/
Author: Маричев О.И.
Tags: анализ математика интегралы математический анализ интегральные уравнения наука и техника интегральное исчисление
Year: 1978
Text
О. И. Маричев
Метод вычисления
интегралов
от специальных
функций
(теория и таблицы
формул )
НАУКА И ТЕХНИКА
О. И.Маричев
Метод вычисления
интегралов
от специальных
функций
(ТЕОРИЯ И ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ)
Редактор
академик АН БССР,
доктор физико-математических наук
Ф. Д. ГАХОВ
МИНСК «НАУКА И ТЕХНИКА» 1978
518
М69
УДК 517.38
МаричевО. II. Метод вычисления интегралов от специальных
функций (теория и таблицы формул). Мн., «Наука и техника», 1978,
312 с.
Излагается единый простой метод, позволяющий вычислить боль-
шое количество определенных интегралов от различных элементар-
ных и специальных функций. Основой метода являются теорема о
свертке для преобразования Меллина, свойства гамма-функции и тео-
рия вычетов. Приводится специальная таблица преобразований Мел-
лина. из каждой пары формул которой читатель может вывести
значения соответствующих интегралов.
В книгу включены вспомогательные сведения, с помощью кото-
рых систематически излагаются элементы современной теории специ-
альных функций гипергеометрического типа. Разобраны характерные
примеры вычисления интегралов в обычных и особых случаях, указа-
на связь получаемых результатов с известными. Выведены формулы
обращения общих классов интегральных преобразований сверточного
и несверточного типов с G-функция.ми Мейера в ядрах, которые со-
держат частными случаями преобразования Фурье, Лапласа, Мел-
лина, Ганкеля, Стилтьеса, Мейера, Конторовнча—Лебедева, Меле-
ра — Фока и др.
Предназначена для специалистов научно-исследовательских лабо-
раторий, конструкторских бюро, вычислительных центров, математи-
ков, физиков, инженеров, преподавателей и аспирантов вузов. Книга
послужит не только справочником интегралов, но и учебно-методиче-
ским пособием по теории специальных функций, доступным для сту-
дентов старших курсов.
Иллюстраций 7. Библиография-—75 названий.
Рецензенты:
член-корреспондент АН СССР, профессор К. И. Бабенко,
доктор физико-математических наук, профессор А. П. Прудников
20204—143
М------------ 104—78 © Издательство «Наука и техника», 1978.
М316—78
ОТ РЕДАКТОРА
Решения многих задач математической физики, техники, экономики
выражаются через определенные интегралы, содержащие элементарные,,
а часто и так называемые специальные функции. Казалось бы, вычис-
лить интеграл не так уж сложно. Нужно использовать существующую
ныне весьма мощную вычислительную технику — быстродействующие
ЭВМ и хорошо известные алгоритмы для получения приближенных чи-
сленных значений интегралов. Однако в действительности дело обстоит
совсем не просто. Часто подынтегральная функция зависит еще от неко-
торого дополнительного переменного — параметра. Тогда практически
требуется вычислять не один интеграл, а континуум интегралов или, по
крайней мере, целую их таблицу. Еще сложнее, когда параметров два
или больше. В этих случаях численные методы становятся совсем мало-
пригодными и приходится проводить теоретические исследования с целью
замены интеграла другим, более удобным аналитическим выражением
(например, достаточно хорошо сходящимися бесконечными рядами или
произведениями), откуда значения интеграла для требуемых значений,
параметров могли бы получаться простой подстановкой численных вели-
чин этих параметров.
В мировой математической литературе опубликовано большое коли-
чество различных справочников, где значения определенных интегралов
от элементарных и специальных функций представляются через специ-
альные, а в удачных случаях и через элементарные функции. Практиче-
ски все специальные функции, содержащиеся в этих формулах, выража-
ются через обобщенные гипергеометрические ряды, частными примерами
которых являются ряды Тейлора для экспоненты, логарифма, синуса, ко-
синуса и степенной функции. Большинство справочников имеет специали-
зированный характер- это таблицы различного рода интегральных пре-
образований (Фурье, Лапласа, Медлина, Гаккеля и т. д.) или подробные
численные таблицы некоторых часто встречающихся интегралов (теории
вероятности, астрономических и др.). Существуют и универсальные
справочники. Наибольшей популярностью пользуются справочники
И. С. Градштейна, И. М. Рыжика [7], В. А. Диткина, А. П. Пруднико-
ва [10] и переведенный с английского Г. Бейтмена, А. Эрдейи [3], а кроме
того, изданный в ФРГ четырехтомпый справочник Ф. Оберхеттингера
[57—60] и некоторые другие.
Вся справочная литература по вычислению определенных интегралов
имеет один общий недостаток; уместнее всего назвать его условно «ста-
тичность». Приведенные в ней интегралы даны в застывшем виде и по-
тому ничего, кроме них самих, из таблиц извлечь нельзя. По этой причи-
не существующие справочники, несмотря на их обилие и большой объ-
ем, обладают малой информационной емкостью. Содержащиеся в них
интегралы можно считать лишь каплей в море всевозможных интегра-
лов, которые уже появились или появятся в будущем при решении прак-
тических задач.
Предлагаемая справочная книга О. И. Л'Таричева не имеет аналога
ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Принципиальным отли-
чием, позволяющим противопоставить ее всем другим известным спра-
вочникам интегралов, является динамичность. Каждый из помещенных в
ней интегралов может стать источником для получения огромного мно-
жества других интегралов, выводимых из данного с помощью не очень
сложных преобразований, правила осуществления которых с достаточ-
ной подробностью излагаются в книге
Полагаю, что последняя фраза может огорчить читателей, привык-
ших к тому, что информация, черпаемая из справочников, обычно не тре-
бует никакой дальнейшей обработки. Для сознательного пользования
данной книгой как справочником необходимо владеть некоторым мини-
мумом математических знаний, примерно в объеме программы втуза с
повышенной математической подготовкой (типа авиационных, электро-
радиотехнических и др.). В первую очередь требуется знание математи-
ческого анализа и основного курса теории аналитических функций.
С целью сделать книгу хотя бы в основной части доступной по воз-
можности более широкому кругу читателей автор выделил в § 1 мате-
риал рецептурного характера, овладение которым не требует никаких
специальных математических знаний; но вместе с тем это позволит чита-
телю использовать книгу для получения значений многих интегралов.
Останутся недоступными лишь различные исключительные случаи, а для
уверенного пользования книгой в полном объеме, как уже говорилось,
предварительная математическая подготовка необходима. Помощь чита-
телям могут оказать помещенный в § 2 и 3 дополнительный теоретиче-
ский материал, приведенная в § 4—6 информация из теории специальных
функций и разнообразные примеры вычисления интегралов, рассмотрен-
ные в § 7.
Теоретическая часть книги (§ 2—8) может послужить хорошим, до-
статочно популярным пособием для изучения теории специальных функ-
ций и интегральных преобразований. Такого рода учебника у нас сей-
час нет.
Подготовив настоящую книгу, автор проделал работу огромного объ-
ема. По материалам книги автор читал специальный курс лекций сту-
дентам Белорусского государственного университета им. В. И. Ленина,
по просьбе различных лиц и ряда организаций им вычислено немало ин-
тегралов разной сложности.
Выражаю уверенность, что настоящий оригинальный справочник ста-
нет настольной книгой работников теоретического и прикладного на-
правлений.
Ф. Д. Гахов
ПРЕДИСЛОВИЕ
Во многих областях научных исследований встречаются определенные
интегралы от произведений элементарных и специальных функций, имею-
щие вид
ь
J Ф1 (схр, г/р у2, , ут) Ф2 (ух*7, zp ... , zn) dx =
a
= Л(с, у, У1, , ут, Zp ... , zn), (1)
где a, b, р, q — заданные действительные величины, причем 0 а < b ^оо.
Если параметры с, у, уи ..., ут, zb ..., zn— постоянные величины, то
числовое значение интеграла (1) от конкретных функций ф1 и <ре в прин-
ципе может быть получено на ЭВМ с достаточно высокой точностью. Од-
нако если значения с, у, у\, ..., ут, Z\, ..., zn не фиксированы, то интеграл
(1) является функцией, зависящей от этих параметров, изучать которую,
как правило, весьма затруднительно даже специалистам-математикам.
В таких ситуациях обычно прибегают к помощи таблиц интегралов [3, 7,
У, 10, 52, 57—60] и др. Но даже если исследователю повезет и встретив-
шийся интеграл в таблице найдется, у требовательного человека всегда
останутся чувство неудовлетворенности и доля неуверенности, вызванные
необходимостью использовать результат, метод получения которого
неясен и в котором могут содержаться неточности. Способы контроля в
таких случаях, как правило, весьма ограничены и специфичны: можно
обратиться к другим таблицам, рассмотреть более простые частные слу-
чаи интеграла, обратить внимание на симметрию по параметрам и т. п.
Однако вероятность удачи при обращении к таблицам невысока, так как
в них содержится лишь до 10 тыс. определенных интегралов.
Поэтому возникла необходимость разработки и популярного изложе-
ния единых общих методов вычисления интегралов, позволяющих иссле-
дователю самому получить требуемый результат или же проверить взя-
тый из таблицы. Наличие таких методов дает возможность исключить из
таблиц редко встречающиеся в приложениях сложные интегралы, а вза-
мен изложить методику нахождения их значений.
В книге разрабатывается некоторый общий метод вычисления ин-
тегралов вида (1) от функций cpi и <р2 гипергеометрического типа, пере-
численных в § 12. Список этих функций можно дополнить, но автор огра-
ничился рассмотрением функций, для которых имеются общепринятые
обозначения (в соответствии со справочником [2] и работами последних
лет). Результаты вычислений выражаются, как и во всех справочниках
такого рода, иногда в элементарных, а чаще в специальных функциях,
5
i-i3 агаем i i десь материал дает возможность путем несложных опера-
ций получить значения свыше миллиона интегралов и определить обла-
сти их сходимости по следующей схеме вычислений.
1. Путем замен переменных ух4 = t, усч/р = у, «%%(?) = ср1(т-р/‘7, yt, •
• • • , Ут)’ Х(у) = <7Т1 !ч А (с, у, у±, ... ,ут, z1( .... zn); Ж2(Г) = tx‘4qz(t,
zp zn), ya4 t ybf-, ,y^2(/) = 0, t£{yaq, уМ], интеграл (1) сводится
л стандартной форме интеграла типа свертки Меллина:
ос
j Ж, (уIt) Ж2 (/) ГУ/ = Ж (у), у>0.
О
(2)
2. Над равенством (2) совершается преобразование Меллина, определя-
емое формулой
со
Ж* (s)— \Ж (y)ys~v dy, (3)
о
которое приводит это равенство к вид)'
Xj(s)^2(s) = (4)
rflej$f/(s) — преобразования Меллина функций Ж,(х), / = 1, 2, называемые
еще образами этих функций.
3. После перемножения известных Ж* (У) для их произведения Ж* (s) на-
ходится прообраз Ж (у), связанный с Ж*{&) формулой (3). Полученная
функция Ж (у) выражает искомое значение интеграла (2).
Изложенная схема наиболее эффективно осуществляется в случае, когда
Ж](х) относятся к классу функций гипергеометрического типа, то есть, в
частности, когда преобразования Меллина Жj (s) являются произведениями
отношений гамма-функций от s на постоянные. Тогда и произведение
имеет такую же структуру:
Ж*{У) = С п
Г (а,- + S) г (bs — s)
Г (cft + s) Г (d? — s)
С — const,
(5)
где
оо
Г (s) = } ё~у z/sl dy, s> О,
b
(6)
— гамма-функция Эйлера [2].
Переход от образов Ж*($), имеющих вид (5), к их прообразам Ж (у)
осуществляется с помощью уточненной теоремы Слейтер [67] или теории
вычетов, на основе которой эта теорема доказывается.
В § 1 приводится основная теорема, отражающая изложенную схему
вычисления интегралов (2) типа свертки от функций Ж^(х), которые
находятся в специальной таблице преобразований Меллина (§ 10).
Образы Ж*($) всех этих функций имеют вид (5). Чтобы облегчить зада-
чу отыскания в таблице необходимых функций Ж;(х), прилагаются пара-
граф, поясняющий особенности таблицы (§ 9), перечень обозначений
специальных функций (§ 11) и поисковый указатель (§ 12).
В § 2, 3 содержатся необходимые вспомогательные сведения, относя-
щиеся к аналитическим функциям, интегральным преобразованиям и
гамма-функции и позволяющие изложить весь дальнейший материал на
6
------уровн ж ~шг студентов “старших курсов, изучавших математический
анализ.
Центральное место в книге занимает § 4, в котором рассматриваются
элементы современной теории функций гипергеометрического типа, теоре-
ма Слейтер и ее обобщения, а также приводятся сведения по асимптотике
функций гипергеометрпческого типа. В § 5, 6 изучаются важные частные
представители функций этого класса — функции Гаусса, Куммера и Бес-
селя. Исследованию различных способов вычисления интегралов в особых
случаях посвящен § 7, где разобрано большое число соответствующих
примеров, рассмотрены важны • для приложений полилогарифмы, функ-
ции Миттаг — Леффлера и Курепы, а также кратко указан способ вычис-
ления интегралов вида (1), содержащих, однако, произвольное количест-
во множителей <рт. В § 8 выводятся формулы обращения некоторых
классов интегральных преобразований типа свертки и несверточного
вида, которые, в частности, содержат преобразования Фурье, Лапласа,
Ганкеля, Стилтьеса, Л1ейера, Конторовича — Лебедева, Мелера — Фока
и другие известные преобразования.
Порядок изложения материала предусматривает две стадии овладе-
ния методом вычисления интегралов: чисто техническое освоение приемов
счета с помощью основной теоремы и подробно разобранных примеров ее
использования (§ 1) и глубокое понимание основ современной теории
специальных функций гипергеометрического типа и всех тонкостей мето-
да (§ 2-7).
Проведенные в § 4—7 исследования показывают, что многие элемен-
тарные и большинство изученных специальных функций являются функ-
циями гипергеометрического типа и поэтому, вообще говоря, могут быть
определены как линейные комбинации интегралов Меллина—Бернса [2]:
Я(г) = —— Г Г| -Г-(а-; + а'Г ~P;S)- z~s ds, (7)
2ш J । ‘ r(Cft + TftS)r(4-6zS)
!£ i.i.k.l
где — некоторый бесконечный контур; а;, 07-, yk, 6( — действительные
положительные, a at, b}, ch, dlt z— комплексные параметры и переменная.
Если все = f>7- = yh = 6г = 1, а контур количество и величины пара-
метров bj, ch, dt удовлетворяют некоторым условиям, то формула (7)
осуществляет обратное преобразование Меллина произведения (5), точнее,
Х(у) = СЯ(«/).
Очевидно, что количество гамма-функций, число и вид свободных пара-
метров, входящих в правую часть (7), определяют ту или иную функцию
гипергеометрического типа. Если эти величины произвольны, но контур
удовлетворяет некоторым условиям и все а( = 0,- = yh = 6, = 1, а интеграл
(7) сходится, то функция Я(г) сводится к так называемой G-функции
Мейера [2, 51, 53]. Случай, когда коэффициенты а;, 0;, yh, отличны от
единицы, приводит к еще более общей //-функции Фокса [42, 53]. Основ-
ные элементы теории этих функций излагаются в § 4, 7, 8.
Такой подход к теории функций гипергеометрического типа является
определяющим во многих работах последних лет (см., например, моно-
графии [51, 53] и указанную там библиографию). В этих работах вычис-
ляются чрезвычайно сложные интегралы от произведений G, Н и других
общих функций одного или двух аргументов. Каждый подобный резуль-
тат порождает множество частных интегралов, однако заметить и выде-
лить из общих нужные для приложений частные соотношения — задача
далеко не простая. Так, например, вряд ли рядовой специалист, встретив
7
----иудешс ть еготтаблице среди интегралов от
функции Бесселя Jv(z). А между тем синус является некоторым частным
случаем этой функции при v=l/2. Таким образом, получаемые в совре-
менной теории слишком общие результаты остаются абстрактными и
практически недоступными для всех исследователей, за исключением
узкого круга специалистов, занимающихся теорией специальных
функций.
Цель настоящей книги — восполнить образовавшийся разрыв между
современными достижениями теории специальных функций гипергеомет-
рического типа и их практическим использованием для вычисления ин-
тегралов и обращения интегральных преобразований, а также способст-
вовать популяризации этой интересной и полезной теории.
Автор глубоко признателен академику АН БССР Ф. Д. Гахову за
постоянное внимание к работе и предложения по улучшению методики
изложения материала.
I
I
I
I
I
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
§1. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ
Сущность разрабатываемого здесь метода вычисления интегралов
можно сформулировать в виде следующего утверждения:
Основная теорема. Каждая пара строк базовой таблицы пре-
образований Меллина (§ 10) может быть использована для вычисления
интеграла вида
со
С / х \ dt
= ^(Х), х>0, (1.1)
о
где (т), Жч (т) — известные функции, расположенные в левых частях
этих строк. Для получения значения Ж(х) этого интеграла достаточно
осуществить следующие операции:
1. Перемножить образы ЖДд), .^(s) функций Ж}(т), /== 1, 2,
^’(s)^*2(s)=^*(s), (1-2)
которые находятся из правых частей этих строк и являются преобразова-
ниями Меллина от оригиналов ЖДт), то есть связаны с ними формулой
^•(s) = J ^(т)/"1 dt, j=l,2. (1.3)
О
2. Для составленного таким образом произведения Ж*(э) (1.2) следу-
ет вычислить оригинал Ж(х), также связанный с Ж*(з) формулой преоб-
разования Меллина (1.3). Функция Ж(х) выразит искомое значение
интеграла (1.1).
Оригинал Ж(х) восстанавливается по известному значению своего
образа Ж*(э) с помощью теоремы Слейтер (§ 4 или строка 12.38 § 10),
а в более сложных случаях для этого применяется теория вычетов (§ 7).
Функция Ж(х) выражается, вообще говоря, в виде комбинации обобщен-
ных гипергеометрических рядов. Ограничения на параметры, обеспечи-
вающие сходимость интеграла (1.1), получаются автоматически из усло-
вий существования таких общих s, для которых оба интеграла (1.3) схо-
дятся. Эти условия на параметры в некоторых случаях могут быть
расширены к необходимым.
Замечание 1. С помощью основной теоремы можно вычислять
многие интегралы типа (1.1), у которых, однако, интегрирование ведется
не по лучу (0, оо), а по интервалам (0, 1), (1, оо), (0, х), (х, оо), (х, 1)
или (1, х), где х>0. Такие интегралы могут быть записаны в виде (1-1),
9
wmi и ну шт и- функцийТЯГ? -Г, доопределить тождественным
нулем на интервалах (0, 1) или (1, оо) (см. примеры 2, 3).
Замечание 2. Базовую таблицу можно неограниченно дополнять по
трем направлениям: 1) введением специальных обозначений для некоторых
общих функций гипергеометрического типа; 2) вычитанием из имеющихся
функций некоторых отрезков рядов Тейлора с последующими сдви-
гами интервалов изменения Res; 3) заменой аргумента х функций X’jfx) на
аргументы вида ahy/~ х , k = 2, 3, ... , ah — const. Эти свойства неограни-
ченно расширяют класс вычисляемых интегралов. Подробнее об этом гово-
рится в § 4, 7. Здесь отметим лишь, что если настоящим методом удается
вычислить интеграл (1.1), то метод применим и ко всякому сходящемуся
оо
интегралу вида Jj4f1(cxp) ^(ух4) xadx, где р и q — действительные вели-
о
чины. Более того, как указывается в п. 8 § 7, повторным использованием
преобразования Меллина, но по разным переменным можно вычислить вся-
Ь п
кий сходящийся интеграл вида J х“ П УСт (стхРт)dx, 0^a<fe^oo, где
а т=\
д^т(х)—произвольные функции из § 10. Его значение в общем случае бу-
дет выражаться через (п — 1)-кратные ряды. Такое обобщение метода нуж-
дается в строгом теоретическом обосновании.
Основная теорема схематична. Чтобы лучше разъяснить механизм
ее действия, разберем простейшие примеры использования этой теоремы.
Пример 1. Вычислим интеграл**
J dt = Ж (х), х> 0. (1.4)
о
Здесь можно положить
(т) = е~\ (т) = е~т т\ (1.5)
Из строки 3.1 (1) § 10 базовой таблицы найдем образ первой функции
^(s) = Je-xxs-,dx = r(s), Res>0. (1.6)
о
Этот интеграл носит название интеграла Эйлера 2-го рода, а функция
T(s), им определяемая, называется гамма-функцией. Ее свойства излага-
ются в курсе математического анализа [25, 29]. Образ второй функции
e~xxv можно найти из той же строки, если в левой ее части добавить мно-
житель xv, а в правой заменить s на s-|-v, что обосновывается равенством
ОО оо
•^2 (s) = f (е~х xv) Xs"1 dx = f е~х x(v+s)~‘ dx = Г (v + s), Re (v + s) > 0.
b b
(1-7)
Перемножив эти образы
X*(s) = Jf;(s)Jf;(s) = r(s)r(s + v) = r[s, s + v], (1-8)
найдем прообраз полученного произведения, записываемого для просто-
ты в виде T[s, s-f-v]. С этой целью воспользуемся теоремой Слейтер (§ 4
j *> Пояснения к записи деления через косяк приведены в § 11.
НО
или строка 12.38 § 10), выражающей значение оригинала W (х) по его
известному образу J4f*(s), равному отношению произведений гамма-функ-
ций. В рассматриваемом случае размерности А, В, С, D и параметры а„
bk, Ci, dm. входящие в теорему, принимают значения А=2, B^C=D = G,
ai=0, a2=v. Так как здесь A+Z)>B4-C, A-[-B>C+D, то при соответст-
вующих условиях Res>0, —Rev искомый оригинал равен значению
Ж (х) =2Л (х) = хТ (v) (1 — v; х) + xv Г (— v) 0F1 (1 -f- v; х). (1.9)
С помощью формул 7.2 (12—13), 1.2 (6) из справочника Г. Бейтмена
и А. Эрдейи [2] найденное выражение можно окончательно записать в
форме
ад = 2xv/ 2 Kv (2 V х ). (1.10)
Этот результат согласуется с табличным ([3], формула 4.5 (29)). Такое
же значение интеграла (1.4) через известную функцию Макдональда
Kv(z) можно получить и сразу из строки 9.3 (1) § 10, показывающей,
что образу (1.8) соответствует прообраз (1.10). Интегралы (1.6), (1.7)
сходятся, если Res>0, —Rev. Так как для любого v найдется такое s,
что одновременно выполнятся условия Res>0, Res>—Rev, и, следова-
тельно, при этом s могут быть осуществлены все проведенные операции, то
параметр v может быть произвольным комплексным. Легко видеть, что
интеграл (1.4) сходится при любом v, если х>0. Впрочем, он остается
сходящимся и для комплексных х, таких, что Rex>0, поэтому равенства
(1.4), (1.10) можно продолжить и на случай комплексных х, у которых
Rex>0.
Следует отметить, что в соответствии с [3] полученный результат можно
рассматривать как вычисление преобразования Меллина от функции
e-xit—t или преобразования Лапласа (8.19) от е~х/х *.
Пример 2. Вычислим интеграл
1
J f1 (1 — 0^* sin 2 V tlx dt = х (X), х>0.
о
(1.11)
В соответствии с (1.1) введем обозначения
Jir1(T)^sin2/lr т, jf2(T) = Tv(l—т)^"’, П+-1 = ( ’’ Г1>°’ (1-12)
(0, л^о.
Образы этих функций могут быть найдены из строк 3.2 (6) и 2.2 (1) § 10.
Причем в последней добавление множителя xv к функции (1—х)“— 1 влечет
замену s на s + v в ее образе:
(s) = Г Г 1/2-Ч , jRes|<-l-;^*2(s)=r(fOrr f + 1,
[ s + 1 J 2 [ s + v + р
(1.13)
Rep>0, Re(s + v)>0.
Перемножив эти отношения из двух Г-функций от s, получим образ
интеграла (1.11) в виде произведения отношений гамма-функций от s
на постоянный множитель:
Ж* (s) = V л Г (р) Г
s + V, 1/2 — s
s ф- v ~г р, $4-1
(114)
11
Прообраз Ж (х) этого выражения можно найти по теореме Слейтер. Здесь
А = В = 1, С = 2, D = О, «! = г, Ъ1 = 1/2, Cj = v + р., с2 = 1, А + £><
<В-]-С, AA-B = C-\-D. Поэтому при условиях —Re v< Res <1/2,
2Res> — 1 — Rep, Rep>0имеем
J/(x) = )z л Г(р)2в(1/х) = Г(р)х ,/2Г
v+ 1/2
v р j- 1/2, 3/2
X iF2
v 1 /2; — 1 /х \
. v + P + l/2> 3/2/
(1-15)
Это же значение получается из таблиц ([3J, 13.1 (29)), а также из таблиц
интегралов И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [7] (формула 3.771 (3)),
если в последней произвести замену xt = и t , аи = 2 ]/~х". Пересечение
условий (1.13), накладываемых на действительные части параметров, приво-
дит к указанным в [7] ограничениям Rep>0, Rev>— 1/2, при которых
найдется значение Res, удовлетворяющее всем требованиям (1.13).
Формулы (1-11), (1.15) можно получить также с помощью строки 12.10
(4) § Ю ' как прообраз функции (1.14), положив там а = v + 1/2, у = 3/2,
с = v + р + 1/2 и заменив s на s—1/2. Если в формулах (1.11) и (1-14)
поменять р на v + 1/2 и v на 1/2, то прообраз такого частного образа (1.14)
можно представить и в другой форме через функцию Струве Hv(z), вос-
пользовавшись строкой 9.5 (3) § 10. Так получается формула 3.771 (6)
из [7J.
Заменив в (1-11), (1-14) р на v + 1/2 и v на 1, получим в результате
сокращения r(s+l) значение образа (1-14) в виде)/ пГ(т+1/2)х
г, Г 1/2 — S
X Г
s v + 3/2 J
такого образа служит функция
. В соответствии с теоремой Слейтер оригиналом для
К Л T(v+ l/2)x-’/2[r(v + 2)FoFi(v + 2; — 1/х) =
j =]/^Г((у+ 1/2)xv/2Jv+i(2/KT), (1.16)
которая, впрочем, может быть найдена и из строки 9.2 (5) § 10 заменой v
на v-J-1 и s на s + v/2. Из условий (1.13), накладываемых на параметры
р, v, в этом случае остается лишь ограничение Rep = Re(v + 1/2) > 0,
которое также фигурирует в формуле 3.771 (И) из [7], сводящейся к (1.11),
(1.16) при v = 1, р = v + 1/2.
Отметим, что к произведению (1.14) сводится также образ другого инте-
грала. Этот интеграл можно сконструировать, выделив из (1.14) два множи-
теля, но уже другим способом: Г
образы этих функций из строк 2.2 (1), 9.2 (5) § 10: {Г(1 —v)]-1xv(l—x)+v,
x(mh-v)/2—3/4 jv+m_[/2 (2/)/ x ), при условиях Rev<l и —Rev,— 1/2 X
X Re(v + p)<Res<l/2 составим другой интеграл вида (1-1), значение
которого совпадает с (1.15). После замены v + р— 1/2 = a, v — 1 —Р этот
интеграл принимает следующую форму:
1/2 —s
. Вычислив про-
Г
j (!—/)₽-’(2 )Л t/x) dt =
b
Д г гр, 3/2 —р’
x~al\F2(3l2 — р; а 4-1, 3/2; — 1/х), (1.17)
10
0<Rep<3/2.
Достаточное условие Rea>—3/2, при котором он выводился, можно опу-
стить, так как величина а не влияет на его сходимость. Этот интеграл
отсутствует в весьма полных таблицах [3, 7]. При а=1/2 он совпадает
со значением (1.11), (1.15), где следует выбрать р=1—v=0.
Разобранные примеры убедительно иллюстрируют совпадение резуль-
татов вычисления отдельных интегралов настоящим методом с известны-
ми значениями этих интегралов. Приведем еще пример вычисления ин-
теграла, отсутствующего в таблицах [3, 7].
Пример 3. Покажем, что
оо
J /V-1 _ ци-i sin 2 = W (х) =
1
= 2Г
.
1/2 — v — р.
1/2 —v
/ v + 1/2; — 1/х \
к3/2, v +р-Ь 1/2/
—t— р JV 1 I Л 1* Z I ’
[2 — V — PJ \ 3/2 — V — р, 2 — V — р/
Rep>0, Re(p + v)<3/2. (1.18)
Умножив прежнее (s) (1.13) на значение образа
1 -----v — ц — S
1 — V — S
(<о = г(р)г
Rep>0, Re(s + р + v)< 1, (1-19)
функции (т) = tv (т—1)+ ’, которое находится из строки 2.2 (3) § 10
заменой s на s + v, а = р, получим
jf*(s) = / л Г(Р)Г
1/2 — S, 1 -V — Р — 5
S + 1, 1-— V —S
(1.20)
Прообраз этого значения может быть найден по теореме Слейтер при
Л = 0, В = 2, C=D=l. Он равен выражению, стоящему в (1.18) справа.
Ограничения на параметры, выводимые из пересечения условий сходи
мости интегралов (1.3), обеспечивают условную сходимость интеграла
(1.18) на оо и его абсолютную сходимость при t= 1.
Положив в (1.18) р = v + 1/2, v = 1/2 и воспользовавшись свойством
Г(0) = оо и формулой 7.2 (3) из [2], получим значение правой части в виде
V л r(v+ l/2)xv/2 J_v(2/|/ х), |Rev|<l/2. Подставив в (1-18) p = v +
+ 1/2, v= 1 и воспользовавшись формулой 7.2 (4) из [2], найдем значение
правой части в виде У л T(v + l/2)xv/2y_v_I(2/]/'х ) при — l/2<Rev<
<0 (последнее можно вывести и из строки 9.4 (3) § 10). Эти частные зна-
чения интеграла (1.18) совпадают с выражениями 13.2 (22—23) из [2] и
3.771 (7,11) из [7].
Отметим, что при p+v=l/2 в правой части (1.18) возникает неопре-
деленность (так называемый логарифмический случай). Однако так как
левая часть непрерывна, то эту неопределенность можно раскрыть по
непрерывности (§ 4, 7). Вычисленные значения интегралов (1.11), (1.18)
в соответствии с [3] можно рассматривать как значения преобразований
Л1еллина, Фурье или интегралов дробного порядка (§ 11) от соответст-
вующих функций.
Эти и другие более сложные примеры, разобранные в § 7, показывают
большую эффективность, универсальность и точность настоящего метода.
Для достаточно популярного и замкнутого изложения его теории нам
понадобится ряд вспомогательных сведений, которые не всегда подробно
отражаются в вузовских курсах математики.
§2. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
При доказательстве основной теоремы и при изложении теории спе-
циальных функций гипергеометрического типа широко используется
аппарат аналитических функций комплексного переменного и основные
элементы теории интегральных преобразований Фурье и Меллина. Для
большей доступности книги широкому кругу читателей в этом параграфе
приводится вся необходимая в дальнейшем вспомогательная информация
общего характера, причем в относительно простых случаях даны соот-
ветствующие доказательства.
Для первоначального ознакомления с теорией аналитических функ-
ций читателю можно рекомендовать учебники [25, т. 3; 30] или пособия
[18, 28, 4], а для более углубленного — [12, 22]. Элементы теории преоб-
разований Фурье и Меллина излагаются в книгах [9, 12, 14], а более
подробно — в монографиях [26, 8]. Отметим еще справочник [15], в ко-
тором читатель может найти информацию по многим направлениям ана-
лиза, в том числе и по названным.
1. Аналитические функции. Обозначим через z комплексную перемен-
ную, через x=Rez, y = Imz, r=|z|, <p = argz— соответственно ее действи-
тельную и мнимую части, модуль и аргумент:
z = х + iy =ге"$ = г cos ср + ir sin ср, г = ]/ х2 Д у2 , z = х— iy, i = ]/— 1.
(2-1)
Определение [18]. Пусть в открытой области D из плоскости
хоу задана функция f комплексного переменного z:
w = f{z)=^u (х, у) + iv (х, у), z = х + iy £ D, (2.2)
где и и v — некоторые вещественные функции точек области D, именуемые
соответственно действительной и мнимой частями f (z). Комплексное число
А называется пределом функции f в конечной точке z0, принадлежащей
замкнутой области D, если для любого е > 0 существует такое бЕ > 0, что
для всех точек zQD, z=£z0, находящихся от z0 на расстоянии, меньшем бЕ,
то есть 0 < \z — zol < 6Е, имеет место неравенство |/ (z) — А\ < е. Для обо-
значения предельного соотношения между /(г) и А используется обычный
символ: lim / (г) = А.
г-г0
В дальнейшем будем полагать, что в точках z0, где существует конеч-
ный предел f (z), значением функции f выбран этот предел: f (z0)= lim f(z)—
= А, то есть будем считать, что f (z) в таких точках доопределена по не-
прерывности. Несложно убедиться в том, что последнее равенство эквива-
лентно следующим двум соотношениям: и(х0, уе) = limu(x, у) и п(х0, у0)=
= linw(x, у) при (х, у)—>-(х0, у0), то есть для непрерывности комплексной
функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы ее действительная и мнимая
части в соответствующих точках были непрерывными функциями двух дей-
ствительных переменных х и у.
Условия дифференцируемости функции комплексного переменного выгля-
дят иначе: для существования производной такой функции f(z) недостаточ-
но дифференцируемости ее двух действительных составляющих и(х, у) и
v(x, у). Однако при выполнении некоторых дополнительных условий (Коши-
Римана) существует не только первая производная, но и производные любых
порядков, а функция разложима в ряд Тейлора. Эти свойства характерны
для так называемых аналитических функций комплексного переменного.
Определение. Функция /(z), z£D, называется аналитической в об-
ласти D, если она дифференцируема в каждой точке этой области, то есть
для любого z^D существует конечный предел
lim —= f (z), Д/ = / (z + Дг) — f (z), Да = Дх + iKy, (2.3)
дг-» о Да
называемый производной функции f в точке г.
Пусть в точке аб£> существует производная f'(z). Предел (2.3) не
должен зависеть от способа приближения приращения Да к нулю. Поэто-
му различные пути подхода к точке z не должны влиять на значение про-
изводной. Выберем наиболее простые способы стремления Да к 0: по
прямой, параллельной действительной оси (когда Да=Дх), и по прямой,
перпендикулярной этой оси (когда Дз=гДг/). Тогда получим равенство
Г (?) = их+ ivx = l/i (иу + ivy),
из которого следуют упомянутые условия Коши — Римана".
их = vv, uv = — vx, (х, у) 6 D. (2.4)
Последние соотношения являются не только необходимыми условия-
ми, но и входят важным элементом в достаточные условия аналитичности
функции f (z). Точнее, справедлива следующая
Теорема 1 (критерий аналитичности). Для аналитичности функ-
ции f(z), z=x+iy, в области D необходимо и достаточно, чтобы ее дейст-
вительная и мнимая части и(х, у) и v(x, у) были дифференцируемыми в
области D функциями двух действительных переменных х и у и чтобы их
частные производные удовлетворяли условиям Коши — Римана (2.4).
Доказано (теорема Коши), что аналитическая в области функ-
ция обладает производными любого порядка и разлагается в степенной
ряд Тейлора в соответствующей окрестности каждой точки области;
/(z) = hm Д, —-— (z —z0) = 2, —И-- (z —г0) , |z — z0|</?. (2.5)
«-» k=0 K" k=0 K"
Последнее свойство иногда кладут в основу равносильного определения
аналитичности.
Примером аналитической функции является функция
1-Z (1—Z)(l — Z) (1—Х)2Д-^2
+ i--------
(1-Х)2+^
= - и + iv.
(2-6)
По критерию (2.4) она аналитична в плоскости z всюду, кроме точки
2=1, где обращается в бесконечность 1-го порядка. Сумма ряда Тейлора
т. ямой -есконечно
тте~ -оческой прогрессии со знаменателем г:
f(z) = (l-zr
оо
2 и< 1.
Ь=0
(2-7)
Причем область сходимости последнего ряда является единичным кругом
|г|<1, граница которого содержит особую точку Z=1 функции) (z).
Поэтому равенство (2.7) справедливо лишь в круге |z|< 1, где ряд сохра-
няет сходимость.
Однако функцию f(z) = (l—z)~’ можно разлагать в ряд Тейлора и
в окрестностях других точек z=z0^= I или z = oo:
Mz) = 2 (1—Zo)-*-1 (z —z0)fc, f(z) = -£(l/z)^. (2.8)
fc=0 fe=0
Последние ряды сходятся соответственно в круге |z—zq|<|1—z0| и области
]z|> 1. Таким образом, правые части формул (2.8) совпадают между со-
бой (как и левые), если z принадлежит общей части названных областей.
В связи со сказанным возникают следующие вопросы. Допустим, что
сумма (1—z)'1 рядов (2.7), (2.8) нам неизвестна. Можно ли утверждать,
что все эти три ряда представляют собой разложения одной и той же
аналитической функции, но в окрестностях разных точек? При каких
условиях это свойство справедливо в отношении к произвольным рядам?
И как от одного разложения перейти к другому, если сумма ряда неиз-
вестна? Ответы на эти вопросы могут быть получены с помощью теоремы
единственности и методов так называемого аналитического продолжения.
Теорема 2 (единственности аналитической функции). Если анали-
тические в области D функции f(z) и ц(г) равны между собой на некото-
ром множестве EczD, имеющем по крайней мере одну предельную точку
zo, лежащую внутри области D, то <p(z)=f(z) всюду в области D.
Определение. Пусть в области /Д плоскости комплексного пере-
менного z задана аналитическая функция fi(z), а О2 является некоторой
другой областью, пересекающейся с первой по части d=E)1f]D2. Если су-
ществует аналитическая в D2 функция f2(z), совпадающая с Д(д) в об-
ласти d, то говорят, что fi(z) —аналитическое продолжение fi(z) из об-
ласти Di в область D2 через общую часть d этих областей.
Из теоремы 2 единственности вытекает, что если существует аналити-
ческое продолжение, то оно единственно.
Стандартный метод аналитического продолжения заключается в сле-
дующем. Пусть функция f(z) разлагается в ряд Тейлора, сходящийся в
некотором круге \г—г0|<Д. Тогда для каждой точки Zi этого круга из-
вестны значения f (zd), f'(zi), f"(zi), ... По ним можно построить другой
ряд Тейлора в окрестности точки z = zb сходящийся внутри круга Iz—
—zi|</?] некоторого радиуса Ri. Этот круг может выходить за пределы
первого. Таким образом, мы получим аналитическое продолжение функ-
ции f(z) в некоторую часть плоскости за пределы первого круга. Такие
построения могут быть осуществлены не только в окрестности каждой
точки zl из круга \z—Zo|</?, но и в окрестностях всех точек Zj+i вновь
образуемых кругов |г—Zj\<Rj, j=l, 2, 3, ... Указанный процесс продол-
жается до тех пор, пока не будет получена область, за которую функцию
f(z) аналитически продолжить нельзя. Такая область называется естест-
венной (или полной) областью существования аналитической функции,
а построенная в результате изложенного процесса аналитическая функ-
16
6Z9i9
ция называется полной аналитической функцией. Вообще говоря, полная
функция может быть неоднозначной.
Из сказанного следует, что ряды (2.8) осуществляют аналитическое
продолжение суммы ряда (2.7) в окрестность точек г=г0=/=1 и z=oo.
Примером аналитически непродолжаемой функции является функция
ос
определяемая рядом z2 . Этот ряд сходится в круге |z| < 1, граница ко-
k=i
торого содержит всюду плотное множество особых точек суммы ряда, и
поэтому аналитически продолжить такую функцию через естественную гра-
ницу ]z| = 1 нельзя.
Теорему 2 можно использовать для аналитического продолжения дей-
ствительной аналитической функции действительного аргумента.
Определение. Заданная на отрезке а^х^б действительная однознач-
ная функция /(х) называется аналитической, если в некоторой окрестности
х0— б<х<х0-|-б каждой точки х0£[«, Ь] она представляется в виде сум
оо
мы степенного ряда f (х) = 2 аь (х— x0)fc с действительными коэффициен-
те
тами.
Чтобы осуществить аналитическое продолжение [ (х) с отрезка [а, Ь]
а»
заменим в последнем ряде х на z: aft(z — x0)fc. Радиус сходимости поду-
ло
ченного ряда будет не меньше, чем б. Его сумма определяет аналитическую
в круге |z — х0| <б функцию, значение которой при z = x совпадает с /(х),
поэтому такую функцию естественно обозначить через f(z) и назвать ана-
литическим продолжением функции f(x) с интервала (х0 — б, х0 ф- б). Вос-
пользовавшись стандартным методом аналитического продолжения, функцию
f(z) можно аналитически распространить вплоть до ее естественных границ.
Пример 1. Функция ег может быть определена как сумма всюду схо-
оо оо
дящегося ряда ^zft/fe!, получаемого из ^xfc/fe! заменой х на z. Если
k=0 fc=0
аналогичные замены осуществить в рядах для функций cos х и sinx и
сравнить все эти три ряда, то несложно вывести известные тождества Эйле-
ра, связывающие показательную и тригонометрические функции
giz 1
ёг = cos z ф- i sin z, cosz =--------, sinz =--------;---. (2.9)
Ряды, определяющие последние функции, всюду сходятся, то есть эти
функции аналитичны во всех конечных точках плоскости. Такие аналити-
ческие во всей плоскости функции называются целыми.
Пример 2. Интеграл Эйлера (1-6), оставаясь сходящимся при
комплексных s, лежащих в полуплоскости Res>0, дает возможность рас-
пространить гамма-функцию T(s) с интервала (0, оо) оси Ims = 0 на по-
луплоскость Res>0.
Из теоремы единственности вытекает следующий
Принцип консерватизма функциональных соотношений для
аналитических функций ([15], гл. 7.8). Если аналитическая в области D
функция f(z) удовлетворяет некоторому функциональному соотношению,
в частности дифференциальному уравнению, то этому же соотношению
удовлетворяет и аналитическое продолжение функции f(z). В щхатностц^
если в области D установлено равенство f(z)=q(z), то срсб' сЭхрфн'я!ет.-.'~.'^
2. Зак. 216 ' ., 17 '
F-------силу и в Оолёе широкой области D*zz>D, для которой обе части равенства
1 остаются аналитическими функциями. Утверждение остается верным и
1 в случае, когда f(z)=q>(z) на некотором отрезке из области D*.
Этот принцип в дальнейшем будет неоднократно применяться.
I Интеграл от функции комплексного переменного f(z), заданной на
I простой ориентированной кривой С, определяется обычным способом Ри-
| мана через конечный предел:
I "
I Нт £ ^ft)Azft = j>(z)dz, (2.10)
шах|Дгй1-0 fc=1 с
1 где zk (k = 0, 1, , п)— произвольные точки кривой С, причем z0 и zn—
1 ее концы; Azfe=zfe— z*_i (k = 1, 2, ... , п), a t,h — произвольная точка,
' лежащая на участке [zft_i, zk] кривой С.
1 Этот криволинейный интеграл существует, если С — кусочно-гладкая
кривая, a f (z) — кусочно-непрерывная и ограниченная функция. Неслож-
1 но установить, что интеграл (2.10) обладает обычными свойствами кри-
волиненных интегралов 2-го рода от вещественных функций и может
1 быть выражен через них по формуле
I
I J f (z) dz = [ (udx— vdy) + i [ (udx + udy). (2-П)
1 c c c
Оказывается, контурный интеграл (2.10) вдоль кривой С от аналити-
ческой функции не зависит от формы кривой, а зависит лишь от положе-
ния ее концов и вида интегрируемой функции. Поэтому для замкнутых
кривых С он равен нулю. Точнее, справедлива следующая
Теорема 3 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвязной
ограниченной области D, то для всех кривых С, лежащих в этой области
и имеющих общие концы, интеграл (2.10) имеет одно и то же значение.
В случае замкнутой кривой С он равен нулю. Если С совпадает с грани-
’ ией D, а функция f аналитична в D и непрерывна в замкнутой области D,
то и в этом случае интеграл (2.10) равен нулю.
