/
Author: Федорова Е.В. Нефедов В.И. Балагур А.А. Мельчаков В.И.
Tags: метрология меры и веса в целом техника измерений стандартизация учебное пособие сборник задач
ISBN: 978-5-7339-0782-6
Year: 2010
Text
В.и. НЕФЕДОВ
А А.БАЛАГУР
в Н. МЕЛЬЧАКОВ
Е.В. ФЕДОРОВА
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МЕТРОЛОГИИ
МОСКВА 2010
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ
РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
В.И. НЕФЕДОВ А.А. БАЛАГУР В.И. МЕЛЬЧАКОВ
Е.В. ФЕДОРОВА
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МЕТРОЛОГИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МОСКВА 2010
ББК 30.10
С 23
УДК 006.91
Рецензенты: д.т.н. В.А. Каплун,
к.т,н. Л.В. Милосердова
С 23 Нефедов В.И., Балагур А.А., Мельчаков В.Н., Федо-
рова Е.В. Сборник задач по метрологии: Учебное пособие / Госу-
дарственное образовательное учреждение высшего профессио-
нального образования «Московский государственный институт
радиотехники, электроники и автоматики (технический универ-
ситет)» - М, 2010. - 124 с.
Задачи, приведенные в сборнике, охватывают основные раз-
делы курса Метрологии. Учебное пособие написано для студен-
тов, обучающихся по специальностям радиотехнического профи-
ля и изучающих дисциплину «Метрология, стандартизация и сер-
тификация». Оно может быть полезным также при изучении дис-
циплин «Основы радиоэлектроники и связи» и «Радиотехниче-
ские системы ».
Табл. 21. Ил. 17. Библиогр.: 10 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета
университета.
© В.И. Нефедов,
ISBN 978-5-7339-0782-6
А.А. Балагур,
В.Н. Мельчаков,
Е.В. Федорова, 2010
© МИРЭА, 2010
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основной целью, поставленной перед составителями задач-
ника, было желание помочь студентам овладеть основами метро-
логии на примерах, максимально приближенных к инженерной
практике. Этим объясняется тот факт, что в настоящем пособии
большое внимание уделено различным аспектам йменно практи-
ческой метрологии. Решению задач предшествует краткое теоре-
тическое введение по каждой из рассматриваемых тем.
Задачи вводного раздела базируются на материале, знако-
мом студентам из курса физики и электротехники. Здесь основ-
ной упор делается на приобретение навыков грамотно произво-
дить вычисления и согласовывать размерности единиц физиче-
ских величин, используемых в расчетах. Первоначально предла-
гается вспомнить физический смысл основных и производных
единиц физических величин, принятых к применению в между-
народной системе единиц СИ. Для этой цели выбрано несколько
часто встречающихся в радиотехнике формул, в которых необхо-
димо проверить соответствие размерностей входящих в них фи-
зических величин.
Основные разделы задачника посвящены вопросам обработ-
ки данных, получаемых в ходе выполнения эксперимента. В них
исследуется влияние на результат измерения случайных и систе-
матических погрешностей, анализируются пути повышения точ-
ности измерения. Большое внимание уделено оценке влияния на
точность измерений методических погрешностей. Отдельный
раздел сборника посвящен вычислительным операциям с величи-
нами, выраженными в децибелах.
Решению задач в каждом разделе предшествует краткое из-
ложение теоретических сведений и рассмотрение примеров ре-
шения типовых задач. Приводимые в тексте формулы даны без
вывода, ознакомиться с их происхождением всегда можно по ре-
комендованной литературе. При изложении теоретического мате-
риала рассматриваются также примеры решения задач по разде-
4
лам, которые могут вызывать затруднения.
В настоящем задачнике также содержится материал, отра-
жающий некоторые современные направления развития измери-
тельной техники, как то: виртуальные приборы, а также приме-
нение цифрового осциллографа.
В конце сборника даны приложения, содержащие справоч-
ные материалы, необходимые для решения задач, варианты кон-
трольных заданий, а также вопросы для самопроверки. В отдель-
ное приложение вынесена тема «Виртуальные приборы».
1. ВВЕДЕНИЕ В МЕТРОЛОГИЮ
1.1. При обработке результатов измерений следует произво-
дить математические выкладки, ориентируясь на точность дос-
тижимого результата, которую может обеспечить конкретное
средство измерения. Так, например, если используется измери-
тельный прибор, отсчетное устройство которого имеет три разря-
да, то и конечный результат не должен содержать больше трех
значащих цифр. Большинство точных промышленных приборов
имеет пять, максимум семь разрядов. Именно это количество раз-
рядов и будет определять число значащих цифр, которые следует
указывать в записи результата измерения.
Чтобы свести к минимуму ошибку, которая может возник-
нуть при выполнении расчетов, все промежуточные вычисления
производят, имея в запасе один или два знака, а окончательный
результат округляют, оставляя нужное число значащих цифр.
Выполнение расчетов можно существенно упростить, если
записывать числовые данные в стандартной или, другими слова-
ми, научной форме [1]. В этом случае число записывается в виде
произведения числа с одним знаком слева от десятичной точки,
умноженным на 10 в некоторой степени. Примером такой записи
для чисел 128,301 и 0,03471 будут, соответственно, числа
1,28301-102 и 3,471-10'2. Первый множитель в стандартной форме
записи числа называется мантиссой, а второй - порядком.
5
При выполнении вычислений следует строго соблюдать раз-
мерность физических величин, входящих в конкретную формулу.
В ряде случаев оценка размерности получаемых в ходе расчета
параметров позволяет контролировать правильность приводимых
выкладок.
Основными величинами в Международной системе единиц
(СИ) являются длина (принятое обозначение Г), время (t), масса
(т), сила электрического тока (Г), термодинамическая температу-
ра (7), количество вещества (и) и сила света (J). Наименования
перечисленных единиц: метр (м), секунда (с), килограмм (кг), ам-
пер (А), кельвин (К), моль (моль), кандела (кд).
Через основные связи между величинами с помощью урав-
нений определяются производные величины. Единица измерения
производной величины образуется по определяющему ее уравне-
нию из других единиц измерения данной системы [2].
Наряду с основными единицами в СИ применяют дополни-
тельные единицы, такие как радиан (рад) - для измерения пло-
ских углов — и стерадиан (ср) - для измерения телесных углов.
Кроме основных и дополнительных единиц в ряде случаев
допускается использование единиц, не входящих в систему СИ
(например, градус для выражения плоского угла, минута, час для
выражения времени).
В практике технических измерений нашли применение та-
кие внесистемные единицы, как децибел и непер, которые обра-
зуются как логарифм отношения двух одноименных физических
величин Xi и Хг- Например, чтобы выразить отношение в де-
-^i
цибелах, используют формулу , где коэффициент К равен
А)
10 или 20 в зависимости от вида величины X.
Особенностью большинства измерений является широкий
диапазон значений измеряемых величин, что обуславливает при-
менение для их представления кратных и дольных единиц. В
табл. 1.1 приведены часто применяемые множители единиц и да-
6
ны их обозначения.
При выполнении расчетов, связанных с подстановкой в фор-
мулы значений физических величин, выраженных в кратных и
дольных единицах, придерживаются следующего правила: нико-
гда не использовать кратные и дольные единицы непосредствен-
но для расчетов: значения физических величин всегда выражают-
ся в исходных единицах, применяя в необходимых случаях для
Таблица 1.1
Множитель 10’12 10"9 10~6 10"3 103 106 10 ’ ю12
Название ПИКО нано микро мили кило Мега Гига Тера
Обозначение п н мк м к М г Т
записи чисел порядок. Если следовать этому совету, проблем с
нахождением размерности результата не будет: размерность оп-
ределится автоматически в исходных единицах без каких-либо
приставок типа «микро», «мега», «нано» и т.п. Правда в записи
числового результата будет сомножитель, отображающий поря-
док числа. При записи окончательного результата с помощью
дольных или кратных единиц можно придать ему «красивый»
вид, облегчающий восприятие заложенной в нем информации.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим пример расчета
собственной частоты LC-контура (L =30 мкГн, С =300 пФ):
2тг41с 2 • 3,14 • л/30 • 10“6 Г 300 • 10ч2Ф 1,68 10 Гц
=1,68 МГц.
Значения величин L и С были подставлены в формулу в ис-
ходных единицах, соответственно, в Гн и Ф. Это дает нам право
сразу же записать размерность результата в исходных единицах -
для частоты это «Гц». Обратите внимание на то, что полученный
результат из формы удобной для выполнения расчетов переведен в
7
более привычный для нас вид с помощью кратных единиц (МГц).
Для решения некоторых задач вводного раздела рекомен-
дуется по [3] ознакомиться с основными положениями теории
погрешностей. Следует обратить внимание на формы представ-
ления ошибки измерения в виде абсолютной и относительной
погрешности, и на то, что любая погрешность измерения прин-
ципиально имеет две составляющие — систематическую и слу-
чайную.
Задачи, связанные с проектированием простейших ампер-
метров и вольтметров на базе магнитоэлектрического измери-
тельного механизма, потребуют знаний конструктивных и схем-
ных особенностей данных приборов. Необходимые сведения по
данному вопросу можно найти, например, в [4]. Ниже приведен
пример решения подобной задачи и показано, как следует
оформлять протокол.
Пример решения задачи
Магнитоэлектрический измерительный механизм ИМ имеет
следующие параметры: номинальный ток 1ном =50 мкА, сопротив-
ление рамки (внутреннее сопротивление измерителя) R„M= 1 кОм.
Разработать на базе данного измерительного механизма ам-
перметра имеющий предел измерения 1к= 500 мА. Рассчитать па-
раметры элементов схемы амперметра, оценить внутреннее со-
противление прибора и потребляемую им мощность. Определить
чувствительность амперметра и цену деления его шкалы (на шка-
ле нанесено N =50 делений).
Решение:
Номинальным током или током полного отклонения назы-
вается такое значение тока через измерительный механизм, при
котором стрелка отклоняется на всю шкалу (до конечной отмет-
ки). Номинальным напряжением измерителя UH0M называется та-
кое напряжение между его входными зажимами, которое также
вызывает отклонение стрелки на всю шкалу. Следовательно, 1ном
и UHOM - максимальные значения тока и напряжения, которые
8
можно подавать непосредственно на измерительный механизм
для измерения. Если на измеритель подать напряжение UH0M5 то
через него протекает ток 1ном и, наоборот, если через измеритель
протекает ток 1Н0М, то падение напряжения на нем будет равно
UHOM. На рис. 1.1 показано: а - максимальные значения падения
напряжения на измерителе и тока через него, б - отклонение
стрелки измерителя при измерении номинального тока или на-
пряжения.
Рис. 1.1. Номинальный ток и номинальное напряжение
По закону Ома: 1им= UHM / RHM. В частном случае, когда UHM =
Нном, имеем. 1им 1ном UHOM /
Найдем номинальное напряжение данного измерителя:
UH0M = = 50-10'6 А-Ю3Ом = 50-10”3 В = 50 мВ.
• Так как максимальный ток амперметра 1к »1ном, то с целью
расширения предела измерения по току применяют шунтирова-
ние измерителя специальным резистором (шунтом), имеющим
малое сопротивление. На рис. 1.2а показана схема шунта, а на рис
1.26 - схема амперметра, на которой показаны токи, протекаю-
щие в цепях прибора. Шунт имеет две пары выводов: токовые (1
- Г) и потенциальные (2 - 2*). Между потенциальными выводами
включен измеритель, токовые выводы служат для включения ам-
перметра в измеряемую цепь.
9
Рис. 1.2. Схема шунта и амперметра
Сопротивление шунта выбирается таким, чтобы при про-
текании тока через амперметр большая его часть проходила че-
рез шунт, и меньшая, не превышающая 1ном - через измеритель.
При протекании через амперметр тока, соответствующего пре-
делу измерения 1К, стрелка измерителя отклоняется на всю
шкалу, т.е. через ИМ течет ток 1ном и падение напряжения на
нем, а значит и на шунте, одинаково и равно UH0M. Из этого ус-
ловия найдем выражение для Rm. Т.к. ток через шунт 1Ш = 1к -
1НОМ, то напряжение на нем будет иш = 1Ш^ = (IK - IH0M) Rm =
ином- Это же напряжение возникает на ИМ за счет протекания
через него тока IH0M: IH0M RHM = UH0M. Приравнивая левые части
последних равенств, получаем: (1к - 1„OU)'RUI = IHOM R„M, откуда
находим RUI = RHM / (IK /
Ihom “ 1).
Подставляя числовые данные в последнюю формулу, полу-
чаем: Ru, = Ю5 Ом / (500-10’3 А / 50-Ю’6 А - 1) = 0,1 Ом.
Обратим внимание на то, что Rm = 0,1 Ом « Rhm = 1 кОм.
• Оценим величину внутреннего сопротивления ампер-
метра^
Сопротивление прибора равно сопротивлению параллельно
включенных RHM и RUI: RA = R^ || Rm = RnMRni I (Rhm Rm)-
Поделив числитель и знаменатель последнего равенства на
Ro
Rhm и учтя, что Rhm » Кп, получим: RA = п = Rm = 0,1 Ом.
1 + —э-
Rin/
ПМ
10
Т.о. сопротивление амперметра практически совпадает с R,n.
• Мощность, потребляемая амперметром, равна произведе-
нию тока через амперметр на падение напряжения на нем: РА =
IA-UA. Она будет максимальной при измерении максимального
тока: 1А = 1К. При этом напряжение между входными зажимами
амперметра (оно же - напряжение на шунте и на ИМ) будет рав-
но: UA = UHOM. Т.о. получаем: РА = Ik’UH0M = 5ОО-1О'3А-5О-1О'3 В =
25 Ю'3 Вт = 25 мВт.
• Для нахождения зависимости между углом отклонения
стрелки прибора и протекающим через него током запишем
уравнение шкалы магнитоэлектрического измерителя [3]: а =
Si’Ihm, гДе а ~ угол отклонения стрелки измерителя при протека-
нии через него тока 1им. Угол удобно выражать в делениях шка-
лы, при этом каждому делению соответствует показание прибора,
которое будем обозначать In- Si ~ чувствительность механизма
по току.
/Ш( — ток через измерительный механизм,
1Ш - ток через шунт.
Ток 1Ш = /Ш(-Вим / Вш ~ найден из очевидного равенства иш=
UHM, записанного следующим образом: Zu/Rm = 7Um'Rhm-
Подставив выражение для 1Ш в формулу для получим: /Ш|
=£ / (1 + R-им / Rm)- Тогда уравнение шкалы измерителя можно
переписать: а = Sj-I„H = [Sp 1 /(1 + Rhm /Rm)}’b =8а7л, где SA= [Sj
-1 /(1 + Rhm I Rm)} ~ чувствительность амперметра. Видно, что
угол отклонения стрелки линейно зависит от величины измеряе-
мого тока и, следовательно, шкала измерителя может быть про-
градуирована для измерения тока в диапазоне 0..Д&. Чувстви-
тельность амперметра SA можно найти по последней формуле,
подставив в нее Si= 1НОм/ N и величины Rhm, Rm, а можно посту-
пить проще. Поскольку шкала равномерная и, следовательно,
чувствительность постоянна на всей длине шкалы, то SA = N / 1к=
50 дел. / 500 мА = 0,1 дел. / мА. При съеме показаний амперметра
In удобнее использовать величину обратную чувствительности,
которая называется ценой деления прибора: СА = 1 / SA = 1к / N =
500 мА / 50 дел. = 10 мА/дел. Тогда 1п = п-СА, где п - количество
11
делений шкалы, соответствующее углу а.
1.2. Задачи
1.2.1. Убедиться, что размерности величин, стоящих по обе
стороны от знака равенства в формулах(1.1)...(1.11), совпадают.
• Модуль сопротивления последовательного LC-контура:
Z = . (1.1)
• Резонансная частота идеального и реального LC-контура:
где г - сопротивление потерь
• Добротность катушки индуктивности:
Q= coLfR q
• Мощность, рассеиваемая резистором R:
U2
P = ^ = I2R, (1-4)
где I- сила тока через резистор, U — падение напряжения на нем.
• Постоянные времени RC и LR цепей:
t = RC-,^ = L/R. (1.5)
• Сила взаимодействия двух электрических зарядов qi и q2,
находящихся на расстоянии г друг от друга в среде с абсолютной
диэлектрической проницаемостью ео:
р = е°г2 • (1-6)
• Фазовая скорость распространения электромагнитной
волны в среде с абсолютной диэлектрической проницаемостью
и абсолютной магнитной проницаемостью :
<17>
• Радиус круговой траектории электрона г, движущегося в
магнитном поле со скоростью V:
12
(1.8)
(1.9)
r=nk.v=^.v,
еВ ц„еН
где е, те - заряд и масса электрона, В - магнитная индукция, Н-
напряженность магнитного поля, ра - абсолютная магнитная про-
ницаемость среды.
• Сила взаимодействия двух параллельных проводников,
одинаковой длины I, находящихся на расстоянии г друг от дру-
га, по которым протекают токи I] и 12\
2я-г *
где ца - абсолютная магнитная проницаемость среды.
• Сила Лоренца, действующая на электрон, движущийся
перпендикулярно силовым линиям магнитного поля:
F=eVB. (1.10)
• Энергия магнитного WM и электрического W., полей, соот-
ветственно, катушки индуктивности и конденсатора [5]:
(1-И)
где L,I- индуктивность катушки и ток, протекающий через
нее; C,U~ емкость конденсатора и падение напряжения на нем; 5
- площадь, I и d - линейные размеры; Е - напряженность элек-
трического поля;/ла, £а, Н, В- см. формулы (1.7) и (1.8).
1.2.2. Физическими величинами, не относящимися к числу
основных в системе единиц СИ, но широко применяемыми в
практике радиоизмерений, являются: Вольт, Герц, Фарад, Ватт,
Джоуль, Тесла и Сименс. Какие это единицы: дополнительные,
внесистемные или производные? Выразить их через основные
единицы системы СИ.
1.2.3. Какие единицы измерения используются в системе СИ
для выражения следующих физических величин: абсолютная
электрическая постоянная £а, магнитная постоянная цо, напря-
женность электрического поля Е, напряженность магнитного по-
ля В, удельное сопротивление проводника р, магнитный поток Ф,
магнитодвижущая сила F, поверхностная плотность заряда ст,
температурный коэффициент сопротивления а? Привести где
13
можно определяющие формулы. Представить данные единицы
через основные единицы системы СИ.
1.2.4. При частотной модуляции мгновенное значение час-
тоты несущего колебания a>(t) меняется по закону, определяемо-
му модулирующим низкочастотным сигналом e(t) в соответствии
с выражением co(t) = K-e(t). Определить размерность коэффици-
ента/^.
1.2.5. Рассчитать резонансные частоты LC-контуров по дан-
ным табл. 1.2. Окончательный результат выразить в Гц, кГц,
МГц, ГГц и привести его с указанием абсолютной погрешности,
выполнив необходимые округления. Относительную погреш-
ность в определении частоты контура принять равной 0,5%.
Таблица 1.2
10 мГн 25 мГн 16 мкГн 100 мкГн 25 мГн 5 мкГн 3 мГн
100 пФ 10 мкФ 100 пФ 400 пФ 4 мФ 25 мкФ 30 пФ
1.2.6. Рассчитать добротности для катушек индуктивности
по данным, представленным в табл. 1.3.
Таблица 1.3
L 10 мГн 10 мГн 10 мГн 20 мкГн 100 мкГн 50 мкГн
Fp 10 кГц 100 кГц 1 МГц 1 МГц 1 МГц 5 МГц
R Ом 100 100 100 10 20 10
1.2.7. Определить значения емкостей конденсаторов, при
которых в LC-Контуре имеет место резонанс. Необходимые для
расчета параметры контура, а также значения резонансных час-
тот взять из табл. 1.3. Полученные в результате расчетов значе-
ния емкостей привести с указанием абсолютных погрешностей.
Относительную погрешность емкости конденсатора принять
равной 5%.
1.2.8. Пассивный двухполюсник состоит из последовательно
14
соединенных катушки индуктивности (10 мГн), конденсатора (4
мкФ) и резистора (100 Ом). Рассчитать резонансную частоту,
добротность и сопротивление двухполюсника на резонансной
частоте и на частотах, отличающихся от резонансной частоты на
± 10%, ±20%, ±50%.
1.2.9. Входное сопротивление магнитоэлектрического вольт-
метра на пределе 10 В равно 200 кОм. Определить сопротивление
рамки измерителя, если известно, что величина его номинального
напряжения 50 мВ.
1.2.10. Падение напряжения на рамке магнитоэлектрическо-
го измерительного механизма 75 мВ, сопротивление рамки 10
Ом. Рассчитать сопротивление шунта, который необходимо ис-
пользовать для построения на базе данного измерителя миллиам-
перметра с пределом измерения 150 мА. Нарисовать схему мил-
лиамперметра. Какой ток протекает непосредственно через изме-
ритель, если измеряется ток 30 мА, 70 мА и 130 мА? Рассчитать
чувствительность и цену деления прибора с шунтом и без него.
Шкала отсчетного устройства имеет 150 делений.
1.2.11. Падение напряжения на рамке магнитоэлектрическо-
го механизма равно 80 мВ. На базе этого механизма спроектиро-
ван вольтметр с верхним пределом измерения 100 В. Определить
величину добавочного сопротивления и сопротивления рамки,
если ток полного отклонения измерителя равен 10 мА. Рассчитать
мощность, потребляемую вольтметром и мощность, выделяемую
в рамке.
1.2.12. Нарисовать два варианта схемы многопредельного
вольтметра, имеющего пределы измерения 3 В, 15 В и 150 В.
Вольтметр создан на базе магнитоэлектрического механизма с
током полного отклонения 1,5 мА и внутренним сопротивлением
30 Ом. Определить величины добавочных сопротивлений для ка-
ждого предела измерения, а также мощность, потребляемую
вольтметром на каждом из указанных пределов.
1.2.13. Магнитоэлектрический вольтметр имеет пределы из-
мерения:!^ В - 6,0 В - 15 В - 60 В -150 В - 300 В. Ток полного
отклонения измерителя 0,3 мА. Определить входное сопротивле-
15
ние на указанных пределах, а также мощность, потребляемую
прибором на каждом пределе при номинальных значениях на-
пряжения. На каком из пределов максимальный ток через рамку
самый большой?
1.2.14. Номинальное падение напряжения на рамке магнито-
электрического механизма 100 мВ. Ток полного отклонения из-
мерителя 1 мА. Определить величину добавочного резистора, ко-
торый необходимо включить для измерения напряжения 300 В.
Рассчитать максимальную мощность, рассеиваемую добавочным
резистором, рамкой измерителя и прибором в целом.
1.2.15. Максимальная мощность, потребляемая вольтмет-
ром электромагнитной системы на пределе 300 В равна 1 Вт.
Чему равно значение Мощности потребления при измерении
напряжений 150 В, 75 В, 50 В и 10 В? Построить градуировоч-
ную характеристику прибора. Выбрать число делений шкалы и
изобразить ее. Оценить диапазон изменения чувствительности
прибора.
1.2.16. Вольтметром класса точности 2,5 со шкалой 0...60 В
измерены напряжения 15 В, 45 В и 60 В. Сравните точность вы-
полненных измерений.
1.2.17. Номинальное напряжения измерителя магнитоэлек-
трической системы 50 мВ, сопротивление рамки 1 кОм. Спроек-
тировать на его базе миллиамперметр с пределом измерения 10
мА. Рассчитать максимальную потребляемую мощность данного
прибора.
1.2.18. Для построения многопредельного амперметра с пре-
делами измерения 50 мА, 100 мА, 150 мА применен универсаль-
ный шунт. Изобразите схему амперметра и рассчитайте Шунт, ес-
ли в качестве измерителя была применена магнитоэлектрическая
головка с током полного отклонения 50 мкА и сопротивлением 1
кОм. Какой ток протекает непосредственно через измеритель на
пределе 150 мА при измерении тока 120 мА?
