САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
2005
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
Квантовая механика
Краткий конспект лекций И. В. Абаренкова
БИБЛИОТЕКА
Физического фак-та
СП6Г¥
Предлагаемое пособие представляет собой краткий конспект курса лекций по квантовой механике, читаемых проф. И. В. Абаренковым на физическом факультете Санкт-Петербургского государственного университета. Данный конспект не является учебником и ни в коей мере не заменяет собой сами лекции. Цель конспекта помочь студентам избежать описок при конспектировании лекций, а также эффективнее использовать лекционное время, пользуясь готовыми формулами, рисунками и таблицами. В конспекте содержатся определения, основные положения, важные формулы и теоремы, а также комментарии к физическим следствиям квантовомеханических явлений. В некоторых случаях приводится краткий вывод формул. Подробный вывод формул, доказательства теорем и обсуждение дается в ходе лекций.
Степень ’’сжатия” материала можно наглядно себе представить на следующем примере: четвертая глава курса лекций, вышедшая отдельным изданием (Абаренков И. В, Загуляев С. Н. ’’Простейшие модели в квантовой механике”, СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004.), содержит 128 страниц текста из которых в краткий конспект вошли лишь 20 страниц.
Конспект составлен Абаренковым И. В., Загуляевым С.Н. и Тельновым Д. А.
Оглавление
Модуль I. Основы квантовой механики
1	Экспериментальные основания квантовой механики..................... 7
1.1	Введение .................................................... 7
1.2	Реальные эксперименты ....................................... 7
1.3	Мысленные эксперименты....................................... 8
1.4	Абстракции классической физики.............................. 10
1.5	Квантовое описание явлений и понятие состояния.............. 10
2	Математический аппарат квантовой механики......................... 13
2.1	Абстрактное Гильбертово пространство........................ 13
2.2	Операторы в Гильбертовом пространстве....................... 16
2.3	Спектр линейного самосопряженного оператора................. 20
2.4	Спектр конкретных операторов................................ 22
2.5	Собственные функции линейного эрмитовского оператора ....... 23
2.6	Две теоремы о коммутирующих операторах...................... 25
2.7	Преобразование подобия операторов........................... 25
3	Основные положения квантовой механики ............................ 27
3.1	Физические величины и операторы............................. 27
3.2	Состояние квантовой системы и вектора в Гильбертовом пространстве 30
3.3	Изменение состояния квантовой системы при измерении..........40
3.4	Изменение состояния между измерениями....................... 41
Модуль II. Простейшие квантовые системы. Связь квантовой и классической механик
4	Простейшие модели...............................................   47
4.1	Общие закономерности одномерного движения................... 47
4.2	Прямоугольная потенциальная яма............................. 49
4.3	Прямоугольный потенциальный барьер.......................... 53
4.4	Частица в периодическом потенциале.......................... 55
4.5	Гармонический осциллятор.................................... 61
4.6	Однородное поле.........................................  <	. 65
5	Связь квантовой механики с классической механикой ................ 68
5.1	Волновой пакет ............................................. 68
5.2	Уравнения Эренфеста......................................... 68
5.3	Минимизирующий волновой пакет и его расплывание............. 69
5.4	Квазиклассическое приближение............................... 71
Модуль III. Движение в центральном поле для нерелятивистской и , релятивистской частиц
6	Момент количества движения........................................ 78
6.1	Момент количества движения.................................. 78
6.2	Орбитальный момент количества движения...................... 80
6.3	Спиновый момент количества движения......................... 81
6.4	Сложение моментов........................................... 82
7	Нерелятивистская частица в центральном поле....................... 83
7.1	Частица в центральном поле.................................. 83
7.2	Частица в кулоновском поле.................................. 84
7.3	Свободная частица как частица в центральном поле............ 86
7.4	Частица в сферически симметричной потенциальной яме......... 87
8	Квазирелятивистская теория......................................   89
8.1	Уравнение Дирака для свободной частицы...................... 89
8.2	Матрицы Дирака ...........................................   89
8.3	Уравнение неразрывности	................................... 91
8.4	Спин....................................................... 92
8.5	Электромагнитное поле и	Лоренц	инвариантность	уравнения	Дирака	93
8.6	Стационарные состояния..................................... 93
8.7	Зарядовое сопряжение....................................... 96
8.8	Нерелятивистский предел	уравнения	Дирака.	Уравнение Паули ....	96
Модуль IV. Приближенные методы в квантовой механике 9	Теория возмущений..............................................101
9.1	Теория стационарных возмущений ................................101
9.2	Эффект Зеемана.................................................103
9.3	Эффект Штарка..................................................106
9.4	Теория нестационарных возмущений...............................107
10 Квантовая теория рассеяния............................................111
10.1	Постановка задачи..............................................111
10.2	Метод Борна....................................................112
10.3	Метод парциальных волн.........................................115
10.4	Оператор рассеяния (S' матрица)................................117
10.5	Свойства S матрицы.............................................118
10.6	Распад квазистационарного состояния. Теорема Фока Крылова .... 120
Модуль V. Взаимодействие света с веществом 11 Квантовая теория поля....................................................127
11.1	Квантование системы с конечным числом степеней свободы.........127
11.2	Квантование скалярного поля....................................128
11.3	Квантование скалярного поля путем сведения к системе невзаимодействующих осцилляторов.................................130
11.4	Квантование свободного электромагнитного поля..................135
12	Заряженные частицы в электромагнитном поле...........................138
12.1	Оператор Гамильтона............................................138
12.2	Одна частица в электромагнитном поле...........................138
12.3	Вывод формулы Планка для равновесного излучения................141
12.4	Дипольное приближение .........................................142
12.5	Силы осцилляторов..............................................143
12.6	Правила отбора.................................................143
12.7	Элементарная теория фотоэффекта................................144
12.8	Наведенные электрический и магнитный дипольные моменты......146
Модуль VI. Квантовая задача многих тел 13	Система квантовых различимых частиц..................................154
14	Система тождественных частиц.........................................157
14.1	Неразличимость тождественных квантовых частиц..................157
14.2	Симметрия волновой функции системы тождественных частиц .... 157
14.3	Пятое положение квантовой механики. (Принцип Паули)............158
14.4	Система невзаимодействующих тождественных частиц ..............158
14.5	Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна ......................159
15	Теория многоэлектронных систем.......................................161
15.1	Многоэлектронные системы, пространственные и спиновые переменные 161
15.2	Спин многоэлектронной системы и симметрия волновой функции . . . 161
15.3	Двухэлектронная система........................................162
15.4	Редуцированные матрицы плотности...............................163
15.5	Базис детерминантных функций...................................164
15.6	Однодетерминантный метод Хартри-Фока...........................164
Модуль I. Основы квантовой механики
1 Экспериментальные основания квантовой механики
1.1	Введение
Квантовая механика теория, позволяющая описывать явления, происходящие с объектами микромира. Эта теория пришла на смену классической физике. Квантовая механика удовлетворила трем требованиям, которые предъявляются к новым теориям:
1.	Она объяснила все те факты и явления, которые имели объяснение в старой теории.
2.	Она объяснила ряд тех фактов и явлений, которые старая теория была не в состоянии объяснить.
3.	Она предсказала новые явления. Здесь достаточно упомянуть позитрон. Существование его было предсказано теоретически и лишь год спустя он был обнаружен экспериментально .
Конечно, квантовая механика не является окончательной теорией. Существует множество явлений и закономерностей, которые квантовая механика не может описать и не претендует на их описание. На смену квантовой механике должна прийти новая теория, которая будет включать в себя квантовую механику как частный случай.
1.2	Реальные эксперименты
Главные физические эксперименты, которые лежат в основе квантовой механики, можно разбить на четыре группы.
Первую группу составляют факты, свидетельствующие о том, что некоторые физические величины могут принимать лишь дискретные значения.
1.	Равновесное излучение (излучение абсолютно черного тела).
2.	Опыты Франка Герца по изучению тока, проходящего через газ.
3.	Комбинационный принцип Ритца для оптических спектров.
4.	Опыты Штерна Герлаха по изучению отклонения пучка атомов в неоднородном магнитном поле.
Вторую группу составляют факты, свидетельствующие о существовании дуализма волна частица.
1.	Диффракция рентгеновских лучей.
2.	Фотоэффект
3.	Опыт Комптона Симонса по изучению рассеяния рентгеновских лучей на атомах.
4.	Опыты Девидсона Джермера по изучению рассеяние пучка электронов на кристалле.
5.	Опыты Фабриканта, Бибермана и Сушкина по исследованию диффракции очень слабого пучка электронов.
6.	Опыты Штерна с сотрудниками по исследованию диффракция на кристаллах атомов водорода и гелия.
Третью группу составляют экспериментальные факты и явления, объясняемые квантовой теорией и не имеющие объяснения в рамках классической теории.
1.	Спин.
2.	Принцип Паули.
3.	Радиоактивный распад.
4.	Аннигиляция и фоторождение.
Четвертую группу составляют экспериментальные факты, которые до сих пор не получили объяснения и не могут быть объяснены современной теорией.
1.3 Мысленные эксперименты.
Экспериментальные факты второй группы свидетельствуют о дуализме волна-частица, то есть о том, что микрообъект не является ни классической частицей, ни классической волной, а представляет собой объект более сложной природы, который в одних условиях ведет себя как классическая частица, а в других условиях ведет себя как классическая волна. Корпускулярные свойства объекта Е, р и его волновые свойства у, а>, к связаны соотношениями
Е = Ну = Нш, р = Нк, р = Нк = у А
1.	Измерение координаты частицы с помощью микроскопа.
Точность измерения координаты Дж (из теории микроскопа)
л А
Дж « ——, sin а
х компонента импульса фотона находится в пределах от — р sin а до р sin а (р импульс фотона) и потому известна с точностью
a h • Дрг ~ у S1I1 О!.
А
Точность х компоненты импульса частицы равна Дрг. Отсюда следует соотношение неопределенности координаты и импульса
Дж Дра, « h.
2.	Эксперимент со щелью.
Монохроматический поток частиц с импульсом р вдоль оси х падает на диафрагму со щелью шириной Дж. Координата х частицы известна с точностью Дж. Вследствие диффракции импульс частиц имеет разброс и ж -компонента импульса определена с точностью
Дрг р sin а,
где а угол, соответствующий первому минимуму
А Л Н sin а = -—,	Л = —.
Дж	р
Следовательно,
Дж Дра, h.
3.	Измерение импульса частицы.
Частица с точно известными х компонентой координаты и у компонентой ру импульса облучается потоком фотонов вдоль оси у, причем частота и налетающего фотона известна точно. Измеряется частота и' фотона, рассеянного в направлении оси х. Из этих данных можно найти х компоненту импульса частицы рх до рассеяния.
Е, рх и ру энергия и импульс частицы до столкновения, Е', р'х и р'у те же величины после столкновения. Законы сохранения энергии и импульса
h(v - z7) = Е' - Е,
,	hi/
Рх= Рх ~
,	hv
Ру= Ру + ~-
V
Выразим энергию частицы через импульсы (в нерелятивистском случае -<1) с
Е =	(р! + Ру) , Е' = -1- (р'х + р'2) .
2т 	2т \ у )
Перепишем закон сохранения энергии
,	1 /щ hi/ (hv\2
h(v- v) = — 2py---------2px------h — I + — I > .
2m с	с \ c j \ c j I
Отсюда уравнение для px
hi/ hv 1 / hi/\2	1 {hi/\2	f
Px — = Py-------h — —	+ о —	- hu + hm .
тс ' тс 2m \ с / 2m \ c /
Точность определения px зависит от точности измерения частоты i/:
X hl>' _ (1 , Р* , hv' \1Х '
ОРх   — I 1 +   + х I hots .
тс \ тс тс/ /
В нерелятивистском случае
Л
1Хрх = тс—-. l/f
Измерение частоты с. точностью ди требует времени Т
Если столкновение частицы и фотона произошло в начале интервала Т, то частица оказалась в точке с координатой
, P'xrj.
— х “I” —Т.
m
Если столкновение произошло в конце интервала Т, то частица оказалась в точке с координатой
! Рх гг1
Х2 = X Н-----Т.
m
Неопределенность в координате х
Ах = |a?i — т2| =
\р'х ~Рхт _	1
m me Sv'
Следовательно, получается соотношение неопределенностей
Ах Арх ~ h.
Анализируя любые возможные опыты по измерению координаты и импульса и используя дуализм волна частица, каждый раз получается соотношение неопределенностей
Ах Арх » h.
Поскольку дуализм волна-частица установлен экспериментально, соотношение неопределенностей целесообразно считать экспериментальным фактом.
1.4	Абстракции классической физики и их ограниченная применимость к явлениям микромира.
В классической физике предполагается, что при достаточно осторожном использовании приборов они не могут заметно повлиять на исследуемый объект. Более подробно, эти предположения (абстракции классической физики по терминологии В.А.Фока) состоят в следующем.
1.	Абсолютизация физического процесса.
Физический процесс рассматривается как происходящий сам по себе, безотносительно к средствам наблюдения, то есть как происходящий одинаково, вне зависимости от приборов, при помощи которых он исследуется. Мысленный эксперименз' с полупрозрачным зеркалом.
2.	Возможность неограниченной детализации физического процесса.
В классической физике предполагается, что возможно неограниченно уточнять наблюдение и наблюдать разные стороны одного и того же процесса, не нарушая самого процесса. Считается, что комбинация всех полученных данных дает полную картину процесса.
3.	Абсолютизация понятия состояния системы.
Процесс есть последовательная смена состояний системы во времени. Абсолютизация процесса приводит к абсолютизации понятия состояния системы, как некоторой исчерпывающей характеристики системы.
1.5	Квантово-механическое описание явлений и понятие состояния квантовой системы.
Прибором называется такое устройство, которое, с одной стороны, может взаимодействовать с микрообъектом и реагировать на его воздействия, а с другой стороны, допускает с точностью, достаточной для заданной цели, классическое описание. В качестве основного элемента физической теории целесообразно взять результат взаимодействия микрообъекта с классически описываемым прибором. Из рассмотрения таких взаимодействий выводятся свойства микрообъектов. Предсказания теории формулируются как ожидаемые результаты взаимодействия.
При такой постановке вопроса в понятии дуализма волна частица не оказывается никакого противоречия. Те внешние условия, в которых проявляется способность микрообъекта к локализации, и те внешние условия, в которых проявляется способность микрообъекта к интерференции, оказываются несовместимыми.
Очень важной является такая постановка опыта, в которой можно различать три стадии: I приготовление объекта, II поведение объекта в фиксированных (классически) внешних условиях и III собственно измерение (регистрация). В соответствии с этим в приборе различаются три части : приготовляющая, рабочая и регистрирующая. Совокупность I и II стадий можно рассматривать как единый начальный опыт. Стадию III можно рассматривать как поверочный опыт. Совокупность начального и поверочного опыта образует полный или завершенный опыт. Только завершенный опыт дает возможность узнать что-либо о свойствах изучаемого физического объекта. При одном и том же начальном опыте поверочные опыты могут соответствовать измерению различных величин.
Пусть начальный опыт воспроизводится много раз и условия его одни и те же. Проведя серию из п, измерений величины а, получим п значений: Аг, Л2, • •  , Ап. Оказывается, что в этой серии существует определенная вероятность (или плотность вероятности) появления определенного значения величины а. Возможны два случая. Первый случай. Величина а может принимать лишь дискретные значения. Возьмем серию из п измерений и подсчитаем тк число измерений, в которых было получено значение щ. Оказывается, что существует предел
тк wk = lim —, п—>эс 72
который называется вероятностью появления величины ак- Второй случай. Величина а может принимать значения из непрерывного интервала щ < а < а?. Возьмем некоторое значение а' и малый промежуток Да. Сделаем серию из п измерений и подсчитаем число т измерений, в которых величина а получилась в пределах от а' до а' + Да. Тогда оказывается, что существует предел
т
wla^Aa) = lim —
п~>оо П
и в большинстве случаев (хотя и не всегда) существует предел
р(а')
w(a . Да)
= 1нп ------------
Да~>0 Да
который называется плотностью вероятности появления величины а'.
Совокупность величин wfc, рассматриваемая как функция к, и р(а), рассматриваемая как функция а, называются распределением вероятности. Для распределения вероятности имеют место условия нормировки
02
= 1,	/ p{a)da = 1.
Существование вероятности (или плотности вероятности) представляет собой экспериментальный факт в том же самом смысле, как закон сохранения энергии можно рассматривать как экспериментальный факт.
Существование вероятности позволяет сделать вывод о том, что совокупность завершенных опытов, соответствующих измерению одной физической величины, образует статистический коллектив, или ансамбль. При одном и том же начальном опыте, но при измерении разных величин, мы будем получать разные распределения вероятности и, следовательно, разные ансамбли.
Состоянием квантовой системы называется совокупность потенциальных возможностей для любого поверочного опыта, вытекающих из данного начального опыта.
Оказывается, что все потенциальные возможности, а следовательно и вероятности, могут быть выражены через одну величину вектор состояния (или волновую функцию).
2 Математический аппарат квантовой механики
2.1 Абстрактное Гильбертово пространство.
Гильбертово пространство это множество элементов, обладающее ниже перечисленными пятью свойствами. Элементы Гильбертова пространства будут обозначаться /, д,  • •, ф, ф, а комплексные числа а, Ь, • ••, х, у, z.
1.	Гильбертово пространство линейно.
В Гильбертовом пространстве ^определено сложение элементов, то есть любой паре элементов f и д Гильбертова пространства сопоставляется элемент h
f + 9 = h
так, чтобы выполнялись соотношения
/ + 9 = 9 + /,	(2-1)
(/ + 9) + h = f + (д + h)	(2.2)
и существовал нулевой элемент 0
/ + 0 = /	V/.	(2.3)
Нулевой элемент Гильбертова пространства 0 принято обозначать символом 0.
В Гильбертовом пространстве определено умножение элемента на комплексное число, то есть любой паре: элемент Гильбертова пространства / и комплексное число а, сопоставляется элемент д
af = 9
так, чтобы выполнялись следующие соотношения
(о + b)f = af + bf,	(2.4)
+ 9) = af + a9>	(2.5)
(atyf = a(bf).	(2.6)
1/ = /	(2.7)
Отсюда следует, что 0/ = 0.
★ Элементы fi, fa, -   , fn называются линейно-независимыми, если равенство
с1/1 + С2/2 + •  • + cnfn = 0 возможно в одном единственном случае
С1 — 0,	С*2 — 0,	•  • сп — 0.
2.	Гильбертово пространство бесконечномерно.
В Гильбертовом пространстве для любого конечного п можно построить п линейно-независимых элементов.
3.	В Гильбертовом пространстве определено скалярное произведение двух элементов. Двум любым элементам f и д, взятым в определенной последовательности, сопостав-
лено комплексное число а (скалярное произведение этих элементов)
« = (/,£?)
так, чтобы были выполнены следующие соотношения
(/ + <?,'*)=(/, 4 + (<7,4,	(2.8)
(о/, .<?) = «(/,»),	(2-0)
(f,g) = (в,/)* (звездочка означает комплексное сопряжение),	(2.10)
(/,/) > 0, причем (/,/) = 0	4=> f = 0.	(2.11)
4.	Сходимость в себе.
Если для последовательности элементов Д,Д,--- по любому е > 0 можно найти такое N, что ||Д — fm\\ < е, если п,т > N, то эта последовательность сходится к пределу /, который является элементом Гильбертова пространства.
5.	Сепарабельность.
В Гильбертовом пространстве существует полная ортонормированная система элементов, представляющая собой счетное множество.
★	Норма элемента f: ||/|| = уДКТ) , причем здесь берется арифметическое значение корня.
★	Бесконечная последовательность элементов Д, Д, • • • сходится к пределу f
lim = f,
П-+ОС
если по любому б > 0 можно найти такое 7V, что
II/ ~ fn\\ < е, если п > N.
эс
★	Ряд fk сходится , если сходится последовательность конечных сумм дт = Д + Д + fc=i
• •  + fm. В этом случае сумма ряда есть предел последовательности конечных сумм
эс
Efk = lim дт. m—>оо
★ Ортонормированные системы
Элементы f и д называются ортогональными, если (/, д) = 0.
Последовательность элементов Д, /2, • • • (конечная или бесконечная) называется орто-нормированной системой, если
(/р> А) — &pq
1, если р = q,
0, если р ф д,
У fp, fq-
Величина ак = (/, Д) называется коэффициентом Фурье элемента f относительно ор-тонормированной системы Д, /2, • • •  Ряд
22 а^к = ^UJk)h к	к
называется рядом Фурье элемента f.
Бесконечная ортонормированная система Д, Д, • • • называется замкнутой, если
эс
22 N2 = н/п2 чл fc=i
Бесконечная ортонормированная система Д, fy, • • • называется полной, если не существует элемента Д за исключением нулевого, ортогонального ко всем элементам системы.
В Ж полная система является замкнутой и замкнутая система является полной.
★ Подпространство
Пусть имеется множество элементов Д, Д, • • • (конечное или бесконечное). Бесконечное множество элементов, которое содержит Д, Д,   •, их любые линейные комбинации и все предельные точки (в смысле свойства 4) называется подпространством.
Два подпространства JzC и называются ортогональными, если любой элемент подпространства Jz? ортогонален каждому элементу подпространства .
Если два ортогональных подпространства J2C и вместе образуют все Гильбертово пространство то JSC называется ортогональным дополнением , а М называется ортогональным дополнением .Jzf.
Если .Jzf есть ортогональное дополнение , то любой элемент h может быть единственным образом представлен в виде суммы
h = f + д, где f е и д е .
В этом случае / называется проекцией h в подпространство .
'к Две конкретные реализации Гильбертова пространства.
Реализация Д : элементом х является бесконечная последовательность комплексных чисел х'1, д2, • • , сумма квадратов модулей которых сходится.
Сумма: zk = хк + ук.
Произведение а на х: ук = ахк.
ОС
Скалярное произведение элементов х и у: (х,у) = 22 хк У к 
к=1
Реализация Ьэ : элементом является комплексная функция <f>(qi,- •• ,qn) вещественных переменных, причем —00 < qk < 00, к = 1, • • • , п, и
,<7n)|2 dqi - ‘dqn < +00.
Сумма таких функций и произведение функции на комплексное число определяются обычным образом. Скалярное произведение есть интеграл

,<1п)
  , q^dqr    dqn
2.2 Операторы в Гильбертовом пространстве.
★ Определение.
Оператор это правило, по которому одному элементу д Гильбертова пространства сопоставляется другой элемент f
f = Eg.
Если соответствие установлено не между всеми элементами Гильбертова пространства, то множество элементов д называется областью определения оператора L. Множество элементов / называется областью значений (L) оператора L.
it Примеры операторов.
1.	Единичный оператор Е или I
Ef = f, V/.
2.	Нулевой оператор
О/ = О, V/.
3.	Оператор проектирования
Пусть имеется подпространство Гильбертова пространства. Тогда
/ = ¥’ + £?, е (д>,д) = 0.
Оператором проектирования на ./М называется оператор такой, что
= 95-
Он обладает свойством
К = Еж-
В реализации Т2( — оо,оо), то есть на множестве функций 99(9), интегрируемых с квадратом модуля
ос
У И*?))2^ < 00-
—ос
4.	Оператор умножения на независимую переменную = q<p(q),
5.	Оператор дифференцирования
ВД =
(lq
6.	Интегральный оператор с ядром L(q,q')
Lp(q) = /((/),
ос
/(*?) = у*
-ос
В реализации £2 оператор должен бесконечномерному вектору t(xi, ж2,   •) сопоставить бесконечномерный вектор у(у1; у2, •  • )
7.	Бесконечная матрица Lkj
ос
Lx = у,	ук = y^LkjXj.
j=i
Как, правило, с бесконечными матрицами можно работать так же, как и с обычными, конечными матрицами. Однако, не все формулы, справедливые для конечных матриц оказываются справедливы и для бесконечных матриц.
★ Соотношения между операторами.
1.	Равенство операторов А я В;
А = В, если 0(A) = &(В) и Af = Bf, Vf е 0(A).
2.	Сумма операторов А и В:
С = А + В, если 0(C) = 0(A) Q 0(B) и Cf = Af + Bf, Vf G 0(G).
3.	Произведение операторов А и В:
Если 0(A)	(В) ф 0, то
С = АВ означает Cf = у, где Bf — tp и Atp = д.
Если АВ = В А, то А и В коммутируют. Коммутатор: А, В = АВ — В А.
Антикоммутатор:
А, В
J +
= АВ + В А.
4.	Обратный оператор.
Если оператор L устанавливает одно однозначное соответствие между и & (L), то это правило соответствия определяет как оператор L, так и обратный ему оператор L~r
Ч> = Lf,	= f.
-к Свойства операторов.
Оператор L называется ограниченным, если
||Д/|| < Р||/11, V/е ^(L) и р не зависит от f.
Линейным называется оператор L, область определения которого линейна и
ь (С1/1 + С2/2) — Cl-k/l + с2^/з,	V/1 Е	Е ^(L) И Vc'i 6 С, С*2 е С.
Оператор, эрмитовски сопряженный данному. Для весьма широкого класса линейных операторов L имеет место равенство
g'j = (J, д'), f Е @(L), д Е Ж, где У 6 Ж и не зависит от f.
Это соотношение сопоставляет элементу д элемент д', то есть определяет оператор, который называется оператором эрмитовски сопряженным оператору L и обозначается L'
д' = Яд.
Таким образом
(bf, д} = (j, Яд^ .
Если IS = L, то L называется самосопряженным, или эрмитовским.
Если /Д = —L, то L называется антиэрмитовским.
Имеют место следующие соотношения
(Я^ = L, (cL^ = c*L, ^Ь + М^ = Я + М\	= мФ.
Коммутатор двух некоммутирующих эрмитовских операторов есть оператор антиэрми-товский
LM f = (Ям - ML^f = ML - LM = - LM .
Всякий линейный оператор можно представить в виде суммы эрмитовского и антиэрми-товского операторов
L = — ^L + L^ + — ^L — L^ = L\ + L2, Li = L±,	— — L2.
Если оператор L эрмитовский, то (Lf, f) вещественно
(Д,/) = (/,£'/) =	= (Ел/)".
Эрмитовский оператор L называется положительно определенным, если
> о, Vfe®(L).
Оператор М = L^L является эрмитовским и положительно определенным
м^ =	= Я = Яь = м,
= (L'Lf,f} = (bf,Lf) = (.9,9) > 0, где g = Lf.
Унитарным называется линейный оператор U, для которого
UW = U'U = Е.
★ Свойства конкретных операторов.
Рассмотрим реализацию Ь%(—ос, ос) то есть пространство функций одной переменной, интегрируемых с квадратом модуля
У < сю.
— ОС
Отсюда <p(q) —> 0 при \д\ —> ос. Предполагаем, что все написанные далее интегралы существуют.
Оператор q умножения на независимую переменную (оператор координаты)
= w(«)
(2.12)
линеен (операция умножения линейна) и эрмитов
(Qf, <?)
ОС
= У qf(q№*(Q)dq
-ос
ОС
= У f(q) (q<p(q)Ydq = (/,фр).
Оператор D дифференцирования по независимой переменной
D = ~ dq
линеен, так как операция взятия производной линейна, и антиэрмитов
ос	ОС
(До) = /	= - (/.Д) 
— ос	—ос
Внеинтегральный член обращается в ноль, так как обе функции стремятся к нулю при \q\ —> ос. Линейным и эрмитовским является оператор
р — —iD —
. d
1 dq
(2.13)
Интегральный оператор
2<р(в) = У L(l, '/МУЖ — ос
линеен. Найдем эрмитовски сопряженный ему.
ОС ОС	ОС ОС
= У У L^q'jfWW^dqdq' = J J f(q) (£*(</, q)ср(Д))* dqdq' =
Следовательно ядро оператора Lf есть £*(</, q). таким образом, интегральный оператор является эрмитовским, если
L*(q',q) = L(q,qf).
Оператор проектирования Р& является линейным и эрмитовским. Пусть есть ортогональное дополнение .if. Тогда
hi — fi + 9i, h2 — /2 + .92, fi, fi £ .if9i, 92	,
P^hi = /1,	P^h‘2 ~ fi,
^P^hl,h2^ = (/1./2 + 92) = (fi, fi) — (fi + 9i, /2) ~ (hi, F^h^ .
Линейный эрмитовский оператор, обладающий свойством Р^ = Р^ есть оператор проектирования.
2.3 Спектр линейного самосопряженного оператора.
Пусть L есть линейный самосопряженный оператор, а Л есть комплексное число. Если существует оператор (L — ХЕ)~\ определенный во всем Гильбертовом пространстве и ограниченный, то Л называется регулярной точкой. Все точки комплексной плоскости Л, кроме регулярных, называются точками спектра. Точки спектра эрмитовского оператора лежат на вещественной оси.
★ Собственные числа. Если
Lf = А/,
то А есть собственное число, а / есть собственный вектор оператора L. Все собственные числа являются точками спектра.
Если одному и тому же собственному числу А принадлежит несколько собственных векторов
Lfk = \fk, к = 1,2, •• • ,п,
то собственное число А называется вырожденным. В этом случае собственным вектором, принадлежащим собственному числу А является также вектор
/ = с1/1 + cifi + • ’ ' + Cnfn-
Можно показать, что в этом случае множество собственных векторов, принадлежащих собственному числу А, образует подпространство. Размерность этого подпространства называется кратностью вырождения собственного числа А.
★ Имеют место следующие теоремы.
1.	Собственные числа эрмитовского оператора вещественны.
Lf = А/.
(+,/) = А (/./)
\Lf,f) и (/, /) вещественны. Следовательно А вещественно.
2.	Собственные вектора эрмитовского оператора можно нормировать на единицу. Вследствие линейности оператора его собственным вектором является также нормированный на единицу вектор //||/||.
3.	Собственные вектора эрмитовского оператора, принадлежащие разным собственным числам, ортогональны.
Lfi — Xifi, Lf2 = А2/2, Ai ф Х‘2-
Тогда
(ь/1,/2) = Аг (Л,/2),	(л,£/2) = А2(Л,/2).
Отсюда
(Ai - А2)(.Л,/2) = 0.
Так как Ai ± А2, то (Д, Д) = 0.
4.	Среди собственных векторов, принадлежащих т кратно вырожденному собственному числу, всегда, можно выбрать т ортонормированных.
Возьмем какой-нибудь собственный вектор Д и нормируем его на единицу
Возьмем собственный вектор Д линейно независимый с Д и построим вектор
Уг = Л - (A,0i)0i, ортогональный вектору . Тогда — у2/11 Уг11  Если кратность вырождения больше 2, то существует вектор Д линейно независимый с 01 и 02. Вектор
Уз = А - (A,0i)0i - (А, 02)02
ортогонален 0Х и 02- Тогда 03 = у3/||у3||. Продолжая процесс получим т ортонормированных векторов 0Л.
В общем случае
Lfks — ^kfksj & — 1; ’  ' 7
(fks? fk's') ^kk'^ss'-
★ Три вида спектров
1.	У эрмитовского оператора имеется бесконечно много собственных векторов и они образуют полную систему. В этом случае других точек спектра, кроме собственных чисел, у оператора нет оператор обладает чисто дискретным спектром.
2.	У эрмитовского оператора нет ни одного собственного вектора. В этом случае к точкам спектра оператора относятся все точки отрезка (или отрезков) вещественной оси А оператор обладает чисто сплошным спектром.
3.	У эрмитовского оператора имеются собственные вектора, их конечное или бесконечное число, но они не образуют полной системы. В этом случае оператор обладает смешанным спектром у него есть дискретный спектр, образованный собственными числами, и есть отрезки сплошного спектра.
★ Свойства спектра
Если оператор L ограничен, то существуют такие вещественные числа гп и М, что
HI/II2 < (ЬЛ/) < мц/112-
Числа тп и М называются нижней и верхней границами оператора. Все точки спектра лежат на отрезке [гп, М].
Если оператор L неограниченный, то вне любого конечного отрезка вещественной оси А лежит бесконечно большое число точек спектра.
2.4 Спектр конкретных операторов.
★	Оператор проектирования Р%> на подпространство . Имеем
Ф = Ф + х, Феэ^, Фе.¥\ х е Ж
где есть ортогональное дополнение . Так как
Р&Ф = Ф,
то любое ф Е будет собственным вектором Р^ с А = 1, а любое будет собственным вектором Р<£ с А = 0. Таким образом, Р^ обладает чисто дискретным спектром из двух собственных чисел 0 и 1, причем хотя бы одно из них бесконечнократно вырождено.
★	Реализация L2(—оо, оо) Гильбертова пространства и оператор р (2.13)
р/(д) =	-г^/(д) = А/(д).
ос
/(g) = CetXq, интеграл |/(g)|2dg расходится.
— ОС
Квадратично интегрируемых решений нет, спектр р чисто сплошной.
Любое вещественное число А есть точка спектра, так как (р — А)-1 не ограничен.
★	Оператор g (2.11) координаты.
?/(<?) = А/(д).
<7/(<7) = А/(д).
,, х _ ( произвольное число, если q = А, [ 0,	если q ± А.
Такая функция не принадлежит Гильбертову пространству. Значит, у q нет ни одного собственного числа и спектр q чисто сплошной. Любое вещественное число д0 есть точка спектра, та как (д — дор1 не ограничен.
★ 3 функцией Дирака называется такая функция 5(ж), которая для любых /(ж), у которых
существуют /(+0) и /(—0), и любых
0 и х2 > 0 обеспечивает выполнение равенств
Х2
I	) (7(4-0) + /(-!>)),
XI
0	Х2
j f(x)6(x)dx = |/(-0), У f(x)8(x)dx = |/(+0).
Х1	0
Свойства 3 -функции
а?2
У /(x)5(ar;)Jac = 1, V x'i < 0, х2 > 0,
XI
3(—х) = 6(х),
8 (ах) = т-~5(ж), j(i|
Х2
6(х — а)6(х — b)dx = 3(a — b),	Xi < min(a,b), x2>max(a,b).
Xi
8 образные последовательности
3(х) = lim \/(^с ах\ 3(х) = lim — а—>эс у 7Г	Л/ >эс 7ГХ
★ ’’Собственные функции” оператора координаты и 6 функция
?/(А,ч) = А/(А, ?),
(2-14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2-18)
/(Ал) = й(ч ~ А).
2.5 Собственные функции линейного эрмитовского оператора и разложение по базису.
★ Собственные функции линейного эрмитовского оператора L с чисто дискретным спектром
Lfk = Xkfk, (f^h) = 8jk
образуют полную ортонормированную систему. Поэтому
ск =	(2.1.9)
fc=i
★ Оператор р (2.13), с чисто сплошным спектром, занимающим всю вещественную ось.
-i^~f(X,q) = A/(A,q), dq
IM =
ОС	ОС
¥>(<?) =	/	dq'
—ос	—ос
\/<р.
(2.20)
с
★ Оператор координаты q (2.12).
/(Ал) = ^(<7- А),
¥>(<?) = У
(2.21)
<Р
\/<р.
(2.22)
★ ’’Скалярное произведение” функций сплошного спектра.
’’Собственные функции” оператора р :	f(X,q) =	-. егЛ</
д/2%
A
(fx,fx>) = Um f
A—>00 J
-A
A
Г 1 f 11m — /
A-->00 2% J -A
sinA(A —А') lira --—--——
’’Собственные функции” оператора q :	f(\q) — S{q — А). Из формулы (2.18) следует
★ Условия полноты и замкнутости. Пусть fk(q) образуют полную систему функций. Тогда
-А--	у»
<?(<?) = 52 /	v<p,
fc=i_у.
¥>(<?) = [ ^fkWkWMq'W, J fc=i
ОС
= №-?')
fc=l
★	Эрмитовскому оператору можно сопоставить базис, который состоит из собственных функций А А’) оператора, если они есть, и, если собственные функции не образуют полной системы, из решений /(Л,т) уравнения в сплошном спектре. Базисные функции дискретного спектра нормированы на символ Кронекера, а сплошного спектра на 5 функцию.
(А, А') = Av, (А, А) = О, (А, А-) = АЛ- АО-
Базис является полным
EAMAV) + f к	J
и по нему можно разлагать любую функцию из Гильбертова пространства
Ч> = J^CfcA + [ cxfxdX, ск = (cp,fk), = (<р,А) V<p. (2.23) к
+ Функция от оператора. .
Пусть F(s) есть функция вещественной переменной, a L есть эрмитовский оператор
Lfk Xkfk.
F(L~)fk = F(Afc)A-
если F(x) = ^kzk, то F(L) = У^скЬк. к	к
2.6	Две теоремы о коммутирующих операторах.
★ Теорема. Если два линейных самосопряженных оператора L и М икгеют общий базис, то они коммутируют.
★ Обратная теорема. Если два линейных самосопряженных оператора L и М коммутируют, то они имеют общий базис.
2.7	Преобразование подобия операторов.
Рассмотрим набор линейных самосопряженных операторов А, В, С,    и унитарный оператор U. Совершим преобразование подобия над каждым оператором и получим набор операторов
А' = UAU-\ В' = UBU-\ С' = UCU~1,--- .
При преобразовании подобия:
1.	Равные операторы остаются равными
А = В, UAU-1 = UBU~l => А! = В'.
2.	Сумма операторов переходит в сумму
А = В + С, А' = В' + С'.
3.	Произведение операторов переходит в произведение.
А = ВС, UAU^ = UBU^UCU^ =» А' = В'.
4.	Эрмитовски сопряженные операторы остаются эрмитовски сопряженными.
а = вас-1 = ав^и-1 = [(u^bu^ => а' = (в')1.
5.	Спектр оператора не меняется.
Ьфк = AfcV’fc,
ULiljk = XkU-фк,
иьи-^и-фк = Wk,
= U-фк, L' = ULU~\
L'^k = W
3 Основные положения квантовой механики
3.1 Физические величины и операторы
Первое положение:
★	Каждой физической величине сопоставляется линейный самосопряженный оператор и наоборот, каждому линейному самосопряженному оператору соответствует некоторая физическая величина.
Физическая величина принимает значения только из спектра оператора. Если физической величине L соответствует оператор L, то величине F(L) должен соответствовать оператор F(L).
Классическая механика должна быть предельным случаем квантовой механики, в частности, должен существовать квантовый аналог скобки Пуассона.
Классическая система, функция Гамильтона Я((/1, •  • ,qn,p-L,    ,pn-,t), qi обобщенные координаты, pi канонически сопряженные импульсы, п число степеней свободы, физическая величина F(qi,    ,qn,Pi,‘ •  ,рп?t). Развитие физической величины во времени
dF dF , rr , dt = ~dt +	’F^'
★	{F,G} есть классическая скобка Пуассона
iF= v/—
[ др{ dqt dqt dpi J ’
★	Квантовая скобка Пуассона |f,g| удовлетворяет тем же пяти йсоотношениям, что и классическая:
|f,g} = -|g,f},	(3.1)
|f,g| — О, С есть константа,	(3.2)
{А + f2,g} = {А, <5} + {Я, с},	(з.з)
= {f1;g}f2 +	(3.4)
Порядок следования операторов Fr и F2 в левой и правой частях (3.4) одинаков,
{f, {£,£}} + {(5, {f,,f}} + |f,{f,gJ} = 0.	(3.5)
Имеем
{g^, f} = {g1; f} G2 + Gi {g2, f} ,
{РДбЦ = (f,Gi}g2 + Gi|f,G2},
f1f2, gxg2
FlFz, G\ > G2 + Gi < FrF2, G2
— |Fi, C?i} F2G2 + Fy
f2, g2
Отсюда
{ЯА} (f2g2 - g2f2) = (Agi - ад) {f2,g2}.	(3.6)
Это равенство должно быть справедливым для любых Fi, F2, Gi, G2. Поэтому
{f,g} = G (FG - GF5) ,	(3.7)
где G постоянная. Она равна i/h. Таким образом
★	Потребуем, чтобы операторы канонически сопряженных координаты и импульса удовлетворяли тем же соотношениям, что и классические переменные
{%,<&} = 0, j,k = l,---,n,
{PjM = 0, j, к = 1, • •  , п,	(3.9)
{Pj,Qk} = Sjk, =
Реализация Гильбертова пространства L2. Если оператор координаты есть оператор умножения на координату, а оператор импульса есть
Pj =	(ЗЛ())
то (3.9) выполнены.
★	Для физической величины F, имеющей классический аналог, надо взять ее выражение через обобщенные координаты и импульсы F = F(t/i, • • • , qn,Pi, • • • , рп) и в качестве оператора F взять
F = F(qi,-- ,qn,p!,-•• ,рп).	(3.11)
При этом из разных возможных выражений для одной и той же функции F надо выбрать правильное, в частности, то, которое приводит к самосопряженному оператору F. Для физической величины, не имеющей классического аналога, выражение для оператора надо угадывать.
★ Одна частица в трехмерном пространстве. Декартовы координаты
qi = х, q2 = у, q3 = z,
Pi
,fc d
= Px = ox
- - d
P-2 = Py =
Рз = Pz = -ih
d dz ’

