Составителя: Сайкова Л.А., Севастьянов Е.А., Суворченкова Г.А.

Методические указания и задания для самостоятельной работы
по иуроу "Высшая математика": Введение в анализ. - М.: МИИГАиК,
1990, с. 23.

Методические указания написаны в соответствии с утвержден-
ной программой курса "Высшая математика", рекомендованы кафедрой
шсяей математики, утверядвны к изданию родакшинно-издательской
комиссией геодезического факультета.

Методические указания содержат‘индивидуальные расчетные за-
дания в 30 вариантах и примеры решения типовых задач, что позво-
ляет студентам самостоятельно работать над практическим материа-
лом курса.

Бвблиогр. - 2 назв.

Рецензента; ст.пред. А.0.Тимохина, Мтш
к.ф.-м.н. З.Г. Маркарян

Московский институт инженеров геодезии,
аэрофотосъемки и картографии, 1990
Расчетные задания

3 каждом из праведенных нике вариантов выполнять елелуипае:

I)	в пункте а), исходя из определения предела последовательнооти
доказать указанное равенство х — <%	* определив'

для произвольного числа	число К (6), такое, что

| )С^—а,1 < 8. при всех «-*• К(€) ;

2)	в пункте б), пользуясь теоремами о пределах, найти предел
последовательности Хк ;

3)	в пункте в), исходя из определения предела функции на языка
неравенств, доказать указанное равенство 4ст, / <х) =

4)	в пунктах г), д), а), и) найти указанные пределы функций;

5)	в пункте з) найти точки разрыва функции у. — у (к) , уста-
новить их род, найти скачки в точках разрыва 1~го рода, доопре-
делить функцию но непрерывности а точках устранимого разрыва.

(Ъ~А )

б) х'
г>

2 + О,Ъп

)	- - :-^с=-п-
я)	о&йЛ’Х——*.

. /+ х

в) 'и’лг (

- 5 -

з)

3. а)

и- г**{

9 2.^3*-2

б)

: Р) 4ж

х->4 3-//+7*

№**Х

х-*с &п-х 

в)-^№ Х^хг+/ 4-хХ'Л г) &*п. (сат} />е
X —*• —»	л> ~^О

х) &т,

X—'С?

&г е&$ х

Л^-=4-

х-*“-л 2.Х-+3

3-л

э) ^^хс^2х

д> Дтж

X—/	54Л Зтх

г) -Ллг (/х2^-^ - х)
х-*+*>

ж)

х-мо х-/С>

в) ^пг. -Х.~-~.--:. 7

X-*-/ Зх + 1	7



7. а) 4^	= 3

н-*о„ 2п*-3	2.

/, сыЗх3-/	.	. ,

в) 'Сс.т. ±=. /'

к—/

г) •Сип, (	-х);

V —+•»
е) -Д/п,

8. а)	Д №  Л -*•*«>	'3-^7 =0	; б)	—	3/—, ул- +л-
					л	;
в)	>Д/П. х-* V	/ 		Д'/тг.	
		X-2--/	; г)		
				х-* 16	/х~
л)	-Д>л. х->о	/сх>5х  5ШХХ	; е)	&т.	б-^)
				+<□₽	ч х-й /	;
ж)	Дот.  X —•-»	(СС> х  X	 - —1	; э)	= *&*.( хг)	

- 7 ~

10 а) &т ,лА>/

л3 : б)^=/^Г-^

д) &т: 7/ -5х '

ч /. &ЙГУ

ж) 4с -2------

л-*-2	*+%.

!2. а) -—-р ~^о

Л- '~^г о«

о&ах
д) Д>ж хг^

а)


х-*-^

X - Зх
к-Юль-Зя

3) т Х-^ё-/1 (-^)

в) Жт. ——хг — / ; г)	~(4>х 1;

Х-^О	/	/

х->^	* -*^га^
В) -Д'/П 	2	*

х

г)4гМ7^*Д^--М :
X-** *>*

- ^ЙЛ*Х+АЛК-/	„	, .	&*

Уй&гп^.---------—. е)	(ъйс<У

2. $йь X ~3ййм+/	X -* —

6	2

&Л 3* яях

ж) Д---------. 3)	-----

*-с>	&ъ[х+/1

х" а)А~ ~^=0 ; б) хЛ = 75^7г’

а)	/	.