1.2.19. В вольтметре с пределами измерения 3 В, 30 В и 300
В применен магнитоэлектрический измеритель номинальные ток
и напряжение которого равны, соответственно, 50 мкА и 50 мВ.
16
Определить входное сопротивление вольтметра и потребляемую
им мощность на каждом пределе измерения. Изобразите два ва-
рианта схемы данного прибора и рассчитайте номиналы элемен-
тов этих схем.
1.2.20. В вольтметре с пределами измерения 3 В и 6 В при-
менен магнитоэлектрический измеритель с номинальным током
50 мкА. Определить входное сопротивление прибора на указан-
ных пределах и потребляемую им мощность. Приведите электри-
ческую схему вольтметра и укажите номиналы ее элементов.
1.2.21. Решить предыдущую задачу при условии, что номи-
нальный ток измерителя равен 100 мкА (50 мА).
1.2.22. При построении выпрямительного вольтметра с диа-
пазоном измерения 0 В...6 В был применен магнитоэлектриче-
ский измеритель с током полного отклонения 50 мкА и однопо-
лупериодный преобразователь. Рассчитайте электрическую схему
вольтметра. Как изменятся параметры элементов схемы, если
вместо однополупериодного использовать двухполупериодный
преобразователь?
1.2.22. Решить предыдущую задачу при условии, что преоб-
разователь построен по двухполупериодной схеме. Сравнить ре-
зультаты, полученные в ходе решения данной и предыдущей за-
дачи.
1.2.23. При построении выпрямительного амперметра с пре-
делом измерения 100 мА применен магнитоэлектрический изме-
ритель с током полного отклонения 50 мкА и однополупериод-
ный преобразователь. Рассчитайте электрическую схему прибора
и приведите изображение его шкалы.
1.2.24. Решить предыдущую задачу при условии, что преоб-
разователь построен по двухполупериодной схеме. Сравнить ре-
зультаты, полученные в ходе решения данной и предыдущей за-
дачи.
1.2.25. При измерении гармонического тока i(t)=i„ Sin(a>t)
выпрямительным амперметром с однополупериодным преобра-
зователем через магнитоэлектрический, измеритель протекает
пульсирующий ток i„(z), амплитуда которого равна 1^. Угол от-
17
клонения стрелки измерителя а пропорционален среднему зна-
чению пульсирующего тока iCp. Привести временную диаграм-
му Получить выражение, определяющее значение iCp.
Определить в общем виде сопротивление шунтирующего рези-
стора Кш при условии, что 1/п: 7max = М а сопротивление из-
мерителя равно
1.2.26. Решить предыдущую задачу при условии, что пре-
образователь построен по двухполупериодной схеме. Сравнить
результаты, полученные в ходе решения данной и предыдущей
задачи.
1.2.27. На базе магнитоэлектрического измерителя по-
строен выпрямительный вольтметр с однопериодным преобра-
зователем. Как и почему изменятся номиналы добавочных ре-
зисторов, если выбрать двухполупериодную схему преобразо-
вателя?
1.2.28. Рассчитать энергию электрического поля электро-
статического вольтметра при измерении им постоянного напря-
жения 30 В. Собственная емкость прибора 20 пФ.
1.2.29. Рассчитать энергию поля катушки индуктивности,
через которую протекает ток 100 мА. Индуктивность катушки
100 мГн.
1.2.30. При проверке генератора точке шкалы 200 кГц соот-
ветствовали следующие действительные значения: 200,1; 200,8;
200,5; 200,7; 200,6; 200,3; 200,6; 200,6; 200,4; 200,5. Определить
систематическую погрешность, исключить ее, введя поправку.
Оценить максимальную величину абсолютной (относительной)
случайной погрешности.
1.2.31. При поверке вольтметра показание исследуемого
прибора не менялось, оставаясь равным 5 В, в то время как по-
казания образцового вольтметра были равны 5,10 В; 5,08 В;
5,12 В; 5,06 В; 5,05 В; 5,12 В; 5,10 В; 5,16 В; 5,10 В; 5,20 В.
Определить систематическую погрешность, а также абсолют-
ные и относительные погрешности относительно среднего
арифметического.
18
2. МЕТОДИЧЕСКИЕ ПОГРЕШНОСТИ
2.1. При измерении напряжений и токов наиболее распро-
странены методические погрешности, возникновение которых
обусловлено следующими двумя причинами:
• Влиянием прибора на измеряемую цепь, приводящим к
изменению режима ее работы.
• Влиянием формы сигнала на результат измерения.
В первом случае изменение режима работы цепи проявляет-
ся в перераспределении сигналов (токов и напряжений) в схеме,
которое явилось следствием включения в цепь дополнительной
нагрузки, равной сопротивлению самого прибора. Величина по-
грешности зависит от степени искажения процессов, протекаю-
щих в схеме, и определяется соотношением сопротивлений при-
бора и измеряемой цепи.
Перераспределение сигналов в измеряемой цепи поясняет
схема, показанная на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Перераспределение сигналов в измеряемой цепи
Источник сигнала (измеряемого напряжения Е) имеет
внутреннее сопротивление Rj (рис.2, la). Для измерения ЭДС Е
к источнику подключен вольтметр, который на схеме (рис.2.16)
показан как резистор R2 (входное сопротивление вольтметра).
Показания вольтметра равны величине напряжения U2, дейст-
вующего на его входе, т.е. равны падению напряжения на со-
противлении R2.
19
Так как U2 = ER2/(R1 + R2)< Е, то измеренное значенйе на-
пряжения (результат измерения) отличается от истинного значе-
ния измеряемой величины Е, т.е. возникла погрешность. Погреш-
ность методическая, т.к. ее причина - особенность метода изме-
рения: к схеме подключена дополнительная нагрузка (вольтметр).
Поскольку сопротивление вольтметра R2 конечно, то в схеме
произошло перераспределение напряжений и напряжение на вы-
ходе источника ЭДС изменилось (было до подключения прибора
Е, после подключения стало U2). Преобразуем последнее равен-
ство, поделив числитель и знаменатель дроби на Rj'U] = Е /
(1+7?/jR2). Из полученного соотношения видно, что чем больше
неравенство R2>> Ri, тем результат измерения ближе к истинно-
му значению измеряемого напряжения - и значит меньше по-
грешность измерения.
Методические погрешности, обусловленные второй причи-
ной, возникают при измерении негармонических сигналов и мо-
гут быть вызваны либо недостаточной шириной полосы рабочих
частот прибора, либо особенностями его градуировки [6].
Недостаточность полосы частот обнаруживается при анали-
зе сигнала, имеющего широкий спектр гармоник. Например, при
измерении коротких импульсных сигналов, погрешность будет
возникать, если верхняя частота спектра сигнала окажется боль-
ше верхней частоты рабочего диапазона прибора. Исключить или
уменьшить такую погрешность можно, выбрав измерительный
прибор с соответствующей полосой рабочих частот.
Погрешность, обусловленная особенностью градуировки
шкалы прибора, может возникнуть, когда для измерения дейст-
вующего значения негармонического сигнала применен прибор,
шкала которого проградуирована для гармонического сигнала.
Если для измерения напряжений сложной формы (негармониче-
ского) применен прибор, реагирующий на действующее (средне-
квадратическое) значение напряжения, то проблем с интерпрета-
цией его показаний не возникает - они равны действующему зна-
чению сигнала независимо от его формы. Проблема возникает,
когда выбранный измеритель оказывается в действительности
20
измерителем амплитудного значения сигнала или измерителем
средневьшрямленного значения, а при градуировке его шкалы
указали действующее значение гармонического сигнала. Для
примера, возьмем вольтметр, который измеряет амплитуду Um
переменной составляющей любого сигнала, а его шкала програ-
дуирована для синусоиды в действующих значениях. В этом слу-
чае показания прибора определяются соотношением: Un =Um I
1,41, где 1,41 - коэффициент амплитуды гармонического сигнала.
При измерении гармонического сигнала показания прибора рав-
ны его действующему значению. Если измеряется негармониче-
ский сигнал, а мы будем считать, что показания прибора есть его
действующее значение, то возникнет ошибка. Допустим, что из-
меряется пилообразный сигнал (коэффициент амплитуды равен
1,73), а амплитуда его равна 173 В. Действующее значение такого
сигнала равно 100 В. Если ошибочно считать показание прибора:
Ua- 1,73 / 1,41 =124 В за действующее значение данного напря-
жения, то возникнет методическая погрешность, абсолютное зна-
чение которой А = 124 -100 = 24 В.
Аналогичная погрешность возникает и для приборов, реаги-
рующих на средневыпрямленное значение сигнала, если градуи-
ровка его шкалы была произведена в действующих значениях
гармонического сигнала. В этом случае показания прибора опре-
деляются соотношением: = -1,11 (1,11 - коэффициент формы
гармонического сигнала). Для пилообразного сигнала с дейст-
вующим значением 100 В, средневыпрямленное значение будет
равно: UCB = юо/1.16 = &6В, где 1,16 - коэффициент формы данного
сигнала. При подаче такого сигнала на вольтметр он будет пока-
зывать [jn = 86*1.11 = 95В. Если ошибочно принять, что прибор по-
казал действующее значение измеряемого напряжения, то абсо-
лютная погрешность составит А = 95 -100 = -5В.
Существуют приборы, которые могут измерять действую-
щее значение сигнала любой формы, например, электростатиче-
ские и термоэлектрические, однако, они имеют малое примене-
ние из-за ограниченного частотного диапазона (до 10 МГц), и
низкой чувствительности.
21
Измерителями действующего значения являются также
электронные вольтметры с преобразователями (детекторами)
действующего значения.
В последнее время появились приборы, которые позволяют
определять действующее значение сигнала путем его прямого
вычисления по формуле и = ju2(t)dt, где u(t) - мгновенное зна-
чение сигнала, Т - его период [6].
Для решения задач настоящего раздела в табл. 2.4 приведе-
ны значения коэффициентов формы Кф - Um/ Ud и амплитуды Ка
= Udi Uce некоторых часто встречающихся сигналов.
Таблица 2.4
Вид сигнала Кф /С
Гармонический 1,11 1,41
Меандр 1 1
Прямоугольные импульсы V® V®
Здесь Q =----скважность последовательности прямоуголь-
т
ных импульсов длительностью т; Т — период последовательности.
Ниже приводится пример решения задачи на появление ме-
тодической ошибки, обусловленной особенностями градуировки
вольтметров различного типа.
Пример решения задачи
Измерению подлежит сигнал, временная диаграмма и пара-
метры которого приведены на рис. 2.2.
Определить показания вольтметров с различными типами
детекторов при измерении данного напряжения.
Рещение:
Вначале следует определить параметры самого сигнала:
1) действующее значение сигнала Уд = = 200/1,73 - 115 В;
22
2) средневыпрямленное значение: Ucb = ^ = 115/1,16 = 100 В.
Кф
Рис. 2.2. Временная диаграмма
Затем определяются показания приборов с учетом особен-
ности их градуировки:
1. Прибор с детектором среднеквадратического (действую-
щего) значения показывает действующее значение измеряемого
сигнала независимо от его формы, т.е. Пп1 - 115 В.
2. Показания прибора с линейным детектором (средневы-
прямленного значения), проградуированного на синусоидальном
токе в действующих значениях, пропорциональным средневы-
прямленному значению измеряемого напряжения, и определяют-
ся по формуле иш ~ 1,11-Ucb = 111 В.
3. Показания прибора с амплитудным детектором, также от-
градуированного в действующих значениях синусоиды, пропор-
циональны амплитуде сигнала: Un =Um / 1,41 =20011,41=144 В.
Вывод:
Прямые, т.е. без пересчета показаний, измерения действую-
щего значения негармонического сигнала возможны только прибо-
рами с детекторами среднеквадратического (действующего) значе-
ния. Использование приборов с другими преобразователями может
привести к появлению методических ошибок. Так в рассмотренном
примере показания прибора с линейным детектором отличаются от
действующего значения измеренного сигнала на 4 В (относитель-
ная погрешность 3,5%). Для прибора с амплитудным детектором
эти отклонения еще больше: соответственно 29 В и 25%.
23
2.2. Задачи
2.2.1. Чему равна методическая погрешность измерения тока
в цепи, сопротивление которой 200 Ом? Внутреннее сопротивле-
ние миллиамперметра 20 Ом. Каким должно быть сопротивление
прибора, чтобы уменьшить эту погрешность в 2 раза?
2.2.2. Делитель напряжения образован резисторами 100 кОм
и 10 кОм. При подключении к выходу делителя вольтметра вы-
ходное напряжение изменилось на 5%. Чему равно внутреннее
сопротивление вольтметра? Каким оно должно быть, чтобы из-
менение выходного сигнала не превышало 0,5%? Нарисовать
схему измерения.
2.23. Напряжение на выходе источника сигнала 1,1В, внут-
реннее сопротивление источника 100 Ом. Подключение вольт-
метра не должно изменять выходной сигнал больше, чем на 1%.
Каким должно быть входное сопротивление вольтметра?
2.2,4. Для определения выходного сопротивления схемы ис-
пользовался вольтметр с пределами измерения 30 В и 60 В.
При измерении на пределе 30 В показания были 23 В, а на
пределе 60 В - показания 24 В. Погрешности прибора при этом
пренебрежимо малы. Ток полного отклонения 50 мкА. Чему рав-
но выходное сопротивление схемы?
2.2.5. Напряжение на участке цепи равно 32 В. Для его измере-
ния выбран стрелочный вольтметр класса точности 2,5 с пределом
60 В. Каким должно быть входное сопротивление вольтметра, чтобы
погрешность за счет влияния его на измеряемую цепь совпадала по
величине с приборной погрешностью? Эквивалентное выходное со-
противление участка цепи равно 20 кОм.
2.2.6. Решить предыдущую задачу при условии, что погреш-
ность влияния на порядок меньше приборной погрешности. По-
строить график зависимости абсолютной и относительной погреш-
ности влияния от величины входного сопротивления вольтметра.
2.2.7. На вход резистивного делителя напряжения подано
постоянное напряжение равное 10 В. Падение напряжения на
нижнем плече делителя измеряется вольтметром с входным со-
24
противлением 100 кОм. Определить показание вольтметра, если
сопротивления плеч делителя одинаковы и равны 50 кОм. Каким
должно быть входное сопротивление прибора, чтобы погреш-
ность измерения не превышала 5%?
2.2.8. Решить предыдущую задачу при условии, что сопро-
тивления резисторов верхнего и нижнего плеч делителя равны,
соответственно, 10 кОм и 50 кОм, а падение напряжения измеря-
ется в первом случае на верхнем плече, а во втором случае на
нижнем плече резистивного делителя.
2.2.9. Входное сопротивление и входная емкость электрон-
ного вольтметра равны, соответственно, 1 МОм и 50 пФ. Рабочий
диапазон частот прибора 0 Гц...1 МГц. Чему равно сопротивле-
ние вольтметра на границах указанного диапазона? Постройте
график зависимости сопротивления вольтметра от частоты.
2.2.10. Определить, чему равен коэффициент формы сигна-
ла, если при измерении одной и той же величины напряжения по-
казания электростатического прибора - 100 В, а показания элек-
тронного прибора с преобразователем средневыпрямленного зна-
чения - 111 В. Электронный вольтметр отградуирован в дейст-
вующих значениях синусоидального сигнала.
2.2.11. Падение напряжения на участке цепи измеряется
цифровым вольтметром. Выходное сопротивление данного уча-
стка 10 кОм. Единица младшего разряда (квант) вольтметра 10
мкВ на диапазоне измерения 100 мВ. Каким должно быть внут-
реннее сопротивление вольтметра, чтобы при измерении 100 мВ
потеря информации не превышала уровня 10 мкВ?
2.2.12. Показание электронного прибора с амплитудным
преобразователем равнялось 100 В. Прибор предназначен для из-
мерения действующего значения Гармонического сигнала. При
измерении этого же сигнала прибором с преобразователем дейст-
вующего значения показания были 141 В. Чему равен коэффици-
ент амплитуды сигнала?
2.2.13. Чему будут равны показания прибора, предназначен-
ного для измерения действующего значения гармонического сиг-
нала, если на него поочередно подавать сигналы с одинаковой
25
амплитудой 100 В, но разной формы: гармонический и меандр?
Показания прибора пропорциональны амплитуде. Оценить воз-
можную ошибку при измерении каждого из сигналов.
2.2.14. Чему будут равны показания электронного прибора с
преобразователем средневыпрямленного значения, отградуиро-
ванного в действующих значениях синусоиды, если на него по-
очередно подать два сигнала: гармонический сигнал и меандр?
Амплитуды обоих сигналов одинаковы — 100 В.
2.2.15. Что покажет прибор с амплитудным преобразовате-
лем, отградуированный в действующих значениях гармоническо-
го сигнала, если измерять однополярные прямоугольные импуль-
сы, амплитудой 10 В и длительностью 4 мкс, которые следуют с
частотой 10 кГц? Рассмотреть два случая: когда измеряется толь-
ко переменная составляющая (закрытый вход прибора) и когда на
вход прибора проходит и постоянная и переменная составляю-
щие сигнала (открытый вход).
2.2.16. Изобразите временную диаграмму переменного пе-
риодического сигнала, имеющего равные амплитудное, средне-
выпрямленное и среднеквадратическое значения. Чему равна по-
стоянная составляющая такого сигнала?
2.2.17. Измеряемое напряжение - периодическая последова-
тельность однополярных прямоугольных импульсов. Показание
выпрямительного вольтметра равно 11,1 В.
Чему, равно показание термоэлектрического вольтметра при
измерении этого напряжения, если частота сигнала равна 1 кГц, а
длительность импульса - 250 мкс'!
2.2.18, Измеряемое напряжение - периодическая последова-
тельность однополярных прямоугольных импульсов длительно-
стью 2,5 мкс. Частота сигнала 100 кГц. Показание электронного
вольтметра с амплитудным детектором (вход закрытый) равно 8,5
В. Чему равно показание электронного вольтметра с амплитуд-
ным детектором (вход открытый)?
2.2.19. Измеряемое напряжение - периодическая последова-
тельность однополярных треугольных импульсов длительностью
500 мкс, следующих с частотой 1 кГц. Чему равно показание
26
электронного вольтметра с амплитудным детектором (вход за-
крытый) при измерении этого напряжения, если показание тер-
моэлектрического вольтметра равно 11,3 В?
2.2.20. Для гармонического сигнала iif)=i„ sin(<oi) рассчитать
величину коэффициента амплитуды и коэффициента формы.
2.2.21. Для сигнала, представляющего собой периодическую
последовательность однополярных треугольных импульсов (пи-
лообразный сигнал), рассчитать значение коэффициента ампли-
туды и коэффициента формы. Амплитуда импульса равна и„, а
его длительность г„ совпадает с периодом Т импульсной последо-
вательности.
2.2.22. Для сигнала, представляющего собой периодическую
последовательность однополярных прямоугольных импульсов,
рассчитать значение коэффициента амплитуды и коэффициента
формы. Амплитуда импульса равна и„, а его длительность и пе-
риод, соответственно, tu и Т.
2.2.23. Амплитуда однополярного пилообразного сигнала рав-
на 10 В. Определите его действующее значение и сравните с дейст-
вующим значением переменной составляющей данного сигнала.
2.2.24. На резистор R сначала подается сигнал «,(<)> затем
u2(t) и после «,(/). Амплитуды сигналов, соответственно, равны ц,
и2 и и,, а их частоты одинаковы. Измерения показали, что в каж-
дом из этих трех случаев на резисторе выделяется одинаковое ко-
личество тепла. Определить соотношение между амплитудами
данных сигналов, если известно, что «1(«)=Ц Cos(<o-t+<pQ) (гармони-
ческое напряжение), u2(t) - однополярный пилообразный сигнал, а
сигнал и3(г) - периодическая последовательность однополярных
прямоугольных импульсов со скважностью, равной Q.
2.2.25. Сигнал в виде периодической последовательности
однополярных прямоугольных импульсов подан на вход цифро-
вого вольтметра, имеющего детектор средневыпрямленного зна-
чения. Показания прибора - действующее значение гармониче-
ского напряжения. Параметры сигнала: амплитуда 10 В, частота 1
кГц, длительность импульсов 25 мкс. Построить графики зависи-
27
мости показаний данного прибора для двух случаев:
• Длительности импульсов увеличивается при постоянном
периоде сигнала.
• Частота сигнала растет при постоянной длительности им-
пульсов.
Считать, что входное устройство вольтметра открытого типа.
2.2.26. Решить предыдущую задачу для случая, если вход
вольтметра закрытый.
2.2.27. В электронных вольтметрах переменного тока для
уменьшения в заданное число раз входного напряжения применяют
резистивно-емкостной делитель напряжения. Плечи такого делителя
состоят из параллельно соединенных резисторов и конденсаторов:
для верхнего плеча это R i и Q, а для нижнего плеча - R2 и С2. Ко-
эффициент передачи делителя равен отношению напряжения на
нижнем плече делителя (выходной сигнал) к напряжению, поданно-
му на его вход. Доказать, что если RfC^ = R2-C2 (тогда делитель на-
зывается компенсированным), то коэффициент передачи делителя
не зависит от частоты сигнала. При доказательстве считать, что
входное напряжение - гармонический сигнал.
2.2.29. Цифровым частотомером необходимо с максимально
возможной точностью измерить частоту 142,786 кГц. Погреш-
ность кварцевого генератора частотомера £1= 10’3%. Время счета
принимает следующий ряд дискретных значений: 10’6с, 10'5с, ...,
0,1 с, 1 с, 10 с. В режиме измерения периода возможно измерение
длительности 10 периодов исследуемого колебания. Записать ре-
зультат данного измерения. Относительная погрешность измере-
ния определяется по формуле:
# = (2-2Л)
где ^2=^100%, N - количество импульсов подсчитанных счетчи-
ком.
2.2.30. LC-резонансный контур состоит из катушки индук-
тивности L, добротность которой равна Ql, и конденсатора С,
добротность которого Q . Определить добротность контура, если
добротность конденсатора меньше, чем добротность катушки.
28
3. ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ ПОГРЕШНОСТИ
3.1. Инструментальные погрешности нормируются заданием
класса точности прибора. Численно класс точности большинства
радиоизмерительных приборов определяется: МАКСИМАЛЬ-
НОЙ ОСНОВНОЙ ПРИВЕДЕННОЙ ПОГРЕШНОСТЬЮ. Данная
формулировка расшифровывается так: основная — это погреш-
ность, определенная при нормальных условиях эксплуатации
прибора, максимальная приведенная - определяется максимально
возможным значением абсолютной погрешности, отнесенным к
номинальному значению на шкале прибора. В качестве номи-
нального значения обычно выбирается наибольшее из возможных
значений измеряемой величины (конечная отметка шкалы прибо-
ра). Приведенная погрешность может быть выражена одной циф-
рой или двумя, это определяется характером погрешности, что в
свою очередь зависит от структуры прибора. По отношению к
измеряемой величине абсолютные погрешности можно разделить
на два вида: не зависящие от уровня измеряемой величины (адди-
тивные) и погрешности пропорциональные измеряемой величине
(мультипликативные). Аддитивные погрешности могут опреде-
ляться порогом чувствительности прибора, смещением нуля и
т.п. Мультипликативные погрешности возникают при изменении
коэффициентов передач в отдельных звеньях прибора. На рис. 3.1
представлен примерный вид графиков распределения погрешно-
стей по диапазону измерения цифрового вольтметра. На рис. 3.1а
показаны графики абсолютной погрешности, а на рис. 3.16 - гра-
фики относительной погрешности. Основная формула, по кото-
рой строится график распределения относительной погрешности
по диапазону измерения прибора, приводится в технической До-
кументации в следующем виде:
8 = ± c + dfa-i) %,
(3.1)
где с - суммарная погрешность, приведенная к номинальному
значению шкалы прибора, d - характеризует аддитивную погреш-
29
ность, b — мультипликативная составляющая суммарной погрешно-
сти, с = d + Ь. Класс точности записывается двумя цифрами: «с/d».
