Оптика - Матвеев А.Н.

Author: Матвеев А.Н.

Tags: оптика физика

Year: 1985

Similar

Text

Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов физических специальностей
вузов
Москва
„Высшая школа"
1985

ББК 22.34
М 33
УДК 535-
Рецензенты:
акад. АН УССР А. И. Ахиезер; кафедра общей физики Ленин-
Ленинградского государственного университета им А. А. Жданова (зав.
кафедрой — проф. Н. И. Калюгеевский)
Матвеев А. Н.
М 33 Оптика:Учеб. пособие для физ. спец. вузов. — М.:
Высш. шк., 1985.—351 с, ил.
В пер.: 1р. 40 к.
Изложение материала ведется в рамках электромагнитной теории
с использованием преобразования Фурье как для монохроматического,
так и для немонохроматического и хаотичного излучений. Наряду с тра-
традиционными в книге освещены вопросы, получившие особенно значитель-
значительное развитие в последние 15—20 лет: Фурье-оптика, Фурье-анализ случай-
случайных сигналов, матричные методы в геометрической оптике, голография,
лазеры, нелинейные явления и др.
Книга представляет собой четвертый том курса общей физики для
университетов и вузов. Предыдущие тома — «Механика и теория относи-
относительности», «Молекулярная физика», «Электричество и магнетизм» —
вышли соответственно в 1976, 1981 и 1983 гг.
1704050000-176
М 75—84 ББК 22.34
001@1)—85 535
© Издательство «Высшая школа», 1985

Оглавление
Электромагнитные
волны
Немонохроматическое
и хаотическое
излучение
Предисловие 9
§ 1. Оптический диапазон электромагнитных волн 12
Длины воли видимого диапазона. Частоты волн видимого диапазона.
Оптический и другие диапазоны электромагнитных волн. Почему мы
видим именно в видимом диапазоне? Почему микроволновая область
непригодна для зрения? Ночное видение
§ 2. Свойства электромагнитых волн 17
Электромагнитная природа света. Волновое уравнение. Плоские волны.
Сферические волны. Плоские гармонические волны. Волновой вектор.
Представление плоской волны в комплексной форме. Представление
сферической волны в комплексной форме. Плоская электромагнитная
волна. Инвариантность плоской волны. Инвариантность фазы. Четы-
Четырехмерный волновой вектор. Формулы преобразования частоты и на-
направления распространения плоской волны. Эффект Доплера
§ 3. Плотность потока энергии и импульса электромагнитных воли.
Давление света 26
Плотность потока энергии. Распределение плотности потока по сече-
сечению пучка Гауссов пучок. Плотность импульса электромагнитной вол-
волны. Давление света. Действие светового давления на малые частицы.
Лазерный термояд. Преобразование амплитуды и нормали плоской
электромагнитной волны. Энергия цуга плоских волн. Импульс цугр
плоских волн
§ 4. Суперпозиция электромагнитных волн 33
Суперпозиция векторов поля'волны. Суперпозиция бегущих плоских
монохроматических электромагнитных волн. Биения. Стоячие волны.
Преобразование энергии в стоячей электромагнитной волне. Экспери-
Экспериментальное доказательство электромагнитной природы света
§ 5. Поляризация электромагнитных воли 37
Поляризация. Линейная поляризация. Суперпозиция линейно поляри-
поляризованных волн. Эллиптическая и круговая поляризации. Изменение
вектора-напряженности в, пространстве при эллиптической и круговой
поляризациях. Вырожденный случай эллиптической поляризации. Чис-
Число независимых поляризаций. Линейно поляризованная волна как су-
суперпозиция волн с круговой поляризацией
§ б. Усреднения 40
Операция усреднения. Усреднение гармонических функций. Усреднение
квадратов гармонических функций. Линейность операции усреднения.
Вычисления с комплексными скалярными величинами. Вычисления
с комплексными векторными величинами
§ 7. Фотометрические понятия и величины 44
Энергетические и фотометрические величины. Энергетические величины-
Энергетическая сила излучения. Энергетическая яркость. Энергетическая
светимость. Энергетическая освещенность. Фотометрические величины.
Световой поток. Яркость. Светимость. Освещенность. Световая экспо-
экспозиция. Соотношения между энергетическими и световыми характерис-
характеристиками излучения
Задачи . 54
§ 8. Спектральный состав функций 56
Ряд Фурье в действительной форме. Ряд Фурье в комплексной форме.
Интеграл Фурье в действительной форме. Интеграл Фурье в комплекс-
комплексной форме. Спектр амплитуд и спектр фаз. Нахождение спектра ампли-
амплитуд и фаз из ряда Фурье в комплексной форме. Непрерывный спектр.
Спектр прямоугольных импульсов. Спектр пилообразных импульсов.
Спектр изолированного прямоугольного импульса. Спектр экспонен-
экспоненциально убывающей функции. Соотношение между продолжитель-
продолжительностью импульса и шириной спектра. Смещение начала отсчета време-
времени. Смещение спектра по частотам. Отрицательные частоты. Теорема
Парсеваля. Теорема Планшереля

Распространение
света
в изотропных
средах
§ 9. Естественная ширина линии излучения 63
Классическая модель излучателя. Спектральный состав излучения.
Лоренцева форма и ширина линии излучения. Время излучения. Форма
линии поглощения. Квантовая интерпретация формы линии излучения
Квазимонохроматическая волна
§ 10. Уширенне спектральных линий 69
Причины уширения. Одйородное и неоднородное уширения. Естест-
Естественная ширина линии излучения как однородное уширение. Ударное
уширение. Доплеровское уширение. Форма составной линии излучения
§ 11. Модулированные волны 73
Модуляция. Модуляция амплитуды. Модуляция частоты и фазы.
Спектр колебания с гармонической модуляцией частоты
§ 12. Волновые пакеты 75
Волновой пакет, образованный двумя волнами. Групповая скорость.
Суперпозиция колебаний с эквидистантными частотами. Квазиплоская
волна
§ 13. Хаотический свет 78
Суперпозиция волн со случайными фазами. Время разрешения. Усред-
Усреднение по периоду колебаний. Влияние увеличения промежутка времени
на результат усреднения. Время когерентности. Длина когерентности.
Гауссов свет. Флуктуации плотности потока энергии хаотического све-
света. Поляризация.
§ 14. Фурье-анализ случайных процессов 82
Спектр мощности. Автокорреляционная функция. Теорема Винера —
Хинчина. Интервал корреляции. Связь интервала корреляции с норми-
нормированным спектром мощности
Задачи 86
§ 15. Распространение света в диэлектриках 88
Монохроматические волны. Дисперсия. Нормальная дисперсия. Ано-
Аномальная дисперсия. Рассеяние света. Распространение волнового па-
пакета. Замещение световой волны в среде. Дисперсия света в межзвезд-
межзвездном пространстве. Окраска тел
§ 16. Отражение и преломление света на границе между диэлектриками.
Формулы Френеля 95
Граничные условия. Постоянство частоты волны при отражении и пре-
преломлении. Плоскость падающего, отраженного и преломленного лу-
лучей. Соотношения между углами падения, отражения и преломления.
Разложение плоской волны на две с взаимно перпендикулярными ли-
линейными поляризациями. Вектор Е перпендикулярен плоскости паде-
падения. Формулы Френеля для перпендикулярных составляющих векторов
поля. Вектор Е лежит в плоскости падения. Формулы Френеля для па-
параллельных составляющих векторов поля. Явление Брюстера. Соотно-
Соотношения между фазами волн при отражении или преломлении. Степеяь
поляризации
§ 17. Полное отражение света 104
Формулы для углов 8Пд >6пред . Волна во второй среде. Глубина про-
проникновения. Фазовая скорость. Отраженная волна
§ 18. Энергетические соотношения при преломлении и отражении света 107
Плотности потоков энергии. Коэффициент отражения. Коэффициент
пропускания. Закон сохранения энергии. Поляризация света при отра-
отражении и преломлении
§ 19. Распространение света в проводящих средах 109
Комплексная диэлектрическая проницаемость. Глубина проникновения.
Физическая причина поглощения. Фазовая скорость и длина волны.
Соотношения между фазами колебаний векторов поля. Соотношения
между амплитудами векторов поля. Среды с малой электропроводи-
электропроводимостью. Среды с большой электропроводимостью
§ 20. Отражение света от поверхности проводника 113
Граничные условия. Соотношения между амплитудами волн. Коэффи-
Коэффициент отражения. Связь между отражательной и поглощательной спо-
способностями
Задачи 115

4 § 21. Приближение геометрической оптики 118
Геометрическая Уравнение эйконала. Луч света. Область применимости лучевого при-
ОПТИКа ближения. Принцип Ферма. Вывод закона преломления из принципа
Ферма. Распространение луча в среде с переменным показателем пре-
преломления.
§ 22. Линзы, зеркала и оптические системы 123
Параксиальное приближение. Преломление на сферической поверх-
поверхности. Матричные обозначения. Распространение луча в линзе. Прелом-
Преломление луча на второй сферической поверхности. Преломление луча лин-
линзой. Распространение луча через оптическую систему. Отражение от
сферических поверхностей
§ 23. Оптическое изображение 127
Матрица оптической системы. Преобразование луча от плоскости пред-
предмета, к плоскости изображения. Кардинальные элементы оптической
системы. Физический смысл постоянных Гаусса. Построение изображе-
изображений. Уравнение линзы. Тонкие линзы. Система тонких линз. Использо-
Использование ЭВМ
§ 24. Аберрации оптических систем .¦....' 134
Источники аберраций. Точные матрицы преобразований. Сферическая
аберрация. Кома. Аберрации, обусловленные внеосевыми наклонными
лучами. Хроматическая аберрация. Иммерсионный объектив. Условие
Аббе
§ 25. Оптические приборы 140
Диафрагмирование. Основные понятия, связанные с диафрагмированием.
Глаз как оптическая система. Фотоаппарат. Лупа. Микроскоп. Зритель-
Зрительная труба. Проекционные устройства
Задачи * 145
5 § 26. Двухлучевая интерференция, осуществляемая делением амплитуды 148
Интео(Ьепенция Определение интерференции. Интенсивность при суперпозиции двух
монохроматических волн. Способы получения когерентных волн в оп-
оптике. Интерференция монохроматических воли, распространяющихся
строго вдоль оси интерферометра Майкельсона. Интерференция мо-
монохроматических волн, распространяющихся под углом к оси интер-
интерферометра. Причина размывания полос интерференции. Интерферен-
Интерференция немонохроматического света. Принцип Фурье-спектроскопии. Ви-
Видимость при гауссовой форме линии. Видимость при лоренцевой форме
линии. Интерферометр Майкельсона с линейными полосами. Интер-
Интерференционная картина от белого света. Интерферометр Маха—Цендера.
Интерферометр Тваймана—Грина. Интерферометр Жамена
§ 27. Двухлучевая интерференция, осуществляемая делением волнового
фронта 162
Принцип Гюйгенса. Схема Юнга. Интерференция при белом свете.
Источник конечного размера. Источник с однородным распределением
интенсивности излучения. Временная и пространственная когерентнос-
когерентности. Угол и ширина когерентности. Звездный интерферометр. Измерение
диаметров звезд. Измерение расстояния между компонентами двойной
звезды. Бипризма Френеля. Билинза Бийе. Зеркало Ллойда. Бизеркало
Френеля. Закон сохранения энергии в явлениях интерференции
§ 28. Многолучевая интерференция, осуществляемая делением ампли-
амплитуды
Интерферометр Фабри—Перо. Распределение интенсивности в интер-
интерференционной картине. Интерференционные кольца. Разрешающая
способность. Факторы, ограничивающие разрешающую способность.
Дисперсионная область. Сканирующий интерферометр Фабри—Перо.
Интерференционные фильтры. Пластинка Люммера—Герке. Эшелон
Майкельсона
§ 29. Интерференция в тонких пленках 180
Оптическая длина пути. Отражение от параллельных поверхностей.
Линии равного наклона. Роль размера источника. Роль толщины пленки
и монохроматичности излучения. Линии равной толщины. Кольца
Ньютона. Учет многократных отражений. Слой с нулевой отражатель-
отражательной способностью. Слой с высокой отражательной способностью.
171

Дифракция
7
Основные
понятия
Фурье-оптики
Матричный метод расчета многослойных пленок. Многослойные ди-
диэлектрические зеркала. Полупрозрачные материалы
§ 30. Частичная когерентность и частичная поляризация 190
Частичная когерентность. Функция взаимной когерентности. Комплек-
Комплексная степень когерентности. Степень когерентности. Опыт Брауна и
Твисса. Частичная поляризация. Матрица когерентности квазимоно-
квазимонохроматической плоской волны. Комплексная степень когерентности
взаимно перпендикулярных проекций напряженности электрического по-
поля волны. Естественный (деполяризованный) свет. Полностью поляри-
поляризованный свет. Степень поляризации световой волны. Выражение сте-
степени поляризации через экстремальные значения интенсивности. Пред-
Представления естественного света. Соотношение между степенью поляри-
поляризации и степенью когерентности. Теорема Ван-Циттерта—Цернике
Задачи ...... , 204
§ 31. Метод зон Френеля 208
Принцип Гюйгенса—Френеля. Зоны Френеля. Графическое вычисление
амплитуды. Пятно Пуассона. Дифракция на прямолинейном крае по-
полубесконечного экрана. Зонная пластинка'как линза. Трудности метода
зон Френеля
§ 32. Приближение Кирхгофа 213
Формула Грина. Теорема Гельмгольца—Кирхгофа. Условие излуче-
излучения. Приближение Кирхгофа. Оптическое приближение. Формула диф-
дифракции Френеля—Кирхгофа. Теорема взаимности Гельмгольца. Вто-
Вторичные источники; Приближение Френеля
§ 33. Дифракция Фраунгофера 219
Область дифракции Фраунгофера. .Дифракция на прямоугольном от-
отверстии. Дифракция на щели. Дифракция на круглом отверстии. Диф-
Дифракционная решетка. Дифракция белого света на решетке. Дисперсион-
Дисперсионная область. Разрешающая способность. Отражательные дифракцион-
дифракционные решетки. Дифракция на щели с непрерывным изменением фазы вол- -
ны. Фазовые решетки. Амплитудно-фазовые решетки. Наклонное па-
падение лучей на решетку. Дифракция на непрерывных периодических
и непериодических структурах. Дифракция на ультразвуковых волнах.
Сравнение характеристик спектральных аппаратов
§ 34. Дифракция Френеля 232
Область дифракции Френеля. Дифракция на прямоугольном отверстии.
Интегралы Френеля. Спираль Корню
Задачи : 234
§ 35. Линза как элемент, осуществляющий преобразование Фурье . . 236
Фазовое преобразование, осуществляемое тонкой линзой. Расчет функ-
функции толщины. Виды линз. Линза как элемент, осуществляющий преобра-
преобразование Фурье
§ 36. Дифракционное образование изображений линзой 239
Фурье-нреобразование амплитуд между фокальными плоскостями лин-
линзы. Формирование изображения линзой. Предел разрешающей способ-
способности оптических приборов. Метод темного поля. Метод фазового конт-
контраста
§ 37. Пространственная фильтрация изображений 247
Существо пространственной фильтрации изображений. Пространствен-
Пространственная фильтрация изображений дифракционной решетки. Эксперимент
Аббе—Портера
§ 30. Голография 249
Синхронное детектирование. Голограмма плоской волны. Восстанов-
Восстановление изображения. Голограмма точечного объекта. Голограмма про-
произвольного объекта. Требования к фотопластинкам и времени экспо-
экспозиции. Объемное воспроизведение предмета. Толстослойные голограм-
голограммы (метод Денисюка). Условие Вульфа—Брэгга. Получение голограм-
голограммы и восстановление плоской волны. Получение голограммы и восста-
восстановление сферической волны. Получение голограммы и восстановление
изображения произвольного объекта. Цветное объемное изображение.
Особенности голограмм как носителей информации. Применения го-
голографии

8
распространите
света
в анизотропных средах
Рассеяние
света
10
Генерация
света
§ 39. Описание анизотропных сред ' 262
Источники анизотропии. Описание анизотропной диэлектрической сре-
среды. Тензор диэлектрической проницаемости
§ 40. Распространение плоской электромагнитной волны в анизотропной
среде 264
Плоская электромагнитная волна в анизотропной среде. Зависимость
фазовой скорости от направлений распространения волны и колебаний
вектора D. Уравнение Френеля. Типы возможных волн
§ 41. Ход лучей в анизотропной среде 267
Зависимость лучевой скорости от направления. Эллипсоид лучевых
скоростей. Анализ хода лучей с помощью эллипсоида лучевых скоростей.
Оптическая ось. Двуосные и одноосные кристаллы. Эллипсоид волно-
волновых нормалей. Лучевая поверхность
§ 42. Двойное лучепреломление 272
Обыкновенный и необыкновенный лучи. Сущность двойного лучепрелом-
лучепреломления. Построение Гюйгенса. Оптическая ось перпендикулярна поверх-
поверхности кристалла. Оптическая ось параллельна поверхности кристалла.
Оптическая ось под углом к поверхности кристалла. Закон Мал юса.
Поляризация при двойном лучепреломлении. Поляроид. Поляризацион-
Поляризационные и двоякопреломляющие призмы. Призма Николя. Двоякопрелом-
ляющие призмы. Полихроизм
§ 43. Интерференция поляризованных волн 276
Интерференция волн при взаимно перпендикулярных направлениях линей-
линейной поляризации. Пластинка в четверть волны. Пластинка в полволны.
Пластинка в целую волну. Анализ линейно поляризованного света.
Анализ эллиптически поляризованного света. Анализ циркулярно по-
поляризованного света. Компенсаторы. Цвета кристаллических пласти-
пластинок. Явления в сходящихся лучах
§ 44. Вращение плоскости поляризации 281
Вращение плоскости поляризации в кристаллических телах. Вращение
плоскости поляризации в аморфных веществах. Феноменологическая
теория вращения плоскости поляризации. Оптическая изомерия. Вращение
плоскости поляризации в магнитном поле
§ 45. Искусственная анизотропия * 285
Анизотропия при деформации. Анизотропия, создаваемая в веществе
электрическим полем. Анизотропия, создаваемая в веществе магнит-
магнитным полем. Эффект Поккельса
Задачи 288
§ 46. Природа процессов рассеяния 290
Природа рассеяния. Типы рассеяния. Многократное рассеяние
§ 47. Рэлеевское рассеяние и рассеяние Ми 291
Модель элементарного рассеивателя. Рэлеевское рассеяние. Закон Рэ-
лея. Угловое распределение и поляризация света при рэлеевском рас-
рассеяний. Ослабление интенсивности света. Рассеяние Ми. Распределе-
Распределение интенсивности по углам и поляризация излучения в рассеянии Ми.
Проявления рассеяния Ми
§ 48. Рассеяние Мандельштама—Бриллюэна .' . 297
Компоненты Мандельштама—Бриллюэна. Несмещенная компонента.
Явление Мандельштама—Бриллюэна в твердых телах
§ 49. Комбинационное рассеяние 298
Классическая интерпретация. Экспериментальные факты. Квантовая
интерпретация. Применения комбинационного рассеяния
§ 50. Излучение абсолютно черного тела 302
Плотность излучения. Равновесная плотность излучения. Первый закон
Кирхгофа. Поглощательная способность и энергетическая светимость.
Второй закон Кирхгофа. Абсолютно черное тело. Концентрация мол
колебаний. Формула Рэлеи — Джинса. Формула Вина. Формула Планка.
Закон Стефана—Больцмана. Закон смещения Вина. Элементарная кван-
квантовая теория. Спонтанные и вынужденные переходы. Коэффициенты
Эйнштейна

11
Нелинейные
явления в
оптике
§ 51. Оптические усилители 309
Прохождение света через среду. Закон Бургера. Условия усиления. Воз-
Воздействие светового потока на заселенность уровней. Условия насыще-
насыщения. Создание инверсной заселенности
§ 52. Лазеры 312
Принципиальная схема лазера. Порог генерации. Условия стационар-
стационарной генерации. Добротность. Непрерывные и импульсные лазеры.
Повышение мощности излучения. Метод модулированной добротности
§ 53. Лазерное излучение 315
Моды излучения. Резонатор с прямоугольными плоскими зеркалами.
Аксиальные (продольные) моды. Ширина линий излучения. Боковые
моды. Цилиндрический резонатор со сферическими зеркалами. Синхро- .
низация мод. Продолжительность импульса. Осуществление синхро-
синхронизации мод. Лазерные спеклы
§ 54. Характеристики некоторых лазеров 321
Разнообразие лазеров. Рубиновый лазер. Гелий-неоновый лазер. СОг-
лазер с замкнутым объемом. Проточный СОг-лазер. Т-лазер. Газо
динамические лазеры. Лазеры ни красителях
Задачи ." 326
§ 55. Нелинейная поляризованность 328
Линейная поляризованность. Нелинейная поляризованность. Квад-
Квадратичная нелинейность. Нелинейная восприимчивость. Комбинацион-
Комбинационные частоты
§ 56. Генерация гармоник 330
Волна линейной поляризованности. Волны нелинейной поляризован-
ности. Условие пространственного синхронизма. Длина когерентности.
Осуществление пространственного синхронизма. Векторное условие
пространственного синхронизма. Генерация суммарных и разностных
частот. Спонтанный распад фотона. Параметрическое усиление света.
Параметрические генераторы света
§ 57. Самовоздействие света в нелинейной среде 338
Нелинейная поправка к показателю преломления. Самофокусировка
и дефокусировка пучка. Длина самофокусировки. Пороговая мощность.
Основные причины возникновения нелинейности показателя преломле-
преломления. Инерционность
Приложение. Единицы СИ, используемые в книге 342

Предисловие
Стремительное внедрение достижений науки в производство —
необходимая черта сегодняшнего дня. Одним из ярких примеров
здесь является именно оптика. Бурное развитие лазерной техники
стало не только научным достижением, но и во многих отраслях
революционизировало промышленную технологию. Важнейшее зна-
значение приобрела сегодня проблема подготовки квалифицированных
кадров для отраслей промышленности, внедряющих новейшие науч-
научные разработки.
«Значительно улучшить подготовку в вузах и техникумах специа-
специалистов для ведущих отраслей народного хозяйства...»,—'призвал
июньский A983г.) Пленум ЦК КПСС.
Применение лазеров и их использование совместно с ЭВМ соз-
создали весьма благоприятные условия для развития оптики. Высокая
когерентность лазерного излучения позволяет изучать и воспроиз-
воспроизводить в оптическом диапазоне широкий класс явлений, недоступ-
недоступных для исследований при малых степенях когерентности излучения.
Высокая плотность энергии лазерного излучения дает возможность
исследовать нелинейные оптические процессы в условиях, недоступ-
недоступных при прежних методах исследования. Возможность генерации ко-
коротких и сверхкоротких лазерных импульсов открыла путь к иссле-
исследованию быстронротекающих процессов, включая внутримолеку-
внутримолекулярные. Использование ЭВМ в громадной степени ускорило опти-
оптические исследования, поскольку во многих случаях оно свело их либо
к прямому расчету, либо к постановке численных экспериментов.
Все это за последние 25 лет привело к значительному развитию
оптики, существенно расширились ее приложения. Начало этому про-
процессу было положено важными работами, приведшими к созданию
квантовых генераторов излучения. Наряду с фундаментальными ра-
работами по мазерам и лазерам советскими физиками внесен большой
вклад в развитие многих важных разделов оптики. Например, таких,
как рассеяние света, голография, оптические системы, нелинейная
оптика и т. д. В этом развитии оптики фундаментальные основы ее,
естественно, не претерпели существенных изменений. В ряде случаев
они были прояснены, а в других случаях — обогащены проникнове-
проникновением понятий, методов, математических приемов и т. д. из других
областей науки (например, теории случайных процессов, физики
линейных и нелинейных колебаний, матричньЬс методов расчета
и т. д.).
Содержание книги достаточно полно отражено оглавлением.
Несколько больше внимания, чем обычно, уделено статистическим
свойствам света и спектральному представлению. Дифракция изло-
изложена в рамках интеграла Кирхгофа. На материале геометрической
оптики и интерференции в тонких пленках показана эффективность
матричных методов. Дифракционная теория формирования изобра-
изображений, пространственная фильтрация изображений, голография и
другие аналогичные вопросы представлены единообразно в рамках
Фурье-оптики. Анализ частичной когерентности и частичной поля-
поляризации проводится в рамках первой корреляционной функции.
Математическая сторона излагаемого материала представлена
в возможно простой форме, совместимой с достаточной строгостью
изложения. В необходимых случаях даются математические поясне-
пояснения и приводятся более детальные расчеты. Громоздкость некоторых
из этих расчетов не должна создавать у студента впечатления о слож-

нрсти используемого математического аппарата. Чтобы рассеять это
впечатление, ему необходимо лишь запастись терпением и провести,
самостоятельно эти расчеты.
Наиболее существенное отличие курса оптики от курсов ме-
механики, молекулярной физики и электричества состоит в том, что
его фундаментальные основы лежат .вне курса. Это обстоятельство
приводит к значительному усилению роли дедуктивного метода
изложения. Поэтому изложение в основном носит дедуктивный
характер, а анализ экспериментальных данных в большинстве слу-
случаев (хотя и не всегда) призван либо продемонстрировать согласие
выводов теории с результатами опытов, либо объяснить наблюдае-
наблюдаемые явления.
Книга написана на основе многолетнего опыта преподавания ав-
автора на физическом факультете Московского государственного уни-
университет*? им. М. В. Ломоносова. Автор благодарен своим коллегам,
дискуссии с которыми оказали влияние на общий план книги.
Автор благодарен академику АН УССР А. И. Ахиезеру, а так-
также проф. Н. И. Калитеевскому и сотрудникам возглавляемой им
кафедры за внимательное рецензирование рукописи и ценные заме-
замечания.
Автор

Основная идея:
Основываясь
на электромагнитной
природе света,
изучить свойства
монохроматических
световых волн
с помощью
уравнений Максвелла.
Электромагнитные
волны

12
1
Оптический диапазон электромагнитных волн
Анализируются факторы, делающие волны видимого
диапазона наиболее подходящими для зрения.
Описываются характеристики оптического диапазона.
Длины волн видимого диапазона. Видимый диапазон включает электромагнитные волны,'» вос-
воспринимаемые человеческим глазом. Граница диапазона этих волн зависит от индивидуальных
особенностей глаза и варьируется приблизительно в пределах
X = 0,38-f-0,76 мкм.
Частоты волн' видимого диапазона. В оптике используется как кругрвая частота
где Т— период колебаний волны, так и частота
A.1)
A.2)
A.3)
со = 2nv. A.4)
Частота выражается в герцах, а круговая частота — в секундах в минус первой степени. Прини-
Принимая во внимание, что
v=l/7\
связанные очевидным соотношением
A.5)
где с — 310 м/с — скорость света в вакууме, для границ видимого диапазона получаем:
v=D-=-8I034 Гц:
A.6)
= B,5-f-5,0) 1015 с.
A.7)
Оптический и другие диапазоны электромагнитньк волн. Теоретически мыслимым является
существование всех частот от v = 0 до v = <*>. Однако корпускулярные свойства излучения на-
накладывают на эти возможности ограничения. Как показывается в квантовой теории, электро-
электромагнитное излучение существует в виде «порций» энергии (квантов). Энергия кванта излучения
связана с его частотой формулой
Е = Ьсй —
A.8)
где /г = 6,62-104/ Дж с — постоянная Планка; ц=ь/Bп) = 1,05• 10~34 Дж-с называется также
постоянной Планка (новой).
Обе эти величины встречаются одинаково часто в зависимости от обстоятельств. Как видно
(в 1.8), постоянную й удобно выбирать в случае оперирования с круговыми частотами, ah — при
использовании частот v.
Из A.8) следует, что бесконечные частоты v=oo невозможны, поскольку соответствующие
кванты .излучения обладали бы бесконечной энергией. Соотношение A.8) также Дает ограни- -
чение на малые частрты, если-существует минимально возможное значение энергии кванта
Ео- А это означает, что и частота не может быть меньше Vo =Eo/h. В настоящее время в физике
нет никаких свидетельств ограничения снизу энергии фотонов электромагнитного излучения.
Следовательно, частоты электромагнитных волн не ограничены снизу. Минимальная частота
(около 8 Гц) наблюдается в стоячих электромагнитных волнах между ионосферой и земной
поверхностью. Отсюда можно заключить [см. A.8)], что минимальная энергия квантов элек-
электромагнитного излучения по крайней мере меньше 1СГ33 Дж.

Всевозможные частоты электромагнитных волн подразде-
ляются на следующие диапазоны:
О 0,3 0,5 I X,Mki
1
Спектр излучения Солнца
_ Длины волн видииого диа-
диапазона эакл ючены пример-
примерно в пределах 0,38—
0,76 ики, а оптический диа-
диапазон включает также и
инфракрасную и ультра-
ультрафиолетовую области'спек-
области'спектра.
Видииый диапазон наибо-
наиболее подходит для зрения
потоиу, что на меньшие
длины волн днем вблизи
поверхности Земли прихо-
приходится слишком малая доля
' энергии, а на больших дли-
длинах волн зрению мешают
шумы.
О Какие изменения претерпева-
претерпевает солнечный спектр при про-
прохождении через атмосферу?
Укажите границы видимого
Диапазона по частотам и кру-
круговым частотам.
Укажите границы оптическо-
оптического диапазона длин волн.
Название диапазона
волн
Границы диапазона
по длинам волн 'к
по энергии Е квантов
Гамма-излучение
Излучение:
рентгеновское
ультрафиолетовое
видимое
инфракрасное
Радиоволны
< 0,0012 нм
0,0012—12 нм
12—380 нм
380—760 нм .
760—106 нм = 1 мм
> 1 мм
>1 МэВ
100 эВ—1 МэВ
3,2—100 эВ
1,6—3,2 эВ
1,2; ИГ3—1,6 эВ
< 1,2 103эВ
Каждый из диапазонов имеет свои характерные особенно-
особенности. С увеличением частоты волн усиливается проявление
корпускулярных свойств излучения. Волны разных диапазонов
различаются также методами генерации излучения. Каждый
из .диапазонов служит предметом изучения соответствующего
раздела физики.
Видимый диапазон и примыкающие к нему диапазоны уль-
ультрафиолетового и инфракрасного излучений в совокупности
составляют диапазон электромагнитных волн, изучаемый в
оптике. Кванты излучения' видимого диапазона называются
фотонами. Они имеют энергию в интервале
Е = B,6-f-5,2) • 109 Дж = 1,6 -г- 3,2 эВ. A.9)
Почему мы видим именно в видимом диапазоне? При темпе-
температуре выше 0 К все материальные тела излучают электромаг-
электромагнитные волны, которые поглощаются и отражаются (рассеи-
(рассеиваются) материальными телами. Интенсивность излучения
отражения и поглощения зависит от частоты излучения, тем-
температуры, свойств вещества и других факторов. Наиболее
интенсивным источником электромагнитного излучения, опре-
определяющим «радиационную обстановку» вблизи земной по-
поверхности, является Солнце. Температура поверхности Солнца
составляет около 6000 К. Спектр его излучения является спект-
спектром излучения абсолютно черного тела (см. § 50). Максимум
интенсивности излучения по длинам волн приходится примерно
на длину волны 0,5 мкм (рис. 1).
При прохождении света через атмосферу Земли в результате
рассеяния и поглощения состав солнечного спектра существен-
существенно меняется в зависимости от толщины проходимого светом
слоя воздуха, запыленности и других факторов. В результате ,
спектр у поверхности Земли обрывается примерно на волне
А*=«0,Змкм. Волны с меньшей длиной волны от Солн-
Солнца поверхности Земли не достигают. -Это обусловлю

14 вается поглощением их озоном О3 в верхних слоях атмосферы. Ослабление волн зависит глав-
.. ным образом от высоты Солнца над уровнем горизонта, что наглядно характеризуется следую-
1 щими данными:
Цвет,
область спектра
Доля излучения,
достигающего
поверхности Земли при
положении Солнца
в зените
при заходе
или восходе
Красный. 0,65 мкм 0,96 0,21
Зеленый, 0,52 мкм 0,9 0,024
Фиолетовый, 0,41 мкм 0,76 0,000065
Диапазон длин волн,
мкм
Энергия излучения, %
в спектре
Солнца
у поверх-
поверхности Земли
0,3—0,4 5 1
0,4-0,75 52 40
0,75—2,3 43 59
Таким образом, при прохождении атмосферы наиболее сильно ослабляется коротковолно-
коротковолновая часть спектра. Это является, в частности, причиной'покраснения Солнца при восходе и за-
заходе. За счет поглощения в атмосфере доля энергии ультрафиолетовой части спектра уменьша-
уменьшается, а инфракрасной и микроволновой — увеличивается. Например, если взять энергию, при-
приходящуюся на интервал длин волн от 0,3 до 2,3 мкм за 100%, то распределение энергии в солнеч-
солнечном спектре до прохождения атмосферы и у поверхности Земли характеризуется данными,
приведенными в таблице выше.
Видение предметов осуществляется посредством отраженного света. Поэтому наиболее
подходящим для зрения является интервал вблизи длины волны, на которую приходится мак-
максимальная интенсивность излучения, т.е. Х«*0,5 мкм, причем интервал должен бьпь таким,
чтобы на него приходилась значительная часть полной энергии излучения. Этим условиям
полностью удовлетворяет видимый диапазон электромагнитных волн. Является вполне есте-
естественным, что в результате эволюции именно в этом диапазоне развилась способность чело-
человека к зрению.
Однако достаточно много энергии (больше 50%) приходится на микроволновую часть спект-
спектра. Поэтому энергетические соображения в принципе не исключают возможности развития
способное!и зрения у человека в этом диапазоне. Тем не менее эта область спектра непригодна
для зрения.
Почему микроволновая область непригодна для зрения? Волновые свойства излучения при-
приводят к ухудшению качества зрения с увеличением длины волны, поскольку при этом ухудша-
1 ется разрешающая способность как оптических приборов (см. § 36), так и глаза. Кроме того,'
с увеличением длины волны необходимо увеличивать геометрические размеры приемных уст-
устройств, в том числе и биологических элементов, связанных со зрением. Это, безусловно, отри-
отрицательный фактор в отборе, осуществляемом в процессе эволюции.
Однако главная причина непригодности микроволнового диапазона для зрения связана с
корпускулярными свойствами электромагнитного излучения и существованием больших «шу-
«шумов» в этом диапазоне, которые делают невозможным зрение Глазами, имеющими темпера-
температуру порядка температуры тела человека или животных.
Прежде всего покажем невозможность зрения в микроволновом диапазоне с помощью
отраженного солнечного излучения, а затем рассмотрим условия, при которых в микроволно-
микроволновом диапазоне можно видеть предметы («ночное видение»).
Как известно из молекулярной физики, средняя концентрация фотонов, приходящихся на
одну моду колебаний (см. § 50) с частотой со, в равновесном излучении при температуре Г зада-
задастся формулой

__J , A.10) 15
exp [Ь(й/(кТ)] — 1
§1
где /f = 1,3810 23 Дж/К— постоянная Больцмана.
Речь идет о различных типах колебаний, имеющих одну и ту же частоту, но отличающихся
друг от друга поляризацией, направлением распространения соответствующих волн и другими
особенностями, и о колебаниях различных частот. Средняя концентрация фотонов, приходя-
приходящаяся на частоту со, равна сумме средних концентраций фотонов, приходящихся на различные
моды или типы колебаний, имеющих эту частоту, т. е. выражается формулой A.10). Сравнение
концентрации фотонов с различной частотой при разных температурах в равновесных условиях ,
сводится к сравнению средних концентраций A.10), поскольку коэффициенты пропорцидналь-
ности, учитывающие число мод, одинаковы.
Вблизи, поверхности Земли имеются фотоны солнечного излучения и фотоны излучения
поверхности Земли и находящихся на ней предметов. Считая для определенности температуру
у поверхности Земли равной Т3 =300 К, для концентрации этих фотонов, приходящихся на
одну моду колебаний с частотой со, можем написать
1
1 '
Температура поверхности Солнца равна примерно Т =6000 К. Вблизи поверхности Солнца
концентрация фотонов равновесного теплового излучения задается формулой A.10) при Т—Тс.
Энергия .излучения, доходящего до границ атмосферы Земли, имеет то же распределение по
частотам, что и вблизи поверхности Солнца, но соответственно меньшую концентрацию. При
прохождении атмосферы в результате рассеяния и поглощения спектральный состав света из-
изменяется. Затем происходит отражение и поглощение света поверхностью Земли и находящи-
находящимися на ней предметами. В результате этого спектральный состав излучения, обусловленного
солнечным освещением, весьма сложно зависит от условий его образования. Однако для оценки
спектрального состава излучения с точностью до порядков величин можно пренебречь всеми
этими изменениями и считать, что он у поверхности Земли примерно таков же, как у исходного
солнечного излучения. Поэтому для средней концентрации <пс> фотонов солнечного излу-
излучения вблизи поверхности Земли в соответствии с A.10) можно написать
A-12)
v R ' ехр [Ъ(о/(кТс)] — 1
где гс — радиус Солнца, jR — радиус земной орбиты. Множитель (rc/RJ учитывает ослабление
плотности солнечного излучения при удалении от Солнца, обратно пропорциональное квад-
квадрату расстояния. Учитывая, что гс = 695,5 103 км, jR = 149,5" 106км, находим (rc/RJ«2,161(P.
Решающее значение для эффективного зрения имеет соотношение между потоком фотонов,
несущих информацию о предмете, и потоком тепловых фотонов, которые никакой информации
не несут и создают просто фоновый шум. Чем больше превышение потока фотонов, несущих
информацию, над потоком фотонов, создающих шум, тем лучше условия зрения. Поток фото-
фотонов, несущих информацию о предмете, возникает за счет отражения предметом излучения сол-_
нечного происхождения. Можно считать, что он пропорционален средней концентрации фото-
фотонов < пс >. Поток тепловых фотонов, создающих шум (будем называть их шумовыми), пропор-
пропорционален <Л3>-
Оценим эффективность зрения в видимом диапазоне. В качестве примера рассмотрим фото-
фотоны с длиной волны Х = 0,5 мкм. Их энергия равна ftco = 2лfic/X« 4-10~19 Дж«2,5 эВ. Учитывая,
что кТс = 8,31СГ20 Дж«*0,52 эВ, кТ3 «=0,4 1СГ20 Дж«0,026 эВ, для таких фотонов находим
fcco/(/r7^) = 4,8 и h(u/(kT3 )=96. -
Для концентрации фотонов в соответствии с A.11) и A.12) находим:

то ./^ >«e м *» 1U м , \l-1J) <*hc^>~z iu с м ~iu м . u--it/
""~~ Отношение числа шумовых фотонов к числу фотонов, несущих информацию, составляет
* <п >1<пс> « 10~35, т. е. совершенно ничтожно. Практически на этой длине волны никакого
шума нет.
Теперь рассмотрим ситуацию в микроволновом диапазоне (например, для X = 2 мкм). В этом
случае Йсо= 0,625 эВ, Йсо/(/сГс)«1,2, ha/(kT3)«24 и, следовательно,
<и3>~е~24м~3«Ю~10м~3, A.15) <лс>«21О~5О,43м~3~1О~5м~3. A.16)
Поэтому <п3> 1<пс > « 10~5 (ср. предыдущий результат), т. е. условия для зрения неизмеримо
хуже. Однако на первый взгляд кажется, что в абсолютном смысле ситуация здесь не так уж
плоха, поскольку в данной моде один шумовой фотон приходится на 105 фотонов излучения,
имеющего солнечное происхождение. Но это не так. Надо принять во внимание, что видение
осуществляется с помощью отраженных от предмета лучей. От точки предмета лучи достигают
глаза, распространяясь в очень малом телесном угле АО. ^S/r2 (S — площадь зрачка, г — рас-
расстояние от зрачка до предмета). Кроме того, отраженный луч в этом телесном угле содержит
не всевозможные моды данной частоты, а лишь некоторые, обусловленные характером отра-
отражения. Тепловые же фотоны в полости глаза присутствуют во всех модах и падают на все точки
сетчатки глаза со всех направлений, т. е. из телесного угла 2п. Это обстоятельство увеличивает
относительное число тепловых фотонов приблизительно в a=2n/AO = 2nr2/S раз. Считая,
что радиус зрачкового отверстия равен 2 мм, находим S = п @,2J см2. Поэтому для г —100 см
получаем а=0,510б. Это приводит к тому, что вместо числа 10~5 получается <п3>/<П(?>= 10,
что делает зрение на таких длинах волн невозможным. Заметим, что все сказанное об относи- •
тельном увеличении числа шумовых квантов применимо и к видимому диапазону, однако ни-
ничтожно малое значение отношения <п3>/<пс> «10~35 не увеличивается настолько, чтобы
зрение стало невозможным.
Резюмируя, можно сказать, что видимый диапазон наиболее подходит для зрения, потому
что на более короткие волны приходится слишком малая доля энергии, а на более длинных вол-
волнах зрению мешают тепловые шумы.
Ночное видение. Ночью фотоны солнечного излучения вблизи поверхности Земли почти
полностью отсутствуют (возможное лунное освещение и свечение ночного неба здесь не при-
принимаются во внимание). Однако тепловое излучение материальных тел при температуре 300 К
наиболее интенсивно вблизи волны Х«10 мкм. Термодинамическое равновесие между излу-
излучением и материальными телами у поверхности Земли с наступлением темноты не устанавли-
устанавливается, поскольку условия непрерывно изменяются, и со стороны неба система открыта. По-'
этому все предметы и земная поверхность представляются «светящимися» на длине волны
Х=Ю мкм. Распределение энергии излучения по спектру существенно зависит от поглоща-
тельной способности воздушной среды и может быть учтено.
Представим себе, что хрусталик человеческого глаза способен фокусировать излучение с дли-
длиной волны X = 10 мкм на сетчатке, которая в состоянии воспринимать это излучение и выра-
вырабатывать соответствующие нервные импульсы для создания зрительного ощущения. Спраши-
Спрашивается, будет ли человек видеть окружающие его предметы? Из изложенного выше следует, ,
что поток шумовых фотонов на любой участок сетчатки глаза существенно превосходит поток
фотонов, образующих на сетчатке глаза изображение предметов, и поэтому человек не в со-
состоянии видеть окружающие его предметы. Для того, чтобы зрение стало возможным, необ-
необходимо уменьшить плотность шумовых фотонов внутри глаза, т. е. существенно уменьшить
температуру глаза. Расчет показывает, что необходимые для этого температуры очень малы
и составляют несколько десятков кельвин. Поэтому осуществить ночное зрение можно лишь
с помощью приборов, поддерживаемых при достаточно низкой температуре. Получаемое в
таких приборах изображение в микроволновом диапазоне преобразуется в изображение в дли-
длинах волн видимого диапазона и наблюдается глазом при обычных температурах. В процессе

преобразования изображений соответствующие сигналы могут быть усилены или подвергнуты 17
соответствующей обработке, что позволяет получить высококачественное видимое изобра-
жение. §2
§ 2
Свойства электромагнитных волн
С помощью уравнений Максвелла выводятся основные
свойства электромагнитных волн.
Электромагнитная природа света. Существование электромагнитных волн было теоретически
предсказано Максвеллом A862—1864) как прямое следствие из уравнений электромагнитного
поля. Скорость электромагнитных волн в вакууме оказалась равной величине 1/ -y/еоЦо (в совре-
современных обозначениях), называемой в то время электродинамической постоянной. Ее числовое
значение C,1 -108 м/с) было получено несколько раньше A856) из электромагнитных измерений
В. Е. Вебера A804—1891) и Р. Г. Кольрауша A809—1858). Оно почти совпадало со скоростью
света в вакууме, равной, по измерениям И. Л. Физо A819—1896) в 1849 г., с= 3,15 -108 м/с. Дру-
Другое важное совпадение в свойствах электромагнитных волн и света обусловлено поперечностью
волн.- Поперечность электромагнитных волн следует из уравнений Максвелла, а поперечность
световых волн — из экспериментов по поляризации света (Юнг, 1817). Эти два факта привели
Максвелла к заключению, что свет представляет собой электромагнитные волны.
Существование электромагнитных волн экспериментально было доказано в 1888 г. Г. Р. Гер-
Герцем A857—1894). Длина волн, генерированных и детектированных, составляла примерно 66 см.
С помощью металлического зеркала Герц наблюдал отражение и преломление волн, изучил
их поляризацию, получил стоячие волны, доказав тем самым их способность к интерференции.
Волновое уравнение. Уравнения Максвелла для вакуума при отсутствии токов (j = 0) и заря-
зарядов (р=0) имеют следующий вид:
div В =0,
B.1)
B.3)
rotE = —дВ/dt,
div D=0,
D = eoE,
B.2)
B,4)
B.5)
где 80 и (!0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные. Применяя к обеим частям
уравнения B.1) операцию rot, получаем
— rot rot В = —бо 4- (rot E), B.6)
где учтены соотношения B.5) и принято во внимание, что порядок дифференцирований по не-
независимым переменным (пространственным координатам и времени) можно изменить. При-
Принимая во внимание векторное равенство
rot rot В =graddiv В—V2fi
и заменяя в правой части B.6) rot E его выражением B.2), получаем уравнение для В:
V2B—
Э2В
dt2
= 0.
B.8)
Аналогично, применяя операцию rot к обеим частям равенства B.2), получаем уравнение
для Е:

V2E — еоцо
Оператор
•
д2Е
dt2
1 I
с2 д
= 0.
B.9)
B.10)
где с = 1/ у/?оЦо — скорость света в вакууме, называется оператором Д'Аламбера. С его по-
помощью волновые уравнения B.8) и B.9) могут быть записаны в форме
ПЕ = 0, ПВ = 0. B.11)
Плоские волны. Большую роль в физике играет волновое уравнение. Для скалярной функции
Ф оно имеет вид
B.12)
Найдем общее решение этого уравнения для случая, когда Ф зависит только от одной из де-
декартовых координат, например г, т. е. Ф = Ф (г, t). Это означает, что Ф имеет постоянное зна-
значение в точках плоскости, перпендикулярной оси Z. В этом случае уравнение B.12) принимает
вид
Используя новые независимые переменные
$ = z — ct, i\ = z+ct, B.14)
получаем
дг д$ dz dt] дг д\ х
дФ
dt " де, dt + Ь\ dt
Разделив обе части уравнения B.156) на с и вычитая их почленно из левых и правых частей
уравнения B.15а), находим
± Li. = 2A B.16)
дг с dt д^ v '
Аналогично, почленное сложение правых и левых частей тех же уравнений дает
±+±±=г±. B.17)
дг с dt дг\
Тогда
±_± ±\ / A + .L ±\ =:
dz с dt)\dz с dt)
L
2
С учетом B.16) и B.17) преобразуем уравнение B.13) к виду
дг2 с2 dt2 дЪ dn Ф~°- С Ъ)
Интегрируя B.18) по ?, получаем независимую от^ функцию, которая в данном случае может
зависеть только от г), т. е. является произвольной функцией 4* (т)). После этого уравнение B.18)
принимает вид

ф,
дФ
к :—>J
Волна движется в направлении
положительных значений г: Ф=*
=аФ2B — Ct)
Волна движется в направлении
отрицательных значений zi Ф=>
-Ф|B + Ct)
Почему не" может существо-
существовать универсального соотно-
соотношения между частотой вол-
волны и волновым числом?
Какое универсальное соотно-
соотношение существует между час-
частотой и волновым числом в
изотропной среде с постоян-
постоянной скоростью распростране-
распространения волны?
Откуда следует инвариант-
инвариантность плоской волны?
Как преобразуются частота
волны и волновой вектор при
переходе между инерциаль-
ными системами отсчета?
B.19)
Интегрируя B.19) по т), получаем
Ф = i ?(n)dn = Ф. (Л) + Фа©,
'где Oi (т|) — первообразная функция в интеграле от
B.20)
по
— постоянная интегрирования. Как видно по ходу
решения, функции Ф] и Ф2 произвольны. С учетом B.14) общее
решение B.20) уравнения B.13) может быть записано в виде
Ф(z, t) - Ф! {г + ct) +Ф2(г — ct).
B.21)
Выясним физический смысл этого решения. Сначала проана-
проанализируем решение
— ct).
B.22)
График Фг как функции о^т z в моменты времени t и t+At
изображен на рис. 2. Видно, что значение аргумента функции
в точке z в момент t совпадает со значением аргумента функции
в точке z+Az в момент t+At, если Az = cAt, поскольку
— c(t + At)
B.23)
Поэтому график функции для t+'At получается из графика
для t смещением всех точек кривой в направлении положитель-
положительных значений оси Z на Az = cAt. Следовательно, скорость вол-
волны равна v-Az/At~c. Функция Ф2(г — ct) описывает волну
произвольной формы, движущуюся со скоростью с в направ-
направлении положительных значений оси Z. В процессе Движения
значение Фг в каждой точке волны и форма волны не изме-
изменяются.
Физический смысл
], т. е. решения
ф = Oj (z + ct),
B.24)
выясняется аналогично. Учитывая, что
= +ct^z+Az + c(i + At) (Az = —cAt), B.25)
заключаем, что функция Ф] (г + ct) описывает волну произволь-
. ной формы, движущуюся со скоростью с в направлении отри-
отрицательных значений оси Z (рис. 3). Значение Ф] в каждой точке
волны и форма волны в процессе движения не изменяются.
Волна, описываемая формулой B.21), является суперпози-
суперпозицией двух волн, движущихся в противоположных направлениях.
В этом случае уже нельзя говорить о скорости или направлении
волны. В простейшем случае получается стоячая волна, а в об-
общем случае — сложное электромагнитное поле, которое требу-
требует специального изучения. ,

20
1
Значение функции Ф для фиксированных г и t является постоянным на плоскости, перпенди-
перпендикулярной оси Z. Поэтому такие волны называются плоскими.
Сферические волны. Если волна от точечного источника изотропна, то решение уравнения
B.12) необходимо искать в виде ф = ф(г, t), где г — расстояние от точечного источника, приня-
принятого за начало координат. ^Учитывая, что в сферической системе координат (г, 6, ф)
д2Ф
Эф2 '
а искомое решение не зависит от угловых переменных, уравнение B.12) примет вид
д2 , ^ 1 д2
dt2
- (гФ) = I
B.26)
B.27)
т. е. имеет тот же вид, что и B.13), но с z-+r, Ф-* гФ. Поэтому вместо B.21) имеем
гФ(г, t) = Ф1 (г + ct) + Ф2(г — ct),
где Ф1 и Ф2 — по-прежнему произвольные функции своего аргумента. Следовательно, общее
сферически симметричное решение уравнения B.12) имеет вид
ct)
B.28)
Физический смысл отдельных слагаемых, входящих в B.26), выясняется так же, как и для
B.21). Второе слагаемое представляет собой волну, движущуюся в направлении увеличения
значений г, т. е. от центра. Такая волна называется расходящейся. Первое слагаемое описывает
волну, движущуюся в направлении уменьшения значений г, т. е. к центру. Такая волна называ-
называется сходящейся. Общее решение B.28) является суперпозицией сходящейся и расходящейся
волн.
Значение Ф в фиксированный момент времени на сфере постоянного радиуса является по-
постоянным. Такие волны называются сферическими.
Плоские гармонические волны. Если Ф] и Ф2 в B.21) являются гармоническими функциями
своего аргумента, то волна называется гармонической. Запишем для примера функцию Ф2
в виде
Фг(г — ct) = Ф2[—c(t — z/c)]= A cos со (Г — z/c),
где А — постоянная, со — частота гармонической функции. Волна, описываемая функцией
Ф (z, t) = A cos со (t — z/c) ,
B.29)
называется плоской гармонической волной. Она распространяется в направлении положитель-
положительных значений оси Z. Постоянная А называется амплитудой волны, со — ее частотой. Поскольку
волна движется, ее называют также бегущей. Аналогичное B.29) выражение для волны можно
написать с использованием синуса. Общее выражение для бегущей волны, распространяющейся
в положительном направлении оси Z, имеет вид
Ф (z, t) = A cos со (t — z/c) + В sin со (t — z/c).
B.30)
Выбором подходящего начала отсчета времени бегущую плоскую волну всегда можно пред-
представить в виде B.29) или аналогичным выражением с использованием синуса. Волна, распро-

ф
(('
" Lr
V
t
ч
N
i
t+At
\
r I \
1.
\
\.
\
z
Гармоническая плоская волна в
два последовательных промежут-
промежутка времени
К записи плоской волны в вектор-
пых обозначениях
Взаимная ориентировка векторов
плоской электромагнитной волны
страняющаяся в направлении отрицательных значений оси Z, 21
описывается, очевидно, функцией
§2
Ф (z, t) = A cos со (t + z/c) + В sin со (t + z/c).
B.31)
На рис. 4 изображена плоская гармоническая волна в два
последовательных промежутка времени t и t + At. Для нагляд-
наглядности можно представить, что это волна на поверхности воды,
а Ф характеризует отклонение частиц поверхности воды от го-
горизонтальной плоскости. Конечно, при такой интерпретации с
является не скоростью света, а скоростью распространения
волны относительно воды. Положительные значения Ф соответ-
соответствуют «горбам» на поверхности воды, а отрицательные —
«впадинам». На рисунке изображена небольшая часть волны,
включающая в себя два «горба» и одну «впадину». Если следить
за какой-то фиксированной точкой среды, то будем наблюдать
ее колебание по гармоническому закону с течением времени.
Например, в точке z=0 этот закон описывается функцией
ф@, t) = A cos cot.
B.32)
Если наблюдатель «сел» на какую-то точку волны, напри-
например на вершину «горба», и движется вместе с волной, то ника-
никаких изменений в картине он не видит — перед его взором будет
находиться неизменная по времени совокупность «горбов» и
«впадин», составляющих плоскую волну.
Аргумент гармонической функции в B.29) называется фазой
волны. Волна, у которой поверхностями постоянных фаз явля-
являются плоскости, называется плоской. Учитывая, что
= сТ=2пс/(й,
B.33)
запишем B.29) в виде
Ф(z, t) = A cos (cot — (oz/c) = A cos (cot — kz), B.34)
где к = со/с = 2n/k — волновое число.
Волновой вектор. Чтобы освободиться от использования
системы координат, запишем B.34) с помощью векторных
обозначений. Пусть вектор к равен по модулю волновому числу
и направлен параллельно оси Z в сторону положительных
значений (рис. 5). Такой вектор называется волновым. Прини-
Принимая во внимание, что к - г = kz, запишем для произвольной
точки, характеризуемой радиусом-вектором г, вместо B.34)
выражение
Ф(г, t)=A cos (cot — k r).
B.35)
Эта формула не зависит от системы координат и характери-
характеризует плоскую волну, распространяющуюся в направлении век-
вектора к.

22
t
Аналогичное B.35) выражение для волны можно также написать с использованием синуса:
B.36)
Ф'(г, О = Л' sin (cot— k-r),
что опять-таки при подходящем начале отсчета времени может быть сведено к B.35), поскольку
sin (а/+ я/2) = —cos а.
Представление плоской волны в комплексной форме. Принимая во внимание формулу Эйлера
е'а = cos а + i sin а, B.37)
представим выражения B.35) и B.36) формулами
Ф(г, t) =
—i(fflf — к-г) ]
Ф'(г, 0 = —Л'
B.38а)
B.386)
где Re и Im — вещественная и мнимая части комплексного числа. В расчетах удобно пользо-
пользоваться комплексным представлением плоской волны в виде
Ф(г, О=
B.39)
обозначая комплексную величину тем же символом, что и действительную. Это упрощает на-
написание формул и не приводит к путанице. В тех случаях, когда путаница все же возможна,
будем в явном виде указывать, о каком представлении идет речь.
Величина А в B.39) может быть как действительной, так и комплексной или мнимой. Учи-
Учитывая, что в общем случае
А =
tg<p = imA/ReA,
запишем выражение B.39) в виде
Ф(г, f) =
B.40)
B.41)
где \А\ — амплитуда плоской волны. Поэтому и в B.39) \А\ — амплитуда плоской волны, з
cot —k-r — ф — фаза, где tg ф = Im A/Re A.
Представление, сферической волны в комплексной форме. Из способа записи плоской волны
в комплексной форме очевидно, что расходящаяся и сходящаяся сферические волны согласно
B.28) могут быть представлены соответственно в виде
Ф(г, r)=
Ф(г, 0 =
B.42)
B.43)
Следует обратить внимание, что в показателе экспоненты этих формул стоит не скалярное
произведение к*г, а произведение положительных величин hn г.
Плоская электромагнитная волна. Для анализа структуры плоской электромагнитной волны
удобно записать уравнения Максвелла в символической форме с помощью оператора
дх у ду
dz
B.44)

Принимая во внимание, что
-rot A = Vх А»
divA = V ' А»*
уравнения Максвелла B.1) — B.5) можно записать так:
VxB=^oeot)E/Cf, B.46) VxE = — dB/dt,
VB = 0, B.48) ' VE = 0.
Будем искать решение этих уравнений в виде
23
B.45) §2
B.47)
B.49)
B.51)
Е(г, 0 =Eoe-'{tof-k-r) B.50) B(r, t) = Boe-l(to'-k-r),
где Ео и Во — постоянные векторы, не зависящие от координат и времени. Компоненты этих
векторов могут быть комплексными.
Подставляя выражения B.50) и B.51) в уравнения B.46) — B.49) и учитывая, что
= -/сое
Ve'kr = ike'kr, —
dt
получаем следующие соотношения:
кВ = 0,
B.53)
B.55)
= соВ,
-к\Е =
B.52)
B.54)
B.56)
Из соотношений B.55) и B.56) следует, что векторы Е и В плоской волны перпендикулярны
вектору к, т.е. направлению распространения. Это означает, что электромагнитная волна
является поперечной. Соотношения B.53) и B.54) показывают, что векторы Е и В взаимно пер-
перпендикулярны. Таким образом, Е, В и к составляют тройку взаимно перпендикулярных векто-
векторов (рис. 6).
Поперечность световых колебаний была открыта в 1817 г. Т. Юнгом A773—1829). С помощью
этого представления он объяснил отсутствие интерференции лучей света, поляризованных во
взаимно перпендикулярных плоскостях, обнаруженное в 1816 г. экспериментально в совместной
работе Д. Ф. Араго A786—1853) и О. Ж. Френеля A788—1827).
Взяв от обеих частей B.54) модули |кхЕ|=со|В| и учитывая, что |кхЕ|=|к||Е|,|к|=к=со/с,
находим следующее соотношение между напряженностью электрического поля и магнитной
индукцией плоской волны в вакууме:
B.57)
Поскольку к, со, цо, ео в B.53) и B.54) — вещественные величины, из B.50) и B.51) заключаем,
что Е и В в плоской волне изменяются в одинаковой фазе, т. е. одновременно достигают макси-
максимальных и нулевых значений (рис. 7).
Инвариантность плоской волны. Основными свойствами плоской волны являются взаимная
перпендикулярность векторов Е и В волны и соблюдение соотношения B.57) между ними.
Прежде всего возникает вопрос об инвариантности плоской волны, т. е. вопрос о том, что плос-
плоская в одной системе координат волна является плоской волной во всех других системах коор-
координат, движущихся относительно первой равномерно и прямолинейно. Ответ на этот вопрос
основывается на инвариантах электромагнитного поля. Как показано в курсе электричества и
магнетизма, при преобразованиях Лоренца инвариантными являются следующие величины,
характеризующие электромагнитное поле:
-~ E"В.
B.58)

24
1
Изменение векторов плоской вол-
волны в пространстве
Если в некоторой системе координат электромагнитное поле составляет плоскую волну,
то 1\ =0, /2 = 0. Ввиду инвариантности этих величин относительно преобразований Лоренца
, они равны нулю также и во всех других системах координат. А это в соответствии с B.58) озна-
означает, что электромагнитное поле в других системах координат также является плоской ^волной.
Тем самым доказана инвариантность плоской волны.
Инвариантность фазы. Ясно, что утверждение о равенстве нулю векторов поля волны в не-
некоторой пространственно-временной точке имеет объективный смысл независимо от того,
в какой системе координат эта пространственно-временная точка рассматривается. Другими
словами, векторы поля в этой пространственно-временной точке во всех системах координат
равны нулю. А это означает, что фаза волны во всех системах координат одна и та же, что дока-
доказывает ее инвариантность. Инвариантность фазы следует из формул преобразования векторов
Поля. Написав формулы преобразования векторов электромагнитного поля плоской волны
и подставив в них выражения вида B.50) и B.51), сразу заключаем, что для справедливости фор-
формул преобразования в любых пространственно-временных точках необходима инвариантность
фаз волн.
Четырехмерный волновой вектор. Фазу можно представить в виде
к -г —cot = k\X\ Л-кгХг Л-къХъ Л-кьХь,
где
Х\=Х, Х2=У,
ki=kx, к2 = ку
Х4-=1С,
B.59)
B.60а)
B.606)
Правая часть B.59) имеет вид скалярного произведения. Поскольку совокупность величин'
B.60а) составляет четырехмерный вектор, из инвариантности скалярного произведения в пра-
правой части B.59) (инвариантность фазы) следует, что совокупность величин B.606) также состав-
составляет четырехмерный вектор. Это позволяет по известным формулам теории относительности
преобразовать эти величины от одной системы координат к другой.
Формулы преобразования частоты и направления распространения плоской волны. Обозначив п
единичный вектор в направлении распространения плоской волны, представим волновой век-
вектор в виде
к = псо/с.
Поскольку совокупность (кj, кг, кз^к*) составляет четырехмерный вектор, получаем следую-
следующие формулы преобразования:
ЮИх = СО' (Р + ПхI yj\ Р2 , СОИу = СО' Пу,
B.61)
СО/7. = СО'и;, СО = СО' A+ P«i)

где величины со штрихами относятся к системе координат К', которая движется относительно 25
неподвижной системы координат К в направлении положительных значений оси X со скоростью
v (Р = vie). Оси Хи X' совмещены, оси Z', У соответственно параллельны осям Z и У. §2
Эффект Доплера. Согласно формулам B.61), частота зависит от относительной скорости
источника и наблюдателя. Из последнего из уравнений B.61), воспользовавшись принципом
относительности, получаем формулу
ю = со' JT^W IA - рЧс), 0-62)
которая описывает эффект, открытый Доплером A803—1853) в 1842 г. При малых скоростях
(Р = v/c <§: 1) формула B.62) упрощается:
ю = ю'A+Ри*). B.63)
Если волна распространяется вдоль оси X, то пх = ±1 и B.63) принимает вид
Д со/со' = (со — со')/со' = + v/c. B-64)
Знак « + » относится к случаю, когда источник приближается к наблюдателю, а знак «—»,—
когда удаляется от наблюдателя. Этот случай изменения частоты называется продольным
эффектом Доплера.
Если скорость источника перпендикулярна направлению наблюдения (пх = 0), то проявля-
проявляется поперечный эффект Доплера:
Он обусловлен множителем yj\ — р2 в B.62) и является чисто релятивистским эффектом,
связанным с замедлением течения времени движущегося наблюдателя. Наличие этого эффекта
было Подтверждено экспериментально.
Пример 2.1. В направлении положительных значений оси X со скоростью v движется зеркало,
отражающая плоская поверхность которого перпендикулярна оси X. На зеркало под углом
9о < я/2 к положительному направлению оси X падает луч света. Найти направление отражен-
отраженного от зеркала луча. Луч лежит в плоскости X У.
Проекции единичного вектора п, направленного вдоль падающего да зеркало луча, равны
(cos 90, sin 0О, 0). Если бы зеркало было неподвижным, то проекции единичного вектора, харак-
характеризующего отраженный луч, вследствие равенства угла отражения и угла падения были
бы равны (—cos Go, sin Go, 0). При отражении от движущегося зеркала явление усложняется.
Решим задачу, воспользовавшись принципом относительности: рассмотрим отражение
в системе К', где зеркало покоится и закон отражения известен. Из B.61) и B.62) получаем фор-
формулы преобразования от системы К к системе К':
Существование электромагнитные волн следует из уравнений
Максвелла. Электромагнитная природа света установлена в ре-
результате совпадения свойств электромагнитных волн, описывае-
описываемых уравнениями 'Максвелла, и свойств света'.
Волны классифицируются по форме поверхностей постоянной
фазы (плоские, сферические, цилиндрические).
Простейшими и наиболее важными электромагнитными волнами
являются гармонические, но есть и другие.
Представление волн в комплексной форме очень удобно для про-
проведения расчетов.

26 w*"sz обоA — P«x)/ V1 — Pi = ^O — P cos Go)/ V1 — P2»
- n'x'- („x _ C)/(l _ pWx) = (CO5 Go — P)/(l — P COS Go),
n'y - fty V1 — P2/0 — P«*) = sin eo V1— P2/0 — P cos Go),
B.66)
где coo — частота света в системе К до отражения от движущегося зеркала. При отражении от
неподвижного зеркала в системе К' частота не изменяется, а угол отражения равен углу паде-
падения. Следовательно, для отраженного луча на основании B.66) можно написать:
со'отр = соо A —р cos Go)/VI — Р2 . n'x отр = —(cos Go — Р) / A — Р cos Go),
п'у' р = sin Go VI — Р2/A — Р cos Go). • B.67)
Теперь по формулам B.61) можно вернуться в систему К:
1 —2pcosG0+p2
— 2p+p2cose0
— 2Pcos90 + p2
sin 60 A — p2)
B.68)
- В нерелятивистском случае, когда Р <: 1, эти равенства с точностью до величины порядка Р
можно представить так:
ю'отр ** «о С1 — 2Р cos Go), cos GOTP » —cos Go 4- 2P sin2 Go,
sin G0Tp **» sin Go A + 2p cos Go). B.69)
Видно, что луч от движущегося зеркала отражается под большим углом, чем от непод-
неподвижного.
§ 3 Плотность потока энергии и импульса
электромагнитных волн. Давление света
Общие формулы для плотности потока энергии и импульса
электромагнитного поля детализируются применительно
к оптическому диапазону.
Плотность потока энергии. Плотность потока энергии электромагнитного поля определяется
вектором Пойнтинга
= ExH,
модуль которого в случае плоской волны может быть представлен в виде
(ЗЛ)
• C.2)
где учтено соотношение B.57). Принимая во внимание, что 1/цо = еос2, запишем соотношение
C.2) в форме
S = сеоЕ2 .
C.3)
В C.1)—C.3) входят мгновенные значения величин. Однако векторы электромагнитной
волны светового диапазона колеблются с частотами порядка 10" Гц, поэтому нельзя следить
за изменением величин по времени. Можно наблюдать и измерять лишь средние значения ве-

личин по очень большому числу периодов колебаний. Поэтому от мгновенных величин необхо- 27
димо перейти к средним. ____
Учитывая, что Е = Ео cos oof, где Ео — амплитуда напряженности электрического поля §3
волны, находим среднюю по времени плотность потока энергии:
<S>t = ce0El< cos2 at >t =с-г/2Е0Е1
C.4)
(индекс t у угловых скобок означает, что усреднение производится по времени; в большинстве
случаев этот индекс не будет выписываться, поскольку и без обозначения бывает ясно, об усред-
усреднении по какой переменной идет речь).
Распределение плотности потока по сечению пучка. Обычно в эксперименте используют пучки
света конечного поперечного сечения, по которому плотность потока распределена неравно-
неравномерно. Мощность потока энергии в пучке по определению равна
P=\\S\do, C.5)
где а — площадь поперечного сечения пучка, перпендикулярного направлению распростране-
распространения света. Поскольку поперечные размеры пучка бывают обычно порядка 1 мм — 1 см, т. е.
г0я»103-г-104 мкм, а длина волны X имеет порядок 1 мкм, заключаем, что Х/го^\0~3-г-Ю~4.
Следовательно, дифракционные эффекты (см. § 33) в пучках малы и для расчета плотности по-
потока энергии можно использовать формулы для плоских электромагнитных волн.
Гауссов пучок. Чаще всего пучок имеет круговое сечение, распределение плотности энергии
по которому аксиально симметричное и гауссово. Такой пучок называется гауссовым. Ампли-
Амплитуды плоских электромагнитных волн, составляющих пучок, распределены по закону
Eo(r)=Aoe-riK2r2°\ C.6)
где Л о — постоянная, равная амплитуде волн в центре пучка (r = 0); r — расстояние от центра.
Средняя плотность потока энергии равна
S = 72еоЛо2е-г2/г° = Soe-'a"* > C-7)
где So = zoAbjl — средняя плотность потока энергии в центре пучка. Для упрощения написания
угловые скобки, обозначающие средние величины, здесь не выписываются.
Мощность потока энергии в пучке в соответствии с C.5) равна
Р = 50Т е-"/'1. • 2nrdr = S0nr20. C.8)
Фактически плотность энергии в гауссовом пучке распределена по экспоненциальному за-
закону C.7). На^расстоянии г0 она убывает в е=2,7 раза. По обычной договоренности об обраще-
обращении с экспоненциально убывающими величинами можно сказать, что радиус пучка равен го.
В соответствии с C.8) для оценочных расчетов полагают, что вся энергия пучка сосредоточена
в пределах кругового сечения радиусом го, а плотность по сечению постоянна и равна плотно-
плотности в центре пучка. Гауссово распределение плотности потока и эффективное распределение по-
показаны на рис. 8 соответственно сплошной и штрихованной линией. Такой подход обычно обоб-
обобщается и на другие, не гауссовы пучки. Мощность потока энергии пучка представляется в виде
Р = ^кг\ф, C.9)
ГДе *^эф—эффективная плотность потока энергии в пучке, гэф —его эффективный радиус.
Если импульс света имеет энергию W, то его эффективная длительность тэф связана с мощно-
мощностью потока энергии в импульсе соотношением
И"=Рт,ф. C.10)

23 В настоящее время с помощью лазеров получены громад-
ные плотности потока энергии, порядка S~W20 Вт/м2. Это
означает [см. C.3)], что напряженности электрического поля
в волне имеют порядок Е*=*109 В/м, т. е. достигают значений,
характерных для внутриатомных полей. Длительность импуль-
импульсов т = Ю^2 с и менее.
Плотность импульса электромагнитной волны. Электромаг-
Электромагнитная, волна обладает не только энергией, но и импульсом.
В теории электричества и магнетизма было показано, что плот-
плотность импульса G электромагнитной волны связана с плот-
плотностью потока энергии S в ней соотношением
C.11)
8
Гауссово (сплошная линия) н эф-
эффективное (пунктирная линия) рас-
распределения плотности потока энер-
энергии в пучке
Давление света. При поглощении или отражении света те-
телом последнему, по закону сохранения, сообщается некоторый
импульс, равный разности импульсов пучка света до и после
поглощения или отражения. В результате на тело действует
соответствующая сила и возникает световое давление. Идея
о существовании давления света была высказана еще Кеплером
для объяснения отклонения хвостов комет от Солнца. Однако
эта идея вызывала много споров, поскольку доказать существо-
существование светового давления долго не удавалось. Сторонники
волновой теории долго считали, что световое давление не су-
существует, а отсутствие экспериментального доказательства
наличия светового давления выдвигали в качестве аргумента
против корпускулярной теории, согласно которой световое
давление, безусловно, должно существовать. Однако электро-
электромагнитная теория света предсказывает существование свето-
светового давления. Если электромагнитная волна падает нормально
на плоскую поверхность твердого тела и полностью поглоща-
поглощается им, то в 1 с на 1 м2 поверхности тела в соответствии с C.11)
передается импульс G и, следовательно, световое давление
равно
C.12)
При полном отражении поверхности тела передается им-
импульс, в два раза больший, и, следовательно, в два раза больше
давление. Можно подсчитать давление при частичном погло-
поглощении потока энергии. Если плотность потока поглощаемой
энергии равна 5ПОГ =а?, то по закону сохранения энергии плот-
плотность потока отражаемой энергии ,S0Tp=(l—a)S и, следова-
следовательно, давление может быть представлено в виде р — aS/c +
+ 2A—a)S/c = B — a)S/c. При падении потока энергии под
Схема осуществления лазерного
термояда
О Если мгновенные значения ве-
величин нельзя измерить, что
означает утверждение об их
существовании?
Перечислите основные пара-
параметры гауссова пучка.
Каковы причины возникно-
возникновения радиометрических сил
и как они были устранены в
опытах Лебедева?
Перечислите основные фак-
факторы, приводящие к сжатию
мишени в лазерном термояде.
Можно ли сказать, что все
эти факторы сводятся к све-
световому давлению?
По каким формулам преобра-
преобразуются энергия и импульс цуга
плоских волн при переходе
от одной инерциальной сис-
системы отсчета к другой?

углом к нормали необходимо принять во внимание лишь нормальную составляющую плот- 29.
ности потока энергии. Световое давление в обычных условиях очень мало. Например, на земной
орбите плотность потока солнечного излучения составляет примерно 5=1400 Вт/м2, поэтому §3
р = 1400/C 108)Па = 0,5 10~5 П& Учитывая, что атмосферное давление составляет около
105Па, находим, что световое давление Земли примерно в 1010 раз меньше атмосферного.
Поэтому обнаружить его было очень трудно. Первый шаг в правильном направлении сделал
У. Крукс A832—rl919). Он использовал крутильные весы, лепестки которых облучались светом.
По закручиванию нити можно было судить о действующей на лепестки силе. Однако из-за радио-
радиометрического эффекта ему не удалось измерить световое давление. Это впервые удалось сделать
П. Н. Лебедеву A866—1912) в 1900 г. Радиометрические силы были им уменьшены в резуль-
результате создания глубокого вакуума в сосуде, в котором находились крутильные весы. Благодаря
этому сила светового давления стала играть доминирующую роль в закручивании нити крутиль-
крутильных весов и была измерена.
Экспериментальная проверка достоверности исключения радиометрических сил состоит
в следующем. Если поверхность, на которую направляется луч, отражающая, то давление света
на нее в два раза больше, чем если бы она была полностью поглощающей, а радиометрическое
действие меньше. Если же поверхность полностью поглощает излучение, то световое давление
на нее в два раза меньше, чём давление на полностью отражающую поверхность, а радиометри-
радиометрические силы — больше. П. Н. Лебедев действительно наблюдал этот эффект увеличения в два
раза светового давления при освещении отражающего крылышка крутильных весов по срав-
сравнению с освещением поглощающего (черного) крылышка, что и доказывает исключение радио-
радиометрического действия.
Действие светового давления на малые частицы. Световое давление пропорционально пло- .
. щади, т. е. квадрату линейных размеров частицы, а масса частицы пропорциональна объему,
т. е. кубу линейных размеров. Это означает, что при фиксированной плотности сила, возникаю-
возникающая за счет светового давления и приходящаяся на единицу массы, изменяется обратно пропор-
пропорционально линейным размерам частицы, т. ё. растет с уменьшением ее размеров. Пусть, напри-
например, у шарообразной частицы р = 103 кг/м3, г= 10^5 м. Масса частицы т=*/зпг3р = 4-10~12 кг.
При потоке 5=1400 Вт/м2 солнечного излучения на орбите Земли световое давление p=S/c =
= 0,5 мкПа и поэтому сила, действующая на полностью поглощающую излучение частицу,
F—piir2 — \,5' 10~15 H. Она сообщает частице ускорение a=F/m = 0,4-10~3 м/с2. Это большое
ускорение. Ускорение, сообщаемое Солнцем частице на орбите Земли, равно ас =v2/R = [C0 х
х 103J/ A5 "Л010)] м/с2 = 0,6 • 10~2 м/с2, т. е. примерно в (ас /а) « 15 раз больше ускорения вслед-
вследствие светового давления. Для частицы с меньшими в 15 раз линейными размерами сила, обу-
обусловленная световым давлением примерно уравновесит силу притяжения Солнца. Поскольку
как плотность потока излучения, так и сила тяжести убывают с расстоянием по одному и тому
же закону (обратно пропорционально квадрату расстояния от Солнца), сила притяжения Солнца
и сила за счет светового давления равны друг другу по абсолютному значению для всех расстоя-
расстояний, и поэтому такая частица в поле тяготения Солнца движется так, как будто это поле отсут-
отсутствует. Наиболее наглядным проявлением светового давления является ориентировка хвостов
комет при их прохождении вблизи Солнца («вблизи» — в астрономическом масштабе рас-
расстояний).
Лазерный термояд. Этим термином обозначается идея осуществления управляемого термо-
термоядерного синтеза с помощью лазерного излучения. Для этого необходимо добиться сближения
легких ядер (дейтерия, трития) на столь малое расстояние, чтобы между ними произошла ядер-
ядерная реакция слияния. Но для сближения необходимо преодолеть кулоновскую силу отталкива-
отталкивания положительно заряженных ядер. Для этого им необходимо сообщить достаточно большую
кинетическую энергию (нагреть вещество).
Идея лазерного термояда состоит в следующем. Предположим, что на небольшой шарик,
содержащий ядерное горючее (ядра дейтерия, трития), одновременно со всех сторон направля-

30 ются мощные короткие импульсы лазерного излучения (рис. 9, волнистые стрелки). Энергия и
импульс этого излучения передаются веществу в поверхностном слое шарика, он нагревается
1 и приобретает направленное движение к центру. Энергия и импульс этого вещества передаются
внутренней части шарика, которая сильно сжимается и нагревается. Частицы верхних слоев
шарика приобретают скорость от центра шарика (как бы «испаряются» с поверхности). Таким
образом, вещество внутренней области шарика очень сильно сжимается, что сопровождается
огромным повышением температуры, а вещество внешних слоев шарика разлетается с очень
большими скоростями (рис. 9; прямые стрелки). Если плотность и температура сжатого вещест-
вещества шарика достигнут необходимых для осуществления ядерной реакции значений, то произой-
произойдет небольшой термоядерный взрыв, вроде взрыва маленькой водородной бомбы. Выделенная
при этом энергия превращается в основном в кинетическую энергию продуктов ядерной реакции
слияния, которая, в принципе, может быть преобразована в другие формы энергии и целесооб-
целесообразно использована.
Для осуществления термоядерной реакции вещество шарика необходимо сжать в несколько
сотен раз, а температуру поднять на много десятков миллионов градусов. Это можно сделать
лишь с помощью очень мощных лазерных импульсов излучения.
Однако схема осуществления ядерного термояда проста лишь в принципе. Ее техническое"
осуществление чрезвычайно сложно и требует глубоких научных исследований. Оказалось, что
процесс сжатия и нагревания вещества шариков, очень сложен и зависит от многих факторов.
Далее задача усложняется тем1, что осуществление миниатюрного термоядерного взрыва ша-
шариков еще не означает овладения управляемой термоядерной реакцией. Необходимо, чтобы
общий энергетический баланс работы установки был положителен, т. е. чтобы получаемая в
результате работы установки энергия в форме, пригодной для использования, была больше
энергии, необходимой для функционирования установки.
Преобразование амплитуды и нормали плоской электромагнитной волны. Пусть волновой
вектор плоской волны лежит в плоскости X У. Для напряженностей электрического поля и индук-
индукции магнитного поля можем написать:
?х,= —Еопуе">, Еу = Eonxeitf, Bz - (E0/c)eiv, C.13)
где ф — фаза, Ео — амплитуда плоской волны. Фаза волны инвариантна относительно преобра-
преобразований Лорецца, поэтому по формулам преобразования векторов поля находим:
(a)
у у A3.14)
Как обычно, величины со штрихами относятся к системе координат К', движущейся со скоро-
скоростью v в положительном направлении оси X— системы К* Оси X' и ЛГ систем координат совме-
совмещены.
Почленным делением второго и третьего уравнения C.14) на первое находим формулы для
преобразования проекций единичного вектора нормали плоской волны:
«i), (а) щ^п'у^Х — Р2/О+Р"х). (б) C.15)
Разделив почленно уравнение C.146) "на первое из уравнений B.61), получим
C.16)
Это соотношение между амплитудой и частотой плоской волны инвариантно относительно
преобразований Лоренца.

Энергия цуга плоских волн. Заключенная в объеме V энергия в соответствии с C.4) равна 31
w= 1LenEnV. ' C 171 """"""
z ' §3
Объем, занимаемый цугом волн, движется со скоростью с. Поэтому с этим объемом нельзя
связать систему координат и говорить о величине этого объема в состоянии покоя. Однако
найти формулу преобразования объема цуга волн можно. Введем некоторый вспомогательный
объем Vo, который в системе координат К' движется со скоростью и'х, а в системе К — со ско-
скоростью их. Учитывая релятивистское сокращение длин, запишем
и, следовательно,
C.18)
C.19)
C.20):
C.21)
где пх — проекция единичного вектора, характеризующего направление скорости и, на ось X.
Тогда
Отсюда с учетом формулы сложения скоростей теории относительности находим
l — Р2
у' = . .
1 — vujc2
Заменим их в C.20) по формуле
их = ипх,
C.22)
1 — vunjc2
При и-*с получим закон преобразования объемов цуга волн, движущихся со скоростью света:
Vy/1 — p2
V =
C-23)
Формулу C.14а) на основании принципа относительности можно переписать в виде
Е'о=Ео{\ — $щI yJ\ — $2 . C.24)
Из сравнения C.23), C.24), C.17) и B.62) получаем
W'/(o' = IV/а,
V со' - V® .
C.25)
Это означает, что энергия цуга плоских волн прямо пропорциональна частоте. Этот резуль-
результат используется в квантовой теории света.
Импульс цуга плоских волн. Он равен *
G = A/с2) S Е х HdF = n(eo/c) I E4V = nW/c,
C.26)
где п — единичный вектор в направлении распространения волны. Все величины в C.26) имеют
мгновенное значение (т. е. усреднение по периоду колебаний не предусмотрено). При выводе
C.26) приняты во внимание соотношения
=w/c. C-27)
учетом C.25) равенство C.26) мржно записать в виде

32 G-ncoa, W=(dca, C.28)
~— где a = W/((oc) — на основании C.25) — постоянная величина. Из B.606) заключаем, что сово-
1 купность величин
(сои*, <йпу, (йпг, —/со) C.29)
образует четырехмерный вектор. Поэтому из C.28) следует, что совокупность величин
(Gx, Gy, Gz, —iW/c), C.30)
характеризующая полный импульс и полную энергию цуга плоских волн, также образует че-
четырехмерный вектор.
Пример 3.1. Рубиновый лазер излучает импульсы линейно поляризованного света с гауссо-
гауссовым распределением амплитуд по круговому сечению пучка. Энергия в импульсе, продолжи-
продолжительность импульса и эффективный радиус пучка равны соответственно 1 Дж, 100 мкс, 5 мм.
Считая мгновенную мощность в течение импульса излучения постоянной, определить ее значе-
значение, плотность потока энергии на оси пучка, амплитуду напряженности электрического поля
и амплитуды индукции и напряженности магнитного поля на расстоянии 2 мм от оси пучка.
Ввиду постоянства мгновенной мощности средняя мощность в импульсе равна ее мгновен-
мгновенному значению Р= W/x = 104 Вт [см. C.10)]. Плотность потока энергии на оси пучка равна
[см. C.8)] So = Р/(пг$) = 1,27 • 108 Вт/м2. Тогда амплитуда напряженности электрического поля
на оси [см. C.4)] равна Ео@) — [ 2?'о/(сео)]1/2 = 3,1 105 В/м. Напряженность электрического
поля на расстоянии 2 мм от оси [см. C.6)]
ЕоB-10~3 м) = ?0@) ехр [—г2/Bг?>)] = 2,86-105 В/м.
Отсюда для амплитуд индукции и напряженности магнитного поля получаем значения
10~3Тл и 7,56 102А/м.
О В экспериментах мгновенные значения величин в пространствен-
пространственных точках не могут быть измерены. Всегда измеряются средние
значения величин по некоторому интервалу времени и области
пространства.
Экспериментально в настоящее время средние значения величин
на интервалах времени, меньших периода светового колебания,
не измеряются. Всегда измеряются средние по многим периодам.
Измеряемое в эксперименте среднее значение напряженности
электрического поля световой волны всегда равно нулю. Про-
Простейшие величины, среднее значение которых отлично от нуля,
пропорциональны квадрату напряженности поля. Важнейшей из
них является объемная плотность энергии, связанная простыми
соотношениями с плотностью потока энергии и объемной плот-
плотностью импульса волны.
Световое давление является проявлением объемной плотности
импульса у волны и закона сохранения импульса при взаимодей-
взаимодействии волны с веществом.

§ 4
Суперпозиция электромагнитных волн 33
Прослеживается переход от принципа суперпозиции ——
для напряженностей электромагнитного поля волны g^j
к принципу суперпозиции для электромагнитной волны
Суперпозиция векторов поля волны. Напряженность электрического поля и магнитная индукция
равны соответственно сумме напряженностей и магнитных индукций всех полей в данной точке
независимо от их происхождения. В частности, эти поля могут принадлежать плоским электро-
электромагнитным волнам всевозможных частот и направлений распространения. Однако полученная
в результате сложения полей совокупность электрического и магнитного,полей, вообще говоря,
не составляет бегущую электромагнитную волну, даже если слагаемые поля принадлежат к бе-
бегущим электромагнитным волнам.
Суперпозиция бегущих плоских монохроматических электромагнитных волн. Пусть имеются
две волны с одинаковым волновым вектором к и одинаковой частотой со, поля которых описы-
описываются векторами ЕиВг и Е2,В 2. Соотношения B.53)—B.56) для них имеют следующий вид:
, —к х В2 = соцоеоЕ2,
kxEj=coB,, kxE2=coB2, .D.1)
kBj=O, kB2=0,
к-Ж, =0, к-Е2=0,
а формула B.57) дает равенства
Ex =cBi, E2 = cB2. D-2)
Складывая почленно левые и правые части равенств D.1) и D.2) и обозначая
Е = Е,+Е2, В=В!+В2, D.3)
приходим к соотношениям
—к х В = соцоеоЕ, к х Е = соВ, кВ = 0, к'Е = 0, D.4)
которые доказывают, что поле, описываемое векторами Е, В, представляет плоскую монохро-
монохроматическую бегущую волну с волновым вектором к и частотой со. Тем самым доказано, что две
плоские монохроматические бегущие волны с одинаковой частотой, распространяющиеся в
*>дном и том же направлении, в результате сложения дают плоскую монохроматическую волну
юй же частоты, распространяющуюся в том же направлении. Если слагаемые волны имеют
разные частоты или различные направления распространения, то в результате их сложения не
будет получена плоская монохроматическая бегущая волна.
Биения. Рассмотрим случай сложения двух монохроматических волн, имеющих частоты coi
и со2 и распространяющихся в одном направлении. Векторы Е в этих волнах коллинеарны. Для
определенности ось Z совместим с направлением распространения волн, а X совместим с на-
направлением вектора. Е^волны, т. е. предположим, что «Е = (Ех, 0, 0), В = @, Ву, 0). Чтобы не за-
загромождать изложения^'будем следить за вектором Е, поскольку поведение вектора В опре-
определяется по вектору* Е с помощью соотношений между векторами плоской волны. Для про-

34 стоты допустим, что амплитуды напряженностей электри-
ческого поля слагаемых, волн одинаковы:
* Е\х = Ео cos (coj t — k\z\ E2x = Ео cos (<o2t — k2z). D.5)
В соответствии с принципом суперпозиции имеем
Е =* Ех = Eix + Е2х = Ео cos (со, t — к,г) + Ео cos (a>2t — k2z) =
Kj г Кг
D-6)
гле использована формула сложения косинусов. Учитывая, что
А. - v)ih\ 1<: — юг А",, представим D.6) в виде
? = 2?o cos [(coi — co2) (t — z/c)/2]
cos[(coi + co2)(f — z/c)/2],
D.7)
который показывает, что результирующее электромагнитное
поле распространяется без затухания в направлении положи-
положительных значений оси Z со скоростью с (об этом свидетельствует
наличие комбинации t — z/c в аргументе функции). В этом
смысле речь идет о бегущей волне, однако не монохроматиче-
монохроматической. Учитывая, что в пределах оптического диапазона всегда
соблюдается соотношение Jcoi — <о2\<: oi+<o2, можно дать
следующую наглядную интерпретацию такой волны: сомно-
сомножитель 2Ео cosl(coi — ©г) (t — z/c)/2] представляет изменяю-
изменяющуюся амплитуду гармонической волны с частотой (coj +
+ <о2у/2 [последний сомножитель в D.7)], Таким образом, волна
в некоторый фиксированный момент времени имеет вид, изоб-
изображенный на рис. 10. Сплошной линией показаны колебания
частоты (аI+со2)/2, а пунктирной — огибающая, амплитуды
колебаний, изменяющихся от максимального значения 2Ео до
нуля. Если амплитуды ?bi и Ео2 полей слагаемых волн не равны
друг другу, то амплитуда суммарной волны изменяется от
?oi +Еог ДО I-Eoi — ?021.
Гармонические колебания с медленно изменяющейся ампли-
амплитудой называются биениями. Понятие «медленно изменяющаят
ся амплитуда» определяется относительно основного гармони-
гармонического колебания: амплитуда мало меняется в течение многих
периодов основного гармонического колебания (рис. 10).
Поскольку по определению амплитудой колебаний называ-
называется положительная величина максимального отклонения от
положения равновесия, из D.7) заключаем, что частота биений
равна
! = |C0i —C02|.
11
Стоячая волна напряженности Е
О Какое свойство электромаг-
электромагнитных волн обеспечивает со-
соблюдение для них принципа
'суперпозиции как прямого
следствия справедливости
принципа суперпозиции для
напряженности электрическо-
электрического поля и индукции магнит-
магнитного поля? .
В каких областях простран-
пространства движется энергия в стоя-
стоячей электромагнитной волне?
Рассмотрите вопрос о движе-
нии энергии при наличии бие-
биений.

12
Стоячая электромагнитная волна
В
Стоячие волны. Рассмотрим суперпозицию двух монохроматических волн одинаковой
частоты, распространяющихся навстречу друг другу. Будем считать, что векторы напряжен-
напряженности электрического1 поля в этих волнах коллинеарны и колеблются с одинаковой амплитудой.
По-прежнему ось Z располагаем по направлению распространения волны, а ось X—кол-
линеарно направлению векторов Ё волн. Имеем
Ei = Ей (z, t) = Eo cos (cor — kz),
Е2 = E2x(zt t) = Eo cos (cot +fcz + 5),
D.9)
D.10)
где положительный знак при kz в D.10) учитывает, что волна с Е2 распространяется в направ-
направлении отрицательных значений оси Z; 5 — сдвиг фаз.
В результате суперпозиции этих двух бегущих волн образуется волна, напряженность поля
которой равна
= 2Е0 cos (kz + 5/2) cos (cot + 5/2).
D.11)
Видно, что эта волна не является бегущей, поскольку отсутствует характерный для нее мно-
множитель t±z/c. Сомножитель 2?Ь cos (kz +5/2) с точностью до знака можно' рассматривать
как амплитуду колебаний напряженности поля в точке z. Она изменяется от точки к точке по
гармоническому закону. Напряженность во всех точках изменяется с одинаковой частотой в
одной и той же фазе [сомножитель cos (cor + 5/2]. Такая волна называется стоячей (рис. 11).
В точках оси Z, удовлетворяющих условию cos (kz + 5/2) = 0, напряженность Е тождественно
равна нулю. Эти точки называются узлами (буква «у» на рисунке). Точки, для которых cos (kz +
+ 5/2) = ± 1, имеют максимальную амплитуду колебаний напряженности.. Они называются
пучностями (буква «п» на рисунке). Расстояние Az между узлами (или между пучностями) на-
находится, очевидно, из условия kAz=n и равно Az=X/2, т. е. половине длины бегущей волны.
Стоячая волна при не равных нулю напряженностях электрического поля показана на рис. 11.
Видно, что мгновенный снимок стоячей .волны совпадает со снимком бегущей волны. Однако
между бегущей и стоячей волнами имеется глубокое различие. Колебания напряженности #во
всех точках стоячей волны в некоторый момент времени находятся в одной и той же фазе, а коле-
колебания напряженности электрического поля в различньк точках бегущей волны не совпадают
по фазе. В частности, у стоячей волны' имеется такой момент времени, когда напряженность Е
во всех точках оси Z равна нулю [при cos (cot + 5/2) = 0].
Магнитная индукция В полей волн также складывается в соответствии с принципом суперпо-
суперпозиций полей. Так как векторы Е, В, к плоской электромагнитной волны образуют правовинто-
вую тройку векторов (рис. 6), векторы В, иВ2 волн, распространяющихся в положительном и
отрицательном направлениях оси Z, на основании D.9) и D.10) имеют соответственно вид
Bi = Biy(z, t) = Eix/c = (Eo/c) cos (cot — kz),
B2 = B2y(z, t) - —E2x/c = —(Eo/c) cos (cot + kz + 5)
D.12)
D.13)
35
§4

(знак минус в правой части учитывает, что правовинтовая
тройка векторов составляется вектором Е в положительном
направлении оси X, вектором В в отрицательном направлении
оси У, вектором к в отрицательном направлении оси Z). Маг-
Магнитная индукция поля результирующей волны равна
В = Ву = Вх + В2 = BЕ0/с) sin (kz + 5/2) sin (tot + 6/2), D.14)
т.е. выражается формулой, аналогичной D.11), но с заменой
косинуса на синус. Это означает, что вектор В также образует
стоячую волну, узлы которой совпадают с пучностями стоячей
волны Е. Векторы Е и В расположены во взаимно перпендику-
перпендикулярных плоскостях. Из сравнения D.11) и D.14) также видно,
что по времени колебания электрического и магнитного полей
стоячей электромагнитной волны отличаются по фазе на: чет-
четверть периода колебаний. Это означает, что если, например,
напряженность электрического поля стоячей волны достигает
максимума, то магнитная индукция в это время равна нулю;
если же напряженность электрического поля стоячей волны
достигает половины максимальной величины, то магнитная
индукция также достигает половины максимальной вели-
величины, а отличаются они тем, что, например, напряжен-
напряженность электрического поля находится в фазе роста ее абсолют-
абсолютного значения, а индукция — в фазе уменьшения. Стоячая
электромагнитная волна показана на рис. 12 для такого момента
времени, когда ни напряженность электрического поля, ни ин-
индукция не достигают своих максимальных абсолютных значе-
значений.
Преобразование энергии в стоячей электромагнитной волне.
Плотность потока энергии волн описывается вектором Пойн-
тинга C.1). Следовательно, поток энергии отсутствует в точках,
где либо Е, либо В равны нулю. Это означает, что поток энергии
в стоячей электромагнитной волне отсутствует через узлы и
пучности в волне, поскольку пучность напряженности электри-
электрического поля совпадает с узлом индукции магнитного поля и
наоборот. Поэтому с течением времени энергия движется
между соседними узлами и пучностями, превращаясь из энергии
магнитного поля в энергию электрического поля и обратно.
С помощью D.11) и D.14), пользуясь формулой для объемной'
плотности энергии электромагнитного поля
V2(ED+HB),
D.15)
можно проверить, что энергия стоячей волны, заключенная
между соседними узлами и пучностями, с течением времени
сохраняет постоянное значение, что и доказывает утверждение
о взаимопревращении энергии электрического и магнитного
полей стоячей волны.
Экспериментальное доказательство электромагнитной при-
природы света: Стоячие волны света получаются в результате сло-
сложения волн падающего и отраженного от некоторой поверх -
13
Опыт Винера по доказательству
электромагнитной природы света
Из справедливости прин-
принципа суперпозиции для
электрического и магнит-
магнитного полей не следует ав-
автоматически его справед-
справедливость для волн. Принцип
суперпозиции для электро-
электромагнитных волн требует
специального доказатель-
доказательства.
Электромагнитная вол-
волна и объемная плот-
плотность ее энергии не могут
существовать без .движе-
.движения. Движение является
способом их существова-
существования. Поэтому даже в стоя-
стоячей электромагнитной вол-
волне как напряженности поля
волны, так и объемная
плотность энергии волны
постоянно изменяются.
В опытах Винера важно
не только эксперименталь-
экспериментальное прямое доказательство
электромагнитной приро-
природы света, но и установле-
установление того факта, чтр на
фотоэмульсию действует
напряженность электриче-
электрического поля .волны.

ности пучка света. Законы отражения будут рассмотрены несколько позднее (см. § 16, 20).
Здесь лишь заметим, что для изменения направления движения волны при отражении необ-
необходимо изменить взаимную ориентацию векторов Е и В волны так, чтобы векторное произве-
произведение Е«В было направлено в сторону движения отраженного луча, в то время как до отраже-
ния оно направлено по падающему лучу. Поэтому при отражении либо вектор Е падающей
волны, либо вектор В должны изменить свое направление на обратное.
Если стоячие волны света создать в фотоэмульсии, то максимальные почернения должны
наблюдаться в пучностях стоячих волн. Если фотографическое действие электрического и маг-
магнитного векторов одинаково, то и почернение в их пучностях одинаково, а если различно, то
и почернения различны. Таким образом, исследование стоячих волн в фотоэмульсиях позволяет
проверить электромагнитную теорию света и одновременно установить, какой из векторов
волны и в какой степени обладает фотографическим действием. Такие опыты впервые были по-
поставлены в 1890 г. О. Винером, получившим систему стоячих волн в воздухе отражением от ме-'
таллического зеркала. Поскольку расстояние между пучностями очень мало .(порядка 0,3 мкм),
Винер исследовал почернение в тонком светочувствительном слое АС (порядка А/20), располо-
расположенном под малым углом ф к поверхности АВ зеркала (рис. 13). Если расстояния между пучно-
пучностями по нормали к поверхности зеркала равны А/2, то в наклонном тонком светочувствитель-
светочувствительном слое эти расстояния равны J=A/B sin ф), т. е. при малых углах могут быть сделаны доста-
достаточно большими и их можно измерить.
Опыты Винера доказали, что фотографическое действие обусловлено электрической напря-
напряженностью Е поля, а не индукцией В. Предсказания электромагнитной теории света в опытах
Винера полностью подтвердились.
§ 5
Поляризация электромагнитных волн
Показывается, что электромагнитные волны
имеют две независимые поляризации, и анализируются
различные представления волн.
Поляризация. Для продольных волн все направления, перпендикулярные линии распростране-
распространения волн, эквивалентны. Для поперечных волн они не эквивалентны. Электромагни гные волны
являются поперечными, и их свойства зависят от ориентировки векторов Е и В, характеризуемой
понятием поляризации.
Линейная поляризация. Если в процессе распространения волн вектор Ej лежит в одной и юн
же плоскости, параллельной направлению распространения волн, то волны называются ли-
линейно поляризованными (см. рис. 7).
Плоскостью поляризации называется плоскость, в которой лежат векторы В и к (вектор В,
а не Е!). Однако это понятие сейчас употребляется редко. Чаще говорят о плоскости колебаний
вектора Е.
Суперпозиция линейно поляризованных волн. Рассмотрим суперпозицию двух линейно поля-
поляризованных волн одной и той же частоты, распространяющихся в одном направлении. Для
определенности будем считать, что колебания Е первой волны лежат в плоскости XZ, а второй —
в плоскости YZ (рис. 14). Тогда можно записать:
E\x{z, t) = Eio sin (cot — kz), Е1у = Еи=0, E.1)
Eiy(z, t) = E20 sin (cot — kz + 8), ?2*-Е2г =0, E.2)
где 8 — сдвиг фаз между колебаниями.
Исследуем напряженность E = Ei +E2 электрического поля суммарной волны в плоскости,
перпендикулярной направлению распространения волн при фиксированном значении z. С те-
течением времени конец вектора Е описывает в плоскости А" У некоторую замкнутую кривую.

38
1
Найдем уравнение этой кривой. Перепишем E.2) в виде
Еу = Е2о sin (cot — kz) cos 8 + E20 cos (cot — kz) sin 5
и с помощью E.1) исключим из этого равенства
sin (cot — kz) и cos (cot — kz):
Ey=E20(EJEi0 )cos8 4- ?20 sin 8
E.3)
Суперпозиция линейно полярязо-
вшпып плоских волн, приводящая
Напомним, что амплитуды Ею и Е2о предполагаются положи-
положительными числами. Перенося первое слагаемое правой части к эллиптическн поляризованной
,, ,. л — волне
E.3) на левую сторону, возводя обе части в квадрат, деля их
на Е21, после перегруппировки членов приводим уравнение
к виду
cos 8 = sin2 8.
E.4)
Рассмотрим различные случаи, описываемые этим уравнением.
Эллиптическая и круговая поляризации. Если cos 8 = 0,
sin 8 = ± 1, то уравнение E.4) принимает вид
E.5)
При ЕюфЕ2о это выражение является уравнением эллипса
с центром в начале координат и осями, направленными вдоль
осей системы координат. Полуоси эллипса (рис. 15) равны Е\ о
(по оси X) и Е20 (по оси У). Условие cos 8 = 0 соблюдается
при
5 = тс/2 + гас (л = 0, ±1, ±2,...)-
E.6)
Тогда уравнения E.1) и E.2)' принимают следующий вид
(z=0):
Ех = Ею sin cot, E.7)
Еу = Е2о sin (соГ+ л/2 + пп) = (—1)"+' Е20 cos cot. E.8)
Видно, что конец вектора Е вращается по часовой стрелке
при нечетном п и против часовой стрелки при четном п.
В первом случае говорят о правой эллиптически поляризован-
поляризованной волне, а во втором — о левой эллиптически поляризован-
поляризованной волне. Отметим, что наблюдение за вращением вектора Е
ведется со стороны, в которую движется волна (ось Z на рис. 15
направлена к нам).
При Е\о=Е2о эллипс становится окружностью. Соответ-
Соответствующая волна называется поляризованной по кругу или вол-
волной с циркулярной поляризацией. Как и в случае волн с эллип-
эллиптической поляризацией, могут быть волны с левой и правой
циркулярной поляризацией.
л(четное)
л(нечетное)
15
Эллиптическая поляризация в ча-
частном случае, когда главные оси
эллипса коллинеарны направлени-
направлениям колебании Е
О Зависит ли ориентация глав-
главных осей эллипса при эллип-
эллиптической поляризации от раз-
ности фаз линейно поляри-
поляризованных во взаимно перпен-
перпендикулярных направлени-
направлениях волн, в результате' супер-
суперпозиции которых образова-
образовалась эллиптически поляризо-
поляризованная волна?
Можно ли получить циркуляр-
но поляризованную волну при
разных амплитудах слагае-
слагаемых линейно поляризованных
волн?
Можно ли получить эллип-
эллиптически поляризованную вол-
волну при сложении линейно по-
поляризованных волн с одина-
одинаковыми амплитудами? Чем
определяется направление
циркулярной поляризации?

г
^1 I
16
Эллиптическая поляризация в об-
общем случае.
Изменение вектора Е в простран-
пространстве в фиксированный момент вре-
времени при круговой поляризации
уравнение E.4) также описывает эллипс,
однако его главные оси не совпадают с осями координат. Как •
видно из уравнений E.1) и E.2), максимальные и минимальные
значения составляющих Еу и Ех равны ±Е2о и ±?ю, поэтому
эллипс вписан в прямоугольник со сторонами 2Ею и 2Е20
с центром jb начале координат (рис. 16). Ориентация эллипса
и его параметры зависят от 8. В частности, следует обратить
внимание, что для cos 8^= О получается эллиптически поляри-
поляризованная волна даже при Е\о=Его. Направление вращения
суммарного вектора Е определяется значением 8.
Изменение вектора напряженности в пространстве при эллип-
эллиптической и круговой поляризациях. Для фиксированного момента
времени множество точек, образуемых концом вектора Е, лежит
на винтообразной линии. На рис. 17 показано пространственное
изменение вектора Е при круговой поляризации волны. Пред-
Представить себе эллиптически поляризованную волну при фикси-
фиксированном t можно так: на поверхности прямого эллиптическо-
эллиптического цилиндра проведена винтовая линия, начало вектора Е на-
находится в точках оси цилиндра, конец — на винтовой линии,
причем сам вектор везде перпендикулярен оси.
Вырожденный случай эллиптической поляризации. При cos Ъ =
.= ±1, sin 8=0 соотношение E.4) превращается в равенство
Е2Х Е\ _ Ех Еу / Ех Ev
/ Ех Еу V
= ( —^- + —^- ) =
\ Ew E20 J
0,
которое при cos 8 = +1 hcos 8 = —1 описывает прямые
Ех/Е10 — Еу/Е2о = 0> E.9a) Ex/EiO+Ey/E2o=0. E.96)
Конец суммарного вектора Е движется по соответствующей
-прямой (рис. 18, а, 6). Получается линейно поляризованная
волна, которая является предельным случаем эллиптической
поляризованной волны (см. рис. 16) при равенстве нулю одной
из полуосей эллипса При cos 8 = 4-1 линейное колебание сум-
суммарного вектора Е происходит в первом и третьем, а при
cos 8 = —1 — во втором и четвертом квадрантах.
Число независимых поляризаций. Изложенное показывает,
что электромагнитная волна с любой поляризацией может
быть представлена в виде суперпозиции двух линейно поляри-
поляризованных волн, плоскости колебаний электрического вектора
которых взаимно перпендикулярны. Поэтому можно сказать,
что электромагнитные волны обладают двумя независимыми
состояниями поляризации.
Линейно поляризованная волна как суперпозиция волн с кру-
круговой поляризацией. Рассмотрим суперпозицию волн с левой
и правой круговыми поляризациями. Пусть при некотором
фиксированном значении z векторы напряженности Ei и Ег
волны заданы соотношениями (рис. 19)
Е\х = Ео cos cor, Ely = Ео sin cot, E.1Q)
E2x = ?b cos cof, E2y = —Eo sin со t. E-J 0
39
§5

40 Первая волна обладает левой, а вторая — правой круговой
¦_ поляризацией. Амплитуды волн одинаковы. В результате супер-
I позиции волн получается волна с проекциями напряженностей
Ех = ?ix + J&* = 2Ео cos cot, E.12)
Еу = Е\у +Е2у = 0, E.13)
т. е. линейно поляризованная волна. В данном случае линия ко-
колебаний вектора Е совпадает с осью X. Если между колебания-
колебаниями [см. E.10) и E.11)] имеется сдвиг фаз, то линия колебаний
суммарной напряженности образует угол с осью X, определяе-
определяемый сдвигом фаз слагаемых волн.
Пример 5.1. Определить характеристики волны, получае-
получаемой в результате суперпозиции двух волн с одинаковой ампли-
амплитудой, поляризованных по правому и левому кругу, если в на-
начальный момент разность фаз волн равна 8.
. Напряженности левополяризованной и правополяризован-
ной волн записываются в виде
Е\х — Ео cos cot, Ely = Ео sin cof,
Егх = Ео cos (—cor 4- 8), ?2у = Ео sin (—cof + 5).
E.14)
Удобно произвести сложение описываемых формулами
E.14) колебаний, представив их в виде комплексных векторов
результат сложения которых дается формулой
Е = Et + Е2 = ?ое'б/2 [е'(ш ~б/2) + е«ш ~6/2) ] =
= 2?0ei6/2cos(cot —8/2),
поэтому
Ех = 2Е0 cos (8/2) cos (cot — 8/2),
. Еу = 2E0 sin (8/2) cos (cot — 8/2).
Из E.17) следует, что Еу/Ех = tg (8/2), т. е. результирующая
волна является линейно поляризованной, причем линия колеба-
колебаний вектора Е образует с осью X угол 8/2.
EЛ6)
E.17)
§ 6
Усреднения
. Показывается, как результат усреднении зависит
от интервала усреднения и даются правила вычислений при
комплексной форме представления волн.
Операция усреднения, В физических теориях пользуются вели-
величинами, относящимися к точке пространства и моменту вре-
времени. Однако в физическом эксперименте измеряют средние
значения величин по некоторому объему и промежутку време-
времени. Например, мгновенным значением величины называется
Ех
Ех X
• I
ь)Ч
18
Вырожденный случай сложения
двух линейно поляризованных волн
Y - h
Ej+E2
19
Образование линейно поляризован-
поляризованной волны в результате суперпо-
суперпозиции циркулярно поляризованных
волн
Из принципа суперпозиции
следует, что любую ли-
линейно поляризованную
волну можно представить
в виде суммы двух волн с
взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными плоскостями линей-
линейной поляризации. Если воз-
возникает разность фаз коле-
колебаний между этими волна-
волнами, то результирующая
волна является либо эллип-
эллиптически поляризованной,
либо циркулярно поляри-
поляризованной, в зависимости от
разности фаз.

ее предельное значение при стремлении промежутка времени устреднения к нулю. Однако 41
в эксперименте это предельное значение достигнуто быть не может. Результатом измерения
всегда является среднее по некоторому малому промежутку времени. Все сказанное об усред- §6
нении по времени относится также и к усреднениям по объемам.
Среднее значение физической величины f(x, у, z, t) определяется формулой
< fix, y,z,t>Aj/A = —'¦ V f(x, y, z, t) dxdvdzdt,
A kAt
F.1)
где AV и Дт — соответственно объем и интервал времени усреднения.
Результат усреднения зависит от размеров области усреднения. Масштабы изменения /,
меньшие области усреднения, не фиксируются в усредненных величинах. Например, нельзя
изучить ход изменения напряженности электрического поля во времени в гармоническом коле-
колебании, если за промежуток времени усреднения взять период колебаний.
Если в области усреднения AV в любой момент промежутка времени Дт усреднения величи-
величина/изменяется незначительно и этим изменением мржно пренебречь, то в F.1) при интегриро-
интегрировании по dxdydz величину / можно считать постоянной и выполнить усреднение по (х, у, z):
</(*, ,, z, г)>д^д; = -~-jTdf -^гЫх,у, z, t)dxdydz = -^-}f(x,y, z, t)dt, F.2)
где —j- \ dxdydz = 1. Таким образом, все операции усреднения в этом случае сводятся к усред-
усреднению по времени:
F.3)
где пространственные переменные для упрощения написания формулы не выписаны, поскольку
операция усреднения от них не зависит.
Усреднение гармонических функций. По определению,
- ] Ce-
+ Дт/2 { + Дт/2
_sin(mAT/2)Q[.@t
-(©Дт/2)
F.4)
\ — Дт/2 t — Дт/2
где е|а — e~ia = 2i sin a. Разделяя в F.4) действительные и мнимые части, находим:
sin (соАт/2) ., _.
< cos (ut >. = —» — cos cof, F.5)
Дт (юАт/2) V
<sm cot>.T = —i !—'sm cof. F.6)
4т (юАт/2)
Результатом усреднения гармонической функции является гармоническая функция с той же
частотой, но с амплитудой, умноженной на
^?) = sin^ ? = о)Дт/2) F.7)
(рис. 20). Видно, что амплитуда усредненной гармонической функции быстро убывает с увели-
увеличением Дт. При ?= соДт/2=7 л; Дт = 2я/со= Т (Т— период гармонических колебаний) амплитуда
обращается в нуль. В частности, в оптическом диапазоне электромагнитных колебаний
G\*1СГ15 с) приборов, которые регистрируют напряженность электрического или индукцию

42 магнитного поля за промежуток времени, меньший 10 15с,
3 настоящее время не существует. Поэтому невозможно экспе-
X риментально зафиксировать ход изменения электрической на-
напряженности и магнитной индукции световой волны. В оптике
изучаются лишь усредненные по многим периодам колебаний
значения физических величин.
Усреднение квадратов гар'монических функций. В этом слу-
случае имеем
< cos2 cot >Дт = < — A + cos 2cot) >Дт =
>Дт =
F.8)
< sin2 cot >Дт = < -у A — cos
-¦i-fi-
~ 2L
sin (coAt)
(соДт)
cos 2Ш
F.9)
где использованы соотноше1тая для двойного угла и формулы
F.5) и F.6). График средней величины квадрата гармонической
функции приведен на рис. 21. Видно, что среднее значение колеб-
колеблется около 7г с амплитудой, определяемой характерным
множителем А(&). При увеличении интервала времени, усред-
усреднения амплитуда колебаний уменьшается и среднее, значение
квадрата гармонической функции стремится к постоянному зна-
значению !/г- Эта ситуация в оптическом диапазоне всегда осу-
осуществляется.
Линейность операции усреднения. Из определения F.1) сле-
следует, что
где hi, ц2 — постоянные. Равенство F.10) показывает, что опе-
операция усреднения является линейной.
Вычисления с комплексными скалярными величинами. Для
упрощения вычислений колебания и волны обычно представ-
представляются в комплексной форме. Вычисление средних по времени
приходится производить от произведений действительных или
мнимых частей комплексных величин. Однако произведение
действительных частей двух комплексных величин не равно дей-
действительной части их произведения, т. е.
Re A ReB?Re(AB),
и поэтому нахождение среднего от произведения действитель-
действительных частей двух комплексных величин не сводится к вычисле-
вычислению среднего от действительной части их произведения. Но вы-
вычисление все же значительно упрощается, поскольку зависи-
зависимость от времени рассматриваемых величин имеет вид
20
График амплитуды усредвевпой
гармонической функции
ы <cos2u>/> _
й
21
График колебаний усредненного
квадрата гармонической функции
B(x,y,z,t)=B0(x,y,z)e
F.12)
Q Результат усреднения за-
зависит от интервала усред-
усреднения. С помощью средних
значений нельзя изучать
изменения, которые проис-
происходят на интервалах, мень-
меньших интервала усредне-
¦> ния.
О Докажите, что среднее зна-
' чение производной равно про-
производной от среднего значе-
значения.
Почему среднее значение про-
произведения вещественных час-
частей двух комплексных чисел
не равно вещественной части
среднего значения их про-
произведения?

Учитывая равенства* ,
, F.13)
$7
получаем *
ReA ReB = Ке(Аое~ш) Ке(Вое~ш) = 1/2Кс(А0В% +АоВое~2ш), F.14)
где принято во внимание соотношение
Re(AB*) = Re(A*B). F.15)
В результате усреднения F.14) по времени находим
< ЫеЛ ReJ?> = *12Ке(А0В*0) = */2Ке(АВ*) = 1/2Rc(A*B), F.16)
где А и В имеют вид F.12).
Вычисления с комплексными векторными величинами. Если векторы поля волны представ-
представлены в комплексном виде, т. е.
Е=Еое-«ш'-кг>, F.17)
Н=Ноё-*<<"-к">, F.18)
то плотность потока энергии определяется формулой
F.19)
S=ReE xReH.
Представим не зависящие от времени части векторов в виде
Еое = ER + ЯЕ7,
ikr F.20)
где индексами RhI отмечены действительные и мнимые части величин, стоящих в левой части
равенства. Имеем
e-"Bf F.21)
и, следовательно,
ReE-= Re [(Ер +Ж,) (cos (ot — i'sin cor)] = ERcos Ш +E7sin cot, (a)
F.22)
Re H = HRcos соt + H7 sin cot. F)
Подставляя эти выражения в F.19), находим
8 = (ЕЛ xH;j)cos2 сог'+(Е, х Н7) sin2 cot + [(ЕЛ хН^ + ф/ xH^lsincot coscor. F.23)
При уфеднении по времени третье слагаемое в правой части равенства исчезает, а средние от
квадратов синуса и коринуса равны 7г- Поэтому
<S> =72(ЕЛ хНл) + 72(Е/ хН,). F.24)
Соотношению F.24) можно придать более простую форму, если использовать комплексно-
сопряженные величины. Из F.21) следует, что
Н*=(НЛ —1Н7)е/ш. F.25)

44 Вычислим векторное произведение:
1 е~'ш х (НЛ — 1Н,)е'ш' = (ЕЛ х НЛ) +Е7 хН,
Е (
+ /[(Е/хНЛ)-(Е/,хН/)]. F.26)
Сравнивая F.26) с F.24), получаем
F27)
=V2Re(ExH*).
Аналогично вычисляются средние объемные плотности энергии электрического и магнит-
магнитного прлей волны:
<и>эл> =(б/4)Е-Е*,
<wM> =(ц/4)Н-Н*=[1/Dц)]В.В*.
F.28)
F.29)
§ 7
Фотометрические понятия и величины
Дается способ пересчета энергетических величин
в фотометрические и наоборот.
Энергетические и фотометрические величины. Физические приборы и человеческий глаз в опти-
оптическом диапазоне регистрируют средние значения измеряемых величин по большому числу
периодов колебаний. Средние значения напряженности электрического поля и индукции магнит-
магнитного поля равны нулю и не могут быть зафиксированы. Простейшими регистрируемыми вели-
величинами являются те, которые зависят от квадратов напряженности, т. е. энергетические вели-
величины (объемная плотность энергии излучения, плотность потока энергии излучения, мощность
излучения и др., получаемые на их основе). Их измеряют с помощью физических приборов.
Следует заметить, что по своему действию электрическое поле волны неэквивалентно маг-
магнитному полю. Например, известно, что почернение фотопластинки под влиянием света лро-
исходитв результате действия электрического поля волны. Однако учитывая, что объемные
плотности энергии электрических и магнитных полей волны равны, всегда можно действие
волны характеризовать энергетическими величинами.
Человеческий глаз также регистрирует усредненные значения, т. е. он реагирует на энерге-
энергетические характеристики излучения в видимом диапазоне или, другими словами, реагирует на
энергетические характеристики света. Однако ощущение, вызываемое светом, зависит не только
от энергетический характеристик света, но и от других обстоятельств, в первую очередь от дли-
длины волны света. Например, максимальной чувствительностью глаз обладает к зеленому свету
с длиной волны 555 нм. К границам видимого диапазона чувствительность глаза уменьшается
до нуля. Например, чтобы излучение с длинрй волны 760 нм создало у человека такое же ощуще-
ощущение яркости, как излучение с длиной волны '5$5 нм, необходимо увеличить мощность излучения
примерно в 20 000 раз.
Во многих случаях интерес представляют не сами энергетические характеристики-света,
а те субъективные ощущения, которые с ними связаны. Например, необходимо определить
освещенность письменного стола, которая наиболее благоприятна для работы. С помощью
энергетических характеристик света этого сделать нельзя, потому что одна и та же мощность
излучения, направляемого на стол, вызывает совершенно различные ощущения освещенности
стола при различных спектральных составах света. Для решения таких вопросов приходится
пользоваться иными, отличными от энергетических величинами, называемыми фотометриче-
фотометрическими. Энергетические и фотометрические величины взаимосвязаны.

