Предисловие
1. Каждый везет свою тачку
2. «АСУ» учителя
3. Понять, что делаю
4. Начало пути — и сразу проблемы
5. «Война» с ОДЗ
6. Давайте сделаем проверку
7. Дидактические материалы, тесты, задачи...
8. Хорошая задача делает нас умнее
9. О задачах в учебнике
10. На ошибках учат
11. Человек критический
12. О понимании
13. Упростить? Нет ничего проще?!
14. Творчество на каждом уроке
15. С одной стороны... С другой стороны...
16. Не равна нулю
17. Логика в школьном курсе математики
18. Гуманитарная математика
19. Компьютер. Смена парадигмы?
20. «Времена теперешние»
21. ФТШ
Заключение
Text
                    ZMRCTEPCHflfl
учителя математики
в. и. РЫЖИК
ЗАДАЧА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
7-11
классы
МОСКВА • «ВАКО» • 2017



УДК 372.851 ББК 74.262.21 Р93 Рыжик В.И. Р93 Задача для учителя математики. 7—11 классы. - М.: ВАКО, 2017. — 400 с. — (Мастерская учителя математики). ISBN 978-5-408-03097-2 Предлагаемая книга — труд известного педагога, основанный на огромном опыте работы в разных типах школ. В ней автор размышляет о проблемах школьного математического образования, показывает, какие профессиональные задачи решает учитель математики. Издание предназначено для учителей, методистов, а также для всех, кого интересуют проблемы образования. УДК 372.851 ББК 74.262.21 ISBN 978-5-408-03097-2 © ООО «ВАКО», 201
Предисловие Известный педагог, Народный учитель России, кандидат педагогических наук, один из авторов школьных учебников по геометрии на страницах этой книги делится с читателями своим опытом преподавания математики в школе. Позади более полувека учительской работы. Преподавателю довелось учить математике и в обычной школе с четвертого класса по выпускной, и вундеркиндов в элитарных физико-ма- тематических классах, и в вечерней школе сорокалетних дядей, и студентов-первокурсников технического вуза, и выпускников педагогического. Работал на подготовительном отделении с абитуриентами, занимался репетиторством со школьниками всех возрастов и со студентами. Учил дошкольников играть в шахматы, а двенадцатилетних мальчишек — туризму и ориентированию на местности. Готовил детей к олимпиадам, проводил дополнительные занятия с отстающими и индивидуальные беседы с одаренными. Умел найти подход к каждому воспитаннику, а среди них были разные: и паренек — талантливый музыкант, который не в ладах с таблицей умножения; и ученик, который, начав изучать геометрию, сразу же решал задачи из Адамара, и Гриша Перельман, который легко мог справиться с любой задачей. Автором накоплен огромный опыт, прочитано и осмыслено множество научных книг и статей, самим написано немало. Эта книга выдержала два переиздания. Первая «25 ООО уроков математики» напечатана более 20 лет назад. Спустя 10 лет вышло дополненное издание под названием «30 ООО уроков математики». Прошло еще 10 плодотворных лет, прибавилось опыта, настала пора и его осмыслить и упорядочить. Издательство «ВАКО» уже выпустило книгу «Учим математике», данное издание продолжает затронутые в ней темы о школьном математическом образовании и о профессиональных проблемах, с которыми сталкивается учитель математики.
1. КАЖДЫЙ ВЕЗЕТ СВОЮ ТАЧКУ Больше пятидесяти лет у классной доски. Сколько лет, а вроде бы все одно и то же: квадрат суммы, теорема Пифагора... «И тебе еще не надоело?» — порой любопытствуют коллеги. Вопросы, задачи, ответы, проверки, отметки... — Здравствуйте, дети. Садитесь, пожалуйста... Уроки, уроки, уроки... Что-то около 35 ООО уроков. Сколько же уроков запомнилось из этих тысяч? Урок в темноте, замена заболевшей коллеги в неизвестном мне выпускном классе. Два урока подряд, первый и второй по счету. За окном январская темень. За минуту до начала урока, когда я уже открывал дверь в класс, во всей школе погас свет. Вошел - не видно ни одного лица. Что-либо делать на доске и в тетрадях невозможно. Сейчас я совершенно не помню, о чем говорил. Но точно помню: это был урок математики, я что-то объяснял, задавал вопросы, ученики отвечали и даже вставали с места. И была перемена, а потом еще один час. И был звонок, прекративший этот кошмар, оборвавший меня на полуслове. Это помню точно — не успел договорить. Но что договорить — не помню. Урок без меня. Собираюсь в школу, и вдруг из водопроводной трубы забил фонтанчик, заливая квартиру. Звоню в аварийную службу и в школу — говорю завучу, что на первый час спаренного урока, видимо, опоздаю. Приезжаю в школу ко второму часу. Спрашиваю, что они тут без меня делали. — То же, что и с вами бы делали, — проверяли домашнюю самостоятельную работу. — Был кто-нибудь из учителей? — Нет, мы сами управились. — Отметки себе поставили? — Конечно. Отметки, как за домашнюю самостоятельную, выставил в журнал.
1. Каждый везет свою тачку 5 Контрольная работа в 7 классе. Я пошел позвонить в учительскую. Зашла завуч и спросила у меня: «А что делают без вас дети?» — Пишут контрольную. — Без вас? — А вы зайдите к ним и посмотрите. Посмотрела, вернулась. — А где задание для них? — Как это где? На доске, разумеется. — Но там всего один вариант. — Ничего странного, дети уже привыкли. Три урока. А остальные? Просто работа — тут бы поставить сразу два знака: и вопросительный, и многоточие. Мне нравится притча о Шартрском соборе. Путник спросил трех его строителей, кативших по дороге тачки с камнями, что они делают. Первый сказал: — Везу тачку, пропади она пропадом. Второй сказал: — Зарабатываю на хлеб. Семья. Третий сказал: — Я строю Шартрский собор. Что бы сказал путнику я? И первое, и второе, разумеется. Смог ли бы я сказать третье? Так зачем же я иду на урок? Ну, конечно, преподавать математику. Математика так важна, математика так полезна, математика так интересна, какие тут могут быть сомнения — с такими мыслями, взращенными в студенческие годы, я пришел работать в школу сразу по окончании института и довольно долго их лелеял. Со временем засомневался. Так оно и есть на самом деле? Всем математика важна? Всегда интересна? На геометрию в школе отводится около 400 часов. Так ли уж важны для всех с точки зрения общего образования, скажем, свойства вписанных углов, уравнение плоскости в пространстве и построения именно циркулем и линейкой? Так ли уж полезно для всех умение решать треугольники? («Зачем Лидии Васильевне сферическая тригонометрия?» — вопрошает один из героев А. Островского.) Может быть, важнее научить делать искусствен1 ное дыхание? Может быть, полезнее дать детям курс практической психологии — учитесь властвовать собой! Мне не один раз довелось выслушивать от учеников этот вопрос — а зачем? И даже не надо было выслушивать — его можно было видеть в их тоскливых глазах. Я научился отшучиваться, почти цитировал
6 Задача для учителя математики. 7-11 классы В. Маяковского: «Крошка сын к отцу пришел, и спросила кроха: “Папа или мама, а как решить задачку, которую нам задали?”» Но даже если дети не задают этот вопрос, а бесконечно решают упражнения, то тем более вопрошаешь сам себя: «Что же я с ними делаю, чем же таким необходимым для них я занимаюсь?» Впрочем, я не оригинален в таком вопросе. Вот что нам выдал журналист Ю. Рост: «Господи, каким только мусором не забивали нам голову учителя! Что, какая часть из того, чем мучили нас и чем мучают теперь наших детей, сгодилась нам в жизни для дела, любви, радости?» И даже такое было сказано американской журналисткой Ф. Лебовиц: «Твердо стойте на своем нежелании вникать в формулы алгебры. В реальной жизни, уверяю вас, никакой алгебры нет». И в самом деле, 90% школьников никогда не будут использовать математику в своей деятельности. И в самом деле, мои коллеги и друзья, специалисты гуманитарных профессий, из всего школьного курса устойчиво помнят разве что теорему Пифагора. Да и как сказать. Мой коллега поведал однажды, что вспоминают учителя (не математики) в ответ на прямой вопрос: в чем суть теоремы Пифагора? Среди ответов были и такие: «В треугольнике три стороны» и «З2 + 42 = 52». В 1976 году журнал «Математика в школе» опубликовал статью «О сохранности математических знаний». Ее авторы В. Панкратова и А. Сергеева провели в университете некое исследование среди студентов гуманитарных факультетов, причем, надо заметить, большинство из них окончили школу с хорошими отметками по математике. Что же показало исследование? Определения математических понятий, даже таких основных, как понятия функции, уравнения, иррационального числа, простого числа, через 2—3 года после окончания средней школы исчезают из памяти выпускников полностью. При этом забываются не только четкие формулировки соответствующих определений, но и существенные признаки понятий. В памяти остаются лишь внешние, несущественные признаки, наиболее часто встречающиеся в практической деятельности в период обучения в школе. В силу этого представления о понятиях сохраняются нечеткими, часто неверными, непригодными к использованию. Неосознанные умения быстро утрачиваются (выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений, решение квадратных уравнений и т. п.). Лишь те умения, которые были доведены почти до автоматизма или сохранили теоретическую основу, остались действенными (приведение подобных
1. Каждый везет свою тачку 7 членов, умножение многочлена на одночлен, умножение многочленов, алгоритмы решения уравнений). Многие выпускники не обнаружили умения проводить самостоятельно простейшие математические рассуждения. Так, не вспомнив формулы площади поверхности прямоугольного параллелепипеда, испытуемые не смогли сами вывести ее. Отсутствует у выпускников и самоконтроль, критическое отношение к своим действиям, высказываниям. Вот так. А. Пушкин заметил как бы между прочим, но совершенно точно: Мы все учились понемногу Чему-нибудь и как-нибудь. «Чему-нибудь» — это программа, «как-нибудь» и «понемногу» — это, выражаясь современным языком, методика и организация обучения. Вопроса «зачем?» мы у Пушкина не видим. Своим появлением этот вопрос обязан такой концепции нашего общего среднего образования, при которой одинаково надо было учить всему и всех, даже тех, кто не хочет, и тех, кто не может. Я никогда не «боялся» инспекторов, методистов, администрации — пусть ходят и смотрят, что я делаю. Никогда не понимал так называемых «открытых уроков», из которых делают спектакли. Как вообще можно прятать от людей свою деятельность? Секретов у меня никаких нет, работа наша большая, всегда делаешь что-нибудь не так. В оценках уроков, которые доводилось мне выслушивать, бывало много вкусового, и, к сожалению, мне так и не довелось послушать серьезного профессионального разбора хотя бы одного из них. Но не в этом дело. Как отчитаться перед самим собой? Как вдохнуть смысл в ежедневную и практически однообразную деятельность школьников? Как-то получалось, что, оставаясь только в рамках предмета, я не мог сам себе толком ответить на этот вопрос. Вся моя энергия, и нервная, и физическая, похоже, уходила «в свисток». Немудрено, что такое толкование ситуации приводило к профессиональному дискомфорту. Появились и невеселые симптомы — однажды пришлось брать бюллетень почти на месяц. Как тут не вспомнить А. Чехова! Один из его персонажей, старый педагог, воскликнул в дневнике: «Дети! Какое блаженство получать пенсию!» Но со временем, как говорят, «появился свет в конце туннеля». Выход вроде бы нашелся в попытках решить на уроках математики не только и даже не столько задачи обучения, сколько задачи образовательные, в частности воспитательные. В самой
8 Задача для учителя математики. 7-11 классы общей постановке решение этих задач, как и любых общепедагогических задач, неоднозначно. Многое зависит от толкования таких понятий, как «образование», «обучение», «воспитание», «просвещение», «развитие», а эти толкования неединственны. Для меня теперь образование = просвещение (знания) + обучение (умения) + воспитание (ценности); преподавание = просвещение + обучение. О развитии — позже. На практике воспитание может идти в разных направлениях. Говорят об интеллекте, мировоззрении, характере, нравственности. Сам перечень не полон, и приведенный порядок - условность. Традиционно на первое место в этом перечне созетская педагогика ставила мировоззрение, причем научное, еще точнее — диалектико-материалистическое. Привлекательна точка зрения, описанная В. Овчинниковым в книге «Корни дуба»: в Англии в лучших частных школах на первое место ставят характер. Можно делать особый акцент на воспитании творческого начала личности, в частности, на ее социальной активности. И, наконец, никаких результатов в образовании не добиться, если у ученика нет необходимой мотивации. Когда начинаешь двигаться в новом направлении, открываются и новые горизонты. Сама постановка задачи — воспитание ученика в процессе образования - вряд ли нова. Издавна известно ведь: «Учитель, воспитай ученика». Не «научи», что так естественно, а «воспитай»! Что же стоит за этим «воспитай»? Воспитай, как я понимаю, — передай детям частицу самого себя, своего понимания предмета, понимания смысла образования, в частности математического, передай свои приятия и неприятия, передай свое отношение к работе. И тут совершенно ясно: никаких методичек и быть не может. Все, что я хочу передать детям — именно передать, а не перепасовать, — то «разумное, доброе, вечное» существует только как часть моего «я» — и никак иначе. Я как «обучатель» или «просветитель» — проводник, но я как «воспитатель» — генератор. А теперь вернемся к линиям в воспитании. И тут, где, казалось бы, все ясно с точки зрения теоретической педагогики, сколько монографий создано: главнейшее — личностное влияние. Мировоззрение, к примеру, не в книжках сидит, а в собственной голове. К тому же его не продиктуешь и на дом не задашь, чтобы выучили к следующему уроку. Как можно было воспитывать у ребенка ответственность за собственную работу, если по большому счету ее до поры
1. Каждый везет свою тачку 9 до времени не было у меня самого? Вопрос отнюдь не риторический. Многие годы, что я проработал в школе, у нас была единая программа, единый учебник, единые экзамены, единый обязательный уровень образования и единые требования к отметкам. Но если все едино и обязательно, то у меня нет возможности выбора, а если нет ее, то самостоятельностью и тем более ответственностью даже не пахнет. Их нет по сути, т. к. нет серьезного личного решения. Из года в год учителя решали лишь весьма частные задачи преподавания. Попытки выйти за эти пределы, мягко говоря, не приветствовались. Некогда мой коллега получил выговор от администрации за преподавание в школе (математической!) интегрального исчисления, которое не входило тогда в программу. Мне еще повезло — удалось в прежние годы сделать многое из того, что хотел. Но тем не менее вот два примера из моей практики. Из некоторых соображений мне было удобно в старших классах чередовать занятия алгеброй и началами анализа с занятиями геометрией: неделя алгебры, затем неделя геометрии или даже так: две недели алгебры, затем две недели геометрии. Администрация не возражала в принципе, но журнал я должен был заполнять по старому, т. е. по стандартному регламенту занятий, когда каждую неделю есть уроки как алгебры, так и геометрии. Довольно быстро я перестал соображать, куда и что надо записывать. Еще пример — преподавание информатики, когда оно только вводилось. Дисциплина была для меня, по существу, новая, пришлось долго вникать в дело. Когда пришла некоторая ясность, я изучил только что созданный школьный учебник под редакцией А. Ершова и В. Монахова. То, что в нем сказано, мало соответствовало тому, что я понял. Пришлось готовить совсем другой курс. Никто после моих объяснений не возражал против предлагаемой трактовки, но в журнал мне посоветовали делать записи в соответствии с разделами учебника. Такие были дела. Перейдем к мотивации. По-моему, невозможно воздействовать на появление и развитие интереса детей к математике, если затух собственный интерес к ней. Невозможно передать школьнику радость от решения трудной задачи, если сам уже забыл, что это такое. При всем при том необходимо как можно чаще ощущать себя в «шкуре ученика». Делается это весьма просто — вполне достаточно, если в голове «сидит задача», к которой не знаешь, как и подступиться, или на столе лежит математическая книга, в которой непонятна уже первая страница.
10 Задача для учителя математики. 7-11 классы Персонаж кинофильма «Доживем до понедельника», пожилая учительница, жалостливо произносит что-то вроде: — Им отдаешь целиком самого себя, а они... (имея в виду учеников). — Дело не в этом, — отвечает главный герой фильма, — а есть ли у нас, что отдать? За достоверность фраз не ручаюсь, но смысл точен. 2. «АСУ» УЧИТЕЛЯ Осмысливая свою деятельность учителя-предметника в школе, я пришел к выделению трех ее составляющих: установка, система, атмосфера — АСУ, как я их называю сам для себя, составив аббревиатуру в обратном порядке. Я сразу же хочу отметить, что эти составляющие, конечно, не абсолютны. Более того, наверняка есть разумная работа теоретического характера, в которой вся деятельность учителя разложена по полочкам. Даже если так, давайте предположим, что педагогическая теория ценна для нас в первую очередь тем, что мы смогли из нее присвоить и употребить в дело. В конце концов что-то из этой теории начинаешь постулировать для себя, как нечто исходное. И становится не так важно (в практическом отношении), откуда эти постулаты появились. Главное, чтобы они работали. (Многие мои коллеги и профессиональные математики весьма скептически относятся к теоретической педагогике. Я уподоблю их инженеру, который полагает, что % = 3,14, на худой конец — 3,1416, а все остальное от лукавого.) Теперь я постараюсь раскрыть содержание АСУ, как я его понимаю. Установка отражает ту часть целей и ценностей, которая принята учителем для повседневной деятельности. В конечном счете она отражается на его учениках, если понимать это достаточно широко. Конкретно: знает ученик о геометрии Лобачевского или нет, зависит не столько от программы, сколько от установки учителя, а еще глубже — от интерпретации учителем целей и ценностей образования. Различать цели и ценности необходимо. Например, можно поставить такую цель: научить школьника строить графики несложных функций, что легко проверяется. К ценностям же разумно отнести такие параметры образования, выявление которых проблематично, а то и невозможно. Как, например, проверить наличие у выпускника научного мировоззрения?
2. «АСУ» учителя 11 Установка включает в себя отношение к математике, к задачам образования, в том числе математического, и отношение к ученику. Причем это отношение должно быть очень личным, выращенным в себе. Пусть при этом оно будет односторонним, возможно, корявым — я готов принять любые упреки. Но это — мое, и с этим я иду в класс. Можно ли говорить о своем понимании математики? Думаю, что не только можно, но и необходимо. Оно начинается с детских лет собственного ученичества, формируется в студенческие годы, обогащается в дальнейшем чтением и встречами с профессиона- лами-математиками и уточняется в практической работе. За годы работы учитель не один раз столкнется с изменением программ, учебников, направляющих указаний разного рода начальства. В этом нет ничего страшного, более того, такой процесс естественен: меняются времена — меняются ценности и цели образования, вызывая все последующие изменения. Причины новаций могут быть и непредсказуемы. Кто, например, мог предвидеть, что школьное математическое образование так сдвинется под влиянием Н. Бурбаки? В каком-то смысле история повторилась: «Начала» Евклида вовсе не были учебником по геометрии для школьников, но еще сравнительно недавно по ним кое-где учили детей. В последнее время, наоборот, шарахнулись от Н. Бурбаки. Не имея собственного взгляда на предмет, легко оказаться в растерянности. А уж про нынешние образовательные реформы, будто с небес свалившиеся на наши головы, и говорить нечего. Что же для меня математика как таковая, даже в своих элементарных основах? Прежде всего — наука, а не практическое руководство по счету, вычислению и измерению, не набор сведений, которые надо вбить в голову ребенка, что при известном усилии всегда можно сделать, не набор упражнений, которые надо решить, чтобы набить руку для поступления в высшую школу, а нынче — для написания ЕГЭ. Именно потому, что большинство учеников общеобразовательной школы не будет использовать математику в своей профессии, именно потому, что, быть может, от учителя они слышат последние в своей жизни математические фразы, именно потому важно, чтобы они имели представление о математике как о науке. Но дело не только в этом, даже не столько в этом. Через математику (а других средств у меня просто нет) я хочу передать детям научный стиль деятельности, прежде всего критичность, самостоятельность, добросовестность и ответственность. Я надеюсь, по всей вероятности наивно, что влияние этого стиля хоть как-то
12 Задача для учителя математики. 7-11 классы защитит их в будущем от лавины пошлости, чепухи, демагогии и попросту вранья. «Кто пропитался с детства математикой в такой мере, что усвоил себе ее неопровержимые доказательства, тот так подготовлен к восприятию истины, что нелегко допустит какую-нибудь фальшь», — так сказал в XVII веке П. Гассенди. Но это не все. Вот вопрос, который задает общество самому себе, и, похоже, нет на него окончательного ответа: «Почему во всем мире математика составляет обязательную и значительную часть общего образования, почему на нее отводится так много времени?» В самом деле, математику в нашей школе преподают 11 лет и по многу часов, детей обучают всяким замысловатым формулам (каковых полно в алгебре и тригонометрии) — зачем все это? Ведь потом большинство выкинет все это из памяти, им никогда не придется раскрывать скобки. Более того. Если уж вдуматься, то в реальной жизни большинству более или менее нужны арифметика и геометрия. А ныне в экзаменационную пору от ученика именно эти сведения требуются меньше всего. Не парадокс ли? Возможно, сгодится такая попытка объяснения — конспективно. В конечном счете образование в целом и математическое образование в частности готовит ребенка к некоему виду деятельности (хотя это далеко не все). Инновационная деятельность в обществе сводится к решению разнообразных задач. Задачи эти решаются людьми с развитым теоретическим или практическим мышлением. И тот, и другой тип мышления требует определенной логической культуры. В среднем образовании об этой культуре печется в первую очередь математика. Эти типы мышления не следует противопоставлять, они могут достаточно тесно переплетаться, например, в инженерной или преподавательской деятельности — особенно когда что-то не получается в живом деле и требуется понять, в чем загвоздка. Основой теоретического мышления является абстрактное мышление, т. е. мышление понятиями. Простейшая работа с научными понятиями в школьном образовании происходит именно в математике, ибо первичные математические понятия (число, фигура) проще абстракций в других сферах научного знания. Далее. Чрезвычайно важное значение в развитии ребенка имеет мотивация. Она во многом обеспечивается удовольствием, полученным в процессе образования. Наибольшее удовольствие в интеллектуальной деятельности доставляет хорошо сделанная и по достоинству оцененная работа. Однако пятидесятое само¬
2. «АСУ» учителя 13 стоятельно решенное квадратное уравнение вряд ли доставит удовольствие, особенно способному ребенку. Поэтому наиболее ценно удовольствие, которое получено после определенных интеллектуальных усилий. Для этого требуется преодоление посильных трудностей, связанных с абстрактным мышлением. Именно в математическом образовании эти трудности на протяжении всех школьных лет возникают совершенно естественно, они хорошо знакомы, разумно выстроены; известно также, как помочь ребенку их преодолеть (вот она — методика). Среднее математическое образование — школа создания и развития у ребенка потребности в преодолении интеллектуальных трудностей в теоретическом мышлении, а потому оно способствует становлению волевых качеств личности. Еще добавлю. Музыка — это красота звуков, живопись — красота красок, поэзия — красота образов, проза — красота языка, математика — красота мысли. Беда, если мы не покажем ее детям. Однажды во время давней дискуссии с коллегами я сказал, что мне нравится в среднем один свой урок из ста. А почему? Да потому, что я занимался с детьми не введением в мир науки, а неизвестно чем. Вынужден был так делать, увы. Собственное понимание предмета накладывает обязательства, которые не всегда удается выполнить. Математика предстает передо мной разными своими сторонами. 1. Математика — дедуктивная наука, давшая миру аксиоматический метод и некие эталоны строгости рассуждений. Можно начать с небольшого числа аксиом и все остальное время продвигать теорию. 2. Математика — способ познания мира («основа точного естествознания», — говорил Д. Гильберт) и средство для практической деятельности в этом мире. Предсказать затмение или погоду, построить здание, найти оптимальное решение — примеров, подобных этим, сколько угодно. 3. Математика — это специфическая техника, набор приемов и методов для решения разнообразнейших упражнений, возможность постоянно тренировать и совершенствовать эту технику. В элементарной математике достаточно вспомнить геометрию треугольника. И каждая из этих сторон накладывает свой отпечаток на собственную работу. В силу дедуктивного характера математики я обязан доказывать все, на что потом собираюсь ссылаться. Не вообще все, что я говорю детям, есть интересные результаты, доказательство кото¬
14 .Задача для учителя математики. 7-11 классы рых дать ученикам просто невозможно, например трансцендентность чисел к и е. Порой дать приемлемое доказательство очень непросто. В курсе общеобразовательной школы нет доказательств, связанных со свойствами вещественных чисел: почему, например (2V2)>/2 _ 4? И что делать? «Отсутствие доказательства для математика подобно зубной боли», — сказал кто-то. Вряд ли такое состояние возникнет у школьника, если ему вместо доказательства предложат толковое разъяснение, разумеется, не выдавая его за доказательство. Надо искать какие-то выходы, постараться найти другие способы убеждения. При этом единство метода не так важно — важнее дать хоть какое-то доказательство, чем не давать никакого. Можно обыграть то обстоятельство, что сам термин «доказательство» в рамках школьной математики не имеет четкого определения, насколько я знаю, и далеко за ее пределами тоже. Я вполне согласен с таким пониманием доказательства: «Доказать — это убедить другого настолько, что другой сам готов убеждать этим же способом». Отсюда сразу же следует, что доказательства могут иметь разный уровень строгости в зависимости от адресата. Одно дело — доказывать ученику, другое — учителю, третье — профессионалу-математику, и уж совсем другое дело — доказывать специалисту по математической логике. И сразу надо сделать оговорку, чрезвычайно существенную для преподавания: абсолютизация этого требования «доказывать все», причем с высочайшей строгостью, приводит к абсурду. Дело вот в чем. Весь опыт преподавания математики говорит о том, что, прежде чем начать что-то доказывать детям, необходимо пробудить в ученике потребность в доказательстве. Затем возникает серьезная задача — найти тот уровень убедительности в рассуждениях, который оказался бы достаточным для обоснования всего существенного и был бы доступен для ученика. О том, что задача эта не только важна, но и трудна, говорит простое наблюдение: есть авторы школьных учебников, которые отождествляют школьный курс геометрии с курсом ее оснований, и есть полярная точка зрения, полностью отрицающая аксиоматический метод в преподавании и даже необходимость доказательств. Как мне кажется, оба уклона говорят об отказе авторов решать, а может быть, даже и ставить перед собой эту педагогическую задачу. Известно, что по мере взросления ребенка можно предъявлять к нему при соответствующем обучении все более высокие требования при доказательствах.
2. «АСУ» учителя 15 Так, в начале систематического курса геометрии вряд ли требуется доказывать, что диагонали параллелограмма пересекаются. Но в старших классах можно обсуждать, почему отрезок, соединяющий точки на разных гранях двугранного угла, пересекает плоскость, проходящую через его ребро и делящую угол пополам. Но даже и старшеклассники вряд ли будут чувствовать потребность в доказательстве, например, того, что выпуклый многогранник является пересечением полупространств, ограниченных его опорными плоскостями. Что тут поделать — такова природа процесса познания, она, к сожалению, противоречива (а может быть, к счастью?), и превратить живое преподавание в формализованную до конца процедуру вряд ли возможно. Попытки загнать его в некие рамки можно как-то оправдать, но всегда будет интересным такое преподавание, которое выходит за эти рамки. Какова бы ни была учительская установка, важно не перегибать палку. Надо ли определять со всей строгостью, к примеру, что такое функция, уравнение? Есть притча о трех апельсинах. В семье заболел ребенок, родители пригласили врача. Врач обследовал мальчика и сказал: — Ребенку нужен один апельсин. — А два? — спросили родители. — Два еще лучше, — ответил врач. — Тогда, может быть, дать три апельсина? — Нет, — ответил врач. — Три апельсина уже хуже. Уровень строгости в доказательстве, как я уже говорил, не является абсолютом. Любопытно, однако, что иногда это можно продемонстрировать в классе, оставаясь в рамках одной и той же теоремы. Приведу такой пример — доказательство теоремы о производной сложной функции. В свободном переложении ее содержание таково: пусть функция д>(х) дифференцируема и функция z(y) дифференцируема. Тогда zx = z'y • Ух- Вот «доказательство». Пусть известна/(х), т. е. скорость изменения величины у относительно х, и ^(у), т. е. скорость изменения величины z относительно у. Требуется найти zx, т. е. скорость изменения величины z относительно х. Возьмем простой пример: по трем дорожкам бегут три спортсмена. Медленнее всех бежит первый. Второй бежит в два раза быстрее первого. Третий бежит в три раза быстрее второго. Во сколько раз третий бежит быстрее первого? Ясно — в шесть раз. (Найду.гея такие ученики, которые скажут: в пять,) Что делается с этими скоростями? Они перемножаются! Поэтому zx = z'y * у'х-
16 Задача для учителя математики. 7-11 классы У меня было много учеников, которых вполне убеждало такое рассуждение. Но если возникало сомнение, то от этого рассуждения, трактующего производную как скорость, можно перейти к более формальному, например такому: возьмем достаточно малое приращение Ах. Так как j(x) имеет производную, то мы можем считать у(х) при этих Ах линейной функцией: у = к{х +1{. Когда Ах достаточно мало, то и Ау достаточно мало. Поэтому мы можем считать, что при этих Ау функция z(y), также имеющая производную, является линейной: z = к2у + /2. Выразим £(x): z (х) = к2 (кхх + 1Х) + /2= (к2к^)х + к21х + /2. Угловой коэффициент функции ^(х) оказался равным произведению угловых коэффициентов кх и к2. Но угловой коэффициент этой линейной функции и есть производная. Отсюда получаем z'x = z'y • у'х. Наконец, можно перейти к совершенно формальным выкладкам. Возьмем произвольное приращение Ах. Тогда Ау = (у'х + а) Ах и Az = (z'y + Р) Ay. Здесь а и (3 — бесконечно малые функции. Дальнейшее рассуждение хорошо известно, и я не буду его приводить. Не уверен, что сразу же стоит давать именно третье доказательство. Во всяком случае, к такому доказательству учеников надо готовить. (То же можно сказать о доказательстве с помощью пределов.) Сразу же выскажу сожаление, что авторы учебников математики «боятся» ввести в школу дифференциальную символику dy и не пишут у'х = — (физики это делают легко). Доказательство dx заняло бы одну строчку и было бы всего лишь формальной записью первого рассуждения. Итак, или доказательства есть — и тогда это наука, или их нет — и тогда это байки. Из этого категорического утверждения вовсе не следует, что я требую от учеников знания или даже повторения всех доказательств. Ни в коем случае! По-моему, от ученика вовсе не нужно требовать воспроизведения доказательств большинства теорем — только самых основных, самых важных, я бы даже сказал, самых важных или самых красивых. Только такие доказательства и стоит воспроизводить. Вот что примерно я говорил в общеобразовательной школе: —Я понимаю, что большинству из вас сама математика не нужна, а это доказательство тем более. Вам и так все очевидно. (Предположим, речь идет о теореме Больцано — Коши: непрерывная функция, имеющая на концах некоторого промежутка разные
2. «АСУ» учителя 17 знаки, внутри этого промежутка обращается в нуль.) Более того, вы и так мне поверите, без всякого доказательства. («Зачем вы так долго трудитесь над доказательством, — сказал некто математику, - слова дворянина вполне достаточно, чтобы я вам поверил».) Но я хочу другого. Я хочу, чтобы вы ясно понимали: там, где нет доказательств, там нет и самой науки. Вторая сторона математики — практическая — мне особенно близка. Хочется привести тут две фразы. Одна — достаточно ироничная — принадлежит JI. Стерну: «...обычная слабость величайших математиков, которые так усердно трудятся над доказательством своих положений и настолько при этом истощают все свои силы, что уже не способны ни на какое практически полезное применение доказанного». Другая высказана в афористической форме и приписывается Г. Штейнгаузу: «Математик это сделает лучше!» А что такое «это» — неважно. Решив задачу о семи кенигсбергских мостах, JI. Эйлер в одном из своих писем пишет: «Это решение по своему характеру, по-видимому, имеет мало отношения к математике, и мне непонятно, почему следует скорее от математика ожидать этого решения, нежели от какого-нибудь другого человека, ибо это решение подкрепляется одним только рассуждением и нет необходимости привлекать для нахождения этого решения какие-либо законы, свойственные математике. Итак, я не знаю, каким образом получается, что вопросы, имеющие совсем мало отношения к математике, скорее разрешаются математиками, чем другими». В школьной практике много ситуаций, подтверждающих иронию JT. Стерна, и очень мало — говорящих о правоте Г. Штейн- гауза. Традиционно прикладная сторона математики в среднем образовании была на положении Золушки. О ней, разумеется, знали, были неплохие методические работы — обычно они шли под лозунгом межпредметных связей. Однако я не помню, чтобы мало-мальски серьезные задачи прикладного содержания предлагались ученикам на экзаменационной, контрольной или самостоятельной работе. Отсюда, в частности, и отношение к таким задачам со стороны учителей. Замечу также, что и в иных учебниках не очень-то жалуют эту сторону математики. Вот только один пример: традиционно рассказ о производной начинается с задачи о нахождении мгновенной скорости неравномерного движения; однако мне довелось видеть подход к этому понятию, никак не связанный с проблемами, которые поставило перед математикой развитие естествознания.
18 Задача для учителя математики. 7-11 классы Но как передать детям убеждение, что математика не бухгалтерия, и не фокусы с закорючками, и не интеллектуальное времяпрепровождение? Как сделать так, чтобы детей не отпугивала абстрактность понятий, формализм определений, занудность доказательств, искусственность упражнений и полная оторванность от их реальных проблем? В последние годы, правда, положение стало несколько меняться. Видимо, это вызвано возросшей ролью прикладной математики в жизни современного общества (или, если угодно, усилением прикладного направления в математике). Появились серьезные методические работы. На уроке уже позволительно составить хотя бы пару дифференциальных уравнений, решить задачу линейного программирования, еще кое-что. Но этого мало, очень мало. Конечно, можно рассказать, как И. Кеплер искал законы движения планет, как измерили расстояние от Земли до Луны, каким путем летит самолет из Новосибирска в Санкт- Петербург. Все это хорошо, но не решает проблемы. На самом деле нужна деятельность по решению прикладных задач, и как можно более частая. Повод для такой деятельности можно найти даже в ежедневных газетах. Один пример. Как-то было напечатано такое сообщение из-за рубежа: «Министр социального обеспечения Великобритании Н. Скотт сообщил депутатам парламента, что с 1984 по 1988 год число мужчин, достигших столетнего возраста, увеличилось в стране со 100 до 210. В случае сохранения этой тенденции через 66 лет на Британских островах почти невозможно будет встретить мужчину моложе 100 лет». Вопросы ученикам: каким образом министр получил число 66 и как вы относитесь к его выводу? После одного давнего случая я стал относиться к практическим задачам с большим почтением. Был как-то у меня (я работал тогда в математической школе) выдающийся ученик Саша Л. - победитель всяческих олимпиад по математике и физике, включая международную. Учась в 7 классе (нумерация классов современная, тогда это был 6 класс), он стал победителем городской олимпиады старшеклассников, а в 8 классе полностью был знаком с курсом анализа Г. Фихтенгольца. Как-то он мне сказал: «У меня сейчас такое ощущение, что я могу решить любую задачу». И это не было бахвальством. В 11 классе он заинтересовался некоторыми проблемами высшей алгебры. Я попросил содействия у профессора университета, известного алгебраиста 3. Боревича. Он пригласил Сашу на свой семинар для старшекурсников и аспирантов по теории Галуа, Я предупреждаю Сашу, что семинар идет
2. «АСУ» учителя 19 для специалистов по алгебре. «А о чем у них семинар?» — спрашивает он. Я отвечаю и даю ему книгу А. Постникова по теории Галуа. До очередного занятия семинара оставалось меньше недели. Когда Саша появился в школе на следующий день после семинара, я, естественно, поинтересовался, как прошло занятие. - Нормально. - И ты все понял? - Почти все. - А книжка помогла? - Конечно. С книжкой было проще — там я понял все. Так что прикажете делать с таким вот учеником на устном выпускном экзамене по геометрии, который проводился тогда по общегосударственным билетам для массовой школы? На глаза мне попалась модель неправильной треугольной пирамиды — она лежала на столе экзаменаторов. И что-то пришло в голову. - Вот тебе тетраэдр и вот тебе линейка. Чему равен объем этого тетраэдра? Проблема ясна: как вычислить высоту тетраэдра? В громадном числе упражнений на вычисление объема пирамиды она обычно дана или легко находится. А тут неясно даже, в какую точку основания она проектируется. Задачу эту Саша, конечно, решил, но, как говорится, пришлось ему «попотеть». В прикладной задаче, если говорить в общем, важна сама ее постановка: учет условий и формулировка вопроса. Почему выбраны именно эти условия и почему задан именно этот вопрос? В традиционной школьной математике все иначе: дано вот это, а доказать (вычислить, найти, построить) требуется вот это. «А откуда они знают, что давать?» — спросила меня как-то вконец недоумевающая семиклассница (сейчас она — преподает математику в вузе). Я бы добавил: «И откуда они знают, что спрашивать?» Третья сторона математики — техническая, с которой она предстает как набор методов и приемов решения разнообразнейших упражнений. Важность этой деятельности бесспорна, тут даже обсуждать нечего. При этом она хорошо разработана в методической литературе. Беда, однако, состоит в том, что именно эта сторона математики оказалась в школе главенствующей. Есть две замечательные популярные книги о математике в целом: «Что такое математика» Р. Куранта и Г. Роббинса (Р. Курант — выдающийся ученый, его именем назван математический институт в Нью-Йорке) и «Математика и логика. Ретроспектива
20 Задача для учителя математики. 7-11 классы и перспективы» М. Каца и С. Улама (профессионалов высочайшего класса). И посмотрим, что они хотели рассказать в своих книгах. Так вот — о треугольниках и окружностях почти ничего, й никаких тебе логарифмическйх уравнений, тригонометрических неравенств. То же и в других популярных книгах. Поневоле призадумаешься. И вот теперь наш разговор об отношении к математике переходит в разговор о математическом образовании. Этот разговор — в каком-то смысле разговор ни о чем. В самом деле, насколько мне известно, содержание среднего математического образования не было еще задачей обстоятельного педагогического исследования. Та математика, которой учат сейчас в школе,— это продолжение того, чему учили когда-то в России. Но ведь в иных странах тоже реализуют среднее математическое образование. И там, судя по обзорам в печати, оно понимается как-то иначе. Не может быть, однако, того, чтобы математика была интернациональной, а математическое образование — по сути своей - национальным. Может быть, ответ на вопрос «Что такое среднее математическое образование?» должен решаться не за столом ученого той или иной страны? Я рискну даже сделать такое предположение: может быть, стоит понимать под средним математическим образованием пересечение того, что понимают под этим в странах, которые имеют в этом деле устойчивую репутацию, скажем, в тех странах, которые регулярно посылают свои команды школьников на международные математические олимпиады? Но пока обо всем этом договорятся (да и договорятся ли?), что-то понимать для себя необходимо. Я как-то задал коллегам два таких вопроса: 1. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику (имеется в виду школьный курс), если он знает назубок содержание справочника по элементарной математике, т. е. знает все формулы, все теоремы и даже методы решения стандартных задач? 2. Считаете ли вы, что ваш ученик знает математику, если он умеет решать все из какого-либо задачника для поступающих в вузы? Ответ на первый вопрос я слышал только отрицательный. Ответ на второй вопрос неоднозначен, есть разные точки зрения. Важно, что они есть! В той или иной степени среднее математическое образование, я убежден, должно быть введением в науку, а потому отражать все стороны математической науки. И отражать не только на бумаге: в программах, учебниках — но и в практической работе учителя.
2. «АСУ» учителя 21 Но, как ни покажется парадоксальным, оно должно быть в каком-то смысле еще шире. За счет чего? Во-первых, за счет исторических сведений. Математика по этой части занимает в среднем образовании исключительное место. Трудно себе представить школьный курс физики без рассказа об атомной энергии, курс биологии без генетики и т. д. Самые последние крупные достижения математики, о которых более или менее подробно рассказывается в школе, относятся ко времени И. Ньютона и Г. Лейбница, — между прочим, к допетровским временам по меркам нашей истории. Но ведь все, что изучают сейчас, откуда-то взялось! Так откуда? Каким образом? Кто придумал ? Как это было? Математика — это же не Талмуд, это живая, развертывающаяся во времени деятельность, а раз так — это драма идей и людей, их триумфы и заблуждения. Расцветить историей можно почти каждый раздел курса. Здесь я приведу только один пример. Объем шара вычисляется по формуле 4 К= -тс/?3, где R — радиус шара. Формула как формула, ничего особенного, получается интегрированием. Но это сейчас. А как ее получали до того, как были придуманы интегралы? И кто получил первым? Пропорциональность объема шара кубу радиуса очевид- 4 на, но как получить коэффициент —я? Первым эту формулу получил Архимед — как он додумался? О том, как додумался Архимед, можно провести специальный урок, посвященный межпредметным связям, ибо этот результат он получил, используя соображения, взятые из механики. — Архимед, — говорю я детям, — признанный в истории науки ученым № 1, так гордился этим результатом, что хотел запечатлеть способ его получения на своем надгробии. А история открытия иррациональных чисел, комплексных чисел, неевклидовой геометрии — какой здесь богатый материал для разговоров и бесед с учениками! А рождение, взлет и падение логарифмов? Часть этой истории — последняя — произошла уже на памяти моего поколения. Учась в школе, я старательно логарифмировал многоэтажные выражения, «ползал» по логарифмическим таблицам и переживал, когда в выпускной работе по геометрии получил значение объема, расходящееся с аналогичным результатом у моего однокашника на единицу третьего разряда после запятой. Потом я обучал всей этой премудрости детей - называлось это практической направленностью. Затем учил вместе с детьми устройство и правила обращения с логарифмической
22 Задача для учителя математики. 7-11 классы линейкой, учил вместе и забывал тоже вместе. А что теперь? Все это отправилось в небытие с появлением калькуляторов. Еще пример — теория множеств. «Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Г. Кантором», — было сказано Д. Гильбертом. Но что делать с ее парадоксами? И возникает вопрос: «А так ли уж эта теория необходима для обоснования геометрии, анализа?» В результате во многих странах из школьных учебников выкинули самые безобидные сведения даже о простейших теоретико-множественных понятиях. Уж на что мы привыкли, решая уравнение, переносить все в одну часть, оставляя в другой ноль. Уж куда проще? Но ведь это было событием в математике. Благодаря такому переносу появилась теория решения уравнений в радикалах, основная теорема алгебры, решение уравнений стало увязываться с функциональными соображениями. Да что говорить... И появление нуля, и позиционная система счисления, и буквенная символика — все это когда-то появилось, не всегда было с ходу принято. И поневоле спросишь: а как же было до того? Все это, а также доступность этого для детей прекрасно известны. Однако в учебниках сведения по истории математики даются только для краткой справки, причем в «обесчеловеченном» виде: имена ученых есть, а что это были за люди, как они приходили к своим результатам — неизвестно. И уж если в учебнике приведен только некий триптих: год рождения — черта — год смерти, то ясно, что остается в памяти ученика. Один пример тому. Я как-то по случаю спросил у детей, говоря о ряде Фибоначчи, что они знают о самом человеке, именем которого назван этот ряд. Ответ был такой: «Это — биолог». Видимо, вспомнили задачу о кроликах. Во-вторых, математика — мир чудес. «Клянусь Богом, это невозможно!» — воскликнул английский философ Т. Гоббс, когда в возрасте примерно 40 лет впервые познакомился с теоремой Пифагора. Как бы передать это ощущение чуда? Ведь мы так привыкли к своему делу, что никаких чудес в математике уже и не видим. Но! Три медианы в треугольнике имеют общую точку. — Какое же это чудо? — заявили мне шестиклассники, когда увидели сей факт, аккуратно выполнив построения в тетрадке. — Но это же получилось у всех, правда? — говорю я. — А вы можете объяснить, почему это получилось у всех? Еще нет. А то, что нельзя объяснить, но происходит, и есть настоящее чудо.
2. «АСУ» учителя 23 И я помню, как мои выпускники в математической школе ошарашенно смотрели на формулу J1. Эйлера: е™+ 1 = 0. В математике можно доказать бесконечность (например, бесконечность последовательности простых чисел. И как доказать! В одну строчку!) В математике доказывают невозможность (например, невозможность решения в рациональных числах уравнения х2 = 2). В математике можно доказать вообще нечто невообразимое (например, что на открытом интервале «столько же» точек, что и на всей прямой. Для этого достаточно построить график тангенса на промежутке (—0,5я; 0,5л). Однажды мой коллега, литератор, по этому поводу произнес: «Я понимаю, что это так, но все равно не верю»). А что бы он сказал, интересно, узнав, что в отрезке «столько же точек», сколько в построенном на нем квадрате, а в этом квадрате «столько же точек», сколько в построенном на нем кубе? Напомню некоторые «чудеса с бесконечностью», не углубляясь в детали. Можно над отрезком единичной длины построить ломаную бесконечной длины, причем без самопересечений. Это делается так. Нарисуем прямую. На этой прямой отложим последовательно отрезки длиной —, —, - и т. д., соответствующие бесконечной 2 4 8 геометрической прогрессии со знаменателем —; ее сумма равна 1. Из начала первого отрезка в одной полуплоскости от данной прямой построим ломаную, соответствующую гармоническому ряду. Первое звено этой ломаной возьмем равным 1 и так его построим, что оно проектируется (ортогонально) на отрезок нашей прямой длиной -. Второе звено этой ломаной возьмем равным ~ и так его построим, что оно проектируется (ортогонально) на отрезок нашей прямой длиной Третье звено этой ломаной возьмем равным - и так его построим, что оно проектируется 3 1 (ортогонально) на отрезок нашей прямой длиной -. И так далее, 8 до бесконечности. Гармонический ряд расходится, а потому длина такой ломаной сколь угодно велика, хотя проекция любой ее части и ее самой короче I. Если эта ломаная имеет вид зигзага, получается любопытный факт: она целиком умещается в ограниченном куске плоскости, например, в квадрате со стороной 1.
24 Задача для учителя математики. 7-11 классы Эту ситуацию можно оживить, представив себе, что на построенной нами ломаной начала двигаться из левого нижнего угла квадрата материальная точка, причем с громадной скоростью. Она будет сколь угодно далеко по своей траектории удаляться от начальной точки своего движения, но, постоянно приближаясь к правой стороне квадрата, никогда не выйдет за его пределы. Это можно представить? Вот еще несколько примеров. 1. Рассмотрим единичный отрезок и квадрат, построенный на нем. Каждая точка единичного отрезка [0; 1 ] может быть записана как бесконечная десятичная дробь в пределах от 0 до 1. Так же двумя координатами можно зафиксировать точку единичного квадрата, и получатся две десятичные дроби, каждая из которых лежит в промежутке от 0 до 1. Теперь данную точку единичного отрезка можно сопоставить с точкой единичного квадрата, если из данной десятичной дроби образовать две координаты: в одной из них выписать все четные по номеру цифры данной дроби, а в другой — нечетные по номеру. И наоборот, данную точку единичного квадрата можно сопоставить с точкой единичного отрезка, если из двух десятичных дробей-координат составить одну десятичную дробь, перемежая цифры координат по одной. Вот и получается, что в квадрате «столько же» точек, сколько на его стороне. 2. Возьмем единичный отрезок [0; 1], разобьем его на три равные части и среднюю удалим; то же сделаем с двумя оставшимися отрезками. Продолжим этот процесс бесконечно. Несложно подсчитать общую длину удаляемых отрезков, она равна 1. Иначе говоря, от данного отрезка «ничего не остается». Однако что-то все же остается и можно показать, что оставшееся множество имеет «столько же точек» сколько исходный отрезок [0; 1]. 3. Рассмотрим множество рациональных дробей на промежутке от 0 до 1. С одной стороны, между любыми двумя дробями можно вставить третью. С другой стороны, это множество счетное, т. е. их все можно занумеровать, каждое из них будет иметь свой номер. Как же тогда можно между двумя последовательно идущими дробями вставить третью дробь? 4. А вот пример, предложенный восьмиклассником Мишей П. Возьмем какой-либо временной интервал, например 1 час. И займемся выписыванием знаков числа к. Начнем делить этот интервал времени пополам. Через 30 минут запишем первый знак числа к. Оставшийся временной интервал опять делим пополам и через 15 минут записываем второй знак числа 71. Ну и так далее. Таким образом, не пройдет и часа, как мы выпишем все знаки числа п.
2. «АСУ» учителя 25 В бесконечности есть что-то пугающее, если задуматься. Один мой случайный знакомый поведал, что он махнул рукой на математику в начале курса школьной геометрии, услышав от учительницы, что прямая бесконечна. Он не смог себе этого представить. И ученики мои однажды затеяли со мной дискуссию, связанную с бесконечностью. Было это так. Я сказал, что прямая АВ — это объединение всевозможных отрезков, проходящих через точки А, В. «Как же так? - вопрошали они. — Ведь за любым отрезком, проходящим через эти точки, найдутся и другие точки этой прямой!» Пришлось как-то объяснить корректность этой фразы. Любопытно при сем вот что. Без проблем они восприняли такое равенство: (АВ) = {Х:АХ = ХАВ}, где Хе R. Мне не очень понятна причина такой раздвоенности в их понимании. В бесконечности таится некая загадка. Оказывается, она может использоваться для объяснения тех понятий, которые никак сами по себе не связаны с бесконечностью. Например, отрезок. Отрезок определяют как часть прямой. Но отрезок (его реальный прообраз) конечен, его можно видеть где угодно вокруг себя. А прямая бесконечна, прямую никто не видел, ее нельзя нарисовать, у нее нет реального прообраза. Почему же первичным в наших школьных учебниках геометрии является прямая? Еще пример — угол. Где нам нужен угол во всей его бесконечности? По-моему, нигде. Отклонение одного направления на плоскости от другого (или расхождение двух направлений) вполне задается на конечном участке плоскости. Однако исходным является понятие угла между лучами, т. е. между бесконечными фигурами. Добавлю, что расстояние между фигурами тоже характеризует отклонение (расхождение) двух объектов. В математике сомневаются в совершенно очевидном (например, доказывают существование прямоугольника, середины отрезка...). Но есть куда более простые ситуации. Вот одна из них. «Может ли быть прямоугольник длиной 1 км, а площадью 1 мм2?» — неосторожно спросил я как-то у 10-летних карапузов в конце урока, под самый звонок. Боже, какая началась буря! Кажется, я не успел их убедить и сказал только: «Ну ладно, уже звонок, поговорите об этом дома со взрослыми». Вышло хуже, чем я полагал. На следующий день Саша Е. звонким голосом отчеканил: «Моя тетя — технолог. И она сказала, что таких прямоугольников не бывает!»
26 Задача для учителя математики. 7-11 классы Говорят, А. Хинчин, доказав студентам-математикам форму- ь лу Ньютона — Лейбница J/(*) dx = F(b) - F(a), лекцию прекра- а щал, чтобы они навсегда запечатлели в памяти ту великую минуту, когда с этой формулой познакомились. Я уже не говорю об огромном мире занимательной математики. Очень хорошо сказал Д. Пойа: «Учитель должен видеть в себе комиссионера, желающего продать юнцам немного математики». Но авторы учебников чураются ее как последней напасти. А ведь прекрасно заметил Б. Паскаль: «Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случая сделать его немного занимательным». На уроке хорошо иметь под рукой сборник занимательных и шуточных задач, околоматематических баек, фокусов и головоломок с математическим подтекстом — для разрядки, но не только, иногда в них скрыто богатое содержание. Кроме хорошо известных сборников И. Перельмана, Б. Кордемского и других (достаточно вспомнить книги М. Гарднера и Р. Смаллиана), отлично подходят книги Ф. Кривина, Г. Остера, Дж. Литлвуда, И. Зенкевича, И. Славутского, С. Федина. Забавно, что книга Г. Остера «Задачник» была у нас публично осуждена за злонамеренность и вредоносность (эти термины я привожу без кавычек, следуя замыслу хулителей) оч-ч-чень серьезными людьми — аж неким депутатом Государственной думы и даже членом Государственного совета, но, что более удивительно, и ученым-педагогом, и математиком-методистом. И с юмором, видимо, у этих хулителей что-то не в порядке, и ребенок для них — некая абстракция. Это ж такое счастье, когда дети смеются на уроке, — как солнце в ненастный день. Мне очевидна общекультурная ценность математического образования. Но здесь мое перо слабеет, и скажу только: еще древние знали, что ребенка надо учить музыке и математике. Однако в последнее время, уменьшая количество часов на математику, наши горе-реформаторы от образования с легкостью сводят ее содержание чуть ли не к таблице умножения. Их можно понять, видимо, им в детстве не повезло с учителем математики, но и только. Сделать дыру в общей культуре личности нетрудно, да только как ее потом латать? Сказал ведь весьма высокий чиновник о Н. Копернике, будто бы тот перед сожжением произнес: «А все-таки она вертится!», свалив в одну историческую кучу Н. Коперника, Д. Бруно и Г. Галилея.
2. «АСУ» учителя 27 Глядя на большинство наших учебников, на школьные экзамены, нельзя не прийти к выводу, что главное в деле математического среднего образования — ловкость в проведении разнообразных выкладок. Так оно сейчас понимается на практике. И вот кульминация школьного обучения — подготовка к выпускным экзаменам, теперь к ЕГЭ. Пример, еще пример, еще уравнение, вариант, еще вариант. Долой часы на геометрию — она подавляющему числу выпускников не под силу, а какие-никакие баллы и без нее набрать можно! Какое там развитие личности, развитие способностей! Куда-то пропало и разумное, и доброе, и вечное. Все, как у одной из чеховских героинь — учительницы, которая полагала, что самое главное в школе — не дети, не просвещение, а экзамены. Приведу очень яркий пример того, каким может быть результат такого «образования». Некогда газета «Комсомольская правда» напечатала статью «Квадратура круга — это просто». Через некоторое время последовало продолжение: «Кубатура шара? Еще проще!» Обе эти статьи я читал своим ученикам в 8, 10 и 11 классах. Затем доводилось читать их студентам-математикам, будущим педагогам, а также своим коллегам. Попробую вкратце передать суть этих статей. В Ставрополе В. Касаткин создал прибор для штурманских расчетов, основанный на новом методе. Опытный образец прибора хорошо себя зарекомендовал, однако в массовое производство прибор не внедрялся. Но при чем тут квадратура круга и кубатура шара? А вот при чем. По словам В. Касаткина, его метод не только основа для конструирования навигационного прибора. Основываясь на нем, можно «вычислить квадратуру круга», «удвоить куб», «решить Великую теорему Ферма» (такова была стилистика автора). Более того, можно добиться прогресса «на самых наисовременнейших направлениях: в электронике, кибернетике, приборостроении, макро- и микрокосмосе», а также в решении прикладных задач физики и химии. В Академии наук к его идеям отнеслись «почему-то» скептически. Был проведен круглый стол, но и там В. Касаткин реальной поддержки не получил. В газетных статьях приводились многочисленные высказывания В. Касаткина, был пространный комментарий журналиста — автора статей, публиковались отзывы разных ученых, как безымянных, так и названных пофамильно.
28 Задача для учителя математики. 7-11 классы Сам В. Касаткин был убежден в том, что его предложения имеют мировое значение. «Хватит нам догонять! А ведь мы можем такое сделать, что и не снилось. И пусть нас догоняют!» Подробный анализ статей из «Комсомолки» был чрезвычайно поучителен. Я сделал его в 11 классе. «Такое нагромождение несусветных утверждений, — сказал я в заключение, — оставим на совести газеты». Академик А. Мигдал, оценивая работы авторов «великих открытий», в одной из своих книг подытожил: «Все эти работы имеют общие черты: Перевороту подвергается не какой-либо один вопрос, а сразу все результаты современной науки. Автор не имеет профессиональных знаний в данной области. Никогда не цитируются современные научные работы — чаще всего потому, что автор с ними незнаком. Авторы таких “трудов” всегда заявляют, что их работа - плод многолетних усилий, однако видно, что время если и тратилось, то не на математические выкладки, не на эксперименты и даже не на анализ известных фактов. Никаких других работ меньшего масштаба у автора не было». Какова же была реакция на прочитанное мною? Почти полное принятие содержания восторженного текста статей, причем даже у моих коллег. Надо сказать, что и самые острые обсуждения были с коллегами. После моих критических замечаний в адрес газеты я слышал и такое: «Вот такие, как Вы, и насмехаетесь над всем новым, что у нас рождается! Это такие, как Вы, не давали работать врачу С. Федорову, врачу Г. Илизарову, учителю В. Шаталову!» Ну и так далее. И что тут скажешь! Если держаться ближе к тому, о чем мы сейчас говорим, а говорим об образовании, то оно, полагаю, включает в себя знание и некоторых запретов, невозможностей. Мы же знаем, что не может быть вечного двигателя, что не бывает КПД больше 100%. Человечество давно «похоронило» философский камень, эликсир молодости и т. д. Точно так же надо знать о невозможности квадратуры круга, удвоения куба, правильно это понимая. (К месту, любопытный способ «квадратуры круга» придумал Леонардо да Винчи. Рассмотрим цилиндр, у которого радиус ос- R нования R, а высота Площадь его боковой поверхности равна nR2. Разверткой его боковой поверхности будет прямоугольник такой же площади nR2, т. е. равновеликий кругу, лежащему в ос¬
2. «АСУ» учителя 29 новании нашего цилиндра. Такой прямоугольник можно получить, покатив цилиндр по плоскости. А уж построить квадрат, равновеликий данному прямоугольнику, — так это задача для школьников.) Образование должно воспитывать уважение к науке — тяжелейшему труду человеческого ума. Окончив школу, человек должен понимать, что дилетанту не «решить теорему Ферма», как выражался В. Касаткин. Более того, «ферматисты» давно имеют печальную известность — и об этом тоже должен знать образованный человек. Я видел не одного такого — грустное зрелище. (История доказательства теоремы Ферма ярко рассказана в книге С. Сингха «Великая теорема Ферма».) Занятно, что и теперь, когда уже теорема Ферма доказана, продолжаются попытки найти то самое доказательство, которое якобы нашел сам П. Ферма, но за недостатком места не записал. И опять же эти попытки идут от дилетантов. О такой попытке омского инженера, доктора технических наук А. Ильина недавно стало известно от журналистов. Публикация об этом появилась в сентябре 2005 года в «Учительской газете» под рубрикой «открытие века». Обилие совершенно невразумительных фраз, близких к сумеречному бреду, если говорить попросту, вранья (к примеру, пишется, что эта теорема до сих пор не доказана) да высказывания опять же не математиков, что наконец-то найдено «то самое», — вот и все, что можно найти в этой публикации. В другой публикации этой же газеты приводится и само «доказательство». Я вывесил его ученикам на обозрение — пусть ищут ошибку. И находили! Вот еще пример: некий журналист пишет о загадках египетских пирамид. Дальше я предоставляю слово А. Хазену. В своей книге он говорит: «Но вот перед нами, по всей видимости, достоверный факт: отношение длины основания египетских пирамид к их высоте с точностью до нескольких знаков после запятой кратно числу к (точнее, удвоенной длины. — В. Р.). В связи с этим появляются досужие домыслы. Известно, дескать, что в Египте тогда числа к не знали, а раз оно участвует в описании геометрии пирамид, значит, в их строительстве участвовали какие-то инопланетяне, и они выбрали размеры пирамид именно такими, чтобы сигнализировать последующим поколениям о своем посещении Земли». Объяснить эту загадку, следуя автору, можно довольно просто с помощью устройства для измерения длин кривых линий —
30 Задача для учителя математики. 7-11 классы курвиметра. Грубо говоря, курвиметр — это колесико на палочке, которое может ехать по любой проведенной линии. Мысленно построим такой прямоугольник. Его длину зафиксируем каким-то числом оборотов колеса курвиметра, а его ширину зафиксируем тем же числом диаметров этого колеса. Тогда отношение длины построенного прямоугольника к его ширине будет равно Здесь d — диаметр колеса курвиметра, п - число dn сделанных им оборотов. Таким образом, в отношение размеров этого прямоугольника будет «упрятано» число л. Остается только предположить, что египтяне в те времена умели измерять расстояния с помощью колеса или, скажем, барабана. Конечно, такое предположение не столь эффектно, как визит инопланетян. И далее автор продолжает: «В том-то и дело, что проявление свойств математических закономерностей в деятельности человека не требует, чтобы об их существовании знали. Законы математики объективны и, конечно, работают и в том случае, когда человек их не знает». Добавлю: чтобы получить в результате несколько верных знаков после запятой, требуется измерения проводить с запасом, т. е. с большим числом знаков. Как же это сделать, измеряя каменные глыбы основания пирамид? Вот краткое резюме: устойчивость к сенсациям является следствием хорошего образования. Отмечу, наконец, удивительную особенность среднего математического образования: оно порой вступает в противоречие с тенденциями в самой математической науке. Здесь можно говорить о преувеличенном внимании к частным результатам без какой- либо попытки их обобщить или связать с другими фактами — для примера можно взять подавляющее большинство сборников задач. Теоремы, имеющие второстепенное научное содержание, почему-то становятся чуть ли не основными в школьном курсе, так произошло с теоремой о трех перпендикулярах в курсе стереометрии. Много времени отнимают у учителя разнообразные трансцендентные уравнения и неравенства, особенно тригонометрические и логарифмические, не имеющие научной ценности. Понятия, не имеющие серьезного значения, почему-то становятся предметом специального изучения — так было с абсолютной величиной. Вдруг оказывается, что существенно, как записано решение и в какой форме записан ответ, как будто это более важно, чем получить его.
2. «АСУ» учителя 31 Долго мусолится нами подобие треугольников, именно треугольников, причем без подобия фигур вообще. Поэтому ученики наши могут лихо находить неизвестную сторону в треугольнике, но редко понимают, что масштаб карты — это и есть коэффициент подобия. И мало кто осознает подобие того, что учитель геометрии рисует на доске, и соответствующего рисунка ученика в тетради. Любопытно, однако, что использование подобия треугольников — всего лишь технический прием в планиметрии, например при доказательстве теоремы Пифагора и выводе свойств тригонометрических функций. Получение этих результатов вполне возможно и без подобия треугольников, только на основании ранее доказанной теоремы Пифагора — так это сделано в учебнике А. Александрова. Необходимость «псевдоматематики» чаще всего была обусловлена подготовкой учеников к вступительным экзаменам, теперь к ЕГЭ; работники высшей школы придумывали новый тип примеров, борясь с репетиторами и их методами натаскивания, а потом делали из решения этих примеров некую «науку». Но иногда это вопрос моды — так было с употреблением кванторов. Обо всем этом приходится говорить со старшеклассниками: — Дети, — говорю я, — многого из того, над чем вы сейчас мучаетесь, не бывает. Никому не нужны эти радикалы, которые не умещаются на одной строчке, логарифмы с неизвестным основанием, шары, вписанные в замысловатые пирамиды. И никакая это не математика, а придумки экзаменаторов. Но это есть, а потому с этим надо работать хорошо. О логарифмах чуть подробнее. Практическое значение логарифмов исчезло после появления калькуляторов. Теоретическое значение логарифмов (для школьного курса) установим мысленным экспериментом. Предположим, что логарифмов вообще нет. Что тогда? 1. У показательной функции не будет обратной, что хотя и не страшно, но как-то нехорошо. 2. «Повиснет в воздухе» степень с иррациональным показателем. Все свойства такой степени легко получаются из равенства х = е1г]х. «Лобовой» способ доказательства этих свойств невыразимо скучен. 3. Для функции fix) = — не будет первообразной. Вот это место — самое любопыт- X ное, хотя мы привыкли к нему настолько, что перестали удивляться. Но давайте вдумаемся. Первообразной для степенной функции является функция того же вида (с коэффициентом) во всех елу~
32 Задача для учителя математики. 7-11 классы чаях, кроме одного — когда показатель равен (—1). Для нее, т. е. длях-1, в качестве первообразной невесть почему появляется нечто совсем другой природы — натуральный логарифм. Тут в теории чувствуется незавершенность и хочется перейти к другому, более широкому классу функций, замкнутому относительно интегрирования. Можно даже рассказать ученикам о непрерывном изоморфизме групп по сложению и умножению между вещественными и вещественными положительными числами с помощью показательной и логарифмической функций. Это свойство может даже определять обе эти функции. (Здесь особо интересна непрерывность. А что, если ее нет? Тогда нет ни показательной, ни логарифмической функции.) Ну и, наконец, что-то далекое от школы — логарифмическая спираль, которую можно увидеть в реальных объектах живой природы, логарифмы с двоичным основанием в теории информации, логарифмические шкалы в многочисленных приложениях. А мы все мучаем детей тождественными преобразованиями выражений с логарифмами и решением громадного числа логарифмических уравнений, неравенств и систем. И сколько же про это написано статей и пособий! Я слежу за ними всю вторую половину прошлого века, начиная с пособий П. Моденова. Ощущение того, что меня втягивают в пропасть интеллектуальной и чрезвычайно надуманной псевдо- математической эквилибристики, возникает не на пустом месте. Когда глядишь на иные нынешние упражнения, возникает противная мысль — ее не надо воспринимать буквально — о чуть ли не перманентном заговоре (сговоре) супротив нашей учительской братии. Любопытно тут заметить, что «заговорщиков» не поколебало даже введение единого государственного экзамена. Ясно, что будет следствием — таковые пособия выходили и будут выходить, сохраняя вредоносные тенденции. У такой эквилибристики находятся апологеты — мол, тем самым развиваются мыслительные способности ребенка. Но давайте почитаем Р. Декарта («Правила для руководства разума»): «...доминирование задачи тренировки ума не только не стимулирует, но, напротив, тормозит развитие умственных способностей ребенка. Такое обучение приносит больше вреда, чем пользы; оно, хотя и “упражняет ум”, но дает ему слишком скудную интеллектуальную пищу, вследствие чего математика настолько порабощает ум известными правилами и знаками, что из науки, развивающей ум, превращается в путаное и туманное
2. «АСУ» учителя 33 искусство, которое его сковывает». (Цитируется по сборнику «Логика и проблемы обучения». М.: Педагогика, 1977, с. 188.) Именно она, эта эквилибристика, порождает формализм в преподавании математики — отрыв формы от содержания, о чем в свое время говорил А. Хинчин, от чего нынче предостерегает М. Башмаков. Из года в год в профессиональных разговорах муссировался один и тот же вопрос. (Ныне он ещё острее.) - Школа не готовит в вуз, — говорили с горечью в приемной комиссии технического института. — Подавляющее большинство медалистов не подтверждают на экзаменах своих оценок. — А школа и не должна готовить в вуз, — отвечали учителя, — у нее другие задачи. Но эти разговоры на поверхности. На самом деле школьный учитель оглядывается на конъюнктуру вступительных экзаменов, сейчас ЕГЭ, от этого зависит его профессиональная репутация. А вузовскому работнику на самом деле нужны не результаты ЕГЭ, а развитые интеллектуальные умения вчерашнего школьника, его умение самостоятельно работать, творческое отношение к знаниям. Трудно сказать, каков выход из этих противоречий. Но одно ясно: необходимым условием для такого выхода является попытка профессионалов договориться между собой. Нельзя сказать, что эта проблематика никого не волнует. Я бы даже сказал, что лет эдак сто волнует. Яркое тому подтверждение — конференция в Дубне под названием «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», прошедшая в 2000 году. В сборнике материалов конференции очень много интересных сообщений, я постоянно их перечитываю. Обстоятельное концептуальное выступление «О некоторых проблемах математического образования» сделал В. Тихомиров. Среди этих проблем — перечень целей математического образования, который он предлагает обсудить участникам конференции: 1) интеллектуальное развитие; 2) ориентация в окружающем мире; 3) формирование мировоззрения; 4) физкультура мозга; 5) подготовка к будущей профессии; 6) подготовка в вуз. Список отражает некую иерархию предпочтений. Далее докладчик добавляет еще одну цель: 7) освоение этических принципов человеческого общежития.
34 Задача для учителя математики. 7-11 классы Вольно пересказывая В. Успенского, автора замечательной книги «Апология математики», предложу для списка В. Тихомирова некое дополнение к пункту 1: а) умение отличать понятное от непонятного; б) умение отличать смысл от бессмыслицы; в) умение отличать истину от лжи; г) умение отличать доказанное от недоказанного. И что же думается — очень вкратце — при размышлении об этих целях (я бы предпочел эти параметры образовательного процесса называть ценностями)? Прежде всего, в этом перечне не видна специфика собственно математики. Точно такой же список можно отнести, например, к физике или даже к истории (с соответствующей содержательной коррекцией). Тем самым, по сути дела, дано перечисление (причем неполное) ценностей общего, а не сугубо математического образования. И еще — и этот список, и его иерархия имеют вполне светский характер, как будто в этой проблематике ничего не добыто ни в педагогике, ни в дидактике. Откроем появившуюся около 100 лет назад прекрасную книгу американского педагога В. Юнга «Как преподавать математику», изданную на русском языке не один раз. Хотя бы просмотрим ее вместе со всеми примечаниями и списком литературы. Я уверен, знай мы хотя бы ее, мы бы чаще цитировали и реже выдавали результаты чьих-то размышлений за собственные «плоды раздумий». Это еще одна наша особенность — обсуждение образовательных проблем начинать чуть ли не с нуля. Интересно, возможно ли такое в любой другой отрасли профессиональной деятельности? Ценности математического образования давно известны, и не в их перечне проблема. Проблема в другом: как совместить эти высокие ценности с практикой преподавания? Это ведь только сказать легко: формировать, например, мировоззрение. Какое мировоззрение? Далее, всякое формирование является процессом, причем осмысленным и имеющим какую-то технологию. Какую? Где она вразумительно объяснена? Итак, для преодоления разрыва между идеологией математического образования и его реалиями нужно решение серьезных методических задач. Преодоление этого разрыва должно происходить, я полагаю, и на более общем уровне, нежели методический. Истоки существующих требований к ученику (а потому и к учителю) находятся и в дидактике — общей и частной. Чрезмерен акцент на знаниях и умениях школьника, традиционный для нашей педагогической теории. Прекрасно известно, к чему это приводит.
2. «АСУ» учителя 35 На выходе знания выглядят как вызубренные формулировки определений и заученные доказательства теорем, а умения — как алгоритмические выкладки и решения по шаблону. Что же делать? Для начала, думается, необходимо в школьной математике снизить статус умения (да и знания тоже), увеличивая статус понимания. Для этого есть даже чисто технические предпосылки — калькуляторы и программные математические пакеты (об этой возможности мы еще поговорим). Высокий статус умения провоцирует школьную математику на обилие упражнений. Все правильно, ученик должен что-то уметь. И одна из бед нашей профессии в том, что «доведение до умения» поглощает практически все время, а на всякие «красивости» и «высокие материи» его почти не остается. И всегдашняя головная боль учителя — многочисленные чисто технические умения, которыми должен овладеть ребенок: складывать дроби, приводить подобные, решать прямоугольные треугольники, находить икс... Ведь спросят ученика именно это, а не «ориентацию в окружающем мире»! Добро бы эти многочисленные умения вполне соответствовали духу нашей науки. Ничего подобного! В книгах можно найти обилие упражнений с фантастическими данными типа «Дан круг радиуса» или с нарочито надуманным условием (в одном уравнении можно встретить логарифм и синус). Убежден, что из «культурного» преподавания математики необходимо убирать задачи с искусственными условиями и искусственными решениями. Было же сказано французским математиком Ж. Фаваром: «Геометрия остается искусством доказывать какое-либо свойство, рассматривая коварно выбранный круг и удачно соединяя старательно разобщенные точки». Ирония очевидна. Не безумие ли тратить золотое время детства на геометрию, поданную в таком духе? Не такой ли подачей геометрии объясняется то, что во многих странах она потихоньку убирается из обязательных для школы разделов математики? Из «витамина для мозга» она превращена в интеллектуальный мусор. И как же долго все это длится! «Устрашающий» характер имели в этом отношении иные задачи на выпускных экзаменах в России. Приведу пример такой задачи (она предлагалась в 1911 году): «Определить число членов кратной (геометрической. — В. Р.) прогрессии с положительными членами, у которой сумма всех членов равна наименьшему трехзначному числу, делящемуся на 17 без остатка, а при делении на 16 дающему в остатке 15. Седьмой член этой прогрессии двузначен и изображается соответ¬
36 Задача для учителя математики. 7-11 классы ственно цифрами десятков и единиц коэффициента того члена разложения (у/а* + ML)14, который после упрощения содержит V Vfl а и b в одинаковых степенях. Сумма третьего и пятого членов этой прогрессии равна сумме всех корней уравнений log (г- 6) = и l(k2+ 921.Х + 5 = О». log(z - 6) -1 Ясно, какое это имеет отношение к математике. С тех пор много что поменялось в мире, но дурь в нынешних учебных книгах как была, так и есть. Сравните, к примеру, упражнения в иных современных учебниках (пособиях) по геометрии для школьника или абитуриента с задачами в классическом учебнике Ж. Адамара. (Я говорю не о прямом сопоставлении, оно неуместно, а о сопоставлении тенденций.) И ладно, если бы специфика подобранных упражнений соответствовала некой педагогической или дидактической идее, — увы. Вот пример недавней конкурсной задачи по геометрии: «Дана треугольная пирамида ABCD. На ребре АС взята точка F так, что CF: FA = 2 : 9, на ребре CD взята точка М так, что AM — биссектриса утла ВАС. Через точки Ff Ми точку пересечения медиан треугольника DAB проведена плоскость, пересекающая реб- СА DN ро DB в точке N. Известно, что +1. Известно также, что AD NB отношение площади треугольника ABD к сумме площадей всех граней пирамиды ABCD равно /?, а длина перпендикуляра, опущенного из вершины Сна плоскость ABD, равна h. Через точку N проведена плоскость, параллельная плоскости АС В и пересекающая ребра CD и DA в точках Ки L соответственно. Найдите радиус шара, вписанного в пирамиду DKLN». Лично мне не хочется ни решать такую задачу, ни даже читать до конца ее условие. Но приходится. Когда я прочитал ее группе петербургских математиков, раздался хохот. Что особо поразительно: нередко такого рода задачи составляют профессиональные математики. Ныне ориентиром для обучения умениям становятся материалы ЕГЭ. В свое время я с долей надежды просмотрел варианты этого экзамена. И увидел все те же тенденции: ученик, оказывается, должен уметь производить формальные операции с радикалами разных степеней из специально подобранных чисел, с логарифмами при странных основаниях. Почему, зачем — кто бы сказал. Математическое содержание первых задач ЕГЭ столь убого, что поневоле задаешь вопрос: ради этого мы учим детей
2. «АСУ» учителя 37 столько лет и многими часами? На так понятую математику хватило бы и одного часа в неделю. Это совсем не та математика, которая развивает ребенка и может помочь в практической жизни. И даже в профессиональной деятельности она не нужна. Я как-то в аудитории, в которой были математики петербургских вузов, задал вопрос: кому из вас приходилось в профессиональной деятельности перемножать радикалы разных степеней? В ответ было молчание. Ну что тут добавить? Пожалуй, только то, что почти все из содержания ЕГЭ будет спустя некоторое время напрочь забыто большинством россиян. И правильно, зачем нормальному человеку помнить такое? Но в чем же тогда общекультурное значение математики? Что останется, когда все наспех выученное будет забыто? Если же посмотреть задачи последних разделов ЕГЭ, то поражает их нарочитая усложненность, я бы даже сказал, не- эстетичность, на них и смотреть не хочется, не только решать. Точности ради замечу, что в ЕГЭ просматриваются и содержательные новации, однако же странного свойства. Так, среди предлагаемых заданий можно увидеть текстовую задачу и задачу по планиметрии. Задачи обоих типов обычно решались только в девятилетке. Ясно: без специальной работы учителя, а скорее всего, без репетитора не обойтись. От ЕГЭ тянется естественная ниточка к образовательным стандартам. Здесь все то же, да еще поджидает одна, причем серьезнейшая, закавыка, уже не имеющая отношения собственно к математике, она спрятана в «долженствовании для любого ребенка». Что бы мы ни предписали, какой бы минимум обязательных умений ни выбрали для ученика, всегда найдется ребенок, который его не осилит. Или сделает нечто обязательное, соответствующее стандарту, но сегодня, сейчас, тут же после моего объяснения, и только когда я сижу с ним рядом. А завтра уже не сделает. Потому, какие бы мы ни предлагали стандарты, необходимо понимать их условность по отношению к детям. Эта условность неизбежна, ибо стандарт и по смыслу своему, и на деле — это ведь способ отбора, способ сортировки. Ну, отсортируем мы детей — ученик X соответствует стандарту, а ученик У не соответствует. И что мы будем делать с учеником У? Проблема разрыва между ценностями и реалиями порождает в математическом образовании вопрос вопросов: с чем же мы в конце концов имеем дело в школе — сколком науки, набором сведений, алгоритмов и интеллектуальных загадок? Чем-то еще? Ответ на него прояснит и способы преодоления этого разрыва.
38 Задача для учителя математики. 7-11 классы Проблемы, сто лет почти, одни и те же проблемы. И никак не вырваться из их будто заклятого круга... Почему, что за напасть такая? Я полагаю, что история подсказывает ответ: мы не можем найти методологию для их решения. И даже не пытаемся ее искать. Те, кто «делает погоду» в математическом школьном образовании, атаковали эти проблемы, исходя из собственных установок, вкусов, понимания дела — и только. Продолжая в том же духе, мы долго еще будем наступать на одни и те же грабли. Увы! 3. ПОНЯТЬ, ЧТО ДЕЛАЮ От математического образования естественно перейти к образованию вообще. Дело это большое и многостороннее — всех сторон можно и не увидеть. Хочется остановиться на чем-то, что-то отобрать, принять и работать с этим дальше. Хочется иметь собственное понимание. Я в образовании в первую очередь выделяю управление, еще шире — руководство развитием. Пришел я к этой краткой формулировке давно, и все эти годы она разве что уточнялась. Для меня в этой формулировке соединились и понятие кибернетики — управление, и понятие психологии — развитие, хотя развитие, вообще говоря, категория общенаучная и даже философская. Развитие (интеллектуальное) я понимаю нарочито прагматично, но и такого понимания хватает для дела. Я могу судить о развитии ученика, если он «выдает» новую (для себя) информацию. Мне не хочется противопоставлять обучение и развитие (также образование и развитие, просвещение и развитие...). Обучение, просвещение, воспитание, образование я понимаю в первую очередь как процессы. А развитие я интерпретирую как ценность (достижимую или нет) в этих процессах. В них можно даже не ставить задачу развития. Например, я хочу научить детей приемам решения квадратных уравнений. Можно прекрасно это сделать, вовсе не думая о развитии ребенка. Управление — опять же в практическом смысле — я понимал раньше несколько прямолинейно, как последовательность заданий, предлагаемых ученику. При таком понимании получалось, что обучить чему-либо, в частности математике, — это предъявить ученику такой набор задач, в процессе самостоятельного решения которых происходит развитие. Вот пример урока, соответствующего этому пониманию. В его начале даю набор упражнений. В конце урока, обойдя класс, смо¬
3. Понять, что делаю 39 трю, что сделано, и разбираю решения на доске. Формы такого урока могут быть достаточно разнообразны. Класс можно разбить на группы, но выбор формы занятия в данном случае не является принципиальным. После моего разбора ученики либо сами оценивают собственную работу, либо получают такую оценку от меня. Но затем пришло понимание ограниченности такого подхода — легко сбиться на чистую технику и заняться решением более трудных, даже конкурсных или олимпиадных задач. Пришлось пересматривать всю картину, до того представлявшуюся стройной и незыблемой, как Александрийский столп. Как пример: только одна из ситуаций — домашнее задание. Набор упражнений, который предлагается ученикам в классе и дома, лучше работает на развитие, если такие задания взаи- модополнительны. Иначе говоря, домашнее задание не столько «закрепляет» сделанное в классе, сколько позволяет ученику продвинуться вперед (как при ходьбе в гору — хоть маленький шаг, но выше). Но тогда — автоматически — обязательно и обсуждение сделанного дома. Очень важный момент взаимодействия учителя и ученика: я уже не ментор, а сотоварищ в деле поиска истины. Тут естественно спросить: а как насчет знаний и умений? (Здесь пропущен в известной некогда аббревиатуре ЗУН термин «навык». Принятое в психологии толкование навыка как умения, доведенного до автоматизма, приводит к мысли о том, что навыков в математическом образовании вообще нет. Ныне этот термин, кажется, исчез из программных документов.) При любом понимании образования роль знаний и умений невозможно игнорировать: на них держится все остальное. В последнее время в нормативных документах появились такие параметры интеллекта, как «представление», «компетентность» и «понимание». Само по себе это говорит о попытке что-то поменять в устоявшейся образовательной парадигме, но хорошо бы толком знать, что означают эти термины на практике и как добиваться этих самых параметров. О понимании мы поговорим позже. Компетентность на деле — совокупность неких умений, только другого сорта. Но вдумаемся. Умение — признак профессионализма. Стоит ли придавать умениям главенствующее значение в образовании? Но что от них останется в голове индивида, далекого от математики, спустя несколько лет после окончания школы? Я уже приводил выше результаты специального исследования — остается сущая ерунда.
40 Задача для учителя математики. 7-11 классы А что такое «иметь представление», вовсе неясно. Я имею, к примеру, представление о жизни в амазонских джунглях — жуткое дело. Или об испанском языке, слышал, как он звучит, тем самым имею о нем представление. И что? Прессы, телевидения и Интернета для создания представлений не достаточно ли? Сейчас вроде бы происходит смена взглядов общества на образование. Индивид из объекта становится субъектом. Проще говоря, ребенок теперь не столько будущий элемент государственной системы, сколько личность со всеми ее особенностями. И не сосуд, который надо наполнить, и не факел, который надо зажечь. Сравнения, как всегда, хромают, и все куда сложнее. Но тогда то, что проникнуто идеей профессионализации (накопление умений), не так уж существенно. И следовательно, в образовании не столь важен упор на знания и умения, сколь акцент на понимание и развитие. И не так важно, к примеру, знать назубок все свойства квадрата или формулы тригонометрии, как важно видеть в них источник появления новых образов и мыслей. Принятие этой новой ситуации влияет на установку и частично меняет ее, приводит на практике к множеству важнейших в нашем деле следствий. И есть еще одна сторона дела, о которой пока совсем коротко. Обучать, как я понимаю этот термин, — это обучать какому-то виду деятельности. А в школе в лучшем случае обучают учебной деятельности, как принято говорить, «учат учиться». Это само по себе неплохо, но замыкает образовательный процесс на себя. Можно попытаться сделать в школе чуть больше, хотя бы в профильной школе. Именно обучать основам исследовательской и критической деятельности. Вырисовывается интересная педагогическая задача, которая все больше занимает меня. В установку учителя входит и отношение к Ученику. Каков он — мой Ученик? Каким я его хочу видеть? И чем мой Ученик отличается от Ученика моего коллеги? Ведь мы объясняем одни и те же теоремы, решаем почти одни и те же упражнения, толкуем одни и те же формулы, да и слова говорим, вероятно, одни и те же. Но есть же между нами какая-то разница! Мой Ученик понимает математику, как и я. Ему нравится в ней то, что нравится мне, и он не принимает того, чего не принимаю я. Разумеется, речь идет не о буквальном копировании, а о чем-то вроде подобия. Я легко прощаю ему незнание каких-то формул и определений, но я недоволен, когда он не может их вывести, на худой конец организовать, если так можно выразиться, «процесс вспоминания».
3. Понять, что делаю 41 Он относится к своей математической деятельности так же, как и я к своей, прежде всего серьезно. Он самостоятелен, самостоятелен по мыслям и поступкам. В Ленинграде (теперь в Петербурге) учился некогда американский студент. У него спросили, как сообщила молодежная газета, чем отличается американский студент от нашего. «Ничем, за исключением одного только, — ответил американский юноша. - Ваши ребята ждут, когда кто-то за них все сделает». Вот стоит у доски ученик, он только что пересказал теорему из учебника. Ну и что? Когда он был малышом, сколько раз он говорил: «Я сам!» А сейчас пересказал, как мог, чужие мысли и доволен. Почему он теперь норовит спрятаться за учебник («А в учебнике так сказано!»), за учителя («А вы так говорили!»), за соседа по парте («Дай списать!»)? Терпеть не могу, когда мне говорят: «А в ответе не так» — и подстраивают свою работу и свои мысли под результат, полученный кем-то. Я вообще не советую ученикам смотреть в ответ, разве что с целью найти опечатку в нем. Давать ответы в учебнике или в задачнике ко всем упражнениям — дело ненужное и в чем-то даже вредное. Здесь в самый раз сделать «лирическое отступление». Конечно, учителя во все времена и во всем мире сидят в идеологических окопах. Недаром же О. Пешель (немецкий ученый) сказал по случаю, что войну выигрывает не прусский фельдфебель, а прусский учитель. Что может делать с ребенком школа, я прекрасно вижу и на собственной биографии. Вот несколько примеров. В бытность восьмиклассником я потрудился в невеселые годы (1951 — 1960) над сочинением по физике на тему «Приоритет русских ученых в электротехнике». Сочинение было длиной в тетрадку в 24 листа, из него следовало, что не было Г. Герца, А. Маркони, Т. Эдисона, А. Белла, Н. Теслы и многих других. Тогда мне внушали, что наука может быть национальной: немецкая наука, русская наука и т. д. (В гитлеровской Германии додумались до «арийской науки» супротив «еврейской науки».) Изучая дарвинизм (был такой предмет «Основы дарвинизма»), я рассказывал о достижениях Т. Лысенко, В. Вильямса, О. Лепешинской и клеймил менделизм-вейсманизм-морга- низм, именно так, через черточку, как это говорилось в те годы. Случилась, однако, в моей ученической биографии одна «тонкость». Мне была в ту пору интересна физика и попалась в руки замечательная книга Э. Шредингера «Что такое жизнь с точки зрения физики?». Я, как мог, ее осилил, и в голове моей вынуждены были сосуществовать две системы знаний: одна включала
42 Задача для учителя математики. 7-11 классы генетику, а другая ее отвергала. А еще как-то я поинтересовался у учителя биологии вкладом французского ученого К. Бернара в изучение пищеварительной системы человека, на что мне было сказано, что вклад был сделан И. Павловым. На устном вступительном экзамене по литературе я рассказывал согласно полученному билету о реакционном творчестве А. Ахматовой, М. Зощенко и А. Хазина, ничего не прочитав из их произведений. Впрочем, чуть не так. Сочинения М. Зощенко я читал, хохотал над рассказом о приключениях обезьяны, но мне уже внушили, что есть два мнения: одно свое, а другое «правильное». Вот как происходило это внушение. Я написал сочинение на тему «Поэт и поэзия в творчестве Пушкина, Некрасова и Маяковского». Помню, я прочитал многое у этих поэтов и решил обойтись без чтения каких-либо критических статей, сказать, что сам думаю. Как сейчас понимаю, сказал я не бог весть что, но все же пытался аргументировать написанное. За сочинение получил тройку, но не в этом дело. Эта отметка была мотивирована моей учительницей, о которой, кстати, у меня только самые хорошие воспоминания, примерно так: надо излагать не свою, а общепринятую точку зрения. Вряд ли она сама так думала, но ведь над ней было начальство, инспектора. И кто знает, были бы эти строки, если бы не 56-й год и не XX съезд партии и закрытое письмо съезду, которое читали студентам. Все это я хорошо держу в памяти. Поэтому мой Ученик спорит со мной, не согласен со мной, может быть, даже вредничает в мой адрес: «А вот вчера вы говорили такое, а сегодня совсем другое». Он оспаривает и отметку, выставленную мной. Я счастлив, когда он бывает прав, тут же ставлю 5! Однажды двое моих мальчишек, к ужасу своему, нашли ошибку в моем решении задачи, которое я поведал классу. Их опровержение было довольно хитрым, и я повысил им на балл итоговые отметки. Мой Ученик критически воспринимает написанное и сказанное, пропуская все через себя. Мало ли что могут напечатать и сказать, кого только не громили в газетах и к чему только не призывали с амвона! Порой ставлю отличную отметку всего за один вопрос - бывают такие вопросы, на которые надо отвечать чуть не весь урок. Вот, к примеру, что мне довелось услышать: «А с какой стати мы считаем пустое множество выпуклым? Может быть, оно как раз невыпуклое?», «Можно ли доказать, что пустое множество является подмножеством любого множества?», «А можно ли строить циркулем и линейкой точки параболы?», «Можно ли
3. Понять, что делаю 43 построить циркулем и линейкой число 71?», «Что такое нуль?», «Почему нельзя сравнивать комплексные числа?», «Есть ли числа более общие, чем комплексные?», «Что такое «-угольная звезда?», «Чему равна сумма углов любого «-угольника, не только выпуклого?», «Что такое сторона поверхности?», «Является ли поверхность многогранника многогранной поверхностью?», «Зачем нужны радианы?», «Какая связь между гармоническим рядом и средним гармоническим?», «Есть ли неравенству треугольника аналог для углов?», «Равны ли два треугольника — один на доске, другой в тетради, — если сторонам их предписаны равные числовые значения?», «Почему для определения площади поверхности лучше описывать около нее многогранную поверхность, а не вписывать?». Если мы хотим стимулировать любознательность ребенка (замечу, что в педагогической литературе я не встречал этого понятия; интерес, мотивация, способности и т. д. — пожалуйста, а любознательность — нет), то необходимо провоцировать его на задавание любых вопросов и, разумеется, от них нельзя отделываться фразами типа «вырастешь — узнаешь». Я научился терпимо относиться даже к детскому духу противоречия, хотя он изрядно может насолить, делая ученика просто неудобным. Однажды я в сердцах поставил такому вот ученику сниженную отметку за поведение в четверти (было в нашем деле и такое), как будто у меня других забот не было, кроме как поговорить с ним на уроке о его фонтанирующих идеях. Сейчас он профессиональный математик, доктор наук, а я про себя думаю, что он научил меня больше, чем все книги по педагогике. Вот так: в работе предпочитаем детей удобных, а помним строптивых. Мой Ученик ответственен. Когда он пишет «Ответ», то это означает, что он действительно отвечает за полученный результат. А раз так, то отрезано было только после того, как не раз отмерено. Очень не люблю, когда, получив невесть какой результат, дети бегут ко мне: «Проверьте!» Мой Ученик чуть ироничен, а еще лучше — самоироничен. Математика — штука серьезная, наука тем более, образование еще более, но есть вещи и поважнее. Однажды два моих хороших ученика — он и она — получили за самостоятельную работу двойки. Он, будущий медалист, от обиды скомкал работу и бросил ее на пол. Она улыбнулась, сказав чуть слышно: «Подумаешь». Я помню до сих пор эту улыбку, глаза, голос, каким она это сказала... Наконец, мой Ученик любит учиться. «Учиться», т. е. «учить себя». Как это можно делать, скажу позже.
44 Задача для учителя математики. 7-11 классы Вот такого я хочу иметь Ученика. Еще больше я хочу такого Ученика «сделать». Потому «тащу каждый день свою тачку с камнями». Когда установка осознана, становится яснее ответ на главный вопрос: «Зачем я иду на урок?» Я иду на урок не только для того, чтобы рассказать детям теорему Пифагора, но с надеждой, что после него они станут чуточку-чуточку другими. Мне должно нравиться то, что делаю на уроке. (Более того, хочется получать удовольствие от сделанного — нормальное желание.) Нравиться может только тогда, когда то, что делаю, соответствует (явно или неявно) собственной установке. Той же теореме Пифагора можно дать много разных доказательств. Доказательство по принципу «смотри» мне куда симпатичнее прочих. Вот его вариант (рис. 1). А Здесь ВС - а, АС = Ь, АВ = с. Видно: с2 = 4 • 0,5 ab + (a- b)2 -а2 + b2. Особенно нравится, естественно, то, до чего додумался сам. Вот пример сугубо математический. Теорему о трех перпендикулярах я рассказывал школьникам чуть ли не полвека, все по учебникам. Но в одночасье придумал собственные доказательства - целых три, одно из них весьма коротко, от противного. Вот оно (настолько простое, что обойдемся без рисунка). Пусть АВ — перпендикуляр на плоскость а, ВС — перпендикуляр к прямой а плоскости а. Докажем, что АС — перпендикуляр к прямой а. Предположим противное, и пусть AD — перпендикуляр на прямую а. Тогда AD <АС. Проведем BD. Так как большей наклонной соответствует большая проекция, то BD < ВС . Но это невозможно, т. к. в плоскости а ВС — перпендикуляр к прямой а , в то время как BD — наклонная к этой прямой.