*~О ЯГ* ~ '*

&т, ---^112^1. . . л, Г>/уг

хХ^г^г_еЖг	„Л-

ь'Лгх ’ 3) У = е ,х/

2 П 4- 4	*ь

20. а) -^Улг	-/ * б) Хк х (4н- Ю )	;

в) -Л'/72- /з+х ^2. •
х-*/

/. & * - 3/^х

д) 4л^	;

Х**Т

, а.

1} <спг. ।	" И1М1Е 	*

м^>	(х^е2^)

X-*—4М>

е) Х2/тг-	.

Х-*«ю	7

X _

з) у- 3 *-х*
л) -4/П. {---------------------- — х) ;

у, 4/г
ж) -йс/ч, —--------~-----------'

154Н.Х

Г>ЛОТ /^/?^=-

Х-^О Ч^х-5Х/

24. а) Л!ль.

Л-*ао

б)

в) &.ГП.

г) &.ПМ
х-»с>

(I -х)	< . Л&.П. (-кд^1^

4

ж) Жт- -^2^---- . з) У _ __(_

А"*алеллп.	2

г?, а) Дт. ~-—=/ , в) <п=

/йГ + У	2. ^^

д)
*-*з « ь 2.

. $,	^1. басу

ж) й/М, ---------

*-*> Л е&>2*

25. а) 1/ч-^г' = /
Л*ое ’

; е)

в) &ГП.	.

К-*-2	3

я) -Сьп.  ^-1) .

х -*^ / — 2 сох х

З/г^ч- Сп. — /
/ -^5л

_, I. Х + ^

В/ <СПЬ ——- - "с

х*2 2-Х

*> Л-т. К-2™*

х-*^-	ЗГ-4<

Ж) /»> а^л

ж- а>/‘^ /77^=2

I г) &т~
*-*--5

; е) 1гт.
х—О

/^-Х ' - /
3 -/"Ьх'

±. ’^-

/. ал&& х3-	3 *	2

Ж) -4/72,------2-----------:э) и~ ----------±-_

х-*о	Зх--4г.(<-х)	3*^ —2^

& •> 4т. 3/77^=/ ; б) х.= ^1- -. У-З .
4*	____ У ' '	' Л-	Э	>

•= 	/г<-

; Г) З^Е±^

X—*У 7 ~(~ X	'

л Мм.

х —-2-й6?.х-с^х

а) -&7Х. х (^^+х)~^х);
3)

** *

~ л - 2 ; <*)

Х*Мч /
--х---~ 00 ; г}

/77хг -3/*

п)

я)

2с^г>^ Одлх-^	у	/7-+Х""

~	1 ’ в)-^/Л Т7~	/„X

-.2

: з) =-_ 2



п

-~0 ;

б) *„ =

В) ’/б + х ’^г ; г) ^спъ /х^ё*	.

* ** -*	3/хг+ /'+/х^/

4 / ^	//?-Х5<«Х-^хих	>^.^Х

Д) --------------------. е) ;
Решение типовых задач

Пример а). Исходя из определения предала последо,фатальности,
доказать равенство

Д. ЗУ-/ 3

<4^ т—а—- -- —- '
и-->вст б>/г /б’	$

Решение. Надо доказать, что какое бы >С* мн ни взяли,
для него найдется число К., такое, что для всех «- =» К имеет
место неравенство

ЗУ-/ _ 3 I с’,

ЗдМ *

Эозъмем любое Е > О . Так как

ЗУ-/ З/	= <4	?

5'У-У	631-+3	| 57УлЗ

то для отыскания К. достаточно решить неравенство

/4 Г	2 У -

? <--> 5п У > „	/г.

5У -+3

К-36
3? ~ '

Так как п. &/У , последнее неравенство равносильно

р < ^/3 неравенству /г. >.

любое число, удовлетворяющее условию >.

при
возьмем

при

О < <- ^/з

, а при Е > можно положить

/ 3 /г	।

Тогда для всах > К имеем -----— “ / <

[Ул^З З' I е

что и означает, что ^.т	^3. — Д_ .