Рассмотренный способ нормирования погрешностей средств изме-
рений характерен, например, для цифровых вольтметров.
Иногда в технической документации приводится формула
вида 3.2. Физический смысл этой формулы идентичен ранее при-
веденной формуле 3.1. Переход от одной формы записи к другой
осуществляется простейшими математическими операциями, ко-
торые приведены дальше.
Соотношение (3.1) может быть приведено к виду:
5 -dUk/U + b, при этом абсолютное значение инструменталь-
ной (приборной) погрешности в любой точке шкалы будет опре-.
деляться по формуле (3.2):
Д = (dUk /100%) + (bUI 100%). (3.2)
Если аддитивная погрешность прибора оказывается много
больше его мультипликативной погрешности, то при нормирова-
нии погрешности средства измерения учитывают именно эту со-
ставляющую приборной погрешности. В этом случае класс точ-
ности обозначается одним числом у, которое будет определяться
следующим выражением:
Рис. 3.1. Распределение погрешностей по диапазону измерения
цифрового вольтметра
30
Д/7
у=-—. . 100%, где Дгм„ - максимальная абсолютная по-
UK
грешность прибора. Такой способ нормирования погрешности
средства измерения характерен для стрелочных амперметров и
вольтметров. Как следует из последнего равенства, класс точно-
сти стрелочного прибора (например, вольтметра) есть число, рав-
ное максимальной основной приведенной погрешности прибора,
выраженной в процентах. При присвоении класса точности стре-
лочному прибору значение параметра у выбирают из стандарт-
ного ряда чисел. Зная класс точности у стрелочного вольтметра,
величину его абсолютной приборной погрешности находят по
формуле:
~ ^Пчах ~ (3-3)
Пример решения задачи
Имеется стрелочный вольтметр класса точности у = 2,5 с
конечной отметкой шкалы 60 В. Оценить точность измерения
этим прибором напряжения Ux = 15 В.
Решение:
Согласно условию задачи погрешность любого измерения,
выполненного данным вольтметром, определяется только инст-
рументальной, т.е. приборной погрешностью вольтметра Дп:
А" = ~ 2’100^ ~ 1*5 В’ ^аким °^Разом напряжение Ux = 15 В
измерено с абсолютной погрешностью Дп = 1,5 В. Для характери-
стики точности выполненного измерения необходимо оценить ве-
личину относительной погрешности: s = ^-100% = -^100% = 10%.
Uх 15В
3.2. Задачи
3.2.1. При поверке электромагнитного вольтметра со шкалой
250 В класса 1,5 получены следующие результаты:
31
Точка шкалы, В 50 100 150 200 250
Погрешность, В 1,0 1,0 1,5 3,0 2,0
Определить для указанных точек шкалы фактически наблю-
даемые относительные погрешности и возможные максимальные
относительные погрешности, исходя из указанного класса точно-
сти. Сделать заключение о соответствии прибора указанному
классу точности.
3.2.2. Определить возможную максимальную абсолютную
погрешность магнитоэлектрического миллиамперметра в точке
шкалы 50 мА, если вся шкала прибора 100 мА, класс точности
0,5. Чему равна максимальная относительная погрешность в этой
точке?
3.2.3. Чему равны величины абсолютной и относительной
погрешностей дискретности, возникающих при измерении частот
10 Гц и 1000 Гц цифровым частотомером, если время измерения
равно 1 с в обоих случаях?
3.2.4. Напряжение на выходе источника с внутренним со-
противлением 100 кОм измерено стрелочным вольтметром на
пределе 60 В. Считанное по шкале показание прибора равно 47 В.
После оценки инструментальной погрешности был записан ре-
зультат измерения: (47,0 ± 0,9) В. Определить класс точности
вольтметра. Найти входное сопротивление вольтметра, если из-
вестно, что погрешность, обусловленная влиянием вольтметра на
измеряемую цепь, в два раза превосходит по величине прибор-
ную погрешность.
Скорректируйте результат измерения, введя поправку на
шунтирующее действие вольтметра.
3.2.5. Показать с помощью графика распределение мак-
симальной относительной погрешности по шкале 300 В элек-
тромагнитного вольтметра класса 1,5. Какую часть шкалы
можно использовать, чтобы относительная погрешность не
превышала 5%?
3.2.6. Вычислить значения абсолютных и относительных
мультипликативных погрешностей, возникающих в измери-
32
тельном усилителе, если его коэффициент усиления изменился
с первоначального (номинального) значения 1000 до 990. Ве-
личины входных сигналов меняются в диапазоне от 0 мВ до
100 мВ.
3.2.7. Определить максимально возможную мультиплика-
тивную погрешность A^ max цифрового вольтметра класса точ-
ности 0,5/0,2 с пределом 100 мВ, используя график зависимости
абсолютной приборной погрешности от величины измеряемого
напряжения An(Ux):
3.2.8. Показать, как определяются значения абсолютных и
относительных погрешностей цифрового вольтметра класса точ-
ности 0,5/0,2 с пределом 100 мВ в точках шкалы 10 мВ, 50 мВ и
100 мВ.
3.2.9. Построить графики зависимости абсолютной и от-
носительной приборной погрешностей цифрового вольтметра
класса 1,5/1,0 с пределом 100 В от величины измеряемого на-
пряжения.
3.2.10. Напряжение, величина которого 7,5 В, может быть
измерено аналоговым вольтметром класса 1,0 на пределе 10 В
или цифровым вольтметром класса 0,5/0,2 с таким же пределом
10 В. Точность какого из этих измерений выше и почему?
3.2.11. Показание магнитоэлектрического прибора класса
точности 1,0 на пределе 1000 мВ равно 150 мА. Определить в ка-
ких пределах находится истинное значение измеряемой величи-
ны.
3.2.12. Максимальная относительная погрешность в точке 5
В составила 2% (вся шкала 10 В). Определить диапазон измеряе-
мых величин, для которых максимальная относительная погреш-
ность не превысит 5%.
3.2.13. Максимальная относительная погрешность вольт-
метра в точке 200 В составила 3%. Определить класс точности
прибора и оценить диапазон измеряемых величин, для которого
погрешность не превысит 4%. Вся шкала прибора 300 В.
3.2.14. Относительная максимальная погрешность на диапа-
зоне 100 В в точке шкалы 20 В составила 7,5%. Определить класс
33.
точности прибора и диапазон измеряемых величин, для которых
максимальная погрешность не превысит 5%.
3.2.15. Напряжение измеряется цифровым вольтметром с
классом точности 2,5/1,5 на пределе 10 В. При каком значении
измеряемого напряжения погрешность не будет превосходить
4%? Чему при этом будут равны аддитивная и мультипликатив-
ная составляющие суммарной погрешности?
3.2.16. Определить, при какой величине напряжения два
вольтметра - электромеханический и цифровой — обеспечивают
одинаковую точность измерения. Вольтметры имеют один и тот
же диапазон измерения 0... 10 В, а их классы точности равны, со-
ответственно, 0,2 и 0,5/0,05.
3.2.17. Найти класс точности стрелочного вольтметра с диа-
пазоном измерения 0...10 В, который при измерении напряжения
5 В обеспечивает более высокую точность, чем цифровой вольт-
метр класса 1,5/0,5 с тем же пределом измерения.
3.2.18. Имеется цифровой вольтметр класса точности 1,0/0,5
с пределом измерения 10 В. Определить класс точности стрелоч-
ного вольтметра с тем же пределом измерения, который на 70%
своей шкалы дает более высокую точность измерения, чем дан-
ный цифровой вольтметр.
3.2.19. Выполнено два измерения. В первом случае измеря-
лось напряжение 0,95 В стрелочным вольтметром класса точно-
сти 0,5 на пределе 3 В. Во втором случае для измерения напряже-
ния 7,2 В был применен цифровой вольтметр класса точности
1,5/0,5 с пределом измерения 10 В. Сравнить точность данных
измерений.
4. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
4.1. Случайные погрешности можно условно разделить на
две группы:
а) погрешности обусловленные влиянием внешних возму-
щений,
б) погрешности, являющиеся составной частью инструмен-
34
тальной погрешности, возникающие, например, при округлении
результата вследствие дискретности.
Отсюда и различный подход к обработке данных экспе-
римента. При наличии внешних возмущений, если не установ-
лен алгоритм возмущающего воздействия, принято определять
результат измерения, применяя нормальный закон распределе-
ния случайных величин. В этом случае следует не только уста-
навливать границы доверительного интервала, в котором за-
ключено истинное значение измеряемой величины, но и оце-
нивать его надежность, т.е. определять вероятность того, что
истинное значение измеряемой величины действительно попа-
дает в указанный доверительный интервал (доверительная ве-
роятность).
Если же погрешность определяется как порог чувствитель-
ности прибора и, следовательно, определяет единицу дискретно-
сти, то она входит составной частью в инструментальную адди-
тивную погрешность прибора и ее величина регламентирована
классом точности. Для оценки среднеквадратического значения
этой погрешности применяется равномерный или треугольный
законы распределения.
4.2. Нормальный закон распределения случайных величин и
его применение
Для случайных величин, распределенных по нормальному
закону, характерно наличие некого центра, вокруг которого
группируются эти величины. Этот центр определяется как мате-
матическое ожидание М при бесконечном числе реализаций слу-
чайных величин. Математическое ожидание является неслучай-
ной величиной и при проведении бесконечного количества опы-
тов оно являлось бы искомым истинным значением измеряемой
величины. В реальности это по понятным причинам неосущест-
вимо.
При ограниченном числе измерений центром распределения
будет среднее арифметическое экспериментальной выборки. В
35
этом случае необходимо решать задачу нахождения граничных
значений измеряемой величины, между которыми находится
истинное значение, т.е. задачу нахождения границ доверитель-
ного интервала (XI, Х2).
На рис. 4.1 показано предполагаемое взаимное расположе-
ние истинного значения (величины М) и среднего арифметиче-
ского А. Здесь Xj - случайный результат измерения, е; = Xj - А -
текущее значение случайной погрешности.
Ниже приведены формулы для расчетов, которые можно
провести, располагая данными экспериментальной выборки [7]/
Среднее арифметическое выборки случайных результатов
отдельных измерений:
А^Х'. (4.1)
п
Среднеквадратическая погрешность выборки относитель-
но среднего арифметического:
J 2
(4.2)
п-1
Среднеквадратическая погрешность среднего арифметиче-
ского:
S(A) = ~. (4.3)
yjn
Границы доверительного интервала:
XI = А - el, Х2 = А + е2/ (4.4)
Здесь е1и е2 - граничные значения погрешности, соответ-
ствующие доверительной вероятности Рд, величина которой
при нормальном законе определяется через интеграл вероятно-
сти:
е2
Рд = р= [P(£)ds, (4.5)
-е!
где плотность вероятности задается выражением:
/Чг)=^(иЖехр1"£2/25'(Л)21' (4-6)
36
Рис. 4.1. График распределения плотности вероятности относи-
тельно среднего арифметического значения «А»
Для удобства пользования стандартными таблицами нор-
мального закона производится замена переменных: t = s/S(A).
Формула плотности вероятности приобретает вид:
р(/) =ехр.(-Г2/2). (4.7)
л/2я-
Соответственно интеграл вероятности для симметричного
интервала примет табличный вид:
/1
P = 2fp(0^, (4-8)
О
где | tj | = 1t21 = t при равенстве абсолютных значений пределов
интегрирования в (4,5). Граничное значение погрешности ег
= | £] | = | е2 | соответствуют границам доверительного интервала.
Рекомендуется следующий порядок обработки выборки
случайных данных, полученных при выполнении многократного
измерения [8,9].
1) Нахождение среднего арифметического выборки.
2) Нахождение среднеквадратической погрешности выборки.
37
3) Нахождение среднеквадратической погрешности средне-
го арифметического.
4) Следующий этап зависит от постановки задачи, в которой
либо требуется определить доверительный интервал при задан-
ной доверительной вероятности, либо, наоборот, по заданному
доверительному интервалу требуется определить доверительную
вероятность. В обоих случаях эти процедуры производятся с ис-
пользованием стандартных таблиц нормального закона (см. при-
ложение), в которых сведены данные расчетов по формуле (4,8).
Конечный результат должен быть записан с указанием границ
доверительного интервала (XI, Х2) и доверительной вероятности
Рд. При малом объеме выборки следует пользоваться таблицей
Стьюдента (см. приложение), в которой коэффициент tcT указан с
учетом числа измерений.
4.3. Задачи
4.3. 1. Сопротивление резистора измерялось пять раз в од-
них и тех же условиях. Получена следующая выборка случай-
ных величин: 202 Ом, 201 Ом, 200 Ом, 199 Ом, 198 Ом. Опре-
делить доверительный интервал при доверительной вероятно-
сти 0,95. Расчет произвести два раза: с использованием таблиц
нормального закона и таблиц Стьюдента. Сравнить получен-
ные результаты.
4.3. 2. Среднее арифметическое выборки при 100 измерениях
равно 3,784 МГц. Среднеквадратичная погрешность 0,013 МГц.
Каковы границы доверительного интервала при доверительной
вероятности 0,95? Как изменятся эти границы при уменьшении
числа измерений до 10, если предположить, что числа 3,784 МГц
и 0,013 МГц не изменились?
4.3. 3. Частота генератора измерялась 16 раз. Получены
следующие данные предварительных расчетов: среднее ариф-
метическое значение частоты 100 кГц, среднеквадратическая
погрешность выборки 0,44 кГц. Определить границы симмет-
38
ричного доверительного интервала для доверительной вероят-
ности 0,7.
43.4. Частоту сигнала измерили 25 раз, затем нашли среднее
арифметическое значение 100 кГц и среднеквадратическую по-
грешность выборки 5 кГц. После этого задали допустимые гра-
ницы доверительного интервала: 100 кГц и 102 кГц. Определить
вероятность того, что истинное значение действительно лежит в
указанном интервале.
43.5. При измерении частоты 16 раз были получены сле-
дующие данные: Среднее арифметическое значение частоты 100
МГц, среднеквадратическая погрешность выборки 4 кГц. Опре-
делить границы симметричного доверительного интервала для
доверительной вероятности 0997.
43.6. Определить доверительную вероятность при задан-
ных границах доверительного интервала от 199,5 кГц до 201
кГц. Результаты измерения представлены выборкой: (200, 201,
200, 199, 198, 200, 199, 202, 201, 200) кГц. Как изменится дове-
рительная вероятность, если ограничиться пятью первыми чле-
нами выборки?
43.7. При измерении добротности катушки индуктивности
получены результаты: 90, 88, 90, 89, 91, 92, 93, 91, 89, 87. Опре-
делить наиболее вероятное значение добротности и оценить на-
дежность интервала, в котором задается результат, при условии,
что считаются допустимыми отклонения от среднего от -1,5% до
+2,0%.
43.8. При измерении разности фаз получены результаты (в
градусах):
90, 92,88, 94, 90,85,96,87, 90,88.
Провести обработку результатов измерения разности фаз.
Указать результат измерения с доверительной вероятностью
0,95(95%}.
43.9. Погрешность подчинена нормальному закону распре-
деления. Максимальная погрешность равна 0,6 В.
Рассчитайте интервал, в пределах которого вероятность по-
явления погрешности равна 40%.
39
43.10. Погрешность распределена по нормальному закону.
Среднеквадратическая ошибка отдельного измерения равна 0,18 В.
Сколько раз следует повторить измерение, чтобы макси-
мальная ошибка окончательного результата была равна 0,09 В?
В скольких измерениях при этом погрешность по абсолют-
ной величине не будет превосходить 0,09 В?
4.3.11 . Погрешность подчинена нормальному закону. Веро-
ятность появления погрешности в пределах (-0,44 * 0 В) равна
47,7%. С какой вероятностью погрешность попадает в интервал
(-0,1 + +0,5 В)?
43.12. Погрешность распределена по нормальному закону.
Вероятность нахождения погрешности в пределах (0 + +0,09 В)
равна 43,3%. С какой вероятностью погрешность попадает в ин-
тервал (—0,18 + -0,09 В)7
43.13. В ходе обработки данных, полученных при много-
кратном измерении частоты (число опытов п =9), нашли:
• Среднее значение частоты 143,78 кГц.
• Среднеквадратическая погрешность отдельного изме-
рения 15 Гц.
В качестве, результата измерения был приведен интервал
частот (143,63 кГц; 144,93 кГц). Чему равна вероятность того, что
истинное значение измеряемой частоты все же не попадет в дан-
ный интервал?
4.3.14 . Среднеквадратическая ошибка отдельного измерения
о связана со среднеквадратической ошибкой результата много-
кратного измерения S(A) соотношением 4.3. Привести эту фор-
мулу для случая, если число повторения опыта равно п, и дока-
зать ее. При доказательстве рассматривать среднее арифметиче-
ское как результат косвенного измерения. Такой подход вполне
п
1*.
оправдан, поскольку Хер рассчитывается по формуле Хер = —
и, следовательно, может быть интерпретировано как результат
косвенного измерения, при этом формула для Хер играет роль
уравнения косвенного измерения.
40
43.15. Закон распределения случайной погрешности, воз-
никающей при измерении напряжения, имеет вид:
р(д) =------- ехр-----------►
0.02-V628 [8-Ю'4 •
Не исключенная систематическая погрешность равна 0,04
В.
Сколько раз следует повторить измерение, чтобы получить
максимально возможную в данных условиях точность?
43.16. Определить размерность параметра, откладываемого
по вертикальной оси графика дифференциального закона рас-
пределения для случая, если по горизонтальной оси отложена
погрешность измерения силы тока в мА.
43.17. График плотности вероятности р(Д) для нормально-
го закона распределения имеет вид кривой, характерными точ-
ками которой являются: точка, соответствующая максимуму
функции р(А), и две симметричные точки перегиба на склонах
кривой р(Д). Определить координаты указанных трех точек.
43.18. На рисунке показан график нормального закона рас-
пределения погрешности.
Рис. 4.3.18. График нормального закона распределения
погрешности
41
Найдите:
1. Координаты характерных точек графика.
2. Область, в которой погрешности считаются грубыми.
3. Вероятность появления погрешности в интервале (-0,5;
+0,1) и вне этого интервала.
Нарисуйте в том же масштабе график, для которого средне-
квадратическая ошибка о в 1,5 раза больше той, для которой на-
рисован данный график. В каком случае точность измерения вы-
ше?
Приведите аналитическое выражение для функции р(Д),
представленной в задаче графически.
4.4. Равномерный н треугольный законы распределения
случайных величин и их применение
4.4.1. Равномерный и треугольный законы распределения
плотности вероятности находят свое применение при оценке
инструментальных погрешностей. Хотя в большинстве случаев
инструментальные ошибки являются систематическими и их
максимально возможная величина оценивается по классу точ-
ности, при реальном использовании их среднестатистическая
величина оказывается меньше. Поэтому при обработке резуль-
татов многократных измерений максимальные теоретические
значения погрешностей заменяют их среднеквадратическими
значениями. При этом используется равномерный или тре-
угольный законы распределении в зависимости от характери-
стик реального прибора.
На рис. 4.2 и 4.3 представлены графики соответственно тре-
42
угольного и равномерного законов распределения плотности ве-
роятности р(Д).
Для равномерного закона:
р(А) = 1/2Дт,-Аш<Д<Дш,
р(Д) = 0,при1 Д |>Дда.
Для треугольного закона:
д + д
р(Д) = ^5^,0^Д^Дот,
Л/п
р(Д)-0, при | Д |>д„,.
Вероятность нахождения погрешностей в интервале (Ль Дг)
определяется как отношение площади заштрихованной части к
площади всей фигуры. Это справедливо для обоих рассматривае-
мых законов. Однако практического интереса решение подобной
задачи не имеет. Существенным является определение средне-
квадратической погрешности, что позволяет оценивать влияние
точности прибора на результат измерения.
Среднеквадратичная погрешность при равномерном законе
распределения:
7з
При треугольном законе:
л/6
(4.9)
(4.Ю)
Максимальную погрешность Дт можно оценить, зная класс
точности (см. формулы 3.2 и 3.3). При этом для приборов с пре-
обладающей аддитивной погрешностью Дт будет постоянна по
всей шкале. Если прибор имеет равномерную шкалу, то за мак-
симальную погрешность можно принять цену одного деления.
Для приборов, в которых присутствуют и аддитивная, и мультип-
43
ликативная составляющие погрешности, значения абсолютной
максимальной погрешности могут быть разными (см. рис. 3.16).
Однако все погрешности не должны превышать значения едини-
цы младшего разряда. Наибольшая величина абсолютной по-
грешности наблюдается при номинальном значении измеряемой
величины (в конце диапазона измерения). Ее и следует принять в
качестве расчетной величины для определения среднеквадратич-
ной погрешности.
4.5. Задачи
4.5.1. Погрешность распределена по треугольному закону,
среднеквадратическая погрешность которого составила 0,5 В.
Определить границы симметричного доверительного интервала,
в который со 100%-ой вероятностью попадет истинное значение
измеряемой величины.
4.5.2. При определении показаний магнитоэлектрического
вольтметра, чувствительность которого равна 0,5 дел/В, произво-
дят округление до ближайшей отметке на шкале прибора. Опре-
делить среднеквадратическую погрешность, возникающую при
округлении.
4.53. Определить среднеквадратичную погрешность округ-
ления при считывании показаний электромагнитного вольтметра
класса точности 2,5 со шкалой 300 В. Шкала прибора имеет 30
делений.
4.5.4. При измерении временного интервала цифровым ме-
тодом частота счетных импульсов была 1 МГц. Начало счета син-
хронизировано с передним фронтом измеряемого временного ин-
тервала. Пояснить рисунком возможность появления погрешно-
сти дискретности, указать ее знак. Определить ее максимальное
абсолютное и среднеквадратичное значения.
4.5.5. При измерении длительности интервала времени по
числу коротких счетных импульсов, заполняющих этот интервал,
возникает погрешность дискретизации. Оценить систематиче-
скую составляющую погрешности дискретности и среднеквадра-
тическую ошибку, характеризующую величину ее случайной со-
44
ставляющей. Частота счетных импульсов равна 100 кГц, начало
измеряемого интервала совпадает с нулевым счетным импуль-
сом.
4.5.6. Для измерения длительности импульса использова-
лись счетные импульсы с частотой 1 МГц. Передние фронты из-
меряемого сигнала и счетных импульсов не синхронизированы.
Проиллюстрировать, используя рисунок, причину возникновения
погрешностей дискретизации и определить их максимальные аб-
солютные и среднеквадратичное значение.
4.5.7. Определить значения максимальных и среднеквадра-
тических погрешностей цифрового прибора в точках шкалы «10
мВ, 50 мВ, 100 мВ». Вся шкала - 100 мВ, класс точности 0,5/0,2.
Рис. 4.5.8. График треугольного закона распределения случайной
погрешности
4.5.8. На рис. 4.5.8 показан график треугольного закона рас-
пределения случайной погрешности.
Приведите аналитическое выражение для функции р(Д).
Найдите:
1. Координату максимума функции р(Д).
2. Вероятность нахождения погрешности в интервале (-
0,3 В; 0,6 В) и вне этого интервала.
3. Дисперсию и СКО распределения.
Нарисуйте в том же масштабе график, для которого диспер-
сия в полтора раза меньше.
4.5.9. Случайные величины X и Y распределены по равно-
мерному закону и имеют одинаковые дисперсии Dx = Dy - D.
Определить закон распределения случайной величины Z = X + Y.
45
4.6. Суммирование погрешностей
4.6.1. При сложении систематических ошибок широко исполь-
зуется суммирование их квадратов с последующим извлечени-
ем корня. Для абсолютных значений справедлива формула:
д^ТЁд?- (4.11)
Для относительных:
= (4.12)
При суммировании случайных погрешностей следует
учитывать доверительную вероятность и доверительный ин-
тервал.