3. Понять, что делаю 45 Любопытно, что кроме определения прямой, перпендикулярной плоскости, ничего по существу от стереометрии и не требуется. Утверждение о наклонных легко приводится дополнительным построением к планиметрической теореме. Один мой коллега как-то по-особенному, не по учебнику, вел в школе курс геометрии. Однажды к нему на урок пришел доцент- математик. Послушал он учителя, а затем поделился со мной: «Твой коллега не всегда сам понимает, что говорит!» — Конечно, это плохо, — ответил я, — но не страшно, сильно ошибиться дети не дадут. А вот то, что у него на уроке их глаза светятся от удовольствия, так этому цены нет. В работе любого учителя независимо от того, осознает он это или нет, присутствует система. Система работы учителя взаимосвязана с его установкой, хотя связи тут непростые. Такая связь естественна, ибо средства намечаются целями и ценностями. И чтобы понять систему учителя, необходимо знать его установку. Система работает лучше, если она известна всем, кто в ней задействован: например, если ученику известно, когда его спросят и как будут оценивать. Система формируется годами и порой неосознанно. Ее очень важное свойство — защитное. Урок может не получиться, но благодаря системе круги от этой неудачи не слишком большие. К сожалению, она имеет тенденцию к застою. Это опасно. Все под нее подгоняется, то, что в нее не укладывается, отметается. Тогда перестаешь серьезно размышлять, исчезают проблемы, а с ними и сама жизнь. Система становится догмой, приправленной ощущением власти над ребенком и всегдашним, как бы по определению, осознанием своей правоты; она превращает учителя в «педагогическую бестию». Мне знакомо это состояние, оно мучительно. Но в целом система — это некая технология. В разные годы я подолгу размышлял о некоторых ее элементах, пытаясь как можно больше ее формализовать: Как готовиться к уроку, как проводить урок, как планировать и организовывать изучение раздела курса, как рассказывать теорему и как ее спрашивать, сколько и каких тетрадей должен иметь ученик по предмету и даже как рассадить учеников. Я просматриваю сейчас эти старые записи, многое кажется наивным, а что-то совсем уплыло из памяти, хотя и сейчас можно бы пустить в дело. Но так или иначе все это, видимо, необходимо как некий этап профессионального становления. Вот только один пример. Сейчас для меня подготовка к уроку сводится к его продумыванию. План урока — в голове, рождается
46 Задача для учителя математики. 7-11 классы от установки и автоматически вписывается в устоявшуюся систему. Когда-то я делал очень подробные планы уроков, но все они на свалке, не представляю себе мастерского преподавания по бумажке. А как придет мастерство, если все время работать по старым планам? Никогда не работал по чужим планам, не вижу смысла такой работы, но ведь до сих пор в методических пособиях печатают такие планы! Я уже говорил, что система омертвляет. Противодействуя этому, много импровизирую, в частности, позволяю себе идти на урок без четкого плана. План может появиться по ходу урока после того, как ученики сообщат мне, что им известно, что они хотят узнать в данной теме. Бывает, ученики предлагают мне решить на уроке задачу, «выкопанную» неизвестно откуда. При желании можно найти на таком уроке много огрехов, но в нем есть ясный смысл. Однажды довелось мне присутствовать на уроке биологии в американской школе. Смотрю, слушаю. И вдруг учительница (хорошо знакомая) предлагает мне занять место у ее стола и рассказать ученикам что-нибудь на тему «Геометрия в биологии». Пожалуй, это была рекордная импровизация в моей учительской карьере — я и у нас такого не делал. Иду к столу, а в голове обрывки: двойная спираль, форма вирусов, симметрия в живом мире. Вышел и неожиданно для себя начал рассказывать о том, как измерить расстояние от уха до уха: мол, параметры головы очень важны. Между прочим, так оно и есть, известны антропометрия и (печально) френология. Вряд ли уроки-импровизации появились бы без предыдущей многолетней работы, которая кажется мне порой едва ли не бессмысленной. Подумать только, на что я тратил время! Но ведь откликнулось же! А однажды я встретился со студентами, будущими учителями математики. Среди прочего поведал им о своем отношении к урокам, которые проводят на конкурсе «Учитель года». — Эка невидаль, — говорю. — Любой опытный учитель может приготовить заранее урок-конфетку и провести его с блеском. А вот сказать ему, что урок будет неизвестно в каком классе, то ли в пятом, то ли в десятом, с неизвестными учениками, по теме, которую они сейчас проходят и о которой он узнает только из классного журнала за 10 минут до начала урока, да при этом не позволить ему даже заглянуть хоть в какой-то учебник, - так вот это сразу все прояснит. Потому что он вынужден будет импровизировать.
3. Понять, что делаю 47 И тут-то они мне и выдали. Спрашивают: - А не можете ли вы сымпровизировать какой-нибудь урок прямо сейчас? Вот и влип. Но отступать некуда. - Давайте тему. Голос с места: — Описанная окружность. Секунды на раздумье. Впрочем, нет — не раздумье. Цепочка ассоциаций. Хаотическая. Какие-то обрывки образов. Надо как-то начать... Затем: — Представьте себе, что надо сделать правильную пятиконечную звезду, например для флага. И как же? Начнем с окружности. Разделим ее на пять равных частей. Затем соединим последовательно полученные точки деления. Получим правильный пятиугольник. Потом известным способом нарисуем звезду. Вернемся к пятиугольнику. Где расположены его вершины? На окружности. Как? Дальнейшее разворачивается как бы само собой. Разумеется, при нормальной подготовке к уроку я бы наверняка начал иначе, да и сам рассказ получился бы другим. Но самому на таком уроке было бы куда менее интересно. На импровизации можно выстроить урок полностью. Например, так. Выяснить, что дети уже знают по данной тематике и что хотели бы узнать. Тут же приходится соображать, как на основе этого создать цельный урок. Вот как был мной проведен начальный урок по теме «Окружность и круг» в 8 классе лицея «Физико-техническая школа». На первом этапе ученикам было предложено вспомнить все, что они знают про окружность и круг. Вся известная им информация была вынесена на доску. Получилось довольно много, и потребовалось ее неким образом упорядочить — очень важная интеллектуальная процедура. Упорядочение, сделанное в основном учениками, получилось таким: а) исторические сведения; б) свойства окружности (круга); в) признаки окружности (круга); г) определение окружности (круга); д) части окружности (круга); е) углы, связанные с окружностью; ж) отрезки в окружности (круге); з) многоугольники (треугольники в частности) и окружность;
48 Задача для учителя математики. 7-11 классы и) длина окружности и ее частей; к) площадь круга и его частей; л) практическое применение полученных сведений; м) обобщение полученных результатов, разделение на плоские и неплоские фигуры (эллипс, сфера). Тем самым была обозрена (даже с избытком) вся соответствующая глава из учебника. Имеет ли смысл это игнорировать? Следующий этап — вывод тех или иных утверждений. С чего начнем? Ученики предпочли начать с длины окружности и площади круга. Вот тут была закавыка: этот раздел находится в конце главы. При этом используются все уже доказанные сведения. Пришлось действовать иначе. Сначала я получил формулу для площади круга, используя соображения пропорциональности и размерности. Вот как. Круг определяется своим радиусом R, потому его площадь S может быть записана по формуле S = kR2. Коэффициент к в этой формуле обозначим греческой буквой п. В итоге получаем формулу S = nR2. Останется только вычислить п. Как это делается, можно прочитать в учебнике. История весьма богата и хорошо описана в литературе. (В таком же духе, используя пропорциональность и размерность, можно получить формулу для площади прямоугольника и даже эллипса.) Получить формулу длины окружности можно по идее Г. Мин- ковского. Рассмотрим два круга радиусами R и R + х, (х > 0). Окружности этих кругов ограничивают кольцо. Площадь S этого кольца равна разности площадей большого и малого кругов: S = n(R + х)2 - nR2 = n(2Rx + х2). Чем меньше брать значение для переменной х, тем уже будет кольцо и тем меньше будет отличаться площадь кольца от длины исходной окружности. Имеет смысл рассмотреть отношение S/x (как если бы мы имели дело с прямоугольником и хотели выразить одну из его сторон через его площадь и другую сторону). Получим: $ — = n{2R + x) = тс • 2R + nx. X Делая х все меньше (говорят, устремляя его к нулю), мы в этом равенстве слева получаем длину окружности, а справа 2nR. Вот вам и формула длины окружности, которую вы хорошо знаете: L = 2 nR. — Разумеется, — говорю я ученикам, — при таком выводе я забежал далеко вперед, даже в курс математики старших классов.
3. Понять, что делаю 49 С традиционным подходом вы сможете познакомиться в нашем учебнике. Потом мы и его обсудим. На следующем этапе урока ученикам было предложено самим выбрать те утверждения из выписанных на доске, которые они захотели бы доказать в классе. При этом ученикам можно объединяться в произвольные группы, но можно работать самостоятельно. Любопытно, что большинство предпочло работать самостоятельно. (Думаю, дело в характере.) На заключительном этапе урока класс выслушивает и обсуждает полученные доказательства. Разумеется, в дальнейшем разбирается и материал учебника, и доказательства, приведенные там. Но ученики уже видят цель и занимаются только способами ее достижения. В аналогичном духе я провел и урок о теореме Пифагора в 8 классе. Запись этого урока есть в Интернете на сайте «Завуч, инфо». Вкратце так. Формула выписана на доске. Далее. Поступившие от учеников предложения были упорядочены. 1. История (появление, разные доказательства). 2. Следствия (формулы в прямоугольном треугольнике, в окружности; выход в пространство — теорема о трех перпендикулярах; основное тригонометрическое тождество). 3. Применения (рассказ о выводе формулы длины произвольной кривой). 4. Обобщения (теорема косинуса, выход в пространство). 5. Практическое использование (измерение расстояний в обратной теореме). 6. Связи с алгеброй (Пифагоровы тройки, иррациональность, появление уравнений, неравенств, систем, использование теоремы Пифагора для решения уравнений) и с функциями (происхождение функций, экстремумы). 7. Задачи (но не упражнения). Элемент импровизации на уроке не новость. Ей способствуют и вопросы учеников, и ученические решения задач. Недавно я услышал такой вопрос: «Как доказать, что доказать нельзя?» И от задуманного урока ничего не осталось. Однажды я выслушал такой вывод формулы объема тора. Формулу для объема V = 7СГ2 * 2па (г — радиус вращающегося круга, не имеющего общих точек с осью вращения, а — расстояние от его центра до оси вращения) ученик получил без использования интеграла, а просто из здравого смысла: мол, круг такой площади проходит указанный путь по окружности, отсюда и получаем нужный объем. По сути,
50 Задача для учителя математики. 7-11 классы он пришел к одной из теорем Паппа — Гюльдена. Пришлось с ходу перевести урок на обсуждение этих теорем. Импровизацию можно ввести в систему работы. Как? Я пишу на доске тему урока и предлагаю детям сказать все, что они думают по этому поводу. Реально было, например, такое. Я написал на доске а>Ь и попросил восьмиклассников высказаться. Минут пять думали, вспоминали, все это попало на доску, а потом началось обсуждение, опровержение и доказательство. Один момент получился очень удачным, не вполне традиционным: было предложено утверждение о том, что между двумя неравными числами можно вставить третье. Выглядело это так: «Если а > £, то существует число с такое, что а> с> Ь». Нашлось о чем поговорить. (А сколько чисел можно вставить? А что, если вставить третье число нельзя? И пр.) Замечу, что импровизацию можно включить и в деятельность ученика. Например, домашнее задание идет не от учителя, а от того, что сам ученик захотел сделать дома. И выбор задач, и их количество — его личное дело, зависит от того, как он сам понимает свое место в учебном процессе, насколько он осознает свои собственные цели (в целом в предмете и в частности в данный момент). В последние годы я все больше размышлял об отметке, которую мы ставим ученику. Некоторые считают, что она должна идти по другой шкале — двенадцатибалльной и даже что она вообще не нужна. Думаю, что последнее — крайность, объяснимая господствующим сейчас культом отметки, который весьма грубо может быть передан так: хорошие отметки — хороший ученик. Но мне трудно представить себе безотметочное обучение в старших классах. С отметкой у нас творится что-то странное. Она выставляется не за то, что ученик сделал, а за то, что он не сделал. В самом деле, имеется некая градация ученических ошибок (грубые, мелкие и т. д.), и отметка выставляется не за качество сделанного верно или оригинально, а за качество, если можно так выразиться, ошибок: чем грубее ошибки и чем их больше, тем ниже отметка. И ведь медали выдают в соответствии с этим принципом! Возьмем, однако, такой достаточно частый случай. В работе было несколько заданий разной степени сложности. Ученик хорошо справился с более сложным заданием, а в менее сложном ошибся, пусть грубо ошибся. За грубую ошибку я имею право существенно снизить отметку, иногда до «3». Ну а куда же тогда девалась работа ученика в сложном задании? Быть может, гру¬
3. Понять, что делаю 51 бая ошибка в работе и появилась потому, что ее автор слишком много сил затратил на решение сложного задания? Ну а не сделал бы он этого сложного задания вообще, зато, предположим, не сделал бы и этой грубой ошибки — и тогда была бы возможна отметка «4». Конечно, это рассуждение носит умозрительный характер. Но ситуация, когда в работе ученика сделано нечто сложное, но допущены ошибки в простом, хорошо известна учителю. И еще необходимо учесть, что классная или экзаменационная работа - это фиксированное время. Не хотим ли мы чересчур многого? А вот отрывок из беседы с коллегами: — Представьте себе, что ученик решал непростую геометрическую задачу. И все у него правильно, за исключением последней строчки, в которой есть что-то вроде 2*2 = 5. Так что вы ему поставите? Подавляющее большинство ответов: 4. — Почему 4? Вы же ставите отметку по геометрии, а не по арифметике! — А что ему поставят за это на приемных экзаменах или эксперты? — слышу в ответ. В деле выставления отметок можно идти по иному пути, не от анализа ошибок (как это требуется при исполнении каждой работы, спущенной «сверху»), а от анализа того, что и как сделано. Если ученик выполняет только те задания, для которых есть недлинный алгоритм или очень простой образец, разобранный к тому же в классе, то он у меня получал не больше тройки. Например, такое задание: «Решить неравенство * + 5 > 3». Если же он делает задания, уровень сложности которых требует знания длинных алгоритмов, или эвристических предписаний, или достаточно сложной комбинации алгоритмов, образцы чему были даны на уроке, то ученик может получить «4». Например, такое задание: «Решить неравенство относительно л;: ах > 1». И, наконец, отметку «5» получает ученик в том случае, когда делает то, что не объяснялось и не имело аналогий на уроке. Например, в той же теме «Решение линейных неравенств» можно предложить решить такое неравенство: — > 1. При этом, разумеется, отметка х напрямую зависит от того, что делалось в классе. А то, что делается в классе, определяется, в частности, установкой. А установка у каждого своя. Вот и получается, что отметки, которые ставит учитель Петр, отличаются от отметок, которые ставит учитель Павел, причем за одну и ту же работу!
52 Задача для учителя математики. 7-11 классы Страшно ли это? По-моему, нет, скорее, непривычно. Хотя так ли уж и непривычно? Известно ведь, как разнятся отметки в одной и той же школе у разных учителей даже по одному и тому же предмету. Но совершенно ясно, что такая позиция резко противоречит имеющейся тенденции к унификации, так четко выраженной в ЕГЭ. Такая система в выставлении отметок не есть революция, но не все тут очевидно. Как быть, например, если требуется проверить ученика сразу по нескольким разделам темы или по нескольким темам? Скажем, по тригонометрическим функциям. Здесь ведь и тождества, и уравнения, и неравенства... Я делал так. До работы предлагал ученикам определиться, т. е. понять, на какую отметку они претендуют: «3», «4» или «5». А на самой работе каждая группа учеников согласно своему самоопределению выполняла свое задание. Таким образом, задания предлагались не по вариантам, а по степени сложности. У меня не было полной ясности в этом деле. Вот ученик претендует на пятерку, а им ничего не сделано. Что ставить? Можно, конечно, поставить двойку и выдать нравоучение, да как-то жалко. Или другой пример: из двух заданий на четверку ученик сделал одно — тут что ставить? Эти трудности частично преодолимы в соответствии с четким принципом: «Сомнение учителя - в пользу ученика» — или еще красочнее: «Полбалла — в пользу юнкера». А в целом убежден, что выставление отметок — дело неформальное. Вот еще одно соображение по этому поводу. В последние годы я практически перестал ставить отметки «за знания и умения». Я их ставлю за работу. «Работа» ученика - понятие интегральное, сюда входят не только знания и умения, но и их уровень, а также, как бы это сказать поточнее, «количество и качество вложенного труда», что ли. Сюда входят и способ подачи работы, и ее оформление, и качество рисунков, и грамотность, и даже соображения по поводу работы, например появившиеся вопросы. — Как вы можете хотеть, чтобы я относился к вашей работе хорошо, если вижу, что вы сами относитесь к ней плохо? — вопрошаю я, когда вижу работу, сделанную несерьезно, неряшливо, некрасиво. Разумеется, в классной работе, идущей на скорости, такие требования нуждаются в корректировке. Несколько слов про оформление работы. Вопрос «А как надо оформлять работу?» я слышал много раз от учеников, от коллег. Мое мнение: здесь не может быть никаких формальных требо¬
3. Понять, что делаю 53 ваний. Письменная работа, которая подается куда-то кому-то, должна быть понятна. Еще сильнее — она не должна быть непонятной ни в одном месте. Использование символического языка (логического или языка теории множеств) полезно, но в меру. Чрезвычайно трудно проверять работы, в которых нет или почти нет слов, одни только символы. Этот символизм еще допустим при решении некоторых аналитических упражнений, но не более. Приходится идти на компромисс между символическим и естественным языком, используя неформальные соображения. Идеал оформления — решения задач в наших журналах («Квант», «Математика в школе», «Математика для школьников»), в пособиях для поступающих, созданных культурными (в математическом смысле) авторами. Отсюда мораль — учить детей создавать связный математический текст, а не набор формул и выкладок, неизвестно откуда взявшихся. На обучение культурному математическому письму уходит очень много времени и сил, видно, как дети этому «сопротивляются». Любопытно, однако, что иногда моих учеников «заносит», и они пишут решение задачи чуть ли не как сочинение, включая в текст свои гипотезы, даже неудачные, даже оценки сделанного. Когда дети начинают создавать вполне читаемые тексты, впечатление от работы бывает прекрасное. Некоторые из таких работ я храню у себя дома. И совсем здорово, когда ученик в конце работы (домашней) укажет и тех, кому он признателен за советы и помощь. Я никогда не снижаю за это отметку. Наоборот, подчеркиваю, что такие благодарности — норма в любой работе, к которой сам относишься уважительно. По ходу замечу, что в математическом образовании за кадром всегда остаются титанические усилия, дабы научить школьников не только создавать культурный текст, но также усваивать математический текст, слушать говорящего, наводить порядок в собственной голове, говорить так, чтобы понимали. Над этим работаешь годами. Ну а как быть с пресловутой отметкой «2»? В начале своего пути я, если можно так выразиться, шел с «программой на ребенка» и в самый первый год работы в четырех пятых классах оставил на повторный курс чуть ли не 10 детей. Сейчас мне неприятно это вспоминать, но, что поделаешь, было. Это ведь почти аксиома — ребенок не виноват. Он не виноват в том, что у государства мизерные расходы на образование, что в классах бывало больше
54 Задача для учителя математики. 7-11 классы 40 учеников (мой «рекорд» — 44 ученика в выпускном классе), что его обучают нередко ненужным да еще малоинтересным вещам, что и тому, что нужно, обучают плохо, что ему неуютно в школе... И потому я иду сейчас в обратном направлении: «от ученика к программе». Значит ли это, что вообще не надо ставить двоек? Да нет, конечно. Просто я не люблю выводить в журнале эту цифру, «лебедя». Ставить можно столько двоек, сколько нужно, но при одном условии: при сопереживании этой отметки с детьми. Если такого чувства нет, то или надо прекратить ставить двойки, или вообще менять профессию. А еще с отметкой можно играть. Так, работая с малышами, я объявил субботу днем пятерок — других отметок в этот день не ставил. Или в старших классах отметку в журнал ставил только тогда, когда ученик с ней соглашался, когда он не собирался ее улучшить. Например, он чувствовал, что классная работа ему не удалась. Он мог отказаться от нее и получить возможность справиться с ней дома, правда, на более жестких условиях. Возможны и другие примеры. Я полагаю, что школьная отметка субъективна не только фактически, но и по существу. От субъективности ее никуда не деться, как бы мы ни пытались формализовать критерии для ее выставления. В конце концов и задания, и критерии отметок придумывает человек со всеми его особенностями и вкусами (и нелепостями). И потому я должен понимать всю меру ответственности, выставляя отметку. Сколько ученических обид прячется за этой сухой фразой: «Я до сих пор помню свои детские слезы, когда получил первую в своей жизни двойку». Особенно острая ситуация возникала на экзаменах. Не очень-то я принимал необходимость так называемых «экзаменационных комиссий». Если два учителя думают про конкретный ответ ученика одинаково, то один из учителей лишний (для выставления отметки). Если же они думают по-разному, то либо их расхождения сказываются на отметке, либо нет. Если не сказываются, то опять же один из них лишний. А если их мнения об отметке расходятся принципиально, то экзамен не то место, где «выясняются отношения». Тут уж точно один из учителей лишний. Убежден, что экзаменационная отметка может служить поводом только для улучшения годовой отметки. Требование ставить итоговую отметку не выше экзаменационной полагал нелепым, ибо всякое бывает на экзамене. Однажды хорошая моя ученица пришла на выпускной экзамен по физике с температурой
3. Понять, что делаю 55 39 с чем-то. И никому об этом не сказала. Ясно, что она могла наговорить. Хорошо, что нам удалось увидеть ее болезненное состояние. А если бы не увидели? Другой случай у моих учеников — день похорон члена семьи совпал с днем экзамена. Еще случай — пришла девушка на письменный экзамен по математике и целый час пила валерьянку: никак не могла успокоиться. А кто-то проспал и пришел через час после начала ЕГЭ. Да и у меня самого было нечто подобное: ни о чем математическом некоторое время думать не мог. Может быть всяко... Еще добавлю, что иногда предлагал поставить отметку самим школьникам и соученикам (за выслушанный ответ у доски или за письменную работу, ими проверенную), и себе (после публичного разбора иного задания). Любопытно послушать, как они мотивируют свое мнение, тут-то и становится понятно, чему их научил. Совсем недавно методист и математик И. Высоцкий, анализируя ситуацию со школьной отметкой как специалист по достоверному получению результатов, заключил: «...нельзя использовать школьные оценки... как объективный показатель знаний ученика или, упаси боже, эффективности работы учителя». Несколько слов о дополнительных занятиях с учениками после уроков и о переписывании ими неудачных работ — опять же после уроков. Я уж и не помню, когда проводил такие занятия в последний раз. Но в первой половине моей школьной стези они считались для учителя чуть ли не обязательными. Разумеется, не оплачивались. Мой отказ проводить их квалифицировался администрацией и даже «общественным мнением» чуть ли не вызовом всей образовательной (и даже более) системе. Даже и сейчас довольно много моих коллег считают этот вид деятельности вполне нормальным. А если подумать... С какой, собственно, стати (юридической, гуманистической, моральной — как угодно) мы имеем право посягать на личное время ребенка? Хорошо бы нам всем понимать, что личное время школьника (и вообще любого человека) — это святыня. Это раз. Далее, наше дело — научить, причем, что особо подчеркиваю, за отведенное время. Если я считаю, что процесс в положенное время не завершен, что «научить» не получилось — а основанием такого мнения являются учебные неудачи ребенка, — то сие означает, что я свою работу не сделал так, как хотел (я исключаю форс-мажорные причины). А посему надо что-то менять в своей системе работы. И, наконец, если какие-то учебные акции
56 Задача для учителя математики. 7-11 классы и можно делать в сверхурочное время, то только на консультациях, внесенных в расписание, и только на добровольных началах. Добровольных в точном смысле слова, без всякого нашего лукавства. Ясно ведь, что никакой ученик не заинтересован в плохих отметках, и я запросто могу выдать его «переписывания» за совершенно добровольную акцию. И даже участие учеников в классном часе при таком понимании дела должно быть добровольным. Заключая разговор о системе, еще раз хочу подчеркнуть ее потенциальную изменчивость. У меня уже более полувека учительского стажа, но и сейчас что-то да меняется. Например, в последние годы домашнее задание перестало быть единообразным. Каждый выбирает для себя упражнения к уроку в заданном мной количестве — обычно 3, но приветствуется его увеличение. Одно решение оформляется учеником тщательнейшим образом — для проверки. Общее число решенных упражнений фиксируется отдельно, причем эта информация имеет публичный характер, она вывешена на доску информации в кабинете математики. Например, в году было 64 урока, поэтому должно быть решено не менее 192 упражнений, из коих 64 должны быть оформлены наилучшим образом. Я не проверяю, сколько на самом деле решено упражнений, эту информацию ученик выдает «по совести». Убежден, что основой ученического продвижения является рост его самосознания, все прочее вторично. Мне остается только его развивать. Упражнения, предназначенные для проверки, стараюсь просматривать наиболее тщательно, отмечая уровень их сложности и качество исполнения, включая грамотность, эстетичность (рисунки!) и даже стиль. С иным почерком борюсь, предлагая ученику оформлять работу в текстовом редакторе. При выставлении итоговых отметок просматриваю весь набор упражнений, подготовленных учеником к проверке: есть ли динамика по трудности и качеству работы. Разумеется, возможны нюансы, ничего не стоит абсолютизировать. Еще одна, третья, составляющая деятельности учителя — атмосфера на уроке. В этой атмосфере разворачиваются отношения с детьми и детей между собой. Когда-то, в начале пути, я спросил у своего учителя, а затем коллеги: «А вы не боитесь, когда идете на урок?» «А чего мне бояться? Пусть они меня боятся», — ответил он. Я не берусь дать определение атмосферы или хотя бы вполне ясное толкование, не довелось мне и читать о ней некое аналитическое исследование. Но ее существование на каждом уроке мне очевидно. В один класс идти хочется, а в другой — никакого
3. Понять, что делаю 57 желания; сделали дети домашнее задание — это одно, а не сделали — все иначе; сидит на уроке «ваш закадычный враг» или он пошел погулять — «две большие и разные разницы»; даже если столы и стулья в классе поставлены не так, как вчера, что-то неуловимо меняется. Одно время я на уроке включал тихую мелодичную музыку, когда ученики выполняли самостоятельную работу. А что? Горох и тот лучше растет под В. Моцарта (были и такие эксперименты). Большинству это помогало, но было и меньшинство. А однажды было и такое: девушка, выпускница музыкальной школы, даже решать перестала - заслушалась. И, наконец, с одними и теми же детьми на уроке — одно, а в походе — другое. Атмосфера рождается от взаимоприсутствия и взаимодействия вполне конкретных людей, существует вне нас, но и в нас тоже, поскольку мы — взрослые и дети — ее и творим. Ее основа - отношения, как бы отпавшие от нас: мое отношение к детям и математике и отношение детей ко мне и к математике. Что ясно из этих несложных заметок? Ну, во-первых, атмосферу невозможно скопировать и ее нельзя перенять из чужого опыта. Во-вторых, она зависит от установки, и если изменилась установка, то каким-то образом меняется и атмосфера. Был у меня такой печальный опыт. Работал я в одном классе несколько лет, сначала с малышами, что называется, душа в душу. Но по мере их взросления, по мере близости к переходным экзаменам в старшие классы я стал «подкручивать гайки». И то ли не так «подкрутил», то ли еще что-то, но постепенно атмосфера в классе изменилась. Вместо уроков-праздников стали все больше получаться уроки-будни. Вспоминать не очень-то приятно... В своей работе учитель может идти разными путями: от атмосферы к уроку, т. е. подстраивая работу в классе под уже имеющуюся или формирующуюся атмосферу; от урока к атмосфере, т. е. учитывая ауру вокруг конкретных педагогических процессов; комбинируя оба варианта в зависимости от сиюминутных задач преподавания. Все это хорошо видно, например, при выходе ученика к доске. Если ученик вызван на отметку, то выбран второй путь; если же вокруг его ответа организовано живое обсуждение, как и было задумано учителем, то выбран первый путь. Идеальная атмосфера - это совместная работа в поиске истины. Когда и я участвую в таком поиске, без всякой игры, текут прекрасные и, к сожалению, редкие минуты — класс их чувствует и становится чуть другим.
58 Задача для учителя математики. 7-11 классы Разговор об атмосфере достаточно деликатен, ибо напрямую выходит на разговор о личных качествах учителя. Оставим эту тему, но один пример хочется привести. Подсказка на уроке - дело ученической «доблести», а также педагогическая задачка. К ее решению можно прийти, идя от атмосферы. Оно весьма просто. — Вы, дети, хотите помочь стоящему у доски. И я хочу ему помочь. Мы вместе хотим помочь ему выяснить, что же он знает на самом деле. Подсказка никогда не помогала тому, кто ничего не знает. Поэтому ваша лучшая подсказка заключается в том, чтобы задать ему вопросы по поводу того, что он сказал. Если он ответит на ваш вопрос и тем самым дополнит свой ответ или поправит его, то отметка ему снижена не будет. И ему вы поможете, и вам самим зачтется за помощь. Итак, все, что вы хотите подсказать, не надо таить от меня, а, наоборот, надо высказать вслух, но только в виде вопроса. Наблюдать за такими организованными «подсказками», слушать их, комментировать, сравнивать — большое удовольствие. Относительно недавно появилась концепция педагогики сотрудничества. Как я ее понял, эта концепция в основном и относится к атмосфере в школе и классе. Смысл ее в том, что она противостоит концепции авторитарного руководства детьми. Такую точку зрения на атмосферу можно только приветствовать. Но! Положение осложняется тем, что практически приходится работать в обоих режимах: авторитарном, скажем мягче, программном, и режиме сотрудничества. Подлинная проблема — это проблема выбора того или иного режима для решения поставленной педагогической задачи. Разрешая эту проблему, мы опять придем к понятию установки. А то, что программный режим необходим, прямо следует из степени ответственности участников педагогического процесса за его результат. Ясно, что у детей и взрослых она разная. И еще, никакая атмосфера не решает сама по себе всех проблем образования, и даже главных проблем. Конкретно: в любой атмосфере ребенок с пониженной обучаемостью таковым и останется. Не исключено, по-моему, и то, что в программном режиме ему будет комфортнее. Компоненты АСУ учителя взаимосвязаны и существовать отдельно могут только в логическом анализе. Атмосфера и установка непосредственно «завязаны» на личность учителя. Всякие попытки популяризировать ту или иную систему работы отдельного учителя, только систему, вряд ли могут привести к широкому ее распространению. Ибо система мало того, что определяется
3. Понять, что делаю 59 установкой, но она реализуется в определенной атмосфере. Значит, хотя и опосредованно, система зависит от личности учителя. Система работы не золотой ключик к всевозможным проблемам образования, а всего лишь организационная форма взаимодействия ученика и учителя. И только! Более того, становится понятно, почему так трудно переносится и заимствуется иной педагогический опыт. Иной опыт — это иное АСУ, а за ним стоит иной человек. Разумеется, я не против пропаганды того или иного удачного учительского опыта. Только зная его, начинаешь понимать, чего добился сам и чего, увы, не добился. Чем больше новаций, чем они глубже, тем больше они вносят живого духа в наше дело. Тем самым они хоть немного расшатывают изначальный консерватизм сложившейся образовательной машины. Истинный смысл этих новаций в том, что именно они, их количество и качество, определяют жизнеспособность образовательной системы в целом. Я уже не говорю о том, что формирование в детях творческой активности не может происходить тогда, когда административным шлангом гасят творческую активность учителя. На одной из моих лекций учителям я услышал жуткую просьбу: «Вы не рассказывайте нам, как можно делать. Вы расскажите, как надо делать!» Раз мы уже заговорили о системе образования в целом, позволю себе несколько замечаний частного характера. Ясно, что она должна быть гибче и эволюционировать быстрее. Я полагаю, что механизм образовательных реформ, спущенных сверху, доказал свою несостоятельность. Тем более в этой системе не может быть революций, как бы этого ни хотели чересчур нетерпеливые. Что же нужно? Ответ, пожалуй, банален, но другого я не вижу: поднять престиж образования в целом, поднять престиж профессии учителя, вложить в образование хорошие деньги и максимально его децентрализовать. Эти меры необходимые. Но вряд ли достаточные. Я сомневаюсь, что общенациональный успех системы образования будет достигнут без громадного труда тысяч учителей и громадного труда учеников. Это миф, что можно легко учиться. То есть это, конечно, возможно для отдельного человека. Но я не верю в существование какого-то способа или метода, при котором исчезает этот громадный труд. Можно снять лишь отдельные трудности, но при этом они непременно возникнут в другом месте — как говорится, здесь действует «закон сохранения трудностей». Один пример. Мне всегда странно слышать о каком-то
60 Задача для учителя математики. 7-11 классы убыстренном прохождении программы. Можно за один урок научить школьника восьмого класса дифференцировать многочлены. Значит ли это, что в его голове, в его абстрактном мышлении произошел тот сдвиг, который вызван появлением бесконечно малых? Такой же вопрос я могу сформулировать о геометрическом воображении, комбинаторном мышлении и т. д. Вспоминаю одного моего ученика, очень смышленого пятиклассника. Когда он видел вывод некоего алгебраического соотношения, он тут же норовил проверить его результат и вместо букв подставлял конкретные числа. Сами по себе установка, система и атмосфера не гарантируют еще качества урока. Я вообще думаю, что хорошие уроки существуют только на бумаге или в учительских головах. Проводишь очередной урок, и опять не то: что-то не сказал, что-то не сделал, на кого-то не обратил внимания, кому-то не помог. Внешне может казаться все распрекрасным, заливаешься себе соловьем, и дети вроде так хорошо слушают. А начнут говорить... Урок в некотором смысле обречен быть неудачным. Во-первых, его делают люди со всеми их нелепостями. Во-вторых, урок - попытка совершить невозможное. Этих симпатичных рожиц передо мной бывало за 40, и во все головы не влезешь. Теоретическая педагогика (для себя я называю ее бумажной) необходима, но пока она в основном исходила из молчаливого предположения, что перед учителем от трех до семи человек, все из приличных семей и очень хотят учиться по всем предметам без исключения. Как-то не очень ясно, что делать с ребенком, который давно уже махнул рукой на школу и на себя. Как, кстати, неясно, каким образом учить будущего Лобачевского. К тому же эти двое могут сидеть за одной партой. А парт еще 20. И все заняты. И, в-третьих, на уроке всегда хочется увидеть чудо - миг понимания, момент перехода непонятного в понятное. Когда такое бывает, наступает момент наслаждения — ходишь счастливый. Есть некая восточная мудрость: «Тот, кто знает, уступает тому, кто умеет. Тот, кто умеет, уступает тому, кто любит». Я рискнул продолжить: «Тот, кто любит, уступает тому, кто понимает. Тот, кто понимает, уступает тому, кто получает удовольствие. Тот, кто получает удовольствие, уступает тому, кто наслаждается». Нечасто это происходит. Конечно, всегда хочется провести этакий роскошный урок. Стандартное педагогическое решение — предложить детям интересную задачу или богатое поле деятельности. Здесь много возможностей.
3. Понять, что делаю 61 Вот одна из них. В теме «Геометрическая прогрессия» рассказать задачу про изобретателя шахмат — о ней можно прочитать у Я. Перельмана. Обсуждая ее, я спрашивал учеников: «А почему мудрец изложил свою просьбу так замысловато?» У него же приведена задача о римском полководце Теренции. Чуть подробнее: Теренцию представилась возможность разбогатеть, каждый день забирая из казны одну монету, ценность которой вместе с ее весом удваивается при условии, что эту монету он должен вынести только за счет собственных физических усилий. Вопрос: насколько тут уместно именно удвоение, может быть, лучше изменить коэффициент увеличения как императору, пообещавшему эту награду, но экономящему государственные средства, так и Теренцию, который хочет ухватить побольше? Еще задача об уникурсальных фигурах — тех, которые можно провести на бумаге одним росчерком. Ее можно закончить беседой о графах, проиллюстрировав это понятие рассказом о кенигсбергских мостах и намекнув о науке с таинственным названием «топология». Вот набросок урока в выпускном классе, последнего в году. Формулу eni = -1 запишем чуть иначе: + 1 = 0. В определенном, может быть, даже метафорическом смысле, в ней «запрятана» чуть ли не вся математика: 1) знак равенства; 2) операции: а) сложение, б) умножение, в) возведение в степень; 3) Числа: а) 0, б) 1, в) я, г) /, д) е; 4) исторические сведения; 5) «шутки» по поводу. Теперь по порядку. 1. Многоликость знака равенства: а - а — это само собой. Но что из этого можно «выжать»? Ничего. Что-то начинает получаться, если а = Ь. Но как это может быть? а — это я, b — это Ь. Как же они могут быть равны? Тут целая «философия». (Как-то А. Александров заметил: «Равными являются только неравные».) И всегдашние притом трудности. Пример — равенство векторов. Можно просмотреть не один учебник, пока найдешь идентичные определения равенства векторов. Вспомним также о пресловутой конгруэнтности треугольников. Почему у нас в свое время «отменили» равенство треугольников, а ввели их конгруэнтность? Заминка в определении равенства множеств и толковании геометрической фигуры как множества. Далее, есть равенство и тождественное равенство - есть ли между ними разница? «Эпо- х^ — 1 пея» с тождествами: х2 - 1 = (х - 1 )(х + 1) — это тождество, а = х -1 = х + 1 — тождество ли, коли изменилась область определения? Затем развитие темы. Равенство — это отношение, частный случай
62 Задача для учителя математики. 7-11 классы отношения эквивалентности с тремя свойствами: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Самое интересное свойство равенства — транзитивность. Благодаря ему мы узнаем о том, чего не знали. Сначала мы знали, что а = Ь. Потом узнали, что b = с. И вот те раз! а = с\ Реально это довольно часто происходит в геометрии, вдруг оказывается, что какие-то отрезки равны, потому что каждый из них равен третьему отрезку. (Вопрос по ходу: следует ли рефлексивность из транзитивности и симметричности? Возьмем в записи транзитивности с = а, и получается, что следует. На самом деле нет.) Если убрать из отношения эквивалентности транзитивность, то получим отношение толерантности — «похожести». Очень любопытно его сопоставление с эквивалентностью. Вернемся к равенству. Еще бывает равенство по определению, например 0! = 1. Это уже совсем другой тип равенства. Еще есть знак равенства в уравнении, нечто совсем другое: ни отношение, ни равенство по определению. И еще — в записи функции: f(x) =х2. И еще — в записи производной функции: (х2)' = 2х. 2. Замечу, что умножение — результат обобщения сложения, а возведение в степень — обобщение умножения. О чем наука алгебра? Об операциях на множествах. 3. Числа: а) о числе 0 можно порассказать многое, про него даже книги написаны. У Ф. Кривина есть небольшая сказочка про него, ее вполне можно прочитать в классе. Но до нуля ведь надо было додуматься, греки при всей их гениальности не смогли этого сделать. И в самом деле, каково было придумать знак для того, чего нет! Это только лет сто назад стало понятно, что 0 можно рассматривать как нейтральный элемент для операции сложения. Замечательна операция деления на 0, точнее ее невозможность. Но за ней стоит и отношение бесконечно малых, и бесконечный предел. Тут громадная история становления анализа бесконечно малых; б) говоря о числе 1, вспомним JI. Кронекера: «Господь бог создал единицу, все остальное дело рук человеческих», а также Н. Лузина: «Мы должны склониться перед гением Человека, создавшего... понятие единицы». Только с развитием абстрактной алгебры стало понятно, что число 1 можно рассматривать как нейтральный элемент операции умножения. Замечу удивительную роль этих двух символов — 0 и 1 — в математической логике, а через нее во всей компьютерной революции нашего времени; в) о числе к написана не одна книга. Интересно его появление вне геометрии: как сумма ряда, в виде непрерывной дроби, в игре
3. Понять, что делаю 63 Бюффона, как площадь под кривой. Как анекдот — постановление неких американских законодателей считать к = 3. Я читал, что именно это значение для к упомянуто «для гренландских китов» — при каких-то их измерениях. Но тут, ясно, дело в разумности приближений; г) история числа i почти мистическая. Несколько способов его подачи: как корень квадратный из (-1), как упорядоченная пара вещественных чисел (0, 1), как оператор поворота плоскости на 90°, как вектор на плоскости. И надо же, Р — число вещественное! Этот фантастический результат получается после несложных действий с комплексными числами в показательной форме; д) несколько ипостасей числа е: как предел последовательности; как основание показательной функции, которая растет определенным образом, из решения дифференциального уравнения; как площадь определенного участка под гиперболой. 4. Исторические сведения. Ведь каждый знак, каждое обозначение как-то появились, кто-то их придумал. У каждого из них своя «история». С некоторых пор самое интересное для меня на уроке происходит не тогда, когда говорит учитель или беспрерывно отвечают ученики, а тогда, когда все молчат. Вполне в духе древних китайских философов: что происходит тогда, когда «ничего не происходит»? Однажды попал я на один урок в незнакомый пятый класс — замещал. Мне надо было проверить срочно пачку контрольных, и понятно, с какой охотой я вошел к детям. «Ладно, — думаю, — дам им задание на весь урок, а сам, глядишь, и успею». И рассказываю историю с маленьким К. Гауссом, как ему пришлось на уроке складывать все числа от 1 до 100. На деле была сумма: 81 297 + 81 495 + 81 693 + ... + 100 899. Закончил я рассказик, пообещал в конце урока «нашему будущему математику» поставить «пятерку» не только в дневник и уселся за стол, за собственную работу. Но не тут-то было. Минут через десять на меня обрушился шквал предложений и способов. Способ, найденный маленьким Карлом, тоже был предложен. Куда же они пропадают потом, эти маленькие гении? «Как получается, — вопрошал А. Дюма-сын, — что маленькие дети такие умненькие, а большинство взрослых — такие дураки?» И отвечал сам же: «Это издержки образования». И каждый день все сначала. Вот я вошел в класс и закрыл за собой дверь...
64 Задача для учителя математики. 7-11 классы 4. НАЧАЛО ПУТИ - И СРАЗУ ПРОБЛЕМЫ Первые три года после окончания института я работал в той школе, где учился сам и где проходил педагогическую практику. Эти годы до сих пор вспоминаю с удовольствием. В основном я входил в мир детства. Воспитательство (а один год из этих трех я был воспитателем аж в двух классах: 6 и 8, причем в 8 классе не работал учителем, и вообще мои воспитательские классы занимались в разные смены), математический кружок и его газета «Квадратура», подготовка к олимпиадам, туристские походы, слеты и соревнования — все было ново и интересно. Моих математических познаний вполне хватало. Правда, я понял, что не умею решать арифметические задачи, так сказать, «арифметически», т. е. без составления уравнений. А такого типа задачи обязательно предлагались на олимпиадах. Тогда я прорешал все задачи из книги В. Широкова «Сборник арифметических задач на соображение». С тех пор знаю по себе: лучший способ научиться решать задачи состоит в том, чтобы самому решать эти задачи. Не надо жалеть времени, сил и не стоит надеяться, что на каких-то курсах кто-то научит. Впоследствии именно так я учился решать комбинаторные задачи (по книгам Н. Виленкина) и векторные задачи (по работам 3. Скопеца), список продолжается... Позволю себе чуть отклониться. За годы работы мне пришлось рассказывать много начальных математических курсов (аналитическую геометрию на плоскости, вычислительную математику, элементы конечной математики, начала теории вероятностей), вести кружки и факультативы разнообразнейшей тематики. Довелось поработать и в вузе, там я готовил к поступлению абитуриентов, вел занятия по математическому анализу, основаниям геометрии, спецкурсы и семинары. Я увидел, как много красивого есть в математике и как редко эта красота пробивается к школьнику, заваленная Монбланом чисто технической работы. И я понял, что отдача в нашей работе пропорциональна времени, проведенному за рабочим столом наедине с книгами, учебниками, задачниками. Если на учителя навалено столько забот и обязанностей, что у него не остается ни сил, ни времени для такого труда, то бессмысленно требовать от него высокое качество работы. И никакие курсы этого не восполнят. В 1962 году, с грустью распрощавшись с «малышами», я перешел на работу в только что созданную математическую школу № 239. Но еще несколько раз в своей жизни я имел удовольствие учить детей в средних классах обычной школы.
4. Начало пути - и сразу проблемы 65 В те годы очередной реформой было введено одиннадцатилетнее обучение, и в старших классах, наряду с общим, давалось и начальное профессиональное образование. Это было весьма разумно, ибо выпускники, не попавшие в вузы, попросту не знали, куда себя деть, так как ничего не умели делать. Как раз ко времени появилась специальность «оператор ЭВМ», которой и обучали в математических школах. Первый выпуск математических классов в школе № 239 был в 1964 году (инициатива шла от ученых-математиков Г. Петра- шеня, В. Залгаллера и директора школы М. Матковской). Сейчас уже никто не обсуждает целесообразность профильных классов и школ, но за эти десятилетия и 239-я школа, и другие такие же школы города натерпелись многого. Неоднократно ставилась под сомнение даже необходимость их существования, а некоторые школы просто расформировали несмотря на успешную деятельность. Причины тому «идеологические», как то: нужный социальный состав (поменьше детей интеллигенции), национальный состав (соблюсти процент евреев), «подозрительный» состав учителей и, упаси господь, возможное проявление юношеского максимализма в борьбе за правду и справедливость во всем государстве. Почти сразу обозначились проблемы образования в специализированных школах. Вот некоторые из них: 1. Учебный план. Каким должно быть соотношение математических, естественно-научных и гуманитарных предметов? Возможно ли выделение обязательных и необязательных дисциплин? 2. Содержание математического образования. Должно ли оно расширяться или идти в сторону углубления? Конкретно: давать ли ученикам начала, скажем, топологии или предпочесть изучение разнообразнейших применений комплексных чисел? И до сих пор среди вузовских математиков (но не только, вплоть до министра образования) бытует мнение, что не стоит в школе (любой!) знакомить детей с основами анализа: этому прекрасно научат они сами. Типичный, сугубо специализированный взгляд на наше дело, когда игнорируется общекультурное значение математики и ее необходимость при изучении физики. Вот еще вопрос. Какова преемственность школьного и вузовского курса анализа? Легко копировать части вузовского курса хотя бы потому, что учителям он хорошо известен по собственному образованию, оправдывая это тем, что «потом на первом курсе выпускнику будет легче». Да, конечно, но такое решение пробле¬
66 Задача для учителя математики. 7-11 классы мы слишком простое, а потому вряд ли верное. Мне не один раз пришлось слышать от своих воспитанников: «В первом семестре было нечего делать, мы все это уже проходили в школе. А потому занимались спустя рукава. Отрезвление не всегда приходило быстро. К тому же, глядишь, на втором курсе уже проблемы с учебой, потому как на первом курсе дурака валяли». Не лучше ли действовать наоборот: построить школьный курс так, чтобы он не дублировал вузовский, хотя бы в методике? Позаботиться в первую очередь о существе дела, а не о технических аспектах. Пожалуйста, пример. Изучение предела последовательности, который является, разумеется, частным случаем предела функции на плюс бесконечности. В большинстве известных мне учебников по высшей математике понятие предела последовательности предшествует понятию предела функции. Однако можно (и есть учебники, в которых эти понятия переставлены) начинать с предела функции. Чуть подробнее. Различают два вида предела функции: в точке и на бесконечности. Для непрерывных функций предел функции в точке не существен, ибо он равен значению самой функции в этой точке. С пределом функции в точке естественно знакомить при изучении разрывной функции. Сами по себе разрывные функции не являются предметом изучения в школе, а служат разве что контрпримерами, полезными для общего математического развития. Поэтому (с некоторыми оговорками, убирая экзотику) можно рассматривать разрывную функцию как кусочно-непрерывную. Замечу, что определение непрерывной функции можно дать независимо от понятия предела. Более того, можно начать даже с дифференцируемости функции (опять же, обходясь без понятия предела функции), из которой затем вывести непрерывность, ведь в школе изучается в первую очередь класс дифференцируемых (гладких) функций. Разумеется, затем естественно показать существование кусочно-гладких и кусочно-непрерывных функций. При изучении предела функции на плюс бесконечности также можно действовать не вполне традиционно. Введем новую пере- менную, стремящуюся к нулю справа, и тогда предел функции на плюс бесконечности сводится к пределу функции в нуле. Связь нуля и бесконечности — занятная тема для размышления. Итак, при изучении понятия предела вообще главное я вижу в изучении асимптотическою поведения функции, Именно его.
4. Начало пути - и сразу проблемы 67 в первую очередь, важно было растолковать ученикам. А уж потом получить нужные нам теоретические сведения о пределе последовательности. К тому же изучение основ анализа в школе порой зафор- мализовано в ущерб пониманию сути. Чрезмерная тренировка в нахождении пределов, производных, интегралов заменяет собой постижение смыслов. Иногда я предлагал весьма сильным ученикам такую задачу: «Доказать, что “достаточно хорошая” положительная функция, определенная при х > 0, имея максимум и асимптотой ось абсцисс, имеет также и точку перегиба». В ответ было: «Так это же очевидно». При том, что формального доказательства не предъявлялось. 3. Учет специфики школы. Учить математике, к примеру, тех, кто больше к ней склонен, — это совсем не то, что учить математике тех, кто предпочитает физику. Возможно, эти группы надо учить и разной математике, и по-разному. (Выдающиеся физики - академики Я. Зельдович и Д. Ландау написали даже свои учебники по математике. А ученые-математики даже писали специальные учебники по математике для физиков, например академик В. Смирнов.) Я знаю опытного учителя, который успешно работал с «математиками» и не нашел общего языка с «физиками». Тут же добавлю, что для меня лучший учебник по анализу написан Г. Фихтенгольцем, но для инженеров! Различие между «математиками» и «физиками» я вижу, в частности, и в том, как они решают задачи. Для иллюстрации я приведу такую: «Зафиксируем два состояния стрелок часов: когда они совпадают по направлению и когда они противоположны. При переходе из одного состояния в другое часовая и минутная стрелки образуют между собой и острый угол, и тупой. На каждый из этих углов уходит какое-то время. Так какое из этих значений больше?» Мне не раз приходилось наблюдать разницу в способах решения тех и других: «математика» сразу потянет на составление уравнения, в то время как для «физика» эта задача устная, связанная с переходом в другую систему отсчета. 4. Учебники и учебные материалы. Или их вообще не было, или был мал выбор, или они недостаточно специализированы. По геометрии специализированный учебник (А. Александров и др.) появился аж через 20 лет после создания таких школ. На деле почти все приходилось рассказывать самому. 5. Установка школы. Кого она готовит? Личность? Будущего ученого? А может быть, обучение в такой школе эквивалентно
68 Задача для учителя математики. 7-11 классы хорошей подготовке для поступления в технический вуз? Боюсь, что на практике получается именно последнее, но мне эта задача кажется легкой и неинтересной. 6. Проблема отбора. Отбирать отличников? Многие из них оказываются беспомощными в профильном обучении. И наоборот. Примеров предостаточно. Однажды мы приняли в 10 класс Юрия Н., у которого в свидетельстве были сплошь «тройки» и только по математике «четверки». У него оказались прекрасные способности к математике, особенно к аналитическим выкладкам. «Школьные» интегралы он «брал» устно, сразу говоря ответ. Грамотность его, однако, была близка к нулю, у учительницы литературы волосы вставали дыбом, когда она читала его сочинения с двузначным числом ошибок. Умолчу о том, как он был принят на матмех, нашлись понимающие люди в приемной комиссии. Сейчас он профессиональный математик и постоянно работает в английском университете. 7. Проблема развития способностей. В школе оказываются дети, более способные к математике. Но как эти способности развивать? В каком направлении? К чему стремиться? Кроме того, бывает, что в начале обучения школьник теряется, порой выглядит беспомощным. Одну из учениц мы хотели после первого года обучения исключить из школы за «безнадежность», но что-то нас удержало. В следующем классе она была уже «на уровне», а в выпускном получила диплом на городской олимпиаде по математике. Сейчас она профессионал-математик. История с ней научила меня на всю жизнь: торопиться с выводами о пригодности к обучению не следует. С другой стороны — победители международных олимпиад: я еще рот не открыл первого сентября, а они уже знают почти всю школьную программу, и даже не только школьную. У меня были ученики, которые к концу обучения имели сданные экзамены по университетскому курсу анализа. Тут главное - не мешать им обычными учительскими требованиями. И пусть такой ученик на уроке делает что-то свое, благо у него в голове всегда сидит задача. Будет ему интересно на уроке — замечательно. У меня спрашивают: «А как вы учили Гришу Перельмана?» Сейчас мне вспоминается, что персонально никак особо не учил. А как учить, если он решал почти любую школьную задачу, даже не прикоснувшись к тетрадке? Давать ему специально подобранную задачу? Так у него и так есть над чем думать. Слушает, что делается на уроке, — уже хорошо. И я не помню его на уроке с опущенной головой.
4. Начало пути - и сразу проблемы 69 8. Методика обучения. Вопросов уйма. Вот один из них, чуть ли не самый простой: каков должен быть характер самостоятельных и контрольных работ? В массовой школе они контролируют учебные умения, отсюда и следует их содержание. А что проверять тут? Тоже только учебные умения? Не думаю. Поэтому в черновой работе на уроке даю такие задания, которые заведомо не встретятся в предстоящих работах. Да, но что же тогда проверяется? Кроме обычных учебных умений, еще и умение «соображать на ходу». И ведь в конечном счете дети обучаются и этому — на то и способности. Но вначале с очень большим скрипом, с противодействием: «А вы нам это не объясняли!» А со временем даже перестают замечать эту новизну. Многие из этих вопросов не решены и поныне. В первые годы существования физико-математических школ учили три года, и каждый год было по 12 часов математики в неделю. Таких, можно сказать, неограниченных возможностей у меня больше никогда не было. Изучались алгебра, тригонометрия, геометрия, как положено, а также аналитическая геометрия, математический анализ, приближенные вычисления и программирование. Если преподавание элементарных дисциплин и анализа находилось в одних руках, то довольно быстро стало ощущаться рассогласование между уровнем преподавания этих предметов. В самом деле, элементарные дисциплины преподавались по обычным школьным учебникам А. Киселева и Н. Рыбкина, а анализ — по Г. Фихтенгольцу, причем по «толстому» учебнику для университетов. Уровень строгости в этих книгах был явно несопоставим: анализ начинался с аксиоматики вещественного числа, а в курсе стереометрии А. Киселева логические упущения начинались с самых первых страниц и замечались учениками моментально. Были и другие рассогласования. Например, нахождение объемов в курсе анализа интегрированием, а в курсе геометрии А. Киселева с помощью довольно искусственных лемм. В курсе аналитической геометрии изучались векторы, о которых не было никакого упоминания в курсе элементарной геометрии и, что особенно жаль, в курсе тригонометрии. Число примеров легко увеличивается. В ходе дальнейших реформ образования учить в старших классах стали меньше: два года вместо трех, на математику стали отводить часов все меньше и меньше и дошли даже до 7 часов в неделю, но дети-то толковее не стали. Снижать уровень образования не хотелось никак - уже были наработаны некие образцы. Такая
70 Задача для учителя математики. 7-11 классы ситуация порождала большое число содержательных методических задач. Поскольку в дальнейшем я буду вести речь именно о методике (я бы предпочел говорить о дидактике математики или даже о педагогике математики), то сделаю некоторое отступление. Мне довелось слышать много скептических и даже пренебрежительных высказываний от своих коллег по поводу методики, педагогики и вообще какого-либо теоретизирования в деле преподавания (философии — так это звучало у них несколько пренебрежительно). Любопытно то, что в основном эти высказывания шли от профессионалов-математиков, волею судеб ставших учителями. Их основная мысль состояла в следующем: «Я знаю предмет, у меня нормальные отношения с детьми, и я прекрасно живу безо всякой там педагогической науки». Довелось слышать и другое понимание методики, я бы назвал его утилитарным. Методика, как мне говорили, состоит в том, чтобы дать образцы решения задач, записи их решения, оформления письменных работ, чтобы составить план урока и т. д. Наконец, есть и такое мнение: преподавание вообще — это искусство. Посему важно не «что», не «как», а «кто». Отсюда следует, что нечего морочить себе голову так называемыми методическими рекомендациями. Даже если и согласиться с такой точкой зрения, то почему это искусство (я бы добавил — искусство ремесленника) не изучать и почему не подвести под это изучение научную базу - физиологию и психологию? Мне не хочется никого переубеждать, спорить о том, является ли методика наукой или не является. Впрочем, мне ясны три мысли. 1. Коль скоро миллионы людей занимаются образованием тысячи лет, то в этой их деятельности немало общего и это общее может выделяться и изучаться. 2. Если такое изучение и называть наукой, то такая наука является скорее экспериментальной, нежели теоретической. Это значит, что некий прогресс в методике обеспечивается в первую очередь тем, что происходит в живом контакте с детьми, а уже потом чистыми размышлениями о возможности кого-то чему-то как-то научить. Методика, я бы сказал, — это экспериментальная дидактика или экспериментальная составляющая дидактики. 3. Пренебрежение по поводу «как», столь характерное для много чего в России, оборачивается уймой, мягко говоря, неприятностей — от ошибок до трагедий. Примеры хорошо известны. Мне всегда большое удовольствие доставляло решение таких задач образования, которые не могу назвать иначе, как методические.
5. «Война» с ОДЗ 71 5. «ВОЙНА» С ОДЗ Когда я начинал работать в школе, то о задачах мне все было ясно: что-то я умею решать, а что-то не умею. Все задачи собраны у П. Моденова (был тогда в ходу такой толстенный замечательный задачник, не чета нынешним), так мне его на всю жизнь хватит, есть на чем учиться. Мне и в голову не приходило, что в задачах школьной математики возможны какие-либо новации. Все оказалось не так. Смешно сказать, даже по записи ответа оказались возможными разные точки зрения! Учителям математики вскоре после реформы 1968 года стали настойчиво объяснять, что запись ответа в уравнении х - 2 = 0 в виде х = 2 даже не то чтобы плохая, но и попросту неверная, а записывать эту несчастную двойку в ответе надо так: {2}. Я уклонялся от этой новации как мог, и правильно, потому что сейчас вернулись на круги своя. Но ведь были же вокруг такой чепухи серьезные разговоры на учительских собраниях, заседала же медальная комиссия, и кто знает, как она могла отнестись к той или иной форме записи. Но нашлись вещи и посерьезнее. Одна из них — «война» из-за так называемого ОДЗ, т. е. области допустимых значений неизвестной при решении уравнений, неравенств, систем. Я вел ее с представителями приемных комиссий вузов на всякого рода встречах, с всевозможными учебными пособиями, заочно и с собственными учениками, которые ходили на подготовительные курсы при вузах или читали эти пособия и, что хуже, совсем противоположную информацию получали от репетиторов. Вел ее все годы — и, по-моему, безуспешно. В десятый и сотый раз я говорю детям что-то вроде такого: «Ну, возьмите, как говорится, голову в руки. Вот вы решаете такое, к примеру, уравнение: л[х = -1. Находите ОДЗ: х > 0. Затем возводите обе части в квадрат и получаете: х= 1. Ну и что, вы получили ответ? Теперь возьмем неравенство: у[х > -1. Опять возведем в квадрат обе части и получим: х > 1. Это ответ? Наконец, возьмем последний случай: Vx < -1. И после возведения в квадрат получим, что 0<х<\. Так ведь и это не ответ. Ну, нашли вы ОДЗ, а понимаете ли, зачем его нашли? И зачем вы его вообще искали? Может, и не надо было искать?» Проблема, чисто практическая, состоит в том, что в подавляющем числе случаев от учеников на разных экзаменах по математике требовалось при решении такого вида примеров нахождение ОДЗ. Я помню случаи, когда за отсутствие этой процедуры хорошо сделанная вступительная работа была оценена на «3».
72 Задача для учителя математики. 1-Л 1 классы Нередко такая же категоричность просматривалась в пособиях для поступающих в вузы. В то же время по математической сути дела нахождение ОДЗ вовсе не является обязательным элементом решения, часто не нужно, а иногда и невозможно — и все это без какого бы то ни было ущерба для получения верного результата. Обстоятельство это хорошо известно из методической литературы, но «война» продолжается каждый год, и похоже, что будет идти еще долго. Рассмотрим, к примеру, такое неравенство: у/2 - X >у/х-\ +-J=. у/2 Ищется ОДЗ, и неравенство решается. Однако при решении этого неравенства вполне можно обойтись без поиска ОДЗ, точнее, можно обойтись и без условия 2 - * > 0. В самом деле, неравенство, полученное после возведения обеих частей в квадрат 2-х>х- 1 +2л/х - 1 • —т= + - «сильнее», чем л/2 2 неравенство 2 -х > 0, и в приведенном решении необходимо только неравенство х - 1 > 0. Вот еще пример. Решение уравнения lg(x + 4) + lg(2x+3) = lg(l-2x). Решают его, естественно, избавляясь от логарифмов, но затем найденные значения нередко проверяются на выполнение системы трех таких неравенств: х + 4 > 0, 2х + 3 > 0, 1 - 2х > 0, что равносильно работе с ОДЗ. Однако и в этом примере такая работа излишняя, достаточно проверить выполнение только двух из этих неравенств, причем любых двух. Всякое уравнение (неравенство) с одной переменной может быть сведено к видуДх) = 0,Дх) > 0 или f(x) > 0. ОДЗ — это просто область определения функции в левой части. То, что за этой областью, вообще говоря, надо следить, вытекает уже из определения корня уравнения как числа из области определения данной функции, тем самым из ОДЗ. Вот примеры на эту тему. 1. Я пишу на доске уравнение хх=хи задаю вопрос: «Является ли число -1 корнем этого уравнения?» С одной стороны, при подстановке -1 в обе части мы получаем верное равенство, а значит, -1 является корнем. Но с другой стороны, функция Xх имеет областью определения множество положительных чисел (это, конечно, договоренность — рассматривать функцию f(x)gix) при fix) > 0, но разумная, для непрерывности), а тогда -1 не является решением.
5. «Война» с ОДЗ 73 2. Аналогичный пример-ловушка: является ли число 2 корнем уравнения (sinx)*+ (cosx)* = 1? Возможный ответ: да, ибо сумма квадратов синуса и косинуса равна 1, но при х = 2 cos 2 < 0, а потому 2 не является решением. 3. (х + 1 )у[х = 0. Возведем обе части уравнения в квадрат, в данном случае вроде бы безобидное действие, основанное на очевидном соображении: число равно нулю тогда и только тогда, когда его квадрат равен нулю. Получим (х + \)2х = 0. Однако полученное уравнение имеет решение — 1, которого нет у исходного уравнения. х2-\ 4 . = 2х. Сократим дробь в левой части и получим х -1 х + 1 = 2х. Отсюда х = 1, что выходит из ОДЗ. И, наконец, в массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок, а то и вовсе устно. 1. ОДЗ представляет собой пустое множество, а значит, исходное уравнение не имеет решений. 1) л/х - 3 = у/2 - х. 2)lgi = lg(-jc). X 3) Vlo§2 Х = logx(l-x). 2. В ОДЗ находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет ответ. 1) у/х- 3 = л/3 - X. 2) -у/1°§2 X - -y/logo,5 X = 1. Здесь в ОДЗ находится только число 1, и после подстановки видно, что оно не является ответом. 3) л/х2 - 5х + 6 < у/3- х + у/х - 2. В ОДЗ находятся два числа 2 и 3, и оба подходят. 4) у/\ - у/Т^х > л/х2 - х. В ОДЗ находятся два числа 0 и 1, и подходит только 1. 3. ОДЗ используется вместе с анализом всего примера. 1) у/2х + 3 + yj2x + 1 = 1. Из ОДЗ имеем 2х + 1 > 0. Но тогда 2х + 3 > 2 и л/2х + 3 > д/2. Так как V2 > 1, то корней нет. 2) л/х2 - 2х + л/4 — х2 < х.
74 Задача для учителя математики. 7-11 классы Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х = 2. Затем в исходное неравенство подставим 2. 3) у/х - 5 - у/2х -1 = л;2 + 3. Из ОДЗ имеем: х > 5. Так как справа стоит положительное выражение, то у/х - 5 > V2jc — 1, а значит, х - 5 > 2х - 1. Решая последнее неравенство, получим л: < -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому корней нет. 4) л/2 - х + х - 3 = у/х - 1. ОДЗ: 1 <х<2. Так как* > 1,то>/2-х + х-3 < у/2 - 1 +х-3 = = х — 2 < 0. С другой стороны, у/х- 5 > 0. Равенство возможно только тогда, когда каждая часть уравнения равна 0, т. е. только при х=\. После подстановки этого значения х убеждаемся, что корней нет. 5) х2 + х + у/х + 1 = 2 + у/2. ОДЗ: х > -1. Рассмотрим уравнение на промежутке [—1; 0). На нем выполняются такие неравенства: х2 + х<0ил/хТТ< 1, поэтому х2 + л: + y/x + l < 1 и корней нет. При х > 0 функции х2 + jt и у/х + 1 строго возрастающие и потому каждое свое значение принимают один раз. Значит, уравнение не может иметь больше одного корня. А один корень виден с ходу — это 1. Поэтому ответ: х= 1. 6) \ogx(x3 + 1) = \ogx+ j (х2 - 2х). ОДЗ:л;> 2. При этом logx(x3+ 1)> log^x3) = 3, logjc+1(x2-2x+ + 1) < logjc+ j (x2-f 2x + 1) = 2. Значит, исходное равенство невозможно и корней нет. 7) cosWsecx - 1 + sinWcosecx - 1 = 1. Из ОДЗ следует, что sinx > 0, cosx > 0. Но тогда исходное уравнение можно преобразовать, внеся множители под радикал, к такому виду: Vcosjc-cos2x + Vsin Jt-sin2* = 1. Всякий квадратный трехчлен вида f(z)= z - z2 на промежутке (0; 1] не превышает 0,25. Но тогда yjz - Z2 ^ 0,5. Возвращаясь к уравнению, видим, что каждое слагаемое не превосходит 0,5, а потому вся сумма не больше чем 1. Равенство может быть достигнуто только при sinx = cos* = 0,5, а это невозможно. Значит, исходное уравнение корней не имеет.
5. «Война» с ОДЗ 75 8) -yja-|х| + у]х- а = -а. Из ОДЗ следует, что а > |х|, откуда имеем: а > 0. Из рассмотрения правой части уравнения видим, что а < 0. Поэтому необходимо равенство а = 0, после чего решение ясно. И, наконец, поиски ОДЗ являются очень часто просто лишней работой, без которой прекрасно можно обойтись, доказав тем самым понимание происходящего. Тут можно привести много примеров, они достаточно хорошо известны, и я их опускаю. Главным приемом решения являются в этом случае равносильные преобразования при переходе от одного уравнения (неравенства, системы) к другому. В целом эффективность способа равносильных преобразований вроде бы ясна. С их помощью мы добираемся до ответа и без поисков ОДЗ. Значит ли это, что имеется некий универсальный способ и осталось только научить им пользоваться? Я бы так не сказал. Тому несколько причин. Теорем о равносильных преобразованиях довольно много, они непросты для запоминания, и уверенное владение ими — дело, видимо, «профессиональное», учительское. Я, к примеру, знаю больше десятка таких теорем, но не уверен, что этого достаточно для решения любого вида «абитуриентского» уравнения. Добавлю еще чисто педагогические сложности. Ученики, когда их учишь равносильным преобразованиям, начинают «на всякий случай» ставить знак равносильности при любых переходах от одного уравнения к другому, как действительно равносильных, так и не являющихся таковыми. Теоремы быстро забывают, сами придумать не могут и «лепят». Еще одна сложность — при записи равносильности ученики могут забыть выписать все условия, ее гарантирующие, но на ответе это может никак не отразиться. И тонкостей тоже хватает. Например, двойное неравенство а < /(х) < b равносильно одному такому: (Дх) - a)(f(x) - b) < 0, решать которое удобнее, ибо позволительно использовать метод интервалов. Или такая ситуация. Решая неравенство |Дх) | < я, я не забывал оговаривать, что а > 0, и только после этого появлялась запись [Дх) | < а -а < /(х) < а. Но формально рассуждая, такая оговорка излишня, ибо эта равносильность сохраняется и в других случаях, т. е. при а < 0. А теперь пример, в котором соединяем эти две равносильности: |х| < -5 о 5 <х < -5 <=> (х- 5)(х + 5) < 0 <=> -5 <х < 5.
76 Задача для учителя математики. 7-11 классы Какая-то бессмыслица! А дело в том, что равносильность я <f{x) <b<=> (f(x) - а)(Дх) - Ь) < 0 предполагает, что b > а. Вот аналогичная история. Пусть надо решить неравенство Обычный ход в равносильных преобразованиях таков: данное неравенство равносильно совокупности двух таких: Дальнейшее очевидно, но что любопытно: в первой системе верхнее неравенство можно убрать. Решив исходное неравенство без этого ограничения, мы приходим к тому же ответу. Почему? Дело в том, что множество решений неравенства л; + 1 > О «накрывает» множество решений неравенства х + 1 >х2 и, поскольку множество решений исходного неравенства является объединением двух множеств, учитывать более «узкое» множество не обязательно; разумеется, оно ничего не портит, но может даже и помочь, если под радикалом вместо х + 1 будет стоять \х\ + 1. Один забавный пример с равносильностями. Уравнения sinjc = 2 и jc = (-1)" arcsin2 + п(пе Z) равносильны, а вот неравенства sinх ^ 2 и х Ф (— 1У arcsin 2 + п не являются таковыми. И, наконец, возможно, самое существенное. Дело в том, что равносильность гарантирует правильность ответа, если совершаются какие-то преобразования самого уравнения, но преобразования только в одной из частей (приведение подобных, сокращение, использование различных формул) не попадают под действие теорем о равносильностях. Возьмем как пример уравнение: Преобразуя левую часть, придем к равенству 2 = 2, из чего следует, что решением является любое число. Но откуда? Из области определения функции в левой части, т. е. из ОДЗ уравнения. А ОДЗ, как легко видеть, является пустым множеством. Значит, корней нет. Итак, что же получается? При решении уравнения (неравенства) дело не только в том, чтобы после цепи выкладок в конце концов выскочило нечто про неизвестную х. Дело ведь и в том, чтобы доказать, что решено именно исходное уравнение (неравенство), а не то, последнее, из которого мы и получили ответ. л/х+7 > X. (л[х + лРх)(л]х - у/^х) _ X
5. «Война» с ОДЗ 77 Таковые доказательства могут быть различными (равносильность, следование плюс подстановка, функциональные соображения), но нельзя делать вид, будто их в процессе решения нет вовсе. Однако же теория равносильности сложна. Так, может быть, махнуть на нее рукой и работать совсем попросту: переходить только к выводным уравнениям, которые следуют из данного, ни при каких обстоятельствах не терять корней («На нуль делить нельзя!»), а затем подстановкой отделять лишние? Увы, и это не подходит. Во-первых, что делать с неравенствами? Там же бесконечное число решений, и все не подставишь. Во-вторых, и в уравнениях не все гладко. Например, при решении уравнения у/х2 + 2х-3 = 2х-3 , 7±ТТз таким способом подстановке подлежат числа . 3 Кому охота делать такие нудные выкладки? В то же время при равносильных преобразованиях достаточно к равенству х2 + 2х - - 3 = (2х - З)2 добавить условие 2х - 3 > 0, и сразу видно, что этому 7 + V13 условию отвечает только число —-—, а потому именно оно является корнем уравнения. (Не упустим случая заметить, что поиск ОДЗ здесь совершенно бессмыслен.) Тем временем работа с равносильностью потихоньку внедряется в школу. Вот пример (с экзамена 2001 года для 9 класса математических школ). «Найдите все пары (а, b), для которых неравенства х2 - х(5 + й) + 5й<0и|х — 7\<а равносильны». Более или менее стандартное (и утомительное) рассуждение состоит в решении обоих неравенств и дальнейшем сопоставлении границ для х, полученных при этом. Однако возможен и другой путь. Возведением в квадрат (с учетом, что а > 0) из второго неравенства получим равносильное неравенство уже не для модуля, а для второго квадратного трехчлена. Равносильность полученного неравенства и первого исходного означает, что имеющиеся два трехчлена совпадают. Приравнивая соответствующие коэффициенты, получаем систему относительно а и Ь, которая затем легко решается. Случай, когда а <0, надо посмотреть при этом особо. Подводя некоторый итог всему разговору, мы видим, что универсального метода решения уравнений и неравенств в школьном курсе не видно. Каждый раз ученик, который хочет понимать, что он делает, а не действовать механически, стоит перед дилеммой: а какой способ решения выбрать, в частности искать ОДЗ или
78 Задача для учителя математики. 7-11 классы не надо? И далее, если не искать, то менять ее в процессе выкладок или не менять? Но дело это неформальное и требует от детей громадного опыта. То обстоятельство, что вся эта кухня имеет научную ценность, близкую к нулю, позволяет сделать почти естественное предположение, что для общего образования решение уравнений (неравенств и систем) в таком объеме, как это требуется сейчас, излишне. Конечно, что-то оставить надо. Я бы оставил только такие примеры, которые имеют алгоритм решения: линейные и квадратные уравнения (неравенства), некоторые другие типы, а также такие, которые имеют ясную геометрическую иллюстрацию. Конкретно, если ученик знает график некоторой функции /, то он должен в простейших случаях уметь решать уравнение типа Дх) = а, неравенство типаДх) >а и всякие несложные комбинации таких примеров. Идея алгебраизации геометрии и геометризации алгебры (анализа) имеет куда большее образовательное значение, чем техническая изощренность в решении интеллектуальных загадок вида «найди х». И, наконец, нужно ли тратить огромные усилия учителей на то, что сейчас является делом пары секунд для компьютера? Несколько слов о равносильности систем. Обычно о ней вообще не говорят в школьном курсе. И метод подстановки, и метод алгебраического сложения ясны как бы сами по себе. Но у меня нужной ясности долго не было. Подойдем к проблеме с геометрической точки зрения. Пусть мы имеем две линии на плоскости, заданные аналитически, и надо найти их точку пересечения, т. е. ее координаты. В результате преобразований соответствующей системы уравнений мы приходим к поиску точки пересечения совсем других линий. С какой стати они обязаны пересекаться в той же самой точке? Вот простенький пример. Пусть нам были заданы окружность с уравнением х2 + у2 - 1 и гипербола с уравнением х2 - у2 - 1. После сложения и вычитания этих уравнений мы будем искать точки пересечения неких прямых. Как же убедиться в совпадении множества точек, не решая соответствующих систем? Ничего не поделаешь, приходится заниматься изучением тех преобразований, которые мы делали в исходной системе. Рассмотрим метод подстановки в системе. Для примера возьмем систему у-х2,х- у2. Из первого уравнения можно взять выражение для у и подставить его во второе уравнение. Получается уравнение х = х4.
5. «Война» с ОДЗ 79 Работая далее с ним вместе с уравнением у = х2, приходим к ответу. Но почему этот ответ является ответом исходной системы, остается неясным. Вот контрпример. Возьмем ту же систему у = х2,х=у2 и сделаем в ней две подстановки. Из первого уравнения подставим выражение для у во второе уравнение, а из второго уравнения возьмем выражение для х и подставим его в первое уравнение. Приходим к системе у = у4,х = х4. Решая ее, получим некий ответ. Но легко понять, что он не подходит к исходной системе. Почему же в первом случае, при одной подстановке, мы получаем верный результат, а во втором случае, сделав две подстановки, получаем чушь? Дело в том, что системы /(х, у) = 0, g(x, у) = 0 и у = h(x), g(x, h(x)) = 0 равносильны (это несложно доказать), а системы /(х, у) = О, g(x, у) = 0 uf(hx(y)9 у) = 0, g(x, Л2(х)) = 0 не являются таковыми. Но знают ли об этом ученики? Поговорим о методе алгебраического сложения. Когда я еще учился, мы долго занимались исследованием системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Система выглядела в общем виде так: О решении системы нам рассказывали вот что. Умножим первое уравнение на а2, второе — на -ах и сложим оба уравнения. Затем умножим первое уравнение на Ь2, второе — на -Ь х и опять сложим. В результате получится система: Для удобства обозначим: ахЬ0 - а2Ьх через А, схЬ2 - с2Ьх через Ах, ахс2 - а2сх через .Соответственно эти выражения называются определителем системы, определителем для х и определителем для у. Получается система вида: Ее исследование довольно просто и зависит от равенства нулю указанных определителей. Все это прекрасно, но откуда мы знаем, что система (1) и система (2) равносильны? Увы, объяснений не было, да и вопро- ахх + 1\у = сх, а2х + Ь2у = с2. (axb2 - a26j )х = схЬ2 - с2l\, (а{Ьг-а2Ь\)у = ахс2-агсх. (1) (2)
80 Задача для учителя математики. 7-11 классы са такого перед нами не вставало. Другое дело, когда я стал это объяснять своим ученикам, то обнаружил, что речь в общем случае идет о так называемом линейном преобразовании системы. И в общем виде оно выглядит так. Имеется система Если апа22 - апа2{ Ф 0, то система (3) и система (4) равносильны. Выражение ах ха21 - а12а2, для указанного выше перехода от системы (1) к системе (2) и есть определитель системы (1). Именно поэтому при условии А Ф 0 мы и получаем, что не только система (2), но и равносильная ей система (1) имеют одно решение. После этого мне стало ясно, почему при сложении и вычитании уравнений такой простенькой системы приходим к достоверному результату. Ведь в этом случае, как легко убедиться, выражение апа22 - апа2Х как раз отлично от нуля! Но если, к примеру, сложить оба уравнения этой системы, а потом, умножив оба уравнения системы на 2, их опять же сложить, то получим нелепость вида естественно, неравносильную данной системе. И дело тут все в том же выражении аиа22 - апа2,, которое в случае такого преобразования равно 0. Окончательно все для меня прояснилось, когда благодаря векторам ситуация стала геометрически прозрачной. Определитель системы — это и есть определитель ее линейного преобразования. Его равенство нулю означает, что равна нулю площадь некоторого параллелограмма, который получается из единичного квадрата в результате этого преобразования, и геометрическая картина меняется — в переводе на алгебру эта смена картины и означает потерю равносильности. Заключая эту тему, скажу, что разговор про ОДЗ и равносильность является долгожителем. С послевоенных лет и по сию пору в нашей методической литературе, в статьях и учебниках мусси¬ (3) (4) {: 'х + у = 3, X-у = 1 2х = 4, 4х = 8,
6. Давайте сделаем проверку 81 руется одно и то же — находить ОДЗ или все-таки не находить его с самого начала, а следить только за равносильностью преобразований. Думать или не думать? Вот в чем чуть ли не гамлетовский вопрос, стоящий перед учеником при решении уравнений. И перед учителем. И перед методистом, и перед автором статей и учебников. 6. ДАВАЙТЕ СДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ До сих пор нет полной ясности и в таком важном для преподавания математики вопросе, как обучение проверке в текстовой задаче. Поначалу очевидный, он становился все менее прозрачным, чем больше я над ним размышлял и чем больше я читал по этому поводу. Начнем обсуждение с такой задачи: «В трех баках было вместе 50 л бензина, причем в первом баке было на 10 л больше, чем во втором. Когда из первого бака вылили в третий 26 л, во втором и третьем стало поровну. Сколько бензина было первоначально в первом баке?» Я не раз предлагал эту задачу учителям. Обычно ответ на вопрос задачи поступал через несколько минут, а решение выглядело примерно так. Пусть в первом баке было сначала х литров, тогда во втором баке сначала было х - 10 л, а в третьем баке было сначала 50 -х - (х - 10) л. После переливания из первого бака в третий 26 л в последнем стало 50 - х - (х - 10) + 26 литров. По условию задачи этот объем равен тому, который был во втором баке. Поэтому составим уравнение: х- 10 = 50 - х- (х- 10) + 26. Ответом в этом уравнении является х = 32. Значит, ответ на вопрос задачи такой: в первом баке было сначала 32 л. Получив такой ответ, аудитория вопросительно смотрела на лектора: ну и что же такого особенного в этой задаче? Иногда, впрочем, раздавалась тихая реплика: «А решения нет». Вот теперь найдем первый номер журнала «Математика в школе» за 1971 год. Редакция напечатала в нем небольшое письмо-вопрос учительницы Т. Поляковой из Москвы под названием «Нужна ли проверка при решении текстовых задач на составление уравнений?». В те времена даже в учебниках по методике преподавания математики бытовала некая странная точка зрения. Проверка, мол, состоит в том, что нужно составить новую задачу, в которой какое-то данное в исходной задаче считается не¬
82 Задача для учителя математики. 7-11 классы известным, а прежнее неизвестное считается известным, а затем решить эту новую задачу. Считалось при этом, что мы тем самым проверяем, правильно ли было составлено само уравнение в исходной задаче. Т. Полякова и ставила вопрос о необходимости такой проверки. Ясно было, что последует продолжение. И действительно, в третьем номере этого журнала за тот же год появилась статья В. Болтянского «Нужна ли проверка при решении текстовых задач на решение уравнений?». Всегда доставляет удовольствие читать сочинения математика-профессионала о преподавании, разумеется, если математик этот имеет педагогическую жилку. Тому много примеров, и сочинения В. Болтянского (в отличие от иных других его коллег, даже облаченных академическими званиями) относятся к таковым. Тут же замечу, что любому нынешнему деятелю математического образования необходимо знать, что сделали для нас А. Пуанкаре, Ф. Клейн, X. Фрейденталь, Д. Пойа, А. Колмогоров, А. Александров. И есть еще прекрасные сочинения о преподавании А. Хинчина, Я. Дубнова, Н. Виленкина, Д. Мордухай-Бол- товского, А Маркушевича... список продолжается. На вопрос Т. Поляковой ответ В. Болтянского был ясен: то, о чем она говорит, вовсе никакая не проверка, а придумки методистов, потерявших ясность мышления. Истинная проверка состоит в следующем. При составлении уравнения для текстовой задачи должны накладываться ограничения на физические величины, рассмотренные в процессе составления уравнения. Эти ограничения идут от смысла задачи. После получения результата в уравнении все полученные при этом значения неизвестного необходимо проверить по сделанным ограничениям, и все, что им не удовлетворяет, должно быть отброшено. Именно этот этап решения и называется проверкой. Практически проверка выполняется так: берется найденное значение неизвестной величины и вместе с ним «проходится» все условие задачи, вычисляются все входящие физические величины и проверяется их соответствие смыслу задачи. Автор подчеркивает: «Проверка решения по смыслу задачи -- необходимый элемент решения. Ее ничем нельзя заменить и тем более отменять». Затем, правда, у В. Болтянского появляется удивительный пассаж: «Другое дело, что учитель может иногда разрешить не делать проверку, предупредив, что 4вообще-то ее необходимо делать, но сейчас мы времени тратить ка нее не будем”. Это вопрос методики и педагогического такта учителя». Во-первых, при чем гут методика? Методика не может
6. Давайте сделаем проверку 83 отменять математики. Во-вторых, при чем тут такт учителя? Никто не может отменять то, что действительно необходимо. Но об этом пассаже я так, к слову. Аналогичный вариант проверки приводится в известном учебнике алгебры Д. Фаддеева, И. Соминского. Что мы видим? Математики высочайшего класса (В. Болтянский, Д. Фаддеев) считают проверкой совсем не то, что было введено в практику преподавания методистами. Сделаем, согласно В. Болтянскому, проверку в задаче о баках с бензином. Кстати, сама задача взята именно из его статьи. Мы должны в соответствии со смыслом задачи выписать такие ограничения на величины: х>0,х- 10 > 0, 50-jc-(x-10;>0, 50 - х- (х- 10) + 26 > 0. Решая эту систему неравенств, мы приходим к неравенству 10 < х < 30, из чего ясно, что найденное значение 32 не является решением задачи. Можно было действовать чуть иначе: взять число 32 и убедиться в том, что хоть одно из неравенств системы не выполняется. Размышляя о содержании статьи В. Болтянского, я придумал несколько вопросов. В статье говорится только о физических величинах. Как быть с величинами другой природы, которые встречаются в текстовых задачах: возраст, стоимость, какая-либо дискретная величина, например число рядов в кинотеатре? Ограничения на них не столь очевидны. Не все ясно даже с физическими величинами. Мне довелось в ответах текстовых задач встречать скорость автомобиля и 0,9 км/ч, и 155 км/ч, скорость теплохода — 70 км/ч, а скорость паровоза — 9 км/ч. Возможность таких значений истолковывалась авторами задач по их усмотрению. Например, считалась возможной указанная скорость теплохода и невозможной указанная скорость паровоза. А как быть с отношением величин? Есть ли гарантия, что выписаны все необходимые ограничения? Сам В. Болтянский, указывая неотрицательность объема бензина в каждом баке, не ограничивает его сверху, хотя вроде бы и можно было указать, что каждый из объемов не больше чем 50 л. Иногда эти ограничения записать не так просто. Как, например, выразить в неравенствах, что одна машина догнала другую именно на данном участке дороги? Возможны и технические трудности.
84 Задача для учителя математики. 7-11 классы Если задача имеет данными не конкретные численные значения величин, а некоторые параметры, то придется решать неравенства с параметрами, что не всегда просто. Как быть, если для решения задачи требуется составить неравенство, да еще, возможно, с параметром? Решением его является, как правило, промежуток, и проверку, как советует В. Болтянский, сделать нельзя, ибо что подставлять? Надо ли что-нибудь проверять, если решение получено без составления уравнений? Например, как в минувшие времена, по вопросам. Или с помощью графической иллюстрации, или чистым рассуждением. Задачу с баками, например, можно решить так: если мы добавим к содержимому второго бака 10 л бензина, а к содержимому третьего бака 36 л бензина, то во всех баках станет бензина поровну. От такой мысленной добавки общий объем увеличился на 46 л и стал равен 96 л. А так как во всех баках поровну, то в первом баке 32 л. Нужна ли проверка при таком решении? Просматривая литературу на эту тему, я увидел, что точка зрения В. Болтянского известна и не абсолютна. В методике почти всегда так. Копаешься в каком-нибудь вопросе, а потом узнаешь, что в прошлом веке в связи с ним была бурная полемика, например в Пруссии. На статье В. Болтянского обсуждение не закончилось. Появилось много откликов, они были систематизированы в четвертом номере за этот же год, а в пятом номере за 1974 год появилась на эту же тему статья Г. Дорофеева «Проверка решения текстовых задач». Точка зрения автора была, насколько я мог судить, оригинальной. Исходная установка Г. Дорофеева такова: вопрос о содержании проверки прежде всего логического, а не математического (методического?) характера. Но раз это вопрос логики, то должно существовать «совершенно четкое единое мнение». Основой для решения этого вопроса автором является то бесспорное положение, «что поскольку текстовая задача формулируется на реальном, естественном языке, то и логика ее решения должна основываться на смысле слов и предложений этого языка». Далее автор разделяет все текстовые задачи на два типа. К первому типу — он назван задачами на реализованные ситуации — относятся такие задачи, в которых описывается реально происходивший процесс. Из смысла задачи следует, что решение в такой задаче существует, причем, как правило, однозначное. Ко второму типу — он назван задачами потенциального характера — относятся задачи, в кото¬
6. Давайте сделаем проверку 85 рых не гарантируется существование исходной ситуации, а значит, и существование решения. В задачах на реализованную ситуацию возможны два случая: получается один результат или получается более одного результата. И не может быть, чтобы результата не было, раз имел место сам процесс. Когда получается один результат, то никакой проверки его не требуется. Когда получается больше одного результата, то надо еще выяснить, какой из них подходит к условию. Но это выяснение есть не проверка, а выбор ответа, после которого только и можно считать законченным само решение. Выбор единственного ответа осуществляется «разыгрыванием» условия при найденном значении неизвестной величины или по очевидным физическим соображениям. Истинная проверка имеет место только в задачах потенциального характера. Она необходима, так как из условия в этих задачах еще не следует факт существования решения. При этом необходимость проверки связана и со способом решения задачи. В частности, составление уравнений требует проверки всех полученных значений. Осуществляется проверка лучше всего «разыгрыванием» полученного результата по условию задачи. В статье много примеров. Один из них — задача с баками. По Г. Дорофееву, надо понимать ее так. Она сформулирована как задача на реализованную ситуацию, значит, решение ее заведомо существует. Так как мы получили всего один результат в уравнении, то его и проверять не надо. Результат 32 л является ответом в задаче. Более того, автор заостряет ситуацию. Он сохраняет полностью условие задачи, меняет только вопрос и спрашивает: «Сколько бензина было в третьем баке?» Полученный результат -4 л является логически безупречным, проверке не подлежит, как во всякой задаче на реализованную ситуацию. К ученику, давшему такой ответ в задаче, претензий быть не может. Замысел автора ясен: «Не хочешь получать глупых ответов — не задавай глупых вопросов». Для получения осмысленного ответа эту же задачу надо переформулировать так, чтобы она была задачей потенциального характера. Тогда будет и проверка, после которой результат -4 л будет отброшен. Что же приходит в голову после того, как становится ясным замысел Г. Дорофеева? 1. Все вопросы, порожденные статьей В. Болтянского, остались в силе в тех задачах, которые названы задачами потенциального характера.
86 Задача для учителя математики. 7-11 классы 2. В задачах потенциального характера предлагается вести проверку «разыгрыванием», но если задача предложена в общем виде и результат достаточно громоздок, то «разыгрывание» неудобоваримо, и не проще ли делать проверку по рецепту В. Болтянского? 3. Не всегда ясна граница между задачами двух типов. Вот пример: «Пешеход пошел из А в В и, пройдя половину пути, понял, что если он и дальше пойдет с той же скоростью, то опоздает в В на время tv Поэтому он увеличил скорость на Vи пришел в В на время t2 раньше намеченного. С какой скоростью он шел вначале?» Г. Дорофеев, правда, подчеркивает, что «при точной формулировке задачи и при точном ее понимании не представляет труда определить, к какому типу эта задача относится». Но где взять эти точные формулировки? Весь фонд текстовых задач создавался совсем не из этих предпосылок! Мы, похоже, привыкли к тому, что текстовая задача — некий жанр при обучении математике. Безоговорочно поверить в реальность условия можно далеко не всегда, даже если в тексте говорится, что все это было. Помните задачу о стае гусей, где эти самые гуси говорят человеческим голосом? Ну ладно, это задача-шутка. Но возьмем любую задачу на движение. Откуда взялись постоянные скорости, моментальные повороты, внезапные остановки? 4. В общем, после статьи Г. Дорофеева ясности у меня не прибавилось. Скорее, наоборот. Возникли новые вопросы... Как быть все-таки с проверкой, если задача решалась без уравнений? Ну не может же быть, чтобы ученик получил в ответе каким бы то ни было способом «2 землекопа и 2/3» и был прав! А как быть с проверкой, если задача другого вида: геометрическая, комбинаторная, логическая? А если на экстремум? Там ведь тоже есть уравнения! И вообще, как же это так получается? Один математик говорит, что -4 литра — это ответ, а другой говорит, что ничего подобного... После выступления Г. Дорофеева все эти вопросы уже основательно засели в моем сознании. Я старался читать все по этой тематике. Кто делает проверку, кто нет; кто-то пишет, что она нужна, но не делает ее. А если делает, то почему-то она совсем не такая, как советовали и В. Болтянский, и Г. Дорофеев. Картина всеобщего разброда: каждый работает, как понимает. Ну а что делать мне в классе? Искать что-то свое, к чему-то прийти, не открывать Америку? Но что-то надо делать с этими вопросами, которые помаленьку стали мешать, как занозы.
6. Давайте сделаем проверку 87 Сначала я понял, почему не могу принять полностью точку зрения Г. Дорофеева. Это просто — я не могу ставить отличную отметку ученику, который выдает мне -4 литра в ответе и говорит, что прав. Почему же Г. Дорофеев приходит к столь парадоксальному для практики выводу? Ясно почему. Он полагает, что возможны задачи, лингвистическая конструкция которых обеспечивает существование решения, а потому возможна необязательность проверки в случае единственного результата. При таком допущении мы можем получить ответы, противоречащие здравому смыслу. Казалось бы, отсюда следует сделать вывод о неправомерности сделанного допущения, но его почему-то не делает Г. Дорофеев. Почему? Пойдем далее. Основное в позиции Г. Дорофеева — примат логики. Решить задачу, согласно его точке зрения, — это доказать импликацию А —> В. Тогда, конечно, если условие А ложно (противоречиво), то импликация верна при любом В. И должен приниматься за ответ любой полученный результат. Тут мне не все ясно. Приведу пример из той же статьи Г. Дорофеева: «Турист проехал 100 км на автомобиле и 60 км на катере, причем дорога на автомобиле заняла у него на 15 мин больше времени, чем на катере. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. Найти скорость автомобиля». В результате получается два значения скорости: 100 км/ч и 80 км/ч, причем оба значения удовлетворяют условию. Соответствующая импликация имеет вид: «Если А, то В или С». Здесь под А понимается условие задачи, а В и С — утверждение о скоростях, которые были найдены. Г. Дорофеев пишет, правда, не «или», а «либо», но не уточняет логического смысла этого оттенка речи. Можно предполагать обычную дизъюнкцию двух утверждений. Она верна, как мы помним, если верно хоть одно из них, в частности, оба. Поэтому, встав на точку зрения Г. Дорофеева, мы можем убедиться в справедливости хотя бы одного из двух полученных результатов, а второй результат можно даже не проверять. Мало того, формально верным будет такой ответ, в котором подходит один результат, а вторым значением скорости будет любое число км/ч (а если захотеть, то можно приписать к верному значению еще сколько угодно любых значений искомой скорости). Возможно за союзом «либо» (дважды «либо») подразумевать исключающую дизъюнкцию («сильную» в отличие от традиционной «слабой», как я как-то прочел), при которой верным может быть только одно из двух утверждений. Г. Дорофеев никаких комментариев не привел, а зря — исключающая дизъюнкция обычно
88 Задача для учителя математики. 7-11 классы не акцентируется. (Более того, игнорируется. Например, говорят так: «Равенство х2 = 1 равносильно совокупности равенств х = 1 или х = -1». Точнее употребить как раз «либо» вместо «или». И различать соответственно «сильную» и «слабую» совокупности. Можно даже разные знаки для них использовать, например, для «слабой» совокупности оставить квадратную скобку, а для «сильной» совокупности употребить скобку в виде угла. Однако не имеем ли мы тут дело с «третьим апельсином»?) Но более того, доказать истинность импликации В- это в случае истинности А доказать истинность В. Но в текстовой задаче этого В еще нет. Его-то как раз и надо найти! А найти его и значит реально решить задачу. Все это мне очень напоминает круг: решение задачи (по Г. Дорофееву) — это доказательство истинности импликации, но для формирования этой импликации, оказывается, надо решить задачу. Для меня это некий парадокс. В чем его причина? Во-первых, я не уверен в правомерности использования логики силлогизмов для анализа задач, ибо задача является не повествовательным утверждением, но вопросом или неким повелением. Во-вторых, дедуктивная логика, как мне кажется, не всегда достаточна и при осмыслении решения задачи на этапе интерпретации. В-третьих, я думаю, что предмет нашего обсуждения находится вне самой математики. Во всяком случае, здесь многое, если не все, зависит от того, как мы понимаем такие слова: задача, текстовая задача, условие, данные, решение задачи, проверка решения задачи, точная формулировка задачи, точное понимание задачи, ответ задачи. О чем же мы тут говорим, если даже исходный термин «задача» не имеет однозначного толкования? А раз не ведаем этого вполне определенно, то можно ли здесь выставлять на первое место формальную логику? Такие мысли привели меня к выводу, что на первое место, может быть, стоит вернуть методический статус задачи. Реально мы имеем дело с учебной задачей. Она имеет учебные цели и тем отличается от других видов задач. Эти цели проявляются в содержании задачи, выборе данных в условии задачи, постановке вопросов или заданий. Кроме того (и я хотел бы это подчеркнуть), из текста учебной задачи должно быть ясно, когда работу над ней можно считать законченной. Последнее происходит тогда, когда ученик ответил на все поставленные вопросы, выполнил все предложенные задания. Если мы хотим, чтобы ученик делал проверку, то это наше требование должно быть ясно из контекста или из условия самой задачи.
