/
Author: Абакумов В.Н. Перель В.И. Яссиевич И.Н.
Tags: электротехника полупроводники полупроводниковые приборы квантовая физика физика твердого тела
ISBN: 5-86763-111-7
Year: 1997
Text
В. Н. Абакумов, В. И. Перель, И. Н. Яссиевич
Безызлучательная
рекомбинация
в полупроводниках
С.-Петербург
1997
В. Н. Абакумов, В.И.Перель, И.Н.Яссиевич
Безызлучательная рекомбинация в полупроводниках
С.-Петербург: Издательство «Петербургский институт ядерной физики
им. Б. П. Константинова РАН», 1997.
376 стр., ил.
ISBN 5-86763-111-7
В книге излагаются физические представления и основы теории процессов безыз-
лучательной рекомбинации и термической ионизации электронов и дырок в по-
лупроводниках. В частности рассмотрены: феноменологическая теория рекомбина-
ции; теоретические модели мелких и глубоких центров; каскадная модель захвата
на притягивающие центры; захват, ограниченный диффузией; многофононные про-
цессы; оже-процессы; влияние постоянных и переменных электрических полей на
процессы рекомбинации и термической ионизации. Кратко рассмотрены рекомбина-
ционные процессы в полупроводниковых квантовых структурах. Результаты теории
сопоставляются с экспериментальными данными.
Для научных работников, преподавателей университетов, аспирантов и студентов.
Табл. 12. Ил. 88. Библиогр. 466 назв.
Ответственный редактор: д. ф.-м. н., профессор И. Н. Яссиевич
Издание осуществлено отделом научно-технической информации Физико-техничес-
кого института им. А. Ф. Иоффе РАН при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований (проект Nb 96-02-30061). Оригинал-макет подго-
товлен в программе ИГЕХ2е.
Редактор: В. Г. Григорьянц
Дизайн н верстка: Н. Г. Всесветский
Технический редактор: Е. А. Соловьева
(с) В.Н.Абакумов, В.И.Перель, И.Н.Яссиевич, 1997
© ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН, 1997
ISBN 5-86763-111-7
Предисловие
h.i книга была впервые опубликована на английском языке в 1991 г. как
|пм 33 в серии «Modem Problems in Condenced Matter Sciences», изда-
n.« мой под редакцией В. М. Аграновича и А. А. Марадудина издательством
Notth-Holland. Предполагалось опубликование книг этой серии также на
l>v< i ком языке. Мы получили такую возможность только в 1997 г. благо-
||ц|»| фанту РФФИ Ns 96-02-30061.
В новое издание мы внесли ряд добавлений, в частности в главу 10
циОавлены парафафы, посвященные туннельной ионизации глубоких цен-
11 и hi в переменных электрических полях. Это добавление вызвано появив-
шимися в последние годы экспериментальными работами по ионизации
। иуЬоких центров дальним инфракрасным излучением. Добавлена также
। i.iiia 13, содержащая краткий обзор работ по захвату носителей заряда в
||ц.и1говые ямы и процессам безызлучательной рекомбинации носителей,
|"П.|цизованных в квантовых ямах.
11 книге используется так называемая гарвардская система организации
.1 инок на использованную литературу. При этом список литературы есте-
। пенно пришлось разбить на две части в зависимости от языка источника.
Монофафия была нами написана совместно с Виктором Николаеви-
|« м Абакумовым, вклад которого трудно переоценить, и с которым нас
. пн >ывали долгие годы дружбы и совместной работы. Настоящее издание
пополнительная возможность отдать наш долг светлой памяти о нем
Мы искренне благодарны М. А. Одноблюдову, а также сотрудникам от-
..... научно-технической информации ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН В. Г. Гри-
।o|ii.iiiiny, Е.А.Соловьевой и Н.Г. Всесветскому за подготовку рукописи к
II III.ШИК).
15. И. Перель
И. Н.Яссиевич
3
Предисловие к изданию на английском языке
В последние годы был достигнут значительный прогресс в понимании
основных рекомбинационных процессов, контролирующих число избыточ-
ных свободных носителей заряда в полупроводниках. Это дало нам воз-
можность представить здесь подробное теоретическое описание процессов
безызлучательной рекомбинации и генерации электронов и дырок. Из боль-
шого экспериментального материала мы попытались выбрать лишь те ре-
зультаты, которые получены в хорошо определенных условиях, что давало
возможность использовать их для построения и проверки теоретических
моделей.
Мы старались избегать в основном тексте громоздких математических
выкладок, представив необходимые в приложениях. Некоторые специаль-
ные вопросы теории полупроводников, нужные для понимания книги, так-
же обсуждаются в приложениях.
В книге рассматриваются: феноменологическая теория рекомбинации;
теоретические модели мелких и глубоких локализованных состояний; кас-
кадная модель захвата носителей заряда на примесные центры; захват, огра-
ниченный диффузией; многофононные процессы; оже-процессы; влияние
электрического поля на захват и выброс носителей заряда.
Мы не предполагали, что читатель предварительно ознакомлен с боль-
шой массой оригинальных работ по данной проблеме, и надеемся, что кни-
га будет доступна и полезна студентам и аспирантам. С другой стороны,
мы старались выявить физическую природу рекомбинационных процессов
и представить современные методы их теоретического описания, чтобы
книга была интересна и специалистам.
Литература, посвященная безызлучательной рекомбинации, очень об-
ширна. Список литературы не претендует на полноту и отражает вкусы и
возможности авторов.
Авторы хотели бы поблагодарить Г. В. Гордееву за значительный вклад в
перевод этой книги на английский язык и Л. П. Затеплинскую за подготовку
рукописи к печати.
В. Н. Абакумов
В. И. Перель
И. Н. Яссиевич
4
Нисцение
При рекомбинации электрона и дырки должна выделяться энергия, при-
и hi штельно равная ширине запрещенной зоны. Основной вопрос, с кото-
l>i 1м сталкивается теория безызлучательной рекомбинации, заключается в
i"M, каким возбуждениям в кристалле передается эта энергия. Передача
р । iy большой порции энергии колебаниям решетки затруднена, посколь-
। ио требует излучения в одном акте громадного количества фононов.
I пип процесс мало вероятен, по крайней мере в кристаллах со слабой
• п к । рон-фононной связью. Поэтому любая возможность дробления энер-
выделяемой при рекомбинации, те. возможность перехода электрона
» ||.|нснтную зону не непосредственно, а через промежуточные состояния,
Р< н>о увеличивает вероятность рекомбинации. Такую возможность предо-
। НП1ЯЮТ уровни в запрещенной зоне, связанные с примесными центрами
к к фсктами. Рекомбинация через примесный центр в простейшем случае
I'нисходит в два этапа: сначала электрон переходит из зоны проводимо-
||| на уровень центра, а затем происходит переход с этого уровня в ва-
" и тую зону. Второй этап этого процесса удобнее описывать как захват
и ||'ки на уровень центра. Последовательность может быть и обратной:
• hi центр первоначально занят электроном, то сначала на него всплыва-
• । 1ырка, а затем захватывается электрон. В связи с этим возникает задача
11\нате носителей заряда примесными центрами. Эта задача представля-
। и самостоятельный интерес для случая монополярной инжекции (или
..суждения) носителей, когда в полупроводнике создаются либо только
" 1 h i । очные электроны, либо только избыточные дырки. Их время жизни
. и । нободных носителей заряда определяется захватом на примесные цен-
11 11 11сзависимо от конкретного физического механизма, для описания ре-
' нншационных процессов вводятся феноменологические характеристики
время жизни свободных носителей, коэффициенты и сечения захвата.
>1 ношения между этими характеристиками, области их применимости,
...in характер зависимости темпа захвата и термического выброса от
инептрации носителей заряда и температуры обсуждаются в главе 1.
I пава 2 посвящена обзору состояния теории примесных центров в по-
। проводниках. Эта глава имеет вспомогательный характер, в ней обсу-
। । цо|ся лишь простейшие модели, которые могут быть использованы в
5
6
Введение
теории рекомбинационных процессов.
Среди механизмов захвата наиболее разработанным и простым явля-
ется каскадный механизм. Главы 3, 5, 6 посвящены различным аспектам
каскадного механизма захвата, а также сопоставлению теории и экспери-
мента.
Полученные в 50-х годах сведения по сечениям захвата носителей на
притягивающие центры при низких температурах казались загадочными.
Сечения захвата на несколько порядков превышали поперечник сферы ло-
кализации электрона на центре. В разрешении этого парадокса решающую
роль сыграла идея Лэкса (Lax 1960), согласно которой аномально большая
величина сечения объясняется тем, что захват свободного электрона про-
исходит не в основное состояние, а в высоковозбужденные, радиус которых
гораздо больше. В дальнейшем имеет место диффузия электрона в энер-
гетическом пространстве по сетке возбужденных состояний, в результате
которой электрон может либо выйти обратно в зону, либо провалиться в
основное состояние. Абакумов и Яссиевич (1976) уточнили результат Лэк-
са, воспользовавшись значительно более простой методикой Питаевского
(1962). Они получили для сечения захвата на изолированный притягива-
ющий кулоновский центр простое выражение
где гт = <?2/ккТ — характерный радиус захвата при температуре Т (к
— диэлектрическая постоянная), lo = vre, v — скорость электрона, те —
время его энергетической релаксации. Когда потери энергии происходят
за счет испускания акустических фононов, ф не зависит от температуры.
Формула (1) допускает простую физическую интерпретацию в духе класси-
ческой работы Томсона (Thomson 1924). Электрон будет захвачен, если он
попадет в сферу радиуса гт и потеряет свою энергию. Вероятность потери
энергии внутри этой сферы дается множителем гр/ /о-
Зависимость аг ос Т~3, а также величина сечения, следующая из фор-
мулы (1), хорошо согласуются с многочисленными экспериментальными
данными по захвату носителей в Ge и Si как на мелкие, так и на глубокие
притягивающие центры (см. главу 5).
Энергетическая ширина густой сетки кулоновских возбужденных состо-
яний ограничена, что, в свою очередь, ограничивает эффективность каскад-
ного механизма захвата со стороны высоких температур. Во всяком случае,
при комнатной температуре можно ожидать, что каскадный механизм ра-
ботать нс будет, так как захваченный в возбужденное состояние носитель
Введение
7
будет немедленно выброшен обратно в зону.
При очень низких температурах (как правило ниже температуры жид-
кого гелия) уже при испускании одного акустического фонона и захвате в
высоковозбужденное состояние носитель не выйдет обратно в зону и ока-
жется захваченным. При этом температурная зависимость сечения захва-
та ослабляется: сг ос Т~1. Такое ослабление температурной зависимости
наблюдается в достаточно чистых кристаллах. Однофононный захват рас-
сматривается в главе 4. Однофононный захват с испусканием оптического
или акустического фонона может быть эффективным также и при более
высоких температурах, если энергия связи основного состояния меньше
предельной энергии фонона, а лестница возбужденных состояний отсут-
ствует. Такая ситуация также рассматривается в главе 4.
В ряде работ (см., например, Годик и Покровский 1967) наблюдалось
резкое ослабление температурной зависимости времени жизни носителей
с понижением температуры. Время жизни (определенное по фотопрово-
димости) практически переставало убывать с понижением температуры
тем раньше, чем большей была концентрация центров захвата. В тех же
условиях время жизни почти переставало уменьшаться и с ростом концен-
трации центров захвата. Абакумов и др. (1978) показали, что это связано
с наличием крупномасштабного потенциального рельефа, обусловленно-
го заряженными центрами. Когда глубина потенциальных ям становится
больше кТ, попавшие в эти ямы электроны выключаются из проводимо-
сти. Время жизни носителей в этих условиях определяется не захватом на
центры, а энергетической релаксацией до уровня протекания в потенциаль-
ном рельефе. Таким образом, для предельного времени жизни т получено
выражение
Яо(хЛГ1/3, (2)
где N — концентрация центров захвата, Ео — характерный размер флук-
туаций потенциала. Этим и другим эффектам, связанным с взаимным вли-
янием центров захвата, посвящена глава 6.
Выше неявно использовалось предположение, что скорость захвата но-
сителя на центр ограничивается скоростью энергетических потерь. Это
так называемый томсоновский подход к рекомбинационным процессам.
Он оправдан, если электроны быстрее поступают к центру, чем захваты-
ваются им, теряя энергию. В противоположном случае скорость захвата
ограничивается скоростью пространственной диффузии электронов к цен-
гру. В этом случае распределение носителей пространственно не одно-
8
Введение
родно: вблизи центров захвата возникают области обеднения электрона-
ми. Рекомбинацию, ограниченную пространственной диффузией, впервые
рассмотрел Ланжевен (Langevin 1903а,b). Лэке (Lax 1960) показал, что
для таких материалов как германий и кремний пространственная диффу-
зия не может ограничивать темп захвата. Однако ланжевеновский подход
оказывается необходимым в материалах с малым коэффициентом диффу-
зии носителей. Примерами могут служить неупорядоченные системы или
полупроводники с малой величиной подвижности (типа CdS). Ланжевенов-
скому подходу к рекомбинации посвящена глава 7.
«Черная сфера» радиуса го, которая захватывает все, что попадает на
ее поверхность, характеризуется эффективным сечением захвата
crL = 4ТГГ0-ГТ-
(3)
при условии, что главным фактором, контролирующим темп захвата, явля-
ется пространственная диффузия, т.е. при I < гц. Здесь (v) — средняя
тепловая скорость электрона, / — длина свободного пробега.
В общем случае в качестве интерполяционной формулы для времени
жизни электрона т по отношению к захвату на центр можно использовать
суммарное время пространственной и энергетической диффузии
т — tl + тт,
где tl — (At7L(v))-1 — время, обусловленное пространственной диффу-
зией, = (Atr(v))-1, а ст — сечение, вычисленное согласно подходу
Томсона и ограниченное скоростью энергетических потерь.
Энергия связи носителя на глубоком центре определяется короткодей-
ствующей частью потенциала. Поэтому в ряде случаев носитель может свя-
зываться центром, даже если дальнодействующее кулоновское поле центра
— отталкивающее. Примером является захват электронов на ионы Ан~
или Ап-- в германии. Захват на отталкивающие центры рассматривается
в главе 8. Определяющим в этом случае является существование куло-
новского потенциального барьера, который электрон должен преодолеть,
чтобы попасть на центр (независимо от того, каким образом будет вы-
свобождена энергия). Бонч-Бруевич (1958, 1959) показал, что в реальных
условиях преодоление потенциального барьера происходит за счет тун-
нелирования. Вероятность туннелирования растет с ростом энергии элек-
трона, что приводит к экспоненциальной зависимости сечения захвата от
Введение
9
электронной температуры Те вида
/ т.\‘/3
сгосехр , (4)
\ /
еде кТо — характерная энергия, равная кТо = 27тг2Ев, £ — постоянная
Больцмана, Ев — боровская энергия для мелкого донора (акцептора). За-
висимость типа (4) многократно наблюдалась при исследовании влияния
температуры или внешнего электрического поля, разогревающего электро-
ны, на сечение захвата электронов и дырок на глубокие отталкивающие
центры.
Протуннелировавший электрон для перехода в связанное состояние
должен потерять большую порцию энергии. Эта энергия может быть отда-
на решетке путем испускания большого числа фононов одновременно. При
таком многофононном процессе вероятность потери избыточной энергии
также экспоненциально зависит от начальной энергии электрона. Это при-
водит к модификации формулы (4), в которой Те должно быть заменено на
Т*, определяемое как
кТ-=кТс + ~^’ (5)
где ePh — энергия порядка энергии характерного фонона (Абакумов и др.
1988). Как показал анализ экспериментальных данных, проведенный Бумя-
лене и Яссиевич (1992), такое видоизменение закона Бонч-Бруевича дей-
ствительно имеет место.
Подробно многофононные процессы захвата на глубокие центры рас-
смотрены в главе 9. Многофононным переходам в твердых телах посвяще-
на обширная литература. В работе Генри и Ланга (Henry and Lang 1981)
было убедительно продемонстрирована реальность таких процессов захва-
та в III—V полупроводниках. Для ряда глубоких центров (не отталкиваю-
щих) в полупроводниках установлено, что сечение захвата быстро растет
с повышением температуры в области Т > 100 К. В этой работе сформу-
лирована также ясная физическая модель многофононного захвата. Стенки
и дно потенциальной ямы для электрона колеблются при колебаниях ре-
шетки и, следовательно, колеблется положение уровня в яме. В процессе
этих колебаний уровень может выйти в сплошной спектр, и при этом элек-
трон из зоны может легко перейти на центр. Колебательная система вблизи
центра оказывается сильно возбужденной. На второй стадии процесса это
возбуждение распространяется по кристаллу. Ясно, что при этом сечение
10
Введение
захвата должно зависеть от температуры по активационному закону
(6)
(Eact
—
кТ
где энергия активации Еал есть минимальная энергия возбуждения та-
кой конфигурации решетки, при которой электронный уровень выходит
в сплошной спектр. Энергия Eact может быть как больше, так и мень-
ше энергии ионизации центра st в зависимости от величины электрон-
фононной связи. При слабой электрон-фононной связи Eact £т, при
сильной Еай гт- Активационный закон (6) справедлив лишь при до-
статочно высоких температурах. При низких температурах нужная конфи-
гурация решетки может быть достигнута и при меньших, чем Eact, энергиях
возбуждения за счет туннельного эффекта. Чем меньше энергия возбужде-
ния, тем меньше вероятность такого туннелирования (речь идет о тунне-
лировании колебательной системы, а не электрона), однако тем больше
вероятность соответствующих возбуждений решетки. При каждой темпе-
ратуре существует оптимальная энергия возбуждения решетки Ео, наибо-
лее благоприятная для захвата электрона. Можно показать, что при слабой
электрон-фононной связи оптимальная энергия определяется простой фор-
мулой
Иш\
~кт)~
где Еш — энергия кванта колебательной моды, сильнее всего взаимодей-
ствующей с электроном. При этом сечение захвата пропорционально экс-
поненте
Ео = Ет ехр
(7)
I £Т , , £т t ,
<т ос exp < b + — In 1- ехр
I пш пш
(8)
Еш\
~kf J
где b — константа порядка единицы, тем большая, чем меньше электрон-
фононная связь. При слабой электрон-фононной связи закон (8) выполня-
ется вплоть до очень высоких температур, а область применимости акти-
вационного закона (6) практически не достигается.
При сильной электрон-фононной связи, когда Eact £т, можно снова
получить простые выражения: *
ch2(fiw/2jtT)
( -Eact., \
а (X ехр —2——th-— .
F \ Ъы 2кТ J
(9)
Вторая из формул (9) показывает, что даже при сильной электрон-фонон-
ной связи активационный закон (6) достигается лишь при таких темпера-
турах, когда кТ Ew/I. При меньших температурах нужная для захвата
Введение
11
конфигурация решетки достигается не за счет активации, а путем термо-
активационного туннелирования, которое и описывается формулой (9).
При рассмотрении термоактивационного туннелирования важен харак-
тер зависимости энергии связи электрона на центре от конфигурационной
координаты, описывающей деформацию решетки. Обычно предполагается,
что эта зависимость линейная, и формулы (7)-(9) получены именно в этом
предположении. При этом адиабатические потенциальные кривые, соответ-
ствующие связанному и свободному электронным состояниям, представля-
ют собой две одинаковые, сдвинутые друг относительно друга параболы.
Для термоактивированного туннелирования наиболее существенной ока-
зывается область энергий связи вблизи выхода уровня в сплошной спектр.
При этом могут представиться две возможности. Может оказаться, что при
выходе уровня в сплошной спектр имеется потенциальный барьер, отде-
ляющий область локализации носителя на центре от области свободного
движения. В этом случае уровень, выходя в сплошной спектр, остается ква-
зистационарным. Линейная аппроксимация зависимости энергии связи от
конфигурационной координаты здесь оправдана и адиабатические потенци-
альные кривые пересекаются. Если же барьер отсутствует, то вблизи вы-
хода уровня в сплошной спектр зависимость энергии связи от приращения
конфигурационной координаты квадратичная. При этом адиабатические по-
тенциальные кривые не пересекаются, а касаются друг друга. Абакумов и
др. (1985) рассмотрели этот случай и показали, что при слабой электрон-
фононной связи остаются справедливыми формулы (7) и (8), однако при
сильной связи зависимость <т(Т) отличается от зависимости (9). При вы-
соких температурах, конечно, имеется активационный закон (6), но при
низких температурах а <х ехр(—2ЕлЛ/2>Еш) вместо «г ос ехр(—2ЕаЛ/Еш)
как это следует из (9).
При произвольном виде адиабатических потенциальных кривых экспо-
ненциальный множитель может быть вычислен в квазиклассическом при-
ближении (Markvart 1981, 1984). Для вычисления предэкспоненциального
множителя необходимо знание зависимости электронных волновых функ-
ций от конфигурационной координаты в окрестности точки, соответствую-
щей выходу уровня в сплошной спектр. В ранних работах эта зависимость
определялась по теории возмущений. Коварский (1962) впервые обратил
внимание на то, что в этой области теория возмущений не применима, и
что электронный матричный элемент имеет здесь особенность, существен-
но увеличивающую сечение захвата. Предэкспоненциальный множитель в
сечении захвата можно вычислить, не используя конкретный вид потенци-
альной ямы для электрона, благодаря тому, что при малой энергии свя-
12
Введение
зи область локализации электрона существенно превышает размеры ямы
(Абакумов и др. 1985, 1988а). Типичные значения предэкспоненциального
множителя лежат в интервале 10-12—10-14 см2.
Обратным по отношению к процессу захвата носителя на центр являет-
ся процесс термической ионизации. В условиях термодинамического равно-
весия вероятности этих процессов связаны принципом детального баланса.
Однако значительный интерес представляют эти процессы применительно
к центрам, находящимся в областях пространственного заряда полупровод-
никовых структур. В этих областях имеется сильное электрическое поле,
влияние которого на процессы термической ионизации и захвата необхо-
димо принимать во внимание. Этим вопросам посвящена глава 10.
Согласно описанной выше простой модели процесс многофононной
термической ионизации обусловлен тем, что уровень электрона при ко-
лебаниях решетки может с некоторой вероятностью попадать в сплошной
спектр. Когда это происходит, электрон может уйти с центра. В электриче-
ском поле появляется вероятность ухода электрона с центра при отрица-
тельной энергии —е. Это связано с возможностью туннельного просачива-
ния электрона с центра в область свободного движения. Вероятность тун-
нелирования электрона падает с ростом энергии е, но одновременно растет
вероятность туннельного перехода для колебательной системы. Конкурен-
ция этих факторов приводит к тому, что существует оптимальная энергия
гт, при которой результирующая вероятность выброса электрона с центра
максимальна. Можно показать, что
_ 1 / е£Ь\2
Sm~2m \2кТ*)
(Ю)
где энергия гт отсчитана вниз от границы сплошного спектра без поля,
£ — напряженность поля, а Т* связана с температурой решетки Т форму-
лой, аналогичной (5):
1 _ 1 1
кТ* кТ eph
(П)
Вероятность термоионизации в электрическом поле е(£) при этом оказы-
вается пропорциональной экспоненте (Карпус и Перель 1986)
е{£) = е(0) ехр
(12)
Введение
13
где е (0) — вероятность термоионизации в отсутствии поля, а
ft
£с=^’ Т2'2кТ^’
(13)
Величина Т2 имеет смысл времени туннелирования электрона при опти-
мальной энергии ет (формула (10)).
Формулы (10)-(12) хорошо описывают экспериментальные данные по
зависимости вероятности термической ионизации многих примесных цен-
тров в кремнии от электрического поля. Эти формулы справедливы для
не слишком сильных полей, когда ет мало по сравнению с энергией связи
электрона на центре. В сильных полях следует говорить скорее не о вли-
янии поля на термическую ионизацию, а о влиянии электрон-фононного
взаимодействия на туннельную ионизацию центра. Наиболее интересный
результат здесь заключается в том, что роль энергии связи в этом процессе
играет не термическая, а оптическая энергия связи (Карпус 1986).
В связи с недавними экспериментами по фотоионизации глубоких цен-
тров дальним ИК излучением (Ganichev et al. 1993, Ганичев и др. 1997)
приобретает интерес обобщение теории на случай, когда электрическое
поле является переменным. При этом оказывается (Ганичев и др. 1997),
что при не слишком сильных полях формулы (12) и (13) остаются в силе,
но вместо Т2 следует подставлять в них величину т2*, причем
т* 3
- = ZTo-Лз [sh(2fM - 2Птг], (14)
Т2 4(11Т2)
где Q — частота возбуждающей волны. Формулы (12)—(14) хорошо опи-
сывают зависимости вероятности фотоионизации от поля, температуры и
частоты возбуждения.
В главе 10 обсуждаются также влияние заряда центра на процессы ио-
низации и захвата в электрическом поле и роль эффекта Пула-Френкеля.
В области столь слабых полей, при которых этот эффект играет главную
роль, вероятность термоионизации зависит от электрического поля соглас-
но формуле Френкеля
(2у/е3£/к\
е(£) ос exp I .У ---- 1 (15)
с той разницей, что роль температуры здесь играет величина Г*, опреде-
ляемая формулой (11).
14
Введение
Влияние электрического поля на сечение захвата электрона центром
обычно определяется не столько влиянием поля на сам акт захвата, сколь-
ко разогревом электронного газа. При этом определяющую роль играет за-
висимость сечения захвата от энергии носителей. С увеличением энергии
сечение может как расти, так и уменьшаться в зависимости от механизма
захвата и заряда центра.
При достаточно больших концентрациях свободных носителей наибо-
лее существенными процессами рекомбинации становятся оже-процессы.
При этом избыточная энергия, высвобождающаяся при рекомбинации элек-
тронно-дырочной пары, передается третьему носителю. Этим процессам
посвящены главы 11 и 12.
В акте оже-рекомбинации должны участвовать как минимум три ча-
стицы. Если эти три частицы — свободные носители, то их начальная ки-
нетическая энергия должна превышать некоторое пороговое значение eth
(Beattie and Landsberg 1959). Существование порога оже-рекомбинации
является следствием законов сохранения энергии и импульса. В самом де-
ле, кинетическая энергия третьей частицы в конце процесса должна быть,
во всяком случае, больше Eg, а импульс ее должен быть равен сумме
начальных импульсов трех частиц. Поэтому начальные импульсы частиц
должны быть достаточно велики, а значит должна быть достаточно велика
начальная суммарная энергия. При квадратичном изотропном законе дис-
персии в обеих зонах пороговое значение суммарной энергии определяется
формулой
eth _ Е "Я
т\ + тг
тле. т\ и m2 — эффективные массы электрона и дырки, причем mi —
масса того носителя, который уносит выделившуюся при рекомбинации
энергию (масса «отскочившей» частицы). Видно, что пороговая энергия
существенно меньше, чем Eg лишь в том случае, когда массы электрона и
дырки сильно различаются и энергию уносит легкая частица. Если же эта
частица — тяжелая, то пороговая энергия близка к Eg, и соответствующий
оже-процесс не эффективен. Отметим, что использование квадратичного
спектра для отскочившей частицы (энергия которой всегда больше, чем
Eg) не оправдано. Для полупроводников, к которым применима модель
Кейна, учет непараболичности увеличивает порог примерно в 2 раза. Даже
если отскочившая частица — легкая, и пороговая энергия гораздо меньше,
чем Eg, она обычно гораздо больше, чем характерные энергии носителей
(определяемые температурой или энергией Ферми). Это обстоятельство
сильно подавляет эффективность оже-процессов, за исключением узкоще-
Введение
15
левых полупроводников типа InSb.
Беспороговые оже-процессы возможны в некоторых «резонансных» си-
туациях. Например в InAs и GaSb и твердых растворах на их основе энер-
гия спин-орбитального расщепления валентной зоны близка к Е&. При
этом оже-процесс идет без порога, если энергию уносит дырка, отскакива-
ющая в отщепленную зону (Takeshima 1972, Михайлова и др. 1976, Зотова
и Яссиевич 1977).
Энергетический порог снижается также, если в оже-процессе участву-
ет еще одна частица, уносящая избыточный импульс. Обычно это фонон,
который излучается или поглощается в акте рекомбинации. Хотя вероят-
ность оже-процесса с участием фононов снижена из-за слабости электрон-
фононного взаимодействия, именно такие процессы играют главную роль
как в прямозонных полупроводниках типа GaAs, так и особенно в многодо-
линных полупроводниках типа Ge и Si (Eagles 1961, Huldt 1976, Lochman
1977a,b).
Расчет вероятности оже-рекомбинации — трудная задача. Это связано
главным образом с необходимостью вычисления интегралов перекрытия
блоховских амплитуд, относящихся к различным зонам. Расчеты такого
типа, особенно для Ge и Si могут дать лишь оценку по порядку величи-
ны. Более определенные результаты можно получить для полупроводников
А3В5, где электронные состояния в зонах хорошо описываются моделью
Кейна. При этом оказывается, что интегралы перекрытия содержат малый
множитель типа e/Eg в некоторой степени, где е — характерная энергия
носителей до рекомбинации (е = кТ при отсутствии вырождения). Кон-
кретные расчеты для ряда полупроводников А3В5 приведены в главе 11.
Оже-процесс может иметь место и при захвате носителя на примесный
центр. При этом высвобождающаяся энергия передается другому носите-
лю. Поскольку в таком процессе участвует примесный центр (или дефект),
ограничение, накладываемое законом сохранения квазиимпульса, не дей-
ствует и энергетического порога нет. Такие процессы были впервые обна-
ружены в сильнолегированном германии (Карпова и Калашников 1963) и
рассмотрены Бонч-Бруевичем и Гуляевым (1960).
Оже-процессы с участием локализованных состояний особенно эффек-
тивны, если в начальном состоянии имеется несколько носителей, лока-
лизованных на одном и том же центре (многозарядные центры) или на
различных, но близко расположенных центрах (примесные комплексы). В
этих случаях передача избыточной энергии не требует тройного столкно-
вения (Шейнкман 1963, 1965).
Сходная ситуация реализуется при оже-рекомбинации электрона и дыр-
16
Введение
ки, расположенных на близкой донорно-акцепторной паре, с передачей
энергии свободному носителю. В экситонно-примесных комплексах и в эк-
ситонной жидкости оже-процессы являются главными процессами безыз-
лучательной рекомбинации.
Из рассмотренных выше процессов только оже-процесс с участием трех
свободных носителей приводит действительно к рекомбинации, т.е. к ан-
нигиляции электронно-дырочной пары. Все остальные процессы приводят
лишь к захвату электрона или дырки в локализованное состояние. Истин-
ная рекомбинация происходит лишь в результате двух последовательных
процессов захвата разноименных носителей на центр. Эти два процесса мо-
гут быть различной природы, в частности, один из них может быть излуча-
тельным. В прямозонных полупроводниках излучательные переходы часто
играют доминирующую роль в рекомбинации, что позволяет использовать
эти материалы для создания лазеров и светодиодов. При этом безызлуча-
тельные процессы играют отрицательную роль, снижая квантовый выход
излучения.
В главе 13 дан краткий обзор работ посвященных безызлучательной
рекомбинации в квантоворазмерных полупроводниковых структурах. На-
личие границы раздела и эффекты квантования существенно влияют на
скорость безызлучательной рекомбинации. В частности, усиливается темп
оже-рекомбинации носителей заряда, локализованных в квантовых ямах,
так как при этом снимаются ограничения, вносимые законом сохранения
импульса, и оже-процессы не имеют энергетического порога (Зегря и Хар-
ченко 1992). Отметим, что подробное теоретическое описание излучатель-
ных рекомбинационных процессов содержится в монографии Ландсберга
(Landsberg 1991), где рассматриваются также и безызлучательные процес-
сы, в частности, подробно изложена теория оже-процессов.
Глава 1
Феноменологическая теория рекомбинации
1.1 Примесные центры в полупроводниках
Примесный атом в полупроводнике может отдать электрон в зону проводи-
мости или присоединить электрон из валентной зоны (при этом в валент-
ной зоне появляется дырка). В первом случае примесь является донором,
во втором — акцептором. Такие примеси называются электрически актив-
ными.
Донор, теряя электрон, становится положительно заряженным (иони-
зированный донор). На энергетической диаграмме донорам соответствуют
уровни, лежащие в запрещенной зоне ниже дна зоны проводимости на
расстоянии, равном энергии ионизации Eq (рис. 1.1). Энергия иониза-
ции, или энергия связи, есть та энергия, которую необходимо затратить,
чтобы оторвать электрон от донора и перевести его на дно зоны прово-
димости. Ионизированный донор, естественно, является центром захвата
для свободных электронов. Очевидно, что при захвате должна выделиться
энергия не меньшая, чем Eq. Нейтральный (неионизованный) донор явля-
ется центром захвата для дырок. Захват дырки, то есть переход электрона
с донора в незанятое состояние в валентной зоне, сопровождается выде-
лением энергии, не меньшей, чем Е& — Eq (Eg — ширина запрещенной
зоны). Акцептор, присоединяя электрон, становится отрицательно заря-
женным. Когда акцептор присоединяет электрон из валентной зоны, то в
ней остается дырка. Поэтому вместо того, чтобы говорить, что акцептор
присоединяет электрон, можно сказать, что акцептор отдает дырку, то есть
ионизуется. С этой точки зрения, нейтральный акцептор можно предста-
влять себе как отрицательно заряженный центр, к которому присоединена
дырка. На энергетической диаграмме (рис. 1.1) акцепторам соответству-
ют уровни, лежащие в запрещенной зоне выше потолка валентной зоны
на энергию ионизации акцептора, Е^. Ионизованный акцептор является
центром захвата для свободных дырок валентной зоны. При этом должна
выделиться энергия не меньшая, чем Ед- Нейтральный акцептор является
17
18
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
Рис. 1.1. Энергетические уровни примесных центров, (а) Уровень донора, Ед —
энергия ионизации донора, т.е. энергия, которую нужно затратить, чтобы перевести
электрон с нейтрального донора на дно зоны проводимости, (б) Уровень акцептора,
Ед — энергия ионизации акцептора, т.е. энергия, которую нужно затратить, чтобы
перевести дырку с нейтрального акцептора на вершину валентной зоны (другими
словами, перевести электрон с вершины валентной зоны на акцептор).
центром захвата для электрона. Захват электрона со дна зоны проводимо-
сти нейтральным акцептором сопровождается выделением энергии Е6 — Е\.
Электрически активные примеси традиционно разделяются на мелкие
и глубокие. Мелким донором называется примесный атом, у которого на
один валентный электрон больше, чем у атома, который он замещает в кри-
сталлической решетке. Например, в германии и кремнии мелкими донора-
ми оказываются элементы пятой группы, такие как фосфор, мышьяк, сурь-
ма. При замещении атома германия, скажем, атомом фосфора четыре из
пяти валентных электронов фосфора идут на образование ковалентных свя-
зей с соседними атомами германия, а пятый («лишний») оказывается слабо
связанным. Связь этого «лишнего» электрона с положительно заряженным
остовом обусловлена кулоновским взаимодействием. Вследствие большой
диэлектрической проницаемости полупроводников (к > 10), существенно
ослабляющей это взаимодействие, энергия связи «лишнего» электрона с
остовом оказывается очень малой, а эффективный боровский радиус очень
большим. Этому способствуют также малые значения эффективной массы
в ряде полупроводников.
В простейшем случае изотропного квадратичного спектра в зоне про-
водимости мелкий донор хорошо описывается водородоподобной моделью.
Энергия ионизации такого донора дается формулой
4
е т
Ed = 2к2Й2’
1.1. Примесные центры в полупроводниках
19
где т — эффективная масса электрона, которая обычно меньше массы
свободного электрона, то', к — диэлектрическая постоянная. Удобно вы-
разить энергию ионизации Ed через энергию ионизации атома водорода
(13,6 эВ): Ed = 13,6т(пгок2) 1 эВ. Энергия ионизации Ed оказывает-
ся порядка 10-3— 10~2эВ, что много меньше ширины запрещенной зоны
Её. Поэтому оправдано приближение эффективной массы для расчета Ed-
Размер нейтрального мелкого донора характеризуется его воровским ра-
диусом ав
Й2к
ав = —у
те1
(1-2)
или ав = 0,53 х 1О-8(кшо/пг) см. Величина ав обычно составляет десят-
ки постоянных решетки, что оправдывает использование диэлектрической
проницаемости при описании кулоновского взаимодействия электрона с
ионом в кристалле.
Мелким акцептором называется примесный атом, у которого на один
валентный электрон меньше, чем у атома, который он замещает. Напри-
мер, в германии и кремнии мелкими акцепторами являются элементы тре-
тьей группы, такие как индий, галлий, бор. При замещении атома кремния,
скажем, атомом бора остается незаполненной (ненасыщенной) одна кова-
лентная связь. Эта связь заполняется одним из электронов, принадлежащих
атомам кремния, окружающим примесь, так, что атом бора оказывается
отрицательно заряженным, а в его окрестности образуется дырка. Дырка
связана с отрицательно заряженным остовом слабыми кулоновскими сила-
ми. Для энергии связи дырки на акцепторе и радиуса связанного состояния
в простейшем случае применимы формулы (1.1), (1-2), в которых под т
следует понимать эффективную массу дырки.
В более сложных случаях, когда спектр в соответствующих зонах ани-
зотропный (как в зоне проводимости германия и кремния) или зоны выро-
ждены (как валентная зона в большинстве хорошо изученных полупровод-
ников со структурой алмаза или цинковой обманки), формулы (1.1), (1.2)
непосредственно не применимы. Однако, качественно ситуация не меняет-
ся. Мелкие доноры и акцепторы имеют малые энергии связи и большие
воровские радиусы.
В полупроводниковых соединениях один и тот же примесный атом мо-
жет быть как мелким донором, так и мелким акцептором в зависимости
от того, какой атом основной решетки он замещает. Например, атом крем-
ния в арсениде галлия является мелким донором, если он замещает атом
галлия, и мелким акцептором, если он замещает атом мышьяка. Такие при-
20
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
меси называются амфотерными.
В главе 2 приведены сведения о мелких донорах и акцепторах в не-
которых полупроводниках. Существенно, что энергия ионизации мелких
доноров и акцепторов слабо зависит от их химической природы. Такая за-
висимость (химический сдвиг) существует только благодаря отклонению
потенциала остова от кулоновского на малых расстояниях, порядка не-
скольких постоянных решетки, от центра. Химический сдвиг тем меньше,
чем больше боровский радиус.
Примесные атомы, которые не являются мелкими донорами или акце-
пторами, часто приводят к появлению энергетических уровней в глубине
запрещенной зоны. Радиусы этих примесных состояний малы, поэтому, как
правило, они не могут быть описаны в рамках приближения эффективной
массы. Положения уровней в этих случаях существенно зависят от химиче-
ской природы примесей. Такие примесные центры называются глубокими.
Глубокие центры обычно могут находиться в различных зарядовых состо-
яниях, и часто один и тот же примесный атом может служить и донором,
и акцептором. В качестве типичного примера можно привести примесь
золота в германии.
Атом золота имеет один валентный электрон. Когда этот атом замещает
атом германия в решетке, три ковалентные связи оказываются ненасыщен-
ными и на них переходят электроны с окружающих атомов германия. В
результате образуется трехкратно заряженный остов и три дырки в его
окрестности. Такой атом золота является трижды акцептором. Другими
словами, при последовательном отрыве дырок от примесного золота оно
переходит в одно-, двух- и трехзарядное состояние. Таким образом, име-
ются три энергии ионизации, которым соответствуют три уровня в запре-
щенной зоне, отстоящие от потолка валентной зоны на расстояния, равные
энергиям, необходимым для отрыва от остова первой, второй и третьей
дырки, соответственно (уровни 1, 2, 3 на рис. 1.2).
Известно, что золото в германии и кремнии может также выступать
как донор, то есть может отдать электрон и превратиться в ион Аи+ —
центр захвата для электронов. На рис. 1.2 соответствующий уровень имеет
номер 0. Таким образом, золото в германии может приводить к появлению
четырех уровней захвата для электронов и четырех уровней захвата для
дырок.
Зарядовое состояние центра удобно изображать так, как это показано
на рис. 1.2. Снизу от уровня отмечается зарядовое состояние центра до
перехода на него электрона из зоны проводимости (заряд, который «видит»
электрон в 'онс проводимости при захвате на данный уровень). Сверху —
1.1. Примесные центры в полупроводниках
21 <
Рис. 1.2. Уровни золота в германии. Слева — условные номера уровней. Справа
в скобках обозначен заряд центра, который «видит» электрон перед захватом на
уровень, расположенный над этим обозначением, а дырка при захвате на уровень,
расположенный под обозначением. Вертикальными линиями показаны два возмож-
ных пути рекомбинации в условиях, когда уровень Ферми лежит между уровнями
1 и 2. Сначала происходит переход, изображенный сплошной линией, затем пере-
ход, изображенный пунктирной линией. Стрелки указывают направление перехода
мектрона (дырка переходит в обратном направлении).
заряд центра после захвата электрона. Возможна и другая, эквивалентная
интерпретация: сверху — зарядовое состояние, каким его «видит» дырка
в валентной зоне при захвате на уровень, а снизу — заряд центра после
захвата дырки.
Зарядовое состояние, в котором находится центр в полупроводнике в
равновесных условиях определяется положением уровня Ферми. Напри-
мер, если уровень Ферми расположен между уровнями 1 и 2, то при не
слишком высоких температурах золото с подавляющей вероятностью на-
ходится в состоянии Ап -. Рекомбинация при этом в принципе может идти
двумя путями:
1. Электрон из зоны проводимости захватывается на ион Ап- образу-
ется ион Ап-- и затем при захвате на него дырки из валентной зоны снова
образуется ион Ап-, то есть зарядовое состояние центра восстанавлива-
ется. На энергетической диаграмме (рис. 1.2) этому пути рекомбинации
соответствует захват электрона на уровень 2 и последующий захват дырки
на тот же уровень.
2. Дырка из валентной зоны захватывается на ион Au”, образуется
атом Аи°, и затем на него захватывается электрон, снова переводя золото
22
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
£i —
.. 0.32
0,23
0.16
0.09
^23 001
ЛЕ______________—
0.20
О 2R 0.27
^030 ---0,30 0.30
0.37
0.34
0.25
016 022
222 о.О9 --------
0.04
0.16
013 п О.уу
---О О50065--
0.04 u2g-— 0.03
£v
Си Ag Au Be Zn Cd Hg В Sb S Cr Se Те Mn Fe Co Ni Pt
In P
0,12
007
Al As
Ga Be
Рис. 1.3. Примесные уровни в германии: донорные (-•-) и акцепторные (—).
Энергии в эВ отсчитываются от ближайшей зоны (Глинчук 1971).
в состояние Au . Рекомбинация при этом идет через уровень 1 — сначала
на него захватывается дырка, а затем электрон.
Следует отметить, что энергетическая схема (рис. 1.2) условна. Это
проявляется в том, что реализоваться могут только переходы электрона
из зоны проводимости на самый нижний из незаполненных (электроном)
уровней примеси или с самого верхнего заполненного уровня в валентную
зону (захват дырки).
Разумеется имеют смысл и обратные процессы, соответствующие ио-
низации. Другие переходы в этой схеме не имеют смысла. Например, не
имеет смысла переход в одном атоме с уровня 1 на уровень 2. Возбужден-
ные состояния иона Au-, если они существуют, имеют совершенно другие
энергетические интервалы.
На рис. 1.3-1.5 даны положения уровней глубоких примесей в герма-
нии, кремнии и арсениде галлия. Обширные сведения о глубоких примес-
ных центрах содержатся в работах Милнса (1977), Stoneham (1975), Hayes
and Stoneham (1984), Глинчука (1971).
Особый тип примесных центров представляют так называемые изоэлек-
тронные (изовалентные) ловушки. Характерным примером изоэлектрон-
ных примесей являются примесные атомы с электронной структурой ва-
лентной оболочки, подобной структуре атомов, которые они замещают в
1.1. Примесные центры в полупроводниках
23
0.29
0Л0
025
0.62
ООЗ-°О5М7
0Л8^Ш
о.;5
0.35
0.55. ..
245 037 034046
032 033 023 0.21
QJL6 ~’~
0.0441.07
Си Ag Au Be Mg Zn В In As,Sb Bi S Cr Mn Fe Co Ni Pd Pt
Al.Ga P,Na
Рис. 1.4. Примесные уровни в кремнии: донорные (—•—) и акцепторные (—).
Энергии в эВ отсчитываются от ближайшей зоны (Глинчук 1971).
кристаллической решетке (то есть примесные атомы из той же подгруппы
таблицы Менделеева, что и атомы основной решетки). Например, атомы
азота, сурьмы, висмута, замещающие фосфор в фосфиде галлия. Все ва-
лентные связи при таком замещении оказываются насыщенными, и такая
примесь не поставляет в зону ни электронов, ни дырок. Тем не менее
изоэлектронный примесный атом является дефектом кристаллической ре-
шетки, и в ряде случаев это приводит к появлению локального уровня для
электрона или дырки (изовалентная ловушка). По данным Белоглазова и
Юновича (1972) азот в фосфиде галлия создает уровень для электрона с
энергией связи 11 мэВ. Однако, если ионные радиусы примесного и заме-
шенного атомов близки, то локальный уровень не образуется.
Изоэлектронная (изовалентная) ловушка, захватившая электрон (дыр-
ку), становится заряженным центром, способным захватывать носители
заряда противоположного знака. Таким образом появляется экситон, свя-
занный на изоэлектронной ловушке. Изоэлектронными ловушками могут
служить также различного рода комплексы, например, пара, состоящая из
находящихся в соседних узлах решетки донора и акцептора. Подобную па-
ру образуют в фосфиде галлия мелкий акцептор (Cd или Zn) и глубокий
донор — кислород. Более подробные сведения об изоэлектронных ловуш-
ках и соответствующую библиографию можно найти в обзоре Faulkner
(1968).
При очень низких температурах (ниже 4 К) проявляется еще один тип
примесных центров, так называемые А+ и D- центры. Центр D- есть
24
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
0.006 0.006
Ev__________________________________________________
044 °А2
021
0 145 л 11 0 11 0.16 —
(LD2 <Ш 001_003 0.034 0.04 ---
Е -------------—. — -------------------------------
Си Ag Au Zn.Cd Si,Те Ge Cr Мп Fe Со Ni
Be
Рис. 1.5. Примесные уровни в арсениде галлия: донорные (-•-) и акцепторные
(—). Энергии в эВ отсчитываются от ближайшей зоны (Глинчук 1971).
нейтральный мелкий донор, к которому присоединен еще один электрон
(аналог отрицательного иона водорода), центр А+ — нейтральный мел-
кий акцептор, присоединивший еще одну дырку. Подобные центры были
обнаружены в кремнии, легированном бором (А+) и фосфором (D-) (Гер-
шензон и др. 1971, Годик и др. 1971). Таким образом, при очень низких
температурах нейтральный мелкий донор может являться центром захвата
для электрона, а акцептор — для дырки. Энергия связи при этом мала и
составляет в кремнии ~ 5 мэВ для А+ центра (бор) и ~ 2 мэВ для D-
центра (фосфор) (Gershenzon 1985).
Кроме примесных атомов, центрами захвата в полупроводниках могут
служить различного рода нарушения кристаллической решетки — вакан-
сии, атомы в междоузлиях, дислокации, а также комплексы, состоящие из
примесных атомов и дефектов. В качестве примера моядго указать на так
называемые А центры в кремнии, состоящие из вакансии и атома кисло-
рода. Эти центры ведут себя как глубокие акцепторы. Детальные сведения
о различного рода дефектах (в том числе радиационных) содержатся в
монографии Stoneham (1975).
1.2 Компенсированные полупроводники
Таким образом, если в полупроводнике имеются только доноры, а акце-
пторов нет, то при низкой температуре все донорные центры заполнены
1.2. Компенсированные полупроводники
25
электронами1 *. При биполярной инжекции в таком полупроводнике процесс
рекомбинации начинается с захвата дырки нейтральным донором. Затем на
образовавшийся положительно заряженный центр захватывается электрон.
При монополярном возбуждении, например, примесной подсветкой число
центров захвата для электронов равно числу свободных электронов в зоне.
Таким образом, в обоих случаях даже при самом малом уровне возбужде-
ния число центров захвата для электронов определяется интенсивностью
возбуждения.
Однако в обычном полупроводнике, легированном донорами, имеет-
ся некоторое количество акцепторов, концентрация которых определяется
технологией выращивания кристалла и его легирования. Такие материалы
называются компенсированными, а их степень компенсации ко определя-
ется как отношение концентрации компенсирующей примеси (А/а) к кон-
центрации основной (АЪ). Компенсирующая примесь может вводиться в
полупроводник и специально, причем степень компенсации может варьи-
роваться в широких пределах — от весьма малых значений до 1.
В компенсированных полупроводниках, например n-типа, электро-
нов уходит с доноров на акцепторы, так что все акцепторы оказываются
отрицательно заряженными, а на донорах образуется вакантных мест,
которые служат заряженными центрами захвата для неравновесных элек-
тронов из зоны проводимости. Соответственно заряженные акцепторы мо-
гут служить центрами захвата для неравновесных дырок. Таким образом,
в компенсированных полупроводниках при достаточно малом уровне воз-
буждения неравновесных носителей заряда число центров захвата не за-
висит от интенсивности возбуждения, а зависит от способа легирования.
В качестве компенсирующей примеси часто выступают глубокие центры,
которые, как уже говорилось, могут быть многозарядными.
Наличие в компенсированном полупроводнике заряженных доноров и
акцепторов, расположенных более или менее хаотически, приводит к по-
явлению в таком материале флуктуаций электростатического потенциала.
Из-за этого возникает разброс энергетических уровней примеси, завися-
щий от концентрации заряженных центров Ад и степени компенсации.
Вели степень компенсации не слишком мала и не слишком близка к едини-
це, то разброс уровней порядка e~N^3 /п. Подробное обсуждение распре-
деления примесных уровней и флуктуаций электростатического потенциа-
ла в компенсированных полупроводниках содержится в книге Шкловского
1 Имеется в виду слаболегированный полупроводник. Для определенности здесь и ниже
мы будем говорить о полупроводнике n-типа. Очевидно, что те же соображения относятся и
ь полупроводникам р-типа.
26
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
и Эфроса (1979).
При наличии флуктуаций электростатического потенциала становится
неоднозначным понятие энергии связи электрона на примеси. Энергия свя-
зи обычно определяется как энергия, необходимая для того, чтобы переве-
сти электрон из связанного состояния на дно зоны проводимости. Однако,
когда дно зоны проводимости изрыто флуктуациями, его энергетический
уровень ие фиксирован. В зависимости от характера физической задачи
этот уровень может быть определен различным образом. Часто целесо-
образно считать электрон свободным, если он участвует в проводимости
на постоянном токе. Тогда следует определить уровень дна зоны проводи-
мости как уровень протекания. Под уровнем протекания (перколяционным
уровнем) понимается наименьший уровень энергии, находясь на котором,
электрон еще имеет возможность перемещаться по кристаллу на большие
расстояния. Если энергия электрона ниже уровня протекания, то он ока-
зывается запертым в яме потенциального рельефа. По мере роста энергии
область пространства, доступная для электрона, увеличивается. Существу-
ет такой уровень энергии, когда размер области становится бесконечным.
Этот уровень и называется уровнем протекания. Подробное обсуждение
проблемы протекания в применении к полупроводникам содержится в вы-
шеуказанной книге Шкловского и Эфроса (1979).
1.3 Статистика заполнения примесных уровней
Рассмотрим теперь вопрос о заполнении примесных уровней атомов элек-
тронами. При нулевой температуре заполнены все уровни, лежащие ниже
уровня Ферми. Получим выражения для степени заполнения f уровней с
энергией Е, при конечной температуре. Будем использовать распределе-
ние Гиббса, применяя его к примесному центру как к термодинамической
системе с переменным числом частиц. Согласно этому распределению ве-
роятность найти центр в состоянии с энергией Е, и числом частиц л, равна
где цо — химический потенциал (энергия уровня Ферми), z — статисти-
ческая сумма
Е/ щцо — ЕЛ .
ехр V—кг— ) ’ (Е4)
Сумма берется по всем состояниям примесного центра.
I i Статистика заполнения примесных уровней
27
Рассмотрим сначала простейший случай центра, на котором может на-
мупггься только один электрон и только на одном энергетическом уровне
шсргией е. Степень вырождения этого уровня обозначим через g. Тогда
имеются следующие состояния примесного центра:
1. Примесь заполнена. Число таких состояний равно g. В каждом из
них n, = 1, Е, = е.
2. Примесь не заполнена. Такое состояние только одно и для него и, — О,
/, =0. (Состояние незаполненного центра прйнято за начало отсчета
>псргии).
1<>гда имеем
z=l+ gexp U-5)
и. следовательно,
= ехр[(мо - е)/кТ]
W‘ 1 +#ехр[(^0 - е)/кТ]
Цпн любого состояния заполненного центра, вероятность того, что центр
не заселен
1 । I $
1 + #ехр
\ К, 1
(1-7)
Найдем теперь суммарную вероятность f того, что центр будет запол-
нен, то есть степень заполнения центра. Для этого, очевидно, следует вы-
ражение (1.6) умножить на число g заполненных состояний. Окончательно
I ин степени заполнения однозарядного центра получим2
f =
1 -I—exp
g
£ - Я)
кТ
(1.8)
Обсудим вопрос о роли возбужденных состояний. С учетом возбужден-
них состояний выражение для статистической суммы имеет вид
1 । (\ । ( PG £2 £3 \ । /, п\
= 1+giexp ( +#2ехр ( +#зехр +• • • (1.9)
X / X. К**- f \ /Ся 1
|дс индекс 1 относится к основному состоянию, а индексы 2, 3, ... — к
возбужденным. Из выражения (1.9) видно, что те возбужденные уровни,
’ Здесь и далее предполагается, что до и Е отсчитываются от одного и того же уровня в
<чту и ту же сторону (положительное направление вверх). Если отсчет ведется от дна зоны
11|ппц>димости, то е — отрицательная величина и для для донора е = — Ец, где Eq — энергия
пи и электрона на доноре.
28
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
которые отстоят от основного на величину энергии Де кТ, не вносят
вклада в статистическую сумму независимо от положения уровня Ферми.
Поэтому, если энергетический зазор между основным и первым возбу-
жденным состоянием много больше, чем кТ, то формула (1.8) примени-
ма для вычисления степени заполнения f основного уровня центра (при
этом под е и g, конечно, следует понимать энергию и степень вырождения
основного состояния). Заселенность возбужденных уровней, ft, связана с
f соотношением * д
(1л°>
где Де, = е, — е — энергия возбуждения. В этих условиях заселенность
возбужденных уровней мала, и можно считать, что заселенность f основ-
ного уровня дает одновременно и степень заполнения центра3.
Если возбужденное состояние оказывается близким по энергии к основ-
ному уровню (то есть отстоит от него на расстояние Де кТ), то его
следует учитывать просто как одно из вырожденных состояний основного
уровня. Таким образом, под g в формуле (1.8) следует понимать число раз-
личных состояний с энергией, отличающейся от энергии основного уровня
на величину меньшую, чем кТ. Так определенный фактор вырождения g
может сам зависеть от температуры.
Степень вырождения энергетического уровня примесного центра, g, оп-
ределяется размерностью представления группы симметрии центра, к ко-
торому относится данный уровень. Для глубоких ловушек теоретически
определить эту величину — трудная задача. Для мелких доноров и акце-
пторов это можно сделать.
В таких полупроводниках как GaAs, InSb и тд. зона проводимости про-
стая и ее дно расположено в центре зоны Бриллюэна. При этом единствен-
ной причиной вырождения основного состояния мелкого донора является
вырождение, связанное с двумя возможными ориентациями спина (g = 2).
В многодолинных полупроводниках, таких как германий и кремний,
мелкий донор имеет уровень под дном каждой долины. Каждый уровень
дважды вырожден по направлению спина, так что общая степень вырожде-
ния g — 2v, где v — число долин. Например, для доноров в германии
3 Некоторая трудность возникает в случае кулоновского потенциала примеси, когда плот-
ность возбужденных состояний безгранично возрастает при приближении к границе сплош-
ного спектра. Однако при низких температурах возбужденные состояния и в этом случае
вносят в статистическую сумму экспоненциально малый вклад, так как кулоновская расхо-
димость может быть устранена путем отбрасывания состояний с радиусом орбиты большим,
чем среднее расстояние между кулоновскими центрами. Такие состояния уже нельзя считать
принадлежащими одному центру.
1.3. Статистика заполнения примесных уровней
29
g = 8, в кремнии g = 12. При очень низких температурах, однако, сле-
дует учитывать расщепление уровня в кристаллическом поле тетраэдри-
ческой симметрии. В германии, например, четыре орбитальные состояния,
соответствующие четырем долинам, дают два уровня энергии: нижний —
синглетный и верхний — триплетный. Энергетический зазор между ни-
ми невелик и составляет, например, для донорной примеси Sb величину
<5е = 0,57 мэВ (Fritzsche 1960). Таким образом, при температуре много
ниже, чем 6 К заселен только нижний (синглетный) уровень (двукрат-
но вырожденный по спину) и следует считать, что g = 2. В переходной
области можно пользоваться формулой (1.8) для определения степени за-
полнения донора, если g считать величиной, зависящей от температуры
\
~ ТтЬ С1-11)
а в качестве е брать энергию нижнего синглетного уровня.
Степень заполнения акцепторов дырками определяется формулой, ко-
торая получается из (1.8) заменой е — цо цо — е в показателе экспо-
ненты4. В кубических полупроводниках со структурой алмаза (Ge, Si) или
со структурой цинковой обманки (GaAs, InSb и т.д.) валентная зона при
к. — 0 четырехкратно вырождена (имеется две двукратно вырожденные
валентные подзоны — тяжелых и легких дырок). Соответственно четы-
рехкратно вырождено и основное состояние дырки на мелком акцепторе.
Таким образом, в этих полупроводниках для дырок на мелких акцепторах
,? = 4.
Подробное изложение теории мелких доноров и акцепторов (а также
их поведение при деформации и во внешних полях) содержится в книге
Бира и Пикуса (1972).
Иногда удобно говорить о заполнении примесного центра электроном и
не использовать понятие дырка (в особенности это относится к глубоким
примесным центрам). На этом языке заполненный электроном акцептор
означает акцептор, лишенный дырки. При этом концентрация заполненных
электронами примесей записывается в виде
Nr = Nf, (1.12)
где N — полная концентрация примесных центров, Nf — концентрация
примесных центров, заполненных электронами, a f — степень заполнения
4Напомним, что •: » отсчитываются от одного и того же уровня вверх. Если отсчет
ведется от вершины валентной зоны, то е = £д — энергия связи дырки на акцепторе.
30
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
центра электронами. В применении к донорам f имеет вид (1.8), где g —
степень вырождения основного состояния электрона на примесном доноре.
В применении же к акцепторам f в формуле (1.12) есть доля акцепторов,
лишенных дырки
f = 1 - l+s-«xp[(w-EW] = [‘ + ““Р (V1)] ‘ ’ <113>
где g& — степень вырождения основного уровня дырки на акцепторе. Если
записать формулу (1.13) в форме (1.8), то следует считать, что g = l/g& —
дробное число. Таким образом, при использовании формул для вычисления
заселенностей электронами примесных центров различного типа величина
g может быть как целой, так и дробной.
Обсудим теперь вопрос о заполнении уровней многозарядных центров.
Для примера снова рассмотрим примесь золота в германии. Энергетиче-
ское положение уровней на рис. 1.2 обозначим £q, е1; ег> £з- Тогда энергии
атома золота в состояниях Au°, Au-, Au , Au будут, соответствен-
но, ео> со + Еь ео + ^1 + £2, £о + £1 + £2 + Ез- Степени вырождения этих
состояний обозначим через go, gi, g2, g3- Состоянию Au+ соответствует
нулевая энергия, а степень его вырождения обозначим через g_ i. Исполь-
зуя распределение Гиббса (1.3), можно получить вероятность нахождения
примесного центра в различных зарядовых состояниях. Например, для со-
стояния Аи°
/* §0 f ^0 \ /1 i л\
Л = 7“рНт^) <114)
для состояния Аи~
/• 51 / 2/Z0 — £о — £1\ ,11П
Л = 7 “р(------if-----) (115>
и так далее. Для отношения заселенностей имеем
gn
----ехр
gn- 1
МО £л
кТ
(116)
Для статистической суммы z находим
/ро-ео) Г (мо — £о) + (мо — £1)1 .
Z = 5-1+ 5оехР I кГ ) + 51 ехр +
г сто е°) + (^° - £0 + (w> _ £г)1 ,
-Г52ехр --------
kT
+5зехр
(мо ~ £о) + (мо ~ £1) + (мо ~ £г) + (мо — £з)
кТ
1.4. Неравновесные носители заряда и их захват на примесные центры
31
Практически, однако, почти никогда не приходится иметь дело с этими
ромоздкими выражениями. Если уровень Ферми близок к уровню е„, то
в статистической сумме главными будут л-ый и (и — 1)-ый член и соот-
ветственно существенным будет только вопрос о заполнении состояний
с п и п — 1 электронами5. (Центры во всех остальных состояниях будут
практически отсутствовать, если все энергетические промежутки велики
по сравнению с кТ.~) При этом можно написать
г 1 , 8п— 1 I &п МО \ /1 ю\
fn = 1 +-----exp . (1.18)
L gn \ kT ) J
Формула (1.18) имеет тот же вид, что и формула (1.8) для степени заполне-
ния мелкого донора, только роль степени вырождения g играет отношение
gn-l/ gn-
Итак, заселенности различного рода состояний примесных центров оп-
ределяются положением уровня химического потенциала (уровня Ферми).
Сам этот уровень следует находить из условия нейтральности с учетом
всех возможных состояний электронов как в разрешенных зонах, так и на
примесных центрах. Эта процедура подробно описана в целом ряде книг
(см., например, Милне 1977, Бонч-Бруевич и Калашников 1977). В случае
компенсированных полупроводников, когда существен разброс примесных
уровней из-за флуктуации, и положение уровня Ферми зависит от того, за-
няты или свободны соседние центры, нахождение уровня Ферми предста-
вляет собой сложную многоэлектронную задачу, подробное рассмотрение
которой излагается в книге Шкловского и Эфроса (1979).
1.4 Неравновесные носители заряда и их захват на
примесные центры
Неравновесные носители в полупроводнике могут быть созданы различ-
ными способами: путем освещения, облучением быстрыми электронами,
инжекцией с контактов и т.д. Источник неравновесных носителей можно
характеризовать скоростью генерации G, которая есть число свободных
(лектронов (или дырок), создаваемых в единицу времени в единице объ-
ема. Наряду с процессом генерации всегда имеет место и процесс гибели
неравновесных носителей, т.е. рекомбинации. Этот процесс характеризу-
ется скоростью рекомбинации R, которая есть число электронов (дырок),
исчезающих в единицу времени в единице объема.
5Такая ситуация имеет место в случае положительной корреляционной энергии, когда
„ > О центрах с отрицательной корреляционной энергией см. § 2.6.
32
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
При однородном возбуждении зависимость концентрации свободных
электронов от времени определяется уравнением6
~=G-R. (1.19)
dr 4 7
Обычно различают два типа генерации: биполярную, при которой одно-
временно и в равных количествах создаются электроны и дырки, и моно-
полярную, при которой создаются носители заряда только одного знака.
Биполярная генерация осуществляется, например, при освещении полу-
проводника светом с энергией кванта, превышающей ширину запрещенной
зоны.
Монополярная генерация реализуется, в частности, при примесной под-
светке, когда энергии кванта хватает лишь на то, чтобы возбудить электрон
с примесного уровня в зону или наоборот из валентной зоны на примесный
уровень.
Рассмотрим простейший случай, когда генерация монополярна, свобод-
ные неравновесные носители отсутствуют, а процесс рекомбинации есть
процесс захвата носителей на примесные центры. При этом скорость ре-
комбинации R пропорциональна концентрации свободных носителей п:
R = (1-20)
Величина т имеет размерность времени и называется временем жизни
неравновесных носителей. Естественно, что т зависит от концентрации
центров захвата, которую мы обозначим через Nr. Если центры захвата
действуют независимо друг от друга, то очевидно
t-1=Nrc. (1.21)
Коэффициент с называется коэффициентом захвата и характеризует захват
на изолированный центр. Именно эта величина является микроскопической
характеристикой рекомбинационных свойств примесных центров различ-
ного типа. Часто используют также понятие эффективного сечения захвата
<т, которое связано с коэффициентом захвата соотношением
c = <t(v), (1-22)
6Если возбуждение или рекомбинация не однородные, то в уравнении (1.19) dn/cl/ следует
заменить на dn/dt + div</„, где qn — плотность потока электронов.
। I Неравновесные носители заряда и их захват на примесные центры
33
ин- (у) есть средняя скорость свободных носителей. Эффективное сечение
\ добно тем, что оно имеет простой физический смысл, характеризуя пло-
щадь мишени, попав в которую, носитель оказывается захваченным. Сле-
зет отметить, однако, что с определяемой экспериментально величиной
временем жизни — связан именно коэффициент захвата с, а не эффек-
। пвное сечение. При вычислении эффективного сечения согласно формуле
(I 22) следует оговаривать, что понимается под (у). В случае, когда свобод-
.... неравновесные носители находятся в тепловом равновесии с решеткой,
естественно понимать под (у) среднюю тепловую скорость носителей
V = \-----. (1.23)
V тгт
I ели же распределение носителей по энергиям неравновесное, например,
они разогреты электрическим полем, понятием сечения захвата пользо-
па гься неудобно.
Используя соотношение (1.20) запишем основное уравнение для п в
ицде
Ai=G-~r
При достаточно малой скорости генерации время т можно считать кон-
i гантой, характеризующей образец. Тогда уравнение (1.24) просто реша-
ется при любой зависимости G от времени.
Отметим несколько наиболее важных случаев. При стационарной гене-
рации установившаяся концентрация избыточных неравновесных носите-
лей равна
п = Gt. (1.25)
< над концентрации неравновесных носителей после мгновенного выклю-
чения источника генерации происходит по закону
п(г) = п(0) ехр ) . (1.26)
( оответственно нарастание концентрации при мгновенном включении ис-
। очника в момент t = 0 определяется формулой
и(г) = Gt J1 - ехр • (1-27)
Таким образом, время жизни носителей, с одной стороны, определяет ки-
нетику спада и нарастания концентрации, а с другой — ее значение при
стационарном возбуждении.
34
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
Особый интерес представляет также случай генерации, периодически
меняющийся со временем:
G = Gq + Gicosw/. (1.28)
Решение уравнения (1.24) в этом случае имеет вид
n(t) = по + «icos(wr — <^), (1.29)
где
По = Got, tg<p = wr (0 < < тг/2), щ = —(1.30)
V1 +
Последняя из формул (1.30) показывает, что т-1 определяет те частоты,
начиная с которых происходит демодуляция концентрации свободных но-
сителей. При w т"1 концентрация носителей не успевает следить за
колебаниями возбуждения.
Формулы (1.25)—(1.27), (1.30) лежат в основе экспериментальных ме-
тодов определения времени жизни т. В рассмотренном простейшем слу-
чае во все эти формулы входит одно и тоже время, поэтому различные
экспериментальные методы должны давать один и тот же результат. Одна-
ко это не всегда так. Измерения статического времени жизни, определя-
емого формулой (1.25), и динамического времени жизни, определяющего
временной ход релаксационных процессов, часто дают разные результаты.
(Динамическое время обычно больше, чем статическое.) Такие ситуации
будут рассмотрены ниже. При этом динамическим временем жизни та по
определению будем считать время спада неравновесной концентрации по-
сле выключения внешней генерации, так что
При достаточно больших уровнях генерации, когда г зависит от концен-
трации носителей, уравнение (1.19) становится нелинейным и его решение
вообще не имеет вышеприведенного простого вида. При биполярной ин-
жекции или при наличии нескольких сортов центров захвата существует
не одно, а несколько времен релаксации избыточных носителей. Подроб-
ное обсуждение этих вопросов содержится, в книге Рывкина (1963). Мы
остановимся только на некоторых наиболее простых случаях.
I 5. Статистика рекомбинации электронов и дырок через примесные центры 35
1.5 Статистика рекомбинации электронов и дырок через
примесные центры
Рассмотрим рекомбинацию электронов и дырок в том случае, когда име-
ется только один тип ловушек с единственным энергетическим уровнем.
(Носители в зонах будем считать невырожденными.) Этот вопрос впервые
был рассмотрен Шокли и Ридом (Schockley and Read 1952), а также Хол-
пом (Hall 1952). Выпишем уравнения баланса для концентраций свобод-
ных электронов и дырок в присутствии источника биполярной инжекции,
поставляющего в единицу времени в единицу объема число пар свободных
носителей G:
~ = Gn~Rn + G, % = Gp-Rp + G, (1.32)
dr dr
где Rn и Rp — скорости рекомбинации электронов и дырок, Gn и Gp —
скорости их тепловой генерации.
Рекомбинация электронов определяется их захватом на «пустые ловуш-
ки», а дырок на «заполненные». Если ввести степень заполнения ловушки
/, а под N понимать полную концентрацию ловушек, то очевидно, можно
написать
Rn = cn(l - f)Nn, RP = cpfNp, (1.33)
। де cn и cp — коэффициенты захвата электронов на пустые ловушки и ды-
рок на заполненные, соответственно. Естественно, что скорости тепловой
генерации могут быть записаны в виде
Gn = e^fN, Gp = ер(1 - f)N. (1.34)
Коэффициенты е„ и Ср называются коэффициентами тепловой генерации
электронов и дырок, соответственно, с заполненных и пустых ловушек
(генерация дырок есть фактически переход электронов из валентной зоны
на пустые ловушки). Величины ей, Ср и сп, ср связаны общими соотно-
шениями. Эти соотношения следуют из требования точной компенсации
процессов тепловой генерации и рекомбинации при тепловом равновесии
в отсутствие внешнего источника.
е,,/0) = сп(1 -/0))n(0), вр(1 - /(0)) = (1.35)
LHC п^°\ — термодинамически равновесные значения соответству-
36
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
югцих величин7. Из формулы (1.8) следует, что
1 - /(0) _] /е - мо
~^Г=8 exphtF“
(1.36)
Для и р(°! имеем известные выражения
^=Wcexp
кт
p(0)=/Vvexp(-^X).
(1-37)
Здесь £с и £v — энергии дна зоны проводимости и потолка валентной зоны
соответственно, Nc и Nv — эффективные плотности состояний в этих зонах
Nc = 2
(2тгткТ')3/2
(2тгЙ)3
(1.38)
m — эффективная масса плотности состояний в зоне проводимости, и —
число долин. Для Nv имеет место аналогичное выражение. Окончательно
для коэффициентов вп и Ср имеем
en = cn«i, Ср = Cp«i, (1.39)
где
£с - еА
кТ ) ’
«1 = Neg ‘exp
Pi = A'vgexp
е — ev
кТ
(1.40)
Величинам гц и pi можно придать простой физический смысл. С точностью
до множителя g эти величины есть равновесные концентрации электронов
и дырок, которые имелись бы, если бы уровень Ферми проходил через
уровень ловушки. Теперь уравнения (1.32) можно записать в явном виде:
— = -cn2V[n(l - /) - n{f] + G
= —cpN[pf — pt(l—f)l + G.
(1-41)
Рассмотрим стационарный режим, при котором dn/di = dp/di = 0.
Тогда из уравнений (1.32) следует
Rn Gn — Rp — Gp. (1.42а)
Соотношения (1.35), конечно, не имеют места, если полупроводник находится в достаточ-
но сильном внешнем электрическом поле. При этом стационарные значения /, п и р зависят
от электрического поля и отличаются от термодинамически равновесных.
1.5. Статистика рекомбинации электронов и дырок через примесные центры 37
Величину 7?п - Gn можно назвать скоростью эффективной рекомбинации
электронов. Равенство (1.42а) означает, что в стационарном режиме ско-
рости эффективной рекомбинации электронов и дырок одинаковы, и мож-
но говорить просто об эффективной скорости рекомбинации электронно-
дырочных пар
R = Яп - Gn = Rp - Gp. (1.42b)
С помощью соотношения (1.42b) можно выразить степень заполнения ло-
вушек в стационарном режиме через концентрации свободных электронов
и дырок
f = ______+ рл£р________
(п + П1)сп + (р + Р1)ср
Используя (1.43), получим для эффективной скорости рекомбинации элек-
тронно-дырочных пар выражение
e.CtN(nP-n^
Сп(« + «1) + Ср(р + pi)
где п? = п\р\ — квадрат собственной концентрации носителей
Ш = VNcWvexp • (L45)
Формулу (1.44) обычно записывают в виде
Тпо(р + Р1) + тро(п + П1) ’
где тпо' = cnN, = CpN. Величина тро имеет физический смысл времени
жизни дырок в случае, когда все ловушки заполнены, т.е. в полупроводнике
n-типа. Аналогично, тпо — время жизни электронов в полупроводнике р-
типа.
Для однородных полупроводников стационарные концентрации п и р
находятся из двух уравнений. Одно из них есть равенство между скоростя-
ми внешней генерации и эффективной рекомбинации электронно-дыроч-
ных пар
R = G. (1.47)
Другое уравнение есть условие нейтральности, которое должно учитывать
электроны, дырки и заряженные центры. Удобно записать условие ней-
38
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
тральности в виде8
п - п(0) + (/ - У(0))М = р - р(0)• (1.48)
До сих пор Mpi предполагали, что в полупров( днике имеется только
один тип примесных центров с единственным энергетическим уровнем.
Однако все полученные выше соотношения могут оказаться справедливы-
ми и в более общих случаях. Например, когда в полупроводнике, кроме
глубоких ловушек, имеются мелкие доноры и акцепторы, то равновесные
значения п^, р(°\ fW, конечно, зависят от их концентрации. Но если
температура такова, что все мелкие примеси ионизованы, то рекомбинаци-
онные процессы по прежнему описываются формулами (1.41)-(1.48). При
этом, если концентрация глубоких ловушек значительно меньше концен-
трации мелких примесей, то равновесное значение концентрации свобод-
ных носителей определяется мелкими центрами, а скорость рекомбинации
— глубокими.
Формулы (1.41)-(1.48) остаются справедливыми также и для многоза-
рядных центров, если уровень возбуждения и температура таковы, что в
процессах рекомбинации участвуют только два заряженных состояния, т.е.
кинетика рекомбинации определяется заполнением и опустошением только
одного энергетического уровня9.
Рассмотрим несколько простейших ситуаций. Пусть имеется полупро-
водник n-типа, в котором уровень Ферми проходит выше уровня ловушки,
так, что все ловушки заполнены ии» nj. Тогда, очевидно, при малом
уровне возбуждения (когда концентрации избыточных свободных носите-
лей 6п, 6р и(0)) процесс рекомбинации определяется захватом дырок,
так как электрон может быть захвачен только ловушкой, уже захватившей
дырку. Так как в зоне имеется очень много свободных электронов, то захват
электрона на пустую ловушку происходит очень быстро и не лимитирует
время рекомбинации. Соответственно выражение (1.44) в этом предельном
случае принимает вид R — cp6pN. Таким образом, время рекомбинации
электронно-дырочных пар есть
т = Тро = (ср^~1. (1.49)
83десь предполагается, что /,пмр связаны соотношением (1 43).
9Однако при достаточно высоком уровне возбуждения может происходить так называемая
перезарядка уровней: концентрации центров в различных зарядовых состояниях существенно
изменяются по сравнению с равновесными условиями. Перезарядка уровней в процессе ре-
комбинации тем эффективнее, чем сильнее различаются коэффициенты захвата электронов
и дырок.
I 5. Статистика рекомбинации электронов и дырок через примесные центры 39
Аналогично в полупроводнике p-типа время рекомбинации определяется
захватом электронов
т = тп0 = (спА)-1. (1.50)
Другой интересный случай — случай большого уровня возбуждения,
когда можно считать, что 8п = 8р п^°, р^°\ А; тогда формула (1.44)
дает
спСпА _ <5р ,,.
R = —......<5р -------—. (1.51)
сп + Ср ТпО + ТрО
Откуда следует, что время рекомбинации электронно-дырочных пар при
большом уровне возбуждения равно
Т = тпо + ТрО. (1.52)
Это означает, что процесс рекомбинации определяется теми носителями,
для которых коэффициент захвата меньше.
Экспериментальное исследование процессов рекомбинации в этих про-
стейших ситуациях позволяет определить коэффициенты захвата электро-
нов и дырок сп и ср.
В случае, рассмотренном в § 1.4, время рекомбинации имело двоякий
смысл: с одной стороны, оно определяло величину концентрации носителей
в стационарных условиях (формула (1.25)), а с другой, — описывало вре-
менной ход концентрации после включения или выключения накачки (фор-
мулы (1.21) и (1.26), соответственно). В случае, рассматриваемом в этом
параграфе, стационарные и нестационарные процессы уже нельзя описать
одним и тем же временем т. Полученные выше формулы (1.49)-(1.52)
относятся к стационарным условиям и определяют статические времена
жизни. Спад концентрации после включения накачки не описывается экс-
поненциальным законом с одним временем релаксации. При малом уровне
возбуждения можно линеаризовать уравнения (1.41), исключить из них
степень заполнения ловушек f с помощью условия нейтральности (1.48) и
убедиться, что временной ход каждой из концентраций пир описывается
линейной комбинацией двух экспонент с различными временами релакса-
ции. Только в простейшем случае большой концентрации ловушек и низкой
температуры, когда концентрации пустых и заполненных ловушек гораздо
больше концентраций носителей в зонах, электроны и дырки захватыва-
ются независимо друг от друга соответственно на пустые и заполненные
ловушки. При этом спад каждой концентрации описывается одной экспо-
нентой с временем жизни, равным для электронов тп = [cnA( 1 — )] “1,
40
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
а для дырок тр = Подробное рассмотрение кинетики реком-
бинации через глубокие ловушки имеется в книгах Бонч-Бруевича и Ка-
лашникова (1977) и Милнса (1977).
В заключение этого параграфа остановимся еще на одном вопросе, свя-
занном с кинетикой рекомбинации через примесные центры. До сих пор
неявно предполагалось, что дырка аннигилирует с электроном немедленно
после захвата на заполненную ловушку. В соответствии с этим вводились
только два состояния ловушки: заполненная и пустая. Более вероятной
представляется другая возможность — дырка, захватываясь на заполнен-
ную ловушку, аннигилирует с электроном не мгновенно, а с некоторой
задержкой. Другими словами, при захвате дырки образуется электронно-
дырочный комплекс, связанный с центром, т.е. связанный экситон. Энерге-
тически образование связанного экситона предпочтительнее немедленной
аннигиляции, так как при этом в решетку должна быть передана гораздо
меньшая энергия.
Статистическая теория рекомбинации, учитывающая возможность об-
разования связанного экситона, была разработана Евстроповым и Царенко-
вым (1970). При таком подходе вводятся три различных состояния ловуш-
ки: пустая, заполненная ловушка и ловушка со связанным экситоном. Вме-
сто формулы (1.44) для эффективной скорости рекомбинации электронно-
дырочных пар получено следующее выражение10
« = ---------1----, (1.53)
Са{П + И]) + Ср(р + Pl) + ТхСп[СрПр+ Ср(п + «1)]
Здесь тх — время жизни экситона, локализованного на центре, по отноше-
нию к аннигиляции, остальные обозначения те же, что и в формуле (1.44)
с одним важным отличием. Коэффициент ср теперь есть коэффициент за-
хвата дырки на заполненную ловушку с образованием экситона, а Ср, соот-
ветственно, — вероятность (в единицу времени) теплового выброса дырки
иэ состояния локализованного экситона в валентную зону. Если через £х
обозначить энергию, выделяющуюся при захвате дырки на заполненную
ловушку в состоянии связанного экситона, то связь коэффициентов ср и
Ер с точностью до факторов вырождения имеет вид
/ £х\
ер ~ CpNv ехр - — .
'°Выражение (1 53) отличается от точной формулы, выведенной Евстроповым и Царенко-
вым (1970), тем, что в (1 53) отброшены экспоненциально малые члены
I 6 Центры рекомбинации и центры прилипания
41
качественное отличие формулы (1.53) от формулы (1.44) заключается в
|ом, что при большом уровне возбуждения эффективная скорость реком-
бинации достигает насыщения R = N/tx. Физически это связано с тем, что
при большом уровне возбуждения все ловушки забиты связанными экси-
н>нами и темп рекомбинации определяется аннигиляцией этих экситонов.
При выводе (1.53) предполагалось, что на ловушке может быть локали-
юван только один экситон. Теперь установлено, что в германии и кремнии
на мелких примесных центрах могут образовываться экситонные комплек-
»ы, содержащие несколько экситонов вследствие вырождения зон. Это, ко-
нечно, усложняет выражение для R, но основной вывод о насыщении ско-
рости рекомбинации в условиях высокого уровня возбуждения остается в
i иле.
Отметим, что модификация рекомбинационной статистики, подобная
юй, которая проделана в работе Евстропова и Царенкова (1970), требу-
ется всегда, когда в процессе захвата электрона или дырки на примес-
ный центр образуется метастабильное состояние. Таким состоянием может
быть, например, возбужденное состояние электрона на центре, отделенное
о г основного состояния большим энергетическим зазором. Подробнее та-
кая ситуация будет рассмотрена в § 1.7.
1.6 Центры рекомбинации и центры прилипания
Скорость обмена электронами между примесным центром и зоной про-
водимости или валентной зоной существенно зависит от энергетического
положения уровня центра. Если, например, уровень лежит ближе к зоне
проводимости, чем к валентной зоне, то, попав на него, электрон с большей
вероятностью может вернуться назад в зону проводимости, чем рекомбини-
ровать с дыркой. В этом случае электроны, прежде чем рекомбинировать,
много раз переходят из зоны проводимости на центры и обратно. Если в
полупроводнике имеются только такие центры, то рекомбинация электрона
с дыркой в конце концов все же происходит через них. Однако в реальных
условиях почти всегда есть другие, более глубокие центры, попав на кото-
рые, электрон наверняка не будет выброшен обратно в зону проводимости,
а прорекомбинирует с дыркой. Тогда даже при относительно малой концен-
грации глубоких центров практически вся рекомбинация может идти через
них, а более мелкие центры при этом лишь уменьшают концентрацию в зо-
не проводимости и, тем самым, задерживают рекомбинационный процесс.
В этих условиях глубокие ловушки называют центрами рекомбинации, а
более мелкие — центрами прилипания.
42
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
Рассмотрим подробнее полупроводник p-типа с двумя сортами примес-
ных центров А и В при слабом уровне возбуждения. При этом будем счи-
тать, что уровень центра В лежит где-то вблизи середины запрещенной
зоны, гораздо глубже, чем уровень, соответствующий центрам А. Центры
А играют роль центров прилипания для неосновных носителей — электро-
нов, а центры В — роль центров рекомбинации. Количественно разница
между центрами прилипания и центрами рекомбинации может быть сфор-
мулирована следующим образом. Для центра прилипания вероятность вы-
броса захваченного электрона в зону проводимости, Gn, больше, чем веро-
ятность захвата дырки на этот центр, Лр. Согласно формулам предыдущего
параграфа это означает, что должно быть выполнено неравенство
сп«1 » срр. (1-54)
Если коэффициенты захвата, сп и ср, не сильно отличаются друг от дру-
га, то центрами прилипания электронов могут являться только те приме-
си, энергетический уровень которых удален от зоны проводимости мень-
ше, чем уровень Ферми удален от валентной зоны. Часто, однако, сп и
ср отличаются на порядки, например, из-за разницы в зарядовом состоя-
нии центра перед захватом. Если перед захватом электрона центр заряжен
положительно и является притягивающим, то сп 3> ср, так как дырка за-
хватывается уже на нейтральный центр (или даже отталкивающий). Это
обстоятельство способствует выполнению неравенства (1.54).
Для того, чтобы центр являлся центром рекомбинации, должно выпол-
няться неравенство, противоположное неравенству (1.54), т.е. вероятность
рекомбинации захваченного электрона с дыркой должна быть больше ве-
роятности теплового выброса его в зону проводимости.
При рассмотрении рекомбинационной кинетики в полупроводнике с
двумя типами центров будем для простоты считать, что центр А (центр
прилипания) вообще не обменивается электронами с валентной зоной, а
для центров В (центров рекомбинации) можно пренебречь тепловым вы-
бросом электронов в зону проводимости. Тоща для концентрации электро-
нов в зоне проводимости имеем (предполагается, что в отсутствие внешней
генерации неосновные носители — электроны — отсутствуют как в зоне
проводимости, так и на центрах прилипания)
=-спАа[п(1-/)-«1/1 - —+ G, (1-55)
ш тв
где cn, Na, f — коэффициент захвата, концентрация и степень заполнения
центров прилипания А, соответственно; тв — время рекомбинации, кото-
I 6. Центры рекомбинации и центры прилипания
43
рое определяется исключительно центрами В, G — внешняя генерация.
Если считать f 1 (малый уровень инжекции) и ввести время гд захвата
шектрона на центр А (гд 1 = спАд) и время rg пребывания электрона на
центре А (т^1 = сп«]), то уравнение для п запишется в виде
би ( 1 1 \ «А „ ,,
— =-п — + — + — +G, (1.56)
Ш \ТД ТВ) Tg
где «д = Ад/ — концентрация электронов на центрах прилипания. Доба-
вим еще к (1.56) уравнение, описывающее изменение ид,
= + (1.57)
dz Tg тд
Равенства (1.56), (1.57) составляют полную систему уравнений для элек-
тронов в зоне проводимости и на уровне прилипания.
В стационарном режиме концентрации электронов в зоне и на цен-
трах А связаны соотношением, следующим из (1.57)
п = —пА. (1.58)
т&
При этом (1.56) дает
п — Gtb, «а = Ств — , (1.59)
тд
т.е. на стационарной концентрации свободных электронов (прилипающих
носителей) наличие центров прилипания не сказывается. Однако избыточ-
ная концентрация дырок при этом существенно меняется. Действительно,
из условия нейтральности
Др = п + ид, (1-60)
а также из формул (1.58), (1.59) следует, что
Др = Gtb (1 + V (1.61)
\ та7
Таким образом, неравновесных дырок больше, чем свободных электронов,
из-за того, что часть неравновесных электронов связана на центрах прили-
пания.
Если, как это часто бывает, rg тд, то биполярное возбуждение све-
том приводит практически к монополярной проводимости, поскольку элек-
троны сразу захватываются на уровни прилипания.
44
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
Рассмотрим теперь поведение неравновесных носителей после выклю-
чения генерации. Складывая уравнения (1.56) и (1.57) (при G = 0), полу-
чим
?("А+")=_Л. (1И)
<1/ тв
Уравнение показывает, что полная концентрация электронов (в зоне и на
центрах прилипания) уменьшается только за счет захвата свободных элек-
тронов на уровень В. Из уравнения также следует, что характерное время
та спада полной концентрации электронов равно11
«А + П
Td = -------ТВ-
п
(1.63)
Если обмен электронами между зоной и уровнем прилипания происходит
быстро (тА rg, тв), то после выключения источника генерации стацио-
нарное соотношение (1.58) практически не изменяется, это означает, что
п и па так же, как и их сумма, спадают с характерным временем Td, кото-
рое, таким образом, имеет смысл динамического времени жизни. Согласно
(1.63) и (1.58) имеем (учитывая, что п <С иА)
та = — тв = — тв- (164)
ТА «1
Убывание концентрации неравновесных носителей (как в зоне, так и на
центрах прилипания) затянуто по сравнению с тем, что имело бы место
в отсутствие этих центров. Это затягивание связано с тем, что в процес-
се рекомбинации могут участвовать только свободные электроны, которые
составляют лишь малую долю т,\/т^ = n\/NA от полного числа неравно-
весных носителей. Выше рассмотренное дает пример ситуации, когда ди-
намическое время жизни носителей в зоне, Td, отличается от статического
времени. В заключение приведем формулы, описывающие изменение со
временем п, ид, Др в случае тА rg, тв после выключения генерации
/ г \ / t \
п = Gta ехр I----+ G(tb — та) ехр (----
\ ТА / \ Тс1 /
/ t \ ft
пк = ~Gtk ехр------+ G(Td + та) ехр-------
\ тА ) \ та
Др = G(Td + лз) ехр (- — ) .
\ Td/
(1.65)
11 Естественно определить соотношением т( 1 = —d[ln(nA + »)]/(!/
I 7 Захват на центр через метастабильный уровень
45
>1 и формулы показывают, что общему спаду концентрации с характер-
ным временем та предшествует небольшой спад концентрации свободных
шектронов, происходящий за короткое время. Мы рассмотрели простей-
ший случай рекомбинационной кинетики в присутствии центров прили-
пания. Картина существенно усложняется, если интенсивность генерации
настолько велика, что центры прилипания и ловушки «забиваются» элек-
। ронами, т.е. становятся существенными нелинейные эффекты. Подробный
ра :бор различных ситуаций, возникающих при рекомбинации в присут-
( । вии центров прилипания, имеется в монографии Рывкина (1964).