Сферические координаты
х,у, z)\2dxdydz < оо.
<71 = г, <у2 = 'd,	<7з = р,
Рг = -гй— dr
Ъд	- к 9
pt = -Л^,	Pv = -л~,
ял<
оо 7Г 2тг
ООО
г, i7, <р) |2 dr d.'d d(p
< оо.
р,) и ру, самосопряженные, а оператор рг на полуограниченном промежутке 0 < г < оо не самосопряженный.
Связь х и ф
х(г, $, р) = ijj(r sin 17 cos р, г sin i7sin р, г cos 17) г VsTn 17 .
Кинетическая энергия Т в декартовых координатах и в сферических координатах
1	1 /	1	1	\
Т = ^(pl+rf+pf), г = рг2 + 4р2+ ^-p2 .
2m v у	2m \ г2 г2 sm и )
Квантование в Декартовых координатах, оператор в пространстве i/i,
m 1	/-2	-2	^2	^2 А	^2 т-г*’	^2 л /.->
Г = - (р + Ру + pz) = — - I	) — —5 V" = —д	(^-12)
2m v у 7 2m \dx2 dy2 dz2 J 2m 2m
2^	1 9  3_<L
2m \ r2 dr Г dr r2 sin i7 d’d &d
1 d2 r2 sin217 dp2
(3.13)
Оказывается, что эти формулы дают правильное выражение для оператора кинетической энергии.
Квантование в сферических координатах, оператор в пространстве у,
т - -	1	92 А
1 2m \ dr2 + г2 dd2 г2 sin217 dp2 )
Оператор в пространстве ф
Т[ — —------Ti rVsin 17 ф Т.
ry sin d
Чтобы получить правильный оператор надо исходить из классического выражения
m 1 / 2	1 1	(1	1	1 гА
т = [Рг + -Д-sin?7ptf-^=== + -^z-Y^Py, 
2m \ r2Vsini7	v sin 17	r2 sinz 17
★ Оператор Гамильтона частицы в электромагнитном поле. Частица с ш0, е, скорость час-
тицы v, векторный потенциал А, скалярный потенциал Ао, скорость света с. Функция Лагранжа L релятивистской, не квантовой частицы
/	vz	в
L = -т0(?\ 1---------- + -(A,v) - еА0.
V	г**	7
Проверка — уравнения Лагранжа совпадают с уравнениями движения.
Функция Гамильтона HKi релятивистской частицы в электромагнитном поле
Hrei = (P,V) - L,
dL
P= dv
mov
c
A,
e
Hrei = —Д06—= + eA0 =	+ c2P2 + eA0 = \	+ c2 fp - -A^ + eA0
. В нерелятивистском пределе
/	1	(	e\2\	1/ e \2
Hrei mocz 1 + P-----------A) + eA0 = m0c2 + -— p--------A) + eA0.
\ 2wqC2 \ c / J	2rn0 \ c /
Отсюда получаем выражение для функции Гамильтона частицы в электромагнитном поле
1 /	е \2
Н = —- (р - -А) + еА0
2ш0 \	с >
и оператор Гамильтона
еА0.
3.2 Состояние квантовой системы и вектора в Гильбертовом пространстве
Второе положение:
★ Чистое состояние квантовой системы описывается вектором в Гильбертовом пространстве или волновой функцией, смешанное состояние квантовой системы описывается статистическим оператором или матрицей плотности.
Если квантовая система находится в поле классически заданных полей и других воздействий не испытывает, то состояние такой квантовой системы называется чистым.
Если квантовая система взаимодействует с другой квантовой системой или находится в контакте с термостатом, то ее состояние называется смешанным.
Обозначения Дирака
i), I1), !«>, W
W) =
\'Ф) = L\cp)
{(р\Ь\-ф)
МФ) = {ф\ь]\(ру
-	обозначение векторов Гильбертова пространства,
-	обозначение скалярного произведения векторов -ф и <р,
-	связь с обычным математическим обозначением,
-	действие оператора на вектор,
-	матричный элемент оператора,
-	связь с обычным математическим обозначением,
-	оператор и его эрмитовски сопряженный.
Действие оператора на вектор, стоящий от него слева. Пусть

Для любого вектора х. верно
(х\'Ф) =
{х\Ф} = (Ф\хУ, (хЙу’} = <Жг|х>*,
(Ф\х) =
Так как вектор х произволен, то
(Ф\ = {<p\L].
Чистое состояние
Чистое состояние квантовой системы описывается вектором |а) Гильбертова пространства Ж в том смысле, что для любой физической величины L справедливо соотношение
L =	если (а\а) = 1,	(3-14)
где L есть измеренное среднее значение физической величины L.
То, что состояние квантовой системы описывается вектором в линейном пространстве принято называть принципом суперпозиции.
Состояние, в котором физическая величина имеет определенное значение.
Измеримость физической величины.
Если физическая величина L принимает вполне определенное значение, то дисперсия (L — L)2 равна нулю. Пусть состояние системы описывается вектором \а) G Тогда
(а\(Ь-ЬУ\а) = О,
(a\(L - L)\L - L)\a) = О,
\b) = (L- L)\a},	(b\ = {a\(L - L)\
(b\b) =0	=>	\b} = 0,
L\a) = L|a).
Следовательно, величина принимает определенное значение в таком состоянии, которое описывается собственным вектором оператора этой величины.
Поскольку собственный вектор оператора принадлежит Гильбертову пространству то для любого значения физической величины L из дискретного спектра существует состояние, в котором L имеет определенное значение. Если же рассматриваемое значение L
принадлежит сплошному спектру, то поскольку решения уравнения для сплошного спектра не принадлежат то не существует состояния в котором L имеет точно это значение. Однако, существует состояние, в котором дисперсия около этого значения будет сколь угодно малой, хотя и не нулевой. Имеем
Д|А) = А|А),	<А|А'> = Й(А-А').
Рассматриваем значение Ао, Ai < Ао < А2. Построим состояние
ДА — А2 — Ai-
•^2 -^2
f{X\X'}dXdX' =
Ао Ао
X')dXdX'
As	Ла
1 Г	1	—	1	Г	1
L = —г / XdX	= -(А2	+ Ai), L2	= ——	/ X2 dX	= -(Aj +	A2Ai + А2).
ZAA J	£	LW J	и
Ai	Ai
Дисперсия
— ——	—	_9	1
(L - L)2 = L2 - L = — (ДА)2
может быть сделана сколь угодно малой путем уменьшения длины интервала ДА.
Для каждого возможного значения физической величины существует состояние, в котором величина принимает это значение либо точно, либо со сколь угодно малой, хотя и не нулевой, дисперсией. В этом смысле физическая величина измерима.
Одновременная измеримость двух физических величин.
Соотношение неопределенностей
Две физические величины одновременно измеримы, если для каждой пары возможных значений этих величин существует состояние, в котором величины принимают выбранные значения либо точно, либо со сколь угодно малой (не нулевой) дисперсией (погрешностью). Для этого необходимо, чтобы операторы рассматриваемых величин имели общий базис, то есть необходимо, чтобы операторы коммутировали.
Две физические величины А и В одновременно измеримы, если операторы этих величин коммутируют.
Пусть А и В не коммутируют
{д,в} = в / о.
Рассмотрим состояние |а), (а|а) = 1. Обозначения
А — (а|Д|а), В — (а|В|а), D = (a|Dja),
ДА = \/ (А- А)2, ДВ = У (В-В)2,
значения корня арифметические.
Покажем, что ДЛ и ДВ удовлетворяют соотношениям неопределенности. Рассмотрим
L = (Л - Л) + i/3(B - В),
где, 3 произвольное вещественное число. Построим вектор \b) = L\a). Имеем
{b\b} = (a\L^L\a) = <а|{(Л - Л) - i(3(B-В)}{(А - Л) + i/3(B-В)}\а) -
= (а|(Л - Л)2 + /3\В - В)2 + i(3{(A — А)(В — В)(В - В)(А - Л)}|а) =
= (а\(А - Л)2 + 32(В - В)2 + ifi{(AB - ВА)}\а) = ДЛ2 + ^2ДВ2 + h(3~D.
(b\b) > О => (f^B2 + hf3D + ДЛ2 > О \//3 е R => П2 В2 - 4ДЛ2ДВ2 < 0.
★	Следовательно,
ДЛДВ>1й|В|.	(3.15)
Может оказаться, что D ф 0, но (а|В|а) = 0. В таком состоянии Л и В имеют определенные значения. Однако, такие вектора |а) не образуют полной системы.
Волновая функция.
Пусть существует оператор L с невырожденным спектром.
★	Рассмотрим сначала случай чисто дискретного спектра
L\j) =	(k\j) = Skj.
Оператор Pj = jj) (j\ есть проектор на состояние \j). Действительно,
ш ш 016) = (о» шу = «ад шу = жад ю =» р/ = д,
= \з) (Ш {з\ = \У> 01 = 4
Оператор
j	j
есть проектор на подпространство, натянутое на вектора \j) как на орты. Если в сумму входят все собственные вектора оператора L, то
р = Ew <11 =	<ЗЛ6>
j
★	Это равенство есть условие полноты системы функций, записанное в операторном виде. Рассмотрим произвольную вещественную функцию F от оператора L и сосчитаем ее среднее значение в состоянии |а), (а|о) = 1. Имеем
F = (a^F^L^a),
F = (a|EF(L)E0) = 22(a|j>01F(6W(«:W =	= Е F<At> '
Jfc	jk	k
Полученное выражение для среднего имеет вид
F = y^F(Afc) wk, к
где F(Afc) есть возможное значение величины F, a Wk есть вероятность того, что L равно Afc. Пользуясь произволом в выборе функции F можно показать, что
|<&|сл>|2 = wk VF
★	Набор величин (fc|a) как функция дискретной переменной к
^а(к) = (к\а)	(3.17)
называется амплитудой вероятности или волновой функцией в представлении L (или в представлении А).
ОС	ОС	ос
(а\а) = 1 =>	= £>1< = ^{а\к}(к\а} = {а\а} = 1.
fc=i	fc=i	fc=i
★	Рассмотрим теперь случай чисто сплошного спектра
£|А> = А|А>,	<А|А'> = <5(А — А')-
Оператор
Р = У |А) <А| dX
D
★	есть проектор на подпространство, определяемое базисом из области D Если D есть весь спектр, то Р есть единичный оператор
У |А) <А| dA = Е.	(3.18)
Рассмотрим произвольную вещественную функцию F от оператора L и сосчитаем ее среднее значение в состоянии |а), (а\а) = 1. Имеем
F = (u|F(L)|a),
F = {a\EF{L)E\a) =	{a\X}{X\F(L)\X'}{X'\a) dXdX' = [f(a|A)F(A')^(A - A'))(A'|a) dXdX',
F = У F(A)|(A|<dA.
Полученное выражение для среднего имеет вид
F = У F(A)p(A)dA,
где F(A) есть возможное значение F(L), а р(А) есть плотность вероятности того, что величина L имеет значение А. Пользуясь произволом в выборе вещественной функции F, можно показать
|(A|a)|2 = р(А) VA.
★	Величина (А|а) как функция Л называется амплитудой вероятности или волновой функцией в представлении L (или в представлении Л).
т/;а(Л) = <Л|«>.	(3.19)
(а\а) = 1 =>	у* |фа(Л)|2 (IX = у* |(A|a)j2JA =	(а|А) (А|а) dX = (а|а) = 1.
В общем случае смешанного спектра
К = 52 I» 0’1"> + [ )А> <А|а> tZA. j
★	Волновая функция в представлении L есть совокупность коэффициентов (j\a) как функции дискретной переменной j и коэффициентов (А|а) как функции непрерывной переменной А.
Теория представлений
Рассматриваем случай, когда существует оператор L с невырожденным спектром.
Для простоты выкладок предположим, что спектр L чисто сплошной.
£|А> = А|А),	(А|А'> = Я(А-А'), f |А> (А| dX = Ё.
Любому вектору из Гильбертова пространства можно сопоставить волновую функцию в представлении L. Множество всех волновых функций в представлении L образует конкретную реализацию абстрактного Гильбертова пространства. Скалярное произведение волновых функций совпадает со скалярным произведением векторов в абстрактном пространстве.
фа(Х) = <А|«>, Й(Л) = <А|6>,
{ФМ = f	= У(а|А) <А|Ь)dX = <а|6}.
Пусть в абстрактном пространстве задан оператор G
G\a) = \b),
^ь(А) = <А|6> = (A|G|a> = (A|GE|a) =	(A|G|A') (А» dX' = f G(X, X') fa(X') dX'.
Оператор G в L представлении есть интегральный оператор с ядром G(A, А')-Если G = L, то
L(A,A') = <А|Ь)А'> = Х6(Х-А'), и фь(Х) = А^а(А).
Оператор L в L представлении есть оператор умножения на независимую переменную. Матричный элемент оператора G в L представлении
(a\G\b) = 11 <u|A> <A|G|A') <А'|Ь> tZAtZA' =
= [[ ^(A)G(A,A')^(A')dAdA' = [ V>:(A)G(AM(W
Пусть кроме L с невырожденным сплошным спектром существует оператор М с невырожденным сплошным спектром
М\р) = p\ii),
= 6(ц~ р!),
|д) (д| dll = Е.
Вектор |а) может быть представлен волновой функцией V’a(A) в представлении L и волновой функцией <pa(ji) в представлении М. Имеем
<pa(ji) = (р\а) = f {fi\X) (Х\а) dX = [(ji\X) ^a(X) dX.
= j R(.P, A)<(A) dX, R(p,X) = (ji\X).
Обратное преобразование
ФМ = У (Х\р) <pa(ji) d/i, фа(Х) = у R1 (X, р) cpa(ji) dp, R'(X,p) = (X\p).
Оператор G
G(p,p) = (p\G\p'} = УI (p\X) <A|G|A'> (X'\p)dXdX' = f R(p, A) G(A, А') Я'(А', д') dXdX'.
Пусть спектры операторов L и M заполняют всю вещественную ось. Тогда фа(Х) и <ра(р) суть элементы одного и того же Гильбертова пространства и
<ра =	-фа = Rr^tfla,
где R есть унитарный оператор. Действительно, в более детальных обозначениях
|А) —> |/, А),	|д) —> \т,р),
L\£, X) = Х\£, А), М\т, р) = р\т,р),
Ым) = / (р\Х) фа(Х) dX <ра(х) = / R(x,x') фа(х') dx',	R(x,x') = (т, х\£, х'),
фа(^) = / (А|д) (£а(д) d/z Фа(х) ~	х')(р(х') dx',	R'(x,x') = (£,х\т,х'},
R'(x,x') = {t, х\т, х'} = (т,х'\фх)* = R*(x',x),	=> R. 1 = RK
Преобразование операторов при переходе от одного представления к другому есть преобразование подобия с унитарным оператором. При таком преобразовании ни соотношения между операторами, ни спектр операторов не меняются.
Координатное и импульсное представления
Рассмотрим операторы q и р канонически сопряженных переменных в одномерном случае. q\d) = ц\о), р\р} = р\р), -оо < р, q < оо,
|«) -» Фа(д) = (q\a),	|«) -> Ыр) = {р\а}>
<Ра(р) = / (p\q) ^a(q) dq,
(p\q) = (q\p)*-
(q\p) pa(p) dp,
Скалярное произведение (p\q) не зависит от представления. В координатном представлении
I	£ у
|g) — S(q-q'),	\р) = —/= е*рч . q и р собственные числа, q' переменная,
у2тг/г
{p\q} =
e-^'Mqq - д') dq' =
1 y/2ith
e~*pq.
Таким образом
<Ра(р) =
1
Vzirh
Ml)dq,
1
Х^2тгК
ОО
У <pa(p)dp.
Фа($) =
Оператор координаты в импульсном представлении. Имеем
q]a} = \b), q^a{q) = iM$), где i/jb(q) = qtfa(q), QPa(p) = фь(р),
ОО	оо
<Рь(р) = /оТ [ e~^pq^b[q)dq = -^== [ e~*pqq$a(q)dq = у2тгп J	у2тт J
—оо	—оо
оо
=	[ e~^pq^a{q)dq = ih^pa{p), =} q =
dpV2nh J	dp	dp
— oo
Полный набор физических величин и операторов
Полным набором операторов называется такой набор взаимно коммутирующих операторов, общий полный базис которых определен однозначно (с точностью до умножения базисного вектора на константу), а при удалении хотя бы одного оператора из набора выбор базиса становится неоднозначным. Соответствующий набор величин называется полным набором физических величин. В этом случае любой вектор |а) Гильбертова пространства можно разложить по этому полному базису и совокупность коэффициентов разложения рассматривать как волновую функцию, соответствующую вектору состояния |а). Число переменных в волновой функции равно числу операторов в полном наборе и может отличаться от числа степеней свободы. Описание состояния оказывается более простым, если число переменных в волновой функции совпадает с числом степеней свободы и именно так обычно выбирается полный набор физических величин.
Физический смысл волновой функции в многомерном случае. Пусть полный набор операторов образует тройка L, М, N с чисто сплошным спектром.
L|A,/z, и} = A|A,^,z/), М\Х,р, и) = /z|A,/z, и}, N\X,p,u) = z/|A,^z, и},
{Х,ц,и\Х',ц',1/} = 6(Х- Х')6(ц-	i/),