6. Давайте сделаем проверку 89 И тут мы приходим к начальному вопросу: в чем же состоит проверка? Что, собственно, должен сделать ученик, получив задание сделать проверку? Вообще говоря, проверка полученного результата считается даже частью решения любой задачи, не только математической. Обязательность проверки в задачах с самым разным содержанием лишний раз подчеркивает внутри- и межпредметные связи. При этом проверяется: 1) ход решения — нет ли в нем прямых ошибок; 2) соответствие полученного результата поставленному вопросу, условию и всем данным задачи; 3) условие задачи — нет ли в нем противоречия. Назовем эти проверки соответственно: проверка-1, проверка-2, проверка-3. Проверка-1 обсуждалась много, и я поговорю о ней в дальнейшем. Предмет нашего разговора сейчас — оставшиеся два вида проверки. Если мы хотим, чтобы ученик делал проверку-2, то такое задание должно быть явно сформулировано. Если этого не было сделано, то к ученику не может быть претензий, когда он проверки-2 не выполнил. Разумным исключением из такой договоренности между учителем и учеником можно считать проверку «предответа» по здравому смыслу. Так, естественно считать, что получающиеся в задачах длины, скорости, массы и т. п. положительны. Ученик, получив для такой величины отрицательный ответ, имеет право и даже должен его отбросить. К великому сожалению, все равно не удается добиться полной однозначности, ибо здравый смысл не формализуем. Понятно, скажем, что скорость автомобиля в стандартной задаче на движение — величина положительная. Но может ли она быть меньше 1 км/ч? Этот вопрос не риторический. В одной из задач, предлагавшихся некогда на вступительных экзаменах в МГУ, как раз такое и оказалось. Одно из значений скорости автомобиля получилось jy км/ч. Объяснение ученика, который отверг этот результат, «потому что автомобили с такой скоростью не ездят», было посчитано приемной комиссией курьезным. Однажды я обсуждал эту задачу в классе. Большинство учеников считало, что отбрасывание результата, противоречащего здравому смыслу, не может быть ошибкой. Впрочем, они же спросили, куда поступал данный товарищ. - А какая разница? — насторожился я. — Если на мехмат, то ему нельзя ставить 5, а если на физфак, то можно.
90 Задача для учителя математики. 7-11 классы Было над чем подумать. А кто знает, каким может быть отношение скоростей двух объектов или отношение масс двух ве- д дцеств? Пусть в такой задаче искомый результат L имеет вид , В — С где А, В, С — известные величины, a L — неизвестная величина. Можем ли мы считать этот результат ответом при любом выборе конкретных значений В и С? А если нет, то каковы же для них «естественные ограничения»? И совсем безнадежно искать таковые в задачах о возрасте отца и сына. В таких ситуациях приходится вдумываться в содержание задачи, соотносить его с реальностью. Об этом мы могли бы прочитать еще в прошлом столетии у известного английского ученого и педагога И. Тодгентера: «...когда при решении какой-нибудь задачи результат получается отрицательный, то учащийся должен постараться истолковать этот результат». Он советует далее не только разобраться в смысле задачи, но и составить новую задачу, в которой полученный отрицательный ответ мог бы иметь реальный смысл. Известен хороший пример такой задачи, когда спрашивается, через сколько лет отец будет в два раза старше сына, а в результате получается -5. К сожалению, совету И. Тодгентера не всегда удается следовать. Вот пример. Разбирал я как-то «с листа» в классе такую задачу: «Материальная точка в первый раз прошла некоторый путь с постоянной скоростью. Во второй раз она увеличила скорость на величину а потому затратила на этот путь на время tx меньше. На обратном пути она уменьшила скорость на величину v2 по сравнению с той, которая была в первый раз, а потому затратила на этот путь на время t2 больше, чем в первый раз. Чему равна величина пути?». Обозначим величины, используемые при решении задачи. Пусть S — длина пройденного пути, V — начальная скорость, Т- начальное время. Несложно составить систему относительно неизвестных К и Т\ txV + vxT = vxtx, t2V - v2T = v2t2. Решив ее, получаем: T = _ t\h(vI +Vl) V\h - v2t\ vxv2(t\ +t2)
6. Давайте сделаем проверку 91 Отсюда получаем, что S = VT = ^ + (v,t2 - V2t\) Решили мы задачу? Появляются вопросы. А что будет, если vxt2 - v2tx = 0? Для ответа на этот вопрос выразим tx и tr Получим: Sv1 ' K(K-v,)’ и — K(K + v2) Тогда Vi*2 = 1И2 = ■ K(K + v2)’ 5v,v2 Из сравнения этих дробей становится ясно, что равенство vxt2 - v2tx = 0 невозможно по «природе задачи», ибо vx >0,v2> О, V+v2*V-vv Любопытно, что в простейшем случае, когда v2 = vv отличие выражения vxt2- v2t{ от нуля можно показать «на пальцах». Вся ситуация, описанная в задаче, иллюстрируется классической задачей на движение по реке по течению и против течения. Тогда v2 = v\— скорость течения. Но ясно, что на одном и том же участке реки течение дольше мешает при движении против течения, чем помогает при движении по течению. Это еще не все. В процессе решения появились выражения для V и Т. Положительность этих выражений при конкретных данных совсем не очевидна. Для заострения ситуации возьмем численный пример. Пусть vx = 2, v2 = 1, tx = 1, t2 = 2. Тогда получаем (согласно решению для общего случая), что 5=4. Тот же ответ (S = 4) мы получим, если возьмем такие данные: vx = 1, v2 = 2, tx = 2, t2 = 1. Но! В первом случае вычисления дают V= 2 и Т- 2, а во втором случае получаем, что V- -2 и Т- —2. Будем ли мы считать задачу решенной в этих конкретных случаях после получения ответа (S - 4)? Думаю, что этого делать не стоит. Очень не хочется перемножать заведомую чепуху, хотя в результате этого перемножения
92 Задача для учителя математики. 7-11 классы и получается верный результат. А истолковать, следуя И. Тодген- теру, значения V- -2 и Т--2 я не смог. Окончательная ясность приходит после того, как мы убеждаемся, что выражение vxt2 - v2tx всегда меньше нуля. (Соответствующие выкладки очевидны, если сравнить две дроби, полученные при нахождении vxt2 и v2tx.) Я рассказываю ученикам по случаю историю открытия позитрона. Из уравнений, полученных П. Дираком, следовало, что возможны состояния электрона, когда его энергия отрицательна. Размышляя над этим, П. Дирак предположил существование новой частицы, что и было подтверждено экспериментально. И добавляю, что, как говорят, гораздо раньше П. Дирак как-то решал некую арифметическую задачу про рыбаков. И на вопрос задачи «Сколько было поймано одним из них?» дал в качестве ответа отрицательное число. Как говорится, сказка — ложь... Конечно, оценивая «предотвег» из соображений здравого смысла, мы как будто покидаем сферы математики. Но что поделаешь? Известно, что здравый смысл может подвести, но это не значит, что его нужно вообще запретить для употребления. Писатель и математик И. Грекова как-то сказала: «Печально положение, когда математика начинает глушить здравый смысл. Из двух альтернатив: “математика без здравого смысла” и “здравый смысл без математики” — предпочтение, безусловно, надо отдать второй. Разумеется, всего лучше, когда присутствует и то и другое, когда математические расчеты все время проверяются на здравый смысл. Но так бывает не всегда». Пример торжества математики над здравым смыслом: претензии к ученику, отбросившему скорость — км/ч как неправдоподобную, и признание безупречности ответа -4 литра. Проверка-2 может быть непростым делом. Пример из геометрии. (Переход от текстовой задачи к геометрической не является принципиальным. Суть дела в том, что надо как-то проверить результат, полученный составлением уравнения. Кстати, термин «текстовая задача» не считаю удачным.) Вот задана: «В треугольнике АВСАВ= l,AC=2, Z.BAC- 120°. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Чему равно расстояние KL от KjxoAB (рис. 2)? х Одно из решений таково. Пусть KL = х. Тогда AL = —j=.
6. Давайте сделаем проверку 93 л/7 Найдя BC = \fl (по теореме косинуса) и ВК = — (по свойству биссектрисы угла треугольника), запишем теорему Пифагора для х V? треугольника KLB: х2 + (1 —j=)2 = (—)2. Отсюда получаем, что Г- Г- V3 3 ^ я V3 _ , х = — либо jc = —. Оба корня положительны, каждый из них удо- 6 3 влетворяет условиям, обеспечивающим существование треугольника KLB. Так что же, подходят оба «предответа»? Ан нет! Из геометрической природы задачи ясно, что данная конфигурация единственна, а потому один из найденных корней лишний. Налицо противоречие. Но какой же из найденных корней лишний? Чтобы «изловить» посторонний корень, можно решить задачу другим способом и получить искомое расстояние равным Тут становится как-то неуютно: неужели для отыскания постороннего корня действительно необходимо второе решение? Некая настырность в поисках разумных и неучтенных ограничений на неизвестные величины приводит к рассмотрению 2 треугольника AKL. Легко вычисляется АК: АК = —. Проверим существование этого треугольника при найденных нами значениях и увидим, что неравенство треугольника выполняется только для второго найденного значения. И значит, ответ таков: искомое расстояние равно —. Тут бы и вздохнуть с облегчением, но появляются противные вопросики. Вот первый. Как же так, ограничения естественные, возникшие в процессе решения из треугольника KLB, не работают, а приводят к ответу ограничения какие-то «боковые»? Почему? Вот второй. Мы знаем, что искомая величина может быть связана с многими частями исходной конфигурации; так что же, выписывать все возможные при этом ограничения? Сколько же это потребует времени и усилий!
94 Задача для учителя математики. 7-11 классы Вот третий. А откуда все-таки взялся лишний корень при первом решении? Самый любопытный третий вопрос. На него и ответим. Сосредоточимся на треугольнике АВК В нем известны: АВ = 1, л/7 ВК = — и ZВАК = 60°. А требуется найти KL. Так вот, этими тремя условиями треугольник АВК определен неоднозначно (две стороны и угол против одной из них!). Двум положениям точки К (К{ и К2) соответствуют два различных расстояния от К до АВ. Чтобы выбрать одно из этих положений, достаточно выяснить вид утлъАКВ. Из теоремы косинуса следует, что он острый, но тогда следует выбрать большее расстояние. Вот теперь все окончательно ясно. Но что же делать ученику, получившему в этой задаче два значения для искомого расстояния? Да еще в том случае, когда рядом сидит сосед, нашедший всего одно решение. Перейдем теперь к проверке-3, т. е. к проверке условия задачи на непротиворечивость. Вернемся к той же задаче с баками с бензином. То, что условие задачи противоречиво, видно и без проверки-2. В самом деле, в третьем баке на 26 литров бензина меньше, чем во втором, и на 36 литров меньше, чем в первом. Значит, во всех баках не может быть меньше чем 62 литра, а в условии дано, что всего было 50 литров. В авторском решении противоречие в условии обнаружила проверка-2, когда мы получили в одном из баков —4 литра. Встает вопрос: как обнаружить противоречие в условии, если задача решалась без составления уравнения? И еще один вопрос: а надо ли искать такие противоречия в условиях? Мне проще ответить на второй вопрос. Понимая задачу как учебную, я думаю, что ответ тут такой же, как и для проверки-2. Если мы хотим, чтобы проверка-3 делалась учеником, то должно быть предложено соответствующее задание. Если же такого задания не было, то, вообще говоря, к ученику не может быть претензий. Что касается ответа на первый вопрос, то он сложнее. Подавляющее большинство учебных задач содержит информацию непротиворечивую и приводящую к единственному решению. Мы сами привыкли к таким задачам и учеников приучили. Вот пример из моей работы. Решали задачу про мальчика, который покупал карандаши и тетради. Даны были цена карандаша, цена тетради и общая стоимость покупки. Спрашивалось, сколько карандашей и тетрадей купил ученик. При решении составлением уравнения получается линейное уравнение с двумя неизвестными, которое
6. Давайте сделаем проверку 95 надо решить в натуральных числах. В «предответе» несколько пар чисел. Ученик Т. с оттенком недоверия прокомментировал этот результат: «Что они, сами не знают, сколько он купил?» Вернемся к проверке-3. Может быть, действительно изъять из школьного курса задачи с противоречивым условием? Не будет таких задач - не будет и проблем с проверкой-3. Однако психологи и методисты постоянно отмечают, сколь полезны задачи такого типа, а также задачи с избыточным условием, с недостаточным условием, задачи, в которых противоречат между собой условие и требование, задачи, в которых «размыта» постановка вопросов: «Можно ли доказать?», «Можно ли из этих данных получить то-то?». Такие задачи, в частности, обладают и тем достоинством, что перекидывают мостик от математики к практике. Сплошь и рядом они встречаются в науке, технике. Типичные примеры таких задач я нашел также в деятельности конструктора, юриста, военачальника, врача и даже учителя. Приведу некоторые примеры. Конструкторам космической техники пришлось решать такую задачу: из чего сделать сопло двигателя, если температура истекающих газов гораздо выше, чем температура плавления любого металла? Данные разведки могут противоречить друг другу. Шахматист во время партии все время работает в условиях избыточной информации. Играя в домино, наоборот, порой норовишь заглянуть в кости к соседу. Показания свидетелей обычно противоречивы, врач затрудняется в диагнозе; учитель, взяв новый класс, далеко не сразу начинает понимать, на каком языке разговаривать с учениками. Можно ли отразить такого рода интеллектуальную деятельность при решении математических задач? Думаю, что не только можно, но и нужно. Причем решать такие задачи можно уже в младших классах. Вот примеры. В одном из карманов 5 фантиков. В одном из карманов 10 фантиков. Сколько фантиков в одном из карманов? У мальчика было 10 конфет. Он дал соседу 3 конфеты, а 80% всех конфет съел сам. Сколько он съел конфет? Я был на 5-м этаже 12-этажного дома. И решил покататься на лифте, Сначала я поднялся на 2-й этаж, потом спустился на 4-й, а потом поднялся на 6-й, потом спустился на 10-й, потом поднялся на 3-й. На каком этаже я оказался? Ну и так далее. Идея ясна, а разработка ее может составить метод и ч ес кое и се дед ован ие.
96 Задача для учителя математики. 7-11 классы Вернемся вновь к проверке-3. Некоторую специфику такой проверки мне хотелось бы показать на геометрических задачах. В них проверка-3 сводится, по сути дела, к доказательству существования фигуры с заданными в условии свойствами, в частности с заданными значениями некоторых величин. Если задача дана в общем виде, то возникают иногда непростые ситуации исследования. Такое исследование может уводить очень далеко от исходной задачи. Вот пример тому: «Найти площадь поверхности тетраэдра, шесть ребер которого известны». Сложить четыре площади граней — это пустяк, а выяснить, существует ли тетраэдр с заданными ребрами, — вполне серьезное задание. Исследование условия задачи на непротиворечивость можно свести к следующим случаям. Противоречие обнаруживается в процессе вычисления неизвестной величины. Задана: «Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1, образует с основанием угол 60°, с боковой гранью угол 60°. Вычислить его объем». В процессе вычисления объема оказывается, что квадрат одного из ребер меньше нуля. Противоречие не обнаруживается при вычислении неизвестной величины. При этом: а) знаний ученика хватает, чтобы его обнаружить. Задана: «Периметр треугольника равен 6. Его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна длина его средней стороны?» Для установления противоречия достаточно вспомнить неравенство треугольника, которое здесь не выполняется; б) знаний ученика хватает, чтобы обнаружить противоречие, но требуется специальная работа. Задана: «Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 1. С тремя разными его ребрами она составляет углы 30°, 45°, 60°. Вычислить его объем». Длины ребер можно найти, умножив длину диагонали на косинус соответствующего угла, после чего получаем ответ. Однако численные данные в задаче таковы, что сумма квадратов трех измерений параллелепипеда не равна квадрату его диагонали, что и показывает противоречивость условия. Или такая задача: «Диагонали трех неравных граней прямоугольного параллелепипеда равны 1, 2, 3. Чему равна диагональ самого параллелепипеда?». Решение. Обозначим ребра параллелепипеда как*, у, г. Получаем систему х1 + у2 = 1, • у2 + z2 = 4, z2 +х2 = 9.
6. Давайте сделаем проверку 97 Из нее следует, что х2 + у2 + z2 = 7. Поэтому диагональ параллелепипеда равна >/7. Однако V7 < 3, и получается, что диагональ параллелепипеда меньше диагонали грани, чего не может быть. Немного поразмыслив, мы видим, что три диагонали смежных граней могут образовать треугольник. Но тогда необходимо для них выполнение неравенства треугольника, что не соблюдено в данных задачи. Хорошо, поменяем данные. Пусть диагонали граней равны 2, 3,4. Теперь неравенство треугольника выполняется, и, естественно, мы не ждем противоречия. Проделаем те же выкладки и полу- чим диагональ параллелепипеда, равную ^/14,5. Однако ->/14,5 < 4, а потому и этот ответ неверен. Опять нарушены какие-то необходимые условия существования прямоугольного параллелепипеда. Какие? Попробуем разобраться с задачей в общем виде. Пусть исходные диагонали граней равны а, Ь, с (а> Ь> с). Тогда диагональ параллелепипеда d равна yjo,5(a2 + b2 +с2). И необходимо выполнение неравенства d> а, упрощая которое мы приходим к неравенству Ь2 + с2>а2. Вот в чем дело. Треугольник, составленный из диагоналей граней, должен быть остроугольным! Теперь ясно, почему получается противоречие с диагоналями, равными 2, 3, 4. Здесь 22 + 32< 42, а поэтому треугольник с этими сторонами тупоугольный, что и вступает в противоречие с необходимым условием существования параллелепипеда. Замечу, что остроугольность треугольника, образованного диагоналями граней, может быть обнаружена при внимательном рассмотрении такого параллелепипеда. Ведь каждый угол такого треугольника меньше соответствующего угла в грани параллелепипеда, т. е. меньше прямого угла. И вот уже новый вопрос: а является ли это условие достаточным для существования прямоугольного параллелепипеда? И, наконец, вопрос для обсуждения: давать ли такую задачу вообще, и если давать, то в какой редакции и в каком месте курса? А вот задана, сюжет которой взят из вступительных экзаменов в один из петербургских вузов: найти угол между соседними боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды, если расстояние от центра ее основания до бокового ребра в два раза больше расстояния от него до боковой грани. Ответ -60° получается чуть ли не устно, но он не является верным, т. к. такой угол всегда тупой, что следует сразу же хотя бы из теоремы косинусов для трехгранного угла. Исследование этой за¬
98 Задача для учителя математики. 7-11 классы дачи в общем виде показывает, что отношение этих расстояний больше у/2 в любой такой пирамиде, а потому условие задачи противоречиво; в) знаний ученика может быть недостаточно для обнаружения противоречия. Задана: «Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4, а высота, проведенная к гипотенузе, равна 2. Чему равна гипотенуза треугольника?». (В учебниках планиметрии Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжика В.И. площадь прямоугольного треугольника изучается до теоремы Пифагора.) Тогда гипотенуза может быть найдена как частное от деления произведения катетов на высоту к гипотенузе (можно сказать: произведение двух высот делится на третью высоту). После знакомства учеников с теоремой Пифагора оказывается, что вычисленная таким образом гипотенуза не удовлетворяет теореме Пифагора. Еще пример того, что противоречие может обнаруживаться при одном способе решения и не обнаруживаться при другом. ос «Найти tga, если 0,5л < a < тг и sin — = 0,6». В первом решении мы найдем сначала cos (0,5a) = 0,8. Затем находим sin a = 0,96, cos a = 0,28 по формулам двойных углов и получаем положительный тангенс угла во второй четверти, что неверно. Но cos а можно найти, зная sin а и то, что угол а лежит во второй четверти. Тогда косинус получится отрицательным и соответственно тангенс отрицательным. При втором способе решения противоречие в условии не обнаруживается. Но оно существует, о чем говорит сам факт расхождения полученных результатов при вычислении тангенса двумя способами. Его можно найти, анализируя условие: пап . а у/2 л . так как — < — то sin— > — > 0,6. 4 2 2 2 2 Рассмотрим еще одну задачу: «В трапеции ABCD AD - большее основание, АВ = 1, ВС = 2, CD = 3. Найдите AD, если равны средние линии трапеции (рис. 3, а). В L С б Рис. 3
6. Давайте сделаем проверку 99 Обозначим AD = x, середины сторон АВ, ВС, CD, DA соответ- х •+■ 2 ственно К, L, М, N. Заметим, что КМ- —-—. Проведем LP параллельно АВ и LQ параллельно CD. Тогда получим, что АР- 1, QD- 1, PQ-x- 2. В треугольнике PQL LNявляется медианой. Так как LN= КМ, Из треугольника PLQ запишем выражение, в котором участвует медиана LN: (2LN)2 + PQ2 = 2(LP2 + LQ2). Отсюда получим такое уравнение: (х + 2)2 + (х — 2)2 = 20. Решая его, получим: х = >/б. Зададимся вопросом: будет ли найденное значение для величины х ответом в задаче? Нет, не будет. Мы получили пока только «предответ». Так как для решения задачи было составлено уравнение, то на переменную х необходимо наложить ограничения, вытекающие из условия задачи. Для начала заметим, что х > 2, т. к. AD — большее основание трапеции. Далее, так как AD < АВ + + ВС + CD, то х < 6. Итак, 2 < х < 6. Найденное нами значение х удовлетворяет этому неравенству. И вроде бы наш «предответ» становится ответом. Но вдруг требуется что-нибудь еще? Оказывается, да. В решении использовался треугольник PLQ. Для его существования необходимо выполнение неравенства треугольника. Поэтому должны одновременно выполняться такие неравенства: х - 2 < 4, 1<х-2 + 3, 3 <х-2+ 1. Решив эту систему, получаем, что4<х<6. И что же мы видим? Найденный нами «предответ» не удовлетворяет новым ограничениям. А потому не является ответом. Но тогда наша задача не имеет решения. И появляются новые вопросы. Вот два из них: «Почему при выбранных нами данных задача не имеет решения? А какими должны быть данные, чтобы задача имела решение?». Чтобы разобраться в этом, решим задачу в общем виде. При этом попытаемся выяснить, какие из найденных ограничений на параметры обеспечивают существование решения. Иначе говоря, какие из полученных необходимых условий являются и достаточными? Пусть в трапеции ABCD АВ = а, ВС =b, CD = с, AD = d, d > b. В соответствии с предыдущими выкладками получим: (d + b)2 + (d-b)2 = 2(a2 + c2), откуда следует, что cP = a2 + c2-b2, d = ^Ja2 +с2 -b2. (1)
100 Задача для учителя математики. 7-11 классы Выпишем первоначальные ограничения на значение d, исходя из того, что AD > ВС, AD <АВ + ВС+ CD: у/а2 + с2 -b2 > b, yja2 + с2 - Ь2 <а +Ь + с. Второе неравенство выполняется всегда, а первое неравенство приводится к такому: Ь2<(2) Однако выполнение неравенства (2) не является достаточным для существования решения, именно это мы и видели в исходной I2 + з2 задаче: 22< —-—, а решение не существует. Поэтому поиск продолжается. Из треугольника PLQ имеем систему таких неравенств: d-b<a + c,a<d-b + c,c<d-b + a. (3) Она приводится к неравенству b+\a-c\<d<a + b + c. Считая для определенности, что а>с, мы приходим к неравенству b + а - с < \1 а2 + с2 - Ь2 <а + Ь + с. (4) Правая часть неравенства выполняется всегда, а левая часть неравенства после упрощений приводится к такому виду: Ъ < с (5) Итак, в трапеции с равными средними линиями необходимо выполнение неравенства (5). Перескажем его словами: известное меньшее основание трапеции должно быть короче наименьшей боковой стороны. Становится ясно, почему исходная задача не имела решения: в ней меньшее основание трапеции равно 2 и длиннее наименьшей боковой стороны, равной 1. И если бы мы знали про ограничение (5) заранее, то никакого уравнения можно было не составлять. Теперь надо убедиться в том, что неравенство (5) является достаточным для получения ответа. Иначе говоря, требуется доказать, что при выполнении неравенства (5) существует неравнобокая трапеция, в которой равны средние линии. Для этого доста- точно доказать существование треугольника PLQ со сторонами а, с, у/а2 +с2 - Ь2 - Ь. Записав три неравенства треугольника - для каждой его стороны, мы легко убедимся в том, что они все выполняются при условии b < с < а. В этом месте кончается геометрия, а потому напрашивается «занавес». Впрочем, нет. Поиски необходимых условий могут быть занимательными.
6. Давайте сделаем проверку 101 Вернемся к задаче в общем виде. Равенство (1) хорошо известно в «мире четырехугольников». Оно равносильно перпендикулярности диагоналей четырехугольника со сторонами а, b, с, d. (Вот краткое тому доказательство. Четырехугольник KLMN, вершины которого лежат в серединах сторон четырехугольника, в нашем случае трапеции, — параллелограмм. Равенство средних линий данной трапеции равносильно равенству диагоналей параллелограмма KLMN. Параллелограмм с равными диагоналями — это прямоугольник. Поэтому KL _L LM. Но KL || AC, LM || BD, и, значит, AC _L BD. Сделаем еще один рисунок (рис. 3, б). Пусть точка Т — точка пересечения диагоналей трапеции. Известно, что она лежит на средней линии LN. Треугольники TAB, ТВС, TCD, TDA прямоугольные. Поэтому ТК = , ТМ = . Отсюда имеем: 2 2 2 2 ТК + ТМ = Для точек К, Т, М имеем: ТК + ТМ> КМ, а в тра¬ пеции даже такое: ТК + ТМ> КМ, откуда 0,5(я + с) > 0,5(6 + d). Поэтому приходим к неравенству d<a + c — b. Тем самым мы нашли еще одно необходимое условие на величину d. И оказывается, неравенство (4) требуется усилить. Необходимо, чтобы выполнялось такое неравенство: b + a-c<d<a + c-b. (6) Это что же, новое необходимое условие, еще не учтенное нами? Нет! Ведь мы уже установили, что выполнение неравенства (5) является достаточным для существования такой трапеции. Значит, при выполнении этого ограничения должна выполняться и правая часть неравенства (6). Так оно и происходит. Чтобы убедиться в этом, достаточно решить относительно параметра b неравенство л/«2 + с2 - Ь2 <а + с-Ьи увидеть, что оно верно при b < с. Я понимал, что обсуждение вопроса о проверке не может завершиться мнением Г. Дорофеева. Так и произошло. Журнал «Математика в школе» в № 2 за 1986 год поместил две публикации: «Знакомить учащихся с условием задания геометрических фигур» (автор Г. Недогарок) и «К решению некоторых задач нужны указания» (автор П. Джанджгава). Оба автора пишут о задачах с противоречивым условием — это раз, и оба перенесли свой разговор на геометрию — это два. Первый автор описывает свой опыт работы по решению такого рода задач; второй приводит пример из учебника А. Погорелова и примеры из материалов самого журнала, в которых существование фигуры, заданной условием, на¬
102 Задача для учителя математики. 7-11 классы ходится под вопросом или попросту невозможно. Один из этих примеров я приведу. «Сторона правильного многоугольника а = 3 см, а радиус вписанной окружности г = 2 см. Найдите радиус R описанной окружности». Разбирая эту задачу, можно увидеть, что такого правильного многоугольника не существует. Что советует в этом случае делать П. Джанджгава? Предлагает провести исследование такой фигуры на существование и записывать ответ \ 2 а2 а к в общем виде так: Jr + —, если — = tg— для некоторого п е N, V 4 2 г п п> 3. А что советует в такой ситуации Г. Недогарок? Предлагает строить данную фигуру и решать задачу только в том случае, если она может быть построена. (Эта рекомендация носит общий характер, поэтому я позволил себе использовать ее для данной задачи.) Данный многоугольник построить невозможно, а потому задача, как считает автор, решения не имеет. Мне было очень любопытно читать все это, ибо я увидел точки зрения, не совпадающие с моей. Ну а что скажет по этому вопросу Г. Дорофеев? В № 5 «Математики в школе» за 1987 год появилась его статья «О существовании конфигурации в геометрических задачах». Он по-прежнему разделяет логический и методический (здесь дидактический) аспекты в задаче. А «...логика ситуаций в текстовых и геометрических задачах совершенно идентична». Есть, правда, в геометрических задачах по сравнению с текстовыми некоторая специфика, но она не существенна. Но раз логика одна и та же, то и работать в геометрических задачах следует так же, как в текстовых. В частности, в задаче с правильным многоугольником, коль скоро из текста условия задачи вытекает его существование, никаких дополнительных ограничений в ответе делать не надо. Так как при выбранных числовых значениях получается противоречивым условие, то это недосмотр автора задачи — в противном случае нужны необходимые комментарии. Из дальнейшего текста статьи видно, что автор скорее противник задач с ложными данными. Г. Дорофеев последователен в своем желании добиться максимально возможной точности от языка задачи. Он пишет, в частности, о том, что при формулировке задач следует избегать модальностей, которые обычно выражаются словами «должен», «может», «нужно» и т. п. Они допускают неоднозначные толкования, что крайне нежелательно. Автор подчеркивает трудности в осуществлении такого стремления, так как естественный язык
6. Давайте сделаем проверку 103 «не всегда достаточно точен». Своеобразной иллюстрацией этого положения статьи является пример, приведенный автором: «...свободная от неясностей формулировка... может быть следующей. Дан треугольник ЛВС со сторонами АВ = 4, ВС = 5. Найти длину стороны АС, если известно, кроме того, что угол В больше 120°». Дальше идет решение, а затем ответ: «Длина стороны АС — любое число больше л/бТ и меньше 9». Но если уж быть занудой, то мы разве нашли длину АС? Мы нашли ее границы. Конечно, изъясняться стоит как можно точнее, но давайте вспомним притчу о трех апельсинах. Многолетние размышления над этими вопросами, над предложениями Г. Дорофеева, помогли мне сформировать собственную точку зрения, не хочу сказать — окончательную, и, разумеется, не бесспорную. Но я могу предложить ее ученикам. Сопоставляя журнальную полемику с собственной практикой, я пришел к мысли, что вряд ли стоит стремиться к формализации, обучая решению задач, и тем более к канонизации какой-либо точки зрения. Представим себе, что мы приняли сторону Г. Дорофеева и находим максимум квадратного трехчлена. Ученик находит единственную получающуюся критическую точку и объявляет ее точкой максимума просто потому, что так спрашивается. Кого из моих коллег такое устроит? Я понимаю термин «задача» достаточно широко: имеется некая информация, из которой предлагается получить другую информацию. При этом все может быть: исходная информация не обязана быть такой, которая обязательно приводит к результату, причем единственному. Более того, задача в некотором смысле даже не столько сам текст, сколько тройка (учитель, текст, ученик). Один и тот же текст может пониматься по-разному, в зависимости от того, кто находится слева и справа от него в этой тройке, что хочет учитель и что может ученик. Вот несколько примеров, подтверждающих такое понимание. Задание «решить уравнение х2 = а» приводит к разным ответам в зависимости от того, с какими числами знаком ученик. Да и запись х2 = а сама по себе еще не задача. Ее можно понимать как уравнение, которое надо решить, или как задание нарисовать множество точек на плоскости, удовлетворяющих этому уравнению в системе координат (х, а), или как задание назвать фигуру в пространстве, отвечающую этому условию. А может быть, мы хотим проверить как раз способность ученика увидеть разные ответы об искомой геометрической фигуре в зависимости от того, где фигура ищется: на плоскости или в пространстве.
104 Задача для учителя математики. 7-11 классы Для «закрепления пройденного» решим все же такую задачу: «Периметр треугольника равен 6, его стороны относятся как 1:2:3. Чему равна его средняя по величине сторона?». Решим ее в соответствии с приведенными рекомендациями, как я их понял. 1. В. Болтянский. Обозначим меньшую сторону х. Тогда получим уравнение х + 2х + Зх = 6 <=> 6х = 6. Отсюда х = 1. Согласно условию 0 < х < 6, 0 < 2х < 6, 0 < Зх < 6, х + 2х > Зх. Так как последнее неравенство не выполняется при найденном значении х, то ответ таков: задача не имеет решения. 2. Г. Дорофеев. Задача сформулирована как задача «на реализованную ситуацию». Значит, полученное значение для х проверять не надо, а потому ответ такой: средняя сторона треугольника равна 2. Но еще лучше эту задачу детям не предлагать. 3. П. Джанджгава. Ответ: средняя сторона треугольника равна 2, если такой треугольник существует. 4. Г. Недогарок. Ответ: так как такой треугольник построить нельзя, то задача не имеет решения. 5. Моя точка зрения. Все зависит от того, при каких условиях появилась эта задача. Если мы учили проверке-3 и хотим выяснить, как ее делают ученики, то ответ: задача не имеет решения. Если мы хотим специально обратить внимание на провер- ку-3, то задачу надо дополнить вопросом: «Будет ли при этом выполняться неравенство треугольника?» После чего ответ: задача не имеет решения. Если же мы еще не обучали проверке-3, то ответ: средняя сторона равна 2. Чуть-чуть о задачах с недостаточным условием. Возьмем очень простой пример: «Чему равна средняя линия треугольника, параллельная его стороне, которая равна 2?». При этом мы сделаем вид, что не знаем соответствующей теоремы о средней линии треугольника. Ответ «1» моментально получается из такого рассуждения (не буду называть его доказательством). Треугольник не определяется одной его стороной. Если предлагается все же найти какой- либо его элемент, то он не зависит от вида треугольника, иначе говоря, является константой. Найдем ее в самом простом случае, когда треугольник прямоугольный и заданная сторона является одним из катетов. Такой треугольник легко достраивается до пря¬
6. Давайте сделаем проверку 105 моугольника, в котором этот катет является одной из сторон. Искомая средняя линия является половиной средней линии этого прямоугольника, и так как эта средняя линия прямоугольника равна 2, то средняя линия «плохо определенного» треугольника равна 1. Более интересный пример того же рода дает соответствующее рассуждение в такой задаче: «На дуге окружности даны три точки А, В, С, причем АВ = 5, ВС = 3. Чему равно расстояние до прямой ВС от середины этой дуги?» Задание всего двух сторон треугольника ABC не определяет однозначно описанную около него окружность, а потому исходная дуга может быть произвольной. Так как предлагается в такой неопределенной ситуации найти некий элемент данного треугольника, то этот элемент не зависит от его вида. Числа 3, 5 наводят на мысль о египетском треугольнике. Итак, рассмотрим полуокружность с диаметром АВ. Дальнейшее устно. Что касается геометрических задач, при решении которых используют модельные соображения, то это, как говорится, «другая песня». Их содержание связано с математическими объектами, а потому эти задачи не могут считаться прикладными. Но тогда сама методология решения видится под другим углом. Она может быть и такой, как в прикладных задачах, но только при ясном обосновании этой точки зрения. Например, можно толковать такой взгляд дидактическими соображениями, считая его полезным для прикладных задач. На практике реализация такого взгляда требует проверки-3 и получается чересчур хлопотной. Если я начну проверять на существование геометрическую конфигурацию, описанную в задаче с числовыми данными, то у меня просто не хватит времени для получения требуемых результатов. Это особенно наглядно в конкурсных задачах, где заданные объекты не вполне традиционны. Вот задача, опубликованная как-то в «Кванте»: «Дана треугольная пирамида ABCD. Скрещивающиеся ребра АС и BD и AD и ВС этой пирамиды перпендикулярны, ребра АВ и CD равны, все ребра пирамиды касаются шара с известным радиусом. Найдите площадь грани АВС». Задача решается как раз составлением системы уравнений, т. е. в решении использована некая модель. Но откуда известно, что такая пирамида существует? А если начать это выяснять, то сколько же это потребует времени? Ясно, что на практике действуют (по умолчанию) какие-то соглашения. Я полагаю, что таким разумным соглашением является следующее: «В геометрических задачах, при решении которых используются уравнения (неравенства, системы), проверка-3 делается
106 Задача для учителя математики. 7-11 классы только тогда, когда это специально оговорено составителем задачи или тем, кто ее предлагает ученикам. В противном случае она не является обязательным элементом решения и к ученику, который ее не сделал, не может быть никаких претензий». При решении геометрических задач (преимущественно с числовыми данными) я встретился с разными сомнительными ситуациями. Перечислю. 1. Результат получен, но он невозможен, ибо условие задачи противоречиво: фигуры с такими числовыми данными не существует. 2. В результате получилось отрицательное число для положительной величины, но при разумном истолковании ответ может быть принят, хотя и с оговоркой. 3. Квадратное уравнение дает два положительных корня. Из них только один удовлетворяет условию. 4. Квадратное уравнение имеет два положительных корня, ограничения на неизвестную не очевидны, и неясно, какой из корней подходит по условию задачи. 5. Квадратное уравнение дает два корня, один из которых отрицательный. Отрицательный корень истолковать не получается. Положительный корень под вопросом. 6. Выяснение необходимых ограничений на неизвестную не вполне очевидно. 7. Уравнение не имеет точного решения в школьном курсе. 8. При малом изменении одного из параметров составленного уравнения задача перестает иметь решение. Анализируя возникающие особенности при решении геометрических задач с числовыми данными, я пришел к некоторым выводам. 1. Невозможный численный результат может быть понят, если от конкретных числовых данных условия перейти к условию, где данные приведены в общем виде. 2. Даже если получен однозначный результат, необходимо убедиться в том, что он соответствует необходимым условиям существования заданной фигуры. 3. Если фигура, заданная условием, существует, а геометрическая величина, с ней связанная, оказалась отрицательной, то этот результат требует истолкования. Возможно, что он может быть истолкован как решение. 4. При решении составленного уравнения необходимо учитывать все ограничения на неизвестную, которые вытекают из условия задачи или используются в процессе решения.
6. Давайте сделаем проверку 107 Есть ограничения явные, но возможны и скрытые. Стоит поискать разные способы решения, чтобы их обнаружить. 5. Решение составленного уравнения может приводить к неоднозначным результатам в однозначно определенной фигуре. Чтобы прийти к однозначному ответу задачи, требуется дополнительное исследование данных условия. 6. Если составленное квадратное уравнение должно иметь по смыслу задачи хотя бы один положительный корень, то может потребоваться дополнительная работа с найденными корнями. 7. Уравнение, составленное при решении геометрической задачи, является ее моделью. Для того чтобы модель была адекватной, требуется на неизвестные величины, задействованные в этой модели, наложить ограничения, вытекающие из условия задачи. Эти ограничения должны соответствовать необходимым и достаточным условиям, которые обеспечивают существование заданной фигуры. Поиски этих условий в учебной задаче обычно не считаются обязательными. Ясно, однако, какое значение для развития интеллекта школьника и для повышения его математической культуры имеет составление им адекватной модели. 8. При составлении уравнения надо считаться с тем, что школьными средствами уравнение не решить или не получить точного решения, хотя из других соображений ясно, что решение существует. 9. Наибольшую «опасность» представляют задачи с числовыми данными. Их лучше избегать вообще, а если и предлагать, то в абсолютно очевидных ситуациях. Например: «Чему равен третий угол треугольника, если один из углов 50°, а другой — 60°». Подведу итог. Я предлагаю трактовку, в чем-то отличную и от позиции В. Болтянского, и от позиции Г. Дорофеева. Текстовая задача — это дидактический жанр в школьной математике. Но, работая в этом жанре, мы выражаем наше отношение к прикладной задаче. Либо мы действуем по канонам прикладной математики: составляем модель, работаем с моделью, проверяем адекватность модели (В. Болтянский), либо отрицаем эти каноны и действуем из каких-то других (каких?) соображений (Г. Дорофеев). На этом хотелось бы поставить точку, методисты вроде перестали говорить о проверке в текстовой задаче составлением «обратных задач», но увы... В журнале «Математика в школе» № 5
108 Задача для учителя математики. 7-11 классы за 1999 год публикуется статья «О способах проверки решения текстовых задач», а позднее в журнале «Математика» (издательский дом «Первое сентября») № 21 за 2005 год появляется статья, в которой воскрешается миф о такой проверке, причем в рубрике «Курсы повышения квалификации». Колесо нашей истории вернулось на прежнее место. «Все течет, но ничего не изменяется», как сказал некий остроумец. Еще одно. В последнее время воскресла идея обучения школьников решению текстовых задач «арифметически», т. е. без составления уравнений. Я помню, как в свои школьные годы решат такие задачи «по вопросам», гордясь тем, что вопросов оказалось 5, бит. д. Иные методисты приводят различные «за» обучение такой технике. Такие «за» существуют, конечно, но стоит задуматься о главном. Мы учим детей математике, лучше сказать, «вводим их в мир математики», и на это времени толком не хватает. Так зачем же учить методам, которых нет в математике, а есть только в концепциях методистов? Всему тому полезному, что есть в «арифметическом» способе решения задач, можно научить и без него. Разумеется, текстовые задачи с простейшими арифметическими манипуляциями можно оставить, разве что таковых манипуляций не более, скажем, чем 3. Все остальное от лукавого. Среди текстовых задач почетное место занимают задачи про бассейны. И одновременно в такой виртуальный бассейн вливается виртуальная вода, но одновременно и выливается из него. И встает вопрос: когда же он, наконец, наполнится? На одном из уроков, приведенных в «Математике в школе», как раз и решалась такая задача. А был на этом уроке иностранный гость. После чего он был очень удивлен такой вот заведомой глупостью. Зачем же наливать воду тогда, когда она выливается? Закроем кран, из которого вода выливается, и нет проблемы. Как я понял, никто заморскому гостю не возразил. А зря! Дело в том, что эта виртуальная ситуация моделирует реальные процессы. Один такой процесс — преследование. Нам интересно, сумеет ли догоняющий настичь убегающего и когда это произойдет? Кстати сказать, в общем случае весьма серьезная математическая задача. Второй процесс — демографический. Известны рождаемость и смертность, и надо знать, какова будет численность населения спустя некоторое время.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 109 Еще. Пусть в комнате зимой открыта форточка и топится батарея. Опять два противоположных процесса, как и в задаче про уже упомянутый бассейн! И даже выпивание воды в жаркую погоду регулирует водносолевой режим в организме. Другое дело на уроке, когда решается задача про такой бассейн, учителю стоит объяснить, что такой фантастический сюжет является «модельным», и привести пару других примеров на противоположные процессы. В заключение факт из биографии Ж. Адамара — выдающегося математика, к тому же автора замечательного двухтомника по элементарной геометрии. Так вот, пока его в детстве мучили арифметическими задачами, он математику почти ненавидел. Увлекся он ею, когда в класс пришел новый учитель и показал ему красоту предмета. 7. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ, ТЕСТЫ, ЗАДАЧИ... При подготовке единого курса математики мне пришлось просмотреть гору разнообразных задачников. Бросается в глаза преобладание чисто технических задач, трудных, иногда очень трудных, но все равно технических. Я бы называл их упражнениями. Различать упражнения и задачи давно принято в учебной литературе, однако не всегда можно понять, почему одно задание отнесено к упражнениям, а другое — к задачам. Точных и общепринятых сему определений я не знаю. На мой взгляд, разница между этими понятиями связана со значительностью полученного результата. Если он используется далее, на него возможны ссылки, то имеем дело с задачей. Если задание позволяет развернуть вокруг него объемистую деятельность ученика, то это также задача. Все прочее — упражнения. Субъективность такой градации очевидна. Другого типа задачи, требующие большего размышления, большей свободы ассоциаций, находились в сборниках олимпиадных задач. Из всего этого накопленного богатства пришлось и отбирать то, что меня устраивало, и придумывать самому. В первую очередь понадобилось заняться дидактическими материалами. Дидактические материалы по математике — у нас новшество. Обычно учителя обходились задачниками. Контрольные работы
110 Задача для учителя математики. 7-11 классы составляли сами, исходя из уровня класса и своего понимания. Проводились такие работы достаточно редко. Дидактические материалы появились для более оперативного контроля за усвоением, являясь в некотором смысле отголоском идей программированного обучения. При составлении дидактических материалов мне приходилось учитывать разные тенденции, не только проверку усвоения. Техническое совершенствование — да, интеллектуальное развитие - да, развитие способностей — конечно. Я был убежден, что если ученика поставить в условия, когда он обязательно должен что-то придумать, то он и начнет придумывать. Разумеется, надо было учитывать разные возможности учеников. Я отказался от того, чтобы каким-то образом натаскивать учеников на те самостоятельные и контрольные работы, которые им предстоят. Делал чаще всего наоборот: для решения в классе давал упражнения, отличающиеся от тех, которые предлагались в дидактических материалах. Составление этих упражнений — дело не особо какой сложности. Не боги горшки обжигают. Ныне составленные мной дидактические материалы по алгебре и началам анализа изданы, они не привязаны жестко к какому-то определенному учебнику. Вот пример упражнения в начале курса алгебры и начал анализа в 10 классе математической специализации. Сложная функция 1.h(y) = (y2+ 1)- 1. Вычислите: а) Л( 0); б) h(h( 0)). 2. у, (х) = х3, у2(х) = Зх - 1, j>3(x) = х~К Запишите г(х) = (Зх - 1) '' как сложную функцию, составленную из трех данных функций. 3-/,(х) =х2,/2(х) = л/х. Найдите: а)/,(/,(х)); б)f2(f2(x)). Решите уравнение/^, (х)) =fl(f2(x)). ГО, х > 0, 4./(*Н/ ’g(x) = -Ax)- [1, X < 0, Постройте графики: a) f(g(x)); б) g(g(x)). 5. Придумайте функцию, отличную от линейной, которая при любом х е R удовлетворяет условию flf(x)) = f(x). Самостоятельные (контрольные) работы были составлены мной и по геометрии для 8—11 классов (и те и другие — для ма¬
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 111 тематических). Они также изданы (и не единожды), привязаны к учебнику по геометрии А. Александрова. Вот контрольная работа по теме «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике» для 8 класса. 1. Дан прямоугольник ABCD. AD = 12, АВ = 6. Траектория движения точки лежит в прямоугольнике. Начинается она в середине А'стороны AD и представляет собой ломаную KLMK. Точка L лежит на стороне А В, а точка М — на границе прямоугольника. Со стороной АВ траектория составляет равные углы. Пусть ZAKL = а. 1.1. Каков должен быть угол а, чтобы М = С? 1.2. Для угла а, найденного в пункте «а», вычислите: длину траектории; расстояние от ее наибольшего отрезка до центра прямоугольника; площадь, которую она ограничивает. 1.3. Каков должен быть угол а ,чтобы точка Моказалась внутри CD; внутри ВС? 1.4. Может ли эта траектория представлять собой равнобедренный треугольник; равносторонний треугольник; прямоугольный треугольник? 2. В тетраэдре ABCD AD = 2, CD = 1, ZCDB = 90°, ZCBD = 60°, ZACB = 130°, ZCAB = 20°. Найдите площадь его остроугольной грани. Вот первая самостоятельная работа по геометрии в начале курса стереометрии, при этом надо учесть, что уже в курсе планиметрии ученики знакомились с неплоскими фигурами (на уровне наглядном) и решали про них несложные задачи, в основном на свойства треугольников. Расстояние в пространстве В тетраэдре РАВС основанием является правильный треугольник ABC со стороной 1. РА = PC = 1. Точка К — середина РА, точка L — середина ВС. Пусть РВ = х. Выразите KL как функцию otjc. Может ли отрезок KL быть перпендикулярен РА и ВС? Может ли KL быть длиннее каждого ребра данного тетраэдра? В каких границах изменяется KL при изменении РВ? По ходу дела, занимаясь составлением дидактических материалов по геометрии, я наткнулся на несложные задачи об окружностях в пространстве. Началось все с окружностей на сфере, а потом развивалось чуть ли не само собой. Вот небольшой фрагмент из цепочки составленных задач.
112 Задача для учителя математики. 7-11 классы 1. Две плоскости пересекаются. Окружность имеет с каждой из них общую точку. В этих общих точках проводятся касательные к данным окружностям. Докажите, что эти касательные либо параллельны, либо пересекаются на общей прямой двух плоскостей. 2. Две окружности имеют одну общую точку, и в этой точке к каждой из них проведена касательная. Существует ли связь угла между этими касательными с углом между плоскостями, в которых лежат окружности? 3. Две окружности касаются (имеют общую касательную). Через них проходит сфера. Докажите, что их общая касательная имеет с этой сферой одну общую точку. 4. Даны три окружности, из которых никакие две не лежат в одной плоскости. Каждые две из них касаются, причем эти точки касания различны. Лежат ли эти окружности на одной сфере? В последние годы у нас появилась еще одна форма контроля - тесты. На Западе, особенно в США, они используются достаточно давно. В чем главное достоинство проверки по тестам? В скорости. В чем главное достоинство проверки посредством дидактических материалов? В большей основательности. Отсюда ясно, что эти две системы проверки могут прекрасно дополнять друг друга. Я попытался разобраться в особенностях тестовой проверки. Это достаточно серьезное дело, сам составляю тесты более 20 лет, нашел немало интересного. Работы по составлению тестов — непочатый край. Одна из поставленных мною целей при сочинении тестов - попытка отразить в них ценности математического образования. Не секрет, что между обозначенными в программных документах ценностями математического образования и тем, что мы традиционно проверяем в знаниях наших учеников, — «дистанция огромного размера». Что мы проверяем в контрольных работах и на экзаменах? По сути, только одно: умеют ли наши ученики решать упражнения определенного типа, да еще в достаточно краткое время. И в подавляющем большинстве случаев эти упражнения требуют либо знания алгоритмов, либо алгоритмических предписаний. С другой стороны, не можем же мы даже хотеть, чтобы все наши воспитанники при жестких временных условиях проверочных работ демонстрировали нечто творческое. И что тут делать? Мне представляется, что выход из этого тупика возможен. В конечном счете тесты диагностируют те или иные свойства
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 113 интеллекта. Поэтому имеет смысл сразу зафиксировать, о каких свойствах идет речь. Я остановился на таком интегральном свойстве (латентной переменной): готовность (интеллектуальная) к продолжению математического образования. Готовность предполагает, что от ученика нужно нечто иное, нежели сумма знаний и умений. Точнее, даже если он чего-то не знает или не умеет, не так важно. В конце концов при необходимости он найдет нужную формулу или научится решать какой-то тип задач. Важнее другое. А что он может делать с тем, что знает и умеет? Владеет ли он этим в разных ситуациях? Разбирается ли во всем существенном? Я выделяю довольно бесспорные составляющие этой интеллектуальной готовности: 1) подтверждение или опровержение имеющегося высказывания (при этом возможная аргументация — наглядная картина, возникающая в результате работы пространственного мышления); 2) анализ условия задачи на определенность (возможность получить однозначный ответ) и корректность (непротиворечивость условия); 3) установление наличия или отсутствия связей между утверждениями; 4) анализ логической структуры высказывания; 5) владение понятиями в общей форме; 6) перевод аналитической зависимости в наглядную форму и обратно; 7) рефлексия, т. е. отделение знания от незнания; 8) определенный уровень общей логической культуры. Тесты готовности можно разделить на две большие группы: тесты про объекты (число, функция, выражение, уравнение, неравенство, фигура) и тесты про величины (длина, угол, площадь, объем). Тесты можно дифференцировать, исходя из того, что нас интересует про объекты и про величины, учитывая отдельные виды математической деятельности. К ним я отношу: опознание объекта; выяснение существования (несуществования) объекта; установление единственности объекта (или ее отсутствия); выведение свойств объекта из его определения (или невозможность такового); выведение свойств объекта из других его свойств (или невозможность такового); выведение свойств объекта в результате только логического рассуждения; идентификация отношения между элементами множества (равенство, неравенство, принадлежность, прочее); выведение свойств объекта, полученного преобразованием из другого объекта (или нарушение его свойств); работа с численными значениями и величинами (нахождение, оценка, сравнение). Разумеется, список не полон.
114 Задача для учителя математики. 7-11 классы Понятно, что среди тестов должны содержаться и такие, которые проверяют фактическое знание учениками теорем и определений. По содержанию тесты разбиты на три больших раздела: «Числа», «Функции», «Фигуры». В каждом разделе проведено деление по конкретной тематике. Например, в разделе «Функции» есть подразделы «Линейная функция», «Квадратичная функция» и т. д. И в каждом подразделе проведена дальнейшая специализация тестов (не по сложности). Порядок, в котором составлена вся совокупность тестов, не привязан жестко к какому-либо учебнику, он больше привязан к содержанию курса. Поэтому, например, задания, относящиеся к решению уравнений (в тестах по алгебре) или к треугольникам (в планиметрии), можно увидеть и в начале всей совокупности, и в других ее местах. Первые мои тесты (как по алгебре, так и по геометрии) изданы небольшим тиражом в 1998 году, последующие изданы в издательстве «Просвещение», поэтому здесь ограничусь только характерными примерами. Разумеется, задания, подобранные для тестов, появились не из воздуха, их содержание отражает громадный опыт преподавания математики в советской и российской школе. Но окончательные формулировки авторские, они обусловлены спецификой тестовой формы. Тесты по алгебре и началам анализа В предлагаемых тестах два раздела (числа и функции), и каждый из них делится на два подраздела. Каждый подраздел разбивается по одним и тем же темам, а темы таковы: 1. Целые выражения. 2. Дробно-рациональные выражения. 3. Иррациональные (степенные) выражения. 4. Показательные и логарифмические выражения. 5. Тригонометрические выражения. 6. Комбинирование выражений. Такое разбиение не является классификацией, один и тот же тест мог бы быть помещен в разные разделы. Перехожу к примерам. 1. Требуется установить связь между утверждениями. О числе а имеется пять утверждений: A) а + |я| = 0. B)а-\а\ = 0. C) а + \ а \ = 2а. D) а\а\ = а1. E)я|я| = — 1.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 115 Тогда верны такие следования: 1. Если Е), то А). 2. Если В), то С). 3. Если С), то D). 4. Если А), то Е). 5. Если А) и С), то В). 2. Надо разобраться в логической структуре утверждения. 1. Для всякого числа а можно найти такое число b, что выполняется неравенство: а < b2 < а + 1. 2. Есть такое число а, что при любом b выполняется неравенство: а<Ь<а2. 3. Есть такое число а, что при любом b выполняется неравенство: a<b<a + b. 4. При любых аиЬ выполняется неравенство: (а - Ъ)2 < (а + Ь)2. 5. Нет таких чисел а и />, что выполняется неравенство: 3. Работа с понятиями в общей форме. Функция / монотонна на R. Тогда будет монотонной функция#, если: 4. Общая логическая культура. (В этом тесте требуется умение опровергнуть возникающие предположения и работать с отрицанием.) Нет такого числа, которое: 1) является наибольшим из всех отрицательных чисел; 2) является наименьшим из всех неотрицательных чисел; 3) является наибольшим из всех чисел заданного открытого промежутка; 4) является наименьшим из всех чисел некоторого данного промежутка; 5) меньше противоположного ему числа. 5. Аналитические выкладки могут быть заменены геометрической иллюстрацией. Эта система имеет положительное решение (пару положительных значений неизвестных хну). !•£(*) =/(-*); 2-g(x) =/(2х); з. g(*) =/1*1; 5. g(x) =f(x2).
116 Задача для учителя математики. 7-11 классы [х2 + у2 =1. 6. Допускается наглядная аргументация. \х-у = 1, Система \ . , имеет одно решение при таких значе- I*4 + у = а ниях а: 1)2; 2)1; 3)0,5; 4) 0; 5>Д 2 7. Условие одного из заданий противоречиво. Число А является иррациональным. А = (V-2)2. 8. Неопределенное задание. Некоторое число а удовлетворяет условию а >2. Число А является положительным, если: 1)А = 2а-3; 2) А ■ 1 3 )А = 4 )А = 5 )А = I- а’ (а- 5)2. а- 1 ’ о-2 а-У 1 а2 - За +1
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 117 9. Выяснение существования. Функция у(х) задана формулой у = х2 + ах. Найдется функция такого вида, что: 1) точка (0, 1) лежит на ее графике; 2) она положительна на (0, -и»); 3) она монотонна на (-«>, 1); 4) она имеет минимум при х = 0; 5) один ее корень на 1 больше другого. 10. Установление единственности объекта. Это уравнение имеет одно решение. 1.2* = -3.x. 2. 1QX+7 = 205"X. 3.4* +2*= 1. 4. з*2+дс+1 =1. 5.х* = -1. 11. Получение свойств объекта, исходя из его определения. Функция/определена на R, отлична от постоянной и является четной. Тогда является четной функция#, если: !)#(*) =Л2*); 2)*(х)=Л*+1); 3)g(*) = /(j}; 4 )#М =ЛА*)); 5) g(*) = f~x (*) (т. е. g — обратная кf). 12. Выведение свойства объекта, исходя из других его свойств. Пусть функция/непрерывна на R. Тогда: 1) для любой функции/существует такая ее первообразная, которая проходит через точку (1, 1); 2) существует такая функция /, которая меньше любой своей первообразной; 3) существует единственная функция/, которая равна хотя бы одной своей первообразной; 4) существует такая четная функция /, которая имеет четную первообразную; 5) нет такой непериодической функции/, для которой существует периодическая первообразная. 13. Получение свойства объекта логическим путем. В этом тесте возможно использование контрпримеров. При любом отрицательном х число Л отрицательно, если: 1)А = 5+х\ 2)А = -5+х;
118 Задача для учителя математики. 7-11 классы 3)у4 = -5-х; 4) А = 25-х2; . 5)А = 5х + х2. 14. Равенство. Это равенство верно для всех значений х из области определения. 1. Vx + V^x = 0. 2. \1-х2 \А-х = л[х*. 3.^ = ^. v-x 4. (л/х - 4-х)2 - х. 5 (Ух + л/^Кл/х - л/^ос) _ 2 X 15. Равносильность уравнений. Эти уравнения равносильны. 1. V-x = х их = — 1. 2.x4-х = 1 и х3 = — 1. 3. x + yfx2 = 0их = 0. 4. х1,5= 1 ихл/х = 1. 5.х4/3=—1 ихл/х =-1. 16. Сравнение числовых значений. А>В, если: 1) Л = sin44°, i? = cos44°; 2.i4 = tgl,2f = ctgl; _ . 71 _ 7С 3.^4 = sin у, i? = tg—; 4. >4 = sin(arcsin 1); В = cos(arccos 1); 5. A = sin л/л, В = cos Vrc. 17. Установление взаимной простоты натуральных чисел. Числа а и b взаимно простые. В этом случае являются взаимно простыми числа АиВ. \.А = 2а,В = Ь. 2.А = а,В = а + Ь. 3. А — а + 1, В = b+ 1. 4.А = а — Ь, В = а + Ь. 5.А = 2а + Ь,В = 2Ь + а. 18. Делимость натуральных чисел. Число А является делителем числа В при любом натуральном п. \.А=10,В = 4\п-\.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 119 2.Л = 3,Я=10я-4. 3.Л = 5,5 = 81"+ 14. 4. Л = 9,5= 10(л + 1>- 10(я+ 1) + п. 5.А = 7,В = 9п+ 16п. 19. Нахождение численного значения. А = 0 при любом значении х. \.А = х-\х\. 2.А = \х\2-\х2\. 3.А = \х+ 11 — М — 1. 4.А = \х3\-\х\у. 5.А = \х2 + 11 - х2 - 1. 20. Оценка численного значения. Эта функция имеет максимум и минимум. 1.<y = |jc2~7x+ 10|. 2.у = х3- 12х. 3.>' = л/? + л/?. 4. у = 2х2~х. 5.<y = sin(arcsinx). 21. Сравнение численных значений. А> В, если: 1 1 22. Свойства объекта, полученные в результате его преобразо- Функция/непрерывна на R и возрастает при х < 0. Тогда при х < 0 будет монотонной функция g, если: 1М = 23,Я = 33; 5.А = (2)1’1, В=(2)21. вания. 1 )g(x) = -Ax);
120 Задача для учителя математики. 7-11 классы Тесты по геометрии 1. Требуется установить связь между утверждениями. Даны такие утверждения о четырехугольнике. A) У него есть центр симметрии. Б) У него есть ось симметрии. B) У него есть пара параллельных сторон. Г) Его диагонали равны. Д) Его диагонали перпендикулярны. Тогда: 1) если А) и Д), то Г); 2) если Б) и Г), то В); 3) если В) и Г), то А); 4) если А) и Б), то Д); 5) если А), Г) и Д), то Б). 2. Работа с понятиями в общей форме. Соответствие является преобразованием фигуры М в фигуру N, если: 1) каждая точка фигуры Ж является образом хотя бы одной точки фигуры М\ 2) каждой точке фигуры М соответствует хотя бы одна точка фигуры N; 3) М и N — вся плоскость и точке (jc, у) соответствует точка (2х,|). 4) Ми N— вся координатная плоскость без начала координат и точке с координатами (х, у) соответствует точка с коорди- натами (—, —). х У 5) М — полуокружность с центром О. К ней в ее середине проведена касательная — прямая р. Прямая р — это фигура N. Из точки О проводится луч, пересекающий прямую р. Y = /(А), где X — точка на полуокружности, a Y — точка на прямой р. 3. Общая логическая культура. 1. Векторы АВ и АХ сонаправлены тогда и только тогда, когда АХ = аАВ, где а > 0. 2. Точка X лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда АХ = аАВ, где а> 0. 3. Точка Xпринадлежит отрезку АВ тогда и только тогда, когда АХ = а АВ, где 0 < а < 1.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 121 4. ABCD — параллелограмм. Точка Xпринадлежит параллелограмму ABCD тогда и только тогда, когда АХ = аАВ + |ЮВ, гдеО<а< 1 и0< Р< 1. 5. Точка Xлежит внутри угла АОВ тогда и только тогда, когда ОХ = оОА + рОВ, где а > 0 и р > 0. 4. Аналитика сводится к наглядности. f(M) = N, если: 1) М= {(х,.у) :х2-у = 0}, N= {(х,>>): у2-x = 0},f— поворот; 2) М- {(х, у): х2-\-у = 0}, 7V= {(х, у) :у2+х = 0},/ — осевая симметрия; 3) М- {(х, у): у - е*= 0}, 7V= {(х, j): j + е~х = 0},/ — центральная симметрия; 4) М = {(х,>^):^-sinx = 0}, N= {(х,у) :у-cosx = 0},/- перенос; 5)М={(х,у) :y = x2 + 2x + 2},N={(x,y) :у = -х2 + 2х- 1 },/- скользящее отражение. 5. Допускается наглядная аргументация. В каждом круге: 1) есть самая маленькая хорда; 2) нет наибольшей хорды; 3) любые две хорды делят его не меньше чем на три части; 4) существует сектор, который является сегментом; 5) можно провести 100 концентрических окружностей так, чтобы все полученные кольца были одинаковой ширины. 6. Условие одного из заданий противоречиво. Площадь треугольника больше 1, если одна из его сторон равна 100, другая равна 200, а третья равна 300. 7. Неопределенное задание. Некоторый треугольник является равнобедренным, если: 1) две его высоты равны; 2) биссектриса одного из углов делит его на две равновеликие части; 3) равны все его средние линии; 4) две его высоты, пересекаясь, делятся пополам; 5) его вершины находятся в вершинах равнобокой трапеции. 8. Выяснение существования. 1. Существуют два таких треугольника, что их пересечение . и их объединение — треугольники. 2. Существуют два таких квадрата, что их пересечение и их объединение — квадраты. 3. Есть два таких прямоугольника, что их пересечением является квадрат, а объединением — прямоугольник.
122 Задача для учителя математики. 7-11 классы 4. Если пересечение двух кругов не является кругом, то и их объединение не является кругом. 5. Нет двух таких треугольников, которые в пересечении дают отрезок, а в объединении — треугольник. 9. Получение свойств из определения. В каждом правильном «-угольнике (п > 4): 1) есть тупой угол при вершине; 2) есть равные диагонали; 3) есть ось симметрии, не проходящая через его диагональ; 4) диаметром является его диагональ; 5) вершины, взятые через одну, являются вершинами другого правильного многоугольника. 10. Выведение свойства из других свойств. Параллелограмм является ромбом, если: 1) у него есть ось симметрии; 2) биссектрисы трех его углов имеют общую точку; 3) все его высоты равны; 4) его площадь равна половине произведения диагоналей; 5) в него можно вписать окружность. 11. Равенство. Эти фигуры равны: 1) два сегмента одного и того же круга, меньшие полукруга, у которых равны хорды, отсекающие эти сегменты от круга; 2) два равных равносторонних треугольника ABC и АхВх Сх вместе с двумя равными окружностями; радиусами в половину стороны треугольника, в одном из них эта окружность имеет центр в вершине А, а в другом из них она имеет центр в вершине Вх ; 3)два равных квадрата ABCD и AXBXCXDX вместе с двумя равными окружностями; радиусами в половину стороны квадрата, в одном из них эта окружность имеет центр в середине стороны АВ, а в другом из них она имеет центр в вершине ВХС{; 4) две равнобоких трапеции, у которых соответственно равны основания и бока, при этом большее основание каждой трапеции лежит на одной прямой с меньшим основанием другой трапеции, а сами трапеции не имеют общих точек; 5) части двух равных кубов ABCDAXBXCXDX и KLMNKXLXMXNV при этом часть первого куба получена после проведения сечения ABXCXD, а часть второго куба получена после проведения сечения KXLXMN.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 123 12. Параллельность. Две прямые параллельны. Тогда: 1) если одна из них пересекает третью прямую, то и другая тоже; 2) если одна из них образует с третьей прямой заданный угол, то и другая тоже; 3) если одна из них удалена от данной точки на заданное расстояние, то и другая также удалена от этой точки на это же расстояние; 4) если одна из них делит заданный четырехугольник на три части, то и другая, пересекающая этот четырехугольник, делит его на три части; 5) если одна из них параллельна данной плоскости, то и другая тоже. 13. Перпендикулярность. Могут быть взаимно перпендикулярны: 1) диагонали прямоугольника; 2) высоты треугольника; 3) диагональ равнобокой трапеции и ее диагональ; 4) две прямые на плоскости, симметричные относительно оси; 5) прямая, проходящая через ребро куба, и прямая, проходящая через диагональ его грани. 14. Симметрия. Существует осевая симметрия такая, что образом фигуры М является фигура N, если: 1) М — это фигура на координатной плоскости, которая задается условием ху > 0, a N— это фигура на координатной плоскости, которая задается условием ху < 0; 2) М — вся плоскость и точке с координатами (х, у) соответствует точка с координатами (х, -у -1); 3) М— это объединение двух кругов, N-та же фигура, что и М. 4) N— это образ фигуры Мв результате композиции двух осевых симметрий относительно различных прямых; 5) М — это некоторая ломаная из двух взаимно перпендикулярных звеньев, каждое из которых имеет длину 1; N— это другая такая же ломаная, имеющая с первой ломаной общее начало; звенья второй ломаной соответственно перпендикулярны звеньям первой ломаной. 15. Подобие. Два треугольника подобны, если: 1) оба они прямоугольные, катеты одного из них 1 и >/3, один из углов другого равен 30°;
124 Задача для учителя математики. 7-11 классы 2) один треугольник имеет углы 10° и 150°, другой треугольник имеет углы 10° и 20°; 3) две стороны и медиана к третьей стороне одного треугольника пропорциональны соответствующим двум сторонам и медиане другого треугольника; 4) один из них — прямоугольный и вписан в окружность радиусом 1; другой из них вписан в окружность радиуса 2 и имеет площадь в четыре раза большую, чем первый треугольник; 5) для каждого угла первого треугольника есть равный ему угол во втором треугольнике и наоборот. 16. Нахождение численного значения величины. Площадь круга больше 10, если: 1) радиус круга больше 2; 2) его окружность описана около прямоугольника со сторонами 3 и 1; 3) длина его окружности больше 10; 4) он задается условием х2 + у2 < 4; 5) его окружность вписана в равносторонний треугольник со стороной 9. 17. Оценка численного значения величины. 1. Одна сторона треугольника равна 20, вторая сторона этого треугольника равна 10. Тогда третья сторонах этого треугольника удовлетворяет неравенству 5 < х < 35. 2. Сторона а треугольника удовлетворяет неравенству 10 < а < 20, сторона b этого треугольника удовлетворяет неравенству 100 < b < 200. Тогда третья сторонах этого треугольника удовлетворяет неравенству 90 < х <110. 18. Сравнение величин. ф>45° 1) если ABCD — квадрат, В КС - равносторонний треугольник вне этого квадрата, ср = ZBAK\ 2) в треугольнике со сторонами 1 и 2, если сторона, равная 1, лежит против угла 30°, а угол ф лежит против стороны, равной 2; 3) в прямоугольнике со сторонами 1 и 2, в котором угол ф - это угол между его диагоналями; 4) в трапеции, в которой три стороны равны, диагональ перпендикулярна боковой стороне, ф — это угол между диагональю и основанием; 5) в окружности с диаметром АВ = 2, если проведена секущая СВ и касательная СА из точки С, лежащей вне данного круга, причем СА = 1, ZCBA = ф.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 125 19. Свойство объекта, полученное в результате преобразования. Эта фигура имеет не меньше двух элементов симметрии, если она: 1) равносторонний треугольник, в котором проведена медиана; 2) прямоугольник, в котором проведена диагональ; 3) окружность, в которой проведен диаметр; 4) квадрат, в котором проведена средняя линия; 5) куб, на двух соседних гранях которого вне его построены меньшие кубы, при этом ребра меньших кубов соответственно параллельны ребрам исходного куба, а центры граней меньших кубов совпадают с центрами граней исходного куба. Тесты, предлагавшиеся на экзаменах В какой-то момент я решился на проведение экзамена по тестам. Самое ценное (и самое приятное) для меня в этом экспериментальном экзамене (до него мои ученики вообще не работали с тестами) — совпадение в целом его итогов с результатами текущих достижений. Много оказалось и такого, о чем стоит размышлять дальше... В 1999/2000 учебном году экзаменовались ученики одного восьмого, одного девятого, двух десятых и одного одиннадцатого классов — всего порядка 80 человек. В 9 и 11 классах экзамен был выпускным и по выбору. До экзамена ученики никогда не работали с тестами, и на консультациях был проведен подробный инструктаж. В каждом классе на экзамен отводилось 4 часа. Расчет был простой — всего 12 тестов, в каждом по 5 заданий, итого 60 заданий. На каждое задание я положил в среднем 3 минуты, итого 180 минут, т. е. 3 часа. Плюс один час «про запас». Оказалось, что дольше всех, почти под звонок, работали старшеклассники. Теперь подробности. Напомню, что каждое тестовое задание — утверждение. Оно задано в словесной форме — по техническим соображениям я не стал давать задания на готовых рисунках. За каждый верный результат начислялся один балл, за каждый неверный результат один балл снимался. Вот для примера конкретный расчет. Пусть ученик дал 60 ответов, из которых 45 верных и 15 неверных. Начисляем ему 45 баллов и высчитываем 15. В итоге он набирает 30 баллов. Если же он дает те же 45 верных ответов, а на оставшиеся 15 ставит 0, то ему начислено-таки 45 баллов. Тут же замечу, что ученикам до экзамена было сказано, что отличную оценку они получат за 45 баллов, отметку 4 — за 40 баллов, отметку 3 — за 30 баллов. Реально
126 Задача для учителя математики. 7-11 классы почти так и получилось, но я сразу предупредил, что возможен некий люфт в этих критериях. Это вполне естественно, т. к. никакого опыта в тестовых по форме экзаменах по геометрии у меня не было (а у кого был?). В результатах, показанных учениками тогда, стоит отметить максимальный — 56 баллов и минимальный, оказавшийся отрицательным. Спустя несколько лет был показан в аналогичном экзамене и максимальный результат - 60 баллов. Реально экзамен выглядит так. Каждый ученик получает листок с заданием, бланк для ответов, в который он должен внести полученные результаты, листы бумаги для работы. В бланке не разрешалось делать никаких исправлений. Разумеется, таковые обнаруживаются, но тогда результаты, как первоначальные, так и вновь полученные в исправленном задании, уже не учитываются, как если бы ученик вообще к нему не приступал. Ученик сдает только задания и бланк. Допускается использовать калькуляторы. Каковы же впечатления от итогов? Проверка одной работы занимает 1 минуту. Более того, в дальнейшем она была автоматизирована с помощью специальной программы. Ученики набивали свои ответы в компьютере, и буквально через секунду можно было получить итоговый результат. Отметки, полученные учениками, в целом соответствуют их годовым отметкам. Разница между ними в 2 балла была исключением и только в лучшую для ученика сторону. Мне ясно, что тестовая форма экзамена себя оправдала, несмотря на существенные затраты времени при составлении тестов. Разумеется, не считаю, что тестовая проверка на экзамене единственно разумная, а предлагаемые мной тестовая «идеология» и «технология» оптимальны для проведения экзамена в тестовой форме. Скорее, наоборот, здесь многое находится в стадии эксперимента, а потому неизбежны ошибки, заблуждения и неудачи. Я приведу некоторые тесты, предлагавшиеся на этих экзаменах. Треугольник (8 класс). В треугольнике одна сторона равна 1, другая сторона равна а, а угол между ними 30°. Верны такие утверждения: 1) если третья сторона треугольника равна 0,8, то треугольник остроугольный; 2) если треугольник остроугольный, то он не является равнобедренным; 3) если площадь треугольника равна 1, то треугольник тупоугольный; 4) если треугольник равнобедренный, то его периметр больше чем 3;
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 127 5) если треугольник прямоугольный, то его площадь больше чем 0,25. Треугольник (9 класс). Две стороны некоторого треугольника равны 10 и 20. Тогда: 1) если в этом треугольнике есть ось симметрии, то его периметр равен 50; 2) если периметр этого треугольника равен 60, то он тупоугольный; 3) если угол между данными сторонами прямой, то радиус его описанной окружности больше 10; 4) если его площадь равна 100, то он остроугольный; 5) если один из углов 150°, то против стороны, равной 10, лежит угол, больший чем 15°. Расстояние в пространстве (10 класс). Зависимость у от х линейная. 1 )ABCDA]B]ClD] — куб,AD = x, DBX =у. 2) ABCD — правильный тетраэдр, DD{ = х, ВС = у, Dx — центр грани ABC. 3) PABCD — четырехугольная пирамида, в которой все ребра равны, Рх — центр основания, Q — центр боковой грани; РРх=х, PxQ = y. 4) РАВС - тетраэдр, АВ = ВС=СА = РВ=х, РВ-L (ABC),KL= у, К — середина АР, L — середина ВС. 5)АВСАХВХСХ — призма, АВ = ВС = СА = х, ССХ = у, ZCXCA = ZCXCB. Объем (11 класс). Объем некоторого тела больше 10, если это тело: 1) прямоугольный параллелепипед, диагональ которого, равная 30, образует равные углы с гранями, имеющими с ней общую точку; 2) тетраэдр, у которого пять ребер равны 4; 3) правильная четырехугольная пирамида, у которой боковые ребра равны 2; 4) цилиндр, у которого осевое сечение имеет площадь 6; 5) конус с площадью поверхности 16. Использование таких тестов требует развернутого комментария. 1. Тесты готовности могут применяться: а) для текущего или итогового контроля; б) для отбора учеников на продвинугый уровень; в) при поступлении школьников в высшее учебное заведение. 2. Содержание тестов соответствует школьному курсу математики, включая повышенный уровень для физико-математических школ.
128 Задача для учителя математики. 7-11 классы 3. Все тесты предполагают выборочную форму ответа такого вида: да, нет, не знаю (затрудняюсь ответить, пропускаю задание), условие некорректно, условие не позволяет дать однозначный ответ; соответствующая кодировка такова: Да (+), нет (-), не знаю (0), условие некорректно (!), условие не позволяет дать однозначный ответ (?). 4. Все тесты предполагают компьютерный вариант. Иначе говоря, ученика можно усадить за компьютер, запустить программу — и проверка началась. После окончания работы возможна распечатка, в которой каждому будет указано, на какие вопросы он ответил правильно, а также общая сумма набранных им баллов. 5. Вопрос о валидности этих тестов остается открытым просто потому, что нужно сначала набрать достаточный экспериментальный материал. К сожалению, до этого еще очень далеко. И все бы хорошо, но дьявол, как говорится, сидит в деталях. При формулировке определенных тестовых заданий я встретился с заметными логическими и языковыми трудностями. Что, собственно, имеется в виду, когда задается, к примеру, такой вопрос: «Верно ли, что а2 > 1 ?»(Для простоты будем считать, что переменная а задана на максимально «широком» множестве — множестве всех вещественных чисел.) Если мы спрашиваем «Верно ли?», то дальше имеем дело с высказыванием. Однако напрямую здесь высказывания нет - есть предикат (выражение с переменной, высказывательная форма) или даже что-то еще из-за вопросительной формы задания. Чтобы превратить его в высказывание, требуется на переменную а «навесить» некий квантор — всеобщности или существования (и в ка- кой-то момент убрать вопросительную форму). Какой же квантор по умолчанию «навешен» на переменную а в таком задании? Если подразумевается квантор всеобщности (верно ли для любого а...), то ответ «нет». Если подразумевается квантор существования (верно ли, что существует а...), то ответ «да». В любом случае ответ меня никак не устраивал. Я-то хочу, чтобы ответ был такой: «Смотря какое а» — или, что равносильно: «Иногда да, иногда нет». Некая тонкость в ситуации связана с тем, что отрицательный ответ на поставленный вопрос может даваться в двух различных случаях, представляющих интерес для учителя. То, что спрашивается, может никогда не выполняться, но может существовать только один опровергающий пример. Скажем, при вопросе
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 129 «Верно ли, что модуль числа отрицателен?» ответ «нет» относится к первому виду ответов; при вопросе «Верно ли, что модуль числа положителен?» ответ «нет» относится ко второму виду ответов. Ответ «нет», разумеется, верен в обоих случаях, но нас может интересовать не только этот формально правильный ответ. Нам хочется получить от ученика более полный ответ на второй из этих вопросов: «Нет, потому что модуль числа 0 равен 0». То есть хочется иметь и этот ответ, и ученическое пояснение к нему, полученное без других дополнительных вопросов с нашей стороны, вроде: «А почему ты сказал “нет”?», т. е. мы хотим получить более полный ответ. Именно эту ситуацию надо как-то зафиксировать. При устном диалоге учителя и ученика я не вижу здесь проблемы, в конце концов, мне нетрудно задать нужный дополнительный вопрос, но как это сделать в письменном задании, причем так, чтобы не сделать ситуацию совершенно тривиальной? Подтверждение своих сомнений я увидел, когда в статье известного математика JI. Кудрявцева нашел такую фразу: «Правильный ответ на тест: “Равны ли углы с взаимно перпендикулярными сторонами?” не может быть выражен словами “да” или “нет”. Правильный ответ “не всегда”...» Когда не хватает двузначной логики, приходится что-то выдумывать. Существование четырех вариантов ответа в моих тестах предполагает не традиционную двузначную логику с ответами «да» или «нет», а начатки другой логики. Что тут известно? Известны трехзначная логика (Я. Лукасевич, А. Гейтинг), четырехзначная логика (Н. Белнап), многозначная логика (Э. Пост) и даже бесконечнозначная логика (Г. Рейхенбах). Четырехзначная логика Н. Белнапа почти точно описывает ситуацию, которую я предлагаю в тестах готовности. Так что нет ничего сверхъестественного в моем варианте тестовых ответов. Ситуацию я вижу непростой, ибо она «завязана» на язык — естественный и математический. Принятые в математике кванторы «убивают» неопределенность, ради которой все это и задумано. Что было делать? Я решил как-то закодировать неопределенность с помощью слова «некоторый». Перейду к примерам. Задание таково: «Пусть а — некоторое вещественное число. Верно ли неравенство а2 > -1?». Разумеется, ответ «да», ибо оно верно всегда. Пусть задание таково: «Верно ли неравенство а2 < -1?» Разумеется, ответ «нет», ибо оно всегда неверно. Пусть задание таково: «Верно ли неравенство а2 > I?» А теперь ответ таков: «Иногда да, иногда нет». И еще знак ответа
130 Задача для учителя математики. 7-11 классы надо было придумать. Знак «+» я оставил для ответа «да», знак «-» — для ответа «нет», а для ответа «иногда да, иногда нет» использую знак «?». Наконец, можно убрать вопросительную форму задания и сразу сформулировать высказывание в такой форме: «Пусть а — некоторое вещественное число. Неравенство а2 > 1 является верным». Мои сомнения с кодированием неопределенности и даже с ее включением в тестовые задания утихли, когда я увидел в учебнике логики В. Светлова, что неопределенность имеет все права гражданства. Но как ее зафиксировать в тексте, причем так, чтобы увязать с чем-то реальным? Термин «некоторые» вроде подходит, мы все помним начало сказок «В некотором царстве, в некотором государстве...». То есть в каком-то, но не в каждом. Однако в логике термин «некоторый» не всегда имеет тот смысл, который вложил в него я, причем имеет даже не один смысл, а несколько. Один из них, точно подходящий моим намерениям, таков. Фраза «некоторый объект обладает таким-то свойством» означает, что объект с таким свойством существует, но не каждый объект из универсума (рассматриваемого множества объектов) этим свойством обладает. Хочется, чтобы этот термин понимался так, как он понимается в утверждении «некоторые прямоугольники являются квадратами» или «некоторые натуральные числа являются совершенными». Иначе говоря, речь идет о конъюнкции двух утверждений: «Существует объект, имеющий данное свойство» и «Существует объект, не имеющий данного свойства» (при этом объекты принадлежат одному и тому же множеству). Если перевести этот разговор на множества, то дело сводится к тому, чтобы задать собственное подмножество данного множества: непустое множество Л является собственным подмножеством множества В, когда его дополнение до В является непустым. Ни квантор всеобщности, ни квантор существования не обеспечивают непосредственно такой ситуации, а термин «некоторые» подходит: «некоторые элементы из В образуют множество А». Что получается? Суждение «При некотором значении aeR выполняется неравенство а1 < - !» не является истинным, ибо таких значений а не существует. Суждение «При некотором значении aeR выполняется неравенство а2 >-1 * не является истинным, ибо оно верно при любом значении а. А суждение «При некотором значении aeR выполняется неравенство а2 > 1» является истинным, ибо оно верно при каком-то значении а0 но не при любом.
7. Дидактические материалы, тесты, задачи. 131 (Если угодно, при таком подходе отпадает необходимость в специальном знаке вопроса в качестве ответа, по-прежнему можно обойтись знаками «+» и «-».) И, наконец, чтобы избежать возможных упреков от математиков и лингвистов в нарушении привычного, можно вместо «некоторый» употреблять в тексте «некоторый, но не каждый», «некоторые, но не все». По сути дела, общепринятые кванторы 3 и V, которые мы навесили на переменную, в высказывательной форме указывают (косвенно) на число элементов множества, обладающих указанным свойством. Что может представлять интерес? Есть ли хотя бы один элемент с таким свойством или их нет? Следующий вопрос: если есть хотя бы один, то сколько их на самом деле? Все или не все? Появляются оттенки. Нам нужно знать точно: один такой элемент или хотя бы один. И появляется новый квантор — 3!, который указывает на существование — и притом одного — элемента с данным свойством. Квантор, соответствующий тому, что элементы с данным свойством есть, но не каждый элемент обладает этим свойством, также выдает некий оттенок информации, который бывает полезен. Для записи суждения с термином «некоторый» можно даже придумать какой-то символ, в чем-то напоминающий знаки «V» или «3». Может быть, такой — «ДО»? Или даже такой - «3?» или такой — «V?». Вместе с тем мне не хочется вводить в собственную школьную практику новый квантор: все-таки в «мире кванторов» ситуация достаточно устоялась. Именно поэтому в системе ответов я избегаю обычных ответов «да» или «нет» на утверждение с термином «некоторые». Мы видим в итоге некую зыбкость ситуации, когда предлагаемое для оценки утверждение имеет повествовательную форму. Может быть, вообще отказаться от нее и вернуться к вопросительной, используя вопрос «верно ли?». Чтобы хоть как-то оценить тесты готовности, стоит попытаться осмыслить общий фон, на котором происходит тестирование в российском математическом образовании. Тесты по математике признаны, много издается их различных вариантов. Уже проводились в тестовой форме и выпускной экзамен, и вступительный в иные вузы, да и в ЕГЭ они использовались. Несколько раз проходила научно-методическая конференция по тестированию, появился журнал «Вопросы тестирования в образовании». Тесты естественно вписываются в современные
132 Задача для учителя математики. 7-11 классы педагогические концепции. В самом деле, по мере взросления учеников падает чувствительность наставников к их ошибкам: пусть дети учатся находить свои ошибки самостоятельно. Но тогда от привычных форм контроля вполне естественно перейти и к более сжатым. В частности, не обязательно досконально проверять ученические работы, как мы привыкли, да еще подчеркивать красным ошибки, достаточно ограничиться только проверкой ответов. На основании такой именно проверки выставлялись отметки на иных вступительных вузовских экзаменах. Использование тестов совершенно естественно вписывается в эту тенденцию. Вместе с тем растет и негативная реакция на их использование. С критикой на некоторые моменты я безоговорочно согласен: 1) их «американизация» (если так можно выразиться) по содержанию и форме; 2) их непродуманное применение. Чуть подробнее. Про «американизацию». Я плохо понимаю тесты, в которых нужно выбирать ответ между, скажем, пятью предложенными числами, из которых одно верное. Откуда берутся остальные четыре числа? Добро бы они соответствовали наиболее часто встречающимся ошибкам учеников, но вряд ли такое возможно аккуратно сделать даже теоретически. Далее, тесты с принудительным выбором ответа, я бы сказал, психологически агрессивны, потому как выбор одного из ответов обязателен. Предлагаемая мной форма теста психологически более мягкая, она, можно сказать, имитирует диалог: ученику нечто сказали, и он как бы вступает в обсуждение предложенного утверждения. Ответ «не знаю» полезен, ибо при дальнейшем обсуждении с конкретным учеником результатов его тестирования можно выяснить, почему появился этот ответ? Истинное знание проявляется тогда, когда можно отделить то, что знаешь, от того, что не знаешь. О применении. Тестовая проверка — всего лишь средство для достижения определенных целей. Беда начинается тогда, когда оно используется огульно и с неясными целями. Или объявляется единственным средством, к тому же насаждается насильственно. Я не думаю, что могут быть серьезные возражения против экспресс-анализа где бы то ни было, в том числе и в образовании. Надо только понимать, что это экспресс-анализ, и четко представлять себе границы его применимости. Итак, по моему разумению тестовая и обычная проверка ученика не противоречат одна другой, а дополняют друг друга и прекрасно могут ужиться. То, что их убрали из заданий ЕГЭ, говорит
8. Хорошая задача делает нас умнее 133 только об одном — их содержание, форма и способ применения не были достаточно продуманы. Несколько заключительных замечаний. 1. Тесты готовности могут применяться для текущего контроля (в том числе дифференцированного), для итогового повторения и контроля, при отборе учеников для дальнейшего обучения математике и просто в диагностических целях (как это сделано в конкурсе «Кенгуру» для старшеклассников); разумеется, в образовательных учреждениях любого вида из условия приведенного мной теста несложно понять, где его использование наиболее уместно. При желании можно переставлять конкретные задания внутри каждого теста, а также составлять из приведенных заданий другие тесты. Можно также выбирать любую форму оценивания и шкалирования результатов теста. Можно отказаться от тестов с неопределенным или противоречивым условием, если они «не пришлись ко двору». 2. Реакцию учеников на тесты трудно считать объективной, она слишком зависит от их достижений: хорошо сделал тестовую работу, значит, тесты — это хорошо. И напротив. Тем не менее в их высказываниях можно увидеть нечто общее. К позитиву они относят явную нацеленность на результат: не надо никакой «писанины», пояснений, которые кажутся им не стоящими и выеденного яйца, да и учителю не к чему «придраться». А для части учеников, у которых не ладится письменная речь, тесты — это спасение. Далее две гипотезы. Первая гипотеза. Тесты готовности — несложная, доступная для школьника альтернатива проверке в традиционной форме, когда в первую очередь проверяется память школьника и его действия в стандартной задачной ситуации. Вторая гипотеза. Может быть, с их помощью удастся частично разобраться в феномене под названием «готовность к продолжению математического образования». 8. ХОРОШАЯ ЗАДАЧА ДЕЛАЕТ НАС УМНЕЕ Что такое «хорошая задача»? Я много думал, спрашивал у коллег, пытался найти формальные критерии. Понятие «хорошая задача» для меня не было одним и тем же. Так, одно время казалось, что в задаче обязательно должна быть красивая идея или эффектное искусственное преобразование.
134 Задача для учителя математики. 7-11 классы Потом перестали устраивать одиночные результаты, захотелось предложить ученикам некоторую последовательную деятельность. Эта идея стала распространяться; например, в Петербурге (тогда в Ленинграде) «сюжетные» задачи одно время предлагались и на выпускном экзамене, и на вступительных в вуз. Я приведу примеры таких задач. 1. у = Зх3 - 2х - 1. 1.1. Найти нули функции на множестве комплексных чисел. Составляют ли они какую-либо прогрессию? 1.2. Построить график функции. 1.3. Найти площадь, ограниченную графиком функции и прямой, проходящей через точки пересечения графика с осями координат. 1.4. Каково уравнение касательной к графику функции в точке (1,0)? 1.5. Найти объем тела, полученного вращением графика функции вокруг оси х на промежутке [-1; 1 ]. 2. Т(х) = кх2 -2kx + 1. 2.1. При каких значениях к трехчлен имеет два действительных корня? 2.2. При каких значениях к трехчлен имеет два положительных корня? 2.3. При каких значениях к один из корней равен 1? 2.4. Составить трехчлен с корнями, каждый из которых на 1 больше соответствующего корня данного квадратного трехчлена. 2.5. При каких значениях к данный трехчлен положителен при всех действительных значениях х? 2.6. При каких значениях к Т(х) есть четная функция? 2.7. При каких значениях к Т(х) возрастает на R? 2.8. При каких значениях к наибольшее значение Т(х) равно нулю? 2.9. При каких значениях к сумма кубов корней трехчлена достигает экстремальных значений? 3. \у\ = —х2 + 2х. 3.1. Найти площадь фигуры, ограниченной этой линией. 3.2. Найти три прямые, каждая из которых делит площадь этой фигуры пополам. 3.3. Найти четыре прямые, непараллельные осям координат, каждая из которых отсекает от площади данной фигуры четверть ее площади.
8. Хорошая задача делает нас умнее 135 3.4. Существует ли 10 прямых, отсекающих от площади данной фигуры четверть ее площади? >1 2 1 4. ах1 > . х- а 4.1. При каких значениях а решения неравенства образуют ограниченный промежуток? 4.2. Может ли расстояние между концами этого промежутка быть больше чем 10ю? 4.3. Может ли расстояние между концами этого промежутка быть меньше чем 10-10? В какой-то степени в этих задачах отражено мое понимание того, что такое «хорошая задача». Понимание, которое было в те годы. Сегодня я пришел к другому. «Хорошая задача» — та, которая нравится. А нравиться может только такая задача, которая соответствует установке. С годами установка меняется, а потому меняется и понимание «хорошей задачи». Сейчас для меня главное - организация посредством задач исследовательской деятельности ученика, о ней хорошо написано у Д. Пойа. В таких задачах я выделяю 10 моментов. Вот они: 1) наблюдение; 2) прогнозирование (предвидение) результата, возникновение гипотезы; 3) опровержение гипотезы; 4) планирование исполнения; 5) исполнение; 6) коррекция; 7) контроль; 8) оценка; 9) использование, применение; 10) развитие темы. Разумеется, этот список может быть так или иначе подправлен, или дополнен (например, включением анализа условия задачи), или даже отвергнут. Но меня он пока устраивает. Я постараюсь дать ему сейчас толкование и привести примеры. 1. Наблюдение. Когда мы даем ученику задачу на доказательство, то он уже знает, к какому результату надо прийти. Важно, однако, чтобы ученик сам организовал свою работу по «добыванию результата». Классические примеры: поиск какой-либо формулы для числовой закономерности, отыскание формулы Эйлера для многогранников и т. п. Организовать такую работу для учеников можно, к примеру, почти в любой задаче на расположение геометрических
136 Задача для учителя математики. 7-11 классы объектов или их свойства. Распределенная между учениками работа в классе позволяет рассмотреть много вариантов одновременно. Например, взаимное расположение двух окружностей зависит от соотношения между их радиусами и расстоянием между их центрами; центральная симметричность произвольного цилиндра наблюдается тогда, когда является центрально-симметричным его основание. Заметив это, приступаем к доказательству. 2. Прогнозирование. При доказательстве надо четко знать, что хочешь доказать. Прекрасно, когда можно организовать наблюдение. А если непонятно, что и как наблюдать? К счастью, иногда помогает аналогия. Вот пример. Какой фигурой является множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла и лежащих внутри него? Гипотеза возникает по аналогии с планиметрической задачей о биссектрисе угла. Полезно рассмотрение частных случаев. Вот удачный пример: требуется найти периметр прямоугольника, вписанного в квадрат так, что его стороны параллельны диагоналям квадрата. Этот периметр один и тот же в трех случаях, из которых два вырожденных (когда этот прямоугольник вырождается в диагональ), а третий случай — когда он является квадратом. Еще пример. Случается так, что геометрическая ситуация не задана однозначно, иначе говоря, условию задачи отвечает множество различных случаев. Выберем частный случай, наиболее удобный для получения результата, и заподозрим, что полученный результат является ответом и в общем случае. Вот пример. Имеется равносторонний цилиндр. В нем проведен диаметр (наибольшая хорда, диагональ осевого сечения). Под каким углом виден этот диаметр из произвольной точки окружности основания цилиндра? Таких точек бесконечное множество. Выберем ту, которая является вершиной того осевого сечения цилиндра, в котором находится данный диаметр. Искомый угол будет прямым. Может быть, он всегда прямой? Реже помогает интуиция. Что есть интуиция, когда она возникает, как ее «запустить» — об этом можно только догадываться. Однако существование пространственной интуиции, по-видимому, не вызывает сомнений. По сему поводу небольшое отступление. Как-то мне пришлось провести несколько уроков геометрии в американской школе, в старших классах. И школа хорошая, и дети хорошие, да вот беда — не изучают они толком геометрию. Стереометрии
8. Хорошая задача делает нас умнее 137 практически нет, от всей планиметрии остались только формулы, на работу с которыми уходит основное время. При этом они много работают с калькуляторами, с компьютерами, доверяя им больше, чем своей голове. Я предложил им по случаю сказать, что это будет за линия, уравнение которой х2 + у2 = а, — так они сразу же стали нажимать кнопки весьма накрученного калькулятора. Как сказал мне американский коллега в престижнейшей школе Нью-Йорка, в его шкафу стояло около 200 математических книг, из которых геометрических то ли одна, то ли две: «Геометрия — это тот сад, мимо которого прошла Америка». (Намек на путешествие по саду взят из замечательной книги Д. Гильберта и С. Кон-Фоссена «Наглядная геометрия».) Чтобы «вдохнуть» в американских школьников немного геометрического духа, я решил рассказать им (студентам — так их величают в США) о пространственной интуиции. На первом уроке я показал, что она существует и может помочь в решении задач. На втором уроке оказалось, что она у всех разная, т. е. разным ученикам она может подсказать разные решения и даже порой обмануть. Третий урок — небольшая лекция о том, в каких ситуациях ей можно доверять. Как я понял, самое большое впечатление на них произвело то обстоятельство, что в математике можно рассуждать и получать результаты, не прибегая к формулам. Здесь будет уместно сказать пару слов об американском математическом образовании — привыкли мы к нему относиться чуть ли не свысока. И повод высказаться хороший — известный наш сатирик на своем концерте привел как пример их «ужасной» образованности мини-дискуссию между нашим и американским профессорами на этакую «глобальную» тему «Чему равняется выражение 2 + 2 • 2». Наш профессор говорил 6, а их профессор говорил 8. И не разобрался наш образованный сатирик, в чем тут дело, почему возникло разногласие. А вот почему. Наше вычислительное образование — бескалькуляторное, и порядок действий в арифметическом выражении зафиксирован некоторыми соглашениями. Согласно им, в этом примере (при бесскобочной записи) сначала выполняется умножение, а потом сложение — получается 6. Американское вычислительное образование — «каль- куляторное», а разные типы калькуляторов работают по разным соглашениям, о чем пишется в инструкции. В некоторых калькуляторах порядок действий последовательный, и в соответствии с этим соглашением и получается 8.