Доказательство сводится к применению известной теоремы из
математического анализа ([29], п. 601) об условии, при котором выраже-
ние Pdx+Qdy является полным дифференциалом. В самом деле, подста-
вив в (2.10) f (z) =«-[-iv, dz=dx+idy, легко получим равенство (2.11).
Так как в области D функция f(z) аналитична, то она имеет там непре-
! рывную производную и выполняются условия Коши — Римана (2.4). По-
этому действительные выражения, стоящие в скобках под интегралами
(2.11), будут полными дифференциалами некоторых функций (для них
выполняется упомянутое условие полного дифференциала Qx=Py, где
' Р=и, Q=—v или P—v, Q = u). Отсюда следуют все утверждения теоре-
мы для правой части равенства (2.11).
Замечание. Теорема Коши позволяет произвольным образом из-
менять контур С по области аналитичности функции f, не допуская при
1 этом пересечения контуром точек, в которых нарушается аналитичность
этой функции. При таких вариациях контура С величина интеграла
(2.10) сохраняется.
Справедлива следующая обратная к теореме Коши
Теорема 4 (Морера). Если функция f(z) непрерывна в односвяз-
ной области D и интеграл (f(z)dz по любому замкнутому контуру С,
с
| лежащему в D, равен нулю, то f(z) аналитична в этой области.
I Определяющая роль в теории аналитических функций принадлежит
| особым точкам, то есть точкам, в которых нарушается аналитичность
I 18
полной функции. По существу, в этих точках заложена вся основная ин-
формация об аналитических функциях. Показано (те о р е м а Ж. Л и у-
билля), что кроме тождественной постоянной не существует аналитиче-
ской во всей плоскости и ограниченной функции. Таким образом, все ана-
литические функции, за исключением постоянных, имеют особые точки.
Простейшим типом таких точек являются изолированные особые точки
однозначного характера.
Определение. Точка z0 называется изолированной особой точкой
функции f(z) однозначного характера, если существует окрестность
0<|г—£0|<Я этой точки (с исключенной точкой z0), в которой f(z) ана-
литична и однозначна. Если существует конечный предел limffz), то точ-
z-z„
ка z0 называется устранимой особой точкой (например, z=0 у функции
sinZ- |. Если существует конечный отличный от нуля предел lim(z—
z '
__zc)nf(z) #=0 при z-+z0 и натуральном п, то точка z0 называется полюсом
порядка п (пли п-кратным полюсом) функции f (z); при п= 1 полюс назы-
вается простым (например, в точке z=l функция (2.7) имеет простой
полюс). Если не существует ни конечного, ни бесконечного предела f(z)
при z-+z0, то точка z0 называется существенно особой.
Примером существенно особой точки служит точка z = со для целых
функций f(z), равных ег, cos z, sin г. Эта точка характеризуется тем, что
для любого комплексного числа А (конечного или бесконечного) найдется та*
кая последовательность точек zn-^z0—оо, что lim f(zn) = Л (теорема
Ю. В. Со хоц ко г о). Например, если г = х-^-Ц-оо (или —со), то функ-
ция ez = e“-+ + со (или 0).
Пример. Вычислим интеграл от функции (г — z0)ft, k = 0, ±1, ±2, . ..,
взятый по произвольному замкнутому контуру L (z0£L). Покажем, что
он всегда равен нулю, за исключением лишь случая, когда k =— 1, а z0
находится в области D, ограниченной контуром L‘.
[(г — zQ)kdz = 1 °’ .
д I 2ш.
Л =/= — 1, г0 С L или
k = — 1, z0£D.
k = — 1, z0 C D,
(2.12)
В самом деле, если z0 £ D или z0 £ D, но k = 0, 1, 2, ... , то функция
(z—z0) аналитична всюду в области D и по теореме 3 интеграл (2.12)
равен нулю. Если г0 g D, a k — — 1, —2, ... , то в точке z = z0(E D подын-
тегральная функция имеет полюс |Л|-го порядка, а в остальных точках она
аналитична. Поэтому значение интеграла (2.12) не изменится, если в качест-
ве контура L взять, в частности, окружность радиуса R с центром в точке
г0, лежащую в области D : L = Lt {z — z0~ Rei<p). Интеграл по этой окруж-
ности равен нулю при k = -—2, — 3, ..., а при & = —1 он равен 2ni,
о чем свидетельствуют равенства
(z — z0)k dz
2л
(• ,/<₽(*+1)
Rkei'ek (Reiv id<p) = Rk+1 i
0
k = — 1.
2л
0, k=£ — If
о
(2.13)
Исключительное положение случая k — — 1 служит основой так назы-
ваемой теории вычетов.
Определение. Пусть функция f (2) аналитична в круге |z—20|s^/?
всюду, кроме его центра z = z0, являющегося особой точкой f однозначно-
го характера. Тогда число, равное значению
—[ f(z)dz = resf(z), Ц-.г — гй= Rei9, (2.14)
2 Л/. J z—z0
£1
называется вычетом функции f(z) в конечной точке 20 п обозначается
res f (2). Предполагается, что окружность L{ обходится против часовой
Z—Zo
стрелки (в положительном направлении).
Пусть fi(z)—аналитическая в круге |z—z0\<R функция. Тогда в
этом круге она представима через ряд Тейлора (2.5). Поделив это ра-
венство на (г—zo)", п=1, 2, 3, ..., и введя обозначение f(z) = (z —
—z0)~nji (z), легко получим следующее представление аналитической
функции f(z) в окрестности полюса п-го порядка:
оо
Дг) = ch (z - z0)k, ck (п + k)\ = f\n+k> (z0), c_n=#0, 0 < |z — zoj < R.
k=—n
Несложно убедиться, что вычет функции f(z) в точке z=z$ равен С-\ и
находится по формуле
res f (z) = —1— lira j - [(z — z0)" f (z)J = c_,. (2.15)
(n — 1) ! z-z0 dZ
С помощью понятия вычета из теоремы Коши получается следующая
формула Коши:
1 Cfm ff(z), z£D, (216)
2ш‘ ,1 £ —z lo, Z6O,
L
выражающая значение интеграла Коши в случае, когда f (£) — контурное
значение аналитической в области D и непрерывной в D функции f(z),
a L — граница области D (эта область можег быть и многосвязной).
Доказательство равенства (2.16) в случае, когда z не принад-
лежит области D, следует из аналитичности функции /(£)/(£—z) по пере-
менной и всюду в области D. Причем применяемая в этом случае теорема
Коши остается справедливой и для многосвязной области D, обходимой
по границе L так, что D всегда остается слева.
Если z£D, то аналитичность функции f(u)/(E—2) в области D наруша-
ется лишь в точке £=z. Разложив числитель f (Е) в ряд Тейлора по степе-
ням t.—z, легко найдем вычет подынтегральной функции:
<2.17»
£ —* С —kl
Теорема Коши и аналитичность подынтегральной функции в остальных
точках области D (по переменной ц) позволяют заменить произвольный
контур L в интеграле (2.16) на окружность Lp. Е—z=reie достаточно ма-
лого радиуса г с центром в точке £=z. При этом величина интеграла
останется прежней. Так как точка г внутренняя для области D, то всегда
найдется такой круг радиуса г, целиком содержащийся в области D.
20
Подставив в интеграл (2.16) по окружности разложение (2.17), проин-
тегрируем полученный ряд почленно (что возможно в силу равномерной
сходимости этого ряда в некотором кольце г—6<£—г|<г+6, 6>О). По
формуле (2.13) все интегралы, кроме первого, обратятся в нуль, а первый
даст значение f(z), равное вычету в точке £=г.
Формула Коши может быть обобщена на случай, когда подынтеграль-
ная функция аналитична в области D всюду, за исключением отдельных
изолированных особых точек однозначного характера.
Теорема 5 (о вычетах). Пусть функция tpfz) аналитична во всех
точках ограниченной области D, за исключением конечного числа полю-
сов и существенно особых точек а2, ..., ат, лежащих внутри области D,
а при z, стремящихся к границе L области D и z6D. функция q(z) непре-
рывна. Тогда интеграл от <р по контуру L, деленный на 2ni, равен сумме
вычетов функции <р относительно всех ее особых точек, лежащих внутри
области D, то есть справедлива формула
1 Г m
—— <P(z)*fe = У res <р(г).
2ш’ J j"
(2-18)
Доказательство аналогично приведенному выше.
Для нахождения вычетов произвольной функции f(z) можно исполь-
зовать формулу (2.15). Однако в некоторых случаях более удобным явля-
ется способ, основанный на разложениях функций в ряды, который ши-
роко используется в § 7, и поэтому его изложение здесь будет полезным.
Пусть в точке z=z0 функция /(г) имеет полюс л-го порядка. Тогда
произведение fi(z) =f(z) (z—zG)n в этой точке аналитично. Разложив его
в ряд Тейлора по степеням z—z0, выделим коэффициент при (z—г0)”-1 из
этого разложения, который, очевидно, будет равен искомому вычету
функции f(z) в полюсе г = г0. Если функция (г) является произведением
двух аналитических функций ft(z) =f2(z)f3(z), то для нахождения этого
вычета каждый из множителей f2 и f3 следует разложить в ряд Тейлора,
выделив п его первых членов (до степени (г—z0) п~1 включительно). Пос-
ле перемножения этих рядов для f,(z) (с учетом п членов) из произведе-
ния нужно извлечь коэффициент при (г—го)”-1, который является иско-
мым вычетом:
res f(z) = c_t
Z^=zo
(2.19)
Пример. В соответствии с формулами (2.15), (2.19) функция f (г) =
2z2ez
= иыеет следующие вычеты: в простых полюсах z == ± г
вычеты равны ± ie±l (3 -f- i)-2, а в двойном полюсе г = — 3 вычет равен
Г3. 1,68.
Вычет функции f(z) в точке z = oo определяется через интеграл (2.14),
где под Li понимается достаточно большая окружность |г| = /?, проходи-
мая уже по часовой стрелке. Этот вычет равен коэффициенту при г-1 из
разложения функции f(z) в окрестности точки г —со, взятому с обратным
знаком. Доказано, что если функция f(z) имеет в полной плоскости (с
присоединенной точкой z=oo) конечное число особых точек, то сумма
всех ее вычетов, включая и вычет на бесконечности, равна нулю. Приме-
нив эту теорему, несложно определить вычет данной функции на со:
res f(z) = 5-2[4sinl—3cosl—42e-3J.
2=oo
21
До сих пор речь шла об однозначных аналитических функциях. Одна-
ко в дальнейшем будут часто встречаться многозначные аналитические
функции, простейшими из которых являются логарифмическая (In z) и
степенная функции (z7 с нецелым показателем у). К. многозначности этих
функций приводит неоднозначность определения аргумента <р комплекс-
ного числа z—rei'f, так как на величину z не оказывает влияния добав-
ление к arg z=.<p слагаемых, кратных 2л (в силу e23Tfti=l, fe=0, ±1,
rt2,...). Многозначные функции имеют особые точки z = z0 многозначного
характера, называемые еще точками ветвления, при обходе которых по
замкнутому контуру функция ffz) изменяет свое значение: f(zi) =^f(z2),
где zi=z2, но argfzj—z0)y=arg(z2—zoj.
Примерами точек ветвления служат точки z = 0 и z=oo для
функций
In z — In |z| -J- i arg z, z = rel<p,
zv = ra e-p<l> [cos (p In r) + i sin (0 In r)J eta<₽, у = a + $,
с нецелым показателем у. Если положить z{ = re19, a z2 = ret(<₽+2jrt), k =
—- 0, ±1, ±2, ... , то, очевидно, Zj = z2, но для функции f (z) = Inz:
f(zz)— f(z1) = 2nki, а для f(z) = zv: f (zz) = f (zj e2nk'/l. Ясно, что при не-
целом у значения z2 и z?, вообще говоря, не совпадают, хотя z2 = zr Та-
ким образом, полные функции Inz и zv (у=/=0, ±1, ±2, ...) являются
многозначными.
Чтобы выделить из них однозначные ветви, следует сделать невоз-
можными обходы вокруг точек ветвления z=0 и z = oo. Этого можно до-
биться, проведя разрез, соединяющий точки ветвления, пересекать кото-
рый нельзя. Для указания выделяемой ветви в одной из точек разрезан-
ной плоскости следует задать некоторое значение функции. Тогда в
остальных точках разрезанной плоскости значение выделенной ветви
функции может быть однозначно вычислено по непрерывности.
Разрез может иметь произвольную форму, однако чаще всего его бе-
рут прямолинейным. Например, если разрез идет по лучу argz=q?o,
|фо|<л, то для главных ветвей функций Inz и z7 <po^<p = arg z<tpo-|-2n,
а у других ветвей промежутки изменения arg z отличаются от [<ро, <ро+
-|-2л) сдвигом на 2nk, Л=±1, ±2,... Следует отметить, что число одно-
значных ветвей функций In z и z7 (с иррациональным или комплексным
показателем у) бесконечно. Если же показатель рациональный (у=р/<7),
то степенная функция имеет q ветвей (р и q взаимно просты).
Рассмотрим два примера использования теории вычетов для вычис-
ления определенных интегралов ([18], п. 74, 3),4)).
Пр и мер 1. Докажем, что имеет место следующее равенство для
интеграла Эйлера:
Xs 1 dx
1,
(2.20)
л
sin ns
'о
Для этого рассмотрим вспомогательный интеграл по некоторому замкну-
тому контуру С:
Р 1 (s—l)Inz
\f(z)dz, (2.21)
J 1 z i г z
c
и положим для простоты, что s действительное: s = Re s.
Функция f(z) имеет две точки ветвления: z=0 и z=co. В рассматри-
ваемом случае в качестве разреза удобно брать положительную часть
оси абсцисс 0<Re z=x<oo, так как вычисляется интеграл от 0 до -(-оо.
Однозначную ветвь функции f(z) зададим равенством f(x-|-tO) — xs-1 (1 +
4-х)-1, *>0. Вне разреза эта ветвь функции f(z) аналитична всюду, кро-
ме точки z= — l=eni, где она имеет полюс первого порядка с вычетом,
находимым по формуле (2.15):
res f(z)~- lim (1 -\-z)f(z) — lim zs-1 = e,nls_1).
z=—1 z->—1 z——1
Поэтому интеграл (2.21) от этой ветви, взятый по всякому замкнутому
контуре С, содержащему внутри точку z=—1 и не пересекающему разрез
(О, оо), будет равен 2лщ,я<5-1>.
Возьмем в качестве С контур, изображенный на рис. I, то есть С =
— IU U И U С,-’ где С-R’ G— окружности радиусов R, г, а I и II — участ-
ки берегов разреза. Тогда на верхнем берегу I справедливо равенство f (х +
4- /0) = Xs-1 (1 + х)-1, х>0, а на нижнем берегу f(x—10) — f (xe2ni)—
— Xs-1 e2ni(s— (I x>0, и направление его обхода противоположно.
Таким образом,
я s_!
(* f (г)dz = J + J + J х (1 — >) dx = 2nteijt(s-1 (2.22)
С CR cr г
Докажем, что
>0 при Д->оо, г-э-0, если 0<s<l. В са-
сг
мом деле, справедливы следующие оценки:
ГбЙр<
s>0.
Перейдя в равенстве (2.22 )к пределу при г—>0, R-+co и воспользовав-
шись формулами Эйлера (2.9), окончательно получим значение (2.20):
С Xs"1 dx = 2nieIti(s~1) = л
.) 1+х 1 — sinn(l—s)
23
В силу аналитичности функций (2.20) и сходимости интеграла на отрез-
ке 0<s< 1 это равенство можно аналитически продолжить с отрезка на
полосу 0 < Re s< 1, в которой сходимость интеграла сохраняется (см.
принцип консерватизма).
П р и м е р 2. Докажем формулу, выражающую главное значение осо-
бого интеграла:
Xs 1 dx
(2.24)
1 —х
'о
И в этом случае в качестве вспомогательного возьмем интеграл (2.21), но
от функции f (г) = zs~’(l—z)~\ s = Res, и по контуру С, указанному на
рис. 2. Этот интеграл равен нулю, так как внутри С функция /(z) не име-
ет особенностей. С другой стороны:
R
0= | f(z)dz =
'6 'CR
___р2"*(
dx
(2.25)
Vr Уг
Вдоль полуокружностей уг, уг, где z—'1 = rel<f, имеем dz = irel<v dtp,
где <р меняется соответственно от л до 0 и о" 2л до л, причем при г->0
zs—1 = 1 + О (г), zs~’ = e2ixst 4- О (г) (так как уг и уг находятся на разных
берегах разреза). Таким образом*), J ф- j* = лг(1 ф- е2™1) ф- О (г).
Vr Уг
Перейдя в (2.25) к пределу при г—>0, /?—>оо, в случае 0<s < 1 по-
оо
лучим равенство (1—e2ltsi) ( ф-лг(1 + е2ли) = 0, откуда с помощью (2.9)
о
найдем искомое значение (2.24).
В дальнейшем будут широко встречаться аналитические функции,
определяемые интегралами вдоль неограниченных кривых, точнее, зада-
ваемые несобственными интегралами, зависящими от параметра
f(z) = f-»p(z, t)dt,
с
(2.26)
где С — неограниченная ориентированная кривая, уходящая в бесконеч-
ность. Для простоты ограничимся рассмотрением лишь таких кривых С,
у которых всякие конечные отрезки Ct кусочно-гладкие. Будем считать,
что на всей кривой С при каждом фиксированном z может находиться
лишь конечное число особых точек t=a\, а2,..., ап функции I), то
есть точек, в которых эта функция обращается в оо.
*> Символ О (г), как обычно, обозначает величину, которая при делении на г оста-
ется ограниченной (в достаточно малой окрестности точки г = 0). Другими словами, если
g(r)=O(r) при г—>-(), то существует постоянная А такая, что |g(г)|при достаточно
малых г (гт^О). Сказанное выполняется, если, например, g(r)=r2 или g(r)=r sin(r_|)
и не имеет места при g(r) = l'r.
Соотношение g(r)=o(r) при г->0 означает, что r~'g(r)-+0 при г->0.
24
Если t=ai — единственная особая точка, лежащая на участке Ci, то
несобственный интеграл по Ci определяется равенством
t)dt — lim [J гр (г, t)dt + J гр (г, f)dt\ , (2.27)
ci Е,,Ег" c't c"t
где Ci , C"i—участки кривой Сг, оставшиеся после удаления из Сг неко-
торой малой окрестности особой точки а е2 — длины удаленных час-
тей Сг, отсчитываемые от их конца at.
Предположим, что С не имеет конечных особых точек, простирается в
бесконечность лишь в одну сторону на — ее конец. Такую кривую С обо-
значим через [а, оо) - Пусть Сг означает начальную часть кривой [о, со),
длина которой I отсчитывается от конца а. Тогда положим по опреде-
лению
[ гр (г, t)dt = lim J гр (г, t)dt. (2.28)
с с i
Если же С не ограничена в обе стороны, то мы определим интеграл
по кривой С как сумму интегралов вдоль двух ее частей, на которые кри-
вая С разбивается произвольной точкой а(<С.
Когда пределы (2.27), (2.28) существуют и конечны, то говорят, что
несобственные интегралы, ими определяемые, сходятся. Примеры сходя-
щихся интегралов, взятых по интервалам действительной оси, уже были
рассмотрены.
В общем случае кривая С произвольно разбивается на участки, со-
держащие лишь по одной особой точке k=l, 2, ..., п. Интегралы по
каждому из участков определяются равенствами типа (2.27), (2.28). Сум-
ма этих интегралов задает интеграл (2.26) по всей кривой С.
В случае, когда интеграл (2.27) расходится, но существует конечный
предел (2 27) при еь ег-^0, связанных дополнительным условием, что
удаленная окрестность единственной особой точки Oi является частью
контура Ci, находящейся внутри круга радиуса е с центром в точке а},
последний предел называется главным значением особого интеграла
(2.27) (см., например, формулу (2.24)).
Как известно из вещественного анализа [29], несобственный интеграл
оо
J <p(x)dx от непрерывной функции <р(х) абсолютно сходится, если эта функ-
а
ция <р(х) = 0(х~1~6), б>0, при оо, то есть <р на бесконечности
имеет степенной порядок убывания выше первого. Это достаточное условие
абсолютной сходимости переносится и на интегралы вида (2.26) от комплекс-
ных функций. Справедлива следующая
Теорема 6. Пусть С=[а, оо)—неограниченная кривая, причем
длина I каждого конечного участка Сг этой кривой, находящегося в кру-
ге радиуса R с центром в а, имеет оценку l=O(R). Если при фиксирован-
ном г функция ty(z, t) непрерывна по t и |гр(г, б>0, А —
const, для больших , то интеграл (2.26) при этом z сходится.
Доказательство. Всякая параметрически заданная кривая яв-
ляется образом некоторого действительного интервала. Совершим ото-
бражение кривой С на луч [0, оо), введя натуральный параметр I, рав-
оо
ный длине участка С/. Тогда интеграл (2.26) примет вид f(z)= J ty(z,
о
t(l))t'(l)dl. В силу условий, накладываемых на гр, и соотношения |Л =
= 0(1) последний интеграл на оо сходится, что влечет сходимость исход-
ного интеграла (2.26).
25
Если рассматривается последовательность интегралов вида (2.26) по огра-
ниченным кривым Сп, п = 1, 2, 3, .. . , удаляющимся в оо, причем длины
этих кривых имеют порядок О (Я), а функция ф(г, t) удовлетворяет усло-
виям теоремы 6, то аналогично можно установить, что lim J ф (z, t)dt = O.
П-^-со^
U П
В теории и приложениях большой интерес представляет вопрос об
условиях, при которых интеграл (2.26) сохраняет свойства подынте-
гральной функции по г, в частности ее аналитичность. Важная роль в
этих условиях принадлежит понятию «равномерная сходимость».
Определение. Пусть функция ф(г, t) определена для всех z из об-
ласти D и для всех t на бесконечном контуре С = [а, оо). Будем говорить,
что интеграл (2.26) сходится равномерно в области D, если для любого
е>0 найдется такое число /е>0, что при всех z из D для любого I > 1е
оказывается справедливым неравенство | [ф(г, t)dt—J ф (г, t)dt\ <е.
с ct
Аналогично определяется понятие равномерной сходимости интегра-
ла в конечных особых точках а1г а2,..., ап.
Имеет место следующая
Теорема 7 ([18], п. 16). Если функция ф(г, t) аналитична по z
и интегрируема по t на кривой С для всех z из односвязной области D,
а интеграл (2.26) сходится равномерно в области D, то он является ана-
литической в этой области функцией.
Доказательство основано на применении теоремы 4 Морера.
Пусть замкнутый контур ГсП, тогда равномерная сходимость интеграла
(2.26) дает возможность установить его непрерывность по z и поменять
порядок интегрирования в следующем интеграле [29] :
J f (г) dz = J dz J ф (z, t) at = f dt f ф (z, t) dz — 0.
г гс с г
Последний интеграл оказывается равным нулю в силу теоремы 3 Коши.
Теорема 7 доказана.
Замечание 1. Из теорем 6 и 7 вытекает следующее утверждение:
если функция ф(г, t) аналитична по z при z6D и /6С= [а, оо) и при всех
г из D удовлетворяет условиям теоремы 6, то интеграл (2.26) является
аналитической в D функцией от z.
Замечание 2. Рассмотренное понятие интеграла по неограничен-
ной кривой дает возможность распространить теорему 3 Коши на случай
неограниченной области D с границей С, простирающейся в оо. Справед-
ливо следующее утверждение [12]. Пусть функция f(z) аналитична в D
и непрерывна в D, причем f(z) =o(l/z), z-+oo, zED. Если интеграл
§f(z)dz сходится, то он равен нулю,
с
Замечание 3. Если подынтегральная функция ф(г, t) аналитич-
на по z во всей плоскости, то интеграл (2.26) для широкого класса функ-
ций ф(г, t) сохраняет аналитичность в той открытой части D плоскости
z, где он сходится, причем граница этой части содержит хотя бы одну
особую точку функции f(z).
В качестве иллюстрации к замечанию 3 рассмотрим
Пример гамм а-ф ункции T(s), определяемой интегралом Эй-
лера (1.6). Покажем, что она аналитична в полуплоскости Res>0.
В самом деле, подынтегральная функция ф(з, t)=e~tts~} аналитична
по s и интегрируема по /6(0,оо) для всех s6D={s|Res >0], так как
/s=esinf — целая функция переменной s, причем
1Г| = |е ,п/ [
__^Res I”* |gf ^ms I*1* I_/Res
(2.29)
/>0
26
И поэтому J
|Г(х)!< f 1 • /Res~’ dt 4- J rb+Re^-1 dt <oo, (2.30)
b i
когда 0<Res<&, где b>0— произвольная величина (в силу е~* =
t=o(t~b^ t-*-+oo, b>0). Из оценки (2.30) следует, что интеграл (1.6)
сходится равномерно в каждой полосе 0<a<Rex<6 и поэтому являет-
ся там аналитической функцией. Произвольность границ b и а>0 при-
водит к заключению, что Г-функция аналитична в полуплоскости Re х>
>0. Этот же вывод следует из существования производной Г'(х) гамма-
функции при Re х>0 и определения аналитичности.
Для доказательства возможности аналитического продолжения гам-
ма-функции Г(х) на всю комплексную плоскость х (кроме особых точек
s — 0,_1,-2,...) установим некоторые важные свойства этой функции.
Если значение Г($4-1) преобразовать путем интегрирования по ча-
стям
T(s 4- 1) = — [ xsd(e~x) = — 4- sj е~х xs-1 dx=sT(s), Rex>0, (2.31)
о о
то получим формулу понижения Г(х 4- 1) = хГ (х), n-кратное применение ко-
торой приведет к более общему соотношению:
Г (s 4- и) = (s)n Г (х), (х)„ = s (s 4- 1) (s 4- 2)... (s 4- п — 1),
п = 1, 2, ... , (s)0= 1, (2.32)
где (s)n — так называемый символ Похгаммера, определяемый этими
равенствами. Подставив х = 1 в (1.6), легко вычислим значение Г(1) = 1.
Приняв его во внимание, из (2.32) при s=l выведем равенство
Г(«4- 1) = п! == 1 -2 -3.../г = (1)„, п = 0,1,2,... (2.33)
Эта формула показывает, что гамма-функция совпадает с фактори-
алом при натуральных значениях ее аргумента s.
Свойство (2.32), выведенное при условии Rex>0, можно использо-
вать для аналитического продолжения Г-функции на плоскость х по фор-
муле
сю
г (х) = -Г =---------------—* -------— f ё~х xs+"-1 dx. (2.3411
(s)n s(s4- l)...(s4-«— 1) J
о
В самом деле, интеграл справа сходится при Rex>—п и является
там аналитической функцией. Знаменатель также аналитически зависит
от х, значит, вся правая часть аналитична при Res>—п, и = 0, 1,2,....
$=#0, —1,..., 1—п. Так как при Re х>0 правая часть совпадает с T(s), то
она может служить для аналитического доопределения Г-функции на
случай неположительных значений Re х.
Приняв во внимание, что при х->—k (k=0, 1,2,..., n—1) знаменатель
правой части (2.34) стремится к нулю первого порядка, а числитель не
равен нулю, можно заключить, что в точках х=0, —1, —2, ... функция
Г(х) имеет полюсы первого порядка. Других особенностей в конечных
точках гамма-функция не имеет. Следует отметить, что точка х=оо явля-
ется предельной точкой для полюсов гамма-функции, и поэтому поведе-
ние Г(х) при х—>-оо во многом аналогично поведению целой функции на
бесконечности (см. § 3, свойства 11, 12).
27
В заключение рассмотрим полезный для дальнейшего (см. § 7).
Пример вычисления вычета функции f(s) = F(s)r(s—\)z~s в точ-
ке s=0. Несложно заметить, что в точке s = 0 эта функция имеет полюс
второго порядка. Воспользовавшись общей формулой понижения (2.32),
запишем f(s) в виде f(s)s2=F2(s + l)z~s(s—I)-1. Для нахождения выче-
та в соответствии с (2.19) каждую из функций, стоящих справа, разло-
жим в ряд Тейлора по степеням з, ограничившись лишь двумя членами
разложения (здесь порядок полюса п=2): T(s + 1) =Г(1) ф- Г'(1) $ +
+ ... , z s = e slnz= 1 —sin г ф- ... , (s—1)-1=—1 —s — ... При пе-
ремножении этих разложений оставим лишь два члена, а остальные от-
бросим: f (s) s2 = — 1 ф- s [In z — 2Г' (1)— 1] ф- ... Таким образом, res/ (s)=
s=0
= Inz — 2Г'(1)—1. Аналогично можно получить вычеты в остальных дву-
кратных полюсах s = —k, k = 1, 2, 3, ...:
г* Г 2 1
=WWГ2' г'(к + ”-ТГГ
и в простом полюсе s -= 1: res /(s) = — .
s=l Z
2. Преобразование Фурье, осуществляемое двойственными формулами
СО
F(x) = F{/(0; л}=-1= f f^eitxdt, (2.35)
V 2л J
— оо
оо
/ (0 = F-1 {F (х); t} = F{F (х); - /} = —Ь Г F (х) ё~м dx, (2.36}
V 2л J
— оо
возможно, знакомо читателю из вузовского курса математики.
Первая из этих формул отображает заданную функцию f(t) в неко-
торую функцию F(x), называемую преобразованием Фурье оригинала
f(t) или его образом. Оператор обратного преобразования Фурье (2.36)
отличается от оператора прямого лишь заменой мнимой единицы i=f—1
на —I. Он осуществляет обратное отображение образа F(x) в ориги-
нал f(t).
Начало теории преобразования Фурье — важнейшего из интеграль-
ных преобразований — было положено монографией Фурье «Аналитиче-
ская теория теплоты» (1822 г.), в которой было выведено равенство
оо оо
/(х) = — ( du I /(Z)cosw(x — t)dt, (2.37)
л J J
О — co
называемое сейчас интегральной формулой Фурье.
Независимо от Фурье Коши получил эквивалентное соотношение
оо оо
/(%)=_L_ f e~ixudu Г f(i)eiuidt, (2.38)
2л J J
— оо -—оо
которое называется экспоненциальной формой формулы Фурье. Из него
следуют равенства (2.35), (2.36).
28
Определение. Обозначим через Lc множество вещественных или
комплекснозначных функций f вещественного аргумента х, определенных и
непрерывных на вещественной оси всюду (кроме, может быть, конечного
числа точек), для которых существует конечный несобственный интеграл
оо
J ^еРез Fc (О, °°) обозначим соответствующий класс функций f,
определенных лишь на луче (0, оо).
Если fQLc и f(x) = O, х<0, то f£Lc(O, оо). Например, х“(1+х)₽С
g Lc (0, оо) при — 1 < а < — 1 — р.
Замечание. Интегральные преобразования обычно рассматопва-
ются в более широких классах L, L2, Lv функций, интегрируемых по Ле-
бегу [8, 9, 14, 26]. Так как в дальнейшем встречаются лишь функции, не-
прерывные всюду, кроме, возможно, отдельных точек, где эти функции
могут обращаться в бесконечность, то ограничимся изложением вспомо-
гательных теорем в более узком, чем L, классе Lc.
Из основных свойств преобразований Фурье перечислим лишь сле-
дующие.
Теорема 8 (Римана — Лебега). Если функция f(x)ELc, то ее пре-
образование Фурье F(x) (2.35) существует и является ограниченной не-
прерывной на числовой оси функцией, исчезающей на оо: limF('xj = 0.
|Х|-»оо
Замечание. Можно показать, что не для каждой непрерывной ис-
чезающей на оо функции F(x) существует оригинал f(x) [14]. Чтобы та-
кой оригинал существовал, функция F должна убывать на оо достаточ-
но быстро.
Теорема 9 (об обращении преобразования Фурье). Если f(x)ELc
является кусочно-дифференцируемой функцией ([29], п. 684), то во всех
точках x = t, где f(x) непрерывна, справедлива формула (2.36), в кото-
рой интеграл на оо следует понимать в смысле главного значения по
Коши:
То W
J F(x) e~ixt dx = lim f F (x) e~ixl dx. (2.39)
— oo A'-- (-« _д,
В точках x=t, где f(x) имеет разрывы 1-го рода, справедлива форму-
ла, получаемая из (2.36) заменой f(t) на 1/2 [f(t-)-O)+f(t—Oj], то есть
на среднее арифметическое предельных значений f(t±O) функции f в
точке x—i.
Замечание. Если интеграл (2.36) существует как несобственный,
то его значение совпадает с главным значением. Однако бывает так, что
главное значение (2.39) интеграла (2.36) существует, а сам интеграл как
несобственный расходится.
Опр е д е л е н и е. Сверткой функций f и g, определенных на всей
числовой оси, называется функция
то оо
(/» g)(X) = —^f(t)g(x — t)dt = —-Ц fg(T)[(x — i)dt. (2 40)
V2л J ] 2л J
— oo —oo
Теорема 10 (о свертке Фурье). Если f(x), g(x)£Lc, mo их свертка
(f*g)(x) существует и принадлежит L, при этом справедливо равенство
x) = F{f(n); x}.E{g(T); х}, (2.41)
то есть преобразование Фурье свертки равно произведению образов сверты-
ваемых функций.
Замечание. Для широкого класса функций /, g£Lc и функция
(f*g)£Lc. Так, например, если еще g(r) ограничена, то (f * g)(x) равно-
мерно непрерывна и принадлежит Lc [12].
Остановимся лишь на формальном выводе равенства (2.41):
F{(f*g)(ty, х} = ~
g (т) f {t — т) dt I eltx dt —
= -4= Г g (т) dr -L= f f (t - т) (/ - t) = G (x) - F (x).
P 2л J f 2л J
— to —oo
Законность перестановки местами двух несобственных интегралов стро-
го устанавливается с помощью теоремы Фубини ([8], теорема 1.6; [14],
с. 76).
Применив тождества Эйлера (2.9), из общего преобразования Фурье
(2.35) можно выделить косинус- и синус-преобразования Фурье соответ-
ственно четной fi и нечетной [2 составляющих функции f:
f(t)=i /2 if (t) + f (_ t)] + 1 /2 [f (0 - f (- 0] = A (0 + /2 (/),
A(-0 = (-!)*-'A(0. 1. 2. (2.42)
В самом деле, подставив (2.42) в (2.35) и приняв во внимание, что
интегралы по всей оси от нечетных функций A(0COS tx, A (Osin tx равны
нулю, а интегралы от четных функций равны удвоенным интегралам по
полуоси, без труда получим представление
F (х) = F {fi (0 + А (0; х} = Fc{fi (/); х} + iFs {f2 (ty, х}, (2.43)
где
то
Fc {А (0; х} = Fc (х) = р/ Л J А (0 cos txdt, (2.44)
О
то
F, {А (0; х} = Fjx) = j/A J АWsin txdt- (2-45)
о
Формулы обратных косинус- и синус-преобразований Фурье выводят-
ся из равенства (2.36) с помощью замены (2.42), (2.43). Они имеют сим-
метричный вид
оо
fl (0 = рЛ — J Рс (х)cos (2.46)
о
то
А (0 = |/" A j Fs (х) sin xtdx. (2.47)
о
Для косинус- и синус-преобразований Фурье как частных случаев об-
щего преобразования Фурье (2.35) теоремы 8, 9 остаются справедливы-
ми, но нуждаются в некотором изменении формулировок. Примеры вы-
числения синус-преобразования были рассмотрены в § 1 (см. (1.11),
(1.18)).
3. Преобразование Меллина, определяемое формулой (1.3), получа-
ется из преобразования Фурье (2.35) экспоненциальной заменой и пово-
ротом комплексной плоскости на прямой угол:
Ф* ($) = 2В {<р (т); s} = Е {]/2л ф (ez); — is} --
оо
= J ф(т)т5-1 c'r-
о
(2.48)
Поэтому все результаты, относящиеся к этим преобразованиям, тесно
связаны между собой, и для получения теорем об основных свойствах
преобразования Меллина достаточно аккуратно осуществить указанные
в (2.48) преобразования над теоремами и формулами первого пункта.
Покажем, что формулы (2.35), (2.36), (2.40), (2.41) после «экспонен-
циальных замен и поворота плоскости на угол л/2» принимают соответ-
ственно вид (2.48), (2.49), (1.1), (1.2), причем
v+‘°°
ф(т) =—-— f (p*(s)r~sds, 0<т<оо, Res = y. (2.49)
2л1 J
у—ioo
В самом деле, подставив в (2.35), (2.36), (2.40) вместо f (/) функцию
>/"2л ф(е'), заменив переменные е* = т, х =—is и функцию =g (In iq),
получим равенства
оо оо
/?{]/Л2л ф(е'); —is} = j ф (е‘) dt = [ ф(т)ts-1 с/т,
— оо 0
У2л ф (в*) = J F (- is) d (- is).
(/ * g) (In X) = (ф о Jifj) (X) = J ф (t) g (In x/т) d (In t).
0
Из них следуют соотношения (2.48), (2.49) при у = 0, а также формула,
определяющая свертку Меллина функций <f и Хр
Р / Y \ Нт
(фо^)(х) = (,5?’1оф)(х) = <₽(т).#’1| ----------)-------
J \ т / т
о
(2.50)
Если интеграл в преобразовании Меллина (2.48) функции ф (т) суще-
ствует при s, у которого Re s=y, то и в формуле (2.49), осуществляющей
обратное преобразование Меллина, интеграл следует брать по линии
Res=y, параллельной мнимой оси (подробнее об этом говорится в кон-
це параграфа).
Вычисление преобразования Меллина (2.48) от свертки Меллина
(2.50) также не вызывает технических затруднений:
оо оо
ЗБ {(<р о (х); s) = | Xs'1 dx [ <р (т) (х/т) т‘Мт =
б б
= j<P(t)T Мт (x/t)s 1 d(x/T) = <p* (s) • x\ (s). (2.51)
о 0
Обозначив в последних формулах ср(т) —Ж2(х), придем к соотношениям
(1-1), (1-2).
Следует отметить, что идея двойственности формул (2.48), (2.49)
встречается в знаменитом мемуаре Римана о простых числах (1876 г.).
Однако строгое обоснование этих соотношений было осуществлено Мед-
лином в работах 1896 и 1902 гг.
После указанных замен теоремы 8—10 в отношении к преобразова-
нию Меллина принимают следующий вид [8, 9, 14, 26]:
Теорема 11 (о существовании преобразования Меллина). Пусть
функция tp(x)ELc(e, Е), 0<е<Е<со, и непрерывна на интервалах (0,
е], [Е, оо), причем 0<х<е; |<р(\)|^Ах~ь, х>Е, А—const.
Тогда для существования полосы из плоскости s, в которой функция
ep(x)xs~I принадлежит Lc (0, со), достаточно, чтобы а<^Ь. При выполне-
нии последнего условия преобразование Меллина в вертикальной
полосе Res=y, a<y<b, существует, интеграл (2.48) во всякой полосе
« + 6^Re s^b—б, б>0, сходится равномерно и поэтому q>*(s) является
функцией, аналитической в полосе tz<Re s<Zb.
Теорема 12 (об обращении преобразования Меллина). Пусть
<р('х)х’',-16£с(0, оо) и в некоторой окрестности (х—е, %+е), е>0, точки
у=х>0 функция ц>(у) кусочно-дифференцируема, а в точке у=х непре-
рывна. Тогда в точке х справедлива следующая формула обращения пре-
образования Меллина (2.48):
(р(х) = —U lim f q*(s)x~sds, у = Res, x>0. (2.52)
2n i J
V—ta
Если <p(y) в точке y=x имеет разрыв 1-го рода, то в левой части (2.52)
функцию <р(х) следует заменить на выражение 1/2 [cpfx-f-O) +<р(х—0)]-
Т еорем а 13 (о свертке Меллина). Если JAn(x)x^~lQLc(0, со), п =
= 1, 2, то свертка (У£ьУ£2)(х) существует, функция х^~1 (ЖщУ£2) (х) при-
надлежит L(0, оо), а для всякогс s, у которого Res=y, преобразование
Меллина свертки (1.1) существует и равно произведению образов свер-
тываемых функций (1.2).
Замечание 1. Условия, накладываемые этой теоремой на функ-
ции JAn(x), являются достаточными. Свойство (1.2) сохраняется в неко-
торых случаях, когда один из интегралов Ж п (s) сходится условно или
понимается в смысле главного значения.
3 а м е ч а п и е 2. Если для каждой функции Жп(х) выполняются усло-
вия теоремы 11 с показателями порядка ап и Ьп, п=1, 2, то интервалы
(аь bi) и (а2, Ь2) должны пересекаться и у следует брать из их общей ча-
сти: max(ni, а2) <у<тт(Ь), Ь2). Следствием последнего неравенства
являются условия П|<&2, d2<^bi, обеспечивающие сходимость интеграла
(1.1) на концах 0 и оо.
Доказательство теоремы И. Разобьем интеграл (2.48) на
три интеграла, взятых соответственно по промежуткам (0, е), (е, Е), (Е.
оо). 0<е< 1 <Е, и оценим значение
[ 1ф (т) Xs-1 \di А | т-а+т—1 dr + [ 1ф (т)| xRe S-1 dx +
b b E
+ A f dr = A----------------------- + В + A —r-----------< co.
J у — a b — y
(2.53)
В этих оценках было использовано свойство (2.29). Последнее равенст-
во из (2.53) может иметь место лишь при условиях у—с>0. у—b<ZO,
обеспечивающих сходимость крайних интегралов в 0 и на со. Средний
же интеграл существует, так как <pGLc (е, Е). Его величина обозначена
через В. Таким образом, для существования s, при которых интеграл
(2.53) конечен, достаточно, чтобы а<Ь. Тогда для всякого комплексного
s находящегося в вертикальной полосе acRe s=y<Zb, интеграл (2.53)
сходится, причем эта сходимость является равномерной для каждой вну-
тренней полосы a-f-fi^Re s^b—б, 6>0 (по мажорантному признаку
Вейерштрасса). Но так как подынтегральная функция аналитична по s
то равномерная сходимость переносит это свойство на интеграл cp*(s)
для всех s, лежащих в полосе a<Re s<b (теорема 7).
Примерами преобразований Меллина функций е~х и (1-|-х)-р
мог\’т служить известные гамма- и бета-функции Эйлера, задаваемые ин-
тегралом (1.6) и формулой [2, 29]:
В(s, р — s) = j(1 + т)-рт“1 dr. (2.54)
о
Как уже отмечалось и в соответствии с теоремой 11, гамма-функция
Г(х) аналитична в полуплоскости Res>0. Поэтому интеграл в обратном
преобразовании (2.52) следует брать по прямой из этой полуплоскости:
v+i“
ё~х =—-— ( F(s)x~sds, Res = y>-0, х>0. (2.55)
2ju J
у—i°°
Аналогично можно заключить, что интеграл (2.54) существует и яв-
ляется функцией, аналитической в полосе 0<y = Re s<Re р, и в этой по-
лосе обратное преобразование Меллина от левой части (2.54) равно
(1+%)-₽.
Следует отметить, что формулы (2.20), (2.24) также можно истолко-
вать как примеры вычисления преобразования Меллина от функций
(1+х)-1. Некоторые формулы, отражающие общие свойства преобразо-
вания Меллина, перечислены в начале § 10. Они непосредственно выте-
кают из определения (2.48).
Так как в дальнейшем широко используется преобразование Мелли-
на аналитических функций, то будет уместным привести две теоремы, ка-
сающиеся этого вопроса.
Т е о р е м а 14 (о преобразовании Меллина аналитических функций)
([26], п. 1.29). Пусть cp(z), г=reie,— функция, аналитическая в секторе
—0<а^л, 0<р^л, и пусть <р(г) есть O(|z|~а~6) для малых
z и О(|г|-Ь+6), 62>О, для больших z равномерно в любом угле, внутрен-
нем к —«<0<р, причем a<Zb. Тогда функция q>*(s), определенная фор-
мулой (2.48), аналитична по s в полосе a<Res<zb и удовлетворяет усло-
виям
О (ё~lms), Im s—> + оо,
Ф*(5)= I O(e(“-s>In,s), Ims — -оо,
для всякого e>0 равномерно в каждой полосе, внутренней к n<Re s<^b,
причем имеет место формула (2.49), где r=z.
----Обратно, если <p*(s) —заданная функция, удовлетворяющая указан-
ным условиям, то функция ц(г), определенная формулой (2.49), удовле-
творяет наложенным на нее раньше условиям и имеет место формула
(2.48).
