспомнить, как это делается,
ты можешь, глядя на рисунок 246 учебника
для 5 класса.)
2. На построенном перпендикуляре отло-
жим отрезок ВС, равный половине АВ, и со-
единим отрезком полученную точку С с точ-
кой А (рис. 56, б).
3. Проведём дугу окружности с центром
в точке С радиуса ВС до пересечения с АС
в точке L (рис. 56, в).
4. На луче АВ отложим отрезок АР, рав-
ный AL (рис. 56, г).
Точ„а Р делит отрезок АВ в золотом отно-
шении (золотом сечении).
В нашем случае
РВ : АР = АР : АВ ( 0,62).
Для деления отрезка в каком-нибудь отно-
шении на практике можно использовать так
называемый делительный циркуль. Это две
скреплённые рейки с заострёнными концами.
То место, где скреплены рейки, определяет
отношение тех отрезков, которые можно по-
26
Глава 1
Повторение.
Знакомые и новые понятия
a
a
b
Рис. 57
строить с помощью этого циркуля. Архео-
логи обнаружили делительные циркули,
которые позволяли мастерам строить изоб-
ражения, сохраняя нужные пропорции,
в том числе и золотое сечение.
На рисунке 57 изображены циркули,
настроенные на золотое сечение. Глядя на
этот рисунок, расскажи, как использовать
каждый из этих циркулей.
6.27. Построй какой-нибудь отрезок MN и
раздели его в золотом сечении точкой Р.
Сможешь ли ты это сделать для отрезка,
расположенного не горизонтально?
6.28. Построй прямоугольник, стороны
которого равны соответственно отрезкам
МР и NP (см. предыдущую задачу). Ты
построил так называемый золотой прямо-
угольник. Объясни, почему все золотые
прямоугольники подобны.
6.29. Вырежи из картона золотой прямоугольник и построй внутри
него квадрат, одна сторона которого совпадает с меньшей стороной
прямоугольника. Отрежь этот квадрат. Повтори эти действия ещё раз.
Что ты заметил?
На рисунке 58 показано, как из данного «золотого» прямоуголь-
ника получаются другие. Понятно, что такие построения можно мыс-
ленно продолжать неограниченно. На рисунке 58, г можно увидеть,
что вершины квадратов, отмеченные на рисунке, лежат на одной ли-
нии, которая называется спиралью Архимеда. Эта спираль при мыс-
ленном продолжении построений будет подходить к точке, в которой
пересекаются диагонали первого и второго прямоугольников.
6.30. Выполни построения, изображённые на рисунке 58. Нарисуй
приближённо спираль Архимеда и построй её «центр».
На рисунке 59 изображена алебастровая ваза, найденная археоло-
гами в гробнице египетского фараона Тутанхамона (XIV в. до н. э.),
и показано, как мастер использовал золотое сечение и золотой прямо-
угольник в построении всей композиции.
§6. Отношения в геометрии
27
Рис. 59
28
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
На рисунке 60 изображено главное афин-
ское святилище — храм Парфенон, построен-
ный в 454—438 гг. до н. э. древнегреческими
зодчими Иктином и Калликратом. В фасаде и
некоторых деталях храма зодчие использовали
золотой прямоугольник.
Золотое сечение встречаем мы и в так на-
зываемых пентаграммах.
Пентаграмма — слово греческого происхождения:
pente — пять, gramme — линия.
В Древнем мире и в Средние века пента-
грамма считалась таинственным символом и
волшебным знаком.
Построить пентаграмму ты можешь сам,
решая задачу 6.31.
6.31. Построй правильный пятиугольник
ABCDE (рис. 61, а (см. задачу 4.13, б)) и про-
веди в нём диагонали. У тебя получилась пяти-
конечная звезда — пентаграмма (рис. 61, б).
Определи с помощью измерений и вычислений
на калькуляторе отношение, в котором одна
диагональ, например АС, делится другой диа-
гональю, например BD (рис. 61, в).
роверь себя. Это отношение приближён-
но равно 0,62.
Правильный пятиугольник обладает ещё
одним замечательным свойством: отношение
стороны к диагонали, например ВС к BD,
тоже приближённо равно 0,62.
Рис. 61
§6. Отношения в геометрии
29
°ис. 62
6.32. В центре построенной пентаграммы снова получился правиль-
ный пятиугольник. Построй для него новую пентаграмму. Убедись,
что и в ней присутствует золотое сечение. Ясно, что такой процесс
можно мысленно продолжать бесконечно.
Свойства правильного пятиугольника, как и золотого прямо-
угольника, издавна используются художниками, скульпторами и
архитекторами в своих работах. На рисунке 62, а показаны более
сложные соотношения между элементами уже знакомой нам вазы из
гробницы Тутанхамона. Обрати внимание на то, что эти соотношения
соответствуют пропорциям человеческого тела (рис. 62, б).
Гармоническая пропорция — это один из самых наглядных при-
меров того, что понимание природных закономерностей позволяет лю-
дям создавать замечательные произведения искусства, а также изго-
тавливать предметы обихода, механизмы, удовлетворяя не только
наши жизненные потребности, но и эстетические вкусы.
Подробнее о золотом сечении ты можешь прочитать, например,
в книге А. В. Волошинова «Математика и искусство».
6.33. Найди какие-нибудь предметы, в которых использовано золотое
сечение, и нарисуй их.
30
Глава 1
Повторение. Знакомые и новые понятия
Глава 2____________________
Взаимное расположение фигур
§ 7
Расстояния
7.1. Расстояние между двумя точками. С понятием расстояния
мы встречаемся ежедневно. В нашей жизни оно является едва ли не
самым важным. Нам часто приходится определять различные рассто-
яния: от дома до школы, от одного города до другого и другие. Имея
географическую карту, мы можем определить расстояние между горо-
дами, например Парижем и Санкт-Петербургом (рис. 63, а). Эта зада-
ча сводится к нахождению расстояний между точками, которыми
изображены города. Для её решения проведём отрезок, соединяющий
эти точки, измерим его длину и, сопоставив его с масштабом карты,
определим расстояние в километрах. Но почему мы, соединяя эти
точки, провели отрезок, а не какую-то другую линию? Потому что
интуитивно из всех линий, соединяющих данные точки, мы выбрали
самую короткую (кратчайшую) — отрезок (рис. 63, б).
Так же и в математике:
Расстоянием между двумя точками на плоскости называется дли-
на отрезка, соединяющего эти точки.
Рис. 63
§7. Расстояния
31
Рис. 64
Рис. 66
Глава 2
7.1 . Отметь три точки и найди расстояния
между каждыми двумя из них. Какие две
из этих точек ближе всего расположены друг
к другу?
7.2 *. Отметь в тетради две точки А и В. Где
расположена такая точка С, для которой сум-
ма расстояний от А до С и от В до С наимень-
шая?
Подсказка. Вспомни про неравенство тре-
угольника.
7.3 *. Какая картинка лишняя (рис. 64)?
7.2. Расстояние от точки до фигуры.
Представь себе, что ты находишься на озере
в лодке (рис. 65, а). Как ты думаешь, каково
расстояние от лодки до берега? Береговая ли-
ния имеет некоторую протяжённость, расстоя-
ние между какой-нибудь её точкой и лодкой —
это длина соответствующего отрезка (рис. 65, б).
Длину какого из этих отрезков естественно на-
звать расстоянием от лодки до берега? Конеч-
но, длину самого короткого из отрезков, соеди-
няющих лодку и точки береговой линии, т. е.
длину отрезка, который соединяет лодку с са-
мой близкой к ней точкой линии берега.
В математике расстояние от точки до фи-
гуры определяют так же. Например, чтобы из-
мерить расстояние от точки А до фигуры Ф,
изображённой на рисунке 66, а, находят са-
мый короткий (кратчайший) из всех отрезков,
соединяющих точку А со всевозможными точ-
ками фигуры Ф. На рисунке 66, б — это отре-
зок АВ', точка В среди точек фигуры Ф явля-
ется самой близкой (ближайшей) к точке А.
За расстояние от точки А до фигуры Ф
принимают длину кратчайшего из отрезков,
соединяющих эту точку со всевозможными
точками фигуры Ф.
7.4. Скопируй рисунки (рис. 67) и на каждом
из них определи расстояние от точки А до
фигуры Ф. Отметь точку фигуры, ближайшую
к точке А.
Взаимное
расположение фигур
Рис. 67
б
7.5. Перерисуй фигуру, изображённую на ри-
сунке 68, и отметь точку М так, чтобы рассто-
яние от точки М до фигуры было: а) равно
3 см; б) равно 2 см; в) больше 3 см.
7.6. На рисунке 69 изображена карта некото-
рой местности. Известно, что отрезок длиной
1 см изображает 5 км. Точками А и В обозна-
чены туристические группы, которые заранее
договорились встретиться на мосту. Найди по
карте: а) расстояние между этими группами;
б) расстояние от каждой группы до дороги;
в) расстояние от группы В до болота. Покажи
по карте путь, который должна проделать
каждая группа до моста, чтобы он был самым
коротким, и найди его длину.
7.7* . Найди расстояние от точки О до отрезка
АВ (рис. 70).
7.8* . Найди расстояние от точки А до угла
MNP и до его сторон (рис. 71).
7.3. Расстояние от точки до прямой.
Представь себе, что ты находишься в лесу.
У тебя есть план местности (рис. 72). Твоё по-
ложение на карте обозначено точкой А. Нуж-
но определить по карте, сколько километров
надо пройти по лесу, чтобы как можно скорее
выйти на дорогу.
А'
Рис. 69
§7. Расстояния
33
Рис. 73
В задаче требуется найти расстояние от
точки на местности до дороги. На плане дорога
изображена прямой, поэтому решение этой за-
дачи сводится к нахождению расстояния от
точки до прямой.
На рисунке 73, а точка А изображает дан-
ную точку местности, а прямая d — дорогу.
Нужно найти расстояние от точки А до пря-
мой d. Будем искать самый короткий из отрез-
ков, соединяющих точку А с точками данной
прямой. На рисунке 73, б на прямой d отме-
чено несколько точек — В, С, D, Е и G, —
которые соединены с точкой А отрезками.
Сравни длины этих отрезков. Какой из них са-
мый короткий? Среди отрезков AD, АС, АЕ,
АВ и AG отрезок АВ — самый короткий.
А что это за отрезок? — Ты, наверное, за-
метил, что отрезок АВ — это перпендикуляр
к прямой d.
Итак, нам кажется, что кратчайшим из
отрезков, соединяющих точки прямой d с точ-
кой А, является перпендикуляр АВ, опущен-
ный из точки А к прямой d. Его длина и явля-
ется расстоянием от точки А до прямой d.
Это верно, и ты даже сможешь это дока-
зать, зная, что в треугольнике против самого
большого угла лежит самая большая сторона.
Чтобы найти расстояние от данной точки
до прямой, надо провести перпендикуляр
из этой точки к прямой и найти его длину.
7.9. Измерь с помощью линейки расстояние
от обозначенной точки на местности до дороги
(см. рис. 72).
7.10. По рисунку 74 найди расстояние от то-
чек А, В, С и D до прямой а.
7.11. Начерти прямой угол АОВ. Отметь внут-
ри этого угла точку D. Нарисуй отрезки, дли-
ны которых равны расстояниям от точки D до
прямых, содержащих стороны угла АОВ.
7.12. Начерти остроугольный треугольник АВС
и найди расстояние от вершины В до прямой,
на которой лежит сторона АС.
7.13. Скопируй рисунки 75 и определи рассто-
яния: а) от центра окружности до прямой а;
б)* от точки М до сторон треугольника.
7.14. Нарисуй прямую а и точки А, В, С, D,
лежащие по одну сторону от этой прямой и уда-
лённые от неё на расстояние 1 см. Можно ли
через все эти точки провести: а) прямую; б) ка-
кую-нибудь кривую; в) окружность? В случае
положительного ответа сделай необходимые
построения.
34
Глг ва 2
Взаимное расположение фигур
7.15. На рисунке 76 изображено колесо, кото-
рое катится с горки. Какую линию описывает
при этом центр колеса?
7.16. Нарисуй различные случаи взаимного
расположения прямой и окружности, лежа-
щих в одной плоскости. Глядя на рисунки,
определи, как зависит количество общих то-
чек прямой и окружности от расстояния от
центра окружности до этой прямой.
Проверь себя. На рисунке 77 приведены
соответствующие картинки. Обрати внимание
на то, что на рисунке 77, б изображена пря-
мая, которая удалена от центра окружности на
расстояние, равное её радиусу, и имеет с ней
только одну общую точку. Про такую прямую
говорят, что она касается данной окружности
или что она является касательной к данной
окружности.
7.17* . Приведи пример окружности и прямой,
которые имеют только одну общую точку, но
не касаются. Каким может быть в таком слу-
чае расстояние от центра окружности до пря-
мой? В случае затруднений используй соответ-
ствующую модель.
Подсказка. Может быть, выйти в про-
странство?
7.4. Расстояние от точки до плоскости.
В каком случае может возникнуть необходи-
мость находить такое расстояние? — Напри-
мер, если требуется определить, на какой
высоте от пола нужно подвесить люстру так,
чтобы никто не задел её головой, или достанем
ли мы до яблока, висящего на ветке.
7.18. Определи, на каком расстоянии от пола
в твоей квартире находится: а) верхний край
раковины; б) ручка двери; в) замочная сква-
жина в двери.
7.19. Расскажи, как определить расстояние от
точки до плоскости.
Проверь себя. Расстояние от точки до
плоскости равно длине перпендикуляра, опу-
щенного из данной точки на эту плоскость.
7.20. Известно, что чем дальше предмет от
источника света, тем он меньше освещён.
Определи на глаз, какая из обозначенных то-
чек стола (рис. 78) больше всех освещена.
Объясни свой ответ.
7.21* . Докажи, что расстояние от точки до
плоскости равно длине перпендикуляра, опу-
щенного из этой точки на данную плоскость.
7.22* . Используя поверхность стола и не-
сколько одинаковых карандашей, сообрази,
какую фигуру заполняют все точки, одинако-
во удалённые от плоскости и лежащие по одну
сторону от неё.
Рис. 77
§7. Расстояния
35
7.5. Высоты геометрических фигур. На-
хождение расстояния от точки до плоскости
используется при определении высоты различ-
ных предметов, например для определения
высоты архитектурных сооружений. Обычное
здание (рис. 79, а) имеет вертикальные стены,
поэтому верёвка отвеса, опущенного из самой
высокой точки здания, пойдёт по стене. Гео-
метрически это означает, что перпендикуляр,
опущенный из этой точки на плоскость земли,
лежит в плоскости стены. Для определения
высоты такого здания можно узнать размеры
стены.
Однако, например, для измерения высо-
ты наклонной башни в итальянском городе
Пиза (рис 79, б) или египетской пирамиды
(рис. 79, в) мы не сможем пользоваться изме-
рением стен и должны будем применить другие
методы. В случае с Пизанской башней доста-
точно сверху опустить отвес и измерить длину
верёвки. Во втором случае нам пришлось бы
отвес держать на длинной палке, расположен-
ной горизонтально. (Да и где найти такую
палку? — В общем, эта задача очень трудная.)
Для геометрических фигур тоже можно
определить высоту. Чаще всего мы будем
встречаться с высотами цилиндров (призм,
параллелепипедов...) и конусов (в том числе
и пирамид).
Высотой цилиндра называют расстояние
(длину перпендикуляра) от любой точки
одного основания до плоскости другого
(рис. 80), а также сам этот перпендикуляр.
Высотой конуса называют расстояние
(длину перпендикуляра) от вершины это-
го конуса до плоскости его основания
(рис. 81), а также сам этот перпендикуляр.
Рис. 79
36
Глава 2
Взаимное
расположение фигур
7.23. Определи высоту книжного шкафа, на-
стольной лампы. Расскажи, как ты решаешь
задачу.
7.24. Возьми модели различных пространст-
венных фигур: цилиндра, конуса (и среди них
пирамиды) — и определи высоту каждой из
них. Расскажи, как ты решаешь задачу.
7.25. Возьми модель треугольной пирамиды,
у которой есть неравные грани. Считая основа-
нием различные грани пирамиды, определи
в каждом случае её высоту. Сравни результаты.
В геометрии определяют также высоты не-
которых плоских фигур, например высоту тре-
угольника.
Высотой треугольника называют расстояние
(длину перпендикуляра) от вершины этого
треугольника до прямой, на которой лежит
его сторона, противолежащая этой вершине
(рис. 82), а также сам этот перпендикуляр.
Каждый треугольник имеет три высоты
(рис. 83).
7.26. Построй остроугольный, прямоугольный
и тупоугольный треугольники. Для каждого
из них проведи все высоты.
§7. Расстояния
37
Проверь себя. Вернись к рисунку 83.
Мы уже сталкивались с высотой треуголь-
ника, когда определяли его площадь (п. 16.4
в учебнике 5 класса). Разбивая остроугольный
треугольник на два прямоугольных треуголь-
ника, мы проводили его высоту (см. рис. 83).
Такое же построение мы провели и для нахож-
дения площади тупоугольного треугольника.
Теперь мы можем сформулировать правило
вычисления площади треугольника.
Площадь треугольника равна половине
произведения стороны треугольника и его
высоты, проведённой к этой стороне.
С помощью формулы это можно записать так:
8АВС ~ 2 а^а'
Здесь ha обозначена высота треугольни-
ка, проведённая к стороне а (рис. 84, а). Мож-
но, конечно, проводить высоту к стороне Ь
(рис. 84, б) или к стороне с (рис. 84, в), и то-
гда формула для вычисления площади тре-
угольника примет вид:
Sabc = | bhb или SABC = | chc.
1.2. 1. Построй остроугольный треугольник и,
проведя необходимые построения и измерения,
вычисли его площадь тремя способами. Полу-
чились ли у тебя одинаковые результаты?
7.28. Скопируй рисунок 85. Сделай необходи-
мые построения и измерения и определи пло-
щади фигур, изображённых на этом рисунке.
7.29. Построй треугольники разных видов и
их высоты. Проведя необходимые измерения,
определи площади этих треугольников.
7.30* . Построй какой-нибудь пятиугольник и
определи его площадь, сделав необходимые
построения и вычисления.
7.31* . Придумай, как определить расстояние
между двумя фигурами. Приведи жизненные
примеры, когда приходится решать эту задачу.
Взаимное расположение
прямых и плоскостей
§ 8
8.1. Параллельность. Вернёмся к задаче
7.14. Решая эту задачу, мы построили точки
А, В, С, D, удалённые от данной прямой на
расстояние, равное 1 см (рис. 86, а). Теперь
представим себе, что некоторая точка начина-
ет двигаться по плоскости от точки А так, что
38
Глава 2
Взаимное расположение фигур
её расстояние от данной прямой остаётся одним и тем же, равным
1 см (рис. 86, б). В некоторый момент она попадёт в точку В, затем
в точки С, D, ... . По какой линии будет двигаться эта точка? Нари-
суй эту линию. На рисунке 86, в изображён след движения точки
в обе стороны. Это прямая.
Пусть теперь дана окружность с центром в точке О и радиусом
1 см и точка М (рис. 87, а), которая движется по плоскости так, что
расстояние от этой окружности до точки остаётся постоянным и рав-
ным 1 см (рис. 87, б). Какую линию будет описывать эта точка? Ко-
нечно, окружность с тем же центром О и радиусом 2 см (рис. 87, в).
В этих примерах мы рассматривали траекторию движения точки,
при котором её расстояние от данной линии (прямой или окружности)
не было равно нулю и всё время оставалось постоянным. В таких слу-
чаях говорят, что точка двигалась параллельно данной линии или что
траектория движения точки параллельна этой линии.
Слово параллельный происходит от греческого
parallelos — идущий рядом.
Можно сказать, что на рисунке 86, в изоб-
ражены параллельные прямые, а на рисунке
87, в — параллельные окружности.
Параллельными могут быть не только
прямые или окружности, но и некоторые дру-
гие фигуры. Прямая может быть параллельна
плоскости (рис. 88, а). В этом случае все точ-
ки прямой одинаково удалены от плоскости.
Могут быть параллельными и две плоскости
(рис. 88, б).
Со словом параллельно мы иногда сталки-
ваемся и в жизни: машина может ехать парал-
лельно краю дороги, т. е. сохраняя расстояние
от края дороги; самолёт может лететь парал-
лельно земле, т. е. на одной и той же высо-
те (на одном и том же расстоянии от земли).
