Text
                    

УДК 373.5:514 ББК 22.151я721 В49 В49 Виноградова, Татьяна Михайловна. Геометрия. 7—11 классы / Т. М. Виноградова. — Москва : Эксмо, 2019. — 112 с. — (В помощь старшекласснику. Алгоритмы решения задач). ISBN 978-5-04-093534-5 В пособии представлены алгоритмы решения типовых задач и примеров по геометрии, изучаемых в 7—11-х классах. Перед каждым алгоритмом помещен краткий теоретический блок по теме с необходимыми правилами и формулами. После алгоритма приведен пример решения задачи или примера, а также задания для самостоятельного решения. Пособие адресовано учащимся 7—11-х классов, учителям и родителям, помогающим ребенку в выполнении домашних заданий. УДК 373.5:514 ББК 22.151я721 ISBN 978-5-04-093534-5 © Виноградова Т.М., 2019 © Оформление. ООО «Издательство «Эксмо», 2019
СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР������5 Точка и прямая. Отрезок. Измерение отрезков ��������������������������������������������������� 5 Полуплоскости. Полупрямая. Угол. Откладывание отрезков и углов�������12 Треугольник. Существование треугольника, равного данному�������������������18 Параллельные прямые. Смежные и вертикальные углы. Свойство смежных и вертикальных углов�������������������������������������������������������������19 Виды треугольников. Высота, биссектриса и медиана треугольника�������24 Сумма углов треугольника�������������������������������������������������������������������������������������������30 Внешний угол треугольника ���������������������������������������������������������������������������������������31 Признаки и свойства параллельности прямых���������������������������������������������������34 Окружность, вписанная в треугольник и описанная около треугольника���������������������������������������������������������������������������������������������������������36 Четырехугольники�����������������������������������������������������������������������������������������������������������41 ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ������������������� 45 Прямоугольный треугольник �������������������������������������������������������������������������������������45 Теорема Пифагора�����������������������������������������������������������������������������������������������������������45 ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ��������������������������������������������������������������������������������������������������� 48 Декартова система координат на плоскости�������������������������������������������������������48 Декартова система координат в пространстве���������������������������������������������������50 УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ ��������������������������������������������������������� 51 Уравнение прямой�����������������������������������������������������������������������������������������������������������51 Уравнение окружности на плоскости���������������������������������������������������������������������51 Взаимное расположение прямых по их уравнениям���������������������������������������53 ВЕКТОРЫ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 55 Векторы на плоскости�����������������������������������������������������������������������������������������������������55 ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ��������������������������������������������������������������������������������� 58 Признаки подобия треугольников���������������������������������������������������������������������������58 Свойства подобных треугольников�������������������������������������������������������������������������58 Свойства преобразования подобия�������������������������������������������������������������������������59 ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ��������������������������������������������������������������� 62 Плоский угол�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������62 Дополнительный угол�����������������������������������������������������������������������������������������������������62 Центральный угол �����������������������������������������������������������������������������������������������������������62 Дуга окружности���������������������������������������������������������������������������������������������������������������64 РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ��������������������������������������������������������������������������������� 65 Теорема косинусов�����������������������������������������������������������������������������������������������������������65 Теорема синусов���������������������������������������������������������������������������������������������������������������66 3
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ����������������������������������������������������������������������� 69 Площадь треугольника �������������������������������������������������������������������������������������������������69 Площади четырехугольников�������������������������������������������������������������������������������������71 ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ ����������� 74 Призма�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������74 Параллелепипед���������������������������������������������������������������������������������������������������������������75 Пирамида�����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������77 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ��������������������������������������������������������������������������������������������������������� 80 Цилиндр �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������80 Конус���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������81 Шар. Сфера �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������82 ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ «ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО»��������������������� 85 СПИСОК АЛГОРИТМОВ ������������������������������������������������������������������������������������������� 91 ПРИЛОЖЕНИЯ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 95 4
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР ТОЧКА И ПРЯМАЯ. ОТРЕЗОК. ИЗМЕРЕНИЕ ОТРЕЗКОВ Основные геометрические фигуры на плоскости — это точка и прямая. Точка A Прямая a, или прямая AB, или прямая BA a A A B Аксиома — утверждение, которое принимается без доказа­ тель­ства. Аксиома I. Основные свойства принадлежности точек и прямых на плоскости Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадле­ жащие этой прямой, и точки, которые ей не принадлежат. Через любые две точки можно провести прямую и только одну. Отрезок — часть прямой, состоящая из всех точек этой пря­ мой, лежащих между двумя ее данными точками — концами отрезка. Отрезок MN, или отрезок NM M N C ∈ AB (точка C принадлежит отрезку AB), или точка C лежит между точками A и B A C B Аксиома II. Основные свойства расположения точек на прямой Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими. 5
Аксиома III. Основные свойства измерения отрезков Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой своей точкой. A 1 C AB = AC + BC B Нахождение длины отрезка, если известны длины его частей АЛГОРИТМ  Найти длину отрезка, сложив длины его частей (соглас­ но аксиоме III).   Записать ответ. ПРИМЕР Найти длину отрезка AB, если точка M делит его на две части длиной 7,3 см и 2,9 см. Решение. AB = AM + MB; 7,3 см M 2,9 см AB = 7,3 + 2,9 = 10,2 (см). A B   Ответ: 10,2 см. ? ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Точка E делит отрезок OP на части длиной 10 дм и 1,1 дм. Найти длину отрезка OP. 2. Найти длину отрезка EF, если точка K лежит между точ­ ками E и F, EK = 8,7 м, KF = 3,5 м. 3. Отрезок AB разделен точкой X на части длиной 0,875 дм и 1,007 дм. Найти длину AB. 4. На отрезке QM взята точка F, QF = 801 м, FM = 19 м. Найти длину QM. 6
Нахождение длины части отрезка, если известна длина всего отрезка и одной из его частей АЛГОРИТМ  2 Записать основные свойства измерения отрезков.   Выразить из записанного равенства длину неизвестной части.   Вычислить длину неизвестной части отрезка.   Записать ответ. ПРИМЕР На отрезке AB взяли точку M так, что AM = 7,3 см. Найти длину отрезка MB, если AB = 11,7 см. Решение.     AB = AM + MB; A MB = AB – AM. MB = 11,7 – 7,3 = 4,4 (см). 7,3 см M ? B 11,7 см Ответ: 4,4 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти длину отрезка KE, если точка K принадлежит от­ резку NE, NE = 18 м, EK = 7,2 м. 2. На отрезке CD взяли точку B так, что BC = 9,7 дм. Найти длину отрезка BD, если CD = 11,3 дм. 3. Точка A делит отрезок DP на две части. Найти длину от­ резка AD, если AP = 5,9 см, DP = 6,3 см. 4. Найти длину отрезка KN, если N ∈ KO, KO = 29 дм, NO = 18 дм. 7
3 Определение расположения точек на прямой АЛГОРИТМ  Из данных отрезков выбрать тот, длина которого равна сумме длин двух других.   Сделать вывод о точке, лежащей между двумя другими, опираясь на аксиому III.   Записать ответ. ПРИМЕР Три точки B, C и D лежат на одной прямой. Известно, что BC = 3,5 см, BD = 4,6 см, CD = 8,1 см. Какая их трех точек B, C, D лежит между двумя другими? Решение. Очевидно, что 3,5 + 4,6 = 8,1 (см).    Значит, BC + BD = CD. Поэтому точка B принадле­ жит отрезку CD, так как выполняется аксиома III. Следовательно, точка B лежит между точками C и D. Ответ: точка B лежит между точками C и D. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Определить, какая из трех точек K, L, M, принадлежа­ щих одной прямой, лежит между двумя другими, если KL = 10,9 дм; KM = 3,8 дм; ML = 7,1 дм. 2. Точки E, A, B лежат на одной прямой. Какая из них ле­ жит между двумя другими, если EB = 3,9 м; EA = 0,2 м; AB = 3,7 м? 3. Известно, что AB = 0,027 дм, AC = 0,1 дм, BC = 0,073 дм. Точки A, B и C лежат на одной прямой. Какая из них ле­ жит между двумя другими? 8
Нахождение длин частей отрезка с помощью уравнения, если в условии указано, что они сравниваются АЛГОРИТМ  4 Записать основное свойство измерения отрезков для условия данной задачи.   Длину меньшей части обозначить x.   Выразить длину большей части отрезка через x (если она больше на некоторую величину, то длина большей части отрезка равна сумме x и этой величины, а если она больше в несколько раз меньшей части, то длина боль­ шей части отрезка равна произведению x и этого коли­ чества раз).   Составить уравнение.   Решить полученное уравнение.   Записать длину меньшей части отрезка и вычислить длину большей части.   Записать ответ. ПРИМЕР Точка A принадлежит отрезку BC, длина которого равна 24 см. Найти длину отрезков AB и AC, если: 1) отрезок AB на 4 см меньше отрезка AC; 2) отрезок AB в 3 раза больше отрезка AC. Решение. Условие 1 BC = AB + AC (аксиома III). x A x+4    Пусть AB = x см. Тогда AC = (x + 4) см. B C 24 9
    x + x + 4 = 24. 2x = 24 – 4; 2x = 20; x = 20 : 2; x = 10. Итак, AB = 10 см, AC = 10 + 4 = 14 (см). Ответ: 10 см; 14 см. Условие 2 BC = AB + AC (аксиома III).        Пусть AC = x см. A x 3x B Тогда AB = 3x см. C 24 x + 3x = 24. 4x = 24; x = 24 : 4; x = 6. Итак, AC = 6 см, AB = 3 ⋅ 6 = 18 (см). Ответ: 18 см; 6 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Точка E принадлежит отрезку AB длиной 25 дм. Найти длины отрезков AE и BE, если длина отрезка AE на 7 см больше длины отрезка BE. 2. Точка K принадлежит отрезку AC длиной 36 м. Найти длины отрезков AK и CK, если длина отрезка AK в 8 раз меньше длины отрезка CK. 3. На отрезке DN отметили точку F. Разность длин отрезков NF и DF равна 8 мм. Найти NF и DF, если DN = 32 мм. Помни! x+3 x A 5 B C AB меньше BC на 3, или BC больше AB на 3, или разность BC и AB равна 3. Нахождение длин частей отрезка, если он делится своей точкой на части, пропорциональные данным числам АЛГОРИТМ  Записать основное свойство измерения отрезков (аксио­ма III) для условия данной задачи.   Обозначить за x величину одной части отрезка.  10
  Выразить длину частей отрезка через x, умножив x на соответствующие пропорциональные числа.   Составить уравнение.   Решить уравнение.   Вычислить длины частей отрезка.   Записать ответ. ПРИМЕР Точка A принадлежит отрезку BC, длина которого равна 24 см. Найти длины отрезков AB и AC, если AB : AC = 3 : 5. Решение. BC = AB + AC (аксиома III). 3x A 5x Пусть x см — величина одной B C части. 24 Тогда AB = 3x см, AC = 5x см.        3x + 5x = 24. 8x = 24; x = 24 : 8; x = 3. Итак, AB = 3 ⋅ 3 = 9 (см); AC = 5 ⋅ 3 = 15 (см). Ответ: 9 см; 15 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. На отрезке AB отметили точку D так, что AD : DB = 7 : 11. Найти длины отрезков AD и DB, если AB = 54 см. 2. Точка N принадлежит отрезку EF длиной 88 дм. Известно, что длины отрезков EN и FN относятся как 7 : 4. Найти EN и FN. 3. Точка M делит отрезок AK в отношении 11 : 15. Найти длины отрезков AM и KM, если AK = 130 мм. 11
ПОЛУПЛОСКОСТИ. ПОЛУПРЯМАЯ. УГОЛ. ОТКЛАДЫВАНИЕ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ Аксиома IV Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Полупрямая (луч) — часть прямой, состоящей из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки — начала луча. A Полупрямая OA, или луч OA (точка O — начало луча OA), или луч a a O Дополнительные полупрямые — две различные полупрямые одной и той же прямой с общим началом. B E Лучи EB и EA — дополнительные A Угол  — геометрическая фигура, образованная двумя различ­ ными полупрямыми с общим началом. (Полупрямые — сто­ роны угла, общее начало — вершина угла.) A O ∠ AOB — угол AOB, или угол BOA, точка O — вершина, лучи OA и OB — стороны B Помни! В записи угла вершина пишется посередине. Аксиома V. Основное свойство измерения углов Каждый угол имеет определенную градусную меру, боль­ шую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он раз­ бивается любым лучом, проходящим между его сторонами. a A b B O 12 m C Луч OB проходит между сторонами ∠ AOC. ∠ AOC = ∠ AOB + ∠ BOC, или ∠ (am) = ∠ (ab) + ∠ (bm) 0° < ∠ AOC ≤ 180°
Аксиома VI На любой полупрямой от ее начальной точки можно отло­ жить отрезок заданной длины, и только один. Аксиома VII От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один. Помни! Виды углов Острый A Тупой B 0° < ∠ A < 90° 90° < ∠ B < 180° Прямой С Развернутый O ∠ C = 90° ∠ O = 180° Нахождение величины угла, если известны его части АЛГОРИТМ  6 Чтобы найти величину угла, нужно сложить величины его частей (согласно аксиоме V).   Записать ответ. ПРИМЕР Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти градусную меру (величину) угла (bc), если ∠ (ab) = 32°; ∠ (ac) = 49°. Решение. b ∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac); ∠ (bc) = 32° + 49° = 81°. a Ответ: 81°. ? 32° 49° O c   13
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Луч b проходит между сторонами угла (ad). Найти градус­ ную меру угла (ad), если ∠ (ab) = 47°, ∠ (bd) = 54°. 2. Луч c проходит между сторонами угла (mn). Найти ∠ (mn), если ∠ (cm) = 51°, ∠ (cn) = 32°. 3. Найти величину угла (ab), если луч d проходит между его сторонами и ∠ (ad) = 29°, ∠ (bd) = 44°. 7 Нахождение части угла, если известна величина всего угла и другой его части АЛГОРИТМ  Записать основное свойство измерения углов для усло­ вия данной задачи (согласно аксиоме V).   Выразить неизвестную часть угла из записанного равен­ ства (из величины всего угла вычесть величину извест­ ной части) и вычислить ее.   Записать ответ. ПРИМЕР Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти ∠ (ab), если ∠ (bc) = 100°, ∠ (ac) = 52°. Решение. ∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac) b a (аксиома V). ? ∠ (ab) = ∠ (bc) – ∠ (ac) = = 100° – 52° = 48°. 52° Ответ: 48°. 100° c    ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Луч c проходит между сторонами угла (ab). Известно, что ∠ (ab) = 83°, ∠ (ac) = 36°. Найти ∠ (bc). 2. Найти величину угла (ab), если луч b проходит между сто­ ронами угла (ac), ∠ (ac) = 41°, ∠ (bc) = 18°. 3. Величина угла (ad) равна 108°. Луч m проходит между его сторонами. Найти ∠ (am), если ∠ (md) = 72°. 14
Нахождение частей угла с помощью уравнения, если известна зависимость между ними АЛГОРИТМ  8 Записать основное свойство измерения углов для усло­ вия данной задачи (согласно аксиоме V).   Обозначить величину меньшей части угла x°.   Величину большей части угла выразить через x (если она больше меньшей части угла на некоторую величину, то к x° добавить эту величину, а если она больше мень­ шей части в несколько раз, то x° умножить на число раз).   Составить уравнение.   Решить уравнение.   Найти части угла, подставив найденное значение x.   Записать ответ. ПРИМЕР Луч a проходит между сторонами угла (bc). Найти величины углов (ab) и (ac), если: 1) ∠ (ab) на 40° меньше ∠ (ac), ∠ (bc) = 98°; 2) ∠ (ab) в 3 раза больше ∠ (ac), ∠ (bc) = 60°. Решение. Условие 1 ∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac) b a (аксиома V). Пусть ∠ (ab) = x°. 98° x Тогда ∠ (ac) = (x + 40)°. ? x + x + 40 = 98. c ? x + 40°      2x = 98 – 40; 2x = 58; x = 58 : 2; x = 29. 15
  Итак, ∠ (ab) = 29°, ∠ (ac) = 29° + 40° = 69°. Ответ: 29°; 69°. Условие 2 ∠ (bc) = ∠ (ab) + ∠ (ac).        b Пусть ∠ (ac) = x°. a ? Тогда ∠ (ab) = 3x°. 3x 3x + x = 60. 4x = 60; x = 60 : 4; x = 15. 60° x ? c Итак, ∠ (ac) = 15°, ∠ (ab) = 3 ⋅ 15° = 45°. Ответ: 45°; 15°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Луч OB проходит между сторонами ∠ AOC, равного 85°. Найти ∠ AOB и ∠ BOC, если ∠ AOB больше ∠ BOC на 21°. 2. Луч, проходящий между сторонами угла, равного 112°, делит его на две части, одна из которых в 6 раз меньше другой. Найти образовавшиеся углы. 3. Развернутый угол разделили на два угла, один из которых на 36° меньше другого. Найти эти углы. Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и де­ лящий его на два равных угла. A O 9 Луч OC — биссектриса ∠ AOB. 1 ∠ AOC = ∠ BOC = ∠ AOB 2 C B Нахождение частей угла, на которые его делит биссектриса АЛГОРИТМ  Величину данного угла разделить на 2.   16 Записать ответ.