Доказательство. Как следует из теоремы 11, интеграл cp*(s) пред-
ставляет собой функцию, аналитическую в полосе a<Res<b. Так как
и
функция <p(z) аналитична в секторе, то величина интеграла J <р(т)т'-1 di
о
не зависит от пути интегрирования, лежащего в этом секторе. Поэтому
R
J 4>(т)т5~‘ Дг = J <р (z) zs 1 dz, где криволинейный контур С состоит из лу-
0 с
ча 6 = —а ф е, 0 < г < R, и дуги CR — {|z| = R, — а ф 0^0). При
о
R-^-oo справедлива оценка |J <p(z)zs-1 dz | = о( j R~b+6+Resdq>)->-0.
Сд -а+е
Таким образом,
оо оо
У <Р(т)Ts-1 dr = f <p(re‘e) rs-1 dr • et6s |e=_a+E =
о 6
= 0(e(a-£)Ims), Ims^-oo. (2.56)
Аналогично при 0 = p—e устанавливается вторая оценка функции
q*(s) на бесконечности. Отметим, что на оо в полосе a<Res<b функ-
ция q)*(s) исчезает, притом экспоненциально, что согласуется с теоре-
мой 8.
Для доказательства двойственной формулы (2.49) применим теорему
Коши. В силу равенства (2.56) справедливы соотношения
Г ( Т V Т (т)б/т
J X z / т(1пт — Inz)
о
Если эти интегралы по лучам 6 = — а -}- е и 6 = р — е сложить, то в пра-
вой части получится интеграл по границе сектора — а-т-е<6<Р — е.
Совершив в нем замену 1пт = / и применив формулу Коши (2.16), неслож-
но вычислить его значение 2ni<p(z). Что и требовалось доказать.
Замечание. Так как функция tp*(s) аналитична в полосе a<Res<b,
то, применив к интегралу [(p(z)zs~' dz по прямоугольнику П[у—iR, у,-—
и
— iR, yt + iR, y + z'R], a<Y<Ti<b, R>Q, формулу Коши и устремив
R-+-OO, несложно установить, что величина интеграла (2.52) не зависит от
положения у в полосе аналитичности.
34
Это замечание и теорема 14 обосновывают необходимость интегрирования
в формуле (2.49) по прямой Res= у из полосы аналитичности <p*(s). Отме-
тим также, что из теоремы 14 путем замены переменных несложно вывести
аналогичный результат, относящийся к преобразованиям Фурье аналитических
функций.
Теорема 15 [12]. Пусть функция <р(х) непрерывна при х>0, ис-
чезает на оо быстрее любой степени х, а в окрестности точки х=0 разла-
-ается в сходящийся ряд<р(х)= ^chxKh, 0<x^e, 0^Xi<Z2<X3<... и
k~l
2 _^оо> п-^-оо. Тогда преобразование Меллина ц.*(з) (2.48) аналитически
продолжимо на всю плоскость s, за исключением точек s=—Хь, k=l, 2,
3,.... в которых q*(s) имеет полюсы первого порядка.
Доказательство. Разобьем интеграл (2.48) на три части:
1 “ «— 1 “
<p*(s) = ( V 1 dx + V —-------------1- С (р(х)х5-1 dx.
s + К. J
"о k=n k=l й 1
Первое слагаемое правой части аналитично при Xzt+Re s>0, так как ин-
теграл, стоящий там, равномерно сходится в полуплоскости Re —Zn+
-]-б при всяких б>0. Второе слагаемое выводится при Res>0 после ин-
тегрирования отрезка ряда для <$(х) по интервалу (0, 1). Оно сохраняет
аналитичность при всех s=#—Tk, k=l, 2, ..., п—1. Третье слагаемое ана-
литично при всех s, так как ц(х) исчезает на со быстрее любой степе-
ни х. Поэтому функция <р*(х} аналитична при всех s, кроме точек s =
=—As, k=l, 2, 3, ..., где она имеет полюсы первого порядка. Что и требо-
валось установить.
Замечание 1. Положив здесь ck= (—l)k~l/(k—1)!, Xk=k—1, по-
лучим функцию у(х)=е~х, преобразование Меллина которой <p*(s) рав-
но Г(х). Из теоремы 15 следует, что эта функция аналитически продол-
жпма на всю плоскость s, за исключением точек s = 0, —1, —2,... Послед-
нее утверждение было установлено выше иным способом.
Замечание 2. Граница полосы сходимости интеграла (2.48) со-
держит особые точки функции <p*(s). Если допускается любое Ь>а (то
есть можно считать й = со), то функция <p*(s) аналитична в полуплоско-
сти Res>a. Это имеет место, когда <р(х) убывает на со быстрее любой
степени х, то есть, например, когда <р(х) = О(е~хЕ), е>0.
§ 3. ГАММА-ФУНКЦИЯ И ЕЕ СВОЙСТВА
Функция T(s) в вузовских курсах обычно определяется интегралом
Эйлера (1.6) и только при вещественных положительных значениях ар-
гумента s. Вывод различных свойств этой функции и построение ее гра-
фика излагаются как пример применения к названному конкретному объ-
екту общей теории несобственных интегралов, зависящих от параметра.
В частности, показывается, что Г-функция, являясь одной из простейших
неэлементарных функций, осуществляет естественное распространение
факториала на вещественные значения аргумента (2.32), (2.33). Но по-
скольку факториалы и факториальные образования широко встречаются
в теориях степенных рядов и специальных функций, то в конечном итоге
отмеченное обстоятельство ставит Г-функцию в особое положение среди
других функций и приводит к необходимости излагать ее теорию исходя
из функционального свойства (2.31), которое кладется в основу опреде-
ления, эквивалентного прежнему [18, 28, 29, 33].
з*
35
Следует отметить, что само по себе функциональное свойство (2.31)
f(s+l) = sf(s), f(l)=-l (3.1)
даже с нормировкой f(l) = l определяет целый класс аналитических
функций, элементом которого является и гамма-функция (1.6). В самом
деле, наряду с Г-функцпей всякая функция вида r(s)e(s), где 6(s) ана-
литична и периодична с периодом 1 (6($+1) =6(s)), причем 0(1) = 1.
также удовлетворяет уравнению (3.1). Поэтому для однозначного выде-
ления гамма-функции из этого класса к условию (3.1) следует добавить
еще некоторое дополнительное ограничение, характер которого может су-
щественно меняться. Этот вопрос подробно изучается в работах [29, 33,
.37]. Остановимся на доказательстве одной из основных теорем такого
рода.
Теорема 16. Если функция ffs) аналитична, не обращается в нуль
и удовлетворяет функциональному уравнению (3.1) для всех комплекс-
ных s, а при действительных s>0 логарифмически выпукла, то есть
Inffs), s>0, является выпуклой функцией, то f(s)^rfs), другими сло-
вами, такую функцию можно представить в виде интеграла Эйлера (1.6)
(при Re s>0).
Доказательство. Повторным применением (3.1) легко полу-
чить равенство
f(s + n+l) = (s + n)(s + n—l)...(s+l)f(s+l), n= 1, 2, 3, ... (3.2)
Положив здесь s=0 и воспользовавшись нормировкой f (1) = 1, придем к
равенству f(7z+l)=nl, откуда в силу (2.33) утверждение теоремы следу-
ет для всех натуральных s=n.
Для распространения равенства f(s)=Г(s) со счетного множества
5 = п, п — \, 2,..., на случай любых действительных s = a достаточно ввиду
(3.1) установить его для интервала 0<а<1. Для этого воспользуемся
неравенством
ср (х,) — tp (х) < Ф(х2) —ф(х) (3
xi — X х2 — X
справедливым для всякой выпуклой функции ф (х) при любом х, 1гп х = 0
([29], п. 143). Подставим ф(х) = 1п1(х) в (3.3) и возьмем в качестве точек
хр х2, х сначала значения п, п + /г + 1, /г+1, а затем а + /г + 1, п + 2,
п + 1. Приняв во внимание, что Inf (/г + 1) = 1пп!, получим неравенства
. . Inf (а + п + 1) — In/г!
In /г +-------------------- sC In (п + 1).
а
Отсюда после потенцирования приходим к оьзнкам
nan!<f(a + n +1)^(/гф 1)°/г!, (3.4)
которые с помощью формул (3.2), (3.1), (2.32) могут быть записаны в виде
f (а) < -(-n-Oa--!. <f (О) а + п 4— (3.5)
(п)л+1 П + 1
(для получения последнего неравенства в левой части (3.4) п было заме-
нено на /?+1).
Так как пределы крайних членов (3.5) при /г->со совпадают с t(a),
то для искомой функции f(a) получается следующее представление:
36
, . (п Д l)an!
f (а) - lim . (3.6)
(а)„+1
Докажем теперь, что такое же представление имеет и функция, опре-
деляемая интегралом Эйлера (1.6). Заменив в (1.6) функцию е~х па предел
е~~х = lim (1—x/ri)n, s — a, а промежуток 0<х< оо на 0<х<п, рас-
смотрим выражение
ПХ \п 1
1-----1 xa dx, а>0. (3.7)
П )
о
Покажем, что этот предел, с одной стороны, равен значению (1.6), а с
другой — пределу (3.6). Первое утверждение представляется вполне очевид-
ным, если принять во внимание, что из определения е~х при больших п
следует оценка ё~х — (1 —х!п)п = О(1/п) — О(х~е~х /(2п)), а по определе-
п
нию несобственного интеграла T(s) = lim [ е~dx, откуда
л-*-00 0
л п
f е~х — fl-------— xa~l dx <Z — Г е~х xa+1 dx-+0, п~+ оо
.) \ п / nJ
о о
Для установления равенства пределов (3.6), (3.7) вычислим интеграл
(3-8)
Приведенное значение получается после н-кратного интегрирования по
частям. Отсюда следует равенство пределов (3.6) и (3.8).
Таким образом, для действительных s>0 теорема доказана. Если s
лежит в комплексной плоскости, то теорема остается справедливой, так
как функции (3.6) (a = s) и (1.6) аналитически зависят от s и совпадают
при действительных s>0.
Теперь уже теорию Г-функции можно строить исходя из ее аналити-
ческих представлений в виде интеграла Эйлера (1.6) или предела Эйле-
ра— Гаусса (3.6) (справедливого и для всех комплексных а0,—1,
—2. ...). Перечислим полученные ранее и приведем некоторые другие
Основные свойства гамма-функции [2, 18, 19, 28, 29]:
/) Г($) аналитична в комплексной плоскости s всюду, кроме точек
s = —п, п=0, 1, 2, в которых имеет полюсы первого порядка с вычета-
ми (—1)п1п!, п—0, 1, 2,...
Последнее утверждение следует, если в равенстве (2.34), заменив п на
«4-1, перейти к пределу при s->--п и воспользоваться формулой (2.15):
res Г (s) = 1 im (s Д п) Г (s) =
s=—п s-»-—п
= lim
s-*—п
Г($ДпД1)
(S)n
Г(1) _______
— n(— n Д 1)... (— n Д n — 1)
(-1У
и!
, n = 0, 1, 2, ...
2) Г (s) удовлетворяет формуле понижения (2.32) и, в частности, при
натуральных s = п ф- 1 совпадает с факториалом: Г(п + 1) = nl, Г(1) = 1.
3) Г (s) однозначно определяется двумя условиями теоремы 16, инте-
гралом Эйлера (1.6) или пределом Эйлера—Гаусса (3.6).
4) T(s) представима в виде суммы ряда из простейших дробей и целой
функции
°° k 03
r(s) = V ---------------1- С e~*xs—1 dx. (3.9)
k\ s + k J ’
A=0 Ч
В самом деле, разложив интеграл Эйлера (1.6) на сумму двух инте-
гралов по промежуткам [0, 1] и (1, оо), вычислим первый из них, пред-
ставив функцию е~х в виде степенного ряда Тейлора:
ie-x-‘dx= С У У <" >* (>+-'*.
J J Л и X* la J
о о *=° *=° о
(3.10)
Почленное интегрирование допустимо при Res>0, так как ряд сходится
равномерно при 0<х<1, Res^e>0, а интегралы от его членов суще-
ствуют. Произведя интегрирование при Res>0, придем к формуле (3.9).
Эта формула содержит ряд, сходящийся абсолютно и равномерно в каж-
дой замкнутой ограниченной области комплексной плоскости х, не содер-
жащей точек s =—k, k = 0, 1, 2,..., где знаменатели обращаются в нуль.
Поэтому этот ряд представляет собой функцию от s, однозначную и ана-
литическую в плоскости х всюду, кроме точек s =—k, k = Q, 1, 2,..., в ко-
торых эта функция имеет полюсы первого порядка с вычетами (—
оо
Значит, разность между T(s) и этим рядом, равная интегралу e~xxs~ldx,
I
нигде в конечных точках не имеет особенностей и поэтому является це-
лой функцией. Что и требовалось доказать.
5) Г($) в полосе— (/z-|-l)<Res<—п, п=0, 1, 2, ..., представима ин-
тегралом Коши — Заальшютца
- / п / а
Г($) = I [е~х— ----——| xs-1 dx, —(« + l)<Res< — п. (3.11)
,1 \ k\ )
о *=°
Доказательство. Выражение, стоящее в скобках интеграла
(3.11), образовано вычитанием из е~~х о’резка ее ряда Тейлора, поэтому
при х->0 оно имеет порядок О(хп+1). Значит, интеграл при х—>0 сходит-
ся, если n-f-l-f-Re s>0. При х—>оо интеграл от многочлена сходится, ес-
ли n-|-Res<;0. Тем самым по теореме 7 интеграл в этой полосе является
аналитической функцией. Равенство выражений (3.9) и (3.11) в полосе
— (n+l)<Res<—п устанавливается путем разбиения интеграла (3.11)
на два по промежуткам [0, 1] и (1, оо), использования равенства (3.10)
и почленного вычисления интеграла по интервалу (1, оо).
6) Г-функция связана с бета-функцией (2.54) формулой
В (с, b) = JLQLWL . (3.12)
Г(а + Ь)
38
Доказательство. Заменив в интеграле (1.6) переменные s = р, х =
__ „и получим значение
J со
Г(р)(1+тГР= \ dy.
о
Домножив равенство (2.54) на Г (р), подставим в его правую часть это
значение и, поменяв порядок интегрирования, вычислим внутренний ин-
теграл
Г (р) В (s, р - s) = [ ( f /-1 ё~'л 1+т) dy} ts~’ dx =
о b
= J e~y if'1 dy f e~yx Xs-1 dx = Г (p — s) Г (s).
о b
(3.13)
Поменяв в этом равенстве s на а и р—s на Ь, получим формулу (3.12).
Все выкладки можно обосновать при Rea>0, Reft>0. Следует отме-
тить, что в силу аналитичности Г-функции равенство (3.12) можно ис-
пользовать для аналитического продолжения бета-функции на произ-
вольные значения ее аргументов а и Ь.
7) Для Г-функции справедлива формула дополнения
Г(в)Г(1—s)= —-----
sin ns
(3-14)
Равенство (3.14) следует из формулы (2.54) при р= 1, если учесть зна-
чение интеграла Эйлера (2.20) и связь (3.12) между бета- и гамма-функ-
циями. Подставив в (3.14) $=1/2, получим Г2(1/2) = л.
8) Функция 7/Г($) является целой, то есть T(s) нигде не обращается
в нуль.
В самом деле, из формулы (3.14) следует, что
1 - sin,B r(s).
Г(1—s) л
(3.15)
Правая часть (3.15) аналитична при всех s как произведение аналитиче-
ских функций, имеющее лишь устранимые особенности при $ =—п, п~
=0, 1, 2,... Значит, и левая часть аналитична во всей плоскости s, то есть
является целой функцией, а поэтому ее знаменатель Г(1—s) нигде в
нуль не обращается.
9) Для гамма-функции справедлива формула умножения Гаусса —
Лежандра
ms_L h2?m-l . ,
Г (ms) = m 2 (2л) 2 fl Г | s + -— | , m = 2, 3, 4, . .. , (3.16)
л=о \ m J
принимающая при т = 2 вид формулы удвоения Лежандра
22s-1 / 1 \
r(2s) = -7=r(s)r s + 4 .
V л \ 2 )
(3.17)
Доказательство. Подставив в равенство (3.6) значение a = s4-
+ k/m, перемножим пределы от k = 0 до k = т—1:
/ k \ sm f (mT1)m
n(s)= Пг S + — ) = Hm(n4- 1) 2m (n\)m A~\ (3.18)
*=o \ m
39
где А = (ms)m(„+D т т(п+!). Заменив в (3.6) а на ms и п на
чим равенство
тп, полу-
г. \ 1- (тп + l)ms(m/i)!
Г (ms) = lim —i——
— (ms)mn+i
Отсюда можно вывести соотношение
== limn 2 (mn—1)!/n-''!n(n!)-m=-l , (3.19)
II(s) К
где через ЦК обозначена правая часть равенства, не зависящая от s, при-
чем К > 0.
Для вычисления постоянной К положим в равенстве (3.19) s=l/m.
Таким образом, П(1/т) = Л'/тГ(1). Возведя это равенство в квадрат и
воспользовавшись формулой дополнения (3.14) при перемножении членов
/ 1 + k \ /m—1—/г\
вида 1 --------- 1 ------------I , получим соотношение
\ т I \ т I
т—I
К~2 = nI-mm-2 П sin(n#/m).
Л=1
(3.20)
Для вычисления произведения синусов, следуя Дирихле, рассмотрим тож-
дество
I™ {(m-I)2E
zm — 1 = (z — l)(z — e m )...(z — e m ),
откуда в пределе при z-> 1 по правилу Лопиталя найдем
,. z'71—1
lim--------
г-1 Z— 1
т— 1 .
= П k’”! 2t sin —
л=1 т
т— 1 .. 2л
|П(1-е ^)| =
л=1
m-I
= 2"1-1 П sin —
д=1 т
(3.21)
= т =
Подставив значение 1/К из (3.21), (3.20) в равенство (3.19), получим
доказываемую формулу (3.16).
10) Г-функция однозначно определяется как непрерывно дифферен-
иирцемое отличное от нуля решение системы функциональных уравнений
(2.32), (3.17) [29,33].
11) При |$|->-оо гамма-функция и факториал асимптотически разлага-
ются по формулам Стирлинга ([29], п. 540):
f(s) = /2n ss“1/2e's 1 + —-
12s
+ О (s~2)
[arg s| < л,
n! = 2лп (п/е)"f 1 0(l/n)]. (3.22)
12) При |sl —>00 и |yl->oo справедливы равенства ([2], 1.18 (4), (6))
- = s°~b Г1 + -°- + 0(S-2)] , |args|<л, (3.23)
Г (s + b) L 2s
|Г(x + й/)| = Г2^|уГ1/2е-я/2^'[1 + 0(l/i/)], |у|->оо, (3.24)
где х, у — вещественные величины.
4Э
Доказательство получается после применения формулы Стирлинга:
Г(8 4-а) (s + c)s+°-1/2
Г(^Г-(5 + ^-^1' + = s“”11 + 0(1*
|Г (х + iy)\ = V2n I exp [(х — 1 /2 + iy) (In ] х2 + у2 +
+ i arctg (у/х)) — х — iy]\ = У 2л ехр {(х — 1/2) [In |у| + О (у 2)] —
- у [± л/2 - х/у + О (1 /у2)] - х} = V 2^ 1УГ~ ’/2 211 + О (1 /у)],
13) Гамма-функция допускает аналитическое продолжение путем пере-
хода к контурным интегралам Ганкеля:
-А- = -L. Г rS dt,, |arg Я < л, (3.25)
T(s) 2ш J
г (s) = fе~ь r' (3’26)
где контуры L_, L+ указаны на рис. 3,a и б.
Доказательство. Очевидно, что контуры можно стянуть в
разрезы от —со до 0 и от 0 до +оо. Покажем, что имеются такие области
изменения комплексной переменной s, где контурные интегралы (3.25),
(3.26) тождественно совпадают с левыми частями этих равенств. Тогда
в силу аналитичности всех этих функций равенства сохранятся и для
таких значений переменной s, при которых эти функции определены
(принцип консерватизма равенств аналитических функций).
В самом деле, если в интеграле (3.25) контур £_ стянуть к участку
(—со, —г] оси 1т£=0, то в силу условия |arg£|^n на верхнем и нижнем
берегах разреза будем иметь
= e-s Е = ^ [_ s (in |£| ± /л)] = (- 0~s Im £ = 0.
Отсюда
J Cs J (- У-5 eins + j + J el (- e~i3ls =
oo
= (eins — e-i3TS) J e~‘ tl 1~s)-1 dt + f eE d£ 2i sin лзГ (1 — s) + 0 (3.27)
r r r-^0
npn Re (1—s)>0, так как интеграл по окружности Сг(|^|=г) в этом слу-
чае стремится к нулю при г—>0 (см. (2.23)). Применив к правой части
(3.27) формулу дополнения (3.14), получим там значение 2ш7Г($), от-
куда следует предельное выполнение равенства (3.25) в случае
Res<l. Но так как обе функции целые, то равенство сохраняется при
всех s.
Аналогично устанавливается п второе равенство, представляющее
гамма-функцию как отношение двух целых функций.
14) График Tfs) при действительных s—х имеет вид, представленный
на рис. 4.
15) В соответствующей окрестности любой точки s0 (so#=O, —1,
— 2, ...) Г-функция представи-
ма по формуле Тейлора
I •
Г (S) = Г (So) {1 + ф (Si,) (s — s0) +
+1Ф' (So) + Wo)] (s — s0)2/2! +
-J-O[(s —s0)3]}, (3.28)
/ где пси-функция ф(г) означает
Г(х) логарифмическую производную Г-
~функции-.
Ф(г)=-^-1пГ(г) = -^- .
az Г (z)
(3.29)
Радиус сходимости ряда Тей-
лора для T(s) по степеням
(s—s.o), получаемого из (3.28)
отодвиганием остаточного чле-
на на оо, равен расстоянию от
Рис. 4
s до ближайшей из особых точек — п, n = 0, 1, 2, ..., функции T(s).
Для доказательства достаточно в обычную формулу Тейлора для
T(s) по степеням (s—s0) подставить вместо производных от T(s) значе-
ния ф (s) и ее производных.
16) В окрестности точки s = —k, k = 0, 1, 2, ..., Т-функция имеет сле-
дующее разложение по степеням s-\-k = e:
r(s) =
(- l)fc
k\e
{1 + еф (1 + Ч + е2 Гф' (1) + ^2(1 + fe) t-Q+fo
*
+ 0(83)
(3.30)
Доказательство. С помощью (3.14) легко убедиться, что справед-
ливо равенство Г (s) =
(-1/ Г(1+8)Г(1-8)
е Г (1 ф- k — 8)
. Разложив каждую из
трех гамма-функций по формуле (3.28) в окрестности точки е = 0 и пере-
множив эти разложения (с учетом равенства (1 -р х)-1 = 1 — х -р х2 — ...),
без затруднений получим соотношение (3.30).
17) Гаима-функция не может удовлетворять никакому линейному
дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами
(теорема Г е л ь д е р а) [28].
X
42
18) Бета-функция (2.54), связанная с Т-функцией формулой (3.12),
представима интегралом Эйлера 1-го рода
1
B(s, й) = f xs-1 (1 — x)b~xdx, Res>0, Refc>0. (3.31)
b
Для доказательства в выражении (2.54) достаточно совершить замену
т = х/( 1 — х), р = s 4* Ь.
19) Пси-функция (3.29) имеет простые полюсы в точках z=0, —1.
__2 ... с вычетами, равными —1, то есть ty(z)(z+n)^>—1 при Z-+-—п,
л=Ь, 1,2,...
Доказательство легко следует из определения (3.29) и свойства 1.
Кроме перечисленных основных, Г-функция обладает также и други-
ми менее известными свойствами, полную информацию о которых можно
найти в справочнике [2]. Основные свойства Г-функцпи широко исполь-
зуются в § 4 при доказательстве теоремы Слейтер, восстанавливающей
значение функции Ж(х) в случае, когда ее преобразование Меллина
J$f*(s) равно отношению произведений Г-функций (5). Однако уже и сей-
час ясно, как выглядят прообразы некоторых таких образов J£*(s). На-
пример, строки 2.1—2.4, 3.1 § 10 без труда получаются из формул (3.31),
(2.54), (3.12), (2.24), (3.14), (1.6), формулы умножения для гамма-функ-
ции (3.16) и строк 1.1—1.8 § 10. Действительно, замена <р(т) на ср(Ут)&_ 1
в формуле (2.48) эквивалентна замене там s на bs (что легко проверяет-
k_____________________________________________________
ся подстановкой x = th). Поэтому образом функции /г-1(1—]Д) + будет
в силу (3.31) функция B(/es, <х). Применив к последней формулу (3.12) и
формулу умножения (3.16), получим строку 2.2 (2) базовой таблицы.
Остальные указанные строки выводятся аналогично.
Строки 4.2, 4.3 могут быть установлены из формул (2.20), (2.24),
(3.14), (2.33) путем интегрирования по частям с заменой s на s+1.
§4. ФУНКЦИИ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА
И ИНТЕГРАЛЫ МЕЛЛИНА—БЕРНСА
Как отмечалось выше, особый интерес для настоящего метода вы-
числения интегралов представляет правило нахождения функции J^(x),
преобразование Меллина которой является отношением произведе-
ний гамма-функций (5) общего вида, или, другими словами, задача вы-
числения интегралов Меллина — Бернса (7) в тех частных случаях,
тогда все коэффициенты при s равны единице: «г = Р.)=уь = 6г= 1. В этом
параграфе устанавливается, что такая функция jjf(x), вообще говоря,
выражается в виде некоторых комбинаций обобщенных гипергеометриче-
ских рядов, а точнее, принадлежит к классу функций гипергеометриче-
ского типа. О важности этого класса в приложениях и теории специаль-
ных функций свидетельствует тот факт, что к нему относится большая
часть изучаемых специальных функций. Так, два тома из уникального
трехтомного справочника [2] целиком посвящены функциям названного
класса и их обобщениям.
1. Обобщенные гипергеометрические функции при частных значениях
своих параметров содержат такие простые элементарные функции, как
степенная, экспоненциальная, логарифмическая, специальные многочле-
ны, тригонометрические и о'братные тригонометрические функции, и яв-
ляются естественными аналитическими обобщениями этих элементарных
функций. Для уточнения сказанного рассмотрим подробнее, как можно
прийти к понятиям «обобщенная гипергеометрическая функция» и «функ-
ция гипергеометрического типа», изучив строение рядов Тейлора для сте-
пенной, экспоненциальной и тригонометрических функций.
Как следует из теории аналитических функций, изложенной в § 2,
произвольная последовательность комплексных величин {йь}Г=о и фик-
сированная точка 2<> однозначно определяют некоторую функцию f комп-
лексной переменной, равную сумме ряда
со /7
f(z) = 2 ak(z — zof = l>m Z ak(z~zo)k- (4-0
k=0 n~°° k=0
Эта функция определена для тех z, при которых ряд (4.1) сходится,
то есть указанный предел существует и конечен. Эти z находятся в неко-
тором круге сходимости с центром в точке z0: |z—z0|<;7?. Предположим,
что его радиус R=/=0. Тогда в круге \г—z0|<7? функция f(z) является
аналитической функцией переменной г. Если радиус R бесконечен, то
функция f(z) определена и аналитична на всей плоскости г, то есть явля-
ется целой. Если R конечен и Д=/=0, то на окружности |г—z0| = /? имеется
хотя бы одна особая точка функции f(z) и во многих случаях эта функ-
ция, определенная в круге |z—z0|<7? формулой (4.1), допускает одно-
значное аналитическое продолжение на всю плоскость z или до некоторой
так называемой естественной границы. Для такого продолжения исполь-
зуются различные приемы (см. § 2, 3) и, в частности, переризложения
ряда (4.1) в новые ряды в окрестности других точек (см., например, фор-
мулы (2.6) — (2.8)).
Очень важным в приложениях рядом является обобщенный геомет-
рический ряд
со
^(a)hzk/k\, |z|<l, (4.2)
fc=O
где символ (a)k определен формулами (2.32), (2.33). Как легко устано-
вить по признаку Даламбера, этот ряд сходится в круге радиуса 1 с
центром в начале координат (Д=1, 2^=0). В случае, когда а = —п, п =
=0, 1, 2, ..., ряд обрывается в многочлен степени п((—п)п+1 = (—н)п+2=
=...=0), равный разложению бинома Ньютона (1—z)n. В случае про-
извольного а, заметив, что
(G)h = (-!)*(!-а-£)ft, (4.3)
также без труда можно найти значение суммы ряда (4.2) в виде степен-
ной функции
со
2 («к zk!k\ = (\-zya = f (z), |zl < 1. (4.4)
fe=0
Как уже отмечалось в § 2, особыми точками степенной функции
(1—z)~“ являются точки z=l и z = oo, где в общем случае (при а^=±п}
наблюдается ветвление. В остальных точках сумма (1—z)-“ аналитична,
поэтому такую функцию f(z) можно аналитически продолжить в окрест-
ности любых точек zb, отличных от 1 и оо. Однако и в окрестности точек
1 и оо функция f(z) представима в виде произведения степенной функция
на аналитическую, задаваемую рядом. Например, в окрестности z0=oo
справедливо равенство
f(z)=.(-z)-fl(l- \/гГа =(-2}-°^ (a)hz-k/kl, |2|>1. (4.5)
fe=0
Равенство (4.5) осуществляет аналитическое продолжение суммы
ряда (4.2) на внешность единичного круга и, наоборот, ряд (4.2) явля-
ется аналитическим продолжением функции (4.5) на внутренность круга
lz|<l- Однако следует отметить, что для выделения однозначной ветви
функции (4.5) необходимо провести разрез между точками г=0 иг=оо
и указать значенпе функции на одном из его берегов. Обычно полагают,
что |arg(—z)|<jt. то есть разрез идет по положительной полуоси Rez=
=х>0, у = 0, и f (х—i0) =е-"’“(х—1)-“, х> 1.
В связи со сказанным возникает вопрос, что получится, если над ря-
дом (4.2) осуществить некоторые операции, приводящие к слиянию осо-
бых точек. Покажем, что путем преобразований из ряда (4.2) можно по-
лучить ряд, определяющий простейшую целую функцию е2.
В самом деле, заменив в (4.2) z на zfa, получим ряд с особенностью
прп z=a, а устремив а-^-оо, придем к всюду сходящемуся ряду, опреде-
ляющему экспоненциальную функцию е2:
а-“А=0 а К- k=o К-
Осуществленное преобразование, называемое конфлюенцией, на язы-
ке сумм рядов принимает широкоизвестную форму
lim (1 — 2[а)~2а1г = ег.
(4-6)
(4.7)
Заменив в разложении (4.6) z на ±iz и составив суммы eiz±e-iz, без
труда получим ряды, представляющие собой функции 2cosz и 2zsinz.
Впрочем, к разложению в ряд, например, функции cosz можно прийти
и иным путем. Рассмотрим целую функцию, задаваемую рядом
zk
_ . . — = oFi («: z), |z| < оо
л=о (a)h k\
(символ oFt означает, что функция F в числителе не имеет факториалов,
а в знаменателе имеет лишь один «факториал» (а)ь). Положив в (4.8)
^17^’ ВЫчислим значенпе (1/2)л, применив для этого формулы (2.32),
(1 /2) = rU/2 + fe) = Г(2^+ 1) = (2fe)!
k Г(1/2) Г(^+1)22* &!22*
Заменив еще z на —z2/4, в результате получим
1 . _ z2
2 ’ Т
1
(4-8)
(4-9)
vi (—l)ftz2ft
> ------------ = cos z,
то есть ряд (4.8), в частности, содержит функцию косинус.
Все сказанное вызывает особый интерес к изучению аналитических
Функций, задаваемых рядами, коэффициенты которых содержат выраже-
(4.Ю)
УЪШ-Ыь = F ((й); (by, z) =
. f Z
b2..........bq
(4-11)
(a) = «„ a2....ap, (b) = bt.....bq.
Такие ряды (4.11), содержащие в числителе р, а в знаменателе q пара-
метров, называются обобщенными гипергеометрическими рядами [2]
порядка q и класса q—р+1 [13]. Они, как и аналитические функции, ими
порождаемые, обозначаются символами, указанными в равенствах (4.11).
Таким образом, из формул (4.6), (4.4) следует, что, в частности,
V гЛ//г! = 0F0 (z) = ez, ,F0(a; г) = (1-2)-в. (4.12)
Л=0
Последнее равенство, связывающее функции pFq с суммой обобщенного
геометрического ряда, вполне оправдывает термин «обобщенный гипер-
геометрический ряд». Теорию функции (4.11) и ее частных случаев мож-
но найти в книгах [2, 7, 13, 16, 17, 19, 27, 28, 31, 51, 52, 67].
Воспользовавшись признаком Раабе, несложно установить следую-
щую картину сходимости ряда (4.11):
любых г, если р q,
ряд сходится при
|z| < 1, если р = q I,
р ч
|г| = 1, если р = q 1, о — Re (V а,—V bh) < О,
z=i fc=i
|г| = 1, г =И= 1, если р = q + 1, 0 о < 1,
z#=0, если p>q-\- 1,
ряд расходится при
1г| > 1, если р = q + 1,
|г| = 1, если р = q -|- 1, cr^l.
Если некоторый параметр числителя Oj=—п (п = 0, 1, 2, ...), то ряд
(4.11) обрывается в многочлен степени п, в частности, справедливо ра-
венство PFq(0, а2, а3, .... Ьи ..., z) =PFq((a); (b); 0) = l. Если один
из параметров знаменателя bk=—I (1=0, 1, 2,...), то ряд (4.11) не имеет
смысла, так как начиная с некоторого места знаменатель его общего
члена обращается в нуль.
Определение*). Функцией гипергеометрического типа от перемен-
ной z будем называть всякую функцию u(z), представимую в окрестности
точки г=0 в форме линейной комбинации функций вида Е((а), (b), а) X
XzapFq((a)-, (t); hzv) (где Е((а), (Ь),а) — некоторая функция парамет-
ров (a), (b), а, о>0, h — const), а также всякую функцию, которую мож-
но непрерывно получить из такой линейной комбинации предельными
переходами по параметрам.
Примеры. Функциями гипергеометрического типа являются функции
zaehz, (1 — г)~а, 1п(1 + г), Inz, arcsinz, arctgz, (l-f-J^l—г)-а1и
их линейные комбинации. Принадлежность функции ы(г)=1пг к названному
классу следует из равенства lnz = lim(z“— 1) а~1 и второй части опреде-
а-»0
ления.
*> Автору не удалось найти в литературе четкого определения понятия функции
гипергеометрического типа. Поэтому для удобства в дальнейшей примем за основу на-
стоящее определение, охватывающее всевозможные линейные комбинации, составленные
из всех функций § 12, за исключением функций (х, р) при иррациональных
р и р.
к функциям гппергеометрического типа относятся: гипергеометриче-
ская функция (или функция Гаусса) 2Fi,(а, b; с; z), обозначаемая просто
р(а, Ь\ с; г), вырожденная гипергеометрическая функция (или функция
Куммера) (а; с; z), обозначаемая часто символом Гумберта Ф(а, с, z),
функция oFi(c-, г), сводящаяся к функции Бесселя, и функция Клаузена
sF->(ai, а2, а3, bt, b2-, z). Главные аспекты теории первых трех функций и
функций Бесселя излагаются в § 5, 6 на основе их интегральных пред-
ставлений через контурные интегралы Меллина—-Бернса (7), которые
могут быть использованы как средства для эквивалентных определений
этих функций.
2. Теорема Слейтер. Изучим вопрос о нахождении функции Ж’(х),
преобразование Меллина J4f*(s) которой имеет вид (5). Для этого, поми-
мо обозначений (2.32), (2.33), (4.11), нам понадобятся следующие
символы:
’ а., а2 , . . ., аА Г (сц) Г (а2) ... Г {а.)
ЪД............Wl~ Г(6,)...Г(ад '413>
(пустое произведение заменяется единицей),
(а) -|- s = Oj-T s, а2+ s, .... аА + $,
(by— bh = bt — bh , ..., — bh, bk+x—bh, ..., bB — bh, (4.14)
2л(г)=УгоИ'
z=i
(a)'— aj, (b) + a; '
(c) — aj, (d) + aj
(b)+a], l+aj-tc)-,
1+aj — (a)', (d) + aj
(4-15)
в
SB(l/z) = V г-^Г
*=i
(b)' — bh , (a) + bh '
Ad)-bh, (c) + bh .
X a+dFb+c—i
(a) + bh, l + bh-(d);
l-p^ — ib)', (c) + bh
(4-16)
|arg z\ < n.
Если ряды сходятся, то функции Ха(z), Xb(\]z) являются функциями
гппергеометрического типа, причем переходят друг в друга, если поме-
нять местами A-мерный комплексный вектор (а)=а{, а2, ..., аА с анало-
гичным В-.мерным вектором (Ь), С-мерный вектор (с) с D-мерным (d),
a z заменить на 1/z. Эти функции аналитически зависят от комплексных
параметров (a), (b), (с), (d) и переменной г. Если некоторые параметры
векторов (с) (или (Ь)) совпадают между собой или отличаются на целое
число, то векторы (с)'—a, ((b)'—Ьп) содержат нулевые или отрица-
тельные целые компоненты и в силу свойства Г(—п)=оо, п=0, 1, 2, ...,
У функций XA(z), XB(l/z), вообще говоря, могут возникнуть неопределен-
ности типа оо—оо (если особенности числителей гамма-коэффициентов
из (4.15), (4.16) не сократятся с особенностями соответствующих знаме-
нателей). Ниже доказывается, что в таких логарифмических случаях
неопределенности раскрываются, то есть имеющиеся особенности устрани-
мы по непрерывности. Поэтому в логарифмических случаях под значе-
ниями Xa(z), Xb(\/z) будем понимать соответствующие пределы «регу-
лярных» функций Sa(z), %b(A/z), когда их параметры непрерывно стре-
мятся к рассматриваемым особым значениям (см. § 7).
Следует отметить, что без ограничения |argz|<jt функции Sa (г),
SB(l/z) в общем случае являются многозначными. В дальнейшем для
однозначности будем предполагать, что |argz|<n, хотя во многих случа-
ях это условие можно ослабить либо совсем устранить, если допускать
многозначность рассматриваемых функций (см. теоремы 18—20).
Докажем, что справедлива следующая
Теорема 17 (Слейтер) [67]. Пусть
^*(s) = r[ja) + S’ ^~S , (4.17)
[ (с) + s, (d) — s
где векторы (a), (b), (с), (d) имеют соответственно А, В, С, D компонент
Uj, bh, Ci, dm. Тогда, если выполняются следующие две группы условий:
— Re(aj)<Res<Re(i>ft) (/= 1, 2, ..., Д, k = 1, 2, ..., В), (4.18а)
А ф- В>Сф- D,
А 4- В = С D, Иех(Дф-Р— В — Q< — Rev,
А В С D
А=С, B=D, Rev<0, aj+^ bh-% q-V dm,
/=1 k=l 1=1 m=l
mo для таких s справедливы равенства
Ж*(в)=
I* xs-1Sa (x) dx, если Д ф D> В ф- C,
о
1 eo
У xs~'Sa (x) dx ф- (" xs—'Sb (1/x) dx, A D = В ф C,
о i
(4-19)
|’xs-’Sb(1lx)dx, если A-\-D<zB-\-C,
b
Sa(1) = Sb(1), если A A-D = В + C, Rev4-C — A+ 1 < 0, A ^C.
Следствие. При условиях (4.18) прообразом функции (4.17) является
функция УТ (х) гипергеометрического типа, равная одному из следующих
выражений:
Sa (х) при х > 0, если А ф- D > В ф- С,
JT(x)=
Sa(x) при 0<х<1 или SB(l/x) при х>1, если А -ф D= В ф- С,
SB(l/x) при х>0, если AA-D<zB-]-C,
(4.20)
^(1)=Sa(1) = Sb(1), если AA-D = B-\-C, Rev + C — Дф1<0, Д>С.
Замечание I. Соответствующая теорема 1 из [67] (§4.8) содержит
ряд неточностей: 1) вместо условий (4.186) указано лишь условие Дф-В^
5>СфД; 2) вместо Rev-j-C— Д-|-1<0 приводится условие Rev<0;
3) говорится, что при A-\-D = B-\-C функции Sa(z) и Sb(1/z) аналитиче-
ски продолжают друг друга, а это верно лишь в случае А В> С -\- D.
Замечание 2. В случае ] Д -R Z) — В — С| > 1, А ф В = С ф- D ог-
48
раничение на Res, указанное в (4.186), может быть несколько ослаблено до
условия
Res(i4 + D — В — C)<Al‘2— Rev. (4.18в)
Это следует из приведенной ниже теоремы 20 (формула (4.52)). Доказы-
вать справедливость замечания мы не будем.
Замечание 3. Если для некоторых параметров выполняется одно
или несколько условий о; = сг+п (или а,=—dm—п) [bk=dm-yn (или bk =
=—ci—и)], где п=0, 1, 2, ..., и при этом векторы (а)' — aj, (b)' — bk не
содержат целые компоненты, то из группы условий (4.18а) можно устра-
нить (или ослабить) условия, относящиеся к этим параметрам. При а,=
=Ci+n [bk = dm-i-n] соответствующие условия Re(s+flj)>0 [Re(fe/t —
—s)>0] устраняются, а при а^ =—dm—п [bh=—Ci—п] они заменяются на
ослабленные требования Ке(х-}-пД>—п—1 [Re(fcft—s) >—п—1]. Если
же векторы (а)'—а,-, (by—bk содержат целые компоненты, то вопрос об
ослаблении ограничений (4.18а) требует специальных исследований.
Замечание 4. Ограничения (4.18а — в) обеспечивают, по крайней
мере, условную сходимость интегралов (4.19) в 0, оо (и 1). Если эти огра-
ничения нарушаются, то интегралы (4.19) как несобственные, вообще
говоря, расходятся, однако в отдельных случаях они существуют в смыс-
ле главного значения (см. замечание 1 в конце § 4).
Доказательство теоремы 17. I этап. Для большей нагляд-
ности рассмотрим вначале один из простейших случаев при Д = В = 1, С=
= 0 = 0, который приводит к степенной функции J^(x)=T(p) (1-(-х) ₽.
Для этого вычислим следующий интеграл по некоторому контуру L:
1=—-—С Г [s, р — sjx~sds, х>0. (4-21)
2ni У
Покажем, что если в качестве L взять прямую, параллельную мнимой
оси L= (у—ioo, y+ioo), то интеграл /[Г(р)]”1 при0<Res=y<Rep примет
одно из значений (4.4), (4.5), где z=—х, а = р, что в силу (4.12) полно-
стью согласуется с формулами преобразования Меллина (2.48), (2.49),
(2.54) п теоремой Слейтер в случае А + D=B-\-C.
Подынтегральная функция из (4.21) аналитична всюду в плоскости
s, кроме лишь полюсов первого порядка у гамма-функций s = —п, s = p-pz,
4=0, 1, 2,... Как следует из свойства 1) Г-функции, вычеты функции
r[s, р—s]x-s в этих полюсах равны соответственно
(—1)"/п! Г (р + п) х”, Г(р-|-п)(—1 )"+*/«! х“Р—л. (4.22)
В качестве L возьмем произвольный простой замкнутый контур Е~д-,
который содержит участок вертикальной прямой Res=y, разделяющей
точки (0, 0) и (Rep, 0): 0<y<Rep, и охватывает лишь некоторое количе-
ство N левых полюсов s = —п, п = 0, 1, ..., N. Тогда интеграл (4.21) в соот-
ветствии с теоремой о вычетах (2.18) будет равен сумме N первых выче-
тов (4.22) в указанных полюсах, лежащих внутри контура. Устремим в
этом равенстве N к 4-со, предположив, что контур L-K, растягиваясь по
мере добавления полюсов s=—п в левую петлю Ь-ы, нигде не приближа-
ется к этим полюсам на расстояние, меньшее некоторой малой величины
б>0. Тогда в пределе получим соотношение
—Г[5, p-s]x-sds = 2 (-1)лГ(р+н)хп/н! = Г(р)(1 + х)-₽. (4.23)
п=0
4. Зак. 216
49
Конечный предел правой части существует (то есть ряд сходится),
если |х|<Г 1. Тогда по теореме о переходе к пределу в равенствах следует,
что при этих |х|< 1 интеграл по полученной бесконечной петле Доо схо-
дится (см, рис. 3, а). Эту петлю, начинающуюся из оо в третьем квадран-
те и оканчивающуюся на оо во втором квадранте, можно считать произ-
вольной, в частности ее можно развернуть в прямую Res=y, 0<y<Rep,
как и требуется в формуле (2.49), сохранив при этом сходимость ин-
теграла.