§8. Взаимное расположение прямых и плоскостей
39
Рис. 89
На уроках географии вы познакомились с па-
раллелями (рис. 89): все точки одной паралле-
ли удалены от экватора на одно и то же рассто-
яние.
8.1. Приведи примеры моделей параллельных:
а) плоскостей; б) прямой и плоскости.
8.2. Могут ли параллельные плоскости (пря-
мая и параллельная ей плоскость) пересекать-
ся? Почему?
8.3. Какая картинка на рисунке 90 лишняя?
8.4. Нарисуй куб ABCDAfB^yDy. Перечисли
пары параллельных плоскостей, которые изоб-
ражены на твоём рисунке. Какие из нарисованных прямых парал-
лельны плоскости: a) ABCD; б) ААуВ^В; в) AAjC^?
8 5*. Нарисуй куб ABCDA^B^C^D^. Найди среди нарисованных плос-
костей те, которым параллельна прямая: а) АВ; б) ААр, в) АС.
8.6. Нарисуй куб ABCDAyBjC^D^. Как расположены по отношению
к плоскости ABCD: а) плоскость AABACADp, б) плоскость AAjCjC;
в) прямая АВ; г) прямая ААр, д) прямая DAp, е) прямая AjCj?
8.7* . Представь себе две параллельные плоскости. Объясни, почему
любая прямая, которая лежит в первой плоскости, параллельна вто-
рой плоскости.
Совет. В случае затруднений сделай модели соответствующих фи-
гур-
8.2. Параллельные прямые. Среди примеров моделей параллель-
ных прямых наиболее известными являются рельсы железной дороги,
а также её шпалы. Мы уже много работали с геометрическими фигу-
рами, в которые входят отрезки параллельных прямых. И в первую
очередь это плоские фигуры — параллелограммы (рис. 91).
8.8. Возьми модель куба и нарисуй его. Назови куб ABCDA^fi^D^
(рис. 92). Используя спицы в качестве модели прямой, найди несколь-
ко пар параллельных прямых, на которых лежат рёбра куба. Сделай
соответствующий рисунок и выпиши какие-нибудь пары параллель-
ных рёбер куба.
Рис. 90
Рис. 91
40
Глава 2
Взаимное расположение фигур
Проверь себя. Параллельными являются, например, прямые АВ
и А^В'ВВ, и СС\, ААХ и СС,, AD и В^.
8.9. Верно ли, что прямые АВ и ССг (см. рис. 92) параллельны?
Для упрощения записи параллельных прямых в математике
используют специальный значок: || . Например, если хотят написать:
«прямая АВ параллельна прямой СО», то
пишут: АВ || CD. А если хотят написать:
«прямая АВ не параллельна прямой CD», то
пишут: АВ If CD. Запиши коротко ответы на
вопросы задач 8.8 и 8.9.
8.10. Найди на каркасе куба такие два ребра,
которые параллельны и не лежат в плоскости
одной грани. Проверь с помощью картонной
модели плоскости, что через выбранные тобой
рёбра куба можно провести плоскость.
Проверь себя. Такими являются, напри-
мер, ребра AAj и СС1 (см. рис. 92).
В ходе решения задачи 8.10 ты познако-
мился с одним очень важным свойством па-
раллельных прямых: через две параллельные
прямые всегда можно провести плоскость.
Вместе с тем, как и всякие параллельные фи-
гуры, параллельные прямые не пересекаются.
Эти два свойства являются настолько важ-
ными, что их часто кладут в основу определе-
ния параллельных прямых.
Две прямые называют параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пе-
ресекаются.
Работая с моделью куба ABCDAlBlCtDl,
ты, наверное, обратил внимание на два момен-
та. С одной стороны, каждая из прямых AAt,
ВВг, СС1 и DDj перпендикулярна плоскости од-
ной грани куба ABCD. С другой стороны — эти
прямые попарно параллельны. Попарно парал-
лельны — это значит, что каждые две такие
прямые параллельны: ААг || ВВХ, ААУ || СС{,
ААг || DDX, BBi || CCi, DDr || ВВ{ и т. д. Наши
наблюдения можно сформулировать короче:
Если две прямые перпендикулярны одной
плоскости, то они параллельны.
8.11. Приведи примеры предметов, которые
можно считать реальными отрезками, распо-
ложенными перпендикулярно какой-нибудь
плоскости, а потому параллельными между со-
бой.
Подсказка. Смотри, например, рисунок 93. Рис. 93
§8. Взаимное расположение прямых и плоскостей
41
Рис. 95
Рис. 96
8.12* . Верно ли, что: а) две плоскости, пер-
пендикулярные одной прямой, параллельны;
б) две плоскости, перпендикулярные третьей
плоскости, параллельны?
Подсказка. Можно опять воспользоваться
моделью куба.
8.13* . Придумай, как можно построить две
параллельные прямые.
8.3. Как построить две параллельные
прямые? Обсудим различные варианты ре-
шения этой задачи 8.13.
Самое простое решение — обвести каран-
дашом две противоположные стороны линейки
(рис. 94). Этот способ позволяет получить па-
раллельные прямые, удалённые друг от друга
на определённое расстояние.
Рассмотрим другой способ построения па-
раллельных прямых. Построим прямую а с по-
мощью линейки (рис. 95, а), а затем будем
линейку так передвигать по бумаге, чтобы её
разные концы двигались одинаково. Остано-
вив линейку, мы проведём по ней вторую пря-
мую (рис. 95, б). Однако сохранять направле-
ние линейки при перемещении трудно.
Для более точного построения параллель-
ных прямых поступают так, как показано
на рисунке 96. Берут чертёжный треуголь-
ник, проводят по одной из его сторон пря-
мую, прикладывают к другой стороне линейку
(рис. 96, а). Эта линейка служит опорой тре-
угольнику при перемещении и не даёт воз-
можности измениться направлению стороны,
по которой чертятся параллельные прямые
(рис. 96, б).
8.14. Начерти прямую и построй несколько
прямых, параллельных ей.
8.15. Начерти прямую а и отметь точку А,
не лежащую на этой прямой. Построй пря-
мую Ъ, проходящую через точку А и парал-
лельную прямой а.
8.16. Начерти прямую а и построй с помощью
чертёжного треугольника две прямые b и с,
перпендикулярные к ней. Обрати внимание на
взаимное расположение прямых Ъ и с.
__Проверь себя. На рисунке 97 показано ре-
шение задачи. Ты, конечно, заметил, что пря-
мые b и с параллельные. Мы обнаружили важ-
ный факт: если три прямые лежат в одной
плоскости и при этом две из них перпендику-
лярны третьей, то эти две прямые параллель-
ны. Этот факт полезно запомнить. Мы его
будем использовать при построении парал-
лельных прямых.
42
Глава 2
Взаимное расположение фигур
8.17. Реши задачу 8.15 путём проведения вза-
имно перпендикулярных прямых.
8.18. Начерти какие-нибудь два отрезка с об-
щим концом, не лежащие на одной прямой
(например, АВ и АС). Проведи пять отрезков
с концами, лежащими на отрезке АВ (один
из них — через точку В), параллельных отрез-
ку АС и равных ему. Где лежат вторые концы
этих отрезков?
8.19. Начерти какой-нибудь треугольник. По-
строй прямые, каждая из которых проходит
через вершину треугольника параллельно про-
тиволежащей его стороне.
8.20. Нарисуй какой-нибудь шестиугольник,
стороны которого попарно параллельны.
8.21. Построй две параллельные прямые а и Ъ.
а) Построй несколько точек, одинаково уда-
лённых от этих прямых, б) Какую фигуру об-
разуют все такие точки плоскости?
8.22. Построй какую-нибудь прямую а и от-
меть точку А, не лежащую на этой прямой.
Разными способами построй прямую, проходя-
щую через точку А параллельно данной пря-
мой. Что ты заметил?
Проверь себя. Если ты выполнял построе-
ния аккуратно, все построенные тобой прямые
совпали. Это не случайно: через каждую
точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести только одну прямую, параллельную
данной.
8.4. Ещё один случай взаимного распо-
ложения f ВуХ ПРЯМЫХ. Мы ВЫЯСНИЛИ, ЧТО
прямые на плоскости или пересекаются, или
параллельны (рис. 98, а). В первом случае рас-
стояние от точек одной прямой до второй не
является постоянным, а во втором — постоян-
но (рис. 98, б).
Оказывается, в пространстве это не так.
В пространстве может быть ещё один случай
взаимного расположения двух прямых.
Представь себе, что по дороге едет машина,
а на обочине дороги стоит столб (рис. 99, а).
Понятно, что прямая а, изображающая траек-
торию движения машины, и прямая Ъ, моделью
а
Рис. 98 Рис. 99
Ь
§8. Взаимное расположение прямых и плоскостей
43
Рис. 100
которой является столб, не пересекаются
(рис. 99, б). Но расстояние между машиной
и столбом всё время изменяется: сначала ма-
шина приближается к столбу, а затем, начиная
с некоторого момента, от него удаляется. Зна-
чит, прямые а и b и не параллельны. Такие
прямые называются скрещивающимися.
Две прямые называются скрещивающи-
мися, если они не пересекаются и не парал-
лельны.
Примеры моделей скрещивающихся пря-
мых или отрезков привести нетрудно: авто-
мобильная и железная дороги, лыжи у спорт-
сменов во время прыжков на соревнованиях
по фристайлу (рис. 100) и многие другие. При-
веди сам примеры моделей скрещивающихся
прямых или отрезков.
Проще всего увидеть скрещивающиеся
прямые на модели куба.
8.23. Выбери на модели куба ABCDAlBlC1D1
(рис. 101) какое-нибудь ребро, например ААг.
Перечисли прямые, содержащие другие рёбра
куба и не пересекающие прямую ААг. Назови
те, которые параллельны прямой ААГ, и те,
которые скрещиваются с прямой ААг.
Проверь себя. Каждая из прямых ВС,
BjCj, CD и CjBj скрещивается с прямой ААГ.
§9
Фигуры, составленные
из параллельных отрезков
9.1. Четырёхугольники с параллельными
Сторонами. В четырёхугольнике может быть
одна пара параллельных сторон или две таких
пары. Четырёхугольник, содержащий только
две параллельные стороны (рис. 102), называ-
ется трапецией.
Трапецией называется четырёхугольник,
в котором две стороны параллельны, а две
другие не параллельны.
Слово трапеция однокоренное с греческим словом
trapeza — стол. В русском языке слово «трапеза»
употребляется (чаше всего в церковном лексиконе)
для обозначения процесса приёма пищи.
Если ты был в цирке, возможно, ты видел
гимнастов, которые выступают под куполом
цирка и выполняют свои упражнения на спор-
44
Глава 2
Взаимное расположение фигур
тивном снаряде, который так и называется —
трапеция.
Можно построить четырёхугольник, в ко-
тором имеются две пары параллельных отрез-
ков (рис. 103). Такой четырёхугольник назы-
вается параллелограммом.
Параллелограммом называется четырёх-
угольник, в котором противоположные сто-
роны попарно параллельны.
Слово параллелограмм греческого происхождения.
Первая часть его тебе знакома, а вторая gram-
ma — начертание, линия.
9.1. Построй какую-нибудь трапецию и ка-
кой-нибудь параллелограмм.
9.2. Отметь в тетради три точки А, В и С. По-
строй параллелограмм ABCD. Всегда ли это
можно сделать?
9.3. Отметь в тетради три точки А, В и С. По-
строй трапецию ABCD. Сколько таких трапе-
ций можно построить? Нарисуй разными цвет-
ными карандашами несколько таких трапеций.
9.4. Начерти треугольник, а) Проведи в нём
отрезок так, чтобы получились трапеция и
треугольник. Сколько таких отрезков можно
построить? б)* Построй два отрезка так, чтобы
Рис. 103
получились две трапеции, параллелограмм и
два треугольника.
9.5. Вырежи из картона такие треугольник
и трапецию, чтобы из них можно было сло-
жить параллелограмм.
9.6. Про фигуру известно, что она — часть
плоскости; её граница — замкнутая ломаная,
в её границе есть параллельные и есть равные
отрезки. Нарисуй такую фигуру. Сколько раз-
ных таких фигур ты можешь построить?
9.2. Разные виды параллелограммов.
Сделай каркасную модель параллелограмма.
Для этого вырежи из картона две пары равных
между собой полосок (рис. 104, а), которые
будут играть роль моделей отрезков (напри-
Рис. 104
Рис. 105
мер, по 6 см и 3 см), а затем скрепи их так, как показано на рисунках
104, б, в. Полоски картона, изображающие стороны параллелограм-
ма, могут вращаться вокруг места соединения. Если изменять угол
между соседними сторонами параллелограмма, то будут получаться
новые параллелограммы, так как противоположные стороны четырёх-
угольников остаются попарно параллельными (рис. 105). В какой-то
момент этот угол станет прямым, и тогда получится каркасная мо-
дель прямоугольника: в нём окажутся все углы прямыми. Можно ска-
зать, что
Прямоугольник — это параллелограмм, в котором есть прямой угол.
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 45
9.7. Сколько прямоугольников этим способом можно получить из од-
ного параллелограмма? А сколько параллелограммов можно так по-
лучить из одного прямоугольника? Покажи это на модели.
9.8. Изготовь каркасную модель квадрата.
Проверь себя. Для изготовления модели каркаса квадрата нужно
взять четыре равных между собой отрезка и расположить их так, что-
бы соседние отрезки оказались взаимно перпендикулярными. При
этом получится прямоугольник, в котором все стороны равны между
собой, — квадрат (рис. 106, а).
Квадрат — это прямоугольник, в котором все стороны равны между
собой.
Слово квадрат происходит от латинского quadratus — четырёхугольный.
Однокоренными словами являются:
кварта — интервал в музыке, содержащий четыре тона;
квартет — музыкальное произведение для четырёх голосов или инструмен-
тов, а также ансамбль из четырёх музыкантов;
квартал — часть города, ограниченная четырьмя улицами;
квартира — часть дома.
9.9. Попробуй сформулировать определение квадрата, используя сло-
во параллелограмм.
Проверь себя. Квадрат — это параллелограмм, в котором все
стороны равны между собой и есть прямой угол.
Меняя угол между соседними сторонами получившегося четырёх-
угольника, ты будешь каждый раз получать параллелограмм, у кото-
рого все стороны равны (рис. 106, б). Такой параллелограмм называ-
ется ромбом.
Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Интересно, что слово ромб происходит от древнегреческого слова rhombos,
что в переводе означает бубен.
Оказывается, в Древней Греции бубен (музыкальный инструмент)
имел непривычную для нас форму параллелограмма с равными сторо-
нами. Это слово сохранилось в названии карточной масти — бубны.
Их обозначают значками в виде ромба.
9.10. Является ли квадрат ромбом? Почему?
9.11. Отметь в тетради две точки А и В. а) Построй какой-нибудь
ромб так, чтобы отрезок АВ был его стороной. Сколько таких ромбов
можно построить? б)* Как нужно изменить условие задачи, чтобы
46
Глава 2
Взаимное расположение фигур
по одну сторону от прямой АВ можно было по-
строить только один ромб со стороной АВ1
9.12. Перерисуй рисунок 107. Обведи разны-
ми цветами параллелограммы и ромбы. Полу-
чились ли у тебя такие четырёхугольники,
которые обведены двумя цветами? Верно ли,
что: а) каждый ромб является параллелограм-
мом; б) каждый параллелограмм является
ромбом?
9.13. Какая картинка лишняя (рис. 108)?
9.14. Какие слова или словосочетания ты свя-
зываешь с рисунком 109: а) падение; б) со-
хранение длин сторон; в) тень; г) трапеция;
д) Пизанская башня; е) изменение угла?
9.3. Изготовление плоских фигур из
параллельных отрезков. Мы конструиро-
вали каркасные модели параллелограммов
различных видов. Эти модели показывают нам
только контуры фигур. Чтобы сконструиро-
вать параллелограмм как часть плоскости, бу-
дем помещать концы равных отрезков на от-
резке (который мы будем называть направля-
ющим отрезком) и располагать эти отрезки
параллельно друг другу (рис. 110, а). Будем
называть эти параллельные отрезки образую-
щими отрезками. Получится «стопка» парал-
лельных образующих отрезков. Если мы уве-
личим число отрезков в «стопке», то она будет
похожа на часть плоскости с прорезями
(рис. 110, б). А если взять бесконечно много
отрезков одной и той же длины, то из «стоп-
ки» получится параллелограмм (рис. 110, в).
9.15. Расскажи, как ты понимаешь смысл
слов направляющий отрезок и образующий
отрезок.
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 47
Рис. 111
Рис. 112
_ Провер * себя. Образующие отрезки обра-
зуют фигуру. Направляющий отрезок опреде-
ляет траекторию перемещения конца образую-
щего отрезка (направляет его движение).
Заметим, что направляющим может быть
не только отрезок, но и произвольная линия.
При этом, конечно, получается не параллело-
грамм, а более сложная фигура (рис. 111).
9.16. Нарисуй разные фигуры, у которых:
а) одинаковые направляющие линии, но отли-
чаются длины образующих отрезков; б) раз-
ные направляющие линии, а образующие от-
резки имеют равные длины; в) одинаковые
направляющие линии, длины образующих от-
резков равны, но различается взаимное распо-
ложение направляющей линии и образующих
отрезков.
Проверь себя. Конечно, в каждом случае
может быть бесконечное число ответов. Вари-
анты некоторых из них предложены на рисун-
ке 112.
Мы говорили, что можем представить се
бе полёт самолёта, видя в ночном небе только
мигание его огней. Точно так же по некоторым
изображениям (рис. 113) мы можем предста-
вить себе поведение отрезка (или другой гео-
метрической фигуры), мысленно восстановить
действие, происходившее с ним. Например, по
рисунку 113, а мы понимаем, что отрезок пере-
мещался по прямой линии, оставаясь перпен-
дикулярным направлению. По рисунку 113, б
видно, что отрезок тоже перемещался прямо-
линейно, но угол с направлением движения
был не прямой. На рисунке 113, в изображе-
но более сложное действие: сначала отрезок
двигался прямолинейно, перпендикулярно на-
правлению движения, а затем стал поворачи-
ваться вокруг одного из своих концов.
9.4. Получение пространственных фигур
из параллельных отрезков. Мы получали
из параллельных отрезков плоские фигуры: на-
правляющая и образующие этих фигур лежали
в одной плоскости. Но можно взять такие обра-
зующие, которые не лежат в плоскости направ-
Рис. 113
48
Глава 2
Взаимное расположение фигур
Рис. 114
ляющей, и тогда может получиться известная
тебе пространственная фигура — цилиндр. Мы
конструировали модели цилиндров с помощью
ниток. Теперь используем для построения ци-
линдров понятие параллельности.
Возьмём какую-нибудь плоскую линию
(она будет направляющей) и какой-нибудь от-
резок, пересекающий эту линию, но не лежа-
щий в её плоскости (рис. 114, а). Это один из
образующих отрезков для цилиндрической
поверхности. Чем плотнее мы будем разме-
щать образующие отрезки на направляющей
линии, тем более полное представление бу-
дем получать о боковой поверхности цилиндра
(рис. 114, б, в).
Если в качестве направляющей взять не-
замкнутую плоскую линию, то получится
поверхность, которую тоже называют цилинд-
рической (рис. 115).
9.17. Как называется цилиндр, у которого об-
разующая по отношению к плоскости направ-
ляющей: а) перпендикулярна; б) не перпен-
дикулярна?
9.18. Как называется цилиндр, у которого
направляющая: а) окружность; б) пятиуголь-
ник; в) параллелограмм?
9.19. Сколько пар параллельных отрезков
содержится в каркасе: а) параллелепипеда;
б) призмы, в основании которой — трапеция?
9.20. Как называется цилиндр, боковая поверх-
ность которого состоит из четырёх квадратов?
Каким может быть основание такого цилиндра?
Из параллельных отрезков можно полу-
чить не только цилиндрические поверхности,
но и цилиндр с «заполненной внутренностью»,
т. е. тело — телесный цилиндр (рис. 116).
Рис. 115
9.5* . Получение пространственных фигур из равных плоских
фчгур. Получить пространственную фигуру можно не только из па-
раллельных отрезков, но и из плоских фигур.