ПРИМЕР Найти угол, образованный биссектрисой угла, равного 48°, и стороной данного угла. Решение. 48° : 2 = 24°. 48° Ответ: 24°.   ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Проведена биссектриса c угла (ab). Найти ∠ (ac), если ∠ (ab) = 66°. 2. Найти угол, который образует биссектриса со стороной угла, если величина данного угла 128°. 3. Найти угол между стороной и биссектрисой прямого угла. Нахождение угла, если известна его часть между стороной и биссектрисой АЛГОРИТМ  10 Величину угла умножить на 2.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти величину угла, если угол между его биссектрисой и стороной равен 39°. Решение. 39° ⋅ 2 = 78°. ? Ответ: 78°. 39°   ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти величину угла, если угол, образованный его биссек­ трисой и стороной, равен 82°. 2. Угол, образованный биссектрисой и стороной угла, ра­ вен 28°. Найти этот угол. 3. Угол между стороной и биссектрисой некоторого угла ра­ вен 45°. Найти этот угол. 17
ТРЕУГОЛЬНИК. СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ Треугольники называются равными, если у них соответству­ ющие стороны и соответствующие углы равны. B A E C K  ABC =  KEM 1) AB = KE; BC = EM; AC = KM; 2) ∠ A = ∠ K; ∠ B = ∠ E; ∠ C = ∠ M M Помни! Обозначение равных треугольников записывают по соответ­ ствующим вершинам. Интересно знать! При наложении равные треугольники совпадают. Аксиома VIII. Существование треугольника, равного данному Каков бы ни был треугольник, существует равный ему тре­ угольник в заданном расположении относительно данной прямой. 11 Нахождение неизвестных сторон и углов равных треугольников АЛГОРИТМ  По равенству данных треугольников записать равенст­ во соответствующих сторон и углов. (Можно выполнить чертеж к задаче.)   Записать длины неизвестных искомых сторон, величи­ ны неизвестных искомых углов.   18 Записать ответ.
ПРИМЕР Известно, что  ABC =  MNK, AB = 5 см, AC = 7 см, NK = 9 см, ∠ A = 48°, ∠ N = 72°, ∠ K = 60°. Найти неизвестные стороны и углы данных треугольников. Решение. N B 5с м 48°    м 9с 72° 60° M K A C 7 см Так как  ABC =  MNK, то AB = MN, BC = NK, AC = MK; ∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠ N, ∠ C = ∠ K. Значит, BC = 9 см, MN = 5 см, MK = 7 см; ∠ M = 48°, ∠ B = 72°, ∠ C = 60°. Ответ: BC = 9 см, ∠ B = 72°, ∠ C = 60°, MN = 5 см, MK = 7 см, ∠ M = 48°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. В треугольнике EFB EB = 12 см, ∠ E = 83°. Найти длину стороны MP и ∠ M равного ему треугольника MOP. 2. Треугольники SEK и NAG равны, KS = 45 дм, ES = 24 дм, ∠ K = 36°, AG = 54 дм, ∠ N = 126°, ∠ E = 18°. Найти неиз­ вестные стороны и углы данных треугольников. 3. Известно, что  ACD =  BER, BE = 6 м, ER = 8 м, BR = 9 м, ∠ E = 29°, ∠ R = 93°, ∠ B = 58°. Найти ∠ C. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. СМЕЖНЫЕ И ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ. СВОЙСТВО СМЕЖНЫХ И ВЕРТИКАЛЬНЫХ УГЛОВ Помни! Две прямые называются параллельны­ ми, если они не пересекаются. aCb a b Аксиома IX. Основное свойство параллельных прямых Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провес­ ти на плоскости одну и только одну прямую, параллельную данной. 19
Два угла называются смежными, если у них одна сторо­ на общая, а другие стороны этих углов — дополнительные полупрямые. об щ ор ая он а ∠ AOC и ∠ BOC — смежные ст C A O B дополнительные полупрямые Свойство смежных углов Сумма смежных углов равна 180°: ∠ AOC + ∠ BOC = 180°. Важно знать! 1. Если два угла равны, то смежные с ними углы равны. 2. Угол, смежный с прямым углом, прямой. Два угла называются вертикальными, если стороны одно­ го угла являются дополнительными полупрямыми сторон другого. b2 a1 b1 O a2 ∠ (a1b1) и ∠ (a2b2) — вертикальные; a1 и a2, b1 и b2 — дополнительные полупрямые Свойство вертикальных углов Вертикальные углы равны: ∠ (a1b1) = ∠ (a2b2), ∠ (a1b2) = ∠ (a2b1). Помни! Угол между биссектрисами смеж­ ных углов всегда прямой. ∠ (ab) и ∠ (bc) — смежные, m — биссектриса ∠ (ab), n — биссектриса ∠ (bc), ∠ (mn) = 90°. m n a 20 b c
Нахождение угла, смежного данному АЛГОРИТМ  12 Записать свойство смежных углов.   Выразить из этого равенства неизвестный угол (из 180° вычесть величину известного угла) и вычислить его ве­ личину.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти угол, смежный с углом 32°. Решение. Пусть ∠ 1 и ∠ 2 — смежные, ∠ 1 = 32°, тогда ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. ∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 32° = 148°.    ? 2 1 32° Ответ: 148°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. ∠ (ab) и ∠ (bc) — смежные, ∠ (ab) = 40°. Найти ∠ (bc). 2. Один из смежных углов равен 116°. Найти другой угол. 3. Найти угол, смежный с углом 127°. Нахождение углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если один из углов известен АЛГОРИТМ  13 Записать пары образовавшихся вертикальных углов (они равны) и выполнить чертеж к задаче.   Записать основное свойство для одной из пар образо­ вавшихся смежных углов.  21
  Выразить из полученного в пункте 2 равенства неиз­ вестный угол и вычислить его.   Записать величины неизвестных углов.   Записать ответ. ПРИМЕР Один из углов, образовавшихся при пересечении двух пря­ мых, равен 57°. Найти остальные углы. Решение. Пусть при пересечении данных ? двух прямых образовались углы 2 ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4. ? 3 1 57° 4 По условию ∠ 1 = 57°. ∠ 1 = ∠ 3, ∠ 2 = ∠ 4 как вертикальные. ? ∠ 1 + ∠ 2 = 180° как смежные.      ∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 57° = 123°. Итак, ∠ 2 = ∠ 4 = 123°, ∠ 3 = ∠ 1 = 57°. Ответ: 123°, 57°, 123°. Помни! Если сумма двух вертикальных углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, равна 180°, то все образовавши­ еся углы — прямые. Следовательно, пересекающиеся пря­ мые перпендикулярны. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти углы, которые получаются при пересечении двух пря­ мых, если один из них равен: 1) 106°; 2) 32°; 3) 117°. 22
Нахождение углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если известна сумма двух из них АЛГОРИТМ  14 Данную сумму разделить на 2. Таким образом находятся величины одной пары вертикальных углов (предвари­ тельно выполнить чертеж к задаче).   Найти угол, смежный к одному из найденных углов (для этого из 180° вычесть известный угол).   Угол, вертикальный найденному углу в пункте 2, равен ему.   Записать ответ. ПРИМЕР Сумма двух углов, образовавшихся при пересечении двух пря­ мых, равна 110°. Найти образовавшиеся углы. Решение. ∠ 1 = ∠ 3, ∠ 2 = ∠ 4 как верти­ a b 2 кальные. Пусть ∠ 1 + ∠ 3 = 110°, 3 1 тогда ∠ 1 = ∠ 3 = 110° : 2 = 55°. 4 ∠ 2 + ∠ 1 = 180° как смежные.     Отсюда ∠ 2 = 180° – ∠ 1 = 180° – 53° = 127°. ∠ 4 = ∠ 2 = 127°. Ответ: 55°, 127°, 55°, 127°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти углы, образовавшиеся при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна: 1) 38°; 2) 160°; 3) 84°. 23
ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. ВЫСОТА, БИССЕКТРИСА И МЕДИАНА ТРЕУГОЛЬНИКА Виды треугольников по сторонам Разносторонний a b Равнобедренный a c Равносторонний (правильный) a a a b P=a+b+c a P = 2a + b P = 3a Свойство равнобедренного треугольника Углы при основании рав­ нобедренного треугольника равны. ∠A = ∠C B бо я а ст ко в а ор ва ко он он я бо ор а ст C A основание Признак равнобедренного треугольника Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. Высота треугольника Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вер­ шины к прямой, содержащей противолежащую сторону треугольника. BK ⊥ AC, BK — высота  ABC B A 24 K C B K A C
Биссектриса треугольника Биссектрисой треугольника, проведенной из данной верши­ ны, называется отрезок биссектрисы угла треугольника, ко­ торый соединяет эту вершину с точкой на противолежащей стороне треугольника. Луч BE — биссектриса ∠ ABС; отрезок BE — биссектриса  ABC B A E C Медиана треугольника Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину треуголь­ ника с серединой противолежащей стороны. B A M — середина AC; BM — медиана  ABC M C Помни! Каждый треугольник имеет три высоты, три медианы, три биссектрисы. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведенной к его основанию Медиана равнобедренного тре­ угольника, проведенная к осно­ ванию, является биссектрисой и высотой этого треугольника. 25
Важно знать! Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, является медианой и биссектрисой. 15 Биссектриса равнобедренно­ го треугольника, проведен­ ная к его основанию, явля­ ется медианой и высотой. Вычисление периметра треугольника, если известны его стороны АЛГОРИТМ  Определить вид треугольника по данным его сторонам.   По формуле вычисления периметра треугольника найти периметр P данного треугольника (P = a + b + c, если тре­ угольник разносторонний; P = 2a + b, если треугольник равнобедренный и b — его основание; P = 3a, если тре­ угольник равносторонний со стороной a).   Записать ответ. ПРИМЕР Найти периметр равнобедренного треугольника с основанием 17 см и боковой стороной 10 см. Решение. Дан равнобедренный треугольник.    P = 2a + b, где по условию задачи a = 10 см, b = 17 см. P = 2 ⋅ 10 + 17 = 37 (см). Ответ: 37 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти периметр треугольника со сторонами 12 см, 13 см, 15 см. 2. Найти периметр правильного треугольника со стороной 11 дм. 3. Стороны треугольника равны 18 м, 15 м, 18 м. Найти его периметр. 26
Нахождение сторон треугольника, если известны зависимость между ними и периметр треугольника АЛГОРИТМ  16 Выполнить чертеж к задаче.   Меньшую из сторон треугольника обозначить за x. Две другие его стороны выразить через x по условию задачи.   Используя формулу периметра треугольника (в зави­ симости от вида треугольника), составить уравнение. Решить его.   Найденное значение x является длиной одной из сторон треугольника. Используя его, найти длины оставшихся двух сторон.   Записать ответ.   Пусть AC = x см, тогда AB = BC = (x + 6) см. PABC = 2 ⋅ AB + AC. 2 ⋅ (x + 6) + x = 33; 2x + 12 + x = 33; 3x = 21; x = 7. Итак, AC = 7 см, AB = BC = 7 + 6 = 13 (см). Ответ: 7 см; 13 см; 13 см. A 6 x+    x+ 6 ПРИМЕР Найти стороны равнобедренного треугольника, если его пе­ риметр равен 33 см, а основание на 6 см меньше боковой стороны. Решение. B PABC = 33 см. x C 27
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 28 м, а боковая сторона на 8 м больше основания. 2. Одна из сторон треугольника на 52 дм меньше второй и в 4 раза меньше третьей. Найти стороны треугольника, если его периметр равен 118 дм. 3. Найти стороны равнобедренного треугольника, если его периметр равен 70 см, а боковая сторона в 2 раза больше основания. Признаки равенства треугольников I. По двум сторо­ нам и углу меж­ ду ними A A = A A II. По стороне и двум приле­ жащим к ней углам C B C B = B C B A III. По трем сторо­ нам C A = B 17 C B C Нахождение длины отрезка, используя признаки равенства треугольников АЛГОРИТМ  По чертежу к задаче записать равные элементы двух треугольников.   Сделать вывод о равенстве рассматриваемых треуголь­ ников, используя признаки равенства треугольников.  28
  Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Записать длину неизвестной стороны одного из треугольников, соответствующей известной стороне равного ему треугольника.   Записать ответ. ПРИМЕР На рисунке AC = 6 дм, BC = BD, ∠ ABC = ∠ ABD. Найти AD. C 6 дм A B ? D Решение.     Рассмотрим  ABC и  ABD: AB — общая, BC = BD, ∠ ABC = ∠ ABD (по условию). Отсюда:  ABC =  ABD (по I признаку). AD = AC, как соответствующие стороны равных тре­ угольников. Значит, AD = 6 дм. Ответ: 6 дм. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. AD = BC, ∠ CBD = ∠ ADB, CD = 8 см. Найти AB. B C ? 8 A D B 2. На рисунке ∠ ABD = ∠ CBD, ∠ ADB = ∠ CDB, AD = 2,3 м. Найти DC. A D ? C 29
K M 3. На рисунке ∠ AMC = ∠ MCK, ∠ KMC = ∠ ACM. Найти AM, если CK = 19 дм. ? 19 A C СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180° B A 18 C Теорема Следствие Сумма углов треугольника равна 180°. У любого треугольника хотя бы два угла острые. Нахождение неизвестного угла треугольника, если два других его угла известны АЛГОРИТМ  Сложить величины данных двух углов треугольника.   Вычесть полученную сумму из 180°.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти неизвестный угол треугольника, если два его угла рав­ ны 62° и 100°. Решение. 62° + 100° = 162°.    30 180° – 162° = 18°. Ответ: 18°.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти неизвестный угол треугольника, если два его угла рав­ ны: 1) 45° и 35°; 2) 111° и 30°; 3) 24° и 72°. ВНЕШНИЙ УГОЛ ТРЕУГОЛЬНИКА Внешний угол треугольника при данной вершине — угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. ∠ BCM — внешний угол; ∠ BCA — угол при вершине C B A C M Теорема Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: ∠ BCM = ∠ A + ∠ B. Помни! В любом треугольнике 6 внешних углов (по 2 при каждой его вершине) и только 3 из них различны. Важно знать! Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Нахождение внешнего угла треугольника, если известен угол треугольника, смежный с ним АЛГОРИТМ  19 Из 180° вычесть известный угол треугольника.   Записать ответ. 31