|Л, и) (Л, ц, v\a) dX d/л du,
фа(Х,ц,и) = (Х,ц,и\а).
Пусть F = F(L,M,N). Тогда
-И1^
F
, ц,и) IV’a (А, // ^) |2 dXd/idu.
Поэтому
|^а(Л,^,г/)|2
есть плотность вероятности того, что одновременно величина L принимает значение Л, величина М принимает значение /./ и величина N принимает значение и. В этом и состоит физический смысл волновой функции.
Смешанное состояние.
Система, находящаяся в чистом состоянии, описывается вектором |а) в Гильбертовом пространстве, который может быть разложен по базису любого полного набора, например, в L представлении (для простоты предполагается, что L имеет чисто дискретный, не вырожденный спектр)
L\j) = Уз),
(з\к) = Sjk,
ОС
Е w t’l =
•?=!
и = 52 сМ
9 = {з\а)
* Зная Cj, можно восстановить \а). Поэтому состояние системы является чистым, если известны все коэффициенты разложения вектора состояния по базису какого-нибудь полного набора. Если |а) нормирован на единицу, то
= |су|2 = ЮН12
есть вероятность того, что при измерении L будет получено Xj, или Wj есть вероятность того, что система находится в состоянии \j). Вектор |а) есть когерентная смесь (известны не только модули, но и фазы коэффициентов Cj). В чистом состоянии |а)
М — (a|M|a), при условии, что |а) нормировано на единицу.
★ Если известны только вероятности Wj, то состояние называется смешанным. Тогда
М = wj	при условии нормировки	= 1.	(3.20)
з	з
+ Смешанное состояние описывается статистическим оператором (или матрицей плотности). Пусть имеется
*
п
\к),к = !,- ,п, {j\k) = 6jk, и wk, к = 1, • • • ,п, wk > 0,	= 1-
к—1
Тогда статистическим оператором называется п p = ^2\k)wk(k\.	(3.21)
fc=i
Он описывает смешанное состояние системы в том смысле, что
М = Tr(pM), W.	(3.22)
Действительно. Пусть \£) есть какой-нибудь полный ортонормированный базис
М = Tr(pM) = ^{t\pM\t} =	^(£\к} wk (к\М\£) =
Z=1	k=l
n	oo	n
= ^wk^{k\M\£} (£\к) = ^wk{k\M\k}. k=l	1=1	k=l
M = E => Tr(p) = 1 (условие нормировки статистического оператора).
Спектр статистического оператора
р\Г) = А|/>,	0 < А < 1.
Действительно, п	п
<а|р|а> = ^{а\к} wk (к\а) =	wfe|(A;|a)|2,
к=1	fc=l
wk > О	=>	Д	О,
п |(/г|а)|2 < (к\к) {а\а) = (а\а)	=>	(а|р|а) <	= Н°)-
fc=i
Статистический оператор чистого состояния \а) есть проектор ра = |а) (а|.
Если статистический оператор есть проектор, то состояние чистое. Действительно, п	п п	п
Р = ^\k)wk(k\, р2 = J2J2|A;)wfe(A;|j)WjO-| = ^\k}wk(k\, /г=1 j— 1	fc=l
n
p2 =p => W2k - Wk => Wfc = 0, 1, ^^Wk = 1	=> Wk = 5km-
fc=l
Матрица плотности
Матрица статистического оператора называется матрицей плотности
Ptm =	= ^Ык(£\к) (к\т).	(3.23)
fc
Матрицу плотности необходимо использовать, когда рассматриваемая квантовая система является подсистемой большой квантовой системы. Пусть 'i[>(x,z) волновая функция системы, х — переменные подсистемы, z остальные переменные, М(х) относится к подсистеме. Тогда
М = / ф*(х, г) М(х) ф(х, z) dx dz.
ipk(x),k = 1, - • • , оо / щ(х)*cpk(%)dx = djk,	= 6(x — x').
fk(z) = / Pk(x№(x’ z) dx-
fc=i
^(ж)М(ж)^(ж)(/а: / f^f^dz = Tr(Mp) = Tr(pM),
K=! 3=1
где
Таким образом, pjj. есть матрица плотности подсистемы в представлении L.
3.3 Изменение состояния квантовой системы при измерении.
Третье положение:
Если при измерении физической величины L было получено значение Л, то при повторной регистрации через бесконечно малый промежуток времени будет получено то же самое значение Л.
Пусть состояние системы до первой регистрации описывалось вектором |а), и пусть измерялась величина L с чисто дискретным невырожденным спектром
L\k} = Afe|fc).
Представим
ОС
W =	(3.24)
fc=l
Если при первой регистрации было получено значение AJ? то при повторных регистрациях будет получаться одно и то же значение Лу. Следовательно, после первой регистрации система оказалась в состоянии, описываемом вектором |j). Таким образом, в результате измерения состояние системы изменилось
l«) \.iY
Такое изменение вектора состояния принято называть редукцией волнового пакета^
Чтобы приготовить систему в заданном состоянии |а), надо найти оператор G, собственным вектором которого является \а), произвести измерение величины G и отобрать то состояние, при котором измеренное значение G оказалось равным собственному числу, соответствующему \а).
3.4 Изменение состояния квантовой системы в промежуток времени между измерениями
Четвертое положение будет сформулировано в конце этого раздела.
★ Рассмотрим сначала чистое состояние квантовой системы.
Примем, что в квантовой механике верно соотношение
dL dL
dt dt I J
аналогичное закону изменения во времени классической величины L. Это соотношение можно записать в явном виде
= («&<*) +	(3.25)
CLL	(_J l	f I
Так как L есть физическая величина, то (3.25) должно быть верно для любого эрмитовского оператора. В то же самое время, умножая правую и левую части (3.25) на мнимую единицу, получаем, что (3.25) должно быть верно и для любого антиэрмитовского оператора (если L эрмитовский, то iL антиэрмитовский). Так как любой линейный оператор можно представить как сумму эрмитовского и антиэрмитовского операторов, то соотношение (3.25) должно быть верно для любого линейного оператора.
Используем представление Шредингера (зависимость от времени введена в вектор состояния) и координатное представление, то есть состояние квантовой системы будем описывать волновой функцией ^(z, £), где х совокупность всех переменных системы. В этом случае
-—-Ltydx + dt
t/idx +
J L~dt dx’
= /^dx,	ф* ^HL - LH^^dx.
Тогда (3.15) дает
У -~-L'ipdx + У ф*Ь -Y dx = - У ф* (h L — l.dj pjdx.
Это равенство можно записать в виде
Э? [ (ьфУ + ~Нф\ dx = 0. J \	/ ( ot ti J
Уравнение верно для любого линейного оператора L. Следовательно, функция р = Ьф может быть любой. Поэтому фигурная скобка должна быть равна нулю, то есть должно выполняться уравнение
ih~-Mx,t) = H(x,t)ip(x,t). (J b
(3.26)
Это уравнение, которое определяет волновую функцию как функцию времени называется уравнением Шредингера (временным уравнением Шредингера).
Для того, чтобы из уравнения Шредингера получалась определенная волновая функция, надо задавать начальное условие. Так как уравнение Шредингера есть дифференциальное уравнение первого порядка по времени, то в качестве начального условия надо задавать волновую функцию в начальный момент времени
Нормировка волновой функции сохраняется во времени, поскольку нормировочный интеграл есть среднее значение единичного оператора.
Уравнение Шредингера для вектора состояния
|a(t0)> = [«о>-	(3.27)
С/V
★ Рассмотрим теперь смешанное состояние. Так как над системой не производятся измерения, то веса wk не зависят от времени и статистический оператор имеет вид
p(t) =	ро = p(to) =	l^(io)) Wfc (fc(io)l-
к	к
Тогда
= ^|6^|fc(t))) wfe(fc(i)l + \k(t))wkih^-{k(t)\\ .
etc	[ \ ut J	ot J
Однако,
Uv	tsL
Поэтому о
«^p(i) = Hp(t) - p(t)H,
dt	(3.28)
?(i) = до-
полученное уравнение называется квантовым уравнением Лиувилля.
Четвертое положение:
★	В интервале между измерениями чистое состояние квантовой системы развивается во времени по уравнению Шредингера, а смешанное состояние квантовой системы развивается во времени по квантовому уравнению Лиувилля.
★	Развитие состояния квантовой системы во времени определяется состоянием системы в начальный момент времени и не зависит от того, как это состояние было получено (не зависит от истории).
Оператор эволюции.
Изменение волновой функции во времени можно представить себе как результат действия оператора эволюции на волновую функцию начального состояния
^(x,t) = S(x-,t io) ^(я, ^сО-
Оператор эволюции унитарный. Действительно, нормировка сохраняется во времени
У ^*(x,t0) V’CMo) dx = У ip*(x, t) <ф(х, t) dx = У ^S(x,t, i0)) S(x, t, i0) dx = = ( [ ^*(x, to)S\x, t, to)S(x, t, toyfi(x, io) dx\ .
Так как функция t0) любая, то
S\x,t,to)S(x,t,to) = Е.
Уравнение для оператора эволюции. Используя уравнение Шредингера, получаем
В -	-
S(x,t, 40) ^(x,i0) =
Так как ^(x-,i0) произвольна, то д ift— S(x,t,to) — H(x,t)S(x,t,to).
(J L
Начальное условие для оператора эволюции,
5(x,io,io) = Е.
Уравнение для оператора эволюции имеет явное решение
S(x,t, i0) = ехр(— ~Н(х) (i — io) \ ™
если оператор Гамильтона не зависит от времени Н = Н(х).
Представление Гейзенберга.
Используя оператор эволюции, можно перейти к представлению Гейзенберга, в котором волновая функция не зависит от времени, а вся зависимость от времени перенесена, в оператор. Имеем
L(i) = У i) £(ж, i) dx =	t, i0)	i0)^j L(x, t)S(x, i, io) i^(x, i0) dx,
L(t) = У ^*(ж, t0)S*(x, t, t0)L(x, t)S(x, t, i0) i/’tx, i0) dx.
Таким образом, волновая функция остается неизменной, а от времени зависит оператор
Ln(x,i) = S^(x, i, to)Ls(x, t)S(x, t, t0).
Если L(x) и H(x) не зависят от времени, то L(x) в представлении Гейзенберга имеет вид
LH(x,t) = e^x}tL{x)e~^\
Уравнение неразрывности для уравнения Шредингера.
Напишем уравнение Шредингера для волновой функции частицы с массой то, движущейся в поле V(r, i), и его комплексно сопряженное
д	Р tip	\
i/i--VXr,i) =	—Д - H(r,i)) ^(r,i),
Ot	\ ZTflfj	J
д	/ h2	\
~^д7^*(г,4) = (-5—д -	-ф*(г,Р).
dt	\ 2m0	J
Умножим слева первое уравнение на ^*(г, 4), а второе уравнение на и вычтем из первого второе. В результате получим
/ f)	д \	\
ih (+ ^(r,t)—^*(r,t) ) = --— I ^*(r,4)A?/>(r,4) - ^(г,4)Д^*(г,4) I .
\	ut	Ot	/ ZTTIq \	/
Полученное уравнение можно записать в виде уравнения неразрывности
ItXM) + divj(r, 4) = О, С/V
если учесть, что
4-4
^*(г,4)—^(г,4) + ^(Г,О*М = мр(т’^’	где =
CJL	CJL	С/С
?У(г, 4)Д^(г, t) — ip(r,t)A’$*(r,t') = div j(r, 4),
j(r,4) =	(#>Wr>4) - ^(r,4)V^*(r,4)} .
Здесь p(r, 4) есть плотность вероятности найти частицу в момент времени t в точке г, а j(r, t) есть плотность тока вероятности.
Стационарные состояния.
Если оператор Гамильтона системы Н(х) не зависит от времени, то система может находится в специальных состояниях, которые называются стационарными состояниями.
д ih—''S>(x,t) = Я(ж)Ф(ж, t).
CJL
Ш0 = Ф(0^)	= Е’
?^Ф(4) = ЕФ(Г) => Ф(4) = e~sBt,
Н(х)^(х) = Еф(х).	(3.29)
Следовательно, функция ф^х) есть собственная функция оператора Гамильтона 'Фе(х), соответствующая собственному числу Е и
Ф(ж, 4) = e~^Et ^e(x\	(3.30)
Состояния, которые описываются волновыми функциями вида (3.30), называются стационарными. Особенностью стационарных состояний является то, что в них не зависят от времени ни плотность вероятности найти значение ж, ни среднее значение любой физической величины, явно от времени не зависящей,
p{x,t) = |Ф(щ, i)|2 = |^в(ж)|2,
L = J Ф(ж, ^Г(ж)Ф(д;, f) dx = f e%Et$*E(x)L(x)e~%Et $е(х) dx = J^(ж, 4)*£(ж)^(ж, 4) dx.
Уравнение (3.29) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний.
Модуль II. Простейшие квантовые системы. Связь квантовой и классической механик
4 Простейшие модели
4.1 Общие закономерности одномерного движения
Простейшие модели это идеализированные ситуации, допускающие точное решение и анализ. Главное упрощение использование одной переменной, так что уравнение Шредингера из уравнения в частных производных становится обыкновенным дифференциальным уравнением.
Рассмотрим общие свойства движения частицы в одномерном случае. Пусть х пространственная переменная, изменяющаяся в пределах —оо < х < оо. Будем рассматривать стационарное состояние частицы, волновая функция ^(х) которого удовлетворяет уравнению Шредингера для стационарных состояний:
H(x)^(x) = Е'ф(х).	(4.1)
Оператор Гамильтона Н частицы
2m0 dx2
где Р(х') оператор умножения на вещественную функцию V(x), описывающую локальное потенциальное поле.
Волновая функция. В квантовой механике на волновую функцию ф(т) из физических соображений накладываются дополнительные условия.
i)	Волновая функция должна быть нормируемой (интегрируемой с квадратом модуля).
ii)	Для частицы должны иметь смысл импульс и кинетическая энергия. Это значит, что волновая функция должна удовлетворять таким граничным условиям, чтобы можно было построить самосопряженные операторы импульса и кинетической энергии.
Кроме того, для стационарных состояний на волновую функцию накладываются еще два условия.
iii)	В той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода (скачки), волновая функция должна быть непрерывной.
iv)	В той области, где потенциал непрерывен или имеет разрывы первого рода, производная от волновой функции тоже должна быть непрерывной. Производная от волновой функции может иметь разрывы только в тех точках, где потенциал сингулярен.
В одномерном случае уравнение Шредингера может иметь не только квадратично интегрируемые решения, описывающие состояния дискретного спектра, но и решения ограниченные на всей оси х. Такие решения гильбертову пространству не принадлежат, то есть, строго говоря, они не являются волновыми функциями частицы. Однако, оказывается, что ограниченные на всей оси х решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона и могут рассматриваться как волновые функции, описывающие инфинитное движение частицы, то есть такое движение, при котором частица приходит из бесконечности и уходит на бесконечность.
Симметрия. В одномерных системах существует лишь одна операция симметрии инверсия, то есть замена х на — х. Предположим, что V(—х) = V(x). Тогда оператор Гамильтона инвариантен по отношению к операции инверсии
Я(-ж) = Я(ж),
и
Я(— ж) 'ф(—ж) = Еф(—х) ==> Н(х) 'ф(-х) = Еф(—х).
Таким образом, ф(—х) также есть собственная функция оператора Я с тем же самым собственным числом Е. Здесь имеются две возможности: а) уровень Е не вырожден, б) уровень Е двукратно вырожден
а)	. Уровень Е не вырожден.
ф(—х) = С ф(х) => ф(х) — С'ф(-х).
ф(х) = С2^(ж), С2 = 1, С = ±1.
Это означает, что собственная функция оператора Я есть либо
’ф(-х) = ф^х),	четная функция ж,
’ф(-х) — —^(ж),	нечетная функция х.
б)	. Уровень двукратно вырожден. Функции ф(х) и ф(—х) линейно независимы, и любая их линейная комбинация, в частности их сумма или разность, является нетривиальным решением уравнения (4.1), то есть является собственной функцией оператора Я. При этом
ф(х) + ф(—х)	четная функция х,
ф(х) — ф(—х)	нечетная функция х.
Энергетический спектр. Рассмотрим стационарные состояния частицы, которая может двигаться в бесконечном интервале —оо < ж < оо
------т-^Кх) + У(х)ф(х) = Еффг).	(4.2) 2777-0 (1Хг
Предположим, что потенциал V(ж) не сингулярен, но может иметь конечное число разрывов первого рода. Раз потенциал не сингулярен, он может обращаться в бесконечность только при х —> ±оо. Обозначим наименьшее из V(—оо) и У(оо) через V_, а наибольшее через V+.
Пусть V_ = —оо. В этом случае у задачи нет дискретного спектра. Спектр чисто сплошной и он занимает всю ось энергий от —оо до +оо.
Пусть величина V_ конечна. В этом случае потенциал ограничен снизу У(ж) > Vmin. Следовательно энергетический спектр частицы ограничен снизу величиной Vm,n. Если Е > VL, то у частицы может быть только сплошной спектр. Дискретный спектр может быть только при Е < V_.
Существуют ли дискретные уровни энергии и каково их число, определяется поведением потенциала V(x) на всей оси х. Для того, чтобы был дискретный уровень энергии необходимо и достаточно, чтобы Vmin < V-. Если это условие выполнено, то существует хотя бы одно связанное состояние. В этом состоит особенность одномерной задачи. Число дискретных уровней энергии определяется тем, как потенциал У(ж) стремится к У_.
Сравнение движения квантовой и классической частиц. Движение классической частицы мы описываем с помощью траекторий, а квантовой частицы с помощью волновой функции, траектории у квантовой частицы нет. Для классической частицы можно ввести понятие плотности вероятности найти частицу в данной точке. Поэтому, мы можем сравнивать плотности вероятности классической ркл(х) и квантовой ркв(т) частиц.
Рис. 1 Потенциальная яма.
Рис. 2 Классическая плотность вероятности.
Пусть классическая частица движется в потенциальной яме, изображенной на рисунке 4.1.
Она будет совершать колебания с периодом Т между точками поворо?па Xi и х%.
Е = Ек+ Е.и
(т) + V(x),
и(х) = J—(E — У(ж)). V то
Плотность вероятности найти частицу в точке х есть
(1.3)
график которой приведен на рисунке 4.2 для случая потенциальной ямы, изображенной на рисунке 4.1, и для той энергии, которая там показана.
4.2 Прямоугольная потенциальная яма
Рассмотрим частицу с массой т0 движущуюся в поле с потенциальной энергией вида
{О, х < —а, I, -Vo, ;ж1< а, II, О, х > а, III.
У(т) > -Ко => Е > -Vo. Раз У = 0, то дискретный спектр может быть только при Е < 0. При Е > 0 может быть только сплошной спектр.
Ищем решение уравнения (4.1) непрерывное вместе с первой производной.
Отрицательные энергии —Vo < Е < 0. Решение для областей I, II и III:
^i(x) = Аг еах + 131 е ах,
i(2(x) — А2 sin хх + В2 cos хх,
^з(^) = А3еах + В3е~ах,
где
а = J-^E > 0, х = J^(Vo + E) > 0.	(4.4)
V п	V п
Из граничных условий следует, Вг = 0 и А3 = 0. Из У(ж) = V(—х) ==? V’(t) =
±?/’(—х), поэтому условия сшивания можно рассматривать только в точке х = +а.
Четные решения: Аг — В3, А2 — 0.
Условия сшивания приводят к уравнению
f mt = Vq - е2,	(4-5)
где ( = ха, a Q параметр ямы:
Q = а2 (х2 + а ) = —ту—Уо.	(4.6)
Если является решением уравнения (4.5), то энергия ^-го состояния есть
1.	Для четных решений при любых значениях а и Vo имеется по крайней мере один четный дискретный уровень.
2.	При любых конечных значениях а и Vo число дискретных четных уровней в яме конечно.
Нечетные решения: Аг — —В3, В2 = 0.
Из условий сшивания получаем уравнение
-€ ctgf = VQ -	(4.7)
3.	В яме имеются нечетные дискретные уровни если параметр ямы Q > тг2/4.
4.	При любых конечных значениях а и Vo число дискретных нечетных уровней в яме конечно (или ноль).
Сравнение движения квантовой и классической частиц при Е < 0.
Первое различие состоит в возможных значениях энергии. Классическая частица может иметь любую энергию в интервале — Vo < Е < 0. Квантовая частица может находиться только на одном из конечного числа дискретных уровней энергии.
Второе различие касается плотности вероятности найти частицу в данной точке.
РкЛ (‘Г")
Рис. 5 Квантовая плотность вероятности.
Рис. 4 Классическая плотность вероятности.	Первое четное состояние.
n е TZ	Рис. 7 Квантовая плотность вероятности.
Рис. о Квантовая плотность вероятности.	1
гт	Яма малой ширины.
Первое нечетное состояние.
Положительные энергии Е > О
Решение для областей I, II и III:
01 (х) = Ai elkx + Bie~lkx, ^2(х) = .42+^ + В2(ГЫх, ^з(х) = A3eikx + B3e~ikx.
где
к . 7^1 >0, х .	> О
V ft	у ft
(4.8)
(1.9)
Ни при каком выборе констант А и В не удается получить квадратично интегрируемую функцию, поэтому дискретного спектра нет. Сплошной спектр заполняет полуось Е > 0.
Пусть частицы налетают на яму слева. Тогда |Ai |2 задает плотность потока падающих частиц ji = (ftA:/mo)|A|2, а В3 = 0. Оставшиеся коэффициенты Bi и Аз можно выразить через Ах. Они определяют плотность отраженного jr = (ft/c/m0)|B1|2 и прошедшего jt — (/г/г/т0)|А3|2 потока. В частности
2 = 4Р|л|2-
2 = Р .л 12	= уо2 sin2
1+р' 11 ’ Р 4Я(Е + У0)’
Введем коэффициент отражения
Ъ = IД112 = Р ji JAij2 1+p
(4.10)
и коэффициент прохождения
гр _ it _ Цз|2 _	1
~ ф ~ |А|2 - 1 + р’
(4.11)
которые удовлетворяют условию сохранения числа частиц R + Т = 1 и следующим образом ведут себя в пределе больших и малых энергий:
Е -> О,
Е —> оо,
р —> оо,
О,
R 1,
R -э О,
7'^0, 7'—> I.
В частности, если Е = Еп:
(4.12)
то 2ха = птг и р = 0 и яма при этих энергиях полностью прозрачна. Такие уровни принято называть резонансными. Мы рассматриваем только область положительных энергий. Поэтому значения квантового числа п резонанса должны удовлетворять условию п > 2^/Q /я.
Сравнение движения квантовой и классической частиц при Е > 0.
При положительной энергии все классические частицы проходят через яму. Коэффициент отражения равен нулю. Потенциальная яма лишь меняет время прохождения, так как скорость движения частицы в яме больше, чем скорость движения частицы вне ямы. У квантовой частицы (при заданной энергии) существует вероятность как пройти через яму, так и отразиться. Коэффициент отражения близок к единице при Е —> 0 и мал при больших Е. Поэтому поведение классической и квантовой частиц сильно различается при малых Е и практически не различается при больших Е.
При резонансных энергиях
ха =	,	(4.13)
ха = (2^+1),	'	(4.14)
для четных и нечетных решений, яма оказывается полностью прозрачной для квантовой частицы (коэффициент отражения обращается в ноль), а квадрат амплитуды волновой функции внутри ямы достигает максимума (единицы). Именно благодаря такому поведению амплитуды внутри ямы рассматриваемые состояния получили название резонансов: колебания снаружи ямы возбуждают колебания внутри ямы, амплитуда которых при изменении энергии достигает максимума, когда энергия совпадает с энергией резонансного уровня. Резонанс наблюдается при таких энергиях частицы при которых на ширине прямоугольной потенциальной ямы укладывается целое число длин полуволн.
Яма с бесконечными стенками.
Сдвинем начало отсчета энергии на дно ямы и устремим Уо к бесконечности. В этом случае энергия n-го уровня есть
И2
Е» = у-Й,	(4.15)
2'гпо
где
.. 7Г	( 2£ +1 для четных решений,
Чп = т? п, п = < пЙ
2	I 21 для нечетных решении.
Расстояние между уровнями:
Ьп-Н Еп
П2 2т0а2
/7Г\ 2
( 9 ) (2n + 1).
Сравнивая положение уровней энергии в прямоугольной потенциальной яме бесконечной глубины и положение соответствующих уровней энергии в яме конечной глубины (и той же ширины) видим, что в конечной яме уровни располагаются систематически ниже, чем уровни той же четности в яме с бесконечными стенками.
Резонансные энергии (4.12) в точности совпадают с энергиями уровней в яме с бесконечными стенками (4.15).
Качественно (без соблюдения масштаба), взаимное расположение уровней энергии в конечной и бесконечной ямах и резонансов в конечной яме показано на рисунке 4.8.
Рис. 8 Уровни энергии и их четность в прямоугольной потенциальной яме конечной и бесконечной глубины. Стрелками отмечены положение и четность резонансов.
4.3	Прямоугольный потенциальный барьер
Рассмотрим частицу с массой то движущуюся в поле потенциального барьера вида
Рис. 9 Прямоугольный потенциальный барьер.
{О,	х	< —а,	I,
Ро,	< а,	п,
О,	х	> а,	III.
Так как У_ = Vmin = 0, то у частицы не может быть дискретного спектра. Потенциал ограничен снизу V (ж) > 0, следовательно и спектр энергии ограничен снизу Е > 0. Таким образом, любое неотрицательное значение Е есть точка сплошного спектра. Так как потенциал симметричен, то 'ф(х') — ±^( — х).
Пусть частица налетает на потенциальный барьер слева. Тогда задачу можно решать так, как это было сделано для прямоугольной потенциальной ямы (случай Е > 0), заменив По -и».
Энергия ниже высоты барьера 0 < Е < Ио. Используя (4.9), (4.10) и (4.11), получаем выражения для коэффициентов прохождения и отражения:
rr, 1	ь>	1 2/о	\	/2гпо,	~~
Т = ТС—>	R = \, Р = TF7T--------------FT stl (2«aL а = \	~ Е) > °-
1+р	1+р	4£(И0 - Е) v ’	V Й2
При Е < Vo величина р 0 и при увеличении энергии монотонно убывает, а при Е 0 параметр р -э оо. Имеем,
Е 0,
Е-> По,
р —> оо,
р Q,
1,
R Q/(i + Q),
т -+ о, Т—>1/(1 + Q).
Рассмотрим волновую функцию в базисе бегущих волн, т. е. рассмотрим падающую, отраженную и прошедшую волны (см. (4.8) при Ai = 1 Bs = 0 и с заменой х на га).
Рис. 10 Вещественная, мнимая части волновой функции и ее модуль для энергии вблизи вершины барьера (Е = 0.9Ио).
При малых энергиях вероятность обнаружить частицу справа от барьера мала. Именно там мал модуль волновой функции |^| (см. рис. 4.10). Слева от барьера волновая функция представляет собой интерференцию падающей и отраженной волн. При увеличении энергии справа от барьера |^| возрастает, что соответствует увеличению коэффициента прохождения.
Внутри потенциального барьера (физически запрещенная область) модуль волновой функции экспоненциально затухает (см. рис. 4.10), однако в нуль не обращается даже для самых маленьких энергий. Таким образом, для квантовой частицы существует не нулевая вероятность прохождения сквозь барьер туннельный эффект.
Энергия выше высоты барьера Е > Ио. Заменяя Ио на — Ио в формулах (4.9), (4.10) и (4.11), получаем для коэффициентов отражения R л прохождения Т выражения
= Р
1 + р’
1+р’
(х2 - F)2 (2хАс)2
sin2 2ха.
р =
Таким образом, мы знаем коэффициенты отражения и прохождения при всех положительных энергиях. Их графики для барьера с Q = 1.75гг изображены на рисунке 4.11.
Рис. 11 Коэффициенты прохождения и отражения.
Вертикальная пунктирная черта показывает положение вершины потенциального барьера. При энергии ниже высоты барьера коэффициенты R и Т ведут себя монотонно. Однако, при энергии выше высоты барьера наблюдаются осцилляции и при некоторых значениях энергии коэффициент отражения оказывается равен нулю, то есть барьер полностью прозрачен для частиц с такой энергией.
Эти значения энергии представляют собой резонансные уровни, аналогичные тем, которые наблюдались в прямоугольной потенциальной яме.
Сравнение движения квантовой и классической частиц.
1.	При Е < Vo классические частицы не могут пройти сквозь барьер и отражаются, то R = 1, а Т = 0. Квантовые частицы могут пройти сквозь барьер несмотря на то, что их энергия меньше, чем его высота. Это так называемый туннельный эффект. Вероятность туннелирования мала при малых энергиях и растет с ростом энергии.
2.	Когда энергия частицы меняясь проходит через вершину барьера, движение классической частицы резко меняется. При энергии сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и меньшей, чем высота барьера частицы полностью отражаются. При энергии сколь угодно мало отличающейся от высоты барьера и большей, чем высота барьера все частицы проходят над барьером. Поведение же квантовых частиц почти не меняется, когда энергия проходит через вершину барьера.
3.	При Е > Vo классические частицы полностью проходят над барьером. Единственное, на что влияет барьер это скорость частицы: над барьером скорость меньше, чем вне барьера. Квантовые частицы, в общем случае, лишь частично проходят над барьером, часть их может отразиться. Это так называемое надбарьерное отражение. Лишь при некоторых, резонансных, энергиях квантовые частицы полностью проходят барьер.
4.4	Частица в периодическом потенциале
Трансляционная симметрия. Рассмотрим стационарные состояния частицы в периодическом поле:
У(т + а) = У(т),	(4.16)
где а период. Введем оператор трансляции Та:
Taf(x) = f(x + a).	(4.17)
Оператор трансляции определен во всем гильбертовом пространстве и является ограниченным. Оператор Таг есть Т_а, так как ТаТ_а = I. Оператор Т+ совпадает с Т_а. Таким образом, оператор Та есть унитарный оператор.
Вследствие трансляционной инвариантности потенциала (4.16)
ТаН = НТа.
Поэтому в качестве собственных функций оператора Гамильтона можно взять такие, которые являются собственными функциями оператора трансляции:
Таф(Х) = А^(т).	(4.18)
Уравнение (4.18) не имеет квадратично интегрируемых решений. Поэтому оператор Гамильтона частицы в периодическом поле не имеет дискретного спектра. Однако, если А = ехр(гЫ) с чисто вещественным к, то уравнение (4.18) имеет решения, ограниченные на всей оси х. Такие решения соответствуют сплошному спектру оператора Гамильтона. Параметр к принято называть волновым числом. Волновые числа к и к2 = кг + 2тг/а эквивалентны. В качестве неэквивалентных к можно взять числа заполняющие отрезок вещественной оси длиной 2тг/а. Принято брать к в интервале
7Г , 7Г	,	%.
	< к < —.	(4-19) а------------------------------------------а
Оказывается удобным включить в интервал обе точки —тг/а и тг/а, хотя они эквивалентны.
Таким образом, в качестве волновых функций "ф(к, х) сплошного спектра будем брать функции, удовлетворяющие условию (4.18) с вещественным к из интервала (4.19). Соответствующую энергию обозначаем Е(к), причем Е(—к) = Е(к). Условие, которому удовлетворяют такие волновые функции частицы в периодическом поле, можно записать в виде
ф(к,х + а) = еЛаф(к,х)	(4.20)
Соотношение (4.20) известно как теорема Блоха. Можно предложить альтернативную формулировку теоремы Блоха: волновую функцию ^(к, х) можно представить в виде произведения
ip(k,x) = егкхи(к,х)
где и(к, х) есть периодическая функция
и(к, х + а) = д(&, т)
Принято функции, которые удовлетворяют теореме Блоха, называть блоховсними функциями.
Нормировка блоховских функций. Блоховские функции не интегрируемы с квадратом модуля и скалярное произведение блоховских функций надо доопределить:
ос	Na
/ф* (k\^x)^(k2,x)dx = lim / i^*{k^ x)^(k2, x)dx.	(4-21)
N^oo J
-oc	-Na
Доопределение состоит в том, что пределы стремятся к бесконечности симметрично и интегралы берутся по целому числу периодов. Имеем
Na	N—1	а
f rf*(ki,x\i/>(k2,x)dx — e«(fc2-fci)na f xy^(k2,x)dx,
—Na	n=~N	{
N—l	—iaN _ „iaN
Sn = £	= —;-----—,	a=(k2- kja,
lim Sn =
N~>oo
2гтга smaJV 2гда5(а) .. .	27г.,,	, .
—   hm ------------- = —: — = 2тгд(а) = —o(k2 — kA,
eia — 1 N-+00 тга ега — 1	7 a	7
oo	a
j rf*(ki,x)l/l(k2,x)dx = S(k-2 — &1) “ y" ^*(^1> a’:)V’(^2, x)dx.
—оо	0
Если
a 2тг Г
— I \ф(к,х)\2 dx = 1,	(4.22)
о
то блоховские функции будут нормированы на 5-функцию.
СЮ
У” ф*(кг,х)ф(к2,х^х = 6(к2 - кф),	(4.23)
— ОО
Спектр оператора Гамильтона. Возьмем некоторое значение Е и найдем решение уравнения
Г h2 d2	1
+ “ Е = °’ (4'21}
Z/zlg CZ-vC
удовлетворяющее теореме Блоха. Наложим граничные условия на периоде [0, а]:
ф(к. а) — е‘ка,ф(к,А)
(4.25) ф'[к,а) = егка,ф'(к, 0).
Возьмем нормальную фундаментальную систему линейно-независимых решений <pi и <р2 уравнения (4.24):
¥>1(0) = 1,	<р2(0) = 0,
</4(0) = о,	</4(о) = 1.
<^1(щ)<^(щ) - ^(х>2(ж) = ^(0)^(0) - /4(0)<р2(0) = 1.
Возьмем общее решение уравнения (4.24) ф(х) = Арг(х) + В</?2(2-‘) и определим коэффициенты А и В так, чтобы выполнялись граничные условия (4.25). Получаем систему двух линейных однородных уравнений относительно А и В. Приравнивая определитель системы нулю приходим к уравнению
1 - eika фрг(а) + <//>(«)) + ei2ka = 0.
Обозначая
S(E) = | + ^2(«))
(8(E) зависит от энергии Е так как <pi(e) и <р'2(а) есть решения уравнения (4.24) при данном Е), запишем уравнение в виде
S(B) = cos ка.	(4.26)
Это уравнение позволяет при данном к найти соответствующее значение Е, то есть определить закон дисперсии Е(к).
Периодически повторяющиеся прямоугольные потенциальные барьеры. Вычислим функцию S(E) для потенциала из периодически повторяющихся прямоугольных барьеров шириной b и высотой Vq (рис. 4.12). Период потенциала есть а — b + d, где
Рис. 12 Периодический потенциал из прямоугольных барьеров.
d расстояние между барьерами. Обозначим
а =	Е)-
< V»,
E>V„.
Пусть Е < Vo- В качестве <pi и <р2 возьмем функции
cos х.т
О < х < d
<Р1(ж) =
<
Аг sh а(х — d) + Bi ch а(х — d)
d < x < a.
( 1
I — sm xx	0 < x < d
<^2 (ж) = < x
( A2 sh a(x — d) + B2 ch a(x — d) d < x < a.
Условия сшивания в точке х = d позволяют найти <pi(a) и <р'2(а):
УС
ip-Aa) =---sin xd sh ab + cos xd ch ab,
a
Q
<p2(a) — cos ^d ch ab + — sin xd sh ab. x
В результате мы получаем
S(E) = —= sin xdsh ab + cos xdch ab, E<Vq.	(4-27)
гуад - в)
Если Е > Vo, то выражение для S(E) можно получить из (4.27), заменив а i(3. В результате получится
у ___ 2£-
S(E) = —.----------= sin xdsin (3b + cos xd cos fib, E > Vo-
2-*/E(E - Vb)
В общем случае решать уравнение (4.26) с такой функцией S(E) можно только численно.
Модель Кронита-Пенни (гребенка Дирака). Совершим предельный переход: b —> О, Ео —> оо, bV$ =const. В этом случае в качестве S(E) можно взять (4.27). При малых b и больших Vq справедлива оценка
ab = \/ -z^(Vo — Е)1А ~”Vob Vb, shafe « ab, V n	V h2-
ch ab ~ 1,
V0-2F	2m0 Vo , P
2y/P(V0 ^Е)	A2 2ax xa
Таким образом,
rrioa
Vob.
P =
„sm ха S(E) = P-------1- cos ха.
ха
Введем новую переменную z = ха и функцию /(2) = Pz~r sin z + cos z и решим уравнение /(z) = cosfca графически. Возьмем некоторое значение к, вычислим cos ка и проведем на этой высоте линию, параллельную оси z, как показано на рисунке 4.13. Абсциссы zn точек пересечения этой прямой с кривой f(z) будут давать те значения энергии Еп = (/j2/2m0)^n/«2; при которых уравнение f(z) = cos ка выполнено.