Если в качестве L взять аналогичный контур LN, охватывающий пра-
вые полюсы s — p+n, п=0, 1, 2, ..., N, то такие же рассуждения приведут
в пределе к формуле
—-— [ Г [s, р — s] x~sds = — х~р V Г (р + п) (— х)—п/л! =
2ш’ 4- -°
= -Г(р)(1+х)-р, (4.24)
|х| > 1, х>0.
Развернув L+oo в прямую Res=y, проходимую сверху вниз, и поменяв на-
правление ее обхода, опять выведем доказываемое равенство.
Отметим, что в этом случае получаемые ряды (4.23) и (4.24) (с мину-
сом) аналитически продолжают друг друга как функции х, однако в об-
щем случае функции Z!a(z) и 2b(1/z) могут не являться аналитическим
продолжением друг друга (если Л + В = С-|-£)). Это показывает пример,
приводимый ниже.
Замечание 1. Правая часть формулы (4.23) аналитически зави-
сит от параметра р. Поэтому для нее ограничение Rep>0, при котором
выводилось равенство (4.23), является излишним. Равенство (4.23) мож-
но аналитически продолжить на случай произвольных р#=0, —1, —2,....
если устранить условие отделимости правых и левых полюсов 5 =—п,
p-|-n, n=0, 1, 2,..., именно прямой Res=y. Для аналитического продол-
жения естественно допускать петлю Lx произвольной разомкнутой, одна-
ко такой, чтобы она отделяла все левые полюсы от правых. Это возможно
лишь при условии, что эти полюсы не сливаются, то есть при р#=0, —1,
—2,... В этом случае функция (1-|-х)“р не превращается в многочлен.
Замечание 2. Если в интеграле (4.23) положить р = 0, а контур
L-co взять разделяющим точки s=—1 и s = 0 (—1<у<0), то из суммы
(4.23) необходимо будет удалить первый вычет (член л=0), соответ-
ствующий «слившемуся» полюсу 5 = 0, и положить там р—>0. В результа-
те по непрерывности получится ряд для функции —In(l-j-x), (х|< 1. Такой
особый случай, когда совпадают полюсы из разных серий, также называ-
ется логарифмическим.
II этап. Доказательство теоремы Слейтер в общем случае, которое
излагается здесь, значительно отличается отданного в работе [67].
Рассмотрим интеграл по некоторому простому замкнутому контуру L,
соответствующий обратному преобразованию Меллина (2.49) от функции
Jf*(s) (в случае L — (у—too, y-|-ioo), Imz=0):
^(z) =
J-l
2ni L
Г (a)4-s, (b) — s
L (c) + s, (d) — s
z~sds.
(4-25)
Если L — кривая, простирающаяся в бесконечность, то этот интеграл на-
зывается интегралом Меллина — Бернса.
50
Подынтегральная функция Jf*(s)z~s аналитична в плоскости (5)
всюду, кроме, может быть, двух серий точек — левой серии-. s = —а3—П),
ц( = 0, 1, 2, /=1, 2, ..., А; и правой серии: s = bk + nk, nk = 0, 1, 2, .... =
= 1, 2, ..., В. В этих точках подынтегральная функция, вообще говоря,
имеет полюсы. Если для всех параметров выполняется условие, что век-
торы (а)' — а„ (b)' — bk, (a)+bh, (a)+dm, (с) — а„ (b)A-Ci, (d) —bh не
содержат компонент вида —п (п = 0, 1, 2, ...), то указанные серии точек
являются простыми полюсами. Если же это условие нарушается для не-
которых параметров, то соответствующие им точки могут накладываться
(сливаться), что приводит в общем случае к увеличению порядков полю-
сов или к устранению особенностей в этих точках (когда особенности
числителя и знаменателя взаимно сокращаются).
Так как изучение общей картины требует весьма сложных выкладок,
то в дальнейшем остановимся на рассмотрении важного частного случая,
когда выполняются указанные выше условия. В этой ситуации точки л=
= —Н,—Hj, 8 = ЬьА~Пк ДЛЯ функции Jf*(s)z~s являются полюсами 1-го по-
рядка с вычетами, равными соответственно
(— 1р Г («)'— aj — п}, (ft) + а, + п}
rtj\ L (с) — ai —ni - (Ф + а, + п}
Za^+ni ,
(4-26)
(л) + bh + nh , (ft)'— bk — nh
{c)A~bk + nh, (d) — bk — nk
Обозначим эти вычеты через res (л,) и res(nb). Возьмем в качестве L
произвольный простой замкнутый контур £_,v (рис. 5), охватывающий
лишь начальную часть левой серии полюсов, то есть полюсы с номерами
л^=0, 1, 2, ..., Nj, /=1,2,.... А. Обозначим AZ=min/Vj, / = 1, 2, ..., А. Тогда,
если N-+<x, то контур L N разрывается в некоторую левую петлю L^,
начинающуюся п оканчивающуюся в «левой» бесконечности, охватываю-
щую все левые полюсы в положительном направлении (против часовой
стрелки), но не охватывающую ни одного полюса из правой серии. При
этом предполагается, что когда N—>оо, никакой из участков контура Z—,v
не приближается к полюсам подынтегральной функции ближе, чем на
некоторую малую величину е>0, то есть левые полюсы заскакивают
внутрь L-y при А'—>оо.
Воспользовавшись формулой (2.18), запишем значение интеграла
(4.25) через сумму вычетов
A Nj
= V у res(Hj). (4.27)
/=1 rij—O
Если существует конечный предел левой части этого равенства при
Л^—>оо, то будет существовать конечный предел и правой части. Иными
словами, при условии сходимости интеграла по петле £_оо ряды, возни-
кающие в правой части (4.27) при N^oo, также будут сходиться, и ра-
венство (4.27) в пределе примет вид
А оо
= 2 2res (г)’ (4 -28)
/=1 и,-=0
где 2д(г) выражается формулой (4.15), а в случае Л = 0 Sa(z)=O. Это
значение легко получается с помощью соотношения (2.32) и его след-
ствия:
Г (s — п) = Г(-£) = У Г(-) . (4.29)
(s-n)„ (l-s)n
-vwvicei типи с теоремами 6, 7 для исследования сходимости инте-
грала оценим подынтегральную функцию Г[ ]zs интеграла
(4.25) при s-+oo, считая что |arg (-s) |<л, то есть разрез проведен по
положительной полуоси Ims = 0. Чтобы воспользоваться формулой Стир-
линга и ее
гГ 1—(«)—«1
[1— (с)— SJ
следствиями, домножим и разделим эту функцию на
и применим формулу дополнения (3.14), тогда
Г[
]z-s = z-sr[^ S’
1(d) —s,
1 — (С) — S
1 — (а) — s
sin (ct + s) л
sin (dj + s) я
(4.30)
Рис. 5
Приняв во внимание равенства
|z~sj = |e~s ln zl = |exp [— (Re s + i Im s) (In |z| -ф i arg z)]j =
= exp (—Re s In |z| + Im s arg z),
(4.31)
Г (bk - s) = О (Г (- s) (- s)bh) = 0 {exp [s - (s -ф 1 /2 - bft) In (- s)]} =
= 0 {exp [Re s — (Re s -ф 1/2 — Re bk) In |s| -ф Im sarg (— s)]},
sin (cz 4- s) л = O(eJtilmsi),
которые выводятся с помощью формул (3.22) и (2.9), легко получим
следующую оценку подынтегральной функции при Res—>—со:
|Г [ ] z~s| = 0{ехр{—Res In |z| -ф Im sargz ф-
52
4- [Re s — (Re s + 1/2) In |s| + Im s arg (— s)] (B 4- C — A — £>) +
4- (Rev + С —Л) ln|s| + л|Ims| (C —A)}}, (4.32)
где v означает сумму, стоящую в формулах (4.186).
Главная часть выражения справа, то есть функция ехр[—Res ln]s[ (В +
+С—А—О)], стремится к нулю при Res-j—оо, если В + С—А—D<cO, а
z — любое конечное. В случае, когда B-]-C=A+D, главной частью явля-
ется уже ехр[—Res 1п|г|]. Она исчезает при Res->—оо, если ln|z|<0,
то есть |z|< 1. В обоих случаях интеграл по левой петле L_ro абсолютно
сходится (если считать, что |Ims| ограничена при sC£-oo), так как подын-
тегральное выражение экспоненциально убывает, arg(—s)—>0 при
Res—>-—оо и
(2)1 < f |Г [ ] z-| |ds| = О (е~^), М > 0, (4.33)
к 2л А
lR
где 1н — часть контура L-n, точки которой находятся на расстоянии,
большем R от точки s = 0.
Если |г|= 1 и В+С=Л+В, то главной частью (4.32) является выра-
жение степенного порядка |s|Rev+c-A. Интеграл (4.28) сходится, если
(теорема 6)
Rev-1-С —Д-R 1<0. (4.34)
Если В4~С—А—£)>0, то подынтегральная функция экспоненциально
растет и интеграл /jl_„(z) расходится.
Остановимся подробнее на более сложном случае, когда Ims не огра-
ничена при sEL-cc, то есть, когда левая петля может быть развернута в
контур Вгоо, начинающийся и кончающийся в точках y+too, Imy = 0. Так
как контур L-oo произвольный, то можно считать, что Ims и Res стремят-
ся к бесконечности независимо друг от друга при |s|—>оо, sELx.
Для нахождения порядка подынтегральной функции при |Ims|->oo
воспользуемся следствием (3.24) из формулы Стирлинга, из которого
вытекает оценка
|Г (а + s)| = О {exp [(Re (я -f- s) — 1/2) ln|Im s|-—л/2 [Im si]}- (4.35)
Применив эту оценку и первую из формул (4.31), получим равенство
|Г [ ] г—s| = О {exp {[Rev 4- у (Л — В — С -R D) —
— 1 /2 (А 4- В — С — £>)] In |Im s| —
— л/2 ]Imsi (A4B—С—D)—Resln|z|-Rim sargz}}, |Ims|->oo. (4.36)
Главный член правой части ехр[—n|Ims|(A-|-B—С—D)/2 + Im sargz]
экспоненциально исчезает при |ImS|->oo, если Д |-B>C-|-D и
0<|argz|<n/2H + B —С —О). (4.37)
При таких z интеграл fLia (г) по контуру Lioc абсолютно сходится и
определяет функцию, аналитическую в секторе (4.37) и, вообще говоря,
многозначную (если А-$-В—С—£)>2). Эта функция будет однозначной,
если наряду с (4.37) потребовать выполнения условия |argz|<;n. Пример
однозначной функции в случае А =В= 1, C=D=0 был разобран на пер-
вом этапе доказательства.
Если А-|-В = С+В, то следует брать действительное положительное z
ч.ч
(argz = O). Главным членом здесь является уже выражение степенного
порядка, стоящее в первых двух строках (4.36).
Докажем, что если показатель степени этого выражения отрицателен,
то есть имеет место ограничение
у (А — В — С + Д) < — Rev,
у = lim Res,
S->oo
sf: Lia,,
(4-38)
то интеграл 7i_;oo (z) сходится, по крайней мере, условно при всех действи-
тельных г = х =7= 1, а при
у(А — В — C + D)< — Rev— 1 (4.39)
Этот интеграл сходится абсолютно при всех z=x€(0, оо).
Второе утверждение очевидно (теорема 6). Для доказательства пер-
вого используем рассуждения, аналогичные приведенным в работе ([181,
п. 73, лемма Жордана). Пусть z=x& (0, 1), a = Rev+y(A—В—С4-Т))<0,
а Си означает некоторую левую дугу окружности радиуса R, то есть Ск=
== {s=Reiv, 0<0sC|ip|sCл}. Тогда, как следует из оценок (4.32), (4.36),
при условии А+Д^В + С имеет место неравенство
1 "
Ис (х)1 <----2Ra\ x~Rc°s«>Rdq.
2п е
Если 0^л/2, 0<х<1, то, приняв во внимание оценку sin ф 2ф/л,
справедливую при 0^ф^л/2, после замены ср = jr/2 -|- ip получим соот-
ношения
j' x-r cos <г Rdy — r j xR sin R х2/л/?*^ф =
ё e—л/г b
В случае 0<л/2 оцениваемый интеграл разобьем на два: по промежут-
кам (0, л/2) и (л/2, л). Ограниченность второго интеграла при R -* оо уже
установлена. Первый также ограничен в силу соотношений
Л/2
[ у— R cos 4>Rdff х~R cos eR (л/2—-0)->x_vy (Д-^оо).
ё
Указанный предельный переход осуществляется в предположении, что при
R —•> оо величина R cos 0 — Re s —> у.
Таким образом, при всех О<;0^л, 0<х<1 интеграл /Сл(х)->0,
когда R —> оо, а а < 0. Ввиду аналитичности подынтегральной функции
по s это утверждение сохраняет силу и для всякого контура , удаляю
щегося в бесконечность, если его длина растет пропорционально расстоя
нию R от точки s — 0 до ближайшей точки контура. Это замечание завер-
шает доказательство сходимости /Lie, (х) в случае 0 < х < 1, а < 0. Ана-
логично рассматривается случай х> 1. Здесь выбирается дуга, симметричная
CR относительно оси Res —0.
Пусть наряду с условием А 4- В = С 4- D выполняется ограничение
А 4- D = В 4- С (т. е. А=С, В = D). Тогда условие (4.38) имеет место при
любом у и Rev<0. В точке z=l при —l^Rev^O интеграл /L£oo (z)
может расходиться, но, однако, можно показать, что в этой точке сущест-
вует его главное значение по Коши ([2], гл. 1.19).
В случае 4-|-B=C|-D интеграл 7/.ioo(z) непрерывен на луче 0<г<5»
всюду, кроме, может быть, точки г — 1. Если еще А + D =#= В 4- С, то он
допускает аналитическое продолжение с этого луча на плоскость г, |arg г|<л,
которое осуществляется функциями 2/(г) или 2в(1/г). В случае А 4- D =
В 4- С существуют две аналитические функции: одна из них (г) ана-
литична в круге \г\ < 1 с разрезом |arg z| < л и при 0 < г = х< 1 выра-
жается интегралом (г), а другая 2в(1/г) аналитична во внешности
|г|> 1, ]arg2|<n, и при г —х>1 выражается интегралом /ь1оо(г). Эти
функции, вообще говоря, не являются аналитическими продолжениями друг
друга.
Пример. В случае А = С = 1, В = D = 0, о, = О, у = Re s >0
условие (4.38) выполнится, если Rec^^-O. В соответствии с формулами
(3.31), (3.12) интеграл (4.25) принимает значение Л.1во (z) = (1—х)^—1 zГ (с,),
z — х. Эта функция не является аналитически продолжимой на плоскость,
хотя две ее «составляющие» (1 — г)С1~х1Г(с() и /(z)s=0 аналитичны соот-
ветственно в круге |г|<1 и вне этого круга. Условия, когда (?) и2й(Гг)
аналитически продолжают друг друга, указаны ниже в теореме 18.
Отметим еще, что так как Г-функция аналитична, то и интеграл (4.25)
аналитически зависит от параметров. Поэтому если отделимы полюсы
разных серий, а интеграл Il(z) по бесконечному контуру L сходится, то
в силу теоремы 7 и функция ZA(z), им порождаемая, аналитична по па-
раметрам и поэтому непрерывна в логарифмических случаях, когда не-
которые из параметров (а) различаются на целое число (то есть накла-
дываются некоторые группы полюсов левой серии).
Положив в равенстве (4.28), в частности, г=х>0 (arg2=0), L = Lioo
и потребовав выполнения дополнительного условия —Re(Cj)<Res<
<Re(feft), которое обеспечивает возможность разделения всех левых и
правых полюсов функции (4.17) именно некоторой прямой L1OO: Res=y,
получим с учетом (2.49), (4.25), (4.28), (4.34) утверждение теоремы
Слейтер в случаях A-(-D^>B + C, х>0 и A-f-D=B-j~C, 0<х^1.
Из симметрии (4.25) ясно, что замена s на —s эквивалентна перемене
(а) и (Ь), (с) и (d), z и 1/z местами. После этих замен легко прийти к
утверждениям теоремы в случаях A4-DВ + С, так как условия (4.18)
не реагируют на эти замены. Последний результат получается и другим
способом: если в качестве контура L взять контур LN, охватывающий
правые полюсы, и аналогично образовать правую петлю L+oo, обходимую
в отрицательном направлении (см. рис. 5).
В тех случаях, когда некоторые особенности подынтегрального выра-
жения из (4.25) устраняются (погашаются нулями, происходящими от
знаменателя), отдельные из условий (4.18а) могут быть ослаблены, что
нашло отражение в замечании 3.
3. Теорема о представлении интегралов Меллина — Бернса через
функции гипергеометрического типа Sa (г) и Sb(1/z). Асимптотика
^.a(z). Проведенные выше рассуждения являются доказательством боль-
шинства утверждений следующей общей теоремы, основанной на неко-
торых результатах, полученных Мейером в серии работ 1936—1946 гг.
(см. [2, 51,53]).
Теорема 18. Пусть задана функция JA*(s) (4.17) с комплексными
параметрами (a), (b), (с), (d) и переменной s. Причем векторы (а)'—а,,
(Ь)'—bk, (a)+bk, (a)+dm, (с)—a-,, (b)+C[, (d)—bk не содержат компо-
нент вида —п (п=0. 1, 2,...), то есть серии точек s=—aj—nj, s = bk + nh,
П; = 0, 1, 2,.... / = /, 2,.... A, nh = 0, 1, 2,.... k—1, 2,.... В, являются просты-
ми полюсами этой функции. Тогда интеграл Il(z) (4.25), взятый по не-
55
которому бесконечному контуру L, отделяющему левые полюсы s =
= —a.j—п, от правых s=bk+nh, представляет собой однозначную анали-
тическую функцию параметров (a), (b), (с), (d) и комплексной перемен-
ной г из сектора |argz|<n. Эта функция при соответствующих условиях
допускает следующие представления через функции гипергеометричсско-
го типа:
Г 2д(г), А + D>B + С, L = L-„, и< С сю,
/(Z) = /L(Z) = ] A+D--= в + с, jz|< C1’ (4.40)
Sb(1/z), A + D< B+-C, |zj<
1 A^D = В + С, |z|> > 1,
где ^А(г) и ^B(l/z) задаются формулами (4.15), (4.16).
Если векторы (а)'—ajt (b)'—Ь>, содержат компоненты вида —п (п =
=0, 1, 2,...), то есть кратность некоторых групп полюсов внутри серий
увеличивается, то равенства (4.40) сохраняют силу, если функции ^a(z),
Ъв(1)г) считать доопределенными по непрерывности. Если А или В рав-
ны нулю, то соответствующее значение I(z) обращается в нуль.
Здесь L—оо (L+оо) означает левую (правую) петлю, начинающуюся и
оканчивающуюся в точке Res =—оо (Res=+oo) и охватывающую все
полюсы функций Г(я^—|-s), j = l, 2, ..., A frffeft—s), k=l, 2, .... В) в поло-
жительном (отрицательном) направлении, но не охватывающую ни од-
ного полюса Г[(Ь)—s] (соответственно r[(c9+s]) (см. рис. 5). Предпо-
лагается, что на петлях L^, величина Ims ограничена, то есть раствор
этих петель ограничен.
Представление (4.40) остается справедливым и в случае произволь-
ного контура L = LiCO, идущего от у—too до y+ioo и отделяющего левую
и правую серии полюсов, если при A + B>C-\-D выполняется дополни-
тельное условие (4.37) (функции (4.40) могут быть неоднозначны-
ми). Если еще A-(-D—B-\-C, то функции SA(z) и У.в(1/2) (вообще
говоря, многозначные) аналитически продолжают друг друга в секторе
(4.37), причем если А+В—С—D^>4, то разрез, соединяющий точки
z=(—1)А~С и z=oo(—1)А~С, можно устранить, так как в точке Z—
= (—1)А~С функция 2+(z) при А + В—С—D^4 особенности не имеет.
Если A+D = B + C и A+-B = C-\-D, Rev<0, то функции HA(z), 2B(//z) не
являются аналитическими продолжениями друг друга ,но на оси 0<z<co
они непрерывны в точке z=l: 2А(1)=^в(1), если выполняется дополни-
тельное ограничение Rev+C—А-|-1<0.
Абсолютная сходимость интеграла 1с{а,(г) сохраняется и на границе
сектора (4.37), то есть при jargz]=л/2(А+~В—С—D), если имеют место
условия
A+B^C+D, y(A+D—В—С)<—1— Rev+1/2(А + В—С—D). (4.41)
В случае А+В —C + D для сходимости интеграла IBia,(z) необходимо,
чтобы argz=O, то есть чтобы z была действительной и положительной
(z=x>0). Тогда при условии (4.38) справедливы равенства (4.40), где
z=x^=l, L=Lico. Эти равенства сохраняются и при А = С, B = D, если
Rev<0.
При z-+0 функция Sa(z) имеет порядок *)
2л(г)= 0(|г|“), а = min (Re а,-), /=1,2, ...,А, (4.42)
*> Предполагается, что никакие из параметров а,- не отличаются друг от друга на
целое число, точнее, здесь исключаются логарифмические случаи.
56
если A + D^B-\-C. При z—>-оо функция 2LA(z) имеет следующее асимп-
тотическое разложение *>;
Sz(z) — Ss(l/z) = 0(|?Г₽)> ₽ = min (Re bk), k = 1, 2, ..., В, (4.43)
если B^l, A+D^B+C, A + B>C+D, \ngz\<nl2(A+B-C-D). При
тех же условиях, если В=0, то функция SA(z) на бесконечности имеет
экспоненциальный порядок и ее асимптотическое поведение носит более
сложный характер, описываемый теоремами, приведенными в [53] (§ 1.4,
1.8) или [57] (§ 5.7, 5.10), но в других терминах.
Чтобы сформулировать основные результаты, характеризующие
асимптотику многозначной (в общем случае) функции S.4(z), предвари-
тельно введем некоторые обозначения:
/9ттЛД-D/2
Н(г) = гр 1 ~ {1 + О(г->/Д)},
V А
К = А-\- D—B — C, p=[v+ 1/2(1 + С +D —Д — В)] А'1,
D В
М = (2л/)в~°ехр {л» (2 — 2 ’
m~l k—1
D В
M = (—2m)^Dexp{—m ( , (4.44)
zn=l A=1
E (x) = (1A2^)A+B-C-D~' xp {exp J - Ax1/* cos
X cos [Ax1/* sin
/ D — B
\ A
c
[(В —В)(Д—С—1/2+V °l~
i=i
В D .
+ (Д - C) ( V bk - V dm) j {i + О (х-,/д)}.
k=l m=l '
В этих терминах справедливы следующие теоремы [51, 53]:
Теорема 19. Пусть В = 0, Д>С, 7)^1. Тогда при |zj->°o
в секторе 0<argz<(/— С + 1) л имеет место асимптотическое пред-
ставление
2л(г) ~ МН (ze^iD), В = 0, (4.45)
в секторе —(А — С+1) л <arg z< 0 справедлива формула
2л (г) — МН (ze-niD), В = 0, (4.46)
а при arg г = 0, то есть при г — х-+- + оо:
2Л (х) ~ МН (xe*iD) + МН (xe~niD) = Е(х), В = 0. (4.47)
Если В = D = 0, Л>С, то в секторе [argг| <(Д — С + в) л (где
е = 1/2, А — С = 1; е = 1, Д — С > 2) справедливо представление
2Л (г) ~ Н (г), В = D = 0. (4.48) *
> Предполагается, что 6/,—fcj¥=0, ±1, ±2, .... k, j=\, 2, ..., В, k=£j.
Т еорема 20. Пусть a.j-\-bh^=G, —1, —2,... ,/= 1, 2, ...» А, /г = 1,
2, .... В; В>0, А>С, А + B^D С. Тогда при |z|->-oo в сек-
торе 0 < arg z<z(A — С + 1) л справедливо асимптотическое соотношение
(z) — МН (zenl (4.49)
а в секторе —(А — С-f- l)n<argz<0 имеет место формула
2Л (г) ~ МН (ге~лС <°-«>). (4.50)
Если arg2 = 0 и z = x-> + oo, то при всех прежних ограничениях и
условии А + В <D 4- С выполняется соотношение
2Л (х) — МН (xeni <D~B>) +МН(хе~л‘ ^>~ВУ) = Е (х), (4.51)
а в случае A-\-B = C-\-D, bh — b^Q, ±1, ±2, .. ., k, j=l, 2, ..., В,
k y= /, имеет место формула
2д(х)~£(х)+ SB(l/x). (4.52)
Если а}-\- bk=^0, —1, —2, . .., /= 1, 2, ..., A, k= 1, 2, ..., В,
В >0, А^ 1, A -j- В С -j- D, то при |г|—>оо
в секторе (Аф-В— С — D) n/2<arg2<(A — С -|- е) л (где е = 1/2 при
A~(-D — В — С= 1; 8=1, A-J-D—В—С>1) справедлива формула (4.49),
а в секторе — (А — С е) л < arg 2 < —(A ф-Д — С — D) л/2 имеет место
формула (4.50).
Замечание. Строго говоря, соотношения (4.45) — (4.50) имеют
место при дополнительном условии, что argz при |г|-*оо не приближается
к границам секторов. Например, (4.45) справедливо при S^argz^fA—-
—C-f-ljn—б, где б>0. Для большей краткости формулировки это усло-
вие из теорем вынесено в настоящее замечание.
Из этих и аналогичных теорем следует, что функция ^a(z) на беско-
нечности в разных секторах изменения arg z и в зависимости от величин
А, В, С, D имеет степенной, экспоненциальный, степенно-синусоидальный
или степенно-логарифмический характер роста или убывания. Так, на-
пример, если В=0, A>C+D, то функция "Еа(х) при х->—|-оо экспонен-
циально убывает; если же В^0, А>С, A-\-B<zC-\-D, то Sa/x) на ос
экспоненциально растет. Главные члены, характеризующие эти измене-
ния 'Еа(х), указаны в формулах (4.47), (4.51).
Вернемся к рассмотрению интеграла f(z) (4.25). Из всего сказанного
следует, что интеграл I(z), взятый по контуру типа LTuu пли Liot>, в слу-
чае его сходимости однозначно определяет аналитическую функцию от
z при всех значениях комплексных параметров (a), (b), (с), (d) (aj-t-
+^=/=0, —1, —2,...) произвольных размерностей А, В, С, D (^0), если
A+D^B + C. Эта функция представима в виде 5Д(Х) или SB(l/z) и рав-
на интегралу f(z) при соответствующих ограничениях на характеристи-
ки параметров, величину argz и при соответствующем выборе контура L.
Причем если допустимы несколько типов контуров L одновременно, то
никаких недоразумений не возникает.
Если AA-D = B-[-C, то интеграл I(z) порождает сразу две аналитиче-
ские функции: 2a(z) при |z|< 1 и Sb(1/z) при |z|> 1, которые, вообще го-
воря, не являются аналитическими продолжениями друг друга.
При A-\-D>B-\-C функция ^a(z) имеет две особые точки: z=0 и
z=oo, причем точка z = 0 является правильной особой точкой*' (типа
точки ветвления), a z=oo — неправильной (типа существенно особой точ-
*> Правильные и неправильные особые точки часто называют регулярными и ирре-
гулярными особыми точками соответственно. Определения этих типов особых то ек при-
ведены в § 5 после формулы (5.22).
км). Если Л4-£) = В+С, то особой точкой аналитической функции по-
рожденной SA(z), |z|< 1, может быть еще точка 2=(—1)Д-с г все
три особые точки (z=0, (—1)А~С, <») в этом случае правильные Если
= и выполняется дополнительное условие Л-f-B—С—£>->4
то в точке г= (—1)А-С функция 2a(z) особенности не имеет. ’
В соответствии со сказанным функция I(z) удовлетворяет некоторому
обыкновенному линейному однородному дифференциальному уравнению
порядка max(A+D, В-|-С) ([2], гл. 5.4), имеющему при A-\-D^=B + с
две особые точки: z = 0, z=oo—правильную и неправильную, а при .44-
-|-£)~В + С три правильные особые точки: г = 0, (—1)А-С и оо (см. § 5).
Изучаемая здесь функция I(z) простыми заменами параметров сво-
дится к так называемой G-функции Мейера:
G(2) = G^(z)=G^f2|“₽)=G^fz ....М =
\ I Pg / \ Pi • • • , Pg /
т п
ПГ^ + ^ПГО-^—S)
= Г1 - --F-------— Z-Sds’ L=L*°°> h-
£ П Г(1-₽;-s) П Г(а>+5)
j=m+l /=п-Ь1
(4.53)
Эта функция, получаемая из (4.25) заменами (а) на Р,, ..., 0т, (Ь) на
1 — а,, ..., 1 — ап , (с) на ал+1 , .... ар, (cl) на 1—рт.н, ...
.... 1 — Р(/, А = т, В = п, С — р — п, D = q — т, была опреде-
лена Мейером в 1941 г. через контурный интеграл, стоящий в (4.53) спра-
ва, хотя ранее (в 1936 г.) эта функция им определялась иначе (через вы-
ражения типа S/i (г)). Элементы теории G-функции Мейера излагаются
в справочнике [2], а более подробно она рассматривается в монографиях
[51, 53].
В качестве примера использования теорем 18—20 получим асимпто-
тические свойства обобщенной гипергеометрической функции (4.11) и
укажем формулу ее аналитического продолжения при p=q + \.
Как следует из формулы (4.40), при 4 = 1. С=0, D^B—1, О]=0 име-
ет место соотношение
г Г <*)
b^d
(b); —г
s, (b) — s
(d) — s
z-^s=Si(^)|ai=0
(4.54)
где предположено, что выполняется условие Ьл=#О, —1,—2,..., Л—1,
2, ..., В, отделимости полюсов, а петля охватывает левые полюсы
•« = 0, —1, —2,... в положительном направлении, отделяя их от правых.
Положим в теореме 20/1 = 1, С = 0, D>B и заменим z на zeni в фор-
муле (4.49) (пли z на ze~ni в (4.50)). Тогда, как несложно установить из
теоремы 20, справедливы первые два утверждения следующей теоремы:
Теорема 21. Пусть D^> В. Тогда в секторе |arg 2| < л при |z| —со
имеет место соотношение
Г [ !d! ] bFd Q Z ) ~ [ехр(Д12>/Д,)] ZP-,
mJ \(Ф ) FAi
(4.55)
Д.= 1 + D-B, р1 = Д?1 [ V bk- Vdm + 1/2(Z> —/?)] .
k 1 /Г2--1
EcmiD>B-\-\, argz = O, z = x—>- 4- co, то справедлива формула
rIW
L«
В? D
— x\ 2(Г2л)в-°
/ VK
X {exp [Apc1^- cos (n/Aj)]} xp> cos [npj + Ajx’/a* sin (n/AJ], (4.56)
показывающая, что функция BFD (— x) экспоненциально растет при
—z
Zp‘ r-
cos (np! 4- 2 ]/ z) x
Если D = В + 1, то в секторе |arg z\ < 2л при |z| co справедливо
представление
'(b)-
.(d).
Г
Х{1+0(1/Гг)} + 2в(1/г),
(4-57)
где ^в(1/г) выражается соответствующей формулой (4.16), которая полу-
чается из (4.54) и равна сумме правых вычетов (4.54).
Если D = В, то в секторах — (2 4-е) < arg2 < (2 — е) — ,
е = ± 1, при |z| —► со справедливо соотношение
в
2 <ьл~dk> / 1 \
~e*z*=> {14-0(1/2)} 4-. (4.58)
к zemE /
Последние утверждения вытекают из равенств ([51], 5.11.2(7), 5.11.3(3)).
К теореме 21 в полной мере относится замечание на с. 58.
Аналитическое продолжение ряда (4.54) при В = 04-1, как следует
из общей теории, осуществляется с помощью соответствующей функции
Se(l/z). Таким образом, при С = 0, о, = 0 справедлива формула i\(z) =
= 2B(l/z), которая может быть записана в виде
D+lFD Р Z U г Р У Гb* ] (z-^)6h X
\(<D ) L(*)J/S lw-А J
X D+1FD (bh’ 1 + — 1/z), 0<argz<2n. (4.59)
U + bh — (b)' j
Частный случай этой формулы, когда 0 = 0, разобран выше на первом
этапе доказательства теоремы Слейтер. В § 5 рассматривается случай О= 1,
приводящий к функции Гаусса.
Отметим, что формула (4.59), в частности, выражает асимптотическое
поведение функции D-\-\FD((b)\ (d); z) при z->-oo.
В заключение сделаем три важных замечания:
Замечание 1. Из условий (4.18) самым существенным является
условие A + B^C-)-D, показывающее, что число гамма-функций в зна-
менателе Ж* (s) не должно превышать числа гамма-множителей из чис-
лителя. Остальные условия на v и Res допускают некоторые ослабления.
В самом деле, например, из (2.24), (3.14) следует, что прообраз функ-
ции J5f*(s) = r S'i/2 /2 S ] существует при 0<Res<l и равен
[л(1—х)]-1. Однако такая функция УА* (s) не удовлетворяет последнему
из условий (4.186): здесь Rev = O.
60
Замечание 2. Если первая группа условий (4.18) (с учетом замеча-
ния 3) не выполняется, но прямая Res = y не содержит полюсов функции
(4-17), то теорема Слейтер остается справедливой, если функции 2л(х),
SB(l/x) заменить соответственно на функции 2л_|_(х)—2в_(1/х) и Ъв_(1 /х)—
— 2Л_ (х), где2л±(х), 2д±(1/х) означают некоторые «куски» функций 2Л (х)
и 2£(1/х), то есть 2Л (х) = 2Л_(х) + 2Л+ (х), 2fi(l/x) = 2fi_ (1/х)-f-
4- 2в-|.(1/х). Эти «куски» получаются следующим образом.
Предположим, что прямая Res = y рассекает обе серии полюсов так,
что от левой отсекаются полюсы s = —aj — ns, гг} = 0, 1, .. . , р}, а от
правой серии — полюсы s = bh -J- nh, nh = 0, 1....qk, где j, k — неко-
торые из номеров 1, 2, ... , A; 1, 2, .. ., В (см. рис. 5). Таким образом,
для этих номеров /, k имеют место неравенства
Refeft + <?*<? = Res< — Rea, — р},
(4.60)
— Re ay- — pj — 1 < y< Re6ft + + 1,
а для оставшихся номеров j, k останутся справедливыми соответствую-
щие неравенства из группы (4.18а).
Обозначим через Р (г), P+(z) соответственно п-й отрезок и л-й остаток
некоторого степенного ряда V Zhz* :
k=0
P^z)=^hzk, P+(z)= 2 ^k-
k=0 fe=zz-|-l
Пусть тогда 2л+(х) и 2£_(1/х) означают функции, получаемые из 2л(х),
2д(1/х) путем удаления из рассекаемых обобщенных гипергеометрических
рядов соответственно /^-отрезков и ^-остатков с теми номерами j, k, для
которых справедливы неравенства (4.60).
Введя такие обозначения, с помощью теории вычетов несложно уста-
новить справедливость теоремы Слейтер с указанной поправкой. В са-
мом деле, прежнее доказательство легко переносится и на этот случай,
только вместо вычетов отсеченных левых полюсов s = —aj—п}, стоящих в
сумме (4.27), следует добавить вычеты res (/nJ, /г& = 0, 1, ..., дд,полюсов,
отсекаемых от правой серии.
Например, из сказанного и формулы (3.11) следует, что прообразом
п
F(s) при —(n1) <Res<— п является функция е~х—V(—x)k/k\.
fe=0
Замечание 3. Из сказанного выше следует, что каждая функция
«(z) гипергеометрического типа может быть представлена в виде некоторой
линейной комбинации интегралов Меллина — Бернса: и (z) = 2 СтЯт (/imz^m),
где Ят(г) выражаются формулой (7) при аг = Р, = yh = 6Z = 1, а i'm>0,
Ст > Еп--Постоянные.
§5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА
1. Основные свойства и представления. На первом этапе доказатель-
ства теоремы Слейтер был вычислен частный случай интеграла (4.25),
соответствующий степенной функции ]Е0(р, х) = (1—х)_р. Эта функция
имеет две правильные особые точки ветвления: х=1 и х=со.
Рассмотрим сейчас несколько более общую, чем степенная, гипер-
геометрическую функцию Гаусса, имеющую уже три правильные особые
точки: 2=0, 1 и со. Эта функция, изученная Гауссом в 1813 г., в единич-
ном круге определяется как сумма ряда (4.11) при р = 2, q—Y.
У (ЕкЖ =2гда, ь- С-, z)^F(a, b- с, г). (5.1)
S) (СМ!
Пользуясь признаком Раабе, несложно установить, что такой ряд
абсолютно сходится в круге |z|< 1. На окружности |z| = 1 он сходится
абсолютно и равномерно, если Re(c—а—Ь)>0. Если —l<Re(c—а—
—Ь)^0, то в точке 2=1 ряд расходится, оставаясь при этом условно
сходящимся в других точках окружности |z| = l. Если Re(c—а—Ь) —1,
то на всей этой окружности ряд расходится.
Однако в соответствии с теоремой Слейтер и условием (4.37) можно
ввести и эквивалентное определение функции Гаусса через интеграл
Меллина — Бернса (1908 г.), равный (4.25) при А = 1, В = 2, С=0,
D=\, Oi = 0, b> = a, b2=b, d\=c, L = Lioa (с заменой z на —2):
F(a, b\ с, г)
s, а — s, b — s
с — s
(—z)~sds, (5.2)
|arg(— 2)| < л, lz|< 1.
Это равенство получается из формулы (4.40) прн условии |z| < 1 и со-
держит в левой части сумму соответствующих левых вычетов Sa(—2).
Путь интегрирования может быть любым, простирающимся от yi—too
до Y2+'00, лишь бы только он отделял левые полюсы *> s = 0, —1, —2, ...
от правых полюсов s = a-\-n, s = b+n, n=0, 1, 2, ... (впрочем, допускает-
ся и соответствующая левая петля /._«,). Такой путь существует, если
эти полюсы не совпадают, то есть как а, так и b отличны от 0, -—1,
—2, ... и, значит, степенной ряд не обрывается в многочлен.
При с=—п, /1=0, 1, 2, ..., доопределим (5.2) по непрерывности как
предел при с->-—п. Тогда из (5.1), (2.32) следует, что
lim _JL f(Gi у, с; 2) = z"+‘F(a +/г + 1,
Г(с) (П+1)!
(5.3)
b + n + 1; n + 2; 2),
а доопределенное равенство (5.2) остается справедливым при всех с.
Отметим, что такой подход к устранимым особенностям дает возмож-
ность не указывать в базовой таблице искусственных ограничений типа
с#=0, —1, —2, ... для (5.2), при нарушении которых образ сохраняет
аналитичность.
К функциям, содержащим ряды 2Fi, можно прийти, если в теореме
Слейтер перебрать все такие размерности А, В, С, D векторов, для кото-
рых А + D = В + С = 2, А + В С + D, то есть 1) A=D= 1, В -2,
С = 0; 2) А = В = 2, С = D = 0; 3) А = С = 2, В= D = 0; 4) Л=В=
= C = D= 1; 5) Л = 2, В = С=1, D = 0; 6) Л=С=0, B=D = 2.
Эти типы образов Ж* (s) (4.17) в соответствии со знаком $ и положениями
Г-функций удобно обозначать символами: 1) I ]; 2) (+ + ---);
*’ Предполагается, что полюсы пе устраняются нулями от знаменателя, то есть то
с^=—п, с——п, с—Ь=£—п (n = 0, 1,2, ...).
62
3) ( + + ) J 4) ( + j ; 5) j ; 6) j . Так, например, в
правой части (5.2) образ J5f*(s) относится к типу 1) .
Поскольку замена s на —s эквивалентна замене z на 1/z, то интерес
представляют лишь первые четыре типа, остальные два после этой за-
мены к ним сводятся. Отметим, что от условия Л+B^C+Z) можно ос-
вободиться, если в качестве контура интегрирования допускать лишь
«неразгибаемые» петли L±ao. Так, для образа УС*(s) типа (++-) при
|z| < 1 следует брать левую петлю //_«,, а для (+—) при | z| > 1 следует
брать правую петлю Т+оо.
Рассмотрим подробнее тип 1) (+ ). В соответствии с пояснениями
к равенству (4.40) интеграл (5.2) при |z|> 1 можно считать также через
сумму «правых» вычетов. Тогда, если нет кратных полюсов, то есть
а—b не целое, интеграл будет равен некоторой регулярной функции
Sb(—1/z), что в силу (4.16) приведет к значению
s, а — s, b — s
с — s
(— z)~~s ds =
(-z^P’ 1-С + й'
' ’ 2 \ 1 — Ь + а
а — Ь, Ь'
с — b
1-с + 6; 1/г\
1—а+b )
(5.4)
Так как — С — D = 2>0 и условие (4.37) выполняется при
|arg(—г)|<л, то контурный интеграл (5.2) существует при всех г, не ле-
жащих на разрезе 0 <с Re z — х < оо, и является аналитической функцией
от г Внутри круга |z| < 1 он имеет представление (5.2), а вне круга вы-
ражается формулой (5.4). Значит, функции 2л(—z) и SB(—1/z), стоящие
в (5.2) и (5.4), аналитически продолжают друг друга.
Обозначим через F(a, b\ с, г) не только сумму ряда (5.1), но и анали-
тическое продолжение этого ряда в плоскость с разрезом по лучу 0<х<оо.
Тогда из (5.2), (5.4) следует равенство
F (a, b\ с, z) = Г
С,
а,
с, b — а
Ь, с —а
а — Ь
с — Ь
(—z)~aF (а, 1—с+а; 1—Ь-\-а', —
\ z
(—z)~b F ( b, 1—с+&; 1—а±Ь; —,
\ z /
(5-5)
|arg(— z)|
л.
+ Г
Эта формула является частным случаем соотношения (4.59) (при
D=l). При целом а—b в правой части (5.5) возникает неопределен-
ность (логарифмический случай), раскрываемая по непрерывности вви-
ду аналитической зависимости левой части от параметров а, Ь, с. Спо-
собы раскрытия такой неопределенности рассматриваются в конце это-
го параграфа и в начале §7.
Формула (5.5) показывает, что при больших |z| для нецелых а—Ь
функция Гаусса имеет оценку
F (a, b\ с\ z) = ^a+^z-b+O(z-a-I) + O(z-b-1), (5.6)
63
где Ль Аг — постоянные. В логарифмическом случае, когда, например,
b—а = т, т=0, 1, 2, ..., вместо z~b надо написать z~blnz.
Последние равенства раскрывают структуру правильной особенно-
сти функции Гаусса на бесконечности. Чтобы выявить характер ее осо-
бенности в точке г=1, удобно воспользоваться аналитическим пред-
ставлением функции Гаусса в виде интеграла Эйлера (1778 г.):
F (а, Ь; с, г) = Г
fe, c — b] J
ТЬ-'(1—Т)с-Ь-!(1
tz)~~ad.T, (5.7)
Re о Re b> 0, jarg(l—z)|<n, [z|<oo.
I
s, a — s, b — s
c — s
Для вывода этой формулы заметим, что образ Г
равенства (5.2) можно представить в виде произведения образов Г [s, а — s]
двух степенных функций (4.23), (1.19), (3.31), (3.12). По тео-
с — s
реме 6 о свертке Меллина такое разбиение образа Ж* (s) на два множителя
~b— s
с — s
из
эквивалентно представлению его прообраза
Ж (х) в виде интеграла (1.1) от произведения прообразов сомножителей.