ПРИМЕР A Найти внешний угол  ABC при вершине B, если ∠ B = 37°. Решение.   37° C 180° – 37° = 143°. ? B Ответ: 143°. Помни! Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вер­ шине треугольника, равна 360°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти внешний угол треугольника, если внутренний угол тре­ угольника при этой же вершине равен: 1) 101°; 2) 54°; 3) 18°. 20 Нахождение внешнего угла треугольника, если известны два угла треугольника, не смежные с ним АЛГОРИТМ  Сложить данные углы треугольника.   Записать ответ. ПРИМЕР Два угла треугольника равны 59° и 86°. Найти внешний угол треугольника при третьей его вершине. Решение. 59° + 86° = 145°.   Ответ: 145°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Два угла треугольника равны: 1) 65° и 13°; 2) 103° и 25°; 3) 71° и 4°. Найти внешний угол треугольника при третьей его вершине. 32
Нахождение угла при вершине равнобедренного треугольника АЛГОРИТМ  21 Найти разность 180° и удвоенного угла при основании (т.к. углы при основании равнобедренного треугольника равны, а сумма всех углов треугольника равна 180°).   Записать ответ. ПРИМЕР Найти угол при вершине равнобе­ дренного треугольника, если угол при основании равен 42°. Решение.   180° – 2 ⋅ 42° = 180° – 84° = 96°. ? 42° 42° Ответ: 96°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти угол при вершине равнобедренного треугольника, если угол при основании равен: 1) 25°; 2) 60°; 3) 12°. Нахождение угла при основании равнобедренного треугольника АЛГОРИТМ  22 Пусть a — угол при основании равнобедренного треу­ гольника, а b — угол при вершине. 180° –− β Тогда a α= . 2   Записать ответ. 33
ПРИМЕР Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если угол между его боковыми сторонами равен 80°. Решение.   180° − β 180° − 80° 100° = = = 50°. 2 2 2 Ответ: 50°. α= ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен: 1) 40°; 2) 160°; 3) 24°. Помни! Углы равностороннего треугольника равны 60°. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Признаки параллельности прямых Если внутренние накрест лежащие углы равны, а сумма внутренних односторонних углов равна 180° и соответствен­ ные углы равны, то прямые параллельны. 5 a 1 b 3 c 4 2 a C b если: 1) ∠ 1 = ∠ 2 или ∠ 3 = ∠ 4 (внутренние накрест лежа­ щие при a C b и секущей c); 2) ∠ 1 + ∠ 3 = 180° или ∠ 2 + ∠ 4 = 180° (внутренние односторонние при a C b и секущей c); 3) ∠ 5 = ∠ 2 (соответственные углы) Свойства параллельных прямых 1. Две прямые, параллельные третьей прямой, между собой параллельны. 2. Если две параллельные прямые пересечены третьей пря­ мой, то внутренние накрест лежащие углы равны, а сум­ ма внутренних односторонних углов равна 180°, соответ­ ственные углы равны. 34
Нахождение углов, образовавшихся при пересечении двух параллельных прямых секущей, если известен один из этих углов 23 АЛГОРИТМ Отметить на рисунке углы, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей. Обозначить известный угол a. Пусть ∠ 1 = a. a  b 7 8 1 2 4 3 5 6 c   Записать все пары вертикальных углов (они равны).   Записать все пары внутренних накрест лежащих углов (они равны).   Найти угол из пары внутренних односторонних углов, один из которых известен по условию: 180° – a.   Записать величины всех найденных семи углов.   Записать ответ. ПРИМЕР Один из углов, образовавшихся при пересечении двух парал­ лельных прямых секущей, равен 70°. Найти остальные семь углов. 35
Решение.   Пусть a C b, c — секущая. ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5, ∠ 6, ∠ 7, ∠ 8 — образовавшиеся углы. ∠ 2 = 70°. ∠ 2 = ∠ 8, ∠ 1 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 6, ∠ 3 = ∠ 5 как вертикальные. a 7 8 2 1 b 3 4 6 5 c  ∠ 2 = ∠ 4, ∠ 1 = ∠ 3 как внутренние накрест лежащие при a C b и секущей c.  ∠ 2 + ∠ 3 = 180° как внутренние односторонние при a C b и секущей c. ∠ 3 = 180° – ∠ 2 = 180° – 70° = 110°.   Итак, ∠ 1 = ∠ 3 = ∠ 5 = ∠ 7 = 110°, ∠ 2 = ∠ 4 = ∠ 6 = ∠ 8 = 70°. Ответ: 110°, 110°, 70°, 110°, 70°, 110°, 70°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти углы, образовавшиеся при пересечении двух парал­ лельных прямых секущей, если один из них равен: 1) 125°; 2) 33°; 3) 16°. ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В ТРЕУГОЛЬНИК И ОПИСАННАЯ ОКОЛО ТРЕУГОЛЬНИКА Вписанная окружность Окружность называется вписанной в треугольник (или треугольник, опи­ санный около окружно­ сти), если она касается всех сторон треугольника. B F α A r r E a O r K C Радиус вписанной Центр вписанной окружности точ­ окружности — r. ка O — точка пересечения биссектрис CF, BK, AE — бис­ треугольника. α сектрисы  ABC. r = ( p − a) tg , где p — полупериметр. 2 36
Описанная окружность Окружность называется описанной около треугольника (или треуголь­ ник, вписанным в окружность), если все вершины треугольника лежат на окружности. B N α A Радиус описанной окружности — R. ON, OM, OK — срединные перпен­ дикуляры к сто­ ронам AB, BC, AC соответственно. a R M O K C Центр описанной окружности точ­ ка O — точка пересечения средин­ ных перпендикуляров к сторонам треугольника. a R= 2 sin α Важно знать! Расстояние d между центрами вписанной и описанной окружности d = R2 − 2Rr . Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника, если известны его сторона и противолежащий ей угол 24 АЛГОРИТМ  Записать формулу радиуса окружности, описанной око­ a ло треугольника: R = . 2sinα α   Подставить значения длины стороны a и величины про­ тиволежащего ей угла a в формулу и вычислить R.   Записать ответ. 37
ПРИМЕР Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AB = 5 см, ∠ C = 30°. Решение.  AB (так как ∠ C лежит против стороны AB). 2 sin ∠C 5 5 R= = = 5 (см). 1 2 ⋅ sin 30° 2⋅ 2 Ответ: 5 см. R=   ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти радиус окружности, описанной около треугольника MNE, если MN = 8 2 м, а ∠ E = 45°. 2. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 12 3 см, а ∠ B = 60°. 3. В  MOP MO = 16 см, ∠ P = 135°. Найти радиус окружно­ сти, описанной около  MOP. Помни! 1 c = mc, где c — гипоте­ 2 нуза, mc — медиана, прове­ денная к гипотенузе. a+b−c r= 2 R= c R O a R R b Средняя линия треугольника Средняя линия треугольника — отрезок, соединяющий се­ редины двух сторон треугольника. B E A 38 EF — средняя линия  ABC; 1 EF C AC, EF = AC 2 F C
Помни! В каждом треугольнике три средние линии. Нахождение длины средней линии треугольника АЛГОРИТМ  25 Выполнить чертеж к задаче. Отметить на нем искомую среднюю линию.   Средняя линия треугольника равна половине третьей его стороны. Вычислить ее.   Записать ответ. ПРИМЕР Средняя линия EF треугольника ABC соединяет середины сто­ рон AB и AC соответственно. Найти длину EF, если BC = 34 см. Решение. B  E 34 ? A   F C 1 1 BC = ⋅ 34 = 17 (см). 2 2 Ответ: 17 см. EF = ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти среднюю линию треугольника, лежащую против сто­ роны, равной: 1) 44 дм; 2) 16 мм; 3) 78 см. 39
26 Нахождение периметра треугольника, стороны которого являются средними линиями сторон данного треугольника АЛГОРИТМ  Найти периметр данного треугольника (сложить длины всех его сторон).   Периметр треугольника, сторонами которого являются средние линии данного треугольника, равен половине периметра данного треугольника. Вычислить его.   Записать ответ. ПРИМЕР Стороны треугольника равны 12 см, 15 см, 17 см. Найти пери­ метр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного. Решение. Пусть дан  ABC, AB = 12 см, B BC = 15 см, AC = 17 см; E — се­ редина AB, K — середина BC, 15 K E P — середина AC. Тогда EK, KP, EP — средние линии  ABC. 12 17 A P C    P ABC = AB + BC + AC = 12 + 15 + 17 = 44 (см). 1 1 1 P EKP = EK + KP + EP = AC + AB + BC = 2 2 2 1 1 1 = (AC + AC + BC) = P ABC = 44 = 22 (см). 2 2 2 Ответ: 22 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Стороны треугольника 6 см, 9 см, 7 см. Найти периметр треугольника, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. 40
2. Стороны треугольника равны 25 см, 35 см, 40 см. Найти периметр треугольника, стороны которого — средние ли­ нии данного треугольника. 3. В  EPK: A, B, C — середины сторон EP, PK, EK соот­ ветственно. Найти P ABC, если EP = 11 дм, PK = 16 дм, EK = 15 дм. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ Параллелограмм B C O A D AB C CD, BC C AD; ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D; ∠A + ∠B = ∠B + ∠C = ∠ C + ∠ D = ∠ A + ∠ D = 180°; AB = CD, BC = AD; AO = OC, BO = OD; AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2); PABCD = 2(AB + BC) Нахождение углов параллелограмма, если известен один из них АЛГОРИТМ  27 Противолежащие углы параллелограмма равны. Поэтому противолежащий угол данному углу a равен ему. Вычислить его.   Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Отсюда соседний угол данного параллелограмма равен (180° – a). Вычислить его.   Записать найденные углы.   Записать ответ. 41
ПРИМЕР Один из углов параллелограмма равен 50°. Найти остальные углы. Решение. B C Пусть ABCD — данный парал­ лелограмм, ∠ A = 50°. По свойству параллелограмма: ∠ A = ∠ C, ∠ B = ∠ D, ∠ C = 50°. 50°  A    D ∠ A + ∠ B = 180° как углы параллелограмма, прилежа­ щие к одной стороне. ∠ B = 180° – ∠ A = 180° – 50° = 130°. Итак, ∠ C = 50°, ∠ B = ∠ D = 130°. Ответ: 130°, 50°, 130°. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. В параллелограмме ABCD угол D равен 112°. Найти осталь­ ные углы параллелограмма. 2. В параллелограмме KMNP угол M равен 80°. Найти остальные углы параллелограмма. 3. Найти все углы параллелограмма, если один из них равен 35°. Помни! b a a b Трапеция A 42 C я ова бок рона сто бок сто овая ро на верхнее B основание нижнее основание D BC C AD ∠A + ∠B = = ∠ C + ∠ D = 180°
Виды трапеции Равнобокая Прямоугольная Средняя линия трапеции Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середи­ ны боковых ее сторон. B M C l A N MN = l — средняя линия трапеции ABCD. BC + AD MN C AD C BC, MN = 2 D Вычисление средней линии трапеции АЛГОРИТМ  28 Выполнить чертеж к задаче.   Записать формулу средней линии трапеции.   Подставить в эту формулу данные значения оснований трапеции и произвести вычисления.   Записать ответ. 43
ПРИМЕР Найти среднюю линию трапеции ABND, основания которой BN и AD равны соответственно 7 см и 11 см. Решение. B 7 N ME — средняя линия трапеции ABND. BN + AD M E ME = . 2 7 + 11 ME = = 9 (см). A D 11 2 Ответ: 9 см.     ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти среднюю линию трапеции MNKP, если MN C KP и MN = 40 см, KP = 10 см. 2. Основания трапеции равны 16 см и 20 см. Найти ее сред­ нюю линию. 3. В трапеции EFAS основания AF и ES равны 9 дм и 15 дм. Найти среднюю линию трапеции. 44
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК катет b ги по c a те ну за b катет a c > a, c > b, a + b = 90°. b cos α = ; c a sin α = ; c a tg α = ; b b ctg α = a ТЕОРЕМА ПИФАГОРА c2 = a2 + b2. Отсюда: a2 = c2 – b2; b2 = c2 – a2. Важно знать! Египетский треугольник— это прямоугольный треу­ гольник с соотношением сторон 3 : 4 : 5 5 4 3 Нахождение гипотенузы с прямоугольного треугольника по его катетам a и b АЛГОРИТМ  29 Записать формулу теоремы Пифагора: c2 = a2 + b2.   Подставить в нее значения a и b, вычислить c2.   Вычислить c (извлечь квадратный корень из получен­ ного числа).   Записать ответ. 45
Помни! В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон (не­ равенство треугольника). a + b > c, a + c > b, b + c > a (все три неравенства должны выполнять­ ся одновременно). a b c ПРИМЕР Катеты прямоугольного треугольника равны 12 см и 5 см. Найти его гипотенузу. Решение. По теореме Пифагора: c2 = a2 + b2.     c2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169. с = 169 = 13 (см). Ответ: 13 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если его катеты равны 6 см и 8 см. 2. В прямоугольном треугольнике заданы катеты 7 дм и 2 дм. Найти гипотенузу. 3. Катеты прямоугольного треугольника 3 м и 4 м. Найти гипотенузу. 30 Нахождение неизвестного катета a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и другому катету b АЛГОРИТМ  Записать теорему Пифагора в обозначениях, данных в условии задачи.   Выразить из этой формулы b2. Вычислить его значение.   Извлечь квадратный корень из полученного числа.   46 Записать ответ.