Так при суммировании случайных погрешностей, распре-
деленных по нормальному закону, и погрешностей, вносимых
прибором, последние представляются также как случайные, но
распределенные по равномерному или треугольному закону
(формулы 4.9, 4.10) [6]. При этом суммарная среднеквадрати-
ческая погрешность определяется выражением:
<г^З(А)’+а:, (4.13)
где сги - среднеквадратическая погрешность, характеризую-
щая приборную погрешность.
Если считать случайные процессы независимыми, то ре-
зультирующая вероятность определится как произведение ве-
роятностей.
Поскольку вероятность нахождения среднеквадратиче-
ской погрешности в обозначенном интервале равна единице,
то результирующая вероятность оказывается той, которая со-
ответствует нормальному закону. Однако доверительный ин-
тервал расширится, и новое значение доверительного интерва-
ла следует рассчитывать по формулам:
Х1=А-ДГ1,Х2=А+ДГ2, (4.14)
Лг~1г<7с’
(4-15)
46
ад + о-„‘
(4.16)
Пример решения задачи
В результате обработки данных, полученных в ходе много-
кратного (число повторения опыта - 10) измерения напряжения,
были определены следующие параметры: среднее арифметиче-
ское значение напряжения Ucp - 352,71 мВ, оценка среднеквадра-
тической ошибки отдельного измерения о =0,327 мВ, оценка
среднеквадратической ошибки среднего арифметического S(A) =
0,103 мВ. Инструментальная погрешность, определенная по клас-
су точности вольтметра, составила Дп = ± 0, 719 мВ. Указать ре-
зультат данного измерения с доверительной вероятностью Рй =
0,95.
Решение:
Как следует из условия задачи, погрешность окончательного
результата имеет случайную и систематическую составляющие.
1. Определим границу доверительного интервала для слу-
чайной составляющей, исходя из заданной доверительной веро-
ятности: ег ~ tci 'SCA) - 2,26-0,103 =0,233 мВ, где tCT - 2,26 - ко-
эффициент, найденный по таблице коэффициентов Стьюдента
(таблица П. 1.2) для п = 10.
2. Роль систематической составляющей играет инструмен-
тальная (приборная) погрешность. На самом деле приборную по-
грешность нельзя считать систематической в полном смысле это-
го слова, поскольку знак ее не известен, да и величина погрешно-
сти |ДП|, оцененная по классу точности вольтметра, определяет
только верхнюю границу диапазона, в котором находится реаль-
ное значение приборной погрешности. Приборная погрешность -
это т.н. неустранимая систематическая погрешность, которую на-
до будет учесть при нахождении общей погрешности измерения.
3. Для оценки общей погрешности измерения приборную
погрешность переводят в разряд случайных погрешностей и сум-
мируют с настоящей случайной погрешностью по формуле (4.13).
47
В этой формуле величина среднеквадратической ошибки оп, учи-
тывающей приборную погрешность, будет зависеть от того, каким
законом распределения мы будем аппроксимировать реальные
приборные погрешности. Известно, что класс точности прибора
определяет предельную величину реальной приборной погрешно-
сти. Другими словами, величина приборной погрешности при из-
мерении любого напряжения из диапазона измерения данного
прибора с вероятностью 100% будет находиться в интервале [-Дп;
+ Дп]. Таким же свойством обладают и погрешности, распреде-
ленные по равномерному или треугольному закону - все они с ве-
роятностью 100 % попадают в интервал [-Дт; +Дт] (см 4.4.1). По-
этому будем считать, что приборная погрешность, определяемая
классом точности прибора, - это случайная погрешность, распре-
деленная по равномерному или треугольному закону.
4. Примем, что в данном случае инструментальная погреш-
ность распределена по равномерному закону. Тогда, согласно
(4.9), оп=^=^= 0,416 мВ.
5. Зная оп, находим общую погрешность измерения:
6. os=7o,2332 + 0,4162 = 0,477 мВ.
7. Следствием совместного действия случайной и при-
борной погрешностей является расширение доверительного ин-
тервала для общей погрешности. Для нахождения нового довери-
тельного интервала Дг рассчитаем по (4.16) величину параметра
. . я __ 0,233 + 0,719 я qq
Гг. 1г—---------— 1,о э.
0,103 + 0,416 ’
8. Величину Дг найдем по (4,15): Дг - = 1,83-0,477 =
=0,873 мВ ~ 0,9 мВ.
9. Как было сказано в 4.6.1, если считать настоящую слу-
чайную погрешность и приборную (тоже случайная погрешность)
независимыми, то, учитывая, что вероятность нахождения при-
борной погрешности в интервал (-Дп; + Дп) равна 1, получаем, что
результирующая доверительная вероятность совпадает с довери-
тельной вероятностью Рд = 0,95, заданной в условии задачи, и для
которой в п. 1 был рассчитана граница доверительного интервала.
48
Результат измерения приведем в стандартном виде U- (UCf^
Аг)» Рд после выполнения положенных округлений:
U= (325,7 ± 0,9) мВ, Рд = 0,95.
4.7. Задачи
4.7.1. При измерении частоты гетеродинным методом по-
грешность гетеродина равнялась <5г = 1О~3'/°, а абсолютная
погрешность нуль индикатора составила ±20 Гц, так как в ка-
честве индикатора биений использовался телефон.
Определить абсолютные и относительные погрешности
измерения для трех случаев: значение измеряемой частоты
равно 50 кГц, 500 кГц и 5 МГц.
4.7.2. При измерении частоты с помощью цифрового час-
тотомера относительная инструментальная погрешность опре-
деляется двумя составляющими: погрешностью дискретности
и мультипликативной погрешностью прибора. Первая погреш-
ность равна = — 100%, где N - количество импульсов, по-
ступивших на счетчик за время измерения. Вторая погреш-
ность 8к =10~3%. Частота счетных импульсов равна измеряе-
мой частоте.
Оценить относительные и абсолютные погрешности из-
мерения частот 100 Гц, 1 кГц, 10 кГц, 100 кГц, если время сче-
та импульсов равно 1 сек.
Как изменятся значения погрешностей, если время счета
уменьшить до 0,1 с?
4.7.3. Напряжение на выходе источника сигнала измеря-
лось 16 раз. Получены следующие значения: среднее арифме-
тическое 500 В. среднеквадратичная погрешность 4 В. Исполь-
зовался вольтметр со шкалой 1000 В класса 1,5/1,0.
Определить границы доверительного интервала с учетом
погрешности прибора. Первоначально задана доверительная
вероятности 0,95.
49
Погрешность прибора считать распределенной по тре-
угольному закону.
4.7.4. Определить суммарную среднеквадратическую по-
грешность результата, если при проведении 25 опытов, было
получено: среднее арифметическое 50 мВ, среднеквадратиче-
ская погрешность 5 мВ.
Заданная доверительная вероятность 0,997. Использовал-
ся прибор класса 0,5/0,2 со шкалой 100 мВ.
Определить границы доверительного интервала без учета
и с учетом погрешности прибора.
Погрешность прибора считать распространенной равно-
мерно.
5. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
5.1. При косвенных измерениях физическая величина Y,
значение которой надо измерить, является функцией ряда других
величин - аргументов в выражении (5.1):
r = F(X},X2,-,Xn)- (5.1)
Уравнение (5.1) называется уравнением косвенного измере-
ния.
Аргументы Xi, Х2,...,ХП находятся путем прямых измерений,
а искомая величина Y рассчитывается по формуле (5.1) после
подстановки в нее значений аргументов. Если обозначить по-
грешности аргументов функции (5.1), соответственно Дь Дг, ...,
Дп, то погрешность результата косвенного измерения может быть
оценена следующим образом:
= (5-2)
1 1 CIA i
Эту формулу применяют, если погрешности аргументов
систематические и знаки их неизвестны. Если погрешности аргу-
ментов случайные и оценены их среднеквадратические погреш-
ности О], о2, ..., оп, то случайную погрешность результата кос-
венного измерения oY находят по формуле (5.3):
50
(5.з)
Если случайные погрешности коррелированны, то при на-
хождении погрешности результата косвенного измерения необ-
ходимо учитывать эту связь.
В случае функции двух аргументов Y = F(Xi,X2) формула
для оценки величины oY имеет вид:
l,8F ~2 2
°V -) +2(ду Хду )’ (5-4)
у Йл । ЙА j ЙЛ. J Йл 2
где Кху - коэффициент корреляции погрешностей аргументов X]
и Х2.
В тех случаях, когда измерения производятся одним и тем
же прибором, коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
Kv = -h-cisJ. Q-D
где - относительная максимальная погрешность, опреде-
С
ляемая по классу точности прибора. Например, для
цифрового прибора, или §т =
У
100%
- для аналогового. Коэффи-
циент корреляции при этом принимает значения от 0,7 до 1.
При многократных измерениях коэффициент корреляции
определяется формулой:
Кхт= '^ахсУг‘
(5.8)
Решение многих задач на косвенные измерения существен-
но упрощается, если уравнение косвенного измерения (5.1) зада-
ется функцией удобной для логарифмирования:
Y = N-x“' х“2 , где N- коэффициент, аь а2, ..., - показате-
ли степени при соответствующих аргументах в уравнении кос-
венного измерения. Если известны относительные погрешности
аргументов &2, ..., 8П, то относительная погрешность результа-
та косвенного измерения находится по следующей достаточно
простой формуле:
51
5У= д/(«1 -^1)2 + («2 ’ ^2)2 + - + («и sn)2 (5-9)
Примеры решения задач
Задача 1
Рис. 5.10.1. Резонансная кривая LC-контура
На рисунке показана резонансная кривая LC-контура. На
графике обозначено:
/1 vi fi - частоты, на которых амплитуда колебаний в кон-
туре (Л) уменьшается до уровня 0,7 от своего максимального
значения (Ао) на резонансной частоте;
fo = (f2 +/i) 12 - резонансная частота Q;
П -fz -f\- полоса пропускания контура.
Добротность контура рассчитывается по формуле:
Л fl + fl
Q= П = 2-(f2-f,)- <510>
Для определения добротности LC-контура были измерены
частоты f = 310,2 кГц vif2- 320,8 кГц. При измерениях имели
место коррелированные (т.е. зависимые) случайные погрешно-
сти, для которых <5/ = (о-/ //1)-100 = 0,3%, 32 = (&2 /Л)’Ю0 = 0,2
%, Кг = 0,5, где 81, 32, Oi, о2 - относительные и среднеквадра-
52
тические погрешности измерения, соответственно, частот // и
f2, Кг - коэффициент корреляции.
Записать результат измерения добротности в стандартном
виде.
Решение:
Рассчитаем величину добротности контура, подставив данные
310,2 + 320,8
измерений в формулу (5.10): Q = 2 (320 8-310 2) = 29,76‘
Т.к. искомая величина была найдена расчетным путем, то
имеем дело с косвенным измерением. Поэтому для оценки по-
грешности измерения воспользуемся формулой (5.4), которую
перепишем в обозначениях, введенных в условии данной зада-
чи:
Найдем частные производные:
5Q _ f2 5Q _ f»
af, - г-в-г,)'’ % “ 2 (f2-f,)2 -
После подстановки их в формулу для gq получаем:
х2
2-и-л)2
сг,сг2 Кг
Вынесем из под знака радикала общий множитель, приняв
во внимание, что о //=
Г Г I/
х2
+2-^-.^-.^ =
Разделим правую и левую части последнего равенства на
f2+f.
Q = = 2 • (f -f)HУчтем’что= ^q:
se = 5^-
53
Подставляя в последнюю формулу данные из условия зада-
чи, получаем:
<5е = згоХзпП2 ' V0,32 + 0,22 + 2-0,3-0,2-0,5 % =12,97%.
J LUfZi
Абсолютная погрешность измерения добротности равна:
ЛГ1_ 2А _ 29,76 12,97
Д<2 100 100 3,86‘
Ответ запишем в стандартном виде, выполнив необходимые
округления: Q = 30 ± 4.
Задача 2
Разность потенциалов между обкладками конденсатора ем-
костью 1000 мкФ равна 50 В. Определить энергию электрическо-
го поля конденсатора, если погрешности измерения емкости кон-
денсатора и приложенного к нему напряжения равны, соответст-
венно, ±20% и ±5%.
Решение: Энергия электрического поля конденсатора равна
Cl£_ = -
2 2
Т.к. искомая величина найдена путем расчета, то имеем дело
с косвенным измерением, причем уравнение измерения задается
формулой, удобной для логарифмирования.
Действительно выражение для W., может быть преобразова-
но к виду: W3= 0,5-С-U2, который соответствует выражению
(5.8). Поэтому относительную погрешность измерения будем
оценивать, используя формулу (5.9):_____________
Sw = ‘ <^1)2 + («2 • #2>2 = з/(Ь20)2+(2-5)2 = 22,36%.
. _ . Sw • Wj
Абсолютная погрешность измерения равна: А = •" =
22,36- 2,5 -10~2 Дж >
=—--------------=— = 0,559-10'2 Дж.
100
Результат измерения запишем, выполнив положенные ок-
руглений числовых данных: Иэ = (2,5 ± 0,6)-10'2 Дж.
54
5.2. Задачи
5.2.1. Рассчитать резонансную частоту LC-контура, образо-
ванного катушкой индуктивности 25 мГн, и конденсатором 280
пФ. Определить относительную и абсолютную погрешности зна-
чения частоты, если относительные погрешности емкости кон-
денсатора и индуктивности катушки равны по 1% каждая.
5.2.2. Сопротивление Rx измерялось методом одного
вольтметра. Схема измерения показана на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Схема измерения
Вычисление сопротивления производилось по формуле:
п - ^1- ^2 R
Кх т т Av
U2
Рассчитать коэффициент корреляции между погрешностями
Д[/] и £JJ2, предполагая, что эти погрешности обусловлены
только зоной неопределенности прибора, (т.е. максимальной по-
грешностью прибора). Класс прибора 4.0, шкала 0 В...30 В. Рас-
считать величину измеряемого сопротивления, если в результа-
те многократных измерений средние значения напряжений соста-
вили величины: Ux = 200В, Ц2 = 1002?. Сопротивление вольт-
метра 1 МОм. Рассчитать среднеквадратическую погрешность
сгЛ , предварительно определив среднеквадратическую погреш-
Д
ность прибора как: , что соответствует равномерному
55
закону распределения погрешностей.
5.23. При определении сопротивления методом двукратного
измерения напряжения, который был описан в предыдущей зада-
че, получены следующие результаты:
№ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
300 301 302 303 302 299 298 298 297 300
t/2B 102 99 101 102 101 98 99 98 99 101
Определить:
- сопротивление
- коэффициент корреляции,
- погрешность, измерения сопротивление с учетом и без
учета коэффициента корреляции,
- предполагая нормальным закон распределения погреш-
ностей, определить доверительный интервал при доверительной
вероятности 0,8. Расчет доверительного интервала произвести
для двух случаев: с учетом и без учета коэффициента корреляции
(5.8).
5.2.4. При осциллографическом исследовании АМ-
колебания был измерен коэффициент модуляции М=0,75. Расчет
производился по формуле: м = ^~В^4+ву где Я и 2? - соответст-
венно, максимальный и минимальный размах AM-сигнала, на-
блюдаемые на экране осциллографа. Определить, с какой точно-
стью выполнено измерение, если известно, что отношение А/в
измерено с погрешностью ± 10%.
5.2.5, Измерены параметры катушки индуктивности: индук-
тивность 12 мГн±1%, активное сопротивление 100 Ом±0,5%.
Рассчитать добротность катушки на частоте 600 кГц, определить
относительную погрешность, с которой найдена величина доб-
ротности.
5.2.6. Определить сопротивление лампы накаливания, если
рассеиваемая мощность составляет 60 Вт ±5%, напряжение сети
220±4 В. Оценить относительную погрешность результата.
56
5.6.7. Два резистора Rj и R2 включены параллельно. Опре-
делить общее сопротивление резисторов и его погрешность, если
TJj = 100 Ом, Т?2 = 150 Ом, и номиналы этих резисторов известны
с погрешностью ±5%.
5.6.8. Мощность, рассеиваемую нагрузкой R, рассчитывали
по формуле Р - /2 R, для чего были измерены сопротивление на-
грузки и протекающий через нее ток: R = 100 Ом±5%, 1 = 50
мА±3%. Определить абсолютную и относительную) погрешности,
с которыми была определена мощность и записать полученный
результат в стандартном виде. , t
5.6.9. Определить величину индуктивности LC-контура, ес-
ли известно, что резонансная частота равна 1 Мгц±0,01%, а ем-
кость контура 100 пФ±1%. Оценить абсолютную и относитель-
ную погрешность результата.
5.6.10. Мощность, рассеиваемая активной нагрузкой R = 8 +
0,4 Ом, измеряется методом вольтметра. Показание вольтметра
класса точности 1,5 на пределе (0 = 6 В) равно 4 В. Оцените абсо-
лютную и относительную погрешности измерения.
5.6.11. Емкость конденсатора измеряется резонансным ме-
тодом. Индуктивность контура равна 30 мГн, погрешность ±3%.
Резонанс в контуре возникает на частоте 300 кГц, погрешность
определения резонансной частоты ±6 кГц.
Оцените абсолютную и относительную погрешности изме-
рения.
5.6.12. При измерении тангенса угла потерь конденсатора
получен результат: tgd = 0,014 ± 0,03. Определить добротность
данного конденсатора и погрешность, с которой она найдена. За-
писать результат расчета добротности в стандартном виде.
5.6.13. При измерении длины волны в линии передачи полу-
чен результат: 2 = (127 ± 3) мм. Найти частоту колебания и по-
грешность ее определения. Данные, полученные в ходе расчета
частоты, привести в стандартном виде.
5.6.14. По данным, полученным в ходе измерения частоты f
= (146,47 ± 0,04) кГц, был рассчитан период колебания. Записать
57
найденный результат, указав его абсолютную погрешность.
5.6.15. Доказать справедливость формулы (5.9) для случая
функции двух аргументов: г = N • х"' х?.
6. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ЕДИНИЦЫ И
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ ШКАЛЫ
6.1. Введение логарифмических единиц, называемых деци-
белами (принятое обозначение дБ или dB) связано с удобством,
которое достигается при работе с одноименными величинами в
случае, если диапазон их изменения достаточно широк. Если две
такие величины отличаются на несколько порядков, т.е. их отно-
шение равно единице со многими нулями, то будучи выражен-
ным в децибелах, оно представляется компактным числом, с ко-
торым приятно работать.
Введение логарифмических единиц существенно упрощает
многие расчеты. Так, например, если для нахождения коэффици-
ента усиления многокаскадного усилителя коэффициенты усиле-
ния отдельных каскадов приходится перемножать, то при выра-
жении их в децибелах нахождение общего коэффициента усиле-
ния сводится к простому суммированию.
Пересчет отношения мощностей, токов и напряжений в де-
цибелы производят по формулам:
Gr=101g^, (6.1)
Г1
G, = 201gb и Gv = 201g. (6.2)
Децибелы можно использовать не только для выражения
отношения двух одноименных величин, но и непосредственно
для задания абсолютного значения практически любой физиче-
ской величины. Так, значение падения напряжения на участке
цепи можно представить не в вольтах, а в децибелах. Заметим,
что шкалы некоторых вольтметров, например, В7 - 26 проградуи-
рованы для измерения напряжения именно в децибелах.
58
При выражении абсолютного значения физической величи-
ны, например, напряжения в децибелах используется формула:
17 = 201g—, где Uo - напряжение, относительно которого в лога-
Uo
рифмических единицах определяется абсолютная величина на-
пряжения U.
Если Uo = 1 В, то значение напряжения U приводится в еди-
ницах, называемых дБВ (читается «децибел- вольт»).
Если Uo = 1 мкВ, то соответствующая логарифмическая
единица будет называться дБмкВ и т.д. Аналогично вводятся еди-
ницы дБВт, дБмВт, дБмкВт и т.д., правда в этом случае опреде-
р
ляющая формула принимает вид: Р = 101g—.
Ро
Строго говоря, если абсолютное значение некоторой физи-
ческой величины указано в децибелах, то к ее названию следует
добавлять слово «уровень». Так, например, правильнее будет ска-
зать «уровень напряжения равен 3 дБВ», но не «напряжение рав-
но ЗдБВ»
Обратное преобразование любых децибел в отношения про-
изводится по формулам:
Для мощности:
(6.3)
Для напряжений (или токов):
— = 10^°- (6-4)
Примеры решения задач
Задача 1
Индикатор регулятора уровня выходного сигнала усилителя
с максимальной выходной мощностью 100 Вт отображает неко-
торые числа, выраженные в децибелах, причем максимальной
громкости соответствует 0 дБ. Определить установленный уро-
вень выходной мощности, если на индикаторе высвечивается
59
число - 5 дБ. Какое число на индикаторе соответствует мощ-
ности 10 Вт, 1 Вт?
Решение:
Число в децибелах на индикаторе отображает величину
установленной мощности Р согласно выражению: Gp =
101g—. По условию задачи 101g— - -5, откуда получаем —
^тах ^ли>х ^тах
= ю"5 =0,316 и, следовательно, Р =0,316Ртах =0,316-100 =31,6
Вт.
Если Р = 10 Вт, то на индикаторе будет отображаться
число
Gp=,01g£= 10lg is=,01g й -|ОдБ-
Для Р = 1 Вт получаем: Gp = 101g = - 20 дБ.
Задача 2
В системе СИ единица измерения звукового давления -
Паскаль: Ша = —? = —j. Определить величину звукового дав-
Ijw м ’ с
ления, если задан уровень звукового давления равный 100 дБ.
Решение:
Уровнем звукового давления L называется умноженный
на 20 логарифм (десятичный) отношения звуковых давлений
[5]: Lp = 201g— дБ, где ро= 2-10’5 Па = 20 мкПа - пороговое зву-
Ро
ковое давление (минимальное звуковое давление на которое
реагирует слух). В соответствии с формулой пересчета (6.3)
£₽ ют
имеем: «1020 -105, откуда получаем: р = /?о-105 = 2-10'5
Па-105 = 2 Па.
Задача 3
Задан уровень интенсивности (силы) звука равный 30 дБ.
Оценить абсолютную величину интенсивности звука.
60
Решение:
Уровнем интенсивности называется умноженный на 10 ло-
гарифм (десятичный) отношения двух уровней звука [5]:
L, = 101g— дБ, где Io - 10'12 Вт/м2 = 1 пВт/м2 - стандартный порог
Ц
слышимости. По условию задачи имеем: 101g—= 30 дБ, откуда в
Л>
I,
соответствии с формулой пересчета (6.4) получаем 7= 7o io10 = 1
пВт/м2-10“ = 103 пВт/м2 = 1 нВт/м2.
6.2. Задачи
6.2.1. Чему равно отношение двух напряжений, если по ло-
гарифмической шкале ему соответствуют следующие значения в
дБ:
0; 0,5; 1; 10; 30; 40; 90; 100; -0,5; -1; -10; -30; -40; -90; -100?
6.2.2. Чему равно отношение двух мощностей, если по шка-
ле дБ ему соответствуют значения: 0; 0,5; 1; 10; 30; 40, 90; 100;-
0,5; -1 ;-10; -30; -40; -90 и -100 дБ.
6.23. Отношение двух напряжений (токов) равно: 1 О'4; 3,16
10"; 3,16-10”3; 0,1; 0,316; 1; 31,6; 100; 316; Ю’5.
Выразить эти отношения, используя логарифмическую шка-
лу.
6.2.4. Выразить в дБ следующие значения отношений мощ-
ности: Ю10; 10'5; 10?; 0,0316; 0,1; 0,316; 1,0; 3,16; 31,6 100; 105;
Ю10.