22
К определению величин, характе-
характеризующих излучение от элемента
поверхности
23
Точечный источник Излучения, рав-
равномерно испускаемого по всем на-
направлениям
dcr.
24
К определению энергетической яр-
яркости
Энергетические величины. Определения энергетических вели-
чин основываются на мощности излучения. Если в течение вре-
мени dt испускается энергия dW в форме излучения, то мощ-
ность излучения равна
= dW/dt.
G.1а)
Она распределяется по всевозможным длинам волн.
Спектральной плотностью мощности излучения является
величина
=dP/dl,
G.16)
где dP — мощность, приходящаяся на интервал длин волн
(\,k+dk). Ясно, что
dP =
G.1 в)
Излучают поверхности материальных тел. Элементарным
излучателем является элемент поверхности тела с площадью
da (рис. 22). В этом параграфе: da — площадь элемента поверх-
поверхности, поскольку буквой S обозначается плотность потока
энергии C.4); dP — мощность излучения, испускаемого элемен-
элементарным источником.
Энергетическая сила излучения. Энергетической силой излу-
излучения dl элементарного источника называется отношение мощ-
мощности dP излучения в элемент телесного угла dQ, к d П:
G.2а)
Для фектраЛьной плотности "излучения эта формула при-
принимает вид -
G.26)
где dlx = d(dl)/d\—спектральная плотность энергетической
силы излучения, приходящейся на интервал длин волн (^,
Х+АХ).
Ясно, что dl зависит, вообще говоря, от направления излу-
излучения, т. е. от ориентировки элемента телесного угла dQ от-
относительно элементарного излучателя. Если элементарным
излучателем является элемент поверхности тела, то d/ зависит,
в частности, от угла 0 между нормалью п. к поверхности и на-
направлением, в котором ориентирован элемент телесного угла
(рис. 22), и также от аксиального угла, характеризующего
вращение вокруг нормали как оси. Нормаль, от поверхности
направлена в сторону, испускания излучения. Кроме того,
очевидно, что dl также пропорциональна площади dor элемен-
элемента поверхности.

' 46 Энергетическая сила точечного источника излучения, равномерно испускаемого по всем
— направлениям (рис. 23), равна
1 d/=/0= const. G.3)
Из G.2а) следует соотношение
P=\dP= i /odn = 4n/o, G.4)
связывающее энергетическую силу точечного источника с полной мощностью его излучения.
Энергетическая яркость. Излучение с элемента поверхности da испускается по всевозможным
направлениям, характеризуемым углом 9 между нормалью п к элементу поверхности и направ-
направлением распространения излучения (рис. 24). Проекция da на поверхность, перпендикулярную
направлению распространения излучения, равна
da' =т da cos 9. G.5)
Энергетической яркостью поверхности в точке элемента поверхности da называется отно-
отношение энергетической силы излучения di с этого элемента поверхности к площади da':
r' , d/ d/ di>
L, = —
da' da cos 6 dftdacosG
G.6а)
Для спектральной плотности эта формула имеет вид
G.66)
d/x _ d/x d/\
da cos 6 dfidacosG
Ясно, что энергетическая яркость зависит от направления испускания излучения и, вообще
говоря, различна для разных точек поверхности.
Энергетическая светимость. Мощность излучения с элемента поверхности по всем направле-
направлениям, отнесенная к площади элемента, называется энергетической светимостью:
М = = \ — = \ L cos 9dfi,
da J do <J
G.7 a)
где интегрирование распространяется по телесному углу 2п, включающему в себя все направ-
направления от элемента da в сторону испускания излучения.
Спектральная плотность энергетической светимости определяется по формуле
UP,
f d/xdft Г
" J —S— = J ^COSGde- G7б)
Если спектральная плотность энергетической яркости Lx не зависит от направления
(т. е. Lx — const), то интеграл в G.76) можно вычислить. Направив ось Z сферической системы
координат по нормали к элементу поверхности и обозначив ср аксиальный угол, запишем G.76)
в виде
2т. я/2
Мх = Lx \ dcp j sin 9 cos 9d9. G.8)
о о

Выполнив интегрирование, получим
26
Эталон силы света
47
G.9 а) "^
со w
Из G.9а) следует равенство i MxdX=n \ Z^dA, которое с
учетом G.6а), G.66), G.7а), G.76) записывается в виде
25
К расчету энергетической освещен-
освещенности . Где
Л/ =
G.96)
G.9 в)
— энергетическая светимость и-энергетическая яркость поверх-
поверхности.
Энергетическая освещенность. Все предыдущие величины
характеризовали процесс излучения. Теперь рассмотрим паде-
падение излучения на элемент поверхности. Это явление характери-
характеризуется величиной, называемой.энергетической освещенностью.
Она равна отношению мощности излучения dP, падающего
на элемент поверхности, к площади элемента da:
dP/dc.
G.10а)
При расчетах нормаль п к поверхности считается направленной
в ту сторону поверхности da, откуда падает излучение (рис. 25).
Спектральная плотность энергетической освещенности да-
дается формулой
Ex=dPJdc.
G,106)
Фотометрические величины. Они определяются аналогично
энергетическим, но исходя из силы света .как основной вели-
величины,1 Единица силы света — кандела определяется с помощью
черного излучателя, принятого в качестве основного эталона,
работающего при температуре затвердевания платины. Этот
эталон был утвержден в 1967 г. решением XIII Генеральной
конференции по мерам и весам. Он состоит из закрытой снизу
керамической трубки 2 диаметром до 2 мм и длиной 40 мм
(рис. 26). Эта трубка помещена в тигель 3 для расплава, запол-
заполненный чистой платиной. Для термоизоляции тигель "по-
"помещен в сосуд 5 с порошком тория. Платина расплавляется
индукционными токами, возбуждаемыми переменным током,
который протекает по обмотке 4. При охлаждении платина
затвердевает и ее температура устанавливается и сохраняется
на значении 2045 К. Трубка и тигель .для расплава сверху закры-

48 ты крышкой 1 с отверстием, через которое выходит излучение, определяющее единицу силы
света. Это излучение направляется на поверхность, играющую роль фотометра. Сила света от
1 другого источника определяется из сравнения освещенностей, создаваемых им и эталоном.
Кандела (кд) — это сила света, излучаемого перпендикулярно поверхности черного излу-
излучателя с площади 7б"'0~5 м^ ПРИ температуре затвердевания платины, находящейся под дав-
давлением 101 325 Па.
Кандела является основной световой единицей. На основе канделы определяют все другие
фотометрические величины. Будем обозначать их теми же буквами, что и энергетические вели-
величины, с добавлением индекса V. Названия фотометрических величин в большинстве случаев
получаются из названий энергетических заменой слова излучение на свет или соответствующих
производных от них, а также отбрасыванием прилагательного энергетический. Каждой фото-
фотометрической величине соответствует энергетическая. Их свойства аналогичны. Сила света обо-
обозначается dlv. Она соответствует энергетической силе излучения d/ [см. G.2)].
Световой поток. Световым потоком называется произведение силы света dlv источника на
телесный угол сШ, в котором испущен свет:
G.11)
Световой поток аналогичен мощности излучения в энергетическом определении [см. G.2)],
однако его обычно обозначают не'Рк, а Фу . Из G.11) видно, что если точечный источник силой
света Ioy излучает во всех направлениях, то полный поток его излучения равен Фу = <*nloy
[см. G.4)].
Спектральная плотность светового потока определяется формулой
Яркость. Она вводится аналогично определению G.6) энергетической яркости:
¦б)
d7у
da'
da cos 6
d?2 da cos 6
a)
d<?,
v\
dftdacosB
Перепишем G.13 а) в-виде
dly =Lydccos 6.
G.12)
G.13)
G.14)
Зависимость Lv от углов Ь обусловливается свойствами поверхности. Если Ly не зависит
от углов, то Ly da =(d/V0=const и G.14) принимает вид
<Ц(в) =
G.15)
где d/^0@) — сила света в направлении угла G, (dl)yo — сила света по нормали к поверхности.
Зависимость G.15) называется законом Ламберта, а поверхности, излучение которых характе-
характеризуется условием Ly = const, — ламбертовскими. Излучение от таких поверхностей имеет
диффузный характер, и поэтому их называют также* диффузно излучающими.
В качестве примера приведем значения яркостей некоторых источников: ночного безлунного
неба ~ 10~4 кд/м2, полной луны — 103 кд/м2, безоблачного ясного дневного неба — 10) кд/м2,
спирали лампочки накаливания— 10б кд/м2, Солнца — 109 кд/м2.

Светимость. Аналогично G.7) имеем
= j Ly cos Odfi,
= j LFJLcosGdQ.
П=2п
49
G.16) §7
Освещенность. В соответствии с G.10) освещенность и спектральная плотность освещенно-
освещенности определяются соотношениями
G-17)
J
da "
Световая экспозиция. Эта величина определяется формулой
G.18)
G.19)
где dt — промежуток времени, в течение которого излучается или воспринимается световой
поток Фу.
Соотношения между энергетическими и световыми характеристиками излучения. Одна и та же
мощность излучения в различных интервалах длин волн вызывает совершенно различные зри-
зрительные ощущения яркости источника. Если длины волн лежат вне видимой части спектра, то
источник остается невидимым независимо от его мощности. Наиболее ярким при фиксирован-
фиксированной мощности он представляется, при излучении на длине волны 555 нм. Если ставится вопрос
об освещении помещения, то нельзя ограничиться только обсуждением энергетической стороны
дела. Надо принять во внимание спектральный состав излучения источников света и связь истин-
истинной мощности излучения в различных интервалах длин волн с субъективным зрительным ощу-
ощущением мощности.
Прежде всего необходимо оценить соотношения между спектральной плотностью светового
потока Фрь и спектральной мощностью Рх при одинаковом зрительном ощущении на различ-
различных длинах волн. Количественно это соотношение характеризуют величиной
G.20)
называемой спектральной световой эффективностью. Световой поток Фу оценивается по зри-
зрительному ощущению мощности излучения в люменах, а Р выражается в ваттах. Спектраль-
Спектральная световая эффективность зависит от длины волны. Она равна нулю для длин волн вне види-
видимой части спектра. Ее значение в видимом диапазоне испытывает небольшие изменения для раз-
различных индивидуумов. В результате измерений, проведенных с привлечением большого числа
людей с нормальным зрением, получена некоторая среднестатистическая кривая VQC), которая
принята в качестве стандартной.
Для длины волны 555 нм F(X) достигает максимального значения. Вместо V(k) удобно поль-
пользоваться безразмерной величиной, называемой относительной спектральной световой эффектив-
эффективностью и равной
KA)=VA)/VE55hm).
G.21)
Кривая К(к) приведена на рис. 27. Наиболее «экономно» для освещения пользоваться излу-
излучением с длиной волны 555 нм. Однако это неприемлемо, поскольку все окружающие предметы
были, бы окрашены в зеленый цвет различной интенсивности. Необходимо освещение осущест-
осуществлять излучением со спектральным составом «среднего солнечного света», который отлича-

50
1
1
0,8
0,6
0,4
0,2
/
/
N
S
\
*—^
400 440 480 520 560
600
640 680 700Х,нм
27
Кривая относительной световой
эффективности
ется от спектрального состава солнечного излучения (см. § 1). Принимая экономичность источ-
источника освещения на длине волны 555 нм за единицу, для экономичности источника, генерирующего
средний солнечный свет, получаем значение 0,35. Экономичность солнечного излучения состав-
составляет примерно 0,14, ламп накаливания — 0,02, а люминесцентных ламп — 0,06.
Если спектральная плотность энергетической мощности излучения Рх известна, то полная
мощность излучения равна
Р=
G.22а)
Спектральная плотность светового потока в соответствии с G.20) и G.21) определяется
формулой
= FE55 нм) К(Х)Р.
а световой поток выражается в виде
j i
фу =
= КE55 нм)
G.226)
G.23)
Эти формулы связывают значения энергетических и фотометрических величин. Множитель
К(к) равен нулю вне диапазона видимых волн. Применим формулу G.23) к излучению эталона,
с помощью которого определяется кандела. Поскольку эталон излучает как абсолютно черное
тело с температурой 2045 К, можно правую часть G.23) вычислить с помЪщью формулы Планка
для этой температуры, а левую часть — с помощью определения эталона. Перейдем в G.23)
к силе излучения по формулам G.2) и G.11):
dlv = FE55 нм)
G.24)
Эталон определен через силу света в направлении, перпендикулярном излучающей поверх-
поверхности. Поверхность абсолютно черного тела излучает как ламбертовская. Поэтому для силы
света, излучаемой с площади da в угол 2п, отнесенной к площади поверхности, находим
A/6) 10'5 M2
G.25)
Энергетическая сила света, излучаемая с поверхности da, отнесенная к площади поверхно-
поверхности," равна

28
К расчету освещенности шаровой
полости '
d/
do
М
2я'-
G.26)
поскольку по определению энергетическая светимость явля-
является полной мощностью, излученной в полупространство и
отнесенной к площади поверхности, а энергетическая сила света
является полной мощностью, отнесенной к телесному углу.
С учетом G.25) и G.26) равенство G.24) можем записать в виде
27Г-6-105 лм/(м2-ср) = FE55 нм)! К(Х) — wxdl,
я.,
G.27)
где для установления связи Мх с спектральной плотностью wx
использовано соотношение E0.24). Запишем выражение E0.28)
в виде
w = ш1сЬ ! G.28)
х , I5 ыр[2пЪс/(кП)]-1
и подставим его в формулу G.27) с Г =2045 К. После .этого
в G.27) можно произвести интегрирование, поскольку К(к)
известно. Вычисления приводят к следующему результату:
КE55 нм) = 1/М = 683 лм/Вт,
МE55 нм) = 1,46-10" 3 Вт/лм.
G.29)
G.30)
51
§7
*) Можно ли указать, какова
будет освещенность письмен-
письменного стола, если известно,
что весьма велика энергети-
энергетическая светимость источника
освещения?
Как можно увеличить свети-
светимость, не изменяя -мощности
источника излучения?
Если яркость участка поверх-
поверхности не зависит от направле-
направления (ламбертовская поверх-
поверхность), то значит ли это, что
световой поток от этого
участка во всех направлениях
одинаков?
Постоянные V E55 нм) и М E55 нм) называются соответ-.
ственно фотометрическим эквивалентов излучения и энергети-
энергетическим эквивалентом света.
Пример 7.1. Элемент dao шаровой поверхности радиусом jR
испускает свет в соответствии с законом Ламберта Определить
освещенность различных точек поверхности полости (рис. 28).
Вычислим освещенность элемента поверхности daj. Норма-
Нормали к элементам поверхности doo и dai ^проведем в направлении
центра полости, а углы между этими нормалями и линией,
соединяющей элементы поверхности, обозначим соответствен-
соответственно 0о и Gj. Яркость элемента поверхности dao обозначим Lv.
Сила света с элемента поверхности дается формулой
dly =
aQ cos Go,
G.31)
причем Lv не зависит от угла Go.
На основании G.17) и G.11) для освещенности элемента dai
получаем
Ey=dIycosG1/r2, G.32)
где г — расстояние между элементами dao и dai. Линия, соеди-
соединяющая элементы dao и dai, является хордой к окружности
в сечении полости плоскостью, проходящей через центр шара
и элементы dao и dai. Видно, что Go =Gi и г =2jR cos Go. Следо-
Следовательно, G.32) принимает вид

52
ЕУ= 4i?2cos2G0 = 4i?2cos260 4Д2 ' G-33)
где использовано соотношение G.14). Таким образом, энергетическая освещенность всех точек
поверхности полости одинакова. . . ,
Пример 7.2. Абсолютно черное тело при температуре затвердевания платины при давле-
давлении 101 325 Па излучает с плоской круговой площадки радиусом 3 мм. Найти освещенность
другой площадки, расположенной в направлении, образующем угол 45° с нормалью к излу-
излучающей поверхности, на расстоянии 0,75 м от нее. Угол между нормалью к площадке, воспри-
воспринимающей излучение, и линией, соединяющей испускающую и воспринимающую излучение
площадки, равен 30°.
Излучение абсолютно черного тела при температуре затвердевания платины с большой точ-
точностью эквивалентно излучению эталона, определяющего канделу. Площадь излучающей пло-
площадки равна 2,83/10 м2. Следовательно, по нормали к площадке испускается свет силой
J-v @°) =2,83-10~5-6-105 кд = 17 кд. По закону Ламберта сила света под углом 45° к нормали
равна lv D5°) = lv @°) cos 45° = 12 кд. Освещенность площадки, находящейся на расстоянии г
от излучателя и наклоненной под углом 30° к световому потоку, равна
_ /,D5°) cos 30° _ 12 cos 30° _«_ _
v г2 @,75J м2 V
Пример 7.3. Найти яркость поверхности Солнца, зная, что в ясный день прямое падение сол-
солнечного излучения создает на поверхности, перпендикулярной направлению на Солнце, осве-
освещенность 7 104лк. Поглощением и рассеянием солнечных лучей в атмосфере пренебречь.
Поскольку Солнце излучает как абсолютно черное тело, у него яркость Ly = const и, следо-
следовательно, между яркостью и- светимостью имеется аналогичное G.9) соотношение. Отсюда
для яркости поверхности Солнца находим
• G.35)
где принята во внимание формула G.16). Учитывая, что световой поток от Солнца убывает об-
обратно пропорционально квадрату расстояния, а излучение Солнца изотропно, для освещенно-
освещенности поверхности, перпендикулярной световому потоку, на основании G.17) получаем
где г — радиус Солнца, R — радиус орбиты Земли. Известно, что диаметр Солнца с Земли ви-
виден под углом 32'. Следовательно, r/R = 4,7 10~3. Из G.35) о-учетом G.36) находим
г ! с / R\2 704 кд 1л9 / 2 п,«
Lv,= —ЕЛ—I = ——- = 10 кд/м . G.37)
v п у\г/ 3,14D,7-10J м2
Пример 7.4. На плоскую поверхность под углом 0 = 45° падает излучение, содержащее длины
волн между Х\ =555нм и Х,2=600 нм. Спектральная плотность потока энергии излучения в
направлении поверхности по шкале длин волн на длине волны 555 нм равна s\o = 104 Вт/м3 и
спадает до нуля на волне 600 нм по линейному закону* Считать, что относительная спектральная
световая эффективность в этом интервале длин волн убывает также по линейному закону от
Ki = 1 до К2 = 0,5. Найти освещенность поверхности.

Зависимость спектральной плотности потока энергии излучения от длины волны в заданном S3
диапазоне дается формулой
А -а §*
**-*» V X ' G-38)
Л2 Л1
а относительная спектральная световая эффективность
КО,) = *l(^-*) Kifri—V
Л-2 Aj /«2 А]
Мощность падающего на поверхность dor' в интервале длин волн dk излучения равна
*Х G.39)
^0
А.2 — Aj
где da' =dacosO — площадь проекции-элемента dor поверхности на плоскость, перпендику-
перпендикулярную падающему на нее потоку энергии излучения. Для спектральных плотностей падающе-
падающего светового потока имеем
dOyi = dPx KE55 нм) К(Х), G.40)
где FE55 нм) определяется в G.29). Из G.40) с учетом G.39) следует, что
Еух= iS!™= skVE55 нм) /ОДcos G,
dc
и поэтому освещенность поверхности равна
Ej= ! Ekd a = FE55 нм) j 5X /(Г(а) cos Gd a =
x, . U
FE55 !-,-„,_ rl tv . г^ч/л _Xi)(X2 + x2_lil2) +
(A2-AO2 2
(^/(:)(А3!)
G.41)
Подставив числовые значения величин, входящих в формулу и выполнив вычисления, найдем
683 104-0,701
D5 10"9J
0,5 1,5-45-10"9C,08-105 4-3,6-105 — 3,3 -105) 10~18
+ -1_о,5B,1б-1О8— 1,71-10е)-107] = 54 лк.
При определении энергетических величин исходят из мощности
излучения, а при определении фотометрических величин— из силы
света. Мощности излучения соответствует не сила света, а свето-
световой поток. -
Перерасчет энергетических величин в фотометрические осуществ-
осуществляется посредством спектральных характеристик излучения.

Задачи
U На вход выпрямителя подается синусоидаль-
синусоидальное напряжение U = Uosmt. Найти ряды
Фурье для напряжения на выходе, если вы-
выпрямитель исключает полупериоды с отри-
отрицательным значением напряжения.
12. Лампа без рефлекторов находится над го-
горизонтальным столом на высоте 0,5 м от
его поверхности. Ее полный световой поток
1000 лм равномерно распределяется по всем
направлениям. Какова освещенность стола .
по вертикали под лампой?
13. Определить энергетическую светимость по-
поверхности Солнца, если на земной орбите
плотность потока энергии солнечного излу-
излучения составляет 1400 Вт/м2, а диаметр Солн-
Солнца виден с Земли под углом 32'.
1.4. Освещенность земной поверхности вертикаль-
вертикально падающими лучами Солнца составляет
,7104 лк (влиянием атмосферы пренебрега-
пренебрегаем). Найти силу света, испускаемого Солн-
Солнцем. .
1.5. Пользуясь данными об излучении Солнца,
приведенными в задаче 1.3, найти энерге-
энергетическую яркость поверхности Солнца.
1.6. Электрический пробой в воздухе наступает
примерно при напряженности электрическо-
электрического поля 3 МВ/м. При какой плотности потока
энергии плоских электромагнитных волн мож-
можно наблюдать искру в воздухе?
1.7. Точечный источник мощностью 1 Вт излу-
излучает равномерно по всем направлениям фо-
фотоны с длиной волны 0,5 мкм. Какова плот-
плотность потока фотонов на расстоянии 1 км
от источника?
1.8. Абсолютно черное тело с температурой
1500 К испускает световой поток в полу-
полупространство. Найти освещенность в 1 м
на перпендикуляре к поверхности при нор-
нормальном падении лучей на площадку.
1.9. Найти амплитуды напряженностей электри-
электрического и магнитного полей волны, плот-
плотность потока энергии которой 1 Вт/м2.
1.Ю. Найти амплитуду напряженности магнитно-
магнитного поля волны, распространяющейся в воде
(и = 1,33), и плотность потока энергии волн,
если амплитуда электрического поля 20 кВ/м.
1.11. В воде (л = 1,33) распространяется эллипти-
эллиптически поляризованная волна, плотность по-
потока энергии волн которой 20 Вт/м2. Эксцент-
Эксцентриситет эллипса, описываемого концом век-
вектора напряженности, равен 0,6. Найти ам-
амплитуды колебаний компонент напряжен-
напряженности электрического вектора по главным
направления»! эллипса.
1.12. Чему равно световое давление при нормаль-
нормальном падении света на полностью отражаю-
отражающую поверхность при плотности потока энер-
энергии волн 1 Вт/м2?
1.13. Чему равны напряженности электрического
и магнитного полей волны с длиной 555 нм,
если при нормальном падении она создает
освещенность 500 лк?
Ответы
1.1.
cos 4f
cos 6r —...).
1.2. 321 лк.
5-7
и.63,4МВт/м2ЛЛ. 1,6-1027кд. 1.5.2-107Вт/(м2-ср). 1.6.1,2-10'° Вт/м2, 1.7, 2-, 10" фотонов/См2 - с).
1.8. 17^ лк. 1.9. 27,45 В/м; 0,073 А/м. 1.10. 70,6 А/м; 706 кВт/м2. 1.11. 78,9 В/м; 73,4 В/м. 1.12. 0,66-10-8 Па.
1.13. 23,5 В/м; 7,6-10~2 А/м.

Основная идея:
реальное излучение
имеет конечную
продолжительность и
происходит со случайно
изменяющимися
амплитудой и фазой.
Его спектральный состав
анализируется с помощью
Фурье-преобразований.
Немонохроматическое
и хаотическое
излучение

56
2
§ 8
Спектральный состав функций
Теория рядов и интегралов Фурье применяется для анализа
спектрального Состава функций. Анализируется соотношение .
между продолжительностью импульса и шириной спектра.
Рад Фурье в действительной форме. В математике доказывается,
что при весьма общих условиях, которые в физических задачах
обычно удовлетворяются, периодическая функция/(г) с перио-
периодом Т (рис. 29) [f'(t + Т) =/@1 может быть представлена рядом
Фурье:
Q 00
f(t) = -^ + Z (ancos wcot +¦?„ sin «cot),
2 n -1
где
со = 2n/T,
(a)
7/2
an = — i /(() cos «cof dt,
—T/2
T/2
bn = — \ f(t) sin «cordf.
-Г/2
(в)
(8.1)
(b)
(8.2)
Периодическая функция координат/(г) с периодом L (рис. 30)
(z' + L)=f(z)] имеет вид, аналогичный (8.1), но с заменой
/@ =
л
где
с,-
оо
Ее е'яш ,
•ж ОО
Г/2
— ) f(t) e~in(at dt.
—Г/2
Коэффициенты ап, Ь^, и ся связаны равенствами:
с0 = Va^o. с„ = Ч2(аа — ibn) (п = 1, 2, 3, ...),
с„ = Чг («-п + 1"Ы (и = -Ь -2, -3, ...) • "
(8.4)
(8.5)
Интеграл Фурье в действительной форме. Непериодическую
функцию f{t) (рис. 31) нельзя представить рядом ФурьеЕсли
функция f(fj кусочно-непрерывна, имеет конечное число экстре-
экстремумов и абсолютно интегрируема на интервале (—оо, оо), то
она может быть представлена интегралом Фурье
f(t) = -i- S do i/CO cos [co(t — x)]dx,
(8.6)
29
Периодическая функция времени >
Рцд Фурье в комплексной форме. С помощью формулы
Эйлера е'а= cos а + / sin а ряд (8.1) представим 0
(8.3)
30
Периодическая функция коорди-
координат
получаемым из (8.1) при Г-> оо .
31
Непериодическая функция времени

Интеграл Фурье в комплексной форме. С помощью формулы Эйлера (8.6) преобразуется §7
к виду
(8.7)
(8.8)
— Фурье-образ функции/(г).
Спектр амплитуд и спектр фаз. Преобразуем слагаемые ряда Фурье (8.1) следующим об-
образом:
а„ cos пт + Ьп sin «cor = y/a2+b2[(aj V^
= Лл cos («cor — фл), *
/@ =
где
F(co) =
00
-M F(co)e1(Btdco,
2n_oo
00
= i/(r)e-/<atdr
— 00
cos «cor + фп / Ja2n+b2n) sin «cor] =
cos фи =-aJ y/a2 + b2 , sin фи = bj yja2 +b2 , An = Ja2n +b2n , tg q>n = bjan.
В результате формула (8.1) принимает вид
Л0 = ~^г
(8.10)
(8.11)
где Aq=uq. Совокупность величин Ап называется спектром амплитуд функции /(О, а совокуп-
совокупность фл — спектром фаз. Частоты по определению имеют положительные значения.
Нахождение спектра амплитуд и фаз из рядов Фурье в комплексной форме. Для вещественной
функции f\t) в (8.3) выполняется равенство с* =с_и. Преобразуя (8.3) к виду (8.1) и сравнивая
коэффициенты при cos «cor и sin «cor? находим:
ао=2со,
= —2Imcn,
(8.12)
где Re и Im — действительная и мнимая части комплексного числа Из (8.10) с учетом (8.12)
получаем
А0 =2с0, А„ = 2 сп\, tg ф„ = —lmcn/Recn.
(8.13)
Непрерывный спектр. Фурье-образ (8.8) называется комплексным спектром или просто спект-
спектром функции/(г). Он полностью определяет функцию/(г) и эквивалентен амплитудному и фазо-
фазовому спектрам. Имеем
/@= J-i F(co)e'lDfdco= -L\ [F((u)ete>t + F(—(й)е~ш ]dco.
2тг
(8.14)
Для вещественной функции/(г) соблюдается соотношение F*(co) = F(—со) и можно написать
F(co)e"°' +F(—со)е-'°» = F(co)e"°f + ^(ш)е'ш' ]¦ = 2Re[F(co)e/t0']-

58- Следовательно, (8.14) принимает вид
2 f{t) - -J- i [Re F (со) cos cot — Im F(со) siii cot] dco.
(8.15)
Преобразуя подынтегральное выражение в (8.15) в соответ-
соответствии с формулами (8.9) и (8Л0), находим
f{t) = -^-\ А (со) cos [cot — ф (co)]dco,
27Го
где
= 2|F(co)|, tg ф(со) = —ImF(co)/ReF(co).
Величины А (со) и <р (со) представляют амплитудный и фазо-
фазовый спектры функции fit). Наличие множителя 1/Bя) в (8.16)
показывает, что А (со) является плотностью амплитуд, отнесен-
отнесенной к частотам v= со/Bя), а не к круговым частотам, поскольку
формула (8.16) может быть представлена в. виде
fit) = I Ai2nv) cos [27tvt—
о
(8.18)
Таким образом, периодические функции характеризуются
дискретными спектрами, а непериодические — непрерывными.,
• Спектр прямоугольных импульсов. Пусть имеется бесконеч-
ная последовательность прямоугольных импульсов величиной
1/о и продолжительностью х, повторяющихся через промежутки
времени Т (рис. 32). Поскольку функция четна, Ь„ = 0, а коэффи-
коэффициенты при косинусе равны
а„ = — Г/о cos /jcotdt = 2 — Uo
п т У0-т/2 • Т °
—'—
иют/2
где со=2я/Г. Отсюда следует, что
Л, = :
sin (лют/2)
исот/2
(8.19)
(8.20)
Спектр амплитуд изображен на рис. , 33. Учитывая, что
п(йх/2=ппх/Т, заключаем, что число гармоник между нулями
'амплитуды зависит от отношения х/Г: чем меньше продолжи-
продолжительность импульсов по сравнению с периодом их повторения,
тем больше число гармоник (Ди = 7/т).
Полезно заметить, что ряд Фурье зависит не только от вида
кривой, которую этот ряд представляет, но и от положения на-
начала координат относительно этой кривой. Например, если
/@
>
и,
у
\.
t
< т
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(8.16)
(8.17)
32
Бескооечпая последовательность
прямоугольных имиульсов
zU0/T-
v
\ -Г-,
33
Спектр амплитуд бесконечной по-
последовательности прямоугольных
импульсов
34
Бесконечная последовательность
пилообразных импульсов

\
ГГГГг-г-
35
Спектр амплитуд бесконечной по-
последовательности пилообразных
импульсов
fit)
-Т/2 О Т/2
36
Изолированный прямоугольный
импульс
АЫ)
37
Амплитудный спектр изолирован-
ного прямоугольного импульса
начало координат на рис. 32 расположить не в середине импуль- 59
са, а ближе к одной из его границ то периодическая функция
относительно этого начала не будет обладать определенной §8
четностью. Следовательно, ее ряд Фурье будет отличаться от
(8.32), поскольку в нем наряду с членами, содержащими cos пал,
присутствуют члены с sin «cot.
Спектр пилообразных импульсов. Рассмотрим бесконечную
последовательность пилообразных импульсов (рис. 34).
Имеем:
U0Tf(t)dt =±
- jr)dt = Uo
- Ь Uo
bn =
О
т
>1
— 4) cos "m'tch = 0,
(8.21)
-|- Uo [ A — -?¦) sin natdt = -^
Спектры амплитуд и фаз даются формулами
n = U0/(nn), Фи = я/2.
(8.22)
Спектр амплитуд изображен на рис. 35: амплитуды убывают
обратно пропорционально номеру гармоники.
Спектр изолированного прямоугольного импульса. Этот им-
импульс изображен на рис. 36 Имеем
F(co)= U0\t-iatdt = Vl
-t/2
Следовательно,
sin (ют/2)
sin (ют/2)
ют/2
ют/2
ф(со) = О.
(8.23)
(8.24)
Амплитудный спектр А (о) показан на рис. 37.
Спектр экспоненциально убывающей функции. Найдем спектр
функции
/(')=
О при — оо < t < 0,
С/Ое~f/T при 0 < t < со,
график которой изображен на рис. 38. Имеем
F(co) = UO
""dt = Г70т/A + /ют).

40 Следовательно,
2 А (со) = 21/от/ у/1 + со V ,
ф(сй) =
(8.25)
Амплитудный Л (со) и фазовый ф(со) спектры показаны на
рис. 39 и 40.
Соотношение между продолжительностью импульса и шири-
шириной спектра. Продолжительностью импульса называется про-
промежуток времени At, в течение которого импульс существенно
отличается от нуля. Шириной спектра называется интервал час-
. тот Av, на * котором амплитуда спектра существенно отлична
от нуля. В этих определениях имеется неопределенность, а
тленно не уточнено, чтб понимать под словами существенно
отлична от нуля. В зависимости от определения этого понятця
несколько изменяется соотношение между продолжительно-
продолжительностью конкретного импульса и шириной его спектра. При вы-
выбранном определении данного понятия это соотношение изме-
изменяется для различных импульсов в зависимости от формы.
Поэтому универсального соотношения между продолжитель-
продолжительностью импульсу и шириной спектра не существует. Однако
есть универсальная закономерность в соотношениях между
продолжительностью импульса и шириной спектра, которая
соблюдается при различных определениях понятия «существен-
«существенно отлична от нуля» и дпя импульсов различной формы. Эта
закономерность гласит: ширина спектра обратно пропорцио-
пропорциональна продолжительности импульса. Выведем эту закономер-
закономерность на примере прямоугольного изолированного импульса
(см. рис. 36), когда определение его продолжительности не вьь
зывает сомнений, — продолжительность импульса At = т. С дру-
другой стороны, ширина спектра этого импульса (см. рис. 37)
также определяется довольно естественно: это интервал частот
от нуля до частоты, при которой амплитуда обращается первый
раз в нуль, поскольку последующие максимумы амплитуд
незначительны по сравнению с основным максимумом при
со = 0. Поэтому для ширины спектра Асо можем написать
равенство
38
График экспоненциально убываю-
убывающей функции
АЫ)
39
Амплитудный спектр экспоненци-
экспоненциально убывающей функции
Асот/2 = п.
(8.26)
Следовательно, между шириной спектра по частотам Av=
= Дсо/Bтс) и продолжительностью импульса Af = т существует
соотношение
AvAf «*1.
(8.27)
Вместо знака строгого равенства использован знак прибли-
приблизительного равенства, чтобы подчеркнуть неопределенность
40
Фазовый спектр экспоненциально
убывающей функции

fit)
fit-to)
41
Смещение начала отсчета времени
определений Avh At, в результате которой соотношение спра*
ведливо лишь с точностью до множителя порядка единицы.
Соотношение (8.27) принимается в качестве универсального
соотношения между продолжительностью импульса и шири-
шириной спектра.
Основной вывод из (8.27) заключается в том, что чем короче
продолжительность импульса, тем более широким спектром
частот он обладает. Другими словами^ нельзя надеяться пред-
представить очень короткий импульс набором гармонических функ-
функций с небольшим интервалом частот. Если At -*¦ О, то в спектре
присутствуют всевозможные частоты от малых до очень
больших.
Смещение начала отсчета времени. Пусть вместо функции
/(О имеется функция/(f— to),.где t0— постоянная.. Это изме-
изменение аргумента не изменяет формы импульса, а изменяет
лишь начало отсчета времени (рис. 41). При этом изменяется
образ Фурье-функции
61
§8
— 00
F(a>)e—'•"«>,
(8.28)
где произведен переход к новой переменной интегрирования
? = t — to. Таким образом, смещение начала отсчета времени
в точку to изменяет фазу образа Фурье на —coYo, т. е. оставляет
без изменения амплитудный спектр и изменяет фазовый.
Смещение спектра по частотам. Аналогично может быть вы-
выяснено влияние сдвига частот, т. е. замены F(co)->F(co — (Oo):
= 4-Tf(cd-
л.»-±|.?(ш-
соп)
dco = —
2я
(8.29)
42
Единичные комплексные векторы:
с направлением вращения поло-
положительным (а); отрицательным (б)
где ? = to — coo. Таким образом, смещение спектра на cob экви-
эквивалентно модуляции временной функции^гармоническим мно-
множителем с частотой too-
Отрицательные частоты. Комплексный спектр (8.8) полно-
полностью определяет как спектр амплитуд А((й), так и спектр фаз
Ф(со) посредством соотношений (8.16) и (8.17) Однако в боль-
большинстве 'случаев удобнее обсуждать спектр функции, пользуясь
непосредственно выражением F(co) без перехода к величинам
А(<й) и ф(со). Поскольку аргумент F(co) принимает как положи-
положительные, так и отрицательные значения, возникает вопрос о
смысле отрицательных частот.
Примем во внимание, что еш описывает комплексный
единичный вектор (рис. 42, а), проведенный из начала коорди-
координат и вращающийся около этого начала от оси X к оси У при
увеличении t. Это направление принимается за положительное,
поскольку оно связано правилом правого винта с направлением

62 оси Z. Комплексный единичный вектор е''ш' при увеличении t вращается в отрицательном на-
правлении (рис. 42, б). Поскольку функция/@ через образ Фурье выражается формулой (8.7),
2 заключаем, что F (со) при со > 0 описывает плотность спектральной компоненты частотой со
с положительным направлением вращения, a F(—со) — плотность спектральной компоненты
той же частоты со, но с отрицательным направлением вращения. Таким образом, обращение
к отрицательным- частотам связано с изменением базисных функций, с помощью которых
осуществляется Фурье-преобразование, а именно с переходом к вращающимся комплексным
векторам как базисным функциям Фурье-преобразования. Все скачанное об отрицательных
• частотах в связи с (8.7), разумеется, полностью сохраняет свое значение и для рядов Фурье
в комплексной форме.
Теорема Парсеваля. Исходя из представления периодической функции в.виде ряда Фурье
(8.3), найдем интеграл по периоду от |/|2:
Г/2
\f(t)J*(t)dt=
Т/2
Т/2
—Т/2
* ехр[/(л — n')(ot)dt.
п,п'-— со —Г/2 '
Т/2
Учитывая, что ) ехр[/(и — n')a>t)]dt = ТЪпп , получаем равенство
-Г/2
(8.30)
которое называется теоремой Парсеваля. Для ряда Фурье (8.1) в вещественной форме получаем
(8.31)
Г/2
...™ j |у| fa
Т-Т/2
2-
4 ~*
2
со
л»1
2\ ^0
^ 4
+
1
2
00
л •=!
Теорема Планшереля. Если f(t) представлено в виде (8.7), то для интеграла от квадрата мо-
модуля |/@|2 аналогично предыдущему случаю получаем формулу
(8.32)
dt =~ i |F(co)|:rdco =. i |FB:tv)|2dv,
выражающую георему Планшереля.
Коэффициенты ряда Фурье или Фурье-образ функции зависят от
положения начала отсчета времени.
Спектральный состав функции однозначно определяется коэффи-
коэффициентами ряда Фурье.
Амплитудный и фазовый спектры описываются вещественными
числами.
Смещение начала отсчета времени приводит к умножению Фурье-
образа функции на фазовый множитель, зависящий от смещения
и частоты.
Смещение спектра по частотам приводит к умножению функции
на фазовый множитель, зависящий от смещения и времени.

§ 9
Естественная ширина линии излучения 63
Вычисляется спектр излучения изолированного, ——
неподвижного атома. вд
Классическая модель излучателя. Простейшей кларсической моделью излучателя является
электрон, колеблющийся около положения равновесия по гармоническому закону. Уравнение
свободных колебаний электрона имеет вид
тх + т(йох - О, (9.1)
где тя = 9,Г1(Г31 кг — масса электрона, соо — круговая частота колебаний, имеющая для опти-
оптической области спектра излучения порядок 1015с~\ Решение уравнения (9.1) имеет вид
х @ = A cos (юог — ф), (9.2)
где А — амплитуда колебаний.
Полная энергия колеблющегося электрона равна
(9.3)
При ускоренном движении заряда, как известно, мощность излучения равна
Р - 1 -^ v2 (9 4)
Из-за потери энергии электроном на излучение его энергия уменьшается, а колебания явля-
являются затухающими. Закон сохранения энергии для колеблющегося электрона с учетом потерь
энергии на излучение имеет вид
dr 12яе0 с3 v
где <Р> — среднее по периоду колебаний, вычисленное с помощью (9.4) и (9.2) с учетом того,
что уменьшение амплитуды за период колебаний мало по сравнению с амплитудой или, что то
же самое, испущенная за период энергия мала по сравнению со всей энергией излучения. Это
условие всегда хорошо соблюдается.
Подставляя в (9.5) выражение для А из (9.3), получаем
где
у =
(9.7)
Решение уравнения (9.6) имеет вид
(9.8)
где Wo = W(P), и, следовательно, на основании (9.3) амплитуда колебаний электрона изменя-
изменяется по закону
Л=Лое-г'/2, (9.9)
а отклонение х электрона от положения равновесия описывается вместо (9.2) формулой
s@}0r—ф). . (9-Ю)

64 Необходимо отметить, что все вычисления были проведены в предположении малости за-
тухания амплитуды за период колебаний Т = 2п/(Оо:
2 уТ/2=пу/щ<1. (9.11)
Таким образом, условие малости затухания имеет вид
у^соо. (9.12)
Подставив значения постоянных ео, е, ш, с в выражение (9.7), видим, что для оптических
частот (соо~ Ю15 с) условие (9.12) всегда хорошо выполняется. В типичных условиях ампли-
амплитуда уменьшается в два раза в течение нескольких миллионов колебаний. Другими словами,
у~108с~1. Изобразить графически такое медленное изменение амплитуды колебаний затруд-
затруднительно, поэтому на рис. 43 колебания электрона показаны при сильно увеличенном значении у
(в сотни тысяч раз).
С учетом затухания колебаний вместо (9.1) можно написать уравнение
шх + тух + т<?>цХ = 0. (9.13)
Прямой проверкой убеждаемся, что решение (9.13) при условии у«:о)о совпадает с (9.10).
Спектральный состав излучения. Если электрон начинает колебаться и излучать в момент
t = 0, то смещение л; (t) может быть представлено в виде
. 0 при t < 0,
*@ = I (9.14)
ш°') при t>0,
поскольку x(t) — вещественная величина.
Излученная в интервале 0 < t < оо энергия дается выражением
'W= JlAK. df = _!_ 4Т*2df, (9.15)
где использована формула (9.4) и учтено, что к =0 при t < 0.
Представим энергию излучения (9.15) распределенной по частотам. Поскольку затухание
мало (у «: соо), можно считать, что
хъ— (й^х, (9.16)
a x(t) представим в виде интеграла Фурье:
x(t) = — ^e^Mcopc^e-'^dS = ^-|F(co)e"°fdco, (9.17)
7Г_ оо
где введено обозначение
F(co) = Т*(Ое^ю| dt = T x(t)e-iatdt (9.18)
—оо О
с учетом того, что х =0 при t < 0.
Подставляя х из (9.16) в (9.15) и выражая x(t) по формуле (9.17), получаем

1 2 °° °0
43
Затухающие колебания электрона
Принимая во внимание соотношение
приводим (9.19) к виду
W *= —i- 4 < 11 F(«) F© 5(co
= .—^— 4 «о I F(co)F(—co)dco =
12л Бп С —on
(9.19)
(9.20)
65
§9
44
Лоренцсоа форма липии
—^— 4 юо
6я е0 с
'—co)dco = \ w(co)dco,
о
(9.21)
где учтено, что F(to)F(,—to) является четной функцией со, и
введено обозначение
w(«>) = -ГТ- 4 ^F(co)F(-co).
(9.22)
Функция vv(co) характеризует распределение энергии по час-
частотам, являясь плотностью энергии волн, приходящееся на
частоту со. Подставляя выражение (9.14) в (9.18),-получаем
со
F(co) = \ Ао ехр {[—у/2 + i(coo — со)] t} dt +
о
00
+ ! Л* ехр {[_y/2_,-(roo + co)]f}df=
у/2 — i((Q0 — со) ' у/2 + i(ro0 — со)
(9.23)
Зависит ли. от сдвига нача-
начало отсчета времени спектр;
а) амплитудный? 6) фазовый?
Что такое комплексный
спектр функции? Как он свя-
связан с амплитудным и фазовым
спектрами ?
В общем виде выражение для F (со) F (—со), входящее в фор-
формулу (9.22), получается громоздким. Однако при условии
у •«: соо слагаемые в правой части (9.23) сильно различаются
по своему значению на частотах со «* соо. Слагаемое, в которое
входит разность соо—со, много больше слагаемого, в которое
входит сумма соо + со. Поэтому для F(co) достаточно сохранить
лишь первое слагаемое с А о, а для F(—со)— лишь второе сла-т
гаемое с А* и можно написать
F(co)F(—со) =
у/2 — / (со0 — ю) у /2 + / (со0 + «»)
(со0-соJ+(у/2J
(9.24)
3-289

66
2
Тогда формула (9.22) принимает вид
А А*
(9.25)
, Максимум интенсивности излучения лежит вблизи частоты со = соо, а при удалении от нее
интенсивность излучения быстро уменьшается. На частотах
со2 =.соо+у/2, со,=со0 — у/2,
(9.26)
объемная плотность излучения в два раза меньше об;ьемной плотности излучения на частоте
соо. Это означает, что. основная часть энергии излучения приходится на интервал частот
бсо = со2— «1 =У> ' (9-27)
называемый шириной линии излучения.
Лоренцева форма ( и ширина линии излучения. Формулу (9.22) удобно представить в виде
м-, ?w/io.n<'Vi'V'nb (9-28)
где
(9.29)
— нормированная функция лоренцевой формы линии излучения (рис. 44). Функция (9.29) удов-
удовлетворяет условию нормировки
Т Г
(9.30 а)
Главный оклад п интеграл даст область интегрирования вблизи со^соо. Вклад в интеграл от
области значений со < 0 имеет порядок величины членов, отброшенных при вычислении
F (со) F (—со) по формуле (9.24), исходя из (9.23). Поэтому с той же точностью, с какой F (со) F(—со)
выражается формулой (9.24), условие нормировки (9.30а) имеет вид
! Fn (co)dco= 1.
(9.306)
Лоренцева форма линии излучения образуется при «естественных», условиях излучения,
когда единственным фактором, влияющим на, излучение осциллятора, является радиационное
затухание. Поэтому эта форма линии часто называется естественной формой линии излучения,
а ширина линии излучения — у-естественной шириной.
Естественная ширина линии излучения очень мала. Для оптических частот у/соо~Ю~7.
Если при анализе некоторого вопроса изменение частоты примерно на 1/10 000 000 от- частоты
соо не имеет значения, то можно считать, что все излучение приходится на частоту Шо, и рассмат-
рассматривать излучение как монохроматическое. Такое приближение справедливо в большинстве
случаев, рассматриваемых в оптике. Лишь в некоторых ситуациях приходится принимать во
внимание конечность естественной ширины линии излучения.
Время излучения. Как видно из (9.14), амплитуда колебания электрона убывает в е=2,7 раза
в течение времени.

t = 2/y = 2/E@), (9.31) _^
§9
которое называется временем излучения. Видно, что чем меньше время излучения, тем больше
ширина линии излучения Сгрого монохроматическое излучение возможно лишь при бесконеч-
бесконечно большом времени излучения.
форма линии поглощения Уравнение движения упругосвязанного электрона, находящегося
под действием электрического поля Е, имеет вид
тх + тух + тсо^х = еЕ, (9.32)
где предполагается, что напряженность Е направлена по оси X. Если
E(t) = Eoet«>t, (9.33)
то в установившемся режиме x(t) является гармонической функцией с той же частотой со:
x(t) = xoe '">«.. (9.34)
Поскольку x = i(ox, х = —со2*, уравнение (9.32) принимает вид
т(—со2 + /соу+ cog)* = еЕ, (9.35)
откуда
х = — — %—. . (9.36)
т о)о — ог+коу
Колеблющийся электрон является источником излучения, причем энергия ему передается,
падающей волной. Следовательно, происходит поглощение энергии упругосвязанным электро-
электроном. Интенсивность поглощения пропорциональна квадрату амплитуды (9.36) колебаний элек-
электрона, т. е. хх*. Поэтому если, на упругосвязанные электроны падает излучение с непрерывным
спектром частот, то возникает линия поглощения, форма которой задается выражением
const
Ф(со) = const хх* = —Т-—— —. (9.37) ,
(rag — о2J + ю2у2
При соо <с у эта функция отлична от нуля лишь вблизи частоты соо, когда можно знаменатель
в (9.37) преобразовать следующим образом:
' (cog — со2J + со2у2 = (соо — соJ (соо + соJ +.co2y2«s 4Ю2) (соо — соJ + соЗу2 =
= 4со8[(соо — соJ + (у/2J]: ' (9.38)
Тогда (9.37) принимает вид
const
<939>
Следовательно, линия поглощения имеет ^лоренцеву форму с той- же шириной, что и линия
излучения. .
Квантовая интерпретация формы линии излучения. В квантовой картине излучение осуществля-
осуществляется посредством испускания фотонов. Частота со фотона связана с его энергией Е соотноше-
соотношением
? = йсо. (9.40)
3*

68 Испускание фотона происходит в результате перехода излучающего атома из состояния атома
. с энергией Еп в состояние с энергией Ет, причем Е = Еп— Ет. Следовательно, излучаемая
2 частота
ипт = (Еп-Ет)/Ъ (9.41)
имеет вполне определенное значение. Однако при квантовом переходе излучаются фотоны
различных частот, потому что энергия возбужденного состояния Е„. не имеет вполне определен-
определению значения. Другими словами, возбужденный уровень энергии имеет конечную ширину.
Время излучения в квантовой картине интерпретируется как время нахождения атома в возбуж-
возбужденном состоянии, а соотношение (9.31) сводится к утверждению, что ширина энергетического
уровня обратно пропорциональна времени жизни электрона на этом уровне. В основном со-
состоянии с наименьшей энергией электрон может находиться бесконечно долго, если атом изо-
изолирован, и, следовательно, ширина основного энергетического уровня равна нулю. Если линия
излучения образуется за счет переходов электрона из некоторого возбужденного состояния в
основное, то лоренцева форма линии является отражением распределения электронов по энер-
энергиям в пределах возбужденного энергетического уровня. Если атом находится в поле излучения
и ти взаимодействует с другими атомами, то он может перейти из основного состояния в возбуж-
возбужденное. Следовательно, его время жизни в основном состоянии конечно и поэтому основной
уровень не бесконечно узок, а имеет конечную ширину. Это приводит к соответствующему
уширению линии излучения.
Квазимонохроматическая волна. Если ширина линии излучения достаточно мала, то волну
можно представить в виде B.39), понимая под со частоту в центре линии, т. е. считать волну
монохроматической с частотой, равной средней частоте немонохроматической волны. Это вы-
выполняется при условии
Дсо <: со, (9.42)
называемом условием квазимонохроматичности.
С ктпимонохромагической волной можно обращаться как с монохроматической в течение
промежутков времени, меньших времени когерентности (см. § 13, 26, 30). Если же при рассмот-
рассмотрении некоторого явления необходимо принять во внимание изменения в волне в течение про-
промежутков времени^ больших времени когерентности, то ее представление в виде монохромати-
монохроматической волны вида B.39) становится невозможным.
j Естественная ширина линии может быть реализована только в
излучении неподвижного и изолированного от окружения атоиа.
Естественная ширина линии излучения в классической интерпре-
интерпретации обусловлена конечной продолжительностью времени излу-
излучения.
Естественная ширина линии излучения в квантовой интерпретации
обусловлена конечной шириной знергетических уровней.
О Как между собой связаны формы линии излучения и поглощения? Как
форма линии поглощения связана с резонансной амплитудой характери-
характеристикой линейного осциллятора с затуханием?
Почему нельзя приписать отдельному фотону спектр частот, соответ-
соответствующий естественной форме линии излучения?

§ ю
Уширение спектральных линий
Дается классификация уширения спектральных линий
и описываются доплеровское и ударное уширения.
§10
Причины уширения Естественная форма линии излучения возникает в идеальных условиях,
когда излучающий атом покоится и не подвергается в процессе излучения действию каких-либо
внешних сил. Идеальные условия полностью никогда не реализуются, потому что всегда имее 1ся
тепловое движение атома и взаимодействие с другими атомами. Эти обстоятельства, вообще
говоря, влияют на форму линии излучения. Поэтому в реальных условиях естественная форма
линии обычно не наблюдается.
Однородное и неоднородное уширения. Факторы, приводящие к уширению линий излучения,
можно разделить на две группы. Одна группа вызывает в излучении каждого атома одинако-
одинаковое изменение линии излучения Такое уширение линий излучения называется' однородным.
Другая группа факторов вызывает в излучении отдельных атомов различные изменения
линий излучения. В этом случае уширение линии, наблюдаемое в излучении совокупности ато-
атомов, происходит за счет различных изменений линий излучения отдельных атомов. Такое уши-
уширение линий излучения называется неоднородным.
Естественная ширина линии излучения как однородное уширение. Примером такого уширения
является естественная ширина линий излучения, поскольку это уширение одинаково в излуче-
излучении всех атомов данного сорта и определяется лишь временем излучения. Наблюдаемая форма
линии от излучения совокупности атомов совпадает с формой линии от излучения отдельного
атома.
Ударное уширение. В газе при комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении
время, в течение которого излучение атома не нарушается взаимодействиями, имеет,порядок
то'-'КГ11 с. Если учесть, что время т естественного излучения в (9.31) имеет порядок 10"8 с,
то в процессе излучения атом испытывает свыше сотни нарушений процесса излучения. При
каждом таком нарушении происходит изменение режима излучения, как бы его прерывание.
После этого излучение продолжается с прежней частотой юо. Это означает, что фаза испускае-
испускаемой волны в момент нарушения режима излучения изменяется случайным образом. Весь про-
процесс излучения разбивается как бы на отдельные акты излучения, продолжительность которых
равна промежуткам времени между последовательными нарушениями режима излучения.
Это приводит к уширению линии излучения. Поскольку время между нарушениями режима из-
излучения примерно в 100 раз меньше всей продолжительности излучения, ширина линий оказы-
оказывается в рассматриваемых условиях примерно в 100 раз больше естественной ширины линии
излучения. Это уширение называется ударным, поскольку является следствием соударений
атомов.
Для вычисления ударного уширения примем естественную ширину, линии излучения равной
нулю. Ввиду случайного характера, соударений время между последовательными столкнове-
столкновениями подчиняется распределению Пуассона, т. е. вероятность того, что время между последо-
последовательными столкновениями заключено между I; и ?+d?, равна
(ЮЛ)
где. то — среднее время между столкновениями. Между столкновениями затухание амплитуды
колебаний электрона и, следовательно, амплитуд напряженности испускаемой волны невелико.
Поэтому в процессе излучения между столкновениями в моменты to и to+? амплитуда напряжен-
напряженности электрического поля испускаемой волны примерно постоянна:

70 E{t)~ Eo exp (icoor + /ip) (
где ф — случайная фаза.
A0.2)
Спектральный состав напряженности электрического поля волны в рассматриваемый про-
промежуток времени дается формулой
= 1 E(t)e~i(Ot dt = ] Eo exp (icoor.— /cor + i4p)dr =
= Eo exp [i(too — to) r0 + /ф]
fexp [i(<oo — co)?] —
i(coo — со)
A0.3)
Отсюда следует, что спектральный состав мощности излучения w (ю), усредненной по периоду
колебаний (рис. 45), дается соотношением
w, (со) <
sin2[(coo-co)^/2]
(coo — соJ
.A0.4)
Формула A0.4) описывает интенсивность излучения в течение промежутка ? от отдельного
атома. Одновременно другие атомы также излучают, причем их времена свободного пробега
распределены в соответствии с (ЮЛ). Поэтому для нахождения спектрального состава полной
интенсивности излучения от всех атомов надо A0.4) усреднить по Ъ, с учетом A0.1):
A0.5)
w(co)~
f sin2[(to0-co)?
о (coo-o)J
-^Tnd?
!
2
(o>o-
-coJ
+ A/TOJ>
Это означает, что ударное уширение приводит к лоренцевой форме линии с шириной ууш =
= 2/то.
Ударное уширение является однородным, потому что оно характеризуется средним «про-
«промежутком времени т между столкновениями, одинаковыми для всех атомов, и нет эксперимен-
экспериментального способа отнести излучение определенной частоты к какой-то определенной группе
атомов.
Хотя ударная ширина при нормальных условиях на два порядка больше -естественной, ее
абсолютное значение во многих случаях пренебрежимо мало и можно считать, что речь идет об
излучении одной частоты соо.
Доплеровское уширение. Если в процессе излучения атом движется, то излучаемая им частота
не равна частоте излучения покоящегося атома. Законы сохранения энергии и импульса атоме
при излучении имеют вид
?2.+ ll
fcco,
у2 - Mv, + hk,
A0.6)
A0.7)
где Ez — энергия возбужденного состояния атома; Е\ — энергия нижнего уровня, на который
электрон совершает переход при излучении; М — масса атома; v2 и V] — скорости электрона
до и после акта излучения; "Йш и "ftk — энергия и импульс излученного фотона. Обозначая ю0
частоту излучения атомом, который до акта и после акта излучения покоится, имеем

- A0.8) вели- 71
45
Спектральный состав излучения
между последовательными столк-
столкновениями [if =» (ю — оо)т/Bг)]
Лорсицсва н гауссова липни излу-
излучения, нормированные на единицу
н . имеющие одинаковую ширину
Однородное уширение ли-
линии, наблюдаемое в излу-
излучении совокупности ато-
. нов, происходит за счет
одинаковых уширенйй ли-
линий излучения отдельных
атомов. Форма однородно
уширенной линии совпада-
совпадает с формой уширенных
линий излучения отдель-
отдельных атомов. Неоднород-
Неоднородное уширение линии, на-
наблюдаемое в излучении со-
совокупности атомов, проис*
ходит за счет различных
изменений ~~линий излуче-
излучения отдельных атомов.
Возводя A0.7) в квадрат и исключая из A0.6) -
чины Ei, E2, vi, приходим к уравнению
fe(co0 — со) = h2k2/BM) — hv2 ¦ k. A0.9)
Направляя ось Z декартовой системы координат вдоль вол-
волнового вектора к излученного фотона" и принимая во внимание,
что к = со/с, перепишем A0.9) в виде
со0 — со = Йсо2/BМс2) — сои2г /с. (ШЛО)
Скорости атомов нерелятивистские и при комнатных тем-
температурах 1>2г/с~10~5, а для со«1015 с и типичных масс
атомов значение ксо2/BМс2) *»10~9. Поэтому уменьшаемым в
правой часта A0.10) можно пренебречь по сравнению с вычитае-
вычитаемым и написать:
оэо
A0.11)
Формула A0.11) выражает эффект Доплера: в направлении
. скорости атома частота испущенного фотона увеличивается на
Дсо = со1;/с, а при излучении в противоположном направлении —
на столько же уменьшается.
Доля атомов, скорости которых заключены между vzz и
1>2Г +du2z, в соответствии с распределением Максвелла пропор-
пропорциональна
dv2z exp [—Mv\ /BkT)],
где к — постоянная Больцмана. Из A0.11) имеем
v22 = (со — соо) с/соо, щ dv2s = (c/coo)dco.
A0.12)
(Ю. 1
Тогда из A0.12) получается следующее распределение энер-
энергии излучения по частотам:
w(co)dco ~ ехр [—Мс2(со— сооJ/Bсоо&Т)]dco.
A0.14)
Описываемая этой функцией форма линии излучения называ-
называется гауссовой. Максимум интенсивности в гауссовой линии
излучения приходится на, частоту со = ©о. Шириной А гауссо-
гауссовой линии называется расстояние между частотами, соответ-
соответствующими половине максимальной интенсивности. Эти час-
частоты coi и ©г находятся как корни уравнения
1/2 = ехр [—Мс2(со— щJ/B(о2кТ)].
Отсюда следует, что
A0.15)
A0.16)
§10

72
2
Гауссово распределение удобно представить в виде
Fr (со) =
?)]ехр'[-(ш-со0J/Bст2)],
где
= [кГсо2/(Мс2)]'/:1 = Д/BчД1г72)
При таком представлении оно нормировано на единицу:
Fr(co)dco = 1.
A0.17)
A0.18)
A0.19)
На рис. 46 представлены лоренцева (9.29) и гауссова A0.17) линии, имеющие одинаковую
ширину у=Д. Площадь под этими кривыми равна единице.
При комнатной температуре и нормальном атмосферном давлении доплеровская ширина
линии больше естественной ширины примерно на два порядка. Она равна при этих условиях
по порядку величины ширине линий за счет ударного уширения.
Форма составной линии излучения. При одновременном дейстции нескольких факторов уши-
уширения линии излучения результирующая линия связана с составляющими простой формулой
в предположении, что центральная частота соо у всех линий одна и та же. Если Fi (со) и F2(co)
характеризуют две линии излучения с одинаковой центральной частотой соо, то форма составной
линии излучения определяется так:
F(co)=
A0.20)
причем центральная частота составной линии та же too, что и центральная частота слагающих.
Лоренцева и гауссова линии обладают важной особенностью. При сложении лоренцевых
линий с шириной Yi и у2 получается лоренцева линия с шириной у =Yi + Y2- При сложении гаус-
гауссовых линий с шириной Ai и Дг получается гауссова линия с шириной А = »/дТ+ДЗ~.
О Форма неоднородно уширенной линии излучения совокупности
атомов не совпадает с формой неоднородно уширенных линий,
излучения отдельных атомов.
При ударном уши рении форма линии лоренцева, при доплеров-
ском — гауссова.
О Почему ударное уширение однородное?
Почему доплеровское уширение неоднородное?
Каковы порядки величин доплеровского и ударного уширений линий
при нормальных условиях в гаю?
Равна ли частота столкновений атомов, приводящая к ударному ушире-
нию лини^ газодинамической частоте столкновений? Почему? Каков
смысл частоты столкновений в >тих случаях?

§ 11
' Модулированные волны
Описываются амплитудная, частотная
и фазовая модуляции волн.
73
1O+flO
47
Колебание с гармонически моду-
модулированной амплитудой
Модуляция. Гармоническое колебание, описывающее волну,
o+floхарактеризуется амплитудой, частотой и фазой. Изменение
этих параметров в процессе колебания называется модуляцией,
а. волны, получающиеся в процессе модуляции, называются
модулированными.
Модуляция амплитуды. Колебание с модулированной ампли-
амплитудой может быть представлено в виде
f(t) = [A0+a(t)]cos<ut, A1.1)
О)-й О) (О+Я
48
Спектр колебаний с гармонически
модулированной амплитудой
AH (О
49
Спектр колебания с периодически
модулированной амплитудой
Частотная и фазовая моду-
модуляции эквивалентны толь-
только тогда, когда они гармо-
гармонические. При негармони-
негармонической модуляции струк-
структура сигналов' этих моду-
модуляций совершенно различ-
различна.
где a(t) описывает модуляцию; со— частота гармонического
колебания; \аЩ<Ао.
Прежде всего рассмотрим случай, когда a(t) является гар-
гармонической функцией
a(t)=cto cos Clt A1.2)
с частотой fix?;со. Тогда равенство A1.1) принимает вид
ДО = (Ао+ао cos Clt) cos ш. . A1.3)
График этого колебания изображен на рис. 47. С помощью
формул для косинуса суммы.и разности углов выражение A1.3)
преобразуется к виду
/(О = Ао cos cot + 7гйо cos (со — П) t + Чхю cos (о + П)t, A1.4)
из которого можно заключить, что спектральный состав коле-
колебания сводится к трем частотам: со, со—С1. co+Q (рис.48).
Частота со называется несущей, а частоты co±Q называю 1ся
боковыми.
Если a(t) является не гармонической, но периодической
функцией с периодом Г—2тт/П, то ее можно представить в виде
ряда Фурье по частотам, кратным П. Подставив ряд Фурье
в формулу A1.1) и преобразовав каждый га членов ряда после
умножения на cos соt, аналогично тому, как это было сделано
при перехода от A1.3) к A1.4), получим ряд, в который входят
частоты со и со±лП (««1, 2 ...), тл е. спектр состоит из набора
частот, отстоящих друг от друга на П в обе стороны от несущей
частоты соо (рис. 49). Ширина спектра определяется шириной
спектра функции a(t). Если a(t) является непериодической функ-
функцией, которая представляется интегралом Фурье, то ее спектр
непрерывный. Подставляя в этом случае в A1.1) выражение
для a(t) в виде интеграла Фурье и преобразовывая гармониче-
гармонические составляющие аналогично предыдущим случаям,* получим
для модулированного колебания непрерывный спектр, .прости-
.простирающийся в обе стороны от несущей частоты соо (рис. 50).
Таким образом, и в этом случае ширина спектра определяется
шириной спектра a(t).
Все изложенное справедливо для колебаний, например,
электрической напряженности в фиксированной пространствен-

74 ной трчке. Если скорость распространения волн не зависит от
частоты (среда без дисперсии), то колебание без изменения фор-
2 мы переносится в другие точки со скоростью распространения
волны и поэтому форма колебания по времени в данной точке
легко пересчитывается на пространственную форму колебаний
(см. §5).
¦ - " Модуляция частоты и фазы. Эти два вида модуляции целесо-
целесообразно рассматривать совместно, поскольку описывающие
их формулы тесно связаны друг с другом, хотя структура сигна-
сигналов, модулированных до частоте и фазе, существенно различна.-
Соотношение между частотной и фазовой модуляциями
получается как следствие записи фазы колебания .через завися-
зависящую от времени (модулированную) частоту по формуле
A1.5)
где Ф@ — фаза колебания, co(t)— модулированная частота.
Начальная фаза колебаний считается равной нулю. Из равен-
равенства
Ф@=
A1.6)
следует, что мгновенное значение частоты to (t) связано с фазой
Ф@ соотношением
A1,7)
Формулы A1.6) и A1.7) позволяют от формул, описывающих
частотную модуляцию, перейти к формулам, описывающим
модуляцию по фазе.
Рассмотрим гармоническую модуляцию частоты. В этом
случае имеем
со (г) = соо+Дсо cos Qt, (H-8)
где coo — постоянная частота, около которой происходят коле-
колебания частоты с амплитудой Асо и частотой колебаний П.
В соответствии с A1.6) имеем ¦ • ;
Ф@ - i со (t)dt = (o0t + (Дсо/Q) sin Qt.
о
A1.9)
Это означает, что фаза Ф (t) также модулирована по гармо-
гармоническому закону с той же частотой Q и амплитудой модуляции
Дсо/П. Если фаза модулирована по гармоническому закону
Ф@ = со0г-|-АФ sinQt, , . A1.10)
то в результате дифференцирования A1.10) по времени с уче-
учетом A1.7) приходим к формуле \
a (t) = dO/dt = (оо + АФС1 cos Qt, A1-11)
показывающей, что частота при этом оказывается модули-
модулированной также по гармоническому закону с той же частотой П
и амплитудой ДФ?}. Гармоническая модуляция частоты со (О
и фазы Ф(г) показана на рис. 51, 52.
50
Сплошной спектр колебания с не- ¦
периодически модулированной ам-
амплитудой
<¦>(*)
51
Гармопичсскац модуляция часто-
частоты
Ф@
52
Гармоническая модуляция фазы
О Чем отличаются способы осу-
осуществления частотной и фа-
фазовой модуляций?
Как зависит пропускная спо-
способность линии связи от не-
- сущей частоты?

Таким образом, частотная и фазовая модуляции полностью эквивалентны только тогда, 75
когда они гармонические.. При негармонической модуляции такая эквивалентность невозмож-
на, структура сигналов, модулированных по частоте и по фазе, оказывается совершенно различ- §12
ной. При частотной модуляции медленным изменениям сигнала (т. е. низким частотам в сиг-
сигнале) соответствуют большие колебания по фазе [АФмакс = Дсо/П в A1.9)], а быстрым измене-
изменениям сигнала — малые. При фазовой модуляции, наоборот, медленным изменениям сигнала
соответствуют малые амплитуды колебаний частоты (Дсо = ДФО), а быстрым изменениям —
большие. Частотная и фазовая модуляции отличаются также по способу осуществления. При
частотной модуляции образуется прямое воздействие на частоту колебаний генератора^ при
фазовой частоте колебаний- генератора постоянна, а фаза модулируете* при движении сигнала
после генератора.
Спектр колебания с гармонической модуляцией частоты. Рассмотрим спектральный состав
частотно-модулированного сигнала с гармоническим законом модуляции
E(t) = Ео sin [coot + (Ato/Q) sin Qt]. A1.12).
Считая, что амплитуда модуляции мала (Aco/Q«:l), разложим A1.12) в ряд Тейлора по "
(Дсо/Q) sin Qt и ограничимся членами первого порядка:
E(t) «s.Eo[sin coot + (Дсо/П) sin Qt cos coot] = Eo Isin coof + [Aco/BQ)] sin (coo + Q)t —
— [Aco/BQ)]| sin (coo — Q)t. A1.13)
Таким образом, в спектре в первом приближении присутствуют лишь частоты соо и coo+Q,
соо—Q, т. е. он аналогичен спектру сигнала, модулированного по амплитуде с той же частотой.
Однако такое соответствие справедливо лишь при малых глубинах модуляции. При увеличении
Aco/Q существенную роль начинают играть и другие составляющие спектра в частотно-модули^
рованном сигнале. Поэтому, вообще говоря, сигнал, частота которого модулирована по гармо-
гармоническому закону, содержит в своем спектре бесконечное число частот и этим принципиально
отличается от амплитудно-модулированного по гармоническому закону сигнала. Частотная
модуляция отличается от амплитудной также и тем, что при амплитудной модуляции связь
между спектром сигнала и спектром модулированного колебания линейна, а при частотной мо-
модуляции — нелинейна. При амплитудной модуляции добавление новой частоты в спектр сигна-
сигнала добавляет соответствующую частоту в спектр модулированного колебания,. не измейяя
амплитуд остальных частот. При частотной модуляции добавление новой частоты приводит
не только к добавлению в спектр модулированного колебания многих новых частот, но и к из-
изменению амплитуды существующих.
Спектр колебания A1.12) при произвольных значениях Aco/Q выражается посредством функ-
функции Бесселя Jn (x) с целым индексом и и здесь не рассматривается.
§ 12
Волновые пакеты
Дается характеристика волновых пакетов
и квазиплоской волны..
Волновой пакет, образованный двумя волнами. Электромагнитные волны распространяются со
скоростью света независимо от частоты только в вакууме. В среде скорость электромагнитной
волны меньше скорости света и зависит от частоты. Зависимость скорости волны от частоты
называется дисперсией.
Рассмотрим суперпозицию двух волн, частоты которых coi и со2, а волновые числа к\ и кг:
Е\ (z, t) = Е0 cos(cojf—kit), E2(z,t) = Epcos((u2t — k2z)f A2.1)
считая, что они имеют одинаковую поляризацию и распространяются в одном направлении.
Фазовая скорость волны определяется из условия
cot — fcz = const. A2.2)

76 Дифференцируя A2.2) по t, получаем
2
г:ф = v =dz/dt = со//с
A2.3)
(индекс «ф» у фазовой скорости для упрощения в дальнейшем указывать не будем). Фазовую
скорость в вакууме обозначим с. Фазовые скорости волн в A2.1), вообще говоря, могут быть и
различными. Напряженность образовавшейся в результате суперпозиции волны описывается
формулой
?(z, г) = Ei + Е2 = 2Е0 cos [(coi — со2)г/2 — (fci — fc2)z/2]x
х cos [(со, + co2)t/2 — (fcj +k2)z/2]. A2.4)
Форма такой волны показана на рис. 10. Если дисперсия отсутствует, то напряженность
имеет вид D.7). Волна без изменения формы распространяется со скоростью света в направле-
направлении положительных значений оси Z, причем огибающая амплитуд, обозначенная на рис. 10
пунктирной линией, движется со скоростью света.
Групповая скорость. Суперпозиция двух или большего числа волн с различными частотами
составляетФУППУ волн, или волновой пакет. Скоростью группы волн или групповой скоростью
называется скорость движения максимума огибающей амплитуды группы волн. Из условия
постоянства фазы огибающей амплитуды волны A2.4), записанного в виде
7г (coi — co2)f — V2 (ki —k2)z = const, A2.5)
после дифференцирования по t находим групповую скорость:
vt = dz/df = (coi — co2)/(fci — к2). A2.6)
Если дисперсия отсутствует, то coi = ск\, со2 = скг и из A2.6) получаем vt = с, т. е. групповая
скорость совпадает с фазовой. При наличии дисперсии групповая скорость отличается от фа-
фазовой. В результате огибающая амплитуд и слагаемые волны движутся с различными скоростя-
скоростями, что приводит к изменению формы огибающей в процессе распространения волны, т. е. при
наличии дисперсии волновой пакет распространяется с изменением формы.
Если частоты слагаемых волн близки друг к другу (со2 -+ coj),to для групповой скорости из
A2.6) получается формула
vr =
A2.7)
Она справедлива не только для двух волн с бесконечно близкими частотами, но и для произволь-
произвольного волнового пакета, образованного суперпозицией бесконечного числа волн с близкими
частотами, поскольку является дифференциальнбй.
Суперпозиция колебании с эквидистантными частотами. Пусть происходит N колебаний оди-
одинаковой амплитуды ?bi частота которых различается на бсо. Результат суперпозиции этих коле-
колебаний представляется формулой
... +Ео cos [co + (N— l)8co]t. A2.8)
Суммирование этого ряда проше произвести в экспоненциальном представлении гармони-
гармонических функций:
E(t) = Re[?0V e '(¦»+»а«о 1= Е кеГе">» Ve*'l = ?0Re Ге"°<
Vel = ?0Re Ге<
n-O J"L I е «eot
ЧС'"' е ,».*L_«.»/l.»!Ui J " ?°Re
sin (N8 со г/2)
sin Ftot/2)

Eit)
Форма волнового пикета с эквиди-
эквидистантными частотами
© Групповой скоростью на-
называется скорость макси-
максимума амплитуды группы
'волн. С этой скоростью
движется энергия волново-
волнового пакета. При наличии
дисперсии групповая ско-
скорость отличается от фа-
фазовой.
Соотношение между ши-
шириной линии излучения и
продолжительностью им-
импульса может быть пред-
представлено в виде соотноше-
соотношения между шириной волно-
волнового пакета и его прост-
пространственной протяженно-
протяженностью заменой to—»k,t->z.
О В чем заключается теорема
о ширине частотной полосы?
Какова ширина частотной по-
полосы импульса, представляе-
представляемого 5-функцией?.
sin (N5mt/2)
sin E tot/2)
cos < со > t,
A2.9)
77
где <co> = со + (iV — 1) fico/2 — средняя частота волнового па-
пакета. Принимая во внимание, что JVftco = Асо — полная ширина
частот волнового пакета, выражение A2.9) можно представить
в виде
sin (Люг/2)
E(t)=E0
sin [Arot/BN)]
cos ( < со > 0 •
A2.10)
В большинстве случаев, представляющих практический ин-
интерес, N»l и поэтому в течение многих периодов изменения
аргумента Дсог/2 у синуса в числителе формулы аргумент у
синуса в знаменателе формулы остается малым (Acof/2N <с 1),
так что можно считать sin [Acot/BN)]*«Acot/BiV). Поэтому
A2.10) можно записать в виде
1-/.ч т- at sin (Лrot/2) , ч
E(t) = E0N - '—?- cos (< со > 0 •
A2.11)
(Acot/2)
График этой функции приведен на рис. 53. Огибающая пунк-
пунктирная кривая представляет изменяющуюся амплитуду колеба-
колебаний в волновом пакете, основная частота которых <со>.
Энергия такого волнового пакета сосредоточена в сравнитель-
сравнительно небольшом интервале частот. Поэтому волновые пакеты
называются также импульсами. Мы. будем использовать оба
эти названия в зависимости от обстоятельств. Максимальная
амплитуда образуется в точке t=0> когда все колебания склады-
складываются в одинаковой фазе. Через промежуток времени At,
определяемый условием
AcaAt/2 = п,
A2.12)
амплитуда колебаний обращается в нуль. Это время принима-
принимается за меру длительности центрального импульса. Поэтому
между частотным интервалом слагаемых колебаний Av =
= 2яАсо и временной продолжительностью импульса сущест-'
вует соотношение
A2.13)
где использован знак приблизительного равенства, что учиты-
учитывает произвольность в определении продолжительности им-
импульса. Такое соотношение уже было получено [см.(8.56)] при
анализе спектрального состава прямоугольного импульса. Ввиду
универсальности соотношения A2.13) его часто называют тео-
теоремой о ширине частотной полосы.
Квазиплоская волна. Плоской волной, представленной фор-
формулой вида B.50), может быть лишь пространственно не огра-
ограниченная во всех направлениях волна. Ограничение волны в
направлении распространения приводит к ее немонохроматич-
немонохроматичности, характеризуемой шириной спектра частот Асо (см. § 9).

78 Ограничение волны в перпендикулярных направлениях приводит к возникновению конечной
ширины спектра волновых чисел Акх и Аку (волна распространяется вдоль оси Z). Другими сло-
2 вами, волна с конечным поперечным сечением пучка не может распространяться строго в одном
направлении, характеризуемом вектором к; имеется некоторый разброс направлений волновых
векторов от среднего направления. Это явление называется дифракцией (см. гл м Следователь-
Следовательно, плоских волн с конечным поперечным сечением не существует. Однако если разброс направ-
направлений волновых векторов невелик, волна с- большой точностью может считаться плоской и
быть представленной в форме B.50), где под к понимается средний волновой вектор волны.
Такая волна называется квазиплоской.
Для получения математического критерия-квазиплоской волны поступаем так же, как и для
установления критерия (9.42) квазимонохроматической волны. Волну представляем в виде ин-
интеграла Фурье: ¦
. Е(х,у, z, 0 = —1—iiii F(kx, ку, кг, ю)е-'<ю'-к''ММ/сусУсгёсо. A2-14)
Если линейные размеры поперечного сечения волны, распространяющейся в направлении
оси Z, велики по сравнению с длиной волны, то амплитуда F в A2.14) отлична от нуля лишь в
узком интервале волновых чисел Акх, Аку вблизи значений кх=0, ку = 0. Если
\2Акх\<кг, |2Д*у|<^г, ' (И.15)
го волна называется квазиплоской. Ее с достаточной точностью можно представить в виде
B.50), понимая под к средний волновой вектор. Квазиплоскую волну можно считать плоской
лишь на участке фронта волны, линейные размеры которого меньше ширины когерентности
(см. § 27, 30). Если же при рассмотрении некоторого явления необходимо учесть изменения по
фронту волны на участках, ббльших ширины когерентности, то ее нельзя считать плоской и
представлять формулой B.50).
§ 13
Хаотический свет
Анализируются волны со случайными амплитудами
и фазами.
Суперпозиция волн со случайными фазами. В классической картине изолированным неподвижным
атомом излучается цуг волн с экспоненциально убывающей амплитудой продолжительностью
порядка 10~8с. Ширина линии излучения имеет порядок 108 Гц (см. §9). Форма линии —
лоренцева. В результате взаимодействий с другими атомами в процессе излучения происхо-
происходит ударное уширение линии (см. § 10). Напряженность поля волн в некоторой точке в момент
времени t дается выражением
E,(t) = ^e-'W-'/)-»/'], A3.1)
где t[— момент начала испускания соответствующего цуга волн после столкновения, <р,' — слу-
случайная начальная фаза излучения. Ее можно объединить с членом —cot/, который зависит от
расстояния между атомом и точкой наблюдения, являющимся также случайной величиной.
Поэтому напряженность поля излучения атома в некоторой точке может быть представлена в
виде
?,(О = ?ое~'(ш'~Ч A3.2)
где ф, = coV + ф/ — случайная фаза. Эффект Доплера, приводящий к изменению частоты, пока
не принимаем во внимание. Его нетрудно учесть как дополнительный фактор уширения линий
излучения. Для упрощения предположим, что все волны имеют одинаковые амплитуду и поля-
поляризацию. Суммарная, напряженность от всех излучателей равна

?•@ =
-'(lD'-V L Еое~ш Ее""/,
A3.3)
54
Сложите мгновенных значений
фазовых множителей
55
¦ Флуктуации плотности потока
' энергии при усреднении по проме-
промежуткам времени, мвого меньшим
Ч .
О Какая величина играет роль
образа Фурье функции, опи-
описывающей, стационарной
случайный процесс?
Что такое спектр мощности?
Каким образом по спектру
мощности можно определить
автокорреляционную функ-
функцию и интервал корреляции?
где (р, — случайная фаза цуга волн, пришедших от нго атома.
Стоящий под знаком суммы ряд может быть представлен как
векторное сложение комплексных чисел. Каждый из членов
ряддехр(—щ) по модулю равен единице. На рис. 54 показан
результат сложения этих членов для некоторого момента вре-
времени t. Аналитически их сумму можно записать в виде
Se'^ = fl@e'<P^, A3.4)
где a (t) — амплитуда суммы экспоненциальных слагаемых,
Ф @ — ее фаза. Таким образом!
E(t) = ^(Ое-'И-фО)] A3.5)
где со — несущая частота волны, у которой модулированы ам-
амплитуды и фаза. Спектральный состав этой волны такой же,
как и у линии с ударным уширением. Это является следствием
того, что значительные изменения фазы и амплитуды в A3.4)
происходят в течение времени то, равного времени между возт
мущениями. Поэтому временные параметры, определяющие
ударное.уширение и ширину спектра модулированной волны
A3.5), одинакового порядка, а потому в основном одинаков' и
спектральный состав излучения.
Время разрешения. Каждый прибор измеряет лишь некото-
некоторое среднее значение величины по малому промежутку време-
времени, называемому временем разрешения. Время разрешения
лучших приборов для измерения напряженности электрическо-
электрического поля по порядку величины равно 1(Г9с. Поскольку время то,
в течение которого амплитуда a(t)n фаза ъ.@ в A3.5) существен-
существенно изменяются, имеет порядок 10" *, заключаем, что в течение
многих десятков и даже сотен периодов колебаний волны' эти
величины могут считаться практически постоянными. Это озна-
означает, что при усреднении A3.5) по периоду колебаний или мно-
многим периодам <Е> =0. Поэтому экспериментально можно
изучать не средние величины напряженности поля волны A3.5),
а средние величины от квадрата напряженности; т% е. потоки
энергии волн. Результат измерения потока энергии волн в экс-
эксперименте зависит от времени разрешения прибора.
Усреднение по периоду колебаний. Хотя приборов, которые
имели бы разрешение в один период световых колебаний, нет,
целесообразно изучить этот вопрбс теоретически, чтобы затем
обсудить результаты усреднений интенсивности по более про-
продолжительным периодам. На основании C.4) с учетом сказан-
сказанного о скорости изменения a(t) иф(() для средней плотности
потока энергии волн, напряженность электрического поля ко-
которых дается выражением A3.5), получаем формулу
S = c(l/2)?0EW(t), A3.6)
где усреднение произведено по одному периоду или по проме-
промежутку времени, много_меньшему т0. Знак усреднения у Л1 не
указывается для упрощения написания и не оговаривается,»
79
§13

80 что это средняя плотность. Изменение плотности потока энергии волн по времени опреДеля-
ется величиной a2(t).
2 Изучение a2(t) для столь коротких времен усреднения может быть проведено лишь теорети-
теоретически методами математического моделирования. Основные особенности поведения a2(t)
со временем хорошо видны на рис. 55. Пунктиром обозначены средние значения a2{i) при усред-
усреднении по промежуткам времени, большим то.
На рис. 55 видны большие флуктуации интенсивности S(t), имеющие порядок средней вели-
величины интенсивности. Временной масштаб флуктуации определяется значением то. Это является
другим выражением утверждения о том, что в течение времени то.происходит существенное из-
изменение a (t) .и a2 {t).
Влияние увеличения промежутка времени на результат усреднения. При увеличении промежут-
промежутка времени усреднения кривая, изображенная на рис. 55, сглаживается: бысота пиков уменьша-
уменьшается, и резкие изменения ослабляются. При приближении времени усреднения к ю сплошная
кривая приближается к-пунктирной. При временах усреднения порядка то изменения плотности
потока энергии волн полностью исчезают. Значит, все.эти изменения происходят в промежутки
времени, меньшие то, a to является масштабом флуктуации. Дальнейшее увеличение промежутка
времени усреднения не изменяет среднего значения. Таким образом, время т0 является характер-
характерным временем для рассматриваемого процесса.
Время когерентности. Время т0 является характерным масштабом случайных флуктуации
фазы и амплитуды волн светового пучка с ударным уширением линий. При других механизмах
уширения линий и их комбинаций также имеются характерные времена случайных флуктуации
фазы и амплитуды светового пучка. Эти характерные времена называются временами когерент-
когерентности тк. Они играют большую роль в явлениях интерференции (см. гл. 5).
Длина когерентности. Так называется путь 4, проходимый световым пучком за время коге-
когерентности:
A3.7)
Для ударного уширения длина когерентности в тысячи раз больше длины световой волны.
При других механизмах уширения линий длина когерентности также много больше длиньисве-
товой волны. Длина когерентности является пространственным масштабом флуктуации интен-
интенсивности светового пучка. От картины изменения флуктуации во времени (рис. 55) можно пе-
перейти к картине их изменения в пространстве, приняв ось t за ось Z с положительным направле-
направлением этой оси в сторону отрицательных значений t. v ,
Гауссов свет. С математической точки зрения случайный процесс сложения фазовых множи-
множителей (см. рис. 54) является задачей на случайное блуждание, рассматриваемой, например, н
теории броуновскою движения, в данном случае средняя длина шага равна единице. Обозна-
Обозначим р плотность вероятности того, что конечная точка? случайного блуждания характеризуется
полярными координатами (а, ср) после п шагов. Тогда вероятность того, что после п шагов
конечная точка находится на площадке adady, дается формулой
dP=padad<p. . A3.8)
Теория случайного блуждания для р дает выражение
Р =Р(а) = A/як) ехр (—а2/п) A3.9)
с нормировкой
со 2я оо
i dP = i ada \ p(a)dy = In \ ap(a)da = 1. A3.10)
о о ч о
Поскольку adady— элемент площади, формула A3.8) показывает, что амплитуды a{t)
распределены по гауссову закону A3.9).Это распределение справедливо для любого источника
хаотического излучения. Поэтому свет от хаотического источника называют часто гауссовым.

Флуктуации плотности потока энергии хаотического света. При усреднении по промежутку 81
времени, большему времени когерентности тх (в случае ударного уширения тк = то), получаем ——
i i 613
a2(t)> <|Z'>/^|2> A311)
<a2(t)> =<|Ze'>/^|2>=«, A3.11)
так как среднее от перекрестных членов равно нулю; < |_е'ф/(*>|2> = 1; п — число атомов, излу-
излучение которых наблюдается. При усреднении по очень большому в сравнении с периодом коле-
колебании промежутку времени плотность потока S [см.* A3.6)] играет роль мгновенного значения
плотности потока энергии волн, а усредненная в соответствии с A3.11) — средней плотности.
Средняя плотность потока энергии" волн на основе*A3.6) с учетом A3.11) равна
<S> =* ЧгсгоЕЬг. A3.12)
Из сравнения A3.12) и A3.6) заключаем, что
a2(t)=Sn/<S>. A3.13)
Тогда формула A3.8) принимает вид
= — expf— ^\adady = -± l-—ехр( —\dSdip. A3.14)
яи V и / 2тг <5> , V. <S>/
Отсюда следует, что распределение плотности вероятностей S дается формулой
р' (S) = A/<5>)ехр (—S/<S>)
A3.15)
с нормировкой
00
\p'(SNS=l. ' A3.16)
о
Величина флуктуации плотности потока энергии может быть вычислена с помощью A3.14)
и характеризуется среднеквадратичным отклонением от равновесного значения:
= yJ<S2>—(<S>J, A3.17)
где < (S— <S> J> = <S2> — ( <S> J. Учитывая, что
# Случайные флуктуации фазы и амплитуды волны светового пучка
характеризуются некоторый минимальный временный интервалом
тк, при усреднении по которому изменения плотности лотка энергии
полностью сглаживаются. Это характерное время называется
временем когерентности. ' v
Амплитуды хаотического излучения распределены по закону
Гаусса.
В хаотическом свете значение флуктуации интенсивности равно
среднему значению интенсивности.
О По каким промежуткам времени цадо производить усреднения, чтобы
найти флуктуации интенсивности и среднюю интенсивность светового
потока?
Какие обстоятельства приводят к гауссову распределению амплитуд
волн хаотического света?
Какой смысл имеет «мгновенное» значение интенсивности светового
потока?
Учитывая, что при фиксированной частоте объемная плотность излучения
пропорциональна концентрации фотонов, найдите на основании формулы
A3.19) флуктуации числа фотонов, попадающих на детектор в проме-
промежуток времени фиксированной продолжительности. Какой должна быть
продолжительность этого промежутка времени, чтобы утверждение о
флуктуациях могло быть экспериментально проверено?

^ <52>=—-—Js2exp( -$—)dS = 2(<S>J, A3.18)
<S> о V <S>/
2
находим
A3.19)
т. е. флуктуация плошости потока энергии равна ее среднему значению. Таким образом, откло-
отклонение плотности потока энергии волн от среднего значения в световом пучке очень, большое,
что можно качественно видеть на рис. 56. Отметим еще раз, что «мгновенное значение» плотно-
плотности потока энергии в световом пучке необходимо измерять за промежутки времени, много мень-
меньшие времени когерентности, а вся совокупность измерений должна занимать время, большее
времени когерентности тк. При выводе Соотношения A3.19) предполагалось, что мгновенное
значение плотности потока энергии S является средним по периоду светового колебания. В дей-
действительности таких детекторов не существует. При учете конечного времени oiклика детектора
формула A3.19) немного изменяется, москсиьку величина флуктуации несколько сглаживается.
Поляризация. Монохроматические электромагнитные волны (см. § 5) всегда обладают
определенной поляризацией, т. е. являются поляризованными.
У хаотического света, представляющего собой суперпозицию волн со случайными фазами
и амплитудами, конец вектора напряженности- поля волн описывает в плоскости, перпендику-
перпендикулярной направлению распространения волн, нерегулярную, чрезвычайно хаотическую линию.
Если эти колебания вектора напряженности не имеют никаких преимущественных направлений,
то вочна называется неполяричованной. Если же в колебаниях вектора напряженности-имеется
некоторая .регулярность, хотя и не гакая. как* в поляризованной волне, то волна называется
частично поляризованной. Количественная теория частичной поляризации основывается на
теории когерентности взаимно перпендикулярных компонент напряженности поля "волн. По-
Поэтому целесообразно ее изложить вместе с теорией когерентности (см. § 30).
§ 14 Фурье-аналнз случайных процессов
Показывается, как можно применить Фурье-преобразование
к функциям, не удовлетворяющим математическим критериям
применимости Фурье-преобразования. Излагаются понятия
и методы Фурье-анализа случайных процессов.
Спектр мощности. Большинство случайных процессов стационарны по времени, т. е. их общий •
характер с течением времени не изменяется. Это означает, что функции, описывающие эти про-
процессы, не имеют оораза Фурье, поскольку они не абсолютно интегрируемы (функция не стре-*
мится к нулю при t ~* ± со). Следовательно, применить обычные методы и понятия спектраль-
спектрального анализа к этим функциям нельзя. Да это и нецелесообразно, поскольку в случайных процес-
процессах интересны лишь средние характеристики, а фазовые соотношения между гармоническими
составляющими в спектральном разложении не имеют значения. Кроме того, полностью не
известна функциональная зависимость случайных функций от времени. Поэтому в Фурье-
анализе случайных процессов используются более подходящие для этих целей величины и по-
понятия. •
-Чтобы исключить проблему расходимости интеграла, определим FT (со) — образ Фурье
случайного стационарного процесса/(t) на конечном, достаточно большом промежутке вре-
времени Т:
т
Fr(co) = ) Дг)е-'°"с1г. A4.1)
-Т/2

Как показывает (9,22), распределение энергии по частотам в спектре излучения характери- 83
зуется квадратом модуля спектральной плотности If(co)Iz = F(go)F*(<d). В однородном про- ,.
цессе'распределение энергии по частотам с течением времени не изменяется, а полная энергия §14
излучения пропорциональна времени. Отсюда можно заключить, что
T|Fr(o))|2dco
— 00
растет пропорционально Г и, следовательно, \FT (со)|~ •N/T. Поэтому величина
A4.2)
конечна, не зависит от времени и может быть использована для характеристики спектральных
свойств случайных прЬцессов. Квадрат модуля этой величины
= Fc(a))Fc*(co)
A4.3)
называется спектром мощности. С помощью A4.2) получаем
,.оо Г/2 Т/2 оо
-—- ! wc(cu)dco = lim -—- j dr/(f) \ dt'f(t') —— j exp [-^i(a(t— r')]dco
2n _& Г-* oo I _7y2 • —Til 2п „да
Г/2 7/2 ' Til
r-oo T __m _m <-«, T _jti
Таким образом, спектр мощности связан со средним квадратом модуля случайной функции
соотношением
A4.4)
В спектре мощности отсутствуют фазовые характеристики процесса,-и поэтому он содержит
меньше информации, чем амплиту дно-фазовый спектр. Спектр мощносги содержит характе-
характеристики процесса, усредненные тю большому интервалу времени.'Поэтому из него выпадаю!
мелкомасштабные характеристики процесса.
Автокорреляционная функция. Важнейшей характеристикой случайного процесса является
взаимосвязь значений описывающей этот процесс функции в различных пространственных
и временных точках. Взаимосвязь между значениями функции в одной точке в различные мо-
моменты времени описывается автокорреляционной функцией. Рассмотрим для примера стацио-
стационарную случайную величину. Нас интересует связь значений этой функции в момент времени t,
т. e./i =/(г)> с ее значением в момент времени t+т, т. е./г =/(г +.т), где т— некоторая фиксиро-
фиксированная величина. Другими словами, надо изучить связь значений этой функции в моменты вре-
времени, разделенные интервалом т. Сами по себе моменты времени "произвольны из-за стацио-
стационарности процесса, важно лишь, чтобы между ними был интервал т. Из-за'случайного харак-
характера /(г) при каждом измерении («испытании») рначения/(г) и/(г+ т) будут находиться в слу-
случайном соотношении друг с другом. Поэтому взаимосвязь значений / в моменты времени,
разделенные интервалом т, может характеризоваться лишь статистически..
Простейшей статистической характеристикой случайной величины является ее среднее
значение
>а * -</l > , <f(t+l) >а =

34 где индекс «а» у угловых скобок означает среднее по ансамблю или, иначе, математическое
ожидание по множеству реализаций от/(О и f(t + z). Для стационарного процесса, очевидно,
2 это среднее не зависит от t, т. е. < /j > = <f2 > = </>.
Взаимосвязь значений/в моменты времени, разделенные интервалом т, описывается авто-
автокорреляционной функцией, определяемой формулой
Ч„(Т)= <[AO-</>][/('+t)-</>]>a,
A4.6)
•; Если /? (/i, /2) является плотностью вероятности того, что ДО принимает значение /i,
a/(t + x) — значение/2, то A4.6) представляется в виде
Г,,(т) = Т Т (/, - </>) (f2—<f»p{fuf2Wi 4f2. A4.7a)
00 00 .
Если процесс является эргодическим, то усреднение по ансамблю может быть заменено
усреднением по времени и вместо A4.7) можно написать
Г,, (т) = <[АО - </> ] [fit +т) - </> ] >, =
Г/2
= lim -j- \ [fit) - </> ] W + т) - </> ] dt, A4.7 б)
Т -» оо •* уо •
где </> — среднее значение / по времени.
Для упрощения формул рассмотрим в качестве случайной величины функцию/(t)— </>,
среднее значение которой равно нулю. Чтобы не вводить дополнительных символов, обозна-
обозначим ее также/(t). Формула A4.76) для такой функции принимает вид
^ A4.8)
Т -* оо 1 т/2
т. е. совпадаете A4.76) при </> =0. Все результаты, следующие из формулы A4.8) для </> =0,
без труда переносятся на общий случай A4.76). В дальнейшем, если не будет оговорено против-
противное, используется определение A4.8), т.е. предполагается, что </> =0.
Автокорреляционная функция Гц @ при т=0 равна среднему значению квадрата ./(О, ,т; е.
некоторой положительной величине. При небольших значениях т она продолжает сохранять
положительное, отличное от нуля значение, хотя и уменьшается с увеличением т. Про область
"значений т, при которых Гп(т)^=О, говорят, что в ней корреляция имеет конечную величину.
При увеличении т корреляция ослабевает, т. е. всегда Fj 1 (т) < П i @). Из A4.8) имеем
Г/2 • Г/2~т
Гп(—т)= lim ±\f(t)f(t—x)dt = lim 4r\f(t' +T)/(r')df =Гп(т), A4.9)
где переход от первого интеграла ко второму осуществлен заменой переменных t = t' +т. Таким
образом, автокорреляционная функция симметрична относительно нуля:
A4.10)
Если значения функции/(t) n/(t + т) не связаны друг с другом, т. е. независимы друг от друга,
то автокорреляционная функция равна нулю. В частности, при т-> оо она стремится к нулю.
Теорема Винера — Хинчина. Важное значение автокорреляционной функции обусловлива-
обусловливается, в частности, ее связью со.спектром мощности, которая устанавливается теоремой Винера—
Хинчина: спектр мощности является образом Фурье автокорреляционной функции, а автокор-
автокорреляционная функция является образом Фурье спектра мощности.

wc(co)= ) Г1Г(т)е-""с!т,
Для доказательства преобразуем выражение A4.3) с учетом A4.2): 85
, т/2 г/2
и'с(а) =7}imoy j./(f')e—'«»'' dt' j f(t)eiat dt, , A4 ш §14
—Г/2 — Г/2 \ • J
где учтено, что функция/действительна {f*-=f). Для дальнейших преобразовании заметим, что
значения этих интегралов цри стационарной функции не зависят от пределов интегрирования,
лишь бы интервал интегрирования был Т. Поэтому в первом интеграле можно заменить пере-
переменную интегрирования t' =t+t и интегрировать по x(dt' =dx), оставив без изменения
пределы интегрирования:
Г/2 , Г/2)
wc (со) = .lim Jdie-^-i. \f(t)f(t+x)dt. A4.12)
Внутренний интеграл в A4.12) на основании A4.8) равен Гп(т). Поэтому A4.12) превращается
в соотношение
A4.13)
которое доказывает первую часть теоремы Винера—Хинчина Вторая часть теоремы есть просто
обратное преобразование A4.13):
A4.14)
Взяв в A4.2) комплексно-сопряженные величины от обеих частей равенства и принимая во
внимание, что для действительной функции / выполняется равенство /=/*, заключаем, что
Fc*(co) = Fc (—со) и поэтому A4.3) является четной функцией со, т. е. шс(ш) = оос(—со). Корреля-
Корреляционная функция Гц(т) согласно A4.10) также является четной функцией т. Поэтому, предста-
представив в подынтегральных выражениях A4.13) и A4.14) exp(±/cux) = cos сот±/sin сот, приходим
к выводу, что интегралы, содержащие синус, исчезают и соотношения принимают веществен-
вещественную форму:
? 1 ?
wc(co) = 21 rn(T)coscuTdx, A4.15) Г,,(т) = — 1 wc(co) cos cordx. A4.16)
0 . «' 0 i
Теорема Винера—Хинчина позволяет находить спектр мощности, если известна автокор-
автокорреляционная функция, которая может быть экспериментально измерена. Обычно она представ-
представляет собой быстро затухающую функцию, благодаря чему вычисление интеграла A4.15) не со-
составляет труда. Тем самым спектр мощности оказывается измеренным экспериментально.
Интервал корреляции. Из A4.8) видно, что
i * Функции, описывающие стационарные случайные процессы, не
имеют образов Фурье. Для них определяется специальная вели-
величина, играющая роль образа Фурье. Квадрат модуля втой величины
называется спектром мощности. В спектре мощности отсутствуют
фазовые характеристики случайного процесса. Спектр мощности
содержит характеристики случайного процесса, усредненные по
большому интервалу времени. Повтому мелкомасштабные харак-
характеристики процесса в спектре мощности отсутствуют.
Спектр мощности является образом Фурье автокорреляционной
функции, и наоборот. Экспериментально определив спектр мощно-
мощности, можно найти автокорреляционную функцию.
Интервал корреляции равен значению нормированного спектра
мощности при нулевой частоте.

A4.17)
Поэтому вместо корреляционной функции Гп(х) удобно пользоваться безразмерной функцией
A4.18)
У,, (т) = Гм (т)/Гп @) = Гд, (х)/ </ > ,
получившей название нормированной корреляционной функции Из A4Л8) видно, что уц0) = 1.
Мерой корреляции является величина
A4.19)
— интервал корреляции.
Связь интервала корреляции с нормированным спектром мощности. По аналогии с нормиро-
нормированной корреляционной функцией вводится нормированный спектр мощности
.= ! Y,,(T)dr=2i у,,(т)с1т
0
=wc(co)/r]](O).
A4.20)
Между интервалом корреляции и нормированным спектром мощности существует важное
соотношение. Для его вывода выразим в A4.19) yj i (т) через нормированный спектр мощности
по формуле A4.14): i "
2n —on—,
wH (со)е '°>т dсоdx = J wH (со)'б (со)dсо = w.H @)'
A4.21)
Таким образом, интервал корреляции равен значению нормированного спектра мощности при
нулевой частоте.
Задачи
2.1. Найти длину когерентности излучения руби-
рубинового лазера (Х= 693,6 нм), если ширина
линии излучения в длинах волн равна ДА, =
1,6 10~17 м.
2.2. Записать ряд Фурье для периодической функ-
функции с периодом Г, которая в интервале
(—Г/4, + Г/4) равна двум, а вне интервала
до его границ — нулю.
2.3. Записать ряд Фурье для периодической функ-
функции с периодом Г, которая в интервале (О, Г/2 >
равна двум, а в интервале (Г/2,Г)—нулю,
2.4. Записать ряд Фурье для периодической функ-
. ции с периодом Г, заданной на участке (О, Г)
формулой f(t)-t/T.
2.5. Записать ряд Фурье для периодической функ-
функции с периодом Г, заданной формулой
( —2t/T при — Г/2<г<0,
I 2г/Г при 0<г<Г/2.
2.6. Найти Фурье-образ функции
ДО = ехр(—at2) cos co0t (a > 0).
2.7. Найти Фурье-образ функции
2.8. Проведите расчет, доказывающий, что сос-
составная линия из двух лоренцевых линий
является лоренцевой с шириной y=yi+y2-
а составная линия из двух гауссовых линий
является гауссовой с шириной А = ^/Af
Ответы
2.1. 3 1
+ 7s sin 5@1
+ Gз2) cos
i. 2.1 1 + D/я) [cos tor — 7з cos 3cor + 7s cos 5tor—...]. 2.3. 1 + D/я) (sin tor + 7з sin 3tor +
t + ...). 2.4. fit) = 7г — П/я) (sin tor + 7г sin 2tor + ...). 2.5. fit) -xJj — D/я2) {cos tor +
3tor, + Gs2) cos 5tof + ...J. 2.6. yjn/a exp [—(to — tooJ/Da)]. 2.7. aA ^/ir exp — ik2a2/2).

Основиая идея:
свойства среды
описываются скалярными
величинам^! —
диэлектрической и
магнитной проннцасмостями,
электропроводимостью.
Поведение света
на границе между
различными средами
определяется
граничными условиями.
Распространение
света
в изотропных
средах

§ 15 f Распространение света в диэлектриках
I
Описывается микроскопический механизм; возникновения
дисперсии и ее проявления. Изучается распространение
импульсов в диспергирующей среде.
Монохроматические волны. В однородных изотропных диэлектриках диэлектрическая прони-
проницаемость е не зависит от координат. Кроме того, считается, что она не зависит также и от вре-
времени. В этом случае уравнения Максвелла аналогичны уравнениям B*1)—B.5), но с заменой
ео ->е, т. е. изменяется лишь первое уравнение B.5):
D = eE. A5.1)
Поэтому все дальнейшие результаты '§ 2 для электромагнитных волн в вакууме справедли-
справедливы для диэлектрика, но с заменой ео->е. Это приводит лишь к изменению скорости волн. Из
уравнений B.8) и B.9) с заменой ео->е для скорости электромагнитных волн в диэлектрике
¦получаем выражение
у = 1/ч/ЁЦо= l/VereoHo = с/ ^ = с1п, . A5.2)
где ег =е/ео —относительная диэлектрическая проницаемость, 1/ ^/еоЦо = с —скорость света,
п = yffy —^коэффициент преломления диэлектрика относительно вакуума или просто коэффи-
коэффициент (показатель) преломления.
Электромагнитные вблны в диэлектриках аналогичны волнам в вакууме (см. § 2). Нет необ-
необходимости повторять'сказанное. Отметим лишь, что длина волны Д. связана с частотой со соотно-
соотношением B.39), но с заменой с -> v:
X = vT = 2nvf(u, . A5.3)
а гюлновое число дается выражением
/c = 2ftA = co/i;. A5.4)
Соответственно изменяется и выражение для волнового вектора.
Структура электромагнитной плоскЧэй волны, описываемая в диэлектрике уравнениями
B.53)—B.56) с заменой е0 -> е, аналогична вакууму, а соотношение B.57) принимает вид
E=vB. ' A5.5)
Плотность потока энергии волн в диэлектриках дается формулой C.1). Для |S | вместо C.2)
находим
, A5.6)
где учтено A5.5). Поскольку в диэлектрике 1/ц^ =zv2 (см. 15.2) принимает вид
S=vgE2. A5.7)
В диэлектрике объемная плотность Энергии электромагнитного поля выражается формулой
w = V2(ED+B-H) = e?2, \ - A5.8)
где В'Н = ?2/(цоу2) = е?'2. Поэтому интерпретация соотношения A5.7) весьма наглядна, если
его записать в виде
vw.
A5.9)'
Для среднего по времени значения плотности потока энергии .волн вместо C.4) получим
<S>t =i;e?0/2, - A5.10)
где Ео — амплитуда напряженности электрического поля волны.

Все сказанное в §3 о распределении плотности потока энергии по сечению пучка, о мощ- 89
ности потока энергии и других аналогичных вопросах сохраняет свое значение для однородного
диэлектрика и не нуждается в повторении. * §15
Дисперсия. В диэлектрике скорость электромагнитных волн зависит от частоты. Это явле-
явление называется дисперсией. Влияние дисперсии проявляется лишь в распространении немоно-
немонохроматических волн, поскольку различные частоты, составляющие волну, распространяются
с различной скоростью.
Дисперсия является следствием зависимости поляризованности атомов от частоты. В элек-
электрическом поле волны с напряженностью
Е±Еое-ш A5.11)
движение электрона описывается уравнением (9.32). Решение этого уравнения дается форму-
формулой (9.36). Дипольный момент атома, электрон которого сместился из положения равновесия
(х - 0) в точку х, равен
р = ех = е2Е/[т((йЪ— со2 — /усо)]. A5.12)
Поэтому зависящая от частоты и изменяющаяся по времени поляризованность равна
P = Np = e2NEl[m((ol—(u2 — iyG>)], A5.13a)
где N—' концентрация электронов с собственной частотой колебаний щ. Запишем A5.13а)
в виде
Р = еох^?, • A5.136)
где хA) =e2N/[meo(co§ —со2 — п*о)] A5.13в)
-— комплексная диэлектрическая восприимчивость (линейная) Если имеются электроны с
другой собственной частотой колебаний, то необходимо добавить соответствующий член в
правую часть'A5-13). Принимая во внимание соотношение
D=:e0E + P A5.14)
и учитывая, что D = eaE, а Р дается равенством A5.13а), из A5.14) после сокращения на общий
множитель Е находим
ею =е0 + e2N/[m(ml — со2 — /усо)], О*5-1)
где ею — диэлектрическая проницаемость, зависящая от частоты. Из A5.15) следует, что
егЮ = eJe° = * +e2N/[mE0((ul — со2 — iyco)], A5.16)
где егш— относительная диэлектрическая проницаемость, зависящая от час юты Как' видно,
из A5.2), это. означает, что и коэффициент преломления п'а = yfEm а следовательно, и скорость
электромагнитных волн зависят от частоты. Этим объяснен механизм возникновения дисперсии.
На основании A5.16) для коэффициента преломления можно написать соотношение
<2 = *r* =l+e2N/[we0(co8 —со2 —/ую)], " A5.17)
из которого следует, что п'а является комплексной величиной. Представим ее в виде
A5.18)
где па и ?ш— соответственно действительная и мнимая части п'ы. Подставляя A5.18) в A5.17)
и приравнивая между со&ой действительные и мнимые части полученного равенства, находим
два уравнения:
п2 ?2-u e*N ш°~ш2 п* ю^
еот (cog— со2J +v2co2

50 _ e2N toy
— ю ш ео/й (co^— ш2J+у2ю2
3
Поскольку у очень мала [см. (9.7)], в оптической области, за исключением частот
72со2 <§: (соё — ю2J A5.21)
и можно считать, что ?m = Q. Тогда формула A5.19) приобретает вид
" й? *= 1 +e2N/[eom((ub — со2)]' . A5.22)
Если кроме электронов с собственной частотой колебаний соо имеются электроны с другими
частотами собственных колебаний, то в правую часть A5:22) необходимо добавить соответ-
соответствующие этим частотам члены. Обозначая N{ концентрацию электронов в диэлектрике, соб-
собственная частота колебаний которых соо/, получаем
г& = 1 + -?- ? 2 ' 2- ¦ A5.23)
Однако дисперсия создается не только в результате колебаний электронов. Надо принять
во внимание также и колебания ионо». Ввиду большой массы ионов частоты их собственных
колебаний значительно меньше частот собственных колебаний электронов. Колебания ионов
учитываются дополнением правой части A5.23) Соответствующими слагаемыми. Например,
наличие однозарядных ионов с собственной частотой сор/ и концентрацией Nj дает дополни-
дополнительный член e2Nj/[EoMj (соо/— о2)], в котором Mj — масса иона.Чтобы не усложнять формул^
эти члень! в A5.23) не выписываются. Собственные частоты ионов лежат в далекой инфракрас-
инфракрасной, области и не оказывают существенного влияния на ход дисперсионной кривой в видимой
области спектра. Однако они играют главную роль в объяснении отличия значения статической
диэлектрической проницаемости от значения диэлектрической про^ницаемости в видимом диапа-
диапазоне частот. Формула A5.23) нуждается также еще в одном уточнении» Под действием электро-
электромагнитного поля не все электроны колеблются одинаково, часть электронов не колеблется
вообще ит.д. Следовательно, не все Nt электронов дают вклад в дисперсию, а лишь их доля.
Поэтому в уточненной формуле в A5.23) вместо N, должна стоять величина Nifif в которой
.//«:1 называется силой осциллятора. Только с учетом силы осциллятора формула A5.23) дает
удовлетворительное согласие с экспериментом. Теоретически сила осциллятора может быть
рассчитана только в рамках квантовой теории. Как в A5.23), так и в последующих формулах
сила осциллятора в явном виде не учитывается.
Иллюстрацией вклада ионов в дисперсию может служить вода. У нее для оптических.частот
у/Ё^ = п@ = 1,33, а статическое значение ^/еГ» 9. Это объясняется колебаниями ионов. При
учете колебаний ионов в правой части A5.23) при со -*¦ 0 появляются члены вида e2Njfj/(B0Mj со2^),
имеющие большие числовые значения, поскольку собственные частоты соО7 колебаний ионов
малы. Вблизи минимальной частоты соОу. дисперсионная кривая поднимается, а при со -*¦ 0 не-
несколько снижается, но все же пересекает ось со = 0 при ег*»81, чем и объясняется большое ста-
статическое значение относительной диэлектрической проницаемости воды.
Нормальная дисперсия. Если показатель преломления близок к единице, например для раз-
разреженных газов, то (п%— 1) = («с— 1) («ю+1) л2(ио- 1) и формула A5.23) упрощается:
• /W = 1 + --— S 2Ni . A5.24)
2е0т i а>о/ — от
Графическая зависимость пт от частоты со называется дисперсионной кривой (рис. 56). Если
коэффициент преломления растет с частотой, то дисперсия называется нормальной. На рисунке
изображены участки дисперсионной кривой, соответствующие нормальной дисперсии. Можно
сказать, что нормальная дисперсия наблюдается во'всей прозрачной области.
Для "малых частот со«:со0/ формула A5.24) дает статическое значение показателя
преломления

Nt.
О ш0, uHI о)о:
56
Нормальная дисперсия
57
Аномальная дисперсия
О Норналышя дисперсия
наблюдается яо ясей про-
прозрачной области. Аномаль-
Аномальная дисперсия наблюдает-
ся ¦ областях поглощения.
Форна импульса при рас-
распространении я дисперги-
диспергирующей среде изменяется.
Передний фронт инпульса
я диспергирующей среде
дяижется со скоростью
сяета в вакууме. Лишь
последующие части дви-
жутся со скоростью-,
характерной для среды.
Занещение в среде первич-
первичной волны вторичной, ко-
которая распространяется со
скоростью, характерной
для среды, происходит на
некоторой длине пути. Для
¦оздуха этот путь равен
примерно 0,5 мм, а для меж-
межзвездной среды — около
двух световых лет.
A5.25)
91
которое может существенно отличаться от значения показа-
показателя преломления для оптических частот.
Для больших частот (со»сооО показатель преломления
стремится 4к единице, оставаясь меньше ее, поскольку в этом
случае A5.24) принимает вид
п,л = 1
_е^ 1_
2sow со2
IN, .
A5.26)
Следовательно, для коротковолнового излучения диэлек-
диэлектрик является оптически менее плотной средой, чем вакуум.
В частности, в этом случае от поверхности диэлектрика может
наблюдаться полное отражение (см. § 17), как, например, при
рентгеновском излучении. Из A5.26) видно, что при очень
больших частотах характер связи электронов в атомах не
играет роли, а показатель преломления зависит лишь от общего
числа колеблющихся электронов в единице объема.
Аномальная дисперсия. Дисперсионная кривая на рис. 56
построена в соответствии с формулой A5.23), которая полу-
получена из A5.17) без учета затухания колебаний (у = 0). Это при-
привело к обращению в бесконечность па в точках со = соо/. Если
принять во внимание затухание (у ф 0), то дисперсионная кри-
кривая в окрестностях точек со0/ становится непрерывной и не ухо-
уходит на бесконечность при сог=со0,. Представим показатель
преломления в виде A5.18). Если I п^\ мало отличается от еди-
единицы, то из A5.17) получаем *
< = па + i?т-= yfiZ ** 1 + e2N/[2eom((ul — о2 — iyco)], A5.27)
откуда в результате разделения действительных и мнимых
частей следует
2ео/и
N
2ео/и
N
усо
to2J+Y2to2
A5.28)
A5.29)
Дисперсионная кривая вблизи резонансной частоты со=©0
представлена на; рис. 57. Вблизи резонансной частоты показа-
показатель преломления с увеличением частоты уменьшается. Это
явление называется аномальной дисперсией.
Рассеяние света. Электрический вектор плоской волны, f>*t
пространяющейся в направлении оси Z, представляется в виде
где
к- Gi/V = СО
A5.30)
A5.31)

Замена у/г.т в A5.31) ее выражением из A5.27) приводит к соотношению
kj ^jc, A5.32)
подстановка которого в выражение A5.30) дает формулу
?(z, 0 = Ejs-*** ё'С«—«ш^, A5'33)
показывающую, что мнимая часть коэффициента преломления ?т описывает затухание плоской
волны в диэлектрике. Оно вызвано тем, что энергия волны расходуется на возбуждение вынуж-
вынужденных колебаний электронов. Колеблющиеся электроны, в свою очередь, излучают электро-
электромагнитные волны той же частоты во всех направлениях. Таким образом, чистый итог всей этой
цепочки процессов состоит в том, что при прохождении через диэлектрик происходит рассеяние
электромагнитных волн. Ввиду малости у это рассеяние невелико.
Распространение волнового пакета. В общем случае волновой пакет является суперпозицией
группы волн, частоты и волновые числа которых заключены в достаточно узких интервалах,
и может быть представлен в виде
со
E(z, t) = -±-\/(к)е-'(ш-кг)йк, A5.34)
где амплитуда F(k) отлична от нуля лишь в узком интервале значений вблизи ко. В качестве
независимой переменной выбрано волновое число к, а частота является функцией от к, т. е..
ш = со(/с). В A5.34) предполагается, что поляризация всех волн группы одинакова. Амплитуда
F(k) характеризует распределение волн по волновым числам и, следовательно, частотам.Она
может быть найдена из A5.34) при t=0 с помощью преобразования Фурье:
.со '
F(k)=Jj(z,O)e-ik:dz, ¦ A5.35)
т. е. F(k) является образом Фурье E(z, 0).
Если распределение амплитуд волнового пакета по частотам имеет резкий максимум вблизи
волнового числа ко, то функцию со (к) можно вблизи ко разложить в ряд Тейлора по отклонению
к от ко, т. е. по к—ко, и ограничиться первым членом:
co(/c)«coo + (fc — fco)dcoo/dfc0, A5.36).
где coo = co(fco), do)o/dfco = (doOdfc)fciBfeo. Формула A5.34) принимает вид
E(z, t)~^exp[-/(coo -к0 ^) t] JfQc) exp [ik (z- ^-t)]dfc, A5.37)
где знак приблизительного равенства подчеркивает, что в расчете учитываются лишь члены
первого порядка в разложении Тейлора для со (к). Формула A5.34) показывает, что интеграл
A5.37) равен E[z — (doo0/dfc0)f, 0] и поэтому [см. A5.37)]
E(z, f)*E[z — (dcoo/dfcoK 0] exp {—j[oo0 -r- fco(dcoo/dfco)] t). A5.38)
Отсюда видно, что квадрат амплитуды импульса
\Е\2 =\E[z-(dcoo/dfco)t, 0]|2. A5.39)
Значит, в первом приближении импульс движется без изменения формы с групповой ско-
скоростью
vr =doo0/dfc0 - A5.40)
[см. A2.7)]. Учет членов более высокого порядка в разложении Тейлора для (й(к) показывает,
что форма импульса в процессе распространения изменяется.
Все формулы, характеризующие движение импульса, были в приближении A5.36). в этом
приближении может случиться, что групповая скорость в области аномальной дисперсии ока-
окажется больше скорости4 света. Это невозможно, поскольку с групповой скоростью движется
энергия, а движение энергии и массы со скоростями, превышающими скорость света, недопу-

стимр. Разрешение противоречия состоит в том, что в области аномальной дисперсии прибли- 93
жение A5.36) является недостаточным и необходимо использовать следующие члены разло- «_
жения. §15
Дисперсия возникает в результате интерференции первичной и вторичной волн. Поэтому
передний фронт светового импульса распространяется в среде со скоростью света в вакууме,
поскольку вторичные волны не могут его догнать. Эта часть .импульса' прибывает первой.
Ее амплитуда мала. Затем прибывает вторая часть импульса, имеющая более значительную
амплитуду и продолжительность. Затем прибывает основной сигнал. Ясно, что скорость сигна-
сигнала не является точно определенным понятием, поскольку за сигнал можно было бы принять
часть импульса, прибывающей в точку приема первой. Обычно, говоря о скорости сигнала,
имеют в виду групповую скорость на частоте, соответствующей максимальной амплитуде
в сигнале. Однако при достаточной чувствительности детектора за скорость сигнала можно
было бы принять скорость предшественников основного сигнала. В этом случае скорость сиг-
сигнала может быть сколь угодно близкой к скорости света в вакууме, хотя сигнал и распространя-
распространяется в среде.
Замещение световой волны в среде. Входящая в диэлектрическую среду световая волна воз-
возбуждает колебание диполей, которые излучают вторичную волну. Вторичная волна распростра-
распространяется в среде со скоростью, характерной для. среды, а первичная волна после входа в среду
продолжает распространяться с начальной скоростью. Первичная и вторичная волны склады-
складываются между, со бой. В момент излучения вторичная волна имеет ту же фразу колебаний, что
и первичная, но вследствие неодинаковых фазовых скоростей распространения в среде между
волнами образуется разность фаз, в результате чего вторичная волна гасит первичную. В итоге
первичная волна замещается вторичной, которая распространяется со скоростью, характерной
для среды. ,
Если показатель преломления среды и, то на длине х между волнами образуется разность
фаз Аф = ю|и — l| х/с. В качестве длины замещения принимается расстояние, на котором Д<р <^1.
Поэтому длина замещения равна
L =с/(ю|и—1|)=АД2я|и—1|). A5.41)
Для прозрачных тел типа стекол (и» 1,5-=-2) в световом диапазоне длина замещения L т
»Bч-1) • 10~7 м, а для воздуха и газов L» 0,5 мм. В межзвездной среде значение (и — 1) чрез-
чрезвычайно мало и поэтому длина замещения значительна. Расчеты показывают, что длина заме-
замещения для света в межзвездной среде составляет примерно два световых года.
Дисперсия света в межзвездном пространстве. Дисперсия света в межзвездной среде чрезвы-
чрезвычайно мала. Верхний предел дисперсии можно оценить из наблюдений; пульсаров. У пульсаров
периодически изменяется яркость свечения, причем периоды пульсаций составляют в ряде слу-
случаев тысячные доли секунды. При наличии дисперсии волны различных длин имеют различное
время распространения от момента излучения до наблюдателя. Поэтому одновременно наблю-
наблюдаются волны различной частоты, излученные пульсаром в различные моменты времени.
Это означает, что при наличии дисперсии кривая изменения суммарной яркости должна «сма-
щться». Отсутствие такого «смазывания» позволяет оценить верхний предел дисперсии.
Пусть и(со)— скорость волн частотой со, At — продолжительность импульса излучения,
L — расстояние от пульсара до наблюдателя. Условие отсутствия «смазывания» состоит в том,
что разность времен распространения волн различной длины волны должны быть меньше
О В какой области лежат частоты собственных колебаний ионов? Какой
физический смысл имеет утверждение, что для очень коротковолнового
излучения диэлектрик является оптически менее плотной средой, чем
вакуум?
Можно ли в. принципе в среде передать сигнал со скоростью, большей
групповой скорости света?