1.0
cos(A;a)
Рис. 13 Графическое решение уравнения (4.26).
Мы видим, что для каждого значения к имеется бесконечно много значений энергии, то есть функция Е(к) оказывается многозначной. Более того, поскольку cos ка непрерывно изменяется в интервале [—1, +1], абсциссы точек пересечения zn целиком заполняют отрезки оси z, показанные на рисунке 4.13 жирными линиями. Поэтому спектр энергий частицы в поле периодически расположенных 5-функций имеет так называемый зонный характер.
Вся ось энергий разбивается на непересекающиеся отрезки, как показано в правой части рисунка 4.14. Каждая точка отрезка, называемого разрешенной зоной, есть точка спектра. Ни одна точка отрезка, называемого запрещенной зоной, не является точкой спектра. Разрешенные и запрещенные зоны чередуются, причем с ростом энергии ширина разрешенных зон возрастает, а ширина запрещенных зон убывает. Спектр энергии частицы характеризуется многозначной функцией Еп(к), показанной в левой части рисунка 4.14. Величину к можно трактовать как волновой вектор, а функцию Еп(к) как закон дисперсии в п-ой зоне.
Энергетический спектр частицы в любом локальном одномерном периодическом потенциале качественно похож на спектр энергий частицы в поле периодически расположенных 6 функций, то есть имеет зонную структуру. Разрешенные зоны, как правило, разделены запрещенными зонами и запрещенные зоны существуют при сколь угодно больших энергиях. С ростом энергии ширины запрещенных зон уменьшаются. Ни в каком локальном одномерном периодическом потенциале разрешенные зоны не могут пересекаться. В исключительных случаях ширины некоторых запрещенных зон могут оказаться равными нулю и тогда разрешенные зоны будут касаться друг друга.
Надо отметить, что правило непересечения зон справедливо только для одномерного случая. В трехмерном случае, например, при рассмотрении движения электронов в реальном кристалле, разрешенные зоны могут пересекаться и как правило пересекаются. Пересечение зон имеет место и в двумерном случае, например, при рассмотрении движения электронов вдоль поверхности кристаллов.
Сравнение движения квантовой и классической частиц. Рассмотрим движение частиц в периодическом локальном потенциале произвольного вида. Поместим начало отсчета энергии в минимум потенциала. Пусть наименьшее значение потенциала есть Vmin. а
наибольшее значение есть Vmax. Классическая частица может иметь любую энергию больше Vmm. Если эта энергия меньше Vrnax, то частица движется в пределах одного периода, именно того, в котором она находилась в начальный момент времени. Если энергия больше Vmax, то движение частицы инфинитно, с течением времени она уйдет на бесконечность. При этом движении скорость частицы изменяется периодически, от максимума, когда она проходит над минимум потенциала до минимума, когда она проходит над максимумом потенциала.
В отличие от классической, квантовая частица может иметь энергию лишь из разрешенной энергетической зоны. При этом даже выше Vmax (если Vmax конечно) есть энергии запрещенные для квантовой частицы. В то же самое время, при любом разрешенном значении энергии движение квантовой частицы инфинитно, то есть квантовая частица может уйти на бесконечность, даже если ее энергия меньше Vmax.
4.5 Гармонический осциллятор
Постановка задачи. Оператор Гамильтона. Рассмотрим движение частицы с массой то в упругом поле с потенциальной энергией вида
—а0
Рис. 15 Потенциальная энергия гармонического осциллятора.
где к коэффициент жесткости, а круговая частота. На рисунке 4.15 показана полная энергия Е частицы и классические точки поворота ±а0, где поесть классическая амплитуда колебаний.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
2т,о dx2 2
+ -т0ш2х2 Ф(ж) = Е'Ф(ж),
после замены переменной х = а^, где а = у/К/(тоШ), приводится к виду
2	\	у
(4.28)
Операторы рождения и уничтожения. Оператор числа частиц. Введем оператор уничтожения и эрмитово сопряженный с ним оператор рождения-.
(4.29)
(4.30)
Коммутатор этих не эрмитовских операторов:
[а, а+] = a a' — a+d = 1.
(4.31)
Оператор Гамильтона с их помощью преобразуется к виду
Я(£) = Кш [ а+а + | ,	(4.32)
то есть оператор Н есть линейная функция от другого оператора оператора числа частиц N:
N = та.	(4.33)
Поэтому, найдя собственные числа и собственные функции более простого оператора N, мы автоматически получим собственные функции, а после линейного преобразования, и собственные числа оператора Н.
Спектр оператора Гамильтона. Рассмотрим задачу на собственные значения и собственные функции оператора N:
Np& = А^(£).	(4.34)
Для этого исследуем в деталях свойства оператора N:
1.	Собственные числа Л оператора N не отрицательны.
2.	Пусть р собственная функция оператора N с собственным числом Л, тогда f = ар либо ноль, либо собственная функция оператора N с собственным числом Л — 1.
3.	Обозначим наименьшее собственное число оператора N через Ло, а соответствующую собственную функцию через ро, тогда Ао = 0.
4.	Все собственные числа оператора N - целые числа.
5.	Пусть р собственная функция оператора N с собственным числом А, тогда f = а+р также является собственной функцией оператора N с собственным числом А 4-1.
Принято говорить, что оператор уничтожения а делает из состояния с п ’’частицами” состояние с п — 1 ’’частицей”, а оператор рождения ал - из состояния с п ’’частицами” делает состояние с та4-1 ’’частицей”. В тоже время квантовомеханическое среднее оператора N дает число частиц (квантов) в рассматриваемом состоянии. Под термином частица понимается не реальная физическая частица, а просто квант энергии Кш.
Таким образом, задача (4.34) сводится к следующей задаче:
М(£) = пфп^.	(4.35)
Следовательно
Нфп(£) = Епфп(£),	(4.36)
где
Еп = Нш (та 4- 0 	(4.37)
Таким образом мы нашли спектр гармонического осциллятора (4.37). Это эквидистантный спектр. Расстояние между уровнями постоянно и равно
Еп_^1 Еп — hw.
Собственные функции оператора Гамильтона. Определим конкретный вид собственных функций и их свойства. Как обычно, будем считать, что собственные функции ^п(£) ортонормированы (^п|^п') = дп,п'-
Рассмотрим действие оператора уничтожения а на ^>n(£): афп = Спфп~1:
(о/ф.фафф} |С*П| (Фп-11 V’n-l)	|СП| >	_ 10 ;2
[ {фп\а+а[фп) =	= IGJ2,
Выберем фазы у фп(ф) так, чтобы Сп было положительным, т.е. Сп = у/п и
aV’n = vMn-b	(4.38)
Тогда
a+a^n+i = N^n+i = (n + l)Vwi = у/п + 1 а+гфп.
аФфп = х/п+Т фп+1.	(4.39)
Подействуем оператором уничтожения а на волновую функцию фц(фф, принадлежащую наинизшему собственному значению п = 0. Согласно утверждению 3
«^о(О = ({, + 4) <М£) = 0.	(4.40)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение, решением которого является
(МО =	(Т41)
у 7Г
Все остальные собственные функции оператора Гамильтона можно найти с помощью оператора рождения а+:
фп(£) =	-а+ • •  	0-42)
Vn! v n
Используя соотношение 02 ехр (—1£2) а+ехр (+|£2) = — d/d^, единичный оператор 1 = ехр (—1£2) ехр (+|£2) и (4.41), перепишем выражение (4.42) в виде
( 1\П	,1П	1
^п(е) = -/==== е+2 f2~e^2 = -=<М0Яп(0,	(4-43)
у/у/тгп\2п	d£n	у/п\2п
где
fm
я,.К) = (~1)"<=+г	(-1-44)
есть полиномы Эрмита.
Полученные функции фп(ф) есть функции переменной £ и они нормированы на единицу при интегрировании по £. Волновые функции Фп(ж) гармонического осциллятора, зависящие от переменной х и нормированные на единицу при интегрировании по х, имеют вид
Фп(ж) = ~у='фп 	0-45)
у/a \а/
Две полезные формулы:
= V ? ^п~1 + \ ^п+ъ	(4-46)
у Zi	V Za
d , fri , /п + 1
~ у 2 у 2 ^?п+1'	0-4')
Сравнение классического и квантового гармонических осцилляторов.
1.	Полная энергия классического осциллятора может принимать любые положительные значения, начиная с Е = 0. При Е — 0 частица покоится в начале координат. У квантового осциллятора полная энергия может принимать значения из бесконечного, дискретного, эквидистантного набора. Наинизший уровень энергии Eq =	> 0
соответствует энергии нулевых колебаний.
2.	Известно, что хкл = 0, ркл — 0. Средние значения координаты и импульса квантового гармонического осциллятора также равны нулю, что следует из (4.46) и (4.47).
3.	Для классического осциллятора Екл — гп0ш2х2л. Для квантового осциллятора Еп = т^ш2 (п\х2\п). Таким образом, связь энергии с величиной среднеквадратичного отклонения одинакова для квантового и классического осцилляторов.
4.	Теорема вириала выполняется как для классического, так и для квантового осциллятора'.
Ek = V(z),
5.	Среднеквадратичные отклонения координаты и импульса:
Да;2 = (ж — а;)2 = х2
h
ГПоШ
Др2 = (р — р)2 = р2 = 2т0 ( п
2гпо
\	1_ (	1\
п } = 2т0-пш ( п + - .
/	2 \	2
Таким образом
Да; • Др = h (п + - ) , Да; = л/Дж2. Др = yfДр2. \	2 )
Таким образом в основном состоянии (п = 0) в соотношении неопределенности ре-ализуется равенство: Лх  Др = Для больших п соотношение неопределенности выполняется с запасом: Дх  Др %.
Следовательно, основное состояние и низковозбужденные состояния сильно отличаются от классических, а высоковозбужденные состояния мало отличаются от классических. Это иллюстрируют рисунки 4.16, 4.17 и 4.18, на которых представлена плотность вероятности обнаружить классическую и квантовую частицы в интервале между классическими точками поворота для разных энергий.
Рис. 16 Основное состояние.
Рис. 17 Первое возбужденное состояние.
р{х)
-ао	О	«о
Рис. 18 Высоковозбужденное состояние.
4.6 Однородное поле
Постановка задачи. Оператор Гамильтона.
Рассмотрим частицу с массой гпо дви-
жущуюся в однородном поле вида
Рис. 19 Потенциальная и полная энергии системы в однородном поле.
V(x) = Fx, где F - напряженность поля. Обозначим классическую точку поворота за ду. Т.к. потенциал неограничен ни снизу ни сверху, то спектр чисто сплошной. Оказывается, спектр занимает всю вещественную ось энергии.
Уравнение Шредингера для стационарных состояний
h2 d2
2т0 dx2 ~*~
^(д1) = Eip{x)
после замены переменных х = xz, v? = h2/(2rn0F} и е = E/(Fn) приводится к виду:
Г d2
dz2
~h Z — £
^(z) = 0.
(4.48)
Решение в импульсном представлении. В импульсном представлении оператором координаты будет z = +id/dp, а оператором импульса будет оператор умножения р.
Уравнение Шредингера (4.48) в импульсном представлении запишется
-^-<р(р) = г (р2 - е} <р(р). dp
Его решением является функция
Ыр) =
-£р)
(4.49)
(4.50)
Множитель 1/-\/27Г поставлен для нормировки:
-1-ос	+ос
У Ф*Лр)фг(р)<1р = ~ У ei(e'-£)pdp = 5(е' - е).
— ос	—00
Чтобы найти ^(z) надо перейти к координатному представлению:
— оо	—оо	О
Последний интеграл, с точностью до константы, представляет собой функцию Эйри
Ф(0 =
(4.51)
Таким образом,
=
—т=Ф (z - е). У 7Г
(4-52)
Перейдя к переменной х и энергии Е с помощью z — е = (Fx — E}/(Fx), получаем волновую функцию функцию частицы, движущейся в однородном поле
1	( F т — Е
Ш = Ых) = Ci[)e(z) = С—=Ф ( —----------------------------------
V 7Г \ Г X
(4.53)
где С есть нормировочная константа, которая обычно подбирается так, чтобы ^(т) была нормирована на § функцию по энергии.
Сравнение движения квантовой и классической частиц. Асимптотики функции Эйри есть
Ф(0 =
1
-~техР 2t4
1	•	<1 2i I3
, s,n о И2
е \з
(4.54)
t —> +оо, t —> —оо.
Поэтому волновая функция частицы в однородном поле ^е(;е) при х > xq (классически недоступная область) экспоненциально затухает, а при х < хц (классически разрешенная область) она осциллирует со все возрастающей частотой и убывающей амплитудой.
1. Полная энергия как классической так и квантовой частицы в однородном поле может
принимать любые значения от — оо до +оо.
2.	Известно, что величина скорости классической частицы в точке х < х'о (х'о- классическая точка поворота) задается выражением
/ 2
«кл(я) = \ —(Е - Fx], V W()
и возрастает при уменьшении х. Поведение квантовой частицы полностью аналогично поведению классической частицы. Она также ускорятся внешним однородным полем. Ее скорость также растет, что следует из возрастания частоты осцилляций волновой функции Ре(^) при х —> —оо (рисунок 4.20).
3.	Уменьшение амплитуды волновой функции ПРИ х	— 00 (рисунок 4.20) свя-
зано с возрастанием кинетической энергии частицы. Как следствие, уменьшается относительная^.] плотность вероятности обнаружить частицу в точке х (абсолютная величина плотности вероятности имеет смысл только для финитного движения). Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицу в точке показаны на рисунке 4.21. Из этого рисунка видно что, как классическая, так и квантовая плотности вероятности уменьшаются при х —> —оо.
Рис. 21 Относительные плотности вероятности обнаружить классическую и квантовую частицу в данной точке х.
4.	В классически недоступной области (х > Xq) плотность вероятности ркп(а;) = 0? в то время, как квантовая плотность вероятности ркв(х) затухает по экспоненциальному закону с показателем пропорциональным —ж3/2 (4.54).
5	Связь квантовой механики с классической механикой
5.1 Волновой пакет
В классической механике движение частицы описывается радиус-вектором r(t). В квантовой механике состояние частицы описывается волновой функцией -0(r, i). Поведение квантовой частицы будет похоже на поведение классической, если ^(r, t) будет локализована лишь в небольшой области пространства. Такие волновые функции принято называть волновыми пакетами. В этом случае, среднее значение
описывающее положение центра волнового пакета, может быть сопоставлено с радиус-вектором классической частицы, а дисперсия
Дг = \/(Дд)2 + (Ду)2 + (Дг)^~ =	— х)2 + (у ~ у)2 + (^ — z)2 ,
характеризует ширину волнового пакета. Оказывается, что если в начальный момент времени создать локализованный волновой пакет, то в течение некоторого промежутка времени f(t), будет мало отличаться от классической траектории.
5.2 Уравнения Эренфеста
Оператор Гамильтона описывающий частицу с массой Too в потенциальном поле У (г):
1
2тп0
1
2те0
d _
-х = dt
г 2тпоН
dt
Рх
т0
j.Px	] ^ ’ Рх
dt	I
т Нрх - РхН п, \
п\ \ дх
У(г)\ дх /	/
^(я£ п \
dpx дУ
dt dx
(5-2)
Уравнения (5.1) и (5.2) называются уравнениями Эренфеста. Уравнение (5.1) совпадает со своим аналогом в классической механике, а уравнение (5.2) лишь похоже на уравнение Ньютона. В уравнении (5.2) стоит среднее от производной дУ/дх. а в уравнении Ньютона стоит сила, вычисленная в той точке, где находится частица, то есть производная от V в точке х. Сравним их. Разложим дУ/дх в ряд по £ = х — х:
дУ дх
дУ
д2У
(Я'2 £
1
2 а?
dv дх
дУ дх
1 r/!v
2 а?
(Дж)2 + • • •.
X
Уравнение (5.2) перейдет в уравнение Ньютона, если
дУ дх
a3v а?
(Дт)2,
т.е. если Дт было достаточно мало. Однако, при уменьшении Дт будет возрастать Дрх, и разница в кинетических энергиях классической и квантовой частиц становится большой:
Л 2-2-2	Рх2 Рх , ДРх2
2ш0	2гп.() 2то
т.е. квантовое состояние сильно отличается от классического. При малых значениях Др.г величина Дт не мала, то есть волновой пакет не будет достаточно локализован. Следовательно, только при больших значениях кинетической энергии поведение квантовой и классической частиц будут близки.
5.3 Минимизирующий волновой пакет и его расплывание
Принцип неопределенности Гейзенберга ДдДр > h/2. Волновой пакет, для которого выполняется равенство Aq&p = /г/2, принято называть минимизирующим.
Форма минимизирующего волнового пакета = Фа(у):
L = (р - р) + i/3 (q - q),	/3 Е R,
(a\L+L\a) — О,
(b\b) = (a|L+L|a) = Др2 + i/3\p, q\ + /32Дд2 = Др2 + h/3 + Д2Д(/2 = О,
h
2Д^’
при таком (3 выполнено условие минимизирующего пакета: Aq&p = К/2. Из свойств нормы вектора |6) следует, что (b\b) = 0 тогда и только тогда, когда |&) = 0. Отсюда
L|a) =
-4,	«] = 0.
Фа(д) -
1 f г _	(q-q)2\
^^exp^pq w j-
(5-3)
Функция Фа(д) соответствует минимизирующему волновому пакету.
Исследуем как будет меняться во времени волновой пакет Ф(д,£) если в начальный момент времени он являлся минимизирующим (5.3). Пусть Н = H(q):
H(q)&n(q) = Епфп((1\
(фп\Фт) — ^пт j
Ф(^,0)
H(q№(.q,t^
Ф<М
Тогда
ОО
ф(9,*) =	cn(t) =
П = 1
Q
ih-zzCm(t) = EmCm(t),
С/Is
Таким образом,
ф((/,0 = У r(Q,q',*)W,tydq’,
Свободная частица.
H(Q) =
2т0
Ер =
C'm(t) = Cm(0)exp(-^Emt) ,
С™(0) = J С(«')Ф(«'. 0W-
П;1
У2 2т$
ФМ = ~т=ехР ( у2дл.
+оо
Щъч'Л) =	/ exp (-—*— [p2t - 2т0((/ - q')p] ] dp = C(t)exp (iy(q - q')2) ,
2тсп J у 2тпоЛ	J
— Q>Q
где 7 = m0/(2^t) зависит от времени, a C(t) —
Выберем систему отсчета так, чтобы р = 0, тогда волновая функция минимизирующего волнового пакета свободной частицы равна:
Ф(« «) =	1	। /	^°4А<?2 охр (	~ ?)2 "I .
-У2дД^2 у 2i^t + т04Дд2 \2iht + ш04Ду2/
Изменение формы (квадрата модуля волновой функции) минимизирующего волнового пакета с течением времени в случае свободного движения:
1	/ (q — q)2\
Ркв (<М) =	= exp I йТ/Л / ’
y/2a(t)TC	\	2<T(t) J
где дисперсия а(€)
10(1} = 2(Д,2 + (^/m0)V) = (2fit)22rtgWA"2)2'
Таким образом, с течением времени минимизирующий волновой пакет сохраняет свою гауссову форму, однако его ширина возрастает пакет расплывается.
Гармонический осциллятор.
H(g) =	---h -mowV, Еп = бы ( n + - ) , фп(ц) = /  -l~—e ^2Hn{x),
2m0	2	\	2/	л/«\/7гп!2п
где Hn(x) полиномы Эрмита, зависящие от безразмерной переменной х = q/a, а коэффициент а =	имеет размерность длины. Производя аналогичные вычисления,
получим для формы волнового пакета в осцилляторном поле:
Pkb(q,£) —
1
ехр у/МО71-
(Q ~ <?о(О)2\
2a(t) J
cr(t} = Ду2cos2cut +	(—-— | sin2wt, q0(t) = gcoswt + —~==sinwt.
Д«Г \2mow J
Если в момент времени t = 0 выбрать начальную ширину пакета у/<т(0) =
то дисперсия сг(£) = 1/2 не зависит от времени. В этом случае
PkbG/,0) = ~ ехр (- (q - q)2) , pKB(q,t) = -^= ехр (- (q - %W)2) , V7T	V 7Г
т.е. плотность вероятности такая же, как и плотность вероятности для основного состояния гармонического осциллятора, но центрирована не на начало координат, а на точку q, т.е. смещена. Такое состояние, называемое когерентным, не меняет своей формы с течением времени и для него в каждый момент времени выполнено условие минимизирующего волнового пакета A.qA.p — ft/2.
г/l—Ф(г,4) = НФ(г,£),
Ищем решение в виде
и получим уравнение:
= T(VS(r.f))2
5.4 Квазиклассическое приближение
Постоянная Планка играет роль параметра малости, разделяющего квантовую и классическую механику. Введем квазиклассическое приближение	h —> 0.
Временное уравнение Шредингера
п
~	+ V(r,t).
2 т
Представим S(r,t) в виде формального ряда по степеням малого параметра К:
S(r,t) = S0(r,t) + (z/t)Si(r,t) + (ih)2 S2(r,t) +	,
Ф(г, t) = exp
и подставим ряд в уравнение для S(r, t). Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях б. Получим уравнение Гамильтона-Якоби для функции действия So (г, t)
gS0(r,t) dt
--(VSoM)2 + r(r,t),
и уравнение для S'i(r.i)
= ±(VS„(r,(), VS(r,f)J -
С/ ь	fib	^П1
имеющее смысл уравнения неразрывности. Величину grad Л можно интерпретировать как классический импульс
VS0(r,i) = р.
Пусть V = V(r). Рассмотрим стационарные состояния системы:
Ф(г, t) = Ф(г)ехр
Я(г)Ф(г) = Е’Ф(г).
\ п /
S(r,t) = — Et + <т(г),
Ф(г) = ехр ( --сг(г) \ п
ст(г) = сг0(г) + (г^)(Т1(г) + (г/г)2ст2(г) + ••• ,
SQ(r,t) = ст0(г) - Et, Si(r,£) = Ст1(г),
~ (v<7„(r))2 + V(r) = Е,
2(Vcr0(r), Vcri(r)) — Дсто(г) = 0.
Для упрощения вычислений ограничимся одномерным случаем. Введем переменную х и величину р(х'), такую, что
Г Д(х) = у/2т (Е - Р(ж)), ia(x) = у/2гп (У(х-) — Я),
Е> У(х), Е < V(x).
Тогда
сг0(ж) = ± / p(x')dx',
<71(х') = 2р(х) In ^у/р(х)
+ с,
где С произвольная константа, которая выбирается так, чтобы:
Ф±(ж) = ехр (г<70(х)/К — Ст1(ж)) =
ехР ± т / p(x')dx' у/р{х) \ nJ
\ Z0
и общее решение:
Ф(х) = С’ФЛх-) + С+Ф+(х).
Границы применимости квазиклассического приближения. Из уравнения на S(r,i) = S(x,t) получаем
2
» h
—S(x-,i) дх
п2
j^S(x,t) дх2
L
Используя dS/dx ~ dS^/dx = р и р = 2тгЛ/А получаем следующее условие:
дХ дх
Таким образом, изменение длины волны на расстоянии порядка длины волны должно быть много меньше, чем сама длина волны. Это означает, что понятие длины волны должно быть достаточно хорошо определено.
Получим еще один вид условия применимости квазиклассического приближения:
|р3| » mh
dV дх
Это означает, что либо кинетическая энергия должна быть достаточно большой, либо
потенциальная энергия должна слабо меняться. Таким образом, в окрестности До точки поворота ква-зиклассическое приближение неприменимо (|р| —> 0). Рассмотрим точку поворота а (см. рис. 5.4), и предположим, что в ее Д-окрестности потенциальная энергия V(х) может быть аппроксимирована следующим выражением:
V(x) « Е + у(х- - а),
Область где квазиклассическое
приближение не работает — 2До	р2 йй 2тту(х — а), dV/дх ~ — у.
и область линеаризации потенци-
ала — 2Д.
В области, где потенциал линеен, квазиклассическое приближение работает если:
(2ту|ж — а|)2 » тКу,
\х — а| > Д До
В области а — Д < ж < а + Д потенциал линеен и уравнение Шредингера может быть
записано в виде
+ [Е ~ у(ж-а)]Ф(ж) = £Ф(ж), 2т <1х,
z ~ х{а — ж), >г3 = 2wy//z2, Ф(ж) = Ф(г),
(Р
—Ф(г) - хФ(х) = 0, (1ХЛ
решением Ф(х) которого является функция Эйри:
Ф(ж) = СФ(г), а — Д < ж < а + Д.
Т.к. !z| >гД0 « 1 мы имеем право использовать асимптотику функции Эйри
Сравнивая квазиклассическое решение с асимптотикой функции Эйри на границе области |а — т1 и Д, где потенциал линеен, можно установить вид квазиклассической волновой функции слева и справа от точки поворота
а — Д,
х > а + Д.
Если помимо точки поворота а присутствует и вторая точки поворота Ь, то в ее окрестности напишем аналогичное решение:
Ь + Д,
ь- д.
Если в одномерной задаче присутствуют сразу обе точки поворота, то движение финитно и мы имеем дело с движением в некоторой потенциальной яме. Найдем спектр в квази-классическом приближении. Квазиклассическое решение должно иметь вид
чтобы, с одной стороны, оно соответствовало убывающим функциям слева от а и справа от b. С другой стороны, два, написанных выше, квазиклассических решения внутри ямы (а < х < Ь) должны совпадать. Поэтому
Преобразуем аргумент первого синуса
Тогда
Asin(w — и) = A'sinu, A sin v cos и — A cos v sin и = A'sinu, A' = (—l)n+1A.
Решение v = гиг, (где п = 1,2,...) тригонометрического уравнения sin?; = 0, приводит к следующим квазиклассическим условиям квантования:
ъ
Объем фазового пространства приходящийся на одно квантовое состояние.
Это так называемые условия квантования Бора-Зоммерфельда. Они показывают, что в фазовом пространстве {-с.р} одно квантовое состояние в одномерном случае занимает объем 2тгЬ, а в трехмерном случае объем (2%Й)3.
Модуль III. Движение в центральном поле для нерелятивистской и релятивистской частиц
6	Момент количества движения
6.1	Момент количества движения
Оператор момента количества движения есть вектор оператор
J — Jx Gx JyGy >J~GZ,	(6.1)
компоненты которого связаны друг с другом с помощью скобок Пуассона, аналогично классическому моменту количества движения
{ЛьЛ} = ~Ли к, п есть циклическая перестановка х, у, z. (6.2)
Оператор квадрата момента количества движения
'/ 'J = 7 - 42 + А	(6.3)
р5,Л) = {л2,Л} + {л2,л} + {л2.л-} = лл. + лл - Лл - ЛЛ = о.
коммутирует с любой его компонентой. Поэтому J2 и Jz имеют общий базис.
J2 |A, fi) = 7z2A|А, ц),
(6.4)
Л|А,м) = 7vz|A,/z>.
Имеем
Л - Л2 = X2 + X2 => Д2А - П2//2 - <А, м|Х2|а, М> + <A,/z|X2|A,M> о <4 м <4
Операторы повышения и понижения второго индекса
X = Jx ± iJy.	(6.5)
X = X.
Пусть |/+) = J+\X,n). Тогда
J^\f+} =	= X ЛА,м) = rfXJ+ |А,Д> = 7г2А|Д),
X lf+) = X (X + «X) |а, д) = п(д+1) (X + «X) 1Л> д) = п(д+х) 1/+)-
Следовательно, |/+) есть либо ноль, либо |A,/z4- 1). Аналогично
If-) - Х|а,д л/_) = n2A|/„>, XX) = П(м-1)!/_>.
Следовательно, |/_) есть либо ноль, либо |А, у, — 1). Далее
Х|А,№) = 0,
(6.6)
J^IA,//)} = 0.
Но
\ \<Jx 4~	= '^2 — Л Л7г, =4> ft (А //2 М2) |Л Д2) ~ 0-
A -- Hz - М2 = 0.
(6.7)
и
j+j_ = Г - Г + hJz.
A —	+ )j,i = 0.	(6-8)
Вычитая (6.7) из (6.8), получаем
(М2 — Hi + 1) (М2 + Lh) = 0,
№ ?? Hi	~ Mi + 1 > 0 =£	М2 + Mi = 6,
М2 =j, Mi = -J, j > 0,
A=J(j + l),	|A,m) -> l>M>-
Далее, /	\ к
[J+) 1.7, M) = 1.7, m'),	m' = M + k,	tj,H'\j,p!} > 0,	<7+|j, m'> = °-
О',м'|7-Л|лм') = (j'O + l) - M'2 ~ m') (j,m'|.7,m') = ° => m' = .7-
(/-) I J, M> = 1.7, m"), m" = M “ Л	(.7,m"1j,m") > 0,	7+Ь',м"> = 0-
(.7,м"1Л7-1.7,м") = t? (j(j +1) - м"2 + m") <.7,m"I.7,m") = 0 => m" =
h' = j и н" = ~3 2J = n целое число.
Следовательно, j и н либо целые, либо полуцелые. Четность 2н равна четности 2j. Заменяем н на ’"л и (6-4) на
J2 (у,т}= h2j(j +