6.2.5. Для снижения уровня помехи на входе цифрового
вольтметра используется фильтр с коэффициентом подавления
помехи 70 дБ. Определить до какого значения снижается величи-
на помехи, если ее первоначальное значение составляло 1 мВ.
6.2.6. Отношение сигнал-шум на входе радиоприемника
равно 12 дБ. Определить уровень шумового сигнала, если уро-
вень полезного сигнала на входе приемника равен 0,25 мкВ.
6.2.7. Величины напряжений, указанные по йгкале со ссыл-
кой на абсолютное значение, равны: -10 дБмкВ; 0 дБмкВ; 10
61
дБмкВ; 20 дБмкВ; 50 дБмкВ; 100 дБмкВ; -120 дБВ; -90 дБВ; -50
дБВ; 0 дБВ; 10 дБВ; 50 дБВ. Определить значения этих напряже-
ний в вольтах.
6.2.8. Величины мощности, определенные по логарифмиче-
ской шкале с ссылкой на абсолютные значения дБмВт, равны
следующим значениям: -100; -70; -50; 0; 10; 50. Выразить указан-
ные значения в Вт и дБВт.
6.2.9. Уровень напряжения равен 50 мкВ. Выразить данную
величину в дБВ и дБмВ.
6.2.10. Мощность, рассеиваемая нагрузкой 600 Ом, равна 2
дБмВт, определить в дБмкВ падение напряжения на нагрузке.
6.2.11. На некоторой частоте Ft вне полосы пропускания
усилителя амплитуда сигнала снижается в 10 раз по сравнению с
ее значением в пределах полосы пропускания. Определить на
сколько децибел отличаются коэффициенты усиления в пределах
полосы пропускания и на указанной частоте Fj. На сколько деци-
бел снижается усиление на граничной частоте полосы пропуска-
ния, определяемой по уровню 0,7? Во сколько раз на этой частоте
изменяется усиление по мощности?
6.2.12. Коэффициент усиления трехкаскадного усилителя
100 дБ. Коэффициент усиления второго каскада равен 100, а ко-
эффициент усиления третьего 20 дБ. Определить коэффициент
усиления первого каскада.
6.2.13. Отклонение АЧХ канала звукового вещания в полосе
частот 40 Гц... 125 Гц относительно коэффициента передачи на
частоте 1 кГц находится в пределах +0,5 дБ ... -2,0 дБ. Опреде-
лить отношение максимального коэффициента передачи на этих
частотах к минимальному коэффициенту.
6.2.14. Полоса пропускания усилителя определяется часто-
тами, на которых коэффициент усиления снижается в 7г раз по
сравнению с его значением на средних частотах. Изобразите в
полулогарифмическом масштабе АЧХ усилителя звуковой часто-
ты с полосой пропускания 20 Гц...20 кГц. На оси ординат при-
вести значения коэффициента усиления в дБ относительно его
значения на средних частотах. На оси абсцисс в логарифмиче-
62
ском масштабе указать значение частоты. Отметить координаты
точек, соответствующих границам полосы пропускания усилите-
ля. На вертикальной оси изобразить вторую шкалу — шкалу абсо-
лютных значений коэффициента усиления. Максимальное его
значение на средних частотах равно 120.
6.2.15. Спад АЧХ фильтра низких частот равен 6 дБ на дека-
ду. Изобразите график АЧХ, указав по вертикальной оси значе-
ния коэффициента передачи в децибелах. Частота среза фильтра
равна 500 Гц.
7. СОВРЕМЕННЫЙ АНАЛОГОВЫЙ ОСЦИЛЛОГРАФ И
ОСЦИЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИЗМЕРЕНИЯ
7.1. Чтобы грамотно использовать любой прибор, желатель-
но четко представлять его возможности как средства измерения.
К осциллографу это относится в первую очередь, т.к. этот уни-
версальный прибор широко применяется в инженерной практике.
Тем не менее, иногда выявляются определенные трудности по-
нимания студентами физической сути таких, казалось бы, оче-
видных функций осциллографа, как линейная развертка, синхро-
низация развертки, чувствительность каналов передачи сигнала и
т.д. Поэтому в настоящем разделе предлагается решить ряд задач,
связанных с конкретным использованием современного 20-
мегагерцового двухканального аналогового осциллографа GOS-
620 компании Good Will (Jnstek). Технические характеристики
прибора приведены в приложении 3. Масштабная сетка, нанесен-
ная на внутреннюю поверхность экрана (для уменьшения по-
грешности параллакса), имеет десять сантиметровых делений по
горизонтали, и восемь таких же делений по вертикали. Цена од-
ного калиброванного деления может составлять: по вертикали -
(0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5) В или (5; 10; 20; 50) мВ - устанавливается
переключателем «вольт/дел» и (0,1; 0,2; 0,5) с, (0,1; 0,2; 0,5; 1; 2;
5; 10; 20; 50) мс или (1; 2; 5; 10; 20; 50) мкс по горизонтали (уста-
навливается переключателем длительности развертки «вре-
мя/дел»).
63
В параграфе 8 рассмотрены вопросы, связанные с примене-
нием современного цифрового осциллографа GDC-810C.
7.2. Задачи
7.2.1. По приведенным техническим характеристикам при-
бора определить наибольшую и наименьшую чувствительности
для канала вертикального отклонения луча. Какова должна быть
при этом величина напряжения на входе канала, чтобы изобра-
жения занимали не менее 70% размера экрана по вертикали?
7.2.2. Определить параметры прямоугольного однополярно-
го импульса, если его размеры по вертикали 3,8 деления, а по го-
ризонтали 2,7 деления. Цена делений 5 В и 5 мкс соответственно
для вертикальной и горизонтальной осей масштабной сетки.
7.2.3. Чему равна максимальная частота периодического
сигнала, который следует подать на вход осциллографа, чтобы на
экране получилось изображение двух периодов?
7.2.4. Чем определяется скорость движения луча на экране
осциллографа в вертикальном и горизонтальном направлении?
Чему равна максимальная скорость движения луча? Рассмотреть
случаи движения по горизонтали (на экране - линия развертки),
по вертикали (развертка отключена, на вход канала подан иссле-
дуемый сигнал) и случай сложного движения, когда мгновенная
скорость имеет вертикальную и горизонтальную составляющие.
7.2.5. С какой минимальной скоростью может перемешаться
луч по экрану осциллографа? Сигналы какого диапазона частот
при этом подлежат анализу?
7.2.6. Какова может быть минимальная длительность им-
пульсного сигнала, чтобы его размер на экране осциллографа
занимал не меньше четырех делений по горизонтали? Чему при
этом равна частота развертки и скорость движения луча по эк-
рану?
7.2.7. Оцените скорость горизонтального перемещения све-
тового пятна (луча) по экрану осциллографа для следующих по-
ложений переключателя «время/дел»: 0,2 с/дел, 0,5 мс/дел, 1
64
мкс/дел. Горизонтальная ось масштабной сетки, нанесенной на
экран, имеет 10 больших делений, каждое из которых разделено
на 5 маленьких делений. При расчетах принять длину одного ма-
лого деления равной 2 мм.
7.2.8. Осциллограф работает в режиме внешней развертки.
На сигнальный вход (вход Y) подано напряжение
иу(0-1,5 5й(2л-1,5-1О’ г) В. Какой сигнал «,(/) необходимо подать на
вход внешней развертки осциллографа (вход X), чтобы на экране
получилась осциллограмма в виде окружности? Рассчитайте па-
раметры напряжения развертки «,(<), изобразите временные диа-
граммы сигналов ujf) и ujt), указав масштаб по осям графика.
Докажите, что при данных параметрах сигналов иДг) и ux(t) дейст-
вительно получается осциллограмма в виде окружности.
7.2.9. Для предыдущей задачи определить параметры на-
пряжения развертки, при котором получается осциллограмма в
виде наклонной линии, расположенной в первом и третьем квад-
рантах (во втором и четвертом квадрантах). Докажите, что при
данных параметрах сигналов uy(t) и ujt) действительно получает-
ся такая осциллограмма.
7.2.10. Осциллограф работает в режиме внешней развертки.
На сигнальный вход (вход Y) подано напряжение
к|.(/)=2.5-Сол(2л104-г) В. Какой сигнал ux(z) необходимо подать на
вход внешней развертки осциллографа (вход X), чтобы на экране
получилась осциллограмма в виде вертикальной восьмерки (го-
ризонтальной восьмерки)? Рассчитайте параметры напряжения
развертки ux(t), изобразите временные диаграммы сигналов uy(t) и
их(0- Докажите, что при данных параметрах сигналов «Дг) и ux(t)
действительно получается такая осциллограмма.
7.2.11. Осциллограф работает в режиме внешней развертки.
Какие сигналы следует подавать на сигнальный вход (вход Y) и
на вход внешней развертки (вход X), чтобы на экране получилась
осциллограмма в виде ромба, диагонали которого совпадают с
вертикальной и горизонтальной осями масштабной сетки осцил-
лографа. Изобразите временные диаграммы сигналов uy(t) и ux(t).
65
Докажите, что при данных сигналах uy(t) и их(г) действительно по-
лучается осциллограмма в виде ромба.
7.2.12. При измерении частоты гармонического сигнала ме-
тодом фигур Лиссажу сигнал эталонной частоты (10,0 ± 0,2) кГц
был подан на вход Y осциллографа. Оцените абсолютную по-
грешность измерения, если получена осциллограмма, изображен-
ная на рис. 7.1а. Как следует изменить эталонную частоту, чтобы
осциллограмма приняла вид, показанный на рис. 7.16?
а б
Рис. 7.1. Осциллограмма
7.2.13. При измерении частоты методом нулевых биений в ка-
честве индикатора сигнала биений применен осциллограф. Изобра-
зите в масштабе наблюдаемую осциллограмму для случая, когда
исследуемый сигнал может быть описан следующим выражением:
wx(/) = t7m Сот^2тг 140 10^/^, а сигнал эталонного генератора
описывается как: лэш(/) = • Сол] 2я 141 - 10^z]. При выборе
положения, в которое следует установить переключатель «вре-
мя/дел», считать, что числовые отметки на шкале данного пере-
ключателя подчиняются правилу «1-2-5» (т.е. на шкале имеются
отметки 0,5 с/дел, 0,2 с/дел, 0,1 с/дел, 50 мс/дел, 20 мс/дел и т.д.).
Докажите, что осциллограмма должна быть именно такой.
7.2.14. Решите предыдущую задачу для случаев, когда сигнал
эталонного генератора равен:
66
a) u3m(t) = Um • • 140,5 • 103Z
6) u^m(t\=Um Со/2л- • 141,05 • 103/
e) u9m(t) = Um Goshin 139,995 -103 Z
7.2.15. На сигнальный вход осциллографа (вход Y) подано на-
пряжение z/j(z) = 0,35 • Sin(n • 4 103 • Г) В. В какое положение сле-
дует установить переключатели Вольт/дел и время/дел, чтобы на-
блюдать на экране один (четыре) периода исследуемого колебания?
Числовые отметки на шкале переключателей подчиняются правилу
«1-2-5» (т.е. на шкале Вольт/дел есть отметки 5 В/дел, 2 В/дел, 1
В/дел, 0,5 В/дел, 0,2 В/дел и т.д., а на шкале время/дел, соответст-
венно 0,5 с/дел, 0,2 с/дел, 0,1 с/дел, 50 мс/дел, 20 мс/дел и т.д.).
Изобразите в масштабе получаемые осциллограммы, приняв, что
вертикальная и горизонтальная оси масштабной сетки осциллогра-
фа имеют соответственно 8 и 10 больших делений, причем каждое
большое деление разделено на 5 маленьких делений. Как будет ме-
няться осциллограмма, если переключатель входа усилителя Y по-
следовательно переводить в положения «вход открыт», «вход за-
землен», «вход закрыт»?
7.2.16. Исходя из условия задачи 7.2.14, определить макси-
мальную точность, с которой может быть выполнено измерение
амплитуды, периода и частоты исследуемого гармонического ко-
лебания. Оценить абсолютные погрешности перечисленных из-
мерений. Относительная погрешность измерения амплитуды и
периода может
2 +
° — °осц + J
быть найдена, по формуле
•100%, где ЗОСц - 0,03 - относительная по-
грешность осциллографа, — абсолютная погрешность измере-
ния по осциллограмме длины отрезка /, соответствующего ам-
плитуде или периоду сигнала (равна половинбоДного малого де-
д/
ления масштабной сетки), 1 — относительная погрешность изме-
67
рения по осциллограмме длины отрезка /.
7.2.17. На вход осциллографа подан сигнал, представляющий
собой периодическую последовательность прямоугольных импуль-
сов положительной полярности. Параметры исследуемого напря-
жения: амплитуда t/m=3,2 В, частота F = 1 кГц, длительность им-
пульса tu — 125 мкс. В каком положении должны находиться пере-
ключатели Вольт/дел и время/дел для получения максимально воз-
можной точности измерения амплитуды, длительности и периода
сигнала? Оцените точность измерения амплитуды, длительности
импульса, периода Т, частоты и скважности Q данного сигнала. Как
будет меняться осциллограмма, если переключатель входа усили-
теля Y последовательно Переводить в положения «вход открыт»,
«вход заземлен», «вход закрыт»? Опишите алгоритм измерения по-
стоянной составляющей Uo данного сигнала. Запишите результат
измерения Um, F, Т, Q и Uo в стандартном виде. Числовые отметки
на шкале переключателей «Вольт/дел» и «время/дел» подчиняются
правилу «1-2-5» (см. задачу 7.2.14). Формула для оценки точности
измерений, выполненных с использованием масштабной сетки ос-
циллографа, дана в задаче 7.2.15.
7.2.18. При исследовании, гармонического сигнала использу-
ется режим периодической развертки осциллографа. Частота раз-
вертки Fx установлена такой, чтобы на экране наблюдался один пе-
риод колебания. Опишите, как перемещается луч на экране в про-
цессе формирования осциллограммы. Что изменится, если частота
развертки уменьшится (увеличится) на 5%?
7.2.19. Пульсирующее напряжение отрицательной полярно-
сти, сформированное на выходе однополупериодного выпрямите-
ля, входящего в состав сетевого блока питания, подано на сигналь-
ный вход осциллографа. Амплитуда сигнала t/m=33,5 В, частота F=
50 Гц. В каком положении должны находиться переключатели
«Вольт/дел» и «время/дел» для получения максимально возможной
точности измерения амплитуды, частоты и периода Т сигнала? Как
будет меняться осциллограмма, если переключатель входа усили-
теля Y последовательно переводить в положения «вход открыт»,
«вход заземлен», «вход закрыт»? Опишите алгоритм измерения по-
68
стоянной составляющей Uo данного сигнала. Запишите результат
измерения Um, F, Т и Uo в стандартном виде. Числовые отметки на
шкале переключателей «Вольт/дел» и «время/дел» подчиняются
правилу «1-2-5» (см. задачу 7.2.14). Формула для оценки точности
измерении, выполненных с использованием масштабной сетки ос-
циллографа, дана в задаче 7.2.15.
7.2.20. Решить предыдущую задачу для случая, если исследу-
ется пульсирующее напряжение на выходе двухполупериодного
выпрямителя. Частота сигнала F =100 Гц, амплитуда Um=33,5 В,
полярность - положительная.
7.2.21. Сигнал в виде периодической последовательности
прямоугольных импульсных сигналов положительной полярности
с амплитудой Um= 5,4 В подан на сигнальный вход осциллографа.
Частота сигнала 10 кГц, длительность импульсов tu — 7,5 мкс, дли-
тельность переднего и заднего фронтов: г*= 0,5 мкс, '#= 1,2 мкс. В
каком положении должны находиться переключатели «Вольт/дел»
и «время/дел» для получения максимально возможной точности
измерения амплитуды, длительности импульса, частоты, периода Т
и скважности Q импульсной последовательности? Оцените точ-
ность измерения данных параметров. Опишите алгоритм измере-
ния длительностей переднего и заднего фронтов сигнала. Запишите
результат измерения Um, tu, Т, Q, F,‘ф и ** в стандартном виде. Чи-
словые отметки на шкале переключателей «Вольт/дел» и «вре-
мя/дел» подчиняются правилу «1-2-5» (см. задачу 7.2.14). Формула
для оценки точности измерений, выполненных с использованием
масштабной сетки осциллографа, дана в задаче 7.2.15.
8. ЦИФРОВОЙ ОСЦИЛЛОГРАФ
В настоящем разделе помещен материал, который позволяет
подкрепить теоретическое решение задач экспериментальной
проверкой с использованием цифрового осциллографа.
Цифровой осциллограф типа GDC-810C обладает очень ши-
рокими функциональными возможностями, среди которых чаще
всего востребованы измерения временных и потенциальных па-
69
раметров сигнала, а также определение его гармонических со-
ставляющих.
Условно основные задачи можно разделить на две большие
группы: измерение параметров сигналов и математическая обра-
ботка сигналов. В осциллографе предусмотрено измерение раз-
личных потенциальных параметров (числом восемь), характери-
зующих сигналы различной формы. В число этих параметров
входит также и среднеквадратическое значение напряжения сиг-
налов любой формы. Имеется возможность измерения восьми
временных параметров, например: частоты, периода, времени на-
растания сигнала и т.п. Выбор параметра, который подлежит из-
мерению, производится кнопками управления Fl, F2, F3, F4, F5,
которые расположены вертикально, справа от экрана. Каждая
кнопка управляет своей ячейкой меню, расположенного на экра-
не также вертикально.
В осциллографе предусмотрены три математические опера-
ции: сложение двух сигналов, вычитание одного сигнала из дру-
гого, анализ спектра одного из сигналов методом быстрого пре-
образования Фурье. Переход к математическим операциям про-
изводится нажатием клавиши «математика», а выбор операции
осуществляется с помощью кнопки F1.
На передней панели осциллографа имеются еще две клави-
ши с названием «меню», одна управляет видом развертки: основ-
ная развертка, эллиптическая и т.п., другая клавиша управляет
выбором канала синхронизации и режимом синхронизации, име-
ется клавиша автоматической установки изображения на экране
осциллографа. Более подробные сведения об осциллографе мож-
но получить из технического описания.
Экспериментальные исследования должны содержать сле-
дующие этапы:
1. Определение частотной характеристики четырехполюс-
ника при гармоническом сигнале.
2. Расчет погрешностей, имевших место при проведенном
эксперименте.
3. Определение свойств четырехполюсника при подаче на
70
его вход прямоугольного сигнала.
4. Гармонический анализ входного и выходного сигналов
четырехполюсника при питании его напряжением сложной фор-
мы «меандр».
5. Определение фазовых сдвигов методом эллиптической
развертки при питании исследуемой схемы гармоническим на-
пряжением.
6. Запоминание сигналов на экране осциллографа.
Для проведения эксперимента вход выбранной схемы со-
единяется с выходом генератора, и параллельно вход схемы под-
соединяется к входу первого канала осциллографа. Выход схемы
соединяется со вторым каналом. После этого подается питание на
осциллограф, и обозначившиеся на экране стрелки горизонталь-
ного и вертикального положений устанавливаются по центру эк-
рана с помощью соответствующих регулировок, включается ге-
нератор, на выходе его устанавливается гармонический сигнал
напряжением один или два вольта и частотой 50 Гц. После этого
производится установка режимов работы первого «К.1» и второго
«К.2» каналов В меню синхронизации в зоне «запуск» выбирает-
ся синхронизация по первому каналу, тип запуска - «фронтом»,
режим - «авто». Для перехода к снятию амплитудно-частотной
характеристики схемы следует нажать клавишу «измерение», и в
появившемся меню выставить с помощью кнопок Fl, F2, F3, F4,
F5 те параметры, которые указаны в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Зад. частота 20 Гц 50 Гц 100 Гц 200 Гц 500 Гц 1000 Гц 2000 Гц
Vamp
Vmax
Vrms
В./дел.
AVrms, В.
8, %
Частота f, Гц
71
Период Т. Сек.
Сек/дел.
ДТ, сек.
Vmax, Vmin - положительная и отрицательная амплитуды
сигнала, соответственно; Vans - среднеквадратическое значение;
Vamp - размах, равный сумме абсолютных значений амплитуд.
По данным табл. 1 строится частотная характеристика схемы.
Частота 20 Гц принята за начальную точку отсчета. По построен-
ному графику определяется частота среза (Fcp.), которая соответ-
ствует точке на оси ординат М=0,7 (M=Vrmsi/Vrmso Vrmsi,
VrmSo - среднеквадратические значения напряжений при теку-
щем значении частоты и при 20 Гц соответственно).
Расчет погрешностей производится по формулам (8.1)-(8.4).
Максимальная абсолютная погрешность измерения напря-
жения:
ДУ=± (0,03У+0,05Кв) В, (8.1)
где: V - измеренное значение напряжения, Кв - цена деле-
ния масштабной сетки в вольтах.
Относительная погрешность измерения напряжения:
5%=±~ioo%. (8.2)
Максимальная абсолютная погрешность измерения време-
ни:
ДТ=± (0,0001 Т+0,004 Кт+40 пс) сек, (8.3)
Т - измеренное значение периода, Кт - цена деления мас-
штабной сетки по времени.
Относительная погрешность измерения периода:
8%=+y-ioo%. (8.4)
Гармонический анализ производится методом быстрого пре-
образования Фурье (БПФ), поочередно для первого и второго ка-
налов. Испытания проводятся при режиме работы схемы, рас-
смотренном в предыдущем разделе при частоте среза. Анализ
следует производить для четырех старших гармоник. Первона-
72
чально анализируется состав гармоник в первом канале (входной
сигнал). Последовательность операций следующая:
Для установки режима БПФ нажимается клавиша «матема-
тика». В появившемся на экране меню устанавливается в первой
ячейке БПФ. В появившемся вспомогательном меню выбирается
канал 1 и устанавливается окно «Хеннинга», если не дано других
рекомендаций.
Измерение гармонических составляющих рекомендуется
производить с помощью курсоров. При включенном режиме БПФ
нажимается клавиша «курсор», а затем кнопкой F1 выбирается
режим «математика» в меню. Для вывода на экран курсоров ис-
пользуются кнопки F2, F3. F2 - управляет режимом работы вер-
тикальных курсоров, которые могут перемещаться по оси частот
«курсоры X», F3 - управляет режимом работы горизонтальных
курсоров «курсоры Y».
После проведения гармонического анализа входного сигна-
ла следует произвести гармонический анализ выходного сигнала
(второй канал осциллографа).
Определение фазовых сдвигов производится методом эл-
липтической развертки при питании исследуемой схемы гармо-
ническим напряжением. Осциллограф обеспечивает режим рабо-
ты «Х-Y входа». При этом входом оси X является сигнал, пода-
ваемый на вход канала 1, а входом оси Y является сигнал, пода-
ваемый на вход канала 2. Используется та же схема, что и при
снятии частотной характеристики. Эксперимент производится на
трех частотах: на частоте среза, а также на частоте меньшей час-
тоты среза и частоте большей частоты среза с разницей ± 200 Гц.
Полученное изображение записывается на компьютер.
Осциллограф способен записать во внутреннюю память две
формы входного сигнала (в ячейки А и В). Эта информация со-
храняется даже при выключении осциллографа. Для этого вызы-
вается соответствующее меню нажатием клавиши «за-
пись/вызов». Кнопкой F1 выбирается режим записи «сигнал».
Кнопкой F2 выбирается источник, от которого будет произво-
диться запись входного сигнала «канал1-канал2-математика».
73
Источник выбирается по рекомендации преподавателя. Затем вы-
бирается ячейка «память А или память В». После выбора источ-
ника и ячейки нажатием на кнопку F4 происходит запись сигна-
ла. Включение и выключение отображения запомненной формы
сигнала производится кнопкой F5. Одновременно можно отобра-
зить две формы сигнала из памяти. Это позволяет формировать
шаблон в режиме «Допусковый контроль», при работе осцилло-
графа в промышленных условиях.