ПРИМЕР В прямоугольном треугольнике гипотенуза c равна 17 см, а один из катетов a равен 5 см. Найти второй катет. Решение.     По теореме Пифагора: c2 = a2 + b2. b2 = c2 – a2 = 172 – 52 = 289 – 25 = 144. с = 144 = 12 (см). Ответ: 12 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО В прямоугольном треугольнике заданы гипотенуза c и катет а. Найти второй катет b, если: 1) c = 50 м, a = 40 м; 2) c = 1 дм, a = 0,6 дм; 3) c = 8 мм, a = 4 мм. 47
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ y II I y0 O III A(x0;y0) x0 x IV Начало координат — т. O (0; 0); ось абсцисс — x; ось ординат — y; I, II, II, IV — координатные четверти. Точка лежит на оси x: (x; 0). Точка лежит на оси y: (0; y). x0 — абсцисса т. A; y0 — ордината т. A; (x0; y0) — координаты точки A Помни! Координатные оси взаимно перпендикулярны. Координаты середины отрезка x= x A + xB y + yB ;y= A 2 2 Точки A(xA; yA), B(xB; yB) — произвольные точки плоскости; C(x; y) — середина отрезка AB Расстояние между двумя точками 1. На числовой оси между точками a и b: d = |a – b|. 2. На плоскости между точками A(xA; yA), B(xB; yB): d = (x A − xB )2 + (y A − yB )2 или d = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 31 Нахождение расстояния между точками АЛГОРИТМ  Записать формулу расстояния d между точками (x1; y1) и (x2; y2): d = ( x 2 − x 1 )2 + ( y 2 − y1 )2 .   Подставить в формулу значения соответствующих коор­ динат точек и вычислить искомое расстояние.  48  Записать ответ.
ПРИМЕР Найти длину отрезка AB, если A(–8: 6), B(4; –2). Решение.  d= 2 d= (xB − x A )2 + (yB − y A )2 . (4 − (−8))2 + (−2 − 6)2 = (4 + 8)2 + (−8)2 = 122 + 82 = 144 + 64 = 208 (4 + 8)2 + (−8) = 122 + 82 = 144 + 64 = 208 = 16 ⋅ 13 = 4 13 .  Ответ: 4 13. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти расстояние между точками: 1) M(0; 3) и N(–4; 0); 2) E(4; 3) и F(–4; 9); 3) A(–2; –1) и B(3; 4). Нахождение координат середины отрезка АЛГОРИТМ  32 Записать формулы для нахождения координат середи­ ны отрезка, если известны координаты его концов (x1; y1) и (x2; y2): x + x2 y + y2 x= 1 ;y= 1 . 2 2   Подставить в формулы соответствующие значения ко­ ординат концов отрезка и вычислить искомые коорди­ наты.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти координаты точки M — середины отрезка AB, если A(–6; 15), B(4; –3). Решение.    x A + xB y + yB ; yM = A . 2 2 −6 + 4 −2 15 − 3 12 xM = = = −1; yM = = = 6. 2 2 2 2 Ответ: (–1; 6). xM = 49
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти координаты середины отрезка AC, если: 1) A(0; –6), C(–10; 0); 2) A(3; 7), C(2; 1); 3) A(–21; 16), C(34; –10). ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ z yz xz z0 A(x0; y0; z0) x0 O y0 y xy x Начало координат — т. O (0; 0; 0). Координатные оси — x, y, z. Координатные плоскости: xy, xz, yz. (x0; y0; z0) — координаты точки А: x0 — абсцисса т. А, y0 — ордината т. А, z0 — аппликата т. А Помни! z — ось аппликат. Точка Точка Точка Точка Точка Точка лежит лежит лежит лежит лежит лежит на оси x: (x; 0; 0). на оси y: (0; y; 0). на ос z: (0; 0; z). в плоскости (xy): (x; y; 0). в плоскости (xz): (x; 0; z). в плоскости (yz): (0; y; z) Координаты середины отрезка x A + xB y + yB ;y= A ; 2 2 z + zB z= A 2 x= Произвольные точки A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB). Середина отрезка AB — точка C(x; y; z) Расстояние между двумя точками 1. На числовой оси между точками a и b: d = |a – b|. 2. В пространстве между точками А(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB): d = (x A − xB )2 + (y A − yB )2 + (z A − zB )2 Важно знать! Расстояние между точками в пространстве находится анало­ гично алгоритму 31, а координаты середины отрезка в про­ странстве — алгоритму 32 с учетом изменения в формулах. 50
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ax + by + c = 0, где a, b, c — некоторые числа; x, y — переменные Отдельные случаи 1. a = 0, b ≠ 0. Прямая параллельна оси абсцисс или совпа­ c дает с ней при c = 0: y = − . b 2. b = 0, a ≠ 0. Прямая параллельна оси ординат или со­ c впадает с ней при c = 0: x = − . a 3. c = 0, a ≠ 0, b ≠ 0. Прямая проходит через начало отсче­ та: ax + by = 0 Уравнение прямой на плоскости, проходя­ щей через две заданные точки (x1; y1) и (x2; y2) y − y1 x − x1 = y2 − y1 x2 − x1 Уравнение прямой на плоскости в отрезках. Прямая пересекает ось Ox в точке A(a; 0) и ось Oy в точке B(0; b) x y + =1 a b УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ НА ПЛОСКОСТИ Центр окружности — т. O(a; b). R — радиус окружности. (x – a)2 + (y – b)2 = R2 y R O b a O x Уравнение окружности с центром в начале координат x2 + y2 = R2 y R O x 51
Помни! Если т. O(a; b), то уравнение круга: (x – a)2 + (y – b)2 ≤ R2. Если т. O(0; 0), то уравнение круга: x2 + y2 ≤ R2 33 Составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки АЛГОРИТМ  y − y1 x − x1 = Записать формулу уравнения прямой: , y 2 − y1 x 2 − x 1 где (x1; y1), (x2; y2) — данные точки.   Подставить в формулу соответствующие значения коор­ динат данных точек и выразить y через x.   Записать ответ. ПРИМЕР Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(3; 2), B(–4; –2). Решение.    y − yA x − xA = . yB − y A xB − x A y −2 x−3 y −2 x−3 = ; = ; –7(y – 2) = –4(x – 3); −2 − 2 −4 − 3 −4 −7 –7y + 14 = –4x + 12; –7y = –4x + 12 – 14; 4 2 –7y = –4x – 2; y = x + . 7 7 Ответ: y = 4 2 x + см. 7 7 ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Составить уравнение прямой, проходящей через точки: 1) (3; –4) и (–2; 1); 2) (2; 2) и (–3; –3); 3) (–6; 20) и (1; –7). 52
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ ПО ИХ УРАВНЕНИЯМ Прямая I задается уравнением a1x + b1y + c1 = 0. Прямая II задается уравнением a2x + b2y + c2 = 0. Прямые I и II пересекаются: I a1 b1 ≠ a2 b2 ⋅ II I Прямые I и II параллельны: a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 II I II a a2 1 Прямые I и II совпадают: = b1 c1 = b2 c2 Важно знать! a1 c x − 1. b1 b1 a1 c1 = k1, − = m1, тогда y = k1x + m1. Если − b1 b1 Аналогично для прямой II: y = k2x + m2. Прямые I и II параллельны: k1 = k2. Прямые I и II перпендикулярны: k1 × k2 = –1. k — угловой коэффициент прямой. Из уравнения прямой I получим y: y = − Нахождение углового коэффициента прямой, проходящей через две точки АЛГОРИТМ  34 Записать формулу углового коэффициента k прямой, y − y1 проходящей через точки (x1; y1) и (x2; y2): k = 2 . x 2 − x1   Подставить соответствующие значения координат дан­ ных точек в формулу и вычислить k.   Записать ответ. 53
ПРИМЕР Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точки E(6; 4) и O(3; –2). Решение. y − yE k= O . xO − xE −2 − 4 −6 k= = = 2. 3−6 −3 Ответ: 2.    35 ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти угловой коэффициент прямой, проходящей через точ­ ки: 1) M(5; –4) и N(1; –6); 2) A(–3; –3) и B(1; 1); 3) K(–7; 8) и O(6; 8). Составление уравнения окружности по координатам ее центра и радиусу АЛГОРИТМ  Записать общий вид уравнения окружности с центром в точке (a; b) и радиусом R: (x – a)2 + (y – b)2 = R2.   Подставить соответствующие значения координат цент­ ра данной окружности и ее радиуса в эту формулу.   Записать ответ. ПРИМЕР Составить уравнение окружности с центром в точке O(–2; 5) и радиусом R = 4. Решение.    (x – a)2 + (y – b)2 = R2. (x – (–2))2 + (y – 5)2 = 42; (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16. Ответ: (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Составить уравнение окружности с центром в точке A и ра­ диусом R, если: 1) A(0; 0), R = 8; 2) 3(–5; –2), R = 0,1; 3) A(4; 9), R = 6. 54
ВЕКТОРЫ ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ Вектор — направленный отрезок. y yB B yA A O xA AB — вектор, т. A — начало вектора, т. B — конец вектора xB x Координаты вектора AB(xB − x A ; yB − y A ) или a(a1; a2) Модуль вектора (абсолютная величина вектора, длина вектора) AB = (xB − x A )2 + (yB − y A )2 или a = a12 + a22 Равные векторы: a(a1; a2), b (b1; b2) a b a=b ⇒ Нулевой вектор 0 Действия с векторами a + b = c (a1 + b1; a2 + b2 ); a1 = b1 a2 = b2 λ ⋅ a = (λa1; λa2 ); λ⋅a = λ ⋅ a Коллинеарные векторы Скалярное произведение векторов: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos ϕ, или a ⋅ b = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 Признак перпендикулярности векторов a1 a2 = ; (a C b) b1 b2 a ϕ b Если a ⋅ b = 0, то a ⊥ b 55
36 Нахождение суммы векторов, если известны координаты их начал и концов АЛГОРИТМ  Найти координаты каждого данного вектора (из коор­ динат конца вектора вычесть соответствующие коорди­ наты его начала).   Сложить полученные векторы по правилу сложения векторов.   Записать ответ. ПРИМЕР Даны точки A(2; –3), B(0; 1), C(–4; 2), D(5; 9). Найти AC + BD. Решение.    AC = (xC − x A ; yC − y A ) = (−4 − 2; 2 − (−3)) = (−6; 5); BD = (xD − xB ; yD − yB ) = (5 − 0; 9 − 1) = (5; 8). AC + BD = (−6; 5) + (5; 8) = (−6 + 5; 5 + 8) = (−1; 13). Ответ: (−1; 13). ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Даны точки A(0; 1), B(–1; 0), C(1; 0), D(0; –1). Найти AB + CD . 2. Даны точки P(–8; 3), E(3; –2), K(–5; 0), F(3; 4). Найти PE + FK. 3. Даны точки O(0; 0), M(3; 8), N(0; –2), R(4; 4). Найти MO + RN . 56
Нахождение неизвестной координаты вектора по второй его координате и длине АЛГОРИТМ  37 Записать формулу длины вектора.   Подставить в нее известные величины.   Выразить и вычислить неизвестную координату вектора.   Записать ответ. ПРИМЕР Длина вектора (абсолютная величина вектора) a равна 60, a(48; n). Найти n. Решение.     a = a12 + a22 482 + n2 = 60 ; 482 + n2 = 602. n2 = 602 – 482 = (60 – 48) ⋅ (60 + 48) = 12 ⋅ 108; n = 12 ⋅ 108 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 36 = 2 ⋅ 3 ⋅ 6 = 36. Ответ: 36. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Абсолютная величина вектора b(24; m) равна 25. Найти m. 2. Найти x, если абсолютная величина вектора a(9; x) равна 15. 3. Абсолютная величина вектора c (y; 20) равна 25. Найти y. 57
ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ 1. По двум углам: ∠ A = ∠ A 1, ∠ C = ∠ C 1 B C A 2. По двум пропорциональ­ ным сторонам и углу между ними: AB BC ∠ B = ∠ B1, = A1B1 B1C1 3. По трем пропорциональ­ ным сторонам: AB BC AC = = A1B1 B1C1 A1C1 B1 A1 C1 B B1 C A A1 C1 B B1 C A A1 C1 Помни! Знак, обозначающий подобие фигур: ". В подобных треугольниках соответствующие углы равны. Важно знать! Преобразование одной фигуры в другую называется пре­ образованием подобия, если при этом преобразовании рас­ стояния между точками изменяются в одинаковое число раз. СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ Прямая, параллельная сторо­ не треугольника, пересекаю­ щая две его другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному. Если l C AC, l ∩ AB = A1, l ∩ BC = C1, тогда  ABC "  A1BC1 58 B A1 A C1 C l
Соответствующие высоты по­ добных треугольников отно­ сятся как соответствующие стороны (k — коэффициент A подобия): BE AC BC AB = = = = k B1E1 A1C1 B1C1 A1B1 B B1 E C A1 Периметры подобных тре­ угольников относятся как их соответствующие линейные измерения (стороны, высоты, медианы, биссектрисы) P∆ABC AB = =k P∆A1B1C1 A1B1 Отношение площадей подоб­ ных треугольников равно ква­ драту коэффициента подобия S∆ABC  AB  = = k2 S∆A1B1C1  A1B1  E 1 C1 2 Важно знать! Прямая, параллельная сторо­ не треугольника, пересекаю­ щая две его другие стороны, делит эти стороны на пропор­ циональные отрезки B A1 C1 l A l C AC BA1 BC1 = AA1 CC1 C СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ 1. При преобразовании подобия точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой, порядок их взаимного расположения сохраняется. 2. При преобразовании подобия прямые переходят в прямые, полупря­мые — в полупрямые, а отрез­ки — в отрезки. 3. При преобразовании подобия сохраняются углы между по­ лупрямыми. Высота прямоугольного треугольника, опущен­ ная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных данному. C A E B  ACB "  AEC,  BCA "  BEC 59
Теорема Менелая Если на сторонах AB и BC треуголь­ ника ABC взяты соответственно точ­ ки C1 и A1, а на продолжении сто­ роны AC — точка B1, то для того, чтобы точки A1, B1, C1 принадлежа­ ли одной данной прямой, необходи­ мо и достаточно, чтобы выполня­ лось равенство: AC1 BA1 CB1 ⋅ ⋅ =1 C1B A1C B1 A C1 B A1 A C B1 Обобщенная теорема Фалеса Параллельные прямые, пересека­ ющие две данные прямые и отсе­ кающие на одной прямой равные отрезки, отсекают равные отрезки и на другой прямой. Если A1B1 C A2B2 C A3B3, A1A2 = A2A3, тогда B1B2 = B2B3 a A b A1 A2 B A3 B1 B2 B3 38 Нахождение неизвестной стороны одного из подобных треугольников АЛГОРИТМ  Выполнить рисунок к задаче.   Записать равенства отношений соответствующих сто­ рон подобных треугольников.   Оставить то равенство отношений, которое содержит одно неизвестное — искомую сторону, и найти это неиз­ вестное, решив полученную пропорцию.   60 Записать ответ.