(6-9)
m = -j, -j + 1, • •  J
6.2	Орбитальный момент количества движения
Оператор орбитального момента количества движения
L = г х р.	(6.10)
В сферической системе координат г,
= + (б-п)
( sin V ov ov sin v op2 J
Lz = -ih~.	(6.12)
op
Сферические функции
lYYim= h4(£ + l)Ylm,
LzYlm= hrnYlm,	(6’13)
m = — £,	, £,
Lz Ytm = hmYim ->
-г'П^Фт(9?) = КтФт(р) -» Фт(р) = Ceimp.
Однозначность Фт —> rn
целое	—> I целое.
2тг
У |Фт(^)|2 dp
О
= 1,
фт(р) = -4=е”‘”, V
Y^.p) = е€т(1?)Фт(^),
f 1	3	7ГГ^ 'I
1	9Л"9 8Й1^Я9 + Х)----------' 2^ f 0to(^) = 0,
(sm V dv ov	snr V J
X = COS 1? И Pir^x) = O/m(19)
ly- (! - T- +	= °’
(dx v ’ dx	1 — x2 J
0	1?	7Г.
-1 x 1,
2^+1(^-т)! 1 z	dl+m
2 (£ + m)! 2^7! X > dx£+m
(x2-l)\
Ylm(d,p) = Am(cosi?)-^=e^ у2д
7Г 2тг
У \Ytm(d,p')\2 smddddp = 1.	(6.14)
о о
Полярная диаграмма график функции г = Р^п(со819)/2д.
Р{.т(х)
6.3	Спиновый момент количества движения
Оператор спина
fl —
S S% 6% 4“ еу И- Sz gz ,
k>k ~ 2°к1
к = x, у, z,
(6.15)
#2 — фу
Ф? = fz = (J )  (6.16)
О 1
1 О
1-	ffc = ffc,
2.	ffc = A
3.	akat +	= 0, к / £,
4.	(Jk&t. = i^n, гДе к, £, n есть циклическая перестановка из 1, 2, 3.
Пусть к, п есть циклическая перестановка из 1, 2, 3. Тогда
___	П2	П2 П2 SpS),	&1&к)	lhSn
удовлетворяют коммутационным соотношениям (6.2). Далее, "141	1^2	~ 2	112 fl z о о о \	3/1^ -о-
S =	Sx	+ Sy	+ Sz	= — (ах	+ a y	+ az)	=
Поэтому любой двурядный столбец есть собственная функция оператора S2, соответствующая собственному числу s = 1/2.
Ас’’ = Ъ.тпэ'ф,
Ф	0 \ (	\	- Ь	[
I р,	-ill/	)	— flTTlg	I	. I j
2 \ 0 -1 J \ J	\ i/j2 J
. 1 / 1 \ . 1
1) ms =	>0=11	2) ms =	=
Общий вид собственных функций операторов S2 и Sz есть
_ ( ^1(г) \	,	_ (	0	\
^/24/2 -	0 J ’	V>l/2,-l/2 - (^2(r) J '
6.4	Сложение моментов
Система состоит из двух подсистем: 1 с оператором J(l), и 2 с оператором J(2)
[Л(1),Л(2)] = О, V k,£.
Четыре взаимно коммутирующих оператора
?(1),	Л(1),	^(2).	Л(2).	(6.17)
Их общая система собственных функций ipjirni (1) 4pj2m.2 (2).
Оператор полного момента количества движения всей системы
J = J(l) + J(2).	(6.18)
Соотношения (6.2) выполнены. Другая четверка взаимно коммутирующих оператора
J2, Jz, Ж Л2).	(6.19)
Их общая система собственных функций
,?2
rfjmjijz 2) — Е Е
mz = -j2
где C]™miJ2m2 коэффициенты Клебша Гордана.
rn = т1 + m2,				
ТП2 \ rn-L	fa	fa -1	7i-2	• • •	-7i
fa	fa + fa	fa + ,72 — 1	7i + .7'2 — 2	-7i
fa -1	fa + >2 - 1	71 + ~ 2	71+7г — з • • •	~7i + h
fa-2	fa + .72 — 2	Ji + h ~ з	7i + 7г — 4 • • •	_7i + 72 — 1
-fa	fa ~ fa	7i - 7г - 1	7i — h — 2 •  •	—7i — .72
Правило треугольника
71 + 7г > j > \ji
h\-
7	Нерелятивистская частица в центральном поле
7.1	Частица в центральном поле
Оператор Гамильтона частицы с массой то в центральном поле (7(|R — Ro|) имеет вид
/г2
Я = ———Д + J7(|R - Ro|).	(7.1)
2тпо
Атомная система единиц: h = 1, mo = 1, |е| = 1. Сферическая система координат г, 'д, р.
Н(г) = -1Д + 7(г) = -(Ч,:'1 +	+ V'W, (~2)
2	2 г1 or or 2r2
(1д	d 1 Э2 1
+		(М
[ sin V dv	dv	sin V dp2 J
Рассматриваем стационарные состояния. Оператор Гамильтона коммутирует с операторами квадрата L2 и z проекции Lz орбитального момента количества движения. Поэтому
РфпГгп Р'Фп(,т:
L^m= £(£+1)фп(т,	(7-4)
Lz^ntm— 'т'ФпЯт?
~ ^nl^y^trn^> >	(7-5)
Г
+ + v'(r)} р”'(г) = £,”Л'М- (7-6)
Центробежный член t(t + 1)/2г2. Каждая точка спектра (2£ + 1) кратно вырождена.
Малые г. Предполагаем, что потенциальная энергия либо ограничена, либо обращается в бесконечность не быстрее, чем 1/г. Тогда
Я(т) = ст7,
(7(7-1) - ^ + 1))г7-2 = О,
Я(т) = Clri+1 + с22.
Коэффициент с2 = 0. Иначе ф(г) ~ l/re+1 и при £ > 0 волновая функция не интегрируемая, а при £ — 0 оператор кинетической энергии, действуя на волновую функцию, дает ё функцию. Таким образом, Рп( т re+1 и Я^(0) = 0.
Большие г. Предполагаем У(оо) = 0. Если rV(r) —> 0 при г —> оо, то при больших г
1 (Р
P(r) = crear + c2e~ar, a = V^2E.
Если rV(r) —> Z, где Z есть константа, то при больших г
Р(г) = с>г^еаг + с2г^е~аг, а = х/=2Ё, /3 =
а
При Е > 0 величина а чисто мнимая и дискретного спектра нет, спектр чисто сплошной, (-0(г) |2 есть относительная плотность вероятности найти частицу в точке г.
При Е < 0 может быть дискретный спектр. Если дискретный спектр есть, то число уровней определяется тем, как именно потенциал стремится к нулю на бесконечности. Если потенциал стремится к нулю со стороны положительных значений, то число уровней конечно. Если потенциал стремится к нулю со стороны отрицательных значений, то число уровней зависит от того, как именно убывает потенциал. Если потенциал убывает быстрее, чем 1/г2, то число уровней конечно. Если потенциал убывает медленнее чем 1/г2, то число уровней бесконечно. Если потенциал убывает как —q/r2, то число уровней определяется величиной 7 = 2q —	+ 1) : если 7 < 1/4, то число уровней конечно, если 7 > 1/4,
то число уровней бесконечно велико.
Состояние дискретного спектра. Нормировка
ОО
У |''/wm(r)|2 dr = 1	=>	/ l^(r)|2 dr = 1.
о
Качественно имеется облако с плотностью |VWn(r)|2- Форма поверхности постоянной плотности на периферии облака напоминает полярную диаграмму. Облако s состояния сфера, облако р состояния ”гантель”.
7.2 Частица в кулоновском поле
Рассмотрим кулоновское поле притяжения
у(г) = г
'Фп£т(у')	~~ f>n£{f^Yirn^'d, f?),
Г
~ +2Е + — -dr	г
^+1)
г2
(7-7)
(7-8)
^(0) = 0.
Состояния дискретного спектра. Энергия Е < 0.
Pndr) = e~arf(r), а = х/=2Ё,
dr2 аг г	г2
ОО	00
f = Ckrk = £ckr^ к=0	fc=0
£cfc{(fc + 7)(fc + 7-l) - £(£+1)} rk+^2 - f^Cfc{2a(fc + 7) - 2Z}rk^1 = 0, fc=O	fc=O
или
Co {7(7 + 1) - ^+l)}H-2 +
+ 52 [Ck+1 {(k + 7 + l)(fc + 7) - Щ + 1)} - Cfc {2a(k + 7) - 2Z}]	= 0,
fc=0
Co{7(7+1) - £(£+1)} - 0,
< Cfc+1 {(fc + 7 + l)(fc + 7) - £(£+1)} - Ck{2a(k + ^ - 2Z} = 0,
I	fc = 0:l,---,
Co ^0 => 7(7 + l) - £(£+1) = О, Р„Д0) = 0 => 7 = £ + 1,
fc+i
2[a(k + t + 1) - Z]
(к + £ + l)(fc + I + 2) — £(£ + 1) fc’
(7-9)
Большие к
(2ar)k
“7П
к	к
Для квадратичной интегрируемости решения ряд должен оборваться
2а
Ck+1 ~ fcTi
k\
,k
r£+l(,2ar
a(m + £ + 1) - Z = 0.
Дискретный спектр
(7.Ю)
Кратность вырождения в кулоновском поле п2. Симметрия задачи о частице в кулоновском поле соответствует симметрии четырехмерного шара. Радиальные волновые функции имеют вид
Pn£(r) =	z(n t 1)! /+1	р/2£21+1/ \	_ 2£r + e L"+'(Z,)’ P~
ь.И =	dk —г Ls(p)	присоединенный полином Лагерра.	(7Л1) dff
LS(,P) =	ds ep -j—s {e p ps}	полином Лагерра.
Сплошной спектр. Каждая точка сплошного спектра бесконечно кратно вырождена. Волновая функция имеет вид
'Фыт^') =	к = V2E,
= Ck£e-ikrre+1F^+l + i^2£+2,2ikr).
F(a, (3, х) есть вырожденная гипергеометрическая функция.
7.3	Свободная частица как частица в центральном поле Рассмотрим стационарные состояния свободной частицы
Н-ф(г) = W(r).
Так как Н = р2/2, то = ^(к, г) и Е = к2/2, где р^(к, г) = к^(к,г),
(7.12)
а к есть волновой вектор. Спектр чисто сплошной и каждая точка спектра бесконечно кратно вырождена. Волновая функция
^(к, г) =
1
т= е 8тг3
(7-13)
нормированна на 5 функцию по к
У*^*(к, r)^(k',r)dr = 5(к - к') = S(kx - к'х)8(ку - k'y)6(kz - k'z).
Оператор Гамильтона коммутирует с операторами квадрата и z проекции орбитального момента количества движения. Поэтому можно искать волновую функцию в виде
Цг) = R(r)Y£m($, ср),
lid 9 d ----—
2 г2 dr dr
1 Д(Г) = erm,
rR(r)
= 0.
r=0
Вводя z = кг и f(z) = R(r), получаем
Общее решение имеет вид
/(z) = Ajg(z) + Bn£(z),
Асимптотики сферических функций Бесселя и Неймана
1  3	•	5 • • • (2£ +	1) ’
1	/	7Г
- cos	lz	—	— И	+ 1
z	\	2
при	z —> О,
при	z —>, оо
' 1 • 1 • 3•5 • • • (2£ - 1)
при	z	0.
при	z	оо.
Поэтому из rR(r)\r=o = 0 следует В = 0 и
[21^
Фк1т^ = V------
V 7Г
Йт(г) dr = 8(к - к') 8и> 8тт’.
Другой вид
~^2Ё je(rV2E)Yim^,^, 7Г

fcw(r) dr = 8(E - E') 6^ 8mm-.
7.4	Частица в сферически—симметричной потенциальной яме
Рассмотрим частицу в поле сферически-симметричной прямоугольной потенциальной ямы конечной глубины
У (г) =
-И), о,
если г
если г
го, Го-
’Фгь£т(г) = -Е^(г)УА„(Д,99). Г
1т2 + ~+ ЛДг) = Еп£рпг(г), РпДО) = 0.
2 dr 2r	J
+ 2<E + ф'М = 0,	r„,
К _ V±l) + 2E1 Pn<(r) = Oj rSro гл	J
Состояния дискретного спектра, — Vq<E<0. Дискретные уровни могут быть, только
если f.(f. + 1) VoTq
х — у/“2(Е + Vo) >0, а = \/—‘2Е > 0,
Р^(г) = Arj^nr), г го,
Pnf.(r) = Brh^iar), г т0, h^x) = jt(x) + int{x),
~4—^{rji^r')}	=	—^{rhtiiar)}
rjA^rjdr	r^ro rht(iar)dr	r=ro
Рассмотрим s состояние, то есть состояние с I — 0
. , . sin х . . coss , . . i = --------, nQ[x) =---------, Ло(х) = —e ,
X	X	X
xctgxro = —a.
Уравнение имеет решение только, если
Го2И)>у.
В трехмерном случае, в отличие от одномерного, не во всякой яме есть связанное состояние.
8 Квазирелятивистская теория
8.1 Уравнение Дирака для свободной частицы
Уравнение Шредингера для частицы с массой т» в пустом пространстве
д	h2 ( d2 д2 d2
dt	2thq | дх2 + ду2 + dz2
не инвариантно относительно преобразований Лоренца. Дирак предложил другое уравнение, содержащее только первые производные по времени и по координатам
= Но'Ф, dt
(8-1)
HD = с (ахрх + ауру + azpz) + Дт0с2.
(8-2)
Величины а.х. ау, az и (3 не должны зависеть как от импульса (линейность по импульсам), так и от координат и времени (однородность пространства и времени, изотропность пространства). Для их определения Дирак предложил следующее
Л = С р + TUq С =>	л D — С р + с =>
а2 = 1, а2 = 1, а2 = 1,	(З2 = 1,
ахау ~*” ауах 9?
axO-z 4“ azax 0, O.yaz azay О,
ах/3 + /Зах = 0,
ау(3 + /Зау = 0, az(3 + /3az — 0.
Отсюда видно, что ах, ау, az и (3 не могут быть константами, а должны быть эрмитовски-ми операторами ах, dy, az и /3, определенными в пространстве функций каких-то новых переменных, а это означает, что у релятивистской частицы должны быть дополнительные степени свободы. Обозначая
c$i = dx, d2 = dy, d3 = az, а4 = /3,
получаем уравнение для aj
ajak 4~ akaj	31 &	1,2, 3,4.
(8.3)
8.2 Матрицы Дирака
Будем искать операторы dj в виде N х N матриц a.j возможно меньшего размера. Имеем 1. а2 = I, j = 1,2,3,4. Следовательно, матрицы сиу неособенные det{aj} 0.
2. При j ф к имеем ajak = (—Г)акщ => det{—1} — 1. Значит N есть четное число 2п.
3. При j ф k имеем cxjak = — akaj, то есть akajak = —aj- Следовательно, Tr {aj} = 0.
Выберем такое представление, в котором матрица а4 имеет следующий блочный вид
I 0 \ п
“4 (о -II п
(8.4)
п п
В этом представлении
Bj \ п Dj ) п
п
a.j СИ4 + СИ4 cnj = 0	=>
сЛ = а, => J	J
( О aj ~ v в
Aj = О, Dj = О,
Ci = Bj,
(8-5)
Из e?j = I следует	Bj Z?t = Ц то есть Bj есть унитарная п х п матрица.
Из ctj ак + «А, aj = 0 при j ф к следует
Bj в[ + Вк в] = 0, j,k = 1,2,3, j/k.	(8.6)
Начинаем с п = 1, то есть с двурядных матриц
ст,- =
0	\
bJ ° /
bjb*k + bkb* = 25jk, j = 1,2,3.
Оказывается, что не существует четырех таких матриц. Можно построить только три двурядные матрицы, удовлетворяющие соотношению ajak + akaj = 6jk. Это есть матрицы Паули
«1 — <7г,	а-2 — (Ту, СЦ — <7Z.
Они удовлетворяют равенствам
^bjki Ji D Уч
(8.7)
ffj crk = iffi, j, k, t есть циклическая перестановка x, у, z.	(8.8)
Теперь берем п = 2, то есть рассматриваем четырехрядные матрицы. Сразу находим три матрицы, удовлетворяющие (8.3)

&х о
о
&х
о \ ° ау /
(8.9)

о
о
4~ Sj —
(8.10)
Sj sk = is£, j, k, t есть циклическая перестановка x, у, z.	(8-11)
Можно построить три другие четырехрядные матрицы, удовлетворяющие (8.3)
f ° I \
Рг ~ V I 0 J ’
_( 0	-И \
Р2 ~ \ И	0 J ’
( I О
Рз ~ ( О -I
(8.12)
Pj Pk + Pk Pj ‘2‘bjk,
Pj Pk — Pt,	есть циклическая перестановка x, у, z
Матрицы pj коммутируют с матрицами sk
Pj &k •‘’к Pj-
(8.13)
(8-14)
С помощью матриц sk и pj можно построить разные, физически эквивалентные, наборы матриц aj и fi. Будем использовать следующий набор
«х = Pisx, ау = Pi sy, = PiSz, fi = Рз	(8.16)
и запишем уравнение Дирака для свободной частицы (8.1) в виде
гЯ^-Ф = {c(ct,p) + то с2 Д} Ф,	(8-17)
(J L
где
Ct  	СУ у ,
Волновая функция Ф есть четырехрядный столбец
/ ^i(r,t) ^2(r,t) ^з(гД) \ ^4(r,t)
(8.18)
(8.19)
Оказывается, новым степеням свободы соответствуют две дискретные переменные, каждая из которых может принимать два значения.
8.3 Уравнение неразрывности
Запишем уравнение Дирака для свободной частицы в виде д
ih—4f = -гйс(а,Х7Ф) + ш0с2ДФ. dt
Тогда
-гЯ^Ф1 = гЯс(\7Ф\а) + т0е2Ф^, dt
д
= —г^сФЧа. Х7Ф) — ihc (Х7Ф^, а) Ф. dt	7
Это уравнение имеет вид уравнения неразрывности
+ div j = I),	(8.20)
dt
где 4
P = ф!ф = ^Й(Г>()Л(Г,4)	(8.21)
fc=l имеет смысл плотности вероятности, а
j = сФтаФ	(8.22)
имеет смысл плотности потока вероятности.
8.4 Спин
Рассматриваем свободную частицу в пустом пространстве. Так как пространство изотропно момент количества движения должен быть интегралом движения. Орбитальный момент количества движения L = г х р не есть интеграл движения, так как
г ‘
К .
1£ =
dt
HD,L
= сохр 0.
В то же самое время, оператор
S
S \SX, Sy, 8^),
(8.23)
1.	является оператором момента количества движения
Sj,Sfc
= ihSi,
циклическая перестановка из 1,2,3;
2.	коммутирует с оператором орбитального момента количества движения L;
3.	в сумме с L является интегралом движения, так как
, S = — cot х р. dt	н
Таким образом полный момент количества движения
J = L + S
(8.24)
есть интеграл движения. Оператор S есть собственный момент количества движения частицы, связанный с дополнительными степенями свободы. Его называют спиновым моментом количества движения, или просто спином.
Оператор квадрата спина есть
S5 = Sj + s2 + s2 = -^1.
Следовательно, любая четырехрядная функция есть собственная функция оператора квадрата спина и соответствует квантовому числу s — 1/2. Оператор z проекции спина есть
Sz
о
2 V о
У этого оператора есть два собственных числа с квантовыми числами ms = 1/2 и ms = — 1/2. Соответствующие волновые функции имеют вид
	/ и-L \		/ 0 \
Ф1 =	0	,	Ф_1 =	и2
2	д3	2	0
	к о У		\ ^4 /
(8.25)
Отношение амплитуд щ и и3, а также д2 и и4 может быть любым.
Таким образом, первую дискретную степень свободы ст, принимающую два значения а = +1 и (У = —1, можно связать с z-проекцией спина. Но поскольку строк четыре, то надо ввести еще одну дискретную переменную Л, также принимающую два значения. Примем,
что эти значения есть ±1 и в качестве волновой функции релятивистской частицы возьмем функцию Ф(г,1, а, А) такую, что
Ф(г, t, 1 ,1)= ^i(r, i), Ф(г,£,-1 ,1)=^2(г, t), Ф(г,4, 1,-1)=
Ф(г, t-1, -1)=
8.5 Электромагнитное поле и Лоренц—инвариантность уравнения Дирака
Электромагнитное поле вводится в уравнение Дирака так же как в нерелятивистское уравнение Шредингера, а именно
р -» р - -A, HD -> HD + еА0-с
Здесь А есть векторный и Ао есть скалярный потенциалы электромагнитного поля, а е есть заряд частицы (для электрона е < 0). Таким образом получается уравнение Дирака
гН—Ф = |с(а,р — -^Aj + т0с2/3 + еА0| Ф.	(8.26)
Это уравнение является лоренц инвариантным, то есть оно будет иметь прежний вид в новой инерциальной системе отсчета, если кроме преобразования координат, времени и потенциалов поля совершить также преобразование волновой функции
Ф' = ОФ,
где G есть неособенная четырехрядная матрица, матричные элементы которой не зависят от координат и времени.
8.6 Стационарные состояния
Если Но не зависит от времени, то частица может находиться в стационарном состоянии.
В этом случае
д
= ЯрФ(^),
С/V
Ф(£) = е~*Е‘Ф, v;j(rA) = елл‘?^(г),	> = 1,2, 3,4
и получается уравнение Дирака для стационарных состояний
|с^а,р — -А(г)^ + еАо(г) + т0с2д| Ф = ДФ.	(8.27)
В стационарном состоянии не зависят от времени плотность вероятности, плотность тока вероятности и среднее значение любой физической величины, явно от времени не зависящей.
Стационарные состояния свободной частицы
Уравнение Дирака для стационарного состояния свободной частицы имеет вид
{с (а,р) + ш0с2Д} Ф = Е’Ф.	(8.28)
Запишем
( ^з(г) '	\ ^4 (г)
Имеем
пФ =
<Р
X
°Х
где
Следовательно,
Отсюда
<р
X
<р
-х
с(о',р)х - (Е - т0с2)(р =
с (а,р) <р - (Е + W()O2)x =
О,
О.
(8.29)
Ф =
<Р
X
v = (
V	(Г)
О
О
О
Л/5
о
1
х = ---------
Е + тос2
с2 (ст,р) (ст,р)<р — (Е2 —	— 0.
Используя тождество Дирака
ст, А х В) ,
ст. В
А, В
(8.31)
где А и В суть произвольные вектор операторы, каждая компонента которых коммутирует со всеми ах, ау и az, получаем
Следовательно,
с2р2 — (Е2 — <р = О,
с2 р2 +
ml с4,
(8.32)
(«1	\ i
ел и2 J
амплитуды «1
и и2 произвольны,
[ из \ i
X =
\ «4 )
^3 —	-----2
Е + тос2
«1,	«4 = ТГ--------yU2.
Е + тос2
’’Щель” 2т0с2.
Гипотеза Дирака: физический вакуум все состояния с отрицательной энергией заняты частицами.
В состояния с отрицательной энергией масса частицы отрицательна. ” Дырка” описывает античастицу. Возможны процессы рождения и аннигиляции пары.
Релятивистская частица в центральном поле.
Оператор Дирака частицы в центральном поле можно записать в виде
HD = carpr И------аг(ЗК + т0с2 (3 + V(r),	(8.33)
г
где
1 /	\	д	гЛ
аг = - (ос, г), рг = —гп- — г, К = р3 < s, L + п > .
г	г or	I \	/ J
•и-ч.	-'•V 2
Оператор К определяет угловую часть оператора Ни, причем К лишь постоянным слагаемым отличается от оператора <72. Это позволяет разделить переменные.
Операторы HD, К и Jz взаимно коммутируют. Поэтому в качестве собственных функций оператора Дирака можно взять такие, которые одновременно являются собственными функциям операторов К и Jz
Нг> Ф । = Е Ф г.
±ru пкт	*пкт>
K^nkm =	(8.34)
dz^nkm fl'W'^nkm-
Здесь п есть аналог главного квантового числа, к может быть любым целым, не равным нулю, j — \к\ — 1/2, гп пробегает значения от — j до +J, меняясь на единицу. Угловая часть волновой функции определяется сферическими функциями со спином, а радиальная зависимость определяется двумя радиальными функциями /(т) и д(г):
ch( - - ) /(г) - (Е + т0с2 - У (г)) д(г) = О, \ar г J
Ch (jr + I) + (Е ~	~	= °’
(8.35)
ОС
У* {1/(г)|2 + ЫН|2} dr = !• о
Так как (8.35) не содержит т, то каждая точка спектра будет, по крайней мере, 2j 4- 1 кратно вырождена. При \Е\ > rriQC2 спектр чисто сплошной, дискретный спектр может быть при \Е\ < гпос2. Если потенциал не слишком сильный, то Е « тос2 и функция д(г) гораздо меньше f(r).
В случае кулоновского поля притяжения У (г) = — Ze2/г задача решается точно и
Ец' к — ГП0С < 1 Н-
Z2a2
(п1 -г у/к2 - /У?)2
п' = 0, к = 1,2,---
п' = 1, 2, •   , к = ±1, ±2,  • 
(8.36)
При не слишком больших Z величина Z2a2 мала. Разлагая в ряд по степеням Z2a2 и ограничиваясь членами порядка Z4a4 включительно, получаем
_ 2J Z2a2 Z4a4 f 1	3\1
пк fn^C	2ц3 \|/с| 4п J j
где п = п' + |fc| соответствует главному квантовому числу. Первое слагаемое есть энергия покоя, второе слагаемое есть нерелятивистская энергия, третье слагаемое есть поправка на релятивистские эффекты. Уровень энергии, который в не релятивистском случае был 2п2 кратно вырожден, под влиянием релятивистских эффектов расщепляется и в спектре появляется ’’тонкая структура”: энергии состояний с одним и тем же п, но с разными к, то есть с разными j = \к\ — 1/2, оказываются разными. В частности, уровень с п = 2 расщепляется на два, одному из которых соответствуют состояния 2si/2 и 2pi/?, а другому 2рз/2- Тонкая структура наблюдается в эксперименте. Кроме того, наблюдается слабое расщепление 2si/2 и %Р1/2 уровней (Лэмбовский сдвиг), которое объясняется более сложной теорией, учитывающей квантовую природу электромагнитного поля.
8.7 Зарядовое сопряжение
Уравнение Дирака для частицы с зарядом е в электромагнитном поле с векторным потенциалом А и скалярным потенциалом Aq в стандартном представлении имеет вид
(8.37)
Перейдем к другому, майорановскому, представлению
с/	г /	в \	'I
=	<с[а',р	—	-А)	+ mo с2 Д' +	e Ao г
ot	I V	с /	)
(8.38)
где
Ф' = ДФ,
а' = UaU,
0 = U/3U,
и
Имеем
Uy А 01%	Д	О/, у.
Таким образом, а'х, а'у и a'z вещественные, а Д' чисто мнимая. Беря комплексное сопряжение от уравнения (8.38) и умножая на —1, получаем
;/Лф'* dt
(	/	в \	'I
|с ^oi', р -|- —А) 4- то с2 Д' — еА0| Ф' .
Волновая функция Ф'* описывает движение частицы с массой то и зарядом —е, то есть античастицы. Операцию комплексного сопряжения волновой функции в майорановском представлении называют операцией зарядового сопряжения.
8.8 Нерелятивистский предел уравнения Дирака. Уравнение Паули
Уравнение Дирака для стационарного состояния релятивистской частицы в независящем от времени электромагнитном поле есть
с I а, р
е	\	1
-А(г)) + еА0(г) + т0с2Д> Ф = ЕФ. с	/	J
Пусть
(
<Р =
V'i(r) ^2 (г)
( ^з(г)
\ ^4 (г)
Тогда
в \
<т,р — -A(r)J х+( Шве2 + aAti — Е)р = О, с (<т.р — -А(г)^ <р+(—т0с2 + еЛ0 — Е)х — 0.
В нерелятивистском случае
(8.39)
Е = тос2 + Е',	\Е'\	w.()C2,	|еЛ0|	т0с2.
Используя во втором уравнении (8.39) приближение — гпцс2 + еА0 — Е R: —2т0с2, найдем
х = y~~ (^р - ~А(ГЙ	(8-4°)
2moc V с /
Оператор в правой части (8.40) имеет порядок у/с. Поэтому х (малые компоненты) в v/c
раз меньше, чем (большие компоненты). Первое уравнение (8.39) дает
Г 1 /	е	\2	1
<----(<т, р — - А(г)) + еА0 > р = Е'р.	(8.41)
(2т0 \	с	/	J
Это уравнение называется уравнением Паули (для стационарных состояний).
Пользуясь тождеством (8.31), находим
^о-,р - сА(г)у = (р —:А(Г)) —
где "Н есть напряженность магнитного поля. Поэтому
( 1 /	р	\ 2	pfa	'I
—(р------A(r)J -	+ еА0> р = Е'р.	(8.42)
(2шо \	с	/	2тдс	J
Оператор энергии содержит слагаемое, которое имеет смысл энергии магнитного диполя
eh 2т0с
S moc
в магнитном поле. Следовательно, у частицы имеется собственный магнитный момент, пропорциональный спину. При этом гиромагнитные отношения для спина и для орбитального момента различаются множителем 2.
Релятивистские поправки
Учтем приближенно слагаемые, которые были отброшены при выводе уравнения Паули. Предположим, что магнитное поле отсутствует А = 0, обозначим V = eAo и положим Е = тос2 + Е'. Тогда система уравнений (8.39) примет вид
с(^,р) X + (V - Е')р = 0,
с (<т, р) </?+(—2m0c2 + V - Е'\х - 0.
Используя второе уравнение, выразим х через р