138 Задача для учителя математики. 7-11 классы А «проблема» возникла от того, что в такого рода выражениях полагается ставить в надлежащем месте скобки. А если их нет, то и работает не математика, а договоренность. Разные договоренности приводят к разным результатам, вот и все. Американское образование не похоже на наше. Главное в нем не предмет, а социальная и личностная направленность. Как добиться успеха в жизни, как ладить с людьми и т. п. - вот что для них самое существенное, а не алгебра с физикой. Рассмотрим теперь хорошо известную задачу: «В трехгранном угле два плоских угла равны. Докажите, что общее ребро этих углов проектируется на прямую, проходящую через биссектрису третьего плоского угла». В такой формулировке задача не так интересна, ибо результат уже известен. Сформулируем ее иначе: «Лучи ОА и ОВ лежат в плоскости а. Луч ОС образует с ними равные углы. Какое положение на плоскости а занимает проекция луча ОС на эту плоскость?» Во-первых, можно организовать простейшие наблюдения, когда луч ОС лежит в плоскости а и когда он перпендикулярен ей. Во-вторых, наблюдения можно усложнить. Для этого достаточно вспомнить правильную пирамиду. Ее боковое ребро как раз отвечает условию задачи, а где лежит его проекция — понятно. И, наконец, можно использовать пространственные представления. Для этого вообразим себе, что мы смотрим сверху на луч ОС в направлении перпендикуляра к плоскости а. Что мы увидим? Этими наблюдениями и работой воображения результат как бы предвосхищен. Но если предложить предугадать его до проведения такой работы, тогда мы надеемся на работу (геометрической) интуиции. 3. Опровержение гипотезы. Мало ли что нам может померещиться, когда мы пытаемся предвидеть результат! Прежде чем нечто доказывать, стоит попытаться это нечто опровергнуть. Учить опровержениям — долгая работа, о ней я буду говорить дальше. Здесь ограничусь таким примером: «Через середину высоты усеченного конуса провели сечение, параллельное основанию. Было высказано предположение, что площадь сечения равна среднему арифметическому площадей оснований (по аналогии со средней линией боков трапеции). Верно ли это предположение?» Однако в данной задаче мы имеем дело с неверным утверждением. Чтобы убедиться в этом, достаточно взять предельный случай усеченного конуса, когда верхнее основание стягивается
8. Хорошая задача делает нас умнее 139 в точку. В такой ситуации получаем конус, а для него гипотеза, сформулированная в задаче, неверна. 4. Планирование исполнения. Сколько раз учитель видит одну и ту же картину: ученик, получив задачу, хватается за перо и начинает выписывать хоть что-нибудь. И как тут не вспомнить известное сравнение плохого архитектора с хорошей пчелой! Планированию тоже надо учить, учить специально — намечать план решения задачи. Очень часто на доске я оставлял только план решения, а само решение уже доводят до конца дети, причем это задание может быть и домашним. Кроме того, этим экономится классное время. 5. Исполнение. Это наиболее ясный этап в работе. 6. Коррекция. Часто первоначально выбранный план решения заводит в тупик из-за технической сложности работы. Я уже не говорю о том, что в результате проделанной работы получается совсем не то, что хотелось. Примеров тому великое множество, и я не буду их приводить. Замечу только, что попытка найти аналитическое решение геометрической задачи может завести в непроходимые дебри алгебраических преобразований, в то время как возможно сугубо синтетическое решение чуть ли не в две строчки. 7. Контроль. Умение контролировать свою работу чрезвычайно важно. О нем я буду говорить дальше. 8. Оценка. Когда решение задачи получено, не надо торопиться переходить к следующей задаче. Стандартный вопрос: нравится ли тебе самому полученное решение? Нельзя ли короче? Здесь уместно сравнение своей работы с тем, что сделано одноклассниками, учителем, напечатано в книге. 9. Использование, применение. А что можно сделать с полученным результатом? Какие следствия из него можно получить? Нельзя ли его использовать для получения ранее известных результатов? Вот пример. Если есть луч ОЛ, его проекцйя ОАх на некоторую плоскость и луч О В в этой плоскости, то известна формула cosZAOB = cosZAOA{ cosZA{OB. Как только мы ее получили, опять можно вернуться к задаче о проектировании ребра трехгранного угла, которую я упоминал. С помощью этой формулы ее результат получается легко. Можно ставить вопрос о распространении найденного способа решения на другие задачи. Например, исходя из соображений монотонности, решено иррациональное уравнение. Можно ли таким же образом решать уравнения другого вида?
140 Задача для учителя математики. 7-11 классы 10. Развитие темы. Результат получен. Нельзя ли его обобщить? Верны ли обратные утверждения? Быть может, в связи с ним появились какие-то новые мысли? Полезный пример развития темы, точнее, идеи решения - перенесение метода интервалов с прямой на плоскость, но уже для двух переменных. К примеру, надо изобразить на плоскости множество точек, удовлетворяющих условию (х -у)(у - 2х) > 0. Проведем прямые у = х и у = 2х. Они разобьют плоскость на четыре угла. Возьмем точку внутри любого из них, желательно с «хорошими» координатами, например (2; 5). Подставим эти координаты в левую часть неравенства. Полученный знак этого выражения («+» или «-») поставим в соответствующем углу. Переходя через каждый из нарисованных лучей, мы будем менять знак в углу на противоположный. Те углы, в которых будет стоять знак «+», покажут множество решений данного неравенства. Этот метод можно использовать и тогда, когда области на координатной плоскости ограничены не только прямыми. Приведу пример «хорошей», по-моему, задачи, точнее, пример того, как задача может быть превращена в «хорошую». На данном отрезке АВ с одной стороны от него построены два перпендикуляра ААХ и ВВХ. Проведем отрезки АВХ и ВАХ. Пусть они пересекаются в точке С. Найти расстояние от точки С до прямой АВ, если ААХ = а, ВВХ = b (рис. 4). Рис. 4 Эту задачу можно решать уже в девятилетке, но я ее люблю решать в начале 10 класса, когда повторяю планиметрию. Самое интересное в ней — независимость искомого расстояния от величины АВ. И это самое интересное почти содержится в данной формулировке в готовом виде. Разумнее сделать иначе. Сначала организуем некое наблюдение. Предложим ученикам провести горизонтальный отрезок любой длины; естественно, длины получатся разными. Затем дети выполняют построение,
8. Хорошая задача делает нас умнее 141 указанное в задаче, после чего находят расстояние от точки С до прямой. Результаты пока ни о чем не говорят. Теперь задаем вопрос: зависит ли это расстояние от длины АВ или нет? Ответы обычно разные. Можно рассказать для живости, что вам нужно подвесить фонарь с помощью такой конструкции. Более того, мы хотим, чтобы фонарь висел на заданной заранее высоте. Так будет ли высота фонаря зависеть от расстояния между столбами, которые придется врыть в землю? Пусть мы считаем, что зависит. Попытаемся опровергнуть наличие зависимости, подчеркиваю, не доказать, а опровергнуть. Делается это не очень сложно. Если мы возьмем отрезки ААХ и ВВХ равной длины, то из свойств прямоугольника ясно, что искомое расстояние равно половине длины перпендикуляра ААХ и никоим образом не зависит от длины АВ. К гипотезе о независимости можно прийти в результате наблюдения, если предложить на начальном этапе ученикам поработать с отрезком АВ одной и той же длины, меняя только длины перпендикуляров. План решения может быть таким (см. рис. 4). Введем обозначения: АВ = d, AD = dv DB = dv CD = x, ZBlAB = yl, ZA]BA = (pr Тогда x = d.tgcp, = d. с одной стороны их- flf9tg(p9 = d' — — d d с другой стороны. Кроме того, d{ + d2 = d. В результате получается система двух линейных уравнений относительно dx и d2. Само решение, т. е. реализация этого плана, трудностей не представляет. Ответ х = — подтверждает справедливость гипотезы о не- а + b зависимости искомого расстояния от начальной длины горизонтального отрезка. Если бы у нас была принята гипотеза о зависимости, то необходимо было бы скорректировать исходное предположение. (О других видах контроля речь пойдет дальше.) Решение этой задачи может быть чуть короче, если воспользоваться подобием треугольников. О полученном результате есть что сказать. Средним гармони- , 2 ческим положительных чисел а и b называется выражение -j р 1 1 —^— обратное для среднего арифметического чисел — и а ^ а b Теперь мы видим, что полученный результат составляет половину от среднего гармонического длин перпендикуляров.
142 Задача для учителя математики. 7-11 классы Здесь уместно рассказать ученикам о происхождении термина «среднее гармоническое». Далее, с помощью рисунка сразу получаются два таких неравенства: 2 2 тд < а’ тгт< ь• a b а b И, наконец, используя этот результат и несложные преобразования, можно, имея данный отрезок а и единичный отрезок, построить отрезок —. Для этого достаточно вместо b взять этот а единичный отрезок, после чего решение просто. Завершить задачу хорошо ее различными обобщениями. Во-первых, перпендикуляры можно откладывать в разные стороны от данного отрезка, при этом открываются интересные особенности в получающейся формуле. Во-вторых, не обязательно брать именно перпендикулярные отрезки, можно перейти к параллельным между собой, образующим с исходной прямой острый угол. Для них тоже можно рассмотреть оба случая: по одну и по разные стороны от данной прямой. Наконец, «на сладкое» такая вариация на заданную тему. Пусть в исходной конфигурации с перпендикулярами дано, что ЛВХ - 2, ВЛ{ = 3, CD = 1. Задание «Вычислить А#» приводит к уравнению, которое не ясно, как решать. (Задача, известная как «задача египетских жрецов».) И начинаются новые разговоры. Один из них несколько странный. Вид ответа -р—р настолько - + - а b напоминает ответ в задаче на совместную работу или совместное движение, что аналогия напрашивается сама собой. Вот формулировка такой типичной задачи: «Две машины выехали одновременно по одной дороге навстречу друг другу, одна из пункта А в пункт В, а другая из пункта В в пункт А, и движутся с постоянными скоростями. Первая машина проходит весь путь за время Tv а вторая — за время Тт Через какое время они встретятся?» А ответ 1 здесь такой: -j р Tt+T2 Вернемся к рисунку 4. Будем считать, что длина отрезка АВ (d) — исходное расстояние между пунктами Aw В, ВВ{ = Тг ВВ2 = Т2. Обозначим угол АВХВ (он же угол ACD) как а, а угол ААХВ (он же угол BCD) как р. Теперь геометрические соотношения
8. Хорошая задача делает нас умнее 143 можно трактовать как отношения между величинами в процессе движения. Именно: tga = - — = Vx (скорость первой машины), Щ т\ tgp = -j- = jr = V2(скорость второй машины). Далее: AD = dx — это путь первой машины до встречи, BD = d2 — это путь второй машины до встречи. Но что такое х = CD? Запишем равенство: d = dx + d2 = xtga+xtg P=xVx + xV2 = x( Vx + + V2) = xV, где V — скорость сближения двух машин. Тогда т. е. время сближения, иначе говоря, время, через которое они встретятся. Впрочем, эта незатейливая выкладка необязательна. Ответы в данной геометрической задаче (назову ее «задачей о трех расстояниях») и приведенной задаче на движение столь похожи, что можно сразу перевести эту ситуацию с геометрического языка на «человеческий». Возможно и обратное — перевод текстовой задачи на геометрический язык. Этот метод (в другой редакции) для многих задач подробно разобран А. Островским и Б. Кордемским. Порой обобщение позволяет получить более простое решение даже в незатейливой задаче. Вот пример. «Прямоугольный участок земли надо обнести забором. Размеры участка 100 м на 50 м. Для установки забора ставятся столбы на расстоянии 2 м между собой. Сколько потребуется столбов?». Несложно подсчитать нужное число столбов даже в начальной школе, но требуется аккуратность из-за столбов, которые стоят в углах. А какое возможно обобщение? Оказывается, в этой задаче не существен прямоугольник. Можно взять окружность длиной 300 м и ответить на тот же вопрос, но заботиться об углах уже не нужно. Более того, вместо окружности можно взять любую замкнутую простую кривую (кривую, гомеоморфную окружности), а вопрос задачи тот же. Затем, пожалуйста, есть тема для разговора о несложных понятиях топологии. Увы, иногда обобщение может «убить» задачу. Вот пример: «Дан цилиндр. Его высота равна 10, а радиус основания равен L Точка Л находится на окружности одного основания цилиндра, точка В — на окружности другого основания, при этом АВ проходит через центр симметрии цилиндра. Точка С находится на той же окружности основания этого цилиндра, что и точка А, и удалена от А на 1. Чему равен угол АСВ?».
144 Задача для учителя математики. /-11 классы После нескольких «тупых» вычислений получаем, что искомый угол прямой. Но задача легко обобщается, и приходим к такой формулировке: «Под каким углом виден диаметр цилиндра (наибольший отрезок, соединяющий две точки цилиндра) из произвольной точки на окружности любого основания?». Такая свободная от численных данных формулировка показывает, что ответ не зависит от выбора точки на окружности основания, но тогда чисто логически угол просто должен быть прямым. А теперь решение. Опишем около этого цилиндра сферу. Тогда выбранный диаметр цилиндра становится диаметром описанной сферы, выбранная точка на окружности основания цилиндра лежит на этой сфере, а потому нужный нам угол прямой. Эффектно, но это еще не все. Попробуем обобщить дальше. Возьмем некую фигуру F, а в ней диаметр. Рассмотрим сферу с центром в середине этого диаметра. Пусть эта сфера проходит через некоторую точку фигуры F. Ясно, что из этой точки выбранный диаметр виден под прямым углом — и нет задачи. Задача тем лучше, чем больше из этих 10 моментов отражено в ее решении. Разумеется, задача становится еще лучше, если она имеет красивое решение, или содержит интересную идею, или знакомит с важным результатом. Вспомним, как сказал Ю. Ма- нин: «Хорошая задача делает нас умнее». Добавлю: после того, как мы ее решили. Иногда полезно показать ученикам иное происхождение задачи, нежели указанно выше, как то: наблюдение, обобщение... Я покажу, как возникают некоторые неравенства. Пусть мы имеем равенство А = В + С, причем С > 0. Отсюда имеем неравенство А-В>0иА>В. Последнее неравенство порождает разные вопросы: когда происходит равенство А- В? когда достигает наименьшего значения А? когда достигает наибольшего значения В? Перейду к примерам использования этого незатейливого перехода от равенства к неравенству, после чего опять к равенству. 1. Имеем равенство (а - b)2 = a2 + b2- 2аЬ. Из него следует, что а2 + Ь2 = (а- Ь)2+ 2 ab, затем а2 + Ь2> 2 ab. Для дальнейшего поло- а2 + Ь2 жим неотрицательность а и Ъ. Теперь имеем —-— > ab. Пусть а2 = хj, Ь2=хт Приходим к неравенству между средними арифметическим и геометрическим для двух неотрицательных Переменна + *2 ^ / ных: > yjxxx2.
8. Хорошая задача делает нас умнее 145 2. Имеем равенство а3 + Ь3 + с3 - ЪаЪс = (а + b + с) (а2 + Ь2 + с2 - - ab-bc- са). Далее Т= (а2 + Ь2 + с2 - ab - Ьс - са) = 0,5((а - Ъ)2 + (Ь - с)2 + + (с-я)2)>0. Для дальнейшего положим неотрицательность а, b, с. Тогда а3 + Ь3 + с3 - ЪаЪс - (а + Ъ + с)Т> 0, потому а3 + Ь3 + с3 > > Зяйс. Теперь имеем: > abc. Пусть a3 =хх, b3 =х2, с3 =х3. Приходим к неравенству между средними арифметическим и геометрическим для трех неотрицательных переменных: Хх + Х> + *3 I : J L>yjxxx2x3. 3. Имеем равенство (а2 + а\) 0,2 + б2) = (ахЬх + а2Ъ2,»2 + (в,*2 - я2Л,)2. Из него следует, что (а2 + я2) (if + > (ахЬх + я2й2)2 — неравен¬ ство Коши — Буняковского для двух переменных. 4. Имеем равенство (ах + а\ + а\)(^2 + й2 + 632) = (ахЬх + а2Ь2 + а3Ь3)2 + (ахЬ2 - а2Ьх)2 + + (tf2Z>3 - a3b2)2 + (я36, - я,63)2. Из него следует, что (я2 + а2 + я3)(6,2 + 62 + 63) > (яД + а2Ь2 + + а3Ь3)2 - неравенство Коши — Буняковского для трех переменных. Из неравенств (3) и (4) (следствия тождеств Лагранжа) получаются известные неравенства для скалярного произведения векторов в координатной форме (двумерных и трехмерных). Тут же появляются хорошо известные задачи о нахождении экстремальных значений для суммы двух неотрицательных переменных при постоянном их произведении и о произведении двух неотрицательных переменных при постоянной их сумме. Несколько слов в заключение. Термин «задача» не имеет ясного толкования. Большинство школьных задач решаются с использованием известных алгоритмов или алгоритмических предписаний. Их решение носит в основном технический характер. Я бы для таких задач сменил их название, пусть они будут называться упражнениями. Решить квадратное уравнение по формуле, иррациональное неравенство цепочкой разумных преобразований и т. д. — это не задача, а упражнение. Геометрические задачи с замысловатыми условиями, нацеленные на одиночный конкретный результат, также упражнения, разве что сложные. В основном мы упражняем ребенка. Упражнения, конечно, важны, даже необходимы для выработки умений. Но когда их чересчур много...
146 Задача для учителя математики. 7-11 классы 9. О ЗАДАЧАХ В УЧЕБНИКЕ Последние три десятилетия мне довелось работать в содружестве с А. Александровым и А. Вернером над учебником геометрии. За эти годы созданы учебники для всех классов как массовой, так и математической школы. А. Александров, академик, и А. Вернер, профессор, - оба геометры. ★ * * Александр Данилович Александров умер в 1999 году. Мы еще не вполне представляем себе, что он сделал для математического образования, в первую очередь геометрического, настолько велико его наследие. Прежде всего я назову сборник — уникальный в своем роде — «Математика, ее содержание, методы и значение», изданный у нас в 1956 году и недавно переведенный в США. У этого сборника было три редактора: А. Александров, А. Колмогоров и М. Лаврентьев. В нем три статьи А. Александрова; в первой из этих статей под названием «Общий взгляд на математику» приведен краткий очерк истории математики, рассказано о сущности математики и закономерности ее развития. Надо ли объяснять необходимость знакомства учителей с этой статьей? В 1988 году появился сборник статей и выступлений Александра Даниловича «Проблемы науки и позиции ученого». Вот названия некоторых из них: «Наука и этика», «Математика», «Истина и заблуждение», «Диалектика и наука», «Пусть будет больше одержимых», «От дважды два до интеграла», «Поэзия науки», «Тупость и гений». Особое восхищение вызвала у меня последняя статья из этого списка, в свое время опубликованная в журнале «Квант». Ну сколько раз рассказывали о геометрии Лобачевского, ну что еще можно такого нового тут открыть? А. Александров это сделал — и как! Статья читается залпом, как детектив. Александр Данилович обладал редким даром ясно излагать трудное, даже в специальных работах; ни учителям, ни студентам — будущим учителям не надо «бояться» читать его статьи. Далее, после его многочисленных статей в журнале «Математика в школе», по существу, «закрыты» многие трудные для преподавания вопросы. Именно: можно ли использовать теоретико-множественные понятия, как толковать векторы, как определить многогранник, как понимать пресловутую строгость? Я уже не говорю о его классической статье «О геометрии». И каким блестящим языком они написаны!
9. О задачах в учебнике 147 Те его статьи, которые имеют отношение к нашему делу, школьному геометрическому образованию, изданы в специальном сборнике в 2016 году в Петербурге издательством «СМИО- ПРЕСС». Отдельный разговор — написанные им учебники геометрии для школы. Сначала расскажу про одну пикантную ситуацию: меня вдруг вызвал по телефону на краткосрочное свидание некий молодой человек, которого я не знал и которого больше никогда не видел. И задал мне при встрече всего один вопрос: «А сам ли Александров написал теоретический текст учебника?» Видимо, кому-то не представлялось возможным, чтобы академик с мировой репутацией вот так вот взял ручку и стал для детей доказывать, скажем, признаки равенства треугольников. А я вспоминаю заснеженный Академгородок под Новосибирском, его коттедж, почти весь погруженный во тьму, и только одно светлое окно. Подхожу к жилью, и в этом окошке — склонившаяся над столом седая голова академика. С минуту стою и просто смотрю. Саваоф за работой. Прохожу в дом и вижу на исписанных листках доказательства школьных теорем. Кстати сказать, все эти доказательства Александр Данилович записывал, не прибегая к рисункам: они ему были просто не нужны, весь рисунок вместе с буквами, обозначающими точки, он держал в голове. То, что он сделал в своих учебниках, уникально, насколько я могу судить, для всей мировой практики преподавания элементарной геометрии. В основе лежит совершенно четкая собственная концепция геометрии, ее преподавания и учебника для детей — она сформулирована в его статьях. (Замечу, что обычно авторы школьных учебников математики не баловали нас рассказом о своем видении курса — а почему он именно такой?) Далее, А. Александровым создана аксиоматика геометрии, на упрощенном (для школы) варианте которой он выстроил весь курс. (Она приведена в полном виде в его книге по основаниям геометрии.) Он не раз говорил, что не видит смысла в том, чтобы современные школьники знакомились с основаниями теории на уровне, который был неизвестен К. Гауссу, Н. Лобачевскому, Б. Риману, имея в виду при этом достаточно тонкие аксиомы порядка или непрерывности. Диагонали параллелограмма пересекаются просто потому, что это видно на рисунке! В учебнике оригинальна и предельно проста последовательность изложения теории. Он подчеркивал, что основная линия курса им предельно минимизирована, выстроить ее короче вряд ли возможно. Это достигнуто, в частности, за счет раннего из¬
148 Задача для учителя математики. 7-11 классы ложения теории площадей (тем самым решились проблемы, связанные с несоизмеримостью, причем на наглядном уровне), а также благодаря раннему использованию теоремы Пифагора й тригонометрии. В учебниках доказаны (на принятом уровне строгости) все необходимые теоремы за одним только общепринятым исключением: нет доказательств теорем существования при изучении площадей и объемов. Но об этом в тексте прямо говорится. Александр Данилович настаивал на том, что все теоремы должны быть доказаны, на то и наука. А если не доказано, то нечего это скрывать. Притом он никогда не забывал, что речь идет о детях, и подчеркивал, что наглядность важнее строгости, если выбирать между ними, то последней можно и пожертвовать. Чуть подробнее по поводу объемов, изучаемых в старших классах. Разговор начинается с описания класса фигур, для которых объем можно вычислять: с понятия простой фигуры, каковой дается определение. В иных известных мне школьных учебниках проблематично существование объема, например у полушара, и неясно, почему можно говорить о суммарном объеме нескольких кубов, не имеющих между собой общих точек. Для обоснования существования объема у простых фигур Александром Даниловичем в одной из научных статей была специально доказана соответствующая теорема. Была у Александра Даниловича и «голубая мечта» — сделать учебник, в котором геометрия строится на конечном куске плоскости. Это полностью соответствует практике, ведь реально нет ни прямой во всей ее бесконечности, ни параллельных прямых, которые «нигде не пересекаются». И не вполне естественно выглядит известное доказательство теоремы о сумме углов треугольника, в котором проводится прямая, параллельная данной. При чем тут бесконечный объект, каким является прямая? Поэтому вместо традиционной формулировки аксиомы параллельности он вводит в учебник планиметрии аксиому существования прямоугольника, т. е. конечной фигуры. (Теперь есть школьные учебники других авторов, в которых взята именно это аксиома; авторы в своих комментариях на Александрова не ссылаются.) Полностью осуществить свой замысел в школьном учебнике Александр Данилович не успел. В принципе эта идея не нова, впервые ее реализовал М. Паш. Процитирую также А. Пуанкаре: «Должны ли мы сохранить классическое определение параллельных линий...? Нет, ибо это определение отрицательное, оно не может быть проверено опытом...
9. О задачах в учебнике 149 Определение это не может быть сохранено еще и потому, что оно совершенно чуждо понятию о группе, чуждо идее о движении твердых тел, которая... является истинным источником геометрии». И, наконец, не могу не упомянуть его чисто методические находки. Одно доказательство теоремы о трех перпендикулярах чего стоит: в одну строчку только из теоремы Пифагора, можно даже без рисунка и сразу в общем виде. Запишем равенство АХ1- АВ2 + ВХ2, в котором А — произвольная точка пространства, лежащая вне данной плоскости, X — произвольная точка фигуры F, лежащей в данной плоскости, В — проекция точки А на данную плоскость, причем в общем случае В не принадлежит фигуре F' Из этого равенства все и вытекает, причем для произвольной плоской фигуры. В самом деле, наименьшее значение АХ достигается тогда и только тогда, когда достигает наименьшего значения ВХ, ведь АВ — константа, расстояние от точки до данной плоскости. Теперь, если фигура F— прямая, минимальность длин отрезков АХ и ВХ равносильна перпендикулярности их к данной прямой. Вот и все доказательство. Любопытно заметить, что о самой теореме о трех перпендикулярах, как таковой, и ее «роли» в школьном преподавании Александр Данилович услышал от меня. То, что столь тривиальный факт является чуть ли не главным в школьной стереометрии, очень его удивило. Аналогичное доказательство проходит для двух фигур, лежащих в параллельных плоскостях, в частности, для скрещивающихся прямых. А вот доказательство признака перпендикулярности прямой и плоскости не вошло в его учебники (я привожу его дословно, сохраняя авторский стиль, разве что без рисунка, который легко сделать, следуя дальнейшему тексту). Пусть дана прямая а и на ней точка А. Проведем через прямую а две плоскости Р, у, в них соответственно прямые 6, с, перпендикулярные а в точке А. Пусть ос — проходящая через них плоскость. Возьмем какую-нибудь прямую d, проходящую через точку А и не лежащую в плоскости а. Докажем, что она не перпендикулярна прямой а. Возьмем на прямой d какую-нибудь точку Z>, отличную от А. Она лежит в одном из двугранных углов, ограниченных плоскостями (5, у. Проведем через нее прямую так, чтобы она пересекала грани этого двугранного угла в каких-то точках В, С, лежащих с одной стороны от плоскости а. Возьмем теперь на прямой а с той же стороны от плоскости а точку О. Построим в плоскостях р, у круги Къ, Кс с общим цен¬
150 Задача для учителя математики. 7-11 классы тром О и радиусом R = ОА. Так что прямые b, с будут их касательными в точке А. При этом точку О возьмем настолько далеко, т. е. радиус R возьмем настолько большим, чтобы точки В, С оказались в кругах Кь, Кс. Теперь опишем вокруг точки О шар S тем же радиусом R. Круги Къ, Кс будут его большими кругами, так что точки В, С лежат в шаре S. А так как шар — выпуклая фигура, то и точка D на отрезке ВС лежит в нем. Таким образом, на прямой d есть отличная от А точка D, лежащая в шаре S. Значит, прямая d - не касательная к шару и, значит, не перпендикулярна радиусу ОА. Докажем теперь, что всякая прямая, проходящая через точку А в плоскости а, перпендикулярна прямой а. В самом деле, пусть к — какая-нибудь такая прямая. Через нее и прямую а проходит плоскость. В этой плоскости через точку А проходит прямая k' _L а. Она лежит в плоскости а, т. к. иначе, по доказанному, она не перпендикулярна а. Значит, прямая к' совпадает с к, так что к La. Такого доказательства признака перпендикулярности прямой и плоскости я не встречал. Можно рассказать его ученикам — так доказывает академик! Главное его достоинство — оно представимо наглядно. На худой конец можно соответствующим образом помахать руками перед всей аудиторией в стиле Г. Монжа (он любил излагать геометрию именно так). Ссылка на выпуклость шара в начале курса легко при необходимости обходится известным свойством хорды треугольника, выходящей из какой-либо его вершины, — она короче хотя бы одной из двух сторон треугольника, выходящих из той же вершины. Другие свойства шара, упомянутые в этом доказательстве, совершенно прозрачны. Да и сам шар не очень-то нужен, достаточно использовать объединение расширяющихся кругов. Александр Данилович дал такую переформулировку признака перпендикулярности: «Объединение прямых, перпендикулярных одной прямой в одной ее точке, представляет собой плоскость». Он придумал еще три варианта доказательства этого признака, они аналогичны по идее приведенному. При этом он руководствовался ясной методической идеей: коль скоро в системе аксиом стереометрии уже есть расстояние, то сразу можно говорить о шаре и его свойствах, а затем рассматривать перпендикулярность прямой и плоскости. Добавлю еще несколько штрихов. Я как-то спросил у него: «А какими вы видите задачи в учебнике?» — и приготовился записывать: первое, второе, третье... «Очень просто, — последовал
9. О задачах в учебнике 151 ответ. — Помните: “Тиха украинская ночь...”? Вот и задачи должны быть такими». Еще об Александре Даниловиче. Вот идет заседание Ученого методического совета при Министерстве просвещения СССР в бытность его председателем этого Совета. Ему говорят, что в его учебнике не сказано о методах решения задач. Мгновенный ответ: «Геометрия сама по себе есть метод». Добавлю: метод для решения задач, даже весьма далеких по содержанию от геометрии. Ощущение того, что я слышу, читаю не просто выдающегося специалиста, а хозяина в огромном мире геометрической науки, причем с громадной общей эрудицией, было постоянным во время каждой нашей беседы. Я помню Александра Даниловича разным, не только ученым, который учил нас понимать геометрию. Вот давняя встреча с ним еще до совместной работы. 1964 год, Кавказ, альплагерь Алибек, в котором он проводил отпуск, забираясь на прекрасные вершины. Я привел к нему свою группу школьников-туристов, и с обеда до ужина он рассказывал ребятам про горы, альпинизм и про то, что лучшую свою теорему он доказал в горах, при восходе солнца. Кстати сказать, на Западном Кавказе есть перевал академика Александрова. Он и в обычной жизни не боялся трудностей, порой идя на конфронтацию с «сильными мира сего». Историкам науки это хорошо известно. Помню две его — в то время ректора Ленинградского университета — трехчасовые лекции для учеников 239-й школы, в которой я тогда работал. Тема — нравственность ученого. Помню его встречи с учителями (он же сам из учительской семьи). На этих встречах он был не только и не столько популяризатором, но и просветителем. Более всего его удручала приниженность учителя в современном мире, причем принятая нами самими, учителями. Его внук, как рассказывал Александр Данилович, однажды спросил у него что-то про симметрию. Разумеется, объяснение было обстоятельным. Но на следующий день внук пришел домой расстроенным: «А учительница сказала, что я все говорю неправильно». — «То есть как неправильно?» — «Ну, не так, как в учебнике». Вспоминаются его изречения: «Учить наизусть надо не математические формулировки, а стихи». Еще: «Математики не считают, считают бухгалтеры». Еще: «От многих математиков я отличаюсь тем, что знаю, зачем она, эта математика, нужна». Он же был по образованию физик, имел серьезные работы по теоретической
152 Задача для учителя математики. 7-11 классы физике. По поводу требовательности к языку, на которой иногда настаивают методисты, приводил в пример строку из песни: «С берез неслышен, невесом / Слетает желтый лист». И спрашивал: «Это кто же слетает — композитор Лист?» До последних лет своих он удивлял своей памятью, цитировал наизусть многие строчки, в том числе прозу, иногда на иностранном языке. А его стихи, басни... А каким он был полемистом! Так жалко, что его нет с нами... так жалко... На его могиле громадная, свободной формы, темно-красная гранитная глыба. И выбита надпись: «Поклоняться только истине...» * * ★ Мое участие в работе над учебником состояло в подборе задач и авторской экспериментальной проверке текста. По этим книгам я проработал во всех классах и массовой, и математической школы. Таким образом, мне довелось побывать «в двух шкурах»: автора и потребителя. Эта работа дала мне очень много. Довольно быстро я понял, что мысль о том, будто качественный учебник для школы может быть создан без участия геометра-профессионала, вряд ли верна. Разве что может получиться более-менее удачная компиляция, учебник А. Киселева является тому примером. Конечно, опытный педагог знает, что и как нужно рассказывать детям, какие упражнения им предложить. Но у него же нет такого знания предмета в целом, как у профессионального математика, и, что еще важнее, у него нет такого уровня понимания предмета. Приведу по этому поводу пару примеров. Пример первый. Не имеющая принципиального значения теорема о трех перпендикулярах почитается учителями чуть ли не как главная теорема стереометрии. В ней есть, правда, «изюминка», которую я не сразу рассмотрел. Именно в ней очень просто представлена идея понижения размерности: нахождение расстояния в трехмерном пространстве сводится к нахождению расстояния в двумерном пространстве. Ясно, что это упрощает ситуацию. Идея понижения размерности встречается и в других местах курса геометрии, например, когда мы в задачах на комбинацию фигур вращения рассматриваем двумерную конфигурацию, полученную в результате проведения осевого сечения. Пример второй. Известно, что некоторые теоремы стереометрии легче доказываются, если предварительно изучены углы между скрещивающимися прямыми. Однако это понятие «идей¬
9. О задачах в учебнике 153 но» совсем из другого места в теории, где изучается угол между векторами (или направлениями). И перпендикулярность плоскостей может изучаться без понятия двугранного угла, ей предшествует ясный наглядный образ, указанный А. Александровым: плоскость, перпендикулярная данной плоскости, — это плоскость, покрытая перпендикулярами к данной плоскости. Точно так же, как правило, не годятся в качестве единственного автора школьного учебника и только «чистый математик», и только «специалист по задачам» (названия сугубо условны), никогда не пытавшиеся что-то объяснять детям, скажу грубее, никогда не «зарабатывавшие себе этим на хлеб», т. е. не сделавшие это своей профессией. Первый вряд ли будет озабочен проблемами мотивации учеников и прочими чисто педагогическими проблемами, второму будет не хватать понимания предмета в целом, но также методики его преподавания; оба: «чистый математик» и «специалист по задачам» — едва ли знакомы с теорией учебной книги как таковой. Я приведу характерные примеры из учебников, написанных такими авторами (безусловно и даже абсолютно компетентными в своем деле). Возьму только один раздел курса — векторы. В учебнике геометрии А. Погорелова изложение скалярного произведения начинается с его определения, причем в координатном виде. Зачем нужно такое странное произведение, откуда появляется это сногсшибательное (для ученика) определение — ни слова. В учебниках геометрии И. Шары- гина изложение векторов не сопровождается даже намеком на их роль в физике. Более того, у авторов — «специалистов по задачам» — возможно даже не вполне ясное изложение стандартного теоретического материала. Вот пример определения объема тела из учебника стереометрии И. Шарыгина. Цитирую: «Каждому телу можно поставить в соответствие положительное число, которое называется объемом этого тела. При этом выполняются следующие условия: 1) объемы равных тел равны; 2) если тело разделено на две части, то его объем равен сумме объемов его частей (свойство аддитивности объема); 3) если задана единица длины, то объем куба, ребро которого равно этой единице, равен одной кубической единице». Это определение непросто довести до сознания детей: что такое тело (нет четкого описания), какие такие равные тела (понятия движения нет), что значит «тело разделено на две части» (произвольные «части» не обязаны иметь объем, и что значит «разделено»), что такое «кубическая единица»? Неясность еще
154 Задача для учителя математики. 7-11 классы и в том, что объем изначально считается числом. С этим не согласятся ни физики, ни даже думающие ученики. Для них объем - скалярная величина, имеющая размерность. (Молока в пакете 1 литр, а не число 1.) Если так, то откуда же это число взялось? Видимо, единица измерения объема уже должна быть. Но почему тогда она появляется только в третьем условии определения? Замечу, что согласно этому определению мы не сможем найти общий объем варенья в двух банках, получающийся у любой хозяйки сложением объемов варенья в этих банках. А невозможно потому, что две банки порознь (в абстрактном варианте) — это уже не тело. Итак, определение объема по И. Шарыгину и туманно, и непрактично. Словеса только, если сказать короче. Это проявляется, к примеру, в известной задаче: нас интересует, какую часть составляет объем тетраэдра ACBXDX от объема всего параллелепипеда ABCDAXВх CXDX. В учебнике стереометрии И. Шарыгина она предваряет вывод формулы объема тетраэдра через два противоположных ребра, расстояние и угол между ними. Увы, симпатичное (впрочем, известное) ее авторское решение не безупречно, если объем определен так, как в этом учебнике. Поясню, в чем дело. Объем интересующего нас тетраэдра находится не «в лоб», и не очень понятно, как это сделать. Здесь надо, как говорится, «смотреть рядом». А «рядом» с нашим тетраэдром еще четыре, которые дополняют данный тетраэдр до исходного параллелепипеда. Объем каждого из «дополнительных» тетраэдров составляет — и это устно — 1/6 от объема параллелепипеда. Тогда объем всех четырех таких тетраэдров составляет 2/3 от объема параллелепипеда, а потому интересующий нас объем составляет 1/3 от объема параллелепипеда. И. Шарыгин этот результат почти никак не поясняет. Но в чем же закавыка? А в том, что складываются объемы четырех тетраэдров, каждые два из которых имеют общее ребро. На каких свойствах объема основываемся при этом сложении? Неясно, в нужном месте написано лукавое «значит». И уж если авторы с такой высокой репутацией допускают отклонения от математики или методики, то что говорить о других? Напрашивается вывод: создание учебника по математике целесообразнее рассматривать как задачу для коллективного решения, которую лучше делать командой «математик + учитель + методист». Разумеется, возможно соединение (в реалии редчайшее) каких-то амплуа в одном лице. При этом необходимо быть в курсе всего добытого по этой проблеме на сей момент в педагогике, дидактике, психологии, методике. Важно точно ощущать
9. О задачах в учебнике 155 веяния времени. И, как говорил А. Александров, литературный талант тоже не помешает. Довольно быстро после начала преподавания по экспериментальному учебнику становится ясно, насколько первый его вариант далек от приемлемого. При подготовке к урокам приходилось тексты отдельных параграфов чуть ли не переделывать заново, упражнения оказывались неуклюжими и плохо подходящими к теории. Сразу стала ясна причина педагогического успеха А. Киселева: до того как его книга официально стала учебником, он работал над ней 45 лет. Впрочем, даже при этом система задач в его учебнике не была столь же признана, сколь теория, понадобился для полноценной учительской работы задачник Н. Рыбкина, а затем и П. Стратилатова. Мне странно слышать нынешний призыв «Назад к Киселеву!», идущий от известных ученых-математиков, но не только от них. Призыв этот порожден туманностью ситуации, в которой оказалась нынешняя школьная геометрия, и всплеском их собственных детских воспоминаний. Да, школьная геометрия по содержанию не шибко изменилась с «киселевской» поры, но математики, судя по этому призыву, этим и ограничиваются. А то, что изменилась образовательная парадигма, что многое по-новому осмыслено в педагогике, дидактике, когнитивной психологии и методике преподавания, так это ими в учет не берется. И коли свершится их пожелание, как раз и получится «назад». Идея возврата к преподаванию по Киселеву косвенно связана с мифом о «золотом веке» в нашем математическом образовании, который будто бы был. Сейчас якобы все ужасно, мы давно уже не в лидерах и по части школьной математики, но можно повернуть колесо вспять, и начать этот поворот следует возвратом к учебникам Киселева. Эта точка зрения не единожды попадалась мне и в печати. Неблагодарное это дело — разрушать мифы, но попробую. Учебников, написанных А. Киселевым, было несколько: по арифметике, алгебре и геометрии. Я учился по этим книгам и преподавал по ним. Арифметики как отдельного предмета сейчас нет в школе; учебник по алгебре использовать в современной школе невозможно хотя бы потому, что он безнадежно устарел, в нем нет общепринятой теперь функциональной линии, тем более стохастической. Добавлю еще, что этот учебник был явно не в ходу. Мой учитель математики — заслуженный учитель Владимир Васильевич Бакрылов — его полностью игнорировал, и мы
156 Задача для учителя математики. 7-11 классы занимались алгеброй по записям в тетрадке. Так что речь может идти только о возврате к учебнику геометрии. Учебник этот является компиляцией из иностранных учебников, в чем несложно убедиться. Эта компиляция естественна, ведь А. Киселев был школьным учителем, а не профессиональным математиком и тем паче не геометром. Как в любой компиляции, оригинальных методических идей в этом учебнике не видно. Более того, в нем легко обнаружить много неясных и даже неудачных мест, наличие неоправданных лакун в доказательствах; некоторых фактов явно не хватает. О научном уровне учебника можно судить хотя бы по принятому в нем изложению теории объема. Вот определение объема: «Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется объемом этого тела». Что такое «геометрическое тело», не поясняется. Что такое «часть пространства, занимаемая геометрическим телом», и вовсе неясно. Ответа на простой вопрос: можно ли складывать объемы двух шаров, не имеющих общих точек, - в учебнике не существует. Свойства объема перечисляются, в том числе такое: «Равные тела имеют равные объемы». Но что такое «равные тела», об этом не говорится. Тем самым вместо определения получается набор слов, который мы выучивали наизусть, ничуть не вдумываясь в его смысл, хотя в старших классах и пора бы. Но «что дозволено ученику, не дозволено учителю». Когда начинаешь преподавать, становится не по себе от трансляции бессмыслицы. Методика изложения многих разделов в этом учебнике представляет только исторический интерес. К примеру, вывод формулы объема шара без интегрирования. Замечу, что я никогда не слышал славословия в адрес этого учебника от гуманитариев. Я вовсе не утверждаю, что этот учебник был плох в те времена, когда создавался. Но его долголетие не является подтверждением методического совершенства, как об этом часто говорят и пишут, а наводит на мысль о социальной обусловленности феномена. В частности, можно вспомнить постановление Правительства 1933 года, действовавшее лет 20, согласно которому в школе должен быть по каждому предмету единственный учебник. Удивительно для меня не долголетие этого учебника геометрии, а современный призыв к нему вернуться. На чем он основан? Вот как аргументируют его И. Костенко и Н. Захарова в своих статьях и в «Учительской газете», и в «Математике в школе»: «Все учебники, изготовлявшиеся последние сорок лет, неудачны.
9. О задачах в учебнике 157 Этот общепризнанный факт доказывает неразрешимость задачи создания качественного учебника в современных условиях». А раз все учебники были неудачны, то затея написания новых учебников безнадежна. Значит, надо вернуться к учебнику Киселева. Такой вот ход мыслей. Странный ход. Странно первое утверждение о некачественных нынешних учебниках геометрии. А почему такая хула на те из них, в авторских коллективах которых выдающиеся ученые- геометры: А. Александров, А. Погорелов, Э. Позняк, В. Болтянский? Эти учебники могут кому-то нравиться или не нравиться, но как же можно отказывать им в качестве? Другое дело — приемлемость. Странно и второе заявление о безнадежности попыток написания хорошего учебника. Качественные учебники по другим предметам у нас, насколько я знаю, есть; в других странах не слышится жалоб на то, что абсолютно все учебники по математике плохие. С какой стати «катить бочку» именно на русские учебники математики? Я смотрю на свои книжные полки. Вот они — учебники для школы, написанные в прошлом веке нашими крупнейшими учеными (иногда в соавторстве). А. Александров, П. Александров, В. Болтянский, Н. Виленкин, Н. Глаголев, В. Гончаров, А. Колмогоров, JI. Люстерник, А. Маркушевич, С. Никольский, А. Погорелов, Э. Позняк, Д. Фаддеев, физик Я. Зельдович... Многие из этих книг я знаю в деле: или работал по ним, или частично использовал. Почему они не все оказались в школе — другой вопрос. Однако несомненна их математическая добротность и оригинальность. Я бы даже сказал, что они бесценны, как бы нам не забыть о них, а еще лучше сверять по ним наши новые методические устремления. Далее. Идея возврата к А. Киселеву предполагает, что в школе должен быть единственный и притом хороший учебник математики. (Слова «хороший» я побаиваюсь в применении к учебнику: что хорошо для одних, плохо для других.) Думаю, что появление учебника, который устраивал бы всех учителей математики, всех учеников и всех родителей невозможно в принципе, об этом и говорит как раз мировой опыт преподавания. Будем говорить «приемлемый». Однако идея единственного учебника порочна: нет возможности выбора, тебя засовывают в прокрустово ложе од- ной-единственной точки зрения (педагогической, дидактической, методической). И, наконец, даже если согласиться с идеей единственного учебника — как же он появится? Заказать его кому-то? И кому же? И кто будет его — автора — выбирать? Будут назначать?
158 Задача для учителя математики. 7-11 классы В общем, как ни крути-верти, мысль о единственном приемлемом учебнике геометрии, и притом именно Киселева, может прийти в голову только с отчаяния. Работая над текстом учебника, проверяя его в деле, я понял, насколько легче критиковать учебники, чем принимать участие в их создании. Возникает уйма проблем даже с упражнениями, и все вместе они порождают главную проблему — их отбора. Вот ведь сколько задач придумало человечество, и наивно надеяться, что можно хотя бы заметно изменить этот фонд собственным разумением. Отбор задач для учебника определяется многими соображениями. Перечислю некоторые из них. 1. Важное назначение задачной части учебника — способствовать верному пониманию предмета, в частности раскрыть логику развивающегося знания. В самом деле, изложение теории требует в каком-то смысле совсем другой логики — логики разворачивания готового знания. Проще говоря, когда излагается теория, почти всегда непонятно, почему доказательства именно такие, почему разделы учебника идут именно в таком порядке. Однако ясно, что «добывание» фактов и изложение их далеко не одно и то же. Об этом хорошо рассказал в своей книге А. Гро- тендик. Рассказывая детям, как решается та или иная конкретная задача, какие преодолеваются трудности, можно в какой-то степени заполнить этот традиционный пробел почти любого учебника математики. Приведу один пример подобного решения задачи в тексте учебника. Предварительно замечу, что ученикам известен такой результат: в кубе ABCDAXBXCXDX плоскость треугольника BCXD перпендикулярна диагонали Ах С. Итак, задача: «Какой вид имеют сечения куба, перпендикулярные его диагонали? Какое из них имеет наибольшую площадь? Чему она равна в кубе с ребром 1?» Решение. Такие сечения мы уже знаем. Одно из них — плоскостью BDCy Все остальные будут ему параллельны (?). (Знак вопроса, помещенный в скобках в тексте решения задачи, означает, что ученик должен сам обосновать предшествующую этому знаку мысль.) Разберемся сначала с формой этих сечений. Для удобства будем считать, что переменное сечение движется параллельно себе по направлению от вершины С к вершине Ах (рис. 5). Пусть точка Кх — точка пересечения диагонали АХС с плоскостью BDCX. Пересекая отрезок КХС внутри его, переменное
9. О задачах в учебнике 159 Рис. 5 сечение будет треугольником (?). Сразу же заметим, что треугольник в сечении будет получаться еще на одном участке диагонали: от точки К2 — точки пересечения диагонали АХС с плоскостью BXDXA — до точки Ау На участке КХК2 сечение можно легко нарисовать. Легко — в силу теоремы о том, что две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым. Видно, что на этом участке сечение является шестиугольником. (Любопытный получился шестиугольник! У него все углы равны (?) и стороны, идущие через одну, равны между собой (?). Изучение свойств такого шестиугольника — прекрасное упражнение в геометрии.) Однако вернемся к нашей задаче. Следующий вопрос — о наибольшей площади такого сечения. Прежде чем найти для нее формулу и вычислять ее наибольшее значение, попытаемся предсказать результат. Представьте себе, что вы разглядываете это переменное сечение в направлении диагонали АХС от Ах к С. После того как оно пройдет точку К„ оно станет, как мы уже знаем, шестиугольником. Некоторое время после прохождения точки К2 его площадь, похоже, будет увеличиваться (?). До каких же пор? Теперь представьте себе второго наблюдателя, который смотрит в направлении диагонали на переменное сечение, движущееся от С к Ах. В силу симметрии ситуации он также будет видеть сечение, увеличивающееся (?) по площади. Когда эти два сечения встретятся, тогда и получится сечение с наибольшей площадью. Где же произойдет эта встреча? Из соображений симметрии заключаем, что это произойдет в середине отрезка К{К2. Эти рассуждения подсказали нам ответ. Теперь перейдем к его обоснованию- Считать площадь шестиугольника произ¬
160 Задача для учителя математики. 7-11 классы вольной формы не просто. Поэтому сделаем так. Три стороны этого сечения, лежащие в гранях ABCD, ВВХСХС, CCXDXD, продолжим до пересечения с прямыми ВС, CCV CD в точках К, L, М соответственно. (А почему в результате получится треугольник?) Тогда S — площадь шестиугольника — можно найти как разность Sx — площади треугольника KLM и 352, где S2 — площадь каждого малого треугольника в плоскости сечения при вершинах К, £, М. (А почему эти площади равны?) Обозначим CxL=x. Тогда S2 = yx2 (?)> ^ + х)2 (?)> S=^-(-2x2 + 2х +1). Из свойств полученного квадратного трехчлена, учитывая, что 0 < х < 1 (?), можно получить ответы на все вопросы к задаче. 2. Управление развитием школьника частично обеспечивается характером и последовательностью упражнений, которые он решает. Оно может идти в разных направлениях, и каждому направлению соответствуют специфические задачи. Развитию пространственного мышления соответствуют упражнения, решение которых направляется наглядными образами. Большую ценность в этом отношении представляют упражнения, в которых решение можно «увидеть». Их стоит предлагать с самого начала курса стереометрии, поступаясь даже тем, что ученики оперируют образами объектов, которые не имеют определений. Вот такое упражнение: «Приведите пример двух одинаковых поверхностей в пространстве, которые имеют одну общую точку». Ученики не знают определения поверхности, ни тем более определения одинаковых поверхностей, но это ничуть не мешает им отыскивать такие поверхности. Ясно также, что искомая здесь конфигурация является контрпримером к двум плоскостям. Возможно продолжение. Попросим учеников найти такие две одинаковые поверхности, которые имеют десять общих точек. Увидят ли они нечто вроде двух соприкасающихся зубцами пил? Упражнения на сечения вначале обычно конструктивны по характеру. Но уже с самых первых уроков стереометрии стоит предлагать и такие: «Какую форму имеет сечение куба, проходящее через его ребро?» Для получения ответа можно мысленно поворачивать плоскость сечения вокруг этого ребра и представлять себе получающуюся фигуру. (В других упражнениях такого типа плоскость сечения мысленно надвигается на фигуру, оста¬
9. О задачах в учебнике 161 ваясь параллельной самой себе.) Кто-то видит четырехугольник, а кто-то — квадрат и прямоугольник. Доказать, что это прямоугольник, в начале курса невозможно, но это не страшно сейчас, куда важнее «увидеть». В начале курса хочется как можно больше развить пространственные представления. Далее, формируя их, следует помнить, что они имеют свойство «закрепощаться». Хорошо известно, что ученики довольно лихо рисуют высоту правильного тетраэдра на основание, но уже с гораздо большим трудом высоту из вершины основания на боковую грань. А ведь это та же проблема! По такой причине почти в каждом упражнении, где предлагается выполнить некоторое построение, тут же целесообразно предложить выполнить его в чуть изменившейся ситуации. Вот еще пример. В параллелепипеде, все грани которого — равные ромбы, предлагается провести высоту на основание не только из одной вершины, и даже более того — провести перпендикуляры из вершин основания на плоскости других граней. Одна из самых ярких задач в этом духе — об отношении объемов двух тетраэдров, отсеченных двумя плоскостями от трехгранного угла. Для ее решения достаточно просто сделать так, чтобы основания тетраэдров лежали в одной плоскости, образно говоря, «повернуть тетраэдры на другое основание». Постоянно тренируя детей в этом направлении на каждом уроке, часто устными задачами, можно добиться заметных успехов. Важны упражнения, решаемые безо всякого рисунка. Приведу несколько примеров. 1. В двух перпендикулярных плоскостях лежат две параллельные прямые. Расстояние от прямой пересечения до одной из них равно я, а до другой b. Чему равно расстояние между данными прямыми? 2. Четыре ребра тетраэдра равны 1. Чему равно наибольшее возможное значение его объема? 3. В правильной треугольной пирамиде все углы при вершине прямые. Боковые ребра равны 1. Чему равен радиус описанной около нее сферы? 3. В кубе ABCDAXBXCXDX вершина Вх проектируется на плоскость AXCDX. Где находится ее проекция? Ученики решают такие упражнения с напряжением, закрыв глаза, «чтобы ничего не мешало». Удовольствие от верного решения громадное. А удовольствие учителя от такого зрелища словами не выразить.
162 Задача для учителя математики. 7-11 классы Спросил я как-то в начале урока, для разминки, является ли некая линия прямой (или ее частью), если ее ортогональные проекции на две пересекающиеся плоскости прямые (или их части). — Да, — говорит первый ученик и дает доказательство. - Ясно, что эта линия лежит в каждой плоскости проектирования, а значит, является их пересечением, то есть прямой. — А это что? — спрашивает вслух второй, глядя на изгиб трубы вдоль стен. — А еще проще взять спираль в плоскости, перпендикулярной обеим данным плоскостям, — говорит третий. И все это обсуждение прошло безо всяких рисунков. Большую роль в формировании пространственного мышления играют образы, получающиеся при мысленном механическом движении и в результате всякого рода симметрий. Как они помогают при решении задачи, хорошо видно на примере вышеприведенной задачи о сечении куба. А вот еще одна задача: «Из точки Xна плоскость а проведены перпендикуляр ХВ и две равные наклонные ХА и ХС. Докажите, что угол АХС меньше угла АВС» (рис. 6, а). X X /А А С а б Рис. 6 Обычный путь решения — использование тригонометрических функций (по теореме косинуса или синусов). Но возможно такое доказательство. Будем вращать треугольник АХС вокруг прямой АС, пока он не окажется в плоскости АВС, причем с той стороны от АС, что и треугольник АВС. Тогда получим такой рисунок (рис. 6, б). Точка X будет дальше от АС, чем точка В, т. к. ХА > ВА. Угол АХС при таком вращении не меняется, т. к. не меняются стороны треугольника АХС. Задача свелась к очевидному сравнению углов АХС и АВС на плоскости. Еще упражнение: «Можно ли вписать сферу в четырехугольную пирамиду, основанием которой является квадрат и одно из боковых ребер перпендикулярно основанию?»
9. О задачах в учебнике 163 У этой пирамиды видна плоскость симметрии, она проходит через ребро, перпендикулярное основанию, и диагональ квадрата. В трехгранный угол, у которого все углы прямые, впишем какую- нибудь маленькую сферу (ее центр лежит в плоскости симметрии пирамиды). И начнем ее «раздувать», пока она не коснется одной из оставшихся двух граней. Из симметрии пирамиды ясно, что в этот же момент она коснется и последней оставшейся грани. Значит, вписанная сфера существует. Здесь уместно сказать, что пространственное мышление обычно связывают с трехмерными образами. Это неполно. Решение определенных планиметрических упражнений также предполагает таковое, и самая впечатляющая его демонстрация — дополнительные построения. Вот примеры. 1. В квадрате ABCD со стороной 2 точка К — середина AD, отрезок CL перпендикулярен ВК. Чему равен отрезок DL (рис. 7)? В С А К D Рис. 7 Ответ можно получить одними только вычислениями, но стоит продолжить BKjxo пересечения с прямой CD в точке М, как мы увидим прямоугольный треугольник CLM, в котором LD является медианой, проведенной на его гипотенузу, а потому СМ = 2CD. Значит, LD = 0,5СМ = СД т. е. LD = 2. 2. В параллелограмме ABCD точки К w L — середины сторон AD и ВС. Докажите, что диагональ А С делится отрезками BKvlDL на три равные части (рис. 8). В L С А К D Рис. 8 Дорисуем картинку еще двумя такими же параллелограммами, и все становится очевидным настолько, что ничего не хочется объяснять (рис. 9).
164 Задача для учителя математики. 7-11 классы А В D С Рис. 9 Еще одно направление в развитии ученика идет по линии практического понимания предмета. Объекты геометрии существуют не только в математической теории, не только в головах людей, но и в реальности (аккуратнее сказать, что прообразы объектов, но здесь такая аккуратность не требуется). Знание только выигрывает от применения, более того, подавляющее большинство считает, что оно и оправдывается только применением. Задачи этого направления дают простор для изобретательности. Я уже приводил задачу этого направления: требовалось вычислить объем реального тетраэдра, производя измерения только на его поверхности. Приведу еще несколько задач. 1. А. Объяснить, почему стол на трех ножках устойчивее, чем на четырех ножках. Б. Как проверить, будет ли стол на четырех ножках устойчив на горизонтальном полу, ничего не измеряя? В. Как объяснить, почему столы делаются на четырех ножках, хотя они менее устойчивы? 2. На горизонтальной плоскости закреплен крюк. К нему с помощью трех веревок надо подвесить кольцо так, чтобы его плоскость также была горизонтальной. Как это сделать? 3. В характеристике кристалла важную роль играют углы между его гранями. Эти углы требуется узнать, не проводя измерений на самом кристалле. Предложите для этого какой- нибудь способ, лучше всего идею измерительного прибора. 4. Обычный стол с четырьмя ножками требуется внести из коридора в комнату. Стол находится в другом месте, и прежде чем дотащить его до дверного проема, надо что-то измерить. Что именно? Мне нравится решать с учениками такие задачи. Во-первых, никогда не надо упускать возможность показать, какой может быть реальный толк от геометрии. Во-вторых, есть ученики с ярко выраженным практическим мышлением. На таких задачах они имеют шанс проявить себя в классе. Кроме того, они порой «выдают» такие решения, до которых поди додумайся. Один пример: я как-то предложил на стандартном листе бумаги только сгибаниями получить ромб. Известное решение — дважды сгибая, по¬
9. О задачах в учебнике 165 лучить середины всех сторон исходного листа, а затем еще четыре сгиба дадут ромб с вершинами в этих серединах. Но почти сразу, как я сформулировал задачу, семиклассник Саша Т., вполне обычный троечник по стандартным меркам, тянет руку и показывает, как это можно сделать всего тремя сгибаниями вместо тех шести: согнуть лист по диагонали, а затем загнуть «хвосты». Доказать он сам ничего не смог. Ну и что? Я поставил ему в журнал «пятерку» с чистой совестью, а потом долго думал: как же учить таких вот пацанов? Практическими являются задачи учебника типа «как сделать» фигуру с указанными свойствами. «Сделать» — это значит использовать любые инструменты, включая измерительную линейку и транспортир. В этом задании возможна и квадратура круга, и трисекция угла (приближенные). И еще два слова о задачах практического содержания. Вряд ли их можно придумывать из головы, на то они и практические. К сожалению, мне довелось читать много всякой чепухи под видом таких задач. Ну, например, однажды в задаче речь шла о геологах, которые ночью подошли к горной реке и задумали переправиться через нее. И потребовалась им ширина реки. Как ее узнать? Так вот. Ширина для такой переправы абсолютно не существенна, важны глубина и скорость течения реки. Далее, у геологов всегда есть карты, где все эти данные нанесены. И, наконец, по ночам в горах не ходят, опасно, и уж тем более не переправляются в темноте через реку. И вообще, как можно проводить ночью какие- либо измерения? Однако очень непросто находить достойные задачи, причем они, разумеется, должны быть достаточно ясными по смыслу. Здесь, видимо, уместно сказать несколько слов о терминологии, ибо в какой-то момент я начал путаться в прикладных задачах, практических задачах, межпредметных связях и политехнизации. Под прикладной задачей я понимаю такую, где речь идет о процессах и объектах, не имеющих математической природы. Например, о яблоках, которые перекладывают из одной корзины в другую; о машинах, которые едут наперегонки по одной дороге; о бассейнах, которые надо заполнить; о ямах, которые надо выкопать. Главная особенность прикладной задачи, которая делает ее содержательной, состоит в том, что в ходе ее решения есть внематематическая часть, затем составление математической модели и интерпретация результата, полученного в этой модели, применительно к условию.
166 Задача для учителя математики. 7-11 классы Бывает так, что и составление модели, и интерпретация результата почти незаметны, как в такой задаче: «В корзине было 30 яблок, 20 из них раздали. Сколько яблок осталось в корзине?» Такого рода упражнений в школьных учебниках много. Под практической задачей я понимаю прикладную задачу, которая (в общей постановке) взялась из реальной практики, а не из головы составителя, для прикладной задачи вообще последнее возможно. Задача про яблоки в корзине — практическая, а задача про машину, которая едет с одной и той же скоростью достаточно долго, вряд ли. Если прикладная задача взята из какой-либо науки, то естественно говорить о межпредметных связях. Например, задача о камне, брошенном под углом к горизонту, приведенная в учебнике математики, демонстрирует тем самым связь математики и физики. И, наконец, если практическая задача порождена каким-либо техническим процессом или объектом, то можно говорить о политехническом аспекте преподавания математики - о нем в свое время много пеклись. Я позволю себе расширить толкование «практики» в нашем деле. Под практикой можно понимать не только опыт рукотворной деятельности, но также интеллектуальной. И вообще то, что сопутствует человеческой жизни: наука, искусство, общение. В частности, язык, но тогда и логика, которая так или иначе может предшествовать осмысленному поступку. Если согласиться с таким толкованием практики, то нормально в курсе математики, к примеру, искать связи с другими науками, обсуждать логику естественного (не математического) языка, находить аналогии между тем, что происходит в процессе математической деятельности, и тем, что встречается в обычной жизни... Один пример. С треугольником можно возиться до бесконечности, открывая все новые его свойства. Но есть геометрические преобразования: движение, аффинные преобразования, проективные, круговые. И нам интересно, что происходит с треугольником в результате разных преобразований. То же и в жизни: мы, чтобы познать человека, рассматриваем его не только статично. Мы как-то на него воздействуем и смотрим, что в результате изменилось, а что сохранилось, т. е. ищем инварианты. Например, берем ученика с собой в поход. Еще одно направление развития школьника — повышение качества его математической деятельности. В частности, повышение его логической культуры. Об этом скажу позже.
9. О задачах в учебнике 167 В отборе задач естественно опираться на принципы дидактики. Проблема в том, как они фактически реализованы. Исследование этого вопроса на материале любого учебника может составить содержание объемного труда и носит чересчур уж специальный характер. Поэтому не будем углубляться в этот вопрос. Чрезвычайно важна взаимосвязь системы задач в разных направлениях, как то: задачи - теория, задачи - учитель, задачи - ученик, задачи — среда. Остановлюсь кратко на отдельных чертах такой взаимосвязи. Задачи — теория. Разумеется, в задачах должно быть подчеркнуто именно такое понимание предмета, какое заложено в теорию. В данном случае я старался подкрепить и частично развить взгляды А. Александрова, изложенные им в замечательной статье «О геометрии» (Математика в школе. 1980. № 3). С другой стороны, в задачах допустимы некоторые «вольности», т. е. такие методы решения, которые не вполне обеспечены теорией (при том обязательном условии, что эти отклонения от теоретического стиля выдержаны в общем духе). В задачах учебника стереометрии А. Александрова чуть ли не с самого начала говорится о некоторых видах многогранников, существование которых не доказано в теории: о правильном тетраэдре, кубе и т. д. В задачах можно позволить себе более свободные доказательные рассуждения, всякого рода симметрии. Например, задача: «Дано п попарно скрещивающихся прямых. Докажите, что существует плоскость, которая пересекает каждую из них» (из учебника А. Александрова для математических школ). Решение. Через одну из данных прямых проведем плоскость. Пусть найдутся среди оставшихся прямых такие, которые не пересекают проведенную плоскость. Тогда чуть повернем нашу плоскость вокруг прямой, через которую она проведена, так, чтобы получились нужные пересечения. Осталось добиться того, чтобы плоскость пересекала и первоначально взятую прямую. Для этого чуть «пошевелим» эту плоскость так, чтобы прямая уже не лежала в ней, а пересекала ее. Этого можно добиться также поворотом нашей плоскости, но уже вокруг другой прямой. При таком «малом шевелении» взаимное расположение плоскости и каждой из остальных прямых не изменится. Задачи могут предварять теорию и дополнять ее. Приведу пример чуть ли не в начале курса. «Дан тетраэдр ABCD. Рассмотрим четыре перпендикулярности: BD _L BA, BD JL ВС, BA 1 ВС, DA 1АС. Используя только теорему Пифагора и обратную к ней,
168 Задача для учителя математики. 7-11 классы записав четыре соответствующих уравнения, несложно получить любую из этих перпендикулярностей как следствие трех остальных, рассматривая их совместно. Из этой конструкции чуть ли не моментально следует теорема о трех перпендикулярах, а также построение перпендикуляра к плоскости, признак перпендикулярности плоскостей. Кстати, пара слов о теореме о трех перпендикулярах. Ее можно доказать практически устно от противного. Пусть проекция данной наклонной перпендикулярна прямой на плоскости, а сама наклонная — нет. Проведем другую наклонную, перпендикулярную данной прямой. Тогда она меньше данной наклонной. Она имеет меньшую проекцию, нежели данная наклонная, что невозможно. Говоря о соотношении теории и задач, часто ссылаются на мысль И. Ньютона о том, что в математике примеры важнее правил. Иначе говоря, задачи важнее теории. Эта мысль в практике многих учителей математики сводится к тому, что именно задачам отводится основное учительское внимание. И решаем мы эти тысячи задач, лучше сказать упражнений, поддерживая себя мыслью, что делаем самое существенное в нашем деле. Конечно, в математической науке теория в определенном смысле, генетически, вторична по отношению к задачам, ибо она является неким итогом организации добытых результатов, т. е. кем-то решенных задач. Но при обучении науке ведь не все так, как в самой науке. Задачи (в узком смысле, с точки зрения овладения предметом изучения) — некое средство для уяснения теории. Постижение мира растущим ребенком — результат ознакомления в первую очередь с теорией. Объясняет мир теория. Я могу себе представить изучение какого-либо раздела математики вообще без решения задач (так я знакомился в молодые годы, например, с конструктивным анализом, с математической статистикой). Да и книги такие бывают, даже учебники. Но не могу себе представить задачи вне теории, разве что задачи на сообразительность. Конечно, теорию можно разложить на задачи, приведенные в определенной последовательности, тому есть примеры (А. Фетисов: «Геометрия в задачах»), но за этой последовательностью стоит именно теория. Суть школьной математической дисциплины все же, как мне думается, в теории. Как бы ни были важны задачи. Приведу только один пример тому. Измерение площади поверхности в теории и в задачах. Задачи для школьников здесь
9. О задачах в учебнике 169 только на вычисление, но как хитроумно и интересно создавали эту теорию математики! И как она поучительна! Задачи — учитель. Видимо, не очень трудно создать «революционный» учебник. Но кто по нему будет работать? Поэтому при создании нового учебника необходимо учитывать традиции преподавания в стране. Менять направление движения можно, но очень медленно — слишком велика инерция. Реформа 1968 года не реализовалась полностью, ибо «колмогоровский» поворот оказался слишком крутым. Поэтому среди задач обязательно должно быть достаточное число привычных учительскому глазу. Далее. Как мы понимаем, учителя разнятся по своим установкам. Необходимо учитывать и это. И, как я думаю, число задач должно быть с большим «гаком», чтобы даже учителю имярек не приедалось одно и то же из года в год. Наконец, система задач должна быть удобной в работе. Сейчас часто вспоминают о «золотых» временах в среднем математическом образовании, о конце 50-х и 60-х годов. Пожалуй, в чем-то так и было, как об этом вспоминают. Главное — учитель точно знал, какой вид задач основной. И не только знал, как учить их решать, но и сам умел решать эти задачи. Основных видов учебных задач, я полагаю, было четыре: 1) арифметические задачи, решаемые по вопросам; 2) геометрические задачи на построение циркулем и линейкой, обязательно с анализом («Предположим, что задача решена» - так начиналась работа с задачей) и исследованием; 3) геометрические задачи на вычисление с применением тригонометрии; 4) тождественные преобразования алгебраических выражений. Эти задачи решали долго, не торопясь. Такие задачи обязательно включались в ежегодные экзамены. Если вернуться к нынешним временам, то «основной учебной задачей» в геометрии могла бы стать задача на обнаружение связей между геометрическими величинами. Иначе говоря, работа с функциональными зависимостями на геометрическом материале. Здесь и сугубая геометрия, и работа с формулой, и вычисление неизвестных значений, и выведение зависимостей, и решение уравнений, систем и неравенств, и исследование функций, и задачи на поиски экстремальных значений, и вычисление интегралов. Поговорим поподробнее о математическом образовании в те «золотые» времена. В каком смысле «золотые», что там было такого, что и сейчас было бы неплохо?
170 Задача для учителя математики. 7-11 классы Было ли оно по большому счету хорошим? Ведь не было в школе векторов, основ анализа, начальных понятий теории множеств, элементов логики, исходных понятий о вероятности; не было ни слова об истории математики; математика подавалась как сугубо интеллектуальная дисциплина, вне какой-бы то ни было связи с практикой. Назвать такое математическое образование хорошим можно только при сомнительной аргументации. Что мы и видим. Посмотрим на конкретные аргументы уже упомянутых ранее И. Костенко и Н. Захаровой. Их три. 1. Предлагается сравнить результаты, полученные сейчас и 50 лет назад на одних и тех же упражнениях. Сравнение для нынешних школьников совершенно безнадежно. 2. В те давние времена, говорят они далее, школьники в выпускном классе хорошо справлялись с задачей по геометрии с применением тригонометрии, доведенной до числового ответа, полученного с применением таблицы логарифмов. Сейчас такую задачу даже в голову не придет предлагать старшеклассникам: все равно не сделают, даже если убрать вычисления с логарифмами. 3. Они приводят довоенный вариант вступительных экзаменов по математике в один из московских вузов и утверждают, что он не по зубам нынешним выпускникам. Приведенные аргументы некорректны. Тогда, 50 лет назад, обязательное образование не было ни всеобщим, ни средним (за обучение в старших классах надо было даже платить), ни даже «полусредним». Первый отсев учеников проходил после начальной школы, дети с пониженной обучаемостью могли поступать (и поступали) в ФЗУ или РУ — фабрично-заводские или ремесленные училища. Второй отсев происходил после 7 класса, из него уходили в техникумы. Далее. Тогда и сейчас на обучение умению решать определенного типа задачи тратится разное время. Мне совершенно очевидно, что оно отличается порой на порядок (в десятки раз). К примеру, текстовые задачи тогда решали в курсе арифметики, который преподавался 6 лет. А сейчас даже предмета такого нет. А если еще добавить, что тогда часов на математику было больше, а сейчас зато гораздо больше объем учебного материала... Так надо ли удивляться возможным разным результатам в якобы проведенных работах? Приводя аргументы в пользу того, что наше математическое образование покатилось вниз, сводят его, образование, по сути, к чему-то другому. Я бы назвал это что-то другое вышколенностъю в определенных типовых и технических ситуациях. (Так как в других
9. О задачах в учебнике 171 ситуациях ее добиться невозможно, то будем говорить в одно слово - вышколенность.) Именно ее и добивались учителя, затратив на это свои силы и таланты. Замечу также: следуя общей логике И. Костенко и Н. Захаровой, несложно доказать, что еще лучше обстояли дела с математическим образованием (читай: вышко- ленностью) в школе XIX — начала XX века; достаточно только посмотреть, какие там предлагались задачи на выпускном экзамене. Нас действительно долго и придирчиво натаскивали на всякого рода типовые задачи (в том числе на геометрические «с применением тригонометрии»), длиннющие арифметические вычисления, многоэтажные тождественные преобразования, знание множества формул (скажем, формулы Мольвейде. Кто их сейчас помнит?), невыносимо занудное использование таблиц. А головоломные текстовые задачи, решаемые аж в 10 вопросов методами, 0 которых математики-профессионалы и слыхом не слыхивали, какие-то тройные правила. Зачастую эти задачи были педантично классифицированы: задачи на движение, на работу, на смеси, на проценты. Мы так и говорили: «Решаем “задачи на проценты”»; нынче эта тематика возрождается, и я прочитал в одном из вариантов новой программы именно такое: «задачи на проценты». Я придумал такую задачу. Что больше: сложить два процента и три процента или их перемножить? Ответ прост. Процент — это дробь у нее есть специальное обозначение — %. И вся наука. 1 % — это 1 • % = 1 • (Все равно как 2\[3 = 2 • >/3 в отличие от смешанной дроби 2-^.) Об этом подробно написали А. Боровских и Н. Розов в журнале «Математика в школе» (2010. № 3). Нет «задач на проценты»! Есть упражнения, в которых встречается дробь и они ничем принципиально не отличаются от прочих вычислений с дробями, в том числе и в текстовых задачах. Чего там еще было — уж и не помню с ходу, надо лезть в старые задачники. В решении геометрических задач с применением тригонометрии мы тренировались весь последний год обучения, старательно приводя полученные в ответе выражения к виду, удобному для логарифмирования. И все это тогда называлось математикой. Какое отношение имеют чисто технические эти упражнения и работа в типовых ситуациях к способности мыслить? Разумеется, такие упражнения важны, как гаммы для пианиста. Но что бы мы сказали про ис¬
172 Задача для учителя математики. 7-11 классы полнителя, который сносно играет гаммы и только? Чуть сложнее ситуация с текстовыми задачами. Да, решение задач по вопросам заставляет думать, но ведь и составление уравнений с учетом ограничений на величины, используемые в задаче, работает в том же направлении, однако гораздо ближе к подлинной математике. Но никто тогда, полвека тому, не спрашивал, интересно ли ученикам то, что проходят в школе. Никому из учителей не предлагали задуматься о развитии ребенка. Разумеется, талантливые преподаватели ухитрялись даже малосодержательную или совсем техническую муть сделать интересной. Хроническая громадная проблема школьного математического образования — рассогласование лозунгов о полезности математики для развития личности и реальной работы учителя, почти сплошь направленной на вышколенностъ. Даже если и нужна такая работа, то только тем, кто в своей будущей работе будет иметь дело с математикой. А требовать ее от всех — только детей мучить. Эта проблема имеет системный характер, и у нее нет простых решений. Математика сейчас — элемент общего образования в цивилизованном обществе, к ней надо приобщить по возможности всех детей. Но как же это сделать в отведенное время, если так много детей с пониженной обучаемостью, и все растет число детей с отклонениями в психике, и у очень многих отсутствуют мотивация и волевые качества? Да и какая же она — математика «для всех»? Кто бы знал... А как же насчет «золотых» времен? И было ли «золото» на самом деле? Все же было, но только в одном направлении. Учителя четко понимали, чему и как учить, ибо сами в детстве своем были вышколены. И никаких тебе реформ. А в целом школьное математическое образование - «постоянная катастрофа», как выразился Г. Штейнгауз. Задачи — ученик. Тут хорошо понятные требования. Ученики разные, и в задачах надо постараться учесть их разную обучаемость, разные интересы, разные установки, даже разный тип мышления. Очень трудно было найти некий минимальный уровень трудности. В конце концов я остановился на том, что этому уровню соответствуют задачи на рисование определенных пространственных конфигураций. Мне довелось работать и с такими учениками, для которых рисование, скажем, правильной четырехугольной пирамиды, ее высоты и апофем было событием. А на другом полюсе — победители международных математических олимпиад. С ними ведь тоже проблема — задача должна быть интересна для них, но решение ее должно быть доступно
9. О задачах в учебнике 173 для понимания остальным ученикам, а потому она не может быть экзотичной. При составлении задачника необходимо учитывать современные тенденции математического образования, дидактики и педагогики. Поэтому в учебнике планиметрии А. Александрова и оказались стереометрические задачи, задачи исследовательского характера, а также задачи, аналогичные изобретательским. (В последних преодолевается некоторое ограничение на набор возможностей.) Требуется много усилий и времени, чтобы реализовать эти тенденции. В заключение добавлю, что на подборе задач к учебнику не могут не сказаться и личные вкусы составителя. Я, к примеру, не имею симпатий к вычислительной работе на геометрии. Бывают ситуации, конечно, где ее ничем не заменишь, есть красивые или удивительные числовые соотношения (теорема Эйлера о многогранниках, например), да и учительские пристрастия к таким задачам надо учитывать... Напомню, однако, что в русских дореволюционных задачниках по геометрии таких задач было куда меньше, чем задач на доказательство и построение. А в известных книгах Ж. Адамара, Б. Делоне и О. Житомирского, В. Прасолова таковых, по-моему, вообще нет (впрочем, иногда к вычислительным отнесены задачи, в которых требуется найти некую формулу). Разумеется, задачи в школьном курсе математики — одновременно и цель и средство. Надо научить решать задачи, надо с помощью задач и теорию прояснить, и ребенка развить. Задачи как цель нужны весьма немногим: тому, кто будет заниматься математикой или близок к ней. Как средство — всем. Мы явно увлеклись первым направлением и совсем забыли мудрую мысль Ф. Клейна о том, что главное в школьном курсе математики — дать верное общее представление о предмете. Создание учебника геометрии для школы было и до сих пор остается очень непростой задачей. В свое время, незадолго до реформы математического образования 1968 года, А. Колмогоров говорил, что если бы существовал где-то подходящий учебник геометрии, то мы бы его и перевели. Но увы... не нашлось. Анализ учебников геометрии, в разных странах и в разные времена написанных, анализ программ обучения по этому предмету, многочисленных статей математиков, методистов и учителей выявляет, как я уже отмечал, разнообразнейшие и часто полярные точки зрения на роль геометрии в образовании, на содержание курса, его структуру, его основания, роль
174 Задача для учителя математики. 7-11 классы тех или иных геометрических методов. Такая картина неслучайна, она отражает, в частности, сложную и противоречивую природу самого предмета. Проблема создания учебника геометрии стала особенно острой в последней четверти XX века. Это связано прежде всего с двумя обстоятельствами: 1) геометрия у нас в стране традиционно является элементом обязательного общего среднего образования; 2) чрезвычайно сильное воздействие на математическое образование в целом оказали известные реформистские, а затем антиреформистские тенденции. Я приведу здесь несколько мыслей А. Александрова, разъясняющих суть дела. «Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга... Живое воображение скорее ближе искусству, строгая логика - привилегия науки. Они, можно сказать, совершенные противоположности... В курсе геометрии соединяются еще две противоположности: абстрактная математическая геометрия и реальная геометрия - пространственные отношения и свойства материальных тел. ...Преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление, применение к реальным вещам. Этот треугольник составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии...» (Математика в школе. 1980. № 3). В школьном учебнике математики задачи являются органической частью, и при этом не имеет никакого значения, существуют они в одной книге или напечатаны порознь. А. Киселев и Н. Рыбкин не воспринимаются по отдельности. Задачи, как таковые, исследовали специалисты разных профессий: психологи, дидакты, методисты, кибернетики, системологи, философы, инженеры и, разумеется, математики. Тут я мог бы привести десятки фамилий. Далее, задачи для учебника имеют явную специфику по сравнению с каким-либо другим задачником по математике: конкурсным, олимпиадным, тематическим и т. д. Приходится учитывать не только то, что наработано в разнообразных сферах познания о задачах вообще, но и специфический учебный контекст, в котором оказались задачи. В частности, задачи должны соответствовать не только общим требованиям к учебнику и к задачному материалу в нем, но и конкретному теоретическому тексту.
9. О задачах в учебнике 175 Совокупность требований, которым должны удовлетворять задачи для учебника геометрии, оказывается столь внушительной, сколь и противоречивой. А если попытаться учесть еще и пожелания учителей — я насчитал их порядка полусотни, — то дело кажется и вовсе безнадежным. Осмыслить их, как-то упорядочить, выявить приоритеты было очень сложно. В целом решение громадной задачи создания достойного учебника видится мне на путях системного подхода. Его применение в делах педагогических не слишком большая новость, он может многое прояснить не только на этапе проектирования сложного объекта, но и при анализе его функционирования. Краткая схема использования системных соображений для подбора задач к школьному учебнику геометрии была такова. Надо было понять, что именно влияет на задачи сильнее всего, и было выделено следующее: потребности общества, цели и ценности математического образования, современные дидактические тенденции. Надо было выделить основные связи системы задач. Оказалось, что таковыми являются связи с теоретическим текстом учебника, деятельностью учителя, деятельностью ученика и со средой. Рассмотрев подробнейшим образом эти влияния и связи, надо было сформулировать общие положения для подбора задач, причем учесть специфику как специализированной, так и массовой школы. Исходя из этих положений и следовало создать сначала банк задач, а уже затем распределить задачи для конкретных глав, параграфов и пунктов. В результате такой чисто аналитической работы удалось сформулировать понятие «система школьной геометрии», в рамках которого можно отразить значительную часть процесса геометрического образования. Что дал такой подход конкретно? Удалось увидеть некоторые «дыры» в привычном наборе школьных геометрических задач и упражнений. В результате появились такие задания, которых не было или почти не было раньше, например задачи с избыточным числом данных или с недостающими данными, а иногда даже с противоречивыми данными. Еще пример. Обычно в школе решались задачи на построение с помощью циркуля и линейки, очень редко с использованием других инструментов, но я не встречал таковых, где разрешалось бы подключать и транспортир. И даже вполне традиционные геометрические сюжеты стали выглядеть в ином оформлении, ибо приходилось учитывать возможные различия учеников и учителей, различия в формах организации деятельности всего класса на уроке.
176 Задача для учителя математики. 7-11 классы Стало ясно, что сами задачи даже в пределах одного и того же пункта учебника должны быть как-то структурированы. Было проведено очень условное деление задач по сложности: задачи раздела А полегче, задачи раздела Б посложнее. Однако этого оказалось недостаточно. Деление задач по сложности чересчур завязано на том, как составитель задачника понимает сам термин «сложность задачи». Общепринятого определения нет; то, что сложно при одном подходе, при другом — элементарное упражнение; наконец, существенно даже то, какие задачи решались перед тем, как появилась эта конкретная. Посему надо было поискать нечто другое. И в дальнейшем появилось деление уже на три раздела: А — задачи «общекультурного уровня», в которых отражены простейшие ситуации, например нарисовать ту или иную фигуру; Б — задачи «инженерного уровня», связанные в основном с расширением и применением полученных знаний; В — задачи «теоретического уровня», связанные с углублением полученных знаний. Уже лучше, но поиск продолжался. Деление математического содержания школьного образования на три уровня нынче получило официальный статус. Сейчас дробление совокупности геометрических задач в нашем учебнике геометрии стало достаточно мелким, я предлагаю 17 разделов, озаглавив условно каждый из них следующим образом. 1. Разбираемся в решении. Идея понятна — надо показать ученикам не только готовые доказательства, каковые присущи теоретическому курсу, но и то, как они могут получаться. Сюда, естественно, входят элементы эвристического метода в поиске решения задачи. 2. Дополняем теорию. Известно, что для некоторых часто встречающихся на практике ситуаций удобно иметь и такие сведения, которых, как правило, нет в теоретическом тексте. Например, как расположен центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, по отношению к самому треугольнику. На такие сведения, помещенные среди задач, возможны ссылки наравне с теоретическими сведениями. 3. Смотрим. Здесь задачи на развитие пространственного мышления. Ученики должны увидеть в разных ситуациях и положениях ту фигуру, с которой они в данный момент знакомятся, например вершины правильного тетраэдра среди вершин куба. 4. Рисуем. Опять же развиваем пространственное мышление, но уже в активной форме. Надо сказать, что рисунки могут быть и несложными, и достаточно трудоемкими, например: требуется нарисовать фигуру, которая получается в результате вращения
9. О задачах в учебнике 177 куба вокруг его диагонали. Есть еще одно соображение. Пространственные образы не должны оставаться статичными, для полноценного пространственного мышления необходима их динамика. Этот раздел задач направлен как раз на развитие динамических пространственных представлений. Известно, что далеко не все ученики имеют пристрастие к качественному рисунку, а некоторые пытаются даже бравировать своей небрежностью. Цитируют нечто вроде: «Геометрия — это способность решать задачи, невзирая на рисунок». Есть одна мелочь: эта идея принадлежит Н. Абелю, а гению можно говорить о своем деле многое. Для простых смертных, безнадежно далеких в своем математическом таланте от Н. Абеля, рисунок — большая помощь, и нелепо от нее отказываться. К тому же есть определенная графическая культура, которой надо научить. Не один раз я видел неверное изображение полюсов сферы (когда их отмечают на концах вертикально нарисованного диаметра), причем даже в научных статьях. Весьма непросто обосновать изображение конуса вращения, я это как-то обсуждал в классе, и это была неплохая математика. Дело в том, что тут требуется обосновать построение касательной к эллипсу из точки вне эллипса (нарисовать образующие конуса из вершины конуса к его основанию). Какая точка эллипса является точкой касания? Наконец, среди учеников попадаются те, для которых сделать красивый рисунок — необходимость. И такое они выдают... Есть рисунки геометрических фигур, которые я храню до сих пор, невозможно такое отправить в корзину. Порой попадались рисунки с тенями и даже с отмывкой. Такую красоту я не решался компрометировать проверкой самой работы, так и говорил детям: «Такой рисунок не может сопровождаться неверным решением!» А кое-кто увлекался рисованием невозможных фигур в духе треугольника Р. Пенроуза — ну так это просто творческие работы. К тому же нынешние ученики научились рисовать с помощью компьютерных инструментов... 5. Представляем. А здесь нагрузка на пространственное мышление резко возрастает. Более того, решение задачи, приведенной в этом разделе, и ответ в ней возможны на основании только наглядных представлений, без дотошных теоретических обоснований. Слово «очевидно» здесь совершенно уместно, хотя, конечно, и не гарантирует безошибочности. Например, очевидно, что две спирали могут идти на постоянном расстоянии друг от друга. Расшифровка этой фразы достаточно длинна.
178 Задача для учителя математики. 7-11 классы 6. Работаем с формулой. Важный в практическом отношении момент. Даже если ученики и знают некую формулу, они плохо с ней управляются: не узнают ее, если она приведена в других буквенных обозначениях; неверно выражают одну из величин через другие; не связывают ее с известными функциональными зависимостями; не чувствуют ее в динамике, т. е. при изменении величин, в нее входящих. Все эти ученические недостатки в работе с формулой особенно проявляются при изучении физики. Мой коллега — учитель физики говорил, что его « главный враг» - буквах И наш, учителей математики, святой долг — облегчить детям по возможности изучение других предметов, в коих востребована математика. 7. Планируем. В подавляющем большинстве вычислительных задач по существу важен не результат, к которому приходит ученик, а тот путь, который приводит к этому результату. И важнее, интереснее искать именно путь. Само же получение результата после того, как путь уже намечен, можно оставить для самостоятельной работы. Помимо прочего, это экономит и время на уроке. Ученики должны доводить до конца именно типовые расчеты, все прочие — по желанию учителя. 8. Находим величину. Здесь обычные учебные задачи. Их место в учебном процессе определяется только существующими традициями в преподавании. Подчеркиваю, традиция эта появилась сравнительно недавно. В классических или близких к ним задачниках по геометрии (или книгах, где задач достаточное количество) их или нет, или почти нет. Сошлюсь тут на математиков: Ж. Адамара, Г. Кокстера, Б. Делоне и О. Житомирского, а из более поздних — 3. Скопеца, В. Прасолова. И расцвели эти задачи лишь в современных школьных учебниках да на вступительных экзаменах. Боюсь, что причины такого расцвета не только вне самой геометрии, но и вне дидактики. И в самом деле, с какой целью нужно вычислять, к примеру, объем придуманной кем-то пирамиды, зачем нужно само число? Ну получили мы это число. И что дальше с ним делать? Я вижу две причины преобладания таких задач: 1) их легко проверять; 2) любому ребенку можно создать с их помощью иллюзию усвоения теории — чего уж проще, чем подставить нужные величины в нужную формулу? Есть три типа осмысленных вычислительных задач. Первый тип — в практической расчетной работе. Предположим, нам нужно сделать из планок треугольник с заданным углом, а транс¬
9. О задачах в учебнике 179 портира нет. Можно ли выйти из положения? Да, для этого воспользуемся теоремой косинуса. Другой тип — путем вычислений мы устанавливаем особенности геометрической конфигурации. Например, сравнивания расстояния между некоторыми точками, мы можем судить о расположении двух окружностей, не производя реальных построений. И, наконец, вычисление хоть как-то оправдано, когда найденное число сравнивается с какими-то другими. Например, требуется найти самую длинную хорду в данном многоугольнике. Бывает и такое, что проделанные вычисления напрочь рушат интуитивное предвосхищение ответа. Недавно наткнулся на такую задачу. Земной шар обтянули веревкой по экватору, затем ее длину увеличили и оттянули в плоскости этого экватора за одну из ее точек до максимума. На какой высоте от Земли она окажется? Пусть удлинение составляет 2 метра. Примем радиус Земли равным 6400 километров. Результат вычислений не вписывается в прогноз — около 200 метров! (В школе надо предлагать эту задачу с осторожностью, для получения результата в известном мне решении используется приближенное выражение для тангенса jc3 малых углов: tgx = * +—.) Близко к вычислительным задачам подходят поиски формулы связи между величинами. Что оправдывает поиски такой формулы? Разумеется, теоретическая значимость. Теорема Пифагора тоже сводится к формуле. Далее — богатство следствий из полученной формулы, возможность продуктивно с ней поработать, в том числе получить следствия, не вполне очевидные вначале. Например, мы нашли связь между сторонами и диагоналями параллелограмма. Отсюда легко выводится формула для вычисления медианы треугольника, из последней можно установить особенности треугольника, имея информацию о его медианах и т. д. И, разумеется, формула может быть красива или хотя бы неожиданна сама по себе. Например, известна формула, связывающая между собой для данного треугольника радиусы его описанной окружности R, вписанной окружности г и трех вневписанных окружностей rvrvrv именно: 4R = гх + г2 + гъ - г. Добавлю сюда еще получение формулы для того, чтобы показать ученикам разнообразие зависимостей между величинами, их осмысление и решение возможных при этом экстремальных задач. Например, используя теорему Пифагора, можно получить разнообразные иррациональные функции, уравнения, неравенства, системы.
180 Задача для учителя математики. 7-11 классы Пожалуй, все, ничего не упустил. А что сверх этого, то, я бы сказал, оно от «педагогической бестии», которая сидит во всех нас: учителях, методистах, авторах учебников. 9. Ищем границы. Здесь центр учительской деятельности, именно в этом разделе находятся основные учебные задачи. Раньше таковыми были задачи на построение, затем задачи с применением тригонометрии. Сейчас некая пустота, которую уместно занять задачами на отыскание экстремальных ситуаций, в том числе и экстремальных значений. Эти задачи достаточно разнообразны, позволяют сочетать разные математические умения (работа с функцией, решение уравнений и неравенств, тригонометрия), легко варьируется объем работы. Замечу, что оценку исследуемой величины не жалуют в школьном образовании, хотя понятно, какую роль она играет в математике и физике. Мы готовы до изнеможения решать уравнения вида 2х = 3, записывая ответ как логарифм, что, вообще говоря, не добавляет информации о корне этого уравнения. Наличие современных калькуляторов и программных средств ярко подчеркивают эту нелепость. 10. Доказываем. Сюда я отношу задачи теоретического характера. Слежу за тем, чтобы не попали задачи с запутанными формулировками. Утверждение должно быть ясным, текст задачи коротким, а вот сама она... 11. Исследуем. Сюда отнесем те задачи, в условии которых или в возможном результате есть некая неопределенность, незавершенность, даже неоднозначность. Вплоть до отсутствия решения. Это вовсе не значит, что таковая задача трудна, вовсе нет. Сошлюсь на А. Пуанкаре, мнение которого приводит В. Арнольд: «По-настоящему интересные проблемы не допускают ни столь точной формулировки (тут ссылка на теорему Ферма. - В. Р.), ни однозначного “да — нет” ответа». 12. Занимательная геометрия. В этом разделе задачи занимательные, исторические и вообще с определенной «непрямой» спецификой. Я отнес бы сюда многие задачи на построение с некоторыми ограничениями либо на инструменты, либо на задание с некоторыми особенностями (например, восстановить треугольник по заданным его точкам). 13. Прикладная геометрия. Тут все ясно. Теория теорией, задачи задачами, а вот как узнать, спелый арбуз или нет, не разрезая его? Может ли тут помочь геометрия? Оказывается, может, если учесть, что спелый арбуз не тонет в воде, а неспелый тонет.