9.21. Вырежи из картона по десять одинаковых: а) треугольников;
б) прямоугольников; в) квадратов; г) кругов; д) эллипсов. Изготовь
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 49
Рис. 118
Рис. 119
модели прямых цилиндров, в основании кото-
рых лежит заданная фигура. Как из изготов-
ленного прямого цилиндра получить наклон-
ный цилиндр?
Понятно, что, взяв произвольную плоскую
фигуру в качестве образующей и изменяя на-
правляющую, мы можем получать всё более
сложные поверхности (рис. 117).
9.22. Как получены поверхности (рис. 118)?
Что общего имеют поверхности, расположен-
ные: а) в одной строке; б) в одном столбце
этого рисунка?
9.23. Что происходило с плоской фигурой, ко-
торая образовала пространственную фигуру,
изображённую на рисунке 119, а?
Проверь себя. Сначала квадрат двигался
прямолинейно, располагаясь перпендикуляр-
но направлению движения (рис. 119, б), а за-
тем повернулся вокруг одной стороны на 90°
(рис. 119, в).
50
Глава 2
Взаимное
расположение фигур
Рис. 120
9.6*. Получение пространственных Фигур
ИЗ неравных ПЛОСКИХ фигур. Плоские фи-
гуры могут образовывать разнообразные про-
странственные фигуры, если будут совершать
сложные действия, например перемещения
с изменением размеров.
Рассмотрим, например, конус и половину
шара (рис. 120), которые могут быть образова-
ны с помощью круга. Охарактеризуем дейст-
вия, которые происходят с кругом в процессе
образования этих фигур. Видно, что при полу-
чении и конуса, и шара размер круга (его диа-
метр) уменьшался до тех пор, пока круг не
превратился в точку.
Понятно, что по такому общему описанию
действия с кругом нельзя восстановить ту фи-
гуру, которая получится в результате этого
действия.
Важно иметь более точную информацию
о том, как изменяется диаметр круга.
Проследим за тем, какую линию образуют
концы диаметра круга при получении наших
пространственных фигур. При получении кону-
са концы отрезка образуют угол (рис. 121, а),
а при получении полушария (рис. 121, б) —
дугу окружности. Эти линии можно восприни-
мать как контуры фигур.
Чтобы сделать из кругов пространствен-
ную фигуру, поступим следующим образом.
Нарисуем контур будущего тела (рис. 122, а).
Проведём параллельные отрезки на расстоя-
нии друг от друга, равном толщине картона
(рис. 122, б). Начертим циркулем на картоне
круги, у которых диаметры равны этим отрез-
кам (рис. 122, в, размеры кругов уменьшены).
Вырежем эти круги и сложим их так, чтобы
контур получаемого тела был такой же, как на
плоском рисунке (рис. 122, г).
9.24. Какие пространственные тела получат-
ся из кругов, диаметры которых меняются
по законам, которые представлены на рисун-
ке 123?
Рис. 121
Рис. 122
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 51
9.25. Определи закономерность, которой свя-
заны рисунки (рис. 124), и выпиши их номера
в порядке, соответствующем этой закономер-
ности.
9.26. Сделай тело из картонных квадратов,
стороны которых изменяются так, как показа-
но на рисунке 125.
__Проверь себя. У тебя получилось тело,
напоминающее четырёхугольную пирамиду.
Такой способ использовали египтяне при стро-
ительстве пирамид. Самая большая пирами-
да — пирамида Хеопса, например, состоит из
128 слоёв камня, т. е. представляет собой сту-
пенчатую гору, сложенную из 128 прямоуголь-
ных параллелепипедов — прямых четырёх-
угольных призм (рис. 126).
9.7*. Как мы видим и рисуем парал-
лельные Отрезки. Мы знаем, что желез-
нодорожные рельсы (рис. 127, а) параллель-
ны, но видим мы их сходящимися. Мы зна-
ем также, что колонны, украшающие галерею
(рис. 127, б), имеют равные высоты, но ви-
дим мы их уменьшающимися. Такое видимое
уменьшение отдалённых предметов называет-
ся перспективой.
Перспектива (от лат. per — вдоль, spectare — смот-
реть) — искусство изображать даль так, как она вид-
на в действительности. Кроме этого, слово пер-
спектива имеет значение будущие события, а также
вид в природе.
Рис. 126
52
Глава 2
Взаимное
расположение фигур
a
Рис. 127
Рис. 129
Отметим некоторые закономерности перспективы.
1. Сначала понаблюдаем за прямоугольником, две стороны кото-
рого вертикальны, а две горизонтальны (рис. 128). На рисунке 128, а
обе вертикальные стороны прямоугольника удалены от нас одинако-
во, мы видим их равными. Если мы повернём прямоугольник, сохра-
няя его вертикальность (рис. 128, б), то заметим, что ту его сторону,
которая приблизилась к нам, мы увидим увеличенной, а сторону, уда-
лившуюся от нас, — уменьшенной. Получается, что из двух равных
параллельных вертикальных отрезков мы видим меньшим тот, ко-
торый находится дальше от наших глаз.
2. Все знают, что горизонт — это линия, «в которой земля схо-
дится с небом». Можно заметить, что горизонтальную плоскость, рас-
положенную на уровне наших глаз, мы видим как прямую, совпадаю-
щую с горизонтом. Для того чтобы представить себе это, рассмотрим
набор равных кругов, расположенных горизонтально друг под другом
(рис. 129). Круги, находящиеся выше линии горизонта, в перспективе
мы увидим снизу, а круги, находящиеся под линией горизонта,
сверху. Круг, расположенный на уровне глаз, мы увидим отрезком,
лежащим на линии горизонта.
3. На рисунке 130 изображены одинаковые «вертикальные» пря-
моугольники в разных положениях. Горизонтальные стороны в каж-
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 53
Рис. 131
дом из прямоугольников кажутся лежащими на пересекающихся пря-
мых. Построим эти прямые и заметим, что каждая пара таких пря-
мых имеет пересечение в точке, лежащей на линии горизонта. Две
параллельные горизонтальные прямые, не параллельные горизонту,
мы видим пересекающимися на линии горизонта.
4. Если каждую из вертикальных сторон нашего прямоугольника
разделим на равные части (например, на три) и проведём через соот-
ветствующие точки прямые, то мы обнаружим ещё одну закономер-
ность: все прямые, имеющие одинаковое направление, мы видим
в перспективе пересекающимися в одной точке (рис. 131).
Изображение сцены охоты,
выполненное первобытным
человеком на скале
Древнеегипетское изображение
бассейна и растущих
по его краям деревьев
Античные художники
не рисовали глубину простран-
ства — все планы здесь
Рис. 132 одинаково близкие
На древних картах
совмещались несколько видов
(например, вид сверху
и вид с дороги)
54
Глава 2
Взаимное расположение фигур
На средневековых иконах
намеренно выстраивалось
«невиданное» пространство
На многих средневековых
картинах можно заметить
«покосившиеся» предметы
Мастера эпохи Возрождения
изучали и успешно использо-
вали законы перспективы
Рис. 133
Фотография — наиболее
простой и точный способ
получения плоского перспек-
тивного изображения
Перспектива — это убедительный пример того, что человек часто
сталкивается с геометрическими законами и что без изучения геомет-
рии невозможно развитие человека.
Теория изображения пространства на плоскости начала разви-
ваться с самых древних времён. Но только в эпоху Возрождения она
сложилась как геометрическая теория благодаря усилиям художни-
ков Пьеро Делла Франческа, Леонардо да Винчи, Альбрехта Дюрера
и др. На рисунках 132—134 представлены изобразительные работы
разных времён, в которых по-разному передавалось видимое худож-
ником пространство.
§9. Фигуры, составленные из параллельных отрезков 55
a
б
Специальные программы для компьютера
помогают создавать модели пространственных фигур
Рис. 134
56
Глава 2
Взаимное расположение фигур
Часто художники намеренно нарушают естественные законы ви-
дения пространства для того, чтобы картина приобрела дополнитель-
ную информативность или эффектность (см. рис. 134, а—в).
9.27. Найди в работах художников (см. рис. 134, а—в) изображение
какой-нибудь пары параллельных отрезков.
§ 10
Известные примеры координат
10.1. Несколько СЛОВ О знакомых играх. Некоторые игры дают
представление о координатах, например шашки или шахматы.
На шахматном поле каждый горизонтальный ряд обозначают цифрой:
1, 2, 3, ..., 8, а каждый вертикальный ряд — буквой латинского
алфавита: а, b, с, d, е, f, g, h. И тогда каждое поле шахматной доски
получает точное обозначение: буквой по вер-
тикали и цифрой по горизонтали. Напри-
мер, поле, на котором стоит белая пешка
(рис. 135, а), обозначается /4. Есть и другие
игры, в которых используются координаты.
Например, «Морской бой». В этой игре каж-
дое поле тоже имеет точное обозначение
(рис. 136).
Слово координата от латинского ordinatus (ordo —
порядок). Приставка со- (вместе) имеет собира-
тельное значение. Поэтому вводить координаты —
значит приводить в порядок.
10.1. На рисунке 135, а изображена шахмат-
ная доска. Назови координаты: а) белых
пешек; б) чёрного коня; в) белого короля;
г) чёрной ладьи.
10.2. Назови новые координаты чёрного фер-
зя, если он передвинулся на 4 клетки влево
вниз по диагонали (см. рис. 135, б).
10.3. Запиши, используя координаты, воз-
можную комбинацию ходов чёрной ладьи,
если её исходное положение имело координа-
ты а8, а конечное положение имеет коорди-
наты dl. (Напомним, что ладья может ходить
только вверх-вниз или налево-направо.)
10.4. Проверь (см. рис. 136), будут ли удачны-
ми в игре «Морской бой» следующие ходы: в4;
05; е7; к5; з5; 61. Назови поля, на которых
стоят однотрубные корабли.
10.2. Где мы встречаемся с координа-
тами. С координатами ты встречался на уро-
ках географии. Зная географические коорди-
наты точки (широту и долготу), мы пони-
маем, где расположена эта точка на земной
поверхности.
Для определения положения точки на не-
босклоне астрономы составили карты звёздно-
го неба. На рисунке 137 приведены две карты:
на рисунке 137, а — старинная звёздная карта
а
abcdefgh
б
Рис. 135
§10. Известные примеры координат
57
Рис. 137
с изображением фигур созвездий, на рисунке 137, б — карта звёздно-
го неба над Санкт-Петербургом в сентябре.
Приведём примеры использования координат в жизни.
Множество почтовых адресатов упорядочивается такими коорди-
натами: страна, населённый пункт, улица, дом, квартира (если надо),
имя адресата. Например, известный литературный герой — детектив
Шерлок Холмс имеет координаты: Шерлок Холмс, Бейкер-стрит,
5 бис, Лондон, Англия.
Множество автомобилей в России упорядочивается с помощью
номерных знаков такими координатами: буква, трёхзначное чис-
ло, сочетание из двух букв, номер региона
(рис. 138).
Множество всех книг, выходящих в мире,
упорядочиваются следующими координата-
г 254ео 06 RUSS
Рис. 138
Наглядная
геометоия
Рис. 139
ми: авторы книги, название, номер издания,
город, название издательства, год выпуска.
Наш учебник имеет координаты: Т. Г. Ходот,
А. Ю. Ходот. Математики. Наглядная гео-
метрия 6, первое издание. Москва, «Просве-
щение», 2007. Кроме того, существует между-
народный индекс ISBN (см. оборот титула),
содержащий следующие координаты: наимено-
вание товара (978 означает «Книжная продук-
ция»), обозначение страны (для России — циф-
ра 5), обозначение издателя (09 — издательст-
во «Просвещение»), обозначение порядкового
номера издания (015973 — номер данного из-
дания в издательстве), последняя цифра конт-
рольная. Один и тот же ISBN не может быть
присвоен разным изданиям.
Множество файлов в компьютере упоря-
дочивается с помощью адресов (путей), ко-
торые состоят из таких координат: диск, пап-
ка (директория), ..., имя файла. Например,
58
Глава 2
Взаимное расположение фигур
файл, в котором хранится текст этого параграфа, имеет координаты:
C:\documents\geom\G6\koord.doc.
Даже в множестве цветов можно ввести координаты. Каждый цвет
может быть получен смешиванием других цветов (например, зелёный
цвет можно получить, смешивая жёлтый и синий). Поэтому можно вы-
брать базовые цвета и с их помощью определять все остальные. Напри-
мер, существует система координат CMYK, в которой базовыми (со-
ставляющими) являются бирюзовый (Cyan), лиловый (Magenta), жёл-
тый (Yellow) и чёрный (Black). В такой системе координат координаты
любого цвета определяются четырьмя числами, которые принимают
значения от 0 до 100. Эти числа характеризуют количества составляю-
щих цветов, участвующих в образовании определяемого цвета. Напри-
мер, чтобы получить ярко-зелёный цвет, нужно взять максимальное
количество бирюзового и жёлтого. В координатной системе CMYK
такой зелёный цвет имеет координаты (С-100, М-0, Y-100, К-0), а ко-
ординаты цвета указанных на рисунке 139 точек А и В обложки наше-
го учебника: (С-89, М-8, Y-ll, К-9) и (С-2, М-29, Y-71, К-0).
10.5. Приведи свои примеры использования координат из жизни.
Разные системы координат
11.1. Что такое система координат? Представь себе, что ты
с друзьями пошёл в лодочный поход по реке. Сделав стоянку, вы на-
чали изучать территорию, на которой оказались.
Сначала ты пошёл вдоль реки по направлению её течения и обна-
ружил несколько ориентиров (рис. 140, а): муравейник (1), большой
камень (2), одиноко стоящий дуб (3). Вернувшись к друзьям, ты рас-
сказал об увиденном. Чтобы они поняли, где расположены обнару-
женные ориентиры, ты указал направление, в котором ты шёл, и при-
близительное расстояние от палатки до этих объектов, например вы-
раженное в шагах.
Говоря математическим языком, для объяснения места располо-
жения объекта ты ввёл систему координат. И если считать, что река
в этом месте течёт прямолинейно, то это — система координат на пря
мой, моделью которой является берег реки: прямая с выбранным на-
правлением (направление течения реки), точка отсчёта О (палатка)
и единица измерения расстояния (шаг) (рис. 140, б).
В дальнейшем изучение территории происходило следующим об-
разом. Каждый из вас выбрал какое-то направление и отправился
а
б
О А В С
---------------»----------•--------»------------------ • ----------------►
х
Рис. 140
§11. Разные системы координат
59
по нему, стараясь сохранять прямолинейность движения (рис. 141, а).
Рассказывая по возвращении друг другу о виденном, каждый вводил
фактически систему координат на своей прямой (рис. 141, б). Выяс-
нилось, что несколько объектов находится на одинаковом расстоянии
от палатки. И для того чтобы представить себе их расположение,
очень важно правильно указать, каково направление на каждый из
этих объектов, или под каким углом к первоначально выбранной пря-
мой (реке) нужно идти, чтобы попасть к указанному объекту. Таким
образом, для указания положения каждого объекта понадобилось,
кроме основной прямой (реки), точки отсчёта (палатки) и единицы из-
мерения расстояния (шага), определить направление, которое можно
задать, например, с помощью угла между ним и направлением тече-
ния реки (рис. 141, в). Так у вас появилась система координат на
плоскости.
Если же кто-нибудь увидел дупло белки, гнездо птицы или гриб,
выросший на стволе дерева, то для описания их положения пришлось
ещё добавить указание высоты, на которой они расположены. Появи-
лась необходимость ввести координаты в пространстве.
Из приведённых примеров видно, что координаты объекта, распо-
ложенного на прямой (на плоскости или в пространстве), — это чис-
ла, с помощью которых точно определяется положение этого объекта.
В первом случае это одно число; во втором случае — два числа (в при-
ведённом примере это угол и расстояние); в третьем случае — три
числа (угол, расстояние и высота).
11.2. Прямоугольная система координат ня плоскости. Для
определения положения точки на плоскости существуют различные
системы координат. Мы рассмотрим только одну, прямоугольную сис-
тему координат. Такой системой координат мы уже пользовались
(см. рис. 135).
Прямоугольная система координат состоит из двух взаимно пер-
пендикулярных числовых прямых, имеющих общее начало отсчёта
(рис. 142). Одна из осей обозначается Ох, другая — Оу.
Прямые Ох и Оу называются осями коорди-
У наш. Общее начало отсчёта этих числовых пря-
мых называется началом координат. Если на
1-- плоскости проведены оси координат, то эту плос-
кость называют координатной плоскостью.
° 1 х <. «
*- 11.1. Вспомни, чем числовая прямая отли-
чается от прямой, и выбери из рисунков
(рис. 143) тот, который изображает координат-
Рис. 142 ную плоскость.
60
Глава 2
Взаимное
расположение фигур
Проверь себя. Рисунок 143, а не является
изображением координатной плоскости, так
как на нём не указаны направления, начало
отсчёта и единичный отрезок; рисунок 143, б
не является изображением координатной плос-
кости, так как на нём не указан единичный
отрезок. На рисунке 143, в изображены две
взаимно перпендикулярные прямые, на кото-
рых выбраны направления, начало отсчёта
и единичный отрезок. Этот рисунок изобража-
ет координатную плоскость. На рисунке 143, г
тоже изображена координатная плоскость с
так называемой косоугольной системой коор-
динат.
На рисунке 144, а изображена прямо-
угольная система координат и точка К. Для
определения координат точки К поступают
следующим образом:
• опускают из этой точки перпендикуляр на
ось Ох (обозначим его ККг — рис. 144, б);
• определяют число, соответствующее точке К1
на этой оси (координату точки Кг по оси Ох),
которая в нашем случае равна 3;
• опускают из точки К перпендикуляр на ось
Оу (обозначим его КК2 — рис. 144, в) и опре-
деляют число, соответствующее точке К2 на
этой оси (координату точки К2 по оси Оу)-,
в нашем случае эта координата равна 2.
В результате проведённых построений мы
нашли два числа (3 и 2), которые определяют
положение точки К. Каждое из этих чисел
имеет свое название: число 3 называется абс-
циссой точки К, число 2 — ординатой точ-
ки К.
Записывают координаты точки рядом с её
обозначением в скобках, сначала абсциссу, за-
тем ординату: К (3; 2).
Рис. 143
Абсцисса точки — это координата по оси Ох основания перпендику-
ляра, опущенного из данной точки на эту ось.
Ордината точки — это координата по оси Оу основания перпенди-
куляра, опущенного из данной точки на эту ось.
При этом оси Ох и Оу называются соответственно осью абсцисс
и осью ординат.
К
Рис. 144
§11. Разные системы координат
61
Рис. 145
1---
-2
♦ -7
Рис. 147
Слова абсцисса, ордината — латинского происхож-
дения. Слово абсцисса происходит от abscis-
sa — отрезанная, отделённая; ордината (одноко-
ренное со словом координата) — упорядоченный.
11.2. По рисунку 145 определи: а) абсциссы
точек А, В, S; б) ординаты точек М, N, D,
Н, О.
11.3. Определи координаты точек F, Н, S, О
(см. рис. 145).
Подсказка. Обрати внимание на то, что
если точка лежит на оси Оу, то её абсцисса
равна нулю, а если точка лежит на оси Ох,
то её ордината равна нулю.
4 -
х
11.4. Какие координаты имеют концы отрез-
ков, изображённых на рисунке 146?
11.5. Как построить на координатной плоско-
сти точку М, абсцисса которой равна 5, а ор-
дината равна 7?
Проверь себя. Можно отметить на оси Ох
точку с координатой 5 и провести через эту
точку прямую, перпендикулярную оси Ох,
затем отметить на оси Оу точку с координа-
той 7 и провести прямую, перпендикулярную
оси Оу. Точка пересечения этих перпендику-
ляров и есть искомая точка М. А как иначе
можно выполнить это задание?
11.6. Построй точки А (3; -4), В (-5; 6),
С (-8; -1), D (0; -6), Е (7; 0).
11.7. Начерти четырёхугольник DFGH по
заданным координатам вершин: D (—2; 1);
F (2; 9); G (6; 1); Н (2; -7). Что это за четы-
рёхугольник?
11.8. Определи вид четырёхугольника KLMN,
если известны координаты его вершин:
К (0; 6), L (3; 0), М (-3; -3), N (-6; 3).