Прообразом Г [s, а — s] в силу (4.23) является функция Ж t (х) = Г (а) х
X (1 +х)-а. Это соответствие справедливо, если 0 < Res <2 Re а. Прообра-
зом Г
является функция J^2 (х) = х1-с(х — 1уДь-1/Г (с — Ь), если
и Г
b — s
с — s
Re(b — s)>0, Re (с — Ь)>0. В этом можно убедиться, заменив в (3.31)
х на 1/х, b на с — Ьи «на b—s или же воспользовавшись теоремой Слей-
тер. Составив из этих функций интеграл (1.1) и совершив замену перемен-
ной 1//=т, придем в силу равенства (5.2) к формуле (5.7), где вместо z
будет стоять действительное —х(0<х<1).
Указанные выше условия на Res, при которых было выведено равен-
ство (5.7), автоматически приводят к ограничениям Rea>0, Rec>Reb>
>0. Первое из них может быть опущено, так как величина а не влияет
на сходимость интеграла, если особая точка t=1/z не лежит на [0,1],
то есть гб[1, оо) или, другими словами, |arg(l—z)|<n. При таких z и
Rec>Refe>0 интеграл (5.7) сходится и является однозначной аналити-
ческой функцией от z. Поэтому равенство (5.7), выведенное при z=—х
(0<х<1), остается справедливым для всех |z|<°°, не лежащих на
разрезе [1, оо). Оно доставляет главную ветвь многозначной функции
Гаусса. Отметим, что это равенство может быть установлено и другим
способом: если при |z|<l функцию (1—-vz}~a разложить в степенной
ряд по степеням tz и вычислить бета-интегралы, получающиеся из пра-
вой части (5.7) по формулам (3.31), (3.12), (2.32).
Так как подынтегральная функция в интеграле (5.7) аналитична по
переменной т, то величина интеграла (5.7) не изменится, если вместо
отрезка [0,1] интегрирование вести по любой простой кривой L с кон-
цами 0 и 1, не проходящей через особую точку t=1/z подынтегральной
функции и не пересекающей разреза.
Это свойство можно использовать для аналитического продолжения
интеграла (5.7) по параметрам b и с, позволяющего освободиться от
условия Rec>Refe>0 сходимости интеграла (5.7) на концах 0 и 1. Та-
кое продолжение осуществляется путем перехода к интегралу по замк-
64
, 2
а, с — о; с, -----
z— 1
(5-8)
нутому контуру, дважды охватывающему отрезок [0,1], то есть к инте-
грал} по так называемой двойной петле Похгаммера [2, 16].
Представление (5.7) позволяет вывести формулу Больца (по пара-
метру а)
F (a, b; с\ г) = (1 —z)~a F
формулу автотрансформации
F {a, fc; с, z) = (1—z)c~a~b F (с— а, с — b; с; z) (5.9)
и получить значение функции Гаусса в единице
F (a, fc; с; 1) = Г
с, с — а — Ь
с — а, с — Ь
Re (с — а — Ь)Х),
с^О, — 1, — 2, . . .
(5.10)
Для доказательства (5.8) в интеграле (5.7) достаточно совершить
замену переменной т=1—t. Равенство (5.9) получается из (5.8) повтор-
ным применением к правой части
формулы Больца, но уже по пара-
метру fc. Для вывода (5.10) доста-
точно подставить значение 2=1 в
соотношение (5.7) и вычислить по-
лучающийся бета-интеграл по фор-
муле (3.12). Условие Re (с—а—Ь) >0
обеспечит его сходимость. Еслй оно
нарушается, то функция F(a, fc; с; z)
в точке 2=1 имеет степенную осо-
бенность порядка —(с—а—Ь) (при
c#=a+fc) или логарифмическую осо-
бенность (при c—a-Fb) (см. (5.13),
(5.40)).
Равенство (5.8) осуществляет аналитическое продолжение функ-
ции Гаусса в полуплоскость Rez<l/2, где \zl(z—1)|<1. Комбинация
формул (5.1), (5.5), (5.7), (5.8), (5.9) позволяет получить полное анали-
тическое продолжение функции Гаусса в область |arg(l—г)|<л
(рис. 6). Отсюда следует, что в любой точке z плоскости, кроме точек
2 = zo = exp(±in/3), функция F (a, b; с; z) может быть вычислена с по-
мощью рядов, которые сходятся с быстротой геометрической прогрес-
сии. При z=z0 эти ряды сходятся либо условно, либо так, как ряды
Zzr‘nh, где fc>l—постоянная. Подробнее о вычислительной стороне
сказано в [51] (§ 1.9).
Выведем представление функции Гаусса в окрестности особой точ-
ки г=1. Для этого к правой части равенства (5.5) применим вначале
формулу Больца (5.8), а затем саму формулу (5.5). Так как слагаемые
правой части (5.5) переходят друг в друга, если а и b поменять места-
ми, то проследим лишь за первым слагаемым, которое обозначим
через Фь
Ф1 = Г| 1(—z)-a( 1 — l/z)-°F(a, с—b; 1—fc + a; (1—г) 1) =
fc — а, 1 + а — Ь,
fc, с — а, с— fc,
с — а — Ь
1 —fc
(1-
z)-°(z— 1)а
X
5. Зак. 216
с, , . . , , . . т, Гс, b — a, 1—b + а, а + Ь — с~
F [а, о; 1 + а + b — с; 1 — z) + Г X
L Ь, с — а, а, 1 --J-а -—с
X (1—z)~a (z—l)c~bF(c— а, с — b\ 1-|-с — а — b\ 1—z). (5.11)
Первое слагаемое правой части
функцию
нгп ] = (-1)сг
(5.11) коэффициентом при F имеет
1 ф- а — b
1 — Ь
с, с — а — b
с — а, с — b
Второй гамма-множитель, как и функция F, симметричен относительно
а и Ь, а первый множитель при сложении с аналогичным множителем,
полученным из второго слагаемого Ф2 правой части (5.5), в силу (3.14),
(2.9) дает единицу:
(—1)0 Г fb~a’ 1+а — Ч +(_ !)Ь Г R—6, 1+Ь~а =
b, 1 — b а, 1 —а
eina sin nb — eiizb sin ла _
sin (b — a)n
Таким же способом преобразуются коэффициенты при функции (1 —г)с~а~ьх
X F (с — а, с — b\ 1 + с — а — b\ 1—z). В итоге получается следующее
представление функции Гаусса в окрестности особой точки z = 1:
F (a, b; с\ z) = Г
[с, с — а — b
с — а, с — b
F [a, b; 1 + а + b — с;
1 — z)+
с, а ф- b— с
а, b
+ Г
zy—a-b р (с — а, с— J _(_ с — а—] —2), (5.12)
c^a~F b±m, т = 0, 1, 2, ..., |arg(l—z)|<n.
Из этой формулы вытекает, что при z —>- 1 для нецелых с — а — b функ-
ция Гаусса имеет оценку
F(a, b- с, z) = Т1[1 + 0(1 —z)] + Т2(1 —z)c-°-6[l +0(1 —z)J, (5.13)
где у], у2 — некоторые постоянные. В логарифмическом случае, когда
c=a-\-b±m, т = 0, 1, 2, ..., в правой части (5.13) второе (или первое)
слагаемое следует домножить на In (1—z). В этом случае соответствую-
щая формула получается из (5.12) по непрерывности (см. конец пара-
графа).
Соотношения (5.5), (5.12) показывают, что в окрестностях особых
точек z = oo и z=l функция 2F| (a, b; с\ z) относится к гипергеометриче-
скому типу. Как следует из равенства (4.59), это свойство в окрестно-
сти точки 2 = оо сохраняется и для более общих функций u+iFD((b);
(d); 2), D>1. Однако вблизи точки 2=1 эти функции имеют более
сложное поведение негипергеометрического типа" ([51], гл. 5.3).
Равенство (5.12) позволяет вывести следующее представление
функции Гаусса через интеграл Меллина—Бернса ([28], § 14. 53):
F (a, b\ с\ 1 — z) = Г
с
а, Ь, с — а, с — b
66
I i'oo
X ----- C Г [s, s + c •— a — b, a — s, b — s] z~sds, (5.14)
2л/ _2,oo
|argz|<n, |z|<oo,
где интегрирование ведется по произвольному контуру L, простираю-
щемуся от —/оо до too, лишь бы только он отделял левые полюсы
s=—п, s=a-\-b—с—п, п = 0, 1, 2, от правых полюсов s = a + n, s = b-\-
4~», н=0, 1, 2, ... Такой путь существует, если выполняются условия от-
делимости полюсов: а, 6=/=—п, с—Ь=А=—п, с—а^=—п, п = 0, 1, 2, ... Если
еще |z|<I (или \г\>1), то в качестве L можно взять левую (или пра-
вую) петлю L+oc (4.40).
Для доказательства (5.14) воспользуемся теоремой 18 при А = В=2,
C=D = 0. Условие (4.37) здесь выполняется, и по первой из формул
(4.40) несложно получить значение соответствующей функции Г[ ]SA(z)
в виде рядов, стоящих в правой части (5.12) (где z будет заменено на
1—z). Если использовать вторую формулу (4.40), то для доказательст-
ва (5.14) придется применить еще и свойства (5.5), (5.8).
Следует отметить, что интеграл из правой части (5.14) является
функцией, аналитической в секторе |arg г|<2л (4.37) всюду, в том чис-
ле и в точке 2=1, где имеет устранимую особенность. Поэтому нет не-
обходимости проводить разрез (1, оо), соединяющий особые точки г=1
и г=оо из этого сектора. Но в то же время для выделения однозначных
ветвей функций, входящих в равенство (5.14), плоскость z следует раз-
резать по лучу (—оо, 0), что и указано в (5.14).
Положив в (5.14) z=l и воспользовавшись теоремой Слейтер, при-
водящей к условию Rec<l, получим лемму Бернса ({2], 1.19 (8)).
Случаю (-'-+-) соответствует представление функции Гаусса через
интеграл по левой петле (4.40), охватывающей левые полюсы s =
= 0, —1, —2, ...:
г-, L х Г[1 — а, 1—Ь, с]
F(a, b\ с\ z) =-------------------- X
2ni
s
1 — b + s, с — s
(— z)~sds,
|z|cl. (5.15)
Если интеграл (5.15) вычислять по правой петле L+ao при |2| > 1, то он
окажется равным нулю, так как подынтегральная функция не имеет
правых полюсов Отметим, что петли L+оо в рассматриваемом случае
нельзя разогнуть в контур (—/оо, /оо), так как нарушается условие
Если в (5.15) устремить 6->1, то левая часть непрерывно перейдет
в значение F(a, 1; с; z), а для раскрытия неопределенности в правой
части следует воспользоваться формулами (3.28), (2.31), из которых
получается равенство
1 —b, s
1—6 + s
1
1—6
Г
[1 + (Ф(1)-ф(з))(1-6)] + О(1-6). <5-16)
Подставив его в (5.15) и приняв во внимание, что коэффициент правой
части, стоящий при (1—6)-1, равен нулю, легко найдем следующее
представление функции Гаусса при 6=1:
F(«, 1; <, 2)_ ГП—°. £1. f ♦(!)-W (_2)-.*, |2]< 1.
2л/ , J Г[1—а+s, с—s]
(5.17)
Формулу (5.17) несложно проверить и непосредственно, воспользовав-
шись теорией вычетов и свойством 19 из § 3.
2. Дифференциальное уравнение. В литературе большинство спе-
циальных функций обычно определяются как решения некоторых диф-
ференциальных уравнений, часто встречающихся в прикладных вопро-
сах. Таким уравнением для гипергеометрической функции Гаусса явля-
ется некоторое обыкновенное линейное дифференциальное однородное
уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками
2=0, 1 и ос, называемое гипергеометрическим уравнением-.
z(l—z) + [с — (а + b -j- 1) z] —-abu = 0. (5.18)
dz2 dz
К этому каноническому виду путем замен переменных сводится широ-
кий класс уравнений второго порядка с тремя произвольными правиль-
ными особыми точками.
Чтобы вывести уравнение (5.18), которому удовлетворяет сумма
ряда (5.1), можно провести следующие рассуждения. Если ряд (5.1)
почленно продифференцировать, то легко вывести представления про-
изводных в виде
(--Y F (а, 6; с; г) = У zfe =
\ dz ) (c)k+,, k'.
_ (а)'1(^)п р (а + п, Ь-]-п-, с 4- п; z), (5.19)
п = 0, 1, 2, 3, ...
Очевидно, что при z=0 справедливо равенство cF'—abF=0, значит,
комбинация cF'—abF должна входить в уравнение. Коэффициентом при
’г1 в этой комбинации будет выражение, равное z~' (cF'—abF )\2=0.
Подключив вторую производную F", заметим, что при 2=0 справедливо
равенство (cF'—abF) — (а —|-£> —}-1) F'=0. Следующий такой шаг
приведет к уравнению (5.18).
Если в это уравнение подставить разложения (5.19) функции u = F
и ее производных, то легко убедиться, что коэффициент при каждой
степени zk, k = 0, 1, 2, ..., будет обращаться в нуль. Так как функция
F(a, b; с; z) в круге |z|<l представима сходящимся рядом (5.1), то
проведенные рассуждения доказывают, что эта функция представляет
собой одно из решений уравнения (5.18). Другие решения содержатся в
формулах (5.2), (5.5), (5.7) — (5.9), (5.12), (5.15).
Так как уравнение (5.18) имеет аналитические коэффициенты, то
всякое его решение является функцией, аналитической всюду, кроме,
может быть, точек 2 = 0, 2=1, в которых коэффициент z(\—z) при стар-
ящей производной обращается в нуль (теорема Коши). Поскольку
уравнение (5.18) имеет второй порядок, то всякие три его решения
I должны быть связаны конкретной линейной зависимостью. Эти свойст-
ва нашли отражение в указанных выше формулах.
В окрестности особой точки 2=0 кроме ряда (5.1) имеется и другое
независимое от него решение, что позволяет выписать формулу общего
'решения уравнения (5.18) для нецелых с в виде
। u(z) = C,F(a, fe; с; z) 4- C2zl~cF (a — c + 1, b — c-J- 1; 2—c; z), (5.20)
|где Cb C2—const. Это решение станет однозначным, если выделить его
.ветвь, проведя разрез между особыми точками 2=0, 1, оо. Если с — це-
лое (например, с=1), то решения (5.20) перестают быть независимыми
и нуждаются в доопределении по формуле типа (5.3). Тогда независи-
мым от (5.1) является некоторое решение, содержащее логарифм ([2],
гл. 2.3).
Ясно, что формулу общего решения можно изменить, составив ли-
нейную комбинацию и= C1U1-I-C2U2 из любых двух названных выше
частных независимых решений щ, щ уравнения (5.18). В особых и ло-
гарифмических случаях эти решения щ, «2 могут непрерывно изменять
свою форму (см., например, (5.3) и (5.40)).
Вообще говоря, частные решения уравнения (5.18) в окрестностях
особых точек zo=O, 1, 00 могут быть представлены по формулам
M(Z)= (г —20)цу dh(z —z0)fc, u(z) = z~» V dkz~k, (5.21)
k=0 k=0
где точке zo=O соответствуют показатели ц = 0, 1—с (5.20), точке z0=
= 1—показатели р=0, с—а—b (5.12), точке z0=oo — показатели
|i = a, Ь (5.5), а коэффициенты du являются коэффициентами соответст-
вующих гипергеометрических рядов. Такая структура решений харак-
теризует правильность (регулярность) особой точки, то есть в особой
точке такого типа допускается лишь ветвление степенного или степенно-
логарифмического характера.
Чтобы линейное дифференциальное уравнение п-го порядка
dnu , , . . d"-1 и , , . . du . ,
—F А (2) ~---г- + • + fn— 1 (2) + fn (z)u0 (5.22)
dzn dzn~~x dz
1 дробно-рациональными коэффициентами fk(z), k=l, 2, n, имело
лишь правильные (регулярные) особенности в конечных точках, необхо-
димо и достаточно, чтобы все его коэффициенты допускали в этих точ-
ках полюсы порядка не выше k. Тогда порядки особенностей в этих точ-
ках, происходящие от коэффициентов fk(z) и производных u<~n~h\ сум-
марно уравновешиваются. В противном случае особая точка является
неправильной (иррегулярной, существенно особой) и указанное равно-
весие отсутствует [6].
Из вида уравнения (5.18) легко заметить, что для коэффициентов
, с —(а+ & 4-1)2 г,, ab .
Л =--------^71----(2) = — —'------------------- (5-23)
2(1— 2) 2(1—2)
условие правильности выполняется во всех конечных точках плоскости.
Для проверки правильности точки £о=оо в уравнениях (5.22), (5.18)
следует вначале совершить замену z=l/g, а затем рассмотреть точку
go=O. Если она правильная, то и точка zo—ca для исходного уравнения
будет правильной.
Примером неправильной особой точки является точка zo = 0 в
уравнении z2u'+tz = 0, общее решение которого имеет вид u = Cei/z. Оче-
видно, что при г=0 такая функция и имеет существенную особенность
(если С#=0).
В окрестности каждой правильной особой точки z0 уравнение (5.22)
имеет л частных решений вида (5.21), где показатели ц — корни неко-
торого многочлена степени п. Если все эти корни не отличаются на це-
лые числа, то частные решения вида (5.21) независимы. В противном
случае к независимым решениям вида (5.21) следует добавить еще ре-
шения, отличающиеся от (5.21), вообще говоря, логарифмическими
69
множителями типа In (г—zo), Inz. Но в любом случае в окрестности вся-
кой особой или неособой точки z0 любые «4-1 частных решений связа-
ны линейной зависимостью. Независимыми могут быть только п част-
ных решений, образующих фундаментальную систему решений (см.,
например, (5.20)).
Если точка z=z0 неособая, то все решения в ее окрестности имеют
вид (5.21), где psO, то есть являются аналитическими функциями,
представимыми рядами, радиус сходимости которых равен расстоянию
от z0 до ближайшей особой точки уравнения. В любом случае все реше-
ния уравнения (5.22) являются аналитическими функциями, поэтому
ряды (5.21), их представляющие, допускают аналитические продолже-
ния за пределы кругов их сходимости.
Все эти общие замечания были промоделированы на примере реше-
ний уравнения Гаусса (5.18). Они в полной мере переносятся и на об-
щие функции гппергеометрического типа SA(z), SB(l/z) (§ 4). Для
этих функций, как ранее отмечалось, соответствующее уравнение (5.22)
имеет порядок n=max(X+D, В + С) и две (или три) особые точки в
зависимости от величин А, В, С, D.
Например, рассмотренная в § 4 функция и0(z) = BFD((b); (d); —z)
является одним из решений обобщенного гипергеометрического уравнения
порядка D 4-1 ([2], §4.2(2)):
— П
dz
m=l
u= 0. (5.24)
Фундаментальная система решений этого уравнения в общем случае, когда
ни одна из величин dh, bh—bjt dh—dj не является целым числом, состоит
из функции u0(z) и D функций вида
чт (*) = z1—dm bFd (1 4- (b) — dm; 2 — dm, 1 4- (d)'— dm; — z),
(5.25)
m = 1, 2, .. ., D.
Если вернуться к уравнению (5.18) и его решениям, то можно обратить
внимание, что замены типа z = 1 /£, z = 1 — £ опять приводят к уравнению
Гаусса, но с другими коэффициентами и с новой функцией f(Q, где
U(z) = £“(1 —0₽/(С), а, р —const. (5.26)
Эти замены осуществляют перестановки особых точек 0 и оо (0 и 1)
местами.
Вообще, существует 6 = 3! возможностей расположения трех точек
0, 1, оо в трех местах. В соответствии с этим имеется шесть дробно-ли-
нейных подстановок:
2 = с. I-С, Г1. (1-С)_1> 1-Г1, £(£-1)4 (5-27)
переводящих указанные точки друг в друга и образующих группу.
Строение этой группы преобразований, связанной с гипергеометриче-
ским уравнением, в 1856 г. изучил Риман, установивший, что сущест-
вуют 24 частных решения уравнения (5.18), имеющих вид (5.26), где
/(£)— функция Гаусса с некоторыми параметрами. Полный список
этих решений был составлен Куммером в 1832 г. Восемь из них приве-
дены выше, а остальные могут быть легко получены из этих восьми с
помощью формул Больца и автотрансформации (5.8), (5.9).
3. Частные соотношения и случаи функции Гаусса. Помимо ра-
|70
венств, связывающих частные решения уравнения (5.18), для функции
Гаусса справедливы еще 15 соотношений, называемых рекуррентными,
которые связывают функцию F (a, b; с; z) с пятнадцатью парами функ-
ций, образованными из шести смежных с F функций: F(a±l, b; с\ z),
F(a, 6±1; с; z), F(a, b\ с±1; z). Примером такого соотношения явля-
ется равенство ([2], гл. 2.8)
cF(a, 6—1; с; z) -|- (а — b)zF(a, b; c-f-1; z) =
~cF(a— 1, b', c\ z). (5.28)
Коэффициенты всех этих формул являются линейными функциями от z.
Если параметры а, Ь, с функции Гаусса связаны некоторыми линей-
ными соотношениями, то для такой функции осуществимы специальные
преобразования, называемые квадратичными ([2], § 2.11), например
F(a, 1—а; с; z) = (1 — z/-1 F((c—а)/2, (с+а—1)/2; с; 4z(l— z)). (5.29)
В заключение приведем список основных частных случаев функции
Гаусса и рассмотрим пример ее поведения в логарифмическом случае
с=а + Ь:
(1 — z)~a = F (а, Ь; Ь\ г), (5.30)
ez=limF(l, b; 1; z/b), (5.31)
оо
ln(l+z) = zF(l, 1; 2; — г), (5.32)
In 1 +г =2zF(l/2, 1; 3/2; z2), (5.33)
1 — z
(1 +yrr^)1-2o = 21-2aF(c, a—1/2; 2a; z), (5.34)
arcsin z = zF (1/2, 1/2; 3/2; z2), (5.35)
arctg z = zF( 1/2, 1; 3/2; —z2), (5.36)
cos (v arcsin z) = F (v/2, —v/2; 1/2; z2), (5.37)
sin (v arcsin z) — vzF ((1 -f- v)/2, (1—v)/2; 3/2; z2), (5.38)
F(—n, b- c; z) = (1 — z)c~b z‘~c —— (—z)M. (5-39)
(f)n V dz /
F(a, b\ a-]-b-, z) = [B(a, ft)]-1 X
X/ —ln(l-z)-F(a, b; 1; 1 — z) + V (fe)n^n (1 — z)"l =
I (0n«! Ui
=-------- In (1 — z) 11 + 0 (---M , (5.40)
В (a, b) ( \ ln(l —z) / J
^n = 24(«+ 1) —ф(а + п)—ф(6-Ь л), jarg(l — z)| <л,
a, b=/z0, — 1, —2, ...
Доказательства первых трех формул были получены ранее (см.
(4.4), (4.7) и замечание 2 на с. 50). Следующие также устанавливаются
без особых затруднений, если использовать формулу Лежандра (3.17).
71
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
*
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
u инь доказательство (5.40), так как логарифмические
случаи часто встречаются в приложениях. Прежде всего отметим, что
при а = й=1 выполняется свойство /г„ = 0 и формула (5.40) переходит в
(5.32).
Покажем, что формула (5.40) непрерывно получается из (5.12) при
с=а + Ь + е, если е->0. Для этого подставим с=а + Ь-\-е в формулу
(5.12) и выделим главные члены правой части. Так как левая часть не-
прерывна при е->0, то и правая будет непрерывной, а поэтому стоящая
там неопределенность типа оо—со раскрывается. Поскольку Г(е)~1/е
при е—>-0, то для раскрытия неопределенности в числителе достаточно
выделить лишь члены, содержащие е, а члены порядка е2 можно отбро-
сить (мы их обозначим через +•••)
Из формул (2.32), (2.33), (3.28), (2.7), (4.6) легко найти, что
Г(е) ~ 1/е + ф(1) + ..., Г(а +е) = Г(о)[1 4-ф(а)Е + ...],
(a + £)h — (а)ь[1 +ф(а +/г)Е —ф(а)е ф ...], (5.41)
(1 — z)E = 1 -ф е In (1 — г) -ф ...
Записав правую часть (5.12) через ряды (5.1) и подставив туда эти разло-
жения, получим выражение, имеющее структуру (А£-|-В)(С + De) —
— (А/е + (С + D,e) ф (В — В() С + A (D — D,), а именно
Е-0
— + Ф0) + • - -1 X
£
F (а, Ь; а -ф b е; z) =
а ф- b
а, b
[14-Ф (° + Ь) £ -ф
X Г
.. .] [1— ф(й)е 4- ...] [1— ф(а)е-ф ...IX
(i_zr[1 + s,(1+fe)e_^(i)e+ ...] +
Z'o (Un”!
+ [---- + ф(1)+ ..
£
а 4~ b
а, b
[14-ф(а4-Ь)£4-
Г
X [1 + £ 1п(1 — г) 4- ...] X
х у (Ь)Д1+ф(Ьфп)Е—ф(6)е+ ](а)п[1+ф(а4-п)£—ф(а)£+ г)"
io (1)п1М-4,(1'И)е —ф(1)£ + • - •] »!
(5.42)
После раскрытия скобок и перехода к пределу выводится доказываемое
равенство (5.40).
При некоторых соотношениях между параметрами функция Гаусса со-
держит, в частности, функции и многочлены Лежандра Dy(z), Qv(z), (z),
многочлены Гегенбауэра C^(z), Чебышева Trl(z), Ur,(z\ Якоби P^'^(z),
полные эллиптические интегралы К (/г), E(fc), неполную бета-функцию
Вх(р, q) и другие важные специальные функции (см. §11).
Таким образом, каждая формула для функции Гаусса позволяет полу-
чить множество соотношений для ее многочисленных частных случаев. Боль-
шинство формул § 10 относится к непосредственным частным случаям этой
функции. Все они получаются с помощью базовых равенств (5.2), (5.14),
(_i_ Ч- \ — \
j , I I, и раз-
I
| 72
I
личных перечисленных выше преобразований функции Гаусса. Большое числи
формул порождается квадратичными преобразованиями и соотношением
Больца.
Практически все остальные формулы базовой таблицы относятся к
различным частным случаям вырожденной гипергеометрической функ-
ции и к функциям Бесселя, которые сами являются конфлюентными
частными случаями функции Гаусса.
§6. вырожденная гипергеометрическая функция.
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ И ФУНКЦИИ vFn
1. Вырожденная гипергеометрическая функция обычно определяет
ся как сумма ряда Куммера (1837 г.):
.F. (а; с; г) = Ф (а, с, z) = V .
(6-1)
Этот ряд, соответствующий случаю p = q—\ общего ряда (4.11), схо-
дится при всех |z|<oo, а на бесконечности имеет существенно особую
точку (если он не обрывается в многочлен). Очевидно, что
ег = /о(2)= Л(а; a; z).
(6-2)
Эта функция может быть получена из функции Гаусса (5.1) путем сли-
яния двух особых точек последней, то есть с помощью конфлюенции
(§ 4). Для этого заменой z на z/b в формуле (5.1) особенность из еди-
ницы смешается в точку z = b, а затем переходом к пределу при 6—>-оо
эта особенность устраняется в бесконечность:
^(а; с; z) = lim 2Ff (a, b; с\ zjb). (6.3)
Операция конфлюенции позволяет без затруднений переписать соот-
ветствующие формулы § 5 для случая функции Куммера. Так, уравне-
ние (5.18) примет вид вырожденного гипергеометрического уравнения
Куммера:
га" + (с—z) и'—аи = О, (6.4)
формула (5.20) сведется к формуле его общего решения для нецелых с:
u(z) = CllFi(a\ с\ z) + C2z1-CiFl(a — с T- 1; 2 — с\ г),
формула Больца (5.8) перейдет в формулу Куммера:
lFl (а; с\ г) = ег tFt (с — а; с; — z).
а интеграл Эйлера (5.7).— в интеграл Лапласа:
lFl (а; с; г) = Г
( егтта—1 (1 —т)с~а—1 di,
(6-5)
(6.6)
(6.7)
С I
1Ф С—а\ Ь
Rec>Rea>0.
Известно, что всякое однородное линейное дифференциальное урав-
нение с коэффициентами, линейными относительно независимой пере-
менной, может быть проинтегрировано с помощью интеграла Лапласа
73
_____________. .._........ уравнения выражаются через вырожден-
ную функцию Куммера.
В соответствии с теоремой Слейтер функцию Куммера, как и функ-
цию Гаусса, можно эквивалентно определить через интеграл Меллина—
Бернса
Г
а
1
/i (а; с; z) =
2m
s, а — s
с — s
(— z)~s ds,
(6.8)
|arg(—z)|<n/2, а=#0, —1, — 2,
где интегрирование ведется по пути, отделяющему левые полюсы*’
5 = 0, —1, —2, ... от правых s = a, а+1, ..., и допускается левая петля
L_oo. Эта формула также получается из (5.2) с помощью конфлюенции.
Условие на аргумент следует из (4.37) и может быть ослаблено лишь в
1 случае интегрирования по левой петле. При с—0, —1, —2, ... левая
! часть (6.8) доопределяется по непрерывности таким же образом, как и
| в формуле (5.3).
। Выражение Г[ ] из формулы (6.8) относится к типу(^7~). К функци-
1 ям Sa(z), содержащим функцию Куммера, можно прийти также, если
i найти прообразы типов (+-!—), (t1) или (+-). Например, случаю (+4—)
соответствует равенство
-1_ ‘f-rp, 1-C + S, 1-с
2ш’ • а, а — с4-1 а — с 4- 1
— too L ’ 1 J L ’
lFi (а\ с\ г) +
с— 1
а
/Да — с + 1;
2 — с; г) = Ф (а, с; z),
(6.9)
|argz|<Зл/2, а — сф-1, а=^0, —1, —2, ...,
)де интегрирование ведется по пути, отделяющему левые полюсы
£=—п, s—c—1—п от правых s = a+n, n=0, 1, 2, .... и допускается ле-
вая петля L-oo.
Полученная функция Ф (a, с; z) была введена Трикоми в 1927 г.
Она, как и /Да; с; z), в силу (6.5) является некоторым частным, не-
зависимым от /Да; с; z) решением j равнения Куммера (6.4). Инте-
гральное представление этого решения в виде интеграла Трикоми
Ф(а, с; z)= —Rea> 0, Rez> 0, (6.10)
! r(a)J
.есложно вывести способом, примененным в § 5 при доказательстве
формулы (5.7). В самом деле, разбив образ на произведение (++-) =
(=(+)(+-), в качестве прообразов множителей T(s) и Г[1—c-f-s, а—s]
рзьмем функции
J5f1(x) = e-S ^2(т) = Г(1+а-с)т‘-с(1+тГ-“-’.
ели теперь составить интеграл (1.1) и заменить в нем t на \jt, а х на z,
ez>0, то получится формула (6.10).
Если с=п+1, п—0, —1, —2, ..., то в формуле (6.9) наблюдается
фарифмический случай, раскрываемый по непрерывности тем же ме-
дом, каким была выведена формула (5.40).
*’ Предполагается, что с=/=—п, с—аф—п (n—G, 1, 2, ...).
Следует отметить, что, как установил Эрдейи (1939 г.), функция
Трикоми может быть получена из функции Гаусса с помощью конфлю-
енции по знаменателю
limF(a, b\ с\ 1—cfz) = za}¥ (а, а — &ф-1; z). (6.11)
С—► оо
В соответствии с теоремами 18, 21 и равенствами (6.8), (6.9), (6.6)
при z->0 или оо функции Куммера и Трикоми имеют следующее
поведение: при z—Ф)
Л(а; с; z)= 0(1), (6.12)
T(a, с, z) = 0(l) + 0(|z|,-Ref), с=И=1, W(a, 1; z) = O(ln|z|),
при z—>-оо
Л (a; c; z) =
10((-z)~“),
(0 (ezzQC),
Rez-»— co.
Re z -> + °0.
'F(a, c, z) = 0(z-fl),
|arg z|<3n/2.
(6.13)
Последние оценки можно уточнить, если воспользоваться формулой (4.43).
В самом деле, образовав с помощью (6.8), (6.9) соответствующие суммы
правых вычетов SB(l/z), которые приведут к расходящимся рядам типа 2F0,
в силу (4.43), (6.6) получим следующие асимптотические соотношения
([2], §6.13):
л (a; с; z) ~ Г
с — а
(e±niz)~a 2F0 (а, 1 ф- а — с; — 1 /г) ф-
+ Г
С
а
ezza~c 2F0(c — а,
1—a; 1/z),
|argz| <л,
Imzs~0; (6.14)
Ч*1 (а, с; z) ~ z~a 2F0 (а, 1 ф- а — с\ —1/z),
|argz| < Зл/2.
Если совершить конфлюенцию над формулой (5.15), то придем к сле-
дующему представлению функции Куммера в виде интеграла от образа, от-
носящегося к типу | ) :
\ф- —/
Л (а; с; z) =
Г[с, 1—а] г г
2ш J
ь—оо
S
1 — а ф-*«, с — s
z~sds,
|z|<oo. (6.15)
Здесь интегрирование ведется по петле , охватывающей полюсы s = О,
— 1, —2, ... в положительном направлении. Эту формулу можно вывести
и другим способом, воспользовавшись равенством (4.40).
Если в (6.15) перейти к пределу при а—>1, то получим соотношение
Л(1; с; z)= f \(S)- z-ds, (6.16)
2л1 J Г (с — s)
связанное с (5.17) через конфлюенцию. В частности, при с= 1 из (6.8),
(6.16) имеем следующие представления функции е2:
i ОО
ez = —-— С Г (s) (— z)~*ds, Re z < 0,
2ni J
75
е2 =------------- С Г S 1 z Sds =
2i sin (лс) J [1 — c + s, c — s J
L—oo
2л i J Г(1 —s)
(6.17)
Через функции и ¥ выражаются функции Уиттекера'.
2Их,и(г) = e~zl2zcl2J\(a\ c\ z), a = —+|t —x, c = 2p+l,
(6.18)
ITx[1(z) = e~z/2zCl2y¥(a, c, z).
Частными случаями вырожденной гипергеометрической функции и функции
Трикоми (с точностью до элементарных множителей) являются: ег, функции
Бесселя Jv (z), lv (г), H{J} (z), Kv (z), Yx (z), интегральные экспоненты и
логарифм Ei(z), Ei(z), li(z), интегральные синус и косинус Si(z), si (z),
Ci(z), интегралы вероятности Erf (z), Erfc(z), интегралы Френеля S(z),
C(z), S(z, a), C(z, а), неполные гамма-функции у (a, z), Г (a, z), функции
параболического цилиндра Dv(z), ортогональные многочлены Эрмита и Ла-
герра Нп (z), Ln (z) и некоторые другие функции. Соответствующие фор-
мулы приводятся в перечне обозначений (§ 11).
2. Функции Бесселя (цилиндрические функции) определяются на основе
ряда
°° JL
0Fi (с; z) = —— = lim фц (a; с; z/a), (6.19)
(c)ft£! о-®
s=o '
представляющего собой целую функцию.
Этот ряд можно получить, воспользовавшись теоремой 18 в случае
Л=£)=1, B = C=Q:
1
0Fi(c; — z) =
1
2л i
z Sds.
(6.20)
Левую петлю L-oo, охватывающую левые полюсы s=0, —1, —2, ... (при
с=/=0,—1,—2, ...), можно развернуть в контур LlOO, идущий от у—foo
до у-ы‘оо, лишь в случае, когда г действительно и z = x>0, а 2y<Rec,
то есть выполняются условия теоремы 18, соответствующие случаю
АцB = C+D. Если Rec>0, то в качестве контура LIOO можно брать
прямую Res—у, где 0<y<Rec/2.
Из теоремы 21 несложно установить главный, член асимптотическо-
го разложения функции (6.20) на бесконечности:
[r^r’oFjc; -z)
л_1/221/4_с/2со5(2у<-_
— лс/2 + л/4), |arg z| < 2л.
(6.21)
Формулы (6.20), (6.21) при с = 0, —1, —2, ... следует понимать в
предельном смысле, доопределив их левые части по непрерывности так.
как это делалось в (5.3).
76
Функциями Бесселя комплексного порядка v называются
«определяемые формулами
j (г} = y(-»)W+v = 1 х
vU XJ *!Г(/г + г+1) Г(у+1)
к—О
Л,(2) = l^v(z)c°snv—
sin nv
У„(2) = lim Yv(z) (n = 0, ±1, ±2, . . .),
v->n
H{vi} (z) = Jv (z) - (- 1)HYV (z), / = 1,2,
ZvU) =
(z/2)2H-v
'kW(k + v 4П)
= e-ivlt/2Jv (zein/2).
Kv (z) = —— 1/_г (z) - /v (z)],
2 sin nv
Kn{z) = limA\,(z) (n = 0, ± 1, ±2, . . . ).
v-+n
функции,
(6.22)
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
Функцию Д.(г) называют еще функцией Бесселя первого рода, функцию
Vv(z) — второго рода или функцией Неймана и часто обозначают через
A7v(z); функции Н[п (г) называются функциями Бесселя третьего рода или
функциями Ганкеля. Остальные две функции (7v(z), Kv(z)) называются
модифицированными функциями Бесселя'. Iv(z), —функцией первого рода или
функцией Бесселя мнимого аргумента, а Л\, (г) называют еще функцией
Макдональда.
Для выделения однозначной ветви функций (6.22) — (6.26) обычно
проводится разрез от —оо до 0 вдоль оси у=0, то есть полагается, что
]argz|<rt.
Все перечисленные функции определяются па основе ряда 0Fi (с; г)
и являются частными решениями двух дифференциальных уравнений
Бесселя: основного
и" + — и' + I 1------) и = О (6.27)
Z \ Z2 /
(его решениями являются функции w(z), равные 7±v(z), Yv(z), H['\z)) и
модифицированного
и" + —и' — I I + —'j и = 0 (6.28)
Z \ Z2 /
(его решениями являются функции и (г), равные f±v(z), Av(z)). Второе
уравнение получается из первого после замены z на iz, осуществляющей
поворот комплексной плоскости на прямой угол. Оба уравнения четны от-
носительно v и z и имеют по две особые точки: правильную при z — 0 и
существенно особую при z= оо. Уравнение (6.27) может быть получено из
уравнения Гаусса (5.18) путем двух конфлюепцнй по а и b с последующей
заменой c = v -f- 1 и функции и (г) на T(v+ I) i~vz~v/2u(2 У—z) или же
77
путем одной конфлюенции по b с последующей заменой с — 2а = 2v -|- 1
и функции u(z) на 22vivr(v + l)z~yez/2u(z/(2i)).
Функции J±v(z), Y±v(z) и /±v(z) являются независимыми решениями
соответствующих уравнений (6.27), (6.28) при всех v, за исключением це-
лых, для которых справедливы равенства
I J_n(z) = (-l)"J„(z), П_П(2) = (-1)"УП(2),
(6.29)
1 7_n(z) = 7n(z) (п = 0, ±1, ±2, . . .).
Однако в этих логарифмических случаях независимыми от Jv (z) (7V (z)) ре-
шениями являются функции Kv(z) (Kv(z)), которые устроены так, что
, возникающие в (6.23), (6.26) при v = п неопределенности могут быть рас-
крыты по непрерывности. Таким образом, общие решения уравнений (6.27),
(6.28) имеют соответственно вид
I u(z) = CtJv(z) + C2rv(z) (u(z) = C1/v(z)+C2Kv(z)), (6.30)
где Сь С2 — const. Причем вместо указанных функций в формулах
(6.30) можно брать любые другие независимые частные решения.
Функции Бесселя — наиболее часто употребляемые и хорошо изу-
ченные высшие трансцендентные функции. Для них составлены различ-
ные таблицы, что в гораздо меньшей мере относится к более общим
функциям Гаусса и Куммера. Благодаря широкому применению функ-
ций Бесселя при изучении уравнений математической физики в цилин-
1 дрических областях, эти функции часто называются цилиндрическими.
Как следует из формулы (4.10) для cos z, аналогичной формулы
для sin z, формул Эйлера (2.9) и определений функций Бесселя по-
I следние в случаях v=±l/2 совпадают с элементарными:
I ___
J1/2 (Z) = К_1/2 (z) = 1 / sin Z,
I У' J
I .--
J_l/2(z) =—K1/2(Z)= 1/ -J-COSZ,
Л/2(г)=1/ ^-shz, /_1/2(z)= 1/ -^chz,
Воспользовавшись рекуррентной формул ш
zJy+i (z) = 2VJy (z) — zJv_! (Z),
(6.31)
(6.32)
несложно показать, что все бесселевы функции
= ±^ + 1/2, п=0, 1, 2, ..., также представляют
функции, получаемые на основе функций (6.31).
Iдругих значениях показателя v функции Бесселя
। являются.
с показателями v=
собой элементарные
Доказано, что при
элементарными не
В соответствии с формулой (6.20) функция /v(z) может быть экви-
валентно определена через интеграл Меллина—Бернса ([2], § 7.3 6
Г>:
I 4jti J ц 1 —{— (v — s)/2 J \ 2 j
V—i°°
№
z = x^>0, —Rev<T<l-
(6.33)
Причем ограничение на у и условие вещественности z можно снять,
если интегрирование вести по левой петле £_«>, охватывающей полюсы
s =—v—2n, п = 0, 1, 2, ...
Аналогично функция Iv(z) определяется интегралом
——------ Г v ’ X
4tsin(nc) J [1 +(v — s)/2, c + (v-i s)/2, 1—c—(y-\-s)!2
( 2 \—s
X I — j ds, |z|<oo, (6.34)
где с произвольно, а левая петля охватывающая полюсы s=—v—
—2n, n = 0, 1, 2, ..., не может быть развернута в контур Lico. В случаях,
когда с=0, ±1, ±2, .... правую часть (6. 34) следует доопределять по
непрерывности.
Подставив равенство (6.33) в определение (6.23) и воспользовав-
шись формулой дополнения (3.14), несложно вывести интеграл Мелли-
на—Бернса для функции Yv(z):
П(г) = -
_1_ Г г (v + s)/2, (s v)/2 l/И Js, (6.35)
4л< J [(1— v + s)/2, (1 +v — s)/2]< 2 I
где петля £-«> охватывает полюсы s=±v—2п, п = 0, 1,2, ...
К функции Kv(z) можно прийти, если искать прообраз образа J$f*(s),
относящегося к типу (++). В самом деле, из теоремы 18 в случае А = 2,
В = С=£) = 0 вытекает, что при |argz|<n справедливо следующее
представление функции Макдональда через контурный интеграл:
V-J-ioo
Б,Х(2.У z) — —?— С r[v/2 + s, — v/2 + s] z~sds, y>|Rev|/2,
4л t J
y—lao
(6.36)
причем в качестве контура интегрирования можно брать также петлю
£-со, охватывающую полюсы s=±v/2—п, п=0, 1, 2, ...
Поведение функций Бесселя при z->-0 легко установить из опреде-
ляющих их формул
Jv(z) = O(zv), /v(z) = O(|z|Rev); Kv(z) = 0(|z|-1Revl), v^O;
(6.37)
7Cv(z) = O(|z|~,Revl), v#=0; r0(z) = O(ln|z[), (z) = O(ln |z|).
Асимптотику этих функций на оо несложно вывести из формулы
(6.21) или из теорем 19—21, применяемых непосредственно к соответ-
ствующим интегралам Меллина — Бернса:
J (z)1 f—— cos I z — — (2v + О
v' ’ \' nz 4
Г 2
Sin
Л ']
z-T(2v + l)| .
|argz| <л,
(z) ~ l/"e~-, |arg z| < Зл/2;
(6.38)
У(z) ~ ydsTe*' ~ я/2 <arg 2 <Зл/2-
Последние формулы показывают, что Jv(x) и Yv(x) на бесконечно-
сти ведут себя как затухающие синусоиды и убывают как х-1/2, а функ-
ции Kv(z), Iv(z) при действительных z=x->+oo имеют экспоненци-
альный порядок убывания и роста соответственно.
Для функций Бесселя можно вывести различные интегральные
представления, аналогичные интегралам Эйлера, Лапласа и Трикоми.
Например, /v(z) можно представить в виде интеграла Мелера — Сони-
на ([2], § 7.12(12)):
/1 \ 2 / 2 V
Г1-----v I Jv (z) = —_-I — I I (т2— i)-v-i/2sin (Tz)dr, |Rev|<l'2.
\ 2 J у л \ z / J
(6.39)
Для доказательства достаточно в формуле (1.18) положить v=l;2,
2/}x=z, / = т2 и р = 1 /2—v, воспользовавшись при этом свойством
Г(0)=оо и определением (6.22).