94 продолжительности импульса:
_L L
3
At. A5.42)
Это неравенство целесообразно преобразовать к виду
и(со2) — у(ш,)
05.43)
где с2ъ v((ui)v((o2). Для пульсара в крабовидной туманности известны следующие данные:
Ьъ 6-Ю3 св. лет, Д? = 3 10~3 с. Поэтому результаты наблюдений этого пульсара позволяют
утверждать, что Av/c< Г0~14. Учитывая, что интервал наблюдаемых частот простирается от
4-Ю8 до 3-Ю20 Гц, с большой точностью заключаем, что' дисперсия практически отсутствует.
" Окраска тел. Наличие резонансных частот обусловливает возникновение окраски тел в ре-
результате селективного поглощения света вблизи резонансных частот со(ц-. Это может происхо-
происходить как в толще вещества, так и в поверхностном слое, если при рассеянии свет проникает в тол-
толщу вещества и испытывает при этом селективное поглощение.
Если частота оиы (см. рис. ЬЬ) находится в ультрафиолетовой области, то в видимой части
спекгра нсг Селективною поглощения света и вещество является почти бесцветным и прозрач-
прозрачным. Например, у стекла coOi лежит в ультрафиолетовой области, сравнительно близко к гра-
границе видимого спектра Благодаря этому оно прозрачно, но имеет достаточно большой пока-
показатель преломления (около 1,5)'и сильно поглощает ультрафиолетовые лучи. Когда собствен-
собственные частоты соо, попадают в видимую часть спектра, соответствующие участки видимой части
спектра поглощаются и вещество оказывается окрашенным в дополнительный цвет. Например,
окраска фиолетовых чернил в сосуде возникает в результате того, что при прохождении белого
света через их толщу поглощается желтоватая часть спектра. На листе бумаги фиолетовью чер-
чернила также имеют фиолетовый цвет. Это обусловлено тем, что волокна поверхностного слоя
бумаги пропитаны чернилами. Отражение (рассеяние) света происходит в некоторой толщине
поверхностного слоя бумаги, в котором пропитанные чернилами ролокна поглощают желто-
желтоватую часть спектра. Однако если капля чернил попадает на поверхность, которая не пропит ы-
вается чернилами (например, на поверхность стекла), то после высыхания чернильное пятно
имеет, желтоватый цвет. Возникновение этого цвета обусловлено не селективным-поглощением,
а селективным отражением света. Очень эффектно различие окраски материалов при селектив-
селективном поглощении1 и отражении света проявляется у золота Толстый кусок золота имеет желто-
красноватую окраску. Однако если приготовить очень тонкий золотой лепесток, то при наблю-
дении на просвет его цвет глубоко голубой. В первом случае окраска золота обусловливается
селективным отражением, а во втором — селективным поглощением.
При отражении света (см. § 16, 20) от поверхности наиболее интенсивно отражаются те
участки спектра, которые при прохождении толщины вещества наиболее сильно поглощаются.'
Поэтому цвет вещества, возникающий ja счег селективного отражения, является дополнитель-
дополнительным к цвет>' того же вещества, возникающего, в результате селективного noi лощений.-
Пример 15.1. Выразить групповую скорость A5.40) в виде функции от показателя прелом-
преломления и длины волны и найти групповую скорость в воде для Х=656,3 нм, если известно, что
при 20°С показатель преломления для этой длины волны равен 1,3311, а для X = 643,8 нм он
равен 1,3314. ,
Поскольку со = 2яс/(яХ), /г=2я/А, из A5.40) получаем
d[2nc/(nk)]. (ndX+\dn)/(n2X2)
— Q ______
dB7t/X)
Подставляя числовые значения в A5.44), находим
vr = л w A + _______ _М^__ ) м/с __ 2,28 • 108м/с.
1,3311 V 1,3311 12,5 /
= JL/i + А йну A5.44)

§ 16 Отражение и преломление света на границе 95
между диэлектриками. Формулы Френеля ____
Показывается, как граничные условия для векторов §15
электрического и магнитного полей волн
полностью определяют законы отражения и преломления.
Граничные условия. Диэлектрическая проницаемость диэлектриков различна. Поведение волны
на границе полностью определяется граничными условиями для векторов ноля волны, которые
при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид
D2n=Dln, B2n=Bln', (а) Е2х=Е1х, Н2х = Н1Х.', (б) A6J)
где индексы пит обозначают соответственно нормальную и тангенциальную составляющие
вектора. Величины, относящиеся к падающей, отраженной и преломленной волнам, будем
обозначать соответственно индексами «пд», «от», «пр». Величины, относящиеся к среде, в кото-
которой распространяются падающая и отраженная волны, обозначаются индексом 1, а к среде,
в которой распространяется преломленная волна, —- индексом 2. В частности, диэлектрические
проницаемости этих сред равны ej hi:2.
Напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной плоских волн
выражаются формулами
Еот =Е(о°т)е-'<0)от<-кот;.'), A6.2)
Е ==Е@)е-~'(О)пР'~кпРг)
ж-'пр •¦-'пр '
причем волновые числа связаны со скоростями распространения волн в средах соотношениями
где v\ =(ei|ij)~1, V2 ^(eiliiI —скорости распространения волн в первой и второй средах.
Выражения для вектора индукции магнитного поля велны получаются по общему правилу:
вектор В перпендикулярен Е, колеблется в одинаковой с Е фазе (в диэлектриках) и по модулю
равен |В| = |Е|/«, где v — скорость распространения волн.
Законы отражения и преломления получаются как следствие граничных условий A6.1) для
векторов A6.2) и соответствующих векторов магнитного поля.
Постоянство частоты волны при отражении и преломлении. Граничное условие для тангенци-
тангенциальных составляющих напряженности электрического поля имеет вид
pSe^-W -W'> + E'V^ox' -кот-')]г= [Etlje-'^np' -k»p"'>]t, A6.4)
причем начало отсчета радиуса-вектора произвольно. Радиус-вектор можно представить в
виде г= т„ + гг, где г„ иг, — со.ответственно нормальная к поверхности и тангенциальная со-
составляющие радиуса-вектора. Другими словами, т„ соединяет начало отсчета радиус-вектора ,
по нормали с соответствующей точкой плоскости раздела, а гт лежит в плоскости раздела,
соединяя конец вектора г„ с концом вектора г. Из равенства к • г = к„- г„ +кг • гт, где к„ и кг —
нормальная и тангенциальная составляющие волнового вектора волны, заключаем, что при
переходе от однГой точки поверхности к другой скалярное произведение к„- г„ постоянно, а все
изменение значения к1 г сводится к изменению к.- гг. Поэтому по причине, которая сейчас станет
очевидной, целесообразно начало отсчета радиусов-векторов взять в точке плоскости раздела
сред. Эта точка в остальном произвольна. Чтобы не усложнять формулы, будем по-прежнему
обозначать радиус-вектор г без индекса т, хотя лежит г в плоскости раздела сред. Равенство
A6.4) может тождественно соблюдаться при произвольных и независимых изменениях гиг
лишь в том случае, если

96 юпдг = юотг = conpf, A6.5) кпдг = котг = кпр г. A6.6)
3 Из A6.5) следует, что
°пд =Юот = СОпр,
A6.7)
т. е. частота электромагнитной волны при отражении и преломлении не изменяется.
Плоскость падающего, отраженного и преломленного лучей. Направление, характеризуемое
волновым вектором к, будем называть лучом. Выберем начало отсчета вектора г в плоскости
раздела сред так, чтобы он был перпендикулярен вектору к11Д, т. е. выполнялось условие
кпдт = 0. A6.8)
Из A6.6) следует, что
кот г = кпр г = 0, A6.9)
т. е. векторык.,т и к„р также перпендикулярны г. Значит, волновые векторы падающей, отражен-
отраженной и преломленной волн лежат в одной плоскости.
Соотношения между углами падения, отражения и преломления. Поместим начало прямоуголь-
прямоугольной декартовой системы координат в точку падения луча, ось Z направим в сторону среды, в
которой распространяется преломленный луч, а плоскость XZ будем считать совпадающей
с плоскостью, в которой лежат падающий, отраженный и преломленный лучи (рис. 58). Векторы
кпд, кот, кпр приложены к то.чке О (для упрощения чертежа они разнесены от этой точки вдоль
прямых, характеризующих распространение "соответствующих волн). Единичный вектор п
направлен во вторую среду по нормали к поверхности раздела. Единичный вектор т лежит в
плоскости раздела вдоль оси X. Он является тангенциальным вектором. Напомним, что единич-
единичные векторы безразмерны. Углы 0,1Д, 60Т и 6|ф, отсчитываемые of перпендикуляров к поверх-
поверхности раздела, называются соответственно углами падения, отражения и преломления. Плос-
скость, в которой лежат вектор падающей волны и нормаль к поверхности раздела в точке па-
падения луча, называется плоскостью падения луча.
Начало отсчета г поместим в точку О', расположенную на оси X системы координат при
отрицательном значении х. Следовательно, вектор г = гх ориентирован в сторону положитель-
положительных значений оси X. Из рис. 60 видно, что
кпд"»'=кпд-тг = knarsin епд, котг=коТхг = kOTrsineoT, A6.10)
кпр'г =кпртг = /спрг sin 6„Р.
Тогда [см. A6.6)]
/спдвтОпд = /coTsineo/=/cnpSinenp. A6.11)
Эти соотношения с учетом A6.3) упрощаются:
sin 6nfl/t;j =sin90T/t;, = sinGnp/t;2.
Из A6.12) следует, что sin 9ПД = sin 6OT, т. е.
©пд = бот*
A6:13)
sin бпд/sinOnp = vjv2 = w, 2,
A6.12)
A6.14)
где w12 = tfj/i>2 — показатель преломления второй среды относительно первой. Показатели
преломления первой и второй сред относительно вакуума по определению равны
«1 =c/vit «2 =c/v2 A6.15)

П2>Щ
58
Преломление
света при п2 > и,
V
ко.
пг
59
Преломление света при пг <
60
При предельном угле паления
угол преломления становится рав-
равным г/2
4-289
и поэтому
«г/П1. A6.16)
Равенство" A6.13) показывает, что угол отражения равен
углу падения, а соотношение A6.14) выражает закон преломле-
преломления Снеллиуса: отношение синуса угла падения к синусу угла
преломления равно показателю преломления среды с прелом-
преломленным лучом относительно среды с падающим лучом
Показатель преломления зависит от длины волны и от
температуры, а для газов —= и от давления. Например, пока-
показатель преломления воды при 20°С для длин волн 678,0; 589,3;
480,0 и 404,7 нм равен соответственно 1,3308; 1,3330; 1,3374 и
1,3428. Если нет необходимости учитывать показатель прелом-
преломления с большой точностью, то можно для света принять п —
= 1,33. Показатель преломления газов при нормальных усло-
условиях отличается от единицы на 10~3 или 10~4. Например,
при 0сС и атмосферном давлении у азота п —1,000297, у кисло-
кислорода « = 1,000272, у воздуха «=1,000292. Обычно для воздуха
принимается « = 1,0003. У стекол марки «флинт» показатель
преломления заключен между 1,6 и 1.,9; у стекол марки «крон»—
между 1,5 и 1,6, у алмаза пбказатель преломления равен 2,4.
На рис. 58 -и 59 показан ход лучей при «2 >«i и и2 <п\.
Во втором случае видно, что при некотором угле падения 0пд =
= 9пред, называемом предельным углом, угол преломления
становится равным я/2, т. е. преломленный луч движется вдоль
поверхности раздела (рис. 60) и нет никакого преломленного
луча во второй среде. Из A6.14) с учетом A6.16) получаем
Sin 9пред =П2/П1 («2<«,).
A6.17)
97
§16
При углах падения, больших 6прея, уравнение A6.14) не имеет
решения в области действительных значений угла преломления
9пр. Поэтому возникающую при этом ситуацию нельзя изобра-
изобразить аналогично тому, как это сделано на рис. 58 и 59. Этот слу-
случай требует особого рассмотрения (см. §17).
Разложение плоской волны на две с взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными линейными поляризациями. Для того чтобы сделать легко
обозримым вопрос об энергетических соотношениях при отра-
отражении и преломлении, целесообразно общий случай падающей
волпы, когда-вектор Епд направлен под произвольным углом
к плоскости падения, разбить на два: когда вектор, Епд лежит
в плоскости падения и когда он перпендикулярен ей. Для этого
надо доказать, что плоскую волну можно представить в виде
суммы плоских волн с взаимно перпендикулярными поляриза-
поляризациями, причем сумма плотностей потока энергии этих волн
должна быть равной плотности потока энергии исходной вол-'
ны. Просто из 'принципа суперпозиции это утверждение не
следует.
Будем обозначать с индексом II компоненты векторов, ле-
лежащих в Т1лоскости падения, а с индексом _L — в перпендику-
перпендикулярной плоскости. Поскольку отраженный и преломленный

98 лучи лежат также в плоскости падения, на основании принципа
суперпозиции векторы электрической напряженности падаю-
3 щей, отраженной и преломленной волн имеют вид
Епд = Епдц + ЕПДХ, Еот = t>OTll И" Ь'ОТ'Х »
¦ Епр=Епр«+ЕПр±. A6.18)
Аналогично можно представить и векторы индукции В.
На рис. 61 приведено это разложение векторов поля на состав-
составляющие. Ось Z направлена перпендикулярно плоскости рисун-
рисунка от нас. Вдоль оси Z распространяется волна Плоскость XZ
является плоскостью падения. Из рис. 61 видно, что между
составляющими векторов поля соблюдаются следующие соот-
соотношения:
Elt /B± = Ecosa/(B cos a) = Е/В,
EL/Вп = Е sin а/ {В sin а) = Е/В. A6.19)
Кроме того, видно, что векторы (Ен, В^, к), (Е±, Вц, к)
составляют правовинтовые тройки векторов. Отсюда заклю-
заключаем, что эти векторы сами образуют плоские волны. Равенство
Ё2 =?|| +Ё± показывает, что плотность потока энергии исход?
ной волны равна сумме плотностей потока энергии волн, на
которые она разлагается. Тем самым доказано, что плоскую
волну, вектор Е которой произвольно ориентирован относи-
относительно плоскости падения, можно разложить на сумму волн,
у одной из которых напряженность электрического поля лежит
в плоскости падения, а у другой—перпендикулярно ей. Изучив
поведение этих волн при отражении и преломлении прямым
применением принципа суперпозиции с учетом аддитивности
плотности потока энергии, получим все характеристики волны
с произвольной ориентировкой напряженности электрического
поля.
Вектор Е перпендикулярен плоскости падения (рис. 62). Век-
Векторы кпд,коТ,кпР являются единичными, т.е. волновые век-
векторы волн связаны с ними соотношениями кпд =к°дкпд и т. д.
Значения остальных величин такие же, как на рис. 60. Будем
считать, что Епд направлен к нам. Для упрощения формул не
будем указывать индекс _L, поскольку рассматриваются только
напряженности, перпендикулярные плоскости падения. Если
вектор Епд направлен к нам, то вектор ВПД направлен так, как
на рис. 62. Как направлены напряженности Еот и Епр, заранее
не известно. Поэтому им можно приписать произвольное на-
направление и решать задачу. Если в результате решения у них
получится отрицательный знак, то их действительное направ-
направление противоположно выбранному. Будем считать, что Еот
и Епр также направлены к нам. Векторы Вот и Впр при этом
ориентированы так, как на рис. 62.
Граничные условия A6.16) для непрерывности тангенциаль-
тангенциальных составляющих напряженности электрического и магнит-
магнитного полей имеют вид
Elli
0
*\\
X
—
^^
~2\E
/l
У |
Y
Разложение плоской волны на две
волны, поляризованные во взаимно
перпендикулярных плоскостях
¦62
Напряженность электрического
поля падающей волны перпенди-
перпендикулярна Плоскости падения
(а) (НПд+Нот)т =
(б) A6.20)

Для дальнейших преобразований векторы Н удобно выразить через векторы Е:
H=k° xE/Z,
A6.21)
('16.22)
— волновое сопротивление среды. Заметим,'что для вакуума sjttofco = 377 Ом. Учитывая,
что вектор Е„д перпендикулярен плоскости чертежа и направлен к нам (рис. 62), заключаем
т=Е„дхп/?Пд. A6.23)
Поэтому тангенциальная составляющая Н падающей, отраженной и преломленной волн
может быть представлена в виде
где под Н, Е, Z, к можно понимать соответствующие величины в падающей, отраженной и
преломленной волнах.
При преобразованиях в A6.24) учтена известная из векторной алгебры формула
(А х В) (С х D) ъ= (А ¦ С) (В • D) - (А • D) (В -С) A6.25)
и принято во внимание, что к0 'Епл =0, ЕЕПД =ЕЕид для всех волн. Волновое сопротивление
среды для падающей и отраженной волн равно Zb а для преломленной — Z2. С учетом A6.24)
граничные условия A6.21) принимают вид
(I /Z,) [?Пд(к(пОд n) + ?OT-(k2? n)] = (l/Z2)?np(k(n0p n). A6.26)
Формулы Френеля для, перпендикулярных составляющих векторов поля. Уравнения A6.20а)
и A6.26) можно переписать в виде системы двух уравнений
I ~т~ ^от /•? пд — ,пр I ^па ¦>
(k IS n) + (Е'0,/Еад) (к?> п) = (ZJZ2) (к(п°р п) (Епр/Епа)
относительно неизвестных отношений Еот/Еип и Епр/Е„д. Решение системы:
п)],
где к"т п = —^к"дп, поскольку угол падения равен углу отражения.
В соответствии с A6.14) угол преломления определяется соотношением
sin 6„р = (л,/и2) sinGnJI.
(Г6.27а)
A6.276)
A6.28 а)
A6.286)
A6.29)
При «2>«i это уравнение относительно 9„р имеет действительное решение для всех углов
падения 0||Д.'Если же m <wi, то оно имеет действительное решение лишь для углов падения,
меньших критического [см. A6.17I Поэтому формулы A6.28) удобнее выразить через углы па-
падения и преломления. Учитывая, что к°д- n == cos 6„д, к„р "n = cos 91ф, перепишем A6.28) в виде
\ F* / 1
пд ' JL.
Z2 cos 0ПД
Z2 cos вщ
2Z2
z2 cos епл
-z
, + z,
cos G
+ Z,
cosGnp
cosGnp'
ПД
cos0np
cos 6ПД — (|i, /йг) у/п\г —
cos 6ПД + (и, /ц2) V«22 -
2cos0nfl
•СО8епд + (Ц,/й2) y/n212 —
- sin2 0ПД
-sin2 0Пд
sin2 0 Пд
A6.30a)
A6 306)
99
§16

100 С помощью соотношения
Z\lZi= Hi sin е11Д / (ц2 sin 6пр)
формулам A6.30) можно придать иной вид:
A6.31)
= (in tgelip — m tgепд
tgепр
tgепд),
-пл'±
-1
enj
(ЕпР/Еиа)± = 2^2 tg елр /(ц2 tg е + jui tg опд).
A6.32а) 63
Зависимость
A6.326) дения при«1 <
от угла па-
Если магнитные свойства сред по разные стороны границы
раздела одинаковы (ц, =|i2), то из A6.32а) и A6.326) получаем
соотношения
(¦f1-) —
6nfl— 6пр)
sin FПД + 0Пр)
= 2 cos 6ЛД sin ,епр _
/ Епр \ _ 2 cos 6ЛД sin t
sin 29ПД
A6.32 b)
Об.32г) ,Ещ
"I
64
называемые формулами Френеля для колебаний в волне, перпен-
перпендикулярных плоскости падения О. Ж. Френель A788—1827)
вывел их задолго A818) до появления электромагнитной теории
света Максвелла, рассматривая свет как колебания упругой зависимость
среды — эфира. - п, < п2
При нормальном падении из A6.32) получаем
A6.33 а)
A6.336)
от угла при
Для сред с одинаковыми магнитными свойствами (|л.а = ц2)
по разные стороны границы раздела находим
(?T/?,i;i)i = (w1 — я2)/(и. +п2), A6.33b)
[ A6.33г)
Формулы A6.33в) и A6.33г) можно, конечно, получить из
A6.32в) и A6.32 г), раскрьш в них неопределенности обычным,
известным из математики способом.
Изменения (Еот/Епд)± и (Еар/Епд)± в зависимости от Впд
при п\ <rt2B соответствии с'формулами A6.32в) и A6.32г)
показаны на рис. '63 и 64. На рис. 63 видно, что (?от/?пдI
является отрицательной величиной для всех углов падения.
Это означает, что направление вектора'F0T противоположно
тому, которое указано на рис. 62, т. е, при отражении, света от
границы со средой с большим показателем преломления фаза
отраженной волны изменяется на л (напряженность электри-
электрического поля изменяет направление на обратное). На рис. 64
видно, что (Еир/Е„л)± всегда положительно. Следовательно,
при преломлении в этом случае не происходит изменения фазы.
65
Напряженность электрического
поля падающей волны лежит в
плоскости падения

В случае пг >п2 при углах падения, меньших предельного, видно, что 8ПД <8пр. Следова- 101
тельно, в формуле A6.32в) sin (9ПД— 8пр) <0 и (Еот/ЕлаI > 0. Это означает, что при отражении'
света от границы со средой с меньшим показателем преломления не происходит изменения §16
фазы у вектора Е. Преломленная волна также не претерпевает изменения фазы.'
Вектор Б лежит в плоскости падения (рис. 65). Векторы В у всех волн считаются направлен-
направленными от нас за плоскость рисунка. Вместо A6.21) и A6.23) в этом случае имеем
Е = ZH х к6», A6.34) т = п х НПД/Я11Л.
Отсюда следует, что
Е • т = — ZH(k(ll) • п) = —Efk(tl)- n).
A6.35)
A6.36)
Поэтому граничные условия для тангенциальных составляющих напряженности электриче-
.ского и магнитного полей
A6.37)
Ипп+Н0Т -Япр A6.38)
принимают, вид
?11Д(С
+ ?отос- п)«(гпа-
?пр(к(;;¦
A6.39)
(?цд + Ео№\ = ?,iP/Z2.. A6.40)
Формулы Френеля для параллельных составляющих векторов поля. Разрешай эти уравнения
относительно. Еот/Епа и ЕАр/ЕПп} в полной аналогии с A6.28) Получаем
(?от/?пд)„
(?Пр/-?пд)|| — -
<!5 п)].
A6.41a)
A6.416)
При действительных углах преломления (т. е. для п% >«», а для щ <п\ При 6ПД <6пред) полу-
получаем аналогично A6.30) формулы
/о
-
cos епд
cos епд
.2Z,
cos ertfl
-z,cos0np ь (ц,/ц3Хсо8еЛд~,/«11.7-«пМпв
+ Z2 cos 8np WHa) л?j co$ ёЙЛ + ^//jjj — вш' щ ;
с°8епд ¦ ¦"•..- 2/1,3 909 0^,,,.; ' ¦-. ¦/
+ Z2 cos 6np (ц,/ц,)л?, cos бйя + V»n г-»n * 8ПД.
С помощью A6.31) при Ц1 ^=Ц2 формулы A6.42)'можно
г виде
.sinгъь
+ опр)
A6.42а)
A6.426)
A6.43 а)
A6.436)
15ти,форМуЛ!Ы называются формулами френёл]я )^ лйэййн^йх йгйгоЬкостй падения компонент
на'й^яжен^о^ш эле^трйЧ'ескЬга поля волнвь" Со&меегнс! с (\Ъ31) dwi Дйюг йолноё решение за-
Даодго поведении полей электромагнитной волны при отражении и преломлении на границе
между диэлектриками дри произвольной ориентйршие' й<*кпсор'ов волны о'тнобительно Пло'скО-
стипадйиМяв падающей волне.

102
3
Для нормального падения @ПД =0) формулы упрощаются:
л, — п.
(?"пР
=H2). A6.44a)
2л,
0*1 =И2)- A6.446)
На первый взгляд кажется, что формула A6.44а) противоре-
противоречит A6.33а), поскольку при нормальном падении на поверх-
поверхность раздела плоскость падения может считаться ориентиро-
ориентированной произвольно и, следовательно, не должно быть разли-
различия в формулах для параллельных и перпендикулярных состав-
составляющих, а A6.44а) и A6.33а) имеют противоположные знаки.
Однако в действительности никакого противоречия между
.ними нет. Дело в том, что формула.A6.33а) выведена для слу-
случая, когда векторы Ёпд и Еот при нормальном падении счита-
считаются совпадающими по направлению (см. рис. 64) и число
EnJEOT принимается положительным. Вывод же формул A6.44а)
основывался для случая, когда векторы Епд и Еот при нормаль-
нормальном падении считались направленными противоположно
(рис. 65) и, следовательно, принималось, что число Еот/Епп
отрицательно. Различие знаков в формулах A6.33а) и A6.44а)
отражает эту разницу в исходных предложениях при выводе
формул.
Изменения (ЕОт/Епд\ и (Епр/Е1щ)л в зависимости от угла
падения 0ПД при п\ <пг в соответствии с формулами A6.43) .
показаны на рис. 66 и 67. Рис. 67 аналогичен рис. 64- В совокуп-
совокупности они показывают, что при любых ориентировках напря-
женностей электрического поля в падающей волне при прелом-
преломлении не происходит.изменения фазы. Кроме того, видно, что
при падении волны касательно поверхности раздела @„;-=л/2)
преломленная волна отсутствует.
Явление Брюстера. Из анализа хода лучей, показанных на
рис. 66, можно заключить, что у волны, электрический вектор
которой лежит в плоскости падения npi угле падения 6Б, от-
раж-енная волна полностью отсутствует. Это явление было
открыто экспериментально в 1815 г., Д Брюстером A781—
1868) и называется явленигм Брюстера Угол 0Б находится
по формуле A6.43а) из условия {Еот/Еаа\ = 0, т.е. когда зна-
знаменатель правой части равенства обращается в бесконечность.
Таким образом, этот угол находится из условия 9Б +0Г1рБ =
= л/2, в котором 011р Б является углом преломления, соответ-
соответствующим 9ПД = 0Б. По закону Снеллиуса, n} sin 9Б = n2 sin 0прБ =
= w2sinGr/2—0Б) =w2cos6B и тогда получаем уравнение
- tg0E =/22/л,. A6.45)
Эта формула называется законом Брюстера, а угол 0Б,
при котором отсутствует отраженная волна, — углом Брюсте-
Брюстера. На рис. '66 видно, что при 011Д <0Б отношение (Eor/Elw)№
положительно, а при 9„д >0R отрицательно. Это означает,
что при переходе через угол Брюстера фаза отраженной волны
скачком изменяется на я.
О
hi
?llfl/ll
-1
66
Зависимость
дения ПрН Л| < И2
К/2
от угла па-
па67
Зависимость
дсния при п\ <
от Угла па~
При отражении изиеняет-
ся на л фаза колебаний
либо вектора напряженно-
напряженности электрического поля
волны, либо вектора на-
напряженности нагнитного
поля, что определя-
определяется фориулаии Френеля.
Фазы колебаний векторов
волны при прелонлении не
изменяются.
При падении под углом
Брюстера отражается
только волна, в которой
вектор Е колеблется пер-
перпендикулярно плоскости
падения.
О Сформулируйте граничные
условия для векторов поля
волны, которые полностью
определяют законы отраже-
' ния и преломления. Какие
физические факторы опреде-
определяют значения угла Брюсте-
Брюстера? Почему эксперименталь-
экспериментальная проверка формул Френе-
Френеля может быть выполнена
наиболее эффективно при уг-
углах Брюстера?

Поскольку в падающей под углом Брюстера волне лежащая в плоскости падения компонен- 103
та вектора Епд не отражается, в отраженной волне имеется лишь компонента напряженности ——
электрического поля, перпендикулярная плоскости падения, т. е. отраженный-свет полностью §16
поляризован. Отражение под углом Брюстера является одним из способов получения линейно
поляризованного света.
Явление Брюстера обусловлено поперечностью. электромагнитных волн. Под' влиянием
падающей волны электроны среды начинают колебаться и излучают вторичные волны, которые
складываются с первоначальной. На длине замещения (см. § 15) произойдет полная замена
падающей волны волной, излучаемой колеблющимися электронами среды. Линия колебаний-
электронов коллинеарна вектору Е волны. При угле Брюстера, когда угол между преломленной
и отраженной волнами должен был бы составить 90°, электроны среды, порождающие прелом-
преломленную волну, колеблются вдоль линии, параллельной направлению, в котором должна рас-
распространяться отраженная волна. Вдоль линии своих колебаний электрон не может излучить
электромагнитную волну. Поэтому отраженная волна отсутствует.
Изучение отражения света под углами, близкими к углу Брюстера, позволяет подвергнуть
формулы Френеля экспериментальной проверке с чрезвычайно большой точностью. Это свя-
связано с тем, что интенсивность отраженной под углом Брюстера волны, в которой вектор колеб-
колеблется в плоскости падения, равна нулю. Такое утверждение удобно для экспериментальной про-
проверки, потому что не требует точного соблюдения угла падения. Достаточно непрерывно изме-
изменять угол падения вблизи угла Брюстера При прохождении угла Брюстера интенсивность волны
с соответствующей поляризацией должна обратиться в нуль. Кроме того, нулевые измерения
обычно более точны. Второе утверждение, удобное для экспериментальной проверки, состоит
в том, что отраженная под углом Брюстера волна является точно линейно поляризованной с
вектором напряженности электрического поля, колеблющимся перпендикулярно плоскости
падения. Здесь также^ возможны измерения типа нулевых.
Исследования отражения, света под углом Брюстера показали, что имеются небольшие от-
отклонения от предсказаний формул Френеля. Оказалось, что не существует такого угла падения,
при котором интенсивность отраженной волны с электрическим вектором, колеблющимся в
плоскости падения, была бы равна нулю, а электрический вектор отраженной волны колебался
бы по линии^ перпендикулярной плоскости падения. Если в падающей линейно поляризованной
волне вектор Е перпендикулярен плоскости падения, то отраженная под углом Брюстера волна
является эллиптически поляризованной, что находится в противоречии с формулами Френеля,
которые предсказывают линейную поляризацию. Ясно также, что существование у эллипти-
эллиптически поляризованной волны компоненты вектора Е в плоскости падения объясняет отсутствие
угла, при котором интенсивность отраженной волны соответствующей поляризации была бы
равна нулю.
Отступление, от формул Френеля объясняется тем, что отражение и преломление происхо-
происходит не на математической граничной поверхности, а в тонком переходном слое между различ-
различными средами. Свойства переходного слоя отличаются от свойств сред, которые он разграни-
разграничивает. Благодаря этому' отражение и преломление не сводятся к скачкообразному и мгновен-
мгновенному изменению параметров, описывающих волны, как предполагается при выводе формул
Френеля. Толщина переходного слоя, обусловливающего процесс преломления и отражения,
имеет порядок межатомных расстояний. В таком слое процесс отражения и преломления не
может быть описан с помощью уравнений Максвелла, сформулированных в приближении сплош-
сплошной среды. Надо использовать уравнения Максвелла для вакуума, а переходный слой модели-
моделировать с учетом его молекулярной структуры. При таком подходе удалось объяснить отступле-
отступления от формул Френеля. Отклонения от формул Френеля для углов, отличных от угла Брюстера,
обнаружить затруднительно.
Соотношения между фазами волн npi отражении или преломлении. Направление движения
волн связано с взаимным расположением векторов Е и Н в волне правилом правого винта.
Отсюда следует, что при отражении разность фаз колебаний Е и Н изменяется на тс, а при пре-

104 ломлении — остается неизменной.'Поведение фаз волн при отражении и преломлении анали-
зируется с помощью формул Френеля и может быть описано следующим образом.
3 Преломление происходит при всех условиях без изменения фазы волн. При отражении про-
происходит изменение фаз, зависящее от условий. „
При падении волн на границу раздела со стороны оптически менее плотной среды при любых
углах падения фаза перпендикулярной составляющей напряженности электрического поля в
отраженной волне изменяется на я, т. е. ЛГ^'и Ь1^ имеют на границе раздела противоположные
фазы. Фаза параллельной составляющей Е" изменяется лишь при углах падения, меньших
угла Брюстера, а при углах падения, больших 6Б, фаза параллельной составляющей Е\т оста-
остается той же (т. е. в этом случае на я изменяется фаза напряженности магнитного поля).
. При падении волн на границу раздела со стороны оптически более плотной среды при любых
углах падения фаза перпендикулярной составляющей напряженности электрического поля вол-
волны та же (т. е. в этом случае изменяется на я фаза напряженности магнитного поля). Фаза парал-
параллельной составляющей постоянна лишь при углах падения, меньших угла Брюстера. При углах
падения, больших угла Брюстера, фаза параллельной составляющей электрического поля в
отраженной волне изменяется на я (и, следовательно, фаза напряженности магнитного поля в
отраженной волне не изменяется).
Степень поляризации. Для описания изменения поляризации света при отражении и прелом-
преломлении пользуются степенью поляризации
.A6.46)
Для неполяризованного света Р = 0. Для полностью поляризованного света, когда плоскость
колебаний вектора Е перпендикулярна плоскости падения, Р= 1. Если вектор Е лежит в плоско-
плоскости падения, то Р=—1. Пользуясь определением A6.46), удобно обсуждать вопросы поляриза-
поляризации света при анализе отражения и преломления. Однако необходимо помнить, что в общей
теории частично поляризованного света (см.- §30) под степенью поляризации понимают вели-
величину C0.63), а не A6.46), хотя они одинаково называются и одинаково обозначены.
Полное отражение света
Рассматривается полное отражение1 света и изучаются
свойства волны, проникающей во вторую среду.
Формулы для углов 6ПД > 0пред. Полное отражение происходит при wi > пг, 01|Д. :> 0пред [см. рис. 59
и A6.17)]. Его важнейшей физической характеристикой является отсутствие преломленной вол-
волны. Уравнение A6.14) в этом случае не имеет решения в области действительных значений угла
преяомления 6|ф. Для анализа полного отражения необходимо законы преломления выразить
.формулами, справедливыми и для п\ > п2, 6„л>9„Ред. Прежде всего учтем, что равенства A6.11)
могут быть представлены в виде
где кпл ±= 11|Д sin 0пд, Лотт = /v0T sin GOT, Л'прт = ^Iip sin 0пр — соответственно тангенциальные
компоненты волновых векторов падающей, отраженной и преломленной волн. Соотношения
между нормальными компонентами волновых векторов этих волн (положительная нормаль •
считается направленной в сторону второй среды, см. рис. 59) получаются из очевидных равенств
*5д-*2дг +*5д„.' *Ьт «*«:+*«,,. ^р-^рх+^прП . V. '"¦ A7.2)
в комбинации с роотношениями A7.1)
/. U и? —1,2 Ь2 /1Т 7\
" ОТ И ~"" /Vf| n /I ч '•'ПО Ц ™~" 2 ПД Т ) V/

,-де кг — модуль волнового вектора во второй среде (волновое число), а знак минус в первом Ю5
из равенств A7.3) учитывает, что отраженная волна движется противоположно направлению
„ормали, выбранной за положительную, а преломленная — в направлении положительной §17
нормали. Примем во внимание, что к„лх =ki sinВ„д, где /с, —волновое число в первой среде.
Равенства A7.3) при условии A7.1) принимают вид
А|ф: = /с, япвИД1 A7.4) *iP.i-*5 — *? sin2 в||Д = *Ш — (и1/иаJяп2е11Д]. A7.5)
В этом виде формулы справедливы для произвольных значений угла падения 0ПД и отноше-
отношения п\/п2. Угол G,,p определяется из соотношений
friipi =/с2 sin 6пр, к„рп=к2 cos 0лр. A7.6)
В том случае, когда этот угол имеет геометрическую интерпретацию, показанную на рис. 58 и 59,
его смысл очевиден — это угол преломления. При полном отражении он не имеет геометриче-
геометрической интерпретации, но формулы A7.4) и A7.5) остаются справедливыми, а 0|ф по-прежнему
определяется равенством A7.6).
Подставляя кпрх и к11рп из A7.6) в формулы A7.4) и A7.5), получаем законы преломления:
/к sin енд = H2-sin 0пр, A7.7) cos2 0пр = 1 — (т/п2J sin2 впя. A7.8)
Эти два соотношения находятся в полном согласии между собой, поскольку cos2 0„р =•
- 1 __ sin2G,, . Соотношение A7.7) совпадает с законом Снеллиуса A6.14). Соотношение A7.8)
позволяет найти cos0lip не только в случае, когда 6мр'имеет геометрическую интерпретацию,
но и.в случае, когда такая интерпретация отсутствует при полном отражении.
Волна во второй среде. Расположим оси координат так, как указано на рис. 60. Напряженности
электрического поля в падающей и преломленной волнах выражаются формулами
Епд = Е'Й ехр [—/(cof — к11Д ¦ г)] = E.fJ ехр {—/[cot— к*(х sin 6ПД +z cosenjJ)]}, A7.9)
Е„г = EjJ ехр [—/(cot — кпр • г)] = Eg» ехр {— /[cot— Апрхх — кпр,:]}, A7.10)
где в соответствии с A7.4) можно принять кпрх = кпрт =к] sin 0пд. Значение кпр: = Апр„ вычис-
вычисляется из A7.5). Учитывая, что заключенная в A7.5) в квадратные скобки величина отрицатель-
отрицательна, имеем
НРП =/сп2рг =— kiUrii/niJ sinGnfl— 1] = — /ci[(sinGnfl/sin0npeflJ — 1] = — s2, A7.11)
где s — действительная величина. Отсюда /спр- = ±is, что после подстановки в A7.10) приводит
к появлению действительного множителя exp(±sz). Следовательно, общее решение для пре-
преломленной волны Епр состоит из двух слагаемых, один из которых содержит множитель ехр (si),
а второй — ехр (—sz). Множитель ехр (sz) возрастает бесконечно при z -» оо, что соответствует
безграничному росту амплитуды во второй среде при удалении от границы с первой средой.
Ясно, что это неприемлемо из физических соображений (закон^сохранения энергии) и должно
быть отвергнуто. Остается слагаемое с- множителем ехр (—sz), которое имеет вид
ЕПр = Eg"e~" ехр [—/(cot— kxx sin 6ПД)], 07.12)
где
* = /с2[(и,/и2J ап2_е„д —I]1'» =(«2C0/c)[(sinGnfl/sinGnpeflJ — l]'/a. A7.13)
Глубина проникновения. Формула A7.12) описывает волну, распространяющуюся вдоль по-
поверхности раздела двух сред в направлении положительных значений оси X, причем амплитуда
этой волны убываф* экспоненциально лрн>удалении от границы раздела во вторую среду. Ампли-
Амплитуда убывает в е раз на расстоянии
5 [(л,/л2Jяп2епд—1JV
A7.14)
называемым глубиной проникновения (см. §19).

106 Фазовая скорость. Для определения фазовой скорости преломленной волны в направлении
оси Хнадо, как обычно, фазу волны A7.12) считать постоянной и продифференцировать ее по
3 времени:
(ф2)
X
sin Gn
кх sin 6ПД n, sin впд (И]/«2) sin 0ПД \ sin 0,пд
¦)¦
A7.15)
где V2 — с/п2 — фазовая скорость плоской электромагнитной волны во второй среде Поскольку
бпд > бпред. скорость i?2x меньше 1ь. Волна, описываемая формулой A7.12), не является плоской,
так как "ее амплитуда не постоянна в плоскости, перпендикулярной направлению распростра-
распространения. Фазовая скорость этой волны также непостоянна и зависит как от свойств среды, так и от
угла падения.
Отраженная волна.'Амплитуда отраженной волны может быть найдена по формулам A6.28а)
и A6.41а), принимающим с учетом A7.7), A7.8) и A7.13) следующий вид:
\?пд/1
V ЕпЛ/1
z2 cos епд — Zj
Z.cosG^+ZJl
z,cosenfl—z2
z, cos епд + z2
[1
[1
fl
-in
(«,/11
— (и
— (Я
2J
2Jsin^en,
sin2 6ПД]'/
Л2 * 2й
Л2 * 2 fl
] /2 ^2 COS ^ПД ~
Z2cos6nfl4
J1/2 Z, cos6nff 4
J1/* ZjCos6nfl'-
- /Zj (j/fc,)
- iZj is/k^
iZ2 is/k2)
hJZ2isfk2)
Тогда
где
tg
Z2 cos Gnn
tg (P. =
z, cos епд
07.16)
A7.17)
A7.18)
A7.19)
Следовательно, амплитуды параллельных и перпендикулярных плоскости падения состав-
составляющих напряженности электрического поля плоской волны при отражении' не изменяются
по абсолютному значению, но испытывают различные изменения по фазе. Равенство абсолют-
абсолютных значений амплитуд падающей и отраженной волн означает равенство плотностей потока
При полном отражении луч во вторую среду проникает на глубину
порядка длины волны и движется в'ней параллельно границе раз-
раздела с фазовой скоростью, меньшей фазовой скорости волны во
второй среде. Он возвращается в первую среду в точке', смещенной
относительно точки входа.
О Каким образом можно набдюдать проникновение волны во вторую среду
при полном отражении?
Возможно ли полное отражение при падении волны на границу раздела
со стороны оптически менее плотной среды?
Зависит ли фазовая скорость волны, проникшей во вторую среду и дви-
движущейся параллельно границе раздела, от угла падения?

энергии в них. Следовательно, поток энергии падающей волны полностью отражается и никакая 107
часть энергии не уходит во вторую среду. Поэтому такое отражение называется полным. Однако
формула A7.12) показывает, что энергия все же проникает во вторую среду. Истолкование §18
этого проникновения с учетом того, что энергия полностью отражена, состоит в следующем:
иолна и соответствующая доля энергии проникают через границу раздела во вторую среду на
небольшую глубину А, движутся вдоль поверхности раздела и затем возвращаются в первую
среду. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую несколько смещены друг
относительно Друга.
Проникновение волны во вторую среду можно наблюдать экспериментально. Интенсив-
,ность электромагнитной волны во второй среде имеет заметное значение лишь на расстояниях,
меньших длины волны. Вблизи поверхности раздела, на которую падает свет, испытывающий
полное отражение, на стороне второй среды наблюдается свечение тонкого флуоресцирующего
слоя, если во второй среде имеется некоторое количество флуоресцирующего вещества. Это
явление демонстрируется на лекциях. Смещение точки выхода отраженного луча относительно '
входа также экспериментально наблюдается в лабораторных условиях.
Заход электромагнитной волны во вторую среду наблюдался экспериментально также
в микроволновой области и в области более длинных волн. В области сантиметровых волн
антенный детектор может быть помещен на различных расстояниях от поверхности раздела,
что позволяет не только доказать факт захода волны во вторую среду, но и. изучить количест-
количественно зависимость амплитуды волны от расстояния до поверхности раздела.
Полное отражение обусловливает возникновение миражей, когда земная поверхность силь-
сильно нагрета. Например, если шоссе сильно нагрето, то температура воздуха максимальна у по-
поверхности шоссе и убывает при удалении от поверхности. Следовательно, показатель прелом-
преломления воздуха минимален вблизи поверхности шоссе и возрастает при удалении от поверхности.
Вследствие этого лучи, идущие под достаточно малым углом к поверхности шоссе, испытывают
полное отражение. Может случиться, что шофф автомашины, сконцентрировав свое внимание
на подходящем участке поверхности шоссе, увидит достаточно далеко идущую впереди авто-
автомашину в перевернутом состоянии. Аналогично, полное отражение света, идущего, например,
от облаков приводит к возникновению впечатления" о наличии луж на поверхности разогретого
шоссе и т. д. Вертикальные градиенты температуры в комбинации с конвективными потоками
воздуха могут создать весьма причудливые миражи.
§ 18 Энергетические соотношения при преломлении
и отражении света
Излагается способ перехода от характеристик
для векторов волны при отражении и преломлении
к характеристикам плотностей потока энергии.
Плотности потоков энергии. Плотность потока энергии плоской электромагнитной волны,
усредненная по периоду, дается формулой A5.10), которую в векторной форме удобно предста-
представить в виде
2 A8.1)
где к@) единичный вектор в направлении распространения волны; -знак усреднения при S
не показан для упрощения написания формул?. Плотность потока A8.1) можно разложить на
нормальную и тангенциальную к поверхности раздела составляющие:
S = Sn+Sx, A8.2)
где
Sn=(Sn)n, St = (S-T)x. A8.3)

108 Коэффициент отражения. Коэффициентом отражения называется абсолютное значение
отношения нормальных компонент плотностей потоков энергии в отраженной и падающей
3 волнах: • .
' A8.4)
р =
5отп|/|®пля
.=
SOT n|/|Snan|.
Подставляя A8.1) в A8.4) и принимая во внимание, что |к(п°д 'п| =|к(от -n| = cos 6ПД = cos GOT,
получаем
р=;|?от/?пд|2. A8.5)
Учитывая полученные ранее соотношения для напряженностей электрического поля в отра-
отраженной и падающей волнах при различных ориентировках Епд относительно плоскости падения,
можно найти коэффициенты отражения р± и р|( для перпендикулярной и параллельной ориенти-
ориентировки вектора Епд относительно плоскости падения С учетом A6.30а) и A6.41а) на основании
A8.5) запишем:'
Gw — ZicosGnp)/(Z2cosGnfl + Z,cosGnp)]2, A8.6a)
рн =[(ZiCOsG™ — Z2Cos6np)/(Zicos6nfl. + Z2cosGnp)]2. A8.66)
Правые части этих равенств могут быть выражены также с помощью формул Френеля
A6.32а) и A6.43а). При нормальном падении волны на поверхность раздела с помощью A6.33а)
и A6.44а) находим
Рнорм =[(«!— П2)/(П1 +И2)]2. A8.7)
Оценим значение коэффициента отражения при нормальном падении из воздуха на поверх-
поверхность стекла, для которого w2/wi *** 1,5. Формула A8.7) показывает, что в этом случае рнорм =
= 0,04, т. е. отражается примерно 4% падающей энергии и, следовательно, 96% проходит через
стекло.
Коэффициент пропускания. Плотность потока энергии в преломленной волне характеризу-
характеризуется коэффициентом пропускания который определяется аналогично A8.4):
т =
Snp к|/|8пдп
A8.8)
Учитывая, что
, кпдх =-/ci sinGnfl, knpi, = /c2cos6np, fcnpt = /c2sinGnp,
с помощью этих формул и формулы A8.1) приведем выражение (IS.8) к виду
_ Z, cosGnp
.Z2 cos8na
?пр 2 A8.9)
Из A8.9) с помощью A6.306) и A6.416) аналогично A8.6) получаем:
TL=4ZiZ2cosGnflCosGnP/(Z2cosGnfl +ZicosGnpJ, A8.10a)
х, =4ZiZ2cosGnflCosGnp/(ZiCOsGna+Z2cosGnpJ. A8.106)

Правые части A8.10) при ц, =ц2 с помощью формул Френеля могут быть представлены при
необходимости как функции только углов падения и преломления. Для нормального падения
коэффициент пропускания равен
Т„орм =4И,И2/(Л2+И,J (Ц)=ц2). A8.11)
Закон сохранения энергии. Прямой проверкой с помощью формул A8.5), A8.6), A8.8) и A8.10)
убеждаемся, что коэффициенты отражения и пропускания удовлетворяют соотношению
р + т =1,
A8.12)
которое выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении.
Поляризация света при отражении и преломлении. Естественный свет является неполяризован-
ным. Ввиду различия р^, т± и р„, т|( отраженный и преломленный лучи частично поляризованы.
Поляризация при отражении была экспериментально обнаружена в 1808 г. Э. Л. Малюсом
A775—1812). Он наблюдал через кристалл исландского шпата двойное лучепреломление
(см. § 42) луча солнца, отраженного от поверхности стеклянной пластинки. При вращении
пластинки вокруг луча как оси он заметил, что относительные интенсивности двух, возникаю-
возникающих в результате двойного лучепреломления лучей изменяются. Это свидетельствует о частич-
частичной поляризации луча солнца при отражении от поверхности стекла. Теоретического объясне-
объяснения поляризации при отражении Малюс не предложил. Поляризация света при преломлении
экспериментально была обнаружена в 1811 г/. Э. Л. Малюсом и Жл Б. Био A774—1862).
§ 19
Распространение света в проводящих средах
Излагается метод учета проводимости среды
и влияние проводимости на свойства волны.
Комплексная диэлектрическая проницаемость. В однородной проводящей среде проводимость
у^О и поэтому уравнения Максвелла B.47)—B.49) остаются без изменения, а вместо уравне-
уравнения B.46) можно написать
VxB=\iyE + \iEdE/dt, A9.1)
где принят во внимание закон Ома в дифференциальной форме (j = yE).
Подставляя в уравнения A9.1) и B.47)—B.49) выражения B.50) и B.51), получаем вместо
B.53) соотношение
—кхВ = юц[е+/у/ю]Е, A9.2)
а уравнения B.54}—B.56) остаются без изменения.'При у=0 эти уравнения превращаются в.
уравнения для распространения света в диэлектрике (см. § 15). Как видно из A9.2), все формулы
для распространения света в диэлектриках превращаются в формулы для распространения
света в проводящих средах, если в них диэлектрическую проницаемость е заменить на комплекс-
комплексную диэлектрическую проницаемость:
. A9.3)
В диэлектрической среде между волновым числом к, частотой со и диэлектрической прони-
проницаемостью е существует соотношение A5.4), которое удобно записать' в виде
к2 = (й2Ец, A9.4)

•110 где ец= 1/у2.«,Д,ля проводящей среды е заменяется на еш, к на /сш,определяемые в соответствии
—— с A9.4) из равенства
3 kl = со2еш |i = со2ец + коуц. A9.5)
Представив fcto в виде комплексного числа
ka = k + is, A9.6)
рав'енство A9.5) можно переписать:
к2 + 2iks — s2 — ю2ец + /соуц. A9.7)
Приравнивая между собой действительные и мнимые, части этого равенства, находим:
/с2.—52 = ю2еи,. A9.8) 2Ь = юуц. A9.9)
Решение данной системы уравнений имеет вид
к2 = (со28ц/2) ( у/\+(у/Е®J + 1), A9.10)
s2 = (ю2еи/2) ( VI + (У/еюJ— 1). A9.11)
Глубина проникновения При распространении в проводящей среде векторы поля плоской
волны даются формулами B.50) и B.51), но с заменой к на /сс>. т. е. для распространения в направ-
направлении положительных значений оси Z представляются в виде
Е = Еое-'(а)'-'ссог> = Еое-"е—'(ш' ~кг>, A9.12)
В = В0е-'(юг-к«о° = вое-"е—'{'"-*-), A9.13)
где для к(а использовано выражение A9.6). Таким образом, амплитуда м. :о.ской волны в про-
процессе распространения уменьшается, т. е. волна распространяется с поглощением. По общему
правилу глубина проникновения
А = 1/5. . ' A9.14)
На больших глубинах волна практически отсутствует.
Для видимого диапазона и хороших проводников формула (9.11) значительно упрощается
Проводимость металлов у я»107 См/м, а е может быть принята равной е0. Следовательно, для
этого случая
у/(ею)^2 102 > 1. A9.15)
С учетом (9.15) в формуле A9.11) можно пренебречь единицей по сравнению с у/(ею) и запи-
записать выражение для s в виде
s = ^/юуиД . A9.16)
Следовательно, глубина проникновения равна
A9.17)
Поскольку ю=2я/(Х у/Ц1), формулу A9.17) можно также представить в виде
А = 7 (——) 1—^-) , A9.18)
где (цо/ео)'/2 = 377 Ом.

Рассмотрим в качестве примера медь, для которой у =5 107 См/м, Для длины волн порядка ш
световых (X «»1 мкм) глубина проникновения А « 4 нм, т. е. составляет тысячные доли длины
волны. В этом случае говорить о распространении света в проводнике нет смысла. Однако если §19
проводимость среды не очень велика, то свет может распространяться на довольно большие
расстояния. Амплитуда волн при этом постепенно затухает.
физическая причина поглощения. Физической причиной затухания электромагнитных волн
в проводящей среде является преобразование электромагнитной энергии волн в джоулеву теп-
теплоту: электрическая напряженность волны возбуждает в проводящей среде точки проводи-
проводимости, которое по закону Джоуля—Ленца нагревают вещество среды.
Фазовая скорость и длина волны. Из A9.12) и A9.13) с учетом A9.10) для фазовой скорости
находим выражение '
v — — =
A9.19)
Эта скорость меньше скорости света в непроводящей среде с тем же значением е (при одина-
одинаковых магнитных проницаемостях), т. е. наличие в среде проводимости уменьшает фазовую
скорость. Длина волны в проводящей среде равна
X - * в _?» I 2 Г/а
к ш^/це I [1 + (у/соеJ]'2+1 )
т. е. уменьшается по сравнению с длиной волны в непроводящей среде с теми же значениями е
и магнитной проницаемости.
Из A9.19) видно, что скорость волны в проводящей среде зависит от частоты, т. е. наблюда-
наблюдается явление дисперсии. Поэтому распространение немонохроматических волн в ней происхо-
происходит, как в диспергирующей среде
Соотношения между фазами колебаний векторов поля. Комплексную величину ка целесооб-
целесообразно представить в экспоненциальной форме:
^со =1^а,|е1ф, |fcj = y/k' + s2 , A9.21)
где tg ф =s/k [см. A9.6)]. Соотношение B.54) может быть. записано в виде
В = JM e'>k@)xE, A9.22)
со
где к®—единичный вектор в направлении распространения волны, в данном случае в направ-
направлении оси Z. Векторы Е и В перпендикулярны этой оси.
Напряженность электрического поля волны задается формулой A9.12), в которой без огра-
ограничения общности Ео можно считать действительной величиной, поскольку выбор начала от-
отсчета времени всегда произволен. Подставляя A9.12) в A9.22), приходим к равенству
В = JM k@) х Eoe-s'-e-'«°'-fc'-«». A9.23)
ш
Взяв действительные части выражений A9.12) для Е и (9.23) для В, найдем (обозначая дей-
действительные Ё и В теми же буквами) соотношения
Е = Е0е~52 cos (cor — kz),
В = JM k@) x Eoe7i:: cos (со* — kz — cp), A9 24)

112
3
которые показывают; что электрический и магнитный векторы волны колеблются с разностью
фаз ф. Из A9.21) следует, что
/г.со/у , A9.25)
tg ф = s/k = у/\+ (ею/уJ — 7r@/Y ,
т. е. угол ф Положителен. Это означает, что фаза колебаний В отстает от фазы колебаний век-
вектора Е.
Соотношения между амплитудами векторов поля. Из A9.12) и A9.23) следует, что
| В|/|Е| = |*в|Л» = лЛЙ1 + (У/МЛ '/4- A9-26)
Сравнив это соотношение с A5.5) (v = 1/ ^/ец), видим, что в проводящей* среде значение В от-
относительно Е больше, чем в непроводящей с теми же диэлектрической и магнитной прошшае-
мостями.
• Среды с малой электропроводимостью. В «плохом» проводнике у->0 и, следовательно,
сое/у -*¦ оо. Все формулы, в которые входит у/(юе) < 1, можно аппроксимировать разложением
в ряд по у/(сое), ограничившись первым неисчезающим членом разложения;
2 СОЕ
X =
2тг
[1
|Ео|
A9.27)
A9:28)
A9.29)
A9.30)
При у=0 эти формулы переходят в соответствующие равенства для диэлектрика и в очень
ясной форме представляют влияние проводимости среды на характеристики волны. Видно, что
наличие проводимости среды приводит к увеличению волнового числа, появлению сдвига фаз
между векторами поля и затуханию волны, уменьшению фазовой скорости и длины волны,
увеличению \В\ относительно |?|.
' Среды с большой электропроводимостью. В «хорошем» проводнике у->оо и, следовательно,
сое/у -*¦ 0. В результате разложения в ряд соответствующих выражений получаем:
к =
A9.31)
О Электропроводимость среды приводит к поглощению в среде
энергии волны. Электропроводимость среды учитывается мнимой
частью комплексной диэлектрической проницаемости.
Длина волны в проводящей среде уменьшается по сравнению с
длиной волны в непроводящей среде 1с теми же диэлектрическими
и магнитными проницаемостями.
Колебания вектора напряженности электрического поля и вектора
индукции магнитного поля волны в проводящей среде происходят
с разностью фаз.
О В чем состоит физическая причина возникновения разности фаз колебаний
вектора напряженности электрического поля и вектора индукции магнит-
магнитного поля волны в проводящей среде?
Какими физическими факторами обусловливается уменьшение длины
волны в проводящей среде по сравнению с длиной волны в непроводящей?

2ш /, 1 ше
—г—;• А=2п у -т^гл1—т-ь A9.33)
A9.32) I13
§20
|В,| _ f
|Е0| V -оо V^h ' A9-34>
Видно, что разность фаз между векторами поля в хорошем проводнике близка к —к/4, а
фазовая скорость волны в «хорошем» проводнике значительно меньше фазовой скорости волны
в диэлектрике. Затухание волны в хорошем проводнике очень большое.
Пример 19.1. Волна с круговой частотой со =2,5 1015 с распространяется в проводящей
среде. Установлено, что интенсивность волны в среде убывает в е раз на пути длиной /=20 см,
а длина волны в среде равна А, = 0,5 мкм. Найти показатель преломления среды и ее удельную
электропроводимость.
Показатель преломления дается формулой
n=c/v= Хо/Х = 2пс/((йХ) = 1,5.
Принимая во внимание закон A9.12), получаем
25/= 1, A'9.35)
где s определено равенством A9.11). Разделив обе части A9.11) на (со л/г.оц.оJ = (со/сJ, получим
= (ег/2) [ Vl+h7(eco)]2- 1], A9.36)
где е г = е/ео — относительная диэлектрическая^ проницаемость среды, связанная с показателем
преломления соотношением п= ^/ёГ [среда предполагается немагнитной (ц=цо)]. Учитывая,
что с/B/со) = 3 • 108/B-0,2-10'5 2,5) = 3-10 7 < 1, из A9.36>получаем неравенство [у/(есо)]2 < 1,
на основании которого правую часть A9.36) можно разложить в ряд по [у/(есо)]2, ограничившись
первым неисчезающим членом. В результате имеем
с уег Y = JY^L ~ X =1L
= =
2/со 2 еш 2 80ш у/Ё^ 2 еосо п
Следовательно,
у = еоси// = 8,85 • 102 ¦ 3 • 108 • 1,5/0,2 См/м = 0,02 См/м. A9.37).
§ 20
Отражение света от поверхности проводника
Излагается способ учета проводимости среды
при отражении.
Граничные условия. При-падении на поверхность проводника волна частично проникает в про-
проводник и там поглощается, а частично отражается. Для упрощения формул ограничимся рас-
рассмотрением случая нормального падения.
Диэлектрическую и магнитную проницаемости среды, из которой на поверхность провод-
проводника падает световая волна, обозначим ei, ць а проводника — Ег, цг (диэлектрическая среда
и проводник считаются немагнитными). Электропроводимость проводника у. Ориентировки
системы координат и векторов, характеризующих волны, указаны на рис. 68. Напряженности
электрического поля волн можно записать в виде

114 е =i ?@)е—'(««—*!=) Е _* р@> -'(wf+fciz) Г20 П
где ix — единичный вектор в направлении положительных зна-
значений оси X, а значения
ki=n\(u/c, k2&—k2+is2 B0.2)
даются соотношениями A5.4) (v = c/ni), A9.6), A9.10) и A9.11).
Индукции соответствующих магнитных полей находятся из
формулы A6.22), записанной в виде
В = к х Е/со.
B0.3)
С учетом ориентировки векторов (рис. 68) на основании B0.3)
. имеем
Впд = i
Впр = 1у
Вот =
B0.4)
где iy — единичный вектор в направлении положительных зна-
значений оси У.
Непрерывность тангенциальных составляющих напряжен-
напряженности электрического и магнитного полей выражается двумя
уравнениями -
?% + ?$ = EZ '* М?Й-?2)/т =*2.?(>2. B0.5)
Соотношения между амплитудами волн. Решая уравнения
B0.5) относительно неизвестных отношений ?Й/2?(Йи if^iS
находим:
68
рриептировка векторов поля ири
анализе отражения света от по-
верхпости проводника
B0.6)
О При отражении от прово-
проводящей поверхности между
параллельными и перпен-
перпендикулярными компонента-
компонентами векторов поля волны
возникает разность фаз.
B0.7)
Поскольку кгй — комплексная величина, из B0.6) и B0.7)
следует, что фазы всех волн сдвинуты друг относительно друга.
Сдвиг фаз можно найти из B0.6) и B0.7), представив их правые
части в виде произведения модуля величины на фазбвый мно-
множитель аналогично A9.21)
Коэффициент отраженна Из B0.6) в соответствии с опреде-
определением A8.f>) находим выражение для коэффициента отражения:
Р =
г-(О)
B0.8)
О какими факторами определя-
определяется поляризация волны, от-
отраженной от проводящей по-
поверхности? К какому виду от-
относится эта поляризация?
Как коэффициент отражения
зависит от электропроводи-
электропроводимости и каково его значение
у хороших проводников?.

где кг и S2 определяются формулами A9.10) и A9.11). Разделив числитель и знаменатель фор-
формулы B0.8) на \i\s2H\i2k\), преобразуем ее к виду
Р =
B0.9)
115
§20
Из A9.10) и A9.11) видно, что для идеальных проводников у -*¦ оо, s2 -> 00, k2/s2 -> 1, ki/s2^>0
и, следовательно, из B0.9) получаем
р->1; B0.10)
*¦ *
следовательно, у очень хороших проводников коэффициент отражения близок к единице.
Связь вдежду отражательной и поглощательной способностями. Из формулы A9.17) следует,
что чем больше проводимость, т. е. чем лучше проводник, тем сильнее он поглощает свет.
А из формулы B0.10) видно, что чем больше проводимость, т. е. чем лучше проводник, тем он
лучше отражает свет. Поэтому получается, что чем лучше свет отражается проводником, тем
лучше он им и поглощается. Это приводит к различию в цвете проводника, если его наблюдать
в отраженном и в проходящем свете (см. § 15).
Задачи
3.1. Найти выражение для объемной плотности
энергии плоской волны в проводнике, рас-
распространяющейся в направлении ош Z.
3.2. Найти выражения для коэффициента прелом-
преломления очень хорошего проводника.
3.3. Найти отношение <Wm>/<w3> объемной
плотности энергии магнитного поля волны
к объемной плотности энергии электрического
поля в проводящей среде.
3.4. Идеальный проводник, плоская поверхность
которого перпендикулярна оси Z, движется в
положительном направлении оси Z со ско-
скоростью v. В том же направлении распростра-
распространяется плоская электромагнитная волна, век-
вектор напряженности электрического поля ко-
которой коллинеарен оси У (Ех = 0, Ёу —
= Ео cos со (t — z/c),. Ez = 0). Найти напряжен-
' ность электрического поля волны, образовав-
образовавшейся в результате суперпозиции падающей
и отраженной.волн (и -с с).
3.5. Естественный свет падает на поверхность
стекла (и = 1,5) под углом Брюстера. Опре-
Определить степень поляризации преломленного
луча [см. • A6.45)].
3.6. Найти степень поляризации узкого пучка лу-
лучей естественного света после прохождения
плоскопараллельной пластины из стекла
(и =1,5), если пучок падает на пластину под
углом Брюстера.
3-7. Угол между плоскостью колебаний вектора
¦ напряженности электрического поля падаю-
падающей на поверхность раздела электромагнит-
электромагнитной волны и плоскостью падения называю!
азимутом колебаний. Найти азимуты коле-
колебаний аот и апр в отраженной и преломлен-
преломленной волнах, если азимут колебаний в падаю-
падающей волне апд, а угол падения 9па .
3.8. Найти относительное отклонение групповой
скорости от фазовой в среде с п = 1,5, у кото-
которой для А,=0,5.мкм йп/д!к = Зш\№м~1.
3.9.. На поверхность стекла (п —1,5) под углом 40°
из воздуха падает линейно поляризованная
волна, вектор напряженности электрического
поля которой перпендикулярен плоскости па-
падения. Найти коэффициенты .отражения и
пропускания.
3.10. На поверхность стекла (и = 1,6) под углом
25° из воздуха падаег линейно поляризован-
поляризованная волна, электрический вектор которой
колеблется в плоскости падения. Определить
коэффициенты отражения и- пропускания.
3.11. На поверхность стекла (и = 1,65) под углом
35° из воздуха падает линейно поляризован-
поляризованная волна, электрический вектор которой
колеблется в плоскости, образующей угол
30° с плоскостью падения. Найти коэффици-
коэффициенты отражения и пропускания.
3.12. Естественный свет падаег из стекла с и «= 1,65
под углом 40° на границу с некоторым раст-
раствором, показатель преломления п2 которого'
зависит от концентрации растцрренного ве-
вещества и может изменяться в широких
лределах. При каком показателе прелом-
преломления п2-отраженный свет линейно поляри-
поляризован и каков при этом коэффициент отра-
отражения?

3.13. Из стекла (п = 1,55) на границу раздела с воз-
воздухом под углом 60° падаег световая волна.
Найти критический угол и сдвиги фаз колеба-
колебаний напряженности электрического поля ф±
Ф, [см. A7.19)].
3.14. Найти область углов падения линейно по-
поляризованной волны из воздуха на поверх-
поверхность воды (и = 1,33), при которой коэффи-
коэффициент отражения больше 0,5. Плоскость ко-
1 лебаний электрического вектора волны пер-
перпендикулярна плоскости па'дения.
3.15. Естественный свет падает под углом Брюс-
тера на стеклянную пластину (и = 1,65). Най-
Найти коэффициент отражения.
3.16.Вывести формулу для сдвига фаз колебаний
перпендикулярной .и лежащей в плоскости
падения компонент электрического поля вол-
волны при полном отражении.
3.17. Используя условие примера 19.1, найти сдвиг
фаз между колебаниями напряженности
электрического поля и индукции магнитного
поля волны.
3.18. При какой удельной электропроводимости
затухание в среде (и = 1,5) равно'4 дБ/км?
3.19. При 20°С показатель преломления бензола
для длины волны 589 нм составляет 1,5.
а плотность равна 0,879 г/см3. Пользуясь
формулой' Клаузиуса — Моссотти, рассчи-
рассчитать показатель преломления паров бензола
при температуре кипения (80°С).
Ответы
3.1.[/г2/Bцсо2)]|?о@)|2ехр(—2^). 3.2.цл/B<оео). 3.3. [1 + (у/(юеJ]1/2. ЗЛЕХ = 0,Ey = Eo{cos o>(t — г/с)—
— cosш [A ¦— 2v/c) (t — г/с)]}, Ez = 0. 3.5. P = [4л2 — A+ и2J]/[4и2* + A + w2J]= —0,08. 3.6. P =
= [16и4 — A +и2L]/[16«4 + A +и2L] = 0,16. 3.7. tg апр = cos FПД — Gnp) tgапд, tgaOTp= —cos FПД-
— enp)tganfl/cos(enfl+enp). 3.8. (vr — c/n)/(c/n)^(X/n)(dti/dk)=lO-2.3.9. 0,08; 0,92. 3.10. 0,04; 0,96.
3.11. 0,05; 0,95. 3.12. 1,385; 0,03. 3.13. 40,18°; 50,5°; 70,2°. 3.14..6ПД > 81',2°. 3.15. 7г[A — «2)/A +«2)]2 =
= 0,107. 3.16. ф — ф± = arctg [cos 6ПД у/sin2 G^ —: nh I sin2 6ПД]. 3.17. ф = arctgs//f =
= arctg[Y/B8O(o«2)] = 2 10. 3.18. 0,92 10"бСм/м. 3.19. n = 1+ 1,36 10.

. Основная идея:
в оптическом диапазоне
с достаточно
большой точностью
распространение волн
можно представить
как движение энергии
волн по лучам.
описываемым с помощью
геометрических
соотношений.
Геометрическая
оптика

118
«МММ
4
§21
Приближение геометрической оптики
Излагается способ перехода от уравнений, описывающих
волны, к уравнениям, описывающим лучи,
и анализируется понятие луча.
Уравнение эйконала. Любая из компонент амплитуды полей световых волн в вакууме удовлет-
удовлетворяет волновому уравнению B.12). В среде, скорость распространения электромагнитных волн
в которой у, волновое уравнение принимает для любой из компонент вид
V2<t> —-
д2Ф
dt2
с2 dt2
B1.1)
где введен коэффициент преломлений n=c/v среды относительно вакуума. Для монохромати-
монохроматических волн частотой со полагаем
Ф(г, 0=
B1.2)
и после подстановки B1.2) в B1.1) находим уравнение для зависящей только от координат ам-
амплитуды Ч* (г):
V2*F + п2к2Н1 = 0, B1.3)
где к0 = со/с — волновое число, соответствующее вакууму. Оно, очевидно, связано с волновым
числом к в среде соотношением
к=пк0. B1.4)
Принимая во внимание' соотношение
1 /JЧ* д2 " А
— = Л« 11Л I / О
*р djc ' дх djc
B1.5)
и аналогичные соотношения для производных по у и z, запишем уравнение B1.3) после деления
на ? в виде
J- V21? +п2к* =
n40 + [gradOn^)]2 +n2kl=0.
Для решения этого уравнения полагаем
Подставляя B1.7) в B1.6), находим
V2 (In А) + [grad (In А)]2 — (grad SJ + п2Н + i[V2S + 2 grad (In A) grad S] = G.
B1.6)
B1.7)
B1.8)
Приравнивая к нулю действительную и мнимую части, получаем два уравнения для опреде-
определения А (г) и S{t):
[gnad
— (grad5J
=0, (а)
V 2S.+ 2 grad (In A) • grad S = 0. F)
B1.9)
Эти уравнения значительно упрощаются для оптического диапазона длин волн. Амплитуда
волны существенно изменяется лишь на расстояниях, много больших длины волны, т. е. на рас-
расстояниях /, имеющих порядок размера линз, оптических приборов и т. д., удовлетворяющих
условию
Х<1. B1.10)

Сравнивая B1.7) с представлением плоской -волны в комплексной форме B.39), видим, что Ц9
|gradS|2~P~ 1A2. B1.11) .
§21
С другой стороны, сумма первых двух членов в B1.9 а) имеет порядок
Ч2AпА) + [grad (\пА)]2 - (\/A)V2A ~ I//2 < \fk2. B1.12)
Поэтому этими членами можно пренебречь по сравнению с двумя последними и записать урав-
уравнение B1.9 а) в виде соотношения
(grad 5)- =
B1.13)
называемого уравнением эйконала.
Луч света. Градиент от функции S направлен по нормали к поверхности 5 = const Поэтому
эйконал S описывает поверхности постоянной фазы волны, a gradS1 приводит к понятию луча,
т. е. к представлению о движении световой энергии в данной точке в определенном направле-
направлении. Лучом называется линия, касательная к которой, совпадает в каждой точке с вектором
grad 5.
Распространение света рассматривается как движение световой энергии по лучам.
Плоскость, перпендикулярная лучам света (т. е. плоскость 5"=const), называется волновым
фронтом. .-
Область применимости лучевого приближения. Анализ распространения света в лучевом при-
приближении составляет предмет геометрической оптики. Как видно из B1.12), его справедливость
оправдана всегда, когда V2AjA является малой относительно \/Х2 величиной. Физически этот
член описывает искривление световых лучей материальными объектами, т. е. дифракцию све-
световых лучей. Поэтому можно сказать, что в геометрической оптике пе учитываются эффекты
дифракции (см. гл. 6).
Принцип Ферма. В однородной среде S —к- г(k = const). Лучи являются прямыми параллель-
параллельными линиями, а фронт волны — плоскостью, перпендикулярной этим линиям. Для неоднород-
неоднородной среды вопрос значительно усложняется.
Пусть точки Pi и Рг соединяются лучом L (рис. 69). Вычислим изменение фазы вдоль луча.
Для каждой точки луча имеем
dS±=gradSdr = |gradS||dr| = kon(r)dl, B1.14)
где учтено, что di" направлен по лучу и, следовательно, совпадает с gradS1, d/ — элемент длины
пути. Таким образом, для изменения фазы находим
р р
S= \2dS = k0\n(r)dl, B1.15)
причем путь Р1Р2 совпадает с лучом.
Из B1.15) с учетом определения луча и волнового фронта следует, что оптические длины
путей вдоль различных лучей между точками волнового фронта в два момента времени одина-
одинаковы. Если точки Pi.и Р2 соединить другой, отличной от луча кривой, все точки которой будут
находиться в непосредственнЬй близости от луча, и вычислить интеграл B1.15), то получится,
конечно, другое значение интеграла. Принцип Ферма утверждает, что интеграл B1.15) вдоль
луча имеет стационарное значение, т. е. первая вариация 6S относительно соседних путей ин-
интегрирования равна нулю. Эту формулировку можно изменить. Учтем, что dl/v =df есть время
прохождения "пути d/ со скоростью v, и примем во внимание соотношение и (г) =c/v(r). Тогда
равенство B1.15) принимает вид . . .

120
= koc\ Si= to
где интеграл
d/
d/
v
B1.16)
B1.17)
дает время, затрачиваемое светом на прохождение пути от Р\
до Pi. Поэтому принцип. Ферма может быть высказан в форме
утверждения, что лучом, соединяющим две точки, является тот >
путь, который делает стационарным время, затрачиваемое све-»
том на его прохождение.
Он был открыт П. Ферма A601—1665) в 1657 г. как «прин-
«принцип наименьшего времени» в такой формулировке: «Природа
всегда следует наикратчайшему пути». Однако это не следует
понимать как утверждение, что лучом, соединяюдцим две точки,
является тот путь, на прохождение которого затрачивается
меньше времени, чем на прохождение по соседним путям Между
теми же точками. Утверждение Ферма, что «природа всегда
следует наикратчайшему пути», верно, но таких наикратчай-
наикратчайших путей, соединяющих две точки, может существовать много.
Формулировка о стационарности времени прохождения пути
между двумя точками, с одной стороны, утверждает экстре-
экстремальный характер этого времени (максимальность или мини-
минимальность), а с другой стороны, не исключает наличия несколь-
нескольких путей с одинаковым временем прохождения.
Такая ситуация является типичнрй для геометрической опти-х
ки при построении изображений.
В геометрической оптике все лучи от точки предмета идут по
различным путям и встречаются в точке изображения. Но все
они затрачивают одно и то же время на прохождение своего
пути. Другими словами, оптические длины всех путей, соеди-
соединяющих точку предмета с точкой изображения, одинаковы.
Это утверждение называется принципом таутохронизма.
Вывод закона преломления го принципа Ферма. Для иллю-
иллюстрации применения принципа Ферма выведем с его помощью
закон преломления. Пусть требуется соединить лучом две точки
Р\ и Р2, находящиеся в.однородных средах с показателями пре-
преломления «i и «2, разделенных плоской границей (рис. 70).
В каждой однородной среде луч является прямой линией.
Пусть л: является координатой входа луча из первой среды во
вторую. Полное время распространения света от Р\ к Pi, оче-
очевидно, равно
-i- (иа/с)
— хJ
B1.18)
где v = с/и, и зависит от переменной х. Условие стационарности
дт/дх =0 принимает, вид
69
Траектория луча света • шеодво»
рЧ>дной среде
К выводу законов преломлсшш с
помощью принципа Ферма
71
К выводу уравнения луча в свето-
световоде

0. • B1.19)
Учитывая, что x/ ^jl2 +x2 - sin впД, (о —л:)/ «/$7+ (й"~ А'^2 = япбпр. из B1.19) получаем
*акон преломления
sin бпд/sin Gnp -пг\п\, B1,20)
который, конечно, совпадает с законом Снеллиуса A6.14).
Таким образом, с помощью принципа ферма, зная закон изменения показателя преломле-
преломления л(г) в среде, можно построить лучи и, тем самым решить задачу о распространении света
н среде в тех условиях, когда справедливо приближение геометрической оптики.
• Прямолинейное распространение света, отражение и преломление были известны еще древ-
древним грекам. Первые систематические описания этих явлений, дошедшие до нас, принадлежат
Емпедоклу D90-—430 гг. до н. э.) и Евклиду C00 г. до н. э.). Им был известен закон отражения
света Закон преломления света был 7Становлен экспериментально в 1621 г. В. Снеллиусом
A591—1626). ; , , ' ,
Распространение луча в среде с переменным показателем преломления. Рассмотрим распро-
распространение луча в среде, изменение показателя преломления которой аксиально-симметрично1
относительно оси, кбторая принимается за ось Z (рис. 71). Луч предполагается распространяю-
распространяющимся в положительном направлении оси Z вблизи оси (параксиальный луч). Расстояние от
оси Z обозначается' г, Запишем закон Снеллиуса для преломления на бесконечно тонком слое
Л г, в котором показатель преломления изменяется от'и (г) до n(t + A)
n(r)cosa.i -n(r + Ar)cos(fci + Да). B1.21)
Разлагая и(г + Дг) в правой части B1.21) в ряд Тейлора по Дг, ограничиваясь линейным по
Дг членом и пользуясь тригонометрической формулой для косинуса суммы двух углов, по-
получаем
) + Агдп/дг] (cosщ сов'Да—sinaisinAa). B1.22)
В параксиальном: прйбл^сениит^ожно принять, что sin Да «» Да, cos Да * 1. Тогда с точностью
до величин nepBW;пррАдка'пд''Лайз B1.22) находим
«.; <21:23>
где члены с ДаДг, являющиеся членами, второго порядка малости, отброшены: Поскольку tgai =
=* Дг/Дг, в параксиальном приближении можем написать
С учетом B1.24) из &Ъ%-щ?оЩл уравнение распространения луча:
B125)

122 Пример 21.1. Рассмотреть распространение луча света в
— тонком диэлектрическом волокне (световое волокно), показа-
4 тель преломления которого изменяется по. закону п(г) =
= иоA—аг2/2). Предполагается, что аг2/2 < 1 (а>0) на всем
сечении волокна.
Уравнение B1.25) с точностью до линейных по г членов при-
принимает вид
d2r/dz2= —ш. B1.26)
Общее решение этого уравнения известно:
r(z) =Ai cos (J~az) + A2 sin (-J~az). ' B1.27)
Постоянные А\ и А2 определяются начальными условиями.
Период этого колебания в направлении оси Z равен / = 2л/ у[а
(рис. 12). Световые волокна широко применяются для управле-
управления движением световых пучков. Они действуют как световоды.
При изгибании волокон, если только радиус кривизны не чрез-
' вычайно мал (порядка длины волны света), световой пучок
следует за изгибами волокна Большим .достоинством световых
волокон является малая величина потерь энергии при распро-
распространении в них световых пучков. Эти потери значительно мень-
меньше, чем потери в проводах при передаче соответствующей
энергии с помощью переменных токов. Поэтому их выгодно
применять для передачи информации. Однако главное преиму-
преимущество использования света для передачи информации связано
с большой частотой света, благодаря чему, по световому пучку
в световоде можно передать очень большой объем информации.
Световод толщиной в человеческий волос в состоянии обеспе-
обеспечить передачу информации, эквивалентную многим сотням
телефонных линий. Немаловажными преимуществами свето-
световодов являются также их малый диаметр, их изготовление из
диэлектрических материалов, не поддающихся коррозии и стой-
стойким к другим вредным воздействиям, технологичность изго-
изготовления.
Пример 212. Уравнение B1.25) справедливо лишь в парак-
параксиальных приближениях, когда угол а и отклонение луча от
оси Z малы. Рассмотреть распространение луча без этих огра-
ограничений, пользуясь непосредственно законом преломления
B1.20), если п=п0 у/1 — г2/а2.' Угол между осью, г, перпенди-
перпендикулярной оси Z, и лучом обозначить P = P(r, z). При z = 0 луч
пересекает ось Z под углом Ро = Р@, 0).
Закон преломления B1.20), записанный в виде пг sin P, =
= n2sinP2, показывает, ,что при распространении луча
«(r)sin[P(r, z)] = const. Отсюда с учетом начальных условий
получаем уравнение для определения луча «sin Р = wosin Ро =
= const, которое с учетом п=п0 у/1 — r2ja^ имеет вид:
(г, z)] = п0 sin po.
B1.28)
Видно, что 1 г I < lal, т. е. луч не может удалиться от оси Z боль-
больше, чем на \а\. Можно показать, что уравнение луча дается
формулой г = acosPo sin [z/(asinpo)]. Однако это не просто.
72
Траектория луча в световоде
При достаточно налой
длине валны можно поль-
пользоваться понятиен луча.
Волновым фронтон при
этой является поверхность,
ортогональная сенейству
лучей.
Принцип Ферна утверж-
утверждает не нининальность
вренени движения по лучу,
а стационарность этого
вренени.
О Опишите какую-либо ситуа-
ситуацию, когда очевидно, что вре-
время движения по лучу от од-
одной точки к другой,не будет
минимальным, а будет ста-
стационарным.

§ 22 t Линзы, зеркала и оптические системы f 23
Вводятся правила описания луча в параксиальном «_»
приближении матричными методами.
Параксиальное приближение. Рассмотрим прохождение лучей через линзу, не накладывая огра-
ограничений на ее толщину. Предположим, что ось Z, в. положительном направлении которой рас-
распространяется свет, совпадает с осью линзы (рис. 73) и луч света лежит в плоскости XZ. Линза
ограничена сферическими поверхностями, радиусы кривизны которых п и г г. Величины, отно-
относящиеся к сферической поверхности, которую лучи при своем движении встречают первой,
обозначим с индексами 1, а второй —с индексами 2. Показатель преломления материала линзы
«2, а показатель преломления среды, в которой находится линза, ni. В расчет входят малые
углы, по порядку величины равные углам между лучами и осью Z Весь расчет проводится в
параксиальном приближении, i. e. в предположении достаточной близости лучей к оси Z.
Принимая во внимание разложения
sina=a —а3/C!)+а5/E!)—...,
cosa = l — a2/B!) + a4/D!)— ..., B2.1)
tga=a+a3/3+2a5/15+ ...,
заключаем, что при малых углах а можно считать, что sin a «cu cosa*=l, tga«a Например,
если угол равен 6°, то a = 2л 6/360«0,1 и, следовательно, sina«»a с точностью примерно до
10~4, tga^a — до 10~3 и cosa*= 1 —до 10~2. Поэтому параксиальное^приближение с достаточ-
достаточной точностью дает хорошие результаты в довольно широком интервале условий.
Преломление на сферической поверхности. Закон Снеллиуса для преломления в точке Pi
в параксиальном приближении имеет вид
«,Gi = «20i . B2.2а)
Углы наклона он и ai падающего и преломленного в точке Р\ лучей удовлетворяют соотно-
соотношениям
01 .= ai + ф , B2.2 б) 0', = ai + ф , B2.2 в)
которые позволяют представить B2.2 а) в виде
п 1 (ai + ф) = п\ (ai + ф) , B2.3)
где для сохранения единства обозначений положено п\ = пг. Принимая во внимание, что ф =
= jci/n (параксиальное приближение), вместо B2.3) получаем
= n\ (a'i + xi/n); B2.4)
'i = (hj — wi) (xi/n) + Hiai . B2.5)
Соотношение B2.5) позволяет найти угол наклона преломленного луча ai, если известны
угол наклона падающего луча ai и расстояние xi от оси до точки падения. Расстояние х\ для
преломленного луча в точке Pi равно, очевидно, х\, т. е. х\ =х\.
Матричные обозначения. Для упрощения записи удобно формулу B2.5) совместно с равен-
равенством jci=jci представить в матричном виде:
§22

124
о, z
B2.6)
73.
К "расчету прохождения лучей че-
через линзу
п, B2.7)
fc, — преломляющая, рила поверхности /. Стоящая в B2.6)
двухрядная матрица '
\ О 1 /
B2.8)
называется преломляющей матрицей поверхности i.
Распространение луча в линзе. Преломленный луч пересе-
пересекает вторую поверхность на расстоянии
xi¦¦= х\ + A'tga'i "erjfi '+ Aai B2.9)
от оси; В гтараксиллььюм прибг.юхспш можно Считать Д рав-
равным.толщине А уА2 лнйчы,, а угол наклог'а a'(. есть угол наклона
а? луча во второй c^eifc {u\ =«': язл^ется просто изменением
обозначений). Следовательно, B2.9) в матричной форме с,
учетом того, что п\ —пг, ct'i =аг, имеет вид
\
а двухрядная матрица
B2.10)
B2.11)
у^ вifywfs второе йодерлно^ Д° прелоЦНжйд*я.
. Преломление луча щ»тор^й сферической поверхности. Оно
описывается анадогичнр'. B2^6) с пфмо)щью .преломляющей
Матричный' метод поэво?
ляет следить за Движением
лучей при прохождении че-
ре| оптическую систему и
хорошо приепбеоблен для
расчетов на электродных
вычислительных машинах.
О Выпишите. прчлонляК>щую
и<?трину 99еричвсЦойпо^ер)<.
ности.,
Ко^. строится передотрчная
V
р от сфе-
сферической' Поверхности ?

матрицы второй поверхности: 125
R2 = I > B2.12) §22
\0 \ J
где
B2.13)
причем Г2 берется со знаком минус, поскольку центр кривизны этой поверхности находится от
нее в направлении отрицательных значений оси Z (эта поверхность для падающего нанее луча
не выпуклая, а вогнутая). Следовательно, для преломления на второй поверхности можем
написать
B2.14)
Преломление луча линзой. Комбинируя B2.6), B2.10) и B2.14), получаем связь между харак-
характеристиками луча на входе в линзу и на выходе из нее в виде
хг ' ч х\' • B2.15)
Распространение луча через оптическую систему. Распространение луча справа от -линзы
описывается передаточной матрицей Т2ъ, которая строится аналогично B2.11), но вместо А\
в нее входит А'2 — расстояние от Точки А2 (рис. 73) до точки оси Z, в плоскости которой мы хо-
хотим определить параметры луча. Если луч на своем пути встречает другую линзу, то преломле-
преломление на первой поверхности этой линзы описывается с помощью преломляющей матрицы этой
поверхности и т. д. Таким образом, расчет распространения луча через оптическую систему
сводится к перемножению матриц, выражающих преломляющие силы поверхностей линз и
передаточных матриц. При этом необходимо помнить о знаках: если встречаемая лучом прелом-
преломляющая поверхность выпуклая, то ее радиус кривизны надо брать с положительным знаком,
а если вогнутая — с отрицательным; углы а, отсчитываемые от оси Z против часовой стрелки,
положительны, а по часовой стрелке — отрицательны; расстояния, отсчитываемые слева на-
направо, положительны, а справа налево — отрицательны; расстояния от оси Z, отсчитываемые
иверх, положительны, вниз — отрицательны. Напомним также, что в качестве А линзы берется
ее толщина. А\А2 на оси.
Отражение от сферических поверхностей. Отражение от сферических поверхностей рассмат-
рассматривается как преломление в среду с отрицательным показателем преломления —и, если п —
показатель преломления среды, из которой луч падает на отражающую поверхность. В осталь-
остальном матрица, описывающая отражение, полностью аналогична матрице, описывающей пре-
преломление. Например, отражение от вогнутой поверхности сферического зеркала с радиусом
кривизны г2 в среду с показателем преломления п2 описывается матрицей вида B2.12) с.п2 =
= —«2, т. е. ¦ .
/'2\ = /1 2Я2/ГЛ
0 1 ./ \0 1 / B2.16)
Поскольку центр кривизны поверхности расположен в направлении отрицательных значений г,
то г2 =—|г2|. После отражения луч движется в направлении отрицательных значений оси Z.
Это учитывается в следующей передаточной матрице тем, что длины пути и показатель прелом-
преломления берутся с отрицательным знаком. Если на пути луча встречается преломляющая поверх-
поверхность, то показатель преломления среды, из которой на эту поверхность падает луч, по-прежнему
считается отрицательным, показатель преломления Среды, в которую входит преломленный

луч, берется с отрицательным знаком (поскольку после преломления луч продолжает двигаться
в направлении отрицательных значений по оси Z), а знак радиуса кривизны поверхности опреде-
определяется обычным правилом. Например, если после отражения от вогнутой поверхности, которое
описывается матрицей B2.16), луч света, двигаясь-в направлении отрицательных значений z,
встречает вогнутую поверхность с радиусом кривизны гх (поверхность вогнута, если смотреть
в направлении отрицательных значений оси Z\ то п берется с положительным знаком по обыч-
обычному правилу, поскольку ее центр кривизны расположен в направлении положительных значе-
значений оси Z от поверхности. Если показатель преломления второй среды пх, то матрица.прелом-
матрица.преломления имеет вид
—л, — (—.п2),
B2.17)
Таким образом, отражение от зеркал анализируется матричным методом аналогично пре-
преломлению. Надо' лишь внимательно следить за знаками величин, которые входят в матрицы
отражения. Оптические системы, в которые входят зеркала, рассчитываются при этом по об-
общим правилам матричного метода.
Пример 22.1. Имеется двояковыпуклая линза, одна из сферических поверхностей которой
посеребрена и является отражающей. Для определенности считаем, что у линзы, изображенной
на рис. 75, посеребрена правая, сферическая поверхность радиусом гг. Линза находится в воздухе
(л = 1), показатель преломления вещества линзы т > 1. Радиусы кривизны поверхностей п и
7*2 (гг, по общему правилу, отрицательная величина, т. е. г2 =—|гл|). Луч света падает слева.
Найти передаточную матрицу от входа луча в линзу до выхода из линзы через ту же поверх-
поверхность.
В соответствии с изложенными правилами матрица преломления на первой поверхности
имеет вид
• 1 _(Й2^1)/ГЛ.
Ло 1 )
'"Ло 1 ) B118)
Движение луча внутри линзы после преломления на первой поверхности до встречи с отра-
отражающей поверхностью описывается матрицей
0\
)• B2.19)
а;/и2 Л/
Отражение от второй поверхности- обратно внутрь линзы описывается матрицей B2.16).
Движение луча внутри линзы после отражения до встречи с первой поверхностью (при втором
проходе луча она обозначена индексом 3) описывается матрицей
/ 1 0\
Y—А]/(—п2) 1/
B20)
Матрица преломления на первой поверхности при движении луча в отрицательном направ-
направлении дается выражением B2.17) с п\ =1; т. е.
р 1 __(„!)/,-Л
B221)
Следовательно, искомая передаточная матрица равна
Rx. B2.22)
Перемножив матрицы, находим по общим правилам все характеристики оптической системы.

§ 23
Оптическое изображение 127
Дается матричное описание построения изображений
в оптических системах.
§23
Матрица оптической системы. Соотношение B2.15) может быть представлено в следующем
виде:
v*^ B3-1)
а\
B3.2)
я=/с,+/с2— /cj/c2A'j/nj., (a) b = 1 — k2A'Jn\, F)
c = l — /cjA'j/w',, (в) d =—А//л/, (r) B3.3)
где a, b, с, d — постоянные Гаусса. Не все они независимы между собой. Непосредственной
проверкой убеждаемся, что детерминанты Rit R2 и. Тц равны единице и поэтому также -
deiSn =bc—ad = det(R2T2t R\) = 1 • B3.4)
Независимыми являются только три из четырех постоянных Гаусса, в качестве которых
обычно выбираются а, Ь, с.
Преобразование луча от плоскости предмета к плоскости изображения. В плоскости, отстоя-
отстоящей от А\ влево на расстояние / (плоскость предмета), заданы параметры луча (п\О.\, х). В пло-
плоскости, отстоящей от А2 вправо на расстоянии /' (плоскость изображения), луч характеризуется
параметрами (п'га'г, х'). По общему правилу, изложенному в § 22, между этими параметрами
существует соотношение
/п'2а'2\ /1 .0 W Ъ -в\/0 0 \/«,а,\
\х ) ~V7«2 1 / \—d с) Х-Цщ \J\xJ,
B3.5)
где принято во внимание, что расстояние до плоскости предмета отсчитывается влево от линзы
и, следовательно, входит в формулы с отрицательным знаком в последней квадратной матрице
в B.35). Матрицы в B3.5) можно перемножить между собой и записать формулу в виде
B3.6)
где
(b+al/щ a \
b!'/n'2— d + an/(n2nt).—cl /r, C — al'\n'2)
B3.7)
является матрицей преобразования от предмета к изображению.
Из B3.6) видно, что увеличение М=х'/х зависит от си. Другими словами, Лучи, выходящие
из одной точки предмета под разными углами, не сходятся в одной точке плоскости изображе-
изображения. Следовательно, точка предмета в плоскости изображения будет представлена размытым

128 пятном. Под изображением понимается такое отображение плоскости предмета на плоскость
1 изображения, когда все лучи, исходящие от точки предмета, сходятся в одной точке плоскости
4 изображения и все точки отображаются с одинаковым увеличением. Для этого необходимо ото-
отображение сделать независимым от угла аь что достигается обращением в нуль члена в матрице
B3.7), ответственного за такую зависимость:
Ы' /иг— d + аГ //(«2«i)— cl/m =0. B3.8)
Для увеличения можно написать
М = х'/х = с—аГ/п'2. B3.9)
Так как детерминанты всех сомножителей, образующих матрицу. Q2i, равны единице, то
2i = 1. Тогда при выполнении условия B3.8) с учетом B3.9) получаем, что
b + al/m = \/M B3.10)
и, следовательно,
(\/М —а \
¦021 = B3.11)
\0 М)
Кардинальные элементы оптической системы. Найдем плоскости, увеличение для точек ко-
которых М=\. Плоскость Я предмета расположена от точки А\ в соответствии с формулой B3.10)"
на расстоянии (рис. 74)
1и=П1A—Ь)/а, B3.12)
а плоскость Н' изображения расположена от Аг в соответствии с формулой B3.9) на расстоя-
расстоянии (рис. 74)
Гн=п'2{с-\Iа.. B3.13)
Плоскости Н и Н' называются главными плоскостями, а их пересечения с осью системы,
которая совпадает с осью Z, — главными точками системы.
Найдем точку на оси системы, в которой сходятся лучи, бывшие до прохождения оптической
системы параллельными оси. Из B3.9) при М—0 для определения этой точки получаем уравнение
с — аК/п'2 = 0, B3.14)
из которого следует, что
I'F =n'2c/q. B3.15)
Эта точка называется фокусом оптической системы. Ее расстояние до главной плоскости Н'
называется фокусным расстоянием (рис. 74):
/' =/; -гн =п'г/а. - B3.16)
Аналогично находим точку, выйдя из которой лучи после прохождения оптической системы
становятся параллельными оптической оси. Из B3.10) при М= оо для этой точки получаем
/F = —mb/a. . B3.17)
Эта точка также называется фокусом оптической системы. Ее расстояние до главной плоско-
плоскости Н называется фокусным расстоянием (рис. 74):
f=lF — lH= -т/а. B3.18)

Кардинальные элементы оптиче-
оптической системы
Н\\Н'
75
Пример расположения главных
плоскостей внутри линзы
Плоскости, проходящие через фокусы перпендикулярно
оптической оси, называются фокальными. Глав'ные и фокаль-
фокальные плоскости являются кардинальными элементами оптиче-
оптической системы. Если кардинальные элементы известны, то можно
ответить на вопрос о действии оптической системы на входя-
входящие в нее лучи, не зная деталей прохождения лучей через сис-
систему.
Физический смысл постоянных Гаусса. Для воздуха можно
считать п\=п'2 = \. Тогда соотношения B3.16) и B3.18) при-
приводят к равенствам
—/"=/.= 1/й, B3.19)
т. е. а является величиной, обратной фокусному расстоянию.
Из B3.17) с учетом B3.19) следует, что
и, аналогично,
с = /;//.
B3.20)
B3.21)
Таким образом, b и с характеризуют взаимное расположе-
расположение главных и фокальных плоскостей. Например, если главная
плоскость Н' лежит внутри линзы, то величина с определяет
ту долю фокусного расстояния, которая приходится на область
вне линзы (рис. 75). Следует отметить, что главные плоскости
достаточно толстой собирающей линзы лежат внутри линзы
асимметрично относительно центра, если радиусы кривизны
|г,| и \г2\ преломляющих поверхнобтей различны.
Построение изображений. Изображение точки строится по
двум лучам, один из которых направлен параллельно оси,
а другой идет по линии, проходящей через фокус. Первый луч
проводится параллельно оптической оси до пересечения с глав-
главной плоскостью Н' (рис. 76), а затем проходит через-фокус F'.
Второй луч проводится до пересечения с главной плоскостью Н,
затем параллельно оптической оси до пересечения с первым
лучом. Точка пересечения является изображением исходной
точки. Если расстояние от предмета до главной плоскости меньт
ше фокусного расстояния, то не сам второй луч, а его продол-
продолжение в обратном направлении должно проходить через фокус.
Из системы выходят расходящиеся лучи (рис. 77). Пересечение
этих лучей дает мнимое изображение, точки. Все остальные слу-
случаи построений сводятся к этим двум.
Уравнение линзы. Из подобия треугольников RDF, RQP и
FMP (рис. 76) следует
{х + х' )/s= х' /J = х/г,
B3.22)
а подобие треугольников Р' D'F', F'H' R' nP'Q' R' позволяет
написать .
129
§23
' =X/f =x'/2'.
B3.23)
5-289

130
4
Ш^
76
Построение изображений по кар-
кардинальным элементам оптической
системы
Из этих соотношений находим выражение
а из последнего равенства B3.24) следует, что
ZZ' =//' .
B3.24)
B3.25)
Равенство B3:25) называется уравнением линзы в форме *j?
Ньютона iИз B3.22) и B3.23) получаем
(х + х')/х' = s/f= s'lz' = s'l (s' —/), B3.26) 77
Случай мнимого изображения
где z' -s' —/. Равенство s/f=s'f(s'—/), записанное в виде
*'+//5 = 1,
B3.27)
называется уравнением линзы в форме Гаусса Оно, конечно,
эквивалентно B3.25). Из B3.22) и B3.23) следует
х + х' = 5х! If = s' xlf. B3.28)
Из последнего равенства B3.28) находим увеличение линзы:
Тонкие линзы. Равенство B3.3а) с учетом B3.16) и B3.18)
приводит к соотношениям
я = «i//= п'гЦ1 = к\ +ki — к\кг&\1п\. B3.30)
Принимая во внимание значения кх и к2 по B2.7) и B2.13)
и считая, что линза находится в воздухе (щ =п'г — 1), преобра-
преобразуем B3.30) к виду
О Матрица оптической сис-
. темы строится по правилу
перемножения матриц,
описывающих прохожде-
прохождение луча через составные
части оптической системы.

Л1ПГ2
3
Формула B3.31) выражает фокусное расстояние линзы через показатель преломления ма-
материала линзы и ее геометрические параметры
Тонкими линзами по определению называются такие, для.которых можно пренебречь
третьим членом в квадратных скобках в B3.31). Для тонких линз это уравнение принимает вид
B3.32)
Для тонких линз третий член в квадратных скобках B3.31) должен быть много меньше каж-
каждого из двух первых членов. Поскольку п\ имеет порядок единицы, заключаем, что толщина
Д,' линзы должна быть много меньше каждого из радиусов кривизны |rj | и \г2\ поверхностей
линзы, т. е.
Д',«ф,|, Д'.«ф2|. B3.33)
При этом условия B3.36) и B3.3 в) принимают вид
6 = 1, с = 1, B3.34)
а равенства B3.12) и B3.13) сводятся к соотношению
/„ = /; = 0, B3.35)
т. е. тонкая линза представляется не имеющей толщины и с ней совпадают обе главные пло-
плоскости. Фокусное расстояние при этом становится равным отрезку от линзы до фокуса, а матри-
матрица B3.2) принимает вид
1 —1
521 =1 ), B3.36а)
О 1
где а = 1//'. Уравнение B3.27) для тонкой линзы упрощается:
5 f"
B3.366)
Обратная фокусному расстоянию линзы величина
Ф = 1// B3.36b)
называется*оптической силой и выражается в диоптриях. Диоптрия равна оптической силе линзы
с фокусным расстоянием 1м.*
Система тонких линз. Матрица B3.36а) преобразует параметры луна, входящего, в тонкую
линзу, в параметры выходящего луча. Распространение луча до тонкой линзы и после нее опи-
описывается передаточными матрицами Т вида B2.11). Если имеются, например, две линзы, то
матрица преобразования луча от входа в первую Линзу до выхода из второй равна произведению
матриц, описывающих преобразование луча в линзах, и матрицы Г, описывающей распростра-
распространение луча между линзами, взятыми справа налево в том порядке, в каком луч распространяется
в системе линз. Матрицы S и Т удобно снабжать индексами, показывающими, между какими
плоскостями данной матрицей осуществляется преобразование луча. При этом
131
§23

132 гонкой линзы целесообразно обозначать различными индек-
сами. Например, обозначая плоскость тонкой линзы, через
4 которую входит луч, Аи а выходит — Аг, матрицу B3.36)
следует записать так:
1 -ЧГ
(
Ло
B3.37)
Аналогичные обозначения используются также, и для пере-
передаточной матрицы Т.
Пусть система состоит из двух линз с фокусными расстоя-
расстояниями/^ О и/2<0 (собирающая и рассеивающая) и рас-
расстоянием между линзами d (рис. 78). Линзы на этом рисунке
вычерчены пунктирной линией, чтобы подчеркнуть, что их
толщиной мы пренебрегаем. Передаточная матрица S41, ко-
которая преобразует параметры луча от входа в первую линзу
на плоскости А\ к выходу из второй линзы на плоскости А*,
на основании B3.37) и B2.11) имеет вид
2) (' °
L а\ d 1
B3.38)
где предполагается, что показатель преломления среды между
линзами равен 1. Чтобы построить изображение, создаваемое
этой системой, надо перемножить матрицы B3.38) и найти зна-
значения постоянных Гаусса а, Ь, с, d, определенных в B3.2):
5*41 =
—d
B3.39)
/2'<о
78
К нахождению передаточной мат-
матрицы для системы двух линз
79
Построение кардинальных плоско-
плоскостей системы из собирающей и
рассеивающей линз
Зная постоянные Гаусса, по формулам B3.12), B3.13), B3.15),
B3.17) вычисляем'/#, /#, /F, lj? , строим кардинальные плоско-
плоскости системы и изображение в соответствии с общими правила-
правилами, рассмотренными в связи с рис. 76. На рис. 79 построены
кардинальные плоскости системы, показанной на рис. 78".
Напомним, что при отрицательных значениях /я, /#, /F, I'F
они откладываются' влево от точек своего отсчета, а при поло-
положительных — вправо. На рис. 79 принято, что If, Ih и 1н отри-
отрицательны, a I'f положительна.
• Использование ЭВМ. Представление в матричной форме
преобразований, которые претерпевает луч в оптической сис-
системе, делает очень удобным использование ЭВМ для анализа
оптических систем, поскольку программы вычислений с матри-
матрицами являются стандартными. В связи с этим в настоящее
время проектирование и расчет оптических систем производят
Каков физический смысл по-
постоянных Гаусса и как с их
помощью образуется матри-
матрица оптической системы?
Почему из четырех постоян-
постоянных Гаусса независимыми яв-
являются только три?
Дайте определение карди-
кардинальных элементов оптиче-
оптической системы.

с использованием ЭВМ, хотя для анализа общих закономерностей полностью сохраняют свою 133
эффективность аналитические и графические методы.
Пример 23.1. Рассчитать элементы двояковыпуклой линзы, для которой г2 "= —2; п = +3; §23
п\ = 1,5; Aj =1 (см. рис. 75). Линза находится в вакууме (воздухе). Длины можно задать в любых
единицах. Поэтому в условии задачи дано лишь число единиц длины без указания наименова-
наименования единицы.
В соответствии с изложенным в этом параграфе правилом обозначения встречающихся в
расчете единиц можно написать:
Д2=Д'1=1; «1=1; пг- «1=1,5; п'2 = 1. B3.40)
Из B2.7) и B3.13) получаем-
/с, = («', — «i)/n =0,17; Ь=(«2'-И2)/г2=0,25.
Отсюда по формулам B3.3 а—г) находим постоянные Гаусса:
а = 0,17+0,25 — 0,17-0,25 • 1/1,5 = 0,39;
Ь = 1 — 0,25 • 1/1,5 = 0,84; B3.41а)
с = 1 — 0,17-1/1,5 = 0,87;
d=—1/1,5 = — 0,67.
Хорошей проверкой правильности вычислений постоянных Гаусса мсЗжет быть, равенство
единице детерминанта их матрицы: be —ad = 0,99™ 1. Из равенств B3.12) и B3.13) получаем
1Н = 1 A — 0,84)/0,39 = 0,41; \к = 1 @,8.7 — 1)/0,39 = —0,33 B3.416)
и отсюда с помощью B3.17) и B3.15) находим
/F = — 1 • 0,84/0,39 = —2,15; Vf = 1 • 0,87/0,39 =.2,23.
Из B3.416) заключаем, что кардинальные плоскости расположены внутри линзы, а фокус-
фокусные расстояния в соответствии с B3.18) и B3.16) равны:/=—2,15 — 0,41 = —2,56;/ =2,23 —
— (—(?34) =2,56, что также свидетельствует о правильности вычислений.
Пример 23.2. Рассчитать систему, состоящую из двояковыпуклой и двояковогнутой линз
(см. рис. 78). Линзы считаются тонкими, d=10,./) =15, /2 =—12. Показатель преломления в
пространстве вне линз равен единице.
Прежде всего по формуле B3.38) находим передаточную матрицу:
A 1/12\/ 1. 0\/ 1 —1/15\ / 1,83 —0,04\
И К Ь( ) B342)
0 1 /V.10 lA 0 —1 / V ю 0,34/
Следовательно, постоянные Гаусса равны
а = 0,04; 6 = 1,83; с = 0,34; с/= —Ю. B3.43)
С их помощью, так же как в примере 23.1, находим все характеристики оптической системы.
Далее можно анализировать ход лучей и построение изображений графическими методами..
Но это можно сделать и с помощью матрицы Qi\ по формуле B3.6).