11.9. Определи взаимное расположение пря-
мых АВ и CD на плоскости, если: а) А (1; -3),
В (3; 1), С (-3; -1), D (-1; 3); б) А (2; 3),
В (4; 5), С (-1; -3), D (7; -1).
11.10. Построй точки с координатами (-2; 0),
(-2; 4), (-2; -7). Обозначь их. Как располо-
жены на координатной плоскости все точки,
абсцисса каждой из которых равна -2? Ответ
поясни.
Проверь себя. Ответ к задаче приведён на
рисунке 147.
11.11. Как расположены на координатной
плоскости все точки, ордината каждой из ко-
торых равна 5?
11.12. Где на координатной плоскости распо-
ложены все точки, у которых: а) абсциссы
положительны; б) ординаты отрицательны;
62
Глава 2
Взаимное расположение фигур
в) обе координаты отрицательны; г) одна из координат положитель-
на, а другая — отрицательна?
11.13* . Где лежат все точки плоскости, для которых: а) абсцисса
и ордината положительны; б) абсцисса и ордината имеют разные
знаки?
11.14* . Как расположены на координатной плоскости все точки,
у которых: а) абсцисса равна ординате; б) абсцисса противоположна
ординате?
V Проверь себя. Ответы к задаче приведены на рисунке 148.
11.15* . Нарисуй все точки плоскости: а) абсциссы которых положи-
тельны и меньше единицы; б) абсциссы и ординаты которых поло-
жительны и меньше единицы.
11.16* . Придумай, как определить координаты точки в системе коор-
динат, оси которой не перпендикулярны друг другу (рис. 149). Ты
знаешь, что такая система координат называется косоугольной.
§11. Разные системы координат
63
Глава 3
Движения фигур
§ 12
а
б
Рис. 150
Рис. 151
Понятие преобразования
фигуры
12.1. Что такое преобразование фигуры?
Мы часто можем наблюдать разнообразные из-
менения предметов. Например, мы видим, как
на ветру меняется форма флага или паруса
(рис. 150. а), как меняется положение флю-
гера при изменении направления ветра или
как изменяются размеры воздушного шара
во время его надувания (рис. 150, б}.
Многие изменения предметов могут быть
изучены с геометрической точки зрения. В гео-
метрии реальные предметы заменяются геомет-
рическими фигурами, а изменения предметов
описываются геометрическими преобразова
ниями фигур. При этом для геометрии сущест-
венным является не действие, происходящее
с фигурой, а изменение этой фигуры, которое
описывается начальным и конечным её поло-
жениями.
Приставка пре- в слове преобразование имеет
смысл пере-. Значит, преобразование — иначе пе-
ределывание, изменение.
Под преобразованием фигуры мы будем
понимать любое изменение её формы, разме-
ров или положения в пространстве.
Если фигура после преобразования пре-
вратилась в фигуру F2, то фигуру F2 называют
образом фигуры Fx (рис. 151). Возможно, тебе
знакомо это слово «образ». Например, мы мо-
жем сказать: «Артист создал на сцене (или
в кино) яркий образ такого-то человека», или
«Образ, который создаёт своим поведением
этот молодой человек, не соответствует ему
самому», или «Карикатурист создал такой
образ своего товарища, что без слёз на него
64
Глава 3
Движения фигур
Рис. 152
и смотреть нельзя». Образ какого-то объекта — это новый вид этого
объекта. Так и в геометрии: образ фигуры — это её новое «состоя-
ние», то, что получилось после преобразования.
Про фигуры, одна из которых является образом другой при неко-
тором преобразовании, мы будем говорить, что они связаны этил,
преобразованием.
12.1. Расскажи, какие изменения произошли с фигурой Fx в каждом
случае (рис. 152).
12.2. Придумай какие-нибудь модели, на которых можно было бы
увидеть преобразования отрезка и окружности в различные линии
(рис. 153, а, б).
12.3. Как можно с помощью непрерывного преобразования круга или
прямоугольника получить многоугольник или части поверхностей
тел: цилиндров, конусов и др. (рис. 153, в, г)?
Совет. Возьми кусочек тонкой эластичной резины, например часть
испорченного воздушного шарика.
Рис. 153
§ 12. Понятие преобразования фигуры
65
Рис. 154
-A-A-A-Q-Q-
-A-A-A/-Z7-A-
-A-A-A-Q-O-
12.4. Как можно непрерывным преобразованием шара (или куба) по-
лучить известные тебе тела и любые конструкции из них, в которых
нет дырок (рис. 153, д)?
12.5. Используя каркасные модели, преобразуй: а) прямоугольник
в параллелограмм; б) прямоугольный параллелепипед в наклонный.
12.6. Нарисуй на поверхности воздушного шарика какую-нибудь фи-
гуру и проследи за тем, как при надувании шарика меняется форма
фигуры. Нарисуй разные этапы изменения формы этой фигуры.
Обрати внимание на связь того, что мы обсуждаем сейчас, с тем,
что мы наблюдали на картинках в п. 9.3, когда говорили о действиях
с фигурами. Там на рисунках мы видели действия, которые происхо-
дили с фигурами в течение некоторого времени. Здесь мы интересуем-
ся не действием, а только начальным и конечным положениями фи-
гуры. Об этом можно сказать так: «Нас интересует не процесс, а его
результат».
Мы часто встречаемся с такими ситуациями. Например, нам, как
правило, не важно, как композитор сочиняет музыку или поэт пишет
стихи, но нам очень важно, что именно они сочинили. Заметим, что
разные действия с фигурами могут приводить к одному и тому же ре-
зультату. Иначе говоря, разные действия с фигурами могут соответст-
вовать одному и тому же преобразованию (рис. 154).
12.2. Какие преобразования фигур бывают? Есть такие преоб-
разования, которые могут «разорвать» фигуру (рис. 155, а), а есть та-
кие, которые плавно (непрерывно) меняют её форму (рис. 155, б).
Есть такие преобразования, которые хоть и меняют форму фигуры,
но сохраняют её «прямолинейность» (рис. 155, в). Есть преобразо-
вания, которые сохраняют форму фигуры, но меняют её размеры
(рис. 155, г). И наконец, есть преобразования, которые сохраняют
не только форму, но и размеры фигуры, а меняют только её положе-
ние в пространстве (рис. 155, д, е).
Рис. 155
66
Глава 3
Движения фигур
12.7. На рисунке 156 изображены пары фи-
гур. Попробуй представить себе и рассказать,
что нужно в каждом случае сделать, чтобы из
первой фигуры получить вторую.
Проверь себя. Чтобы получить фигуру F2,
надо фигуру Fr: а) перенести вдоль прямой, не
поворачивая её; б) повернуть; в) перевернуть;
г) равномерно растянуть; д) сжать сверху;
е) «раздуть» из точки, лежащей внутри тре-
угольника.
Мы будем в основном рассматривать такие
преобразования фигуры, которые не меняют
её форму и размеры (рис. 157). Реальными
примерами некоторых таких преобразований
могут быть перемещения предметов: движение
машины, стрелки часов и др. В геометрии,
как и в жизни, они называются движениями,
только в геометрии интересуются не процес-
сом преобразования фигуры, а начальным и
конечным её положениями в этом процессе.
Под движением фигуры будем понимать
такое преобразование этой фигуры, которое
не меняет её форму и размеры.
При этом конечное положение фигуры яв-
ляется образом фигуры при рассматриваемом
движении. Связанные движением фигуры —
это две одинаковые (равные) фигуры. В гео-
метрии так и определяют равные фигуры:
Две фигуры называют равными, если одна
из них есть образ другой при некотором
движении.
Это определение соответствует нашим при-
вычным представлениям: чтобы проверить на
практике равенство двух плоских фигур, мы
пытаемся наложить их друг на друга так,
чтобы они совпали.
Рис. 156
Рис. 157
§12. Понятие преобразования фигуры
67
Рис. 160
12.8. На каких рисунках (рис. 158) изображены фигуры, связанные
каким-нибудь движением? В каждом таком случае покажи фигуру
и её образ при движении.
Совет. Воспользуйся калькой.
12.9. Нарисуй какую-нибудь фигуру, а затем другую фигуру, которая
из первой может быть получена движением.
Совет. Если ты придумал сложную фигуру, то для решения задачи
помоги себе, изготовив шаблон.
12.10. Какая картинка (рис. 159) лишняя?
12.11. Какую картинку (рис. 160) ты можешь связать со словосоче-
танием «параллельный перенос»?
§ 13
Параллельный перенос
13.1. Знакомство С параллельным переносом фигур. Реаль-
ным примером параллельного переноса может служить перемещение
лифта (рис. 161, а). Нажимая на кнопку, мы попадаем («перено-
симся») с одного этажа на другой.
68
Глава 3
Движения фигур
На рисунке 161, б изображена геометриче-
ская модель параллельного переноса лифта.
При этом параллельном переносе точка А пе-
решла в точку точка В — в точку В1г точ-
ки С и D — соответственно в точки Сг и Dy.
Сравни длины и взаимное расположение отрез-
ков ААг, BBj, СС\, DDr — ты заметишь, что,
во-первых, эти отрезки все равны между собой
и, во-вторых, все они параллельны направле-
нию перемещения кабины лифта. Именно по-
этому перенос и называется параллельным.
На рисунке 162, а изображено действие
фигуры, которое состоит только из прямоли-
нейного перемещения. Теперь нас интересуют
только начальное и конечное положения фигу-
ры. Мы будем говорить, что фигуры Fx и F2
(рис. 162, б) связаны параллельным переносом
или просто переносом. Ясно, что при этом фи-
гуры F2 и Fx равны между собой и все точки
фигуры Fx переместились в одном и том же
направлении на одно и то же расстояние
(рис. 162, в), причём фигура F2 — образ фигу-
ры Fx.
Говорят, что совершён параллельный пе-
ренос фигуры, если все её точки перемеща-
ются в одном и том же направлении на одно
и то же расстояние.
Рис. 162
Иллюстрацию свойств параллельного пе-
реноса можно увидеть в повторяющихся окнах
дома (рис. 163, а), в секциях оград, в повторе-
нии рисунков на обоях, кафельных плитках
(рис. 163, б) и др. Приведи и сам соответству-
ющие примеры.
Рис. 163
§13. Параллельный перенос
69
Рис. 168
13.1. Изображая перемещение кабины лифта
(рис. 164), художник допустил некоторые не-
точности. Найди эти неточности.
13.2. Для фигур, изображённых на рисун-
ках 165, определи направление и расстояние,
на которые произведён параллельный перенос.
13.3. Верно ли, что в каждом случае (рис. 166)
вторая фигура связана с первой параллельным
переносом вдоль указанной на рисунке пря-
мой Z? Как определить расстояние, на которое
совершён параллельный перенос?
13.4. Перерисуй пары фигур (рис. 167). Для
каждой из них укажи, если возможно, парал-
лельный перенос, который связывает эти фи-
гуры.
Совет. Укажи прямую, вдоль которой пе-
ренос происходит, и отрезок, длина которого
равна расстоянию переноса.
13.5. Для каждой пары фигур (рис. 168) опре-
дели (если возможно) прямую, при переносе
вдоль которой фигура Ft может перейти в фи-
гуру F2. Проверь себя с помощью кальки.
В дальнейшем мы будем указывать парал-
лельный перенос стрелкой (рис. 169), которая
будет показывать направление переноса. Дли-
на отрезка покажет расстояние, на которое
70
Глава 3
Движения фигур
этот перенос совершается. Такой направлен-
ный отрезок будем называть вектором или
вектором переноса.
На рисунке 170, а таким вектором может
являться отрезок АВ. Чтобы отличать отре-
зок АВ от вектора АВ, мы будем над вектором
рисовать стрелочку. Вот так: АВ, и при этом
точку А будем называть началом вектора АВ,
а точку В — его концом.
Перенос фигуры Fx на вектор ВА даст
нам совсем другой результат — фигуру F3
(рис. 170, б).
Про фигуру F2 (рис. 171, а) можно ска-
зать, что фигура F2 получена из фигуры Fr па-
раллельным переносом на вектор MN. Но
можно сказать также, что фигура F2 получена
из фигуры Fj параллельным переносом на век-
тор CjCg или DyD2 (рис. 171, б), так как все
точки фигуры Fx перемещаются в одном на-
правлении на одно и то же расстояние.
Рис.
170
13 6. Укажи, если возможно, параллельный
перенос, при котором: а) одно из выделен-
ных цветом рёбер куба (рис. 172) может перейти в другое выделен-
ное цветом ребро; б) одна из выделенных цветных граней куба
(рис. 173) может перейти в другую его выделенную грань. Сделай со-
ответствующие рисунки.
§13. Параллельный перенос
71
Рис. 174
13.2. Построение образов фигур при параллельном переносе.
Самой простой фигурой является точка. Пусть дана точка А и указан
вектор переноса MN (рис. 174, а). Как построить точку В, которая по-
лучится из точки А указанным параллельным переносом?
Так как данная точка должна быть перенесена в указанном на-
правлении на данное расстояние, то достаточно построить прямую,
проходящую через точку А параллельно прямой MN (рис. 174, б),
и в нужном направлении отложить отрезок, равный отрезку MN
(рис. 174, в). Конец построенного отрезка и есть искомая точка — точ-
ка В (рис. 174, г), образ данной точки А при переносе на вектор MN.
13.7. Отметь в тетради три точки и нарисуй вектор. Построй образы
данных точек при параллельном переносе на этот вектор.
13.8. Построй отрезок АВ и вектор MN. Построй цветным каран-
дашом образ отрезка АВ при параллельном переносе на вектор MN.
13.9. Каково взаимное расположение при параллельном переносе:
а) отрезка и его образа; б) луча и его образа; в) прямой и её образа?
Сделай соответствующие рисунки цветными карандашами.
13.10. Перерисуй фигуры, изображённые на рисунках (рис. 175),
и построй цветным карандашом их образы при указанных параллель-
ных переносах.
13.11. Построй две параллельные прямые а и Ь. Построй вектор, при
параллельном переносе на который: а) прямая а перейдёт в пря-
мую 6; б) прямая b перейдёт в прямую а. Сколько таких векторов
ты можешь построить?
13.12. Сформулируй и реши задачу, аналогичную предыдущей:
а) для двух параллельных плоскостей; б) для двух равных окруж-
ностей; в)* для двух равных кубов. Всегда ли эта задача имеет ре-
шение?
13.13. Построй какие-нибудь две фигуры, связанные между собой
параллельным переносом.
13.14. Какая картинка лишняя (рис. 176)?
Рис. 175
72
Глава 3
Движения фигур
13.15* . Изобрази куб и фигуру, которая по-
лучается при параллельном переносе четырёх-
угольника MNPQ на вектор PPt (рис. 177).
13.16. При каком параллельном переносе пло-
ская фигура может остаться в своей плоско-
сти?
Подсказка. Смотри рисунок 178.
§14
Поворот фигуры
на плоскости
14.1. Поворот фигуры вокруг ТОЧКИ. Са-
мым простым примером реального поворота
на плоскости служат стрелки часов. Стрелки
всё время находятся в плоскости, параллель-
ной плоскости циферблата. Показания време-
ни зависят от того, на какой угол повернулись
стрелки.
14.1. Перерисуй три раза циферблат (рис. 179)
и укажи положение минутной стрелки по от-
ношению к указанному положению: а) через
10 минут; б) через 15 минут; в) 15 минут
тому назад. В каждом случае определи, на ка-
кой угол повернулась стрелка.
В дальнейшем мы будем сравнивать на-
правление поворота с поворотом часовой
стрелки и говорить о повороте по часовой
стрелке или против часовой стрелки.
Мы уже встречались с поворотом фигуры:
отрезок, поворачиваясь вокруг одного из своих
концов на полный угол (рис. 180, а), «зарисо-
вывал» круг; луч, поворачиваясь вокруг свое-
го начала, — угол (рис. 180, б).
Рис. 179
§14. Поворот фигуры на плоскости
73
Рис. 181
Рис. 182
Рис. 183
Рассмотрим работу стеклоочистителя ав-
томобиля. Каждая точка его щётки рисует на
стекле линию (рис. 181). Очевидно, что это —
дуги окружностей, имеющих общий центр.
Этот центр находится в точке крепления стек-
лоочистителя, которую можно считать непо-
движной..
Представим щётку стеклоочистителя в ви-
де отрезка MN, а его крепление — точкой О
(рис. 182, а). Чтобы определить преобразо-
вание отрезка, следует рассматривать только
его начальное (MN) и конечное (Af^J поло-
жения. При этом (рис. 183) все точки фигуры
будут поворачиваться вокруг точки О на один
и тот же угол, оставаясь в плоскости этой фи-
гуры (рис. 182, б). Такое преобразование мо-
жет быть применено не только к отрезку, но и
к любой другой плоской фигуре.
Говорят, что в плоскости совершён поворот фигуры Ена некоторый
угол а вокруг точки О, если все её точки повернулись вокруг точки О
в одном и том же направлении на один и тот же угол а. Точка О на-
зывается центром поворота, а угол а — углом поворота.
14.2. На рисунке 184 изображены пары фигур. Какая из них иллюст-
рирует определение поворота фигуры? В каждом таком случае опре-
дели центр и угол поворота.
Рис. 184
74
Глава 3
Движения фигур
14.3. Проверь с помощью кальки, что на ри-
сунке 185 изображены фигуры: а) равные;
б) связанные друг с другом поворотом вокруг
точки О. Определи угол поворота.
Совет. Воспользуйся следующим алгорит-
мом:
• скопируй фигуру 1 на кальку (рис. 186, а);
• закрепи кальку с помощью ножки циркуля
в центре поворота;
• поверни кальку (рис. 186, б) так, чтобы сов-
местились, например, точки и А2 фигур 1
и 2;
• если это удалось сделать и фигуры 1 и 2 сов-
местились, то они связаны поворотом (в про-
тивном случае нет такого поворота вокруг точ-
ки О, при котором образом фигуры 1 была бы
фигура 2);
• при совмещении фигур измерь угол поворота
(рис. 186, в).
14.4* *. Построй окружность и найди поворот
этой окружности, при котором она останется
на месте.
14.5. Какая фигура может быть получена из
фигуры F (рис. 187) поворотом вокруг данной
точки О на: а) острый угол; б) прямой угол;
в) тупой угол.
14.6. Выбери пары фигур, связанных поворо-
том вокруг точки О (рис. 188). Проверь свой
выбор с помощью кальки.
§14. Поворот фигуры на плоскости
75
а • м
б
о
Рис. 190
14.2. Построение образа фигуры при
повороте вокруг ТОЧКИ. Начнём с самой
простой фигуры — точки.
14.7. Отметь в тетради точки М и О. Построй
точку М' — образ точки М при повороте во-
круг точки О на угол 30° по часовой стрелке.
Проверь себя. Для построения образа точ-
ки (рис. 189, а): построим луч ОМ (рис. 189, б);
отложим от этого луча в направлении движе-
ния часовой стрелки угол МОА, равный 30°
(рис. 189, в); проведём дугу окружности с цен-
тром в точке О и радиусом, равным длине от-
резка ОМ, до пересечения с лучом О А в точке,
которая и есть искомая точка М’ (рис. 189, г).
14.8. На рисунках (рис. 190) изображены фи-
гуры и отмечены точки. Сделай такие же ри-
сунки и построй образ каждой фигуры при ка-
ком-нибудь повороте относительно указанной
точки. Угол и направление поворота выбери
сам. Проверь измерением, что в случаях б и в
угол между прямой и её образом равен углу
поворота.
14.9. Какая фигура может быть получена из
фигуры F (рис. 191) поворотом вокруг некото-
рой точки на: а) 30°; б) 120°?
14.10. Известно, что отрезки АВ и CD’, а) рав-
ны и параллельны; б) равны и имеют общую
середину. Каким движением они могут быть
связаны?
14.3. Новый взгляд на поворот фигуры
на ПЛОСКОСТИ. Мы занимались поворотом
плоской фигуры относительно точки, лежащей
в плоскости этой фигуры. Но реальные пред-
76
Глава 3
Движения фигур
Рис. 192
a
Рис. 194
меты, которые могут быть моделями плоских фигур, обычно враща-
ются вокруг некоторой оси (прямой). Вспомни, например, маятник
часов или колесо велосипеда (рис. 192). Вращаясь вокруг оси, колесо
остаётся в своей плоскости и вращается в ней вокруг точки пересече-
ния этой плоскости и оси. Геометрическая иллюстрация этого факта
изображена на рисунке 193.