1.7 Захват на центр через метастабильный уровень
!ахват носителей на центры существенно облегчается при наличии вы-
< < жовозбужденных состояний. При этом появляется возможность для ре-
м 'мбинирующего носителя терять энергию малыми порциями, постепен-
но опускаясь во все более глубокие состояния центра. Каскадная модель,
предложенная Лэксом и основанная на этих представлениях, позволила
обьяснить большие значения сечений захвата носителей на притягиваю-
щие центры в полупроводниках (см. главу 3). Однако, как правило, густой
11 юктр высоковозбужденных состояний отделен от основного состояния
центра большим энергетическим зазором. Для мелких доноров или акце-
нюров роль этого зазора играет расстояние между основным и первым
побужденным уровнем.
Чтобы понять, как происходят процессы захвата в этих условиях, рас-
। мотрим простую модель центра с двумя уровнями (рис. 1.6). Подробно
процессы рекомбинации и захвата с учетом возбужденных состояний цен-
|ров рассматривались Гуляевым (1961), Ржановым (1961), а также Gibb et
d (1977).
Мы рассмотрим простейший случай, когда существенны следующие
процессы:
1. Захват электронов из зоны проводимости на уровень 2 и обратный
выброс с уровня 2 в зону. Обозначим через с коэффициент захвата элек-
। рона на уровень 2. В каскадной модели захвата вычисляется именно эта
пецичина. Если концентрация центров захвата N, то время то = (cN)-1
характеризует время жизни свободного электрона по отношению к захва-
iv па уровень 2. Вероятность обратного теплового выброса е связана с то
(<>о1 ношением, следующим из (1.39)
с=^“р(~й0' <16б)
46
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
1
то
1
Т21
Рис. 1.6. Модель центра с двумя уровнями: основным (1) и метастабильным (2).
Стрелками указаны переходы, учитываемые в уравнениях баланса (1.67). Указаны
также соответствующие вероятности переходов.
Где g2 и £2 — степень вырождения и энергия связи, соответствующие уров-
ню 2.
2. Переход электрона с уровня 2 на уровень 1, характеризуемый вре-
менем Т21-
3. Внешняя генерация с уровня 1 в зону проводимости. Темп генерации
обозначим через G.
Тепловыми выбросами с уровня 1 и непосредственным захватом на
уровень 1 пренебрегаем.
При этих условиях кинетические уравнения для концентрации свобод-
ных электронов (п) и концентрации электронов на уровне 2 («г) имеют
вид:
dn
dz
d»2
~dT
n
------Г ezi2 + G
n
TO
T21
(1-67)
В стационарных условиях получаем:
п = Gro(l + e-T2i)
П2 — GT2 1 •
Выражения для п может быть записано в виде п = Gt, где
,, , , , Nc С £2
Т = тъ(1 + ет21) = ТО+ 721-— ехр(——
g2N \ к1
(1.68)
(1.69)
(1.70)
I 7 Захват на центр через метастабильный уровень
47
ес гъ эффективное время жизни свободных электронов в стационарных ус-
иовиях. Из (1.70) видно, что если ет21 +. 1 (низкие температуры), то
но время практически совпадает с временем то, хотя тц может быть зна-
чительно больше, чем то- Естественно, что задержка рекомбинирующих
носителей на уровне 2 не сказывается на времени жизни свободных носи-
1слей в стационарных условиях, если тепловой выброс с уровня 2 в зону
пренебрежимо мал.
Интересная ситуация возникает в противоположном предельном слу-
чае, когда ет2 1 2> 1, т.е. когда выброс с возбужденного уровня в зону
происходит быстрее, чем уход с этого уровня в основное состояние. Тогда
в стационарных условиях эффективное время жизни может экспоненци-
;шьно возрастать при увеличении температуры
т « етот21 = T2iNc(g2N)^1 ехр . (1.71)
В динамическом режиме между концентрациями п и П2 в этом случае все
время сохраняется равновесное соотношение
п ~ етвиг-
(1-72)
Закон спада концентрации после выключения генерации можно получить
из уравнения
d(» + »2)=_ni, (1.73)
dz Т21
которое получается путем сложения уравнений (1.67) и отражает тот факт,
что суммарная концентрация п+п2 спадает за счет единственного процесса
— перехода электронов с возбужденного уровня на основной. Если учесть
соотношение (1.72), то видно, что динамическое время определяется фор-
мулой
Td = Т21П + П2 ='7-21(1+ его). (1-74)
«2
Сравнение формул (1.71) и (1.74) показывает, что динамическое время
больше статического, так же как и при наличии уровней прилипания. На
эту аналогию между возбужденным уровнем и уровнем прилипания обра-
тили внимание Гершензон и др. (1979). Соотношение между статическим
и динамическим временами (согласно формулам (1-71), (1.72), (1.74))
П + П2
п
(1-75)
оказывается таким же, как и в присутствии уровней прилипания, роль ко-
торых играют возбужденные уровни.
48
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
1.8 Термическая ионизация примесных центров
Вероятность термической ионизации центра определяется как среднее чи-
сло электронов, вылетающих в единицу времени в зону проводимости с
одного заполненного центра под влиянием теплового возбуждения. В § 1.5
эта величина называлась (как это принято в литературе) коэффициентом
тепловой генерации электронов и обозначалась через еп. Совершенно ана-
логично можно определить вероятность термической ионизации центра по
отношению к выбросу дырки в валентную зону (коэффициент тепловой ге-
нерации дырок вр). В условиях термодинамического равновесия существу-
ет универсальное соотношение между вероятностью термической иониза-
ции и сечением захвата. Это соотношение является следствием принципа
детального равновесия между прямыми и обратными процессами, и было
получено в § 1.5 (формулы (1.39) и (1.40)). Учитывая, что cn = trn(v), и
вводя обозначение ес — е = £т (^т — энергия ионизации центра), перепи-
шем его в виде
е„ = |ус^п(г) ехр (1-76)
Обозначения пояснены в связи с формулами (1.39) и (1.40).
При рассмотрении многофононных процессов захвата на глубокие при-
месные центры и термоионизации этих центров следует учитывать взаимо-
действие локализованного электрона с колебаниями решетки. Рассмотрим
обобщение соотношения (1.76) на случай, когда электрон взаимодейству-
ет с одним типом колебаний. Обозначим частоту колебаний в отсутствие
электрона на центре через ш, а в присутствии локализованного электрона
через ал. Будем исходить из соотношения баланса между генерацией и
рекомбинацией
nan(v)(l-/0)) = en/W, (1.77)
где — вероятность заполнения ловушки. При вычислении исполь-
зуем, как и в § 1.3, распределение Гиббса, согласно которому вероятность
найти систему в состоянии с энергией Et равна
W/
1
- ехр
z
кТ
Е;
где /го — химический потенциал, и, = 1 для заполненного центра и и, =
0 для пустой ловушки, z — статистическая сумма. В отличие от § 1.3
учтем, что энергия Е, складывается теперь из энергии электрона и энергии
I 9. Методы измерения времени жизни неравновесных носителей
49
колебаний. Полная вероятность, того что центр заполнен, будет:
ХО) _ £ V' exn J + £т ~ 1 _
J z f-' P1 kT j
/V(cji)=0
_ gexp[(/z0 + £т)/кТ]
z 2sh(tiw\/2kT)
Вероятность того, что центр пустой, вычисляется аналогичным образом
1 _ f(0) = 1 V CXD Г [WM + 1/2]^1 = 1
кт ' z2sh(M2^)‘
< >тсюда находим
_ sh(/iw/2fcT) /р.о + ет\
1 - /(О) ~ sh(fio>i/2AT/eXp \ кТ ) ’
Учитывая, что в условиях теплового равновесия п = Nc ехр(р^/кТ), полу-
чаем из формулы (1.77)
1 sh(fiu;i/2W) / £т\ ,,
= c<7"Wexp^if)' <L78)
( оотношение (1.78) отличается от соотношения (1.76) наличием дополни-
। ельного множителя — отношения гиперболических синусов. Если взаимо-
действие локализованного электрона с колебаниями решетки отсутствует,
к> w = cui, и этот множитель равен единице.
Отметим в заключение, что если теплового равновесия нет, например,
носители разогреваются электрическим полем, то универсальной связи ме-
жду с и а не существует.
1.9 Методы измерения времени жизни неравновесных
носителей и вероятность термической ионизации
примесей
В > । ом параграфе мы кратко опишем основные идеи, используемые в экспе-
римснтальных методах определения времени жизни неравновесных носи-
ichch. Авторы не являются специалистами в этой области, поэтому наше
и нюжение касается только принципов, на которых основаны различные
жснериментальные методики, и лишь преследует цель пояснить, каким
50
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
образом могут быть измерены те микроскопические параметры, о которых
идет речь в этой книге.
Экспериментально определяемой величиной всегда является время
жизни неравновесных электронов (дырок). Время жизни и коэффициенты
захвата носителей только в некоторых случаях непосредственно и доста-
точно просто связаны друг с другом. Обычно именно эти случаи стремятся
реализовать в экспериментах, специально посвященных измерению реком-
бинационных характеристик примесных центров. В частности, как правило,
используется линейный режим, при котором интенсивность генерации до-
статочно мала, чтобы можно было пренебречь ее влиянием на состояние
центров захвата.
Наиболее прямые методы измерения динамического времени жизни со-
стоят в наблюдении кинетики спада концентрации неравновесных носите-
лей заряда после импульсного возбуждения. Эти методы обладают еще и
тем несомненным преимуществом, что позволяют легко установить про-
исходит ли рекомбинация по одному или нескольким каналам. На пода-
вляющую роль какого-то одного канала рекомбинации указывает прямо-
линейный участок в зависимости логарифма концентрации носителей от
времени. Различные методы такого рода отличаются друг от друга спосо-
бами генерации неравновесных носителей и выбором явления, с помощью
которого можно следить за спадом их концентрации.
Источником генерации чаще всего служит свет, а о спаде концентрации
судят по спаду фотопроводимости. Подробное описание конкретных экс-
периментальных методик этого типа содержится в книге Рывкина (1964).
В последние годы активно используются новые методики, основанные на
применении лазерной пикосекундной техники.
В качестве источника генерации используется также пробой в импульс-
ном электрическом поле, инжекция носителей через контакт и т.д. Для
регистрации неравновесной концентрации носителей заряда используют,
кроме проводимости, и другие физические явления: рекомбинационное из-
лучение, поглощение света и СВЧ волн, затухание геликонов.
Часто используется метод измерения времени жизни по частотной зави-
симости концентрации фотовозбужденных носителей при модулированном
возбуждении. Этот метод основан на том, что возбуждение периодически
меняется со временем по закону G = Go + Gi coswf и измеряется пере-
менная составляющая фотоотклика. Переменная составляющая концентра-
ции фотовозбужденных носителей зависит от частоты ш согласно формуле
(1.30), так что демодуляция фотоотклика происходит при ш > т-1.
Аналогичные соображения лежат в основе измерения времени жизни
I 9 Методы измерения времени жизни неравновесных носителей
51
ш> спектру генерационно-рекомбинационных шумов. Спектральная плот-
п<кчъ шума спадает на частотах больших, чем т~1.
Целый ряд методов измерения времени жизни основан на изучении вре-
менных характеристик емкости полупроводниковых структур с глубокими
центрами в переходных процессах. Эти методики DLTS (deep level transient
spectroscopy), DLOS (deep level optical spectroscopy) в различных модифи-
кациях наиболее широко применяются в настоящее время. Они облада-
к > । большой информативностью, так как позволяют определить положение
уровня в запрещенной зоне, коэффициент захвата и вероятность термиче-
i кой ионизации (см., например, Lang 1974, Chantre et al. 1981, Берман и
Псбедев 1981).
При малых временах жизни нестационарные методы измерения связаны
। о значительными экспериментальными трудностями, так что широко ис-
пользуются стационарные методики. Простейшим примером такой методи-
ки может служить измерение стационарной концентрации фотовозбужден-
.... носителей Ап, связанной со временем жизни соотношением Ап = Gt.
концентрация может быть измерена непосредственно, например, по вели-
чине фото-холл-эффекта. Наибольшие трудности в стационарных методи-
ках связаны с необходимостью знать абсолютную величину скорости гене-
рации G для расчета времени жизни из экспериментальных данных. Поэто-
му часто измеряется только относительное изменение времени жизни при
вменении условий опыта (например, температуры), а абсолютные значе-
ния определяются с помощью привязки к результатам, полученным одним
и I нестационарных методов.
Другой способ восстановления времени жизни и стационарных данных
«остоит в одновременном измерении фотопроводимости и фотомагнитно-
। <> эффекта (метод Курника-Циттера). Этот метод не предполагает знание
i короста генерации, однако, требует использования сильных магнитных
нолей и основан на предположении, что время жизни не зависит от вели-
чины магнитного поля.
Время жизни может быть определено и по пространственному рас-
пределению носителей, локально инжектированных в полупроводник. При
ном фактически измеряется диффузионная длина /о, связанная со време-
нем жизни соотношением fo = у/Dt (где D — коэффициент диффузии).
Время жизни может быть измерено также по расплыванию пакета неоснов-
ных носителей, дрейфующих в электрическом поле, в экспериментах типа
к чассического опыта Хайнса и Шекли (Haynes and Schockley 1951).
Времена жизни, определенные с помощью стационарных и нестацио-
нарных методик, могут существенно отличаться друг от друга при наличии
52
Глава 1. Феноменологическая теория рекомбинации
центров прилипания (см. § 1.6) или в тех случаях, когда рекомбинация идет
через метастабильное состояние (см. § 1.7).
Укажем еще один метод определения коротких времен жизни в стацио-
нарных условиях. Этот метод основан на явлении оптической ориентации
свободных электронов в полупроводниках (Meier and Zakharchenya 1984).
При возбуждении циркулярно поляризованным светом фотов озбужденные
электроны оказываются ориентированными по спину и рекомбинационное
излучение также оказывается циркулярно поляризованным. Во внешнем
поперечном к лучу света магнитном поле спин поворачивается и цирку-
лярная поляризация люминесценции изменяется. Это изменение дает пря-
мую информацию о времени, в течение которого электрон подвергался
действию магнитного поля (времени от возбуждения до рекомбинации).
В большинстве методов измерения трудно избежать погрешностей, свя-
занных с извлечением времени жизни из экспериментальных данных. В ста-
ционарных методах существенна уже упоминавшаяся трудность определе-
ния абсолютного значения скорости генерации G, часто трудно избавиться
от влияния поверхности и контактов. Кроме того, чтобы увеличить сигнал,
приходится увеличивать мощность генерации, что может привести к выхо-
ду за пределы линейного режима (и к появлению эффектов, связанных с
перезарядкой примесей), или увеличивать напряженность электрического
поля (при измерении фотопроводимости), что может привести к разогреву
носителей заряда и искажению данных о времени жизни.
При измерениях времен жизни и вероятностей термоионизации ем-
костными методиками как правило необходимо принимать во внимание
наличие в области объемного заряда сильного электрического поля, ока-
зывающего влияние на измеряемые параметры.
При нестационарных измерениях (в том числе шумовых) существует
опасность дополнительной инжекции через контакты, на которые указа-
ли Сурис и Фукс (1978). Контакты, не инжектирующие в стационарном
режиме, могут при определенных условиях инжектировать на частотах,
соответствующих возбуждению волн пространственной перезарядки при-
месей.
При определении коэффициентов захвата из данных о времени жизни
существует дополнительный источник ошибок, появляющийся из-за неточ-
ного знания типа и концентрации центров, ответственных за рекомбина-
цию.
Глава 2
Структура примесных центров
2.1 Мелкие доноры
Волновая функция электрона, связанного на примесном центре обычно
строится как суперпозиция зонных волновых функций. Если уровень лежит
глубоко в запрещенной зоне, то в этой суперпозиции участвуют обычно
как состояния зоны проводимости, так и валентной зоны. При этом удоб-
но использовать модель Кейна и ее обобщение (см. приложение 1). Если
же уровень мелкий, то можно ограничиться суперпозицией состояний бли-
жайшей зоны (Kittel and Mitchell 1954).
Состояния электронов на мелких донорах определяются структурой зо-
ны проводимости. Наиболее простой случай осуществляется в кубических
полупроводниках А3В5, таких как GaAs, в которых дно зоны проводимости
находится в центре зоны Бриллюэна при к = 0 (к — волновой вектор). При
этом блоховская амплитуда и(г), соответствующая дну зоны проводимости,
имеет симметрию s-типа, т.е. симметрична относительно всех преобразо-
ваний группы тетраэдра (представление Гб). С учетом спина имеется два
состояния, соответствующих дну зоны:
нс, 1/2 = S’T, «с,-1/2 = (2.1)
где S — координатная часть блоховской амплитуды, а стрелки обозначают
спиновое состояние. Согласно методу эффективной массы (Luttinger and
Kohn 1955), волновые функции электронов на мелких донорах фм форми-
руются из волновых функций свободных электронов вблизи дна зоны:
/d3r
—e%.M(^(t), (2.2)
(2тг)
где М — ±1/2 нумерует спиновое состояние, a <-р(к) — амплитуда веро-
ятности того, что электрон на доноре имеет волновой вектор к. Квадрат
модуля |<^(Л)|2 дает распределение электронов по импульсу в данном со-
53
54
Глава 2. Структура примесных центров
стоянии. Формулу (2.2) можно переписать в виде
Фм = {23}
где F(r) связано с <-р(к} соотношением
(2.4)
и называется волновой функцией электрона на доноре в приближении эф-
фективной массы. Она удовлетворяет уравнению
HF{r} = EF(r}, (2.5)
где Н — гамильтониан эффективной массы, имеющий в этом простом слу-
чае вид
Н = (2.6)
2т кг
Здесь т — эффективная масса, к — диэлектрическая проницаемость кри-
сталла. Гамильтониан (2.6) подобен гамильтониану атома водорода, по-
этому энергетический спектр донорных состояний совпадает со спектром
атома водорода Е = —E^/n2 {п = 1,2,...), при этом боровская энергия
Ев определяется формулой (1.1).
На самом деле экспериментально определяемая энергия ионизации ос-
новного состояния Ed отличается от Ев и зависит от химической приро-
ды донорной примеси. Это отличие обусловлено отклонением потенциала
донора от кулоновского на малых расстояниях от центра й называется хи-
мическим сдвигом. Для возбужденных состояний химический сдвиг мал,
однако, он может привести к снятию «случайного вырождения» по /, кото-
рое имеет место в чисто кулоновском потенциале.
В многодолинных полупроводниках, таких как германий и кремний, ми-
нимумы энергии в зоне проводимости находятся не в центре зоны Бриллю-
эна, а в некоторых точках koi на осях симметрии. В приближении эффектив-
ной массы каждому минимуму зоны проводимости соответствует донорное
состояние, сформированное из волновых функций свободных электронов,
относящихся к данному минимуму
Г d3£
Фи* = e'ko,r J
= e^F^u^r}, (2.7)
2.1. Мелкие доноры
55
Рис. 2.1. Зависимость энергии связи для основного состояния донора Ео от пара-
метра анизотропии Ей = /2&к2 (Luttinger and Kohn 1955).
где им^о, — блоховские амплитуды, соответствующие 1-ому минимуму, М
— спиновый значок. Для огибающих Л(г) имеет место уравнение (2.5), в
котором гамильтониан с учетом тензорного характера эффективной массы
имеет вид
ti2 / 1 д2 1 д2 1 д2 \ е2
— {----------1----------1--------)_______.
2 \отц dz2 т : дх2 т± ду2 J кг
(2-8)
Здесь ось z направлена по оси симметрии долины. Спектр состояний, соот-
ветствующий гамильтониану (2.8), был найден численными методами. На
рис. 2.1 приведена зависимость энергии основного состояния от параметра
анизотропии пгд/лпц, рассчитанная Латтинжером и Коном.
В приближении эффективной массы каждой долине соответствует без
учета спина одно основное состояние, так что в результате основное состо-
яние электрона на доноре вырождено с кратностью, равной числу долин
(4 для германия, 6 для кремния). Это вырождение снимается благодаря
отклонению потенциала от кулоновского вблизи центра. В соответствии
с тетраэдрической симметрией окружения четырехкратно вырожденный
уровень в германии расщепляется на синглет и триплет (представления
А] и Т1). В кремнии шестикратно вырожденный уровень расщепляется на
синглет, дублет и триплет (представления Ai, Е, Ti). Волновые функции
56
Глава 2. Структура примесных центров
соответствующих состояний являются линейными комбинациями функций
(2.7), относящихся к отдельным долинам (Luttinger and Kohn 1955).
При учете спина кратность вырождения удваивается. Спин-орбитальное
взаимодействие расщепляет уровень F2 (шестикратно вырожденный при
учете спина) на двукратно и четырехкратно вырожденные уровни (пред-
ставления Е'2 hG').
Для возбужденных состояний орбитально-долинное и спин-орбиталь-
ное расщепление гораздо меньше, чем для основного, так как в этих со-
стояниях гораздо меньше вероятность пребывания электрона вблизи цен-
тра. Поскольку гамильтониан эффективной массы обладает цилиндриче-
ской симметрией, проекция т орбитального момента на ось симметрии
долины является хорошим квантовым числом. Подробный симметрийный
анализ состояний мелких доноров имеется в монографии Бира и Пикуса
(1972).
2.2 Мелкие акцепторы
В полупроводниках со структурой алмаза (Ge, Si) или цинковой обманки
(GaAs, InSb и т.д.) вершина валентной зоны расположена в центре зоны
Бриллюэна при к = 0 (точка Г)1.
Валентная зона состоит из трех дважды вырожденных подзон — тя-
желых (h) и легких (t!) дырок и отщепленной спин-орбитальным взаимо-
действием (s) рис. 2.2. В большинстве случаев А существенно превышает
энергию связи дырки на мелком акцепторе, так что можно считать; что
волновые функции акцепторных уровней сформированы из состояний тя-
желых и легких дырок (исключением является, например, кремний).
При к — 0 подзоны тяжелых и легких дырок сливаются, так что в
точке к = 0 им соответствуют четыре состояния, отвечающие одинако-
вой энергии. Эти четыре волновых функции при поворотах и отражениях,
соответствующих кубической симметрии, преобразуются как функции, от-
носящиеся к моменту j = 3/2 (представление Ге). Обозначим их через
иУт, где т пробегает значения +3/2, +1/2, —1/2, —3/2 и соответствует
проекции момента на ось квантования, в качестве которой выберем ось
[0,0, 1] кристалла. Их явный вид выписан в приложении 1.
Согласно Kohn and Luttinger (1955) блоховские амплитуды для зон тя-
желых и легких дырок можно записать как линейные комбинации функций
'Здесь и в дальнейшем мы пренебрегаем малым расщеплением зон, связанным с отсут-
ствием центра инверсии в полупроводниках А3В5.
2.2. Мелкие акцепторы
57
Рис. 2.2. Энергетический спектр валентной зоны GaAs в сферическом приближе-
нии.
вершины зоны
(2.9)
т
где и — единичный вектор в направлении к. Значок п, нумерующий ды-
рочные зоны, в сферическом приближении можно считать спиральностью
(л = /л, см. приложение 1). Явные выражения для коэффициентов
выписаны в приложении 2.
Перейдем теперь к вопросу о построении волновых функций, соответ-
ствующих состояниям мелкого акцептора. Согласно методу Кона и Латгин-
жера (Kohn and Luttinger 1955) естественно искать их в виде суперпозиции
состояний свободных дырок
V-W = Е/Ы^М')^ (2.10)
Коэффициенты tpn(k) имеют простой физический смысл волновых функ-
ций дырок на акцепторе в ^-представлении, квадраты их модулей |<^я(к)|2
определяют вклад дырок с квантовыми числами п, к в данное состояние
58
Глава 2. Структура примесных центров
акцептора. Волновая функция дырки на акцепторе может быть записана
также в другом виде. Подставляя выражения (2.9) для t/„*(r) в формулу
(2.10), получим
V-(r)=SFm(r)«vm(r), (2.11)
т
где Fm(r) связана с <£„(&) соотношением
W =^/ ЫВДМе*'- (2.12)
Напомним, что функции ит(г) в выражении (2.11) есть блоховские ам-
плитуды, соответствующие вершине валентной зоны. Они представляют
собой быстро осциллирующие (с периодом решетки) функции. Функции
же Fm (г) — плавные, с характерным масштабом, определяемым радиусом
акцепторного состояния. Их обычно называют огибающими функциями.
Огибающие функции удовлетворяют системе дифференциальных урав-
нений метода эффективной массы
, е2 \
У" [Нтт>-----6тт> jFmi = EFm, (2.13)
' \ кг /
т'
где Е — энергия соответствующего уровня, а матричный оператор Нтт>
— так называемый гамильтониан Латгинжера (см. приложение 2), в ко-
тором волновой вектор к заменяется на оператор —iV. Уравнения (2.13)
могут быть решены только численно. Такие расчеты проводились многими
авторами (Lipari and Baldereshi 1970, Гельмонт и Дьяконов 1971, Коган и
Полупанов 1981). При этом использовались соображения симметрии. Вол-
новые функции V’W, относящиеся к определенному уровню энергии, долж-
ны образовывать базис некоторого неприводимого представления двойной
группы тетраэдра (в соответствии с тетраэдрической симметрией окруже-
ния замещающей примеси). Однако в приближении эффективной массы га-
мильтониан (гамильтониан Латтинжера, см. приложение 2) обладает более
высокой симметрией — кубической, включающей центр инверсии. Поэто-
му уровень можно характеризовать дополнительно четностью огибающих
функций Fm. Например, обозначение означает, что уровень относится
к представлению Pg двойной группы тетраэдра и огибающие функции Fm
— нечетны. Знак плюс означает, что Fm — четные функции.
Основное состояние дырки на акцепторе четырехкратно вырождено и
относится к представлению Г^. Энергия связи основного состояния как
2.3. Экспериментальные данные о спектре мелких примесей
59
mt
ть
Рис. 2.3. Энергия связи основного состояния как функция отношения масс легких
и тяжелых дырок (Гельмонт и Дьяконов 1971).
функция отношения масс легких и тяжелых дырок была рассчитана в сфе-
рическом приближении Гельмонтом и Дьяконовым (1971) и приведена на
рис. 2.3.
2.3 Экспериментальные данные о спектре мелких примесей
В ранних работах положение мелких примесных уровней определялось по
спектру поглощения (Burshtein et al. 1956). Однако основные результаты
были получены позднее методом фотоэлектрической спектроскопии, раз-
работанным Коганом, Лифшицем и их сотрудниками (см. обзор Kogan and
Lifshits 1977). Метод фотоэлектрической спектроскопии в инфракрасной
области дает возможность непосредственно определить положение уров-
ней, связанных оптическими переходами с основным уровнем (т.е. уровней,
соответствующих нечетным состояниям). Использование субмиллиметро-
вого диапазона позволило Гершензону с сотрудниками (Гершензон и др.
1973, 1977а,Ь) исследовать переходы между возбужденными состояниями
мелких примесных центров, включая и их четные состояния, и получить
богатую информацию об их спектрах. Хотя энергия основного состояния
заметно зависит от химической природы примеси, в спектре возбужден-
ных состояний она почти не проявляется. Это связано с тем, что для воз-
бужденных состояний, особенно нечетных, существенна область больших
расстояний от центра, т.е. область, где уже практически не сказывается
60
Глава 2. Структура примесных центров
---------Ь(Е)
--------- 15(Т1)
Ge
------15(А,)
Si
Рис. 2.4. Схема энергетических уровней мелких доноров в GaAs, Ge и Si. Уровень
основного состояния, зависящий от химической природы примеси, указан прибли-
зительно (Kogan and Lifshits 1977).
отклонение потенциала от кулоновского.
На рис. 2.4 приведена схема энергетических уровней возбужденных
состояний мелких доноров в GaAs, Ge, Si. В GaAs эффективная масса
изотропна и спектр полностью водородоподобен. В Ge и Si имеется силь-
ная анизотропия эффективных масс. Поэтому снимается случайное выро-
ждение по I и появляется различие в энергиях состояний с т = ±1 и
т = 0. Кроме того в многодолинных полупроводниках имеет место силь-
ное орбитально-долинное расщепление (см. § 2.1) существенно проявляю-
щееся для основного состояния. Аналогичная схема для мелких акцепторов
более сложна из-за сложного характера валентной зоны (см., например,
обзор Kogan and Lifshits 1977).
Имеющиеся данные о спектре глубоких притягивающих центров по-
казывают, что спектр возбужденных уровней и для этих центров почти
совпадает со спектром мелких примесей. И в этом случае для возбужден-
ных состояний существен потенциал центра на больших расстояниях, где
он практически кулоновский.
Убедительные и обширные исследования энергетического спектра воз-
2.4. Переходы между уровнями примесных центров
61
бужденных состояний глубоких центров были выполнены методом фото-
термической спектроскопии (Grimmeiss et al. 1988). Для примера в табли-
це 1 приведены энергии возбужденных уровней примесных атомов серы,
селена, а также комплексов на их основе (Janzen et al. 1984). Видно, что
спектр возбужденных состояний почти не зависит от природы примеси и
хорошо согласуется с расчетами в приближении эффективной массы.
2.4 Переходы между уровнями примесных центров
Носители, оказавшиеся в возбужденных состояниях на примесных цен-
трах, переходят в нижележащие состояния в результате следующих трех
процессов: (1) испускания фононов, (2) излучательных переходов и (3)
оже-процессов, при которых выделяющаяся энергия передается другому
носителю заряда. В этом параграфе будут рассмотрены только процес-
сы первого типа. Оже-процессы рассматриваются в § 3.5. Кроме того, в
этом параграфе ограничимся рассмотрением мелких центров, для которых
энергетические интервалы между уровнями меньше энергии оптического
фонона, и безызлучательные переходы идут только с испусканием одного
акустического фонона (приложение 3).
Рассмотрим сначала безызлучательные переходы для простых водоро-
доподобных центров. Этот случай осуществляется, например, в арсениде
галлия, в котором минимум зоны проводимости лежит в точке к = 0.
Чтобы испустить фонон с импульсом hq, электрон, связанный на центре,
должен обладать импульсом того же порядка (см. приложение 4). Стро-
го говоря, состояние электрона на центре нельзя характеризовать опреде-
ленным импульсом, однако, можно говорить о вероятности электрону на
центре иметь тот или иной импульс. Если энергия связи электрона рав-
на |Е'|, то наиболее вероятно, что электрон будет иметь импульс порядка
у/2т\Е\. Вероятность электрону иметь гораздо больший импульс будет
мала. Из закона сохранения энергии следует, что импульс hq фонона, ис-
пущенного при переходе, равен
(2Л4)
где s — скорость звука, Е\ пЕ? — энергии состояний, между которыми
происходит переход Поэтому, если Е\ — Е^ порядка боровской энергии, что
имеет место при переходах на низколежащие состояния, то для того, чтобы
испустить фонон с импульсом hq, электрон должен иметь импульс гораз-
до больший среднего (приблизительно в y/E^/ms2 раз). В этом случае,
62
Глава 2. Структура примесных центров
Таблица 1. Энергия связи для нейтральных центров (мэВ) в кремнии (Janzen
et al. 1984). Сравнение экспериментальных данных с результатами расчета по
методу эффективной массы (ЕМТ), полученными в работах (Janzen et al. 1984,
Faulker 1969). w — слабая линия, ? — идентификация под сомнением. Точность
экспериментальных данных лучше, чем 0,02 мэВ, индексом «а» отмечены менее
точные результаты.
EMT* EMTt S° Se° S? Se° S’(xi) sfc2) s»
ls(A(,+)) 31,27 31,262 318,32 306,63 187,61 206,44 109,52 92,00 82,16
1s(T2)(E-) 34,62 34,44 31,26 31,30
(АГ) 26,46 25,72
ls(E(+)) 31,6" 31,2“ 34,4" 33,2"
2s(A<+)) 8,83 8,856 18,4“ 18,0" 15,3" 15,9"
2po 11,51 11,492 11,48 11,49 11,49 11,58 11,62“
2s(T2)(E-) 8,83 8,856 9,22 9,27 8,86 8,86 9,987 10,01?
(AD 8,21 8,11 — 8,36?
2s(E<+>) — — 9,62? 9,24?
2p± 6,40 6,402 6,39 6,39 6,39 6,39 6,38 6,40 6,40
3po 5,48 5,485 5,45" 5,48" 5,48“ 5,51" 5,48 — —
3s 4,75 4,777 4,88 4,90 4,8 (ED — 4,8w“
4,5(AD
3d± — 3,874
3do 3,75 3,751 — 3,80 3,92“ 3,89“ 3,8w" — —
4po 3,33 3,309 3,31 3,29w 3,29 3,31 — — —
3p± 3,12 3,120 3,12 3,12 3,12 3,12 3,12 3,12 3,12
4s 2,85 2,911 2,84? — — 2,81? — — —
3d±2 — 2,632
4f0 2,33 2,339 — — — — — — —
4p± 2,19 2,187 2,19 2,20 2,18 2,19 2,19 2,20 2,18
4f± 1,89 1,894 1,91 1,90 1,89 1,89 1,89 — 1,91
5fo 1,62 1,630 1,65“ l,63w" 1,67“ 1,64“ — — l,67w
5p± 1,44 1,449 1,46 1,46 1,46 1,46 1,46 1,47 1,46
5f± 1,27 1,260 1,28 1,26 1,26 1,27 — — 1,28
6h0 1,10 1,102
6p± 1,04 1,070 1,08 1,08 1,08 1,08
6f± 0,98 1,002
6h± 0,88 0,886
7p± 0,882 0,82“ 0,85 0,86" 0,82“
* Faulkner 1969, ) Janzen 1984
24. Переходы между уровнями примесных центров
63
как показано в приложении 5, наибольшую вероятность имеют переходы
между s-состояниями, и эта вероятность определяется формулой
s ms1 210zij«2
W12 /о £в (п2 - «г)5 ’
где /о — характерная длина, введенная в приложении 3 (формула П3.14),
«1 и «2 — главные квантовые числа уровней, между которыми происходит
переход.
В целом ряде полупроводников мелкие примеси не описываются про-
стой водородоподобной моделью. Для доноров в германии и кремнии су-
щественна анизотропия эффективной массы, а для акцепторов — сложная
структура валентной зоны. В этих случаях аналитические выражения для
волновых функций электрона (дырки) на примеси неизвестны и вероят-
ности переходов могут быть получены только путем численных расчетов.
Такие расчеты были проведены Мешковым и Рашбой (1979). Их результа-
ты согласуются с экспериментальными данными для германия, в соответ-
ствии с которыми время жизни первого возбужденного состояния донора
(Sb) составляет около 10-9 с, а первого возбужденного состояния акце-
птора (В) — около 10~7 с (Гершензон и др. 1979). Общей закономерно-
стью для переходов между нижними уровнями мелких центров является
быстрое убывание вероятности перехода с увеличением энергетического
расстояния между уровнями.
Другая ситуация имеет место для переходов между высоковозбужден-
ными состояниями. Эти состояния расположены густо и возможны пере-
ходы с излучением фонона с импульсом порядка среднего импульса элек-
трона. В этом случае наиболее вероятны переходы с изменением энергии
~ В приложении 5 показано, что при этом справедливо
квазиклассическое приближение.
Для высоковозбужденных уровней полезно ввести время энергетиче-
ской релаксации те, определенное формулой
— = \>(Ei,E2)(£i -- Е2),
ТЕ г
t-2
где w(E\,E2') — усредненная по всем квантовым числам, кроме энергии
вероятность перехода, суммирование ведется по всем состояниям с Е2
Е\. Поскольку спектр возбужденных состояний густой, можно перейти от
64
Глава 2. Структура примесных центров
суммирования к интегрированию
= [ w(E, E')R(E')bEdE', (2.16)
Те J
где ДЕ — Е — Е' a R(E) — плотность состояний на центре. Воспользовав-
шись формулой (П5.11), можно выразить те через время энергетической
релаксации свободных электронов те
— = [5 [Е - е - V(r)] p(e)-ded3r. (2.17)
Те К\Е) J тг
Выражения для плотности состояний Е(Е) и времени энергетической ре-
лаксации приведены в приложениях 6 и 4. Выполняя интегрирование при
|Е| 2> ms2, получаем для кулоновского центра
1 = л./Ж
те Зтг/р V m
Формулу (2.18) можно было бы получить непосредственно из (2.16), ис-
пользуя явное выражение для w(E, Е'), даваемое формулой (П5.10). При-
веденный вывод полезен тем, что он справедлив и для эллипсоидального
спектра, если под m понимать массу плотности состояний, а длину Iq счи-
тать определенной формулой (П4.16).
2.5 Глубокие центры
Теоретическое рассмотрение структуры глубоких примесных центров стал-
кивается со значительными трудностями. Приближение эффективной мас-
сы, которое дает возможность описывать как свободные носители, так и
носители на мелких центрах, естественно не применимо, когда речь идет
о сильно локализованном основном состоянии глубокого примесного цен-
тра. Кроме того, обычно неизвестен характер взаимодействия носителей с
центром на малых расстояниях (порядка нескольких постоянных решетки),
где существенную роль должна играть поляризация соседних атомов кри-
сталла, то есть (с точки зрения зонной модели) поляризация электронов в
заполненных зонах. Можно сказать, что проблема глубоких примесных со-
стояний относится к области квантовой химии, так как является типичной
многоэлектронной задачей.
Однако, если не ставить задачу найти положение уровня энергии в
запрещенной зоне, исходя из химической природы центра, а считать его
2.5. Глубокие центры
65
известным из эксперимента, то можно при определенных предположениях
построить волновую функцию в существенной для ряда задач области.
Основой такого подхода является модель потенциалов нулевого ради-
уса (Bethe and Peierls 1935, Базь и др. 1971, Демков и Островский 1975).
Эта модель, примененная впервые Бете и Пайерлсом в теории дейтона,
основывается на том, что волновая функция мелкого уровня в глубокой
яме имеет характерную протяженность hf у/2тЕо (Ео — энергия связи),
гораздо большую, чем радиус действия потенциала Ro- В этом случае вол-
новая функция сосредоточена в основном в области, где потенциал равен
нулю, и в этой области уравнение Шредингера
= ~ЕОф (2.19)
2т
легко решается. Для s-состояния (естественно считать, что основное со-
стояние именно таково) имеем
/ ге~КГ у/2тЕ0
ф = С——, к = —-—, (г > Ro). (2.20)
Постоянная С может быть легко найдена из условия нормировки
yi<d3r=l, (2.21)
в котором можно использовать выражение (2.20) во всей области, посколь-
ку область действия потенциала (где (2.20) неприменимо) вносит малый
вклад в нормировочный интеграл, если kRq 1. Для константы С полу-
чаем С = y/k/27t. Если даже к Ro не слишком мало, то формула (2.20)
справедлива при г > Ro, но константа С будет определяться другим выра-
жением. Принято использовать
с = <222>
где число b характеризует вклад области г < Ео в нормировочный интеграл
(Ь -> 0 при kRq —> 0). Для отрицательного иона водорода (второй после
дейтона системы, к которой хорошо применима эта модель) Ъ = —0,39.
Возможность применения модели потенциала нулевого радиуса к глу-
боким центрам в полупроводниках основана на том, что радиус действия
потенциала в этом случае порядка постоянной решетки, а к"1 = К/у/2тЁо
66
Глава 2. Структура примесных центров
для глубокого центра, по крайней мере, в несколько раз больше, так как
эффективная масса, как правило, меньше массы свободного электрона, а
Eq не превосходит ширины запрещенной зоны Eg (которая обычно в не-
сколько раз меньше атомной энергии). Луковский (Lucovsky 1965) впервые
использовал волновую функцию вида (2.20) для вычисления сечения фото-
ионизации глубокого центра. Поэтому обычно модель потенциала нулевого
радиуса в применении к примесным центрам в полупроводниках называ-
ют моделью Луковского. При этом Луковский считал энергию связи Eq
равной расстоянию от уровня до ближайшей зоны, а массу т — эффек-
тивной массой в этой зоне. Ясно, что такой подход хорош, если Eq Ее
и если ближайшая зона — простая. В работах Переля и Яссиевич (1982),
Колчановой и др. (1983), Имамова и др. (1987) модель Луковского была
обобщена на случай сложной зоны, а также на тот случай, когда энергия
связи сравнима с шириной запрещенной зоны. Эти методы основаны на
идее Костера и Слэтера (Koster and Slater 1954).
Будем искать волновую функцию ч/>(г) электрона на центре в виде раз-
ложения по волновым функциям свободных электронов Фпк(г)
(2.23)
п, к
Здесь п — номер зоны, к — волновой вектор. Функция ^пл(г) удовлетво-
ряет уравнению
Н-ф^г) = Е^-ф^г), (2.24)
где Н — гамильтониан электрона в кристаллической решетке, —
спектр свободных электронов в зоне п. Набор коэффициентов с„(Л) за-
дает волновую функцию в ^-представлении, |с„(Л)|2 дает распределение
электронов на центре по зонам и квазиимпульсам.
Функция -ф удовлетворяет уравнению Шредингера
(Я + У)ф = Е-ф, (2.25)
где V — потенциал центра2, Е — энергия уровня. Из уравнений (2.23)-
(2.25) следует выражение для коэффициентов с„(Л):
О>(*) = [ Ф^У-Ф^Г. (2.26)
2Строго говоря, центр нельзя характеризовать одноэлектронным потенциалом, однако,
можно пользоваться этим понятием в духе приближения самосогласованного поля.
2.5. Глубокие центры
67
Знаменатель выражения (2.26) представляет собой энергетическое рассто-
яние между уровнем центра и зонным состоянием (л, к). Таким образом,
вклад данного зонного состояния в волновую функцию обратно пропор-
ционален этому расстоянию. Это и дает возможность, если уровень близок
к одной из зон, ограничиться вкладом только этой зоны. Если уровень ле-
жит в глубине запрещенной зоны, то обычно достаточно учитывать вклады
лишь ближайших зон: зоны проводимости и валентной зоны.
Запишем зонную волновую функцию в виде
(2.27)
где w^t(r) — блоховская амплитуда, a v — нормировочный объем. Будем
считать, что потенциал V характеризуется радиусом действия Rq, и найдем
коэффициенты сп(Л) для значений к таких, что kRo 1. Тогда получим
v-i/2 Г
U.k) = ТГПГ / r (2-28)
£ — ^пк J
Если уровень лежит вблизи дна невырожденной сферической зоны, распо-
ложенного при к = 0, то при малых к (для волновых векторов, для которых
Е„]с, отсчитанное от края зоны, гораздо меньше, чем Eg) можно считать,
что и„к не зависит от к, Е^ = /Ъп (т — эффективная масса). Анало-
гично (2.20) введем Е = — 7i2K2/2m, тогда Е — Е^ = — (к2 + &2)fi2/2m и
формула (2.28) принимает вид
4тгС 1
= (2.29)
к/ + к2 v v
где
<г30>
Подстановка выражений (2.29) и (2.27) в формулу (2.23) , в которой оста-
влен один и-ый член, дает (при » и„о)
ф = (2.31)
т.е. в качестве огибающей получается как раз функция (2.20).
В некоторых простейших случаях, когда примесь находится в узле кри-
сталлической решетки, можно считать, что потенциал центра V обладает
68
Глава 2. Структура примесных центров
симметрией кристаллического окружения этого узла. При этом согласно
формуле (2.30) константа С отлична от нуля лишь в том случае, когда и„о
и чр преобразуются по одному и тому же представлению соответствующей
группы симметрии. В противном случае можно сказать, что уровень «не
зацепляется» с зоной, хотя может лежать близко от нее.
В общем случае, если уровень лежит в глубине запрещенной зоны или
если ближайшая зона вырождена, для нахождения коэффициентов сп(к~)
при к ~ 'JlmE.J'fi надо знать зависимость блоховских амплитуд от волно-
вого вектора. Рассмотрим в качестве примера прямозонный полупроводник
типа GaAs. Используем разложение и „к по блоховским амплитудам краев
зон
H«*(r) = £x^m(r)- (2-32)
b,m
Здесь b нумерует края зон, т — соответствующие каждому из них вы-
рожденные состояния, а коэффициенты х„т(к) показывают, в какой мере
край зоны b дает вклад в блоховскую амплитуду зоны п при квазиимпульсе
tik (см. приложение 1). Учтем также, что состояние на центре тоже может
обладать вырождением, и снабдим волновую функцию ф и коэффициен-
ты с„(Л) соответствующим значком М. Тогда после подстановки (2.32) в
(2.28) получим
v'1/2 г
^(*) = w J (2.зз)
b,m
В случае симметричного потенциала интегралы, входящие в (2.33), отлич-
ны от нуля, если прямое произведение представлений, по которым пре-
образуются Ubm и фм, содержит единичное представление группы симме-
трии кристаллического окружения узла, в котором расположен примесный
центр, — группы для полупроводников типа GaAs. Ближайшие края
зон имеют симметрию Гб (зона проводимости), (вершина валентной зо-
ны), Г7 (вершина спин-орбитально отщепленной зоны). В сферическом
приближении им соответствуют состояния: Гб — дважды вырожденное
s-состояние со спином 1/2, Гз — четырежды вырожденное p-состояние с
полным моментом 3/2, Г? — дважды вырожденное p-состояние с полным
моментом 1/2. Блоховские амплитуды дна зоны проводимости, вершины
валентной зоны и вершины спин-орбитально отщепленной зоны приведе-
ны в приложении 1 (П1.13). Если считать, что потенциал V сферически
симметричен, то состояния на центре, «зацепляющиеся» за эти края зон,
2.5. Глубокие центры
69
должны преобразовываться по одному из вышеперечисленных представле-
ний. При этом каждое состояние «зацепляется» только с одним краем, и
интегралы в (2.33) отличны от нуля только, если т = М, и при этом не
зависят от М. Таким образом, получаем
v-l/2
№) = -—~(ХЬПМУАЬ, (2.34)
ь — bnk
где
Ab = f ubM(r№M(r)dir-
Приведем явные выражения для состояний на центре с симметрией Ге и
Г6.
Состояние Tj «зацепляется» лишь за вершину валентной зоны. Поэто-
му его можно назвать h-состоянием. Вообще говоря, примесь вершины
валентной зоны имеют все зоны. Однако для зоны проводимости и спин-
орбитально отщепленной зоны примесь вершины валентной зоны суще-
ственна лишь при больших к, при которых состояния в этих зонах сильно
удалены по энергии от состояния на центре и поэтому дают в него ма-
лый вклад. Таким образом, можно считать, что состояние Ге на центре
построено лишь из волновых функций тяжелых и легких дырок. При этом,
используя выражения для Хь" и х™ из приложения 2, получим для состо-
яния Ге (Колчанова и др. 1983)
А Ю* //=,3
y?e_+eh(fc)’ М 2
vm _ А [Цк) - h2k2/2me = 1
^г-+е({к)\ es(fc)-Q(fc) ’ А 2 Ь >
Здесь £h(^), £$(к) — энергии тяжелых, легких и отщепленных ды-
рок, отсчитанные от вершины валентной зоны вниз (см. приложение 2,
при этом и энергии Ег/, приведенные в (П2.10), связаны соотношением
еТ1 = —Eri), mt — масса легкой дырки у вершины валентной зоны, —
расстояние от уровня центра до вершины валентной зоны, индекс р, нуме-
рует крамерсово вырожденные подзоны зон тяжелых и легких дырок (этот
индекс указывает значение проекции углового момента на направление
70
Глава 2. Структура примесных центров
Таблица 2. Численные значения / как функции (3 = т^/т/ и а = Д/е.
/3 а
о,1 1 10 15
2 1,49 1,47 1,42 1,40
3 1,40 1,37 1,29 1,27
4 1,37 1,33 1,23 1,21
5 1,35 1,31 1,20 1,18
10 1,33 1,28 1,15 1,12
15 1,32 1,27 1,14 1,И
30 1,32 1,26 1,12 1,10
квазиимпульса, т.е. спиральность), — матрицы поворота от лабора-
торной системы координат к системе, в которой роль оси z играет вектор к.
Вклад легких дырок существен при малых к, так как при этом их энергии
близки к энергиям тяжелых дырок, и при больших к потому, что легкие
дырки тяжелеют при £е_(к') > Д. Константа А может быть определена из
условия нормировки:
Е{Ю2 + 1^12} = 1-
В результате вычисления получаем
2
И =--------з7Г^
^/2/
(2-36)
Величина 1 зависит от двух параметров: отношения масс тяжелой и легкой
дырки (3 — ть/те и а = Д/е_, где Д — величина спин-орбитального
расщепления. В таблице 2 представлены значения /, полученные в резуль-
тате расчета на ЭВМ для значений (3 в интервале 2-30 и а в интервале
0.1-15. Можно показать, что в координатном представлении огибающая
волновой функции состояния Г? является суперпозицией s- и d-волн.
Состояние Гб зацепляется только за дно зоны проводимости. В модели
Кейна примесь дна зоны проводимости имеют, помимо зоны проводимо-
сти, также зоны легких дырок и спин-орбитально отщепленная зона. (Это
состояние названо 1с-состоянием.) Таким образом, состояние Гб на центре
2.5. Глубокие центры
71
сформировано из состояний зон проводимости, легких дырок и отщеплен-
ной зоны. Приведем результаты для того случая, когда Д » Eg и вклад
отщепленной зоны не существен. Тогда, используя выражения для х™ и
X™ из приложения 1, имеем
Ссм _ (РмцУ I £к+ Eg
«л/^ £+ £к у ^£к 4~ Eg
сМ = -1А ОС2)* /...ёк..-
y/v £— + £к\ ^£к 4" Eg
(2-37)
где М = 4-1/2, —1/2, ек — кинетическая энергия электрона, которая в
модели Кейна совпадает с кинетической энергией легких дырок
£к =
2 ’
72 = T^Eg/hnc, тс — масса электрона вблизи дна зоны, а е+ и е_ — рас-
стояние от уровня центра до дна зоны проводимости и вершины валентной
зоны, соответственно. Выпишем явное выражение для волновой функции
lc-еостояния в координатном представлении при М = 1/2
01/2(г) = - —:Ще_ис>1/2-—4- [|(x + iy)«v,i/2 +
4?T7z г L2
+zl/Vji/2 - ^-(x-iy)«v,3/2] f-/-) } (2‘38)
Здесь к = yJe+£-/^. Отсюда видно, что вклад легких дырок особенно ва-
жен при малых г, где функция ведет себя как 1 /г2 и оказывается поэтому
ненормируемой. В к-представлении нормировочный интеграл расходится
при больших k из-за линейности кейновского спектра. Расходимость нор-
мировочного интеграла на самом деле, конечно, не имеет места и связана с
тем, что формула (2.38) (и другие формулы этого параграфа) несправедли-
вы в области действия потенциала. Оценку для нормировочной константы
А можно получить, решив задачу для сферической ямы радиуса Rq в двух-
зонном приближении
А2 = 2тг727?о (1 + ~
\ 4 £+J
(2.39)
72
Глава 2. Структура примесных центров
Модель потенциала нулевого радиуса может быть использована и для
описания примесных центров в многодолинных полупроводниках типа гер-
мания и кремния (Arkhincheev and Sawinikh 1983, Саввиных 1979, Sawi-
nikh 1985, Гастев и др. 1986, Имамов и др. 1987). Если уровень лежит
вблизи зоны проводимости, то в разложении (2.23) главную роль будут
играть члены с волновыми векторами, близкими к к^, определяющим по-
ложения долин зоны проводимости в зоне Бриллюэна
i,k
Вследствие короткодействия потенциала V при \к — k^Ra 1 можно
в формуле (2.26) заменить к на к^ под знаком интеграла. В результате
получаем
с'<‘> = гНэд /
Из функций можно построить комбинации, преобразующиеся по
представлениям группы тетраэдра с примесным атомом в центре (Luttinger
and Kohn 1955). Сами функции -0Д, можно разложить по этим комбина-
циям. Например, в кремнии (где имеется 6 эквивалентных долин, располо-
женных в направлениях [100] и им эквивалентных) функции образуют
базис приводимого представления группы Tj, которое (без учета спина)
может быть разложено на неприводимые представления Aj (одномерное),
Е (двумерное) и Ti (трехмерное). Поэтому за зону проводимости и за-
цепляются только состояния центра, относящиеся к одному из этих пред-
ставлений. Для каждого из этих состояний все с, выражаются через одну
константу, которая может быть определена из условия нормировки.
Приведенные в этом параграфе волновые функции могут быть исполь-
зованы для расчета вероятностей различных процессов с участием глубо-
ких центров. Так с их помощью были рассчитаны сечения фотоионизации
и сечения оже-процессов в работах Халфина и др. (Khalfin et al. 1985).
Отметим, что наличие заряда у глубокого центра практически не меня-
ет волновую функцию электрона на центре, если энергия связи (е+, е_)
гораздо больше боровской энергии доноров или акцепторов.
В заключение подчеркнем еще раз, что модель потенциала нулевого
радиуса не дает никаких сведений об энергии уровня, которая входит в
формулы этой модели как параметр. Имеется большое число работ, посвя-
щенных расчетам энергетических уровней глубоких центров (см., напри-
мер, книгу Pantelides 1985).
2.6. Многозарядные глубокие центры
73
2.6 Многозарядные глубокие центры
Определение энергетического положения электронного уровня на глубо-
ком центре требует сложных квантово-химических расчетов. Однако мож-
но поставить другую задачу. Пусть имеется состояние центра без элек-
трона (остов). Условно обозначим его через В+ и примем его энергию за
начало отсчета. Энергию одного электрона на этом центре < 0)
будем считать известной. Таким образом, — энергия центра с одним
электроном, т.е. центра в состоянии В0. Какую энергию будет иметь со-
стояние В- с двумя электронами на центре? Ясно, что если бы электроны
никак не взаимодействовали друг с другом, энергия состояния В- (обозна-
чим ее через Е^) была бы 2е<0\ Ясно также, что если учесть только куло-
новское отталкивание электронов, то энергия Е должна быть больше чем
2е(°\ Если написать Е2 = е(°) то можно утверждать, что е^ >
ге. на схеме энергетических уровней двухэлектронный уровень должен ле-
жать выше одноэлектронного. Это соответствует ситуации, рассмотренной
в главе 1 на примере золота в германии. Разность Е^ — 2е^ — £<*) — е^
называется энергией корреляции двух электронов на центре. В принци-
пе энергия корреляции может быть и отрицательной, если существенную
роль в формировании состояний электронов на центре играет деформация
решетки, вызванная их присутствием Такая ситуация будет обсуждаться
подробнее ниже в этом параграфе.
Сначала обсудим роль кулоновского отталкивания электронов, прене-
брегая влиянием деформации решетки. Тогда можно представлять себе за-
дачу таким образом. В состоянии В0 один электрон находится в потенциале
остова У(г). В состоянии В- два электрона находятся в том же потенциале
V (г) и, кроме того, отталкиваются друг от друга по закону Кулона. Если
энергия корреляции мала, то ее можно вычислить по теории возмущений
и = Е(1)-Е(0)= /'|^(п,г2)|2—------d3rid3r2, (2.40)
J к|Г1-Г2|
где -0(ri, г2) — правильным образом симметризованная волновая функция
двух электронов, составленная из одноэлектронных функций, соответству-
ющих энергии е(°). Эти одноэлектронные волновые функции т/;(г), вообще
говоря, неизвестны, однако в рамках простой модели Луковского можно
взять для них выражение (2.20). В рамках этой модели существует лишь
одно орбитальное состояние, соответствующее энергии Ес°\ и два элек-
трона на центре должны иметь противоположные спины. Таким образом,
,r2) = V’('’i)V>(r2) . Расчет, проводимый в работе Аверкиева и др
74
Глава 2. Структура примесных центров
(1985), дает следующий результат:
е(1) _ £(0) = 81п2у/|£(°)|Ев, (2.41)
где Ев — боровская энергия с эффективной массой (Ев = те4/2к2Й2).
Очевидно, что если — е10'1 > |ef011, то центр не может удержать второй
электрон. Хотя формула (2.41) получена по теории возмущений, т.е. в пред-
положении, что еО) — е-0) <?; она, однако, дает возможность грубо
оценить глубину одноэлектронного уровня, необходимую для присоедине-
ния второго электрона. Для глубоких донорных центров симметрии Гб,
как показано в предыдущем параграфе, следует использовать двухзонное
обобщение модели Луковского. При этом волновая функция сосредоточена
в основном в малой области вблизи центра и кулоновское взаимодействие
заведомо нельзя рассматривать как возмущение.
Для акцепторных состояний симметрии Ге требуется соответствующее
обобщение модели Луковского, которое описано в предыдущем разделе. В
этом случае следует говорить не об одно- и двух-электронном состояниях,
а об одно- и двух-дырочном состояниях. В работе Аверкиева и др. (1985)
проведены соответствующие расчеты и в результате получено соотноше-
ние
е([) _ е(°) = т/^/|е(°)|Ев, (2.42)
где г] — численный коэффициент, зависящий от соотношения масс легких
и тяжелых дырок (77 = 3,8 при пц = ОД/иь), а Ев — боровская энергия с
массой тяжелых дырок. Аверкиев и др. (1985) провели расчеты для ряда
примесей в Ge и GaAs. Хорошее согласие с экспериментом было полу-
чено при расчете разницы между электронами, требуемыми для отрыва
первой и второй |е(°>| дырки от нейтральных центров Си, Ag, Аи
в Ge. Теоретические значения энергии корреляции е-1* — составляют
0,29, 0,33, 0,36 эВ, соответственно, экспериментальные — 0,29, 0,30, 0,36.
Эти центры в Ge являются трехзарядными акцепторами и роль остова в
этих расчетах играло дважды отрицательное состояние центра (трехзаряд-
ный ион + дырка). Для остальных центров согласие хуже, хотя порядок
величины правильный. В расчетах такого рода всегда возникает вопрос о
значении диэлектрической проницаемости к, которое надо подставить в
формулу (2.40). Макроскопическое ее значение имеет смысл, лишь если
радиус состояния велик по сравнению с постоянной решетки.
Перейдем теперь к рассмотрению роли электрон-фононного взаимодей-
ствия. При этом для определенности будем подразумевать под В+, В°, В-
2.6. Многозарядные глубокие центры
а)
----------------------------с
---------------------------- е(1)
0ь
--------------------------0е(0)
б)
----------------------------------с
-------------------------------------2 e(i)
-------------------------------------— £(0)
о
v
зарядовыми состояниями, (а) Положи-
Рис. 2.5. Схема уровней центра с
тельная энергия корреляции, (б) Отрицательная энергия корреляции. Под уровня-
ми обозначено зарядовое состояние, которое «видит» электрон, захватываемый на
центр. Над уровнями — то же для дырки.
три состояния донорного центра D+, D°, D- (ионизованный донор, ней-
тральный центр, отрицательный ион). Локализованный электрон вызывает
деформацию решетки, в результате которой его энергия связи увеличи-
вается. Таким образом, теперь есть две причины, по которым энергия Ег
двухэлектронного состояния D- отличается от удвоенной энергии одно-
электронного состояния D0, — кулоновское отталкивание электронов и до-
бавочная деформация решетки и остова. Первая причина увеличивает энер-
гию двухэлектронного состояния, вторая ее уменьшает. До сих пор факти-
чески имелась в виду ситуация, когда кулоновское отталкивание преоблада-
ет, так что если положить Ег = то Ег-2е^ — > 0. От-
рыв электрона от отрицательно заряженного центра требует меньшей энер-
гии, чем ионизация нейтрального. Такая ситуация изображена на рис. 2.5а.
Однако в принципе возможна ситуация, когда корреляционная энергия
отрицательна, то есть выигрыш в энергии за счет деформации решет-
ки превышает проигрыш, обусловленный кулоновским взаимодействием.
Схема уровней в этом случае представлена на рис. 2.56. При этом со-
стояние D0 является метастабильным. Энергетически выгодно перенести
электрон с одного D°-центра на другой D°-центр, так чтобы образовалась
пара D+-центр (на котором нет электрона) и D--центр (на котором два
электрона). Другими словами, реакция
2D° -> D+ 4- D~
является экзотермической. При достаточно низкой температуре в равно-
весии будут существовать только D+ и D--центры. Такая модель была
предложена (Street and Mott 1975) для согласования на первый взгляд
76
Глава 2. Структура примесных центров
противоречивых экспериментальных фактов, относящихся к халькогенид-
ным стеклам: закрепление уровня Ферми вблизи середины запрещенной
зоны (которое казалось бы свидетельствует о большом числе заполненных
и свободных носителей на этом уровне) и отсутствие электронного пара-
магнитного резонанса. Эта модель объясняет также возникновение ЭПР
при освещении (так называемый фото ЭПР).
Модель центра с отрицательной корреляционной энергией в послед-
ние годы используется также для объяснения метастабильных состояний в
полупроводниках А3В5 (см., например, Stavola et al. 1984).
При низких температурах, если имеются только глубокие центры с
отрицательной энергией корреляции, то уровень г/1) будет заполнен напо-
ловину и уровень Ферми будет совпадать с Уровень Ферми остается
фиксированным вблизи и при легировании мелкими донорами и акце-
пторами, пока разность их концентрации меньше концентрации вышеука-
занных глубоких центров.
Глава 3
Каскадный захват носителей на изолированные
притягивающие центры
3.1 Введение
Впервые захват на притягивающие центры был рассмотрен в 1924 году
Дж. Дж. Томсоном в связи с задачей о рекомбинации положительных и
отрицательных ионов в газе (Thomson 1924). Томсон вычислил сечения
захвата с помощью следующих простых рассуждений. При захвате ионы пе-
реходят в связанное состояние, характеризуемое некоторой энергией свя-
зи. Для этого один из них должен столкнуться с третьим телом и передать
ему часть своей энергии. Последующие столкновения могут привести ли-
бо к разрушению связанной пары (тепловому выбросу), либо к тому, что
образовавшаяся молекула перейдет в состояние с еще большей энергией
связи. Вероятность разрушения тем больше, чем меньше энергия связи па-
ры. Тепловой выброс мало вероятен, если энергия связи ионов больше, чем
тепловая энергия кТ. Поэтому захват действительно произойдет, только
если ионы попадут в состояние с энергией связи большей, чем кТ. Что-
бы попасть в такое состояние, ион, пролетающий мимо притягивающего
центра с тепловой скоростью, должен приблизиться к нему на расстоя-
ние меньшее, чем гр и потерять при столкновении с третьим телом свою
кинетическую энергию (см. рис. 3.1). Радиус гр определяется из усло-
вия, что потенциальная энергия иона в кулоновском поле центра на этом
расстоянии должна быть порядка кТ, т.е. е2/ кгр = кТ и, следовательно,
/р = е2/ккТ (к — диэлектрическая постоянная).
Сечение захвата по Томсону получается как произведение поперечника
сферы радиуса гр на вероятность того, что за время пребывания внутри
сферы ион, испытав столкновение, потеряет свою кинетическую энергию.
Оно равно
1де I — длина свободного пробега. Вероятность столкновения при пролете
77
78
Глава 3. Каскадный захват носителей
Рис. 3.1. Схематическое изображение захвата по Томсону. Захват происходит вну-
три сферы радиуса гТ- Энергия порядка кТ теряется при одном столкновении.
иона через сферу радиуса и- дается множителем r^/l. Числовой коэффи-
циент 4/3 был получен Томсоном при усреднении по всем путям внутри
сферы. Существенным предположением при этих расчетах является то, что
изменение энергии иона при каждом столкновении по порядку величины
равно кТ.
Для объяснения больших сечений захвата на притягивающие центры
в полупроводниках Лэке (Lax 1960) использовал идею Томсона о том,
что захват идет с большей вероятностью не в основное, а в высоковозбу-
жденные состояния. При излучении акустического фонона, в силу законов
сохранения энергии и импульса, электрон не может потерять всю свою
кинетическую энергию, а теряет только малую долю ее, равную по поряд-
ку величины л/ms2e (здесь m и е — эффективная масса и кинетическая
энергия электрона, соответственно, s — скорость звука; предполагается,
что ms2 е). Чтобы попасть на уровень с энергией связи кТ, электрону
недостаточно подойти к центру на расстояние гт, а нужно подлететь на
гораздо меньшее расстояние го, на котором он окажется разогнанным до
столь большой кинетической энергии eq « е2/кго, что даже малая доля ее
составит кТ. Расстояние го определяется из условия
/ 9 7 2 2 2
/ ms2e2 _ е ms _ ms
у иго ’ Г° к (кТ)2 кТ
3.1. Введение
79
Здесь к — диэлектрическая проницаемость, которая включается в опреде-
ление гт (гт = е2/ккТ).
Сечение захвата по порядку величины равно
,2^0
<7 ~ 7ГО
где b — прицельный параметр орбиты, кратчайшее расстояние которой до
центра притяжения равно 0 (см. рис. 3.2). Прицельный параметр b связан
с го законом сохранения углового момента v^b = vro, где Кх = у/кТ/ш
— скорость носителя заряда на большом расстоянии от центра, a v =
у/ е1) кrotn — скорость на расстоянии го- Отсюда имеем
Таким образом, сечение захвата оказывается равным
7ГГТ 1
/ 2\ 2
I ms \
J
(3-2)
В приведенном выше выводе формулы (3.2) предполагалось, что электрон
из зоны проводимости сразу, при одном акте излучения фонона, переходит
на уровень с энергией связи кТ и остается связанным в дальнейшем. Сам
же Лэке учитывал возможность захвата электрона во все возбужденные
состояния (в том числе и в состояния с энергией связи меньшей, чем
кТ), а также возможность обратного теплового выброса электрона в зону.
Но фактически его результат отличается от (3.2) лишь логарифмическим
множителем порядка единицы и соответствует тому, что основную роль
играют захваты на уровень с энергией связи порядка кТ.
В работе Абакумова и Яссиевич (1976) было показано, что результат
Лэкса не верен. Это связано с тем, что Лэке неправильно вычислил ве-
роятность того, что захваченный электрон не будет выброшен обратно в
зону (вероятность прилипания). Правильный расчет приводит к выводу,
что основную роль играют захваты из зоны на высоковозбужденные уров-
ни центра с энергией связи гораздо меньшей, чем кТ. Поэтому электрону
нет необходимости подходить так близко к центру, как это требовалось бы
для излучения фонона с энергией кТ. Конечно, вероятность прилипания
стремится к нулю при уменьшении энергии связи, но не так быстро, как
это считал Лэке. Поэтому возрастание объема, в котором могут происхо-
дить переходы в слабосвязанные состояния, все-таки приводит к тому, что
80
Глава 3. Каскадный захват носителей
Рис. 3.2. Траектория электрона в поле кулоновского центра, b — прицельный
параметр орбиты, г0 — кратчайшее расстояние от центра до орбиты.
именно эти переходы вносят основной вклад в сечение захвата. Тем са-
мым нет необходимости разделять процесс захвата, как это делал Лэке, на
две стадии: переход из области положительных значений энергии в область
отрицательных и последующую диффузию по энергетическим уровням. За-
хват (при кТ 5> ms2) согласно Абакумову и Яссиевич (1976) представляет
собой непрерывный спуск по энергии, при котором переход через нулевой
уровень энергии никак не выделен. Когда электрон спустится ниже уровня
с энергией связи порядка кТ, он оказывается практически захваченным.
Расчет сечения захвата в работе Абакумова и Яссиевич (1976) был про-
изведен методом, развитым Питаевским (1962) для газов1 и основанным
именно на такой картине захвата. При этом получилась формула, совер-
шенно аналогичная формуле Томсона, с тем естественным отличием, что
множитель гу/1 заменялся на множитель г-\-/ут£, где v — скорость элек-
трона, а те — время его релаксации по энергии (см. приложение 4). Этот
множитель фактически представляет собой отношение времени пролета
электрона через сферу радиуса гт и времени энергетической релаксации.
Длина vre = lo не зависит ни от энергии электрона, ни от температуры и
связана с длиной свободного пробега I соотношением
гт
/о = VT£ = 1—2. (3.3)
2ms1
Формулу для сечения захвата, полученную Абакумовым и Яссиевич (1976),
можно записать в виде
4 л / e2Z \3
а 3 /о \ КкТ) ’
'Ранее с помощью близкого метода Беляев и Будкер (1958) рассматривали рекомбинацию
в горячей плазме.
3.2. Каскадный захват носителя на изолированный кулоновский центр
81
где <?Z — заряд центра. Таким образом, сечение захвата обратно пропорцио-
нально кубу температуры2. Как будет видно из дальнейшего, исправленная
теория каскадного захвата находится в хорошем качественном и количе-
ственном согласии с экспериментальными данными в широком интервале
температур и концентраций центров.
3.2 Каскадный захват носителя на изолированный
кулоновский центр
Квазиупругий характер взаимодействия электрона с акустическими фоно-
нами позволяет считать, что функция распределения электрона, находяще-
гося в поле притягивающего центра, зависит только от полной энергии
п2
f = f(E), Е = ^- + V(r), (3.5)
2т
где V (г) — потенциальная энергия. В основе этого допущения лежит сле-
дующая физическая картина. Электрон, двигаясь по некоторой орбите во-
круг центра, успевает совершить много оборотов, прежде чем излучит или
поглотит фонон. При этом взаимодействие с фононом переводит его на
другую орбиту почти без изменения энергии. Тогда размешивание по всем
переменным, кроме энергии происходит быстро, что и приводит к тому, что
функция распределения не зависит от этих переменных, а зависит только
от полной энергии.
Функция распределения f(E) в этих условиях удовлетворяет уравне-
нию Фоккера-Планка (см. приложение 7)
(3.6)
где R(E') — плотность состояний в пространстве полной энергии (см. при-
ложение 6), а /(Е) — поток в пространстве полной энергии, равный
/(Е) = -В(Е) [/(E) +
(3-7)
где коэффициент «динамического трения» В(Е) определяется формулой
(П7.19).
2Расчет Лэкса приводи! к сечению, обратно пропорциональному четвертой степени тем-
пературы, и примерно в кТ/ms2 раз меньше, чем это следует из формулы (3.4)
82
Глава 3. Каскадный захват носителей
Предположим, что в зоне проводимости (при Е > 0) имеются электро-
м г- Я
ны с концентрацией м, распределенные равновесным oopa3OMJ
/(Е) = /0(Е),
Е > 0
/о(Е) = А ехр
2^\3/2
ткТ )
(3-8)
А = п
Сосчитаем j — поток частиц на один изолированный центр в стационар-
ных условиях (df/dt = 0, /(Е) = -j). Сечение захвата связано с этим
потоком формулой
(3-9)
Для вычисления j рассмотрим область отрицательных энергий. Функция
распределения f(E), как следует из (3.6) и (3.7), в стационарных условиях
удовлетворяет уравнению
Е(Е) Где) +
ОС.
(3.10)
Граничным условием к этому уравнению можно считать равенство:
/(Е)|£=_£1 =0, Ei»^. (3.11)
В окончательных формулах значение Е\ не существенно и можно заменить
Ei на оо. Решение имеет вид
/(E) = ±ехР(-А) f
1 кТ v\kT) J_E} В(Е) V 1
Для определения потока j потребуем, чтобы выражение (3.12) непре-
рывно переходило в равновесное распределение (3.8) при Е = 0. С учетом
(3.8) и (3.9) для коэффициента захвата на отдельный центр получаем
(2tt)W [° ехр(ЕДТ-) '
Формулы (3.13) и (П7.19) позволяют вычислить сечения захвата для произ-
вольного потенциала притягивающего центра и произвольного механизма
энергетических потерь.
3В формуле (3.8) и далее не учитывается спин.
3.3. Вычисление сечения захвата по методу Лэкса
83
В случае кулоновского центра У(г) = -e^Zl^r и потерь энергии за
счет рассеяния на деформационном потенциале акустических фононов, для
В(Е) справедливо выражение (П7.21). Используя (П7.21) и (3.13) оконча-
тельно получаем для сечения захвата выражение (3.4).
В заключение параграфа обсудим более подробно постановку гранич-
ных условий. Сшивка решения, найденного при Е = 0, с равновесным
распределением (3.8) при Е — 0 возможна в силу того, что в области по-
ложительных энергий существование малого рекомбинационного потока
практически не сказывается на виде функции распределения, что и позво-
ляет считать ее здесь равновесной. Это не так при большой концентра-
ции центров и низких температурах, когда рекомбинационный поток су-
щественно возмущает распределение и при Е = 0. Подробнее этот вопрос
рассматривается в главе 6.
Граничное условие (3.11) означает, что при Е = —Е\ имеется «черная
стенка», т.е. электроны, спустившиеся ниже энергии — Ei, поглощаются
центром. Именно такая постановка граничного условия правомерна для
задачи о захвате на пустой центр и позволяет отделить рассмотрение за-
хвата от рассмотрения ионизации4.
3.3 Вычисление сечения захвата по методу Лэкса.
Вероятность прилипания
В этом параграфе мы изложим альтернативный метод нахождения сечения
захвата, впервые предложенный Лэксом (Lax 1960).
Лэке разделяет процесс захвата электрона центром на две стадии. Сна-
чала электрон, пролетая около центра, в результате однократного испуска-
ния фонона оказывается в связанном состоянии на одном из высоковозбу-
жденных уровней. Затем, испуская и поглощая фононы, электрон меняет
свою полную энергию и либо выходит в область положительных энер-
гий и удаляется от центра, либо проваливается в основное состояние и
«прилипает» к центру. При этом, как в процессе захвата на возбужденный
уровень, так и при последующей диффузии в энергетическом пространстве
электрон считается классической частицей. Последнее предположение ис-
пользовалось и в предыдущем параграфе. Оно основано на том, что для
высоковозбужденных уровней справедливо квазиклассическое приближе-
ние.
4В задаче о тепловой ионизации с уровня (см. главу 10), естественно, граничные условия
обратны: /(Е)|£=-е, = 1, /(Е)|£=о = 0 т.е. «черная стенка» теперь находится при Е = 0,
так как электрон, поднявшийся до энергии Е = 0, потерян для центра.
84
Глава 3. Каскадный захват носителей
Для количественного описания поведения электрона, оказавшегося в
связанном состоянии с энергией связи и, Лэке ввел понятие вероятности
прилипания Р(и). Функция Р(и) определяется как вероятность того, что
попавший в это состояние электрон не выйдет обратно в область поло-
жительных энергий. Очевидно вероятность прилипания увеличивается при
увеличении энергии связи и близка к единице, когда и 2> кТ.
При таком подходе сечение захвата электрона с фиксированной энер-
гией Е > 0 записывается в виде
<т(£) = f <т(Е, u)P(u)du, (3-14)
Jo
где <т(£, u)du — сечение захвата свободного электрона с энергией Е в
связанное состояние с энергией связи, лежащей в интервале (и, и + d«).
Полное сечение захвата связано с сечением <т(£) формулой
а = ИЗД, (3.15)
И
где угловые скобки означают усреднение по распределению электронов в
зоне. Такой метод вычисления в принципе совершенно верен. Однако, как
показано в работе Абакумова и Яссиевич (1976), главный вклад в полное
сечение вносят электроны с малыми энергиями Е < ms2. (Сечение сг(Е)
быстро, как Е~\ возрастает с уменьшением энергии при ms2 < Е < кТ.')
Такие электроны переходят в основном в состояния с малыми энергиями
связи и. Поэтому для вычисления сечения по указанной схеме требуется
знать вероятность прилипания в области и < ms2. К сожалению, в этой
области энергий функция Р(и) может быть найдена только численно. В
связи с этим в работе Абакумова и Яссиевич (1976) и в предыдущем па-
раграфе для вычисления сечения захвата был использован метод, который
позволяет вычислять сечение асимптотически точно при кТ ms2 и не
требует знания вероятности прилипания. Однако интересно проследить,
каким образом тот же ответ получается методом Лэкса. В формулу (3.14)
входят две величины: <т(Е, и) и Р(и). Выражение для <т(Е, и) получено в
§ 4.2 (формула 4.10). *
Согласно Лэксу для функции прилипания справедливо уравнение
Р(и) = т(и) / w(u, и + v)P(u + y)dy. (3.16)
J — оо
Здесь w(u, и + v) — вероятность перехода в единицу времени из со-
стояния с энергией связи и с излучением (у > 0) и поглощением (у < 0)
3.3. Вычисление сечения захвата по методу Лэкса
85
фонона с энергией в интервале (у, y-f-dy), т(и) — время жизни электрона
в состоянии с энергией связи и, ограниченное как переходами в другие
связанные состояния, так и переходами в свободные состояния с положи-
тельной энергией
1 Г+°°
- = / w(u, и + y)dy. (3.17)
T\U) J-OO
Вероятность w(u, и + у) можно получить из формулы (П5.10), если
умножить ее на плотность конечных состояний R(u + у) и на множитель
1 + N(y), при переходах с излучением фонона (у > 0), или 2V(|v|), при
переходах с поглощением фонона (у < 0). В результате получим
. _ 29\/2 .v y/ms1^/2^2
wu,u+v /о [(v+2m.v2)2 4-8uwi.v2]3[l — ехр(-v/itT)]'
При достаточно больших энергиях (и ms2) вероятность w(u, и 4- у)
быстро спадает, когда v превышает у/8ms2 и. Это означает, что основную
роль играют переходы с малым изменением энергии связи (как и следо-
вало ожидать в силу квазиупругого характера взаимодействия электронов
с акустическими фононами). В этом случае от интегрального уравнения
(3.16) можно перейти к дифференциальному уравнению типа уравнения
Фоккера-Планка. Для этого разложим Р(и 4- у) в ряд по v, ограничиваясь
членами порядка у2:
Р(и + у) = Р(и) +P'(u)v+ ^P"(u)v2. (3-19)
Тогда интегральное уравнение (3.16) примет вид:
P(u) = P(u)t(u) f w(u, и + y)dv+Р/(и)т(и) f vw(u, и + y)dy +
J—и J—и
1 г°°
+ 2^>//(u)r(“) j v2w(u, и 4- y)dy.
При и 2> ms2 нижние пределы интегрирования можно заменить на -оо, и
тогда получим уравнение в виде
(3.20)
где введены обозначения
у+оо
(у") = т(и) / v"w(u, и + y)dy.
(3-21)
86
Глава 3. Каскадный захват носителей
К уравнению (3.20) естественно поставить граничное условие
Р(0) = 0, Р(и) -И (и оо), (3.22)
означающее, что вероятность прилипания обращается в нуль на уровне
энергии, отделяющем связанное состояние от свободных, и стремится к
единице по мере увеличения энергии связи. Из формул (П7.7)-(П7.9) мож-
но получить
у) _ 1 1 dB(w)
'2) “ кТ + В(и) du
где В(и) — коэффициент динамического трения, взятый при энергии
Е = —и.
Решая уравнение (3.20) с учетом (3.23) и граничным условием (3.22),
получим общее выражение для вероятности прилипания при квазиупругом
механизме потери энергии
Р(д) = 1 -
dE
ад
Е/кТ_^_
В{ЕУ
(3-24)
В случае взаимодействия с акустическими фононами, используя, что
В(Е) ос |Е|-1 (см. (П7.21)), найдем
Р(м) = 1-(1 +А)ехр(--^). (3.25)
Из (3.25) следует, что при малых энергиях связи и < кТ, Р(и) убывает
пропорционально и2:
и2
Р^ = 2(кту’ и^кТ- (3-26)
Рассмотрим теперь поведение сечения захвата электрона как функцию его
энергии, Е. Основной вклад в интеграл (3.14) при ms2 Е С кТ вно-
сят значения и < Е, т.к. здесь согласно (4.12) сечение захвата <т(Е,и) ~
(Е + и)~^Е~х. С помощью (3.26) и (4.12) получаем в указанной обла-
сти значений Е, что <т(Е) ~ Е-3. Таким образом сечение захвата быстро
растет с уменьшением энергии. При малой энергии захват идет в слабосвя-
занные состояния и темп обратного выброса естественно возрастает (ве-
роятность прилипания падает), но вероятность перехода из зоны нарастает
еще быстрее, что связано с увеличением радиусов орбит конечных состоя-
ний. Если использовать зависимость <т(Е) ~ Е-3, то легко убедиться, что
3.4. Влияние особенностей зонной структуры
87
среднее значение {a(E)v) расходится при малых Е. В действительности
при Е < ms2 характер зависимости как сг(Е, и), так и Р(и) меняется. Если
формально обрезать интегрирование при вычислении (<т(£)т) на значени-
ях £ = ms2, то для <т с точностью до числового множителя получается
результат предыдущего параграфа.
Правильное значение числового множителя можно получить, только
решив уравнение (3.16) для Р(и) при и < ms2. Это уравнение было реше-
но численно (Hamman and McWhorter 1964), и с помощью этого решения
было вычислено значение <т при температуре 3,5 К < Т < 10 К. Чи-
сленные значения сечения рекомбинации, рассчитанные по формуле (3.4),
точно ложатся на кривую машинного расчета Хаманна и Мак Уортера.
В заключении поясним, почему в работе Лэкса (Lax 1960) был получен
другой результат.
В качестве вероятности w(u, и + v) Лэке взял стандартное выраже-
ние вероятности перехода свободного электрона (П4.11) с кинетической
энергией е = и. Таким образом кинетическая энергия на орбите счита-
лась постоянной и равной своему среднему значению (по теореме вири-
ала). На самом деле следует усреднить выражение (П4.11) по микрока-
ноническому распределению в поле центра, после чего, согласно прило-
жению 5, получается формула (3.18). Усреднение по микроканоническо-
му распределению учитывает, что наряду с круговыми орбитами имеются
эллиптические орбиты, на которых электрон близко подходит к центру,
и на этом участке кинетическая энергия гораздо больше средней. При
малых энергиях связи основную роль в прилипании играют именно эти
участки. В результате в этой области Р(и) ~ и2, <т(Е) ~ £-3, и среднее
(<т(£)т) расходится степенным образом при малых £ (т.е. главную роль в
(<т(£)т) играют £ < ms2). У Лэкса получилось, что при малых энергиях
Р(и) ~ и3,<т(£) ~ Е~2, и среднее (<т(£)т) расходилось лишь логариф-
мически. Это и дало ему основание считать, что главную роль в захвате
играют электроны с £ > ms2. Поэтому Лэке делил процесс захвата на две
стадии: переход из зоны на центр и последующую диффузию по уровням
центра.
3.4 Влияние особенностей тонной структуры, вида
потенциала центра и механизма энергетических потерь
на сечение каскадного захвата
Результаты § 3.2 легко обобщить на случай анизотропного спектра электро-
нов или сложной структуры дырочной зоны. В самом деле, единственными
88
Глава 3. Каскадный захват носителей
характеристиками захватывающихся носителей, использованными в § 3.2
были темп энергетических потерь и плотность состояний. Как показано в
приложении 4, время энергетической релаксации на акустических фононах
всегда определяется формулой (П4.13), причем особенности зонной струк-
туры отражаются лишь на определении характерной длины /о- При изо-
тропном законе дисперсии носителей /о определяется формулой (П3.14),
в эллипсоидальных долинах — формулой (П4.16). В плотность состоя-
ний входит масса плотности состояний. Таким образом, формула (3.13),
определяющая коэффициент захвата, становится справедливой в случае
анизотропной или сложной зоны, если под т понимать массу плотности
состояний, а константу /о, входящую в В(Е), определять вышеуказанным
способом.
Общая формула (3.13) позволяет легко найти сечение захвата при лю-
бом потенциале центра. Например, для захвата на диполь согласно (П7.22)
получаем
э d ( el V
<7 = 2тг— ---- ,
/о \ккТ J
где d — длина диполя5. Предполагается, что, с одной стороны, длина ди-
поля меньше характерного радиуса захвата, т.е. d «С е2/ккТ, а с другой,
— что d > бав- Последнее условие требуется для квазиклассического
описания процесса захвата (см. приложение 6).
Иногда (см., например, Lax 1960) каскадную модель применяют к рас-
смотрению захвата на нейтральный центр, при этом в качестве притяги-
вающего потенциала используется поляризационный потенциал V(r) =
—ае2/2к2г^, где а — поляризуемость центра. Как отмечали Бонч-Бруевич
и Гласко (1962), квазиклассическое описание (на котором основана кас-
кадная модель) в этом случае возможно только при аномально большом
значении поляризуемости. При поляризуемости а ~ а^к, связанных состо-
яний вблизи границы сплошного спектра в поляризационном потенциале
вообще не существует (подробнее смотри приложение 6).
Если считать, что поляризуемость достаточно велика и каскадная мо-
дель применима, то сечение захвата можно получить из формул (П7.22) и
5 В кристаллах, вообще говоря, под длиной диполя следует понимать некоторую эффек-
тивную длину, отличающуюся от расстояния между зарядами (см. Mahan and Mazo 1968,
Agranovich and Galanin 1982). Однако, если заряды, образующие диполь, связаны с приме-
сями замещения (донором и акцептором) в тетраэдрическом окружении и d гораздо больше
постоянной решетки, то это отличие отсутствует. Именно с такого рода диполями приходится
иметь дело в компенсированном полупроводнике.
3.4. Влияние особенностей зонной структуры
89
(3.13). Для потенциала V ~ г 4 интеграл в (П7.22) расходится, поэтому,
следуя Лэксу (Lax 1960), введем модельный потенциал в виде
V
V
г2 а
2/г2/4 ’
2
е а
2«24in ’
7*min
rmin-
Тогда получим
er
8тг а2 / е1 \2
15 «2/о^>п \ккт)
(3.28)
Аномально большое значение поляризуемости может реализоваться
при захвате дырки на нейтральный донор (см. § 5.3) в случае, если эффек-
тивная масса электрона те существенно меньше, чем эффективная масса
дырки пц,. При этом поляризуемость донора а ~ ка3в(т^/тс)3, где ав
— боровский радиус, соответствующий массе дырки (захватывающегося
носителя).
Энергетические потери возможны не только за счет деформационного
взаимодействия с акустическими фононами. Однако, если процесс энерге-
тической релаксации квазиупругий, т.е. если потери энергии в одном акте
столкновений малы по сравнению с кТ, изложенная выше теория каскад-
ного захвата легко может быть обобщена. По порядку величины сечение
захвата на кулоновский притягивающий центр всегда определяется форму-
лой (3.4), если в нее в качестве /о подставить выражение
/о = VTe,
(3.29)
где v и время энергетической релаксации т£ следует брать при кинетиче-
ской энергии кТ. Так в случае, когда релаксация энергии происходит бла-
годаря пьезоэлектрическому взаимодействию (что имеет место при низких
температурах в полярных полупроводниках), время т£ ~ у/ё и не зависит
от температуры. При этом /о ~ Т, а ~ Т~4.
Расчет, проведенный Абакумовым (1977) (см. также Полупанов 1977)
дает для сечения захвата
2 / 2 \ 3
/ 0^ \
(3.30)
Где / — длина свободного пробега, обусловленная столкновением с аку-
стическими фононами при пьезоэлектрическом взаимодействии. Эта длина
90
Глава 3. Каскадный захват носителей
не зависит от температуры и выражается через пьезоэлектрический тензор
(Конуелл 1970).
3.5 Каскадный захват за счет межэлектронного
взаимодействия
Особого рассмотрения требует случай, когда потери энергии электроном
на центре определяются его взаимодействием со свободными электрона-
ми. Эта задача рассматривалась многими авторами (Lax 1960, Bates and
Kingston 1961, Hinnov and Hirschberg 1962, Гуревич и Питаевский 1964,
D’Angelo 1965). При строгом подходе возникает ряд трудностей. Во-пер-
вых, при межэлектронных столкновениях скорости потери энергии и им-
пульса одного порядка, так что нельзя уже считать, что функция распре-
деления электрона на центре зависит лишь от полной энергии. Во-вторых,
взаимодействие связанного электрона со свободным нельзя, вообще гово-
ря, рассматривать как взаимодействие двух свободных электронов. Рассто-
яние, на котором существенно это взаимодействие, сравнимо с размерами
орбиты связанного электрона. Первое затруднение можно обойти, если
считать, что существует другой (более эффективный, чем межэлектрон-
ное взаимодействие) механизм релаксации по импульсу. Вторая трудность
не возникает в случае захвата на центр с большим эффективным зарядом
<?Z. Можно надеяться, что результаты, полученные с этими упрощающи-
ми предположениями, дают правильную оценку сечения и в общем случае
(Гуревич и Питаевский 1964).
Оценка сечения захвата проще всего может быть получена с помощью
модели Томсона (D’Angelo 1965). Для этого в формулу (3.1) следует под-
ставить в качестве I длину свободного пробега для электрон-электронных
столкновений I = (пегее)-1, где п — концентрация электронов, <тес =
7г(<?1 2/ке)2Л, е — энергия относительного движения двух электронов, А
— кулоновский логарифм. Полагая для оценки е = 2кТ, находим
1 / е2 \5
<т = -тг2п ( —— ) Z3 *A. (3.31)
3 \ккТ ) v '
Для коэффициента захвата с = <т(г) получается формула
1 / \ 3 уЗ д
с = -(2^п(е-) ......1/2,,TW2. (3.32)
3 \К / m1! ^{kTyi1
Расчет Гуревича и Питаевского (1964), проведенный в предположении,
что существует быстрое перемешивание по всем степеням свободы, кроме
3.6 Пределы применимости каскадной модели захвата
91
энергии, и что Z » 1, приводит к формуле, отличающейся от (3.32) в двух
отношениях. Во-первых, числовой коэффициент домножается на множи-
тель 2/3. Во-вторых, под Л следует понимать не обычный кулоновский
логарифм, а величину Л = д/1 + Z2. Последнее обстоятельство связано с
тем, что максимальный прицельный параметр равен не дебаевскому ради-
усу, а радиусу характерной орбиты связанного электрона rmax = e2ZlkT.