134
4
§ 24
Аберрации оптических систем
Описываются аберрации оптических систем
и методы их уменьшения или устранения.
Источники аберраций. В определении понятия изображения содержится требование того, чтобы
все лучи, выходящие из какой-то точки предмета, сходились в одной и той же точке в плоскости
изображения и чтобы все точки предмета отображались с одинаковым увеличением в одной
и той же плоскости.
Для параксиальных лучей условия отображения без искажений соблюдены с большой точ-
точностью, однако не абсо'лютно. Другими словами, параксиальное приближение описывает парак-
параксиальные лучи приближенно, хотя и с большой точностью. Поэтому полученная в параксиаль-
параксиальном приближении идеальная картина изображений в действительности не осуществляется на
практике.Отклонения фактически получаемого изображения от идеального называются аберра-
аберрациями. Для параксиальных лучей аберрации малы и ими пренебрегают. Если же лучи не парак-
параксиальны, то аберрации становятся значительными и сильно искажают изображение. Поэтому
первый источник аберраций состоит в том, что линзы, ограниченные сферическими поверхно-
поверхностями, преломляют лучи не совсем' так, как это принимается в параксиальном приближении.
Например, фокусы для лучей, падающих на линзу на разных расстояниях от оси линзы, различ-
различны и т. д. Такие аберрации называют геометрическими. Их можно классифицировать по опреде-
определенным признакам, например, параксиальное приближение основывается на том, что точные
формулы разложения синуса в ряд B2.1) обрываются на первом члене, пропорциональном а.
Не учтенный в параксиальном приближении член ~ а3-приводит к аберрациям третьего порядка.
Следующий член в разложении описывает аберрации пятого порядка, которые обычно
меньше аберраций третьего порядка, и т. д.
Второй источник аберраций связан с дисперсией света. Поскольку показатель преломления
зависит от частоты, то, и фокусное расстояние и другие характеристики системы зависят от час-
частоты. Поэтому лучи, соответствующие излучению различной частоты, исходящие из одной
тбчки предмета, не сходятся в одной точке плоскости изображения даже тогда, когда лучи,
соответствующие каждой частоте, осуществляют идеальное отображение предмета. Такие абер-
аберрации называются хроматическими.
Изучение геометрических аберраций сводится к учету тех факторов, которыми пренебрегает
параксиальное приближение. В принципиальном смысле это просто, но чрезвычайно трудоемко
и громоздко.' Поэтому ограничимся изложением сути, не вдаваясь в детали математической
стороны дела Это касается также и хроматических аберраций. Точные расчеты проводят на
ЭВМ.
Точные матрицы преобразований. Для нахождения точйой матрицы преобразования пара-
параметров луча при преломлении на сферической поверхности необходимо вместо приближенного
расчета, начинающегося с формулы B2.2), провести точный расчет (см. рис. 73). Вместо форму-
формулы B2.2) необходимо записать закон Снеллиуса:
п\ sinGi = n\ sinGi . B4.1)
Точный учет (а не в параксиальном приближении) геометрических соотношений между угла-
углами и длинами на рис. 73 приводит вместо B2.5) к соотношению
п\ sina'j = (hi cosGi — п\ cos6'i) (#i/n) +«i sinai, B4.2)
которое в параксиальном приближении совпадает с B2.5). С учетом х\ = х\ соотношение B4.2)
можно* представить в матричном виде, аналогичном B2.6):
(n'\ sinai\ _/l —lc\ /m sinaA
x[ J \0 1 / V jc'i /

?", = (n\ cosBi—Hicos0i)/ri. —L
Следовательно, точная матрица преломления ^
'1 — ?>
С
*' =l - B4.4)
аналогична B2.8), но с заменой значения /с,. Для луча после преломления до встречи со второй .
преломляющей поверхностью вместо B2.9) можем записать
х2 =х\ +L'i sinai, B4.5)
где L\ —длина отрезка \Р\Рг\. Далее, так же как и при выводе B2.10), учитываем, что п\ = и2,
ai = a2 и, следовательно,
п\ sinai = п2 sina2. B4.6)
В матричной форме равенства B4.5) и B4.6) записывают в виде
т sina2\ S\ ®\/n'i sina'i\
*2 )=LUn; ,X « )
Поэтому матрица
I 0\
)> B4.8)
аналогичная матрице B2.11), является передаточной матрицей при точном учете распростра-
распространения света под произвольным углом в среде. В формуле B4.8) значение L\ не является постоян-
постоянным и его надо каждый раз вычислять по уже известным на предшествующем шаге вычислений"
значениям ai, x\ и параметрам, характеризующим вторую преломляющую поверхность линзы.
Для анализа преломления на второй поверхности линзы используется матрица вида B4.4)
с соответствующим значением к\, а распространение луча до линзы и после линзы.описывается
матрицами вида B4.8), Используются эти матрицы аналогично тому, как это было разобрано
для параксиального приближения в связи, с B3.5).
Сферическая аберрация
Наиболее существенные аберрации сводятся к тому, что круглое сечение пучка под углом
к оси после линзы не сохраняется (рис. 80), лучи, параллельные оптической оси, не пересека-
пересекаются после линзы в одной точке (рис. 81) и точка на оси системы дает изображение в виде при-
причудливой фигуры (кома). Начнем описание со второй из этих аберраций, называемой сфериче-
сферической. Ее можно трактовать либо как поперечную, либо как продольную (рис. 81). ^л11 B Рас"
сматриваемом вопросе существенно то, что луч пересекает ось не в параксиальном ,фокусе,
то говорят о продольной сферической аберрации, а если существенно отклонение луча от оси
в параксиальной фокальной плоскости, то говорят о поперечной сферической аберрации.
Пучок параллельных оси лучей после преломления образует совокупность конусов, верши-
вершины которых расположены на оси (рис. 82). Огибающая эту совокупность конусов поверхность
называется каустической, а сечение этой поверхности, любой плоскостью, проходящей через
луч, — каустической кривой. На рис. 82 изображена каустичесхая поверхность при сфериче-
сферической аберрации. Ее сечения плоскостями, перпендикулярными оси, являются окружностями раз-
различного радиуса. ^Параллельный пучок лучей создается светящейся точкой, расположенной
на оси на очень большом расстоянии от линзы. Поэтому светящиеся кружки играют роль изоб-
изображений точки в различных плоскостях. Фокус F' определен в параксиальном приближении

136
4
и ^ ш
80
Астигматизм наклонных пучков
и играет роль фокуса лишь для параксиальных лучей (т. е. тех
лучей, которые прошли линзу вблизи ее оси). Наиболее яркое
и маленькое изображение точки линзой достигается в плоско-
плоскости ¦ М', которая не проходит через параксиальный фокус F'.
Следовательно, для уменьшения поперечной сферической абер-
аберрации данной линзы необходимо выбрать соответствующую
фокусировку этой линзы, т. е. получать изображение не из рас-
расчета, что ее фокус в F', а из расчета, что ее фокус в М'. Собираю-
Собирающие линзы имеют отрицательную продольную сферическую
аберрацию, т. е. непараксиальные лучи пересекают ось ближе
к линзе, чем параксиальный фокус. Рассеивающие линзы обла-
обладают сферической аберрацией противоположного знака.
Соответствующим подбором поверхностей и систем линз
сферическая аберрация может быть практически ликвидирова-
ликвидирована, То же самое касается и сферической аберрации зеркал.
Кома. Если светящаяся точка, посылающая широкий пучок
лучей, расположена не на оси оптической системы, то ее изобра-
изображение не является светящимся кружком, как в предыдущем
случае, а представляется в виде довольно сложной асимметрич-
асимметричной фигуры. Иногда эта фигура напоминает комету с хвостом,
отчего и произошло название этого вида аберрации. Соответ-
Соответствующим подбором характеристик системы кома может быть
значительно ослаблена.
Аберрации, обусловленные внеосевыми наклонными лучами.
Плоскость, проходящая через ось системы, называется мери-
меридианальной. Если в ней под достаточно большим углом к оси
падает Цилиндрический пучок лучей, то после преломления он
не останется цилиндрическим. Лучи, лежащие в меридианаль-
ной плоскости, преломляются не так, как параллельные им лучи,
но лежащие в стороне от меридианальной плоскости. В резуль-
результате зтого после преломления лучи пучка не параллельны друг
другу. Поэтому сечение пучка лучей изменяется с расстоянием
от линзы после преломления. На некотором расстоянии от лин-
линзы сечение является отрезком линии, направленным перпенди-
перпендикулярно меридианальной плоскости (рис. 80), затем эта линия
8)
Продольная F'A и поперечная F В
аберрации
82
' Каустическая поверхность
сферической аберрации
при

II
83
Поверхности меридиональных
сагиттальных фокусов.
84
Дисторсня
переходит в эллипс, параметры которого меняются по мере
удаления от линзы. На некотором расстоянии сечение становится
круговым, а затем снова эллиптическим и, Наконец, превраща-
превращается в отрезок линии, лежащей в меридианальной плоскости.
Такой вид аберрации называется астигматизмом наклонных
пучков.
Интерпретируем' описанную картину преломления пучков
другими терминами. В результате прохождения через линзу
пучок фокусируется в меридианальной плоскости и в плоско-
плоскости, перпендикулярной меридианальной и параллельной оси
называемой сагиттальной. Фокусы меридианальной и сагит-
сагиттальной фокусировок различны. Меридианальный фокус рас-
расположен на рис. 80 в плоскости I, а сагиттальный — в плоско-
плоскости III. В плоскости II лучи верхней половины первоначаль-
первоначального цилиндрического пучка находятся в нижней половине
кружка, а нижней — в верхней. Лучи правой, половины перво-
первоначального цилиндрического пучка находятся в правой поло-
половине кружочка, а левой — в левой. Положение плоскостей,
в которых осуществлчются меридианальная и сагиттальная
фокусировки, зависит от угла наклона падающего пучка к опти-
оптической оси Поэтому поверхности, на которых лежат фокусы,
создаваемые меридианальной и сагиттальной фокусировками,
не совпадают между собой и не являются плоскостями. Очевид-
Очевидно, что эти поверхности касаются лишь в точке F'^Ha оптиче-
оптической оси, будучи ей в этой точке перпендикулярными (рис. 83).
Этот вид аберрации называется искривлением поверхности
изображения Он устраняется при выполнении условия Петц-
валя. на выводе и обсуждении которого останавливаться не
будем.
Увеличение системы зависит, вообще говоря, от угла на-
наклона луча к оптической оси. При больших углах эта зависи-
зависимость становится заметной и приводит к тому, что изображе-
изображение теряет свое подобие предмету. В результате, например,
сетка из прямых линий превращается в сетку из кривых линий
(рис. 84). Такая аберрация» называется дисторсией.
Ослабление геометрических аберраций достигается подбо-
подбором линз, их характеристик и т. д. В настоящее время уда-
удается устранить все аберрации до уровня практических потреб-
потребностей. ^
Хроматическая аберрация. Она устраняется подбором такой
комбинации линз,, которая сводила бы к минимуму несовпаде-
несовпадения изображений в различных длинах волн. Точно совместить
изображения для всех длин волн спектра невозможно. Обычно
ограничиваются точным совмещением изображения для каких-
то двух длин волн, а для остальных совмещение осуществляется
с той или иной степенью точности. Этот процесс называется
ахроматизацией оптической системы Изображения для двух
длин волн совпадут, если у системы для этих длин волн оди-
одинаковые кардинальные элементы. Это достигается при одина-
одинаковости трех постоянных I^aycca, т. е. для ахроматизации надо
137
§24

138 иметь как минимум три свободных параметра. Значения пара-
•1—-• метров могут быть найдены как решение системы трех урав-
4 нений, выражающих условие совпадения кардинальных элемен-
элементов для обоих длин волн. Всегда можно подобрать такую опти-
оптическую систему, в которой имелись бы три необходимых сво-
свободных параметра. Задача облегчается тем, что для практиче-
практических целей достаточно осуществить лишь частичную ахромати-
зацию, добившись либо совпадения фокусов, не заботясь о не-
некотором расхождении главных плоскостей, либо совпадения
лавных плоскостей, те заботясь о некотором, расхождении
фокусов. Выбор параметров ахроматизации зависит от назна-
назначения прибора.
Очевидно, что ахроматизацию можно в принципе осущест-
осуществить и по трем и большему числу длин волн. Для этого надо
создать систему, имеющую достаточное число свободных па-
параметров, и выбрать соответствующим образом эти пара-
параметры. Ахроматизация по большему, чем два, числу длин волн
также используется в оптике. Выбор длин волн, для которых
осуществляется точное совмещение изображений, зависит от
назначения прибора Для приборов визуального наблюдения
выбирают длины волн вблизи максимальной чувствительно-
чувствительности глаза, т. е. по разные стороны желто-зеленой области спект-
спектра Чаще всего берутся лучи с A.=6f>6,3 нм и Х = 486,1 нм. б фото-
фотоаппаратах длины волн выбираются ближе к синей области
спектра, поскольку фотопластинка чувствительнее к таким дли-
длинам волн.
Иммерсионный объектив. Чтобы использовать широкие пуч-
пучки и при этом избегать сферической аберрации, применяют
иммерсионные объективы. Их принцип действия наиболее от-
отчетливо проявляется при построении изображения точки, рас-
расположенной внутри сферической линзы (рис. 85). Точка Р вы-
выбирается на расстоянии п'г/п от центра О сферической линзы,
где и и п' — показатели преломления линзы и среды относи-
относительно вакуума. Изображение образуется в результате прелом-
преломления сферической поверхностью, на которую луч падает с
вогнутой стороны. Поэтому радиус кривизны этой поверхно-
поверхности входит в формулы с отрицательным знаком. Величины,
отсчитываемые от точки А\ влево, также отрицательны.
По теореме о синусах для треугольников Р' QO и PQO мо-
можем написать
(У—г) sin a'= r sin 0', B4.9) (s—r)sina = rsinG. B4.10)
Закон Снеллиуса для преломления в точке Q имеет вид
и' sinG' = wsinG. B4.11)
Учитывая, что, по условию, s-
заключаем
G'= a,
= n'r/n, из B4.11) и B4.10)
B4.12)-
Построение изображения точки,
расцоложеиной внутри сфериче-
сферической линзы
86
Принцип устройства иммерсион-
иммерсионного объектива микроскопа
Аберрациями называются
отклонения фактически по-
получаемого, изображения от
идеального. Изучение гео-
геометрических аберраций
сводится к учету тех фак-
факторов, которыми пренебре-
пренебрегает параксиальное при-
приближение. .
Источникон хроматиче-
хроматической . аберрации является
дисперсия света.
а из треугольников P'OQ и POQ.c общим углом следует равен-
равенство

a + G=a'+e\ B4.13) 139
что с учетом B4.12) дает g24
6=а'. B4.14)
В результате B4.9) принимает вид
s' = rsinG'/sina' +r = rsinG'/sinG + r = r(l +n/n'), B4.15)
т. e. 5' не зависит от угла а. Это означает, что продолжения всех лучей, вышедших из точки Р,
пересекаются в точке Р' или, другими словами,"точка Р' является изображением точки Р, при--
чем сферическая.аберрация полностью отсутствует, поскольку в расчете не предполагалась ма-
малость углов.
Объект не может быть помещен в стекло линзы. Однако можно создать ситуацию, эквива-
эквивалентную нахождению объекта в точке Р (рис. 85). Для этого надо объект поместить в масло с
показателем преломления, равным показателю преломления стекла линзы, и переднюю поверх-
поверхность линзы погрузить в масло (рис. 86). В результате получится иммерсионный объектив ми-
микроскопа.
Из B4.14) видно, что иммерсионный объектив, не создавая сферической аберрации, умень-
уменьшает углы лучей с осью после выхода из иммерсионного объектива, поскольку всегда а' <а.
Это позволяет без уменьшения интенсивности светового потока создать для последующих эле-
элементов оптической системы более благоприятные условия формирования изображения без
сферической аберрации. Можно повторным применением приема уменьшить углы между лу-
лучами и осью еще более значительно. Единственным ограничением для сколь угодно значитель-
значительного уменьшения углов является возникающая при этом хроматическая аберрация.
Условие Аббе. Рассмотрим изображение отрезка Р\РРг окружности радиусом n'r/п с цент-
центром в точке О (см. рис. 85). Он изображается отрезком Р\Р'Рг окружности, причем каждая
точка отрезка отображается широким пучком без сферической аберрации. Необходимо далее,
чтобы все точки отрезков изображались с одинаковым увеличением. В результате изображение
широкими пучками осуществляется без сферической аберрации и комы. Обозначим длины дуг
Р\РРг и Р\Р'Р'г соответственно л: и л:'. Из рис. 85 видно, что
х— = s'~~r = s'~r = nsina B4 16)
х s—r rn'/n w'sina' ' \ • J
где использовано равенство B4.15). Соотношение B4.16), записанное в виде
х'п' sina' =x«sina, B4.17)
называется уравнением Аббе. Если оптическая система сконструирована так, что увеличение
равно х' /х = const для любых углов а, то изображение осуществляется без сферической аберра-
аберрации и комы. В оптической системе (см. рис. 85) это условие соблюдается, поскольку на основа-
основании B4Л1), B4.12) и B4.14) вместо B4.16) можем написать
х' fx = nsina/(ri sina') = п sinG' /(«' sinG) = (и/л'J= const. B4.18)
Задача конструктора оптической системы состоит в том, чтобы обеспечить постоянство уве-
увеличения для всех лучей, проходящих через систему, в том числе и для лучей, идущих от предме-
предмета под очень большим углом к оси системы. Для соблюдения уравнения Аббе при очень больших
увеличениях микроскопов используются иммерсионные объективы.

14Q § 25
Оптические приборы
Анализируется роль диафрагмирования и описываются
распространенные оптические приборы.
Диафрагмирование. Для получения удовлетворительного изоб-
изображения в оптической системе необходимо использовать пучки
ограниченной ширины. Это связано, во-первых* с тем, что па-
параксиальное приближение ограничивает ширину допустимых
пучков. Во-первых, если даже допустить, что создана идеальная
система, дающая без аберрации.отображение точек предмета
в точки изображения при неограниченной ширине пучка, то
эта система без ограничения ширины пучка не даст удовлетво-
удовлетворительного изображения предмета (рис. 87). Дело в том, что
изображение должно быть получено в одной плоскости, а пред-
предмет — пространственный, поэтому идеальные отображения его
точек займут некоторую область пространства. Например,
если изображение точки А\ образовалось в точке А\ плоско-
плоскости В, принятой за плоскость изображений, то изображение
точки Аг образуется в точке А'г вне плоскости изображений.
В плоскости В.изображений точка А2 даст светлое пятно, ли-
линейный размер которого в плоскости рисунка равен длине от-
отрезка BiB'i. Чем шире пучок света из точки А2, участвующий
в образовании изображения А'г, тем больше размеры светлого
пятна, изображающего точку Аг в плоскости В. При неограни-
неограниченной ширине пучка даже идеальная система не дает изобра-
изображения предмета в плоскости изображений. Ограничение сече-
сечений световых пучков называется диафрагмированием. Оно
осуществляется с помощью диафрагм.
Основные понятия, связанные с диафрагмированием. Ширина
пучков, проходящих через диафрагмированную систему, раз-
различна для различных точек предмета. Для точек предмета, ле-
лежащих на оси оптической системы, диафрагмирование характе-
характеризуется апертурной диафрагмой, входным и выходным зрач-
зрачками.
- Апертурной называется диафрагма, которая осуществляет
максимальное ограничение пучка, исходящего от точки пред-
предмета^ лежащей на оптической оси системы (D\Dz на рис. 88).
Цели* бы оправа линзы L \ закрывала кольцевые области К\ D\
и K2D2, то апертурной диафрагмой по-прежнему была бы
диафрагма D\Di. Если бы оправа линзы L\ закрывала ее коль-
кольцевые области KiD". и K2D2, то апертурной диафрагмой была
бы диафрагма D" П{, ане Di/J.
Входным зрдчком называется изображение апертурной ди-
диафрагмы, осуществляемое той частью оптической системы,
которая находится перед ней B?ii?2 на рис. 88). Если апертурная
диафрагма расположена перед первой линзой или образована
оправой первой линзы, то входной зрачок совпадает с апертур-
апертурной диафрагмой.
Выходным зрачком называется изображение апертурной
диафрагмы, осуществляемое той частью оптической системы,
87
Иллюстрация невозможности по-
получения плоского изображения
предмета в идеальной системе
посредством широких пучков

К определению апертурнон диаф-
диафрагмы входного и выходного
фачков
141
§25
Глаз как оптическая система
которая находится после .диафрагмы (Е\Е2 на рис. 88). Можно
также сказать, что выходной зрачок есть изображение входного
зрачка, осуществляемое всей системой. Если апертурная ди-
диафрагма расположена за системой или образована оправой
последней линзы, то выходной зрачок совпадает с апертурной
диафрагмой.
Лучи от точек предмета, лежащие вне оси, прошедшие через
входной зрачок, могут частично или даже полностью задержи-
задерживаться на их пути различными частями оптической системы.
Вследствие этого изображение соответствующих точек ослаб-
ослаблено или полностью отсутствует. Полем зрения называется
наибольшая область П\ П'г в плоскости предмета, точки которой
отображаются оптической системой без заметного ослабления.
Поле зрения ограничивается диафрагмой поля зрения.
Для нахождения диафрагмы поля зрения строится изобра-
изображение каждой из диафрагм системы, осуществляемое частью
оптической системы перед диафрагмой. То из ^изображений
диафрагм, которое из центра входного зрачка видно под наи-
наибольшим углом (углом зрения), называется диафрагмой поля
зрения. Аналогично относительно выходного зрачка определя-
определяются диафрагма поля зрения со стороны изображения и угол
изображения.
Глаз как оптическая система. В оптическом отношении глаз
является оптической системой с переменным фокусным расстоя-
расстоянием (рис. 89). Оптическая система состоит из совокупности
преломляющих сред, включающих в себя водянистую влагу А,
хрусталик L и стекловидное тело В. Изменение фокусного рас-
расстояния системы осуществляется за счет мышечного усилия,
изменяющего кривизну поверхности хрусталика. Изображение
предметов фокусируется на заднюю утенку глаза (сетчатку),
где световая энергия воспринимается чувствительными элемен-
элементами нервной системы человека. Переданная в мозг информация
о распределении светового потока возникает^ сознании чело-
человека в виде изображения предмета. Более подробно останавли-
останавливаться на физиологических аспектах зрения здесь не представ-
. ляется целесообразным.
Фокусировка глаза на предмет называется аккомодацией.
Наиболее удаленная и самая близкая точки, на которые может

142
4
В
90
Микроскоп
быть аккомодирован глаз, называются Дальней-и ближней точ-
точками аккомодации глаза! При нормальном зрении дальняя
точка лежит на бесконечности, а ближняя — на расстоянии
10—20 см. С возрастом диапазон аккомодации сужается.
Апертурная диафрагма осуществляется радужной оболоч-
оболочкой. Входным зрачком является изображение зрачка в передней
оптической части глаза* т. е. в камере с водянистой влагой.
Входной зра*чок практически совпадает с реальным зрачком.
Глаз как оптическая система представляется в виде приве-
приведенного глаза, построенного из однородного преломляющею
вещества и имеющего следующие данные-
Оптическая сила, дптр
Длина глаза, мм
Радиус кривизны, мм:
сетчатки
преломляющей поверхности
Показатель преломления среды
58,48
22
9.7
5,6
1,33
Фотоаппарат. Оптической системой фотоаппарата является
объектив, обеспечивающий фокусировку изображения объекта
на фотопластинку.
Лупа, Простейшая оптическая система с небольшим фокус-
ным расстоянием A см или несколько больше), состоит из одной 91
или нескольких линз. Лупа располагается между глазом и пред- Зрительная труба
метом. Мнимое изображение образуется либо на расстоянии
наилучшего зрения глаза (около 25 см), либо на бесконечности.
В обоих случаях увеличение практически одно и то же и равно
D/f, где D— расстояние наилучшего зрения, /— фокусное рас-
расстояние линзы.
Микроскоп (рис. 90) используется для получения больших
увеличений изображений близко расположенных предметов.
Действительное изображение А 'В' предмета АВ, полученное
с помощью объектива L, дает в окуляре L2 мнимое изоб-
изображение А"В". Если фокусные расстояния объектива и оку-
окуляра/, и /2, a d— расстояние между фокусами, то увеличение
микроскопа
). B5.1)

92
Ход лучей
в телескопе
93
Схема простейшего
рефлектора
телескопа-
Система Шмидта (а) и менисковая
система Д Д. Максутова (б)
Для получения достаточной яркости изображения и увели-
увеличения разрешающей способности микроскопа (см. § 36) необ-
необходимо пользоваться широкими пунками. При этом для ликви- •
дации сферической аберрации употребляются иммерсионные
1 объективы (см. § 24).
Зрительная труба (рис. 91) используется для получения боль-
больших увеличений изображений отдаленных предметов. Действи-
Действительное изображение предмета в длиннофокусном объективе L j
рассматривается через окуляр как лупу. Увеличение системы
М=/]//2, B5.2)
где /i и /г — фокусные расстояния объектива и окуляра.
Зрительные трубы, используемые для наблюдения астроно-
астрономических объектов, называются телескопами. Для них задний
фокус объектива может считаться совмещенным с передним
фокусом окуляра (рис. 92), в результате чего формулу B5.2)
можно представить в виде
Mf If DID f}4 14
= /l//2 — i\i/i\2, V/J.jJ
где Ri и R2 — радиусы объектива и окуляра.
Наблюдение с помощью зрительной трубы ведется глазом.
Поэтому для наиболее полного использования светового по-
потока, поступающего в телескоп, необходимо, чтобы выходной
зрачок телескопа был равен или меньше зрачка глаза, размеры
которого при ночных наблюдениях 6—8 мм, а при дневных —
2—З'мм. Если выходной зрачок больше зрачка глаза, то часть
светового потока теряется на радужной, оболочке и не участвует
в формировании изображения в глазе. Поэтому для эффектив-
эффективного использования цоверхности объектива необходимо оку-
окуляр подбирать так, чтобы выходной зрачок имел нужные раз-
размеры, при этом увеличение трубы оказывается фиксированным.
Брать большой объектив при слишком малом увеличении не-
нецелесообразно. При том же самом диаметре объектива ночью
целесообразно пользоваться меньшим увеличением, чем днем:.
Следовательно, если задан диаметр объектива, то целесообраз-
целесообразное увеличение оказывается заключенным в довольно узких
пределах..
Для многих целей необходимо обеспечить у зрительной
трубы большой угол зрения (например, у биноклей). Чтобы
обеспечить высокое качество изображения, необходимо устра-
устранить астигматизм наклонных пучков, кривизну поля и хрома-
хроматизм. Поэтому окуляры обычно выполняют в виде сложных
систем» состоящих из нескольких линз^ ,
Получение максимального увеличения при фиксированном
размере выходного зрачка достигается увеличением диаметра
объектива. Кроме того, увеличение диаметра объектива позво-
позволяет повысить способность трубы различать слабосветящиеся
объективы. Поэтому стремятся всемерно увеличить диаметр
телескопов. Изготовление телескопов с линзовыми объекти-
объективами большого диаметра очень трудно технически. Легче изго-
143
§25

144
товить вогнутое зеркало большого диаметра с заданной кривиз-
кривизной поверхности. Поэтому наиболее большие телескопы явля-
являются не рефракторами, а рефлекторами (рис. 93).
Рефлекторы свободны от хроматической аберрации, но при
-сферической форме зеркала обладают значительной сферической
аберрацией. Для устранения сферической аберрации пользуются
различными методами. Можно перейти к несферическим зер-
зеркалам, в частности к зеркалам с поверхностью параболоида
вращения. Комбинация двух несферических зеркал позволяет
добиться очень хороших результатов.
Можно использовать смешанные системы, в которых лин-
линзовая оптика комбинируется с зеркальной. Наиболее давно
известной системой такого рода является камера Шмидта.
На пути лучей к сферическому зеркалу S (рис. 94, а) помещается -
корректирующая пластинка К, которая так корректирует фазу
проходящего луча, что в значительной степени устраняются
сферическая аберрация, и кома. Очень совершенной системой
такого рода является менисковая система Максутова (рис. 94, б).
Менисковая система Д. Д. Максутова показанная на
рис. 94, б, включает в себя лишь сферическое зеркало и мениск,
ограниченные сферическими поверхностями. Это очень сильно
упрощает расчет и изготовление системы, что весьма существен-
существенно при ее практической реализации. В то же время эта система
весьма эффективна по своим оптическим параметрам.
Проекционные устройства предназначаются для получения
действительных увеличенных изображений на экране (диа-
кинопроекторы и т. д.). Проецируемый светящийся (или осве-
освещаемый) предмет помещают около главной фокальной плоско-
плоскости проекционного объектива, который может перемещаться
для резкой наводки (рис. 95). Освещение объекта обычно осу-
осуществляется с помощью короткофокусного конденсора боль-
большого размера с короткофокусным расстоянием, чтобы про-
пропустить через проецируемый объект значительный световой
поток Световой поток от конденсора сходится на входном зрач-
зрачке проекционного объектива. Объектив и конденсор должны
<)ыть согласованы так, чтобы обеспечивалось резкое изображе-
изображение предмета и возможно полнее использовался световой
поток,'проходящий через конденсор.
95
Схема проекционного устройства

Задачи
145
4J. Чему равен диаметр, изображения Солнца,
образуемый вогнутым зеркалом с радиусом
кривизны 10 м? Угол, под ^которым виден
диаметр Солнца с Земли, равен 32.
4.2. Монета лежит в воде на глубине h. На какой
глубине она кажется для наблюдателя, смот-
смотрящего в вертикальном направлении сверху
через поверхность воды? Показатели пре-
преломления воды и воздуха соответственно
« = 1,33 и п' = 1.
4.3. Микроскоп с фокусным расстоянием объек-
объектива/об =4 мм и окуляра/о* = 25 мм и рас-
расстоянием между их фокусами /=200 мм ис-
используется в качестве проекционного. На
каком расстоянии от окуляра необходимо
расположить экран, чтобы получить изобра-
изображение объекта с увеличением М = 2000?
4.4. Радиус кривизны вогнутой поверхности плос-
плосковогнутой линзы равен 5 см, толщина лин-
линзы 0,5 см. Луч падает на линзу со стороны
вогнутой поверхности на расстоянии 1 см
от оси, имея найлон 0,1 рад к оси. Найти
расстояние от оси до точки выхода луча из
линзы и его угол наклона.
4.5. Двояковыпуклая линза (см. рис. 75), пара-
параметры которой п = 6, г2=—3, Ai =1,5, п\ =
= 1,5, находится в воздухе (т =1).Найти фо-
фокусное расстояние линзы и положение кар-
кардинальных плоскостей.
4.6. Оптическая система (см. рис. 78) характери-
характеризуется следующими данными: /i = 30, f2 =
= —20, J=24. В приближении тонких линз
найти параметры оптической системы. Опре-
Определить увеличение.
4.7. Луч, выходящий из плоскопараллельной плас-
пластины, параллелен падающему на нее лучу.
Толщина и показатель преломления материа-
материала пластины равны d и п. Найти боковое сме-
смещение луча, вышедшего из пластины.
4.8. Световод круглого сечения диаметром d на-
находится в воздухе. Чему равен минимально
допустимый радиус кривизны внешней стен- .
ки световода? Показатель преломления ма-
материала световода п.
4.9. На прозрачный шар радиусом R с показате-
показателем преломления п падает вертикальный луч
света на расстоянии d<R от вертикального
диаметра. При каких значениях п и d точка
пересечения луча с вертикальным диаметром
шара находится внутри шара?
4.10. На стеклянную полусферу радиусом R, ле-
лежащую плоской поверхностью на столе, вер-
вертикально падает пучок света круглого сечения
радиусом r<R. Ось пучка совпадает с вер-
вертикалью, проходящей через центр основания
полусферы. Чему равен радиус светлого пят-
пятна на столе?
4.11. Между двояковыпуклой линзой и зеркалом,
на котором получается действительное изоб-
изображение, помещается прямоугольный сосуд
с прозрачными стенками. Внутри сосуда на-
налита вода (п = 1,33). В воду опускается другой
сосуд дном вниз так, что через его верхние
края вода внутрь сосуда не заливается Вто-.
рой сосуд тоже прямоугольный, и его две
противоположные плоскопараллельные стен-
• ки перпендикулярны оптической оси систе-
системы. Две плоскопараллельные стенки большо-
большого сосуда также перпендикулярны оптичес-
оптической оси системы. После этого на экране по-
получают действительное изображение точки,
расположенной на оптической оси. Стенки
сосуда, опущенного в воду, сделаны из тон-
тонкого стекла (и = 1,5). Поворотом опущенного
в воду сосуда вокруг вертикальной оси мож-
можно изменять угол 9пд между нормалью к его
плоской вертикальной поверхности и опти-
оптической осью. При некотором угле 6кр изобра-
изображение точки исчезает. Найдите этот угол.
4.12. Призма Находится в воздухе. Показатель
преломления материала призмы п = 1,5, углы
при основании 45°. Луч света падает на боко-
боковую поверхность по нормали к ней. Найти
коэффициент пропускания призмы.
4.13. На поверхности воды (и = 1,33) плавает круг-
круглый диск" радиусом R. К центру диска на
очень тонкой нити подвешен тяжелый гру-
грузик малого размера, который вытягивает
нить по вертикали. Расстояние от поверх-
поверхности воды до грузика к Толщину диска
считать исчезающе малой. При каком усло-
• вии грузик будет виден наблюдателю, нахо-
. дящемуся в воздухе?
4.14. Чему равен минимальный угол отклонения
луча, прошедшего через равностороннюю
призму (и = 1,5)? Каким станет минималь-
минимальный угол отклонения, если призму погрузить
в воду (и = 1,33)?
4.15. Экран расположен на расстоянии / = 2,5 м
от вогнутого зеркала с радиусом кривизны
г2 =—5 м. На каком расстоянии от зеркала
необходимо поместить небольшой предмет,
чтобы получить его четкое изображение на
экране, и каково при этом увеличение?
4.16. Узкий пучок света падает по нормали к по-
поверхности прозрачного шара, находящегося

в воздухе. При каком показателе преломле-
преломления вещества шара пучок света' фокусируется
на противоположной поверхности шара?
4.17. Выведите формулу для определения фокус-
фокусного расстояния системы из двух тонких
линз с фокусными расстояниями /j и /ij на-1
холящихся на расстоянии d друг от друга.
4.18. Плоскопараллельная пластинка толщиной d
помещена между линзой и изображением
• предмета. Показатель преломления материа-
материала пластинки п>\. На какое расстояние
в'результате этого переместится изобра-
изображение?
4.19. Объектив фотоаппарата изготовлен из двух
тонких линз — шюсковогнутой, сделанной из
стекла с показателем преломления nh и дво-
двояковыпуклой, сделанной из стекла с показа-
показателем преломления п2. Радиус кривизны вог-
вогнутой поверхности плосковогнутой линзы R.
Радиусы кривизны поверхностей двояковы-
двояковыпуклой линзы R и R'. Поверхности линз с
радиусом кривизны R соприкасаются. Опре-
Определить фокусное расстояние объектива фото-
фотоаппарата.
4.20. Телеобъектив состоит из двух линз — соби-
собирающей с фокусным расстоянием 20 см и
расположенной сзади нее на расстоянии
15,5 см рассеивающей линзы с фокусным рас-
расстоянием 5 см. Телеобъектив направлен на
башню высотой 30 м, расположенную на
расстоянии 3 км. Какой величины будет
изображение башни и каково расстояние от
первой линзы до изображения?
4.21. Линза представляет собой стеклянный шар
радиуса R. Показатель преломления стекла п.
Доказать, что главные плоскости этой линзы
совпадают и проходят через центр шара.
Найти фокусное расстояние линзы.
4.22. Расстояние между вогнутым сферическим
зеркалом радиуса R и экраном равно d.
На каком расстоянии от сферического зер-
зеркала на оси оптической системы необходимо
поместить маленький объект, чтобы полу-
получить его четкое изображение на экране? Какое
при этом будет увеличение?
Ответы
4.1.47 мм. 4.2. h'=— л'й/л= —0,75ft. 4.3. А%б/ок//+ /окA -/"«/О =1,028 м. 4.4. I см; 0,0 рад, 4.5."
/=4,26; /я-0,72; /# = —0,36. 4.6. 1Н = —51*42; Jiff* —34,28;=% = —94,28; //=8,58; Л/=—1,67. 4.7.
dsm(Bna~ enp)/posGnP. 4.8. d/(л— 1). 4.9..(<//tfj2 > 1 — (л2 — 1J/4; V2<"<2- 4.IU (г/и)/{[1—
-('•/RJ]I/2[«2-(r/KJl1%>/i?J}.,4iU 48°36'. 4.l? 6,92 4.13. h > R Jn2 - 1 w 0.882K. 4.14. 37°;
8°27'1^027^^
-nx)/R-tln2-\)/R>]-\ 4.20. 2 cm; 60,5 см?'4.21. nR/[2(n~l)]. 4.22. R/B-R)' -B-R)/R

Основная идея:
интенсивность' волны,
являющейся результатом
суперпозиции двух
пли нескольких волн,
определяется
соотношением их фаз
и поляризованностей.
Интерференция

148
5
§ 26
Двухлучевая интерференция, осуществляема»
делением амплитуды
Выводится общая формула для двухлучевой интерференции
и изучаются ее применения в схемах опытов,
с делением амплитуды. Изучается видимость
интерференционной картины для различных условий экспериментов
Обсуждается временная когерентность.
Определение интерференции. Интерференцией называется изменение средней плотности потока
энергии, обусловленное суперпозицией электромагнитных волн. Поскольку [см. C.4)] плотность
потока энергии и объемная плотность энергии пропорциональны квадрату амплитуды электро-
электромагнитной волны, а коэффициенты пропорциональности постоянны для заданной среды, будем
характеризовать плотность потока энергии и объемную плотность энергии монохроматической
волны величиной
/= <ReE
= 1/2Ке(Е*Е) = >/2Е20 ,
B6.1)
называемой интенсивностью света. В B6.1) использована формула F.19), причем е0 является
действительной величиной — амплитудой световой волны. Умножив B6.1) на е, получим сред-
среднюю объемную плотность энергии, а умножив на "г;к, получим плотность потока энергии, где
е — диэлектрическая проницаемость среды, а и — скорость света в среде.
Интенсивность при суперпозиции двух монохроматических волн. БуДем считать, что обе волны
поляризованы линейно в одном и том же направлении и имеют одинаковые амплитуды. Тогда
их можно, представить в виде
причем Ео предполагается Действительной величиной.
В результате суперпозиции волн напряженность электрического поля равна
а интенсивность на основе B6.1) дается формулой
/= <Re(?, + E2)Re(E1 + Е2)> = х/2 Re[(E*+Ef) (?, +Е2)\ =
*Ei + Е*2Е2
B6.2)
B6.3)
B6.4)
где использовано соотношение F.19). Из B6.2) следует
Е*ЕХ = Ei, Е*Е2 = Ei, EtE2 = Е2ф '(ф* тч>.) ,
и поэтому
ф1>
4-cos Ъ) = 2/оA 4- cos 6)',
B6.5)
где Й = ф2—<pi; /о =Ei/2 — интенсивность каждой из световых волн, интерференцию которых
выражает формула B6.5).
Соотношение между суммарной интенсивностью и слагаемыми интенсивностями зависит
от разности фаз между волнами. Если складываются волны различных амплитуд
Ei = ?oie-'(CM-4"), Е2 = ?02е -цт-92) > B6.6)

Ык
¦So"
96
Схема деления амплитуды волны
в интерферометре Майкельсона
то Е*Е\ =Е2о\, Е*Ег =Е%2,
= ?'o2jE'oie~'(92~'(pi), поэтому формула B6.4) принимает вид
Е*Ег
+Е02
B6.7)
где I\=Eoi./2, h=Eo2/2 — интенсивности Слагаемых волн.
Из B6'.7) видно, что суммарная интенсивность изменяется от
минимального значения
/мин =(%Д7—
(cos 6 =—1)
B6.8)
до максимального
149
§26
/мажс= (/П + /ЬJ (COS C> = 1). B6.9)
Способы получения когерентных волн в оптике. Чтобы осу-
осуществить двухлучевую интерференцию, необходимо иметь две
монохроматические волны одинаковой частоты. Такие волны,
по определению, имеют бесконечную продолжительность по
времени. Ясно, что в природе они не существуют. Поэтому при-
приходится ограничиться квазимонохроматическими волнами.
Можно получить волны, пригодные к интерференции, если
они возникают в результате разделения одной и той же волны
на две части. Обе части волны в отношении изменения их фазы
по времени являются точными копиями исходной. Однако пол-
полной аналогии с интерференцией монохроматических* волн здесь
не получится, поскольку каждая из волн имеет конечное время
когерентности (см. § 13), в течение которого эти волны дейст-
действительно, могут интерферировать. Поэтому картина интерфе-
интерференции монохроматических волн является лишь первым при-
приближением в изучении интерференции волн от реальных источ-
источников.
Получение волн для реализации интерференции в оптике
осуществляется двумя способами: 1) делением амплитуды вол-
волны; 2) делением фронта волны.
Сущность этих способов ясна из рис. 96 и 97. На рис. 96'
изображена схема интерферометра Майкельсона, с помощью
которого осуществляется интерференция делением амплиту-
амплитуды волны. Волна, исходящая из источника 50, падает на полу-
полупрозрачную пластинку О, расположенную под углом 45° к
направлению распространения луча. На пластинке волна раз-
разделяется на две части: отраженная волна идет в направлении
к Аг, а прошедшая через пластину — в направлении А\. После
отражения от зеркал А\ и А2 они снова частично отражаются,
а частично проходят через пластинку О. Волны, распространяю-
распространяющиеся в направлении Д могут между собой интерферировать.
Ясно, что на пластинке О происходит деление амплитуды,
поскольку фронты волн на ней сохраняются, меняя лишь на-
направление своего движения.

150
МММ
5
» ^ ?
'&; >
5'"'У1, ;; 1 $j;. ^:, f/. л^:.":?:
97
Схема деления фронта волны эк-
экраном с двумя щелями
На рис. 97 изображена схема деления фронта волны. Волна
от источника падает на непроницаемую перегородку, в которбй
имеются две щели: А\ и Аг. Те части фронта волны, которые
попадают на непроницаемые части перегородки, отражаются
от нее или поглощаются. К экрану D проходят лишь те части
фронта исходной волны, которые попадают на щели А\ и Аг.
После щелей распространяются две волны, которые могут
между собой интерферировать. Ясно, что экран делит фронт
волны на части, откуда и происходит название этого способа
получения интерференции волн.
Интерференция монохроматических волн, распространяющих-
распространяющихся строго вдоль оси интерферометра Маикельсона. Разность
хода лучей приобретается за счет разницы в длинах плечей 1\
и /2 интерферометра Маикельсона:
от
Возникшая при этом разность фаз равна
B6.10)
B6.11)
В этом расчете не приняты во внимание изменения фаз волн при
отражениях от зеркал А и В, отражениях и преломлениях в
пластинке О и за счет распространения света внутри пластины.
В принципе эти факторы нетрудно учесть. Однако здесь это не
делается, поскольку их учет никаких интересных для интерфе-
интерференции моментов не содержит.
Считаем, что при каждом падении волны на пластину О
плотность потока энергии делится на две равные части. Есл"и
амплитуда исходной волны Ео, то в направлении D в резуль-
результате двух падений волны на пластину О распространяются
волны с амплитудами Ео/2:
98
Векторные диаграммы сложения
комплексных амплитуд волн, от-
отразившихся от пластины и про-
прошедших через нее

'(ш-<Р1) , Ег = 7г?ое -^<«*-ч>.»> , B6.12) 151
причем ф2 — Ф1 =5. Отсюда для интенсивности на экране D в соответствии с B6.5) получаем """"""
/ = >UEi(l + cos5) = 7г/оA + cos6), B6.13)
где Io =Eq/2 — интенсивность входящей в интерферометр волны от источника So. Таким обра-
образом, при 5 = Bт+1)я (т = 0, ±1, ±2, ...) интенсивность равна'нулю. Это означает," чтб ника-
никакого потока энергии в направлении экрана D от пластины О нет, т. е. весь поток энергии возвра-
возвращается в направлении источника So. Если же 5 ±=2/пл(т =0, ±1, ±2, ...), то интенсивность на
экране D равна Jo, т. е. вся энергия, идущая от 50> попадает на экран и нет потока энергии, воз-
возвращающегося в направлении источника 50. Таким образом, поток энергии к D зависит отб.
Это можно понять, трлькох рассматривая все волновое1 поле как целое. Нельзя представить
рассматриваемое явление как результат последовательности событий, происходящих на лучах.
Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в квантовой механике и дискутируется
обычно в связи с парадоксом Эйнштейна—Подольского—Розена. Поэтому необходимо ее
кратко описать.
С учетом закона сохранения энергии для лучей (но не граничных условий для волн') вектор-
векторная диаграмма сложения комплексных амплитуд лучей, отразившихся от пластины и прошед-
прошедших через нее, изображена на рис. 98, а, где Е0,ЕОТ, Епр—комплексные амплитуды падаю-
падающего, отраженного и прошедшего луча, |?от| = |?пр1 = Щ>1 /yj2, Е0=ЕОТ+Епр. Если разность
хода лучей при возвращении к пластине составляет целое число длин волн, то фазовое отноше-
отношение между ними, принятое на рис. 98, а, *не изменится и каждый из них разделится на два
[рис. 98, б]; (ЕоТ)от и (Епр)ог — комплексные амплитуды отраженных лучей, которые при первом
прохождении пластины были соответственно отраженным и преломленным; (Ет )пр и (Епр)вр —
комплексные амплитуды преломленных лучей, которые при первом прохождении пластины
были соответственно отраженным и преломленным: ?от - (Еот)оГ + (Еот)вр, Епр = (Епр)от +
+ (?пр)пр, |(?от)пр1=1(?от)от| = Еог /у/2\ |(?Пр)от1 = 1(?пр)пр| =|Жпр|/ у/2.
Из рис. 98, б видно, что (?от)от + (?Пр)пр =0, СЕОт)пР + (?„Р)от =2(?от)пр =2(?пр)от-
Следовательно, в направлении источника So (см. рис. 96) луча нет, а в направлении наблю-
наблюдателя D имеется луч с амплитудой \(Еог)вр + (Евр)от\ = 2|(?1От)пр| = V21^ОТ1 = ^о> т- е- с ампли-
амплитудой первоначального луча. В уравнении B6.13) это соответствует cos 8 = 1.
В этом рассуждении, чтобы избежать понятия волны, необходимо было понятия фазы
и амплитуды отнести к точке луча. При этом уже разделение луча на два содержит в себе проти-
противоречие с поведением фаз при делении волнЛонятия фазы и амплитуды нельзя отнести кточке
луча. Противоречие сохраняется и в том случае, когда луч делится с учетом граничных условий
для волн. В этом случае на диаграмме рис. 98, а (для напряженности электрического поля, пер-
перпендикулярной плоскости -падения) направление комплексной амплитуды^ Еот меняется на
обратное, Ео + Еот = Евр и соответствующим образом изменяется диаграмма на рис. 98,6.
Это означает, что некоторые проблемы интерпретации квантовой механики содержатся уже в
классической физике.
Интерференция монохроматических волн, распространяющихся под углом к оси интерферо-
интерферометра. Чтобы рассчитать разность хода между лучами, приходящими в D и порожденными
лучом, который от So распространяется под углом к оси SoO (см. рис. 96), проще всего построить
эквивалентную схему изображения точечного источника в зеркалах At и Аг, которые наблю-
9 Образование интерференционной картины нельзя представить
как результат последовательности событий, происходящих на лу-
лучах.

152 даются в Д причем все элементы системы удобно расположить
вдоль одной оси (рис. 99). А\ представляет зеркало А\
5 (см. рис. 96) интерферометра Майкельсона, а А'г— зеркало Аг.
Точечный источник ?Ь (см. рис. 96) представлен на рис. 99 точ-
точкой So. Точки Si и Si являются изображениями точки ?0 в зер-
зеркалах Аг и А\ соответственно. Расстояние между зеркалами А \
и Аг равно d = 11 — 1г, а расстояние между изображениями S\
и ?2 в два раза больше. Отсюда для разности хода получаем
формулу
A=dcosQ = 2(li —/2)cos9. B6.14)
Разность фаз между лучами равна
6 = к А = DтгД) (/i — /2) со s G. B6.15)
Условие максимума интенсивности при интерференции (d>0)
6 = 2пт (аи = 0, 1, 2, 3...) B6.16)
или, поскольку 6 = 2nh/X,
А^пгк (т = 0, 1, 2, 3 ...). B6,17)
От точечного источника, расположенного на оси OSo, лучи
аксиально-симметрично расходятся под всевозможными угла-
углами G. Разность хода зависит только от этого угла (все осталь-
остальные параметры фиксированы). Следовательно, картина акси-
аксиально-симметрична Лучи, идущие под углами, соответствую-
соответствующими условиям B6.17), образуют при интерференции окруж-
. иость максимальной интенсивности Таким образом, интер-
интерференционная картина состоит из чередующихся между собой
окружностей изменяющейся интенсивности (интерференцион-
(интерференционных колец, рис. 100). Целое'число т в B6.17) называется поряд-
порядком интерференции. Подставив в B6.17) выражение для А из
B6.14), запишем условие B6.17) в виде
2d cos 9 = nik.
B6.18)
Отсюда видно, что уменьшающимся значениям т соответ-
соответствуют увеличивающиеся значения угла G, т.-е. кольца больших
радиусов соответствуют меньшим порядкам интерференции.
При т=\ равенство B6.18) удовлетворяется при углах G, близ-
близких к п/2. Это означает, что первый порядок интерференции
теоретически реализуется кольцом очень большого радиуса,
практически равного бесконечности, и наблюдение начина-
начинается с кольца большого радиуса, соответствующего высокому
порядку интерференции. С увеличением порядка радиус интер-
интерференционного кольца уменьшается.
При увеличении разности хода d полосы интерференции
размываются и интерференционная картина пропадает.
Причина размывания полос интерференции. При интерферен-
интерференции от строго монохроматического источника света никакого
размывания полос при увеличении разности хода ,не должно
быть. Причина размывания связана с конечным временем и дли-
99
К расчету разности хода лучей
в интерферометре Майкельсона
100
Изменение интенсивности излуче-
излучения в интерферометре Майкель-
Майкельсона
D
101
Интерпретация смазывания кар-
картины интерференции конечной дли-
длиной цуга волн

102
Интерпретация смазывания кар-
картины интерференции немонохрома-
тичностью излучения
ной когерентности света! излучаемого источником Объяснить
это можно двумя полностью эквивалентными способами.
Если интерпретировать волну с конечным временем и дли-
длиной когерентности как гармоническую волну определенной
частоты и конечной' продолжительности, то две интерферирую-
интерферирующие волны с разностью хода представляются, аналогично,
отрезками синусоид, сдвинутых (в пространстве и времени)
друг относительно друга (рис. 101). Интерференционный рклад,
пропорциональный сое 6, возникает лишь за счет участков волн
ВС (рис. 101, я), а в остальное время, соответствующее участ-
участкам АВ и CD, интерференционный член отсутствует и наблю-
наблюдается лишь сложение интенсивностей соответствующих волн.
Таким образом, благодаря сдвигу синусоид интенсивность
интерференционной картины ослабляется и суммарная интен-
интенсивность приближается к сумме интенсивностей двух интерфет
рирующих волн. Когда разность хода становится столь боль-
большой, что отрезки синусоид на экран приходят в разное время
и не перекрываются (рис. 101, б), интерференционная картина
полностью пропадает.
Другая интерпретация волны с конечным временем и дли-
длиной когерентности состоит в том, что эта волна немонохрома-
немонохроматическая, а ширина ее спектра связана с протяженностью волны
по времени соотношением A2.13), в котором Af при рассматри-
рассматриваемой интерпретации играет роль времени когерентности.
От различных частот немонохроматической волны в интерфе-
интерферометре Майкельсона образуются кольца различных радиусов
(рис. 102). На рис. 102, а изображены интерференционные коль-
кольца одинакового порядка от двух волн. Сплошные кольца соот-
соответствуют интерференции волн с меньшей длиной. Видно, что
максимумы и минимумы интерференционной картины волн
различной длины сдвинуты друг относительно друга и, следо-
следовательно, интерференционная картина размывается. При до-
достаточной разнице в длинах волн максимумы в интерференцион-
интерференционной картине одной длины волны «опадают на минимумы дру-
другой, и интерференционная картина полностью пропадает
(рис. 102, 6).
Подтвердим эквивалентность этих подходов количествен-
количественно. В направлении, определяемом углом 6, интерференционная
картина полностью размывается при разности хода падающих
лучей, равной длине когерентности, т. е.
Id cos в~ 1КОГ = стког.
С другой стороны, картина размывается при совпадении мак-
максимума от волны длиной Х + АХ с минимумом от волны дли-
длиной X. Это осуществляется при
2dcosQ = m(X+AX)^(m+i/2)Xi т.е. тАХ = Х/2, Id cos 9 =
= Х(Х+АХ)/BАХ) « X2I{2AX) =Xv/B|Av|) ~ стког, где учтено,
что АХjX — —Av/-v, а соотношение Avt ** 1 определено лишь
с точностью до множителя порядка 1.
153
§26

154 Интерференция немонохроматического света. Если излучение немонохроматично и имеет
—- непрерывный спектр, то в интервале волновых чисел от к до k+dk интенсивность пропорцио-
5 нальна интервалу dfc:
dI0=(\/n)F(k)dk, B6.18')
где множитель \/п введен для того, чтобы согласовать F(k) с определениями, используемыми
в теории интегралов Фурье. В соответствии с B6.13) в результате интерференции при разности
хода лучей А интенсивность описывается формулой
di = l/2d/o(l +cos5) =[1/Bтг)] F(k) A + coskA)8k. B6.19)
Полная интенсивность равна интегралу от B6.19) по всезУГ волновым числам:
/(А) = ! d/ = [1/Bтг)]! F(k) (I + cos kA)dk.
к = 0 0
B6.20)
Спектр волн, образующих линию излучения, сосредоточен в очень малом интервале частот
вблизи частоты с максимальной плотностью излучения даже тогда, когда ушпрение линии от-
относительно велико (см. §10). Поэтому F(k) в B6.20) отлична от нуля лишь в узком интервале
волновых чисел вблизи ко, соответствующего центру' линии излучения. Переходя в B6.20). к
новой переменной интегрирования
к' =к — ко, B6.21)
можно пределы интегрирования по к '• считать равными +«>й записать B6.20) в виде
оо
/(А) = [1/Bтг)]! F(k0 + к') {1 + cos [(ко + к1) A) }dk' =
— оо
= [1/Bти)]Тф(/с') {1 + cos [(ко +к')А] }dk', B6.22)
— оо
где Ф(к') — F(ko + к'). С помощью тригонометрического соотношения cos [(ко + к')А] =
= cos (feoA)cos (к'А) — sin (koA) sin (к' А) преобразуем B6.22) к равенству
1(А) c=Q + С cos р — S sin
B6.23)
где
Р=/соД, (а)
= [l/Bn)]\<P(k')dk' (б)
С = [\1Bп)]]ф(к') cos (k'A) dk', (в)
S =[1/Bтг)] 1ф(к') sin (fc'A)dfc'. (г)
B6.24)
Интерференция определяется разностью фаз интерферирующих
лучей.
В^оптике когерентные лучи получают делением амплитуды и деле-
ниен фронта волны. Интерференцию также можно наблюдать от
двух независимых лазерных источников.
Размывание полос интерференции в интерферометре Майкельсона
обусловлено конечностью времени и длины когерентности света,
излучаемого источником, т.е. обусловлено' временной когерент-
когерентностью.

103
Зависимость интенсивности излу-
излучения от А при различных значе-
значениях видимости; V = 0 (а); V **
= 0,5 (б); V = 1 (в)
о
о
а б в
Из B6.23) видно, что интенсивность изменяется в зависимости от Д по гармоническому за-
закону. Выражение B6.23) удобнее представить в виде
/(Д) =Q 4- VC'24-S2 cos (p +a),
B6.25a)
где а определяется из равенства
cos а = С/ у/С2 4-S2 , sin а = S/ Vc2 4-S2 . B6.256)
Ясно, что максимумы и минимумы интенсивности достигаются соответственно при
cos(p4-a) = l и cos(p4-a) =—1:
/макс =Q+ У/O+S2 , Imhh=Q— VC2+S2 . . B6.26)
Чем больше разницд между максимальной и минимальной интенсивностями, тем отчетли-
отчетливее интерференционная картина. Отчетливость интерференциотюй картины количественно
характеризуется ее видимостью
V— (./макс — /мин)/(./макс 4- /мин).
B6.27)
Максимальная видимость (V~\) достигается при 1ман =0', а минимальная (К=0) — при
/макс = /мин. т. е. когда интерференционная картина отсутствует. В общем случае для види-
видимости из B6.27) на основании B6.26) можно написать выражение
V= VC2 + S2/Q. . B6.28)
Изменение интенсивности / в зависимости от Д при различных значениях видимости пока-
показано на рис. 103, а, 6, в.
Принцип Фурье-спектроскопии. Равенство B6.20) при Д=0 принимает вид
/@)=2[l/B7r)]jF(/c)d/c,
о
поэтому B6.20) можно представить в виде
/(*) = 7г/@) 4- [1/Bтг)] jV(/c)coskxdk,
где х=4г .Из B6.30) следует, что функция
Д*)=/(;с)-/@)/2,
называемая интерферограммой, связана с F(k) равенством
J(x)=-L \F(k) cos kxdk,
2K Q
B6.29)
B6.30)
B6.31)
B6.32)
155
§26

156 которое является интегралом Фурье для действительных Р(к).
Обратное к B6.32) преобразование Фурье имеет виЛ
F(k)=4jf(x)coskxdx.
B6.33)
Таким образом, представив интенсивность интерферограм-
мы в виде функции разности хода лучей Д =х и вычислив ич
B6.31) f{x), с помощью B6.33) получаем спектральный состав
излучения: Такой метод изучения спектров называется Фурье-
спектроскопией. В Фурье-спектрометре создается изменяющая-
изменяющаяся разность хода лучей и регистрируется соответствующая ин-
интенсивность интерферирующих лучей. После этого, обычно
с помощью'ЭВМ, получается вся необходимая информация о
спектре излучения.
Из B6.31) видно, что кривые 1(х) и f(x) имеют одинаковую
форму и отличаются лишь нулевой точкой отсчета. На рис. 104
в качестве примера показано соотношение между этими кривы-
кривыми. Поскольку результатом измерения в эксперименте является
1(х), а не f(x), то /(х) рассматривается лишь как вспомогатель-
вспомогательная величина для вычисления спектра и спектр соотносится не
с /(*), а с 1(х). На рис. 105 показаны характерные графики,
иллюстрирующие соотношение между спектром и интенсив-
интенсивностью двухлучевого интерференционного сигнала.
Видимость при гауссовой форме линии. Формула A0.17),
описывающая гауссову форму линии как функцию частоты,
может быть выражена через волновые числа Gс=ю/с) и пред-
представлена в виде
1
(/с — /соJ
2т"
B6.34)
где о' =стс [см. A0.17)]. Поэтому Ф(к'), входящая в формулы
B6.22) —B6.24), равна
[— /с'2/Bст'2)] B6.35)
Учитывая, что Ф(к') = Ф(—/с'), из B6.24г) получаем 5=0
и поэтому
С ! ехр [—/с'2/Bа'2)] cos' (k'A)dk'
у _¦—
S
] exp[/c'2/Bcr'2)]d/c'
= ехр(—2tt2AV2),
B6.36)
/(X)
104
Соотношение между интенсивно-
интенсивностью 1(х) н функцией Дх)
V =
¦*ма]
" /мин
т. е. видимость описывается гауссовой функцией:

105
Соотношение между интерферен-
интерференционным сигналом и спектром для
монохроматического излучепня(а),
узкой (б) и широкой (в) линии излу-
чепия
157
§26
Видимость при лоренцевой форме линии. В соответствии с
(9.39) имеем
B6.37)'
') = А1(к'2+а2),
где я = у/Bс), А — постоянная. Отсюда 4=0,
2fl
B6.38)
Учитывая, что Q=C(A=0), для видимости получаем
О Что такое видимость интер-
интерференционной картины?
В чем состоит принцип мето-
метода Фурье-спектроскопии?
Каким образом контролиру-
контролируется качество изготовления
зеркал, линз и призм с точ-
точностью до долей длины вол-
волны?
= C/Q=exp(—M).
B6.39)
Из сравнения B6.36) и B6.39) заключаем, что видимость
. К(Д) интерференционной кар!ины, соответствующей малым Д.
лучше для гауссовой формы линий, а соответствующей боль-
большим А—-лучше для лоренцевой формы линий (рис. 106).
Интерферометр Майкельсона с линейными полосами. Из соот-
соотношения для разности фаз
6 = 2пА/к = DлД) (li —12) cos 6
следует, что при больших разностях хода лучей расстояние
между полосами мало и полосы сливаются друг с другом.

158 Для наблюдения интерференции при этих условиях пользуются
несколько модифицированным интерферометром Майкельсо-
5 на (рис. 107). Зеркало на пути одного из лучей интерферометра
Майкельсона не строго перпендикулярно лучу. Следовательно,
строго коллимированный пучок (т. е. плоская волна) падает
на зеркало под небольшим углом и разность хода зависит от
угла между лучами, который изменяется в плоскости падения
луча. Поэтому полосы интерференции являются прямыми ли-
линиями и не сливаются друг с другом при большой разности
хода.
Интерференционная картина от белого света. Каждая длина
волны производит в интерферометре свою систему полос,
причем полосы наблюдаются лишь при небольшой разности
хода лучей в несколько длин волн (малая длина когерентно-
когерентности!). При нулевой разности хода лучей интерференция каждой
длины волны происходит с одинаковым усилением и поэтому
в центре наблюдается белое пятно. При разности хода лучей
Д=А/2 волны в результате интерференции гасятся. Поэтому
белое пятно оказывается окруженным темной кольцевой об-,
ластью. Дополнительная," разность хода лучей, которая обра-
образуется р результате прохождения пластины, разделяющей лучи,
или дополнительными прозрачными пластинами на пути лучей,
может сделать центральное пятно темным, а темную кольце-
кольцевую область — светлой.
За темной кольцевой областью интерференционные круго-
круговые полосы различных длин волн начинают перекрываться.
В результате образуются окрашенные кольца. Далее максиму-
максимумы и минимумы интенсивности интерференционных колец
различных порядков перекрываются и вся картина смазыва-,
ется — никаких колец не наблюдается. '
По интерференционной картине от белого света находят
порядок наблюдаемой интерференции. Определить порядок
интерференции по картине интерференции от монохроматиче-
монохроматического света невозможно, хотя положение интерференционных
колец и можно фиксировать с большой точностью.
В связи с этим сделаем несколько замечаний о юстировке
интерферометра Майкельсона. В разделительной пластине О
(см. рис. 96) конечной толщины отражающей является обычно
дальняя от источника поверхность. Сначала с помощью линей-
линейки уравниваются расстояния от центра ближней к источнику
поверхности пластины до центров зеркал. Луч, идущий к D
после отражения от А2, проходит через разделительную пласти-
пластину три раза, а отраженный от A i — только раз. Поэтому для
выравнивания оптических длин в плечо 1Х под углом 45° ста-
ставится пластина, идентичная разделительной, но без отра-
отражающего покрытия. Через эту пластину Луч проходит дважды.
Далее на оси прибора между источником ?q и О помещают
маленький («точечный») предмет, два изображения которого
в зеркалах Ах и А2 наблюдаются из D. После этого от источ-
. ника на разделительную пластину направляется монохрома-
106
Заввснмость зпдпмости от Л- для
излучения с гауссовыми (сплош-
(сплошные) и лорснцевыми (пунктир) ли-
ндямн
«*-! *¦
107
Модифицированный интерферо-
интерферометр Майкельсона, в котором по-
полости интерференции линейны
108
Схема интерферометра Маха —
Цендера

109
Схема интерферометра Твайма-
на — Грина для проверки качест-
качества призмы Пг
тический пучок света, поворотрм зеркал добиваются совмещения между собой изображений
предмета и совмещения предмета с центром возникающей системы интерференционных колец,
а затем перемещением зеркал добиваются максимизации радиуса интерференционных колец,
что соответствует равенству нулю разности оптических длин путей. Дополнительный контроль
проводится освещением белым светом.
Явление интерференции в виде возникновения цветной окраски тонких пленок было впервые
обнаружено Р. Гуком A635—1703) и Р. Бойлем A627—1691).
Интерферометр Маха — Цендера. Схема этого интерферометра показана на рис. 108. Полу-
Полупрозрачной пластиной П\ луч света % разделяется на два После отражения от зеркал А\ и А г
лучи света снова соединяются полупрозрачной пластиной П2 в результате частичного отраже-
отражения и прохождения через нее. Интерференция этих лучей приводит, к возникновению картины,
аналогичной наблюдаемой в интерферометре Майкельсона. Если на пути одного из лучей по-
помещена ячейкаQ с газом или веществом, показатель преломления которого отличен от единицы,
то интерференционная картина изменится. По изменению интерференционной картины и длине
пути светового луча в ячейке можно с большой точностью определить относительный показа-
показатель преломления, что позволяет изучать физические процессы, которые приводят к изменению
показателя преломления.
Интерферометр Тваймана — Грина используется для контроля качества различных компо-
компонент оптических приборов. Схема интерферометра для исследования качества призмы пока-
показана на рис. 109.
От точечного монохроматического источника So, помещенного в фокусе линзы Lu образу-
образуется плоская монохроматическая волна, которая пластиной 771 разделяется на две. После отра-
отражения от зеркал А\ и Аг они сводятся пластиной П\ и направляются к линзе Ьг- Если пластина
П\ и зеркала Ах и А'г оптически достаточно совершенны и сохраняют постоянство разности
хода различных лучей пучка с точностью до долей длины волны, то на апертуре линзыХ2 будет
наблюдаться равномерная освещенность. Если призма П2 является оптически высокосовершен-
высокосовершенной, то разность хода интерферирующих лучей сохраняется постоянной по всему сечению
пучка и, следовательно, апертура линзы L2 будет по всему сечению освещена равномерно.
Если же равномерность освещения нарушается и наблюдается интерференционная картина,

160
5
по
Схема интерферометра Тванма-
на — Грина для проверки качест-
качества линзы
то призма недостаточно оптически совершенна. По наблюдае-
наблюдаемой инхерференционной картине определяют характер несовер-
несовершенств' призмы и устраняют их.
Проверка качества линзы осуществляется с помощью ин-
интерферометра Тваймана — Грина по схеме, показанной на
рис. 110.. Поверхность зеркала А% является сферической, отпо-
отполированной с точностью до долей длины волны. Центр сфери-
сферического зеркала находится в фокусе F исследуемой линзы L..
Интерферометр Тваймана — Грина позволяет обнаружи-
обнаруживать очень незначительные несовершенства элементов оптиче-
оптических приборов. С его помощью удается' создать почти совер-
совершенные зеркала, линзы и призмы.
Интерферометр Жамена (рис. 111). В результате отражения
лучей от передней и задней граней пластин П\ и П2 образуются
четыре луча 1—4, из которых два (луча 2, 3) пространственно
совмещены и могут интерферировать. Разность хода, возни-
возникающая между лучами, отраженными от двух стенок толстой
пластины, можно найти с помощью рис. 112. Толщина плас-
пластины— d, показатель преломления вещества пластины отно-
относительно вакуума — п. Из рис. 112 видно, что оптическая раз-
разность хода лучей равна
1 23 4
ЛЬ
-ЗУ43
hi
Схема интерферометра Жамена
A=(lAB\+jBCj)n — \
Учитывая, что
(\AB]+\BC\)=2d/coseBp,
\AD\ = 2</tg0np sin GnP, sin бпр/sin 6ПД -n,
находим
B6.40) JrtY
112
К расчету разности хода лучей,
отраженных от двух стенок пла-
пластины
Д =2d(n/cos 6Пр — tg0nP«sin6np) =
B6.41)

Разность хода лучей в интерферометре Жамена образуется в результате прохождения и 161
отражения лучей в двух пластинах: Я, и Я2. На основании B6.41) она равна
д = 2nd(cos епр , — cos епр 2), B6.42) §26
где б npi и 0пр2 — углы преломления лучей в первой и второй пластинах.
Пример 26.1. Интерференционная картина в интерферометре Майкельсона наблюдается в
фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием/. Определить радиус гр светлого кольца,
если известно, что центральное светлое пятно соответствует порядку интерференции то. Длина
волны Л,.
Очевидно, что разность длин плеч интерферометра равна 1\ — h = d = mok/2. Условие т-го
порядка интерференции имеет вид
2dcos0=w^. B6.43)
Отсюда следует, что
1 — cos QP = 1 — т/то = (то — т)/то = р/то, B6.44)
где порядок интерференции уменьшается при увеличении угла 6; р = то — т — номер р-го коль-
кольца в интерференционной картине. Учитывая, что Qp «: 1, и принимая во внимание разложение
cos,6р = 1 — 0р/2, находим из B6.44) для угла Qp отклонения луча, образующего р-е светлое
кольцо, выражение
Gp= V2p/mo . B6.45)
Радиус кольца равен
гР = 1 - /В, =fV2pJmo. B6.46)
Если порядок то интерференции не известен, а известна разность длин плеч в интерферо-
интерферометре, то вместо B6.46) находим
гр= 1 - / y/pK/d . B6.47)
Пример 26.2. Полученная в эксперименте методами Фурье-спектроскопии зависимость ин-
интенсивности 1(л:) [см. B6.30) и далее] аппроксимируется с большой точностью формулой
х2, B6.48)
где А, В, а — постоянные. Найти спектральный состав излучения.
Поскольку нас интересует только спектральный состав излучения, существенны лишь отно-
относительные изменения интенейвностей. Поэтому в качестве/(х) [см. B6.31)] можно взять
= (J(jc) — B)/A=e ~ах2 . B6.49)
Отсюда по формуле B6.33) находим
F(k) = 4 \ е-"*2 cos kxdx = 2 yfnfa e -*2/D«J) , B6.50)
т. е. амплитуды экспоненциально убывают с ростом частоты. Форма спектра зависит лишь от
относительного изменения амплитуд, и поэтому абсолютное значение F (к) в B6.50) не имеет
никакого значения, что уже было использовано в B6.49).
При практической реализации метода Фурье-спектроскопии необходимо принять во вни-
внимание, что B6.50), строго говоря, не дает точной формы спектра, потому что имеются много-
многочисленные искажения зарегистрированной интенсивности B6.48). Они обусловлены конечно-
конечностью амплитуды, несовершенством зеркал, шумовыми эффектами и рядом других факторов.
Учет всех этих факторов и-составляет главную задачу при использовании метода.
6-289

162 § 27 Двух лучевая интерференция, осуществляемая
делением волнового фронта
Изучаются применения общей формулы для двухлучевой
интерференции в схемах опытов с делением волнового
фронта. Исследуется роль, размеров источника в интерференции,
обсуждается пространственная когерентность.
Принцип Гюйгенса. При обосновании волновой теории света Гюйгенс высказал принцип, по-
позволивший ему просто и наглядно решить некоторые задачи, связанные с распространением
и преломлением света. Он состоит в следующем. Если в некоторый момент времени известен
фронт световой волны, то для определения положения фронта волны через промежуток вре-
времени At надо каждую точку фронта рассматривать как источник сферической волны и построить
около источника сферу радиусом сД t (с — скорость света). Поверхность, огибающая вторичные
сферические волны, представляет фронт волны через промежуток времени At.
Главная слабость принципа Гюйгенса в том, что он не учитывает важнейшего свойства вол-
волнового движения — явления интерференции. При учете интерференции принцип получил на-
название принципа Гюйгенса—-Френеля (см. §31).
Схема Юнга. Простейший способ деления волнового фронта изображен на рис. 97. Щели
А\ и Аг в соответствии с принципом Гюйгенса могут рассматриваться как источники волн.
Эти источники, волн порождаются одной и той же первичной волной и поэтому взаимно коге-
когерентны. Между порожденными ими волнами наблюдается интерференция.
Рассмотрим интерференцию, возникающую в результате выделения с помощью щелей
5*1 и 5*2 двух участков волнового фронта излучения от точечного источника S (рис. 113). Такая
схема интерференции была впервые осуществлена Т. Юнгом в 1801 г.
На рис. 113 изображено сечение волнового фронта и экрана со щелями плоскостью, прохо-
проходящей через точечный источник и перпендикулярной экрану и щелям. Для того чтобы картина
интерференции была одинаковой во всех плоскостях, параллельных плоскости рисунка, необхо-
необходимо вместо точечного источника взять линейный источник в виде бесконечной нити, перпен-
перпендикулярной плоскости рисунка, от которой распространяется цилиндрическая волна. Однако
если нас интересует картина интерференции лишь в плоскости рисунка, источник можно считать
и точечным.
Однако Юнг в объяснении интерференции ограничился лишь качественными соображения-
соображениями. Поэтому его идеи не получили общего признания. Волновая теория света восторжествовала
лишь после работ Френеля.
Для расчета интерференции необходимо прежде всего, найти разность хода лучей. Из-рис. 113
видно, что
А = JP+iy + d/2J - V/2 + (У - d/2J . B7.1)
В случае d< I можем записать
±d/2J = /[I +(y±d/2J/Bl2)] B7.2)
и, следовательно, с точностью до величины первого порядка по d/l находим"
Д = dy/l. B7.3)
Отсюда следует, что разность фаз между лучами равна
5 = 2тгАА = [2nd/(kf)]y, B7.4)

а изменение интенсивности в зависимости от у в соответствии
с B6.5) дается формулой
из
Схема интерференционного опыта
Юнга
114
Изменение интенсивности' излуче-
излучения при интерференции от двух
щелей для монохроматического
света без учета изменении интен-
интенсивности при дифракции
115
К расчету интерференционной кар-
«ины от протяженного источника
6*
+cos[Bnd/(k!))y]}.
B7.5)
График изменения интенсивности показан на рис. 114.
Заметим, что этот график не учитывает явлений дифракции
в каждой из щелей. Если учесть дифракцию, то интенсивности
в максимумах не будут постоянными (см- $ 33).
Интерференция при белом свете. Каждая длина волны созДает
свою систему интерференционных полос, причем центральный
максимум для всех длин волн совпадает. Поэтому централь-
центральный максимум имеет вид белой полосы. Первые минимумы
всех длин волн весьма близки и не перекрываются с интерферен-
интерференционными полосами высших порядков. Поэтому к белой цен-
центральной полосе прилегают черные полосы. Следующие ин-
интерференционные полосы по тем же причинам, йоторые были
подробно рассмотрены ранее (см. § 26), окрашены Еще более
дальние полосы смазываются, и интерференционная картина
пропадает.
Источник конечного размера. Его можно представить как
сумму некогерентных между собой точечных источников.
Пусть и — текущая координата точки протяженного источ-
источника от оси ОО, относительно которой ведется отсчёт (рис. 115).
Для простоты рассматриваем линейный источник. В соответ-
соответствии с B7.3) разность хода лучей от точки с координатой и
до точки, характеризуемой координатой у, равна
B7.6)
а возникшая за счет этого разность фаз
b = (kd/l)y + (kd/L)u (k=2nfk).
Если i(u)du — интенсивность света, испущенного с участка
источника длиной du в точке и источника, то вклад от этого
участка в полную интенсивность интерференционной картины
в точке у на основании B7.5) выражается формулой
d/O)=2i(w)(l+cos6)dw, B7.7)
где 5 дается равенством B7.6). Отсюда для полной интенсив-
интенсивности находим выражение
1(у) = 2Jj(u) (I + cos 5)d«. B7.8)
Принимая во внимание, что
cos 5 = cos (kdy/l'"+ kdu/L) == cos (kdy/Г) cos (kdu/L) —
— sin (kdy/Г) sin (kdu/L),
представим B7.8) в форме
I (у) = 2\J (и) du + 2 со s (kdy/I)\j (и) со s (kdu/L) du —
— 2 sin (kdy/f)lj(u) sin (kdu/L)du. B7.9)
163
§27

щ
5
С помощью обозначений Ш)
оо
Q = l\ i(u)du,
— оо
оо
С = 2JJ (и) со s (к du/L ) du, B7.10)
оо
S = 2 i i(u) sin (kdu/L)du
— 00 116
,~.f ii\ y/t/r -»*• \ График распределения яркости л
это выражение можно записать аналогично B6.23) или B6.25а): ' *„,„! „nmoiInrn „.,'
ИС I ОЧНИКС KOHC4I1UI v р«UМера
-м0 0 м0
/ О) = Q + С со s (/сф/О — S sin (fcflfj//),
^.0) = Q + s/C2+S2 cos [(kdy/l)+a],
B7.ll)
B7.12)
где а дается равенством B6.256).
Следовательно, интенсивность изменяется по гармоническо-
гармоническому закону, а максимумы и минимумы интенсивности равны:
/макс =B+ УС2+52, (а)
/ми„=<2— JC2+S2. (б) . B7.13)
Видимость интерференционной картины определяется соот-
соотношением B6.27), которое с учетом B7.13а) и B7.136) приводит
к выражению
B7.14)
совпадающему с B6.28).
Анализ интерференционной картины сводится к вычисле-
вычислению Q, С, S. Рассмотрим некоторые важные случаи.
Источник с однородным распределением интенсивности излу-
излучения. Распределение яркости описывается формулой
W =
О при — оо < и < —м
io » —мо <м<мо,
О » ио <и< со.
Ее график изображен на рис. 116. Длина светящегося ис-
источника равна 2 и0. По формулам B7 10) находим:
6 = 2 i iodu = 4i"owo,
—и0
С = 2 S io cos(kdu/L)du - 4iOMo sin (puo)/(p«o)»
Uo
Uo
S = 2 i io sin (kdu/L) d« = 0,
//D/0и0)
117
Распределение интенсивности в ин-
интерференционной картине от ис-
источника конечного размера
B7.15)
B7.16)

где fi=kd/L. Следовательно, формула B7.11) принимает вид
{sin(Puo)/(PMo)}cos(/cflf>>//)]. B717>
График распределения интенсивности показан на рис. 117.
В соответствии с B7.14) и B7.16) видимость выражается формулой
K=|sin (Рм0) /(Р"оI- . B7.18)
Для точечного источника ио -+0 и, следовательно, V-* 1. Э.то на основании B7.17) означает,
что источник, описываемый ступенчатой функцией B7.15), дает такие же интерференционные
полосы, как и точечный источник, но их видимость уменьшается, т. е. видимость полос зависит
иг размера источника.
Это обстоятельство позволяет сделать важное заключение:
1 измеряя видимость полос,
можно определить угловой размер источника. Практически такая возможность осуществляется
w шездном интерферометре Майкельсона.
Временная и пространственная когерентности. При анализе явлений в интерферометре -Май-
-Майкельсона необходимо было принять во внимание временную когерентность. При анализе явле-
явлений интерференции делением волнового фронта необходимо учесть корреляцию фаз по фронту
волны в одни и те же промежутки времени. Эта корреляция описывается понятием пространст-
пространственной когерентности.
Как видно из B7.18), точечный монохроматический источник (мо -*0) дает интерференцион-
интерференционную картину с видимостью V = \. Источник конечных размеров Bмо =?0), состоящий из точеч-
точечных монохроматических не когерентных между собой источников, дает интерференционную
картину с меньшей, чем единица, видимостью. Излучение источника конечных размеров не явля-
(лся когерентным, хотя оно и монохроматическое. Степень когерентности этого излучения
можно характеризовать видимостью порождаемой им интерференционной картины. Если
видимость равна нулю, то излучение полностью некогерентно, если V=\, то излучение коге-
когерентно.
При промежуточных значениях видимости излучение частично когерентно.
Когерентного излучения, для которого V= 1, не существует, хотя к этому пределу в специаль-
специальных случаях (например, излучецие лазеров в одномодовом режиме) и можно очень близко по-
подойти. Однако без специальных излучателей этот случай представляется лишь идеализацией.
Поэтому необходимо условиться, при какой видимости излучение называть когерентным
Общепринятого соглашения по этому вопросу нет. Некоторые считают, что излучение может
называться когерентным, если F = 0,5. Другие для V принимают значения 0,9; л/4; е и т. д.
В зависимости от этого получаются несколько различные величины, которыми характеризу-
характеризуется пространственная когерентность, — угол и ширина когерентности. Но это не имеет прин-
принципиального значения, потому что значения этих величин при различных определениях отлича-
отличаются множителями порядка единицы.
Угол и ширина когерентности. Значение видимости, при котором излучение принимается
когерентным, обозначим PW. Поэтому с учетом B7.18) условие когерентности принимает вид
isin (Ри0)/(Рм0I=^ог, B7.19)
где $ = kd/L. Решение уравнения B7.19) относительно Рио можно записать в форме
Рмо = ео, ' B7.20)
где Go зависит от Уког • Например, при Уког =0,5 получаем во* = 1,9.

166 Угол когерентности^ «г определяется как максимальный угловой размер источника, излу-
_—. чение которого в соответствии с принятым критерием когерентности можно считать когерент-
5 ным. Поскольку во всех представляющих интерес случаях мо «: L, угол когерентности можно
представить в виде
Фког =2uo/L, B7.21)
где uo/L должно удовлетворять равенству B7.20). Подставляя uo/L из B7.20) в B7.21), получаем
Ф ког = 20о/ (fed) = (Go/it) (Ус!). B7.22)
При Go = 1,9 имеем во/я = 0,6. При других значениях VK0T получаются другие значения Go
и 6о/л, но все они имеют одинаковый порядок величины. Характер зависимости угла когерент-
когерентности от длины волны и расстояния между центрами щелей при этом одинаков.
Вместо угла когерентности можно пользоваться понятием ширины когерентности, опреде-
определяя ее как то расстояние по фронту волны, на котором излучение в точках фронта может рас-
рассматриваться когерентным в соответствии с принятым критерием. Равенство B7.20) определяет
расстояние dxor между центрами щелей, на которые падает фронт волны, удовлетворяющее
этому условию. Из B7.20) получаем
</жог = (QoL)f(kuo) = Fо/2я) (LX/uo). B7.23)
При ео = 1,9 цолучаем 0о/Bл)«0,3.
Эти соображения о пространственной когерентности в комбинации с тем, что было раньше
(см. 26) сказано о временной когерентности, свидетельствуют о сложности явления частич-
частичной когерентности. Адэкватное описание этого явления возможно лишь в рамках общей теории
случайных процессов (см. •§ 30). Связь явления частичной когерентности с теорией случайных
процессов обусловлена физической природой излучения. В каждой точке напряженность электри-
электрического поля волны является суперпозицией напряженностей электрических полей от многих
независимых излучателей, частоты, амплитуды и фазы волн от которых между собой не свя-
связаны. Поэтому суммарная напряженность электрического поля не представляет собой моно-
монохроматического излучения, а изменение амплитуд и фаз этого излучения имеет случайный'
характер.
Аналогичными свойствами обладает, конечно, и индукция магнитного поля волны.
Причиной уменьшения видимости при увеличении размеров источника является смещение
интерференционных полос от различных точек источника друг относительно друга. В резуль-
результате на минимумы, интенсивности от одних точек попадают области с ненулевой интенсивно-
интенсивностью от других и вся картина смазывается. Ясно, что интерференционная картина будет сильно
смазана, если в фиксированной точке у экрана разности хода лучей от крайних точек источника
различаются на полволны. Поэтому в качестве условия когерентности можно принять согла-
соглашение, что разности хода лучей от крайних точек источника должны отличаться меньше .чем
на полволны. Это условие записывается в виде
6 А = (dlL)hu = (d/LJu0 =X/2,
где учтено, что расстояние между крайними точками источника 5м = 2мо. Отсюда угол когерент-
когерентности
Ф ког = 2uo/L = X/Bd). B7.24)

118
Схема интерферометра Рэлея (а);
схема звездного интерферометра
Манкельсопа (б)
"> Видимость интерференции
от двух щелей обусловлена
конечным значением ши-
ширины когерентности све-
световой волны, т. е. обуслов-
обусловлена пространственной ко-
когерентностью.
Определение угловых раз-
размеров звезд в звездном ин-
интерферометре основыва-
основывается на измерении види-
видимости интерференционной
картины
Из B7.24) находим ширину когерентности
</ког=М;/D«о). B7.25)
Формулы B7.4) и B7.5) дают хорошее согласие соответственно
с B7.22) и B7.23).
Основной физический вывод из сказанного о пространствен-
пространственной когерентности может быть сформулирован так: ИЗлучение
от некогерентного протяженного монохроматического источни-
источника может рассматриваться как когерентное на площадке, линей-
линейные размеры которой имеют порядок ширины когерентности,
причем источник излучения при этом из центра, площадки ви-
виден под углом когерентности. Например, светящаяся булавоч-
булавочная головка на вытянутой руке создает на входном зрачке
человеческого глаза когерентное излучение.
Звездный интерферометр. Измерение диаметров звезд.
Из B7.18) следует, что видимость зависит не только от размеров
2м0 источника, но и от расстояния между щелями. Точнее го-
говоря, она зависит от расстояния между щелями и угла, под ко-
которым виден источник из средней точки между щелями, по-
поскольку
B7.26)
где ф = 2uo/L — угол, в котором наблюдается источник. По-
Поэтому, измерив видимость интерференционной картины и зная
расстояние d между щелями, можно определить угловые раз-
размеры источника излучения, например звезды. Это позволяет
создать звездный интерферометр, с помощью которого можно
измерить угловые размеры астрономических объектов. Идея
звездного интерферометра была выдвинута впервые в 1868 г.
Физо.
Прибором, принципиально пригодным для этой цели, явля-
является интерферометр Рэлея (рис. 118, а). Из плоской" волны,
идущей от отдаленной звезды, в А\ и Аг выделяются два парал-
параллельных пучка света, которые, выйдя из прибора, дают в фо-
фокальной плоскости F линзы L дифракционную картину, позво-
позволяющую измерить угловой размер источника. Однако приме-
применить интерферометр Рэлея для измерения угловых размеров
астрономических объектов оказалось невозможным. Интер-
Интерференционные полосы получаются .очень узкими и проводить
измерение трудно. Большие осложнения также связаны с обе-
обеспечением точности взаимного положения трубок на больших
расстояниях между ними.
Развитие идеи Физо для измерения угловых размеров астро-
астрономических объектов принадлежит Майкельсону, который прак-
практически реализовал ее в 1920 г.
Схема звездного интерферометра показана на рис. 118,6.
Роль щелей выполняют подвижные зеркала А\ и А2, с помощью
которых можно изменять базу d (расстояние между щелями).
Отраженные от зеркал лучи после вторичного отражения на-
направляются через линЗу в прибор, регистрирующий интенсив-
167
§27

168 ность интерферирующих лучей. Наблюдаемая в центре интен-
сивность определяется формулой B7.17) при у=0:
sin
B7.27)
где принято во внимание соотношение B7.°^. Видимость
интерференционной картины на основании B3.18) дается функ-
функцией
V(d) =
sin (Ыф/2)
B7.28)
график которой представлен на рис. 119.
При увеличении расстояния d от нуля яркость центрального
пятна постепенно уменьшается и при do =2n/(kq) пятно пол-
• ностью размывается и видимость интерференционной картины
становится равной нулю. По значению do находим угловой
размер наблюдаемой звезды:
Ф = 2л/ (Ыо) = У do. B7.29)
Первой звездой, угловой размер которой был измерен та-
таким способом, была Бетельгейзе (ф = 0,047"). Расстояние до
этой звезды было известно по земному параллаксу. По извест-
известным угловым размерам и расстоянию'можно рассчитать ли-
линейные размеры звезды. Диаметр Бетельгейзе оказался при-
примерно в 300 раз больше диаметра Солнца. Так же были изме-
измерены диаметры некоторых других звезд и объектов Солнеч-
Солнечной системы.
Измерение расстояния между компонентами двойней звезды.
Если размеры звезд двойной системы много меньше расстоя-
расстояния между ними, то звезды можно считать точечными источ-
источниками и рассматривать интерференционную картину от двух
точечных источников, находящихся на расстоянии 2ио друг от
друга, т. е. на расстоянии между звездами двойной системы
(рис. 120). Распределение яркости излучателя дается формулой
i(u) = /о Ь(и + ио) + е/о5 (и — и0), B7.30)
где е характеризует соотношение яркостей компонент двойной
системы; 5 — дельта-функция. По формуле B7.9) с учетом
B7.30) находим
1{у) = 2i'o[(l -He) -h (I +e) cos Cu0 cos (kdy/Г) —
— A — е) sin Pио sin (kdy/l) ], B7.31)
где Р имеет то же значение, что и в B7.16). Отсюда по формуле
B7.14) получаем
V = [(\ +e2)+2ecos2pM0]1/j/(l +*0, B7.32)
причем, аналогично B7.26), 2$uo=kd(p, где ф—-угловое рас-
расстояние между компонентами двойной звезды. График види-
видимости V{d) показан на рис. 121. При увеличении d от 0 до Х/Bф)
видимость уменьшается от 1 до A—е)/A +е). Задача заклю-
0 2тс/(Агср) 4тт/(А:<р)
119
Видимость интерференционной
картины в звездном интерферо-
интерферометре
120
Схема интерференции от излучения
двойной звезды
V
1
1-Е
1+е
О Х/B<р)
ЗХ/B<р)
121
Видимость интерференционной
картины от излучении двойной
звезды

169
§27
122
Бипризма Френеля (а)* билннза
Бийе (б)
123
Зеркало
Френеля
S
Ллойда
(б)
(а); бизеркало
чается в том, чтобы зафиксировать значение do, при котором
видимость достигает первого минимума. Угловое расстояние
между компонентами двойной системы вычисляется по фор-
формуле
B7.33)
Бипризма Френеля. Схема деления волнового фронта би-
бипризмой Френеля показана на рис. 122, а. Падающий на приз-
призму волновой фронт преломляется в различных направлениях
верхней и нижней призмами. •Интерференционная картина воз-
возникает в области пересечения преломленных фронтов.-
Билинза Бийе. Линза разрезается по диаметру, и половинки
линзы разводятся на некоторое расстояние. Промежуток между
•разведенными линзами закрывается непрозрачным экраном.
Такая система называется билинзой Бийе (рис. 122, б). От то-
точечного источника S образуются два действительных изобра-
изображения: S\ и 5г. Расходящиеся от S\ и Si волны в области их
перекрытия создают интерференционную картину.
Зеркало Ллойда. Схема деления волнового фронта и осу-
осуществления интерференции с помощью зеркала Ллойда пока-
показана на рис. 123, а. Одна часть волнового фронта от источника S
падает непосредственно на экран В, а другая — после отраже-
отражения от зеркала А В области пересечения фронтов происходит
интерференция.
Бизеркало Френеля (рис. 123, б). Свет, испущенный точеч-
точечным источником S, отражается от двух зеркал, расположенных
под углом 0, близким к 0. В области перекрытия отражённых

170 пучков происходит интерференция. Область интерференции от прямых лучей источника за-
'-¦ крывается экраном П. В точках St и S2 расположены мнимые изображения источника.
5 Закон сохранения энергии в явлениях интерференции. Обычно явление интерференции сопро-
сопровождается перераспределением энергии между различными участками волнового поля при
безусловном выполнении закона сохранения энергии. В применении к интерферометру Май-
кельсона это было подробно рассмотрено при обсуждении формулы B6.13).
Однако отсюда не следует,' что явление интерференции не влияет на сам процесс излучения
электромагнитных волн. Из решения задачи 5.1. видно, что при расстоянии А/2 между двумя
источниками излучения мощность их совместного излучения не равна сумме мощностей излу-
излучения этих источников в отдельности. Таким образом, источники излучения влияют друг на
друга — их излучение является коллективным. Когда расстояние между источниками много
больше длины испускаемой волны, их взаимное влияние пренебрежимо мало.
Если рассчитывать полную интенсивность интерференционной картины волнового поля
от двух источников, то она, вообще говоря, не равна сумме полных интенсивностей интерферен-
интерференционных картин от двух изолированных источников. Но это не означает нарушения закона
сохранения энергии. Различие в энергии полей полностью объясняется изменением мощности
излучателей. Например, если полная интенсивность увеличивается в результате интерференции,
то мощность взаимодействующих между собой через поле излучателей должна увеличиться.
Если по своим внутренним свойствам излучатели не в состоянии увеличить мощность излуче-
излучения, то полная интенсивность интерференционной картины соответствующим образом умень-
уменьшается.
Пример 27.1. Проанализировать интерференцию, создаваемую с помощью бизеркала Фре-
Френеля (рис. 123, б).
. После отражения от зеркал напряженности электрического поля волн, распространяющихся
в указанных на рис. 123, б стрелками направлениях, даются выражениями
?, = Ео ехр [— /(со t — kz со s G + кх sin 0)], B7.34)
Е2 = Ео ехр [—/(cot — kz cos 0 — kx sin 0) ]. B7.35)
Отсюда
E = Ei +E2-Eo exp [—i(cor— fczcos0)] [exp (ikx sin0) + exp (—ikxsin 0)]. B7.36)
и, следовательно, интенсивность интерференции дается формулой
/ = 1/2EE*=2Eicos2(kx sin0) = Ei[\ + cosBkx sin0)]. B7.37)
Геометрическое значение л: и sin0 очевидно из рис. 123, б. Видно, что картина интерференции
точно такая же, как если бы когерентные источники (щели) находились в точках S\ и Бг. Прямые
лучи от источника S в область, где наблюдается интерференция, задерживаются экраном П.
При каких условиях излучение от некогерентного протяженного источ-
источника может рассматриваться как когерентное?
В чем состоит причина уменьшения видимости.интерференционной карти-
картины при увеличении размеров источника?

§ 28
Многолучевая интерференция, осуществляемая
делением амплитуды
Излагается общий метод исследования многолучевой
интерференции и его реализации для конкретных
интерферометров. Определяются разрешающая способность
и дисперсионная область спектральных аппаратов.
171
§28
124
Схема лучей в интерферометре
Фябри — Перо
Интерферометр Фабри—Перо. Рассмотрим последовательные
частичные отражения и прохождения света через две стеклянные
пластины, внутренние поверхности которых строго параллель-
параллельны друг другу (рис. 124), отполированы с большой точностью
(от V20 до 72оо длины волны) и покрыты сильно отражающими
пленками. Пленки могут быть металлическими (серебро, зо-
золото, алюминий) или состоять из нескольких диэлектрических
слоев, подобранных так, чтобы получился очень большой
коэффициент отражения (см. § 29). Внешние поверхности сте-
стеклянных пластин наклонены под небольшим углом (поряд-
(порядка 0;1°) к внутренним поверхностям, чтобы .отражения от них
уводились в сторону и не смешивались с лучами, отраженными
от внутренних рабочих поверхностей. Однако энергия, связан-
связанная с этими отражениями, незначительна и в последующем
расчете не учитывается Кроме того, нет необходимости также
учитывать поглощение света при прохождении света через
стеклянную пластину. Ослабление амплитуды при отражении
характеризуется коэффициентом отражения р [см. A8.5)]. Отно-
Отношение амплитуды отраженной волны к амплитуде падающей
равно yfp (рис. 124). Для характеристики прохождения волны
через пластину пользоваться коэффициентом пропускания т
[см. Aо\9)] неудобно, поскольку он связывает амплитуду волны
внутри стекла с амплитудой волны вне стекла, а в данном слу-
случае удобнее связать между собой амплитуды волн по разные
стороны стеклянной пластины. Обозначим отношение модуля
амплитуды прошедшей через пластину волны к модулю ампли-
амплитуды падающей yfc:
1-ЕЬпр /?оПд| =
B8.1)
Иначе говоря, ст является коэффициентом пропускания плас-
пластины. Поскольку поглощением в пластине и отражением на
внешней поверхности пластины пренебрегаем, закон сохране-
сохранения энергии записывается аналогично (8.12):
р+о = 1. B8.2)
На основании рис. 124 заключаем:
B8.3)

172
где Ео — амплитуда падающей волны, Ei0 Enq — ампли-
амплитуды соответствующих волн, интерферирующих между собой.
Разность хода для соседних лучей легко находится с помощью
построения, изображенного на рис. 125. Видно, что Д = 2/—р.
Учитывая равенства I = d/cosQ, p =2s sin 9 = 2(</tgG) sine,
получаем
Д = 2d/cosQ — 2rfsin2e/cose = 2rfcosG. B8.4)
Если прошедшие волны перекрываются, либо с помощью
линзы сводятся в одну точку, наблюдается интерференция.
Максимальная интенсивность возникает при Д = nik. Разность
фаз между соседними лучами равна
б = fcA = Dnfk) d со sQ.
B8.5)
При интерференции N прошедших лучей комплексная ампли-
амплитуда в соответствии с B8.3) дается выражением
125
К расчету разности хода между
соседними лучами в интерферо-
интерферометре ФаСрн — Перо
= о?0A+ре'6 + р2е2'8
B8.6)
Плоская волна пространственно не ограничена и поэтому
на выходе пространственно не ограниченного интерферометра
между собой интерферирует бесконечное число лучей. Однако
конечность поперечных .размерив' светового пучка и интерферо-
интерферометра обусловливает конечность числа интерферирующих лу-
лучей при угле падения, не равном нулю. Это число интерфери-
интерферирующих лучей всегда велико, и поэтому велико число членов
геометрической прогрессии-в B8.6), а ее последний член много
меньше первого. Поэтому можно суммирование распростра-
распространить до бесконечности и написать
— ре*8).
B8.7)
сЕ0
-ре"
Следовательно, интенсивность интерференционной картины
равна
р2—2pcos5).
B8.8)
Обозначая El/2 = I0, учитывая, что 1—cos 5 =2 sin2 E/2),
и принимая во внимание закон сохранения энергии, преобра-
преобразуем B8.8) к виду
г
B8.9)
Распределение интенсивности в интерференционной картине.
При sinE/2) = 0, т. е. когда 5 =2тт (п = 1, 2, ...), наблюдается

полное прохождение (JMasc = Jo), хотя каждая из поверхностей, через которые проходит свет, |73
обладает большой отражательной способностью. Физическая причина возникновения этого ____
явления заключается в том, что соседние волны, отраженные от каждой из поверхностей, имеют §27
у первой поверхности разность фаз п и взаимно ослабляются, в результате чего отраженная
полна отсутствует. У второй поверхности разность у «соседних» волн 2л. Они усиливают друг
друга и проходят через эту поверхность без ослабления. «Соседними» для краткости названы
волны, разность фаз между которыми минимальна.
При sin2E/2) = 1, т. е. при 5 = пBт +1) (т = 1, 2,...), интенсивность проходящего света до-
достигает минимального значения
/мин = /оA-рOA+рJ. B8.10)
При большой отражательной способности поверхностей р« 1 и поэтому интенсивность про-
прошедшего света близка к нулю (/мин w 0). Это означает, что практически весь свет отражается.
физическая причина этого явления состоит в том, что разность фаз между соседними волнами,
прошедшими через вторую поверхность, равна п и они взаимно ослабляются, в результате чего
прошедшая волна практически отсутствует.
Это замечательное явление возникновения практически полного пропускания или полного
отражения как интерференционного эффекта имеет важное применение для создания высоко-
высокоэффективных зеркал и фильтров (см. § 29).
Интерференционные кольца. Если на интерферометр падает пучок не абсолютно параллель-
параллельных лучей, то в нем присутствуют лучи со всевозможными углами падения 0. Обычно распреде-
распределение лучей по углам аксиально-симметрично. Расстояние d между пластинами интерферометра
фиксировано. Формула B8.5) показывает, что разность фаз 5 определяется в этом случае только
углом 0 (для данной длины волны X) и, следовательно, интерференционная картина аксиально-
симметрична. Она состоит из интерференционных колец. Поскольку лучи| соответствующие за-
заданному углу 0, параллельны между собой, интерференционные кольца на экране наблюдаются
с помощью линзы в ее фокальной плоскости. При наблюдении колец без экрана глаз аккомоди-
аккомодируется на бесконечность.
Для описания интерференционной картины удобнее пользоваться не углом 0, а разностью
фаз б, которая с углом 0 связана соотношением B8.5). Из B8.9) следует, что видимость интер-
интерференционной картины зависит от множителя
Л = 4р/A-рJ. B8.11)
Этот множитель сильно изменяется с изменением коэффициента отражения. Например, при
р = 0,5 А =8 и при р =0,9 А = 360. Записав формулу B8.9) в виде
B8Л2)
заключаем, что в первом случае это отношение изменяется от 1 до */9, т. е. интенсивность в
максимуме интерференционных колец больше интенсивности в минимуме в 9 раз. Во втором
случае интенсивности отличаются в 361 раз. Этот пример иллюстрирует сильную зависимость
видимости интерференционной картины от отражательной способности пластин. Ширина ин-
интерференционных максимумов также уменьшается с увеличением видимости, что. обусловли-
обусловливается просто законом сохранения энергии при интерференции. На рис. 126 показаны графики
распределения интенсивностей в интерференционной картине при различных отражательных
способностях, которые можно построить по формуле B8.12).
Разрешающая способность. Если интерферометр облучается двумя волнами с длинами X и
Х + ДХ,, то каждая из них создает свою картину интерференционных колец. Если длины волн

174 очень близки друг к другу, то интерференционные картины поч-
ти- совпадают между собой и наличие двух накладывающихся
5 друг на друга интерференционных картин обнаружить нельзя.
В этом случае говорят, что волны длиной ki =к и к2 =к — Ак
разрешить не удается. Разрешающая способность интерферо-
интерферометра характеризуется той минимальной разницей ДА. =A,i —А2
в длинах волн, при которой возможно их разрешение.
На рис. 127 изображено распределение интенсивностей от
волн с близкими длинами для близких значений разности хода:
I/L
51 = Bn/kiJdcosQi = Bn/XJdcosQi,
52 = Bnfk2JdcosQ2 = [2к/(к —Ak)]2dcosQ2.
B8.13)
Эти графики строятся с помощью формулы B8.12). Пунктир-
Пунктирной кривой изображена суммарная интенсивность от интерфе-
интерференционных картин двух длин волн. Значения Si и 82 в B8.13)
определяются из условия, что они соответствуют максимумам
интенсивности соответствующих интерференционных колец:
sin(Si/2)=0, sin(82/2) = 0.
B8.14)
Мы пользуемся представлением интерференционной картины
в виде функции от й. Это очень удобно, так как позволяет одно-
одновременно проанализировать зависимость интерференционной
картины от всех параметров,-которыми определяется 6, т.е.
от угла 0, расстояния между пластинами d и длины волны к,
а также от их скомбинированного изменения. •
Установим, при каких условиях распределение интенсивно-
интенсивностей от двух волн, изображенное на рис. 127 пунктирной линией,
можно считать разрешенным на сумму двух распределений ин-
интенсивности от каждой из врлн. В теории интерферометра Фаб-
Фабри—Перо принимается, что условием разрешения является
пересечение кривых, описывающих распределение интенсив-
интенсивностей от каждой из волн на половине их максимального зна-
значения, т: е. в точке 8о, где IJIp — 1[г для обеих кривых. Отсюда
в соответствии с B8.12) условие разрешения можно записать
в виде
A sin2 [(8, + б,)/2] = 1,
Asm2[(b2 — е2)/2] = 1,
B8.15)
где 8i =5о — Si, 82=52 — 5о. Примем во внимание, что 6i и
б2 имеют очень малые значения, поскольку длины волн близки
друг к другу и расстояние между максимумами, т. е. 52 — 8,i,
очень мало. Разложим синусы в B8.15) в ряд Тейлора по ei/2
и е2/2, ограничившись первым членом:
sin [(б] +?i)/2] = sin(8i/2) + (?,/2)cos(8,/2)+ ...,
sin [(б2 — е2)/2] = sin (82/2) — (е2/2) cos (82/2) + .:. . B8.16)
Ч
JUUI
Д26
Изменение интенсивности в интер-
интерферометре Фабря — Перо
К определению разрешающей спо-
способности оптических приборов

Подставляя эти выражения в B8.15) и принимая во внимание равенства B8.14) и следующие 175
из них равенства
§27
cos2Ei/2) = l, cos2E2/2) = l, B8.17)
вместо B8.15) получаем
= 1, B8.18)
откуда
е, = Е2=2/ J2, е, +62=52 — 5! = 4/^- B8.19)
Углы 01 и 02 в B8.13), которые соответствуют наблюдаемым в интерферометре Фабри —
Перо кольцам интерференции, достаточно малы. Так как cos 0 = 1 — 02/2 + ..., то с точностью
до величин второго порядка малости относительно 0i и 02 можно в B8.13) положить cos 0i =1,
cos 02 = 1, поэтому
где использовано приближение (к — &к)Х = Х2, т. е. с учетом множителя АХ в числителе приняты
во внимание лишь члены нулевого порядка по ДХ. в знаменателе. С помощью B8.19) равенство
B8.20) можно представить в виде
nd у/А 2nd
где для А использовано выражение B8.11).
Разрешающая способность спектрального аппарата по определению равна
B8.22)
где АХ — минимальная разница в длинах волн, которые могут считаться разрешенными в соот-
соответствии с принятым критерием. Разрешающая способность интерферометра Фабри — Перо на
основании B8.21) дается выражением
B8.23)
Факторы, ограничивающие разрешающую способность. Формально по формуле B8.23) можно
получить сколь угодно большую разрешающую способность, если только выбрать d достаточ-
достаточно большим, а коэффициент отражения р -— достаточно близким к единице. Однако добиться
сколь угодно большой разрешающей способности нельзя из-за ряда обстоятельств.
Прежде всего пластины интерферометра" не могут быть сделаны абсолютно плоскими. Как
уже отмечалось, они могут быть отполированы с точностью до '/гоо длины волны, но не с абсо-
абсолютной точностью. Отклонение поверхности пластин от идеальной плоскости эквивалентно
изменению d, что приводит к соответствующему изменению 5. Если изменение d составляет
аЦа<§: 1), то 5 изменяется на 4гса. Чтобы не нарушить условий разрешения, это изменение
Должно быть меньше Ъг — 5], т.е. должно удовлетворять условию
4тга <E2 — 5,)= 2A — р)/ /р", B8.24)
где учтены равенства B8.19) и B8.21). Отсюда следует, что на допустимые отклонения поверх-
поверхности пластины от идеальной плоскости накладываются очень жесткие требования:

176 i _ о
— °<к^- (Ж25>
Напомним, что а характеризует отклонение поверхности пластины от идеальной плоскости
в долях длины волны, т. е. требования действительно очень жесткие.
Второе ограничение обусловлено необходимостью добиться параллельности пластин с той
же точностью, как и отклонения их поверхности от идеальной плоскости, что очевидно из ана-
анализа физического содержания предшествующего ограничения.
Расстояние между пластинами также не может быть сделано очень большим. Расстояние
между пластинами, умноженное на число эффективных отражений, должно быть меньше, чем
временная длина когерентности исследуемого света.
Использование больших расстояний d также связано с некоторыми практическими труд-
трудностями. Из B8.5) следует, что условие максимума интенсивности может быть представлено
в виде
2dcosQ=mk (т^ 0,1,2, 3, ...). B8-26)
Это значит, что порядок интерференции растет с уменьшением диаметра кольца. Централь-
Центральное пятно @ = 0) соответствует порядку интерференции
гамаке = 2d/X. B8.27)
Первое кольцо имеет порядок интерференции тМакс —1. Оно реализуется за счет лучей,
угол падения 0i которых удовлетворяет условию
2dcos0i = (гамаке — 1)Х'. B8.28)
Этот угол мал и поэтому, полагая в B8.28)
cos0] = 1 —0?/2 B8.29)
и учитывая B8.27), находим
01 = JW. B8.30)
Это означает, что с увеличением d радиус первого кольца и расстояние между кольцами
уменьшаются, что ухудшает условия анализа интерференционной картины, особенно при
использовании в технике фотометрирования интерференционной картины. Анализ значительно
облегчается при использовании сканирующего интерферометра Фабри — Перо (рис. 128) вы-
выбором подходящего интервала изменений d.
Дисперсионная область. При увеличении разности длин волн АХ, интерференционные полосы
от волн с различной длиной волны разделяются (рис. 129, а). При дальнейшем увеличении ДХ
разделение увеличивается (рис. 129, б) и при достаточно больших АХ, наступает перекрытие
интерференционных полос соседних порядков (рис. 129, в). При этом интерпретация интерфе-
интерференционной картины становится затруднительной. Разность длин волн АХ, при которой насту-
наступает перекрытие полос Соседних порядков интерференции, называется дисперсионной обла-
* Отражение и преломление зависят не только от свойств поверх-
поверхности разделай характеристик падающей на поверхность раздела
волны, но и от характеристик других волн, которые падают на
поверхность раздела.
Разрешающая способность интерферометра Фабри — Перо воз-
возрастает при увеличении расстояния между пластинами, а диспер-
дисперсионная область при этом уменьшается.

128
Схема сканирующего интерферо-
интерферометра Фабри — Перо
осциллограф
т+1 т+\
т
A.
\\
/и—1 от
Л
т
Л
129
К определению
ласти
а
б
в ;¦
¦А
т /и+1
/и+1
А
дисперсионной об-
Отсюда" следует, что
(m + l)?i=w(X+A?i)
или
"к — тАХ
и дисперсионная облас
G=AX=ty/w.
стью. Из B8.26) видно, что условие совпадения максимумов
соседних порядков записывается в виде
B8.31)
B8.32)
B8.33)
B8.34)
tldfk при 0«О и
B8.35)
Для интерферометра Фабри—Перо /и с
поэтому дисперсионная область
G=X2/Bd)
достаточно мала, поскольку используемые порядки интерфе-
интерференции велики. Требования повышения разрешающей^способ-
ности и расширения дисперсионной области противоречат
друг другу: для повышения разрешающей способности прихо-
приходится переходить к более высоким порядкам интерференции
(увеличивая d) и тем самым уменьшать дисперсионную об-
область.
Сканирующий интерферометр Фабри—Перо. Измерение рас-
распределения интенсивности в интерференционной картине чрез-
чрезвычайно трудоемко. Надо фотографировать картину и затем
профотометрировать пленку, чтобы по распределению почер-
почернения определить распределение интенсивности. Во время фо-
фотографической выдержки температура несколько флуктуирует,
что влечет за собой, движение колец. Интерференционная карти-
картина размывается и разрешение ухудшается. Интерференционная
картина чувствительна к изменению температуры порядка
0,1 К. Поэтому необходимо в течение всего эксперимента обес-
обеспечить достаточную стабильность температуры.

178 Чтобы избежать этих трудностей, используется сканирую -
5 щий интерферометр Фабри — Перо (рис. 128). Свет от точеч-
точечного источника S, расположенного в фокусе линзы Li, после
прохождения линзы образует параллельный пучок лучей (в»0).
После прохождения интерферометра Фабри—Перо ФП вы-
выходит пучок лучей, который линзой L2 фокусируется на при-
приемник фотоумножителя ФЭУ, где и осуществляется интерфе-
интерференция, причем на приемник ФЭУ попадает лишь центральная
область картины. Интенсивность света, воспринимаемого при-
приемником, определяется формулой B8.9), в которой 5 дается
выражением B5.5)-с cos9 = l. Фотоумножитель вырабатывает
электрический сигнал, пропорциональный воспринимаемой ин-
интенсивности, который направляется в записывающее устройст-
устройство. Этим устройством может быть, например, осциллограф.
Сигнал зависит от X и d. При изменении d изменяется длина
водны, которая дает на приемнике фотоумножителя максимум
интенсивности. Поэтому величина наблюдаемого сигнала при
каждом значении d позволяет непосредственно сделать заклю-
заключение об интенсивности волны соответствующей длины в па-
падающем на интерферометр излучении. Одна из пластин интер-
интерферометра монтируется на кольцо из пьезоэлектрического ма-
материала. Напряжение, подаваемое на пьезоэлектрическое коль-
кольцо, подбирается так, чтобы соответствующее изменение d
обеспечивало прохождение всей дисперсионной области около
длины волны Я, при которой-возникает максимум интенсивно-
интенсивности в центре интерференционной картины, регистрируемой
приемником фотоумножителя. Сигнал.с фотоумножителя по-
подается на осциллограф, а развертка осциллографа синхронизи-
синхронизируется с частотой колебаний пьезоэлектрического кольца.
В результате на экране осциллографа можно визуально наблю-
наблюдать картину распределения интенсивности по длинам волн в не-
некотором масштабе. Наблюдаемые величины затем пересчиты-
ваются на длины волн,и определяется искомый спектр излу-
излучения.
Интерференционные фильтры. Как было отмечено, интер-
интерферометр Фабри—Перо при определенных условиях пропу-
пропускает без ослабления световую волну определенной длины.
Это происходит тогда, когда в формуле B8.9) sin F/2) = О,
причем b\2 = 2ndfk (cosG = l). Поскольку значение 4р/A — рJ
в B8.9) весьма велико, знаменатель становится очень большим
уже при небольших, отличных от нуля, значениях sin E/2).
Следовательно, -волны, длина волн которых лишь немного
отличается от X, проходят с большим ослаблением (интерферо-
(интерферометр Фабри—Перо действует как узкополосный фильтр).
Практически наиболее простой узкополосный фильтр осущест-
осуществляется следующим образом (рис. 130). Берется диэлектриче-
диэлектрическая пластина с небольшим показателем преломления такой
толщины d, чтобы оптическая длина пути в ней была равна
цоловине длины волны, т. е.
nd = Х/2.
130
Схема интерференционного фильт-
фильтра
О В чем состоит физическая при-
причина возникновения почти
полного-отражения или поч-
почти полного пропускания вол-
волны в интерферометре Фаб-
Фабри —Перо?
Какие факторы ограничива-
ограничивают разрешающую способ-
способность интерферометра Фаб-
Фабри — Перо?
Почему дисперсионная об-
область интерферометра Фаб-
Фабри — Перо невелика? Что
происходит с разрешающей
способностью интерферомет-
интерферометра Фабри — Перо при увели-
увеличении дисперсионной обла-
области?
Опишите принцип действия
интерференционных фильт-
фильтров.

Пластинка Люммера — Герке (а); -'- ? . l|_i
•шелон Майкельсоиа (б)
Поверхности пластины покрываются тонкими металлическими слоями с достаточно боль-
большой отражательной способностью, но частично пропускающие свет. В результате получается
миниатюрный интерферометр Фабри—Перо, причем для выбранной длины волны 5/2 = л,
sin F/2) = 0. Следовательно, при достаточно высокой отражательной способности металличе-
металлических слоев эта система действует как узкополосный фильтр. Типичная ширина полосы пропу-
пропускания, определяемая на половине максимальной интенсивности, составляет около 20 нм,
что для такой простой системы является хорошим показателем. Падение света предполагается
нормальным к поверхности. Ширина полосы пропускания может уменьшаться примерно вдвое,
если имеется интерференционный максимум второго порядка. Однако в этом случае наряду
с волной длины X будет пропущена и волна длины 21 (См. также § 29).
Для того чтобы защитить от повреждения металлические слои, интерференционный фильтр
с обеих сторон закрывается стенками. Существенных изменений в описанную картину функцио-
функционирования фильтра это не вносит. Предохранительные стекла на рис. 130 обозначены точками.
Пластинка Люммера—Герке. Сравнительно несложным прибором для осуществления
многолучевой интерференции делением амплитуды является пластинка Люммера—Герке.
Она представляет собой плоскопараллельную пластину из стекла толщиной d (рис. 131, а).
Впуск света внутрь пластинки производится либо через срезанный торец Т, либо через допол-
дополнительную призму, причем условия впуска подбирают такими, чтобы луч внутри пластины мно-
многократно отражался от ее поверхностей под углами, близкими к углам полного отражения.
Обозначая 0 угол отражения для разности хода между лучами, возникающей между последова-
последовательными отражениями от одной и той же поверхности пластины, найдем выражение
A=_2ndcosQ, B8.36)
которое получается аналогично B8.4) и выведено в § 29. Условие максимума имеет вид
2nd cos Q=mk. B8.37)
В фокальной плоскости линзы образуются интерференционные полосы, параллельные по-
поверхности пластины. Обычно толщина d пластины бывает от 3 до 10 мм, а угол Q близок к л/4.
В результате порядок m интерференции оказывается очень высоким — десятки тысяч. Теория
интерференции с пластинкой Люммера—Герке совершенно аналогична теории интерферомет-
интерферометра Фабри — Перо.
Эшелон Майкельсона (рис. 131, б). Этот прибор собирается из стеклянных пластин одина-
одинаковой толщины, сложенных в виде лестницы с одинаковыми выступами. Разность хода между
лучами, выходящими из соответствующих точек соседних ступенек, образуется за счет различ-
различных оптических длин путей.
Пример 28.1. Линия "к = 546,1 нм в излучении ртути является дублетом, длины волн в кото-
котором Х\ и %2 очень близки друг к другу. Считая, что |1Д] — 1Д2| =0,1 см, определить, какие
требования надо предъявить к коэффициенту отражения пластин интерферометра Фабри —
Перо и допуску на отклонение пластин от абсолютной плоскости. Расстояние между пласти-
пластинами равно 1 мм.