Можно, конечно, рассматривать поворот любой плоской фигуры
относительно прямой, перпендикулярной плоскости этой фигуры.
Пусть, например, в некоторой плоскости расположен треугольник
АВС (рис. 194, а) и проведена прямая I, перпендикулярная плоскости
треугольника и пересекающая эту плоскость
в точке О. При повороте этого треугольника
вокруг прямой I на угол а каждая точка этого
треугольника в данной плоскости повернётся
вокруг точки О на угол а (рис. 194, б). (Обрати
внимание на то, что на рисунке пути, по ко-
торым перемещались вершины треугольника,
изображены не окружностями, а эллипсами.
Ведь мы смотрим на эти окружности немного
сбоку. Образ треугольника АВС по той же
причине мы видим тоже немного искажённым.)
14.11. На рисунке 195 изображены квадрат
MNPQ и прямая а, проходящая через его
центр перпендикулярно плоскости квадрата.
Назови образы точек М, N, Р и Q при пово-
роте вокруг прямой а: а) на угол 90°; б) на
угол 180°.
14.12. На рисунке 196 изображён куб
АВСВА1В1С1В1. Точки Q и — центры его
граней AAjBjB и CCjBjB. Точки Е и F — се-
редины рёбер C^Dy и CCt. Как расположены
образы этих точек при повороте вокруг пря-
мой QQi- а) на угол 90°; б) на угол 180°?
Сделай соответствующий рисунок.
§14. Поворот фигуры на плоскости
§ 15
Поворот фигуры в пространстве
15.1. Поворот фигуры ВОКРУГ прямой. Мы можем вспомнить мно-
го таких ситуаций, когда фигура поворачивается (вращается) относи-
тельно какой-нибудь прямой. Дверь поворачивается вокруг своего
косяка, флюгер — вокруг вертикального стержня, почти все элемен-
ты колеса обозрения — вокруг горизонтальной оси (рис. 197), кару-
сель — вокруг столба, волчок — вокруг своей оси.
Во время работы карусели каждая подвижная её часть (и вместе
с ней каждая её точка), поворачиваясь вокруг столба, двигается по
окружности. При вращении волчка (рис. 198) то же самое: каждая
его точка двигается по окружности, центр которой лежит на оси
волчка. Геометрически это означает, что при повороте вокруг прямой
каждая точка фигуры перемещается по окружности. Эта окружность
расположена в плоскости, перпендикулярной оси поворота, а центр О
этой окружности лежит на оси поворота.
Иначе говоря, если фигуру (рис. 199, а) рассматривать как сде-
ланную из параллельных плоских фигур (рис. 199, б), то вращение
Рис. 197
Рис. 198
Ось вращения
78
Глава 3
Движения фигур
Рис. 201
этой фигуры вокруг оси I — это одновременный одинаковый поворот
всех этих плоских «слоёв» вокруг точек, лежащих на оси поворота
(рис. 199, в).
15.1. На рисунке 200 изображены куб ABCDA1B1C1D1 и прямая I.
В какой отрезок переходит выделенное ребро куба при повороте его
вокруг прямой I на угол 90° ?
__Совет. Можно помочь себе при решении задачи, проследив за кон-
цами выделенного ребра.
15.2. Нарисуй четырёхугольную пирамиду SABCD, у которой в осно-
вании квадрат, а высота SO проходит через его центр. Нарисуй
линию, в которую перейдёт ломаная SAB при повороте вокруг SO
на угол: а) 90°; б) 180°?
15.3. Нарисуй куб ABCDAjBjCjDj. Какое преобразование грани
AAJ^B куба надо совершить, чтобы её образом была грань:
a) AAlDJ); б) ABCD; в) А^С^?
15.4. Определи закономерность и расставь картинки в порядке этой
закономерности (рис. 201).
15.2. Фигуры вращения. Поворот плоской фигуры на полный угол
вокруг оси, лежащей в плоскости этой фигуры, не изменяет фигуру
(рис. 202, а). Действие (рис. 202, б), соответствующее этому преобра-
§15. Поворот фигуры в пространстве
79
a
б
Рис. 204
зованию, представляет собой значительный интерес для получения
новых фигур. Проследим за траекториями точек при таком действии.
Это — окружности, лежащие в параллельных плоскостях с центрами
на оси поворота (рис. 202, в), а объединение таких окружностей обра-
зует некоторую фигуру, которая называется фигурой вращения.
При вращении плоских линий вокруг оси получаются поверхно-
сти вращения (рис. 203, а), а при вращении частей плоскости (мно-
гоугольника, круга, эллипса), ограниченных замкнутыми линиями,
получаются тела вращения (рис. 203, б).
15.5. Как с помощью вращения вокруг прямой можно получить боко-
вую поверхность прямого кругового цилиндра?
Проверь себя. На рисунке 204 показаны два способа решения
••адачи.
15.6. Представь себе, что прямоугольный треугольник АВС поставили
на плоскость стола одной из сторон (АС) его прямого угла, а вторую
сторону (ВС) этого угла расположили вертикально. Какую поверх-
ность опишет третья сторона этого треугольника при своём вращении
на полный угол вокруг прямой ВС1
Рис. 206
15.7* . Пусть отрезок АВ лежит с прямой I
в одной плоскости, но не пересекает её и не па-
раллелен ей (рис. 205, а). Нарисуй фигуру,
которая получится при вращении отрезка АВ
вокруг прямой I.
Проверь себя. Посмотри на рисунок 205, б, в.
Получится боковая поверхность прямого кру-
гового усечённого конуса.
15.8. Используя шаблоны эллипсов, нарисуй
какой-нибудь прямой круговой усечённый
конус.
15.9. Какую фигуру нужно повернуть вокруг
прямой на полный угол, чтобы получить:
а) шар; б) сферу? Сделай соответствующие
рисунки.
15.10. Выбери фигуры (рис. 206, а), вращая
которые можно получить фигуру, изображён-
ную на рисунке 206, б. Как при этом нужно
расположить оси вращения?
15.11. Какие из фигур (рис. 207, а) могут быть
получены вращением фигуры (рис. 207, б) во-
круг какой-нибудь прямой?
До сих пор мы рассматривали вращение
фигуры вокруг прямой, лежащей в её плоско-
сти. Можно рассматривать и другие случаи
взаимного расположения оси и фигуры: когда
ось вращения пересекает плоскость данной
фигуры (рис. 208, а) и когда вращается про-
странственная фигура (рис. 208, б).
Рис. 207
§15. Поворот фигуры в пространстве
81
Рис. 209
Рис. 210
Рис. 211
15.12. Представь себе и нарисуй поверхность,
которую зарисует ломаная (рис. 209) при по-
вороте на полный угол вокруг указанной на
рисунке прямой.
15.13. Поверхность какого из предметов, изо-
бражённого на рисунке 210, или его части
можно рассматривать как поверхность вра-
щения? Для каждого из таких предметов
нарисуй линию, вращением которой можно
получить его поверхность.
15.14. Какой из объектов на рисунке 211
лишний?
15.15. Нарисуй какую-нибудь линию и пря-
мую. Нарисуй поверхность, которая получает-
ся при вращении твоей линии вокруг прямой.
______Проверь себя. На рисунке 212 приведён
пример решения задачи.
15.16. Какую поверхность можно получить
при вращении треугольника (квадрата) вокруг
прямой, их пересекающей?
82
Глава 3
Движения
фигур
§ 16
Осевая симметрия фигур
16.1. Понятие осевой симметрии фигур на плоскости. На
листе бумаги для черчения начерти прямую. В одной из образо-
вавшихся полуплоскостей нарисуй краской какую-нибудь фигуру Fv
(рис. 213, а) и сложи лист по прямой. Теперь, разгибая лист, ты уви-
дишь, как вместе со второй половиной листа поворачивается вокруг
прямой-сгиба образ (отпечаток) фигуры (рис. 213, б).
Если полностью развернуть лист, то фигура и её образ окажутся
в одной плоскости. Поэтому можно считать, что произошло какое-то
преобразование плоскости (рис. 214). Это не параллельный перенос,
так как отрезки ААа, BBt, ССг, соединяющие соответственные точки,
параллельны, но не равны.
Это и не поворот. Нам известно, что при
плоском повороте угол между любой прямой
и её образом равен углу поворота. Здесь угол
между прямыми С А и CjAj не равен углу меж-
ду прямыми ВС и BjCj. Проверь измерением,
верно ли это.
Посмотри на отрезки AAlt ВВ1г СС1Г со-
единяющие соответственные точки. Эти отрез-
ки перпендикулярны прямой I и делятся ею
пополам. Концы таких отрезков называются
симметричными относительно прямой I.
Точки А и А' называются симметричными
относительно прямой /, если отрезок, их
соединяющий, перпендикулярен этой пря-
мой и делится ею пополам. При этом пря-
мая / называется осью симметрии этих то-
чек (рис. 215). Если же точка лежит на оси
симметрии, то она симметрична сама себе.
16.1. Для каждой точки (рис. 216) найди точ-
ку, симметричную ей относительно какой-ни-
будь прямой, изображённой на этом рисунке.
Запиши результат в таблицу в соответствии
с представленным на странице 84 образцом.
Рис. 214
. Р . .4
Рис. 216
§16. Осевая симметрия фигур
83
Рис. 217
Точки Ось симметрии
F, D а
Преобразование фигуры на плоскости, с ко-
торым мы познакомились, так же, как и пере-
нос и поворот, является движением. Это дви-
жение называется симметрией относительно
прямой или осевой симметрией. Говорят, что
Фигура F, преобразуется в фигуру Г2 с помощью симметрии отно-
сительно прямой I, если фигура Г2 состоит из всех точек, симмет-
ричных точкам фигуры F, относительно прямой / (рис. 217). При этом
фигуры и F2 называют симметричными относительно прямой /.
Прямая /, относительно которой совершается симметрия, называет-
ся осью симметрии.
Осевая симметрия — это необычное движение, так как, в отличие
от переноса (рис. 218, а) и поворота (рис. 218, б), невозможно в плос-
кости осуществить непрерывное действие с фигурой, соответствующее
этому преобразованию (рис. 218, в).
16.2. На рисунке 219 изображены пары рав-
ных фигур. Определи, для какой пары можно
подобрать параллельный перенос или поворот
так, чтобы фигуры были связаны этим преоб-
разованием. Для какой пары можно подобрать
осевую симметрию?
Мы понимаем, что симметрию относитель-
но оси можно считать пространственным по-
воротом вокруг этой оси на 180° (см. рис. 213).
Рис. 218
84
Глава 3
Движения фигур
Этот факт нам может подсказать способ проверки симметричности
двух фигур относительно некоторой прямой.
16.3* . Придумай и запиши алгоритм проверки с помощью кальки
симметричности двух фигур относительно некоторой прямой.
16.4. Верно ли, что на рисунках (рис. 220) изображены пары фигур,
симметричных друг другу относительно указанной прямой? Снача-
ла попробуй угадать ответ, а затем проверь свой ответ с помощью
кальки.
16.5. Построй две пересекающиеся прямые. Сколько осей симметрии
они имеют? Построй эти оси. Проверь свои построения с помощью
кальки.
Проверь себя. Осями симметрии пересекающихся прямых явля-
ются биссектрисы углов, образованных при пересечении этих прямых
(рис. 221).
16.6. Ученик 6 класса решил сделать два рисунка, симметричных
друг другу относительно некоторой прямой. Вот что у него получи-
лось (рис. 222). Найди ошибки, которые он допустил при рисовании.
Сколько таких ошибок ты нашёл?
Совет. Скопируй в тетрадь фигуру Ft и прямую I и построй фигу-
ру, симметричную фигуре относительно прямой I.
16.7. Симметрией относительно какой из указанных прямых связаны
фигуры (рис. 223)?
§16. Осевая симметрия фигур
85
16.2. Как построить две фигуры, симметричные относи-
тельно прямой? Отметь в тетради точку А и нарисуй прямую I
(рис. 224, а). Как построить точку В, симметричную точке А относи-
тельно прямой Z?
Отрезок АВ должен быть перпендикулярен прямой I и делиться
ею пополам. Поэтому построение может быть осуществлено следую-
щим образом:
• из точки А опустим перпендикуляр на прямую I, отметим основание
перпендикуляра и обозначим его, например, буквой С (рис. 224, б);
• продлим отрезок АС за точку С так, чтобы точка С оказалась сере-
диной нового отрезка (рис. 224, в). Получим точку В — точку, сим-
метричную точке А относительно прямой I.
Чтобы построить образ ломаной при осевой симметрии (рис. 225, а),
достаточно построить образы вершин этой ломаной (рис. 225, б), а за-
тем соединить их в нужном порядке (рис. 225, в).
16.8 . Повтори рисунки (рис. 226) и с помощью циркуля и линейки
построй фигуры, симметричные данным относительно указанных пря-
мых. Раскрась цветными карандашами получившиеся рисунки, со-
блюдая симметрию в цвете.
Проверь себя. На рисунке 227 показано построение для рисун-
ка 226, а.
86
Глава 3
Движения фигур
Рис. 228
16.9 . Отметь точки А и В. Симметричны ли
эти точки относительно какой-нибудь прямой?
Если да, то построй их ось симметрии.
16.10 *. На рисунках (рис. 228) изображены
пары равных отрезков. Повтори эти рисунки
и построй в каждом случае ось симметрии от-
резков, если такая ось есть.
16.11 *. На рисунке 229 изображены пары рав-
ных фигур. Скопируй этот рисунок и построй
для каждой пары ось симметрии или объясни,
почему ты считаешь, что её нет.
16.12 *. Как ты думаешь, какие две простран-
ственные фигуры называются симметричными
относительно прямой? Можешь ли ты приве-
сти соответствующие примеры?
§ 17
Центральная симметрия
фигур
17.1. Центральная симметрия фигур на
ПЛОСКОСТИ. Кроме симметрии относительно
прямой существует ещё симметрия относи-
тельно точки, так называемая центральная
симметрия.
Точки А и А' называются симметричны-
ми относительно точки О (или централь-
но-симметричными), если точка О является
серединой отрезка АА' (рис. 230).
При этом точка О называется центром сим-
метрии этих точек.
Рис. 229
§17. Центральная симметрия фигур
87
Центр симметрии симметричен сам себе.
17.1. Найди на рисунке 231 пары центрально-симметричных точек.
Для каждой пары таких точек назови их центр симметрии.
Центрально-симметричными могут быть и две фигуры. Говорят, что
Фигура F, преобразуется в фигуру F2 с помощью симметрии отно-
сительно точки О, если фигура F2 состоит из всех точек, симмет-
ричных точкам фигуры F, относительно точки О (рис. 232).
Точка О, относительно которой совершается симметрия, называется
центром симметрии этих фигур.
Если две фигуры связаны между собой центральной симметрией,
то их называют центрально-симметричными. Говорят также,
что одна фигура симметрична другой относительно точки О.
17.2. Сравни определения центральной и осевой симметрий фигур.
17.3. На рисунке 233 найди пары фигур, связанных центральной
симметрией. Укажи в каждом случае центр симметрии этих фигур.
Проверь себя. Такими фигурами являются, например, фигуры 1
и 3. Их центр симметрии точка В. Найди остальные пары.
17.4. Отметь в тетради две точки М и N и построй точку Р, симмет-
ричную точке М относительно точки N.
17.5. Построй на плоскости какие-нибудь два центрально-симметрич-
ных отрезка. Проверь с помощью кальки, что эти отрезки связаны
также и поворотом. Каков угол этого поворота?
Замеч< ше. Оказывается, любые две центрально-симметричные
фигуры на плоскости связаны также и поворотом вокруг их центра
88
Глава 3
Движения фигур
симметрии на угол, равный 180° (рис. 234).
Поэтому центральную симметрию относитель-
но точки О на плоскости можно рассматривать
как частный случай поворота вокруг этой точ-
ки — поворота на 180°.
17.6. Каково взаимное расположение прямых,
которые содержат центрально-симметричные
отрезки (см. предыдущую задачу)? Рассмотри
разные случаи расположения центра симмет-
рии относительно данного отрезка.
Проверь себя. На рисунке 235 показаны
два возможных случая: центр симметрии ле-
жит на прямой, содержащей данный отре-
зок АВ (рис. 235, а), и центр симметрии не ле-
жит на этой прямой (рис. 235, 6). В первом
случае образ отрезка АВ лежит на прямой АВ,
а во втором случае он параллелен прямой АВ
(CD || АВ). Пока мы это не доказываем, но за-
помним:
Центрально-симметричные отрезки либо ле-
жат на одной прямой, либо параллельны.
Доказать этот факт ты сможешь в седь-
мом классе. Мы будем в дальнейшем им поль-
зоваться.
17.7. Построй треугольник MNP и отметь се-
редину стороны MN — точку О. Построй тре-
угольник, симметричный треугольнику MNP
относительно точки О. Какую фигуру обра-
зуют эти два треугольника вместе? Почему?
Какой треугольник нужно взять, чтобы в ре-
зультате указанных построений получился:
а) прямоугольник; б) ромб; в) квадрат?
Проверь себя. Получился параллелограмм
(рис. 236), так как его противоположные сто-
роны попарно центрально-симметричны, а по-
тому попарно параллельны.
17.8. Построй круг с центром в точке О и от-
меть какую-нибудь точку А. Построй круг,
симметричный данному относительно точки А.
Рассмотри разные случаи расположения точ-
ки А относительно данного круга.
17.9. На рисунке 237 изображены два равных
полукруга. Найди точку, относительно кото-
рой они центрально-симметричны.
Рис. 235
§17. Центральная симметрия фигур
89
17.2. Центральная симметрия пространственных фигур.
Определение, которое мы дали для центральной симметрии на плос-
кости, применимо и к пространственным фигурам: фигура Fx сим-
метрична фигуре F2 относительно точки О, если фигура F2 состоит
из всех точек, симметричных точкам фигуры FY относительно точки О
(рис. 238).
17.10. Выбери на рисунке 239 пары симметричных относительно точ-
ки О фигур.
17.11. Определи закономерность и запиши номера фигур, изображён-
ных на рисунке 240, в порядке, соответствующем этой закономер-
ности.
90
Глава 3
Движения
фигур
17.12* . Нарисуй фигуру (рис. 241). Построй
образ этой фигуры при центральной симмет-
рии относительно: а) вершины А; б) середи-
ны ребра ВС; в) точки О — середины диагона-
ли верхней грани.
§ 18*
Симметрия фигур
относительно плоскости
Рис. 241
Когда мы смотрим в зеркало, мы видим
там образы окружающих нас предметов. Если
поверхность зеркала ровная (геометрически —
плоская), то в отражённых образах нет иска-
жений: они точно повторяют форму и размеры
реальных предметов. При этом у нас создаётся
полное ощущение того, что отражённое про-
странство является продолжением реального
пространства.
Отражающая поверхность может и не быть
плоской, например поверхность автомобиля,
поверхность стёкол с фактурой или дефектами,
поверхность воды, поверхность кривого зерка-
ла (рис. 242).
В этих случаях отражённые образы будут
иметь искажения, иногда даже такие сильные,
что нам трудно узнать в предмете-образе реаль-
ный предмет.
Наблюдать за такими искажениями очень
интересно. Они служат предметом исследова-
ния для художников (рис. 243) и, конечно,
для геометров.
Отражения предметов в различных поверх-
ностях можно воспринимать как преобразова-
ния фигур.
При отражении в плоском зеркале получа-
ются неискажённые образы предметов. В этом
случае мы имеем дело с движением простран-
ственных фигур, так как движение не меняет
формы и размеров фигур.
Отражение в плоском зеркале в геометрии
описывается с помощью пространственного
преобразования, которое называется зеркаль-
ной симметрией.
Зеркальная симметрия фигур — это сим-
метрия относительно плоскости. Её свойства
очень похожи на свойства осевой симметрии.
Симметрию фигур (в том числе и точек) отно-
сительно плоскости определяют почти так же,
как осевую симметрию.
Попробуйте сами сформулировать опреде-
ления точек, симметричных друг другу отно-
сительно плоскости, и определение зеркаль-
но-симметричных фигур.
Рис. 242
Рис. 243
§18*. Симметрия фигур относительно плоскости
91
Точки А и А' называются симметричными относительно плоско-
сти а, если отрезок, их соединяющий, перпендикулярен этой плос-
кости и делится ею пополам. При этом плоскость а называется
плоскостью симметрии этих точек (рис. 244, а).