9. О задачах в учебнике 181 Надо только добавить, что наряду с практическими задачами (возникшими из реальной практики) здесь находятся задачи, содержание которых внематематическое. Их еще требуется перевести на математический язык. Такие задачи могут иметь чисто дидактический характер и не обязательно отражают реальную практическую деятельность. Приведу тут случай из собственного опыта. Иду по улице, на тротуаре двое плотников мастерят внушительных размеров конструкцию в виде буквы П. Остановился, смотрю (с их разрешения). К горизонтальному брусу прикрепляют два других. Не уверены, что получится, соединения по углам пока не закрепили. Что делать дальше — не знают. Потом они стали проверять длину диагоналей. Подогнали боковые брусы так, чтобы диагонали стали равными. Опять думают. Тут уж я и встрял. «Ребята, — говорю, — этого для точной работы мало. Прямоугольник может и не получиться (имел в виду равнобокую трапецию). Нужен прямой угол». Один из них что-то вспомнил и достал д линную линейку, приложил ее к двум соседним брусам так, что между концами линейки был один метр. Смотрит на меня. Говорю: «Этого мало, надо на брусах отложить две метки: в 60 и 80 см. А потом шевелите незакрепленные брусы так, чтобы между метками и был как раз 1 метр. Вот тогда и получите прямой угол». (Ясно дело — египетский треугольник с точностью до подобия.) Мужики так и сделали, померили полученный угол, порадовались и про спасибо не забыли. 14. Поступаем в вуз. Этот чрезвычайно специфический раздел может быть и в стереометрической, и в планиметрической части курса, даже в 7—9 классах. Сейчас в название этого раздела вписывается содержание ЕГЭ. 15. Участвуем в олимпиаде. Содержание раздела ясно из названия. 16. Рассуждаем. Задачи на чистую логику. Подведение объекта под понятие, построение примеров и контрпримеров, формулировка обратных утверждений, необходимость и достаточность и т. д. 17. Используем компьютер. Этот раздел — отклик на появление достойных компьютерных инструментов для решения геометрических задач. Благодаря такому разбиению задач учитель геометрии получает возможность более тонкой дифференцировки своей преподавательской деятельности. К сожалению, иногда трудно добиться тематической чистоты задачи в полном соответствии с разделом, в который она опреде¬
182 Задача для учителя математики. 7-11 классы лена, но, видимо, это неизбежно. Возможно появление и других рубрик. Идеология разбиения задач по видам учебных действий, кажется, становится принятой, во всяком случае, к очередному изданию наших учебников нас попросили расписать планирование именно по видам учебных действий. И стало понятно, что впереди еще очень много работы, и опять вспоминается 45 лет работы А. Киселева. 10. НА ОШИБКАХ УЧАТ Учить математике, как я понимаю свое дело, — это учить, в частности, характерному для нее (и для науки вообще) максимально добросовестному и ответственному отношению к полученному результату. А это означает, что надо обучать умению его проверить. Для меня размышления на эту тему связаны с осмыслением расхожего выражения: «На ошибках учатся». На каких ошибках? Как учатся? А почему не говорят: «На ошибках учат»? Имеет ли ученик право на ошибку? Когда? На какую? Какова профилактика ошибок? Входит ли в нее специальный показ возможных ошибок? Я полагаю, что ответы на эти вопросы куда больше завязаны на личность учителя и его установку, нежели на методику обучения. Не надо требовать от методики того, что она не может дать. (Например, оформление решения задачи — вопрос не методики, а вопрос системы работы учителя. По мне оформить решение надо так, чтобы его было удобно проверять: легко читать, рисунки располагать рядом с текстом и т. д. Методика тут ни при чем.) Попытаюсь частично ответить на поставленные вопросы об ошибках. Да, конечно, на ошибках учатся, на чужих и на своих. Для этого необходимо, чтобы ошибка была осмыслена, сначала опознана и так или иначе квалифицирована. Но если мы хотим, чтобы ученик умел найти ошибку, а затем ее осмыслил, то тем самым выходим на некий вид деятельности, именно на критическую деятельность. Она не может возникнуть из воздуха, и выходит, что такой деятельности надо обучать. Значит, прежде чем согласиться с фразой: «На ошибках учатся», надо, видимо, сказать: «На ошибках учат». «Ошибки, — заметил В. Арнольд, — играют в математике не меньшую роль, чем доказатель¬
10. На ошибках учат 183 ства: анализируя их причины и пути преодоления, можно быстрее идти вперед, чем тупо пытаясь продвинуться в малоизученном направлении». Обратим внимание на слово «малоизученном», отчего эта фраза может быть дословно отнесена и к образованию. И еще он же. «Примеры учат не меньше, чем правила, а ошибки — больше, чем правильные, но непонятные доказательства». Опять же — учат! К слову сказать, ошибки встречаются и в работах профессиональных математиков, причем высочайшего ранга. Академик JI.С. Понтрягин не стесняясь говорит об этом в своем «Жизнеописании». И приводит яркий пример тому — он обнаружил ошибку в собственных лекциях, которые уже прочитал для американских математиков. «Я чувствовал себя несчастным и опозоренным», — пишет он. Исправил он ее только через три месяца после того, как ее обнаружил. Идея «учить на ошибках» известна; я знаю, например, учебную книгу по шахматам, которая на ней и основана (Л. Верховский: «На ошибках учатся... чтобы их не повторять»). Такие довольно очевидные рассуждения приводят к соответствующей работе учителя. Как именно учить на ошибках? Думаю, что ошибки стоит показывать, не дожидаясь, пока ученики их сделают. Обычно мы говорим, как решать тот или иной пример. А когда я проверяю выполнение этого же примера, то в первую очередь смотрю на то место в решении, где возможность ошибки наиболее велика. Так почему бы об этом месте не сказать при объяснении способа решения? Здесь напрашивается сравнение с дорогой в горах. Кто там ходил, тот знает: самые ценные указания к маршруту — о тех местах, где цена ошибки наиболее велика. Подать ошибку можно по-разному. Я вижу три пути. Покажу их на решении неравенства х > -1. Известно, что ученики часто забывают, умножив обе части неравенства на — 1, поменять знак неравенства. Первый путь — лобовой. Я пишу такую строчку: -х > -1 <=> х > 1 и объясняю, почему она неверна. Второй путь — вопросительный. Я пишу ту же строчку, но задаю вопрос: а верна ли равносильность? Третий путь — софистический. Я записываю исходное неравенство: —х > — 1. Затем записываю неравенство, которое может быть получено из данного без смены знака неравенства: х > 1. А теперь складываю оба неравенства и получаю такое: 0 > 0. После этого ошибка становится очевидной.
184 Задача для учителя математики. 7-11 классы Мне больше нравится третий путь. Дело в том, что для лучшего запоминания ошибку надо не только осознать, но и «пережить», т. е. сопроводить эмоцией. Удивление ученика при «софистическом» способе и может быть такой эмоцией. Также эмоцией, но со знаком «минус», является досада или обида, когда ученик получает сниженную оценку за допущенную им ошибку. Значит, на одну и ту же ошибку можно организовать разные эмоциональные реакции. Я предпочитаю организовывать удивление. Вот примеры на «организацию удивления». 1. Весьма часто можно встретить такую запись: V? = ±а. Распишем ее поподробнее: \[а* = а и (или) у[а* = -а. Теперь из первого равенства вычтем второе и получим 0 = 2а, откуда получаем, что а- 0. Особенно эффектно этот номер проходит при каком-то конкретном значении я, например при а = 2. Мы тогда получим, что 0 = 4. Потом уже я объясняю смысл знака радикала (и явную ненужность термина «арифметический корень»). 2. Идет рассказ о параллельном проектировании. Начнем с рисунка — квадрат с диагоналями — и спросим учеников, какая неплоская фигура нарисована? Один из ответов: правильная четырехугольная пирамида. Ответ, вообще говоря, ошибочный, ибо в общем случае ни прямоугольность, ни равенство пересекающихся отрезков при параллельном проектировании не сохраняются. Но в частном случае, при ортогональном проектировании, такое возможно. 3. Пусть надо доказать равносильность двух определений равенства многочленов одной и той же степени: два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты. Начнем с примера: упростить выражение (х - Ь)(х -с) (х- с)(х - а) (х- а)(х - Ь) {а - Ь)(а -с) (Ь- с)(Ь -а) + (с- а)(с - Ь) Подставив в данное выражение вместо х последовательно а, 6, с, мы каждый раз получим 1. Многочлен этот вроде бы является квадратным трехчленом. Но квадратный трехчлен не может принимать одно и то же значение в трех различных точках. Значит, данное выражение на самом деле не квадратный трехчлен, а многочлен-константа, всюду равный 1. Итак, все это выражение равно 1. (Эта же идея работает в иных геометрических задачах.) 4. Выводим формулу для площади сферического сегмента: S = 2RH, где S — площадь сегмента, R — радиус сферы, Н - высота («стрелка») сегмента. Для начала предлагаю ученикам зада¬
10. На ошибках учат 185 ние: «У вас есть циркуль постоянного раствора. Вы рисуете им окружности на разных сферах. И получаете при этом разные сферические сегменты (для определенности пусть все эти сегменты меньше полусферы). В каком случае вы получите большую поверхность сферического сегмента?» После обмена мнениями выводим указанную формулу, но из нее ответ на вопрос не ясен, ибо различны и радиусы сфер, и высоты сегментов. Пусть теперь величина фиксированного раствора циркуля равна г. Легко получить выражение для г из очевидного равенства г2 = 2RH. Тогда полученная для площади сферического сегмента формула приводится к виду S=г2. Из нее-то и следует, что все сферические сегменты, полученные предложенным образом, имеют — кто бы мог подумать — одинаковую площадь. Более того, эти сегменты можно брать и большими, чем полусферы, результат будет тем же. Наконец, если провести тем же раствором циркуля окружность не на сфере, а на плоскости, то получим ту же площадь. Ну и разумеется, устремляя г к диаметру сферы, мы получаем в пределе формулу для площади сферы. В этой задаче выражение, зависящее от двух параметров, свелось к выражению с одним параметром. Известна аналогичная задача из планиметрии: площадь кольца между двумя концентрическими окружностями, зависящая, как ясно, от радиусов этих окружностей, может быть найдена, если известен только один параметр — длина касательной к меньшей окружности, находящейся внутри большей из них. 5. Вот похожий, но более любопытный пример — одна из задач Архимеда. Внутри данного круга находятся два круга, окружности которых касаются между собой и исходной окружности, причем центры меньших окружностей лежат на диаметре данной. Требуется найти площадь части большого круга, находящейся вне двух малых кругов. Тут конфигурацию задают уже три параметра (три радиуса), но искомая площадь может быть вычислена, если известен только один — длина общей касательной двух малых окружностей, проведенной в их общей точке и находящейся внутри большого круга. 6. Решая уравнение ах2 + с = 0 , мы получаем ответ в виде х = ± . Но если написать его решение по общей формуле для решения квадратного уравнения, то получим вот что: ±л/-4 ас х = 2 а
186 Задача для учителя математики. 7-11 классы Г~с л/—4 ас Мы приходим к равенству J— = , которое верно толь- V а 2 а . ко при а > 0. И в чем же дело? 7. Ну и, наконец, рекордный, но не столь эффектный пример, когда параметров может быть сколько угодно, а результат зависит только от одного: на заданном отрезке выбирается п точек и на каждом полученном отрезке, как на диаметре, строится полуокружность. Путь из одного конца отрезка в другой проходит по всем этим полуокружностям. Какова его длина? Ответ зависит только от длины исходного отрезка. Хорошо известна также задача о цилиндрическом отверстии в шаре (ось цилиндра содержится в диаметре шара). Задается радиус шара, радиус основания цилиндра, его высота. Требуется найти объем оставшейся части шара. Оказывается, он зависит только от высоты цилиндра! Математические ошибки бывают разные: технические, логические, а еще бывают заблуждения. Что такое технические ошибки, объяснять не надо, логические ошибки касаются рассуждений, а заблуждения следует отнести к тому, что выбраны неверная гипотеза или тупиковый путь решения. Пример неверной гипотезы легко получить от учеников, если задать в классе почти любой содержательный вопрос в соответствующей форме. Например, такой: «Как вы думаете, будет ли непрерывная функция дифференцируемой?». А вот пример тупиковой идеи решения в таком упражнении. Сколько решений имеет система уравнений \х2 + у — 3 + ^J2, \х + у2 = 2 + Тз? При попытке ответить на этот вопрос аналитически получается уравнение, которое не решить, а графически — ситуация ясна. При решении задач прикладного характера возможны ошибки при переходе от условия к математической модели (простейший пример: не выписаны все ограничения на неизвестные) и ошибки в интерпретации (за ответ принят невозможный результат: два землекопа и две трети!). И, наконец, где искать ошибку? В полученном результате, в решении, в гипотезе. В прикладной задаче — в соответствии модели условию задачи. О том, как это делать, речь пойдет чуть позже. А сейчас о самих ошибках, о том, что я видел в реальности.
10. На ошибках учат 187 Нарушение равносильности При доказательстве равенств. Часто записывается равносильность такого вида: а = Ь^Ла)=ЛЬ). Но она верна, когда функция/строго монотонна, а числа а и b входят в ее область определения. Иначе можно доказать, скажем, такие равенства: 1) -1 = 1 возведением в квадрат; 2) к = 0, взяв синус от обеих частей равенства. Ярко видна такая ошибка при доказательстве равенства 71 ajrcsin0,8 + arccos0,8 = — с помощью взятия синуса от обеих его частей. Сумма в левой части при таком доказательстве должна находиться на промежутке монотонности синуса, в данном случае тс к на промежутке [0; —] или на промежутке [—; л]. Установить это — все равно что сделать исходный пример. Переходить к промежутку [0; я] бессмысленно, ибо на нем синус не монотонен. Поэтому разумнее брать от обеих частей не синус, а косинус. При доказательстве неравенств. Равносильность типа a>b<=$ f(a) > f(b) требует тех же оговорок, что и для равенства. Если их не сделать, то можно доказать, что -2 > 1 возведением в квадрат обеих частей неравенства. Возведение в квадрат часто можно видеть без должных оговорок. Так, г—г а + b например, ученики доказывают неравенство \lab < ——, не оговорив неотрицательность а и Ь. При решении уравнений, неравенств, систем. 1. х-2 >0, х- 3 <=> х2 -16 < 0 х > 2, 2<х<4, х < -3; <=> < <=> х е 0. -4 < х < -3 -4 < х < 4 Знак системы везде выглядит вполне естественно с точки зрения ученика. Однако последний знак системы нужно заменить на знак совокупности. 2. Любопытна ученическая ошибка при решении такой за: дачи. Какую фигуру определяет в пространстве условие х+у + z = 2, xy + yz + zx= 1? Стандартное преобразование — возведение в квадрат первого уравнения с последующим вычитанием второго — приводит к уравнению x2+y2 + z}-2. Посему ответ «сфера» получается вроде
188 Задача для учителя математики. 7-11 классы бы сам собой. Но он не является верным. Вывод о сфере делается на основании следствия из данной системы, которое, разумеется, не равносильно самой системе. Учитывая первое уравнение системы (уравнение плоскости), что восстанавливает равносильность, получаем верный ответ: окружность. В рассуждениях. Случается, что в процессе решения некое условие заменяется на другое, неравносильное первому. Вот примеры. 1. При каких значениях а система х2 = 1 - у2 = у -1 а | имеет одно решение? Рассмотрим равенство 1 - у2 = у - \ а\. Оно сводится к уравнению у2 + у - (1 4-1 а |) = 0. Так как система имеет одно решение, то это квадратное уравнение также должно иметь одно решение, а потому его дискриминант равен нулю. Имеем: Но это равенство невозможно. Поэтому ни это уравнение, ни сама система не могут иметь одного решения. Однако из геометрической иллюстрации ясно, что при \а\ = 1 система имеет как раз одно решение. Ошибка в приведенном решении заключена во фразе: «Так как система...». На чем, собственно, она основана? Ни на чем. 2. Найти наибольшее значение площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если площадь его основания равна 1, а длина диагонали равна 2. Пусть основания параллелепипеда равны аиЬ, боковое ребро равно с. Площадь боковой поверхности S имеет тогда вид Выражение (1) запишем как функцию одной переменной. Для этого можно пойти двумя путями. Первый способ состоит в том, что из уравнений системы мы получаем такие равенства: с этим выражением мы получаем, что наибольшее значение пло- 1 +4(1 + |я|) = 0. S=2(a + b) с. Условие задачи сводится к системе двух уравнений (1) ab = 1, а2 + Ь2 + с1 = 4. И тогда S (а) = 2(< и дальнейшей работе щади поверхности достигается при а = 1 и равно 4л/2.
10. На ошибках учат 189 Второй способ состоит в том, что из системы следует равенство ал-Ъ- л/б - с2. (2) Но тогда 5(c) = 2сл/б - с2. При дальнейшей работе с этим выражением мы получаем, что наибольшее значение площади поверхности достигается при с = л/3 и равно 6. Ошибка второго решения заключена в замене системы неравносильным ему уравнением (2). 3. Пусть требуется узнать, при каких значениях параметра а один из корней трехчлена х2+ (а - 2)х - а равен 1, а другой больше 1. Предположим, мы захотели воспользоваться теоремой Вие- та, а потому составляем систему из трех неравенств: (а - 2)2 + 4а > 0, ххх2= -а > 1, хх + х2 = -(а -2) >2. Решив ее, получаем, что а < 0. Увы, это не ответ, пока мы не обосновали равносильность всех переходов. А ее нет, т. к. не совершить обратный переход: из совместного выполнения этих трех условий не следует то, что нам требуется. В этом решении использованы допущения, которые не оговорены условием. Предполагается, что хотя бы один корень трехчлена действительно равен 1. Но это не так, в чем убеждаемся, взяв х = 1. Иначе говоря, найдены необходимые условия, которые не являются достаточными. Эта ситуация встречается почти всегда при работе с параметром. В таком задании спрашивается, при каких значениях параметра происходит «нечто». Полный ответ на этот вопрос должен быть таким: «Если параметр равен тому-то, то это “нечто” имеет место». Но как решается такая задача обычно? Мы начинаем работать с этим «нечто» и получаем отсюда множество значений искомого параметра. Полный ответ полученного результата выглядит так: «Если “нечто” имеет место, то параметр такой-то». Ясно, что решена обратная задача. Отсюда и следует необходимость равносильности рассуждений. Пример тому я приводил выше. Неверное толкование условия Весьма часто в геометрической задаче мало данных для однозначного установления взаимного расположения фигур, что не учитывается в решении. Вот примеры. 1. Два круга радиусами Лиг имеют общую хорду длиной а. Чему равно расстояние между их центрами?
190 Задача для учителя математики. 7-11 классы Возможны два случая расположения кругов. 2. В тетраэдре основанием является равнобедренный треугольник со сторонами а, а, Ъ. Грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол ф. Найти объем тетраэдра. Возможны три различных случая в зависимости от того, куда проектируется вершина тетраэдра. 3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а высота равна 1. Через ребро основания проводится сечение, перпендикулярное боковому ребру. Чему равна его площадь? Если предположить, что таким сечением является треугольник, его площадь можно найти, скажем, так. Вычислим объем пирамиды двумя способами: по основной формуле и как сумму объемов двух пирамид, на которые данным сечением разбилась исходная пирамида, причем за основание этих двух пирамид можно принять как раз само сечение. Вычисления дадут ответ 8 но он неверен. Дело в том, что сечение, перпендикулярное боковому ребру, может выходить за пределы пирамиды, и тогда сечением пирамиды будет всего лишь ребро основания, а не треугольник. При наших числовых данных как раз реализуется этот случай. Вообще, если для доказательства используется рисунок, то необходимо выяснить его единственность относительно данных. Заведомо предполагается существование того, о чем говорится Тут много хорошо известных примеров, связанных с определением понятия. 1. Числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. 2. Расстоянием от точки до фигуры называется длина кратчайшего отрезка, соединяющего данную точку с точками фигуры. 3. Известно определение равных отрезков как таких, длины которых равны. При этом длины отрезков измеряются линейкой. Однако на линейке есть деления. Откуда они взялись? Но вот хороший контрпример — треугольный пентаэдр, пятигранник, у которого все грани треугольники. Однако таковой не существует. 4. Первое число больше второго, если их разность больше нуля. А что такое «больше нуля»? 5. Исторический пример. Я. Штейнер в молчаливом предположении о том, что существует выпуклая фигура, имеющая при заданном периметре наименьшую площадь, доказал, что это круг.
10. На ошибках учат 191 Ошибочные рассуждения 1. «Докажем», что -1 = 1, используя производную. Для этого рассмотрим функцию у = | х | и найдем ее производную с обеих сторон от нуля. При х > 0 получаем, что у' = 1, а при х < 0 получаем, что / = -1. Но производная единственна, значит, и приходим к равенству-1 = 1. Ошибка состоит в допущении существования производной прил; = 0. 2. Решить уравнение хх* = 2. Точки указывают на предельное соотношение. «Решение». Показатель, в который мы возводим число, также есть выражение из первой части условия, а потому он равен 2. Тогда имеем уравнение х2 = 2, решение которого дает л; = л/2. Решив таким же образом уравнение хх* = 4, получим опять х = л/2. Взяв оба эти уравнения вместе, увидим, что выражение ххг равно и 2, и 4, а отсюда недалеко до равенства 0=1. Выражение в левой части уравнения можно понимать только как некий предел, но тогда встает известный вопрос о его существовании. В общем виде исследование сходимости данной последовательности непросто. (Можно посмотреть задачу 30 из книги «Избранные задачи». М.: Мир, 1977.) При х = л/2 она сходится. Но к какому числу? К 2? К 4? Несложно показать, что второе невозможно. В самом деле, V2 <>/2=2. Отсюда ясно, что выражение в левой части при х = л/2, т. е. л/2 , не может рав¬ няться 4. И остается ответом число 2. Но остаются и вопросы. Например, почему же приведенный метод в одном случае дает верный ответ, а в другом нет? Возникает необходимость в непростых разговорах об итерационных процессах, об их сходимости. Любопытно, что в пособии, из которого я взял это уравнение (книга В. Чирского и Е. Шавгулидзе о решении уравнений), не приводится никаких комментариев к полученному результату. Еще пример того же рода. Решим такое уравнение: yjx + л/х + у/х... = а. Точки указывают на предельное соотношение. После возве- дения в квадрат обеих частей этого уравнения получим: х + >/* + yfx+П = а2, а далее х + а = а2, откуда имеем: х = а2-а.
192 Задача для учителя математики. 7-11 классы Пусть теперь требуется решить уравнение: у]х + ylx + yfx... = 1. Согласно полученной формулех = 0. То есть л]о + V0 + 0... = 1. Из этой нелепости естественно вытекает вопрос об условиях сходимости последовательности yjx + \[х~+ у/х.... Кстати, может возникнуть подозрение о невозможности возведения в квадрат обеих частей уравнения, когда в одной из частей нечто бесконечное. Но эту выкладку можно провести чисто, только немного ее поменяв. Сначала запишем такое рекуррентное соотношение для данной последовательности: xn+l =yjx + хп. Возведение в квадрат (в случае неотрицательности обеих частей) приводит к равенству х2п+1 =х + х„. Предположив, что предел последовательности хп равен а, приходим к нужному равенству а2-х+а. Весь этот разговор можно спровоцировать «доказательством» того, что последовательность вида хп при 0 < х < 1 сходится к нулю. Тут сделаем так. Из равенства хп = хп перейдем к такому: хп+1 = х • хп. Предположив, что предел последовательности хп равен я, приходим к равенству а - ха. Отсюда получаем: а - 0. Все довольны, и вопрос о сходимости не возникает. Вот теперь и приводим два предыдущих примера. 3. В тетраэдре РАВСРА = РС=АВ-ВС= 1 ,АС=РВ. Вычислить наибольшее значение площади его поверхности. Поверхность этого тетраэдра состоит из четырех равных между собой равнобедренных треугольников. Площадь каждого из них равна 0,5 • sincp, где (р — угол при вершине. Тогда площадь поверхности всего тетраэдра равна 2sincp. Наибольшее значение этой величины достигается при ср = 90° и равно 2. Этот ответ ошибочен, т. к. тетраэдр при таком значении угла не существует: вырождается в квадрат. Невозможность такого тетраэдра следует из того, что к двум скрещивающимся прямым РА и ВС проведены два общих перпендикуляра PC и ВА. А ошибка произошла потому, что предполагалось существование тетраэдра такого вида с наибольшей площадью поверхности. 4. Пусть уже известно, что если функция строго возрастает на открытом промежутке, то ее производная на этом промежутке неотрицательна, причем критические точки не заполняют никакого промежутка. Докажем обратное утверждение. Если производная от функции на открытом промежутке положительна, то сама функция строго возрастает на этом промежутке.
10. На ошибках учат 193 «Доказательство». Пусть данная функция не является строго возрастающей на данном промежутке. Тогда на каком-то промежутке внутри данного она убывает или является постоянной. Но тогда на этом же промежутке ее производная либо будет отрицательной, либо равна нулю, что противоречит условию. Здесь хотя и известная, но довольно тонкая ошибка. Существуют функции, имеющие производную, но не являющиеся монотонными на любом промежутке внутри данного. Поэтому фраза «Тогда на каком-то промежутке...» неверна. 5. Величина г радиуса шара, вписанного в пирамиду с объе- 3V мом V и площадью поверхности S, ищется по формуле г = —, j но пирамида может быть такой, в которую шар не вписывается. 6. Предлагается, используя теорему Виета, составить квадрат- I ное уравнение, корни которого на 1 больше, чем корни уравнения х2+х+ 1=0. Ученики благополучно составляют новое уравнение, но ведь исходное уравнение корней не имеет (если говорить о действительных корнях. Кстати, если говорить о комплексных, то новая неприятность: для них нельзя сказать, что один корень «больше» другого). 7. Требуется найти все значения параметра а, при которых уравнение х2- \х | + а = 0 имеет один корень. Одно из решений такое. Запишем исходное уравнение в таком виде: х2-\х\ --а. Так как слева стоит четная функция, то один корень — только 0. Но тогда а = 0. Ответ неверен. Взяв а = 0, мы видим, что корней уравнения больше одного. Ошибка произошла потому, что мы считали возможным случай одного корня. Но этого на самом деле нет, в чем можно убедиться хотя бы из геометрической иллюстрации. 8. Пусть требуется найти lim 4х (соответствующей теории х->1 пока нет). Посмотрим на такую выкладку: lim х 1 lim Vx =lim-7== Х~>1Г- = j=. *->i х-*\у/х limvx linwx X—> 1 X—>1 Пусть limVx= а. Тогда получаем, что а2= 1, откуда а - 1, т. е. JC-»1 lim Vx = 1. X—>1 Здесь заведомо предполагается существование предела.
194 Задача для учителя математики. 7-11 классы Выход за границы применимости Теорема используется за границами своей применимости. Вот примеры. 1. Запишем такую цепочку равенств: х = х1 = х2' °’5 = (х2)0’5 = V? = |х|. Получилось, что х = |х|, а это возможно только при х > 0. Итак, мы «доказали», что все числа неотрицательны. Ошибка заключена в переходе х2 0 5 = (х2)0 5, который обоснован как раз для х > 0. 2. «Докажем», что -1 = 1. Запишем такую цепочку равенств: I 2 -1 =-3/Т = 3/ZT = (-1)3 = (_1)6 = б/(_1)2 =6/1=1. I 2 Ошибка заключена в переходе (-1)3 = (-1)6 и в переходе 2 к. они обоснованы только для неотрицательных чисел. 3. «Можно составить квадратное уравнение с тремя разными корнями». Действовать будем так. Запишем равенство (х - i)(x - 1) = 0. Раскрыв скобки, получим квадратное уравнение. Так как оно имеет корнем i, то оно имеет и корень а потому у него три корня. Ошибка в том, что сопряженный комплексный корень существует только для уравнения с действительными коэффициентами, а наше уравнение имеет комплексные коэффициенты. Метод используется за границами своей применимости. 1. Очень яркий и хорошо известный пример использования метода математической индукции для «доказательства» того, что все люди блондины. Аналогичный пример — «доказательство» того, что все люди бедные. Оно следует из того, что имеющий всего 1 рубль - бедный, а прибавление рубля к имеющейся сумме состояние бедности не меняет. В этом коротком примере любопытно вот что. Когда я рассказывал его своим коллегам, редко кто с ходу говорил в чем дело. Мы слишком привыкли к формализованным рассуждениям и легко обнаруживаем ошибки в таковых. А вот обнаружить ошибку до начала формального рассуждения оказывается сложно. В самом деле, а что такое «бедный»? Где определение? 2. Формальное доказательство теоремы о производной сложной функции может использовать такое равенство:
10. На ошибках учат 195 А£_Аz АУ Ах Ау Ах Но оно годится только при знаменателях, отличных от нуля. 3. Попытаемся найти наименьшее значение выражения Т(х,у) = х2 + ху + у2 при условии, что 1 <х<2, 2<у<Ъ. Будем считать сначала, что данное выражение — трехчлен от переменной х, а у — параметр. Тогда его наименьшее значение 3 у2 равно —^j—. Взяв теперь у = 2, мы получим наименьшее значение Дх, у), равное 3. Но мы можем считать, что данное выражение — трехчлен от переменной;/, ах — параметр. Тогда его наименьшее значение Зх2 есть ——. Взяв теперь х = 1, мы получим наименьшее значение 3 Т(х, у), равное -. Может быть, наученные прошлым опытом, мы предположим, что минимума вообще нет? И потому мы получаем разные ответы? Очень поучительный пример для беседы с учениками. 4. Рассмотрим функцию у = х2 + х при 2 < х < 3 и найдем границы для у. Запишем так: 2<х<3=>4<х2<9=>6<х2 + х<12. Теперь возьмем функцию у=х2 — х на том же промежутке и запишем: 2<х<3=>4<х2<9. (1) 2 < х < 3 => -3 < -х < -2. (2) Из (1) и (2) следует, что 1 <х2-х< 7. Все, казалось бы, ясно. Но также ясно, что на промежутке [2; 3] вторая функция монотонна, а потому 2 < у < 6. Почему же получились разные результаты для второй функции, в то время как для первой они одинаковы? (Первая функция приведена только для того, чтобы оттенить, что происходит со второй, и запутать аудиторию.) 5. Известно, что прямая теорема равносильна теореме, противоположной обратной. Мне доводилось видеть доказательство этого утверждения методом от противного. Выглядело оно примерно так. Пусть прямая теорема имеет вид А => В, тоща обратная имеет вид В => А, а ей противоположная имеет вид В => А. Предположим, что эта последняя теорема неверна. Тогда верно утверждение
196 Задача для учителя математики. 7-11 классы В => А. Вместе с верным прямым утверждением получаем, что верно утверждение В => В. А этого не может быть._3начит, наше предположение неверно, и на самом деле теорема В => А верна. Я много раз рассказывал это ученикам, и все понимали и с удовольствием записывали. Но пойдем дальше. Докажем теперь, что верна и обратная теорема В => А. Доказывать будем точно так же. Пусть теорема В => А неверна. Тогда верно утверждение В => А. Вместе с верной прямой теоремой А => В получаем, что верно утверждение А => А. Но этого не может быть. Значит, наше предположение неверно, и на самом деле теорема В => А верна. Дело в том, что отрицанием утверждения А=> В не является утверждение А => В, что выясняется с помощью таблиц истинности. Если же так в классе не сделать, то остается иллюстрация на конкретных примерах или на кругах Эйлера. 6. Теорему Лагранжа о конечных приращениях очень хочется доказать, повернув известную картинку так, чтобы ось абсцисс пошла по лучу АВ. Тогда с ходу получаем теорему Ферма, которая (при каноническом изложении основ анализа) уже доказана. Увы, от такого поворота может пропасть функциональность, ибо легко себе представить график функции, который пересекает прямую АВ под прямым углом (рис. 10). 7. Я как-то «доказывал», что на полуокружности точек «больше», чем на самой окружности. Взял окружность с центром О и провел диаметр АВ. Через точку А провел прямую с, касательную к данной окружности. Спроектировал окружность на прямую с, проведя всевозможные лучи из точки В, пересекающие прямую с. При таком проектировании получается, что на окружности точек «на одну больше» (точку В), чем на прямой с. Далее я провожу диаметр КР, перпендикулярный АВ, и проектирую на ту же прямую полуокружность КАР из центра О лучами, пересекающими прямую с. При таком проектировании получается, что на полуокружности точек «на две больше» (точки К и Р), чем на прямой с.
10. На ошибках учат 197 Но тогда на полуокружности точек «на одну больше», чем на самой окружности! И что особенно любопытно: между полуокружностью без двух концов и окружностью с выколотой точкой легко установить взаимно однозначное соответствие. Здесь (как отступление) вернусь к первой ситуации. Эта конфигурация неплохо иллюстрирует предел функции при х -> <*>. На окружности с центром О проведен диаметр АВ. Через точку А проведена прямая с, касательная к данной окружности. Окружность спроектирована на прямую с всевозможными лучами из точки В, пересекающими прямую с. При таком проектировании наглядным образом бесконечно удаленной точки прямой является точка В. Далее можно пофантазировать. Первая фантазия такова. Пусть длина данной окружности равна 2. «Распрямим» эту окружность так, чтобы на прямой с образовался отрезок длиной 2, симметричный относительно точки А. Точка В «раздвоится» и на прямой с появятся две точки ВхиВ2, иллюстрирующие +<*> и —<». Вторая фантазия состоит в том, что на первой окружности строится бесконечная прямая цилиндрическая поверхность и ее образующая, проведенная из точки В. Если эту образующую толковать как некую ось, на которой откладываются значения функции (аналог оси у на плоскости), то на этом рисунке можно иллюстрировать lim f(x) при х —> °о5 если предел конечен. Переменная х находится на отрезке АВХ или ABV а сам предел — на образующей, проходящей через точку В. График функции будет выглядеть кривой на цилиндрической поверхности. «Развернув» цилиндрическую поверхность на плоскость рисунка, получаем иллюстрацию данного предела на конечном участке плоскости. Третья фантазия состоит в том, что к первой окружности пристраивается равная вторая так, что они имеют одну общую точку В, а их плоскости перпендикулярны. На второй окружности точке В поставим в соответствие 0, а точке, диаметрально противоположной точке В, поставим в соответствие ©о. Теперь можно иллюстрировать и бесконечные пределы функций при х —> оо. Если построенные две окружности считать частями сферы, то график функции будет выглядеть кривой на сфере. А если первая окружность уже развернута (согласно первой фантазии), то можно на конечном куске плоскости иллюстрировать предел, в котором участвуют две бесконечности. 8. При вычислении пределов, когда переменная стремится к бесконечности, кажется, что имеет смысл работать с самыми
198 Задача для учителя математики. 7-11 классы высокими ее степенями, откидывая или добавляя остальные. Такая процедура вроде бы убыстряет вычисление. Например (здесь и дальше я —> оо)? вычисляя предел Иm(\ln2 +1 - я), можно вроде бы проделать такие манипуляции: Иm(\ln2 +1 - я) = lim(л/я2" - я) = 0. (Здесь мы под корнем «откинули» 1, стоявшую под радикалом.) Затем lim(yjn2 + я - я) «вычислим» аналогично, «откинув» я, стоявшее под радикалом, и сразу получаем 0. Но вот такой пример: Ит(л/я2 + 2я - я) и сделаем так: Нт(л/я2 + 2я -п)- lim(yjn2 + 2п +1 - я) = Ит(( я +1) - я) = 1, а затем так: lim (yjn2 + In - п) = Ит(л/я^ - я) = 0. Увы, что-то не так в нашем «методе». 2 к ^ 9. При вычислении интеграла | помощью тангенса ^ 3 + cosx половинного угла мы получаем, что он равен нулю. Причина такого странного результата в том, что тангенс половинного угла разрывен в точке х = тс. Определение используется за границами своей применимости. Хорошо известно «доказательство» того, что а°= 1, полученное из таких равенств: a° = al-l=^r = l. а Формула используется за границами своей применимости. В формуле объема шарового сегмента V=kH2(R - —) возьмем R = 2, Н- 5. Ответ получается, но в невозможной ситуации, ибо необходимо Н< 2R. Потеря смысла Разумеется, это название, как и предьгдущие, условно. К тому же отдельные примеры можно включить не в одну рубрику. Из того, что пишет или говорит ученик, следует, что он плохо понимает, чем он занимается. Вот примеры. к 1. Решается неравенство tgx < 1, а ответ такой: х <— +пп. 4 Но такое невозможно просто в силу периодичности тангенса!
10. На ошибках учат 199 2. Формула площади треугольника S = 0,5aha доказывается для треугольников трех видов: остроугольного, тупоугольного и прямоугольного. Казалось бы, зачем нужно разбирать все три случая? Когда треугольник тупоугольный или прямоугольный, будем проводить высоту на наибольшую сторону. Она лежит внутри треугольника, и доказательство получается точно такое же, как для остроугольного треугольника. При доказательстве этой формулы надо понимать, что мы ее выводим не для какой-то стороны треугольника, а для любой его стороны. Во фразе «Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию» опущено слово «любого» основания. Опущено совершенно резонно, как принято опускать квантор всеобщности во многих ситуациях, но надо понимать, почему мы его опускаем и в этой фразе. 3. Ищется первообразная для функции sinx • cosx. Возможны такие результаты: 0,5sin2x + С и -0,5cos2x + С. Но так как первообразная «одна и та же», то приходим к равенству 0,5sin2x + С = -0,5cos2x + С. Приводя подобные, получаем, что sin2x + cos2x = 0. Я думаю, здесь комментарии излишни. Впрочем, возможны варианты. Если первая первообразная будет записана так: 0,5sin2x + Ср а вторая так: -0,5cos2x + С2, то ведь никто потом не запрещает взять С{ = С2, а тогда приходим к той же нелепости. Запись первообразной в виде Дх) + Стребует ясного понимания, что это не какая-то конкретная функция. Либо это множество всех первообразных, либо произвольная функция из этого множества. Сюда же можно отнести и такой пример: |х^х: = |(х + 0)й!х=|хйх + |0Л = |хЛ+С=»С=0. Неверное использование математической символики Вот несколько примеров. Isinx = 0, Гх = 7W, 1. < <=> < п е Z. Отсюда сразу получаем х = у, [sinj> = 0 [у = 7М, что нелепо. В тригонометрических системах при записи ответов имеет смысл употреблять разные буквы, обозначающие целые числа. 2. / = V-Г, -/ = у/Ц. Отсюда вроде бы следует, что i - -/, т. е. / = 0.
200 Задача для учителя математики. 7-11 классы Ошибка в неверных исходных записях. Слева стоят комплексные числа, а справа V-F. Этот символ на множестве комплексных чисел вовсе не обозначение конкретного числа, а либо множество всех корней из -1, либо произвольное число из этого множества. Любопытно, что то же можно сказать о символе VT на множестве комплексных чисел. Логические ошибки Набор логических ошибок учеников хорошо известен. Самая известная — «порочный круг». Приведу один пример, не совсем тривиальный. Известно, что для решения некоторых геометрических задач используются механические соображения, т. е. такие, которые основаны на законах механики. А если эти самые законы механики требуют для своего обоснования геометрию? И ведь требуют, ибо механика использует понятие «абсолютно твердого тела», которое определяется через понятие расстояния между точками. В одной из своих книг Г. Саранцев пишет: «Рассмотрим, например, два наиболее распространенных в школьных учебниках доказательства теоремы Пифагора. Первое доказательство основывается на выражении катетов прямоугольного треугольника через гипотенузу и синус (или косинус) одного из его острых углов. Возведя в квадрат оба равенства и сложив их, мы получим формулу, выражающую зависимость между квадратом гипотенузы и суммой квадратов катетов». И далее некий комментарий: «...доказательство лишено наглядности, поэтому трудно охватить его целиком, предугадать не только результат, но и последующий шаг». Лично я не знаю учебников с таким доказательством теоремы Пифагора. Оно опирается на основное тригонометрическое тождество, но оно-то в школьном курсе математики выводится именно из теоремы Пифагора! А однажды на уроке было такое. Разбиралась задача, в которой возможно получить ответ не только из математических, но также из физических (механических) соображений. И я спросил учеников, как они относятся к использованию физики для получения ответа в геометрической задаче? Ответ был таков: если можно использовать математику для физики, то почему нельзя делать наоборот? Другой ответ: механика ведь тоже основана на математике, поэтому никакой проблемы нет. И тут же последовало возражение. Первой начала ученица Лера Т., в академическом смысле ученица неблестящая.
10. На ошибках учат 201 - Вот, смотрите, — говорила она. — И математика, и физика работают с абстрактными понятиями. Абстрактные понятия математики дальше от реальности, а потому более простые, нежели в физике. В этом смысле математика наука более простая, нежели физика. И естественно, что более сложные вещи объясняются с помощью простых, то есть физика с помощью математики, а не наоборот. И в классе воцарилась тишина. Ошибки при работе с логическими операциями и кванторами. Здесь можно привести примеры, связанные с формулировкой отрицания. Среди стереометрических аксиом есть такая: «Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку». (Такова стандартная формулировка. Не вполне удачная, ибо термин «пересекаются» требует уточнения.) Попробуем «вывести» это утверждение из прочих. Возьмем любую плоскость а и две точки на ней: А и В. Возьмем теперь любую точку С, не лежащую в плоскости а. Через точки А, В, С проходит плоскость, назовем ее р. Точки А и В принадлежат как плоскости а, так и плоскости р. Поэтому прямая АВ лежит в каждой из этих плоскостей, т. е. является прямой их пересечения. Доказать-то мы доказали, но какое утверждение? Равносильно ли оно приведенной аксиоме? Увы, нет. Накладка получается потому, что в формулировке аксиомы опущено (по умолчанию!) слово «любые». Более четкая формулировка выглядит так: «Любые две плоскости, имеющие общую точку, имеют общую прямую, проходящую через эту точку». Ошибки «структурные». Сюда относятся разнообразные примеры неверно сформулированных учениками обратных и противоположных утверждений, в необходимых и достаточных условиях. Из года в год я слышу такое: «Через прямую, перпендикулярную данной плоскости, проходит плоскость, перпендикулярная данной плоскости. Значит, если прямая не перпендикулярна данной плоскости, то через нее не проходит плоскость, перпендикулярная данной». Ошибки при записи ответа. 1. При записи ответа в уравнении (х - 1)(х - 2) = 0 часто встре- \х = 1, чается такая запись: \ или (х = 1 и х = 2). ух — 2
202 Задача для учителя математики. 7-11 классы -'У - X 2. При записи ответа в системе < порой видишь: х = 1, и х = 2 Г х + у \ху = У = 2, х = 1. Ошибки в аналогиях. Аналогия — чрезвычайно сильное средство для получения новых результатов. В обучении можно найти тьму примеров этому. Я напомню только два: аналогия в свойствах круга и шара, а также аналогия в свойствах треугольников и трехгранных углов. Вместе с тем аналогией надо пользоваться очень аккуратно, ибо она может подвести. Вот некоторые примеры. 1. Наименьшее значение произведения аи b можно найти, перемножив наименьшее значение а и наименьшее значение b (при условии, что оба они положительны). Но этот способ не годится, когда между величинами а и b есть некая связь, например, а = х, Ъ- 1 -х. 2. Умножение действительных чисел ассоциативно, а скалярное умножение векторов таким свойством не обладает (и векторное тоже). 3. С функцией Xх можно работать как с показательной, но не всегда. При решении уравнений необходимо учитывать случай, когда х = 1, а что касается взятия производной, то аналогия недопустима вовсе. Недопустима тут и аналогия со степенной функцией. 4. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит в середине гипотенузы. Ничего аналогичного нет для прямоугольного тетраэдра — тетраэдра, в вершине которого сходятся три прямых угла. 5. Если в треугольнике совпадают центры вписанной и описанной окружностей, то он равносторонний. Аналогичное утверждение для тетраэдра и сферы неверно. 6. Если функция/— нечетная, то функция — также нечетная. Скажу иначе, если график функции/центрально-симметричен относительно начала координат, то график функции — также центрально-симметричен относительно начала координат. Но так не получается, если график функции/центрально-симметричен относительно точки, не имеющей нулевой координаты, график функции — не является таковым.
10. На ошибках учат 203 7. Известно, что квадрат можно разбить на конечное число квадратов, среди которых нет двух равных. Аналогичное утверждение для кубов неверно. Теперь приведу любопытный «пример наоборот», когда в пространстве возможно то, что представляет проблему на плоскости. Оказывается, в пространстве не существует «проблемы четырех красок»: каково бы ни было число п, всегда можно п тел расположить так, чтобы каждое из них имело общую часть поверхности с каждым. Из нее и следует, что верхней границы на число красок быть не может. Что это за тела? Представьте себе осьминогов (лучше «многоногов», а еще лучше «я-но- гов»), соприкасающихся щупальцами. 8. Теперь суперпример того, что в пространстве можно то, чего нельзя на плоскости. Это знаменитый парадокс Банаха — Тарского. Из него следует (в свободной формулировке), что шар можно перекроить в шар другого радиуса (для плоскости соответствующее утверждение не является верным). Из него в шутливой редакции следует, что арбуз можно превратить в больший арбуз. Ученики тут же спрашивают: «А как?» И вот тут есть еще один повод поговорить о существовании объекта в математике и двух видах его доказательства. О доказательстве конструктивном, за которым стоит алгоритм для появления нужного объекта, и доказательстве экзистенциальном, когда существование заключается в непротиворечивости того, что утверждается, принятой системе аксиом. Парадокс Банаха — Тарского как раз парадокс «экзистенциального» существования, а потому реально воплотить его результат невозможно. Восхищает в нем даже не только сам факт, но то, что он пришел кому-то в голову. Тут же вспоминаются слова Д. Гильберта об одном из своих учеников, который бросил математику и стал поэтом: «Для занятий математикой у него не хватило воображения». а с 9. Пропорция — = — равносильна равенству ad - be (при от- b d сутствии нулей). Однако для векторов и их скалярного произведения этой равносильности нет, есть только следование: 10. Около невыпуклого многоугольника нельзя описать окружность. Но существует невыпуклый многогранник, около которого можно описать сферу. Таким, к примеру, является многогранник, являющийся объединением двух тетраэдров с общей гранью, причем их общая грань вписана в одно из сечений сферы.
204 Задача для учителя математики. 7-11 классы Ошибки при обобщениях. 1. f = /4 • /2 = 1 . (_ 1) = _ 1 ( fi = (/4 )1.5 = } 1,5 = J Из этих двух равенств выходит, что -1 = 1. На комплексные числа перенесены свойства степеней, известные для действительных чисел. 2. Докажем, что комплексную дробь можно сокращать, х е JdiL _ zi z - z\ i = z\ Z2Z Z2 Z Z2 Z2 Первый знак равенства требует обоснования, т. к. он взят из операций с действительными числами. 3. «Докажем», что i < 0. Пусть / > 0 => /2 > 0 => -1 > 0, что неверно. Пусть / = 0 => /2 = 0 => -1 = 0, что неверно. Остается: / < 0. На комплексные числа перенесены свойства вещественных числовых неравенств. 4. «Докажем», что 0,999... = 1. Пусть 0,999... = а. Тогда 9,99... = = 10а. Вычитая, получим 9а = 9, откуда а - 1. С бесконечными десятичными дробями мы действуем как с конечными. А один мой знакомый рассуждал здесь так: 0,9 отличается от 1 на 0,1; 0,99 отличается от 1 на 0,01; 0,999 отличается от 1 на 0,001; 0,999... отличается от 1 на —, т. е. на 0. Поэтому оо 0,999... = 1. Этому знакомому было 10 лет. Проделаем эту выкладку чуть иначе. Обозначим 0, 9999... = S. Затем умножим обе части равенства на 9 = (10 - 1) и получим: 9,999... - 0,9999... = 95. Затем получим: 9 = 95, откуда 5=1. Результат верен, но! Проделаем нечто аналогичное. Рассмотрим теперь равенство 1 +х + х2 + л:3... = S. Умножим его на (х- 1). Получим: (х- 1)(1 +x + x2+x3...) = (jt- 1)5. В результате умножения в левой части получим -1. Тогда(х- 1)5=— 1, откуда5=—-—. 1 - х Итак, 1 +х + х2 + х3 +... = . 1-х Я проделывал этот фокус до вывода формулы суммы бесконечной геометрической прогрессии. Теперь подставим в это равенство х = 2. Получаем, что 1 + 2 + 22 + 23... = | =-1. Еще.
10. На ошибках учат 205 В равенстве 1 + х + х2 + х3... = положим / = -х. 1-х Получим такое равенство 1 -1 +12 -13... = -— Возьмем t= 1. Слева стоят одни нули (1 — 1 + 1 — 1 + ...), а потому приходим к равенству 0 = -. Для большего эффекта можно, умножив на 2, записать отсюда 1 = 0. Что-то не так. Но что? Любопытно, что над аналогичным равенством размышлял еще Л. Эйлер. 5. Теорема об углах с взаимно перпендикулярными сторонами в пространстве неверна. Ошибки, допущенные интуицией. Есть очень много примеров, когда результат либо идея решения интуитивно ясны. Один очень красивый пример связан с формулой для объема тора. Пусть круг радиуса а вращается вокруг прямой и центр этого круга удален от этой прямой на расстояние b (b > а). Умножим площадь круга па2 на путь, пройденный центром за один оборот 2кЬ, и получим объем. И что я должен был сказать, получив от ученика такое решение? Увы, не всегда интуиция работает так блестяще. В книгах М. Клайна, Б. Гелбаума и Дж. Олмстеда (анализ), Л. Млодинова (теория вероятностей), Г. Штейнгауза, В. Босса и М. Гарднера приведено много случаев, когда интуиция подводит. Вот примеры. 1. Мне еще не довелось встретить школьника, который не был бы уверен поначалу в том, что наибольшее по площади треугольное сечение конуса (прямого кругового) осевое. И не только школьники, но даже и специалисты-геометры попадались на этом. На самом же деле такой результат верен не всегда, а только в том случае, когда осевым сечением конуса являются остроугольный или прямоугольный треугольники. Если же оно является тупоугольным треугольником, то искомым сечением является такое, которое представляет собой прямоугольный треугольник. Верный ответ моментально следует из формулы S = 0,5L2sin(p, где S — площадь треугольного сечения, L — длина образующей поверхности конуса, ср — угол между двумя такими образующими. 2. Предположим, мы хотим найти наибольший круг, вписанный в равнобедренный треугольник с фиксированной боковой стороной. Вполне может показаться, что такой круг мы получим
206 Задача для учителя математики. 7-11 классы тогда, когда площадь равнобедренного треугольника будет наибольшей (т. е. в прямоугольном равнобедренном треугольнике) - в нем «будет больше места». Однако, как показывают выкладки, это не так. 3. Аналогичный пример. Когда мы ищем цилиндр с наибольшим объемом, вписанный в конус, образующая поверхности которого фиксирована. Мне удалось заметить, что интуиция неплохо чувствует, если так можно выразиться, непрерывность и линейность. В случае нелинейных зависимостей интуиция учеников, как правило, не срабатывает. К тому же интуиция может и подвести. Это особенно заметно в задачах, связанных с работой пространственного мышления, задачах на подсчет вероятностей и в задачах о бесконечных множествах. Приведу известные и очень выразительные тому примеры. 4. Распадется ли лист Мебиуса, если разрезать его по средней линии? Кто «увидит», что он не распадется? Как пишут Р. Курант и Г. Роббинс: «Тому, кто не упражнялся с лентой Мебиуса, трудно предсказать это обстоятельство, столь противоречащее нашим интуитивным представлениям о том, что “должно” случиться». Далее они добавляют: «Поверхность Мебиуса, без сомнения, заслуживает упоминания и в школьном курсе». 5. Пример из вероятностных задач. Что вероятнее при игре в шахматы с равносильным партнером: выиграть 3 партии из 4 или выиграть 5 партий из 8 (ничьи не в счет)? Напрашивается второй ответ, но он не является верным. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить дерево возможных исходов и сравнить результаты подсчета. 6. Пример тоже про вероятность. Предположим, вы готовы держать пари, что в классе найдутся два ученика, родившиеся в один день. Будет ли это пари честным? Истинный ответ для более или менее реального класса в 30 человек — нет. Вероятность совпадения дней рождения в этом случае примерно 0,7. Честное пари, соответствующее вероятности будет, если в классе 23 ученика. 7. Пример опять про вероятность. Кажется естественным, что отношение «вероятнее» (событие А вероятнее, чем событие В) является транзитивным. Однако известен контрпример (его приводит В. Босс), именно: А вероятнее В, В вероятнее С, С вероятнее
10. На ошибках учат 207 D, a D вероятнее А. Имеется четыре игральных кубика. На гранях кубика Л шестерка чисел такова: 6, 6, 2, 2, 2, 2. На гранях кубика В шестерка чисел такова: 5, 5, 5, 1,1,1. На гранях кубика С шестерка чисел такова: 4,4,4,4,0,0. На гранях кубика D шестерка чисел такова: 3, 3, 3, 3, 3, 3. При бросании костей выигрывает тот кубик, у которого выпала большая цифра. При подсчете оказывается, что 2 каждый кубик выиграет у следующего с вероятностью -: А у Д В у С, С у D. Но не А у D, a D у А! В чем же дело? А в том, что эти «люди-буквы» играют в разные игры! 8. И снова про вероятность. Парадокс Монти Холла (по имени американского тележурналиста, в передаче которого появилась эта задача) производит сильное впечатление. Подробный разбор этой задачи можно найти в Интернете. 9. Фантастическая ситуация из жизни бесконечных множеств. Рассматриваются все рациональные числа в интервале (0,1). По- а и кроем каждое рациональное число —, где а и Ъ взаимно просты, интервалом длиной , в центре которого выбранное число. Ка- 2 Ъ залось бы, все бесконечное семейство построенных интервалов (к тому же с бесконечной суммой длин) должно покрыть весь интервал. То есть любое в нем число. Ан нет! Несложно (доступно ИЯ старшеклассника) показать, что число | останется не „о- крытым. 10. Если есть возможность рассказать о фракталах, в частности, «салфетке Серпинского», то это стоит сделать. В этом примере показана фигура, имеющая конечную площадь и бесконечную длину границы. 11. А то, что частичная сумма гармонического ряда может превысить высоту телебашни, мои восьмиклассники никак не представляли. Неверный выбор модели Мне очень нравится пример о дате «конца света», и я стараюсь рассказать его ученикам при завершении обучения. Итак, «конец света» наступит 13.XI.2026 года. «Доказательство». Пусть x(t) — число людей в момент /, хх — число мужчин, х2 — число женщин. Сделаем предположение о том, что x\t) = кхххт Так как хх « х2 ~ 0,5х. то x'(t) = к
208 Задача для учителя математики. 7-11 классы Отсюда получаем: — = — х2 или ^ = —dt. Проинтегрируем dt 4 х 4 это равенство на промежутке [/0; /], где t0 — исходный момент времени. Получим: Xfdx к\ 1 1 к ~л\ - 'о)=> ( ^ л ^ 0 ^ 4J v 4 г 4 *0 ^0 х2 4}~ ' х х0 4V' и/ 'х, хп7 4' 1 ' 1 к Приравняем знаменатель полученного выражения к нулю 4 и найдем отсюда t = + /0. кх0 Коэффициент к берется из предыдущих наблюдений. И полученное равенство означает, что в момент t само выражение, т. е. число людей на Земле, обратится в бесконечность. Яблоку упасть будет некуда, а наступит такой момент, как говорят, в указанный выше срок. Обычно ученики полностью обескуражены и только глазами хлопают. Но потом начинают задавать вопросы и потихоньку докапываются до разумных объяснений полученному результату. Как я уже говорил, не все из этого списка стоит считать ошибками, скорее заблуждениями по причине аналогий, обобщений, интуитивных предположений. Но для меня гораздо важнее, чтобы дети не уставали ими пользоваться и не тушевались от своих неудач в их применении. Казалось бы, какая разница: ошибки ли, заблуждения ли, все одно — неверно. Но не так все просто в практическом плане. За ошибку можно и снизить отметку, а при заблуждении вроде бы и не за что. Несколько слов в заключение. Ко всему прочему, все эти «ошибки», софизмы, парадоксы придают урокам очевидную эмоциональную окраску. С той же целью могут быть использованы числовые фокусы, они хорошо известны. Как-то я целый год, по крайней мере раз в неделю, показывал (в курсе алгебры) очередной числовой фокус, после чего шло его обсуждение: почему и как получаются задуманные числа и дни рождения. А если еще предложить детям проделать такой же фокус с домашними — эффект грандиозный. Хороши с этой же целью всякого рода розыгрыши. Вот примеры. 19 1. Можно ли «сократить» дробь —, просто зачеркнув цифру 9 в числителе и знаменателе?
10. На ошибках учат 209 2. Что произойдет, когда будет 0°? (Таяниельда.) 3. Найдите Г— прих>0. (—lnjc + C.) J dx d 4. Решите уравнение Sm Х = 5. (Сокращаем все буквы в числи- sin х теле и знаменателе. Получим равенство 2-5. Оказывается, что уравнение не имеет решения, что верно.) 5. В какой день недели 22 = 10? (В любой — в четверичной системе счисления.) 6. «Докажем» характерное свойство арифметической прогрессии (ап): ап = 0,5(ял _ х+ап+х) сокращением в обеих частях равенства на а. 7. Ребус на ассоциативное мышление. (Я придумал его много лет назад, но с тех пор его разгадал всего один человек — петербургский математик В. Залгаллер.) Можно ли выпить дробь вида -^-? (В знаменателе дроби окружность с центром.) 8. Давным-давно известны числовые диковинки. Вот три из них: а) изобразите самое большое число тремя цифрами и знаками математических операций (99); б) изобразите тремя двойками и математическими символами любое натуральное число (—log2log2^/-у/yj.. .л/2 , где число радикалов - п)\ в) используя 0 и математическую символику, изобразите сколь угодно большое число ((0! + 0! + 0!)!)!...! (Число восклицательных знаков можно сделать любым). 9. Можно ли циркулем постоянного раствора провести: а) окружности разных радиусов; б) замкнутую ли тию, но не окружность? 10. «Докажем», что 0=1. Первый способ — шуточный. 0! = 1 и 1! = 1. Отсюда следует, что 0! = 1! «Сократив» на знак факториала, получим равенство 0=1. Второй способ замысловатее. Занимаясь комплексными числами как парами вещественных чисел, приходим к равенству 1 = (1,0). С другой стороны, множество рациональных чисел также можно строить как множество пар целых чисел, а потому запись 1 = (1,1) также корректна. К этой же записи можно подойти как к другой записи числовой дроби -9 ибо важно не то, как дробь
210 Задача для учителя математики. 7-11 классы записана, а то, как производить обычные действия с такими числами. И так как оба выражения (1,0) и (1,1) равны 1, то в силу транзитивности равенства приходим к их равенству: (1,0) = (1,1). Определение равенства пар чисел равносильно равенству их соответствующих компонент, откуда и следует, что 0=1. Третий способ использует производную. Имеем равенство (х2)' = 2х. Подставим в него 1 вместо х. Получим: (I2)' = 2, откуда 0 = 2, а затем и 1 = 0. И вспомним древних мудрецов: «Когда, совершив ошибку, не исправил ее, это и называется совершить ошибку» (Конфуций). 11. ЧЕЛОВЕК КРИТИЧЕСКИЙ Из опыта ясно, что критическая деятельность ученика (КД) со временем становится в каком-то смысле неотъемлемой частью его деятельности. Увидев на доске неверное решение, он тянет руку, чтобы поправить запись. Заметив разницу в рассказе учителя и в тексте книги, он задает вопрос: «А почему?» Заглянув в ответ, приведенный в учебнике, и увидев у себя нечто другое, он, возможно, начинает искать у себя ошибку. Итак, как-то КД идет. Но как? Как ее поощрять? Как ее развивать? К чему здесь надо стремиться? Все это, увы, не так уж и понятно. То, что КД необычайно важна в познавательном процессе, можно прочитать в сочинениях ученых, в многочисленных работах дидактов, психологов, методистов. Вспомним знаменитое: «Подвергай все сомнению!». Не сомневайся во всем, а подвергай, т. е. что-то делай! Что? А. Пуанкаре заметил: «...нужно знать, почему возникает сомнение». Отмечается благотворное влияние КД наличность: растет ответственность, изменяется самооценка. Но в теоретических рассуждениях о КД мне не все ясно. Обычно деятельность ученика делится на две части: репродуктивную и продуктивную. КД в общем случае относят к продуктивной деятельности. Я не вполне с этим согласен, ибо специфика КД — направленность на «разрушение», в то время как продуктивная деятельность созидательна. Не вполне ясно очерчено и содержание КД, обычно его сводят к контролю. А сопоставление разных точек зрения, а оценка чего- либо? По-моему, они тоже входят в КД. Доказательство можно трактовать как своего рода проверку возникших предположений, но тогда поиски доказательства можно отнести к критической деятельности. Мне более понятно выделение КД в некую само¬
11. Человек критический 211 стоятельную деятельность ученика, не сводимую к прочим видам его деятельности. Обучая школьника КД, я исхожу из следующего: 1) КД ученика имеет такое же право на внимание со стороны учителя, как другие виды его деятельности. В оценку деятельности школьника может входить оценка его КД; 2) конечный практический результат работы учителя в этом направлении — некий уровень умения ученика критически подойти к собственной работе; 3) первоначально КД направлена на контроль и оценку работы другого человека: ученика, учителя, автора текста; 4) система работы учителя в этом направлении включает в себя не только естественно возникающие ситуации, но и создание специальных условий, провоцирующих ученика на КД. Я уже говорил о том, что КД в первую очередь направлена на то, чтобы избежать ошибок. Но поводом (основанием, толчком - не знаю, как сказать точнее) для КД может быть и многое другое: неясное объяснение учителя или непонятное толкование в учебнике, сопоставление полученного результата с исходным условием, оценка качества решения, последовательности изложения, сравнение разных точек зрения. Можно сказать, что КД необходима для более глубокого понимания, например, доказательства. Почему оно такое? Почему, к примеру, теория площадей в планиметрии обошлась без интеграла, а теория объемов в стереометрии — нет? Другой пример. Почему такое странное определение умножения комплексных чисел (если комплексное число определяется как упорядоченная пара вещественных чисел)? Некоторые формулы непонятно откуда взялись: нельзя ли было их предугадать (ту же теорему Пифагора)? Даже глобальный вопрос типа «А зачем нам нужен этот синус?» может свидетельствовать о критической деятельности ученика. КД можно организовать в разных учебных ситуациях. Начнем с КД по отношению к работе другого ученика. Естественно она происходит, когда только что закончен чей-то ответ у доски. Причем лучше, если это был ответ, средний по качеству. Обычно я даю отвечающему выговориться полностью, не перебивая его ни вопросом, ни подсказкой, даже если ответ путаный. Хорошо известна фраза, которой иногда отвечают на наши комментарии вызванные к доске: «А я так и хотел сказать, да только мне помешали!». «Ты все сказал?» — задаю я вопрос выступавшему. И только после его «да» начинаю работать с классом,
212 Задача для учителя математики. 7-11 классы спрашиваю: «Какие у вас есть вопросы к выступавшему у доски?» Обычно в ответе или в решении есть места, которые требуют некоторого разъяснения. Когда таких мест не осталось, я задаю следующий вопрос классу: «У кого есть замечания по тому, что сказано (написано)?» Здесь можно говорить про ошибки, которые удалось заметить. И последний мой вопрос: «Кто хочет высказаться по поводу ответа в целом?» Здесь уже дается некая оценка тому, что было сказано или написано, отмечается как идея решения, так и его качество, могут быть предложены свои идеи. Возможны дискуссии и мой комментарий к ним. Обязательно надо отмечать удачные выступления учеников, даже просто толковые вопросы. На приведенной триаде моих вопросов приходится задерживать внимание, фиксировать ее, т. к. дети вначале плохо понимают, что же они хотят сказать по выслушанному ответу. Часто от них слышишь: «А я не понял, чего он сказал!» И все. Свой вопрос они не могут верно сформулировать, а отвечавший, вряд ли поняв, о чем его спрашивают, тут же начинает говорить неизвестно что. «Ты понял вопрос?» — спрашиваю я у него. «Нет», — частенько слышу в ответ. «А тогда зачем отвечаешь?» Долго приходится ждать, пока отвечавший школьник начинает говорить: «Я не понял вопроса». Думаю, что ученик во время ответа имеет право на ошибку, тем более на заблуждение. Если класс своими вопросами помог ему поправить свой ответ, то не снижаю его отметку. Возможен даже такой вариант. Говорю ученикам: «Если вы зададите ему такие вопросы, ответив на которые он поправит свою работу, то отметка ему снижена не будет. А если не зададите таких вопросов, то я начну их задавать, а потом могу и снизить отметку. Так помогите человеку у доски своими вопросами». И ведь помогают! Гораздо строже, чем к отвечающему, отношусь ко всему классу. Во время чьего-либо ответа ученики обязаны настроиться на КД, готовить свои вопросы, замечания, выступления. Общий итог всему сказанному в классе подводит учитель. Отметка за ответ выставляется с учетом реакции ученика на вопросы и участия в дальнейшем обсуждении. Очень важно, что все вопросы и замечания с места не приводят к снижению отметки, а скорее наоборот, дают некий дополнительный шанс выступавшему. Вместе с тем отмечается успешная КД с места. Иногда ученики, отвечая у доски, делают ошибки «гениальные», я даже благодарю их. Это те ошибки, которые класс не может заметить в принципе из-за нехватки знаний. О таких ошибках рассказываю сам, и ясно, что не снижаю за них отметки.
11. Человек критический 213 Приведу пример тому. На уроке геометрии обсуждается понятие расстояния, точнее, расстояния от точки до фигуры. С расстоянием от точки до прямой или до плоскости проблем нет: там работает перпендикуляр. Но как быть, если перпендикуляр не работает, например, если нужно найти расстояние от точки до круга? Начинаются разговоры о поиске точки круга, ближайшей к данной точке. Найти ее несложно. Однако можно рассмотреть и такие фигуры, которые не имеют точки, ближайшей к данной точке. Например, возьмем тот же круг без его окружности, т. е. внутренность данного круга. Сразу замечу, что ученики не всегда сразу же понимают, что такая фигура (открытый круг, «оскальпированный» круг) не имеет ближайшей точки; могут понадобиться дополнительные разъяснения. После чего спросим у них: «Ну хорошо, ближайшей точки нет, а расстояние есть?» Практически все убеждены, что есть. Как же так, ближайшей точки нет, а расстояние есть? Привожу совсем простой пример. На числовой оси выделим промежуток [0; 1) и спросим, чему равно расстояние от точки оси с абсциссой 2 до этого промежутка? Ответ последует незамедлительно: расстояние равно 1. Этот ответ — и ошибка, и нет. Ошибка потому, что в определении расстояния до фигуры есть ближайшая точка, а в данном случае ее нет. Нет ближайшей точки — нет и расстояния. Не ошибка потому, что в самой математике расстояние определяется и в этом случае, а кроме того доказывается его существование, но тут потребуется разговор, аналогичный теореме Вейерштрасса о достижении наименьшего значения. Далее возможен и другой прием работы в том же направлении. После ответа ученика кому-либо предлагается выступить: задать вопросы, сделать замечания и оценить работу в целом. Если такое выступление было достаточно содержательным, то за него можно и отметку поставить. Когда ученики привыкают к такого рода «оппонированию», то за него может выставляться и низкая отметка, в том случае, если «оппонент» не смог ничего сказать толком (а сказать было что). Зная, что каждый может быть вызван на «оппонирование», ученик за партой становится куда более внимательным к услышанному ответу. Бывает, что выступление оппонента само нуждается в замечании или открывает некую совсем не запланированную дискуссию. Дело учителя — привести все это «к общему знаменателю». Формы «оппонирования» можно варьировать. Можно, например, предложить «оппонирование» одного ответа нескольким ученикам или «оппонирование» нескольких ответов одному уче¬
214 Задача для учителя математики. 7-11 классы нику. Еще раз подчеркну, оценивается учителем не только сам ответ, но и его «оппонирование». До сих пор я вел речь об организации КД в процессе устной работы в классе. Не менее важна организация КД в связи с письменной работой, с текстом. Преследуя разнообразные учебные цели, я в первые же годы своей работы стал предлагать учащимся так называемые недельные задания, т. е. задания с недельным сроком исполнения. (Сперва задания по задачнику П. Моденова были месячными, некоторые из решений, полученных тогда учениками, храню до сих пор.) Вначале я проверял их сам, потом эту работу стали выполнять ученики. Они разбивались на фиксированные пары, и каждый ученик проверял работу напарника. Проверяющий должен был так или иначе прокомментировать все замеченные им ошибки и выставить отметку. Обычно в недельном задании было пять задач, и эта отметка — просто число задач, которые засчитаны проверяющим как решенные. (Эти отметки фиксировались в специальной тетради и учитывались при выставлении четвертных или полугодовых отметок.) Желательно в каждом недельном задании выборочно проверить работу хотя бы одной пары, как решения, так и комментарий к ошибкам, а затем оценить работу этой пары публично. Ученик имеет право обжаловать полученную отметку, и тогда решающее слово будет за учителем. Приведенные формы работы с учениками направлены в первую очередь на борьбу с ошибками. Поиск ошибки отнюдь не простая работа. Надо знать, что искать, где искать и как искать. Позволю себе повториться, но для обучения такому виду КД необходимы показ ошибок и их осмысление. И «оппонирование», и комментирование ошибок важны в КД ученика, но частенько зависят от случая. Но желательно направлять КД ученика. Для этого я могу в своем рассказе «допустить» именно те ошибки, на которые хочу обратить внимание детей, могу расставить именно такие «ловушки», в которые, вероятнее всего, они угодят. Некоторые примеры тому я приводил ранее. Приведу еще. Добавлю при этом, что ученики наши бывают чересчур доверчивы к тому, что им говорят с «амвона», т. е. от учительского стола. От такой доверчивости рождается невнимательность, порой безразличие. А мы все рассказываем, все диктуем что-то. И они пишут, пишут, и подумать им совсем некогда. Кто-то однажды рассказал, как студенты, одержимые мыслью не упустить из лекции ничего, строчили в своих тетрадях: «Электроны бывают зеленые, желтые и синие...» (Лектор ставил некий мини-эксперимент.) И сколь¬
11. Человек критический 215 ко таких «желтых электронов» записано в детских тетрадях? Мне во время своего рассказа нужно не показное их внимание, а подлинная работа мысли. Установка на КД многому в этом способствует. Итак, что же я могу сделать? «Доказать» неверное утверждение. 1. Найдем интеграл на таком промежутке, где подынтегральная функция имеет разрыв: л 71 dx — = -ctgx rsinх 4 к =-2. ~4 2. Плоские углы а, р, у трехгранного угла связаны между собой зависимостью cosp = cos a cosy. «Доказываю». На ребрах этого трехгранного угла отложим от вершины три единичных вектора: я, Ь, с, при том что Zab = у, > > ■>■ > Zbc = a, Zac = $. Запишем скалярные произведения этих векторов: ab-ab cosy, (1) be- be cos а, (2) —>—> ca-ca cosp. (3) Перемножим теперь равенства (1) и (2) и получим: (ab)(bc) = ab2c cosy cos а. —^ ) ) «Отсюда» b2(ac) = ab2c cosy cos а. И так как все векторы единичные, то cosp = cosa cosy, что и требовалось доказать. Если об отсутствии ассоциативности скалярного умножения раньше речи не было, то ученики и глазом не моргнут. А полученное равенство обведут в рамочку. После чего предлагаешь им перемножить равенства (2) и (3), а затем равенства (1) и (3). Прекрасно, они опять же записывают и обводят. Вот они, «желтые электроны». Тогда я предлагаю им перемножить все три полученных выражения для косинусов. И получается вот что: (cosa cosp cosy)2 = cosa cosp cosy. И только тут они начинают задумываться над происходящим. Здесь уместно будет сказать несколько слов об ассоциативности. Именно в ней, в ее выполнении, проявляется возможность такой записи: а • b • с или просто abc, когда речь идет о перемно¬
216 Задача для учителя математики. 7-11 классы жении трех сомножителей. На самом деле умножение — операция бинарная, а потому надо бы записывать это произведение так: (а- Ь)- с или так: а • (Ь • с). Ассоциативность операции умножения позволяет нам вообще не ставить скобок: как ни расставляй, результат будет один и тот же. Тут же контрпример. Не все операции такие «хорошие», как умножение. Например, деление или возведение в сверхстепень л9 ассоциативностью не обладает. Поэтому запись 8:4:2 или 9 не является, вообще говоря, корректной. И впрямь (8 : 4) : 2 Ф Ф 8 : (4: 2), также и второе из приведенных выражений существенно зависит от порядка расстановки скобок. В записях с неассоциативными операциями скобки необходимы! Однако на практике мы можем встретить и запись типа 8 : 4 : 2, и выражение 99 без всяких скобок. Как же так? («Если нельзя, но очень хочется, то можно!») Просто для таких записей есть специальные (и противоположные!) договоренности о том, как их трактовать. Первую из них условились понимать последовательно от начала к концу, т. е. как (8 : 4): 2, а вторую от конца к началу, т. е. как 9(9}. Кроме того, запись типа 8:4:2 трактуется иногда как обозначение пропорционального деления — в теореме синусов, в задачах на сплавы или растворы. Здесь же замечу нечто странное. Если переписать выражение 8:4:2 как 8 • 0,25 • 0,5, то, пожалуйста, ассоциативность выполняется. Все дело в знаке? Различие выражений 8 : 4 : 2 и 8 • 0,25 • 0,5 можно прояснить и до того, как будет проведена проверка на ассоциативность. В общем виде выражение а : (Ь : с) приводится к виду ab~lc, а выражение (а: Ь) : с приводится к виду ab~lc~]. Разница в последнем сомножителе. 3. Производит впечатление рассуждение, подчеркивающее важность существования объекта, о котором идет речь. Для каждого натурального п верно неравенство п2 > п. Найдем теперь наибольшее натуральное число. Обозначим его N. Для числа N не может выполняться условие N2>N, ведь согласно предположению N— самое большое. Значит, с необходимостью выполняется равенство N2 = N. Единственным натуральным числом, для которого выполняется такое равенство, является число 1. То есть наибольшим натуральным числом является 1. Еще пример. Пусть а+ а~{ = -1. Чему равно а2 + аг2? Решение. Возводим в квадрат обе части равенства а + arx = -1 и получаем: а2+ аг2 = 1. Как же так? Дискриминант квадратного уравнения, к которому приводим уравнение а + агх - -1, отрица¬
11. Человек критический 217 телен, значит, вещественных корней оно не имеет. Комплексные числа в 8 классе не известны. Откуда же взялась 1? Из какого небытия? Есть что пообсуждать в классе. 4. «Докажем», что любые два неколлинеарных вектора равны. _ —> —> —> —> Пусть векторы b и с неколлинеарны. Пусть а 1. b и а А- с, —> -» —>-» -» —> -» тогда а b = а с. Сократим на а и получим, что b = с. Получить верный результат, однако с ошибкой. 1. Можно вывести формулу объема прямого кругового цилиндра с помощью интеграла. Но при построении теории использование интеграла для вычисления объемов основывается на формуле объема такого цилиндра. 2. При решении неравенства \х — 11 > л; (х — \)2>х2 <^>-2х + 1 >0<=>х<0,5 ответ верен, а равносильности нарушены. Рассуждение может содержать некоторые пробелы, которые надо восполнить: а) решаем неравенство с параметром ах2+х + 1 > 0 и упускаем случай, когда а- 0; б) находим объем конуса, вписанного в шар, и работаем в молчаливом предположении, что центр шара лежит внутри конуса. Получить разные ответы. Хорошим толчком для развития КД является появление разных ответов: чем больше ответов, тем интереснее, что будет дальше. Разумеется, попытки голосовать или ссылки на авторитет лучших «математиков» класса бессмысленны. Бывает, что ответы только внешне различны. Например, мы решаем уравнение sinx — cosx = 0. Один способ - решать его как однородное, а другой — через тангенс половинного угла. Нужна некая работа, чтобы убедиться в идентичности полученных результатов. Вот еще пример. Пусть в треугольнике ABC 11 < а < 13, 14 < Ь < 17. В каких границах лежит периметр Р треугольника? Естественно оценить третью сторону с. Одна оценка такова: 1 < с < 30. Тогда 26 <Р< 60. Возможна и такая оценка с: 6 < с < 25. Тогда 31 < Р< 55. Где же истина? Работать с определением. Иногда имеет смысл давать его не сразу же в окончательном виде. Очень полезно для КД, когда в результате беседы с учителем класс как бы подбирается к нужному определению, отвергая неприемлемые варианты. Такую работу можно вести, давая
218 Задача для учителя математики. 7-11 классы определения, скажем, периодической функции, касательной к кривой, многогранника, геометрического тела. Любопытен пример с определением прямого параллелепипеда. Стандартное определение: «Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого боковое ребро перпендикулярно основанию» — вроде бы не внушает опасений. Тогда я беру спичечный коробок (без содержимого), ставлю его самой маленькой гранью на стол, затем смещаю заднюю грань относительно передней — параллелепипед из прямоугольного становится прямым. Далее я поворачиваю коробок и ставлю его на стол рабочей гранью. Основание находится на столе, и боковое ребро ему уже не перпендикулярно. Так какой параллелепипед перед нами? И нужно ли в связи с этой историей менять определение прямого параллелепипеда? Работа по созданию определения может быть достаточно содержательной. Известно понятие кучности стрельбы. Так вот, как можно определить кучность? И ведь в книжку за ответом не полезешь. Вот пример поближе к математике. Что такое «форма фигуры»? Ответ не слишком прост и аналогичен, как я полагаю, такому понятию, как «направление луча». Форма фигуры — это то общее, что есть у всех подобных между собой фигур, иными словами, инвариант (один из) преобразования подобия. Подробнее: определяем, что значит фраза «две фигуры имеют одинаковую форму», проверяем отношение «одинаковости формы» на эквивалентность, далее создаем классы эквивалентности, тогда «форма фигуры» — это множество фигур одного и того же класса эквивалентности. Разумеется, ученикам можно сказать попроще: две фигуры имеют одинаковую форму, если они подобны; само же понятие формы не определять вовсе. И еще. Работая с определением, можно фантазировать. Например, вспомнить с учениками определение равнобедренного треугольника. А какой треугольник называется «неравнобедренным»? А какой треугольник будет «самым неравнобедренным»? Оценивать. Оценивая доказательство или решение, важно приучать школьника думать о каждой части условия, устанавливать ее необходимость не только для доказательства (решения), но и для справедливости самого утверждения. Вот примеры. 1. В некоторых теоремах анализа функции дифференцируемы внутри промежутка и непрерывны на концах этого промежутка. Почему не задать сразу же дифференцируемость (включая одностороннюю) на всем исходном промежутке?
11.Человек критический 219 2. В известной теореме о сумме плоских углов при вершине многогранного угла обычно в условии говорится о его выпуклости. Зачем она понадобилась, если в доказательстве о ней не упоминается? Такая работа может проводиться достаточно последовательно, если регулярно предлагать задачи с недостающими или избыточными условиями. Например: «Числа а + Ь,а-Ьиа-Ь являются рациональными. Будет ли рациональным числом разность квадратов чисел а и Ь? А разность кубов?» Или еще пример: «О числе а известно следующее: 1) а2> 4; 2) 2а = 6; 3) — < а. Из каких двух утверждений следует третье?» а Добавлю, что избыточные условия в математической задаче встречаются куда чаще, чем мы думаем. Многие задачи о фигурах можно сформулировать как задачи об их частях. Формулировать условия. Некоторую роль в формировании КД играют формулировки условия. Императивные задания типа «доказать», «вычислить», «найти» выглядят хуже, чем вопрос: «Верно ли, что...?» При ответе на него предполагается некая гипотеза, которая не обязательно должна быть верной. Проверять письменную работу. Проверяя письменную работу ученика, можно не фиксировать ошибки, а делать разве что только пометки, указывающие, верно решен пример или нет. Если ученик может сам найти ошибки в своей работе, то одно из двух: либо повысить ему первоначальную отметку, либо наряду с первоначальной выставить ему отметку за хорошую работу над ошибками. Сравнивать ответы нескольких учеников. Возьмем часто встречающуюся на практике ситуацию. В классе решается достаточно содержательная задача. Предположим, у нескольких учеников возникли идеи ее решения. Как мне быть, если я понимаю, что некоторые из этих идей тупиковые или попросту неверные? Отвергать собственным волевым решением? Но тогда может нарушиться едва возникшая атмосфера поиска. Да и опровержения могут быть непростыми, а как это все объяснить детям, не расстраивая их? Я делаю вот что. Говорю, что у нас есть несколько идей, поди знай, какая из них верна. Мы попробуем их опровергнуть. Если удастся, то список идей уменьшается, а если нет, ничего не поделаешь, надо «испить» его до конца. И жаль времени, но что поделаешь. А может быть, и не жаль?
220 Задача для учителя математики. 7-11 классы Обсуждать публично. Ученики работают самостоятельно. Расхаживая по классу, можно интересоваться не только тем, кто что сделал, но и тем, какие ошибки допущены. Самые поучительные из них выпишем на доску, в конце урока будет о чем поговорить. Я уже не говорю о неповторимости того, что можно услышать от детей, когда они находятся в процессе сотворчества. Вот несколько примеров. 1. Что остается в правой части уравнения 2х + 5 = х после переноса хналево? — Ничего. 2. Что будет, если из 2а вычесть а? -Два. 3. Что будет, если нуль разделить на 2? — Половина нуля. 4. Можно ли сказать, что усеченный конус — это конус? — Нет, но он был конусом. 5. «Выносительный закон» — это о дистрибутивности. 6. «Выпуклый многоугольник тот, у которого углы торчат наружу». 7. «Ромб — это перекошенный квадрат». 8. «Ломаная — это когда отрезки идут под градусом». 9. Рассказываю семиклассникам, что древние греки не знали числа «нуль». И вопрошаю: «Как же они обходились без нуля?» Ответ: «А у них все было». 10. Однажды ученица 8 класса (дело было в вечерней школе) мне заявила, что при делении 25 на 4 получается 51, и продемонстрировала такую запись: _2 5 4 20 рГ _5 4 1 11. Встречалось мне и такое рассуждение: — > —, т. к. 10 > 1 и 13 >2. Школьники должны понимать, что ошибки в работе - «дело житейское», они многократно встречаются даже в работе профессиональных математиков, тому в истории науки есть не один пример. КД важна и серьезна. И в реализации ее не должно быть предвзятости и личных обид. Ученик, отвечавший у доски, получил сниженную отметку не потому, что кто-то заметил его ошиб¬
11. Человек критический 221 ки, а потому, что это ошибки. В формировании такого отношения очень важен личный пример. Поэтому если кто-то заметил неточность, недоговоренность или неполноту в моем рассказе, тем более ошибку, то естественно поблагодарить, похвалить за это, а в нетривиальных случаях выставить и отличную отметку. Я всегда акцентирую такой момент. «Дети, — говорю я им. — Обязательно запоминайте, где я ошибся и почему. Все ошибаются, и учителя тоже, но дело в том, что я понимаю, где ошибка наиболее вероятна, и умею ее находить». Обязательно комментирую им свои ошибки. Две из них наиболее памятны мне. Однажды я «доказал» в классе теорему косинуса со знаком «плюс» вместо «минус» в соответствующем месте — было такое минутное затмение с углом между векторами. (Потом я стал делать это регулярно и предлагал классу найти ошибку.) Другой пример похитрее. Как-то не хотелось доказывать существование перпендикуляра из точки на плоскость традиционным способом. И я придумал вот что. Пусть есть точка А и плоскость а, на которую надо провести из А перпендикуляр. Проводим любую прямую а на плоскости а, затем из А проводим перпендикуляр на эту прямую. Через конец построенного перпендикуляра проведем в плоскости а к прямой а прямую 6, ей перпендикулярную. Затем из А проводим перпендикуляр на Ь. Он-то и будет искомым перпендикуляром на плоскость а. Действительно будет, это несложно доказать, причем даже без признака перпендикулярности прямой и плоскости. Но радовался я рано. Дело в том, что перпендикуляр из А на прямую а может совпасть с перпендикуляром из А на прямую Ь. Если это учесть, то доказательство становится куда более громоздким. Но дело не в этом, а в том, что я поначалу не увидел такой возможности совпадения — такая была эйфория от найденного построения. Я уже не говорю о собственных импровизациях на уроке при попытке решать задачи, которые предлагают дети. Тут заносит иногда так далеко в сторону... И они видят, что идеи, пришедшие в голову, вовсе не обязаны быть безупречными и даже верными. КД может проявлять себя и в работе с учебной книгой. Перечислю то, что в книге является основанием для КД: 1) понятия без определения; 2) немотивированные определения; 3) определения, данные в контексте и не выделенные; 4) отсутствие мотивировок в рассуждениях (почему доказательство именно такое?); 5) неясно, что доказывается и зачем; 6) неясно, почему одно утверждение доказано, а другое нет;
222 Задача для учителя математики. 7-11 классы 7) неясные рассуждения; 8) пропуски в доказательствах; 9) неверные ссылки; 10) ошибки; 11) опечатки; 12) утверждения без доказательства и без указания об этом; 13) неточная терминология; 14) неудачный способ изложения; 15) чрезмерная общность в первоначальной подаче учебного материала. Наверняка этот список можно продолжить. Каждый из его пунктов я мог бы сопроводить не одним примером, причем многие из них были найдены учениками. Некоторые из этих пунктов не должны вызывать резкой реакции, опечатки например. Известно: «Британская энциклопудия». Недавно мне попались на глаза «обратные тригонометрические уравнения». В других случаях требуется осмысление. Скажем себе: «Ладно, написана чушь, но что хотел сказать автор?» Маловероятной кажется ошибка в математическом тексте книги. Однако бывают и они. Вот несколько примеров. 1. Можно вспомнить неверное определение призмы в учебнике А. Киселева. Согласно ему, призмой оказывается, например, объединение двух наклонных параллелепипедов с общим основанием (нижним у одного и верхним у другого), но «смотрящих в разные стороны». Любопытно, что эта ошибка повторяется и в более поздних учебниках. 2. В книге В. Шаталова приведена для заучивания формула arccosx = arcsinVl - х2. Но без условия х > 0 она попросту неверна, о чем автор умалчивает. 3. Н. Васютинский, говоря в своей книге о египетских пирамидах, пишет следующее: «Методической ошибкой многих исследователей является то, что они использовали размеры пирамид, выраженные в метрической системе мер. Но ведь египтяне пользовались другой системой мер! Из этой системы и следует исходить при анализе размерных отношений в пирамидах». Обратим внимание на то, что автор говорит именно о размерных отношениях, как то: отношение апофемы к высоте и т. п. Но ведь с ранних лет ученичества известно, что отношение величин не зависит от выбора единицы измерения! 4. В пособии для учителей (авторы В. Гусев, Ю. Колягин, Л. Луканкин) мне встретилось доказательство (!) теоремы: «Пусть Av Av А3 — неколлинеарные точки, М — четвертая точка, a Q -
11. Человек критический 223 произвольная точка плоскости. Если QM = QAX + (3t QA2 + y{QA3 —> —> —> —> и QM = a2QAt + p2QA2 + y2QA3 , to a, = a2, p, = P2, у, = y2». Ясно, что это утверждение неверно. Единственность разложения вектора по другим векторам выполняется, когда мы раскладываем данный вектор по векторам базиса, в случае плоскости по двум неколлинеарным векторам, а в приведенной «теореме» разложение идет по трем векторам. «Ищите ошибки там, где автор пишет “очевидно”», — говорю я. 5. В статье «Необходимые условия и задачи с параметрами» (Квант. 1991. № 11. С. 48) авторы сообщают: «Поскольку каждое достаточное условие является необходимым, но не каждое необходимое условие является достаточным, ясно, что...». 6. В превосходной популярной статье В. Арнольда, опубликованной в журнале «Квант» (1993. № 1,2), читаем: «Но математики знают, что постоянно отрицательная производная (даже высокого порядка) в конце концов приведет к отрицательности первой производной...». Академик имел в виду что-то другое, ибо эта фраза опровергается хотя бы функцией у = — при х > 0. х 7. В одной из реально проведенных работ из серии «Готовимся к ЕГЭ» энергия, указанная электросчетчиком, записывалась составителями в КВт/ч, что напрочь не соответствовало размерности этой величины. 8. Рекорд по этой части можно увидеть в учебнике математики для 6 класса Г. Дорофеева, И. Шарыгина (5-е издание вышло в 2000 году). В этом учебнике в пяти изданиях подряд повторяется, что Солнце находится в центре эллиптической орбиты Земли. Это достойно книги рекордов Гиннесса. Не раз было так: работая с учебником, я объявлял соревнование, кто найдет больше опечаток и неточностей. В каком-то смысле такая работа необыкновенно полезна. В частности, один из победителей (в каком-то году) Андрей Б. стал профессиональным математиком. «Подвергай все сомнению» - очень точный принцип в системе КД. Не «сомневайся во всем», а именно подвергай и именно все. Из истории человеческой мысли мы знаем, что самые революционные достижения в науке связаны с пересмотром ее ос- новных принципов, если угодно, аксиом. Иначе говоря, того, что казалось незыблемым.
224 Задача для учителя математики. 7-11 классы Но можно ли в школе посягнуть на аксиомы? Я пробовал. Разумеется, не для того, чтобы их опровергнуть. Цель была совсем другая — показать ученикам, что ничего особенного в такой процедуре нет. В классе обсуждались аксиомы расстояния. Напомню их в подробной редакции. 1) для любых точек Аи В \ АВ | > О (\АВ \ — обозначение расстояния между А и В) ; 2) для любой точки А\АА\ = 0; 3) если | АВ | = 0, то точки А и В совпадают; 4) для любых точек А и В \ АВ \ = \ ВА |; 5) для любых точек А, В, C\AlB\ + \ВС\> \АС\. Перед учениками был поставлен вопрос: «Можно ли сократить список аксиом?» Кое-что получилось. Например, удалось вывести аксиому 1 из аксиомы 5. Возьмем в аксиоме 5 С-А. Получим \АВ \ + \ ВА | > \АА |. Но \АВ \ = \ ВА | и \АА | = 0. Значит, 2| АА | >0, откуда и получаем, что | АВ \ > 0. После разбора этих доказательств стало ясно, что хотя посягать на основы и можно, но трудно. Заканчивая обсуждение свойств расстояния, приведу один удивительный и даже несколько загадочный для меня отрывок из «Автобиографии» Б. Рассела: «В то время общая теория относительности была еще в новинку. И мы с Дж. Литлвудом бесконечно ее обсуждали. Мы, к примеру, спорили о том, является ли расстояние от нашего дома до почты таким же, как от почты до нашего дома, или же нет, и никогда не приходили к единому мнению» (Иностранная литература. 2000. № 12). А вот еще пример. В списке аксиом векторного пространства есть такая «странная»: 1 • я = я. Разве это не «очевидно»? Но вывести ее из остальных аксиом векторного пространства не получается, а необходимость ее диктуется хотя бы равенством я + я = 2а. —> —^ —> —> —> —> Как оно получается? Имеем: я + я = 1 • я + 1 • я = (1 + 1) я = 2я. И каковы же результаты по обучению детей КД? Трудно говорить что-либо на доказательном уровне, как почти всегда, когда делишься всего только собственным опытом. Но кое-что все же заметно. Улучшается качество вопросов со стороны учеников. Бывали случаи, когда за вопрос я ставил в журнал отличную отметку. Я приведу только один пример. Ученица Вера Д. как-то спросила: «Тетраэдр и треугольная пирамида — одно и то же, так? А почему же тогда правильный тетраэдр и правильная треугольная пирамида не одно и то же?» Я даже опешил вначале, мне и в голову
11. Человек критический 225 не приходило задумываться о «такой ерунде». Кстати, ответ я придумал не сразу. Потом было очень приятно увидеть обсуждение этого вопроса в книге X. Фрейденталя. Дело в том, что тетраэдр и треугольная пирамида не совсем одно и то же. В тетраэдре все вершины равноправны, а в треугольной пирамиде одна из них как бы выделена (аналогично: треугольник и равнобедренный треугольник). И, оказывается, эта тонкость проходила мимо моего внимания. Другой случай. Работа с бесконечными пределами по сравнению с конечными основана на чуть иных определениях, а потому приходится заново доказывать теоремы о пределах. Вопрос был таков: «Не лучше ли вместо бесконечно большой функции/рассматривать функцию у?» Последняя является бесконечно малой, а вся техника работы с бесконечно малыми уже известна. Точно так же переосмысливается после этого вопроса работа с пределами при х —> ©о. Замена переменной t = — сводит предел х при х -» ©о к пределу при / —> 0. Иногда я прибегал к групповой форме решения задач. Приходилось быть свидетелем достаточно разумных дискуссий, разворачивающихся между учениками. Но главное не это. Главное, по-моему, то, что у детей с течением времени проявляется потребность в самоконтроле. «Подвергай все сомнению» означает, между прочим, что и к собственной деятельности надо подходить критически. Мало ли какие идеи приходят в голову! Их тоже надо уметь проверять, оценивать. Очень похоже на то, что без специальной работы дети так и не будут иметь понятия о том, что любая своя работа требует проверки, а потому и знания о том, как ее можно делать. Всем учителям математики, разумеется, известна такая картина: смышленый паренек на контрольной работе заканчивает трудиться минут за 10 до конца урока, и хорошо, если смотрит в окошко, а не крутится. «Да ты проверь!» — говоришь ему. «А я уже проверил!» — отвечает тот. Чего он там проверял, да и как проверял, никто не знает, а в работе не обошлось без ошибок. «Сделать работу и дурак может, — говаривал я таким ребятишкам. — А вот проверить ее — ум нужен». Никуда, видимо, не денешься, надо учить проверять и собственную работу. Что же здесь можно посоветовать? Прежде всего обратить на себя все приемы КД, которые ученик наблюдает в классе.