В то же время минимальный прицельный параметр равен как обычно
rmin = е2/кТ. При этом, конечно, предполагается, что дебаевский ради-
ус гораздо больше характерных размеров орбиты.
Отметим в заключение, что если средняя энергия электронов отличает-
ся от температуры решетки, то в формулах (3.31) и (3.32) следует заменить
Т на электронную температуру Те.
Сравнение формул (3.31) и (3.4) показывает, что межэлектронное вза-
имодействие играет определяющую роль в захвате, если
Для германия при Т — 10 К это неравенство выполняется, начиная с
концентраций п = 3 х 1012 см~3.
3.6 Пределы применимости каскадной модели захвата на
изолированные центры
Для применимости каскадной модели захвата в том виде, как она описана
в этой главе, требуется выполнение нескольких условий.
1. Длина свободного пробега / должна быть гораздо больше эффектив-
ного радиуса орбиты гд = е2/ккТ
I /д. (3.34)
Это условие характерно для модели Томсона, в которой предполагается,
что электрон свободно движется в поле центра, испытывая только редкие
столкновения (пролетный режим). Если речь идет о свободном электроне
(т.е. об электроне с положительной энергией), то он пролетает мимо цен-
тра, имея только малую вероятность столкнуться с третьим телом (аку-
стическим фононом) и перейти на связанную орбиту. Если речь идет о
связанном электроне, то он совершает много оборотов по орбите прежде,
чем испытает столкновение, переводящее его на другую орбиту. Обсудим
подробнее условие I гд для случая рассеяния на акустических фононах.
92
Глава 3. Каскадный захват носителей
Поскольку I = lolms2/кТ (см. приложение 3) обратно пропорционально
температуре, как и гт, то выполнение этого условия не зависит от темпе-
ратуры и сводится к неравенству
2nms2l()
Для германия левая часть этого неравенства составляет (2—4) х 10“2,
для кремния (8—5) х 10-2 (первая цифра относится к дыркам, вторая к
электронам), так что для германия и кремния неравенство (3.35) хорошо
выполняется. Чтобы проверить выполнение критерия (3.34) для других
полупроводников, удобно переписать его через подвижность /х, пользуясь
тем, что /х = етпг~1 и т = Тогда получим условие
» 4,3 X . (3.36)
Ку/т/тъ \ Вс /
При этом следует применять этот критерий только в той области темпера-
тур, в которой подвижность контролируется упругим и квазиупругим ме-
ханизмом рассеяния (рассеяние на примесях, на деформационном или пье-
зоэлектрическом потенциале акустических фононов) и не ограничивается
существенно рассеянием на оптических или межзонных фононах. Напри-
мер, в CdS в интервале Т ниже 50 К подвижность электронов обусловлена
пьезоакустическим взаимодействием и при Т = 20 К составляет 104 см2/Вс
(Aven and Prener 1967). При этом левая часть неравенства ~ 106, а правая
также ~ 106, так что критерий (3.35) не выполняется. Если выполняется
условие, обратное (3.34), то имеет место так называемый диффузионный
режим Ланжевена (Langevin 1903). В этом случае движение электрона в
поле центра имеет диффузионный характер. Подробнее этот режим будет
рассмотрен в главе 7.
2. Механизм энергетических потерь должен быть квазиупругим. Пред-
полагается, что время релаксации импульса тр гораздо меньше времени
релаксации энергии тЕ, так что можно считать, что имеется равнораспре-
деление электронов по всем степеням свободы, кроме полной энергии
(микроканоническое распределение). Предполагается также, что энерге-
тическую релаксацию можно рассматривать как диффузию в пространстве
полной энергии. Это значит, что энергия, теряемая в одном столкновении
ДЕ, гораздо меньше тепловой энергии кТ. В применении к рассеянию
на акустических фононах (см. приложение 4) это ограничивает область
3.6 Пределы применимости каскадной модели захвата
93
применимости каскадной теории со стороны низких температур:
кТ » 2ms2. (3.37)
Правая часть (3.37) для германия соответствует температуре около 1 К, а
для Si порядка 4 К. Если выполняется условие обратное (3.37), то можно
считать, что электрон захватывается на центр после одного акта испуска-
ния фонона. Этот случай рассмотрен в главе 4.
3. Энергетический спектр на центре должен быть достаточно густым в
области порядка кТ вблизи энергии ионизации. Другими словами, расстоя-
ние между уровнями Е должно быть меньше энергии характерного фонона,
с помощью которого осуществляется переход. Энергия этого фонона опре-
деляется законами сохранения энергии и импульса (см. приложение 4) и
равна s/%ms2kT. Расстояние между уровнями в квазиклассической обла-
сти можно оценить, используя выражение для плотности состояний R(E)
(см. приложение 6): ДЕ « /?”'(Е). Таким образом, требуется выполнение
неравенства
R(kT)V%ms2kT » 1. (3.38)
Используя формулу (П6.20) для кулоновского центра, получаем условие
кТ «С Z3/2EB/4(2m?)1/4, (3.39)
где Ze — заряд центра. Оценки показывают, что в германии и кремнии
критерий (3.39) выполняется почти до величин кТ, равных энергии свя-
зи первого возбужденного состояния кулоновского центра. В таблице 3
приведены значения температур, соответствующие энергии связи этого со-
стояния, принятой для оценки равной 0,25Ев. При этом предполагается,
что для однозарядных центров в германии Ев = 0,01 эВ, а в кремнии
Ев = 0,045 эВ. Неравенство (3.39) и данные таблицы 3 ограничивают
область применимости каскадной теории со стороны высоких температур.
При высоких температурах могут начать сказываться также междолинные
переходы и переходы с участием оптического фонона, энергия которых
для германия равна 430 К, а для кремния 730 К. Эти процессы будут
рассмотрены в главе 4. Отметим, что неравенство (3.39) заведомо обес-
печивает применимость квазиклассического приближения. В самом деле,
классическое рассмотрение допустимо, если длина волны Де-Бройля элек-
трона (совпадающая по порядку величины с длиной волны излучаемых
фононов) меньше размеров орбит. Для характерных орбит (гт = е2/пкТ)
это означает, что И/у/2шкТ С е2/ккТ, т.е. кТ Ев-
94
Глава 3. Каскадный захват носителей
Таблица 3. Энергии связи первого возбужденного состояния мелких доноров и
акцепторов в Ge и Si при различных значениях заряда центра Z.
Полупроводник Энергия связи (К)
Z= 1 Z = 2 Z = 3
Ge 30 120 270
Si 100 400 900
4. Расстояние между центрами захвата должно быть достаточно велико,
чтобы захват на них можно было рассматривать как на изолированные
центры. Соответствующей критерий дает дополнительное ограничение со
стороны низких температур: Nr^ 1 или
кТ» — №/3. (3.40)
К,
Неравенство (3.40) более жесткое, чем (3.38) при концентрациях центров
захвата N > 1012 см-3 для Ge и N > 1013 см-3 для Si. Более подробно
вопрос о взаимном влиянии центров будет рассмотрен в главе 6.
5. Функция распределения электронов в зоне должна быть максвеллов-
ской. Это означает, что, например, при фотовозбуждении носители должны
термализоваться прежде, чем они будут захвачены. В главе 6 показано, что
это условие выполняется, пока выполнен критерий (3.40).
Глава 4
Захват носителей заряда при одноквантовых
переходах
4.1 Захват на притягивающие центры с испусканием
акустического фонона
При низких температурах (кТ ms2) электрон-фононные столкновения
становятся существенно неупругими. Задача о захвате носителя на центр
уже не может рассматриваться в диффузионном приближении, как это де-
лалось в главе 3. Характерная энергия, теряемая электроном при испус-
кании акустического фонона в этих условиях, есть величина порядка ms2.
Поэтому практически каждый электрон, который в результате испускания
фонона в поле притягивающего центра оказывается в связанном состоянии,
будет иметь энергию связи, значительно превосходящую кТ. При этом
вероятность обратного выброса мала, и такой носитель можно считать за-
хваченным. Это позволяет рассматривать процесс захвата при кТ ms2
как одноквантовый переход из свободного в связанное состояние. Задача
о сечении захвата тогда сводится к вычислению полного потока электро-
нов, переходящих из области положительных значений энергии в область
отрицательных значений вследствие спонтанного испускания акустических
фононов.
Для потока на один центр имеем
j = j d3r У de У de'F(e,r)p(e)w(e, е'). (4.1)
Здесь £ и е' — кинетические энергии электрона до и после захвата, со-
ответственно, р(е) — плотность состояний (см. (П6.9)), w(e, е') — веро-
ятность перехода в единицу времени со спонтанным испусканием фонона
(см. (П4.11)), F(e,r) — функция распределения свободных электронов с
кинетической энергией е на расстоянии г от центра. Легко доказать, что
функция F(e, г) — больцмановская, если носители вдали от центра терма-
лизованы.
95
96
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
/2тгЛ2 V
А = п -----
\ ткТ /
(4.2)
Действительно, вдали от центра функция распределения — равновес-
ная, при этом полная энергия Е совпадает с кинетической энергией. По-
скольку, согласно теореме Лиувилля, функция распределения не меняется
вдоль траекторий в фазовом пространстве, то
F(e, г) = А ехр ^~£ >
Здесь V (г) — потенциальная энергия электрона в поле центра в точке г.
Больцмановское распределение имеет место во всей области фазового про-
странства, которая доступна для частиц с положительной полной энергией
[Е — е + У(г) > 0]. Проведенное рассуждение будет применимо, если
длина свободного пробега I достаточно велика, так что |Е(г)| кТ при
г > I. Это означает, что область, в которой потенциал центра существенно
влияет на функцию распределения, столь мала, что частицы пролетают ее
без столкновений.
Интеграл (4.1) должен быть взят по области пространства, ограничен-
ной условием |У(г)| > кТ. Если переход на центр произойдет вне этой
области, то электрон окажется в состоянии с энергией связи меньшей, чем
кТ, и будет с большой вероятностью выброшен обратно в зону. Это обсто-
ятельство следовало бы учесть введением множителя Р[е' + У(г)] (Р(и) —
функция прилипания) в формулу (4.1). На самом деле, однако, основной
вклад в интеграл (4.1) дает область |У(г)| » ms1 /2, где функция прилипа-
ния равна единице1. Интегрирование по е в (4.1) должно быть проведено
по интервалу, где е + У(г) > 0 (напомним, что У(г) < 0). В области
|V(r)| > ms1 /2 можно всюду, кроме функции Е(е,г), положить е = |У(г)|.
Пределы интегрирования по е' определяются, с одной стороны, условием
е' + V(r) < 0 (электрон в результате испускания фонона должен оказаться
в состоянии с отрицательной полной энергией), а с другой, ограничениями,
накладываемыми законами сохранения энергии и импульса (см. рис. П4.1).
В результате получаем
(v1m-v^)2<E'< |У(г)|. (4.3)
'Напомним, что минимальная кинетическая энергия, при которой электрон еще может
испустить акустический фонон, равна ms1 /2 (см. приложение 4). При кТ <§; ms1 тепловой
электрон может испустить акустический фонон, лишь разогнавшись в поле центра до скоро-
сти, превышающей скорость звука. Оценка показывает, что область кТ <§; | V(r)| ms"/I
дает в интеграл (4.1) вклад, который составляет лишь (kT/mrf от полного рекомбинаци-
онного потока, а область |V(r)| < кТ — экспоненциально малый вклад.
4.2. Одноквантовый захват в высоковозбужденные состояния
97
С учетом вышесказанного и соотношения <т = j/n(v) получаем для сече-
ния захвата выражение
,/W
6lokT J у V ms2
в котором интегрирование должно проводиться по области пространства,
выделенной неравенством |V(r)| > ms2/2.
Из формулы (4.4) для кулоновского потенциала У (г) — —e2Z/nr сле-
дует
_ 8тг / e2Z \ / e2Z \2
45/о \ккТ ) \nrns2 )
Формула (4.5) отличается от формулы (3.4), справедливой при кТ ms2,
множителем 2(^7')2/15(wj2)2. Таким образом при понижении температу-
ры ниже ms2 рост сечения захвата замедляется и ст становится обратно
пропорциональным первой степени температуры (вместо ст ~ Т~3 для
кТ » ms2).
В случае захвата на диполь интеграл (4.4) целесообразно вычислять в
эллиптических координатах, и ответ имеет вид
23/2тг е2 (
15 lonkT \
nmsld
(4.6)
isms2
где d — плечо диполя. Формула (4.6) справедлива при (e2/kms2) » d.
Это условие означает, что плечо диполя гораздо меньше размеров орбит,
существенных для захвата. В противном случае отталкивающий центр не
влияет на захват носителя на притягивающий центр.
4.2 Одноранговый захват в высоковозбужденные состояния
с испусканием акустического фонона
В этом параграфе мы получим выражения для эффективного сечения захва-
та ст(Е, u)du при одноквантовом переходе свободного электрона с энергией
Е в высоковозбужденное состояние с энергией связи, лежащей в интерва-
ле (и, и + би). Хотя такой переход не означает, что электрон будет захва-
чен центром (исключая случай предельно низких температур кТ ms2),
вычисление этого сечения полезно для установления относительной роли
прямого одноквантового перехода в связанное состояние (откуда тепловой
98
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
выброс назад уже маловероятен) и захвата в результате диффузии в энер-
гетическом пространстве. Для нахождения <т(Е,п) следует использовать
уравнение (4.1), опуская интегрирование по е' и полагая
= ~77\й[е + v(r) ~£Ь
р(е)
(4.7)
что соответствует электрону с фиксированной энергией Е вдали от центра.
Записывая поток j в форме j = <т(Е, u)v(E) (v(E) — скорость электрона
с энергией Е), мы получаем
<т(Е,и)= Г d3r^-w(E,E')-^-[H-^E + «)]. (4.8)
J р(Е) v(A)
Здесь следует положить е = Е — У(г) и е' = — и — У(г). Последний множи-
тель под интегралом в уравнении (4.8) содержит число фононов с энер-
гией Е + и, тем самым учитывается, что наряду с вынужденной эмиссией
имеет место и спонтанная эмиссия. Интегрирование следует совершать по
области, где электрон с кинетической энергией е может перейти в состоя-
ние с кинетической энергией е' в результате испускания фонона. Область
определяется, таким образом, законом сохранения энергии и импульса (см.
приложение 4), которые приводят к условию е' > (у/2ms2 — у/ё)2, и сле-
довательно,
(2^ + » + E)z-WE (49)
Подставляя выражение для w(e, е'), даваемое уравнением (П4.11), в (4.8),
получаем
„(F ,л - 2L d (£ + ц)2
) 12 /о М2Е
Е -Г и \
кТ J
1 — ехр
(4.Ю)
где го — максимальное расстояние от центра, при котором условие (4.9)
еще выполняется. В случае кулоновского потенциала мы получаем
?,ms2Ze2 г, -> ,2 ) _ 1 ., ,,.
го =---------^(2тх2 + и + Е) — 8wij-2E| . (4.11)
Формулы (4.10) и (4.11) были получены Лэксом (Lax 1960) несколько
иным способом. Сечение захвата электрона определяется <т(Е, и) и функ-
цией прилипания Р(и) с помощью (3.14) и (3.15). При кТ <с ms2 можно
4.3. Одноквантовый захват в основное состояние
99
положить Е ms2 в (4.10) и (4.11) и Р(и) = 1. Тогда мы получим резуль-
тат (4.5) из предыдущего параграфа. Для Е > ms2, выражение для <т(Е, и)
имеет вид:
277г ms2 / Ze2 \3
ст( > и) - — 1q(E + иуЕ J
(4-12)
Но полное сечение захвата для кТ ms2, как уже было показано в § 3.3,
определяется захватом из области малых энергий Е ~ ms2, так что уравне-
ние (4.12) нельзя использовать непосредственно при вычислении сечения
захвата <т.
4.3 Одноквантовый захват в основное состояние
притягивающего центра с испусканием акустического
фонона
Каскадный захват становится невозможным, когда тепловая энергия носи-
телей становится порядка или больше ширины полосы кулоновских вы-
соковозбужденных состояний (подробнее см. § 3.5). Носитель, попав на
возбужденное состояние центра, с большой вероятностью может быть вы-
брошен обратно в зону. Поэтому высоковозбужденные состояния могут
играть роль лишь уровней прилипания. В этих условиях становится суще-
ственным прямой захват из зоны на основное состояние центра с испуска-
нием фонона.
Мелкие центры в германии имеют энергию связи порядка 0,01 эВ, а
в кремнии 0,04 эВ. Температура Дебая соответствует энергии порядка
0,03 эВ в германии и 0,06 эВ в кремнии, поэтому энергетически такой
прямой захват вполне возможен.
Для вычисления вероятности перехода из зоны или возбужденного свя-
занного состояния в основное состояние на центре можно использовать
формулу (П5.18). Так как |V’i(0)|2 = (тга|)-1 и V(q) = ^e2!kq2 для
кулоновского центра, то вероятность перехода можно записать в виде
(4-13)
Здесь мы положили, что q = (Ев + E~)/hs, где Е — энергия, отсчитываемая
от дна зоны проводимости, Фе — волновая функция, отвечающая данной
энергии и нормированная на единицу в нормировочном шаре радиуса R.
100
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
Используя кулоновские функции сплошного спектра, можно написать
te(0)!2=^yf 1 - “Р ) (414)
Коэффициент захвата с из зоны на центр есть вероятность перехода wi>
усредненная с функцией распределения электронов в зоне:
/GO
С = > WE\---,
„ «0
где f(E) — функция распределения, нормированная на концентрацию, а
по — концентрация в зоне. Чтобы превратить сумму в интеграл, когда
R оо, следует учесть, что энергетическое расстояние между уровнями в
нормировочном шаре радиуса R составляет
Таким образом, имеем
сас = 29-^E3m? / ^^(Ев+Е)’5(1 'dE. (4.15)
<0 Jo по ' '
При равновесном распределении и кТ <ЕВ получаем
^9 J ms2kT / 2тгН2 \
/о Ej \ ткТ)
(4.16)
Захват в основное состояние может идти также из высоковозбужденных
состояний центра. Соответствующий вклад с' можно написать, если учесть,
что для дискретного спектра [фЕ(0)|2 = 1/7гп3ав (и — главное квантовое
число). Пользуясь тем, что 1/и3 = (2Ев)-1бЕ„/<1/1, получим выражение
г = 2^Е3т?£®(Ев+Е)|В.
10 п0 I dzi I
(4-17)
Число электронов, попадающих в единицу времени в основное состояние
одного центра, есть по(сас + с'), где по — полная концентрация электронов
в зоне и на возбужденных уровнях центров. Отметим, что впервые одно-
квантовые переходы с излучением акустических фононов рассматривались
в работе Gummel and Lax (1965).
4.4. Одноквантовый захват с испусканием оптического фонона
101
Интересно сравнить коэффициент прямого захвата из зоны в основное
состояние с излучением крупного акустического фонона сас и коэффициент
захвата с в каскадной модели (§ 3.2). Используя (3.4) находим
Сас = 211/23л.(^)2(^2)3/2
с £в/2
Отсюда видно, что в области применимости каскадной теории (кТ < Еъ/4)
прямой захват пренебрежительно мал по сравнению с каскадным захватом.
4.4 Одноквантовый захват в основное состояние
притягивающего центра с испусканием оптического
фонона
Взаимодействие носителей с оптическими фононами сильнее, чем с аку-
стическими. Однако энергия связи основного состояния на мелком доноре
или акцепторе обычно меньше, чем энергия оптического фонона, поэтому
захват с излучением оптического фонона может идти лишь для носителей,
имеющих достаточно высокую энергию. Таких носителей в термодинамиче-
ском равновесии при низких температурах экспоненциально мало. Поэто-
му захваты с излучением оптического фонона становятся существенными
либо при разогреве носителей электрическим полем, либо в том случае,
когда носители рождаются светом достаточно высоко в зоне. В этом па-
раграфе будет получено выражение для вероятности перехода из зоны в
основное состояние на центре с излучением оптического фонона (Абаку-
мов 1979).
Матричный элемент перехода из состояния I в состояние II с испуска-
нием оптического фонона с волновым вектором q равен
|(II|/7opt|I)|2 = |с9|2|М21(9)|2, (4.18)
где М21 определяется формулой (П3.8), a \cq|2 определяется выражениями:
1. Для деформационного взаимодействия (Harrison 1956)
2vpcr2 ’
(4-19)
где EOpt — константа оптического деформационного взаимодействия, рс
— плотность кристалла, s — скорость звука, tiwo — энергия продольного
оптического фонона, у — нормировочный объем.
102
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
2. Для поляризационного взаимодействия
2 = ± = _L _ 1, (4.20)
vq^K* ' к* «оо ко
где Коо и ко — высокочастотная и статическая диэлектрические проница-
емости, соответственно. В гомеополярных кристаллах, таких как Ge и Si,
поляризационное взаимодействие отсутствует. В полярных кристаллах, та-
ких как GaAs, полярное взаимодействие доминирует при переходах внутри
одной подзоны.
Усредненная вероятность перехода из зонного состояния с энергией Е
в основное состояние I на центре определяется формулой
И'Е!
^ЕЫ2[Е|ЛМ?)1
Q
6{Е + Ев - /г^0),
(4.21)
2 1
. А(Е)
где суммирование ведется по всем состояниям с данной энергией, N{E) —
число таких состояний.
Рассмотрим сначала деформационное взаимодействие. Пользуясь соот-
ношением
- ^2 е‘9(г “ ° = - Н (4-22)
ч
и пренебрегая дисперсией оптических фононов, из выражения (4.21) полу-
чаем
w£i = "Е^-°-5{Е + Ев - Тш0)1Е, (4.23)
Рс^
где
1Е =
1,т
him = У |^£ta(r)|2|^i(r)|2d3r. (4.24)
Напомним, что (г) — волновая функция несвязанного состояния, норми-
рованная на единицу в нормировочной сфере радиуса R. Число состояний
с фиксированной энергией в такой сфере равно
7
У(Е) = -(ЛЕ)2,
(4-25)
где k = ••J'lmElki.
4.4. Одноквантовый захват с испусканием оптического фонона
103
(x/2/+1(4x)e 4x)
Вычислим 1е в двух предельных случаях малых и больших энергий Е.
При Е Ев для радиальной части волновой функции можно воспользо-
ваться выражением (в атомных единицах)
(4.26)
Подставляя (4.26) в (4.24) и учитывая, что = тг-1/2ехр(—г), полу-
чаем
IEim = ^f krJl+lVTre-2rdr =
Величину 1Е можно вычислить, используя формулу
о°
£(2/ + 1)/2;+1(2) = -Io(z)z.
1=0
Так как /£;т не зависит от т, находим
/£ = ^) Е(2/ + = ехр(-2)Л(2) = 2^,
где v — нормировочный объем.
При больших энергиях Е » Ев радиальная часть волновой функции
такая же, как у свободного электрона с моментом /:
IM2 = ^|Л+1/2(Ь)|2. (4.27)
Используя это выражение, найдем
В результате получаем, что число электронов, попадающих в единицу вре-
мени в основное состояние центра с излучением оптического фонона при
деформационном взаимодействии, определяется формулой
j = ncopt = /7(E)W£Ivp(E)dE = [р(Е)/(Е)77(Е)]£=йшо_£в ,
JO Pcs
(4.28)
104
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
Где copt — коэффициент захвата, р(Е) — плотность состояний в единице
объема, f(E) — функция распределения электронов, 77(E) имеет значения
т?(Е) = 0,44л Е « Ец
77(E) = 1, Е » Ев.
Рассмотрим теперь поляризационное взаимодействие, которое существен-
но в полярных кристаллах. В этом случае, выполняя суммирование по q в
формуле (4.21) с использованием (4.20), найдем
W£1 =
^Е,ро1 =
——/е,ро1<^(£ + Ец — /дед)
J к-н
В предельном случае Е Ев можно использовать формулы (4.25) и (4.26)
и получить
, 4тгав
‘Е ,ро1 — , Of 1
kv
где 7 — числовой коэффициент, равный
7
2/+ 1 f j3 [ j3 ,/2/+1\/8гЛ/+1У/8г'
,, / dr / dr---------------------------
(4л)2 J J v/rr'|r —r'|
exp( —r — r')P( (cosr, r'
В обратном случае E Ев используем формулу (4.27) и после вычислений
найдем
_ 2д/ов
'^РО1 - vjt3/2 •
По аналогии с вычислением (4.28) для потока электронов на центр с из-
лучением оптического фонона получаем в случае поляризационного взаи-
модействия:
7 2zp3/4 2
7РО‘ = К^Д-ЕвР'4 ’ (429)
где
Т7ро1(£) { 2тг7(Е/Ев)1/4
Е 3> Ев
Е Ев
4.5. Захват на нейтральные доноры и акцепторы
105
4.5 Захват на нейтральные доноры и акцепторы
Как уже упоминалось в главе 1, при низких температурах нейтральные
доноры (акцепторы) могут служить центрами захвата для электронов (ды-
рок). При таком захвате образуются аналоги отрицательного электрона
водорода — D~ или А+ центры. Вычислим сечение захвата электрона на
нейтральный донор с излучением акустического фонона. Для рассмотре-
ния электрона в поле нейтрального донора можно воспользоваться моде-
лью потенциала нулевого радиуса (см. § 2.5) по аналогии с тем, как это
делается в теории отрицательного иона водорода (Демков и Островский
1975, Галицкий и др. 1981). Основанием для этого служит тот факт, что
энергия связи второго электрона на доноре гораздо меньше где
ав — боровский радиус, характеризующий область действия потенциала. В
этом случае волновая функция связанного состояния вне области действия
потенциала определяется формулой (см. (2.20)-(2.22))
, / к В _кг /2т£о
*' = VS7e • K = V-^' <43О)
где ед — энергия связи электрона на D- центре, В — число порядка еди-
ницы, описывающее вклад области действия потенциала в нормировочный
интеграл. Для отрицательного иона водорода В = 1,1. Волновая функция
свободного электрона в присутствии центра имеет вид (Ландау и Лившиц
1989)
= -L (е*' + -е‘4 , А =---------(4-31)
y/v \ г J к + ik
где v — нормировочный объем, fk — амплитуда рассеяния.
Для вычисления вероятности перехода используем формулу (П3.12).
При этом можно воспользоваться и тем обстоятельством, что волновой
вектор излучаемого при захвате акустического фонона q = (eq + e*)/Av
(ek — энергия захватываемого электрона) гораздо больше к. Используя
это, получаем для матричного элемента (П3.12) выражение
W = ^3/Ц7 1 (е0; (432)
V т (ек + еоГ v
ГДе л / 1 \ 2 /5 2
и \ А 2 х 1 к \/2ms2е0 ,.
V’(et) = — arctg-------г— , X = - = ----. (4.33)
7Г2 \ х х2 + 1J q eq + £к
Коэффициент захвата на нейтральные центры электрона с энергией £к есть
ск = Tvjt 1. При этом следует помнить, что на самом деле отрицательный ион
106
Глава 4. Захват носителей заряда при одноквантовых переходах
существует только в синглетном состоянии. Поэтому в условиях, когда сво-
бодные носители и центры не поляризованы, захват может осуществиться
только в одной четверти полного количества актов столкновения. С уче-
том этого, и используя для вероятности перехода щц формулу (П3.12) (где
|Л/|2 определяется формулой (4.32)), находим
тгВ2 /2ео ( V ,, ч
ск = -гтт-\ — — V’(et)- (4-34)
16/о V т \msJ
Отметим, что формула (4.33) для -ф справедлива при условии \/e,t2m.v2
(ео+еД Видно, что ф меньше единицы и стремится к единице при ек » eq.
Вычисление коэффициентов захвата на нейтральные доноры и акце-
пторы проводились ранее (Гольдгур и Рабинович 1983). Результат, однако,
отличается от (4.34) вследствие ошибки в вычислениях.
В работе Дмитриева и др. (Dmitriev et al. 1993) показано, что когда
энергия электрона ек не мала по сравнению с энергией связи D -центра
со, при вычислении матричного элемента Мк] существенный вклад вносит
область малых г, в которой потенциал отличен от нуля и формулы (4.30)
и (4.31) не применимы. Их результат для коэффициента захвата, получен-
ный с учетом этого обстоятельства, существенно отличается от (4.34) при
ек > Ео и практически совпадает с (4.34) при ек 0. Главная качественная
особенность их результата состоит в том, что коэффициент захвата дости-
гает максимума при ек порядка ео и затем падает. Согласно формуле (4.34)
коэффициент захвата возрастает с ростом ек и при ек ео стремится к
насыщению.
Глава 5
Экспериментальные данные по захвату
на притягивающие центры
5.1 Интерполяционная формула для сечения захвата
на притягивающие центры с участием акустических
фононов
Формула (3.4) дает точное решение задачи о сечении каскадного захвата
на изолированный центр при условии кТ ms2, т.е. когда столкновения
электрона с фононом квазиупругие.
В обратном предельном случае, при кТ <g. ms2, электрон-фононные
столкновения становятся существенно неупругими и сечение захвата дает-
ся формулой (4.5).
Формулы (3.4) и (4.5), выведенные для предельных случаев, можно
объединить в одну интерполяционную формулу
4тг e2Z / e2Z
ЗГ0 ~ккТ \к(кТ + 2.14ms2)
(5-1)
Множитель 2,74 ~ ^/15/2 выбран так, чтобы выражение (5.1) переходило
в (4.5) при кТ <$:. ms2.
Применимость формулы (5.1) ограничена как со стороны высоких, так
и со стороны низких температур. Эти ограничения подробно рассмотрены
в § 3.6.
При высоких температурах картина классической диффузии по энергии,
которой мы пользовались, применима при выполнении условия (3.39):
кТ « (2m?Z6E^)1/4.
Оценки максимальных температур, до которых справедлива теория кас-
кадного захвата, приведены в таблице 3.
107
108 Глава 5. Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
Для глубоких притягивающих центров потенциал на больших рассто-
яниях становится кулоновским, и можно предполагать, что критерий при-
менимости формулы (5.1) для них не жестче, чем (3.39).
При низких температурах ограничения применения формулы (5.1) мо-
гут быть обусловлены двумя обстоятельствами. Во-первых, при понижении
температуры возрастают радиусы орбит, существенных для захвата, и они
могут начать перекрываться. Во-вторых, сечение захвата измеряется обыч-
но в неравновесных условиях, в то время как при выводе формулы (5.1)
предполагалось, что носители в зоне распределены по Больцману. При низ-
ких температурах носители могут не успеть термализоваться до захвата.
Как будет показано в главе 6, оба эти обстоятельства не проявляются,
пока тепловая энергия кТ больше среднего размаха флуктуаций потенци-
ала Eq. Таким образом, критерий применимости (5.1) со стороны низких
температур имеет вид
кТ » Ео. (5.2)
При низких температурах Ео оказывается порядка кулоновской энергии
на среднем расстоянии между заряженными центрами
Ео » —7V1/3. (5.3)
Например, при N = 1О12сш-3 значение Eq порядка одного градуса Кель-
вина.
5.2 Обзор экспериментальных данных
На рисунках 5.1-5.4 приведены имеющиеся в литературе эксперименталь-
ные данные по сечениям захвата на притягивающие центры различной при-
роды в германии и кремнии вместе с результатами расчета по формуле
(5.1) (сплошные кривые). Пунктирные прямые соответствуют расчету по
выражению (3.4).
Для расчета по формуле (5.1) использовались параметры, приведенные
в таблице 4. При вычислении длин свободного пробега использованы ре-
зультаты работ (Brown and Bray 1962, Jacoboni et al. 1977, Long I960,
Morin and Maita 1954), в которых проведено выделение вклада акустиче-
ского рассеяния в подвижность носителей. Из данных по акустической по-
движности цас восстановлено время релаксации, обусловленное рассеяни-
ем носителей на акустических фононах, по формуле т = тсц.ас/е, где тс —
масса проводимости. Длина пробега I связана с т соотношением I = (у)т,
5.2. Обзор экспериментальных данных
109
Т, К
Рис. 5.1. Сечения захвата электронов на положительно заряженные центры в гер-
мании. Штриховая прямая — расчет по формуле (3.4), сплошная кривая — расчет
по интерполяционной формуле (5.1). Экспериментальные данные: Sb+ (Кауфман
и др. 1970, Koenig et al. 1962), Fe+ (Глинчук и др. 1959a,b).
где тепловая скорость (v) = у/^кТ/тгтс. Таким путем восстанавливается
значение I для температуры Т, при которой известна подвижность /гас-
Длина свободного пробега I ос Т~1. В таблице 4 приведены значения
величины 1зоо = IT/300, которая есть длина свободного пробега носителя,
обусловленная рассеянием на акустических фононах, при температуре Т =
300 К. И, наконец, длина /о, входящая в формулу (5.1) есть величина /о =
/Зоо х 300&/2т№, где к — постоянная Больцмана.
При вычислении величины ms2 использовалась масса плотности состо-
яний. В тех случаях, когда в экспериментальных работах приводятся коэф-
фициенты захвата, значения сечений вычислялись делением их на среднюю
скорость (v).
В целом, рис. 5.1-5.4 свидетельствуют о хорошем согласии теории (в
пределах ее применимости) и эксперимента, особенно, если учесть, что
теоретические кривые на рисунках не содержат каких-либо подгоночных
параметров. Следует иметь в виду также, что в экспериментальных резуль-
ПО Глава 5 Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
Рис. 5.2. Сечения захвата дырок на отрицательно заряженные центры в германии
Штриховая прямая — расчет по формулам (3 4), (4 5), сплошная кривая — расчет
по интерполяционной формуле (51) Экспериментальные данные Ga (Кауфман
и др 1970 [6-10 К], Бесфамильная и Остробородова 1969 [7 К]), 1п~ (Кауфман и
др 1970), В- (Кауфман и др 1970), Hg (Кауфман и Куликов 1965 [60 К], Бесфа-
мильная и Остробородова 1969 [7-60 К], Блинов 1965 [60 К]), Си (Бесфамильная
и Остробородова 1969, 1964 [7-30 К], Rolling and Russel 1963 [20 К], Brown 1958
[20 К]), Си (Машовец 1958, Burton et al 1953, Kalashnikov 1959 [300 К]), Си
(Машовец 1958, Иглицын и Концевой 1960, Сидоров и Лифшиц 1962, Парамонова
и Ржанов 1962), Au- (Сидоров и Лифшиц 1962, Буряк и др 1963 [77 К]), Au
(Карпова и др 1962 [100-300 К], Глинчук и др 1959а,b [300 К], Глинчук и др 1962
[200 К], Jonson and Levistem 1960 [77 К]), Zn (Бесфамильная и Остробородова
1969 [7-20 К]), Zn (Кауфман и Куликов 1965 [60 К]), А1“ (Кауфман и др 1970),
Ni- (Newman and Tyler 1959 [77 К], Klaassen et al 1961 [200 К]), Ni“” (Wertheim
1959, Калашников и Тиссен 1959 [300 К]), Fe- (Глинчук и др 1957 [300 К]), Fe--
(Глинчук и др 1957 [300 К]), Мп (Ландсберг и Калашников 1961, Alexeeva et
al 1961 [300 К]), Ag (Глинчук и др 1957 [300 К]), Со (Глинчук и др 1959
[300 К]), Cd~ (Бесфамильная и Остробородова 1969 [7-40 К]), Be (Бесфамильная
и Остробородова 1969 [6-15 К])
5 2 Обзор экспериментальных данных
111
Рис. 5.3. Сечение захвата электронов на положительно заряженные центры в крем-
нии Штриховая прямая — расчет по формулам (3 4), (4 5), сплошная кривая
— расчет по интерполяционной формуле (51) Экспериментальные данные Р+
(Norton et al 1973 [2-30 К], Thornton and Honig 1973 [3 К], Lampel 1968 [77 К],
Asche and Sarbey 1975 [27 K]), Au+ (Bemski 1958 [200-300 K], Fairfield and Gokhale
1965 [300 K], Davis 1959 [77 K]), Pt+ (Garchane and Jund 1970 [300 K]), Fe+ (Collins
and Carlson 1957 [250 K.]), S+ (Gnmmeiss et al 1980b [100-250 K.]), Sb+ (Norton
et al 1973 [20 K]), As' (Norton et al 1973 [10-20 K]), Se+ (Gnmmeiss et al 1980a
[100-250 K])
татах существует большой разброс, так что значения сечений, полученные
различными авторами иногда отличаются на порядок (особенно при высо-
ких температурах)
Отметим, что на рис 5.1-5.4 приведены данные по сечениям захвата как
на мелкие донорные и акцепторные центры, так и на глубокие притягива-
ющие ловушки в различных зарядовых состояниях. Низкотемпературная
область почти целиком представлена данными по захвату на мелкие цен-
гры, а высокотемпературная — на глубокие
Обращает внимание то обстоятельство, что при высоких температурах,
вплоть до комнатных, экспериментальные результаты как по величине, так
112 Глава 5. Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
Рис. 5.4. Сечение захвата электронов на отрицательно заряженные центры в крем-
нии. Штриховая прямая — расчет ио формулам (3.4), (4.5); сплошная кривая —
расчет по интерполяционной формуле (5.1). Экспериментальные данные: Ga“ (Го-
дик и Покровский 1967 [7-300 К]); В- (Годик и др. 1972 [2-30 К]); Zn“ (Weber
1970 [200 К], Глинчук и др. 1963 [77-200 К], Корнилов 1966 [77-200 К]); Zn
(Weber 1970 [200 К], Капитонова и др. 1974 [77 К]); Со (Лебедев и др. 1975
[77 KJ); Au" (Davis 1959 [77 К], Bemski 1958 [200-300 К], Fairfield and Gokhale
1965 [300 К]); In- (Годик и Синие 1977 [10-77 К], Wagener and Milnes 1965 [77—
100 К], Wertheim 1958 [100 К], Проклов и др. 1965 [77 К], Preier 1968 [100 К],
Blakemor and Sarver 1968 [77-200 К], Blakemor 1956 [77 К]).
и по температурной зависимости часто не отклоняются сильно от расче-
та по формуле (5.1), хотя она здесь заведомо неприменима, по крайней
мере для однозарядовых центров. Уже упоминалось два обстоятельства,
которые влияют на величину сечения при высоких температурах. Недо-
статочная густота энергетического спектра кулоновских центров в обла-
сти энергий связи ~ кТ может уменьшить сечение. Однако для глубоких
центров густой спектр может простираться в область больших энергий
связи, так что теория может оказаться применимой и при температурах
более высоких, чем это следует из критерия (3.39). С другой стороны, при
высоких температурах может играть существенную роль взаимодействие
5.2. Обзор экспериментальных данных
113
носителей с оптическими и междолинными фононами. Это должно увели-
чивать сечение захвата. Однако в кремнии, в котором энергия оптических
фононов велика (~ 730 К), взаимодействие с ними, по-видимому, не игра-
ет существенной роли даже при комнатной температуре. В германии эти
процессы должны оказаться более существенными. Заметим, что когда в
захвате играют роль процессы с большой передачей энергии в одном акте
взаимодействия, природа центра и особенность его энергетического спек-
тра должны сильно сказаться на величине сечения. Вероятно, именно об
этом свидетельствуют данные для германия при высоких температурах.
Перейдем к более детальному обсуждению экспериментальных данных,
представленных на рис. 5.1-5.4, и начнем с данных по захвату носителей
в германии. В германии из-за малости величины ms2 (см. таблицу 4) не-
упругость при взаимодействии с акустическими фононами практически не
существенна для всего представленного интервала температур, так что се-
чение должно описываться формулой (3.4), начиная с самых низких тем-
пературах и вплоть до приведенных в таблице 3.
По захвату электронов в германии существует лишь малое число экспе-
риментов, и можно считать, имея в виду экспериментальный разброс, что
они хорошо согласуются с теорией. Данные по захвату дырок на мелкие
акцепторы (Ga, In, В, Al), полученные Кауфман и др. (1970), как по вели-
чине, так и по температурной зависимости весьма близки к теоретической
кривой.
При высоких температурах (100-300 К) привлекают внимание две
больших серии измерений, проведенных Карповой и др. (1962) по захва-
ту дырок на двухзарядное золото и Парамоновой и Ржановым (1962) на
трехзарядную медь. В этих измерениях получены сечения, близкие по вели-
чине к теоретическому значению и имеющие температурную зависимость
о- ~ Т~3.
. В промежуточной области 7-30 К имеется серия измерений сечений за-
хвата на Си-, Hg-, Be-, Cd-, Zn-, выполненных Бесфамильной и Остро-
бородовой (1964, 1969). Эти данные по величине неплохо согласуются с
теорией, но имеют явно более слабую температурную зависимость. Много
отдельных измерений относится к комнатной температуре, и здесь наибо-
лее велик разброс экспериментальных данных даже для одного и того же
центра захвата.
В кремнии величина ms2 сравнительно велика (особенно для дырок) и
с понижением температуры в соответствии с теорией наблюдается явное
ослабление температурной зависимости сечений захвата. Это ослабление
демонстрируют серии измерений по захвату электронов на фосфор при 2-
Таблица 4. Параметры Ge и Si, использованные в теоретических вычислениях, которые представлены на рис. 5.1-5.4:
т — (тцт5_)1/3, 3mc4 — m^1 + 2m?1, стюо — теоретическое значение сечения захвата согласно уравнению (3.4) при
Т = 100 К.
Параметры
Полупроводники, тиц/що ffii/wio m/то mc/mQ s ms2 (у)зоо к /зоо h &ioo
носители (см/с) (К) (см/с) (см) (см) (см2)
Ge, электроны 1,58 0,081 0,22 0,12 5,4х105 0,42 3,1 хЮ7 16 8х10~6 2,8х10“3 1.05Х10"15
Ge, дырки 0,38 0,38 5,4х105 0,73 1,73х107 1 6 2х10~5 4,ЗхЮ“3 1,11х10~15
Si, электроны 0,91 0,19 0,33 0,26 9,15х105 1,8 2,1х107 12 9х10”6 7,5х10~4 1,51х10~14
S1, дырки 0,5 0,5 9,15х105 2,8 1,52х107 12 5,65xl0“6 3,0х10“4 3,75х10"14
114 Глава 5. Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
5.2. Обзор экспериментальных данных
115
20 К (Norton et al. 1973), по захвату дырок на мелкие акцепторы In при
10-77 К, Ga“ при 7-30 К и В~ при 2-20 К (Годик и др. 1967, 1972, 1977).
Согласие этих данных с теорией неплохое, но может быть еще улучше-
но, если принять во внимание возникновение корреляций в расположении
заряженных доноров и акцепторов при низкой температуре (см. главу 6).
При высоких температурах серия измерений сечения захвата дырок на
Au- и электронов на Аи+ выполнена в работе (Bemski 1968) в интервале
200-300 К. Для этих данных можно констатировать хорошее согласие с
формулой (3.4) (хотя она при этих условиях уже не должна быть приме-
нима). В то же время для сечений захвата дырок на Zn~ в двух работах
Глинчука и др. (1963) и Корнилова (1966) приведены данные, не завися-
щие от температуры в интервале 77-200 К. Сечения, приведенные в этих
двух работах, различаются по величине на порядок.
Следует отметить, что в работе Blakemor and Sarver (1968) в интервале
77-200 К наблюдалась немонотонная температурная зависимость сечения
захвата дырок на 1п \ Авторы объясняют эту зависимость проявлением
дискретности в энергетическом спектре центра.
В работе Darken and Jelhson (1989) были представлены результаты для
захвата дырок на ряд глубоких акцепторов в Ge. Эти данные не согласуют-
ся с каскадной теорией ни по величине, ни по зависимости от температуры
и зарядового состояния центра. Полученные здесь результаты соответству-
ют сечению захвата дырок, которое не зависит от природы центров и уве-
личивается при понижении температуры как \/Т. Соответственно, была
выдвинута идея Darken (1992), что наиболее эффективным является пря-
мой захват в основное состояние. В связи с этим в работе Dubon et al.
(1995) был исследован захват на Ga~ в Ge в зависимости от деформации
кристалла. Эта зависимость обусловлена изменением при деформации эф-
фективной массы дырок и была рассмотрена в случае каскадного захвата
Акулиничевым (1982). Экспериментальные результаты хорошо согласуют-
ся с механизмом каскадного захвата и противоречат механизму прямого
захвата, предложенному в работе Darken (1992).
Наличие каскадного захвата через высоковозбужденные состояния бы-
ло непосредственно продемонстрировано в работе Wilke et al. (1995). В
этой работе наблюдалась повышенная заселенность возбужденных состо-
яний в процессе захвата дырок на Си” в Ge.
Отметим, что носители в процессе каскадного захвата могут накапли-
ваться на наинизшем возбужденном состоянии. Это состояние обычно от-
делено от основного состояния значительной энергетической щелью, так
что последний шаг в захвате часто не может происходить за счет просто од-
116 Глава 5. Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
Таблица 5. Экспериментальные данные и теоретические значения скоростей за-
хвата для носителей заряда с малой энергией (е* 0) на нейтральные доноры и
акцепторы в германии и кремнии (образование А+ и D~ центров).
Процесс £o (мэВ) 2ms2 (мэВ) V’W Qh (cm3/c) cexp (cm3/c)
Si:P e+D° -> D" 1,7 ° 0,31 0,26 l,3xl0-7 1,25x10-7J
Si:B h+A° A+ 2b 0,48 0,2 9,1 xlO-8 10-7 e
Ge:Sb e+D° D" 0,7 е 0,07 0,38 1,1 xlO-6 —
Ge:As e+D° D" 0,7 е 0,07 0,38 1,1 xlO-6 -
° Norton (1976),ь Александров и Мельников (1978),с Taniguchi and Narita (1977),d Thornton
and Honig (1973),e Gershenzon et al. (1985).
неквантового перехода. Такое возбужденное состояние может играть роль
«бутылочного горла» и приводит к долговременной кинетике. На это об-
стоятельство было указано в работе Kaminski et al. (1988). В работах
Покровского и Смирновой (1993) (см. также Pokrovskii et al. 1995) был
обнаружен такой эффект для мелких акцепторов в кремнии, а в работах
Ganichev et al. (1997) для донорного центра Те в GaP. Феноменологическое
описание такой ситуации содержится в § 1.7.
5.3 Захват на нейтральные доноры и акцепторы
Нейтральный мелкий донор может захватывать как электрон, так и дыр-
ку. Так называемые D--центры образуются в результате захвата электрона
(см. § 1.1). Соответствующее сечение захвата было вычислено в § 4.5. Экс-
периментальное исследование захвата электронов на нейтральные доноры
было выполнено в работах Braun and Bums (1970) и Thornton and Honig
(1973), а захвата дырок на нейтральные акцепторы (при этом формируются
А+-центры) в работе Gershenson et al. (1985). Результаты представлены
в последней колонке таблицы 5. Теоретические значения вычислены по
формулам (4.34). В таблице приведены также параметры, использованные
при вычислениях. В выражении у/2е0/т в качестве массы т использова-
лась масса проводимости тс, а в (/i/m.s3) — масса плотности состояний
т = (тцт^)1/3. Хотя согласие между теорией и экспериментом в Si хоро-
шее, следует отметить, что при выполнении расчетов не принималась во
внимание реальная зонная структура.
5.3. Захват на нейтральные доноры и акцепторы
117
Рис. 5.5. Температурная зависимость сечений захвата в германии (Sanado et al.
1978). Штриховая прямая — зависимость <т ~ Г' 2; 1 — сечение захвата дырки
на нейтральный донор (•, о), 2 — сечение захвата электронов на нейтральный
акцептор (д).
Детальный обзор данных по А+ и D -центрам в объемных полупро-
водниках был проведен Гершензоном др. (Gershenson et al. 1985).
Дмитриев и др. (Dmitriev et al. 1993) исследовали захват дырок, разо-
гретых электрическим полем, на нейтральный бор в кремнии и наблюдали
немонотонную зависимость коэффициента захвата от напряженности элек-
трического поля. Такое поведение соответствует их расчету проведенному
с учетом вида волновых функций в области г < Дв (см. § 4.5).
Нейтральные доноры могут захватывать также дырку, а нейтральные
акцепторы — электроны, формируя экситоны, связанные на мелких доно-
рах. Эти процессы были изучены экспериментально в Ge (Sanado et al.
1978). Рис. 5.5 представляет данные из этой работы по сечениям захва-
та. Температурная зависимость сечения захвата нейтральными донорами
хорошо согласуется с законом cr ~ Г-2, который следует из теории кас-
кадного захвата для случая захвата на нейтральные центры (см. § 3.4). При
этом вычисление согласно уравнению (3.28) дает экспериментальное зна-
чение сечения захвата, если положить а2г”^к_2 — 2 х 10~9 см. Хотя и
экспериментально измеренная температурная зависимость сечения захва-
та и его величина согласуются с каскадной теорией захвата, применимость
118 Глава 5. Экспериментальные данные по захвату на притягивающие центры
этой теории к захвату на нейтральные центры остается сомнительной (см.
§ 3.4). Нет большого различия между эффективными массами электронов
и дырок в Ge и, следовательно, не ясно, существует ли достаточно большое
число возбужденных состояний, создаваемых поляризационным потенциа-
лом. Для того, чтобы ответить на этот вопрос, требуется провести расчет
поляризуемости, принимая во внимание анизотропию электронного и ды-
рочного спектров.
Глава 6
Взаимное влияние примесных центров
В этой главе мы рассмотрим два эффекта, связанные с взаимным влиянием
примесных центров. Первый из них обусловлен возникающей при низких
температурах корреляцией в расположении положительно и отрицательно
заряженных центров в компенсированных полупроводниках. Второй эф-
фект вызван перекрытием существенных для захвата орбит и проявляется
при большой концентрации центров и низких температурах.
6.1 «Вымораживание» кулоновских центров захвата
при низких температурах.
Взаимное влияние доноров и акцепторов
Обычно сечение захвата на мелкие центры измеряется в компенсирован-
ных полупроводниках. Рассмотрим для определенности материал, в ко-
тором основной примесью являются доноры. Обозначим концентрацию
доноров через /Уд, концентрацию компенсирующих акцепторов через 7Уд
(ТУд < Afo). Будем считать степень компенсации ко = N\/Na малой ве-
личиной (ко 1), а все акцепторы отрицательно заряженными. В инте-
ресующей нас области температур величина кТ всегда гораздо меньше
энергии ионизации донора, так что равновесные электроны в зоне про-
водимости практически отсутствуют, при этом концентрация заряженных
доноров равна концентрации акцепторов. Эти заряженные доноры и явля-
ются центрами захвата неравновесных электронов.
Если даже все примесные атомы распределены по кристаллу случай-
ным образом, то при достаточно низких температурах в тепловом равнове-
сии взаимное расположение заряженных доноров и акцепторов скоррели-
ровано (Mott 1956, Mott andTwose 1961). В самом деле, энергия электрона
на доноре, расположенном вблизи акцептора, повышена в силу электро-
статического отталкивания от отрицательного заряда акцептора. Поэтому
электрону выгодно уйти с этого донора. Таким образом, можно считать, что
при нулевой температуре заряженными (пустыми) будут те доноры, кото-
119
120
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
рые располагаются вблизи акцепторов. Как показали Шкловский, Эфрос и
Янчев (Шкловский и др. 1972, Efros et al. 1972) при нулевой температуре
97% заряженных доноров образуют с акцепторами диполи (1-комплексы),
а остальные 3% входят в состав 2-комплексов (2-комплекс — это пара за-
ряженных доноров, расположенных около акцептора). Расстояние между
зарядами в 1- и 2-комплексах порядка среднего расстояния между доно-
рами У~1/3 и, следовательно, гораздо меньше расстояния между самими
комплексами (которое порядка так что комплексы можно считать
изолированными (см. Шкловский и Эфрос 1979).
Энергия, необходимая для того, чтобы оторвать незаполненное донор-
ное состояние (вакансию) от акцептора, по порядку величины есть
/4 \ 1/3 е2
ec=(z-7rM)) —. (6.1)
\3 / «
Пока температура выше этой величины, вакансии, которые и являются цен-
трами захвата, расположены хаотически. При понижении температуры все
большее число вакансий связывается с акцепторами в диполи. Поэтому с
понижением температуры ниже ес происходит быстрое уменьшение кон-
центрации кулоновских центров захвата — «вымораживание». Поскольку
захват носителей на диполи гораздо менее эффективен, чем на кулоновские
центры (см. главу 3), то вымораживание приводит к замедлению роста тем-
па захвата с понижением температуры. В самом деле, рост сечения захвата
на один кулоновский центр вследствие падения температуры до некоторой
степени компенсируется уменьшением числа центров.
Если (как это обычно делается) под сечением захвата <7 понимать сече-
ние, рассчитанное на один заряженный донор, т.е. исходить из соотношения
т-1 = N^cr{v} (где т — время жизни неравновесных электронов, N& —
концентрация компенсирующих акцепторов), то с учетом «выморажива-
ния» имеем
N° Л ГАТА
а = —ол Ч------<71. (6.2)
Wa ЛГА k 7
Здесь No и АГ] — концентрации кулоновских центров и диполей, соответ-
ственно, <7q — сечение захвата на кулоновский центр, определяемое по-
прежнему формулами (3.4) при кТ 3> ms1 и (4.5) при кТ ms2, — се-
чение захвата на диполь, определяемое соответственно формулами (3.27)
и (4.6).
В качестве длины диполя d можно взять среднее расстояние от акцеп-
6.1. «Вымораживание» кулоновских центров захвата
121
Рис. 6.1. Относительная концентрация кулоновских центров захвата как функ-
ция обратной температуры при термодинамически равновесном пространственном
расположении вакансий на донорах, т.е. заряженных доноров. Сплошные кривые
соответствуют различным степеням компенсации ко- 1 — 0,32; 2 — 0,16; 3 —
0,08; 4 — 0,04; 5 — 0,02; 6 — 0,01; 7 — 0,005. Штриховая линия соответствует
условию кТ = Ео, где Ео — среднеквадратичная флуктуация потенциала приме-
сей (формула (6.6)). При кТ < Ео центры захвата нельзя считать независимыми
(см. § 6.2).
тора до ближайшего донора
d = O,55;V“1/3. (6.3)
Зависимость концентраций кулоновских центров и диполей от темпера-
туры можно получить, используя результаты работы Шкловского и Янчева
(1972), где проведен численный расчет химического потенциала ц ком-
пенсированного полупроводника в зависимости от температуры и степе-
ни компенсации. При этом кулоновскими центрами мы считаем вакансии,
оторвавшиеся от акцептора, и 2-комплексы. Так как число 2-комплексов
очень мало (0,015Мд при Т = 0, а при конечных температурах еще мень-
ше), то можно считать, что Nr + No = NA. На рис. 6.1 изображена темпе-
ратурная зависимость относительной концентрации кулоновских центров
Мз/ЛСх при различных степенях компенсации. Естественным масштабом
температуры в этих зависимостях является величина ес (формула (6.1)),
которая характеризует энергию, требующуюся для отрыва вакансии от ак-
цепторов.
122
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
Кривые рис. 6.1 построены с использованием формулы*
/ £3\
No = Na ехр------ )
\ До/
и таблицы из работы Шкловского и Янчева (1972), которая дает зависи-
мость мо/Т’ от ес/Т при различных степенях компенсации.
Разумеется, в случае захвата дырок на акцепторы следует во всех фор-
мулах заменить NA на ND.
На рис. 6.2-6.5 приведены экспериментальные температурные зависи-
мости для сечений захвата дырок на In-, Ga-, В- и электронов на Р+ в
кремнии. Именно в этих сериях измерений наблюдаются характерные заги-
бы экспериментальных зависимостей в низкотемпературной области (см
рис. 5.3, 5.4). Сплошными кривыми на рис. 6.2-6.5 показаны результаты
теоретического расчета с учетом «вымораживания» (формула (6.2)). От-
метим, что отклонение от штриховой кривой, соответствующей формуле
(5.1), в основном определяется уменьшением концентрации кулоновских
центров захвата при понижении температуры. Захват на диполи дает малый
вклад и проявляется лишь на низкотемпературных концах кривых.
Видно, что температурный ход экспериментальных и теоретических
кривых для сечений захвата практически одинаков. Максимальное разли-
чие в абсолютной величине сечений (в 6 раз) наблюдается для захвата на
In-. В остальных случаях расхождение значительно меньше.
По поводу явления «вымораживания» и его влияния на процесс захвата
необходимо заметить следующее. Для того, чтобы это явление имело место
в условиях стационарной генерации носителей, интенсивность генерации
должна быть достаточно малой, чтобы не нарушалось термодинамически
равновесное пространственное распределение зарядов на донорах (основ-
ной примеси). Это значит, что время, которое требуется для перемещения
вакансии на доноре от одного акцептора до другого, должно быть меньше
времени г/, которое есть время жизни электрона на доноре в условиях
стационарного освещения по отношения к выбросу в зону проводимости.
Это время можно оценить из соотношения
Nd
Т( = --Т,
п
1 Экспоненциальный множитель в этой формуле дает вероятность, что не существует ни
одного донора на расстоянии г = е2/кдо от рассматриваемого акцептора. Химический по-
тенциал отсчитывается от невозмущенного уровня донора.
6.1. «Вымораживание» кулоновских центров захвата
123
Рис. 6.2. Сечения захвата дырок на In' в кремнии. Точки — эксперимент (Годик
и Синие 1977): ЛЬ = 3 X 1014 см~3, Ад = М X Ю17 см-3, £с = 108 К. Штри-
ховая кривая — расчет по формуле (5.1), сплошная кривая — расчет с учетом
«вымораживания» по формуле (6.2).
Рис. 6.3. Сечения захвата дырок на Ga“ в кремнии. Крестики — эксперимент
(Годик и Покровский 1967): Nn = 3 X 10м см-3, Ал = 3 X 1016 см'3, гг = 69,5 К
Штриховая кривая — расчет по формуле (5.1), сплошная кривая — расчет с учетом
«вымораживания» по формуле (6 2).
124
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
Рис. 6.4. Сечения захвата дырок на В в кремнии. Точки и крестики — эксперимент
(Годик и др. 1972). Сплошные кривые — расчет с учетом «вымораживания» по
формуле (6.2). Кривая 1 и (х): Nd = 4 х 1013 см-3, Na ~ 2,5 х 1014 см-3,
ес = 14,1 К; кривая 2 и (•): ^D = 1013 см3, NA = 9 х 1013 см-3, ес = 10,2 К.
Штриховая кривая — расчет по формуле (5.1).
Рис. 6.5. Сечения захвата дырок на Р+ в кремнии. Крестики — эксперимент (Norton
et al. 1973). Штриховая кривая — расчет по формуле (5.1), сплошные кривые —
расчет с учетом «вымораживания» по формуле (6.2). Кривая 1: Nd = 3,3 х
1014 см-3, ЛГА = 8,6 х 1012 см-3, ес = 15,5 К; Кривая 2: Nd = 4,3 х 1013 см 3,
Na = 1,1 х 1012 см"3, ес = 7,85 К.
6.2. Эффекты взаимного влияния центров захвата
125
где п — концентрация фотоэлектронов в зоне проводимости, т — время
жизни фотоэлектронов. Если взять для примера п ~ 109 см-3, т ~ 10-8 с,
7/d ~ 1015 см'3, то получим Т( ~ 10'2 с. Оценки2 показывают, что прыж-
ковая проводимость может обеспечить установление термодинамически
равновесного пространственного распределения заряженных доноров за
время, меньшее чем т/, лишь в двух из рассмотренных случаев — за-
хват дырок на Ga' и In' в кремнии (рис. 6.2 и 6.3), когда концентрация
основной примеси достаточно велика. В двух других случаях время уста-
новления равновесия с помощью прыжковой проводимости столь велико,
что не может быть меньше те ни при каких разумных значениях интен-
сивности генерации. Однако согласие рассчитанных и экспериментальных
значений сечений захвата и в этих случаях достаточно хорошее, что заста-
вляет предполагать существование какого-то другого механизма, обеспечи-
вающего термализацию пространственного распределения электронов по
основной примеси. Возможно, такая термализация происходит с участием
возбужденных состояний. Пока этот вопрос остается открытым.
Если считать, что пространственное распределение носителей на основ-
ной примеси устанавливается исключительно под действием света, то и
при этом возникает некоторая корреляция в расположении доноров и ак-
цепторов. Действительно, опустошение доноров светом идет равномерно
по всему объему, в то время как рекомбинация на заряженные доноры, ле-
жащие вблизи акцепторов, затруднена, поскольку захват на диполь менее
эффективен, чем на кулоновский центр. Соответствующий расчет показы-
вает, однако, что возникающая в этих условиях корреляция в расположении
заряженных центров незначительна и не влияет на температурную зависи-
мость эффективного сечения захвата.
6.2 Эффекты взаимного влияния центров захвата
Рассмотрим сначала квазиупругую область кТ ms2. Здесь взаимное
влияние центров захвата проявляется вследствие двух причин.
Во-первых, при большом числе центров могут начать перекрываться
существенные для захвата орбиты на соседних центрах. Радиус орбит, су-
щественных для захвата на кулоновские центры равен гт = е2/пкТ. Со-
ответственно условие отсутствия перекрытия существенных орбит имеет
вид
“При этих оценках использовались данные из обзора Шкловского (1972).
126
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
где N — концентрация кулоновских центров захвата3. Таким образом, пе-
рекрытие орбит можно не учитывать, пока тепловая энергия кТ велика по
сравнению с кулоновской энергией электрона на среднем расстоянии от
центра захвата.
Во-вторых, при большой концентрации центров захвата и низких темпе-
ратурах за время жизни электрона (например, фотовозбужденного) может
не успеть сформироваться равновесная функция распределения по энер-
гии. В этих условиях взаимное влияние центров захвата проявится через
вид функции распределения носителей в зоне.
Чтобы это явление существовало, необходимо, чтобы время жизни т
было гораздо больше времени энергетической релаксации т£. Написа-
ние соответствующего критерия, однако, нетривиально, поскольку время
тЕ ос е-1/2 неограниченно возрастает с уменьшением кинетической энер-
гии электрона. Очевидно, что следует потребовать, чтобы т было боль-
ше те, взятого при наименьшей возможной кинетической энергии, т.е. на
дне зоны. Среднее значение кинетической энергии на дне зоны emin отлич-
но от нуля благодаря наличию потенциала притягивающих центров. Если
концентрация центров захвата равна Л(, то объем, приходящийся на один
центр, есть N- 1 и средняя кинетическая энергия етш в этом объеме на дне
зоны совпадает со средней потенциальной и имеет порядок
е2№/3
£min — •
К-
Это выражение для Ет;п можно получить из других, более строгих рас-
суждений. Кулоновские центры создают флуктуации потенциала, так что
понятие дна зоны становится неопределенным — дно «изрыто» флуктуа-
циями. В этих условиях носители тока будут принимать участие в прово-
димости на постоянном токе, только если их энергия выше определенно-
го уровня — уровня протекания. Носители, энергия которых ниже этого
уровня, заперты во флуктуационных ямах. Средняя кинетическая энергия
на уровне протекания порядка среднего размаха флуктуаций потенциала
Eq. Эта величина снова имеет порядок е2№(3/к. Точное значение со при
малых степенях компенсации определяется формулой (Efros et al. 1972)
е2м'/3
Ео = О,3----—k~l/i2, (6.6)
К-
3В этом параграфе мы рассматриваем только кулоновские центры в качестве центров
захвата, т.к. захват на диполи вносит относительно малый вклад и радиусы их существенных
для захвата орбит малы.
6.2. Эффекты взаимного влияния центров захвата
127
где ко — степень компенсации (ко = N^/Np). Формула (6.6) написана для
случая захвата электронов на доноры, когда компенсирующей примесью
являются акцепторы. В противоположном случае Ад и Ad следует поме-
нять местами.
Если воспользоваться для времени жизни выражением
_ 3/р /ккТ\3 1
4тг \ е2 J N(v) ’
следующим из формул (1.21), (1.22) и (3.4), а для времени энергетической
релаксации на дне зоны — формулой (П4.13), то
ЛУ/3
Е = ------
К.
и легко видеть, что условие те т с точностью до численного множите-
ля совпадает с условием отсутствия перекрытия существенных орбит (6.4).
Таким образом, когда кТ Ео, центры захвата можно считать изолирован-
ными и распределение носителей в зоне равновесным. Если же температу-
ра гораздо меньше среднего размаха флуктуаций потенциала (кТ С Ео),
то время жизни неравновесных носителей, измеренное, например, по фо-
топроводимости на постоянном токе, не будет определяться захватом на
отдельные центры. Очевидно, что оно будет совпадать с временем спуска
носителей от уровня, на который они забрасываются светом в зону про-
водимости, до уровня протекания. Поскольку темп энергетической релак-
сации замедляется с уменьшением кинетической энергии, то время этого
спуска практически равно времени релаксации на уровне протекания, т.е.
при е = Ео- Таким образом при кТ С е0 время жизни приближенно равно
Из формул (6.8) и (6.6) видно, что в рассматриваемом случае время т
не зависит от температуры, очень слабо зависит от концентрации центров
захвата (т ос N^6 при постоянной степени компенсации) и почти не
зависит от степени компенсации (т ос Л^"1^24). Более подробно этот вопрос
рассмотрен в работе Абакумова и др. (1977).
На рис. 6.6 приведена экспериментальная зависимость времени жизни
дырок в кремнии, легированном бором, от концентрации центров захвата
i.e. от концентрации компенсирующей примеси, при температуре жидкого
128
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
Рис. 6.6. Время жизни дырок т по отношению к захвату на В в кремнии при
температуре Т = 4,2 К в зависимости от концентрации No центров захвата (ком-
пенсирующей примеси). Точки — эксперимент (Годик и др. 1972), сплошные линии
— теория.
гелия4. Данные взяты из работы Годика и др. (1972). На том же рисунке
проведены две теоретические прямые: одна из них соответствует расчету
по формулам (6.6) и (6.8) с заменой NA на Л)>, другая представляет за-
висимость т от Л'п в области т ос Ур1. Она была построена по формуле
т-1 = ;Vd<t(v), где сечение захвата а взято из теоретического расчета для
температуры Т — 4,2 К, проведенного с учетом «вымораживания» (сред-
нее из теоретических кривых 1 и 2 рис. 6.4). Видно, что в соответствии с
теорией время жизни, начиная с некоторой концентрации, отклоняется от
зависимости т ос ЛГр *. Сама эта концентрация, так же как и соответству-
ющее ей время жизни, согласуются с теоретическими значениями.
Согласно теории при кТ < Ео время жизни должно перестать зависеть
от температуры (уравнение (6.8)). На рис. 6.7 приведены эксперимен-
тальные зависимости времени жизни от температуры для ряда образцов
кремния, легированного бором, с относительно большой концентрацией
центров захвата, для которых Ео достаточно велико. На этом рисунке про-
ведена теоретическая прямая, соответствующая формуле (6.8), в которой
Ео заменено на кТ. В области ниже этой прямой по теории время жизни
должно перестать зависеть от температуры. Видно, что это действительно
4 На рис. 6.6 представлены результаты, полученные для образцов с компенсацией не мень-
шей, чем 1%. Как было показано Годиком и др. (1972) и Банной и др. (1973), при более
низкой степени компенсации становится существенным захват на нейтральные атомы бора,
при котором формируются А+-центры.
6.2. Эффекты взаимного влияния центров захвата
129
Рис. 6.7. Температурная зависимость времени жизни дырок по отношению к за-
хвату на В' в кремнии. Точки — экспериментальные данные (Годик и др. 1972).
Концентрация доноров ND: 1 — 1014 см-3; 2 — 2 X 1014 см-3; 3 — 6 х 1014 см-3;
4 — 20 X 1014 см ~3. Прямая отсекает область, в которой, согласно теории, время
жизни перестает зависеть от температуры.
имеет место, — выход на плато экспериментальных кривых начинается
сразу после пересечения их с теоретической прямой.
Ослабления концентрационной зависимости времени жизни при уве-
личении концентрации центров захвата и отсутствие температурной зави-
симости времени жизни при низких температурах наблюдалось также в
работах Банной и др. (1973) и Годика и др. (1972)5. В перечисленных
работах эти факты связывались с тем обстоятельством, что при большом
числе центров захвата и низких температурах носители не успевают тер-
мализоваться до захвата.
С точки зрения, принятой в настоящей книге, подобное поведение вре-
мени жизни действительно начинается при таких концентрациях центров
захвата и температурах, при которых термализация носителей не успевает
происходить (что есть следствие выполнения критерия кТ < Ео). Однако в
5Об ослаблении температурной зависимости сечения захвата сообщалось в целом ряде
жспериментальных работ (например, Koenig 1958, Levit and Honig 1961, Rolling and Rowell
1960). Как было показано выше, существует несколько причин для этого при низкой темпе-
ратуре: 1) неупругость рассеяния на акустических фононах, 2) «вымораживание» и 3) флук-
|уации потенциала в силу случайного расположения примесей. Проведенный учет влияния
флюктуаций примесного потенциала позволил автоматически принять во внимание два эф-
фекта: перекрытие существенных д ля захвата орбит и отсутствие термализованных носителей
в зоне. Следует отметить, что ослабление температурной зависимости времени жизни может
цызываться также разогревом фононов. Этот эффект наблюдался в работе Ascarelli and Broun
11960) и возможно определил результаты, полученные в работе Koenig (1958).
130
Глава 6. Взаимное влияние примесных центров
этой области температур, с нашей точки зрения, носители перестают уча-
ствовать в проводимости не тогда, когда они захватываются отдельными
центрами, а тогда, когда они спускаются по энергии ниже уровня протека-
ния.
Глава 7
Теория захвата, ограниченного диффузией
7.1 Введение
Захват на центр может произойти лишь тогда, когда электрон или дырка
подойдут достаточно близко к центру. До сих пор предполагалось, что пе-
рераспределение носителей заряда в пространстве происходит быстро, так
что концентрация носителей вблизи центра определяется больцмановским
распределением, т.е. сам процесс рекомбинации на распределение концен-
трации в пространстве не влияет. Ясно, что такое предположение справед-
ливо, если темп захвата достаточно мал по сравнению с темпом посту-
пления частиц в окрестность центра, в которой может произойти захват.
В германии и кремнии, где подвижность носителей велика, это условие
обычно выполнено. Однако в других полупроводниках, в которых подвиж-
ность мала, дело обстоит не так, и «узким местом» в процессе захвата
может оказаться именно движение носителей в окрестность центра. При
этом концентрация носителей вблизи центра будет меньше больцманов-
ской, как говорят, произойдет обеднение окрестности центра носителями.
Это обеднение существенно влияет на эффективный коэффициент захвата.
Теория рекомбинации в таких условиях впервые была разработана Ланже-
веном (Langevin 19O3a,b) и впоследствии развивалась Пекаром (1950) и
Антоновым-Романовским и Калниным (1971). В частности, теория показы-
вает (подробнее см. § 7.2), что при захвате на кулоновский притягивающий
центр, в условиях, когда захват ограничивается исключительно транспор-
том носителей к центру, концентрация носителей оказывается однородной
в пространстве, а не возрастает вблизи центра, как это было бы при больц-
мановском распределении. В этом случае поток на центр j = 47rr2njz£, где
р. — подвижность, а £ = Ze/кг2 — напряженность поля центра. Таким
образом, для коэффициента захвата на изолированный кулоновский центр
находим
с = 4л^. (7.1)
К
131
132
Глава 7. Теория захвата, ограниченного диффузией
Рис. 7.1. Зависимость отношения коэффициента захвата к подвижности от тем-
пературы. Кривые 1-4 построены по экспериментальным данным Блажко и др.
(1977) для различных образцов. Горизонтальная прямая — расчет по формуле (7.1):
с/ц = 2 х 10“7Всм.
Формула (7.1) замечательна тем, что при ее выводе не использовались
какие бы то ни было предположения о самом механизме захвата. Важно
лишь, чтобы захват носителя, оказавшегося в окрестности центра, проис-
ходил быстрее, чем поступление носителей в эту окрестность. Ясно, что
каков бы ни был механизм захвата, выражение (7.1) дает верхний предел
для коэффициента захвата на изолированный кулоновский центр.
Как указал Лэке (Lax 1960), для таких полупроводников, как германий
или кремний, формула (7.1) приводит к значениям коэффициента захвата,
на несколько порядков превышающим экспериментально наблюдаемые, и,
следовательно, диффузия не ограничивает захват в этих материалах. Так,
для дырок в кремнии при комнатной температуре формула (7.1) дает (при
р = 500см2/Вс и Z = 1) с = 7,5 х 10“5 см3/с, соответствующее сечению
захвата ст = 5 х 10“12 см2, по крайней мере на три порядка превышаю-
щему сечения, наблюдаемые на опыте (см. рис. 5.4). Однако для дырок
в CdS при комнатной температуре формула (7.1) приводит к значению
с = 3 х 10-6см3/с. По крайней мере в некоторых случаях эксперимен-
тально определенные коэффициенты захвата в этом полупроводнике близ-
ки к этому значению (Блажко и др. 1977, Friedrich 1964, Шейнкман и др.
1966). Следовательно, в этих случаях диффузионное ограничение процес-
са захвата играет существенную роль. На рис. 7.1 изображены результаты
экспериментов (Блажко и др. 1977) вместе с кривой, построенной по фор-
муле (7.1). Подвижность как функция температуры взята из работы Mort
and Spear (1962).
7.2. Предельные значения коэффициента захвата
133
7.2 Предельные значения коэффициента захвата
при различных потенциалах центра
Рассмотрим следующую задачу: имеется центр, который создает в окру-
жающем пространстве притягивающий электроны потенциал У(г). Элек-
троны диффундируют к центру и захватываются им. Электроны характери-
зуются коэффициентом диффузии D и подвижностью, которые не зависят
от координат. Это означает, что дрейф и диффузия настолько слабы, что
в каждой точке успевает установиться почти равновесное максвелловское
распределение по скоростям. Тогда плотность потока электронов по напра-
влению к центру будет
i — D~ + (j,nE. (7.2)
С другой стороны, из условия постоянства полного потока следует, что
i = j/4-кг2, где j — поток на центр. Учитывая это и решая уравнение
(7.2), находим (Пекар 1950)
и(г) = поехр
eV(/)\ d/ je
кТ у г12 4тт кТцпо
(1.3)
Здесь е — абсолютная величина заряда электрона, V (г) > 0. Это решение
получено с использованием граничного условия и(оо) = по и соотношения
Эйнштейна ц = eD/kT. Второй член в квадратных скобках описывает
обеднение (по сравнению с больцмановским распределением) окрестности
центра электронами. Обычно притягивающий потенциал V (г) стремится к
бесконечности при г —> 0. Чтобы концентрация оставалась конечной при
г —> 0 квадратная скобка в выражении (7.3) должна обратиться в ноль.
Отсюда находим коэффициент захвата
«о
4ъцкТ Г Г°° (
—:— / - ехР ~
е Uo \
eV(r/)\ d/
кТ ) г12
(7-4)
Для кулоновского центра (V(r) = Ze/nr) отсюда получается формула
(7.1). Отметим еще, что в случае кулоновского потенциала из формул
(7.3) и (7.1) следует, что концентрация не зависит от расстояния до цен-
тра:
и(г) = по.
Пекар применил формулу (7.3) для расчета коэффициента захвата на ней-
тральный центр, предполагая, что V (г) — поляризационный потенциал
V(r) =
еа
2к2Н ’
134
Глава 7. Теория захвата, ограниченного диффузией
где а — поляризуемость центра. При этом для коэффициента захвата он
получил выражение (Пекар 1950)
с = 1,1х4тгМ • (7.5)
Пекар и Перлин (1950) показали, что это выражение хорошо описывает
захват электронов на F-центры в щелочно-галлоидных кристаллах.
Формулы (7.1) и (7.5) с точностью до численных коэффициентов можно
получить из следующих простых рассуждений, применимых для потенци-
ала центра любого вида. Можно полагать, что в области пространства, дне
eV ~ кТ, два члена в формуле (7.2), отвечающие диффузионному и дрей-
фовому потокам, имеют один порядок величины. С другой стороны, в этом
месте можно еще приближенно считать, что п ~ по- Тогда получаем сле-
дующую оценку потока: j = где г — расстояние от центра, на
котором eV (г) = кТ. Полагая для оценки £ = кТ / ег, находим
J л VkTr
с = — = 4тг-----. (7.6)
по е
Легко видеть, что из (7.6) и условия eV(r) — кТ следуют формулы (7.1) и
(7.5) для кулоновского и поляризационного потенциалов, соответственно.
Формулу (7.6) можно использовать для получения оценки коэффициента
захвата на диполь. Полагая eV ~ ~ кТ, находим г ~ у/e2d/ к,кТ.
Диполь создает притягивающее поле только в полупространстве. Для оцен-
ки это можно учесть, вводя в формулу (7.6) множитель 0,5. Тогда получим
для коэффициента захвата на диполь
(77)
К V
Этот результат был получен Антоновым-Романовским (1971) несколько
другим путем.
Остановимся подробнее на работе Пекара (1950), в которой рассма-
тривалась более общая модель захвата. Там считалось, что существует не-
который радиус го, достигнув которого частица захватывается с некоторой
вероятностью. При г > tq захвата не происходит. В этом случае при г > го
по-прежнему справедлива формула (7.3). Естественно считать, что поток
на центр пропорционален концентрации на сфере радиуса го
j = /Зп(г0),
(7-8)
7 2. Предельные значения коэффициента захвата
135
। де /3 — некоторый коэффициент пропорциональности. Это уравнение со-
вместно с (7.3) дает для коэффициента захвата
«о
_______________0 ехр[еУ (гр) / кТ]_________
1+,Y /"°°d<cxpf gVy)Y
1 + кТ4тгц exp kT J Jra exp И )
(7-9)
Вели eV (го) достаточно велико по сравнению с кТ и коэффициент 0 не
слишком мал1, то второй член в знаменателе (7.9) много больше единицы,
интеграл в знаменателе можно брать в пределах от нуля до бесконечности,
и формула (7.9) переходит в (7.4).
Если же еУ(го) кТ, то из (7.9) находим
0
1 + е014тг fikTro
(7.Ю)
Антонов-Романовский и Калнинь (1971) рассмотрели захват на нейтраль-
ный центр, предполагая, что частица наверняка захватывается, достигнув
сферы радиуса гр, а при г > г0 считается, что V (г) = 0. Их результат для
сечения захвата
можно получить из формулы (7.10), если положить кТц/е = D = /(v)/3,
0 = 47T7q5, где 5 (скорость поверхностной рекомбинации на сфере радиу-
са го) считать равной (v)/4. Это соответствует предположению, что все
частицы, налетающие на сферу, захватываются.
Заметим, что формула (7.11) допускает простую интерпретацию, если
ввести время захвата т — (Nc}~x (N — концентрация центров). Тодда ее
можно переписать в виде
Т = то + тр, (7.12)
где то = (Мтггд(у))_| — время захвата без учета обеднения окрестности
центра носителями, а
то = {N4TDr0)~x (7.13)
определяет время, вычисленное в предположении, что электроны диффун-
дируют к центру, и достигнув сферы радиуса го> наверняка захватываются.
'Здесь предполагается как и в теории каскадного захвата, что полуклассическое прибли-
жение справедливо на уровнях с энергией связи порядка кТ, т.е. что спектр, сформированный
потенциалом V(r), достаточно густой.
136
Глава 7. Теория захвата, ограниченного диффузией
Формула (7.13) легко получается из следующих соображений. Распределе-
ние электронов вокруг «черной» сферы радиуса го есть решение уравнения
диффузии = 0 при граничных условиях п —> по при г -> оо и п — О
при г — го. Таким образом, мы получаем п = «о(1 — гч/г}- Полный
электронный поток на центр j = — 4ттл^7>(с1м/<1г) |г=Го, откуда, используя
равенство Nj = nfr^, получаем (7.13).
Относительная роль двух членов в уравнении (7.12) зависит от отноше-
ния I/го (I — длина свободного пробега). Если / го, доминирует первый
член, если справедливо обратное неравенство, то — второй.
7.3 Относительная роль энергетических потерь
и пространственной диффузии
Рассмотрим сначала относительную роль этих двух факторов примени-
тельно к захвату на однозарядный притягивающий кулоновский центр в
условиях, когда энергетические потери можно описать как диффузию в
энергетическом пространстве. Если «узким местом» являются энергетиче-
ские потери, то справедлива формула Томсона (см. § 3.1)
4 1
ст = 7^—, (7.14)
j те
где гт = с2/ккТ, а те — время энергетической релаксации. Если же захват
ограничен пространственной диффузией, то имеет место формула Ланже-
вена
cl = 4тг— = 4тггт£). (7-15)
к,
В реальных условиях захват, очевидно, описывается той из этих фор-
мул, которая приводит к меньшему коэффициенту захвата. Из сравнения
(7.14) и (7.15) видно, что пространственная диффузия контролирует захват
при условии
/W «: ГГ, (7.16)
т.е. если длина энергетических потерь гораздо меньше характерного ради-
уса захвата гр. Именно в этом случае справедлива формула Ланжевена. В
обратном предельном случае справедлива формула Томсона.
Промежуточная ситуация довольно трудна для теоретического описа-
ния. В приложении 8 выведено уравнение, учитывающее одновременно
пространственную и энергетическую диффузии. Решение этого уравнения
в предельном случае (7.16) приводит к формуле Ланжевена, а в противопо-
ложном случае — к формуле Томсона. В промежуточном случае решение
7.3. Относительная роль энергетических потерь
137
в аналитической форме найти не удается. Можно, однако, для оценок ис-
пользовать интерполяционную формулу
с =
(7-17)
которая дает правильный ответ в обоих предельных случаях. Если меха-
низм захвата не каскадный (например, прямой захват с испусканием фоно-
нов), то в интерполяционную формулу (7.17) следует вместо ст подставить
коэффициент захвата, вычисленный для данного механизма без учета диф-
фузионных ограничений.
Любопытно отметить, что формула (7.17) в случае каскадного захвата
с точностью до численных множителей может быть получена из формулы
Пекара, если положить в ней г0 = и (3 = (4/3)7Г7уТе-1. Это соответству-
ет тому, что радиус сферы захвата есть гу и частицы, попавшие в сферу,
захватываются с вероятностью 1/те.
Глава 8
Захват на отталкивающие центры
8.1 Введение
При захвате носителей заряда на отталкивающие заряженные центры ча-
сто определяющим фактором является преодоление кулоновского барьера.
Отталкивающие центры в полупроводниках — это обычно глубокие цен-
тры с энергией связи, существенно превышающей боровскую энергию. Для
захвата на такой центр носитель должен потерять энергию, по крайней ме-
ре равную энергии связи. Если эта энергия отдается решетке, то речь идет
о многофононных переходах. Подробно эти переходы будут обсуждаться
в главе 9. Здесь, не вдаваясь в детали многофононных процессов, мы
будем предполагать, что центр характеризуется радиусом захвата, опре-
деляющим область вокруг центра, в которой переход в связанное состоя-
ние возможен. Если этот радиус много меньше, чем боровский радиус, то
захват контролируется необходимостью преодоления кулоновского барье-
ра. Такая модель захвата была предложена Бонч-Бруевичем (1958, 1959),
который показал, что в типичных условиях проникновение электрона в
область захвата происходит путем туннелирования. Адекватность соответ-
ствующей теории реальным условиям захвата была продемонстрирована в
работах Ждановой и Алексеевой (1963), Ждановой и Калашникова (1964),
Алексеевой и др. (1969, 1972), а также в ряде других работ (Conwell and
Zucker 1962, Zucker and Conwell 1962, Pratt and Ridley 1963, 1965a,b,c). Бы-
ло установлено, что сечения захвата на глубокие отталкивающие центры
в германии возрастают с увеличением энергии электронов при увеличе-
нии температуры или при их разогреве электрическим полем. Характер
этого возрастания в основном соответствует теоретической зависимости,
вытекающей из представления о туннелировании электронов.
8.2 Сечение захвата на отталкивающие кулоновские центры
Потенциальная энергия электрона в поле отталкивающего кулоновского
центра V = 2е2/кг (Ze — заряд центра) изображена на рис. 8.1. Электрон
138
8.2. Сечение захвата на отталкивающие кулоновские центры
139
Рис. 8.1. Потенциальная энергия частицы, налетающей на отталкивающий кулонов-
ский центр. г0 — характерный радиус области захвата, е — кинетическая энергия
налетающей частицы, 1 — потенциальная кривая С(г) = ег/кг.
может захватиться, если он протуннелирует в область г < го- Вероятность
туннелирования w существенно зависит от энергии налетающей частицы
£. Оценку w можно получить по обычной квазиклассической формуле
и-'(е) ос ехр I — - / dry/2zn(V — е) j , (8.1)
X " Jr0 /
где re = Zc2/k£ — точка поворота, определенная условием V — е. Фор-
мула (8.1) написана в предположении, что электрон налетает на центр
по радиусу. Ясно, что вероятность туннелирования при этом максимальна.
Вычисляя интеграл при го ге, находим
и-'(е) ос ехр , (8.2)
где Eq = Z2e4m/2n2h2 — боровская энергия. Формула (8.2) дает основную
экспоненциальную зависимость вероятности туннелирования от энергии £
налетающей частицы. Она справедлива, когда показатель экспоненты ве-
лик, т.е. £ < Ев- При этом ге > ав, где ав — боровский радиус, так что
результат не зависит от го, если го < ав-
140
Глава 8. Захват иа отталкивающие центры
Будем, следуя Бонч-Бруевичу (1958, 1959), считать, что основная энер-
гетическая зависимость сечения захвата определяется вероятностью тун-
нелирования (т.е. что вероятность захвата протуннелировавшего к центру
электрона слабо зависит от энергии). Тогда экспоненциальную зависимость
сечения захвата от электронной температуры Те можно получить, умножая
выражение (8.2) на ехр(-£/кТе~) и интегрируя по энергии £. При этом
основной вклад в интеграл дает энергия £ = £о, при которой отрицатель-
ный показатель результирующей экспоненты £/кТс+2л минимален,
т.е. энергия £о = [тг^в^Те)2]1/3. В итоге для сечения захвата получаем
ст ос ехр
(ТЬ\
(tJ
1/3-1
кТ0 = 27тг2£в =
27n2mZ2e2
2h2n2
(8-3)
Обратим внимание на большой численный множитель 27тг2, который при-
водит к тому, что характерная энергия в температурной зависимости се-
чения захвата более чем на два порядка превышает боровскую энергию.
Более аккуратный расчет а можно провести, исходя из следующих
представлений. Вдали от центра электроны имеют некоторое распреде-
ление по кинетической энергии £, не обязательно равновесное. Наличие
кулоновского барьера приводит к тому, что вероятность нахождения элек-
трона в любой окрестности вблизи центра меньше, чем в такой же по объ-
ему окрестности вдали от центра. Это обеднение электронной плотности
описывается зоммерфельдовским множителем Z_(£), равным отношению
квадратов модулей волновой функции электрона при г = 0 и г -> оо при
наличии отталкивающего заряда Ze в точке г = 0
Для коэффициента захвата имеем (Pratt and Ridley 1963)
с
c(£)Z_(£)/(£)p(£)d£,
(8-5)
где /(е)р(е) — распределение электронов по энергиям, а с(е) — коэффи-
циент захвата протуннелировавшего электрона.
Если считать /(е) максвелловским распределением с электронной тем-
пературой Те, пренебречь единицей в знаменателе формулы (8.4) и пола-
гать, что с(е) слабо зависит от энергии, то вычисление интеграла (8.5)
8 3. Сравнение теории с экспериментом
141
методом перевала приводит к экспоненциальной зависимости (8.3) для се-
чения захвата1.
Захват на глубокий центр электрона, протуннелировавшего через ку-
лоновский барьер скорее всего определяется многофононным процессом:
при захвате в единичном акте излучается большое число решеточных или
локальных фононов. В этом случае коэффициент захвата с(е) экспоненци-
ально зависит от энергии электрона (см. § 9.6)
с(е) ос ехр ( — — ) , (8.6)
\ £ph /
где £рь — некоторая характерная энергия порядка энергии фонона. При
этом согласно формуле (8.5) получается экспоненциальная зависимость
(8.3), в которой электронную температуру Те следует заменить на эффек-
тивную температуру Т*, где
й? = we + (8-7)
Более подробно вопрос о многофононном захвате на глубокий отталкива-
ющий центр рассмотрен в § 9.8. При низкой температуре кТе < ерь из
(8.7) следует Т* = Те.
До сих пор предполагалось, что эффективная масса электронов изо-
тропна. Между тем сравнение с экспериментом проводилось для случая
захвата электронов на отрицательно заряженные центры в германии, где
имеется сильная анизотропия масс в зоне проводимости (лиц/лиj. = 19).