Если же точка лежит на плоскости симметрии, то она симметрична
самой себе.
Фигура F, преобразуется в фигуру Г2 с помощью симметрии отно-
сительно плоскости, если фигура Г2 состоит из всех точек, симмет-
ричных точкам фигуры F, относительно этой плоскости (рис. 244, б).
Рис. 245
Рис. 246
При этом фигуры Ft и F2 называют сим-
метричными относительно плоскости. Плос-
кость, относительно которой совершается сим-
метрия, называется плоскостью симметрии.
Фигуры, связанные зеркальной симметрией,
называются зеркально-симметричными фи-
гурами.
С зеркальной симметрией мы часто встре-
чаемся в архитектуре. Одним из ярких таких
примеров является улица Зодчего Росси в Пе-
тербурге (рис. 245).
18.1. Две равные четырёхугольные пирамиды
имеют общее основание ABCD (рис. 246). Сре-
ди отмеченных точек назови симметричные
друг другу относительно плоскости АВС.
18.2. Назови фигуры (рис. 247), которые свя-
заны какой-нибудь зеркальной симметрией.
18,3. Определи, как связаны между собой
верхний и нижний рисунки в каждой паре
(рис. 248), и нарисуй недостающую картинку
для последней пары.
18.4. Какая картинка (рис. 249) лишняя?
18.5. Используя зеркало, прочти текст на ри-
сунке 250.
18.6. Приведи примеры таких слов, которые
можно прочитать в зеркале так же, как и без
него.
92
Глава 3
Движения фигур
Рис. 249
н^но^епжноп иЬп crvms£\wbnrv ошноспшсмрно
\ИОН\Ш \5£'ЖПШ НО ХПГОСКОСШП* ШО она осншнъхмсн
Рис. 250
§18*. Симметрия фигур относительно плоскости
93
Глава 4
Конструкции из равных фигур
§ 19
а
б
в
Рис. 251
Использование движений
для получения новых фигур
19.1. Пересечение фигур. На рисунке 251, а
изображены фигуры. При этом на рисунке
251, б выделены для каждой пары фигур их
общая часть (расскажи какая). Подобно тому,
как общая точка двух прямых называется их
точкой пересечения, так и общая часть двух
фигур называется пересечением этих фигур.
19.1. Расположи два треугольника так, чтобы
в пересечении получились: а) точка; б) отре-
зок; в) треугольник; г) четырёхугольник. Мо-
гут ли в пересечении двух треугольников
получиться другие фигуры? Какие? Если да,
то сделай соответствующие рисунки.
19.2. Какие фигуры можно получить в пересе-
чении: а) двух прямоугольников; б) двух кру-
гов; в) двух кубов?
19.2. Объединение фигур. Вернёмся к ри-
сунку 251. На рисунке 251, в для каждого
случая представлена фигура, состоящая из
всех таких точек, которые принадлежат либо
треугольнику, либо квадрату, либо двум этим
фигурам сразу. Про такую фигуру говорят, что
она является объединением треугольника и
квадрата. Понятно, что можно построить объ-
единение любых фигур. Для этого достаточно
рассмотреть такую фигуру, которая состоит из
всех точек этих фигур.
19.3. Нарисуй рисунок 252. Выдели на нём
объединение фигур.
19.4. Среди фигур (рис. 253, а) выбери такие,
которые могут получиться при объединении
фигур, изображённых на рисунке 253, б.
19.5. Определи закономерность (рис. 254) и
выпиши номера рисунков в порядке, соответ-
ствующем этой закономерности.
19.6. Какая картинка лишняя (рис. 255)?
94
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 253
Рис. 255
Рис. 256
19.3. Склеивание фигур. Новые геометрические фигуры могут по-
лучаться при объединении двух фигур. В зависимости от того, имеют
фигуры общие точки или нет, новая фигура либо состоит из одной ча-
сти, либо имеет две отдельные части (рис. 256). Будем считать, что
если исходные плоские фигуры соприкасаются по отдельным точкам,
а пространственные фигуры и по отдельным линиям (рис. 257), то
«объединённая» фигура всё равно состоит из двух отдельных частей.
§ 19. Использование движений для получения новых фигур 95
Рис. 258
в
Конструируя фигуру из двух частей, бу-
дем рассматривать только такие расположения
фигур-частей, при которых они соприкасаются
по части границы. На практике при составле-
нии предметов из частей (объединении этих
частей) мы никогда не сталкиваемся с таким
их расположением, при котором части прони-
кают друг в друга. Даже вбитый в деревянную
деталь гвоздь, который, как нам кажется, про-
никает в неё (рис. 258), на самом деле сопри-
касается с деревом только поверхностью (гра-
ницей).
Для линий границей являются их концы.
Если две незамкнутые линии имеют общий ко-
нец, то будем говорить, что их объединение
(новая линия) получено склеиванием двух ли-
ний в точке (рис. 259, а).
Для плоских фигур границей является ли-
ния. Если две плоские фигуры имеют общую
часть границы в виде линии (рис. 259, б), то
мы будем говорить, что их объединение (новая
фигура, плоская или пространственная) полу-
чено склеиванием двух плоских фигур по этой
линии.
Для тела границей является его поверх-
ность. Если два тела имеют общую часть гра-
ницы в виде поверхности (рис. 259, в), то мы
будем говорить, что их объединение (новое
тело) получено склеиванием двух тел по этой
их общей части.
Рис. 259
19.7. Можно ли склеить: а) два треугольника;
б) два круга; в) две сферы; г) два квадрата;
д) две прямые; е) две плоскости; ж) два
луча?
19.8. Можно ли склеиванием трёх одинако-
вых треугольников получить: а) треугольник;
б) квадрат?
19.9. Из каких двух равных фигур можно
склеить: а) шар; б) куб; в) треугольную пи-
рамиду с равными рёбрами?
19.10. Определи закономерность (рис. 260) и
выпиши номера рисунков в соответствующем
порядке.
96
Глава 4
Конструкции из равных фигур
a
я
19.11. Выбери из фигур (рис. 261, а) такие, которые можно склеить
с фигурой, изображённой на рисунке 261, б.
19.4. Склеивание фигур, связанных преобразованием. Для
конструирования новых фигур часто объединяют фигуры, связанные
каким-нибудь преобразованием. Чаще всего подбирают фигуру и её
преобразование так, чтобы эту фигуру можно было склеить с её обра-
зом. На рисунке 262 представлены объединения фигур, связанных
разными преобразованиями. Некоторые из этих объединений получе-
ны склеиванием фигур и их образов (например, на рисунках б, в, д,
ж, з). Обрати внимание на то, что на рисунках 262, а—в к фигуре
применено одно преобразование, а на рисунках 262, г—з одно и то же
преобразование применено несколько раз: сначала к самой фигуре,
затем к её образу, затем к образу получившейся фигуры и так далее.
В дальнейшем мы будем для получения новой фигуры использо-
вать движения.
19.12. Из фигур (рис. 263, а) выбери такие, части которых могут
быть связаны тем же преобразованием, что и части фигуры, изобра-
жённой на рисунке 263, б.
§ 19. Использование движений для получения новых фигур 97
Рис. 265
19.13. На рисунке 264 изображены фигура F
и объединения двух таких же фигур, связан-
ных между собой различными движениями.
В каком случае это объединение получено
склеиванием?
19.14. Можно ли фигуры, изображённые на
рисунке 265, разбить на части, которые связа-
ны между собой движением? Перерисуй эти
фигуры и приведи соответствующие примеры,
если это возможно.
§ 20
Применение
параллельного переноса
20.1. Склеивание фигур, связанных па-
раллельным пеоенОСОМ. На рисунках
266—267 изображены объединения двух фи-
гур, связанных между собой параллельным
переносом. Фигуры на рисунке 267 получе-
ны склеиванием. Как видно, форма склеивае-
мых фигур может быть совершенно различ-
ной.
Рис. 267 Рис. 268
98
Глава 4
Конструкции
из равных фигур
20.1. Приведи пример фигуры, которую нель-
зя склеить с её образом ни при каком парал-
лельном переносе. Объясни своё мнение.
Проверь себя. Возможные ответы пред-
ставлены на рисунках (рис. 268).
Простейшая фигура, которая может быть
использована для конструирования с помощью
параллельного переноса, — параллелограмм.
Объяснение этому простое: его противополож-
ные стороны параллельны (рис. 269, а), а лю-
бые две параллельные прямые связаны парал-
лельным переносом, и даже не одним. После
такого переноса параллелограмм и его образ
могут быть склеены, образуя при этом в объ-
единении новую фигуру (рис. 269, б).
На основе параллелограмма (рис. 270, а)
можно получить и другие фигуры, которые
могут быть склеены со своими образами при
переносе. Для этого достаточно две противопо-
ложные стороны параллелограмма искривить
(но обязательно одинаково!) (рис. 270, б). Ко-
нечно, можно искривлять и две другие сторо-
ны (рис. 270, в).
20.2. Потренируйся в рисовании таких фигур,
которые могут быть склеены со своими образа-
ми при параллельном переносе.
Ту фигуру, которую мы используем для
конструирования новых фигур склеиванием
с её образом при преобразовании, мы будем
называть образующей фигурой.
20.2. Последовательное применение па-
раллельных переносов. Для конструиро-
вания новых фигур можно воспользоваться
несколькими разными переносами, которые
позволяют склеивание фигуры с её образом.
На рисунке 271 представлены фигуры, кото-
рые можно получить из частей, связанных
различными параллельными переносами. Все
эти фигуры образованы одним и тем же пря-
моугольником .
20.3. Многоугольник, изображённый на рисун-
ке 272, получен склеиванием фигур, связан-
а
Рис. 269
Рис. 270
Рис. 271
Рис. 272
§20. Применение параллельного переноса
99
a
б
Рис. 273
в
Рис. 274
Рис. 275
ных параллельным переносом. Найди образующую фигуру и определи
площадь многоугольника: а) приняв за единицу площадь образующей
фигуры; б) в квадратных сантиметрах.
Воспользуемся теперь одним и тем же переносом несколько раз:
сначала применим его к параллелограмму (рис. 273, а), затем к его
образу (рис. 273, б) и так далее. Продолжая этот процесс неограни-
ченно, мы получим конструкцию (рис. 273, в), начинающуюся в пер-
вом параллелограмме и неограниченную в одну сторону. Это похоже
на построение числового луча. (Объясни почему.)
Можно с помощью параллельных переносов из данной фигуры
получить конструкцию, неограниченную в обе стороны. Для этого,
кроме рассмотренного переноса, нужно использовать ещё и проти-
воположный ему (рис. 274). Такая конструкция является бордюром.
Вообще бордюр может быть получен из любой фигуры (рис. 275). При
этом может быть использовано не только склеивание, но и простое
объединение фигур.
Конструкцию, полученную из фигуры F последовательным неограни-
ченным применением двух параллельных переносов в противопо-
ложных направлениях, называют бордюром, образованным этой
фигурой. При этом фигуру F называют образующей фигурой.
Бордюр (франц, bordure, от bord — край) — украшение по краям чего-нибудь;
в декоративном садоводстве — посадка низких (бордюрных) растений по кон-
туру клумбы, по краям дорожек или газонов.
100
Глава 4
Конструкции из
равных
фигур
К бордюру, например, из параллелограм-
мов (рис. 276, а) можно применить последо-
вательно новый параллельный перенос так,
чтобы образ этого бордюра с ним склеился
(рис. 276, б). Если применить ещё и перенос
в противоположном направлении (рис. 276, в),
то копиями параллелограмма заполнится вся
плоскость. Получится конструкция, с которой
ты уже встречался в пятом классе, — паркет
(или замощение).
Паркеты являются специальным случаем
орнаментов.
Орнамент — это объединение правильно
повторяющихся равных фигур (рис. 277).
Среди всех орнаментов паркет выделяется
тем, что он полностью покрывает плоскость
(без пропусков и наложений частей). При этом
плоскость оказывается склеенной из фигур, об-
разующих паркет (рис. 277, в).
На рисунке 278, а, б показаны орнаменты,
образованные шестиугольниками, а на рисун-
ке 278, в — паркет, образованный теми же
шестиугольниками.
Орнамент (от лат. огпаге — снаряжать, укра-
шать) — украшение из листьев, иногда переме-
шанных с плодами.
Паркет (от франц, parquet — штучный пол) — пол,
набранный из деревянных деталей.
Рис. 276
а л°
В?
о
ср.
Сро
OSS, °Рс
sp'
О°?о
’Р>
СР
Со,
;б°о
CQJ
?Р<
©°о
so
Оо°
Л©°©
©.О©
©О©
о©р
О/“Ч©
©W©
©о©
©©о °
о
©о©
о©о °C
©о© °
Рис. 277
§20. Применение параллельного переноса
101
Рис. 279
Рис. 280
20.4. Определи закономерность (рис. 279) и
выпиши номера рисунков в соответствующем
порядке.
20.5 Как из данного квадрата склеиванием
получить квадрат, который имеет в 4 раза
большую площадь, чем площадь исходного
квадрата? А в 9 раз?
20.6. С помощью каких трёх параллельных пе-
реносов и склеивания можно получить из квад-
рата ABCD прямоугольник ABMN (рис. 280)?
20.3. Бордюры. Бордюры часто используют-
ся в архитектуре и декоративном искусстве.
Глава 4
Рис. 282
В качестве образующей фигуры художники и архитекторы исполь-
зуют разнообразные мотивы растительной, животной и геометриче-
ской тематики. В декоративном искусстве используются всякие взаим-
ные расположения фигур и их образов при параллельном переносе.
Они могут накладываться (рис. 281, а), касаться (рис. 281, б), перепле-
таться (рис. 281, в) и быть совсем разнесённы-
ми (рис. 281, г). В реальной жизни мы имеем
дело не со всем бордюром, а только с его
частью, в которой использован параллельный
перенос столько раз, сколько нужно. Для про-
стоты речи её тоже называют бордюром.
Чтобы нарисовать бордюр, можно восполь-
зоваться шаблоном, вырезанным из какого-ни-
будь плотного материала (рис. 282, а). Пере-
двигая шаблон вдоль прямой каждый раз на
одно и то же расстояние (рис. 282, б) и обводя
его контур, ты получишь бордюр.
20.7. На рисунке 283 изображены различные
бордюры и их образующие фигуры. Сделай
шаблон каждой фигуры и нарисуй бордюр.
Укажи вектор соответствующего параллельно-
го переноса. Обрати внимание на то, что с по-
мощью образующей фигуры может быть создан
образующий фрагмент более сложной формы.
20.8. Сделай из картона шаблон какой-нибудь
фигуры. Задавая различные векторы парал-
лельного переноса, построй различные бордюры.
20.9. Скопируй шестиугольник (рис. 284) и,
используя его в качестве шаблона, нарисуй
три различных варианта бордюра, полученно-
го параллельным переносом.
20.10. Нарисуй бордюры, которые получаются
из фигур, изображённых на рисунке 285, при
параллельном переносе на заданные векторы.
Рис. 283
§ 20. Применение параллельного переноса
103
Рис. 287
20.4. Паркеты. С помощью параллельных
переносов можно получить паркет из паралле-
лограммов одинаковым искривлением его па-
раллельных сторон (рис. 286, а, б). При этом
может получиться так, что эта фигура сама со-
стоит из равных частей (рис. 286, в).
Если подобрать контуры каких-нибудь
предметов, животных, растений для фигуры,
образующей паркет, то геометрическая конст-
рукция может превратиться в произведение
искусства. Так, например, на рисунке 287
представлены три художественных замоще-
ния. Создавая их, художники среди фигур, об-
разующих паркеты, нашли фигуры, по форме
напоминающие контуры рыб. «Образующие»
рыбы в этих паркетах разные, но их отличие
зависит в большой степени от геометрических
характеристик замощения, а не от фантазии
художника.
Ты знаешь, что параллелограммом можно
замостить плоскость, используя две пары пе-
реносов в двух противоположных направлени-
ях. Так же параллелепипедом можно замо-
стить пространство. Только для этого придётся
добавить ещё пару переносов в противополож-
ных направлениях на векторы, не параллель-
ные плоскости первых переносов (рис. 288).
Замощение пространства (или его части) —
это важная практическая задача. Например,
при строительстве дома используют блоки или
кирпичи. Понятно, что кирпич не может быть
какой угодно формы. Его форма должна по-
зволять соединять одинаковые кирпичи друг
104
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 288
с другом так, чтобы не оставалось пустот. Самая простая и удобная
для производства и строительства форма кирпича — форма прямо-
угольного параллелепипеда.
Кирпичи могут быть и другой формы. Главное — это должны
быть фигуры, которые могут без пустот заполнить пространство
(рис. 289, 290). Большинство из них могут быть получены из паралле-
лепипеда одинаковым изгибанием параллельных граней. Модели по-
следних двух многогранников ты можешь сделать, используя развёрт-
ки из Приложения (с. 139, 140).
Рис. 291
§20. Применение параллельного переноса
105
Рис. 292
20.11. Из фигур (рис. 291) выбери те, которые могут быть использо-
ваны для получения паркета.
. Совет. Можно воспользоваться калькой.
20.12. Определи закономерность (рис. 292) и выпиши номера рисун-
ков в соответствующем порядке.
§ 21
Применение поворота
21.1. Склеивание фигур, связанных поворотом. На рисунке 293
изображены объединения двух фигур, связанных между собой поворо-
том. Выбери среди них те, которые получены склеиванием.
Конечно, это фигуры 2, 3, 5. Ты видишь, что форма склеиваемых
фигур может быть различной. Мы опять сначала рассмотрим самый
простой пример.
Возьмём какой-нибудь равнобедренный треугольник АВС с боко-
выми сторонами АВ и АС и углом при вершине, равным а (рис. 294, а),
и повернём его вокруг вершины А на угол а. При этом луч АВ совме-
стится с лучом АС. Объединение треугольника АВС и его образа АВ'С
при повороте показано на рисунке 294, б. В зависимости от величи-
ны угла А могут получиться различные фигуры (рис. 294, в).
Фигура, которая может быть склеена со своим образом при по-
вороте, не обязательно должна быть равнобедренным треугольни-
ком (рис. 295). На рисунках 295, б, г приведены фигуры, которые
106
Глава 4
Конструкции из равных фигур
a
в
получены из равнобедренных треугольников
изгибанием их боковых сторон. Очень важно
отметить, что те части границы фигуры, кото-
рые не участвуют в склейке, могут изгибаться
независимо друг от друга. Но части, по кото-
рым склеиваются фигура и её образ, должны
изгибаться одинаково (рис. 296).
21.2. Последовательное применение по-
ворота. Так же как и в случае параллельно-
го переноса, при последовательном примене-
нии одного и того же поворота можно полу-
чать новые фигуры.
Применим к треугольнику АВС такой по-
ворот вокруг точки А, чтобы его образ мог
приклеиться к нему. Это поворот на угол ВАС.
Применяя поворот «от образа к образу», мы
получим фигуру (рис. 297), похожую на ежа.
Она состоит из 6 равных частей. Подчеркнём,
что соседние части получившейся фигуры свя-
заны одним поворотом: вокруг одной точки на
один и тот же угол.
Как ты думаешь, можно ли подобрать тре-
угольник и его поворот так, чтобы последняя
Рис. 296
§21. Применение поворота
107
Рис. 299
часть фигуры (в нашем случае — шестая)
склеилась с первой?
Конечно, можно. Для этого угол треуголь-
ника и угол поворота должны быть равными
и такими, чтобы шесть одинаковых углов
в сумме образовали полный угол (рис. 298, а).
Таким углом является угол 60°.
Если же мы захотим получить аналогич-
ную фигуру, состоящую из 5 равных равно-
бедренных треугольников, то угол при вер-
шине этого треугольника должен быть равен
360 : 5 = 72° (рис. 298, б).
21.1. Определи, каким должен быть угол при
вершине равнобедренного треугольника, чтобы
из него с помощью поворота вокруг вершины
можно было получить многоугольник, состоя-
щий из трёх, четырёх, десяти равных частей,
последняя из которых склеилась бы с первой.
, Проверь себя. На рисунках (рис. 298, в)
показаны соответствующие треугольники и
полученные из них фигуры.
Мы получали из равнобедренных тре-
угольников многоугольники с помощью после-
довательного применения одного и того же
поворота (см. рис. 298, б, в). Такие много-
угольники называются правильными много-
угольниками, а общая вершина равнобедрен-
ных треугольников — его центром. В таких
многоугольниках все углы равны и все стороны
равны (почему?). Это свойство используют для
определения правильных многоугольников.