Аналогичным образом можно вывести представление A(z) в виде
«интеграла Пуассона ([2], § 7.12 (8)):
1
(1—^v—1/2 cos (tz) dr, Rev>—1/2,
(6.40)
представление Yv(z) в виде интеграла Сонина ([2], §7.12 (13)):
I I \ 2 I 2 V Г
Г 2--V yv(z) = —(t2-1)-v-./2x
\ 2 } У л \ z / J
i
Xcos(Tz)dr, jRev|< 1/2, (6-41)
и определить функцию Струве Hv(z) через интеграл, симметричный послед-
ним трем ([2], §7.5.4(49)):
1
2 / z V Г
r(l/2 + v)Hv(z)=-7= - (l-r2)v-i/2x
У л \ 2 / J
о
Xsin(Tz)dT, Rev>—1/2. (6.42)
Интеграл, определяющий Hv(z), был рассмотрен в § 1. Положив в (1.11),
(1.15) v = 1/2, 2Длх = z, t = т2, p = v+l/2 и воспользовавшись оп-
ределением (6.42), легко получим следующее представление Hv(z) через ряд
Л ([2], §7.5.4(55)):
r(v + 3/2)Hv(z) = 2/yn(z/2)v+1 * * * У1F2(l; v + 3/2, 3/2; — z2/4) . (6.43)
Следует также отметить, что формулы (1.4), (1.10) можно трактовать
как одно из интегральных представлений функции Макдональда Av(z), z =
= 2)^7 ([2], §7.12(23)).
С функциями Бесселя связаны некоторые специальные функции, вы-
ражающиеся через ряд iF2(a; сь с2; z) и обладающие схожими свойст-
во
вами: функции Ангера iv(z), Вебера Ev(z), Струве Hv(z), Lv(z), Лом-
меля 5ц x(z), v(z) и другие. Определения этих Функций приведены
в [2] (§7.5) и§ 11.
3. Функции 0Fn(ci, с2, .... сп; z), п = 2, 3, ..., являются обобщениями
ряда oFt(c; г), через который определяются все функции Бесселя. По-
этому естественно, основываясь на рядах oFn, строить теорию более
общих гипербесселевых функций. Такие функции еще недостаточно
изучены и мало отражены в литературе [36]. Но так как через ряды i,Fn
выражаются значения многих интегралов, вычисляемых излагаемым
здесь методом, то будет весьма полезным кратко остановиться на эле-
ментах теории этих рядов, которые следуют из § 4.
Функция oFn определяется как сумма ряда (4.11) при р=0, q=n:
=/= — I, I = 0, 1, 2, . . . , i = 1, 2, .... n,
и представляет собой целую функцию переменной z. Ее можно также
эквивалентно определить через интеграл Меллина—Бернса
0Pn(Ct, с2, , Сп\ —z) = 1
Г [с,, с2, ... , св] 2лг
S
Sy С<^ Sy
(6.45)
взятый по левой петле £-<», охватывающей полюсы s = 0, —1, —2, ...
Главный член асимптотического разложения этой функции на беско-
нечности можно получить из теоремы 21 после несложных выкладок:
oF„(ct, с2, . . , сп; г) ~ 1
Г [ср с2, . . . , сп] 1Лг + 1(2л)п'2
X ехр[(н ф- 1)г1/<”+1)] z», t, = (п/2 — /.)(п 4- 1) 1,
/г>0, |argz|<n, ^ = 2 Ci' И-*'00»
i=l
О^п (П* ^2> • •
Г [Сц с2,
• . cn-, —z)_______2
- - , сД ~Vn+l(2n)"/2
(6.46)
exp (n + 1) z1 '(л-Н) x
л
X cos------
n 4- 1
соб{л£ + (« + 1) sin [л (n 4- 1) ‘] z1/<"+1)},
n = 2, 3, . . . , argz = 0 (или n = 1, |argz| < 2л).
Из последней формулы следует, что функция oFn(—х), /г>1, при
х—>+оо экспоненциально растет.
При с, = —I, 1=0, 1, 2, ..., последние формулы следует понимать в пре-
дельном смысле, доопределив их по непрерывности, как это делалось в
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет функция
(6.45), можно получить из общего уравнения ([2], § 5.4 (1)) для G-
функции Мейера, положив там y(z) =uc(z) = Go’,n+i (z|0,l — ct, ..., 1—с„),
или из уравнения (5.24) при В = 0, D = n, (d) = (c):
ГТ f z ——(- q — 1 и + и = 0. (6.47}
dz 1 1 \ dz )
t=i
Это уравнение имеет две особые точки: правильную (z = 0) и непра-
вильную (z = oo).
Фундаментальная система из п+1 линейно независимых решений
этого уравнения в окрестности правильной точки z=0 включает функ-
цию «о(г), равную (6.45), а также и функций вида
ыг- (г) =
. сп — sj
2i_c. oF»(2 —<+ 1—с<+(с)>; —г)
Г[2—сг, 1—сг + (с)']
1=1,2............п. (6.48)
Если п = 0, то уравнение (6.47) принимает форму u'+u = 0 и имеет
решение u~Ce~z, С—const. При п=1 уравнение (6.47) записывается
в виде
zu" + си' + и = 0, (6.49).
а далее может быть преобразовано к уравнению Бесселя (6.27). Все
решения (6.49) в случае с#=0, ±1, ±2, ... представимы формулой
1 г*-с
u(2) = ClT(^ofl(c; ~2) + Сгг(Г=0оГ1(2_с:
— 2),
(6.50)
где Ct, С2 —const. В особых логарифмических случаях, когда с-= 0, ± К
± 2, . . . , независимым от u0(z) = Jk_t(2}/rz) z(1~k^2, с = k, k= 1, 2,
3, . , . , решением будет функция
- . . .. u0(z) + (—l)ftu.(z) (—l)ft ( ,, r , ,
u, (z) = lim> = .1 . J. г[s, 1 — k + s]
c-'k c — k 2zii ,0
--OO
X cos (its) z~sds. (6.51)
Способами, излагаемыми в §7, можно доказать, что при k = 1, 2, 3, 4, ...
~ (— l)lzl
Ui (2) = У (TZT- 1~)!Л 11п 2 ~ {k + ° “ (/ +1 }| ~
^0 ' ''
k~2
— У} zl+t~k = z('-ft>/2. (6.52)
1=0
Общее решение уравнения (6.49) при c=k, k=\, 2, 3, ..., представ-
ляет собой линейную комбинацию функций u0(z) и ili(z).
82
§7. ХАРАКТЕРНЫЕ ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ИНТЕГРАЛОВ
В предыдущих параграфах было рассмотрено несколько примеров
вычисления интегралов (1.4), (1.11), (118), (5.7), (6.10), которые дают
возможность в общих чертах освоить настоящий метод вычисления ин-
тегралов Другие подобные примеры содержатся в работе [21], где, в
частности, подсчитано свыше полусотни интегралов, отсутствующих в
справочниках [3, 7].
Однако на практике часто встречаются интегралы, относящиеся к
логарифмическим случаям метода, интегралы от функций, содержащих
аргументы со степенями, интегралы, к которым настоящий метод удоб-
но применять в сочетании с другими приемами или повторно несколько
раз, задачи, приводящие к интегралам Меллина—Бернса (7) общего
вида, интегралы от функций, допускающих экспоненциальный рост,
или от произведений нескольких функций гипергеометрического типа и
другие особые типы интегралов. Поэтому совершенно необходимо по-
дробнее остановиться на разборе наиболее типичных примеров вычис-
ления таких особых случаев интегралов, требующих глубокого знания
теории, чтобы читатель смог освоить различные нюансы практического
использования рассматриваемого метода.
1. Логарифмические случаи возникают, если образ (4.17) вычисляе-
мого интеграла (1.1) имеет кратные полюсы. Это может произойти,
когда: 1) некоторые из параметров (а) (или (Ь)) образа (4.17) совпа-
дают между собой или отличаются на целое число; 2) некоторые пара-
метры числителя связаны условиями типа aj+bk—0, —1, —2, ...;
3) одновременно выполняются оба из указанных условий, как, напри-
мер, у функции Г [$, —s, n + s], п = 0, ±1, ±2, ...
В логарифмических случаях первого типа векторы (а)'—a, ((b)'—bh)
из формул (4.15), (4.16) содержат отрицательные целые величины или
нули, что приводит, вообще говоря, к неопределенностям, которые, как
было доказано в § 4, всегда раскрываются. В такой ситуации для вычис-
ления значения исходного интеграла допустимы два подхода: 1) после
вычисления интеграла при значениях параметров, близких к «логариф-
мическим», совершается переход к пределу, когда параметры стремятся
к «логарифмическим значениям»; 2) осуществляется непосредственное
вычисление обратного преобразования Меллина (2.49) от функции
(s) с помощью теории вычетов по формуле типа (4.28), но с учетом
наличия кратных полюсов.
Для детального разъяснения приемов вычислений в логарифмиче-
ских случаях рассмотрим несколько примеров разной сложности.
Пример 1. Вычислим интеграл (1.4) при натуральных v=n, п=0,
1, 2, ... Воспользовавшись выкладками, соответствующими примеру 1
из § 1, легко получим образ этого интеграла:
,^*(х) = Г(х, s + n], Res>0. (7.1)
В точках s = 0, — 1, . . . , 1 —п функция 74'* (s) имеет простые полюсы,
а в точках s = —п, —п— 1, . . . — двукратные. Ее прообраз J77 (х) в соот-
ветствии с первым подходом можно искать как предел регулярного прооб-
раза Ж (х) = 2xv/27<v (2]/ х ) из § 1 при v->n. Вычислим этот предел.
Положив в формуле (1.9) v = п ф- е, п эрепишем ее в виде
X (х) = Г (п ф- е) (1 — п — е; х) ф-
____________ - > —/1^-е;огД1 Д п + е; х).
(7-2)
Правая часть этого равенства при е->0 представляет собой неопреде-
ленность типа оо—оо. Для раскрытия такой неопределенности выде-
лим ее главный член при е->0. Так как п натуральное, то первые п—1
членов первого ряда (7.2) стремятся к конечному пределу. Оставшиеся
члены этого ряда с номерами k=n, n-f-l, ... и члены второго ряда могут
быть разложены с помощью формул (3.28), (5.41). При этом достаточно
выделить лишь члены, содержащие е1, а остальные можно отбросить,
так как кратность соответствующих полюсов s=—п, —п—1, ... функции
(7.1) равна двум:
Г (п ф- е) л
(1 — п —еД Г(1—n-\-k—e)sin [л (и + е)] е-»о
~ 1)п[1~еф(1 +fe—п)+ ... Г1
е-о еГ (1 -f- k — п)
хп+е = х” (1 + е In х + . . -), (7.3)
Г(-п-е) (— 1)"+*Ц-£ф(1+n + fe)+ . . -1
(1 -hn + e)he-o еГ(1 + п4-А:)
Подставив эти разложения в (7.2), получим в пределе искомое выраже-
ние для 2х'г/2Дп(2фЛх):
Ж (X) = Г (и) У + У (-W+^(l-n + fe) + -.l
y’Zi(\~n)hk\ Zi ET(l-n + k)
X + x"(l + eInx +. . .) t-C у .H-et(l+n + fe) + ...]
e Zi Г(1+п + /г)
x yi xfe[lnx — + 1) — ф (fe + n + 1)] =
Zi (n + k)\k\
= 2x"/2Kn(2/xj (7.4)
(до перехода к пределу индекс k во второй из сумм был заменен на
1 ^+п)-
Это значение можно получить и непосредственно с помощью теории
‘вычетов (второй подход). Для этого достаточно отметить (см. пример
|2 ниже), что вычеты функции Г[х, s + n]x~s в простых полюсах s=— k,
‘/г=0, 1, ..., п—1, равны (—\)k/kYT(n—k)xk, а в двойных полюсах s =
1=.—n—k, k=Q, 1, 2, ..., они равны коэффициенту при (s+n-)-k)~x = e~l
В выражении
! (— пя+* (__
ч| П + еф(1 + k + п)1 [1 + еф(1 + fe)]x”+*(l —Elnx).
| е(^4-и)! Ekl
ррименив теорему о вычетах (2.18) к интегралу (2.49), где <p*(s) =
t=r[s, s + n], т=х, без труда получим последнюю часть формулы (7.4).
4
Сопоставив описанные подходы, можно заметить, что второй значи-
тельно проще первого. Основная трудность при втором подходе состоит
в точном нахождении вычетов подынтегрального выражения в кратных
полюсах. В общем случае для отыскания таких вычетов используются
весьма сложные формулы ([53], гл. 5). Поэтому здесь для большей на-
глядности этот вопрос освещается путем разбора трех примеров вычис-
ления обратных преобразований Меллина от некоторых функций
имеющих двух-, трех- и даже n-кратные полюсы, причем по-
следний пример ввиду его особой важности для приложений вынесен r
отдельный пункт.
Второй тип логарифмических случаев, когда некоторые параметры
связаны равенствами aj + bh.—O, —1, —2, ..., соответствует совпадению
некоторых полюсов правой и левой серий. В этом случае обратное пре-
образование Меллина от J5f*(s) следует находить с помощью теории
вычетов, так как теорема Слейтер здесь неприменима.
Итак, остановимся на разборе трех упомянутых выше примеров
вычисления обратных преобразований Меллина от функций Ж* (s)
(4.17), имеющих кратные полюсы, и попутно посчитаем некоторые со-
ответствующие им интегралы.
П р и м е р 2. Вычислим интеграл (см. (4.23))
V+‘“
1 Г
Ж(г) = ------ I Г[$. — п — s]z Sds, п — 0, 1, 2, . . . , (7.5)
2л t J
7— loo
где у — некоторая действительная постоянная, причем у#=0, ± 1, ±2, ...
Как следует из замечания 2 на с. 50, при п = 0, — 1 < у < 0 интег-
рал принимает значение Ж (z) — — In (1 + г), |z| < 1 (здесь А = В = 1,
С — D = 0). Аналогично, если 0<у<;1, /г = 0, то интеграл (7.5) при
|z| > 1 можно вычислять через сумму правых вычетов в точках s = k:
Ж (z) = У Г(&)(— l)kz~k/kl = — ln(I + 1/z). Этот же результат получа-
fe=i
ется, если интеграл по-прежнему рассматривать как сумму левых вычетов
в точках s = — k, k = 0, 1, 2, . . . , но учесть, что точка s = 0 являет-
ся двукратным полюсом с вычетом Inz. Тогда —In (1-J-z) + In z =
=—In (1 -у 1/z).
Если при п = 0 выбрать —I — 1<у< — I, 1 = 0, 1, 2, . . . , то в
соответствии с замечанием 2 на с. 61 из функции —In (1 -f- z) следует
вычесть /-й отрезок ряда Тейлора этой функции. Тогда интеграл (7.5) при-
мет значение
J4f(z) = — [In(l +z)— V (_ i)fc-i2ft/^], |z|< 1, — I— 1<
fe=i
<?< — /, I = 0, 1, 2, . . . (7.6)
Пусть n = 0, 1, 2, ... и выберем —I—l<y<—I, 1=—1, 0, 1, 2, ..., n.
Тогда интеграл (7.5) можно рассматривать, с одной стороны, как сум-
му левых вычетов в двойных полюсах s=—/—1, —I—2, ..., —п и про-
стых полюсах s=—п— 1, —п—2, ..., а с другой — как сумму правых вы-
четов в двойных полюсах s=—/, —/+1, ..., 0 и простых полюсах s=l,
2, 3, ... Причем обе суммы аналитически продолжают друг друга в силу
теоремы 18.
Для нахождения этих значений интеграла посчитаем вычет функции
85
цг>, —тг— ~p~s в некотором двойном полюсе s = —k, k = 0, 1, 2, п. Вос-
пользовавшись формулой (3.30), несложно найти, что при s-*-—k
(__ И*
Г($)~ М, (ТГ11 +(* + *)Ф(!+*)]. Г(-п-$)~
k\ (s + к)
~ (- !)"-*[!-(5 + 6)ф(1+П-ф]
(и— /?)!(—s —/г) ' ’ '
Перемножив эти разложения с разложением
z“s~zft[l — (s + /e)lnz+ l/2(s +Jfe)2ln2z], (7.8)
выделим коэффициент при (s + Zj)'1, равный искомому вычету подынте-
гральной функции в двойном полюсе s=—k:
(— l)"-^^! (и — ky Г’1ф (1 -М) — ф (1 + n — k) —
— Inz], k = 0, 1, .... п. (7.9)
Вычеты подынтегральной функции в простых левых и правых полю-
сах находятся аналогично, но проще. Они соответственно равны
(— 1)*[/г!]-1Г (& — n)zk, £ = п+1, п + 2.......... (7.10)
(— 1)«+*+1 [(п + £)!]~‘Г(А!)г-Л k = 1, 2, 3, . . .
Теперь для определения значений Ж (г) остается лишь просуммиро-
вать вычеты в соответствующих полюсах:
1пг + ф(1 +n —fe) —ф(1 +fe) 2,г
k\ (п-----------ky.
Т (— z)n+1 V —,
(»+й+ !)!
и<1.
X(z) = (-
— ф (1 + п — k) — Inz
k\ (п — ky.
(7.И)
zk + (— 1)" X
'^4 k\(—z)-*-1
^<"+*+1)1
H>1
Как вытекает из общей теории, полученные функции аналитически
продолжают друг друга. Это можно непосредственно проверить при не-
которых частных значениях п и I. В самом деле, положив, например,
«=1, 1=—1 и воспользовавшись свойствами функции ф(г) ([2], гл.
1.7.1), придем к следующим представлениям правых частей (7.11):
— In Z — 1 — (In z —
V —z)fe
2^ (^+1)^ + 2) ’
2-1 (A+l)(A: + 2)
|z|>l.
(7-12)
Эти выражения являются разложениями в ряды одной функции
(1 4-z)ln(l + l/z)— 1, но в окрестностях разных точек: z = 0 и оо Если
взять п=\, 1=0, то аналогично получим два разложения функции
(l+z)ln (1+z)—zlnz, а если n = /= 1, то разлагаемая функция равна
(1 +z)ln(l 4-z) — z.
Если п = 0, 1, 2, а —п—р—1<у<—п—р, р=0, 1, 2, то подоб-
ные paccj ждения приводят к следующим представлениям значений
W:
Ж (z) = V .^-,+-Р]!(~г)1' . И<1,
^ (* + « + /> + 1)!
(7.13)
«к—h\ (__
Х(г}=(-гГ' --W+<~1’"x
Я* <* + «+1)1
k) — Ф (1 + п — k) — Inz] ,г
k\ (п — k)\
k\ (— z)-ft-1
Лн" + * + 1)!
При п = 0, р = I первая из формул (7.13) совпадает с (7.6).
Таким же образом несложно получить и значения Ж (г) при р < у <;
<Zp + 1, р = 0, 1, 2, . . . , которые для краткости здесь не приводятся.
Положив Ж\ (s) = Г (— s — ri), Ж1 (s) = Г (s) и приняв во внимание
формулу (3.11), несложно найти прообразы таких функций Ж с (s) при—I—
— 1<Т< — I, / = —1, 0, 1, . . . , п:
Ж1(т) = т"
(—j)~k/k\
(7.И)
Ж2(х) - — V (— т)*/Л!.
“о
Значит, функции (7.11) при г = х можно рассматривать как результат вы-
числения интеграла (1.1), где Ж. (т) выражаются формулами (7.14). Ска-
занное в полной мере относится и к функциям (7.13) при z --- х, если в
—р—1
формулах (7.14) положить 1 = иф/)^0 и считать сумму V равной
*=о
нулю.
В частности, при п = I — 0 (ti = 1, I = 0) из формул (1.1), (7.14), (7.11)
следуют значения интегралов
оо 1
f e~ilz(er-1 — 1) r'dt = j (1—т]г)(1п1))_,4/т| = — ln(l + z), Rez>0, (7.15)
о о
) l)(e ' — 1)/ 2dt - -- (1 + 1/z) In (1 + z) — In z. Re г >0. (7. 16)
b
Эти интегралы совпадают с частными значениями более общих интегра-
лов 3.411 (19) и 3.42 (1) из [7].
87
Замечание. Положив в (5.2) a=b— 1, с = 2, несложно из правой
части получить интеграл (7.5), где п=у=0, a s заменена на s—1. Эта
операция еще раз доказывает формулу (5.32).
Пример 3. Вычислим интеграл
V+ioo
K(z)=—-— ( Г [s, s, —п— s]z~sds, п = 0, 1, 2, . . . (7.17)
2 л i J
V—i «j
Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках $= 1, 2,...,
двойные — в точках s =—п—1, —п — 2, . . . и тройные —в точках
s =0, —1, . . . , — п. Вычеты ah (ЬЛ) этой функции в простых (двойных)
полюсах легко найти с помощью формул (3.30), (7.7), как в примере 2:
Oft(z) = (—1)"+*+^^, fe][(n + fe)!]-1?-*, k=\, 2, 3, ,
(7-18)
bh (z) = Г (k - n),(A!)-2 [2ф (k + 1) - ф (k - n) -
— lnz]zfc, k = n + 1, n + 2, . . .
Чтобы найти вычеты в полюсах третьего порядка s = 0, — 1, —2, . ..
I . . .,—п, в числителе формулы (3.30) следует учесть члены, включающие
не только е°, е1, но и в2, где е = s + k. Перемножив пополненные таким
1 же образом разложения вида (7.7) с разложением (7.8) и отбросив оста ль
ные члены, содержащие е-3, е-2, е°, е1, получим следующее значение вы-
чета cft(z) в тройном полюсе s = —k, k = 0, 1, 2, . . . , п:
| / ixn-k-lzk
I Ch^= — {1/21п2г + 1пг[ф(1-f-n — k) — 2ф(1+^)] +
i (ft!)2(n — ft)!
. +2 (2(1+£) + Зф'(1)+ 1/2[ф2(1+ п-Л)-ф'(1+п-^)]-
। — ф'(1 +k) — 2ф(1 +n-k) ф(1 +k)}. (7.19)
Таким образом, величину интеграла (7.17) при /<у</ + 1, 1 = 0, 1,
2, . . . , можно вычислить по формуле
I K(z)= V ch(2)+ v bh(z) + У, ak(z), |zj<oo,
I fe=0 ft=n+I k=l
I |argzj<3/2 л. (7.20)
Если 1= —1, —-2, . . . , то из правой части (7.20) необходимо удалить
1 последнюю сумму и слагаемые ck, bh с номерами k — 0, 1,2,..., —I—
I —1. Так как интеграл (7.17) вычисляется от образа K*(s), у которого
|Л + П = 2>В-|-С=1, то в силу теоремы 18 его можно считать лишь
1 через сумму левых вычетов.
, Из формул (7.1), (7.4) (где п = 0) и (7.14), (1.1) вытекает, что при
। I = 0, 1, 2, . . . справедливо равенство
[ 2 f (г/0л [e~</z — 2S (^!Г‘(— Ко(2К 0rldt =
О к=0
I = K(z), Rez>0. (7.21)
[где K((z) выражается формулой (7.20). Если 1 =— 1, —2, . . . , —п —
।— 1, то в формулу (7.21) вместо 2/<0(2'j/7) следует подставить величину
188
_ — I— 1
2К0(2У t)— У, [2ф(1 + k) — In /] (Л!) 2tk, отличающуюся от прежней на
л=о
отрезок вычетов (7.4) (п = 0), а из (7.20) нужно удалить слагаемые с но-
п-\-1
мерами k = 0, 1, 2, . . . , — I — 1. Причем сумма V при I = —п — 1,
fe=0
— п — 2, . . . полагается равной нулю.
Выбрав, в частности, п = 0, I = 0 (/ = — 1), получим значения двух
отсутствующих в таблицах [3, 7] интегралов
со оо
J (е-//г _ 1) ко (2 у Г) rldt = 2 12^г* + Ф (* + 1) -
0 /1=1
— lnz]zk—1/4 [In2 z ф-2ylnz + Т2 + Зф'(1)], Rez>0, (7.22}
f е~* [2K0 (21ЛГ) + 2у -h In Z ] Г*Л =
b
= V [k~l + ф (^ + 1) — lnz]zft, Rez>0. (7.23)
t=i
Здесь y=—ф(1) означает постоянную Эйлера, которая может быть
эквивалентно определена следующими равенствами ([2], § 1.1 (4)г
1-7(7)):
п
У. 1/&~1пп + у, п->оо;
оо
Т=—In tdt = — ip(l) = 0,5772 . . . (7-24}
b
Необходимость вычисления интеграла (7.17) возникает, если рас-
сматривать задачу о нахождении значения интеграла (1.1), у которого
функции имеют образы T(s) и Г[$,—п—s]. Значения таких функ-
ций в зависимости от интервала изменения Res были приведены выше
(см. формулы (7.14), (7.11), (7.13)). Так, например, при п=0, —1<
<Res<0 (0<Res<l) несложно получить величины еще двух отсут-
ствующих в таблицах [3, 7] интегралов
оо
J(e-2/r_i)in(i + oA =
о
= _ V Г2ф(6 + 1) —ф(£) —Inz] zk Re (7 25)
k\k
/г=1
оо ос
f In (1 t/z)e~tt~idt = — 2 (^)“‘ [/г"‘ + ф(/г+ 1) —lnz]zft +
0 k=\
+ 1/2[ln2z 4^2т1пг + у2 + Зф'(1)], Rez>0. (7.26}
Следует еще отметить, что правую часть (7.23) в силу формул (6.9)
и ([2], 6.7 (13)) можно рассматривать как конечную часть бесконечного
предела Ита~2У(а, 1; z) при а->0.
Замечание. Интегралы, включающие логарифмы, часто можно вычис-
лять с помощью дифференцирования по параметру похожих интегралов, зна-
чения которых известны. Так, например, если известно значение интеграла
со
J<p (х)[а (x)dx = N (а),
о
со
то J <р (х) In [ (х) dx = N' (0).
о
Воспользовавшись этим замечанием, из интеграла Эйлера (1.6) и
определения пси-функции (3.29) легко доказать вторую формулу (7.24)
и можно вывести многие формулы из разделов 4.23—4.27 справочни-
ка [7].
2. Полилогарифмы произвольного порядка.
П ример 4. Вычислим интеграл
Т+»“>
1 о Г Гс _____si
L"(z)=—- (~zrsds, « = 0,1,2,... (7.27)
2ш J (—$)' 1
У—Loo
Подынтегральная функция имеет простые полюсы в точках s = hF k
k = 1, 2, 3, ... , с вычетами (—1)ЛГ(^)(—z)k/[k\kn~l], T(fe)(—l)ft-1x
X(—z)~k/[k\(—k)n~r] и (n -f- 1)-кратный полюс в точке s = 0c некоторым
вычетом rn(z). Несложно убедиться, что образ X*(s) из формулы (7.27)
обладает свойствами A-\-D = B-\-C = n, Л-f-B — С — D = 2. Поэтому
из формул (4.40), (4.28) и теоремы 18 следует, что Ln(z) является анали-
тической функцией, задаваемой в секторе |arg(—г)|<л при |z| 1 раз-
личными выражениями, аналитически продолжающими друг друга через
окружность |z| = 1.
Случай п = 1 был разобран в примере 2. Поступив таким же образом,
при —l<Res = y<0 получим следующие значения интеграла (7.27):
>ovd kn
/.’=1
1; Ln(z) =
-k
— -гЛг), M>1;
(z) + (- l)"Ln(l/zl = — rn{z), n = 0, 1, 2, . .
(7.28)
Первая из этих формул определяет функцию, называемую полилога-
рифмом п-го порядка [24, 38—41, 49, 63, 65], а вторая осуществляет
аналитическое продолжение полплогарифма за пределы единичного
круга. В частности, как было установлено в примере 2, при п=1 поли-
логарифм первого порядка совпадает с логарифмом L’(z) =—In(1—z), а
Г] (z) =1п(—z).
Для нахождения вычета rn (г) в точке s = 0 представим подынтеграль-
ную функцию (7.27) в виде (— l)"s—*Г[1 + s, 1— s] (—z)-s и выделим
коэффициент rn(z) при s” из разложения функции (— 1)" Г [1 + s, 1 —s] х
X (— z)-s в ряд Тейлора. После перемножения трех составляющих рядов
для Г(1 + s), Г(1—$) и (—z)~s можно убедиться, что этот коэффициент
имеет вид
[п/2]
гп (?) = 2 Ct [(« - 2Z)!]-1 [In (- z)]"-2Z, [2k/2] =
1=0 •
= [(2k + 1)/2] = k, k = 1, 2, . . . ,
Q = £ (- 1)/[/’(2/-/)!Г1Г'/>(1)Г‘2'-/’(1). c0 = 1,
/=о
90
с, = Г" (1) — [Г' (1 )]2 = ф' (1) = л2/6, сг = — 2£“ (-1),
I = 1, 2, . . . , п = О, 1, 2, . . . (7.29)
В частности, при п=2 из формул (7.28), (7.29) ([7], 4.331, 4.335 (1))
следует соотношение ([2], 1.11.1 (23)) для дилогарифма Эйлера L2(z).
При п^=2 полилогариф.м непрерывен при переходе через окружность
|z| = 1, а при п=1 непрерывен всюду, кроме точки z=l.
Можно показать, что полилогарифмы связаны рекуррентными соот-
ношениями
ЬпЛ1(г) = rlLn(t)dt, п = 0, 1, 2, 3, . . . (7.30)
о
Через полилогарифмы можно выразить некоторые определенные ин-
тегралы, например
1
f 1п"-2т- In (1 — та) т-'с/т = (— I)""1 (n — 2)! Ln (z), (7.31)
b
n = 2, 3, 4, . . . , |arg(l—z)l<n,
—=£л(—z), z?- 1, 2, . . . , Rez>0. (7.32)
J k\kn 1 t
В частности, при z = I первая формула совпадает с формулами 4.315(3)
из [7] и 1.12(4) из [2], а при п= 1 вторая переходит в (7.15). Отметим,
что из (7.31) несложно вывести выражение ([2], 1.11(3)) для функции
Ф(а, s, v) при s = п, и= 1.
Для доказательства (7.31) представим образ JSf*(s) из равенства (7.27)
в виде произведения (s) = Г [s, —s] h.T^2(s) = (—s)l~n. Воспользовав-
шись теорией вычетов, легко найти прообразы этих функций, если — 1 <
<V<0: ^t(T) = —1п(1 ф-т), 0<|т|< оо; Х2(т) = 0, |т| < 1; (п — 2)! X
Х^2(т) = (1птГ2, |т|> 1.
Композиция (1.1) этих прообразов после замены t = xr и х на — z при-
водит к формуле (7.31), которую можно трактовать как интегральное
представление полилогарифма в комплексной плоскости. Для доказа-
тельства (7.32) можно использовать аналогичный способ или же просто
достаточно почленно проинтегрировать ряд (7.32).
Следует отметить, что формулы (7.27)-—(7.32) могут быть обобще-
ны на случай произвольных комплексных значений у параметра п. В са-
мом деле, заменив там п на у, получим соотношения
С(г) = V±- =___________— С ln«-! —|п(1 —тг)—=
Г Г (г — 1) J т т
л=1 0
z С tv~xdt z Г lnv— lrdx
Г (у) ) е‘ — z Г (v) 1 (т — z) т
о 1
|z| < 1 или |arg (1—z)|<n, Rev>l.
Функция Lv(z) продолжает полилогариф.м в комплексную плоскость
v и является аналитической функцией двух переменных у иг. В рабо-
тах [2, 24, 38—41, 49, 63, 65] и других она обозначается различными
символами: Lx (z) =Sv(z) ==Lv(z) ==Liv(z) = F(z, v) и называется поли-
логарифмом комплексного порядка v, функцией Жонкье (A. Jonquiere,
1889) или Спенса (W Spence, 1819). Второй из интегралов (7.33), полу-
чающийся из (7.31) заменой 1пт=—t, п на v и интегрированием по
частям, называется интегралом Бозе—Эйнштейна или Ферми—Дирака
[38]. *
Он сходится, если
Rev>0, z€[l. оо) пли же если Rev>l и z=\.
Ряд, стоящий в (7.33), сходится, если ]z|<!
или |z| = l, Rev>l (|z|=l, z^=\, 0<Rev=^l).
Очевидно, что приг=1 функция Lx(z)
совпадает с ^-функцией Римана ([21,
§1-12).
Выведем обобщение последней из фор-
мул (7.28). С этой целью рассмотрим анало-
гичный (7.27) интеграл
Л(2) =
(—z)~sds
(— s)vsin ns ’
(7-34)
по
контуру С, который изображен на рис. 7. При |s| -> оо модуль
взятый
подынтегральной функции из интеграла (7.34) оценивается величиной
ехр{— Res In |z| +[Ims arg(—'z) — л |Ims|} |s|~Rev. (7.35)
Отсюда следует, что интеграл по круговому контуру {|s| — R} п ри R ->
| -> оо убывает, если |z| > 1 (или |z| = I, Rev>l) и |arg(—г)|<л.
Применив к интегралу (7.34) теорему 5 о вычетах, приняв во внимание,
.что на малой окружности —s = eei<₽, —Зл/2 < <р < л/2, и перейдя к пре-
делу при R —оо и |zl > 1, получим равенство
1 °° л / 2
1 Г (— z)~sds | 1 (* (— zy^eie^dtp (
2i J (— s)vsinns
J (ee‘4’)vsin (лее*’’)
— Зл/2
+ 1/2 (e-"vO2_e3nvi/2.
Г (—z)»dt
J /vsin(n/t)
8
z~k
(7.36)
Первый из интегралов (7.36) при |zl< 1 можно записать через ряд
левых вычетов в точках $=—k, &=1, 2, 3, ..., так как в силу (7.35) его
|подынтегральная функция при |z|<l и Res-»—оо экспоненциально убы-
вает. Легко убедиться, что этот ряд равен Lx(z) при |z|< 1. Ввиду оцен-
ки (7.35) функция £v(z) аналитически продолжима на всю плоскость z
с разрезом (1, оо), и это продолжение осуществляется формулой
(7.36), которую теперь можно записать в виде
I оо
Lv(z) + е™‘L' (—) = lira Ге™72 sin nv Г ----------------
\ 2 / е-° L J t sh(n/)
?2
I
___L f2 (-г)^^)1"^? 1
2 J sin (nee1 «>)
— 3/2n
Предел из правой части выражается через обобщенную ^-функцию Ри-
мана ([2]. 1-10 (3)), если Rev<0. Тогда из (7.37) получается соотноше-
ние Жонкъе ([2], 1.11 (16)):
nvt
Lv (2) + emiLv (—) = е Q (1 - V, —, (7.38)
\ z ) Г (v) \ 2я/ / '
Rev<0, 0 < arg г < 2л.
В частности, если v —— 1, —2, —3, . . . , то правая часть (7.38) об-
ращается в нуль.
Если Rev^O, то предел (7.37) также существует и при v = п, п = 0,
1, 2, 3, . . . , он оказывается равным —гп(г).
При переходе через разрез (1, оо) полилогарифм (7.33) ведет себя как
интеграл типа Коши [5, 18], то есть его предельные значения Lv(x±t'0) =
= Lv± (х), х>1, связаны формулами Сохоцкого ([5], §4):
Lv+ (х) — Lv~ (х) = 2л i [Г (v)]"1 lnv“1x, 1 < х < оо,
(7.39)
Lv+ (х) + Lv- (х) = 2х f - lnV-Т- — = 2LV (х), Re v > 0.
Г (v) J (т — x) т
i
Последнее равенство позволяет не только доопределить полилогарифм
Lv(z) на случай, когда его аргумент z находится на разрезе (1, оо), но
и дает возможность вычислить ряд особых интегралов вида (7.39), на-
пример
F In Tdi rs ( 1 \ 1 . , , я2
X I -------= — Z,2 —---------In2 X H---,
J (t — x) т \ x / 2 3
(7.40)
x f = ±'|_±W%+J±!nx. X>1.
J (t — x)t \ x ) 6 3
i
Более подробную информацию о свойствах Lv(z) можно найти в
указанных выше источниках и справочнике [2].
3. Интегралы от функций, содержащих рациональные степени аргу-
мента. Покажем, что справедлива следующая
Теорема 22. Если с помощью излагаемого здесь метода удается
вычислить интеграл вида (1.1) от функций J/\-(t]), i=Z, 2, типа (4.20),
то этот метод позволяет вычислить и любой интеграл вида
оо
J l(x/0r/fc] .7^2 (/₽/«) -у- = J$f0(x), (7.41)
о
где г, k, р, q — целые числа. Причем его значение Ж0(х) снова может
быть выражено через гипергеометрические функции типа 'Еа(х),
ZB(l/x).
Доказательство. Пусть рг=А=0 (так как в случае рг=0 ут-
верждение теоремы вполне очевидно). Считая дроби r/k, p/q несокра-
тимыми, совершим в интеграле (7.41) замены fm=T, xm—y, n=mk[r,
l—mq/p, где m>0 — наименьшее общее кратное чисел г и р. Тогда по-
лучим соотношение
оо
^o(«/1/m)= 1/m f^iK/z/T)1/"] ^(т^От-^т, (7.42)
о
где п и I — целые числа. Совершив преобразование Меллина (1.3) над
этим равенством, придем к формуле
m2 In/p1 J^o (ms) = (ns) W2 (Is). (7.43}
По условию теоремы образы Xt (s) выражаются формулами типа (4.17).
Обозначим их соответствующие параметры через (а)г, (6),-, (с)г, (с!)г, Д; +
+ Dt — В; — Ci — ai, Ai 4- Bt — Ct — Dt = , i = 1, 2, а через vt обо-
значим величины, задаваемые последней формулой (4.186). Тогда
после применения к каждой из Г-фуикции правой части (7.43) формулы
умножения (3.16) равенство (7.43) можно переписать в виде
где
(ms) = Л1МТ
'А(|п|, (aX + sn), Д(|/|, (a)2 + sl),
.Л(1«1» (c)t + sn), Д(|/|, (c)2+s/),
Д(|п|, (b^ + sn), Д(|/|, (b)z + sl) -
Д(|п|, (dK + sn), Д(|/|, (d)2 + sl)_
(7.44)
М = m-2(n|1+v--1/2₽* |Z|1+v2-1/2₽2 (2л)(1-1пПР1/2+(1_Ш)₽2/2>
N = \п\па' |/|'“2,
(7-45)
Д(„, х) = А, £+1...................£ + —2, „ = |, 2. 3, . . .
п п п
В силу обозначения (7.45) образ Г[ ] из правой части (7.44) имеет
структуру (4.17) и зависит только от ±s, а не от ±ns и ±ls, как в фор-
муле (7.43). Поэтому прообраз выражения МТ[ ] может быть найден
с помощью теоремы Слейтер или в логарифмических случаях способа-
ми, описанными в начале этого параграфа. Легко показать, что если
Q(t) есть прообраз Г[ ] = Q*(s), то функция Q(t/N) есть прообраз
А'Т [ ]. Вычислив прообраз (7.44), несложно найти значение интегра-
ла (7.41):
«Уо (х) = MmQ (xm/N). (7.46)
Очевидно, что функция J4fp(x), как и Q(t), выражается через функции
гппергеометрического типа S/i(x), 2д(1/х).
Замечание. Теорема 22 распространяется и на случай инте-
гралов (7.41) с произвольными действительными показателями r/k, p/q.
Но тогда их значения выражаются, вообще говоря, не через обобщен-
ные гипергеометрические функции, а через более общие ряды с гамма-
коэффициентами вида (7.69). Такие ряды изучались в работах [1, 34,
74, 75].
Рассмотрим пример использования теоремы 22 для вычисления ин-
тегралов.
П р и м ер 5. Вычислим отсутствующий в таблицах [7] интеграл
оо
[ sin (at) tK~ldt = 1 (а).
b
(7-47).
1-й способ. Как следует из формул (6.31), (6.33), (6.17) (или же из строки
3.2 (1) §10 и равенства (1.6)), справедливы соответствия
sin 2 }^х -<—> Ил Г
s-f-1/2'
1 — s
, |Res|< 1/2;
е х-*—> Г (s), Re s > 0.
(7.48)
Обозначив Ж^х) = sin 2 jAc > Ж2 (х) = x,Le~х, запишем формулу (7.47) в
виде (7.41), где r/k = —2, p!q = 3. х = 2/а, За = Л, 1 (а) = Ж0(х). Ясно,
что т — 6 (в принципе можно брать и т = — 6), п = — 3, I = 2, at - 2,
0! = 0, 0^=1, 02=1, Vj = — 1/2, v2 = р, и формулы (7.43), (7.44) при-
нимают вид
6Xo(6s) = /лГ
' 1/2 — 3s, 2s + р
1 + 3s
9Н-1
-- (22-3"6)sr
Из
's-(-p/2, s+(p+l)/2, 1 /6—-s, 1/2—s, 5/6—s'
s+ 1/3. s + 2'3, s + 1
.(7.49)
Образ Q*(s) из правой часта (7.49) имеет характеристики А -р D — 2 <
< В ~р С = 6. Поэтому, воспользовавшись теоремой Слейтер, при —Reu/2<
<Res<1/6, то есть ReZ> — 1, по формуле (4.16) получим соответству-
ющее значение <2 (т) = 2в(1/т), а далее в силу (7.46) найдем
/ (а) = Ж 0 (2/а) = 2^‘ • 3-P2Q (21 (3/а)6).
(7.50)
Интеграл (7.47) выражается через комбинацию трех рядов гН-
2-й способ. К вычислению интеграла (7.47) можно подойти и иначе с
учетом структуры базовой таблицы. Заметив, что в строках 3.2 (8) и 3.1(2)
§ 10 указаны образы функций sin (6х—1/6) и е~2уГх , совершим в интеграле
(7.47) замену t = 2Н3тР6, а21/3 — 6х-1/®. тОГда этот интеграл примет вид
(11), где
Жх(х) = sin (6х-1/6), Ж2(х) = xx/V2K', Ж(х) = 6-2~х/3/ (а).|;1
Перемножив образы ж\ (с)Ж'\(5) = Ж*(с) = 1^3 Q* (s), получим указан-
ное в (7.49) значение Q*(s). Взяв прообраз и совершив обратную замену,
опять придем к значению (7.50).
Разобранный пример показывает, что второй способ более эффекти-
вен, так как он требует меньше замен. Однако эти замены более специ-
фичны и преследуют цель выделить в интеграле функции, указанные в
базовой таблице, которая составлена так, чтобы при переходе от (7.42)
к (7.44) не появлялся множитель .Vs. Научиться замечать необходимые
замены при втором способе вычисления значительно труднее, чем при
первом. Одной из основных трудностей здесь является отыскание в таб-
лице подходящих функций jifi(x) и приведение встретившегося инте-
грала к виду (1.1). Разберем дополнительные примеры, поясняющие
эту сторону вычислений.
П р и м е р 6. Рассмотрим интеграл
оо
L = [ e~axIv (6т) тх~ldx.
о
(7-51)
В базовой таблице нет функции Iv(x), так как при х->- + оо эта функ-
ция экспоненциально растет (§ 6). Однако там в строке 9.12(1) имеется
функция e~x'J/v(x/2). Введя обозначения
t = 2bx, х — 2bl(a — b), Жi(x) = е-'^х~\ J^2(t) = c-t'2/v(t/2),
Ж(х) = х~^(2Ь^Ь, (7.52)
преобразуем интеграл (7.51) к каноническому виду (1.1). Перемножив об-
разы Жt (s), i = l, 2, придем к значению
X*(s) = -/L-r
У л
’s 4- v, lz2 — s, X —s
V + 1 — S
J
— Rev<Res < 1/2, ReX. (7.53)
Вычислив прообраз Ж(х) по теореме Слейтер или по формуле (5.2),
после обратной замены (7.52) получим искомое значение интеграла
(7.51):
£ = в(й_Ь)-к^ГГ v + 1/2’ * + v 1f(v + 1/2, X +
У л p 2v -f- 1
+ v, 2v+ 1; 26/(6 — a)), (7.54)
Re(X + v)>0, Rec>|Re6|>0
(условие Rev>—1/2 здесь можно отбросить). Это значение при Х=1
совпадает с формулами 6.611 (4), 6.621 (1) из [7], с точностью до по-
стоянного множителя оно совпадает с 6.628 (6) и совсем не согласуется
с 6.628 (4) из [7] (в двух последних формулах имеются ошибки).