Е' -
----Г ^’Р ^р-2mocz /
Здесь мы воспользовались тем, что (Е' —У)/2т0с2 « у2/4с2, учли слагаемые порядка v2/(? и отбросили слагаемые более высоких порядков. Тогда
f 1 ,	( Е' - V\ ,	1
5 5----(<?, Р) 1 “ ----Г Н67’ Р) + V f = Е ¥’
[2т0с	\ 2шос J	J
Однако, условие нормировки имеет вид + (xlx) — 1- Преобразование
<£ = </$,	<7 = 1- г.^-2р2
8т^с2
приводит к
НФ = Е'Ф, (Ф|Ф) = 1,
где оператор Гамильтона имеет вид
Здесь Hi оператор, содержащий релятивистские поправки порядка и2/с2. В него входят:
•	Оператор /8т^(?, учитывающий зависимость массы от скорости.
•	Операторы г(£,р) и ДУ, не имеющие классического аналога.
..	eh .	_
•	Оператор — -—(о-.Е х р) спин орбитального взаимодействия.
Здесь Е есть напряженность электрического поля.
В случае центрального поля
eh	h IdV _	1 IdV
= 4mprrfr^’r X = 2m2c27dT V’L/ ’
Этот вид и послужил причиной названия ’’спин орбитальное взаимодействие” . Именно спин-орбитальное взаимодействие есть причина тонкой структуры спектров.
Некоторые трудности теории Дирака
При выводе уравнений Дирака использовались только самые общие предположения. При этом получилось, что у частицы должен быть спин 1/2. Однако, есть частицы с другим значением спина. Дело в том, что для исключения состояний с отрицательной энергией пришлось предположить, что все состояния с отрицательной энергией заполнены. Тем самым начав с модели одной частицы, пришли к системе бесконечно большого числа частиц. Если взаимодействие между частицами не очень сильное, то даже при наличии физического вакуума модель одной частицы будет достаточно хорошим приближением. Так и оказывается для электронов. Однако, для многих других частиц взаимодействие оказывается сильным и модель одной частицы оказывается плохим приближением. Для таких частиц теория Дирака не годится.
Даже для электронов в теории Дирака есть проблемы. В частности, оказывается, что скорость частицы dx/dt по модулю всегда равна скорости света. Эти проблемы свидетельствуют о том, что теория Дирака является приближенной, квазирелятивистской теорией. Она позволяет получать многие экспериментальные результаты физики частиц с высокой энергией, но не является строго релятивистской. В настоящее время есть более точные построения, но строгая релятивистская квантовая теория до сих пор еще не построена.
Модуль IV. Приближенные методы в квантовой механике
9 Теория возмущений
9.1 Теория стационарных возмущений
Теория стационарных возмущений применяется для приближенного решения стационарного уравнения Шредингера
ЯФ = ЯФ,
Я = Яо + V,
причем для оператора Яо все решения стационарного уравнения Шредингера известны, а оператор V в некотором смысле мал (понятие малости будет уточнено позднее). Оператор Я принято называть возмущенным оператором, оператор Яо невозмущенным оператором, а оператор V возмущением. Пусть спектр оператора Яо чисто дискретный:
HQ$k = Q Ф*:
(Фй|Ф<) = 8kt, ]Г|Ф*)(Ф*| = Я fc=l
Введем оператор Я7:
Я7 = Яо + 7V,
где 7 числовой параметр. Рассмотрим задачу на собственные значения
Я7Ф7 = Я7Ф7	(9.1)
и представим Ф7 и Я7 в виде рядов по степеням 7:
Я7 = Я(о) + 7Я(1) + 72 Е™ + ...,
Ф7 = Ф(о) + 7Ф(1) + 72Ф(2) + ...	(9.2)
Тогда искомые энергия и волновая функция будут иметь вид (9.2) при 7 = 1. Величины £(fc) и ф(*) принято называть поправками к-го порядка теории возмущений к энергии и к функции соответственно. Подставляя (9.2) в (9.1) и приравнивая нулю коэффициенты при каждой степени 7, получаем:
(я0 -	Я(о)) Ф(о)	=	0,	(9.3а)
(я0 -	Е^ Ф^	=	(я^)	-	п)	ф(°\	(9.3b)
(Яо -	Я(о)) Ф(2)	=	(е^	-	п)	Ф^	+	Я(2)Ф(°),	(9.3с)
(я0 -	Я(о)) Ф(3)	=	(#(1)	-	П)	Ф(2)	+	Я^Ф(1) + Я(3)Ф(0),	(9.3d)
Система уравнений (9.3) определяет Ф7 с точностью до произвольного множителя. Эта неоднозначность устраняется при выборе определенной нормировки волновых функций, например
(ф(°)|ф7) = 1.
Из (9.3а) следует, что Е^ и Ф^ суть собственное значение и собственная функция оператора Яо. Пусть сначала
Е^ = С1
соответствует невырожденному уровню.	Тогда
ф(°) = фг.	(9.4)
= (Ф1|Р|Ф1>,	(9.5)
ОО Ф(о = 52 ф^	(9.6) ~ Ск
к=2	
е® = <ф1|Р|ф(1);	} =	(Ф1|у(Ф0(Ф,|у|Ф1)	(9?) к=2	61 “
Из структуры формул теории возмущений ((9.4) (9.7)) видно, что вклады последующих порядков будут быстро убывать, если выполнено неравенство
е3 ~
Написанное неравенство представляет собой условие применимости теории возмущений. Пусть теперь является m-кратно вырожденным. Тогда
Е^ = б!, т ф(0) = ^скфк. к=1
Для нахождения коэффициентов Ск используется уравнение (9.3b), которое приводит к системе алгебраических линейных однородных уравнений:
m
^Ук1Се = Е^Ск, к = 1,2,...,т	(9.8)
i=i
или
т
52 Ни Ct = (Е^ + Е^) Ск, к = 1,2,...,т,	(9.9)
e=i
где
vkt = (ф*ММ нк1 = {Фк\н\Фе).
Система уравнений (9.8) (или (9.9)) представляет собой задачу на собственные числа и собственные вектора секулярной матрицы размерности т х гп. Собственные числа секулярной матрицы могут быть разными, но могут и совпадать. Возможны случаи полного (все собственные значения разные) или частичного (есть совпадающие собственные значения) снятия вырождения, а также случай, когда вырождение не снимается (все собственные значения совпадают).
Наконец, рассмотрим случай близких уровней. Пусть
1^1—62!	|б1 — ек\, |б1 — €2,	|б2 — 6fc|, к = 2,3,...,
то есть расстояние между уровнями 61 и €2 гораздо меньше, чем расстояние от каждого из этих уровней до любого другого уровня. Здесь естественно использовать систему уравнений для вырожденных уровней (9.9):
(Нц - Е) Ci + Н12С2 = О,
H2i С\ + (Н22 - Е) С2 = 0,	1 ’ 7
где Е имеет смысл энергии в первом порядке теории возмущений. Однородная система уравнений (9.10) имеет нетривиальное решение, только если ее определитель равен нулю:
(Яп - Я)(Я22 - Я) - Я12Я21 = 0.
Это есть квадратное уравнение для энергии Е, решение которого имеет вид
В выражение для энергии входят две малые величины, (Яц — Я22) и Я12. Представляют интерес два предельных случая. Предположим сначала, что
|Я12| |ЯП — Я22'.
Тогда в под корнем в (9.11) можно пренебречь вторым слагаемым и получить
Я1 = Яп = 61 + Пц ,
Я2 = Я22 = е2 + V22 , где
Таким образом, в этом случае получаются формулы теории возмущений для невырожденных уровней. Предположим теперь, что имеет место обратное неравенство:
|Я12| |Яц — Я22| .
Тогда под корнем в (9.11) можно пренебречь первым слагаемым и получить
В1,2 =	± у12| .
9.2 Эффект Зеемана
Бесспиновая частица Оператор Гамильтона для бесспиновой частицы в электромагнитном поле:
ry 1	е . \2	,	-7, 2е . . „ ,eh . е2 ,2	.
Я = ----- р — А) + еА0 = р2 — — (А  р) + г— div А + —А + еА0.
2т0 \ с /	с	с	с2
В случае постоянного и однородного магнитного поля с напряженностью Я векторный потенциал может быть выбран в виде:
А ~ х г] .
Тогда
div А = 0 ,
(А-р) = | {[Н *г]-р} = | ([г х р] • Я) = |(£ • Я) ,
где
L = [г х р].
Для центрального поля
еАо(г) = U(r) .
В случае слабых магнитных полей можно пренебречь слагаемым с А2. Направим ось z вдоль вектора напряженности магнитного поля И. Тогда уравнение для стационарных состояний частицы в магнитном поле примет вид
(fc2	\
_ д + [7(г) _ ------LzU(r) = Ш	(9.12)
2m0	2тос )
Здесь гамильтониан коммутирует с операторами L2 и Lz, и собственные функции могут быть взяты в виде функций центрального поля:
Ё'пЦп(^) — ~ ^п/(^) ^/т(^, У3) 
Г
Для таких функций
Lz 'фп£т = hrn фп1>т .
Поэтому, если фП1т есть решение уравнения
(t2	\
-д—Д + U(r)) фп1т(г) = Е$фпЬп(г),
/
то она будет также решением уравнения (9.12), соответствующим энергии
Таким образом, (2€ + 1)-кратно вырожденный уровень при включении магнитного поля полностью расщепится на 21 + 1 эквидистантных уровней.
Частица со спином 1/2 Будем использовать уравнение Паули:
ЯФ = ЯФ.
Здесь Ф есть двухкомпонентная функция
Ф = ЕЛ
W2/ ' а
1 —	р /	\	г2
н = ^-Р2 +	- 7.--((«£)+2CH-S)) + --------А2 + Я, ,
2то	2тос V	/	2тос2
где оператор Я1 содержит релятивистские поправки, обусловливающие тонкую структуру уровней энергии. Оператор S есть оператор спина электрона. В зависимости от величины магнитного поля нужно рассматривать три случая.
•	Очень слабое магнитное поле. Квадратичным по А членом можно пренебречь; расщепление уровней за счет магнитного поля меньше, чем расстояние между уровнями тонкой структуры. Это аномальный эффект Зеемана.
•	Слабое магнитное поле. Квадратичным по А слагаемым по-прежнему можно пренебречь, но расщепление уровней за счет магнитного поля превосходит величину тонкой структуры. Это эффект Пашена-Бака.
•	При сильных полях надо учитывать квадратичное по А слагаемое. Это квадратичный эффект Зеемана.
Аномальный эффект Зеемана Рассматриваем оператор
Яо = р2 + U(г) + Яг 2т0
как невозмущенный, а оператор
е /	'"~'Л
V = -------UH • L) + 2{Н • 5) = -о-------[Lz + 2SJ
2тос \	/ 2тоС V	'
как возмущение (ось z направлена вдоль вектора "Я). Тогда
ц ф(°)	_ /ДФфС0)
11 ° njmf.	^njl*njmt'
Здесь п главное квантовое число, j, I соответствуют полному и орбитальному моментам количества движения, т - проекция полного момента количества движения. Собственные числа оператора Яо не зависят от проекции полного момента количества движения т. Это означает, что нужно использовать теорию возмущений для вырожденного уровня:
j
ф = V с ф (ф = ф(0) з
m=-j
3 (Ф^т'МФ^С™ = E^Cm,. m=-j
Рассмотрим матрицу оператора возмущения
<Ф^|Р|Ф>т> = --—(ф^|12 + 2521ф>т) = - ------(Ф^|Л + 5г|Ф^).	(9.13)
27/ZqC
Для вычисления (9.13) воспользуемся операторным равенством, которое можно получить из коммутационных соотношений с участием операторов углового момента:
= jaj-s),
а также очевидным соотношением:
(J-S) = | (.Р+Р-Ь2)
В результате матричный элемент оператора Sz можно представить в виде:
^Ф^т'
Sz
,7(.7 + 1)-1(1+1) + Ф + 1)
2.Л.7 + 1)
тп6т’ т
и
,,	|О|л<	\	еГ1,Тг Г
\Ф^'т' Т |Ф^т/ — q ' 9 ТГ1 0т1т,
где
j(j + l)-£(£ + l)+s(,s + l) 2j(j + 1)
есть так называемый фактор Ланде. Итак, матрица оператора возмущения диагональна, а возмущенные уровни энергии есть
Enjim — Enji
еПЯ
----g т. 2тос'
Таким образом, (2 j + 1)-кратно вырожденный уровень энергии расщепился в однородном магнитном поле на 2j + 1 эквидистантных уровней, причем расстояние между уровнями пропорционально напряженности магнитного поля и определяется фактором Ланде. Это и есть аномальный эффект Зеемана.
Эффект Пашена-Бака В этом случае можно пренебречь оператором релятивистских поправок. Тогда оператор Гамильтона имеет вид:
н =	+ Г(г) - 5----(ц + 2SJ
2т0	2т0с \	/
(ось z направлена вдоль вектора напряженности магнитного поля). Он коммутирует с операторами L2, Lz, S2 и Sz, поэтому в качестве собственных функций Н можно взять такие, которые являются собственными функциями указанных операторов:
sms
Здесь Рп1(г) есть радиальная функция, являющаяся решением радиального уравнения
( П2 <Р П2 £(£ +1) , тт. Л _ , .	„ D .
---ТГ‘2 + 3------2	+ ^Г)	= EnlPnt(r).
\ 2m0 ar2 2m0 г2	J
Прямой подстановкой проверяем, что ^ntmtsms является собственной функцией Н, а энергия частицы будет равна
Т_,	т_, еКН,	,
Е = Ent - -—+ 2ms). 2m0
Кратность вырождения уровня энергии в отсутствие магнитного поля есть 2(2£ +1), то есть 2 при I = 0, 6 при I = 1 и т. д. При наличии магнитного поля уровень энергии определяется целым числом
к = те + 2ms.
Таким образом, два верхних и два нижних уровня не вырождены, остальные уровни двукратно вырождены, то есть вырождение снимается лишь частично. Такое поведение уровней энергии под действием магнитного поля называется эффектом Пашена-Бака.
9.3 Эффект Штарка
В качестве невозмущенного оператора Гамильтона возьмем
Яо = р2 + Я(т), 2ш()
а возмущением является оператор взаимодействия с однородным электрическим полем:
V = — eEz
(Е напряженность электрического поля, ось z направлена вдоль вектора £}.
Собственные функции невозмущенного оператора:
йн = |с,пдт)угт(т?,^).
Матричный элемент оператора возмущения:
(п'£'т'|У|п£тп) = — еЕ (п'l'm'\z\nlm).	(9.14)
Поскольку функции центрального поля обладают определенной четностью:
Л(-г) = Н)ШН
a z есть нечетная функция, то матричный элемент (9.14) отличен от нуля, только если I и £' имеют разную четность.
В центральном поле общего вида невозмущенный уровень энергии Е$ вырожден по т. Поправка первого порядка находится диагонализацией секулярной матрицы:
е
(nlm\V\nlm') Cmi = Ст .
Однако все матричные элементы в левой части равны нулю, так как £ = £!. Поэтому поправка первого порядка к энергии (линейная по напряженности электрического поля) равна нулю. В центральном поле общего вида эффект Штарка квадратичен по полю.
В случае кулоновского поля невозмущенный уровень энергии Еп вырожден не только по т, но и по £. Поэтому не все матричные элементы секулярной матрицы равны нулю. Следовательно, поправка первого порядка может быть отлична от нуля, то есть эффект Штарка может быть линейным по полю. Рассмотрим подробнее эффект Штарка для уровня с п = 2. Этот уровень четырехкратно вырожден. Секулярное уравнение имеет вид
Е^ - Е	Qe£	О	О
Qe£	Е^ - Е	О	О
О О Е^ -Е О
ООО ftf1 - Е
где
Q = <4?оИ^>-
Решение дает четыре корня:
Ei = Е^} ,
Ег = Е? ,
Е3 = Е^ + |Q|e£ ,
Е4 = Е^ - |Q|e£ .
9.4 Теория нестационарных возмущений (теория квантовых переходов)
Рассмотрим задачу развития системы во времени: д ih—^(x,t) = H(x,t) ф(х,£),
Н(хЛ) = Но (ж) + V(x, t) с начальным условием
0(ж,О) = Ф(х).
Внешнее поле V0(x,t) зависит от времени и является малым возмущением.
Предположим, что у невозмущенной системы спектр чисто дискретный (это предположение делается только для упрощения формул):
Н0(х)фк(х) = Екфк(х), 52 ^1 = к
Пусть начальное состояние системы совпадает с собственным состоянием фп(х), т.е.
'ф&О) = фп(х).
Будем искать волновую функцию в виде
Введем обозначение
Vmk(t) = exp(uvmkt){m\V]k),
где ________________________________________ Ет ^к ^mli —
есть частота перехода. Предположим, что диагональные матричные элементы возмуще-ния равны нулю:
(fc|V|fc> = 0.
Для коэффициентов ak(t) мы получаем тогда следующую систему уравнений:
к^т ®т(0) дтп-	1? 2, . . .
Будем решать эту систему методом последовательных приближений. В качестве нулевого приближения возьмем
»™(t) =
Тогда в первом приближении t «М =	т^п,
о «п’(0 = 1-
Вероятность PPTnn(t) того, что за время t система перейдет из состояния п в состояние т в первом порядке теории возмущений равна
Wmn(t) = |am(£)|2 = nr
Рассмотрим применение этой формулы в некоторых частных случаях.
t
У vmn{t'W о
Возмущение, условно называемое постоянным
О, t < О, V(x,t) = <!
I У (ж), t > 0.
В этом случае
t
2
=
1
Й2
о
|(m|V (ж)|п)
♦ 2 ~V sin
Введем функцию
Тогда
Wmn(t) = —-п,
(m\V(x)\n)
2 1 h

Для функции Ft(w) справедливы следующие соотношения:
Функция
г,(°) = F
Z7T
°°	2
1 f sin х ,
- / — —dx = 1.
7Г J X2
Из этих соотношений следует, что
lim = 5(oi).
t—>oc
2 1
7Г(Н2 t
(9.15)
График функции Ft(oi) приведен на рисунке. Из него видно, что большая часть площади под кривой содержится под центральным максимумом. Действительно,
1 Г sin2 л;
- / —2dx 7Г ./ X2
0.9 .
Это значит, что с вероятностью 90% переходы происходят в состояние с энергией которая лежит в интервале с полушириной
ДД =
2тг7г
др
At = t — t0.
симметрично расположенном относительно начальной энергии Еп. Ширина энергетического интервала уменьшается, если временной интервал увеличивается. Ситуация похожа на соотношение неопределенности координаты и импульса:
Л Л
АхАрх >
Поэтому соотношение
AEAt ж h
принято называть соотношением неопределенности энергия время.
Гармоническое возмущение Пусть возмущение V(x,t) имеет вид V(x,t) = F(x) exp(zwt) + F\x) exp(—ia>t)
(оператор V(x,f) эрмитовский). Тогда
Vmn(t) = (m|F|n) exp[i(umn + u)t] + (m|Fr|n) exp[z(wmn - w)t].
Отсюда
/	---- + (mIFtjn)	---1 .
J	г(мтп+ш)	г(штп~ш)
Беря квадрат модуля от этого интеграла, мы получим сумму следующих четырех вкладов:
exp[z(gjmn +	- 1
exp[i(umn - w)t] - 1 2 i(^mn
exp[-i(wmn + uty] - 1 ехр[г(а>тп — uj)£] - 1 ilpJmn + w)	i(pjmn w)
^^p[^(^mn T ^0^]	1 exp[ llwmn
ilojmn + сд)	Ц^тя cu)
= 2^tFtl<jjmn + w),
— 2T^tFilivmn co),
= -exp(-wt)®t(wmn + ш)ФДоупп - w),
= - ехр(?ш^Ф((штп + ш)Ф^штп - w),
где
2
(<ЭД = t)-
Введем вероятность перехода в единицу времени (вероятность того, что система перейдет из состояния п в состояние т в единицу времени):
Р = -W
* тп , г у тп 
Тогда при t —> оо ненулевое значение Ртп получается, только если штп — и — 0 или штп + ш — 0, причем важны лишь вклады, содержащие функцию Ft:
у - 22Г mn t
(m|F|n)
T-ft(^mn + ^) +
(n|F|m)
2 1 ft
тп
При больших значениях t функция Ff(w) стремится к дельта функции (см. (9.15)). Следо-
вательно,
тп
27Г fl
f)(Em — Еп + fiw) + —
2
S(ETn - En - fw) .
(9.16)
(m|F|n)

При выводе формулы (9.16) мы предполагали, что время t велико. Это надо для того, чтобы Ft(cu) заменить на J(o?). Однако t не должно быть настолько большим, что Wmn станет больше единицы (Wmn есть вероятность и она не может быть больше единицы). При тех значениях t, при которых Wmn оказывается больше единицы, недостаточно использовать первый порядок теории возмущений (полученное нами выражение для Wmn) и надо рассматривать высшие порядки.
10 Квантовая теория рассеяния
10.1 Постановка задачи
На силовой центр из бесконечности падает пучок частиц волновым вектором к0 и плотностью потока N. Измеряется число частиц dN, которые попадают в детектор в единицу времени и энергия которых меньше энергии падающих частиц на е:
dN = ц(е, d, <р) N dA
где d и есть сферические углы детектора в системе координат, начало которой помещено в рассеивающий центр (ось z направлена вдоль вектора fc0), a (ZQ телесный угол, под которым детектор виден из начала координат.
детектор
рассеиватель
Рис. 1: Схема эксперимента по рассеянию частиц
2m
Величина
dN
da = — = q(E,d,p)dtt
называется дифференциальным эффективным сечением рассеяния на углы d, р с потерей энергии е. Мы будем рассматривать упругое рассеяние, когда е = 0. Рассмотрим решения стационарного уравнения Шредингера:
—Д + V(r) ) ф(г) = Еф(г), о	/
отвечающие сплошному спектру. Ищется решение со следующей асимптотикой:
ф(г)= exp(i(fc0 • г)) + Л(#, ^exP^fcr)	(Ю.1)
г
(к — |fc0|, символом = будем обозначать асимптотическое равенство). Здесь плоская волна отвечает падающему потоку, а сферическая волна - рассеянному потоку. Плотность потока падающих частиц:
т0
Радиальная составляющая плотности потока рассеянной волны:
Н .	,2 J ехр(—ikr) д /exp(ikr)\ exp(zfcr) д /ехр(—ikr) \ 1
2тф ’ /щ. г dr \ г ) г dr \ г J J
, ....	,,2 к’к 1
= А (d,p--------
т0 г2
Тогда
da = |А(т?, </?)|2 dQ.
Коэффициент А(&, ip) называется амплитудой рассеяния.
Полное сечение рассеяния получается путем интегрирования дифференциального сечения рассеяния по всему телесному углу:
а
f da = J' \А(д,р~)\2 dCl.
10.2 Метод Борна
Обозначим
2m0
12~
V (г) = U(r)
и запишем уравнение Шредингера в виде
(Д + А;2) ^(г) =
Переведем это уравнение в интегральное. Для этого нужно найти функцию Грина свободной частицы:
(Д + A;2) G(r,r') = 6(г - г').
Требуемой асимптотике волновой функции рассеяния (10.1) соответствует предельный переход lim(fc + is) (е > 0). Обозначим такую функцию Грина G+(r, г')- Тогда
-1 1
г - r'))]d3q
— lim е—>0
exp[?(q • (г — г’ q2 — (к + ге)2
(10.2)
Вычислим интеграл в (10.2):
оо 7Г 2тг
exp[i(q • (г — г'))] ,3 f Г [ ехрЫг - r'| costf] 2, . п ,п ,
+	= J J J -	+
0 0 0
оо 1
Г Г expfzdr — r'l cos$l 7, , п 2д / / ---2 7ь 1	d(l dcosd= -------
I J q2—(k + i£)2	i\r — r'j
О -1 оо
Г q (ехр[г<7|г — r'|] — ехр[—iq\r — г'|])
о
2д
_ 2д Г ^ехр[г^|г — г'|]
q2 - (к + ге)2	dq = i\r-r'\ J ?2- (F^F
— ОО
1	2тг2
2%? - ехр[г(А; + ге)\г — г'|] — -------- ехр[г(& + ie)\r — г'|].
Отсюда
G+(r,r') =
exp[ifc|r — r'|] 4тг|г — r'|
Интегральное уравнение для волновой функции рассеяния:
= ех
G+(r, r'}U (т'\ф(г'}йг' exp[ifc|r - r'|]	,	,
——--------.— U(r w(r )dr .
4тг|г —r'|
Вычислим асимптотику волновой функции (10.3) при г —> оо:
(10.3)
/|2 = г2 + /2
г2 И - 2-—-
I	rz
|г - г I « Гр-----------,
k\r — r'\ ~ кг — (fci • г'), г
кг = к-, г
ф(г) = exp[i(fc0 • г)] + А($, <р)ехр^-Г^ г
где
л / a \ W0
AM = ~2^
11  г')] V(r')^(r') dr'
или
27ГПЛ
V’i(r) = exp[i(fc! • r)J.
(10-4)
(10.5)
Борн предложил решать интегральное уравнение (10.3) методом последовательных приближений:
= exp[z(fc0 • г)] — [ exP[-^lr—£Л [/(r')'0("~-O(r')^7?,
J 4тг|г — г |
а в качестве первого приближения взять просто плоскую падающую волну. В первом борновском приближении:
27ГГГ
V’i(r) = exp[?(fci • r)],
Для локального потенциала (V = V(r)):
= “Si [ ex 27ГП2 J
В случае центрального поля (V(r) = ^(г)):
da d£l
МШ) , ^o(r) = exp[?(fc0 • r)].
4тг2Н4
') dr'.
% j 2я
т0 2nh2
///exp,il
ко — кг | г cos i?i] V(г) r2dr sin d1dd1 d>pl
ООО
то ih2\k0 — кг\
ОО
У (exp[z|fc0 — fcx| г] — ехр[—г|/г0 — fci| г]) V(r) rdr о
2ш0
H2|fc0 —
ОО
У sin(|fc0 — кг\ r)V(r) rdr,
ki = ко = к,
\к0 - fei(
= 2А; sin —, 2
то есть рассеяние обладает аксиальной симметрией, и амплитуда рассеяния зависит только от угла 1?.
Для экранированного кулоновского потенциала V(r) = Q——-----—,
г
ОО
4(0) = _	1 [sin (lfc° ~ fcil r) exp(-ar) dr
nz\Ko — fell J
0
_ 2m0Q 1 f 1	1
/i2|fc0 — fei| 2г ( cn — z|fc0 — ^11 a + z|fco — fci|
_2m0Q	1	_ 2m0Q 1
h2 |feo “ fell2 + CH2 h2 <19  2^ ,	2
1	!	4A:2 sin2 - + a2
2
da /2m0Q\2	1
dQ = \ J 7
I 4/c2 sin2 —h ch2
X	2
Если положить сн = 0, то для сечения рассеяния получим точную формулу Резерфорда.
Рассмотрим в борновском приближении рассеяние электрона на атоме, где взаимодействие моделируется потенциалом V (г), который создается статическим распределением заряда со сферически-симметричной плотностью р(г). Между Фурье-компонентами потенциала V(д) и плотности заряда p(q) есть связь, которая следует из уравнения Пуассона:
ДУ = 4тгер.
Действительно,
Плотность
= — / У(т)Д ехр[г(д • г)] dr = — —— / У (г) ехр[г(д • г)] dr = — —— У(д).
4гг J	4т J	4т
р создается ядром с зарядом Ze и электронным облаком с плотностью заряда
р(г) = ZeS(r) — en(F)
С ледовате л ьно,
p(q) — У ехр[г(д • г)] р(г) (/г = Ze — eF(q'),
где
ехр[г(д  г)] n(r) dr
называется форм-фактором. Таким образом,
У(д)
da dtl
4тгс2
4m2e4 \Z-F(q)\2 h4 q4
m0e2 \ 2
2h2k2 J
(	$
Z — F I 2k sin —
\	2
• 4^ sm — 2
2
При малых d, то есть малых q, разложим в ряд экспоненту, стоящую в формуле для форм-фактора F(q), и получим
F(g) = У п(т) dr — г j\q • r)n(r)dr — - f (q • r)2n(r)dr + ...
—Z — q2 C2 + q^ C4 + ...
Таким образом,
Z - F(q) C2q2,
и при малых d сечение рассеяния
Фт __ /2т0е2\2 2 = ) 2
не зависит от угла d.
10.3 Метод парциальных волн
Пусть рассеяние происходит в центральном поле V(r) — У(т). Введем сферическую систему координат с осью z вдоль вектора fe0 и ищем волновую функцию рассеяния в виде суперпозиции парциальных волн, отвечающих определенному значению момента £:
'Ф(г) = 22 52 c^~h(r)Ytm(d,<p).
^=0 т=-£
Радиальная функция Л(г) будет решением уравнения
~	+	V(r)l Л(г) = 0,	(10.6)
dr г	п
регулярным в нуле:
Л(т) « /+1 (г 0).	(10.7)
Асимптотика Л (г) на больших расстояниях имеет вид
Л(т)= sin(kr -	+ 8е) = е3^~7^(-г/ехр(г^) -	exp(-^),
где 8^ называется фазой рассеяния. Покажем, что сечение рассеяния определяется фазами 8е-
V’(r) =	22 ^2 Gm(-z)€ ехр(г^) У€т(0, ¥>)
-ехЕ: гкг)- 22 22 Gn/ехр(-г^)У^(1?,9?);
£=0 m=~f,
exp[z(fe0 • r)] = 22	+ ^(costf),
е=ь
./,4.1./,	1 /Л	ехр(йг)	e	ехр(-йт)
]Akr) = ~ sm(кг —	= -----—-(-г)------тА------г;
пу ’ кг v	2 7 2ikr у 7 2гкг
ехр(йг) n. .. а .	v-'
2гт
к
ехр(—ikr) ys 2£ — 1
2гт
е=о
°° 2£ + 1
^lPz(costf)
£=0
(-i/p^costf);
/С
CiQ =	(-1/ ехр(г5£), С1т = 0 (гп 0),
ГЬ 00 о/ । 1	00 о/? । 1
2iA(tf,p) + 22—t.— ^(costf) = 22—I— ехР(2г<У P/i(costf);
л к	й /с
1 ос
=Тг22(2£ +	(ехр(2г5^) - 1)
ОС	1
= У' (2£ + l)P^(cosi?)- ехр(г5€) sin 8f,
(10.8)
da
(Ш
а
1
22 (2^ + 1)P< (cos "&) ехр(г^) sin 8t £=0
Л 00
^V(2«+l)sin4.
Амплитуда рассеяния вперед, то есть на нулевой угол:
1 оо
4(0) = -г 22(2^+ 1) (cos St sin St + zsin2^). k to
Следовательно,
4д a = ™ Im 4(0). к
Это так называемая оптическая теорема .
Если потенциал слабый и короткодействующий, достаточно учитывать только одну s-волну. Тогда
4($) = 2 PS° sin<5o, da = S-~^-dQ, k	k2
то есть рассеяние изотропно (сечение не зависит от углов). Если надо учитывать две волны, s-волну и p-волну, то
4(чУ) =	(ег<5° sin50 + 3cos$e8<51 sin^)
и
da — ~ (sin2 Ai + 6 sin Sq sin <5i cos(5o k2 x
— 5i) cos-5 + 9 sin2 5i cos2-5) .
10.4 Оператор рассеяния (S'—матрица)
Амплитуду рассеяния (10.4) можно записать в виде
= -АШЭД.	(10.9)
где и ipi падающая и рассеянная плоские волны, а оператор Т таков, что w = W-0-
Можно указать явный вид этого оператора:
Т = V + V (е - И + ге) 1 V (е -> +0).
Введем оператор
5 = 1- 2дгТ.
Можно показать, что S есть унитарный оператор:
&S = S& = I,
а также
5 = lim U(t,t0), t—loo io—1—со
где U есть оператор эволюции:
L7(i,i0) = ехр |-|я(а;)(г - i0)
Оператор S называется оператором рассеяния, а матрица этого оператора называется матрицей рассеяния.
Волновые функции свободной частицы можно нормировать различным образом (см. раздел ’’Нерелятивистская частица в центральном поле”). В частности, функция
(/г «	\	4/8тй|Ё' . [	/2то~\
йр{Е,1,т\г} = \ П г\ -..-гК
V 7Г2П у V п /
нормирована на 8(Е — Е') 6^' 8тт>. Представление плоской волны через ^(А, I, тл г):
оо I
exp[«(fc • г)] = ЕЕ
£—0 т——1
/?^7Г
у—7	Ф(Е,	(10.10)
где и ipk сферические углы вектора к. Подставляя (10.10) в выражение для амплитуды рассеяния (10.9), находим
.	, т0 Ь2тг . ,2
W =~ АА29—Г 47Г
2тгЛг 2m0fc
ос I ос I1
x£ZZ Е <pk) Y^ttiko, V>ko){E, m\f \E, f, m'). i=0 m=-t £'=0
В центральном поле оператор Т сферически симметричен, так что (Е, t,m\T\Е,Р, тп') = TeSei'Smrn'
Следовательно, /j \2 00
ЖV) = -Чг~Е Е
4: К £—О т~— I ос
= -^(2£ + l)P,(coS1?)T, k е=о оо
= „77 Е (2< Ж О(«Ж (S, - 1), Li L !\> 1=0
где -0 есть угол между векторами к0 и k. Учитывая выражение амплитуды рассеяния через фазы $£ (Ю.8), получаем
St = ехр(2гф,),	(10.11)
то есть матричный элемент матрицы рассеяния очень просто связан с фазой рассеяния.
10.5 Свойства S-матрицы
Рассмотрим рассеяние в короткодействующем поле У(г). Уравнение (10.6) для радиальных функций имеет линейно независимые решения х^\к,г) и х^(А;,г) с асимптотикой
Хе±Чк>г) = ехр[±г(Ь- - |тг^)].
решение /е(к,г~) (см. (10.7)) есть линейная комбинация Хг+\к,г) и
(10.12)
Регулярное в нуле
= at(k)xt \к,г) - bt(k)xi+4k,r).
(10.13)
Его асимптотика:
ft(k,r)