Многоугольник называется правильным,
если все его стороны равны и все углы
равны.
Правильные многоугольники можно полу-
чить склеиванием не только равнобедренных
треугольников, но, например, и фигур, полу-
ченных из равнобедренных треугольников из-
гибанием их боковых сторон (рис. 299, а).
Если заменить треугольник, образующий
правильный многоугольник, какой-нибудь дру-
гой фигурой и применить к ней те же пово-
роты, то можно получить орнамент в круге —
розетку (рис. 299, б).
Вернёмся к паркетам из рыб (см. рис. 292).
Ты, наверное, заметил, что образующие фигу-
ры для образования паркета параллельным пе-
реносом соединяются по-разному. В первом и
третьем паркетах для этого были использованы
повороты. На рисунке 300 показаны центры
и углы этих поворотов.
108
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 301
21.2. Скопируй фигуры (рис. 301) и для каждой из них укажи цент-
ры и углы поворотов, связывающих их части.
21.3. Скопируй фигуры (рис. 302) и раздели каждую из них на рав-
ные части, связанные друг с другом поворотом.
21.3. Правильные пирамиды. С помощью поворота можно по-
лучить и пространственные фигуры.
Возьмём, например, треугольную пирамиду, у которой в основа-
нии — равнобедренный прямоугольный треугольник АОВ, а высо-
та РО проходит через вершину О прямого угла (рис. 303, а). Повер-
нём в каком-нибудь направлении эту пирамиду вокруг прямой РО на
угол, равный 90° (рис. 303, б), затем в том же направлении — ещё раз
(рис. 303, в) и, наконец, — третий раз (рис. 303, г). При этом мы по-
лучим пирамиду, у которой в основании — квадрат ABCD (правиль-
ный четырёхугольник), а высота — отрезок РО — проходит через его
центр. Такая пирамида называется правильной.
Рис. 303
§21. Применение поворота
109
Рис. 304
Рис. 305
Правильной пирамидой называют такую
пирамиду, у которой основание — правиль-
ный многоугольник, а высота проходит че-
рез центр этого многоугольника.
Правильные пирамиды могут быть не толь-
ко четырёхугольными, но и треугольными,
пятиугольными... (рис. 304).
21.4. Опиши, как можно указанным способом
получить другие правильные пирамиды: тре-
угольную, пятиугольную, шестиугольную. Ка-
ковы должны быть при этом углы поворота?
21.5. В Приложении (с. 134) изображены шаб-
лоны правильных многоугольников, по-разному расположенных по
отношению к зрителю. Сделай эти шаблоны и потренируйся в изобра-
жении правильных пирамид в различных положениях.
21.6. Две правильные треугольные пирамиды совместили основания-
ми так, как показано на рисунке 305. Прямая I содержит высоты этих
пирамид. Сделай такой же рисунок и изобрази на нём образ отрез-
ка MN при повороте вокруг прямой I на угол 120°.
21.7. Сделай модели правильных пирамид, развёртки которых пред-
ставлены в Приложении на с. 135—137.
21.4. Правильные призмы. Поворот вокруг прямой можно исполь-
зовать и для получения призм.
21.8. Как с помощью поворотов можно получить призму, в основании
которой лежит правильный шестиугольник?
Проверь себя. Для получения шестиугольной призмы можно
взять прямую треугольную призму AOBAjOjBj, в основании кото-
рой — равнобедренный треугольник АОВ с углом при вершине О,
равным 60°, и пять раз повернуть её и её образ вокруг ребра ООг
(рис. 306) в одном направлении. При этом получится прямая призма,
которая называется правильной.
Правильной призмой называется такая прямая призма, в основа-
нии которой лежит правильный многоугольник.
21.9. Используя шаблоны правильных многоугольников (Приложе-
ние, с. 134), нарисуй правильные шестиугольную и пятиугольную
призмы.
21.10. Как с помощью поворота вокруг прямой можно получить пра-
вильные пятиугольную и восьмиугольную призмы? Каким должен
быть при этом угол поворота?
110
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 306
1 2
3
Рис. 307
Рис. 308
§ 22
21.11. Определи закономерность (рис. 307) и
расставь рисунки в порядке, соответствующем
этой закономерности.
Применение симметрии
Перейдём теперь к конструированию фи-
гур с помощью осевой симметрии. Подумаем,
как могут располагаться фигура и ось симмет-
рии, чтобы новую фигуру можно было полу-
чить склеиванием. На рисунке 308 приведены
примеры фигур, части которых связаны осе-
вой симметрией.
Видно, что склеивание фигуры со своим
образом может быть произведено только в слу-
чае, если её граница содержит отрезок, луч
или прямую (т. е. прямолинейный участок).
Ось симметрии должна быть расположена так,
чтобы на ней лежал этот участок границы
(рис. 309). Форма оставшейся части фигуры
значения не имеет. Важно только, чтобы вся
фигура лежала по одну сторону от оси симмет-
§22. Применение симметрии
111
a
ЖЖЖ
ЖФж
зжж
ЖГЖ
рии. Осевую симметрию часто используют при
создании орнаментов в полосе (рис. 310, а),
в круге (рис. 310, б), на плоскости (рис. 310, в).
22.1. Нарисуй угол АОВ. Используя осевую
симметрию, построй такой угол, чтобы биссек-
трисой его был: а) луч ОА; б) луч ОВ.
22.2. Начерти прямоугольный треугольник
АВС, в котором угол С прямой, а стороны АС
и СВ равны соответственно 3 см и 2 см. По-
строй треугольник, симметричный данному
относительно: а) прямой АС; б) прямой ВС;
в) прямой АВ. Какой фигурой в каждом слу-
чае является объединение данного треугольни-
ка и построенного?
22.3. Реши задачу, аналогичную предыдущей,
для равнобедренного прямоугольного тре-
угольника АВС. Чем отличаются результаты,
полученные при решении этих задач?
22.4. Придумай ещё два каких-нибудь способа
получения квадрата с помощью осевой сим-
метрии.
Замена» « э. Можно применить не одну осе-
вую симметрию.
22.5. Придумай, как можно получить с помо-
щью осевой симметрии: а) прямоугольник;
б) треугольник; в) ромб; г) правильный шес-
тиугольник.
Рис. 310
§ 23
Использование разных
видов движений для получения
Рис. 311
новой фигуры
23.1. Склеивание фигур, связанных раз-
ными движениями. На рисунке 311 пред-
ставлены фигуры, равные части которых свя-
заны разными движениями. Обрати внимание
на то, что фигуры получены из одного и того
же прямоугольного треугольника.
В обоих случаях были использованы сим-
метрия относительно одной стороны треуголь-
ника и поворот вокруг середины другой сто-
роны. Но преобразования были выполнены
в разном порядке и относительно разных сто-
рон, поэтому получились разные результаты.
23.1. Выдели лишнюю фигуру (рис. 312).
Рис. 312
112
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Размышляя над задачей, ты мог обнаружить, что фигуры можно
сравнивать по тому, в какой последовательности и какими движения-
ми связаны части этих фигур. Другими словами, фигуры можно раз-
личать по алгоритму склеивания частей. (Чтобы вспомнить, что та-
кое алгоритм, вернись к § 5.)
Фигуры на рисунках 312, б—г сконструированы по одной и той
же схеме — одному алгоритму: а) части 1 и 2 связаны симметрией
относительно их общей стороны; б) части 2 и 3 связаны поворотом
вокруг вершины на угол между сторонами, сходящимися в этой вер-
шине.
Процесс получения новых фигур из равных частей с помощью
склеивания можно представлять в виде схемы. Надо только приду-
мать понятную систему обозначения отдельных этапов этого процесса.
Этапы конструирования фигуры можно представлять в виде рисунков
(пиктограмм).
Пиктограмма (от лат. picture — рисунок, и греч. gramma — начертание,
линия) — это запись информации в виде картинки.
Ещё в Древнем Египте существовала такая система передачи
информации. На рисунке 313 приведены примеры пиктограмм. Поду-
май, где можно увидеть пиктограммы.
Наскальные изображения
первобытных людей
Иероглифы
Древнего Египта
Гербы (геральдика)
Дорожные знаки
Рис. 313
Компьютерные
пиктограммы
Обозначим пиктограммами следующие движения:
— параллельный перенос;
— осевая симметрия;
— поворот;
— центральная симметрия.
§23. Использование разных видов движений
для получения новой фигуры
113
Рис. 314
б)
Введём еще обозначения для более слож-
ных операций:
— объединение образов фигур;
— неограниченный повтор переноса:
— неограниченный повтор двух взаимно
противоположных переносов.
Запишем с помощью введённых пикто-
грамм алгоритмы конструирования фигур,
изображённых на рисунке 314:
а) {фигура М}
А
V
{фигура F};
А
▼
в) {фигура М}
1..Л.<
{фигура К}.
Рис. 315
Конечно, для точного описания алгоритма
мы должны указать векторы переносов, углы и
центры поворотов, расположение осей симмет-
рии. Однако мы ограничимся такими общими
обозначениями, чтобы только дать представле-
ние о том, как придумать и организовать кон-
струирование фигур из равных частей.
23.2. Какие из фигур (рис. 315) склеены по
одному алгоритму? В каждом случае запиши
схему этого алгоритма.
23.3. Построй фигуру из равностороннего тре-
угольника по следующим алгоритмам:
а) {ААВС} Ц
j) у) {фигура F};
б) {ААВС} О gl 5 Ю {фигура G}.
23.2. Орна leHibl. Сочетание разных преоб-
разований при конструировании орнаментов
имеет большое значение. Чем больше разных
преобразований использовано при изготовле-
нии орнамента, тем более «запутанным», «за-
гадочным» он становится.
Мы говорили, что образующая фигура
может быть получена с помощью движений
из другой, более простой фигуры. Простейшую
образующую фигуру мы, вслед за художни-
ками и архитекторами, будем называть мо-
тивом.
Мотив, используемый в орнаментах, мо-
жет быть различным: растительным, живот-
ным, геометрическим... (рис. 316).
114
Глава 4
Конструкции из равных фигур
ьр C^“> ьр ьр r/^ ьр г^л
^^ЧсУ^пд^
Рис. 316
Опишем наиболее распространённые схемы построения орна-
ментов.
Для получения орнамента в полосе обычно поступают так:
• определяют мотив (М) орнамента (рис. 317, а);
• конструируют из него фигуру (F), которая будет распространяться
по полосе (рис. 317, б);
• распространяют по всей полосе полученную фигуру F переноса-
ми, симметриями, поворотом на 180° — центральной симметрией
(рис. 317, в).
В общем виде такой наиболее распространённый способ построе-
ния бордюров можно представить с помощью пиктограмм так:
{мотив} ***
{фигура F}
{бордюр}.
Вместо звёздочек в каждом случае будут стоять пиктограммы,
которые соответствуют движениям, связывающим части фигуры F.
Например, алгоритм, соответствующий бордюру, изображённому
на рисунке 317, можно представить так:
1
{мотив}
{фигура F}
{бордюр}.
Для получения орнаментов в круге чаще всего применяют следу-
ющий способ:
• определяют, в какой части полного угла будет располагаться фигу-
ра, образующая орнамент (рис. 318, а);
§23. Использование разных видов движений
для получения новой фигуры
115
• определяют мотив орнамента М (рис. 318, б);
• конструируют из мотива образующую фигу-
ру (рис. 318, в);
• распространяют полученную фигуру на пол-
ный угол с помощью поворота или осевой сим-
метрии (рис. 318, г).
Один из возможных алгоритмов, с помо-
щью которого можно получить орнамент,
изображённый на рисунке 318, г, выглядит
так:
{мотив} А ‘ ’ 3 {фигура F}
{розетка}.
Рис. 319
Схема получения орнаментов на плоско-
сти (рис. 319) мало чем отличается от схемы
получения бордюров. Здесь только добавляет-
ся ещё одна операция — склеивание полос для
полного заполнения плоскости. Кроме того,
орнамент на всей плоскости можно получить
и на основе розетки. Если в качестве фигуры,
116
Глава 4
Конструкции
из равных фигур
Рис. 321
образующей розетку, взять угол подходящей величины, то при
последовательном применении нужного числа поворотов мы в объеди-
нении получим плоскость (рис. 320, а). Если угол разбить на равные
части, то можно получить орнамент на плоскости (рис. 320, б), и даже
весьма необычного вида (рис. 320, в).
23.4. Четыре бордюра (рис. 321) образованы по одному алгоритму.
Зарисуй пиктограммами этот алгоритм.
23.5. Три розетки (рис. 322) образованы по одному алгоритму. Зари-
суй пиктограммами этот алгоритм.
23.6* . Какие из следующих алгоритмов при определённом выборе
векторов переносов, осей симметрий и центров поворотов могут приве-
сти к одному результату:
л
▼
а)
{мотив}
б) {мотив}
в) {мотив}
% ~4~ \ О {бордюр};
Совет. Чтобы доказать правильность своего решения, приведи
пример бордюра, к которому подходят эти алгоритмы.
Рис. 322
§23. Использование разных видов движений
дляполученияновойфигуры 117
§ 24
Фигуры, составленные
из равных частей
24.1. Самосовмещения фигуры. Мы обра-
тили внимание на то, что среди всех возмож-
ных преобразований какой-нибудь фигуры
можно выделить те, которые приводят к особо-
му (будем говорить — «замечательному») вза-
имному расположению фигуры и её образа.
Для фигуры F (рис. 323, а) «замечатель-
ным» можно назвать поворот на 45° вокруг
точки А по часовой стрелке, который приво-
дит к склеиванию фигуры F и её образа F'
(рис. 323, б). Кроме этого, поворот на 180° во-
круг точки D (рис. 323, в) приведёт к склеива-
нию фигур F и F'. При повороте фигуры F на
360° тоже произойдёт необычное взаимное рас-
положение этой фигуры и её образа: они пол-
ностью совпадут (рис. 323, г).
Последнее расположение фигуры и её обра-
за даже имеет специальное название — совме-
щение фигуры с собой или самосовмещение фи-
гуры. Словом «самосовмещение» мы будем на-
зывать также и преобразование, при котором
фигура совпадает со своим образом.
Однако самосовмещение некоторых фигур
может произойти не только при повороте на
360°. Правильный треугольник, например, са-
мосовмещается поворотами на 120°, 240°, 360°
и тремя осевыми симметриями (рис. 324).
24.1. Для каждой из фигур (рис. 325, а) назо-
ви преобразования, которые приводят к совме-
щению этой фигуры с собой.
24.2. Скопируй фигуру (рис. 325, б). Дорисуй
её так, чтобы получившуюся фигуру можно
было совмещать с собой: а) двумя разными
движениями; б) тремя разными движениями.
24.3*. Может ли плоская фигура самосовме-
щаться при параллельных переносах? Если да,
то нарисуй пример такой фигуры.
118
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 325
Рис. 326
Проверь себя. Такой может быть только неограниченная фигура.
На рисунке 326—приведен соответствующий пример.
Бордюры могут самосовмещаться также при поворотах на 180°
и осевых симметриях (рис. 327).
Самое большое разнообразие преобразований, осуществляющих са-
мосовмещение фигуры, можно наблюдать в орнаментах на плоскости.
24.4* . Посмотри на рисунки 328—330 и расскажи, какие преобразо-
вания приводят к самосовмещению изображённых паркетов.
Рис. 327
Рис. 328
§24. Фигуры, составленные из равных частей
119
Рис. 329
Рис. 330
Рис. 331
Рис. 332
Для паркетов на рисунках 329, а и 329, б
каждое преобразование, связывающее любые
две плитки, самосовмещает весь паркет. А для
паркета на рисунке 329, в это не так: плит-
ки F и G связаны поворотом на 90°, кото-
рый не приводит к самосовмещению всего
паркета. Бывают такие паркеты, которые не
могут самосовместиться параллельным пере-
носом (рис. 328).
Пространственные фигуры тоже могут са-
мосовмещаться при некоторых преобразовани-
ях. Например, правильные пирамиды и приз-
мы.
Правильная пирамида может быть совме-
щена с собой при поворотах вокруг своей вы-
соты, а правильная призма — при поворотах
вокруг прямой, проходящей через центры
оснований (рис. 331, а, б).
Кроме того, есть ещё зеркальные симмет-
рии, которые самосовмещают правильные пи-
рамиды и призмы (рис. 331, в—д).
120
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Для правильной призмы, кроме перечис-
ленных, есть и другие движения, самосов-
мещающие её. Это симметрии относительно
некоторых прямых (рис. 331, е, ж), а иногда
и центральная симметрия (рис. 331, б, е).
24.5. На рисунке 332 изображены фигуры,
для каждой из которых есть несколько преоб-
разований, приводящих к самосовмещению.
Назови их.
24.2. Фигуры, обладающие симметрией.
Нетрудно заметить, что если есть движение,
самосовмещающее фигуру (рис. 333, а), то эта
фигура состоит из равных частей, одинаково
расположенных по отношению друг к другу
(рис. 333, б).
24.6. Найди фигуры на рисунке 334, которые
можно разделить на равные части. Какими
преобразованиями может быть совмещена одна
из этих частей с другой? Происходит ли каж-
дый раз при этом самосовмещение фигуры?
24.7. Нарисуй какую-нибудь фигуру, самосов-
мещающуюся при: а) повороте вокруг точки
на 90°; б) осевой симметрии; в) центральной
симметрии. В каждом случае выдели разными
цветами равные части, связанные друг с дру-
гом соответствующим движением. Можно ли
эту фигуру как-нибудь иначе разбить на рав-
ные части, связанные друг с другом этим дви-
жением?
Проверь себя. На рисунке 335, а приве-
дена фигура, которая самосовмещается цент-
ральной симметрией, на рисунках 335, б—г —
соответствующие разбиения на две равные
части.
Про фигуру, которая может быть самосов-
мещена движением, говорят, что она облада
ет симметрией или что она — симметричная
фигура.
Слово симметрия происходит от греческого sym-
metria (sym — вместе и metron — мера) и означает
соразмерность в расположении частей целого.
Сравни это слово со словом гармония
(см. п. 11.3).
Рис. 335
§24. Фигуры, составленные из равных частей
121
Рис. 338
Из самого смысла слова симметрия становится понятно, почему
именно этот термин был взят для обозначения фигур, самосовмещае-
мых движением. Такие фигуры, как мы уже говорили, могут быть
разделены на равные части, одинаково расположенные по отношению
друг к другу.
В зависимости от того, какое движение самосовмещает фигуру,
говорят об осевой, центральной, зеркальной, поворотной или перенос-
ной симметриях фигуры.
Мы понимаем, что параллельным переносом могут быть совмеще-
ны с собой только неограниченные фигуры, поэтому только они могут
обладать переносной симметрией. На рисунке 336 приведены приме-
ры фигур, обладающих центральной и осевой симметриями. При этом
точка О называется центром симметрии фигуры, прямая I называ-
ется осью симметрии фигуры.
24.8. Объясни, что такое: а) центр симметрии фигуры; б) ось сим-
метрии фигуры; в) плоскость симметрии фигуры.
24.9. Вернись к рисунку 332 и определи, какие фигуры имеют центр,
ось, плоскость симметрии.
24.10. Нарисуй какую-нибудь фигуру, имеющую центр (ось) симмет-
рии.
24.11. Какая из фигур (рис. 337) лишняя?
24.12. Определи закономерность (рис. 338) и расставь рисунки в соот-
ветствующем порядке.
122
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 339
Фигуры, изображённые на рисунке 338, отличаются количеством
поворотов вокруг отмеченной точки, самосовмещающих фигуру. Для
четвёртой фигуры их три, для второй — 4, для пятой — 6. В таком
случае говорят, что для этих фигур отмеченная точка является цент-
ром поворотной симметрии соответственно третьего, четвёртого,
шестого порядков.
24.13. Какой порядок поворотной симметрии имеют фигуры 1, 3, 6
(рис. 339)?
24.14. Нарисуй плоскую фигуру, имеющую центр поворотной сим-
метрии пятого порядка.
Можно говорить и об оси поворотной симметрии пространствен-
ной фигуры. Вспомни, например, о правильных пирамидах и призмах
(см. рис. 304 и 306).
24.15. Как ты понимаешь слова: «прямая является осью поворотной
симметрии третьего порядка»?