226 Задача для учителя математики. 7-11 классы Как проверить полученный результат? Проверка по частным случаям. В тождественных преобразованиях удобны подстановки О и 1 как значений переменных; уравнения и неравенства с параметрами проверяются так же; часто удобно брать равные между собой значения переменных (при получении формулы для произвольного треугольника стоит посмотреть, что получится, если треугольник будет равносторонним); построенный график функции проверяется по контрольным точкам, для начала по точкам пересечения осей координат. Но ученик обязан понимать, что для такой проверки важен только отрицательный результат, факт несовпадения. Проверка «в обратную сторону». Разложение на множители контролируется умножением; нахождение первообразных — дифференцированием; корни квадратного уравнения — теоремой Виета; изображение фигуры по трем ее ортогональным проекциям — видами полученной фигуры на тех же трех направлениях. Проверка именованного ответа по размерности. Впрочем, надо понимать, что совпадение размерностей еще не гарантирует правильности. В проверке по размерности есть подводные камни — в тех задачах, где среди данных есть как численные значения, так и параметры. Предположим, что у нас получилось из подобия неких треугольников, из пропорции для Ь 1 четырех его сторон = — такое соотношение между длинами а +1 а отрезков avib:b = -—. Проверка этого равенства по размерности я показывает, однако, его невозможность. Но дело в том, что в окончательном результате пропал сомножитель 1. Если выражение для b записать из пропорции аккуратно, то получаем ра- » (а +1)1 венство b = , которое уже выдерживает проверку по раз- а мерности. Но я что-то не встречал такого рода аккуратности. Проверка по симметричности. Симметричность условия задачи должна приводить к симметричности ответа, и наоборот. Стандартный пример — симметричные системы уравнений; симметричное выражение должно получаться при выводе формулы Герона, при вычислении объема усеченного конуса, в некоторых комбинаторных задачах («Сколькими способами можно составить регламент для пяти ораторов так, чтобы оратор А выступал раньше оратора В»1).
11. Человек критический 227 Проверка в предельных случаях. Одну из данных величин устремить к нулю, или к бесконечности, или еще куда-нибудь и посмотреть, соответствует ли полученный результат условию. Я уже рассказывал, что теорему косинуса можно «доказать» со знаком «+». В треугольнике ABC получим: с2 = а2 + b2 + 2ab cos С. Как найти ошибку? Устремим угол С к нулю. Тогда cos С —> 1, с а + Ь, в то время как «очам видно», что при этом стремлении угла С к нулю с —> 0. Параллельное решение. Кроме аналитического решения, проводить и графическое. Уравнение у/х + а = х иллюстрируется и в системе координат (х, у), и в системе координат (х, а). Еще пример. Пусть для положительных чисел х, у, z дана си- стема х=у2 + г2, у = z2 + х2, z = х2 + у2. Требуется выяснить, равны ли в полученном ответе найденные значения неизвестных? Вроде бы из симметрии «видно», что должны быть равны. Но в этой системе можно проделать следующее: сложить все уравнения, перенести все в одну часть. После этого получается уравнение второй степени с тремя переменными, которое задает невырожденную сферу. Осталось подобрать три различных числа, удовлетворяющие полученному уравнению сферы, а затем проверить, что они удовлетворяют заданной системе. Чтобы поощрить такую деятельность, я для повышения отметки иногда считал, что при наличии двух решений одного задания сделано два примера. Причина проста: приходится преодолевать «сопротивление» учеников, полагающих, что нет лучшего способа проверки, чем спросить у соседа и тем самым сэкономить время. Проверка прикидкой. Здесь в первую очередь вычисления, но не только. Всегда возможно задать себе вопрос: «А что должно получиться?». Проверка по здравому смыслу. В задачах на поиски экстремума уже из условия бывает ясно, какой именно экстремум должен иметь место; если в текстовой задаче некий мотоциклист проехал без остановки 1000 км, то появляются основания для беспокойства. Как проверить ход решения? Тут надо смотреть за равносильностью переходов; откуда берутся ссылки; работает ли использованная идея в других случаях (известное «доказательство» шарообразности Земли — если пойти
228 Задача для учителя математики. 7-11 классы в одном направлении, то придешь туда, откуда вышел, — годится и для «кубообразной» формы); все ли условия использованы при решении. Недовольство решением может быть вызвано и тем, что оно «не смотрится»: длинное, громоздкое. А. Пуанкаре высветил ту роль, которую играет эстетическое начало в математических исследованиях. Об этом же писали Г. Харди, С. Улам. Появились и работы методического характера (Г. Саранцев). Поселить бы это начало в головах своих учеников... Красивых решений, полученных учениками, каждый учитель может привести немало, и я выберу только несколько примеров. 1. Сначала мы в классе установили, что V2 — число иррациональное. Потом ученики сами это проверили для числа л/3. Затем я предложил доказать, что будет иррациональным число >/3 + л/2. Стандартное решение ясно: после возведения в квадрат останется сослаться на то, что л/б иррационален, а это уже известно. И вдруг... предлагается такое рассуждение: рассмотрим вместе с данным числом такое: л[3 - л/2. Его сумма с данным равна 2>/3, а произведение 1. А это возможно только тогда, когда каждое из них иррационально. 2. Число yjl-yfb надо было представить в виде разности двух радикалов. Если формула сложного радикала неизвестна, то придумать, как это сделать, весьма непросто. И вот что я увидел: 13-2V3 + 1 _ л/3-1 _ 1з [Г V 2 ' 72 ~ V2 V2' 3. Совсем недавно мне посчастливилось на уроке увидеть решение хорошо известной задачи: «треугольник с двумя равными биссектрисами — равнобедренный». Вот оно. Пусть дан треугольник АВС, в котором равны биссектрисы АК и BL углов А и В соответственно: АК-BL-a. Обозначим ZKAB=а, ZLBA = р и пусть Р > а. Проведем хорды ККХ и LLX треугольника АВС, параллельные АВ. Пусть расстояние от точки К до прямой АВ равно Ар а расстояние от точки L до прямой АВ равно А2. Так как А, = яsina, А2 = яsinp и Р > а, то А2 > Аг Заметим, что ZKXKA = а, а потому треугольник КХКА - равнобедренный. Из него получаем, что АХ = . Аналогично, 2cosa LL. = -. Так как Р > а, то LL. > КК. 1 2cosp к 11
11. Человек критический 229 Так как оба неравенства: й2 > hx и LLX > ККХ невыполнимы, то неравенство Р > а (и, аналогично, Р < а) невозможно. Тогда Р = ос, т. е. треугольник ABC имеет два равных угла А и В, а посему равнобедренный. 4. Сколько чисел от 1 до 1000 дают при делении на 3 остаток 2, при делении на 4 остаток 3, а при делении на 5 остаток 4? Прибавим к такому числу 1 — и задача сводится к подсчету чисел, делящихся на 60. Вся атмосфера в классе может способствовать КД. Сопоставление разных точек зрения по одному и тому же вопросу, культивирование поиска разных решений одной и той же задачи, доброжелательность к ученику, сделавшему ошибку («Дети, вы только посмотрите, какая интересная ошибка у вас перед глазами! Спасибо тебе, Вася, за такую ошибку!»), возможность вступить в дискуссию с учителем по любому вопросу и даже обжаловать полученную отметку, возможность повысить полученную отметку за счет толково сделанной работы над ошибками — вот некоторые особенности такой атмосферы. Подведем итоги. 1. КД реально существует в структуре деятельности школьника. 2. КД ученика может находиться в поле зрения учителя, направляться, учитываться и, возможно, оцениваться. 3. В систему работы учителя по обучению КД входят разные приемы, связанные как с содержанием обучения, так и с его формами. 4. Общая атмосфера в классе может благоприятствовать становлению, проявлению и развитию КД. 5. Важнейшая задача при формировании КД — обучение самоконтролю. Ее решение начинается с обучения контролю. Мне далеко не все ясно с КД: когда начинать, как начинать, в какой последовательности ее развертывать, как ее оценивать и многое другое. Но значимость КД для меня несомненна. Дети становятся все более защищенными от неверных результатов, поверхностных утверждений, сомнительных обоснований, рискованных предположений. КД способствует формированию убежденности. Ученик убежден не потому, что ему нечто внушили, или написали в книге, или «так сказал учитель». Ученик убежден потому, что он сам подвергнул сомнению и в конце концов пришел к выводу, который готов отстаивать в любой ситуации. А то ведь вот какая реальность: однажды я разговаривал со своей ученицей Таней А., толковой девушкой, только что сдавшей выпускной экзамен по обществоведению. И отвечала она о мате¬
230 Задача для учителя математики. 7-11 классы рии и сознании. И материя, разумеется, первична. «Ну и какие же ты привела этому доказательства?» — спрашиваю я. «В учебнике и так много написано, а если бы еще и доказательства надо было учить...» — ответила она. Замечу в конце разговора, что в КД входит не только поиск и анализ ошибок. Представим себе, что ученики выслушали два разных решения одной и той же задачи от своих сокашников. Естественно сравнить эти решения, не только какое из них верное, какое нет, но и какое более короткое, более красивое, более интересное. Вот ясный пример двух принципиально разных решений про- стенькой задачки: «Пусть каждому вектору а отображение/сопо- —^ ставляет вектор ка (к > 0). Изменится ли при этом угол между векторами?» При аналитическом решении записываем косинусы углов ме- —> —> -> —» жду векторами а, b и ка, kb, используя скалярное умножение. Из равенства этих косинусов заключаем равенство углов. При «геометрическом» решении замечаем, что умножение на положительное число меняет только длину вектора, но не его направление. А раз направления векторов сохранились, то и угол между ними сохраняется. И какое же из этих решений предпочтительнее? Размышляя над этим, мы переходим к оценке сделанного. Оценка такого рода необходимо предполагает анализ и сравнение. Важны также и критерии оценок: а почему, к примеру, одно решение предпочтительнее другого? Может быть, дело только в разных вкусах? Один мой коллега как раз заинтересовался толкованием «математического вкуса» — а что сие означает? Здесь уместно сказать, что разные вкусы в какой-то степени соответствуют двум разным стилям математической деятельности. Одни предпочитают оперировать формулами, другие — наглядными образами. Это различие иллюстрируют как раз два приведенных решения. (Замечу, что для ответа на вопрос можно бы и сразу сослаться на гомотетию и ее свойства.) В реалии наряду с такой «избирательностью стиля» встречается и «универсальный стиль», когда для решения задачи используются оба стиля. Вот простенький пример. Найти первообразную для функции у = | х |. И как тут уследить за «чистотой стиля»? Выявив эти и другие составляющие КД, мы делаем ее все более разнообразной.
12. О понимании 231 Обучение КД, как я думаю, - один из путей не только реализации принципа научности, но и воздействия на нравственные свойства развивающейся личности. Позволю себе также чуть теоретизировать. Критическую деятельность можно понимать достаточно широко, если включать в нее проверку возникающей гипотезы. Когда попытки ее опровергнуть не проходят, возникает ощущение ее истинности. Поиск доказательства истинности оказывается неотъемлемой частью проверки, значит, частью именно критической деятельности. Более того, в определенном контексте доказательство и есть проверка. Тем самым поиск доказательства — элемент критической деятельности. Само доказательство может быть сугубо дедуктивным, сугубо рациональным, т. е. основанным только на рациональном рассуждении, наконец, компьютерным, а также быть комбинацией этих видов. Но это уже не столь важно. 12. О ПОНИМАНИИ Косвенным результатом КД является, я полагаю, более глубокое понимание. Вот и пришла пора поговорить о том, что меня уже давно интересует, — о понимании. В самом деле, каким же это образом, передавая детям знания и умения, я воздействую на их личность? Знания и умения одни и те же, а дети вон какие разные. Знания и умения влияют на развитие только тогда, когда они начинают перерастать в убеждения. Установка учителя на понимание и способствует этому процессу. Понимание, конечно, не тождественно знанию или умению. Несколько примеров должны подтвердить эту мысль. 1. Правила шахматной игры знают и любитель, и гроссмейстер. Оба они, глядя на одну и ту же позицию, понимают ее, однако совершенно по-разному. Более того, многие комментаторы матча Карпов - Каспаров признавались, что в иных партиях они не понимали замыслов соперников. 2. Знать формулу и понимать ее — далеко не одно и то же. Пример: формула второго закона Ньютона или формула Ньютона — Лейбница для школьника и для профессионала. 3. Знание текста и понимание его разделены еще больше. Проводя иногда досуг с учениками, я предлагал им растолковать смысл сказки «Курочка Ряба». Никогда не думал, что эти толкования могут быть столь различными. С тем же можно столкнуться,
232 Задача для учителя математики. 7-11 классы если предложить школьнику рассказать, как он понимает какое- либо общеизвестное выражение, например «На всякого мудреца довольно простоты». Как-то я предложил школьникам вопрос на понимание «Евгения Онегина» (они как раз «проходили» его). Спрашиваю: «Вы помните сцену встречи Татьяны Лариной и Евгения Онегина в Москве?» Помнят. «А помните строчку, где Татьяна смотрит на Евгения?» Помнят. «А какой знак стоит в ее конце?» Отвечают, что, конечно, точка. «А теперь посмотрите, что у Пушкина». А у Пушкина, естественно, многоточие. Есть такая байка про Конфуция. Два его ученика заспорили, когда в течение дня Солнце ближе к Земле. Один говорил, что в зените, потому как теплее всего именно в это время. Другой считал, что на горизонте, ибо тогда оно самое большое. Они пришли к Конфуцию, с тем чтобы он рассудил их. Тот подумал, вздохнул и ответил, что не может этого сделать. — Какой же ты после этого мудрец? — удивились ученики. 4. Знать, что нужно делать, и понимать, что нужно делать, - разные вещи. Как спасали ростовщика Джафара, тонувшего в пруду, его многочисленные должники, стоявшие на берегу? Они тянули ему руку и кричали: «Давай!» Следуя своей натуре, ростовщик руки не давал. Но случайно на берегу оказался Ходжа Насреддин. Он тоже протянул руку, закричал: «На!» Ростовщик уцепился за нее — и был вытащен на берег. Комментируя эту сцену из повести В. Соловьева «Возмутитель спокойствия», я спрашиваю: «Кто из “спасателей” лучше понимал ситуацию?» 5. Знания двух людей в одном и том же деле могут быть совершенно одинаковы, а понимание дальнейших действий — совершенно различным, как у адвоката и прокурора на судебном процессе. Один бытовой, слегка комичный пример. Некая работница магазина объяснила мне, что интересующие меня сведения находятся в выданной мне в магазине книжице, «которая похожа на квадрат». У меня была на руках книжица в форме прямоугольника, длина которого была почти в два раза больше ширины, и, по моему разумению, она вовсе не была похожа на квадрат, а других книжиц у меня не было. Я пошел в магазин разбираться в ситуации. И тут эта самая работница воззрилась на меня с удивлением. — Да вот же она, — воскликнула она, указав на книжицу в моих руках. — Позвольте, — говорю я, — но она вовсе не похожа на квадрат, смотрите какие у нее разные стороны!
12. О понимании 233 И вот тут-то меня осенило: для нее все прямоугольники похожи на квадрат! И там и там все углы прямые... Можно привести много других примеров. Но закончу таким. Ж. Клемансо, политический деятель Франции начала прошлого века, о двух своих коллегах сказал: «Один все знает, но ничего не понимает, а другой все понимает, но ничего не знает». Связи понимания с умением мне не вполне ясны. Если ученик умеет решать квадратные уравнения (то есть действовать по алгоритму или по формуле), то о понимании говорить как-то неуместно. Понимание проявится, думаю, тогда, когда ученик будет разумно действовать в нестандартной ситуации. Когда начинаешь разбираться в том, что такое понимание, то, прежде всего, необходимо учесть давление житейского смысла этого понятия. В самом деле, объясняя ученикам нечто им неизвестное, мы то и дело вопрошаем: «Кто не понял?», «Что непонятно?» Для детей, что там ни говори, тот учитель лучше, который объясняет «понятнее». Есть книга Е. Богата «Понимание» на моральные темы, и есть прекрасная мысль в фильме «Доживем до понедельника»: «Счастье — это когда тебя понимают». Есть и другая точка зрения (О. Уайльд, но не дословно): «На самом деле есть только две трагедии в жизни. Первая — когда тебя не понимают. Вторая — когда тебя уже поняли». О понимании написано много. Им занимаются философы, психологи, специалисты по искусственному интеллекту. О нем писали выдающиеся умы: А. Пуанкаре, Г. Вейль, В. Гейзенберг, Р. Фейнман, Р. Том, Р. Пенроуз. Для меня все размышления на эту тему начались, когда я прочитал у А. Пуанкаре о причинах непонимания математики. Как же можно не понимать логику? Замечу, что с профессиональной точки зрения самое интересное, когда ученик чего-то не понимает. Почему не понимает и как преодолеть это непонимание? Какое-то собственное разумение необходимо, чтобы хоть чуточку двинуться дальше. Итак, пусть имеется нечто, несущее информацию: явление, сооружение, человек, общество... Информация как-то распределена в этом «нечто», в присущих ему объектах, их связях. Существенна иерархия связей, есть более или менее важные из них, я бы говорил о «связях с весом». Далее, есть преобразование информации об этом «нечто» посредством текста, образов, жестов, речи, мимики и т. д. И есть «пониматель» — человек, который воспринимает преобразованную информацию или
234 Задача для учителя математики. 7-11 классы само «нечто» и хочет восстановить исходную: объекты, их связи, систему этих связей и их «веса». Вот примерно так, видимо, узко и прагматично я толкую для себя термин «понимание». Если держаться поближе к собственной деятельности, то видишь, что в методике преподавания и даже в дидактике о понимании разве что в последнее время появились некие исследования. В программе по математике обычно ведут речь о знаниях и умениях, да (ранее) еще почему-то о навыках, каковых в математической деятельности ученика вообще не бывает, просматриваются тенденции к все большей формализации: нормы, критерии, уровни, оптимизация, интенсификация, стандарты, в последнее время появилась «компетентность» и т. п. Но мы-то хотим, чтобы нас понимали! Вот я читаю книгу С. Лилли о теории относительности. Автор обучал этой премудрости всех желающих, включая домохозяек, и отразил в ней свой опыт. В тексте очень много заданий и вопросов для самоконтроля, вот характерные: «Что вы понимаете под словами...»; «Продумайте смысл этого утверждения...»; «Удостоверьтесь, что вы поняли все рассуждения...»; «Убедитесь, что вы понимаете формулу...». В замечательном предисловии академика Н. Лузина к учебнику И. Жегалкина, М. Слудской «Введение в анализ» есть такие слова: «...ориентировка курса на понимание имеет в виду неизмеримо более важное соображение, чем простое облегчение учащемуся трудностей изучения: это — инициативу учащихся. Эта драгоценная инициатива, т. е. умение ориентироваться в новой обстановке, выходящей из привычного шаблона, может прийти и всегда приходит лишь от совершенного понимания материала, а вовсе не от твердости его усвоения, т. е. вбирания памятью. ... Следует иметь в виду, что выпадение из памяти какой-нибудь важной части материала приводит в расстройство и весь остальной, вообще говоря казавшийся хорошо усвоенным материал только в том случае, если он раньше не был ориентирован на понимание». (Выделение курсивом и пунктуация Н. Лузина. — В. Р.) В последних программах появился, наконец, и этот термин. С одной стороны — замечательно, но с другой... Кто бы знал толком, что это за феномен, как добиваться понимания от учеников, учат ли этому будущих учителей? Итак, в методике этот термин «не работает», толкование его исключительно неоднозначно, а реально без него не обойтись. Что же делать? Попробуем держаться того, что поближе к нам, - психологии. Что же я почерпнул из этой науки?
12. О понимании 235 1. Понимание всегда личностно, оно существует только в головах людей. 2. Понимание невозможно, если вас не хотят понять. Фразы типа «разговор глухих», «как об стенку горох», по-моему, как раз об этом. Значит, работая на понимание, мы выходим на мотивацию. 3. В понимании есть невербализуемая часть. (При монотонном чтении без отрыва от конспекта слушатели теряют до 30% информации.) Систему образов иногда трудно выразить словами. Фраза «понимаю, но сказать не могу» не так уж бессмысленна и ставит перед учителем задачу помочь ребенку образы перевести в слова. Именно тут заключена известная трудность — перед глазами ученика находится геометрическая фигура, но он не в состоянии дать ее определение, хотя ни с чем другим ее не перепутает. 4. Понимание реализуется скорее в деятельности, чем в формулировках. Хорошая медсестра на операции работает без слов. Однажды я был на уроке математики в Новосибирском интернате при НГУ. Выпускники повторяли тригонометрию и лихо решали «жуткие» задачки. После урока я спросил у них: «А что такое синус?» — и не услышал четкого определения. Давно это было, и по молодости я чрезвычайно «порадовался», что, как говорится, «посадил их в лужу». Только недавно стал понимать, что скорее правы-то были они. 5. Необходимо различать понимание как процесс и понимание как результат этого процесса. Результат появляется как итог процесса, который может быть достаточно долгим. Значит, в практической работе над пониманием надо не торопиться и по многу раз возвращаться обратно, варьируя ситуацию. 6. Понимание, как правило, результат диалога. Разумеется, чтение книги можно трактовать как некий диалог. Но куда в большей степени может быть диалогом живое общение с учеником. Почему-то много внимания уделяется обучению работе школьника с учебной книгой и почти не говорится о том, как научить его слушать, а также и объяснять математику, иначе говоря, говорить и писать на математическом языке. Я говорю своим ученикам при первом знакомстве: «Вам надо научиться решать не только задачи,. но и “сверхзадачи”: видеть, слышать, читать, писать, говорить и думать». Все это требует серьезной расшифровки. 7. Понимание - это совпадение смыслов. Как же сделать так, чтобы передать смысл из своей головы в чужую? Словами и рисунками смысл только кодируется, как сказал поэт: «Мысль изреченная есть ложь!» И впрямь, сколько же раз мы слышим
236 Задача для учителя математики. 7-11 классы от учеников чудовищные по бессмысленности утверждения с сопроводительным текстом: «А вы сами такое говорили!». Есть занятный анекдот. — Вася, сколько булочек ты можешь съесть натощак? — 10! — Ха-ха-ха! — А что такое? — Уже вторую булочку ты будешь есть не натощак! Понял? — Понял! Здорово! — сказал Вася. Встретив Федю, Вася спросил его: — Федя, а сколько булочек ты можешь съесть натощак? -20! — Эх, жаль. — А почему? — Если бы ты сказал 10, я бы тебе такое рассказал... Немного подробнее о совпадении смыслов и вообще о том, в «каком смысле (далее немного каламбура) имеет смысл толковать слово “смысл”». Сузим нашу задачу и сведем разговор к смыслу одного предложения, пусть определения. Впрочем, это тоже немало, ибо из учительского опыта хорошо известно, сколь трудным бывает его понимание. Взять, к примеру, определение многогранника и даже его грани. А что о «смысле» есть в математике? Есть неравенства «одного смысла» и «противоположного смысла». Пожалуй, все, но попробуем оттолкнуться от этого. Неравенства «одного смысла» - это равносильные неравенства. Обобщаю: определения «одного смысла» — это равносильные (эквивалентные) определения. Вернемся теперь к пониманию. Ученик, который повторяет за учебником определение квадрата, не демонстрирует хотя бы в какой-либо степени понимание этого определения. Но если он придумывает свое определение, равносильное исходному (имеющее тот же смысл), то тем самым проявляет некое понимание. И думаю, мы согласимся, что чем больше ученик придумает равносильных определений, тем лучше он понимает исходное. Двинемся дальше. Такое толкование «одного смысла» и «разных смыслов» для определений напоминает толкование «направления» для лучей (векторов): два луча (вектора) могут иметь одно направление и разные направления. Поскольку отношение сонаправленности является отношением эквивалентности, то можно разбить все лучи (векторы) на классы эквивалентности, а затем каждый класс назвать направлением. (Для векторов часто встречается и такое: под вектором понимают множество
12. О понимании 237 равных между собой направленных отрезков, тем самым класс эквивалентности.) Аналогичный пример. Толкование «однопорядковости» величин. Мы не даем определение понятию «порядок величины» (числа, бесконечно малой). Мы действуем иначе, говорим о величинах одного порядка и разных порядков. И этого вполне достаточно для практики, но, если угодно, можно дать определение «порядку величины» как классу эквивалентности. Попробуем поступить аналогично и с понятием «одного смысла» для определений. Тогда смыслом определения естественно называть множество определений, равносильных данному. Тем самым «смысл» определения перестает быть чем-то неуловимым. Конкретизируя, смысл определения квадрата — это совокупность всевозможных его определений. И понимание учеником определения квадрата тем полнее, чем больше его определений ему известно. Возможно, аналогичное толкование смысла можно применить не только к определению, но и к формуле, вообще к утверждению. Разумеется, я не претендую на универсальность этого толкования. Я вижу в нем другие достоинства: ясность, операциональность и четкие аналогии в математике. Эту позицию мне удалось частично реализовать (в совместном российско-канадском проекте) в батарее тестов на проверку «понимания», в основном по курсу геометрии. Берется некий объект (скажем, скрещивающиеся прямые, угол между прямой и плоскостью), и предлагается в разной форме несколько фрагментов, ему соответствующих, не обязательно эквивалентных, иначе говоря, среди этих фрагментов могут быть и неадекватные. Формы задания объекта — словесная, символическая, графическая. Задача ученика — найти среди этих фрагментов адекватные. Вот пример такого теста. Предлагается пять описаний некоторого объекта, среди которых надо найти эквивалентные: Первое. Множество точек плоскости, удаленных от данной точки на данное ненулевое расстояние. Второе. Множество точек плоскости, из которых данный отрезок виден под прямым углом. Третье. Рисунок. На рисунке показана линия пересечения двух сфер. Четвертое, {(я,b) е 5R2 : а2 + Ъ2 - ах - by = О}, а2 + Ь2 Ф 0. Пятое.х2+у2=\. Верный ответ говорит о понимании того, что такое окружность.
238 Задача для учителя математики. 7-11 классы Уйдем от математики в не совсем серьезность. Эти нехитрые домыслы подтолкнули меня к личному ответу на вековой вопрос: «В чем смысл жизни (индивида)?». Ответ, выдержанный в этом духе, таков: «Смысл жизни — это совокупность дел, которые имярек считает важными для себя (одинаковые по важности), и множество людей, которых он считает близкими (одинаковые по близости), вместе с отношениями к ним». В первом приближении такой ответ, по моему разумению, вполне приемлем. Отсюда с ходу получается, что у каждого человека смысл жизни индивидуализирован, а потому уникален. Каждый ищет свой смысл жизни. И не только ищет, но и создает. 8. Понимание связано с эмоциональным переживанием. Состояние понимания весьма комфортно, миг понимания - «момент истины» — прекрасен. Архимед выскочил из ванны в ту самую секунду. И еще много всякого можно прочитать о понимании у психологов. И у математиков тоже. Вот что пишет А. Александров в статье «Тупость и гений» (Квант. 1982. № 11, 12): «История неевклидовой геометрии показывает, с каким трудом люди доходят до вещей, которые, когда они, наконец, ухвачены и поняты, оказываются простыми, и как люди зачастую не понимают, что делают и что лежит у них под руками. Ни Гаусс, ни Лобачевский не поняли то, что было у них почти в руках. Даже Гаусс и Лобачевский!». Математик В. Арнольд приводит хорошо известную задачу: «Дан график функции. Нарисовать график производной» — и далее пишет: «Если человек не умеет этого делать, то, хотя бы он умел дифференцировать все многочлены и рациональные функции, он ничего в производных не понимает». На чем же остановиться? Как обычно, чтобы разобраться в явлении, полезно сопоставить его с собственной противоположностью. Здесь надо говорить об отсутствии понимания, о непонимании. Что же мы можем не понимать? • Слова. Пример — неизвестные термины. • Фразы, хотя каждое слово из этой фразы известно. Пример — философские сочинения. Причина ясна: нет соответствующей культуры. • И слова понятны, и фраза ясна, но она не укладывается в контекст, в систему предыдущих знаний и смыслов. Пример: «Дурак — это всякий инакомыслящий». • Смысл фразы. В качестве примера маленький диалог.
12. О понимании 239 - Дай, пожалуйста, чашку. -На. - А где блюдце? Это неплохой перечень. А если взять поближе — что не понимаю сам? Много чего. До сих пор мне неясно одно место из учебника геометрии А. Киселева. Автор дает определение параллельных прямых как таких, которые, находясь в одной плоскости, не пересекаются, «сколько бы их ни продолжали». Как же можно продолжать прямые, если они и так бесконечны? Оказалось, что под прямыми А. Киселев, следуя Евклиду, имеет в виду отрезки. Но далее А. Киселев говорит в таком же духе о параллельности прямой и плоскости. Что же он имеет в виду под плоскостью, коль скоро допускает ее продолжение? Справившись в классическом учебнике Ж. Ада- мара, мы можем найти там, что Ж. Адамар допускает продолжение прямой, но продолжения плоскости у него нет. Насколько я знаю, идея плоскости как чего-то продолжающегося обрела полноправный статус у А. Александрова, только произошло это спустя много лет после сочинений А. Киселева. Также долго не понимал ссылок на аксиому математической индукции. Собственно, а почему нельзя, сделав индуктивный переход, сказать примерно такую фразу: «При п = 1 утверждение доказано, тогда согласно индуктивному переходу оно верно при п = 2. Так как оно верно при п = 2, то в силу индуктивного перехода оно верно при п = 3». И т. д. И при чем тут аксиома индукции, принцип индукции? Почему нельзя просто сказать «И так далее»? Спрашивал у разных математиков, получал разные ответы. У них было какое-то свое понимание, но меня оно почему-то не устраивает. Есть и свое объяснение, на котором, разумеется, не настаиваю. А именно: фразы «Это свойство имеет любой объект» и «Это свойство имеют все объекты» равносильны, когда объектов, о которых идет речь, конечное число. Но если такой законченности нет, тогда как? Фраза «Утверждение верно для любого натурального числа» не требует, по-моему, аксиомы индукции, т. к. до любого натурального числа можно «добраться» за конечное число шагов. Напротив, фраза «Утверждение верно для всех натуральных чисел» не может обойтись без аксиомы индукции, т. к. предполагает бесконечность актуальную. А вот пример. Пусть требуется доказать хорошо известное равенство п-1 j 1 Y = 1 —. Традиционное доказательство по индукции не- мШ + 1) »
240 Задача для учителя математики. 7-11 классы сложно. Есть только одна тонкость: здесь, по-моему, лучше начинать индукцию с п = 2, ибо речь идет о сложении, т. е. о бинарной операции. При п = 1 нет еще никакой суммы. Известно и такое доказательство, которое использует тожде- 1 1 1 ство = . к(к + 1) к к +1 Тогда 1 - 1 1 1 - 1 1 1 • 2 ~ 1 2’ 2 • 3 ~ 2 3’ (п-\)п~ п-\ п Суммируя все равенства и упрощая выражение в правой части, получим то, что хотели. Что использовалось в этом рассуждении — метод математической индукции, принцип математической индукции или аксиома математической индукции? Видимо, всего этого тут вообще нет, коль скоро нет индуктивного перехода. Возможна любопытная модификация приведенного доказа- п-\ | | тельства. Запишем требуемое равенство Y = 1 —. Ы\ *(' + !) п Прибавим к обеим его частям дробь — и получим такое ра- п 1 1 венство: У + — = 1. Сложим две последние дроби и уви- "/(/ +1) п дим, что + — = —-—. Теперь будем производить сложе- (п - \)п п п- 1 ние дробей от конца к началу. Следующее сложение будет 1 1 1 таково: + = . (п - 2)(п -1) п -1 п - 2 В конце концов придем к равенству ^ + — = 1. Теперь, пройдя весь путь обратно, мы приходим к первоначальному равенству. Вопросы те же: есть ли в этом доказательстве метод, принцип или аксиома индукции? По-моему, нет. Совершенно аналогичные вопросы можно задать при выводе некоторых формул суммирования, когда автор пишет «и так далее». Что означают эти слова? Неясно. И так как эта ситуация достаточно «темна», а сам метод доказательства по своему содержанию обычно понятен, то не стоит требовать от учеников последних заклинаний после проведения доказательства таким методом — ни ссылки на принцип, ни ссылки на (тем более) аксиому. Увы, я это делал довольно долго, пока сам не стал размышлять по этому поводу.
12. О понимании 241 К слову сказать, доказательство по индукции, следуя Г. Штейнгаузу, можно метафорически преподнести как передачу «наследственных свойств». Если прародитель имеет некоторое свойство (база индукции), которое передается по наследству (индуктивный переход), то этим свойством обладают все его потомки. Резюме (банальное): метод математической индукции необходимо предполагает и базу, и индуктивный переход. До недавнего времени я исправно и вполне традиционно до- sin* , казывал ученикам, что lim = 1. *-»о х Доказательство это, как известно, длинное и не слишком простое. Но ведь уже в девятилетней школе детям сообщается определение длины окружности как предела периметров правильных вписанных многоугольников. Стоит только чуть изменить это определение, взяв вместо правильных многоугольников правильные вписанные ломаные, необязательно замкнутые, как мы получаем определение длины окружности, равносильное данному предельному равенству (X. Фрейденталь, А. Александров). Причем эта равносильность видна невооруженным глазом, ибо sinx- это половина звена нашей ломаной в единичной окружности, а х — половина длины соответствующей дуги. Мое непонимание (видимо, не только мое) и заключалось в невидении этой равносильности. Сравнительно недавно я уяснил, что означают точки в записи бесконечной десятичной дроби. Например, п = 3,1415... Только то, что 3,1415 < 71 < 3,1416. И все. (При таком понимании с ходу получается, что 0,999... = 1.) Еще пример, хорошо знакомый коллегам. Не упускаю случая спросить у детей: «Какой по виду треугольник со сторонами 3, 4, 5?» - Прямоугольный. - Правильно. Почему? - По теореме Пифагора. И тут я начинал в который раз объяснять разницу между прямым утверждением и обратным, что теорема Пифагора тут вовсе ни при чем, ибо она уже подразумевает «прямоугольность», что без теоремы косинуса тут не обойтись... Но на самом деле теоремы Пифагора «почти хватает» для правильного обоснования. Дело в том, что зависимость стороны треугольника от противолежащего угла (при постоянных двух других сторонах) монотонная, этот факт легко получить, используя теорему Пифагора. Но тогда и обратная зависимость также монотон¬
242 Задача для учителя математики. 7-11 классы на. И если согласно теореме Пифагора гипотенуза прямоугольного треугольника со сторонами 3 и 4 равна 5, то верно и обратное утверждение: в треугольнике со сторонами 3,4, 5 против большей Стороны лежит прямой угол. Тот же вывод может быть получен из теоремы Пифагора и признаков равенства треугольников. Так или иначе, но без теоремы косинуса можно прекрасно обойтись! Небольшая сумятица была в моей голове при использовании знака неопределенного интеграла. Возьмем вроде бы ясное равенство g. (Здесь записывать переменную нет необ¬ ходимости.) Но это равенство чего? Не функций, ибо и слева и справа — семейства функций (ввиду наличия произвольных постоянных). Может быть, равенство множеств? Возможно, но как-то странно, как говорится, «из другой оперы». А суть в том, что, сложив любую первообразную для одной функции с любой первообразной для другой функции, мы получим некоторую первообразную для суммы этих функций. (Замечу, что в соответствии с такой формулировкой само равенство лучше записывать в обратном порядке.) Символ неопределенного интеграла этой сути не соответствует из-за отсутствия однозначности, обусловленной наличием произвольной постоянной. Известно, как обойти это неприятное место. Некую первообразную для/записывают как F, т. е. употребляют соответствующую заглавную букву. Это не вполне удобно, ибо исчезает символ операции, обратной дифференцированию. Приходится уходить от чистой символики и приписывать слова. Например, писать так: «Пусть f(x) = х2. Тогда х3 F(x) = —». Я придумал в этой ситуации использовать знак штриха, такой же, как знак производной, но уже перед самой функцией. К примеру, для функции f(x) = х2 получилась такая запись: х3 '(х2) = —, а для суммы первообразных двух функций вот такая: '(/) + '(g) = '(/ + £)• И по сию пору эта символика мне кажется достаточно выразительной. Похожий случай отсутствия однозначности и определенного несоответствия мы можем понимать так: произведение любого корня из одного комплексного числа на любой корень из другого комплексного числа является некоторым корнем из их произведения. Опять же это равенство лучше записывать в обратном порядке. А еще лучше избегать этой записи из-за смутности толкования.
12. О понимании 243 Не понимаю, почему так явно выделено в школьном курсе «основное логарифмическое тождество». Равенство ах%(,ь = 6, получившее такое пышное название, по сути, ничуть не лучше равенства (у[Ь)" = b или равенства sin(arcsinb) = b. Но ведь никто не говорит об «основном радикальном тождестве» и тем более об «основном синусовом тождестве». Суть этих (и аналогичных) равенств в том, что композиция двух взаимно обратных функций возвращает нас туда, откуда мы пришли: f(f~\x)) =х.И все. С этой точки зрения равенства alg°b = b и\%ааь = b одного и того же происхождения и ни одно из них не является «более основным тождеством», нежели другое. Замечу тут же, что равенство (yfb)n = \[b" моментально следует из того, что возведению в степень и извлечению корня соответствуют взаимно обратные функции. Иногда не понимаю даже общепринятого в математике. Зачем, например, употреблять слово «монотонный», когда говорят о монотонном возрастании (убывании) функции на промежутке? Разве что-нибудь изменится, если говорить просто о возрастании (убывании)? А термин «монотонность» можно оставить как их объединяющий, скажем, во фразе «проверка функции на монотонность». Зачем нужно специальное понятие «арифметический корень» для корня четной степени из неотрицательного числа? Достаточно говорить о неотрицательном корне. Знак радикала позволяет записывать единственное значение корня, надо только четко оговорить способ употребления этого знака; когда корней два, с его помощью записывается именно неотрицательный корень. л/4 = 2 по смыслу знака радикала. Ученикам я говорю так: «Если вас лукавый экзаменатор спрашивает, чему равен корень квадратный из четырех, то надо отвечать “плюс-минус двум”. А если, говоря это, одновременно пишут л/4 и ждут ±2 в правой части равенства, то вы не попадаетесь в расставленную ловушку и пишете только 2». (Этот разговор подразумевает нахождение корня на множестве вещественных чисел, для комплексных — «особь статья».) Весь этот пассаж о корнях и радикалах известен из очень полезной книги Ю. Шихановича. Замечу тут же, что символ л/2 — это именно символ числа, а не само число (аналогично для логарифмов, синусов и т. п.). Вещественное число в реалии — десятичная дробь, т. е. некая последовательность цифр, с которой работают определенным образом. Недоумеваю, когда при решении квадратного уравнения относительно переменной х в ответе пишут хх 2. Зачем менять имя
244 Задача для учителя математики. 7-11 классы переменной проставлением нижних индексов? Бывает, что это разумно, но только в специальных случаях. Помню непонимание того, как раскрывается |лс|. В самом деле, мы знаем такую запись: Гх,х > О, \х\ = < [-х,х < 0. Но знак системы означает конъюнкцию предикатов (выска- зывательных форм, выражений с переменными). Эта операция определена только тогда, когда переменная задана на одном и том же множестве. А в нашей записи в первой строке х > 0, а во второй строке х < 0. Как же тут можно ставить знак системы? Любопытно, что в достаточно авторитетном пособии, рекомендованном МГУ (Кравцев С.В. и др. Методы решения задач по алгебре. М.: Экзамен, 2001), вместо знака системы использован знак совокупности. Верным здесь является именно знак системы, это давно объяснил В. Болтянский. При толковании производной встречается «момент времени». Это что такое? Понимание пришло далеко не сразу. В записи предела функции lim f(x) = а рисуют стрелку. Что за стрелка? Х~*Ь Ну а что же рассказывать ученикам, когда сам не вполне уверен в точности собственного понимания? Приходится идти в обход. Корректность метода математической индукции можно, как известно, доказать и без ссылки на аксиому индукции. При этом приходится, правда, постулировать нечто другое, именно существование наименьшего числа в бесконечной последовательности натуральных чисел. Необходимость этой аксиомы я понимаю уже лучше, кто знает, что там есть в бесконечных множествах! До сих пор не понимаю, почему в учебниках математики не обсуждается общее понятие скалярной величины (при том, что о векторных величинах, иначе о векторах, разговоры ведутся). Примеров скалярных величин в элементарной математике достаточно: длина, площадь, объем, расстояние, угол; в текстовых задачах встречаются время, возраст, стоимость... А есть еще физика, химия, биология... Но многие ли школьники смогут объяснить, почему можно решать уравнение 2nR = kR2, но нелепо приравнивать как величины длину окружности и площадь круга? Приравнивать можно только их численные значения. Вот простенькая задача для начальной школы: «Федя старше Васи в два раза, Коля старше Феди в три раза. Во сколько раз Коля старше Васи?». При ее решении используется известное свойство
12. О понимании 245 скалярной величины V: m(nV) = (mn)V(m, п — вещественные числа). Но где оно хотя бы разъясняется? Я не понимал оптимизацию обучения, разговор о которой был популярен некогда. Оптимизировать можно только то, что достаточно формализовано. Должен быть критерий оптимальности, причем имеющий численную характеристику. Ничего подобного в обучении пока нет. Вот как известный в свое время педагог Ю. Бабанский определял понятие оптимизации учебно-воспитательного процесса: «Под оптимизацией учебно-воспитательного процесса в современной школе подразумевается выбор такой методики его проведения, которая позволяет получить наилучшие результаты при минимально необходимых затратах времени и усилий учителей и учащихся». Это определение ключевого понятия, оно должно быть совершенно недвусмысленным! Что же здесь неясно? • Оборот «минимально необходимые затраты», житейски ясный, здесь может толковаться неоднозначно. Минимальные — понятно, необходимые — понятно, а вместе для меня просто набор слов. • Слишком много «минимально необходимых затрат» требуется, причем одновременно. Пусть нам удастся минимизировать время учителя. Почему при этом будет минимизировано и все остальное? • Учебно-воспитательный процесс характеризуется многими параметрами. Что такое его «наилучшие результаты»? По какому именно параметру? Сразу по всем? • Даже если удастся достигнуть наилучших результатов по всем параметрам или хотя бы по главным, то на это требуется определенное фиксированное время. При чем тут его минимальность? То же можно сказать и про усилия. Я не понимаю, каким образом ученики разрекламированного прессой В. Шаталова учились решать трудные задачи, точнее, как он учит их это делать. В его книгах об этом нет ни слова, хотя именно это, как я думаю, наиболее сложный вид деятельности в работе учителя математики. Я не понимаю некоторых текстов по математике, философии. Как-то летом решил одолеть современный учебник биологии для старшеклассников, ничего не вышло, не осилил я этой премудрости. Причина ясна: мало знаний, мало работал над текстом, недостаток упорства, желания. Очень полезно держать такую «трудную» книгу поблизости — лучше начинаешь чувствовать
246 Задача для учителя математики. 7-11 классы ученика, перед которым не одна такая книга. С другой стороны, книги, в которых все сразу ясно, по-моему, бесполезны, а может быть, и просто вредны. «Что ведет к успеху?» — спросили одного джентльмена. «Наличие препятствий», — ответил тот. В школьной книге таким препятствием является трудное для понимания место. Само собой, не надо перегибать палку. Однако пора перейти к детям. Но сначала... Моя коллега, учительница в ПТУ, рассказала как-то, что был у нее ученик, который появлялся на уроке математики примерно раз в месяц. Отсидев, он произносил обычно: «Опять не понимаю», — и исчезал. Непонимание ребенка бывает уникально ценным. Одна мама рассказывала как-то, что ее толковый сынишка, будто перед стенкой остановился при вычислении значения -(3 - 1). И когда она (гуманитарий по образованию) узнала у него, в чем причина трудностей, то ее удивление было неподдельным: «Вы представляете, он заявил мне, что минус перед скобкой и минус в скобке - это разные минусы!» Как бы мне хотелось оказаться в такой момент рядом с этим хлопцем! Ведь, исходя из чисто формальных соображений, до поры до времени это действительно так, эти минусы и в самом деле разные: один минус обозначает противоположность, а за другим стоит знак операции. Итак, что может быть причиной непонимания у школьника? Недостаток знаний. Поэтому в начале урока так важно задать, если можно так выразиться, его «аксиоматику» — факты, которые будут использоваться. Неподготовленность к языку, на котором идет объяснение. Стандартный пример — язык «8 - 8» при изучении начал анализа. Недостаток определенной культуры. Стереометрия в старших классах начинается с таким трудом еще и потому, что уровень логической культуры учеников к началу 10 класса не слишком высок. Здесь можно вспомнить и учителя математики. Порой нам очень уж хочется все формализовать, даже там, где это совершенно неуместно, в частности и в нашем деле, в преподавании. Вот пример. Где возрастает функция у = х2: на [0, °о) или на (0, оо)? Вопрос не стоит и выеденного яйца: какая разница, все зависит от контекста или имеющейся договоренности — любой! Но я знаю, что в представительной комиссии петербургских учи¬
12. О понимании 247 телей однажды была дискуссия по этому поводу, закончившаяся даже голосованием! Еще пример. Надо ли находить ОДЗ в тождественных преобразованиях? Ответ весьма непрост. «Неуложенные» знания. Типична попытка детей объяснить что-либо исходя из сведений, добытых на последнем уроке. Если мы только что «прошли» синус, то все задачи будут решаться только с помощью синуса, а когда «пройдем» косинус, то синус «получит отставку». А однажды одна хорошая моя ученица Лена Г. на мой вопрос «Почему сужается струя воды, текущая из крана?» ответила, что это следует из теории относительности. Увидев мои квадратные глаза, она тут же добавила, что они как раз ее проходят на физике. Нежелание вдумываться и толковать. Стандартный пример. Дети посмотрели кинофильм, телепередачу. — Ну и каковы ваши впечатления? — Нормально. А однажды я видел в работе ученика нарисованный угол, равный 0°. Это была пара лучей с общей вершиной — все как полагается, — образующая острый угол, от стороны к стороне была нарисована маленькая дужка, а рядом с ней так и написано: «0°». Сколько раз я читал: «б — это вектор, начало и конец которого совпадают». Но если вспомнить привычное определение вектора в школьном курсе математики, они не могут совпадать! И не один раз я видел беззаботное несовпадение аналитических и графических результатов работы. Одно ученическое «непонимание» любопытно. Оно касается графиков. Известно, что при а > 0 график функции /(х - а) сдвинут относительно графикаДх) вправо, а график функции Дх + а) влево. Учеников тянет вначале сделать наоборот. Может быть, это вызвано тем, что знак «-» ассоциируется с уменьшением, уменьшение абсциссы — с движением влево, а знак «4-» ассоциируется с увеличением, увеличение абсциссы — с движением вправо? Здесь может помочь несложное рассуждение. Сдвиг (иначе — параллельный перенос или просто перенос) задается вектором. Сдвиг влево или вправо — это сдвиг на вектор, параллельный оси абсцисс. Вектору в системе координат соответствует пара координат. Пусть дан вектор АВ с координатами (р, q). Если (хр ух) — координаты точки А, (х2, у2) — координаты точки В, то координаты вектора АВ вычисляются из равенства (/?, q) = (х2 - хр у2 - у{), откуда получаем:
248 Задача для учителя математики. 7-11 классы x2=xl+p,y2=yl + q. (1) В этом равенстве (х{, у{) толкуем как координаты исходной точки, (х2, у2) — координаты точки, полученной в результате сдвига на вектор (р, q). Так как при горизонтальном сдвиге (переносе вдоль оси абсцисс) ордината точки не меняется, то горизонтальный сдвиг задается вектором (р, 0). Согласно равенствам (1), мы получаем, что x2=xl+p,y2=yv (2) Выразим теперь «старые» координаты через «новые»: х1=х2-р,у1=уг (3) Перейдем к графикам функций. Пусть нам был дан график у =Дх). Если точка (xv у{) принадлежит графику/, то выполняется равенство =Лх1). Используя уравнения (3), приходим к равенству у2 = f(x2 - р). Из него видно, что сдвинутая точка (х2, у2) принадлежит графику у =f(x - р). Теперь займемся картинкой. При р > 0 вектор сдвига (/?, 0) «смотрит» вправо, поэтому точка (х2, у2) расположена правее точки (х,, у{) и сдвиг графика идет вправо на величину р. Для толкования графика уравнения у = Дх + р) при р > 0 достаточно здравого смысла. Ясно, что он сдвигается на величину р относительно графика у = /(х), вправо сдвинуться уже невозможно, т. к. там находится график уравнения у =f(x - р), осталось — сдвинуться влево. Формальное рассуждение уже ничего не добавляет. Впрочем, можно обратить внимание учеников, что уравнение у = f(x + р) (р > 0) можно толковать как уравнение у = f(x - (-/?), сведя ситуацию к предыдущему случаю, учитывая при этом, что вектор (-/?, 0) «смотрит влево». Осталось перейти к примерам. График уравнения у - (х - I)2 строим как сдвинутый на вектор (1,0) (вправо на 1) график у=х2. Графику = (х + I)2 строим как сдвинутый на вектор (-1,0) (влево на 1) график у- х2. Неподготовленность к стилю мышления. Я уже говорил о практическом мышлении. Однажды принимал экзамен на заочное отделение у школьного учителя труда, мужчины лет сорока с лишним. Спрашиваю: — Как разделить отрезок пополам? — Очень просто: измерить, длину разделить пополам и отмерить половину длины на отрезке. — А если циркулем и линейкой, причем линейкой без делений? — Да где же вы видели линейку без делений?
12. О понимании 249 Еще пример из беседы с учеником вечерней школы, достаточно солидным по возрасту. - Сколько плоскостей, перпендикулярных данной, можно провести через перпендикуляр к данной плоскости? - Одну. _ ? Следуют долгие препирательства. Затем: - Но ведь за раз можно провести только одну плоскость! Еще пример, сам слышал по радио, как один писатель восторгался выходом космонавта А. Леонова в открытый космос: «Но самое невероятное то, что Леонов вернулся обратно». И еще пример, сам читал в книге отзывов посетителей первой очереди ленинградского метро: «Это потрясающе! Каждая следующая станция прекраснее предыдущей!» Потом шла запись: «Чудак, а если бы ты ехал в обратную сторону?» А вот из жизни наших политиков. После приема в НАТО прибалтийских стран наша Дума всполошилась: супостаты приближаются к нашим границам! Им бы еще сообразить, что и мы тем самым приближаемся к границам НАТО. Школьный пример. Известные трудности учеников при изучении комбинаторики. Непривычность новых представлений. Классический пример — квантовая механика. В книге В. Босса написано такое: «В целом квантовая механика — совершенно уникальная научная дисциплина, научившаяся справляться с обширным кругом явлений в отсутствие их понимания». В школе — комплексные числа. Разнонаправленность «миров». Глобальная вещь. Традиционный пример: «Запад есть Запад, а Восток есть Восток», мир взрослого и мир ребенка. Впрочем, есть и вполне житейские примеры, если только «миры» свести к личностям и установкам. Вот маленькая история. Однажды на мой урок пришла коллега. Я начал вполне обычно, с проверки домашнего задания. Вызываю одного — не сделал, другого — тоже не сделал, третьего - опять не сделал! «Ну, — думаю, — пора кончать это позорище». И стал разбирать домашнее задание фронтально, вполне прилично получилось. После звонка думаю, что коллега скажет, хорошо бы забыла про это жуткое начало урока. А сказала она так: «Это потрясающе! Вы вначале вызвали как раз тех, кто не сделал!»
250 Задача для учителя математики. 7-11 классы Все это в той или иной степени приходится учитывать, чтобы предотвратить непонимание. В «аксиоматике» урока важен не только перечень понятий, которые будут затем использованы, но обязательно в нужном для меня смысле. Если я говорю «многогранник», то что именно я имею в виду: тело или поверхность? А если сказал «угол», то обязательно выпуклый? Разные смыслы учитывать совершенно необходимо. Однажды среди коллег я произнес: «Производная» — и попросил сказать, о чем они сразу же подумали. И о чем же? Кто о чем: о пределе, о скорости, об угловом коэффициенте и даже о некотором сомножителе в выражении для приращения функции Ау - кАх + а(х)Ах. Разные смыслы можно увидеть в самых простых ситуациях. Для начала поговорим о числе 1. Точнее, о единственности. Что имеется в виду, когда мы говорим в математическом контексте о единственности какого-либо объекта? Оказывается, не одно и то же. В теории одно, на практике другое. Когда мы говорим о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной заданной прямой (на плоскости), то это означает, что таких прямых не может быть больше одной. Либо одна (в евклидовой геометрии), либо таковых вообще нет (в сферической геометрии). Аналогично понимается единственность перпендикуляра. Существование этих объектов тут не предполагается, и более того, объект может отсутствовать. Условно говоря, здесь 1 — это либо 1, либо 0. Когда мы говорим о единственности корня уравнения, то здесь 1 всегда именно 1. Единственность означает здесь и существование объекта, и что таковой именно один. В иных случаях при решении уравнения учитывается кратность корня. Если кратность корня равна, к примеру 10, то мы этот единственный корень считаем десять раз. Условно, 1 = 10. Когда мы решаем геометрическую задачу на построение, то, например, единственность построенного равностороннего треугольника по стороне, равной заданному отрезку, понимается как единственность с точностью до равенства, т. е. до положения на плоскости. На самом деле таких треугольников бесконечное множество. Условно, 1 = «>. И, наконец, шуточное толкование в духе В. Маяковского, написавшего: «Единица — ноль!». Этакая поэтическая вольность? Но! И 1, и 0 — нейтральные элементы в аксиоматике поля вещественных чисел: 1 — нейтральный элемент для умножения, 0 - нейтральный элемент для сложения. Потому в определенном смысле за ними стоит одно и то же понятие, а потому Маяковский что-то угадал.
12. О понимании 251 Здесь же отмечу, что в иных текстах термин «один» толкуется по-разному: и как «ровно один» («только один»), и как «хотя бы один». По моему разумению, у человека один нос, а не «ровно один» или «только один». То же про другие числа, полученные в результате счета. Мы стали нечто считать и сосчитали. И не надо это подчеркивать специально прочими словами. А если требуются другие толкования слова «один», к примеру, как «хотя бы один», то это требуется специально оговаривать. К тому же слово «ровно» неоднозначно, как во фразе «можно провести ровно одну прямую, параллельную данной». (В анекдотическом случае некий ученик взял линейку и провел по ней прямую — получилось «ровно».) Особый случай — кратные корни уравнения. Если они нас стали интересовать, то необходима соответствующая оговорка. Конкретно. Рассмотрим уравнения на множестве вещественных чисел. Уравнение х3 = 3 имеет один корень. Уравнение х2 = 3 имеет два корня, т. е. «хотя бы один» корень. Уравнение х2 = О имеет один корень (но уже второй кратности). Вопрос «При каком значении а уравнение х2 = а имеет один корень?» имеет ответ: а- 0. На вопрос «При каком значении а уравнение х2 = а имеет хотя бы один корень?» ответом является а > 0. Вопрос «При каком значении а уравнение х2 = а имеет не больше одного корня?» имеет ответ: а < 0. Теперь терминология становится четче. Беда, однако, в том, что математикам, а особливо преподавателям или авторам учебников, трудно договориться об однозначном употреблении знака или термина. Чего стоит словесная путаница, например, с максимумом, глобальным максимумом, абсолютным максимумом и наибольшим значением. Теперь поговорим о числе 2. В определении равнобедренного треугольника говорится о равенстве двух его сторон. Но равносторонний треугольник мы также считаем равнобедренным, а в нем равны все стороны, коих три. Поэтому в определении равнобедренного треугольника число 2 означает «не меньше чем 2». Формально говоря, надо было бы сказать, что равнобедренный треугольник — это тот, в котором не меньше двух равных сторон. Или «есть равные стороны». Но кто же такое будет говорить? Можно, правда, пойти по другому пути и считать, что равносторонний треугольник — это сразу три равнобедренных треугольника, в зависимости от того, какую точку выделять как вершину, в которой сходятся равные стороны, но это уж совсем чересчур. (Один мой ученик как-то назвал равносторонний треугольник «очень равнобедренным».)
252 Задача для учителя математики. 7-11 классы В других случаях мы понимаем число 2 именно как 2, когда, например, ищем число корней уравнения или когда находим число способов в комбинаторной задаче. Здесь 2 — это 2 и ничего другого. Наконец, возвращаясь к понятию кратности корня, мы считаем, что квадратное уравнение с дискриминантом, равным нулю, имеет два равных корня, хотя на самом деле корень один. А от учеников часто слышу: «Если две точки (прямые, плоскости) совпали, то это как считать? Как одну точку или как две?» Очень полезно все это разъяснить. Уйдем от чисел 1 и 2. Еще пример разных толкований. Я говорю: прямая проходит через отрезок, имея в виду, что она его содержит. А кто-то рисует прямую, его пересекающую, по-своему толкуя это «через». Однажды было такое. Я уже порядком позанимался с учениками комплексными числами и собирался рассказать, что для них не существует отношения линейного порядка, иначе говоря, они не сравниваются. Начал с вопроса: «Можно ли сказать, что / > О?» Был и такой ответ: «Смотря какое /». А вот сохранившийся в моей памяти эпизод со времен начала педагогической деятельности. Итак, урок арифметики. Начинаю рассказывать про обыкновенную дробь, как она устроена. «Числитель, — говорю, — стоит над дробной чертой, а знаменатель стоит под дробной чертой». На первой парте, вытянув ноги до середины прохода, сидит ученик-второгодник. — Да? — очень натурально удивляется он, — а в прошлом году было наоборот! Еще пример. Весьма толковый мой ученик, увидев впервые традиционный схематический рисунок в текстовой задаче на движение в виде отрезка, спросил: «А почему поезда у вас ходят по прямой?» Быть может, надо вообще действовать от противного: объяснять не так, чтобы тебя понимали, а так, чтобы нельзя было не понять? Это заметил еще Вергилий. И сдается мне, что самое интересное в профессиональной работе учителя математики — преодолеть непонимание. Конкретное непонимание конкретного Васи, когда необходимо «влезть» именно в его голову. Вот случай, который однажды произошел у меня на уроке. Занимаемся комплексными числами, даю задачу: «Имеется уравнение z2 + z+ 1 = 0. Пусть zl и z2 — его корни. Вычислите Z\ + z\»- Ее несложно сделать «в лоб». Но хотелось покрасивее, а потому предлагаю такое решение: «Умножим исходное уравнение
12. О понимании 253 на (z - 1). Получим уравнение z3 - 1 = 0, т. е. z3 = 1. Так как zx и z2 являются корнями и последнего уравнения, то ясно, что нужная нам сумма равна 2. Все». На каких-то лицах — та самая реакция, которую добивался, однако тянется рука: «не понимаю». И еще одна такая же. И что делать? Ну не повторять же снова сказанное! Попробовал начать «с конца». Буквально. Итак. Пусть мы имеем уравнение z3 = 1. Оно равносильно уравнению (z - 1)(г2 + + z + 1) = 0. Каждый корень уравнения во вторых скобках, т. е. наши z{ и z2, при возведении в куб даст по 1, а потому их сумма равна 2. И тех, кто не понял вначале, это рассуждение убедило. Но в чем же была загвоздка? Небольшое отступление о «хороших» учителях и даже о «лучших» учителях. Довольно часто доводилось слышать такой оборот. Почему-то считается, что учитель тем лучше, чем выше уровень школьников, с которыми он работает. А по моему разумению, лучшие учителя работают в начальной школе. Именно там максимален разрыв понимания (чего бы то ни было, а особенно абстракций) между учителем и школьником. Именно там наше профессиональное мастерство — объяснять непонятное — требуется в высшей степени. У меня есть совсем крошечный опыт работы с дошколятами, учил я их как-то началам шахматной игры. Вот это была работа... Но именно они, учителя начальной школы, оказываются на задворках общественного внимания, среди них нет ни соро- совских лауреатов, ни учителей года, ни победителей конкурса «Династия». Как же можно работать собственно над пониманием? Попробую рассказать, как это пытаюсь делать я. Разумеется, речь идет о передаче собственного понимания, того, к которому пришел сам. Если его нет, то неясно, какого понимания добиваться от учеников. Хотя в какой-то мере верно, что свое понимание созревает и в процессе объяснения. Рассказывая новое, я стараюсь объяснить, откуда оно взялось. Какие вопросы надо было разрешить? Действительно, а зачем понадобился синус? И откуда взялась необходимость в производной? Рассказ о ней я начинаю обычно с астрономии, Птолемея, Кеплера, задач, которые они пытались решить. При этом совершенно не обязательно передавать буквально историю вопроса, это немыслимо. Полезно сначала рассказать план всей темы, затем постоянно к нему возвращаться, точно указывая место, в котором мы нахо¬
254 Задача для учителя математики. 7-11 классы димся. Понимание конкретного теоретического вопроса иногда возможно только в контексте. Почти всегда обязателен взгляд назад, на пройденный путь. Уроки, где излагается трудный для понимания материал, предпочитаю вести как диалог. Обязательно провоцирование вопросов. Если после объяснения я таковых не услышал, то сработал не лучшим образом. Текущее понимание можно проверить, спросив у детей: «О чем я буду говорить сейчас?» Если они не могут предвосхитить рассказ, то плохо понимают происходящее (хотя могут при этом быть идеально внимательны). Во время объяснения важен выход на границу с непонятным. Хорошо, конечно, понимать все, но не обязательно сразу. Есть тут один спорный момент. Если я рассказываю материал так, что он не вызывает трудности у «сильного» ученика, но сложен для ученика «среднего», то в этот момент урока, по моему разумению, я работаю как раз со «средним» учеником, ибо именно его вытягиваю на более высокий уровень. То же можно сказать и о паре «средний - слабый». Работать с учеником — это не опускаться, а вытягивать. Весьма часто мое мнение тут не совпадало с мнением гостей и администрации. Но еще раз повторю: дискуссии в классе важны не только для участников, но и для тех, кто им внимает. Я уже говорил о разных типах мышления. Даже ученики в специализированных школах разнятся в этом отношении, и математику для «математиков» надо рассказывать иначе, чем математику для «физиков». Человек с практическим складом мышления не то чтобы не понимает иных доказательств. Вовсе нет! Гораздо чаще он не понимает их необходимости. Это прекрасно видно в начале систематического курса геометрии. Д. Гильберт призывал лекторов по пять раз повторять одно и то же, дабы довести до слушателей некую истину. Я не очень с ним согласен. Пусть пять раз, но не одно и то же. Неисповедим, но интересен путь в человеческую голову! Пять раз повторить одно и то же — это не объяснять, а вдалбливать. Вот это мы умеем делать. Последую примеру К. Вейерштрасса, который на полях конспектов своих лекций делал пометку: «Здесь анекдот». Итак, анекдот. — Не понимаю, как это Ковальский врезался в столб на своем мотоцикле. — Чего же тут непонятного? Вот ты видишь столб? — Вижу. — А Ковальский не видел.
12. О понимании 255 Не так ли и мы частенько объясняем математику? Поэтому если есть возможность растолковать одно и то же, как говорят, на пальцах, а потом геометрически наглядно, а потом аналитически, да еще не одним способом, то я стараюсь ее не упускать. Вот яркий пример. Отыскание первообразной — задача в первую очередь аналитическая. Для ее более полного осмысления я рисую известную картинку (рис. 11). Затем объясняю, что задача нахождения первообразной, согласно этой картинке, сводится к нахождению отрезка Ау, зная отрезок dy, и при этом в любой исходной точке х. Прекрасный пример пользы от картинок — геометрический образ дифференциального уравнения, называемый фазовым пространством. Рисование картинок для прояснения ситуации, заданной словесно или формулой, — частный случай сведения новой и не вполне ясной ситуации к уже известной, отыскания подходящей, но уже известной модели. Работа с матрицами, к примеру, в некоторых случаях (работа с движениями плоскости и устрашающее перемножение матриц) — это результат композиции движений, из чего моментально следует его ассоциативность и отсутствие коммутативности. Еще пример из комбинаторики. В этой теме традиционно наглядности почти нет. Поэтому так важно найти хоть какой- либо способ увязать комбинаторные соотношения с рисунком. По счастью такая возможность, хотя бы и частичная, существует для числа сочетаний. Именно, число сочетаний С* можно трактовать как число различных путей на шахматной доске из левого нижнего угла доски в правый верхний угол, притом что каждый путь идет только слева направо или снизу вверх. Если обобщить понятие шахматной доски как таблицы, в которой т столбцов и п строк, то число таких путей вычисляется по формуле С™+п
256 Задача для учителя математики. 7-11 классы или с тем же результатом С"+Л. С помощью такой схемы можно не только оживить всю тему, но без всяких вычислений доказать иные комбинаторные тождества. Для улучшения понимания важно варьирование несущественного, что хорошо известно из методики, достаточно вспомнить смену букв на рисунках при доказательстве геометрических утверждений, да и смену самих рисунков. Совсем новые знания иногда с трудом укладываются в голове, например отрицательные числа. Откуда следует, что результат умножения двух отрицательных чисел — число положительное? Когда я попросил восьмиклассников, только что поступивших к нам в школу, объяснить равенство (-1) • (—1) = 1, то ответа не получил. В иных случаях работает старый прием — метафора: отрицательные числа — это расход, в то время как положительные — приход. Не всегда можно найти метафору, как, например для перемножения отрицательных чисел. (В данном случае пришлось рассказывать детям, в чем состоит идея расширения числового множества.) Важнейший момент в понимании теории — ее применение для объяснения того, что, грубо говоря, находится под носом. Почему потолок параллелен полу? Почему человек норовит сжаться, свернуться, когда ему холодно? Зачем мы доказываем существование перпендикуляра к плоскости, когда ни у кого не возникает в этом сомнения? Хотя бы затем, говорю я, чтобы показать, что та геометрическая теория, которую мы изучаем, хорошая, она действительно объясняет то, что видим. Самые большие трудности при объяснении возникают тогда, когда приходится ломать устоявшуюся точку зрения или даже просто менять ее. Примеры из науки хорошо известны: аксиома параллельности, мнимые числа (здесь даже название выразительно), вероятностный подход при описании действительности. Понимание новой точки зрения порой мучительно и для профессионалов, чего уж говорить о детях! Я помню свои ученические муки и при изучении комплексных чисел, и при осмысливании несчетных множеств, и при изучении основ анализа на языке «8 - 8». Аналогичные процессы происходят и в голове школьника при переходе к систематическому курсу математики, да и по мелочам. Интересные разговоры возникают порой в самых обычных, казалось бы, ситуациях. Признак перпендикулярности прямой и плоскости сводит континуум возможностей (заданный определением прямой, перпендикулярной плоскости) всего к двум.
12. О понимании 257 Проще говоря, не надо — да и возможности такой нет в принципе - проверять (согласно определению) перпендикулярность данной прямой и каждой прямой на плоскости. Достаточно проверить всего две такие перпендикулярности. Здесь мы видим чрезвычайно принципиальный скачок: сведение бесконечного к конечному. Поневоле напрашиваются хрестоматийные примеры в истории математики. Проблема четырех красок оказалась решенной после того, как удалось свести ее к конечному (хотя и достаточно большому) перебору вариантов, после чего окончательную проверку этой гипотезы сделали с помощью компьютера. Интрига в доказательстве великой теоремы Ферма в том и состояла, что такой переход от конечного к бесконечному никак не давался математикам. Проверить понимание школьника можно на разных элементах математической теории: определение, понятие, формула, задача, теорема, раздел курса, предмет в целом. Как проверить понимание определения? Я предлагаю такие вопросы: • Каков характер определения: описательный или конструктивный? • Что определяется: объект или свойство? • Для описательных определений — из какого множества выбирается определяемый объект? • Можно ли сформулировать понятие «определение» своими словами? Если ученик способен только на дословное повторение, то это говорит лишь о его хорошей памяти. Понять — это в начальной стадии именно переформулировать с сохранением смысла, быть может, опустив тонкости. Иногда приходится объяснять, почему определение именно такое, а не другое. Пример. Почему 0! = 1, а не так: 0! = О? Дело в том, что для факториала существенно равенство (п + 1)! = п(п + 1), которое перестает быть полезным, если положить 0! = 0. (Впрочем, тут возможен более глубокий разговор — о гамма-функции, обобщающей понятие факториала.) Еще пример. Почему множество всего из одной точки считается выпуклым? Можно, конечно, сказать, что это удобно, но почему удобно именно это? По случаю замечу, что записывать величину угла, к примеру в полградуса, как 0,5° некорректно, такой записи нет в таблицах, и понятно почему: доли градуса записываются не в десятичной системе счисления.
258 Задача для учителя математики. 7-11 классы А иногда объясняешь, почему вообще нет определения тому, что вроде бы определить можно. Почему нет определения для выражения 0°, которое естественно считать равным 1, исходя из непрерывности функции хх в нуле. Но нет, нарушаются свойства 11° 1 степеней, именно тогда получается, что 1 = - = ^ = (-)0. Нелепость. А почему нельзя определить символы - как — как 0? В не- 0 00 которых случаях очень удобное соглашение. Но, увы, тогда получаем, сохраняя свойства чисел, такую цепочку равенств: а = а • 1 = = а • (0 • ©о) = (а • 0) • ©о = 0 • ©о = 1 — для любого а, что нелепо. Еще примеры. Почему нуль-вектор остался без направления, почему комплексный нуль не имеет аргумента, почему не выделено главное значение для корня из комплексного числа, ведь на множестве вещественных чисел все теоремы о корнях доказываются после того, как выделено одно его значение? Почему нет определения для периметра объединения двух непе- ресекающихся фигур, у каждой из которых есть свой периметр? Ведь считаем же мы длину границы государства, состоящего из островов. Добавлю, что почти все эти вопросы задавали ученики. Понять определение иногда очень непросто, особенно в геометрии: там «мешает» наглядная очевидность, зачем еще определять, когда и так «все видно»? Вот примеры. Не вполне понятно определение ломаной. Замкнутая ломаная АВСА и замкнутая ломаная АВСАВ — это одна и та же ломаная? А ломаные АВС А и ВСАВ? Как множество точек, разумеется, но ведь ломаная — это не просто множество точек, но и последовательность отрезков. А указанные последовательности разные. Поэтому граница треугольника задает не одну замкнутую ломаную, а шесть, по две из каждой вершины. Отсюда получается, что определение равенства фигур, принятое в геометрии, для них не годится. Не следует ли отсюда такой парадоксальный вывод: замкнутая ломаная (и вообще ломаная) не геометрическая фигура? Ясность приходит тогда, когда понимаешь, что в понятии ломаной слепились два толкования: ломаная как фигура, объ единение отрезков, как, например, в границе треугольника и ломаная как путь, например в уникурсальных фигурах, вычерчиваемых на бумаге одним росчерком при различных ограничениях.
12. О понимании 259 А определение грани многогранника и вовсе не очевидно, если многогранник не является выпуклым, да еще с самопересечением его поверхности. Хорошая получается беседа, когда указываешь такой многогранник. У него «много граней», но чего именно много? Вообще, преподавание можно строить так, чтобы не столько я задавал вопросы, а дети отвечали, а совсем наоборот — чтобы я отвечал на вопросы детей. Ух как интересно может получиться! И порой получается. Такие начинаются беседы, которые мне и в голову не приходили до начала урока. Здесь не надо скупиться на «пятерки». Как проверить понимание объекта (понятия)! Здесь вопросы такие: • Какими свойствами обладает этот объект? • Какими признаками обладает этот объект? • Какие из его свойств являются характерными? • Какие определения можно дать этому объекту? • Зачем появилось это понятие? • Где это понятие применяется? Уж что проще единицы? Однако же она может быть и степенью (2°), и логарифмом (lg 10), и синусом, и тангенсом, и квадратом тангенса, и, разумеется, суммой квадратов синуса и косинуса одного аргумента, и 0!, и первым замечательным пределом, а если совсем абстрактно — это нейтральный элемент операции умножения в поле вещественных чисел. Да и сколько еще всякого можно сказать про единицу! И чем больше мы про нее знаем, тем лучше мы ее можем понять. Приведу пример того, что можно делать при изучении арифметической прогрессии. После определения начинаем знакомиться с ее свойствами. Можно доказать такие: а) формула для ak: ак-а{ + d(k - 1); б) формула, связывающая три соседних члена прогрессии: ак-0,5(яЛ_1 + ак+\)у в) все члены прогрессии в системе координат располагаются на одной прямой (отсюда моментально следует, что две бесконечные прогрессии не могут иметь больше одного совпадающего члена); г) формула для суммы п членов прогрессии: Sn = 0,5(я1 + ап)п. Затем встает вопрос: какие из этих свойств являются признаками прогрессии? Например, если в последовательности (ап) выполняется соотношение ак = 0,5(яА:1 + яЛ+1) для всех членов последовательности, кроме крайних, то будет ли она прогрессией?
260 Задача для учителя математики. 7-11 классы Если свойство объекта является одновременно и его признаком, то оно становится характерным свойством объекта и может быть положено в основу его определения. На последних уроках темы ученики смогли мне дать штук шесть определений прогрессии. Как проверить понимание формулы? Будет практичнее, если мы будем иметь некую формулу перед глазами, пусть формулу общего члена арифметической прогрессии: ak=ax + d(k- 1). • Какие величины участвуют в формуле? • Как выразить из формулы каждую из входящих в нее величин? • Каков характер зависимости величин между собой? Например, зависимость ак от А; линейная. • Как устроена формула (симметричность, размерность)? • Какие следствия можно получить из этой формулы? В нашей формуле можно получить такое выражение для к: и _ ак+\ ~ а\ d ’ после чего быстро решаются задачки такого типа: «В арифметической прогрессии ах = 3, d = 0,02. Какой номер имеет член прогрессии, равный 5?» • Как можно обобщить формулу? В нашем случае можно предложить такое обобщение: ад = ар + d(q - р), где р, q — номера членов прогрессии. Из этой формулы легко выразить разность прогрессии, после чего быстро можно ответить на такой вопрос: «Чему равна разность прогрессии, если я30 = 2,3; ат = 3,7?». Неплохой пример обобщения формулы — площадь треугольника, параллелограмма, трапеции, круга, кольца равна произведению средней линии на высоту при соответственном толковании средней линии и высоты. • Возможны ли интерпретации формулы? Любопытно «лестничное» толкование нашей формулы. Если я стою на высоте ах над землей, d — высота ступеньки лестницы, то ак — высота, на которой я нахожусь, поднявшись на к - 1 ступеньку. • Где можно применить формулу? Вот задача о прогрессии — найти длину цилиндрического рулона скотча. Еще пример. Формулу, полученную в теореме косинуса (в треугольнике ABC a2 = b2 + c2- 2bccosA), естественно применить для нахождения углов треугольника, для определения его вида в за¬
12. О понимании 261 висимости от его углов, если переписать ее в таком (естественном, »2 . 2 л v . b + с — а исходя из названия) виде: cosy4 = . 2 be Это общеизвестно. Но можно использовать ее для нахождения других сторон треугольника (Лис). Один путь окольный — получить из нее теорему синусов, а дальше идти известной дорогой. Но можно идти «в лоб» — рассматривать исходное равенство как квадратное уравнение, скажем, относительно b. Решив его, получим после упрощений: b = ccosA ± Vа2 - с2 sin2 А. Из его анализа становится ясно, что задача о решении треугольника по двум сторонам и углу против одной из них (в данном случае по сторонам а и с и углу А) может иметь два решения, одно решение и ни одного решения; все зависит от знака подкоренного выражения и наличия знака ±. Знак подкоренного выражения зависит от знака разности (iа - csinyl). Ясен геометрический смысл этой разности. Выражение с sin А - это расстояние от точки В до прямой А С. Значит, число решений зависит, в частности, от сравнения стороны а с этим расстоянием. Это исследование несложно довести до конца, разобравшись со знаком ±. Нам нужно выяснить знак разности ccosA - -yja2 - с2 sin2 А. Если разность не является положительной, то решение одно; если же она положительна, то решений два. Неравенство ccosA - \1а2 - с2 sin2 А> 0 равносильно условию с > а. Приходим к известному результату: для наличия двух решений необходимо и достаточно выполнение неравенства с sinv4 <а<с. Мне такое исследование кажется даже более естественным, чем соответствующее исследование на основании теоремы синусов. Как доказать формулу? Разумеется, для каждой формулы задаются наиболее выигрышные вопросы из этого списка. Кроме того, ясно, что формулы, полученные в геометрии, порождают разнообразные ситуации для курса алгебры (уравнения, неравенства, системы, доказательства тождеств) и начал анализа (функциональные зависимости, задачи на поиски экстремума). Один из самых известных примеров — пифагоровы тройки чисел. Как проверить понимание задачи или теоремы? (Возможно, я повторюсь.) • Откуда взялась эта задача? Почему мы решаем именно ее? • Какой факт утверждается? Можно ли переформулировать задачу?
262 Задача для учителя математики. 7-11 классы • Какими условиями обеспечивается результат в задаче? Все ли условия использованы при решении? Являются ли эти условия необходимыми? • Какие факты использованы при доказательстве? • Ясна ли логическая схема доказательства? Держится ли она полностью в сознании? В начале курса геометрии (в 7 и 10 классах) я после доказательства каждой теоремы записывал на доске «скелет» теоремы в виде схемы конъюнкций, дизъюнкций и следований. Ученики запоминали эту схему и ответ начинали с ее воспроизведения на доске, а уже потом «оживляли» ее рисунком и буквами. Вот другой вариант, более пригодный для случая, когда проводятся дополнительные построения. Перед учениками на доске появляется не один рисунок, на который наносится все новое, а последовательность рисунков. Каждый следующий рисунок отличается от предыдущего одним элементом. Получается как бы диафильм, и логическая схема доказательства запоминается в виде набора картинок. • Какие следствия возможны из полученного результата? • Можно ли обобщить полученный результат? • Можно ли получить результат как-то иначе? Этот вопрос всегда уместен, ведь у детей все, к чему мы так привыкли, впервые. Вот теорема, которую учителя знают, как говорится, с закрытыми глазами: «В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы». И что же тут можно придумать? Пожалуйста — пример детского творчества. Внутри прямого угла построим угол 60° так, что его вершина совпадает с вершиной прямого угла, а одна из сторон идет по меньшему катету. Тогда исходный треугольник разобьется на два: равносторонний и равнобедренный. Дальше по известному принципу: «Смотри!» • Как полученный результат можно интерпретировать? • Как его можно применить? Здесь я опять хочу привести пример арифметической прогрессии. Несложно видеть, что любая последовательность, полученная из этой прогрессии прибавлением постоянной ко всем ее членам и умножением их на постоянную, является также арифметической прогрессией. (Это действительно можно видеть, если интерпретировать члены прогрессии как точки на прямой.)
12. О понимании 263 Известна такая задача: «Доказать, что если , , Ь + с с + а а + Ь члены арифметической прогрессии, то а2, Ъ2, с2 также члены арифметической прогрессии». Требуемый результат несложно получить, если первую тройку превратить во вторую, действуя с прогрессией дозволенным образом. Для этого достаточно 1 из каждого выражения в первой тройке вычесть , затем раз- Ь + с делить на то, во что превратится второй член из этой тройки. По- 2 2 л 1 с -<* лучим такую тройку: 0, 1, -5 Ъ - а Далее умножим все эти выражения на Ь2 — а2 и к каждому из них в полученной тройке прибавим а2. В результате оказывается, что тройка я2, b2, с2 дает прогрессию. • Верно ли обратное утверждение? Можно ли в некоторых случаях найденное свойство объекта обратить в его признак? Например, наличие центра симметрии у параллелограмма. Ясно, что такие вопросы относятся в первую очередь к задачам на доказательство. Задавать не обязательно все, только наиболее удачные. Как проверить понимание некоторой темы курса? Здесь можно предложить такие вопросы: • Какова структура раздела: что изучается и в какой последовательности? • Каковы связи между объектами, включенными в этот раздел? Какие из них наиболее существенны? Пример — изучение параллельности и перпендикулярности в стереометрии. Первоначально набор теорем кажется ученику довольно бессвязным. Но их можно структурировать, разделяя на свойства и признаки. Так, теорема «Прямая, являющаяся пересечением двух плоскостей, перпендикулярных третьей плоскости, сама перпендикулярна третьей плоскости» является еще одним признаком перпендикулярности прямой и плоскости. В таком качестве теорема лучше укладывается в голове. • Каковы связи этого раздела с другими? Это старый вопрос внутрипредметных связей. Чем больше таких связей известно ученику, тем лучше он понимает изучаемый раздел. Прекрасный пример — комплексные числа в разных своих формах: алгебраической, геометрической, тригонометрической и показательной. Почему-то во всех программах,
264 Задача для учителя математики. 7-11 классы где были комплексные числа, о показательной форме не упоминалось. • Почему этот раздел находится именно в этом месте курса? Возможны ли его перестановки? Один из дискуссионных примеров. Можно ли поменять местами производную и интеграл? Или лучше вообще их изучать совместно? Здесь же скажу о понимании текста. Для меня достаточно, чтобы ученик задал мне вопрос по этому тексту, неважно какой трудности. Если же после прочтения текста у него не возникает никаких вопросов, то мне сомнительно, что у него произошло подлинное понимание. Когда мы спрашиваем «Что непонятно?», а ученик заявляет, что ему все понятно, вот тут-то и звучит для учителя сигнал тревоги. И я уже давно не произношу таких слов: они просто «шум» на уроке. Взамен должна быть предложена операциональная проверка понимания. Например. Если я даю задание разобраться в каком-нибудь фрагменте учебника, то настаиваю на том, чтобы этот фрагмент был прочитан минимум три раза. В результате первого прочтения можно получить представление о тексте в целом и разобраться в его структуре. В результате второго прочтения должны появиться вопросы по тексту (здесь рекомендую ученикам постараться на них ответить самостоятельно). В результате третьего прочтения должны появиться вопросы содержательного характера, обращенные ко мне. Возникла даже идея — оценивать не столько ответы учеников по теории, сколько их вопросы теоретического характера. Как проверить понимание всего предмета? (Очень фрагментарно.) Прежде всего ясно, что оно разное — от школьника до профессионала, от ребенка до академика. И даже между профессионалами, как мы хорошо видим на примере книг по элементарной геометрии, написанных выдающимися учеными в разное время и в разных странах. Поэтому я буду иметь в виду только наше, учительское, понимание. Одно совершенно точно, что понимание предмета учеником во многом, если не во всем, определяется тем, как понимает его учитель. И несколько мыслей. • Если математика для кого-то всего лишь наука о том, как считать, то такое понимание — наш грех, учительский.
2. О понимании 265 Если учитель понимает геометрию как бесконечную возню с задачами про треугольники и окружности, то легко себе представить, какой багаж останется в головах его учеников лет через пять. И вместо «витамина для мозга» не получится ли «мусор для мозга»? То, что мы делаем в текстовых задачах, определяется тем, как мы понимаем их суть. Что они для нас: почти сказочный жанр со своими условностями или дидактическая попытка ввести в обучение элементы прикладной математики? Понимаем ли мы необходимость доказательства при решении уравнения (неравенства, системы)? Если оно необходимо (а как же иначе по смыслу нашей деятельности?), то никуда не денешься от равносильностей или других доказательных рассуждений. Является ли для нас математика по сути своей единой наукой или она разделена так же, как школьные предметы? Даже если мы формально преподаем разные предметы: алгебру, геометрию, анализ, — то на что мы делаем акцент: на их связи или на их различие? Если математика для учителя — это наука, а не просто интеллектуальное занятие, то необходима ее связь с другими науками, ибо, как об этом говорил А. Александров, суть науки в ее связях с другими науками. А школьная математика — это введение в саму науку. Нечто практическое. Если вдруг подвела память и не вспомнить формулировку теоремы, определение, формулу, то вся надежда — на понимание. Например, забылась формула объема усеченного конуса. Соображаем. Ясно, что в формуле должно быть п. Так как в предельной ситуации он вырождается в конус, то должна быть Ясно, что в формуле должны быть оба радиуса оснований и высота, ибо они определяют усеченный конус (прямой, круговой — в простейшем случае). Степень должна быть по размерности третья. Так как не имеет значения, какое основание больше, формула должна быть симметричной. Получается что-то вроде —H(R2 ± г2). Минус отбрасываем, иначе для цилиндра, который тоже есть предельное положение для усеченного конуса, получим нулевой объем. Оставляем так: —H(R2 + г2). Проверим полученное выражение на цилин-
266 Задача для учителя математики. 7-11 классы Поэтому в скобках должно быть три слагаемых. Ага! Вспомнил! В скобку надо вставить Rr. Ну конечно! Вот такой мини-спектакль получается на уроке. Заканчивая разговор о понимании, должен сказать, что мне еще очень многое неясно. И никаких особо законченных рекомендаций дать не берусь. Все, что было сказано мной по этому поводу, только попытка поделиться некоторыми соображениями, быть может, наивными. Однако работать «на понимание» интересно. Такая работа перекрывает традиционную деятельность учителя, направленную на знания и умения, и кажется мне более теплой, более близкой к ребенку, раскрывает перед ним «человеческое лицо» школьной математики. «Я стала понимать, откуда что берется», — сказала мне к концу обучения Наташа Н. А вот что я услышал от Маши С.: «Вы как-то говорили, что школьная математика как палец на ноге статуи, изображающей всю математическую науку. И пусть палец на ноге. Но я поняла, что на статуе богини». 13. УПРОСТИТЬ? НЕТ НИЧЕГО ПРОЩЕ?! Иногда кажется, что стоит только добиться формализации содержательных понятий, и понимание наступит само собой. Увы. Приходится, видимо, искать другие пути. Порывшись в различных математических справочниках, я не смог найти определение или хотя бы толкование того, что значит «упростить». А если открыть задачник по алгебре или достаточно полное пособие для абитуриентов, то найдется не один пример именно с таким заданием — упростить. Я приведу несколько заданий на упрощение. 1. (х - у)3 - (х + у)3 - 3(х - j)2(x+у) + 3(х + у)2(х - у). 2. sin6 а + cos6 а + 3sin2 acos2 а. 3’(х2-1)(х3-1)' 4 (х - а)(х -Ь) (х - Ь)(х - с) | (х - а)(х - с) (iс - а)(с -Ь) (а - Ь)(а -с) (Ь- а)(Ь - с) 3.
13. Упростить? Нет ничего проще?! 267 I а + \1а2 -Ь + 1а-у/а2 -b 7. Vx + л/—Зс. 8 (Ух + У^Сл/х-у^х) х 9. 21gx + lgx2. 10. tgx + ctgx. И само задание, и процесс его решения бывают любопытны. Всегда приятно в результате упрощения получить 1, как в примерах (2, 4). В примере (1), как и в примере (2), можно увидеть формулу куба (разности и суммы). Пример (4) интригует своей симметричностью и возможностью принципиально разных решений. Решение примера (6) предполагает не вполне очевидное преобразование (возведение в квадрат и дальнейшее извлечение корня). В примерах (7) и (8) чувствуется экзотика, однако полезная. Примеры (3), (9), (10) нам тоже понадобятся. Задание «упростить» обычно толкуется как замена исходного выражения «более простым», что понимается как «менее длинным», потому как «менее длинное» становится более обозримым. Что стоит за «большей обозримостью»? Более короткий ответ? Уменьшение числа операций? Например, будем ли считать упрощением левой части равенства получение таких результатов: Ответ неясен. Попробуем разобраться. Рассмотрим все три элемента задания вместе: исходное выражение, его преобразование и полученный результат. Исходное выражение. Основной вопрос — надо ли находить в исходном выражении область определения? Из общих соображений это разумно: прежде чем что-либо делать, стоит уяснить, имеет ли смысл это делать и в каких условиях все это происходит. Могут представиться разные ситуации. А. Нахождение области определения может быстро привести к ответу, как в задании (7). Я не раз предлагал задание (7), и мне всегда выдавали ответом число 0. Короткий ответ получен без преобразований, только после нахождения области определения. Б. Нахождение области определения может показать, что заниматься упрощением не имеет смысла, ибо она есть пустое множе¬ 5 Л I ■/V I 5 Ы ' 'ли ' и , а а-Ь
268 Задача для учителя математики. 7-11 классы ство, как в примере (8). Упрощая это выражение и не обращая внимания на его область определения, получим в ответе 2, что нелепо. В. Нахождение области определения способствует верному результату, полученному с помощью преобразований, как в задании (5). Рассмотрим подробнее этот пример. Действовать в нем можно по-разному. Избавляясь от иррациональности в знаменателе, приходим к выражению Далее избавляемся от модулей, для чего рассмотрим четыре случая: 1. а >Ь, а >-Ь, 2.а<Ь,а< -Ъ, 3 .а>Ь,а< -Ъ, 4. а < 6, а > -й. В случаях 1 и 2 есть два варианта ответа: ±2yla2 - Ь2. В случаях 3 и 4 ответ 0. Если не выяснять область определения исходного выражения, то приведенный результат окончательный. А если заняться областью определения, то увидим, что случаи 3 и 4 невозможны, ибо подкоренные выражения должны быть положительными. Ответ может быть получен только в первых двух случаях. Г. Нахождение области определения неуместно, ибо в исходном выражении нет ничего подозрительного: ни знаменателей, ни радикалов и т. п., как в примерах (1), (2). В реальном учебном процессе все эти ситуации встречаются. На уроке, в котором нас интересует именно техника преобразований, вряд ли надо находить область определения (пример (6)). Напротив, в примере (7) упростить выражение невозможно, если не находить область определения. В примере (8), забыв про область определения, вовсе получаем нелепость. Наконец, если нас интересует и техника преобразований, и использование области определения, то уместен пример (5). Полагаю, есть общие соображения, которые уточняют постановку дидактической задачи, стоящей перед учителем. Необходимо определиться, в каком разделе математики мы находимся. Если «находимся в алгебре», то не требуется нахождение области определения в двух случаях: когда упрощается целое выражение (что очевидно) и когда упрощается дробно-рациональное выражение, состоящее из многочленов от любого числа
13. Упростить? Нет ничего проще?! 269 переменных (что требует нетривиальных соображений, связанных с размерностью, — на это указал А. Колмогоров). 2 2 X — у Например. Пусть мы имеем выражение . Если мы «на- х-у ходимся в алгебре», то пишем в результате х+у без всяких оговорок. Если же мы находимся «среди функций», например, строим х2-\ график функции/^) = , равенство нулю в знаменателе учи- Х~1 2 , х — 1 тывать необходимо. Функции f(x) = и g(x) = х + 1 разные, х -1 потому как у них разные («естественные») области определения, а потому графики их различны. Отдельная ситуация в текстовой (и в геометрической) задаче — тогда область определения полученных выражений необходимо включает в себя все ограничения, в том числе необходимые по смыслу задачи. Особо надо отметить задания на упрощение аналогичных тригонометрических выражений. В дробных тригонометрических выражениях дело (по сравнению с алгеброй) усложняется, но, я полагаю, ситуация аналогичная. sin2 Jt - sin2 у Например, если мы упрощаем выражение , sinx - si пу то можем написать в результате sinx + siny, ничего не оговаривая. 1 — cosx То же и в таком задании на упрощение: —. sin х В остальных случаях действуем, исходя из поставленной нами цели. Возможны такие цели упрощения. 1. Когда существенна только сама техника преобразований, тогда про область определения разговор неуместен. 2. Когда упрощение - промежуточный этап работы над заданием (решить уравнение и т. п.), тогда нахождение области определения необходимо. 3. Когда мы хотим специально показать ученикам, что учет области определения обязателен, тогда нахождение области определения находится в рамках самого задания. Наиболее сложный (практически) случай — когда ученик получает задание не от учителя, а берет его из книги или в другой ситуации. Он может не знать, какого ответа от него ждут. И при этом он должен понимать, что толкования полученного им ответа могут различаться, и не всегда в его пользу. (Со мной именно такое случилось, когда я поступал в университет; я не стал искать
270 Задача для учителя математики. 7-11 классы область определения у длиннющего тригонометрического выражения со знаменателями, которое требовалось упростить, и мне сие было отмечено с пристрастием известным тогда автором задачников для поступающих К. Шахно. До сих пор помню.) Потому я советовал ученикам подстраховаться и начинать упрощение (когда это уместно), со «спасительной» фразы: «Если данное выражение имеет смысл, то...». Некоторые авторы учебных пособий в заданиях на упрощение сразу же оговаривают специальные ограничения на параметры. Такое возможно, если их не интересует проведение необходимого исследования полученного результата. Так, в примере (5) они могли бы добавить в условие, что а>Ь> 0. Отмечу такие особенности заданий на упрощение. 1. Остановка процесса, хотя он мог бы и продолжаться. Именно такая ситуация возможна в примере (3). Если ученик пишет х6 - 1 (х2 - 1)(х4 + х2 + 1) х4 + х2 + 1 —= т—— = 5 = = = и не расклады- (х2-1)(х3-1) (х2-1)(х3-1) X — 1 вает далее числитель на множители, то можно ли предъявлять к нему претензии? Упрощение сделано; а где сказано, что «надо доводить его до предела», ведь нет определения термина «упростить»? 2. В результате упрощения могут получиться совсем разные по виду выражения, как в примере (10). Преобразования. Занимаясь упрощением, обычно производят преобразования левой (правой) части выражения. Что значит «преобразовать выражение», тоже не вполне ясно, определения тому нет. Замечу, что в результате преобразования мы не обязаны получать выражение, более простое по виду. Часто приходится преобразовывать не к более простому, а к нужному виду. Таковы задания: привести к виду, удобному для логарифмирования, преобразовать в произведение (в сумму), избавиться от иррациональности, выделить полный квадрат, исключить целую часть, разложить на множители, разложить дробное выражение на простейшие (при интегрировании) и т. п. Толкование преобразования зависит от конкретной ситуации. Рассмотрим, например, такое равенство: х4 -1 = JC3 + X2 + X + 1. JC-1 Его можно читать, как всякое равенство, в двух направлениях: слева направо и справа налево. И мы при надобности преобразуем
13. Упростить? Нет ничего проще?! 271 как левую часть равенства в правую (скажем, при взятии производной), так и правую часть равенства в левую (при суммировании прогрессии). Похожее задание. Пусть требуется вычислить предел функции хп — 1 /(х) = при х —> 1. Ясно, что мы перейдем к выражению х-1 х"-1+... + 1. Но если нужно найти предел функции g(x) = = хп~х + ... + 1 при х -» -1, то мы скорее будем действовать «в про- хп -1 тивоположном направлении» и запишем хп~] +... +1 = . х -1 Как и при упрощении, возникает вопрос про область определения исходного выражения, насколько она учитывается в преобразованиях. В процессе преобразований область определения исходного выражения может сохраниться: (х- 1)(х + 1) = (х2 — 1); может поменяться: х2 -1 = х + 1 (расшириться), х-1 х2-1 X + 1 = (сузиться). х-1 Преобразования, сохраняющие область определения исходного выражения и равенство в этой области между исходным выражением и полученным, называют тождественными. Преобразование (х- 1)(х+ 1) = (х2 - 1) — тождественное. Преобразования, не сохраняющие область определения, но сохраняющие равенство на ее подмножестве можно называть, следуя Ю. Шихановичу, квазитождественными (этот термин для упрощения речи). Пре- х2 — 1 х2 — 1 образования = х + 1 и х + 1 = квазитождественные. х-1 х-1 Одни и те же преобразования (например, разложение на множители) могут быть тождественными: х2 - 1 = (х- 1)(х + 1), но могут быть и квазитождественными: х - 1 = (у/х -1)(Vx + 1). В процессе преобразований главное — сохранение равенства между исходным выражением и окончательным, если не на всей области определения исходного выражения, то хотя бы на ее (непустом) подмножестве, важно, что «хоть где-то» работает транзитивность равенства.