Расчет зоммерфельдовского множителя при анизотропном законе диспер-
сии в общем случае требует численного решения уравнения Шредингера.
Численное решение требуется также при рассмотрении захвата дырок на
отталкивающие центры из-за сложной структуры валентной зоны. Вычи-
сление зоммерфельдовского множителя для такого случая было проведено
в работах Галиева и др. (1989, Пахомова и др. (1991).
8.3 Сравнение теории с экспериментом
Захват электронов на отталкивающие центры наиболее детально изучен в
германии: захват на Au-, Ап-- (Жданова и Алексеева 1963, Морозова
и др. 1976, Pratt and Ridley 1963, 1965а,b,с), на Be- (Тяпкин и Вавилов
1 Случай, когда распределение горячих электронов не является максвелловским, был также
рассмотрен Бонч-Бруевичем (1974)
142
Глава 8. Захват на отталкивающие центры
Рис. 8.2. Зависимость коэффициента захвата электрона на двухзарядный отрица-
тельный ион меди от температуры. (•) — данные Алексеевой и др. (1969), (о)
— данные Ждановой и Калашникова (1964), штриховая кривая — теоретическая
зависимость вида сп ~ ехр[—(То/Т)1^3], сплошная кривая — теоретическая зави-
симость вида сп ~ Г1/2 ехр[—(ТЬ/Г)'/3].
1965), на Ag~ (Глинчук и Миселюк 1962а,Ь), на Fe“ (Беляев и Малого-
ловец 1963), на Ni~ (Беляев и Миселюк 1964, Климка и Глинчук 1970,
Климка и др. 1971) и на Со“ (Susila 1970). Исследовалась как темпера-
турная зависимость сечения захвата, так и зависимость от электрического
поля, разогревающего электроны. Экспериментальные данные в основном
подтверждают зависимость типа а ~ ехр[—(То/7^)1/3], что указывает на
решающую роль кулоновского барьера.
На рис. 8.2 приведена температурная зависимость коэффициента захва-
та электронов в Ge на Си-- вместе с теоретической аппроксимацией. При
этом основная экспоненциальная зависимость имеет вид (8.3) при Те = Т,
а найденное из эксперимента значение То =1,3x105 К соответствует
эффективной массе электрона m = 0,2mo. Зависимость, таким образом,
более крутая, чем можно было бы ожидать при использовании наимень-
шей (поперечной) массы m = O,O8mo-
Многочисленные данные подтверждают увеличение темпа захвата элек-
тронов в греющих электрических полях. Исследовалась зависимость коэф-
фициента захвата от электрического поля при разных температурах решет-
ки в случае захвата электронов в Ge на Си-- (Алексеева и др. 1969, 1972),
на Au~ (Pratt and Ridley 1963), на Ni_ (Бумялене и др 1978), на Pt
(Wisbey and Ridley 1970). Для интерпретации этих данных с помощью
формул (8.3)-(8.7) необходимо использовать предположение о возмож-
8.3. Сравнение теории с экспериментом
143
ности описания разогретых полем электронов максвелловской функцией
распределения по энергиям и знать зависимость электронной температу-
ры от поля. Электронную температуру как функцию электрического поля
обычно рассчитывают из данных по измерениям подвижности. В работе
Бумялене и Яссиевич (1992) проведен анализ экспериментальных данных
в предположении многофононного механизма релаксации энергии при за-
хвате (см. формулу (8.6)). Показано, что насыщение зависимости сечения
захвата от Те может быть объяснено разумным выбором величины ерь в
формуле (8.7).
Глава 9
Многофононный захват носителей заряда
на глубокие центры и термическая ионизация
9.1 Введение
Основное состояние глубоких примесных центров обычно отделено от зо-
ны на большие энергии порядка десятых электронвольта. Эти энергии в
несколько раз превышают энергию решеточных или локальных фононов.
Поэтому захват носителей на такие центры должен сопровождаться излу-
чением в едином акте нескольких фононов1. Специфика многофононного
захвата может быть проанализирована на примере нейтрального центра
с одним глубоким уровнем. Экспериментальные доказательства наличия
многофононных процессов захвата в полупроводниках приведены в рабо-
те Генри и Ланга (Henry and Lang 1977). Важное свидетельство в пользу
существования таких процессов — более или менее резкое возрастание се-
чения захвата с ростом температуры. Теория многофононных переходов и,
в частности, ее применение к многофононному захвату развивалась в боль-
шом числе работ (Huang and Rhys 1950, Kubo 1952, Кривоглаз и Пекар
1953, Перлин 1963, Коварский 1968, Stoneham 1981, Ridley 1982).
Многофононный захват можно разделить на две стадии. На первой
стадии система «электрон плюс колебания решетки» без изменения энер-
гии переходит из состояния 2, в котором электрон свободен, а колебания
не возбуждены, в состояние 1, соответствующее связанному электрону и
сильному возбуждению колебательной системы. На второй стадии локали-
зованное вблизи примесного центра возбуждение решетки рассасывается
по всему кристаллу. Как правило, именно первая стадия лимитирует темп
захвата. В большинстве полупроводниковых кристаллов взаимодействие
Глубокие заряженные притягивающие центры, конечно, имеют сетку возбужденных ку-
лоновских состояний в том же интервале энергий, что и мелкие (см §3 6) При низких тем-
пературах эта сетка состоянии приводит к возможности каскадного захвата, рассмотренною
в главе 3 Однако практически во всех полупроводниках при темпера гурах выше азотной эти
возбужденные уровни не могут играть существенной роли в процессах захвата, по крайней
мере, на однозарядные центры
144
9 2. Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис
145
свободных носителей заряда с фононами слабое, однако связь электрона
на глубоком центре с колебаниями решетки может быть сильнее.
9.2 Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис.
Термоионизация и захват электронов
при классическом описании ядер
Рассмотрим примесный центр, на котором в связанном состоянии нахо-
дится электрон. При равновесной конфигурации решетки для электрона
на центре имеется потенциальная яма. Колебания решетки приводят к из-
менению этой потенциальной ямы, в результате которого меняется энергия
связи электрона в ней. Можно, например, как предполагали Генри и Ланг
(Henry and Lang 1977), считать что поднимается и опускается дно ямы, или
она при постоянной глубине сужается или расширяется. Существо дела за-
ключается в том, что энергия связи электрона £ь зависит от конфигурации
решетки. Будем для простоты полагать, что эта конфигурация описывается
одной координатой х, т.е. главную роль в движении электронного уровня
играет одна мода локальных колебаний. Будем для краткости называть х
координатой «ядра». Тогда воздействие колебаний на электронный уро-
вень можно описать зависимостью энергии связи £ь от х. Простейший вид
этой зависимости — линейный
£Ь(х) = £0 - VX, (9.1)
где £о — энергия связи при равновесной конфигурации решетки без элек-
трона (при х = 0), a v — некоторая константа. При координате ядра,
равной хс — £q/v, энергия связи обращается в нуль — уровень выходит в
сплошной спектр.
Предположим, что потенциальная энергия ядра без электрона имеет
вид
t/2(x) = (9.2)
где М — масса «ядра», ш — частота его колебаний. Тогда в присутствии
электрона роль потенциальной энергии будет играть U-, (х) — сумма энер-
гии деформации 1/2(х) и энергии электрона — £ь
171 (х) = ^Мш2х2 - £Ь(х). (9.3)
Минимум энергии 1Л(х) будет уже не при х = 0, а при сдвинутом поло-
жении равновесия — xq. Это легко видеть, если воспользоваться (9.1) и
записать t7i(x) в виде
146
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
1/1 (х) = ^Ми2(х + х0)2 - ет, (9.4)
где
v .
хо — Мы2 ’ ет = ео + Де
1 7 2 V2
Де = -М„ 4 = —2.
Потенциальные энергии «ядра» без электрона, t/2(x), и с электроном,
t/i(x), носят название адиабатических термов и изображены на рис. 9.1.
Обратим внимание, что рис. 9.1а относится к случаю eq > 0, т.е. к усло-
виям, когда связанное состояние существует при равновесной конфигура-
ции решетки без электрона. В этом случае электрон-фононное взаимо-
действие заглубляет локализованное состояние. При равновесном поло-
жении ядер в присутствии электрона (т.е. при х = — хо) энергия связи
еь(хо) = ео + vxq = £о + 2Де. В принципе возможна другая ситуация, ко-
гда при равновесном, без электрона, положении ядер связанное состояние
отсутствует (ео < 0). Связанное состояние возникает лишь в результате
электрон-фононного взаимодействия (автолокализация). Адиабатические
потенциалы для этого случая представлены на рис. 9.16. При этом остают-
ся справедливыми формулы (9.1)-(9.4), но v < 0, хо < 0. Формулы (9.2)
и (9.4) показывают, что частота колебаний ядра с электроном и при его
отсутствии одинакова, потенциальные кривые Ct(x) и Сг(х) представляют
собой одинаковые параболы, сдвинутые друг относительно друга по вер-
тикали и горизонтали. Это последнее обстоятельство отнюдь не является
общим, а целиком связано с линейной аппроксимацией (9.1) для зависимо-
сти £ь(х). Как увидим ниже, эта аппроксимация может быть неправильной
при х близком к хс — точке встречи термов, играющей главную роль в про-
цессе захвата. Однако модель одинаковых сдвинутых парабол очень часто
используется благодаря своей простоте и возможности получения для нее
точных квантовых результатов (Huang and Rhys 1950). Будем называть ее
моделью Хуанга2 и Рис.
Схему адиабатических термов удобно использовать при рассмотрении
оптических переходов. Согласно принципу Франка-Кондона такие перехо-
ды происходят без изменения положения ядра. Другими словами, на схеме
рис. 9.1 они должны быть вертикальными. Например, при оптическом пере-
ходе с дна зоны проводимости в связанное состояние (люминесценция) из-
лучается фотон с энергией ео (а не ет). Поэтому решетка непосредственно
2В русскоязычной литературе часто Хуаи Кунь.
9.2. Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис
147
Рис. 9.1. Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис (одинаковых сдвину-
тых парабол), (а) Случай, когда связанное состояние существует при равновесной
конфигурации решетки без электрона, (б) Связанное состояние возникает лишь
в результате электрон-фононного взаимодействия (автолокализация). хс — точка
встречи термов Ui(x) и UiQt), хо — сдвинутое положение равновесия, Еь(х) —
энергия связи при значении конфигурационной координаты х, е? — термическая
энергия ионизации, е0 — энергия кванта люминесценции, еор( = £т + Де — опти-
ческая энергия ионизации, ег = 1/г(хс) — энергия активации.
после этого перехода оказывается возбужденной. Затем происходит релак-
сация решетки, и избыточная энергия ет - ео = Д£ выделяется в виде
тепла. Величину Де часто называют тепловыделением. Отметим, что при
автолокализации люминесценция отсутствует. В дальнейшем для опреде-
ленности будет рассматриваться схема адиабатических потенциалов, соот-
ветствующая рис. 9.1а. Изменение результатов в случае автолокализации
будет специально оговариваться.
Силу электрон-фононной связи часто характеризуют константой Хуан-
га и Рис 5hr = Де//кц. В дальнейшем будет удобно пользоваться другой
величиной, характеризующей электрон-фононное взаимодействие.
/3=-^—, £2 = t/2(xc). (9.5)
ет + е2
В модели Хуанга и Рис
(ет — Де)2
£2 ~ 4Де”-
148
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
4Shr^c£t
(ет + Shr^)2
(9-7)
Ниже условием слабости электрон-фононной связи будем считать неравен-
ство /3 <Z. 1 или ShrScc <<; еТ- При этом сама величина .S’hr может быть и
не мала.
При фотоионизации центра с переходом электрона из связанного со-
стояния на дно зоны проводимости должен поглотиться фотон с энергией
еорь которая больше, чем ет (вертикальный переход на рис. 9.1). Решет-
ка после перехода также оказывается возбужденной и избыточная энергия
eOpt — £т выделяется в виде тепла. В модели Хуанга и Рис eopt - ет = ет — £о-
Конечно, принцип Франка-Кондона не является строгим правилом, поэто-
му при люминесценции могут излучаться фотоны с энергией меньшей, чем
ео, а фотоионизацию могут вызывать фотоны с энергией меньшей, чем eopt.
Однако интенсивность этих процессов меньше. Люминесценция и фотоио-
низация с энергиями фотона большими, чем ео и eopt могут происходить
как вследствие нарушения принципа Франка-Кондона, так и благодаря от-
личию от нуля кинетической энергии электрона в начальном (при люми-
несценции) или конечном (при фотоионизации) состояниях.
Перейдем теперь к рассмотрению термоионизации и многофононного
захвата. Будем сначала рассматривать движение ядер классически. Карти-
ну термоионизации тогда можно представить следующим образом. Ядро
совершает тепловые колебания в потенциале 1Л(х). Энергия связи элек-
трона зависит от положения ядра: сь(х) — U2(x) — U] (х). В точке пересече-
ния термов хс она обращается в нуль. В самом упрощенном рассмотрении
считается, что ионизация происходит каждый раз, когда ядро в процессе
тепловых колебаний достигает точки хс. Вероятность термической иони-
зации е в единицу времени, таким образом, равна произведению частоты
колебаний ш/2тг на вероятность ядру иметь энергию большую, чем ет + е2
(см. рис. 9.1)
ет + ег\
кТ )
е = —- ехр
Z7T
(9-8)
В основе этого выражения лежит следующая физическая модель. Имеется
ансамбль систем «ядро плюс электрон», распределенных по энергиям ко-
лебаний ядер Е по термодинамически равновесному закону. Каждый раз,
как колеблющееся ядро отклоняется от положения равновесия настолько,
что достигает точки хс, система ионизуется — теряет электрон. Для того,
чтобы при таких условиях поддерживалось термодинамически равновес-
ное распределение систем по энергиям вплоть до энергии ет + £2 (точнее
9.2. Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис
149
до энергии, отличающейся от нее на величину меньшую, чем кТ), должен
действовать достаточно эффективный механизм взаимодействия с термо-
статом (термостатом можно считать решеточные колебания).
Из формулы (9.8) можно найти сечение захвата с помощью соотноше-
ния детального равновесия (см. формулу (1.78) при ш = иц). Подставляя
соответствующие величины, найдем3
\ hw К1 f £2\ /о ох
а ехР ’ (9-9)
1о7г2 кТ ткТ х кТ /
где m — масса плотности состояний. Формулу (9.9) можно интерпрети-
ровать в духе Томсона (см. § 3.1). С точностью до числового множителя
предэкспонента имеет вид г^Те, где г = h/x/mkT — дебройлевская дли-
на волны электрона, определяющая радиус сферы, попав в которую элек-
трон может захватиться центром, а отношение г/т£ — дает вероятность
захвата в этой сфере (г = h/kT — время пролета электроном расстояния
г, те = 2тг/ш — время ухода ядра из области вблизи хс)4 * *. Экспонента
обусловлена тем, что для захвата необходима энергия активации е? (по-
тенциальная энергия ядра без электрона в точке хс, см. рис. 9.1). Оценка
предэкспоненты ~ кТ ~ 30 мэВ, m ~ О,1то) дает величину порядка
10~14 см2, однако экспонента очень мала. Из рис. 9.1 можно найти, что
энергия активации ег — (ет — Де)2/4Де. Так как обычно в полупро-
водниках тепловыделение Де составляет некоторую долю от термической
энергии связи ет, то £2 > £т- Неизвестны случаи, когда сечение захвата
росло бы с ростом температуры со столь большой энергией активации. По-
видимому, активационная формула (9.9) (и, соответственно, формула (9.8)
для вероятности термической ионизации) может быть справедливой лишь
при очень высоких температурах. Теоретическая оценка этих температур
будет дана ниже. В обычных условиях переход ядра между термами проис-
ходит не в точке хс, а при меньшем отклонении от положения равновесия
благодаря квантовому туннелированию.
Заметим также, что ионизация может не произойти и в том случае,
когда ядро в процессе колебаний оказывается при х > хс. Электрон может
не успеть уйти с уровня за то время, пока ядро движется от хс до точки
поворота и обратно. Другими словами, вероятность ионизации Р(Е) не
З3десь и дальше ограничиваемся случаем простой зоны и отсутствием вырождения на
центре, кроме спинового (g = 2).
4Можно рассмотреть ситуацию, когда ядро в процессе колебаний испытывает сильное тре-
ние, моделирующее его взаимодействие с решеточными колебаниями. Если соответствующий
коэффициент трения 7 > ш, то 2тг/ш в формуле (9.9) заменяется на «время ухода» ’'‘Jw1.
150
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
обращается в единицу скачком при Е = ег (отметим, что при принятом
отсчете энергия колебаний ядра в потенциале U\ (х) равна Е + ет). Когда
х > хс, электронный уровень выходит в сплошной спектр, и здесь мыслимы
две возможности.
1. При х > хс еще остается квазистационарное состояние. Поскольку
его энергия лежит в сплошном спектре, оно характеризуется некоторым
временем жизни т. Ионизация успевает произойти, если ядро достаточно
долго (дольше т) находится за точкой хс. Это всегда имеет место при
достаточно большом превышении Е над ei-
2. При х > хс уровень исчезает. Этот случай соответствует модели
потенциала нулевого радиуса и рассмотрен подробно в § 9.5. В частности,
в этом разделе выяснено, при каком превышении Е над вероятность
Р(£) обращается в единицу.
9.3 Термоионизация и захват при квантовом описании
движения ядер
Если движение ядра в процессе термоионизации описывать квантовым
образом, то переход с терма U\ на терм t/? становится возможным при
энергии ядра Е < £2 (напомним, что энергия Е отсчитывается от миниму-
ма терма U2, при Е = е2 термы встречаются, см. рис. 9.2). Вероятность
такого туннельного перехода мала, однако эта малость компенсируется уве-
личением вероятности термической активации до энергии меньшей, чем £2.
Основную экспоненту в вероятности туннельного перехода можно по-
лучить, используя метод комплексных классических траекторий Ландау
(Ландау и Лившиц 1989). Согласно этому методу вероятность перехода
содержит экспоненту, в показатели которой стоит мнимая часть действия,
вычисленного по следующей траектории. Движение начинается в классиче-
ски доступной области в потенциале U\ (х) и продолжается в классически
недоступной области до «точки перехода» хс. Затем от точки хс движение
продолжается в потенциале Uilx) до достижения классически доступной
области в этом потенциале. Поскольку на участках в классически доступ-
ных областях действие вещественно, то в показателе экспоненты остается
действие, вычисленное по траектории, соединяющей точки поворота а\ и
<12 и проходящей через точку хс. Пользуясь этим методом, можно написать
для вероятности туннелирования соотношение
Р(Е) ~ exp(-2S),
(9.Ю)
9.3. Термоионизация и захват при квантовом описании движения ядер
151
где
Рис. 9.2. Схема туннельного перехода с терма U'.(x) иа Ui[x}. Е — энергия ядра,
совершающего туннельный переход, а-, и — точки поворота при движении ядер
в потенциалах У(х) и Uz (х), соответственно.
При параболическом виде потенциалов U\ и Lh интегралы легко вычи-
сляются, и можно получить следующие явные выражения
Si
Ej
TlLJi
y/Zi + (1 - z,)ln
VI - zA
1 + J
E2 — E
Ei
(9-12)
Здесь e, — энергетическая высота точки пересечения термов над мини-
мумом 1-го терма, и>, — соответствующая частота колебаний ядра (далее
всегда обозначаем и>2 = ш), £j = £2 + Ет-
Для перехода в точке пересечения термов (Е = £2) имеем 5 = 0,
/’(Е) ~ 1 и, таким образом, вероятность термоионизации определяется
голько вероятностью термической активации выше энергии, соответству-
ющей пересечению термов. Этот случай и рассматривался в предыдущем
параграфе.
Чтобы получить вероятность термоионизации е с учетом туннелирова-
ния ядра следует выражение (9.10) умножить на вероятность ядру иметь
152
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
энергию Е (f(E) ~ ехр[—(Е + еч)/кТ\) и просуммировать по Е. Заменим
сумму интегралом (относительно законности такой замены см. ниже) и
вычислим интеграл методом перевала. Тогда для вероятности термоиони-
зации найдем
е~ ехр (-ф - , (9.13)
где
р
Ф = Ф(Е0), ф(Е) =2(52-5i) + —, (9.14)
а оптимальная энергия туннелирования (перевальная энергия) Ео должна
быть определена из условия
АЕ
= 0.
Е=Еа
(9-15)
Это условие удобно переписать, введя обозначения
d52 _ т2(Е) d5t = п(Е)
АЕ И ’ АЕ h
(9-16)
Величине т,(Е) (/ = 1, 2) можно придать смысл времени туннелирования
ядра от точки поворота до точки встречи термов хс в потенциале Ц при
энергии Е. Явное выражение для т, имеет вид
= ГйТГ~Ё- (9Л7)
V 2 Ja: y/Ui{x) - Е
При параболическом виде потенциала Ц имеем
т,(Е) = ^-1п|±^|. (9.18)
2,OJi 1 — yJZi
С помощью обозначений (9.16) уравнение (9.15) для определения опти-
мальной энергии Ео можно переписать в виде
2? - 2? + 7+ = °’ П=Т1(Ео), т2 = Т2(Е0). (9.19)
п п к!
Сечение захвата может быть получено из (9.13) с помощью соотношения
детального равновесия (см. § 1.8). С экспоненциальной точностью сече-
ние захвата ст отличается от вероятности термоионизации множителем
ехр(£т/&Е). Таким образом,
ст сх ехр(—ф).
(9.20)
9.4. Термоионизация и захват в модели Хуанга и Рис
153
В этом разделе дана общая схема вычисления вероятности термоиони-
зации и сечения захвата (с экспоненциальной точностью) при учете тун-
нелирования ядра. Чтобы довести вычисление до конца, необходимо ис-
пользовать конкретные модельные представления о виде потенциалов 0'1
и Ui- Такие вычисления проводятся в последующих параграфах. Отме-
тим здесь только, что ф обуславливается поведением термов лишь выше
перевальной энергии Eq. Поэтому величины а и е непосредственно не
связаны с энергией ионизации £т и зависимость их от £т возникает лишь
при использовании конкретных моделей. Однако более или менее правдо-
подобные модели, рассмотренные ниже, приводят к сходным результатам
для такой зависимости.
9.4 Термоионизация и захват в модели Хуанга и Рис
В модели Хуанга и Рис, описанной в § 9.2, потенциалы и U2 — пере-
секающиеся параболы, причем = Ш2 = ш (см. формулы (9.2)-(9.4)).
Рассмотрим сначала, как убывает Р(Е) при небольшом уменьшении энер-
гии Е ниже £2. Согласно формулам (9.10)—(9.12) имеем при z, <С 1
pfp'i ( 4(£2-Е)3/2 \
Р(Е) ex exp I - - —---^-cHR
\ 3 /
CHR = (9-21)
Чтобы получить вероятность термоионизации, надо умножить Р(Е) на
ехр[—(Е + £Т)/Е7’] и проинтегрировать по Е. Вычисляя интеграл методом
перевала, найдем, что перевальная энергия (оптимальная энергия перехо-
да) Ед равна
( \2
Ео ~ £2 - £Т ( ~-— ) • (9.22)
\2chrkE /
Для вероятности термоионизации е получаем:
Г £2 + £т 1 ( Тш V £т!
е « ехР-------+ г ~77 • (9.23)
кТ 3 \1сц^кТJ кТ
Сравнивая это выражение с формулой (9.8), видим, что возможность тун-
нелирования экспоненциально увеличивает вероятность термоионизации,
если кТ < £s, где
es =
Г1 ( V ]1/3
. з \ 2chr ) Т
(9-24)
154
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Если учесть, что Ьш обычно порядка комнатной температуры или выше,
a chr < 1, то видно, что чисто активационный закон Аррениуса (9.8) для
вероятности термоионизации может быть справедлив лишь при темпера-
турах гораздо выше комнатной. Однако формула (9.23) сама справедлива
при достаточно высоких температурах, пока второй член в формуле (9.22)
остается гораздо меньше первого (оптимальная для перехода энергия лишь
немного ниже, чем энергия, при которой пересекаются термы).
Рассмотрим теперь противоположный случай предельно низких темпе-
ратур. В этом случае, очевидно, наиболее выгодно туннелирование с ми-
нимально возможной энергией5, Е = 0. При этом из формул (9.10)—(9.12)
находим
Р(0) сх ехр (-P^hr)
Z?hr = 2 In------—................— —— . (9.25)
\ V^t V £2 + £т + /
Чтобы получить вероятность термоионизации, надо умножить Р(0) на ак-
тивационную экспоненту ехр(— е-х/кТ}. Соответственно, для сечения за-
хвата имеем из соотношения детального равновесия
Таким образом, сечение захвата в пределе низких температур не зависит
от температуры. Поскольку коэффициент /?hr порядка единицы и слабо за-
висит от характеристик центра, то можно сказать, что <т выражается экспо-
нентой, в показателе которой стоит величина порядка числа испущенных
при захвате фононов. Линейная зависимость между In ст и £т подтвержда-
ется в ряде случаев экспериментально (в низкотемпературной области) и
имеет название «закона энергетической щели» (Мотт и Дэвис 1982).
Чтобы получить вероятность термоионизации в широком температур-
ном интервале, надо использовать общую схему вычислений, изложенную
в § 9.3. Вычисления приводят к следующему результату:
е ос ехр , а сх ехр(—ф), (9.27)
где
Ф = ( _ Ь +1„ l+v^±£ _ + Sch0
\ Z £ z / ПШ
5 Здесь речь идет о главном члене в показателе экспоненты, поэтому пренебрегается энер-
гией нулевых колебаний.
9.4. Термоионизация и захват в модели Хуанга и Рис
155
Д = А = 1 + £2 ~ = Ag (9 281
кТ ’ sh(0/2) у/ei + е2 + y/^i £Tsh(0/2)
Перевальная энергия Ео при этом равна
_ ch(P/2)7T+p-e-sh(g/2)
0 £т 2sh(0/2)
(9.29)
Приведем также выражение для «ширины перевала» ЗЕ
) 1/2 = ^(в(^-^S»Y'/2.
у пЕ e—Eq J \ £о £0 И- £Т /
(9.30)
Формулы (9.29) и (9.30) были получены Маквартом (Markvart 1981), ко-
торый также показал, что главная экспонента в сечении захвата ехр(—ф)
совпадает с главной экспонентой результата работы Хуанга и Рис. В клас-
сической работе (Huang and Rhys 1950) был точно вычислен квадрат инте-
грала перекрытия М между осцилляторными волновыми функциями (от-
вечающими одной и той же энергии в потенциалах U\ и(/2), усредненный
по термодинамически равновесному распределению энергий. Полученный
результат
А/= /р(рС)ехр
Г /1 _ L0\]
P\2e~^ch2j ’
ет
Р tiw ’
где /(х) функция Бесселя от мнимого аргумента, а £ определено (9.28),
дает для сечения захвата в пределе р » 1 выражение, пропорциональное
экспоненте ехр(—ф). Это понятно, так как экспоненциальная зависимость
сечения захвата получается именно вследствие экспоненциальной зависи-
мости вышеуказанного интеграла перекрытия.
Приведем выражения, следующие из формул (9.28)-(9.30) при слабой
связи (е2 ет), что соответствует пределу £ <§; 1
Ео =
<5Е =
(hu>\ 1
£т ехр — - !
\кТ J
у/ЬыЕт
\/2sh(?k<j/кТ)
In 1 - ехр
пш пш
(9-31)
Ф =
156
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Заметим, что формулу (9.31) для ф легко получить, используя теорию воз-
мущений. Вероятность термоионизации при слабой снязи, очевидно, про-
порциональна следующему выражению
есх
где р = e-x/hw — число фононов, которое необходимо поглотить для
ионизации, g — константа электрон-фононной связи, N(iv) — равновес-
ное число фононов: 7V(w) = [exp(fej/fcT) — I]-1. Отсюда получается
е сх ехр(—ф — е-х/кТ}, где ф определяется формулой (9.31), в которой
следует считать йнк = ln(l/g). Такой способ вывода принадлежит Келды-
шу (1958).
Когда электрон-фононное взаимодействие велико (sj С £т), из (9.28)
и (9.29) следуют простые выражения
Ео = , Ф = 2-^-th^ • (9.32)
ch2(fej/fcT) hw 2кТ
При высокой температуре (кТ Йи>/2) этот результат соответствует ак-
тивационному закону ф = si/кТ, а <х ехр(—£2/кТ).
В заключение обсудим область применимости полученных результа-
тов. Существенно, что ширина перевала 6Е гораздо больше, чем hcu, если
температура не слишком низка, т.е. Т > Т^щ, где
1ГГ _ ha>
Tmm ~ ln(2sT/M'
Это оправдывает сделанную выше замену суммирования по энергиям ос-
цилляторных уровней интегрированием по Е при Т > Tmin. При Т < Tmm
в сумме следует оставить один член, что приводит к формуле (9.26). Со
стороны высоких температур законность вычисления интеграла по Е ме-
тодом перевала ограничена неравенством кТ < £s (es определено (9.24)).
Таким образом, выражения (9.27) и (9.28) формально справедливы в обла-
сти fcTmin < кТ < £s. Однако, так как они дают правильные предельные
результаты при Т —> 0 и Т es, то с экспоненциальной точностью эти
выражения оказываются справедливыми при любых температурах.
9.5 Термоионизация и захват в модели Луковского
Как уже указывалось в § 2.5, для описания глубоких центров часто хоро-
шие результаты дает использование модели потенциала нулевого радиуса,
9.5. Термоионизация и захват в модели Луковского
157
которая в применении к полупроводникам получила название модели Лу-
ковского. Если существенный вклад в состояние электрона на центре дают
волновые функции той зоны, в которую он выбрасывается, то поведение
энергии связи электрона вблизи границы сплошного спектра может быть
установлено из весьма общих соображений (см. Базь и др. 1971, Демков
и Островский 1975). Один из способов вывода заключается в следующем.
Предположим, что выход уровня в сплошной спектр происходит при зна-
чении координаты ядра х = хс. Запишем по теории возмущений изменение
энергии связи £ь(х) при небольшом изменении координаты ядра от х до
х + dx (х близко к точке встречи термов хс, х < хс).
deb(x) = j V>*^dxV> d3r, (9-34)
где V — потенциальная энергия электрона в поле примесного центра. По-
скольку х близко к хс, волновая функция -ф имеет характерный радиус
гораздо больший, чем радиус потенциальной ямы, и согласно выражени-
ям (2.20) и (2.22) величина |2 в области, где V отлично от нуля, про-
порциональна к ~ д/ёь. Тогда из (9.34) находим, что беь ~ у/ёъАх т.е.
£ь ~ (х — хс)2. Таким образом, вблизи точки хс энергия связи квадратич-
но зависит от (х — хс), а не линейно, как предполагалось в предыдущих
параграфах.
Будем считать, что центр описывается потенциалом нулевого радиуса
во всей актуальной области х вплоть до равновесного положения ядра. Ча-
сто это предположение довольно хорошо описывает реальную ситуацию,
так как глубину потенциальной ямы на глубоком центре естественно счи-
тать величиной атомного порядка (более электронвольта), а энергия связи
электрона на центре гораздо меньше. Тогда можно написать для энергии
связи
£ь(х) = |/ЗЛ/ш2(х - хс)2, (9.35)
где в коэффициенте пропорциональности между £ь(х) и (х — хс)2 введены
для удобства множитель Мш2/2 и безразмерная константа /3, характери-
зующая силу взаимодействия между электроном на центре и локальными
колебаниями. Подставляя это выражение в формулу (9.3), можно записать
потенциальную энергию ядра в присутствии электрона в виде аналогич-
ном (9.4):
£Л(х) = |л/ш((х + х0)2 - £Т
158
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Рис. 9.3. Схема адиабатических термов в модели Луковского (модель неодинаковых
сдвинутых парабол). хс — точка касания термов Ci(x) и Ui(x), —xq — сдвинутое
положение равновесия, — еу еу — ер.
w? = (1 - /З)^2,
1 — /3 Mw2Xq
£у = ~Г^Г
(9.36)
Отметим, что константа /3 введена так, что совпадает с определением
(9.5). В модели Луковского, таким образом, терм U\ (х) представляет со-
бой параболу, не только сдвинутую по сравнению с параболой £72(х), но и
соответствующую другой частоте колебаний, причем и сдвиг, и изменение
частоты описываются одной и той же константой /3. В этой модели имеет
место не пересечение термов, как в модели Хуанга и Рис, а их касание (см.
рис. 9.3). Модель Луковского была использована для описания взаимодей-
ствия связанного электрона с деформацией решетки в работе Абакумова
и др. (1985).
Интересно отметить, что, по крайней мере, в принципе можно исполь-
зовать экспериментальные данные, чтобы различить, к какой модели ближе
реальная ситуация. Речь идет о данных по фотоионизации центра и его лю-
минесценции. Согласно принципу Франка-Кондона, как уже упоминалось,
оптические электронные переходы происходят при неизменном положе-
нии ядер, т.е. вертикально на схеме термов. Поэтому пороговая энергия
фотоионизации eopt равна расстоянию по вертикали между термами С'1(х)
и С2(х) в точке х = —хо, т.е. eopt = еу+Мш2х^/2 для обеих моделей. Энер-
9.5. Термоионизация и захват в модели Луковского
159
гия кванта люминесценции зона-центр £i равна расстоянию по вертикали
между теми же термами в точке х = 0, т.е. si = so = £т — Мш2х%/2 для
модели Хуанга и Рис и si = sT - Мш^х%/2 для модели Луковского. Отсюда
сразу же следует соотношение
£opt + £1 = 2£т (9.37)
для модели Хуанга и Рис и с использованием формул (9.36) соотношение
V£opt£i = £т (9.38)
для модели Луковского.
Практически довольно трудно использовать эти соотношения для выбо-
ра между двумя моделями, особенно при слабой электрон-фононной связи,
когда £opt и £i близки друг другу и к £т- Как будет видно ниже, при слабой
связи вообще результаты для обеих моделей мало различаются. Однако,
если связь не слишком слаба, такой выбор возможен. Например, для элек-
трона в состоянии 2 на кислороде в GaP по данным работы Генри и Ланга
(Henry and Lang 1977) £т = 0,89 эВ, £opt = 1,95 эВ, £i = 0,41 эВ. Отсюда
следует (eopt -4- £1)/2ет = 0,76, ysoptCi/ет = 1, так что данные определенно
свидетельствуют в пользу модели Луковского. С привлечением оптических
данных в этой модели можно определить константу /3 по формуле
/3 = ^^
Ет
(9.39)
Для вышеописанного примера /3 = 0,55.
Чисто классические термоактивационные формулы (9.8) и (9.9), ко-
нечно, не зависят от модели и сохраняются в модели Луковского. (С тем
очевидным отличием, что в формулу (9.8) вместо частоты ш должна вхо-
дить частота оц.) Энергия активации в сечении захвата s2 = (1 — /3)ет//3 и
в этой модели, как правило, порядка или больше, чем ет (обычно /3 меньше
единицы). Поэтому можно ожидать, что при обычных (не слишком высо-
ких) температурах переход между термами происходит благодаря тунне-
лированию ядра. Главная экспонента в вероятности перехода по-прежнему
определяется формулами (9.10)—(9.12).
Рассмотрим вероятность перехода между термами при энергиях Е слег-
ка меньших, чем энергия е2, при которой касаются термы. Из формул
(9.10)-(9.12) в случае z, 1 теперь получаем для Р(ЕЗ) вместо (9.21)
выражение
Р(Е) сх ехр
_8_ /£2-£А5/2~
15 \ £s )
(9.40)
160
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
где
/4£2(fiw)2A
£s = V )
(9-41)
Формулы для оптимальной энергии перехода и вероятности термоиониза-
ции аналогичны соответствующим формулам (9.22) и (9.23) и имеют вид
Ео
/ \2/3
£2’e4w^J ’
е сх ехр
5; + £т 4
кТ + 5
(9-42)
(9-43)
Видно, что и в этом случае чистый закон Аррениуса справедлив лишь при
кТ > £s. Выражение для es (9.41) несколько отличается от (9.24), од-
нако по-прежнему в актуальной области температур обычно выполняется
неравенство кТ < £s.
Интересно, что результат (9.40) был получен Девдариани и Демковым
(1972) в рамках чисто классического описания движения ядра. Они реши-
ли следующую задачу. Ядро, рассматриваемое как классическая частица,
движется в направлении точки хс под действием постоянной тормозящей
силы F. Вычислялась вероятность освобождения электрона, после того
как ядро, достигая точки поворота, уходит обратно в область малых зна-
чений х. Так как в модели потенциала нулевого радиуса термы касаются
в точке хс, то сила F, действующая на ядро вблизи этой точки, на обоих
термах одинакова. Отмеченное обстоятельство и дает возможность рассма-
тривать движение ядра полностью классическим образом. Точка поворота
зависит от энергии ядра Е. Если Е < е2, т0 ЯДР° поворачивает, не доходя
до точки хс, а если Е > s2 — за точкой хс. Оказалось, что ионизация
с некоторой вероятностью происходит при Е < е2, а с другой стороны,
может не произойти даже если Е > £2. На рис. 9.4 изображены резуль-
таты Демкова и Девдариани для вероятности ионизации Р(Е'). Результаты
выражаются через параметр А = (е2 — E)/es, где £s определяется фор-
мулой (9.41). Отметим, что для глубоких центров £s £2, поскольку
£s/e2 = [2Йи>/(1 — Д)£т]2/5 и Д обычно не близко к единице. При Е = е2
вероятность Р(Е) ~ 0,62. При Е — £2 £s, т.е. когда точка поворота лежит
за хс, Р(Е) = 1 -тг/(16|А|5/2), а при £2 — Е » £s, т.е. когда ядро не доходит
до хс,
=ехр (4л5/2) • (9-44)
9.5. Термоионизация и захват в модели Луковского
161
Рис. 9.4. Вероятность ионизации электрона как функция отклонения энергии Е си-
стемы «электрон плюс ядро» от энергии ег, соответствующей точке касания термов
(Демкое и Островский 1975). А = (ег — E)/es, es определяется формулой (9.41).
Экспонента в этом выражении в точности совпадает с экспонентой в фор-
муле (9.40). Рис. 9.4 показывает, что вероятность перехода Р(Е~) не воз-
растает скачком от 0 до 1 при значении Е = Ег, а плавно нарастает в
энергетическом интервале (ег — £s, ег + es)- Можно сказать, таким обра-
зом, что энергия es характеризует область неадиабатичности вблизи точ-
ки встречи термов Ег- Это можно видеть и из следующих рассуждений.
Электронное состояние будет практически безынерционно подстраиваться
к положению ядра, если время ti, за которое электрон проходит размер
своей волновой функции (в свободном состоянии размер дебройлевской
длины волны), будет много меньше времени t2, за которое существенно
меняется положение ядра. Время 1] = h/e^x), время 1г можно оценить
как интервал длительности, за который ядро проходит от точки поворо-
та х расстояние порядка х — хс. Таким образом, ti = 2h//ЗМш2(х — хс)2,
h = -\/2(х — xc)M/F, где F = Мш2хс — сила, действующая на ядро вблизи
точки хс. Если учесть, что |Е — ег| — Е(х — хс), то нетрудно видеть, что
условие ti <£. 12 эквивалентно неравенству |Е - ег| » es-
Вычислим вероятность термоионизации в единицу времени с учетом
вышеописанного поведения Р(Е). Для этого Р(Е) следует умножить на
cji / 2тг и усреднить с равновесной функцией распределения ядра по энергии
f(E) = ехр(—Е/кТ")/кТ. Получим
e=S Г (9-45)
Z7T Jq \ Ki J Ki
162
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Если Р(Е) считать ступенчатой функцией (т.е. Р(Е) = 0 при Е < £2,
Р(Е) — 1 при Е > Ег), то отсюда получается активационная формула
(9.8) (с заменой w на wi). Очевидно, что так можно поступить, если экс-
понента под знаком интеграла меняется медленнее, чем Р(Е), т.е. если
кТ > es. Если же кТ < es, то главный вклад в интеграл внесет область
энергий, меньших чем Ег, и для Р(Е) можно воспользоваться формулой
(9.44). Интеграл можно вычислить методом перевала, причем для пере-
вальной энергии Eq имеем
/ЗеЛг/3
Е» = ег *'(«?)
(что совпадает с выражением (9.42)), так что действительно при кТ < es
ионизация происходит в основном при энергиях, не достигающих уровня
£2 более чем на es. Вычисление дает
Ш1
-ехр
4
5
ег + ет\
кТ ) ’
е —
(9.46)
а сечение захвата оказывается соответственно большим величины, давае-
мой (9.9), в exp[(4/5)(3Es/4^7')5/3] раз.
Как правило, расчет, приводящий к формуле (9.46), недостаточен, так
как перевальная энергия обычно попадает в область, где ядро на двух тер-
мах заведомо движется под действием различных и при этом не постоян-
ных сил. Из приведенного выше выражения для Eq видно, что неравенство
£2 - Eq < ег (которое заведомо необходимо для справедливости расчета)
выполняется лишь при температурах кТ > 2Йш//3. Поэтому возникает
необходимость в квантовом рассмотрении движения ядер.
Для предельно низких температур наиболее выгодно туннелирование
при Е = 0, и из формул (9.10)-(9.12) получаем выражение аналогичное
(9-25):
i,L = 7^l„l±^3-2. (9.47)
Эта же экспонента определяет и сечение захвата (аналогично (9.26)). И
в этом случае, как и в модели Хуанга и Рис, приближенно имеет место
закон «энергетической щели», т.е. линейная зависимость между In ст и ет.
Для получения результатов в широком температурном интервале сле-
дует воспользоваться общей схемой расчета, изложенной в § 9.3. Согласно
9.5. Термоионизация и захват в модели Луковского
163
Рис. 9.5. Зависимость перевальной энергии £0 (оптимальной энергии туннели-
рования) от обратной температуры при различных значениях (3: 0,1 (кривая 1),
0,5 (кривая 2) и 0,9 (кривая 3).
Рис. 9.6. Зависимость показателя экспоненты ф в сечении захвата от обратной
температуры при различных значениях параметра /3: 0 (кривая 1), 0,1 (кривая 2),
0,5 (кривая 3), 0,9 (кривая 4). /\ф = фо — ф, где фо — значение ф при Т = 0 К.
164
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Рис. 9.7. Эффективная энергия активации еа как функция обратной температу-
ры при различных значениях /3: 0,05 (кривая 1), 0,1 (кривая 2), 0,25 (кривая 3),
0,5 (кривая 4), 0,99 (кривая 5).
этой схеме а ос ехр(-ф), е <х ехр(-ф - е-^/кТ), и туннелирование про-
исходит при некоторой оптимальной энергии Ео- Приведем явный вид
уравнения для Eq:
1 + / 1 1П1 ~ _ 1 1П
кТ 1 + дДг 1 + y/zi /
= 0
Е=Е0
(9.48)
(здесь Zi определена в (9.12)), и выражение для ширины перевала:
— 1/2 _ Л2 ~ ЕоУ/4 f1 ~ £ £о(£т + £о)\ 1/2
dE2 E=EJ \ е2 ) \ (3 е2- Ео ) '
(9.49)
На рис. 9.5 и 9.6 изображена зависимость Ео и ф от температуры, полу-
ченная при различных значениях константы связи (3. На рис. 9.7 приведена
эффективная энергия активации еа = (A:7')2d</>/d(A:7'). Видно, что во всей
практически интересной области температур еа остается меньше, чем е2,
и активационный закон не достигается. При малой константе связи (3 1
можно получить явное выражение для Ео н ф (Абакумов и др. 1985). Эти
формулы в точности те же, что и для модели Хуанга и Рис (9.31) с заменой
/?hr на Ьь- В случае достаточно сильной связи, когда 1 —(3 1, т.е. es £т,
9.6. Распределение вылетевших при термоионизации электронов
165
результат отличается несколько от (9.32). В пределе высоких температур
в этом случае также имеет место активационный закон ст ос ехр(—е^/кТ).
В пределе же низких температур мы получаем ст ос ехр(—Зег/З/го;) вместо
ст ос ехр(—le-i/tijjj), что имеет место для модели Хуанга и Рис.
9.6 Распределение вылетевших при термоионизации
электронов по кинетическим энергиям. Зависимость
вероятности захвата от кинетической энергии электрона
В предыдущих разделах вычислялись вероятность выброса электрона с
уровня центра на дно зоны проводимости и сечение захвата со дна зоны
проводимости на уровень центра. Этого достаточно для получения глав-
ной экспоненты в усредненных по энергиям электронов величинах е и ст.
Представляет, однако, самостоятельный интерес распределение выброшен-
ных при термоионизации электронов по энергиям. С помощью принципа
детального баланса из этого распределения можно получить и зависимость
сечения захвата от энергии электрона.
Рассмотрим сначала термоионизацию. Состояние системы «ядро плюс
свободный электрон с кинетической энергией £», характеризуется термом
Ge(x) = + е = + е. (9-50)
Этот терм изображен штриховой линией на рис. 9.8. Если переход с
терма V\ на терм Ue рассматривать как чисто активационный, то следует
учесть только увеличение энергии активации на величину е. Поэтому веро-
ятность термического выброса электрона в состояние с кинетической энер-
гией £ (обозначенная как e(s)) будет содержать экспоненту ехр(—е/кТ).
В общем случае величину е (е) можно записать в виде
е(£) = eG(s), (9.51)
где, соответственно, е — полная вероятность выброса
e = /«(e)p(S)de.
р(е) — плотность состояний в зоне, a G(e) — функция распределения
вылетевших электронов по энергии, нормированная условием
У G(e)p(£)d£ = 1. (9.52)
166
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Рис. 9.8. Адиабатические термы и точки поворота. Ue — терм системы «ядро плюс
свободный электрон с кинетической энергией е»; ае — значение конфигурацион-
ной координаты х при пересечении терма Ue с уровнем энергии системы Е; аь аг
— точки поворота при движении ядра в потенциалах Ui, U2', хс — точка встречи
термов (Ji, U2', £2 — энергия активации.
Если переход чисто активационный, то G(e) = Аехр(—e/кТ}, где А —
нормировочная константа. Если же учитывать возможность туннелирова-
ния ядра, то главная экспонента в вероятности перехода с терма U\ на терм
U£ дается формулой (9.10), в которую, однако, следует вместо 5 подставить
5(e) = SE — 5i, где 5Е определяется последней из формул (9.11), в которой
а, и Ut суть ае и Ue (см. рис. 9.8). Как будет видно ниже, характерные
значения е порядка или меньше кТ. Полагая е можно записать
с/ \ _ с । dS^
s(e)“s+эГ
Е.
Е=0
(9-53)
Вероятность термического выброса электрона с энергией е можно най-
ти по схеме, аналогичной той, которая описана в § 9.3. В результате полу-
чим
f \ ( л. ет
е(е)««хр|^---2-дГ
е
£=0
(9-54)
где ф определяется формулой (9.14). В качестве перевальной энергии мож-
9.6. Распределение вылетевших при термоионизации электронов
167
но принять значение Ео, вычисленное при е = 0. Изменение перевального
значения, связанное с конечностью величины е, приводит к поправкам выс-
шего порядка малости из-за соотношения (9.15). Производную dSe/de в
формуле (9.54) можно выразить через время туннелирования т2\
(9-55)
dSe _ dS2
де е=о дЕ
Е=Е0
Тогда можно записать вероятность термического выброса электрона с энер-
гией е в виде (9.51), где
G(e)=A*exp(--^}. (9.56)
При этом характерная температура Т* определяется соотношением
кТ* = (9.57)
ZT2
а константа А* — условием нормировки (9.52). Таким образом, выброшен-
ные при туннелировании ядер электроны имеют эффективную температу-
ру Т* (а не температуру решетки Т, как при активационном переходе). Из
формул (9.57) и (9.18) следует явное выражение для Т* через энергию Ео
ln[(^ + x/E7^)/(v^ - v^£b)] ’ k ’
При высоких температурах, когда перевальная энергия близка к энергии
активации е2 (т.е. е2—Eq С е2), распределение (9.54) для модели Луковско-
го совпадает с распределением, полученным другими методами Чапликом
(1963), Девдариани и Демковым (1972).
Как указывалось выше, в реальном интервале температур имеет место
глубокое туннелирование ядер Ео С е2, ет- При этом удобно воспользо-
ваться общим соотношением (9.19). Исходя из (9.57), получаем
1 = J_ 2л
кт* кт+ h
из которого в частности видно, что Т* меньше, чем Т, при отсутствии
автолокализации6. Существенно, что соотношение (9.57) справедливо при
6Это не так в случае автолокализации, когда л < 0 (см. замечание в конце этого пара-
графа).
168
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
любой модели термов. Также для любой модели термов при Eq <g. £т,
величина ti — константа, не зависящая от Eq, а значит, и от температуры.
Это связано с тем, что -ц есть время туннелирования от точки поворота
«1 до хс в потенциале U\ при энергии Ео. Из рис. 9.8 видно, что ход терма
U\, а значит, и величина тц не имеет никаких особенностей при малых
Е. Поэтому при малых Eq можно при вычислении п (по формуле (9.17))
положить Е — 0 и написать
[м fXc dx
T1 утД увд-
(9.60)
Отметим, что величина Т2, напротив, в области малых Eq существенно
зависит от Eq, так как эта область находится вблизи минимума терма U^.
Для моделей, в которых термы предполагаются параболами, имеем со-
отношение
h hw
е=е0 'пс
/1+уТ^З\
^i -/вдУ
(9.61)
Напомним, что в модели Хуанга и Рис оц = ш, а в модели Луковского
а>1 — у/1 - (Зш, в обоих моделях (3 = ет/(е2 + ет)-
Обратимся теперь к зависимости коэффициента захвата от кинетиче-
ской энергии электрона е. Для определения этой зависимости можно вос-
пользоваться термодинамическим соотношением, связывающим два про-
цесса: процесс выброса электрона с центра в состояние с энергией е и
обратный процесс — захвата электрона, имеющего энергию е, на центр. В
состоянии термодинамического равновесия темпы этих процессов должны
быть одинаковыми. Следовательно, можно написать
/0)е(Е) = с(е)(1 - f(0)) exp •
(9.62)
Здесь — термодинамически равновесная заселенность связанного со-
стояния на центре, е(с) — вероятность выброса электрона с центра в одно
состояние с энергией е, с(е) — вероятность захвата электрона из этого
состояния на один центр. Заметим, что соотношение баланса (1.77) получа-
ется из (9.62) умножением на /э(е)йе и интегрированием по е. Пользуясь
выражением для /^/(l - /®), полученным в связи с выводом формулы
(1.78), найдем из (9.62)
sh(/kj/2AT) /ет + е\
sh(h4Vi/2JlT) ехР \ кТ ) '
(9-63)
9 7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
169
Рис. 9.9. Схема термов, соответствующая сильной перестройке центра при иони-
зации (автолокализация).
Пользуясь формулами (9.51) и (1.78), получим простую связь между с(е)
и распределением вылетевших при термоионизации электронов
с(е) = cJVcG(e) ехр , (9.64)
где с = er (v) — средний коэффициент захвата при температуре Т, a Nc —
эффективное число состояний в зоне проводимости. Если переход чисто
активационный, то с(е) не зависит от е. Если переход сопровождается
туннелированием ядра, то с помощью формулы (9.56), учитывая (9.59)
и соотношение пропорциональности NC(T) ос Т3/2, находим следующее
выражение:
/ т \ 3/2 / 2 Е \
c(e)=:c(f7) ехр(—• (9-65)
Таким образом, коэффициент захвата экспоненциально уменьшается с ро-
стом энергии электрона. Уменьшение вероятности перехода с терма U£ на
терм Ui с ростом £ ясно видно из рис. 9.8. Оно связано с увеличением
барьера для туннелирования ядра. Зависимость коэффициента захвата от
энергии электрона исследовалась в работах Мешкова (1985), Иоселевича
и Рашбы (1986). Отметим, что если схема термов имеет вид рис. 9.16, что
соответствует наличию автолокализации, то коэффициент захвата, сопро-
вождающегося туннелированием ядра будет расти с увеличением энергии.
В этом случае точка хс лежит левее точки а\, и tj оказывается отрица-
тельным (см. рис. 9.9).
9.7 Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
Вопрос о предэкспоненте в вероятности многофононных переходов значи-
1сльно более сложен, чем вопрос об экспоненциальных зависимостях В
170
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
большинстве работ используется та или иная форма теории возмущений,
согласно которой вероятность перехода между двумя состояниями систе-
мы «электрон плюс ядро» определяется формулой
2тг о
wu = T\Vlk\26(Ei -Ек), (9.66)
где Vlk — матричный элемент перехода
Vlk = l^^kd3rdx. (9.67)
В состоянии 1 электрон связан на центре, а ядро имеет энергию Е\ в
потенциале U\ (х). В конечном состоянии (состоянии к) электрон свободен
и имеет волновой вектор к. Энергию Ек можно записать в виде Ек = ek-\-Ei,
где ек — энергия электрона, а Ег — энергия ядра в потенциале Ui_(x).
Чтобы получить вероятность выброса электрона с энергией ек (и фик-
сированным направлением импульса), при условии, что ядро имеет энер-
гию Е[, (обозначим эту вероятность как Р(Е\, ек)'), следует просуммиро-
вать выражение (9.66) по всем возможным значениям Ег. Обозначим через
ДЕ энергетическое расстояние между уровнем Ei и ближайшим к нему,
меньшим, уровнем Ег. Тогда получим
Р(Еьек) = lV“|2 S(£k -АЕ~ (9-68)
п>0
Величина ДЕ в значительной степени случайна. В модели Хуанга и Рис
ДЕ не зависит от Ej и определяется тем, насколько отношение ДЕ/fitu
отличается от целого числа. Если еу/Ъш — целое число, то ДЕ = 0, а при
изменении ет на Tujj, величина ДЕ меняется от нуля до hw. Так как ет »
Ъы, то ДЕ очень чувствительна к ходу термов. Небольшое отклонение
от параболичности может существенно изменить ДЕ. Если частоты двух
термов U\ и Ui различны (как это имеет место для модели потенциала
нулевого радиуса), то ДЕ зависит от Е\.
Как видно из формулы (9.68) распределение электронов, вылетевших
при термоионизации, состоит из пиков с энергиями ДЕ, ДЕ + Ьш,.... В
дальнейшем будет показано, что |Рц|2 ~ ехр[—2£^т(Е])//г], так что ампли-
туды пиков убывают с увеличением их энергий. Полученное ранее распре-
деление (см. (9.51) и (9.56)) соответствует предположению, что эти пики
по каким-то причинам сглажены. Примем, что это сглаживание действи-
тельно имеет место. Тогда выражение (9.68) следует умножить на d ДЕ/ Ьш
9.7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
171
и проинтегрировать по ДЕ в пределах от ДЕ = 0, до ДЕ = /гол В резуль-
тате получим
P(El,£k) = — \Vu\2. (9.69)
При использовании формулы (9.68) возникает два вопроса: что взять в
качестве возмущения, и какой вид имеют волновые функции начального и
конечного состояний.
В адиабатическом приближении волновые функции системы «электрон
плюс ядро» имеют вид Ф(х, г) = (г, х) <^(х), где г — радиус-вектор элек-
трона, V>(r, х) — волновая функция электрона при фиксированном поло-
жении ядра, </?(х) — волновая функция «ядра», потенциальная энергия
которого L/(x) складывается из энергии деформации решетки и энергии
электрона, зависящей от координат ядра х. Если электрон локализован
на центре (состояние 1), то Ui (х) = Л/се>2х2/2 — еь(^), где еь(^) — энер-
гия связи электрона. Если электрон свободен и находится в состоянии с
волновым вектором к (состояние к), то С/е(х) = Л/сеДх2/! + ек, где £к —
кинетическая энергия электрона.
Волновая функция адиабатического приближения не является точной
волновой функцией системы «электрон плюс ядро». Та часть полного
гамильтониана, которой пренебрегается в адиабатическом приближении,
называется оператором неадиабатичности. Его часто и считают возмуще-
нием, вызывающим переходы между состояниями 1 и к. Адиабатическая
теория возмущений, использующая в качестве возмущения оператор не-
адиабатичности, не дает точного результата (см., например, Чаплик 1963,
Дыхне 1960). Однако она приводит к правильному показателю экспоненты,
а предэкспоненциальный множитель отличается от точного обычно лишь
на множитель порядка единицы. Для нашей задачи в этом можно непосред-
ственно убедиться в предельных случаях.
Если считать V оператором неадиабатичности, то матричный элемент
перехода имеет вид
V\k = ^7 [ Mik = [ d’rV’i^- (9.70)
M J ox J ox
Здесь опущен член co второй производной, который мал по сравнению с
оставленным.
Если <pi и <рк имеют квазиклассический характер, то интеграл в первой
из формул (9.70) можно вычислить, используя метод Ландау (Ландау и
Лившиц 1989).
172
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Интегрирование по конфигурационной координате х, вообще говоря,
следует выполнить по интервалу (—оо, +оо). Однако можно ограничить-
ся областью интегрирования (-oo,xi), где xi лежит в интервале (ai,xc)
достаточно далеко от обоих концов, если вычисляется матричный элемент
перехода при энергии Е\ et (см. рис. 9.8). Это можно сделать потому,
что отброшенная часть не вносит заметного вклада в интеграл, так как в
области х > X] колебательные функции '~р\ и экспоненциально малы
и подынтегральное выражение содержит произведение малых туннельных
экспонент. Как будет показано ниже, оставшийся интеграл определяется
отношением этих экспонент и не зависит от выбора значения xj, если xi ле-
жит существенно правее точки поворота а\. При вычислении оставшегося
интеграла пользоваться непосредственно квазиклассическим приближени-
ем для функций и нельзя, так как эти функции сильно осциллируют
в классически доступной области и даже малая ошибка в них может при-
вести к существенному изменению результата. Суть метода Ландау заклю-
чается в переходе к интегрированию в комплексной плоскости х, при этом
интеграл по интервалу (—оо, xi) выражается через интеграл по контуру
в комплексной плоскости, все точки которого достаточно далеко удалены
от точек поворота а\ и <32, так что на этом контуре можно использовать
квазиклассическое приближение для функций ц>\ и Удобно проводить
вычисления, разбив функцию на два слагаемых где
есть функция, экспоненциально убывающая при смещении х в верхнюю
полуплоскость комплексной плоскости, a </?j" — при смещении в нижнюю
полуплоскость. Соответственно матричный элемент разбивается на сумму
Уи — у+ + у~. функции и комплексно сопряжены друг другу на
вещественной оси. Если и входящие в Уц, были выбраны веществен-
ными (на вещественной оси) и М\к — вещественно, то Уц = 2КеУ^. Для
вычисления интеграла У^ сдвинем контур интегрирования в верхнюю по-
луплоскость. При этом можно использовать следующие квазиклассичсскис
выражения колебательных ядерных функций
у’Г
. / Мш
-Ц /о ,-техр
у 2тгЛ41(х)
/A/ui [ , ,
W = а/э -7-7 СХР - /
у 2тгЙ4£(х) J
(9-71)
х/УМ ,_________
(9.71а)
9.7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
173
Знак корня в выражениях для q выбран так, чтобы он был положительным
на вещественной оси в туннельной области (где U\,Ue > Е\). В интеграле
можно заменить д'^)к/дх на — qe(x)<f>k и взять интеграл методом пере-
вала. Точка перевала хе в верхней полуплоскости определяется уравнением
<7i(xe) = qe(xe), что дает к — ±i/t, где
к = ^-\/2m£b(x). (9.72)
Как будет видно ниже, ширина перевала в интеграле по х гораздо больше
расстояния между точками хе и хс. Это позволяет пренебречь зависимо-
стью точки перевала от энергии вылетевшего электрона е и считать точкой
перевала точку хс, в которой встречаются термы U\ и U2, что соответствует
условию к = 0.
Показатель экспоненты в подынтегральном выражении для вблизи
точки хс удобно записать в виде
[ qi^)dx'- [ qe(x')dx'=—S(s) — 6S(x), (9.73)
J a\ JaE
где 5(e) определяется формулами (9.53) и (9.11) при Е = Е\, 55 (х) про-
порциональна (х - хс)2, если термы пересекаются, или (х — хс)3, если они
касаются друг друга. Величина 8S(х) может быть взята при ек = 0. Все
предэкспоненциальные множители можно вынести из-под интеграла в точ-
ке хс (если они не имеют особенности в этой точке) и положить в них
к = 0. Как будет показано ниже, электронный матричный элемент имеет
при х = хс особенность, поэтому его следует оставить под знаком инте-
грала. Тогда, учитывая, что <?i(xc) = ge=o(xc), получим из (9.69)
Р(ЕЬ ек) = ^/2схр[-25(е*)], (9.74)
27Г
где
1 = 2Re|i у exp[-<55(x)]Mu(x)dx}. (9.75)
Здесь интеграл должен быть взят по контуру с, проходящему через точку
хс в направлении скорейшего спуска.
Чтобы получить вероятность е(ек) термического выброса электрона
в одно состояние с энергией ек, следует умножить выражение (9.74) на
равновесное распределение ядер по энергиям
/(E1) = 2shf^>)expf-^±£lA| (9.76)
\ J \ К1 I
174
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
и просуммировать по всем возможным значениям Е\:
Е} = -ет + + -j/iwi.
Как уже указывалось в конце § 9.4, при кТ > \кш/ 1п(ет/^)] сумми-
рование можно заменить интегрированием. Вычисляя интеграл методом
перевала, получим
t \ 8 Т1Е и (( л £Т
е (ejt) = Tsh ЧГЕ exp I —ф - —
л/тг n \2kT) \ kT
(9.77)
Здесь ф и Т* определяются формулами (9.14) и (9.59), a ёЕ — ширина
перевала:
ёЕ =
d2S
dE2
\ -1/2
E=E0J
(9.78)
При слабой связи (/3 1) для модели Хуанга и Рис ф, 5Е, Eq определяют-
ся выражениями (9.31), а для модели Луковского — теми же выражениями
с заменой Z?hr (см. определение (9.25)) на (см. (9.47)). Величина I, вхо-
дящая в (9.77), должна быть взята при Е\ = Eq и еь = 0.
Полная вероятность термоионизации е получается умножением выра-
жения (9.77) на число состояний в интервале de*. (т.е. на vp(£k)dek, У —
нормировочный объем кристалла) и интегрированием по
е = T^/2vTsh ) ехр (0 ~ S) ЛГс(Г)’
(9.79)
где NC(T*) — эффективное число состояний в зоне проводимости (формула
(1.38) при и = 1) при температуре Т*.
Пользуясь соотношением детального равновесия (1.78) при v = 1 и
g = 2, можно получить выражение для коэффициента захвата (с = ст (у)):
1 ,2 ёЕ fT*\W ,/ 1ш\ .
C = Т^т) 5Ч2Й:)еХР<^)'
(9.80)
Обратимся теперь к вопросу о вычислении I (формула (9.75). Видно, что
величина I определяется электронным матричным элементом Мц(х) при
значениях х, находящихся в окрестности точки хс — точки встречи термов
U\ и U2- Если бы М\к(х) не имел особенности в точке х = хс, то его можно
9.7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
175
Рис. 9.10. Схематическое изображение двух возможностей, реализующихся при
выходе уровня в сплошной спектр: (а) — уровень исчезает, (б) — состояние ста-
новится квазилокальным.
было бы вынести из-под интеграла в этой точке. Но, как уже говорилось,
он такую особенность имеет.
В принципе при еь(х) —> 0 могут реализоваться две возможности:
а) уровень исчезает (рис. 9.10а) — применима модель Луковского; б) оста-
ется квазилокальное состояние (рис. 9.106) — применима модель Хуанга
и Рис. Рассмотрим обе возможности.
а) Модель Луковского. В этом случае применимо приближение потен-
циала нулевого радиуса (во всяком случае при х вблизи хс), термы Uy и
U2 касаются. Используя рассмотрение § 9.5, в результате простого вычи-
сления находим
8S(x) = С(х-хс)3
_ 1 d3S(x) M3/2a?/3
Ширина перевала по х соответствует интервалу <5еь энергии связи (см.
формулу (9.35))
<5еь ~ |ж^2<”2/3 = [9/3(М2(^2 - £о)]’/3. (9.82)
Волновые функции электрона на центре и в зоне даются формулами (см.
§ 2.5):
, Гк~ ехр(—кг)
= V^—~г~
1 е’*г
к + ik г
(9.83)
176
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Рис. 9.11. Контур интегрирования в формуле (9.75) для модели Луковского.
Функции i/n и -фк зависят от координаты ядра х через величину к =
-у/2теь(т)/Й. Вычисление матричного элемента Мц по формуле (9.70)
дает
_ 23/2тг d« 2х/2тг шу//ЗтМ
U K5/2y/v dx y/v fat5/2
Здесь положено k = 0, так как интервал энергий связи (9.82), соответству-
ющий ширине перевала ~ С-1/3, гораздо больше характерной энергии кТ*
вылетающих термоионизованных электронов. Действительно кТ* < fiw,
поскольку формула (9.82), например, при слабой связи и Eq с е2 дает
&ь = [9(Йо/)2ет]1,73 /г^-
Видно, что М\к обращается в бесконечность при х —> хс, так как в
модели Луковского к ~ хс — х. Интеграл (9.75) следует вычислять по
контуру, изображенному штриховой линией на рис. 9.11. Интеграл по
горизонтальному участку выпадает (пренебрежимо мал) и в результате
получаем
2 _ 32\72тг2 h2
27 шт212{3112(е2 — Ео)1/2
(9-85)
Рассмотрим несколько предельных случаев. При температурах кТ > es
(es дается формулой (9.41)) термическая ионизация определяется, как от-
мечалось в § 9.5, активацией до энергии встречи термов е? + ет- Поэтому
для скорости термической ионизации справедлива формула (9.8) (с заме-
ной ш —> Ш]), а для сечения захвата — формула (9.9).
9.7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра
177
В области температур кТ < es оптимальная энергия перехода лежит ни-
же энергии встречи термов. Здесь можно выделить три характерные обла-
сти.
1. Высокие температуры (фы0 <^ кТ < es). В этом случае перевальная
энергия Ео лежит вблизи точки встречи термов, так что ег ~ So ег (см.
формулу (9.42)). Пользуясь формулами (9.79), (9.80) и (9.85), получим
для вероятности термоионизации е и коэффициента захвата с следующие
выражения
е =
16
27ТеХр
4 / 3 es
5 \4кТ
5/3 ( е2 + £т
ехрГ^т~
С =
23/2 / h2 хЗ/2
81^1^) wexp
4 / 3 Es \5/3 _ Е2
5 \4кТ J кТ
(9.86)
В § 9.5 для этой области температур была получена формула (9.46).
При выводе использовалось выражение для вероятности перехода, найден-
ное в работе Девдариани и Демкова (1972) без применения адиабатической
теории возмущений. Ранее мы убедились, что она с экспоненциальной точ-
ностью совпадает с расчетом, основанным на адиабатической теории воз-
мущений. Сравнение формул (9.46) и (9.86) показывает, что предэкспонен-
ты в них отличаются лишь числовым множителем 16/27.
2. Средние температуры hw/ ln(eT/ha;) кТ Ьа>/0. В этих уело
виях при малой константе связи 0 перевальная энергия Ео значительна,
меньше е2, но по-прежнему Ео » /гш. При 0 < 1 для этого случая, ис-
пользуя формулы (9.79), (9.80) и (9.31) с заменой />нк на Ь^, получаем для
вероятности термоионизации е и коэффициента захвата с:
8^2 (кТ*)3/2
е = ~—7==^ ехр
27
З2тг3/2
С ~ 27
h2
(9.87)
(9.88)
1дссь Т* определяется формулой (9.59), а показатель экспоненты соотно-
шениями
Ф = фо + Ф\
178
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
_ етВ ( 4
2/гхД П (W+1)/3 +
N2 + 2N - 1 \
JV+1 )
(9.89)
где N = [ехр(/го;/&7’) — I]-'. Выражение для Eq совпадает с выражением
(9.31) при (3 1, ф\ — дополнительное слагаемое, возникшее в результате
учета членов порядка /Зет//гол Множитель ехр(—фу) следует отнести к
предэкспоненте.
3. Низкие температуры кТ /ги/ 1п(ет//к^)- В этом случае в сум-
ме (9.68) следует оставить одно слагаемое (и = 0), соответствующее
переходу в основное колебательное состояние £2 = из состояния
Е\ = + ДЕ. Умножая P(£i,et) на f(E\) (формула (9.75)) и на
vp(eJt)de1t, интегрируя по е* и сохраняя в экспоненте члены до порядка
вет/hw, получим
е = 0,98-
7Г
(ет +fi^/2 -/kji/2)
~Ф --------------------
кТ
и / £лЕ 2
с = 0'98яУ’ёГ*И“><"'
ф = фо + ф\
А _ £т Л 4 эА I
Фо — 7“ I 1п д — 2 ) + —
Пш \ р ) кТ
1 /Зет
-3
(9.90)
Выражения (9.90) выписаны при /3 <S 1. Выражение для с получено с
помощью принципа детального равновесия (формула (1-78)) и рассчиты-
валось для случая g = 2 и и = 1.
б) Модель Хуанга и Рис. Если в окрестности точки встречи термов
имеется квазидискретное состояние, то термы U\ и Ui будут пересекаться.
Простейшая модель, соответствующая этому случаю, — модель Хуанга и
Рис. В дальнейшем будем иметь в виду эту модель. По-прежнему исходим
из формул (9.75), (9.79) и (9.80). Если термы пересекаются, то
6S = -£(х- хс)2
_ _1 (PS
~ 2 dx2 v_„
Де
2hy/£2 - Ео
(9.91)
Здесь Де — тепловыделение (см. § 9.2), Де = FiwShr- Ширина перевала
9.7. Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра 179
по х соответствует интервалу энергий связи (см. формулу (9.1))
<5еь ~ С'/2^2Л/сх;2Де ~ (М’/2[Де(£2 - £о)]’/4- (9.92)
Для вычисления по формуле (9.75) требуется знать матричный элемент
Л/и, который определяется зависимостью электронных волновых функций
от координаты ядра х вблизи точки пересечения термов. Самое простое
предположение состоит в том, что Л/ц не зависит отх Такое приближение
было названо Лэксом (Lax 1962) кондоновским приближением. Контур С в
формуле (9.75) в этом случае следует выбрать так, что его часть в верхней
полуплоскости проходит вертикально через точку хс. Тогда
ZCond = |Л/ц|2 •
Используя выражение (9.31) для 8Е, получаем из (9.79) при малой кон-
станте связи следующее выражение
е = V^v\Mlk\2 ^£2~E°Nc(T*) ехр (-ф - g) . (9.93)
В средней области температур, когда Eq ei, можно воспользоваться
выражением (9.31) для ф. Удобно, кроме того, выразить ответ через кон-
станту Хуанга и Рис SHr (5hr = ^e/huj) и число фононов р, требуемых
для ионизации (р = ет/Тк^). Тогда ответ можно записать в виде
е = М^У/2 P^hr1 exp[-5HRcth(M^)] (994)
\hu>) ^/2тгррР ехр(-р) '
Знаменатель в этой формуле есть асимптотическое выражение для р\. Без-
размерная константа А введена для обозначения следующего выражения
Предполагается, что v\Mik|2 остается конечным при к ---> 0. Величина кТ*
определена формулами (9.59) и (9.61).
Коварский с сотрудниками (Коварский 1968) впервые обратил внима-
ние на то, что матричный элемент |A/ijt|2 должен иметь особенность >
180
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
точке х = хс, что увеличивает предэкспоненту в вероятности термоиони-
зации. Если для вычисления волновой функции связанного состояния ис-
пользовать, как это обычно делается (см., например, Ridley 1982), теорию
возмущений, то получим
V’l (г, х) = (г, 0) + -71Т2—^k(r, 0), (9.96)
к £ £к
где 0) — функции сплошного спектра при х = 0, //ц — матрич-
ный элемент электрон-колебательного взаимодействия, и q — энергии
электрона в связанном и свободном состояниях, соответственно. Если при-
нять простейшее предположение, что И пропорционально х (//ц = vux),
и взять в качестве энергию при х = 0 (е^1) — — ео), то форму-
ла (9.96) приводит к независящему от х значению матричного элемента
М\к = vu/(eo + et) ~ Уц/ео- Это и есть кондоновское приближение. В
некондоновском приближении (приближении Коварского) считается, что
в формулу (9.96) следует подставить в качестве е^1) энергию локализован-
ного электронного состояния при текущем значении х: е(1^ = — (ео — vx)
(см. формулу (9.1)). При этом
Mik(x)= V1^£o + £?)2. (9.97)
(е0 + ек - vx)2
В формулу для вероятности термоионизации входит Мц при к —> 0 вблизи
точки х = хс, в которой энергия связи обращается в ноль, так что следует
считать
- (9.98)
V (х —Хс)
Видно, что Мц(х) имеет особенность при х —> хс. При вычислении I
по формуле (9.75) теперь следует провести контур С так, чтобы он об-
ходил точку хс, аналогично тому, как это было сделано при вычислении
' в модели Луковского. Вычисление в этом случае приводит к результату
<2 = p2/cond. Таким образом, использование некондоновского приближения
действительно увеличивает теоретическое значение вероятности термоио-
чизации в р2 раз. Константу А в некондоновском приближении следует
считать равной
Смысл приближения Коварского был существенно прояснен Хуангом
(Huang 1981), который доказал следующую теорему. Матричный элемент
9.8. Влияние заряда центра на термическую ионизацию и захват
181
оператора неадиабатичности между состояниями электрон-колебательной
системы фк(г)фк(х) и V>i(r,x)</>i(x) (где фк(х) и ф\(х) — колебательные
волновые функции, относящиеся к электронным состояниям к и 1, соот-
ветственно, а ф\(г,х) описывается формулой (9.96) при — —eq+^ii) в
точности равен матричному элементу электрон-колебательного взаимодей-
ствия между состояниями фк(г)фк{х) иф\(г, (У)ф\(х). Таким образом, при-
ближение Коварского эквивалентно первому приближению теории возму-
щений по недиагональной части электрон-колебательного взаимодействия
(Я), при том что его диагональная часть учитывается точно. Кроме того, в
конкретной форме, в которой это приближение здесь изложено, предпола-
гается, что оператор электрон-колебательного взаимодействия пропорци-
онален х — отклонению ядра от положения равновесия. Приближение,
использующее в качестве возмущения недиагональную часть электрон-
фононного взаимодействия, принято называть моделью статической связи
(Helmis 1956, Passler 1975, 1976). Таким образом, теорема Хуанга устана-
вливает эквивалентность приближения статической связи и приближения
Коварского (некондоновского приближения).
Когда электронный уровень выходит в сплошной спектр, никакая моди-
фикация теории возмущений не остается справедливой. Как было показа-
но в работе Абакумова и др. (1988а), предэспоненциальный множитель в
скорости захвата выражается через проницаемость барьера, разделяющего
квазистационарное состояние от свободных состояний. Детальное рассмо-
трение было проведено для центробежного барьера, который появляется
при выходе в непрерывный спектр электронного уровня с ненулевым угло-
вым моментом.
9.8 Влияние заряда центра
на термическую ионизацию и захват
Рассмотрим эту задачу лишь для наиболее актуальной области темпера-
тур Йц;/[1п(ет/^)] < кТ <_ hw//3 и при /3 1. Тогда для вероятности
выброса электрона с энергией £к справедлива формула (9.77), где одна-
ко величина / (формула (9.75)) должна вычисляться с учетом влияния
кулоновского поля центра на электронные волновые функции. При этом
оказывается существенной зависимость / от к. Вычислим прежде всего
электронный матричный элемент М\к, предполагая, что потенциал центра
является суммой короткодействующего потенциала и дальнодействующего
кулоновского потенциала V(r).
Если боровская энергия Ев гораздо меньше, чем значения энергии свя-
182
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
зи, соответствующие ширине перевала при интегрировании по х (формула
(9.82)), то можно не учитывать влияние кулоновского поля на связанное
состояние V1 (г>•*)•
С другой стороны, в интеграле (9.70) существенно поведение волно-
вой функции сплошного спектра V^(r) (S-типа) на расстояниях порядка
1/к, гораздо меньших боровского радиуса. На таких расстояниях влияние
кулоновского потенциала на функцию ?/>Дг) сводится к умножению ее на
величину где ^°(г) — волновая функция сплошного спектра в
кулоновском поле, вычисленная без учета короткодействующего потенциа-
ла и нормированная на единицу в объеме v. Таким образом, выражение для
I2 будет отличаться от выражения (9.85) зоммерфельдовским множителем
ад = ф?(0)Г-
(Более строгий вывод см. в работе Абакумова и др. 1988b.) Для вероятно-
сти выброса e(efc) в состояние с энергией q можно написать
e(£t) = e(£i)Z(£t). (9.100)
Здесь е(е*) — вероятность выброса в отсутствие заряда, определяемая
формулой (9.77), в которую в качестве v/2 следует подставить выраже-
ние (9.85). Полную вероятность выброса ё (тильда означает учет заряда
центра) можно записать в виде
Ъ = с7Г(т*\ / ехр(~Г^)2(е*)Р(е*Ж- (9.101)
Учитывая явный вид зоммерфельдовского множителя (Ландау и Лившиц
1989) для притягивающего центра
z (£}= 27Гу^в/7
+ 1 - ехр(—2тгд/£в/е) ’
имеем ____
- _ р 4-Утг£в [°° ехр(-е/kT*)ds
(£Т*)3/2 Jo 1 - ехр(-2тгл/£в/е) ’
где £в — боровская энергия. Если 4тг2£в < кТ*, то формула (9.103) дает
ё = е, так что в этом случае заряд центра не влияет на термоионизацию.
Если же 4тг2£в кТ*, то можно пренебречь экспонентой в знаменателе
и получить
(9.102)
(9.103)
, /тг£в
е = е4д / —
V кТ*
(9.104)
9,8. Влияние заряда центра на термическую ионизацию и захват
183
В этом случае притягивающий кулоновский потенциал увеличивает веро-
ятность термоионизации.
Рассмотрим теперь отталкивающий кулоновский потенциал. Зоммер-
фельдовский множитель здесь дается формулой (8.4) и для вероятности
термоионизации имеем
4^тг£в у00 exp(-e/AT*)de
(£Т*)3/2 /0 ехр(2тгу/Ев/е) - 1
(9.105)
При 4тг2Ев кТ* вновь видим, что заряд центра не влияет на термоио-
низацию. При 4тг2Ев » кТ* можно пренебречь единицей в знаменателе и
взять интеграл методом перевала. Тогда получим для оптимальной энергии
ет и вероятности термоионизации ё выражения
Em = (7Гх/Ё^Т*)2/3
8 /4тг2ЕвА2/3
ё = е7И^,> ехр
277г2Еву/3~
jtT* /
(9.106)
Коэффициент захвата связан с вероятностью термического выброса со-
отношением детального равновесия. Поэтому коэффициент захвата с (с
учетом заряда центра) связан с коэффициентом захвата на нейтральный
центр с так же, как ё связано с е, т.е. формулами, аналогичными (9.101)-
(9.106). В частности, для отталкивающего центра при 4тг2Ев кТ* имеем
8 /4тг2Ев\2/3
дЬтН ехр
27тг2Ев\1/3'
кТ* J
(9.107)
Экспоненциальная зависимость такого типа была впервые получена Бонч-
Бруевичем (1959). Отличие формулы (9.107) от его результата заключа-
ется в замене температуры Т на эффективную температуру Т*, связанную
с Т формулой (9.59). Появление Т* вместо Т объясняется экспоненциаль-
ной зависимостью вероятности захвата от энергии протуннелировавшего
сквозь кулоновский барьер электрона (см. § 8.2).
Отметим в заключение, что из-за большого численного множителя 4тг2
практически всегда приходится иметь дело со случаем 4тг2Ев кТ*, ко-
торому соответствуют формулы (9.104), (9.106) и (9.107). При низких
температурах Т* —> Т, с сравнительно слабо зависит от температуры и
основная температурная зависимость сечения захвата определяется экспо-
нентой Бонч-Бруевича. Соответствующие экспериментальные данные при-
ведены в главе 8.
184
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Смещение «ядра», Q
Рис. 9.12. Схема термов состояния 2 кислорода в GaP, построенная в работе Henry
and Lang (1977) на основании оптических данных: £с — колебательный терм и
свободные электрон и дырка; £т — колебательный терм, когда электрон связан на
центре; £v — колебательный терм после рекомбинации электрона и дырки; Q —
безразмерное смещение «ядра».
9.9 Пример сравнения с экспериментом.
Захват электрона в состояние 2 кислорода в GaP
Генри и Ланг (Henry and Lang 1977) построили схему адиабатических тер-
мов для состояния 2 кислорода в GaP, исходя из оптических данных. Эта
схема изображена на рис. 9.12. Видно, что терм U\ почти касается терма
U2- Это дает основание считать, что потенциал центра близок к потенци-
алу нулевого радиуса. Применение модели потенциала нулевого радиуса
оправдывается также тем, что в данном случае хорошо выполняется кри-
терий (9.38) (см. § 9.5). На основе данных Henry and Lang (1977) заклю-
чаем, что f3 = 0,55, ет = 0,89 эВ. Экспериментальные данные по сечению
захвата электрона в рассматриваемое состояние были сопоставлены с рас-
четом, основанным на теории, изложенной в предшествующих параграфах.
Результат такого сравнения показан на рис. 9.13. Так как константа связи
/3 не очень мала, для расчета была использована общая формула
а = А ехр(—ф),
(9.108)
9.10. Многомодовая модель
185
Рис. 9.13. Сравнение экспериментальных данных (Henry and Lang 1977) по се-
чению захвата электрона в состояние 2 кислорода в GaP с расчетом по форму-
лам (9.108)-(9.110).
где ф определяется из (9.14), а перевальная энергия Eq (входящая в ф и
А) — из решения уравнения (9.48). Предэкспоненциальный множитель
согласно (9.80), (9.85) и (9.18) можно записать в виде
л - л 16^
А° 27/3
(1-го)1/2[1-(1_^)го]1Д
{4/2in[(i+4/2)/(i-4/2)]}3/2’
(9.109)
где величины zo, £2, и Ао даются соотношениями
= (9.110)
/3 ты
При расчете для /3 и Ет принимались приведенные выше значения, а Ао
и ы использовались в качестве подгоночных параметров. Кривая рис. 9.13
соответствует значениям Кы = 280 К, Ао = 1,4 х 10-13 см2. Расчет по
последней из формул (9.110) дает Ао = 7,5 х 10-13 см2. Расхождение в
численном значении коэффициента Ао, вероятно, связано с тем, что GaP
— многодолинный полупроводник. Если это учесть, то расчетное значение
Ао следует разделить на число долин (которое в данном случае равно 3).
9.10 Многомодовая модель
До сих пор предполагалось, что при рассмотрении процессов многофонон-
ной рекомбинации и ионизации колебательную систему можно описывать
186
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
одной конфигурационной координатой х, которая соответствует той мо-
де локальных колебаний, с которой наиболее эффективно взаимодействует
электрон. Обычно это так называемая дыхательная мода (breathing mode),
соответствующая изменению окружающего дефект объема. Теперь мы рас-
смотрим, какие изменения вносит учет взаимодействия с многими колеба-
тельными модами. При многомодовом рассмотрении часто различают, так
называемые, промотирующие и принимающие моды. Именно промотиру-
ющая мода определяет матричный элемент перехода между начальными и
конечными состояниями, а следовательно, и предэкспоненциальный мно-
житель в вероятности многофононного перехода. Принимающая мода обес-
печивает передачу энергии от дефекта электрону и наоборот. Такая переда-
ча имеет место в многофононном процессе. Таким образом, предэкспонен-
циальный фактор в вероятности многофононного перехода обеспечивается
принимающей модой,(Ьш and Bersohn 1968, Перлин 1963). Роль акусти-
ческих мод как принимающих мод в захвате электрона была рассмотрена
Курносовой (1987). Здесь мы рассмотрим только экспоненциальную зави-
симость вероятности захвата и эмиссии в рамках многомодовой модели.
Более детальное рассмотрение, содержащее вычисление предэкспоненци-
ального множителя, было проделано Иоселевичем и Рашбой (1986).
Для того, чтобы перейти к многомодовой модели, мы перепишем ре-
зультаты одномодовой модели, определяемые уравнениями (9.10) и (9.11),
с использованием функций Лагранжа L\ и Li, описывающих колебательную
систему в условиях, когда электрон связан на центре и когда он свободен,
соответственно:
, ч 1 -> dx
L, = —Uj(x) - —Мх, х = —
v ' 2 dr
= - [ ' Цйт - En, z=l,2. (9.111)
Jo
Необычный знак перед х2в функции Лагранжа связан с тем, что рассматри-
вается подбарьерное движение колебательной системы, так что т является
«мнимым временем»: т = й. Предполагается, что конфигурационная ко-
ордината х является функцией мнимого времени т и удовлетворяет клас-
сическому уравнению движения:
Интегрирование в уравнении (9.111) следует совершать по временному ин-
тервалу, соответствующему переходу от точки поворота а, к точке встречи
9.10. Многомодовая модель
187
адиабатических потенциалов под потенциалом I/, при фиксированном зна-
чении энергии Е. Естественное обобщение уравнений (9.10) и (9.11) на
случай вероятности многофононного перехода в рамках многомодовой мо-
дели дает
Р(Е) = ехр(-25)
hS(E)=([ Ljdr — [ * ЬгАтУ -Е(т2-п). (9.112)
\Jo Jo J
В уравнении (9.112) функции Лагранжа L\ и Е2, описывающие колебатель-
ную систему при условиях, когда электрон связан на центре и свободен,
зависят от координат и скоростей всех колебательных мод. Развитие систе-
мы происходит согласно классическим уравнениям Лагранжа. В первом из
интегралов (9.112) движение происходит под потенциалом^. Оно начина-
ется на поверхности, ограничивающей классически разрешенную область
в этом потенциале и кончается в точке встречи термов, где U\ = С/2. Во
втором интеграле предполагается, что аналогичное движение происходит
в потенциале С/2.
Координаты и скорости каждой из мод при движении в обоих потен-
циалах должны совпадать на поверхности встречи термов е, где U\ = С/2.
Времена т\ и т2 определяют продолжительность подбарьерного движения
в потенциалах U\ и С/2 (времена туннелирования). При этих условиях ва-
риация действия Д5 при фиксированной энергии Е равна нулю. Строгий
вывод (9.112) может быть проведен с помощью метода Фейнмана (Иосе-
левич и Рашба 1986).
Экспоненциальную зависимость вероятности термоионизации е и сече-
ния захвата а можно записать аналогично (9.13) и (9.20) в виде:
е ~ ехр (-ф - , а ~ ехр(-</>). (9.113)
По аналогии с (9.14) ф определяется выражением
ф(Е) = 25(E) + — (9.114)
при оптимальной энергии Е = Ео, которая соответствует минимальному
значению ф = Ф(Е). Энергия Eq определяется уравнением:
<W)
dE
= 0.
Е=Е0
188
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
Легко видеть, что
dS = -TZ~T1 d£.
п
Из этого уравнения для определения оптимальной энергии Ео получаем
уравнение
(Т2 - Т1)|£=£о = (9.115)
которое совпадает с уравнением (9.19) для одномодовой модели.
В случае линейного взаимодействия между электроном и колебатель-
ной системой (модель Хуанга и Рис) функции Лагранжа колебательной
системы Li и £2 имеют вид:
Li = + £т’
V У
+^14)
Li» = ~М + и%(х„ -хо,)2] . (9.116)
Здесь v — номер колебательной моды, М — масса, соответствующая коле-
бательной системе (масса дефекта или элементарной ячейки кристалла),
xv — нормальная координата р-моды, xv = dxv/dr. Сдвиг положения
равновесия xqv обусловлен взаимодействием связанного электрона с коле-
баниями. Уравнения движения внутри интервала (0, л) имеют вид
d2XH- 2/ ч
= u>„(xlv -xov).
Интегрирование этих уравнений дает
xiv = aivch(wvr +хоД (9.117)
Здесь использованы начальные условия
*1Л=о = °>
так как траектория начинается на границе классически разрешенной обла-
сти. Коэффициенты а\и остаются при этом неопределенными. Аналогично
для интервала (0, л) мы получаем
Х2ь* — t22i/Ch(c^y Т)
(9.118)
9.10. Многомодовая модель
189
Используя (9.114), (9.112) и (9.115)-(9.118), мы получаем после вычисле-
ния интегралов
Ф = - £ - ntsh(2^r2)] + 2^. (9.119)
V
Для определения констант и a^v следует принять во внимание, что
координаты xiy, x^v и скорости х2д> совпадают на поверхности U\ = t/2.
Условие сшивки дает
aipCUI/sh(cupTi) = a2pcuI/sh(WpT2)
aipch(cUpTi) + xqv = a2pch(cuI/T2). (9.120)
Из этих уравнений мы получаем:
_ sh(cupT2) sh(cUpTi)
— XQy . . . , П2р — XQv . . . \У.
sh[u?p(т2 - л)] stilus(r2 - л)]
Подстановка (9.121) в уравнения (9.119) дает
_ 2etti _ <Sep /ch[cup(r2 + л)] - ch[cup(-r2 - л)] \
h sh[cup (т2 - л)] J
Seu = ^Mu£x%v. (9.122)
Величины 8e„ определяют вклад р-моды в поляронный сдвиг 5е (см. § 9.2).