ПРИМЕР Треугольники ABC и MNE подобны. Найти AB, если MN = 8 см, BC = 12 см, NE = 24 см. Решение. N  B ? A 8 24 12 C M E  AB BC AC Так как по условию  ABC "  MNE, то = = . MN NE ME   MN ⋅ BC 8 ⋅ 12 AB BC = = 4 (см). = ; AB = NE MN NE 24 2 Ответ: 4 см. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти BC, если  EON "  ACB, EN = 3 см, ON = 5 см, AB = 48 см. 2. Треугольники KRN и ABC подобны, KR = 2,1 см, AB = 6,3 см, AC = 7,2 см. Найти KN. 3. Известно, что  A1B1C1 "  ABC, A1C1 = 32 м, A1B1 = 28 м, AC = 4 м. Найти AB. 61
ВПИСАННЫЕ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ УГЛЫ ПЛОСКИЙ УГОЛ Угол разбивает плоскость на две части, каждая из которых называется плоским углом. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ УГОЛ Плоские углы с общими сторонами называются дополни­тель­ ными. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ И ВПИСАННЫЙ УГЛЫ Центральным углом называется плоский угол с вершиной в центре окружности, стороны которого пересекают эту окружность. Вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность. Угол, вписанный в окруж­ ность, равен половине со­ ответствующего централь­ ного угла. ∠ ABC — вписанный, ∠ AOC — центральный Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны B α O A C C1 α α α O Вписаные углы, опираю­щи­ е­ся на одну хорду, равны. ∠ ABC = ∠ CKA, т. к. они опираются на хор­ ду AC C O K B K A C 62 C2 B A Вписанный угол, опираю­ щийся на диаметр, являет­ ся прямым C 2α
Нахождение центрального угла по соответствующему ему вписанному углу в окружность АЛГОРИТМ  39 Величину данного вписанного угла умножить на 2.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти центральный угол, если вписанный угол в окружность, опирающийся на ту же дугу, равен 40°. Решение.   40° ⋅ 2 = 80°. Ответ: 80°. 40° O 80° ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти центральный угол, если вписанный угол, соответству­ ющий ему, равен: 1) 60°; 2) 15°; 3) x°. Нахождение вписанного угла по соответствующему центральному углу АЛГОРИТМ  40 Величину данного угла разделить на 2.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти величину вписанного угла, если соответствующий ему центральный угол равен 110°. Решение.   110° : 2 = 55°. 55° O Ответ: 55°. 110° 63
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Найти вписанный угол, если величина соответствующего ему центрального угла, равна: 1) 94°; 2) 160°; 3) 4a°. ДУГА ОКРУЖНОСТИ Часть окружности, расположенную между сторонами цент­ рального угла, называют дугой окружности: ∪ AC, соответст­ вующая этому центральному углу. Помни! Центральный угол AOC опирается на ∪ AC. ∠ AOC и ∪ AC имеют одинаковые градусные меры. Вписанный угол ABC опирается на ∪ AC, тогда ∠ABC = Угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой дуг, на кото­ рые опирается данный угол и вертикальный ему угол. ∪ AD + ∪ BC ∠AED = 2 Если вершина угла лежит за пределами окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то вели­ чина угла равна полураз­ ности большей и меньшей дуг, находящихся между его сторонами. ∪ BC − ∪ EF ∠BAC = 2 Величина угла между ка­ сательной и хордой, кото­ рая проходит через точку касания, равна половине дуги, лежащей между его сторонами. 1 ∠BAC = ∪ AB 2 64 C E 1 ∪ AC. 2 B O A D E B A F O C C A O B
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ c Квадрат любой стороны тре­ угольника равен сумме квадра­ тов двух его сторон без удвоен­ ного произведения этих сторон на косинус угла между ними. a2 = c2 + b2 – 2bc ⋅ cos a. a a b Следствия: b2 + c2 − a2 1) cos α = . 2bc 2) ∠ a — тупой, если –1 ≤ cos a < 0 (или a2 > b2 + c2); ∠ a — острый, если 0 < cos a ≤ 1 (или a2 < b2 + c2). 3) ∠ a — прямой, если cos a = 0. Определение вида треугольника, если известны его стороны АЛГОРИТМ  41 Найти квадраты данных сторон треугольника a2, b2, c2.  2  2 2 Если a > b + c , то противолежащий стороне a угол ту­ пой (если a2 < b2 + c2, то противолежащий стороне a угол острый; если a2 = b2 + c2, то противолежащий стороне a угол прямой).   Сделать вывод.   Записать ответ. ПРИМЕР Определить вид треугольника, если его стороны равны 4 см, 5 см, 6 см. Решение.   42 = 16; 52 = 25; 62 = 36. 16 < 25 + 36; 25 < 16 + 36; 36 < 16 + 25. 65
  Значит, углы, лежащие против данных сторон, острые. Ответ: треугольник остроугольный. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО Определить вид треугольника, если его стороны равны: 1) 5 м, 13 м, 12 м; 2) 8 дм, 4 дм, 7 дм; 3) 5 мм, 8 мм, 6 мм. ТЕОРЕМА СИНУСОВ b c a a g a b c = = = R, sin α sin β sin γ где R — радиус окруж­ ности, описанной около треугольника. b Помни! Если в треугольнике есть тупой угол, то противолежащая ему сторона наибольшая. 42 Нахождение неизвестной стороны треугольника с помощью теоремы синусов АЛГОРИТМ  Выполнить чертеж к задаче.   Записать теорему синусов.   Из записанных равенств выбрать одно, в котором есть одна неизвестная величина — сторона треугольника, ко­ торую нужно найти.   Найти неизвестный член полученной пропорции.   66 Записать ответ.
ПРИМЕР В треугольнике AMC AM = 4 2 см, ∠ C = 45°, ∠ A = 120°. Найти сторону MC. Решение. M  ? 4 2 120° 45° A C  AM MC AC = = . sin ∠C sin ∠A sin ∠M AM MC Отсюда: = . sin ∠C sin ∠A  AM ⋅ sin ∠A 4 2 ⋅ sin 45° MC = = = sin ∠C sin 120°  По теореме синусов: 4 2 ⋅ sin 45° = = sin 120°  2 2 = 4 2⋅ 2⋅2 = 8 = 8 3 3 2⋅ 3 3 3 2 4 2⋅ 2 2 = 4 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 = 8 3 (см). 3 2⋅ 3 3 3 2 4 2⋅ Ответ: 8 3 (см). 3 ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. В треугольнике EBC EB = 4 2 см, ∠ C = 45°, ∠ E = 30°. Найти сторону BC. 2. В треугольнике MNK NK = 6 3 см, ∠ M = 120°, ∠ N = 30°. Найти сторону MK. 3. В треугольнике ABC AC = 4 3 см, ∠ C = 45°, ∠ B = 60°. Найти сторону AB. 67
43 Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника с помощью теоремы синусов АЛГОРИТМ  Выполнить чертеж к задаче.   Записать формулу вычисления R: R = a . α sinα   Вычислить значение R.   Записать ответ. ПРИМЕР В треугольнике ABC AB = 6 2 см, ∠ C = 45°. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника. Решение. B  6 2 45° C A AB . sin ∠C  R=  R=  Ответ: 12 см. 6 2 6 2 = = 6 ⋅ 2 = 12 (см). sin 45° 2 2 ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. В треугольнике ABC AC = 4 3 см, ∠ B = 60°. Найти радиус окружности, описанной около  ABC. 2. В треугольнике ABC BC = 12 дм, ∠ A = 30°. Найти радиус окружности, описанной около  ABC. 3. В треугольнике MOP MP = 5 2 см, ∠ O = 135°. Найти ра­ диус окружности, описанной около  MOP. 68
ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА S= 1 a ⋅ ha 2 S= 1 ab sin α 2 p= a+b+c 2 ha a a α b a b c Формула Герона S= R — радиус описанной окружности S= r — радиус вписанной окружности p( p − a)( p − b)( p − c) abc 4R S=p⋅r S= ab 2 S= a2 3 4 a b a Помни! Равновеликими называются фигуры, площади которых равны. 69
44 Вычисление площади треугольника АЛГОРИТМ  Выполнить чертеж к задаче.   По условию задачи подобрать и записать одну из фор­ мул для вычисления площади треугольника.   Подставить в формулу данные из условия задачи и вы­ числить площадь данного треугольника.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти площадь треугольника, две стороны которого равны 8 см и 7 см, а угол между ними 60°. Решение. Пусть дан треугольник ABC, ∠ A = 60°, AB = 7 см, B AC = 8 см. Запишем формулу вычисле­ 7 ния площади треугольника по двум сторонам и углу меж­ 60° ду ними. C 8 A 1 S∆ABC = ⋅ AB ⋅ AC ⋅ sin ∠ A . 2   1 3 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ sin 60° = 28 ⋅ = 14 3 (см2). 2 2  S∆ABC =  Ответ: 14 3 см2. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти площадь треугольника, стороны которого равны 7 дм, 8 дм и 3 дм. 2. Найти площадь треугольника, если одна из его сторон равна 16 см, а высота треугольника, проведенная к ней, — 9 см. 3. Найти площадь равностороннего треугольника, сторона которого 8 3 см. 70
ПЛОЩАДИ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ Параллелограмм S = a ⋅ ha ha a S = ab sin a a α b d1 ϕ S= 1 d1 ⋅ d2 ⋅ sin ϕ 2 d2 Прямоугольник S = ab a b d ϕ S= 1 2 d sin ϕ 2 d Квадрат S = a2 a a 71
S= d 1 2 d 2 d Ромб S= 1 a ⋅ ha 2 S= 1 d1 ⋅ d2 2 ha a d1 d2 3 = a2 sin a a α a Трапеция a S= a+b ⋅ ha 2 S= 1 d1 ⋅ d2 ⋅ sin ϕ 2 ha b ϕ d1 72 d2
Вычисление площади четырехугольника АЛГОРИТМ  45 Выполнить чертеж к задаче.   Подобрать одну из формул для вычисления площади четырехугольника по условию задачи.   Вычислить площадь четырехугольника, подставив в формулу данные из условия задачи.   Записать ответ. ПРИМЕР Найти площадь параллелограмма, диагонали которого равны 12 см и 16 см, а угол между ними 30°. Решение. Пусть ABCD — данный B C параллелограмм, 16 O AC = 16 см, BD = 12 см, 30°  AOB = 30°. 12 1 S ABCD = AC ⋅ BD ⋅ sin ∠AOB. A D 2 1 1 S ABCD = ⋅ 16 ⋅ 12 ⋅ sin 30° = 96 ⋅ = 48 (см2). 2 2 2 Ответ: 48 см .     ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти площадь параллелограмма, две стороны которого равны 10 дм и 5 2 дм, а угол между ними 45°. 2. Вычислить площадь трапеции, основания которой равны 11 см и 19 см, а высота — 12 см. 3. Найти площадь ромба, сторона которого 26 см, а высота, проведенная к ней, равна 10 см. 73
ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ОБЪЕМЫ МНОГОГРАННИКОВ ПРИЗМА Pосн Периметр основания Площадь полной поверхности Sn Периметр перпендикулярного сечения Pп.с Площадь боковой поверхности Sб Площадь основания Sосн Площадь перпендикулярного сечения Sп.с Боковое ребро a Объем V Прямая призма A h = a, Sб = Pосн ⋅ h, Sп = Sб + 2Sосн, V = Sосн ⋅ h B D a C A1 B1 D1 C1 Наклонная призма B D A a C h C1 B1 A1 Перпендикулярное сечение — заштрихованная часть. Sб = Pп.с ⋅ a, Sп = Sб + 2Sосн, V = Sосн ⋅ h = Sп.с ⋅ a D1 Помни! Если некий многоугольник является перпендикулярным се­ чением призмы, то его внутренние углы являются линей­ ными углами двугранных углов между соответствующими боковыми гранями. 74
Важно знать! Прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник, называется правильной. В случае прямой призмы линейными углами двугран­ ных углов между боковыми гранями являются углы при основании. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД Наклонный параллелепипед B C α A D c C1 h ϕ B1 A1 Заштрихованная часть — пер­ пендикулярное сечение. Sб = c ⋅ Pп.с, Sп = Sб + 2Sосн, V = Sосн ⋅ h, V = abc ⋅ sin j ⋅ sin a b a D1 Прямой параллелепипед B A C α D c B1 a A1 C1 Боковые ребра перпендикуляр­ ны основаниям. ABCD — параллелограмм. h = c, Sб = 2c(a + b), V = abc sin a D1 b Прямоугольный параллелепипед B C A d B1 D c a A1 b D1 C1 ABCD — прямоугольник. Высота — боковое ребро, d — диагональ, a, b — стороны основания, c — боковое ребро, Sб = (a + b) ⋅ 2c, Sп = 2(ab + bc + ac), V = abc, d2 = a2 + b2 + c2 75
Куб a — ребро куба, Sб = 4a2, Sп = 6a2, V = a3 a a a 46 Вычисление площади поверхности и объема многогранника АЛГОРИТМ  Выполнить чертеж к задаче.   По условию задачи выбрать необходимую формулу для вычисления площади боковой поверхности призмы, или площади полной поверхности, или объема призмы.   Подставить в эту формулу значения из условия задачи и вычислить искомую величину.   Записать ответ. ПРИМЕР Основанием прямой призмы является правильный шести­ угольник со стороной 3 см, а боковое ребро призмы равно 8 см. Найти площадь боковой поверхности призмы. Решение. Sб.п = Pосн ⋅ H, где Pосн — пе­ риметр основания призмы, H — длина бокового ребра прямой призмы. 8 см   3 см 76  Sб.п = 6 ⋅ 3 ⋅ 8 = 144 (см2).  Ответ: 144 см2.
ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти площадь поверхности и объем куба с ребром 7 см. 2. Основанием прямой призмы является треугольник со сторо­ нами 13 см, 14 см, 15 см. Найти объем призмы и площадь ее боковой поверхности, если ее боковое ребро равно 5 см. 3. Найти площадь поверхности и объем прямоугольного па­ раллелепипеда, линейные измерения которого 10 м, 8 м, 6 м. ПИРАМИДА S l A β E BH O C α D Sб равна сумме площадей боко­ вых граней, Sп = Sб + Sосн, 1 V = Sîñí ⋅ H. 3 Апофема — l, высота — H, полупериметр основания — p, полная поверхность — Sп, площадь основания — Sосн, площадь боковой поверхности — Sб, объем — V Свойства пирамиды 1. Если боковые ребра пирамиды наклонены к плоско­ сти основания под одинаковым углом a (т. O — центр окружности, описанной около основания), тогда: •• все боковые ребра равны: SA = SE = SD = SC = SB = b; •• вершина проектируется в центр окружности, описанной около основания. Радиус R описанной окружности: R = bcos a. Высота H: H = bsin a или H = R tg a 2. Если боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одинаковым углом b, тогда: •• все высоты боковых граней (апофемы) равны l; •• вершина проектируется в центр окружности, вписанной в основание (т. O — центр вписанной в основание окруж­ ности). Радиус r вписанной окружности: r = l cos b. Высота H: H = r tg b или H = l sin b. Площадь S: Sосн = Sб ⋅ cos b, Sб = pl, Sосн = pr 77
Усеченная пирамида A1 S1 B1 lC H 1 A B S2 S п = S б + S1 + S 2 S1, S2 — площади оснований, H — высота, l — апофема, p1, p2 — полупериметры оснований O C Sб = l(p1 + p2), H V = S1 + S2 + S1 ⋅ S2 3 Для правильной усеченной пирамиды ( ) Правильная треугольная пирамида S b l A β H O α a B r = lcosb, R = bcosa, a = b 3cos a, a = 2l 3cos b, 2l 3cos b = b cos a, a2 H 3 V = , 12 3al Sá = , Sосн = Sб cos b r C 47 Вычисление площади поверхности или объема пирамиды АЛГОРИТМ  Выполнить чертеж к задаче.   Выбрать формулу для вычисления по условию задачи.   Подставить данные из условия задачи в формулу и вы­ числить искомую величину.   78 Записать ответ.
Помни! Основания усеченной пирамиды — подобные многоуголь­ ники. Пирамида называется правильной, если ее основание — правильный многоугольник, а основание высоты является центром этого многоугольника. ПРИМЕР Найти объем пирамиды, в основании которой лежит правиль­ ный треугольник со стороной 12 см, а высота пирамиды равна 6 см. Решение.  S 6 A B O 12  C SO ⊥ (ABC) 1 V = S ABC ⋅ SO. 3  V =  Ответ: 72 3 см3. 1 BC2 3 1 122 ⋅ 3 ⋅ ⋅ SO = ⋅ ⋅ 6 = 72 3 (см3). 3 4 3 4 ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти объем пирамиды, основание которой — квадрат со стороной 6 см, а высота пирамиды равна 9 см. 2. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, в основа­ нии которой лежит равносторонний треугольник со сторо­ ной 2 см, а апофема равна 3 см. 3. Высота боковой грани пирамиды равна 4 дм, основание — квадрат со стороной 5 дм. Найти площадь поверхности пирамиды. 79
ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ ЦИЛИНДР A O1 B H D R O l R C O1 R — радиус основания, H — высота, Sб — боковая поверхность, Sп — полная поверхность, V — объем, l — образующая, OO1 — ось цилиндра. Прямоуголник ABCD — осевое сечение. l = H, Sб = 2pR ⋅ H, Sп = 2pR (R + H) (Sп = 2Sосн + Sб), Sп = 2pRH + 2pR2, V = pR2H Сечением цилиндра плоскостью, парал­ лельной его основанию, является окруж­ ность, равная основанию цилиндра O O1 Сечением цилиндра плоскостью, парал­ лельной его оси, является прямоуголь­ ник, две стороны которого — образующая цилиндра, а две другие — параллельные хорды O Помни! Касательная плоскость к цилиндру — плоскость, прохо­ дящая через образующую прямого цилиндра и перпен­ дикулярную осевому сечению, проведенному через эту образующую. 80
КОНУС S l H l B R O A S O1 Sсег H R l — образующая, SO — ось цилиндра. Равнобедренный  ASB — осевое пересечение. Sб = pRl, Sп = Sосн + Sб, Sп = pR (R + l), 1 V = πR2 H 3 Площадь сечения конуса, параллельного основанию. OS = H, SO1 = 1, d2 Sñå ÷ = πR2 ⋅ 2 , H d — диаметр основания O S S∆ASB = S∆AOB , cos ∠SDO Sîñí , cos β Sосн — площадь основания, β — угол наклона образующей конуса к его основанию Sá = A O D B  ASB — сечение конуса, пересекающее основание конуса по хорде AB. ∠ AOB — угол, под которым видно хорду AB из центра основания. ∠ ASB — угол, под которым видно хорду AB из вершины конуса.  ASB — равнобедренный (SA = SB).  AOB — равнобедренный (OA = OB = R). OD — биссектриса, медиана, высота  AOB — расстояние от т. O до AB. 81
SD — расстояние от точки S до хорды AB. ∠ SDO — линейный угол двугранного угла между плоско­ стью сечения (ASB) и плоскостью основания (AOB) Усеченный конус B A R, r — радиусы оснований. Равнобокая трапеция ABCD — осевое сечение. H l Sб = pl(R + r), 2 2 S п = p(R + r + l(R + r)), D 1 O R V = πH (R2 + Rr + r 2 ) 3 r C Помни! Высота усеченного конуса — расстояние между плоскостя­ ми его оснований. Помни! Высота усеченного конуса равна длине отрезка оси, кото­ рый находится между плоскостями оснований. Важно знать! Осевое сечение усеченного конуса — равнобокая трапеция, у которой основания — диаметры оснований усеченного ко­ нуса; боковые стороны — образующие; высота — высота усеченного конуса. ШАР. СФЕРА H R 82 O R — радиус шара (сферы). H — высота сегмента. Поверхность шара — сфера. 4 Vø = πR3 — объем шара. 3 2 Sсф = 4pR (площадь сферы — площадь поверхности шара)
Шаровой пояс Высота пояса — H. Радиусы оснований r1, r2. R — радиус шара. S = 2pRH, 1 V = πH 3 (3 R − H ) 3 r1 H O r2 Шаровой сектор H r R O Радиус основания сегмента, входящего в сектор — r. Радиус шара — R. Высота сегмента — H. S = pR(2H + r), 2 V = πR2 H 3 Вычисление поверхностей и объемов цилиндра и конуса АЛГОРИТМ  48 Выполнить чертеж к задаче.   Записать формулу, необходимую для нахождения неиз­ вестной величины по условию задачи.   Подставить данные из условия задачи в формулу и вы­ числить необходимые значения.   Записать ответ. 83
ПРИМЕР Радиус основания цилиндра равен 6 см, а его образующая — 7 см. Найти объем цилиндра. Решение.  O1 A 7 O    6 B V = Sосн ⋅ H, Sосн = πr2, H = AB. V = π ⋅ 62 ⋅ 7 = 252π (см3). Ответ: 252π см3. ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО 1. Найти площадь поверхности цилиндра, радиус основания которого равен 10 см, а высота — 9 см. 2. Радиус основания конуса — 12 дм, а высота конуса — 5 дм. Найти площадь поверхности и объем конуса. 3. Найти площадь поверхности и объем шара, радиус которо­ го равен 6 см. 84
ОТВЕТЫ К ЗАДАНИЯМ «ВЫПОЛНИ САМОСТОЯТЕЛЬНО» АЛГОРИТМ 1 1. 11,1 дм. 2. 12,2 м. 3. 1,882 дм. 4. 820 м. АЛГОРИТМ 2 1. 10,8 м. 2. 1,6 дм. 3. 0,4 см. 4. 11 дм. АЛГОРИТМ 3 1. M лежит между точек K и L. 2. A лежит между точек E и B. 3. B лежит между точек A и C. АЛГОРИТМ 4 1. 16 см и 9 см. 2. 4 м и 32 м. 3. 20 мм и 12 мм. АЛГОРИТМ 5 1. 21 см и 33 см. 2. 56 дм и 32 дм. 3. 55 мм и 75 мм. АЛГОРИТМ 6 1. 101°. 2. 83°. 3. 73°. АЛГОРИТМ 7 1. 47°. 2. 23°. 3. 36°. АЛГОРИТМ 8 1. 32° и 53°. 2. 16° и 96°. 3. 72° и 108°. 85
АЛГОРИТМ 9 1. 33°. 2. 64°. 3. 45°. АЛГОРИТМ 10 1. 164°. 2. 56°. 3. 90°. АЛГОРИТМ 11 1. MP = 12 см, ∠ M = 83°. 2. KE = 54 дм, NG = 45 дм, AN = 24 дм, ∠ G = 36°, ∠ S = 126°, ∠ A = 18°. 3. 29°. АЛГОРИТМ 12 1. 140°. 2. 64°. 3. 53°. АЛГОРИТМ 13 1. 74°; 106°; 74°. 2. 148°; 32°; 148°. 3. 63°; 117°; 63°. АЛГОРИТМ 14 1. 19°; 161°; 19°; 161°. 2. 80°; 100°; 80°; 100°. 3. 42°; 138°; 42°; 138°. АЛГОРИТМ 15 1. 40 см. 2. 33 дм. 3. 51 м. АЛГОРИТМ 16 1. 4 м; 12 м; 12 м. 2. 11 дм; 63 дм; 44 дм. 3. 14 см; 28 см; 28 см. АЛГОРИТМ 17 1. 8 см. 2. 2,3 м. 3. 19 дм. 86
АЛГОРИТМ 18 1. 100°. 2. 39°. 3. 84°. АЛГОРИТМ 19 1. 79°. 2. 126°. 3. 162°. АЛГОРИТМ 20 1. 78°. 2. 128°. 3. 75°. АЛГОРИТМ 21 1. 130°. 2. 60°. 3. 156°. АЛГОРИТМ 22 1. 70°. 2. 10°. 3. 78°. АЛГОРИТМ 23 1. Три угла по 125° и четыре — по 55°. 2. Три угла по 33° и четыре — по 147°. 3. Три угла по 16° и четыре — по 164°. АЛГОРИТМ 24 1. 8 м. 2. 12 см. 3. 8 2 см. АЛГОРИТМ 25 1. 22 дм. 2. 8 мм. 3. 39 см. АЛГОРИТМ 26 1. 11 см. 2. 50 см. 3. 21 дм. 87
АЛГОРИТМ 27 1. 68°; 112°; 68°. 2. 100°; 80°; 100°. 3. 145°; 35°; 145°. АЛГОРИТМ 28 1. 25 см. 2. 18 см. 3. 12 дм. АЛГОРИТМ 29 1. 10 см. 2. 53 дм. 3. 5 м. АЛГОРИТМ 30 1. 30 м. 2. 0,8 дм. 3. 48 мм = 4 3 мм. АЛГОРИТМ 31 1. 5. 2. 10. 3. 5 2. АЛГОРИТМ 32 1. (–5; –3). 2. (2,5; 4). 3. (6,5; 3). АЛГОРИТМ 33. 1. y = –x – 1. 2. y = x. 6 1 3. y = −3 x − 3 . 7 7 АЛГОРИТМ 34 1 1. . 2 2. 1. 3. 0. АЛГОРИТМ 35 1. x2 + y2 = 64. 2. (x + 5)2 + (y + 2)2 = 0,01. 3. (x – 4)2 + (y – 9)2 = 36. 88
АЛГОРИТМ 36 1. (−2; − 2). 2. (3; − 9) . 3. (−7; − 14). АЛГОРИТМ 37 1. 7. 2. 12. 3. 15. АЛГОРИТМ 38 1. 80 см. 2. 2,4 см. 3. 3,5 м. АЛГОРИТМ 39 1. 120°. 2. 30°. 3. 2x°. АЛГОРИТМ 40 1. 47°. 2. 80°. 3. 2a°. АЛГОРИТМ 41 1. Прямоугольный. 2. Остроугольный. 3. Тупоугольный. АЛГОРИТМ 42 1. 4 см. 2. 6 см. 3. 4 2 см. АЛГОРИТМ 43 1. 8 см. 2. 24 дм. 3. 10 см. АЛГОРИТМ 44 1. 6 3 дм2. 2. 72 см2. 3. 48 3 см2. 89
АЛГОРИТМ 45 1. 50 дм2. 2. 180 см2. 3. 260 см2. АЛГОРИТМ 46 1. 294 см2; 343 см3. 2. 420 см3; 210 см2. 3. 376 см2; 480 м3. АЛГОРИТМ 47 1. 108 см3. 2. 9 см2. 3. 65 дм2. АЛГОРИТМ 48 1. 380π см2. 2. 300π дм2; 240π дм3. 3. 144π см2; 288π см3. 90
СПИСОК АЛГОРИТМОВ А 1. Нахождение длины отрезка, если известны длины его частей���������������������������������������� 6 А 2. Нахождение длины части отрезка, если известна длина всего отрезка и одной из его частей �������������������������������������������� 7 А 3. Определение расположения точек на прямой ������������������������������������������������ 8 А 4. Нахождение длин частей отрезка с помощью уравнения, если в условии указано, что они сравниваются �������������������������������������������� 9 А 5. Нахождение длин частей отрезка, если он делится своей точкой на части, пропорциональные данным числам �������������10 А 6. Нахождение величины угла, если известны его части �������������������������������������������������13 А 7. Нахождение части угла, если известна величина всего угла и другой его части �������14 А 8. Нахождение частей угла с помощью уравнения, если известна зависимость между ними ���������������������������������������������15 А 9. Нахождение частей угла, на которые его делит биссектриса �����������������������������������17 А 10. Нахождение угла, если известна его часть между стороной и биссектрисой �����������������17 А 11. Нахождение неизвестных сторон и углов равных треугольников�������������������������������19 А 12. Нахождение угла, смежного данному ���������21 А 13. Нахождение углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если один из углов известен �������������������������������������22 91