180
5
Разрешающая способность интерферометра дается формулой B8.23). Представив ее в виде
^ L LlZP и учитывая, что |1Д] — 1[к2\ =.АХ/к2 = 0,1 см, находим р = 0,93. Требова-
X2 2nd yfW
ние допустимого отклонения пластин от абсолютной плоскости дается формулой B8.25), ко-
которая приводит к оценке а < 1/90.
§ 29 Интерференция в тонких пленках
Рассматривается применение общих методов многолучевой
интерференции к исследованию интерференции
в тонких пленках. Описываются матричный метод исследования
и его применение к многослойным пленкам —
интерференционным фильтрам и диэлектрическим зеркалам.
Оптическая длина пути. При распространении света в среде его скорость уменьшается. Это вле-
влечет за собой уменьшение длины волнь^ поскольку частота не изменяется. Следовательно, вол-
волновое число кср = 2п/ХСр в среде связано с волновым числом к в вакууме соотношением
к Ср =
= 2n/(vT) = 2-кпЦсТ) = п2п[к = пк,
B9.1)
где v = с/п — скорость волны в среде, п — показатель преломления среды относительно вакуума.
Разность фаз, возникающая за счет прохождения волной геометрического расстояния Аг в среде,
равна
Ь=ксрАг=пкАт=кА, B&2)
где А = пА г — оптическая длина пути. Таким образом, при расчете изменения фаз в среде удобно
считать длину волны и волновой вектор равными их значениям в вакууме, а в качестве длины
пути брать оптическую длину пути, равную геометрической длине, умноженной на показатель
преломления.
Отражение от параллельных поверхностей. Обозначим п\ и пг показатели преломления
среды и плёнки толщиной d (рис. 132). Рассчитаем разность оптических путей лучей, отразив-
отразившихся от нижней'"Й1'"верхней поверхностей пленки. Из рис. 132 заключаем, что
Д = (\АВ\ + \ВС\)п2 — \AD\m .
Учитывая, что \АВ\ + \ВС\ = 2d/соs0пр, \АD\ = 2d tg 0np
закон преломления sin0nfl/sin0np =п21п\, получаем
Д =
B9.3)
и принимая во внимание
B9.4)
Эта формула совпадает с B8.4), но с заменой геометрической толщины d на «оптическую
толщину» md.
Формула B9.4) показывает, что все лучи, падающие на пленку под одним и тем же углом,
разделяются на два луча и после отражений от поверхностей пленки имеют одно и то же направ-
направление распространения, будучи параллельными друг другу. Между лучами, отразившимися от
разных поверхнбстей пленки, возникает разность хода B9.4), и они могут интерферировать
между собой. Максимум интерференции наступает при условии
Д = mk.
B9.5)

\п
К расчету.оптической длины пути
в тонких пленках
Ь=(\АВ\ + \ВС\)п2— \Ай\щ
Подчеркнем, что X, в этой формуле является длиной волны
в в-акууме, поскольку особенности распространения све-
света в среде учтены тем, что под Д понимается оптическая
длина.
Параллельные лучи не пересекаются на конечном расстоя-
расстоянии. Следовательно, интерференционные полосы не могут воз-
возникнуть на конечном расстоянии. Говорят, что они локализо-
локализованы " на бесконечности. Наблюдать интерференцию можно
двумя способами: либо фокусировать лучи с помощью линзы,
в результате чего в фокальной плоскости линзы возникнут
полосы интерференции, либо увидеть их непосредственно гла-
глазами, аккомодированными на бесконечность. В этом случае
полосы образуются в фокусе зрачка на сетчатке глаза и создают
соответствующее зрительное впечатление.
Утверждение о том, что интерференционные полосы лока-
локализованы на бесконечности, имеет не только математический,
но и физический смысл. Интенсивность светового поля в неко-
некоторой области пространства может быть измерена с Помощью
фотоэлемента. Перемещая фотоэлемент в пространстве, можно
исследовать, как изменяется интенсивность светового поля.
Если фотоэлемент перемещать в фокальной плоскости линзы,
где образованы полосы интерференции, то он показывает изме-
изменение интенсивности светового поля в соответствии с наблюдае-
наблюдаемой интерференционной картиной. Если же перемещать фото-
фотоэлемент в пространстве, когда полосы интерференции локали-
локализованы на бесконечности, то никакого интерференционного
изменения интенсивности светового поля не будет от-
отмечено.
Линии равного наклона. Если на пластинку падает пучок не-
непараллельных лучей, то в отраженном пучке будут присутство-
присутствовать лучи различных направлений распространения с соответ-
соответствующими различными углами преломления. Те из них, для
которых удовлетворяется условие B9.5), дают при интерфе-
интерференции максимум интенсивности. Следовательно, если с по-
помощью линзы в ее фокальной плоскости образовать интерфе-
интерференционную картину, то интерференционная линия определен-
определенной интенсивности соответствует определенному углу 6пр в
B9.4) или, что то же самое, определенному углу падения или
отражения. Другими словами, эта линия соответствует опреде-
определенному углу наклона образующих ее лучей к поверхности
пластины. Поэтому такие интерференционные линии называ-
называются линиями равного наклона. Они локализованы на беско-
бесконечности.
Если пучок света, падающий на пленку, аксиально-сим-
аксиально-симметричен, то линии равного наклона являются окружностями.
На рис. 133 показана схема реализации линий интерференции
равного наклона на экране с помощью линзы.
Линии равного наклона, которые в случае аксиальной сим-
симметрии падающего на пластинку излучения являются окружно-
окружностями, можно наблюдать глазом (рис. 134). Если при смещении
181
§29

182
5
133
Схема образования интерферен-
интерференционных линии равного наклона
на экране
пленки параллельно самой себе ее толщина изменяется на види-
видимом участке, то радиус интерференционных колец также изме-
изменяется, причем изменение радиуса колец легко заметить при
весьма незначительных изменениях толщины пленки. Это дает
весьма эффективный способ контроля толщины пленки (плас-
(пластины), широко используемого в производстве. Точность такого
контроля очень большая, поскольку локальное изменение тол-
толщины пластины на долю длины волны приводит к заметному
невооруженным глазом изменению формы линии.
Роль размера источника. Различные точки источника излу-
излучают некогерентно. Однако интерференционные картины, обра-
образуемые любой точкой источника при отражении под одинако-
одинаковым углом, идентичны друг другу и не зависят от точки поверх-1
ности пленки, в которой произошло отражение. Интерферен-
Интерференционные полосы от излучения различных точек источника
накладываются друг на друга без смазывания картины интер-
интерференции. Следовательно, конечность размеров источника
не смазывает картину интерференции линий равного на-
наклона и не является ограничивающим интерференцию фак-
фактором.
Роль толщины пленки и монохроматичности излучения. При
увеличении толщины пленки видимость интерференционной
картины ухудшается ввиду конечного значения временной коге-
когерентности. Причина этого аналогична той, которая была рас-
рассмотрена при анализе ухудшения видимости в интерферометре
Майкельсона, (см. § 26). Увеличение ширины линии излучения
(немонохроматичность) ухудшает видимость интерференцион-
интерференционной картины.
134
Наблюдение глазом линий одина-
одинакового паклона. Способ контроля
толщины пластпны

Для наблюдения интерференции в тонких пленках необходимо, чтобы их толщина не пре- 183
восходила определенного значения Для наблюдения интерференции в белом свете перекрытие
полос от различных длин волн не должно смазывать цветовую гамму белого света Известно, §29
что глаз различает цвета, соответствующие различию длин волн примерно на АХ«10~2 мкм.
Поэтому для наблюдения интерференции надо обеспечить дисперсионную область такой же
величины. Из B8.34) следует, что порядок интерференции должен быть не больше
т макс = Х/АХ = 0,5 1(Г6/1(Г8 «50, B9.6)
где для примера Х = 0,5 мкм. Из условия B9.5) находим
d « тХ/Bп2) = [50-0,5 ¦ 10~б/B* 1,5)] м = 8 • 10~6 м = 8 мкм, B9.7)
где cos.Gnp — 1 и w = l,5. Этот расчет можно, конечно, провести, основываясь на времени коге-
когерентности. Из соотношения X — cfv следует, что АХ/Х,=—Av/v. Ширина спектра Av связана
с временем когерентности т соотношением Avt =1. Скорость распространения света в пласти-
пластине равна с/п2, а проходимое за время т расстояние должно быть не меньше чем Id. Поэтому
для определения максимальной толщины пластины получаем уравнение 2d = cx/ti2 = cX/(AXv),
из которого следует d = X2/BAXn2) = mX/Bn2), что совпадает с B9.7). Таким образом, для
наблюдения интерференции в белом свете толщина пленок должна быть достаточно малой.
Поэтому речь и идет об интерференции в тонких пленках, а не просто в плоскопараллельных
пластинах.
При наблюдении интерференции от монохроматического источника допустимая толщина
пленки увеличивается. Она зависит от ширины линии излучения или, что одно и то же, от вре-
времени и длины когерентности. Например, ширина зеленой линии излучения ртутной лампы в
длинах волн АХ*» 0,01 нм (X = 502,564 нм). Отсюда для максимально допустимой толщины
пластины по "формулам B9.6) и B9.7) находим d=S мм.
Длина когерентности лазерного излучения может достигать очень больших значений (мно-
(многие километры). Поэтому с его помощью можно наблюдать картину интерференции в очень
толстых пластинах. Ограничения возможностей наблюдения обусловливаются не степенью
когерентности, а неоднородностями материала, качеством поверхностей пластины и другими
аналогичными факторами.
Линии равной толщины. Если толщина пластины переменна, то от различных участков ее
поверхности пары лучей с одинаковой разностью фаз распространяются в разных направлениях
и, следовательно, картина интерференции лучей равного наклона не возникает. Однако появля-
появляется другая интерференционная картина, локализованная на поверхности пластины.- Образую-
Образующие ее интерференционные полосы называются линиями равной толщины ввиду того, что ин-
интенсивность полос одинакова в тех областях, в которых одинакова толщина пластины.
Фокусируем линзу так, чтобы на экране получить изображение небольшого участка поверх-
поверхности (рис. 135). Освещенность участка зависит от толщины пластины на этом участке, посколь-
поскольку у ее поверхности интерферируют лучи с почти одинаковой разностью хода при приблизи-
приблизительно вертикальном падении. Различие в разности хода лучей, приходящих в данную точку
поверхности, обусловливается лишь отличием их углов преломления FПр). Однако оно неве-
невелико, поскольку линейные размеры наблюдаемой области малы. Следовательно, линзой на
экран проецируется интерференционная картина, которая возникает у поверхности пластины.
Если по поверхности пластины перемещать фотоэлемент, то он отметит изменение интенсив-
интенсивности светового поля, соответствующее изменению интенсивности в наблюдаемой интерфе-
интерференционной картине. Светлые и темные полосы на поверхности пластины можно видеть также
и непосредственно глазом, аккомодированным на поверхность пластины. Линия одинаковой
интенсивности интерференции совпадает с линией постоянной толщины пластины. Область
одинаковой интенсивности соответствует области, в которой толщина пластины постоянна.

184 Контрастность интерференционной картины зависит от поряд-
ка интерференции, т. е. от толщины пластин. При наблюдении
5 в белом свете видны цветные полосы. Ограничения на толщину
пластины такие же, как в только что рассмотренном случае
линий равного наклона
Кольца Ньютона. Полосы равной толщины образуются за
счет воздушной прослойки между плоской поверхностью стекла,
на которую выпуклой стороной положена плосковыпуклая
линза (рис. 136), и поверхностью линзы. Линии постоянной
толщины d воздушной прослойки являются окружностями.
Поэтому и интерференционные линии равной толщины —
окружности. Они называются кольцами Ньютона.
Из рис. 136 видно, что R2 — (R — dJ = r2, 2Rd— d2 = r2..
Переписав это соотношение в виде 2Rd/r2 — d2/r2 = 1 и* учи-
учитывая, что (P-jr2 < 1, находим
d=r2/BR).
B9.8)
При отражении на границе, с более плотной средой фаза
напряженности электрического поля волны изменяется на тс
[см. A6.33а), рис. 65]. Следовательно, условие образования
темного кольца имеет вид
135
Наблюдение
. толщины
линии одинаковой
Отсюда радиус т-то темного кольца
rm = JKkm .
136
К расчету радиусов колец Нью-
Ньютона
B9.9)
В области соприкосновения линзы с поверхностью стекла
наблюдается темное пятно. Оно окружено последовательно-
последовательностью светлых и темных колец. В белом свете возникают цвет-
цветные кольца Условия наблюдения в принципиальном отноше-
отношении такие же, как и в случае тонких пленок, т. е. с увеличением d
картина смазывается.
В проходящем свете возникает дополнительная интерферен-
интерференционная картина. В частности, при монохроматическом
освещении на месте светлых, колец образуются темные, и
.наоборот.
Учет многократных отражении. До сих пор при анализе ин-
интерференции в тонких пленках нами рассматривалась лишь
двухлучевая интерференция, возникающая в результате одного
отражения от поверхностей пленки (см. рис. 132). Такое при-
приближение дает хорошие результаты и является вполне оправ-
оправданным, если коэффициент отражения на поверхностях пленки
мал. При не очень малых коэффициентах необходимо учиты-
учитывать многократные отражения и рассматривать интерферен-
интерференцию в тонких пленках и пластинах не как двухлучевую, а как
многолучевую.
К расчету коэффициентов отраже-
отражения и прохождения для слоя

На рис. 137 изображена картина многократных отражении в плоскопараллельной пластине
толщиной d с показателем преломления пг, граничащей со средами, показатели преломления
которых И] и т. Коэффициенты отражения от верхней и нижней границ пластины обозначены
соответственно pi и рг. По формуле A8.5) с их помощью можно связать амплитуды падающей
и отраженной волн. Амплитуды падающей и преломленной волн связаны посредством коэффи-
коэффициента пропускания т формулой A8.9). Эту формулу удобно представить так:
|?п°р1= V™2cose™/(^cosenp)|?n°J= y/a\E&\, B9.10)
где
с = xv2cosQna/(vi cosGnp). B9.11)
Коэффициент отражения р зависит от угла падения. При одном и том же угле падения коэффи-
коэффициент отражения,- вообще говоря, различен для падения волны на границу из различных сред.
Как видно из A8.6), при определенном угле падения 0ПД коэффициент отражения при падении
волны на границу раздела из первой среды равен коэффициенту отражения при падении волны
на границу раздела из второй среды лишь при условии, что угол падения во втором случае равен
углу преломления в первом. Однако yfp, как видно из A6.30а) и A6.42а), отличаются знаком
для различных направлений движения волны к границе раздела Другими словами, ^fp необхо-'
димо брать равным правым частям равенств A6.30а) и A6.42а) при расчете преломления для
соответствующих составляющих напряженности Е поля волны. Что касается ст [см. B9.11)],
то он при указанных условиях различен для преломления на одной и той же границе при движе-
движении волны с разных сторон. Поэтому коэффициент ст для преломления на верхней поверхности
пластины при движении луча из,среды в пластину обозначим cti,. при движении из пластины
в среду — CTj, для преломления на нижней поверхности пластины при движении луча из пласти-
пластины в среду—СТ2.
Амплитуды прошедших и отраженных от поверхностей пластины лучей находятся с по-
помощью yffh , yfp2 , ¦n/ct7 , yfo\ , yfol по тем правилам, которые только что были объяснены.
Разность фаз между соседними лучами, выходящими из пластины на основании B9.4), равна
ts = DnA)«2^cos0np. ' B9.12)
Проще сначала рассчитать суммарную комплексную амплитуду напряженности прошедшей
через пластину волны. Она равна (рис. 137)
B9.13)
где сумма геометрической прогрессии распространена до бесконечности, поскольку для плоской
волны, не ограниченной в пространстве, число отражений, вносящих вклад в интерференцию,
<>ес,конечно. В пространственно ограниченных световых пучках число отражений, которые
лают вклад в интерференцию, наблюдаемую с помощью апертур конечного размера, ограни-
ограничено. Однако и в этом случае обычно можно распространить суммирование по -бесконечному
числу отражений, поскольку главный вклад в интерференцию дает первое небольшое число
членов, а вклад остальных членов незначителен. Взяв квадраты модулей от обеих частей B9.13),
находим
B9.14)
— 2

Для того чтобы правильно применить B9.13) и полученные из нее последующие формулы,
необходимо подчеркнуть смысл величин ,/рТ и ч/р^ . Из вывода формулы ясно, что Jp]
характеризует отражение волн, движущихся в пластине и отраженных от границы пластины
с первой средой обратно в пластину, а у/рг относится к отражению волны, движущейся в плас-
пластине, от границы с третьей средой. Другими словами, ^pi и v/p2 описывают отражение воли
в пластине от ее поверхностей.
Плотность потока электромагнитной энергии в среде равна
S = EH = E2/(\iov), B9Л5)
где fi = цо (среда немагнитна), v — скорость распространения волны в среде. Нормальные ком-
компоненты потока энергии волн из первой среды в пластину и из пластины в третью среду
Подставляя в B9.18) |?p/j?0|2 из B9.14), находим
<Ti
B9.16)
B9.17)
где 0пд1 и 6прз — соответственно углы падения из первой среды на поверхность пластины и
преломления из пластины в третью среду.
Обозначим Т коэффициент пропускания пластины в целом:
). B9.18)
B9.19)
B9.20)
B9.21)
B9.22)
B9.23)
B9.24)
1 + piP2 — 2 ^/рТрг cos5
Запишем от и Ст2 в соответствии с их определением [см. B9.11)]:
o"j = ti v>2 cos0 nai/{v\ cos0 прг); о = Т2У3 cosG Пдг/(У2 cosG Прз).
Принимая во внимание, что cosGnp2 = cosG Пд2, получаем
СТ1СТ2У1 COS0 Прз/(УЗ COS6 щи) = Х\Х2.
Тогда B9.19) принимает вид
-2.
Для каждой из поверхностей пластин соблюдается закон сохранения энергии:
Т1 = 1 pi , - Т2 = 1 Р2.
При отсутствии поглощения коэффициент отражения всей пластины
R — 1 — Т = (pi + рг — 2 •>/pi P2 cos ft)/(I +P1P2 — 2 ¦
где учтены равенства B9.23).
© Линии равного наклона локализуются на бесконечности, а линии
равной толщины—на поверхности пластины.
Конечность размеров источника не смазывает картины интерфе-
¦ ренции в случае линий равного наклона и не является ограничива-
ограничивающим интерференцию фактором.
Допустимая тол'щина пленок для наблюдения интерференции в
белом свете лимитируется способностью глаза различать близкие
цвета.

Слой с нулевой отражательной способностью. При jR =0 отражение от слоя-отсутствует. 187
Для этого необходимо выполнение условия ' '
р, + р2 — 2 VpTp~2 cos б = 0. B9.25) §29
Рассмотрим случай нормального падения и выберем слой с оптической толщиной в четверть
длины волны, т.е. полагаем И2^ = А/4, 6= я, cos'6 =—1. Формула B9.24) принимает вид
R =(yfc + >/plJ/('l + л/рТ ^plJ. B9.26)
Коэффициенты .урТ и yfpl "описывают отражения волны, движущейся в пластине (среда 2),
от границы со средами 1 и 3. Следовательно, на основании A6.33а) они равны
={ni— wi)/(w2+wj), yfp~2 =(п2 — пз)/(п2+пз). B9.27)
Подставляя B9.27) в B9.26), находим
= [(ni — П1Пз)/(п1+гцпз)]2. B9.28)
Коэффициент отражения равен нулю при выполнении условия
B9.29)
Например, баритовый флинт БФ-1 имеет для длины волны 589,3 нм показатель преломления
из = 1,53. Для того чтобы ликвидировать отражение от поверхности этого стекла в воздухе
(«1 = 1), необходимо не его поверхность наложить слой вещества с показателем преломления
пг — у/1,53 «»1,23 с оптической толщиной в четверть длины волны. Показатели преломления
большинства твердых веществ заключены между 1,5 и 2,2, и подбор вещестьа со столь низким
показателем преломления является не простой задачей. Достаточно хорошо этому требова-
требованию удовлетворяют виллиолент NaF, имеющий л =1,33, и криолит Na3AlF6 примерно с тем
же показателем преломления. Коэффициент отражения при этом становится равным 0,008,
что значительно меньше показателя отражения от поверхности стекла, равного лриблизитель-
но 0,04. Коэффициент отражения для других волн несколько увеличивается, но остается доста-
достаточно малым практически для всего светового диапазона.
Описанный способ уменьшения показателя отражения от стеклянных поверхностей называ-
называется просветлением оптики
Слой с высокой отражательной способностью. Физическая причина малой отражательной
способности слоя в четверть длины волны с показателем преломления меньше показателя
преломления материала, на который этот слой наложен, состоит в следующем. При отражении
от обеих поверхностей слоя волна изменяет фазу на п и, следовательно, разность фаз между
отраженными волнами образуется исключительно за счет двойного прохода пластинки в чет-
четверть длины волны, т. е. составляет п. Благодаря этому отраженные волны ослабляют друг
Друга. Чтобы увеличить коэффициент отражения, необходимо обеспечить усиление волн, отра-
отраженных от различных поверхностей слоя. Это можно сделать слоем с оптической толщиной
к четверть длины волны, если на одной из поверхностей происходит изменение фазы Е на л,
а на другой отражение происходит без изменения фазы. Для этого показатель преломления слоя
Должен быть больше или меньше показателей преломления соседних сред (рис. 138). В волне,
представляемой лучом I, при отражении фаза Е изменяется на тс, а в волне, представляе-
представляемой лучом 2, отражение происходит без изменения фазы. Следовательно, полная разность фаз
между отраженными лучами равна 2л и они усиливают друг друга. Коэффициент отражения
увеличивается. Например, если на поверхность стекла (л3 = 1,5) наложить слой SiO («2.= 2)
оптической толщиной в четверть длины волны, то по формуле B9.28) получаем К = 0,2. Это
значительно больше, чем коэффициент отражения от поверхности стекла, равный 0,04.

188' Формула B9.24) упрощается для случаев, когда с обеих сто-
рон пластины находится одна и та же среда, т. е. когда ni =из =
5 =п. Тогда, очевидно, pj = рг =р и формула принимает вид
R = 2рA—cosc>)/(l + р2 —2pcos6).
B9.30)
Если cos Ь = 1, то отражение отсутствует. Это наблюдается при
условии Ь = 2пт(т = 1, 2, ...), которое для нормального па-
падения лучей принимает вид md = mh\2. Максимальный коэффи-
коэффициент отражения получается, если cos6 = —1. Это наблюдается
при условии 8- Bт + 1OГ (т = 0, 1, 2,.,.), которое для нор-
нормального падения лучей принимает вид n2d-B \)X/^
Максимальный коэффициент отражения равен
R макс =4Р/A+р)Я.
B9.31)
Например, коэффициент отражения р от поверхности стекла
(и = 1,5) в воздухе (wi=w2 = l) равен 0,04, а максимальный
коэффициент отражения от стеклянной пластины в воздухе
по формуле B9.31) оказывается равным ЯМмх =0,15, т. е. при-
примерно в четыре раза больше, чем при отражении от одной по-
поверхности.
Однако все сказанное справедливо лишь для достаточно
малых толщин пластины, когда длина пути света в пластине
меньше длины когерентности. Например, при работе с изоли-
изолированными спектральными линиями от обычных источников
излучения, когда имеется как ударное, так и доплеровское
уширение линии, толщина пластинок обычно должна быть
меньше миллиметра. Если используется излучение лазера, то
толщина пластинок может составлять сантиметры в зависи-
зависимости от степени когерентности лазерного излучения.
Матричный метод расчета многослойных пленок. Нахожде-
Нахождение коэффициента отражения для пленки, состоящей из не-
нескольких слоев, является очень трудоемкой задачей. Наиболее
просто она решается-матричным методом, который здесь будет
описан без вывода.
Обозначим величины, относящиеся к среде, из которой свет
попадает на пленку, с индексом 0; относящиеся к отдельным
слоям многослойной пластины — с индексами 1, 2, 3, ..., т;
относящиеся к среде, в которую свет выходит из пленки, —
с ийдексом «кон» (рис. 139). Каждому слою сопоставляется
двухрядная квадратная матрица
со s 5/
м> =
i si n 8у /и Д
COS6; /
в которой
6;= Bn/X)rij dj COS Gnp,
B9.32)
B9.33)
138
Условие возникновения большой
отражательной способности слоя
\.

Икон
V
139
Обозначения величии, используе-
используемых в матричном методе расчета
многослойных пленок
О Каким образом создается слой
с нулевой отражательной спо-
способностью?
Почену слой с оптической
толщиной в четверть длины
волны в рдних случаях явля-
является слоен с нулевой отража-
отражательной способностью, а в
других — слоем с очень вы-
высокой отражательной способ-
способностью?
Как устроены диэлектриче-
диэлектрические зеркала с очень высоким
коэффициентом отражения?

где fij, dj, cosGnp —соответственно показатель преломления, толщина и угол преломления. 189
относящиеся к j-му слою пленки. Необходимо отметить, что 5, в' B9.33) в два раза меньше 6
в B9.12). • §29
Среда, из которой свет падает на пленку, описывается двухрядной матрицей
(по -1\
B9.34)
V«o \)
а среда, в которую свет входит из пленки, описывается матрицей с одним столбцом
1
B9.35)
Коэффициент отражения вычисляется по формуле
R = \a/b\2, B9.36)
в которой
iv ^ с i sin 61 , - i sin 6m
'4/cos6 -и" Л Г086" -STV1 V B9.37)
0
iv ^ с i sin 61 , - i sin 6m , *
'4/cos6 -и" Л Г086" -ST-V1
1 / \ iti\ sin 6i cos hi / ... V inm sin 8m cos 6m / V nK0HJ
Многослойные диэлектрические зеркала. Для многих оптических применений необходимы
отражающие поверхности с максимально большим коэффициентом отражения, напримф 0,99
и даже большей Кроме того, часто необходимо, чтобы не отраженный этой поверхностью свет
но можно меньше поглощался. Последнему условию не удовлетворяют металлические отра-
отражающие поверхности, поскольку они сильно поглощают не отраженную ими часть света. Этим
1ребованиям удовлетворяют многослойные диэлектрические зеркала.
Элементом диэлектрического зеркала является пара слоев, каждый из которых имеет опти-
оптическую толщину в четверть длины волны. Один из слоев делается из материала с большим
показателем преломления щ, а другой — с малым пм. Поскольку, по условию, 5б = 5М = я/2,
матрица, описывающая прохождение света через пару слоев, имеет вид
0 -*/"б\/ 0 — i/nM\ ss
~in6 0 )\-**и 0 )
njn6 0 \ B9.38)
0 -п6/пм) ¦
Матрица, описывающая последовательность N таких пар, дается выражением
/—«м/«б о \ /—«м/«б о Y /(—ИмКУ* о \ B939)
V 0 -n6/nj"\ 0 -n6/nj V 0 (-*б/имУУ
Поэтому в соответствии с B9.37) имеем
U4, ,д о (^mJLJ- B940)
Отсюда по формуле B9.36) получаем
1
J

190 Так как им/«б< 1, то при увеличении JV коэффициент отражения JR приближается к единице
В принципе при достаточно большом значении N он может быть сделан как угодно близким к
5 единице. Факторами, ограничивающими число пар, являются поглощение и рассеяние света
при прохождении через слои. В настоящее время получены значения Я, большие 0,995.
Полупрозрачные материалы. Подбором веществами толщины слоев пластины можно добиться,
чтобы она обладала достаточно большим коэффициентом отражения и пропускания (напри-
(например, R =0,5; Г=0,5). Если из такого полупрозрачного материала изготовить, например, стекла
легковой автомашины, то со стороны улицы днем нельзя будет увидеть, что происходит в ка-
кабине,'поскольку отраженный от стекол световой поток значительно сильнее светового потока,
идущего из кабины машины. Из кабины же хорошо видно все, что происходит.на улице.
§ 30 Частичная когерентность и частичная поляризация
• Излагаются общая теория частичной когерентности
и частичной поляризации и их связь с обшей теорией
случайных процессов.
Частичная когерентность. При анализе двухлучевой интерференции, осуществляемой делением
амплитуды (см. §' 26), было выяснено, что видимость интерференционной картины для строго
монохроматических волн равна единице. Для квазимонохроматического излучения видимость
при увеличении разности -хода лучей ухудшается и при достаточно большой разности хода,
превосходящей «временную длину когерентности», обращается в нуль. При видимости, заклк,
ченной между 0 и ], говорят, что волны частично когерентны.
Аналогично обстоит дело в двухлучевой интерференции, осуществляемой делением волно-
волнового фронта (см. § 27). Если источник, освещающий щели, монохроматический и точечный,
то видимость интерференционной картины равна единице и можно говорить, что вторичные
волны, исходящие из щелей, когерентны. Однако если источник точечный, но немонохроматиче-
немонохроматический, или монохроматический, но протяженный, то видимость интерференционной картины
ухудшается. В обоих случаях интерферирующие волны лишь, частично когерентны либо неко-
некогерентны, если интерференционная картина пропадает совсем.
В первом случае говорится о временной когерентности излучения, а во втором — о простран-
пространственной (см. § 26, 27). Временная когерентность характеризуется временем и длиной когерен \ -
¦ности, а пространственная—'шириной, радиусом и углом когерентности. Можно также гово-
говорить об объеме когерентности. Все эти понятия выражают идею частичной когерентности,
для которой необходимо дать.-общее количественное выражение.
Функция взаимной когерентности. Схема опыта ло осуществлению интерференции показана
на рис. 140, а. В точке Ро осуществляется интерференция лучей, исходящих из точек Pi и Pi
Пути лучей от точек Р\ и Р2 к Ро изображены ломаными линиями, чтобы подчеркнуть возмож-
возможность управления их движением с помощью зеркал, линз и других приспособлений. Чтобы не
усложнять изложение несущественными уточнениями, будем считать, что А и /2 являются дли-
длинами путей, а скорость света при распространении по ним равна с. Следовательно, время, за-
затрачиваемое лучом для прохождения путей Л и /2, равно соответственно t\ = h/c тл t2 — hi с
Напряженность электрического поля в точках Р\ и Р2 обозначим Е\ (Рь t'), Е2(Р2, t').
Амплитуды волн, пришедших из Pi и Р2 в точку Ро, изменяются. Эта изменения зависят от
расстояний, пройденных волнами, размеров отверстий или других особенностей устройств,
с помощью которых осуществляется дифракционный опыт. Однако они не влияют на характер
изменения напряженностей полей в зависимости от времени. Поэтому напряженности полей
в точке Ро получаются из напряженностей полей в точках Р] и Р2 умножением на некоторые
постоянные, учитывающие только что перечисленные факторы. В эта постоянные включается

14ft
К расчету степени когерентности
(я); к доказательств) теоремы
Вак-Циттерта — Цериике F)
в качестве множителя —/, если isj (Pi, f '),E2 (Р2, t') являются полями в точках Pi и Р2,а распро-
распространяющиеся к Ро волны рассматриваются как волны от вторичных источников (см. § 32).
Кроме того, необходимо учесть время прохождения путей А и 12. Следовательно, полная напря-
напряженность поля в точке Ро
?(Ро, 0 = <x,?i (Р,,; — /,/с) +<х2?2 (Р2, f — /2/с), C0.1)
где ai и а2 — постоянные, определяющие изменения характеристик волн при переходе от точек
Р\ и Р2 к точке Ро, а аргументы t — IxjcvLt — /2/с описывают запаздывание волн.
Распределение интенсивности в интерференционной картине описывается формулой
Re?">=72lai|2Re<|?i
72|a2|2Re< \E2\2 > + |a,a2|Re <Е,
C0.2)
причем аргументы у функций Е1 и Е2 не вьшисаны для упрощения написания формул. Они те
же, что и в C0.1). В C0.2) учтено, что с^ и а2 либо действительны, либо мнимы и, следовательно,
a,a*= aj<x2 .
Мы рассматриваем стационарные процессы, когда средние величины не зависят от момента
времени, относительно которого произведено усреднение. Следовательно,
(Р,,
= J/2
t)>=h (P,),
t — /2/c) > = /2(P2),
=Г,2(т),
C0.3)
C0.4)
C0.5)
где т = (/j — /2)/v, U (Pi) и /2(Р2) — интенсивности волн в точках Pi и Р2. функция Г) 2(т) явля-
являемся основной величиной, характеризующей частичную когерентность. Она описывает взаим-
взаимную когерентность световых колебаний в точках Р\ и Р2 в моменты времени, разделенные про-
промежутком г, и называется взаимной функцией когерентности волнового поля. Точки поля,
к которым относится эта функция, обозначены буквами с индексами. Если точки Pi и Р2 совпа-
совпадают (Pi =P2), то соответствующая функция
Гц(т) =
C0.6)
называется функцией автокогерентности световых колебаний в точке Pi. В общей теории ста-
стационарных случайных, процессов ГJ(т) называется взаимной корреляционной функцией ве-
величин ?, (t) и E2(t), а Гц (т) —автокорреляционной функцией величины'?i (t).

192
С учетом C0.3) — C0.5) выражение C0.2) может быть представлено в виде
/(Ро) = |а,|2/, (Pi)+|a2|2/2(P2)+|a,a2|Rer]2(T).
Комплексная степень когерентности. Учтем, что
|а,|2/! (РО = /, (Ро), |а2|2/2(Р2) = /2(Ро),
|aia2| =2 y/h (Ро) yJh(Po) I V < \Е] (Pj, t)\2 >< \E2 (P2, f)|2 > ,
и представим C0.7) в виде
ПРо) =
гДе
У.2(Т) =
П(Ро)+/2(Ро) +
r12(T)/V<^.(i
э.,0
(Ро)л
2 > <
//2(Po)Rey12(T),
|?2(Р2,г)|2>
C0.7)
C0.8)
C0.9
C0.10)
— комплексная степень когерентности. Формула C0.9) выражает общий закон интерференции
для стационарных волновых полей. Для частных случаев эта формула была получена ранее
[см., например, B6.7)]. При интерференции, осуществляемой делением амплитуды, например,
в интерферометре Майкельсона, в формулу C0.9) вместо yi2 (т) входит у и (т), относящаяся к
точке Pi, в которой происходит деление амплитуды.
Степень когерентности. Понятие когерентности связано с видимостью интерференционной
картины. Вычислим видимость интерференционной картины излучения квазимонохроматиче-
квазимонохроматического источника со средней частотой со с помощью C0.9). Напряженности волн в точках Pi и
Р2 имеют вид '
Ei (Pi, t') = Eoj (О ехр {—/[cof' — ф1 (г')]}, C0.11)
E2(P2,t') = EO2(t')exp {—/[cor' —ф2(О]}, C0.12)
где амплитуды Е\, Е2и фазы ф1 и ф2 являются случайными функциями, причем ?bi и ?Ьг можно
считать вещественными. Комплексная степень когерентности дается формулой
у]2(т)= <?oi@?o2(t + T)exp { /[ют— \Нт)]} >/V<l?oil2> <|Яо2|2> , C0.13)
где
У=Ф2(Г + т) — Ф,(г). C0.14)
Множитель ехр (/сот) можно вынести из-под знака усреднения и преобразовать C0.13) следую-
следующим образом:
Yi2 (т) = (< ?oi?o2 cos у > - i<EoiEo2 sin v|/ > )e/u>1 / 4/<|?oi|2> <|?o2|2> .=
= |Yi2 (T)|e-'Vm= |y12 (т^е'^1-*»,.
где
tg ф = < ?oi ?o2 sin у > / < ?oi Eo2 cos v|/ > ,
|yi2 (т)| = ^/( <Eq\Eq2 cos \|/ > J 4- ( < EoiEo
sin
C0.15)
C0.16)
C0.17)
Взаимная функция когерентности волнового поля и функция ав-
автокогерентности световых колебаний в общей теории стационар-
стационарных случайных процессов называются соответственно взаимной
корреляционной функцией и автокорреляционной функцией. Комп-
Комплексная степень когерентности содержит информацию о флуктуа*
циях амплитуды и фазы волны.
При одинаковой интенсивности интерферирующих пучков света
видимость равна степени когерентности.
Теория частичной поляризации основана на изучении взаимной
функции когерентности взаимно перпендикулярных компонент
напряженности электрического поля волны.

,.А'
-—Ь
п2
К'
Л а опыте Брауна я Твисса (а);
¦симость корреляции иитсисив-
ей от т (б)
Какая информация теряется
при переходе от комплексной
степени когерентности к сте-
степени когерентности?
Каким образом видимость ин-
интерференционной картины
связана со степенью коге-
когерентности при произвольном
соотношении интенсивностей
интерферирующих пучков
света?
Что такое матрица когерент-
когерентности квазимонохроматиче-
квазимонохроматической волны?
Приведите определение сте-
степени поляризации и запишите
ее выражение через экстре-
экстремальные значения интенсив-
интенсивности.
Выпишите представления ес-
естественного света в виде су-
суперпозиции линейно поляри-
поляризованных волн и волн с цир-
циркулярной поляризацией.
С помощью неравенства Шварца нетрудно показать, что
|Yi2 (т)|< 1. Формула C0.9) приобретает вид
Iyi2(t)|cos@)t—
C0.18)
Для квазимонохроматического света величины |yi2(t)|h ф
являются медленно изменяющимися функциями по сравнению
с cos сот, как это следует из анализа интерференционных картин
(см. §26, 27). Поэтому максимумы и минимумы интенсивно-
интенсивности в C0.18) достигаются при значениях cos (сот — ф), равных
+1, и видимость интерференционной картины равна
C0.19)
Эта формула непосредственно связывает: видимость интер-
интерференционной картины со степенью когерентности. При одина-
одинаковой интенсивности интерферирующих пучков (Л = /2) види-
видимость равна степени когерентности:
(З0.?0)
Опыт Брауна и Твисса. В этом опыте была исследована/кор-
реляция интенсивности в световом пучке. Световой поток S
(рис. 141, а) разделяется полупрозрачной пластиной А на две
части, которые направляются к фотоприемникам П\ и Яг,
проходя разные длины путей. Ток от приемников, пропорцио-
пропорциональный световому потоку, направляется в коррелятор К, где
в соответствующих электрических цепях вырабатывается ток,
равный произведению сил токов. Измеряемой величиной
является
С(т)=-
1
C0.21)
193
§30
Поскольку J ~ Е2, здесь дело идет о корреляционной функции
четвертого порядка относительно напряженности поля. ».На
рис. 141, б-изображена зависимость G(t), найденная в опытах
Брауна и Твисса. При очень малых т значение G(t) близко к
единице, при увеличении т оно уменьшается. При.больших т
функция G(t) практически постоянна.
Для объяснения такого поведения G(x) необходимо при-
принять во внимание флуктуации интенсивности светового пучка.
Если бы флуктуации не было, то при всех значениях/ было бы
G(x) = 1. Однако при наличии флуктуации ситуация меняется.
Для флуктуации можно определить характерный масштаб вре-
времени. Если t меньше характерного времени флуктуации, то
в корреляторе все время регистрируются примерно одинаковые
силы токов и С(т) близка к единице. При увеличении т корреля-
корреляция между силами токов в корреляторе нарушается, максимумы
тока в одном капаю попадают на минимумы в другом и т. д.,
7-289

194 в результате чего G(x) уменьшается. Когда т превосходит характерное для флуктуации время,
его увеличение не вносит изменений в соотношение токов в каналах и значение С(т) остается
5 постоянным. Функция С (т) дает информацию о статистических свойствах излучения.
. Частичная цоляризация. В квазимонохроматическои волне конец вектора напряженности
электрического поля описывает чрезвычайно нерегулярную кривую в плоскости, перпендику-
перпендикулярной направлению распространения волны (см. § 13). В волне, распространяющейся в на-
направлении положительных значений z, проекции напряженности электрического поля в фикси-
фиксированной точке могут быть представлены аналогично A3.5) в виде
&@ = E<b{t) exp {—i[W — яЦ*)]},. C0.22)
Ey(t) = Eoy(t) exp { —i[o)t — 9t(t)]}, C0.23)
где EOx, Eoy, q>x, фу —случайные амплитуды .и ^азы. для строго, монохроматических волн эти
величины постоянны, а волна имеет вполне определенную поляризацию Квазимонохромати
ческая волна не обладает определенной поляризацией. Однако если в плоскости X У наблюдается
некоторая регулярность в колебаниях вектора.напряженности, то можно говорить о частичной
поляризации. Количественная теория частичной поляризации основьгвается на анализе кор-
корреляции между пздимло перпендикулярными проекциями напряженности электрического
доля волны и характеризуется матрице^ когерентности.
Матрица когерентности квазимонохроматической плоской волны. Вычислим интенсивность
световых колебаний в направлении, составляющем угол 9 с положительным направлением
оси X. Проекция напряженности электрического-поля на указанное направление представля-
представляете^ формулой
E(t, 0, е) = Ex cos 0 + Еу sin GeI?, C6.24)
где г — сдвиг фаз между проекциями, являющийся .независимым параметром. Его значение
задается по усмотрению экспериментатора При е>0 ^-проекцияГ напряженности элёктриче-
.ского поля волны запаздывает относительно jc-проекции, а при е < 0 — опережает ее. Для интен-
интенсивности волны получаем формулу
7@, e) =
+ sin 0 cos 0 Re < ExE?ye~i? >. = /w cos2 0 + Iyysin2 0 + 2sin 0cos0 Re(Ly?4*), C0.25)
где
C0.26)
Матрица
*хх Ixy
J = ' C0.27)
lyx lyy
называется матрице^ когерентности квазимонохроматической плоской волны. Она эрмитова,
поскольку /^ = /*,,,.
комплексная степень когерентности взаимно перпендикулярных проекции напряженности элек-
электрического поля волны. В полной аналогии с C0.13) t комплексная степень когерентности Цху
взаимно перпендикулярных проекций напряженности электрического поля волны определя-
определяется формулой
= <ЕхЕ?у >I yl<ExE*x> <ЕуЕ*у> = Ixy/

C0.29)
С учетом- C0.28) выражение C0.25) можно представить в виде
/ @, е) = /« cos2 6 + 1Уу sin2 в + 2 sin 6 cos G JTxx >/J^ Re (ц.*уе~ rt),
аналогичном C0.9).
Для квазимонохроматической волны, описываемой уравнениями C0.22) и C0.23), имеем
1ху = < EoxEoye'v > = < ЕохЕоу cos у > + / < ЕохЕоУ sin у >, где \у « ф* — фу. Следовательно,
y ||^
| /v, I = \/(<EQxEoyca$\\i>J + ( < Яох-Coysin v > J , C0.30)
где tg ф ~ < JSo^oySin \j/ > / < EoxEoy cos у > . Отсюда комплексная степень когерентности
|u,»Ne". C0.31a)
где
C0.316)
— степень когерентности взаимно перпендикулярных проекций напряженности электриче-
электрического поля волны. Формула C0.29) приобретает вид
/ (9, е) =* Jxx cos2 9 + Iyy sin2 0 + 2 sin 0 cos 9 ^[hx Ч/77У |м*у|cos (б — ф) =
= Ixx cos2 9 -f Iyy sin2 9 -f 2 sin 9 cos 9 yj hylyx cos (e -7- ф).
C0.32)
Комплексная степень когерентности Цху содержит полную информацию о взаимной когерент-
когерентности х- и .у-проекций напряженности электрического поля волны. Необходимо обратить вни-
внимание на то, что степень когерентности |jj*yj зависит, вообще говоря, от направления осей коор-
координат. Лишь для полностью непол яри зеванного света степень когерентности равна нулю для
всех направлений осей в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волн.
Естественный (неполяризованный) свет. У него интенсивность одинакова по всем направле-
направлениям и не зависит от разности фаз, которую можно ввести между взаимно перпендикулярными
проекциями напряженности электрического поля волны, т. е. не зависит от 9 и в. Другими сло-
словами, /(9, е) = const. Из C0.32) видно, что это возможно только при
ц*у = 0, 1ху = /,* = 0, C0.33) /„«/w«J/2/, C0.34)
где I—Jxx+Iyy—полная интенсивность света.
Таким образом, у неполяризованного света степень когерентности взаимно перпендикуляр-
перпендикулярных проекций напряженности электрического поля равна нулю, а матрица когерентности имеет
вид
1 0
C0.35)
1
0
X
Полностью поляризованный свет. Прежде всего рассмотрим монохроматические волны.
Они описываются формулами C0.22) и C0.23) с независимыми от времени Еох, ЕоУ, ф*, Фу
В этом случае средние равны мгновенным значениям величин и матрица когерентности имеет
вид
J = JL
1
Ely
C0.36)
Величина у = <рх — фу является постоянной разностью фаз между взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными проекциями напряженности электрического поля волны^ Комплексная степень коге-
когерентности по формуле C0.28) выражается формулой
И*, = e'v C0.37)
195
§30

196 и, следовательно,
|И«,|=1. C0.38)
Это означает что степень когерентности при переходе от полностью неполяризованного све j^i
к полностью поляризованному изменяется от 0 до 1. Значения коэффициента между 0 и 1 описы-
описывают частичную поляризацию. Однако количественно поляризация характеризуется степенью
поляризации Р [см. C0.63)], которая не равна |цху|.
Определитель матрицы когерентности C0.36) полностью поляризованного света
det / = Ixxlyy — Ixylyx = 0. C0.39)
Это равенство является важнейшим условием полной поляризации.
Полной поляризацией могут обладать не только монохроматические, но и квазимонохро-
квазимонохроматические волны, для которых условие C0.39) полной поляризации соблюдается в случае,
если ,
у (t)/Eox(t) = const = а, (гх — <гу = \|/ = const.
C0.40)
Имеем Ixx ='<Еох>, 1ху=а<Elx> e'v, Iyx = а <Еох>, 1уу = а2 <ЁЬх> и, следовательно,
уравнение C0.39) удовлетворяется.
Это можно понять из физических соображений. Равенство C0.39) показывает, что 1^, 1ху,
1^, Iyy у полностью поляризованного света не являются независимыми. Условие C0.40) выра-
выражает ту зависимость проекций ЕОх от ЕОу и их фаз, которая обеспечивает выполнение соотно-
соотношения C0.,?), характеризующего полностью поляризованный свет.
Линейно поляризованный свет определяется условием \\i =тп (т =0, ±1, ±2, ...'). Матрица
когерентности C0.36) принимает вид
(-—1)
(—\)тЕОхЕ{
Е2оу
Оу
C0.41)
Направление колебаний вектора Е определяется соотношением Ех/Еу — (—\)тЕох/Еоу.
направление колебаний электрического вектора совпадает с осью X (ЕоУ = 0), то
1 0
J = 1
0' 0
где J = Еох/2 — интенсивность волны При направлении колебаний по оси У
0 0
J = I
Если
C0.42)
0
1
C0.43)
Если же вектор напряженности электрического поля волны колеблется в направлении бис-
биссектрис-углов между осями координат, т. е. под углами л/4 и Зя/4 к оси X, то Еох = Еоу, т =0 и
Еох = Еоу, т = 1, а матрицы когерентности имеют вид
1
1
1
1
'-*'
1
-1
-1
1
C0.44)
У поляризованного по кругу света Еох = Еоу, \|/ = /тг/2 (т = ± 1, ±3,...) и, следовательно,
матрица когерентности записывается так:
1 II 1 ±;'
J = j / , C0.45)
где верхние и нижние знаки при i относятся к круговым поляризациям различного направления

Степень поляризации световой волны. Независимые световые волны между собой не интер-
ферируют и, следовательно, средние значения произведелий проекций различных волн равны
нулю. Это приводит к заключению, что матрица когерентности результирующей волны равна
сумме матриц когерентности слагаемых волн. Для" доказательства рассмотрим суперпозицию
независимых волн. Проекции напряженностей электрического поля результирующей волны
даются равенствами
лГ-
Ех =
, = Т. Еу .
Отсюда для средних значений произведений проекций получаем
N N
<E,Ef> = I Z <??)?jn)> = Z <Е(гЕ{?*> + Z < Е\п)Е(}т)* >,
л -1 т—1 И Aj*m
C0.46)
C0.47)
где i = х, у; j = х, у. Члены последней суммы в C0.47) равны нулю, поскольку являются средни-
средними от произведений проекций напряженностей электрического поля различных независимых
волн. Поэтому приходим к равенству
N
<EtEJ> = 1 <ЕТЕ°у*>, C0.48)
оторое доказывает, что матрица когерентности результирующей волны равна сумме матриц
"огерентности для слагаемых волн. Это подсказывает возможность представления матрицы
когерентности произвольной волны в виде суммы матриц полностью поляризованной и пол-
юстью деполяризованной- волн. Для осуществления такой возможности необходимо доказать"
единственность представления матрицы
J =
в виде
где
C0.49)
C0.50)
0
C0.51)
0 А
в соответствии с C0.35) является матрицей когерентности полностью неполяризованного света, а
J® т
в
D*
D
С
C0.52)
удовлетворяющая условию C0.39) в виде
ВС— DD*=0, C0.53)
является матрицей когерентности полностью поляризованного света. Из C0.50) имеем равенства
/!+? = /«, D = Ixy, /)¦ = /,«, А + С = 1УУ, C0.54)
с помощью которых уравнение C0.53) приводится к виду
А2 — (/« + 1уу)А +/«/», — Ixyly* =0. C0.55)
197
§30

198 Отсюда находим корни уравнения:
а = -1 (/„ 4- 1УУ) ± -1 у/(!ъ+1„У — 46еи, C0.56)
где
det J = IxJyy — М>* C0.57)
— определитель матрицы CQ.49)
Чтобы проанализировать решения этого уравнения, необходимо учесть некоторые неравен-
неравенства. Из C0.23) получаем
1 _ д^, = (/^ _ IMWxJ») = ** WInlyy)> C0,58)
Ил, - W чД^Г. C0.59)
Из формулы C0.59) в соответствии с неравенством Шварца следует, что ||4«у]<1. Учитывая
также, что /» и Iyy неотрицательны, из C0.58) находим 0 <:det/«? Ixxlyy- Кроме того, из неравен-
неравенства (ixx — lyyJ > 0 получаем (/» + 1УУJ > 4Ijjy, и поэтому O^det/^/^y^ ^1а{1уос+1ууJ.
Это означает, что оба корня C0.56) вещественны и положительны. Непосредственной провер-
проверкой убеждаемся, что при положительном знаке корня в C0.56) для Вп С получаются отрицатель-
отрицательные значения, которые неприемлемы, поскольку В и С, по определению, положительны. Следо-
Следовательно, необходимо в C0.56). взять отрицательный знак у корня. Решение единственно и имеет
следующий вид:
А =
В =
с
т
1
2
Т
(/«
(/хх
(i>.
+/w) —¦
. Ml
-/„) +
1
2
1
2
Т
(a)
V — 4dety, (б)
C0.60)
J —4dct7f (в)
) = /„, D* = Iyx. . (г)
Полная интенсивность волны и интенсивность поляризованной части
= /«+/„„, C0.^1)
/1Hrtf = ii? + С = ylilxx+lnY — 4det7. C0.62)
Степенью поляризации Р волны называется отношение интенсивности поляризованной
части к полной интенсивности:
_ 4det //(/„
C0.63)
Из рассмотренных в связи с рещением C0.60) неравенств следует, что Q^P^l. Из теории
матриц известно, что det У и Sp J — /** + Iyy инвариантны при вращении системы координат.
Отсюда с учетом C0.63) заключаем, что Р не зависит от направления осей X и У.
Выражение степени поляризации через экстремальные значения интенсивности. Исследуем
изменение интенсивности в зависимости от 0 и е. Воспользовавшись тригонометрической фор-

мулой для синусов и косинусов двойных углов, запишем C0.32) в виде 199
/(в, е) = 7z(/« + 1Уу) + 7зИуу — /«) cos 20 + Jlxyly* cos (e — ф) sin 20. . C0.64)
Эту формулу можно преобразовать аналогично тому, как B6.23) была преобразована в
B6.25а):
/@, е) = Q + у/С2 +S2 cosB0 — а), C0.65)
где Q = О« + 1уу)/2, С = Aуу— /»)/2, S = /M^cos (е — ф), *« <* = SIC.
Амплитуда колебаний интенсивности зависит от cos (e — ц>), достигая максимального зна-
значения при }cos(e — ф)|— 1- Максимумы и минимумы интенсивности достигаются при углах 0,
для которых cos B0 — а) = 1 и cos B0 — а) = —1 соответственно. Следовательно,
/@, еIмакс=е + JC2+S2 , /@, е)|мин =Q— JC2 +S2 .
При нахождении экстремумов посредством только что использованных приемов необходи-
необходимо соблюдать осторожность. Дело в том, что зависимость J в C0.65) от 0 и е содержится не
только в аргументах cos(e — ф) и cos B0 — а), но и в величинах /„, J^, Iyx, 1уу. Оправданием
использованного приема является то обстоятельство, что зависимость J от е и 0 посредством
cos (с — ф) и cosB0 —а) много сильнее зависимости посредртвом /да, 1ху, 1^, 1^ и при нахож-
нахождении экстремумов последней зависимостью можно пренебречь.
Примем во внимание, что
yj С + О = — yj (Iyy Ixx) 4- 4/xyl ух ~ -ZT yj \*yy 4" Ixx) 4 {Jxxlyy Ixylyx) —
где detJ — IxJyy — Ixylyx — определитель матрицы когерентности. Поэтому
^@> g) макс Д0> €) мин _
-
Сравнивая правые части C0.66) и C0.63), заключаем, что
- (НО, ?)-U« - /@, еIы„)/а(е, с)| вд 4-/@, е)|да), C0.67)
причем под экстремальными значениями здесь понимаются абсолютные максимумы и мини-
минимумы относительно обеих независимых переменных 0 и е. Полностью поляризованный свет ха-
характеризуется значением Р ~\. Из C0.63) следует, что при этом detJ==JxJyy — Ixylyx = 0. Это
означает, что Juxy |= 1, т. е. Ех и Еу взаимно полностью когерентны. Полностью неполяризован-
ный свет характеризуется значением Р=0. Из C0.63) следует, что
ihx + lyyJ— 4VxJyy— Ixylyx) =(!xx — iyyJ +*Uylyx = 0. C0.68)
Поскольку Ixylyx — hyl*xy является положительной величиной, каждое из слагаемых в правой
части C0.68) должно быть равно нулю в отдельности:-
Ixx =* Iyy, IXy=Iyx=Q C0.69)
Следовательно3|цху|= 0, Ex и Еу взаимно полностью некогерентны. При 0 < Р < 1 свет частич-
частично поляризован, 0<]д*,|< 1, & и Еу частично взаимно когерентны.
Прадставдешш естественного света. Пользуясь возможностью лредстдвления матрдцы ко-
когерентности для результирующей волны в виде суммы матриц когерентности слагаемых волн,
можно матрицу когерентности C0-35) естественного света представить в виде

200 i I1 ° II i II1 °T i ||° °||
""^'llo i ll " ^ II о о1г^~ llo ill' C°'70)
i oil . II i
C0.71)
В первом случае волна естественного света интенсивности / представлена в виде суммы
линейно поляризованных волн с интенсивностями 1/1 Электрические векторы колеблются во
взаимно перпендикулярных направлениях в плоскости, перпендикулярной направлению рас-
распространения. Во втором случае волна естественного света эквивалентна двум независимым
волнам, поляризованным по правому и левому кругу. Интенсивность каждой из слагаемых
волн равна половине интенсивности / естественного света.
Соотношение между степенью поляризации и степенью когерентности. Из C0.59) находим, что
|ц*|2 = 1 —tetJ/ilxxIyy). C0.72)
Квадрат степени поляризации C0.63) выражается формулой
Р2 ш 1 —det7/[(/xx+/^J/4]. C0.73)
Из неравенства (/«— 1ууJ>0 следует (Ixx+JyyJ >41хх1Уу, и поэтому сравнение C0.72) с
C0.73) показывает, что
Р>Ы> . C0-74>
причем знак равенства достигается только при 1ХХ = 1УУ. Чтобы проанализировать, когда это
происходит, рассмотрим преобразование проекций напряженностей поля при повороте осей
координат. Если ось X' новой системы координат составляет с осью X угол а (начала систем
координат совпадают, а поворот осуществляется в плоскости XY), то
Ех> - Ех cos а + Еу sin а, Еу-—Ех sin а + Еу cos а. C0.75)
Тогда
lxi x, = lxx cos2 a + lyy sin2 а + (Ixy+Iyx) cos a sin а,
Iyy = Ixx sin2 а + lyy cos2 а — (Ixy + />*) sin a cos а. C0.76)
Из условия Ix'xi=ly'y находим
tg2a = AуУ— Ixx)/(IXy + Iyx). C0.77)
Ввиду того что Ixy = lyx, решение уравнения C0.77) дает два взаимно ортогональных направ-
направления, Для которых интенсивности /*-*< и 1уу> одинаковы, а степень когерентности ц*у дости-
достигает максимального значения, равного значению степени поляризации Р волны.
Теорема Ван-Циттерта—Цернике. В § 26, 27 были рассмотрены конкретные случаи прояв-
проявления временной и пространственной когерентности. Поскольку степень когерентности опре-
определяет видимость интерференционной картины, важно уметь находить степень когерентности
излучения, не зная видимости интерференционной картины. Для квазимонохроматического

излучения от источника небольших размеров, находящегося на достаточно большом расстоя- зу>|
нии, такую возможность представляет теорема Ван-Циттерта—Цернике Она справедлива
не для любого достаточно малого источника на достаточно большом расстоянии, а лишьПрИ §зо
условий, что разность времен распространения света от .любой точки источника до двух точек
наблюдения, для которых определяется взаимная степень когерентности излучения, меньше
времени когерентности излучения из соответствующих точек источника.
Для упрощения расчета предполагаем, что светимость поверхности S' (см. рис. 140, б)
создается находящимися на ней точечными квазимонохроматическими источниками с одина-
одинаковой средней частотой излучения, между собой не когерентными. От каждого из них в направ-
направлении поверхности S испускается волна. Если напряженность электрического поля волны,
испускаемая источником в точке Р'т, пропорциональна Ein(t'\ то амплитуда волны в точке Р\
на плоскости наблюдения S равна
Еш{Ри t) = E^(t—rlm/v)/rim, C0.78)
где v — скорость распространения волны в среде между точками Р„ и ^т Наличие t-— r\mjv
в аргументе у Е'т учитывает запаздывание колебаний в точке Рх по сравнению с точкой Pw,
a riw в знаменателе принимает во внимание уменьшение амплитуды напряженности в процессе
распространения волны. Нормировочная постоянная в C0.78) не выписана. Обозначение точки
Piwв C0.78) дается индексом 1 у Ет\.
Для квазимонохроматических излучателей
Е'т{1')=Е'от{1')е-ш\ C0.79)
Тогда выражение C0.78) принимает вид
E,m(r) = ?6m(f — rim/u)exp(—ico(t — rim/tOrTi . C0.80)
Напряженность электрического поля в точке Рг дается аналогичной C0.80) формулой
E2m{t) = E'om(t — r2m/v) exp (—ico(t — r2m/v)r~2l. C0.81)
В точки Pi и Рг в момент времени t приходит излучение от всех источников светящейся по-
поверхности 5". Поэтому суммарная напряженность электрических полей в этих точках
/co(t— rlm/v))nlm, C0.82)
E2(t)= ZE2mit)= J:-E'om-(t—r2m-/v)Qxp(—i(u(t—r2m'/v))r-2li C0.83)
m m
где суммирование распространяется по всем излучателям на площади 5" поверхности.
В полной аналогии с C0.5), изменяя соответствующим образом начало отсчета времени, для
взаимной корреляционной функции ПгСО величин Е\ и Е2 получаем выражение
Г12(т)= <Ex(t')E*2{t')> =J,m.<Ebm(t—rim/v)E&(t—r2m'/v)r^mr-21m.Qtmmm' C0.84)
где ттт< ={rim— r2m)/v. Поскольку точечные источники излучения на S' являются между собой
статистически Независимыми, имеем
<E'om(t— rim/v)Ebi(t—r2m-/v)> = <E'om(t—rim/v)E'o1b>(t—r2m>/v)>bmm> C0.85)

202 и формула C0. $4) принимает вид
I Г,2 - t
:/йЧ C0.86)
где tot», - «) (гт — г in) I v ~к(гш — г2т), к = (o/v - 2nfk — волновое число.
Рассматриваемые процессы излучения и наблюдения предполагаются происходящими в
стационарных условиях. Поэтому в правой части C0.86) под знаком усреднения можно'заме-
можно'заменить начало отсчета времени и написать [см. C0.5)]
r< E'om(t — fj m/v)Eo*(t — Tlmfv) > = < E'om(fj E'*m(t + Xn) > .
Предполагается, чтр время когерентности излучения всех точечных источников больше,
чем разность времен хода от источника До точек наблюдения, т. е. тког >|т,й|. Вычисляя C0.86),
при ytoM условии с достаточно большой точностью можно положить хт — 0 и принять, что
<№m(tyE'o%(t + rm)> » <^Ьт@^о*@> e2/A, C0.87)
где 1м-~- ййтеибивностй» мтучагян, соотвегсгвующая амплитуде напряженности Е'ьт.С;
C0.87), переходя в C0.S6) от суммирования к «Аггегрированйю*, получаем
Тп - 2Q
dS',
C0.88)
где dS' -г- площадь элемента поверхноси! S' в .точке Р';. п и п — расстояния от Р' до точек Р\
и Рг соответственно. Постоянная Q является нормировочной. Она возникает в результате пере-
перехода от суммирования к интегрированию. Ее точное значение не нужно для дальнейших вычис-
вычислений, поскольку она сокращается с соответствующими постоянными, которые в этих вычис-
вычислениях появляются в знаменателях. ,
Из C0.88) Для функции автокогерентиостй C0.6) световых' колебаний в точках Л и Р2 полу-
получаем:
C0.89)
C0.90)
— интенсивности излучения в точках Pi и Р2 при отсутствии интерференции излучения от раз-
различных источников на 5'.
Формула C0.10) для комплексной степени когерентности с учетом C0.88), C0.89), C0.90),
а также а помощью соотношений
S'
S"
JL
¦¦?¦
in
г2,
in
А О' — Т/) 1(Р\
AQf — 'УЛ /AD Л
)=/,= \JLip6S',
S' r
5' , ^
принимает вид
г12
Г (P')elk(ri -
d?\
C0.91)
C0.92)
C0.93)

Она позволяет вычислить комплексную степень когерентности излучения в точках волнового 203
ноля, если известно распределение интенсивности излучения на поверхности протяженного
квазимонохроматического источника, в предположении, что излучение источника удовлетво- §30
ряет перечисленным ранее требованиям. Формула C0.93) выражает теорему Ван-Циттерта —
Цернике.
Пример 30.1. Найти взаимную функцию когерентности Fj2(x) волнового поля для хаотиче-
хаотического сйетояого "излучения с лоренцевой формой линии. Световой поток образуется совокуп-
совокупностью плоских волн, распространяющихся в направлении положительных значений оси X.
Для упрощения расчета удобно считать излучение заключенным в полости очень больших
размере» (много большей длины когерентности а направлении оси Z). Границы полости можно
считать прозрачными. Электрическое поле в точке, z внутри полости в момент времени t пред-
представляется в виде суммы нормальных мод излучения:
E(z, 0 = 2 ?* ехр (—/(солг — Ь», C0.94)
где <ок - ск. Амплитуды Ек являются комплексными . величинами, абсолютные значения ко--
торых й фазы определяются только статистически.
По .определению взаимной функций когерентности волнового поля,
Гп(т) = <E(it,-ti)E*(Z2, t2) > = 2^,<Ek?f. > ехр [—i((oku — <ok,t2 — kzt + kz2)]. C0.95)
Поскольку амплитуды Ёкп Ёк. при кфк'— случайные независимь|е величины с нулевыми
средними значениями, имеем
<EkE*;>=<\Ekf>bkk.. C0.96)
Поэтому вЪ1ражение C0.95) принимает йид
Г, 2 (т) = ? < \Ек\2 > ехр (—/cokt), C0.97)
где т -11 —12 — fa — z2)/c.
В соответствии с (9.28) для лоренцевой формы линии можем написать
<\Ек\2> = А т * мл2 , C0.98)
1 fc| . (coo-^kJ+(v/2J
где А — постоянна^, определяемая средним потоком энергии
<\E(z,t)\2> =
". ? <\Ek\2 > , C0.99)
к
где принято во внимание соотношение C9.96). При большой длине* полости (L -» оо) можно
по обычному правилу в C0.99) перейти от суМмы к ийтегралу:
C0100)
При таком переходе с учетом C0.98) при у <? со0 находим
-JL / % AL ? йщ _=_L F* 2AL C0.101)
2 V До М I ((й0 — (йкJ+(у/2J' '2 V До У^1

204 Подставляя А из C0.101) в C0.98), получаем
1
Тогда C0.97) принимает вид
exp (•
C0.102)
Переходя в C0.102) от суммы к интегралу, по формуле C0.100) находим
Т ехр (-
I (<оо-соЛJ+(у/2J '
С помощью теории вычетов находим значение интеграла:
ехр(-
поэтому
ГJ(т) =
ехр (—/оэот — у|т|/2).
C0.103)
Таким образом, Г12(т) экспоненциально уменьшается как при увеличении ширины линии
так и при увеличении |т|.
Задачи
5.1. Расстояние между точечными источниками
Х/2, а исходящие из них волны имеют раз-
разность фаз л и в отдельности дают интен-
интенсивность /0. Найти распределение интенсив-
ностей в интерференционной картине.
5.2. Расстояние между точечными источниками
У4, а исходящие из них волны имеют раз-
разность фаз я/2 и в отдельности дают интенсив-
интенсивность /о. Найти распределение интенсивнос-
тей в интерференционной картине.
5.3. Радиоастрономический интерферометр по
принципу действия эквивалентен дифракци-
дифракционной решетке, в которой роль щелей вы-
выполняют приемники радиоизлучения, от ко-
которых, как от источников вторичных волн,
образуется интерференционная картина. Ли-
Линейная цепочка радиоастрономического ин-
! терферометра состоит из N = 40 приемников-
источников, находящихся на расстоянии d =
«= 10 м друг от друга и работающих на длине
волны А = 21 см. Найти угловую ширину
центрального максимума и угловбе расстоя-
расстояние между центральным максимумом и глав-
главными максимумами первого порядка.
5.4. Кольца Ньютона наблюдаются при освеще-
освещении D-линией натрия с % =» 589 нм. При мед-
медленном удалении линзы от поверхности, на
5.5.
которой она первоначально лежала, кольца
Ньютона как бы стягиваются к центру и в
центре происходит последовательное потем-
потемнение и просветление. Число стягиваемых
к центру, колец можно подсчитать. Когда
число стянутых к центру колец стало прибли-
приближаться к 500, видимость дифракционной кар-
картины ухудшилась и дифракционная картина
исчезла при 500 стянутых кольцах. При даль-
дальнейшем увеличении расстояния между лин-
линзой и поверхностью видимость ^улучшается
и достигает .своего максимального значения
при 1000 кольцах. Дальнейшие минимум и
максимум получаются при 1500 и 2000 коль-
кольцах соответотвенно. Такое поведение интер-
.ференционной картины обусловлено тем, что
D-линия натрия является дублетом. .Найти
расстояние между линиями дублета..
В интерферометре Маха—Цендера (см.
рис. 108) длина пути света в ячейке Q равна
/-20,4 см. Из ячейки воздух практически
полностью откачан. В центре интерферен-
интерференционной картины наблюдается темное пят-
пятно. Длина волны монохроматического ис-
источника света равна >.=*589 нм. В ячейку че-
через кран медленно впускается воздух. В ре-
результате »в объеме внутри ячейки давление

поднимается, радиусы колец в интерферен-
интерференционной картине изменяются, а в ее центре
наблюдается последовательное увеличение.и
уменьшение освещенности. Экспериментатор
считает число просветлений. К тому моменту,
когда давление воздуха в ячейке стало рав-
равным атмосферному, экспериментатор насчи-
насчитал 101 просветление, а в установившейся
при атмосферном давлении интерференцион-
интерференционной картине в центре наблюдается потемне-
потемнение.' Чему равен показатель преломления
воздуха при атмосферном давлении?
5 6 На сколько в сторону сместится централь-
центральный максимум в интерференционной карти-
картине от двух щелей, если одну из них закрыть
'тонкой плоскопараллельной пластинкой тол-
толщиной q с показателем преломления и? Рас-
Расстояние от щелей до экрана / (см. рис. 113).
5/7, На горизонтальном стеклянном столе лежит
плоскопараллельная пластина. Одна сторона
пластины касается стола, а другая несколько
приподнята, в результате чего между плос-
плоскостями пластины и стола образуется очень
маленький угол а. Сверху на пластину и стол
падает по нормали плоская монохромати-
монохроматическая волна с длиной волны 589 нм. Расстоя-
Расстояние между линиями одинаковой толщины
равно 5 мм. Определить угол а-.
5.8. В интерферометре Тваймана — Грина
(см. рис. ПО) собирающая линза L отсутству-
отсутствует, а отражение происходит непосредственно
от выпуклого зеркала с радиусом кривизны,
R = 5 м. Источник света монохроматический
с длиной волны 550 нм. Интерференционная
картина наблюдается невооруженным глазом
на экране без линзы. Известно, что расстоя-
расстояния от центра делительной .пластинки до
Ai и до выпуклого зеркала А2 равны и поэто-
поэтому • в центре интерференционной картины
наблюдается светлое пятно. Определить ра--
диус девятого светлого кольца.
5.9. Найти радиус четвертого кольца в интерфе-
интерференционной картине от интерферометра Фаб-
Фабри—Перо в фокальной плоскости линзы с фо-
фокусным расстоянием /= 0,5 м. Расстояние .
между пластинами интерферометра d = lwCM,
длина^ волны монохроматического излуче-
излучения Х = 693 нм.
5.10. Через центр .тонкой линзы с фокусным, рас-
расстоянием 10 см проведен диаметр. Из линзы
параллельно диаметру вырезана симметрич-
симметрично относительно диаметра полоска толщиной
1 мм, после чего оставшиеся части линзы
плотно придвинуты друг к другу. Опреде- ч
лить длину волны точечного источника све-
5.11
5.12.
5.13
5.14.
5.15.
5.16.
5.17
5.18.
та, расположенного на расстоянии 8 см от
линзы, если на экране, находящемся на рас-
расстоянии 160 см от линзы, наблюдается интер-
интерференционная картина, в которой расстояние
между соседними максимумами равно 0,3 мм.
При каком расстоянии между зеркалами в ин-
интерферометре Фабри—Перо можно разде-
разделить дублет линии натрия (Х,=-589 нм, ДА,=
=0,6 нм)? / •
В интерферометре Майкельсона наблюдают-
наблюдаются кольца равного наклона от ртутной лам-
лампы, испускающей свет с длиной > волны Х =
= 435,8 нм. При смещении подвижного зер-
зеркала интерферометра на 47,5 мм интерферен-
интерференционная картина, размывается. Найти шири-
ширину линии.
Какое число штрихов на 1 мм должна иметь
дифракционная решетка, чтобы при фотогра-
фотографировании дублета натрия (АХ =0,6' нм; Х,=
=589 нм) во втором порядке камерой с фо-
фокусным расстоянием 100 см получились на
пластинке линии дублета на расстоянии 1 мм?
Мыльная пленка толщиной, существенно
меньшей длиньГ волны, находится в воздухе.
Темной или светлой она представится в отра-
отраженном свете?
Лучи, выходящие из пластинки Люммера—
Герке, можно считать практически скользя-
скользящими вдоль поверхности. Определить дис-
дисперсионную область пластинки с учетом дис-
дисперсии света. Показатель преломления ве-
вещества пластинки п, толщина пластинки h,
длина волны света X.
Рассеянный монохроматический свет с Х =
= 0,5 мкм падает на тонкую пленку с показа-
показателем преломления « = 1,5. Определить-тол-
Определить-толщину пленки, если известно, что угол между
лучами, образующими соседние максимумы
вблизи угла отражения 45°; равен 2°'.
В интерферометре Жамена * полосы наблю-
наблюдаются в фокальной плоскости объектива с
фокусным расстоянием 15 см. Показатель
преломления вещества пластин п = 1,5, тол-
толщина пластин 2 см.- Пластины образуют
между собой малый угол Г. Свет падает
на пластины под углом 45°. Расстояние меж-
между полосами интерференции 5 мм. Найти
длину волны света, * создающего интерфе-
интерференционную картину.
Билинза изготовлена из линзы с фокусным
расстоянием /= 15. см, а ее половинки раз-
раздвинуты на расстояние а = 1 мм друг от
друга. Определить расстояние между интер-
интерференционными полосами, если источником
света является щель, расположенная на рас-
205

стоянии L = 30 см от бшшйзы, а экран от
билинзы находится наг расстоянии / ^ 5 м.
Длина, волны света,X ** 0,5 мкм.
?•19. #& Пиком Минимальной расстоянии должны
находиться щели в опыте Юнга для того,
чтобы наблюдать йнтёрферёнцйОйНую кар-
картину рт излучения Солнца? Угловой размер
Солнца 32'. Длину йолйы считать равной
0,55 мкм [см. B7.25)].
5.20. Бипризма Френеля с малым преломляющим
углом й расположена на расстоянии L от
источника й ш расстоянии / от экрана. По-
Показатель преломления вещества бипризмы п,
длина волны' света X. Найти число полос
интерференции.
5.21» Кольца Ньютона наблюдаются Между двумя
плбековыпуклыми линзами; касающимися
друг друга своими выпуклыми поверхно-
поверхностями. Радиусы кривизны поверхностей /?,
и R1: Найти радиус ш-гб темного кшьца
й отраженном сеете. Длина волны X.
5.22. При измерении узловых размеров астроно-
мйческого объекта с помощио Звездного
интерферометра обнаружено, что видимость
интерференционной карпши принимает №-
• следовательные минимальные рялм\фм fifin
увеличений расстояния между зс.;»* *¦ .--л*»/ па
15 см. Наблюдение ведется на волне длиной
волны 550 Мкм. Каков угловой размер объ-
объекта? . ¦
5.23. в пластинке ЛюМмера — Гертсе наблюдается
интерференция N лучей, показатель прелом-
преломления, стекла 1,71, длина вол им X « 540 нм.
Определить наблюдаемый поряДОА интер-
интерференции и разрешающую способность пла-
пластинки" dpii этих условия*.
5.24. При наблюдении по схедое Юнга интерфе-
интерференции от Солнца на волне X » 0,6" мкм с
изменяющимся между щелями расстоянием
отмечено, что видимость достигает мини-
минимума при расстояний Между щелями 0,064 мм.
Чему plttieH угловой размер Солнца?
5.25. Точечный источник (щель), освещаклций зер-
кашо Ллойда, помещен на высоте 1 см над
его плоскостью на расстояния .5,5 м 6т'эк-
6т'экрана, направленного перпендикулярно пло-
плоскости зеркала и плотно прилегающего к
нему с противоположной от источника света
стороны. Длина зеркала 50,см. Найти рас-
расстояние между Максимумами в интерферен-
интерференционной картине и число светлых и темных
полос. Длина волны света, 0,5 мкм.
5.26. Острый угол при вершине бипризмы Френеля
составляет 20', толщиной бипризмы в рас-
расчете Можно пренебречь. Точечный источник
расположен на оси, симметрии бипризмы,
перпендикулярной наибольшей стороне, на
Расстоянии 10 см от бипризмы, а экран
перпендикулярен этой оси й находится йа
расстояний 2,9 м от бипризми Длина волны
спета О',5 мкм. Сколько белых rf темных по-
dot образуется на экрайе7 . / .
5.27. Шлт'Лэ fiwfte с фокусным расстоянием 20 см
Шеи '¦¦./;. -^Жуток между половинками лин-
№ ' ,з мм. Расстояние от билинзы до точеч--
А'-чо источника (горизойтальйая щель) 40 см,
до Mparid — 60 см. Найти расстояние между
максимумами в интерференционной картине
и число' светлых полос йа экране (диаметр
'бипптм достаточно1 велик; например больше
1 см). Длина волны X = 0,5 Мкм. '
5.28. Иайтй степень когерентности дли хаотиче-
хаотического света с гауссовым распределением по
Частотам, Описываемым формулой A0.17).
Ответы
5ЛК 4lo Siii^ (у sin 0). 5.2. 2/0[1+ Sin (¦?-sin 0) J 5.3- З'Зб"; 1*12'. 5.4. АХ = 0,6 нм. 5.5. 1,000293. 5.6.
lq(n-^- i)/u. Sit 6,59 10~4рад 5А 5 мм. 5.9. #,3мм. 5.10. 0,6 мкм. 5.11. 0,29 ммг 5.12. 0,002 нм. 5.13. 600
5.14. feMHdii 5.1$. [X2 <}п* — 1 /Bft)] (X>;(<////dX) — (я2 — I)]. 5.16. 18,7 мкм. 5.17. 434 нм. 5.18.
X.f/(/,—f)~L/)/(/»u)'=1,8mM. 5Л9. 0,03' MM. 5.20. 4Lfa2(it—\)*/[X(?+/)]. 5.21. yfnik/(yRi + l/Ri).
5.2t i,lr\(f6 рад. 5.23. 1,03' 10^, 6,68'10^ 5.24. 32'. 5.25i 6,14 мкм; 1 темных, 7 светлых и 1 темная цен-
центральная. 5.26:7 светлых, б темных1. 5.27. 0,1 мм; 13. 5.2& ехр (—d1xi/2).

Основная идея:
интерференция излучения
от вторичных
источников участка
волнового фронта
приводит
к возникновению
дифракции
Дифракций

208
6
31 Метод зон Френеля
На примере зон Френеля для различных ситуаций излагается
основная идея анализа излучения вторичных источников.
Принцип Гюйгенса—Френеля A818). Представление о том,.что
каждая точка волнового фронта является источником вторич-
вторичных волн [принцип Гюйгенса, см. (8.27I было дополнено Фре-
Френелем в виде утверждения, чтоэта источники когерентны между
собой, а испускаемые ими вторичные волны интерферируют
(рис. 142). Таким образом, при\ анализе распространения волн
необходимо принять во внимание их фазу и амплитуду, что
позволяет рассматривать вопрос об интенсивности света. Для
Френеля было ясно, что амплитуда вторичной волны зависит
от угла между нормалью к фронту первичной волны и направ-
направлением на точку фронта вторичной волны, причем в направле-
направлении нормали амплитуда максимальна, а в перпендикулярном
направлении, т. е. по касательной к исходному волновому
фронту, она равна нулю'. Более точно характер этой зависимо-
зависимости в то время не был известен.
Зоны Френеля. Типичный пример распространения пучков
света конечных размеров изображен на рис. 143. Сферическая
(или плоская) волна падает на непрозрачный экран с отверстием.
Требуется найти распределение интенсивности света за экра-
экраном. Для решения этой задачи с помощью принципа Гюйген-
Гюйгенса—Френеля делаются два предположения: 1) непроницаемые
части экрана не являются источниками вторичных волн; 2) в от-
отверстии точки волнового фронта являются такими же источни-
источниками вторичных волн, какими они были бы при отсутствии не-
непроницаемых частей экрана.
Пусть А — источник сферической волны (рис. 144), S —
волновой фронт в некоторый момент времени. Найдем интен-
интенсивность волны в точке В с помощью, принципа Гюйгенса —
Френеля. Для решения разобьем поверхность Ы на кольцеоб-
кольцеобразные зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны
до В отличались на Х./2. Обозначая М0,Ми Л/2,... границы зон,
запишем это условие в виде
t+At
142
Иллюстрация принципа Гюйгенса
143
Распространение света через от-
отверстие конечпых -размеров
M2B—MiB=X/2,
<• • • • C;-1)
МпВ — М„^В=Х/2.
Радиусы зон находятся с помощью построения, показанного
на рис. 145. Радиусы зон ги /2,'..., rm, R — радиус кривизны
фронта сферической волны, D — точка пересечения фронта
с прямой АВ, d\, <1г, ..., dm — расстояния от D до проекции
границы соответствующей зоны на прямую АВ. Центральная
юна называется нулевой. Для радиуса rm находим уравнение
*Д = R* — (Д _ dmJ = [/ + (т + Щ/2]2 — (/ + dmJ, C1.2)
Л/,1
л/0
В.
144
К определению зон <*>ренейя

из которого с точностью до величин "к2 следует, что
d = 1(т + *) Л г2
/ расчету радиусов и площадей
зо.. Френеля
Кб
Гчох&виё коя*плексных амплитуд
. иулевбй зоне ч>репслж при раз-
>игкс зоны условно на конечные
г истки (а); при непрерывном из-
.. нении фазы (E)
14с
' >ивысимость ачшытуды от радиу-
радиуса отверстия
C1-3)
R+/ 2 ' v m R+l
Следовательно, площадь нулевой зоны
So = nri = nRfk/(R +7). - C1.4)
Для суммарной площади нулевой и первой зон получаем
Sq-м = nRI2k/(R+I), " . C1.5)
поэтому площадь первой зоны
C1.6)
т. е. равна площади нулевой зоны. Такое же выражение
[см. C1.3)] имеют площади всех остальных зон. В этом расчете
пренебрегается кривизной поверхности волнового фронта и
считается, что площадь кольцевой зоны ла сферической поверх-
поверхности волнового фронта равна площади ее проекции на пло-
плоскость, перпендикулярную прямой А В. Это не вносит в расчет
существенной ошибки, если радиусы зон Френеля много меньше
радиуса кривизны волнового фронта. Принимая во внимание
малость длин волн, из C1.3) заключаем, что это условие хорошо
выполняется для очень большого числа зон-Френеля.
Графическое вычисление амплитуды. Для получения коли-
количественных результатов необходимо более строго рассчитать
интерференцию вторичных волн в точке В.
Разделим каждую из зон на большое число п участков
(подзон). Между началом и концом зоны фаза волн изменяется
на тс, и поэтому при переходе от одного участка к другому фаза
изменяется на 5 = п/п. Обозначим амплитуду волны, приходя-
приходящей в Б от каждого участка, Ео. Примем фазу волны, приходя-
приходящей в Б от нулевого участка, начинающегося в точке Мо, за
нуль. Тогда комплексная амплитуда волны в точке В от нуле-
нулевой зоны с учетом интерференции равна
"*'+.... C1.7)
Аналитическое сложение амплитуд в C1.7) может быть вы-
выполнено графически (рис. 146, а). При увеличении числа разбие-
разбиений до бесконечности (л -> оо) ломаная кривая превращается
в плавную (рис. 146, б). Длина MqP пропорциональна ампли- ¦
туде волны в точке В (см. рис. 145), когда открыта часть нуле-
нулевой зоны от центра до границы, соответствующей точке Р.
Длина |MoMi| пропорциональна амплитуде при полном от-
открытии нулевой зоньъ Графическое построение амплитуды при
учете вклада от последующих зон проводится аналогично.
Необходимо лишь учесть, что значение Ео при удалении от
точки (т. е: увеличении фазы в экспоненциальном множителе)
несколько уменьшается. Из-за этого непрерывная кривая не
замыкается, а имеет вид спирали (рис. 147). Она позволяет
определить амплитуду при открытии любого числа зон и их
частей. Например, отрезок |М0Р| на рис. 147 пропорционален
амплитуде при открытии нулевой, первой, второй зон и части
третьей зоны. Длины \MoM\\, \МоМг\,... пропорциональны
209
§31

210 амплитудам при открытии соответственно нулевой зоны, нуле-
—* вой и первой зон и т. д. Когда открыты всё зоны, амплитуда
6 пропорциональна; I MoMj *" \AfoMi\ /1 Это показывает, что при
открытии только* нулевой зоны амплитуды вблн в В примерно
в два раза, а интенсивность, в четыре раза больше, чем при от-
открытий всех зон. При открытии нулевой и первой зон ампли-
амплитуда пропорциональна \МоМ2\ и поэтому интенсивность очень
мала. Интенсивность в точке В при непрерывном увеличении
радиуса отверстия, на которое, падает полна, непрерывно изме-х
нйется. С помощью спирали (рис. 147) можно построить график
изменений амплитуды волны в зависимости от г (рис. 148).
Пятно Пуассона* Если на пути световой волны стоит непроз-
непрозрачный круглый экран (рис. 149), то за экраном'в его тени на
оси возникает светлое пятно, называемое пятном Пуассона.
Необходимость возникновения светлого пятна очевидна, из
рассуждений по методу зон Френеля. Экран закрывает неко-
некоторое число зон Френеля начиная с нулевой. Однако следующие
зоны после последней из закрытых создают в точке В освещен-
освещенность, значение которой можно рассчитать с помощью спи-
спирали (рис. 147). Пусть, например, закрыто какое-то число зон,
При не очень малых размерах экрана это число- зон йелико.
Следовательно, точка, соответствующая радиусу экрана, лежит
на спирали (рис. 147) где-то на небольшом расстоянии от М»
(точка Р). Амплитуда волны в точке Д очевидно, пропорцио-
пропорциональна \РМ*\. Таким образом, получается, что волна как бы
огибает непрозрачный экран. Явление вгибания волнами пре-
препятствий называется Дифракцией.
Интенсивность пятна Пуассона весьма слаба при больших
размерах непрозрачного экрана, поскольку точка Р (см. рис. 147)
оказывается весьма близко к Мф. Кроме того, необходимо,
чтобы свет обладал достаточно большой степенью когерент-
когерентности, потому что в противном случае не будет происходить
интерференция лучей от различных участков зон. Для наблю-
наблюдения дифракции необходимо брать достаточно малые экраны.
Однако йрй использовании лазерного излучения удается наблю-
наблюдать дифракцию на сравнительно больших препятствиях и очень
ярко демонстрировать это на больших экранах.
Дифракция на прямолинейном крае полубесконечного экрана.
Рассмотрим плоскую' волну, падающую на полубесконечный
экран (рис. 150). Отсчет зон начинается от края экрана, прини-
принимая ближайшую зону за первую. Расстояние от начала до даль-
дальней границы /и-й зоны обозначим dm. Из рис. 150 видно, что с
точностью, до величин X,2
dm - у[Ш.
C1.8)
'Зоны Френеля представляют собой полосы с границами,
параллельными краю экрана. Площади зон относятся как их
ширины, т. е. находятся в отношении
Возникновение пвтна Пуассона
150
Расчет зов Френеля при дифрак-
они по прямолинййпом крае полу*
бесконечного непроницаемого эк-
экрана
151
Спираль Корню

О'
152
распределение освещенНостл за по-
л \6есконечцым непроницаемым эк-
pjHOM
153
Зонная пластинка
154
Отличие вычисленной - по методу
Френеля фазы полны от действи-
действительной
C1.9)
Поскольку (^2*— I) i 0,41, (^/T— Jl) « 0,32,. видно, что
площади зон Френеля при удалении от края экрана быстро убы-
убывают. Это означает, что при векторном сложении амплитуд По
формуле C1:7) значения ?0 при увеличении фазы убывают зна-
значительно быстрее, чём в случае круглого отверстия. Поэтому
при графическом суммировании амплитуд получается отличная
от рассмотренной ранее спираль, называемая спиралью Корню.
Длины прямолинейных отрезков |0Л/||, \ОМг\,... на рис. 151
пропорциональны освещенности в точке 0, когда на рис. 150
открыты зоны, находящиеся на |0A/i|, \ОМг\,.... Если открыть
все полупространство вправо от 0, то освещенность в точке 0
пропорциональна J0F+J. Длины прямолинейных отрезков
I0N1IJ0A/2I,... (рис. 151) пропбрциональны освещенности в
точке 0, когда на рис. 150 открыты зоны, находящиеся На
\ОЫ\ |, |0ЛЫ,;»• Если открыть все полупространство влево
от 0, т. е. Когда непроницаемый экран находится вправо от
точки 0, то освещенность в точке 0 пропорциональна \бР+\.
Если экрана нет йбобще, т. е. открыто все пространство, то
освещенность в точке 0 пропорциональна |F-F+|.
Определение освещенности в других точках производится
с помощью спирали Корню, считая, что точка 0 этой спирали
соответствует рассматриваемой точке. Например* для нахож-
нахождения освещенности в точке М\ (см. рис. 150) считаем1, что
точка 0 спирали Корню (рис. 151) соответствуем точке'Л/ь
Следовательно, краю экрана на рис 150 соб^ве-гствует на спи-
спирали Корню некоторая точка слева от 0, например /Vj, иг по-
поэтому освещенность дается длиной прямолинейного отрезка
\NiF+\. Для определения освещенности в точке N't (см. рис. 150)
считаем точку 0 спирали Корню соответствующей точке N\.
Следовательно, край экрана соответствует некоторой точке
справа от точки 0 на спирали КбрнФ, например точке Aft.
Следовательно, освещенность в N} Дается длиной прямолиней-
прямолинейного отрезка* M\V+ . Этим способом можно найти освещенность
в любой точке не только для бесконечного экрана, закрываю-
закрывающего все полупространство, но и дли любой системы экранов
й виде бесконечно длинных непронйцаШШ полос, ребра кото-
которых параллельны друг Другу. Для этого необходимо прбйзйе-
сти векторное сложение амплитуд освещенностеЙ от открытых
участков, пропускающих волну. Амплитуда волны от каждого
участка находится с помощью спирали Корню, Однако гёомет-
ри"ческс& построение* при этом ошывйется довольно громозд-
громоздким, поэтому обычно предпочитают более эффективные ана-
аналитические методы (см. § 34). Для полубесконечного же экрана
геометрическое построение с помощью спирали Корню выпол-
выполнить очень просто. На рис. 152 приведен график изменения
амплитуды за полубесконечным экраном1.
211
§31

2J2 Зонная пластинка как линза. Радиус т-й зоны на основании C1.3) равен
~ (т= 0,1,2,...). C1.10)
Закроем все нечетные зоны, оставив открытыми четные. В' результате получается пластинка,
называемая зонной_ (Рис- 153). Амплитуда прошедшей через пластинку световой волны на оси
в точке В может быть рассчитдна с помощью спирали, изображенной на рис. 147, Амплитуда
от нулевой открытой круглой зоны дается вектором М0М\, от второй кольцеобразной откры-
открытой зоны — вектором М2М3, от четвертой -г- М ,М5 и т. д. Все эти векторы имеют одинаковое
направление, т. е. фазы комплексных амплитуд отличаются на 2пт (т — целое число). Поэтому
осуществляется'интерференция волн с усилением. Следовательно, в точке В на оси происходит
значительное усиление интенсивности света, т. с. в этой точке свет фокусируется. Зонная пластин-
пластинка ведет себя как линза.
Будем считать, что падающие на пластинку лучи параллельны, т.е. R = оо. Тогда точка
на оси, в которой собирается лучи, ведет себя как фокус линзы, совпадающей по положению
с зонной пластинкой, если ее фокусное расстояние/= /. При/? ^ оо формула C1.10) принимает
вид
C1.11)
и, следовательно, фокусное расстояние равно'
C1.12)
Соотношение C1.10) может быть представлено в виде формулы
_L 4- -L — * А. П1 П"»
R + I " г2/к« + оы " / ' К }
показывающей, что для источника и точки на оси за зонной пластинкой, в которой лучи соби-
собираются, соблюдается соотношение B3.27), характерное для предмета и его изображения с по-
помощью линзы, Это означает, что зоннм пластинка действует как собирательная линза. С ее
помощью можно, например, формировать изображение и выполнять другие операции, харак-
характерные для линзы. Это является экспериментальным подтверждением правильности идеи зон
Френеля.
Трудности метода зон Френеля. Метод зон Френеля приводит к результатам, которые хо-
хорошо согласуются с экспериментом для практически важных случаев, когда размеры препят-
препятствий много больше длины волны-. Однако метод имеет существенные недостатки:
i- По своену физическону содержанию принцип Гюйгенса выражает
взгляд на свет как на непрерывный процесс в пространстве. Прин-
Принцип Гюйгенса эквивалентен переходу к описанию распространения
света с помощью дифференциальных уравнений, которые.однако,
в то время еще не были известны.
Представление Гюйгенса о том, что каждая точка волнового фрон-
фронта является источником вторичных волн, было дополнено утверж-
утверждением, сделанным Френелем, что эти источники когерентны меж-
между собой, а испускаемые ими вторичные волны интерферируют.
q Как качественно зависит интенсивность пятна Пуассона от расстояния
до непрозрачного экрана?
Почему интенсивность в фокусах занной пластинки максимальна для
самого дальнего от пластинки фокуса? Перечислите основные трудности
метода юн Френеля.

1. Он не решает вопроса о законе ослабления амплитуды вторичных волн в зависимости от 213
направления распространения. Эту зависимость приходится постулировать, чтобы обеспечить
отсутствие обратной волны. . - §32
2. Метод Френеля дает неправильную фазу волны. Фаза на фронте волны принимается по
определению равной нулю. Поэтому амплитуда волны задается вектором О А (рис. 154). Вычис-
Вычисленная по методу Френеля амплитуда задается вектором ОВ, т. е. вычисленная по методу Фре-
Френеля фаза отличается от фактической фазы, волны на п/2. Хотя для многих практически важных
явлений, зависящих от модуля амплитуды, эта разница в фазах несущественна, она все же с тео-
теоретической точки зрения имеет принципиальный характер и должна быть объяснена. Это уда-
удалось сделать лишь в более строгой теории дифракции, основанной на интеграле Кирхгофа.
§32
Приближение Кирхгофа
Выводятся формулы теории дифракции
в приближении Кирхгофа.
Формула Грина. Из теоремы Гаусса—Остроградского
SdivAd^= ФА-dS C2.1)
v s
положив
C2.2)
находим
[ (<i>V2G — G42O)dV= ф(ф-Й?._ G-^-)dS. C2.3)
Здесь (д G/dri)dS = grad G • dS, (d<P/dri)dS = grad Ф -dS, т. е. д G/дп и дФ/дп являются производ-
производными по длине параллельно внешней нормали к замкнутой поверхности S; V— объем, ограни-
ограничиваемый поверхностью S.
Формула C2.3) называется второй формулой Грина. Она применима, когда функции Ф и G.
и\ первые и вторые частные производные непрерывны внутри обьсма V и на поверхности S.
Теорема Гельмгольца — Кирхгофа. Распространение световых волн в свободном простран-
пространстве описывается уравнением B.12). Полагая в случае монохроматических волн
'ю', C2.4)
находим для зависящей только от пространственных ^координат амплитуды уравнения
0, C2.5)
где к2 = сз2/с2 = BnfkJ, X — длина волны.
Применим формулу C2.3) к объему V, ограниченному поверхностью S (рис. 155). Обозна-
Обозначим Ро фиксированную точку внутри объема, a Pi — переменную точку (любую точку простран-
пространства, отличную от Ро). Принимая Ро за начало отсчета, координаты точки Pi можно характери-
характеризовать радиусом-вектором гоь Непосредственной проверкой убеждаемся, что функция
G(/J) = expaferoi)/roi C2.6)
удовлетворяет уравнению C2.5) для всех точек, отличных от Ро. В обозначении G(Pi) в C2.6)
учтено, что точка Ро принята за начало координат и нет необходимости ее указывать, а при
подстановке G(Pi) в C2.5) производные вычисляются по координатам точки Pi. Функция Ф,
описывающая электромагнитную волну, непрерывна во всех точках.

214 Поскольку в точке />1=/р функция G(PX) обращается в
бесконечность, а ее производные терпят разрыв, к ней нельзя
6 применит!/ формулу Грина для всего объема V. Поэтому окру-
окружим точку Pq небольшой сферой, радиусом е с центром в точ-
точке Ро. Обозначим площадь поверхности сферы 5е, а отграничи-
отграничиваемый ею объем — Ve. Вне объема Ve функция О(Р^^удовлет-
О(Р^^удовлетворяет всем условиям применимости C2.3). Учитывая, что
у—у.
C2.7)
получаем
дф
s+s.
0. C2.8) iss
К выводу интегральной теоремы
Кирхгофа — Гельмгольца
Заметим,.что внешняя нормаль п на поверхности St, ограничи-
ограничивающей объем V - V— Vt, направлена внутрь объема Ус
(рис. 155). Из C2.7) и C2.3) следует, что
{ /<*» dG ri д
Для точек Р\ на поверхности S имеем
j r01 n - cos A1N01)
и, следовательно,
aG/drt = cos(riTfoi) (ik — l/rOi) G.
C2.10)
C2.11)
В C2.10) индекс 1 в обозначении операции градиента пока-
показывает, что градиент вычисляется по координатам точки Pt, т. е.
gradi ^oi — tot/foi. Очевидно, что gradorqi — гю/гюи, следо-
вательйо, gradi rO\ -—grador0j. Для точЪк Pi ria поверхно-
поверхности Se
G(Pi) = eike/E, dG/дп = — д G/дв = A/e — ik) G. C2.12)
При e -> 0, поскольку Фй ее производные непрерывны, полу-
получаем
-Ф
C2.13)
Поэтому [см. C2.9)]
C2.14)
156
К выводу условия излучения

Эта формула позволяет вычислить значение функций,Ф в любой точке внутри объема, 2f5
если известны значения функции и ее производной по нормали на поверхности, ограничиваю- —
щей этот объем. Она называется интегральной теоремой Гельмгольца—Кирхгофа и является §32
основой скалярной теории дифракции.
Функция Ф в C2.14) должна удовлетворять волновому уравнению. Поэтому значения Ф
и дФ/дп на поверхности нельзя задать произвольно. Следовательно, C2.14) не является форму-
формулой, по которой можно вычислить Ф(/*о), а представляет собой интегральное уравнение отно-
относительно Ф и кажущаяся простота вычисления Ф(Р6) обманчива.
физический смысл функции G = exp (ikfoi)/rou входящей в C2.14), ясен из сопоставления
этой функции с правой частью B.43). Видно,-что G представляет зависящую от координат часть
расходящейся из точки Pi сферической волны.
Условие излучений Рассмотрим типичную ситуацию, в которой изучается дифракция
(рис. 156). Имеется большой (бесконечный) экран ? с одним или несколькими отверстиями,
на который падает свет, и наблюдается распределение интенсивности света, прошедшегб .через
отверстия, Т. е. дифракция в пространстве за экраном. Значение Ф(Ро) может быть выражено
по формуле C2.14), причем ограничивающая объем поверхность состоит из дв)к частей: плоский
поверхности"& и части поверхности Si сферы радиусом R с центром в точке Ро. йнтеграй C2.14)
представляется в виде суммы двух интегралов — по поверхностям S и Su Оценим интеграл по
5i при R-* сб. Так как для точек поверхности St'
C2.15)
ТО
Обозначим Gl телесный угол, под которым видна поверхность Si из точки Ро. Учитывая, что
в C2.16) dS~R26Q, находим
C2.17)
Этот интеграл равен нулю при R -* оо, если выполняется1 условие излучения
C2.18)
При этом формула C2.14) для Ф(Ро) в ситуации, изображённой На рис. 156, не изменяет своего
вида, но под S понимается не вся замкнутая поверхность, охватывающая точку Ро, а только
плоская бесконечная поверхность, обозначенная на рис. 156 также $.
Можно указать на некоторые соображения, показывающие, что условие C2.18) в реальных
физических ситуациях действительно выполняется. При ко'нечном размере отверстия и конеч-
конечном расстоянии между отверстием и точкой Ро функция Ф должна при R -* оо описывать сфери-
сферическую волну, т. е. должна иметь вид
Ф(R)~elкR/R. C2.19)
Так как
1г=-$--<*—*>*• C2'2О>

TO подынтегральное выражение в C2.17), а следовательно, и интеграл действительно равны
нулю, т: е. условие излучения C2.18) выполняется.
Приближение Кирхгофа. Для того чтобы формулу C2.14) использовать не как интегральное
уравнение для нахождения Ф, а как формулу для вычисления Ф(Ро) по известным значениям.
Ф и дФ/дп в точках плоского экрана, Кирхгоф предложил следующие правила для определения
их значений в плоскости экрана:
1. На отверстиях Ф и дФ/дп имеют такие же значения, какие они имели бы при отсутствии
непрозрачных частей экрана.
2. На непрозрачных частях экрана Ф=0, дФ/дп = 0.
Выбор граничных условий в соответствии с этими правилами приводит к решению задач
дифракции в приближении Кирхгофа.
Граничные условия Кирхгофа никогда точно не выполняются: а) на краях отверстий должны
соблюдаться определенные граничные условия, которые в принципе можно найти в соответ-
соответствии с электромагнитной теорией света; б) за экраном не может быть резкой тени, т. е. скачко-
скачкообразного обращения Ф в нуль.
Однако при линейных размерах отверстий, много больших длины волны, краевыми эффек-
эффектами можно пренебречь и граничные условия Кирхгофа являются хорошим приближением
к действительности.
Оптическое приближение. Поскольку в видимом диапазоне X * 1 нм, практически во всех
представляющих интерес случаях соблюдается условие
\/го<:к, C2.21)
называемое условием оптического приближения. При его выполнении можно положить
ЧП Tqj '01 '01
и представить формулу C2.14) в виде ..
C222
- m cos (n*r°l)] ds- <3Z23)
Формула дифракции Френеля — Кирхгофа. Пусть на отверстие падает сферическая волна,
исходящая из точки Р2/(рис. 157):
C2.24)
Учитывая, что*
дг и/дп = cos (nThi) = —cos(n, rj2), C2.25)
находим в оптическом приближении
дФ/дп =^к cos (пГ>12)е'кГ17п г • C2.26)
Следовательно, формула C2.23) принимает вид
Ф(/>0) = -А А \ е<к(г°'+Г1>) [cos (iC r12) + cos (iCrOi)]dS C2.27)
4я So r01 rl2
(So — площадь отверстия), поскольку подынтегральное выражение на непрозрачных частях
экрана равно нулю. Равенство C2,27) называется формулой дифракции Френеля — Кирхгофа.

157
л выводу формулы дифракции
Френеля — Кирхгофа
Теорема взаимности Гельмгольца. Сумма косинусов в подын-
подынтегральном выражении C2.27) не изменяется, если поменять
местами точку наблюдения и точечный источник. Это означает,
что точечный источник, помещенный в Рг, дает в точке Рм
такой же эффект, как и эффект, создаваемый в точке Pi точеч-
точечным источником равной интенсивности, помещенным, в Ро.
Это утверждение составляет содержание теоремы взаимности
Гельмгольца.
Вторичные источники. Перепишем формулу C2.27) в виде
C2.28)
где
¦[cos(n, r
cos(n,
r
C2.29)
2t7
§32
158
Располо-ленне систем координат
в плоскостях источника я дифрак-
дифракционной картины
Применение формулы Гри-
Грина но дает решения задачи
о волновом' поле, а дает
интегральное уравнение
для определения волново-
волнового поля.
Применимость приближе-
приближения Кирхгофа обусловли-
обусловливается малостью длины
световых волн по сравне-
сравнению с линейными размера-
размерами экрана и отверстий в
экранах.
При каких условиях можно
применять формулу Грина?
Каков физический смысл ус-
условия излучения?
Каковы условия применимо-
применимости 'приближения Френеля?
В соответствии с принципом Гюйгенса — Френеля поле в
точке Ро создается вторичными источниками на отверстии So,
интенсивность которых характеризуется формулой C2.29). Вид-
Видно, что отличие этих источников от волны А ехр (ikn г)/п г
заключается в следующем: 1) амплитуда вторичной волны от-
отличается от амплитуды падающей волны множителем к/Dп);
2) зависимость амплитуды вторичной волны от направления
распространения дается множителем cos (пГЬг) + cos(iOoi),
который отличается от множителя, предлагавшегося Френе-
Френелем; 3) фаза вторичного источника отличается от фазы падаю-
падающей волны на л/2 ввиду наличия множителя — /. Тем самым
разрешается трудность с фазой волны, указанная в конце § 31
в связи с методом зон Френеля..
Таким образом, в приближении Кирхгофа в рамках электро-
электромагнитной теории света удается преодолеть трудности метода
зон Френеля и ответить на вопросы, которые теория Френеля
была не в состоянии разрешить (амплитуда вторичных источ-
источников, характер зависимости амплитуды излучения вторичных
источников от направления, фаза).
Приближение Френеля. В типичных условиях дифракционная
картина наблюдается в плоскости, параллельной экрану с от-
отверстиями. Плоскость, в которой наблюдается дифракционная
картина, будем называть плоскостью дифракционной иартины
а другую плоскость — плоскостью источников. В каждой плос-
плоскости», введем прямоугольные декартовы системы координат,
оси X, Y которых параллельны, а оси Z совпадают, причем
положительное направление оси Z согласуется по обычному
правилу с направлением осей X, У (рис. 158). Единичный вектор
нормали [см. C2.27)] направлен в сторону, из которой приходит
излучение. Функция е'кГо1 /г01 описывает волну, движущуюся
к точке Ро. Обозначим (х, у) координаты точки Ро в плоскости
дифракционной картины, (х',у') — координаты точки Р, ин-
интегрирования в плоскости источников, d5" = dx 'dy' — элемент

218 площади на поверхности источников, а
~ У(.х\У)~4е-к"Чп2 C2.30)
:— амплитуду источников.
Тогда [см.'C2.27)]
C2.31)
где
г = у/12+Кх — х'J+(у — УJ, C2.32)
/ — расстояние между плоскостями. Член с косинусами в подынтегральном выражении явля-
является медленно меняющейся функцией по сравнению с быстро осциллирующим множителем
exp(ifcr). Он не оказывает практического влияния на картину интерференции, не изменяя ее ви-
видимости, и лишь слабо влияет на среднюю яркость. Кроме того, в большинстве практически
важных случаев углы (jCxn) и (<0"oj) изменяются в небольших пределах вблизи нулевого зна-
значения. В этом предположении, называемом приближением малых углов, без-существенного
искажения результатов можно косинусы принять равными единице:
Г Ol C2.33)
и представить формулу C2.31) в виде, удобном для применений:
C2.34)
Вынос 9Os(nTriz) + cos (tOroi из-под знака интеграла с использованием равенств C2-33)
возможен благодаря тому, что эт# функция мещетщ очень медледао щ> сраднещю 0 быстро
рсодляирующим зксцоненциадьньш множителем скрЦкг). Строго говоря, при выносе этой
функции за знак интеграла необходимо заменить ее некоторым значением по теореме о среднем.
Однако точное значение этой величины несущественно, поскольку, будучи множителем, она
,не оказывает1 влияния на видимость интерференционной картины и играет роль масштабного
множителя Расчет точного значения интенсивности! в дифференциальной к&ртине в подавляю-
подавляющем большинстве случаев не представляет интереса Поэтому целесообразно т загромождать
формулы несущественными множителями и воспользоваться равенствами C2.33).
Дальнейшее упрощение формулы производится также в предположении малых углов, ко-
которое математически формулируется в виде неравенств
U-*')//«:>, Ь—Л/'<:1. ' C2-35)
Дри выполнении условий C2.35) выражение C2.32) можно разложить в ряд по C2.35) и огра-
ограничиться членами второго пррядка:
yJll2y2=l+{?c~~*'J2+iy~~y)\ C2.36)
Подставляя разложение C2.Зф в C2,34), находим
C2.37)

где медленно изменяющаяся величина гъ! в знаменателе вынесена из-под знака интеграла,
поскольку она не оказывает члияния на видимость интерференционной картины, а лишь очень
слабо меняет ее общую яркость.
В большинстве практически важньк случаев для описания дифракции достаточно пользо-
пользоваться приближением C2.37), называемым приближением Френеля Дифракция, рассматри-
рассматриваемая в этом приближении, называется дифракцией Френеля.
При определенных условиях возможны дальнейшее упрощение формулы C2.37) и переход
к приближению Фраунгофера.
219
33 Дифракция Фраунгофера
Рассматривается дифракция в дальней зоне и обсуждается
критерии дальности Изучается дифракционная решетка
и обсуждается дифракция на периодических структурах
и неоднородностях среды.
Область дифракции Фраунгофера. Представляя показатель экспоненты в C2.37) в виде
, ik(x'2+y'2) ik(xx'+yy')
_
_
получаем
C3,2)'
Распределение интенсивности в дифракционной картине определяется квадратом модуля
Ф(х,у). Следовательно, экспоненциальные множители перед интегралом в C2.2) никакого
влияния да распределение интенсивности в дифракционной картине не оказывают, поскольку
по модулю равны единице» Интегрирование в C3.2) подразумевается по всей площади S плоско-
плоскости, учитывая, что *F(x', у') =0 в точках непрозрачных частей экрана, Другими .словами, инте-
интегрирование по х! и у производится в пределах от —сю до оо. Поэтому Ф(#, у) с точностью до
множителей, один из которьгх фазорщй, зависящий от (х, у) является образом Фурье-функции:
? (х', у1) exp [ikix'г +? г)/B/)]... C3.3)
Изучение дифракции в математическом смысле сводится к применению теории преобразо-
преобразований Фурье.
Наличие экспоненциального множителя в C3.3) несколько усложняет выполнение преобра-
преобразования Фурье и тем самым затрудняет анализ дифракционной картины. Простейший случай
дифракции осуществляется при устранении этОго множителя Если отверстие достаточно мало,
а расстояние до плоскости дифракционной картины достаточно велико (/ -> оо), то
J •
C3.4)
Дифракция при выполнении этого условия называется фраунгоферовой или просто дифрак-
дифракцией Фраунгофера.
Однако не только при бесконечных / можно пренебречь экспоненциальным членом в C3,3).
Достаточно, чтобы этот член не осциллировал, т. е. показатель экспоненты не превосходил

720 я/2 или даже был п/2. Например, cos (я/4) = sin (гс/4) = 0,7 и в качестве критерия возможности
пренебрежения влиянием экспоненциального множителя в C3.3) на дифракцию можно принять,
6 например, условие
(зз.5)
где
р'2=х'2+у'2 C3.6)
— максимальное расстояние от центра до края отверстия, на котором происходит дифракция.
Из C3.6) заключаем, что при расстояниях
/ > /мин = 2кр' 2/п = 4р' 2Д C3.7)
наблюдается дифракция Фраунгофера Другими словахми, область дифракции Фраунгофера
простирается от бесконечности до некоторого минимальною расстояния [см. C3.7)]. Например,
при Х« 0,5 мкм, р' = 1 см = 10~2 м находим /мин = 800 м, т. е. дифракцию Фраунгофера можно
наблюдать начиная, с очень больших расстояний. Однако уже при р' = 1 мм = 10~3 м 4тн=8 м,
что ближе к лабораторным условиям. При р' =0,1 мм получается /МИн = 8 см и дифракция Фра-
Фраунгофера может изучаться совсем в небольшой области пространства.
Множитель перед интегралом в C3.2) не оказывает влияния на распределение интенсивно-
интенсивности в дифракционной картине. Для упрощения написания формул дифракции Фраунгофера це-
целесообразно приравнять его к единице и не выписывать. Тогда формула C3.2) принимает вид
Ф(Х,у) = 5У(*'. Л ехр
5'
Ш(хх>
C3.8)
При таком написании формулы следует помнить, что она может служить для вычисления
относительных, а не абсолютных величин интенсивностей в дифракционной картине. Кроме
того, в ней Ф и ? имеют различные размерности. Например, если Ф — амплитуда, то ? имеет
размерность амплитуды, деленной на площадь, поскольку* левая и правая части C3.8) имеют
одинаковую размерность.
Из C3.8) видно, что дифракционная картина зависит от х/l и у/1. Это означает, что дифрак-
дифракционная картина увеличивается подобно самой себе пропорционально расстоянию. Принимая
во внимание, что в чистом виде дифракция Фраунгофера осуществляется на бесконечности
(/ -> оо), заключаем, что она является дифракцией в параллельных лучах. Это обстоятельство
обосновывает для дифракции Фраунгофера название дифракции в параллельных лучах.
Дифракцию Фраунгофера в области, удовлетворяющей условию C3.7), можно наблюдать
на экране без всяких дополнительных устройств. Однако проше ее наблюдать в фокальной
тоске сти собирающей лъиил, устд.;ор. кчнюй па пути дифрагированных лучей.
Дифракция на прямоугольном отверстии. Считаем, что начало координат расположено в
центре прямоугольного отверстия со сторонами а и Ь (рис. 159). На отверстие слева падает
плоская волна вдоль оси Z. На отверстии фаза и амплитуда плоской волны постоянны. Обозна-
Обозначим комплексную амплитуду волны на отверстии Ао. Принимая во внимание, что ?' в C3.8)
имеет размерность амплитуды, деленной на площадь, полагаем
4" =А0/(аЬ). C3.9)

т
о:
Y'
X'
15$
•С расчету дифракции на прямо-
• гольном отверстии
Дчфракция от прямоугольного от- .
верстан
s\n2a/a2
О -к | 2п I a
Зтг/2 5п/2
161
Ход функпчи sinaa/a2
Тогда [см. формулу C3.8)]
я/2 6/2
Л (х, j>) = (Aoliflb)) i exp (—ikxx'/f)dx' i exp (—ikyy'/I)dy',
~af2 -b'2 C3.10)
где А (х, у) = Ф(х, у) — амплитуда Элементарное интегриро-
интегрирование в C3.10) приводит к формуле
А =А0 (sin a/a) (sin Р/Р), C3.11)
где
a = kax/BI),
= kby/BI).
C3.12)
Наблюдаемая интенсивность пропорциональна | А\2 и с точ-
точностью до постоянного множителя равна
1{х,у)=\А0\:
" sin2 a sin2
Р2
C3.13)
Полосы нулевой интенсивности определяются условиями
sin a = 0, sin P = 0 и представляют собой прямые линии, парал-
параллельные осям Хи У и образующие систему прямоугольников,
внутри которых интенсивность отлична от нуля (рис. 160).
Зависимость множителя sin2 a/a2 от а показана на рис. 161.
Максимумы, кроме центрального, достигаются при- значе-
значениях a = Зя/2, 5я/2 и т. д. Поэтому интенсивности в последова-
последовательных максимумах относятся как 1 ; [2/Cя)]2 : [2/Eя)]2: ...
... = 1 : 0,04 : 0,016 : ..., т. е. интенсивности убывают онень
быстро. Поэтому основная энергия прошедшего через отвер-
отверстие света сосредоточена в центральном светлом прямоуголь-
прямоугольном пятне.
Из C3.12) следует, что аир зависят только от отношений
х// и у//. Это означает, что размеры дифракционной картины
растут пропорционально расстоянию от отверстия, т. е. сама
дифракционная картина из центра отверстия видна под постоян-
постоянным углом (рис. 162). По смыслу приближения Фраунгофера
этот угол считается малым. Поэтому аир можно преобразо-
преобразовать к виду
a = kax/Bf) = (ka/2) tg <px = (ka/2) sin (px,
где tg фх = sin фх &x/l, sin фу^у/1 из-за малости углов ф* и фу.
Запись C3.14) показывает, что дифракционная картина дейст-
действительно зависит только от угла между лучом и осью Z, т. е.
А(х, у) = А(<рх* Фу). Например, на рис. 162 изображены лучи
в плоскости X = 0. В этом случае' фх = 0, фу = Ф и А = А (ф).
Следовательно, дифрагированные лучи, исходящие от различ-
различных точек отверстия и образующие в результате интерферен-
интерференции на бесконечности точку дифракционной картины в направ-
направлении угла ф, параллельны друг другу и направлены под углом'
Ф к оси. Чтобы образовать интерференционную картину на
конечном расстоянии, надо на конечном расстоянии свести
параллельные лучи в точку. Для этого на их пути нужно помес-
221
§33

ж
6
162
Дифракция Фраунгофера — ди-
фракцня в о&раллелышх лучах
тить собирающую линзу, в фокальной плоскости которой и
образуется дифракционная картина.
Дифракция на щели, При увеличении одного из размеров
отверстия период чередования дифракционных полос, перпен-
перпендикулярных длинной стороне, уменьшается. При достаточно
большом размере длинной стороны отверстия этот период
становится настолько малым, что глаз не в состоянии его раз-
различать. В дифракционной картине остаются лишь полосы,
параллельные длинной стороне отверстия, ^которые образуют
дифракционную картину от щели (рис, 163,164). Формула C3.11)
может в этом случае быть записана в виде
/J9s=/Josinj3/p, C3.15)
где Р ~kby/B!) -kh&n ф/Z Полезно формулу C3.15) получить
Методом зон Френеля. Примем за начало отсчета фаз дифраги-
дифрагированных волн фазу волны в средней точке щели. Волна от
точки у (рис, 16$) распространяется в направлении, определяе-
определяемом углом ф, и приобретает па сравнению с волной от точки О
разнорть фаз. & f* кД ~ ку sin. 9. Амплитуда воэщы, приходя-
приходящаяся на элемент щели шириной ф>', равна, очевидно, Aody'/b.
Поэтому при суперпозиции этих параллельных волн на беско*
вечности комплексная амплитуда равна
[
))
—Ы2
е . ay ~ Ao
C3:16)
[cm. C3.15)]. Чтобы осугцествить дифракцию на конечном рас-
расстоянии, надо воспользоваться собирающей линзой.
Угол Дф, под которым из центра щели видна первая темная
полоса, определяется из условия
p-»**rinA9/2*it. C3.17)
Считая Дф малым и полагая sin Дф« Дф, находим, что угол,
под которым из центра щели видна центральная светлая полоса,
равен
C3.18)
163
ма шели (полосы па-
параллельны краям шели)
Распределение иотёисшшостн при
дифракции ва щели
-ыг\
165
К расчету дифракции на щели ме-
методом зои Френеля

Полярные системы координат в
плоскостях источников и дифрак-
дифракционной картины
167
График функции У|(р)/р, опреде-
определяющей картину дифракции от
круглого отверстия
При уменьшении ширины щели угловые размеры светлой 223
полосы увеличиваются и при Ь-+Х интенсивность плавно умень- -»-—-
шается от центра к периферии без каких-либо колебаний.
Дифракция на круглом отверстии. Обозначим а радиус круга
с центром в начале координат плоскости Я", У (рис. A66).
Расчет удобно вести как в плоскости источников, так и в плоско-
плоскости дифракционной картины в полярных координатах:
х' - г' cos G', х ~ г cos В, у' = г' sin 8', у f rsin G. C3.19)
Учитывая, что
dx'dy' = r'dr'dG', sinG^inG' -fcosGcosG' =
= cosF'—0), C3.20)
запишем формулу C3.8) в виде
а 2л + в
A(r,Q) = (Ao/(na*))\ r'dr' J exp[/V(r/l) cos @ —G')]dG',
° e C3.21)
где считается, что на круглое отверстие падает плоская волна,
фронт которой параллелен плоскости отверстия, и, следова-
следовательно, ? = А0/(па2). Внутренний интеграл равен
2я'+6' 2л
S exp [iri cos (G — G')Jd0'= j ехр [щ cos G']d0' ~ 2nJo(r\),
в о
где Jq(j\) — функция Бесселя .нулевого порядка, r\=krr'/l.
Тогда [см. C3.21)]
А^BА0/а2) \ r'dr'Jo(krr'//).
о
Из теории функций Бесселя известно соотношение
C3.22)
C3.23)
где J\ (x) — функция Бесселя первого порядка. Учитывая C3.23),
получаем
J r'Mkrr'//)dr' =[fa/(kr)]J}(kra/O,
тогда [см.. C3.22)]
¦kar/I
C3.24)
433.25)
168
Дифракция от круглого отверстия
Функции Бесселя хорошо изучены. График функции 27i (p)/p
приведен на рис. 167. В центре дифракционной картлны имеется
светлое круглое пятно, окруженное темными и светлыми ди-
дифракционными кольцами. При этом максимумы интенсивности
в светлых кольцах быстро убывают (рис. 168). Радиус п первого
темного кольца находится го условия
Ji (кап/1) = 0. C3.26)
Принимая во внимание, что первый корень уравнения
/i(jc)=O равен xi =3,832, находим угол Д<рь под которым
это кольцо видно из центра круглого отверстия:
§33

а Ф1 = (п//) = 3,832/(Ь) = 0,6U/a. C3.27)
Поэтому угловой размер светлого пятна, наблюдаемого из центра круглого отверстия,
равен
Go = 2А ф1 = 1 ,Ш/а. C3.28)
Эта формула играет большую роль в вопросе о разрешающей силе оптических приборов
(см. § 36). Второе кольцо видно под углом
C3.29)
однако интенсивность вне центрального светлого пятна очень сильно убывает. В пределах цен-
центрального пятна сосредоточено около 84% всей энергии, проходящей через отверстие. Энергией,
приходящейся на область вне центрального пятна, можно в большинстве случаев пренебречь.
Дифракционная решетка. Она представляет собой совокупность периодически повторяющихся
щелей (рис. 169). Обозначим a, b и d — a+b соответственно ширину непроницаемой части ре-
решетки, ширину отверстия и длину периода решетки. Дифракционную картину можно найти
с помощью формулы C3.8) аналогично тому, как это было сделано для одной щели. Однако
более наглядно и проще провести анализ методом сложения комплексных амплитуд.
Амплитуду волны, дифрагированной каждой из щелей в направлении, характеризуемом
углом ф [см. C3.15)], представим в виде
Af = Ao sin р/р, р = kb sin ф/2, C3.30)
где индекс @) у А9 отмечает, что это амплитуда волны от одной щели. Дифрагированные от
щелей волны интерферируют между собой и образуют дифракционную картину. Таким обра-
образом Дифракционная картина от решетки является результатом дифракции волн на каждой
щели и интерференции воли от различных щелей.
. Рассмотрим интерференцию волн от щелей. Разность хода волн от двух соседних щелей
(рис. 169) и разность фаз между ними равны
, C3.31)
6. = кА = kd sin ф. C3.32)
Взяв за начало отсчета фазу волны, дифрагированной в направлении, определяемом углом ф
от первой щели, т. е. принимая ее амплитуду равной C5.30), находим для амплитуд волн, дифра-
дифрагированных от второй, третьей щелей и т. д., выражения А% е~'8, А0^ е~2'5, ... .В результате супер-
суперпозиции волн от всех N щелей образуется волна с амплитудой
А, =^} +4} е-'6 +Л» е-'26 + ... +Л? e-<*-|)IB = Л$ A -ё~шь)/(\ -е"'5), C3.33)
где использована формула для геометрической прогрессии
... +хп =(l —
Учитывая, что
1-е-'*6 c-tN5'2 e'W-e-'*6/2 _ е-''2 sin (N5/2)
I е—«б e-i6/2 е'8'2 — е-'5'2 e-'s/2 sin F/2) *
и используя C3.30), окончательно находим
|Др| = \А0\ |sin p/pl |sin Na/ sin a|, P = kb sin ф/2, a = 8/2 = Ы sin ф/2. C3.35)

Дифракционная решетка
АО) АО) АО)
АО)
л@)
170
Сложение комплексных ампли-
амплитуд, приводящее к образованию
1лавных максимумов
Формула C3.35) полностью описывает дифракционную кар-
картину от щели, поскольку интенсивности картины определяется
\Aj2. Из C3.31) видно, что при
dsin <p=nik (т=0, ±1, ±2, ...)
C3.36)
волны от соседних щелей усиливают друг друга, т. е. волны от
всех щелей усиливают друг друга Это означает, что соотноше-
соотношение C3.36) определяет направления, по которым образуются
главные максимумы. При этом условии а = kdsin <p/2 = пт
и, следовательно,
I sin Na/sin а | = N,
C3.37)
Графически сложение комплексных амплитуд от отдельных
щелей, приводящее к образованию главных максимумов, по-
показано на рис. 17Q Видно, что н\А®\ является действительно
максимальной амплитудой, которая может быть образована
из амплитуд волн, дифрагированных на N щелях в направле-
направлении, определяемом углом ср. Отсюда ясно, почему эти макси-
максимумы называются главными. Однако \А9\ амплитуд главных
максимумов не одинаков. Из C3.35) следует, что он модулиру-
модулируется множителем |sinp/[3|, т.е. амплитуда главных максиму-
максимумов модулируется дифракцией от отдельных щелей. Макси-
Максимальное значение | sin P/Pf равно единице, оно достигается
при условии р = 0, которое соответствует центральному макси-
максимуму (ф=0). Амплитуда всех остальных главных максимумов
меньшр. Если главный максимум приходится на направление,
для которого sin Р = 0, то он отсутствует. Это может случиться,
когда b и d соизмеримы.
Минимумы излучения образуются тогда, когда в резуль-
результате сложения комплексных амплитуд получается результирую-
результирующая нулевая амплитуда (рис. 171). Для различных 6 (т. е. при
различных ф) ломаная кривая может быть замкнута один раз,
два раза и т. д., т. е. разность фаз волн от крайних щелей решет-
решетки равна 2л, 4л,.... Поэтому условие минимумов амплитуд
в дифракционной картине записывается в виде
Nb=2nn (л = 0, 1, 2, ...)
или, поскольку 6 = kdsin ф = 2nd sin <pfk,
dsin<p= (n/N)X (« ? 0, N, IN, ...),
C3.38)
C3.39)
так как при w = 0, N, 2N,... отношение n/N становится целым
m числом (m = n/N) и C3.39) превращается в условие главного
Сложение комплексных ампли- максимума Условие C3.38) для минимума может быть, конечно,
туд, приводящее к образованию получено И ИЗ C3.35):
МИНИМУМОВ
225
§33
sin (N6/2) = 0.
C3.40)
8-289

172
Общий характер дифракционной
мартнны от шести щелей (без соб-
соблюдения масштабов)
Отсюда следует, что N5/2 =mr (и = О, 1, 2, ...) совпадает с C3.38). Если n/N = т, то sin Mi/sin a
остается конечным и обусловливает возникновение главного максимума
Из C3.39) заключаем, что между двумя главными максимумами имеется N — 1 минимумов.
Ясно, что между минимумами должны быть максимумы, которые называются вторичными.
Следовательно, между двумя,главными максимумами имеется N—2 вторичных максимумов.
Это позволяет, зная число N, щелей, выяснить общий характер дифракционной картины, а по
формуле C3.35) найти относительные значения модулей амплитуд и интенсивносгей различных
частей дифракционной картины.
На рис. 172 показан общий характер распределения модуля амплитуды при шести ще.лях
(N = 6) без соблюдения масштабов.
Дифракция белого света на решетке. Каждая из волн различной длины дает свою дифрак-
дифракционную картину. Из условия dsin ц>=тХ видно; что угол ф для фиксированного m увеличива-
увеличивается с увеличением А. В нулевом порядке интерференции m—Q центральный максимум <р=0
совпадает для всех вола Поэтому в центре образуется белая полоса Затем идет первый порядок
интерференции (т — \). Линии интерференции* первого порядка не перекрываются линиями ин-
терференгдии второго порядка Перекрытие различных порядков наступает при тХ = т'Х',
где А, X''— длины волн; т, т' — порядки их интерференции. Для видимого спектра
1 0,76- 1(Гб =2-0,38- КГ6, C3.41)
т. е. длинноволновая граница первого порядка спектра попадает на самое начало коротковол-
коротковолновой границы второго порядка спектра и, следовательно, первый порядок видимой части
спектра не перекрывается вторым порядком. Второй и третий порядки спектра перекрываются.
Как видно из.C3.41), это обстоятельство обусловлено тем, что видимая часть спектра занимает
одну октаву.
Дисперсионная область. Для дифракционной решетки она определяется так же, как в-случае
интерферометра Фабри — Перо (см. § 28), и находится по формуле B8.34). У дифракционной
решетки обычно наблюдаются спектры низких порядков (т = 1, 2, 3, ...), поэтому дисперсион-
дисперсионная область оказывается очень большой (ДА = А, ДА = АД АХ = А/3). В частности, в первом по-
порядке дисперсионная область решетки совпадает со всем видимым спектром.
Разрешающая способность. Для дифракционной решетки она определяется так же, как и в
случае интерферометра Фабри — Перо (см. § 28), однако в качестве условия разрешения линий
принимается условие Рэлея: линии считаются разрешенным-и, если максимум интенсивности
одной попадает на минимум интенсивности другой.
Из C3.39) видно, что главный максимум возникает при п — mN, а соседний минимум— при
п = mN + 1.
Следовательно, по C3.39) для соответствующих углов мржно написать
d sin фм&кс = tnNX/N — тХ,
C3.42)
dsm фмин = (mN + l)X/N = (m + l/N)X.
Для длины волны А] = А 4- ДА условие главного максимума порядка т имеет вид
}№C = тХ\ .
C3.43)

По условию Рэлея линии считаются разрешенными, если фмин = фЦакс . С учетом C3.42) и 227
C3.43) это условие записывается в виде ' , .
(т 4- t/N)b = т(к + АХ). C3.44) §33
Отсюда для разрешающей способности решетки [см. (рис. 28.22)] находим
Y = X/AX = Nm. C3.45)
Так как число N щелей в решетке достигает мног,их десятков тысяч, то ее разрешающая
способность большая. Для повышения разрешающей способности необходимо переходить к
большим значениям порядка т интерференции. Однако т ограничены углами отклонения ф <
<тг/2 и, следовательно, sinqi в C3.36) не может быть больше единицы. Поэтом)' тМЯКС = </Д и
YMaKC = Ndfk, C3.46)
равно числу волн, укладывающихся на полной ширине решетки. Следовательно, максимальная
разрешающая способность, не зависит от числа щелей и от того, как на каждом периоде 4 рещеу-
ки распределяются между собой прозрачная и непрозрачная части. Решетки с большими JV оОла-
дают существенными преимуществами, у них значительно' лучше угловая дисперсия и отно-
отношение изменения dtp в угле при изменении длины волны к 6к, равно
C3.47)
Из C3.36) находим dcQsy йф - т Ь"к и. следовательно,
D =m/(dcos ф). C3.48)
Поэтому у дифракционной решетки с малым d угловая дисперсия выше Это означает, что
заданная угловая дисперсия на ней достигается при меньших порядках т интерференции, что
очень важно, поскольку на меньших порядках интерференции интенсивности максимумов
больше. Кроме того, при малых т больше дисперсионная область. Поэтому практическое зна-
значение имеют решетки лишь с достаточно большим числом N периодов и большой общей ши-
шириной. Лучшие решетки имеют до 15 см ширины и содержат около 100 000 периодов.
Отражательные дифракционные решетки. Если вместо щелей на решетке находятся хорошо
отражающий участки, а вместо непроницаемых участков — участки, поглощаюшие свет, то в
отражённом свете наблюдается дифракционная картина, аналогичная картине в проходящем
свете. Действующие в отраженном свете решетки называются отражательными. Если непро-
непроницаемая часть решетки достаточно хорошо отражает свет, а щель хорошо пропускает, то ре-
решетка может одновременно действовать в качестве дифракционной решетки как в проходящем,
так и в отраженном свете. Период d обеих решеток одинаков, а смысл величин а\\.Ь противопо-
противоположен: в формулах для интенсивности они меняются местами.
Дифракция на щели с непрерывным изменением фазы волны.' Допустим, что в щель помещена
призма с показателем преломления п (рис. 173). При прохождении плоской волны через призму
на выходе из щели у волны образуется сдвиг фаз, изменяющийся вдоль щели. Как и прежде',
начало координат предполагается находящимся в середине щели. Считая угол а у вершины
призмы малым, можно толщину призмы в точке с координатой у' считать равной а/>/2 4- а у'.
Оптическая толщина равна (ab/2 +ау' )п, а сдвиг фаз
Дифракция Френеля осуществляется л ближней зоне, а дифракция
Фраунгофера — в дальней.
Дифракция Фраунгофера описывается с помощью преобразова-
преобразования Фурье.