1	1
= ai(k) ехр[—i(kr — -д£)] — бДА:,т) ехр[+г(/сг — -д£)], Li	Li
t	i
= хехр(-г^), Ш) = -exp(i^). Li	Li
Используя (10.11), получаем:
St(k) = ехр(2г^) = Мж  М&)
Так как в уравнение для ft(k,r) волновой вектор к входит в виде к2, то к,г) также есть решения этого уравнения. Из сравнения асимптотик этих функций с (10.12) заключаем:
Х^Ч~к,г) = (-l)M \k,r), Х^Ч-к,^ = (-1)ех^Чк,г\
В силу единственности регулярного решения,
Л(-/с,г) = С ft(k,r).
Из (10.13) тогда получаем:
ае(-кЦ-1^ = -Cbt(k), -Ье(-к)(-1)е = СЩк).
Поэтому
к) Щук)
Для вещественных к из вещественности потенциала и единственности регулярного решения следует, что
/Ж, г) = СЛ(М-
Так как при этом то
.ад = Si'(k).	(Ю.15)
Сделаем аналитическое продолжение Si(k) на комплексную плоскость к = Ац + ik2. Соотношение (10.14) при этом сохраняется, в то время как (10.15) меняется, чтобы удовлетворить условиям Коши Римана:
W) =	(10.16)
Из соотношений (10.14) и (10.16) видно, что нули и полюса Si(k} расположены симметрично относительно мнимой оси. Кроме того, каждому полюсу соответствует нуль, расположенный симметрично относительно вещественной оси, и наоборот.
Покажем, что если у системы есть связанное состояние с орбитальным моментом £, то ему соответствует полюс Si(k} на мнимой оси в верхней полуплоскости. Пусть энергия связанного состояния есть
а2
= о----=
2777о x\+\kt,r) = ехр(-к2г - г|тг£), £
Xt~4ke,r) = exp(Ar2r + i^7rf). £
Функция fi(k, г) должна быть квадратично интегрируема, поэтому коэффициент при растущей экспоненте должен быть равен нулю:
если кч > 0, то a^ik-z) = 0, если к2 < 0, то bi(ik2) = 0.
Таким образом, Si(fc) имеет полюс в точке i\к21 и нуль в точке —г|/сг|- Покажем, что в верхней полуплоскости полюса S^k) могут находиться только на мнимой оси. Действительно, пусть есть полюс в точке
ко = ki + ik2, к2 > 0.
Тогда
ММ = О,
и Д(&о,г) интегрируема с квадратом модуля, а значит fi2	7?2	/?2
ZTTIq	Zrilfj	THq
есть собственное число, то есть должно быть вещественно. Поскольку к2 > 0, то Е будет вещественным, только если ki = 0. Таким образом, полюс лежит на мнимой оси.
Среди полюсов в нижней полуплоскости особый интерес представляют полюса, расположенные вблизи вещественной оси. Этим полюсам соответствуют так называемые ква-зистационарные состояния, и проявляются они в виде резонансов пиков в сечении рассеяния как функции энергии налетающей частицы. Рассмотрим полюс S^k) в нижней полуплоскости в точке
к0 = ki - ik2, к2 > 0.
Учитывая (10.14) и (10.16), вблизи точки к0 функцию S^(/c) можно представить в виде
sz(fc) = exP(2.^(4)(r-WT^
Обычно <pi(k) есть гладкая функция к и может рассматриваться как постоянная. Будем для простоты рассматривать случай I = 0. Обозначим
-—(кг - гк2) - Ео - -2тп^	2
fi2	Г ti2
Е, = -^-(kl - k22),	—2/h&2-
2/no 1 2h 2	2m0
Тогда
c /,4	/9. .E — Eo — гГ/2
S„(*) =
Отсюда
/	Г	V
l(E - Eq) sin po - x cos ip0
1 |2 _ 47r \	2	/
Графики зависимости <т0 от энергии Е вблизи Ео при различных значениях <р0 показаны на рисунке 2. Помимо общего случая на этом рисунке показаны и два частных случая, которые носят название ’’резонанс” (<£>0 = 0) и ’’антирезонанс” (^0 = тг/2).
10.6 Распад квазистационарного состояния. Теорема Фока-Крылова
Пусть система описывается оператором Н(х), не зависящим от времени. Обозначим ^п(ж) собственные функции дискретного спектра с собственными числами Еп
Я(ж)^п(ж) = Eni/in(x),
Рис. 2: Резонансы в сечении рассеяния
а ф(Е,х') функции сплошного спектра
Н(х)ф(Е,х) = Et^EjX).
Условия ортонормировки этих функций имеют вид
=	5ят,	(10.17)
ф\Е,х)-ф[Е',х)(1х	=	6(Е —	Е'),	(10.18)
ф*п(х)ф(Е,х^х	=	0.	(10.19)
Пусть в момент времени t = 0 система находится в состоянии ф(х). Тогда в момент времени t она будет находиться в состоянии ф(х, i), определяемом уравнением Шредингера
д
ih~il)(x,t) = Н(х)ф(х, i),	= ф(х).
vJb
Решение уравнения Шредингера имеет вид
V’(M) = 22C'nexp(-|Eni)V’n(a;) + ' Ь
j С(Е) ехр(——E’i)^(El, x)dE.
Коэффициенты Сп и С(Е) определяются из начального условия:
Сп = У i/j^(x^(x)dx, С(Е) = У ф*(Е,х)ф(х^х.
Из условия нормировки начального состояния:
52 |С„|= + f |С(В)|2 dE = 1. п
Вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в начальном состоянии:
W = Ж2,
p(i) = / ф*(х) ф(х, t)dx = j ф* (ж, 0) ip(x,t)dx.
Для p(t) имеем:
p(i) =5252 СпСт exp(-^Emt) / ф*Хх)Мх^х пт	J
+ J2 f dEC*C(E') e^Tp(-~Et) ф*п{х)ф{Е,х) dx
+ E [ dE'C(EyCme^( m
+ У dE у dE'C{E)* C{E') ехр(-^ДТ) j ф*(Е,х)ф(Е',х) = 52|Cn|2exp(-^E-ni) + у |С(Д)|2 e^-^Et)dE.
n
dx
Эту формулу можно написать в виде Фурье преобразования
p(i) — У w(E) exp(-^Et) dE
энергетического распределения начального состояния
w(E) = £ |С„|2 S(E -Еп) + \С(Е)\2. п
Теорема Фока-Крылова: закон распада полностью определяется энергетическим распределением начального состояния.
Рассмотрим некоторые частные случаи
1.	Пусть в начальный момент времени система находится в стационарном состоянии
фе.. Тогда
Следовательно,
Сп = STli, С(Е) = О
и
p(t) = exp(-^Eet). I L
Таким образом,
i(«) = IpCOI2 = i,
то есть система все время находится в начальном состоянии.
2.	Пусть система в начальный момент времени находится в состоянии, являющемся суперпозицией двух состояний дискретного спектра
ф(х) = С-рф]\х) +	|С1| + |С2| = 1.
Тогда
p(t) = |C1|2 exp(-^Eii) + |C2|2 exp(-^E2i), lL	II
L(t) = Щ e^p(-^Eit') + a2 exp(-|E2i) ft	n
2
= «2 + а2 + 2а-[а2 cos a>t,
где
dl — | Cl |2 ,	«2 — | C212 ,
E2-Ex
UJ = ------
h
Как видно, система периодически возвращается в начальное состояние. Такое же поведение наблюдается, когда начальное состояние описывается суперпозицией любого числа состояний дискретного спектра и не содержит примеси состояний сплошного спектра.
3.	Пусть начальное состояние представляет собой суперпозицию состояний сплошного спектра и не содержит примеси состояний дискретного спектра (все Сп = 0). Пусть С(Е) - непрерывная функция. Тогда
p(t) = I w(E) exp(—-Et)dE —> 0	(i —>oo).
Таким образом, в этом случае начальное состояние полностью распадается. Например, если
1 ХГ
= д(£-£0)2 + |Г2’
то
2	1
p(i) = exp(--£ot- -И), п	2.П,
L(t) = ехр
Закон распада является экспоненциальным, а Г//г имеет смысл обратного периода полураспада.
Модуль V. Взаимодействие света с веществом
11 Квантовая теория поля
11.1	Квантование системы с конечным числом степеней свободы
Лагранжев формализм.
•	Вводятся обобщенные координаты qk(t), к = 1,2,...,п
•	Строится (эвристически) функция Лагранжа L(q, q, i)
•	Вводится действие
<2
У L(q,q,t) (It ti
•	Уравнения Лагранжа получаются из вариационного принципа
6S = О
d dL dL dt dqk dqk
к = 1,2,... ,n
Гамильтонов формализм.
•	Вводятся обобщенные импульсы
dL
Рк = ТГТ dqk
•	Вводится функция Гамильтона
п H(p,q,t) = ^Pkdk ~ L fc=i
•	Любая физическая величина F записывается как функция обобщенных координат, обобщенных импульсов и времени
F(p,q,t)
•	Вводится скобка Пуассона следующим образом. Полная производная по времени от физической величины записывается в виде
где величина
’	[ дрк dqk dqk дрк J
называется скобкой Пуассона.
•	Для замкнутой системы вводится энергия и импульс, причем энергией оказывается функция Гамильтона.
Квантование.
•	Обобщенные координаты и обобщенные импульсы заменяются на линейные самосопряженные операторы
Qk(t) -» qk, pk(t) рк, к = 1,2,---,п.
•	Эти операторы подбираются так, чтобы были выполнены следующие коммутационные соотношения
[qk,Qe\ = о
\Pk,Pt] = о
1ж<Й = -ihSkt
•	Любой физической величине F = F(p,q,t) сопоставляется оператор F -> F =	,рп, 51,-,qn,t)
•	Классической скобке Пуассона F, G сопоставляется квантовая скобка Пуассона
{F,G}	{£,£}

•	Выводится выражение для полной производной по времени от оператора
dt dt

11.2	Квантование скалярного поля
Классическое скалярное поле 0(r,t), удовлетворяющее, например, уравнению
1	А ,
- Д0 = О, с2 dt2
представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы.
Обозначения, функционал, функциональная производная.
Xi = х, х2 = у, хз = z, dv = dxdydz = dxidx2dxs,
Фк = ^~Ф, к = 1,2,3.
dxk
Функционал поля:
F = р[ф] = У Р(ф,фг,ф2,ф3^), где Т называется плотностью функционала.
Вариация функционала:
Ф Ф
Фк ~> Фк
6F
6F
6F
= ф + 8ф ($ф произвольна), д	9
= Фк + Ьфк = д—Ф + д—00, 0Хк	охк
= У р(ф, фг, ф2, h)dv - У Р(ф, фг, ф2, фз№,
= / 1 К15Ф + X f dv^
J [дф	7^дФ^
f (dF d dp\	J
J [дф £^dx^£J V'
Величина, стоящая в фигурных скобках, называется функциональной производной (вариационной производной) от функционала F по полю ф:
FF _ Э77 __ Д а ЭГ
$Ф дф “дтга</>/
Лагранжев формализм.
•	Роль обобщенной координаты теперь играет поле </>(r,i).
•	Строится (эвристически) плотность функции Лагранжа £(ф,ф,ф1,ф2,фз)
и функция Лагранжа
L = У £(ф,ф,фъф2,ф3)дл).
• Вводится действие
<2	t2
S = j Ldt = у* У С(ф,ф,ф1,ф2,фз) dvdt. ti	ti
•	Уравнение Лагранжа получается из вариационного принципа
6s - о ddC	- о -> d--J- - —
^дф ^_дхкдФк 9ф	dtb(j) 5ф
Гамилътонов формализм.
•	Вводятся обобщенный импульс тг, канонически сопряженный полю ф _ бь _ аг
§ф дф
•	Вводится плотность функции Гамильтона
Н(ф, ф1,ф2,фз,^, 7Г1,7Г2,7Гз) = 7Г </> - £
и функция Гамильтона
Н = у Hdv.
•	Любая связанная с полем физическая величина F записывается как интеграл от плотности этой физической величины
F = У Р(ф, Ф1,Ф2,Фз,^,^1,^2,^зЛ) dv.
•	Вводится энергия и импульс поля, причем энергией поля является функция Гамильтона, а импульс поля имеет вид
Р = — / ir'^dv
Квантование.
•	Поле заменяется на оператор поля
-> J(r),
а канонический импульс заменяется на оператор 7r(r,i)	7г(г).
•	При этом должны быть выполнены следующие условия коммутации:
ф(г), ф(г')
= о,
7г(г), ф(г')
= 6 (г — г')-
|?г(г),7г(г')] = О,
11.3	Квантование скалярного поля путем сведения к системе невзаимодействующих осцилляторов
Пусть плотность функции Лагранжа имеет вид
Тогда
£ = I ~ (V<^2 ~ ш2<П '
6L	дС	
— = -----Г — ф,
§ф	дф
8L	дС	д дС 2,
Уравнение Лагранжа:
ф — Д</> + т2ф — 0.
Импульс, канонически сопряженный полю:
8L 
7Г = —г = ф.
8ф
Плотность функции Гамильтона:
Н = к ф —	| (ф2 + (V</>)2 + т2ф2^
(тг2 + (V</>)2 + гп2ф2) .
Поместим поле в кубический ящик с длиной ребра d и объемом V = ds. Наложим на поле циклические граничные условия:
Полная система функций, удовлетворяющих этим граничным условиям:
и(к,г) = —exp[z(fe • г)],
I 2тг ,	.
fc	"Ь ПуСу "Ь ^z^z) ?
У u'tk^r) u(k2,r)dr = 6kl>k2. v
(пх, Пу, nz целые числа). Разложим вещественное поле ф по этой полной системе функций:
Ф(г,1) = 22 ММ«(М) + q*(k,t)u*(k,r)} к
Штрих у знака суммы означает, что каждое значение к входит только один раз (нужно иметь в виду, что и*(к, г) = и(—к,г)).
Вычислим функцию Лагранжа для рассматриваемого поля:
L = У £\ф,ф,фъф2,фъ)(1ъ = ^ф2(И1 - |у (V</>)2 dv - ~ У ф2 dv, V	V	V
о
+q(k, I) q*(k', t) f u(k,r) u*(k',r)dv + q*(k,f) q(k',t) v________________________
2 У (V</>)2 dv = ^k2q(k,t)q\k,ty, v
| f ф2dv = J2 q(k,t)q\k,t)-, v
L =	{<i(.k,t)q*(k,t) - w2(fe)?(fc,i)?*(fc,O} ,
к
a)2(k) = k2 + m2.
Обобщенный импульс и функция Гамильтона:
₽(М) = = г{кЛ’
Н =	{P(.k,t)p\k,t) + tv2(k)q(k,t)q*(k,t)} .
к
Вещественная и мнимая части переменных q и р:
1 ( . Л Ч = ~^(9i + «92),
Р = Е(и - ^2);
Каноническое преобразование:
91 —
Pi =	+ ^2)’
Р2 = —^№2 — Qi).
?2 =
Переменные Qi и Q2 объединяются в одну переменную Q и аналогично переменные Pi и F2 объединяются в одну переменную Р:
Q(k,t) =
P(k,t) =P1(k,t),
Q[—k,t) = Q2(fe,t), P(-k,t) = P2(k,t).
Функция Гамильтона принимает вид:
i£{P2(M W(fe)<22(M)}
к
Она имеет вид функции Гамильтона системы невзаимодействующих гармонических осцилляторов, причем переменные, описывающие эти осцилляторы, являются вещественными. Теперь можно провести квантование:
Q(M) Q(fe),
P(k,t) P(k),
Q\k) = Q(k);
P\k) = P(fe);
QMQ(k') = О,
F(fc),F(fc')
О,
P(k),Q(k') = -ihbkik,-
н = |E{p2(fc) +^2(fc)Q2(fc)}-к
Операторы рождения и уничтожения Ь:
6(fc) =	
6f(fc) =	
6(fc),6(fc') = О,
b\k),b\k') = 0,	b(k),b\k') = 6к>к.
Оператор Гамильтона скалярного поля через операторы рождения и уничтожения:
^(fe) |bf(fe)b(A:) +
Перенормировка:
н = ^2	b(k).
к
Операторы поля через операторы рождения и уничтожения:
</>(г) =
Коммутаторы операторов поля:
к к1
b^fe) ехр[—г(к  г)] — Ь(к) exp[?(fc  г)], а>(к) L
M(fe') ехр[—z(fc' • г')] + b(k') exp[i(k'  г')]
52 {exPMfc  (г' - г))1 + ехр [г (/г  (г - г'))]}
£ V
к
ih V—л
?(r),j(r')] = ^5252^
к к'
$(к) ехр[—г(к  г)] + b(k) exp[?(fc • г)],
M(fc') ехр[—г(к' • г')] + b(k') exp[?(fc'  г')]
ih к л 1
2V^ w(fc)
{exp[z(fc • (г' — г))] — exp[z(fc • (г — г'))]} = 0;
[тг(г),7г(г')] = 0.
Имея в виду предельный переход d —> оо,
~ 52 ехр^а;) = ~ 52 ехр(йжа;)^ —> (л	Zil\	(л
Кх	Кх
d оо
'х =
к
1
ш(к')ш(к)
1
exp[z(fc-(r-r'))]
к
V —> оо
exp[z(fe • (г — r'))]dk = 5(г — г'),
получим:
7г(г), </>(r') = — ih6(r — г1).
Оператор импульса поля Р:
6(fc) ехр[г(/с  г)]
х (ik'} M(fc') ехр[—i(k' • г)] + 6(fc') exp[z(fc'• г)] j- dv
=	+ 6(fe)K(—fe) + b\k}b(k) + b(k)b\k}}
к
= hktf(k) 6(fc). к
Операторы полной энергии и полного импульса поля можно записать в виде
н =	р =
к	к
где
7V(fc) = b\k)b(k}
есть оператор числа частиц с волновым вектором к. Энергия и импульс частицы с волновым вектором к есть
Ек = ha>(k); рк = Ьк: Ек=р2к + Н2т2.
Эти частицы принято называть квантами поля. В представлении чисел заполнения состояние квантового поля описывается бесконечномерным вектором состояния

в котором указаны числа заполнения для всех волновых векторов к. Справедливы следующие соотношения:
jV(fef)|n(fei),...,n(fe€),...) Ь(кг)  •  ,n(kt),...} Kt(fe^)|n(fei),...,n(fef),...) (n'(ki), n'(fe2),    |n(fei), n(fe2),...}
y/n(ke) |n(fci),.. .,n(ke} - 1,...}, y/n(kt) + 1 |n(fei),..., n(ke} + 1,... >, ^Tl'(fcl),n(fcl)^n'(fc2),n(fc2)   
В основном состоянии квантового поля (состоянии физического вакуума} числа заполнения всех квантов равны нулю:
|0) = |0,0,...).
Среднее значение поля и квадрата поля в вакуумном состоянии:
h 1
2w(fc) y/v
exp[z(fc • r)] (0|&(fe)|0) + exp[—i(k • r)] (O|M(A:)|O) > = 0: о	о J
п
2V
1
w(k)w(k')
> 0.
Последнее соотношение означает, что поле в состоянии вакуума флуктуирует. Оказывается, что среднее значение квадрата поля не только отлично от нуля, но и бесконечно велико:
1
[ '.'Ik
-------dk
\А1 2 + т2
интеграл расходится при больших fc. Это представляет собой одну из трудностей квантовой теории поля; существуют рецепты, позволяющие с ней справиться.
11.4	Квантование свободного электромагнитного поля
Электромагнитное поле описывается напряженностью электрического поля 5 и напряженностью магнитного поля "Н, компоненты которых не являются независимыми. Введем векторный потенциал А и скалярный потенциал Ао:
1 дА
8 =-----у---VA0, 'Н = rot А,
с dt
Л л 1 д2А Г А
---2 ^2“ ~ V dlV А
с2 dt2 у
+
с dt )
1 д .. .
div А с dt
4тг .
-----J с
—4-тгр,
АА0 +
где р есть плотность заряда, a j есть плотность тока. Векторный и скалярный потенциалы определены с точностью до калибровочного преобразования:
1 dy
А А' = А + V*: Ао А' = Ао -с dt
Выбор той или иной формы потенциалов производится с помощью дополнительных условий, которые называются калибровкой. Наиболее часто применяются:
Кулоновская калибровка.
div А = 0.
Лоренцевская калибровка.
div А +
idAo с dt
Здесь остается произвол калибровочного преобразования с функцией уд, удовлетворяющей однородному уравнению
Ауо
1 дХо с2 dt2
Свободное электромагнитное поле:
Р = 0: j = 0.
О,
ДЛ
0.
В лоренцевской калибровке для свободного электромагнитного поля имеем л л 1 д2А е2 dt2 1 д2А0 с2 dt2
v л 1дА» div А Н---—
с dt
Можно так подобрать функцию хо, что в результате скалярный потенциал Ао обратился в нуль. Тогда
лл	1 д2А
Л	с2 dt2	°’
div А = 0.
(11.1)
(И-2)
Каждая декартова компонента векторного потенциала удовлетворяет уравнению, которое является частным случаем рассмотренного ранее уравнения для скалярного поля. Полная система векторных функций, удовлетворяющих таким же циклическим граничным условиям, что и в случае скалярного поля:
u(fc,A,r) = ~е(к,Х) ехр[г(к-г)],
V V
У* (u*(fc,A,r) и(к', А', г)) dv = 5k,k'Sx,x'-v
Переменная А — 1,2,3 различает три линейно независимых единичных вектора поляризации е(к, А). Выберем их так, что
(fc • e(fc, 1)) = 0;	(fc-e(fc,2)) = 0; (fc • e(fc,3)) = к.
Разложение векторного потенциала:
A(r,t) = а/4тГ У" {g(fc, A, t)u(k, А, г) + q*(k, A, t)u*(k, А, г)} к А=1,2
не содержит слагаемых с А = 3, чтобы удовлетворить уравнению (11.2). Действительно, divu(fc,A,r) = X(e(fc, A),fc)exp[z(fc • г)] = i,exp[i(fc • г)] 5Aj3,
А 3 => div А = 0.
Осталось поперечное поле, перпендикулярное волновому вектору, компоненты которого можно рассматривать как два независимых скалярных поля. Теперь можно провести квантование поля, как это было сделано в случае скалярного поля, учитывая, что связь частоты с волновым вектором имеет теперь более простой вид ш(к) = ск. В результате получаем:
Н =	^№)N(k,X\
к А=1,2
р =
к А=1,2
где
N(k,X) = V(k,X)b(k,X)
есть оператор числа квантов (фотонов) с волновым вектором к и поляризацией А, выраженный через операторы рождения и уничтожения квантов, удовлетворяющих следующим условиям коммутации
b(k,X),b(k',X') = 0:
b^k,X),b\k',X') = 0;
6(fc,A),M(fc',A')

Оператор векторного потенциала через операторы рождения и уничтожения:
2тгЬ u(k)V
12 Заряженные частицы в электромагнитном поле
12.1 Оператор Гамильтона
Релятивистская функция Гамильтона системы заряженных частиц в электромагнитном поле:
i	1	/	р	\ 2	1	1 _—_	р-р - WC4 + с2 (и	Atr{ri,t)} + Vi(ri,t) + V	3 V	\	с	/	2	' г, - г,- 1	7
+ zL	A,t) + u2(k)q(k, X,t)q*(k, A,t)}
Для квантованного поля
fc A=l,2
в нерелятивистском пределе:

н2 = ^(fc)H(fc,A)
к А=1.2
+ b\k, А) ехр[—i(k • г)]
Здесь Hi есть оператор Гамильтона системы частиц с кулоновским взаимодействием, Н? - оператор Гамильтона поперечного поля, Н3 оператор взаимодействия частиц и поля, Atr(r) оператор векторного потенциала поперечного поля. Оператор
Но - Hi + Н2
описывающий невзаимодействующие систему электронов и поле, можно рассматривать как невозмущенный, а оператор взаимодействия Н3 как возмущение. Под действием возмущения происходят переходы между стационарными состояниями оператора Но-
12.2 Одна частица в электромагнитном поле. Вероятность излучения и поглощения
Й2
Hi =	+ П(г),
2т0
Н2 = JZ H4v(fc)TV(fc, А), к А=1,2
е ( л 'A	е / 2тг7&
Н3 =-------А  р = - > у —л	(е(к
тос К J	то\ w(fc)V
х А) ехр[—i(k • г)] + b(k, A) exp[z(fc • г)]|.
Поле предполагается слабым, и учтен только линейный по векторному потенциалу член. Пусть оператор Hi имеет чисто дискретный спектр:
Hi4’n(r} = Еп-фп(г).
Собственный вектор оператора Но есть прямое произведение собственных векторов операторов Hi и Н?:
10 = \п, ••• ,п(к,Х),..}
t t
электрон фотон
с энергией, равной сумме энергии невзаимодействующих электрона и поля:
€i = Еп + УУ hw(k) п(к, А). к А=1,2
Рассмотрим переход в другое состояние
I/) = \гп,	,п'(к,Х),....
t t электрон фотон
е/ = Ет + у^ у^
к А=1,2
Вероятность перехода в единицу времени из состояния \г) в состояние |f):
2тг
2 1 Р (Ч - £Л hf'\ Л~)’

h

(W) = -Е Е iv3S{*1(fe’A) + *2(*'Л)>' fe А—1,2 Т
Ф1(/г, А) = // (e(fc, А) • р) b(k, A) exp[i(fc • г)] г
= у/п(к, А) (т |(e(fc, А) • р) ехр[г(& • г)]| п) ,
Ф2(/г, А) = // (e(fc, А) • р) &(к, А) ехр[—i(k  г)] i
= у/п{к, А) + 1 (т |(e(fc, А) • р) ехр[—i(k • г)]| п)
Ф1 отлично от нуля, только если в конечном состоянии число фотонов с волновым вектором к и поляризацией А на единицу меньше, чем в начальном состоянии, а числа всех других фотонов в начальном и конечном состояниях совпадают. Аналогично, Ф2 отлично от нуля, если число фотонов с волновым вектором к и поляризацией А на единицу больше, чем в начальном состоянии, а числа всех других фотонов в начальном и конечном состоянии совпадают. Таким образом, вероятность перехода в единицу времени Pfj отлична от нуля для следующих двух процессов.
1. Поглощение фотона.
n'(fc',A') =
n(fc',A') — 1,
.	А'),
если
если
fc',A' = fc0,A0 к',Х' ± feo,Ao
Е > Е
Вероятность перехода в единицу времени:
Л 2 2
PnTn)(fco, Ao) = - 2 I — \{т |(e(fc0, Ао) • р) exp[i(fc0 • r)]|n> |2 m^id(k0)V
/, i х 1 т-. ( Ет	Еп hid(k{))\
х п(к0, Ао) I ------------------------- I
2. Излучение фотона.
Еп --------Г
hid
п'(к',Х') =
п(к',Х') + 1, < п(к',Х'),
если
если
к1, X' — fc0, Ад к',Х' fco,Ao
Ет < Еп
Ет
4 2 2
Рт^Чко, Ао) = 2 , х - \(rn I(e(fco, Ао) • р) exp[-z(fc0 • г)]| п) |2 т0^ (,ко) у
( (, х х । , х 1 тг f Em ~ Еп + hld^ko^X
х (n(fco, Ао) + 1) ~Ft I ---------------------)
Полная вероятность перехода в единицу времени с уровня Еп на уровень Ет с поглощением (Еп < Ет) или излучением (Еп > Ет) какого-нибудь фотона:
= Е Е cS’r’tM), с£г> = ее^"п)(»=.а).
к А=1,2	к А=1,2
В пределе V —> оо сумма по к переходит в интеграл. Кроме того, в случае больших t функцию Ft можно заменить на ^-функцию. Тогда
ртпгл} = -^2 [dkY;	Kwl(e(fc,A) -р) exp[i(k  r)]\n) |2
d7rm0 j Д=12 ш\к)
х S (Ет - Еп - htd(k)).
Так как cv(k) = ск,в сферической системе координат к = (к, d, ср) интеграл по радиальной координате можно вычислить. Вводя обозначения
Ксктп Ет Еп, штп
Ет Еп h
можем написать:
2	/*
ргппгп) = /-^т2~з / п^™иА) \{т I (е(ктп, А) -р) ехр[г(ктт1  r)j \п) |2 dCl.
ZTrnTTlnC? ./ *—' 0 J A=l,2
Здесь ктп вектор с длиной ктп и направлением, определяемым углами d и </?, dkl элемент телесного угла. Полученную формулу можно записать в виде
ей™’ = /
Л=1,2
где
^РитГЛ)(^, А) = "vTa Л) Km l(e(femn, А) • р) exp[i(fcmn • г)]| Tl) |2 (/Q
есть вероятность перехода в единицу времени с уровня Еп на уровень Ет с поглощением
фотона с частотой штп и поляризацией А, распространяющегося внутри телесного угла dQ около направления со сферическими углами d и ср.
Аналогично получается выражение для вероятности перехода в единицу времени с уровня Еп на уровень Ет с излучением фотона с частотой шпт и поляризацией А, распро
страняющегося внутри телесного угла dkl вдоль направления, определяемого сферически-
ми углами d, ср, то есть вектором кпш:
& ^пт 2тг/гтдС3
‘ЩЁ“’ А) =
(n(fcnm,A) + 1) \{т \(е(кпт, А) • р) exp[-i(knm -r)]|n) |2 dll
(п(кпт, А) = 0 - спонтанное излучение, п(кпт, А) / 0 вынужденное излучение).
При переходах между двумя данными уровнями отношение вероятности излучения фотона в единицу времени к вероятности поглощения фотона в единицу времени
dP^\d,cp,X) = п(ктп,Х) + 1 dEmn™'1 (d, ср, А) п(ктп, А)
определяется только числом заполнения фотона и не зависит от той системы, переходы в которой наблюдаются.
12.3 Вывод формулы Планка для равновесного излучения
Пусть имеется совокупность большого числа одинаковых невзаимодействующих двухуровневых системы (Еь > Еа), находящихся в равновесии с излучением.
Среднее число частиц на данном уровне в тепловом равновесии при температуре Т (распределение Больцмана):
Na = N{) ехр
Nb = No ехр
м
кт)
Число фотонов с частотой ш = (Еь — Еа)(Н, испущенных в единицу времени, равно числу фотонов, поглощенных в единицу времени:
^<(P<“r">(fe,A) = NbdP{™\k,X)
Следовательно,
= dP{™\k,X) = n(fe, А) + 1
Nb	п(к,Х)
где п(к, Л) среднее число фотонов с волновым вектором к и поляризацией А. Отсюда
/ Ёь- ЕЛ _ п(к, А) + 1
еХ₽ У kT ) ~ п(к,Х) ’
п(к,Х) =
- 1
12.4 Дипольное приближение
Матричный элемент перехода представляет собой пространственный интеграл, подынтегральное выражение в котором существенно отлично от нуля лишь в области с радиусом R, где велико произведение волновых функций конечного и начального состояния. Для низковозбужденных атомных систем R ~ 1 А, а длина волны видимого света есть А ~ 5000Л. Таким образом, отношение
является малой величиной. Следовательно, в указанной области можно приближенно положить
j exp[i(k • г)] « 1.
Это приближение принято называть дипольным приближением. Вычисление матричного элемента в дипольном приближении дает:
(m|(e-р) exp[«(fc • г])|п) « (е-рт„),
Ртп = (т\р\п')-
Из соотношения	v	l' С
НлГ — г Hi = ----- (тРг — гпЛ = —1—р
2т0 \ Р / то находим
г’га° / I Д	и I \	/ г р А / I I \
Ртп =	- гН^п) = —(Ет - Еп){т\г\п) - 1тоштпгтп,
IV	fit
“тп — (Ет Ег1^/К.	I
Таким образом,
; ,3 |(e(fcm„,A)|= <ZQ,
27ГДС°
.3
dP^(d,p,X) = тг^НКтЛ) + 1) \(e(knm,X)-dnm)\2 dQ, ZlTflC?
где
dmn — &T mn
есть матричный элемент электрического дипольного момента (здесь е заряд частицы).
12.5 Силы осцилляторов
Сила осциллятора перехода из состояния п в состояние т с поляризацией вдоль оси х: f(x) — 2т0 I/ L.I \|2 fmn	штп | (Ш|Х \п)1 .
Аналогично определяются силы осцилляторов и для переходов с поляризацией вдоль осей у и z.
Теорема о суммах сил осцилляторов:
у fW = 1.
/ j J тп т
12.6 Правила отбора
Если физическая система, в которой наблюдается переход, обладает симметрией, то матричный элемент (m|r|n) может обратиться в нуль строго. Это означает, что в дипольном приближении вероятность перехода строго равна нулю, то есть данный переход запрещен. Можно сформулировать правила отбора, которые определяют разрешенные и запрещенные переходы. Рассмотрим правила отбора в двух простых случаях.
1. Одномерный гармонический осциллятор. В главе 4 было получено следующее выражение для матричного элемента координаты:
, । । к Fn _ /п + 1 г (щ|д‘|и) — V 2	' А у 2 ®wi,n+i-
Таким образом, оптические переходы с данного уровня возможны лишь на соседний уровень сверху (поглощение) или на соседний уровень снизу (излучение). Так как уровни гармонического осциллятора эквидистантны, то осциллятор излучает и поглощает одну частоту.
2. Частица в центральном поле. Волновая функция частицы:
^nZm(^) =
Матричный элемент оператора координаты:
ОО
(п1 £'т'\r\n£m) =	Pn't'lr) г Pnt(r\r?dr J Y^^d^-Yin^d, p)6mrddddp.
о
Правила отбора определяет интеграл по угловым переменным. Для вычисления этого интеграла надо рассмотреть компоненты вектора п = г/г:
((х + iy)/r (х — гу)/г z^/2/r
(sini?exp(?(/?) sin d exp (—ip) cosdy/^
Y^(d,p)
Ko (d,p)
Тогда
Yt'm' (^, Р)п^т(б, p) sin ddddp
Yem> (d, p)Ylli(d, p)Yirn(d, p) smddddp.
Последний интеграл отличен от нуля, только если выполнены следующие два условия (правила отбора дипольных переходов в центральном поле):
(а)	£' -I- 1 + £ = 2к (четное число)
(Ь)	— т' + у + т — О
12.7	Элементарная теория фотоэффекта
Рассмотрим поток фотонов с волновым вектором к, поляризацией А и интенсивностью S Если в единице объема потока содержится п0 фотонов, то
V
S = hurtoc, п(к,Х) = Vn0 — -—S.
пшс
Вероятность перехода в единицу времени из состояния п в состояние т:
= SS 5 l<m 1(е  ехр^  n> I2	(Ет ~ t 
IlV^tls	IV у	IV	J
Начальное состояние п локализовано (дискретный спектр), конечное состояние т плоская волна с волновым вектором qm (пренебрегаем потенциальной энергией в конечном состоянии):
\Qm) = (^дехр[г(дт -г)],
где qm определяется циклическими граничными условиями на границах куба с объемом V. Тогда
СТ1 = S |(9m |(е. V) expRfe . г)]| „) \2 ^F, (Е- ~ Е" ~ ^) • FfCgtl/ С V	IV	у	* ь	J
Вероятность перехода в группу состояний qm, которые расположены в некотором малом объеме q-пространства вблизи вектора q = (у, i?, <р):
= £р,=п) = V_ f p^^dqmd^ т
Заменим функцию Ft на соответствующую ^-функцию, тогда длина вектора q определится законом сохранения энергии:
Л2(/2	„
— Еп 4~ Tiw
2т0
В результате для вероятности переходя в единицу времени в состояние свободного электрона с волновым вектором, расположенном в элементе телесного угла dFl вблизи направления (р получаем
dP^ =	S l(g|(e-v) expliffe  г)]| „) I2 ла.
Рассмотрим водородоподобный атом.
Начальное состояние
Конечное состояние
Ео
1 т0е4 2
Е° = "24^Z ’
m0e2
Z --г а
=	Е^\Е0\,
2гп0
^1(Г) = (^^ехр^9’Г^
р mov
q=h = ~h~
О
Вероятность фотоэффекта (fiw j Ео|):
dP = Qw'3/2S
ехр[г(</ • г)] |(e • V) ехр[i(к  r)]| ехр I----
2
cZQ,
где Q константа. Вычисление матричного элемента:
/	(Z
I = / ехр[г(д • г)] |(е • V) exp[?(fe  r)]| ехр (-г
1
z . V
----1- iu I
a )
8ttZ г(е • u)
- - — }
“ ((ZY 2^
I — I + U2 I
\ \ a ) I
и
(е • и) = (е • g) - (е • fc) = (е  q),
(е  q) = (/sintfcos <р,
— q — k,
ч2
/ Z\2
— 2kqcQsd + к2 + ( — ) \ a /
2 m0e4 rP2 %2
4 » ~~rZ2 = nr ar
Поэтому приближенно
2к
2Гш _	2p2	_ p
ср 2mocp rrioc
v
Ч
Z\2
/ 'D \
|g — fc|2 « q2 (1 — - cos -d ) .
\ a)	\ c /
Окончательно для вероятности фотоэффекта:
dP = Q1S^ SP^\d!i,
\ С 7
где Qi есть постоянная, аналогичная Q. Слагаемое с v/c в знаменателе приводит к тому, что угол $, в котором вылетает наибольшее число фотоэлектронов, оказывается меньше тг/2, причем отклонение от тг/2 пропорционально v/c. Этот факт принято называть сдвигом вперед фотоэлектрона - импульс фотоэлектрона не перпендикулярен импульсу фотона, а немного наклонен в направлении импульса фотона.
В заключение сформулируем три закона фотоэффекта Эйнштейна:
1.	Фотоэффект начинается с некоторого значения частоты падающего света.
2.	Число вылетевших электронов пропорционально интенсивности падающего света.
3.	Кинетическая энергия вылетевшего фотоэлектрона определяется частотой падающего света.
12.8	Наведенные электрический и магнитный дипольные моменты
Если длина волны электромагнитного поля велика по сравнению с размерами системы, квантовыми свойствами поля можно пренебречь. В этом случае действие электромагнитного поля на систему сводится к наведению переменных во времени электрического и магнитного дипольных моментов.
Оператор Гамильтона частицы в поле (используется калибровка Лоренца; квадратичными по векторному потенциалу членами пренебрегаем, считая поле слабым):
Н = Но--------(A(r, t) • р) - ---(H(r, t)  а).
тос	2тцс
Пусть
A(r,f) = А(г) coswi,
?£(r,t) = rot A(r,t) = 'H(r) coswf, з
r = Го + i=l
где Го некоторая точка внутри системы. Разложим векторный потенциал А по степеням Xi и отбросим в полученном разложении все члены, начиная с квадратичных:
з
-^fc(^')	Д-г Ajk,
i=l
Ак = Ак (r0),
Aik
д dxi
Г=-Г0
3	3
(A(r) -p) =У^А^ + xiAikPk
i=l	i,k=\
3
' Ai Pi +
J=1
(A-p)
1 3 1 3
2 xi (Aik 3" Pk 3" 2 (Aik Aki) Pk  i,k=l
квадруполь	1CH-IA
Здесь
A = A(r0), H = H(ro\
Отбросим член, соответствующий учету квадрупольного момента, как малый. С той же точностью в слагаемом, содержащем ('Н(г) • <т), можно заменить вектор 'Н(г) на постоянный вектор Н. В таком приближении оператор Гамильтона принимает вид:
Н = Ho + V(x,t),
V(x,t) = | —(А-p) +	(H-(L + 2S)U cosivt.
(moC	2m0c V	/ J
где x есть совокупность пространственных г и спиновой а переменных. Матричные элементы:
'т ®тк j
(А' (т\р\
//Zq С
т L + 2S &)) >coswt,
2т0с
(т|р|А;) = шткто(т\г\к}.
Операторы электрического и магнитного дипольного моментов:
d = er, М = -----------L + 2S) .
2т0с \	)
Матричный элемент оператора возмущения:
(т V(х, t)	(А • dmk) + (Н  Мтк) > coswf.
Используя стандартный формализм нестационарной теории возмущений (см. главу 9), для коэффициентов разложения волновой функции по полной системе собственных функций оператора Но получаем систему уравнений:
£
dt
т V т
(12-1)