А 14. Нахождение углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, если известна сумма двух из них�������������������������������������23 А 15. Вычисление периметра треугольника, если известны его стороны�������������������������26 А 16. Нахождение сторон треугольника, если известны зависимость между ними и периметр треугольника���������������������������27 А 17. Нахождение длины отрезка, используя признаки равенства треугольников �������������28 А 18. Нахождение неизвестного угла треугольника, если два других его угла известны �������������������������������������������������30 А 19. Нахождение внешнего угла треугольника, если известен угол треугольника, смежный с ним�������������������������������������������������������31 А 20. Нахождение внешнего угла треугольника, если известны два угла треугольника, не смежные с ним �����������������������������������32 А 21. Нахождение угла при вершине равнобедренного треугольника �������������������33 А 22. Нахождение угла при основании равнобедренного треугольника �������������������33 А 23. Нахождение углов, которые получаются при пересечении двух параллельных прямых секущей, если известен один из них ���������������������������������������������35 А 24. Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника, если известны его сторона и противолежащий ей угол�������������������������37 А 25. Нахождение углов параллелограмма, если известен один из них �������������������������39 А 26. Вычисление средней линии трапеции ���������41 92
А 27. Нахождение средней линии треугольника �������������������������������������������42 А 28. Нахождение периметра треугольника, стороны которого являются средними линиями сторон данного треугольника���������43 А 29. Нахождение гипотенузы с прямоугольного треугольника по его катетам a и b���������������45 А 30. Нахождение неизвестного катета a прямоугольного треугольника по его гипотенузе c и другому катету b �����������������46 А 31. Нахождение расстояния между точками���������������������������������������������������48 А 32. Нахождение координат середины отрезка�����������������������������������������������������49 А 33. Составление уравнения прямой, проходящей через две заданные точки���������52 А 34. Нахождение углового коэффициента прямой, проходящей через две точки�����������53 А 35. Составление уравнения окружности по координатам ее центра и радиусу�����������54 А 36. Нахождение суммы векторов, если известны координаты их начал и концов���������������������������������������������������56 А 37. Нахождение неизвестной координаты вектора по второй его координате и длине ���������������������������������������������������56 А 38. Нахождение неизвестной стороны одного из подобных треугольников �����������������������60 А 39. Нахождение центрального угла по соответствующему ему вписанному углу в окружность�������������������������������������63 А 40. Нахождение вписанного угла по соответствующему центральному углу���������������������������������������������������������63 93
А 41. Определение вида треугольника, если известны его стороны�������������������������65 А 42. Нахождение неизвестной стороны треугольника с помощью теоремы синусов ���������������������������������������������������66 А 43. Нахождение радиуса окружности, описанной около треугольника с помощью теоремы синусов���������������������������������������68 А 44. Вычисление площади треугольника�������������70 А 45. Вычисление площади четырехугольника �����73 А 46. Вычисление площади поверхности и объема многогранника ���������������������������76 А 47. Вычисление площади поверхности или объема призмы�����������������������������������78 А 48. Вычисление поверхностей и объемов цилиндра и конуса �����������������������������������83 94
6′ 0017 0192 0366 0541 0715 0889 1063 1236 1409 1582 1754 1925 2096 2267 2436 2605 54' 0′ 0° 0,0000 0175 0349 0523 0698 1219 1392 1564 2079 2250 2419 4° 6° 7° 8° 9° 11° 12° 13° 14° 15° 0,2588 60' 3° 10° 0,1736 1908 2° 5° 0,0872 1045 1° А 48' 2622 2453 2284 2113 1942 1771 1599 1426 1253 1080 0906 0732 0558 0384 0209 0035 12′ 42' 2639 2470 2300 2130 1959 1788 1616 1444 1271 1097 0924 0750 0576 0401 0227 0052 18′ 36' 2656 2487 2317 2147 1977 1805 1633 1461 1288 1115 0941 0767 0593 0419 0244 0070 24′ 24' 2689 2521 2351 2181 2011 1840 1668 1495 1323 1149 0976 0802 0628 0454 0279 0105 36′ 42′ 18' 2706 2538 2368 2198 2028 1857 1685 1513 1340 1167 0993 0819 0645 0471 0297 0122 КОСИНУСЫ 30′ 2672 2504 2334 2164 1994 1822 1650 1478 1305 1132 0958 0785 0610 0436 0262 0087 30′ ТАБЛИЦА. СИНУСЫ 12' 2723 2554 2385 2215 2045 1874 1702 1530 1357 1184 1011 0837 0663 0488 0314 0140 48′ 1564 1392 2419 2250 2079 1908 6' 2740 0' 2756 2571 0,2588 2402 2233 2062 1891 1719 0,1736 1547 1374 1201 1219 А 74° 75° 76° 77° 78° 79° 80° 81° 82° 83° 84° 1028 1045 86° 87° 88° 89° 90° 85° 0698 0523 0349 0175 0,0000 60′ 0854 0,0872 0680 0506 0332 0157 54′ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2' 6 3 1' 6 2′ 3 1′ 3' 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3′ ПРИЛОЖЕНИЯ 95
96 2773 2940 3107 3272 3437 3600 4083 4242 4399 4863 5015 54' 2756 2924 3090 3256 3746 3907 4067 4540 4695 4848 19° 21° 22° 23° 24° 26° 27° 28° 29° 30° 0,5000 60' 18° 25° 0,4226 4384 17° 20° 0,3420 3584 16° 4710 4555 3923 3762 6′ 0′ А 48' 42' 5045 4894 4879 5030 4741 4586 4431 4274 4115 3955 3795 3633 3469 3305 3140 2974 2807 18′ 4726 4571 4415 4258 4099 3939 3778 3616 3453 3289 3123 2957 2790 12′ 36' 5060 4909 4756 4602 4446 4289 4131 3971 3811 3649 3486 3322 3156 2990 2823 24′ 24' 5090 4939 4787 4633 4478 4321 4163 4003 3843 3681 3518 3355 3190 3024 2857 36′ КОСИНУСЫ 30' 5075 4924 4772 4617 4462 4305 4147 3987 3827 3665 3502 3338 3173 3007 2840 30′ 42′ 18' 5105 4955 4802 4648 4493 4337 4179 4019 3859 3697 3535 3371 3206 3040 2874 ТАБЛИЦА. СИНУСЫ 12' 5120 4970 4818 4664 4509 4352 4195 4035 3875 3714 3551 3387 3223 3057 2890 48′ 3256 3090 2924 60′ 4067 3907 3746 3584 4848 4695 4540 4384 6' 5135 0' 5150 4985 0,5000 4833 4679 4524 4368 4210 0,4226 4051 3891 3730 3567 3404 0,3420 3239 3074 2907 54′ А 59° 60° 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 6 6 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2' 6 3 1' 2′ 1′ 3' 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 3′
97 5606 5750 5892 6307 6441 6574 6704 6833 6959 7083 54′ 5299 5446 5592 6018 6157 6293 6691 6820 6947 36° 37° 38° 39° 41° 42° 43° 44° 45° 0,7071 60′ 34° 40° 0,6428 6561 33° 35° 0,5736 5878 32° 6170 6032 5461 5314 5165 5150 31° 6′ 0′ А 48′ 42′ 7108 6984 6972 7096 6858 6730 6600 6468 6334 6198 6060 5920 5779 5635 5490 5344 5195 18′ 6845 6717 6587 6455 6320 6184 6046 5906 5764 5621 5476 5329 5180 12′ 36′ 7120 6997 6871 6743 6613 6481 6347 6211 6074 5934 5793 5650 5505 5358 5210 24′ 24′ 7145 7022 6896 6769 6639 6508 6374 6239 6101 5962 5821 5678 5534 5388 5240 36′ КОСИНУСЫ 30′ 7133 7009 6884 6756 6626 6494 6361 6225 6088 5948 5807 5664 5519 5373 5225 30′ 42′ 18′ 7157 7034 8909 6782 6652 6521 6388 6252 6115 5976 5835 5693 5548 5402 5255 ТАБЛИЦА. СИНУСЫ 12′ 7169 7046 6921 6794 6665 6534 6401 6266 6129 5990 5850 5707 5563 5417 5270 48′ 5592 5446 5299 60′ 6293 6157 6018 6947 6820 6691 6561 6′ 7181 0′ 7193 7059 0,7071 6934 6807 6678 6547 6414 0,6428 6280 6143 6004 5864 0,5878 5721 0,5736 5577 5432 5284 54′ А 44° 45° 46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° 5 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2′ 5 2 1′ 2′ 1′ 3′ 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 3′
98 6′ 7206 7325 7443 7559 7672 7782 7891 7997 8100 8202 8300 8396 8490 8581 8669 54′ 0′ 7193 7314 7431 7547 7880 7986 8090 8387 8480 8572 48° 49° 51° 52° 53° 54° 56° 57° 58° 59° 60° 0,8660 60′ 47° 55° 0,8192 8290 46° 50° 0,7660 7771 А 48′ 42′ 8686 8599 8590 8678 8508 8415 8320 8221 8121 8018 7912 7804 7694 7581 7466 7349 7230 18′ 8499 8406 8310 8211 8111 8007 7902 7793 7683 7570 7455 7337 7218 12′ 36′ 8695 8607 8517 8425 8329 8231 8131 8028 7923 7815 7705 7593 7478 7361 7242 24′ 24′ 8712 8625 8536 8443 8348 8251 8151 8049 7944 7837 7727 7615 7501 7385 7266 36′ КОСИНУСЫ 30′ 8704 8616 8526 8434 8339 8241 8141 8039 7934 7826 7716 7604 7490 7373 7254 30′ 42′ 18′ 8721 8634 8545 8453 8358 8261 8161 8059 7955 7848 7738 7627 7513 7396 7278 ТАБЛИЦА. СИНУСЫ 12′ 8729 8643 8554 8462 8368 8271 8171 8070 7965 7859 7749 7638 7524 7408 7290 48′ 7547 7431 7314 60′ 8090 7986 7880 7771 8572 8480 8387 8290 6′ 8738 0′ 8746 8652 0,8660 8563 8471 8377 8281 8181 0,8192 8080 7976 7869 7760 7649 0,7660 7536 7420 7302 54′ А 29° 30° 31° 32° 33° 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° 4 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2′ 4 2 1′ 2′ 1′ 3′ 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 3′
99 6′ 8755 8838 8918 8996 9070 9143 9212 9278 9342 9403 9461 9516 9568 9617 9664 54′ 0′ 8746 8829 8910 8988 9205 9272 9336 9397 9455 9511 9563 9613 9659 60′ 61° 62° 63° 64° 65° 0,9063 9135 А 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 74° 75° 48′ 42′ 9673 9627 9622 9668 9578 9527 9472 9415 9354 9291 9225 9157 9085 9011 8934 8854 8771 18′ 9573 9521 9466 9409 9348 9285 9219 9150 9078 9003 8926 8846 8763 12′ 36′ 9677 9632 9583 9532 9478 9421 9361 9298 9232 9164 9092 9018 8942 8862 8780 24′ 24′ 9686 9641 9593 9542 9489 9432 9373 9311 9245 9178 9107 9033 8957 8878 8796 36′ КОСИНУСЫ 30′ 9681 9636 9588 9537 9483 9426 9367 9304 9239 9171 9100 9026 8949 8870 8788 30′ 42′ 18′ 9690 9646 9598 9548 9494 9438 9379 9317 9252 9184 9114 9041 8965 8886 8805 ТАБЛИЦА. СИНУСЫ 12′ 9694 9650 9603 9553 9500 9444 9383 9323 9259 9191 9121 9048 8973 8894 8813 48′ 8988 8910 8829 60′ 9336 9272 9205 9135 9613 9563 9511 6′ 9699 0′ 9703 9655 0,9659 9608 9558 9505 9449 0,9455 9391 0,9397 9330 9256 9198 9128 9056 0,9063 8980 8902 8821 54′ А 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 26° 27° 28° 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2′ 3 1 1′ 2′ 1′ 3′ 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 3′