Времена туннелирования определяются двумя уравнениями. Первое из
них есть уравнение (9.115). Второе можно получить из условия, что xi„
при т = Т[ и х2р при т — Т2 должны лежать на поверхности U\ = t/2, что
дает:
2 < 2/ \ 2 1.2/ \
-y-atch (а>„л) - ет = > —y-a2ych (о?рт2).
I? I?
В результате получаем
у-, + т2)] _
4- sht/sw./»?-) “(9Л23>
Уравнения (9.122), (9.115) и (9.123) определяют показатель в экспонен-
те ф для вероятностей термоионизации и захвата (см. (9.113)) при учете
взаимодействия электрона с многими модами колебаний. В случае, если
190
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
существенна только одна мода колебаний, эти формулы, как можно легко
проверить, приводят к результату Макварта (9.28). Другой простой случай
— взаимодействие с оптическими колебаниями в пренебрежении диспер-
сией их частот. Легко убедиться, что в этом случае результат совпадает с
одномодовым (9.28) при учете, что бе — 6ev.
Рассмотрим теперь поведение показателя экспоненты ф при низких
температурах. При Т —у 0 время л стремится к некоторой постоянной
величине, тогда как время п стремится к бесконечности. Это связано с
тем, что при Т —> 0 оптимальная энергия Eq приближается к дну терма
1ф. (Сходное поведение л и л, имеет место и в одномодовой модели.)
Поэтому из (9.122) и (9.123), мы получаем при Т —> 0:
ф(Т)|г=0 фо = (е2"- - 1) . (9.124)
п> псиу
и
при этом п определяется уравнением
6ev exp(2u!pTi) = ет- (9.125)
Таким образом, при Т —> 0 время туннелирования л и весь показа-
тель экспоненты для вероятности многофононного захвата определяются
модами с частотами, наиболее близкими к максимальной частоте cuq- По
порядку величины 2л » 1п(ет/5е), как и в одномодовом случае.
Чтобы найти температурную поправку ф, перепишем (9.122) в форме
т----~7Ч7ТТ ехР • (9.126)
Ншпи sn{nWy/2kT) \ 2кТ J
Видно, что температурная зависимость показателя экспоненты в сечении
захвата (разность фо — ф) при низких температурах определяется низкоча-
стотными колебаниями, т.е. акустическими фононами7.
Чтобы получить эту температурную зависимость, надо конкретизиро-
вать характер электрон-фононного взаимодействия. В случае деформа-
ционного взаимодействия с акустическими фононами сдвиг электронного
уровня пропорционален изменению плотности кристалла в окрестности
центра. Тогда энергию взаимодействия с продольными акустическими фо-
нонами можно записать в виде Ец<11уи|г=о, где и — смещение, Ец — дефор-
мационный потенциал (при этом предполагается, что центр находится при
7 Можно показать, что температурные поправки к Т] не играют роли при низких темпера-
турах
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
191
г = 0). Такая запись справедлива для взаимодействия с длинноволновы-
ми колебаниями, которые, согласно (9.126), вносят определяющий вклад в
фо — ф. В сумме (9.126) следует оставить только вклад продольных акусти-
ческих фононов, для которых роль номера моды и играет волновой вектор
q. При выбранном взаимодействии
Е2а2
5£<=2^ =
где N — число ячеек в кристалле, а 5 — скорость звука. Заменяя сумму в
(9.126) интегралом и вычисляя его, получаем (при низких температурах,
когда частоты hujq кТ К/т\ существенны)
tt2F2t2
ф = ^~т^кТ^ <9-128)
Аналогичное рассмотрение пьезоакустического взаимодействия приво-
дит к температурной зависимости фо — ф Т2. Зависимости фо - ф ос Т4
и фо — ф ос Т2 были впервые получены Иоселевичем и Рашбой (1986).
В заключение следует отметить, что возможность нахождения точного
решения для многомодовой модели обусловлена предположением о ли-
нейном характере электрон-фононного взаимодействия (модель Хуанга и
Рис). Это предположение позволило разделить переменные и представить
функцию Лагранжа в виде суммы вкладов отдельных мод.
9.11 Рекомбинационно-стимулированная диффузия
В ряде работ наблюдалось существенное возрастание скорости диффузии
дефектов, стимулированное процессами рекомбинации. Было предложено
несколько механизмов, способных объяснить это явление (см., например,
обсуждение и ссылки в работах Troxell et al. 1979, Абакумова и др. 1991).
В тепловом равновесии диффузия осуществляется путем перескоков
между соседними минимумами потенциальной энергии дефекта. Такой пе-
рескок требует преодоления энергетического барьера, и вероятность пере-
скока содержит активационную экспоненту
( Ба\
w = wo ехр ( , (9.129)
где обычно энергия активации Еа порядка одного или нескольких десятых
электрон-вольта, а предэкспоненциальный множитель wq порядка фонон-
ных частот (~ 1013 с-1). При инжекции неравновесных носителей часто
192
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
наблюдается уменьшение энергии активации и даже ее исчезновение (атер-
мическая диффузия).
Один из механизмов увеличения скорости диффузии может быть свя-
зан с тем, что в процессе рекомбинации происходит изменение зарядового
состояния дефекта. Например, первоначально нейтральный дефект, захва-
тывая электрон, становится отрицательно заряженным, а акт захвата дырки
(который завершит процесс рекомбинации) возвращает его в нейтральное
состояние. Если отрицательно заряженный дефект имеет меньшую энер-
гию активации, чем нейтральный, то для данного примера рекомбинация
ускорит диффузию. Подобный механизм ускорения диффузии (механизм
перезарядки) был установлен для ряда радиационных дефектов в крем-
нии: изолированных вакансий, пар — вакансия плюс донор в междоузлии
(Watkins 1975, Kimerling et al. 1975, Evwaraye 1977).
Минимумам потенциальной энергии заряженного и нейтрального де-
фекта могут соответствовать различные его положения в кристалле. Более
того, минимум потенциала для одного зарядового состояния может быть
седловой точкой для другого (Bourgoin and Corbett 1972). В этом случае
в каждом акте рекомбинации будет происходить один перескок дефекта и
диффузия будет атермической. Предполагается, что такой механизм (ме-
ханизм седловой точки) обуславливает ускорение диффузии F-центров в
щелочногалоидных кристаллах (Liity 1968). Для дефектов в полупровод-
никах этот механизм был предложен Bourgoin and Corbett (1972).
Термин «рекомбинационно-стимулированная диффузия» обычно связы-
вают с другим механизмом ускорения диффузии, обусловленным выделе-
нием энергии в акте рекомбинации (механизм освобождения энергии). В
процессах многофононного захвата электрона и дырки на дефект освобо-
ждающаяся энергия передается колебаниям решетки в окрестности цен-
тра. Некоторая доля этой энергии может сосредотачиваться в той моде
колебаний, которая инициирует диффузию. В общем случае это приво-
дит к понижению энергии активации, а если эта доля энергии превыша-
ет Еа, то рекомбинационно-стимулированная диффузия будет атермиче-
ской (т.е. не зависящей от температуры). Такой механизм был уверенно
установлен для ряда радиационных дефектов в GaAs, GaP, Si (Lang and
Kimerling 1974, 1976, Lang et al. 1976b, Gregory 1965, Troxell et al. 1979).
Рекомбинационно-стимулированная диффузия была впервые обнаружена
по резкому увеличению скорости отжига радиационных дефектов ЕЗ в р+п-
структурах GaAs при подаче на нее прямого смещения (Lang and Kimerling
1974). Скорость отжига при обратном смещении была такая же как и при
нулевом смещении, хотя зарядовое состояние дефектов в этих двух случа-
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
193
ях было различным. Это означает, что скорость диффузии не зависит от
заряда дефекта, что исключает действие механизма перезарядки. Механизм
седловой точки также удалось исключить экспериментально. При много-
кратных переключениях с нулевого смещения на обратное (при каждом из
которых менялось зарядовое состояние центра) не было зарегистрировано
заметного увеличения скорости отжига. Таким образом, было установлено,
что гигантское увеличение скорости отжига при прямом смещении обусло-
влено самими актами захвата дырок (неосновных носителей) в процессе
рекомбинации, а не изменениями зарядового состояния дефектов. Уровень
дефекта ЕЗ удален от зоны проводимости GaAs на 0,41 эВ, так что при
захвате дырки высвобождается гораздо большая энергия (1,1 эВ), чем при
захвате электрона. Именно выделение энергии при захвате дырок и при-
водит к ускорению диффузии. В работе Стивенарда и Бургуена (Stievenard
and Bourgoin 1986) это заключение было подвергнуто критике и сделана
попытка объяснить рекомбинационное увеличение скорости отжига дефек-
та ЕЗ механизмом седловой точки. Авторы этой работы отметили, что в
условиях эксперимента Кимерлинга и Ланга изменение зарядового состоя-
ния дефекта за счет равновесных термических процессов захвата и выброса
электронов происходило с частотой 25 МГц. Частота переключений с ну-
левого смещения на обратное в этих экспериментах составляла 1,7 МГц и,
таким образом, переключения не могли существенно сказаться на процес-
се отжига, если бы этот процесс определялся по их мнению механизмом
седловой точки. Однако, как указывают Кимерлинг и Ланг, общее число
изменений зарядового состояния дефекта за счет переключений в их экс-
перименте (за 3 часа) превышало число изменений зарядового состояния
за 11 минут рекомбинационного отжига. Поэтому эти критические замеча-
ния Стивенарда и Бургуена нельзя признать убедительными. Кроме того,
ясно, что при механизме седловой точки термическая энергия активации
отжига Еа не может превышать термическую энергию активации электро-
на, т.е. 0,3 эВ, тогда как для дефекта ЕЗ энергия Еа » 1,4 эВ.
В опытах Стивенарда и Бургуена наблюдалось снижение энергии ак-
тивации с ростом скорости инжекции до значений меньших, чем разность
Еа — ет, где Ет — энергия термического выброса дырки. Этот факт они так-
же считают противоречащим механизму «освобождения энергии». Ниже
будет показано, что противоречий на самом деле нет.
Для теоретического описания рекомбинационно-стимулированной диф-
фузии были предложены две различные модели. Первая основана на пред
ставлении о «тепловой вспышке» (Seitz 1954). В этой модели предпояа!^-
стся, что выделившаяся при захвате носителя энергия приводит к локально
194
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
му разогреву кристалла вблизи дефекта, тем самым повышая вероятность
его перескока.
Другая, по-видимому более реалистичная модель, учитывает сущест-
венно неравновесный характер энергетического распределения в колеба-
тельной системе дефекта (Weeks et al. 1975). Согласно этой модели,
энергия, выделяемая при захвате носителя, быстро распределяется между
несколькими модами локальных или квазилокальных колебаний дефекта, а
затем сравнительно медленно уходит в решетку. В результате в стационар-
ном режиме устанавливается неравновесное стационарное распределение
энергии в системе мод дефекта f(E). Вероятность прыжка дефекта можно
записать в виде
Г со
I f(E)ps(E)K(E,EJdE, (9.130)
JEa
где s — число мод, связанных с дефектом, а(Е) — плотность состояний
системы 5 осцилляторов, К(Е, Е^ — вероятность того, что когда система
осцилляторов имеет энергию Е, то в одной моде (инициирующей диффу-
зию) соберется энергия большая, чем Еа.
Величину ps(E) для простейшего случая системы одинаковых осцил-
ляторов можно найти из следующих простых соображений. Имеет место
соотношение8
ps(£)= I" pitE'jp^E-E'jdE'. (9.131)
до
Плотность состояний одного осциллятора pi(E) не зависит от энергии
(pi = (Тго;)-1), и формула ( 9.131) приобретает вид
А(Е)=Р1 ГА_1(Е')<1Е'. (9-132)
Jo
Из этого рекурентного соотношения легко получить
rs-l
л(£) = р*(ГЛ)1- (9ЛЗЗ)
8 Его можно проверить простой подстановкой, если воспользоваться квазиклассическим
определением ps(E)'.
р,(Е) = (2тгП)"5 J ап • • • drs<5(£ - Е{ - Е2-----Е*),
где с!Г, — элемент объема фазового пространства /-го осциллятора, Е, — его энергия как
функция координаты и импульса.
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
195
Вероятность К(Е,ЕЛ), очевидно, равна отношению числа состояний в
системе s — 1 осцилляторов с энергией меньшей, чем Е — £а, к полному
числу состояний системы 5—1 осцилляторов с энергией меньшей, чем £:
К[Е, Е1)===(9Л34)
/0 p,_i (£')<!£' рХ£) Е
Здесь при преобразованиях использованы соотношения (9.132) и (9.133).
В результате формула (9.130) приводится к виду
w = w0 [ f(E)Ps(E - £a)d£. (9.135)
Je,
В условиях равновесия функция /(£) равна
/(£) =Ае~£/и', A=(J0 е~Е/кТР^Е№^ (9.136)
Используя (9.133) и вычисляя интегралы, получаем, что из формулы
(9.135) следует выражение (9.129).
Чтобы рассмотреть рекомбинационно-стимулированную диффузию,
следует найти неравновесную функцию f(E~) при наличии рекомбинации.
Для этого можно использовать уравнение Фоккера-Планка, из которого
следует:
В(£) {Е(Е) + ктЦ^- ) = j. (9.137)
\ </£ /
Левая часть этого уравнения представляет собой поток вниз в про-
странстве энергии, обусловленный взаимодействием системы с термоста-
том (решеточными колебаниями). При этом «коэффициент динамического
трения» В(£) равен (см. приложение 7)
ад =
(9.138)
где т(£) — время энергетической релаксации, выделенной колебатель-
ной системы дефекта. Правая часть уравнения (9.137) есть поток вверх
но энергии, обусловленный приходом в колебательную систему дефекта
шергии, высвобождающейся в процессе захвата избыточных носителей. В
процессе рекомбинации устанавливается разное распределение по энерги-
им колебаний для дефекта с электроном /1(£) и без него /г(£). Различие
196
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
обусловлено тем, что величина энергии, выделяющейся при захвате элек-
трона и дырки различна. В ситуации, когда уровень лежит ближе к зоне
проводимости, чем к валентной зоне, при захвате дырки выделяется боль-
шая энергия, чем при захвате электрона, так что неравновесность функции
fi(E) наиболее выражена.
При рассмотрении процесса многофононного захвата (см. §§ 9.3-9.4)
вероятность захвата быстро растет с увеличением уровня колебательной
энергии центра. В то же время вероятность заселения колебательного уров-
ня быстро уменьшается. Поэтому темп захвата (capture rate) как функ-
ция энергии колебаний Е имеет острый максимум, при некоторой энергии
Е = Eq- Можно считать, что значение Eq при наличии рекомбинационного
потока через центр такое же как и в равновесных условиях. В случае за-
хвата дырок это утверждение оправдано, если в области энергий в окрест-
ности Ео распределение /1(Е) еще слабо искажается рекомбинационным
потоком. В то же время рекомбинация (как будет видно ниже) может силь-
но обогащать распределение /?(Е) при больших энергиях, существенных
для диффузии дефектов.
В § § 9.3-9.5 рассматривалась одномодовая модель центра. Поэтому тре-
бует пояснений утверждение о том, что скорость захвата имеет резкий
максимум как функция полной колебательной энергии Е многомодового
дефекта. За захват ответственна та мода колебаний, которая сильнее все-
го взаимодействует с электроном. Будем считать, что такая мода одна, и
обозначим сосредоточенную в ней энергию колебаний через Е\. Тогда
скорость захвата дырки дефектом с локализованным электроном пропор-
циональна выражению
/,(£>(£) Г^’^РСЕОаЕ!,
Jo
где Е — полная колебательная энергия дефекта с электроном, К{Е,Е\)
определена в связи с формулой (9.130) (явное выражение для нее дается
формулой (9.134)), P(Ei) вероятность туннельного перехода ядра, приво-
дящего к захвату дырки. Так как P(Ej) экспоненциально возрастает с ро-
стом Е], то скорость захвата практически будет пропорциональна произве-
дению /(E'jPfE), которое имеет резкий максимум при той же оптимальной
энергии Eq, что и вычисленная в рамках одномодовой модели.
Примем такую модель. Каждый акт захвата дырки приводит систему
«дефект + локализованный электрон» в состояние с колебательной энер-
гией £Th + Еоь (еть — энергия термической эмиссии дырки, Еоь — опти-
мальная энергия, определяющая захват дырки), а каждый акт захвата элек-
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
197
трона уводит эту систему из состояния (Е^ — оптимальная энергия
туннелирования дефекта при захвате электрона).
Тогда вся энергетическая ось разбивается на три интервала:
1) Е < Ео,., 2) Еое < Е < Еоь + £ть, 3) Е > Еоь + £тъ-
В первом интервале j = 0 и получаем
/2(Е) = А ехр - — при Е < Еое-
(9.139)
Во втором интервале J - ьц, где ьц — частота рекомбинации (число
захватов на один центр в единицу времени), поэтому
л(Е>=л «р (4)+g £ pi*»
при Еое < Е < Еоь + еть-
Нижний предел интеграла во втором члене выбран из условия непрерыв-
ности функции /г(£) при Е = Еое.
Наконец, в третьем интервале снова j = 0, так что
/ £
/2(Е) =А'ехр I- —
при Е > Еоь + Етъ-
(9.141)
Константа А' определяется из условия непрерывности функции /г(Е) при
Е = Еоь + £тъ.'
А' = А +
гЕоь+е-п.
^4
ехр(Е'/ЛГ) ,
«(£') “
(9.142)
Основной вклад в интеграл вносит область вблизи верхнего предела, так
что В(Е') можно вынести из-под интеграла при Е' = Еоь + £ть- Тогда
получим
А1 = А + —--------------
В (Еоь + £ть)
( #оь + £ть \
к кт )
(9.143)
Напомним, что в этом рассмотрении предполагается, что рекомбинация
мало меняет функцию распределения в области энергии вблизи Еоь и мень-
шей, чем Еоь- Поэтому темп рекомбинации vrR определяется равновесной
функцией распределения колебательных энергий и для Еоь можно исполь-
ювать то ее значение, которое было получено ранее при рассмотрении ре-
комбинации и термической ионизации в равновесных условиях. Поскольку,
198
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
как правило, Еоь > кТ, то нормировочная константа А определяется пер-
вым интервалом и совпадает с выражением (9.136). Подставляя выражение
(9.141) в (9.135) и учитывая формулу (9.143), получим для вероятности
прыжка выражение
и’ = иг + wr, (9.144)
где иг — вероятность прыжка в равновесных условиях, a wr — увеличение
вероятности прыжка из-за рекомбинации.
Если Еа > Еоь + е-ги, то
WR = д(£ g 1 еХр [ e~E/kTPs(E - EJdE. (9.145)
B(EOh + еть) \ kT J JEi
Используя выражения для ps (формула (9.133)), вычисляя интеграл и под-
ставляя выражение для В (формула (9.138)), получим
( \\\( кТ ¥ ( £a-£oh-EThA (а'л/Л
WR = wqurt{s - 1)! -—;--- exp---------—----- . (9.146)
\Eoh + ETh/ \ kT J
Здесь т — время энергетической релаксации колебательной системы, свя-
занной с дефектом, на уровне Еоь + £ть, Иг = na{v) — темп захвата на
один дефект, п — концентрация захватываемых носителей, (v) — их сред-
няя скорость, а — сечение многофононного захвата.
Рассмотрим теперь случай, когда Еое < Еа < Еоь + £ть- В этом случае
энергия Еа попадает в интервал 2, где функция распределения определяется
формулой (9.140), которая при Е - Еое 3> кТ принимает вид
Л(Е)=Аехр(-А)+^. (9.147)
Для увеличения вероятности прыжка из-за рекомбинации при этом имеем
А+е-п, (£ _ ЕА [ЕМ (£ _ £a)s-lT(£)
WR = wQi^. ——-—dE = ггоиг / ------7Г'----
JEi В(Е) JEt Es
(9.148)
Верхний предел в этом интеграле есть верхняя граница интервала 2, по-
сле которой функция /2(E) экспоненциально спадает (формула (9.141)).
Видно, что в этом случае температурная зависимость вероятности прыжка
полностью определяется температурной зависимостью темпа рекомбина-
ции 14< (хотя энергия Еоь, входящая в верхний предел интеграла, зависит
от температуры, однако, обычно Еоь < £т и величиной Еоь можно прене-
бречь).
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
199
В первом случае (когда Еа > Еоь + £ть, формула (9.146)) активацион-
ная температурная зависимость вероятности прыжка сохраняется, однако,
энергия активации существенно понижена. Это понижение главным обра-
зом обусловлено энергией еть, вносимой дыркой в колебательную систему.
Дополнительное изменение эффективной энергии активации связано с ве-
личиной EOh, а также температурной зависимостью темпа захвата pr и
предэкспоненциального множителя в формуле (9.146).
Приведенный выше вывод формул (9.146) и (9.148) почти полностью
повторяет теорию Викса и др. (Weeks et al. 1975). Различие заключает-
ся лишь в том, что в работе Викса и др. предполагается независимость
вероятности захвата от колебательного состояния центра. В нашем вы-
воде использован тот факт, что вероятность захвата резко увеличивается
при увеличении колебательной энергии, так что скорость захвата (произ-
ведение скорости захвата на функцию распределения по колебательным
состояниям) имеет резкий максимум при оптимальной энергии Еоь- Этим
обусловлено некоторое различие между приведенными результатами и ре-
зультатами работы Викса и др. (Weeks et al. 1975). Например, вместо
формулы (9.146) в работе (Weeks et al. 1975) получено (в наших обозна-
чениях)
/Еа-ЕтУ-1 / Еа-£дА
w = WQURT —-— ехр------—— .
\ Еа У \ кТ J
Формула (9.146) представляет собой первую поправку по параметру
prt к равновесной скорости диффузии дефекта. В первом приближении по
этому параметру функция распределения /г(Е) получает добавку в виде
плато (слабо, не экспоненциально зависящего от энергии), простирающе-
। ося до энергии еть +Еоь (см. формулу (9.140)), а функция /1(Е) — в виде
плато, простирающегося до энергии ете + Еое. Вторые поправки к этим
функциям связаны с возможностью захвата электронов и дырок центром с
большими энергиями колебаний, соответствующими этим плато. Это при-
водит к тому, что во втором порядке появляется плато до энергии колеба-
ний Е = Eg, Eg — ширина запрещенной зоны. Подробнее см. Абакумов и
чр. (1989). Если Еа < Eg, то это приводит к атермической диффузии. Та-
ким образом энергия активации диффузии может уменьшиться на энергию
'•низкую к Ет (за счет первой поправки), а затем на энергию близкую к Eg
I ia счет второй поправки). Возможно именно с этим связано уменьшение
шсргии активации с ростом тока инжекции, наблюдавшееся Стивенардом
и Бургуеном (Stievenard and Bourgoin 1986). Отметим, что на возмож-
ность приобретения дефектом энергии Eg в результате практически одно-
200
Глава 9. Многофононный захват носителей заряда
временного захвата электрона и дырки впервые указал Суми (резонансный
механизм захвата, Sumi 1983). Эта идея была развита в работах Абакумо-
ва и др. (1991а,Ь) и Яссиевич (Yassievich 1994). В этих работах была, в
частности, рассмотрена простая модель, согласно которой распределение
дефектов по колебательным энергиям Е обусловлено исключительно про-
цессами захвата и выброса электронов и дырок. Такая модель оправдана в
условиях высокой плотности электронно-дырочной плазмы, созданной при
возбуждении светом или инжекцией. Было показано, что при таких усло-
виях «хвост» распределения дефектов /(Е) по колебательным энергиям Е
имеет вид
(Е \
~кт^ ) ’ (9-149)
КI 1
где эффективная температура
Г = ^1п^Ч (9.150)
к пр
Е& —ширина запрещенной зоны, пир — концентрации электронов и ды-
рок, a N*, N* — эффективные плотности состояний в зоне проводимости
и валентной зоне.
Шейнкман (1983) предложил механизм рекомбинационно-стимулиро-
ванной диффузии, не связанный с многофононным захватом и также при-
водящий к уменьшению энергии активации на энергию приблизительно
равную ет- Предполагается, что электрон на центре наряду с основным со-
стоянием может быть также и в метастабильном возбужденном состоянии.
Предполагается также, что возбужденное состояние центра соответствует
седловой точке потенциала и что термическая диффузия происходит благо-
даря возбуждению электрона из основного состояния в это возбужденное.
Термическая энергия активации Еа, таким образом, равна энергетическому
зазору между этими двумя состояниями. При акте рекомбинации происхо-
дит опустошение центра путем захвата на него дырки, и электрон из зоны
проводимости получает возможность захватиться сразу на возбужденное
состояние. При этом энергия активации прыжка уменьшается примерно
на ет (если возбужденный уровень лежит выше уровня Ферми) или диф-
фузия приобретает атермический характер (если возбужденный уровень
лежит ниже уровня Ферми). В принципе такой механизм возможен и ука-
зания на его проявление приведены в работе Шейнкмана (1983). Однако
в экспериментах Ланга и Кимерлинга (Lang and Kimerling 1974) показано,
что изменение зарядового состояния центра не влияет на скорость равно-
весного отжига, и, следовательно, прыжки не связаны с тем есть или нет
9.11. Рекомбинационно-стимулированная диффузия
201
на центре носитель, который мог бы возбуждаться. Поэтому можно заклю-
чить, что в экспериментах Ланга и Кимерлинга механизм Шейнкмана не
проявлялся.
Вопрос о механизмах, ускоряющих диффузию дефектов при рекомбина-
ции, имеет важное значение для изучения причин деградации полупровод-
никовых лазеров. Этим вопросам посвящен обширный обзор Елисеева и др.
(1983), в котором дана подробная библиография и детально обсуждается
дефектообразование при захвате электронов на резонансные состояния.
Глава 10
Термоионизация и захват в электрическом поле
10.1 Введение
Влияние электрического поля на термоионизацию и захват носителей заря-
да представляет самостоятельный интерес с точки зрения физики этих про-
цессов. Кроме того, часто в полупроводниковых структурах эти процессы
протекают в областях объемного заряда, в которых имеются значительные
электрические поля.
Влияние электрического поля на вероятность тепловой ионизации при-
тягивающих кулоновских центров обычно связывается с эффектом Пула-
Френкеля. Эффект получил свое название по имени Пула, впервые на-
блюдавшего экспоненциальное возрастание проводимости диэлектрика в
предпробойном состоянии (Poole 1914), и Френкеля, теоретически объяс-
нившего этот эффект (Френкель 1985). Идея Френкеля заключается в том,
что при наличии электрического поля £ происходит понижение потенциала
ионизации примесного центра (см. рис. 10.1) на величину Es, равную
i7 piF
Е£ = 2\—, (10.1)
V к
вследствие искажения потенциала примеси. Из-за этого вероятность тер-
мической ионизации в присутствии поля возрастает по закону
е(£) а ехр . (10.2)
На самом деле обычно имеется зависимость от электрического поля и в
предэкспоненте. Кроме того, формула (10.2) основана на чисто классиче-
ских представлениях о движении электрона. Если существенно туннелиро-
вание, то сама экспоненциальная зависимость будет другой. Для нейтраль-
ных центров с короткодействующим потенциалом влияние электрического
поля на ионизацию определяется полностью эффектом туннелирования.
202
10.2. Термоионизация притягивающих кулоновских центров
203
Рис. 10.1. Кулоновская потенциальная яма: (а) в отсутствие внешнего электри-
ческого поля, (б) в присутствии электрического поля (энергия Ее определяется
формулой (10.1)).
В этой главе рассматривается влияние электрического поля для двух
механизмов ионизации: каскадного (Абакумов и др. 1978а) и многофонон-
ного (Карпус и Перель 1986). Будет рассмотрен также захват в электри-
ческом поле (Абакумов и др. 1978b, 1988b). Для этого процесса, кроме
влияния электрического поля на сам акт захвата, существенное значение
имеет распределение носителей по энергиям, вызванное разогревом в элек-
трическом поле.
В отличие от равновесной ситуации термоионизация и захват в элек-
трическом поле уже не связаны принципом детального равновесия. По-
этому их следует рассчитывать отдельно. В последние годы были выпол-
нены эксперименты по туннельной ионизации глубоких центров дальним
инфракрасным излучением. В связи с этим в последних трех параграфах
этой главы рассмотрены процессы ионизации под влиянием переменного
электрического поля.
10.2 Термоионизация притягивающих кулоновских центров
в электрическом поле в условиях энергетической
диффузии по высоковозбужденным состояниям
Вычисление вероятности термоионизации с изолированного кулоновско
го центра проведем методом Питаевского, аналогично тому как рассма
204
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
тривался каскадный захват в § 3.2. Функция распределения по полной
энергии f(E) удовлетворяет в области отрицательных энергий уравнени-
ям типа (3.10)
В(Е,£)(/(Е) + ктЦУр-} = -е(Е) (10.3)
с тем, однако, отличием, что в правой части вместо рекомбинационного по-
тока j стоит термогенерационный поток е направленный вверх по энергии.
Кроме того, коэффициент динамического трения зависит от электрическо-
го поля и определяется формулой, аналогичной (П7.19)
В(Е,£) = [^^ь(е-е- — + е£-т\йей3г, (10.4)
J Те \ «Г /
где в случае релаксации на акустических фононах те определено форму-
лой (П4.13), а р(е) — формулой (П6.9). В формуле (10.4) учтено, что
в полную энергию Е, кроме кинетической энергии е и энергии в поле
центра, дает вклад также энергия электрона во внешнем электрическом
поле. Предполагается, что и при наличии внешнего электрического поля
выполняется соотношение Эйнштейна (П7.9), поскольку энергетическая
диффузия происходит под воздействием равновесных фононов.
По своему смыслу коэффициент термической ионизации равен потоку
с одного изолированного центра в стационарном режиме при условии, что
заселенность основного состояния поддерживается равной единице. По-
этому можно считать, что функция f (Е) равна единице при Е = -еь (£ь
— энергия связи в основном состоянии). Тогда к уравнению (10.3) можно
поставить следующие граничные условия
~ехР J ’ /(Е')\е=-е£ = 0- (10.5)
Первое условие предполагает, что генерационный поток не искажает рав-
новесное распределение на достаточно глубоких уровнях. Второе — что
электрон, перешедший в область сплошного спектра, не возвращается на-
зад в область связанных состояний. При этом учитывается, что в электри-
ческом поле связанные состояния существуют лишь до энергии Е < — Ее,
где Ее определяется формулой (10.1).
Решение уравнения (10.3) с учетом второго из условий (10.5) имеет
вид
е(£) ехр(—E/W) dE'exp(E'/^)
/(£)" кт JE в(Е>;ё)........................• (10-6)
10.2. Термоионизация притягивающих кулоновских центров
205
Первое из граничных условий (10.5) позволяет определить генерационный
поток
е(£) — кТ ехр
£W\ / dE'exp(E7W)\
If) V-oo J
(Ю.7)
Нижний предел в интеграле здесь положен равным -оо, так как суще-
ственная область интегрирования охватывает область порядка нескольких
кТ вниз по энергии.
Чтобы вычислить е (f), необходимо найти коэффициент динамического
трения В(Е, £). Выполняя интегрирование в (10.4), имеем
В(Е,£) =
4wi
7t/qE£
(10.8)
где /о определено формулой (П3.14), а
г* /1 \2 2 г л
= _2йу Jo ‘М4x2y-x + 1j ’ XW = у L1 - (1 ~>’)1/2] •
(Ю.9)
Простое аналитическое выражение получается для генерационного пото-
ка е(£) в достаточно сильных электрических полях, когда Es » кТ. В
этом случае для вычисления е (5) достаточно лишь знания коэффициента
В(Е, £) при Е = —Es- Действительно, при этом в формуле (10.6) величи-
на В-1(Е', £} может быть вынесена из-под знака интеграла при Е' = —Es,
соответствующем верхнему пределу. Из (10.9) имеем х(1) ~ 0,68, соот-
ветственно из (10.7) и (10.8) для потока получаем
е(Е) =
1,36 m
7Г l0Es
(10.10)
При произвольном значении электрического поля выражения для е(£)
можно представить в виде
где
4wi /e2Z\3 ехр[— (e^l — Es^/kT]
3-kIqEs \nh) ^(Es/kT)
2 Г00
фМ) = Jo
ехр(-771)
x(i+0
(10-11)
(10.12)
206
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
10
8
1__।_____I. и in________।_____।__111 in ।____।_______
0,1 0,2 0,3 0,6 1 2 3 6 10 20 ц
Рис. 10.2. График функции -0(т?), построенной с помощью расчета по (10.12) (т] =
Е/кТ).
а функция х(1) определена формулой (10.9).
На рис. 10.2 представлен график функции V(t?). Асимптотические зна-
чения функции 1/1(77) при малых и больших значениях т] следующие:
Г 1/?7 при г] —> 0
[ 0,98 при т] —> оо ’
Расчет на ЭВМ практически дает то же, что и простая интерполяционная
формула для ф:
(10.13)
Предельные значения ф^т]), вычисленные по этой формуле, практически
совпадают с вышеприведенными.
Таким образом, зависимость е(Е) хорошо описывается формулой:
Зтг \ nh
Здесь е есть генерационный поток в отсутствие электрического поля. Он
получается из формулы (10.7), если в ней положить 8 = 0 и, соответствен-
но, Ее = 0. Естественно, что то же самое выражение для е может быть
получено с помощью принципа детального равновесия (1.76) из выражения
для сечения захвата (3.4).
10.3. Каскадный захват в электрическом поле
207
Напомним, что уравнение (10.3), которое использовалось при выводе
формулы (10.14), справедливо в той области энергий, где электроны вза-
имодействуют в основном с дотепловыми фононами, т.е. где выполнено
неравенство т/|Е|тп.у2 С кТ. Соответственно возникает ограничение на
величину электрических полей, для которых справедлива формула (10.14):
Е£ « (10.15)
ms£
Отметим также, что возможность использования квазиклассического при-
ближения требует, чтобы энергии Е£ и кТ оставались меньше 0,25Ев (см.
§ 3.6). Для ориентировки укажем, что в кремнии, где ms2 — 2,8 К для ды-
рок и ms2 = 1,8 К для электронов, для однозарядного центра Ев ~ 400 К,
а энергия Е£ = 2,5 К в поле 5=1 В/см и Е£ = 250 К в поле 5 = 104 В/см.
В экспериментах (Sah et al. 1969, Tasch and Sah 1970, Rosier and Sah
1971) проводились измерения зависимости коэффициента термоионизации
примесных золота и серы в полях (1-14) х 104 В/см. Эксперименталь-
но наблюдаемая зависимость оказалась намного слабее, чем предсказы-
вается на основе эффекта Пула-Френкеля. Отметим, что в таких полях
Е£ = 1000 К. При этих условиях можно ожидать, что термоионизация
определяется многофононными процессами (см. § 10.4). Насколько нам
известно, экспериментов по непосредственному измерению коэффициента
термической ионизации при низкой температуре и, соответственно, в более
слабых электрических полях, которые допускали бы корректное сравнение
с каскадной теорией, до настоящего времени не проводилось.
10.3 Каскадный захват в электрическом поле
Основным фактором, с которым связано изменение коэффициента захвата
в электрическом поле, является разогрев электронного газа. При разогре-
ве уменьшается число электронов с малой энергией, которые эффектив-
но захватываются при каскадном процессе. Разогрев должен приводить к
уменьшению коэффициента захвата. Поскольку число электронов у дна зо-
ны пропорционально Т~3/2, то разогрев электронов приводит к изменению
коэффициента захвата в (Т/Те)3/2 раз, где Те — электронная температура.
(Соответственно сечение захвата меняется в (Т/Т^)2 раз.)
Другим фактором является изменение плотности высоковозбужденных
состояний на центре. Поле «срезает» энергетическую полоску состояний,
примыкающих к сплошному спектру, шириной порядка Е£ = 2^/e3Z5/«.
благодаря пул-френкелевскому понижению потенциала ионизации (см.
208
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
§ 10.2). Этот фактор приводит к дополнительному уменьшению коэффи-
циента захвата.
Уравнение для функции распределения электронов на центре имеет
вид, аналогичный (10.3),
В(Е, 8) (f(E) + ктЦ^-) = j(E), (10.16)
где J(£) = лс(£) — рекомбинационный поток электронов на центре, п —
концентрация электронов вдали от центра, с(£) — коэффициент захвата в
электрическом поле.
В отличие от задачи о термической ионизации граничные условия к
уравнению (10.16) имеют вид, аналогичный тем, которые используются в
теории каскадного захвата в отсутствие поля (глава 3)
f(-Ei) = 0 при Ei^kT
/7 ь2\3/2
Л-^) = п- (10-17)
\ filly, 1 g /
Первое условие означает, что при Е = —Е\ имеется «черная стенка», по-
глощающая электроны, а второе — что функция распределения электронов
на центре непрерывно сшивается с функцией распределения в зоне на гра-
нице со сплошным спектром. При этом предполагается, что кТе » Ее, так
что функция распределения в зоне мало меняется на интервале Ее.
Решая уравнение (10.16) с граничными условиями (10.17) и используя
для В(Е, 8} выражение (10.8), получим для коэффициента захвата интер-
поляционную формулу (Абакумов и др. 1978b) аналогично тому, как это
сделано в предыдущем параграфе для е(5)
/ 7 \ 3/2 / j? \ -1
с(5)=с - 1+0,98-^ , (10.18)
\ -*с / \ /
где с — коэффициент захвата в равновесных условиях (с = <r(v), <т и (v)
определяются формулами (3.4) и (1.23), с <х Т~5/2).
Полученные теоретические результаты находятся в хорошем согласии
с измерениями, выполненными Годиком и др. (1966, 1978). В этих работах
изучалось влияние электрического поля 0,5-300 В/см на захват и рассеяние
дырок в кремнии, легированном бором, в интервале температур 4-20 К.
Оказалось, что с увеличением электрического поля время жизни нарастает
(пропорционально 8 или Е2 в зависимости от образца и температуры). В то
10.4. Многофононная ионизация нейтрального центра
209
Рис. 10.3. Время жизни т и подвижность ц дырок в кремнии, легированном бором,
с концентрацией бора = 9,2 х 1013 см"3 и концентрацией компенсирующих
примесей Nd = 9,5 X 1012 см-3 при температуре Т = 4,2 К в электрическом поле
8. (о) — экспериментальные значения времени жизни; (•) — экспериментальные
значения подвижности; кривые — результаты теоретического расчета.
же время температурная зависимость времени жизни ослабевает с ростом
поля, и в полях 40-50 В/см. Эта зависимость для различных образцов
изменяется от т ос Г0,5 до т ос Т0,3.
Увеличение времени жизни и ослабление его температурной зависимо-
сти с ростом электрического поля наблюдалось в целом ряде работ (см.
обзоры Koenig 1958, Глинчука и Литовченко 1978). Детальное сравнение
теории с экспериментом требует расчета функции распределения носите-
лей в электрическом поле, чтобы установить связь между полем и Те. Та-
кое сравнение было произведено для экспериментов Годика и др. (1978),
причем относительная роль примесного рассеяния подбиралась так, чтобы
описать измеренную зависимость подвижности от поля. На рис. 10.3 даны
результаты сравнения теории и эксперимента.
10.4 Многофононная термическая ионизация нейтрального
центра в электрическом поле
Влияние электрического поля на многофононный процесс термической ио-
низации обусловлено тем, что в поле появляется возможность выброса
с центра электрона с отрицательной энергией е (отсчитанной от грани-
210
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.4. Энергетическая схема и схема адиабатических термов в электрическом
поле: (а) энергетическая схема для движения электрона в электрическом поле,
направленном против оси z (еь — энергия связи, е — энергия вылетевшего элек-
трона); (б) схема адиабатических термов U движения ядра; х — конфигурационная
координата. Сплошные кривые: Ui — электрон связан на центре; U2 — электрон
оторван от центра и находится на дне зоны проводимости е = 0. Штриховые
кривые — термы Ue в электрическом поле: характерный терм 1/£ при слабом элек-
трическом поле (кривая 1); терм в предельном случае сильного поля (кривая 2).
ет — термическая энергия связи; eopt — оптическая энергия ионизации.
цы сплошного спектра без поля). При этом электрон туннелирует через
треугольный барьер (см. рис. 10.4а). Вероятность такого туннелирова-
ния пропорциональна exp[-(4/3)\/2wi|e|3/2/fiF], где F = |е£|, 8 — на-
пряженность электрического поля. В области «средних» температур (см.
§ 9.7), в которой многофононный переход определяется термостимулиро-
ванным туннелированием «ядра», зависимость вероятности перехода от
энергии вылетевшего электрона определяется экспонентой ехр(—2т2е/Й)
(см. § 9.6). В данном случае, однако, переход происходит на терм Us, ле-
жащий ниже терма и показанный пунктиром на рис. 10.46. Из этого
рисунка видно, что барьер для туннелирования ядра уменьшается. Таким
образом, вероятность многофононной термоэмиссии электрона в состоя-
ние с энергией е < 0 пропорциональна произведению растущей и падаю-
щей экспонент
р ос ехр
4 \/2^|е|3/2\
3 hF J
(10.19)
10.4. Многофононная ионизация нейтрального центра
211
Оптимальной является энергия £т, при которой суммарный показатель
экспоненты в этом выражении принимает максимальное значение
|^т| —
F2t2
Г Т2
2т
(10.20)
Интегральная вероятность термоионизации будет содержать экспоненту
(10.19) при |е| = |ет| (Карпус и Перель 1985, 1986):
(F2t3
(10.21)
Можно показать, что для короткодействующего нейтрального центра ве-
личина е не зависит от поля и представляет собой вероятность термоио-
низации при F = 0.
Общее выражение для времени туннелирования т2 дается формулами
(9.57) и (9.59)
2т2 = 1 2ti
h кТ+ h ’
причем в области актуальных температур т\ практически не зависит от
температуры (см. формулу (9.61)) и Ь/2т\ имеет порядок энергии фонона.
Формула (10.21) справедлива в достаточно слабых полях, когда £т мало
по сравнению с энергией термической ионизации ет, т.е. когда
F « Fo = 2у/2тетш. (10.23)
2шт2
Отметим, что экспоненциальная зависимость (10.21) была впервые полу-
чена Келдышем (1958) для случая низких температур, когда 2т2/К = \/кТ.
В достаточно сильном электрическом поле F Л) ионизация происходит
в результате прямого туннелирования электрона из связанного состояния в
свободное (Карпус 1986). При этом энергия вылетевшего электрона, опти-
мальная для перехода, определяется в пределе низких температур наиболее
благоприятными условиями для перехода «ядра». Соответствующая кон-
фигурация термов также приведена на рис. 10.46. Видно, что роль энергии
связи для такой холодной эмиссии играет оптическая энергия ионизации
£opt, которая больше, чем термическая ет. Это увеличение энергии связи
и есть результат влияния электрон-фононного взаимодействия на холод-
ную эмиссию. При повышешги температуры оптимальные условия перехо-
да определяются конкуренцией между активацией «ядра» по терму U\ и
212
Глава 10. Термоионизацня и захват в электрическом поле
уменьшением эффективной энергии связи для туннелирования электрона.
Результат при сильных полях имеет вид:
е(О = 9 -i=~ ехР(-^)
2-у2/п£Ор1
* = - b~iT f5" thaf' (10'25’
Здесь Ь — число, выражающееся через константу связи. Например, для
модели Хуанга и Рис b = 4Де /eopt, где Де = eopt — ет — тепловыделение.
Первое слагаемое в формуле (10.25) есть просто показатель экспоненты
для туннелирования электрона с энергией связи eopt через треугольный
барьер, а второе слагаемое играет роль температурной поправки.
Интересно, что, хотя формула (10.24) выведена в работе Карпуса (1986)
с использованием адиабатической теории возмущений, предэкспоненциаль-
ный множитель в ней совпадает с результатом точного расчета для корот-
кодействующего центра (Демков и Друкарев 1964).
В случае глубоких центров энергия связи обычно сравнима с шириной
запрещенной зоны. При вычислении вероятности туннелирования здесь не-
обходимо использовать истинный закон дисперсии внутри запрещенной зо-
ны (для мнимых значений волнового вектора к). Это приводит к тому, что
в рамках модели Кейна £opt в формуле (10.25) должно быть заменено на
£opt (Карпус 1986):
(£oPt)3/2 = |^g/2 {arcsinn1/2 - (1 - 2и)[и(1 - и)]1/2}
и = (10.26)
здесь Eg — ширина запрещенной зоны.
В заключение отметим, что в модели Хуанга и Рис, пользуясь результа-
тами Markvart (1981, 1984), можно получить формулу, дающую основную
экспоненту в зависимости вероятности термоионизации от поля во всем
интервале электрических полей от слабого до сильного (Карпус и Перель
1986):
е(£) ос ехр(—ф)
</> = 1|1 __у| ±2шт2(у)-(l + £2)1/2 + £ch| +
HW ZJ D г J
(10.27)
10.5. Многофононная ионизация заряженных центров
213
Рис. 10.5. Полевая зависимость показателя экспоненты вероятности ионизации
центра е ос ехр(—ф) в модели Хуанга и Рис (5 = 10) при разных температурах:
кТ = 0,25Йо1 (кривая 1), кТ = 0,5Йо> (кривая 2), кТ = Нш (кривая 3).
Здесь
‘в±ь1±^,
/ Q
£ = Ml — y|sh-
где верхние и нижние знаки в выражении для ф соответствуют случаям
у < 1 иу> 1,ау является решением уравнения
Fo г ~ .
—Ту = 2шт2(у).
г
На рис. 10.5 приведены результаты расчета логарифма вероятности термо-
ионизации по формуле (10.27).
10.5 Многофононная термическая ионизация заряженных
центров в электрическом поле
На рис. 10.6 изображен ход потенциала, в котором находится электрон на
притягивающем и отталкивающем центрах в присутствии внешнего элек-
трического поля. Видно, что в случае притягивающего центра возможны
214
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.6. Ход потенциала вблизи центра при наличии внешнего электрического
поля: 1 — для притягивающего центра; 2 — для нейтрального; 3 — для отталки-
вающего; стрелкой указан путь туннелирования электрона.
два способа выброса электрона из центра: свободный (над барьером) и
туннельный. В случае отталкивающего центра ионизация всегда требует
туннелирования. При туннелировании роль заряда центра сводится к уве-
личению прозрачности барьера (когда центр притягивающий) или к умень-
шению прозрачности (когда центр отталкивающий).
Начнем с притягивающего центра. При относительно слабых полях для
таких центров главную роль играет эффект Пула-Френкеля, заключающий-
ся в понижении потенциала ионизации на величину Eg (формула (10.1)).
Вероятность того, что электрон приобретет в результате многофононного
процесса энергию е, пропорциональна экспоненте ехр(—e/кТ*) (см. § 9.6).
Интегрируя эту экспоненту по е от —Eg до бесконечности, получим зави-
симость термоионизации от поля в виде
. f Е£\ (2y/Ze2F/n\
е (£) ос ехр I — 1 = ехр I -—--- I ,
(10.28)
здесь тильда, как и выше, означает учет заряда центра, а Е = |е£|. Фор-
мула (10.28) отличается от обычной формулы Френкеля тем, что вместо
10.5. Многофононная ионизация заряженных центров
215
температуры Т в нее входит эффективная температура Т*. Действитель-
но, во многих экспериментах наблюдалась зависимость ё(£) ос ехр(а\/£)
(см., например, Дмитриев и др. 1972, Hartman et al. 1966, Gill 1973), од-
нако, в ряде работ было обнаружено, что зависимость коэффициента а от
обратной температуры имеет вид а <х Г-1 + const, т.е. прямая, изображаю-
щая эту зависимость, не проходит через начало координат. Этот результат
соответствует формуле (10.28), если учесть, что согласно (9.59)
— = — + (10.29)
кТ* кТ ~ кТ\ kl\ h ’ ' ’
причем Т\ слабо зависит от температуры и кТ\ — порядка энергии фонона.
Из данных, полученных в работе Hartman et al. (1966), в которой изучалась
электропроводность SiO, следует, что Т\ ~ 103 К. В органических полу-
проводниках наблюдалось значение Т\ < 0, что можно истолковать как
свидетельство в пользу такого расположения термов, при котором точка
встречи термов расположена между их минимумами (автолокализация, см.
рис. 9.16, 9.9).
При увеличении электрического поля формула (10.28) перестает быть
применимой, поскольку главную роль в термоионизации начинает играть
туннелирование электрона через барьер, отделяющий связанные состояния
от свободных (рис. 10.6). В этих условиях вероятность термоионизации
пропорциональна интегралу
ё(£)<х У ехр ^7) D(e)de, (10.30)
где D(e) — вероятность туннельного просачивания электрона через по-
тенциальный барьер:
. ( 4-\/2т|е|3/2\ ( 1е^ 8\/2от]е|3/2\
Первый сомножитель дает прозрачность треугольного барьера, второй —
описывает увеличение прозрачности, обусловленное понижением барьера
кулоновским полем.
Интеграл (10.30) можно вычислить методом перевала. При этом второй
сомножитель в (10.31) можно считать медленно меняющейся функцией
энергии. Как и для нейтрального центра, оптимальная энергия электрона
оказывается равной |em| = F2r22/2m, где тг = h/2kT*, и полевая зависи-
мость вероятности термоионизации от электрического поля получается в
216
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
виде:
ё (5) <х ехр
2V2w£b , 4F2t23
-----In ——-
Ft2 пт
(10.32)
Второй сомножитель в этом выражении (отражающий понижение барье-
ра кулоновским полем) отличает эту зависимость от формулы (10.21) для
нейтрального центра. Этот сомножитель увеличивает вероятность термо-
ионизации, но сравнительно слабо зависит от поля. При F > \/2тЕвкТ*/К
заряд центра перестает играть какую-либо роль. Формула (10.28), осно-
ванная на эффекте Пула-Френкеля, перестает быть справедливой при еще
меньших полях, когда F > у/2тЕв(кТ* / h)(kT* / Ев)'1'3 (предполагается,
что Ев > кТ*). Следует иметь в виду, что эти неравенства лишь ориенти-
ровочные, так как обычно в формулы входят большие числовые множители.
Рассмотрим теперь отталкивающий центр. В этом случае вылет элек-
трона из центра всегда связан с туннелированием через потенциальный
барьер. Поэтому можно использовать формулу (10.30), подставляя в нее
£>(е) ос ехр
е2
V =--------Fx (10.33)
где а — точка поворота. Имея в виду получить результат с экспонен-
циальной точностью, ограничимся учетом только наиболее легкого пути
туннелирования. Рассмотрим случай достаточно сильных полей, когда ку-
лоновский отталкивающий потенциал можно рассматривать как поправку,
увеличивающую барьер, через который происходит туннелирование элек-
трона в поле. Вычисления в этом случае дают
/ F2t3 \
5<£>“ex'’(Tta)ex1’
2V2mE^, 4e2F3r,4 \
—т------in----,—=
Ft2 Ът\/2тЕв /
(10.34)
Буквой е под знаком логарифма обозначено основание натуральных лога-
рифмов. Формула (10.34) справедлива, когда выражение под знаком лога-
рифма велико. Второй сомножитель в этой формуле отражает уменьшение
прозрачности барьера благодаря кулоновскому потенциалу.
Отметим в заключение, что в очень сильных полях ионизация будет
обусловлена прямым туннелированием с уровня в зону (см. § 10.5) и заряд
центра уже перестает играть роль.
10.6. Обсуждение экспериментов
217
Рис. 10.7. Зависимость логарифма вероятности термоэмиссии электронов с акце-
пторного уровня Au в кремнии (Tasch and Sah 1970) от квадрата электрического
поля при разных температурах: (*) — 197 К, (•) — 205 К, (о) — 217 К, (д) 283 К.
10.6 Обсуждение экспериментов по термической ионизации
глубоких центров в электрических полях
Многочисленные данные о вероятности термической ионизации в электри-
ческом поле получены методом емкостной спектроскопии. Эти данные не
описываются в рамках эффекта Пула-Френкеля. Вероятно, причина заклю-
чается в том, что в этих экспериментах измерения проводятся в достаточ-
но сильных полях, для которых главным эффектом оказывается не выброс
электронов «поверх» барьера, а туннелирование сквозь него.
На рис. 10.7 приведены данные из работы Tasch and Sah (1970) для вы-
броса электронов с акцепторного уровня в кремнии (центр после выброса
— нейтральный). На рис. 10.8 — аналогичные данные в более широком
интервале полей (Irmscher et al. 1983). Видно, что-квадратичная зависи-
мость логарифма вероятности термоионизации от поля, предсказываемая
формулой (10.21), хорошо выполняется. Эти данные позволяют определить
зависимость времени туннелирования тг от температуры. Эту зависимость
можно представить (см. рис. 10.9) в виде
Т2 = (А + f) ’ (1035)
218
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
F2 Ю!ОеВ2/см2
Рис. 10.8. Зависимость логарифма вероятности термоэмиссии электронов с акце-
пторного уровня Au в кремнии (Irmscher et al. 1983) от квадрата электрического
поля при разных температурах: (а) — 220 К, (•) — 250 К, (о) — 280 К, (д) —
310 К и () — 340 К.
что согласуется с формулой (10.22). Если принять т = О.ЗЗто, то из
данных обеих исследовательских групп следует В = 1. Из данных работы
Tasch and Sah (1970) получается А-! ~ 410 К, из данных Irmscher et al.
(1983) А-1 ~ 960 К. Квадратичная зависимость 1пе от поля имеет место
также для выброса дырки с того же уровня золота и для термоиониза-
ции многих других глубоких центров в Si (Au, Ag, Zn, Co, радиационных
дефектов). Если сравнить эти данные с формулой (10.22), то тг обычно
описывается формулой (10.35), причем В близко к единице. Согласно фор-
муле (9.61) должно быть А-1 = hu?/(fclnc). Можно заключить, что для
глубоких центров в Si hw ~ 103 К. Это дает возможность оценить харак-
терное поле Fo (формула (10.23)): Fo « 4 х 106 эВ/см, поэтому данные
рис. 10.7 и 10.8 относятся к полям F < Fo, для которых формула (10.21)
должна быть справедливой.
В случае GaAs можно предположить, что из-за меньшей частоты ко-
лебаний и малой эффективной массы электрона характерное поле будет
порядка 105 эВ/см. Поэтому экспериментальные данные работы Makram-
Ebeid and Lannoo (1982), где F & (1-4) x 105 эВ/см, по-видимому, от-
носятся к области промежуточных или сильных полей. Характер экспери-
ментальных зависимостей близок к кривым рис. 10.5. При самых сильных
10.6. Обсуждение экспериментов
219
103/Т, к-1
Рис. 10.9. Зависимость времени туннелирования ядра от обратной температуры
при выбросе с акцепторного уровня Au в кремнии для электронов, определенная
по данным: (*) — Tasch and Sah (1970); (•) — Irmscher et al. (1983); (o) — для
выброса дырок по данным Tasch and Sah (1970).
Рис. 10.10. Зависимость логарифма вероятности эмиссии электронов из глубокого
центра EL2 в GaAs (Makram-Ebeid and Lannoo 1982) от обратной температуры:
(*) — при F = 4 х 105 эВ/см; (•) — при F = 3,5 х 105 эВ/см; сплошные кривые
— расчет по формуле (10.24).
220
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
полях, по-видимому, имеет место прямое туннелироиание с центра в зону.
На рис. 10.10 приведены экспериментальные данные имеете с результата-
ми расчета по формуле (10.25). При расчете использовались данные рабо-
ты Yu (1982), полученные путем анализа спектров фотолюминесценции с
уровня EL2 (ет = 0,73 эВ, Shr = 5,5, fiw = 20 мэВ). Принята модель Ху-
анга и Рис (Ь — 45нк^/еор1> Eopt = ет + ^ни^ш)- Видно хорошее согласие
не только хода кривых, но и абсолютных значений вероятности термоио-
низации. Следует учесть, что в расчете не было подгоночных параметров.
10.7 Прямая туннельная ионизация глубокого центра
высокочастотным электрическим полем
Ранее в § 10.5 было указано на возможность холодной эмиссии электро-
нов с глубоких центров под влиянием постоянного электрического поля.
Эмиссия происходит в результате прямого туннелирования из основно-
го состояния центра в зону проводимости. Вероятность ионизации в этом
случае равна вероятности туннельного перехода через треугольный потен-
циальный барьер. С экспоненциальной точностью
/ 4 %/2т|е|3/2\
Р ос ехр --------—---- , (10.36)
\ J Пг ]
где |е| — энергия связи электрона на центре, F — сила, действующая на
электрон в электрическом поле.
В этом разделе мы рассмотрим процесс туннельной ионизации в пере-
менном электрическом поле
F(f) = F cos Qr (10.37)
при условии hw |е|. Такая задача была впервые решена Келдышом
(1964). Более краткий вывод, которому мы в основном будем следовать,
приведен в книге Ландау и Лифшица «Квантовая механика» (1989).
Пусть имеется электрон в короткодействующем потенциале с энерги-
ей е < 0, т.е. с энергией связи |е|. В квазиклассическом приближении
волновая функция электрона определяется действием
5 = 5о+А, 50 = / T(z',z',r')d/', (10.38)
Ло
где z' и z' координата и скорость электрона как функции времени г'. Они
должны быть найдены из уравнения движения
mz' = F(r') (10.39)
10.7. Прямая туннельная ионизация
221
при условиях
z'O'=<0 = 0, z\t’)\t'=t = z. (10.40)
L — функция Лагранжа
= + (10.41)
Здесь рассматривается одномерная задача, достаточная для получения ре-
зультата с экспоненциальной точностью. Как показано в книге Ландау и
Лифшица «Механика» (1973), выражение (10.38) дает общий интеграл
5(z, г) уравнений Гамильтона-Якоби
= mz\t‘=t (10.42)
(77 — функция Гамильтона), если считать А функцией от to, a to функцией
от z и t, определяемой уравнением
(10.43)
Поскольку электрон на центре (при z = 0) имеет энергию е в нашем слу-
чае надо положить А = -eto. Учитывая, что при постоянных z, t имеет ме-
сто равенство dS/dto = (Ландау и Лифшиц «Механика») и первое
граничное условие (10.40), получаем из (10.43) естественное равенство
mvo
(10.44)
где vq — скорость электрона в момент Го, эта скорость — чисто мнимая
величина, поскольку электрон находится под барьером. Решение уравнения
движения (10.39) теперь удобно записать в виде
z' = v+ sinQr', z' = v(t'-to)-------------- (cosfir' - cosQr0), (10.45)
и Z/Zo w
где
F
v = v0----— sin Flto (10.46)
mil
скорость в момент t' — 0. Второе из условий (10.40) имеет вид
F
z = v(t - г0) - ^^(cosfir - cosQr0) (10.47)
222
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
и вместе с (10.44), (10.46) определяет связь между to и переменными z и
t. Таким образом, выражение (10.38) при А = —eto дает действие 5, как
функцию z и t, и тем самым определяет волновую функцию электрона
Ф ос ехр ( у 5) . (10.48)
\П /
Довольно естественно считать, что вероятность ионизации определяется
минимальным значением |Ф|2 на пути от z = 0 до z —> оо (поток электро-
нов с центра пропорционален |Ф|2), т.е. максимальным значением мнимой
части действия. Это приводит к условию
TrlmS = Im(znz' |г/= () = 0,
oz
т.е. точка выхода электрона из-под барьера является точкой поворота. По-
скольку t вещественно, отсюда следует Imv = 0. Из (10.47), (10.48) и
вещественности z тогда легко показать, что и Rev = 0. Полагая to = 1тс,
из условия v = 0 и (10.46), (10.44) находим уравнение, определяющее
значение тс
sh(Q-re) = -V2m|e|. (10.49)
F
Из первого уравнения Гамильтона-Якоби при v = 0 следует dlmS/dt =
0, т.е. мнимая часть действия не зависит от времени в точке поворота.
Удобно в дальнейшем положить t = 0. В результате после несложных
преобразований получаем для вероятности прямой ионизации переменным
электрическим полем Ре с экспоненциальной точностью
Ре ос ехр[—2Se(e)], (10.50)
где
г2 Гте с.-.
а тс определяется уравнением (10.49). Отметим, что те имеет смысл вре-
мени туннелирования
Те = -^h. (10.52)
ое
В пределе Qtc С 1 формулы (10.49)-(10.51) дают вероятность туннели-
рования через треугольный барьер (10.36), как и должно быть. При этом
10.8. Многофононная ионизация в переменном электрическом поле
223
время туннелирования в постоянном поле равно
ТсО —
(10.53)
Отметим, что вероятность ионизации в переменном поле больше, чем
в постоянном (равном амплитудному значению F). Это связано с погло-
щением энергии переменного поля в процессе туннелирования. Действи-
тельно, электрон входит под барьер с отрицательной энергией — |е|, а его
энергия ei, в момент выхода (при t = 0, z = 0) равна
£1
F2 ( Г~
т£12 \ V +
ImQ,2 |е |
F2
+ 1
что равно —|е| при Q —> 0 и больше чем —|е| при частоте поля, отличной
от нуля.
Отметим предельные случаи. При Q <§; П/ ^/2т|е|, вероятность Ре сво-
дится, как уже указывалось выше, к вероятности ионизации постоянным
полем. В обратном предельном случае Q F/у/2т\е\
Зе
= по [ln \/2zwl£l)
Пл и \ г J
(10.54)
1
2
При этом, однако, должно выполняться условие НО < е, чтобы показатель
экспоненты был достаточно велик.
10.8 Многофононная термическая ионизация глубоких
центров в переменном электрическом поле
Процесс термической ионизации в переменном электрическом поле можно
представить следующим образом. Имеется два адиабатических потенциала:
потенциал колебаний при наличии связанного электрона U\ (х) и потенциал
колебаний дефекта который соответствует ионизованному дефекту
плюс электрон с нулевой энергией (см. главу 9). Если свободный электрон
имеет энергию е, то этому соответствует адиабатический потенциал =
^Л(х) + £. Такая ситуация рассматривалась в § 8.6. В электрическом поле
энергия свободного электрона может быть отрицательной (см. рис. 10.4).
Можно считать, что процесс ионизации происходит в три этапа.
1. В результате температурного возбуждения система оказывается на ко-
лебательном уровне Ei в потенциале 1Л(х) (см. рис. 10.11).
224
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.11. Схема адиабатических термов, иллюстрирующая туннельную пере-
стройку колебательной системы (пояснения в тексте).
2. Происходит туннельная перестройка колебательной системы к адиаба-
тическому потенциалу 172£(х), соответствующему отрицательной энергии
электрона е.
3. Электрон туннелирует из ямы в свободное состояние при начальной
энергии е < 0. Первые два процесса происходят без участия электриче-
ского поля, а третий без участия колебаний. По существу такой способ рас-
смотрения уже использовался при вычислении вероятности термической
ионизации в постоянном поле (см. § 10.4). Разница заключается лишь
в выражении для вероятности третьего этапа, которая для случая пере-
менного поля была вычислена в предыдущем параграфе. Таким образом,
вероятность ионизации пропорциональна выражению
где
ехР ( ~кТ ) exP[~2(S2£ ~ М] ехр[-25е(е)],
y/lhefx) - Edx,
(10.55)
(10.56)
(10.57)
а Е = Ei — ет = Ег + е, Ei и Ег — энергии колебаний в потенциалах Щ (х)
и U-xe(x) = Uz(x) + е соответственно, (см. рис. 10.11). Адиабатические
потенциалы 1Л(х) и Ui(x) определены формулами (9.2), (9.3) для модели
Хуанга и Рис, формулами (9.36) для модели Луковского. Пределами инте-
грирования являются ai и аге — точки поворота в потенциалах Ui и Uie и
точка встречи хсе этих потенциалов. Три сомножителя в формуле (10.55)
представляют вероятности трех перечисленных выше процессов. Полная
10.8. Многофононная ионизация в переменном электрическом поле
225
вероятность ионизации определяется интегралом от произведения (10.55)
по электронной энергии е и энергии колебаний Е\. Вычисление этого ин-
теграла методом перевала приводит к двум уравнениям для оптимальных
значений Eim и ет:
Tfc - Ле = 2^7 (10.58)
Ле = Ге, (10.59)
где
ds^ dse
Т1£ = те = (10.60)
оЕ дЕ де
при Е = £’im - ет, е = ет Заметим, что л и п для различных моделей
вычислены в главе 9, а те — в предыдущем параграфе. При расположении
термов, указанном на рис. 9.96 (случай автолокализации), величина п —
отрицательная. Формула (10.59) означает, что электронное время туннели-
рования равно времени туннелирования колебательной системы («ядра»)
под потенциалом 1/2£.
Рассмотрим сначала случай слабых полей (соответствующий критерий
будет указан ниже). Ясно, что при слабых полях величина ет также мала
(при нулевом поле ет = 0). Поэтому можно разложить разность 52£ — Sie в
формуле (10.55) по степеням е и ограничиться первым членом разложения.
В результате получим
52^5^ = 52-5! + ^, (10.61)
где 5г, Si и п значения S-^, S\e и Т2е при е = 0. В формулах (10.58),
(10.59) можно заменить т\е и тг£ на их значение при е = 0, т.е. на л и Т2-
Тогда из (10.59) и (10.49) можно получить выражение для ет:
1£т| = у ^;Sh1 2QT2- (10.62)
Значение Е\т определяется уравнением (10.58) и не зависит от электри-
ческого поля. Пользуясь формулами (10.51), (10.61) и тем, что тс = Т2
получаем из (10.55) зависимость скорости ионизации е от электрического
поля:
F2
е (F) ос е (0) ехр-=, (10.63)
где
Fc2 = ^7’ (Т2*)3 = ^ [sh(2QT2)-2Qr2]. (10.64)
226
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
При Пт2 <S 1 находим т2 = 72, и (10.63) переходит в формулу (10.21),
полученную для постоянного поля. Это естественно, поскольку при Пт2 =
Qtc 1 поле не успевает измениться за время туннелирования электро-
на те.
С увеличением частоты т2* увеличивается экспоненциально, и скорость
ионизации е (F) быстро возрастает. Следует отметить, что Т2 не зависит
от поля и согласно (10.58) при е = 0
Т2 = ^=+т\, (10.65)
что совпадает с (10.22) и определяет зависимость тг от температуры,
поскольку Т1 от температуры практически не зависит (см. (9.61)).
Получим теперь критерий, при котором справедливы формулы (10.63),
(10.64). Нетрудно видеть, что разность $2е ~ S\e совпадает с S2 — S\ при
замене —> Ет — е. Поэтому можно считать, что разложение (10.61) спра-
ведливо при em ет. (Исключением могут быть случаи, когда значение
$2 — Si очень чувствительно к величине ет, что имеет например место при
хс близком к нулю.) Таким образом, учитывая (10.62), получаем критерий
справедливости результата (10.63):
y/2m£TQ
sh(Qr2) '
(10.66)
Отметим, что условие (10.66) заведомо нарушается при понижении тем-
пературы, поскольку, согласно (10.65), Т2 при этом становится очень боль-
шим.
Обратимся теперь к случаю сильных полей. Ясно, что в достаточно
сильных полях (и при низких температурах) основным процессом иониза-
ции будет прямое туннелирование, рассмотренное в предыдущем парагра-
фе. При этом расположение терма [72е близко к указанному обозначением
2 на рис. 10.4: £ « еор(. Найдем теперь (как и для случая постоянного по-
ля) температурные поправки. При этом будем использовать подход, приме-
ненный Карпусом (1986) при получении формулы (10.25) для постоянного
поля. В случае, когда дно потенциала U2e лежит ниже дна потенциала U\,
барьер для ядра в основном определяется термом U\. Тогда вероятность
туннельного перехода «ядра» можно оценить, как вероятность Wc, найти
его в точке пересечения термов хСЕ при равновесном распределении по ко-
лебательным уровням в потенциале U\. Для Wc имеем (Ландау и Лифшиц
«Статистическая физика» 1995):
w„ = - 2^th^,
?ia>i 2кТ
(10.67)
10.9. Эксперименты по ионизации дальним инфракрасным излучением
227
где Eie — энергия пересечения термов U\ и отсчитанная от дна терма
U\. Отметим, что формула (10.67) учитывает дискретность колебательных
уровней в потенциале Ui. Тем не менее она может быть получена также
непосредственно из условия dSiE/dEi + 1/кТ = 0, используя для ква-
зиклассическое выражение (10.56). Величина £je связана с энергией |е|,
определяющей барьер для электронного туннелирования, соотношением
1 э
Е1е = -— (eopt — |е|) , (10.68)
O^opt
где b — константа, характеризующая электрон-фононную связь. Для мо-
дели Хуанга и Рис b = 4Де/eopt, Де = £opt - ет- Вероятность иониза-
ции есть произведение Wc на ехр[—25е(с)], характеризующую вероятность
туннелирования электрона с отрицательной энергией £ (формула 10.51).
С уменьшением |е| увеличивается вероятность туннелирования электро-
на, но падает вероятность туннелирования «ядра». Оптимизация выше-
указанного произведения при условии, что eopt — |е| eopt, приводит к
оптимальному значению
1----2“С^2ЛТ ) ' (10.69)
В результате, для вероятности ионизации с учетом температурной по-
правки получим аналог формулы (10.25) для постоянного поля:
e(F)~expf-25e + ^—^-cth^Y (10.70)
у 2п 2к1 )
В формуле (10.70) 5С и те определяются формулами (10.51) и (10.49) при
|s| = £opt- В пределе Q —> 0 формула (10.70) переходит в (10.25).
10.9 Эксперименты по ионизации центров дальним
инфракрасным излучением
Первые исследования фотоионизации глубоких центров дальним инфра-
красным излучением с энергией фотона /гП гораздо меньшей, чем энергия
ионизации ет, были выполнены Ганичевым и др. (Ganichev et al. 1993). Бы-
ла исследована ионизация акцепторных примесных атомов золота и меди в
Ge с энергией Ет = 150 мэВ и Ет = 90 мэВ, соответственно. Концентрация
глубоких центров была в пределах 1014—1015 см-3. В качестве источни-
ков использовались мощные импульсные перестраиваемые молекулярные
228
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.12. Зависимость фотопроводимости от квадрата амплитуды электрического
поля световой волны Е при температуре 77 К и трех энергиях фотона: (а) —
13,7 мэВ, А = 90,5 мкм; () — 8,2 мэВ, А = 152 мкм; (♦) — 5 мэВ, А = 250 мкм
(Ganichev et al 1993)
лазеры на NH3 и D2O с оптической накачкой СОг лазером. Это давало
возможность получать импульсы длительностью около 40 наносекунд с
пиковой мощностью до 50 кВт и энергиями фотонов 13,7 мэВ, 8,2 мэВ
и 5 мэВ. Измерения проводились в интервале температур 20-77 К когда
практически все дырки были выморожены на основное состояние примеси.
Наблюдался сигнал фотопроводимости Дс/ст как функция интенсивности
возбуждающего излучения. Результаты представлены на рис. 10.12.
Видно, что вероятность фотоионизации ведет себя как ехр (Е2/Е2) (Е =
F/е — амплитудное значение электрического поля волны) и не зависит от
частоты. Это дало возможность авторам интерпретировать результаты как
многофононную туннельную ионизацию в электрическом поле волны (см.
§ 10.8, формула (10.63) при С 1). Температурная зависимость харак-
терного поля Ес также соответствует теоретической, если в качестве массы
в уравнении (10.64) (см. также (10.21)) вставить массу легких дырок. В
дальнейшем эти исследования были продолжены в более широком интерва-
ле температур и длин волн и для других материалов и центров со слабой
электрон-фононной связью (Au, Mg, Си, Zn в Ge, Аи в Si и Те в GaP)
и с сильной электрон-фононной связью, когда имеет место автолокализа-
10.9 Эксперименты по ионизации дальним инфракрасным излучением
229
Рис. 10.13. Зависимость вероятности ионизации от электрического поля волны для
акцепторных центров золота в кремнии при температуре 300 К для длин волн: (•)
— А = 148 мкм, (□) — А = 280 мкм. Для сравнения приведены данные по эмиссии
дырок в постоянном поле (а), рассчитанные по результатам работы Tash and Sah
(1970) Прямые показывают зависимость е(£) ~ exp(£2/£t2) с использованием
£с в качестве подгоночного параметра (Ганичев и др 1997)
ция (теллур в твердых растворах AlxGai_xSb и AlxGa]_xAs). Большинство
этих результатов описаны в обзоре Ганичева и др. (1997). Во всех случаях
имеется интервал интенсивностей^ при которых наблюдалась экспоненци-
альная зависимость (10.63). При достаточно низких частотах возбуждения
и достаточно высоких температурах характерное поле Ес = Ес/е не Зави-
село от частоты.
В качестве примера на рис. 10.13 представлены данные по фотоэмис-
сии дырок с акцепторного уровня золота в кремнии. На том же рисунке
представлены данные, пересчитанные из результатов работы Tash and Sah
(1970), полученных в постоянном электрическом поле. Видно, что зна-
чения характерного поля Ес для обоих групп данных достаточно хорошо
согласуются (учитывая существенное различие в методиках измерений).
Для квазистатического режима (когда Ес не зависело от частоты) опреде-
лялось время туннелирования согласно формуле (10.21). Зависимость тз
от температуры согласовалась с формулами (10.22) и (10.65).
На рис. 10.14 представлены температурные зависимости тз для ряда ма-
териалов и примесей. Интересно отметить, что эта результаты позволяют
непосредственно различить две возможные конфигурации термов, пока-
занные на вставках к рисунку (см. также рис. 9.1а и 9.16). Для примесей
230
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.14. Время туннелирования тг, определенное из экспериментальных значе-
ний характерного поля Ес в квазистатическом режиме, как функция от обратной
температуры: (о) Ge:Cu; (о) Ge:Ag; (□) DX~ центры в Alo^sGao.esAs; (д) DX-
центры в AJo^Gao^Sb Сплошная линия соответствует зависимости тг — h/lkT,
штриховые линии демонстрируют результаты подгонки экспериментальных данных
под зависимость = Л/2СГ + п при следующих значениях ту 1 —4,1 X 10 14 с,
2 — 2,9 х 10“14 с, 3 — 0,3 х 10-14 с, 4 — 2,9 X 10-14 с На вставках указаны схемы
адиабатических термов для Т] > 0 и п <0 (случай автолокализации). (Ганичев и
др. 1997).
с автолокализацией (DX- центры в твердых растворах AlGaAs, AlGaSb)
наблюдаются отрицательные значения п (Ganichev et al. 1995а).
С понижением температуры проявляется зависимость вероятности фо-
тоионизации от частоты возбуждения. Этого следовало ожидать, так как
Т2 растет с понижением температуры (см. (10.65)), и условие квазистатич-
ности Qt2 < 1 перестает выполняться. На рис. 10.15 приведены данные
для Ge:Hg при 40 К. Ясно видны участки зависимости е ос ехр(Е2/Е2),
но характерное поле Ес зависит от частоты возбуждения. (В отличие от
данных на рис. 10.12 для Т — 77 К.) Аналогичные данные для системы
Alo,35Gao,65As: Те (DX~) приведены на рис. 10.166.
На рис. 10.17 приведены сводные данные, характеризующие зависи-
мость вероятности ионизации от частоты возбуждения. Согласно форму-
лам
(10.63), (10.64) эта зависимость целиком связана с зависимостью от Q
отношения т2*/т7. Следует отметить, что это отношение зависит толь-
10.9. Эксперименты по ионизации дальним инфракрасным излучением
231
Рис. 10.15. Зависимость вероятности ионизации акцептора Hg в Ge от квадрата
амплитуды электрическою поля возбуждающего излучения при Т = 40 К для
различных длин волн. Прямые показывают зависимость е(Е) ос ехр(Е2 / Е2) с ис-
пользованием Е.г в качестве подгоночного параметра. Видно, что Ес зависит от
частоты (Ганичев и др. 1997).
Рис. 10.16. Зависимость вероятности ионизации DX центра в Alo^sGaossAs от
квадрата амплитуды электрического поля возбуждающего излучения для различ-
ных частот возбуждения (а) Т = 150 К, зависимость от частоты отсутствует, (б)
Т — 60 К, явно видна зависимость от частоты (Ганичев и др 1997).
232
Глава 10. Термоионизация и захват в электрическом поле
Рис. 10.17. Отношение т2* /п как функция Пт2 для различных материалов. Темпе-
ратуры в интервале 4-130 К, длины волн возбуждения в интервале 76-556 мкм.
Сплошная линия — расчет по формуле (10.64) (Ganichev et al. 1997). На вставке
схематически показаны пути туннелирования в постоянном поле или в квазиста-
тическом режиме (путь 1) и в высокочастотном поле с поглощением энергии в
процессе туннелирования (путь 2).
Рис. 10.18. Данные рис. 10.15 в области слабых полей, перестроенные в зависимо-
сти от Е1/2, чтобы продемонстрировать выполнение закона Пула-Френкеля (10.2)
в этой области (Ganichev et al. 1995b).
10.9. Эксперименты по ионизации дальним инфракрасным излучением
233
ко от Qt2, а Т2 непосредственно измеряется в квазистатическом режиме.
Таким образом, расчетная кривая на рис. 10.17 не содержит каких-либо
подгоночных параметров. Видно хорошее согласие эксперимента и теории.
Отметим, что часть данных рис. 10.17 получена с использованием лазера
на свободных электронах.
Отметим, что как видно из рис. 10.15 зависимость е ос ехр(£2/Е|)
нарушается в области слабых полей. Такое нарушение всегда имеет ме-
сто при ионизации кулоновских притягивающих центров. Более подроб-
ное исследование показало, что это связано с эффектом Пула-Френкеля
(см. формулу (10.1)). На рис. 10.18 (взятом из работы Ganichev et al.
(1995b)) представлена более подробно эта область малых полей. Вид-
но, что экспериментальные данные соответствуют в этой области закону
Пула-Френкеля (10.2). В случае DX центра (рис. 10.16) отклонений от
закона е ос ехр(Е2/Е2) не наблюдается вплоть до самых малых полей.
Отсутствие эффекта Пула-Френкеля подтверждает, что после ионизации
DX- центра этот центр становится нейтральным.
В заключение отметим, что нарушение закона е ос ехр(Е2/Е2) наблю-
дается и в области больших полей, что, очевидно, связано с переходом к
прямому туннелированию. Однако согласовать эти данные с теорией пока
не удалось.
Глава 11
Оже-рекомбинация
11.1 Введение
В предыдущих главах рассматривались процессы безызлучательной реком-
бинации, при которых высвобождающаяся энергия передается решетке.
При больших концентрациях свободных носителей заряда становится су-
щественным другой способ передачи энергии. Энергия рекомбинирующих
электрона и дырки может быть передана третьему носителю. Это так назы-
ваемая оже-рекомбинация или ударная рекомбинация. Передача энергии от
рекомбинирующей пары третьему носителю осуществляется посредством
кулоновского взаимодействия. Это взаимодействие позволяет при доста-
точном сближении частиц обеспечить прямую рекомбинацию зона-зона в
одном акте.
Скорость оже-рекомбинации R (число пар носителей, рекомбинирую-
щих в единицу времени в единице объема) пропорциональна произведению
концентраций участвующих частиц. Поскольку в каждом акте рекомбина-
ции участвуют три частицы, то
Кп=УпП2р, (11.1)
если третьей частицей, которой передается избыточная энергия оказывает-
ся электрон. Это имеет место в материалах n-типа. В р-полупроводниках,
где в качестве третьей частицы выступает дырка, темп оже-рекомбинации
равен
Яр = VP2- (112)
Коэффициенты оже-рекомбинации 7П! 7р являются фундаментальными ха-
рактеристиками, определяющими минимально возможные скорости безыз-
лучательной рекомбинации. Они зависят от энергии рекомбинирующих ча-
стиц, т.е. от температуры при максвелловском распределении носителей.
При наличии вырождения сама энергия, а значит, и коэффициенты 7П и
7р зависят от концентрации свободных носителей. Здесь и ниже носители
234
11.1. Введение
235
предполагаются невырожденными, если не оговорено противное. Особен-
ности, связанные с вырождением, обсуждаются отдельно.
Вследствие нелинейной зависимости темпа оже-рекомбинации от кон-
центрации носителей время жизни электронов (дырок) зависит от их кон-
центрации. Для его определения следует рассматривать уравнение баланса
частиц, в котором наряду с рекомбинацией нужно принимать во внимание
и обратный процесс. Обратным к оже-рекомбинации является ударная ио-
низация. Этот процесс линеен по концентрации основных носителей. Со-
ответственно уравнение баланса для электронов имеет вид
дп ->
— = G + (ДпЯ-ЭпП Р) + (Дрр-ЭрР «), (И-З)
где G — темп внешней генерации, а /Зп и /Зр — коэффициенты ударной
ионизации электронами и дырками. При G = 0 в условиях теплового рав-
новесия каждая из скобок в правой части должна обратиться в нуль. Отсюда
следует:
Дп = 7n«i, Др = 7p«i (И-
Здесь учтено, что в тепловом равновесии пр = п?, где п\ — собственная
концентрация, определяемая формулой (1.45). Формулы (11.4) дают коэф-
фициенты ударной ионизации для носителей, распределенных по Максвел-
лу.
Уравнение (11.3) позволяет, используя (И-4), получить выражение для
времени жизни при стационарной накачке в условиях слабого и сильного
возбуждения.
При слабом возбуждении в собственном полупроводнике п = щ + Ди,
р = п\ + Др и Ди, Др <?С П[. Считая Ди = Др, что имеет место, например,
в условиях возбуждения светом, получаем
дп „ Ди 1 ,
& ~ т ’ Т ~ 2(7П + 7р)и?' 5
В этих же условиях в легированном полупроводнике n-типа, когда и «
ио 3> Др (ио — концентрация электронов в отсутствие возбуждения),
время жизни неравновесных дырок определяется формулой
Аналогично, в легированном полупроводнике p-типа для времени жизни
неравновесных электронов имеем
1
7рР2'
(11.7)
236
Глава 11. Оже-рекомбинация
При большом уровне накачки неравновесных носителей оже-процессы
являются основным каналом безызлучательной рекомбинации. Такие усло-
вия имеют место при сильной инжекции через контакты (сильноточные по-
лупроводниковые приборы, полупроводниковые лазеры) или при лазерном
возбуждении полупроводников. При этом возникает электронно-дырочная
плазма, в которой концентрации пир велики и почти совпадают (л « р),
тепловой ударной генерацией можно пренебречь, а суммарный темп оже-
рекомбинации в соответствии с (11.1) и (11.2) можно представить в виде:
Я = (Ъ + 7p)«3- (II-8)
Оже-процессам посвящена обширная литература (см., например, обзо-
ры Landsberg 1970, Landsberg and Adams 1973, Stoneham 1981 и моногра-
фию Landsberg 1991).
11.2 Энергетический порог оже-рекомбинации
В акте оже-рекомбинации третья частица, унося большую энергию (по-
рядка ширины запрещенной зоны Eg), должна уносить и большой импульс
порядка ^/2mEg (т — эффективная масса частицы). В силу закона сохра-
нения импульса система взаимодействующих частиц и до рекомбинации
должна обладать большим импульсом, а следовательно, и большой кине-
тической энергией. Это приводит к тому, что в процессе оже-рекомбинации
могут участвовать лишь частицы, суммарная кинетическая энергия кото-
рых достаточно велика. Другими словами, оже-рекомбинация имеет энер-
гетический порог. Величина порога может быть легко получена, если из-
вестен закон дисперсии свободных носителей.
Рассмотрим простейшую схему оже-процесса (Beattie and Landsberg
1959a,b), в котором участвуют два легких электрона (с эффективной мас-
сой тс) и тяжелая дырка (с эффективной массой т^) с простыми парабо-
лическими законами дисперсии (рис. 11.1). Это так называемый процесс
СНСС-типа (последним указан тип частицы, уносящей энергию). Введем
следующие обозначения: hk\, hk2, — начальные импульсы электро-
нов и дырки, fikf — конечный импульс «отскочившего» электрона. Законы
сохранения энергии и импульса требуют выполнения равенств:
к\ +k2 + kb =kf.
(11.10)
11.2. Энергетический порог оже-рекомбинации
237
Рис. 11.1. Схема оже-рекомбинации СНСС-типа в случае простых параболических
зон. Стрелки указывают направления электронных переходов.
Обозначим через кинетическую энергию трех частиц в начале акта ре-
комбинации:
г 2 ь2ь2
£к= 2^^+^+
Тогда из (11.9)—(11.11) получим
a2(fci +k2 + kh)2
£‘ + £*=-------2^----- <11Л2>
Начальные импульсы hk], hk2, ftkh на пороге оже-рекомбинации выбирают-
ся из условия минимума энергии q (определенной соотношением (11.11))
при выполнении соотношения (11.12). Вычисление условного экстрему-
ма приводит к естественному результату: пороговые импульсы всех ча-
стиц, участвующих в оже-процессе, параллельны. Действительно, именно
при такой ориентации начальных импульсов три частицы будут иметь наи-
больший суммарный импульс hkf при минимальном значении модулей им-
пульсов. Если масса электрона много меньше массы дырки, то «выгодно»,
чтобы почти весь начальный импульс принадлежал тяжелой дырке: къ « kf.
Вычисление пороговых значений импульсов и кинетической энергии систе-
238
Глава 11. Оже-рекомбинация
мы с учетом малости отношения масс (шс/шь 1) дает1
рь _ .th _ ,th
*1 — к2 — „ Kh
Wh
hkh y/2mcE&
eth = miiiQ —Es. (11.13)
Wh
Этот результат легко интерпретировать графически, используя схему пе-
рехода (рис. 11.1). Пренебрегая в нулевом приближении начальной ки-
нетической энергией частиц по сравнению с Eg, находим импульс fikf из
условия, что кинетическая энергия «отскочившего» электрона равна ши-
рине запрещенной зоны: e(kf) — Eg. Полагая, что весь начальный импульс
сосредоточен у тяжелой дырки (^h = &}h), графически легко получаем по-
роговую энергию eth как кинетическую энергию тяжелой дырки с импуль-
сом A|h. Графический метод нахождения пороговой энергии оже-процесса
может быть использован и при сложном законе дисперсии. Впервые он
был применен Волковым и др. (1970) для определения пороговой энер-
гии ударной ионизации в InSb при кейновском законе дисперсии. На важ-
ность учета непараболичности зон при определении энергетического по-
рога оже-рекомбинации впервые обратили внимание в работе Beattie and
Smith (1967).
Рассматривая аналогичным образом оже-рекомбинацию с участием
двух тяжелых дырок и электрона типа СННН, получим, что в этом случае
пороговая энергия eth « Eg. Это означает, что такой процесс практически
мог бы иметь место лишь в бесщелевом полупроводнике или в полупро-
воднике с аномально малой шириной запрещенной зоны.
В реальных полупроводниках валентная зона обычно сложная и состо-
ит из нескольких подзон. Оже-процессы при этом идут с участием легких
подзон. Схемы типичных оже процессов с минимально возможной порого-
вой энергией приведены на рис. 11.2 и 11.32. Для полупроводников типа
InSb, где валентная зона состоит из двух подзон тяжелых и легких дырок
(рис. 11.2) минимальным порогом обладает оже-процесс, при котором од-
на из тяжелых дырок превращается в легкую (процесс CHHL-типа). На
рис. 11.2 представлена схема процесса CHHS-типа, наиболее вероятного в
полупроводнике типа GaAs, где энергия спин-орбитального расщепления
'Точные пороговые величины при квадратичном спектре: eth = £gmc/"ih(l + "ic/"ih),
+ 2mc/mh)(l + mc/mh)-
2Ha всех рисунках стрелки указывают направление электронных переходов.
11.2. Энергетический порог оже-рекомбинации
239
Рис. 11.2. Схема оже-рекомбинации CHHL-типа в полупроводниках со сложной
валентной зоной. Электрон рекомбинирует с одной тяжелой дыркой, а другая «от-
скакивает» в подзону легких дырок.
Д меньше Е&, и валентная зона состоит из трех подзон. Оже-рекомбинация
здесь сопровождается переходом тяжелой дырки в спин-орбитально отще-
пленную подзону. При таких оже-процессах пороговая энергия имеет по-
рядок (wc/wh)£g, так как масса легких дырок близка к массе электронов.
Для нахождения точного значения пороговой энергии нужно принимать
во внимание отличие реального закона дисперсии носителей при больших
кинетических энергиях от простого параболического. В прямозонных полу-
проводниках, как известно, хорошим приближением является кейновский
закон дисперсии (см. приложение 1). В таблице 6 приведены расчетные
значения пороговых энергий оже-процессов ССНС-, CHHL- и CHHS-типов
при комнатной температуре и температуре жидкого азота для ряда полу-
проводников А3В5. Видно, что в широкозонных полупроводниках (GaAs,
InP) пороговые энергии прямых оже-процессов столь велики, что даже
при комнатной температуре соответствующий канал рекомбинации не эф-
фективен. В наиболее узкозонном из приведенных полупроводников InSb
прямая оже-рекомбинация начинает играть существенную роль с темпе-
ратур жидкого азота. Из таблицы 6 видно также, что в полупроводниках
240
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.3. Схема оже-рекомбинации CHHS-типа в полупроводниках А3В5. Элек-
трон рекомбинирует с тяжелой дыркой, а вторая тяжелая дырка переходит в спин-
орбитально отщепленную подзону.