228 d = kn(ab/2+ay')+k[ab — (ab/2+ay')], C3.49)
^ где второе слагаемое учитывает сдвиг фаз при распростране-
распространении луча на той части длины ab, которую он проходит в воздухе.
Поэтому 4S в формуле C3.8), записанной для одной переменной
(щель предполагается бесконечно длинной), имеет вид
Ч?(у')=ШЬ)еа C3.50)
и, следовательно, амплитуда дифрагированной волны
[см. C3.16)]
ф = (Ao/b) exp [ik(n + 4)a?/2]x
х _J/2 exp {—i
P' = kb[sin cp
откуда
U I -I Л I si
sin Ф — k(n —
- \A I
— \Л0\
d/ = A0€k{n + x)ablhm P'/P
C3.51)
<p — (и — 1) a]/2}
^JJDZJ
\0\
p I /c6[sin ф — (n—l)a]/2
Видно, что центральный максимум дифракционной картины
располагается па дифракционном угле ф = (п — 1)а, а в осталь-
остальном характер дифракции существенно не меняется (рис. 173).
Фазовые решетки. Если во все щели дифракционной решетки
поставить призмы, как это только что было рассмотрено, то
максимум дифракции сместится на дифракционный угол
(п — 1)а. Направление на главные максимумы не изменяется,
поскольку они обусловлены интерференцией между волнами
от различных щелей, а условия этой интерференции не меня-
меняются (разность хода между лучами от соседних щелей по-преж-
по-прежнему dsin ф). Поэтому общий характер интерференционной
картины постоянен, изменяется лишь распределение интенсив-
ностей: максимальной интенсивностью обладает не главный
максимум на угле ф=0, а тот главный максимум, который
попадает на угол ф = (п — 1)а или находится вблизи этого угла.
Это позволяет работать с более высокими порядками т интер-
интерференции, что улучшает разрешающую способность, и в то же
время избегать потерь в интенсивности.
Решетки, при прохождении через которые меняется фаза
волны, называются фазовыми. Вариация фазы вдоль щели
может быть самой разнообразной. Она подбирается исходя из
требований задачи, для решения которой предназначена фа-
фазовая решетка.
Амплитудно-фазовые решетки. В них при прохождении через
щель света существенно изменяется не только фаза, но и ампли-
амплитуда волн, т. е. происходит поглощение света.
Наклонное падение лучей на решетку. При наклонном па-
падении лучей на решетку (рис. 174) условием главных максиму-
максимумов по-прежнему является равенство разности хода лучей в
соседних щелях целому числу длин волн [см. C3.36)]. На рис. 174
видно, что разность хода между лучами равна
А = А" — А' = dsin 0 — dsin ф,
Y'
173
Дифракция на щели с непрерыв-
непрерывным изменением фазы волны
О При каких условиях дифрак-
дифракция Фраунгофера наблюда-
наблюдается на малых расстояниях?
Чем объясняется большая
дисперсионная область ди-
дифракционной решетки?
Можете ли Вы описать воз-
возникновение дифракции на ре-
решетке с помощью представ-
представлений о дифракции на непре-
непрерывно изменяющихся струк-
структурах?

229
174
Наклоцме паление лучей на ре-
решетку
175
Изменение коэффициента пропус-
пропускания амплитуды для дифракци-
дифракционной -решетки
176
Непрерывная структура с гармо-
гармонически изменяющимся коэффи-
коэффициентом пропускания амплитуды
поэтому условие главного максимума имеет вид
d (sin 6 — sin ф) — тк. C3.53)
Будем отсчитывать углы а от направления падающего луча. §33
Как видно из рис. 174
а = 6—ф. C3.54)
Обычно углы дифракции малы, т. е. а < 1, поэтому
sin G — sin ф = 2 cos [@ + ф)/2] sin [ @ — ф)/2] =
=* 2 cos G sin (а/2) = cos 0 sin а. C3.55)
Обозначая d' = d cos 0' (рис. 174), запишем условие C3.53) в
форме
d' sin a = nik, C3.56)
совпадающей с C3.36). Это означает, что дифракция при на-
наклонном падении лучей на решетку происходит так же, как при
прямом, однако в качестве периода выступает проекция перио-
периода решетки на перпендикулярное падающему лучу направление
(рис. 174), т. е. дифракция происходит как бы на решетке с мень-
меньшим периодом.
Это позволяет наблюдать дифракцию от волн с очень ко-
короткой длиной, пользуясь решеткой с большим периодом,
когда при нормальном падении волн на решетку никакой диф-
дифракции практически не наблюдается. Напомним, что для на-
наблюдения дифракции при нормальном падении лучей период
решетки должен быть немного больше длины, волны. Напри-
Например, в обычной патефонной пластинке расстояние между бо-
бороздками, в которых осуществляется запись звука, равно при-
примерно 40—50 мкм. При косом падении лучей белого света на
пластинку эффективное расстояние Между бороздками может
стать равным нескольким микрометрам, и пластинка будет
отражать свет как отражательная дифракционная решетка
с образованием спектра в первом порядке и цветных полос
в высших порядках интерференции.
Дифракция на непрерывных периодических и непериодиче-
непериодических структурах. Дифракционная решетка является периодиче-
периодической структурой, у которой коэффициент пропускания т ампли-
амплитуды равен 1 на щелях и 0 на непрозрачных частях (рис. 175).
Если амплитуда падающей на решетку волны Ао, то амплитуда
выходящей из решетки, волны равна
А ¦=
Ао (на щелях),
0 (на непрозрачных частях).
Предположим, что вместо решетки имеется слой вещества,
коэффициент пропускания которого изменяется по' закону
(рис. 176)
C3.57)

причем считается, что слой бесконечен, т. е. — оо <: у' < оо. Если на слой вещества падает вол-
на с амплитудой Ао, то на выходе имеется волна с амплитудой
А (у1) = (Ао/2) [1+ cos Bny'/d)]. C3.58)
По формуле C3.8) для одного измерения найдем распределение амплитуды А по углам ди-
дифракции:
А,, = А \ [1 + Cos Bny'/d)] e-"*'sin<р d>-', C3.59)
/71 —оо
где постоянная В включает в себя как Ао, так и некоторый нормировочный множитель,, который
нет необходимости более точно определять,' потому что все расчеты ведутся с точностью до
относительного изменения амплитуд; множитель 1/Bя) введен для удобства Принимая во
внимание, что
cos Bny'/d) = J/2(е'2^'^ + е-'2^'!*), C3.60)
представим выражение C3.59) в виде
00 00
Л = тг-! ехр (— iky' sin <p)d>-' + -р- i exp [/(-?— /с sin ф) y']dy' +
Z7T— оо 47Г — со а
+ -^loo exp t—^T + k sin (P)>''ld>''' C3-61)
откуда
Лф =f 56 (/с sin ф) + E/2) б Bя/</ — fc sin ф) + (В/2) 6 Bя/J + к sin ф). ¦ C3.62)
Следовательно, дифракционная картина состоит из трех линий: линии на угле ср =0, кото-
которая возникает за счет постоянной составляющей амплитуды в C3.58) и соответствует просто
прямолинейному распространению волны через однородную среду, и двух линий, дифрагиро-
дифрагированных под углами ф(+)И ^__)? определяемых из условий
2n/d — к sin Ф(+)= 0, 2n/d + к sin ф(_> = 0. C3.63)
Учитывая, что к = 2п[к, можно эти условия записать в виде
*/sin ф(+)=?*., й?8П1ф(_)=—X. C3,64а)
Таким образом, на гармонической структуре наблюдается лишь Дифракция первого порядка,
причем угол дифракции связан с периодом гармонической структуры соотношением, аналогич-
аналогичным C3.36) для главного максимума первого порядка у дифракционной решетки стем же пе-
периодом. .
Теперь можно рассмотреть дифракцию на решетке как дифракцию на гармонических струк-
структурах. Периодическую функцию, выражающую коэффициент пропускания решетки с перио-
периодом d, можно разложить в ряд Фурье по гармоническим функциям, периоды которых равны
d, d/2, d/3, .... Дифракция волны длиной волны А, падающей на решетку, сводится к дифракции
на гармонических структурах, составляющих решетку, которые были получены разложением
коэффициента пропускания решетки в ряд Фурье. При дифракции на гармонической составляю-
составляющей структуры с длиной d/m возникают два дифракционных максимума, условия которых в
соответствии с C3.64) имеют вид

(dim)sin <pm = X, (d/m)smip-m — —X C3 646) 231
ИЛИ "§W
dsin(p=trik {m = + 1, ±2, ...),
C3.65)
что совпадает с C3.36). Тем самым положение главных максимумов решетки полностью опи-
описано. В принципе можно описать таким методом и изменение интенсивности, если принять во
внимание значения коэффициентов в ряде Фурье.
Теперь ясно, как можно рассмотреть дифракцию на произвольной периодической структуре.
Надо, представить ее характеристики рядом Фурье, рассмотреть дифракцию первого порядка,
описываемую отдельными членами ряда Фурье. Совокупность этих дифракций первого поряд-
порядка составляет всю дифракционную картину на периодической структуре. Ясно, в принципе,
что дифракцию на непериодической структуре можно рассмотреть аналогично. Надо вместо
ряда Фурье использовать интеграл Фурье
Дифракция на ультразвуковых волнах. Ультразвуковыми называются колебания с частотой
порядка 108 Гц. В жидкости скорость звука 'v** 103 м/с, и поэтому длина ультразвуковой волны
d= vfv = 1(Г5 м = 10 мкм. Уплотнения и разрежения в ультразвуковой волне, распространяю-
распространяющейся в жидкости,'создают фазовую гармоническую решетку. При гармонической модуляции
фазы возникает дифракция, аналогичная той, которая была рассмотрена для гармонической
модуляции амплитуды. Поэтому должна наблюдаться дифракция первого порядка, которую
очень удобно воспроизвести с помощью ультразвуковой установки, схема которой изображена
на рис. 177. Пьезодатчик П создает ультразвуковые волны, на которых происходит дифракция
волн, испускаемых источником S. Имеются два дифракционных максимума первого порядка
в полном соответствии с C3.64а) и центральный максимум.
Сравнение характеристик спектральных аппаратов. Одно из главных применений интерферо-
интерферометров и дифракционных решеток сводится к анализу спектрального состава излучения, т. е.
эти приборы используются в качестве спектральных аппаратов. Какой из аппаратов наиболее
целесообразно применять, зависит от конкретных условий.
Высокая разрешающая способность достигается как в % интерферометрах Фабри—Перо и
Майкельсона (порядка 106), так и в дифракционных решетках (порядка 105) и в других интерфе-
интерферометрах. Однако такая высокая разрешающая способность в них достигается за счет различ-
различных факторов. В интерферометре Фабри—Перо и Майкельсона она достигается за счет вы-
высоких порядков интерференции (порядка 103) при сравнительно небольшом числе интерфери-
интерферирующих лучей (несколько десятков в интерферометре Фабри—Перо и два луча в интерферо-
интерферометре Майкельсона), а в дифракционной решетке — за счет большого числа интерферирующих
лучей (порядка 105) при малом порядке интерференции (несколько единиц). Благодаря'этому
дисперсионная область очень мала у интерферометра Фабри —Перо (порядка 10~2 нм) и интер-
интерферометра Майкельсона (порядка 10~3-нм) и очень велика у дифракционной решетки (поряд-
(порядка 103 нм). Поэтому если исследуемое излучение имеет большую дисперсионную область,
а его необходимо исследовать с помощью приборов высокого разрешения с малой дисперсион-
дисперсионной областью, то приходится комбинировать между ообой различные спектральные аппа-
аппараты. При этом получаются одновременно и широкая дисперсионная область и большое раз-
разрешение.
Спектральные аппараты должны обеспечивать возможность работы со слабыми интенсив-
ностями исследуемого излучения. В этом отношении интерферометр Фабри—Перо сущест-
существенно превосходит дифракционную решетку, особенно если пользоваться фотоэлектрической
регистрацией в схеме сканирующего интерферометра Фабри—Перо. Разрешающая способ-
способность в Фурье-спектроскопии определяется максимальной разностью хода, которая может быть
обеспечена механизмом подвижного зеркала, и достигает больших значений.

232 Пример 33.1. Рассчитать дифракцию Фраунгофера на щели с коэффициентом пропускания
х(у') = cos (ny'/b). Начало отсчета находится в центре щели; Ъ — ширина щели, <р — угол ди-
, 6 фракции.
Имеем
ft/2 ft/2 ft/2
А9=В \ cos(ny'/b)<riksiTlipy'dy' =(B/2) j d{n/b-ksin ^у'йу' + (В/2) j с~Нл/ь +ksin«»*' d/ =
—ft/2 —ft/2 —ft/2
2nBb cos (kb sin <p/2) ,-., ,,,
= fesincp)*-^ • C366)
При ф -> 0 амплитуда
Ao = 2bB/n. C3.67)
Отсюда для распределения интенсивности находим
А C3-68)
где /о — интенсивность в направлении ф = 0.
§34
Дифракция Френеля
Рассматривается дифракция в ближней зоне и даётся
количественное описание спирали Корню.
Область дифракции Френеля. Область дифракции Френеля расположена вблизи объекта, на ко-
котором происходит дифракция, и простирается до расстояний, с которых дифракцию можно рас-
рассматривать как фраунгоферову [см. C3.7)]. Однако полезно заметить, что дифракция Фраун-
Фраунгофера в строгом смысле слова имеет место лишь на бесконечности.
Для рассмотрения дифракции Френеля необходимо пользоваться формулой C2.37), в ко-
которой для упрощения написания можно отбросить множитель, стоящий перед интегралом,
поскольку он не оказывает влияния на относительное распределение интенсивностей в дифрак-
дифракционной картине.
Дифракция на прямоугольном отверстии. Расположение .систем координат и размеры прямо-
прямоугольного отверстия даны на рис. 159. Считая, что на отверстие падает плоская волна с ампли-
амплитудой Ао, полагаем в C2.37) Ф = A0/(ab) и записываем эту формулу в виде
а/2 ft/2
A(x,y) = [A0/(ab)] | exp[ik(x~x')f/Bl)]Ux' j exp [ik(y —y'J/B/)]dy'. C4.1)
—0/2 —fc/2
Вычислим первый из перемножаемых интегралов:
0= \ еХр[ ik(x-x'f]dx'. C4.2)
-а/2 2/
Переходя к новой переменной интегрирования
5 - (х — х')[*/(пО]'Л, d^ =-dx' [k/(nl)]'h C4.3)
находим

177
Схема установки для наблюдения
дифракции на ультразвуковых
волнах
233
§34
iS(u)
fu>0
C(u)
178
Построение спирали Корню с по-
мощью интегралов Френеля
Q =
(х-а/2) y/k/(nl)
1/2 \ __e
(x+fl/2) ^ */(*')
{х _0/2)
_ \ \
(х + а/2) jkl(
(nl/k)i/2 [ \
о о
Интегралы Френеля. Вычислим
= i cos (^2/2)d^ + / i sin {n%
Интегралы
C(u) = | cos
S{u) = | sin
&Q
C4.4)
C4.5)
C4.6)
называются интегралами Френеля и находятся численными
методами. Имеются таблицы этих интегралов, которые графи-
графически представляются в -виде спирали Корню (см. рис. 151).
Ее более точное построение с помощью C4.6) показано на
рис. 178. Полезно заметить, что
С(оо) = 5(оо) = 0,5, С(—оо)=5(—оо) = —0,5.
Спираль Корню. Из определения C4.5) и правила построения
спирали Корню следует, что комплексное число
! е"*2/2 d? C4.7)
о
изображается комплексным вектором, начинающимся в начале
координат и оканчивающимся в точке спирали Корню, соответ-
соответствующей значению и (рис. 178). Тем самым обосновывается
метод анализа дифракции с помощью спирали Корню (см. § 31).
Он позволяет найти интегралы C4.1) и проанализировать ко-
количественно распределение интенсивности в дифракционной
картине.

Задачи
6.1. Длины волн дублета в излучении натрия
равны Xi = 589 нм и Хг = 589,6 нм. Чему
равно минимальное" число щелей в дифрак-
дифракционной решетке, чтобы разрешить этот дуб-
дублет во втором порядке? в первом порядке?
6.2. Через стеклянную пластину, покрытую по-
порошком ликоподия, пропускается монохро-
монохроматическая волна, и на экране за пластиной
с помощью линзы с фокусным расстоянием
/ == 1м наблюдается интерференционная кар-
картина. Центральное темное пятно имеет ра-
радиус 3 см. Длина волны излучения 600 нм.
Найти радиус частиц ликоподия.
6.3. Дифракционная решетка имеет 200 штрихов
пс: миллиметр Под' каким углом должно
падать на решетку излучение, чтобы в пер-
перпендикулярном реше-тке направлении наблю-
наблюдался дифракционный максимум второго по-
порядка для длины волны X = 0,5 мкм?
6.4. Свет падает по нормали к решетке. Найти
отношение интенсивностей главного макси-
максимума /,„ w-ro порядка к интенсивности /0
центрального максимума.
6.5. Параллельный пучок монохроматического
света падает на проволоку диаметром 1 мм,
натянутую перпендикулярно направлению
распространения света. На экране, располо-
расположенном перпендикулярно направлению рас-
распространения света, на расстоянии 1 м от
проволоки наблюдаются дифракционные по-
полосы, расстояние между которыми 0,5 мм.
Наши длину волны света.
6.6. При каком условии m-й главный максимум
для дифракционной решетки с периодом d и
шириной щели b обращается в нуль?
6.7. Диск диаметром 0,5 см, имеющий неровно-
. ста порядка 10 мкм, расположен на рас-
.стоянии 1 м от точечного монохроматиче-
монохроматического источника света, излучающего на дли-
длине волны 0,5 мкм. Точечный источник нахо-
находится на перпендикуляре к плоскости диска,
проходящей через его центр. Считая, что
пятно Пуассона видно лишь до тех пор,
пока неровности краев 'диска перекрывают
соответствующую зону Френеля не более
чем на !Д ее ширины, найти минимальное
расстояние, на котором можно видеть пятно
Пуассона.
6.8. Точечный монохроматический источник све-
света (к = 0,5 мкм) расположен на расстоянии
0,5 м от плоского экрана с круглым отвер-
отверстием диаметром 0,5 мм на перпендику-
перпендикуляре к плоскости экрана, проходящей через
центр отверстия. На каком расстоянии от
отверстия на Перпендикуляре расположена
точка, имеющая максимум освещенности?
6.9. Найти условие, при котором все четные
максимумы в, дифракционной картине от
решетки пропадают
6.10. Поверхность Луны облучается пучком света,
диаметр которого на выходе из лазера равен
0,5 см. Расходимость пучка чисто дифрак-
дифракционная, влиянием атмосферы пренебречь.
Чему равен диаметр лазерного пучка при
достижении поверхности Луны, если рас-
расстояние до Луны 368 103 км, а длина волны
лазерного излучения 632.8 нм?
6.11. ВхоДнОИ зрачок глаза имеет радиус 1,5 мм.
На каком расстоянии от глаза светящийся
диск -диаметром 1 см, испускающий излу-
излучение с длиной волны X = 0,55 мкм, создает
на входном зрачке глаза когерентное поле?
6.12. В эшелоне Майкельсона 20 плоскопарал-
плоскопараллельных пластинок толщиной 1 мм (пока-
(показатель преломления п — 1,5). Высота сту-
ступенек 0,5 см. Найти угловую ширину ди-
дифракционных максимумов и поря/юк интер-
интерференции. Длина волны X = 0,55 мкм.
6.13. Чему равна угловая дисперсия дифракци-
дифракционной решетки, имеющей 4103 штрихов на
1 см, в спектре второго порядка^
6.14. Какова угловая разрешающая способность
человеческого глаза (диаметр зрачка 4 мм)
и зрительной трубы (диаметр входного зрач-
зрачка 10 см) при длине волны 0,6 мкм?
Ответы
6.1. 491; 982. 6.2. 12 мкм. 6.3. 23°30'. 6.4. lm/I0 = [sin (mbn/d)/(mbn/d)]2. 6.5. 0,5 мкм. 6.6. m=nc!/b (и —
целое число). 6.7. 0,67 м. б.а 0,17 м. 6.9. d=2b. 6.10. 118,58 км. 6.11. ПО м. 6.12. 0,27-10~4 рад; 4,5 103.
6.13.0,8 105 рад/м=0,08 рад/мкм. 6.14.1,83-КГ4 рад = 38" ; 7,32 1(Г6 рад = 1,5".

Основная идея:
объект рассматривается
как источник
вторичных волн.
дифракционная картина
от которого
описывается методами
теории дифракции.
Основные
понятия
Фурье-оптики

236 § 35 - Линзе как элемент, осуществляющий
преобразование Фурье
Показывается, что линза осуществляет преобразование Фурье
распределения амплитуд между передней и задней фокальными
плоскостями линзы с точностью до несущественного
для распределения интенсивностей фазового множителя.
Фазовое преобразование, осуществляемое тонкой линзой. Тон-
Тонкой называется линза, у которой можно считать одинаковыми
координаты (х', у') входящего и выходящего лучей. Показа-
Показатель преломления материала линзы п (рис. 179).
Плоскости, перпендикулярные оси Z и касающиеся левой
и правой поверхностей линзы, будем называть соответственно
левой и правой плоскостью. Координаты точек в этих плоско-
плоскостях обозначаем (х', у'); потому что по условию тонкой линзы
луч света всегда соединяет эти точки. Длину луча в линзе, харак-
характеризуемую координатами (х\ у% обозначим А(х',у'), а мак-
максимальную толщину линзы — До (рис. 179).
Полное изменение фазы волны при прохождении пути от
левой плоскости до правой равно
6(х', у') = кпА(х', у') + к(А0 — А(х', /)]==
= кА'о+к(п—\)А(х',у')> C5.1)
где А(х',у')— Функция толщины линзы. Величина
T(jc'l/)ee'e(x'-*'M=e'*Ao е№(и~1)А(*<>'') C5.2)
является коэффициентом пропускания линзы. Для линзы Он
чисто фазовый, поскольку в ней поглощение света пренебрежи-
пренебрежимо мало.
В геометрической оптике в качестве основного использо-
использовалось понятие луча. Задача заключалась в выяснении влияния
различных факторов на луч света. Это действие сводилось к
изменению направления луча под влиянием этих факторов.
Например, преломление на доверхностях двояковыпуклой лин-
линзы приводит к тому, что луч света после прохождения линзы
отклоняется от первоначального направления к ее оси. Поня-
Понятие луча было связано с волновой природой света посредством
его определения: луч является линией, касательная к которой
в каждой точке совпадает по направлению с нормалью к фронту
волны. При дальнейшем рассмотрении каких-либо ссылок на
волновую природу света делать нет необходимости.
В Фурье-оптике в качестве основного используется понятие
волны. Задача заключается в выяснении влияния 'различных
факторов на волновой фронт, фазу и амплитуду волны. Такой
подход является более общим, чем подход в геометрической
оптике, поскольку зная поведение волновых фронтов всегда
можно выяснить не только характеристики соответствующих
лучей, но и другие свойства излучения, в частности, распреде-
распределение амплитуд.
Прежде всего рассмотрим прохождение электромагнитной
волны сквозь тонкую линзу.
Амплитуда Ф'(*',>>') волны на входе в линзу на левой
плоскости и амплитуда Ч? (х', у') волны на выходе из линзы
У
/ •'.
J .1
Y
A(x\y')
179
К расчету фазового преобразова-
преобразования, осуществляемого линзой
Линза осуществляет такое
преобразование фазы пло-
плоской волны, в результате
которого волна становится
сферической сходящейся
или расходящейся.
С точностью до несущест-
несущественных масштабных и фа-
эовых множителей распре-
распределение амплитуд в фо-
фокальной плоскости линзы
является образом Фурье
распределения амплитуд
на входе в линзу.

180
К расчету функции толщины лин-
линзы
181
Линзы с положительным (/>0)
(а) и отрицательным (/<0) (б)
фокусными расстояниями
у >-"
182
Плоская волна, выходящая из лин-
линзы в виде сферической сходящейся
волны (при /> №"
на правой плоскости связаны соотношением
C5.3)
Расчет функщш толщины. При расчете функции толщины
радиус кривизны выпуклой поверхности по ходу луча считают
положительным, радиус кривизны вогнутой поверхности —
отрицательным (рис. 180). Предполагается, что Луч распро-
распространяется слева направо. Тогда
A = Ai+A2, Ao = Aoi+Ao2, р2=х'2+у'2,
А, = Ао, — (Я, — JR2— р2),
А2 = Дог — (—Ri — JRi—p2),
откуда
R2(l— y/l— P2/R22),.
C5.4)
C5.5)
где в последнем слагаемом правой части равенства при извле-
извлечении квадратного корня из Ri учтено условие отрицательно-
отрицательности R2, т. е. у/~Ш = —Ri. Разлагая корни в ряд по (p/RJ и огра-
ограничиваясь членами порядка (p/RJ, получаем
А =А0-
х'2+у'2
1
C5.6)
На основании B3.32).можно записать
1/Г=(и-1)A/Л-1/ад C5.7)
и представить C5.6) в виде
А = Ао^Дх'2 +.у'2)/[У(п- 1)], C5.8)
где/—фокусное расстояние линзы. Подставляя C5.8) в C5.1),
находим
Цх% yl) - кпАо,— к(х'2 +/2)/B/), C5.9)

23ЙВ и, следовательно, C5.2) принимает вид
-— T(x',y')=rexp(iknA0)ew>{—ik(x'2+y'2)/BJ)}. C5.10)
Виды линз. Линзы с положительным фокусным расстоянием
(/>0) изображены на рис. 181, а, с отрицательным (/~<0)—
на рис. 181, б. Первый сомножитель в C5.10) не приводит к
искажению формы плоской волны при прохождении линзы;
второй переводит плоскую волну в сферическую, причем она
может быть расходящейся или сходящейся в зависимости от
знака экспоненты. Если экспонента отрицательна (т. е./>0),
то периферические части волны испытывают при прохождении
линзы меньшую задержку фазы, *чем центр волны. В резуль-
результате на выходе из линзы образуется сходящаяся сферическая
волна (рис. 182). При /< 0 она выходит сферически расходя-
расходящейся (рис., 183). Такая волна является сферической только в
параксиальном приближении. Аберрации здесь не учитыва-
учитываются.
Линза как элемент, осуществляющий преобразование Фурье.
Поместим предмет с амплитудным коэффициентом пропуска-
пропускания то(х', у') непосредственно перед линзой (рис. 184) и напра-
направим на него плоскую -монохроматическую волну. На передней
плоскости перед линзой образуется световое поле Аото(х', у') =
— Ч"' (х', у'Х где Ао — амплитуда плоской волны. Конечный
размер апертуры линзы учитывается функцией зрачка, которая
определяется условием
1 внутри апертуры линзы,
Р(х',у')= ¦ C5.11)
0 вне апертуры линзы.
Образующееся на выходе из линзы световое поле на основа-
основании C5.3) t учетом C5.10) описывается функцией
Ч(х ',у') = ехр {йог Д ) ?' (х', у') Р(х', у') х
хехр[—\к(х'2 +y'2j/Bf)i. C5.12)
Дифракционная картина в фокальной плоскости линзы при
z0 =/ с помощью C2.37) описывается формулой
ф(х, у) =
хехр [
к exp[i(kf+kn&0)]
г-: ilL1-7 ^~
г:7
ik(x'2+y'*)
х\ У)Р(х',уг)х
If
хехр
-У'J)
, , ,
x dy ,
C5.13)
где пределы интегрирования распространены от —оо до оо,
потому что функция зрачка Р под интегралом автоматически
обеспечивает интегрирование по площади апертуры.
Формула C5.13) с учетом C3.1) принимает вид
183
Плоская волна, выходящая из ^ин-
зы в виде сфсрическо.1 расходя-
расходящейся волны (при / < 0)
V
184
Образование изображения от пред-
предмета, помещенного непосредствен-
непосредственно перед линзой
О Каким образом учитывается
наличие диафрагмы на входе
в линзу? Благодаря какому,
фактору именно в фокальной
плоскости линзы, а не в ка-
какой-то -другой, возникает об-
образ Фурье распределения ам-
' плитуд на входе в линзу?

ф(х, у). * «pror+toaj] ехр g
ж JJ Ч"(х',у')Р(х',у') ехр[— tt(xx> +>>/)*jdx'd>''. C5.14)
—оо /
Видно, что распределение амплитуд в фокальной плоскости с точностью до несущественных
для дифракционной картины фазовых и масштабных множителей является образом Фурье
распределения амплитуд на входе в линзу, т. е. линза является элементом, осуществляющим
преобразование Фурье.
§ 36 .Дифракционное образование изображений линзой
Прослеживается процесс превращения дифракционной картины
в изображение предмета. Обсуждается предел разрешающей
способности оптических приборов.
Фурье преобразование амплитуд между фокальными плоскостями линзы. Изложенные в преды-
предыдущем параграфе соображения показывают, что в процессе распространения волны распреде-
распределение амплитуд в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, претерпевает
изменение от плоскости к плоскости.' Последовательно применяя формулы, описывающие
эти»изменения, можно найти формулы преобразования распределения амплитуд между двумя
любыми плоскостями. Можно также найти распределение интенсивностей в этих плоскостях.
Связь между распределениями амплитуд в общем случае получается довольно сложной, а рас-
распределение интенсивностей ничем не похожи друг на друга. Однако в определенных условиях
связь между распределениями амплитуд оказывается достаточно .простой и сводится в своей
существенной части к преобразованию Фурье. Ясно, что наиболее простые случаи следует рас-
рассмотреть в первую очередь. Затем будут рассмотрены условия, при которых распределения
интенсивностей в двух плоскостях достаточно хорошо похожи друг на друга. В этом случае
говорят о дифракционном" образовании изображения, поскольку все рассмотрение основыва-
основывается на волновых понятиях без какого-либо обращения к лучам. Поместим плоский предмет
с амплитудным коэффициентом пропускания то(хо, >'о) перед линзой на расстоянии L (рис. 185)
и направим на него плоскую монохроматическую волну. На задней плоскости предмета обра-
образуется световое поле
Т" (хо, уо) = АоХо (хо, >'о), C6.1)
где Ао — амплитуда падающей на предмет плоской волны Это поле В передней плоскости лин-.
зы создает дифракционную картину 4*' (х', у'), которая с помощью формулы C2.37) представ-
представляется как
Ч" (*\ Я - -& "^ II Ч"' (*„, *> ехр | .W-xo>+(/-,0)jdXod^ C6.2)
где пределами интегрирования по хо, уо являются — оо, оо, а конечный размер предмета учиты-
учитывается тем, что коэффициент пропускания то(хо, уо) вне предмета полагается равным нулю.
Если необходимо учесть вклад в дифракцию от волнового фронта вне предмета, то to(xo, уо)
для соответствующих частей волнового фронта следует принять равным единице.
Световое поле на выходе из линзы дается соотношением A3.12), а в фокальной плоскости —
формулой C5.13), которая принимает вид

240
Ф(х, у) = В j| ехр
00
ik[(x — х'J +(у — у
^-}dx'd/j
ехр [-•
x ехр
j_!M?l
C6.3)
где 5 — все постоянные множители перед интегралами ис-
пользованных в C6.3) выражений.
Раскрывая в экспонентах подынтегрального выражения
квадраты разностей координат, запишем C6.3) в виде
Образование изображения от пред-
предмета, помешенного перед линзой
та расстоянии L
Ф(х, у) =
Д| Р(х', Я
x eik(x'2 +y'2)/BL) Qik(xl+yl)/(ZL)e—ik(x'xo+y'yo)/L fa'dv'dx d>'
C6.4)
Функция Р зрачка оказывает влияние на дифракционную
картину. Если зрачок не очень мал, то Р — \ для всех х', у',
потому что вне зрачка экспоненциальные функции, зависящие
от этих переменных, сильно осциллируют и вклад в интеграл
от области вне зрачка становится пренебрежимо малым. При
этом условии интегрирование по dx/ и d/ в C6*4) может быть
выполнено с помощью известной из таблиц интегралов фор-
формулы
fexp [/(
v"(xD,y0)
•с
ехр (-/
186
К анализу формирования изобра-
изображения линзой
В результате интегрирования C6.4) принимает вид
Ф (х, >-) = В, ехр [ ± A - -?) (х2 +>-2)] х
fl T"fe
C6.5)
где В] объединяет все постоянные множители. Это означает,
чт0 распределение амплитуд в фокальной плоскости линзы
является Фурье-образом распределения амплитуд светового
поля на поверхности объекта с точностью до несущественных
фазового и масштабного множителей. Если объект располо-
расположен в передней фокальной плоскости линзы (L =./), то фазовый
множитель пропадает. Это означает, что распределения ампли-
амплитуд в фокальных плоскостях линзы связаны между собой пре-
преобразованием Фурье без каких-либо фазовых искажений, т. е.
линза осуществляет преобразование Фурье между распреде-
распределениями амплитуд светового поля в ее фокальных плоскостях.
Изображением называет-
называется дифракционная картина,
распределение интенсив-
ностей света в которой с
достаточной точностью
воспроизводит распреде-
распределение интенсивностей на
изображаемой объекте.

Формирование изображения линзой. Для получения распределения амплитуд не в задней фо- 241
кальной плоскости линзы, а в плоскости, расположенной на расстоянии / от линзы (рис. 186), ——
воспользуемся формулами C6.1) — C6.3). В формуле C6.3) в первом экспоненциальном мно- §36
жителе подынтегрального выражения вместо расстояния/ от линзы до задней фокальной плос-
плоскости должно теперь стоять расстояние / до плоскости, в которой определяется распределение
амплитуд. Тогда [см. C6.4)]
. 00
Ф(*» jO = ^2_i G(x, у, Хо, .Уо)Ч"' (jco, yo,)dxodyo , C6.6)
где
f (-v -il v 11 Ч avn Г v^ 'У ) lovn Г '" V^O ¦" У О/ 1 ft D/v' t/ Ч v
u[X. у, х0, у0) — exp l r-j J ехр \_ *- j \\ г(х , у )*¦
Zl ZL, —оо
2ф Li I J I * L* i 7 >i^/']
Если распределение интенсивностей |Ф(х, у)\2 напоминает распределение интенсивностей
|4J" (ас >'о)р в плоскости предмета, то о дифракционной картине \Ф{х, у)\2 говорят как об изо-
изображении предмета. Оно может быть увеличенным или уменьшенным, прямым или переверну-
перевернутым. Понятие изображения определено в геометрической оптике путем сопоставления каждой
точке предмета точки изображения по правилам, рассмотренным в § 25. Поэтому вычислим
C6.7) и C6.6) в приближении геометрической оптики:
"к -> 0, к -> сю. C6.8)
Проанализируем интеграл, входящий в C6.7). Выберем расстояния L и / такими, чтобы член
с экспонентой, в которую входит сумма х'2 +у'2, обратился в единицу. Для этого надо принять,
что
1/L + 1//—1//=0. C6.9)
Тогда
|(^ у) (т т)\ x'dy>- C610)
Обозначив
M = I/L, C6.11)
представим C6.10) в форме
e=J[ />(*',/)ехр{— J±[(x+Mxo)x' +(у + Муо)у']\ dx' d/ . C6.12a)
Вычислим этот интеграл в приближении геометрической оптики, когда X -*¦ 0, к -*¦ оо. Для
этого перейдем в C6.12а) к новым переменным интегрирования: ?, = (к/1)х', г\ = (к//)у'. Тогда
Точное изображение плоского объекта теоретически может быть
получено лишь с помощью неограниченных пучков света. При на-
личии диафрагмы каждая точка объекта изображается дифрак-
дифракционной картиной диафрагмы. Это ограничивает предел разре-
разрешающей способности оптических приборов.

242
7
Q =.(-fJ I I Р[{1/к)Ь С/ад ехр [—1(x+MxoK -
C6.126)
Аргументы у Р при к -*¦ oo для любых конечных значений ?, и tj
стремятся к нулю и, следовательно, Р -> 1. Интеграл C6.126)
при Р — 1 вьфажается через 6-функцию:
Q = (/ДJДехр [—i(x+Mxo)Z,— 1(у + МуоУц]д$(Ь\=
= 4п2A/кJЬ(х+Мхо)Ь(у+Муо). C6.12в)
Поэтому в пределе геометрической оптики C6.7) принимает
вид
G(*. * х0, У о) = 4л2(//*сJ ехр [ f*<*^a> j x
хехрГ ис{х*+у*Ч
Подставляя выражение C6.13) в C6.6) и интегрируя по
получаем
C6.13)
где в Вь объединены все константы, несущественные для рас-
распределения амплитуд Ф(х, у).
Из C6.14) получаем
. у)\2 =
(-х/М, —у/М)\2
Y'
Оо
187
К выводу условия
изображения линзой
образования
188
К расчету предельной разрешаю-
разрешающей способности объектива теле-
телескопа
C6.15)
Формула C6.15) показывает, что в приближении геометриче-
геометрической оптики наблюдаемое, в дифракционной картине распреде-
распределение интенсивностей \Ф(х, у)\г является перевернутым изобра-
изображением распределения интенсивностей |*т"'|2 с увеличением М
(рис 187). Таким образом, изображение возникает при соблю-
соблюдении условия C6.9), которое принято в геометрической оптике
записывать в виде
C6.16)
где L — расстояние от линзы до предмета, / — расстояние от
линзы до изображения. Это означает, что формула C6.6) в
приближении геометрической оптики описывает образование
геометрических изображений в соответствии с правилами гео-
геометрической оптики.
О Чем отличаются изображе-
изображения предмета, полученные
методом фазового контраста,
если дополнительно введен-
введенный сдвиг фазы проходящего
мимо объекта света состав-
составляет п/2 и 3 я/2?
Почему «метод темного по-
поля» нельзя заменить «методом
светлого поля», т. е. отмечать
присутствие объекта не по
рассеянному, а по задержан-
задержанному им излучению?

Однако в случае конечных длин волн и учета конечных размеров апертуры линзы структура 243
изображения усложняется Каждая точка предмета уже не изображается точкой. Из сравнения
C6.6), в котором в качестве С взято выражение C6.13), с C3.12а) заключаем, что изображение §36
предмета искажается дифракцией Фраунгофера на апертуре линзы,-учитываемой наличием
функций зрачка Р(х',у*) в формуле C6.12а). Каждая из точек предмета порождает в плоскости
изображения картину дифракции Фраунгофера на апертуре линзы, т. е. точка изображается
светлым цятном. Если отверстие круглое, то радиус центрального светлого пятна может быть
вычислен с помощью C3.27).
Предел разрешающей способности оптических приборов. Разрешающая способность оптиче-
оптических приборов ограничивается дифракцией Фраунгофера на их входной апертуре, поскольку
при этом каждая точка объекта изображается дифракционной картиной с центром в точке,
соответствующей идеальному геометрическому изображению. Дифракционная картина со-
состоит го центрального светлого пятна, окруженного дифракционными кольцами. Изображением
точки можно с достаточной точностью считать центральное светлое пятно. Две точки предме-
предмета будут разрешенными, если изображающие их светлые пятна четко разделены. При этом
в качестве критерия разрешения применяется критерий Рэлея.
Определим предельную разрешающую способность объектива телескопа. Предмет удален
на бесконечность, а изображение предмета образуется в фокальной плоскости объектива с фо-
фокусным расстоянием / (рис. 188I На основании. C3.27) заключаем, что радиус центрального
светлого пятна равен
го = 0,61Л/Д, C6.17)
где R — радиус объектива телескопа Две близкие звезды, угловое расстояние между которы-
которыми 6, дают два дифракционных светлых пятна радиусом го, расстояние между центрами кото-
которых А = 8(/ По критерию .Рэлея они считаются разрешенными, если центр одного попадает на
край другого, т. е. когда А = го и, следовательно,
ео = 0,61?7Д-, C6.18)
Разрешающей способностью Y объектива называется величина, обратная 0о:
j C6.19)
Для увеличения разрешающей способности необходимо увеличивать размер апертуры объек-
. тива.
Если угловое расстояние между точками меньше 60; то они воспринимаются как одна точ-
точка и, следовательно, детали предмета с меньшими угловыми размерами не могут быть раз-
различимы.
Формула C6.19) для разрешающей способности объектива получена на основании соотно-
соотношения C3.27), которое было выведено в предположении, что амплитуда и фаза падающей волны
постоянны во всех точках отверстия объектива (однородная апертура). При этом условии един-
единственным способом увеличения, разрешающей способности при фиксированной длине .волны
является увеличение радиуса объектива. Однако радиус центрального дифракционного мак-
максимума в дифракционной картине на круглом отверстии фиксированного радиуса может быть
уменьшен специальным подбором распределения амплитуд и фаз излучения в плоскости объек-
объектива, вследствие чего увеличивается разрешающая способность объектива Однако при этом
интенсивность центрального максимума уменьшается Следовательно, если допустимо умень-
уменьшение яркости изображения, то разрешающую способность объектива можно увеличить без
увеличения его радиуса за счет соответствующей фазово-амплитудной модуляции падающего
на объектив, света.

n'
1
\
E
\D
R
I >
?'
A
189
К расчету предельной разрешаю-
разрешающей способности микроскопа
Аналогично можно найти и предел разрешающей способ-
способности микроскопа, ход лучей в котором показан на рис. 189.
Для исключения сферической аберрации (см. § 24) необходимо
соблюдение условия Аббе B4.17), которое в обозначениях
рис. 189 записывается в" виде'
en sin a = г'п' sin а', C6.20)
где п и п' — показатели преломления сред соответственно в
пространстве предмета и пространстве изображения. Обозна-
Обозначая / — расстояние от плоскости отверстия до плоскости изоб-
изображения и R — радиус входного зрачка, получаем, что радиус
центрального светлого пятна дифракционного изображения
точки равен
го = /(р =0,6Ш/К, C6.21)
где R = DE/2.
С помощью объектива микроскопа осуществляется первая
стадия образования изображения. Изображение предмета, по-
полученное с помощью объектива, затем увеличивается посред-
посредством окуляра. Однако ясно, что разрешающая способность
определяется только первой стадией образования изображения.
Поэтому на рис. 189 показан ход лучей только в объективе
микроскопа.
Точки А и В будут различимы, если по критерию Рэлея рас-
расстояние между точками А' и В' их геометрического изображе-
изображения больше или равно г0. Следовательно, максимальная раз-
разрешающая способность системы (рис. 189) определяется из
условия
8' = го = 0,6Ш/Д. C6.22)
Из C6.20) получаем
е == г'п' sin а' /(и sin а) = n'X0,6l/(ns'm а), C6.23)
где R/d^a'** sin а'. Формула C6.23) определяет максималь-
максимальную разрешающую способность микроскопа Так как обычно
в пространстве изображения п' = 1, коэффициент преломления
жидкостей, используемых для иммерсионных объективов
(см.'§ 24), п «1,5,' а угол а близок к»л/2, то C6.23) можно запи-
записать так: е * о,4Х ¦ C6.24)
190
Метод темного поля
191
Метод фазового контраста

т. е. для видимого диапазона 245
е«0,15ч-0,3 мкм. C6.25) §36
Более мелкие детали в видимом диапазоне наблюдать нельзя.
Метод темного поля. Детали предметов, меньших значений е, определяемых формулой C6.25),
в оптическом диапазоне различать нельзя, но детектировать наличие частичек такого или мень-
меньшего размера можно. Это делается методом темного поля (рис 190).
Наблюдаемые частицы освещаются белым светом от источника S так, чтобы прямые лучи
не попадали в глаз наблюдателя, фокусирующего-микроскоп на точку, в которой ожидается
присутствие частицы. Дифрагированные частицей лучи попадают в микроскоп и фиксируются
i лазом в виде светящихся точек, форма которых не имеет ничего общего с формой частицы.
Имеются и другие схемы наблюдения, в которых прямые лучи устраняются из поля зрения
специальными конденсорами, но физическая суть метода темного поля остается, конечно,
неизменной.
Метод фазового контраста. Тонкие прозрачные объекты очень слабо поглощают свет и не
создают сколько-нибудь заметной амплитудной модуляции проходящего света, в результате
чего они оказываются практически невидимыми. Их удается наблюдать, воспользовавшись
модуляцией фазы проходящего через них света. Наблюдение с использованием модуляции
фазы называется "методом фазового контраста.
Свет от точечного источника S (рис. 191) с помощью линзы L\ превращается в пучок парал-
параллельных лучей. Большая часть пучка проходит "мимо предмета П, а меньшая — через пред-
предмет. Амплитуду света, прошедшего мимо предмета, примем за 1, а амплитуду света, дифра-
дифрагирующего на предмете, обозначим е < 1, поскольку на предмет попадает лишь очень малая
часть всего потока. Проходящая через предмет волна испытывает изменение фазы на 6, и, сле-
• довательно, ее комплексная амплитуда равна ее'6. В фокальной плоскости линзы Li образуется
дифракционная картина, которая, в плоскости АА' трансформируется в изображение пред-
предмета П.
Свет, проходящий мимо предмета, не испытывает изменения фазы, и поэгому полная интен-
интенсивность в плоскости изображения
2/ = 11 + ее'612 = 1 + е2 + 2е cos 6 ~ A + еJ — еб2, C6.26)
где в разложении cos S в ряд,по 6 первый член, зависящий от 6, имеет порядок iS2, т. е. чрезвычай-
чрезвычайно мал. Поэтому модуляция фазы не приводит к модуляции интенсивности, которую можно
наблюдать.
Однако можно добиться того, чтобы модуляция интенсивности резко возросла и была про-
пропорциональна величине модуляции фазы. Для этого свет, идущий мимо предмета, пропускают
через пластину, которая изменяет его фазу на л/2, т. е. его комплексная амплитуда становится
равной е'"/2 =/. Амплитуда проходящего через предмет света по-прежнему ее'6. Интенсивность
интерференционной картины в плоскости изображения
2/ = |/ +ее«|а = 1 +е2 +2esin S ~ 1 +е2 +2е6, C6.27)
т. е. модуляция интенсивности линейно зависит от изменения фазы и позволяет наблюдать фа-
фазовый объект.
Чтобы увеличить контраст, надо уменьшить амплитуду света, минующего объект, сделав
ее соизмеримой с амплитудой света, прошедшего через объект. Обозначим е' < 1 уменьшенное
г значение амплитуды. Интенсивность наблюдаемой в плоскости изображения картины стано-
становится равной
2/ ==|fe' +ее'612 = е2 +е'2 +2ее' sin 5, ' C6.28)

246 откуда для видимости находим выражение
' т/- ¦'макс -*мин ?? (Sin о макс Sin 6 мин) ,*%, «д<
7 / макс + / мин е2 + е'2 +.ее' (sin 6MaKC+ sin 8MhH)
где бмакс и бМин — максимальное и минимальное изменения фазы в объекте. При е' =е види-
видимость и контраст изображения существенно увеличиваются.
Если фазу света, минующего предмет, изменить на Зя/2, т. е. если комплексная амплитуда
ослабленного света станет равной е'>хр (Зя/2) = ¦—ie', то вместо C6.28) находим
2/ = е2 + е'2 — 2ее' sin 5, C6.30)
что дает контрастность такой же величины, но другого знака: что казалось темным, будет свет-
светлым, и наоборот.
При практической реализации метода фазового контраста свет, проходящий мимо пред-
предмета, ослабляется и испытывает изменение фазы на я/2 или Зя/2 не в плоскости предмета, а в
фокальной плоскости. Для этого в фокальной плоскости центральная, часть закрывается неболь-
небольшой пластиной Ф (рис. 191), которая одновременно уменьшает амплитуду света примерно до
е' и изменяет фазу на я/2 или Зя/2. Толщина пластины подбирается экспериментально, по мак-
максимальному контрасту.
Метод фазового контраста был разработан Ф. Цернике в 1935 г. и явился важным шагом на
пути к голографии.
Пример 36.1. Определить разрешающую способность глаза Радиус входного зрачка глаза
R = 1,5 мм, показатель преломления и внутриглазной жидкости равен примерно показателю
преломления воды.
Если бы все пространство было заполнено жидкостью с показателем преломления, равным
показателю преломления глазной жидкости, то разрешающая способность глаза выражалась
бы формулой C6.18), но с заменой длины волны в вакууме на длину волны X' в жидкости:
96=0,61Х'/Я, C6.31)
где X' = Xjn. Отметим, что 66 — угол между лучами на центр светлого пятна и его границувнутри
глаза, равный минимальному углу между лучами, входящими в глаз из пространства, запол-
заполненного жидкостью. Из геометрической оптики известно, что если по разные стороны линзы
находятся среды с показателями преломления л и и', то малый угол 0 между соседними лучами
после прохождения линзы изменяется и становится равным
О' = 9и/и' . C6.32)
Если в пространстве вне глаза п' = 1 (воздух), то угол C6.31) увеличивается в п раз и, следова-
следовательно, минимально разрешимый угол Go между приходящими в глаз лучами также увеличи-
увеличивается в п раз:
Go = wG6 =0,6 XXIR. C6.33)
¦ Таким образом, разрешающая способность глаза не зависит от показателя преломления внутри-
внутриглазной жидкости. Для Х = 550нм находим Go =2,2-10~4 =0,8'. Полезно заметить, что если
исходить из структуры воспринимающих свет элементов глаза (палочки и колбочки), то мини-
минимально разрешимый угол также будет примерно равным 1'. Следовательно, различные элемен-
элементы глаза оптимально согласованы между собой.
Подчеркнем, что «экономия» в этом примере означает именно оптимальное согласование
различных элементов глаза и отсутствие излишних неиспользованных возможностей, а отнюдь
не «экономию» на создание возможностей и надежности функционирования системы в целом.
Надежность жизненно важных систем всегда обеспечивается полностью, часто за счет дубли-
дублирования функций, поскольку отсутствие надежности лишает организм возможности участво-
участвовать в естественном отборе и развиваться.

§37
Пространственная фильтрация изображений
Излагается сути пространственной фильтрации изображений
и ее применения.
247
§37
*
f
r
i<
L
\
A
I
у
s '
s"
A4
A
Аг
A\
Ai
Аг
192
К объяснению сущность простран-
пространственной фильтрации изображения
О Пространственная филь-
фильтрация изображений осно-
основывается на возножности
изненить изображение,
воздействуй. определен-
определенный обраэон на дифракци-
дифракционную картину лреднета
в фокальной плоскости
линзы.
О Какие максимумы интенсив-
интенсивности дифракционной карти-
картины от прямоугольной сетки
в эксперименте Аббе — Пор-
Портера надо закрыть, чтобы в
изображении сохранились
лишь горизонтальные линии?
В каких максимумах интен-
интенсивности интерференционной
картины содержится инфор-
информация о более мелких дета-
деталях объекта?
Сущность пространственной фильтрации изображений. Дифрак-
Дифракционное образование изображения (см. § 36) сводится к двум
стадиям:
¦ 1) формированию в фокальной плоскости линзы дифрак-
дифракционной картины предмета;
2) преобразованию дифракционной картины предмета в
фокальной плоскости линзы в изображение предмета в плоско-
плоскости изображений.
Вся информация, имеющаяся в изображении предмета,
содержится также и в дифракционной картине предмета в
фокальной плоскости. Если произвести в фокальной плоскости
изменения дифракционной картины, например закрыть или,
наоборот, усилить некоторые максимумы, то произойдет соот-
соответствующее изменение в изображении предмета. Внесение
изменений в изображение предмета посредством модификации
дифракционной картины предмета, из которой в последующем ,
формируется изображение, называется пространственной филь-
фильтрацией изображения.
Пространственная фильтрация изображений дифракционной ре- :
шетки. Наиболее наглядно существо пространственной филь-
фильтрации можно проиллюстрировать на примере изображения
дифракционной решетки.
Дифракционная решетка Pi (рис. 192), расстояние s которой
до линзы больше фокусного, освещается параллельным пучком
лучей. Линза L создает в плоскости Рг, расстояние s' которой
от линзы определяется соотношением B3.366), действитель-
действительное перевернутое изображение решетки, состоящее из темных
и светлых полос с достаточно резкими границами. Резкость
границ зависит от ширины щелей и непрозрачных, промежут-
промежутков между ними: чем больше ширина, тем резче граница.
В фокальной плоскости F линзы создается картина дифракции
Фраунгофера на решетке. Если ее наблюдать на реальной плос-
плоской поверхности, то она представляется в виде дифракционных
полос (см. § 33). Если эта поверхность воображаемаяч и лучи
беспрепятственно проходят дальше, то в плоскости Рг образу-
образуется изображение решетки.
На рис. 192 главные максимумы интенсивности дифрак-
дифракционной картины обозначены Ао, А\, Аг, ..., А\, А'г, .... Наи-
. более полное изображение решетки получается- тогда, когда
вся дифракционная картина в плоскости F участвует в образо-
образовании изображения в плоскости Р2. Если часть максимумов
задержать-, то изображение ухудшится, пропадут некоторые
детали или даже полностью исказится изображение решетки.
Например, -устраним все максимумы, за исключением^о, т. е.
сведем дифракционную картину к одному центральному мак-

248
7
У
*
s
у
1
: '" \'\
J /.
v Л '
1 ]'
$ *'-
S 9*^1
^\ '
1
F
Y
Р2
193
Схема эксперимента Аббе — Пор-
Портера
симуму. Это соответствует лучу, прошедшему при отсутствии
препятствий на его пути. В плоскости Рг наблюдается равно-
равномерное освещение, изображение дифракционной решетки от-
отсутствует, ее как бы не существует. Устраним все нечетные
максимумы А\, Аз,..., А[, А'з,% Оставшиеся максимумы
Ао, А2, Ал,..., А'г, А'а-, ... соответствуют картине дифракции на
решетке, период которой вдвое меньше. Поэтому в плоскости
изображений возникает изображение дифракционной решетки
с вдвое меньшим периодом, т. е. более частая решетка. Макси-
Максимумы первых порядков определяют более крупные детали
объекта, а информация о более мелких деталях передается через
максимумы более высоких порядков. Если, закрыть все мак-
максимумы, за исключением нулевого и первого порядков, то в
плоскости изображений получается распределение амплитуд
светового поля по гармоническому закону [см. C3.58)].
Изменение изображения посредством воздействия не на
самоизображение, а на распределение амплитуд, из которых в
последующем синтезируется изображение, составляет суть про-
пространственной фильтрации. Основная задача при этом состоит
в создании фильтра, который нужным образом изменяет про-
проходящую через него волну.
Эксперимент Аббе—Портера. Первым, продемонстриро-
продемонстрировавшим возможность пространственной фильтрации изобра-
изображений, был эксперимент Аббе—Портера, в котором в качестве
предмета была взята плоская решетка, образованная штриха-
штрихами, пересекающимися под прямым углом (рис. 193). Картина
дифракции, возникающая в фокальной плоскости линзы, по-
показана на рис. 194. В плоскости изображений из этой дифрак-
дифракционной картины образуется изображение решетки.
Если непрозрачной пластиной с щелью закрыть в- фокаль-
фокальной плоскости все максимумы интенсивности, за исключением
центрального и находящихся с ним на одной линии, параллель-
параллельной одной из систем штрихов решетки (рис. 195), то в изобра-
изображении сохраняется лишь перпендикулярная система штрихов
решетки. Если закрыть центральный максимум, то получается
изображение решетки с обращенным контрастом — на месте
светлых линий возникают темные, и наоборот.
'* -
194
Картина дифракции на простран-
ствепной решетке
¦to
195
Фильтрация изображения прост-
пространственной решетки

§ 38
Голография 249
Излагаются принципы получения тонкослойных ——
' и толстослойных голограмм и методы восстановления §38 -
изображений. Обсуждается применение голографии.
Синхронное детектирование. Фотопластинка регистрирует среднее значение квадрата напряжен-
напряженности поля электромагнитной рветовой волны, т. е. интенсивность. Информация о фазе волны
при этом теряется. Таким образом, содержащаяся в фотографии информация об объекте весьма
ограничена. В частности, отсутствует информация о расстояниях различных частей объекта
от фотопластинки и других важных характеристиках. Другими словами, обычная фотография
не позволяет восстановить полностью тот волновой фронт, который на ней был зарегистри-
зарегистрирован. В обычной фотографии содержится более или менее точная информация об амплитудах
зафиксированных волн, но полностью отсутствует информация о фазах.
Голография позволяет устранить этот недостаток обычной фотографии и записать на фото-
фотопластинке информацию не только об амплитудах падающих на нее волн, но и о фазах, т. е. пол-
полную информацию. Волна, восстановленная с помощью такой записи, полностью идентична
первоначальной, содержит в себе всю информацию, которую содержала первоначальная.
Поэтому метод назван голографией, т. е. методом полной записи волны.
Идея метода аналогична синхронному детектированию, известному в радиотехнике. Инфор-
Информация передается в виде' модулированного сигнала на высокой несущей частоте:
Ум = Уом [1 +mf(t)] cos cor, C8.1)
где со — несущая частота, /(г) — передаваемый сигнал, т — глубина модуляции /(рис. 196).
В модулированном сигнале C8.1) содержится информация не только об амплитудном, но
и о фазовом спектре функции/(f). Эту информацию можно выделить с помощью синхронного
детектирования.
В радиотехнике известны устройства, которые позволяют перемножать напряжения подавае-
подаваемых на них сигналов и получать на выходе их произведения. Если в такое устройство подать
модулированный сигнал C8.1) и постоянный сигнал несущей частоты
Ун = Уои cos cot, C8.2)
то на выходе получим сигнал
Уъых =аУ„Уи =аУОмУон[\ +mf(t)](l + cos2cot)/2, C8.3)
где а — постоянная. Высокочастотная составляющая с помощью соответствующего фильтра
устраняется, а оставшийся низкочастотный сигнал
y&\=A[l+mf{t)] C8.4)
содержит полную информацию об амплитудном и фазовом спектрах модулированного сиг-
сигнала.
Логично использовать подобный синхронному детектированию прием и в световом диапа-
диапазоне частот. Для этого необходимо информацию, содержащуюся в световой волне, записать
в виде модулированной волны на ^некоторой несущей частоте. При записи модулированной
волны на фотопластинку информация о фазе записываемой волны сохраняется. По записи на
фотопластинке модулированной волны синхронным детектированием, т. е. ее облучением не-
несущей частотой, можно восстановить исходную волну. Задача о полном восстановлении волно-
волнового фронта тем самым принципиально будет решена.

250 Для того чтобы осуществить этот метод в световом диапазоне, необходимо иметь излучение
с достаточно высокой степенью когерентности. Такое излучение получается с помощью лазе-
7 ров. Поэтому только после создания лазеров, дающих излучение с высокой степенью когерент-
когерентности, удалось практически осуществить голографию.
Фотопластинка, на которой записана информация о модулированной световой волне, назы-
называется голограммой. Задача голографии состоит в разработке методов записи голограмм и
восстановлении по ним волнового фронта.
Идея голографии была выдвинута в 1920 г. польским физиком М. Вольфке A883—1947),
но была забыта. В 1947 г. независимо от Вольфке идею голографии предложил и обосновал англий-
английский физик Д. Габор, удостоенный за это в 1971 г. Нобелевской премии.
Голограмма плоской волны. Волна с несущей частотой называется опорной, а волна, содер-
содержащая информацию об объекте,—сигнальной.
Плоская сигнальная волна частотой со'(рис. 197) распространяется в положительном направ-
направлении оси Z, перпендикулярно которой в плоскости X У расположена фотопластинка. Опорная
волна образуется делением волнового фронта и с помощью призмы П направляется на фото-
фотопластинку, перекрываясь на ней с сигнальной волной, также возникающей при делении волно-
волнового фронта Угол наклона опорной волны с осью Z обозначен G.
Сигнальная и опорная волны записываются в виде
Ес«?,е-"(я'-*г> , C8.5) Еоп = ?ое~'(Ш'~М~М) C8.6)
Следует заметить, что выражения C8.5) и C8.6) записаны с точностью до постоянной фазы.
Можно было бы считать, что ?, и ?0 в этих формулах являются комплексными и содержат
в себе эти не'выписанные в явном виде фазы. Однако это лишь усложняет написание последую-
последующих формул и не содержит в себе какой-либо существенной информации. Поэтому будем счи-
считать Ег и Ео вещественными.
Учитывая, что кх=к sin G, kz—k cos 0 »/с с точностью до величин второго порядка по углуб,
который предполагается малым, можем C8.6) -представить в виде
?оп *= ?ое~'(ш ~ kz ~ k*sin e> C8.7)
Полная амплитуда напряженности электрического поля в плоскости фотопластинки равна
Е = Ес + Еоп = е-|(ш' ~ к:) (?, + Eoeikxsiaе ), C8.8)
где Е\ и Ео можно считать действительными амплитудами. Отсюда для распределения интен-
сивностей находим выражение
1(х) = ]/2\Е\2 = 7г [Я? + El + 2?0?i cos (brsin G)], C8.9)
которое свидетельствует о том, что на фотопластинке в этом случае также записана и разность
фаз между опорной и сигнальной волнами, т. е. фаза сигнальной волны, если считать фазу, опор-
опорной волны заданной.
Восстановление изображения. Фотоэмульсия состоит из частиц галоидного серебра, рассеян-
рассеянных в желатине. Все это находится на подложке из стекла или ацетата При попадании света-на
.частицу галоидного серебра в ней возникают центры восстановленного серебра Это центры
проявления. При проявлении частицы, в которых имеются центры проявления, восстанавлива-
восстанавливаются до металлического серебра Там, где нет центров проявления, частицы остаются галоид-
галоидными. После проявления при «фиксации» частицы галоидного серебра удаляются и в пластинке
остается лишь металлическое серебро в мелких частицах, которые образуют почернение пластин-
пластинки. В теории фотографического процесса показывается, что плотность почернения пластинки
равна
C8 10)

Е
/
196
Лмплитудно-модулированиый сиг-
сигнал
-Z
197
Схема записи голограммы плоской
волны
'• J !¦
198
Восстановление волны, записан-
записанной на голограмме
где коэффициент контрастности у характеризует материал фото- 251
пластинки, а после проявления коэффициент пропускания плас- ——
тинки имеет вид §38
C8.11)
С учетом C8.9) из C8.11) находим
т = [Eh + Е\ + 2E0Ei cos (kx sin G) ]~Y/2. C8.12)
Принимая во внимание, что в обычных условиях Е\ < Ео,
вместо C8.12) можно записать
т = Е7 [1 — уЕ1/2ЕЬ — {уЕх /Ео) cos (kx sin G) 1 =
= (Е^у~2/2) [2ЕЬ — у?? — 2yE0Ei cos (kx sin G)]. C8.13)
Отбрасывая несущественный для дальнейшего рассмотрения
масштабный множитель (Ёо~у~ /2), запишем выражение C8.13)
в более- удобном виде:
т = 1Е1— уЕ1— yEoEie**™ е — уЕ0ЕмГ1кхАп* . C8.14)
Направим на голограмму по пути сигнальной волны плос-
плоскую волну (рис. 198)
?Вос =?2е-'<<»'-**) . C8.15)
На выходе из голограммы возникает световое поле
Ё е~l<<Dr ~"fa) —
уЕ0Е1Е2(Г'{ш ~ кг ~ kxain e)C8.16)
состоящее из трех плоских волн (рис. 198):
1) первый член в C8.16) описывает плоскую волну 1, распро-
распространяющуюся в направлении положительных значений оси Z
как продолжение волны, падающей на голограмму;
2) второй член описывает волну 2, распространяющуюся
под углом G к оси Z с наклоном в сторону положительных зна-
значений оси X. Это видно из сравнения знаков у foe sin 6 в экспо-
нантах волны 2 и волны, описываемой уравнением C8.7),
распространяющейся с наклоном в сторону отрицательных зна-
значений оси X;
3) третий член описывает волну 3, распространяющуюся под
углом G к оси Z с наклоном в сторону отрицательных значе-
значений оси X.
Это световое поле представляет собой дифракцию плоской
волны, падающей на'голограмму. Видно, что возникает лишь
дифракция первого порядка, как это и должно быть, когда
коэффициент пропускания C8.14) изменяется по гармониче:
скому закону [ср. с C3.64)].
Голограмма точечного объекта. Схема получения голограм-
голограммы показана на рис. 199. Опорная волна образуется после
преломления в призме. Она описывается аналогично C8.7)
формулой
Еоп я-?0е-*^-**-»*-«в) т C8.17)

252 От точечного объекта исходит расходящаяся сферическая вол-
—— на, которую в плоскости фотопластинки можно представить
7 в виде
Ес = -Eie-'l"" ~ кг-кхЧфо)\ ? C8.18)
причем небольшим изменением амплитуды напряженности
при удалении от точечного объекта при движении вдоль фото-
фотопластинки пренебрегаем.
Заметим, что в формулах C8Л7) и C8.18) не выписаны в
явном виде постоянные фазы, поскольку они не имеют какого-
либо существенного физического значения. Наличие постоянной
разности фаз между волнами приводит лишь к некоторому
небольшому сдвигу дифракционной картины в пространстве,
не изменяя существенно эту картину, и ее нет необходимости
учитывать. Поэтому в выражениях для плоских волн начало
отсчета системы координат не имеет значения, но для сфериче-
сферической волны C8.18), представляемой в экспоненте слагаемыми —
ikx2/Bz0), необходимо помнить, чтр начало отсчета совпадает
с отверстием в экране. Поэтому в знаменателе этого выражения
использовано обозначение z0, поскольку нас интересует дифрак-
дифракционная картина в плоскости пластинки, находящейся на рас-
расстоянии z0 от отверстия.
Полная напряженность поля на пластинке
принимает вид
откуда
+ e~i[kx sin в — fex2/Bro)]) _
= ?^ + Е2 4- 2?o^i cos [kx sin 9 — fcx2/Br0)].
C8.19)
C8.20)
C8.21)
Видно, что фазовые соотношения между волнами зафиксиро-
зафиксированы на пластинке Для коэффициента пропускания так же как
в C8.19) получается выражение
т = 2Е1 — уЕ2 — уЕ0Е1 ei(k*sin e ~ кх1гМ _
e-I[kx sin
2/B--o)] C8.22)
и поэтому при облучении голограммы плоской волной
?вос =?2е-'(ш-кг> C8.23)
аналогично C8.16) на выходе из голограммы образуется све-
световое поле
вых « Евос х = Е2 Q.EI — уЕ2) ег'
t ~~ k: ~~kxi[n Q + kx'/ii
Ч
О/т ,
I
199
Схема получений голограммы то-
точечного объекта
200
Восстановление волнового фронта
от точечного объекта
\
201
Действительное и мнимое изобра-
изображения точки при восстановлении
C8 24) голограммы
состоящее из трех волн (рис. 200):

202
Одна нз схем
записи голограммы
/
1) первый член (в 38.24) представляет плоскую волну, рас-
распространяющуюся в том же направлении, что и волна, падаю-
падающая на голограмму;
2) второй член в C8.24) представляет волну, распространяю-
распространяющуюся с наклоном к оси Z под углом G в направлении отрица-
тельного значения оси X (в экспоненте стоит ikx sin G). Эта
волна сферическая/ причем вогнутость направлена в сторону
распространения [в экспоненте стоит —ikx2fBzo)], т. е. явля-
является сходящейся сферической волной. Она сходится в фокусе,
расположенном в центре кривизны поверхности. Фокус служит
действительным изображением точечного объекта. Видно, что
он является зеркальным изображением точечного объекта, за-
зафиксированного на голограмме, если плоскость зеркала совпа-
совпадает с плоскостью голограммы, а точечный объект расположен
относительно голограммы так, как он был расположен во время
записи голограммы (рис. 201);
3) третий член в C8.24) представляет волну, распространяю-
распространяющуюся с наклоном к оси X под углом G в направлении положи-
положительных значений оси X (в экспоненте стоит —ikx sin G). Эта
волна сферическая, с вогнутостью против направления распро-
распространения волны [в экспоненте стоит ikx2 / Bzo)], т. е. является
расходящейся сферической волной. Она абсолютно идентична
сферической волне, распространявшейся от точечного объекта
во время записи голограммы, и дает мнимое изображение то-
точечного объекта, находящееся в той же точке, в которой был
точечный объект во время записи голограммы. Если волна
попадает в глаз человека, то возникающее ощущение идентично
тому, которое возникает при попадании в глаз расходящейся
сферической волны непосредственно от точечного объекта..
Значит, голографическая запись позволяет полностью восста-
восстановить волновой фронт.
Голограмма произвольного объекта. Волновой фронт про-
произвольного объекта складывается из волновых фронтов, по-
порождаемых его точками (см. § 31, 34, 36). Поэтому запись го-
голограммы произвольного объекта осуществляется аналогично
предыдущему случаю, необходимо лишь, чтобы сигнальная
несущая информацию об объекте волна была когерентна с
опорной. Для этого надо объект освещать волной когерент-
когерентной с опорной. Это можно сделать различными способами.
На рис. 202 показан один из возможных способов записи
голограммы. Видно, что опорная волна образуется отражением
от зеркала той же волны, которая освещает голографируемый
объект. Приходящая от объекта на фотопластинку волна может
быть в плоскости пластинки представлена в виде
Ес (х, у) = ?, (х, у) е
-'1ш " kz ~ ф(*'у)]
C8.25)
203
Восстановление действительного и ч ,
мнимого изображений предмета где Et (x, у) и ср(х, у) описывают распределение амплитуд и фаз
светового поля от источника. Опорная волна представляется
в виде C8.19). Для квадрата модуля напряженности электриче-
253
§38

2S4 ского поля, записанного на голограмме, вместо C8.21) получается выражение
7. \E\2 = El + E2 +?o?,(e'(kxsine-tf4e-'('?XSine-<p)). C8.26)
При облучении голограммы монохроматической волной получаем аналогично C8.24) вы-
выражение для восстановленной волны
?«& = ?вос i = Ег BЕ20 - уЕ2) <Г*Ш ~ kz)- УЕ0Е2Е, с4^ ~ kz ~ кх sin е + <р)—
—уЕоЕгЕ, e-'(wf ~ kz + кх sin е ~ ф), C8.27)
которое аналогично C8.24) описывает проходящую волну и волны, дающие действительное
и мнимое изображения предмета (рис. 203).
Волна, обусловливающая мнимое изображение предмета, является точной реконструкцией
волны, исходящей непосредственно от предмета. Это мнимое изображение является объемным,
и поэтому, изменяя угол зрения, можно посмотреть на предмет, несколько сбоку. При переме-
перемещении головы видны боковые части предмета. Предмет можно также сфотографировать под
различными ракурсами при< условии, конечно, что объектив фотоаппарата находится в преде-
пределах реконструированной волны. .
Сигнальная и опорная волны при записи голограммы должны быть когерентными между
собой. Ширина когерентности должна быть, во всяком случае, не меньше размеров предмета,
а длина когерентности — не менее разности хода сигнальной и опорной волн. В реальных усло-
условиях это означает, что при записи голограммы необходимо использовать излучение с высокой
степенью временной и'пространственной когерентности. Этим требованиям отвечает лазерное,
излучение. Восстанавливаются голограммы также с помощью лазеров. Однако при восстанов-
восстановлении голограммы частота лазерного излучения может отличаться от частоты, использованной
при записи голограммы. Это следует из того факта, что восстановление голограммы сводится
к дифракции падающей на голограмму волны При увеличении длины волны дифракционные
углы увеличиваются. Поэтому при восстановлении голограммы излучением с большей, чем при
записи, длиной волны изображение увеличивается по сравнению с оригиналом.
Реконструкцию голограммы можно также осуществить и без лазера. .Достаточно малый
некогерентный источник, видимый под углом когерентности B7.24), создает на ширине коге-
когерентности B7.25) излучение с достаточно высокой степенью когерентности. Например, светя-
светящаяся булавочная головка с расстояния вытянутой руки создает на зрачке глаза световое поле
с высокой степенью когерентности Поэтому если голограмму поместить между светящейся
булавочной головкой на вытянутой руке и глазом, то можно видеть восстановленное гологра-
фическое изображение предмета, записанное на голограмме. Отличие от изображения, восста-
восстановленного с помощью лазера, состоит в меньшей четкости, т. е. в патере дифракционных мак-
максимумов высших порядков. Объемность изображения сохраняется.
Требования к фотопластинкам и времеш экспозиции. Фотопластинка при записи голограммы
так же, как при записи фотографии, регистрирует интенсивность светового потока, т. е. в обоих
случаях она выполняет одну и ту же функцию. Различие состоит лишь в том, что на голограмме
необходимо фиксировать значительно более мелкие подробности распределения интенсивно-
сти и значительно больший диапазон изменения интенсивности, чем на фотографии.
,. Фотопластинка должна обеспечить запись дифракционной картины, которая составляет го-
голограмму. В голограмме плоской волны C8.9) условие максимумов имеет вид
cos(focsinG)=l, C8 28)

а расстояние Ах между ними определяется соотношением 255
/сДх sin е=2я. C8.29) §38
Отсюда следует, что Ах = X/sin G. Например, при 6 = 15° sin G = 0,26 и поэтому Ах *»4Д.«* 2 мкм,
т.. е. пластинка должна быть способна разрешить линии, расположенные на расстоянии 2 мкм.
Обычно разрешающая способность фотопластинок выражается в числе линий на 1 мм длины,
которые пластинка может разрешить. В рассмотренном случае требуемая разрешающая способ-
способность составляет 500 линий/мм. Желательно иметь пластинки с еще большей разрешающей
способностью. Для этого приходится использовать очень мелкие зерна галоидного серебра,
что уменьшает чувствительность пластинки. Поэтому пластинки с высокой разрешающей спо-
способностью обладают низкой чувствительностью и требуют больших времен экспозиции, до-
достигающих нескольких секунд при небольших мощностях лазеров. В течение времени экспози-
экспозиции необходимо обеспечить стационарность процесса экспозиции'и относительную неподвиж-
неподвижность приборов и предмета съемки с точностью до доли длины волны (обычно \/4). При исполь-
использовании импульсных лазеров большой мощности времена экспозиции могут быть уменьшены
до продолжительности импульса (миллисекунды и меньше). В этих условиях можно снимать
голограммы быстродвижущихся объектов.
Объемное воспроизведение предмета. Получаемое с помощью голограммы мнимое изобра-
изображение предмета наблюдается как его объемная фотография. Действительное изображение пред-
предмета представляет собой в определенном смысле объемное воспроизведение предмета с точ-
точностью до зеркального отражения. Предмет представляется висящим в воздухе, его можно
фотографировать и т. д. Таким образом, в принципе, можно осуществить пространственную
объемную реконструкцию обстановки, например создать иллюзию нахождения в комнате
предмета, которого в действительности там нет.
Толстослойные голограммы (метод Денисюка). В отличие от рассмотренных голограмм,
которые записываются на обычных фотопластинках с тонким слоем эмульсии, советский
ученый Ю. Н. Денискж (р. 1927 г.) предложил в 1962 г. метод толстослойных голограмм, в ко-
которых интерференционная картина дифрагированных лучей является не двухмерной, а трех-
трехмерной и захватывает всю толщину эмульсии.
Проанализируем толстослойную голограмму плоской волны, которую можно записать по
схеме, изображенной на рис. 197, но использовав вместо обычной фотопластинку с толстым
слоем эмульсии (рис. 204). Обозначим к и к0 волновые векторы сигнальной и опорной волн.
Аналогично C8.9) для квадрата модуля амплитуды напряженности поля можем записать
\Е\2= |?oe'ko r + Eieikt\2=E2)+E2 + 2E0Ei cos [(ко—к)-г]. C8.30)
Условие максимумов \е\2 записывается в виде
(ко—k)" r = 2nm (т = 0, ±1, ±2, ...). C8.31)
Уравнение C8.31) представляет собой систему плоскостей, перпендикулярных вектору ко—к
(рис. 205). Расстояние d между плоскостями удовлетворяет на основании C8.31) условию
|ко— кк = 2тг. C8.32)
Учитывая, что |к|=|ко|, получаем
|| C8.33)

256 Тогда [см. C8.32)]
d = X/[2sm(Q/2)].
C8.34)
В частности, при интерференции двух встречных волн F = я)
плоскости максимального почернения параллельны волновым
фронтам интерферирующих волн (рис. 206). Из C8.34) заклю-
заключаем, что расстояние между плоскостями d=X/2.
Условие Вульфа—Брэгга. От каждой плоскости максималь-
максимального почернения, в которой сосредоточен максимум плотно-
плотности восстановленного серебра, волны частично отражаются и
частично проходят через нее. Однако от системы параллельных
плоскостей отражение возможно лишь в том случае, если отра-
отраженные от соседних плоскостей волны усиливают друг друга
(см. § 29). Угол падения а, при котором происходит отражение
от системы параллельных плоскостей (рис. 207), аналогично
B9.4) и B9.5) определяется условием
Id cos a = rrik,
C8.35)
где угол преломления Gnp равен углу падения, а показатель
преломления вещества между отражающими поверхностями
равен единице. Равенство C8.35) называется условием Брэгга —
Вульфа Оно было независимо сформулировано У. Л. Брэггом
A890—1971) и русским кристаллографом Ю. В. Вульфом
A863—1925).
Получение голограммы и восстановление плоской волны.
На рис. 208 изображена голограмма плоской волны, волновой
вектор к которой образует с волновым вектором к0 опорной
волны угол л — р. Плоскости максимального почернения рас-
расположены перпендикулярно направлению вектора к о—к. Нор-
Нормаль к поверхностям составляет с вектором к угол 2р, расстоя-
расстояние между поверхностями в соответствии с B8.34) равно
d = X/{2 sin [(я — 2Р)/2]} = 1/B cos P).
Тогда [см. C8.35)]
[2X1 B cos P)] cos a^nik C8.36) или cos a = т cos p. C8.37)
Отсюда следует, что имеется только первый порядок отражения
(т = 1) и а = р. Следовательно,- отражается только волна с
волновым вектором к о, а отраженная волна- имеет волновой
вектор к. Другими словами, если голограмму плоской волны
записать с помощью опорной волны той же частоты, то, облу-
облучая голограмму опорной волной, восстановим плоскую волну,
информация о которой содержится в. голограмме.
Получение голограммы и восстановление сферической волны.
Сферическая волна на небольшом участке вдалеке от источника
может рассматриваться как плоская, поэтому, облучая толсто-
толстослойную фотопластинку и точечный объект А одной и той же
опорной волной с волновым вектором ко (рис. 209), получим
в толще эмульсии совокупность поверхностей максимального
почернения, расстояние между которыми удовлетворяет C8.34)
с 0=я — 2р. Из сказанного относительно равенства C8.37)
204
Запись голограммы плоской вол-
волны в толстослойной эмульсии
205
К определению поверхностей мак-
максимального почернения в толсто-
толстослойной эмульсии
.'
206
Пространственная картина интер-
интерференции в случае двух встречных
волн

\t I / ;f j л следует, что при облучении голограммы плоской волной с 257
\i& / / >г / волновым вектором ко полностью восстанавливается записан-
*j/ у / / ная на голограмме сферическая волна как результат отражения §38
"Ж vaj / ~7' ~Т плоской волны от дифракционной структуры, созданной в
d 'i|/ / / толще эмульсии; при записи голограммы.
vy
V
Получение голограммы и восстановление изображения про-
произвольного объекта. При облучении фотопластинки и объекта
одной и той же волной (рис. 210) каждая "точка объекта создает
в толще эмульсии дифракционную структуру, которая только
что была рассмотрена (см. рис. 209). Совокупность дифрак-
207 ционных структур всех точек объекта составляет голограмму
К выводу условия Вульфа — Брэг- объекта.
|а Восстановление изображения производится облучением го-
голограммы волной, совпадающей с опорной при записи голо-
голограммы (рис. 211). Изображение объекта — мнимое, располо-
расположенное в том месте, где находился реальный объект при записи
голограммы. Такое восстановление изображения имеет сущест-
существенный недостаток: восстанавливающая волна пространствен-
пространственно совпадает с восстановленной. Для устранения этого недо-
k статка можно облучать голограмму волной с волновым век-
^.^г\ Ш^-"*"'^ тором к,о, направленным под подходящим углом к поверхности
'\S^C0\ k°~k голограммы (рис. 212). Отраженная от дифракционной струк-
. У^-~^~ \ \ туры волна образуется под углом отражения, равным углу па-
\ \ дения. В результате восстановленная волна и восстанавливаю-
208 щая оказываются разделенными пространственно. Изображе-
Схема отражения плоской волны ние объекта — мнимое, а его положение зависит от угла, под
от толстослойной голограммы которым производится облучение голограммы.
Поскольку расстояние d между поверхностями максималь-
максимального почернения примерно равно Х/2, заключаем, что в C8.35)
га = It При восстановлении нет необходимости облучать голо-
голограмму монохроматическим светом. При облучении голо-
голограмм белым светом отразится лишь та волна, длина которой
удовлетворяет условию C8.35). Это упрощает восстановление
толстослойных голограмм и, кроме того, дает возможность
получить цветное изображение.
Толстослойная голограмма позволяет создать действитель-
действительное изображение предмета Для этого необходимо облучать
голограмму с той стороны (рис. 213), с которой находился
предмет при записи по схеме рис. 210. Как видно на рис. 213,
восстановленная волна является сходящейся и поэтому создает
действительное изображение предмета.
Цветное объемное изображение. Хорошо'известно, что любой
цвет может быть представлен как 'смесь трех независимых цве-
цветов, в качестве которых обычно можно взять, на пример,, крас-
красный, зеленый, синий. Цветное изображение получается в ре-
результате совмещения изображений в трех цветах.
209 Для получения цветного изображения при записи голо-
Запись толстослойной голограммы граммы предмет облучается волнами, соответстр ющими трем
точечного объекта (а) и восста- цветам, принятым за независимые. На голограмме записыва-
новление волны (б) ются три дифракционные структуры, соответствующие трем
9-289

258 волнам. Восстановление изображения осуществляется белым
—,— светом. В соответствии с C8.35) отражаются только волны с
7 частотами, использованными при записи голограммы, причем
их интенсивности соответствуют интёнсивностям волн при за-
записи. Это означает, что восстановленная с помощью белого
света волна несет в себе цветное объемное изображение пред-
предмета.
Качество изображения зависит от разрешающей способ-
способности фотоэмульсии, от характера искажений дифракционной
структуры, которые возникают из-за механических деформа-
деформаций эмульсии при проявлении и сушке, и других причин. В на-
настоящее время получают голограммы высокого качества
Особенности голограмм как носителей информации. На любой
участок голограммы попадает излучение от всех точек пред-
предмета. Это означает, что часть голограммы содержит о пред-
предмете всю информацию, которую содержит вся голограмма.
Если голограмму разделить на несколько частей, то каждая
часть позволяет восстановить полное изображение предмета.
Другими словами, часть голограммы содержит ту же информа-
информацию, что и целая голограмма Поэтому ухудшение качества
записи на отдельных участках голограммы (царапины, затер-
тости и т. д.) не ухудшают качества изображения. Запись инфор-
информации на голограмме осуществляется с большим запасом на-
надежности.
Объем информации, записанной на голограмме, несравни-
несравнимо больше объема, записанного на обычной фотографии.
Емкость в сочетании с надежностью делает голограмму весьма
перспективным носителем информации.
Применения голографии. Первоначальная задача гологра-
голографии заключалась в получении объемного изображения. С раз-
развитием голографии на толстослойных пластинках возникла
возможность создания объемных цветных фотографий. На этой
базе исследуются пути реализации голографического кино,
телевидения и т. д.
Из технологических применений наиболее значительно раз-
разработана голографическая интерферометрия. Восстановленная
по голограмме волна дает копию объекта в тот момент вре-
времени, когда записывалась голограмма. Если эту волну сравнить
с волной от объекта, восстановленной по голограмме и записан-
записанной в другой момент времени, то можно сделать заключение
об изменениях в объекте за время между моментами записи
голограмм. Поскольку голограмма фиксирует предмет с очень
большой точностью, такой метод позволяет изучать с боль-
большой точностью явления, которые влияют на голограмму,
например деформации, колебания и т. д. Метод называется
голографической интерферометрией. На голограмму влияют
не только пространственные перемещения частей предмета или
его перемещение в целом, но и условия отражения и преломле-
преломления света в предмете и другие факторы, приводящие к ампли-
амплитудно-фазовой модуляции света Поэтому посредством голо-
графической интерферометрии изучают также распределение
210
Запись толстослойной голограммы
произвольного объекта
211
Восстановление изображения про-
произвольного объекта
Чь.
212
Способ разведения восстанавли-
восстанавливающем и восстановленной воли
\
\.
213
Получение действительного изо-
изображения с помощью толстослой-
толстослойном голограммы

214
Схема пространственной фильтра-
фильтрации изображения для решения за-
задачи распознавания образов
2S9
§38
По физическому содержа-
содержанию голография является
реализацией принципа син-
синхронного детектирования,
давно известного в радио-
радиофизике, в видийои диапа-
диапазоне электромагнитных
волн. Для этого необходи-
необходимо иметь свет с высокой
степенью когерентности.
О Можно ли тонкослойные го-
голограммы восстановить с по-
помощью обычных, некогерен-
некогерентных источников света? Как
это можно сделать? Какие
изменения вносятся в изобра-
изображение, если голограмма вос-
восстанавливается излучением с
длиной волны, отличной от
той, с которой она записы-
записывалась?
Каким физическим фактором
обусловливается возмож-
возможность восстановления изобра-
изображения, записанного на тол-
толстослойной голограмме, с по-
помощью излучения со сплош-
сплошным спектром?
9*
напряжений в .теле, крутильные моменты, распределение
температур ит.д Голрграфия может применяться для обеспе-
обеспечения точности обработки деталей.
Это приводит часто к необходимости получить объемное
изображение предмета, которого еще не существует, и, следо-
следовательно, нельзя получить голограмму такого предмета опти-
оптическими методами. В этом случае голограмма рассчитывается
на ЭВМ (цифровая голограмма) и результаты расчета соот-
соответствующим образом переносятся на фотопластинку. С по-
полученной таким способом машинной голограммы объемное
изображение предмета восстанавливается обычным оптиче-
оптическим способом. Поверхность предмета, полученного по ма-
машинной голограмме, используется как эталон, с которым
методами голографической интерференции производится срав-
сравнение поверхности реального предмета, изготовляемого соот-
соответствующими инструментами. Голографическая интерферо-
интерферометрия позволяет произвести сравнение поверхности изготов-
изготовленного предмета и эталона с чрезвычайно большой точностью
до долей длины волны. Это дает возможность изготовлять
с такой же большой точностью очень сложные поверхности,
которые было бы невозможно изготовить без применения циф-
цифровой голографии и методов голографической интерферомет-
интерферометрии. Само собой разумеется, что для сравнения эталонной по-
поверхности с изготовляемой не обязательно восстанавливать
оптическим способом машинную голограмму. Можно снять
голограмму предмета, перевести ее на цифровой язык1 ЭВМ
и сравнить с цифровой голограммой. Оба эти пути в принципе
эквивалентны.
Особенности голограмм как носителей информации делают
весьма перспективными/ разработки по созданию голографи-
голографической памяти, которая характеризуется большим объемом,
надежностью, быстротой считывания и т. д.
Голограммы также могут эффективно использоваться для
решения различных задач, связанных с распознаванием обра-
образов. По своему физическомуk содержанию решение этой задачи
сводится к осуществлению пространственной фильтрации изоб-
изображений. На выходе линзы Lt (рис. 214) формируется плоская
волна, падающая на дифракционную, структуру S. На выходе
из S возникает сигнал, который требуется распознать. Пластин-
Пластинку с записью сигнала помещают в переднем фокусе линзы L2,

в заднем фокусе которой находится маска 5* для сигнала S. Маской называется дифракционная
структура, при прохождении через которую волна снЪва становится плоской. Соотношение
между записью на 5 и маской S* определяется тем обстоятельством, что линза переводит ди-
дифракционную картину из одной фокальной плоскости в другую посредством преобразования
Фурье (см. § 35). Поэтому маска S* должна ликвидировать преобразование Фурье от S, отсюда
её обозначение S*. В фокусе линзы Ьъ имеется приемник световой энергии. Если ^.является сиг-
сигналом для маски S*, то в фокусе концентрируется вся прошедшая через линзу энергия. Если
же S не представляет сигнала для S*, то на выходе из S* волна не плоская и, следовательно,
световая энергия, прошедшая линзу Lz, не сосредоточивается в фокусе, а распределяется по
фокальной плоскости. Следовательно, концентрация поступившей энергии в фокусе не будет
зафиксирована. Отсюда можно сделать заключение, что S не содержит сигнала, который ищется
с помощью маски S*. Таким образом, процедура распознавания заключается в «предъявлении»
в качестве S различных образов и выборе из них того, который соответствует образу, фиксиро-
фиксированному в маске S*.
Эта принципиальная схема может быть усовершенствована. Например, если сигнал подать
сразу на все маски, которым в принципе сигнал может соответствовать, то «отзовется» та маска,
которая соответствует сигналу. Благодаря* этому образ, заключенный в S, ' оказывается
«опознанным».
В принципиальной схеме (рис. 214) пространственной фильтрации для распознавания обра-
образов в качестве Sn S* могут быть и голограммы. Это расширяет возможности метода, потому
что информационная емкость голограмм значительно больше информационной емкости фо-
фотографий.

Основная идея:
электрические свойства
среды характеризуются
тензором
диэлектрической
проницаемости.
Переход к главным
осям тензора делает
анализ распространения
света в анизотропной
среде наглядным.
Распространение
света
в анизотропных
средах

§ 39 Описание анизотропных сред
Рассматривается метод описания анизотропной среды
с помощью тензора диэлектрической проницаемости
и осуществляется переход к главным осям тензора.
Источники анизотропии. Оптической анизотропией называется зависимость оптических свойств
среды от направления. Она обусловлена зависимостью диэлектрических или магнитных свойств
среды от направления. Полная анизотропия складывается из анизотропии свойств отдельных
атомов и из анизотропии их упорядочения в пространстве.
Описание анизотропной диэлектрической среды..Анизотропия диэлектрических свойств среды
означает, что зависимость поляризованности среды от напряженности электрического поля не
может характеризоваться только одной скалярной величиной — диэлектрической восприимчи-
восприимчивостью. В анизотропной среде проекции поляризованности связаны с проекциями напряжен-
напряженности электрического поля более сложными по сравнению с изотропной средой соотношениями:
Ру = еоге^х + eoaew?y + zo&yzEz, C9.1)
Pz =? eo&zxEx + еоае_у?у + еою„ Ег,
где Рх, Ру, Р: — проекции поляризованности, ео — диэлектрическая постоянная.
Совокупность величин аедх,sexy, ... называется тензором диэлектрической восприимчивости.
Для упрощения написания формул будем нумеровать оси X, У, Z соответственно индексами
1, 2, 3. Тогда формула C9.1) может быть записана в виде
Р, =ео2а^. C9.2)
Соотношение между вектором смещения D и поляризованностью Р:
C9.3)
справедливое как для изотропной, так и анизотропной сред, принимает для анизотропной среды
с учетом C9.2) .вид
Dt = EoEt + бо Z BtjEj = Z 6o (S,y Н-аву) Ej, C9.4)
где by — символ Кронекера. Это соотношение удобнее представить в форме
C9.5)
где.
6l7=eoEy +щ) C9.6)
— тензор диэлектрической проницаемости.
Плотность электрической энергии в среде выражается формулой
w = 72Е • D = 7i ? EtDt = Vi g EfrjEj, C9.7)
где для Di использовано представление C9.5). Изменяя обозначение индексов суммирования
(м—>j\ запишем C9.7) в виде .
w^^ifiEfcflE,. C9.8)
Электрические свойства анизотропной среды чшисываютс* сим-
симметричным тензором диэлектрической проницаемости.

Вычитая почленно C9.8) из C9.7), находим
215
Главные оси, относительно кото-
которых тензор диэлектрических про-
ницаемостей диагонален
216
Неколлннеарность векторов D и
? в анизотропной среде
О Какие существуют источники
анизотропии электрических
свойств среды?
Каким образом приводится
тензор к своим главным осям ?
Какая связь существует меж-
между вектором электрического
смещения и напряженностью
электрического поля в декар-
декартовой системе координат, оси
которой совпадают с глав-
главными осями тензора диэлек-
диэлектрической проницаемости?
Каким физическим фактором
определяется симметрич-
jHocfb тензора диэлектриче-
диэлектрической проницаемости?
T
Поскольку проекции Et независимы, заключаем, что
By — ел=0,
263
C9.9) —¦
§39
C9.10)
т. е. тензор Диэлектрической проницаемости является симме-
симметричным:
е.у=е,.. C9.11)
Тензор диэлектрической проницаемости. Поскольку плот-
плотность электрической энергии w положительна, стоящая в пра-
правой части C9.8) квадратичная форма является положительно
определенной. Для дальнейшего анализа удобно перейти к но-
новым переменным:
C9.12)
представив C9.8) равенством
I
= 1 .
C9.13)
Как известно из курса математики, квадратичная форма C9.13)
может быть приведена к виду
+ еуу2
р — 1
C9.14)
если соответствующим образом ориентировать оси координат.
В системе координат, в которой квадратичная форма C9.13)
принимает вид C9.14), тензор диэлектрической проницаемости
является диагональным:
/в, ON
40 ej
C9.15)
Уравнение C9.14) описывает эллипсоид, главные оси которого
1/ >Л?, 1/ >/ё^ I/ у[Ё7(рпс. 215). оси х, Y, Z называют главны-
главными осями тензора диэлектрических проницаемостей. Уравне-
Уравнения C9.5), отнесенные к Главным осям, принимают вид:
Dx = exEx, Dy=zyEy, D;=ezE2. C9.16)
Поскольку, вообще говоря, ехфеуфег, векторы D и Е не колли-
неарны (рис. 216).
Анизотропия магнитных свойств среды описывается ана-
аналогично с помощью тензора магнитной восприимчивости.
В дальнейшем будем считать среду немагнитной и ограничимся
описанием анизотропии электрических свойств, поскольку имен-
именно этот случай реализуется в большинстве задач кристаллооп-
кристаллооптики. Магнитная анизотропия играет существенную роль при
распространении света в прозрачных ферритах и раде других
сред.

264
8
40 Распространение плоской электромагнитной волны
в анизотропной среде
Описываются типы волн и их свойства
в анизотропной среде.
Плоская электромагнитная волна в анизотропной среда Аналогично B.50) и B.51) векторы поля
плоской электромагнитной волны представляются-в виде
Е = Eoe-'<(Df-k-r\ i>= Doe-'<°"-kr\ R = Boe-«m'-k-'>, H = ное-'<ю'-¦<•'>. D0.1)
Подставляя D0.1) в уравнения Максвелла B.1) — B.5) и используя B.45) и правила действия
оператора V B.52), получаем уравнения
—kxH = wD, (а) кхЕ = шц0Н, (б) kD = 0, (в) кН = 0. (г) D0.2)
Волновой вектор к перпендикулярен поверхности одинаковой фазы, т. е. показывает направ-
направление распространения волнового фронта^ Фазовая, скорость v волны имеет направление по
этому вектору, которое принимается за направление распространения волны и характеризуется
единичным вектором п=к/к. Из, D0.2 в, г) видно, что волна распространяется перпендику-
перпендикулярно D и Н. Выражение C.1) для вектора Пойнтинга показывает, что поток энергии направлен
перпендикулярно Е и Н Направление потока энергии в волне называется лучом. Оно, вообще
говоря, не совпадает с направлением движения волны обозначим единичный вектор в направ-
направлении луча.т=8/5'. Как было отмечено в § 15, энергия электромагнитной волны движется с
групповой скоростью. Поэтому можно сказать, что групповая скорость vr волны совпадает по
направлению с т.
Поскольку в анизотропной среде векторы Е и D не коллинеарны, направления распростра-
распространения волны и луча не совпадают и, следовательно, групповая и фазовая скорости не совпадают
по направлению. В этом состоит первая важная особенность распространения электромагнит-
электромагнитной волны в анизотропной среде. Вторая важная особенность состоит в том, что скорость
электромагнитных волн зависит от направления их распространения и поляризации.
Из D0.2) и C.1) видно, что пит перпендикулярны Н; Е и D также перпендикулярны Н и,
кроме трго, пит перпендикулярны соответственно D и Е. Это означает, что D, E, n, * лежат
в одной и той же плоскости, перпендикулярной Н (рис. 217). Угол между D и Е равен углу между
пит.
Зависимость фазовой скорости от направлений распространения волны и колебаний вектора D.
Рассмотрим волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Z, которая явля-
является одной из главных осей тензора еу диэлектрической проницаемости (рис. 215). Считаем, что
вектор электрического смещения Околлинеарен оси X(DX?Q, Dy = 0, Dz =0) и, следовательно,
вектор Н коллинеарен оси Y. На основании C9.16) имеем Ех = Ьх/ех, Еу = Ег =0. Уравнения
D0.2 а,-б) принимают вид.
kHy = G>Dx, (а) кЕх^(й11оНу. (б) D0.3)
Перемножая между собой соответственно левые и правые части равенств D0.3 а, б), получаем
к2ЕхНу = (u2\ioExExHy, D0.4)
где Dx = ехЕх. Отсюда
к2 = ю2ехцо D0.5)
и, следовательно, фазовая скорость
В анидотропной среде в заданном направлении могут распростра-
распространяться лишь две волны с взаимно перпендикулярными линейными
поляризациями и различными скоростями.

217
Взаимное расположение векторов
плоской волны в анизотропией
среде
218
К графическому определению кор-
корней уравнения Френеля
VX = Cfl/fc = 1/ .
где индекс х у фазовой скорости означает, что она является
скоростью волны, векторы D и Е которой коллинеарны оси X.
Если' векторы D и Е волны коллинеарны оси У, то аналогично
D0.6) получаем
D0.7)
Поскольку, вообще говоря, гхфЕу, заключаем, что фазовая
скорость волны различна для этих двух направлений .колеба-
.колебаний вектора Е. Отсюда следует, что в направлении оси Z могут
распространяться лишь волны, векторы D и Е которых колеб-
колеблются параллельно либо оси X, либо оси У.
Уравнение Френеля. Аналогичные заключения могут быть
сделаны и-относительно волн, распространяющихся в направ-
направлении осей X и У. Для того чтобы изучить поведение волн^
распространяющихся в произвольном направлении, необхо-
необходимо вместо уравнений D0.3 а, б), которые являются частным
случаем уравнений D0.2 &, б), проанализировать общий случай.
Подставляя выражение для Н из D0.26) в уравнение D0.2а)
и пользуясь формулой разложения двойного векторного про-
произведения, находим
п(п-Е) — E+\iov2D = 0,
D0.8)
где v = о/к. Все дальнейшие вычисления* удобно вести в пря-
прямоугольной декартовой системе координат, оси которой сов-
совпадают с главными осями тензора диэлектрической проницае-
проницаемости, когда Dj =?tEi. В этой системе координат уравнение
D0.8) записывается в виде трех скалярных уравнений:
П Е) — ?, A — v \XoSi) =0 (i = 1, 2, 3). D0.9)
Пусть вектор Е направлен по одной из главных осей тензора
диэлектрической проницаемости, например X. Тогда D\ = ei.fr,
?>2 = /K = 0, Ег — Еъ— 0. Ясно, что в этом случае векторы х-
и п совпадают и лежат в плоскости Х2ХЪ (напомним, что
ХХ~Х, Х2= У, Дз=2Г)- Уравнения D0.9) сводятся к одному:
Et A — yf|XoEi) = 0, D0.10)
где фазовая скорость обозначена индексом 1, соответствующим
волне, у которой векторы Е и Е «.оллинеарны оси X. Поскольку
О, из D0.10) заключаем, что
D0.11)
Этот частный случай совпадает с тем, который был в качестве
простейшего примера рассмотрен, исходя из уравнений
D0.3 а, б), а формула D0.11) совпадает с D0.6). Аналогичны
формулы и для осей Х2 и Х3:
265
§40

v, = 1/ ч/ё^ (,• = 2, 3). D0.12)
Можно сказать, что vt есть фазовая скорость волны, соответствующая оси Xt. Однако отметим,
что она не является проекцией фазовой скорости волны на ось Xt, а характеризует фазовую ско-
скорость волны, векторы Е и D которой коллинеарны оси Хх. Скорости и, называют главными ско-
скоростями распространения волны. С учетом D0.12) уравнения D0.9) могут быть представлены
в виде.
и,(пЕ) — Et{\ — v2/vf) = 0. D0.13)
Умножая обе части D0.13) на п,/(\ — v2/v2) и суммируя по i, получаем равенство
—1=0, D0.14)
в котором произведено сокращение на множитель Ел,-2Г; = п • Е. Поскольку Ей? = 1, уравнение
D0.14) после приведения к общему знаменателю и деления на v2 ф0 принимает вид
„2
vf — v2
D0.15)
Формула D0.15) называется уравнением Френеля, позволяющим найти фазовую скорость в
направлении, характеризуемом направляющими косинусами п\, т, из. Отметим, что величины
vt в этом уравнении не являются проекциями вектора nv на ось координат, т. е. nt v fi vt. Решение
уравнения D0.15) дает фазовую скорость v как функцию п{ и vt.
Фазовую скорость v удобно выразить в виде функции От направления вектора D. Пусть
d = D/D — единичный вектор в направлении D..Умножая скалярно o6ei части D0.8) на D, по-
получаем
2=0, D0.16)
или
v2 = (l/?>2) Z vfDj, D0Л7)
¦ у
где tiE2l\io = v2D2. Поскольку di=DifD, равенство D0.17) принимает вид
t;2=I</V, D0.18)
т. е. фазовая скорость полностью определяется направлением вектора D.
Типы возможных волн. Уравнение D0.15) будет удовлетворено, если в его левой части име-
имеются члены с различными знаками. Поэтому v2 не может быть ни больше, ни меньше всех uj.
Для нахождения корней уравнения D0.15) построим график функции
Этот график представлен на рис. 218. Вертикальные пунктирные линии проведены через точки irj.
На рисунке видно, что имеются два действительных значения v2, удовлетворяющих уравнению
D0.15). Это означает, что в заданном направлении могут распространяться волны с двумя1 раз-
различными фазовыми скоростями v' и v", заключенными между наименьшей и средней, средней ¦
О В каких случаях векторы электрического смещения и напряженности
•лектрического поля долны в анизотропной среде совпадают? Почему
¦ общей случае в анизотропной среде нормаль к поверхности волнового
фронта не совпадает с направлением потока энергии волны? Когда они
совпадают?

и наибольшей из скоростей vt. Докажем, что векторы D' и D" этих волн взаимно перпендику- ^67
лярны. Для этого умножим соотношение D0.8) для D' и Е' скалярно на D" и вычтем из него —"
почленно это же соотношение для D", Е", умноженное скалярно на D'. В результате получаем §41
(D'-E" — D"-E') — \io(v'2 — »)D'-D" =0. D0.20)
Учтем, что
D' E" = X гцЦЕ{ = Ъг»Е\'Е\ = D" Е'. D0.21)
'*] 'tj
Заключенная в первые скобки разность в D0.20) равна нулю, а разность v'2 — v не равна
нулю и поэтому
D' D" =0,
D0.22)
т. е. векторы D двух волн, распространяющихся в данном направлении, взаимно перпендику-
перпендикулярны. Отсюда следует, что для каждого направления в перпендикулярной ему плоскости су-
существуют два взаимно перпендикулярных направления, коллинеарно которым могут колебаться
векторы D. Фазовые скорости соответствующих волн различны. Других волн, которые распро-
распространялись бы в том же направлении, но имели другое направление колебаний вектора D, не
существует.
§ 41
Ход лучей в анизотропной среде
С помощью лучевого эллипсоида анализируется ход лучей в ани-
анизотропной среде и дается определение одноосных и двуосных
кристаллов.
Зависимость лучевой скорости от направления. Все результаты о направлении движения
фронта волны и фазовой скорости были получены при анализе уравнений D0.2), в которые
входят волновой вектор к и частота со, характеризующие фазовую скорость, и нормаль п к по-
поверхности фронта волны. Чтобы проанализировать вопрос о лучах света и групповой скорости
уг, необходимо эти уравнения преобразовать так, чтобы в формулы вошли т и vr. Для нахожде-
нахождения групповой скорости vr 'заметим, что фронт волны распространяется в направлении n , a
энергия — в направлении т. Поэтому «фронт потока энергии» расположен перпендикулярно т.
Отсюда заключаем (см.'рис. 217), что групповая и фазовая скорости света в анизотропной среде
связаны между собой соотношением
vr = v cos ОСт) = у(п-с), D1.1)
где (пГт) — угол между пит.
Умножая уравнения D0.2 а, б) слева векторно на т, получаем
(xk)H = coxxD, (а) (тк)Е = — соцотх Н. (б) D1.2)
Вычисляя выражение для Н из D1.2а) и подставляя его в D1.26), находим
(тк)Е = —coVoWtD) —D]/(xk). D1.3)
Принимая во внимание, что k=nfc, v = w/k, vr = v(nx), уравнение D1.3) перепишем в" виде
x(tD) — D +[1/0ю»2г)]Е = 0. D1.4)
Оно подобно уравнению D0.8), если в последнем произвести замены п-»т, E-»D, D-»E,
цоу2 -* 1/(цоУг)- Поэтому все результаты, полученные на основании D0,8) для волн, могут быть
переформулированы для лучей с учетом указанной замены величин.
Пусть вектор Е направлен вдоль любой из главных осей тензора диэлектрической проницае-
проницаемости (например, оси X). Поскольку в этом случае D параллельно Е, получим для vT, выраже-

268 ние совпадающие с D0.10), т.е. главные групповые скорости'
совпадают с главными фазовыми скоростями [см. D0.12)].
8 Следовательно, их можно обозначить не vri, a vt. Вместо D0.13)
получаем
Tt(rD) + A(l-«) = 0. D1.5)
Уравнение Френеля D0.15) принимает для лучевых скоростей
вид
D1.6)
Если единичный вектор в направлении Е обозначить \ = Е/Е,
то уравнение, соответствующее D0.18), для лучевой скорости
будет иметь вид
1/г? «Г/f/»?. D1.7)
i
Докажем, что скорость в направлении луча является дей-
действительно групповой. В уравнение D0.15) подставим v—mjk,
тогда
Xnf/(G>2—v?k2)=Q. D1.8)
Рассматривая D1.8) как уравнение, которое в неявном виде
определяет co = co(fc), и вычисляя из него vri = d(u/dkh можно
убедиться, что эта скорости удовлетворяют уравнению D1.6).
Таким образом, входящие в D1.6) скорости действительно
групповые.
Две волны, распространяющиеся в данном направлении
с двумя различными групповыми скоростями, имеют взаимно
перпендикулярные направления поляризации
Е'-Е" =0,
D1.9)
что доказывается аналогично выводу формулы D0.22).
Эллипсоид лучевых скоростей. Произведем в уравнении
C9.14) замену переменных:
хг
в результате имеем
D1.10)
l, D1.11)
где vi = 1/ л/ефо , v2 - 1/ л/ёгЦо , уз — 1/ ^/езцо . Уравне-
Уравнением D1.11) описывается эллипсоид • (рис. 219), идентичный
эллипсоиду (см. рис. 215), описываемому уравнением C9.14),
но в других nepeMeifflbix. Эллипсоид, точки поверхности которо-
которого удовлетворяют уравнению D1.11), называется эллипсоидом
лучевых скоростей [хг в D1.11) имеют размерность скорости].
Анализ хода лучей с помощью эллипсоида лучевых скоростей.
Решение уравнений D1.5) и D1.6) может быть выполнено с по-
помощью геометрического построения, базирующегося на эллип-
219
Эллипсоид- лучевых скоростей
220
К анализу хода лучей света с по-
помощью эллипсоида лучевых ско-
скоростей
221
.Эллипсоид лучевых скоростей дву-
осного кристалла (АА' и ВВ'—
оптические оси)
222
Эллипсоид лучевых скоростей од-
одноосного кристалла (АА'.— опти-
оптическая ось).