б'/гУЗ

Пример б).	= - ---'-_ЗУ.... „ Найти 'Сёгп .

2.УСЧ-3
а	3

Решение. При -*•

Л	" ^-тр)"

/ ОО ,	_

Ли
Значит, при нахождении предела мн встретились с неопределен-
ностью вида () и не можем воспользоваться теоремой
о пределе рол.чостн. Для вычисления предела - "раскрытии неопре-
деленности’’ - преобразуем выражение для ас„, , приведя его к
общему знаменателю:

_ Зл.3-2«.* 	_3-ЯГ

Применяя теперь теоремы о пределе частного, произведения я сум-
мы, найдем:

•_ 3 .
т^т. ^м.	?

< —сад

Псимер э). Исходя из определения предала функции на языке нера-
венств, доказать равенство	Х2^ 4.

х—-г

&ШЭ2Д2*. Надо доказать, что для любого существует такое
5	, что из неравенства О — (-2)1 < У следует,

что । с . Зададим с >С . Имеем 1хг~41 ~
Чх-у-2| • 1к-2!	- Так как на всей числовой пряной мно-

житель }х- 2 I не ограничен, то оценку произведения сделать про-
ще, если выделить некоторую, например, 1-окрестность точки
а , то есть интервал (-3, -I). Для всех к е (-3,-1)
имеем |х-21	5* . следовательно, |хг‘— 4| < сП *+21

Тогда, чтобы выполяелось неравенство | хг— Ч I < 8 • достаточ-
но, чтобы 51 х+21 < &	, то есть ) х+21 < & ^З'с-Х

Тад как У-окрестность точки 0-—-2  (~2 — ^> — 2-!-о)
не должна выходить за пределы 1-окрестности, то берем
5> т!п. (/, ё/У) , и из предыдущих оценок видно, что » не-
равенства О<г	<5"следует неравенство

Таким образом,

Примйр г). Найти предел

*&-т. (	-*	*

К во

Решение. Рассмотрим отдельно случая х—и ст—--о,, ,
Тан как	2^^^.

X— Ч-ло
то	( /х	+ X )	.

При х •*-«= имеет место неопределенность вида (°° - <=*<> ).
Умножив и разделив рассматриваемое выражение за сопряженное,

получим

^х^-гГ

Л<+7х^' -X

следовательно, -4.^2, (УГ’+^х^’-ах
X—-о=

Так как (/Р7<х7^^х)	(7г7ух7Г+ х

то Лёгк. (/х*+^'ж	не Существует,

л	+ /

Поимеп д). Найти 'Ссгп. —-------------- (яэопредамн-

0	* — / Х^Х-Г

гость типа &	).

Решение. 3 проколотой окрестности точки х--/

функции

Д-И) 6 -х */; я хг-х-^/

тождественно равны, значит, имеют при х-*~ / одни и тот же
предал. Предел	~Х—~ х	вычисляется о использова

Х~-/

таем утверждения о иъепелэ частного и непрерывности многочлена
^ГТ^чг,

Л. х7/	_у. ХЛ-Х-^ /	~Х^

Хнг_/ х2-4к-^	х-5"	(х-5)	& '

х^-1
- 1Ь -

Примеря1). Найти предел

(неопределенность

типа д ,

Решение» Совершая тождественные преобразования я пользуясь
непрерывностью тригонометрических функций, имеем

&>3 (*+%)	Х-*-^	'	- х)

-6 -к^	.=

5хЛ<^-Х)	Х->1

= €-(-4) = -24.

Пример е). Найти предел

х — О

<^«3
(неопределенность типа I )

Решение, В силу основного логарифмического тождества и непре-
рывности показательной функций имеем

(соу х; тг.&тп- е * а *-*о
х—о	= е

«05 X

Теперь надо раскрыть неопределенность типа » . Так как

/	V-)

7	при Г-* & , ТО

А	х^О)

^х~хх? х~о>
откуда

х-*о

&.т-
и~>о

, х	-/х

(СО$Х) * ё



Наряду с таблицей эквивалентных бесконечно малых полезно по-
пользовать следующую таблицу:

Эквивалентность при х —* 0	Равенство при х —* 0
Зен. X ~ К  Xх- / - С05Х ~ 5"  К-*  ~ X алс^пх ~х	Зен. х =- х -»- х)  •г3-	Л. 1  ео5 х —	- +01* )  X*  X X н- О (X)
х ~ х  е*-/ х  ах.-/ ~ хА-ас  6/-+-к) ~ X  &$а-	К}	Л-  ~ г» X	а й, II * х Н Н + н *	+ 4 *  1	ч	н  V	4	а	0  О  -ч	О	X

Пример Ж)* Найти предал

//Тх'ллХ ‘

и.™. —~	~~

*-*& е —	*•

Решение. Пользуясь соотношениями
8/лЧ~/-, <2*=	,

Л*
имеем

— 003 X

X X 54п х

х	/ +• X \ о(*) - (<- & +„«*))

3. кх Та/ “ ~2~ "Т--------- ------ . 2--^-.

2, * >оГх ) -с х^о З._^о^ ~"2 3 3

Замечание. Одна из самих распространенных ошибок при вычислении
предела некоторого-выражения заключается в замене функции, не
являющейся множителем всего этого выражения, на эквивалентную
функцию (чаше всего такая ошибочная замена делается в отдель-
ном слагаемом алгебраической суммы).

ДРМЗД,

(неопределен-
ность типа й ),

О

Если яе в разности (Vх ~ ^«-х) заменять функцию
при < О эквивалентной функцией х и функцию ^сл. У
эквивалентной функцией X. . то получим

Д х~ х

—~Г"

X3

Х-*О
что не совпадает с полученным ранее верным результатом. В этом
примере видно, что соотношение 3/х) = о (*) при Х-»б»
означает только то, что	« поэтому

Х-<9 X

ИЗ соотношений 56К X = х-е б><х)^	( х-~о)

следует только то, что -бу >/ - $г«.№ об*) (*—€>), ’

х— Зш-х „

то есть -ит, -«------------— О	, но для сравне-

*~*<Э х

ния функции б^х —	с функцией х3 требуется бо-

лее глубокий анализ.

Пример, з). Найти точки' разрыва функции
5о?г |х/ зг^7
= х * -777”	’

исследовать их характер.

Решение. Функция	/

54Л 1х|

%(*} ~ 7 7х- Т) Т*^г\ &

определена, а следовательно, и непрерывна (как элементарная
функция э естественной области своего определения) во всех
точках, кроме точек Х= — 57 ,	*~о и х - Т

В точке х - - 57 имеем

у, йл IX/ »	в зг.м.'Ь .

Х(ЛП,---------;— = 'и^н.----------—-—— 1ё ПС.	— 1 ,

К-*-У/	Х+5)	±-^О
- 22 -

откуда следует, что существует предел

?(*)

&г

- точка устранимого разрыва.
, получим функцию у (у) ,

непрерывную в точке V ЗГ .	(

В точке *=б> имеем	— 7

X 7 1

/.	л *	У7*'*	_

им	-^гч ____________ ё.

И—С X '> х^о	“ б-у11) У

откуда следует, что	с 7

Таты образом, точка ч(-=^О	- точка разрыва I рода

со скачком, равнш

2
ггг.

Перехода к точке к - & » шееы

откуда

Таким образом, Х-ТГ

- точка разрыва П рода.
ЛИТЕРАТУРА

I.	Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.-
М., 1985. - Т.1.

2.	Виноградова И.А., Одеяния С.Н., Садовничий В.А. Задачи и
упражнения по математическому анализу. - М., 1988.

СОДЕРЖАНИЕ

Расчетные задания...........................................

Решение типовых задач.......................................

Литература...............................................  л"

г: ю

Составители: Людмила Александровна Сайков»
Евгений Александрович Севастьянов
Галича Акимовна Суворченкова

Методические указания и задания для самостоятельной работы
по курсу

"Выслав математика"

Введение в анализ

Редактор 0.А.Шувалова

Подл.к печ. 17.12.90 Формат 60x90 Бумага иллюстр. Печ. ж.1,4

Уч.-изд.л. 1,4	Тираж 500 зка. Заказ >492 Бесплатно

МИИГАиК

103064 Москва К-64 Гороховский пер., 4