Если фигура обладает центральной, зеркальной, осевой, поворот-
ной или переносной симметриями, то центр, плоскость, ось соответст-
вующих симметрий, а также вектор переноса называют элементами
симметрии фигуры.
24.16. Назови все элементы симметрии фигур (рис. 339). Выбери ту
фигуру, которая имеет наибольшее количество элементов симметрии.
24.17. Найди какие-нибудь элементы симметрии правильной: а) тре-
угольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды; в) треугольной
призмы; г) четырёхугольной призмы.
24.18* . Нарисуй куб. Изобрази какие-нибудь элементы симметрии
куба.
Проверь себя. На рисунках 340—342 изображены элементы сим-
метрии куба: плоскости симметрии (рис. 340), оси поворотной сим-
метрии (рис. 341) и центр симметрии (рис. 342).
Рис. 340
§24. Фигуры, составленные из равных частей
123
90'
120
180"
Куб является «самой симметричной» из всех четырёхугольных
призм: он имеет наибольшее количество элементов симметрии — 23.
Все его грани — равные между собой квадраты (правильные четырёх-
угольники).
Среди треугольных пирамид тоже можно выделить «самую сим-
метричную» фигуру: треугольную пирамиду, все грани которой — рав-
ные между собой правильные треугольники. Такая пирамида называ-
ется правильным тетраэдром. На рисунке 343 изображены некоторые
элементы симметрии правильного тетраэдра. Всего их 13.
Из равных правильных треугольников можно составить поверх-
ность ещё двух интересных многогранников — правильного октаэдра
(рис. 344, а) и правильного икосаэдра (рис. 344, б).
Интересно, что правильный октаэдр можно получить, соединяя
в определённом порядке центры граней куба (рис. 345). Число элемен-
тов симметрии правильного октаэдра такое же, как у куба, — 23.
Если же соединить в определённом порядке центры граней правиль-
ного икосаэдра, то получится многогранник, все грани которо-
го — равные между собой правильные пятиугольники (рис. 346, а).
124
Глава 4
Конструкции из равных фигур
Такой многогранник называется правильным
додекаэдром (рис. 346, б).
На рисунке 347 изображены некоторые
элементы симметрии правильного октаэдра,
правильного икосаэдра и правильного додека-
эдра.
Многогранники, с которыми ты только
что познакомился, называются правильными
многогранниками.
Все названия правильных многогранников имеют
один корень: hedra (греч.) — опора, основание,
грань. Первая часть каждого названия указывает на
количество граней в многограннике: tetra — четы-
ре; okta — восемь (сравни: октава — интервал, со-
стоящий из восьми тонов); dodeka — двенадцать;
ikosa — двадцать. Как ты знаешь, куб имеет 6 гра-
ней, и поэтому его иногда называют гексаэдр
(дека — шесть).
В Приложении (с. 136—139) приведены
развёртки правильных многогранников. Есть
развёртки и других многогранников, обладаю-
§24. Фигуры, составленные из равных частей
125
Рис. 348
щих зеркальной, поворотной, осевой и центральной симметриями. Со-
ветуем тебе с друзьями изготовить модели разных многогранников,
которые смогут украсить ваш класс.
24.19. Приведи примеры симметричных предметов, встречающихся
в быту, природе и строительстве, и объясни свой выбор.
24.20* . На рисунке 348 представлены различные объекты окружаю-
щего мира и геометрические фигуры. Установи соответствие между
этими двумя группами. Запиши ответ в виде набора пары буква-но-
мер, например (д, 5).
24.3. О привлекательности форм. Самые разнообразные формы
мы можем наблюдать у живых существ (растений, животных, бак-
терий...) и веществ (минералов, воды, огня...). Природа старается
126
Глава 4
Конструкции из равных фигур
создать их форму так, чтобы они тратили как можно меньше энергии
и получали как можно больше пользы от взаимодействия с окружаю-
щей средой. Именно эти принципы определяют гармоничность при-
родных форм. Природа редко создаёт формы, не являющиеся гармо-
ничными. Такие исключения — это скорее результат разрушения, но
не созидания.
Человек всегда старался замечать, изучать и использовать законы
природы. Раньше от успешного изучения и понимания законов приро-
ды зависела жизнь человека. Теперь с развитием цивилизации окру-
жённый многочисленными рукотворными вещами человек отдалился
от непосредственного влияния природы. Однако он сохранил способ-
ность распознавать природные закономерности во встречаемых вещах.
Он старается окружить себя предметами, которые создают комфорт,
ощущение гармонии (рис. 349). Привлекательность предметов для
каждого человека определяется не только «созвучием» этого предмета
с личным опытом человека, но в первую очередь соответствием этих
предметов природным закономерностям, которые человек не может не
чувствовать, так как он сам является частью природы.
Рис. 349
§24. Фигуры, составленные из равных частей
127
Рис. 350
24.21. Выбери из ряда объектов (рис. 350) те, формы которых ка-
жутся тебе наиболее привлекательными. Попытайся объяснить свой
выбор.
Можно объяснить причину привлекательности симметричных фи-
гур. Всё дело в их простоте. В симметричной фигуре мы сразу разли-
чаем одинаковые (симметричные) взаимные отношения между её час-
тями. Именно поэтому мы выделяем из ряда предложенных фигур
в первую очередь такие фигуры. Другие же (не симметричные) фигу-
ры нам труднее изучить и понять.
Симметричными должны быть также отношения между людьми.
Это очень важно для того, чтобы все участники отношений были рав-
ноправными, не испытывали обиду. Об этом надо помнить всегда:
и дома, общаясь со своими родными, и в школе при общении с одно-
классниками и учителями.
Человек, изучив закономерности природных форм, стал вопло-
щать свои знания в различных областях своего творчества: архитекту-
ре, искусстве, технике и др. (рис. 351—356).
Рис. 351
128
Гля а 4
Конструкции из равных фигур
Рис. 352
24.22. Найди одинаковые фрагменты на изображении Казанского со-
бора в Петербурге (рис. 352). Каково их взаимное расположение?
24.23. Назови другие симметричные здания или архитектурные ан-
самбли. Какой симметрией они обладают?
24.24. Какие геометрические фигуры использованы в узоре решёток
на рисунке 353? Выдели равные фрагменты узоров. Каково их взаим-
ное расположение?
Рис. 353
§24. Фигуры, составленные из равных частей
129
24.25. На рисунке 355, 356 изображены паркеты из российских двор-
цов. Подчиняется ли расположение их деталей каким-либо законо-
мерностям? Если да, то каким именно?
Мы порой не можем объяснить, почему нам нравится форма той
или иной фигуры, но мы знаем, что красота и привлекательность фор-
мы фигуры, предмета или живого организма определяется их геомет-
рическими свойствами. Получается, что мы можем заметить, почувст-
вовать сложные геометрические свойства фигур, даже не зная законов
геометрии, лежащих в основе этих свойств.
Наш мозг, откликаясь на закономерности, определяющие форму
фигуры, сигнализирует нам о её привлекательности. Однако мозг мо-
жет обманывать нас, делая на основании увиденного выводы, кото-
рые не соответствуют действительности. Примером тому могут служить
Рис. 354 Рис. 355
130
Глава 4
Конструкции
из равных фигур
Рис. 356
фигуры, вызывающие иллюзии, т. е. уверенность в том, чего нет на са-
мом деле. На рисунке 357, а мы видим горизонтальные отрезки не
прямолинейными, а на рисунке 357, б отрезки кажутся нам разными
по длине, хотя на самом деле они равны. Окружности равного радиуса
(рис. 357, в) кажутся нам разными по размеру.
Отделить существующие закономерности от иллюзий помогают
человеку знания и опыт, в том числе приобретённые и на занятиях
геометрией. Изучая законы геометрии, человек лучше понимает окру-
жающий его мир, получает определённые знания, помогающие ему
создавать предметы, гармонирующие с природой.
§24. Фигуры, составленные из равных частей
131
ПОСЛЕСЛОВИЕ
Твое первое серьёзное знакомство с геометрией подошло к концу.
За два года ты узнал многое об одной из самых замечательных
наук — геометрии.
Ты знаешь, что геометрия изучает форму, размеры и взаимное
расположение реальных предметов с помощью геометрических фигур,
которые являются мысленными образами этих предметов. И поэтому
геометрия помогает нам исследовать и понять окружающий мир. Ты
и сам немного приобщился к этому исследованию, так как научился
определять форму некоторых предметов, понял, как устроены геомет-
рические фигуры, а значит, возможно, сумеешь сконструировать
что-нибудь новое, т. е. применить свои геометрические знания к прак-
тической деятельности.
Ты продвинулся в овладении так называемым визуальным
языком: решая задачи, ты научился по картинкам получать для себя
информацию, анализировать её, передавать в своих картинках эту
(или другую) информацию другим, так как довольно много времени
и усилий ты уделил рисованию различных геометрических фигур и
реальных предметов.
Одновременно ты познакомился с новым для тебя языком (не ино-
странным, но поначалу таким же непонятным) — геометрическим:
узнал много новых слов-терминов, понял, откуда большинство из них
происходит, даже немного научился говорить на этом, пока ещё не
очень знакомом, языке.
Фактически ты познакомился со всеми геометрическими фигура-
ми, которые в дальнейшем тебе будут встречаться. Но заметил ли ты,
что все твои знания опираются лишь на четыре основных понятия:
точка, отрезок, плоскость и число? И работая только с этими понятия-
ми, ты узнал так много: научился строить лучи, прямые, многоуголь-
ники, углы, каркасы многогранников, другие пространственные фигу-
ры. Ты шёл по пути, который давал тебе возможность познакомиться
с геометрией на уровне конструирования и рисования.
В целом ты имеешь представление обо всей геометрии, которая
изучается в школе, и это станет базой для твоего дальнейшего успеш-
ного изучения этой науки. Многое осталось ещё пока за пределами
твоего внимания. Думающий человек отличается тем, что у него воз-
никают вопросы: не только «как?», но и «почему?». В 7 классе ты
начнёшь систематическое изучение геометрии. То, что сегодня тебе
известно на уровне «как», станет постепенно понятным и на уровне
«почему». Опираясь на те представления, которые выработались
у тебя за эти два года, и используя тот язык, с которым ты познако-
мился, ты сумеешь продвинуться в деле более или менее строгого обо-
снования многих геометрических фактов, а также решения всё более
и более содержательных задач и тем самым научишься правильно ду-
мать и убедительно рассуждать. А в этом и есть одна из важнейших
задач твоего обучения в школе.
Мы надеемся, что тебе было интересно заниматься геометрией,
и желаем сохранить этот интерес на многие, многие годы.
Авторы
132
Послесловие
ПРИЛОЖЕНИЕ
Приложение
133
Шаблоны изображений правильных многоугольников
134
Приложение
Развёртка правильной треугольной пирамиды
Развёртка правильной четырёхугольной пирамиды
Приложение
135
Развёртка правильного тетраэдра
136
Приложение
Развёртка правильной шестиугольной пирамиды
Развёртка правильного гексаэдра (куба)
Приложение
137
Развёртка правильного октаэдра
Развёртка правильного додекаэдра
138
Приложение
Развёртка
Праа-ьного „тосаэдра
139
Развёртка ромбоэдра, имеющего «свойство кирпича»
Греческие буквы Названия букв Греческие буквы Названия букв
А а альфа N v НЮ
в Р бэтта КСИ
гу гамма О о омикрон
А 5 дельта П Я пи
Е е эпсилон РР ро
дзэтта Z о сигма
Н Г) ета Т т тау
© е тета Y и эпсилон
11 йотта Ф ф фи
К к каппа X/ хи
Л X лямбда Т v пси
М у мю Q со омега
Греческий алфавит
140 |
Приложение
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 61 поворот вокруг точки 74
алгоритм 16 — — прямой 78
Бордюр 100 подобные фигуры 21
порядок поворотной симметрии 123
Вектор 71 правильная пирамида 110
высота 36 — призма 110
Гармоническая пропорция 25 правильные многогранники 125
67 правильный многоугольник 108
Движение преобразование 64
Замощение 101 прямоугольник 45
золотое сечение 25 Равенство фигур
27 67
золотой прямоугольник
расстояние между двумя
Коэффициент подобия 21 точками 31
Масштаб 23 — от точки до фигуры 32
мотив 114 розетка 108
ромб 46
Направляющая 48
неподвижная точка 74 Самосовмещение 118
Образ 64 симметрия фигур 121
48 94 — осевая, центральная, 122
образующая объединение фигур — зеркальная 122
61 — переносная, поворотная система координат 122
ордината
орнамент 101
83 — — косоугольная 61 60
ось симметрии фигуры
18 — — прямоугольная склеивание фигур
отношение отрезков 96
Параллелограмм 45 скрещивающиеся прямые 44
параллельные прямые 41 сфера 12
параллельный перенос 69 Трапеция
паркет 104 44
пентаграмма 29 Усеченный конус 81
пересечение фигур 94 Фигуры вращения 80
перпендикулярность 15
перспектива 52 Хорда фигуры 10
пиктограмма 113
плоскость симметрии фигуры 92 Шар 12
Предметный указатель
141
Оглавление
Дорогой шестиклассник! ... 3
Глава 1. Повторение.
Знакомые и новые понятия
§ 1. Какие геометрические
фигуры бывают .... 4
1.1. Самые общие воспомина-
ния ..................... 4
1.2. Новые задачи........ 5
§ 2. Отрезки. Конструкции
из отрезков.............. 7
2.1. Отрезки, лучи, прямые 7
2.2. Ломаные и многоуголь-
ники .................... 7
2.3. Цилиндры, конусы ... 8
§ 3. Круглые фигуры .... 10
3.1. Круг и окружность ... 10
3.2. Хорда...............10
3.3. Круглые тела........12
§ 4. Углы................13
4.1. Общие воспоминания
об углах.................13
4.2. Перпендикулярность . . 15
§ 5. Алгоритмы...........16
§ 6. Отношения в геометрии 18
6.1. Отношение отрезков. . . 18
6.2. Подобные фигуры .... 20
6.3. Масштаб.............23
6.4* . Некоторые замечатель-
ные отношения в гео-
метрии ..................24
6.5* . Гармоническая пропор-
ция .....................25
6.6. * Как построить отрезки,
находящиеся в золотом
отношении?...............26
Глава 2. Взаимное
расположение фигур
§ 7. Расстояния..........31
7.1. Расстояние между двумя
точками..................31
7.2. Расстояние от точки до
фигуры...................32
7.3. Расстояние от точки
до прямой.................33
7.4. Расстояние от точки
до плоскости..............35
7.5. Высоты геометрических
фигур.....................36
§ 8. Взаимное расположение
прямых и плоскостей 38
8.1. Параллельность.......38
8.2. Параллельные прямые 40
8.3. Как построить две па-
раллельные прямые? . . 42
8.4. Ещё один случай взаим-
ного расположения двух
прямых....................43
§ 9. Фигуры, составленные
из параллельных отрез-
ков.......................44
9.1 . Четырёхугольники с па-
раллельными сторонами 44
9.2 . Разные виды параллело-
граммов ..................45
9.3 *. Изготовление плоских
фигур из параллельных
отрезков..................47
9.4 . Получение пространст-
венных фигур из парал-
лельных отрезков .... 48
9.5 *. Получение пространст-
венных фигур из равных
плоских фигур.............49
9.6 *. Получение пространст-
венных фигур из нерав-
ных плоских фигур ... 51
9.7 *. Как мы видим и рисуем
параллельные отрезки 52
§ 10. Известные примеры
координат.................57
10.1. Несколько слов о зна-
комых играх...............57
10.2. Где мы встречаемся
с координатами............57
§11 . Разные системы
координат.................59
11.1. Что такое система ко-
ординат? .................59
142 Оглавление
11.2. Прямоугольная система
координат на плоско-
сти .....................60
Глава 3. Движения фигур
§12 . Понятие преобразова-
ния фигуры ...............64
12.1. Что такое преобразова-
ние фигуры?...............64
12.2. Какие преобразования
фигур бывают?.............66
§ 13. Параллельный перенос 68
13.1. Знакомство с параллель-
ным переносом фигур 68
13.2. Построение образов фи-
гур при параллельном
переносе..................72
§ 14. Поворот фигуры
на плоскости . .... 73
14.1. Поворот фигуры вокруг
точки.....................73
14.2. Построение образа фи-
гуры при повороте во-
круг точки................76
14.3. Новый взгляд на пово-
рот фигуры на плоско-
сти ......................76
§Д5. Поворот фигуры
в пространстве .... 78
15.1. Поворот фигуры вокруг
прямой....................78
15.2. Фигуры вращения ... 79
§ 16. Осевая симметрия
фигур.....................83
16.1. Понятие осевой симмет-
рии фигур на плоско-
сти ......................83
16.2. Как построить две фи-
гуры, симметричные
относительно прямой? 86
§ 17. Центральная симмет-
рия фигур.................87
17.1. Центральная симметрия
фигур на плоскости . . 87
17.2. Центральная симмет-
рия пространственных
фигур.....................90
§ 18*. Симметрия фигур
относительно плоскости 91
Глава 4. Конструкции
из равных фигур
§ 19. Использование движений
для получения новых
фигур................94
19.1. Пересечение фигур. . . 94
19.2. Объединение фигур . . 94
19.3. Склеивание фигур ... 95
19.4. Склеивание фигур, свя-
занных преобразова-
нием .....................97
§ 20. Применение параллель-
ного переноса.............98
20.1. Склеивание фигур, свя-
занных параллельным
переносом.................98
20.2. Последовательное при
менение параллельных
переносов.................99
20.3. Бордюры............102
20.4. Паркеты............104
§ 21. Применение поворота 106
21.1. Склеивание фигур,
связанных поворотом 106
21.2. Последовательное при-
менение поворота . . . 107
21.3. Правильные пирамиды 109
21.4. Правильные призмы 110
§ 22. Применение симмет-
рии ....................111
§ 23. Использование разных
видов движений
для получения новой
фигуры.............112
23.1. Склеивание фигур,
связанных разными
движениями..............112
23.2. Орнаменты.........114
§ 24. Фигуры, составленные
из равных часте й . . 118
24.1. Самосовмещения фи-
гуры ..............118
24.2. Фигуры, обладающие
симметрией..............121
24.3. О привлекательности
форм....................126
Послесловие.............132
Приложение..............133
Предметный указатель . . . 141
Оглавление
143
Учебное издание
Ходот Татьяна Георгиевна
Ходот Александр Юрьевич
МАТЕМАТИКА
НАГЛЯДНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Т. А. Бурмистрова
Младший редактор Н. В. Ноговицына
Художники О. П. Богомолова, А. Ю. Ходот
Художественный редактор О. П. Богомолова
Компьютерная графика А. Ю. X одота
Технический редактор Е. В. Хомутова
Корректор Л. С. Александрова
Налоговая льгота — Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93—953000. Изд. лиц.
Серия ИД № 05824 от 12.09.01. Подписано в печать с оригинал-макета 06.03.07. Формат 70х108’/|6.
Бумага писчая. Гарнитура Школьная. Печать офсетная. Уч.-изд. л. 11,65. Тираж 10 000 экз.
Заказ № 16459 us Л).
Открытое акционерное общество «Издательство «Про< вещение».
127521, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Открытое акционерное общество «Смоленский полиграфический комбинат».
214020, г. Смоленск, ул. Смольянинова, 1.
Т. Г. Ходот А. Ю. Ходот
МАТЕМАТИКА
Наглядная
геометрия
Учебник
для учащихся 6 классов
общеобразовательных
учреждений
Москва «Просвещение» 2007
Т. Г. Ходот
А. Ю. Ходот
МАТЕМАТИКА
Наглядная
геометрия
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
верста
Учебное пособие предназначено
для учащихся 6 класса базовой
общеобразовательной школы.
Курс посвящен взаимному
расположению фигур на плоскости
и в пространстве.
На наглядном уровне обсуждаются
вопросы, связанные с расстоянием,
параллельностью, координатами.
Рассматриваются движения
и элементы симметрии фигур,
знания которых затем применяются
к конструированию.
дюйм
ISBN 978-5-09-015973-9
9 785090 159739
Курс имеет цель:
• подготовить учащихся к успешному
усвоению систематического
курса геометрии средней школы.
• развить пространственные
представления
• выявить основы логического
мышления
ПРОСВЕЩЕНИЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
Наглядная