Использование цифрового осциллографа позволяет опреде-
лять основные параметры пассивного четырехполюсника с при-
менением только одного прибора.
Данные методы исследования могут применяться и для ис-
следования активных схем.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бёрд Д. Инженерная математика. Карманный справочник.
- М.: Издательский дом «Додэка-ХХ1», 2008.
2. Основные термины в области метрологии. Словарь-
справочник. - М.: Издательство стандартов, 1989.
3. Метрология и электрорадиоизмерения в телекоммуника-
ционных системах. Учебник для вузов. Под ред. В.И. Нефедова. -
М.: Высшая школа, 2001.
4. Кузнецов В.А., Долгов В.М., Коневских В.М. и др. Изме-
рения в электронике. Справочник. / Под ред. В.А. Кузнецова. -
М.: Энергоатомиздат, 1987.
5. Кухлинг X. Справочник по физике. - М.: Мир, 1982.
6. Метрология и радиоизмерения, под ред. В.И. Нефедова. -
М.: Высшая школа, 2006.
7. Зайдель А.Н. Ошибки измерений физических величин:
Учебное пособие. - СПб.: Издательство «Лань», 2005.
8. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей ре-
зультатов измерений. - Л.: Энергоатомиздат, 1991.
9. Белянина Е.К., Федорова Е.В. Основы метрологии, стан-
дартизации и измерительной техники. Сборник задач. - М.: МИ-
74
РЭА, 2000.
10. Дэвис Д. Карр Д. Карманный справочник радиоинжене-
ра. - М.: Издательский дом «Додэка-ХХ!», 2002.
И. Дьяконов В.П. Современная осциллография и осцилло-
графы. Серия «Библиотека радиоинженера». - М.: СОЛОН -
Пресс, 2005.
12. Осциллографы GOS-620, GOS-620FG. Руководство по
эксплуатации. Instek Good Will Instrument Co., LTD. - M.: 2000.
13. Осциллограф цифровой GDC-810C. Руководство по экс-
плуатации. Instek Good Will Instrument Co., LTD. - M.: 2000.
9. ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Таблица П. 1.1
Функция 2Ф(7)(интеграл вероятностей) для нормального закона
т 2Ф0 t 2Фф t 2Ф(1) t 2Ф0
0,00 0,000 0,70 0,516 1,40 0,839 2,25 0,976
0,10 0,080 0,80 0,576 1,50 0,866 2,50 0,988
0,20 0,159 0,90 0,632 1,60 0,890 2,75 0,994
0,30 0,236 1,00 0,683 1,70 0,911 з,оо 0,9973
0,40 0,311 1,10 0,729 1,80 0,928 3,30 0,9990
0,50 0,383 1,20 0,770 1,90 0,943 3,50 0,9995
0,60 0,452 1,30 0,806 2,00 0,955 4,00 0,9999
Таблица П. 1.2
Коэффициенты Стьюдента tent = t(n,Pd)
п\Рд 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 0,98 0,99
2 1,00 1,38 1,96 3,08 6,31 12,7 31,82 63,66
3 0,82 1,06 1,34 1,89 2,92 4,30; 6,97 9,93
4 0,77 0,98 1,25 1,64 2,35 3,18 4j54 5,84
5 0,74 0,94 1,19 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60
75
6 0,73 0,92 1,16 1,48 2,02 2,62 3,37 4,03
7 0,72 0,91 1,13 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71
8 0,71 0,90 1,12 1,42 1,90 2,37 3,00 3,50
9 0,71 0,89 1,11 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
10 0,70 0,88 1,10 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25
16 0,69 0,87 1,07 1,34 1,75 2,13 2,60 2,95
25 0,69 0,86 1,06 1,32 1,71 2,06 2,49 2,80
Приложение 2
Таблица П.2.1
Пеоевол отношения наппяжений Uy в летшбелы
/1
Gu, дБ 0 -0,1 -0,5 -1,0 -5,0 -10
U2:U! 1,000 0,989 0,944 0,891 0,565 0,316
Gu, дБ -20 -60 -100 0,5 1,0 5,0
U2:U, 0,100 10'3 10'5 1,059 1,122 1,778
Gu, дБ 10 20 50 80 100 120
U2:Ui 3,162 10,00 3,16102 104 105 106
Таблица П.2.2
Перевод отношения двух мощностей в децибелы
Gp, дБ 0 -0,1 -0,5 -1,0 -5,0 -10
P2:Pi 1,000 0,977 0,891 0,794 0,316 0,100
Gp, дБ -20 -50 -80 -100 0,5 1,0
P2:Pi 0,0100 10’5 10‘8 10’1и 1,122 1,259
16
Ор,дБ 5 10 20 50 80 100
P2:Pi 3,162 10,00 100,0 105 10g 101и
Как отмечалось ранее (см. раздел 6), шкала вольтметра мо-
жет быть проградуирована для измерения уровней напряжения в
децибелах.
В табл. П.2.3 показано соответствие абсолютных значений
напряжений и уровней напряжения. В табл. П.2.4 приведены ана-
логичные данные для мощности.
Таблица П.2.3
Соответствие напряжений логарифмическим уровням
напряжения
Напряжение, мкВ 1 5 10 50 100 200 500
дБВ -120 -106 -100 -86 -80 -74 -66
дБмкВ 0 14 20 34 40 46 54
Напряжение, мВ 1 5 10 50 100 200 500
ДБВ -60 -46 -40 -26 -20 -14 -6
дБмкВ 60 74 80 94 100 06 114
Напряжение, В 1 5 10 50 100 200 500
ДБВ 0 14 20 34 40 48 54
дБмкВ 120 134 140 154 160 166 174
Таблица П.2.4
Соответствие мощностей логарифмическим уровням мощности
Мощность, мВт 1 5 10 50 100 200 500
дБВт -30 -23,3 -20 -13 -10 -7 -3
дБмВт 0 7 10 17 20 23 27
77
Приложение 3
Технические характеристики универсального двухканального ос-
___________________циллографа GOS-620,__________________
Характеристики Параметры Значения
Канал горизонталь- ного отклонения Коэффициент развертки (Крам) Погрешность установки КразВ Регулировка Кразв Режимы запуска развертки 0,2 мкс/дел...0,5 с/дел (шаг 1-2-5), растяжка '10 ±3% (±5% при рас- тяжке '10) Плавное перекры- тие в 2,5 раза Автоколебатель- ный, ждущий, ТВ
Дополнительные возможности Синхронизация X-Y-вход Z-вход Автовыбор синхро- сигнала Развертка внешним сигналом Модуляция яркости луча
Приложение 4
Задания для проведения групповых занятий
При проведении групповых занятий возникает необходи-
мость текущего контроля усвоения материала. С этой целью ни-
78
же приведен ряд однотипных задач с различными числовыми
данными, которые могут быть предложены для решения на ауди-
торных занятиях. Количество вариантов 18. Приведенный мате-
риал может также использоваться в качестве домашних расчет-
ных индивидуальных заданий. Вся теоретическая основа, необ-
ходимая для решения задач, изложена в семи основных главах
настоящего задачника. При подборе задач выделены разделы
метрологии, изучение которых вызывает наибольшие затрудне-
ния. Ниже перечислены эти разделы:
1. Обработка результатов измерения при наличии случай-
ных погрешностей.
2. Инструментальные погрешности и формы их представле-
ния.
3. Обработка результатов измерений с учетом инструмен-
тальных погрешностей.
4. Методические погрешности вольтметров при измерении
сигналов сложной формы.
5. Учет инструментальной погрешности при выборе измери-
тельного прибора, что предлагается произвести на примере кон-
кретного цифрового измерителя частоты и интервалов времени.
б. Выбор режима работы измерительного прибора на основе
анализа его технических характеристик. В качестве примера взят
аналоговый электронный осциллограф.
Выбор варианта может быть предложен преподавателем или
определен как сумма двух последних цифр студенческого билета
или зачетной книжки.
П.4.1. Обработка результатов измерений при наличии
случайных погрешностей
Если в результате многократных измерений физической ве-
личины была получена выборка случайных значений {X,}, то по-
сле проведения ее статистической обработки следует указать ин-
тервал значений от XI до Х2, в котором заключено истинное зна-
чение измеряемой величины. Этот интервал называется довери-
79
тельным, а численные значения XI и Х2 называются границами
доверительного интервала. Соответственно, вероятность нахож-
дения истинного значения величины в границах (XI ; Х2) назы-
вается доверительной вероятностью. Методика проведения рас-
четов изложена в разделе 4 настоящего задачника. Здесь же крат-
ко упомянем некоторые важные положения теории, которые сле-
дует иметь в виду, проводя обработку данных измерений с мно-
гократными наблюдениями (многократных измерений).
Доверительный интервал может быть выражен через сред-
нее арифметическое выборки ряда наблюдений (А) и граничные
значения погрешностей относительно среднего арифметического
(el и е2). Надежность доверительного интервала задает довери-
тельная вероятность, определяемая как вероятность нахождения
случайной погрешности (е) в границы доверительного интервала.
Поскольку деление погрешностей на систематические и слу-
чайные достаточно условно, то иногда принято систематические
погрешности также оценивать по методике, справедливой для
случайных величин, с применением равномерного или треуголь-
ного закона распределения плотности вероятности.
Внешние воздействия определяют характер поведения слу-
чайных погрешностей и приводят к тому, что сам ряд данных
многократного наблюдения {X,}, i = 1...п становится выборкой
случайных величин. При большом числе возмущающих факторов
их суммарное воздействие вызывает появление случайных по-
грешностей, подчиняющихся нормальному закону распределения
плотности вероятности.
П.4.2. Задания по обработке результатов измерения
Задание 1. Для выборки экспериментальных данных, полу-
ченных при измерении выходного напряжения генератора, опреде-
лить границы доверительного интервала при заданной доверитель-
ной вероятности Pd. Расчеты проводить в первом случае с использо-
ванием таблиц нормального закона, во втором - таблиц Стьюдента.
Объяснить разницу полученных результатов. При измерении ис-
80
пользуется цифровой вольтметр В7-16. В табл. П.4.1 для вариантов
1...18 приведены номер выборки, доверительная вероятность Рй,
класс точности вольтметра c/d предел измерения U^. Числовые дан-
ные конкретной выборки взять из табл. П.4.2. Данные задания 1 ис-
пользуются также при выполнении следующих заданий 3 и 4.
Таблица П.4.1
Вариант Выборка Ра U к, В c/d
1 1 0,50 1 0,1/0,05
2 1 0,60 1 0,2/0,10
3 1 0,70 1 0,2/0,05
4 2 0,80 1000 0,5/0,05
5 1 0,90 1 1,0/0,10
6 Г 0,95 1 1,5/0,10
7 1 0,98 1 4,0/1,50
8 2 0,99 1000 0,1/0,05
9 2 0,997 1000 0,2/0,10
10 3 0,50 10 1,1/0,05
11 3 0,60 10 0,2/0,10
12 3 0,90 10 0,5/0,05
13 3 0,98 10 4,0/1,50
14 4 0,70 100 0,1/0,05
15 4 0,80 100 0,2/0,10
16 4 0,95 100 0,5/0,05
17 4 0,99 100 4,0/1,50
18 4 0,997 100 0,5/0,05
Таблица П.4.2
Выборка Ед. изм. {Uj},i=U.10
1 мВ 952,5; 957,0; 955,5; 953,0; 954,5; 954,9; 955,1; 956,8; 955,2; 952,5.
2 мВ 852,5; 857,0; 855,5; 853,0; 854,5; 854,9; 854,8; 855,1; 855,2; 852,5.
3 В 7,551; 7,562; 7,549; 7,538; 7,525; 7,555; 7,545; 7,545; 7,555; 7,525.
81
4 В 85,61; 85,52; 85,39; 85,48; 85,25; 85,55; 85,45; 85,45; 85,55; 85,25.
После завершения решения задачи результат должен быть
представлен следующими численными значениями: среднее
арифметическое выборки, граничные значения погрешностей,
границы доверительного интервала и доверительная вероятность.
Примечание: используемая в обозначении класса точно-
сти цифрового вольтметра c/d косая черта не является знаком
деления.
Задание 2. Определение доверительной вероятности при за-
данном доверительном интервале.
Для выборки случайных величин задания 1 определить зна-
чение доверительной вероятности, если заданы граничные значе-
ния погрешностей в процентном отношении к среднему арифме-
тическому: £] -нижняя граница, Ег ~ верхняя граница.
Значения Ej и Ег взять из табл. П.4.3.
Таблица П.4.3
Вариант 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ei, % -0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,05 -0,02 0 0
е2, % 02 0.2 0,1 0,1 0 0,05 0,05 0,05 0,1
Вариант 10 11 12 .13 14 15 16 17 18
Ei, % -0,1 -0,01 -0,05 -0,05 -0,1 -0,02 -0,02 -0,15 0
0 0,01 0,02 0 0,05 0,02 0,01 0 0,15
Задание 2 рекомендуется выполнять в следующей последо-
вательности:
Используя вычисленные ранее значение «А» рассчитать е1 и
е2 (границы погрешности). Затем по формуле (П.4.6) определить
безразмерные коэффициенты tl и t2 и по табл. П.1.1 или П.1.2
82
приложения Ш найти доверительную вероятность Pd. Форма за-
писи результата такая же, как и в задании 1. Его можно также
представить в следующем виде: Р[Х1< М <Х2] = Рд, где Рд - до-
верительная вероятность, определенная по таблицам нормального
закона и закона Стьюдента.
П.4.3. Инструментальные погрешности и формы
их представления
Инструментальные погрешности цифровых вольтметров
обычно описываются трехчленной формулой относительной по-
грешности:
Ilk
£ = ±[c + d(^y-l)] . (П.4.1)
Параметры «<5,C,d» - это выраженные в процентах мак-
симальные относительные погрешности. Uk - верхняя граница
диапазона измерения вольтметра (конечное значение шкалы
прибора), U - текущее значение измеряемой величины. Изме-
няя текущее значение напряжения, можно построить график
распределения относительной погрешности (модуля) по диапа-
зону измерения.
Задание 3. Построить графики распределения относитель-
ной и абсолютной погрешностей по диапазону измерения для
цифрового вольтметра. Рассчитать значения относительной и аб-
солютной погрешностей, которые соответствуют среднему ариф-
метическому значению выборки «А», определенному в задании 1.
Найти относительную погрешность среднего арифметического
6(A). Определить абсолютную максимальную погрешность в
точке шкалы, соответствующей значению «А»:
0=5(А)* А/100%. (П.4.2)
Данные своего варианта, необходимые для расчета задания
3, взять из табл. П.4.1.
При начертании графиков следует придерживаться масшта-
83
ба и указывать размерность величин, отложенных по координат-
ным осям.
IL4.4. Обработка результатов измерений с учетом
инструментальных погрешностей
Абсолютная погрешность, определенная по формуле (П.1.2),
является максимальной с вероятностью 100%, т.е. реальная по-
грешность никогда не превысит расчетную. Результирующая ве-
роятность при наличии двух составляющих погрешности (инст-
рументальной и случайной) определяется произведением вероят-
ностей. Т.к. одна из вероятностей (для инструментальной по-
грешности) равна 1, то общая вероятность будет определяться
случайной составляющей и, следовательно, она равна довери-
тельной вероятности, которую можно взять из табл. П.4.1.
Однако следует учесть, что интервал, в котором находится
истинное значение измеряемой величины, при этом расширится.
Для определения нового интервала инструментальную погреш-
ность представляют как случайную, распределенную по равно-
мерному (или треугольному) закону.
Среднеквадратическое значение для этой инструментальной
погрешности определяется по формулам, приведенным ранее в
основной части задачника.
Например, для равномерного закона:
о(О>0/7з. (П.4.3)
Суммарная среднеквадратическая погрешность запишется:
сг(£ ,0) = 7к(©)2 + s(A)2] - (ПАЛ)
Для определения суммарных граничных значений погреш-
ностей «Аг» следует вычислить новое значение безразмерного
коэффициента «£г»
tr = (£i + 0)/(5(Л) + сг(0)), (П.4.5)
где «£» принимает значение «£\,£2» в зависимости от то-
го, какая граница (нижняя или верхняя) определяется. Оконча-
тельно граничные значения погрешности запишутся:
84
Аг = tr*cr(£,&). (П.4.6)
Соответственно определятся границы доверительного интервала:
Х1 = А-Аг1, Х2 = А + Лг2.
Задание 4. Определить доверительный интервал для задан-
ной доверительной вероятности с учетом инструментальной по-
грешности, используя изложенную выше методику. Данные сво-
его варианта, необходимые для расчета задания 4, взять из табл.
П.5.1. Все расчеты произвести с использованием распределения
Стьюдента. Результат записать в стандартной форме, указав гра-
ницы доверительного интервала и доверительную вероятность.
П.4.6. Методические погрешности, возникающие
при измерении вольтметром периодических сигналов
сложной формы
В подавляющем большинстве случаев необходимо иметь
информацию о действующем (среднеквадратическом) значе-
нии сигнала сложной формы. Поэтому наиболее востребован-
ными являются приборы, измеряющие действующее значение
напряжения. Однако при конструировании таких приборов
возникает ряд трудностей, связанных с обеспечением широко-
го частотного диапазона и высокой точности. Поэтому для на-
хождения действующего значения напряжения часто исполь-
зуют приборы, измеряющие амплитудное или средневыпрям-
ленное значение сигнала. На шкале таких приборов указывает-
ся действующее значение конкретного сигнала, а именно гар-
монического. Найти величину действующего значения напря-
жения сложной формы по показаниям вольтметра, реагирую-
щего на его амплитудное или средневыпрямленное значение и
проградуированного в действующих значениях синусоиды,
оказывается возможным благодаря тому, что между парамет-
рами сигнала существует связь через коэффициенты амплиту-
ды и формы
ка=ит/ид,кф= ид/исв.
85
Численные значения этих коэффициентов различны для
сигналов разной формы. Для ряда сигналов они приводятся в
соответствующих справочниках.
В настоящем разделе сборника используются три перио-
дических сигнала, хорошо известные из курса электротехники:
гармонический, меандр, однополярные прямоугольные им-
пульсы длительностью Т с периодом следования Т.
Таблица П.4.4
Вид сигнала Ка Кф
Г армонический 1,41 1,11
Меандр 1,0 1,0
Прямоугольные импульсы Vr/T
Значения коэффициентов амплитуды и формы для этих
сигналов приведены в табл. П.4.4.
Если данные сигналы подавать на вольтметры с преобра-
зователями переменного тока в постоянный ток или напряже-
ние, то показания этих приборов будут различными: они опре-
деляются типом преобразователя и градуировкой шкалы. О
градуировке уже говорилось - на шкале указывается дейст-
вующее значение гармонического сигнала (синусоиды). При-
бор с преобразователем действующего значения будет показы-
вать действующее значение сигнала любой формы. Вольтметр
с преобразователем средневыпрямленного значения должен
был бы показывать именно это средневыпрямленное значение,
однако, так как при градуировке на шкале указали действую-
щее значение синусоиды, то показание прибора:
Un=l,llUcp. (П.4.7)
Вольтметр с амплитудным преобразователем и закрытым
входом измеряет амплитуду переменной составляющей сигна-
ла, однако, поскольку прибор был отградуирован в действую-
86
щих значениях синусоиды, то его показания определяются по
формуле:
U = (Um-Uo) /1,41, (П.4.8)
где Uo — постоянная составляющая сигнала, определяемая как
первый член разложения функции сигнала в ряд Фурье:
1 о
Задание 5. Определить показания ниже перечисленных
приборов, на которые поочередно подаются сигналы с одина-
ковой амплитудой, но имеющие различную форму.
1. Вольтметр, с преобразователем действующего значения
(квадратичный детектор).
2. Вольтметр, с преобразователем средневыпрямленного
значения (линейный детектор).
3. Вольтметр, с амплитудным преобразователем и кон-
денсатором, включенным последовательно (амплитудный де-
тектор с закрытым входом).
Все приборы отградуированы в действующих значениях
синусоидального сигнала.
Сигналы, которые следует подать, имеют одинаковую ам-
плитуду Um = 10-N [В], где N - номер варианта. Рассматрива-
ются три типа сигналов:
1) . Гармонический сигнал.
2) . Меандр.
3) . Однополярные прямоугольные импульсы длительно-
стью Т — 10-N \рС] и частотой следования 5000 Гц.
Примечание: при расчете показаний следует иметь в виду,
что в импульсном напряжении (сигнал №3) присутствует по-
стоянная составляющая, которая может быть определена как
среднее значение сигнала.
Рекомендованный порядок решения задания 5: вначале,
используя коэффициенты амплитуды и формы из табл. П.5.4,
найти среднее, средневыпрямленное и действующее значения
для каждого сигнала, и только после этого, используя формулы
пересчета показаний вольтметров, определить, что покажет
каждый прибор при измерении напряжений №1, 2, 3.
87
П.4.7. Оценка инструментальных погрешностей цифрового
частотомера при различных режимах работы
В настоящем задании требуется выбрать режим работы
цифрового частотомера 43-42 при измерении параметров (пе-
риод, частота) периодического сигнала. Критерием выбора
служит точность результата измерения, которая оценивается
по величине погрешности дискретности. Погрешность дис-
кретности, в свою очередь, зависит от соотношения частоты
сигнала и частоты счетных импульсов при работе прибора в
режиме измерения периода, а при измерении частоты погреш-
ность будет зависеть от времени измерения. Относительная
погрешность дискретности определяется по формуле:
^ = 1100%, (П.4.9)
где N - количество подсчитанных импульсов.
Суммарная погрешность любого из двух способов экспе-
римента (как измерения частоты, так и измерения периода) оп-
ределяется по формуле:
дс = №о + #Ь’ (П.4.10)
Где §о — погрешность, обусловленная нестабильностью рабо-
ты самого частотомера при любом режиме. Эта погрешность
обычно составляет порядок ДО-3 %. Выбирая режим работы
прибора, целесообразно иметь погрешность дискретности того
же порядка или несколько меньшую.
Задание 6. Для двух значений частоты гармонического
сигнала выбрать режим работы частотомера, принимая во
внимание его технические характеристики.
Частоты исследуемых сигналов лежат в следующих пре-
делах:
Первая частота F, = N • (20.. .100) Гц,
Вторая частота F2 = N • (1000... 5000) Гц.
88
Здесь N - номер варианта, который может принимать зна-
чения от 1 до 50. Для выбора режима работы произвести рас-
четы для верхней и нижней границы каждого диапазона час-
тот. Погрешность дискретности положить равной ]()3%. Ука-
зать режим работы (измерение частоты или периода) при кото-
ром обеспечивается требуемая точность. Подсчитать суммар-
ную относительную погрешность, которая имеет место при
выбранном режиме измерения.
Выполняя задание, следует руководствоваться следую-
щими техническими характеристиками частотомера: в режиме
измерения частоты время счета может принимать значения от
10'4 с доЮ с с декадным интервалом, а в режиме измерения пе-
риода частота счетных импульсов может принимать следую-
щие значения: 106 Гц, 105 Гц, 104 Гц, 103 Гц.
П.4.8. Применение электронного осциллографа для анализа
сигналов
Для работы с осциллографом Ниже приведены основные
технические характеристики современного аналогового двух-
канального, осциллографа GOS-620.
Каналы вертикального отклонения (канал Y):
• Калиброванные значения напряжения (коэффициент
отклонения): (5; 1; 20; 50) мВ/дел., (0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5) В/дел.
• Погрешность установки коэффициента отклонения: не
более 3%.
• Перекрытие диапазона в 2,5 раза.
• Входное сопротивление 1 Мом с погрешностью 2%,
входная емкость не более 25 пФ.
Перекрытие диапазона означает, что имеется возмож-
ность, используя регулировку плавного изменения усиления в
канале Y (выведена на одну ось с переключателем
«вольт/дел»), уменьшать чувствительность канала (до 2,5
раза).