Пример 7. Вычислим интеграл
оо
М = J x'f'~lK.v,(ax) Iv(bx)dx. (7.55)
о
В этом случае даже прием, использованный в предыдущем примере, при-
менить нельзя: в базовой таблице нет подходящих функций. Поступим
иначе: воспользовавшись формулой (6.25), преобразуем функцию /v в
У, которая отражена в таблице:
оо
М = (— t)v J т’-1^ (ах) Jv (bix) dx. (7.56)
о
Совершив в этом интеграле замены
т = 2Vt !(Ы), х = —Ь2/а2, Ж^х\) = (2/}Лг) )ц-Х/2,
. - , , , (7.57)
<У2 (П) =JV (2 Гп ), М = (- i)va~K2K~^(x),
получим равенство (1.1). Образы соответствующих функций можно найти
из строк 9.3(5), 9.2(1) § 10. Перемножив их, получим
Ж* (s) = 1 /2Г Г+ ^/2—s’ ~ ц)/2 ~ s’ v/2 + S1
L V/2 + 1 — s j ’
96
— Rev/2<Res<3 4, Re(X±P-)/2- (7.58)
Теперь, воспользовавшись теоремой Слейтер, несложно найти прообраз л$Дх),
а затем и значение интеграла (7.55):
М = 2K~2a~K~vbvr [ + ^ + v)/2’ + v — М)/2 1 х
L v +1
. F ((ц + X + v)/2, (Л + v — ц)/2; v + 1; W), (7.59)
Re (X + v + Р) > 0, Re (а ± Ь) > 0.
Это значение полностью совпадает с приведенным в формулах 6 576
(3,5) из [7]. Положив здесь р= 1/2, заменив X на Х+1/2 и воспользо-
вавшись (6.31) и формулой 2.11 (17) из [2], можно получить равенство
(7.51), (7.54)
4. Использование настоящего метода в сочетании с другими. Воз-
можности излагаемого здесь метода можно существенно расширить,
если использовать его в сочетании с другими операциями, которые
широко применяются при вычислении интегралов. К таким операциям
относятся разложение в ряд, интегрирование и дифференцирование по
параметрам. Разберем пример вычисления важного в приложениях ин-
теграла от функции вероятности Erf(x). Особенностями этого примеоа
являются необходимость разложения подынтегральной функции в ряд,
почленное интегрирование этого ряда по бесконечному интервалу и фор-
ма результата вычислений, которая содержит вырожденную гипергео-
метрическую функцию двух переменных.
Примере. Вычислим интеграл
(b, р) = f Erf (от) (7.60)
о
Обратившись к таблице § 10, можно заметить, что в ней отражены
функции, позволяющие вычислить интеграл (7.60) лишь в частных слу-
чаях, когда р=0 или Ь = 0. Допустим, что значение Nx(b, 0) найдено.
Тогда несложно написать и значение всего интеграла Nt.(b, р), если
учесть, что функцию е~Ръ можно разложить в ряд по степеням —рт, и
допустить возможность почленного интегрирования этого ряда:
(р, р) = у (fe!)-‘ (- p)WK+h (b, 0). (7.61)
k=0
Для осуществления такой схемы вычислений совершим в интеграле
Nt.fb, 0) замены
Ьт = \ t , а ]/% = Ь, Jfjt) = Erf (1/]^т),
-Г2(т)= е-^/2, = 2bKN%(b, 0), (7.62)
после которых получим равенство (1.1). Обратившись к строкам 8.11(6),
3.1(1) §10, найдем произведение Jf*(s) =.%"i (s) yfa (s) образов указанных
функций (т):
X*(s) = r[S’ S + Z/2- 1 2-sl , _ ReZ/2, 0<Res< 1/2.
J л L s 4- 1
(7.63)
7. Зак. 2!o
Q7
_ ,_. мяи выражения несложно записать по теореме Слейтер.
Совершив обратную замену (7.62), определим значение
NK(b, 0) = л-1/2<г&-А-1Г[(Л+ l)/2]2Fi(l/2, (Х + 1)/2;
3/2; — a2//?2), ReX>—1. (7.64)
Поменяв в этом равенстве X на X + k, составим и вычислим ряд (7.61),
разбив его на два ряда с четными и нечетными индексами k:
ab—i
NK(b, p) = -?^=-
k
X
krm=0
„ r[(X + fe+ l)/2 + ffl] (l/2)m /
P
b
a2 ab—^—i
b2 I УЛл
k'. mmm\
2«Г[(Х4- 1)/2 + пфт]
(2n)!
n,m=0
P \2n+I Г(Х/2 4- 1 + » + m) 1 (l/2)m(— a2/&)m
(2n + 1)!
№тт\
= л-!/20/)-х-1Г[(Х+ 1)/2]¥1((Л+ 1)/2, 1/2, 3/2, 1/2, — а2/Ь2, р2/(4^)) —
— n.~1/2apfc-z-2F(X/21)Чг1(Х/2 + 1, 1/2, 3/2, 3/2,
— а2/62, р2/(4Ь2)). (7.65)
Для получения последней части этого равенства были использованы
формула удвоения Лежандра (3.17) и обозначение ([2], §5.7 (23)) для
соответствующей вырожденной функции Горна двух переменных:
Om+n (P)m*V ,
4\(a> T. *, t/)
m,7z=0
(7.66)
Функция ТДа, p, у, у', x, у), задаваемая в полосе |х|< 1, |</|<оо ря-
дом (7.66), может быть аналитически продолжена за пределы этой по-
лосы. Поэтому интеграл (7.60) (если он сходится) равен правой части
(7.65) не только при |с|<|й|, где функция Vi представима рядом, но и
I при всех таких значениях параметров a, b, р, X, при которых этот инте-
грал сходится. Если принять во внимание представление 49 из § 11
функции Erf(x) через функцию iFi и асимптотические свойства (6.13),
то несложно установить, что для сходимости интеграла (7.60) на <х>
|Достаточно выполнения одной из следующих групп условий:
ReX>—1, Re (&2) > max (0, —Re(с2));
Re X > — 1, Re (о2) = max (0, — Re (a2)). Re p > 0;
(7.67)
Re (b2) = шах (0, — Re (a2)), Re р = 0 и Re (а2) < 0, |Re Х| < 1 или
Re(a2)>0, — l<ReX<0.
При этих условиях допустимо проведенное выше почленное интегри-
ювание ряда по интервалу (0, оо), а интеграл (7.60) принимает значе-
8
ние (7.65). Операции, осуществленные в равенствах (7.65), допустимы,
так как стоящие там ряды абсолютно сходятся.
Следует отметить, что в случаях Z = 2, р = 0 и а = 0 найденные соот-
ношения совпадают с формулами 6.287 (1), 3.462 (1) из [7].
5. Интегралы Меллина—Бернса общего вида. Рассмотрим примеры
вычисления контурных интегралов типа (4.25), но с коэффициентами
при s, отличными от единиц.
Пример 9. Вычислим интеграл
7(2) =
' а, 4- eqs, а2 4- a2s, b — 0s '
c 4- Zs, d — 6s
2 Sds,
(7.68)
где cq, cq, 0, Z, 6 — положительные, a a1, o2, b, c, d — комплексные вели-
чины такие, что полюсы функций Г (<q 4- eqs), Г (b— 0s) не совпадают меж-
ду собой. Пусть £_«, является левой бесконечной петлей, охватывающей в
положительном направлении все левые полюсы s = — (at 4- Z)/cq, i = 1, 2,
k = 0, 1, 2, . . . , так, что правые полюсы s = (b 4- Z)/0, k = 0, 1, 2, ... ,
остаются с противоположной стороны. Приняв во внимание, что вычет функ-
ции Г(й; 4- eqs) в fe-м левом полюсе s = —(eq 4- £)/cq- равен (— 1)*/(6!аг),
k = 0, 1, 2, . . . , и заменив в оставшейся части подынтегрального выра-
жения s на —(а;4-Л)/«;, по теореме о вычетах (2.18) формально получим
значение интеграла (7.68):
7(2) =
2 со
V V Г — + k^'ai' b + Р + kVai
Ь- Z(<q + k)/at, d 4<6(at 4- £)/oq
X
X z(fli+*)/a'’, j=£i, j = 1, 2. (7.69)
Проведя рассуждения, аналогичные предшествующим теореме 18, можно
установить ([53]; [2], § 1.19), что интеграл (7.68) абсолютно сходится на
оо и определяет при всех г=/=0 (или 0 < |г| < 0_₽Z—^«“’«“’б6) аналитиче-
скую функцию вида (7.69), если выполняются условия
а । 4-а2|4-6 — 0 — Z > 0 (= 0),
(7-70)
являющиеся аналогами ограничений Д4-П>ВД-С(иД + £) — В — С=0).
Петлю можно развернуть в прямую Lia,:(y — ioo, у Д- too ), если,
вообще говоря,
— Reeq/cq, —Re а2/а2 < Re s = у < Re 6/0
(7-71)
и выполняются дополнительные условия, сохраняющие сходимость ин-
теграла (7.68) на мнимой бесконечности. Эти условия также обобщают
соответствующие требования, налагаемые теоремой 18. Так, если
cq4-oq + 0:>Z4-6,
(7-72)
то интеграл (7.68) по Lia, абсолютно сходится в секторе [arg z] < l/2n(oq+
+ а2 + Р — — 6) и определяет там аналитическую функцию, представимую
в виде (7.69). Если еще, в частности, выполняется равенство (7.70), то
7*
99
г функцию V .ЬУ) можно аналитически продолжить в область |2|>р—₽Х~х
X а“‘а“2б6, largz|< 1 /2л(а4 4- tz.2 -f- р — X — б) формулой
I '
Jfzjzzz'Vrf + “1(6 +G2 + a2(6 + /г)/р
I L c + z(& + *) p. а-б(&4-л)/р J
1 X lnJlL2-‘b+fc)/₽. (7.73)
। Л’Р ' ’
Эта формула получается, если интеграл посчитать через сумму правых
вычетов. Ряды вида (7.73) исследовались в работах [1, 34, 74, 75].
Наконец, если ai + a2 + P = ^+6, то z нужно брать действительным
I положительным, а интегрирование следует вести по прямой Res=y, где
у (at 4- «г 4~ 6— р — 1) ф- v 4~ 1 ф- (1 4- 1 — 2 — 1)/2 <0,
| v = al+a2-{-b — с — d. (7.74)
Тогда интеграл (7.68) по контуру Llt» сходится абсолютно.
Интеграл (7.68) является частным случаем так называемой //-функ-
ции Фокса [42, 53], которая естественным образом обобщает G-функ-
। цию Мейера (4.53). Из хода доказательства теоремы 22 следует, что
интегралы вида (7.68) с рациональными множителями a,-, Pj, Хь, б(
могут быть сведены к интегралу (4.53), определяющему G-функцию
I Мейера.
Пример 10. Вычислим интеграл
। N(a) = J [/ sin(np)] di.
I . °
ImP = 0, Rec> — cos(nP). (7-75)
I Совершив здесь замены
x = 1/a, (т) = ^2(т) = е~тс°4л₽) sin [rsin (лР)],
(7.76)
| N(a) = x\3f(x),
получим равенство вида (1.1). Преобразования Меллина указанных
[функций J^i(r) можно найти из строк 3.1 (6), 3.8 (1) § 10. Перемножив
|их, придем к следующему значению образа функции Ж (х):
^*(х) = лГ
X— s, s
sp, 1 — sP
— 1 < Re s < Re X, |₽] < 1 /2. (7.77)
Для нахождения Ж (х) заметим, что интеграл (7.68) выразит значение
J5f(z), если в нем опустить множитель Г(п2-6а25) и положить aY = с = 0,
--- Р = d = 1, b = X, б = X = р. Применив теорему о вычетах, получим
(три Re X > — 1, |P| < 1 /2 искомые значения
Jif(z) = r(X) V sin (npft)(X)h (— z)k/k\, |z|<l,
k=0
(7.78)
Ж (z) = Г (X) z~x V sin [яр (X 4- ft)] (X)h(— z)“*/ft!, Iz| > 1.
Эти функции аналитически продолжают друг друга в секторе |arg г| <
<л(1—р) п соответствуют функциям (7.69), (7.73).
Положив в (7.78) z=x и совершив замену (7.76), легко найдем
искомое значение интеграла (7.75).
6. Функция типа Миттаг—Леффлера.
Пример 11. Рассмотрим интеграл
F»(z; = [ г
ZJtl J
i-oo
S, 1 — S
И — sp-1
(— z)'sds,
(7.79)
где р, р — некоторые параметры, а интегрирование ведется по левой
петле £_«,, охватывающей все левые полюсы s = 0, —1, —2, ... подын-
тегральной функции в положительном направлении. Можно показать,
что интеграл (7.79) при р>0 абсолютно сходится и определяет неко-
торую целую аналитическую функцию от z. Условие р>0 соответствует
неравенству (7.70) для интеграла (7.68).
По теореме о вычетах интеграл (7.79) несложно записать в виде
степенного ряда
Е(2- и) = V-------~, Р>0. (7.80)
Р 2ЛГ(М-А>р-*)
Функция £p(z; р) называется функцией типа Миттаг—Леффлера
[2, 8, 44]. Теория этой функции и области ее применения излагаются в
монографии [8] и других работах М. М. Джрбашяна. Однако там эта
функция определяется на основе ряда (7.80), а представление (7.79)
отсутствует. Очевидно, что в частных случаях
£,(г; 1) = t?z, £1/2 (z; l)-ch/z, £i/2(z; 2) = z-’/2sh J<z. (7.81)
Можно показать, что допустима замена петли на прямую £1Ю =
=(у— ioo, у-}- too), 0<у = Res< 1, если еще выполняются дополнитель-
ные условия р> 1/2, |arg (—z)| < л [ 1—(2р)-1], обеспечивающие абсолют-
ную сходимость интеграла (7.79) на ± i°° в указанном секторе изменения
z. Если же р = 1/2, но 0 < у < Re р/2— 3/4, 1, Imz = 0, z<0, то ин-
теграл (7.79) также сохраняет абсолютную сходимость на прямой L-Lm.
Из формул (7.79), (3.16) несложно установить следующее представление
функции (7.79) при р = m/п, т, п = 1, 2, ... , через обобщенные гипер-
геометрические функции:
Em/n^Z, р) —
Z*
Г (р 4- kn/m)
,£,.(1; Д(п, рф-Лп/m); п~пгт). (7.82)
Воспользовавшись излагаемым здесь методом вычисления интегралов,
можно убедиться в справедливости двсх равенств, которые выражают зна-
чения интегралов, содержащих функцию £p(z; р):
1 Г VI (—1)* lsin(knln)tk/n £ / х \ dt
л J i + (— 1)п/ ₽/" V Т ’F / т~
О Ь=1
= £Р(-Гх; р), (7.83)
*> При р(& + р)=0, —1. —2, .. для некоторых k=0, 1 2, ... полюсы числителя могут
устраняться нулями от знаменателя.
101
и = 2, 3, 4, , р>1/2, x>0;
oo _
Je_/Ep(z]<Z; p)tv—'dt = (1—z)"1, Rep>0, p>0, |z|<l. (7.841
о
Прежде чем доказывать первое равенство, отметим, что оба интеграла
сходятся. В самом деле, первый интеграл в точке t = оо сходится, так как
подынтегральная функция имеет порядок /(п-1)/л-2 (функция Др(6; р) при
0->О ограничена). В точке Z = 0 функция Ер/п(—x/t\ р) при р>п/2 оце-
нивается величиной 7И t/x, М — const, х>0 ([8], с. 136, (2.32)), и поэтому
вся подынтегральная функция обращается в нуль порядка tx'n, что обеспе-
чивает интегрируемость при t = 0. Во втором интеграле при t -> 0 функция
е~*Ер{г У t; р) ограничена, а /в-i интегрируема, если Rep>0. Если же
то в силу асимптотической оценки ([8], с. 136, (2.31)) получаем
неравенство
|ep(z М; (7.85)
Отсюда следует, что интеграл (7.84) сходится, если |zj<l. Равенство
(7.84) можно рассматривать как интегральное представление ядра
Коши через функцию Ер.
Приступим к выводу первого соотношения. Для этого, совершив
преобразование Меллина над правой частью (7.83), применим далее
формулу умножения для гамма-функции (3.16):
оо
р) xs ldx = пГ
sn, 1 —• sn
р — snp-1
= JT(s) =
= jH(sp^(s) = F
s, 1 — s
p — snp~
n (2л)1 "Г [s + 1 jn, s +
4- 2/n, ... , s + (n—l)ln, 1/n — s, 2/n— s, ... , (n— l)ln—s], (7.86)
0< Res< 1/n.
Прообразы выделенных множителей .7/\(s) легко найти с помощью тео-
ремы Слейтер и формулы (7.79):
4^1 (т) — (т> Р)>
л—1
^2(т) = п(2л)1-" V т*/”Г[(с)' — kin, (aj + kln^F^V,
(— l)''-*r), 0<т< I;
(7-87)
(т) = n (2л)1"" "v т-*МГ [(с)' — kin, (а) +
Л=1
+ k/n]lF0(l- (—1)"-‘/т), т>1,
где вектор (с) = 1/и, 2/п, .... (п—1)/и. Для вычисления последнего гам-
ма-множителя снова воспользуемся теоремой умножения (3.16), при-
мем для удобства будем вначале считать k нецелым, а отсутствующий
102
множитель обозначим через (/—k) In. Тогда при /=1, 2, 3. .... п—1 по-
лучим
Г [(а)' — k/n, (а) 4- k/п] = Г
— k, k
--kin, kin, (l~k)ln
п(2дГ-1=
= (2л)”"1
sin (nkln)
sin [n(£— I + OlHG — k)!n] k-^i
(2л)п~* (— I)'"1 . . ,, 4
-> - - —— — sin(n//n).
k-*l ли
(7.88)
Заменив во второй сумме индекс суммирования k—n—I и воспользо-
вавшись формулой (4.12), окончательно установим равенство
= (7.89)
1+(—1Гт
Составив из найденных выражений .754(т), (=1, 2, интеграл (1.1), по-
лучим доказываемое соотношение (7.83). Условие р>и/2 можно осла-
бить до р>1/2.
Второе равенство устанавливается аналогично. После замены z=
= —х~]/р и преобразования Меллина над обеими частями (7.84) легко
получается тождество
рГ
‘—sp, 1 4- sp
Р 4- s
Г(« + ц) = рГ[—sp, 1 4- sp],
(7.90)
которое и подтверждает равенство (7.84).
7. Интегралы от функций, допускающих экспоненциальный рост.
После приведения интеграла к каноническому виду свертки Меллина
(1.1) может случиться так, что, например, функция Х2(1) при /->оо
экспоненциально растет, a Х\ (x/t) при (->оо экспоненциально убывает,
компенсируя рост первой и обеспечивая сходимость интеграла (см. при-
меры 6, 7). В таком случае преобразование Меллина от свертки (1.1)
не равно произведению образов, так как интеграл Х2 (s) расходится.
Чтобы не вычислять преобразование Меллина от каждого из множите-
лей Xi(x) и в полной мере использовать теорему 18 для случаев, когда
интегрирование ведется по петлям докажем обобщенное равенство
Парсеваля
ео y-f-ico
[xt(—}x2(t) — = —f x'i(s) X2(s)x~sds (7.91)
J \ t / t 2ni J
0 —i eo
при специальных ограничениях на входящие в него функции.
Теорема 23. Пусть выполняются следующие условия:
1) при некоторых х>0 и у сходятся интегралы
оо y-|-i00
J* ХА (хЦ) Х2 (t) j 1Х\ (s) Х*2 (s) x~sds;
О у— i оо
2) в полуплоскости Res Су (или Res>y) существует преобразование
Меллина Xi(s) функции Xt(x), то есть X\(s) является аналитической
функцией от s, не имеющей особенностей при Res С у (или Res>y);
3) функция JSf2(/) является функцией гипергеометрического типа, точ-
нее, существует функция JSf2(s), имеющая вид (4.17), такая, что спра-
ведливо равенство
f ^(s)r'ds = ^2(/). (7.92)
2лг J
00
Здесь интегрирование ведется по соответствующей петле L-^ (или
L+ao), лежащей в области аналитичности Res^y (или Resl^yj, причем
предполагается, что размерности А, В, С, D параметров функции J72(s)
удовлетворяют условиям A-(-D>B + C, А>С (или A-)-D<B + C, B>D).
В обоих случаях под понимается контур, проходящий от =рсо—iy,
у>0, до точки у—iy, а далее по отрезку прямой Res=y,Jm s|<z/, и
оканчивающийся на =Foo-t-iy, где t/>max (|Imtz,j, |ImZ?fti), / = 1, 2, А,
к =1, 2, ..., В, а на начальном и конечном участках контуров L-^ вы-
полняется условие
Тогда справедливо равенство (7.91).
Доказательство. Рассмотрим, на пример, случай А + D > В 4- С,
А^>С. Из Л>С вытекает, что 772(1)ф0. Выберем такие s, чтобы вы-
полнялись ограничения 3) для контура Тогда из условий 1), 3) будет
следовать первое соотношение
2лг f (x/t)77'2(t) t~ldt = 1’Xj (xlt) r'dt J 772(s) t~*ds =
b b
00
= f ХД«) (J 77l(xlt)t~s~idt\ ds = j W2(s)x~sds x
L-vc 0
X J 77i (t) ts 1dr = J .3^2 (s) JSf 1 (s) x Sds =
0 L— TO
•H-too
= f X!i{s).77t2(s)x~sds. (7.93)
V—i00
Второе — четвертое из равенств (7.93) справедливы, так как интеграл
(7.92) абсолютно сходится и выполняются условия 1), 2) теоремы. Послед-
нее равенство возможно, так как получающийся интеграл по прямой Ltm =
= (Т— t оо, у )- too) сходится. При этом условия, накладываемые теоремой
на у, исключают добавление некоторых полюсов функции 77 2 («) в левую
от контура часть плоскости (s) при замене на Lim.
Замечание. Как следует из теоремы 11, условие 2) настоящей тео-
ремы заведомо выполнится, если предположить, что функция .т^Дт) экспо-
ненциально убывает в нуле: 77\ (т) — О (е~т-Е), е>0, т—>--|-0 (или на
оо : J7't(r) = 0(ег~гЕ), е>0, т->оо), а выражение (т) тУ~1£Ь (0, оо).
Теорему 23 можно эффективно использовать для вычисления интегралов
(1.1) в тех случаях, когда одна из функций, например 772 (s), имеет в чис-
лителе меньше гамма-функций, чем в знаменателе, но произведение 771 (s)X
X 77 2 (s) удовлетворяет условиям теоремы Слейтер.
Пример 12. Вычислим интеграл
со
Р(о)= ‘je~a,0F2(b, с; — t)t^dt. (7.94),
о
Для преобразования его к виду (1.1) совершим замены
с= 1/х, ЖДт) = е-1/тт-\ Х2(т) = 0F2(b, с\ — т).
JF (х) = а^Р (а).
(7.95)
В силу равенств (1.6), (6.45) оригиналам ХДт) соответствуют функции
(s) = Г (X — s), Re (s — X) < 0;
Xa(s) = Г
5
b — s, с — s
Г[й, с], у>0,
(7.96)
причем лишь первая получается как значение сходящегося интеграла (1.3).
Воспользовавшись равенством (7.91) и теоремой Слейтер при А Д- D =
= 3>В + С = 1, несложно найти значение интеграла (7.94):
Р (а) = а-^Г (X) tF2 (X; b, с; — 1 /а), Re X > 0. (7.97)
(Возникающее из замечания 2 к теореме 17 условие Ре(Ь Д- с — Х)>—1/2
является условием вывода равенств (7.94), (7.97) и на сходимость интеграла
(7.94) не влияет, поэтому его можно опустить.) Как следует из теоремы
21, интеграл (7.94) остается сходящимся при Rec>0.
Теорем)7 23 удобно использовать в случаях, когда размерности парамет-
ров функций (y^2(s)) удовлетворяют соответственно условиям Л = 0,
В>С Д- D (А>С, А Д- В </С Д- D), а для произведения Xi* (s)xj (s) вы-
полняются все условия теоремы Слейтер.
8. Использование кратных преобразований Меллина. Наряду с интег-
ралами вида (1.1) в приложениях часто встречаются интегралы, которые
после сведения к канонической форме интеграла типа свертки Меллина при-
обретают вид
J J^t(/) П XJ(xj_1//)r1^ = X(x1, х2, ... , х„), п = 2, 3, ...(7.98)
0 /=2
К такой форме можно привести всякий интеграл вида
JjXi(t) П ХДсдИт, 0<а<Ь< оо, (7.99)
а 1—2
если в произведение добавить два множителя Хт+1(т/й) и XmJ.2(r/n), по-
лучаемые из функции Хевисайда /У(х) (§ 11): Xm+I (т/6) = 7/(1—т/Ь),
Ж'т +2 (т/а) = 77 (т/а — 1).
Для вычисления интеграла (7.98), где X; (/ = 1, 2, . . . , п + 1) —
произвольные функции из § 10, можно использовать кратное преобразова-
ние Меллина, определяемое через «-кратный интеграл:
X*(sf, . . . , sn) = | . ..JxiXp . . , xjxi1-1 . . .
о о
. . . x^dx, . . . dxn. (7.100)
Совершив над (7.98) это преобразование, легко получим равенство
X*(s(, .... s„) = Xl(s1 + s2 Д- . . . + sn) П Xj («>_!). (7.101)
1=2
105
Установлено [64], что при определенных условиях кратное обратное
преобразование Меллина имеет вид
Т’1+«“ Тп+«“
.......Хл) = С • • . С ^*(st, .... 8п)хГ‘ . . .
(2Я1)Л J J
V1—к» vn—
. . . x^Sndst . . . dsn, (7.102)
yh = Resfe, k = 1,2, . . . , n.
Если все Xj(x) являются функциями из § 10, то в правой части
(7.101) стоит произведение отношений гамма-функций на постоянную.
Для отыскания значения Ж интеграла (7.98) в этом случае необходимо
уметь вычислять кратные интегралы Меллина—Бернса вида (7.102).
В общем случае такая задача не разработана. Особые трудности здесь
представляют вопросы сходимости кратных интегралов Меллина—
Бернса на бесконечности и установление аналогов теорем 17, 18. Ре-
зультаты вычислений n-кратных интегралов Меллина — Бернса, вообще
говоря, выражаются через /г-кратные обобщенные гипергеометрические
ряды, частными случаями которых являются ряды Горна и Лауричелла
[2]. Эти ряды и их аналитические продолжения имеют сложную струк-
туру и практически не изучены.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим
Пример 13. Вычислим интеграл
оо
Q = т«-1 (т2 — x2)₽-i sin (ст) Jv(dr)dT. (7.103)
X
После замен т = tx и
J/’1(t) = t«/2(t— 1)^7', ,^2(T) = sin(T~I/2),
Х3(т) = Jv(t-1/2), Q = l/2xa+2p~2Jf (xp x2), (7.104)
(ex)-2 = xp (dx)-2 = x2
легко получим равенство (7.98), где п = 2. Из строк 2.2(4), 3.2(6), 9.2(5)
§ 10 несложно установить, что
^(81 + 82) = Г(Р)Г
1 — а/2 — Р — sf — $2
1 — сс/2 — Sj — s2
Re Р > 0, Re (st 4- s2) < 1 — Re (a/2 + P);
^2 (sf) = Vn2~2sT
1/2 —s,l
1 ]
'ResJ < 1/2;
(7.105)
Хз(8г)=2-2»тГ V/2 52 1 , — 3/4 <Resz<Rev/2.
L v/2 + 1 + s2 J
Таким образом, задача вычисления интеграла Q свелась к проблеме
нахождения значения двойного интеграла Меллина—Бернса:
(Хр х2) —
УлГ(Р)
(2л/)2
J (4*2
i“
)~sMs2 X
(7.106)
Vi—i“
1/2—sp v/2 sz, 1 a/2 P st s2 “] ^x^Slds
l+$„ H-v/2+$2, 1— a/2—sf—s2 J
Осуществим формальное вычисление этого интеграла, не останавли-
ваясь на вопросах обоснования операций, которые требуют специаль-
ных исследований. Если зафиксировать значение s2, то полюсами
подынтегрального выражения из (7.106) на комплексной плоскости $1
в общем случае являются точки Si = l/2 + *, $i = l—a/2—р—s2+k, k = 0,
1, 2, ... Расписав этот двойной интеграл через повторный, по теории вы-
четов в плоскости получим
2л ( k\ I
fc=0
'v/2 — s2, (1—a)/2— P — k — s2
3/2 + k, 1 + v/2 s2, (1 — a)/2 — k — s2
(4x2)—Ms2 +
Vs+i"
4-(4x1)“/2+₽-1-* j Г
Vz~
(a — 1 )/2 4- p — k 4- s2, v/2 — s2
2 — a/2 — P 4- k — s2, 14- v/24~$2, P—k
(7.107)
Приняв во внимание, что точки s2 — v/2 4- Л s2 = (1 — a)/2 — P + (k — I),
I = 0, 1, 2, ... , вообще говоря, являются простыми полюсами подын-
тегральных функций из формулы (7.107), опять по теории вычетов, но в
плоскости s2 найдем
(4x1)-1''2-i(4x2)-v/2^X
kill (
k. 1=0
(1— a — v)/2 — P — k— I
3/2 4- k, 1 4- v 4- I, (1 — a — v)/2—k—I
4- 2 (4xt)->/2-л(4x2)<a— i )/2+₽+*-zr
‘ (v4-a-l)/2 + P4-* — I
. 3/24-*, (3—a4-v)/2—p—*4-Z, p—I
4- (4xf)*/2+P-I-fe (Л
(a— 1 4- v)/2 4-₽4-^~k
2 — (a4-v)/2—P4-*—I, 14-v4-/, P—*
(7.108)
(два одинаковых слагаемых с индексами k—I и I—k здесь объединены
во второе слагаемое правой части).
Если ввести обозначение
2r(«, Р; б, т), т]'; х.
1,т~0
(a)t+Tn (Р)г х1у^ Ю9)
(Y)z+m(6)i(1l)(('n')m l'-ml
107
для двойного ряда, составленного из функций типа 2F3 и tF2, то после за-
мены индекса k—l==Fm с помощью формул (4.29), (2.32) из (7.108) можно
найти искомое значение интеграла (7.103):
Q = ^v-l^v^a-f-ZP+v-l [Г (v 1)р1£ (1 _ а __ v)/2 —0) х
X 5((1 + v+«)/2, 6;
(1 4- а + v)/2 -f- Р, 6, v-f-1, 3/2; —d2x2/4, —с2№/4) -}-
]/" л2“+2₽— 3 с2—2₽~“dv xvr
(a+v—1)/2 + р
2—(a-f-v)/2—Р, 1-f-v
5(11; 1,
(3 — a —v)/2— p, 2 — (a + v)/2 — p, 1+v; —(?x2/4, —d2x2/4]±-
+ 2“+2₽cd1-“-2₽r
" (v + a — 1 )/2 -!- P
. (3-a + v)/2 —p
5(1—P, 1; 1, (3—a—v)/2—0,
(3 —a + v)'2 —p, 3/2; — d2x2/4, — c2x2!4). |1 (7.110)
В частности, при v = d = 0, Re (a + 20) < 1 отсюда получается равенство
(1.18). Интеграл (7.102) сходится, если Re (a + 2Р) <5/2, Re0>O, с> 0,
d>0.
Следует отметить, что при вычислении интеграла (7.60) также
удобно использовать двойное преобразование Меллина, которое снова
приведет к формуле (7.65), выражающей значение этого интеграла.
9. Левый факториал Курепы. В заключение рассмотрим некоторые
основные свойства функции, которую ввел Курепа [48], назвав ее левой
факториальной функцией, или просто левым факториалом. По опреде-
лению
!/г=0!4-1!+2!-[----+(n— 1)!, !0=0, !1 = 1, !2=2, . . . (7.111}
Воспользовавшись формулой k\ = Г (k-1-1), легко вывести интеграль-
ное представление для этой функции, позволяющее продолжить ее на
случай комплексных значений аргумента:
п— 1 “ “
In = V ( e~4kdt = ( е-' ~ 1 di, п = 0, 1, 2, ... (7.112)
*=о о 5
Заменив здесь п на г, получим интеграл
!z = j е~* ------^—dt, Rez>—1. (7.113)
о
Несложно убедиться, что функция !г связана с гамма-функцией
соотношением
!(z-{-1)—!г = Г(г+1), (7.П4)
которое дает возможность продолжить левый факториал !z на полуплоскость
Rez^— 1 и показывает, что в точках z = —п, п=1, 2, 3, ... , функ-
п
ция !z имеет простые полюсы с вычетами V(—l)fc/(/j— 1)!.
Если воспользоваться излагаемым здесь методом вычисления интегралов,
то функция (7.113) может быть представлена в виде
! z = — ле-1 ctg(nz) < Г(z) jFj(1; 1—z; — 1)— V (— l)ft (fr!)-1ip(/fe+ 1)
108
(7.115)
п Ж Л 1
=-------ctg Л2 + > Г (г — k)J--------
е е
k-k\
где у — постоянная Эйлера (7.24).
Вторая из этих формул была выведена в работе [68], поэтому оста-
новимся на доказательстве первой. Вычислим интеграл (1.1), положив
г. нем JZ’i(t) = т-г-1е_1/т, .772(т) = (1— т)-1, х= 1. После применения основ-
ной теоремы без затруднений получим его значение:
A(z) = — t) 1dt = ne 1ctgnz —Г(г)1Г1(1; 1—z; —1). (7.116)
b
Устремив здесь z-+0 и раскрыв неопределенность в правой части, най-
дем значение Л(0). Разность Л(0) — A(z) = !z приведет к доказываемой
формуле из (7.115).
Замечание. Вторая из этих формул легко выводится из первой,
«ели принять во внимание равенство Л(0)е = Е1(1) и воспользоваться
обозначением 49 из § 11 для интегральной экспоненты.
§8. ОБЩИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И ФОРМУЛЫ ИХ ОБРАЩЕНИЯ
В приложениях часто используются различные интегральные преоб-
разования, обобщающие преобразование Фурье ([3, 8, 9,11, 19, 20, 23,
26] и др.). Из них можно условно выделить два основных класса: преоб-
разования сверточного типа (Лапласа, Меллина, Ганкеля, Мейера,
Стилтьеса, Гильберта, Римана—Лиувилля, Вейля, Гаусса, Нараина и
др.) и преобразования по индексу (Конторовича—Лебедева, Мелера—
Фока, Лебедева, Олевского, Уимпа). Самыми общими из этих преобра-
зований являются преобразования Нараина [54—56] и Уимпа [73], со-
держащие в ядрах G-функцию Мейера. Остальные получаются из них
при весьма частных значениях параметров. Обзор свыше 800 работ по
интегральным преобразованиям приведен в [11].
Остановимся на выводе формул обращения общих интегральных
преобразований, относящихся к названным классам.
1. Обобщение преобразования Ганкеля. Рассмотрим интегральное
уравнение первого рода
Jv.>. f Bl) = ( Кпт Jv.k (nt) f (т) dr = g (ii), 1] > 0,
6
(8-1)
где Jva(z)— обобщенная функция Бесселя—Мейтленда [61, 62]:
^v.x (z) =
(- l)ft (z/2)2fc_________________
Г [ 1 Z^-4- k., 1 —Л. —f— v -4 p^l
|i>0. (8.2)
В частности, она содержит функцию Еесселя Jv(z) (при р = 1, 7=0),
функцию Ломмеля sa,v(z) (при р = 1) и функцию Бесселя — Мейтленда
Jv (z) (при 7=0), точнее, справедливы соотношения
109
. . 21—“
J v,o (z) = (z); Jv,x (2) = - — sa,v (2)» и = 2X-|- v 1;
1 [Л, Л -f- v]
(8.3)
oo
jy (2) = V}
fe=O
(7 \v
— Jv
2 7
(~2)*
&!Г (1 + v + рЛ)
Преобразование (8.1), совершаемое над функцией f (т), называется J^.k-
преобразованием от f. Очевидно, что при р=1, Х = 0 7уд-преобразование
переходит в известное интегральное преобразование Ганкеля [3, 8, 9] (см.
(8.20)), которое при v = =F 1/2 в силу (6.31) принимает вид косинус- и си-
нус-преобразований Фурье (2.44), (2.45). При р = 1 7уд-преобразование пре-
вращается в преобразование Ломмеля, рассмотренное в [43], а при X = 0
Jv.x-преобразование сводится к преобразованию Мейтленда с функцией
Jv(z) в ядре, которое было изучено в работах [32, 66, 69].
В общем случае для вывода формулы обращения (8.1) удобно восполь-
зоваться следующим представлением функции Jv.x(z) через интеграл Мел-
лина — Бернса'.
Лд(2/г ) =
1 Г Г Г v/2 4- X + s, 1— v/2 — X — s'
2ni J 1 — v/2 — s, d — ps
L- =
2 Sds,
(8.4)
d = 1 -|- X 4- v — p (X 4- v/2),
где левая петля £_«, охватывает только левые полюсы s =—v/2—X—k,
k = 0, 1, 2, ..., подынтегрального выражения *>. Это представление не-
сложно получить с помощью теории вычетов так, как это делалось ра-
нее. Следует отметить, что условие р>0 исключает возможность инте-
грирования по правой петле £+<».
В соответствии с примером 9 из § 7 если выполняется эквивалент
р<1 условия A+B>C+D, то интегрирование можно вести по прямой
Res=y, где —Re(v/2+X)<y<l—Re(v/2-[-X), и функция (8.4) будет
аналитической в секторе |argz|< 1/2л(1—р). Если же р=1, то петлю
L-к, можно развернуть в соответствующий контур Lioo при условии, что
z — действительное положительное (arg 2 = 0) и выполняется дополни-
тельное ограничение limRes<l/2, s€£i«> (теорема 18).
S^oo
Чтобы было удобно пользоваться представлением (8.4), совершим в
равенстве (8.1) замены
т = 2 Vt , т] = \/Vx, (2/К^ ) =
t3/i f (т) = Жг (0, g (П) = У 2ц Ж (х), (8.5)
которые сведут его к канонической форме (1.1). Обозначим еще Ж* (s) —
= 1/$?* (s). Ясно, что в соответствии с (8.4) и (7.69)
= Г Г1— ^/2 —Х-4-s, v/2 + Х — s 1 , (8.6)
1 — v/2 4- s, d 4- ps J
*> Указанные точки являются полюсами при условиях 7.#=—1, —2, —3, .... X.4-v+l=#
—(fe+pZ) (k, 1=0, 1, 2, ...), которые исключают возможность погашения особенностей
нулями от знаменателя.
Ж3 (z) = — л 1 sin (nZ) z’-v/2 V Г [v + (1 + Z) (1 — p) — /гр] zk/k\ 4-
k=0
+ V Г [(1 + Z) (1 — l;p) — (v 4 Z)/p] X
*=0
X sin [(Z 4- v 4- k + 1) зт/pj (—\rz )fc/Z!. (8.7)
Предположим вначале, что выполняются следующие два условия: 1) р>1,
то есть не существует преобразование Меллина от .74 (т) (интеграл (1.3)
расходится), однако интеграл от X* (s) по соответствующей правой петле
существует и определяет функцию .74 (т); 2) функция Ж* (s) анали-
тична в некоторой правой полуплоскости Re s > у0.
Несложно установить, что тогда для функции Ж* (s) выполняются ус-
ловия, обеспечивающие существование следующего интеграла по некоторой
прямой Re s = у:
p+ioo
—-— ( Жз (sfz^ds = Ж3(г), y>y1=rnax(Rev/2—jl, —'Red/p), (8.8)
2ni J
7—loo
то есть преобразование Меллина от Ж3(г) (8.7) при указанных s сущест-
вует и совпадает со значением Жз ($) = [Ж* (s)]1-
Воспользовавшись условием аналитичности Ж* (s), запишем цепочку ра-
венств по некоторой достаточно широкой петле из полуплоскости
Res>T0, полагая, что на этой петле Res^y>y0, yf:
оо
2mJ42(0= J ^*(s)rsds= J (jX(0) 0^40 ]ж? (s) Жг (s) t~sds =
X--J-OO 0
= [ Ж3 (0) 0-1d0 J Ж1 (S)J42* (s) (Z/0)"Ms. (8.9)
0
Допустим, что интеграл (8.1) сходится, тогда сходится и соответствую-
щий интеграл (1.1). Поэтому выполняются условия теоремы 23, позволяю-
щие записать последний интеграл в виде
оо
—— Г J4t(s)J42*(s)(//0)-4s = С Ж, (4-) Ж'г(у) ~~ = Ж(W
2ш J J \ Qy / у
L. о
т“
Отсюда следует формула решения соответствующего уравнения (1.1):
Х2(/)= J X(//0).7f3(0)0“40- (8.10)
о
Совершив в ней обратную замену (8.5), придем к решению уравнения
(8.1):
оо
/ (т) = J Урт м (рт) g (р) dp, Ж(яУ= Ь^Жг (q2/4). (8.11)
О
111
В частности, при л—0, р,—1 функция yT(q)=Jv(q) и соотношение (8.11)
переходит в формулу обращения преобразования Ганкеля, для которого
имеет место
Теорема 24 [9, 15]. Пусть f(x)£Lc(O, оо) и является кусочно-диф-
ференцируемой функцией, a —If2. Тогда преобразование Ганкеля
(8.1) (р = 1, Т=0) существует и во всех точках х=т, где f(x) непрерыв-
на, справедлива формула обращения (8.11), где УГ (q) =Jv(q).
В общем случае ограничения, при которых была выведена формула
(8.11), можно ослабить, сохранив условия существования интегралов
(8.11), (8.1), условия на £(т]), обеспечивающие возможность предста-
вить £(т]) в виде (8.1), и некоторые ограничения на параметры р, v, X.
Так как детальное исследование этих вопросов в различных классах
функций fug потребует много места, то укажем лишь достаточные
условия, при которых сходятся интегралы (8.1) и (8.11).
В соответствии с формулами (4.56), (4.57) и (8.2) справедливы
следующие оценки [34, 61, 62]:
Л,х(х) ~ [я(1 ф fl)]->/2f^-P<v+2X+1/2’2(2p-,,(v+2Z+1/2’+Ix(v+-U)(1“2₽)-px
X exp [(рх2/4)₽ (рр) 1 cos (лр)] cos [(рх2/4)₽ (рр)-1 sin (лр) —
— лр (v+2M-1 /2)] {1+0 (Л“2Р)} ф Н (1—р) (х/2)'+2^-2 х
х{Г[Л, 1фХфт—р]}-1{1ф0(х-2)}, р=(Н р)-1, р>0, х-> оо,
JV,x(x)~(x/2)v+2X{r[l+X, l+X+v]}-1, х-»-0, (8.12)
где И (х)— функция Хевисайда (§ 11), причем /7(0) = 1.
Первая оценка показывает, что интеграл (8.1), где р>1, на оо сходится
лишь при условии, что / (т) на оо экспоненциально убывает, но так, что
это убывание компенсирует быстрый рост функции 7р,х (рт) при т]т—>-оо,
когда р>1. Поэтому, приняв во внимание замечание на с. 104, можно за-
ключить, что если интеграл (8.1) при р> 1 сходится, то функция УГГ (s)
аналитична в некоторой правой полуплоскости, то есть выполняется второе
из условий на с. 111, использованное при выводе формулы (8.11).
Пусть 0<р<1, а f (т) = О (та) при т->0 и /(т) = 0(тр) при т->оо.
Тогда интеграл (8.1) сходится, если Re (v 4-2л ф ос) >— 3/2, а в случае
р=1 выполняются еще дополнительные условия Re (v ф 2Х ф 6) < 1/2.
Rep<—1.
Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении интеграла (8.11). В
соответствии с теоремами 19, 20 и формулой (8.7) справедливы оценки
Х3(х) = 0{хр(г-,/2) v 2 1 ехр[—(px2/4)p(pp)-1cos (лр)]}, 0<р#=1, х-*оо;
УГЪ (х) ~ n~V2x3/4 cos [2 Ух — (гф2Хф 1/2) л/2] {1 фО (х-1/2)},
р = 1, х —* оо;
УГ3(х) = O(xi“'72) ф 0(xd/^), х->0. (8.13)
Они показывают, что для сходимости на оо интеграла (8.11) в случае
р<1 от функции g(p) следует потребовать соответствующее экспонен-
циальное убывание, а в случае р>1 эта функция может даже экспо-
ненциально расти.