272 Задача для учителя математики. 7-11 классы Рассмотрим пример (9). Преобразовать это выражение можно так: 2lgx + lgjc2 = 41gx. Это преобразование тождественное, т. к. область определения исходного выражения сохранилась. Преобразовать это выражение можно так: 2lgx + lgx2 = lgx2 + \gx2 = 2\gx2 = 41g\x\. Это преобразование квазитождественное, т. к. область определения исходного выражения изменилась. Посмотрим чуть дальше. Так как из исходного выражения получено два других, то эти два других, равные исходному в силу транзитивности равенства, равны между собой: 41gx = 41g|x|, откуда lgx = lg|x| их = |х|. И как это понимать? Очень просто. Отношение транзитивности работает здесь лишь при х > 0, т. е. в области определения исходного выражения. Поэтому и окончательное равенство верно при х > 0. Равенство х = \х\ появилось потому, что среди преобразований было квазитождественное, именно второе из них, т. к. оно не сохранило область определения. Тождественные преобразования не доставляют никаких проблем. Квазитождественные преобразования требуют повышенного внимания. Их использование зависит от двух обстоятельств: необходимо определиться, в каком разделе математики мы находимся и каковы цели преобразования. Здесь дела обстоят так, как и при упрощении, и я не буду повторяться. Любопытно заметить, что неверная выкладка ученика может толковаться как квазитождественное преобразование: х3-1 = (х2 + х- 1). X + 1 Двинемся дальше. Преобразование выражения происходит согласно некоторым формулам. А что есть формула? Это некоторое равенство двух выражений. Возникает это равенство из аксиом (например, ассоциативность), определений (например, тангенс) и доказанных ранее соотношений (например, формула бинома). Посему перейдем к тождествам, к тождественным равенствам. Тождество как полученный результат. В результате упрощения (преобразования) из начального выражения получается конечное. Принято считать, что в совокупности образовалось тождество. В свою очередь, в процессе упрощения используются уже известные тождества. Похоже, что именно понятие тождества является ключевым в нашем вопросе.
13. Упростить? Нет ничего проще?! 273 Определения тождества в разных источниках не всегда совпадают, вот самый почтенный вариант — из «Математической энциклопедии». «Тождество — равенство двух аналитических выражений, справедливое для любых допустимых значений входящих в него букв». Согласно приведенному определению (буду называть его каноническим), требуется учитывать область допустимых значений. Согласно ему, равенство lgx2 = 21gx является тождеством, ибо оно должно рассматриваться при х > 0. И согласно ему же, равенство у/х = 4-х является тождеством, т. к. оно выполняется при х = 0 на области определения. (Г. Дорофеев в одной из своих статей приводит как пример тождества именно это равенство, подчеркивая его экзотичность.) Обобщая эту «патологию», получаем, что равенство y/f(x) = y/-f(x) является тождеством на множестве нулей функции/. Более того, оказывается, можно считать тождеством даже такое равенство: у/х + у/^Х =sin (у/х + урх). Но как-то не хочется. И вот почему. Рассмотрим тождество у/х = у/^х, затем еще одно yf^x = у/х (столь же экзотическое). Получается, согласно транзитивности равенства, такая цепочка: у/х = у/-х = у/х. Однако равенство у/х = у/х тождеством не является (аналогичный пример приведен Г. Дорофеевым). Нарушение транзитивности равенства — вещь серьезная и может служить для исключения таких «монстров» из рассмотрения. Однако я бы не сказал, что приведенные выше «монстры» совсем уж экзотика, аналогичные ситуации теоретически возможны. Например. Пусть нам нужно исследовать на четность функцию /. Мы составил, равенство f(-x) = f(x) и получим уравнение Лх) ~А~х) = О» если равенство выполняется для всех х из области определения, то функция будет четной даже в том уникальном случае, когда в области определения только 0. Вот более простой пример. Тождествами являются такие равенства: у/х* = (у/х)2, (у/х)2 = X. Однако равенство yjx2 = х, полученное как следствие из двух предыдущих, тождеством не является. Такие примеры полезны для теоретического анализа определения (достаточно вспомнить определения функции, многогранника, которые, как известно из истории математики, многократно уточнялись по мере появления все новых «монстров»,
274 Задача для учителя математики. 7-11 классы т. е. контрпримеров). И если определение тождества приводит к нарушению отношений, которые мы считаем важными (транзитивность равенства), то, видимо, каноническое определение тождества нуждается в коррекции. Например, стоит исключить из рассмотрения случаи, когда область определения — конечное дискретное множество. Но этого недостаточно. Видимо, стоит исключить из канонического определения и те случаи, когда нарушается транзитивность равенства. Подробный научный анализ канонического определения тождества и его использования в школьном курсе математики провел в свое время А. Колмогоров. Потому вопрос не пустячный. Подробный методический аспект этого понятия рассмотрен, например, в статье И. Баума и Ю. Макарычева (сборник «Преподавание алгебры в 6—8 классах». М.: Просвещение, 1980). Они предлагают уточнить каноническое определение тождества, рассматривая «тождества на множестве». Согласно их точке зрения, как я понял, выражение может являться тождеством на одном множестве и не являться тождеством на другом. Тоже не очень-то. Получается, например, что равенство х2 = 1 является тождеством на множестве корней этого уравнения. Можно, следуя Ю. Шихановичу, ввести понятие квазитождества и рассмотреть его использование в школьном курсе, да опять же не хочется — не к месту. Пара заключительных замечаний. Зададимся вопросом: как появляются тождества? Я вижу два пути. Наиболее распространенный способ — тождество получается как результат решения задачи на преобразования (упрощения) данного выражения с готовым ответом или сводящейся к таковой. Тогда доказательство тождества может выполняться при тех же договоренностях, что и упрощение (преобразование). Другой способ — решение уравнения. Например, при исследовании функции на периодичность мы решаем уравнение Дх ± t) ~АХ)' Если его решением является вся область определения функции, то получаем тождество. Я полагаю, что нет окончательных толкований понятия «тождество». А оно входит, как было сказано, в процесс упрощения. И задание «упростить» тем более становится неформальным и зависит не столько от самой математики, сколько от нашей договоренности. А потому надо быть поосторожней с тем, что связано с этим понятием. Общий итог. Полного формализма нет, надо понимать, где мы находимся, зачем мы это делаем, и действовать но ситуации.
14. Творчество на каждом уроке 275 14. ТВОРЧЕСТВО НА КАЖДОМ УРОКЕ Говоря о критической деятельности, о понимании, я хотел показать некоторые пути воздействия на личность ребенка через его интеллект. Но пути воспитания разные. И один из них, как мы помним, - формирование творческой личности. Об этом написано много в педагогической литературе, и то, что я скажу, довольно фрагментарно. Творить, выдумывать и пробовать, как говорил поэт, нужно не только в науке, внушаю я детям, но где угодно, и, может быть, больше всего в собственной жизни. Я привожу им всякие цитаты и мнения. Например, отбор космонавтов и отбор вело- сипедистов-гонщиков в команду необходимо включает в себя проверку на поведение в нестандартной ситуации. Призыв древних «познать самого себя» невозможно реализовать «человеку в футляре». Ну и так далее. Если я хочу на своих уроках пробудить в ребенке творческое начало, а затем всячески его развивать, то такая часть моей учительской установки должна найти отражение и в системе работы, и в той атмосфере, которую я создаю на уроке. Главное здесь, конечно, не призывы и благие намерения. И не эпизодическое решение более или менее творческих задач. Я полагаю, что на каждом уроке можно организовать такую математическую деятельность учеников, в которой они вынуждены творить, быть может, не замечая этого. Обычно, говоря о развитии творческих способностей, имеют в виду проблемное обучение, эвристические приемы в работе и даже исследовательский метод, когда ученики чуть ли не все должны открыть самостоятельно. Это прекрасно, но, как все прекрасное, редко. Я же веду речь о том, что можно делать практически на каждом уроке. Приведу удачную метафору. Известна задача: «Как накормить человека?». Разные способы ее решения. 1. Дать ему жареную рыбу. 2. Дать ему сырую рыбу. 3. Дать ему удочку. 4. Дать ему учебник по рыбной ловле. 5. Привести его на берег «рыбной» реки. Теперь уйдем от метафоры. В реальном преподавании важны все пять способов. Акценты делаются учителем в зависимости как раз от собственной установки. Почти в каждой работе в домашнем задании предлагаю задачи, не имевшие аналога в классе, чтобы дети сами думали. Или даю возможность выбора таких задач.
276 Задача для учителя математики. 7-1.1 классы Но говорить я буду о двух возможностях в работе учителя и условно назову первую из них «Придумай задачу», а вторую «Сделай выбор». Каждая из этих возможностей, как я понимаю, Ставит ученика в такое положение, когда репродуктивная деятельность ничего не дает. И придумать, и выбрать — акт творческий. При этом придумывание задачи — несомненное проявление креативности. Посмотрим, как реализуется первая возможность. Естественно, задачу на ровном месте не придумать. Иначе может получиться нечто вроде того, что сочинила одна малышка, а именно: «По одной стороне улицы бежало 10 зайцев, а по другой — все остальные. Сколько зайцев бежало по улице?» А когда ее спросили, как же тут можно получить ответ, она ответила: «Но я-то знаю, сколько бежало зайцев!» Новая задача придумывается в процессе размышления над чем-то. Для ученика таким «чем-то» может быть почти любая конкретная задача. Здесь я хочу обратить внимание именно на акт придумывания, а не решения придуманной задачи, которое может быть и непростым. Мне не раз приходилось видеть задачи, придуманные отнюдь не сильными учениками. А один разочек было даже такое: ученица 7 класса, Катя Ч., весьма далекая от математики, принесла мне целую тетрадь с придуманными ею задачами. Перейду к таким ситуациям, в которых посыл к придумыванию задачи весьма силен. Предположим, мы доказали в классе неравенство ----- > 4аЬ (я>0, Ь>0). Далее традиционен переход к решению примеров, в которых оно может быть использовано. Их можно взять и из учебника. Но можно предложить ученикам самим придумать новые задачи, исходя из этой. Каким же образом они могут это сделать? 1. Рассмотреть частные случаи. Например, взять b = — и полу- а чить такое неравенство: а + — > 2(а > 0). а 2. Обобщить на 3, 4,... любое число неотрицательных слагаемых. Здесь уместно сказать ученикам, что доказательство такого обобщения трудное, значит, мы придумали вполне достойную задачу. 3. Рассмотреть «крайние» случаи. Здесь появляется такая задача: «В каком случае достигается знак равенства?».
14. Творчество на каждом уроке 277 4. Найти какое-либо применение полученному результату. Задачи на нестрогие неравенства легко перевести в разряд задач на поиски экстремума. Здесь естественно появляются две задачи, которые хорошо известны. Первая — из двух положительных чисел, сумма которых постоянна, найти такие, произведение которых является наибольшим. Вторая — из двух положительных чисел, произведение которых постоянно, найти такие, сумма которых является наименьшей. Отсюда недалеко до изопериме- трической задачи. Один несложный пример. Пусть требуется найти наибольший по объему прямоугольный параллелепипед, вписанный в данную сферу. Тут требуется найти наибольшее значение функции от трех переменных, и производная не помогает. А выручает как раз неравенство Коши для трех переменных. 5. Дать другое истолкование задаче. Если задача аналитическая, то найти геометрическую иллюстрацию. И наоборот. В данной задаче возможна такая интерпретация: а и Ъ - отрезки, на которые высота прямоугольного треугольника ГТ - а + b делит гипотенузу, ыао — длина этой высоты, —- медиана на гипотенузу. Условие можно дополнить и подключить другие средние. На рисунке 12 АС — это диаметр полуокружности с центром О; проведем OD — радиус этой полуокружности, перпендикулярный АС. Соединим точку В{ с точкой D и проведем перпендикуляр В{К на ОВ. D Несложно вычислить: OB = ^,ВВХ = Jri,BxD = Ш,ВК = . 2 V 2 а+Ь
278 Задача для учителя математики. 7-11 классы И теперь видна известная цепочка неравенств: ВК< ВВХ <ОВ< BXD. Стоит заметить, что все эти средние получаются из общей формулы: Sp = ir^—^ приZ7 = “Ь 0,1, 2, а полученные неравенства свидетельствуют о монотонности функции S . (Необходима только некоторая техническая возня по правилу Лопиталя при /7 = 0.) Наконец, на этом же рисунке в прямоугольном треугольнике ВВхО выполняется равенство ВВХ = ВО • ВК9 откуда видим такое г—г 2 а + Ь 2 ab соотношение между средними: (ыао) = . 2 а + Ь Покинем неравенство Коши. 6. Составить обратное утверждение. Пусть мы составили квадратное уравнение с корнями 1 и /: (х- 1)(х-/) = 0. Такой пример стоит разобрать, чтобы ученики верно понимали утверждение о сопряженных комплексных корнях многочлена с вещественными коэффициентами. Приведем это уравнение к обычному виду: х2- (/+ 1)х + / = 0. А теперь будем действовать в обратном направлении и решим это уравнение по формуле для корней квадратного уравнения. (1 + 1) ±7-27 ы Получим такое равенство: х = . И где же тут корень, равный 1? Вот мы и приходим вполне естественно к проблеме извлечения корня из комплексного числа, да еще в слегка загадочной форме. 7. Найти аналогичное утверждение. Любопытна, например, такая аналогия между векторами и треугольниками. Трехмерный вектор задается тремя своими проекциями, и треугольник задается тремя независимыми его элементами. Продолжается ли эта аналогия дальше? И вообще, насколько такое сходство можно считать аналогией? 8. «Пойти обратной дорогой». Точку с координатами (1, 1, 1) можно в координатном пространстве задать уравнением (х- 1)2 + (у- l)2 + (z- 1)2 = 0. Несложными преобразованиями этого уравнения можно прийти к системе
14. Творчество на каждом уроке 279 х2 = 2у-1, ■y2=2z-\, Z2 =2х-1 или к такой: х2 + 1 i y = —z—9 Решение каждой из этих систем приведет нас обратно к исходной точке (1, 1, 1). 9. Зафиксировать одну из величин и посмотреть, что из этого можно «выжать», если мы имеем дело с формулой. Запишем теорему Пифагора с2 = а2 + Ь2 и зафиксируем гипотенузу. Тогда сумма квадратов катетов окажется постоянной. Наибольшее значение выражения а2Ь2 будет достигаться при равенстве сомножителей. Тогда же станет наибольшим произведение ab, которое есть удвоенная площадь прямоугольного треугольника с катетами я, Ь. Отсюда вывод: из всех прямоугольных треугольников с заданной гипотенузой наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник. 10. Рассмотреть предельные случаи. Известна задача Аполлония — построить окружность, касающуюся трех данных окружностей. Предельными случаями окружности являются как точка (условно при нулевом радиусе), так и прямая (условно при бесконечном радиусе). Поэтому в предельном случае задача Аполлония превращается в задачу построения окружности, проходящей через три точки, также в задачу построения окружности, касающейся трех данных прямых. Возможны дальнейшие комбинации предельных случаев, например построение окружности, проходящей через две точки и касающейся прямой. Перейдем теперь к рассмотрению второй возможности — выбору. Сам выбор примеров для работы в классе или дома уже в ка1 кой-то степени творческая процедура. Поэтому даже в задании «на 3» по уровню трудности можно предложить ученику примеров больше, чем нужно, пусть выбирает сам! Приведу примеры разных подходов к одному и тому же понятию. В основе этого приема лежат разные определения одного
280 Задача для учителя математики. 7-11 классы и того же объекта. По-разному, как известно, можно определить почти все. Вопрос в том, давать ли эти разные определения ученикам или ограничиться только одним определением — и пусть знают хотя бы его! Ну, скажем, параллелограмм, его определением может быть любое его характерное свойство, а кроме того, его можно определить и конструктивно. Так вот, я считаю, что полезно привести детям несколько определений (еще лучше, если они найдут их самостоятельно), с тем чтобы они могли выбрать для себя такое, которое им лично нравится больше. И если этого нельзя сделать на первых уроках о параллелограмме, то вполне возможно при повторении. Иногда, впрочем, несколько определений одного и того же объекта может появиться и при начальном систематическом изучении. Например, все дети к началу курса геометрии знают квадрат. Так что такое квадрат? Появится несколько определений, все запишем на доске, и пусть каждый выбирает то, что хочет. Интересный разговор случился у меня с одним из учеников, Сашей А., когда я рассказал о двух вариантах возникновения натурального логарифма — традиционном и через интеграл. Как всегда, предложил ученикам выбрать тот подход, который им понятнее. Саша выбрал интегральный подход. «Почему?» - поинтересовался я. — Первый вариант чересчур зависит от количества пальцев на руках, — последовал совсем неожиданный для меня ответ. А вот разные подходы к решению вполне заурядных примеров. Пусть надо решить уравнение lgx(x - 1) = lgx. Рассмотрим такие способы: 1) Найдем ОДЗ: х > 1. Тогда lgx(x- 1) = \gx«х(х- 1) = х<=> (х — 1) = 1 <=>х= 2. х = О 2) lgx(x- l) = lgx=>x = (x— 1)=х=>х2 —2х = 0=> х = 2. Затем подстановка. х(х -1) = х, 3) lgx(x - 1) = lgx t=> <=> (х- 1) = 1 <=>х = 2. х > 0 4) lgx(x - 1) = lgx » lgx(x - 1) - lgx = 0 <=> x(x -1) x X > 1 ’ = 1» [*-1 = 1, )x > 1 Ig x(x -1) = 0, x(x-l)>0, <=> x > 0 <=> x = 2.
14. Творчество на каждом уроке 281 5) Найдем ОДЗ:х > 1. Тогда lgx(x - 1) = lgx <=> lg(x - 1) + lgx = lgx <=> lg(x - 1) = 0 <^>(x- 1)= 1 <=>x = 2. 6) lgx(x - 1) = \gx <=> lg\x - 11 + lg| jc | = lgx, а далее метод интервалов. Разумеется, эти решения комментируются. Ну а что делать дальше, после того как они все показаны? Очень просто! В домашнем задании ученики в аналогичном примере выбирают тот способ решения, который им доступнее. Еще пример на эту же тему. Уравнение sinx + cosx = 0 я решал в классе чуть ли не десятком способов. А выбор решения уравнения sinx - cosx = 0 за учениками. Иногда по ходу письменной работы ученик находит второе решение уже написанной задачи. Я в таких случаях говорил: «Если оно не похоже на уже приведенное вами, то напишите в работе и его, я зачту как еще одну сделанную задачу». Я ищу любую возможность (в пределах разумного) показать ученикам вариативность подходов к изучению математики. Прекрасно, если есть доступное для детей изложение, отличное от того, что приведено в учебнике. И вовсе не потому, что в учебнике плохо. Но именно для того, чтобы дать возможность выбора. Очевидно, что, пробуждая творческую активность школьника, мы должны быть готовы и к некоторым издержкам в работе. Хуже становится со временем, ведь все идеи и способы надо постараться выслушать и как-то оценить. Иногда рушится весь план урока и остается только импровизация, что очень интересно, но требует порой больше того, на что я в данный момент способен. Очень много приходится выслушивать предложений «в порядке бреда» и надо чрезвычайно терпимо относиться к любым ошибкам. Если дети будут бояться ошибиться, то атмосфера подлинного творчества вряд ли возможна. Нельзя не сказать, что такой атмосфере чрезвычайно способствует коллективный поиск решения всем классом. Задача тогда решается так же, как забивается гол в футбольные ворота, — кто-то наносит решающий удар, но работала на него вся команда. В таком же коллективном духе можно строить теорию — не изучать, а именно строить. Вот пример такого коллективного творчества — изучение параллельности плоскостей в пространстве. Основной прием — аналогия. Сначала мы вместе вспоминаем все, что известно о двух параллельных прямых на плоскости: определение, свойства, признаки. Затем в той же последователь¬
282 Задача для учителя математики. 7-11 классы ности появляются определение, свойства и признаки параллельных плоскостей. Утверждение 1. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них пересекает третью прямую, то и вторая пересекает ее. Утверждение Г. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них пересекает третью плоскость, то и вторая пересекает ее. Утверждение 2. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них перпендикулярна третьей прямой, то и вторая перпендикулярна ей. Утверждение 2'. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них перпендикулярна третьей плоскости, то и вторая перпендикулярна ей. Утверждение 3. Свойство параллельных прямых. Если две прямые параллельны и одна из них пересекает третью прямую под углом ф, то и вторая пересекает ее под углом (р. Утверждение У. Свойство параллельных плоскостей. Если две плоскости параллельны и одна из них пересекает третью плоскость под углом ср, то и вторая пересекает ее под углом (р. (Аналогия здесь не совсем полная.) При таком подходе, как видно, возможно «забегание вперед», но это не страшно, доказательства никуда не денутся, но зато появляется набор теорем, которые надо доказывать. Придумывая задачи, можно быстро оказаться в чем-то неведомом. Вот простенький пример. Пусть заданы некие границы для каждой стороны прямоугольника и угла между его диагоналями, точнее, указаны границы, за которые эти величины не могут заходить. Требуется найти границы его площади. Идея решения такова. Ограничения на угол переводим в ограничения на отношение смежных сторон х\\ у прямоугольника. Полученные три ограничения определят некоторую область в системе координат: ограничения на стороны — это ограничения по осям координат, ограничения на отношение сторон задают угол с вершиной в начале координат. И окажется эта область многоугольником. Наибольшую (наименьшую) площадь, т. е. границы произведения сторон, мы сможем найти, проводя линии уровня, представляющие собой гиперболы из семейства ху = с. Результат дадут те гиперболы, которые пройдут через вершины многоугольника, это становится видно из рисунка или несложных вычислений. В целом все это вместе похоже на задачу динамического программирования.
15. С одной стороны... С другой стороны. 283 15. С ОДНОЙ СТОРОНЫ... С ДРУГОЙ СТОРОНЫ... О воспитании в целом написано огромное число книг, о воспитании в процессе математического образования нет почти ничего. Известны отдельные выступления ученых (Н. Лобачевский, А. Хинчин, А. Александров). Есть некая методическая литература. Читать ее надо очень придирчиво, отделяя зерна от плевел. Часто встречались грустные стереотипы: воспитывать — это повесить в классе портрет, например С. Ковалевской, или решать задачи о трудовых достижениях земляков. Говоря о воспитании, о системе воспитания, хочется выйти за пределы эмпирики, опыта, особенно собственного опыта, значение которого так часто раздувается. Перемалывая литературу по проблемам воспитания, очень легко сбиться на эклектизм: один сказал этак, другой — так, мне нравится, что сказали они оба, давай-ка я соединю их точки зрения. Ох, как аккуратно надо прикасаться к этим проблемам! Вроде бы проблемы нет, любая совместная деятельность взрослого и ребенка так или иначе воспитывает, так зачем, спрашивается, городить огород? Но уж подозрительно просто получается - провел урок, значит, воспитал! Увы, урок — это не совместная деятельность: учитель учит, а ученик учится (замечу, по изначальному смыслу слово «учится» — «учит себя»). Есть еще один подозрительный стереотип в воспитательной работе: вера в то, что воспитание — это говорение, воспитательский час, например. Сколько раз я чувствовал себя в роли крыловского повара! Закончив этот небольшой пассаж о воспитании в целом, снова перейду к его возможным направлениям. О развитии интеллекта, о воздействии на творческое начало в ребенке, причем именно на математическом материале, известно довольно много. Хуже обстоят дела с прочими направлениями в воспитании, например с мировоззрением. Обычно здесь на первое место выводят физику, другие естественные науки, историю. Тому, понятно, есть причины: в этих науках имеешь дело с реалиями, в математике же только с тем, что написано на бумаге. И тем не менее. Одна из линий — развитие диалектического мышления. Отличается оно от формального и тем, что работает с противоречием, перед которым последнее останавливается как перед стенкой. В математике противоречия невозможны, часто они конец рас¬
284 Задача для учителя математики. 7-11 классы суждения. Любимое наше слово «следовательно» и говорит о том, что противоречий не может быть. Вне математики, как известно, все иначе. Вот несколько примеров. 1. Фраза «Я лгу» противоречива, в ней разбирались веками. 2. Как может быть такое: «Речка движется и не движется»? Так все-таки движется или не движется? (Если речка, то движется «по определению», но так медленно, что движение это незаметно с берега. Я видел такую речку, о какой говорится в песне, именно в Подмосковье — речка Рожайка.) 3. Кто-то написал: «Дурак — это всякий инакомыслящий». 4. А как понимать такое высказывание: «В каждой шутке есть доля шутки»? 5. «Это правильно, но это неверно» (А. Платонов). Что-то странное, на первый взгляд. Но если подумать, «правильно» — это безупречно с точки зрения логики; «верно» - это годится реально. Ясно, что может и не быть совпадений. Нечто похожее есть у Р. Фейнмана: «Это верно и неверно». Еще пример. Вот отрывок из книги В. Арнольда «Что такое математика?». Он цитирует М. Лидова: «Как и все математики... ты учишь студентов теореме единственности, согласно которой интегральные кривые обыкновенных дифференциальных уравнений не пересекаются. Но это утверждение (хотя вы его и доказываете безукоризненно правильно) совершенно неверно. Так, dx уравнение — =-*... имеет решение х = е~*... Например, при t- 10 dt между этими двумя интегральными кривыми не просунешь и атома». И приводит реальный пример тому: заключительную часть причаливания корабля к пристани, которая происходит вручную. 6. «На самом деле все не так, как на самом деле». Это не только каламбур. 7. Универсальный совет — не следовать никаким советам. 8. А бывшая моя ученица Маша Л. на один из вопросов религиозной тематики ответила так: «И да и нет». Я полагаю, что именно противоречие часто является основой иронии, анекдота и вообще юмора. Есть и более серьезные примеры. Научные дискуссии о природе света, бесконечности Вселенной, обратимости времени, даже знаменитый спор о том, что было раньше: курица или яйцо — приводили к осмысливанию возникающих при этом противоречий. Я уже не говорю о квантовой механике, некоторые положения которой противоречат «нормальной» логике. В принципе любой спор говорит о противоречии.
15. С одной стороны... С другой стороны. 285 Методика преподавания математики как бы консервирует эту разницу между математической наукой и реальностью. В процессе обучения ею на главное место часто выдвигается развитие именно логического мышления. С какой стати? Любая наука развивает таковое, но ведь не то в ней главное! И почему математика должна быть здесь исключением? Не очень я понимаю и сам термин «логическое мышление», мне яснее, когда говорят о логической культуре мышления. Мышление по природе своей вряд ли входит в рамки чистой логики, оно гораздо богаче. Да и поступки человека идут не от знаний формальной логики. Вот что пишут В. Дружинин и Д. Конторов: «Если сопоставить и проанализировать поступки любого человека, то выясняется, что: 1) очень многие из них, если не большинство, не могут быть признаны наилучшими; 2) они бывают ошибочными; 3) отдельные поступки просто нелепы. Неосведомленность, недостаток времени, неумелость, порыв, упрямство толкают на решения и действия, которые невозможно не только оправдать, но и объяснить с позиций хотя бы того же здравого смысла. Вся военная история изобилует фактами такого поведения людей». Л. Млодинов в своей книге «(Не)совершенная случайность», описывая роль случая в жизни общества, пишет: «...поведение людей не только непредсказуемо, но и зачастую просто иррационально (в том смысле, что мы иной раз действуем в ущерб нашим кровным интересам...)» — и далее: «...не представляется никакой возможности точно описать или взять под полный контроль все жизненные обстоятельства». «Последовательно дедуктивное мышление, уверование в детерминизм й попытки объяснять происшедшее на рельсах логики создают иллюзию ясности там, где царит случайность». Здесь я позволю себе улыбнуться. Несть числа высказываниям, подобным следующему: «Людские поступки зачастую необъяснимы, и человек весьма смутно представляет, каков он есть на самом деле», — заметил в своей нобелевской лекции китайский писатель Гао Синцзянь. Кажется, я понял их общую основу. Увы, все никак не могу найти времени для создания стройной теории «человековедения» — я называю ее нелепологией, ибо из всего живого мира нелепым бывает только человек. Теория начинается с аксиомы: «Человек — существо нелепое». Две следующие аксиомы — «Каждая нелепость проявляет себя нелепым образом» и «Нелепости складываются совершенно нелепо». Содержатель¬
286 Задача для учителя математики. 7-11 классы ные следствия получаются почти моментально, среди них всем известные закон Паркинсона, закон Мерфи и принцип Питера. Разумеется, имеются случаи рационального поведения, но они так же, как и случаи абсолютной иррациональности, находятся на «хвостах» кривой нормального распределения, но, кроме того, вписываются в аксиоматику. Так можно ли в преподавание хоть в какой-то степени ввести освоение противоположности, даже противоречия? Полагаю, что да, хотя прекрасно понимаю условность этого заявления. О каком бы противоречии мы ни говорили, оно не должно быть логическим противоречием. Прежде всего для этого надо отказаться по возможности от единственной точки зрения. Сюда годится многое: разные способы изложения теории, разные решения задач, разные точки зрения на одно и то же (на решение уравнения х* = х, на необходимость нахождения ОДЗ и т. п.). Детям порой хочется, чтобы учитель математики раз и навсегда рассказал, как надо делать. А я говорю: можно так, а можно этак. Выбирайте. (Без крайностей, конечно. Вообще я сформулировал для себя «аксиому 0». Вот она: «Всякое содержательное утверждение имеет естественные границы применимости». С учетом этой «аксиомы» я толкую любое категорическое высказывание, и это тоже.) Далее, я ищу всякие возможности для разрушения однозначности как обязательного элемента в работе. Вот примеры. 1. Что больше: х2 или х? 2. Какой прогрессией является последовательность из одних только единиц? 3. Сколько здесь прогрессий: 1,2,4,8,16? Аздесь: а2х2 + ах+ 1 - квадратных трехчленов? «Три», — выдал мне однажды «закоренелый троечник». Я слегка опешил от неожиданности: «А где же третий?» И потом, поняв, что он увидел, выдал ему «пятерку». 4. Функция, равная константе, является возрастающей или убывающей? 5. Что стоит за равенством х +у = О? 6. Площадь — это интеграл от ординаты, но и производная от объема. Последнее весьма занятно: наливая воду в графин и следя за поднимающейся поверхностью воды, вы словно видите эту производную. Важно разрушить сложившиеся стереотипы: касательная не обязательно должна иметь с кривой одну общую точку, объем
15. С одной стороны... С другой стороны. 287 в некоторых случаях имеет смысл считать равным нулю, а площадь может быть отрицательной (в расширенном понимании), объект существует, а построить его невозможно. Чуть ли не самое важное значение комплексных чисел для среднего образования — они меняют годами устоявшуюся точку зрения на решение квадратных уравнений. Выигрышно здесь выглядят задачи, не имеющие решения. Я спрашиваю: «Можно ли?», а оказывается, нельзя. Я предлагаю вычислить значение некоторой величины, а условие задачи противоречиво. Я говорю: «Докажите...», а для доказательства нужны еще какие-то данные. Я предлагаю найти максимум, а на самом деле есть минимум. (Это очень любопытное зрелище. Некие ученики фактически находят минимум, а в ответ пишут максимум, ибо так спрашивали.) Вопрос о курице и яйце забавным образом можно перенести на урок математики. «Так все-таки, — говорю я, — где причина, а где следствие в таком вопросе: “Прямые на плоскости могут находиться в трех разных положениях (совпадать, пересекаться или быть параллельными), т. к. система из их уравнений может иметь бесконечное множество решений, одно решение, ни одного решения или, наоборот, различные случаи в решении системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными могут быть обусловлены взаимным положением двух прямых на плоскости?”». Очень хороши парадоксы. Формула Симпсона дает по происхождению своему точный результат, если исходная функция — многочлен не выше второй степени. Однако если по этой форму- 1 ле сосчитать интеграл Jjc3 dx, то результат будет верным. Как же о так? Еще пример. Вычисляя корни кубического уравнения х3 - 15х - 4 = 0 по формуле Кардано, мы приходим к извлечению корня квадратного из отрицательного числа, что до знакомства с комплексными числами является делом невозможным. Однако несложно получить, что числа 4, -2 ±у/3 являются его корнями. И я уже не говорю о логических парадоксах, приведенных в книгах Р. Смаллиана. Разговор о преодолении формального мышления на уроках математики кажется важным еще и потому, что мне довелось видеть школ ьников, как бы это помягче сказать, «деформированных математикой». Способные ученики переносили сугубо специальные приемы мышления, свойственные математике, на другие предметы и даже на окружающую жизнь. Порой это приводило
288 Задача для учителя математики. 7-11 классы к полному неприятию ими гуманитарных предметов, к трудностям в общении со своими сверстниками. Однажды весьма толковая моя ученица Маргарита Н. заявила перед началом урока, что физика — это не наука, потому что «там все неточно». Пришлось полностью переиграть задуманный урок и устроить обсуждение этого заявления. От диалектического мышления перейдем к самой диалектике. Не причисляя себя к знатокам в этой части, но пытаясь ответить на возникающие передо мной вопросы, я покопался в литературе. Многое оказалось не таким уж сложным, а кое-какие сочинения философов были просто интересными. Нужное для себя в практическом отношении я нашел у А. Шептулина (см. также статьи А. Александрова. Математика в школе. 1972. № 1,2. 1986), у него приведено 12 принципов диалектического метода познания. Примем их за данность и посмотрим, как они могут быть реализованы в преподавании. Итак, вот эти принципы: 1) отражения; 2) активности; 3) всесторонности; 4) восхождения от единичного к общему и обратно; 5) взаимосвязи качественных и количественных характеристик; 6) детерминизма; 7) историзма; 8) противоречия; 9) диалектического отрицания; 10) восхождения от абстрактного к конкретному; 11) единства исторического и логического; 12) единства анализа и синтеза. Перейдем к рассмотрению каждого из этих принципов, не вдаваясь подробно в содержание, но стараясь, не исказив его, найти этим принципам примеры в математическом образовании. Принцип отражения призывает нас быть объективными и при исследовании объекта исходить не из мышления, а из самого объекта, из его свойств и его отношений. Это требование существенно, когда мы строим математические модели, в частности когда решаем прикладные задачи. Пример с «концом света», который я приводил, подходит и здесь. Человечеству в этом примере была «навязана» некая модель в виде дифференциального уравнения. Любопытно вернуться и к текстовым задачам. Если мы воспринимаем их как отражение реальности, как прикладные задачи,
15. С одной стороны... С другой стороны. 289 то приходится считаться не только с математикой, но и со здравым смыслом. Со скоростью км/ч автомобили все-таки не ездят. Еще пример. Изначально параллельны все-таки отрезки, а не прямые. Прямая — из мышления, а не от реалии. Принцип активности требует изменения объекта (а также идеального образа изучаемого объекта) с целью выявления присущих ему свойств и связей. Примером тому, как это можно проделать в математике, является варьирование параметров в формуле, в частности рассмотрение ситуации в пределе. Пусть мы решаем квадратное уравнение ах1 + Ъх + с = 0. Запишем формулу его корней: х - ^ ^ ^ас 2 а Интересно посмотреть, что будет происходить при стремлении к нулю коэффициентов уравнения, особенно я. Уравнение будет все меньше отличаться от линейного. А что будет с формулой корней? Согласно ей, один из корней уйдет в бесконечность, а для нахождения другого нам потребуется раскрыть неопределенность 0 ™ ~ вида Мы должны в итоге получить корень линеиного уравнения, к которому «стремится» квадратное. Также интересно понаблюдать зависимость одного из корней от другого, хотя бы в простейших случаях. Еще пример. Посмотрим, во что переходит формула для объема усеченного конуса с радиусами оснований Rnr(R> г), когда г —> 0 и г -»R. Содержательный пример любопытного предельного перехода можно найти в курсе стереометрии — теорему Пифагора можно получить, рассматривая предельные случаи формул сферической геометрии. Согласно принципу всесторонности, объект изучения должен рассматриваться по возможности во всех его связях и отношениях. Впоследствии возможно выделить какое-то одно основное свойство, а все остальные увязать с основным. Так естественно поступать, когда мы знакомим детей с новым понятием. Вот перед нами правильная пирамида. Какие ее свойства видны непосредственно? Набираются разные. Из них и выделяется то, которое принимаем за определение. Все другие замеченные свойства стараемся вывести из определения. Кстати, а «за что» пирамиду назвали правильной? И вообще, какие свойства фигуры говорят о ее «правильности»? Тут мы выходим на симметрию фигуры: чем больше элементов симметрии у фигу¬
290 Задача для учителя математики. 7-11 классы ры, тем она «правильнее». Итак, определяя правильную пирамиду, приходится забегать очень далеко от ее определения. И вопросы к ученикам могут стать чуточку иными. Не «что такое перпендикуляр к плоскости?», а «какие свойства перпендикуляра к плоскости тебе известны?» и «какое из них можно принять за определение перпендикуляра?». Когда мы изучаем перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей в пространстве, упорядочение большого списка теорем как системы связей между объектами и есть реализация принципа всесторонности. При этом одно и то же утверждение можно трактовать и как свойство, и как признак. Например, такое: «Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то полученные прямые пересечения параллельны между собой». Его можно подать как свойство параллельных плоскостей: «Если две плоскости параллельны, то они пересекают третью плоскость по параллельным прямым». Но можно подать и как признак параллельности двух прямых: «Две прямые параллельны, если они получены в результате пересечения плоскости с двумя параллельными плоскостями». Принцип всесторонности пронизывает содержание математического образования настолько, что мы порой и не замечаем, как его используем. Вот два примера: 1) комплексное число предстает в разнообразных формах (алгебраической, тригонометрической, геометрической и показательной); 2) многочлен с одной переменной рассматривается с алгебраической точки зрения, когда мы, к примеру, приводим его к стандартному виду; вместе с тем мы находим от него производную т. е. рассматриваем его как функцию; наконец, его можно понимать как кортеж (упорядоченный набор коэффициентов — чисел, когда сама переменная не играет никакой роли), сводя его, по сути, к понятию вектора. Этот принцип на практике упрятан в самые расхожие ситуации. Вот возьмем число 1. Уж чего проще? Эту самую единицу - я уже говорил об этом — можно расписать чуть ли не двадцатью различными способами. А затем использовать полученное представление в конкретной ситуации. Приведу немного примеров. 1.1 — это нейтральный элемент операции умножения. Когда мы говорим, что выражение х2 + х + 1 является неполным квадратом, то мы молчаливо полагаем его в виде х2 + х • 1 + 1. Аналогичное представление используется, когда мы видим в выражении sinx + cosx скалярное произведение двух векторов, что ясно, если записать это выражение в виде 1 • sinx + 1 • cosx.
15. С одной стороны... С другой стороны. 291 Похожую роль играет число 1 при действиях с векторами. Вер- —^ ^ немея к равенству 1 • а - а. Когда векторное пространство вводится аксиоматически, оно фигурирует в списке аксиом умножения вектора на число. В традиционном школьном курсе, когда операции с векторами задаются не аксиоматически, а содержательно, мы его выделяем специально. Это равенство стоит пояснить. Напри- -» —> мер, пусть требуется упростить выражение 2а + а. Можно «вынес- ти вектор а за скобку», т. е. воспользоваться известным свойством умножения вектора на число. Что останется при таком «вынесении» от второго слагаемого? Ясно, что число 1. Но каким образом —> —$ оно появится в скобках? А вот из этого самого равенства 1' а-а. 2. 1 — это произведение двух взаимно обратных чисел. Пусть требуется доказать неравенство а + — > 2 для положительных чи- 1 * сел. Запишем: 2 = 2 • 1 = 2 • 4а • -j= и перенесем полученное выра- у/а жение в левую часть. Тогда все сведется к очевидному неравенству (V^--L)2>o. \1а 3.1- это тригонометрическая единица, т. е. сумма квадратов синуса и косинуса одного аргумента. Пусть требуется доказать неравенство sin3* + cos3x > -1. Перепишем это неравенство в таком виде: sin3* + cos3 х > -(sin2* + cos2 х). После переноса выражения из правой части в левую приходим к неравенству sin3x + cos3 х + sin2x + cos2 x > 0, а затем к такому: sin2x(sinx + 1) + cos2 x(cosx + 1) > 0. Оно уже очевидно. Рассматривая геометрическую фигуру — пусть это будет треугольник, — мы можем заниматься им как объектом с какими-то свойствами, и мы возимся с ним, не выходя за его границы. Так, например, можно доказать теорему о точке пересечения его медиан. Но тот же самый треугольник мы можем увидеть иначе, как часть другой фигуры. Например, выйдя за границы треугольника, можем доказать теорему о точке пересечения его высот. Замечу, что выход за границы фигуры для учеников куда менее привычен. Можно рассматривать данный треугольник как образ другого треугольника, о котором мы уже что-то знаем, например равностороннего. Как пересекаются медианы в равностороннем тре¬
292 Задача для учителя математики. 7-11 классы угольнике, узнать несложно, после чего аффинным преобразованием переведем его в заданный треугольник. Еще пример. Требуется нарисовать ортогональную проекцию правильного тетраэдра на плоскость его сечения, являющегося квадратом. Не сразу понятно, что получается. Но если представить себе этот тетраэдр как часть куба (ребра тетраэдра являются диагоналями соответствующих граней куба), то результат проектирования очевиден — получится квадрат. Небольшая история по этому поводу из жизни первых христиан. Авва Евлогий был однажды так грустен, что не мог этого скрыть. — Почему ты грустишь, отче? — спросил его один старец. — Потому, что я усомнился в способности братьев познавать великие истины Божьи. Трижды я показывал им льняной лоскуток с нарисованной на нем красной точкой и спрашивал, что они видят, и трижды они отвечали: «Маленькую красную точку». И никто не сказал: «Лоскуток льна». Принцип всесторонности при изучении объекта я покажу подробно на примере гармоники. Гармоникой называют функцию у(х) = acosx + 6sinx. (Полагаем, что коэффициенты а и b отличны от нуля.) Изучение гармоники позволит говорить о разнообразных соотношениях и связях в школьных математических дисциплинах. Принцип всесторонности тем самым подчеркивает единство математики. Алгебра + тригонометрия 1. Уравнение cosx + sinx = 1 можно с помощью универсальной подстановки и привести к рациональному алгебраическому уравнению. Для этого используется тангенс половинного угла соглас- 2tg| l-tg2| но формулам: sinx = —, cosx = —. Обозначим для l + tg2f l + tg2| X краткости tg— = t 2t Приходим к уравнению , + = 1. 1 + г 1 + г В таком решении могут пропасть те значения для х , при ко- х торых tg — не существует. Поэтому необходима подстановка таких значений в исходное уравнение.
15. С одной стороны... С другой стороны. 293 Любопытно вот что. Ответы, полученные этим способом, имеют другой вид, нежели ответы, полученные в сугубо тригонометрическом решении. 2. Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, можно свести исходное уравнение к системе (cosx + sinx = 1, [sin2 х + cos2 x = 1. Выразив из первого уравнения системы sinx, подставим полученное выражение для sinx во второе уравнение и получаем новую систему: [sinx = 1-cosx, [(1 - cosx)2 + cos2 х = 1, которая равносильна исходной. Напомню: система \У = fix), \g(x,y) = О, J У = Дх)9 как я уже отмечал, равносильна системе < [g(xj(x)) = 0. Наш случай как раз такой, в чем можно убедиться, обозначив для упрощения записей sinx как s, cosx как с. Система примет вид: [5 = 1 - с, [(1 - с)2 + с2 -1 = 0. Решив второе уравнение системы, достаточно подставить полученные значения в первое уравнение. 3. Возможен переход от исходного уравнения к иррациональному уравнению. 3.1. Из основного тригонометрического тождества запишем: |sinx| = Vl -cos2x. Исходное уравнение при sinx > 0 запишется так: cosx + Vl - cos2x = 1. Обозначим cos x = t. Решаем уравнение t+V1 -12 = 1, учтя при этом необходимые ограничения. 3.2. Можно получить и другое иррациональное уравнение. Обе части исходного уравнения поделим на cosx. Получим уравнение tgx + 1 = <=> tgx + 1 = sec х <=> tgx + 1 = л/sec2 х <=> cosx <=> tgx + 1 = <y/tg2x +1.
294 Задача для учителя математики. 7-11 классы 4. Возможен переход от исходного уравнения к неравенствам. [cosx + sinx = 1, Вернемся к системе < Вычтя из второго урав- [sin х + cos х = 1. нения первое, получим, что sinx (sinx - 1) + cosx (cosx - 1) = 0. Рассмотрим это уравнение на промежутке [0; 0,5я]. На этом промежутке 1 > sinx > 0, 1 > cosx > 0. Поэтому sinx(sinx - 1) + cosx(cosx - 1) < 0. И равно нулю оно может быть тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Отсюда получаем, что х = 0 или х = 0,5л. Исходное уравнение обобщается. Обобщением является весьма важное уравнение a sinx + b cosx = с. Интересно посмотреть, какой из вышеприведенных способов может быть использован для решения обобщенного уравнения. Геометрия. Решение треугольников. Координаты. Векторы Треугольники 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник с гипотенузой 1 и острым углом х, его катеты равны sinx и cosx. Из неравенства треугольника получаем, что sinx + cosx > 1, следовательно, острый угол не может быть решением исходного уравнения. Внутри других промежутков, соответствующих координатным четвертям, тоже нет решений исходного уравнения. Для этого достаточно рассмотреть симметрии рассмотренного треугольника, расположенного в первой четверти, относительно осей и начала координат. Затем срабатывает периодичность синуса и косинуса. Канди- п датами на ответ остаются только углы, кратные —, что и следует проверить. 2. Геометрия проясняет появление исходного уравнения. Для этого рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ABC с катетом 1, расположенный по одну сторону от данной прямой р так, что вершина его прямого угла С лежит на прямой р. Спроектируем гипотенузу АВ на прямую р. Острый угол между катетом и прямой обозначим какх. Требуется выяснить, при каком значении х проекция гипотенузы на прямую р равна 1. Приходим к исходному уравнению. Если считать, что катеты равны я и £, а проекция гипотенузы равна с, то получаем уравнение a cosx + b sinx = с.
15. С одной стороны... С другой стороны. 295 Координаты Обозначим sinx как s, cosx как с. Исходное уравнение запишем как с + s = 1, основное тригонометрическое тождество как s2 + с2= 1. Введем систему координат (с, 5), причем ось с считаем горизонтальной, направленной вправо, ось 5 — вертикальной, направленной вверх. В этой системе координат уравнение с + s = 1 задает прямую, уравнение s2 + c2= 1 задает окружность с центром в начале координат и радиусом 1. Ясно, что эти две линии имеют две общие точки: (1,0) и (0,1). Возвращаясь к исходному уравнению, находим значения косинуса неизвестного угла (0 и 1), а затем и сам угол. Векторы Выражение cosx + sinx запишем как 1 • cosx + 1 • sinx. А это выражение представляет собой координатную форму скалярного —> —> произведения векторов р = (1,1) и q = (cosx, sinx). Длина первого вектора равна л/2, длина второго вектора равна 1. Поэтому исходное уравнение можно записать так: 1 = cosx + sinx = 1 • cosx + 1 • sinx = >/2 1* cosq>, где <p — угол между векторами (1,1) и (cosx, sinx). Отсюда получаем: cos(p = -^=. Зна- \2 к чит, ф = — (в первой четверти). Но ф — угол между векторами р и ' - тс q, вектор р составляет с осью абсцисс угол —, следовательно, угол 4 —> л между вектором q и осью абсцисс либо 0, либо —. Уравнение a cosx + />sinx = с обычно решают так. Выражение yja2 +b2 выносят за скобки в левой части равенства, тогда имеют уравнение yja2 +Ь2 ( cosx + г ~~. sinx) = с. \2 / , \2 Заметив, что + = 1, одну из этих дро- V_______ -г — а2+Ь2) уу/а2 +Ь2 бей можно считать косинусом некоторого угла а, а другую — синусом того же угла а. Тогда приходят к уравнению с cos a cosx + sin а sinx = у/а2 +b 2 откуда cos(х- а) = ... после чего решение очевидно. yla2+b2
296 Задача для учителя математики. 7-11 классы- К этому решению прийти непросто. Откуда известно про выражение yja2+b2 и почему его надо выносить за скобки? Разобраться помогают векторы. Прежде всего замечу, что если в системе координат заданы два вектора, лежащие в верхней полуплоскости, то связаны между собой три угла: два угла а и (3 — это углы между каждым из векторов и осью абсцисс (пусть а > (3), а третий угол ср — это угол между самими векторами. При этом Ф = а - Р — это равенство ясно даже без рисунка. Тогда cos ф = cos (а - Р) = cos а cos р + sin а sin Р. Выражение cosa cosp + sin a sinP — это скалярное произведение единичных векторов (cosa, sin а) и (cosp, sinp). Следовательно, зная скалярное произведение этих векторов, мы сможем найти и угол ф между ними. А зная угол ф и один из углов а или р, сможем найти и другой угол. Вернемся к уравнению acosx + A sinx = с. Преобразовав уравнение acosx + Z>sinx -с в уравнение V77 V а затем в уравнение а а b -. cosх + , sinx С, ^cosx + , sinx VVOA I I OIll^V I , a2 + b2 yja2 + b2 yja2 + b2 мы получаем в скобках скалярное произведение единичных век¬ торов: и (cosx, sinx), т. е. косинус угла ф ме- жду ними. Угол а, который составляет с осью абсцисс вектор * b 1 , , ""7 , можно наити по-разному. Зная эти два угла yja2+b2 yja2+b2) а и ф, можно найти и неизвестный угол х. Начала анализа. Функции 1. Вернемся к решению с помощью треугольника. Иначе доказать неравенство sinx + cosx > 1 внутри всех координатных углов можно, используя свойства полупериодичности синуса и косинуса (при изменении аргумента на к они меняют знак: sin (х - я) = -sinx, cos (х - 7с) = -cosx) или формулы четвертьперио- дичности: sin(x - = -cosx, cos(x - у) = sinx. Эти формулы по¬ зволяют вернуть аргумент в первую четверть.
15. С одной стороны... С другой стороны. 297 (Про эти формулы лучше сказать, что они отражают симметрию графиков синуса и косинуса.) 2. Преобразуем исходное уравнение к виду sinx = 1 - cosx. На промежутке [0; ~] построим графики функций, стоящих в обеих частях равенства. Видны будут у них две общие точки, соответствующие х = 0 и х = . Рассмотрение этих графиков на оставшихся промежутках, соответствующих координатным четвертям, приводит к окончательному результату. (Для полного обоснования этого потребуется еще использовать выпуклость этих функций.) 3. Запишем исходное уравнение в таком виде: sinx - 0,5 = 0,5 - - cosx. Используя графики на промежутке [0; 0,5я] и прямую у = 0,5, увидим, что эти отклонения равны только на концах данного промежутка. Обобщаем, как и в предыдущих случаях. 4. Рассмотрим функцию/(х) = cosx + sinx - 1. Найдем ее нули, для чего решим уравнение cosx + sinx -1=0. Преобразуем левую часть в произведение: cosx + sinx - 1 = sinx - (1 - cosx) = ~ * x „ . 2x ~ . x x . x4 = 2sin—cos 2 sin — = 2 sm —(cos sin—). 2 2 2 2 2 2 Уравнение 2sin^(cos^ - sin“) = 0 равносильно совокупности • * Л sm— = 0, 2 x x cos sin—= 0. 2 2 Каждое из уравнений совокупности доводится до ответа, х = 2 7Ш, л , где п — любое целое число, х = — + 2кп 2 Любопытно, что этот результат можно получить, вообще не решая уравнения cosx + sinx -1=0! Его корни «видны сразу», достаточно приравнять синус или косинус единице. Осталось доказать, что других нулей у этой функции нет. к Имеем: f(x) = cosx - sinx. На промежутке (0; —) производная 4
298 Задача для учителя математики. 7-11 классы функция/сначала возрастает от нуля и, достигнув максимума, убывает до нуля. Значит, на этом промежутке других нулей у нее нет. Можно иначе. Именно: /"(*) = -sinx - cosx. На промежутке пукла вверх, следовательно, других нулей у нее нет. Обобщаем, как и в предыдущих случаях. 5. Если в выражении a cosx + b sinx положить а = 1, b = /, то мы увидим не что иное, как тригонометрическую форму комплексного числа, обозначим его z' z = cosx + /sinx. Это комплексное число отождествляется с вектором (cosx, sinx) единичной длины, идущим из начала координат в точку с координатами (cosx; sinx). То есть гармонику можно увидеть, что сильно помогает в работе с гармониками, об этом подробно говорят физики. Комплексное число z можно отождествить и с точкой - концом этого вектора. И что получилось? А то, что гармоника — это комплексное число! И вектор! И точка! То, что, будучи скалярным произведением, она является числом вещественным! А что было изначально? Функция. Одна в разных лицах: функция, число вещественное, число комплексное, двумерный вектор, точка на координатной плоскости. Это не все! Используя показательную форму комплексного числа z получим, что гармоника — показательная функция уже не вещественной, а комплексной переменной. 6. Для нужд физики в гармонике появляются амплитуда, частота и начальная фаза. Вот как! Выражение a cosx + Z>sinx преобразуем почти как раньше: нию у=A sin (х + ф). А если при этом переменную х записать в виде со/, то придем к выражению у(/) = A sin (со/ + ф), в котором /, разумеется, время; А — амплитуда (полный размах) гармонического колебания, со - его частота (умноженная на 2к и обратная периоду колебания), ф — начальная фаза (начальное значение аргумента синуса при (0; —) вторая производная отрицательна, потому функция/вы- Z = cosx + / sinx = у = я cosx + b sinx = л/я2 +62 = \1а2 +62sin (х + ф). Обозначим yja2 +Ь2 =Аи придем к выраже-
15. С одной стороны... С другой стороны. 299 / = 0). Ay(t) — это исследуемая нами периодически меняющаяся величина. Если некоторая физическая величина меняется гармонически, то ее значение в любой момент времени можно представить как проекцию вектора на фиксированную изначально ось. Вектор этот можно считать вращающимся равномерно в плоскости, содержащей эту ось, с частотой со и модулем, равным амплитуде данной физической величины. И тогда физической величине сопоставляется так называемая векторная диаграмма, дающая наглядную картину процесса. Ценность такой картины несомненна. Гармоника тем самым описывает гармонические колебания — механические или электрические. Качающийся маятник, звучащая гитарная струна, вертикальная пружина, к которой прикреплен грузик, — вот наиболее известные примеры таких колебаний. Для таких колебаний уравнение второго закона Ньютона F-та приводится к виду х"(/) + x(t) = 0. Несложно убедиться в том, что функции cos* и sin/ порознь удовлетворяют этому уравнению. Но не только они. Ему удовлетворяют эти функции, умноженные на константы, и даже функция вида a cos t + b sin t (линейная комбинация функций cos t и sin t). Появляется вопрос о наличии других функций, удовлетворяющих этому уравнению. Можно доказать, что иных функций нет. Делается это так. Функция х = a cos t + b sin t при t = 0 принимает значение x(0) = а, а ее производная — значение x'(0) = b. Если речь идет о колебании маятника, то такие условия задают отклонение маятника и его скорость в начальный момент времени t — 0 — начальные условия. Начальные условия в классической механике однозначно задают процесс колебания маятника. Для этого достаточно показать, что при таких начальных условиях нет другого решения, кроме x(t) = a cost + b sin/. Приведу не слишком известное тому доказательство. Докажем вначале, что уравнение х!'+х = 0 имеет единственное решение x(t) = 0, если функция x(t) задана на R (хотя бы в окрестности нуля) и х'(0) ± х(0) = 0. Для этого рассмотрим функцию E(t) = (jc/)2+jc2. (Физики могут сказать, что это выражение — с точностью до коэффициентов — полная энергия некоего тела, например прикрепленного к пружине, находящейся на гладкой горизонтальной поверхности.) Тогда Е = 2(x')xf' + 2хх/ = 2(х/)(х"+х) и поскольку согласно условию xf'+х = 0, то £^ = 0, а потому функция Е является константой. Далее, так как согласно условию
300 Задача для учителя математики. 7-11 классы х'(0) = х(0) = 0, то ДО) = 0. Значит, функция Е есть тоже нуль. Из равенства Е = 0 следует, что сумма квадратов (х')2 + *2 равна нулю, а потому равно нулю каждое слагаемое: х(/) = 0 и x'(t) = 0 для всех t из области определения. Ученым результат этот был очевиден и без всяких выкладок. Что можно ожидать от маятника, который в начальный момент времени не был отклонен и находился в состоянии покоя? Конечно же, он будет и в дальнейшем находиться в состоянии покоя! Теперь рассмотрим более общий случай. Пусть функция x(t) = acost+bsin/, а функцияy(t) удовлетворяет уравнению у"+у - 0, задана на R (хотя бы в окрестности нуля), при начальном условии j(0) = а, /(0) = Ь. Докажем, что функции х и у совпадают. Для этого рассмотрим функцию z - у - х. Докажем, что функция z равна нулю. Имеем вот что. Z(0) = у( 0)-х(0) = а-а = 0. zf(0) =/(0) -х'(0) = b-b = 0. z! = у' -х' = у' - (bcost-asint) =у' + asint- bcost. € - у" -х" - у" - (-a cos t-bsint)= у" + a cos t + b sin t = -у + x = = x-y = -z. Отсюда получаем для v € + z = 0, z'(0) = 0, ^(0) = 0. To есть функция z - 0, отсюда у — x = 0, а потому y = x (опять же для всех «разрешенных» t), что и требовалось. Решение уравнения х"+х = 0 в общем виде x(t) = a cos t + bsint нашел JI. Эйлер. Дальнейшие замечательные сведения про гармонику можно узнать из физики (механика и радиотехника) и, конечно, из математики (гармонический анализ, ряды Фурье). Восхождение от единичного к общему и обратный переход, иными словами, единство индукции и дедукции, — традиционные приемы методики. Не буду на них останавливаться, но хочу подчеркнуть, что переход от единичного к общему часто предполагает наблюдение. Например, наблюдая различные геометрические фигуры, мы приходим к таким понятиям, как выпуклость, симметричность, многогранник, геометрическое тело и т. д. Известна триада: «От живого созерцания к абстрактному мышлению, а от него к практике». Только сделать бы созерцание «живым». А про естественные науки и говорить нечего, роль реального эксперимента там неоценима. Движение от общего к частному зависит от педагогической интуиции самого учителя. Так, мне кажется, естественно определять призму как частный случай цилиндра общего вида и неким перехлестом считать, что функция — частный случай отношения. Но возможны ведь и другие взгляды на это же.
15. С одной стороны... С другой стороны. 301 Взаимосвязь качественных и количественных свойств объекта я понимаю так. Есть такие свойства объекта, которые можно измерить, и такие, которые измерить нельзя. При этом измерение - это такое сравнение данного свойства, которое допускает введение численной характеристики. Например, есть свойство протяженности объекта, и его можно сравнивать, в результате чего мы приходим к понятию длины. Примеры применения этого принципа появляются всякий раз, когда мы хотим какое-либо свойство объекта выразить числом. Яркий пример — крутизна графика функции и производная. Еще ряд примеров: выпуклость функции и вторая производная, «правильность» ограниченной фигуры и число элементов в ее группе симметрии. Как-то я прочитал на банке с огурцами, что они имеют неправильную форму. Можно ли неправильную форму огурца охарактеризовать численно? Любопытен известный перегиб по этой части — средний балл аттестата. Можно ли считать, что он точно отражает какое-то свойство ученика? Какое же? То же можно отнести и к идее оценки интеллекта школьника по результатам стандартного тестирования. Говоря о наибольшем круге (шаре), который умещается в данной фигуре, я говорю о «пузатости» этой фигуры (шутливый термин, позже я узнал, что его употреблял еще И. Кеплер) — чем больше радиус такого круга (шара), тем «пузатее» фигура. Я знаю хороший пример перехода количества в качество — свойства сложения, верные для конечного числа слагаемых, перестают выполняться, когда их число становится бесконечным, и если мы имеем дело с расходящимся рядом, то в результате перестановки слагаемых можно получить что угодно. Вообще сравнение конечного и бесконечного дает много материала на эту тему, чего стоит один только рассказ об аксиоме выбора и ее использовании. К сожалению, все это далековато от школьного курса и годится только на уровне рассказов. Принцип детерминизма богат содержанием. Согласно ему, необходимо искать причины возникновения любого объекта изучения, его функционирования и развития. Математические понятия создаются, развиваются, уточняются, как и во всякой другой науке. Я плохо представляю себе, как можно начать объяснение нового понятия непосредственно с определения. Скажем, речь должна идти о скалярном умножении двух векторов. Откуда появилась такая операция? Зачем она нужна? Почему ее определение именно такое?
302 Задача для учителя математики. 7-11 классы Или разговор о четной или нечетной функции. Я рассказываю следующее. Построение графика функции облегчается, если известна его симметрия — осевая или центральная. Тогда мы строим его только при х > 0 (если осевая симметрия относительно оси у, а центральная относительно начала координат), а затем используем симметрию. Но как ее установить, не построив самого графика? Для этого и вводятся специальные понятия четности и нечетности функции. Работая с аналитической записью согласно определениям этих свойств, мы получаем возможность говорить о симметричности графика функции до того, как он построен. После этого можно говорить о других возможных симметриях графика, в том числе о переносной симметрии (сдвиге), которая приводи! к понятию периодичности функции. Мы начинаем решать тригонометрические уравнения. Зачем? Еще одна задача из головы? Но можно привести простые примеры тому, откуда они могут появиться. Скажем, надо построить треугольник со сторонами 4, 5, 6. Так вычислим угол между сторонами, равными 4 и 5, при котором третья сторона равна 6. Для этого можно, используя теорему косинуса, искать угол, зная его косинус. Так мы приходим к тригонометрическому уравнению. Известно, что функция может задаваться не одним аналитическим выражением, а несколькими. Как это получить? Вот пример. Перпендикулярно какой-либо диагонали квадрата проводим отрезок между его сторонами. Известна длина стороны квадрата. Требуется найти длину проведенного отрезка, зная расстояние от него до фиксированного конца взятой диагонали. Источником многих математических понятий является практическая деятельность, понимаемая достаточно широко. Я стараюсь всячески подчеркнуть именно эту сторону их происхождения. Конкретно, к производной можно подойти по-разному: искать скорость движения, охарактеризовать крутизну графика функции или сразу же искать наилучшее приближение функции. Все эти подходы существенны, только разговор о касательной для произвольной кривой не представляется мне убедительным в начальном знакомстве с производной. В последние годы я рассказываю о производной до начала систематического курса начал анализа (этого требует физика). Говорить здесь о пределах неуместно. Отсюда и становится ясно, почему мне не нужна касательная, ведь она определяется при помощи предела функции в точке, весьма сложного для четкого понимания.
15. С одной стороны... С другой стороны. 303 Тут же еще одна закавыка — понятие касательной как таковой почти не используется в школьном курсе, разве что решаем задачи на составление уравнения касательной к графику функции, а зачем мы их решаем, сие известно только автору такой задачи. В серьезном курсе анализа с понятием касательной связаны, к примеру, такие понятия, как нормаль к кривой, угол между кривыми, выпуклость функции. Итак, понятие касательной и сложно, и по существу дела в школьном курсе математики является скорее «вещью в себе», т. е. без всякого применения. Потому начинаю с понятия мгновенной скорости (что же показывает спидометр?), здесь я (немного) отхожу от конкретики и объясняю, что в этом понятии упрятано противоречие: с одной стороны, ее как бы нет, ибо нет необходимого для нахождения скорости промежутка времени, а с другой стороны, есть движение, а значит, есть скорость движения. Но математика преодолевает это противоречие, вводя идеальные понятия, как то: «момент времени» и «мгновенная скорость». (Вообще, что такое момент времени? Обычно я говорил ученикам нечто туманное — это такой временной промежуток, длительностью которого в нашей проблеме мы пренебрегаем. От ученицы Полины В. я получил замечательный ответ — это точка на числовой оси.) Внедрять идеальные понятия в детские головы всегда трудно, и потому я здесь прибегаю к надежному помощнику — наглядной интуиции. Я начинаю разговор о крутизне графика функции, имеющий хорошую практическую основу. Все поднимались по лестнице или катались с горок. Поэтому, глядя, к примеру, на рисунок параболы у - х2 при х > 0, ученики сразу видят, что чем больше х, тем круче кривая — без всякого формального определения крутизны. Столь же ясно, что крутизна любой прямой (не перпендикулярной оси абсцисс) постоянна. Ее естественно принять равной угловому коэффициенту прямой, т. е. тангенсу угла наклона к оси х. (Можно было бы взягь и сам угол, но безразмерная величина лучше. Тангенс же удобен тем, что он напрямую связан с уравнением прямой.) Теперь начинаются основные рассуждения. Ход мысли таков. Наша общая задача — качественное понятие крутизны кривой свести к ее вычислению, к формуле. При этом вычисления должны подтверждать то, что нам ясно из наглядных соображений, в частности, и для прямой. Попытаемся решить эту задачу в простом случае, вычислить крутизну параболы у = х2 в точке х = 1. Сделаем рисунок параболы у = х2 и рассматривать будем только правую окрестность этой точки (рис. 13).
304 Задача для учителя математики. 7-11 классы Крутизна любой прямой, проходящей через эту точку, известна, как только известно ее уравнение, а крутизна параболы — пока нет. Нельзя ли свести крутизну параболы к крутизне прямой каким-либо образом? Но о какой прямой может идти речь, ведь через точку >4(1; 1) проходит много разных прямых? Из всех прямых, проходящих через точку А, надо выбрать ту единственную, крутизну которой мы и примем за крутизну параболы в этой точке. Из каких же соображений выбрать такую прямую? На нашем рисунке мы видим, что прих = 1 парабола и прямая совпадают, а при х = 1 + Дх отличаются. На какую же величину? Из рисунка видно, что отличие между ними равно разности между приращением функции у = х2 и приращением прямой у = кх + 1. Эта разность выражается так: BD = BC- CD=( \ + Ах)2- 1 -kAx = = 2Ах + (Ах)2 - кАх = (2 - к)Ах + (Ах)2. Из этой формулы видно, что отличие параболы от прямой состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое пропорционально Ах, а второе становится пренебрежимо мало при достаточно малых Ах (сие легко иллюстрируется численно). И так как мы хотим добиться в некотором смысле «совпадения» параболы и прямой, то в качестве углового коэффициента к подходящей нам прямой имеет смысл выбрать такое число, при котором первое слагаемое исчезает вовсе, т. е. обращается в нуль. А это происходит при к = 2. Итак, крутизну параболы у=х2 в точке х = 1 имеет смысл считать равной 2. Аналогично решается задача и для произвольной точки х, в которой крутизна оказывается равной 2х. После этого можно убедиться в том, что наш способ вычисления крутизны «хороший», т. е. соответствует нашему интуитивному представлению о крутизне. Далее можно переходить к другим кривым, а затем и к определению крутизны.
15. С одной стороны... С другой стороны. 305 Вот такая «легенда» о крутизне и подводит нас к определению производной. Прямая, найденная нами в поисках крутизны кривой в данной точке, и есть касательная, но здесь нам важно не существование одной общей точки у прямой и кривой, а то, насколько хорошо прямая приближает кривую. Это обстоятельство напрямую выводит на разговор о линеаризации функции с целью нахождения ее приближенного значения. Практическое значение этой идеи не требует комментариев. Следуя этой идее, можно прекрасно выстроить всю теорию дифференцирования, не используя понятие предела. Но уж если и вводить пределы, то, и это давно известно, удобнее делать через бесконечно малые (лучше бы - исчезающе малые, ибо в этом слове подразумевается процесс). Понятие бесконечно малой (величины, функции, последовательности, переменной) наглядно: каждый видел воду, выливающуюся из бутылки, результаты действий с бесконечно малыми легко предугадываются и доказываются в случае сложения, вычитания и умножения. Оно работает в работе с пределами. Число А естественно определить как предел величины а в данной точке, если в достаточно малой окрестности данной точки выполняется равенство а -А + а, где а — бесконечно малая, и проиллюстрировать это равенство реальным процессом нахождения или измерения какой-либо величины с все возрастающей точностью. Бесконечно малая здесь фигурирует как погрешность. Исходя из такого определения предела, несложно получить теоремы о пределах. Нелишне сказать, что термин «математический анализ» предполагает вопрос «Анализ чего?». И по своему происхождению это как раз и был анализ бесконечно малых, что и отразилось в названиях первых учебников по этому предмету, начиная с учебника Г. де Лопиталя. Анализировать в мире бесконечно малых есть что. Вот один элементарный пример. Возьмем теорему о произведении отрезков пересекающихся хорд одной окружности. Представим себе диаметр АВ некоторой окружности с центром О и хорду CD, перпендикулярную этому диаметру в точке К Тогда имеем такое равенство: АК • КВ = С К • KD. Если взять точку К очень близко к концу диаметра, например к точке В, то ученики видят довольно странную картину. Имеется один большой отрезок АК, почти равный диаметру, и три «очень маленьких отрезочка»: КВ, СК, KD. А диаметр можно взять очень
306 Задача для учителя математики. 7-11 классы большим, скажем, 1 км. А каждый из «очень маленьких отрезоч- ков» можно сделать меньше 1 мм. И как же тут получаются равные произведения (рис. 14)? Чтобы прояснить эту ситуацию, перейдем к вычислениям. Пусть R — радиус окружности, а СОК= (р. Тогда СК = /?sin(p, KB = R( 1 - coscp) = 2i?sin2y. Известно, что при малых синус эквивалентен углу. Поэтому длина СК пропорциональна углу, а длина КВ пропорциональна квадрату угла . Таким образом, бесконечно малые КВ и СК имеют «разный характер», разную скорость убывания: КВ убывает быстрее, чем СК Существенно быстрее. Далее можно перейти к общепринятой терминологии и говорить уже о сравнении порядков малости для бесконечно малых функций. Дальнейшие ходы эскизно таковы. Исходя из приближенного равенства для дифференцируемой функции .у(х) ~ fat + / в достаточно малой окрестности точки х, выводим формулы для производных суммы функций, разности функций, произведения функции на константу и сложной функции. Далее выводим формулу для производной произведения двух функций, исходя из формулы yz = 0,25((у + z)2 - (у - z)2). Затем методом математической индукции получаем формулу для производной отх" (п — натуральное, большее, чем 2). Исходя из равенства 1 = х—, выводим формулу для производной функции у = —, а затем для частного двух х функций. И, наконец, производная обратной функции выводится из формулы производной сложной функции и соотношения z(y(x)) = х, если функции у и z взаимно обратные. Все это не слишком сложно. Тем не менее мне все время хочется перейти к работе с дифференциалами и вывести, например, формулу производной произведения из равенства d(yz) = (у + dy) • (z + dz)-yz.
15. С одной стороны... С другой стороны. 307 Наглядный смысл этого равенства очень прост: рассматриваются два прямоугольника — один со сторонами у и z, а другой со сторонами y + dyuz + dz- Немного о дифференциале. Для начала замечу, что это понятие отразилось в таких названиях, как «дифференцирование», «дифференциальное исчисление», т. е. исчисление дифференциалов. Он удобен для преподавания уже тем, что его можно показать на рисунке отрезком, потому он нагляднее, чем производная. Задача дифференцирования в том, чтобы найти длину этого отрезка. Задача интегрирования обратная: зная длину этого отрезка, найти саму функцию. Все перед глазами. Исчисление дифференциалов в начале курса — пугающее название для вычисления длин отрезков, и только. Исчислять дифференциалы — это искать соответствующие длины отрезков для суммы функций, их разности, произведения. Вместе с тем дифференциал показывает эффективную работу математической символики (в записи интеграла, при интегрировании, решении дифференциальных уравнений...). Эффектно выглядит эта работа при нахождении производной от функции, заданной параметрически. Пусть функция задается равенствами х = x(t), у = y(t). Далее для нахождения производной у'(х) хватает одной строчки, именно: dy y;dt у; Л dx x'dt х' Симпатично (устрашающе для непосвященных) выглядит «взаимное уничтожение» символов двух процедур — дифференцирования и интегрирования — в таких записях: djf = f и jdf = / (с оговоркой о константе). Дифференциал интересен и тем, что он многосторонен. С его помощью можно находить приближенное значение функции, и тогда символ dx трактуется как приращение аргумента и может быть конкретным числом. Вместе с тем в других приложениях, в частности в физике, символ dx трактуется как бесконечно малая. Отмечу также его куда большую роль, нежели производной, в дальнейшей математической теории, например для функции двух переменных или в нестандартном анализе. Не могу удержаться, чтобы не привести фразу Г. Фрейденталя: «Среди математиков, которые в состоянии обучать математике так, как физики ее применяют, есть лишь немногие, которые считают желательным, чтобы студент познакомился с этим, и еще меньше тех, кто имеет мужество так преподавать». Любопытно,
308 Задача для учителя математики. 7-11 классы что Г. Фрейденталь в своем сочинении «Математика как педагогическая задача» (откуда и взята эта фраза) избегает термина «производная», употребляя вместо него термин «дифференциальное отношение». Более того, М. Выгодский в своем учебнике основ исчисления бесконечных малых не только так называет производную, но даже определяет ее как отношение дифференциалов, т. е. у него дифференциал «первее» производной (так же сделано и в учебнике для школы под редакцией Д.К. Фаддеева). Из дальнейшей теории, излагаемой уже систематично, отмечу введение числа е. Оно появляется как основание показательной функции, притом такой, что касательная к ее графику в точке (0, 1) образует с осью абсцисс угол 45°. Существование такой ситуации обеспечивается соображениями непрерывности, рассматривается угол между касательной к графику показательной функции с основанием, большим 1; видно из графиков, что он может быть и меньше 45°, и больше 45°, а его непрерывность поясняется наглядными соображениями. Тем самым найдена производная в точке 0 от функции у = ё*. Затем выводится (согласно каноническому определению) производная от функции у = е* в произвольной точке. После чего не составляет труда получить производную для любой степенной и показательной функции, производную от натурального логарифма, от логарифма с произвольным основанием, а также использовать логарифмическое дифференцирование для получения производной от функции у = хх. Завершает этот фрагмент теории доказательство традиционной формулы: lim(l+ -)*=<?• Х-»оо х Идея линеаризации хорошо работает, если нам понадобится начальное представление экспоненты в виде ряда. Начнем с равенства у = кхх+/,. В этом приближенном равенстве кх — производная, которую также можно трактовать как функцию и представить в виде кх * к^с + /2. После этого исходное равенство запишем так: у ~ кх х + 1Х = (к2* + l2)x + lx = к^с2 + 1^с + 1Х. Этот процесс продолжается, и мы приходим (сменив некоторые обозначения) к такому равенству: у * с0 + схх + с^с2 + С3Х3 + с4Х*... коэффициенты с. можно выразить, взяв последовательно значения исходной функции и ее производных в нуле. Получим
15. С одной стороны... С другой стороны. 309 у"(0) у"'( 0) с0 =j>(0), с, =/(0), с2 = —-—, с3 = — и т. д. Для экспоненты 2 6 получаем известное разложение по степеням х, именно: 2 3 4 V- XXX ех = \ + х + — + — + — +... 2! 3! 4! Аналогично можно получить разложение для синуса, косинуса, других функций. Разговор о производной сопровождается здравым смыслом, рисунком и обращением к физике, что очень облегчает дело. Вместе с тем надо понимать, что такого подспорья может и не быть. Теория групп и алгебра логики возникли из решения чисто теоретических проблем. Но, говоря о принципе детерминизма, не надо сводить дело только к рассмотрению причинно-следственных связей. Сюда же можно отнести взаимосвязь содержания и формы, элемента и структуры, структуры и функции, элемента и системы, части и целого. Отыскание этих взаимосвязей пронизывает весь курс математики, что может быть отражено и в преподавании. Вот несколько примеров. 1. Число и его запись отражают связь содержания и формы. л/2 — это ведь не число, а некая кодировка числа как десятичной дроби. Впрочем, и она не совсем число, а только некая запись, если вспомнить о разных системах счисления. 2. Беседа об аксиоматике геометрии предполагает обсуждение вопросов о связи элемента и структуры. Точка определяется не сама по себе, а как элемент пространства. Пространство, в свою очередь, — множество точек, оно обладает некоторой структурой. 3. Взаимосвязь структуры и функции можно увидеть на определенных математических структурах. Иначе говоря, если мы имеем дело со структурой некоторого вида, например структурой порядка, то тем самым уже заданы и некоторые свойства элементов этой структуры. 4. Взаимосвязь элемента и системы хорошо видна на примере многогранника. Мы говорим об элементах многогранника, который в данном контексте можно трактовать как целостное образование. Взаимосвязь части и целого можно иллюстрировать на том же многограннике, говоря о его плоских углах. Те же плоские углы в многоугольнике имеют иные свойства. Соотношение части и целого подспудно лежит во многих геометрических задачах. Типичный пример — задачи на построение.
310 Задача для учителя математики. 7-11 классы Чаще всего в таких задачах фигура восстанавливается по каким-то ее деталям благодаря связям между ними. Например, построить треугольник по трем его медианам. Надо знать, что они все имеют общую точку и делятся ею в отношении 2:1. Более интересная ситуация выявляется, когда для решения задачи используется дополнительное построение. Здесь возможны два случая. Первый — данная фигура разбивается на какие-то части. Второй - данная фигура является частью какой-то другой. Задачу решает найденная связь между данной фигурой и вновь созданными. Оба этих случая реализуются, к примеру, при выводе формулы площади треугольника общего вида (притом что формула для площади прямоугольного треугольника считается известной). Для вывода формулы площади из вершины треугольника проводится высота на противоположную сторону. Она может попасть на сторону или на ее продолжение. Если высота попадает во внутреннюю точку стороны, то исходный треугольник является «суммой» двух прямоугольных треугольников. Если высота попадает на продолжение стороны, то треугольник является «разностью» двух прямоугольных треугольников. Связь площадей всех этих треугольников обеспечивается свойствами площади. А вот пример из алгебры. Требуется найти все корни на множестве комплексных чисел уравнения х4+х2 + 1 = 0. Стандартный путь хорошо известен. Но это уравнение «входит» в уравнение, полученное из данного умножением на (х2 - 1). После такого умножения приходим к уравнению.*6 - 1 = 0. Его корни находятся как VT по известной формуле, и после исключения из множества этих корней ±1 получаем корни данного уравнения. Аналогичный прием выручает, когда решаешь и менее очевидное уравнение, например, х5+л4+х3+х2+х + 1 = 0. Срабатывает умножение этого уравнения на (х- 1). Принцип историзма ставит задачу рассмотрения объекта в его развитии, выявляя необходимые связи между последовательными его состояниями. К сожалению, в школьном преподавании математики этот принцип практически не реализуется, хотя возможностей предостаточно. История понятия числа, функции — самые яркие примеры. Мне не раз доводилось рассказывать ученикам историю о том, как пифагорейцы «не открыли» вещественные числа, а закончилась эта история только век назад в связи с пересмотром основ математического анализа. И только она закончилась, как появились совсем другие числа, приведшие к нестандартному анализу.
15. С одной стороны... С другой стороны. 311 Мучительно создавалась теория комплексных чисел. Как непросто было разобраться с тем, что такое вообще число! Говоря о производной, как не сказать о законах Кеплера, где явно фигурировало понятие скорости неравномерного движения? И почему надо скрывать те трудности, которые возникли в математике после введения бесконечно малых? Можно, к примеру, просто сказать о правиле Лопиталя и быстренько перейти к решению примеров, можно доказать его как некую теорему. Но как его доказывал сам Лопиталь (или И. Бернулли)? И даже еще лучше, как, находясь на уровне его знаний о бесконечно малых, прийти к этому результату, пользуясь современными понятиями, вот ведь задача. А урок получается прекрасным. Я не могу взять в толк, почему история математики вообще — история науки — не может быть сама по себе элементом общего образования, почему она в таком жалком положении в школе. Не говорю уже о том, что объект может быть по-настоящему понят только тогда, когда известна его история. Такого рода учебники математики уже появились для высшей школы. Хорошо бы добраться им и до средней. Принцип противоречия предполагает раздвоение единого объекта для отыскания в нем противоречия. Обнаружение такого противоречия позволяет воспроизвести в логике понятий реальную логику самого объекта. Ясно, что противоречие должно быть не формальным, а диалектическим. Примером такого раздвоения является геометрическая фигура, которая предстает перед нами и как абстрактное понятие, и как наглядный образ, и как реальный объект. С противоречием, как я уже говорил, работает диалектическое мышление. В противовес ему мышление метафизическое знать не хочет ни о каких противоречиях. Как мучительны бывают для детской головы эти вот «с одной стороны» и «с другой стороны». Я до сих пор помню, как один мой ученик в сердцах аж ручку бросил на парту, чуть не закричав: «Опять две точки зрения!» Выявление противоречия может начинаться с усмотрения противоположных тенденций в объекте. Простой пример. Дробь в которой числитель и знаменатель положительны. Увеличение каждого из них приводит к разным следствиям, если говорить о величине дроби. (Вспомним сравнение Л, Толстого: человек — это дробь, числитель которой — это то, что он собой представляет, знаменатель — то, что он о себе думает.)
312 Задача для учителя математики. 7-11 классы Диалектическое отрицание есть момент развития. Отрицая одно другим, необходимо удерживать связи между ними. В нашем деле примером такого отрицания является решение прикладной задачи. В процессе решения появляется модель, которая совершенно не похожа на исходную задачу, но удерживает все существенное из нее для получения решения. А затем происходит возврат к исходной задаче, при котором результат, полученный в модели, отрицается, т. е. сопрягается с условиями исходной задачи. Принцип восхождения от абстрактного к конкретному состоит в том, что от абстрактных и менее богатых по содержанию понятий переходят к конкретным и более богатым по содержанию. (Много об этом писал В. Давыдов.) Здесь хорошим примером из школьной практики является изучение множеств, отношений на множестве в самом общем виде. Или — от аксиом поля — к бесконечным десятичным дробям. Но, как показывает опыт, использовать этот принцип нужно очень осторожно. Принцип единства исторического и логического требует соответствия логического историческому, т. е. логика изучения объекта должна соответствовать логике его становления. Ярчайший пример — преподавание геометрии в нашей школе. Дело не в том, чтобы демонстрировать детям все тупики человеческой мысли, когда она работала над созданием науки. Нет, конечно. Но этот принцип требует точной передачи общего хода развития науки. Оправдано ли, строя курс элементарной геометрии, доказывать, например, теорему о сечении шара плоскостью методами аналитической геометрии, во всяком случае при первом ее предъявлении? Аналитические и векторные методы возникли для совсем других целей. Я вспоминаю вопрос, заданный мне профессиональным математиком. — Почему вы называете функцию y = kx + l линейной? Ведь общее определение линейности предполагает аддитивность и однородность. Иначе говоря, функция линейна, если при любыхх{ их2 и любых вещественных аир выполняется равенствоДосх, + (Зх2) = = аДх,) + (3/(х2). А ваша функция такими свойствами не обладает! Такое определение противоречит математике! С испугу я полез в «Математическую энциклопедию» — нет, не противоречит. Но не в этом дело. А в том, что преподавание предполагает развитие знаний. А развитие знаний вовсе не исключает уточнение имеющихся понятий и даже смену точки зрения из других, более общих соображений.
15. С одной стороны... С другой стороны. 313 Трактовка этого принципа для преподавания требует оговорок. Общедидактические соображения состоят как раз в том, что войти в голову ребенка можно не только через историю, но и через логику математики. Особенно популярной стала эта точка зрения после работ Ж. Пиаже. И кроме того, следовать истории — это долго. Было даже заявлено, что известен «царский путь» в геометрию: через изучение векторных пространств. Я полагаю, что путь такой существует, но об этом как-нибудь потом. Принцип единства анализа и синтеза хорошо известен в преподавании. Классический пример — решение задач на построение. В мои ученические годы анализ в задаче на построение начинался стандартной фразой: «Предположим, что задача решена и искомый треугольник (квадрат, окружность и т. п.) построен». Анализ этот считался даже обязательной частью решения, хотя если вдуматься, то с какой же стати? Решение задачи можно увидеть и сразу, не проводя анализа. А синтезом было само решение. Разумеется, этот принцип, хорошо соответствующий таким же мыслительным операциям, проявляет себя не только в решении задач на построение, но и вообще при решении любой содержательной задачи. Прекрасный пример — доказательство теоремы Эйлера для многогранников разрезанием их на тетраэдры. Вот и закончен очень краткий разговор о принципах диалектического познания. Их реализация может идти только в рамках некоторого контекста, заложенного в установку учителя. Все преподавание математики можно вести как погружение учеников в живую, развивающуюся науку, а не в мир мертвых схем и готовых ответов. В самой науке уточняются уже сформировавшиеся понятия, прекрасный пример этому — уточнение понятия многогранника в связи с доказательством теоремы Эйлера — приведен в книге И. Лакатоса (см. также статью А. Александрова в журнале «Математика в школе». 1981. № 1, 2); уточняется и выглядит неоднозначным само понятие доказательства; меняются критерии строгости рассуждения; меняются вообще точки зрения; нерешенные задачи буквально рядом (они могут быть поняты даже школьниками, например комбинаторные задачи в геометрии или задачи из теории чисел); все время идут разного рода обобщения. Поучителен показ и ошибок ученых. Известная ошибка — производная суммы равна сумме производных, для разности аналогично, значит, аналогично будет для произведения и частного. Но ведь вначале о произведении так и думал, например Г. Лейбниц! (Об этом можно почитать у В. Арнольда.)
314 Задача для учителя математики. 7-11 классы Практически все это богатство возможностей можно демонстрировать и в школе. Приведу некоторые примеры. В школьной математике развивается понятие числа, функции; повышается строгость доказательства по мере взросления учеников; появляются все новые методы решения уже известных задач (экстремум квадратного трехчлена может быть найден элементарно и с помощью производной, аналитический и векторный методы в геометрии); меняются точки зрения (решение уравнений меняется по мере знакомства с новыми числами). А о нерешенных задачах и говорить нечего. Всегда можно предложить задачу на месяц, четверть, год. И не беда, если не решат. Главное, чтобы была такая задача! В общем, есть много возможностей. Короче, «не проходите мимо»! И в нашем деле, в преподавании, всегда что-нибудь переделываешь. Одна из последних моих маленьких «переделок» — схема исследования функции. Теперь я стал делить свойства на две большие группы: «глобальные» и «локальные» (названия условны). «Локальные» свойства связаны с точками из области определения, в которых с функцией что-то происходит, это точки разрыва, экстремума, граничного (наибольшего или наименьшего) значения, перегиба, «нуления» (где она равна нулю). «Глобальные» свойства так или иначе связаны в первую очередь с некими прямыми или их частями: область определения, симметричность, знакопостоянство, монотонность, выпуклость (вверх или вниз), асимптотичность, множество значений, ограниченность. Я постарался рассказать, как понимаю воспитание мировоззрения посредством математики. Я вполне сознаю, что рассказ этот выглядит беглым и даже поверхностным. Быть может, в том, что написано мной о воспитании мировоззрения, есть ошибки, вульгаризаторство. Я готов заранее принять эти упреки. Но я хочу выйти на другой уровень такого разговора, а не обсуждать общие места и банальные рекомендации. Сама эта проблема настолько глубокая и разносторонняя, что ее разрешение требует многих усилий разных специалистов, в том числе, конечно, и философов, причем хорошо знакомых с математикой. Мои весьма скромные усилия в этом направлении говорят мне только об одном: в этом направлении можно работать, в математике есть достаточно возможностей для его реализации. Причем возможностей чуть ли не на каждом уроке. В принципе ведь можно поговорить один раз о природе математических абстракций и считать, что вопрос закрыт. (Кстати, и с этим куцым разговором не все благополучно.
16. Не равна нулю 315 Разберем одну, хорошо если две задачи, приводящие к образованию важного понятия, например интеграла, и считаем, что материал для абстракции уже готов. Очень сомнительный подход!) Но я хочу не этого. Я хочу чуть ли не ежедневной сознательной работы в этом направлении. 16. НЕРАВНА НУЛЮ Заканчивая разговор о воспитании, хочу еще сказать о воспитании характера и нравственном воспитании. Я понимаю, сколь деликатная тема оказалась предметом внимания, и выскажу довольно слабые утверждения, причем числом поменьше. Педагогика, как я ее понимаю, наука экспериментальная по сути своей. Жизнеспособность педагогических теорий проверяется только тем, что сделано на их основе реально, пусть в эксперименте, но достаточно представительном. Непротиворечивость теоретических конструкций в педагогике еще не означает, как в математике, их существования. Нужны реальные доказательства, которые можно получить только в живом деле. Если стоять на такой позиции, то разговоры о воспитании в процессе преподавания математики (да и вообще) имеют мало отношения к педагогической теории. Во всяком случае мне неясно, что и как тут можно доказывать. Особенно как. Никакого чистого опыта не провести, и поэтому мы переходим на почву спекулятивных рассуждений. На ней можно строить любые сооружения, насколько хватит фантазии, но сколь они прочны? И какова их цена? Особенно я хочу это подчеркнуть именно сейчас, в завершающем разговоре о воспитании. И характер, и нравственные свойства личности столь разнообразны и зависят от столь многих причин, что доля математического образования в их становлении и развитии близка к нулю. Но отлична от него! И вот это-то отличие и дает мне некую надежду сказать: «И моя капля меду...» Сначала о характере. Одна из существенных его черт — волевые свойства человека. По академику П. Симонову, воля — это потребность в преодолении трудностей. Воспитание, опять же по П. Симонову, предполагает, что воспитанника нужно вооружить знанием о способах удовлетворения своих потребностей, в частности и этой. Тут нам, учителям математики, явно повезло. Трудности в обучении математике общеизвестны, их можно расположить в некотором порядке, дидактически препарировать
316 Задача для учителя математики. 7-11 классы и преподнести детям. Я бы сказал так: трудности в математике естественны, не надо ничего придумывать, они в природе предмета. И главная трудность — самостоятельное решение задач. Я не знаю ничего тяжелее в интеллектуальной деятельности, чем долгое самостоятельное размышление над задачей, которую обязательно надо решить, над вопросом, в котором обязательно надо разобраться для понимания сути дела. Сделать обучение легким, как призывают некоторые, можно, но как придется расплачиваться за эту легкость? Я могу отменить домашние задания, можно убрать из них трудные задачи, но к чему мы придем, удаляя на детском пути все новые и разумно поставленные препятствия? Сложные вопросы возникают и о нравственном воспитании. По сути, мы прикасаемся здесь к вековым проблемам человечества. Я позволю себе только несколько соображений. 1. Воспитание вообще действует не столько на сознание, сколько на подсознание (по П. Симонову). Всякие разговоры о пользе нравственных поступков малополезны, ибо они не оказывают серьезного воздействия на потребности человека и на их иерархию. Гораздо существенней здесь та атмосфера, которая создана вокруг ребенка. Вот я и стараюсь в этом направлении. Один частный пример. Почти идеальная атмосфера создается в такой модели: «Дети, наш класс сегодня — небольшая научная лаборатория. Нам поручено решить такую задачу (набор задач). Я — руководитель лаборатории. Вы можете работать сами, можете работать в небольших группах, только тихо, можете в любой момент обратиться ко мне за консультацией. В конце урока разберемся, что у нас получилось». Разумеется, это очень грубая схема работы класса. Есть одно «но», лучше всего действует эта модель во время эпидемии гриппа, когда в классе только половина учеников. 2. Хорошо известна связь науки и нравственности. Об этом писали А. Пуанкаре, А. Александров, об этой связи размышляли многие ученые. Если в установку учителя входит образование именно научное, то отраженным светом эта связь проявляет себя и в реалии. Один пример. Зачем в школьной математике нужно доказывать все? Дети так хорошо относятся к утверждениям без доказательства — учить не надо. (Б. Нушич и его однокашники чрезвычайно радовались фразе в учебнике о том, что история некоего древнего государства «покрыта мраком неизвестности».) Доказывать все и есть научный метод познания. Пожалуйста, можно и опускать доказательства, и вообще обхо-
16. Не равна нулю 317 литься без доказательств, но тогда мы уходим от науки во что-то другое. Но зачем нужно доказывать в жизни? К счастью, есть много сфер человеческой деятельности, где без доказательств не обойтись. Деятельность юриста в суде, врача- диагноста - тому примеры. И доказательства необходимы даже в очевидных случаях. Я рассказываю детям, например, о суде над фашистскими преступниками. Но можно подойти поближе и к детской жизни. Одна из социальных потребностей человека — потребность в справедливости. А справедливость, по крайней мере, в поступках воспитателя, всегда предполагает некое их обоснование, что иными словами и означает доказательство. Мне хочется верить, что дети, поняв необходимость доказательства в математике, в науке в целом, легче придут к идее аргументации. «Самое главное в доказательстве, — говорю я детям, — то, что оно есть. Какое оно — важно куда меньше». Важна степень убедительности. Вот пример. Из равенства производной нулю на некотором промежутке следует, что функция на этом промежутке равна константе. Можно, разумеется, ждать, когда будет доказана теорема Лагранжа, из которой данное утверждение является следствием. Вполне достаточно произнести фразу вроде «Производная — это крутизна графика, а если она нулевая, то график параллелен оси абсцисс». Или увязать производную с тангенсом угла наклона касательной, и коль скоро тангенс нулевой, то и угол этот нулевой. Или даже так: «Если скорость объекта равна нулю, то объект неподвижен». Учителю математики еще повезло в этом отношении, математические доказательства проще, чем в прочих предметах. Не позавидуешь, к примеру, учителю литературы, когда он убеждает в чем-либо своих учеников. Мало ведь сказать, что Пушкин — великий поэт, в этом же надо как-то убеждать! Все это хорошо, но почему имеет смысл один и тот же факт доказывать по-разному? (Или, возвращаясь к математике, как спросил один школьник: «Зачем нам доказывать то, что уже было доказано раньше?») Есть несколько соображений. Соображения, идущие от предмета, — тем самым устанавливаются новые связи в имеющейся совокупности фактов, что способствует более полному видению картины в целом, т. е. лучшему пониманию теории. Соображения, идущие от психологии, — для развития гибкости мышления. Соображения, идущие от начал философии, — так прививаются первоосновы гносеологии, у познания много начал.