Канал горизонтального отклонения (канал X):
89
• Полоса пропускания: 0...20 МГц,
• Значения калиброванных разверток: (0,5; 0,2; 0,1)
с/дел., (0,1; 0,2; 0,5; 1; 2; 5; 10; 20; 50) мсек/дел., (1; 2; 5; 10;
20; 50) мксек/дал.
Частота работы коммутатора: 250 кГц,
Калибровочное напряжение: импульсный сигнал с часто-
той 1 кГц и амплитудой 2 В.
Задачи для самостоятельного решения
Ориентируясь на технические характеристики осцилло-
графа GOS-620, выбрать режим работы осциллографа для на-
блюдения двух сигналов:
1. Гармонический сигнал с амплитудой Um= N-1 В. Час-
тота сигнала F = N-1000 Гц.
2. Однополярные прямоугольные импульсы с амплитудой
Um = АЧ0 мВ, и длительностью г = лмо мкс.
Число «N» может принимать значения от 1 до 20.
Требования к осциллограмме:
Двойная амплитуда гармонического сигнала должна за-
нимать не менее двух делений по вертикали, а изображение
двух периодов сигнала должно занимать не менее четырех де-
лений по горизонтали.
Амплитуда импульса должна занимать не менее двух де-
лений по вертикали, а его длительность - не менее четырех де-
лений по горизонтали.
Расчетная часть задания:
Определить цену деления масштабной сетки осциллогра-
фа по вертикали и горизонтали для выбранных положений пе-
реключателей «вольт/дел» и «время/дел»
Оценить погрешность, с которой может быть измерена
амплитуда гармонического и импульсного сигналов.
Оценить погрешность, с которой могут быть измерены
период и частота гармонического сигнала, а также длитель-
ность импульсного сигнала.
90
Проводя расчеты, следует иметь в виду, что погрешности,
о которых идет речь в расчетной части задания, имеют две со-
ставляющие:
^>] =3% - погрешность собственно осциллографа (указана
в технических условиях на прибор),
- (®’J/^)100% - погрешность, возникающую при изме-
рении с использованием масштабной сетки длин отрезков
(обозначено L), соответствующих измеряемым параметрам
сигналов (амплитуде и периоду гармонического сигнала, дли-
тельности импульсного сигнала). Длина отрезка L выражена в
делениях шкалы.
Суммарная относительная погрешность находится по
формуле:
& = . (П.4.11)
Общие требования к оформлению отчета
1. Условия всех заданий должны быть записаны полно-
стью.
2. Обязательно писать заголовки каждого пункта задания.
3. Указывать размерность всех физических величин.
4. При записи вычислительных операций вначале следует
привести формулу в общем виде, затем подставить в нее чи-
словые значения и только после этого записать результат вы-
числений. Числа, приводимые в ответе, в необходимых случа-
ях должны быть округлены по известным правилам.
5. Все графики должны быть выполнены с соблюдением
масштаба. На координатных осях должны быть обозначения
физических величин и указана их размерность.
6. В конце каждого задания необходимо записать развер-
нутый ответ по всем пунктам задания и сделать вывод.
7. На титульном листе отчета должны быть указаны: на-
звание работы, фамилия и инициалы студента, номер учебной
группы, номер студенческого билета и номер варианта.
91
Приложение 5
Контрольное задание по курсу ,
«Метрология и радиоизмерения»
Ниже приведены задачи для проведения контрольных про-
верок для студентов дневного отделения. Эти задачи также могут
быть предложены для домашнего выполнения студентам заочно-
го отделения.
Контрольное задание состоит из пяти задач и затрагивает
следующие вопросы курса «Метрология и радиоизмерения»:
- метрологические характеристики измерительных прибо-
ров,
- законы распределения случайных погрешностей,
- обработка данных прямых многократных измерений,
- нахождение погрешности результата косвенных измере-
ний,
- расчет технических параметров электромеханических при-
боров,
- влияние измерительных приборов на измеряемую цепь,
- влияние формы сигнала на показания электронных вольт-
метров,
- измерение частоты и периода сигнала цифровым методом,
- осциллографические измерения.
Каждая задача представлена в десяти вариантах. Номер ре-
шаемого варианта определяется последней цифрой шифра сту-
денческого билета.
Отчет по контрольному заданию может быть выполнен в
печатном либо рукописном виде. Отчет должен содержать усло-
вие задачи, ее подробное решение, ответ и выводы. Перечень
графиков и рисунков по каждой задаче дается в ее условии. Фор-
мулы, используемые при расчетах, сначала записываются в об-
щем виде, затем в них подставляются числовые данные и только
после этого записывается результат и его размерность. Если в от-
вете приводится результат измерения с указанием погрешности,
92
то числа следует округлять в соответствии с общепринятыми
правилами. При решении задачи обязательны ссылки на исполь-
зуемую литературу. Список литературы приводится в конце от-
чета. После оформления отчет по контрольному заданию пред-
ставляется на кафедру для проверки и затем работа защищает-
ся. Примерные вопросы для защиты по каждой задаче приведены
в конце задания.
ЗАДАЧА 1
Измерение напряжения проводилось цифровым вольтмет-
ром, класс точности которого (c/d) и выбранный предел измере-
ния (Uk) известны. Показание прибора (Ux) задано. Рассчитайте
предельную величину абсолютной (AnL) и относительной (SriS)
погрешностей прибора, имевших место при измерении. Оцените
аддитивную (Дадд, Задд) и мультипликативную (Дмул, Змул) со-
ставляющие указанных погрешностей. Рассчитайте и постройте
график распределения предельно допустимой относительной по-
грешности вольтметра 8nL(x) для заданного диапазона измере-
ния. Рассчитайте и изобразите в тех же координатах графики её
аддитивной 8адд(х) и мультипликативной 8мул(х) составляющих.
Рассчитайте и постройте график распределения предельной абсо-
лютной Дп£(х) погрешности. Рассчитайте и изобразите в тех же
координатах графики её аддитивной Дадд (х) и мультипликатив-
ной Дмул (х) составляющих. На всех графиках отметьте погреш-
ности, имеющие место для заданного в условии задачи показания
прибора. Для каких показаний прибора аддитивные составляю-
щие абсолютной и относительной равны соответствующим муль-
типликативным составляющим?
Указание: данные, необходимые для решения задачи 1,
приведены в табл. 1. При расчете графиков там, где это необхо-
димо, приведите формулу, по которой выполняется расчет, под-
ставьте в нее исходные данные, а результаты расчета для кон-
кретных значений аргументов сведите в таблицу. На всех графи-
ках отметьте точки, по которым они строились. В ответе запиши-
93
те результат измерения в стандартной форме с указанием по-
грешности измерения.
_____________________________________________Таблица П.5.1
Вар- т 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
С 0,2 0,2 0,1 0,2 0,5 1,5 2,5 2,5 4,0 4,0
D 0,05 0,1 0,05 0,15 0,2 0,5 1,5 1,0 1,5 2,5
Uk, В 1 1 1 10 10 10 10 100 10 0 100
Ux, В 0,229 0,561 0,85 9 1,78 6,38 8,24 9,85 12,3' 6,9 1 84, 9
ЗАДАЧА 2
Во всех вариантах задачи 2 необходимо построить в мас-
штабе график соответствующего закона распределения, ука-
зать числовые данные по осям и дать графическую интерпре-
тацию содержания задачи.
ВАРИАНТ 1
Погрешность, распределенная по равномерному закону,
попадает в интервал (—0,02 4- +0.04) В с вероятностью 40%.
Найдите величину среднеквадратической ошибки и оцените
вероятность попадания погрешности в интервал (-0,09 + +0,05)
В. Как изменится максимальная погрешность и, следовательно,
точность измерения, если вероятность появления погрешности
в указанном интервале будет равна не 40%, а 20%?
94
ВАРИАНТ 2
Погрешность подчинена нормальному закону распределе-
ния. Максимальная погрешность составила 0,6 В. Чему равна
дисперсия данного распределения?
Определите, в каком из интервалов (-0,2 •*- +0,1) В или
(+0,2 -г- +0,6) В погрешность появляется чаще. На сколько про-
центов изменится вероятность появления погрешности во вто-
ром из указанных интервалов, если максимальную погреш-
ность принять равной не 0,6 В, а 0,9 В?
ВАРИАНТ 3
Погрешность распределена по нормальному закону. Сред-
неквадратическая ошибка отдельного измерения равна 0,18 В.
Сколько раз следует повторить измерение, чтобы макси-
мальная ошибка результата данного многократного измерения
была равна 0,09 В?
В скольких измерениях погрешность этого результата по
абсолютной величине не будет превосходить 0,03 В?
ВАРИАНТ 4
Случайная погрешность имеет треугольный закон распре-
деления. Вероятность её появления в интервале (0 + +0,4) В
равна 20%. Найдите среднеквадратическую ошибку и опреде-
лите вероятность того, что погрешность попадет в интервал (-
0,5 - +2,0) В.
ВАРИАНТ 5
При считывании показаний электромеханического вольт-
метра результат округляется до ближайшего деления шкалы. Оп-
ределите цену деления шкалы прибора, если известно, что по-
грешность, возникающая за счет округления, принадлежит ин-
тервалу (-0,05 -г- +0,15) В с вероятностью 20%- Оцените средне-
квадратическую погрешность и вероятность того, что абсолютная
величина погрешности округления не будет превосходить 0,1 В.
95
ВАРИАНТ 6
Погрешность имеет треугольный закон распределения
плотности вероятности. Дисперсия распределения равна 0,5 В.
Определите, чему равна вероятность появления погрешности в
интервале (-0,3 + +0,7) В. На сколько процентов она изменится,
если среднеквадратическая ошибка уменьшится в 2 раза?
ВАРИАНТ?
Погрешность распределена по нормальному закону. Веро-
ятность того, что погрешность находится в пределах (0 * +0,09)
В, равна 43,3%. Чему, равняется максимальная погрешность? С
какой вероятностью погрешность попадает в интервал (-0,18 -
0,09 В)? Найдите интервал, в котором погрешность появляется в
два раза чаще (реже), чем в интервале (-0,18 + -0,09 В).
ВАРИАНТ 8
В ходе многократного измерения напряжения опыт повто-
рялся 5 раз. Используя при обработке данных нормальный закон
распределения, получили результат: U= (13,7 ± 0,5) В. Надеж-
ность результата задавалась на уровне 99%. Как изменится на-
дежность данного результата, если учесть тот факт, что число
опытов невелико? Как в этом случае изменится запись результа-
та, если оставить прежнее значение надежности? Как следовало
бы записать результат, если число опытов было равно 2, 3, 25?
Как следовало бы записать результат, если ограничиться данны-
ми одного, например, третьего опыта: U3 = 14,0 В?
ВАРИАНТ 9
При многократных измерениях имели место случайные по-
грешности, распределенные по нормальному закону. Число опы-
тов равно 25. Результат измерения, заданный с симметричными
границами доверительного интервала, определяет следующие
границы возможных значений измеряемой величины: (6,2 -г- 7,4)
В. Доверительная вероятность равна 95,5%.
96
Какова вероятность того, что истинное значение измеряе-
мой величины будет находиться в интервале (7,0 + 7,2) В? Чему
равна максимальная погрешность отдельного (т.е. однократного)
измерения? Какова вероятность того, что однократное измере-
ние даст результат, принадлежащий данному интервалу?
ВАРИАНТ 10
Погрешность подчинена равномерному закону распределе-
ния. Вероятность нахождения погрешности в интервале (-0,1 +
+0,48) В равна 40%. Рассчитайте значения следующих вероятно-
стей: Р[Д>-0,2В]; Р[Д<+0,4В]; Р[|А|>-0,2В]; Р[|Д|<0,ЗВ]. По-
стройте следующие графики:
Р(х) = Р[Д>х], где х С(оо -?• +оо); Р(х) = Р[Д<х], где х С (-оо +
+оо); Р(х) = Р[|Д|>х], где х С(0 + +оо); Р(х) = Р[|Д|<х], где х С [0 +
+оо).
ЗАДАЧА3
С помощью цифрового вольтметра проведено многократное
измерение напряжения. Класс точности и предел измерения при-
бора даны в табл. 1. Результаты измерений (Uxi, i - 1+10) и зна-
чение доверительной вероятности (Рд) возьмите из табл. 2.
Проведите полную статистическую обработку результатов
прямых измерений с многократными наблюдениями.
Таблица П.5.2
Вар-т Рд Uxi
1 0,99 229,8 229,1 229,0 229,2 229,5 229,1 229,6 229,8 230,1 229,5 мВ
2 0,98 761,0 761,0 761,1 761,3 759,0 759,5 761,2 761,2 761,0 759,3 мВ
3 0,997 437,5 437,0 437,2 437,9 437,1 437,4 437,2 437,1 437,4 438,0 мВ
97
4 0,80 6,59 6,58 7,10 6,58 7,00 6,59 6,59 7,10 7,20 6,58 В
5 0,90 1,75 1,72 1,72 1,78 1,75 1,73 2,00 1,72 1,76 1,74 В
6 0,95 9,11 9,05 9,09 9,17 9,10 9,05 9,08 9,14 9,11 9,12 В
7 0,98 3,76 3,68 3,63 3,63 3,70 3,65 3,72 3,69 3,63 3,65 В
8 0,80 15,4 15,3 16,5 16,4 16,4 15,3 15,8 15,0, 16,3 15,4 В
9 0,70 98,4 98,4 97,3 98,9 99,0 98,5 98,3 98,4 98,6 98,0 В
10 0,60 34,2 34,1 33,4 34,8 34,3 34,2 34,5 35,0 35,1 34,7 В
Указание: в соответствии с государственным стандартом и
рекомендациями по метрологии обработку данных проводят в
следующей последовательности:
- вычисление среднего арифметического результатов на-
блюдений (Хер);
- вычисление оценки среднеквадратического отклонения
отдельного измерения (ох);
- вычисление оценки среднеквадратического отклонения
среднего арифметического (охср);
- исключение грубых погрешностей из результатов наблю-
дений.
(При малом числе измерений исключение грубых погреш-
98
ностей проводят по методике [1, с. 107-110]. В данной задаче
допускается применение критерия «трех сигм» [2, с. ПО], хотя,
строго говоря, он хорошо работает только при большом
(>20...50) числе измерений.)
- проверка гипотезы о нормальном распределении резуль-
татов наблюдений (Методика проверки описана в [1, с. 110-114],
в задаче этот пункт можно опустить);
- вычисление доверительных границ случайной погрешно-
сти результата измерения (Аг);
- вычисление границ неисключенной систематической по-
грешности результата измерений (В задаче в качестве данной
погрешности используйте предельно допустимую абсолютную
погрешность вольтметра - ее надо найти);
- Вычисление доверительных границ результата измере-
ния;
- Стандартная форма записи результата измерения имеет
вид: (Хер ± Аг), Рд.
Подробное описание процедуры статистической обработки
результатов прямых измерений с многократными наблюдения-
ми приведено в [1, с. 105-118], в [3, с. 26-28] это описание дано
в сжатом виде с указанием всех формул, необходимых для рас-
чета, а в [2, с. 44-47] рассмотрен численный пример решения за-
дачи.
ЗАДАЧА 4
ВАРИАНТ 1
Мощность, рассеиваемая активной нагрузкой R = 8 ± 0,4
Ом, измеряется методом вольтметра. Показание вольтметра
класса точности 1,5 на пределе Umax = 6 В равно 4 В. Оцените
абсолютную погрешность измерения. На сколько процентов
изменится погрешность измерения, если выбрать вольтметр
класса точности 0,2, но со шкалой (0-^30) В? Как следует изме-
99
нить абсолютную погрешность нагрузки, чтобы, проводя из-
мерение вольтметром, добиться первоначальной точности из-
мерения?
ВАРИАНТ!
Емкость конденсатора измеряется резонансным методом.
Индуктивность контура равна 30 мГ и известна с погрешностью
±6%. Резонанс в контуре возникает на частоте 300 кГц. Погреш-
ность определения резонансной частоты ± 6 кГц. Оцените абсо-
лютную погрешность измерения. Как следует изменить погреш-
ности величин индуктивности и емкости, чтобы погрешность из-
мерения уменьшилась более чем на 2%?
ВАРИАНТ 3
Частота измеряется косвенным методом по схеме, показан-
ной на рис. 3.1.1.
Рис. 3.1.1. Косвенный метод измерения частоты
Индуктивность L =2 мГ, SL = 4%, падение напряжения на
ней: U = (50,0±2,5) В. Показание амперметра класса точности 2,5
на пределе Imax = 30 мА равно 10 мА. Оцените интервал воз-
можного значения частоты. На сколько % изменится погреш-
ность измерения, если выбрать амперметр класса точности 4,0
но со шкалой 0^15 мА?
Указание: чтобы получить формулу для расчета индуктив-
ности L, следует записать закон Ома для данной цепи, приняв
сопротивление индуктивности равным coL.
100
ВАРИАНТ 4
Индуктивность измеряется резонансным методом. Резо-
нансная частота равна (120 ± 2,4) кГц. Емкость эталонного кон-
денсатора в момент резонанса равна 125 пФ, ее погрешность
±5%. На сколько процентов надо уменьшить погрешность часто-
ты, не меняя погрешности конденсатора, чтобы погрешность
индуктивности уменьшилась на 2 мГ? На сколько процентов на-
до уменьшить погрешность конденсатора, не меняя погрешности
частоты, чтобы добиться такого же изменения погрешности ин-
дуктивности?
ВАРИАНТ 5
R2 7,5k
a R15,1k гО-| б
R313k
Рис. 5.1.1. Схема цепи
В каких пределах может находиться сопротивление цепи
между точками а и б (см. рис. 5.1.1), если погрешности сопро-
тивлений R1 и R3 равны ±5%, а сопротивления R2 - ±150 Ом?
Как изменятся эти пределы, если погрешность сопротивле-
ний R1 и R3 будет равна ±10%, (±1%)?
ВАРИАНТ 6
Мощность, рассеиваемая нагрузкой Rh, измеряется мето-
дом вольтметра-амперметра. Показание миллиамперметра клас-
са 1,5 со шкалой 0^0,3 А равно 150 мА. Показание вольтметра
класса 2,5 со шкалой 0 -ь 6 В равно 4,2 В. На сколько процентов
изменится погрешность измерения, если выбрать вольтметр
101
класса точности 0,5, но со шкалой (0 :15) В?
По данным, приведенным в условии задачи, оцените интер-
вал возможных значений сопротивления Rh.
ВАРИАНТ 7
Частота измеряется косвенным методом по схеме, состоя-
щей из последовательно включенных конденсатора и ампермет-
ра. Конденсатор: С=0,1 мкФ, 8С = 5%. Падение напряжения на
нем: U = (50,0 ± 4) В. Показание амперметра класса точности 1,5
на пределе 30 мА равно 10 мА. Оцените интервал возможных
значений частоты. Как можно уменьшить погрешность измере-
ния более чем на 3%?
Указание: чтобы получить формулу для расчета емкости
конденсатора С, следует записать закон Ома для данной цепи,
приняв сопротивление конденсатора равным 1/гоС
ВАРИАНТ 8
Катушка индуктивности L =(265± 5) мкГ включена в изме-
рительную цепь куметра. Собственная емкость катушки СО =6
пФ, SCO = 10%. Резонанс в LC-контуре возникает при емкости
эталонного конденсатора (100± 5) пФ.
В каких пределах может находиться значение резонансной
частоты контура?
Указание: описание работы куметра и формулы, необходи-
мые для решения задачи, приведены в Методических указаниях
по выполнению лабораторных работ. М.: МИРЭА, 2001 (№0160).
Лабораторная работа №3.
ВАРИАНТ 9
При измерении длины волны с помощью измерительной ли-
нии, работающей в режиме короткого замыкания, были измерены
координаты двух соседних узлов: £1 =125,7 мм, £2 =267,3 мм.
Определите частоту сигнала, подаваемого на вход измерительной
линии, если координаты узлов измерены с погрешностью ±0,5
мм.
102
Указание: описание работы измерительной линии и форму-
лы, необходимые для решения задачи, приведены в Методиче-
ских указаниях по выполнению лабораторных работ. М.: МИ-
РЭА, 2001 (№0134). Лабораторная работа №4.
ВАРИАНТ 10
Рис. 10.1.1. Частота периодической последовательности прямо-
угольных импульсов
Частота периодической последовательности прямоугольных
импульсов, показанной на рисунке, равна (125 ± 5) кГц. Длитель-
ность интервала времени tl равна 7,2 мкс и известна с погрешно-
стью 5%. Найдите интервал возможных значений постоянной со-
ставляющей сигнала, если амплитуда импульсов равна (7,5 ± 0,3) В.
ЗАДАЧА 5
Umj = N-10 В и частоту Fj = N-10 кГц, где N - номер вари-
анта, j = 1+4 - номер сигнала. Графики и значения некоторых
параметров сигналов Ul(t) + U4(t) приведены в табл. 3.
Измерение напряжений проводится вольтметрами Bl, В2,
ВЗ и В4. Вольтметры имеют преобразователи (детекторы) сле-
дующих типов:
В1 - среднеквадратического (действующего) значения,
вход открытый;
В2 - средневыпрямленного значения (линейный детектор),
вход открытый;
(Исследуемые периодические напряжения Ul(t), U2(t),
U3(t), U4(t) имеют одинаковую амплитуду.)
103
ВЗ - амплитудного значения, вход открытый;
В4 - амплитудного значения, вход закрытый.
Определите показания каждого из четырех вольтметров при
измерении указанных напряжений: Un i, j = ?, i, j = H4, где Un i, j
— показание i-го вольтметра при измерении j-го напряжения.
Изобразите схемы детекторов.
Таблица П.5.3
Сигнал Название График Параметры Параметры
Ul(t) Г армонический Ц Ка=1,41 Кф= 1,11
U2(t) Пилообразный (линейноизменяю- шийся) U2 Ка= 1,73 Кф= 1,15
U3(t) Меандр |U3 Ка=1 Кф= 1
U4(t) Последовательность Однополярных пря- мо-угольных им- пульсов U- т —-—5 Ka = VQ, где Q=T/tH: to = T/(N+3) КфКа-л/Q скважность длительность импульса
Указание: при решении задачи, зная амплитуду сигнала
(Umj) и коэффициенты амплитуды (Kaj) и формы (Кфз), первона-
чально находят средневыпрямленное (Ucej) и среднеквадратиче-
ское (Щ|) значения сигналов [2, с. 28-30], и затем по известным
104
Um, Ucb, Ufl рассчитывают показания каждого из вольтметров.
Рекомендуется свести результаты этих расчетов в таблицу,
приведенную ниже
Таблица П.5.4
к А) к ®j umj Uffi исв Um4 Детек тор Uni, 1 Uni, 2 U„i, 3 Uni, 4
и> Bl
и2 B2
и3 В3
и4 в4
где Umj - амплитудное значение j-oro сигнала и т.д., Umjл - пока-
зания i-oro вольтметра при измерении напряжения Ui и т.д.
ЗАДАЧА 6
ВАРИАНТ 1
Задано однополярное периодическое напряжение: U(t) =
10-1 Sin (2nl000t) |.
Рассчитайте значение коэффициентов амплитуды (кл ) и
формы (кф) этого сигнала и оцените амплитуду его перемен-
ной составляющей. Изобразите в масштабе график самого сигна-
ла, его переменной составляющей и поясните, как графически
находят постоянную составляющую сигнала. Как изменится ана-
литическое представление сигнала и его график, если постоянная
составляющая увеличится (уменьшится) в 2 раза, поменяет знак?
ВАРИАНТ!
Частоты 50 Гц и 50 кГц измеряются цифровым частотомером.
В приборе предусмотрена возможность измерения как частоты, так
и длительности одного или десяти периодов сигнала (режим «Т»
или «ЮТ»). С какой максимальной точностью можно выполнить
каждое из измерений, если время счета частотомера меняется в
105
пределах от w* секунды до 10 секунд, а погрешность, за счет не-
стабильности кварцевого генератора частотомера, равна нт3 %.