InAs, GaSb, ще энергия спин-орбитального расщепления валентной зоны
Д близка по величине к ширине запрещенной зоны Е&, возникает «ре-
зонансная» ситуация. Энергетический порог здесь отсутствует для оже-
процессов CHHS-типа с переходом дырки из тяжелой подзоны в спин-
орбитально отщепленную. Подобные «резонансы» имеют место и для ря-
да твердых растворов на основе этих полупроводников. Естественно, что
оже-рекомбинация в соответствующих условиях становится весьма суще-
ственным каналом безызлучательной рекомбинации. Ее подробному рас-
смотрению посвящен § 11.6. На определяющую роль процесса CHHS-типа
при оже-рекомбинации в полупроводниках p-типа InAs, GaSb, InP, GaAs и
их твердых растворах впервые указал Такешима (Takeshima 1972).
В непрямозонных полупроводниках, таких как Ge и Si, пороговые энер-
гии обычно значительно выше, чем в прямозонных, так как при рекомби-
нации электронно-дырочной пары третьей частице должна быть передана
не только большая энергия (порядка ширины запрещенной зоны), но и
11.2. Энергетический порог оже-рекомбинации
241
Таблица 6. Рассчитанные значения пороговой энергии для прямых оже-процессов
в некоторых полупроводниках А3В5.
т, к Энергии Процессы GaAs GaSb InP InAs InSb
300 Eg, эВ 1,42 0,70 1,34 0,35 0,18
Д, эВ 0,34 0,80 0,11 0,41 0,98
eth, эВ СНСС 0,45 0,22 0,34 0,05 0,01
CHHS 0,19 0 0,16 0 —
CHHL — — — — 0,01
77 Eg, эВ 1,51 0,78 1,41 1,41 0,23
Д, эВ 0,33 0,75 0,11 0,39 0,90
eth, эВ СНСС 0,54 0,25 0,47 0,05 0,02
CHHS 0,23 0,01 0,22 0,004 —
CHHL — — — — 0,01
большой импульс, соответствующий сдвигу дна зоны проводимости в про-
странстве волнового вектора. Однако и здесь в Si возникает «резонансная»
ситуация для процесса СНСС-типа, идущего с перебросом электрона в дру-
гую эквивалентную долину (Капе 1967, Huldt 1971, Абакумов и Яссиевич
1977). Схема соответствующего оже-процесса представлена на рис. 11.4.
Энергетический порог здесь понижается благодаря тому, что в кремнии
приближенно выполняется равенство З&о — Aooi « kg, ко — волновой век-
тор дна долины проводимости, Aooi — вектор обратной решетки в напра-
влении (001), совпадающем с осью симметрии долины, kg = ^'Im^Eg/h
(шц « 0,92/по — эффективная масса электрона вдоль оси симметрии до-
лины). В процессе рекомбинации электрон одной из долин (с волновым
вектором ~ ко) передает избыточную энергию ~ Е& другому электрону
этой же долины, который перебрасывается в противоположную долину (с
волновым вектором — ко)- Начальный импульс системы «два электрона и
дырка» в основном определяется импульсами электронов и приблизитель-
но равен 2&о- После рекомбинации электрон-дырочной пары оставшийся
электрон обладает импульсом ~ — ко + kg. Разница между импульсами
начального и конечного состояний в кремнии оказывается случайно почти
равной вектору обратной решетки kooi- Это означает, что квазиимпульсы
начального и конечного состояний системы эквивалентны, так как вектор,
кратный волновому вектору обратной решетки, может быть добавлен или
отброшен в законе сохранения квазиимпульса.
Таким образом, существование энергетического порога приводит к то-
242
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.4. Схема «резонансного» оже-процесса в кремнии с участием двух элек-
тронов.
му, что, если не имеют места «случайные резонансы» в зонной структуре,
то прямая оже-рекомбинация является эффективным каналом безызлуча-
тельной рекомбинации лишь в бесщелевых и узкощелевых полупроводни-
ках. В остальных материалах прямая оже-рекомбинация не эффективна и
реально проявляются лишь непрямые оже-процессы, которые идут с уча-
стием четвертой частицы — фонона или примеси. В этих процессах избы-
точный импульс передается фонону или примеси, что делает возможным
выполнение законов сохранения энергии-импульса и для тепловых носите-
лей. Естественно, что вероятность непрямой оже-рекомбинации уменьшена
в силу малости электрон-фононного или электрон-примесного взаимодей-
ствия. Рассмотрению непрямой оже-рекомбинации посвящен § 11.8.
В легированных материалах, а также в полупроводниках с глубокими
примесными центрами, эффективной становится примесная оже-рекомби-
нация, в которой участвует носитель, находящийся в связанном состоянии
на примесном центре. Этот процесс беспороговый, так как закон сохране-
ния импульса благодаря участию связанного носителя выполняется автома-
тически. Особенно эффективными оказываются оже-процессы с участием
многозарядных центров, когда два электрона (рекомбинирующий и унося-
щий энергию) принадлежат одному центру (Шейнкман 1963). Примесная
оже-рекомбинация рассмотрена в следующей главе 12. Ниже подробно
рассмотрены типичные оже-процессы на примере полупроводников А3В5.
Оже-рекомбинация в кремнии и германии будет обсуждаться в § 11.10.
Оже-рекомбинации в соединениях А4В4 посвящены работы Ziep (1978,
11.3. Оже-рекомбинация в InSb
243
1980), Ziep and Mocker (1980, 1983), в бесщелевых полупроводниках —
работа Дьяконова и Хаецкого (1980).
Отметим в заключение, что энергетический порог оже-рекомбинации
может быть значительно снижен или вообще отсутствовать в аморфных ма-
териалах или вблизи границы полупроводника или гетерограницы. В этих
случаях закон сохранения импульса носителей, участвующих в процессе
рекомбинации нарушается, соответственно резко ускоряется темп оже-
рекомбинации (Зегря и Харченко 1992, Зегря и Андреев 1996, Dyakonov
and Kocharovskii 1994) (см. § 13.8).
11.3 Оже-рекомбинация в In Sb с передачей энергии
электрону (СНСС-процесс)
В этом параграфе подробно рассмотрен процесс оже-рекомбинации с уча-
стием двух электронов и тяжелой дырки (типа СНСС) на примере InSb.
Антимонид индия — узкозонный полупроводник (Eg » 0,167 эВ при Т =
300 К), в котором оже-рекомбинация является доминирующим видом бе-
зызлучательной рекомбинации в широком интервале температур.
Зонная диаграмма антимонида индия приведена на рис. 11.2. Энергия
спин-орбитального расщепления А здесь намного больше Eg, так что для
описания энергетического спектра электронов и дырок можно ограничить-
ся трехзонным приближением, т.е. учитывать только зону проводимости и
подзоны тяжелых и легких дырок. К Такому полупроводнику хорошо при-
менима модель Кейна, подробно рассмотренная в приложении 1. Энерге-
тический спектр тяжелых дырок в сферическом приближении (без учета
«гофра») соответствует простому параболическому закону
, (11.14)
2шь
где Eh (&) — кинетическая энергия тяжелых дырок. Энергетический спектр
электронов и легких дырок описывается кейновской формулой (П1.30). В
этой формуле отсчет энергии ведется от вершины валентной зоны. Для
кинетических энергий электронов и легких дырок имеем
Г\ 2 1
еМ = у/-Е1+-к^--Её, (11.15)
где Р — кейновский параметр, связанный с эффективной массой электро-
нов шс и легких дырок пц вблизи краев зон (при этом mc = mt) и шириной
запрещенной зоны Eg соотношением
244
Глава 11. Оже-рекомбинация
Р2 = ——(11.16)
4тс
На рис. 11.1 приведена схема электронных переходов рассматриваемого
оже-процесса. Процесс оже-рекомбинации свободных электрона и дырки с
передачей энергии второму электрону можно рассматривать как следую-
щий переход в двухэлектронной системе. В начальном состоянии имеются
два электрона в зоне проводимости. Под влиянием кулоновского взаимо-
действия рекомбинирующий электрон заполняет свободное место в зоне
тяжелых дырок, а второй электрон переходит в состояние с большой ки-
нетической энергией в зоне проводимости.
Темп оже-рекомбинации в борновском приближении определяется фор-
мулой
R = 52 ।vif|2<5[ec(^i) + ес(^г) + Еъ - еь(М - £c(*f)] х
х/сНМШМШМ- (11.17)
Здесь v — нормировочный объем, |Vjf|2 — квадрат модуля матричного
элемента оператора кулоновского взаимодействия, вычисленного на вол-
новых функциях начального (i) и конечного (f) электронных состояний.
Начальные состояния двух электронов в зоне проводимости будем описы-
вать двумя тройками индексов (с, , к\) и (с, ^2, ^г), где к\ и Л 2 указывают
значения волновых векторов, и Д42— значения спиральности3, а индекс
«с» указывает на принадлежность электронов зоне проводимости. В конеч-
ном состоянии электрон в валентной зоне будем описывать индексами (h,
рь, ^ь)> возбужденный электрон в зоне проводимости — индексами (с, p.f,
kf). Функции распределения электронов в зоне проводимости и тяжелых
дырок зависят только от кинетических энергий частиц и, соответственно,
обозначены /с[е(&1)], /с[е(&2)], /ь[е(&ь)]. Закон сохранения энергии при
переходах учитывает 6-функция, суммирование проводится по всем значе-
ниям квазиимпульсов hk], fikh, и всем значениям спиральности р.],
/э.2, Mf (пробегающим значения ±1/2) и //h (пробегающим значения ±3/2).
Матричный элемент оператора кулоновского взаимодействия имеет вид
Vif = I/ dW^2 [<^1)^^ X
X fc|ri _Г2| (rOV’c^^) - V’CM!*! (^)^сД2*2(п)] • (11.18)
3 Здесь спиральность обозначена через /х, так же как и химический потенциал. Надеемся,
что это не вызовет недоразумений.
11.3. Оже-рекомбииация в InSb
245
Здесь — волновые функции свободных зонных состояний носителей
(индекс т) нумерует зону и пробегает значения с, h,...). Они имеют вид:
= ^FMw*(r)> (1119)
где — блоховские амплитуды, определяемые в модели Кейна фор-
мулами (П1.26), (П1.27) и таблицами 9-114. Двухэлектронные волновые
функции антисимметризованы в соответствии с принципом Паули.
Подставим (11.19) в формулу (11.18) и выполним интегрирование по
Г] и г2. Полученное выражение для Vjf подставим в (11.17). Заменяя сум-
мирование по квазиимпульсам интегрированием, для темпа рекомбинации
R получим формулу:
2тг / 4тге2\2 [ d3kx [ d3fc2 f d3fcf f ,3, \
К = ~г\---- / 7ТДз / 7ТДз / ТТДз / d k*5(k' + *2~*f-*h) x
h \ к J J (2tt)j J (2?r)J J (2tt)3 J
x6[ec(k\) + Ec(kz) + Eg + Eh(kb) - ec(M x
х/с[е(М№(М№(М1
XBcc(*f, *2)Bhc(*h, *! ) - к2|^ ' (1 L20)
Первый член в фигурных скобках соответствует кулоновскому взаимодей-
ствию электронов, второй — обменному. Множитель S(kx + fc2 — kf — к^)
— следствие закона сохранения импульсов при столкновении электронов.
Величины Всс, Bhc, В определяются интегралами перекрытия блоховских
аМПЛИТуД Enik.-q’ii'k' •
^сс(^ь^г) ------- , |7сщ*|-,СЦ2*21
M2>Mf
Bhc(^h, к\) = ' |7h^hih,c^1*1 |
Ml >МЬ
B(kx,k2,kh,kf) = Re£KhJlh
,см1*Усд|*г,см2*:2 Х
MbMZiMbMb
x7hMh*hjCM23:27CMI*fiCM1i1}
Ir/fArfц'к' q J rur)iikkr>)uy'n'k' (r). (11.21)
4Коэффициенты для InSb (A £g) можно получить из таблицы 9 предельным
переходом Д —> оо.
246
Глава 11. Оже-рекомбинация
Здесь Q — объем элементарной ячейки, в пределах которой ведется
интегрирование. Используя для блоховских амплитуд разложение
по блоховским амплитудам краев зон w&m(r) (см. формулу (П1.26)) и учи-
тывая ортонормированность ийт(г), а именно,
i У ^rU^tr^Ub^fr) = 6bb'5mm‘, (11.22)
получим
= D4?(*)]‘4v(*')- (1L23)
b,m
Коэффициенты x*™(£) в модели Кейна определены формулами (П1.27),
(П1.28) и таблицами 9 и 11. При использовании этих выражений надо
иметь в виду, что в InSb энергия спин-орбитального расщепления A £g.
Кроме того, начальные кинетические энергии электронов, участвующих
в оже-процессе ес(^1)> еД^г), порядка кТ (или ер — энергии Ферми в
вырожденных полупроводниках), и, следовательно, много меньше £g. В
результате имеем:
Все(kf, к2) = 277(fcf), £hc(kh, к\) = -L_ sin2 i?*,A
пп J J t \ 3 \/£^k\)ec(k2) z, ч . Q . Q
B(ki,k2,kh,kf) = smi9t2A x
Z Da
* cos 2 (^гЛь + ^гЛг
nW =
2 k2P2 \
3~Ё|“ J
k2P2
Ё1
2k2P2\2
3 4 )
(11.24)
Отличие множителя r](kf) от единицы связано с тем, что энергия «отско-
чившего» электрона ес(М сравнима с £g.
Пороговые значения импульсов частиц в начальном и конечном состо-
яниях можно получить по схеме, описанной в § 11.2. При этом следует
иметь в виду, что в зоне проводимости при больших импульсах действует
кейновский закон дисперсии, то есть ec(fcf) определяется формулой (11.15).
Для пороговых значений импульсов (с учетом тс/т^ 1) получаем
ПкУ = = —№?,
mh
Пк? ~ ~ 2у/т^. (11.25)
11.3. Оже-рекомбинация в InSb
247
Пороговое значение суммарной кинетической энергии трех частиц, уча-
ствующих в оже-процессе, есть
eth = ec(fc,1h) + ec(^*2h) + eh(^h) » 2—£g. (11.26)
Увеличение ее в два раза в InSb по сравнению с полученной при про-
стом параболическом законе дисперсии (выражение (11.13)) обусловлено
«утяжелением» свободного электрона при возрастании его импульса в со-
ответствии с кейновским законом дисперсии.
Вычислим темп рекомбинации R в условиях термодинамического рав-
новесия, когда справедливо больцмановское распределение:
/с(ес) = ехр I кт ]
г / \ (Mh £-h \
/ь(еь) = ехр (I ,
где и — химические потенциалы электронов и дырок, связанные
соотношением Д4С + Мь = ~ЕЪ. В этом случае произведение трех функ-
ций распределения, входящих под интеграл (11.20), оказывается равным
/c[ec(^f)] = exp{[/Zc — ec(kf)]/кТ}. Благодаря малости отношения тс/«и
1 во всей области, существенной при интегрировании в (11.20), выполня-
ется следующее соотношение для импульсов hk\, hk2 hkf.
Вследствие этого можно всюду в предэкспоненциальном выражении
под интегралом пренебречь слагаемыми к\, к2, стоящими рядом с kf, a kf
заменить на его пороговое значение 2^mcE&/h. Для темпа реком-
бинации получаем
„ = 3 (ехр[(мс -gg)/^]^11)
16тг6/г J £’g(^tfh)2[dec(^)/dA:]|jfc=tib
х у dQtry d3fci У d3fc2exp{ - -^[ec(^i) +ес(М +
+eh(|*f- k} - k21)] j|ec(^i)sin21?*1Л1+*2_*Г -
-y/£c(k])ec(k2') sini?*,+*2_*rsini?*2>*1+*2_*f x
X COS 2 \ + ^гЛг Л1+Л2—,if J j •
248
Глава 11. Оже-рекомбинация
Входящий в это выражение импульс hkf есть функция hki, /гк2 и опреде-
ляется как решение уравнения
ес (kf) = ес (ki) + ec(k2) + еь (|kf - ki -k2|) + Eg, (11.28)
которое следует из условия обращения в нуль аргумента энергетической
«5-функции в выражении (11.20).
В антимониде индия оже-рекомбинация существенна при температурах
Т > 100 К, при этом оказывается, что
— >1. (11.29)
тс
Неравенство (11.29) приводит к тому, что область интегрирования по к\,
кг, определяется первыми двумя слагаемыми в показателе подынтеграль-
ной экспоненты формулы (11.27), а в третьем слагаемом к\, кг и kf мож-
но заменить на их пороговые значения, при этом ец (|k)h — Л‘ь — к^О =
2(тс/т^)ЕЁ. Последующее интегрирование выполняется легко и приводит
к результату
кТ
fl+2—')
\ mh J
(11.30)
Из этого выражения, разделив его на ил2, можно получить коэффициент
оже-рекомбинации уп (см. формулу (11.11)), не зависящий уже от концен-
трации носителей,
6х/2тг5/2е4Й.3 / тс Е&\
к2гпс/2т[/2(кТ)У2Е1/2 \ mhkTj '
(11.31)
Активационная зависимость коэффициента 7П от температуры связана с
наличием энергетического порога оже-рекомбинации. Предэкспоненциаль-
ный множитель зависит от интегралов перекрытия блоховских амплитуд.
Вследствие того, что интегралы перекрытия на пороге оже-рекомбинации,
где импульсы электронов параллельны, обращаются в ноль (см. формулу
(11.24)), возникает зависимость этого множителя от энергий рекомбиниру-
ющих носителей заряда. Этот факт существенно влияет на характер темпе-
ратурной зависимости предэкспоненциального множителя коэффициента
оже-рекомбинации у в невырожденных полупроводниках, а в вырожден-
ных — изменяет концентрационную зависимость (см. § 11.4).
11.4. Оже-рекомбинация (СНСС-процесс)
249
В первых работах по оже-рекомбинации интегралы перекрытия рассма-
тривались как константы, оценку величины которых получали из различ-
ных упрощенных моделей (см., например, Beattie and Landsberg 1959a,b,
Beattie 1962, Antoncik and Landsberg 1963, Peterson 1970). Правильное
вычисление интегралов перекрытия для оже-процессов на основе модели
Кейна было проведено в в целом ряде работ (Михайлова и др. 1976, Зото-
ва и Яссиевич 1977, Гельмонт 1978, Gerhardts et al. 1978, Burt and Smith
1984, Brand and Abram 1984, Гельмонт 1980). Подробный анализ различ-
ных приближений, используемых при вычислении интегралов перекрытия,
был проделан в работе Гельмонта (1978). В этой работе впервые полу-
чено правильное выражение для скорости оже-рекомбинации рассмотрен-
ного выше процесса СНСС-типа в антимониде индия (формулы (11.30)
и (11.31)) и показано, что выход за рамки кейновского приближения —
«учет взаимодействия с высшими зонами» — приводит к незначительным
поправкам.
Расчет коэффициента оже-рекомбинации по формуле (11.31) в InSb при
комнатной температуре дает 7 = 1,1 х 10~25 см6/с. Соответственно для
времени жизни в собственном материале т = n/2R получаем т = 10-8 с.
Экспериментальное значение, найденное в работе Zitter et al. (1959), есть
г = 2 х 10-8 с.
11.4 Оже-рекомбинация в полупроводниках А3В5 п-типа
(СНСС-процесс)
В легированных полупроводниках n-типа концентрация электронов значи-
тельно больше концентрации дырок. Основным каналом оже-рекомбина-
ции в таких полупроводниках является процесс СНСС-типа, рассмотрен-
ный в предыдущем параграфе для InSb, в котором ширина запрещенной
зоны Eg много меньше энергии спин-орбитального расщепления А. При
произвольном соотношении Е& и А расчет темпа рекомбинации следует
проводить в четырехзонной модели Кейна, учитывающей все три дыроч-
ные подзоны. Такое рассмотрение было проведено в работе Гельмонта и
Соколовой (1982).
Пороговую энергию для оже-процесса СНСС-типа можно получить из
следующих соображений, повторяющих рассуждения § 11.2 и основанных
на том факте, что в полупроводниках А3В5 масса тяжелой дырки го-
раздо больше массы электрона тс. «Отскочившему» при оже-процессе
электрону передается энергия, как минимум равная Е&. Такой электрон
должен иметь волновой вектор не меньший, чем к& определяется из
250
Глава 11. Оже-рекомбинация
уравнения ec(£g) = Eg, зависимость ес от к определяется реальным зако-
ном дисперсии в зоне проводимости, который при столь больших энергиях
отличается от простого параболического закона). Такой же большой вол-
новой вектор должна иметь система частиц (два электрона и дырка) в
начальном состоянии. Поскольку тс С. т^, то наименьшая энергия этой
системы реализуется при условии, что практически весь волновой вектор
kg принадлежит тяжелой дырке, а два электрона имеют малые тепловые
импульсы. Таким образом, пороговая энергия eth для рассматриваемого
процесса приблизительно равна £h(^g)- Считая закон дисперсии в зоне
тяжелых дырок параболическим, находим
£th = 3^’ £cOtg) = Eg. (11.32)
В четырехзонной модели Кейна (приложение 1) величину kg можно найти,
положив в уравнении (П1.25) Ё = 2Eg и воспользовавшись первым из
уравнений (П1.32). В результате получим
th _ „ (А + 2Eg)(2A + 3Eg)
(A + 3£g)(A + £g) ’
Зависимость eth от отношения A/Eg — слабая: при А » Eg и А < Eg из
(11.33) следует eth = 2пгсЕё/пгь. Минимальное значение eth достигается
при Д = л/3£е и равно eth = 1,77пгсЕё/пгь. Основная температурная зави-
симость коэффициента 7П определяется экспонентой 7П ~ ехр(—е‘ь/ЛТ).
Температурную зависимость предэкспоненты и порядок ее величины мож-
но получить из следующих соображений. При к\, кг Ef и eh(fcf) ec(fcf)
можно считать kf as к^ ~ kg, и формула (11.20) упрощается:
/ ?\2
х'ТГ' / (Д'ТГ0^ А
Е = f ) PcfE^B^ikg, 0)(Bhc(^g,^1))и А(е1 )• (И.
Здесь не учтен обменный член, который обычно того же порядка, но чи-
сленно меньше, pc(Eg) — плотность состояний в зоне проводимости при
энергии Eg, /h(eth) — функция распределения тяжелых дырок при энергии
eth, угловые скобки означают усреднение интеграла перекрытия по волно-
вому вектору к] электрона в начальном состоянии. Для невырожденных
дырок
Л(е‘Ь) = ^-ехр(--). (11.35)
/Vy \ KI J
11.4. Оже-рекомбинация (СНСС-процесс)
251
Таблица 7. Рассчитанные значения оже-коэффициентов уп для некоторых полупро-
водников А3В5 при Т = 300 К (Гельмонт и Соколова 1982).
Полупроводники 7П, см6/с
InAs 3 x 10-27
InSb 1,1 x 10-25
GaSb 6 x КГ31
GaAs 1,3 x КГ36
InP 1,7 x КГ33
Температурная зависимость предэкспоненты в 7П возникает из-за Nv ос
Т3/2 и интеграла перекрытия В^с, который равен нулю при к\ = 0 и
пропорционален ес(&1)- Поэтому для невырожденных носителей 7П ~
'Г*1/2 ехр(—Eth/kT). Следует отметить, что здесь Т — температура носи-
телей, которая в условиях их разогрева может отличаться от температуры
решетки.
Порядок величины 7П можно оценить, используя формулу (11.34) и
считая, что Всс « 1, Вс к, Ес(к\)/Е& (см. § 11.3)
( тс\3^2 Й3 (ес) / е1 \2 / Eth
7п = а^/ /п2^тз/2\Щ; ехр\ 1ёг
(11.36)
где а — числовой множитель. Результат точного расчета при £g < Д
(формула (11.31)) дает а = (2тг)5/2 (если положить (ес) = ЗкТ/2). При
произвольном соотношении А и Её рассчитанный Гельмонтом и Соколовой
(1982) коэффициент рекомбинации 7П описывается формулой (11.36) при
следующем значении коэффициента а:
а = 16-тг5/2
Eg + A \3/2 pEg + А\1/2
3Eg + 2А ) \2Eg + A/
(11.37)
В таблице 7 приведены значения коэффициентов оже-рекомбинации для
основных полупроводников А3В5, вычисленные Гельмонтом и Соколовой
при комнатной температуре Т = 300 К.
Формулы (11.36) и (11.37), так же как и результаты Гельмонта и Со-
коловой не учитывают гофра валентной зоны и анизотропии центральной
долины зоны проводимости, которая уже может быть существенна при
ес « Eg. Учет анизотропии зон несколько снизит пороговую энергию, но
численно уменьшит предэкспоненциальный множитель в 7П.
252
Глава 11. Оже-рекомбинация
Если электроны вырождены (но дырки не вырождены), то формула
(11.36) по-прежнему справедлива при условии, что энергия Ферми ef
Eg. Однако в качестве (ес) в нее следует подставить (3/5)ef- Таким обра-
зом, в этом случае 7П само зависит от концентрации электронов: 7П ~ л2/3.
Когда ef становиться порядка Eg, что в принципе может иметь место
в узкощелевых полупроводниках, то становится возможной беспороговая
оже-рекомбинация тепловой дырки с участием двух электронов. При на-
личии вырождения дырок формула (11.35), дающая связь /h(eth) с концен-
трацией дырок р, не справедлива, и эта связь должна находиться с учетом
их фермиевского (а не максвелловского) распределения.
11.5 Оже-рекомбинация в узкощелевых полупроводниках
р-типа
В узкощелевых полупроводниках p-типа, типичным представителем кото-
рых является р-InSb, основным каналом оже-рекомбинации является про-
цесс, сопровождающийся переходом высокоэнергетичной дырки из тяже-
лой подзоны в легкую. Схема такого перехода CHHL-типа изображена на
рис. 11.2. Впервые вероятность такого процесса вычислялась в работе
Beattie and Smith (1967). При этом вероятность оже-процесса была завы-
шена, так как авторы не учли обращения в нуль интегралов перекрытия
при пороговых значениях импульсов.
Гельмонт (1981) рассчитал темп такого оже-процесса в рамках трех-
зонной модели Кейна, примененной к узкощелевым полупроводникам с
ЕЁ < А. Для коэффициента оже-рекомбинации получено выражение
Зб7г2Й3е4 [kT /sth\ / sth
7р “ к2лцл1ЬЕ3 \ е^8\кт) еХР \ кТ
(11.38)
Здесь пороговая энергия sth и функция g(a') определяются выражениями
_ тс
—
mh
#(«)
(1 -/?)(3а +y)d/z
[(а +у)2 - 4/z2ау]2 '
Понижение пороговой энергии в два раза по сравнению с пороговым значе-
нием процесса СНСС-типа обусловлено тем, что здесь большой начальный
импульс участвующих частиц «делится» между двумя тяжелыми дырками.
В предельных случаях для функции g(a) имеем: при а » 1, g(a) ~
11.6. Оже-рекомбинация (CHHS-процесс)
253
Рис. 11.5. График функции g(a) (Гельмонт 1981).
(3/2)ч/тг, при а -> 0, g(a) = Зтг2а5/2/16. Для промежуточных значений
а величина g(a) рассчитывалась на ЭВМ. На рис. 11.5 приведен график
g(a.), взятый из работы Гельмонта (1981).
В собственном антимониде индия при комнатной температуре скорость
оже-процессов СНСС- и CHHL-типов сравнимы.
11.6 Оже-рекомбинация в полупроводниках А3В5 с
переходом дырки в спин-орбитально отщепленную зону
(CHHS-процесс)
Для полупроводников, энергия спин-орбитального расщепления которых
(А) меньше или сравнима с шириной запрещенной зоны Её, наиболее бла-
гоприятным в образцах p-типа является оже-процесс с «отскоком» дырки в
спин-орбитально отщепленную зону (процесс типа CHHS, рис. 11.3). Для
такого процесса энергетический порог минимален. К подобным полупро-
водникам относится основной материал полупроводниковой оптоэлектро-
ники GaAs и полупроводники GaSb, InP, InAs, а также их многокомпонент-
ные твердые растворы. Особенно велика вероятность процесса CHHS-типа
в соединениях GaSb, InAs, где реализуются «резонансные» условия £g я Д
и энергетический порог практически отсутствует. Большое внимание к это-
му процессу связано с тем, что его вероятность обычно выше вероятности
процесса СНСС-типа, так что именно он является основным не только в
материалах p-типа, но и при большом уровне накачки, когда концентрации
электронов и дырок одного порядка. В частности, именно этот оже-процесс
обуславливает ограничение квантового выхода люминесценции в полупро-
254
Глава 11. Оже-рекомбинация
водниковых InGaAsP-лазерах (Dutta and Nelson 1982а).
Детальное теоретическое исследование оже-рекомбинации CHHS-типа
в широком диапазоне параметров Д, Е&, Т, ms, было выполнено в рам-
ках четырехзонной модели Кейна в работе Гельмонта и др. (1982). Рас-
смотрение, полностью аналогичное выполненному в § 11.3 для процес-
са СНСС-типа, приводит к следующей формуле для коэффициента оже-
рекомбинации:
е4
7р = ^^6^2 ~~2 yd3£lhd3fc2hd3M3M(*lh+*2h+*c-*s) X
X<5(eih + E2h + Ес - es + £g - A)/lh/2h/c X
( ^hc(^2h? ^c)^hc(^lh) ^s) В(ЛС} &2h> ^lh) 1 (1140^
Xl |*lh-*s|4 |*lh -*sp|*2h -*s|2 J ’ 1 ’
Здесь hkc, tikih, ?^2h> — импульсы электронов и дырок, участвующих в
оже-процессе. Схема электронных переходов приведена на рис. 11.3. Если
носители не вырождены и имеют одинаковую температуру Т, то
/ih/2h/c exp[-(eih + e2h + ec)A7’] exp[(Eg - Д - es)/CT]
пр2 NCN2 NCN2
Первое слагаемое в фигурных скобках формулы (11.40) описывает куло-
новское взаимодействие частиц, второе — обменное. Величины Въс, Bhs,
В являются результатом суммирования соответствующих интегралов пе-
рекрытия по спиральности (см. § 11.3). Для них в работе Гельмонта и
др. (1982) в рамках кейновской модели при произвольном соотношении
между Д и Eg выведены следующие формулы:
Bhc(*2h,*c) = /’2(^2н)“2[*2Ь,*с]2Ус(*с)[Д + £с(М
Shs(*ih,*s) = ^[*ih,*s]\2^rh2ft4m“2A2
S(*c, *2h, *s,*lh) = ^P4^X2)'s(*s)yc(*c)[A - Ес(^с)][Д - ВД)] X
,,f1 , (*lh,*2h)2 (*c,*s)2 (*2h,*s)2
X ] 1 ' 1.11,1 + Z.2Z.2 1,2 k2
I ^lh^2h 'tc'ts K2hKs
(*lh,*s)2 _ (*lh,*c)2 _ (*2h,*c)2 _
1.2 k2 k2 k2 k2 k2
*lh*s *111*0 *2h*c
— I(*2h, *s)2(*lh, *c)2 + (*lh, *s)2(*2h, *c)2 -
— (*ih, *2h )2(*c, к^к^к^к-^-2
(11.42)
11.6. Оже-рекомбинация (CHHS-процесс)
255
где энергии Ес(£с) и Es(£s) — корни дисперсионного уравнения (П1.25)
модели Кейна. При этом Ес = Eg + ес(£с) и Es = -Д - es(£s). Величина
Уа(^) (для а = с, s) определяется выражением
уа(9)= [E2(Eg-A) + 2Ea(P4|9|2 + EgA) + 2P2|9|2A] '. (11.43)
Из формулы (11.40) удается получить аналитические выражения для
7Р только в отдельных предельных случаях. При Д - £g » И в работе
Гельмонта и др. (1982) найдено
27л4 е4Й3т^'/2(Д — Eg) / Д —Eg\
5 к2т^2т^кТЛ2(Е& + Д) \ кТ )
(11.44)
Отметим, что величина Д — Eg, стоящая в экспоненте, является пороговой
энергией. Естественно, что именно такой кинетической энергией должны
обладать частицы в начальном состоянии, чтобы «отскочившая» дырка мо-
гла попасть в спин-орбитально отщепленную зону.
В обратном предельном случае Eg — Д кТ, если выполняется условие
eth » кТ, где eth — энергетический порог, определяемый выражением
£th _ Eg(EZ А)
nih (Eg + A)(3Eg - 2Д) ’
в работе Гельмонта и др. (1982) получецо5
216%5-/2ft3e4mc(Eg + Д)2у/^7’ / eth
K2mhm2E^y/E^ ₽ \ кТ
(И-45)
(11.46)
Отметим, что в этом случае, так же как в процессе СНСС-типа, пороговая
энергия возникает благодаря наличию большого импульса у отскочившей
частицы (в данном случае дырки) в спин-орбитально отщепленной зоне.
Величина этого импульса тем больше, чем больше разность Eg — Д.
Как отмечалось выше, CHHS-канал оже-рекомбинации наиболее важен
в тех полупроводниковых соединениях, в которых Д и Eg близки друг к
другу, так что |Eg — Д|/Eg <<7 1. В этом случае результат расчета оже-
коэффициента по формуле (11.40) может быть представлен в виде
7? =
e4ft3ms
к2т^Е3
(Н-47)
5 В случае параболического закона дисперсии для дырок в отщепленной зоне, что спра-
ведливо вблизи резонанса, выражение (11.46) переходит в соответствующее выражение, по-
лученное ранее Зотовой и Яссиевич (1977).
256
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.6. Зависимость коэффициента оже-рекомбинации в безразмерных единицах,
= f(x) отх = (Eg—A'j/kT. Кривая 1 соответствует отрицательным х (|х| 3> 1);
кривая 2 — |х| ~ 1, тн —> оо; кривые 3-6 соответствуют х > I и ms/mh равном:
О (кривая 3), 0,1 (кривая 4), 0,2 (кривая 5), 0,33 (кривая 6). Штриховые кривые
— интерполяция между рассчитанными областями (Гельмонт и др. 1982).
где /(х) — функция безразмерного параметра х = (Eg — &)/кТ. На
рис. 11.6 представлены графики зависимости f(x), полученные с использо-
ванием расчетов на ЭВМ при различных значениях параметров. Основной
особенностью полученных результатов является существование широкой
области значений параметра х: — 5 < х < 10 (ть /ms), в которой темп оже-
рекомбинации велик. Максимальной величины 7Р достигает при значении
х = 2(ть /пц) и плавно спадает в обе стороны от этого максимума. В обла-
сти отрицательных х функция /(х) быстро выходит на экспоненциальный
спад по формуле (11.44), а в области положительных х > 10(mh/ws) —
на экспоненциальный спад вида (11.46). То, что максимальное значение
оже-коэффициента достигается при х = 2(mh/ws), а не при х = 0, объ-
ясняется следующим образом. Хотя при х = 0 порог оже-рекомбинации
отсутствует, но в ней принимают участие носители с малым значением
импульса (порядка y/2mskT), плотность конечных состояний для которых
мала (порядка (т^Т)3/2).
Численные расчеты коэффициента оже-рекомбинации были выполне-
ны в работе Гельмонта и др. (1982) для твердых растворов InAsi_ySb?,
Ini-yGaj As, GaSbi_yAsy при комнатной температуре. Вблизи «резонанса»
коэффициент 7Р весьма чувствителен к значению разности Eg — А. В ли-
тературе, однако, имеется значительный разброс в экспериментальных дан-
11.7. Экранирование в оже-процессах
257
ных для параметров Eg и Д. Так например, для GaSb в работе Гельмон-
та и др. (1982) выбраны для расчетов следующие значения параметров:
Eg = 0,7 эВ, А = 0,8 эВ; в то же время в Landolt-Bomstein (1982) для этих
же параметров приводятся такие значения: Е& = 0,725 эВ, А = 0,76 эВ.
Рассмотренный оже-процесс характеризуется малой передачей импуль-
са в процессе аннигиляции электрон-дырочной пары. В этом случае может
оказаться существенным влияние кулоновского взаимодействия между ча-
стицами, участвующими в оже-процессе, на волновые функции этих частиц.
При излучательной рекомбинации подобные эффекты приводят к появле-
нию зоммерфельдовского множителя в вероятности перехода. В примене-
нии к оже-процессу СНСС-типа такой вопрос изучался в работе Takeshima
(1975). В рассматриваемом резонансном процессе CHHS-типа влияние ку-
лоновского взаимодействия, вероятно, более существенно, так как процесс
беспороговый и в нем участвуют частицы малой тепловой энергии. Этот
интересный вопрос, насколько нам известно, не изучался.
11.7 Экранирование в оже-процессах
Оже-процесс происходит за счет кулоновского взаимодействия между элек-
тронами. Этот механизм рекомбинации становится эффективным лишь при
достаточно больших концентрациях свободных носителей. Поэтому есте-
ственно возникает вопрос об экранировании кулоновского взаимодействия
свободными носителями. Ниже будет показано, что при межзонной оже-
рекомбинации экранирования свободными носителями практически нет.
Если кулоновское взаимодействие представить в виде разложения в ряд
Фурье
V(n,r2)= . ,=-У^е^-^, (11.48)
К|Г1 — Г2| V KqZ
то отдельные члены этого ряда отвечают переходам с передачей импульса
hq от одного электрона к другому. Здесь к — диэлектрическая постоянная
кристалла. И без учета экранирования свободными носителями возникает
вопрос о том, какая это постоянная — высокочастотная или статическая6.
бВ литературе высказывалось мнение (Haug and Ekardt 1975), что поскольку оже-процесс
обусловлен взаимодействием электронов на малых расстояниях (больших q), то использо-
вание макроскопической диэлектрической проницаемости незаконно. Для полупроводников
с достаточно узкой запрещенной зоной или для резонансных оже-процессов (§ 11.6) ха-
рактерные значения </' составляют много постоянных решетки и для таких опасений нет
оснований. В широкозонных материалах нерезонансные процессы без участия фононов или
примесей неэффективны.
258
Глава 11. Оже-рекомбинация
Строго говоря, вместо взаимодействия (11.48) следует писать
V(rbr2) = - V . ,47Ге2.. (11.49)
|к(сц,4)|42
где к(ш, q) диэлектрическая восприимчивость, зависящая от волнового
вектора q (пространственная дисперсия) и частоты ш (временная диспе-
рсия). Здесь ш = Ae/h, где Ае — энергия, передаваемая в акте взаимо-
действия. В оже-процессах Тиш приблизительно равно ширине запрещенной
зоны Eg. Так как Eg > Ьш<) (а>о — частота оптических фононов), то без уче-
та свободных носителей в качестве к в формуле (11.48) следует брать «оо
— высокочастотную диэлектрическую проницаемость. Экранирование учи-
тывается добавлением к «оо вклада свободных носителей заряда Дкс(ш. q~):
K,^,q~) =
Kqo + Дке(ш, q).
В вероятности оже-процессов входит квадрат модуля матричного элемен-
та кулоновского взаимодействия. С учетом экранирования в выражениях
для этих вероятностей следует заменить к2 на |коо + Дке(ш, <?)|2- Та-
ким образом, экранирование уменьшает вероятность оже-процесса в 11 +
Дке(сц, ^)/коо|2 раз.
Часто экранирование учитывают заменой кулоновского потенциала на
дебаевский (см., например, Haug et al. 1978), то есть 1/г заменяют на
(1/г) ехр(—г/гц), где гр — дебаевский (или фермиевский) радиус. Это
соответствует тому, что вклад свободных носителей не зависит от w и
равен
а2 1
Дкс(о>, q) = -уКоо, qn = — (11.50)
q ro
Такой тип экранирования обычно называется статическим. В оже-процессах
использование такого приближения, вообще говоря, не оправдано. Поэтому
полезно исследовать поведение Дкс(о>, q) в зависимости от соотношения
между ш и q.
Общее выражение для Дкс в приближении хаотических фаз имеет вид
(Nozieres and Pines 1958):
j,f J J
где v — нормировочный объем, j, f — индексы, нумерующие состояния
носителя, Fj и Ff — соответствующие числа заполнения, = е/ — ej
11.7. Экранирование в оже-процессах
259
— изменение энергии при переходе j —> f, и — затухание, обусловленное
уширением уровней (как правило, можно считать, что и -> 0). Формула
(11.51) учитывает вклад заряда одного типа. Если в полупроводнике име-
ются электроны и дырки или носители одного знака, но разного типа (элек-
троны разных долин или тяжелые и легкие дырки), то соответствующие
вклады нужно просуммировать. Основную роль в экранировании играют
внутризонные переходы.
Рассмотрим простейший случай — электроны в простой параболиче-
ской зоне — и будем считать, что qao <S 1 (где ао — постоянная решетки).
В этом случае при вычислении матричных элементов можно считать, что
состояния j и f — плоские волны, характеризуемые волновыми векторами
к и к + q. Тогда формула (11.51) может быть переписана в виде
4-тге2
Л*:#, q) = —2~
Q
Fk+q - Fk d3*
Нш + Ek - Ek+q + (2-Л-)3 '
(11.52)
В интеграл входят три характерные частоты: си, qvc, шд, где vc — харак-
терная скорость носителей (фермиевская или тепловая), и введено обозна-
чение шд = hq2/2m. В зависимости от соотношения между этими тремя
частотами получаются различные выражения для Аке = Дк'+1Дк''. Ис-
следование дает следующие результаты:
Дк' = 1 К°°^ при qvc 3> ш (11.53а)
Ак' = _ ^р1 Коош2 при ш 2> ш,, qvc (11.53b)
Дк' = Kqo 7 при Шд » ш, qvc. (11.53с)
Здесь шр| = (4тгле/коот)1/2 — плазменная частота, гр — дебаевский ра-
диус, причем гр = (ЛТкоо/Д-тгле2)1/2 для больцмановской статистики и
го = (ЕрКоо/4тгле2)1/2 при наличии вырождения. Во всех этих трех случа-
ях Дк" Дк'.
Для оже-процессов важен также случай, когда шиш, близки друг к
другу. При этом могут представиться две возможности:
|ш9 - w| » qvc :
А< = коо-^1-
д< < д<
(11.53d)
260
Глава 11. Оже-рекомбинация
- сц| < qve < (jj :
Ак'
^pl
КОО о / . \
2о>9(сЦ + (jJg)
f— 2
V^pl
»---- к'
2jjjqqvc
(?Vc)2 .
(11.53e)
Формулы (11.53) выписаны для невырожденных носителей, в них vc =
у/2кТ/т. Для вырожденных электронов в качестве vc в Лк' надо под-
ставить \/2vf/x/3, а в А к" — Дтр/З^тг (vf — скорость носителей на
поверхности Ферми). В случае (11.53е) А к" 3> Ак'.
Обсудим теперь, может ли оже-процесс экранироваться свободными
носителями заряда. Прежде всего покажем, что если характерная энергия
носителей е гораздо меньше, чем Eg, то экранирование не существенно. В
самом деле, при таких условиях переданная энергия Ъш к, Eg, и всегда вы-
полняется неравенство ш (см. ниже). Поэтому hqvc = 1y/hwqE < w
и экранирование не может быть статическим, то есть нельзя пользоваться
формулами (11.53а) и (11.53b).
Для резонансного процесса CHHS (§ 11.6) w, <ши, следовательно,
справедлива формула (11.53b), согласно которой IAk/kqoI = (Йшр|)2/Е2.
Для процесса, при котором носитель, получивший энергию, остается в той
же зоне ыч = hq2/2т ~ Eg/h, и, следовательно, справедливы формулы
(11.53d,e), согласно которым Ак/kqo < (Йшр|)2/Е^2е'/2. Между плаз-
менной частотой и энергией Ферми имеет место соотношение: (Йшр|)2 ~
е2/2Е*/2 (где Ец — боровская энергия в полупроводнике). Отсюда и из вы-
шеприведенных выражений для IAk/kqoI следует, что при ef < Eg экра-
нирование не существенно (так как Ев С Eg).
Рассмотрим противоположный случай ef > Eg (который может осу-
ществиться в узкощелевых полупроводниках). При этом все три вели-
чины ijj,qvc,{jJq одного порядка, (Ак/коо] ~ (сцр)/сц)2 ~ (/kvpi)2/Ер ~
у/Еъ/еу < 1 и экранирование тоже не существенно.
Таким образом, экранирование свободными носителями заряда в оже-
процессах не может иметь места. По существу это связано с тем, что акт
оже-рекомбинации происходит за столь короткое время, что носители не
успевают его экранировать. В старых работах, в которых не учитывалась за-
висимость интеграла перекрытия от q в матричном элементе вероятности
оже-рекомбинации, переоценивалась роль малых переданных импульсов и
для обрезания получающихся расходимостей вводилось экранирование. Из
вышеприведенного рассмотрения следует, что этого делать не надо.
11.8. Учет взаимодействия носителей с фононами и примесями
261
11.8 Учет взаимодействия носителей с фононами и
примесями в процессах межзонной оже-рекомбинации
Законы сохранения энергии и импульса, которые должны выполняться в
процессах прямой оже-рекомбинации, как было показано в § 11.2, при-
водят к энергетическому порогу для оже-процессов eth. Вследствие это-
го вероятность прямой оже-рекомбинации пропорциональна ехр(—ел'/кТ),
что делает этот процесс неэффективным, особенно при низких температу-
рах в широкозонных полупроводниках типа GaAs. Участие фононов или
примесей в оже-процессах снимает энергетический порог, так как избы-
точный импульс при этом может быть передан «третьему телу». В ско-
рости оже-процесса пропадает малая экспонента ехр(—е^/кТ}, но появля-
ется малый множитель, связанный с электрон-фононным или электрон-
примесным рассеянием. В чистых полупроводниках (например в лазерных
структурах с большим уровнем накачки) доминирует оже-рекомбинация с
участием фононов. В сильнолегированных полупроводниках наибольшую
роль играют непрямые оже-процессы с участием примесей.
В силу малости электрон-фононного взаимодействия, оно может быть
учтено во втором порядке теории возмущений. Впервые это рассмотре-
ние выполнено применительно к непрямозонным полупроводникам типа
германия или кремния (Eagles 1961, Rosenthal 1973, Huldt 1976). Пер-
вые расчеты для прямозонных полупроводников А3В5 выполнил Lochmann
(1977а,b). Рассмотрим непрямой оже-процесс СНСС-типа, происходящий
с участием продольного фонона.
Начнем с процесса, в котором с фононом взаимодействует тяжелая дыр-
ка (процесс I). Схема соответствующих электронных переходов изображе-
на на рис. 11.7. В начальном состоянии имеются два электрона в зоне
проводимости с импульсами fiki, кк.2 и тяжелая дырка с импульсом Нк^.
В результате взаимодействия с продольным фононом дырка рассеивается
в состояние с большим импульсом Ик'ь (/ifc( ~ hkf ~ ^2тсЕЁ). Один из
электронов (на рис. 11.7 электрон с импульсом hki) рекомбинирует с рас-
сеянной дыркой, отдавая второму электрону избыточную энергию (~ £g).
Скорость оже-рекомбинации для соответствующего процесса, полученная
в наинизшем порядке теории возмущений, имеет вид
ЯрЬ = гГ'чь [ ^kid3k2d3kfdikhd3k{ld3qS(<kl+k2-kf-k'b) х
н О47Г* fl J
x<5(*h - k'h + q)8[ec(k\) + ec(fc2) + eh(^h) + Eg - es(*f)] x
262
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.7. Схема электронных переходов оже-процесса СНСС-типа с участием
фонона, излучаемого (поглощаемого) тяжелой дыркой. Начальные значения квази-
импульсов электронов и дырки суть fiki, Ък2, hk^, квазиимпульс «отскочившего»
электрона — Wtf, виртуальной дырки — 7ifc'h = ftkn ± hq, где hq — импульс фонона
(«+» для поглощения, «—» для излучения) (процесс I).
х/c[e(<:i)]/c[e(fc2)]/h[e(fch)]|cg|2[l + 227(7^)] х
[ec(^i) + £с(Ъ) + + Eg — ес(М12
X {к'2|*f - *21~4Shc(*h, *1 )«сс(*Ь к2) -
-к~2\к{ - к2\^2\к{ - kl\~2B(kl,k2,k'h,kf)}. (11.54)
Здесь величины Bhc, Ba, В есть просуммированные по спиральностям
произведения интегралов перекрытия блоховских амплитуд, определенные
формулами (11.21). Величина |с?|2 при столкновении носителя с продоль-
ными оптическими фононами определена формулой (4.19) для случая де-
формационного взаимодействия и формулой (4.20) для поляризационного;
tUvq = Ьшо — энергия продольных оптических фононов, Л^/дц?) — бозев-
ская функция распределения фононов
= [ехр - 1] .
При получении формулы (11.54) пренебрежено энергией Пшо в аргументе
«5-функции. Это позволило просуммировать процессы с излучением и по-
11.8. Учет взаимодействия носителей с фононами и примесями
263
глощением фононов и привело к появлению множителя [1 + 27V(fav9)]. Эта
же формула справедлива и при взаимодействии носителей с продольными
акустическими колебаниями. В этом случае = hqs, где .г — скорость
звука, а |с?|2 для простой зоны имеет вид (см. приложение 3):
। .2 = Ер^7
4 2vpcs
Получим оценку скорости рекомбинации Eph для случая невырожден-
ных полупроводников. Наличие трех функций распределения под интегра-
лом (11.54) приводит к тому, что кинетические энергии электронов и дыр-
ки в начале оже-процесса — тепловые, т.е. к\ ~ кг — у/2тскТ/К = к^,кь —
у/2тькТ/h = к?. Вследствие этого в аргументе «5-функции, выражающей
закон сохранения энергии, можно пренебречь кинетическими энергиями
ec(fci) Ес(^г) — Eh(^h) — кТ по сравнению с Eg. Тогда интегрирование по
kf легко выполняется с помощью «5-функции и дает множитель у/Еёпг3/Ь3.
В оставшемся выражении hkf заменяется на = ^/2Egmc — пороговое
значение импульса «отскочившего» электрона. В свою очередь законы со-
хранения импульса требуют выполнения соотношения k'h q fc*. При
этом энергетический знаменатель [ес(&1) + Ес(Ъ) + £ь(&н) + Её - ec(fcf)]2
по порядку величины есть [еьС&и1)]2 — (£*Ь)2> те- квадрат пороговой энер-
гии прямого оже-процесса (см. § 11.3). Фигурная скобка в (11.54) по по-
рядку величины оказывается равной к~2(к^)~4кТ/Е&. Малый множитель
kT/ Eg возникает в силу малости интегралов перекрытия, которые отличны
от нуля только вследствие подмешивания к электронным состояниям зоны
проводимости состояний легких дырок из валентной зоны (см. формулы
(11.21)—(11.24)). Окончательно имеем
6Атг3е4п(кукт-')3кТш^2у\сиъ\2 / £
' I1 + Ы
(11.55)
Здесь к — диэлектрическая постоянная, которую согласно § 11.6 следует
положить равной высокочастотной диэлектрической проницаемости «оо-
Сравнивая скорость непрямой (с участием фононов) и прямой (см. фор-
мулу (11.30)) оже-рекомбинации СНСС-типа, имеем
sjh (4Ж1‘12 г.,,,,/. \i />|‘\ . р*\
» (е,.)2 К м “Р Ы s “Р (й=) (1L56>
Как и ожидалось, непрямая фононная оже-рекомбинация не содержит по-
роговой экспоненты, но приобретает дополнительный множитель £ < 1.
264
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.8. Схема электронных переходов оже-процесса СНСС-типа с участием
фонона, излучаемого (поглощаемого) одним из электронов (процесс II).
Выпишем оценку £рь для трех типов взаимодействия электронов с про-
дольными фононами:
для взаимодействия с акустическими фононами
pc52(eth)2 ’
для деформационного взаимодействия с оптическими фононами
^opt^o(^T)3
^ph~ pcs2(eth)2
(П-57)
(11.58)
для поляризационного взаимодействия с оптическими фононами
ть е2к? TuvokT
mc к* Eg(eth)2’
1 _ J________1_
K* Koo «0
(11.59)
Скорость рассматриваемого выше процесса вычислялась Лохманом. Его
результат завышен по сравнению с нашей оценкой в к2Е&/кТ раз. Во-
первых, Лохман предполагал, что обменное взаимодействие не экраниру-
ется решеткой. В силу этого он оставлял только обменный член, в котором
полагал к = 1. Как видно из приведенного выше рассмотрения, и обмен-
ный и кулоновский члены характеризуются одним и тем же переданным
импульсом к^, для которого в типичных полупроводниках А3В5 справед-
ливо условие 1, где а — постоянная решетки. Это дает основание
11.8. Учет взаимодействия носителей с фононами и примесями
265
Рис. 11.9. Схема электронных переходов оже-процесса СНСС-типа с участием
фонона, излучаемого (поглощаемого) тяжелой дыркой, «отскакивающей» в вирту-
альное состояние, принадлежащее легкой подзоне (процесс III).
вводить обычную диэлектрическую проницаемость. Подробно вопрос о ди-
электрическом экранировании кулоновского и обменного взаимодействий
в оже-процессах обсуждался в работе Takeshima (1982). Во-вторых, от-
сутствие множителя кТ/Еъ у Лохмана связано с тем, что по его оценке
интеграл перекрытая ZhMb*h,tMc*c порядка единицы, если любой из импуль-
сов, электронный или дырочный, велик (порядка hkf). На самом деле в
модели Кейна зона тяжелых дырок не имеет примеси состояний зоны про-
водимости даже при больших к. Поэтому в рассматриваемом процессе, в
котором импульс кс мал, интеграл перекрытая /ьяА.одЛ мал (пропорцио-
нален кг), несмотря на то, что импульс kf велик (fch ~ кг). Именно поэтому
в вероятности перехода появляется малый множитель кТ/Её.
Рассмотрим теперь процесс, в котором с фононом взаимодействует
электрон (процесс II, рис. 11.8). Теперь большой импульс имеет элек-
трон и интеграл перекрытая порядка единицы. Зато энергетический зна-
менатель, содержащий энергию виртуального состояния, равен Её, а не
sth « (тс/тъ)Её. Поэтому имеет место оценка
pH / \ 77
_р!1 - (
Kph \mh/ кТ'
266
Глава 11. Оже-рекомбииация
Видно, что этот процесс может оказаться основным при низкой темпера-
туре.
Отметим, что скорость оже-рекомбинации, идущей по схеме, изобра-
женной на рис. 11.9 (процесс III) того же порядка, что и /?ph.
Как уже отмечалось, избыточный импульс в оже-процессе может быть
передан не только фонону, но и примеси. Скорость непрямой оже-рекомби-
нации с участием примеси вычислялась Такешимой (Takeshima 1981). В се-
рии его работ (Takeshima 1981 a,b, 1982а,Ь), а также в работах Bardyszewski
and Yevick (1985а,b) рассмотрены оже-процессы CHHS-типа с участием
фононов или примесей, в том числе и для резонансных условий (полупро-
водники типа GaSb, InAs, а также различные многокомпонентные лазер-
ные соединения, в которых Её к, Д), когда пороговая энергия отсутствует
и учет фононного и примесного рассеяния по теории возмущений не при-
меним.
11.9 Основные экспериментальные результаты
по измерению коэффициентов оже-рекомбинации
в полупроводниках АзВ5
Как уже отмечалось, оже-рекомбинация является основным каналом безыз-
лучательной рекомбинации в узкощелевых полупроводниках типа InSb в
широком интервале температур. Пороговая экспонента прямой оже-реком-
бинации при комнатной температуре здесь близка к единице — в InSb при
Т = 300 К ехр(—m^Eg/m^kT} = 0,8. Время жизни т, обусловленное оже-
рекомбинацией, было измерено при комнатной температуре в собствен-
ном InSb и в р-InSb с концентрацией акцепторов № = Ю15-1018 см-3.
Было найдено, что г = 2х10-8 с и т = Зх1О~8 с, соответственно. Эта
значения хорошо согласуются с теоретическими расчетами (см. § 11.3 и
§ 11.5). Процесс СНСС-типа экспериментально был исследован также в
n-InAs в работе Dalal et al. (1974). Температурная зависимость коэффи-
циента оже-рекомбинации 7П, найденная в этой работе при концентрации
доноров Nd = 2,9х 1016 см-3, приведена на рис. 11.10. Подробный теоре-
тический расчет этого процесса с учетом непараболичноста зон, электрон-
дырочного взаимодействия, а также взаимодействия носителей с фононами
был выполнен Такешимой (Takeshima 1975, 1981b, 1983). Сплошная кри-
вая на рис. 11.10 взята из его работы Takeshima (1983). Видно прекрасное
согласие теории с экспериментом. Однако следует отметить, что в сво-
ем расчете Такешима использовал для интеграла перекрытая следующее
11.9. Основные экспериментальные результаты
267
Г, К
Рис. 11.10. Оже-коэффициент -уп для InAs как функция температуры (Takeshima
1983). Сплошная и пунктирная кривые получены при строгих и приближенных
вычислениях, соответственно. Точки — экспериментальные результаты при уровне
легирования 2,9х101бсм-3 (Dalal et al. 1974).
выражение
Bhc(fch,fcc)= ^C~feh|2/ch, (11.61)
2пц)Её
где /по — масса свободного электрона, a fdi — сила осциллятора, безраз-
мерная величина порядка единицы. Это выражение получено по fcP-методу
и справедливо лишь при значениях квазиимпульсов, малых по сравнению
с межзонным квазиимпульсом hkg = y/2mcEg. Для квазиимпульсов, входя-
щих в (11.61), это условие не выполнимо.
В широкозонных полупроводниках типа GaAs пороговая экспонента
для прямых процессов СНСС-типа очень мала. Например, в GaAs при
Т = 300 К она близка к значению 10-3. Поэтому в таких полупровод-
никах процессы данного типа практически всегда должны идти с участием
фононов или примесей (см. § 11.8). Экспериментально процессы СНСС-
типа в широкозонных полупроводниках исследованы слабо. При высоком
уровне накачки, корда образуется электрон-дырочная плазма с большой
концентрацией носителей п = р ~ 1017— 1О2осм~3, в широкозонных по-
лупроводниках А3В5 доминирует оже-рекомбинация с переходом дырки
в спин-орбитально отщепленную подзону (процесс CHHS-типа). Этот же
процесс является основным в легированных полупроводниках p-типа. Осо-
бенно велика его вероятность в условиях резонанса, когда Её ~ Д, что
имеет место в InAs и GaSb. Естественно, что именно этот оже-процесс
268
Глава 11. Оже-рекомбинация
Рис. 11.11. Зависимость коэффициента 7Р оже-рекомбинации для CHHS-процесса
в GaSb p-типа от концентрации свободных дырок при 77 К и 300 К. Эксперимен-
тальные значения 7р при 77 К (а) и 300 К. () и рассчитанные по интенсивности
люминесценции (о) получены в работах Илуридзе и др. (1985), Титкова и др.
(1986). Теоретические кривые 1 и 2 для 77 К. и 300 К, соответственно, полу-
чены в работах Takeshima (1975) (сплошные кривые) и Гельмонта и др. (1982)
(штриховые кривые).
изучен наиболее подробно.
Впервые экспериментально оже-процесс CHHS-типа был детально ис-
следован для GaAs и GaSb в работе Benz and Conradt (1977). При из-
учении электролюминесценции в диодах GaAs и GaSb, а также фотолюми-
несценции в этих полупроводниках наблюдался, помимо основного, до-
полнительный пик люминесценции на частоте hv = Ев — А. В рабо-
те доказано, что этот пик связан с появлением горячих дырок в спин-
орбитально отщепленной зоне в результате оже-процесса CHHS-типа. Из
анализа экспериментальных данных найдены следующие значения коэффи-
циентов оже-рекомбинации при Т = 77 К: 7p(GaAs) = 10“(3i±I) см6/с,
7p(GaSb) = 10-(25±I) ем6/с. В работе Jastrzebski et al. (1979) исследова-
лась оже-рекомбинация в р-GaAs (р = 4х 1017 см-3, 2х 1018 см-3) в интер-
вале температур Т = 400—600 К. Для оже-коэффициента получено зна-
чение 7р сх 10 ‘ 29 см6/с. Систематические исследования CHHS-процессов
в кристаллах GaAs, GaSb и Gai_^InxSb p-типа в интервале температур
Т = 77—300 К и меняющейся в широких пределах степени легирова-
ния были выполнены в работах Титкова и др. (1981, 1986), Titkov et al.
(1981), Чебана (1986), Илуридзе и др. (1986). В этих работах измерения
11.9. Основные экспериментальные результаты
269
ур, 10-29 см6 с-1
-0,1 0 0,1
Eg - А, эВ
0,2
Рис. 11.12. Зависимость оже-коэффициента в CHHS-процессе от рассогласования
зонных параметров Eg и А. Экспериментальные значения получены для кристаллов
твердых растворов Ga|..xInxSb (□) и Ga^^AkAsi-jSb, (), одинаково легирован-
ных акцепторной примесью цинка до уровня 2 х 1019 см 3 (Титков и др. 1988).
времени жизни неравновесных носителей проводились различными мето-
дами, в том числе прямыми, — по кинетике спада сигнала люминесценции.
Впервые для измерения времени жизни, обусловленного оже-процессами,
был использован также метод оптической ориентации. Этот метод был
апробирован при исследовании GaAs, где результаты измерения методом
оптической ориентации оказались в прекрасном согласии с результатами,
полученными по кинетике спада сигнала люминесценции. Использование
метода оптической ориентации позволило авторам впервые провести изме-
рение скорости оже-процессов в GaSb и Ga|_xInxSb, где прямые кинетиче-
ские измерения затруднены, поскольку здесь время жизни, обусловленное
оже-рекомбинацией, попадает в пикосекундную область. Результаты изме-
рения коэффициента оже-рекомбинации 7р, связанного с временем жизни
неосновных носителей соотношением тп-1 = 7рр2 (см. § 11.1), предста-
влены на рис. 11.11 (Илуридзе и др. 1985, Титков и др. 1986). На этом
же рисунке представлены теоретические кривые, рассчитанные Такешимой
(Takeshima 1982) и Гельмонтом и др. (1982). В GaAs, где Eg > Д, согласие
теории и эксперимента достигается лишь при учете рассеяния носителей
на фононах и примесях. В GaSb, где Eg и Д, такой учет не изменяет
значений 7р.
Теория предсказывает, что вероятность оже-рекомбинации CHHS-типа
должна существенно зависеть от величины разности Eg — Д и быть макси-
мальной при Eg ~ Д (см. § 11.6). Впервые экспериментально существова-
270
Глава 11. Оже-рекомбинация
ние этой зависимости было обнаружено при исследовании люминесценции
фотодиодов на основе Ga^In^As в работе Зотовой и Яссиевич (1977). Де-
тально эта закономерность исследовалась в работах Илуридзе и др. (1985,
1986), Титкова и др. (1986, 1988) на твердых растворах Gai_xInxSb. Полу-
ченные в этих работах результаты представлены на рис. 11.12. Отметим,
что в этих работах исследовалось также изменение вероятности CHHS-
процесса в GaAs, связанное с увеличением Eg за счет приложения к кри-
сталлу высоких гидростатических давлений до 50 кбар.
Оже-процесс CHHS-типа является основным процессом безызлуча-
тельной рекомбинации, снижающим квантовый выход люминесценции ге-
теролазеров на основе InGaAsP. Разработка этих лазеров, генерирующих
на длинах 1,3-1,55 мкм, интенсивно ведется в связи с потребностями во-
локонно-оптических линий связи. Имеется большое число работ, в кото-
рых оже-коэффициент 7Р рассчитывался и измерялся для разных соста-
вов твердых растворов и температур (для справок см., например, Ваг-
dyszewski and Yevick 1985, Илуридзе и др. 1985, Гарбузов и др. 1983а).
Экспериментальные значения оже-коэффициента лежат в интервале
(1 — 5) х 10-29 см6/с, что хорошо согласуется с теорией.
11.10 Оже-рекомбинация в кремнии и в германии
Расчетам темпа оже-рекомбинации в кремнии посвящено много работ (см.,
например, обзор Tyagi and van Overstraeten 1983). Как уже отмечалось в
§ 11.2, в непрямозонных полупроводниках законы сохранения энергии и
импульса приводят к большому энергетическому порогу для межзонной
оже-рекомбинации. В кремнии благодаря «случайному резонансу» возмо-
жен практически беспороговый СНСС оже-процесс, при котором один из
электронов рекомбинирует с дыркой, а другой, получив выделившуюся при
рекомбинации энергию, перебрасывается в другую долину (см. § 11.2). Рас-
четы этого процесса проводились в работах Huldt (1971), Абакумова и
Яссиевич (1977). Числовые значения константы оже-рекомбинации полу-
чить трудно, так как это требует знания интегралов перекрытая блохов-
ских амплитуд, соответствующих разным точкам зоны Бриллюэна, а так-
же знания фурье-компоненты кулоновского взаимодействия при большом
значении квазиимпульса, когда использование макроскопической диэлек-
трической константы не законно. Однако можно сказать, что вероятность
такого процесса значительно понижена из-за большого передаваемого им-
пульса и малого объема Л-пространства (направления близкие к (100)), в
котором выполняются резонансные условия. В работе Абакумова и Яссие-
11.10. Оже-рекомбинация в кремнии и в германии
271
вич (1977) было отмечено, что этот «резонансный» процесс должен быть
весьма чувствителен к одноосной деформации, частично снимающей вы-
рождение долин зоны проводимости и поэтому приводящей к перераспре-
делению носителей между долинами. Для выяснения роли «резонансного»
процесса были поставлены специальные эксперименты с целью обнару-
жить влияние давления на темп оже-рекомбинации (Грехов и Делимова
1980, Делимова 1981). Такое влияние обнаружено не было, что свидетель-
ствует о неэффективности «резонансного» процесса.
Это заставляет предположить, что оже-рекомбинация зона-зона, как
СНСС-типа, так и СННН-типа, идет с участием фонона, уносящего им-
пульс, требуемый законами сохранения. Расчеты таких процессов проводи-
лись в работах Haug (1978), Lochmann (1978), Lochmann and Haug (1980),
Haug and Shmidt (1982). В работе Lochmann and Haug (1980) были полу-
чены значения оже-коэффициентов yn « ур « 10-31 см6/с, что согласуется
с экспериментальными значениями (см. обзор Tyagi and van Overstraeten
1983), найденными как в легированных, так и в нелегированных образцах
при большом уровне возбуждения. (По нашему мнению, существующая те-
ория не может претендовать более, чем на порядковую оценку величины
оже-коэффициента.) В некоторых экспериментальных работах сообщалось,
однако, о наблюдении на порядок большего значения 7П (Грехов и Дели-
мова 1980, Делимова 1981).
В экспериментальных исследованиях большое внимание уделяется ха-
рактеру зависимости темпа оже-рекомбинации от концентрации основных
носителей заряда. Рассматривая для определенности полупроводник п-ти-
па, можно утверждать, что для оже-рекомбинации зона-зона характерна
зависимость R ~ п2р (время жизни неравновесных дырок тр ~ л-2). Если
темп оже-рекомбинации зависит от энергии электронов, то зависимость
тр ~ п~2 может измениться при наличии вырождения электронов. Соглас-
но работе Haug et al. (1978) при оже-рекомбинации зона-зона с участием
фононов зависимость тр ~ п~2 сохраняется и при наличии вырождения.
На рис. 11.13 и 11.14, взятых из обзора Tyagi and van Overstraeten (1983),
приведены экспериментальные результаты для зависимости времени жиз-
ни от концентрации основных носителей заряда. При концентрациях, боль-
ших чем 1018 см-3, зависимость времени жизни от концентрации близка
к ожидаемой (г ~ л-2). При меньших концентрациях данные ближе к
закону г ~ л-1. Такого характера зависимость можно было бы ожидать
при оже-процессах через глубокие примесные центры (см. главу 12), когда
/?, = 7]лМр, где М — концентрация центров рекомбинации. Теоретически
этот процесс для непрямозонных полупроводников рассматривался в рабо-
272
Глава 11. Оже-рекомбинация
10-5
10-6
10-7
IO"8
IO"9
Ю-10
1016 1017 Ю18 1019 102°
п0, см-3
Рис. 11.13. Время жизни неосновных носителей тр как функция концентрации
основных носителей пд для n-типа кремния. Экспериментальные данные: (•) —
Dziewiar and Schmid 1977; (о) — Beck and Conradt 1973; (*) — Wieder 1978;
(□) — Kendall 1969; (o) — Iles and Soclof 1976; () — Mertens et al. 1980 (для
примеси Sb); (♦) — Mertens et al. 1980 (для примеси As).
тах Haug (1981), Стрихи (1985, 1987). Теоретические оценки коэффициен-
та в этих работах сильно расходятся (в пределах 7] « 10~28 —10-32смб/с).
Это связано с использованием различных моделей для описания локали-
зованных электронных состояний и вычисления интегралов перекрытия
блоховских амплитуд. Ни то, ни другое не известно с достаточной опреде-
ленностью для непрямозонных материалов.
В ряде работ высказывалось предположение, что характер зависимости
Тр(и) в легированных образцах определяется тем, что при легировании в
образец вводятся дополнительные центры рекомбинации (дефекты дисло-
кации и т.д.). Например, зависимость тр ~ п-1 в умеренно легированных
образцах можно связать с захватом на центры без участия оже-процессов,
предполагая, что число центров захвата увеличивается пропорционально
концентрации доноров (Kendall 1969, Fossum and Lee 1982). Аналогично
в сильно легированных образцах (где тр ~ и“2) вместо оже-рекомбинации
зона-зона можно предполагать оже-рекомбинацию через центры, если до-
11.10. Оже-рекомбинация в кремнии и в германии
273
1СГ4
10~5
10“б
о
с
10~7
10-8
IO”9
1016 1017 1018 1019 ю20
Р0> см“3
Рис. 11.14. Время жизни неосновных носителей т„ как функция концентрации
основных носителей р0 для p-типа кремния. Экспериментальные данные: (•) —
Dziewiar and Schmid (1977), (о) — Beck and Conradt (1973), (л) — Iles and Soclof
(1976).
пустить, что концентрация центров захвата растет пропорционально кон-
центрации легирующей примеси. Обсуждение этих предположений содер-
жится в работах Tyagi and van Overstraeten (1983), Fossum et al. (1983).
Ясно, что эффекты такого рода могут быть ответственны за различие ре-
зультатов, полученных разными авторами. Представляется, однако, что в
сильно легированных образцах большинство экспериментальных данных
можно объяснить механизмом оже-рекомбинации зона-зона с участием фо-
нонов. Об этом свидетельствует также очень слабая температурная зави-
симость времени жизни неосновных носителей в этих условиях.
В работах Hangleiter (1985, 1987) и Hangleiter and Hacker (1986) ано-
малии в концентрационных зависимостях темпа рекомбинации в кремнии
объясняются с привлечением экситонного эффекта. При не слишком высо-
ких концентрациях основных носителей, для определенности дырок, часть
неосновных носителей (электронов) связывается с основными в эксито-
ны. При столкновении экситона с дыркой может произойти оже-процесс,
в котором экситон аннигилирует, а высвободившаяся энергия передается
274
Глава 11. Оже-рекомбинация
налетающей дырке. Скорость такого процесса можно написать в виде
£ехс ='ТрРРехсАехс, (11.62)
me Nexc — концентрация экситонов, рехс — дырочная концентрация в эк-
ситоне (рехс ~ а~*с, где аехс — радиус экситона), 7' — соответствующая
константа оже-процесса. Можно ожидать, что она приблизительно равна
константе 7Р, введенной выше для обычного СННН-процесса, в котором
R = 7рР2п.
Таким образом, относительная роль экситонов в оже-процессе составляет
(П63)
R Раехс п
и может быть велика при умеренных концентрациях дырок, когда рсг^ < 1.
При этом темп рекомбинации оказывается пропорциональным концентра-
ции основных носителей, а время рекомбинации тп ~ \/р (а не 1/р2),
хотя по существу идет рекомбинация зона-зона. Аналогичным образом
можно рассмотреть оже-рекомбинацию через примесь. При столкновении
экситона с рекомбинационным центром электрон захватывается на центр,
а дырка, получая высвободившуюся энергию, выбрасывается в валентную
зону. Скорость рекомбинации и время жизни электронов при этом не бу-
дут зависеть от концентрации дырок, хотя рекомбинация и является оже-
процессом. Убедительное доказательство того, что рекомбинация в усло-
виях работы Hangleiter (1987) являлась именно оже-процессом через при-
месь, было получено в работе Hangleiter (1985). В этой работе наблю-
далась люминесценция, обусловленная излучательной рекомбинацией вы-
брошенных дырок с коротковолновой границей около 2£g — е_, где —
расстояние от уровня на центре до валентной зоны. При этом в качестве
центров рекомбинации в образец Si:B вводились примеси Au, Fe, Cr.
Люминесценция оже-электронов использовалась также для идентифи-
кации оже-процессов зона-зона (Betzler 1974, Hangleiter 1985). В этом
случае коротковолновая граница лежит вблизи 2£g.
Оже-рекомбинация в германии рассматривалась в работах Huldt (1971,
1974) и Hill and Landsberg (1976). И в этом случае возможен резонансный
СНСС-процесс. Один из электронов L-долины рекомбинирует с дыркой, а
другой, получая освободившуюся энергию, переходит из той же L-долины
в Г-долину зоны проводимости. Резонанс заключается в том, что два элек-
трона в L-долине и дырка вблизи вершины валентной зоны имеют суммар-
ный волновой вектор, близкий к вектору обратной решетки. Расчет этого
11.10. Оже-рекомбинация в кремнии и в германии
275
процесса с учетом вырождения носителей проведен в работе Акулиниче-
ва (1979). В этой работе получены низкие значения порога £th = 64 К
при комнатной температуре и £th = 72 К для гелиевых температур. При
комнатной температуре можно согласовать результаты этих расчетов с
экспериментальными данными работы Auston et al. (1975), однако, инте-
гралы перекрытия при этом не вычисляются, а находятся из сопоставле-
ния с экспериментом. Для невырожденных носителей в материале п-типа
оценки дают R » 7пи2р, где 7n ~ 2,5х10-32 (Hill and Landsberg 1976,
Акулиничев 1979). При гелиевых температурах резонансная безфононная
оже-рекомбинация заведомо не эффективна. В электронно-дырочных ка-
плях время жизни носителей, по-видимому, связано с оже-рекомбинацией
с участием фононов.
Карпова и Калашников (1963) впервые наблюдали резкое падение вре-
мени жизни неравновесных носителей в германии с увеличением концен-
трации основных носителей выше 1017 см-3. Они наблюдали зависимость
близкую к тр ~ и-1, тп ~ р-1, и предположили, что она обусловлена оже-
рекомбинацией через глубокие примеси. Соответствующие расчеты были
сделаны Бонч-Бруевичем и Гуляевым (1960). При еще больших концен-
трациях (~ 1018 —1019 см-3) в Ge (так же как и в некоторых случаях в
Si) концентрационная зависимость ослабляется и время жизни даже на-
чинает расти с концентрацией (Карпова и др. 1989). В принципе такое
поведение могло бы быть связано с экранированием. Однако оценки пока-
зывают, что экранирование становится существенным при гораздо больших
концентрациях (порядка 1О20 см-3). Другая возможная причина существо-
вания минимума в зависимости времени жизни от концентрации связана
с ограничением пространственной диффузии неравновесных носителей к
центрам рекомбинации. Можно предположить, что с увеличением леги-
рования уменьшается коэффициент диффузии неравновесных носителей
и диффузионное ограничение темпа рекомбинации (см. § 7.3) становится
определяющим (Карпова и др. 1989).
Глава 12
Примесная оже-рекомбинация
12.1 Введение
В предыдущей главе рассматривались оже-процессы, в которых участвова-
ли свободные электроны и дырки. При этом примесные центры выступали
как центры рассеяния, которым передавался большой импульс, выделяю-
щийся в процессе рекомбинации.
В настоящей главе будет рассмотрен новый тип оже-процессов, в ко-
торых наряду со свободными носителями непосредственно участвуют но-
сители, локализованные на центрах. Этот тип оже-рекомбинации полу-
чил название примесной оже-рекомбинации. Он так же как непрямая оже-
рекомбинация зона-зона не имеет энергетического порога. Отсутствие
энергетического порога делает этот процесс эффективным рекомбинаци-
онным каналом при низкой температуре. К настоящему времени полу-
чено значительное число экспериментальных данных о примесных оже-
процессах в различных полупроводниках (см. обзоры Landsberg and Rob-
bins 1978, Шейнкман и др. 1986). Вероятность примесной оже-рекомбина-
ции особенно велика в материалах с многозарядными центрами и примес-
ными комплексами, так как здесь в оже-процессе получают возможность
участвовать частицы, локализованные на одном и том же центре (Шейнк-
ман 1963, 1965).
Рассмотрим наиболее простой случай примесной оже-рекомбинации —
процессы с участием одного связанного состояния. Существует четыре ти-
па таких процессов: eehte, hheth, определяющие времена жизни основных
носителей, и ehete, ehhth, определяющие время жизни неосновных носи-
телей. По аналогии с обозначениями предыдущей главы здесь е и h обо-
значают свободные электроны и дырки, a et и ht — электроны и дырки,
локализованные на примесных центрах. Первые три буквы описывают но-
сители в начальном состоянии, а четвертая соответствует носителю, по-
лучившему высвободившуюся энергию рекомбинации. В силу тождествен-
ности электронов каждый из этих процессов может происходить по двум
776
12.1. Введение
277
1. eehte
2. hheth 3. ehete
Рис. 12.1. Процессы примесной оже-рекомбинации с участием одного локализован-
ного состояния. Стрелками указаны направления электронных переходов. Цифрами
1-4 условно обозначены полные наборы состояний. (А), (В) — два канала реком-
бинации.
4. ehhth
экспериментально неразличимым каналам. Схема соответствующих пере-
ходов представлена на рис. 12.1. Темп примесной оже-рекомбинации для
рассматриваемых четырех процессов по аналогии с (11.1) и (11.2) харак-
теризуется четырьмя оже-коэффициентами 1,2, 3,4): Ri = Tin2pt,
/?2 = T2p2nt, R3 = T^npn,, R4 = Тцпррх. Здесь pt — концентрация дырок,
локализованных на акцепторах (концентрация нейтральных акцепторов),
nt — концентрация электронов на донорах (концентрация нейтральных
доноров). Для вычисления коэффициентов примесной оже-рекомбинации
требуется знание волновых функций электронов и дырок, локализованных
на центрах. Теория мелких (кулоновских) доноров и акцепторов хорошо
развита для полупроводников (см. главу 2) и вычисление примесной оже-
рекомбинации через мелкие центры не представляет принципиальных труд-
ностей. Разработка теории глубоких центров к настоящему времени еще
далека от своего завершения.
В первых теоретических работах по расчету коэффициентов оже-зах-
вата на примесные центры для описания локализованных состояний ис-
пользовались водородоподобная модель и модель Луковского (Bess 1957,
1958, Nage 1958а,b, Бонч-Бруевич и Гуляев 1960, Landsberg et al. 1964а,b,
Robbins and Landsberg 1980, Neutnarc 1973). Для корректного рассмотре-
ния рекомбинационных оже-процессов необходима модель, учитывающая
278
Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
вклады различных зон в волновую функцию локализованного состояния.
Рассмотрение примесной рекомбинации с использованием многозонного
обобщения модели Луковского было проведено в работах Стрихи и Ясси-
евич (1984, 1985), Стрихи (1984, 1986), Авраменко и др. (1985), Khalfin
et al. (1985). Ниже будет приведено несколько примеров подобного рас-
смотрения.
12.2 Оценка скорости примесного оже-захвата
Рассмотрим процесс оже-захвата типа eehte на глубокий центр, следуя про-
стым соображения Томсона (применение этих соображений к процессу
каскадного захвата см. § 3.1). Скорость захвата можно записать в виде
/?1 = nptav,
(12-1)
где п — концентрация электронов (тех частиц, которые захватываются, в
дальнейшем будем называть их просто «пробными»), pt — концентрация
центров захвата, а — сечение захвата, v— скорость «пробного» электрона.
В духе рассуждений Томсона для ст можно написать оценку
(12-2)
где го — радиус локализации захваченного электрона, те — время его
энергетической релаксации. Выражение в скобках представляет собой ве-
роятность того, что «пробная» частица, пролетая расстояние го, потеря-
ет энергию равную энергии связи на центре (ее собственная энергия
считается гораздо меньше, чем et). В оже-процессе энергия теряется за
счет кулоновского взаимодействия «пробной» частицы с другими свобод-
ными частицами (назовем их «полевыми», в данном случае ееЬ(е-процесса
«полевые» частицы — те же электроны). Для оценки те используем обыч-
ное выражения для времени энергетической релаксации при кулоновских
столкновениях (Лившиц и Питаевский 1979):
(12-3)
В качестве энергии частицы подставлена энергия et, которую она может
потерять, связываясь на центре. Используя формулы (12.1)-(12.3) и оценку
го ~ hf у/получим для скорости оже-захвата
(12-4)
12.3. Оже-рекомбинация электронов с участием акцептора
279
где Ев — боровская энергия «пробной» частицы.
Таким образом, для коэффициента захвата 7\ получена оценка
Ев?'5
1 е3т3
Это выражение можно переписать в виде
71 ~ ^к~6, (12.6)
где Ekf = y/2m£t — передаваемый в процессе импульс. Формулу (12.6)
можно интерпретировать следующим образом. Если «пробная» и «поле-
вая» частицы оказались в объеме к^3 вблизи центра, то частота переходов
есть Ев / К.
Оже-коэффициент 7г для процесса hheth описывается теми же фор-
мулами ((12.5) и (12.6)) с естественной заменой электронной массы на
дырочную.
Оценка (12.4) предполагает, что связанное состояние на центре сфор-
мировано в основном из волновых функций зоны пробных частиц. В про-
тивном случае эта оценка должна содержать соответствующий интеграл
перекрытия, что приводит к появления в формулах (12.4)-(12.6) дополни-
тельного малого множителя с/Eg, где е — характерная энергия «пробных»
частиц (е = кТ, если эти частицы не вырождены, и е = — энергии Фер-
ми, если они вырождены).
Рассмотренные процессы eehte и hheth — это процессы захвата основ-
ных носителей. Для рекомбинации при малых уровнях возбуждения наибо-
лее существенны процессы ehhth и ehete, определяющие захват неосновных
носителей (электронов в первом случае и дырок во втором). Для соответ-
ствующих коэффициентов захвата Т3 и в грубом приближении справед-
лива та же оценка. Учет интегралов перекрытия и различия в массах элек-
тронов и дырок требует расчета с использованием определенной модели
центра и структуры зон.
12.3 Оже-рекомбинация электронов с участием акцептора
(процесс ehhth-типа) в прямозонных
полупроводниках A3BS
Проведем подробное вычисление темпа примесной оже-рекомбинации на
примере процесса ehhth-типа в прямозонном полупроводнике типа GaAs.
280
Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
Рис. 12.2. Схема электронных переходов при оже-рекомбинации через акцептор
(ehhth). Здесь г/г — одна из подзон валентной зоны (на рисунке — тяжелых дырок),
ht — акцептор, заселенный дыркой, в состоянии (М). Сплошные линии описывают
переход по каналу А, пунктирные — по каналу В; е+ и е_ — энергетические
расстояния акцепторного уровня до дна зоны проводимости и вершины валентной
зоны, соответственно.
Будем считать примесный центр акцептором симметрии Tg, т.е. той же
симметрии, что и мелкий акцептор в алмазоподобных полупроводниках.
Примеси переходных металлов (Си, Fe, Мп) являются именно такими ак-
цепторами в полупроводнике А3В5. Для описания локализованного состо-
яния на таком акцепторе используем обобщенную модель Луковского, раз-
витую в § 2.5. Соответствующие волновые функции в ^-представлении для
четырехкратно вырожденного состояния симметрии приведены в § 2.5.
Схема электронных переходов этого процесса изображена на рис. 12.2.
Темп оже-процесса ehhth-типа /?$ в борцовском приближении опреде-
ляется выражением
2тг 1
^4 = Р1 у д fck\fhk-s |Afif| 6[ecici + + £- — (12.7)
^1М1ЛзМз,Ц2*:2М2 М
В этом выражении — функции распределения электронов в зоне
проводимости и дырок в тяжелой подзоне, A/jf — матричный элемент пере-
хода за счет кулоновского взаимодействия из начального состояния i в ко-
нечное состояние f. Суммирование ведется по полному набору квантовых
чисел электронов и дырок, участвующих в переходе, и индексу вырождения
12.3. Оже-рекомбинация электронов с участием акцептора
281
локализованного дырочного состояния М = ±3/2, ±1/2. Множитель 1/4
учитывает, что на центре может быть только одна дырка в любом из выро-
жденных состояний. Использован тот факт, что в полупроводниках А3В5
эффективная масса дырок в тяжелой подзоне много больше эффектив-
ной массы дырок в легкой подзоне ггц, т.е. пц, 3> пц, и поэтому начальные
тепловые дырки практически все находятся в тяжелой подзоне. В то же
время «отскочившая горячая» дырка может оказаться как в тяжелой, так
и в легкой подзонах, так как плотности состояний в них сравнимы при
столь больших энергиях. Этот факт учитывается суммированием по двум
значениям т?2 (772 = h, £). Вычисление квадрата модуля матричного эле-
мента |Af,f|2 выполняется аналогично вычислениям § 11.3. Окончательное
выражение можно представить в виде
|W2 = |Л/а|2± |Л/в|2 - 2/?2Л/ХЛ/в. (12.8)
Здесь |Л/А|2 соответствует процессу по каналу А, в котором электрон зо-
ны проводимости рекомбинирует со свободной дыркой, передавая энергию
дырке, локализованной на акцепторе, которая «отскакивает» в глубину ва-
лентной зоны. Характерный импульс передачи здесь к\ — Л3. Слагаемое
|Л/в|2 соответствует процессу, идущему по каналу В, в котором электрон
зоны проводимости рекомбинирует с дыркой, локализованной на акцепто-
ре, а избыточная энергия передается тепловой дырке, «отскакивающей» в
глубину валентной зоны. Характерный импульс передачи в этом случае
Аз — А2. Третье слагаемое учитывает обменное взаимодействие, возникаю-
щее в результате интерференции каналов А и В. Наибольший вклад в сум-
му вносит слагаемое |Л/д|2. Действительно, матричный элемент оператора
кулоновского взаимодействия обратно пропорционален квадрату передан-
ного импульса, поэтому Л/д сх ]Аз — &i|-2; Л1В сх |Аз — А2|-2. Импульсы hk\,
hk-ь hk2 т.к. Mi и М3 — тепловые импульсы, а М2 — импульс «горячей
отскочившей» дырки: М2 » ^/2mh(Eg — е_). Поэтому будем считать, что
|A/if|2 = |Л/д |2. Результат вычисления Л/д дает
Ma=4Zv i^-Xi2^2*2^1 _ *з)’ (129)
где
— Аз) = ^2 52 2 (12.10)
тщк rfp'k'
Здесь If,’— интеграл перекрытия блоховских амплитуд соответству-
ющих зонных состояний. Коэффициенты С^,к, есть коэффициенты разло-
жения локализованного примесного состояния с индексом М по свободным
282
Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
зонным состояниям. Они определены для центров симметрии Г» форму-
лами (2.35). Коэффициенты С^2*2 есть коэффициенты разложения состо-
яния «горячей» дырки в присутствии ионизованного примесного центра
(т.е. состояния непрерывного спектра возмущенного короткодействующим
потенциалом) по свободным состояниям валентной зоны. Покажем, что
при вычислении матричного элемента Л/д необходимо учитывать возмуще-
ние непрерывного спектра дырки примесным потенциалом. Действитель-
но, энергия «отскочившей» дырки emli2 =Е&-е- и, как уже упоминалось,
5> к\,кз. Неподвижный примесный центр не меняет энергию дыркн,
поэтому к = fcj и, следовательно, к 5> £1Дз- Если в выражении (12.10)
пренебречь тепловыми импульсами tiki, tik^, по сравнению с импульсами
\tik\ = |/гАД, то
Qmn^ki - к3) « emw*2(0) = У (12.11)
Интеграл в правой части этой формулы равен нулю, поскольку ipW2k2 (г)
и ^(г) — волновые функции непрерывного и дискретного спектра одно-
го и того же гамильтониана. Отсюда ясно, что при вычислении величины
(Зтй^г (r)(^i — *з) следует учитывать первые члены разложения по пара-
метру |Л] — Лз|/^2 и нельзя в качестве V^2/i2*2 (г) использовать состояние
свободной дырки Mmzi2*2(r) ехр(Лгг)1. Использование модели потенциала
нулевого радиуса дает возможность получить волновые функции непрерыв-
ного спектра в присутствии примесного центра, используя один эмпириче-
ский параметр — энергию связи центра е_. Отметим, что в рамках модели
потенциала нулевого радиуса непрерывный спектр возмущается центром
только в той зоне, для свободных носителей которой он является притя-
гивающим. Поэтому в случае акцепторных центров возмущаются только
состояния валентной зоны, а в случае донорных — только состояния зоны
проводимости.