Ek(t) = Е * * * ** + ~1 (k\v(x,f о
Ck(t) = Bk(t) exp (~^Ekt j ,
dt',
d .
Bm\t) —
(jfV
Bfc(0) =
Vmk(t) =
Зкпч
ШГпк
'm
h
'm
h
(12-2)
(12.3)
(12-4)
(12.5)
(12.6)
(12-7)
(12.8)
Wmk(t} —
Система уравнений (12.4) для коэффициентов Bk(t) достаточно сложна для решения. В слабом поле ее можно заменить на более простую:
ih^Bm(t) = ^Vmk(t)Bk(t), dt
Vmk(t) =	^exp(wmkt),
Bk(ty = 8kn.
В первом порядке теории возмущений решение имеет вид: t
B„\t) = 1,	<’(f) = Vmn(t')dt‘, (т £ п).
о
Вычисление интеграла дает: , .
(1) = т 1 ---- (А • dmn) + (Н  Мтп) У —-------- {wmncosut - zwsinwf.}
п [ с	) ш^пп —
Волновая функция в первом порядке теории возмущений:
^(a;,f) = ^„(т)ехр Ij + 52 В^ (t) фт(х) exp l-^Emtj .
х	7 rnjtn	х	7
Среднее значение электрического дипольного момента:
d(t) =
= dnn “I-	(1) exp(zwmni)</mn + -В^(tj exp(iunmt)dnm}
mjtn
= dnn + 2 Re	/,) exp(zu’n7fi/,)dnTO.
m/n
есть сумма постоянного дипольного момента начального состояния dnn и зависящего от времени наведенного дипольного момента d'n(t), где
d'n(t) = 2Re вт (О exp(zw„mt)dnm т^п
2
—dnm(dmn.  A) cosut + U'mr—dnm(dmn  A) sinart	(12.9)
mjtn~mn ~ c	c
~b	• "H) cos Lot	itvdnm(7V/"mn • T4) sin ivt.
Как правило, в эксперименте рассматривается большое число систем (газ, раствор), каждая из которых случайным образом ориентирована в пространстве. Поэтому измеряемые величины представляют собой среднее по всевозможным ориентациям систем. Рассмотрим три вектора а, b и с. Пусть вектор с фиксирован, угол между векторами а и b также фиксирован, а жестко связанные между собой вектора а и b направлены произвольным образом. Тогда для вектора
р — а (Ь • с)
Z	\	1
= zRe > ~2------------2
п	f.	— /.jZ
его среднее Р по всем возможным расположениям жестко связанных между собой векторов а и b есть
p = |(ab)c.
Проводя усреднение в выражении (12.9) с помощью формулы (12.10), получим
=	~Г~---. d„„)Acoswt+	 d„„)Asinwt
3ft 1 c
(12.10)
T !^'тп (^nm *	COS ivt IL/J {^dnfn • 7VTrnn)T4 SIH Lijt z .
Учитывая, что
-wA sinwf = 8(t),
0
'Hcoswt = H(tj, wHsinazt = — 'H(i),
можем записать
О)
а
°£(t) + 7«(t) -
2	^mn । , i2
™ReV ЗП m^tn
2c
ЛТ1ГП 7 3h
m^tn
2 о (l^inn ^nm) j — cu2
mn
9 о (Л^тп ’ dnmj . ^mn
Аналогично для наведенного магнитного дипольного момента:
м;м
1 /А
= xH(t) + 7f(t) +
= 1 У	_ IM |2
ofc / ,	2	2 ГП"И» •
Зп шлтп - ШЛ
т^п тп
Как правило, из четырех величин а, к, у и (З/с наибольшей является поляризуемость а. Рассмотрим случай, когда можно учитывать только а. Тогда
L> 
d! = а£,	М1 = 0.
Для среды с концентрацией молекул со дипольный момент единицы объема (вектор поляризации) есть
*Р — c^jd —
где действующее на молекулу поле £а связано с внешним полем £ формулой Лоренца: 4тг
£п. = £ +	(12.11)
О
Тогда
р = — ЧТГСИСд зГ~
и для электрической индукции получаем
Т> — £ + 4дР — е£, _	4тгс0а
£ ~	4касо
3~
(s диэлектрическая постоянная). При малых концентрациях со \	е = п2(ш) = 1 + 4тгсоа(а?),
где п есть показатель преломления света в среде. Выразим поляризуемость через среднюю силу осциллятора fmn:
а(ш) = fmn —
Поведение показателя преломления при изменении частоты света (закон дисперсии) вблизи некоторой линии поглощения с частотой штп показано на рисунке. Кривые дисперсии имеют разный вид в зависимости от знака fmn (или штп).
2
1
mjn
Штп I .	|2
Ш — тп
С2
Jmn
ГГ^ т^п-^
g \J тп 1 2шо
оШтп Зп
Положительная дисперсия
Отрицательная дисперсия
Рассмотрим теперь случай, когда помимо а нужно учитывать еще и (3:
d! = aS -с dt
Для немагнитной среды вектор намагниченности X мал, и нет необходимости различать действующее и внешнее магнитное поле:
,	1 д
V - cod = caaSa - с0-(3~~'Н, с dt
X = cqM1 — CQ-d—S-^M-^ с dt '
Используя опять формулу Лоренца (12.11), найдем для векторов электрической и магнитной индукции:
о
D = S + 4тгР = eS - g—H, ' dt
В = H + 4тгХ = Н + g~S, dt
47ГСоД
g =	(	47Г	V
с I 1 - — соа I
\	О	/
(12.12)
(12.13)
(12.14)
Рассмотрим распространение электромагнитных волн в среде, предполагая, что свободных зарядов и токов нет. Систему уравнений Максвелла
1 d
rotS = ——В, div 7? = О, cdt ’
rot Н =	div В = О
cdt
нужно дополнить ««материальными уравнениями»» (12.12) (12.13).
Введем декартову систему координат и будем искать решение в виде плоской волны, распространяющейся вдоль оси z\
S
Ч>
S [ех cos ср + sey sin ср),
(fc • г) — ajt = kz — wt = k(z — ^t) — k(z — vt). к
Число s определяет вид поляризации волны (s = 0 - плоско-поляризованная, s = ±1 циркулярно поляризованная). Такое решение существует, если выполнены следующие соотношения:
2.чпдш + е = п2 + (дш)2, 2ngw + se = s(n2 + (дш)2),	(12.15)
где
kc с
п =	= - > 1
Ш V
есть показатель преломления. Вектор напряженности магнитного поля при этом имеет вид:
= £ {(—ns + дш)ех sin + (п — 8дш)еу cos tp} .
Если [3 = 0, то д = 0, и соотношения (12.15) выполняются при любом s, то есть в среде могут распространяться волны с любой поляризацией. Если /7 / 0, то д ф 0, и соотношения (12.15) удовлетворяются только при s = ±1. Следовательно, в среде могут распространяться только циркулярно-поляризованные волны. При этом волнам, поляризованным по часовой стрелке (s = +1) и против часовой стрелки (s = — 1), соответствуют разные показатели преломления:
п+ = у/е + дш, п . = у/Ё — дш,
а значит, разные скорости распространения и волновые векторы: с	ш	с	, ш
г> + — —, к+ = —п+:	V.. — —. к — -п_.
п+	с	П_'	с
Рассмотрим две циркулярно-поляризованные волны с одинаковой амплитудой
£+ = £(ea;Cos^>+ £_ = £(eIcos<p_ = <£о ± <Р1,	+ еу sin <р+), — еу sin<p_),
9?о = k[}Z — cut,	gcu2 <Р1 = 	Z, с
, ш ш / / «о =	= - v£, По = у/Е.
с с
Возьмем суперпозицию этих волн
£ = £+ + £ = 2£cos<p0 {e^cosipi + e^sin^i}.
Первый сомножитель здесь это зависящая от координат и времени амплитуда
/ и1 , -	\
2£cos<po = 2£ cos(koz — ш1) — 2£cos ( — \jez — шЗ\ .
V с	/
Второй сомножитель
ех cos + еу sin (рг
2	2
дш	. дш
= е,. cos -----z + ev sin :------z
c v c
представляет собой вектор поляризации, зависящий от координаты z. В каждой плоскости z волна является плоско-поляризованной, однако плоскость поляризации разная для разных значений координаты z. При распространении волны происходит вращение плоскости поляризации света. Величина угла поворота (на единичном расстоянии z) определяется модулем параметра д, а направление поворота определяется знаком д. Плоскость поляризации света могут вращать только среды, молекулы которых не имеют ни центра симметрии, ни плоскости симметрии.
Модуль VI. Квантовая задача многих тел
13 Система квантовых различимых частиц
Волновая функция системы п бесспиновых частиц и плотность вероятности
Оператор Гамильтона в не релятивистском приближении
" Л,2	"	1 ” ,
Я(гъг2,---	—Afc +
fc=l ‘iTTlk	fe=1	j,fc=l
где Vfc(c,t) потенциальная энергия частицы во внешних полях, a Vjk(rj, с) циальная энергия межчастичного взаимодействия.
Приближение парных взаимодействий
Vjfc(rj,rfe) / 0, VjK...(rj,rfe,i7,...) = 0.
Центральные потенциалы
Vjk(rj,rk) = Vjfe(|rj - г^О-
Временное уравнение Шредингера
ih~ф(п,г2,- •• ,rn,t) = Н(гъг2,--- ,Г„Л)Ф(Г1,Г2,--• ,rn,t).
Замкнутые системы
Vk(r,t) = 0, Ук,	Я(г1,г2, •  • ,rn,t) = Я(Г1,г2, • • • ,гп).
Стационарное уравнение Шредингера
Я(гх,г2, , гп)Ф(гх, г2, • • • ,г„) = Е Ф(г1; г2, • •  ,гп).
потен-
Интегралы движения
п	п
р —	= Vfc,
А;=1
п	п
м = ^тк = ^2[rfc,pfe]. к-1	к=1
Двухчастичная система
/z2	/z2
я - -9^Ai-?~a2 + vdc-d), 2 7721	2Шз
Я(г1,г2)Ф(п,г2) = ЕФ(г1,г2).
Замена переменных
{Г1,г2} -> {В.,г},
тггх + т2г2 mi + т2
Г = Г1 - г2,
n2	h2
H =	-----Дг + ш
2M	2/z	"
mrm2
M = mi + m2, p =----------------,
mi + m2
л	t?	П2
H = Hi + H2, Hi = --- ДЯ) H2 = -- Дг + V(r). &1V1
Разделение переменных
Ф(г1,г2) = Ф'(К-Г) = ^(R)V’(r),
Н1Ф(К) = El <^(R),
P2
Ж) = El = A-, и 1V1
Н2'ф(г) = Е2г[>(г),
^(r) = ~Pnt(r')Ytm(-d,cp'),
2p \dr2
Pni(r) + V(r)Pni(r) = EnePne(r), E2 =
Ent-
Спектр двухчастичной системы
p2
E — Ei + E2 — —— + Ent.
Enl	P2/2M	E

0
E2p
E2s
0
E2p
E2s
1. Атом водорода.
mi т2
/1 = -------- = Ш1
mi + т2
1
ГГИ ’ пи
— - 2 х 1(Г3 гп2
2. Двухатомная молекула.
14 Система тождественных частиц.
14.1	Неразличимость тождественных квантовых частиц
Тождественными называются частицы, каждая характеристика которых у всех частиц совершенно одинакова. Квантовые тождественные частицы являются принципиально неразличимыми.
классические частицы
I । । । ।
I । ।
I I
। I । । । ।
।
квантовые частицы
Рисунок 1. Неразличимость тождественных квантовых частиц.
14.2	Симметрия волновой функции системы тождественных частиц
Волновая функция системы из п тождественных частиц совокупность переменных, характеризующих к-ую частицу)
Ф = яг2, • • •
Оператор перестановки переменных двух частиц


;	-Бк + 1 j ’ ’ ’ ;	1, •I'ti ^t+11	’ j ^п) —
Ф(Ж1,	,	—1, Xi, a7fc-|-i, ' ‘	Xg-^i, , Xn).
Pkt = P.k,
= PktPkl = I,
/ \ +
= Pkt
Оператор L любой физической величины L системы тождественных частиц коммутирует с оператором Рке
PktL^Xi, ‘ ‘ ‘ , Жп)	j •t'n)Pkt-
Две функции Ф(х’1, •  • , хп) и Ф1(а?1, • • • , хп) = Д^Ф(Ж1, •  • , хп) описывают одно и тоже состояние:
|Ф1|2=|Ф|2	,хп) = е^/(а:1’-’а:п)Ф(ж1,--- ,хп), аы(хъ- ,хп) ER,
(Ф1|ЦФ1> = (Ф|Ь|Ф) =^> «н(и,- ,хп) = аы.
Таким образом
РмЩхъ--- ,хп) = Sfc^(a:i,--- ,жп),
Su = Stk = е^,
- \2	_	2
Pkt I	J ^n)	7 ^n)	(^) ^(*^1? J ^n)?
(Sktf = 1,
Skt - ±1.
Из свойств перестановок следует:
p p — p p
2 Ik1 IJ 1 JI1 jk
PkjPki 
Отсюда
^ik ^ij ^ij Sjk, ^ij ^jk ^jk ^ikj ^ik ^ij ^jk ^ik>
И
‘S’y — ‘S’ifc — ^jk->
Таким образом, волновая функция либо полностью симметрична, либо полностью антисимметрична.
Симметричность оператора Гамильтона влечет сохранение симметрии волновой функции во времени.
14.3	Пятое положение квантовой механики. (Принцип Паули)
Волновая функция системы тождественных частиц с целым спином полностью симметрична. Волновая функция системы тождественных частиц с полуцелым спином полностью антисимметрична. Это есть принцип Паули в точной формулировке.
14.4	Система невзаимодействующих тождественных частиц
Перестановка общего вида
1 2 3 ^2

ее четность e(i/). Оператор перестановки переменных Pv\
Pv^{xl,x2,  • • ,xn) = Ф^,,^,--- ,xVn)
Рассмотрим стационарные состояния системы п невзаимодействующих тождественных частиц
  ,z„) Ф(^1,-   ,а:„) = Е*(гь-  ,г„).
(14.1)
71.
fc=l
Пусть известно, что
Нфх^х) = e^Jt(x), (Фф'Фт) = Sim.
Тогда E = epi + 6P2 + • • • + 6Pn и для целого спина
i'
а для полуцелого спина
/'
(14.2)
где определитель называется определителем Слейтера. Он обращается в ноль, если у него совпадают любые две строки.
Система невзаимодействующих частиц с полуцелым спином не может находиться в таком состоянии, в котором какие-нибудь две частицы находятся в одном и том же одночастичном состоянии. Это утверждение есть принцип Паули в виде принципа исключения.	’
14.5 Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна
1. Тождественные частицы с полуцелым спином фермионы.
Из гп одночастичных волновых функций (m > п) можно построить
= спт
т\
тд.(т — п)!
разных антисимметричных n-частичных функций. Для газа слабо взаимодействующих фермионов среднее число частиц в одночастичном состоянии j с энергией Cj определяется формулой Ферми-Дирака
=
1
Э ~ Т
е	+ 1
2. Тождественные частицы с целым спином бозоны.
Из т одночастичных волновых функций (гп > п) можно построить
Wc
(п + т — 1)! n! (ш — 1)!
разных симметричных n-частичных функций. Для газа слабо взаимодействующих бозонов среднее число частиц задается формулой Бозе-Эйнштейна:
1
пз =
9 “ М
е kT — 1
15 Теория многоэлектронных систем
15.1 Многоэлектронные системы, пространственные и спиновые переменные
Многоэлектронная волновая функция:
Ф(Ж1, • • • ,Xj, • • • ,Хп) =	• • • ,1^,(7,, • • • ,Г„,(7„)
где Xi есть совокупность радиус-вектора i\ и дискретной спиновой переменной принимающей два значения +1 и —1.
Скалярное произведение двух функций Ф1 и Ф2:
(Ф1|Ф2) = у* Ф* (ri, <71, • • • ,ГП,<ТП)Ф2(Г1,<Т1,---,rn,an) dri.. ,drndai.. .dan-
Оператор компоненты спина j-ой частицы	тп = x,y,z
7 ^"1 j j Xj(Tj,  • • , Гп?	Ф(Г1, (7\,	, Tj, CTj ?	, Tn? O"n) ?
(^*1?	‘ ’ 5	- ^3 (^*1J	&7b) ,
(fi ?	, Tj, (Tj , • • • , Гп? <Tn)	CTj Ф (Г1, O\,	, Tj j (Tj, •  • , Гп? <?n) 
15.2 Спин многоэлектронной системы и симметрия волновой функции
Оператор полного спина системы
sm =	m — x,y,z.
i=x
Оператор квадрата полного спина системы (формула Дирака):
\2	/Л\2	/-\2	/	772	1 ___<	,
S2 = (s.) + (s„) + (s/) = n - - + -£
\	j,k=l /
Если оператор Гамильтона системы не зависит от спиновых переменных, то он коммутирует с операторами S2 и Sz. Уравнение для стационарных состояний:
Я(Г1,г2, • • • ,гп)Ф(ж1,ж2, •   ,хп) = ЕФ(ж1,ж2,  •  ,хп).
но фактически:
Я(гъг2,---,г„)Ф(Г1,г2,---,г„) = ЕФ(гъг2,--- ,г„),
(15-1)
Однако энергия системы Е зависит от величины полного спина. Поэтому для разных значений полного спина системы надо искать решения уравнения (15.1), обладающие разной симметрией, относительно перестановок пространственных переменных.
Для того, чтобы пространственная часть Ф волновой функции Ф соответствовала состоянию многоэлектронной системы с полным спином S, она должна удовлетворять трем
условиям В.А.Фока. Пусть полный спин системы есть h2S(S + 1). Введем целое число к = n/2 — S, тогда
1)	Р^Ф	=	—Ф;	j,l	<	к,
2)	Р^Ф	=	—Ф;	j,l	>	к,
з)	£ ^г)ф = Ф-
j=fc+i
15.3 Двухэлектронная система
Операторы Н и S2 коммутируют и имеют общую систему собственных функций:
Я(Г1,Г2)Ф(Г1,<71,Г2,<72) = ДФ(Г1,<71,Г2,<72),
(cti , ст2) Ф(1*1, cti , г2, ст2) = h2S(S + 1) ф(г1,сг1,г2,сг2).
Разделение переменных:
Ф(Г1,<Т1,Г2,(Т2) = Ф(г1,г2)х(о-1Щ2)-	(15-2)
Ортонормированный базис одноэлектронных спиновых функций «(ст) и /3(ст):
«(+1) = 1,	Д(+1) = О,
«(-1) = О,	Д(-1) = 1.
В этом базисе собственная функция х оператора S2 имеет вид
s = о =>	(«(cti)/?(ct2) - Д(с71)а(ст2)) ,
' Х-l ((Т1,(г2)= /3(сгг)^(сг2),
Ms = -1
S ~ 1 ==> * Хо1)((Т1>(Т2)= ~^= ^а(ст1)/3(ст2) + /3(ст1)а!(ст2)^ ,МЙ =0
k X+i (<7i, &2)= «(<Ti)o:(cT2),	Ms = +1.
Полная волновая функция должна быть антисимметрична относительно одновременной перестановки пространственных и спиновых переменных:
5 = 0=^ Ф(0)(г2,п) = Ф^Г!,^).
5=1=^ Ф(1)(г2,Г!) = -Ф(Ч(гъг2).
15.4 Редуцированные матрицы плотности
Оператор одноэлектронной величины Л].:
п
-41	‘ 1 ^’п)	Д1 (j'j) 
J=1
Оператор двухэлектронной величиной А2:
З'£к
Среднее значение одноэлектронной величины:
п „
•41 =	, хп) й1(х->)Ф(ж1, • • • , ж„) dxr dxn
j=1
п / Ф*(х-1, • • • , хп) «1(Ж1)Ф(Ж1, • • • , хп) dxi  • • dxn
= п
•Ei >'  * 1 ж„)Ф (^i; ’ ‘ * ? •Еп) dx2 *  * dxn
dxy. я/j I
Введем редуцированную матрицу плотности первого порядка:
р(х\х') — п / Ф(ж,ж2,--- , хп)У* (х', х2,  •  ,xn)dx2 • • • dxn
Тогда
Ai =	1Ых)р(х\х')]х,=х dx.
(15.3)
(15.4)
Среднее значение двухэлектронной величины:
А2
у*
, dxidx2,
х t =Х 1
Xq—х%
(15.5)
где
p(xi,x2\x,1,x,2) = n(n-l) J Ф(л-1,ж2,ж3, •  • ,хпу&*(Х1,х'2,х3,- •  ,xn)dxs • •  dxn (15.6)
называется редуцированной матрицей плотности второго порядка. р(х\х) имеет смысл плотности числа электронов в точке г со спином ст. J р(г, ст|г, a)da есть плотность числа электронов в точке г независимо от направления спина. p(xi, x2 | Х1,ж2) имеет смысл удвоенной плотности числа пар электронов, один из которых находится в точке ri со спином ст], а другой в точке г2 со спином ст2.
15.5 Базис детерминантных функций
Пусть имеется полный набор одноэлектронных функций i/?p(x) порожденный задачей на собственные функции и собственные числа некоторого самосопряженного оператора F:
F(x)i/ip(x) = ер ч/>р(х), р = 1, 2, • • • ;
$pq-
Одноэлектронные функции ,фр(х'), зависящие от координат и спина, принято называть спин-орбиталями, а одноэлектронные функции <£(г), зависящие только от координат принято называть орбиталями.
Построим
Dp(xr,x2,
1
•••
^р2(^п)
V'pn^'l) ^Pn(X2) ••• ФрМ
р = {pi,P2,- -,Рп}- (15.7)
Функции Dp будут линейно независимыми, если индексы Р упорядочить, например, по возрастанию pi < р2 < • • • < Рп и образуют полный ортонормированный базис:
^(^1; ’ * ‘ J ^'п)	бур Dp , J ^*п) 
Р
Переход к матричной задаче (бесконечномерной):
^{Dq\H\Dp)Cp = ECq р
Естественный способ обрезания бесконечного ряда для волновой функции состоит в том, чтобы использовать конечное число т одноэлектронных базисных функций. Однако число детерминантных функций М = слишком быстро растет с увеличением т. Выход состоит в том. чтобы специальным образом подбирать одноэлектронные базисные функции метод Хартри-Фока.
15.6 Однодетерминантный метод Хартри-Фока
Оператор Гамильтона:
п	1	2
Я =	gfa, г k), h(r) = A + V(r), p(ti,r2) = - —~
.	^THo	rl — r2
J=1	J,fc=l
Однодетерминантное приближение:
^2(^1) i/)2(x2)  i/b(xn)	(
1
'nJ
Ф(Ж1,Л-2, ••,£„) =
Одноэлектронные ортонормированные функции ^(т) ищутся из условия минимума полной энергии системы:
dx + |
J X — X	A
X’l, X'2|x‘i, Xzjdx-jdXz.
Редуцированная матрица плотности первого порядка на функции (15.8):
п р(ф') =
к=1
Редуцированной матрицы плотности второго порядка на однодетерминантной волновой функции:
п
р(Ж1,Ж2^1,^2) =	~ ^(Ж1)^(Д2МЛЖ2М(£1)} 
j,fc=l
Таким образом
-—А + V(r) ^’k(x)dx +
2шо	)
Н#1)121^Ы12 , ,
----:-----;---(1X1 (1X 2
|гХ — г2|
---------:------1-------dx х dx2 |ri - Г2|
Кулоновский интеграл:
s	= Г n^^dridr2.
J |Г1-Г2|	J |ri—r2|
(15.9)
Второе слагаемое в в фигурных — обменными интеграл, классического аналога не имеет.
Варьирование энергии с учетом дополнительных условий ортогональности и нормировки одноэлектронных функций при помощи множителей Лагранжа дает:
Здесь
—д + у(г) + j(r) 2шо
к — 1,2, •   , п.
2
./(г) = е’Е/
J=1J
dr'da
есть кулоновский потенциал. Оператор К(х)
K(r,a)f(r,cr) = е 2_^^(г,сг) J
принято условно называть обменным потенциалом. Оператор
/52
= ~9^гд + у(г) + JW -aTiIq
называют оператором Фока.
Величины Xjk образуют эрмитовскую матрицу множителей Лагранжа. В рассматриваемом однодетерминантном случае можно выбрать
\jk — ^k $jk-
Тогда получается система уравнений Хартри-Фока:
/	» V	*******'	\
--—А + V(r) + J(r) - К(х) I tpk(x) = ek^k[x), k = l,2,---,n.	(15.10)
у ZTTZq	J
Она имеет вид задачи на собственные значения оператора Фока. Поэтому одноэлектронные функции для разных ек автоматически оказываются ортогональными. Собственные числа 6^ представляют собой сумму кинетической энергии fc-ro электрона, его энергии во внешнем поле и энергии взаимодействия со всеми остальными электронами. Отсюда видно, что 6^ есть приближенное значение потенциала ионизации fc-ro электрона, взятого с обратным знаком. Это утверждение известно как теорема Купманса.
Система уравнений Хартри-Фока (15.10) нелинейна. Для решения таких уравнений используется метод последовательных приближений. Пусть нам известно некоторое приближение к одноэлектронным функциям ^p\x) для k = 1, • •  ,п. С помощью этих функций можно вычислить оператор Фока F^(x). Собственные функции этого оператора
F^(x)^p+1\x) = €^+1}^р+1\х)
можно взять в качестве следующего приближения к одноэлектронным функциям и повторить вычисления до сходимости. Уравнения Хартри-Фока часто называют уравнениями самосогласованного поля с обменом, т.к. функции, с которыми вычислен потенциал, совпадают с функциями, описывающими движение частицы в этом потенциале.
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ
Стр.	Строка	Напечатано	Должно быть
10 23 33 42 44 113	3-я формула сверху Формула (2.15) 5-я формула снизу 1-я формула снизу 1-я формула снизу Формула (10.3)	Дж	Й f f(x)S(x)dx = 1 1» ОН» 01 = 1» 01 f ^S(x, t, to)) S(x, t, to) dx t)*L(x)i/)(x, t) dx U^r'-ipfr'^dr'	A# &px > h Ж2 f 6(x)dx = 1 Ж1 \j} 01» 01* = 0) 01 J (s(z, t, toyip(x, t0)) S(x, t, to)^®, C) dx f ip*E(x, t)L(x\i/jE(x,t) dx U(r,')'ip(rl)dr'
Научная библиотека СПбГУ
1000043816