соиде лучевых скоростей (рис. 220), уравнение которого
223
Эллипсоид лучевых скоростей оп-
оптически изотропной среды
х2
224
Сечения лучевой поверхности пло-
плоскостью ^3 = 0 прп «з < «1 < v2
225
Сечения лучевой поверхности пло-
плоскостью ЛГз = 0 при, i>j < 1>з < D2
(с
vAvA о
х2
—-*.
——
*
\
У)
У
\ъ
x2/v2x+y2/v2y+z2/v2z = l,
D1,12)
226
Сечепня лучевой поверхности пло-
плоскостью Хз — 0 npiiDi < «2 < «з
где vx, vy, v, главные лучевые скорости.
Направление луча задается единичным вектором т.
центр лучевого эллипсоида проведем плоскость, перпендику-.
лярную т. В сечении эллипсоида атой плоскостью образуется
эллипс (рис. 220), главные полуоси которого vi, vi. Вектор Е
световой волны, распространяющейся по лучу, может коле-
колебаться только параллельно главным осям этого t эллипса,
соответствующие групповые (лучевые) скорости равны длинам
его главных полуосей v\ и vi. Таким образом, в произвольном
направлении х возможно распространение лишь двух линейно
поляризованных волн с различными лучевыми (групповыми)
скоростями. Если сечение эллипсоида вырождается в окруж-
окружность, то v\ = vi и поэтому любой радиус окружности является
главной полуосью. В этом случае вектор Е может колебаться
в любом направление, перпендикулярном т.
Оптическая ось. Е направлении, перпендикулярном плоско-
плоскости кругового сечения эллипсоида лучевых скоростей, всем
лучам соответствует одна и та же лучевая скорость, а векторы Е
волн могут колебаться в любом направлении плоскости круго-
кругового сечения. Это означает, что для этих лучей анизотропия
среды не проявляется и среда ведет себя как изотропная. j^a_
правлеше, перпендикулярное круговому сечению, называется
оптической осью анизотропной среды.
Двуосные и одноосные кристаллы. В аналитической геомет-
геометрии доказывается, что эллипсоид с тремя различными по зна-
значению главными осями имеет два круговых сечения (рис. 221).
Это означает, что если у эллипсоида лучевых скоростей все
главные скорости vx, vy, vz различны, то соответствующая среда
имеет две оптические -оси: А А' и ВВ'. Обычно анизотропия
наблюдается в кристаллах, поэтому говорят об оптических
осях кристалла. Кристаллы с двумя оптическими осями назы-
называются двуосНЫМИ.
Если у эллипсоида лучевых скоростей две главные скорости
равны между собой, то он является эллипсоидом вращения
вокруг третьей оси. В этом случае имеется только одна опти-
оптическая ось, совпадающая с осью вращения (т. е. с третьей
главной осью эллипсоида). Такие кристаллы называются одно_
осными (Рис- 222>-
Если у эллипсоида лучевых скоростей все главные скорости
равны, то он превращается в сферу. в этом случае Все направ-
направления эквивалентны и соответствующий кристалл оптически
изотропен (Рис- 223) •
Эллипсоид волновых нормалей. Вместо лучей можно рас-
рассматривать распространение волн, движение которых харак-
характеризуется единичным вектором п, нормальным к поверхности
волнового фронта. При. анализе хода лучей используются век-

торы Е и Н, перпендикулярные направлению луча т. Анализ
распространения волн проводится с помощью векторов D и Н,
перпендикулярных вектору п. Вместо эллипсоида лучевых ско-
скоростей необходимо пользоваться эллипсоидом волновых нор-
нормалей, уравнение для которого получается из квадратичной
формы C9.8) аналогично тому, как был получен эллипсоид
лучевых скоростей. В формуле C9.14) величины (х, у, z) в соот-
соответствии с C9.12) пропорциональны Ех, Еу, Ег. Чтобы в качест-
качестве независимых переменных взять Dx, Dy, Dz, необходимо за-
, менить х -* х/?х, у -* у/?у, z -*¦ z/ez. В результате вместо C9.14)
имеем
x2fex +y2f&, + z2/ez = 1. D1.13)
Аналогично тому, как из C9.14) было получено уравнение
эллипсоида лучевых скоростей D1.1-2), из D1.13) находим ро от-
отношение
v2z2 = 1, D1.14)
v2yy2
которое называется уравнением -эллипсоида волновых норма-
нормалей. Значения скоростей vx, vy, v. здесь такие же, как и в C9.14).
Для того чтобы с помощью этого эллипсоида анализировать
распространение волн, удобно представить его в виде
OKJ (l/vyJ A/^
¦= 1.
D1.15)
Анализ распространения волн проводится аналогично ана-
анализу хода лучей, надо лишь вместо эллипсоида лучевых скоро-
скоростей пользоваться эллипсоидом волновых нормалей. 'Направ-
'Направление распространения волны задается вектором п. Находится
сечение эллипсоида D1.15) плоскостью, перпендикулярной п
и проходящей через центр эллипсоида. Колебания вектора 1>
возможны лишь в направлениях, параллельных главным осям
эллипса в сечении эллипсоида. Фазовые скорости волн обратно
пропорциональны длинам соответствующих главных осей эл-
эллипса. Однако для анализа распространения света в анизотроп-
анизотропных средах удобнее- пользоваться понятием лучевой поверх-
поверхности, а не поверхности волнового фронта.
Лучевая поверхность. Лучи в анизотропйой среде можно
также рассматривать и без эллипсоида лучевых скоростей,
непосредственно с, помощью уравнения Френеля D1.6). Для
этого перейдем к новым переменным
г = туг, п — Xi ==xtvT, D1.16)
в которых уравнение D1.6) имеет вид
? x2v2/(r2 — cf) = 0. D1-17)
i
Поверхность четвертого порядка, определяемая уравнением
D1.17), называется лучевой. Расстояние г от начала координат
до соответствующей точки поверхности пропорционально лу-
лучевой скорости в направлении т. В каждом направлении луче-
227
Сечения лучевой поверхности од-
одноосного кристалла при гз > vi —
Лучевой эллипсоид дает
полное решение юдачи о
распространении лучей
света в аниютропной сре-
среде. Для этой цели можно
также полыоваться эллип-
эллипсоидом волновых норналей
и лучевой поверхностью.

228
Сечения лучевой поверхности од-
одноосного кристалла при 1>з < t'i .=
О Что такое оптическая ось?
Сколько оптических осей мо-
может существовать в кристал-
кристалле? Что такое одноосные и
двуосные кристаллы?
Опишите метод анализа рас-
распространения лучей в анизо-
анизотропной среде с помощью
лучевого эллипсоида.
вая поверхность встречается два раза, что соответствует нали-
наличию двух скоростей распространения света в каждом направ-
направлении.
Рассмотрим сечение лучевой поверхности координатными
плоскостями, например плоскостью хз = 0. При этом условии
уравнение D1.17) распадается на два:
| = 0 (г2=х2+х$), (а)
(б) D1.18)
271
§41
— vl '= х2 + х\ — vl = 0.
Первое уравнение после элементарных преобразований прини-
принимает вид
xl/vl+xl/v2 = 1, D1.19)
Таким образом, лучевая поверхность пересекает коорди-
координатные плоскости по эллипсу D1.19) и окружности D1.186).
Их взаимное расположение определяется соотношением ско-
скоростей vi, V2, уз.; При V3 <v\ < V2 сечения имеют вид, показан-
показанный на рис. 224. Если vj, <vz<v\, то эллипс вытянут вдоль
оси Аг. Сечения при v\ < V3 < vz показаны на рис. 225. В случае
V2 <V3 <v\ эллипс вытягивается вдоль оси Xz. При v\ < v2'< Уз
картина сечений изображена на рис. 226. При V2 < vi < Уз
эллипс вытягивается вдоль оси Х2.
Нетрудно видеть, что окружность описывает скорости того
луча, электрический вектор которого колеблется параллель-;
но главной оси, перпендикулярной рассматриваемой плоско-
плоскости, в данном случае главной оси Хз, т. е. электрический вектор
колеблется перпендикулярно плоскости рисунка. Электриче-
Электрический вектор луча, описываемого эллипсом, колеблется в
плоскости рисунка, в данном случае в плоскости Х\Хг. На
рис. 224—226 изображены возможные сечения лучевой поверх-
поверхности координатными поверхностями при неравных vi, V2, V3.
Поскольку оптическая ось определяется равенством скоростей
для обоих лучей в направлении оси, она может быть найдена
построением, указанным на рис. 225, где оптические оси изобра-
изображены пунктирными линиями. При неравных v\, V2, V3 кристалл
имеет две оптические оси.
У одноосного кристалла две оси эллипсоида лучевых ско-
скоростей равны между собой. Положим vi = V2. Тогда при из >v\ —
= vi эллипсоид лучевых скоростей сплюснут вдоль оси Хз,
при уз < ^1 =»2 — вытянут. Сечения лучевой поверхности коор-
координатными плоскостями в этих случаях изображены на рис. 227,
228. Оптическая ось совпадает с главной осью лучевого эллип-
эллипсоида. Кристаллы, для которых уз < vi = V2, называют поло-
положительными, а для которых v3 > v 1 —V2 — отрицательными.
Лучевые поверхности можно построить также и не прибегая
к решению уравнения {41.17), а исходя непосредственно из эллип-
эллипсоида лучевых скоростей. Для этого из центра эллипсоида в
каждом направлении откладывают два отрезка, равные глав-
главным осям эллипсов в сечениях эллипсоида, перпендикулярных
соответствующим направлениям. Эти отрезки равны лучевым

272 скоростям. Концы отрезков лежат на лучевой поверхности.
Такой "метод, основанный на эллипсоиде лучевых скоростей,
8 нагляден и более предпочтителен при качественном анализе
лучевых поверхностей. Для количественных расчетов более це-
целесообразно использовать уравнение D1.17).
§ 42
Двойное лучепреломление
С помощью лучевых поверхностей рассматриваются двойное
лучепреломление и обусловленные им явления.
Обыкновенный и необыкновенный лучи. Через луч, направ-
направленный под углом к оптической оси (рис. 229), и оптическую ось
можно провести плоскость, называемую главной (на рис. 129
она совпадает с плоскостью чертежа). Ясно, что у луча, вектор
Ео которого направлен перпендикулярно главной плоскости,
скорость не зависит от направления и равна лучевой ско-
скорости, направленной коллинсарно оптической оси. Этот луч
называется обыкновенным; величины, относящиеся к нему,
обозначаются с индексом о, его скорость v0, показатель прелом-
преломления «о = ф0. У луча, вектор Ее которого (рис. 229) лежит
в главной плоскости, 'скорость зависит от направления, посколь-
поскольку соответствующая главная ось эллипса в сечении эллипсоида
изменяется с изменением направления луча. Этот луч называ-
называется необыкновенным; относящиеся к'нему, величины обозна-
обозначают с индексом е. Его скорость ve, а показатель преломления пе.
У отрицательных кристаллов i;0 < ve, у положительных —
,;0 > Vp (см. § 41). Соотношение главных осей эллипсоида луче-
лучевых скоростей у отрицательного кристалла показано на рис. 229,
а у положительного — на рис. 230. Сечения лучевых поверхно-
поверхностей отрицательных кристаллов показаны на рис. 227, а поло-
положительных— на рис. 228.
Сущность двойного лучепреломления. Поскольку внутри
кристалла возможно распространение лишь двух лучей с раз-
различными лучевыми скоростями, преломление луча на поверх-
поверхности кристалла приводит к возникновению двух лучей внутри
кристалла. Разделение луча, входящего в кристалл, на два на-
называется двойным лучепреломлением.
Двойное лучепреломление было открыто в 1669 г. Э. Бар-
толинусом A625—1698). Оно впервые было объяснено X. Гюй-
Гюйгенсом о помощью представления об эллиптической вторич-
вторичной волне
Построение Гюйгенса. Двойное лучепреломление анализи-
анализируется с помощью построения, предложенного Гюйгенсом.
Оно является обобщением построения Гюйгенса для изотроп-
изотропных сред, с помощью которого выводится закон Снеллиуса
(рис. 231) и производится с помощью лучевых (не волновых))
229
Обыкновенный и необыкновенный
лучи в отрицательном кристалле
Обыкновенный и необыкновенный
лучи в положительном кристалле
231
Построение Гюйгенса для изотроп-
изотропных сред

232
Построение Гюйгенса' для поло-
:хительпого кристалла при произ-
произвольном угле между оптической
осью и поверхностью кристалла
233
Двойное лучепреломление^ на по-
поверхности отрицательного кри-
кристалла, когда оптическая ось пер-
перпендикулярна поверхности
(е)
(о)
234
Двойное лучепреломление на по-
поверхности положительного кри-
кристалла, когда оптическая ось пер-
перпендикулярна поверхности
поверхностей. Построение Гюйгенса для положительного крис-
кристалла, оптическая ось которого направлена под произвольным
углом к поверхности кристалла, изображено на рис. 232. Отре-
Отрезок АВ принимается за единицу. Точка О принимается за центр
сечения лучевой поверхности. Радиус окружности сечения для
обыкновенного луча равен \/п0, а эллиптическое сечение для
необыкновенного луча чертится так, чтобы расстояние от центра
до точки эллипса было равно 1/пе = ve/c. После этого из В про-
проводятся касательные к окружности и эллипсу. Прямые, прове-
проведенные через точку О и точки касания, являются искомыми лу-
лучами: обыкновенный проходит через точку касания на окруж-
окружности, а необыкновенный — на эллипсе.
На рис. 232 изображена наиболее простая ситуация, когда
входящий в кристалл луч лежит в главной плоскости кристалла.
Благодаря этому все построение.Гюйгенса удается выполнить
в плоскости чертежа Если входящий в кристалл луч не лежит
в главной плоскости, то построение Гюйгенса становится про-
пространственным. В этом случае необходимо строить эллипсоиды,
сферы и плоскости, но принцип нахождения преломленных лу-
лучей при этом не изменяется: преломленные лучи из точки О
проходят через точки касания эллипсоида и сферы с соответ-
соответствующими плоскостями.
Рассмотрим различные характерные случаи двойного луче-
лучепреломления.
Оптическая ось перпендикулярна поверхности кристалла.
При нормальном падении луч направлен параллельно оптиче-
оптической оси и, следовательно, распространяется, как в изотропной
среде, — двойного лучепреломления нет. При падении луча
под углом к поверхности кристалла наблюдается двойное луче-
лучепреломление, характер которого зависит от типа кристалла.
В отрицательном кристалле (рис. 233) обыкновенный луч пре-
преломляется сильнее необыкновенного. Точки и стрелки на этом
рисунке показывают направление колебаний электрического
вектора волны, в положительном кристалле (рис. 234) сильнее
преломляется необыкновенный луч.
Оптическая ось параллельна поверхности кристалла. При па-
падении луча по нормали (рис. 235) в кристалле без пространст-
пространственного разделения образуются два луча: в обыкновенном
луче вектор Е перпендикулярен оптической оси (на рис. 235
это направление обозначено точками), а в необыкновенном —
параллелен (обозначено стрелками), при выходе из пластины
кристалла лучи приобретают разность фаз и в результате супер-
суперпозиции образуют эллиптически поляризованную волну
(см. § 43). Если падающий свет естественный, то на выходе обра-
образуются эллиптически поляризованные волны со всевозможны-
всевозможными ориентациями эллипсов и соотношениями их осей. Этот
свет по своим свойствам является также естественным.
При падении под углом к поверхности кристалла особенно-
особенности двойного лучепреломления зависят от угла между плоско-
плоскостью падения и главной плоскостью. Если плоскость падения
273
§42

274 и главная плоскость совпадают (рис. 236), то обыкновенный
и необыкновенный лучи лежат в той же плоскости. На рис. 236
8 изображено двойное лучепреломление для отрицательного
кристалла Построение Гюйгенса для положительного кристал-
кристалла аналогично.
Если плоскость падения перпендикулярна оптической оси
(рис. 237), то обыкновенный и необыкновенный лучи находятся
в плоскости падения, но показатель преломления для обоих лу-
лучей не зависит от направления. На рис. 237 оптическая ось пер-
перпендикулярна плоскости рисунка.
Если плоскость падения пересекает оптическую ось под уг-
углом, отличным от я/2, то картина двойного лучепреломления
усложняется, поскольку в этом случае необходимо выполнить
пространственное построение Гюйгенса На рис. 238 показано
сечение лучевых поверхностей на поверхности кристалла, ко-
которое совпадает с плоскостью рисунка Стрелкой, оканчиваю-
оканчивающейся в точке О, показана проекция падающего луча на поверх-
поверхности кристалла, а пунктирными стрелками, оканчивающимися
на' окружности и эллипсе, — проекции- обыкновенного и необы-
необыкновенного лучей на поверхность кристалла. Основное заклю-
заключение состоит в том, что обыкновенный луч лежит в плоскости
падения, а необыкновенный — выходит из нее. Для получения
более детальной наглядной информации необходимо построить
пространственную модель.
Оптическая ось под углом к поверхности кристалла. Наиболее
простой случай, когда плоскость падения совпадает с главной
плоскостью, показан на рис. 232 в связи с объяснением сущности
построения Гюйгенса При нормальном падении (рис. 239)
обыкновенный луч сохраняет направление падающего, а не-
необыкновенный меняет направление, в результате чего лучи
расходятся.
Если плоскость падения не совпадает с главной плоскостью,
то картина двойного лучепреломления усложняется, поскольку
для ее анализа необходимо использовать пространственное по-
построение Гюйгенса.
Закон Малюса. При анализе нормального падения луча на
пластинку, вырезанную из кристалла параллельно оптической
оси. (рис. 235), необходимо прежде всего определить амплитуды
колебаний в обыкновенном и необыкновенном лучах. Ответ на
этот • вопрос дается законом Малюса Если р — угол между
линией колебаний вектора Е и оптической осью (рис. 240), J —
интенсивность падающего луча, то интенсивности обыкновен-
обыкновенного и необыкновенного лучей
235
Двойное лучепреломление при нор-
нормальном палении на поверхности
кристалла, когда оптическая ось
параллельна поверхности
236
Двойное лучепреломление на по-
поверхности отрицательного кри-
кристалла, когда оптическая ось па-
параллельна поверхности, а плос-
плоскость падения совпадает с главной
плоскостью
237
Двойное лучепреломление, когда
плоскость падения перпендикуляр-
перпендикулярна оптической оси
Je=Jcos2 p.
D2.1)
Это означает, что электрический вектор Е падающей волны
можно представить как сумму составляющих, перпендикуляр-
перпендикулярных и параллельных оптической оси, которые являются элек-
электрическими векторами- обыкновенной и необыкновенной волн.
В обыкновенном луче век-
вектор напряженности элек-
электрического поля волны
перпендикулярен главной
плоскости, в необыкновен-
необыкновенном — лежит в главной
плоскости.

23»
Проекция лучей «на поверхность
кристалла, когда оптическая ось
«е перпендикулярна плоскости на-
деиш.
(е)
(о)
(е) (о)
23У
Двойное-лучепреломление при нор-
нормальном падении, когда оптиче-
оптическая ось кристалла пе параллельна
его поверхности
Еп
240
Истолкование закона Малюса
22°
68*
.48°
241
Призма Ннколн
Поляризация при двойном лучепреломлении. Поскольку обы-
обыкновенный и необыкновенный лучи обладают линейной поля-
поляризацией во взаимно перпендикулярных плоскостях, двойное
лучепреломление может быть использовано для получения
поляризованных лучей. Для этого необходимо развести друг от
друга пространственно обыкновенный и необыкновенный лучи
или ликвидировать один из них путем сильного поглощения.
Поляроид. Если на выходе из кристаллической пластинки
(см. рис. 235) один из лучей сильно ослабляется в результате по-
поглощения, то из пластинки выходит линейно поляризованный
свет. Такая пластинка называется поляроидом. Хорошим поля-
поляроидом являются кристаллы турмалина. Уже при толщине
кристалла турмалина около 1 мм в нем практически полностью
поглощается обыкновенный луч. В прошедшем луче (необыкно-
(необыкновенном) электрический вектор колеблется параллельно оптиче-
оптической оси (см. рис. 235). Хорошим поляроидом также является
герапатит, в котором уже при толщине 0,1 мм практически пол-
полностью поглощается один из лучей.
Если поляроид используется для получения поляризован-
поляризованного света, то он называется поляризатором. Если же он исполь-
используется для анализа поляризации света (см. § 43), то его назы-
называют анализатором.
Поляризационные и двоякопреломляющие призмы. Комбина-
Комбинация кристаллов, даюшая поляризованный свет, называется поля-
оизационной или двоякопреломляющей призмой. Поляриза-
Поляризационной призма называется тогда, когда на выхеде имеется
один поляризованный луч, а лвоякопреломляющей — когда на
выходе оба луча.
Призма Ннколя. Она является поляризационной призмой
и изготовляется из исландского шпата. Кристаллы вырезают
относительно оптической оси так, как указано на рис. 24Г,
и склеивают канадским бальзамом по поверхности, отмечен-
отмеченной на рисунке более темным слоем. Коэффициент преломления
канадского бальзама п = 1,550; он имеет числовое значение,
заключенное между коэффициентами преломления обыкновен-
обыкновенного и необыкновенного лучей. При соответствующем выборе
направления падающего луча необыкновенный луч проходит
через призму, а обыкновенный на поверхности склейки испыты-
испытывает полное отражение и выводится из призмы или погло-
поглощается на ее зачерненной поверхности. Призма Николя (ее часто
называют просто николем) является наиболее широко распро-
распространенной поляризационной призмой.
Двоякопреломляющие призмы. Двоякопреломляющая приз-
призма из стекла и исландского шпата показана на рис. 242 Точ-
Точками на призме обозначено направление оптической оси крис-
кристалла. На рис. 243, а, б, в изображены двоякопреломляю-
двоякопреломляющие призмы, составленные из комбинации призм, изготовлен-
изготовленных из исландского шпата, с различной взаимной ориентиров-
ориентировкой оптических осей.
275
§42

276 Полихроизм. Поглощение обыкновенной и необыкновенной
. волн в кристалле зависит не^ только от длины волны, но и от
S ее направления, g результате этого при прохождении белого
света возникает окраска кристалла, зависящая от направления
расп рис гранения света. Это явление называется полихроизмом.
Пример 42.1. **а рис. 243 изображена призма Волластона,
изготовленная из исландского шпата. Показатель преломления
обыкновенного луча по — 1,658, а необыкновенного, когда век-
вектор Е- коллинеарен оптической оси, пе = 1,486. Угол а = 15°.
Найти угол между выходящими из призмы лучами.
При переходе через границу раздела между средами с взаим-
взаимно перпендикулярными оптическими осями обыкновенный в
первой среде луч становится необыкновенным во второй и,
наоборот, необыкновенный луч в первой среде становится обык-
обыкновенным во второй. Обозначая Gnpo и6пре углы преломления
обыкновенного и необыкновенного лучей, можем записать
sin бпд о Щ
sin 0пР<? п0
sin Qnpo ne
D2.2)
причем sirt-впд 0 = sin Gnp e. — sin a.
Обозначая Gnpo и GnPe угль! преломления при выходе из
призмы в воздух, запишем законы преломления в виде
sin (а — GnpеI sin G'npе = 1/ие, sin (а — 6пр о)/sin G^p0=l/n0,
D2.3)
поскольку углы падения на границу при выходе из призмы
обыкновенного и необыкновенного лучей равны соответствен-
соответственно а—Gnpo и а—Gnpe. Из D2.3) с учетом D2.2) получаем для
углов преломления значения GnPe-=2°14' и Gnpo = 3°2/, причем
эти углы отсчитываются в разные стороны от* нормали. По-
Поэтому угол между вышедшими из призмы лучами GnP 0 +
+ 6пре =5°16'.
§ 43
Интерференция поляризованных волн
Рассматриваете» интерференция волн с взаимно
перпендикулярными плоскостями поляризации.
Интерференция лучей при взаимно перпендикулярных направле
ниях линейной поляризации. Лучи с взаимно перпендикулярны-
перпендикулярными направлениями поляризации могут быть получены по схеме
рис. 235, если на пути луча до входа в кристаллическую пластин-
пластинку поставить призму Николя N (рис. 244), которая создает ли-
линейно поляризованный свет, причем направление колебаний
электрического вектора может меняться поворотом николя.
Линейно, поляризованный свет падает на кристаллическую
пластинку, где распадается на обыкновенный и необыкновен-
необыкновенный лучи. Для амплитуд этих лучей на основании закона Ма-
люса имеем (рис. 245)
'То)
24.2
Двоякоцреломляющая призма из
стекла и исландского шпата
• •
If
ГII
• *^ f f
я ^
(о)
243
Двоякопреломляющие призмы из
исландского шпата
q В каких случаях преломлен-
преломленный луч лежит в плоскости
падения?
В каких случаях преломлен-
преломленный луч выходит из плоско-
плоскости падения?
Перечислите известные вам
поляризационные и двояко-
преломляющие призмы.
Для каких целей использу-
используются поляроиды?

zrm
244
Схема осуществления интерферен-
интерференции лучей с взаимноперпендикуляр-
иымн направлениями линейной по-
поляризации
а/\
О а х
245
К определению амплитуд обыкно-
обыкновенной и необыкновенной волн на
входе в пластинку
246
Поворот плоскости колебаний
при выходе из пластинки в пол-
вплны
а — A cos a,
b^Asma, D31)
где А — амплитуда падающего луча. Представим колебания
электрических векторов обыкновенной (вдоль оси А) и необык-
необыкновенной волн на входе в пластинку в виде
л; = a cos cof',
, , D3.2)
у = b cos cor ,
где t' — текущее время, описывающее колебание на входе в
пластинку. Обыкновенный луч на прохождение пластины тол-
толщиной d затрачивает время nod/c, а необыкновенный — ned/c.
Обозначая t текущее время на выходе из пластины, для обыкно-
обыкновенного и необыкновенного лучей получаем следующие соот-
соотношения между временем на входе и временем на выходе*
t = t' +nod/c,
D3.3)
t = t' +ned/c.
Поэтому на выходе из пластины колебания электрических век-
векторов обыкновенной и необыкновенной волн на основании
D3.2) и D3.3) описываются формулами
х = a cos (cof — knod),
D3.4)
у = b cos (cot — кпеф,
где к — со/с. Таким образом, между волнами образуется раз-
разность фаз ip = k'd(ne—п0). Выражения D3.4) можно предста-.
вить в виде
х = a cos ^,
y^bcosfc — ф), D3.5)
где ?, = rot — knod: Равенства D3.5) могут рассматриваться
как параметрическое представление эллипса, уравнение кото-
которого имеет вид (см. § 5)
х2 , У2 2ху
а2 Ь2 аЪ
COS ф = S1IT ф .
D3.6)
Форма и ориентация эллипса зависят от а и ф (а зависит от
соотношения между а и Ь).
Пластинка в четверть волны. При d{ne — п0) - +Х/4, ф =
= ±п/2 уравнение D3.6) принимает вид
х2/а2+у2/Ь2 = \. D3.7)
Это означает, что главные оси эллипса совпадают с главными
осями кристалла. При а = Ь,т. е. при а = тг/4, уравнение D3.7)
преобразуется в уравнение окружности
х2+у2 = а2, D3.8)
I. е. на выходе из пластины возникает циркулярно поляризо-
поляризованная волна.
Знак разности пе — п0 зависит от типа кристалла. Для поло-
положительного кристалла (п — п0) > 0. для отрицательного
277
§43

278 («е — п0)<О. Направление вращения вектора Е определяется
не только типом кристалла, но и толщиной пластинки d. Это
8 следует из того, что уравнение D3.6) принимает вид D3.7)'
не только при d(ne —гС0) — ± ty4, но и при d(ne — п0) = Х/4 4-
+ тк/2(т= ±1, ±2, ...).
Пластинка в пол волны. При d(rie:—п0) = ±Х/2, ф = +п
уравнение D3.6) принимает вид
(х/а + y/bJ=Q, х/а +y/b =
D3.9)
Следовательно, на выходе из пластинки возникает линейно по-
поляризованная волна, для которой лишь изменились квадранты
плоскости X Y, в которых происходит колебание (рис. 246),
т. е. плоскость поляризации повернулась на угол 2а. Конечно,
эта ситуация возникает не только при d(ne—п0) = ±Х/2, но
и при d(ne — n0)='k/2 + mX (m=±l, ±2,...).
Пластинка в. целую волну. При (пе—na)d = mX, <р=2ят
уравнение D3.6) принимает вид
(х/а — у/ЬJ = 0,
D3.10)
Значит, на выходе имеется линейно поляризованная волна с той
же плоскостью колебаний вектора Е, что и на входе.
Анализ линейно поляризованного света. На пути луча ставится
николь таким образом, чтобы его главное направление распо-
располагалось перпендикулярно лучу. При изменении этого направ-
направления (вращением николя) возможны два исхода: интенсив-
интенсивность пропускаемого николем света либо не изменяется, либо
изменяется. Если интенсивность пропускаемого света не изме-
изменяемся, то он либо вообще не поляризован, либо циркулярно
поляризован. (Как отличить неполяризованный свет от цир-
циркулярно поляризованного, будет сказано позже). Если интен-
интенсивность пропускаемого света при вращении николя изменя-
изменяется, то возможны два случая: либо интенсивность уменьша-
уменьшается до нуля, либо она нуля никогда не достигает. Если интен-
интенсивность уменьшается до нуля, то свет линейно поляризован,
причем электрический вектор колеблется коллинеарно глав-
главному направлению николя в положении, при котором пропу-
пропускаемая им интенсивность света максимальна. Если интенсив-
интенсивность не уменьшается до нуля, то свет либо эллиптически поля-
поляризован, либо частично поляризован. Причина изменения ин-
интенсивности пропускаемого через николь света при его пово-
повороте для эллиптической поляризации показана на рис. 247.
Амплитуда пропускаемых' николем колебаний равна расстоя-
расстоянию между касательными к эллипсу, перпендикулярными на-
направлению пропускаемых колебаний. Видно, что максималь-
максимальная пропускаемая амплитуда равна большой полуоси эллипса,
минимальная — малой.
Анализ эллиптически поляризованного света. Эллиптически
поляризованную волну можно рассматривать как результат
суперпозиции двух линейно поляризованных волн с разностью
Поляризация волны, обра-
образовавшейся в результате
интерференции двух волн
с взаимно перпендикуляр-
перпендикулярными направлениями ли-
линейной поляризации, зави-
зависит от разности фаз между
ними и от соотношения их
амплитуд
Опишите метод определения
поляризации света. Чем от-
отличается частично поляри-
поляризованный свет от эллиптиче-
эллиптически поляризованного? В .чем
причина образования креста
при наблюдении интерферен-
интерференции в сходящихся лучах?

247
i<" анализу эллиптически поляри-
поляризованного Спета
248
Компенсатор
К
249
К объяснению возникновения цпе-
тов топких пластнпок
фаз я/2 при условии, что их направления поляризации совпадают
с главными осями эллипса. Поэтому если на пути эллиптически
поляризованного луча поставить пластинку в четверть волны
так, чтобы главная ось пластинки была параллельна главной
оси эллипса, то из пластинки выйдет линейно поляризованная
волна. Главные же оси эллипса определяются по ориентировке
николя, при которой он пропускает максимальную и минималь-
минимальную интенсивности света Поэтому, расположив главную ось
пластинки в четверть волны в одном из найденных направле-
направлений и проанализировав выходящий из нее Свет на линейную
поляризацию, делаем заключение о том, является ли свет эллип-
эллиптически поляризованным или частично поляризованным. Если
выходящий из пластинки в.четверть волны свет линейно поля-
поляризован, то входящий в нее свет эллиптически поляризован,
а если частично поляризован, то и входящий в пластинку свет
частично поляризован.
Анализ цнркулярно поляризованного света. Если при враще-
вращении николя интенсивность выходящего из него света не изме-
изменяется, то входящий в николь свет может быть либо циркулярно
поляризованным, либо неполяризованным. Поставим на пути
света пластинку в четверть волны, причем в отличие от эллипти-
эллиптической поляризации теперь нет необходимости заботиться о
выборе направления главной оптической оси пластинки. Если
выходящий из пластинки в четверть волны свет линейно поля-
поляризован, то входящий циркулярно поляризован. В противном
случае входящий свет просто не поляризован.
Компенсаторы. Для упрощения анализа эллиптически поля-
поляризованного света используется компенсатор, представляющий
собой пластинку, вдоль которой непрерывно изменяется раз-
разность фаз между лучами на выходе из пластины. На рис. 248
изображен один из таких компенсаторов, для которого получим
А = {ned\ +nod2) — (tiodi +ned2) = (ne — n0
d2). D3.1
Поэтому между выходящими лучами образуются всеврзможные
разности фаз. В тех местах, где за счет распространения волны в
компенсаторе разность фаз между входящими лучами стано-
становится равной 0, 2п, 4л, ..., возникает линейная поляризация.
В других местах выходящий свет имеет эллиптическую поляри-
поляризацию (в том числе циркулярную) с изменяющимися парамет-
параметрами эллипса. Посмотрев на поверхность компенсатора через
николь, обнаружим периодическое изменение освещенности,
которое и свидетельствует о поляризации входящего в компен-
компенсатор света. Создаваемая пластинкой разность фаз между лу-
лучами известна [см. D3.11)]. Поэтому, зная распределение интен-
сивностей при различных положениях поляризатора (анализа-
(анализатора), можно определить характер поляризации входящего в
компенсатор" света.
Цвета кристаллических пластинок. Возьмем кристалличе-
кристаллическую пластинку переменной толщины, оптическая ось в которой
направлена перпендикулярно проходящему через-нее лучу
279
§43

280
8
N
250
К анализу явлений в сходящихся
пучках
(рис. 249). Николь N\ пропускает лишь колебания Е, параллельные его главному направлению.
На выходе из. пластинки К из-за изменяющейся толщины образуется эллиптически поляризо-
поляризованный свет с различной ориентировкой эллипсов. Анализатор N2 оставляет от каждого коле-
колебания лишь проекцию вектора Е на направление, в котором он пропускает колебания. В резуль-
результате этото при наблюдении через анализатор N2 пластинки К, освещаемой монохроматиче-
монохроматическим светом, последняя будет казаться неравномерно освещенной. При освещении белым
светом возникает цветовая окраска поверхности кристаллической пластины.
Явления в сходящихся лучах. На рис. 250 изображеносод лучей в плоскости чертежа. Кристал-
Кристаллическая пластина вырезана перпендикулярно оптической оси. Из рис. 250 ясно, что картина
прохождения лучей через кристаллическую пластину аксиально-симметрична, если падающий
пучок света неполяризован.
Направление колебаний Электрического вектора необыкновенной волны лежит в плоскости
рисунка, (изображено стрелками), а обыкновенной — перпендикулярно (изображено точками).
Длина' пути луча в пластине h — d/cosy, где \|/ — угол между лучом и осью. Поэтому разность
фаз между лучами, имеющими данное направление, равна
Д = (d/ cos \|/) (п е — По). D3. L2)
Разность фаз между лучами на выходе из пластины составляет
ie — п0), D3.13)
т. е. различна для различных углов. Кроме того, формула D3.13) показывает, что картина акси-
аксиально-симметрична. Следовательно, Г1ОД различными углами к оси на выходе т шастаны рас-
распространяются эллиптически поляризованные лучи с различными ориентациями эллипсов.
Если излучение монохроматическое и на пути вышедших из пластины лучей стоит николь N2.,
то наблюдаются чередующиеся темные и светлые кольца, которые соответствуют проекциям
электрического вектора на главное направление николя N2. При повороте николя на я/2 светлые
кольца становятся темными, и наоборот. При освещении белым светом наблюдается совокуп-
совокупность окрашенных концентрических окружностей.
Если на пути падающего на пластину пучка лучей поставить николь N\, то наблюдаемая
картина изменяется — концентрические окружности пересекаются крестом, причем крест свет-
светлый, если главные направления николей Nj и N2 параллельны, и темный — если они перпенди-
перпендикулярны. Это объясняется тем, что в падающем пучке в плоскости падения, совпадающей с глав-
главной плоскостью николя Hi, имеются лишь необыкновенные лучи и, следовательно, отсутствует
интерференция с обыкновенными лучами. Поэтому на выходе из пластины в этой плоскости
свет линейно поляризован. Если главное направление николя N2 лежит в этой плоскости, то
лучи в этой плоскости проходят без ослабления и поэтому наблюдается светлая полоса. Если
николь N2 скрещен с николем Nr, то вместо светлой полосы наблюдается темная.

Аналогичным способом рассматриваются лучи, лежащие в плоскости, перпендикулярной 281.
плоскости рисунка. Лучи в этой плоскости при той же исходной поляризации являются только ——
обыкновенными. Из пластины выходит линейно поляризованный луч, который затем прохо- §44
дит через николь Ni, поскольку направление колебаний его вектора Е такое же, как и у необыкно-
необыкновенного луча, лежащего в перпендикулярной плоскости. В результате возникает светлая полоса,
перпендикулярная светлой полосе от необыкновенного луча. Совокупностью этих двух светлых
полос образуется крест, который пересекает концентрические окрашенные окружности.
§ 44
Вращений плоскости поляризации
Дается феноменологическое описание естественной
и искусственной оптической активности веществ.
Вращение плоскости поляризации в кристаллических телах. При прохождении линейно поляри-
поляризованного луча вдоль оптической оси кварцевой пластинки (рис. 251) наблюдается поворот
плоскости поляризации (Араго, 1811). Разделения луча на два при нормальном падении на плас-
пластинку, вырезанную перпендикулярно оптической оси, не происходит. Угол поворота плоскости
поляризации определяется по взаимной ориентировке осей николей N\ (поляризатор) и Ni
(анализатор). Установлено экспериментально, что Угол поворота зависит от длины d пути в
кристаллической пластине и от длины.волны, т. е. имеется вращательная дисперсия:
Ф=си/, D4.1)
где а -^вращательная способность. Эта величина выражается в радианах на метр (в СИ) или
в градусах на миллиметр Gмм). У кварца для красной области спектра а «157мм, для зеленой
а «277мм, фиолетовой — а«»517мм. Эти данные-показывают, что вращательная дисперсия
у кварца весьма значительна.
Направление вращения плоскости поляризации изменяется при изменении направления
распространения света на обратное и может определяться правилом винта.
Экспериментально установлено, что существуют две модификации кристаллов кварца —
правовращающая и левовращающая. Они характеризуются различными направлениями вра-
вращения плоскости поляризации, которые определяются в соответствии с правилом правого или
левого винта при распространении света вдоль оптической оси. Исторически сложилось так,
что направление вращения плоскости поляризации устанавливается для наблюдателя, к кото-
которому направлен луч света. Поэтому правовращающая модификация кварца (рис. 252, а) обуслов-
обусловливает левовинтовое вращение плоскости поляризаций, а левовращающая (рис. 252, 6) — пра-
вовинтовре.
Установлено, что если кристалл вращает плоскость поляризации, то у него всегда сущест-
существуют обе модификации, причем
|а{+)| =|аН)|, D4,2)
где (Х(+) и а.(_) вращательные способности правовращающей и левсжращающей модифика-
модификаций кристалла. (Будем в дальнейшем эти модификации называть соответственно правый и ле-
левый, кристалл.)
Вращение плоскости поляризации в аморфных веществах. Во многих аморфных веществах,
в том числе и в жидкостях (например, в скипидаре), также наблюдается вращение плоскости по-
поляризации, причем в ряде случаев довольно значительное (например, в никотине а «* 1,647мм
для желтой области спектра).

282 Аморфные вещества также существуют в двух модифика-
циях — право- и левовращающей. Если вращающее плоскость
8 поляризации вещество находится в растворе, то угол поворота
плоскости вращения при прохождении света через раствор опре-
определяется по закону Био A832):
Ф=ои7/, D4.3)
где q — концентрация раствора, / — длина пути в растворе.
Вращательная способность а зайисит от длины волны и темпера-
температуры раствора. Экспериментальное изучение этого явления по-
показало, что зависимость а от температуры слабая, а от длины
волны дается в грубом приближении соотношением a~l/?i2.
Вращение плоскости поляризации в аморфных веществах
является молекулярным свойством. Молекуле можно соответ-
соответствующим образом приписать определенную вращательную
способность, которая не зависит от агрегатного состояния
вещества. Кристаллическая структура вещества также может
обусловливать вращательную способность. Вещества, способ-
способные вращать плоскость поляризации, называются оптически
активными.
Феноменологическая теория вращения плоскости поляризации.
Линейно поляризованная волна может рассматриваться как
суперпозиция двух циркулярно поляризованных волн с противо-
противоположными направлениями вращения электрического вектора
[см. E.10) и E.11) и рис. 19]. В основе теории лежит предполо-
предположение о различной скорости распространения циркулярно по-
поляризованных волн с различными направлениями вращения
электрического вектора (Френель, 1817). У входящего в кристалл
луча, описываемого формулами E.10) и E.11), на выходе из
кристалла между колебаниями векторов Ei и Ег возникает по-
постоянная разность фаз, которая обусловливает поворот плоско-
плоскости поляризации.
Считая, что волны (см. рис. 19) распространяются в поло-
положительном направлении оси Z (к нам), и обозначая коэффициен-
ты преломления циркулярно поляризованных волн С'вектора-
ми Ei и Ег соответственно п\ и и2, можно на основании E.10)
и E.11) для выходящих из кристалла, волн записать
Е\х = Ео cos (ш —
Eiy = Еб sin (cof — knt,d), D4.4)
где d — расстояние, пройденное волной во вращающей пло-
плоскость поляризации среде. Ясно, что теперь векторы Ei и Ег
расположены симметрично не относительно линии у = 0, как
на рис. 19, а относительно другой линии, которая и определяет
поворот плоскости колебаний результирующего вектора Ei +
+ Е2. Чтобы найти положение этой плоскости, определим по-
положения векторов Ei и Ег в некоторый момент времени, на-
например t = kn\d/(o. Тогда [см. D4.4) и D4.5)]
251
Вращение плоскости поляризации
при прохождении света через пла-
пластинку кварца вдоль оптической
оси
252
Вращение плоскости поляризации
в правовращающем (а) и лсвовра-
шающем (б) кварце
О
Е,
= Ео cos (cot — kmd), Егу=—?bsin(cof — kind), D4.5) 253
К расчету угла поворота плоскости
поляризации
Вращение плоскости поля-
поляризации объясняется раз-
различной скоростью цирку-
циркулярно поляризованных
волн с правым и левый вра-
вращением.

254
Эксперимент, доказывающий су-
существование цнркулярно поляри-
поляризованных лучен в оптически ак-
активных веществах
255
Кристаллы правого и левого квар-
кварца
256
Зеркально-симметричные. молеку-
молекулы
О Что такое зеркальные изо-
изомеры? Приведите примеры
пространственной структуры
молекул, являющихся зер-
зеркальными изомерами. Суще-
Существуют ли в живой природе
правовращающие и левовра-
щающие зеркальные изоме-
изомеры? Какие существуют?
Егх = Ео cos [kd{n\ — т)],
Е2у - —Ео sin [kd(n\ — п2)\
D4.6) 283
D4.7) §*»
На рис. 253 изображено положение этих векторов для слу-
случая («1 — пг) > 0. Если («1 —пг) < 0, то вектор Е2 повернут от-
относительно Ei* в другом направлении. Линия, относительно
которой,векторы Е, и Е2 расположены симметрично, является
гипотенузой угла между этими векторами, обозначенного 2ф
на рис. 253, и, следовательно, плоскость поляризации повора-
поворачивается на угол
Ф = к (И1 — ni) d/2.
D4.8)
Поскольку направление вращения вектора Е в циркулярно поля-
поляризованной волне принято характеризовать со стороны наблю-
наблюдателя, к которому луч направлен, то и, является показателем
преломления волны с левой круговой поляризацией, а т —
с правой. Отсюда заключаем, что для правовращающих ве-
веществ т >П2, а для левовращающих щ <гц.
Справедливость теории подтверждается экспериментами по
преломлению циркулярно поляризованных волн (рис. 254).
В результате различного соотношения между скоростями волн
с правой и левой круговой поляризацией в право- и левовращаю-
левовращающих средах на границе между ними происходит двойное луче-
лучепреломление, причем от падающей линейно поляризованной
волны возникают две циркулярно поляризованные волны,
которые можно пространственно разделить (рис. 254). Экспе-
Эксперименты показали, что эти лучи действительно циркулярно
поляризованы, а преломление на границах между средами про-
происходит в соответствии с построением Гюйгенса, проведенным
для скоростей на основе анализа вращения плоскости поляри-
поляризации. Таким путем феноменологическая теория враще-
вращения плоскости поляризации была подтверждена экспери-
экспериментально.
Оптическая изомерия. Правые и левые кристаллы имеют оди-
одинаковый химический состав, но различную форму. Они явля-
являются зеркальным отражением друг друга. На рис. 255 изобра-
изображена часть граней правого и левого кристаллов кварца. Анало-
Аналогичное различие наблюдается у молекул аморфных оптически
активных веществ. На рис. 256 показаны две молекулы, в ко-
которых атомы А и С различного сорта. Ясно, что эти молекулы
являются как бы зеркальным отображением друг Друга. Они
называются оптическими изомерами. Никакими пространствен-
пространственными движениями предмет не может быть совмещен се своим
зеркальным отражением. Поэтому правые и левые кристаллы,
правые и левые молекулы существуют в природе раздельно
друг от друга. В частности, молекулы аминокислот, входящие
в состав живых систем на Земле, оптически активны и все лево-

284
8
257
Схема наблюдения вращения пло-
плоскости поляризации при помещении
оптически неактивного вещества
в магнитное поле
вращающие. Поскольку строение молекул, особенно органических веществ, очень сложно,
возникают возможности образования многих различных пар оптических изомеров.
Вращение плоскости поляризации в магнитном иоле. Оптически неактивные вещества в магнит-
магнитном поле становятся оптически активными и вращают плоскость поляризации света, распро-
распространяющегося в веществе вдоль силовых линий напряженности магнитного поля. Этот эффект
был открыт в 1846 г. М. Фарадеем A791—1867) и называется явлением Фарадея. Оно выражас!
влияние магнитного поля на вещество, в результате чего вещество становится оптически ак-
активным.
Схема наблюдения вращения плоскости поляризации оптически неактивным веществом
в магнитном поле #„ изображена на рис. 257. Угол поворота ср плоскости поляризации опреде-
определяется соотношением
Ф = VH, I,
D4.9)
где V — постоянная Верде. характеризующая свойства вещества и зависящая от частоты света
и температуры; //,,'—проекция вектора напряженности магнитного поля на направление рас-
распространения света.
Формула D4.9) описывает угол поворота плоскости поляризации в пара- и диамагнитных
материалах.
Углы поворота <п невелики. Для большинства твердых тел при напряженности поля порядка
1 МА/м и /«*0,1 м угол поворота составляет 1—2°, для газов —еще меньше.
- В ферромагнитных материалах вращение плоскости поляризации принято выражать не через
напряженность магнитного поля, а через намагниченность J. При этом величина Я в формуле
D4.9) заменяется на У, а постоянная Верде V— на постоянную Кундта, значение которой при-
приводится в таблицах.
Направление вращения плоскости поляризации принято определять для наблюдателя,
смотрящего в направлении вектора напряженности магнитного поля (а в ферромагнетиках —
вектора намагниченности).
Большинство веществ является правовращающими. Такие вещества называют положитель-
положительными. ,К ним относятся все диамагнетики. Имеются и отрицательные вещества, которые обяза-
обязательно содержат парамагнитные атомы.
Направление вращения плоскости поляризации в магнитном поле зависит только от направ-
направления распространения света. Это отличает вращение плоскости поляризации в магнитном поле
от естественной оптической активности и показывает, что оно обусловлено действием магнит-
магнитного ноля на вещество.
Постоянная Верде выражается законом Био
V = А/Х2 + В/Х4, D4.10)
где А и В слабо зависят от температуры.

§ 45
Искусственная анизотропия 285
Описываются различные методы создания
искусственной анизотропии. 9^5
Анизотропия при деформации. Оптически изотропное тело при деформации сжатия или растя-
растяжения (рис. 258) приобретает свойства одноосного кристалла, оптическая ось которого колли-
неарна с направлением деформирующих сил. Экспериментально установлена следующая связь
между показателями преломления необыкновенной и обыкновенной волн в направлении, пер-
перпендикулярном оптической оси:
пе—По=Ьа, D5.1)
- где а = F/S —напряжение, вызвавшее деформацию; Ь — постоянная, характеризующая свой-
свойства вещества. Разность (пе — п0) может принимать как положительные, так и отрицательные
значения и, кроме того, зависит от длины волны света.
При наблюдении прозрачного тела на просвет в скрещенных николях деформированное
тело представляется окрашенным, причем окраска зависит от деформации. По распределению
окраски можно судить о распределении деформаций в теле.
Анизотропия, создаваемая в веществе электрическим нолем. Септически изотропное вещество
в электрическом поле (рис. 259) приобретает свойства одноосного кристалла с оптической осью,
коллинеарной вектору напряженности электрического поля (явление Керра, 1875). При распро-
распространении света перпендикулярно оптической оси экспериментально установлено следующее
соотношение между показателями преломления обыкновенной и необыкновенной волн:
пе — п0 = КкЕ2, D5.2)
где К — постоянная Керра. для жидкостей она обычно составляет несколько пикометров на
вольт в квадрате. Например, для длины волны 546 нм для жидкого кислорода при 90 К и жид-
жидкого азота при 71,4 К она'составляет соответственно 10,1 и 4,02 пм/В2. Для газов постоянная
Керра значительно меньше. Например, для кислорода и азота она соответственно равна 0,45 х
х 105 и 0,3 10~15 м/В2 при нормальных условиях. Это обусловлено тем, что эффект Керра
определяется свойствами молекул и, следовательно, усиливается с повышением концентрации
молекул. Из D5.2) видно, что при изменении направления электрического поля на обратное
оптические свойства вещества не меняются, т. е. оно действительно ведет себя как одноосный
кристалл.
При прохождении пути / разность оптических путей обыкновенного и необыкновенного лу-
лучей равна Д = Кк/Е2, а разность фаз между волнами
Ф = /сД = 2пК/Е2 . D5.3)
Для большинства жидкостей К*> 0. Постоянная Керра. зависит также от длины волны (т. е. име-
имеется дисперсия) и уменьшается при увеличении температуры.
Для объяснения явления Керра надо принять во внимание два физических фактора. Неполяр-
Неполярные молекулы в электрическом поле приобретают дипольный момент в направлении поля,
а сама молекула при этом переориентируется так, чтобы дипольный момент совпадал с направ-
направлением наибольшей поляризуемости молекулы. Следовательно, наибольший показатель пре-
преломления оказывается у волны, электрический вектор которой колеблется коллинеарно внеш-
внешнему электрическому полю, т. е. у необыкновенной волны:
пе>п0, К>0. D5.4)
Полярные молекулы во внешнем электрическом поле ориентируются своими постоянными
дипольными моментами преимущественно в направлении. напряженности поля. При этом

286 направление наибольшей поляризуемости молекулы состав-
ляет с электрическим полем, вообще говоря, некоторый угол,
8 в зависимости от которого возможны различные соотношения
между пе и по, т. е. различные значения для К, включая К = 0.
Эффект Керра обладает очень малой инерционностью (оптиче-
(оптическая анизотропия следует за изменением напряженности элек-
электрического поля с запаздыванием порядка 1(Г10 с), поэтому,
он позволяет создать быстродействующие модуляторы света,
называемые ячейками Керра.
Размер ячейки Керра выбирается такой, чтобы ее оптиче-
оптическая длина составила полволны при определенной напряжен-
напряженности электрического поля. Если ячейку поместить между скре-
скрещенными николями, главные плоскости которых направлены
под углом 45° к оптической оси, возникающей в ячейке Керра
при наличии электрического поля, то при отсутствии поля
ячейка не пропускает свет. При включении поля свет начинает
проникать через нее и при определенном значении напряжен-
напряженности поля, когда ячейка действует как пластинка полволны,
интенсивность прошедшего через систему света достигает мак-
максимального значения.
Анизотропия, создаваемая в - веществе магнитным нолем
(явление Коттон—Мутона, 1910). Оптически изотропное ве-
вещество в магнитном поле приобретает свойства одноосного
кристалла, ось которого коллинеарна направлению индукции
магнитного поля (рис. 260). Зависимость разности (пе—по)
от В при распространении света перпендикулярно индукции
магнитного поля выражается соотношением
пе—п0 = СкВ2, D5.5)
где С — постоянная, характеризующая свойства вещества. Этот
эффект очень мал. Его объяснение аналогично объяснению
явления Керра. Необходимо отметить, что этот эффект прин-
принципиально отличается от явления Фарадея D4.9), поскольку
зависит от индукции магнитного поля квадратично, а не ли-
линейно.
Постоянная С определяется экспериментально. Например,
для нитробензола С = 2,25 • 10у2 м'-Тл. В магнитном поле
с индукцией 1 Тл при прохождении светом расстояния 1 м раз-
разность фаз равна 0,14 рад.
Эффект Поккельса. В некоторых кристаллах при наложении
внешнего электрического поля возникает двойное лучепрелом-
лучепреломление, которого нет в отсутствие поля, причем разность пока-
показателей преломления необыкновенного и обыкновенного лучей
пропорциональна первой степени напряженности электриче-
электрического поля. Это явление называется эффектом Поккельса.
Оптическая ось кристалла ориентируется параллельно лучу
света, и напряженность внешнего электрического поля также
коллинеарна этому направлению. Это можно осуществить либо
взяв прозрачные электроды, либо проделав в центрах электро-
электродов маленькие отверстия. При наличии внешнего электрического
поля возникает вторая оптическая ось, лежащая в плоскости,
258
Направление оптической оси при
деформации сжатия и растяжения
259
Направление оптической оси е ж-
шестве в электрическом поле

260
Направление оптической оси в ве-
веществе в магнитном поле
перпендикулярной первой оптической оси. Следовательно, инду-
индуцированная оптическая ось перпендикулярна направлению рас-
распространения света и относительно этой оси свет испытывает
двойное лучепреломление. Для этой оси
пе — по=аЕ, D5!6)
где а — постоянная. Ориентировка индуцированной оси в
плоскости, перпендикулярной направлению луча света, зави-
зависит от ориентировки кристалла. Разность потенциалов, которую
необходимо приложить между электродами в эффекте Пок-
Поккельса; примерно на порядок меньше разности потенциалов,
необходимой для получения в эффекте Керра одинакового двой-
двойного лучепреломления (при равных расстояниях между электро-
электродами). Это является важным преимуществом эффекта Поккель-
са для практических применений. Например, значение а для
кристалла дигидрофосфата калия (KDP, формула КН2РО4)
составляет около 3,6-1 (Г11 м/В, для ниобата лития — 3,7 х
х 1(Г10 м/В. Эффект Поккельса столь же безынерционен, что
и эффект Керра. Он используется для создания быстродейст-
быстродействующих модуляторов света. Соответствующее устройство на-
называется ячейкой Поккельса.
Эффект Поккельса возникает не только при приложении
поля вдоль оптической оси кристалла, но и перпендикулярно ей.
В первом случае говорят о продольном эффекте Поккельса,
во втором —о поперечном. Однако в обоих случаях луч света
должен распространяться в направлении оптической оси, кото-
которую кристалл имеет при отсутствии внешнего электрического
поля.
Для создания ячеек Поккельса поперечный эффект имеет
определенное преимущество перед продольным. Во-первых,
электроды расположены параллельно пучку света и расстояние
между ними может быть сделано достаточно малым, а длина
вдоль луча — достаточно большой. Поэтому создать полувол-
полуволновую ячейку можно при сравнительно небольшой разности
потенциалов между электродами. При использовании продоль-
продольного эффекта сдвиг фаз между обыкновенной и необыкновенной
волнами для фиксированной разности потенциалов не зависит
от длины ячейки, потому что с увеличением длины уменьшается
напряженность электрического поля, а сдвиг фаз остается
неизменным. Следовательно, увеличить сдвиг фаз можно толь-
только в результате роста разности потенциалов между электро-
электродами. Во-вторых, технически проще осуществить ячейку с по-
поперечным эффектом, чем с продольным. Поэтому обычно
низкрвольтные -ячейки Поккельса основаны на поперечном
эффекте. Однако для создания высокоскоростных ячеек пред-
предпочтительнее использовать продольный эффект, поскольку
в этом случае электроды имеют меньший размер и меньшую
электроемкость, что облегчает достижение высоких скоростей
изменения потенциалов»
Ячейки Поккельса применяются для тех же полей, что и
ячейки Керра, и во многих случаях заменили их.
287
§45

Задачи
Между двумя николями помещена кристал-
кристаллическая пластинка. Главные плоскости ни-
колей образуют с оптической осью углы
аир. Оптическая ось параллельна плоскости
кристалла, на которую падает свет. Найти
интенсивность вышедшего из пластинки све-
света. Толщина пластинки d.
Пластинка кварца толщиной 0,014 мм вы-
вырезана параллельно оптической оси. Извест-
Известно, что пе= 1,5533, «о = 1,5442 для X =
= 0,5 мкм. На пластину падает линейно
8.3.
поляризованный свет, плоскость колебаний
электрического вектора образует с оптиче-
оптической осью угол 25°. Определить характер
поляризации выходящего из пластины луча.
Двоякопреломляющая призма (рис. 242) со-
состоит из стеклянной призмы с и = 1,66 и
призмы из исландского шпата с ио= 1,66
и пе = 1,49. Угол а = 30°. Найти угол между
лучами на выходе из призмы, если в призму
луч входит так, как изображено на рис. 242.
Ответы
8.1. /=/o[cos2(a — Р) — sin 2a sin 2P sin2 8/2]; &=к(пе — no)d. 8.1 Круговая поляризация. 8.3. 5°45'.

Основная идея:
атомы и молекулы
вещества
и их совокупности
под воздействием
падающего на них
излучения становятся
источникам
вторичного излучения.
Рассеяние
света

290
§ 46
Природа процессов рассеяния
Объясняется сущность процессов рассеяния света
и дается их классификация.
Природа рассеяния. В состав среды входят молекулы или атомы основного вещества, состав-
составляющего среду, и посторонние частицы (пылинки, водяные капли и т. д.). Молекулы имеют раз-
размеры порядка 0,1 нм, а посторонние частицы, состоящие из агрегатов молекул, — в тысячи и
десятки тысяч раз больше.
Процесс рассеяния света состоит в заимствовании молекулой или частицей энергии у распро-
распространяющейся в среде электромагнитной волны и излучении этой энергии в телесный угол, вер-
вершиной которого является молекула или частица. В этом смысле рассеяние света молекулой и
частицей из громадного числа молекул осуществляется одинаково и различие состоит лишь в
механизмах переизлучения.
Если среда рассматривается как непрерывная, то источником рассеяния выступают оптиче-
оптические неоднородности среды. В этом случае среда феноменологически характеризуется изменяю-
изменяющимся показателем преломления, а «размеры» областей, на которых происходит рассеяние,
определяются расстояниями, на которых происходит значительное изменение показателя пре-
преломления. По своему физическому содержанию рассеяние является дифракцией волны на неод-
нородностях среды.
Типы рассеяния. Характер рассеяния в первую очередь зависит от соотношения между дли-
длиной волны и размером частиц. Если линейные размеры частицы меньше, чем примерно 7i5 Дли-
Длины волны, то рассеяние называется рэлеевским по имени Д. У. Рэлея A842—1919), изучившего
этот вид рассеяния. При больших размерах частиц принято говорить о рассеянии Ми. Хотя
первоначально развитая Г. А. Ми A908) теория относилась только к сферическим частицам,
термин «рассеяние Ми» используется и для частиц неправильной формы. Для малых частиц
теория Ми приводит к результатам теории Рэлея. Важным частным случаем оптической неод-
неоднородности является неоднородность оптических свойств среды, в которой распространяется
звуковая волна. В результате этого возникают гармоническое распределение оптической неод-
неоднородности среды в пространстве и гармоническое, изменение оптических свойств во времени.
В результате пространственной гармонической неоднородности оптических свойств наблюда-
наблюдается дифракция света на волне (см. § 33). В результате гармонического изменения оптических
свойств во времени в каждой точке среды наблюдается изменение частоты дифрагированного
света. Это изменение частоты дифрагированного на звуковой волне света получило название
явления Мандельштама — Бриллюэна. Оно было независимо открыто Л. И. Мандельштамом
A879—1944) и Л. Бриллюэном A889—1969).
Квантовые свойства молекул проявляются в комбинационном рассеянии света, характери-
характеризующемся изменением частоты рассеянного света по сравнению с частотой падающего. Ввиду
специфически квантовой природы этого рассеяния оно также выделяется в отдельный тип.
Многократное рассеяние. Рассеянное частицей излучение может быть в свою очередь рас-
рассеяно другой частицей и т. д. В этом случае говорят о многократном рассеянии. Оно в каждом
из последовательных актов осуществляется по законам однократного рассеяния. Окончатель-
Окончательный результат получается суммированием результатов однократных рассеяний с учетом стати-
статистических характеристик их следования друг за другом.
Процесс рассеяния сводится к генерации вторичных волн ноле-
кулаии или частицами под действием падающего на них излучения.
Для сплошной среды рассеяние сводится к дифракции волн на
иеоднородностях среды.

261
Элемент;
[ссеиватель света
262
Угловое распределение интенсив-
интенсивности рассеянного излучения от
поляризованной волпы
Е,
О X
263
К расчету рассеяния неполяризо-
ванного излучения
§ 47 I Рэлеевское рассеяние и рассеяние Ми
I Описываются основные законы рассеяния Рэлея и Ми.
Модель элементарного рассеивателя. Электроны, попадающие в
электрическое поле электромагнитной волны, совершают коле-
колебательное движение с частотой волны. Если волна распростра-
распространяется в положительном направлении оси X (рис. 261), а электри-
электрический вектор колеблется в плоскости у = О, то уравнение
движения электрона в соответствии с (9.13) имеет вид
mi + mcoor = eEo cos со Г, D7.1)
где ?о cos cor — колебания напряженности электрического поля
волны,/ коллинеарной оси Z в плоскости У= 0; т и е — масса
и заряд электрона; соо — собственная частота колебаний элек-
электрона, определяемая упругой силой, удерживающей электрон
в положении равновесия. Затухание колебаний электрона за
счет излучения не учитывается, поскольку оно мало.
Из D7.1) для отклонения электрона от положения равнове-
равновесия находим
т (л* —
cos cor.
D7.2)
Колеблющийся электрон сам является излучателем. Его
излучение рассеянное. Таким образом, моделью элементарного
классического рассеивателя света является элементарный клас-
классический излучатель — электрический диполь, находящийся в
поле электромагнитной волны.
Электрон входит в состав атома, являющегося электриче-
электрически нейтральной системой. Поэтому можно считать, что ко-
колебания электрона в соответствии с D7.2) происходят около
точки равновесия, в которой находится положительный заряд
\е\. Этот заряд можно считать неподвижным, поскольку масса
несущего его протона (или ядра) много больше массы электро-
электрона. Следовательно, D7.2) может быть записано в виде формулы
для изменяющегося по времени дштольного момента:
1
Ео cos cor.
D7.3)
Поле излученной диполем электромагнитной волны в сфери-
сферической системе координат с полярной осью, совпадающей с на-
направлением диполя, описывается формулами (рис. 262)
Ег = хГф = 0, Br = By = 0,
D7.4)
где 0, ф — соответственно полярный и аксиальный углы;
г — расстояние от диполя до точки, в которой определяется
поле (см. рис. 261). Подчеркнем, что по линии колебаний диполя
излучение отсутствует.
291
§47
10*

292 _
Плотность потока энергии в направлении, характеризуемом углами 8 и <с, в соответствии
с C.1) равна
Усредняя S по периоду и учитывая D7.3), находим
где X = 2пс/(й.
Поток энергии dP(8, ф) в телесный угол 6Q=6o/r2, опирающийся на элемент площади
сферы da равен
dP(G, ф)= <S>tda= <S>tr2dQ. D7.7)
Отсюда для интенсивности рассеяния J, @, <р), определяемой как поток энергии, отнесенной к
телесному углу 6Q, находим
Заметим, что D7.8) выражает плотность энергии рассеянного потока от одного элементарного
излучателя.
С помощью соотношения C.4) эту формулу целесообразнее представить в виде
So>, D7.9)
где So — среднее значение плотности потока энергии в падающей волне.
Рэлеевское рассеяние. Если размеры рассеивателя много меньше длины волны, то все элемен-
элементарные диполи излучают когерентно. Под рэлеевским рассеянием обычно понимается рассея-
рассеяние молекулами среды, потому что размеры обычных молекул (не макромолекул ) всегда много
меньше длины волны видимого света. Элементарные рассеиватели, принадлежащие различным
молекулам, излучают некогерентно, потому что, во-первых, расстояние между молекулами мо-
может быть достаточно большим и, во-вторых, вследствие движения молекул происходят флук-
флуктуации плотности среды. С учетом этих обстоятельств заключаем, что интенсивность рассеян-
рассеянной волны от одной молекулы увеличивается пропорционально квадрату числа No элементар-
элементарных рассеивателей в ней. Концентрацию молекул обозначим N. Следовательно, в единице объе-
объема находится NoN элементарных диполей. Из курса электричества известно соотношение
(и2—1Kео е2
D7.10)
N0N(n2+2) nt(@2~ со2)
где п — показатель преломления среды. Заменяя выражение, стоящее в квадратных скобках
D7.9), его значением D7.10), получаем для интенсивности рассеяния от одной молекулы следую-
следующую формулу:
/(е, Ф) = /l(
Заметим, что полученные формулы справедливы для случая, когда собственная частота о)о
колебаний электронов много больше частот видимого спектра и ближнего ультрафиолета.
Это условие в большинстве случаев соблюдается. Далее, при выводе формулы D7.12) предпола-

галось, что собственные частоты колебаний всех электронов в молекуле одинаковы. Это ограни- 293
чение нетрудно снять, поскольку оно не имеет принципиального характера и его снятие лишь
делает формулы более громоздкими. Читателю рекомендуется провести соответствующие вы- §47
числения в качестве упражнения.
Полная интенсивность рассеяния одной частицей по всем направлениям получается из D7.11)
интегрированием по всем углам рассеяния:
/ = S /(G, cp)dn = 18,п* (п\~Х | <S0>] sin3 6dG D7.12)
4л N*X \и +1/ О
cS0>. D7.13)
Поскольку различные молекулы рассеивают некогерентно, полная интенсивность рассея-
рассеяния в единице объема вещества вычисляется умножением выражения D7.13) на концентрацию N
молекул. Для не очень плотных газов показатель преломления и«1 и, следовательно, в фор-
формуле D7.13) можно принять и2+2«=»3, (и2—1)«2(и—1). Для интенсивности рассеяния в
единице объема в этом случае получаем
) <*о>- D7.14)
Закон Рэлея. Из D7.14) видно, что интенсивность рассеяния обратно пропорциональна чет-
четвертой степени длины волны. Такая зависимость рассеяния от длины волны называется законом
Рэлея.
Законом Рэлея объясняется, например, голубой цвет неба и красноватый цвет Солнца на
восходе и заходе. На восходе и заходе наблюдается свет, в котором в результате рассеяния по
закону Рэлея коротковолновая часть спектра (фиолетовая) ослаблена значительно сильнее длин-
длинноволновой (красной) части. В результате интенсивность длинноволновой (красной) части спект-
спектра относительно возрастает и воспринимается глазом как красноватый цвет Солнца. Относи-
Относительное изменение интенсивности различных частей спектра будет заметным лишь при доста-
достаточно большом рассеянии. Поэтому Солнце в зените, когда проходимая лучами толща атмос-
атмосферы не очень велика и рассеяние света незначительно, не имеет красного цвета. Однако и в
этом случае рассеяние и поглощение существенно изменяют спектральный состав излучения,
достигающего поверхности Земли (см. § 1).
При наблюдении небосвода днем в глаз попадает рассеянное излучение, в котором более
сильно присутствует коротковолновая часть спектра, соответствующая голубому цвету. Вне
земной атмосферы небо представляется черным, а в глаз попадают лишь прямые лучи от звезд.
Угловое распределение и поляризация света при рэлеевском рассеянии. Угловое распределение
рассеяния поляризованного излучения от отдельной молекулы описывается формулой D7.11).
Оно аксиально-симметрично относительно линии, проходящей через элементарный рассеива-
тель в направлении колебаний электрического вектора падающей волны (рис. 262). Перпенди-
Перпендикулярно направлению распространения падающей волны вдоль линии колебаний Е рассеяние
отсутствует. Максимальное рассеяние наблюдается в плоскости, перпендикулярной направле-
направлению колебаний электрического вектора падающей волны. Рассеянное излучение поляризова-
поляризовано — электрический вектор колеблется в плоскости, проходящей через линию колебаний элек-
электрона элементарного рассеивателя. Если рассеяние от различных молекул можно считать
некогерентным друг с другом, то полная интенсивность рассеяния в единице объема вычисля-
вычисляется умножением выражения D7.11) на концентрацию N молекул. Следовательно, свойства
излучения, рассеянного от отдельной молекулы, полностью сохраняются для излучения, рас-
рассеянного в объеме.

294 Для расчета углового распределения рассеяния неполяризованной волны представим падаю-
> щую волну в виде суперпозиции двух волн.с взаимно перпендикулярными направлениями поля-
9 ризации (см. § 4):
Е=Е, Ч-Е2, D7.15)
где Eji-E2. Отсюда находим соотношение между плотностями потока энергии этих волн:
<So> = <5"oi > + <So2> . D7.16)
Ясно, что рассеяние неполяризованного света должно быть аксиально-симметрично относи-
относительно направления луча. Пйэтому достаточно найти интенсивность рассеянного света в пло-
плоскости X У (рис. 261) в направлении, составляющем угол ф с осью X (рис. 263). Направим вектор
Ei по оси Z, а вектор Ег — по оси У. Тогда [см. D7.11I
/= У Г2 ~ ^ [ <S01 > sin2 (я/2) + <S02 > cos2 ф], D7.17)
N2"k* \n2 +2J
поскольку вклады в полную интенсивность от волн с взаимно перпендикулярными направления-
направлениями поляризации независимы. У неполяризованного света вектор Е в плоскости YZ равновероят-
равновероятно распределен по всем углам. Поэтому, усредняя Е2 по углам, из D7.16) находим
< So> = < Soi > + < S02 > , D7.18)
где внешними угловыми скобками обозначено усреднение по направлениям Е. Очевидно,
<» S02 > = < Soi > = < So >/2 D7.19)
и, следовательно, формула D7.17) принимает вид
Зависимость /(ф) показана на рис. 264. Картина рассеяния аксиально-симметрична относи-
относительно направления распространения падающей волны. Рассеяния вперед и назад одинаково
интенсивны и распределены симметрично относительно центра рассеяния.
В формуле D7.17) слагаемое с <S01 > описывает рассеянную линейно.поляризованную вол-
волну, электрический вектор которой колеблется коллинеарно оси Z, а слагаемое с <i52 > — ли-
линейно поляризованную волну, электрический вектор которой колеблется коллинеарно оси У.
Чтобы освободиться в описании рассеяния от координатной системы, назовем плоскостью
наблюдения плоскость, проходящую через падающий луч и точку наблюдения. Можно сказать,
что слагаемое с <5'01> в D0.17) описывает рассеянную волну, электрический вектор которой
колеблется перпендикулярно плоскости наблюдения, а с <5'02> —волну с электрическим
вектором, колеблющимся в плоскости наблюдения. Рассеяние волны с направлением электри-
электрического вектора, перпендикулярного плоскости наблюдения, описывается в D7.20) слагаемым
с единицей в последних круглых скобках, а параллельно плоскости наблюдения — слагаемым
с cos2 ф. Таким образом, при рассеянии неполяризованного света наблюдается частично поля-
поляризованное рассеянное излучение, степень поляризации которого зависит от угла ф. Степень
поляризации определяется соотношением
/1(ф)-/.-(Я>) =_Jr^_
/±(Ф)+-Л(Ф) l+cos2(p К*1-Ы)
т. е, лишь при углах ф = 0 и ф=я обе компоненты поляризации присутствуют с одинаковой
интенсивностью. При других углах ф более интенсивно присутствует рассеяние, в котором
электрический вектор колеблется перпендикулярно плоскости наблюдения.

Из D7.21) следует, что в направлении, перпендикулярном падающему лучу, свет полностью 295
линейно поляризован (Р=\). В частности, если в земной атмосфере наблюдается только рэ-
леевское рассеяние, то рассеянный атмосферой солнечный свет распространяющийся в плоско- §47
сти, перпендикулярной направлению Земля—Солнце, должен быть полностью поляризован-
поляризованным. Практически полная степень поляризации никогда не наблюдается, поскольку одновре-
одновременно с рэлеевским рассеянием солнечного света наблюдаются рэлеевское рассеяние света,
диффузно отраженного от поверхности Земли, и рассеяние Ми на аэрозольных частицах в воз-
воздухе. Некоторую роль в деполяризации наблюдаемого света играет также слабая оптическая
анизотропия молекул, составляющих воздух.
Ослабление интенсивности света. В результате рассеяния плотность потока энергии распро-
распространяющегося в среде света ослабляется. Если пучок света имеет поперечное сечение ст, то на
длине пути dx он встречает Nodx рассей вателей, каждый из которых выводит из пучка мощ-
мощность D7.13). Следовательно, мощность потока энергии в пучке уменьшается:
d < So > о = —IoNodx. D7.22)
С учетом D7.13) равенство D7.22) принимает вид
d<S0> =—y<S0>dx, D7.23)
где коэффициент рассеяния
Поэтому зако^ ослабления плотности потока энергии в световом пучке из-за рассеяния выра-
выражается формулой
< So (х) > = < So @) > е~ух. D7.25)
Рассеяние Ми. Теория Рэлея хорошо описывает не только рассеяние на молекулах, но и на
достаточно малых сферических частицах, радиус которых меньше примерно 0,03к. При увели-
увеличении размеров частиц становятся заметными'отклонения от предсказаний теории Рэлея и не-
необходимо пользоваться теорией Ми, Теория рассеяния Ми учитывает размеры частиц и выра-
выражает рассеяние в виде рядов, малым параметром в которых служит
а=ка=2па/к, D7.26)
где а — радиус сферической частицы. Теория рассеяния Ми относится собственно только к сфе-
сферическим частицам. Однако термин «рассеяние Ми» употребляется также и для рассеяния на
частицах других форм. Как видно из D7.26), имеет значение не абсолютный'размер частиц,
а соотношение размера частицы и длины волны. Закономерности рассеяния ультрафиолетовой
части спектра на частицах определенного радиуса таковы же, как и рассеяния красной части
Q Закономерности рассеяния зависят от размеров частиц, на кото-
которых происходит рассеяние света. При линейных раэиерах частиц,
меньших примерно 710 длины волны, наблюдается рэлеевское
рассеяние, а при больших размерах — рассеяние. Ми. Интенсив-
Интенсивность рэлеевского рассеяния обратно пропорциональна четвертой
степени длины волны. Интенсивность рассеяния Ми слабо зависит
от длины волны, а для частиц, линейные размеры которых много
больше длины волны, практически не зависит от длины волны.

296 спектра на частицах, примерно в два раза больших. При а <0,2
рассеяние становится рэлеевским, т. е. рэлеевское рассеяние
9 является предельным случаем рассеяния Ми.
Распределение интенсивности по углам и поляризация излуче-
излучения в рассеянии Ми. В больших частицах имеется много моле-
молекул. Элементарные диполи каждой молекулы под влиянием
электромагнитной волны приходят в колебания и становятся
источниками вторичных волн, составляющих рассеянное излу-
излучение. В этом отношении механизм-рассеяния Ми аналогичен
механизму рассеяния Рэлея. Различия обусловливаются лишь
двумя обстоятельствами.
1. При рассеянии Рэлея все элементарные рассеиватели на-
находятся в поле одной и той же волны и излучают когерентно.
При рассеянии Ми необходимо учесть влияние переизлучения
первичной волны элементарными рассеивателями, в резуль-
результате чего элементарные рассеиватели находятся, вообще го-
говоря, не в одинаковых электромагнитных полях. Другими сло-
словами, необходимо принять во внимание, что коэффициент пре-
преломления в объеме частицы не равен единице.
2. В рассеянии Рэлея излучение от элементарных рассеива-
телей одной и той же частицы (молекулы) интерферирует между
собой при одинаковой разности фаз независимо от направле-
направления. В рассеянии Ми необходимо учитывать различие в фазах
излучения элементарных рассеивателей и разность фаз, вноси-
вносимую в наблюдаемое излучение конечным расстоянием между
элементарными рассеивателями. Последнее обстоятельство
приводит к существенной зависимости распределения интен-
интенсивности излучения от направления, выражающей зависимость
условий интерференции излучения элементарных рассеивателей
от их взаимного расположения относительно точки наблюдения.
В математическом смысле теория Ми сводится к решению
уравнений Максвелла с граничными условиями на поверхно-
поверхности сферической частицы произвольного радиуса, характеризуе-
характеризуемой диэлектрической и магнитной проницаемостями и электро-
электропроводимостью. Решение получается в виде рядов, которые
дают полную информацию о рассеянии. В целом получается
довольно громоздкая и сложная теория, излагать которую в
данной книге нет необходимости. Укажем лишь на некоторые
важные результаты.
С увеличением размера частиц (точнее afk) появляется асим-
асимметрия рассеяния вперед и назад — превалирует рассеяние
вперед (рис. 265), однако (при а^Х/4) без резких максимумов и
минимумов. При дальнейшем увеличении размеров частиц
(а>Х) наблюдается преимущественное рассеяние вперед со
многими вторичными максимумами, распределение которых
зависит от размеров частиц (рис. 266).
Рассеянный свет частично поляризован даже при неполяри-
зованном, падающем на частицы излучении, как и при рэлеев-
ском рассеянии. Характер поляризации зависит от оптических
свойств частиц и направления, в котором наблюдается рассеян-
264
Угловое распределение интенсив-
интенсивности рассеяния неполярнзованно-
го света
265
Рассеяние Мн прн а « Х/4
266
Рассеяние Мн прн а > X
О Опишите угловое распреде-
распределение и поляризацию света
при рэлеевскон рассеянии.
В каком направлении в рэле-
рэлеевскон рассеянии наблюдает-
наблюдается полностью линейно поля-
поляризованный свет? В чем за-
заключаются физические при-
причины этого явления?
Опишите распределение ин-
интенсивности по углам и поля-
поляризацию света в рассеянии
Ми.
Почему при достаточно боль-
большом размере частиц, на кото-
которых происходит рассеяние,
рассеяние Ми очень слабо
зависит от длины волны све-
света?

ный свет. Если падающий свет поляризован, то поляризация рассеянного света зависит также 297
и от его поляризации.
Важной особенностью рассеяния Ми является его слабая зависимость от длины волны для §48
частиц, линейные размеры которых много больше длины волны, что существенно отличается
от рассеяния Рэлея. Благодаря этому, например, облака являются белыми, а небо — голубым.
Проявления рассеяния Ми. Многообразие проявлений рассеяния Ми обусловливается много-
многообразием частиц, на которых оно осуществляется. Небо, голубое в зените, постепенно сереет
к горизонту. При задымлении атмосферы небо приобретает белесый оттенок. При полете в
самолете на большой высоте четкая линия горизонта обычно не видна. Она застилается атмо-
атмосферной дымкой. Все эти явления обусловлены рассеянием Ми на аэрозолях воздуха. Малая
или почти полная непрозрачность тумана является следствием сильного рассеяния Ми малыми
каплями воды. Сильное ослабление света от Солнца при заходе и восходе в значительной сте-
степени обусловлено также рассеянием Ми.
§ 48
Рассеяние Мандельштама — Бриллюэна
Описываются основные закономерности рассеяния
Мандельштама — Бриллюэна.
Компоненты Мандельштама —Бриллюэна. При дифракции на звуковой волне возникают лишь
два максимума первого порядка, описываемые формулой C3.64). Амплитуда дифрагированной
волны изменяется вместе с коэффициентом пропускания и коэффициентом преломления
среды, обусловленным изменением плотности среды в волне. Следовательно, амплитуда изме-
изменяется гармонически с частотой П звуковой волны. Поэтому наблюдаемая в направлении ди-
дифракционных максимумов напряженность электромагнитной волны описывается формулой
E(t) = Ао cos Qr cos cot = (A0/2)[cos (со + Q)t + cos (со — Q)t], D8.1)
где ю — частота падающего света. Таким образом, в рассеянном свете должны наблюдаться
две сателлитные частоты, расположенные симметрично относительно основной частоты
(рис. 267). Сателлит с частотой со—Q называется стоксовым, а с co + Q — антистоксовым.
Они являются компонентами рассеяния Мандельштама — Бриллюэна.
Поскольку оптическая длина пути в среде в п раз больше геометрической, где п — показатель
преломления среды, формула C3.64) с учетом изменения скорости распространения света в
среде представляется равенствами
nd sin ф(+) = X, nd sin tp(_) = —X. D8.2)
Частота звуковой волны может быть выражена в виде
П = 2nv/d = 2nvn sin <рД = 2сои(v/c) sin (cp/2), D8.3)
где v — скорость распространения звуковых волн в среде, sin tp « 2 sin (ср/2) ввиду малости угла ср.
Формула D8.3) называется формулой Мандельштама — Бриллюэна.
О Как образуются компоненты Мандельштама—Бриллюэна?
Какие физические причины обусловливают присутствие несмещенной
частоты в рассеянии ?
Каковы основные особенности явления Мандельштама — Бриллюэна
в твердых телах?

298 Несмещенная компонента. В жидкостях в большинстве слу-
—— чаев наряду с частотами со + Q наблюдается также и частота со.
9 Формально ее появление можно объяснить, если в D8.1) вместо
cos Qt стоит а + cos Qt. где а — приблизительно постоянная.
Другими словами, наличие несмещенной частоты со в дифраги-
дифрагированном свете обусловливается оптической характеристикой
среды, которая не изменяется во времени по гармоническому
закону, а является примерно постоянной. Такая постоянная
составляющая оптической неоднородности возникает за счет
флуктуации в среде, которые выравниваются за короткие по
сравнению с периодом звуковой волны промежутки времени,
в частности флуктуации энтропии, которые выравниваются
посредством теплопроводности.
Явление Мандельштама — Брнллюэиа в твердых телах.
В аморфных твердых телах возможны как поперечные, так и
продольные волны, распространяющиеся с различными ско-
скоростями. Каждая из волн приводит в рассеянном свете к возник-
возникновению двух сателлитов. Поэтому всего в рассеянном излу-
излучении наблюдается пять компонент, включая несмещенную.
В кристаллических твердых телах число компонент увеличива-
увеличивается в соответствии с числом волн, распространяющихся с раз-
различными скоростями и различными направлениями колебаний,
и числом электромагнитных волн, которые могут распростра-
распространяться в кристалле в данном направлении. Расчет показывает,
что в общем случае в кристалле возникают 24 смещенные ком-
компоненты.
267
Компоненты
Брнллюэна
ш+Й,
Мандельштама —
§ 49
Комбинационное рассеяние
Описываются основные закономерности
комбинационного рассеяния.
Классическая интерпретация. Допустим, что оптические свой-
свойства молекулы изменяются по гармоническому закону, в резуль-
результате чего амплитуда рассеиваемого молекулой света также
изменяется по гармоническому закону. Наблюдаемая напря-
напряженность электрического поля рассеянного света аналогично
D8.1) равна
+acosQf)cos cor, D9.1)
где Q — частота, характеризующая изменение оптических
свойств молекулы, со — частота падающего на молекулу света.
Коэффициент а учитывает эффективность модуляции амплиту-
амплитуды падающего света молекулой.
Из D9.1) видно, что в рассеянном излучении присутствуют
волны с частотами со, со + П, со—Q. Наличие смещенных час-
частот в рассеянном молекулой излучении называется комбина-
комбинационным рассеянием. Оно было открыто в 1928 г. Ч. В. Рама-
ном, Г. С. Ландсбергом и Л. И. Мандельштамом. Каждая из
спектральных линий первичного излучения в рассеянном излу-
268
Схема расположения сателлитов
при комбинационном рассеянии

чении сопровождается целой системой спутников, частоты которых отстоят от центральной 299
частоты на величины, характерные для молекулы (рис. 268). Можно сказать, что молекулы
обладают набором собственных частот колебаний ее оптических свойств П|, ?Ц, ... > которые §49
в спектре рассеяния проявляются в соответствии с формулой D9.1). Частоты рассеянного света
комбинируются из частоты падающего света и собственных частот колебаний молекулы.
Экспериментальные факты. Опыт показывает, что спутники сопровождают каждую линию
падающего излучения, а частоты Hi, Пг,... одинаковы для всех линий и характеризуют свойства
молекулы. Система спутников симметрична относительно часто ты падающего излучения.
Спутники со стороны больших частот называются фиолетовыми или антистоксовыми, а со
стороны меньших — красными или стоксовыми. Опыт показывает, что ближайшие к централь-
центральной частоте стоксовы спутники значительно интенсивнее, чем антистоксовы, однако с повыше-
повышением температуры это различие уменьшается, поскольку интенсивность антистоксовых спут-
спутников значительно растет.
Спектры излучения молекул называют полосатыми, потому что они имеют вид полос,
состоящих из близко расположенных линий. Такой вид спектра обусловливается размыванием
линейчатого электронного спектра излучения молекулы за счет энергетических переходов мо-
молекулы между колебательными и вращательными уровнями энергий. Энергетическое расстоя-
расстояние между колебательными уровнями значительно больше, чем между вращательными. По-
Поэтому полоса в спектре образуется как бы в два этапа — на определенных расстояниях от час-
частоты излучения в результате электронного перехода образуются линии колебательного спектра,
а около каждой линии колебательного спектра образуются очень близко расположенные линии
за счет вращательных переходов. Изучение спектров излучения молекул и их комбинационных
спектров рассеяния показало, что комбинационные частоты П,, Q2, ... всегда совпадают с соот-
соответствующими разностями частот колебательного спектра молекул или, другими словами,
комбинационные частоты совпадают с собственными частотами колебаний молекул. Однако
не всем собственным частотам колебаний молекул удается сопоставить комбинационную час-
частоту в спектре комбинационного рассеяния и, кроме того, нет простой связи между интенсив-
интенсивностью линии поглощения в спектре- молекулы и соответствующей линии комбинационного
рассеяния.
Классическая интерпретация D9.1) комбинационного рассеяния позволяет понять смысл
комбинационных частот, но не в состоянии объяснить многие количественные закономерности
В частности, непонятно, почему интенсивности стоксовых и антистоксовых компонент различ-
различны. Комбинационное рассеяние является квантовым по своей природе и может быть полностью
описано лишь квантовой теорией.
Квантовая интерпретация. Энергетические уровни молекулы дискретны. Комбинационное
рассеяние объясняется переходами молекул между колебательными уровнями. Молекула по-
поглощает квант падающего излучения с энергией е = ha. Часть' энергии е* = Ш она поглощает
и переходит "на более высокий колебательный уровень? Оставшаяся энергия испускается в виде
кванта излучения с энергией е = е — ек = П (ю — П), т. е. частоты ю, = ю — Q. Так образуется
стоксова компонента. Антистоксова компонента образуется, если колебательные уровни мо-
О Какими физическими факторами обусловливается существование полоса-
полосатых спектров молекул?
Почему ближайшие к центральной частоте стоксовы спутники значи-
значительно интенсивнее антистоксовых и почему с повышением температуры
это различие уменьшается?
Почему не всем собственным частотам колебаний молекул удается сопо-
сопоставить комбинационную частоту в спектре комбинационного рассеяния?

лекул достаточно сильно возбуждены при соответствующей температуре. Квант излучения
е = hen поглощается молекулой, находящейся на возбужденном колебательном уровне. После
поглощения кванта излучения молекула переходит на более низкий колебательный уровень
и освобождающуюся при этом энергию ек = йП присоединяет к энергии поглощенного кванта,
испуская квант с энергией е2 =¦ е +ек = ft (со + П), т. е. частоты сог = со + Q. Так образуется анти-
стоксова компонента. Ясно, что при не очень высоких температурах число молекул, которые
могут принять участие в испускании стоксовых компонент, значительно больше числа молекул,
способных принять участие в испускании антистоксовых компонент. Этим объясняется, что
интенсивность стоксовых компонент больше антистоксовых. Различие интенсивностей сток-
стоксовых и антистоксовых компонент уменьшается с увеличением температуры, потому что отно-
относительно увеличивается число возбужденных молекул, способных участвовать' в испускании
антистоксовых компонент.
Интенсивность линии комбинационного рассеяния обусловливается легкостью поляризуе-
поляризуемости молекулы на соответствующей комбинационной частоте, а интенсивность линии погло-
поглощения определяется легкостью возбуждения колебаний молекулы излучением соответствующей
частоты. Эти два физических фактора различны по своей природе, и поэтому между интенсив-
ностями линий поглощения и соответствующих линий комбинационного рассеяния нет пря-
прямой связи.
Применения комбинационного рассеяния. Комбинационное рассеяние дает прямой метод
исследования строения молекул, позволяя измерять частоты их собственных колебаний, изучать
симметрию молекул, внутримолекулярные силы, молекулярную динамику и т. д. Спектры ком-
комбинационного рассеяния настолько характерны для молекулы, что с их помощью можно прово-
проводить анализ строения сложных молекулярных смесей, когда химические методы анализа не дают
желаемых результатов.

10
Основная идеи:
инверсная заселенность
уровней энергии
создает возможность
усиления и генерации
световых потоков
с большими временами
когерентности
и большой мощности.
Генерация
света
#

302 § 50
Излучение абсолютно черного тела
... Излагается классическая и элементарная квантовая теория
излучения абсолютно черного тела. Анализируются свойства
индуцированного излучения.
Плотность излучения. Повседневными генераторами света являются разогретые до достаточно
высоких температур материальные среды, которые при этом могут быть в твердом, жидком
или газообразном состоянии. Будем их все называть материальными телами или просто тела-
телами, в отличие от излучения, которое является также материальным объектом, но не телом.
Все тела излучают, поглощают и отражают электромагнитные волны, однако не одинаково,
и интенсивность этих процессов зависит от свойств тел, их температуры и частоты электромаг-
электромагнитных волн. Электромагнитное излучение в вакууме характеризуется полной объемной плот-
плотностью излучения
E0.1)
которая определенным образом распределена по спектру частот. Распределение излучения по
частотам описывается спектральной плотностью излучения
№Ш = dw/dco. E0.2)
Из E0.2) следует, что
ОО
W - $ H'adCO. E0.3)
Равновесная плотность излучения. Предположим, что некоторый объем пространства с на-
находящимися в нем материальными телами окружен замкнутой адиабатной оболочкой. По
истечении достаточно большого промежутка времени между материальными телами в полости,
замкнутой оболочкой, и излучением в полости установится термодинамическое равновесие.
Все тела будут иметь одинаковую температуру Т, а излучение в полости — определенную спек-
спектральную плотность излучения, называемую равновесной.
Первый закон Кирхгофа. Равновесная спектральная плотность ww зависит только от тем-
температуры Г и не зависит от свойств и природы тел, находящихся в полости, и от свойств и при-
природы стенок полости.
Справедливость этого утверждения доказывается с помощью второго начала термодина-
термодинамики. Допустим, что н'ш зависит от свойств и природы полости и материальных тел, находя-
находящихся в ней. Возьмем две различные полости с одинаковой температурой. По предположению,
Ни в них различны. Соединим полости в одну. Ввиду различия ww между ними должен начаться
обмен энергией излучения. Одна из полостей начнет нагреваться, другая — охлаждаться. Возни-
Возникает разность температур, которую можно использовать для получения работы. При соверше-
совершении работы разность температур между полостями будет ликвидирована и система , придет
в состояние термодинамического равновесия при более низкой, чем в исходном состоянии,
температуре, поскольку часть энергии системы была затрачена на работу. Таким образом,
производится работа за счет охлаждения адиабатно изолированной системы, что противоречит
второму началу термодинамики. Тем самым первый закон Кирхгофа доказан и можно записать
ww = wm (T). E0.4)
Поглощательиая способность и энергетическая светимость. Принимается, что излучение с по-
поверхности подчиняется закону Ламберта и поэтому спектральные плотности энергетической
светимости и энергетической яркости связаны соотношением G.9а). Поглощательная способ-
способность д1л определяется как отношение энергии, поглощаемой участком поверхности тела в се-
секунду в интервале частот (со, co+dco), ко всей энергии излучения, падающей в секунду на этот

участок в том же интервале частот, причем предполагается, что излучение падает на поверх- 303
ность изотропно. "—-"*
Второй закон Кирхгофа. В состоянии равновесия поглощаемая в секунду участком поверх- §50
ности энергия излучения должна быть равна энергии, излучаемой в тот же промежуток времени
тем же участком поверхности. Это условие можно записать в виде формулы
A=i.weG), E0.5)
в которой множитель с/4 учитывает связь плотности энергии с плотностью потоков энергии
при их изотропном распределении.
Значение этого множителя получается из следующих соображений. Если бы движение энер-
энергии осуществлялось в одном измерении и плотность потока энергии распределялась одинаково
между двумя направлениями, то плотность потока энергии в одном направлении была бы равна
cW(a/2. Однако в трехмерном пространстве при изотропном распределении плотностей по-
потоков энергии поток в заданном направлении образуется в результате сложения проекций
плотностей потоков во всех направлениях на данное, причем необходимо учитывать только по-
потоки с положительной проекцией. Поэтому плотность потока энергии в направлении, например
оси Z, равна <vz> wm /2, где <vz> — среднее значение положительной проекции скорости
потока на ось Z. Обозначая через 6, ф полярный и аксиальный углы в сферической системе
координат, находим
2я л/2
< v2 > = 4- ! d(p ! cos0 sin G d G = c/2,
2л о о
где учтено, что опирающийся на полусферу телесный угол равен 2я. Отсюда получаем для
плотности потока энергии в заданном направлении выражение сн>ш/4, совпадающее с первой
частью E0.5).
Направим ось Z сферической системы координат по нормали к излучающей поверхности,
обозначив G и ф полярный и аксиальный углы. Плотность потока энергии в телесный угол d Г2
ввиду изотропного распределения излучения равна [cwa /Drc)]dQ, а спектральная плотность
мощности излучения dP,a через элемент поверхности da', перпендикулярный направлению
движения потока энергии, дается формулой dPa — [cwa/Dn)]dudo'. Эта мощность излучения
испускается с площади da светящейся поверхности, причем da' = da ¦ cosG (см. рис. 24). Отсюда
для спектральной плотности энергетической светимости получаем
_dP^ _cw^ cQs Gdfi = _cvv^_ * * CosGsinGdG = — wa ,
**. n=2n 4я 4л о о 4
как это и предусмотрено в E0.5). Формула E0.5) выражает второй закон Кирхгофа. Зная универ-
универсальную функцию н>шG), можно по поглощательной способности определить энергетическую
светимость.
Абсолютно черное тело. Абсолютно черным называется тело, которое полностью поглощает
все падающее на него излучение, т. е. у которого Ат = 1. для абсолютно черного тела E0.5)
принимает вид
E0.6)
т. е. задача нахождения wa G) сводится к определению закона излучения абсолютно черного
тела.
Реализовать абсолютно черное тело можно в виде полости с небольшим отверстием

304
10
(рис. 269). Лучи, попадающие через отверстие внутрь полости,
в результате многократных отражений с поглощением на внут-
внутренних стенках оболочки полости практически полностью по-
поглощаются и не выходят через отверстие наружу. Это обстоя-
обстоятельство проявляется наглядно, например, при взгляде на от-
открытые окна в доме, которые в светлый день кажутся темными.
Излучение, исходящее из отверстия в оболочке полости, с до-
достаточно большой точностью может рассматриваться как излу-
излучение абсолютно черного тела Его излучение позволяет найти
Мш и с помощью E0.6) вычислить wa G).
Классическая физика оказалась не в состоянии объяснить
теоретически вид функции w<oG), измеренной эксперименталь-
экспериментально. Предельные случаи wa G) при достаточно малых и достаточ-
достаточно больших частотах были теоретически обоснованы форму-
формулами Рэлея—Джинса и Вина. Общая формула как интерполя-
интерполяционная формула для предельных случаев была найдена План-
ком. Она положила начало развитию квантовой теории.
Концентрация мод колебаний. Будем считать, что полость
имеет форму куба с ребром L (рис. 270). Стоячая волна может
образоваться лишь в том случае, если бегущая волна после от-
отражения от двух противоположных граней куба и прохождения
пути 2L возвращается в исходную точку с фазой, отличающейся
от первоначальных на 2кп, где п — целое. Не ограничивая общ-
общности, можно считать, что двукратное отражение от граней
либо не вносит в фазу волны каких-либо изменений, либо изме-
изменяет фазу на 2я. Поэтому условие образования стоячих волн в
каждом из измерений куба имеет вид
k2L=2nn E0.7)
или
kxL = ппх,
kyL = пщ, k2L = nnz,
E0.8)
где пх, пу, п2 — целые числа.
Число волн dN, волновые числа которых заключены между
(kx, kx +dkx), (ky, ку +dky), (k:, k2 +dfcr), равно числу целых чисел,
заключенных в интервале (пх, nx+dnx), (ny, ny+dny), (лг, nz +
+dn~), поэтому
dN = dnxdnydnz = (L/nKdkxdkydkz. E0.9)
Расчет удобно, вести в сферических координатах, считая, что
по осям декартовой системы координат отложены кх, ку, к:
(рис. 271). Поскольку числа кх, ку, кг положительны, в сфери-
сферических координатах E0.9) принимает вид
dN = (L/nK(l/SLnk2dk. E0.10)
Учитывая, что к = а>/с, находим концентрацию стоячих волн:
Поскольку электромагнитная волна обладает двумя возможны-
возможными поляризациями, то полная концентрация стоячих волн в
два раза больше E0.11) и равна
269
Реализация абсолютно черного те-
тела
270
К расчету числа стоячих волн в
кубической полости
az>? .
11 \
Расчет числа стоячих воли в сфе-
сферической системе координат

<^пол=_ш_ёа) E0.12) 305
L3 п2с3
Каждая из стоячих волн называется модой колебаний, а число мод E0.12) равно числу степеней
свободы системы. Если < е > является средней энергией, приходящейся на одну степень свобо-
свободы, то плотность энергии стоячих волн равна
-^1<е>. E0.13)
Таким образом, нахождение ww G) свелось к определению средней энергии моды колебаний.
Формула Рэлея — Джинса. По теореме о равнораспределении энергии на одну степень сво-
свободы в классической статистической системе приходится энергия кТ/2. У гармонического осцил-
осциллятора средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной, и поэтому его средняя энер-
энергия равна кТ. Это энергия, приходящаяся на одну моду колебаний. В E0.13) положим
"<е>=&7\ E0.14)
в результате получим
wm(T) = w2kT/(n2c3). E0.15)
Равенство E0.15) называется формулой Рэлея—Джинса. Эта формула была предложена
Д. У. Рэлеем A842—1911) в 1900 г. и несколько более подробно обоснована Д. Д. Джинсом
A877—1946). Она дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых со. При боль-
больших со спектральная плотность E0.15) значительно превосходит наблюдаемую, а при со -> оо
получается недопустимое соотношение wa -*¦ оо. Кроме того, полная объемная плотность из-
излучения
w = ]сошс1со-»-оо , E0.16)
о
что также недопустимо. Расходимость плотности энергии излучения E0.16) называется ультра-
ультрафиолетовой катастрофой.
Формула Вина. В. Вин A864—1928) предположил, что каждая мода колебаний является носи-
носителем энергии 6 (со), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число AN/N
возбужденных мод дается распределением Больцмана:
AN/N = e~tlykT). E0.17)
Отсюда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой со, находим
<е> =e(g))AN/N = e(co)e~e/ar) . E0.18)
Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды частотой со про-
пропорциональна частоте, т.е. е(со) = йсо. Коэффициент пропорциональности здесь дан в совре-
современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время не была известна. Фор-
Направление распространения, поляризация и фаза волны вы-
вынужденного излучения совпадают с соответствующими характе-
характеристиками волны вынуждающего излучения.
Положение максимума спектральной плотндсти излучения абсо-
абсолютно черного тела зависит от шкалы, для которой определяется
спектральная плотность излучения. Максимум спектральной плот-
плотности излучения по шкале частот приходится на более длинные
волны, чем по шкале длин волн.

306 мула E0.13) с учетом E0.18) принимает вид
wa(T) = Па3е~Ьа/(кт)/(п2с3). ^0.19)
10 ,-
Она называется формулой Вина A896) и дает хорошее совпадение с экспериментом в области
достаточно больших частот. Если взять спектр солнечного излучения (см. рис. 1), то с помощью
формулы Рэлея—Джинса удается описать лишь частоты, много меньшие тех, на которые
приходится максимум плотности излучения, а с помощью формулы Вина — только большие
частоты, далеко за максимумом. Промежуточную область долго не удавалось описать.
Формула Планка. М. Планк A858—1947) предложил в 1900 г. интерполяционную формулу,
которая при малых частотах переходит в формулу Рэлея—Джинса, а при больших — в формулу
Вина. Она имеет вид
E0.20)
где h = 1,05-10 34 Джс — постоянная Планка При йсо < кТ E0.20) переходит в E0.15), а при
Йсо > кТ—в E0.19). Формула ($0.20) полностью описывает излучение абсолютно черного
тела и дает согласие с экспериментом^
Закон Стефана—Больцмана. Полная объемная плотность излучения равна
E0-21)
Учитывая, что
СО кЗ,
E0.22)
запишем E0.21) в виде
w = a7+, а= з*4 = 7,56-106 ДжмК. E0.23)
Обычно вместо объемной плотности излучения используется понятие энергетической свети-
светимости, которая на основе E0.6) связана с величиной w соотношением
M=cw/4. E0.24)
Это. равенство с учетом E0.23) принимает вид
где
о — ас
/4 = 5
,67032
•НГ8
Вт-
м-
К.
E0.25)
E0.26)
Соотношение E0.25) называется формулой Стефана — Больцмана, а — постоянной Стефа-
Стефана — Больцмана.
Закон смещения Вина. Максимум спектральной плотности излучения может быть найден
из E0.20). Однако положение максимума зависит от шкалы, для которой определяется спек-
спектральная плотность, для вычисления в шкале длин волн необходимо перейти к длинам волн
X = 2яс/со и спектральной плотности излучения н>х по шкале длин волн. Тогда
E0.27)

272
Сиектр излучения абсолютно чер-
черного тела на шкале длин волн
273
Двухуровневая система атомов
Связан ли расчет концентра-
концентрации иод колебаний с конкре-
конкретизацией граничных условий?
Сформулируйте условия, при
которых получаются форму-
формулы Рэлея — Джинса и Вина.
Для какой шкалы спектраль-
спектральной плотности энергии сфор-
сформулирован закон смещения
Вина?
и поэтому распределение спектральной плотности излучения 307
по длинам волн имеет вид (рис. 272)
16п2Пс
E0.28)
Максимум спектральной плотности излучения находится
из условия
dwx/dX = Q, E0.29)
дающего для определения >^макс уравнение
5 = х<?1(е — 1), х = 2псЬ/(кТкм&кс). E0.30)
Решением этого уравнения является х = 4,965. Поэтому XMaxic
определяется соотношением
Т = 2nch/ (for) = 0,0029 м• К,
E0.31)
называемым законом смещения Вина Спектр излучения абсо*
лютно черного тела по шкале длин волн показан на рис. 272.
Из формулы E0.31) для 1.макс в спектре излучения Солнца
(^iob ет.6000 К) получается значение около 0,550 мкм. Для рас-
расчета максимума по спектру частот вместо E0.29) надо решить
уравнение д н>ш /Эсо = 0. В результате для спектра излучения
Солнца при частоте соМакс получается значение около 2,1 х
хШ1
что соответствует длине волны около 0,88 мкм.
Элементарная квантовая теория. Получить формулу Планка
в рамках классических представлений невозможно. Однако ее
удается обосновать с помощью элементарных рассуждений,
основывающихся на квантовых представлениях об излучении
и поглощении света. Хотя эти рассуждения не дают полного
количественного решения задачи об излучении абсолютно чер-
черного тела, они дают достаточно ясное представление о меха-
механизме динамического равновесия между излучением и ма-
материальными телами.
В термодинамическом равновесии находятся оболочка по-
полости тела и излучение в полости. Излучение представляется
совокупностью квантов с энергией е = йсо. Кванты могут по-
поглощаться атомами, которые при этом переходят на более
высокий энергетический уровень с энергией Е\ = Ео + ha>, где
?Ь — исходный энергетический уровень атома. При переходе
атома с уровня Е\ на ?Ь излучается квант с энергией Е\ — Ео —
= ha. Обозначим эти уровни индексами 0 и 1 (рис. 273) и назо-
назовем соответственно нижним и верхним уровнем.
Динамическое равновесие осуществляется посредством по-
постоянного обмена квантами между полем излучения и матери-
материальными телами, в результате которого происходят переходы
атомов между уровнями энергии и изменяется число квантов
в поле излучения. Согласно принципу детального равновесия,
обмен квантами должен уравновешиваться для каждой частоты
в отдельности (точнее, для кажДой моды излучения). Поэтому
§50

308 рассмотрим лишь одну частоту. Для других частот все рассуждения аналогичны, меняются
лишь уровни атомов, переходы между которыми осуществляют динамическое равновесие.
10 Спонтанные и вынужденные переходы. С нижнего уровня на верхний по закону сохранения
энергии переходы возможны только с поглощением кванта энергии, т. е. под влиянием излу-
излучения, падающего на атом. Такие переходы называются вынужденными. Переходы с верхнего
уровня на нижний могут быть как вынужденными, под влиянием падающего на атом излуче-
излучения, так и спонтанными, или самопроизвольными, происходящими независимо от падающего
на атом излучения.
Обозначим v(io} частоту переходов атомов с верхнего уровня на нижний спонтанно, v\l* —
вынужденно и vo? — с нижнего уровня на верхний вынужденно. Условие динамического равно-
равновесия записывается в виде
vft+vfeWU. E0.32)
Коэффициенты Эйнштейна. В 1917 г. А. Эйнштейн A879—1955) предложил элементарную
квантовую картину динамического равновесия между излучением и материальной средой, при-
приводящую к правильной формуле излучения абсолютно черного тела.
Обозначим А ю вероятность спонтанного перехода 1 -> 0 в секунду, N} — концентрацию
атомов на верхнем уровне. По определению этих величин можно записать
v^ = N,A10. E0.33)
Частота вынужденных переходов, очевидно, пропорциональна плотности излучения. Обозна-
Обозначим Вю и BOi вероятности вынужденных переходов 1->0и0->1в секунду, отнесенные к спек-
спектральной плотности излучения wa; No — концентрацию атомов на нижнем уровне. По опреде-
определению этих величин можно записать
v# = AT, waВю , vg = N0waB0l . E0.34)
С учетом E0.33) и E0.34) соотношение E0.32) принимает вид
НгАт + tf,wm Дю = N0waB01 . E0.35)
В равновесном состоянии справедливо распределение Больцмана, которое для концентраций
атомов принимает вид
Nl=Ae-E'f(kT} , No = Ае-Е°/(кт) , E0.36)
где А — нормировочная постоянная. Подставляя E0.36) в E0.35) и сокращая полученное выра-
выражение на общий множитель А, находим
Аюе +waB10e ! = wwBole E0.37)
Величины Аю, Вю, Во1 называют коэффициентами Эйнштейна.
Из физических соображений ясно, что при Т-*со должно быть н'ш -> оо. Тогда, разделив
обе части E0.37) на н'ш, получим
Вю = Ям • E0.38)
Поэтому соотношение E0.37) может быть записано в виде
, ¦ <50-39>
где tLW = EL — Ео. Теоретически значение отношения А\о/В\о в рамках элементарной кванто-
квантовой теории найдено быть не может. Оно вычисляется в рамках строгой квантовой теории излу-
излучения. Однако значение этого отношения можно найти, если учесть, что E0.39) при малых час-
частотах должно совпадать с формулой Рэлея—Джинса E0.15), а при больших частотах — с фор-
формулой Вина E0.19).

При Ъы<^кТ можем считать, что ехр [Н(о/(кТ)] » i +~Н(?>/(кТ), и записать E0.39) в виде 309
Сравнивая E0.40) с E0.15), находим
Лю/Яю = Йсо3/(я V). E0.41)
Формула E0.39) принимает вид
»--¦*$¦ №-!¦ E°-42)
совпадающий с формулой Планка E0.20).
Хотя элементарная квантовая теория излучения абсолютно черного тела не позволяет теоре-
теоретически вычислить значения коэффициентов Эйнштейна, она демонстрирует необходимость
существования спонтанных и вынужденных переходов, причем для вероятностей вынужденных
переходов соблюдается важное соотношение E0.38).
Испущенные в результате спонтанных переходов кванты имеют случайное направление
распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Кванты, испущенные в резуль-
результате вынужденных переходов, коррелируют по своим свойствам с излучением, которое вызывает
переход. Вынужденное излучение обладает той же поляризацией, тем же направлением распро-
распространения и той же фазой, что и вынуждающее переход излучение. Это свойство вынужденного
(или индуцированного) излучения чрезвычайно важно для его применений и проявлений.
§ 51 Оптические усилители
Обсуждаются условия усиления светового потока
при прохождении через среду.
Прохождение света через среду. ^Ри пРохожДении света через среду осуществляется обмен кван-
квантами между пучком света и атомами среды посредством вынужденных переходов и спонтанное
испускание квантов. Обозначим частоту излучения, концентрации атомов на верхнем и нижнем
уровнях соответственно со, N i, No (см. рис. 273). Спектральную объемную плотность излучения
частоты со обозначим wa . Она изменяется в результате вынужденного поглощения квантов ато-
атомами среды, благодаря чему плотность потока уменьшается, и вследствие вынужденного излу-
излучения атомов, приводящего к увеличению плотности н'ш. Закон сохранения энергии при вынуж-
вынужденных переходах на основании E0.34) записывается в виде
— No), E1.1)
где В = B^o = Во\. С помощью обозначения
a = tHuB(Ni —No)/ г E1.2)
уравнение E1.1) может быть записано в виде
dwc/df = аг;и'ш , E1.3)
где 1; — скорость света с частотой со в среде. Это уравнение может быть переписано в виде
dS/dt=avS, E1.4)
где
S=vwa E1.5)
,— плотность потока энергии. Считая, что свет распространяется в направлении оси Z, можем
написать

310 dS= dS dz = dS i; E1.6)
——- dr dz dt dz
10 где dz/dt = о — скорость распространения света в среде. Ясно, что здесь речь идет о групповой
скорости, с которой распространяется энергия. С учетом E1.6) уравнение E1.4) принимает вид
dS/dz=aS E1-7)
и имеет решение
S(z) = Soeaz, <51-8)
где So=S@).
Закон Бургера. Экспоненциальная зависимость E1.8) плотности потока от расстояния на-
называется законом Бургера. В состоянии термодинамического равновесия концентрации атомов
описываются распределением Больцмана. Из неравенства Е\ > Ео следует N\ < No и поэтому
а < 0. Это означает, что плотность потока по мере прохождения света в среде уменьшается.
Механизм уменьшения плотности состоит в следующем. В результате вынужденных переходов
атомов с нижнего энергетического уровня на верхний плотность энергии потока уменьшается.
При переходе атомов с верхнего уровня на нижний лишь часть квантов возвращается в поток,
а именно кванты, испущенные в результате вынужденных переходов. Кванты, испущенные
спонтанно, в поток не возвращаются, что и является причиной уменьшения его плотности.
Условия усиления. Если привести систему атомов в неравновесное состояние и тем самым
достаточно сильно нарушить распределение Больцмана, то можно Добиться изменения концен-
концентрации атомов на различных уровнях так, чтобы было Ni « Л/о или даже Nt > No- В первом
случае а«0и пучок через среду распространялся бы без поглощения, а во втором случае а > 0
и пучок при прохождении усиливался бы, т. е. среда действовала бы как усилитель светового
потока.
Это позволяет создавать генераторы и усилители волн, основанные на индуцированном
излучении, которые для светового диапазона называются лазерами, а для микроволнового —
мазерами. За фундаментальные исследования в области квантовой электроники, которые при-
привели к созданию генераторов и усилителей нового типа — мазеров и лазеров, советским ученым
А. М. Прохорову (р. 1916 г.) и Н. Г. Басову (р. 1922 г.) и американскому ученому Ч. X. Таунсу
(р. 1915 г.) в 1964 г. была присуждена Нобелевская премия. Идея о возможности использования
индуцированного излучения для усиления светового потока была высказана в 1940 г. советским
физиком В. А. Фабрикантом (р. 1907 г.).
Воздействие светового потока на заселенность уровней. Световой пучок, вызывая вынужден-
вынужденные переходы атомов между уровнями, изменяет их заселенность. Обозначим N полную концен-
концентрацию атомов. По определению,
N = Ni +N0. E1.9)
Изменение заселенности верхнего уровня происходит за счет вынужденных и спонтанных пере-
переходов и может быть описано уравнением
—No) — Ni/x, E1.10)
где N\/x учитывает частоту спонтанных переходов. Подставляя в E1.10) выражение для No
из E1.9), получим
dNi/dt = —SBBNi — N)/v— /V,/t, E1.11)
где wa = S/v. При достижении стационарного состояния должно соблюдаться условие
dNi/dr = 0, E1.12)
которое с учетом E1.11) принимает/вид
—SBBNi — N)/v—N1/x=04 E1.13)

откуда следует
274
Зависимость показателя ослабле-
ослабления от плотности потока энергии
в световом пучке
Е
1
1
i 1
1 1
I i
О N2 Л/i NQ N
а
1
1
1
i
1 j
i!
i
1
1
1
I
N2 NQ TV, N
б
275
Создание инверсной заселенности
в трехуровневой системе: а — нор-
нормальная заселенность; б — ипвер-
спая
О При каких условиях свет при
прохождении через среду ос-
ослабляется? проходит без ос-
ослабления? усиливается? Как
эти условия реализуются?
Опишите трехуровневый ме-
механизм создания инверсной
заселенности уровней. Какие
при этом требования предъ-
предъявляются к энергетическим
уровням?
2 1 + v/BxBS)
311
E1.14) §51
Из E1.14) видно, что с увеличением плотности потока S за-
заселенность верхнего уровня увеличивается. Это приводит к
соответствующему изменению коэффициента.
а =
— N0)/v =
JuaNB
1
l+2xBS/v
E1.15)
Условия насыщения. График зависимости а от S показан на
рис. .274. Видно, что при любых 5" происходит поглощение.
При S -> оо оно полностью прекращается и наступает насы-
насыщение. Поскольку а стоит в экспоненте, принимается, что на-
насыщение практически наступает при изменении а в два раза по
сравнению с его минимальным значением, т. е. при увеличении
знаменателя E1.15) в два раза. Поэтому условие насыщения за-
записывается в виде
v/BxBS) = 1,
E1.16)
и, следовательно, насыщение наступает при плотности потока
энергии
S=v/BxB). E1.17)
Таким образом, световой поток выравнивает заселенность
двух уровней, между которыми он обусловливает вынужденные
переходы, а при достаточно большой плотности потока может
даже почти сравнять их заселенность, но он не может создать
инверсную заселенность между этими уровнями.
Создание инверсной заселенности. Инверсной заселенности
энергетических уровней можно добиться с помощью некото-
некоторого воздействия на атомы, независимого от усиливаемого
света.
Наиболее простой путь создания инверсной заселенности
осуществляется в трехуровневых системах (рис. 275).
На рис. 275, а изображено распределение заселенностей в равно-
равновесном состоянии системы. При воздействии на систему излу-
излучением большой мощности с частотой сон = (Ег— ЕоIЬ засе-
заселенности уровней Ео и Ег при выполнении условия E1.17)
практически сравниваются. Допустим, что время жизни атомов -
на уровне Ег очень мало и они спонтанно переходят на уровень
Еи время жизни на котором у них достаточно велико. Ясно,
что 'атомы на уровне Ех будут накапливаться, в результате чего
создается инверсная заселенность между уровнями Ег и Ео
(рис. 275, б) Этот переход может быть использован для усиле-
усиления света с частотой со = (Ех — Ео) / h.