Коэффициенты Сг^к" (волновая функция «горячей» дырки в £-пред-
ставлении) связаны с матричными элементами амплитуды рассеяния соот-
ношением
С^2*2 = МмА - , (12.12)
’Хотя о необходимости использования ортонормированной системы функций при вычи-
слении примесной оже-рекомбинации говорилось еще в работах Ландсберга (Landsberg 1970,
Landsberg and Adams 1973, Robbins and Landsberg 1980), но до работ Авраменко и др. (1985)
и Халфина и др. (Khalfin et al. 1985) все вычисления делались с использованием плоских
волн.
12.3. Оже-рекомбинация электронов с участием акцептора
283
где положительная величина 7 —> 0, а индексы т), т)2 пробегают обозна-
чения подзон валентной зоны. Вычисление амплитуды квазирезонансного
рассеяния t(r]p,k, 72/2.2^2) проведено в приложении 9.
Дальнейшее вычисление темпа примесной оже-рекомбинации ehhth-
типа выполняется с использованием выражения (12.7), равенства =
|Л/А|2 и полученного выше выражения для матричного элемента Л/д ((12.9)
и (12.10)). Если ограничиться первыми членами разложения величины
бг?2м2*2(г)(Л1 — &з) по малому параметру |Лд — Л3|/fc2, то для темпа реком-
бинации получаем формулу
h = 4тг /е2 \ 2 pt|A|2my2(2£+)3/2(Eg +А)
4 3 \к) mcEg[Eg+ (2/3)Д]
„ f[ d3fcid3fc3 fc2sin2 (*1,*з)
1JJ "W
где величина В\ определена формулой
(12.13)
(12.14)
а величины |А|2 и а^к определены формулой (2.36) и таблицей 9 (см. при-
ложение 1), соответственно. Выполнив вычисления в (12.13), получим при
»ih 2> тс
(12.15)
где Eg — боровская энергия частицы с массой пц,, £- — энергия связи дыр-
ки, локализованной на акцепторе, т) — численный множитель, зависящий
от положения уровня в запрещенной зоне и определяемый соотношением
_ _ 64тг2 el^Eg — e_)3/2(Eg + A)Z?i
77 Eg5[Eg + (2/3)A]/
Здесь Bi, I — числовые параметры порядка единицы, зависящие от отно-
шения масс, положения уровня в запрещенной зоне и отношения A/Eg.
Параметр В, определен формулой (12.14). Численные значения величины
I как функции двух параметров (3 = т^/т? и а = Д/е_ приведены в
таблице 2 (см. § 2.5). Полученная выше формула (12.15) согласуется с
оценкой предыдущего параграфа (12.4).
284
Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
Для описания электронного и дырочного начальных состояний (с/цЛ])
и (Л/хзЛз) использовались плоские волны (модулированные блоховскими
амплитудами). Однако волновые функции этих состояний возмущены
вследствие кулоновского взаимодействия рекомбинирующей электрон-ды-
рочной пары. Учет этого возмущения («экситонного эффекта») приво-
дит к появлению под знаком интеграла (12.13) множителя Зоммерфельда
Z+[ec(fci)], определенного формулой (9.102). Этот множитель существен-
но увеличивает вероятность беспороговой примесной оже-рекомбинации.
При температурах Т таких, что кТ 4тг2Ев (это условие обычно выпол-
нено в большинстве полупроводников вплоть до комнатной температуры),
множитель Z+[ec(fci)] « 27r-yEB/£c(fci), где Ев — боровская энергия ча-
стицы с эффективной массой тс. В этом случае для оже-коэффициента Ед
получаем
T4h
Е|П5 ГЁ^_,
т^£3_ у кТ^
(12.17)
При этом численный коэффициент т)' = (8/3)-/тгт), а т) определен форму-
лой (12.16).
В работе Халфина и др. (Khalfin et al. 1985) аналогичным образом была
также рассмотрена оже-рекомбинация на мелкие акцепторы.
12.4 Основные результаты теории примесной
оже-рекомбинации через одноэлектронные центры.
Сравнение теории с экспериментом
Методом, изложенным в предыдущем параграфе, можно провести вычисле-
ние оже-коэффициентов и для остальных рекомбинационных каналов (см.
рис. 12.1). Соответствующие расчеты были выполнены в работах Стрихи
и др. (1984), Халфина и др. (Khalfin et al. 1985).
Для коэффициента оже-рекомбинации процесса hheth-типа, при кото-
ром дырка из валентной зоны захватывается на пустой глубокий акцептор-
ный центр, в случае невырожденных полупроводников получено следую-
щее выражение2
(12л8>
V кТ L
2С учетом «экситонного эффекта».
12.4. Основные результаты теории примесной оже-рекомбинации
285
где В2 — множитель порядка единицы, определяемый формулой
(12.19)
Входящие в эту формулу величины имеют тот же смысл, что и в форму-
ле (12.14).
При вычислении оже-коэффициентов в случае рекомбинации через до-
норные состояния (Стриха 1984), предполагалось, что донорное состояние
обладает симметрией Г(>, т.е. той же симметрией, что и мелкие доноры
(£-с-центры в соответствии с работой Переля и Яссиевич (1982)). Волно-
вые функции этого состояния, построенные в модели потенциала нулевого
радиуса, определены с точностью до нормировочной константы. Естествен-
но, что та же неопределенность вносится в теоретические выражения для
соответствующих коэффициентов оже-рекомбинации. Для двух основных
типов оже-процессов, идущих через глубокие доноры в прямозонных полу-
проводниках n-типа получены формулы, определяющие оже-коэффициенгы
Т^1 (процесс ehete) и т[е~^ (процесс eehte).
Процесс ehete описывает рекомбинацию неосновного носителя -- дыр-
ки — с передачей энергии электрону, локализованному на нейтральном
глубоком доноре (в полупроводниках n-типа считается, естественно, что
центр заполнен электроном). Процесс eehte-inna определяет время жизни
основных носителей — электронов — в n-полупроводниках и соответству-
ет захвату электрона из зоны проводимости на положительно заряженный
глубокий донор (донор, на котором отсутствует электрон) с передачей
энергии другому свободному электрону. В случае невырожденных носите-
лей имеем
„(<-с) _ ERh5 ГЁй_ _ 64тг2\/27г + А)5/2
7з ~~ mV3 V Пт7?3’ ??3 3 к /-гр9/27э , с v’
mc£- у к.1 э h^/nihEg (2е_ + £g)2
Аналогично
т^с) = £в/>5 [Ев- = и 5/2 /?omc/2(£g2 + £+Eg - 2s2 )2
1 т3£3+\ kT ’ tey2£g/2(e++Eg)1/2(2e++£g)2'
(12.21)
286
Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
Таблица 8. Рассчитанные значения оже-коэффициентов примесного оже-процесса и
оже-процесса типа зона-зона для некоторых полупроводников А3В5 при Т = 300 К.
Полупроводники Оже-коэффициенты (см6с ’)
7n y(^”c) 7P T4h
InSb l,lxlO-25 l,9xl0-27 — l,6xl0-27
InAs 3,0xl0~27 9,4xl0-28 2,2xl0"27 l,4xl0~27
GaSb 6,Ox 10-31 6,9x 10-29 l,6xl0-28 9,4xl0-29
InP l,7xlO-33 l,6xl0-29 8,9xlO-31 6, IxlO-29
GaAs l,3xl0-36 1,2x10-^ 6,5xlO-30 l,2xl0-29
Ino^Gao.asAso^sPo.is 3,0xl0~29 l,OxlO-28 3,1 xlO-28 8,8x10-29
При выводе этих формул для неизвестной точно нормировочной констан-
ты волновой функции локализованного на центре носителя использована
оценка (2.39). В результате в них вошла величина Rq, имеющая смысл
характерного радиуса действия примесного потенциала (см. § 2.5).
В экспериментах обычно следят за временем жизни неосновных но-
сителей. Это время в полупроводниках p-типа будет определяться оже-
процессом ehht h-типа (оже-коэффициент Тд), а в полупроводниках п-типа
оже-процессом ehete-типа (оже-коэффициент Tj£-C^). В таблице 8 при-
ведены значения этих оже-коэффициентов для основных полупроводников
А3В5, вычисленные для комнатной температуры. Предполагалось, что уро-
вень примеси лежит вблизи середины запрещенной зоны. Для константы
Ro использовалось значение равное 10-7 (Колчанова и др. 1982). В этой
же таблице для сравнения приведены значения коэффициентов 7П и 7Р,
определяющих прямую межзонную оже-рекомбинацию в полупроводниках
п- и p-типа, соответственно; эти значения взяты из работ Гельмонта и др.
(1982), Гельмонта и Соколовой (1982), Гарбузова и др. (1984). Из та-
блицы видно, что в узкозонных полупроводниках InSb, InAs примесная
оже-рекомбинация вряд ли может играть заметную роль, так как коэффи-
циенты межзонной оже-рекомбинации здесь существенно больше. В таких
же полупроводниках как GaSb, GaAs, InP примесная оже-рекомбинация
является эффективным безызлучательным каналом.
Полный акт рекомбинации электрона и дырки, идущей через примес-
ный центр, всегда состоит из двух последовательных процессов: захвата
неосновного и основного носителей на один и тот же примесный центр.
При этом скорость рекомбинации определяется скоростью наиболее ме-
12.4. Основные результаты теории примесной оже-рекомбинации
287
Рис. 12.3. Концентрационная зависимость оже-коэффициента Т* в n-GaSb. (•, а)
— данные, восстановленные из результатов работы Агаева и др. (1984), сплошная
кривая — удвоенный результат теоретического расчета Стрихи (1986).
дленного процесса. Как правило, таковым является первый процесс, ибо
основных носителей всегда существенно больше, чем неосновных. Срав-
ним для примера сами оже-коэффициенты при захвате основных и нео-
сновных носителей в полупроводниках р-типа
Т2 Ев
4 и г/24/2'
Видно, что для уровней, лежащих посредине запрещенной зоны, эти ко-
эффициенты сравнимы. А по мере приближения примесного уровня к ва-
лентной зоне отношение Т^/Т^ начинает сильно возрастать.
При увеличении концентрации свободных носителей по мере их выро-
ждения коэффициенты примесной оже-рекомбинации (так же как и меж-
зонной) начинают сами зависеть от концентрации свободных носителей в
силу того, что средняя энергия носителей определяется теперь не темпе-
ратурой, а энергией Ферми. В пределе сильного вырождения могут быть
получены простые аналитические формулы для оже-коэффициентов (см.,
например, Стриха 1984, Khalfin et al. 1985). Для примера приведем фор-
мулу для оже-коэффициента T2h в условиях сильного вырождения
fh = 32/323/27Г7/3 £вДп4
288
Глава 12, Примесная оже-рекомбинация
С точностью до численного коэффициента Й1 можно получить, заменив
кТ на энергию Ферми дырок = (Зтг2ph3)2'3(2ть) ' в формуле (12.18)
для T2h.
Концентрационная зависимость примесного оже-коэффициента для
процесса еефе-типа изучалась Агаевым и др, (1984). В этой работе в
п-GaSb изучалась фотолюминесценция при переходе зона проводимости
— верхнее состояние двойного природного акцептора. Измерения прово-
дились при температуре жидкого азота Т = 77 К в сильно легирован-
ном п-GaSb при изменении концентрации электронов в интервале и =
(1,8—20 х 1017 см3. В этих условиях электронный газ вырожден. Обнару-
жено, что с ростом концентрации свободных носителей квантовый выход
люминесценции падал. Этот факт авторы объяснили возрастающей ролью
безызлучательного канала рекомбинации, который они связали с примес-
ной оже-рекомбинацией типа eehte. Из данных по измерению интегральной
интенсивности и спада люминесценции были найдены соответствующие
излучательное и безызлучательное времена жизни. На рис. 12.3 приведе-
на концентрационная зависимость коэффициента Т^, восстановленная из
данных работы Агаева и др. (1984). Сплошная кривая на этом рисун-
ке соответствует теоретическому расчету, проведенному в работе Стри-
хи (1986). При расчете учитывалось вырождение электронного газа, а
также отрицательный заряд акцепторного центра (см. главу 8). Характер
концентрационной зависимости теоретической кривой хорошо согласуется
с экспериментом. По абсолютной величине теоретические значения оже-
коэффициента примерно в два раза меньше экспериментальных.
12.5 Оже-рекомбинация через глубокие многозарядные
центры в полупроводниках
Многозарядные центры и комплексы в полупроводниках могут являться
эффективными каналами безызлучательной рекомбинации благодаря оже-
процессам, протекающим с участием двух локализованных носителей.
Впервые такой процесс безызлучательной рекомбинации был предложен
Шейнкманом (1963, 1965). Темп рекомбинации такого процесса пропор-
ционален произведению концентрации свободных носителей и концентра-
ции многозарядных центров. Соответствующая оже-рекомбинация наблю-
далась в целом ряде полупроводников, в частности на двухзарядных цен-
трах в Si, GaP, GaSb (см. обзоры Landsberg and Robbins 1978, Шсйнкман
и др. 1986, а также монографию Landsberg 1991). Теоретическое рассмо-
трение таких процессов проводилось в работах Neumarc (1973), Jones and
12.6. Оже-рекомбинация экситонов, связанных на примесях
289
Beattie (1971), Jaros (1978), Riddach and Jaros (1980), Стрихи (1986). В
работе Стрихи (1986) получена вероятность оже-рекомбинации через глу-
бокий двухзарядный акцептор в прямозонных полупроводниках А3В5. В
этом процессе электрон «падает» в одну из локализованных дырок, а вто-
рая дырка «отскакивает» в валентную зону.
Для описания двухчастичного локализованного состояния на акцептор-
ном центре в этой работе были использованы волновые функции, постро-
енные в работе Аверкиева и др. (1985) посредством обобщения модели
потенциала нулевого радиуса на случай многозарядного центра. Для ско-
рости оже-рекомбинации получены следующие выражения.
В невырожденных полупроводниках:
Зтг ( е2 \2
/?=-= —
V2 J
кТ у/е+ —
nNA.
(12.24)
mh fcg£ +
В вырожденных полупроводниках:
й = /еЛ1
5х/2тг \К J mf/2mc £ge+
(12.25)
Здесь — концентрация двойных акцепторов в нейтральном состоянии.
Оценка времени жизни электронов в GaSb с использованием этих фор-
мул и соотношения тп = n/R дает тп = 6 х 10~9 с при концентрации
акцепторов Na = 3 х 1017 см-3, концентрации свободных электронов
п = 6 х 1017 см-3 и температуре Т = 77 К. Полученное время жизни
по порядку величины согласуется с безызлучательным временем, харак-
терным для этого полупроводника (Титков и др. 1986).
12.6 Оже-рекомбинация экситонов, связанных на примесях
Экситоны, связанные на мелких нейтральных центрах, обычно являются
источником ярких линий в люминесценции (см., например, Thomas and
Hopfild 1962, Тимофеев и Яловец, 1972).
Возникает естественный вопрос, почему излучательный переход не по-
давляется безызлучательной оже-рекомбинацией. В этом случае имеется
три частицы (например, два электрона и дырка), заключенные в малом
объеме радиуса ~ 10“7-10"6 см Эффективная концентрация электронов
и дырок, соответствующая такому тесному сближению, очень велика и
следовало бы ожидать эффективной оже-рекомбинации. Этот вопрос был
подробно изучен как теоретически, так и экспериментально (Гельмонт и др.
290 Глава 12. Примесная оже-рекомбинация
1988). Оказалось, что оже-рекомбинация подавлена благодаря приближен-
ному сохранению момента количества движения. Такое подавление имеет
место для основного состояния экситонно-примесного комплекса. При пе-
реходе к возбужденным состояниям дырки, колеблющейся в самосогласо-
ванном потенциале заряженного центра и двух электронов, это подавле-
ние снимается и оже-рекомбинация гасит люминесценцию. Действительно,
экспериментально наблюдалось гашение люминесценции неравновесными
фононами или слабым разогревом кристалла в CdS (Гельмонт и др. 1988).
Было показано однако, что экситон, связанный на глубоком нейтральном
центре в основном рекомбинирует за счет оже-процесса, так что линии лю-
минесценции в этом случае практически не наблюдаются, хотя они могут
наблюдаться в спектрах поглощения.
Глава 13
Захват носителей в гетероструктурах
13.1 Введение
Исследование процессов в квантоворазмерных гетероструктурах в насто-
ящее время является одним из основных направлений в физике полупро-
водников. Несмотря на большое количество работ, посвященных безызлу-
чательным рекомбинационным процессам в таких структурах, имеющиеся
экспериментальные и теоретические результаты, по нашему мнению, не
дают основы для систематического изложения. Поэтому в этой главе мы
остановимся только на некоторых проблемах, для которых будут изложе-
ны основные идеи и приведены ссылки на некоторые оригинальные работы.
Общее описание излучательных переходов в гетероструктурах содержится,
например, в книге Ивченко и Пикуса (Ivchenko and Pikus 1997).
13.2 Захват носителей в квантовую яму.
Феноменологическое рассмотрение
Мы будем рассматривать сначала прямоугольную-квантовую яму в объ-
емном полупроводнике (рис. 13.1). Предполагается, что электроны по-
ставляются в область барьера светом или инжекцией с контактов. Захват
носителей в яму удобно характеризовать следующим образом. Пусть сле-
ва на единицу площади границы ямы падает поток носителей q_, а справа
выходит поток q+. Тогда разность q_ — q+ определяет число носителей,
захватываемых в яму (на единицу площади) в единицу времени. Для ха-
рактеристики захвата введем «локальное время захвата» Пос с помощью
соотношения:
q+-q- = -n—, (13.1)
'Пос
где п — концентрация носителей в барьере вблизи ямы. Это определе-
ние фактически совпадает с определением, введенным в работе Blom et al.
(1993). Захват в яму обычно происходит в результате испускания оптиче-
ского фонона. В простейшем приближении без учета квантовых эффектов
Пос есть просто время испускания оптического фонона в материале ямы.
291
292
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Рис. 13.1. Схематическое изображение прямоугольной квантовой ямы шириной
d и глубиной Uo в объемном полупроводнике. Область ямы и барьера отмечены
цифрами 1 и 2, соответственно.
Рис. 13.2. Структура с единичной квантовой ямой и барьерными ограничениями (а)
и многослойная структура (б).
Однако учет квантовых эффектов приводит к размерному квантованию в
яме, что меняет плотность конечных состояний и, тем самым, вероятность
излучения оптического фонона. Кроме того, наличие в области ямы резо-
нансных состояний при положительных энергиях, приводит к существен-
ной зависимости вероятности проникновения носителей в эту область от
их энергии и ширины ямы, эти эффекты будут кратко рассмотрены в сле-
дующем параграфе. Наконец, само взаимодействие носителей с фононами
изменяется в присутствии ямы. Это связано также с изменением характе-
ристик самих фононов в присутствии ямы. В частности, появляются так
называемые краевые фононы. Роль этих эффектов для процессов захвата
исследовалась в работах Ридли (см., например, Ridley 1994).
Обычно в экспериментах измеряется время захвата в яму т, например,
по временному ходу нарастания люминесценции-носителей, локализован-
ных в яме, или по убыванию люминесценции носителей в барьере после
импульса, инжектирующего носители в барьер. Связь времени г с локаль-
ным временем Лое зависит от условий эксперимента. Рассмотрим для при-
мера структуры, изображенные на рис. 13.2а,б, и предположим, что d
13.2. Захват носителей в квантовую яму
293
и что L велико по сравнению с длиной свободного пробега по импульсу.
Тогда в барьерных слоях можно использовать уравнение диффузии. В про-
тивном случае может играть роль квантование в барьере (Blom et al. 1993,
Ridley 1994).
Для того, чтобы установить связь между временем захвата г и локаль-
ным временем т]ос, рассмотрим простейшую ситуацию. Пусть носители
инжектируются в барьер однородно и стационарно, со скоростью генера-
ции G. Тогда для концентрации п в барьере имеем уравнение:
(13-2)
с граничными условиями
d
= по —,
Лое
(13.3)
Здесь по — концентрация в барьере вблизи ямы (при z = 0), а индексы +
и — относятся к правой и левой границе ямы (которые обе можно считать
расположенными при z = 0, если d L). Решение этой задачи имеет вид
(при z > 0)
^ [('+
Время захвата г определим естественным условием
[ n(z)dz = GLr. (13.5)
Jo
Тогда имеем связь между г и т]ос:
_ L2 2L
~ 3D + ТЛос
(13.6)
Формула (13.6) допускает простую физическую интерпретацию. Первый
член в этой формуле определяет время подхода к яме за счет диффузии.
Второй член дает собственно время захвата с учетом того, что захват про-
исходит в область размером d, а носители распределены по области раз-
мером 2L. В зависимости от ширины барьера L главный вклад в т дается
одним из двух упомянутых процессов. Проведенное рассмотрение этой
простейшей ситуации качественно справедливо и для других способов ин-
жекции в барьер. Формула (13.6) была получена в работе Соловьева и др.
(1995), где вместо т]ос вводилась «скорость захвата» vc = d/2r\ac.-
294
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
На практике часто имеют дело с одновременной инжекцией в барьер-
ную область электронов и дырок, которые захватываются в соответству-
ющие ямы и затем рекомбинируют попарно. Такая ситуация типична для
полупроводниковых инжекционных лазеров и рассмотрена в работах Blom
et al. (1993) и Ridley (1994). При этом в качестве D в (13.6) следует ис-
пользовать коэффициент амбиполярной диффузии, а величину Пос — рас-
считывать с учетом потенциального барьера для быстро захватывающихся
носителей, наводимого их накоплением в яме. Пример такого рассмотре-
ния содержится в работе Ridley (1994). Роль заряда ямы, возникающего в
процессе захвата рассмотрена ниже, в § 13.4.
В ряде случаев (например, при использовании методов емкостной спек-
троскопии для определения параметров квантовой ямы) измеряется ско-
рость эмиссии носителей из ямы. Эта скорость связана со скоростью за-
хвата принципом детального равновесия. Соответствующее рассмотрение
было проведено в работе Schmalz et al. (1994).
13.3 Локальное время захвата в квантовую яму
Само понятие локального времени захвата имеет смысл, когда барьерные
слои настолько широки, что эффекты квантования в них отсутствуют. В
этом случае удобно ввести безразмерный коэффициент захвата а с помо-
щью соотношения
а = —,
<1о
где qo — плотность потока электронов, падающих на квантовую яму, а Д<?
— та часть этого потока, которая захватывается в яму. Для расчета Дс/
можно использовать обычную формулу теории возмущений для перехода
между двумя состояниями. Начальное состояние соответствует электрону,
падающему из бесконечности, частично отражающемуся от ямы и частич-
но проходящему сквозь нее. Конечное состояние есть состояние, локали-
зованное в яме, с учетом туннельных «хвостов», проникающих в барьер.
В качестве возмущения, вызывающего переход, следует использовать вза-
имодействие с оптическими фононами. (В принципе возможен оже-захват
или каскадный захват с участием акустических фононов, но эти случаи мы
рассматривать не будем.) При такой постановке задачи а зависит от со-
ставляющей волнового вектора kz и кинетической энергии е в плоскости
х, у (в плоскости ямы). Время Пос связано с величиной а соотношением
d
Ясс
2 Г°° dkz Г°
П Jo 2л Jo
hk
f(e, kz)p—-а(е, k^de,
(13.8)
13.3. Локальное время захвата в квантовую яму
295
Рис. 13.3. Зависимость поверхностной скорости захвата (а) электронов и (б) дырок
в квантовых ямах от толщины квантово-размерного слоя для случая максвелловско-
го распределения носителей в барьере. Alo.jGao vAs/GaAs; Т = 5 К; 1 — Тс = 5 К,
2 — Те = 100 К (Соловьев и др. 1995).
где /(е, С) — функция распределения электронов в барьере вблизи ямы,
а введением множителя 2 учитываются потоки на яму с двух сторон. При-
мер расчета коэффициента захвата «(е, к.) содержится, например, в рабо-
те Yassievich et al. (1994), где рассматривается захват дырок в структурах
Si/GexSii_x/Si за счет деформационного взаимодействия с оптическими фо-
нонами и в работе Соловьева и др. (1995) для случая захвата электронов
и дырок в структурах AlxGai_xAs/GaAs/AlxGai_x за счет поляризационно-
го взаимодействия с продольными оптическими фононами. Мы не будем
останавливаться на деталях этих и других расчетов и подробно описывать
результаты. Отметим лишь некоторые, наиболее интересные особенности.
Независимо от характера взаимодействия, коэффициент захвата очень
чувствителен к тому, насколько падающий электрон проникает внутрь
квантовой ямы. Яма для падающей электронной волны фактически пред-
ставляет собой интерферометр Фабри-Перо, в котором роль зеркал, благо-
296
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Рис. 13.4. Результаты измерений времени захвата в яму электронно-дырочных пар
вместе с результатами расчета, учитывающего амбиполярный характер захвата и
квантование в барьере. Сплошная линия — результат вычислений, (», д, ) —
экспериментальные результаты, полученные различными методиками (Blom et al.
1993).
даря надбарьерному отражению, играют границы. Так как энергия налета-
ющих частиц обычно мала по сравнению с глубиной ямы, то коэффициент
отражения близок к единице, и электрон почти не проникает в яму. За-
хват при этом в основном определяется излучением барьерных фононов
за счет переходов на «туннельные хвосты» волновой функции локализован-
ного состояния. Исключения представляют случаи, когда в яме существует
резонансный уровень, энергия которого совпадает с энергией электрона,
т.е. фактически на границе сплошного спектра. Условие появления такого
уровня
(У=1,2,...).
При выполнении этого условия, налетающий электрон концентрируется
внутри ямы, что вызывает резкий всплеск вероятности захвата. Этот эф-
фект, впервые рассмотренный Козыревым и Шиком (1985), приводит к
осцилляциям коэффициента захвата в зависимости от ширины ямы. При
поляризационном взаимодействии с продольными оптическими фононами
проявляется еще одна особенность коэффициента захвата. Поляризацион-
ное взаимодействие максимально для малых волновых векторов фонона.
Поэтому коэффициент захвата имеет максимум, если в яме есть уровень
размерного квантования, отстоящий от уровня энергии налетающего элек-
трона (т.е. фактически от границы сплошного спектра) на энергию Пшо
13.4. Кинетика захвата электронов в квантовую яму
297
(two — энергия оптического фонона при q = 0). На рис. 13.3 предста-
влены результаты расчета «скорости захвата» v = <7/т|ос в зависимости от
ширины ямы в предположении максвелловского распределения носителей
в барьере с эффективной температурой Ti, при условии, что температу-
ра решетки столь низка, что можно не учитывать процесса поглощения
фононов.
На рис. 13.4, взятом из работы Blom et al. (1993), приведены резуль-
таты измерений времени захвата в яму электронно-дырочных пар вместе
с результатами расчета, учитывающего амбиполярный характер захвата и
квантование в барьере.
13.4 Кинетика захвата электронов в квантовую яму
в монополярном полупроводнике
Рассмотрим следующую ситуацию. Пусть барьер легирован, например,
мелкими донорами, так что уровень Ферми в барьере выше первого уровня
размерного квантования в яме. В равновесных условиях часть электронов
из барьерных слоев перейдет в яму. Яма окажется заряженной отрица-
тельно, а в прилегающих областях барьера возникнет положительный объ-
емный заряд. Предположим, что электроны каким-то способом выкинуты
из ямы, и рассмотрим кинетику заполнения ямы, т.е. приближение к рав-
новесию на начальном этапе, когда выброс из ямы еще не играет роли.
Профиль зоны проводимости в процессе захвата изображен на рис. 13.5.
Потенциальный барьер U зависит от заряда ямы. Решая уравнение Пуас-
сона с плотностью заряда eN^ и при условии, что заряд в яме равен заряду
в обедненных областях барьера, получаем
2N& к ’
где к — диэлектрическая постоянная материала барьера, Nd — объемная
концентрация доноров в барьере, nw — двумерная концентрация электро-
нов, захваченных ямой. Пренебрегая туннельным эффектом, мы можем
написать уравнение, описывающее заполнение ямы, в виде
=2vcnexp(- (13.10)
где п — объемная концентрация носителей вдали от ямы в барьере, которая
не зависит от времени, vc — скорость захвата (см. § 13.2), a U определяется
298
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Рис. 13.5. Профиль зоны проводимости в структуре с квантовой ямой и легиро-
ванными барьерами при наличии электронов, захваченных ямой.
формулой (13.9). Решение этого уравнения с начальным условием nw = О
при t = 0 можно записать в неявном виде:
/rtw/ttwO f
exp(y2)dy= — (13.11)
то
/ INinkT \ '/2 nwo
^wO — I 5 1 To — — .
\ J 2vcn
Из уравнения (13.1) следует, что при t концентрация в яме нара-
стает по линейному закону nw и 2nvct, однако, по мере нарастания куло-
новского барьера нарастание концентрации замедляется и при t 2> то сле-
дует закону nw ос у^п^/то). Существенное замедление скорости захвата
носителей в яму по мере ее заполнения наблюдалось в работе Schmalz et
al. (1994).
13.5 Многофононный захват на глубокий центр
вблизи гетерограницы
Рассмотрим простую ситуацию, когда глубокий центр можно описывать
в рамках модели потенциала нулевого радиуса (§ 2.5). Пусть центр на-
ходится на расстоянии R от гетерограницы, которую рассматриваем как
бесконечно высокий потенциальный барьер (рис. 13.6). Проследим снача-
ла, как меняется энергия связи по мере приближения к гетерогранице.
Волновая функция вне центра (при г / 0) должна удовлетворять урав-
нению Шредингера с потенциалом, равным нулю, при нулевых граничных
условиях на стенке
Ф(г)|г=я = 0 (13.12)
и условию при г 0
1 Э(гФ)\
гФ дг )
= — Ко-
г=0
(13.13)
13.5. Многофононный захват вблизи гетерограницы
299
О 2R
Рис. 13.6. Глубокий центр на расстоянии R от гетерограницы, аппроксимируемый
бесконечно высоким потенциальным барьером. Пунктир — изображение центра.
Здесь ко определяется значением энергии связи ео в объемном материа-
ле Еь = Ь2к^/2т. Условие (13.13) фактически означает, что сам потен-
циал, локализующий электрон, не меняется присутствием гетерограницы.
Условию (13.12) можно удовлетворить, если ввести изображение центра
(рис. 13.6) и построить антисимметричное решение свободного уравнения
Шредингера
/р-кг р-к|г-2Я| \
= “Т^жУ <1314)
Величина к связана с энергией связи s центра, лежащего вблизи гетеро-
границы, соотношением
ft2 к 2 . .
Еь/? = —• (13.15)
2т
Из условия (13.13) имеем уравнение для определения к, а значит и еък-
е — 2kR
к+-—=к0. (13.16)
Из этого уравнения видно, что для центра вдали от гетерограницы,
когда kqR iS> 1, граница практически не влияет на положение уровня (к ->
ко). По мере приближения центра к границе энергия связи уменьшается,
и уровень выходит в сплошной спектр (к = 0) при R = 1 /2kq.
Для глубоких центров обычно расстояние 1/ко не превышает несколь-
ких постоянных решетки, так что может показаться, что влияние границы
на свойства глубокого центра сказывается только на этих расстояниях.
Однако, как будет видно ниже, вероятность многофононного захвата на
центр существенно изменяется уже для центров, лежащих намного даль-
ше от гетерограницы. При рассмотрении многофононных процессов (гла-
ва 9) были введены два адиабатических потенциала (терма): потенциальная
энергия колебаний без электрона 1/г(х) (х — конфигурационная координа-
та) и потенциальная энергия «ядра» вместе с локализованным электроном
300
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Рис. 13.7. Схема адиабатических потенциалов для центра в объеме (сплошные
кривые). Пунктирная кривая обозначает терм t/ц;, измененный присутствием гете-
рограницы на расстоянии R.
U\ (х) = £ь(х), где £ь(х) — энергия связи, как функция конфигураци-
онной координаты. Для многофононных переходов существенно поведение
термов вблизи значения х = хс, при котором £ь(х) = 0, т.е. вблизи точки
встречи потенциалов 1Л(х) и 77г(х). В этой области малых энергий связи
центр «чувствует» границу на очень больших расстояниях.
На рис. 13.7 схематически изображены термы U\(x) и А/г(х) Для центра
в объеме. Пунктиром показан терм U\r для центра, лежащего на рассто-
янии R от границы. Для центра в объеме энергия £г определяет энергию
активации для захвата электрона на центр при высоких температурах и
высоту барьера для захвата при низких температурах. Для центра вбли-
зи границы роль £2 играет £г/г- В рамках модели Луковского зависимость
энергии связи в объеме от х определяется формулой (9.35).
Для дефекта, лежащего на расстоянии R от границы, точка встречи
термов хс« определяется из условия £ь/г = 0, т.е. £ь = А^Кц/Зт при /to =
1/27?. С учетом (9.35) имеем уравнение
Д^(ХС-Х^ = ^. (13.17)
Находя отсюда xcr и учитывая, что E2r = Л/ш2/2х^, получаем искомую
связь между £2r и £г:
Л / А2
£2Й“£2 V VW
Аг2
£R~ ImR2
(13.18)
13.6. Многофононный захват в квантовой яме
301
Формула (13.18) с помощью (9.36), (9.39) может быть переписана в
виде
( 1 V
sir = £2 ( 1 - , (13.19)
где введено обозначение щ — y/lmet/h, et — энергия люминесценции
(см. § 9.5). Видно, что при k.(R 1 относительное изменение £2, обусло-
вленное границей, мало, но абсолютное изменение может быть велико по
сравнению с кТ, что экспоненциально увеличивает скорость активационно-
го захвата. В этом параграфе мы следовали работам Пахомова и Яссиевич
(1993), Yassievich and Pakhomov (1994). В этих работах рассчитана также
вероятность туннельного многофононного захвата на центр в присутствии
границы. Результат для сечения захвата <тд с экспоненциальной точностью
имеет вид
/ 4?/2 А
= <13,20>
где а — сечение туннельного многофононного захвата в объеме, w —
частота фонона.
13.6 Многофононный захват на глубокие центры
в квантовой яме
В первых работах, посвященных этому вопросу (Delerue et al. 1994, Feng
et al. 1994), обращалось внимание на то, что термическая энергия связи
электрона на глубоком центре, помещенном в квантовую яму, увеличива-
ется на величину Е\ — энергию размерного квантования. Все изменения
темпа захвата по сравнению с трехмерным случаем связывались только
с этим обстоятельством. В частности, энергия активации e-iw для захвата
двумерного электрона-выражалась формулой (в наших обозначениях)
£2w = —(ет + £1) = £2 + !£’ь (13.21)
г' г'
где ет — термическая энергия ионизации центра в объеме, /3 — безраз-
мерная константа связи (см. главу 9).
Однако, как было видно в предыдущем параграфе, наличие вблизи цен-
тра гетерограницы изменяет ход адиабатического потенциала в окрестно-
сти точки встречи термов при тех значениях конфигурационной координа-
ты х, при которых энергия связи электрона на центре еь (х) мала. Поведение
302
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Ко^
Рис. 13.8. Энергетическое положение уровня е в квантовой яме с практически
бесконечными стенками, как функции параметра кд при различных значениях zo-
(е отсчитывается от дна ямы, zo — сдвиг дефекта от середины ямы (см. вставку)
(d — ширина ямы). Энергия связи электрона на дефекте в яме = Е\ — е, Ei
— энергия размерного квантования (Пахомов и др. 1996).
адиабатических термов в этой области и определяет темп захвата. Соот-
ветствующий эффект для дефекта в квантовой яме был изучен в работе
Пахомова и Яссиевич (1995).
Глубокий центр в объеме в рамках модели потенциала нулевого радиу-
са характеризуется параметром ко, входящим в граничное условие (13.13).
При «о > 0 на центре в объеме существует уровень с энергией связи
= h2Ko/2m. При ко < 0 связанное состояние в объеме отсутствует.
Предполагается, что квантовая яма не искажает короткодействующий по-
тенциал центра, так что условие (13.13) сохраняет силу и при решении
задачи о положении уровня в квантовой яме. Такая задача была решена в
работах Пахомова и Яссиевич (1995), Пахомова и др. (1996), в которых
энергия связи электрона на центре найдена в зависимости от его поло-
жения в яме. На рис. 13.8 представлены результаты расчета положения
уровня на центре в зависимости от параметра Kgd (d — ширина ямы)
для ямы с практически бесконечными стенками при различных значениях
положения дефекта в яме (zo/^)- Видно, что в случае дефекта, лежаще-
го в середине ямы, уровень всегда ниже, чем для центра, смещенного от
середины. Замечательной особенностью является то обстоятельство, что
связанное состояние дефекта в яме существует даже тогда, когда в объ-
13.6. Многофононный захват в квантовой яме
303
Рис. 13.9. Энергетическое положение уровня е в квантовой яме как функция па-
раметра Kod, характеризующего центр в объемном материале, при различных зна-
чениях мощности ямы и.' (формула (13.22)). Дефект — в середине ямы. Энергия
связи электрона на дефекте в яме еь„ = Ei — е, где Е, — энергия размерного
квантования (Пахомов и др. 1996).
еме его нет (при /со < 0). Если дефект посередине ямы, то при /со = 0
энергия связи равна половине энергии размерного квантования Е\. При
больших отрицательных /со энергия связи еще существует, но стремится
к нулю по экспоненциальному закону. Если дефект смещен от середины
ямы, то связанное состояние исчезает при конечных значениях /со-
На рис. 13.9 представлено энергетическое положение уровня для дефек-
та, лежащего посередине ямы, как функция параметра nod при различных
значениях «мощности ямы»
/ 2mUod2
Отметим, что при w > 10 стенки ямы можно уже считать бесконечно
высокими.
Для многофононной рекомбинации существенно, что ход терма £Л(х)
существенно изменяется в области энергий, примыкающей к точке встречи
термов (рис. 13.10), где ко (зависящее от х) мало. Эти изменения проис-
ходят в области соизмеримой с энергией размерного квантования Ер
Расчет эффективной энергии активации eiw для захвата на дефекты в
квантовой ямы проведен в работе Пахомова и Яссиевич (1995). Результат
304
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Рис. 13.10. Адиабатические потенциалы U\w и дефекта в квантовой яме. Дефект
— на середине ямы. Пунктиром показан ход адиабатических потенциалов для того
же дефекта в объеме.
можно представить в виде:
1
£2н> — ^2---------
ТГ
£2^1 , ZZO \
2/3 7 k d )
(13.23)
где /(zo/d) — некоторая функция, зависящая от положения дефекта в яме.
Если дефект расположен вблизи границы ямы zo -> ±d/1, то /(zo/<3) =
2J/(<3 - 2|zo|)- В этом пределе выражение (13.23) переходит в форму-
лу (13.18) для центра вблизи одиночной гетерограницы. (Предполагается,
однако, что второй член в (13.23) мал по сравнению с ег-) Если дефект рас-
положен вблизи середины ямы, то ffa/d') —2, и в этом случае энергия
активации для захвата на дефект в яме больше, чем в объеме.
Таким образом, вероятность многофононного захвата на дефект (а зна-
чит и эмиссии с дефекта) существенно зависит от его положения в яме.
В работе Пахомова и Яссиевич (1995) рассмотрен также многофононный
захват на дефект, контролируемый термоактивационным туннелированием.
К настоящему времени существует ряд экспериментов, свидетельству-
ющих о важной роли многофононных процессов в квантоворазмерных
структурах (Matsusue and Sakaki 1987, Guriolo et al. 1991, Bergman et al.
1994). Например в работе Bergman et al. (1994) наблюдалась темпера-
турная зависимость времени жизни неравновесных носителей, типичная
13.7. Каскадный захват на центры в квантовых ямах
305
для многофононных переходов (активационная при высоких температурах
и насыщение при понижении температуры). Наблюдалась также зависи-
мость времени жизни от толщины ямы. Однако отсутствие информации о
типе глубоких центров и их распределении затрудняет сравнение теории
с экспериментом.
13.7 Каскадный захват носителей на притягивающие
центры в квантовых ямах
Специфика каскадного захвата на мелкие притягивающие центры в кван-
товых ямах рассматривалась в работах Карпуса (1985, 1986а).
В двумерном случае для характеристики захвата на центр удобно вве-
сти поперечник захвата <rw, который связан с временем жизни т свободных
носителей в яме (по отношению к захвату) соотношением
^=^CTw(v), (13.24)
где Ny, — двумерная концентрация центров в яме. В рамках модели Том-
сона вместо формулы (3.1) имеем
crw = curry, I = (v)r£W, (13.25)
где а — численный коэффициент порядка единицы, гт = е2/ пкТ — рас-
стояние, на котором потенциальная энергия кулоновского центра равна
кТ, т£Ч1 — время энергетической релаксации двумерных носителей с энер-
гией кТ на акустических фононах. Это время было вычислено в работе
Карпуса (1986в), где было показано, что в отличие от трехмерного случая
(когда тЕ = Zq/ (v)) темп энергетической релаксации усиливается, благода-
ря возможности для двумерных электронов испускать и поглощать более
крупные фононы
Zo (кТ\3/2
(v)
где /о определяется формулой (П3.14), Е\ — энергия первого уровня раз-
мерного квантования. Предполагается, что свободные электроны находятся
на этом уровне. Таким образом, вместо формулы (3.4) имеем с точностью
до численного коэффициента порядка единицы:
306
Глава 13. Захват носителей в гетероструктурах
Видно, что темп захвата по сравнению с трехмерным случаем увеличен
и более резко возрастает с понижением температуры. В работах Карпуса
также вычислен поперечник ctw для одноквантового захвата с излучением
акустического фонона, существенного при низких температурах, с помо-
щью подхода, аналогичного использованному в § 4.1. В этом случае, при
kT < y/8»w2£i (.у — скорость звука) было получено
1 тг5 / е2 \2 .у
т w 120 у Kms2) /о
(13.28)
В заключение отметим, что каскадная модель захвата применима лишь
при определенных ограничениях, которые подробно обсуждались для объ-
емного случая в главе 3. Главное ограничение состоит в том, что кТ
должно быть меньше боровской энергии.
13.8 Особенности оже-рекомбинации в гетероструктурах
В этом разделе мы ограничимся указанием на основные факторы, отлича-
ющие процессы оже-рекомбинации в гетероструктурах и в объемных по-
лупроводниках. Оже-процессы очень чувствительны к зонной структуре
полупроводников (см. главы 11, 12), а при наличии гетерограниц и эффек-
тов размерного квантования разнообразие различных ситуаций резко уве-
личивается, так что представляется невозможным дать их сколько-нибудь
детальный обзор в этой книге.
Основным фактором, ограничивающим скорость оже-процессов в объ-
емных полупроводниках, является существование энергетического порога,
обусловленного законами сохранения энергии и импульса (§ 11.2). Именно
поэтому в объемных материалах часто оказываются существенными оже-
процессы с участием фононов или носителей, локализованных на дефектах.
В последнем случае плотность носителей неоднородна в пространстве, и
это, по крайней мере частично, снимает ограничения, накладываемые зако-
ном сохранения импульса. В гетероструктурах пространственное распреде-
ление всегда неоднородно, что и является определяющим фактором, повы-
шающим вероятность оже-процессов. Роль этого фактора рассмотрена в ра-
ботах Зегри и Харченко (1992), Дьяконова и Кочаровского (Dyakonov and
Kachorovskii 1994). При наличии гетерограницы не сохраняется проекция
импульса на нормаль к границе, поэтому быстрые оже-электроны вылета-
ют преимущественно в направлении перпендикулярном к границе. Другим
важным обстоятельством, ограничивающим темп оже-рекомбинации, явля-
ется тот факт, что интеграл перекрытия блоховских амплитуд для электро-
13.8. Особенности оже-рекомбинации в гетероструктурах
307
нов и дырок обращается в ноль при нулевой кинетической энергии частицы
£ и отличен от нуля только благодаря конечности отношения £/Еъ. В объ-
еме £ порядка кТ (или энергии Ферми), тогда как в наноструктурах е
оказывается порядка энергии размерного квантования, которая, как пра-
вило, гораздо больше. Это также увеличивает скорость оже-рекомбинации
в наноструктурах. В структурах на основе гетеропереходов первого типа
рекомбинирующие электрон и дырка лежат в узкозонном материале, а от-
скочивший оже-носитель обычно оказывается в широкозонном материале.
В гетеропереходах второго типа рекомбинирующие электрон и дырка из-
начально располагаются по разные стороны от гетерограницы. Поэтому в
гетероструктурах закон сохранения энергии в оже-процессе, как правило,
включает характеристики полупроводников по обе стороны гетерограницы,
так же как и энергию размерного квантования. Это приводит к широким
возможностям управления скоростью оже-процессов выбором параметров
гетероструктур.
Важным случаем в объеме является резонансная ситуация, когда шири-
на запрещенной зоны Eg близка к энергии спин-орбитального расщепления
валентной зоны Д (см. § 12.6). В этом случае наиболее эффективным явля-
ется оже-процесс, сопровождающийся отскоком дырки в спин-орбитально
отщепленную зону (CHHS-процесс). Скорость оже-процесса очень резко
возрастает вблизи резонанса, когда Д близко к Её, так как при этом пе-
редаваемый оже-дырке импульс мал (см. рис. 11.7). В гетероструктурах
скорость оже-процесса особенно чувствительна как к выбору материалов,
так и к размерам слоев. Различные ситуации для конкретных материалов
подробно исследовались в работах Zegrya and Andreev (1995), Andreev and
Zegrya (1997), Зегри и Андреева (1996, 1997), а также в книге Ландсберга
(Landsberg 1991).
Приложение 1
АР-метод и модель Кейна
Феноменологическое описание зонной структуры полупроводников вблизи
краев зон строится на основе своеобразной модификации теории возмуще-
ний, которая получила название АР-метода. Рассмотрим уравнение Шре-
дингера для электрона в периодическом кристаллическом поле V (г):
= (П1.1)
гае «=^+v<'>+4^'vv(rM-
Здесь то — масса свободного электрона, р = —iZiV — оператор импуль-
са, <т — матрица Паули и последний член описывает спин-орбитальное
взаимодействие. Согласно теореме Блоха волновая функция имеет вид
=-J= и(г)еЛг, (П1.2)
где v — нормировочный объем, к — волновой вектор, и (г) — функция,
периодическая с тем же периодом, что и кристаллический потенциал. Ко-
нечно, u(r) зависит от волнового вектора и номера зоны. Для блоховской
амплитуды и (г) из (П1.1) и (П1.2) получается уравнение, которое можно
записать в виде
(% + ^')и(г) = £и(г), (П1.3)
где
о2 fi
h2k2
Ё = Е —(П1.4)
Н' = — (А,тг), 7г=р + —Ц[а,ТТ]. (П1.5)
mo 4moc2
309
310
Приложения
«Нулевой» гамильтониан Но описывает состояние в центре зоны Бриллю-
эна при к = 0 (точка Г). Если нас интересует спектр и волновые функции
в окрестности точки Г, то Н' можно рассматривать как возмущение1.
Для решения уравнения (П1.3) используется особая форма теории воз-
мущений, предложенная Левдиным (Lowdin 1951). Функции нулевого при-
ближения обозначим через йло(г). Они удовлетворяют уравнению
7/о«ло — fnouno
и описывают состояния в точке Г; соответствующие энергии обозначены
через Епо. Раскладывая искомую функцию и по ипо
и = '^/спипо, (П1.6)
п
получим для коэффициентов разложения
ЕпОСп + = ЁСП, (П1.7)
п'
где — матричный элемент Н' между состояниями нло и и„’о- Разо-
бьем все состояния и„о на две группы. К первой отнесем интересующие нас
состояния и будем считать, что они имеют близкие или совпадающие энер-
гии. Эти состояния назовем «выделенными» и будем для них обозначать
индексы п через Ь. Все остальные состояния будем считать отстоящими
по энергии гораздо дальше. Эти состояния назовем «далекими зонами».
Запишем уравнение (П1.7) отдельно для этих двух групп состояний
Еюсь + 57 + 57 ^йпсл — Ёсь (П1.8)
ЕпОСп + '^НпЬ'Сь, + 57^пЛ'с«' = Ёсп. (П1.9)
Ь' п>
Ясно, что в разложении (П1.6) основную роль играет первая группа со-
стояний, так что с„ гораздо меньше с*. В первом приближении можно
пренебречь последней суммой в левой части уравнения (П1.8). Тогда вид-
но, что столбец коэффициентов с* удовлетворяет уравнению Шредингера
nbbiCb' = Ёсь с матричным гамильтонианом
Ti**' = ЕмбЬЬ: + Н'ьь,.
'Проделанное здесь разбиение гамильтониана на Wo и Т-t' удобно для исследования спек-
тра вблизи краев зон в том случае, когда экстремумы зон лежат в точке Г. Мы ограничимся
рассмотрением именно этого случая.
1. ^P-метод и модель Кейна
311
В следующем приближении выразим сп из (П1.9), пренебрегая в нем по-
следней суммой в левой части,
= (ШЛО)
Энергию Ё в этом выражении можно считать равной Eq — энергии какого-
либо из выделенных состояний при к = 0. (Все равно какого, так как
разница между ними мала по сравнению с расстоянием до других зон Eq —
E„q.) Подставляя (П1Л0) в уравнение (П1.8), получим
ЕЮСЬ + £ (н'ьь, + £ = Ёсь,
о п '
Отсюда видно, что в этом, втором, приближении матричный гамильтониан
для столбца коэффициентов с* имеет вид
Й = Hq + Hi +Н2,
(Я1> - Н'ьь,,
(#о)ы/ = Еьодьь',
_______________ 111 njt
/ГТ \ __ ttbnttnb'
п
(П1Л1)
Эту процедуру последовательных приближений можно продолжать и по-
лучать все более точные выражения для матричного гамильтониана Й.
При этом столбец коэффициентов {с*} должен удовлетворять уравнению
Йс = Ёс или
Hbh'Ch1 = Ёсь- (П1Л2)
Ь'
Если иметь ввиду выражение (П1.5) для 'Н', то ясно, что процедура
последовательных приближений соответствует разложению эффективного
матричного гамильтониана по степеням волнового вектора к. В частно-
сти, выражение (П1.11) соответствует учету в эффективном гамильтониа-
не членов линейных и квадратичных по к.
Применим эту теорию к рассмотрению зонной структуры прямозонных
полупроводников А3В5 с узкой запрещенной зоной. Классическим приме-
ром таких полупроводников является InSb, хотя результаты рассмотрения
оказываются применимыми и к таким полупроводникам как GaAs, InP и
т.д. Рассмотрим сначала состояние при к = 0. В качестве «выделенных»
состояний возьмем состояния зоны проводимости и валентной зоны. Со-
стояния зоны проводимости интересующих нас полупроводников имеют
312
Приложения
Рис. Ш.1. Схема уровней при к — 0: (а) без учета спин-орбитального взаимодей-
ствия, (б) с учетом спин-орбитального взаимодействия.
при к = 0 симметрию Г i. Соответствующую волновую функцию обозна-
чим через S. Валентная зона без учета спина характеризуется при к = 0
симметрией Г15, то есть вершина валентной зоны трижды вырождена, и
волновые функции, которые мы обозначим через X, Y, Z, преобразуются
как соответствующие координаты. Для дальнейшего очень полезной явля-
ется аналогия с классификацией состояний в центрально-симметричном
потенциале. Исходя из этой аналогии, можно сказать, что дно зоны про-
водимости характеризуется орбитальным моментом L = 0, а вершина ва-
лентной зоны моментом L = 1. При учете спина и спин-орбитального
взаимодействия состояния должны характеризоваться значением полного
момента J — L + S, и в соответствии с обычными правилами векторно-
го сложения квантовой механики мы имеем для дна зоны проводимости
двукратно вырожденный уровень с полным моментом J = 1/2. Вершина
валентной зоны расщепляется на четырехкратно вырожденный уровень с
7 = 3/2 (вершина зоны тяжелых и легких дырок) и двукратно вырожден-
ный уровень с J = 1/2 (вершина спин-орбитально отщепленной зоны). От-
метим, что использованная здесь классификация не связана с каким-либо
сферическим приближением для потенциала атома в решетке, а является
точной, так как тетраэдрическое поле не расщепляет состояния со значе-
ниями момента 0,1 /2, 1, 3/2. На рис. П1.1 изображена схема уровней при
к = 0 без учета и с учетом спин-орбитального взаимодействия. Состояния
с L = 0,7 = 1/2 преобразуются по представлению Г/. Состояния с L = 1,
7 = 3/2 и L = 1, 7 = 1/2 по представлениям Г» и Г7, соответствен-
но. Выпишем волновые функции этих состояний. Выше они обозначались
через и*о, теперь удобно ввести обозначение и*т, где индекс b пробегает
1. кР-метод и модель Кейна
313
«с,-i/г — S-k;
(Х-НУ)Т,
значения с (дно зоны проводимости), v (вершина зоны тяжелых и легких
дырок), s (вершина спин-орбитальной отщепленной зоны). Индекс т обо-
значает проекцию момента на ось [001]. Вывод этих функций может быть
проделан по обычным правилам векторного сложения. Выбор фаз сделан
в соответствии с работой Эдмондса (Edmonds 1957):
Гб = 0, J = 0 : ис,1/2 — St,
( 3\ 1
Г8(Р=1,/=-1: mv,3/2 = —/=
\ / у 2.
Иу.-3/2=^(Х-1У)|,
Kv.i/2 = -U-(X + im+2ZT],
уб
Mv,-i/2 = -^[(X-iy)T+2Z4.];
vo
Г7(р= 1,7=0 : 4l/2 = --^[(X+iy)4.+ZT],
4_i/2 = -^[-(x-ir)T+z4.]. (Ш.13)
Строго говоря, волновые функции (П1.13) являются лишь приближен-
ными собственными функциями гамильтониана Но («правильными» функ-
циями нулевого приближения по спин-орбитальному взаимодействию).
При вычислении матричных элементов Н' следовало бы учесть поправки
первого порядка по спин-орбитальному взаимодействию к этим функци-
ям. Оказывается, однако, что возникающие вследствие этого эффекты (в
частности, линейные по к члены в законе дисперсии дырок) малы и мы
их учитывать не будем. По той же причине не будем учитывать членов,
обусловленных спин-орбитальным взаимодействием, в гамильтониане Н‘,
то есть будем считать тг = р.
Вычисление матричных элементов Н'Ьт ь,т, легко провести, если
учесть, что благодаря тетраэдрической симметрии и вещественности функ-
ций X, У, Z, S отличны от нуля только матричные элементы импульса вида
(S\px\X) = 'S\py\Y) = (S\Pz\Z) = iP^.
Все они равны друг другу и выражаются через одну вещественную кон-
станту Р, введенную Кейном (Капе 1956).
(П1.14)
314
Приложения
Эффективный матричный гамильтониан можно тогда записать в первом
порядке ^/’-метода в следующем «блочном» виде
/ Eg Ны
Н = Wvc о
\ Wsc О
с v
Т/cS \ С
О V
—Д у s
s
(П1.15)
Каждый элемент матрицы (П1.15) сам является матрицей, диагональные
элементы, в частности, кратны единичным матрицам.
Здесь за начало отсчета энергии принята вершина валентной зоны v,
Eg — ширина запрещенной зоны, Д — спин-орбитальное расщепление,
внизу и справа указаны значения индекса b состояний, Hcv и HCs — прямо-
угольные матрицы вида
-V3k+ 2kz к_ 0 \ -Ц
О —к+ 2kz Vlk_ J -i
з 1 _1 _з
2 2 2 2
1 _1
2 2
к+ = кх + iky, к_ = кх — iky,
Hvc = н^, нх = н^, (П1.16)
Внизу и справа указаны значения индекса т базисных функций.
Матричные элементы гамильтониана 77' можно вычислить и другим
способом, более удобным в связи с дальнейшим изложением. Как уже го-
ворилось выше, волновые функции для состояний, преобразующихся по
представлениям Г^, Г7, Ге, такие же как и волновые функции, отвечающие
моментам L = 0, 7=1/2 и L = 1, 7=1/2; L = 1, 7=3/2 группы враще-
ний. Поэтому для вычисления матричных элементов на функциях (П1.13)
можно использовать аппарат, разработанный в теории угловых моментов
(Edmonds 1957). В этой теории показано, что матричные элементы любого
вектора А имеют вид
(L'j'rn'm = (-1/-"' Jm, ^(L'J'WAWU), (П1.17)
где L', 7', т', L, 7, т — значения орбитального и полного моментов, а
также проекции полного момента, отвечающие начальному и конечному
1. ^P-метод и модель Кейна
315
состояниям, соответственно. Величина в круглых скобках — символ Виг-
нера, величина — приведенный матричный элемент, который,
вообще говоря, зависит от прочих квантовых чисел, но не зависит от т,
т!, q. Круговые проекции Aq вектора А определяются формулами
А0=Аг, А1 = --^=(АХ + 1АУ), А_! = (Ах - 1АУ).
Явная зависимость приведенного матричного элемента от J и J' может
быть также выделена в общем виде согласно формуле
(ZA7'||A||LJ> = (-1)l'+1/2+7+1v/(2J+ 1)(2J'+ 1) х
X{j J>L (П1.18)
где U, L — орбитальные моменты в начальном и конечном состояни-
ях. Полный момент J есть векторная сумма орбитального и спинового
(5 = 1/2) моментов. Величина в фигурной скобке бу-символ Вигнера.
Величина (Р'||А||Р) новый приведенный матричный элемент, который уже
не зависит от J и J'. Применяя эти формулы к вычислению матричных
элементов оператора импульса р, получим снова выражения, подобные
(П1.15)-(П1.16), причем из сравнения с последними следует, что
(0||р||1) =-r/ЗР, (0||р||0) = (1||р||1) =0.
Гамильтониан в первом приближении £Р-метода можно записать, таким
образом, в виде
Н = Н0 + — (к,р), (П1.19)
где Но и р — матрицы, определяемые формулами
/ Eg 0 0 \ / 0 рст Pcs \
Но = 0 0 0 , р = pvc 0 0
\ о о -д/ уд* о о /
_ ° 1 о \
то {Px)cv ~ V6\ -1 0 V3J
П , „ . _ iP (-зг/З 0 -i 0 \
т (Ру)™ — /7 I о о _;,/з )
/Ио у6 \ 1 v 1 у 3 J
2 0 °А
то {Pz)c" ~ у/6 \0 0 2 О)'
(П1.20)
316
Приложения
Соответственно,
п то (.Рх', iP / lcs" ( 0 1 1\ 0 J
п т0 (.Ру, iP / ICS " ( 0 i —i\ 0 )
h (Рг, iP / 1 0 ' \ . (П1.21)
т0 |CS = “^( 0 -1,
Заметим, что (ft/»io)(p)cs = (—i/%/3)P<r , где & — вектор-матрица Пау-
ли. Введенные матрицы обладают следующими свойствами, аналогичными
свойствам матриц Паули:
/ п ч 2 2
( ) [(Pa)cs(P/s)sc 4" (P/s)cs(Pa)sc] = Т Р
\т0 /
/ Й \2 4
( ) [(Pa)cv(P/3)vc 4" (P/s)cv(Pa)vc] ~ Т Р (П1.22)
\ то J j
где I — единичная матрица 2x2.
Формулы (П1.19)-(П1.21) определяют матричный гамильтониан в мо-
дели Кейна. Из вышеизложенного ясно, что этот гамильтониан обладает
сферической симметрией. Поэтому для нахождения спектра и волновых
функций удобно поступить следующим образом Выберем ось z вдоль век-
тора к. Тогда
H=HQ+—kpz.
т0
Из формул (П1.20), (П1.21) следует, что матрица pz имеет только диаго-
нальные по проекциям момента элементы. Таким образом, проекция пол-
ного момента на направление к (спиральность) в модели Кейна есть точ-
ное квантовое число. Обозначим его через р. Система уравнений (П1.12)
разбивается на четыре независимых системы. При р = ±3/2 имеем по
одному уравнению, которые определяют волновые функции uklJj и энергии
зоны тяжелых дырок
3 _ h2k2
р — ±~: икц = и'ч , Ё = 0, Ек = -—, (П1.23)
2 2то
где — блоховские амплитуды вершины зоны тяжелых и легких ды-
рок в системе координат, в которой ось z направлена по к. Видно, что в
использованном приближении зона тяжелых дырок имеет положительную
1. кР-метод и модель Кейна
317
кривизну, то есть соответствующая парабола загнута вверх. Правильная,
отрицательная, кривизна получится, если учесть взаимодействие с «дале-
кими зонами», то есть второе приближение для матричного гамильтониана
(см. ниже).
При р- = ±1/2 имеем две независимых системы уравнений по три
уравнения в каждой.
U = Ccu'cl^2 + cvW'д/2 + csws,l/2
. /2 - '
Egcc + - kPcv — 1кРс$ = Есс
/2
-iy - кРсс = Есч
vJjkPcc - Acs = Ёс5. (П1.24)
Здесь u'Cfl, u'Vll, u'^ — блоховские амплитуды соответствующих краев зон в
системе координат, связанной с к. Дисперсионное уравнение для системы
(П1.24) имеет вид
(Eg - Ё)Ё(А + Ё) + |*2Р2(2Д + ЗЁ) = 0. (П1.25)
Три корня этого уравнения определяют энергетический спектр зоны про-
водимости, зоны легких дырок и спин-орбитально отщепленной зоны. Под-
становка значений Ё в уравнения (П1.24) позволяет определить коэффици-
енты разложения волновых функций каждой из этих зон по базису с осью
квантования вдоль к. Аналогично можно найти состояние при р. = —1/2.
Дисперсионное уравнение при этом совпадает с (П1.25), то есть каждая
из перечисленных выше зон дважды вырождена.
Разложение волновой функции по базису (П1.13), связанному с кри-
сталлическими осями, можно получить, если учесть, что
т
и'^ = vo
т
и'^ = 52
т
318
Приложения
Таблица 9. Значения коэффициентов (Л)
»7 b
С V S
с, Л S h 1г/3(Ё±Д)ЁУ х/2(± + Д)Р^ РкЩ-!)^ 0 1 0
= [Р^Ё2 + 2(Ё + A)2/>V + 3(Ё + Д)2Ё2]~1/2
Таблица 10. Матрица
m м 1 —1 2 2
1 2 COS j — Sin j
_ I 2 sin у COS у
где Т> — матрицы конечных вращений2, <р, &, i{: — углы Эйлера, опи-
сывающие поворот от системы координат, связанной с осями кристалла
(лабораторной системы координат) к системе, связанной с вектором к.
Углы у?, г? есть сферические углы вектора к в лабораторной системе ко-
ординат. Угол ip (зависящий от выбора осей х и у в системе, связанной с
к) произволен. В частности, его можно положить равным нулю.
Окончательно имеем следующую систему блоховских амплитуд в мо-
дели Кейна
«^W = £x^(*)ufcmW- (П1.26)
b,m
Здесь индекс зоны г] принимает значения с (зона проводимости), h (зона
тяжелых дырок), £ (зона легких дырок), s (спин-орбитально отщепленная
зона), ц — спиральность, то есть проекция момента на направление к (для
h-зоны fj. = ±3/2, для остальных fj, = ±1/2), — система функций
(П1.13) в лабораторной системе координат, а функции Х*^(Л) определены
следующим образом
*£(*) = (ш 27)
2Отметим еще раз, что мы пользуемся обозначениями Эдмондса (Edmonds 1957) Опре-
деление матриц конечных вращений в книге Ландау и Лившица (1989) отличается от опре-
деления Эдмондса
1. ^P-метод и модель Кейна
319
Таблица 11. Матрица Т>^2)(1?)
т
3 2 1 2 _ 1 2 — 3 2
3 2 COS3 у — у/3 cos3 у Sin у у/3 Sin2 у COS у — Sin3 у
1 2 у/3 COS2 у Sin у cos у (1—3 sin2 у) Sin У (1—3 COS2 у) у/з Sin2 у COS у
. 1 2 у/3 Sin2 у COS у Sin у (3 COS2 у — 1) COS у (1—3 Sin2 у) — у/з cos2 у Sin у
. 3 2 Sin3 у у/3 Sin3 у COS у у/з cos2 у Sin у cos3 у
где Jb = 1/2 для £> = с и b = s, Jb = 3/2 для b = v. Значения коэффициен-
тов (Л), а также матриц конечных вращений приведены в таблицах 9-11,
учитывающих соотношение
V-) = е-1т^м(г?)е-^. (П1.28)
Коэффициенты аь при ту = £, с, s получаются из первой строчки таблицы 9
при подстановке вместо Ё соответствующих значений энергии — корней
уравнения (П1 25). Выпишем эти значения при малых к (вблизи краев
зон)
Ёс — Eg +
2Д + 3Eg 2 2
(A + Eg)
Et = -
2рР2
3Eg
к2Р2
£s = ~A“3(Eg + 4)-
(П1.29)
Уравнение (П1.25) можно решить при любых Ё < Д, если Д > Ё
(что соответствует, например, InSb). Тогда
1 П 2
E=2Es±\4Es+3k2p2-
(П1.30)
Здесь знак плюс соответствует зоне проводимости с, знак минус — зоне
легких дырок I.
320
Приложения
При Eg Д (что приближенно справедливо для GaAs) можно найти
энергетический спектр при всех Ё
1
2
' к2Р2\ L /1
Eg J V 4
к^\2
Eg )
2 ДА:2?2
3 Eg
(П1.31)
Здесь знак плюс соответствует зоне легких дырок £, знак минус — отще-
пленной зоне s. Видно, что при больших к (к2Р2/Еъ Д) зона легких
дырок становится параллельной зоне тяжелых дырок:
Как уже упоминалось выше, спектр тяжелой дырки получается неправиль-
ным в приближении, в котором учитывается только взаимодействие трех
зон (с, v, s). В этом приближении учет отличия Ё от Е есть превышение
точности, так что во всех предыдущих формулах следует положить Ё = Е.
Тогда зона тяжелых дырок получается «плоской», то есть с бесконечно
тяжелой массой. Массы электрона, легкой дырки и дырки в отщепленной
зоне согласно формулам (П1.29) вблизи краев зон следующие:
3£g(A+£g)fi2
2(2Д + 3Eg)?2
3Egfi2
4?2
3(£g + Д)П2/2Р2. (П1.32)
Строгий учет «далеких зон» в модели Кейна приводит к громоздким вы-
ражениям. Главный результат состоит в том, что исправляется спектр тя-
желых дырок. Другими словами, следует считать, что для зоны тяжелых
дырок (вблизи ее вершины)
=
=
ms =
h2k2
2ть'
где mh 2> те, тс, т3. Спектр и волновые функции в остальных зонах
практически не изменяются.
Приложение 2
Структура валентной зоны кубических полупроводников.
Гамильтониан Латгинжера
Для более детального описания валентной зоны при энергиях, гораздо
меньших ширины запрещенной зоны, можно в качестве «выделенных» со-
стояний3 рассматривать только состояния вершины зон легких и тяжелых
дырок (v). Тогда, пренебрегая поправками к волновым функциям, обусло-
вленными спин-орбитальным взаимодействием, имеем Н\ — 0 (при учете
этих поправок в кристаллах без центра инверсии возникают линейные по
к члены в энергетическом спектре). Таким образом, весь эффективный га-
мильтониан обусловлен взаимодействием с «далекими зонами», в число
которых в данном случае включается и зона проводимости. Общий вид
эффективного гамильтониана (согласно (П1.11)) таков:
Н = H2 = Y,bijkikj,
i,j
(Hq = 0, так как за начало отсчета энергии принята вершина валентной
зоны (v)), a bij — некоторый симметричный тензор-матрица. Как показал
Латгинжер (Luttinger 1956), соображения симметрии позволяют записать
этот гамильтониан, используя только три независимые константы (кон-
станты Латгинжера) 71, 72, 7з:
Н2к2 ( 5 \ Й2/.->-> л ->\
Н = ~ 2^ V1 + 272) + ^xJx + kyJy + )72 +
h2 г 1
Ч---МуРх, Jy} + kxkz{Jx, jг} + kykz{J Jj 73, (П2.1)
mo L J
где то — масса свободного электрона, {Jx, Jy} = JxJy + JyJx, a Jx, Jy, Jz —
матрицы момента 3/2, имеющие следующий вид (в базисе представления
3 Обозначения и терминология здесь те же, что и в приложении 1.
321
322
Приложения
Г», даваемым формулами (П1.13)) и расположенные в порядке 3/2, 1/2,
-1/2, -3/2:
Л
Л
/3 о о о \
о | о о
о о -| о
\о о о -у
Запишем блоховские амплитуды в виде (сравни с (П1.26))
(П2.2)
т
где г) принимает два значения: h (тяжелые дырки) и £ (легкие дырки),
а у, нумерует крамерсово вырождение подзоны в каждой из зон. Так как
спиральность не является квантовым числом при 72 7з,то будем различ-
ные значения у, обозначать индексами 1, 2. Диагонализация гамильтониана
(П2.1) методом Хопфилда дает выражение для коэффициентов х^”'
v,3/2 = —(H11 1
v,l/2 = TT#21,
V,—1/2 1 = МЯз1’
v,-l/2 =
vv-3/2 ^7/1 = 0,
v.3/2 = 0
v,l/2 X„2 = ^Я13
v, —1/2 x„2 = W12
V, —1/2 X„2 = -—W12
v,-3/2 Xr,2 = ±(НП-ЕЧ), (П2.3) /Vi
2. Структура валентной зоны кубических полупроводников
323
где
й2
Я11 = -5й^71 + 72 ~ 372^
йЗ
Н21 = V273 — kz(kx + \ку), Ни = ,
то
я2 й2
Ни = V72— (^2 - Л2) + ivZ373 — кхку Н13 = Н3‘,. (П2.4)
2 то то
N\ — нормировочный множитель, определяемый условием
КЗ’ = 1,
т
a — энергии в зонах легких и тяжелых дырок:
й2£2 й2£2
ElW = (П2-5)
z/ии 2. mt
Массы тяжелых и легких дырок зависят от направления к:
'"О Э1 I
— = 71 - 2|72|#
/Ии
'"о ,'->11
--- = 71 + 2|72|£
mt
S = V 1 + З73 272 {ихиу + иуиг + угух) (П2.6)
V 72
Здесь v — единичный вектор в направлении к. Значения констант 7ь
72, 7з для большого числа полупроводников были установлены на осно-
ве расчетных и экспериментальных данных. В таблице 12 приведены эти
значения для некоторых материалов.
Изоэнергетические поверхности в ^-пространстве представляют собой
«гофрированные сферы». Гофрированность особенно велика для зоны тя-
желых дырок4. Однако для описания целого ряда эффектов часто пользуют-
ся так называемым сферическим приближением, т.е. заменяют константы
72 и 7з на их «среднее» значение 7, определяемое обычно (Baldereschi and
Lipari 1973) следующим образом:
7 = | (37з + 272).
4mo/mh(ooi) = 71 — 2|7г|, mo/»ih(lll) = 71 ~ 2|731-
324
Приложения
Таблица 12. Значения констант Латгинжера 71, 72, 73.
Полупроводники 71 72 7з
Ge* 13,38 4,24 5,69
Si* 4,285 0,339 1,446
GaAs** 6,8 1,9 2,73
*Londolt-Bomstcin (1982).
“Shanabrook et al. (1989).
В сферическом приближении массы тяжелых и легких дырок изотропны
и соответственно равны
то то
ть =------те =-------------——.
71 - 27 71 + 27
В этом же приближении коэффициенты х^С17) представляют собой ком-
поненты матрицы конечных вращений с моментом 3/2, соответствующей
повороту, совмещающему некоторую фиксированную систему координат с
системой координат, в которой ось квантования z направлена по вектору к:
= (П2.8)
Напомним, что и г? — полярные углы вектора к в фиксированной систе-
ме координат, а /г в сферическом приближении имеет смысл спиральности
(/z = ±3/2 при 77 = h, /х = ±1/2 при г] = £). Заметим, что (П2.8) со-
впадает с тем, что дает для волновых функций тяжелых и легких дырок
формула (П1.27), если в ней Eg и Д считать бесконечно большими.
Иногда бывает полезным обобщение модели Латгинжера, учитывающее
наряду с зонами тяжелых и легких дырок и спин-орбитально отщепленную
зону. В сферическом приближении эффективный гамильтониан имеет при
этом вид:
Н = (А ± 2В)П2к2 - ЗВП2(Л±)2 ± |д<т£ - |д
1 ть ± т( 1 mh - т(
А = --------:--, --------•
4 т^пц 4 т^пц
Здесь L — матрица единичного момента. Энергетический спектр в трех
(П2.9)
2. Структура валентной зоны кубических полупроводников
325
зонах h, L и s следующий:
Eh = (A- В)П2к2 ~ --—
2mh
Ее = (а + h2k2 - | Д + у/ЭВЧгЧ4 + 2В/г2РД + Д2
Es = (А + ^в\ ^2-|д - |\/9В2/г4£4 + 2ВП2к2А + Д2. (П2.10)
Если блоховские амплитуды представить в виде (П1.26), где b пробе-
гает значения v и s, а ту — значения h, £, s то для коэффициентов
справедлива формула (П1.27), но соответствующие коэффициенты те-
перь определяются формулами
s _ , 141/2-м 1Ее+П2к2/2те
’ V -Es + Et
о‘ = (-1)'/^
Sfi ’ V -Es + Ee
= 0 ______________
а, = l—Es - Е2к2/2тё
У —Es + Ее
v _ I Ее + h2k2/2me
"V -Es + Ее ”
(П2.11)
Подчеркнем еще раз, что энергии Es, Ее и Eh считаются отрицатель-
ными, отрицательными также являются коэффициенты А и В в формулах
(П2.9). На рис. 2.2 приведен энергетический спектр валентной зоны GaAs
в сферическом приближении.
Приложение 3
Взаимодействие электронов с длинноволновыми
акустическими фононами
При деформации кристаллической решетки изменяется энергия электро-
нов. Если деформация достаточно плавная, как это имеет место при длин-
новолновых акустических колебаниях, то для электронов, взаимодейству-
ющих с фононами, можно использовать приближение эффективной массы.
Эффективный гамильтониан электрон-фононного взаимодействия должен
быть пропорционален при малых деформациях тензору деформации и по-
этому его можно записать в виде
ДерЬ = У^^а0£а0, (П3.1)
а,0
где
1
£а0~ 2
диа(г)
дх0
дха J
(П3.2)
есть тензор деформации, и (г) — смещения решетки, вызванные акусти-
ческими колебаниями, Т>ар — тензор, зависящий от зонной структуры.
Компоненты этого тензора называются константами деформационного по-
тенциала.
Деформация £ад может быть разложена по нормальным колебаниям
еа0{г) = 22 [%'£c>Xz'> «)е1?г + a*qve*a0(y, яУ чг] • (ПЗ.З)
Здесь
£а0^,«) = 2 * + ’
(П3.4)
где ev(q) — единичные векторы поляризации, зависящие от направления
волнового вектора фонона q и ветви колебаний и (и пробегает три зна-
чения, соответствующие продольной и двум поперечным ветвям акустиче-
ских колебаний). Строго говоря, даже в кубическом кристалле колебания
можно разделить на продольные и поперечные только при распространении
326
3. Взаимодействие электронов с акустическими фононами
327
звука вдоль главных осей. Кроме того, скорость звука зависит от напра-
вления распространения. Учет всех этих особенностей фононного спектра
очень сложен. Обычно принято использовать так называемое приближе-
ние изотропного упругого континуума. В этом приближении акустические
фононы разделяются на продольные и поперечные независимо от напра-
вления q, а их спектр принимается сферически симметричным. В длин-
новолновой области это означает, что uvq = svq, где si = i — скорость
продольного звука, a s2 = S3 = st — скорость поперечного звука. При
квантовомеханическом рассмотрении амплитуды aqv, а*и следует считать
операторами. Матричные элементы этих операторов связывают состояния,
отличающиеся на один фонон, то есть соответствуют процессам рождения
и уничтожения фонона. Они определяются формулами:
{Nqv + 114м,)
lh(Nqv +1)
у V
I Ыд„
\ 2pcwqvv'
(П3.5)
Здесь рс — плотность кристалла, v — нормировочный объем, wqv — ча-
стота фонона. В начальном и конечном состоянии указаны только числа
фононов типа q, v, число других фононов остается неизменным.
Вероятность (отнесенная к единице времени) спонтанного излучения
фонона q, v, сопровождающегося переходом электрона из состояния I в
состояние II, определяется формулой
W12 = — |(П|Яерь|1)|25(£1 - Е2 - ^). (П3.6)
Здесь Е\ и Е2 — энергии электрона в начальном и конечном состояниях,
(П|Яерь|1) — матричный элемент электрон-фононного взаимодействия ме-
жду начальным состоянием I (электрон в состоянии I, фонон отсутствует)
и конечным состоянием II (электрон в состоянии II, появился один фонон
ветви v с волновым вектором q). Согласно (П3.1)-(П3.5) этот матричный
элемент имеет вид
(II|HePh|I) = M2i(q),
V J.pcwquv
где
М2\(д) = / d3rF2*(r)e 1?rFi(r),
(П3.7)
(П3.8)
328
Приложения
a Fi (г) и F2(r) — электронные волновые функции метода эффективной
массы, отвечающие конечному и начальному состояниям, соответственно.
Для случая свободных электронов это плоские волны
Fi(r) =-^=ей1Г, F2(r) =-^е*2', (П3.9)
где v — нормировочный объем, к\ и кг — волновые векторы электро-
на в начальном и конечном состояниях. В этом случае (П3.8) дает закон
сохранения квазиимпульса при излучении фонона
M21(9) = 5tl_,,t2. (П3.10)
Рассмотрим подробнее вероятность перехода для двух типов зонной струк-
туры.
1. Простая зона с минимумом в точке к = 0 в кубическом кристал-
ле (например зона проводимости в арсениде галлия). В этом случае тен-
зор Т>ар сводится к скаляру Т>ар = Ев8ар, так что имеется только одна
константа деформационного потенциала Ец- Тогда 'Dapeap(i', q) =
EDTre = Ed div«. Так как Тге есть относительное изменение объема,
то можно заключить, что энергия электрона изменяется только при таких
колебаниях, которые сопровождаются изменением плотности, т.е. при про-
дольных акустических колебаниях (e1'(tf)||tf). Для таких колебаний
У2а,0 «) =
Таким образом, для вероятности перехода электрона из состояния I в
состояние II со спонтанным излучением длинноволнового акустического
фонона с волновым вектором q получаем (учитывая, что wuq = sq, s —
скорость продольного звука)
Wi2(9) = ^|Af2i(9)|25(E1-E2-^9). (П3.11)
Vpc$
Полная вероятность перехода из состояния I в состояние II с излуче-
нием фонона wi2 получается из (П3.11) интегрированием по q:
WW12(9)-
После интегрирования получаем
W12 = 2F Т1} (П3.12)
4 /0 \ ms2 )
3. Взаимодействие электронов с акустическими фононами
329
где
Ш2 = [ |A/2i(?)|2dQ9. (П3.13)
4тг J
Интегрирование проводится по углам вектора q, а величина q определя-
ется законом сохранения энергии hsq = Е\ — Ег. Характерная длина 1о
определяется формулой
= (П3.14)
2т3Е£
Вероятность перехода из состояния I в состояние II с поглощением фонона
получается из (П3.12) умножением на Nq — число продольных акустиче-
ских фононов с импульсом q в кристалле. Соответственно вероятность
перехода II—>1, сопровождающегося излучением фонона (с учетом выну-
жденного излучения), получается из (П3.12) умножением на (Nq + 1).
2. Экстремумы зоны на оси симметрии. Такая ситуация реализуется,
например, для зоны проводимости в Ge и Si, где минимумы располагаются
на осях третьего и четвертого порядка, соответственно. Изоэнергетические
поверхности электронов вблизи минимумов представляют собой эллипсо-
иды вращения. Тензор Па0, определяющий электрон-фононное взаимодей-
ствие, обладает в этом случае такой же симметрией и в главных осях имеет
вид
= Па = Ъуу =
где ось z направлена вдоль оси симметрии, на которой располагается ми-
нимум, а все недиагональные компоненты равны нулю. Тогда
52 Va0ea0(v, 9) = i [V^qz + + <<fr)] • (П3.15)
а,,3
Для продольных фононов, для которых вектор поляризации ev параллелен
q, т.е. ev = q/q, выражение (П3.15) приводится к виду
52 'Яа/зСаЖ', Ч) = [Р± + (P|| - P±) cos21?] , (П3.16)
a,,3
где 1? — угол между q и осью симметрии долины.
Для констант деформационного потенциала приняты обозначения, вве-
денные Херрингом (Herring and Vogt 1956),
Р± — Т>|| - Р± = 5Н.
(П3.17)
330
Приложения
Преобразуя матричный элемент так же как и в предыдущем случае, по-
лучим для вероятности перехода wn со спонтанным излучением продоль-
ного акустического фонона выражение, отличающееся от (П3.11) только
тем, что вместо в него входит величина (Ed + Еи cos219)2.
Рассматривая аналогичным образом взаимодействие с поперечными фо-
нонами, легко убедиться, что для суммарной вероятности со спонтанным
излучением поперечного фонона любой из двух возможных поляризаций
получается выражение, отличающееся от (П3.11) только заменой 5 на 5т и
Eq на (1/4)Е2 sin2 2i9.
Окончательно для полной суммарной вероятности перехода из состо-
яния I в состояние II со спонтанным излучением акустического фонона
(продольного или поперечного) получаем вместо (П3.12):
1 / 5 /ДЕ\3 . ^т (ДЕ\3 .
wi2=4(w^J|УИ21(9<)| |УИ21(9т)|
(П3.18)
где
Л Г- Г. Г. ДЕ ДЕ
ДЕ — Е\ — Е2, qt — —т-, = ~Г!
sn sjn
обратные длины It и равны
1 _ 2т3
lt(&)
1 _ 2т3
Zt(i?) тгЕ4рс
(Sd + S„ cos2 д)
_2sin2 2i9
Г"’
(П3.19)
причем т — масса плотности состояний, — угол между q и осью элли-
псоида, а черта означает усреднение по углам.
Приложение 4
Рассеяние свободных носителей на акустических фононах
... KV
г<‘>=
Рассмотрим сначала случай изотропной и квадратичной зависимости энер-
гии электронов от квазиимпульса hk:
(П4.1)
При излучении фонона должен выполняться закон сохранения энергии
е(к~) = s(k - q) + Ftqs, (П4.2)
где hk — импульс электрона до излучения, fiq — импульс излученного
фонона, i — скорость звука. На рисунке П4.1 заштрихованная область со-
ответствует значениям начальной и конечной кинетической энергии элек-
трона (е = е(к) и е' = е(к — q)), разрешенным законом сохранения (П4.2).
Видно, что электрон может испускать акустический фонон, только если его
кинетическая энергия удовлетворяет неравенству
2
ms
то есть если его скорость больше скорости звука. Из рис. П4.1 следует
также, что при энергиях е 2г> ms1 максимальная энергия испускаемого
фонона (Де)тах дается выражением
(Де)тах = (П4.4)
Величина ms2 в типичных полупроводниках порядка или меньше 1 К. Мы
будем иметь в виду более высокие температуры, так что характерная энер-
гия электронов гораздо больше, чем ms1. Таким образом, электрон в одном
акте излучения может потерять только малую часть своей кинетической
энергии
331
332
Приложения
Рис. П4.1. Области разрешенных законами сохранения значений начальной (е) и
конечной (е') энергий электрона при излучении акустического фонона.
При поглощении фонона электроном, допустимые значения энергий
снова представляются заштрихованной областью рис. П4.1, но теперь е'
следует считать начальной кинетической энергией электрона, а £ — его
энергией после поглощения фонона. Видно, что электрон и при поглоще-
нии фонона меняет свою кинетическую энергию на малую величину.
Вероятность перехода электрона из состояния с волновым вектором
к\ в состояние с волновым вектором кг, сопровождающегося излучением
фонона q, дается формулой (П3.11), в которой матричный элемент Мц
имеет вид (П3.10). Пользуясь (П3.11) можно получить среднюю скорость
изменения импульса электрона р = Ьк\ при столкновениях с фононами
= 52^ [-’'%*!-«№ + 1) + ii+gA'g] . (П4.6)
Ч
Два члена в квадратных скобках учитывают процессы поглощения, вероят-
ность которых пропорциональна Nq, а также процессы спонтанного и выну-
жденного излучения, вероятность которых пропорциональна Nq + 1. Здесь
Nq — число фононов в тепловом равновесии, которое при hu>q кТ равно
Nq = (кТ/fiWq) » 1- Заменяя в (П4.6) суммирование по q на интегрирова-
ние и выполняя его, получаем для электрона с энергией е ms2 (в этом
случае можно пренебречь энергией фонона Htvq в аргументе 5-функции):
£
т„
4. Рассеяние свободных носителей на акустических фононах
333
где время релаксации по импульсу тр определяется формулой
_ irh^pcS2
Р y/2em3/2E^kT
Длина свободного пробега
(П4.8)
(П4.9)
не зависит от энергии электрона и может быть выражена через характер-
ную длину Zo, определенную формулой (П3.14), в виде
1-1
(П4.10)
Пользуясь формулой (П3.11), можно вычислить также вероятность спон-
танного перехода электрона с энергией £ в единицу времени в единичный
интервал энергий вблизи е' с излучением фонона, которая, может быть
записана в виде
, .v /ги?\1/2 (е - е')2
(П4.11)
если г и г' лежат в заштрихованной области рис. П4.1 (в противоположном
случае w(£, г'} = 0).
Полную вероятность перехода £—в единицу времени с излучением
фононов можно получить, если умножить выражение (П4.11) на 1 +N(e —
е')> гДе N(e — е') — число фононов в состоянии с энергией Нш = е — е'.
Вероятность перехода е—с поглощением фонона равна w(s, —е).
С помощью (П4.11) можно получить время тЕ энергетической релак-
сации электрона с энергией £ за счет спонтанного излучения акустиче-
ских фононов. Время те определяется соотношением ds/dz = где
—de/dz есть средняя энергия, теряемая электроном в единицу времени
(П4.12)
Область интегрирования определяется рис. П4.1. Вычисление приводит к
формуле (при е ms2}
т- = ,0\/ё'
(П4.13)
334
Приложения
Получим теперь обобщение формул (П4.11) и (П4.13) на случай анизо-
тропного (эллипсоидального) энергетического спектра электронов. Веро-
ятность перехода в этом случае зависит от направления импульса относи-
тельно осей кристалла. Мы предположим, что имеется равнораспределение
по всем степеням свободы, кроме энергии, и выпишем вероятность перехо-
да w(si, £2), усредненную по начальным состояниям с микроканоническим
распределением 5(ei — еР1 )/p(ei)
w(ei, е2) = 52 - £Рг\
Pi’Pi 1
Вычисление с использованием формулы (П3.18) дает вместо (П4.11) вы-
ражение
и<£1,£2)
(Ае)2
(пи2)3
s& \/8ms2£i — g(i?)Ae:
в) :
(Ае)2
(пи|)3
s-г© у8nw|ei — g(i?)Ae
, (П4.14)
где
g($) = /—- sin2 $ -|---cos2$.
у mj_ тц
(П4.15)
Здесь т — масса плотности состояний, ©(х) — ©-функция, равная нулю
при х < 0 и равная единице при х > 0. При выводе формулы (П4.14)
считалось, что £[ S> ms2.
С помощью формулы (П4.14) нетрудно получить время энергетической
релаксации
— = - f — Ae)AedAe.
Те е J
Вычисление дает формулу (П4.13), где т есть масса плотности состояний,
a Iq теперь вместо (П3.14) дается выражением
1 - 2ffl3 1
10 тгП4рс g5(tf)
+ cos21?)2 + Е2
sin2 2$
4
(П4.16)
Приложение 5
Переходы между уровнями водородоподобного центра
со спонтанным излучением акустического фонона
Уровни водородоподобного центра характеризуются тремя квантовыми чи-
слами: п, I, т. Энергия зависит от главного квантового числа п
Еп = -Ц, (П5.1)
п
а по Z и га имеется вырождение.