ВАРИАНТ3
Напряжение имеет вид периодической последовательности
однополярных прямоугольных импульсов с частотой 1 кГц. Дли-
тельность импульсов 2,5-КГ*с. При измерении указанного напря-
жения термоэлектрическим вольтметром получен результат 8 В.
Каково будет показание, если измерение проводить выпрями-
тельным вольтметром с однополупериодным (двухполупериод-
ным) преобразователем? Как изменятся показания вольтметров,
если измерять только переменную составляющую напряжения?
ВАРИАНТ 4
Цифровой частотомер, имеющий режим измерения периода,
позволяет проводить измерение частоты прямым и косвенным
методом. При каком значении частоты оба метода обеспечивают
одинаковую (самую высокую) точность измерения? Какова эта
точность? Параметры частотомера: время счета ИГ6 10 с; по-
грешность за счет нестабильности кварцевого генератора 10'3 %; в
режиме периодомера возможно измерение длительности как од-
ного, так и десяти периодов сигнала.
ВАРИАНТ 5
При измерении напряжения случайная погрешность имеет
нормальное распределение со среднеквадратическим отклонени-
ем <тг= 0,5 В, а не исключенная систематическая погрешность
равна 0,1 В. Оцените величину общей погрешности измерения.
Как в данных условиях можно повысить точность измерения?
Чему при этом будет равно минимально возможное значение об-
щей погрешности измерения?
ВАРИАНТ 6
Фазовый сдвиг, возникающий при прохождении гармониче-
ского сигнала через дифференцирующую RC-цепь (R=3,3 кОм,
С=0,1 нФ), измеряется с помощью двухканального осциллографа
106
GOS-620 методами линейной и синусоидальной разверток. Изо-
бразите схему проведения опыта и получаемые осциллограммы,
если известно, что амплитуды сигналов на входе и выходе цепи
отличаются менее, чем: а) на 3%; б) на 20%, в) отличаются в-Уг
раз; г) в 5 раз. Чему равно минимальное и максимальное значения
фазового сдвига, если гармонический сигнал проходит через две
последовательно включенные одинаковые дифференцирующие
цепи? Изобразите соответствующие осциллограммы.
Указание: коэффициент передачи (К) цепи, равный отно-
шению амплитуды сигнала на ее выходе к амплитуде сигнала на
ее входе, зависит от частоты со сигнала. Для данной цепи
К(<в) , где (£>гр= уrc - граничная частота
RC-цепи. Фазовый сдвигд^, вносимый цепью, также зависит от
частоты сигнала: д^о) = arctgf?*’’/ .
ВАРИАНТ 7
Решите задачу предыдущего варианта при условии, что цепь
интегрирующая.
Указание: амплитудно-частотная характеристика интегри-
рующей цепи: К(со) = , а фазово-частотная харак-
теристика: = arctgC
ВАРИАНТ 8
Случайная погрешность при измерении напряжения
(Ua=36,44 мВ) распределена по нормальному закону. При числе
опытов 120 в 60-ти случаях результат попадает в интервал
36,42^36,46 мВ. Приведите формулу закона распределения слу-
чайной погрешности и постройте его график. Запишите выраже-
ние для закона распределения случайной погрешности среднего
арифметического (нормальный закон) и постройте его график.
ВАРИАНТ 9
На базе магнитоэлектрического измерителя (1ном=50 мкА,
107
R„M=1 кОм, число делений шкалы N=50) спроектируйте много-
предельный миллиамперметр (пределы измерения: 0,5 мА, 50 мА,
500 мА) и многопредельный вольтметр (10 В, 50 В, 250 В, 1000
В). Оцените цену деления шкалы, чувствительность и собствен-
ную мощность потребления приборов на каждом пределе.
Указание: рассмотрите два варианта схемы вольтметра: с
отдельными и составными Rfl06-
ВАРИАНТ 10
R1 R2
+ -
Рис. 10.1.1.1. Падение напряжения на резисторе
1. Падение напряжения на резисторе R2= 100 кОм « R| из-
меряют вольтметром класса точности 1,5 с пределами 30 В, 60 В,
построенным на базе магнитоэлектрического измерителя с номи-
нальным током 50 мкА. Показания вольтметра на указанных пре-
делах равны 23 и 24 В соответственно. Определить, С какой ми-
нимальной погрешностью можно указать напряжения на каждом
из двух сопротивлений.
Приложение 6
Список основных обозначений
X, - измеряемая величина,
Хн - истинное значение измеряемой величины,
АТ.А'З - границы доверительного интервала,
о- - среднеквадратическая погрешность,
(j-ф = S(A) - среднеквадратическая погрешность среднего
арифметического,
М — математическое ожидание,
А - среднее арифметическое значение выборки случайных
108
величин,
е — случайная составляющая абсолютной погрешности,
д - абсолютная погрешность,
рд — доверительная вероятность,
р - закон распределения плотности вероятности,
6 - относительная погрешность,
/ - приведенная относительная погрешность.
Примечание:
Приведенные выше основные обозначения могут использо-
ваться при необходимости с различными уточняющими индекса-
ми. Это обстоятельство всегда отмечается в тексте.
Приложение 7
РАЗРАБОТКА ВИРТУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ
Общепринятым международным стандартом для проектирова-
ния виртуальных приборов является программный пакет LabVIEW.
Для решения конкретных метрологических задач вместо
массивных лабораторных макетов целесообразно использовать
эквивалентные визуальные модели, создаваемые в программной
среде LabVIEW. Копии разработанных программных стендов
студенты могут использовать для самостоятельной работы на
своих домашних компьютерах при наличии зарегистрированной
версии LabVIEW. Замена лабораторных установок виртуальными
моделями, созданными в среде LabVIEW, позволяет эффективно
использовать время, отводимое студентам на выполнение лабора-
торных работ, способствует получению более точного результата
проведенных измерений, позволяет уменьшить погрешность из-
мерений, связанных с человеческим фактором, при снятии пока-
заний с лабораторных установок.
LabView могут применяться в комплексе с аналоговыми и
цифровыми устройствами (включая цифровые осциллографы).
Измерительная информация передается через интерфейсную пла-
109
ту с помощью аналогово-цифровых преобразователей на компь-
ютер, где программная среда обрабатывает его и использует для
получения нужного результата.
Программные среды типа Lab VIEW оптимальным образом
позволяют связать большие вычислительные и графические воз-
можности компьютера и высокую точность и быстродействие со-
временных АЦП и ЦАП, в том числе и виртуальных и присоеди-
ненных посредством компьютерной сети.
Примерами таких комплексов являются подключаемые или
встраиваемые в персональный компьютер цифровые осциллогра-
фы, DAC/ADC платы, генераторы сигналов, цифровые мульти-
метры и другие устройства.
Рис. П.7.1. Общий вид интерфейса виртуального осциллографа
Lab VIEW применяется в комплексе с аналоговыми и цифро-
выми устройствами (включая цифровые осциллографы). Измери-
тельная информация передается через интерфейсную плату с по-
мощью аналогово-цифровых преобразователей на компьютер, где
по
программная среда обрабатывает его и использует для получения
нужного результата.
С целью повышения эффективности образовательного про-
цесса компьютеры объединены в единую локальную сеть.
Дистрибутивная trial версия, выдаваемая на 15 дней пользо-
вания без предварительной регистрации, может быть установлена
на домашнем компьютере для индивидуального изучения.
Созданная виртуальная модель разрабатываемого лабора-
торного стенда внешне отражает интерфейс реального прибора,
включая положение его органов управления.
В начале работы ВП подключаются два генератора импуль-
сов с изменяемыми параметрами. Параметры задаются с помо-
щью ручек XI, Х2, Yl, Y2, Zl, Z2 или органов управления, нахо-
дящихся на интерфейсе самого прибора.
Далее эти два сигнала, полученные с генераторов импуль-
сов, зашумляются путем намеренного наложения помехи на один
из импульсов исследуемого сигнала, объединяются и подаются
на фильтры. Там они проходят необходимые преобразования и
подаются на сумматор/усилитель.
Разработанный виртуальный прибор позволяет снимать по-
казания в виде мониторинга сигналов на входе после каждого
фильтра и на выходе сумматора. С помощью преобразования Фу-
рье определяются их спектры.
Экспериментальные данные показаны на блоках:
1. Блок дополнительных настроек и воспроизведения ис-
ходных сигналов.
2. Блок воспроизведения сигналов, прошедших через фильт-
ры.
3. Блок воспроизведения спектров сигналов.
4. Блок воспроизведения сигнала на выходе суммато-
ра/усилителя.
5. Блок воспроизведения сигнала после применения преоб-
разований Фурье, Хартли, Гильберта, Уолша-Адамара и вейлвет-
преобразования.
Ill
УгОлотсечки
4,0 ..-©»©
импульсов с регули/руемым
углом отсе**04
• скважность
б,а
с
и
н
X
р
о
н
и
3
А
ц
и
я
Г енервтор грямоуголы-ых
Импульсов с
регулируемой скважностью
Рис. П.7.2. Генераторы
Дополнение к дипломной работе
студента б курса факультета РТС
Михалина Одера Александровича
МИРЭА «.‘РЙПЭШИМЙ-.
.-а-а?- >ЙМмК*4*-. рад^штекиичеоотК
• •£?•.$ Кафедра ifv- > «?****»“
V Радйогриборов ’
Рис. П.7.3. Фильтры
112
1
Блок дополнительных настроек
и воспроизведения исходных сигналов,
включая дисплеи демонстоирующие их спектры
Рис. П.7.4. Блок 1
113
олок воспроизведения сигналов,
прошедших через фильтры
Рис. П.7.5. Блок 2
Блок воспроизведения спектров сигналов,
поошедших через фильтры
на о j иао aWartaetfii
200,t -
-400,0-
Wavefonr&aph20
400,6“
Wawfwm&aphi3 FWO |
7&ХХЮ.0
ОД
10 20 30 40 50 60 70 80
Wavef:jm&<h22
5000000000,0
4000000000.0
100 200 ЭОС
Твтв
2000000,0
0,0
2000000,0
зжооосп,о
20Ж0009,0
| юашйоо,о
I °'0
1000000000,0
2000000000,0
-зиосоооад
-4000000000,0
Рис. П.7.6. Блок 3
114
Блок воспроизведения сигнала
и его спектра на выходе
СУММАТОРА/УСИЛИТЕЛЯ
Сигнал на выходе СУММАТОРА/УСИЛИТЕЛЯ
Plot О
Amplitude
Time
Спектр сигнала на выходе СУММАТОРА/УСИЛИТЕЛЯ
Plot О ВЯ
6 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80
Time
Рис. П.7.8. Блок 4
115
Рис. П.7.8. Блок 5
Приложение 8
Дополнительные вопросы по курсу метрология
1. Какую размерность имеет абсолютная (относительная)
чувствительность микроамперметра?
2. Какой параметр непосредственно характеризует точность
выполненного измерения? Почему класс точности примененного
прибора не может служить таким параметром?
3. Дайте определение понятия «предел допускаемой основ-
ной погрешности прибора».
4. Что означает число, определяющее класс точности стре-
лочного микроамперметра?
5. Что означает совокупность чисел, определяющих класс
точности цифрового вольтметра?
6. Какая разница между сходимостью и воспроизводимо-
стью измерений? Что такое единство измерений, для чего его не-
обходимо обеспечивать и как оно достигается?
7. Дайте определения понятий: поправка, поверка. В каких
случаях и для чего они применяются?
8. Дайте определения следующих понятий: физическая ве-
116
личина, истинное (действительное, измеренное) значение физи-
ческой величины.
9. Какая разница между отсчетом, снимаемым по шкале
прибора и показанием прибора?
10. Дайте определение совокупных и совместных измере-
ний. Приведите конкретные примеры.
11. Дайте определение измерительной установки, измери-
тельной системы. Чем измерительная система отличается от ин-
формационно-измерительной системы?
12. Дайте определение и перечислите метрологические ха-
рактеристики приборов. Какие метрологические характеристики
измерительных приборов и для чего нормируются?
13. Дайте определение понятий: метод, методика, алгоритм
измерений. Перечислите известные вам методы измерения и дай-
те их краткую характеристику.
14. Как классифицируются погрешности в зависимости от
характера поведения измеряемой физической величины в процес-
се измерения?
15. Приведите формулы, определяющие абсолютную, отно-
сительную погрешности измерений, абсолютную, относительную
и приведенную погрешности прибора. В каком виде эти формулы
применяют для практических расчетов?
16. В чем заключается метод рандомизации? С какой целью
применяют данный метод измерения?
17. Как называются и что характеризуют ах, а У? Как оце-
нивают их величину? Чем оценка этих параметров отличается от
их точных значений и при каком условии они совпадают?
18. Что такое плотность вероятности случайной величины и
закон ее распределения? Какую размерность имеют величины,
откладываемые по осям графика закона распределения?
19. Дайте определение доверительного интервала, довери-
тельной вероятности, границы доверительного интервала, коэф-
фициента доверия. Что такое оценка результата измерения? Ка-
кие величины определяют точность оценки результата измерения
и надежность этой оценки?
117
20. Как оценивают границы доверительного интервала и
его надежность при малом и большом числе измерений?
21. Изобразите на одном и том же рисунке два графика за-
кона распределения плотности вероятности погрешности (по ука-
занию преподавателя) для измерений различной точности.
22. Какие параметры характеризуют точность результата
отдельного наблюдения и точность результата многократного
измерения? Изобразите графики законов распределения погреш-
ностей этих результатов (можно считать, что они подчиняются
нормальному закону).
23. Приведите алгоритм обработки данных, полученных
при многократных измерениях. Как при оценке погрешности ре-
зультата учитывается неисключённая Систематическая погреш-
ность?
24. Какие требования предъявляются к записи результата
измерения?
25. Приведите формулу, по которой определяется вероят-
ность нахождения погрешности измерения в симметричном (-Д1
; Д1) и несимметричном (Д1 ; Д2) интервалах в общем случае и
для конкретно закона распределения.
26. Как, используя график закона распределения, доказать
следующие утверждения: «Вероятность появления погрешности
Д1 больше, чем Д2», «Максимальная погрешность равна М»,
«Вероятность появления погрешности в интервале (Д1 ; Д2)
больше (меньше), чем в (ДЗ ; Д4)»?
27. Изобразите график закона распределения (по заданию
преподавателя) и приведите координаты его характерных точек.
Для данного графика укажите: точку, соответствующую макси-
мальной погрешности; область, в которой погрешности считают-
ся грубыми. Изобразите график, для которого а, увеличена
(уменьшена) в два раза.
28. По какому закону распределена погрешность, обуслов-
ленная округлением показаний стрелочного прибора? Для задан-
ных параметров шкалы нарисуйте график этого закона.
29. Задана величина максимальной случайной погрешности
118
Атах для конкретного закона распределения. Приведите анали-
тическое выражение для этого закона и, выбрав масштаб, по-
стройте соответствующий график.
30. Как находится систематическая погрешность результата
косвенного измерения в случае, если величины и знаки погреш-
ностей аргументов известны (знаки неизвестны)? По какой фор-
муле находится случайная погрешность результата косвенного
измерения?
31. Уравнение косвенного измерения задано формулой,
удобной для логарифмирования. Как в этом случае можно найти
абсолютную и относительную погрешности результата измере-
ния?
32. В каких случаях и почему измерения проводят много-
кратно? Как определить необходимое число измерений?
33. Проводится измерение с многократными наблюдения-
ми. Как число опытов влияет на точность выполняемого измере-
ния? Ответ проиллюстрируйте формулами, графиками, рисунка-
ми.
34. Какой смысл имеет словосочетание «измеряется напря-
жение»? Какие параметры сигнала могут быть определен^ в ре-
зультате «измерения напряжения»? Приведите формулы, опреде-
ляющие эти параметры, а также формулы, устанавливающие их
взаимосвязь.
35. Дан график периодического сигнала U(t). Найдите (ана-
литически и графически) постоянную составляющую этого сиг-
нала. Изобразите график его переменной составляющей.
36. Как, зная класс точности и показания стрелочного
(цифрового) вольтметра, найти абсолютную (относительную) по-
грешность измерения?
37. Стрелочным прибором измерены напряжения U1 и U2,
затем найдены их сумма U3 и разность U4. Какая из величин U3
или U4 определена с большей точностью?
38. Какие факторы определяют точность прямого (косвен-
ного) измерения напряжения (тока)?
39. Почему возникает и как проявляет себя частотная по-
119
грешность вольтметра? Как ее снижают?
40. Какие факторы определяют точность измерения напря-
жения дифференциальным (нулевым) методом? Приведите схемы
измерения. Каковы требования к приборам?
41. Какие факторы определяют точность измерения напря-
жения на высоких частотах? Как можно расширить рабочий диа-
пазон вольтметра?
42. Какова конструкция электромеханического измери-
тельного преобразователя (измерительного механизма)? На чем
основана его работа? Какие факторы определяют время измере-
ния и как его уменьшают? Что такое уравнение шкалы измери-
тельного механизма?
43. Приведите схемы однопредельного и многопредельного
магнитоэлектрического амперметра и вольтметра. Как рассчиты-
ваются элементы схем прибора и его характеристики?
44. Что такое номинальное напряжение, и номинальный ток
магнитоэлектрического измерителя? Как они связаны? Как рас-
ширяют пределы измерения этого прибора по току и напряже-
нию?
45. Магнитоэлектрическим вольтметром измеряется гармо-
ническое напряжение, амплитуда которого равна 10 В, а частота
100ГЦ. Чему равно показание прибора?
46. В чем состоит принцип действия магнитоэлектрическо-
го (электромагнитного, электродинамического, электростатиче-
ского) измерительного механизма? Какой из этих измерителей
обеспечивает наибольшую точность (наибольшую чувствитель-
ность; наибольший предел измерений; выполняет перемножение
токов; чувствителен к внешним электрическим, магнитным по-
лям)?
47. Какие типы преобразователей рода тока и с какой це-
лью применяются в амперметрах и вольтметрах? Приведите их
схемы и поясните принцип работы.
48. Приведите схему выпрямительного (термоэлектриче-
ского) амперметра (вольтметра) и поясните принцип его работы.
Чем определяется угол отклонения стрелки измерителя? Какие
120
факторы ограничивают рабочий диапазон частот?
49. Изобразите основные структурные схемы электронных
вольтметров переменного тока. Чем отличаются характеристики
вольтметров, построенных по этим схемам, с чем это связано?
50. Какие типы детекторов применяются в электронных
вольтметрах? Приведите их схемы. Как выходной сигнал детек-
тора связан с параметрами напряжения на его входе?
51. Одно и то же напряжение измеряется вольтметром с от-
крытым и вольтметром с закрытым входом. Сравните показания
приборов.
52. Приведите формулы, по которым производят пересчет
показаний электронных вольтметров при измерении напряжения
различной формы.
53. Каков принцип работы АЦП прямого и АЦП уравнове-
шивающего преобразования?
54. Что происходит с аналоговым сигналом в процессе его
преобразования в цифровой сигнал?
55. Задан непрерывный сигнал U(t). Изобразите соответст-
вующий ему цифровой сигнал.
56. Поясните принцип работы АЦП в режиме развернутого
и в режиме следящего преобразования?
57. В чём состоит метод время-импульсного, частотно-
импульсного, кодо-импульсного преобразования сигнала? С ка-
кой целью эти методы применяются в цифровых вольтметрах?
58. Какую функцию в схемах цифровых вольтметров вы-
полняет: временной селектор, сравнивающее устройство, компа-
ратор, интегратор, электронные коммутатор и счётчик?
59. Какими методами можно измерить частоту сигнала?
Сравните эти методы по точности и диапазону измерений.
60. Какие характеристики измерительного контура резо-
нансного частотомера влияют на точность выполняемых измере-
ний? Как можно повысить точность измерения частоты данным
методом?
61. В чем состоит принцип работы цифрового частотомера
(измерителя периода)? Какие факторы определяют точность из-
121
мерения?
62. Частоту сигнала необходимо измерить цифровым час-
тотомером, обеспечив наибольшую точность. Ваши действия?
63. Какими методами можно измерить фазовый сдвиг?
Сравните эти методы по точности и рабочему диапазону частот.
64. Каков принцип работы цифрового фазометра мгновен-
ного значения? От чего зависит максимальная рабочая частота
прибора?
65. Каков принцип работы цифрового фазометра среднего
значения? В чем преимущество этого фазометра по сравнению с
фазометром мгновенного значения?
66. Что такое измерительный фазовращатель? Как и для че-
го его используют при измерениях?
67. Как на экране осциллографической трубки формируется
осциллограмма периодического сигнала? При каком условии
формируется изображение одного, двух и т.д. периодов сигнала?
68. В чем состоит назначение каналов X, Y и Z электронно-
лучевого осциллографа?
69. Для чего в канале Y осциллографа применяется линия
задержки?
70. Какой вид имеет напряжение на выходе генератора раз-
вертки осциллографа в различных режимах его работы? Поясните
принцип формирования осциллограммы в этих режимах.
71. Что происходит с осциллограммой при искажении фор-
мы напряжения развертки?
72. В каком режиме должен работать генератор развёртки
осциллографа при исследовании импульсных сигналов большой
скважности? Какой вид будет иметь осциллограмма, если при ос-
циллографировании таких импульсов использовать периодиче-
скую развёртку?
73. Что такое внешняя развертка осциллографа? Как она
реализуется в осциллографе и для чего используется?
74. При осуществлении синхронизации в осциллографе что
с чем синхронизируют? Каково условие синхронизации и что
происходит, если оно нарушается?
122
75. С какой целью перед началом измерений проводится
калибровка осциллографа? Какие действия выполняются в про-
цессе калибровки?
76. В каких случаях при измерениях используют открытый,
а в каких закрытый вход осциллографа? Приведите примеры.
77. Как с помощью осциллографа измеряют фазовый сдвиг
между двумя гармоническими сигналами? Приведите схемы из-
мерения и поясните, что влияет на точность измерения?
78. Как с помощью осциллографа измеряют частоту перио-
дического сигнала? Приведите схемы измерения и поясните, что
влияет на точность измерения?
79. Как на экране осциллографа получить окружность, фи-
гуру Лиссажу в виде восьмёрки, круга?
80. Что такое «яркостные метки» и как их получить на ос-
циллограмме?
123
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие............................................. 3
1. Введение в метрологию................................ 4
2. Методические погрешности............................ 18
3. Инструментальные погрешности........................ 28
4. Обработка результатов измерения..................... 33
5. Погрешности косвенных измерений..................... 49
6. Логарифмические единицы и логарифмические шкалы......... 57
7. Современный аналоговый осциллограф и осциллографиче- 62
ские измерения.............................................
8. Цифровой осциллограф................................ 68
Библиографический список............................... 73
9. Приложения.......................................... 74
- приложение 1: таблицы интегралов вероятности....... 74
- приложение 2: таблицы величин, выраженных в децибелах.... 75
- приложение 3: технические характеристики универсального 77
осциллографа GOS-620.......................................
- приложение 4: задания для проведения групповых занятий. 77
- приложение 5: контрольные задания по курсу метрология 91
и радиоизмерения...................................:. ..
- приложение 6: список обозначений.................. 107
- приложение 7: разработка виртуальной модели....... 108
- приложение 8: вопросы для самопроверки............ 115
Виктор Иванович Нефедов
Александр Александрович Балагур
Владислав Николаевич Мельчаков
Елена Владимировна Федорова
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МЕТРОЛОГИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Редактор П.К. Белянина
Литературный редактор Д.Г. Куликов
Подписано в печать 14.09.2010. Формат 60x84 1/16.
Усл. печ.л. 7,21. Усл. кр.-отт. 28,84. Уч.-изд. л. 7,75
Тираж 150 экз. С 550
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный институт радиотехники,
электроники и автоматики (технический университет)»
119454, Москва, пр. Вернадского, 78