100 9748 9785 9820 9851 9880 9744 9781 9816 9903 9925 9945 9962 9976 9986 9994 9998 78° 79° 80° 0,9848 9877 77° 81° 82° 83° 84° 85° 86° 87° 88° 89° 60′ 90° 1,0000 9707 9703 76° 54′ 9999 9995 9987 9977 9963 9947 9928 9905 6′ 0′ А 42′ 9999 9999 48′ 9996 9989 9979 9966 9951 9932 9910 9885 9857 9826 9792 9755 9715 18′ 9995 9988 9978 9965 9949 9930 9907 9882 9854 9823 9789 9751 9711 12′ 9997 9990 9981 9969 9954 9936 9914 9890 9863 9833 9799 9763 9724 30′ 9997 9991 9982 9971 9956 9938 9917 9893 9866 9836 9803 9767 9728 36′ 9997 9992 9983 9972 9957 9940 9919 9895 9869 9839 9806 9770 9732 42′ 9998 9993 9984 9973 9959 9942 9921 9898 9871 9842 9810 9774 9736 48′ 9816 9781 9744 60′ 9994 9986 9976 9962 9945 9925 9903 9877 9998 0,9998 9993 9985 9974 9960 9943 9923 9900 9874 9845 0,9848 9813 9778 9740 54′ 36′ 24′ КОСИНУСЫ 30′ 18′ 12′ 6′ 0′ 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 9996 9990 9980 9968 9952 9934 9912 9888 9860 9829 9796 9759 9720 24′ ТАБЛИЦА. СИНУСЫ А 0° 1° 2° 3° 4° 5° 6° 7° 8° 9° 10° 11° 12° 13° 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2′ 1 1 1′ 2′ 1′ 3′ 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3′
101 6′ 0017 0192 0367 0542 0717 0892 1069 1246 1423 1602 1781 1962 2144 2327 2512 2698 54′ 0′ 0,000 0175 0349 0524 0699 1228 1405 1584 2126 2309 2493 2° 3° 4° 6° 7° 8° 9° 11° 12° 13° 14° 15° 0,2679 60′ 1° 10° 0,1763 1944 0° 5° 0,0875 1051 А 48′ 2717 2530 2345 2162 1980 1799 1620 1441 1263 1086 0910 0734 0559 0384 0209 0035 12′ 42′ 2736 2549 2364 2180 1998 1817 1638 1459 1281 1104 0928 0752 0577 0402 0227 0052 18′ 36′ 2754 2568 2382 2199 2016 1835 1655 1477 1299 1122 0945 0769 0594 0419 0244 0070 24′ 24′ 2792 2605 2419 2235 2053 1871 1691 1512 1334 1157 0981 0805 0629 0454 0279 0105 36′ 18′ 2811 2623 2438 2254 2071 1890 1709 1530 1352 1175 0998 0822 0647 0472 0297 0122 42′ КОТАНГЕНСЫ 30′ 2773 2586 2401 2217 2035 1853 1673 1495 1317 1139 0963 0787 0612 0437 0262 0087 30′ ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ 12′ 2830 2642 2456 2272 2089 1908 1727 1548 1370 1192 1016 0840 0664 0489 0314 0140 48′ 1584 1405 2493 2309 2126 1944 6′ 2849 0′ 2867 2661 0,2679 2475 2290 2107 1926 1745 0,1763 1566 1388 1210 1228 А 74° 75° 76° 77° 78° 79° 80° 81° 82° 83° 84° 1033 1051 86° 87° 88° 89° 90° 85° 0699 0524 0349 0175 0 60′ 0857 0,0875 0682 0507 0332 0157 54′ 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2′ 6 3 1′ 6 2′ 3 1′ 3′ 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 3′
102 54′ 2886 3076 3269 3463 3659 3859 4061 4265 4473 4684 4899 5117 5340 5566 5797 54′ 60′ 2867 3057 3249 3443 4040 4245 4452 5095 5317 5543 19° 21° 22° 23° 24° 26° 27° 28° 29° 30° 0,5774 60′ 18° 25° 0,4663 4877 17° 20° 0,3640 3839 16° 48′ 42′ 5844 5612 5589 5820 5384 5161 4942 4727 4515 4307 4101 3899 3699 3502 3307 3115 2924 42′ 5362 5139 4921 4706 4494 4286 4081 3879 3679 3482 3288 3096 2905 48′ 36′ 5867 5635 5407 5184 4964 4748 4536 4327 4122 3919 3719 3522 3327 3134 2943 36′ 24′ 5914 5681 5452 5228 5008 4791 4578 4369 4163 3959 3759 3561 3365 3172 2981 24′ КОТАНГЕНСЫ 30′ 5890 5658 5430 5206 4986 4770 4557 4348 4142 3939 3739 3541 3346 3153 2962 30′ 18′ 5938 5704 5475 5250 5029 4813 4599 4390 4183 3979 3779 3581 3385 3191 3000 18′ ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ 12′ 5961 5727 5498 5272 5051 4834 4621 4411 4204 4000 3799 3600 3404 3211 3019 12′ 3443 3249 3057 0′ 4452 4245 4040 3839 5543 5317 5095 4877 6′ 5985 0′ 6009 5750 0,5774 5520 5295 5073 4856 4642 0,4663 4431 4224 4020 3819 3620 0,3640 3424 3230 3038 6′ А 59° 60° 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° А 7 10 7 10 7 10 7 10 7 10 7 11 7 11 7 11 7 11 8 11 8 12 8 12 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 2′ 6 10 3 1′ 6 10 3 3′ 9 6 3 3′ 2′ 1′
103 54′ 6032 6273 6519 6771 7028 7292 7563 7841 8127 8421 8724 9036 9358 9691 0035 54′ 60′ 6009 6249 6494 6745 7536 7813 8098 9004 9325 9657 34° 36° 37° 38° 39° 41° 42° 43° 44° 45° 1,0000 60′ 33° 40° 0,8391 8693 32° 35° 0,7002 7265 31° 48′ 42′ 0105 9759 9725 0070 9424 9099 8785 8481 8185 7898 7618 7346 7080 6822 6569 6322 6080 42′ 9391 9067 8754 8451 8156 7869 7590 7319 7054 6796 6544 6297 6056 48′ 36′ 0141 9793 9457 9131 8816 8511 8214 7926 7646 7373 7107 6847 6594 6346 6104 36′ 24′ 0212 9861 9523 9195 8878 8571 8273 7983 7701 7427 7159 6899 6644 6395 6152 24′ КОТАНГЕНСЫ 30′ 0176 9827 9490 9163 8847 8541 8243 7954 7673 7400 7133 6873 6619 6371 6128 30′ 18′ 0247 9896 9556 9228 8910 8601 8302 8012 7729 7454 7186 6924 6669 6420 6176 18′ ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ 12′ 0283 9930 9590 9260 8941 8632 8332 8040 7757 7481 7212 6950 6694 6445 6200 12′ 6745 6494 6249 0′ 8098 7813 7536 7265 9325 9004 6′ 0319 0′ 0355 9965 1,0000 9623 0,9657 9293 8972 8662 0,8693 8361 0,8391 8069 7785 7508 7239 6976 0,7002 6720 6469 6224 6′ А 44° 45° 46° 47° 48° 49° 50° 51° 52° 53° 54° 55° 56° 57° 58° А 8 12 8 13 9 13 8 13 9 14 9 14 9 14 4 4 4 4 5 5 5 1′ 2′ 3′ 6 12 18 6 11 17 6 11 17 6 11 16 5 10 16 5 10 15 5 10 15 8 12 4 3′ 2′ 1′
104 54′ 0392 0761 1145 1544 1960 2393 2846 3319 3814 4335 4882 5458 6066 6709 1,739 54′ 60′ 0355 0724 1106 1504 2799 3270 3764 5399 6003 6643 1,732 60′ 48° 49° 51° 52° 53° 54° 55° 1,4281 4826 47° 50° 1,1918 2349 46° 56° 57° 58° 59° 60° 48′ 42′ 1,753 6842 6775 1,746 6191 5577 4994 4442 3916 3416 2938 2482 2045 1626 1224 0837 0464 42′ 6128 5517 4938 4388 3865 3367 2892 2437 2002 1585 1184 0799 0428 48′ 36′ 1,760 6909 6255 5637 5051 4496 3968 3465 2985 2527 2088 1667 1263 0875 0501 36′ 24′ 1,775 7045 6383 5757 5166 4605 4071 3564 3079 2617 2174 1750 1343 0951 0575 24′ КОТАНГЕНСЫ 30′ 1,767 6977 6319 5697 5108 4550 4019 3514 3032 2572 2131 1708 1303 0913 0538 30′ 18′ 1,782 7113 6447 5818 5224 4659 4124 3613 3127 2662 2218 1792 1383 0990 0612 18′ ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ 12′ 1,789 7182 6512 5880 5282 4715 4176 3663 3175 2708 2261 1833 1423 1028 0649 12′ 1504 1106 0724 0′ 3764 3270 2799 2349 6643 6003 5399 4826 6′ 1,797 0′ 1,804 7251 1,7321 6577 5941 5340 4770 4229 1,4281 3713 3222 2753 2305 1875 1,1918 1463 1067 0686 6′ 2′ 3′ 9 18 27 9 17 26 8 16 25 8 16 24 8 15 23 7 14 22 7 14 21 7 13 20 6 13 19 6 12 18 1′ А 29° 1′ 1 2′ 2 3′ 4 30° 11 23 34 31° 11 21 32 32° 10 20 30 33° 10 19 29 34° 35° 36° 37° 38° 39° 40° 41° 42° 43° А
105 54′ 1,811 1,889 1,971 2,059 2,154 2,257 2,367 2,488 2,619 2,762 2,921 3,096 3,291 3,511 3,758 54′ 60′ 1,804 1,881 1,963 2,050 2,145 2,246 2,356 2,475 2,605 2,747 2,904 3,078 3,271 3,487 3,732 60′ 61° 62° 63° 64° 65° 66° 67° 68° 69° 70° 71° 72° 73° 74° 75° 48′ 3,785 3,534 3,312 3,115 2,937 2,778 2,633 2,5 2,379 2,267 2,164 2,069 1,980 1,897 1,819 48′ 42′ 3,812 3,558 3,333 3,133 2,954 2,793 2,646 2,513 2,391 2,278 2,174 2,078 1,988 1,905 1,827 42′ 36′ 3,839 3,582 3,354 3,152 2,971 2,808 2,66 2,526 2,402 2,289 2,184 2,087 1,997 1,913 1,834 36′ 24′ 3,895 3,630 3,398 3,191 3,006 2,840 2,689 2,552 2,426 2,311 2,204 2,106 2,014 1,929 1,849 24′ КОТАНГЕНСЫ 30′ 3,867 3,606 3,376 3,172 2,989 2,824 2,675 2,539 2,414 2,3 2,194 2,097 2,006 1,921 1,842 30′ 18′ 3,923 3,655 3,42 3,211 3,024 2,856 2,703 2,565 2,438 2,322 2,215 2,116 2,023 1,937 1,857 18′ ТАБЛИЦА. ТАНГЕНСЫ 12′ 3,952 3,681 3,442 3,230 3,042 2,872 2,718 2,578 2,450 2,333 2,225 2,125 2,032 1,946 1,865 12′ 6′ 3,981 3,706 3,465 3,251 3,06 2,888 2,733 2,592 2,463 2,344 2,236 2,135 2,041 1,954 1,873 6′ 0′ 4,011 3,732 3,487 3,271 3,078 2,904 2,747 2,605 2,475 2,356 2,246 2,145 2,05 1,963 1,881 0′ А 14° 15° 16° 17° 18° 19° 20° 21° 22° 23° 24° 25° 26° 27° 28° А 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 10 7 10 7 11 8 12 8 13 9 13 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 1′ 2′ 3′ 5 10 14 9 8 7 6 6 5 5 5 4 4 4 3 1 3′ 2′ 1′
СВОЙСТВА СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА sin(90° – α) = cos α sin(180° – α) = sin α cos(90° – α) = sin α cos(180° – α) = –cos α tg(90° – α) = ctg α tg(180° – α) = –tg α ctg(90° – α) = tg α ctg(180° – α) = –ctg α ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА И КОТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ α 106 0° 30° 45° 60° 90° 180° 0 π 6⋅ π 4⋅ π 3⋅ π 2⋅ π sin α 0 1 2 2 1 = 2 2 3 2 1 0 cos α 1 3 2 2 1 = 2 2 1 2 0 –1 tg α 0 3 1 = 3 3 1 3 — 0 ctg α — 3 1 3 1 = 3 3 0 —
ДЛЯ ЗАМЕТОК
Все права защищены. Книга или любая ее часть не может быть скопирована, воспроизведена в электронной или механической форме, в виде фотокопии, записи в память ЭВМ, репродукции или каким-либо иным способом, а также использована в любой информационной системе без получения разрешения от издателя. Копирование, воспроизведение и иное использование книги или ее части без согласия издателя является незаконным и влечет уголовную, административную и гражданскую ответственность. Справочное издание анытамалы баспа Для старшего школьного возраста мектеп жасында'ы ересек балалар'а арнал'ан В ПОМОЩЬ СТАРШЕКЛАССНИКУ. АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Виноградова Татьяна Михайловна ГЕОМЕТРИЯ 7—11 классы (орыс тілінде) Ответственный редактор А. Жилинская Ведущий редактор Т. Судакова Художественный редактор И. Успенский ООО «Издательство «Эксмо» 123308, Москва, ул. Зорге, д. 1. Тел.: 8 (495) 411-68-86. Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru 6ндіруші: «ЭКСМО» АRБ Баспасы, 123308, МTскеу, Ресей, Зорге кUшесі, 1 Vй. Тел.: 8 (495) 411-68-86. Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru. Тауар белгісі: «Эксмо» Интернет-магазин : www.book24.ru Интернет-д!кен : www.book24.kz Импортёр в Республику Казахстан ТОО «РДЦ-Алматы». Rазастан Республикасында<ы импорттаушы «РДЦ-Алматы» ЖШС. Дистрибьютор и представитель по приему претензий на продукцию, в Республике Казахстан: ТОО «РДЦ-Алматы» Rазастан Республикасында дистрибьютор жTне Uнім бойынша арыз-талаптарды абылдаушыны\ Uкілі «РДЦ-Алматы» ЖШС, Алматы ., Домбровский кUш., 3«а», литер Б, офис 1. Тел.: 8 (727) 251-59-90/91/92; E-mail: RDC-Almaty@eksmo.kz 6німні\ жарамдылы мерзімі шектелмеген. Сертификация туралы апарат сайтта: www.eksmo.ru/certification Сведения о подтверждении соответствия издания согласно законодательству РФ о техническом регулировании можно получить на сайте Издательства «Эксмо» www.eksmo.ru/certification 6ндірген мемлекет: Ресей. Сертификация арастырыл<ан Ïðîäóêöèÿ ñîîòâåòñòâóåò òðåáîâàíèÿì ÒÐ ÒÑ 007/2011 Дата изготовления / Подписано в печать 19.12.2018. Формат 70x1001/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,07. Тираж экз. Заказ EKSMO.RU новинки издательства