Найдем вероятность перехода wni„2 между двумя энергетическими
уровнями «1, П2, усредненную по значениям Z], пц; Z2, m2. Согласно фор-
муле (П3.12)
_ 1 s f Ei -Е2\3 ,
И'"1"2 4п2п2 Zo V ms2 ) 8п,п2’ (П5'2)
где _____________
Sntni = |^П2/гт2,Л1/1т1 |2- (П5.3)
АтьЬтг
Для вычисления g„,„2 удобно перейти к импульсному представлению
*’(r’ = /
Используя волновые функции в р-представлении <pn/m(p) (см., например, в
книге Бете и Салпитера (I960)), получаем
gn,„2(?) =У У -^3GnI(pl,P2)Gn2(pl+q,p2 + q), (П5.4)
где
Gn(Pl,P2) = ^PnlmiP 1 (Р2) • (П5-5)
1,т
Пользуясь теоремами сложения шаровых функций и полиномов Гегенбау-
эра, можно выполнить суммирование в формуле (П5.5) и получить
„ , 16тгл4 sin «ср
Gn(Pi,Р2) = , 2...2 ТЪ~27 2 2 , 1>2 ~’ (П5-6)
(n2pi + 1)2(п2р2 + I)2 sm<p
335
336
Приложения
Gn(j>i,P2) =
где
2п2[р1-р212
C0S<P (и2И + 1)(и2Рг +г)
Эти формулы написаны в атомных единицах.
Рассмотрим сначала переходы между высоковозбужденными уровнями.
В этом случае п велико и основной вклад в интеграл (П5.4) дает область
малых значений р, т.е. область значений |pj — р2| Рь Pi- При этом для
Gn получаем
4тгг^ sin(rn|pi -р2|)
«3|Р1 -
2л2
Гп ~ n2p2 + V
Используя это выражение для Gn, можно вычислить интеграл (П5.4) и
получить при «1, л2 3> 1 следующую формулу для gni„2:
= Л -ТТГ- (тг + |£1*£21 +1) • (П5-9)
v Зтг n\n^q \4i2 s2 / v
Более точно, условие применимости этой формулы требует выполнения
неравенств Ei — Е2 гГ3, q 3> л-2. Напомним, что в атомных единицах
Ei +Е2 = (2л2)-1 + (2л2)-1.
Окончательно для усредненной вероятности перехода между высоко-
возбужденными состояниями получаем (в размерных единицах)
_ 2^2 s (AE)2|Ei|5/2|£2|5/2 Л (ДЕ)2 ms2\“3
- ~З^Т0 {ms2y/2El/2\E\3 +
ДЕ = Ei - Е2, Е = | {Ei + Е2). (П5.10)
Состояния с большим л — квазиклассические, поэтому формулу (П5.10)
можно получить и другим путем. Воспользуемся формулой (П4.11), кото-
рая дает вероятность перехода свободного электрона между состояниями
с кинетической энергией е и е'. Учтем также, что вероятность того, что
электрон с полной энергией Ei окажется в интервале кинетических энер-
гий ei, ei + dei и в области пространства d3r, дается выражением
5[Ei - ei - V(r)]p(£i)deid3r
E(Ei)
5. Переходы между уровнями водородоподобного центра
337
где R(E) — квазиклассическая плотность состояний в пространстве полной
энергии — определяется формулой (П6.20). Это выражение, справедливое
при равнораспределении по всем степеням свободы, кроме полной энергии,
есть следствие микроканонического распределения. Вероятность wnini в
квазиклассическом приближении имеет вид
w„i„2 = w(Ei, Ег) —
_ f8[Ei - si-V(r)]8[E2-€2-V(r)]w(e\,€2)d£ids2d3r
“ J /?(Ei)E(E2) ’ 1 }
где w(si,£2) определяется формулой (П4.11). Вычисление этого выраже-
ния приводит снова к формуле (П5.10).
Из (П5.10) видно, что характерная энергия излучаемого фонона ДЕ «
д/8т?|Е|, как для свободных электронов (сравни с (П4.4)).
Рассмотрим теперь переходы между энергетическими состояниями с
большой разностью энергий, так что излучается фонон с длиной волны
гораздо меньше боровского радиуса
Q= —— 1. (П5.12)
ns
В этом случае можно получить простые выражения для вероятности пе-
реходов между отдельными состояниями. Исходя из формул (П3.8) для
матричного элемента перехода и переходя к импульсному представлению,
получим
^21 = У Д3 <Рг(Р~ (П5.13)
При больших значениях р функции убывают степенным образом.
Поэтому при больших q основной вклад в интеграл (П5.13) дают области
вблизи р = 0 и р = hq, в которых функции pi(p) и рЩр — Тщ) макси-
мальны. Вынося из-под интегралов в первой области (~^9)> а в0 второй
<pi(hq) и используя Фурье-разложение ip (г), получим
Л/21 = Рг (-(°) + (П5.14)
Для нахождения асимптотических значений pi(hq) запишем уравнение
Шредингера в импульсном представлении
+ [ 4>i(M)V(q ~ q') = E^hq),
338
Приложения
. . 4тге2
где e(g) — энергия свободного электрона с импульсом hq, a V(q) — Фурье-
компонента потенциала центра. Для кулоновского потенциала
(П5.15)
При изотропном законе дисперсии e(q) = ft2g2/2m. Пренебрегая вели-
чиной Ei по сравнению с й^2/2т и q' по сравнению с q в знаменателе
под интегралом, а также пользуясь Фурье-разложением ^(г), найдем при
больших q:
g>,(fig) = ^(O)^. (П5.16)
Подставляя это в (П5.14), получим асимптотическое выражение для ма-
тричного элемента:
Л/21 (?) = ^2* (0)^1 (0) (П5.17)
Такой вид матричный элемент Л/21 имеет для переходов между состояни-
ями, для которых V'(O) 7^ 0 (s-состояние). Если речь идет о переходах,
включающих состояния, для которых тД(О) = 0, то следует удерживать
члены более высокого порядка по (дав)-1. Это приведет к тому, что Л/21
окажется меньше по параметру (дав)-1 и будет определяться не самим
значением функции при г = 0, а значением ее соответствующих производ-
ных. Мы не будем приводить этих выражений.
Для вероятности перехода между s-состояниями согласно (П3.12) по-
лучаем (при s(g) = ft2g2/2m)
W12 = Г 1^1 (0) |2l^2(0)I2. (П5.18)
«о nqms
В случае водородоподобного центра, используя (П5.15) и значение -0,(0)
по (Ландау и Лифшиц 1989) получаем5 * *
a1 ms2 210«]«2
VV|2 Zo EB («?-«г)5
5Формулу (П5.19) впервые получили Мешков и Рашба (1979). Предшествующий резуль-
тат Аскарели и Родригеса (Ascarelli and Rodrigues 1961) содержит неправильный множитель,
зависящий от квантовых чисел Л] и лг-
5. Переходы между уровнями водородоподобного центра
339
Напомним, что эта формула относится к переходам между s-состояниями
в случае ДЕ y/Ejms2 (i = 1, 2). Переходы между состояниями с I О
менее вероятны в этом пределе. Однако, если п\ и и2 — велики, то из-за
высокой степени вырождения состояния с I 0 вносят основной вклад в
усредненную вероятность w„i „2, несмотря на малую вероятность переходов
между каждой парой уровней в отдельности. В этом случае, как показано
выше, справедлива формула (П5.10).
Отметим, что формула (П5.18) имеет весьма широкую область приме-
нимости. Она справедлива для переходов между любыми состояниями, для
которых 1 (0) и ip2 (0) отличны от нуля при любом виде потенциала У (г) и
энергетического спектра е(?)- Единственным условием ее применимости
является неравенство ДЕ » \ZEjms2, которое должно выполняться для
каждой из энергий Е[ и Е2.
Приложение 6
Квазиклассическая плотность состояний
В квазиклассическом случае на каждое квантовое состояние приходится
фазовый объем (2тгЙ)3. Поэтому в элементе фазового пространства d3p d3r
содержится число состояний равное6
d3pd3r
(2тгП)3'
(П6.1)
Число состояний электрона на центре, приходящихся на интервал энер-
гий от Е до Е + dE, можно вычислить, если проинтегрировать выражение
(П6.1) по области фазового пространства, заключенной между двумя изо-
энергетическими поверхностями
е(р) + V(r) = Е, е(р) + V(r) = Е + ДЕ. (П6.2)
Здесь е(р) — кинетическая энергия электрона как функция квазиимпульса,
V(r) — его потенциальная энергия в поле центра. Этот интеграл можно
записать в следующей форме
fd3od3r /,£+Д£
/ / 5 Ш + v W - £']d£'’ (П6-3)
J JE
где интегрирование по d3p d3r можно считать распространенным на все фа-
зовое пространство, так как нужная его область автоматически выделяется
интегралом по Е от 5-функции. Действительно, этот последний интеграл
равен единице, если значение е(р) + V(r) лежит между изоэнергетиче-
скими поверхностями (П6.2), и равен нулю при всех других значениях р
и г.
Для характеристики густоты квазиклассического спектра удобно вве-
сти плотность состояний в пространстве полной энергии Е(Е), имеющую
смысл числа состояний на единичный интервал энергий. Число состояний
в интервале ДЕ тогда должно иметь вид
лЕ+ДЕ
у E(E')dE'. (П6.4)
6В формуле (П6.1) и далее не учитывается спиновое вырождение уровней.
340
6. Квазиклассическая плотность состояний
341
Сравнивая формулы (П6.3) и (П6.4), заключаем, что
(П6.5)
Величина R(E) имеет размерность обратной энергии, а [Е(Е)]_| можно ин-
терпретировать как расстояние между квазиклассическими уровнями энер-
гии7.
Формулу (П6.5) можно записать в несколько ином виде, если ввести
плотность состояний р(е) в пространстве кинетических энергий
',(е) = / “ 4
(П6.6)
Тогда
гоо
Е(Е) = / p(e)ded3rS[e(p) + V(r) - Е].
Jo
(П6.7)
Заметим, что р(е), определяемая формулой (П6.6), строго говоря, есть
плотность состояний в пространстве кинетической энергии, отнесенная к
единице объема. Обычно ее называют просто плотностью состояний.
В случае, когда изоэнергетические поверхности представляют собой
эллипсоиды вращения (как для электронов в германии и кремнии), имеем
е(Е) = + 4^’
2тИ||
(П6.8)
где ось z выбрана вдоль оси симметрии долины. В этом случае интеграл
(П6.6) легко вычисляется, и для р(е) получаем
р(е) = po-v/ё, ро = г»3/2, (П6.9)
(Z7Tn)J
где т = (mj_v/nfii’)2/3 — масса плотности состояний.
7Это утверждение не совсем точно, если имеется вырождение, то есть одному и тому же
уровню энергии соответствует несколько квантовых состояний. Однако если степень выро-
ждения порядка единицы, то расстояние между уровнями по порядку величины по-прежнему
равно [/?(£)] Исключение составляет случай сферически симметричного потенциала при
изотропном законе дисперсии, когда степень вырождения квазиклассических уровней вели-
ка и равна п2 для кулоновского потенциала и (2Z + 1) для потенциалов другого вида (п —
главное квантовое число, I — число, определяющее момент количества движения).
342
Приложения
Теперь в выражении (П6.7) можно выполнить интегрирование по е и
записать квазиклассическую плотность состояний R(E) в виде
R(E) = р0 У d3ry/E-V(r). (П6.10)
В формуле (П6.10) область интегрирования есть классически доступная
область пространства, ограниченная условием
E-V(r)>0. (П6.11)
Заметим, что обычно полагают V (г) —> 0 при г —> оо, так что для притя-
гивающего центра V(r) отрицательно. При этом область интегрирования
(П6.11) конечна при отрицательных значениях полной энергии Е, то есть
для связанных состояний. При Е > 0 область (П6.11) бесконечна и инте-
грал (П6.10) расходится, если не ввести искусственно большой нормиро-
вочный объем v («объем кристалла»).
Вычислим /?(£) для потенциалов вида
eD
V(r) = --^<W<P), (П6.12)
где Dn — некоторая константа, a </>n(i9, </?) — безразмерная функция сфе-
рических углов р радиуса-вектора г. В частных случаях выражение
(П6.12) приводит к следующим результатам.
Для притягивающего кулоновского центра с зарядом Ze:
Ze2
п = 1, Di = Ze, = V(r) =-------------------. (П6.13)
Для дипольного центра, ориентированного вдоль оси z, с дипольным
моментом ed (d — плечо диполя):
e2d
п = 2, Di = ed, </>2 = cost9, V(r) =-----------^cosi?. (П6.14)
Для квадрупольного центра с осью симметрии вдоль оси z и квадру-
польным моментом eQ:
п = 3, D3 = eQ, Фз = ^ ( - 3 cos2 •& + 1)
V(r) = —-7-Яд—3 cos2 $ + 1). (П6.15)
4кг5
6. Квазиклассическая плотность состояний
343
где квадрупольный момент системы зарядов, распределенных с плотностью
ре(г), определяется как
eQ = pe(r)(3z2 -
(П6.16)
Для поляризационного потенциала:
р<у с О.
п = 4, D< = ^’ Ф4 = 1, VW = -2^M' (П6-17)
Поляризационное взаимодействие имеет место между заряженной части-
цей и нейтральным центром с поляризуемостью а. Заряженная частица
наводит на нейтральном центре дипольный момент Р = е2а/кР, напра-
вленный по оси, соединяющей частицу с центром, и взаимодействует с
этим наведенным дипольным моментом. Энергия V (г) есть энергия поля-
ризации нейтрального центра в поле точечного заряда.
Подставляя выражение (П6.12) в формулу (П6.10), можно получить
следующий результат
/?(Е) = 4тт р0АпВп
|Е|3/п-1/2’
(П6.18)
где Ап и Вп суть числовые коэффициенты, определяемые формулами
Ап = У х^х~п - Idx, Вп — У ^Фп/п-
(П6.19)
Интеграл, определяющий Вп, берется по всей области, в которой фп > 0.
В перечисленных выше частных случаях получаем следующие выражения.
Для кулоновского центра:
(П6.20)
Для дипольного центра:
₽^ч_47Г 1 _2^ ( d V/2 1
15^°\ к / |Е| 15тг \ав/ |£|
(П6.21)
344
Приложения
Для квадрупольного центра:
Я(Е) = -^=р0 — —= ~~7= 4 1 = ~0,03-- ____= (П6.22)
9>/3 * |£|1/2 18д/3 а1^\Ё\Ё1
Для поляризационного взаимодействия:
R(E\ = ^. ГГ НА] о А 1 ~0 3 f Q V 1
3 [ \4/J Р° \2«2/ |£|1/4 ’ \кав/ |£р/4Ев/4’
(П6.23)
Здесь плотность состояний выражена через боровскую энергию Ев и боров-
ский радиус ав, в которых в качестве массы фигурирует масса плотности
состояний т:
= а* = ^’ т = (mlmll)1/3- (П6-24)
Поставим теперь следующий вопрос: при каком условии на уровнях с
энергией связи порядка Е справедливо квазиклассическое описание спек-
тра? Будем считать, что это описание применимо, если в полосе энергий
от 0,5|Е| до 1,5|Е| имеется много уровней. Данное предположение по по-
рядку величины соответствует условию
Я(Е)Е»1.
(П6.25)
Используя формулы (П6.20) и (П6.21), заключаем, что квазиклассиче-
ское описание для кулоновского центра всегда справедливо, если только
|Е| Z2Eb, в то время как для дипольного центра требуется, чтобы его
плечо было достаточно велико (d 6ав). Для кулоновского и дипольно-
го потенциалов вблизи границы со сплошным спектром уровни настолько
сгущаются, что число их вблизи этой границы бесконечно велико.
Для квадрупольного и поляризационного взаимодействия условия
(П6.25) имеют вид
О,оз4\й
ав У Ев
0,3
Ев /
(П6.26)
Таким образом, в этих случаях квазиклассическое описание возможно толь-
ко при достаточно больших значениях квадрупольного момента или поля-
ризуемости (Бонч-Бруевич и Гласко 1962).
Приложение 7
Уравнение Фоккера-Планка в пространстве полной энергии
Если функция распределения носителей f зависит только от полной энер-
гии Е, то кинетическое уравнение имеет вид:
R(E)^ = -R(E)f(E) [ W(E,E')dE'+[ /(E')/?(E')W(E', E)dE',
J — oo J — oo
(П7.1)
где W(E,E') — вероятность перехода электрона с полной энергией Е в еди-
ницу времени в единичный интервал энергий вблизи значения Е', R(E) —
плотность состояний в пространстве полной энергии (см. приложение 6).
Это уравнение можно записать в виде закона сохранения
R(E)%- = (П7-2)
О1 UXL
где 7(E) — поток в пространстве полной энергии:
1(E) = - Г dEi [ f(Ei)R(Ei)W(Ei,E2)dE2 +
JЕ J—оо
+ [ dEi Г /(ЕОадЖЕьЕг)^- (П7.3)
J — оо J Е
Перейдем во внутренних интегралах (П7.3) вместо Е2 к новой переменной
ДЕ = Е2 — Ei, равной изменению энергии электрона при переходе, и
изменим порядок интегрирования. Тогда получим
1(E) = f НДЕ i f(Ei)R(Ei)W(Ei, ДЕ)(1Е1. (П7.4)
J—оо JE-bE
Если рассеяние электронов квазиупругое, то есть ДЕ мало по сравнению
с энергией носителя и масштабом изменения функции распределения, то
подынтегральное выражение в (П7.4) можно разложить по степеням раз-
ности (Е] — Е) и ограничиться двумя первыми членами разложения
f(El)R(El)W(El, ДЕ) » f(E)R(E)W(E, ДЕ) + (Ех - Е) х
х^[/(Е)7?(ЕЖЕ,ДЕ)]. (П7.5)
345
346
Приложения
Подставляя это разложение в формулу (П7.4), получим выражение для
потока в дифференциальной форме
/(Е) = -В(Е)/(Е) - Р(Е) (П7.6)
он,
где
1 Г+°°
D(E) = -R(E) W(E, ДЕ)(ДЕ)2бДЕ, (П7.7)
J — oo
r+°° d
B(E) = -R(E) W(E, AE)AEdAE+— D(E). (П7.8)
J-oo
Величины D(E) и B(E) будем называть коэффициентами диффузии и ди-
намического трения в пространстве полной энергии. Так как в термо-
динамическом равновесии, когда имеет место распределение Больцмана
(/(Е) ос ехр(—Е/кТУ), поток 7(E) обращается в нуль, и должно выпол-
няться универсальное соотношение
D(E)=fcTB(E). (П7.9)
Это позволяет переписать выражение для потока 7(E) в виде
7(E) = -В(Е) (7(E) + кТ^^-У (П7.10)
\ иь /
и пользоваться любой из формул (П7.7) или (П7.8) для вычисления коэф-
фициента В(Е).
Преобразуем формулу (П7.8) так, чтобы в нее входила вероятность
w(E, <5Е) спонтанного перехода электрона из состояния Е с излучением
фонона с энергией 6Е. Вероятность W(E, ДЕ) выражается через w(E, ёЕ)
следующим образом:
ДЕ < 0 : W(E, ДЕ) = w(E, 5Е)[1+ЛГ(5Е)]
-ДЕ (П7.11)
^|±^w(E + <5E,<5E)WE),
Я(£)
ДЕ. (П7.12)
Здесь N(6E) — число равновесных фононов с энергией ёЕ
N(6E) =
ёЕ =
ДЕ > 0 : W(E, Д.Е) =
ёЕ =
ехр - 1 (П7.13)
7. Уравнение Фоккера-Планка в пространстве полной энергии
347
Формула (П7.11) учитывает как спонтанные, так и вынужденные переходы,
сопровождающиеся испусканием фонона. В формулах (П7.11) и (П7.12)
учтено, что вероятности вынужденных переходов между двумя уровнями с
энергиями Е и Е+5Е снизу вверх и сверху вниз должны быть одинаковыми.
(Отношение плотности состояний в формуле (П7.12) возникло из-за того,
что w и W по определению не есть вероятности перехода на один уровень, а
есть вероятности перехода в единичный интервал энергий вблизи энергии
конечного состояния.) С помощью (П7.11) и (П7.12) выражение (П7.8)
приводится к виду
B(E)=R(E) [ w(E,6E)5Ed(5E). (П7.14)
Jo
При выводе (П7.14) использовалась малость 6Е по сравнению с Е, так что
произведение R(E + 6E)w(E + 5Е, Е) можно было разложить по степеням
6Е и ограничиться двумя членами разложения. При этом квадратичные
по 6Е члены в (П7.8), содержащие множитель N(5E), сокращаются8. Ин-
теграл, входящий в формулу (П7.14), представляет собой скорость потерь
энергии за счет спонтанного испускания фононов, которую можно предста-
вить в виде Е/те, где те имеет смысл времени релаксации полной энергии.
Таким образом,
В(Е) = (П7.15)
те
Для свободных электронов, когда полная энергия совпадает с кинетической
энергией, Е = е, 7?(Е) = p(e)v, те = т£ и кинетическое уравнение (П7.2)
принимает вид
р(^) = ‘ (f + кТ • (П7.16)
at ае [ у ае/
Отметим, что уравнение (П7.16) в случае квазиупругого рассеяния на аку-
стических фононах справедливо только до кинетических энергий, удовле-
творяющих неравенству
V8/ns2e кТ. (П7.17)
Выражение v8ms2e представляет собой максимальную энергию фонона,
который может испускаться электроном с кинетической энергией е (см.
8Множитель N(iE') может быть большим: при kT SE он равен кТ/5Е. Заметим,
однако, что при выводе формулы (П7.14) не использовалась малость SE по сравнению с кТ.
348
Приложения
приложение 4). Неравенство (П7.17) означает, что 6Е С кТ и число фо-
нонов можно определять по формуле N(5E) » кТ/8Е. Только при таком
условии, как легко убедиться, сравнивая (П7.7) и (П7.14), выполняется
соотношение Эйнштейна (П7.9). Причина нарушения соотношения (П7.9)
при больших энергиях заключается в том, что уравнение в виде Фоккера-
Планка в этом случае не применимо для распределения, близкого к больц-
мановскому, так как при нарушении неравенства (П7.17) характерная по-
теря энергии 6Е становится больше масштаба изменения функции распре-
деления кТ. Может показаться, что уравнением Фоккера-Планка вообще
нельзя пользоваться при больших энергиях частиц. Однако часто приходит-
ся иметь дело с распределениями, которые при больших энергиях далеки от
равновесного (например, при фотовозбуждении или разогреве электронов
электрическим полем) и характеризуются масштабом изменения гораздо
большим, чем кТ, где Т — температура решетки. В этом случае уравне-
нием Фоккера-Планка пользоваться можно, однако коэффициенты В(Е} и
D(E) не связаны уже соотношением (П7.9)9. Можно показать, что при
этом член D(E)df /дЕ мал по сравнению с B(E)f(E) в отношении 5Е/Е,
и в выражении для потока им вообще можно пренебречь. Это означает,
что основную роль играет спонтанное излучение, и в потоке преобладает
член, описывающий уход электронов в нижние энергетические состояния.
Рассмотрим теперь случай, когда электрон локализован на притягива-
ющем центре. Тогда его полная энергия Е = е(р) + V(r) отрицательна (ко-
нечно, это возможно, только если потенциальная энергия V(r) < 0). Если
потенциал центра достаточно плавный, то он не влияет на акт столкнове-
ния электронов с фононами10 и, кроме того, при столкновении меняется
только кинетическая энергия электрона, но не его положение в простран-
стве. Тогда 8Е = бе и вероятность w(E, 8Е) определяется соотношением
w(E, 6Е) = /?“’(£) j 6[Е-е- V(r)]w(e, 5e)p(e)ded3r. (П7.18)
Формула (П7.18) означает что вероятность спонтанного перехода w(e, 5е)
усредняется с микроканоническим распределением [/?(£)] “16 [Е — е — V(r)|.
’Простая связь между В и D, заменяющая (П7.9), имеет место для свободных электронов
при выполнении неравенства, противоположному (П7.17). При этом можно показать, что
D = (l.ftBx'ftm.'P-e.
10 Практически для этого необходимо, чтобы на длине волны фонона потенциал суще-
ственно не менялся. Поскольку длина волны фонона порядка дебройлевской длины волны
электрона А, то это условие выполняется для высоковозбужденных состояний, для которых
характерные размеры орбит гораздо больше, чем А, т. е. в квазиклассической области.
7. Уравнение Фоккера-Планка в пространстве полной энергии
349
Подставляя (П7.18) в формулу (П7.14) получим
В(Е) = у ± р(е)5[Е -е- V(r)]ded3r, (П7.19)
где те — время энергетической релаксации свободного электрона, опре-
деляемое в случае взаимодействия с акустическими фононами формулой
(П4.13). Используя это выражение, а также формулу (П6.9) для р(е),
имеем гу ,
В(Е) = J[E- V(r)]2d3r. (П7.20)
Интеграл должен быть взят по области, в которой Е - У(г) > 0.
Для кулоновского притягивающего центра V (г) = —Ze2/кг и формула
(П7.20) дает при Е < 0
ВД = (П7.21)
Зтг |ЕДо \nh /
Здесь использовано выражение (П6.9) для ро при изотропном спектре,
когда т± = тц = т.
Если потенциал спадает на больших расстояниях быстрее, чем г-3/2,
можно пренебречь энергией Е в формуле (П7.20) и распространить инте-
грирование по всей области, где V < 0. Тогда получаем
(П722>
В частности, для потенциала диполя
2 2
У(г) =______е-__________t.
K,\r+d/2\ K,\r—d/2\
Вводя эллиптические координаты
d3r = ^d3(p2 — i>2)dpdi>d<p,
О
получаем
В(Е) = 8тг
i>2dp
р2 — й1
и окончательно
/ 2\ 2
/ \
в^ = \~]
\ Az J
2т d
тг/г3 /о
(П7.23)
(П7.24)
Приложение 8
Уравнение пространственной и энергетической диффузии
В том случае, когда релаксация по направлениям импульса происходит бы-
стро, а релаксация по энергии и пространственная диффузия — медленно,
можно получить уравнение, описывающее одновременно протекающие по-
следние два процесса. Для этого будем исходить из кинетического уравне-
ния для функции распределения f(j>, г), которое в стационарных условиях
имеет вид
v-V,/ + F-V,/=/(/), (П8.1)
где v — скорость частицы, F — сила, J(/) — интеграл столкновений.
Следуя Давыдову (1937), будем искать f в виде f = fo + f\, где fo —
«симметричная» часть функции распределения, зависящая только от кине-
тической энергии е и г, а Д — «асимметричная» часть. Учитывая, что
/(/) = /(/о) + /(Д), и используя приближение времени релаксации
/(Д) = —f\!r, получаем для Д уравнение
v • Vrfo + F • v —- =
(П8.2)
Усредняя по углам импульса уравнение (П8.1) и используя (П8.2), нахо-
дим уравнение для fo. Наиболее простой вид это уравнение приобретает,
если вместо кинетической энергии е использовать новую переменную —
полную энергию Е = е + V, где V — потенциальная энергия, связанная с
силой F соотношением F = — W. При этом получаем
1 /2 те3/* \ Г,
—2=dlvr ( ч---vr/o = / (Л)-
Vе \ з т ) J
(П8.3)
Здесь следует считать, что т может зависеть от е, а е зависит от Е и г
согласно формуле
е = Е - У(г).
Если потери энергии происходят малыми порциями, т.е. процесс рас-
сеяния квазиупругий, то интеграл столкновений можно записать в виде
350
8. Уравнение пространственной и энергетической диффузии
351
(см. уравнение (П7.16)):
[ (/о) = -Ц
J р(е) де
р(е)ете 1 (fo+kT^^
где р(е) — плотность состояний, те — время энергетической релаксации.
Переходя вместо е к полной энергии и учитывая, что р(е) ос у/ё, получим
окончательное уравнение для fo(E,r) в виде
divr(PVr/0) + (7о + = О,
ОЕ, у ОН, у
(П8.4)
где «коэффициент диффузии» D и «коэффициент динамического трения»
В определяются формулами
2 ЕТ
В(е) =
Те
(П8.5)
Зависимость величин Т> и В от Е и г входит только через посредство
е = Е - V(r).
Уравнение (П8.4) имеет вид закона сохранения числа частиц в четы-
рехмерном пространстве координат и полной энергии. При этом плотность
потока имеет четыре проекции: энергетическую = — В(/о + kTdfo/dE)
и три пространственных ia = —T>dfo/dxa (а = 1,2,3). Допустимая
область переменных Е, г ограничена условием е > 0. На «поверхности»
е = 0, где Е = У(г), нормальная составляющая потока должна быть равна
нулю. Поэтому уравнение (П8.4) следует дополнить граничным условием
VF- Vrf0+B Ifo + kT^
= 0.
E=V(r)
(П8.6)
Если уравнение (П8.4) применить к задаче о захвате на притягиваю-
щий кулоновский центр, то V — —ег1к,г. В безразмерных переменных, в
которых энергия измеряется в единицах кТ, а длина в единицах е2/пкТ,
видно, что отношение первого члена ко второму имеет порядок
(у)2тт£
(е2/кЛГ)2 ’
(П8.7)
где (v) — тепловая скорость. Если этот параметр велик, то первый член
гораздо больше второго, и в нулевом приближении функция /о не должна
352
Приложения
зависеть от координат и зависит только от полной энергии. Условие раз-
решимости уравнения первого приближения тогда приводит к уравнению
А [ед f/o + = о, (П8.8)
иг [ \ /
где
В(Е) = j &3гВ(е)5[Е-£ - У(г)].
Это выражение согласно (П4.19) дает коэффициент динамического трения
в пространстве полной энергии. Уравнение (П6.8) использовалось в тео-
рии каскадного захвата (глава 3) в том случае, когда пространственная
диффузия быстрая и не ограничивает захват.
Если параметр (П8.7) мал, то второй член в уравнении (П8.4) является
основным, и в нулевом приближении /о должна иметь вид
/о = С(г)е~Е^т. (П8.9)
Условие разрешимости уравнения первого приближения дает
divr [De-v/tTVrC(r)] =0, (П8.10)
где
гОО
D= / P(£)e-£/t7'de
Jo
обычный коэффициент диффузии.
Связь С(г) с концентрацией п(г) можно установить, заменяя в (П8.9)
Е на £ + V и пользуясь условием нормировки
,°о
/ /ор(е)йе = л(г).
Jo
Отсюда с учетом (П8.9) находим
С(г) =”(г)ехр(^) p(e)e~£/i7de) .
Подставляя это выражение в (П8.10), получаем для п(г) обычное уравне-
ние непрерывности (стационарное) в координатном пространстве
div D Vn + = 0. (П8.11)
Это уравнение использовалось в главе 7 при рассмотрении захвата, огра-
ниченного пространственной диффузией.
Приложение 9
Вычисление амплитуды рассеяния носителей заряда
притягивающим примесным центром в модели потенциала
нулевого радиуса
Для определенности вычислим амплитуду рассеяния дырок из различных
подзон валентной зоны на акцепторном центре. Волновые функции дырок
при наличии такого центра удовлетворяют уравнению
(Hq + V)<PqoitokQ = ЕтъкцФпощко, (П9.1)
где Но — дырочный гамильтониан в отсутствие центра, V — потенциал
центра, Фпоцоко — волновые функции дырки в ^-подзоне с кинетической
энергией и спиральностью ро; волновой вектор ко соответствует на-
чальному волновому вектору налетающей на центр частицы. Волновую
функцию фты^ко ищем в виде разложения по свободным зонным состояни-
ям
= (П9.2)
да*
Коэффициенты разложения связаны с амплитудой рассеяния tfr/pk,
г/ороко) соотношением
_ г г г VoPoko) /по'П
CT)lJc — ОтртоОц/^дкок . , (П9.3)
ьПк 1 I
где положительная величина 7(7 > 0) стремится к нулю (7 —> 0). Первое
слагаемое в этом выражении описывает прошедшую волну, не испыты-
вающую рассеяние, второе — волну, испытавшую упругое рассеяние на
центре. Поскольку при упругом рассеянии кинетическая энергия и абсо-
лютная величина квазиимпульса не меняются, т.е. = £гЛ, и к = ко,
то суммирование в разложении (П9.2) фактически выполняется только по
соответствующим состояниям в подзонах валентной зоны. Положительная
определенность бесконечно малого параметра 7 фиксирует обход энерге-
тического полюса в верхней полуплоскости комплексной энергетической
353
354
Приложения
плоскости. Подставляя (П9.2), (П9.3) в (П9.1), используя разложение бло-
ХОВСКИХ амплитуд свободных ЗОННЫХ СОСТОЯНИЙ по блоховским ампли-
тудам краев зон ubm (см. формулу (П1.26)), получаем уравнение, опреде-
ляющее амплитуду рассеяния
Ьт Ьт
х £ (®.4)
п'р'к' Т1'к' 7
Здесь v — нормировочный объем, Vb — матричный элемент потенциала V:
, (П9.7)
(^/>т | V | ) — Vb^bb'^mm' • (П9.5)
Уравнение (П9.4) может быть сведено к системе алгебраических уравнений
следующим образом. Введем вспомогательную величину
<П9.6)
V Wk £Чк £?»Й>
Умножив уравнение (П9.4) на -17)и просуммировав
его по т]р,к, получим уравнение для tpbm-.
Мо> ^0) = ~ — ^ь(£гюй>)|Рй'п(7Х>!/й)>
где введено обозначение
1 [х$(к)]\%(к)
V Ew-E
Из (П9.4) следует простая связь амплитуды рассеяния с ipbm:
tirjuk, т^цоко) = Е| Ю*)ГX^(ko)Vb -
“ Е Ю*)Г м,ко).
Ьт
(П9.8)
(П9.9)
Совокупность уравнений (П9.7), (П9.8) и (П9.9) определяет амплитуду
рассеяния через параметры Vb. Неопределенные параметры Vb можно вы-
разить через энергию дискретного связанного состояния Е — —е_ (см.
9. Вычисление амплитуды рассеяния
355
рис. 12.2). Для этого будем искать волновую функцию связанного состоя-
ния в виде разложения по волновым функциям свободных зонных состоя-
ний
= (П9Л0)
Подставляя это выражение в уравнение Шредингера, получаем
= V Е (П9.11)
, t-nk £• У . ...
bm ' rfp/k
Вводя вспомогательную функцию
Ц Е С^х^к') (П9.12)
Ч'р'к'
и пользуясь соотношением
Е /dQ* Ю*)]* *£"'(*') ~ ^6тт>, (П9.13)
приведем уравнение (П9.11) к виду
Л = -Ab,(E)Vbrf%, (П9.14)
где величина Аь< (Е) определена формулой (П9.8). Отметим, что уравнение
(П9.14) получено путем умножения (П9.11) на х%™ (Л) и суммированием
по индексам (г/р,к).
Для того, чтобы уравнение (П9.14) имело нетривиальное решение, не-
обходимо чтобы
1
Vk~~
Исключим из (П9.7), (П9.9) неопределенный параметр Vb с помощью со-
отношения (П9.15) и получим для амплитуды рассеяния окончательное
выражение
т]омо*о) = - X 7~7 \—ТТ--------v (П9.16)
Отметим, что точно такое же по виду выражение описывает рассеяние
электрона на глубоком донорном центре.
Список литературы
Литература, на русском языке
Абакумов В.Н., 1977, ФТП, 11, 2229.
Абакумов В.Н., 1979, ФТП, 13, 59.
Абакумов В.Н., Яссиевич И.Н. 1976, ЖЭТФ, 71, 657.
Абакумов В.Н., Яссиевич И.Н. 1977, ФТП, И, 1302.
Абакумов В.Н., Перель В.И., Яссиевич И.Н. 1977, ЖЭТФ, 72, 674.
Абакумов В.Н., Крещук И.Н., Яссиевич И.Н. 1978а, ЖЭТФ, 74, 1019.
Абакумов В.Н., Крещук И.Н., Яссиевич И.Н. 1978b, ФТП, 12, 264.
Абакумов В.Н., Перель В.И., Яссцёвич И.Н. 1978с, ФТП, 12, 3.
Абакумов В.Н., Меркулов И.А., Перель В.И., Яссиевич И.Н. 1985, ЖЭТФ,
89, 1472.
Абакумов В.Н., Курносова О.В., Пахомов А.А., Яссиевич И.Н. 1988а, ФТТ,
30, 1793.
Абакумов В.Н., Карпус В., Перель В.И., Яссиевич И.Н. 1988b, ФТП, 22,
262.
Абакумов В.Н., Карпус В., Перель В.И., Яссиевич И.Н. 1988с, ФТТ, 30,
2498.
Абакумов В.Н., Пахомов А.А., Яссиевич И.Н. 1989, ФТТ, 31, 135.
Абакумов В.Н., Пахомов А.А., Яссиевич И.Н. 1991, Письма в ЖЭТФ, 53,
167.
Аверкиев Н.С., Ребане Ю.Т. и Яссиевич ИН. 1985, ФТП, 19, 96.
Авраменко В.А., Рубо Ю.Г., Стриха М.В., Яссиевич И.Н., 1985, ФТТ, 27,
2313.
Агаев В.В., Титков А.Н., Чайкина Е.И 1984, ФТП, 18, 750.
Акулиничев В.В., 1979, ФТП, 13, 1197.
Акулиничев В.В., 1982, ФТП, 16, 254.
Александров В.Н., Гершензон Е.М., Заяц В.А., Мельников А.П., Рабино-
вич Р.И., Серебрякова Н.А., Товмач Ю.В., 1978, Письма в ЖЭТФ, 88,
226.
Алексеева В.Г., Жданова Н.Г., Каган М.С., Калашников С.Г., Ландсберг С.Г.
1969, ФТП, 3, 1410.
Алексеева В.Г., Жданова Н.Г., Каган М.С., Калашников С.Г., Ландсберг С.Г.
1972, ФТП, 6, 316.
356
Литература на русском языке
357
Андреев АД., Зегря Г.Г. 1997, ФТП, 31, 358.
Антонов-Романовский В.В. 1971, ФТТ, 13, 853.
Антонов-Романовский В.В. и Калнинь Ю.Х. 1971, ФТТ, 13, 1376.
Базь А.И., Зельдович Я.Б., Переломов А.М. 1971, Рассеяние, реакции и
распады в нерелятивисткой квантовой механике, Наука, Москва.
Банная В.Ф., Гершензон В.М., Гурвич Ю.А., Ладыжинский Ю.П., Фукс ТГ.
1973, ФТП, 7, 1507.
Белоглазов А.В., Юнович А.Е. 1972, ФТП, 6, 1595.
Беляев АД., Малоголовец В.Г. 1963, ФТТ, 5, 3043.
Беляев АД., Миселюк Е.Г. 1964, ФТТ, 6, 2638.
Беляев С.Д., Будкер ГЕ. 1958, физика плазмы и проблемы управляемых
термоядерных реакций, Изд-во АН СССР, Москва, т. 3, стр. 41.
Берман Л.С., Лебедев А.А. 1981, Емкостная спектроскопия глубоких цен-
тров в полупроводниках, Наука, Ленинград.
Бесфамильная В.А., Остробородова В.В. 1964, ФТТ, 6, 3745.
Бесфамильная В.А., Остробородова В.В. 1969, ФТП, 3, 21.
Бете Г.А., Солпитер Э. 1960, Квантовая механика атомов с одним и двумя
электронами, Физматгиз, Москва.
Бир ГЛ., Пикус ГЕ. 1972, Симметрия и деформационные эффекты в полу-
проводниках, Наука, Москва.
Блажко Н.А., Сальков Е.А., Хвостов В.А. 1977, ФТП, И, 2278.
Блинов Л.И. 1965, ФТТ, 7, 925.
Бонч-Бруевич ВЛ. 1958, ЖТФ, 28, 67.
Бонч-Бруевич ВЛ. 1959, ФТТ, 2, 182.
Бонч-Бруевич ВЛ., Гуляев Ю.В. 1960, ФТТ, 2, 465.
Бонч-Бруевич В.Л., Гласко В.Б. 1962, ФТТ, 4, 510.
Бонч-Бруевич ВЛ. 1964, ФТТ, 6, 2047.
Бонч-Бруевич ВЛ., Калашников С.Г. 1977, Физика полупроводников, Нау-
ка, Москва.
Борн М., Хуан Кунь 1958, Динамическая теория кристаллических решеток,
Изд-во иностр, лит-ры, Москва.
Бумялене С., Клишка Л., Ласене Г. 1978, Лит. физ. сб-, 18, 477.
Бумялене С., Яссиевич И.Н. 1992, ФТП, 26, 1569.
Буряк Б.В., Кауфман С.А., Куликов К.Н., 1963, ФТТ, 5, 345.
Волков А.С., Гуткин АА., Кумеков С.Е. 1970, ФТП, 4, 1856.
Галиев В.И., Пахомов А.А., Полупанов А.Ф. 1989, ФТТ, 31(11), 182.
Галицкий В.М., Никитин Е.Е., Смирнов Б.М. 1981, Теория столкновений
атомных частиц, Наука, Москва.
358
Список литературы
Ганичев СД., Яссиевич И.Н., Преттл В. 1997, ФТТ, 39 1905.
Гарбузов Д.З., Соколова З.Н., Халфин В.Б. 1983а, ЖТФ, 53, 315.
Гарбузов Д.З., Агаев В.В., Халфин В.Б., Чалый В.П. 1983b, ФТП, 17, 1557.
Гарбузов Д.З., Агаев В.В., Соколова З.Н., Халфин В.Б., Чалый В.П. 1984,
ФТП, 18, 1069.
Гастев С.В., Имамов Е.З., Соколова Н.С., Яссиевич И.Н. 1986, ЖЭТФ, 90,
1830.
Гельмонт Б.Л. 1978, ЖЭТФ, 75, 536.
Гельмонт БЛ. 1980, ФТП, 14, 1913.
Гельмонт БД. 1981, ФТП, 15, 1316.
Гельмонт Б.Л., Дьяконов М.И. 1971, ФТП, 5, 2191.
Гельмонт Б.Л., Соколова З.Н. 1982, ФТП, 16, 1670.
Гельмонт БД., Соколова З.Н., Яссиевич И.Н. 1982, ФТП, 16, 592.
Гельмонт БД., Соколова З.Н., Халфин В.Б. 1984, ФТП, 18, 1803.
Гельмонт Б.Л., Харченко В.А., Яссиевич И.Н. 1987, ФТТ, 29, 2351.
Гельмонт Б.Л., Зиновьев Н.Н., Ковалев Д.И., Харченко В.А., Ярошец-
кий И.Д., Яссиевич И.Н. 1988, ЖЭТФ, 94, 322.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Мельников А.П. 1971, Письма в ЖЭТФ,
14, 281.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Птицына Н.Г 1973, ЖЭТФ, 64, 587.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Елантьев А.И. 1977а, ЖЭТФ, 72, 1062.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Когане М.И. 1977b, ЖЭТФ, 72, 1466.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Птицына Н.Г. 1978, Труды 11 Всесоюзно-
го Симпозиума по технике миллиметровых и субмиллиметровых волн,
Харьков, стр. 64.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Мултановский В.В., Птицына Н.Г. 1979,
ЖЭТФ, 77, 1450.
Гершензон Е.М., Гольцман Г.Н., Птицына Н.Г. 1979, ЖЭТФ, 76, 711.
Гершензон Е.М., Ладыжинский Ю.П., Мельников А.П. 1971, Письма в
ЖЭТФ, 14, 380.
Гершензон Е.М., Мельников А.П., Рабинович Р.И., Серебрякова Н.А. 1980,
УФН, 132, 353.
Глинчук КД. 1971, Полупроводниковая техника и микроэлектроника, 5,
100.
Глинчук К.Д., Миселюк Е.Г, Фортунатова Н.Н. 1957, ЖТФ, 27, 2451.
Глинчук К.Д., Миселюк Е.Г., Фортунатова Н.Н. 1959а, ФТТ, 1, 1345.
Глинчук К.Д., Миселюк Е.Г, Фортунатова Н.Н. 1959b, Украинский физи-
ческий журнал, 7, 152.
Литература на русском языке
359
Глинчук КД., Литовченко Н.Н., Миселюк Е.Г. 1962, Украинский физиче-
ский журнал, 7, 152.
Глинчук КД, Миселюк Е.Г. 1962а, ФТТ, 4, 3671.
Глинчук КД., Миселюк Е.Г. 1962b, Украинский физический журнал, 7, 992.
Глинчук КД, Денисова АД, Литовченко Н.Н. 1963, ФТТ, 5, 1933.
Глинчук КД., Литовченко Н.Н. 1978, Полупроводниковая техника и ми-
кроэлектроника, 28, 3.
Годик Э.Э. 1966, ФТТ, 8, 1545.
Годик Э.Э., Курицын Ю.А., Синие В.П. 1971, Письма в ЖЭТФ, 14, 377.
Годик Э.Э., Курицын Ю.А., Синие В.П. 1972, ФТП, 6, 1662.
Годик Э.Э., Курицын Ю.А., Синие В.П. 1978, ФТП, 12, 351.
Годик Э.Э., Покровский Я.Е. 1967, ФТП, 1, 405.
Годик Э.Э., Синие В.П. 1977, ФТП, 11, 598.
Гольдгур Е.Б., Рабинович Р.И. 1983, ЖЭТФ, 84, 1109.
Грехов И.В., Делимова Л.А. 1980, ФТП, 14, 897.
Гуляев Ю.В. 1961, ФТТ, 3, 382.
Гуревич А.В., Питаевский Л.П. 1964, ЖЭТФ, 46, 1281.
Давыдов Б.И. 1937, ЖЭТФ, 7, 1069.
Девдариани А.З., Демков Ю.Н. 1972, Теор. Мат. Физ. 11, 213.
Делимова Л.А. 1981, ФТП, 15, 1349.
Демков Ю.Н., Друкарев ГФ. 1964, ЖЭТФ, 47, 918.
Демков Ю.Н., Островский В. И. 1975, Метод потенциалов нулевого ради-
уса в атомной физике, Изд-во ЛГУ, Ленинград.
Дмитриев А.Г., Наследов Д.Н., Царенков Б.В. 1972, ФТП, 6, 345.
Дыхне А.М. 1960, ЖЭТФ, 38, 570.
Дьяконов М.И., Хаецкий А.В. 1980, ФТП, 14, 1499.
Евстропов В.В., Царенков Б.В. 1970, ФТП, 4, 923.
Елисеев П.О., Завездовская И.Н., Полуектов И.А., Попов Ю.М. 1983, Тру-
ды ФИАН, т. 141, стр. 154.
Жданова Н.Г, Алексеева В.Г. 1963, ФТТ, 5, 546.
Жданова Н.Г, Каган М.С., Калашников С.Г 1966, ФТТ, 8, 774.
Жданова Н.Г., Калашников С.Г. 1964, ФТТ, 6, 440.
Зегря Г.Г., Андреев А.Д. 1996, ЖЭТФ, 109, 615.
Зегря Г.Г., Харченко В.А. 1992, ЖЭТФ, 101, 327.
Зотова Н.В., Яссиевич И.Н. 1977, ФТП, 11, 1882.
Иглицын М.И., Концевой Ю.А. 1960, ФТТ, 2, 1148.
Илуридзе Г.Н., Миронов И.Ф., Титков А.Н., 1985, Тезисы докладов 10 Все-
союзной конференции по физике полупроводников, Минск, т. 2, стр. 154.
360
Список литературы
Илуридзе Г.Н., Миронов И.Ф., Титков А.Н., Чебан В.А. 1986, ФТП, 20,495.
Имамов Е.З., Пахомов А.А., Яссиевич И.Н. 1987, ЖЭТФ, 93, 1410.
Иоселевич А.С., Рашба Е.И. 1986, ЖЭТФ, 91, 1917.
Калашников С.Г, Тиссен К.П. 1959, ФТТ, 1, 1754.
Капитонова Л.М., Костина Л.С., Лебедев А.А., Мамадалимов А.Г., Махка-
мов Ш. 1974, ФТП, 8, 694.
Карпова И.В., Алексеева В.Г., Калашников С.Г. 1962, ФТТ, 4, 634.
Карпова И.В., Калашников С.Г. 1963, ФТТ, 5, 301.
Карпова И.В., Перель В.И., Суровегин С.М. 1989, ФТП, 23, 826.
Карпус В. 1985, ФТП, 19, 1625.
Карпус В. 1986, Письма в ЖЭТФ, 44, 334.
Карпус В. 1986а, ФТП, 20, 12.
Карпус В. 1986b, ФТП, 20, 559.
Карпус В., Перель В.И. 1985, Письма в ЖЭТФ, 42, 403.
Карпус В., Перель В.И. 1986, ЖЭТФ, 91, 2319.
Кауфман С.А., Куликов К.М. 1965, ФТТ, 7, 3132.
Кауфман С.А., Куликов К.М., Лихтман Н.П. 1970, ФТП, 4, 129.
Келдыш Л.В. 1958, ЖЭТФ, 34, 962.
Климка Л.А., Глинчук К.Д. 1970, ФТП, 4, 673.
Климка Л.А., Кальвенас С.П., Пожела Ю.К. 1971, ФТП, 5, 1003.
Коварский В.А., 1968, Кинетика безызлучательных процессов, Издатель-
ство АН МолдССР, Кишенев.
Коварский В.А., Синявский В.П., 1962, ФТТ, 4, 3202.
Коган С.М., Полупанов А.Ф. 1981, ЖЭТФ, 80, 394.
Козырев С.В., Шик АЯ. 1985, ФТИ, 19, 1667.
Конуелл Э. 1970, Кинетические свойства полупроводников в сильных элек-
трических полях, Мир, Москва.
Колчанова Н.М., Сиповская М.А., Сметанникова Ю.С. 1982, ФТП, 16, 2194.
Колчанова Н.М., Логинова И.Д., Яссиевич И.Н. 1983, ФТТ, 25, 1650.
Корнилов Б.В. 1966, ФТТ, 8, 201.
Кривоглаз МА., Пекар С.И. 1953, Труды института физики АН УССР, т. 4,
стр. 37.
Курносова О.В. 1987, ФТТ, 29, 2986.
Ландау ЛД., Лившиц Е.М. 1995, Статистическая физика, Наука, Москва.
Ландау ЛД, Лившиц Е.М. 1973, Механика, Наука, Москва.
Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. 1989, Квантовая механика, Наука, Москва.
Ландсберг Е.Г, Калашников С.Г. 1961, 3, 1566.
Литература на русском языке
361
Лебедев А.А., Ахмедова М.М., Капитонова Л.М., Костина Л.С. 1975, ФТП,
9, 1403.
Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. 1979, Физическая кинетика, Наука, Мо-
сква.
Машовец ТВ. 1958, ЖТФ, 28, 1140.
Мешков С.В. 1979, ФТТ, 21, 1114.
Мешков С.В. 1985, ЖЭТФ, 89, 1734.
Мешков С.В., Рашба Е.И. 1979, ЖЭТФ, 76, 2206.
Милне А. 1977 Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках, Изд-во
Мир, Москва.
Михайлова М.П., Рогачев А.А., Яссиевич И.Н., 1976, ФТП, 10, 1460.
Морозова В.А., Желудева С.И., Курова И.А. 1976, ФТП, 10, 1702.
Мотт Н., Девис Э. 1982, Электронные процессы в некристаллических
веществах, Мир, Москва.
Парамонова Р.А., Ржанов А.В. 1962, ФТТ, 4, 1820.
Пахомов АА., Полупанов А.Ф., Галиев В.И., Имамов Э.З. 1991, ФТТ, 33(3),
416.
Пахомов А.А., Яссиевич И.Н. 1993, ФТП, 27, 482.
Пахомов А А., Яссиевич И.Н. 1995, ФТП, 29, 511.
Пахомов А.А., Халипов К.В., Яссиевич И.Н. 1996, ФТП, 30, 1387.
Пекар С.И. 1950, ЖЭТФ, 20, 267.
Пекар С.И., Перлин Ю.Е. 1950, ЖЭТФ, 20, 271.
Перель В.И., Яссиевич И.Н. 1982, ЖЭТФ, 82, 237.
Перлин Ю.Е. 1963, УФН, 80, 553.
Питаевский Л.П. 1962, ЖЭТФ, 42, 1326.
Покровский Я.Е., Смирнова О.И. 1993, ЖЭТФ, 103, 1411.
Полупанов А.Ф. 1977, ФТП, 11, 2044.
Проклов В.В., Годик Э.Э., Покровский Я.Е. 1965, ФТТ, 7, 326.
Ржанов А.В. 1961, ФТТ, 3, 3691.
Рывкин С.М. 1963, Фотоэлектрические явления в полупроводниках, Физ-
матгиз, Москва.
Саввиных' С.Г. 1979, ФТТ, 21, 1673.
Сидоров В.И., Лифшиц ТМ. 1962, Радиотехника и электроника, 7, 2076.
Соловьев СА., Яссиевич И.Н., Чистяков В.М. 1995, ФТП, 29, 1264.
Стриха М.В. 1984, ФТП, 18, 441.
Стриха М.В., Яссиевич И.Н. 1984, ФТП, 18, 43.
Стриха М.В. 1985, ФТП, 19, 697.
Стриха М.В., Яссиевич И.Н. 1985, ФТП, 19, 1715.
362
Список литературы
Стриха М.В. 1986, ФТП, 20, 942.
Стриха М.В. 1987, Доповеди Акад. Наук УССР, сер. А, 8, 57.
Сурис РА., Фукс Б.И. 1978, ФТП, 12, 2319.
Титков А.Н., Бенеманская Г.В., Илуридзе Т.Н. 1981, Письма в ЖЭТФ, 34,
430.
Титков А.Н., Илуридзе Т.Н., Миронов И.Ф., Чебан ВЛ. 1986, ФТП, 20, 25.
Титков А.Н., Миронов И.Ф., Чебан ВА. 1988, Известия АН СССР, Сер.
Физ. 52, 738.
Тимофеев В.Б., Яловец Т.Н. 1972, ФТТ, 14, 481.
Тяпкин Н.Д., Вавилов В.С. 1965, ФТТ, 7, 1253.
Френкель Я.И. 1985, в Собрании избранных трудов, т. 2, стр. 215, Изда-
тельство АН СССР, Москва.
Чаплик А.В. 1963, ЖЭТФ, 45, 1518.
Чаплик А.В. 1964, ЖЭТФ, 47, 126.
Чебан В А. 1986, ФТП, 20, 25.
Шейнкман М.К. 1963, ФТТ, 5, 2780.
Шейнкман М.К. 1965, ФТТ, 7, 28.
Шейнкман М.К., Городецкий И., Ермолович И. 1966, Украинский физиче-
ский журнал, 11, 221.
Шейнкман М.К. 1983, Письма в ЖЭТФ, 38, 278.
Шейнкман М.К., Воробьев Ю.В., Стриха М.В. 1986, Вистник АН УССР,
10, 12.
Шкловский Б.И., 1972, ФТП, 6, 1197.
Шкловский Б.И., Янчев ИЯ. 1972, ФТП, 6, 1616.
Шкловский Б.И., Эфрос А.Л., Янчев ИЯ. 1972, Письма в ЖЭТФ, 14, 348.
Шкловский Б.И., Эфрос АЛ. 1979, Электронные свойства легированных
полупроводников, Наука, Москва.
363
Литература на английском языке
Agranovich, V.M., and M.D. Galanin, 1982, Electronic excitation energy transfer
in condensed matter (North-Holland, Amsterdam).
Agranovich, V.M., A.M. Ratner and M.Kh. Salieva, 1988, Chem. Phys. 126,
23.
Alexeeva, V.G., S.G. Kalashnikov, I.V. Karpova and E.G. Landsberg, 1961, J.
Phys.-Chem. Solids 22, 45.
Andreev, A.D., and G.G. Zegrya 1997, Appl. Phys. Lett. 70, 601.
AntonSik, E., and P.T. Landsberg, 1963, Proc. Phys. Soc. 82, 337.
Arkhincheev, V.E., and S.K. Sawinikh, 1983, Phys. Status Solidi В 119, 459.
Ascarelli, G., and S. Rodrigues, 1961, Phys. Rev. 124, 1321.
Ascarelh, G., and S.C. Brown, 1960, Majority carrier recombination in n-type
Germanium, in: Proc. 5th Int. Conf Physics of Semiconductors (Prague,
1960) p. 271.
Asche, M, and O.G. Sarbey, 1975, Phys. Status Solidi A 31, 27.
Auston, D.H., C.V. Shank and P. Letur, 1975, Phys. Rev. Lett. 35, 1022.
Aven, M., and I.S. Prener, 1967, Physics and Chemistry of II-VI Compounds.
Baldereschi, A., and N.O. Lipari, 1973, Phys. Rev. В 8, 2697.
Banks, B.W., S. Brand and M. Jaros, 1980, in: Proc. 15th Int. Conf Physics of
Semiconductors (Kyoto, 1980) p. 243.
Bardyszewski, W., and D. Yevick, 1985b, J. Appl. Phys. 58, 2713.
Bardyszewski, W., and D. Yevick, 1985a, J. Appl. Phys. 57, 4820.
Bates, D.R., and A.E. Kingston, 1961, Nature 189, 652.
Beattie, A.R., 1962, J. Phys.-Chem. Solids 23, 1049.
Beattie, A.R., and P.T Landsberg, 1959a, Proc. R. Soc. A 249, 16.
Beattie, A.R, and P.T. Landsberg, 1959b, J. Phys.-Chem. Solids 8, 73.
Beattie, A.R., and G. Smith, 1967, Phys. Status Solidi 19, 577.
Beck, J.D., and R Conradt, 1973, Solid State Commun. 13, 93.
Bemski, G., 1958, Phys. Rev. Ill, 1515.
Benz, G., and R. Conradt, 1977, Phys. Rev. В 16, 843.
Bergman, J.P., P.O. Holtz, B. Monemeer, M. Sundaram, J.L. Merz and A.C. Gos-
sard, 1994, Mater. Sci. Forum, 143-147, 629.
Bess, L„ 1957, Phys. Rev. 105, 1469.
Bess, L., 1958, Phys. Rev. Ill, 129.
Bethe, H.A., and RE. Peierls, 1935, Proc. R. Soc. A 148, 146.
Betzler, K., 1974, Solid State Commun. 15, 1837.
Blakemor, J.S., and C.E. Sarver, 1968, Phys. Rev. 173, 767.
Blakemor, J.S., 1956, Can. J. Phys. 34, 938.
Blom, PW.M., C. Smit, J.E.M. Haverkort and J.H. Wolter, 1993, Phys. Rev. B,
47, 2072.
Bogardus, E.H., and H.B. Bebb, 1968, Phys. Rev. 176, 993.
364
Список литературы
Bonch-Bruevich, V.L., and E.G. Landsberg, 1968, Phys. Status Solidi 29, 1.
Bourgoin, J.C., and J.W. Corbett, 1972, Phys. Lett. A 38, 135.
Brand, S., and R.A. Abram, 1984, J. Phys. C 17, L201.
Brown, D.A.H., 1958, J. Bl. & Control 4, 341.
Brown, D.M., and R. Bray, 1962, Phys. Rev. 127, 1593.
Brown, RA., and M.L. Bums, 1970, Phys. Lett. A 32, 513.
Burstein, E., B. Henvis, G. Picus and R Wallis, 1956, J. Phys. Chem. Solids 1,
65.
Burt, M.G., and C. Smith, 1984, J. Phys. C 17, L47.
Burton, J.A., G.W. Hull, F.J. Morin and J.C. Severiens, 1953, J. Phys. Chem.
57, 853.
Chantre, A., G. Vincent and D. Bois, 1981, Phys. Rev. В 23, 5335.
Collins, C.B., and R.O. Carlson, 1957, Phys. Rev. 108, 1409.
Conwell, E.M., and J. Zucker, 1961, J. Phys. Chem. Solids 22, 141.
D’Angelo, N., 1965, Phys. Rev. A 140, 1488.
Dalal, V.L., W.A. Hicinbothem and H. Kressel, 1974, Appl. Phys. Lett. 24,
184.
Darken, L.S., 1992, Phys. Rev. Lett. 69, 2839.
Darken, L.S., and G.E. Jellison, Jr., 1989, Appl. Phys. Lett. 55, 1424.
Davis, W.D, 1959, Phys. Rev. 114, 1006.
Delerue, С., M. Lannoo and G. Allan, 1994, Mater. Sci. Forum 143-147, 1463.
Dmitriev, S.G., A.G. Zhdan, A.M. Kozlov, T.M. Lifshits, V.V. Rylkov and
O.G. Schagimuratov, 1993, Semicond. Sci. Technol. 8, 544.
Dresselhaus, C., 1955, Phys. Rev. 100, 580.
Dubon, O.D., I. Wilke, J.W. Beeman and E.E. Haller, 1995, Phys. Rev. B, 51,
7349.
Dutta, N.K., and RJ. Nelson, 1982a, J. Appl. Phys. 53, 74.
Dutta, N.K., and R.J. Nelson, 1982b, IEEE J. Quantum Electron QE-18, 871.
Dziewiar, J., and W. Schmid, 1977, Appl. Phys. Lett. 31, 346.
Dyakonov, M.I., and Kocharovskii V.V. 1994, Phys. Rev. В 49, 17130.
Eagles, DM., 1961, Proc. Phys. Soc. 78, 204.
Edmonds, A.R., 1957, Angular Momentum in Quantum Mechanics (Princeton
University Press).
Efros, A.L, B.I. Shklowskii and J.Y Yanchev, 1972, Phys. Status Solidi В 50,
45.
Evwaraye, A.O., 1977, J. Appl. Phys. 48, 734.
Fairfield, J., and B. Gokhale, 1965, Solid State Electron. 8, 685.
Faulkner, R.A., 1968, Phys. Rev. 175, 991.
Faulkner, RA., 1969, Phys. Rev. 184, 713.
Feng, S.L., J.C. Bourgain and A. Manger, 1994, Phys. Rev. B, 39, 13252.
Fossum, J.G., and DS. Lee, 1982, Solid State Electron. 25, 741.
Литература на английском языке
365
Fossum, J.G., R.P. Mertens, D.S. Lee and J.F. Nijs, 1983, Solid State Electron.
26, 569.
Friedrich, H., 1964, Acta Phys. Pol. 26, 655.
Fritzsche, H., 1960, Phys. Rev. 120, 1120.
Ganichev, S.D., J. Dienner, LN. Yassievich, W. Prettl, B.G. Mayer and
K.W. Benz, 1995a, Phys. Rev. Lett, 75(8), 1590.
Ganichev, S.D., J. Dienner, IN. Yassievich and W. Prettl, 1995b, Europhysics
Lett, 29(4), 315.
Ganichev, S.D, W. Prettl and P.G. Haggard, 1993, Phys. Rev. Lett, 71(23),
3882.
Ganichev, S.D, W. Raab, E. Zepezauer, W. Prettl and IN. Yassievich, 1997,
Phys. Rev. B, 55, 9243.
Ganichev, S.D, E. Ziemann, Th. Gleim, W. Prettl, I.N. Yassievich, V.I. Perel,
I. Wilke and E.E. Haller, 1998, Phys. Rev. Lett, (to be published).
Garchane, H, and C. Jund, 1970, Solid State Electron. 13, 83.
Gehnont, B.L, 1978, Phys. Lett. A 66, 323.
Gerhardts, R.R., R, Dornhaus and G. Nimtz, 1978, Solid State Electron. 21,
1467.
Gershenzon, Е.М, A.P. Mel’nikov and R.I. Rabinovich, 1985, in: Modem
Problems in Condensed Matter Sciences 10, eds V.M. Agranovich and
A.A. Maradudin (North-Holland, Amsterdam) p. 483.
Gibb, R.M., G.J. Ress, B.W. Thomas, B.L.H. Wilson, B. Hamilton, DR. Wight
and N.F. Matt, 1977, Philos. Mag. 36, 1021.
Gill, W.D, 1973, in: Proc. 5th Int. Conf, on Amorphous and Liquid Semicon-
ductors (Berlin, FRG) p. 901.
Goucher, F.R, 1951, Phys. Rev. 81, 475.
Gregory, B.L, 1965, J. Appl. Phys. 36, 3765.
Grimmeiss, H.G, E. Janzen and B. Skarstam, 1980a, J. Appl. Phys. 51, 3740.
Grimmeiss, H.G, E. Janzen and B. Skarstam, 1980b, J. Appl. Phys. 51, 4212.
Grimmeiss, H.G, M. Kleverman and J. Olajos, 1988, Photothermal ionization
Spectroscopy (ICDS, Budapest).
Gummel, H, and M. Lax, 1955, Phys. Rev. 97, 1469.
Guriolo, M, A. Vinattieri, M. Colocci, C. Departs, J. Massies, G. Nea,
A. Bosacchi and S. Franchi, 1991, Phys. Rev. В 44, 3115.
Hall, R.N., 1952, Phys. Rev. 87, 387.
Hamman, D.R, and A.L. McWhorter, 1964, Phys. Rev. A 134, 250.
Hangleiter, A, 1985, Phys. Rev. Lett. 55, 2976.
Hangleiter, A, 1987, Phys. Rev. В 35, 9149.
Hangleiter, A, and R. Hacker, 1986, in: Proc. 18th Int. Conf on the Physics
of Semiconductors (Stockholm, Sweden) Vol. 2, p. 907.
Harrison, W.A., 1956, Phys. Rev. 104, 1281.
366
Список литературы
Hartman, ТЕ., J.C. Blair and R. Bauer, 1966, J. Appl. Phys. 37, 2468.
Haug, A., 1978, Solid State Electron. 21, 1281.
Haug, A., 1981, Phys. Status Solidi В 108, 443.
Haug, A., 1984, J. Phys. C 17, 6191.
Haug, A., and W. Ekardt, 1975, Solid State Commun. 17, 267.
Haug, A., and W. Shmidt, 1982. Solid State Electron. 25, 665.
Haug, A., D. Kerkhoff and W. Lochmann, 1978, Phys. Status Solidi В 89, 357.
Hayes, W., and A.M. Stoneham, 1984, Defects and Defect Processes in Non-
metallic Solids (Wiley, New York).
Haynes, J.R, and W. Schockley, 1951, Phys. Rev. 81, 835.
Helmis, G., 1956, Ann. Phys. 19, 41.
Henry, C.H., and DV. Lang, 1977, Phys. Rev. В 15, 989.
Herman, J.M., and C.T. Sah, 1972, Phys. Status Solidi A 14, 405.
Herring, C., and E. Vogt, 1956, Phys. Rev. 101, 944.
Hill, D, and P.T. Landsberg, 1976, Proc. R. Soc. A 347, 547.
Hinnov, E., and J.G. Hirschberg, 1962, Phys. Rev. 128, 795.
Huang, K., 1981, Scientia Sinica XXIV, 27.
Huang, K., and A. Rhys, 1950, Proc. R. Soc. A 204, 406.
Huldt, L., 1971, Phys. Status Solidi A 8, 173.
Huldt, L., 1974, Phys. Status Solidi A 24, 221.
Huldt, L., 1976, Phys. Status Solidi A 33, 607.
Iles, PA., and S.I. Soclof, 1976, Rec. 11th Photovoltaic Spec. Conf. 19.
Irmscher, К., H. Klose and K. Maass, 1983, Phys. Status Solidi A 75, K25.
Ivchenko, E.L., and G.E. Pikus, 1997, Superlattices and Other Heterostructures,
Springer.
Iacoboni, С., C. Canali, G. Oltawiani and A. Alberigi Quaranta, 1977, Solid
State Electron. 20, 77.
Janzen, E., R. Stedman, G. Grossmann and H.G. Grimmeiss, 1984, Phys. Rev.
В 29, 1907.
Jaros, M., 1978, Solid State Commun. 25, 1071.
Jastrzebski, I, J. Lagowski, H.C. Gatos and W. Walukiewicz, 1979, Gallium
Arsenide and Related Compounds, Inst. Phys. Conf. Ser. N 4, 437.
Jones, G., and A.R. Beattie, 1971, Phys. Status Solidi A 4, 193.
Jonson, L., and H. Levinstein, 1960, Phys. Rev. 117, 1191.
Kalashnikov, S.G., 1959, J. Phys. Chem. Solids 8, 52.
Kaminski I, J. Spector, W. Prettl and M. Weispfenning, 1988, Appl. Phys. Lett.
52, 233.
Kane, E.G., 1956, J. Phys. Chem. Solids 1, 82.
Kane, E.G., 1967, Phys. Rev. 159, 624.
Kendall, D, 1969, Conference on the Physics and Application of Lithium
Diffusion Silicon, NASA.
Литература на английском языке
367
Khalfin, V.B., M.V. Strikha and I.N. Yassievich, 1985, Phys. Status Solidi В 132,
203.
Kimerling, L.C., H.M. DeAngeles and J.W. Diebold, 1975, Solid State Common.
16, 171.
Kittel, C., and A Mitchell, 1954, Phys. Rev. 96, 1488.
Klaassen, ЕМ., K.M. van Vliet and J.R. Fassett, 1961, J. Phys. Chem. Solids
22, 391.
Koenig, S.H., 1958, Phys. Rev. 110, 986.
Koenig, S.H., R.D. Brown and W. Shillinger, 1962, Phys. Rev. 128, 1668.
Kogan, Sh.M., and T.M. Lifshits, 1977, Phys. Status Solidi A 39, 11.
Kohn, W., and J.M. Luttinger, 1955, Phys. Rev. 98, 915.
Koster, G.F, and J.G. Slater, 1954, Phys. Rev. 95, 1167.
Kubo, R., 1952, Phys. Rev. 86, 929.
Lampel, G., 1968, These d’Etat, Orsay, p. 273.
Landolt-Bbmstein-Tables, 1982, Vol. 17a, eds O. Modelung, M. Schulz and
H. Weiss (Springer, Berlin).
Landsberg, P.T, 1970, J. Phys.-Solid State 41, 457.
Landsberg, P.T., 1991, Recombination in Semiconductors, Cambridge Univer-
sity Press.
Landsberg, P.T, and A.R. Beattre, 1959, J. Phys. Chem. Solids 8, 73.
Landsberg, P.T, and M.J. Adams, 1973, J. Luminescence 7, 3.
Landsberg, P.T, and DJ. Robbins, 1978, Solid State Electron. 21, 1289.
Landsberg, P.T, DA. Evans and C. Rhys-Roberts, 1964a, Proc. Phys. Soc. 83,
325.
Landsberg, P.T, C. Rhys-Roberts and P. Lal, 1964b, Proc. Phys. Soc. 84, 915.
Lang, DV, 1974, J. Appl. Phys. 45, 3023.
Lang, DV, and L.C. Kimerling, 1974, Phys. Rev. Lett. 33, 489.
Lang, DV, and L.C. Kimerling, 1976, Appl. Phys. Lett. 28, 248.
Lang, DV, L.C. Kimerling and S.Y. Leung, 1976, J. Appl. Phys. 47, 3587.
Langevin, M.P., 1903a, Ann. Chem. Phys. 28, 289.
Langevin, M.P., 1903b, Ann. Chem. Phys. 28, 433.
Lax, M, 1952, J. Chem. Phys. 20, 1752.
Lax, M., 1960, Phys. Rev. 119, 1502.
Levit, R.S., and A. Honig, 1961, J. Phys. Chem. Solids 22, 269.
Lin, S.H., and R. Bersohn, 1968, J. Chem Phys. 48, 2732.
Lipari, N.O., and A. Baldereschi, 1970, Phys. Rev. Lett. 25, 1660.
Lochmann, W, and A. Haug, 1980, Solid State Commun. 35, 553.
Lochmann, W, 1977a, Phys. Status Solidi A 40, 285.
Lochmann, W, 1977b, Phys. Status Solidi A 42, 181.
Lochmann, W, 1978, Phys. Status Solidi A 45, 423.
Long, D, 1960, Phys. Rev. 120, 2024.
Lbwdin, P„ 1951, J. Phys. 19, 1396.
368
Список литературы
Lucovsky, С., 1965, Solid State Common. 3, 299.
Luttinger, J.M., 1956, Phys. Rev. 102, 1030.
Luttinger, J.M., and W. Kohn, 1955, Phys. Rev. 97, 869.
Ltity, E, 1968, in: Physics of Color Centers, ed. W. Beall Fowler (Academic
Press, New York) p. 182.
Mahan, G.D., and R.M. Mazo, 1968, Phys. Rev. 175, 1191.
Makram-Ebeid, S., and M. Lannoo, 1982, Phys. Rev. В 25, 6406.
Markvart, T., 1981, J. Phys. C 14, L895.
Markvart, T, 1984, J. Phys. C 17, 6303.
Matsusue, T., and H. Sakaki, 1987, Appl. Phys. Lett. 50, 1429.
Meier, E, and B.P. Zakharchenya, eds. 1984, Optical Orientation (Elsevier,
Amsterdam).
Mertens, R.P, J.L. van Meerbergen, J.F. Nijs and R van Overstraeten, 1980,
IEEE Trans. Electron Dev. ED-27, 949.
Moenig, S.H., 1959, J. Phys. Chem. Solids 8, 227.
Morin, F.J., and J.P. Maita, 1954, Phys. Rev. 94, 1525.
Mort, I, and W.E. Spear, 1962, Phys. Rev. Lett 8, 314.
Mott, N.F., 1956, Can. J. Phys. 34, 1356.
Mott, N.F., and W.D. Twose, 1961, Adv. Phys. 10, 107.
Mozer, A., K.K. Romanek, W. Schmid and Pilkuhn, 1982, Appl. Phys. Lett.
41, 964.
Nage, M., 1958a, Progr. Theor. Phys. 19, 339.
Nage, M., 1958b, Progr. Theor. Phys. 19, 341.
Neumarc, G.F., 1973, Phys. Rev. В 7, 3802.
Newman, R., and W.W. Tyler, 1959, Solid Stale Phys. 8, 49.
Norton, P., 1976, J. Appl. Phys. 47, 308.
Norton, P., T. Braggins and H. Levinstein, 1973, Phys. Rev. Lett. 30, 488.
Nozieres, P., and D. Pines, 1958, II Nuovo Cimento X (9) 470, Phys. Rev. Ill,
442.
Pantelides, S.T, 1985, Deep centers in semiconductors (Wiley, New York).
Passler, R, 1975, Phys. Status Solidi В 68, 69.
Passler, R., 1976a, Phys. Status Solidi В 76, 647.
Passler, R, 1976b, Phys. Status Solidi В 78, 625.
Peterson, P.E., 1970, J. Appl. Phys. 41, 3465.
Pokrovskii, Ya.E., O.I. Smirnova and N.A. Khvalkovskii, 1995, Solid State Com-
mun. 93, 405.
Pons, D, and J.C. Bouigoin, 1985, J. Phys. C 18, 3839.
Poole, H.H., 1914, Philos. Mag. 27, 58.
Pratt, R.G., and B.K. Ridley, 1963, Proc. Phys. Soc. 81, 996.
Pratt, R.G., and B.K. Ridley, 1965a, Proc. Phys. Soc. 85, 293.
Pratt, R.G., and B.K. Ridley, 1965b, J. Phys. Chem. Solids 26, 11.
Литература на английском языке
369
Pratt, R.G., and В.К. Ridley, 1965с, J. Phys. Chem. Solids 26, 21.
Preier, H., 1968, J. Appl. Phys. 39, 194.
Riddach, F.A., and M. Jaros, 1980, J. Phys. C 13, 6181.
Ridley, B.K., 1982, Quantum processes in semiconductors (Clarendon Press,
Oxford).
Ridley, B.K., 1994, Phys. Rev. B, 50, 1717.
Robbins, DJ., and P.T. Landsberg, 1980, J. Phys. C 13, 2425.
Rolling, B.V., and J. Rowell, 1960, Proc. Phys. Soc. 76, 1001.
Rolling, B.V., and J.P. Russel, 1963, Proc. Phys. Soc. 81, 578.
Rose, T.S., R Reghim and M.D. Feyer, 1984, Chem. Phys. Lett. 106, 13.
Rosenthal, W., 1973, Z. Naturforsch. A 28, 1233.
Rosier, L.L., and C.T. Sah, 1971, Solid State Electron. 14, 41.
Sah, C.T., 1976, Solid State Electron. 19, 975.
Sah, C.T, L. Forbes, LL. Rosier, A.F. Tasch and A.B. Tole, 1969, Appl. Phys.
Lett. 15, 145.
Sanado, T, K. Matsushita, T. Ohyama and E. Otsuka, 1978, J. Phys. Soc. Jpn.
45, 501.
Sawinikh, S.K., 1985, Phys. Status Solidi В 129, 387.
Schmalz, K., LN. Yassievich, H. Rucker, H.G. Grimmeis et al., 1994, Phys. Rev.
B, 50, 14287.
Schockley, W., and W.TIr. Read, 1952, Phys. Rev. 87, 835.
Sclar, N., 1984, Progr. Quantum Electron. 9, 149.
Seitz, E, 1954, Rev. Mod. Phys. 26, 7.
Sermage, В., H. Eichler, J. Heritage, RJ. Nelson and N.K. Dutta, 1983, Appl.
Phys. Lett. 42, 259.
Shanabrook, B.N., OJ. Glembocki, D.A. Broido and W.I. Wang, 1989, Phys.
Rev. В 39, 3411.
Stavola, M., M. Levinson, J.L. Benton and L.C. Kimerling, 1984, Phys. Rev.
30, 832.
Stievenard, D., and J.C. Bourgoin, 1986, Phys. Rev. В 33, 8410.
Stoneham, A.M., 1975, Theory of Defects in Solids (Clarendon Press, Oxford).
Stoneham, A.M., 1981, Rep. Prog. Phys. 44, 1251.
Street, R.A., and N.F. Mott, 1975, Phys. Rev. Lett. 35, 1293.
Sumi, H., 1983, Physica В 116, 39.
Susila, G., 1970, J. Phys. Chem. Solids 31, 963.
Takeshima, M., 1972, J. Appl. Phys. 43, 4114.
Takeshima, M., 1975, J. Appl. Phys. 46, 3082.
Takeshima, M., 1981a, Phys. Rev. В 23, 771.
Takeshima, M., 1981b, Phys. Rev. В 23, 6625.
Takeshima, M., 1982a, Phys. Rev. В 25, 5390.
Takeshima, M., 1982b, Phys. Rev. В 26, 917.
370
Оглавление
Takeshima, М., 1982с, Phys. Rev. В 26, 3192.
Takeshima, М., 1983, Jpn. J. Appl. Phys. 22, 491.
Takeshima, M., 1984, Phys. Rev. В 29, 1993.
Taniguchi, M., and S. Narita, 1977, J. Phys. Soc. Jpn. 43, 1262.
Tasch, A.F., and C.T Sah, 1970, Phys. Rev. В 1, 800.
Thomas D.G., and J.J. Hopfield, 1962, Phys. Rev, 128, 2135.
Thomson, J.J., 1924, Philos. Mag. 47, 337.
Thornton, D.D., and A. Honig, 1973, Phys. Rev. Lett. 30, 909.
Titkov, A.N., G.N. Benemanskaya, B.L. Gelmont, G.N. Iluridze and Z.N. Soko-
lova, 1981, J. Luminescence 24/25, 697.
Troxell, J.R., A.P Chatteijee, G.D. Watkins and L.C. Kimerling, 1979, Phys.
Rev. В 19, 5336.
Tyagi, M.S., and R. van Overstraeten, 1983, Solid State Electron. 26, 577.
Wagener, J.L, and A.G. Milnes, 1965, Solid State Electron. 8, 495.
Walker, J.M., and C.T. Sah, 1973, Phys. Rev. В 8, 5597.
Watkins, G.D., 1975, Inst. Phys. Conf. Ser. 23, 1.
Weber, W.H., 1970, Appl. Phys. Lett. 16, 396.
Weeks, J.D., J. Tully and L.C. Kimerling, 1975, Phys. Rev. В 12, 3286.
Wertheim, O.K., 1958, Phys. Rev. 109, 1086.
Wertheim, O.K., 1959, Phys. Rev. 115, 37.
Wieder, A.W., 1978, Tech. Digest IEDM, p. 460 (Washington, DC).
Wilke, I., O.D. Dubon, J.W. Beeman and E.E Haller, 1995, Solid State Commun.
93, 409.
Wisbey, P.H., B.K. Ridley, 1970, Solid State Phys. 3, 211.
Yassievich, I.N., 1988, Materials Science Forum, Vol. 38-41, p. 1351.
Yassievich, I.N., 1994, Semicond. Sci. Technol. 9, 1433.
Yassievich, I.N., A.A. Pakhomov, 1994, Int. J. Elrctron. 77, 981.
Yassievich, I.N., K. Schmalz, M. Beer, 1994, Semicond. Sci. Technol. 9, 1763.
Yau, L.D., and C.T. Sah, 1971, Phys. Status Solidi A 6, 561.
Yau, L.D., W.W. Chan and C.T. Sah, 1972, Phys. Status Solidi A 14, 655.
Yu, P.W., 1982, Solid State Commun. 43, 953.
Zegrya, G.G., and A.D. Andreev 1995, Appl. Phys. Lett. 67, 2681.
Ziep, O., 1978, Phys. Status Solidi В 90, 197.
Ziep, O., 1980, Phys. Status Solidi В 99, 129.
Ziep, O., and M. Mocker, 1980, Phys. Status Solidi В 98, 133.
Ziep, O., and M. Mocker, 1983, Phys. Status Solidi В 119, 299.
Zitter, R.N., A J. Strauss and A.E. Attard, 1959, Phys. Rev. 115, 266.
Zschauer, K.H., 1969, Solid State Commun. 7, 1709.
Zucker, J., and E.M. Conwell, 1962, J. Phys. Chem. Solids 22, 1549.
Оглавление
Предисловие 3
Предисловие к изданию на английском языке 4
Введение 5
1 Феноменологическая теория рекомбинации 17
1.1 Примесные центры в полупроводниках.................. 17
1.2 Компенсированные полупроводники..................... 24
1.3 Статистика заполнения примесных уровней.............. 26
1.4 Неравновесные носители заряда и их захват на примесные
центры.................................................. 31
1.5 Статистика рекомбинации электронов и дырок через при-
месные центры............................................ 35
1.6 Центры рекомбинации и центры прилипания............. 41
1.7 Захват на центр через метастабильный уровень........ 45
1.8 Термическая ионизация примесных центров............. 48
1.9 Методы измерения времени жизни неравновесных носите-
лей и вероятность термической ионизации примесей .... 49
2 Структура примесных центров 53
2.1 Мелкие доноры....................................... 53
2.2 Мелкие акцепторы.................................... 56
2.3 Экспериментальные данные о спектре мелких примесей . . 59
2.4 Переходы между уровнями примесных центров.......... 61
2.5 Глубокие центры..................................... 64
2.6 Многозарядные глубокие центры....................... 73
3 Каскадный захват носителей на изолированные притягивающие
центры 77
3.1 Введение............................................ 77
3.2 Каскадный захват носителя на изолированный кулоновский
центр.................................................... 81
371
372
Оглавление
3.3 Вычисление сечения захвата по методу Лэкса. Вероятность
прилипания............................................... 83
3.4 Влияние особенностей зонной структуры, вида потенциа-
ла центра и механизма энергетических потерь на сечение
каскадного захвата....................................... 87
3.5 Каскадный захват за счет межэлектронного взаимодействия 90
3.6 Пределы применимости каскадной модели захвата на изо-
лированные центры ................................... . 91
4 Захват носителей заряда при одноквантовых переходах 95
4.1 Захват на притягивающие центры с испусканием акустиче-
ского фонона............................................. 95
4.2 Одноквантовый захват в высоковозбужденные состояния с
испусканием акустического фонона ........................ 97
4.3 Одноквантовый захват в основное состояние притягиваю-
щего центра с испусканием акустического фонона.......... 99
4.4 Одноквантовый захват в основное состояние притягиваю-
щего центра с испусканием оптического фонона.............101
4.5 Захват на нейтральные доноры и акцепторы............105
5 Экспериментальные данные по захвату на притягивающие
центры 107
5.1 Интерполяционная формула для сечения захвата на притя-
гивающие центры с участием акустических фононов .... 107
5.2 Обзор экспериментальных данных......................108
5.3 Захват на нейтральные доноры и акцепторы............116
6 Взаимное влияние примесных центров 119
6.1 «Вымораживание» кулоновских центров захвата при низких
температурах. Взаимное влияние доноров и акцепторов . . 119
6.2 Эффекты взаимного влияния центров захвата...........125
7 Теория захвата, ограниченного диффузией 131
7.1 Введение............................................131
7.2 Предельные значения коэффициента захвата при различных
потенциалах центра.......................................133
7.3 Относительная роль.энергетических потерь
и пространственной диффузии .............................136
Оглавление 373
8 Захват на отталкивающие центры 138
8.1 Введение........г...................................138
8.2 Сечение захвата на отталкивающие кулоновские центры . . 138
8.3 Сравнение теории с экспериментом....................141
9 Многофононный захват носителей заряда на глубокие центры
и термическая ионизация 144
9.1 Введение............................................144
9.2 Схема адиабатических термов в модели Хуанга и Рис. Тер-
моионизация и захват электронов при классическом описа-
нии ядер................................................145
9.3 Термононизация и захват при квантовом описании движе-
ния ядер................................................150
9.4 Термононизация и захват в модели Хуанга и Рис.......153
9.5 Термононизация и захват в модели Луковского.........156
9.6 Распределение вылетевших при термоионизации электро-
нов по кинетическим энергиям. Зависимость вероятности
захвата от кинетической энергии электрона............. 165
9.7 Вычисление предэкспоненты при туннелировании ядра ... 169
9.8 Влияние заряда центра на термическую ионизацию и захват 181
9.9 Пример сравнения с экспериментом. Захват электрона в со-
стояние 2 кислорода в GaP ..............................184
9.10 Многомодовая модель.................................185
9.11 Рекомбинационно-стимулированная диффузия............191
10 Термононизация и захват в электрическом поле 202
10.1 Введение............................................202
10.2 Термоионизация притягивающих кулоновских центров
в электрическом поле в условиях энергетической диффузии
по высоковозбужденным состояниям........................203
10.3 Каскадный захват в электрическом поле...............207
10.4 Многофононная термическая ионизация нейтрального цен-
тра в электрическом поле.............................. 209
10.5 Многофононная термическая ионизация заряженных цен-
тров в электрическом поле ..............................213
10.6 Обсуждение экспериментов по термической ионизации глу-
боких центров в электрических полях.....................217
10.7 Прямая туннельная ионизация глубокого центра высокоча-
стотным электрическим полем.............................220
374
Оглавление
10.8 Многофононная термическая ионизация глубоких центров
в переменном электрическом поле......................223
10.9 Эксперименты по ионизации центров дальним инфракрас-
ным излучением...........................................227
11 Оже-рекомбинация 234
11.1 Введение............................................234
11.2 Энергетический порог оже-рекомбинации...............236
11.3 Оже-рекомбинация в InSb с передачей энергии электрону
(СНСС-процесс)...........................................243
11.4 Оже-рекомбинация в полупроводниках А3В5 п-типа
(СНСС-процесс)...........................................249
11.5 Оже-рекомбинация в узкощелевых полупроводниках р-типа 252
11.6 Оже-рекомбинация в полупроводниках А3В5 с переходом
дырки в спин-орбитально отщепленную зону
(CHHS-процесс)...........................................253
11.7 Экранирование в оже-процессах.......................257
11.8 Учет взаимодействия носителей с фононами и примесями
в процессах межзонной оже-рекомбинации...................261
11.9 Основные экспериментальные результаты по измерению
коэффициентов оже-рекомбинации
в полупроводниках А3В5..............................266
11.10 Оже-рекомбинация в кремнии и в германии............270
12 Примесная оже-рекомбинация 276
12.1 Введение............................................276
12.2 Оценка скорости примесного оже-захвата..............278
12.3 Оже-рекомбинация электронов с участием акцептора (про-
цесс ehhth-типа) в прямозонных полупроводниках A3 В5 . . 279
12.4 Основные результаты теории примесной оже-рекомбинации
через одноэлектронные центры. Сравнение теории с экспе-
риментом ................................................284
12.5 Оже-рекомбинация через глубокие многозарядные центры
в полупроводниках........................................288
12.6 Оже-рекомбинация экситонов, связанных на примесях . . . 289
13 Захват носителей в гетероструктурах 291
13.1 Введение............................................291
Оглавление
375
13.2 Захват носителей в квантовую яму. Феноменологическое
рассмотрение............................................291
13.3 Локальное время захвата в квантовую яму............294
13.4 Кинетика захвата электронов в квантовую яму в монопо-
лярном полупроводнике...................................297
13.5 Многофононный захват на глубокий центр вблизи гетеро-
границы ................................................298
13.6 Многофононный захват на глубокие центры
в квантовой яме.........................................301
13.7 Каскадный захват носителей на притягивающие центры в
квантовых ямах..........................................305
13.8 Особенности оже-рекомбинации в гетероструктурах....306
Приложения 309
1. кР-метц и модель Кейна..............................309
2. Структура валентной зоны кубических полупроводников.
Гамильтониан Латтинжера.................................321
3. Взаимодействие электронов с длинноволновыми акустически-
ми фононами.............................................326
4. Рассеяние свободных носителей на акустических фононах . . 331
5. Переходы между уровнями водородоподобного центра
со спонтанным излучением акустического фонона...........335
6. Квазиклассическая плотность состояний...............340
7. Уравнение Фоккера-Планка в пространстве полной энергии . 345
8. Уравнение пространственной и энергетической диффузии . . 350
9. Вычисление амплитуды рассеяния носителей заряда притяги-
вающим примесным центром в модели потенциала нулево-
го радиуса..............................................353
Список литературы 356
Литература на русском языке........................j . . . 356
Литература на английском языке .........................363