Э12
10
§52
Лазеры
Рассматриваются принципы и характеристики
работы лазеров.
Принципиальная схема лазера. Среда с инверсной заселенностью, способная усиливать прохо-
проходящий через нее световой поток, называется активной. Заполним пространство между пласти-
пластинами интерферометра Фабри — Перо активной средой (рис. 276). Между последовательными
отражениями от зеркал при прохождении через активную среду световой поток усиливается.
Эта система образует активный оптический резонатор. Усиление потока при прохождении через
активную среду происходит в соответствии с формулой E1.8). При отражении от зеркал излу-
излучение частично ослабляется. Одно из зеркал делается с максимально возможным коэффициен-
коэффициентом отражения, а через другое зеркало свет в определенной пропорции выходит из системы,
образуя ее излучение, которое называется лазерным. Кроме потерь света при отражении от зер-
зеркал имеются потери за счет рассеяния в среде и других дифракционных эффектов. Для работы
системы в качестве генератора света необходимо обеспечить определенный баланс между уси-
усилением светового потока при прохождении через активную среду и ослаблением за счет всех
факторов, включая само лазерное излучение.
Порог генерации. Элементарный цикл работы лазера включает два последовательных про-
прохождения через активную среду и соответствующие отражения от зеркал. Потери энергии могут
быть учтены эффективными коэффициентами отражения pi и р2 на зеркалах, причем они учи-
учитывают не только отражения от зеркал (вообще говоря, различные, поскольку через одно из
них из лазера выходит излучение), но и другие потери, о которых говорилось выше. Таким обра-
образом, pi и р2 меньше коэффициентов отражения только от зеркал резонатора. За один цикл про-
происходят два отражения света и, следовательно, ослабление потока пропорционально рфг-
За один цикл свет в активной среде проходит путь 2L. Поэтому на основании E1.8) усиление
потока за цикл пропорционально exp(a2L), где a — значение коэффициента усиления E1.2)
за цикл. Полное усиление плотности потока энергии за один цикл описывается формулой
S = Sop.p2e2aL, E2.1)
где So — плотность потока энергии в начале цикла (за начало цикла можно взять любой момент
времени). Перепишем E2.1) в виде
S = Soe2aL-2/, E2.2)
где
2/=— 1п(р,р2). E2.3)
Из E2.2) видно, что генерация лазерного излучения начинается тогда, когда приобретаемая
световым потоком в активной среде энергия за цикл превосходит потери энергии, включая
энергию покинувшего систему лазерного излучения. На пороге генерации плотность потока
энергии в системе не столь велика, чтобы изменить заселенность уровней, и поэтому для порога
Генерация лазерного излучения начинается лишь тогда, когда
передаваемая в резонаторе за цикл энергия от активной среды
в световой поток начинает превосходить суммарные потери свето-
светового потока в резонаторе, включая энергию, уносимую лазерным
излучением. Количественно начало генерации лазерного излуче-
излучения характеризуется условием порога генерации.

276
Принципиальная схема лазера
277
Импульсная накачка лазера (пунк-
(пунктирная линия — импульс накачки;
сплошная — импульс излучения)
генерации можно считать а=а0, где а0 — коэффициент усиле-
усиления в отсутствие светового потока. Следовательно, на основа-
основании E2.2) условие порога генерации имеет вид
a0L =/. E2.4)
Условия стационарной генерации. При стационарной генера-
генерации потери энергии компенсируются за счет энергии, получен-
полученной световым пучком от активной среды. Стационарная гене-
генерация может осуществляться при значительных плотностях
потока энергии, поэтому в качестве а следует взять его значе-
значение при наличии потока. Условие стационарной генерации имеет
вид
aL =/. E2.5)
Добротность. Поскольку лазер представляет собой оптиче-
оптический резонатор, в теории лазеров широко используется терми-
терминология теории колебаний. Потерю энергии за период колеба-
колебаний принято характеризовать добротностью — отношением
запасенной в системе энергии W к потерям энергии за одно ко-
колебание AW:
278
Модуляция добротности вращаю-
вращающейся призмой
О
Каков физический смысл по-
порога генерации и условия ста-
стационарной генерации.
В чем состоит метод модуля-
модуляции добротности для увели-
увеличения мощности излучения?
Q= W/AW.
Запасенная в системе энергия равна
E2.6)
W = woL, E2.7)
где a — площадь поперечного сечения лазерного пучка. Потеря
энергии за один цикл составляет
(w/2)aL(l —
E2.8)
где учтено, что объемная плотность энергии w складывается
из равных объемных плотностей двух потоков энергии, движу-
движущихся в противоположных направлениях. Учитывая, что про-
продолжительность одного цикла равна 2L/v, и обозначая период
лазерного излучения через 7!=2я/со, находим, что потеря энер-
энергии за одно колебание выражается формулой
AW =
— e~2-Q
2Ljv.
T=1/2wvqfT,
E2.9)
где exp (—2/) «1 — 2f, поскольку / < 1. Отсюда по формуле
E2.6) находим
cwL
2L
wvqfT/2
m
7'
E2.10)
где т = 2L/X = L/ (Х./2) —' число стоячих полуволн в резона-
резонаторе, X — длина волны излучения. С помощью E2.10) условие
E2.4) выражается особенно наглядно:
1/Q, E2.11)
313

314 т. е. для осуществления генерации необходимо, чтобы усиление на пути в половину длины вол-
ны было равно (или больше) величине, обратной добротности.
10 Порог генерации тем выше, чем меньше добротность. Добротность же тем меньше, чем
больше потери. Поэтому для осевых лучей порог генерации достигается раньше и энергия в
излучении лазера уносится преимущественно ими. Это означает, что излучение лазера сосредо-
сосредоточено в узком параллельном пучке лучей, угол расходимости которого обусловливается глав-
главным образом дифракцией.
Непрерывные и импульсные лазеры. Создание инверсной заселенности уровней называется
накачкой. Накачка лазеров может быть самой разнообразной и будет рассмотрена в связи с кон-
конкретными типами лазеров. По характеру зависимости накачки от времени она может быть не-
непрерывной и импульсной. Если накачка осуществляется импульсами, то и излучение лазера
импульсное. После начала импульса накачки начинает изменяться заселенность уровней. Когда
достигаются условия порога генерации E2.4), начинается испускание лазерного излучения
(рис. -277).
При непрерывной накачке, которая постоянно обеспечивает соблюдение условия E2.5),
излучение лазера непрерывно. Следует, однако, отметить, что при непрерывной накачке возмо->
жен также импульсный режим излучения, так же как возможно излучение нескольких импуль-
импульсов излучения при одном импульсе накачки.
Повышение мощности излучения. Для повышения мощности излучения необходимо увели-
увеличить число атомов, участвующих в усилении светового потока в резонаторе лазера за счет инду-
индуцированного излучения, и уменьшить длительность импульса.
Метод модулированной добротности. Чтобы "увеличить число атомов, участвующих почти
одновременно в усилении светового потока, необходимо задержать начало генерации, чтобы
накопить как можно больше возбужденных атомов, создающих инверсную заселенность, для
чего надо поднять порог генерации лазера и уменьшить добротность. Это можно сделать посред-
посредством увеличения потерь светового потока. Например, можно нарушить параллельность зер-
зеркал, что резко уменьшит добротность системы. Если при такой ситуации начать накачку, то даже
при значительной инверсии заселенности уровней генерация не начинается, поскольку порог
генерации высок. Поворот зеркала до параллельного другому зеркалу положения повышает
добротность системы и тем самым понижает порог генерации. Когда добротность системы
обеспечит начало генерации, инверсная заселенность уровней будет весьма значительной.
Поэтому мощность излучения лазера сильно увеличивается. Такой способ управления генера-
генерацией лазера называется методом модулированной добротности.
Продолжительность импульса излучения зависит от того, в течение какого времени вслед-
вследствие излучения инверсная заселенность изменится настолько, что система выйдет из условия
генерации. Продолжительность зависит от многих факторов, но обычно составляет 10 —
1(Г8с.
Очень распространено модулирование добротности с помощью вращающейся призмы
(рис. 278). При определенном положении она обеспечивает полное отражение падающего вдоль
оси резонатора луча в обратном направлении. Частота вращения призмы составляет десятки
или сотни герц Импульсы лазерного излучения имеют такую же частоту, хотя длительность
каждого импульса составляет 1(Г —10~ с.
Более частое повторение импульсов может быть достигнуто модуляцией добротности с
помощью ячейки Керра (см. § 45). Ячейку Керра и поляризатор помещают в резонатор. Поля-
Поляризатор обеспечивает генерацию лишь излучения определенной поляризации, а ячейка Керра
ориентирована так, чтобы при наложении на нее напряжения не проходил свет с этой поляриза-
поляризацией. При накачке лазера напряжение с ячейки Керра снимается в такой момент времени, чтобы
начавшаяся при этом генерация была наиболее сильной.
Имеются также и другие способы введения потерь, приводящие к соответствующим мето-
методам модуляции добротности.

§ 53 I Лазерное излучение
| Описываются свойства лазерного излучения.
Моды излучения. В стационарном режиме излучения лазера в его оптическом резонаторе, по
определению стационарности, должны образоваться стоячие волны. В самом общем виде стоя-
стоячая волна может быть представлена как суперпозиция элементарных стоячих волн, называемых
модами колебаний. Излучение лазера, соответствующее этим модам колебаний, называют мо-
модами излучения лазера.
Мода колебаний зависит от геометрических характеристик резонатора, от коэффициента
преломления активной среды и, вообще говоря, от условий на граничных поверхностях резо-
резонатора Рассмотрим для конкретности резонатор с прямоугольными плоскими зеркалами и
цилиндрический резонатор со сферическими зеркалами.
Резонатор с прямоугольными плоскими зеркалами (рис. 279). Частное решение волнового
уравнения B.9) имеет вид
§53
[sin со Л [sin fc^lfsin Ar^y] [sin k'.zl
cos cotj [cos k^x] [cos k^y] |_cos kzz\
причем можно выбрать произвольную комбинацию сомножителей, по одному из каждой скоб-
скобки (выбор комбинации определяется граничными условиями, которым надо удовлетворить);
Ео — постоянная амплитуда, определяющая поляризацию колебаний. Подстановка выбранной
в E3.1) комбинации сомножителей в уравнение B.9) приводит к равенству
к'х2 + к'у2 + к'г2 = к'2 = цесо2, E3.2)
где волновое число к' относится к среде, т. е. к' = 2nfkc, ^с — длина волны в среде. В уравнении
B.9) сделана замена е0 -> е, ца -> ц, чтобы записать его для среды. Учитывая, что це = \/v2, из
E3.2) получаем
к' = <u/v = (йп/с = кп, E3.3)
где n = c/v — показатель преломления среды, к = со/с — волновое число в вакууме.
Возникновение стоячих волн в каждом измерении прямоугольного резонатора происходит
при выполнении условия цикличности
ткс = 21, E3.4)
где Хс — длина волны в среде, / — размер резонатора в соответствующем измерении. Стоячая
волна может быть представлена как сумма двух бегущих волн, распространяющихся в противо-
противоположных направлениях. Условие цикличности означает, что после двух последовательных
отражений от зеркал и прохождения двух длин резонаторов все характеристики волны должны
вернуться к своим исходным значениям. Отсюда следует, в частности, что эти волны должны
иметь определенное состояние поляризации. Быть неполяризованными они не могут. Характер
поляризации этих волн зависит от резонатора. В правую часть E3.4), строго говоря, необ-
необходимо включить изменение фазы волн при отражении от зеркал. Однако это обстоятельство
не вносит ничего существенного в анализ процесса, а лишь делает громоздкими формулы и
поэтому не учитывается.
Считая ось Z направленной перпендикулярно поверхностям зеркал резонатора, запишем
условие E3.4) в виде

316 кха==>
kyb = i
10
E3.5)
k'zL = mzn,
где а и Ъ — размеры резонатора в направлении осей X и Y.
Заметим, что условия E3.5) получены не как запись гранич-
граничных условий, которые всегда необходимы для получения ре-
решения задачи, сформулированной в виде дифференциальных
уравнений. Они получены как следствие более общего физиче-
физического, а не математического требования E3.4) цикличности
волнового поля, что весьма существенно, поскольку это требо-
требование в явном виде содержит предположение об образовании
стоячих волн как результата суперпозиции бегущих волн.
Аксиальные (продольные) моды. Моды характеризуются
набором чисел (тх, ту, mz). Главной называется мода @, 0, mz).
Она не имеет узлов в плоскости, перпендикулярной оси Z и
описывает стоячую волну, являющуюся суперпозицией встреч-
встречных бегущих волн, распространяющихся параллельно оси Z.
Вне резонатора ей соответствует волна, распространяющаяся
параллельно оси лазера. В теории волноводов эта мода назы-
называется поперечной электромагнитной модой и обозначается
TEMoomz. Из E3.3) с учетом E3.5) для частот излучения этой
моды получаем выражение
coWz = k'zc/n = cnmz/(Lri). E3.6)
Возможные круговые частоты аксиальных мод разделены ин-
интервалом
Асо = с%- AmJ(Ln) — ai/(Lri), E3.7)
поскольку число mz для соседних частот различается на единицу
(Amz = 1). Расстояние по частотам равно Av = Дсо/Bя) =
= c/BLn). Учитывая, что v= с [к, запишем это соотношение в
виде Av/v = X/BL/i).
Лазером генерируются не все частоты, а лишь те, которые
удовлетворяют условиям порога генерации. На рис. 280 изобра-
изображена кривая ао(со). Генерация возможна лишь для частот, за-
заключенных между со] и юг. Генерируемые частоты располо-
расположены на равных расстояниях E3.7) друг от друга. Сколько гене-
генерируемых частот попадает в этот интервал, зависит от кон-
конкретных условий. У гелий-неонового лазера (А, = 632,8 нм) это
число равно 5—10, в рубиновом лазере — несколько сотен,
а в лазерах на красителях — несколько тысяч. Однако можно
добиться одномодового, двухмодового режима и т. д.
Ширина линий излучения. Каждая из излучаемых линий,
попадающих в полосу усиления, не является строго монохро-
матичной; она имеет конечную ширину. Ее ширина Av может
быть определена из общего условия
Avt « 1, E3.8)
где т — продолжительность излучения. В лазерах с модуля-
модуляцией добротности т»10~8с и, следовательно, Ду = 108Гц.
L О
279
Прямоугольный оптический резо-
резонатор
280
Метод определения частот гене-
генерируемых мод

@,0, тг)
(l,0,mz)
A.1.W-)
Моды лазерного излучения для
прямоугольного резонатора
282
Цилиндрический резонатор со сфе-
сферическими зеркалами
>
@,0,mz)
@,3,
@,2, т,)
@,4,mz)
283
Моды лазерного излучения в ци-
цилиндрическом резонаторе со сфе-
сферическими зеркалами
В непрерывном режиме теоретически можно для продолжи-
продолжительности излучения т принять любые значения, а следова-
следовательно, можно теоретически получить сколь угодно тонкие
линии. Однако практически происходят неконтролируемые
флуктуации показателя преломления, изменения расстояния L
в результате вибраций, теплового расширения станины из-за
колебаний температуры и т. д. Все это приводит к уширению
линий. Например, из E3.6) следует, что Av/v =—AL/L. По-
Поэтому небольшое изменение AL —1./5Q при L — 1 мД =0,5 мкм
дает Av/v = КГ8. Однако все эти факторы не играют принци-
принципиальной роли, их действие может быть уменьшено совершен-
совершенствованиями технической стороны дела. Принципиальное зна-
значение имеют броуновское движение зеркал и спонтанное излу-
излучение атомами среды. Однако уширение за счет этих факторов
составляет очень малую величину порядка Av «* 102 — КГ1 Гц,
что при v« 1015 Гц дает Av/v = 10~13-=-1(Г16. В настоящее
время этот предел почти достигнут.
Боковые моды. Значения тх и ту характеризуют число узлов
стоячей волны в плоскости X Y. При тх = 0, ту = 0 узлов нет
и поэтому на выходе из лазера аксиальная мода @, 0, mz)
дает распределение интенсивностей без узлов (рис. 281). Моды
с тхф0 и туф0 называются боковыми. Распределение интен-
интенсивности излучения этих мод на выходе из лазера характеризу-
характеризуется наличием линий нулевой интенсивности, соответствую-
соответствующих узлам стоячих волн при тхф0 и туф0. Распределение
интенсивности излучения на выходе из лазера в некоторых пер-
первых боковых модах показано на рис. 281. Из E3.2) с учетом
E3.5) находим
E3.9)
Обозначим Асоьс и Acoz изменение частоты при переходе от одной
моды к другой при Атх = 1 и Awz = 1. Из E3.9) имеем
E3.10)
E3.11)
Из E3.11) при тх=ту=0 получаем формулу E3.7). Деля почлен-
почленно левые и правые части E3.10) на соответствующие части
E3.11), находим
Аю-
E3.12)
Учитывая, что wz~LA, лих~1, из E3.12) получаем
ii.iicl, E3.13)
Асог а а ' v '
т. е. расстояние между частотами боковых мод значительно
меньше, чем у аксиальных мод.
317
§53

318 Цилиндрический резонатор со сферическими зеркалами. Для стоячих волн в этом резонаторе
поверхности зеркал являются поверхностями одинаковой фазы. Другими словами, волновой
10 фронт изменяется вдоль оси Z и на зеркалах совпадает с поверхностью зеркал (рис 282). При
равных радиусах кривизны зеркал в середине резонатора волновой фронт плоский. Стоячую
волну, как обычно, можно себе представить как суперпозицию двух волн, распространяющихся
в противоположных направлениях. За один цикл, в течение которого волна дважды отражается
от зеркал и дважды проходит через резонатор, все характеристики каждой из волн — отражен-
отраженной и прошедшей — должны возвратиться к своим исходным значениям. Расчет показывает,
что условие цикличности для отраженных волн имеет вид
[тг + A/я) Bр + q + 1) arccos (I — L/p)]),c = 2L, E3.14)
где mz, p, q — целые числа, характеризующие моду. Решение для электрического поля может
быть записано в цилиндрических координатах с осью в направлении Z в виде
E{r^,z)=E0[-L\f2]4LPqB?)eW [-ll^Jsinb. E3.15)
Здесь Ljj — полиномы Лагерра и сг определяется соотношением
где R — радиус кривизны зеркал.
Наиболее важное значение имеют поперечные электромагнитные волны, которые обозна-
обозначаются TEMpqmz. При р = 0, q = 0 мода является аксиальной. Условие E3.14) для аксиальной
моды совпадает с условием E3.4) для аксимальной моды в прямоугольном резонаторе. Моды
с рфОи qj=Q являются боковыми. Значение р определяет число узлов по радиусу, значение q
равно" половине числа аксиальных узлов. Распределение интенсивности излучения различных
мод без узлов по радиусу (р = 0) на выходе из лазера показано на рис. 283. При р = 1, q =0 в точке
г =0 возникает узел, который на рис. 283 в моде @, 0, mz) может быть изображен темной точкой.
При других значениях р возникают концентрические окружности нулевой интенсивности.
Синхронизация мод. Продолжительность импульсов излучения лазера, получаемых мето-
методом модуляции добротности, обычно колеблется в пределах 10~7—10 ~а с. С помощью
ячеек Керра удается получать импульсы продолжительностью т = 10~9 с. Более короткие
импульсы (~ Ю2 с) получаются в результате синхронизации мод. Суть синхронизации
мод состоит в следующем.
В многомодовом режиме лазер излучает спектр частот, интервал между которыми
для аксиальных мод равен Лео, определяемой по формуле E3.7). Если все моды
складываются в одинаковой фазе, тб амплитуда суммарной волны равна сумме амплитуд
мод (рис. 284, а). Через промежуток времени At фазы волн изменяются на ЛсоЛл
2A(dAtt...,(N—l)A(oAt, где N— число мод, участвующих в образовании суммарной .ампли-
.амплитуды. Картина сложения комплексных амплитуд через At показана на рис. 284, б. При даль-
Концентрация лазерного излучения в одном направлении в ре-
резонаторе с плоскими зеркалами обусловливается тем, что для
этого направления добротность максимальна, а порог генерации
минимален. Расходимость пучка лазерного излучения проистекает
главным образом из-за дифракции явлений.

284
Сложение амплитуд при сннхроин-
зацян мод
нейшем увеличении Л t амплитуда уменьшается, а затем начинает
возрастать. Исходная ситуация, когда амплитуды складываются в
одинаковой фазе, повторится через промежуток времени Т,
удовлетворяющий очевидному условию.
ДшГ=2я.
Из E3.17) с учетом E3.7) получаем
E3.17)
E3.18)
т. е. Т— продолжительность цикла. Таким образом, ситуация,
при которой фазы различных мод оказываются в некоторый
момент времени равными друг другу, повторяется через цикл.
Согласование фаз различных мод называется синхронизацией
мод. В тот момент, когда амплитуды мод складываются в оди-
одинаковой фазе, интенсивность лазерного излучения резко воз-
возрастает — наблюдается импульс излучения (рис. 285). Импуль-
Импульсы следуют друг за другом с частотой l/T=c/BnL).
Продолжительность импульса. Она определяется из условия
обращения в нуль суммарной амплитуды. Обозначая AT—
продолжительность импульса, N — число мод, участвующих
в процессе синхронизации, условие обращения амплитуды в
нуль аналогично E3.17) запишем в виде
ЛГДсоДГ=2я,
откуда
E3.19)
д т = 2п = BJLjL\ JL = X
E3.20)
Q Какие характеристики лазер-
лазерного излучения обусловлива-
обусловливаются аксиальными и боковы-
боковыми модами ?
Чем определяется ширина ли-
линии излучения в лазере и ка-
каков теоретический предел от-
относительной ширины линии
излучения?
Какие относительные шири-
ширины линий достигнуты в на-
настоящее время?
Как в лазерах осуществляется
синхронизация мод?
Продолжительность импульса тем меньше, чем больше
число синхронизованных мод. Например, для п.«* 1, L =
— КГ1 м, iV = 103 получаем ДГ««0,6-10~12 с. Методом син-
синхронизации мод удается получить рекордно короткие импульсы,
применение которых для изучения быстропротекающих процес-
процессов очень эффективно.
Мощность излучения в импульсе может быть оценена из
закона сохранения энергии. Благодаря синхронизации мод
практически вся энергия излучения, приходящаяся на промежу-
промежуток времени T=2Ln/c, испускается в импульсе продолжитель-
продолжительностью AT=T/N. Это означает, что мощность излучения в
импульсе увеличивается в Т/АТ раз по сравнению со средней
мощностью.
Осуществление синхронизации мод. Синхронизация мод мо-
может возникать самопроизвольно. В этом случае синхронизуется
обычно небольшое число мод и поэтому продолжительность
импульсов мало отличается от периода их повторений (продол-
(продолжительности цикла). Для уменьшения продолжительности им-
импульсов применяются различные методы, в частности модуля-

320
10
J
J
\
V /
T
К l- M
\ )
1 ¦
1
V
T/N
285
Пнкосекундные импульсы в режи-
режиме синхронизации мод
ция добротности с периодом цикла 2Ln/c. Для этого используются нелинейные эффекты, играю-
играющие в лазерах большую роль, с учетом нелинейности между различными модами имеется связь
и их нельзя рассматривать как независимые. Синхронизация мод перестает быть полностью
случайным процессом, и имеется возможность на нее воздействовать. В качестве примера рас-
рассмотрим генерацию лазерного излучения, когда в резонатор введен фильтр, коэффициент про-
пропускания которого увеличивается с увеличением интенсивности проходящего через него света.
Фильтр действует практически безынерционно. Если в результате случайной синхронизации
небольшого числа мод произошло усиление интенсивности, то при прохождении через фильтр
эти синхронизованные моды будут меньше всего ослаблены и получат преимущество по срав-
сравнению с другими модами, которые проходят фильтр в другие моменты времени при меньшей
интенсивности поля и, следовательно, сильно ослабляются. При последующих прохождениях
фильтра синхронизованные моды создают условия относительного усиления других мод, ко-
которые оказались случайно синхронизованными с уже существующими. Таким образом, усили-
усиливаются лишь моды, находящиеся в режиме синхронизации или впервые случайно попадающие
в режим синхронизации. Благодаря этому увеличивается число мод, находящихся в режиме
синхронизации, продолжительность импульса уменьшается, а его мощность соответствующим
образом увеличивается. В настоящее время получены импульсы, продолжительность которых
существенно меньше 1(Г12с
Лазерные сиеклы. Поверхность большинства предметов, освещенных лучом лазера, пред-
представляется пятнистой. Пятна распределяются по поверхности случайно, их можно сфотографи-
сфотографировать. Если фотоаппарат сфокусирован на точки до поверхности или за поверхностью, то на
фотографии все равно получается изображение пятен. Если при наблюдении пятен глазом по-
попытаться аккомодировать глаз на точки до поверхности или за поверхностью, зрительные впе-
впечатления о наличии пятен не изменятся. Если, глядя на поверхность, наблюдатель движется,
то одни пятна исчезают, другие появляются — создается впечатление, что пятна мигают и дви-
движутся относительно поверхности. Эта пятна принято называть спеклами.
Их возникновение обусловлено большой степенью когерентности лазерного излучения.
Большинство поверхностей, не отполированных специально с высокой оптической точностью,
имеют случайные неровности, высота которых больше длины волны. Лазерное излучение с
большой степенью когерентности отражается диффузно от поверхности. От различных точек
поверхности распространяются волны с постоянными разностями фаз. При попадании на сет-
сетчатку глаза или на фотопластинку образуется интерференционная картина в виде чередующихся
темных и светлых спеклов.
Если поверхность отполирована с оптической точностью до долей длины волны, то происхо-
происходит зеркальное отражение лазерного излучения, не вносящее разности хода между различными
лучами в пучке, и никаких спеклов не наблюдается. Не наблюдаются спеклы также и при диффуз-
диффузном отражении от поверхности жидкости, когда ее неровности с течением времени меняются и,
' следовательно, меняются разности хода лучей, отраженных от различных точек поверхности,

голубая полоса в результате чего происходит усреднение интенсивности интер- 321
ференционной картины по времени.
зеленая полоса С физической точки зрения возникновение спеклов является §54
^безызлучательный шумовым эффектом. Этот эффект может иметь полезные
"А"~]"~°~ применения. С его помощью можно измерять малые смещения
/ S Е\ твердой поверхности, например в направлении, параллельном
-550нм >;-692,8н(А ^х-б94,3нм поверхности. Для этого делаются две последовательные фото-
фотографии спеклов. Если между моментами фотографирования
поверхности не смещалась, то спеклы на обоих снимках накла-
-J О А
_ г дывают друг на друга. При наличии смещения на фотографии
Схема энергетических уровней ру- *J ^J ^ *r r *r
бина " " видны две совершенно одинаковые картины спеклов, сдвину-
сдвинутые друг относительно друга. Зная расположение фотоаппарата
относительно поверхности в моменты фотографирования, не-
нетрудно по относительному сдвигу изображений спеклов на
фотографии рассчитать перемещение поверхности. Аналогич-
Аналогичным способом можно определить поворот поверхности вокруг
некоторой оси. Известны также другие применения опеклов.
Спеклы возникают не только при диффузном отражении от
поверхности, но и при прохождении света через рассеивающий
объект, поскольку разности фаз волн, приходящих в данную
точку от различных рассеивателей, неизменны по времени.
Образующиеся при этом спеклы также имеют многие приме-
применения.
§ 54 I Характеристики некоторых лазеров
I Даются краткие характеристики наиболее типичных лазеров.
Разнообразие лазеров. В настоящее время имеется громадное
разнообразие лазеров, отличающихся между собой активны-
активными средами, мощностями, режимами работы и другими харак-
характеристиками. Нет необходимости все их описывать. Поэтому
здесь дается краткое описание лазеров, которые достаточно
полно представляют характеристики основных типов лазеров
(режим работы, способы накачки и т. д.).
Рубиновый лазер. Первым квантовым генератором света
был рубиновый лазер, созданный в 1960 г.
Рабочим веществом является рубин, представляющий собой
кристалл оксида алюминия А12О3 (корунд), в который при вы-
выращивании введен в виде примеси оксид хрома Сг2О3. Крас-
Красный цвет рубина обусловлен положительным ионом Сг+3.
В решетке кристалла А12О3 ион Сг+3 замещает ион А1+3. Вслед-
сИма накачки (а) и хода лучей ствие этого в кристалле возникают две полосы поглощения:
(б) в рубиновом лазере одна — в зеленой, другая — в голубой части спектра (рис. 286).
Густота красного цвета рубина зависит от концентрации ионов
Сг3+: чем больше концентрация, тем гуще красный цвет.
В темно-красном рубине концентрация ионов С г34" достигает 1%.
Наряду с голубой и зеленой полосами поглощения имеется
два узких энергетических уровня Е\ и Е\, при переходе с которых
на основной уровень излучается свет с длинами волн 694,3 и
692,8 нм. Ширина линий составляет при комнатных темпера-
П-289

322 турах примерно 0,4 нм. Вероятность вынужденных переходов
для линии 694,3 нм больше, чем для 692,8 нм, ввиду того, что
Ю В-*~ со. Поэтому проще работать с линией 694,3 нм. Однако
можно осуществить генерацию и линии 692,8 нм, если исполь-
использовать специальные зеркала, имеющие большой коэффициент
отражения для излучения с X — 692,8 нм и малый — для X =
= 694,3 нм.
Схема энергетических уровней рубина показана на рис. 286.
При облучении рубина белым светом голубая и зеленая части
спектра поглощаются, а красная отражается. В рубиновом ла-
лазере используется оптическая накачка ксеноновой лампой,
которая дает вспышки света большой интенсивности при про-
прохождении через нее импульса тока, нагревающего газ до не-
нескольких тысяч кельвин. Непрерывная накачка невозможна,
потому что лампа при столь высокой температуре не выдержи-
выдерживает непрерывного режима работы. Возникающее излучение
близко по своим характеристикам к излучению абсолютно чер-
черного тела. Излучение поглощается ионами Сг+ , переходящи-
переходящими в результате этого на энергетические уровни в области полос
поглощения. Однако с этих уровней ионы Сг+ очень быстро
в результате безызлучательного перехода переходят на уровни
Е\, Е\ (рис. 286). При этом излишек энергии передается решетке,
т. е. превращается в энергию колебаний решетки или, другими
словами, в энергию фононов. Уровни Е\ и Е\ метастабильны.
Время жизни на уровне Е\ равно 4,3 мс. В процессе импульса
накачки на уровнях Е\ и Е\ накапливаются возбужденные
атомы, создающие значительную инверсную заселенность от-
относительно уровня Ео.
Кристалл рубина выращивается в виде круглого цилиндра.
Для лазера обычно используют кристаллы размером: длина
L» 5 см, диаметр d^l см. Ксеноновая лампа и кристалл ру-
рубина помещаются в эллиптическую полость с хорошо отражаю-
отражающей внутренней поверхностью (рис. 287, а). Чтобы обеспечить
попадание на рубин всего излучения ксеноновой лампы, крис-
кристалл рубина и лампа, имеющая также форму круглого цилиндра,
помещаются в фокусы эллиптического сечения полости парал-
параллельно ее образующим. Благодаря этому на рубин направля-
направляется излучение с плотностью, практически равной плотности
излучения на источнике накачки.
Один из концов рубинового кристалла срезан так (рис. 287, б),
что от граней среза обеспечивается полное отражение и возвра-
возвращение луча обратно. Такой срез заменяет одно из зеркал лазера.
Второй конец рубинового кристалла срезан под углом Брю-
стера. Он обеспечивает выход из кристалла рубина без отра-
отражения луча с соответствующей линейной поляризацией. Второе
зеркало резонатора ставится на пути этого луча.
Таким образом, излучение рубинового лазера линейно по-
поляризовано.
гелии неон
1с ^ ¦><>=:- 3390НМ
2\S
23S-
VS
288
Схема энергетических уровней ге-
гелия и неона
289
Схема гелий-неонового лазера
290
Моды колебаний молекулы СО2
симметричное растяжение (а); из-
изгиб (б); несимметричнее растяже-
растяжение (в)

со
@01)
10,6 мкм
A00)
201
Схема 'viepi стических > ровней в
СО—лчзерс
292
Счема загсрптого СО:-лазепя
293
Схема проточною СО,.-лазера
Гелий-неоновый лазер. Активной средой является газообраз-
газообразная смесь гелия и неона. Генерация осуществляется та счет пе-
переходов между энергетическими уровнями неона, а гелий играет
роль посредника, через который энергия передается атомам
неона для создания инверсной заселенности.
Неон, в принципе, может генерировать лазерное излучение
в результате более 130 различных переходов. Однако наиболее
интенсивными являются линии с 632,8 нм, 1,15 и 3,39 мкм
(рис. 288). Волна 632,8 нм находится в видимой части спектра,
а 1,15 и 3,39 мкм—в инфракрасной.
При пропускании тока через гелий-неоновую смесь газов
электронным ударом атомы гелия возбуждаются до состоя-
состояний 235 и 22S, которые являются метастабильными, поскольку
переход в основное состояние из них запрещен квантово-меха-
ническими правилами отбора При прохождении тока атомы
накапливаются на этих уровнях. Когда возбужденный атом
гелия сталкивается с невозбужденным атомом неона, энергия
возбуждения переходит к последнему. Этот переход осуществля-
осуществляется очень эффективно вследствие хорошего совпадения энергии
соответствующих уровней. Вследствие этого на уровнях 35
и 2S неона образуется инверсная заселенность относительно
уровней ЪР и 2Р, приводящая к возможности генерации лазер-
лазерного излучения. Лазер может оперировать в непрерывном ре-
режиме. Типичная схема гелий-неонового лазера показана на
рис. 289. Концы лазерной трубки закрыты соответствующим
прозрачным материалом так, чтобы аксиальные моды падали
на него под углом Брюстера Благодаря этому обеспечивается
полное пропускание одной из поляризаций света и устранение
из пучка другой. Излучение гелий-неонового лазера линейно
поляризовано. Обычно давление гелия в камере составляет
332 Па, а неона — 66 Па Постоянное напряжение на трубке
около 4 кВ. Одно из зеркал имеет коэффициент отражения по-
порядка 0,999, а второе, через которое выходит лазерное излуче-
излучение, — около 0,990. В качестве зеркал используют многослой-
многослойные диэлектрики (см. § 29), поскольку более низкие коэффи-
коэффициенты отражения не обеспечивают достижения порога ге-
генерации.
СОг-лазер с замкнутым объемом. Молекулы углекислого
газа, как и другие молекулы, имеют полосатый спектр, обуслов-
обусловленный наличием колебательных и вращательных уровней
энергии. Молекула СО2 является линейной с центром симмет-
симметрии. Она имеет три фундаментальные моды колебаний (рис. 290).
Энергия квантов фундаментальных мод колебаний равна:
a) lAi =1337 см; 6) 1Д2=667ш~1; в) 1Д3 =2349 см.
В каждой моде может быть один или несколько квантов. Коле-
Колебательные состояния молекулы обозначаются количеством
квантов в соответствующей фундаментальной моде колебаний.
Например, @10) означает, что симметричные и антисимметрич-
323
§54

324 ные колебания не возбуждены, а в изгибной моде имеется один
квант. Используемый в СОг-лазере переход дает излучение
10 с длиной волны 10,6 мкм, т. е. лежит в инфракрасной области
спектра. Пользуясь колебательными уровнями, можно несколь-
несколько варьировать частоту излучения в пределах примерно от 9,2
до 10,8 мкм. Энергия молекулам СОг передается от молекул
азота N2, которые сами возбуждаются электронным ударом
при прохождении тока через смесь. Схема уровней показана на
на рис. 291.
Возбужденное состояние молекулы азота N2 является ме-
тастабильным и отстоит от основного уровня на расстоянии
2318 см, что весьма близко к энергетическому уровню @01)
молекулы СОг. Ввиду метастабильности возбужденного со-
состояния N2 при прохождении тока число возбужденных атомов
накапливается. При столкновении N2 с СОг происходит резо-
резонансная передача энергии возбуждения от N2 к СОг- Вследствие
этого возникает инверсия заселенностей между уровнями @01),
A00), @20) молекул СОг. Обычно для уменьшения заселенности
уровня A00), который имеет большое время жизни, что ухуд-
ухудшает генерацию при переходе на этот уровень, добавляют ге-
гелий. В типичных условиях смесь газов в лазере состоит из гелия
A330 ПаХ азота A33 Па) и углекислого газа A33 Па).
При работе СОг-лазера происходит распад молекул СОг
на СО и О, благодаря чему активная среда ослабляется. Далее
СО распадается на С и О, а углерод осаждается на электродах
и стенках трубки. Все это ухудшает работу СОг-лазера. Чтобы
преодолеть вредное действие этих факторов, в закрытую сис-
систему добавляют пары воды, которые стимулируют реакцию
СО + О-» СОг. Используются платиновые электроды, материал
которых является катализатором для этой реакции. Для уве-
увеличения запаса активной среды резонатор соединяется с допол-
дополнительными емкостями, содержащими СОг, N2, Не, которые
в необходимом количестве добавляются в объем резонатора
Для поддержания оптимальных условий работы лазера (рис. 292).
Такой закрытый СОг-лазер, в состоянии работать в течение
многих тысяч часов.
Проточный СО2-лазер. Важной модификацией является
прочный СОг-лазер, в котором смесь газов СО2, N2o He не-
непрерывно прокачивается через резонатор (рис. 293) в аксиаль-
аксиальном направлении. Такой лазер может генерировать непрерыв-
непрерывное когерентное излучение мощностью свыше 50 Вт на метр
длины своей активной среды.
Т-лазер. Во многих практических приложениях важную
роль играет СОг-лазер, в котором рабочая смесь находится
под атмосферным давлением и возбуждается поперечным
электрическим полем (Т-лазер; рис 294). Поскольку электроды
расположены параллельно оси резонатора, для получения
больших значений напряженности электрического. поля в резо-
резонаторе требуются сравнительно небольшие разности потен-
потенциалов между электродами, что дает возможность работать
+г
294
Схема Т-лазера, оперирующего
при атмосферном давлении
© Селекция иод в лазерах
осуществляется посредст-
посредством изменения добротнос-
добротности резонатора для колеба-
колебаний, соответствующих
различным модам. Это
дает возможность регули-
регулировать число и характе-
характеристики мод в излучении
лазера и изменять частоту
излучения, если селекция
мод возможна в достаточ-
достаточно широком интервале
частот.
Почему Т-лазер может успеш-
успешно работать при атмосфер-
атмосферном давлении рабочей смеси?
Какой механизм создания ин-
инверсной заселенности исполь-
используется в газодинамических ла-
лазерах?
Каким методом осуществля-
осуществляется селекция мод в лазерах
на красителях?

295
Схема газодинамического лазера
296
Схема энергетических уровней мо-
молекулы красителя
297
Метод отбора частот для генера-
генералик в лазере на красителе
в импульсном режиме при атмосферном давлении, когда кон-
концентрация СО2 в резонаторе велика Следовательно, удается
получить большую мощность, достигающую обычно 10 МВт
и больше в одном импульсе излучения продолжительностью
менее 1 мкс. Частота повторения импульсов в таких лазерах
составляет обычно несколько импульсов в минуту.
Газодинамические лазеры. Нагретая до высокой темпера-
температуры A000—2000 К) смесь СОг и N2 при истечении с большой
скоростью через расширяющееся сопло сильно охлаждается.
Верхний и нижний энергетический уровни при этом термоли-
зуются с различной скоростью, в результате чего образуется
инверсная заселенность. Следовательно, образовав на выходе
из сопла оптический резонатор, можно за счет этой инверсной
заселенности генерировать лазерное излучение (рис. 295). Дей-
Действующие на этом принципе лазеры называются газодинами-
газодинамическими. Они позволяют получать очень большие мощности
излучения в непрерывном режиме.
Лазеры на красителях. Красители являются очень сложными
молекулами, у которых сильно выражены колебательные уров-
уровни энергии. Энергетические уровни в полосе спектра распола-
располагаются почти непрерывно (рис. 296). Вследствие внутримолеку-
внутримолекулярного взаимодействия молекула очень быстро (за времена
порядка 10"п — 102с) переходит безызлучательно на ниж-
нижний энергетический уровень каждой полосы. Поэтому после
возбуждения молекул через очень короткий промежуток вре-
времени на нижнем уровне полосы Е\ сосредоточатся все возбуж-
возбужденные молекулы. Они далее имеют возможность совершить
излучательный переход на любой из энергетических уровней
нижней полосы (рис. 296). Таким образом, возможно излучение
практически любой частоты в интервале, соответствующем
ширине нулевой полосы. А это означает, что если молекулы
красителя взять в качестве активного вещества для генерации
лазерного излучения, то в зависимости от настройки резонатора
можно получить практически непрерывную перестройку час-
частоты генерируемого лазерного излучения. Поэтому на краси-
красителях создаются лазеры с перестраиваемой-частотой генерации.
Накачка лазеров на красителях производится газоразрядными
лампами или излучением других лазеров.
Выделение частот генерации достигается тем, что порог ге-
генерации создается только для узкой области частот. Например,
положения призмы и зеркала (рис. 297) подбираются так, что
в среду после отражения от зеркала благодаря дисперсии и раз-
разным углам преломления возвращаются лишь лучи с определен-
определенной длиной волны. Только для таких длин волн обеспечивается
лазерная генерация. Вращая призму, можно обеспечить непре-
непрерывную перестройку частоты излучения лазера на красителях.
Генерация осуществлена со многими красителями, что позво-
позволило получить лазерное излучение не только во всем оптическом
диапазоне, но и на значительной части инфракрасной и ультра-
ультрафиолетовой областей спектра.
325
§54

326 Задачи
ЮЛ Имеются две шаровые полости большого
радиуса с малыми круглыми отверстиями
одинаковых диаметров d — 1 см и абсолют-
абсолютно отражающими наружными поверхностя-
поверхностями. Плоскости круглых отверстий парал-
параллельны друг другу, и их центры лежат на
прямой, перпендикулярной этим плоскостям.
Расстояние между отверстиями / = 10 см.
В одной из полостей поддерживается по-
постоянная температура 7о = 2000 К. Вычис-
Вычислить установившуюся температуру во второй
полости.
10.2. Зная, что Солнце излучает как абсолютно
черное тело с температурой • 6000 К, а его
диаметр виден с Земли под углом Дбо = 32',
определить плотность потока энергии сол-
солнечного излучения на земной орбите.
10.3. Найти температуру поверхности Сириуса,
если известно, что максимум плотности по-
потока его энергии излучения по шкале длин
волн приходится на Хтях=0,29 мкм.
10.4. Мощность излучения абсолютно черного те-
тела, имеющего поверхность 10м2, равна 1 МВт.
Найти температуру тела.
10.5. Мощность излучения абсолютно черного те-
тела 100 МВт, а максимальная плотность из-
излучения приходится на волну 0,6 мкм. Найти
площадь излучающей поверхности тела.
10.6. Раскаленная до 2900 К ламбертовская по-
поверхность излучает 200 Вт с 1 см2. Найти
отношение энергетической светимости этой
поверхности к энергетической светимости по-
поверхности абсолютно черного тела.
Ю.7, Поток энергии в импульсе излучения лазера
равен 1011 Вт/см2. Найти амплитуду напря-
напряженности электрического поля в волне.
10.8. Какой температуре абсолютно черного тела
соответствует излучение рубинового лазера
на волне X = 694,3 нм при спектральной
объемной плотности излучения на этой ча-
частоте wa— 10 Джс-м~3?
Ответы
ЮЛ. Гол1/4[?//B/)]1/2=595 К. 10.2 1,4 кВт/м2. 10.3. 104К. 10.4. 1150 К. 10.5. 3,2 м2. 10.6. 0,5. 10.7. 6,13 х
хЮ8В/м. 10.8. 9,3-1016 К.

11
Основная идея:
при достаточно больших
напряженностях
электрического поля
волны проявляется
нелинейный характер
зависимости
поляризованности
от напряженности.
Нелинейные
явления
в оптике

328
11
§55
Нелинейная поляризованность
Описывается связь между поляризованностью и напряженностью
электрического поля волны с учетом нелинейных членов.
Линейная поляризованность. Теория линейной поляризованности, устанавливающая зависимость
показателя преломления от'частоты, изложена в § 15. Поляризованность связана с напряжен-
напряженностью электрического поля соотношением
Р = 8ожЕ, E5.1)
где аг — диэлектрическая восприимчивость. Сравнение E5.1) с A5.13) приводит к следующему
выражению комплексной диэлектрической восприимчивости:
e2N
1
E5.2)
Нелинейная поляризованность. Удерживающая электрон около положения равновесия сила
fix) = —пмйох (см. (9.32)] подчиняется закону Гука лишь при не слишком больших х. При боль-
больших л: наблюдаются отступления от закона Тука и колебания становятся нелинейными.
Функция/(jc) в общем случае может быть представлена в виде ряда Тейлора:
f(x) =/@) + xf' @) + JSL2/' @) + 3f/" @) + - •
E5.3)
Вместо (9.32) для описания движения электрона в поле световой волны с учетом нелинейности
можно написать уравнение
?f"
тх + тух = е? +/@) + xf @) + jfif @) + j?f" @) +
E5.4)
Так как точка лг = О является равновесной, то/@) = 0. Сила/всегда направлена к точке равнове-
равновесия и,следовательно,/@) < 0. Полагая/' @) = —/исоо, перепишем E5.4) в виде
тх + тух + mG&x = eE+ ?f @) + -Й/" @)
E5.5)
Если в E5.5) можно пренебречь членами, квадратичными, кубическими и т. д. по х, то приходим
к уравнению движения (9.32) линейного осциллятора. При учете этих членов осциллятор назы-
называется ангармоническим, а его колебания — ангармоническими колебаниями. Ясно, что для
ангармонических колебаний зависимость х(Е), в линейном случае выраженная формулой (9.36),
усложняется и не будет линейной. Поэтому поляризованность [см. A5.13)], которую удобно
представить в виде
P-N\e\x, ' E5.6)
перестает быть линейной функцией от Е.
¦ Квадратичная нелинейность. Если/' @) ^=0, то нелинейность колебаний проявляется в первую
очередь за счет квадратичного по х члена. Уравнение E5.5) записывают в виде
х + ух + o)gx = {elm) Е + ?,х2, E5.7)
где ? ==/" {0I {2т). Поскольку величина Ере2 предполагается малой, решать уравнение E5.7)
следует методом возмущений. Представим искомое решение в виде ряда
+ Х2+..., E5.8)
где Xi,X2,... — малые величины порядка ?, ?2,... относительно хо. Подставив E5.8) в E5.7)
и приравняв между собой члены одинакового порядка по ^, получим уравнения

Jco + Y*o + (uix = (elm) E, E5.9) 329
fflfoi = 5x8, E5.10)
§55
где точками обозначены уравнения для хг, *з, ... которые пока нами не рассматриваются.
В линейном случае E5.1) рассматривалась одна волна частотой со, поскольку добавление
волны другой частоты ничего не добавляло к картине образования поляризованности: поляри-
зованность от двух волн равна сумме поляризованностеи от каждой из волн. При учете нелиней-
нелинейности ситуация меняется. Из E5.9) видно, что хо выражается линейно через Е, а из E5.10) следует,
что xi зависит от хЬ и, следовательно, от Е2. Если Е выражается в виде суммы напряженностей
полей с различными частотами, то jci зависит от попарных произведений этих напряженностей,
т.е. является квадратичной функцией напряженностей. Поляризованность в соответствии с
E5.6) описывается формулой
Р = N\e\x0 + N\e\xt = Рл + РB), E5.11)
E5.12) и Р» = ЛГ|фс, = ?0яB)Е2 E5.13)
— линейная и квадратичная нелинейная поляризованности.
Если решать уравнения, обозначенные после E5.10) точками, то для х2 получим решение,
зависящее от Е3, приводящее к поляризованности Р3, пропорциональной Е3, и т. д. Символи-
Символически этот результат запишется в виде
Р = e,lie(t)E Ч-е^ЕЕ + еоа?>ЕЕЕ -I- ... ; E5.14)
поляризованность представляется суммой членов, зависящих линейно, квадратично, кубично
и т. д. от напряженности электрического поля.
Нелинейная восприимчивость. Чтобы найти нелинейную квадратичную поляризованность,
необходимо решить уравнения E5.9) и E5.10). Будем считать, что Е является суперпозицией
нескольких гармонических вещественных полей с частотами coi, CO2, соз, ... :
Е = E((ui)ei<ait +?*(coi)e-/t0'' + ?(со2)е/и'г +?*(со2)е-|Ч°'' + ... +
' )е-|ш"г, E5.15)
где пары комплексно-сопряженных членов одинаковых частот описывают вещественные поля
соответствующей частоты. Для того чтобы при вычислениях сделать запись достаточно ком-
компактной, целесообразно воспользоваться специальными обозначениями. Комплексное число
?(com)el4"' + ?*(сот)е-'ш'»' E5.16)
вещественно, если Е*((йт) = Е(—сот) [см. (8.35)]. Поэтому, вводя обозначение
(й_щ = — сот, E5.17)
представим сумму E5.15) в виде
ф Влияние среды на излучение сводится к учету переменной поляри-
поляризован ности среды под влиянием излучения, в результате чего среда
сама становится источником излучения, складывающегося с перво-
первоначальным в соответствии с принципом суперпозиции. Нелиней-
Нелинейные явления в сильных электромагнитных волнах возникают не
в результате принципа суперпозиции для электромагнитного поля,
а в результате нелинейности влияния электромагнитного поля на
поляризованность среды.
О Какие физические факторы приводят к возникновению нелинейной поля-
поляризованности ?
По какому правилу образуются комбинационные частоты?

320 Е = i E(<om) e^'. E5.18)
Подставляя E5.18) в E5.9) и принимая во внимание, что для каждого члена суммы в E5.18)
решение имеет вид, аналогичный A5.12), находим
^ i f»>;"- . E5.19)
171 m=-n Cog — СО* т
Отсюда линейная поляризованность
Рл = N\е\хо = eotиаР (com)?(сот)е'03', E5.20)
где
*>J = ¦??¦ 1 E5.21)
"'¦-о cOq — со„ + 1уыт
— линейная диэлектрическая восприимчивость, для каждой частоты совпадающая с A5.1.3в).
Подставляя E5.19) в E5.10), приходим к уравнению для х\:
к = п
.v,+ ух, + cogx, =4-2 Л 2 w г 3 ' E5'22)
т т=-и (со^ — соД + jycoj (со^ — со^ + /усо*)
к =—и
которое решается аналогично уравнению E5.9) для хо:
Ц- I -г-г rm^V>"fc/; ; X - j , E5.23)
Itl m,k (C00 Ю„ + iyCOm) (C0q CO? iyCO^.) [C0q (COm + CO.) + iy(C0m + СОь)]
причем пределы суммирования по т и к прежние и для упрощения написания формул не выпи-
выписываются. Отсюда нелинейная восприимчивость
Ри = iV|e|xi = бо ZseB)(com, (йь)Е((йт) Е((йи)е <йт+<°к' ? E5.24)
где
E5.25)
— восприимчивость второго порядка, описывающая нелинейную квадратичную поляризо-
поляризованность.
Комбинационные частоты. Из E5.24) видно, что квадратичная поляризованность содержит
члены с любыми комбинационными частотами сот + со*. Например, для двух полей с частотами
coi и юг она зависит от частот coi + С02, |coi —сог|, 2coi, 2о>2.
При расчете поляризованности более высоких порядков получаем аналогичные выражения.
Поляризованность зависит от комбинации соответствующего числа частот. Например, кубиче-
кубическая поляризованность зависит от комбинационных частот com + cofc + (op при всевозможных
значениях индексов т, к, р.
§ 56 | Генерация гармоник
Рассматриваются генерация гармоник и условия
векторного и пространственного синхронизма.
Волна линейной поляризованности. Напряженность электрического поля волны, распространяю-
распространяющейся в среде, создает в точках среды поляризованность, распространяющуюся в пространстве
в виде волны поляризованности. В каждой точке среды изменяющаяся ноляризованность по-

рождает вторичную электромагнитную. волну, которая складывается с волной, породившей 331
поляризованность. Суммарная волна сама является источником поляризованности, которая, ——
в свою очередь, порождает электромагнитную волну, вызывающую поляризованность, и так §56
до бесконечности. Другими словами, волна поляризованности и электромагнитная волна вза-
взаимно обусловливают друг друга.
Выведем уравнение электромагнитной волны, учитывающее эту связь. В отсутствие источ-
источников (J = О, р = 0) уравнения Максвелла имеют вид:
TOtH = dD/dt, E6.1)
rotE *= —dB/dt = —цодН/dt; E6.2)
среда предполагается немагнитной (ц = цо). Продифференцировав обе части уравнения E6.1)
по t, получим
rot (dH/dt) = д2B/dt2 . E6.3)
Заменив dH/dt в E6.3) его выражением из E6.2), найдем уравнение
rot rotE=—\iod2B/dt2, E6.4)
которое с учетом равенства
D=e0E + P E6.5)
принимает вид
rot rotE + (l/c2)d2E/dt2 + цод2Р/д12 = 0, E6.6)
где с2 = 1/(еоЦо). Уравнение E6.6) описывает распространение электромагнитной волны с уче-
учетом ее связи с поляризованностью'.
При учете только линейной поляризованности уравнение E6.6) является линейным. В этом
случае взаимообусловленность волны поляризованности и электромагнитной волны приводит
к изменению скорости распространения электромагнитной волны, в результате чего волна поля-
поляризованности и электромагнитная волна распространяются с одной и той же фазовой скоростью
в одинаковой фазе. Если, например, электромагнитная волна распространяется в направлении
положительных значений г, то и волна поляризованности распространяется в том же направ-
направлении и с той же фазовой скоростью c/w(co), где w(co) — зависящий от частоты показатель пре-
преломления. Эти волны могут быть представлены в виде
Е = Ео cos со (t — zn/c), E6.7)
Р = ео ае1 Ео cos со (t — zn/c). E6.8)
В каждой точке среды в результате изменения поляризованности порождается электромагнит-
электромагнитная волна, амплитуда которой пропорциональна E6.8). Вторичные волны, возбуждаемые поля-
поляризованностью E6.8) в точках z' и z" и затем распространяющиеся в направлении положитель-
положительных значений z, записываются в виде
Е' B, Г) = A cos со [t — z' n/c — (z — z') п/с], E6.9а)
Е" (z, t)=Acos(u[t — z"n/c — (z — z")n/c]. E6.96)
Поскольку
t — z'n/c — (z — z')n/c = t — zn/c, t — z"n/c — (z — z")n/c = t — zn/c,
заключаем, что обе волны E6.9а) и E6.96), возникшие в различных точках, приходят в точку z
в одной фазе и взаимно усиливаются. Именно это обстоятельство и обусловливает возможность
распространения электромагнитной волны в среде и ее скорость. Можно сказать, что вторичные
волны в линейной среде, излученные в различных точках, синхронны между собой.

331 Волны нелинейной поляризованности. Нелинейная квадратичная поляризованность содержит
всевозможные комбинационные частоты первичных электромагнитных волн. Следовательно,
11 порождаемые ею вторичные волны имеют те же самые всевозможные комбинационные частоты
и распространяются с различными скоростями в соответствии с законом дисперсии.
Суперпозиция волн различных частот не представляет интереса, поскольку она не приводит
к интерференции. Интерференция может происходить лишь между волнами одной и той же
частоты, излученными в различных точках среды. Если в результате интерференции волны уси-
усиливаются, то можно говорить о существовании волны соответствующей частоты в среде, т. е.
о генерации новой частоты, как о нелинейном эффекте распространения волн в среде. Если же
такого усиления нет, то никакой генерации новой частоты не наблюдается, хотя в каждой точке
среды эти частоты генерируются. Рассмотрим условия, при которых происходит генерация
волн с частотами, отличающимися от частоты первичной электромагнитной волны. Они назы-
называются условиями пространственного синхронизма.
Условие пространственного синхронизма. Запишем в явном виде волны поляризованности,
порожденные квадратичной нелинейностью поляризованности. Если имеются две первичные
электромагнитные волны с частотами coi и юг
Ei = Eoi cos (ал t — kiz), E6.10)
E2 =E02 cos(co2t — k2z), E6.11)
то порождаемая ими волна квадратичной поляризованности представляется так:
Р = 2аЕ2 = 1а(Е\ + Е2J = 2а(Eh cos2 (coi t — k\ z) + Eh cos2 (co2t — k2z) +
+ 2Eq\Eq2 cos (coi t — k\z) cos (ant — k2z), E6.12)
где волны взяты в действительном виде, а коэффициент 2а описывает поляризованность второго
порядка и при необходимости может быть вычислен из E6.25). Учитывая тригонометрические
соотношения
2 cos2 а = 1 + cos 2а, 2 cos а cos P = cos (а + Р) + cos (а — Р),
представим E6.12) в виде
Р = Р0+Р2(й1 +Р2т2 +Ро1+о2 +/Ч-со2 , E6.13)
где
Po = a(Eh +E%2), E6.14)
Рго, =aEl\ cos[2(coit — k\z)\, E6.15)
Рг^ =tf?o2cos[2(co2t — k2z)], E6.16)
Р(оу+т2 = 2aEoiEo2 cos [(an +(u2)t — {k\ + fo)z], E6.17a)
Рю.-юз = 2aEoiEO2 cos [(со! — a2)t — (fci — k2)z]. E6.176)
Таким образом, две электромагнитные гармонические волны порождают при наличии квадра-
квадратичной нелинейности четыре волны поляризованности с частотами 2coi, 2а>2, coj +соги jcoi —(П2\
и статическую поляризованность Л>- Возникновение статической поляризованности называется
оптическим детектированием по аналогии с детектированием радиосигналов выпрямлением
тока, поскольку в продетектированном сигнале содержится постоянная составляющая.
Вывод условий пространственного синхронизма проиллюстрируем на примере удвоения
частоты СО]. Для осуществления удвоения частоты достаточно, чтобы в среде распространялась
лишь одна волна с частотой со15 а волна с частотой сог может и отсутствовать. Волна E6.15)
может быть представлена в виде
P2fOl (z, t) = aEl\ cos 2coi [t — zw(coi)/c], E6.18)
где w(coj)/c = /ci/coi, w(coi)—показатель преломления волны с частотой Шь Порождаемые

волной поляризованности E6.18) в точках z' и z" электромагнитные волны аналогично E6.9а) 333
и E6.96) описываются формулами
E'2(Ol (z,t) = A cos {2(ui[t —z'n((Hi)/с —(z — zf)nB(ui)/с]}, E6.19a) §56
E'ia, (z, t) = A cos {2coi[t— z"n((ui)/c — (z — z")wBcoi)/c]}, E6.196)
где учтено, что после возникновения этих волн в точках z' и z" они распространяются со скоро-
скоростью c/[nB(ui)], отличной от скорости волны поляризованности c/[w(o)i)]. Учтем, что
z'n((ui)/c + (z — z')wBcoi)/c = z' An/c+ zn B(ui) / с,
z"n((ui)/c + (z — z")nB(ui)/c = z"
где
Aw=«(coi) —wBco,), E6.20)
и представим E6.19 а, 6) в виде
Е'2щ (z, t) = A cos {2coi [t — znB<ui)/c— z'An/c]}, E6.21a)
E'imt (z, 0 = A cos {2@, [t — zwBcoi)/c — z"An/c] }. E6.216)
Сравнение E6.21а) с E6.216) показывает, что вторичные волны приходят в точку гв одинаковой
фазе и усиливают друг друга лишь в том случае, если
Дт1 = 0. E6.22)
Это условие с учетом E6.20) записывается в виде
E6.23)
и называется условием пространственного синхронизма для удвоения частоты.
Впервые генерация второй гармоники была осуществлена в 1961 г.: была удвоена частота
излучения рубинового лазера в нелинейном кристалле.
Длина когерентности. Разность фаз в точке z между волнами, описываемыми формулами
E6.21а) и E6.216), равна
Д(р = 2coi An(z" —z')/c = 2(uiAnl/c, E6.24)
где
l = z"—z' E6.25)
— расстояние между точками z" и z', в которых эти волны генерированы. Ясно, что при Дф = О-
в результате интерференции модуль амплитуды суммарной волны имеет максимальное значе-
значение, равное сумме модулей амплитуд интерферирующих волн. При увеличении Дф модуль
амплитуды суммарной волны уменьшается и обращается в нуль при Дф = п. Следовательно,
вторичные волны, генерированные на пути /к, удовлетворяющем в соответствии с E6.24) условию
2ю,Дл/к/с=тг, E6.26)
дают в результате суперпозиции волну с отличной от нуля амплитудой. Из E6.26) следует, что
E6.27)
где (Oi/c = 2п[к, /к — длина когерентности (характеризует расстояние, на котором разность фаз
вторичных электромагнитных волн изменяется меньше чем на к).
Из E6.24) ясно, что амплитуда суммарной вторичной электромагнитной волны по мере рас-
распространения в среде изменяется периодически. Найдем закон этого изменения. Если первичная
волна входит в среду в точке 2 = 0, то напряженность суммарной вторичной волны в точке z
внутри среды равна сумме напряженностей вторичных волн, генерированных на пути от 0 до z.
Напряженность от излучателей между z' и z' +dz' на основании E6.21а) дается выражением

334 d E2o>, (z, t)=A cos {2co, [t — zwBw,)/c — z'An/c]} dz' . E6.28)
Отсюда следует, что напряженность вторичной электромагнитной волны в точке z равна
Егщ (z, 0 = А \ cos {2coi [t — znB(Di)Jс—z'An/c] }dz' . E6.29)
В результате интегрирования получаем
^2», (z> 0 = 2соДп (sin2@' [^—2"Bc°i)/c]) —sin 2co,[t — 2иBсо,)/с]). E6.30)
где в соответствии с E6.20) w(coi) = пBт\) + Ап. Воспользовавшись тригонометрической фор-
формулой для разности синусов, окончательно находим
2c
Эта формула показывает, что вторичная электромагнитная волна имеет удвоенную частоту
2@i и изменяющуюся амплитуду. Изменение амплитуды волны (рис. 298) по мере распростра-
распространения в среде описывается функцией
sin(coA,z/c)
-wi (OjAh/c
На пути Az после входа волны в среду при условии
E6.33)
амплитуда увеличивается, поскольку при этом значение синуса в E6.32) увеличивается от нуля
до единицы. Путь, при прохождении которого амплитуда достигает максимального значения,
на основании E6.33) дается выражением
Az = пс/B(Oi Art) = Х/DАп) = 1К, E6.34)
т. е. равен длине когерентности E6.27). Следовательно, ecjci для генера'щи удвоенной частоты
добкгься соблюдения условия пространственного синхронизма E5.27) не удается, моз.сно по-
попытаться ее генерировать при прохождении излучения большой мощности через пластинку тол-
щикой, равной длине когерентности. Как показывает опыт, при достаточно большой мощности
излучения 1& выходе ьз пластинки наблюдается удвоеньая частота. Интенсивность генерации
удвоенной частоты очень слабая, поскольку нелинейность среды, как правило, мала. Для увели-
увеличения интенсивности излучения необходимо увеличивать длину когерентности, уменьшая An.
В пределе (An -*¦ 0) длина когерентности /к -+ оо; что означает реализацию условия пространствен-
ственного синхронизма E6.23). Значение Ал фиксировано свойствами среды и не может умень-
уменьшаться произвольно. Однако можно подобрать условия в анизотропных средах., при которых
Физическим содержанием процесса удвоения частоты является
перекачка энергии из одной волны в другую с удвоенной частотой.
Соблюдение условия пространственного синхронизма необходи-
необходимо для того, чтобы такая перекачка энергии происходила в одном
направлении достаточно долго. При отсутствии пространствен-
пространственного синхронизма перекачка энергии в волну с удвоенной частотой
продолжается лишь небольшой промежуток времени, после чего
начинается обратная перекачка энергии из волны с удвоенной
частотой в волну с основной частотой, и эффект удвоения частоты
уменьшается.

298
Изменение амплитуды второй гар-
гармоники с расстоянием
299
Определение направлений прост-
пространственной синхронизации в од-
одноосном кристалле
Aw = 0. Для этого использовать разность показателей прелом-
преломления обыкновенного и необыкновенного лучей.
Формулой E6.32) описывается изменение ампл итуды волны
удвоенной частоты, показанное на рис. 298. Плотность потока
энергии волны пропорциональна квадрату этой амплитуды.
Следовательно, рассматриваемый процесс представляет собой
преобразование энергии волны частоты со в энергию волны
частоты 2ш при росте амплитуды волны удвоенной частоты
и обратное преобразование при уменьшений этой амплитуды.
Другими словами, это есть процесс обмена энергией между
двумя волнами с частотами со и 2со, происходящий посредством
поляризации среды.
Осуществление пространственного синхронизма. Обыкновен-
Обыкновенный и необыкновенный лучи в одноосных кристаллах распро-
распространяются с различной скоростью (см. § 41). Скорость обыкно-
обыкновенного луча не зависит от направления, а скорость необыкно-
необыкновенного зависит от угла между лучом и оптической осью.
В положительных кристаллах скорость обыкновенного луча
больше скорости необыкновенного, а в отрицательных — мень-
меньше. На рис. 299 изображены сечения лучевых поверхностей
отрицательного одноосного кристалла плоскостью, проходя-
проходящей через оптическую ось. Поскольку частоты светового диапа-
диапазона, ближней ультрафиолетовой и инфракрасной частей спект-
спектра лежат в области нормальной дисперсии, сплошной линией
изображены сечения лучевых поверхностей для частоты со,
а пунктирной линией — для частоты 2со. Видно, что в направ-
направлениях, обозначенных двусторонними сплошными стрелками,
скорость обыкновенного луча (частота со) равна скорости не-
необыкновенного луча (частота 2со), т. е. соответствующие по-
показатели преломления равны
и0(со) = иеBсо). E6.35)
Это равенство совпадает с условием пространственного син-
синхронизма E6.23). Но отсюда сразу не следует,г что можно по-
повторить без изменения все рассуждения, приведшие к формуле
E6.23), и утверждать возможность генерации второй гармоники
необыкновенной волны. Дело в том, что поляризованности
обыкновенной и необыкновенной волн взаимно перпендику-
перпендикулярны и поэтому волна поляризованности, связанная с обыкног
венной волной, не может взаимодействовать с необкновенной
волной, и наоборот. Если это так, то нельзя повторять рассужде-
рассуждения, приведшие к условию E6.23), и утверждать, что E6.35)
является условием пространственного синхронизма для генера-
генерации удвоенной частоты необыкновенной волны. Однако такое
утверждение справедливо лишь для линейной поляризованности.
Нелинейность делает зависимыми между собой поляризован*
ности, связанные с обыкновенной и необыкновенной волнами.
Благодаря этому все рассуждения, приведшие к формуле E6.23),
справедливы для обыкновенной и необыкновенной волн и при-
приводят к соотношению E6.35) как условию пространственного
335
§56

336 синхронизма для генерации удвоенной частоты необыкновенной волны. Очевидно, что удвоен-
ную частоту обыкновенной волны можно генерировать в положительном кристалле.
11 Эксперимент подтвердил высокую эффективность генерации второй гармоники в одноос-
одноосных кристаллах при совпадении лучей с направлением осуществления пространственного син-
синхронизма. Коэффициент преобразования, энергии излучения исходной частоты в энергию излу-
излучения с удвоенной частотой достигает нескольких десятков процентов. Явление очень эффективно
демонстрируется на лекциях. Для этого используется невидимое лазерное излучение с длиной
волны 1,06 мкм, которое пропускается через изменяющий свою ориентацию кристалл. В момент
совпадения направления пространственного синхронизма кристалласлучом наблюдается воз-
возникновение в кристалле зеленого излучения (длина волны 0,53 мкм) в виде вспышки, если крис-
кристалл продолжает изменять свою ориентацию. Если же кристалл зафиксировать в этом поло-
положении, то возникающее зеленое излучение является постоянным или импульсным в зависимо-
зависимости от характера лазерного излучения, направляемого на кристалл.
Генерация высших гармоник. В нелинейной поляризованности третьего порядка присутствуют
члены с утроенной частoi ой Зсо падающего ичлучения. Совершенно аналогично рассмотренному
случаю это приводит к операции третьей гармоники. Можно также генерировать четвертую
и дальнейшие гармоники. Это требует совершенствования экспериментальных возможностей,
но в принципиальном отношении не содержит в себе новых физических явлений.
Векторное условие пространственного синхронизма. На первый взгляд кажется, что благодаря
наличию волн поляризованности E6.17а) и E6.176) можно аналогично генерации волн с удвоен-
удвоенной частотой добиться генерации волн с частотами coi +СО2 и |cx>i —CO2I. Однако это не так.
Дело в том, что монохроматические волны в квантовой интерпретации представляются фото-
фотонами определенной частоты и импульса. Поэтому образование поляризованностью Ры, + ю2
электромагнитной волны с частотой coi + a>2 можно рассматривать как слияние фотонов с час-
частотами ей] и юг. При этом одновременно должны выполняться законы сохранения энергии и
импульса. Энергии и импульсы исходных фотонов равны:
j:i =to@i, p\ =hk\ = /iG)i«((Oi)/r, E6.36)
г.? = йоJ, pi = Шг - 1ий2П((йг)/с. E6.37)
Если предположить, что электромагнитная волна, порождаемая поляризованностью E6.17а),
также представляется фотоном, то ею энергия и импульс равны
р. = Ji(coi +0J), р = Л(М| + co2)w(coi +(й2)/с. E6.38)
Видно, что закон сохранения энергии при этом выполняется:
е = ei + е2, E6.39)
а закон сохранения импульса не выполняется:
РФР1+Р2, E6.40)
поскольку
+ co2w(co2) ф (coi +co2)«(coi +С02). E6.41)
В случае удвоения гармоник (аи = со 2 = со) при выполнении условия пространственного синхро-
синхронизма w(co) = wBco) неравенство E6.41) превращается в равенство 2cow(co) = 2cowBco) и закон
сохранения импульса удовлетворяется.

300
Наблюдение спонтанного распада
фотона
337
§56
301
Схема параметрического генера-
генератора света
О В чем состоит физический
смысл пространственного
синхронизма? Каким образом
осуществляется пространст-
пространственная синхронизация? В чем
состоит физический смысл
векторного условия простран-
пространственной синхронизации?
Опишите принцип парамет-
параметрического усиления света и
его применение в параметри-
параметрических генераторах света.
Для того чтобы применить механизм генерации удвоенной
частоты к генерации суммарных и разностных частот, необхо-
необходимо рассмотреть электромагнитные волны, распространяю-
распространяющиеся в произвольном направлении в среде. Вместо волн E6.10)
и E6.11) в направлении оси Z возьмем волны,-характеризуемые
волновыми векторами к, и кг:
Ex = Eoi cos (coi t —к ¦ г), E6.42)
Ег = Eoi cos (cfl21 — к2 • r). E6.43)
Для поляризованностей E6.15) — E6.17) получаем аналогич-
аналогичные соотношения, но с заменой k\z -> ki г, kiz -> кг' г. В част-
частности, имеем
Рт, + со2 = 2aEoiEo2 cos [(coj +(u2)t — (ki + k2)т]. E6.44)
Порождаемая этой поляризованностью волна может рас-
рассматриваться как плоская монохроматическая волна с волно-
волновым вектором и частотой со лишь в том случае, когда выпол-
выполняются законы сохранения энергии и импульса:
E6.45) k=ki+k2. E6.46)
Равенство E6.46) называется условием векторного пространст-
пространственного синхронизма. Его применение для удвоения частоты
волн, распространяющихся в одном направлении, как это было
объяснено в связи с E6.41), приводит к условию пространствен-
пространственного синхронизма E6.23).
При наличии дисперсии это условие вследствие E6.41) не
может быть выполнено в изотропных средах даже для колли-
неарных векторов ki и к2, а тем более оно не может быть вы-
выполнено для неколлинеарных. Поэтому следует искать условия
удовлетворения векторного пространственного синхронизма в
анизотропных средах. Пользуясь обыкновенным и необыкно-
необыкновенным лучами при определенных углах между волновыми
векторами, удается удовлетворить этому условию. Например,
в кристалле KDP (дигидрофосфат калия КН2РО4) оно может
быть удовлетворено двумя способами:
Н *±'&?
E6.47)
E6.48)

338 Генерация суммарных и разностных частот. Если волны, характеризуемые векторами к] и к2,
удовлетворяют условию векторного пространственного синхронизма E6.46), то волна поля-
11 ризованности E6.44) с максимальной интенсивностью генерирует электромагнитную волну
частотой с») + е&2. Но это не означает, что при другом соотношении векторов ki и кг не будет
генерации частотой coi + сог. Так же как и в случае удвоения частоты при невыполнении условия
пространственного синхронизма, эта генерация происходит на небольших длинах когерентности
и является слабой. Аналогично анализируется генерация разностной частоты |coj — сог1 и дру-
других комбинационных частот.
Спонтанный распад фотона. При прохождении света через подходящим образом ориентиро-
ориентированный кристалл, когда может быть выполнено условие E6.46), некоторые из фотонов падаю-
падающего излучения распадаются на два фотона с меньшими частотами coi и сог, движущимися под
соответствующими углами к исходному направлению (рис. 300). Это явление называется спон-
тЛ1йым распадом фотона. Оно наблюдается экспериментально. Картина аксиально-симметрич-
аксиально-симметрична. В центре картины пятно, образованное фотонами, прошедшими через кристалл без распада,
окруженное окрашенным кругом с изменяющейся от центра к периферии окраской, причем
по мере удаления от оси длина волны уменьшается в полном согласии с требованием вектор-
векторного пространственного синхронизма.
Параметрическое усиление света. Если в среде распространяются три волны, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию E6.46), то между ними происходит обмен энергией. Если одна из волн (напри-
(например, к) значительно мощнее, чем две другие, то энергия переходит от мощной волны в более
слабые волны, в результате чего последние усиливаются. Это явление называется параметри-
параметрическим усилением света, поскольку его можно рассматривать как модуляцию оптических пара-
:.;^троь среды волной к, приводящую к усилению волн к, и к2.
Параметрические генераторы света (ПГС). В основе их действия лежит параметрическое
усиление света. ПГС — это лазер, в резонатор которого введен нелинейный кристалл, выре-
вырезанный таким образом, чтобы для осевых лучей выполнялось одно из векторных условий про-
пространственного синхронизма: к° + $г = 'к(е)или к° + k2=ke (рис. 301). Рабочими частотами
генератора являются o)j и ю2, в соответствии с которыми подбираются коэффициенты отраже-
отражения зеркал Mj и Мг. Накачка генератора производится пучком света с частотой со, для которого
зеркало Мх должно быть достаточно прозрачным.
При изменении ориентации кристалла или его параметров (например, за счет изменения
температуры, изменения внешнего электрического ноля и т. д.) изменяются условия простран-
пространственного синхронизма для осевых лучей, вследствие чего изменяется частота генерируемого
излучения. Благодаря этому возможна плавная перестройка генерируемой частоты.
§57
Самовоздействне света в нелинейной среде
Рассматриваются основные закономерности самофокусировки
и дефокусировки света в нелинейной среде.
Целинейная поправка к показателю преломления. Для изотропных сред или кристаллов с центром
симметрии должно по определению соблюдаться соотношение
Р(-Е) = -Р(Е), E7.1)
Отсюда следует, что в выражении E5.14) исчезают все члены, содержащие четное число множи-
множителей Е. Поэтому первая нелинейная поправка дается кубическим членом и поляризованность
принимает вид
Р = еоагЕ + яз?2Е, E7.2)
откуда
D = еЕ = еоЕ + Р = [ео (!+«)+ аъЕг\ Е. E7.3)

Тогда диэлектрическая проницаемость SJ5
б = еоA +ае) + аъЕ2 . E7.4)
§з;
Показатель преломления определяется соотношением
E7.5)
так как нелинейная поправка к показателю преломления много меньше единицы:
азЕ2/[?ОA+я)] < 1. E7.6)
Таким образом,
п = по + пгЕ1. E7.7)
Здесь произведено усреднение квадрата напряженности поля по периоду колебаний, и поэтому
Ео является амплитудой напряженности электрического поля волны; по представляет линейный
показатель преломления света, а пгЕЬ описывает нелинейную поправку к показателю прелом-
преломления.
Самофокусировка и дефокусировка пучка. Плотность потока энергии по сечению пучка не-
непостоянна, следовательно, и показатель преломления E7.7) изменяется по сечению пучка.
Будем для определенности считать сечение пучка круглым, а распределение интенсивности —
гауссовым (см. § 3). В зависимости от характера нелинейности знак поправки в E7.7) может
быть как положительным, так и отрицательным.
Если нелинейная поправка положительна, то скорость движения периферических участков
пучка больше, чем центральных. В результате плоский волновой фронт становится вогнутым в
сторону распространения пучка (рис. 302, а) и происходит его фокусировка к оси.
Если нелинейная поправка отрицательна, то скорость движения центральных участков пучка
больше, чем периферических. В результате плоский волновой фронт становится выпуклым в
сторону распространения пучка (рис. 302, б) и происходит его дефокусировка от оси.
Длина самофокусировки. Обозначим а радиус пучка, Ео — амплитуду напряженности электри-
электрического поля на оси, а амплитуду на расстоянии а от оси будем считать равной нулю (рис. 303).
По определению, длиной самофокусировки называется путь /Сф, при прохождении которого в
нелинейной среде пучок сходится к оси или, как говорят, схлопывается.
На длине /сф между осевым лучом и крайними лучами пучка образуется разность фаз
Аф = (оАл/Сф/с, E7.8)
где
Ап = п2Е%, E7.9)
V Физический содержанием эффектов самофокусировки и самоде-
фокусировки является деформация фронта волн в результате раз-
различий в их скорости распространения, обусловленных изменения-
изменениями показателя преломления среды под воздействием волн, т.е.
среда играет как бы роль посредника, ч-ереэ которого волны дей-
действуют на себя.
О Чем определяется, будет ли пучок света самофокусироваться или дефо-
кусироваться?
Какие физические факторы определяют пороговую мощность из-
излучения?
В чем состоят основные причины возникновения нелинейности показате-
показателя преломления?

340
11
Из рис. 303 следует, что
ь = /сф — V ^
а' ~ я2/B/сф),
E7.10)
где я//сф < 1. При изображенном на рис. 303 изгибе волнового
фронта разность фаз равна
Аф1 = ШоЬ/съ(йпоа2/Bс1Сф), E7.11)
где для Ь использовано выражение E7.10). Разности фаз E7.8)
и E7.11) должны быть равны
/c = атоа2/Bс1сф), E7.12)
откуда
/сФ = a Vwc/BAn)=(fl/?o) V/*0/Bn2). E7.13)
Эксперимент хорошо подтверждает зависимость /Сф ~ а/Ео.
Эффект заметен уже при сравнительно малых An/п. Из E7.13)
имеем
Ап/п = а2/(Щф) E7.14)
и, например, при Ап/п«0,5 • 10~4 получаем а/1съ те 10~2, что
нетрудно наблюдать.
Выразим Ео через плотность потока энергии излучения,
предполагая распределение амплитуд волн в пучке в виде
Е(г) = Ео V1 — г2/а2 . E7.15)
Для средней плотности потока энергии имеем выражение
< S> = veE2/2 = [ес?8/Bло)]A — г2/а2) =
= (?оПосЕЪ/2) A — г2/а2). E7.16)
Мощность потока энергии в пучке равна
Р = \ <S>dc = n?onocEh\(l—r2/a2)rdr, E7.17)
о 0
где а — площадь поперечного сечения пучка. Выполнив инте-
интегрирование, находим
Р = пеопосЕ2а2/4 = пгопосс1*/(Ъп21^). E7.18)
Например, у сероуглерода ио=1,62; п2 =0,22* 109 м2/В2,
и для получения /Сф =10 см при а — 1 см мощность составляет
10 МВт.
Пороговая мощность. Требуемая для самофокусировки мощ-
мощность потока энергии в пучке уменьшается с уменьшением ра-
радиуса а пучка. Однако при уменьшении радиуса пучка увеличи-
увеличивается дифракционная расходимость, для преодоления которой
необходимо увеличивать мощность потока энергии в пучке.
Пороговой называется минимальная мощность, вызывающая
схлопывание пучка. Она может быть найдена из следующих
соображений.
За счет нелинейности пучок схлопывается на длине /Сф.
Это означает, что периферийный луч пучка (рис. 304) отклоня-
отклоняется от направления оси на угол
Д<Р1«л//сф. E7.19)
302
Возникновение фокусировки и де-
дефокусировки в нелинейной среде*
и2 < 0 (а); п2 >0 (б)
303
К расчету длины самофокусировки
/сф
304
К расчету пороговой мощности
пучка для самофокусировки

Из-за дифракции периферийный луч пучка отклоняется от направления оси на угол 341
E7.20)
т-т §57
Пороговую мощность находим из условия
E7.21)
принимающего с учетом E7.19) и E7.20) вид
й//сф =У(ап0). E7.22)
Учитывая E7.13), получаем
а2 = Мсф/ио = fra/ {noEo)] Vn0K2n2) . E7.23)
Возводя обе части E7.23) в квадрат, находим
а2Е%=12/Bпоп2). E7.24)
Подставляя E7.24) в E7.18), имеем
ЛюР =ш0ск21(Ъп2). E7.25)
При Р > Рпор пучок света фокусируется, а при Р <Рпор — испытывает дифракционную расхо-
расходимость. Пороговая мощность не зависит от радиуса пучка и уменьшается с уменьшением дли-
длины волны. Например для сероуглерода при облучении рубиновым лазером с ^ = 694,3 нм
Рпор = 23 кВт. E7.26)
Основные причины возникновения нелинейности показателя преломления. 1. Как было выясне-
выяснено при рассмотрении дисперсии, показатель преломления зависит от поглощения, а оно зависит
от плотности излучения (см. § 51). Следовательно, показатель преломления зависит от квадрата
напряженности электрического поля волны.
2. В результате электрострикции под действием электрического поля волны происходит
изменение плотности диэлектрика. Давление на поверхность элемента объема диэлектрика:
/?~р(де/др), а связанное с соответствующим изменением плотности диэлектрика изменение
показателя преломления Ап~р(дп/др) и зависит от плотности потока энергии.
3. Нагревание меняет плотность среды и, следовательно, показатель преломления. Нагре-
Нагревание среды зависит от плотности потока энергии в волне. Поскольку на оси пучка плотность
потока больше, чем на периферии, центральные области пучка нагреваются сильнее и их пока-
показатель преломления уменьшается Следовательно, в результате нагревания происходит дефоку-
дефокусировка пучка. '
4. Поляризуемость молекул в различных направлениях, вообще говоря, различна. В малых
внешних полях молекулы ориентированы беспорядочно и поэтому нет анизотропии в поляри-
поляризационных свойствах среды. В сильных полях молекулы ориентируются определенным образом
относительно поля, в результате чего поляризованность и показатель преломления становятся
анизотропными, а среда в оптическом отношении превращается в одноосный кристалл. Возни-
Возникает двойное лучепреломление, причем показатель преломления п необыкновенного луча зави-
зависит от направления распространения. Возникающая при этом нелинейность — ориентационной.
Инерционность. Электрострикционное изменение зависит от времени установления уплот-
уплотнения. Скорость упругой волны в среде из **» 1,5*103 м/с и, следовательно, время установления
уплотнения в среде имеет порядок т «*а/у3 ~ 10~б с для я «* 1 мм.
Время переориентации молекул имеет порядок 101 — 102 с. Вследствие этого ориента-
ционный (керровский) механизм возникновения нелинейности для коротких лазерных импуль-
импульсов продолжительностью менее 10~7 с является основным. Для более длительных импульсов
необходимо принимать во. внимание также другие механизмы возникновения нелинейности.
Относительная роль различных механизмов зависит от свойств вещества и характеристик им-
импульсов излучения.

342 Приложение. Единицы СИ, используемые в книге
Величина
наименование
размерность
Длина
Масса
Время
Сила тока
Термодинамическая температура
количество вещества
Сила света
Скорость фазовая
Скорость групповая
Скорость света в вакууме
Ускорение
Сила
Давление света
Энергия
Плотность энергии, объемная
Мощность
Плотность потока энергии
Плотность потока импульса
Площадь
Объем
Частота круговая
Частота периодического процесса
Длина волны
Время когерентности
Продолжительность импульса
Длина когерентности
Ширина когерентности
Волновое число
Фаза колебаний
Плоский угол
Телесный угол
Период колебаний
Коэффициент затухания
Коэффициент усиления
Добротность
Показатель преломления
Коэффициент отражения
Основные t
L
М
т
I
G
N
J
Производные
LT
LT
LT
LT2
LMT
L~JMT~2
L2MT
L~'MT
L2MT
мт~3
L~2MT~'
L2
L3
T
T-i
L
T
T
L
L
L
безразмерная
»
»
T
T-i
L
безразмерная
»
»
основное
обозначение
единицы
1
т
t
1
Т
V
/
единицы
V »
Vr, V
с
а
F
Р
W, Е
w
Р
S
G
S,a
V
со, п
V
X
V
т, At
/к
к
Ф
а, Р, 9
о.
т
У
а
Q
п
Р
Единица
наименование
метр
килограмм
секунда
ампер
кельвин
моль
кандела
метр в секунду
метр в секунду
метр в секунду
метр на секунду ,
в квадрате
ньютон
паскаль
джоуль
джоуль на куби-
кубический метр
ватт
ватт на квадрат-
квадратный метр
килограмм-секун-
килограмм-секунда на. метр
квадратный
квадратный метр
кубический метр
секунда в минус
первой степени
герц
метр
микрометр
нанометр
секунда
секунда
метр
метр
метр в минус
первой степени
радиан
радиан
стерадиан
секунда
секунда в минус
первой степени
метр в минус
. первой степени
обозначение
м
кг
с
А
К
моль
кд
м/с
м/с
м/с
м/с2
н
Па
Дж
Дж/м3
Вт
Вт/м2
кг-с/м2
м2
м3
с
Гц
м
мкм
нм
с
с
м
м
м
рад
рад
ср
с
с
м

343
Величина
наименование
размерность
основное
обозначение
Единица
наименование
обозначение
Коэффициент пропускания
Фокусное расстояние
Разность фаз колебаний
Оптическая длина пути
Показатель преломления обыкновен-
обыкновенного луча
Показатель преломления необыкно-
необыкновенного луча
Плотность заряда объемная
Абсолютная диэлектрическая прони-
проницаемость
Электрическая постоянная
Относительная диэлектрическая про-
проницаемость
Напряженность электрического поля
Электрический момент диполя
. Поляризованность
Электрическое смещение
Магнитная индукция
Напряженность магнитного поля
Абсолютная магнитная проницае-
проницаемость
Магнитная постоянная
Относительная магнитная проницае-
проницаемость
Спектральная плотность излучения
по шкале круговых частот
Спектральная плотность излучения
по шкале длин волн
Сила излучения
Энергетическая освещенность
Энергетическая яркость
Энергетическая светимость
Световой поток
Освещенность
Яркость
Светимость
безразмерная
L
безразмерная
»
LTI
L-3M-'T4I2
безразмерная
LMTr'
LTI
L 2TI
L TI
МТГ'
L2MTr'
LMT 2I2
LMT 2Г2
безразмерная
6
Д
По
Пе
P
E
?o
E
P
P
D
В
H
ЙГ
L~2MT~
L2MT
MT
MT
мт~3
J
LJ
LJ
L'2J
I
E
М
Mv
метр
радиан
метр
м
рад
м
кулон на кубиче-
кубический метр
фарад на метр
то же
вольт на метр
кулон-метр
кулон на квад-
квадратный метр
кулон на квад-
квадратный метр
тесла
ампер на метр
генри на метр
генри на метр
джоуль-секунда
на кубический
метр
джоуль на метр
в четвертой •
степени
ватт на стерадиан
ватт на квадрат-
квадратный метр
ватт на стеради-
стерадиан-квадратный
метр
ватт на квадрат-
квадратный метр
люмен
люкс
кандела на квад-
квадратный метр
люкс
Кл/м3
Ф/м
Ф/м
В/м
Кл-м
Кл/м2
Кл/м2
Тл
А/м
Гн/м
Гн/м
Дж • с/м3
Дж/м4
Вт/ср
Вт/м2
Вт/(ср-ы
Вт/м2
лм
лк
кд/м2
лк

Заключение
Четвертым томом курса общей физики* завершается изложение классической
физики. Ее достаточно краткое определение гласит: классической называется физика,
в которой роль квантовых закономерностей пренебрежимо мала.. На первый взгляд
кажется, что:* это определение бессодержательно, поскольку оно говорит не о том,
чем является классическая физика, а о том, чем она не является. Однако такой
взгляд- обманчив, потому что существует только единая физика, которая является
квантовой по своей сущности, и определение классической физики как той части
единой- физики, в которой роль квантовых закономерностей пренебрежимо мала,
безусловно содержательно. Тем не менее целесообразно обсудить основные особен-
особенности классической физики без ссылки на квантовые закономерности.
Основными понятиями классической механики являются понятия материального
тела, материальной точки, движения материальной точки по определенной траектории
и силы, как причины тех или иных особенностей движения материальных тел и точек.
Хотя классическая физика в современном понимании начинается с Ньютона, основные
понятия и представления, на которых она базируется, зародились задолго до него.
Они постепенно возникали в человеческом сознании с самых древних времен в про-
процессе практической деятельности человека. Практическая деятельность также свидетель-
свидетельствовала, что все материальные тела имеют протяженность, занимают определенное
место в пространстве и располагаются определенным образом друг относительно друга.
Эти наиболее общие свойства материальных тел отразились в сознании человека в виде
понятия пространства, а математическая формулировка этих свойств была выражена
в виде системы геометрических понятий и связей между ними. Практическая дея-
деятельность человека также свидетельствовала о том, что окружающий его материальный
мир находится в процессе постоянных изменений. Свойство материальных процессов
иметь определенную длительность, следовать друг за другом в определенной после-
последовательности и развиваться по этапам и стадиям отразилось в человеческом сознании
в виде понятия времени.
Перечисленные выше основные понятия классической механики и понятия про-
пространства и времени явились фундаментом, на котором покоилось развитие всей клас-
классической физики до наших дней. В процессе развития уточнялась взаимосвязь этих
понятий и сами понятия, но они постоянно являлись основой классической физики.
Наиболее важный результат этого развития состоит в установлении неразрывности
связи пространства, времени, материи и движения. В философском плане развитие
этих идей нашло свое завершение в учении диалектического материализма. Для
диалектического материализма пространство и время являются формами существования
материи и поэтому немыслимы без материи, а движение есть способ существования
материи. Материя, пространство, время и движение всегда существуют в неразрывной
связи друг с другом.
Механика Аристотеля содержала в себе основные идеи общего подхода к опи-
описанию механического движения материальных тел. Эти идеи полностью сохранили
свое значение и в механике Ньютона, однако теория движения Аристотеля после
примерно двухтысячелетнего господства была заменена теорией Ньютона. Аристотель
считал, что все движения материальных тел можно разделить на две категории —
«естественные» и «насильственные». «Естественные движения» осуществляются сами
по себе, без каких-либо воздействий. Ставить вопрос о причине «естественных дви-
движений» бессмысленно. Точнее говоря, на вопрос: почему осуществляется некоторое
«естественное движение»? — всегда имеется готовый, не требующий размышлений ответ:
потому что это движение естественное, происходящее именно так, а не иначе, без
* Том первый «Механика и теория относительности», том второй «Молекулярная
физика» и том третий «Электричество и магнетизм» выходили в издательстве «Выс-
«Высшая школа» соответственно в 1976, 1981, 1983 гг.

каких-либо внешних воздействий. «Насильственные движения» сами по себе не про- ?45
исходят, а осуществляются под влиянием внешних воздействий, описываемых с по- ——
мощью понятия силы. На вопрос: почему осуществляется некоторое «насильственное
движение»? — ответ гласит: потому что на тело действует сила, под влиянием кото-
которой оно движется так, как движется. Естественными Аристотель считал движения
легких тел вверх, тяжелых тел вниз и движение небесных тел по небесной сфере.
Остальные движения являются насильственными. Заметим, что если тело покоится
в результате невозможности осуществить «естественное движение», то этот покой
является «насильственным». Например, если тело покоится на горизонтальном столе,
то отсутствие его движения по вертикали является «насильственным» и обусловливается
наличием соответствующей силы, действующей в вертикальном направлении, а от-
отсутствие его движения по горизонтали обусловливается отсутствием силы, действую-
действующей в горизонтальном направлении. Это показывает, что закон движения не может
быть положен в основу определения силы, хотя силу и можно находить из закона
движения. Это замечание полностью относится и к попыткам использования второго
закона Ньютона как определения силы. В механике Аристотеля сила обусловливает
скорость тела, а понятие об ускорении отсутствует.
В механике Ньютона «естественным движением» в том смысле, как его понимал
Аристотель, является прямолинейное равномерное движение материальной точки.
В формулировке первого закона Ньютона устанавливаются условия, при которых это
«естественное движение» (инерциальное) осуществляется. Он дает возможность выбрать
такую систему координат, в которой такие «естественные движения» существуют.
Вторым законом Ньютона устанавливается, что сила обусловливает не скорость ма-
материальной точки, а ее ускорение, причем не вообще ускорение, а ускорение в той
системе координат, в которой при отсутствии силы скорость тела была бы постоян-
постоянной, т. е. движение было бы «естественным». Как и в механике Аристотеля, сила
учитывает влияние внешних условий на движение тела. Источниками силы являются
материальные тела и, следовательно, сила является количественной мерой взаимодей-
взаимодействия материальных тел. Третий закон Ньютона устанавливает, что сила, с которой
одно из взаимодействующих тел действует на другое, равна по абсолютной величине,
но направлена противоположно силе, с которой это другое тело действует на первое.
Вопрос о силах в таком плане в механике Аристотеля не ставился.
Таким образом, теория движения Ньютона является принципиально новым шагом
относительно теории Аристотеля. Среди главных новых моментов следует отметить
все вопросы, связанные с введением систем координат, включая вопрос о принципе
относительности, вопрос о свойствах взаимодействия тел, новое уравнение движения
и дальнейшую разработку вопроса о пространстве и времени. Однако основные понятия
механики Аристотеля и подход к проблеме движения в механике Ньютона сохрани-
сохранились без существенных изменений.
Следующим крупным шагом явилось создание специальной теории относительности.
Ее революционный характер выразился в новом подходе к проблеме пространства
и времени. В результате этого неразрывная связь пространства, времени и движения,
на которую задолго до создания теории относительности указывал диалектический
материализм, стала основополагающим моментом физической теории. Однако по своему
содержанию специальная теория относительности полностью относится к классической
физике. В результате создания общей теории относительности неразрывная связь про-
пространства, времени, движения и материи стала основополагающим моментом наиболее
общей физической теории. По своему содержанию общая теория относительности,
так же как и специальная, полностью относится к классической физике. Теории, в ко-
которых существенны закономерности специальной или общей теории относительности,
называют релятивистскими. Если в этих теориях несущественны квантовые закономер-
закономерности, то они полностью относятся к классической физике.
Механика точки Ньютона явилась основой для построения механики совокупностей
точек, составляющих материальные тела, среды и т. д. Если движение отдельных

точек описывается в соответствии с законами Ньютона, то соответствующая теория
относится полностью к классической физике. Во многих случаях в механике тела
или среды используется представление о сплошной среде, когда масса считается
как бы непрерывно «размазанной» в пространстве, а движение элемента массы в бес-
бесконечно малом объеме описывается законами механики точки. Механика сплошных
сред при этом условии относится также к классической физике. В связи с этим о
механике твердого тела необходимо сделать такое замечание. Уравнения движения
твердого тела включают три уравнения для координат центра масс и три уравнения
моментов. Строго говоря, эти шесть уравнений не могут быть выведены только на
основании трех законов Ньютона для материальной точки. Для их вывода необходимб
использовать дополнительное к законам Ньютона предположение, что силы взаимо-
взаимодействия материальных точек, роставляющие твердое тело, центральны. Однако это
не изменяет принадлежности механики твердого тела к классической физике.
При анализе движения системы многих реальных точек, каждая из которых дви-
движется в соответствии с законами Ньютона, динамическое описание системы неосуще-
неосуществимо с технической, непригодно с теоретической и бесполезно с практической точек
зрения. В системах многих частиц возникают новые закономерности движения, обус-
обусловленные наличием большого числа частиц в системе, которые называются статисти-
статистическими. Статистическая физика, элементарными динамическими законами которой
являются законы Ньютона, относится к классической физике и называется обычно
классической; статистической физикой. Следует, однако, подчеркнуть, что последова-
последовательное и полное обоснование ее возможно лишь с использованием квантовой
теории.
Во всех рассмотренных выше разделах классической физики объектом исследо-
исследования являлась материя в форме вещества. Другой формой материи, в исследовании
которой физика достигла больших успехов, является ее полевая форма. Электрические
и магнитные явления открыты очень давно, но теория этих явлений развивалась
сравнительно медленно, и лишь в 60-х годах XIX столетия была завершена созда-
созданием теории Максвелла. После этого были открыты электромагнитные волны, которые
существуют независимо от породивших их зарядов и токов. Это явилось экспери-
экспериментальным доказательством самостоятельного существования электромагнитного поля
и обосновало представление об электромагнитном поле как о форме существования
материи. Движение этой формы материи описывается уравнениями Максвелла. Они
представляют закон движения электромагнитного, поля и описывают его порождение
движущимися зарядами. Действие электромагнитного поля на заряды, носителями
которых является материя в корпускулярной форме, описывается силой Лоренца. Основ-
Основными понятиями, на которых основываются уравнения Максвелла, являются напряжен-
напряженность и индукция электромагнитного поля в точках пространства, изменяющиеся с
течением времени, электромагнитное поле, порожденное зарядом, движущимся анало-
аналогично материальной точке по определенной траектории, и действующее на заряд. Это
показывает, что теория, основанная на уравнениях Максвелла, относится к классиче-
классической физике. Она является релятивистски инвариантной теорией и полностью отно-
относится к релятивистской классической физике.
После открытия полевой формы существования материи в виде электромагнитных
волн и создания электромагнитной теории света появилась реальная возможность
решить вопрос о законах взаимопревращения материи в полевой и корпускулярной
форме или, другими словами, решить вопрос о взаимопревращении излучения и ве-
вещества. Казалось, что эту задачу можно успешно решить в рамках классической
физики, поскольку каждая из этих форм материи хорошо описывается соответствую-
соответствующей классической теорией. Первое указание на недостаточность классической физики
для понимания взаимоотношения этих двух форм материи было получено при анализе
излучения абсолютно черного тела, когда необходимо было допустить дискретность
актов испускания света. Затем были открыты корпускулярные свойства излучения и вол-
волновые свойства электронов и других частиц. Эти открытия показали, что не существует

барьера между корпускулярной и полевой формой материи, что эти формы взаимно
проникают друг в друга и существуют в диалектическом единстве. Эксперименталь-
ное исследование и анализ этого диалектического единства привели к необходимости
коренного пересмотра основных представлений классической физики и созданию кван-
квантовой теории.
В классической физике очень четко конкретизируются и находят свое воплоще-
воплощение философские категории диалектического материализма, а методологические прин-
принципы физических исследований имели большое влияние на разработку гносеологиче-
гносеологических вопросов. В ней полно и всесторонне воплощена сущность взаимного влияния
и взаимопроникновения науки и философии. Это обстоятельство имеет большое миро-
мировоззренческое значение. Во всех четырех томах курса мировоззренческим вопросам
уделено должное внимание. Достаточно полное освещение нашло диалектическое
единство пространства, времени, движения и материи, что отразилось также и в ряде
структурных особенностей курса. В частности, неприемлемо, как это часто делается,
раскрывать содержание понятий пространства, времени и движения в рамках кинематики
без установления органической связи между ними, а начало изложения вопроса о
связи этих понятий с понятием материи откладывать до динамики, когда раскрывается
понятие массы. Такой разрыв противоречит самой сущности пространства и времени,
как форм существования материи, а движения — как способа ее существования. Этот
разрыв ликвидируется изложением в самом начале курса физической кинематики,
вводящим читателя в круг идей теории относительности, которая дает достаточно
ясное воплощение в конкретной науке положения диалектического материализма о не-
неразрывной связи пространства, времени, движения и материи. Суть этого диалекти-
диалектического единства прослеживается и уточняется в последующих разделах курса. Доста-
Достаточно полное отражение в курсе классической физики находят вопросы всеобщей
связи явлений, неуничтожаемости материи и движения, причинности и детерминизма,
трактовки законов как форм выражения связи явлений и т. д. Одним словом, в клас-
классической физике воплощение в конкретном знании общих философских категорий
диалектического материализма и положений марксистско-ленинской гносеологии столь
полно и совершенно, что самым актуальным становится вопрос о характере незавер-
незавершенности этого конкретного знания и о содержании незавершенности единства кон-
конкретного знания с общефилософскими и гносеологическими категориями. Актуальность
этого вопроса обусловливается тем, что только незавершенность конкретного знания
и его единства с общефилософскими и гносеологическими категориями является ис-
источником и движущей силой развития как конкретного знания, так и философских
и гносеологических категорий. В рамках классической физики эта незавершенность
выступает лишь в потенциальной форме и не составляет действительного отрицания
завершенности. Отрицание достигнутой в классической физике завершенности знания
и его единства с общефилософскими и гносеологическими категориями осуществляется
лишь в рамках квантовой физики и в соответствии с диалектикой отрицания при-
приводит не только к дальнейшему развитию физики, но и дает мощный стимул раз-
разработке общефилософских и гносеологических проблем.

Предметный указатель
Аббе — Портера эксперимент 248
Аберрации геометрические 134
— оптических систем 134
— сферические 135
— хроматические 134,137
Аббе уравнение 139
Аккомодация 141
Амплитуда волны световой 148
комплексная 209
Анализатор 275
Анизотоопия искусственная 285
— оптическая 262
Апертура линзы 238
— объектива 243
Астигматизм наклонных пучков 137
Биения 33
—, частота 34
Бийе билинза 169
Био закон 282
Больцмана постоянная IS
Брауна и Твисса опыт 193
Брюстера явление 102
Бургера закон 310
Величины фотометрические 44
— энергетические 44
Верде постоянная 284
Вещества аморфные
левовращающие 282
правовращающие 282
— оптически активные 282
Видимость 155, 246
Вина закон смещения 307
— формула 306
Винера опыты 307
Волна бегущая 33
— квазимонохроматическая 68
— квазиплоыгая 77
— неполяризованная 82
— опорная 250
— отраженная 106
— поляризованная 82
циркулярно 277
частично 82
— — эллиптически 273, 278
— сигнальная 250
— стоячая 35
— электромагнитная плоская 22
в ашпотропной среде 264
Вочновое уравнение 17, 118
— число 88, L05
Волновой вектор 21, 88
— - четырехмерный 24, 32
— пакет 75, 92
-- фронт 119
, деление 152
Волны квазимонохроматические 149
, матрица когерентности 194
Волны когерентные, способы полу-
получения 149
— линейно поляризованные 37
, суперпозиция 37
— модулированные 73
— монохроматические 88
— плоские 18
гармонические 20
, инвариантность 23
Восприимчивость диэлектрическая
комплексная 89, 328
— второго порядка 330
линейная 330
Вращательная способность 281
Время излучения 66
— когерентности 80
— разрешения 79
Гаусса постоянные 127
, физический смысл 129
Гауссов закон 80
— пучок 27
— свет 80
Гауссова форма линии излучения 71
Генераторы света параметрические
338
Генерации порог 312
Главные максимумы излучения 225
, условие 225
— скорости 266, 268
лучевые 269
Глаз 141
Глубина проникновения 105, 110
Голограмма 250
— машинная 259
— плоской волны 250
— произвольного объекта 253
— точечного объекта 251
— цифровая 259
Голограммы толстослойные 255
Голографии задачи 250
Топографическая интерферометрия
275
— применения 258
Грина формула 213
Групповая скорость 76,92
в анизотропной среде 267
Гюйгенса построение 272
— принцип 162
Гнниснса — Френепя принцип 208
Да глениь спета 28
Д'Аламбера оператор 18
Детекгирование синхронное 249
Дефокусировка пучка 339
Диапазон видимый 12 /
, длины волн 12
, частбты волн 12
, эффективность зрения 15
Диафрагма апертурная 140
, зрачки входной и выходной
140
Диафрагмирование 140
Диоптрия 131
Диполь электрический 291
Дипольный момент 291
Дисперсия 75
— аномальная 91
— в диэлектрике 89
— вращательная 281
— нормальная 90
— света 93
Дифракция 78
— на непрерывных структурах 229
— на отверстии круглом 223
прямоугольном 220, 232
решетке 226
при наклонном падении
лучей 229
ультразвуковых,волнах 231
щели 222
— Фраунгофера 219
— Френеля 219
Длина когерентности 80
— пути оптическая 180
Добротность 313
Добротности модулированной
метод 314
Доплера эффект 71
поперечный 25
продольный 25
Единица силы света — См.:
Кандела
Жамена интерферометр 160
Закон Брюстера 102
— Ламберта 48
— преломления Снеллиуса 97, 121.
123
— сохранения энергии 109
в явлениях интерференции
170
Заселенность уровней 310
инверсная 311
Звезды двойной системы 168
Зонная пластинка 212
Излучатель элементарный 45
Излучение лазерное 29,312
Излучения спектральная плотность
45
— спектральный состав 64
— энергетическая сила 45
Изменение фазы при отражении 104
преломлении 104
Изображение оптическое 128

Изображений построение 129, 241
— пространственная фильтрация 247
Изображения восстановление 250
Инвариантность фазы 24
Интенсииность интерференционной
картины 172,245
— луча необыкновенного 274
обыкновенного 274
— рассеяния 293
Интервал корреляции 83
Интерференции определение 148
— порядок 152
Интерференция волн
монохроматических 150, 151
поляризованных 276
— света немонохроматического 154
Интерферограмма 155
Интерферометр звездный 167
Интерферометра разрешающая
способность 174 .
Источник конечного размера 163
Источники анизотропии 262
— вторичные 217
Источников плоскость 217
Кандела 47
Картина дифракционная 222
, условие минимумов амплитуд
225
— интерференционная 152
, видимость 155, 157, 164, 168,
173, 182, 193
от белого света 158
излучения двойной звезды
168
Картины дифракционной плоскость
217
Керра постоянная 285
— явление 285
Кирхгофа закон второй 303
первый 302
Когерентности взаимной функция
190
— длина 80,333
— степень 192
комплексная 192, 194, 202
— угол 165
— ширина 165, 254
Когерентность временная 165, 166
— пространственная 165, 166
— частичная 190
Кольца ишерференционные 172
Кома 136
Компенсатор 279
Концентрация расi вира 282
Корню спираль 211, 233
Kuii'oh — My юна явление 286
Коэффициент контрастное*и 251
— преломления 88, 118
— пропускания 108, 171, 251
-tj—-¦ .линзы 236
— рассеяния 295
— усиления 309, 311,312
Кривая дисперсионная 90
— каустическая 135
Кристалла модификация
леновращающая 281
правовращающая 281
Кристаллы двуосные 269
— одноосные 272
— отрицательные 272
— положительные 272
Кронекера символ 262
Кундта постоянная 284
Лазер газодинамический 325
— гелий-неоновый 323
— на красителях 325
— рубиновый 321
— СОг 323, 324
Лазера принципиальная схема 312
Лазерные спеклы 320
Лазерный термояд 29
Лазеры 250, 254,310
— импульсные 314
— непрерывные 314
Линзы тонкие 131
Линии равного наклона 181
— равной толщины 183
Ллойда зеркало 169
Лиренцева форма линии излучения
66
, нормированная функция
66
поглощения 67
Лупа 142
Луч 96
— необыкновенный 272, 276
— обыкновенный 272, 276
— света 119
Луча направление 269
Лучепреломление двойное 272
Люммера — Герке пластинка 179
Мазеры 310
Майкельсона интерферометр 150,
152
с линейными полосами 157
, юстировка 158
— эшелон 179
Максвелла уравнения 17, 23
Максутова менисковая система 144
Малюса закон 274
Мандельштама — Бриллюэна
компоненты 297
Мандельштама — Бриллюэна
формула 297
явление 290
в твердых телах 298 '
Материалы полупрозрачные 190
Матрица когерентности 194, 195
— оптической системы 127
— передаточная 124, 135
— преломляющая 124
— преобразования 127
точная 134
Матрицы определитель 198
Матричный метод расчета 188
Маха — Цендера интерферометр 159
Метод темного поля 245
— фазового контраста 245
Микроскоп 142
Многослойные пленки 188
— диэлектрические зеркала 189
Мод синхронизация 318
Мода колебаний 305
Модель излучателя классическая 63
— элементарного рассеивателя 291
Модуляции глубина 249
Модуляция 73
¦ - амплитуды 73
— фазы 73
— частоты 74
Моды аксиальные (продольные) 316
— боковые 317
— излучения лазера 315
Мощности излучения спектральная
плотность 45
Мощнбсть излучения 50,319
— пороговая 340
Нелинейность квадратичная 328
Николя призма 275
Ньютона кольца 184
Область дисперсионная 176, 226
— дифракции Фраунгофера 219
Френеля 232
Объектив иммерсионный 138
Окраска тел 94, 285
Оптическая ось 269, 273, 274
— сила 131
Оптической системы ахроматизация
137
главные плоскости 128
точки 128
фокус
Освещенность 49
— энергетическая 47
Отражательная способность ,слоя 187
Отражение от параллельных
поверхностей 180
Парадокс Эйншейна —
Подольского — Розена 151
Переходы вынужденнее 308
— спонтанные 308
Планка постоянная 12.305
— формула 306
Пластинка в полволны 278
целую ролну 278
четверть волны 277
Плоскости главные 128
— поляритции.вращение 281
в аморфных веществах 281
кристаллических телах 281
магнитном поле 284
— фокальные 129
Плоскость меридианальная 136
349

350 Плоскость паления луча 96
^^^ — сагиттальная 137
Плотность излучения объемная 302,
306
равновесная 302
спектральная 302, 306
— импульса 28
— потока энергии 26, 88, 107, 148,
292,309
, закон ослабления 295
— энергии объемная 36.
в диэлектрике 88
монохроматической волны 148
Поверхности лучевые 270, 272—273
Поглощательная способность 302
Поглощение селективное 94
Показателя преломления
нелинейность 338,341
Показатель преломления
переменный 121
Поле зрения 141
Полихронзм 276
Полное отражение 104, 107
Полосы интерференции, размывание
152
Поляризатор 275
Поляризация 37, 109
— в рассеянии Ми 296
— круговая 38
— при двойном лучепреломлении 275
рэлеевском рассеянии 293
— частичная 194
— эллиптическая 38
Поляризации степень 104, 197, 198,
294
Поляризованность линейная 328, 330
— нелинейная 328, 330
— статическая 332
Поляроид 275
Постоянная магнитная 17
— электрическая 17
— электродинамическая 17
Поток световой 48
Потока энергии мощность 27
Предельный угол 97
Преломление света 97
— на сферической поверхности 123
Приближение Кирхгофа 216
— оптическое 216
— параксиальное 123, 134
— Френеля 217
Принцип таутохронизма 120
— Фурье-спектроскопии 155
Призма двоякопреломляющая 273
т поляризационная 275
Проницаемость диэлектрическая
относительная 88
комплексная 109
Просветление оптики 187
Пуассона пятно 210
Разность фаз интерферирующих
лучей 150, 172
Разность хода лучей 150, 172
Разрешающая способность 173, 175,
226, 243, 255
максимальная 244
Распределение амплитуд 239, 240,
248
— волн по ролновым числам 92
— интенсивности 165, 250
в картине дифракционной 219
интерференционной 172
при дифракции на щели 222
— спектральной плотности
излучения 307
— энергии по частотам 65
— яркости 164
Рассеяние комбинационное 298
— Ми 290, 295
— многократное 290
— рэлеевское 290, 291
— света 91, 290
неполяризованного 294
Расстояние фокусное 128
тонкой линзы 131
Резонатор прямоугольный 315
— цилиндрический 318
Решетка дифракционная 224
отражательная 227
, разрешающая способность 227
Решетки амплитудно-фазовые 228
— фазовые 228
Рэлея — Джинса формула 305
— закон 293
— интерферометр 167
— критерий 243
Самофокусировка пучка 339
Самофокусировки длина 339
Свет естественный
(неполярнзованный) 195
— поляризованный линейно 276, 278
полностью 195
Светимость 49
— энергетическая 46, 302
Световод 122
Сигнал модулированный 249
Силы радиометрические 29
Силы спета эталон 47
Скорость группы волн — См.:
Групповая скорость
Скорость лучевая 267
— света 88
— фазовая — См.: Фазовая скорость
Спектр амплитуд 57
— импульса изолированного
прямоугольного 59
— импульсов пилообразных 59
прямоугольных 58
— мощности 82
нормированный 86
— непрерывный 57
— фаз 57
Спектра ширина 60
Спектральная световая
эффективность 49
относительная 49
Спектральная плотность
излучения 45
мощности излучения 45
светового потока 48, 50
энергетической освещенности
47
светимости 46
силы излучения 45
яркости 46
— световая эффективность 49
относительная 49
Спектральный состав излучения 64
Среда активная 312
Стефана — Больцмана закон 306
постоянная 306
Тваймана — Грина интерферометр
159
Телескоп 143
Тело абсолютно черное 303
, спектр излучения 307
Тензор диэлектрической
проницаемости 262
, главные плоскости 263
Теорема Ван — Циттерта—
Цернике 200
— взаимности Гельмгольца 217
— Винера — Хинчина 88
— Гельмгольца — Кирхгофа 213
— Парссваля 62
— Планшереля62
Труба зрительная 143
Увеличение 127
— линзы 142, 130
— лупы 142
— микроскопа 142
— системы 137
Угол Брюстера 102
Ультрафиолетовая катастрофа 305
Уравнение линзы 129
в форме Гаусса 130
Ньютона 130
— Френеля 265
— эллипсоида волновых нормалей
270
— эйконала 110
Условие Вульфа — Брэгга 256
— главного максимума 225
— излучения 215
— квазимонохроматичности 68
— Петиваля 137
— пространственного
синхронизма 333
векторное 336
— Рэлея 226
— цикличности 315
Условия стационарной
генерации 313
— насыщения 311
— усиления 310

Усреднение по периоду
колебаний 79
Устройства проекционные 144
Уширение доплеровское 70
— неоднородное 69
— однородное 69
— ударное 69
Фабри — Перо интерферометр 171
' сканирующий 177
Фаза волны
— случайная 78
Фазовая скорость 75, 106, 111, 264
— — в анизотропной среде 267
Фарадея явление 284
Ферма принцип 120
Фильтры интерференционные 178
Флуктуации плотности потока
энергии 81
Фокус 128
Форма линии поглощения 67
— составной линии излучения 72
Формула дифракции 216
Фотоаппарат 142
Фотоны 13
— солнечного излучения 15
— шумовые 15
Френеля бмзеркало 169
— бипризма 169
— зоны 208
— интегралы 233
Френеля — Кирхгофа формула
дифракции 216
— формулы 99, 100
Функция аптокогерентности 191
— автокорреляционная 83, 191
— зрачка 238
— корреляционная 86,191
нормированная 86
— толщины линзы 236
Фурье-анализ 82
— интеграл 56
— -оптика 236
— -ряд 56
спектрометр 156
— -спектроскопия 156, 161
Цвета кристаллических пластинок
279
Цуга волн импульс 31
энергия 31
Частота 12
— круговая 12
Частота несмещенная 298
— несущая 79, 249
Частоты комбинационные 330
— отрицательные 61
Число комплексное 233
Ширина линий излучения 66,316
— спектра 73
Шмидта камера 144
Эйнштейна коэффициенты 308
Экспозиция световая 49
Электропроводимость среды 112
Эллипсоид волновых нормален 26'?
— лучевых скоростей 268
Энергия кванта 12
— фотона 13
Эталон силы света 47
Эффект Поккельса 286
Юнга схема 162
Яркости распределение 164
Яркость 48
— энергетическая 46
Ячейка Керра 286
— Поккельса 287

Алексей Николаевич Матвеев
Оптика
Зав. редакцией литературы по физике
и математике Е. С. Гридасова
Редактор Г. Н. Чернышева
Мл. редакторы С. А. Доровских, Н. П. Майкова
Оформление художника Ю. Д. Федичкина
Художественный редактор
В. И. Пономаренко
Технический редактор 3. А. Муслимова
Корректор Г. И. Кострикова
. ИБ N 4184
Изд. № ФМ—741. Сдано в набор 05.04.84. Подп. в печать 13.02,85. Т—03075
Формат 70x90Vie- Бум. тип.--Ms3. Гарнитура Тайме. Печать офсетная.
Объем 25,74 усл. печ.л. + форзац 0,29 усл.печ.л., 52,65'усл. кр.-отт., 27,90
уч.изд.л. + форзац 0,46 уч.изд.л. Тираж 25000 экз. Зак. 289. Цена 1 р. 40 к.
Издательство «Высшая школа»;-101430, Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
д. 29/14.
Ярославский полиграфкомбинат Союзполиграфпрома при. Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
150014, Ярославль, ул. Свободы, 97.

Поправка
Часть рисунка 125 (с. 172), выполненную черной крас-
краской, следует повернуть на 180° (ср. с рис. 124).