Если g(p) = О(р“>), когда р->0 и g(p) = О(рРф Р-*°°, то при р>1
интеграл (8.11) сходится для любого (3j и a1>max(Rev— 3/2, 1/2—
— 2 Red/p).
112
Следует отметить, что решение (8.11), (8.7) уравнения (8.1) при X = О,
1, 2, может быть записано в виде [61]
/(т) = (-1)»-р-1Г2' j (pr/2)2(1+x+v,/M-v-2X-3/2 J(‘(^.+v), ц-x-i X
X ((рт/2)2^) g (р) dp. (8.14)
Если, в частности, Z = 0, то из формул (8.1), (8.14) следуют взаимообрат-
ные равенства, установленные в работе [32[.
В заключение приведем в качестве примера значение одного интеграла,
содержащего функцию ДЛ,х(2);
f (1 - Лд (at) tl~v dt = 1/2 Г (а) (2/а)“ Дц_аД+а (с), (8.15)
о
ReX>—1, Rea>0, с>0.
При р=1, Л=0 это равенство переходит в формул)' 6.567(3) из [7].
Доказательство соотношения (8.15) проводится с помощью преоб-
разования Меллина и затруднений не вызывает.
2. Гипергеометрическое преобразование Гаусса. Рассмотрим струк-
туру и выведем формулу обращения гипергеометрического преобразо-
вания Гаусса [50, 71]:
^°ebf(x) = r
а, Ь\ с\
— —}f(t)dt = g(x),
х /
Это преобразование при частных значениях параметров
обобщенному преобразованию Стилтьеса (когда с=Ь):
со
^bf(x) =
Г (а)
У ^преобразованию:
f(t)dt
(t + ху
ОО. (8.16)
сводится к
(8-17)
f (р) = lim -A— <Pab f( А') = Г [ а С ,F1 (а- с-, -tp) f (t) dt (8.18)
pi(b) \ P J L c J J
о
(при px—b^-oo), преобразованию Лапласа:
£f(p)= &af(p)= ^e~ptf(t)dt
b
(при a=c, px—b-^oa) и преобразованию Ганкеля:
£v<P(«) = 2v+is-v-3/2 lim ab f I
Г [a, 6] \ s2
oo
= j Уsx Jv (st) <р(т)с!т
b
(при xsz=4:ab, a-^-ca, b->oo, c=v-J 1, Tv+I/2f(x2) = (p (t)).
(8.19)
(8 20)
8. Зак. 216
113
Из свойства (5.6) функции Гаусса следует, что интеграл (8.16) суще-
е'
ствует, если при любых 0 < е < Е < оо существуют интегралы J f (t) dt,
о
оо оо
J Га f (0 dt, J t~bf (t) dt (a^b).
« £
Предположив, что функция f(t) удовлетворяет этим условиям, со-
вершим над равенством (8.16) преобразование Меллина, которое в силу
(5.2) приведет к формуле
(^'7)*(s) = Г
S 4- а — 1, s 4- b— 1,
S 4- с— 1
f*(s)= £*(*)• (8.21)
1 —S
Эта формула справедлива при условии абсолютной интегрируемости
функции /(/)/«—' по лучу (0, оо) и при условии тах(1—Rea, 1—Reb) <
<Res<l, которое обеспечивает существование преобразования Мел-
лина от гипергеометрического ядра. Последние ограничения будем счи-
тать выполненными. Несложно установить, что из них следуют указан-
ные выше условия на функцию f(t).
Разложив функцию Г[ ] из правой части (8.21) на три множителя и
приняв во внимание свойство (2.51) свертки, легко получим следующее
представление оператора (8.16) в виде суперпозиции трех более про-
стых операторов Лапласа £ и Вейля /_ (§ 11):
(х) = x^flx^W-1lt~hxx~c f(x) = g (х). (8.22)
Для справедливости этого равенства необходимо предположить, что
каждый приведенный в суперпозиции оператор существует.
Теперь для решения интегрального уравнения (8.16) достаточно по-
следовательно применить к равенству (8.16) операторы, обратные к
входящим в (8.22), и исследовать законность проводимых операций, то
есть выявить класс функций f и g, в котором все эти операции осущест-
вимы. Таким образом, при некоторых условиях на f, g и параметры
решение уравнения (8.16) может быть представлено в виде
f (х) = xc-1/^7cx1-b£_Ix1-D£_1x1-0 g (х), (8.23)
где означает оператор обратного преобразования Лапласа ([15],
гл. 8.2). Ограничения на f и g можно установить, если воспользоваться
условиями обратимости операторов £ и 1а в некоторых весовых клас-
сах, приведенными в работе [21], где рассматривались уравнения такого
рода.
Наряду с отмеченным к уравнению (8.16) можно применить и дру-
гой способ решения. Поделив равенство (8.21) на Г-множители и взяв
обратное преобразование Меллина (2.52) от обеих частей полученного
соотношения, придем к следующему представлению решения уравнения
(8.16):
V+to
/(/) = —2— lim С —---------r(s+c—!)g*(s)---------t-sds (824}
2m J Г [s 4- a — 1, s 4- b — 1,1 — s]
V— io
Из всего сказанного и теоремы 12 вытекает следующая
Теорема 25 [71]. Если существуют интегралы g*(s), функ-
ция f(x) кусочно-дифференцируема и непрерывна при х]>(), f(x) = 0(х’’),
114
0 [exp (—-Xе)], Ree>0, для больших х и выполняются
г, 1 —Reb)<Res = у< 1, с=/=0, — 1, —2, . . . , то
условия max(l —Rea, 1 —Reb)<Res = y< 1, c=/=0, — 1, —2, . . . , mo
решение уравнения (8.16) единственно и может быть представлено в
виде (8.24).
Докажем еще одно важное свойство оператора (8.16).
Теорема 26. Если существуют значения ft (х) == g, (х), i=l, 2,
и абсолютно сходится один из приведенных ниже интегралов, то спра-
и абсолютно сходится один из приведенных ниже интегралов,
ведливо равенство
О о
Доказательство. Совершим преобразование Меллина
(8.25)
ЗВ {] Л (Оg2 (x/t) r'df, s) = f-(s) g* (s) =
0
- f!WffWr [» + " '» + '“s
M)gl
О
х \ dt
— ------\ s
t / t
(8.26)
Так как преобразования Меллина сверток совпадают и сами преобра-
зуемые функции непрерывны (в силу аналитичности функции Гаусса),
то эти свертки равны. Положив, в частности, х=1, получим равенство
(8.25).
Из доказанных теорем можно вывести соответствующие результаты,
относящиеся к преобразованиям (8.17) — (8.20).
Теорема 27. Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям, указан-
ным в теореме 25. Тогда если существует интеграл (<Zaf)* (s+а—1)
и 1—Rea<Res<7, то оператор (8.17) обобщенного преобразования
Стилтьеса обратим по формуле
T+ia
1 I- С
----Г *lm I
2л1 с * J
V—to
г (а) г*
Г [s + а — 1, 1 — s]
(SoD*(s+o—l)ds- (8.27)
Если существует интеграл (^cf)*(l—s) и 1—Rea<Res<l, с=Д0, —1,
— 2, ... , то оператор (8.18) tF^преобразования обратим по формуле
T-f-to
J- lim ([Г,[ s + c-‘
2лi o-+~ j [s + a — 1, 1—s
V—io
(^/)*(1—s)t~sds. (8.28)
Если существует интеграл (£/)*( 1—s) и Res<l, то оператор (8.19)
преобразования Лапласа обратим по формуле
fit) =
—-— lim
2лг о-+~
Г rs
V—io
Г(1-5)
(£/)*(! —s)ds.
(8.29)
Следует отметить, что в работе [50] был получен другой вид форму-
лы обращения преобразования (8.16) и установлены необходимые, а
также достаточные условия обратимости (8.16) в некоторых классах
функций. Выведенная там формула обращения содержит производные
дробного порядка и предел в среднем квадратичном.
3. Преобразование типа свертки с G-функцией Мейера в ядре. В те-
ории интегральных преобразований важное место занимает вопрос об
условиях, при которых справедлива формула
f (х) = j" h (хи) J k (их) f (г) dxdu.
о о
(8-30)
Если, в частности, h(x)=k(x), то такая функция k(x) называется сим-
метричным ядром Фурье (см. (2.37)). Например, как показано выше,
преобразование Ганкеля (8.20) имеет симметричное ядро k(x)=^xJv(x).
В приложениях широко используются преобразования вида
оо оо
J k (их) f (х) dx = g (и), f(x)~ j" h (xu) g (и) du
о о
(8.31)
с несимметричными ядрами Фурье, для которых h(x)^k(x). Простейшими
примерами таких преобразований являются взаимообратные У- и Н-преобра-
зования [3], для которых k(x)=]/rx У\(х) и ft(x)=^]/x Hv(x).
Если к равенству (8.30) применить преобразование Меллина (1.3),
то несложно установить необходимое условие
h* (s) k* (\ — s) = 1, (8.32)
которому должны удовлетворять ядра Фурье k(x) и h(x).
Теория G-функции Мейера (4.53) и //-функции Фокса [42, 53] дает
возможность указать весьма общий класс ядер Фурье. Так, несложно
убедиться, что при определенных условиях функции
k (х) = 2ух^'2 GX,m+„
h(x) = 2ухт—1/2 Gnpa+q,m+n х^
аР,
Ьч
dn
(8.33)
-dn,
(8.34)
удовлетворяют требованию (8.32) и являются ядрами Фурье. Если
p = q, т=п, aj + bj=O, /=1, 2, ..., р, ch-(-dh = 0, fe=l, 2, ..., т, то k(x) =
=h(x) и преобразование (8.31), (8.33) симметрично. Такое преобразова-
ние рассматривали Фокс [42] и Нараин [54—56], которые вывели доста-
точные условия существования формул (8.31) — (8.34) для симметриче-
ского и общего случаев в классах L и L2. Похожее преобразование изуча-
лось в работе [47], а более общее — в [45, 46]. Приведем здесь основную
теорему из работы [55].
Теорема 28. Пусть выполняются следующие условия: 1) у > 0,
0<n — p=m—q=T]/2, 2) ci + Z 3> 1/2 — ReGJ>
> l/(2i]), 1/2 +Re6j>l/(2T1)/~1l/2 + ReQ >=l/(2i]). 1/2 —Red; >
> 1/(2т]) для всех / = 1, 2, 3, . . . , d) функция f(l) кусочно-дифференци-
руема и 5v/n-,/2/(^) 6 Lc (0, оо). Тогда во всех точках g = x>0, где f(l)
непрерывна, справедлива формула (8.30), где k(x) и h(x) имеют вид (8.33),
116
(8.34), а в точках разрыва значение f(x) из равенства (8.30) следует за-
менить на l/2[f(x — 0)4-/(х4- 0)].
Замечание. Из этой теоремы при т=п=\, p=q=Q, 2ct=v, у=1/2
получается теорема 24. Если же положить т=2, p=q=l, п—0, у = 1/2,
а,=0, bi—с—1, Ci=a—1, c2=b—1, a f(t) заменить на то первая
из формул (8.31) примет вид преобразования Гаусса (8.16), к которому,
однако, теорема 28 неприменима, но применима более общая теорема обра-
щения из работы [46].
Укажем, как вывести достаточные условия на функцию /(т), которые
обеспечат сходимость первого из интегралов (8.31). Легко заметить,
что простые замены переменной в интеграле (4.53) приводят к следую-
щим общим свойствам G-функции Мейера ([2], гл. 5.3):
Gmn
PQ
Gnm
qp
4- о
+ °
1 — «р
(8.35)
(8.36)
Второе свойство дает возможность преобразовать G-функцию, для
которой p>q, в G-функцию, где p<q. Поэтому, не теряя общности,
можно считать, что р=С</. Тогда, как вытекает из теорем 18—20, при
l=Cn=Cp^<7, 2(m-\-n)~^p + q справедливы следующие оцен-
ки для G-функции действительного аргумента:
G™ х
„ х О(|Х|₽), х->0, ₽ = minRe₽ft,
ар । _ I Isjfcs&n
₽<7 / О(|Х|“~*) + EXPCOS[(9 —рх(’/<’-Р> -]-б],
(8.37)
х—>-оо,
a = maxReaft, е=0, б—'const (е#=0, <£j:p4-2, 2(т+/г)=р+<7),
(9 —Р)Р = (1+Р—?)/2 + Re(V р,—V а.), q^Lp.
i=i /=1
Если, в частности, p=q=m п, то функция С'фф (г) имеет еще одну особую
точку 2=1, которая, как и точки 2 = 0, z= оо, является в этом случае
правильной. Эта функция интегрируема в окрестности точки 2=1, если еще
р
выполняется дополнительное условие Re У, (а; — р,) > 0.
/=1
Если n=0, q>p, 2m>p-[-q, то G^(x) при х-*-[- оо экспоненциально
убывает (см. (4.47)). Эта функция экспоненциально растет на + оо, если
2(т-(-и)<;р \-q, р<т-[-п, н>0 (см. (4.51)), причем справедлива оценка
— (q—p)xl/e cos
q — in — п
q—p
X cos (q — p) xi/(o-p) sin
_q-m-n n+B
q—p
A, B—const, x->- Ц- oo.
(8.38)
Полученные свойства несложно перенести на случай функции /г(х)
(8.33). Ясно, что для сходимости первого интеграла (8.31) в 0 и на оо
необходимо, чтобы функция f(r) определенным образом компенсирова-
ла рост функции k(ur) в случае его наличия.
Л X
117
4. Несверточное преобразование с G-функцией Мейера в ядре. Рас-
смотрим еще одно общее интегральное преобразование, содержащее в
ядре G-функцию Мейера (4.53), введенное Уимпом в работе [73]:
00
j Gp+2,q
t
1 v-f-tx, 1 v tx, ^\f(t)dt = g{xy (8.39)
Pg I
Особенностями этого преобразования являются те обстоятельства, что
оно несверточное и что интеграл зависит от переменной х, входящей в
параметры, а не в аргумент G-функции. Как показывается ниже, в фор-
муле обращения преобразования Уимпа интегрирование следует вести
по параметрам, а не по аргументу, что имело место в предыдущих при-
мерах.
Преобразование Уимпа и формула его обращения, построенная в
[73], существенно обобщают пару двойственных формул известного пре-
образования Канторовича—Лебедева [19]:
2л-2х sh лх J К,х (t)f (t) Г1 dt = g (x), (8.40)
о
oo
f(x)= [ Kit(x)g(t)dt (8.41)
b
и пару двойственных формул обобщенного преобразования Мелера — Фока
ШГ-
хл-1511лхГ[1/2—Л-Н’х, 1/2 — k — ix] Р-х_1/2 (ОНО = ё(х), (8.42)
i
оо
Нх)= JPLi/2(x)g(0d/. (8.43)
о
Здесь Kv(0 означает функцию Макдональда (6.26), а Р*(0 —присоединен-
ную функцию Лежандра 1-го рода (§ 11).
Отметим, что если в последних формулах положить fe=±l/2, то после
замены х на chx, f(chx)]/shx на f,(x) несложно получить формулы
(2.44)—(2.47) косинус- и синус-преобразований Фурье.
Покажем, что формула обращения преобразования (8.39) формально мо-
жет быть записана в виде
f (х) = гл 1 j te~v™ {е™А (хе™’ | v-|-i7, v—it) — е-л/Л (xe™ | v — it,
о
V + it)}g(t)dt,
где
(8.44)
A (z | a. p)=G’+7.r"+1 X
X
— an+l. —«П+2.
Pm+1’ Pm+21
. . , —ap, a, —at, — a2, . .
• • - > —Pg> —Pi» —P2
—«п- P\
-Pm /
(8.45)
Чтобы вывести эту формулу, в соответствии с [73] вначале преобра-
зуем уравнение (8.39) к уравнению типа свертки Меллина (1.1). Для
этого в равенстве (8.39) заменим х на —iu, умножим его на х~иdu и
118
I
проинтегрируем по прямой (—too. too). Несложно убедиться, что спра-
' ведливо соотношение
1 Г „^m.n+2 Л 1 — V + и, 1 — V — и, ар \
--- I x-^Gp^ I / ] du =
Ш J \ Р7 /
—i оо
I Г г [(₽-) + «.
(2ш)2 J (а+) + s,
L
1 — (а_) — s
1 -(PJ-S
I оо
t~sds j T[v — и-—s, v-J-u—s]x~“du =
—Joo
(1-l-x)2
V Sr(2v — 2s)ds =
2 У л
Gm ,n~t-2
p+2,<7
1 —v, 1/2 — v, ap\
₽, )•*
4x
(1+x)2
(8.46)
где под L понимается контур Lle) или L_<» (Res<Rev, s^L), охватываю-
щий только левые полюсы s=—Ру k, j=l, 2, ... , tn, k=0. 1, 2, . . . ,
(P-) = (₽i. ₽2- • • • • Pm)’ (₽+) = ₽m+i’ • • ’ ₽<?’ пРичем B c“P'4ae L = L‘“
выполняется одно из следующих дополнительных условий сходимости:
l)argi=0, 2(т-1-« <-1)>р+9; 2) 2(m-[-n+l)=p+<7, arg^ = 0, lim Resx
S-*oo,S£Z.
P Q
X(g—p—2)<l-j-(<7—p)/2 4-Re(Voc7 —V ₽y —2v); 3) m+n=p, p+2=
/=i /=i
=q>2, Re (У a7-— У. P> — 2v) + 3/2>0, а в случае L=L_«: ?>p+2
/= 1 /= 1
или q=p-\-2 при |х/|<1 и предполагается, что все левые полюсы конту-
ром L отделимы от правых.
Введя обозначения
^(t) = G^+2
1 — v,
1/2 —v, ар
,Г2('с) = т'У(1/т),
(8.47)
Л (х) — x~v (i Уп ) 1 j х-и g (— iu) du,
—ioo
запишем полученное из (8.39) равенство в виде свертки:
оо
J (x/t) жг (О г1 dt^J/1 (х).
о
(8.48)
При решении этого интегрального уравнения можно применять технику,
использованную ранее. Тогда несложно формально вывести равенство
.^2(-г)=-^г f
2ш J
t оо
.T*(s)
Ж1 (S)
т Sds.
(8.49)
119
Вычислим преобразование J£f*(s). Пусть вначале Reu = c<0, Rev-'rc<
<Res<Rev. Тогда
(S)=(s) = (i У я ) 1 J dx [ x~“ g (— iu) du =
0 C—too
= 4S~V (i J )-1 J g (—hl) du J xs-v-u- 1 (1 _ x) (1 4- x)2v-2s-l
C— too 0
£-|-ioo
As—V/rfw(s—v) p
= -———-=—— Г (2v — 2s) I g (— iu\ e~niu (— 2u) Г
i у л J
C—too
Преобразование Меллина функции J^i(r) при
условиях имеет вид
s—v—и
1 -J- v—s—и
(8.50)
соответствующих
du.
X*(s)= Г
(₽_) + s.
(«+) + S,
1 — (а_)-S
l-(₽+)-s
Г [v — s,
V + 1/2 —s].
(8.51)
Эта формула получается из определения G-функции (4.53) при дополнитель-
ных условиях того случая, когда в качестве контура L допустима прямая
Res = y: —min 0,<у<1— max Если же преобразование Меллина от
1^/^П
/Л^Дт) не существует, но интеграл Меллина—Бернса от правой части (8.51)
сходится и равен J^,(t), то и в этом случае под Ж* (s) будем понимать
значение (8.51).
Подставив (8.50), (8.51) в формулу (8.49), после сокращения T(2v—2s)
получим равенство
r-f-ioo
Ж 2 (т)=-----— Г «ё (—«О е~я,(v+“> х
Ш J
С—loo
Т+1’°°
X ——— Г г
2ш J
7—too
’(«+) + s>
_(₽-) + s,
l-(P+)-S,
1 — (a_) — s>
(е~л‘т) Sdsdu =
c-j-ioo
=-------— f Ug (— tu) e~ni< v+“) G^~+t1 • 9~m x
ni J
C—too
g-mlPm+l’ • • ’ ₽9’ ₽!’•••> ₽m \ du (8 52)
|ccn+1, . . . , CCp, — U—V, CCp . . . , ccn, u — v)
Если в последнем равенстве совершить замены (8.47), тх=1, =Ftu = Z,
воспользоваться свойствами (8.35), (8.36), g(x)=g(—х) и положить
с = 0, то несложно получить формулы (8.44), (8.45).
Частные случаи общих формул (8.39), (8.44), (8.45) приводят к пре-
образованиям Конторовича—Лебедева, Мелера—Фока, Олевского, Ле-
бедева и к ряду других двойственных формул. С помощью определения
G-функции Мейера можно убедиться в следующем:
1) если положить т=п = р — q = 0, то после замены t sh(/n) g (t/2) на
g(t) и 2л2 (x2/4)v-1 f (4/x2) на f (x) выводятся формулы (8.40), (8.41) преоб-
разования Конторовича — Лебедева;
120
2) если п=р—О, m=q=l, то после замены 0, на 1/2—v—k, t на t~l,
х на х"1, e?/2/v-s/2 f (fi) на получается пара двойственных формул с
функцией Уиттекера:
ГД1/2 — k — ix, 1/2 — k + ix] J Wk_ix(t)f(t)dt = g(x), (8.53)
о
f (x) = (лх)-2 J t sh (2л/) Wk it (x) g (/) dt, (8.54)
о
которая при £=0 переходит в пару (8.40), (8.41);
3) если л=р=0, /п=1, <7=2, то после подстановки 0,=£, 02=о' выво-
дятся формулы
£]—ix, ?+<х
1+^-0
^2^1 (В-1Х' ?+1Х’
1-Н-ст; -t)f(t)dt = g(x).
(8.55)
f(x) =
Х-°
Г(1 -+- g —cr)
Г ^Ь(2л/)2Г1(1-<г-х7, 1-0-+77; 1+Е-<т; -х) g (
J Г [o' — it, в + it} (ch2 л/ — cos2 лег)
о
которые простой заменой отличаются от формул преобразования М. Н. Олев-
ского [23];
4) если в последних равенствах положить о'=1/2, £=1/2—| и заменить
(I + l)fe/2 /(>—*>/2 / (Г) на /(27+ 1), a 2xsh(nx)g(x) на л§(х), то легко по-
лучить формулы Мелера—Фока (8.42), (8.43);
5) если т=р=<;=1, п = 0, cq = 1 —v, 0, = 1/2 — v, то после замены
2)^ л t2v~3f(t~2) на f(t) и сЬ(лх)£(х) на g(x) выводятся формулы, уста-
новленные Н. Н. Лебедевым [20[:
j [Iix (/) + I_ix (/)] Kix (/) f (/) dt = g (x),
о
(8.57)
f(x) =-------i-A f t sh (nt) Ku (x)g(t)dt-, (8.58)
л2 dx J
о
6) если m--0, p=q=n = 1, oq = 1—v, 0i = 1/2 — v, то после замены
2/2v-3 (/-2) на получаются формулы
2л- • /2 j К2Х (0 f (0 dt = g (х), (8.59)
О
оо
f 4- $(x)tg(t)dt. (8.60)
у л J dx
— co
Насколько известно автору, условия, при которых формулы (8.39) и
(8.44) являются двойственными, в общем случае не установлены. По-
этому ограничимся лишь изложением достаточных условий обратимо-
121
сти, относящихся к частным случаям. Справедливы следующие резуль-
таты.
Теорема 29 [19]. Пусть f(t)—кусочно-дифференцируемая на ин-
тервале (0, оо) функция, причем t~'f(t) ln/6£c(О, е), t~i/2f(t)QLc(e, оо),
е<1. Тогда существует интеграл (8.40) и во всех точках t=x, где f(t)
непрерывна, справедлива формула обращения (8.41).
Теорема 30 [19]. Пусть f (/) — кусочно-дифференцируемая на ин-
тервале (1, оо) функция, причем f(f)£Lc(l, Е), /-'/2 f (/) In t £LC (E, co),
E>1. Тогда существует интеграл (8.42) при /г=0 и в тех точках t=x,
где f(t) непрерывна, справедлива формула его обращения (8.43) при k=0.
Эти теоремы остаются в силе и для случая, когда f(t) является
функцией ограниченной вариации [15]. В таком более широком классе
они приведены в работе [19].
Следует отметить, что все полученные выше пары двойственных
формул могут быть использованы для вычисления ряда интегралов,
взятых по индексу специальной функции, входящей в интеграл. Напри-
мер, если в равенстве (7.56) положить p=ix, а = 1, Ь = —ip, f(t) =
=t4v(pt), ng(x) = 2tvxA4sh(jix), то оно сведется к форме (8.40). Вос-
пользовавшись теоремой 29, соответствующее равенство (8.41) неслож-
но записать в виде
f t sh (nt) Kit (x) Г [ 1 /2 (A + v + it), 1 /2 (Z + v — i/)] 2Ff (1 /2 (X + v + it),
b
1/2 (A+v — it); v-|-1; —p2)dt = 21~Чг2Г (v+1)p~vxKJv (px),
— Rev<Re£<l. (8.61)
Этот интеграл отсутствует в таблицах [3, 7].
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
§9. СТРОЕНИЕ БАЗОВОЙ ТАБЛИЦЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
МЕЛЛИНА И ПРАВИЛА ПОЛЬЗОВАНИЯ ЕЮ
Базовая таблица (§ 10)—это таблица интегральных преобразова-
ний Меллина тех функций J$f(x), образы которых Ж* (s) (3) являются
произведениями отношений гамма-функций от s на некоторые постоян-
ные, то есть имеют структуру вида (5). Эта таблица содержит около
1200 соответствий между функциями Жг(х) и их преобразованиями Мел-
лина Ж t(s) (1.3), причем оригиналы Жг(х) расположены в левой части
«строк», а их образы Ж^ (з) — в правой. Для обозначения встречающих-
ся функций используются символы, которые можно расшифровать через
перечень обозначений функций (§11). В правых частях строк базовой
таблицы также указаны условия на Re s и параметры оригиналов Ж1 (х),
при которых преобразование Меллина Ж((з) существует, то есть инте-
грал (1.3) сходится. Эти условия близки к необходимым или являются
необходимыми.
Функции Жг(х) в целом по таблице располагаются в порядке воз-
растания их сложности. Поэтому в конце таблицы содержатся наиболее
общие функции: Уиттекера, Гаусса, Мейера и др., а в первых разделах
приводятся главным образом их многочисленные частные случаи (см.
окончания § 5, 6).
Из всех соответствий между Жг(х) и J^i(s) четвертую часть состав-
ляют так называемые ключевые соответствия: их около 340. Каждое из
этих соотношений может являться основой для вывода широкого мно-
жества родственных соответствий по трем направлениям, указанным в
замечании 2 на с. 10. В таблице после каждого ключевого соответствия
между функцией Ж(х), отраженной в указателе ключевых формул
(§ 12), и ее образом Ж*(з) приводятся еще несколько (до 9) родствен-
ных соответствий между этой же функцией, но с аргументом anxt/n
вместо х: Ж(апх11п), п=—1, ±2, ±3, ..., ап—const, и ее преобразованием
Меллина вида (5). Эти соответствия получаются с помощью формулы
умножения для гамма-функции (см. теорему 22) и общих свойств пре-
образования Меллина (начало § 10). В определенной мере они дубли-
руют ключевые формулы и поэтому в указателе не отражены, но в таб-
лицу введены по следующим причинам: наличие этих формул позволяет
наиболее полно реализовать принцип «каждые две строки таблицы слу-
жат основой для вычисления сверточного интеграла вида (1.1) от функ-
ций Жг(х), расположенных в этих строках слева», при переходе от
Ж(х) к Ж (апх1/п) постоянный множитель при образе Ж*(з), вообще
говоря, меняется по некоторому, довольно сложному правилу и, нако-
123
нец, дублирование формул увеличивает возможности контроля над
табличными результатами при их использовании.
Таким образом, базовая таблица состоит из блоков родственных
соответствий, которые выводятся из ключевых путем указанных выше
операций. Родственные соответствия, дополняющие таблицу в первых
двух направлениях (см. замечание 2 на с. 10), могут быть получены чи-
тателями самостоятельно после внимательного изучения теории метода и
разбора примеров. Для пояснения рассмотрим два примера вывода род-
ственных соответствий на основе ключевых.
Пример 1. В строке 3.1(1) § 10 указано ключевое соответствие
-<->F(s), а за ним еще ряд родственных соответствий между функциями
п _ 2, k, —1, —k, и их образами. Поясним, почему приведены
функции ег~ 1П1*1/Л, а не е~хХ,п. Если в оригинале е~х переменную х заме-
нить на х1/п, п—2, 3, . . . , то, приняв во внимание общее свойство преоб-
разования Меллина (строка 1.5 из § 10), получим соотношение е~хХ1п «-»-
<-пГ(п5), Res>0. Для сведения Г (ns) к виду (5) применим формулу ум-
ножения (3.16):
е~^х -<->-n"s]/n (2л)О-")/2 Г[Д(п, ns)], Res>0. (9.1)
Чтобы избавиться от множителя nns, отсутствующего в (5), аргумент х
заменим на ппх. Так получаются все соответствия 3.1 § 10, которые иг-
рают важную роль при составлении таблицы преобразований Лапласа
[3, 59].
Если читателя интересует прообраз Г(s) при —п—l<Res<—п, п =
= 0, 1,2, ..., то его можно найти из функции е~х вычитанием n-го отрезка
ее ряда Тейлора:
е~х— V(—x)ft/fe!-<->r(s), —n—ICResC—n, n=0, 1, 2,... (9.2)
k=0
(см. формулу (3.11) или замечание 2 на с. 61).
Пример 2. В строке 2.2 (1) указано ключевое соотношение
(1-%)“-*
s
s -|- а
<-Г(а)Г
Res>0, Rea>0.
(9-3)
Если здесь х заменить на 1/х, то получим родственное соответствие
— s
а —- s
х1~а(х— !)“->
— Г (а) Г
Res<0, Rea>0. (9.4)
Множитель х1-а можно убрать, совершив в правой части (9.4) замену
s на s-|-a—1 (свойство 1 4 § 10). Так выводится более удобное для ис-
пользования соотношение 2.2 (4):
(x-l)a-i ^Г(а)Г
Re s — 1 < — Re a < 0. (9.5)
Если — n — 1 < Re s <Z — n, n = 0, 1, 2, ... , то прообразы S, (x) =
= (1—x)“-1 и S0(l/x) — 0 следует заменить на S1+(x)— Sn_(l/x) и So+ x
X (1/x)— Si_(x), где S0(l/x) = S0±(l/x) = 0, x> 1, а 2\_(х) является
n-м отрезком ряда Тейлора функции Si(x)=(l—x)a~', 0<х<1 (см. заме-
124
чание 2 на с. 61) . Таким способом получается формула
ЛГ(х) =
(1 _ х)а-1 _ v (1— a)kxklk\, 0<х<1,
fe=0
— v (1— a.)kxklk\, х>\,
й=0
S
Г(а)Г
— п — 1 < Re s < — п,
Rea>0,
п = 0, 1, 2, . . .
(9.6)
Замена в (9.3), (9.5) х на у х приводит к соотношениям, располо-
женным в строках 2.2 (3), (6).
Отметим, что интегралы вида (1.1) от произведений функций (9.3),
(9.5) на остальные функции базовой таблицы являются интегра-
лами Вейля или Римана—Лиувилля [3] произвольного порядка а от
функций .7fz(x) (см. п. 1 § 10).
Как указывалось в конце § 5, большинство функций ^Й"г (х) из § 10
представляет собой разного рода частные случаи гипергеометрической
функции Гаусса, которая возникает, если в теореме Слейтер положить
A-}-D=B-l-C=2. Исследование такой ситуации дает возможность вы-
вести соответствия, расположенные в строках 12.11—12.29 § 10. Если в
этих формулах и их аналитических продолжениях параметры а, Ь, с
связать дополнительными условиями, то можно получить большую
часть ключевых формул, относящихся к функциям (5.30)—(5.39),
функциям Лежандра, многочленам Якоби, Гегенбауэра, Чебышева,
Лежандра, полным эллиптическим интегралам и другим специальным
функциям, приведенным в § 11. Многие из ключевых формул отражены
в справочниках [2, 3, 7, 10, 57—60], причем в некоторых случаях с опе-
чатками. Свыше сотни ключевых формул, выведенных путем изучения
частных случаев теоремы Слейтер, когда A-t-B-j-C+D^4, в указанных
источниках отсутствует.
Особые требования к точности ключевых формул, каждая из кото-
рых может служить основой для вычисления большого числа новых ин-
тегралов, привели к необходимости тщательной перекрестной проверки
этих формул. Такая проверка для многих из них проводилась неодно-
кратно, что позволяет надеяться на малую вероятность ошибок в фор-
мулах базовой таблицы.
Ввиду большой важности каждой новой ключевой формулы для
вычисления интегралов особое внимание при составлении таблицы было
уделено вопросу ее полноты. Автор стремился кроме более общих клю-
чевых формул отразить в таблице и их всевозможные частные случаи,
которые имеют ценность в приложениях. Степень полноты составленной
таблицы характеризует тот факт, что лишь около половины приведен-
ных в ней ключевых формул можно получить с помощью списков част-
ных случаев G-функции Мейера, содержащихся в работах {2, 51, 53].
Методика вычисления определенных интегралов от функций, отра-
женных в базовой таблице, подробно изложена в § 1, 5—7, где наряду
с теорией разобрано большое число всевозможных конкретных приме-
ров. Поэтому здесь достаточно остановиться лишь на общих аспектах
работы с базовой таблицей.
Как следует из разобранных в § 7 примеров, при вычислении инте-
гралов излагаемым в книге методом основные трудности возникают на
125
- I
двух этапах: начальном, когда интеграл сводится к канонической фор*
ме (1.1) и одновременно требуется отыскать в базовой таблице подхо-
дящие функции X’i(x), i=l, 2, и заключительном, особенно в логариф-
мических случаях, когда полюсы сливаются и приходится непосредст-
венно применять теорию вычетов при нахождении оригинала Ж (х) по
его образу О заключительном этапе вычислений речь шла в § 1,
4—7. Затруднения начального этапа носят в основном психологический
характер: нужно суметь заметить, что вычисляемый интеграл по сути
своей относится к тому классу интегралов, который подчиняется настоя-
щему методу, или же к этому интегралу требуется какой-то иной под-
ход. Задача классификации интегралов и отыскания в таблице подхо-
дящих функций ^г(х) является, вообще говоря, далеко не тривиальной
(см. примеры 6—8 из § 7), ее решение требует известных навыков.
На всех этапах вычислительной работы не исключены ошибки или
описки, которые могут привести к ошибочным результатам. Для полу-
чения правильных результатов, вообще говоря, недостаточно провести
выкладки один раз. Дак бы тщательно они ни проводились, гарантиро-
вать точность полученного результата можно только после применения
к нему различных средств контроля. К таким средствам можно отнести
следующие: 1) повторные вычисления, но уже несколько иными спосо-
бами; 2) «привязывание» результата к его уже известным частным или
более общим случаям; 3) рассмотрение симметрии полученного резуль-
тата; 4) перепроверку чужих результатов, которые пришлось исполь-
зовать в вычислениях без доказательства их справедливости (это отно-
сится и к формулам базовой таблицы). Особая аккуратность требуется
при работе с логарифмическими случаями, где выкладки могут быть
весьма громоздкими, а перекрестные проверки затруднительны.
Следует отметить, что число интегралов, вычисляемых настоящим
методом, можно существенно расширить, если использовать еще приемы
I • дифференцирования или интегрирования по параметрам, входящим в
। подынтегральную функцию, разложения в ряды и другие операции (см.,
1 например, с. 90, 97). Повторным применением преобразования Мел-
। лина по разным переменным можно вычислять интегралы от произведе-
I ний нескольких функций Х<(х) из § 10 (см. п. 8 § 7).
I Чтобы сделать книгу более компактной и удобной для читателей,
I интересующихся теоретической частью, в базовой таблице были осу-
ществлены следующие сокращения:
1. Почти в каждом блоке опущены родственные соответствия с но-
। мерами 3 и 5 (или 4), а иногда и с другими номерами. При необходи-
мости они могут быть восстановлены читателем по оставшимся соот-
ветствиям с номерами 1, 2, 4, 6 (или 1—3) (способ указан ниже).
2. В пунктах 10, И опущено свыше 150 «почти ключевых» соответ-
। ствий с их следствиями, которые можно восстановить, если воспольчо-
। ваться «четностью» ортогональных многочленов и «симметрией по ин-
I дексам» функций Лежандра [2]:
I ^(-z) = (-lrPn(2), Тп (-2) = (-!)« Tn(z),
I
| {7п(-2) = (-1)"(/л(2),
1 ф-2) = (-1)пс£(2), P<a₽)(_2) = (_l)nP<₽’“’(z), (9.7)
I K(z)= Р^_!(2),
' 126
Pvm(z) = атГ
v — tn + 1
V + tn + 1
Pv (z), tn = 1, 2, 3. . . . ,
Qv11 (z) = ац e~^ Г [v И + J 1 QV (z),
[v + p+ 1 J
(9.8)
где ат=ац=1, если z£[—1, 1]; am = (— l)m, если —1<z=x<1.
3. Опущены функции Лежандра с нулевым индексом р:
Qv'(z)’= <?S(z). Pv(z)=P?(z), Q„(z) = Qv(z), v=--n, n=0, 1, 2, ....
(9.9)
функции Якоби 2-го рода (z) и неполные бета-функции В Др, q). При
работе с этими функциями следует обращаться к пункту 11 и полагать
там р=0 или же, выразив функции Q„“'₽) (z), Вх(р, q) через гипергеомет-
рическую (§ 11), использовать соответствующие формулы из пункта 12.
Следует также учитывать, что функции Qn (z), Р*1/2 (z), Qv 1/2 (z), Qft (z),
Ql] (z), Pn(z) представляют собой комбинации элементарных функций ([2],
формулы 3.6 (24), (12), (13), 3.3 (13), 3.2 (3)).
4. В некоторых случаях, когда функции Жг(х) могут быть доопреде-
лены по непрерывности при отдельных значениях параметров, приводя-
щих к устранимым особенностям, условия на параметры, исключающие
эти значения, опускались (см. абзац после формулы (5.3)).
Базовая таблица состоит из блоков родственных соответствий, ко-
торые получаются из ключевых путем указанных выше операций. Для
восстановления пропущенных соответствий следует использовать внут-
реннюю симметрию формул из каждого блока, характер которой легко
замечается после анализа соответствий из полных блоков 2.2, 3.1 —3.3.
Так, если в блоке'из 6 соответствий приведены лишь 4, то пропущенные
соответствия с номерами 3 и 5 выписываются следующим образом. Ори-
гинал для соответствия 3 (5) находится из оригинала Ж (х) соответст-
вия 1 (4) заменой там х нар х или З'р х (х на ух или 2 у х). Коэффици-
ент при r£s] для соответствия 3 (5) равен коэффициенту при Г[ ] в соот-
ветствии 6 (2). Выражение F[s] и условия на Res для соответствия 3 (5)
получаются из выражения Г[ ] и условий на Res в соответствии 1 (4) пу-
тем замены Г[ ] на Гз[ ] (Г2 [ ]) и s на 3s (2s). .Аналогично с помощью
соответствий 2 и 3 восстанавливается формула 4 из блока, в котором
должно быть 4 соответствия, а приведены 3.
Для пояснения сказанного рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Из формул 2.8 (1), (2), (4) вытекает соответствие
2.8 (3):
---^~г=- Гз
8л5/2 ]/3
(1
Г3s, —v/2-|-3s, (1—v)/2—3s'
[ 1 — v + 3s
(9.10)
0 < Re s < — Re v/6,
и соответствие 2.8(5), указанное под номером (9.16).
Пример 2. Из строки 11.1(1), где представлена функция Р£(2х—1)х
X (1 — х)+ц/2, путем замены р на —tn можно легко получить строку, со-
держащую в левой части функцию Р™ (2х—1)(1—х)+/2. Из строки 11.7 (1),
где стоит функция Р$ ( —--------—(l+x)v, после замены v на —v— 1
107
1 — X
выводится строка с функцией Р?\
функциях р,= т = 0, v = п и обратившись к строкам 10.1(1), 10.3(1), не-
сложно заметить, что из последних с помощью
строки, содержащие функции Рп(1—2х)Я(1—х), Рп
Пример 3. Требуется вычислить интеграл
(l-)-x)-v— *• Положив в этих
(9.7) можно образовать
ТУгН1»-'-
А (а) = J (хф- У а2 + х2 )v е~х dx.
о
(9 11)
Обратимся к пунктам 2, 3 указателя из § 12. В строках 2.8(1), 3.1 (^не-
сложно обнаружить функции (1 + ] 1 + x)v, е~х, похожие на те, что входят
в интеграл. Составим из них интеграл вида (1.1), внеся еще множитель хк
с некоторым параметром X:
оо
Ж0(х) = j (1+ yv+x/t у е~* tKt~ldt.
О
(9-12)
Если здесь t заменить на т2, то легко получить интеграл
^0(х) = 2 j (тф- Кт2 фХ )vT2X-v-l g-T!
о
принципиально отличающийся от (9.11) лишь присутствием е~т2 вместо е~х. Что-
бы ликвидироват ь это различие, за исходную возьмем функцию е-21 х из строки
3.1(2). Эта функция не отражена в указателе, но имеется в таблице. Та-
ким образом выведем равенство
Ж(х) = 2 J (тф- /т2 + х )vT2Z-v-,e-2^T|2i=v+i = 2~М(21<х), (9.13)
о
сводящее интеграл (9.11) к канонической форме (1.1). Дальнейшие операции
осуществляются, как описано в основной теореме (§ 1), и приводят к зна-
чению Л (о) через функцию S3(a2/4), содержащую три ряда 2F3.
Пример 4. Рассмотрим интеграл
В(д) = J (У а +Уа-\-х )ve-x‘dx. (9-14)
о
Аналогичные рассуждения позволяют установить формулы
В (а) = ^(а2)/2, .Г, (х) = (^х Ф- ]^Ух + l)v,
Ж2 (х) = х* е~х, 4Х = v ф- 2, (9.15)
где Ж(х) имеет вид (1.1). Функция Ж1(х) не отражена в указателе и опу-
щена в базовой таблице, где должна была находиться в строке 2.8(5).
Эту строку легко восстановить из оставшихся строк блока 2.8:
128
[s, s+1/2, $+1/4, S+3/4, —v/4—s, 1/2—v/4—$1
X I I . I > (У.1О)
[1/2—-v/4+$, 1—v/4 Rs J
0 < Re s < — Re v/4.
С помощью основной теоремы несложно выписать итоговое значение
интеграла (9 14) через функцию 25(а2), содержащую ряды 4F4.
П р п м е р 5. Рассмотрим интеграл
/у ! f \
С(х) = PJ1-2/-V3) СЯ--7==- (9Л7)
J \2ух(х — I) )
1
В указателе кет функций, входящих в (9.17), однако при внимательном
изучении пункта 10 § 12 можно заметить, что в строках 10.1, 10.56 на-
ходятся чем-то похожие функции
(9 _____ Y \
п 3----- (1 - х)-^-«/2. (9.18)
2 i 1 — х j
Приняв во внимание свойства четности (9.7), интеграл (9.17) можно
преобразовать к форме (1.1), где
/ Оу ___ 1 \
с (х) = Ж (х), Ж, (X) = С\ (х-1)^-"/2,
2]/х(х—1) ) т
^2(х) = РД2Х-1/3 — 1)х'’-^-'’/2//(х— 1). (9.19)
Последние функции содержатся в строках 10.1 (6), 10.56 (4) базовой
таблицы. Дальнейшие операции по вычислению (9.17) проводятся, как
описано выше.
§ 10. БАЗОВАЯ ТАБЛИЦА ПРЕОБРАЗОВАНИЙ МЕЛЛИНА
(таблица преобразований Меллина тех функций,
образы которых являются произведениями отношений
гамма-функций на постоянные)
1. Общие формулы
№
блока
(фор-
мулы)
( Jif(x) Xs-’dx
6
~3
fl х \ dt
о '
J5f*(s)
(s) Ж z (s)
9. Зак. 216
123