318 Задача для учителя математики. 7-11 классы Приведу пример иного доказательства известных утверждений о квадратных уравнениях. Сначала вывод формулы корней квадратного уравнения. Уравнение ах2 + Ьх + с - 0 делением на а приведем к виду х2+рх + q = 0, затем к виду x2+px = -q и далее х(х+р) = -q. Сделаем симметричной левую часть уравнения, положив у=х+—. Получим 2 ^ уравнение y2 = -q + —, после чего приходим к нужной формуле. Разложение на множители квадратного трехчлена, имеющего два корня, проведем так. Запишем, следуя делимости многочленов с остатком, х2 + рх + q = (х - xj)(x - х2) + тх + п. Приравняв х = хр затем х = х2, придем к системе тх{ + п = тх2 + п = 0, откуда т = п = 0. Следовательно, х2+рх + q = (х -xj)(x-х2). А теорему Виета докажем так. В равенстве х2 + рх + q = = (х - х,)(х - х2) положим х = 0. Получим q = XjX2. Затем в этом равенстве положим х = 1 и получим р = -(Xj + х2). 3. Ответственность за сделанную работу явно имеет нравственную окраску. Стараюсь всячески подчеркнуть, что любая задача, решение которой подано учителю, — это работа. За нее, за ее качество ученик должен отвечать. Терпеть не могу корявых мыслей, небрежного оформления (не о почерке речь, конечно), бездумных результатов. Подгонкой под ответ искренне и публично возмущаюсь. Считаю, что ответы к задачам в школьных задачниках — вредная традиция. А списывание считаю делом недостойным, и ученику, не проверяя, ставлю отметку, какую он хочет. К безответственности ведут поверхностные знания, которыми мы вооружаем учеников в огромном количестве. Знания неглубокие, отрывочные могут навредить людям и потому безнравственны. Примеры нам хорошо известны, таковы трагические события, вызванные профессиональной некомпетентностью. Безнравственно быть плохим специалистом вообще. Хорошо бы нам прийти в обществе к пониманию того, что в том же смысле безнравственно быть и плохим учеником, не сводя, конечно, это понимание сугубо к отметкам. Перегрузка программ почти автоматически лишает знания учеников основательности, глубины и вредна еще и поэтому. «Лучше меньше, да лучше!» — это же аксиома. Нарушая ее, надо ли удивляться последствиям? 4. Есть такое понятие — моральная задача. Классический пример — «задача Гамлета». «Быть или не быть?» — ситуация морального выбора, который повлечет за собой целую серию поступков нравственного содержания. Но вся история и лите¬
16, Не равна нулю 319 ратура изобилуют такими задачами. В истории — Понтий Пилат («умывать руки или нет?»), Сократ (бежать от смерти или выпить яд?), Г. Галилей (что же сказать судьям?). В литературе вообще пропасть примеров, и приводить не буду ничего, кроме Гамлета. В жизни - на каждом шагу. Одна из частных задач: вмешиваться или нет? Помню поступок одного нейрохирурга, который ожидал в аэропорту вылета (летел на операцию). А у него на глазах хулиганская сцена. Вмешаться? А кто будет оперировать? И решать надо быстро. Впрочем, фактор времени в таких задачах не всегда важен. Некий герой романа Дж. Хеллера «Поправка-22» так решал задачи выбора поступка. Он делил лист бумаги пополам, на одной части ставил заголовок «Пироги и пышки», а на другой половине — «Синяки и шишки». Потом он заполнял обе половины предполагаемыми последствиями намеченного поступка, после чего принимал окончательное решение. И действительно, многое в моральном выборе имеет рациональное содержание. Что конкретно можно увидеть? В ситуации выбора необходимо принимать решение со знанием дела, а не по некоторому нравственному наитию. Сколько раз мы слышали в оправдание своего поступка: «Я так не хотел. Я хотел как лучше». Но почему же получилось «как всегда»? А что значат слова «со знанием дела»? Необходимы анализ ситуации, учет объективных условий, осознание проблемно- сти (а может быть, все это уже встречалось — судебное решение по прецеденту тому подтверждение), рассмотрение всевозможных вариантов решения, оценка возможных следствий при учете реакций отдельных людей (а они плохо предсказуемы, появляется элемент вероятностного прогнозирования), поиски оптимального или хотя бы удовлетворительного решения, доказательство своей правоты, оценка собственного поступка. Средства решения задачи надо сопоставлять с целью и упорядочивать. Как саму задачу, так и средства ее решения требуется постоянно корректировать. Такой перечень вдохновляет меня в работе. В самом деле, можно найти много общего в нем и в деятельности по решению математических задач. Не это ли имел в виду Г. Лихтенберг, когда советовал в своих «Афоризмах» житейские задачи решать как уравнения, приводя их к простейшему виду? Но кто знает, как оно на самом деле? И действительно ли ученые-математики легче других смертных справляются со своими земными проблемами?
320 Задача для учителя математики. 7-11 классы 17. ЛОГИКА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ Как можно не понимать логику? Эту мысль А. Пуанкаре я уже упоминал. Вот о логике и поведу речь. Одна из приоритетных ценностей образования — интеллектуальное развитие ребенка, важной составляющей которого является развитие словесно-логического мышления. Посему курс логики почти напрашивается в среднем образовании. Да так оно и было, одно время такой курс преподавался в советской школе, и мне довелось целый год выслушивать его. Было довольно скучно вникать в определения, понятия, суждения, умозаключения, оторванные от жизни и, что еще более странно, не связанные с математикой (разве что приводились математические примеры тому или иному положению из логики). Про обратные теоремы, необходимые и достаточные условия, метод доказательства от противного я узнал на уроках математики, а про всякого рода отношения между высказываниями (следование, равносильность) и математическую логику вообще не в школе. Когда курс логики убрали из нашего среднего образования, проблема перешла в математику, чему было несколько оснований. Вот какова позиция самих математиков. В. Феллер во введении к своему известному учебнику по теории вероятностей отмечал: «В каждой дисциплине мы должны заботиться о различении трех сторон теории: а) формального логического содержания; б) интуитивных представлений; в) приложений. Характер дисциплины в целом и ее прелесть нельзя по-настоящему оценить, не рассматривая эти три аспекта в их взаимосвязи». На важность развития логического мышления школьников (так обычно обозначали эту проблему) указывали математики А. Колмогоров, Я. Дубнов, А. Хинчин, Б. Гнеденко, JI. Калуж- нин. Особая роль в этом отводилась геометрии, в которой его ценность выдающимися математиками, авторами школьных учебников, считалась неотъемлемой (А. Александров) и даже основной (А. Погорелов). Школьная математика — школа точного мышления. Развитие точного мышления всегда почиталось как одна из основных ценностей школьного математического образования и в педагогике математики, что нашло отражение как в педагогической теории, так и в нормативных документах.
17. Логика в школьном курсе математики 321 В связи с возникшей тенденцией — знакомить с логикой в курсе математики — в методической и учебной литературе появились многочисленные пособия по развитию логического мышления школьников. Эта тенденция отразилась и в учебниках математики, и в пособиях для поступающих в вузы. Более того, сегодня в школу возвращается сам курс логики как элективный. На путях реализации этой тенденции необходимо сделать некоторые оговорки. Во-первых, в психологии нет термина «логическое мышление», а есть термин «словесно-логическое мышление», и он понимается гораздо шире, чем в математическом образовании. Поэтому я предпочел бы говорить о логической культуре школьника (своеобразной интеллектуальной гигиене) и о возможном вкладе математики в ее формирование. К тому же известно, что словесно-логическое мышление отнюдь не единственный вид мышления и в определенном смысле «не самый главный». Открытия совершаются не за его счет. Во-вторых, мнение об исключительной роли математики в становлении логической культуры ребенка вряд ли бесспорно. Так, главный редактор журнала «Квант» академик Ю. Осипьян посчитал самой логичной из наук физику. В целом проблема носит слишком общий характер. Попытаюсь ее как-то уточнить и сузить. Логику можно воспринимать в трех аспектах. Есть практическая логика, используемая в повседневной жизни. В ней существен так называемый здравый смысл, личный опыт, контекст. Напомню хрестоматийный пример, демонстрирующий значение контекста. Приказ «Казнить нельзя помиловать», написанный без запятой, привел в недоумение его исполнителя. Но стоило тому чуть подумать, и он понял бы, что запятая после первого слова неуместна, ибо не добавляет новой информации (в приказах не объясняют причин). А запятая после второго слова как раз существенна, поскольку указывает, что делать дальше. Но вот аналогичный пример. Книга С. Кранца «Изменчивая природа математического доказательства» сопровождается такой надписью на обложке : «Доказать нельзя поверить». И где же тут запятую ставить? Даже эмоциональная окраска и интонация имеют значение, они могут изменить смысл сказанного на противоположный. Как, к примеру, воспринимать ответ «Да» на вопрос «Не хочешь ли ты поесть?»
322 Задача для учителя математики. 7-11 классы Есть формальная логика, в которой изучают только формы мышления, полностью отвлекаясь от содержания. Именно здесь можно рассуждать о «черном снеге», действиях «глокой куздры» и т. п. Есть математическая логика — раздел математики. В ней достаточно силен момент формализации, но нет места бессодержательным утверждениям. Самому себе задаю вопрос: «Что из формальной и математической логики следует изучать в школе, чтобы в результате практическая логика не подводила?» А то, что она подводит, хорошо известно. Логических ляпсусов даже в обычной речи предостаточно. Вот несколько реальных примеров, когда видно отсутствие внимания к отрицаниям, прямым, обратным и противоположным утверждениям. Пример 1. Недавно в одном из современных российских сериалов услышал следующий обмен репликами между двумя дамами (привожу почти дословно). Первая дама. «Если мне понравится мужчина, так он обязательно негодяй!» Вторая дама. «Уж не хочешь ли ты сказать, что если мужчина тебе не нравится, то он — хороший человек?» Первая дама. «Вот именно!» Пример 2. Однажды я прочитал такое: «Согласно последним научным данным, чем выше уровень интеллекта, тем меньше человек смотрит ТВ. По-моему, все наоборот: чем больше смотришь ТВ, тем ниже уровень твоего интеллекта». Пример 3. Если покопаться в древних источниках, то вот что можно прочитать у Лао Цзы: «Истинные слова неприятны, приятные слова не истинны». Пример 4. Много изречений такого рода содержится в сборниках законов Мерфи. Например: «Если у вас есть время, то не будет денег. Если у вас есть деньги, то не будет времени». Пример 5. Недавно ведущий игры «Что? Где? Когда?» попросил игроков противопоставить нечто фразе «банальная ложь». Их ответ — «парадоксальная ложь» — был квалифицирован ведущим как неверный. Правильным ответом он посчитал ответ «истина», вызвав естественное удивление присутствующих. Мы видим в этих примерах, как перемешиваются прямые утверждения и противоположные, обратные и им противоположные, неверно строятся отрицания и пр. В литературном жанре это, видимо, приемлемо, но в житейской практике иногда хочется большей точности.
17. Логика в школьном курсе математики 323 А вот мои аналогичные примеры. 1. Говорю две фразы. «Всем детям полезны витамины» и «Всем взрослым полезны витамины». Возражений не слышал. Второе предложение равносильно следующему: если кому-то не полезны витамины, то это не взрослый, т. е. ребенок. А всем детям, согласно первому предложению, полезны витамины. И получается, что если кому-то полезны витамины, то они ему же и не полезны. Что здесь не так? 2. Пример из математики. В выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°. В невыпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360°. Отсюда, следуя той же схеме рассуждений, получим ляпсус. 3. Не раз я предлагал ученикам разобраться в такой простенькой ситуации. Есть ли смысловая разница в предложениях: «Маша гуляет тогда, когда ей разрешила мама» и «Маша гуляет только тогда, когда ей разрешила мама»? А если разница есть, то в чем она? Если мы видим гуляющую Машу, то какое из этих предложений соответствует Машиной ситуации? Мнения разделялись. 4. Ученики поначалу недоумевают, услышав, что логарифм произведения двух чисел равен сумме логарифмов этих чисел только тогда, когда произведение этих чисел положительно. 5. Совсем шуточный пример. Известному изречению «Кто не рискует, тот не пьет шампанское» равносильна фраза: «Кто пьет шампанское, тот рискует». Аналогично следующее. Выражению «Кто не работает, тот не ест» равносильно такое: «Кто ест, тот работает». В свое время расхождение между провозглашаемой важностью логической культуры и тем, что мы видим «на выходе», было замечено А. Столяром. Он высказал мнение о том, что традиционных средств, используемых в школьной математике, недостаточно для обеспечения должной логической культуры учащихся и необходимо внедрение в изучаемый курс элементов математической логики. И впрямь, что-то ведь надо делать с этой самой культурой! И кому, как не нам? Любой учитель математики знает о логических ошибках своих подопечных и старается научить их правильно употреблять слово «следовательно», нормально строить отрицание (особенно если в утверждении есть кванторы), доказывать от противного. Необходимо толком объяснить детям, какие бывают определения, как устроены теоремы, как из теоремы получить обратную и противоположную, какая разница между свойствами и признаками,
324 Задача для учителя математики. 7-11 классы какое свойство фигуры мы называем характерным, что значит «равносильно», каково отличие необходимости от достаточности. Чтобы ученики стали во всем этом разбираться, приходится им для начала рассказать о простых и сложных высказываниях, о том, с помощью каких союзов образуются сложные высказывания. Первые неожиданности для учеников — уточнение использования союзов «и», «или». Вспомним дискуссию героев П. Бомарше о том, что сказано в завещании под кляксой: «и», а может быть, «или»? «Бартоло. Я утверждаю, что это соединительный союз «и», связывающий соотносительные члены предложения: я уплачу девице и женюсь на ней. Фигаро. А я утверждаю, что это разделительный союз «или», упомянутые члены разъединяющий: я уплачу девице или женюсь на ней». Союз «и» в обыденной речи понимается двояко. Надпись в вагоне «Места для детей и инвалидов» не означает, что на данное место может претендовать только больной ребенок. А фраза «К доске пойдут Вася и Федя» означает, что у доски окажутся два ученика. То же касается союза «или». Фраза «Сегодня в шесть часов вечера я буду в кино или на стадионе» подразумевает только одну из двух указанных возможностей, в то время как фраза «Сегодня в шесть часов вечера я буду смотреть кино по телевизору или пить чай» не исключает совмещения обоих занятий. Важно пояснить, что есть разные виды дизъюнкции: соединительная — раз и разделительная — два. В логике она первого вида, а в жизни чаще второго, поэтому в текстах появился новый союз «и/или», соответствующий в жизни соединительной дизъюнкции. А для разделительной дизъюнкции лучше подходит союз «либо». Двоякость толкования этих союзов, присущая обычной речи, не годится для математики. Естественно (для математиков) трактовать дизъюнкцию с союзом «или» как соединительную хотя бы из тех соображений, что пересечение множеств входит в их объединение. Но сомнения остаются. Долго приходится обучать детей верной формулировке отрицания, особенно если отрицается сложное высказывание, да еще «отягощенное» кванторами. Когда мы с чем-то не согласны, то считаем сказанное предложение неверным. Тогда какое предложение мы считаем верным? Его отрицание. И как его сформулировать? Главный вопрос — где располагать частицу не и как от нее при необходимости избавиться?
17. Логика в школьном курсе математики 325 Возьмем «житейские» примеры. Как выглядят отрицания в следующих ситуациях? 1. Крокодилы живут в Африке. 2. Крокодилы не живут только в Гренландии. 3. Эта кошка пьет только воду. 4. Мои оценки по алгебре и геометрии — четверки и пятерки. 5. Известен анекдотичный случай из американской истории. Некий конгрессмен заявил военному министру, что тот «может украсть все, что угодно, исключая раскаленную печку». А когда от конгрессмена потребовали опровержения, оно выглядело так: военный министр «может украсть все, что угодно, включая раскаленную печку». 6. А вот любопытный диалог в суде (из Р. Смаллиана). Обвинитель. «Если подсудимый виновен, то у него был сообщник». Защитник. «Это неверно!» Ничего хуже защитник сказать не мог. Почему? Вот примеры из математики того, что в иных понятиях или утверждениях «упрятано» отрицание: непериодическая функция; последовательность, не имеющая предела (это требуется в известном доказательстве от противного равносильности двух определений предела последовательности); фигура, не являющаяся выпуклой; уравнение, не имеющее единственного натурального корня; отрицание «сидит» даже в определении иррационального числа как такого числа, которое не является рациональным. Сложно формулировать отрицание предложения, если оно имеет форму конъюнкции, дизъюнкции или импликации. Вы увидите на лицах учеников отсвет недоумения, предложив им сформулировать верное отрицание, например, таких выражений: 1) число 6 делится на 3 и число 5 делится на 3; 2) число 5 делится на 3 или число 7 делится на 3; 3) число 5 делится на 3 либо число 7 делится на 3 (здесь разделительная дизъюнкция); 4) если число 6 делится на 3, то число 5 делится на 3; 5) данная фигура — квадрат или прямоугольник; 6) данная фигура — прямоугольник и квадрат; 7) данная фигура — квадрат либо прямоугольник (здесь разде- . лительная дизъюнкция); 8) данная фигура не квадрат и даже не прямоугольник; 9) данная фигура не только квадрат или прямоугольник; 10) данная фигура только не квадрат или прямоугольник; 11) диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам;
326 Задача для учителя математики. 7-11 классы 12) медианы треугольника, пересекаясь, делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины; 13) если функция четная или нечетная, то ее график симметричен относительно начала координат и относительно оси ординат; 14) если в четырехугольнике стороны равны, а диагонали взаимно перпендикулярны, то он является квадратом; 15) два равновеликих треугольника равны, если они имеют пару соответственно равных сторон; 16) среди натуральных чисел есть простые и составные. Уже эти простейшие примеры показывают наличие трудностей при освоении отрицания. Но учитель отрицает постоянно неверные ответы или решения учеников. Отрицая их, надо демонстрировать ученикам свои построенные отрицания и объяснять, почему они построены именно так. Для доказательства от противного надо уметь строить контрапозицию к данной теореме. Без отрицания тут не обойтись. Возникает соблазн известным образом формализовать построение отрицания — развесить кванторы и затем обработать их соответствующим образом. Но нужна ли такая формализация? Может быть, полезнее добиваться от учеников верного содержательного построения отрицания? А если да — учить манипуляциям с кванторами, — то когда это начинать? Однажды я попросил учеников сформулировать отрицание фразы «Маша любит кашу». Один из ответов был такой: «Не Маша не любит не кашу». Другого типа трудности возникают, когда нам требуется сформулировать теорему, обратную заданной. Несложно это получается разве что в тех случаях, когда в условии и в заключении теоремы всего по одному утверждению, хотя и тут не все гладко. Об этом дальше. Прямое и обратное утверждение путают не только ученики, но и мои коллеги. Например, в газете «Математика» мне попалась следующая «находка». Ее автор приводит утверждение: «Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то один из его корней равен 1». А доказывает его так: подставим в квадратное уравнение вместо переменной число 1 и увидим, что сумма его коэффициентов равна нулю. Вот так! Ситуация становится запутанной, когда условие или заключение теоремы содержит более одного утверждения. Бывает, что ее непросто даже сформулировать. В частности, возникает вопрос, как поступать с разъяснительной частью прямой теоремы (часть, которая содержит изначальные ограничения, записанные с помо¬
17. Логика в школьном курсе математики 327 щью кванторов, обычно начинается со слова « пусть») при переходе к обратной? Оставлять такой же или как-то видоизменять? Как, например, выглядит предложение, обратное теореме «Два перпендикуляра, проведенные к одной плоскости, параллельны»? Или теореме «Диагонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам»? А о теореме «Диагонали ромба взаимно перпендикулярны» я прочитал у профессиональных логиков, что она не имеет обратной! Возьмем теорему «Если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой». Формулировка обратного предложения выглядит так: «Если радиус, проведенный в точку касания прямой с окружностью, перпендикулярен к этой прямой, то прямая касается окружности», но такая формулировка кажется неудачной. На практике обычно создается другое предложение, близкое по смыслу данному, которое и называют обратным. Надо подумать, что для нас является дидактической целью. Получить верное предложение, связанное по смыслу с данным, но при этом достаточно вольно обращаться с разъяснительной частью и простыми высказываниями, входящими в формулировку теоремы, а потом назвать полученное верное предложение обратной теоремой? Или же выстроить согласно неким предписаниям структуру обратного предложения и установить, будет ли оно истинным, после чего, возможно, называть его обратной теоремой? Добавлю к месту еще несколько замечаний. Не для каждого предложения есть обратное. Примеры: утверждение «1 > 0» (дети тут же скажут, что обратным ему будет такое: «О < 1»); теоремы существования (или несуществования); теоремы единственности. Фраза «обратная теорема неверна» звучит подозрительно. Теорема — это доказанное предложение, а доказанное не может быть неверным. Поэтому лучше говорить «обратное предложение» вместо «обратная теорема» до тех пор, пока не установлена его истинность. Никакая теорема не является прямой или обратной изначально. Даже теорема Пифагора — обратная к теореме, являющейся следствием теоремы косинуса. Лучше говорить о взаимно обратных теоремах, из которых любая может быть названа прямой. Потому (ясный по сути) призыв иных методистов «научить школьников различать прямую и обратную теоремы» стоит переформулировать, т. к. их различить нельзя!
328 Задача для учителя математики. 7-11 классы Кстати сказать, исторически первой была найдена как раз не теорема Пифагора, сформулированная на «языке площадей», а теорема, ей обратная, позволяющая строить на земле прямые углы (вспомним о египетском треугольнике). Для создания обратной теоремы обычно советуют ученикам сформулировать исходную теорему, используя союз «если... то». Значит, надо пояснить, что стоит за этим союзом. Это не все, требуется разъяснить ту часть формулировки теоремы, которая указана или подразумевается перед этим союзом, т. е. акцентировать в ее формулировке разъяснительную часть теоремы. Приведу примеры. Сначала «житейские» (с их помощью я фиксирую внимание учеников на этом обстоятельстве). Пример 1. Сказано: «Маша любит кашу». Спрашиваю учеников: это верно или нет? Они пытаются отвечать, но отвечать на такой вопрос бессмысленно, ибо перед нами предложение с двумя переменными: «Маша» и «каша», а не высказывание. Сначала надо превратить его в высказывание, т. е. в предложение без свободных переменных, «навесив» кванторы на «Машу» и на «кашу». Например, можно сформулировать такое предложение: «Любая Маша любит любую кашу». Видимо, это неверно. Другой вариант: «Есть такая Маша и есть такая каша, что эта Маша любит эту кашу». Это, должно быть, верно. Любопытно, что учителя-гуманитарии заявили мне, что ответ на данный вопрос зависит не от каких-то там логических штучек, а от того, кто это говорит. В математике существует договоренность: если квантора нет, то подразумевается квантор всеобщности. Если эту договоренность перенести на «житейские» примеры, то ответом на поставленный вопрос про Машу и кашу будет «нет». Но надо ли переносить? Пример 2. Известное выражение «Цель оправдывает средства», как правило, имеет негативный оттенок. Однако если на свободные переменные «цель» и «средства» «навесить» кванторы, то в зависимости от их расстановки возможны четыре варианта толкования. И каждый имеет смысл. А выбор верного варианта — уже вне логики. Сложилось так, что в формулировках математических предложений кванторы часто «не звучат» в явном виде. Вместо квантора существования употребляются такие слова, как «найдется» (в круге найдется хорда, которая делит его площадь пополам) или «есть» (в остроугольном треугольнике есть такая точка, из которой все его стороны видны под равными углами). Еще хуже обстоят дела
17. Логика в школьном курсе математики 329 с квантором всеобщности, который, как уже отмечалось, опускают. Например, его нет в теореме о площади треугольника (площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; а сколько таких оснований?) или в формуле квадрата суммы (о каких числах в ней говорится — о любых?). «Навешивание» кванторов порой необходимо для понимания условия задачи. Вот задача на построение: «Вписать квадрат в треугольник». Как это понимать? Кванторы опущены, значит, согласно молчаливой договоренности, на каждую переменную полагается квантор всеобщности. Получается чепуха, а не задача! Любой квадрат не может быть вписан в любой треугольник. Тогда о чем идет речь? Иногда этих двух кванторов не хватает. Появилось обозначение 3! в ситуации с существованием одного (не более одного) решения. Наконец, необходимо рассказывать ученикам о следовании и равносильности — разговор об этом будет чуть далее. И даже для недвусмысленной записи выкладок и ответа требуется определенная логическая культура. 2х2 Я встречал, к примеру, запись = 0 <=> 0, хотя непонятно, л; как уравнение и множество могут быть равносильными. Можно увидеть такую запись: \А = О, \В = О, AB = 0<=>\ v -ч [В определено [В определено. В одной строке использованы разные языки: алгебраический, логический и естественный. Мне это не нравится, но так пишут! Про ответ в уравнении х2 = 1 Г. Дорофеев полагает, что его можно записать так: «х = 1 и х = -1», но можно и так: «х = 1 или х = -1». Тем самым смазано различие в этих союзах в математическом тексте, что сомнительно. По ходу дела маленькое замечание про запись ответа. Ответ в уравнении, я полагаю, естественно записывать в том же стиле, в каком было дано оно само. Например, ответ в уравнении 2х = 4 я предпочту записать так: х = 2, нежели в виде {2} или х {2}. Запись ответа в виде множества, разумеется, возможна. Однако она менее естественна и чревата сложностями, особенно когда речь идет об ответе в тригонометрическом уравнении. Для точности мышления крайне желательнаточность языка. Точность естественного языка не всегда достаточна, слова и фразы не всегда толкуются однозначно, огромную роль играет контекст.
330 Задача для учителя математики. 7-11 классы Суть проблемы в том, что математический текст излагается детям на естественном языке, и требуемая точность понимания математического текста «зависает» из-за неоднозначности толкования фраз естественного языка. Поэтому необходимы четкие договоренности. Где же их взять? Разве что позаимствовать у формальной или математической логики. Курс информатики только заостряет проблему. Как без использования основ математической логики объяснить ученикам компьютерную идеологию? К этому можно добавить такое соображение. Один из важных этапов познания — понимание. Понимание предложения, в том числе и математического, предполагает оценку истинности не только самого предложения, но и его отрицания, его обращения (обратного предложения) и контрапозиции (предложения, противоположного обратному). Без осознания структуры предложения невозможно грамотно построить ни его отрицание, ни обращение, ни контрапозицию. Их формулировки получить не всегда просто: необходимо уметь отличать предложение без переменных (высказывание) от предложения с переменными (предиката), выделять переменные и устанавливать на них ограничения, «развешивать» (где необходимо) кванторы и вычленять логические операции. Еще запутаннее становится ситуация, когда мы используем такие слова, как некоторые, только, не только и т. п. Итак, для формирования логической культуры почти необходима некоторая доля формализации. Естественно считать, что таковая обеспечивается начальными сведениями из формальной и математической логики. Прежде чем говорить о толковании математических предложений в форме высказываний, надо обратить внимание учеников на то, что предложение с переменной превращается в предложение без переменной в результате «навешивания» на последнюю квантора (всеобщности или существования), после чего уже можно говорить о его истинности или ложности. Техника работы с кванторами позволяет упростить формулирование отрицания, можно уже не напрягать умственные силы, а работать чуть ли не механически. Вспомним определение последовательности, не имеющей предела, или функции, не являющейся периодической. После формальной работы с кванторами остается только воспроизвести увиденное. В работе с кванторами требуется соблюдать осторожность. Квантор всеобщности и квантор существования в предложении с двумя переменными нельзя произвольно менять местами (ученики довольно часто допускают такую ошибку).
17. Логика в школьном курсе математики 331 Например, утверждать, что существует квадрат, который можно вписать в любой треугольник, — глупость. А сказать, что какой бы ни был треугольник, существует квадрат, который в него можно вписать, — значит фактически сформулировать задачу на построение. Приведу еще один пример. Высказывание, записанное символически \/х(Р(х) v Q(x)), неравносильно высказыванию, представленному в символической форме (\fxP(x))v (V*0(x>). Замечу, что термин «любой» оказывается на деле почему-то менее предпочтителен, чем термин «каждый» или «всякий». Видимо, все дело в языке и психологии. Термин «любой» не всегда толкуется в обыденной речи, как в математике, и это мешает ясному пониманию высказываний, в которых используется квантор всеобщности. В работе с квантором Vjc четкое понимание достигается быстрее, если его читать как «для каждого х». Перейдем к логическим союзам. В математическом тексте союз «и» между двумя предложениями трактуется как их конъюнкция, а посему предполагает совместное рассмотрение двух условий. Например, если для параллелограмма существуют описанная и вписанная окружности, то он является квадратом. В свою очередь союз «или» между двумя предложениями трактуется как их дизъюнкция: • нестрогая (слабая), если допускается одновременное выполнение двух условий. Употребляем «или», например, в предложении «около треугольника или правильного многоугольника можно описать окружность»; • строгая (сильная), если выполняется только одно из условий. Говорим «либо», например, в предложении «прямые в пространстве, не имеющие общей точки, параллельны либо скрещиваются». Замечу, что в математическом языке нет надобности в повторяющихся союзах естественного языка: «и — и» («И Вася, и Федя — оба подойдите ко мне!»), а также «либо — либо» (кто-то один — либо Вася, либо Федя). Когда такие союзы встречаются в математическом тексте, приходится уточнять их значение. Толкование союза «если» в живом языке и в математике опять-таки различно. В обычном языке за ним может скрываться как достаточность («родители отпустят меня на футбольный матч, если я получу за контрольную “пятерку”), так и равносильность («футбольная команда выиграет матч, если забьет больше мячей в ворота соперника), а в математике — только достаточность. Но есть языковая проблема.
332 Задача для учителя математики. 7-11 классы Равносильности в математике соответствует союз «если и только если» (он не прижился в русском языке, обычно говорят «тогда и только тогда, когда»), который частенько опускают, предпочитая оставлять «если». И что получается? Типичный пример — в определениях — «прямая параллельна плоскости, если она не имеет с этой плоскостью общих точек». Приходится объяснять ученикам, что за этим «если» скрываются два утверждения — прямое и обратное. В других ситуациях, в теоремах, «если» означает только достаточность. Например: «Если треугольник прямоугольный, то квадрат одной из его сторон равен сумме квадратов двух других его сторон». Итак, благодаря формальной логике можно добиться точности в употреблении союзов. Но, увы, внедрение формальной логики может внести (и вносит) некую сумятицу в молодые умы. Я поведу сейчас речь о союзе «если... то», о следовании предложений, об импликации, будь она неладна. Начну с последней. Напомню, что импликация двух суждений имеет вид «если /?, то q». Она ложна только в одном случае, когда р истинно, a q ложно, и истинна в остальных случаях. Ученикам всегда приходится специально пояснять истинность импликации при ложной посылке (условии, антецеденте). История с импликацией давняя. Еще Филон Мегарский (III в. до н. э.) определил условное предложение как такое предложение, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент (условие) истинен, а консеквент (заключение) ложен, и которое истинно в трех остальных случаях. Это определение положило начало спорам о смысле импликации. Должно быть, споры по этому вопросу были очень оживленными, коль скоро Каллимах, живший в Александрии во II в. до н. э., увековечил их в эпиграмме: «Уже вороны на крыше каркают, какая же импликация правильная». Со времен древних греков не счесть работ по логике, в которых так или иначе не обсуждался бы этот феномен. Но и по сей день истинность импликации при ложной посылке подвергается сомнению. Даже предлагается в этом случае считать ее неопределенной или вовсе бессмысленной. В парадоксальной форме это толкование импликации подается в виде известной фразы: «Если 2 х 2 = 5, то существуют ведьмы». Такое «странное» соглашение об импликации требуется как-то пояснить ученикам. Ученикам я иллюстрирую истинность импликации при ложной посылке на примерах. Говорю фразу: «Если у меня есть свободное время, то я гуляю». А затем спрашиваю: «В каком случае я вас обманул?» Ответ ясен — когда сво¬
17. Логика в школьном курсе математики 333 бодное время было, а гулять я не пошел. Во всех прочих случаях я не обманывал, т. е. говорил правду. Любопытен и такой пример. Скажем: «Если сегодня среда, то завтра четверг» — и зададимся вопросом: «В какой день недели это высказывание верно?» Ясно, что в любой. Не только в среду, а, к примеру, во вторник, т. е. тогда, когда условие ложно. Импликация - это полбеды. Беда поджидает нас дальше, когда мы начинаем разговор об отношении следования и произносим «из А следует В» или, еще хуже, «если Л, то В», приплетая сюда терминологию импликации. В обычной речи следование подразумевает наличие причинно-следственной связи (из того, что идет дождь, следует, что улицы мокрые), логической связи (из того, что Сократ — человек, следует, что он смертен, ибо все люди смертны), содержательной связи (следствия из формул). Тем самым, на практике из ложного условия не может следовать верное предложение. Но если отношение следования имеет форму импликации, что происходит при использовании союза «если... то», то ситуация запутывается. А когда еще говорят нечто эпатирующее, вроде «изо лжи следует все, что угодно», в головах учеников наступает окончательное помутнение. В формальной логике ситуация такова. На множестве высказываний отношение следования («из А следует В», «А влечет В») означает, что импликация «если А, то В» верна при условии истинности А. При ложности А сказать «из А следует В» просто невозможно — не тот случай. Иначе говоря, изо лжи ничего не следует. Можно сказать: «Если 2 х 2 = 5, то существуют ведьмы», но я бы не сказал: «Из того, что 2x2 = 5, следует, что существуют ведьмы». Я могу сказать: «Если 0 = 1, то 1 = 2», но язык не повернется сказать: «Из того, что 0=1, следует, что 1 = 2». (У некоторых моих весьма компетентных знакомых повернется.) Мне хочется упомянуть один пример В. Арнольда. В нем приводится следующее определение импликации из французского учебника для математиков: «Пусть А и В — два любых утверждения. Если они оба верны, то говорят, что из А вытекает В». Далее В. Арнольд пишет: «После таких “импликаций” учить студентов каким бы то ни было естественным наукам бессмысленно: они думают, что из того, что дважды два четыре, “вытекает”, что Земля вращается вокруг Солнца». Чтобы различать импликацию и следование, в формальной логике для импликации часто употребляется не союз «если... то», не глагол «следует», а глагол «имплицирует». Скажем так: «Ра¬
334 Задача для учителя математики. 7-11 классы венство 2x2 = 5 имплицирует существование ведьм». Будь такой оборот принят повсеместно, вряд ли кто-то стал бы удивляться, и вороны в Древней Греции не каркали бы по этому поводу. Но ни в обыденной речи, ни в школьной математике термина «имплицирует» нет, да и вряд ли он привьется — по иррациональным соображениям. И с обозначениями можно напутать. Знаки импликации (чаще всего —>) и следования (чаще всего =>) не равноправны, а потому их употребление требует точности. Здесь имеется несколько заморочек. Одна из них такова: знак => у некоторых авторов означает импликацию, а для следования используется знак z> или |=. Хорошо бы четко определить, каково употребление в школьной математике не только слов «если... то», «следует», но и знаков =>. Однако этого, увы, нет. Приведу примеры того, как путаница в терминологии и обозначениях сказывается на решении уравнений, неравенств, систем (дальше я для краткости буду говорить только об уравнениях), если трактовать их как предикаты. Такая точка зрения четко выражена А. Земляковым: «В действительности алгебраические задачи с переменными относятся к математической логике, и в ней они называются предложениями с переменными. Например, уравнение можно определить как предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями (содержащими переменные)». И далее дается такое определение уравнения: «...уравнением с переменнойх называется предложение, имеющее вид равенства между двумя выражениями, содержащими эту переменную». (В это определение не вписывается, например, равенство х2 = 1, но сейчас речь не об этом.) При решении уравнений авторы многих пособий при переходе от имеющегося уравнения к следующему как выводному (неравносильному) говорят, что второе уравнение есть следствие первого, и ставят знак =>. По существу происходит отказ от импликации предикатов, речь идет об их следовании — об отношении включения между двумя множествами истинности. Однако при решении уравнения не исключен случай отсутствия корней. Я вижу здесь некое противоречие, наложной посылки не бывает следствий, однако пустое множество включено в любое множество. Так что, в этом случае возвращаться к толкованию процесса решения уравнения как к импликации предикатов? Есть два выхода из положения. Первый — формальный — трактовать уравнение как предикат и ставить между уравнениями знак
17. Логика в школьном курсе математики 335 импликации (->). Второй вариант — не рассматривать уравнение как предикат, считать, что оно предполагает некий императив. (Само по себе равенство х=х+ 1 можно полагать бессодержательным. Мало ли что пишут, не сказав, что делать дальше. Поэтому, рассматривая уравнение, говорят: «решить», «найти х».) При этом надо отметить, что термин «следует» («следствие») при решении уравнений означает не то же самое, что в логике из-за возможного случая отсутствия решения исходного уравнения. Мне больше нравится второй вариант. (Этот разговор с соответствующими поправками переносится на равносильность и использование знака <=>.) Второй момент, когда приходится обсуждать с учениками расхождение формального и содержательного, возникает при встрече с задачей, условие которой противоречиво. Тут я подробности опускаю, ибо об этом говорил выше. Внедрение формальной логики в математическое образование полезно, но следует соблюдать разумные границы. Надо хорошо понимать, что введение ее чревато некими методическими проблемами, ибо она не вполне согласуется ни с математическим, ни с естественным языком. Если я говорю: «2 + 2 равно 4 или 5», то это верно с точки зрения логики, но неверно в житейском понимании. Демонстрируя преимущества использования формальной логики, не стоит забывать о том, что в ней есть свои проблемы. Существуют предложения, которые противоречат сами себе, например знаменитое «Я лгу», а также «Никогда не слушайте чужих советов!» и т. п. С помощью двух предложений можно доказать все, что угодно. Вот пример из Р. Смаллиана. На листе бумаги записываем предложения. 1. Астрология — точная наука. 2. Оба предложения на этом листе — ложные. Поразмышляв, получаем, что «астрология — точная наука». Известны логические парадоксы из древности (парадокс лжеца) и последних времен (парадокс Рассела, парадокс Ришара, парадокс Берри, парадокс Греллинга). Их обсуждению посвящена обширная литература. Возможности формал ьной логики в установлении истинности не беспредельны, даже если все суждения достаточно четки. Мы знаем, конечно, что она может выручить в сконструированных специальным образом задачах, когда требуется установить, кто лжет, а кто говорит правду. Но из двух простеньких суждений: «Вася говорит, что Федя лжет» и «Федя говорит, что Вася лжет» —
336 Задача для учителя математики. 7-11 классы средствами формальной логики не установить, кто из ребят говорит правду (пример сконструирован Ж. Буриданом, разумеется, без указания имен). Вообще, формальный ригоризм в школьном курсе вряд ли уместен. Нет вреда в том, что иногда для удобства приходится переходить на некоторое арго. Более того, иногда логика бывает даже не в ладах с математикой. Так, в логике различают доказательство приведением к абсурду и доказательство от противного. Математики называют доказательством от противного рассуждение, основанное на контрапо- зиции, и не обращают на эту разницу никакого внимания. Полагаю, что не стоит здесь вдаваться в различие между двумя этими толкованиями, хотя в дидактической литературе уже предлагают это сделать. Практичнее остановиться на ясной позиции, именно: для доказательства теоремы А —> В предполагают истинным высказывание В_и пытаются вывести отсюда справедливость высказывания В —> А ; если это удается (т. е. если доказана теорема В —> А, противоположная обратной), то исходная теорема А -» В также считается доказанной. Различие между логикой и математикой в этой нестыковке я понимаю так. В школьном курсе математики предложения в основном доказывают, почти никогда не опровергают, очень редко исследуют (раньше исследование встречалось гораздо чаще — в задачах на построение). Для того чтобы опровергнуть математическое предложение, достаточно получить такое его следствие, которое противоречит чему-то известному или данному в условии. Опровержение математического предложения может состоять в доказательстве предложения* являющегося его отрицанием, - косвенном доказательстве (замечу, что косвенные доказательства невозможны в юридической практике: работает так называемая презумпция невиновности). В таком случае говорим, что мы доказали «от противного». В задачах исследовательского характера мы изначально не знаем, с каким предложением имеем дело: истинным или ложным. Начинаем получать из него следствия. Если приходим к противоречию, то исходное предложение является ложным. При этом можно считать, что попутно мы доказали (косвенно) предложение, являющееся отрицанием данного. В неявном виде здесь «упрятан» закон исключенного третьего, абсолютная применимость которого принимается не всеми математиками. Наконец, символическая логика не всегда удобна в работе. Если для работы с компьютером она годится всегда, то при работе
17. Логика в школьном курсе математики 337 с людьми иногда стоит предпочесть более наглядные соображения. Разумеется, сюда можно отнести работу с кругами Эйлера (по моему разумению, их корректное использование является доказательным). Следующий полезный шаг в деле внедрения логики в школьный курс математики — знакомство учеников с таблицами истинности, несложный формализм которых позволяет избежать многих натужных выводов. Так, в некоторых задачах проверку выполнимости следования можно свести к формальной проверке истинности импликации при условии, что условие истинно. Пример 1. Даны утверждения. 1. Если многоугольник является треугольником или правильным многоугольником, то около него можно описать окружность. 2. Около многоугольника М можно описать окружность. 3. Многоугольник Мне треугольник. Следует ли из этих трех утверждений, что М — правильный многоугольник? Пример 2. Даны утверждения. 1. Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то он является ромбом. 2. Если в параллелограмме диагонали не перпендикулярны, то он не является ромбом. Следует ли второе утверждение из первого? Пример 3. Я нашел его в превосходной книге Я. Хургина «Ну и что?». Известно, что: 1) если рак красный и вареный, то он мертвый; 2) если рак красный и мертвый, то он вареный. Следует ли из этого, что вареный и мертвый рак — красный? Разумеется, в этих примерах возможны разные способы получения результата, чо работа с таблицами истинности почти ал- горитмична. Я не знаю, как достаточно просто убедить учеников в логическом законе контрапозиции, о котором упоминал выше. На основе таблиц истинности он выводится моментально. Но довелось мне увидеть, как закон контрапозиции доказывается от противного, что некорректно. Следуя методе, принятой в этих «доказательствах», можно «доказать», что если верно некое высказывание, то верно и ему обратное. Корректно как раз наоборот: метод доказательства от противного обоснован ссылкой на логический закон контрапозиции. Приведу пример того, как работа с таблицами истинности позволяет откорректировать вольницу, которая иногда встречается.
338 Задача для учителя математики. 7-11 классы Пусть мы имеем запись: г, в которой указано на рав¬ носильность трех высказываний (или предикатов, <-» — знак операции эквивалентности на множестве высказываний). Так как в данной записи скобки опущены, естественно предположить ассоциативность этой операции. Так и есть, проверка по таблицам истинности показывает совпадение значений истинности высказываний: (р <-» д) г и /? <-> (<7 <-> г). Итак, скобки в такой записи опускать можно. Однако на практике исходная запись может быть воспринята как конъюнкция двух высказываний: (/?<->#) л (# <-» г). Таблицы истинности покажут нам, что такое толкование не соответствует истине: высказывания (р <-> q) л (q <-> г) иp<r^(q<^> г) имеют несовпадающие значения истинности. Перейдем к школьной практике. Трактуя уравнение как предикат, мы можем написать х2 = 1 <-» |л;| = 1 <-> \х\ = 1 v х = -1 (без всяких скобок). Но, произнося эту строчку вслух, не стоит употреблять союз и. Иначе говоря, произносить фразу: «Из того, что уравнение х2 = 1 равносильно уравнению х = 1 и уравнение х = 1 равносильно совокупности x=\vx = -l, получается, что корнями данного уравнения являются числа 1 или -1». Мы здесь грешим против точности. Дальнейшим шагом на пути внедрения логики в курс математики может стать ознакомление школьников с основами булевой алгебры. С ее помощью можно быстро справиться со многими логическими задачами несложными чисто техническими средствами. Применение булевой алгебры к контактным схемам служит убедительной иллюстрацией полезности математической логики. (Разве мог предположить такое сам Д. Буль?) На детей производит огромное впечатление, что возня с абстрактными символами позволяет решать конкретные задачи об электрическР1х цепях. Одна из таких задач «висела» у меня дома. В коридоре была лампочка, а при ней были два выключателя, на каждом две кнопки. Нажатие любой кнопки на любом выключателе приводило к смене состояния лампочки: если она горела, то после нажатия гасла, и напротив. Вопрос: какова соответствующая электрическая схема? Поднаторевшие в электрических схемах мальчишки решали эту задачу безо всякой там алгебры логики, но тем интереснее было получить результат от тех, кто ни разу не возился с проводами.
17. Логика в школьном курсе математики 339 И также она (булева алгебра) является прекрасным примером тому, как нечто написанное математиком «из головы» спустя много лет находит применение в других науках и сферах человеческой деятельности: в информатике и в разработке компьютерных технологий, в криптологии. Оказалось, что ее можно использовать также в теории множеств и теории вероятностей. Особый разговор поведу об обратной теореме. Мы, практически никогда не задумываясь, считаем, что высказывание, обратное высказыванию р —> #, выглядит так: # —> р. Однако не все просто даже с предложением, условие и заключение которого содержит одно (без логических союзов) высказывание. Рассмотрим дизъюнкцию двух импликаций в общем виде: (p-^q)v(q->p). Проверка по таблицам истинности показывает, что она истинна, когда хотя бы одно из высказываний истинно. Но мы знаем, что это не обязательно так, и прямое, и обратное предложения могут быть ложными. Этот пример показывает сложности формализации. Необходим более серьезный анализ процедуры обращения высказывания. В частности, при формулировке теоремы необходима разъяснительная часть, в которой «развешены» кванторы. Например, теоремы вида р —> (q -» г) и (р л q) г равносильны, но обратные им теоремы (q —» г) —»р и г —> (р л q), полученные по стандартной схеме, — нет. И какую же из последних двух теорем мы будем считать обратной? А может, и вовсе никакую, сделаем осмысленную перекомпоновку из простых высказываний данного предложения, которая приведет нас к верному предложению, и именно его назовем обратной теоремой? Итак, я не вижу бесспорного алгоритма или даже правила для создания обратного предложения. Поэтому говорить об обратной теореме как о полученной из прямой теоремы одной лишь перестановкой условия и заключения сомнительно. А может быть, даже неразумно. Увы, мне не раз приходилось читать об этом в методической литературе, сталкиваться с тем, что в формулировке исходной теоремы игнорируются разъяснительная часть, семантика и акценты в расстановке союзов. Говоря об обратных предложениях, следует объяснить ученикам, в чем состоит доказательство исключением (теорема Гаубера, названная по имени немецкого математика), чтобы не доказывать обратные предложения каждый раз, когда можно дать одну только ссылку. Приведу теорему Гаубера (в усиленной форме).
340 Задача для учителя математики. 7-11 классы Пусть имеется система нескольких предложений вида => Вг Если предложения Af и В. содержат перебор всех возможностей, то верны и обратные предложения вида В. => Аг Такова схема, к примеру, когда мы рассматриваем зависимости между длинами наклонных и их проекций, видом треугольника и соотношением квадратов длин его сторон и т. д. Сделаю несколько заключительных замечаний. И формальная, и математическая логика — это модели логики практической. А модель не абсолютно копирует реальный объект. Например, человек может «полагать», «предполагать», «надеяться», «верить», «думать», «рассчитывать» и т. д. То есть, говоря об одном и том же событии, можно построить такие фразы, как «Я полагаю, что...», «Я предполагаю, что...», «Я надеюсь, что...», «Я верю, что...», «Я думаю, что...», «Я рассчитываю, что...». Оттенки очевидны и вряд ли формализуемы. Внедрение формальной и математической логики в школьный курс математики оправдано. Таких явных оправданий несколько. 1. Она способствует росту логической культуры школьника. 2. Она может помочь точному языку там, где это необходимо, — в документах, юридических ситуациях, в ответственном разговоре. 3. Она может помочь в усвоении математических предложений. 4. Она необходима для уяснения основ информатики. 5. Она эффективно работает в целом классе задач логического характера. 6. Она демонстрирует удивительную способность интеллекта — применять математические знания в совершенно другой области, например в технике. 7. Работа с предикатами естественно увязана с основными понятиями теории множеств, без которых нынешнее математическое образование выглядит странно. 8. Сама идея — свести умозаключения к формальным алгебраическим выкладкам — и ее осуществление не могут не вызывать восхищение. Ученикам должна быть понятна неэквивалентность формальной логики и «житейской». Проще всего показывать эту разницу на примерах. Вот один из них. Возьмем два простых и верных высказывания. 1. Если температура у человека повышается, то он потеет. 2. Если человек потеет, то его температура понижается. Формально конъюнкция верных высказываний верна, но что получается? А вот что: «Если температура человека повышается, то она у него понижается». Ничего себе, следствие!
18. Гуманитарная математика 341 В этой связи интересно обсудить такую ситуацию. Пусть дана противоречивая система двух уравнений с одной переменной: Гх = 0,42, [х = 0,44. Из нее (сложив и разделив полученное равенство пополам) получаем, что х = 0,43. Формально, ссылаясь на импликацию с ложной посылкой, получаем странное верное равенство. Если же от точного знака равенства перейти в этих записях к приближенному, то получится вполне содержательный результат — среднее арифметическое, скажем, двух измерений, выполненных с некоторой точностью. Более того, именно из такого соображения мы порой выставляем отметки школьнику: если в его работе одна часть выполнена на 3, а другая на 5, то выдаем ему за работу 4. Вместе с тем, формальная и математическая логика не всегда применима на практике, иногда попросту неуместна и даже нелепа; она может только помочь человеку избежать явных логических ляпов. Надо хорошо понимать, насколько оправдано ее применение в каждом конкретном случае. Такие расхожие словечки, как «нужно», «надо», «можно», попавшие из житейской практики в математику, также требуют четкого формального истолкования. А еще лучше употреблять их пореже. Тут же уместно сказать об употреблении логической символики; это стало достаточно привычным, но, увы, иногда делается неряшливо. Ученикам надо объяснить, что знаки символической логики — это не знаки стенографии и в серьезной работе как таковые недопустимы (учащиеся особенно любят использовать в таком качестве кванторы). Всему этому стоит учить. 18. ГУМАНИТАРНАЯ МАТЕМАТИКА Разговор о культуре может быть бесконечным (по ширине и глубине) и происходить на сколь угодно высоком уровне. Моя цель гораздо скромнее — попытаться что-то понять для себя и довести это понимание до приложений в реальной работе. Культура человека предполагает, как я думаю, широту его взглядов на свою профессию, на ее смысл и положение в обществе. Предпосылкой так понятой культуры является готовность
342 Задача для учителя математики. 7-11 классы к пониманию мира во всех его проявлениях, готовность к преодолению специализированного взгляда на жизнь. (Это школа может быть специализированной, но не ученики в ней!) Вот эту готовность хотелось бы сформировать, оставаясь в рамках чуть ли не ежедневной учительской деятельности. Как же это сделать? Немного о терминологии. Иногда говорят о многих культурах — технократической, гуманитарной, религиозной... Мне сдается, однако, что культура — понятие неразрывное и можно говорить только о разных ее сторонах. И только для удобства речи я буду говорить, к примеру, «гуманитарная культура» вместо «гуманитарная сторона культуры». Широта проблемы вынуждает меня резко сузить тематику разговора. Из всевозможных обозримых направлений я выберу только два (по-моему, увязанных): противопоставление технократической и гуманитарной культуры и гуманитаризация преподавания математики. Последняя тема стала довольно живо обсуждаться в нашей педагогической и даже методической прессе. Мои размышления тут носят в какой-то степени дискуссионный характер. Разрыв технократической и гуманитарной культуры, точнее, разрыв понимания между людьми разных профессий (ученые-естественники, математики, инженеры, компьютерщики и др. — с одной стороны; люди искусства, общественные деятели, философы и др. — с другой) давно уже стал явственным. Подтверждений такого разрыва пруд пруди, начиная с времен оных. И писали об этих двух культурах много... укажу только философа О. Шпенглера, физика Ч. Сноу, лауреата Нобелевской премии И. Пригожина, математика А. Александрова, физика Е. Фейнбер- га. Сразу оговорюсь, что гуманитарная культура многолика и меня будет интересовать в первую очередь культура художественная и та научная (гуманитарная), которая связана с феноменом человека и его деятельностью. Я процитирую по случаю А. Чехова, два отрывка из его повести «Дуэль». «Он (Лаевский. — В. Р.) был совершенно незнаком с естественными науками и поэтому никогда не мог помириться с авторитетным тоном и ученым, глубокомысленным видом людей, которые занимаются муравьиными усиками и тараканьими лапками, и ему всегда было досадно, что эти люди на основании усиков, лапок и какой-то протоплазмы (он почему-то воображал ее в виде устрицы) берутся решать вопросы, охватывающие собой происхождение и жизнь человека».
18. Гуманитарная математика 343 «Гуманитарные науки тогда только будут удовлетворять человеческую мысль, когда в движении своем они встретятся с точными науками и пойдут с ними рядом... думаю, что земля покроется ледяной корой раньше, чем это случится» (фраза фон Корена, зоолога). Напомню далее общественную дискуссию, начатую в 70-х годах, о «физиках» и «лириках» — с нее и началось мое знакомство с проблемой. Осталась она в памяти еще и благодаря Б. Слуцкому с его ставшим знаменитым стихотворением, где есть такие строчки: «Что-то физики в почете, / Что-то лирики в загоне». Я буду использовать более уместную здесь аналогичную метафору: «математики» и «поэты». Основание — одно из высказываний К. Вей- ерштрасса: «Математик, который вместе с тем не несет в себе частицы поэта, никогда не станет совершенным математиком» (эту мысль Г. Штейнгауз приписывает JI. Кронекеру). Проявления разрыва этих двух культур встречаются постоянно. И сто лет назад и сейчас. Поражает беспомощность иных «математиков» в толковании общественных явлений. Вспомним упрощенные и доходящие порой до нелепостей претенциозные рассуждения «математиков», к примеру, о тенденциях общественно-исторического процесса или даже о ценностях математического образования. Вот что писал французский физиолог К. Бернар о природе этих нелепостей: «...преувеличенная вера в рассуждение зависит от чутья сложности естественных явлений... иногда чистые математики, умы в других отношениях весьма большие, впадают в ошибки. Они слишком упрощают и рассуждают о явлениях, как они их себе создали в уме, а не о тех, каковы они в природе». О. Хайям одно из четверостиший начал так: «Рабы застывших формул осмыслить жизнь хотят...», и Ш. Монтескье писал: «Если человек — хороший геометр и известен именно в этом качестве, он еще должен доказать, что он человек умный». Перейдем на шутливую волну и дадим слово мадам де Помпадур: «У всех геометров глупый вид». (Геометрами в те времена называли всех математиков.) Но также известна анекдотическая, однако воинствующая безграмотность «поэтов» и в самом элементарном научном знании, и в понимании научного метода, как такового. Порой, и это уже совсем смешно, она перемешивается с желанием выказать свою образованность. Были же такие стишки: «Площадь круга, площадь круга, 2кг...» Не могу даже сосчитать, сколько раз было написано о том, что параллельные прямые пересекаются, мол, в геометрии Лобачевского. Гиперболоид инженера Гарина следо¬
344 Задача для учителя математики. 7-11 классы вало А. Толстому заменить на параболоид, ту же «ляпу» допустил литератор А. Чудаков, говоря о конструкции из зеркал, созданной Архимедом. В одном серьезном литературоведческом исследовании о творчестве Е. Замятина написано: «...главная геометрическая фигура двумерного пространства... это квадрат». В недавно опубликованной повести я прочитал: «...многоугольник, похожий на шар». В одной из заметок в «Учительской газете» было сказано о кубе размером 3x3x2. Опять же в «Учительской газете» учитель истории ошарашивает читателя так: «Современная геометрия признала несуществующими перпендикуляры с параллелями, на основе которых построены стены наших домов». Недавно диктор телевидения объявил с экрана, что задача о «семи кенигсбергских мостах» была поставлена JI. Эйлером (!) 150 (!!) лет тому назад и до сих пор не решена (!!!). Довелось мне прочитать, что «...согласно теореме Геделя конечные причины бытия... могут оказаться до конца непознаваемыми» (культуролог Ю. Борев). Весьма трудно было объяснить «поэтам» в 2000 году, что новый век (и новое тысячелетие) еще не начался. Помогал шутливый пример: двадцатой бутылкой заканчивается первый ящик пива, а второй ящик начинается с двадцать первой бутылки. Некий журналист призывал увеличить долю зарубежных инвестиций (во что-то), уже близкую к 50%, в два и даже в три раза. В одном из прогнозов погоды на зимний день диктор объявил, что «-8» градусов будет максимальной температурой, считая ее самой низкой температурой. Я уже не говорю о многозначительной велеречивости в речах «поэтов». Вот как проехался по этому поводу английский математик А. Уайтхед: «Если философствующий автор начинает говорить с туманной утонченностью, то он, как правило, говорит бессмыслицу». Еще более желчно выразился писатель С. Моэм: «Впору было подумать, что единственное назначение культуры — это научить людей болтать глупости с важным видом». «О, насколько же невежественны люди, получившие классическое образование!» - вот резюме физика, лауреата Нобелевской премии Р. Фейнмана. Но с тем, что, к примеру, «пятидесятые годы» — это годы с 50-го по 59-й (а не с 41-го по 50-й, как должно понимать годы пятого десятка), бороться, видимо, бесполезно. Впрочем, даже ученый народ может порой «выдать» перл, как, например, два автора-химика, у которых я прочитал: «...описана лишь меньшая половина видов и растений Южной Америки». Но вот как пишет тот же наш писатель Е. Замятин, «технарь» по образованию: «Математика — это прежде всего философия, ко¬
18. Гуманитарная математика 345 торую можно применять для разъяснения современных проблем». Много ли «поэтов» понимают так нашу науку? Противостояние этих двух культур вполне обыденно, и не обязательно отыскивать тому примеры в литературе или в биографиях известных личностей. Тут и житейское понимание математики моими коллегами — гуманитариями (на профсоюзных собраниях меня обычно выбирали председателем счетной комиссии): для них математики — это те, кто считает. Мы же никак не можем принять произвольность иных толкований в речах гуманитариев и видим логические ляпсусы там, где они более всего напирают на якобы «свободный полет мысли». Но окончательно могут доконать «математика» этакие меандры в писаниях «поэта», занимающие несколько страниц, когда хватило бы двух строк. Вот пример из моей учительской жизни. Однажды я был на открытом уроке литературы популярной тогда учительницы. В классе обсуждались «Отцы и дети» И. Тургенева. Ученики лихо отвечали на поставленные вопросы и выдавали одну оригинальную - на их уровне — мысль за другой. Гости были в восторге, а я никак не мог понять, почему эти самые мысли никак не аргументировались. «Вместе с тем, однако...» Точность необходима, если хочешь докопаться до истины, если готов нести ответственность за результат, за свои речи... Сколько раз я видел и слышал дискуссии, когда их участники обсуждают нечто важное для себя, и спорят, и спорят, аж переходя на личности («А ты кто такой?»), не удосужившись даже понять, о чем говорят, я уже не говорю — согласовать. Спорить об определениях, скажет математик, бессмысленно, лишь бы они не были внутренне противоречивы, они могут быть произвольны. «Финтифлюшкой называется расфуфыренная блямба, — говорю я детям по случаю. — Вы хотите дать финтифлюшке другое определение — пожалуйста». Но если не спорить об определениях, тогда о чем же? Определения выводят математику из «громадной тавтологии», если поразмышлять над мнением, что все богатство математики выводится из аксиом. Пожалуй, спорить остается только о вкусах, хотя, согласно известной поговорке, это и вовсе бессмысленно. Довольно часто неоднозначность языка эксплуатируется говорящим в лукавых целях. Не раз я слышал подобное о вере, но вера в завтрашний восход солнца и в загробный мир не одно и то же. Вера индивидуума и вера как социальный акт — разные понятия. Итак, стремление к точности, идущее от математики, имеет четкую основу. Но везде ли и всегда ли оно необходимо? В том-то
346 Задача для учителя математики. 7-11 классы и дело, что нет, и вот тут математика должна отступить. Например, в книге «Абстракция в математике и физике» (авторы М. Каганов, Г. Любарский) я прочитал такое: «...тело — макроскопическая система, заключенная в определенный объем...». Чушь написана, сказал бы математик, ибо тело — это фигура, а объем — это величина. Но физики это пишут. Еще. Как-то я в аудитории учителей-гуманитариев спросил о разнице между двумя фразами, которые я уже упоминал. Первая: «Маша гуляет тогда, когда ей разрешили родители». Вторая: «Маша гуляет только тогда, когда ей разрешили родители». И оказалось, что для них они были равнозначны. А «математик» среагирует моментально. А помните «дырку от бублика» у Маяковского? И когда я как-то заметил в обществе литераторов, что у бублика дырки нет, наоборот, сам бублик можно считать «дыркой в пространстве», то они долго хохотали. Однако и мы, «математики», хороши. Дословное понимание фраз, оторванных от контекста, отсутствие каких бы то ни было ассоциаций, неуместное стремление к абсолютизации и наивысшей четкости мысли калечат разговор моментально. Некий крупный математик даже теоретическую физику считал «туманной болтовней». И уж говорить нечего об игре слов и смыслов, о подтексте - гипертрофия словесной точности, присущая «математикам», уже давно стала темой для анекдотов. «Что ты делаешь?» — спрашиваю я, позвонив своему приятелю-математику по телефону. Ответ: «Говорю с тобой». Это противостояние видно и в учениках. Один из них — чистый «математик» — в выпускном сочинении написал только одну страницу; этого хватило, чтобы четко ответить на поставленный в теме сочинения вопрос: «За что я люблю Маяковского?» А сколько «поэтов» буквально мучилось математикой! В одном из ученических опусов — я читал его, кажется, у Я. Перельмана - в поэтической форме утверждалось, что после нового Всемирного потопа сухим останется только учебник геометрии. Различие двух культур порой перерастает в скрытую недоброжелательность. Чего стоит стабильное в обиходе отношение к культуре, как таковой, только как к гуманитарной культуре, с полным игнорированием технократической. Творческая интеллигенция — это писатели и артисты, а не зоологи и кибернетики. Именно «поэты» — хранители духовного наследия, именно они (тут я ссылаюсь на ироничное замечание выдающегося математи¬
18. Гуманитарная математика 347 ка Г. Вейля) «владеют истиной в последней инстанции». Расхожее мнение: если некто, скажем, не имеет понятия об импрессионизме, то — «фи!», а если тот же некто не знает, почему бывают зима и лето, — подумаешь... Напомню диалог Дымова с женой из «Попрыгуньи» А. Чехова. «— Я всю жизнь занимался естественными науками и медициной, и мне некогда было интересоваться искусством. — Но ведь это ужасно, Дымов! — Почему же? Твои знакомые не знают естественных наук и медицины, однако же ты не ставишь им этого в упрек». Или вот такие строки Н. Гумилева в стихотворении «Девушке»: «Никогда ничему не поверите, прежде чем не сочтете, не смерите». Довелось мне как-то прочитать о стычке двух поэтов: — Да ты — математик! — Нет, это ты — математик! Похоже, что они этим словом ругались. Различие в толкованиях налицо, но ценнее осмыслить не только различие их позиций, но и объединение. Мне не нравится противостояние, не интересно, мне гораздо ближе их соединение, слияние. И в деятельности «поэта», и в деятельности «математика» я предпочитаю отыскивать общее. Читаем У. Фолкнера: «Я убежден, что писать человека заставляет открытие какой- либо истины». Думаю, что любой ученый подпишется под этими словами, если их отнести к его профессии. В. Белинский (вслед за Г. Гегелем) пишет: «Искусство — это мышление образами». Под этим мнением, если заменить первое слово на «геометрия», подпишется и математик. «Верьте в тождество Истины, Красоты и Добра», — написал М. Уэльбек — современный французский писатель и поэт. А вот высказывание французского поэта и философа П. Валери: «Если бы логик всегда должен был оставаться логически мыслящей личностью, он бы не стал и не мог бы стать логиком; и если поэт всегда будет только поэтом, без малейшей склонности абстрагировать и рассуждать, никакого следа в поэзии он не оставит». И такое ирландского писателя, лауреата Нобелевской премии С. Беккета: «Поразительно, как математика помогает познать себя». Прочитаем у Анатоля Франса: «Геометрия лежит в основе всего, она присутствует всюду так же, как скелет в животном. Она есть отвлечение, и она же реальность. Видимый мир прикрывает ее. Но в бесконечно многообразной игре форм, в которой вселенная
348 Задача для учителя математики; 7-11 классы является нашему удивленному духу, законы геометрии, всегда достоверные, господствуют над материей спящей и пробуждающейся, над кристаллом и человеком, Землей и созвездиями. Она царит в женской красоте, в музыкальной гармонии и поэтическом ритме, в движении мыслей. Геометрия есть мера всего. В ней — движение, в ней же и неподвижность. Счастлив тот, кто следит за прекрасным строем ее чертежей, кто открывает присущие ей и неотъемлемые свойства». Замечательно, ни один геометр не сказал так. И еще, его же: «В математике есть точность, достаточно согласующаяся с абсолютной истиной. Числа представляют опасность лишь потому, что разум, увлеченный поисками своего собственного закона, начинает, заблуждаясь, представлять себе Вселенную в виде системы чисел». Мыслей такого рода предостаточно, и среди них очень глубокие. Одна из них, весьма радикальная, принадлежит Н. Винеру: «Математика — один из видов искусства». Тут же замечу, что В. Арнольд считает математику, напротив, наукой естественной. Он пишет: «Основной вклад математики в естествознание состоит вовсе не в формальных вычислениях (или других применениях готовых математических достижений), а в исследовании тех неформальных вопросов, где точное выражение постановки вопроса (того, что именно следует искать и какие именно модели использовать) составляет обычно полдела». Как бы мне соединить эти взгляды? И я с особым пиететом отношусь к тем личностям в мировой истории, чей след многолик. «Математик — поэт» — таков образ. Примеры хорошо известны: Пифагор, Леонардо, О. Хайям, А. Дюрер, И. Гете, А. Бородин, Б. Рассел, А. Пуанкаре... Если бы противостояние двух культур приводило разве что к светскому пикированию, то и пусть. Но боюсь, что не так. Жизнь человека и общества постоянно требует сложных решений, выходящих за рамки любой профессии. Если для примера взять хотя бы образование, то открывается просто бездна, сколько о нем было высказано выдающимися мыслителями и представителями разных культур за минувшие столетия! Хочется помянуть из наших Т. Грановского и Н. Пирогова, близких к народному просвещению. Читать их — чистое удовольствие, и цитировать можно долго. Если бы реформаторы образования — прошлые и будущие — осознали нетривиальность проблематики, связанной с образованием, то их инновационной прыти заметно поубавилось бы. О нынешних реформаторах я не говорю, давно видно их необузданное прожектерство.
18. Гуманитарная математика 349 От небольшого экскурса в литературу и общие разговоры подойдем поближе к нашей работе. Что принципиально? А то, что в профессиональной деятельности учителя математики собираются обе культуры: технократическая через предметное содержание и гуманитарная через образовательную деятельность. Учитель математики влияет на формирование в сознании ребенка иерархии общечеловеческих ценностей, и поэтому «гуманитарная математика» - это то, что происходит на каждом уроке, хотим мы этого или не хотим. Бывало, в молодые годы, преисполненный восхищения перед математикой и ее методом, я пытался формализовать преподавание изо всех сил, расписать всю учебную деятельность ребенка, сообразуя ее с некими правилами, алгоритмами и предписаниями. Убрать из живого процесса образования, следуя духу науки, самого человека настолько, насколько это возможно. Прошло все это. Более того, обнаружил я, что невозможно это даже в самой математике. В самом деле, в школьном преподавании невозможна и неуместна формализация таких понятий, как «задача», «решение задачи», «доказательство»... Вряд ли стоит определять (в общеобразовательной школе), что такое функция. Иногда в этом определении употребляют термин «правило», но что такое правило? Совсем интересно получается с определением уравнения. Приходилось читать (у очень квалифицированных авторов), что уравнение — это равенствоДх) =g(x), если хотят (или надо) найти такой х, что... А если не хотят? А если не надо? Я уже писал выше, что проблемы есть и с понятием тождества. Далее, проверка в текстовой задаче, оказывается, зависит от того, как воспринимает такую задачу сам учитель: как пропедевтику прикладной задачи или как некий жанр в элементарной математике. Если первое, то проверка необходима, а если второе, то на нее можно рукой махнуть. Запросто мы используем всякие вольности речи, например, говорим «вектор лежит на прямой». Если вспомнить точный смысл этих понятий, говорим полную чушь. Нет, никуда нам не деться ни от себя, ни от «человеческого фактора». Именно потому, что гуманитарная математика (я позволю себе даже опустить кавычки) и есть наша учительская реальность, звон колоколов по этому поводу может восприниматься достаточно скептически. Этот скепсис только поддерживается путаницей в развернувшихся теоретических дискуссиях и сумятицей в конкретных действиях. Мне уже довелось прочитать, что гуманитаризацию образования в целом можно понимать как гуманизацию, но тогда проблема переносится совсем в другие дали. Что есть гуманизм
350 Задача для учителя математики. 7-11 классы по отношению к ребенку? Придать образованию, как говорят, «человеческое лицо»? Хорошо, предположим, но «человеческое лицо» в школе должна иметь не только математика, прочие предметы тоже, скажем, история. Получается, что гуманитаризиро- вать придется и гуманитарные дисциплины, как-то это странно... Другая известная крайность: математика — наука гуманитарная. Возможно и такое понимание, но тогда вообще нет проблемы! Но дела делаются, и появились учебники математики для гуманитарных классов, в которых вполне традиционное содержание иногда передается с помощью персонажей типа Петрушки. В них частенько приводятся сказки с математическим содержанием, но понимают ли их авторы, что это уже не математика, а литература (замечу, почти всегда плохого качества)? Здесь впору говорить об антигуманитарном образовании. Возникли гуманитарные школы, в которых математика сведена чуть ли не к вычислениям, а потому фактически уничтожена. Разумеется, на так понятую математику достаточно и двух часов в неделю. Проводились экзамены по математике специально для гуманитарных классов. Содержание этих экзаменов показывает, что проблема решается не содержательно, а лишь изъятием из стандартного курса задач повышенной трудности и упражнений, требующих специфической техники. Но проблема эта решается скорее прагматически, нежели концептуально. Скорее для тех, у кого всего три часа математики в неделю, а не для тех, кто хочет получить полноценное математическое образование (хотя бы и среднее), но без того, чтобы его продолжать. И выходит согласно поговорке «Тех же щей, но пожиже влей». Если же говорить о существенном в интеллекте, именно о мыслительных процессах, об их специфике в голове «гуманитария», то на чем сделать акцент? Информация в голове идет в четырех ипостасях: фигуративной (наглядно-образной), символической, семантической и поведенческой (по Д. Гилфорду). К математике имеют отношение первые три. Какие же оставить для «гуманитариев»? Полагаю, что упор надо сделать на первые две. Иначе говоря, разумно сделать акцент на развитие пространственного мышления и вербальных идей. Побольше чисто геометрической работы с фигурами, побольше неформальных рассуждений в постижении смыслов и поменьше формул и уравнений. Плюс повышенное внимание к логике. Объяснять, убеждать, доказывать, опровергать — это ведь всем может пригодиться и в самой обычной жизни, не только в профессиональной. И все это реализовать в рамках деятельностного подхода.
18. Гуманитарная математика 351 Думая о гуманитаризации образования в целом, не хочется открывать Америку. Не таковое ли оно ныне в США, о чем я знаю и по личным впечатлениям, не таким ли оно было в России прошлого века, о чем можно судить по статьям публицистов тех времен? Но тогда стоит хорошо подумать о тенденции более глобального характера. И в России тогда, и ныне в США появились призывы к «реализации», если так можно сказать, образования. К смещению гуманитарных акцентов в сторону технократических. В России так и случилось, и появились реальные училища. И нынче в США, ежегодно выкачивающих со всего мира лучшие мозги, поняли, что головами и собственной нации надо интересоваться. Известно, глобальной тенденцией в обществе являются колебания в системе ценностей, инвариантные относительно общественных катаклизмов, и тогда, естественно, колеблются приоритеты в системе народного образования. Быть может, гуманитаризацию общего образования в целом — у нас и сейчас — и нужно понимать как поиски точки равновесия между техническим и гуманитарным образованием? Эту точку ищет система образования в целом, но ее может искать и конкретный учитель. А что могу лично я? Попытаюсь довести понятие гуманитаризации до операционального уровня, ответить в конечном счете на два вопроса. Может ли школьная математика способствовать гуманитаризации общего образования, и если да, то как? Каким образом можно внести гуманитарное начало в математическое образование? Сначала о художественной культуре, точнее, о той части гуманитарного образования, которая связана с искусством, вообще с эстетикой. Еще А. Пуанкаре писал о том, что эстетический критерий является руководящим, когда математик из множества приходящих в голову идей выбирает одну-единственную. О красивом решении задачи, о красивой теории может вспомнить каждый «математик». Вот мнение А. Гротендика, одного из бурбакистов: «...едва ли человек вообще может сделать что-нибудь полезное в математике, если он не чувствует ее красоты». Красоты мысли. Вот цитата из книги Р. Пенроуза «Путь к реальности»: «Исследователи часто ссылаются на успехи Дирака, Шредингера,. Эйнштейна, Фейнмана и многих других, которые в значительной мере руководствовались эстетической привлекательностью выдвигаемых теоретических идей». И добавка: «...которые играют чрезвычайно важную роль при отборе правдоподобных вариантов новых фундаментальных физических теорий».
352 Задача для учителя математики. 7-11 классы И помяну огромное число популярных сочинений о красоте науки и математики. Вот некоторые: В. Смилга «В погоне за красотой» (это о неевклидовой геометрии); И. Стюарт «Истина и красота!» (это о симметрии); А. Эвнин «150 красивых задач для будущих математиков». Однако напомню: красота — в глазах смотрящего. Другой аспект — анализ произведения искусства с помощью математики (мне известно таковое в архитектуре, живописи, стихосложении, музыке и даже прозе). Осталось все это как-то отобразить в школьных учебниках и задачниках. Про эстетику все. Вспомним далее соединение математики с гуманитарными науками. В Древней Греции связь философии и математики была нормой. То же в Средние века, достаточно посмотреть, чему тогда обучали в университетах. Часто обращались к философии математики и в более поздние времена (А. Пуанкаре, Б. Рассел, А. Уайтхед, Г. Вейль, Н. Винер, Д. Мордухай-Болтовской, А. Александров, Н. Моисеев), а также и к психологии (Ж. Ада- мар, Г. Биркгоф, Р. Пенроуз). Математическая логика возникла в результате анализа законов правильного мышления, наука об искусственном интеллекте — порождение математики и психологии, появилась математическая лингвистика. Язык для общения с внеземной цивилизацией (коль скоро она объявится) уже разработан, и сделал это математик Г. Фрейденталь. Мне очевидно, что на уроках математики нужно говорить об истории науки вообще и математики в частности, о тенденциях к интеграции научных знаний, о личностях ученых-математиков и даже (немного) о вкладе математики в философию. Говорить-то можно, но в ежедневную учебную деятельность ребенка это не переплавить. А потому приходится думать дальше. И можно увидеть нечто общее между математикой и литературой. И та, и другая «работают» с идеальными объектами. В реальной жизни нет ни точек, ни чисел, равно как нет Дон Кихота или Анны Карениной. И там и там можно говорить как о типичных объектах, так и об уникальных. В этом направлении можно двигаться и дальше, но идея уже ясна. Еще одно: неисчерпаемость того и другого, создаваемая из весьма ограниченного круга исходных возможностей. В математике это бесконечность (потенциальная) теорем на основе небольшого числа аксиом. В литературе бесконечность сюжетов, получаемых из достаточно небогатого набора исходных ситуаций. Без сомнения, тезис об их общности можно развивать и шире, и глубже...
18. Гуманитарная математика 353 Из всех различий между математикой и гуманитарной наукой я обращаю особое внимание на резкое различие в степени формализации. Предмет математики формализован очень сильно — аксиоматика, исключительно дедуктивные доказательства. Предмет гуманитарной науки, т. е. науки о человеке и его деятельности, формализован очень мало — аксиоматика отсутствует вовсе или весьма условна («Этика» Б. Спинозы), доказательства многообразны, а не только дедуктивны. Известно, почему А. Колмогоров отказался от продолжения карьеры историка: там, как ему было сказано специалистом, для установления факта требуется несколько доказательств. И проникновение гуманитарии в математику кажется невозможным. Однако не будем торопиться и посмотрим на проблему с другого конца. Представим себе общую (неполную) картину образования и место, занимаемое в ней математикой (рис. 15). Рис. 15 Цифры на этом рисунке означают следующее: 1 — естественное образование (оно раскрывает нам природу); 2 - гуманитарное образование (оно раскрывает нам самих себя); 3 — технологическое образование (оно раскрывает нам те способы, с помощью которых мы в этой природе существуем); 4 — математическое образование. Математика обособлена, ибо предмет ее не вписывается полностью ни в одну из трех других составляющих образования. Вместе с тем каждая из них может быть отражена в процессе преподавания математики. Размышляя над этой незатейливой картинкой, можно сразу же сделать несколько выводов. 1. В идеале в общем образовании все эти четыре составляющие должны быть представлены равномерно. Точка равновесия — в балансе четырех. 2. Противоречия между этими составляющими должны быть по возможности сглажены: голова у ребенка одна и мир вокруг него тоже один.
354 Задача для учителя математики. 7-11 классы 3. Связи гуманитарных наук и математики могут обсуждаться специально. При этом возможны два неразрывных аспекта этих связей: а) проникновение математики в преподавание гуманитарных дисциплин — математизация; б) проникновение гуманитарных дисциплин в преподавание математики — гуманитаризация. Теперь я утверждаю следующее. 1. Школьная математика может способствовать гуманитаризации общего образования. 2. Математика может быть гуманитаризирована. Точный смысл этой фразы таков: некоторые черты гуманитарных наук могут быть внедрены в преподавание школьной математики. Разберемся вначале с первым утверждением (изложение мыслей конспективно). 1. Математика, отражая в себе прочие составляющие, переплавляет их в нечто единое. Знакомство учеников с «всепримени- мым» математическим методом позволяет сгладить противоречия между прочими составляющими. 2. Возьмем технологическую составляющую. В ответ на вопрос «как?» необходимо входит и ответ на вопрос «кто?». Ответ на вопрос «кто?» уже сам по себе имеет гуманитарный аспект, т. к. предполагает набор средств, которыми этот самый «кто?» владеет (вспомним историю математики). Методология математики и математическая техника являются такими средствами. 3. Таким образом математика способствует гуманитаризации общего образования и через его технологическую составляющую. При этом технологическая составляющая входит в математику непосредственно через практические задачи (прикладная математика) и опосредованно через естественные науки (физика в первую очередь). Как вывод из положений в этих трех пунктах получаем, что гуманитаризация общего образования может осуществляться косвенно посредством математики. Для этого в математике есть две возможности: использование имеющихся методов для решения практических задач, а также изучение новых методов, которые могут иметь прикладное значение. Итак, вычленяется роль математики — косвенная — для гуманитаризации образования в целом. Роль, которая испокон веку была известна учителю. Сами того не ведая, мы, если согласиться с тем, что сказано выше, уподобились мольеровскому господину Журдену, вдруг узнавшему, что он всю жизнь говорил прозой. И не уничтожением математики или выхолащиванием ее содержания, а используя методологию математики и математические
19. Компьютер. Смена парадигмы? 355 модели для решения практических задач, все более полно используя прикладной аспект математики, мы и способствуем гуманитаризации общего образования. Теперь о непосредственной гуманитаризации преподавания математики. Я вижу одно направление движения в эту сторону. Среди прочих очевидно такое ясное отличие гуманитарной науки от математики — ее неоднозначность в конкретных вопросах. Не бывает принципиально разных точек зрения на понятие, скажем, многогранника. Но есть уйма теорий, например, о том, что такое личность. Поэтому если ввести элементы неоднозначности в школьный курс математики, то это и будет элемент гуманитаризации. Где и как эту неоднозначность можно ввести в преподавание, я уже говорил. Осталось только делать это почаще. Разумеется, это легче сказать, чем внедрить. Представьте себе, что вы хотите ввести хотя бы толику неопределенности в курс анализа Э. Ландау (в нем доказано почти все без единого лишнего слова, а иногда совсем без слов) или в учебники геометрии А. Погорелова! Закончить я хочу удивительной и прекрасной мыслью Ф. Ницше: «Мы хотим внести тонкость и строгость математики во все науки, поскольку это вообще возможно; мы желаем этого не потому, что рассчитываем таким путем познавать вещи, но для того, чтобы установить этим наше человеческое отношение к вещам. Математика есть лишь средство общего и высшего человековедения». И опять хочется что-то додумать... 19. КОМПЬЮТЕР. СМЕНА ПАРАДИГМЫ? Поначалу я скептически относится к идее внедрения компьютера в школьное математическое образование. Такое отношение имеет «исторические корни». Когда я еще учился в вузе, меня обучали показывать кинофильмы. Потом была волна учебного телевидения, несколько раз мне довелось рассказывать телезрителям — абитуриентам - о решении конкурсных задач. Когда-то внедрялись в школу «суперметоды» образования — ростовский метод, липецкий метод, метод Шаталова... Давно забытые веяния... Для меня все переменилось в одночасье, когда я увидел, на дисплее моментальное разложение на множители выражения п4 + 4. (Эта задача встречается в олимпиадных сборниках как теорема Софи Жермен). На меня этот случай произвел очень сильное впечатление. С ходу появилась даже идея создать курс «компьютерной математики». Путь от идеи до реализация оказался долгим и кажется сейчас необозримым.
356 Задача для учителя математики. 7-11 классы Я начал думать «плотно» на эту тему лет 20 назад — что же реально можно сделать в школьном математическом образовании с помощью компьютера? (Сразу оговорюсь, речь идет, конечно, о программном обеспечении. Говорить «компьютер» мне привычнее). Шапочное знакомство с компьютером у меня произошло достаточно давно. В 1962 году я начал работать в 239-й школе, в которой стали готовить программистов, для чего использовали ЭВМ «Урал», затем «Минск-22». И нас, учителей математики, немного просвещали. Довелось затем вести в массовой школе курс информатики, когда его только ввели, даже обучал школьников языку Basic. Кто сейчас помнит такой язык начального программирования? Мои ученики ходили на практику в Технический университет (тогда Политехнический институт), на экскурсию — в вычислительный центр Физико-технического института им. А.Ф. Иоффе. Видел, как школьникам все это было интересно. Пытался сам программировать, освоил редактор ChiWriter, в нем можно было набирать математические символы. На машинке больше не печатал. А потом пошло, поехало. Так что мой путь к использованию компьютера для преподавания математики был не прямой и долгий. На первых порах было непросто, помогали бывшие ученики. И по сию пору они учат меня компьютерным премудростям. За прошедшие годы довелось участвовать в разных проектах, связанных с компьютером, как то: тестовая проверка, электронный учебник геометрии и сопутствующие ему материалы, дистанционный курс геометрии, геометрические преобразования графиков, экспериментальное преподавание математики с использованием различного программного обеспечения. Я остановлюсь подробнее на программах, которые были использованы (используются) мной в реальном преподавании. Первая программа, с которой я имел дело в школьном курсе математики, — Derive. Приведу некоторые задачи, которые я предлагал старшеклассникам на специальных уроках, проводившихся в компьютерном классе. 1. Каково влияние параметра на график функции? К примеру, что происходит с графиком у = х2 + ах + 1 при изменении а? 2. Как изменяют известный график некоторые «добавки»? Например, что будет, если вместо функции у = sin— рассматри- .1 2 • 19 * вать такие: у = xsm—, у = х sin—? х х
19. Компьютер. Смена парадигмы? 357 3. Каковы свойства «внешкольных» кривых (циклоида, астроида, лемниската, трактриса...)? Расскажу чуть подробнее, что происходило, например, при изучении декартова листа. Его уравнение: х3 + у3 - 3ху = 0 (рис. 16). Вначале ученые полагали, что кривая представляет собой только петлю (в первой четверти), затем X. Гюйгенс и И. Бернулли «нашли» у нее два «хвоста». Разумеется, на дисплее сразу видна кривая и за пределами первой четверти. Итак, ученики на дисплее видят эту кривую, и я спрашиваю: «Какие свойства кривой вы увидели?» Можно увидеть симметрию относительно прямой у=х, наклонную асимптоту, существование в первой четверти точки, которая более всего удалена от начала координат — точку возврата кривой. Наблюдение — только начало работы. Затем начинались поиски доказательств, подтверждающих увиденное. Например, как можно из уравнения вывести, что у декартова листа есть асимптота? Дальше я предлагал ввести параметр и понаблюдать за кривой х3 + у3 - 3аху = 0 при изменении параметра а: какие свойства сохраняются, какие - нет. В результате этих занятий я поменял обычную методику изучения функции. Традиционно мы, исследуя функцию и глядя на ее формулу, начинаем выяснять, какова область определения, что там с симметрией, пределами, экстремумами... И в конце появляется график. Работая с компьютером, мы начинаем «с конца»», идя от графика функции к ее свойствам.
358 Задача для учителя математики. 7-11 классы Ученики по итогам своей работы над конкретной задачей писали отчет. Некоторые отчеты был столь впечатляющи, что я до сих пор храню их, рука не поднимается выкинуть. Я разрешил ученикам использовать Derive и на уроках математики, и дома для выполнения домашних заданий, и на контрольных работах, и даже на переводных экзаменах. Тут есть некие проблемы, о чем позже. Затем (хронологически) некая американская благотворительная организация подарила нашей школе десять микрокомпьютеров TI-92. На первом же занятии я попросил учеников ввести в компьютер условия задач тогдашнего государственного экзамена по алгебре за девятилетку; из шести этих задач верный ответ был выдан в пяти! (Шестая задача была текстовой.) Покажу на примере, как использовался TI-92. Скажем, пред- 2 12 лагается функция у = —~ = , про которую зада- х +12х + 36 х - 36 вался рад вопросов. Один из них такой: при каких значениях х выполняется равенство у(х) = —-—? х - 6 И упрощение исходного выражения, и решение полученного уравнения выполнялось на компьютере. Работая над заданием, ученики могли найти ответ с помощью компьютера, затем его обосновать в письменном решении; могли сами вначале найти ответ, а затем проверить его на компьютере. Теперь перейду к среде «Живая математика». Раньше я был знаком только с американским вариантом этой среды (The Geometer’s Sketchpad), сейчас она переведена на русский язык. Основное применение этой среды — геометрия. Я подбирал задачи, которые наиболее эффективно решались в этой среде. Вначале (в совместном российско-американском проекте) их было чуть больше 20. В дальнейшем мной было подобрано еще около 20 задач. Подбор задач был непростым делом. Было важно включить работу с компьютерной технологией в общую дидактическую схему. В основу схемы была положена организация исследовательской и проектной деятельности ученика. При этом я постарался увязать использование компьютера с известными методиками решения задач — с рекомендациями Д. Пойа, с включением элементов прикладной математики. В каждой задачной ситуации предложен следующий примерный (не жесткий) порядок (сценарий) действий.
19. Компьютер. Смена парадигмы? 359 1. Наличие сюжетной, внематематической части. 2. Создание геометрической модели сюжетной части задачи. 3. Наводящие соображения для поиска решения или для появления гипотезы о возможном результате. 4. Формулировка гипотезы. 5. Компьютерный эксперимент. 6. Корректировка гипотезы по итогам эксперимента. 7. Неформальное подтверждение справедливости гипотезы. 8. Доказательство истинности гипотезы. 9. Поиск альтернативного решения. 10. Расширение задачи (обобщение, частные случаи). Остановлюсь на этом списке подробнее. Коль скоро мы включаем ученика в исследовательскую деятельность, предлагаемая ему задача не может быть взята «с потолка». Либо она отражает какую-то прикладную проблему, либо она является развитием уже имеющихся результатов. Для создания прикладного оттенка задачи ученикам предлагалось в начальной ее формулировке нечто вроде «сказочки». В результате анализа прикладной ситуации появляется геометрическая задача. Создание исходной геометрической формулировки стоит предоставить ученикам. Самостоятельно найденная учеником, она способствует более полному ее пониманию, по необходимости ее корректировке. Прежде чем перейти к работе с компьютером, чрезвычайно полезны предположения относительно ответа. Ученикам предлагается (по возможности) мысленно представить ситуацию и предположить возможный результат. Эти предположения могут возникнуть в результате правдоподобных рассуждений (наводящих соображений), как это советует делать Д. Пойа. Таковыми наводящими соображениями являются аналогия, разбор частных случаев, проверка обратного утверждения и т. д. В некоторых случаях к наводящим соображениям могут быть отнесены учительские рекомендации по решению задачи. Результатом использования наводящих соображений может являться появление гипотезы относительно ответа на поставленный вопрос. Компьютерный эксперимент либо опровергает возникшую гипотезу, либо корректирует ее, либо подтверждает. Если гипотеза возникла в результате наводящих соображений, то компьютер выступает как средство ее проверки. Если же гипотеза не появилась, то компьютер выступает как средство ее генерирования.
360 Задача для учителя математики. 7-11 классы Если мы доверяем использованию наводящих соображений и подтверждающей работе компьютера, то можем считать, что гипотеза доказана. Предположим, однако, что и после компьютерного эксперимента остаются сомнения в справедливости гипотезы. Тогда переходим к поиску неформальных соображений (рациональных рассуждений), подтверждающих гипотезу. Рациональное рассуждение, характерное для прикладной математики, опирается на наглядность, симметрию, непрерывность, постоянство, движение, а также на соображения, взятые из механики. А если и этого недостаточно, наши сомнения не исчезли, то воспользуемся традиционным геометрическим доказательством. В исследовательской деятельности решенная задача порождает новые вопросы, поэтому предлагается «расширение» исходной задачи. Эту часть исследования относим к проектной деятельности. В проекте ученику предлагается пройти все перечисленные выше этапы, за исключением формулировки собственно геометрической задачи — она является отправной точкой проекта. Ученику предлагается сочинить исходный сюжет, предложить наводящие соображения, сформулировать гипотезу, продумать компьютерный эксперимент, подтвердить его результаты рациональными рассуждениями и дедуктивным доказательством, искать альтернативные решения. Затем предложить дальнейшие расширения. Первое расширение показывает, что исследование не заканчивается с получением ответа на поставленный вопрос. Можно поставить новый вопрос. Второе расширение (которое в большинстве задач сложнее первого) показывает, что и с первым расширением исследовательская деятельность не заканчивается, а продолжается. По поводу расширений рассказываю ученикам историю с Э. Резерфордом, который желающим поработать в его лаборатории давал задачу, и, если этот человек приходил со словами: «Я решил задачу, какая будет следующая задача?» — Резерфорд этого человека просто увольнял, исходя из простого соображения — исследователь по духу своему сам в процессе исследования должен формулировать задачи, которые являются продолжением того, что он сделал. Вот вкратце выразительный пример задачи, решенной в этой среде. Она произвела хорошее впечатление на американских коллег. В 1785 году на маленьком острове в Карибском море пираты закопали клад. Для того, чтобы впоследствии найти клад,
19. Компьютер. Смена парадигмы? 361 они в качестве ориентиров отметили в записке две высокие горы и пальмовое дерево. Впоследствии записка с описанием поиска клада попала к историкам. Текст записки гласил: «От пальмы идите к Соколиной горе и считайте шаги. Затем поверните под прямым углом направо, сделайте такое же количество шагов, и воткните в землю палку. Вернитесь к пальме и идите к Орлиной горе, считая шаги. Поверните под прямым углом налево и сделайте такое же количество шагов. Воткните в землю другую палку. В этом случае клад будет точно посередине между двумя палками» (рис. 17). Рис. 17 Историки нашли обе горы, но пальмы на месте уже не было. Можно ли им теперь найти клад? То, что задача может быть решена, поначалу не кажется возможным. Компьютерный эксперимент (перемещение на дисплее точки, соответствующей пальме) показывает, что точка, обозначающая клад, не перемещается! Геометрическая формулировка. Два равнобедренных прямоугольных треугольника KFT (KF= FT) и LET (ТЕ = EL) имеют одну общую точку Т. Точка М — середина отрезка АХ (рис. 18). Зависит ли положение точки Мот положения точки 7? L Рис. 18
362 Задача для учителя математики. 7-11 классы Рациональное рассуждение. Пусть точка Тдвижется в восточном направлении. Поскольку точка К получена поворотом точки Г на 90° против часовой стрелки, точка К будет двигаться с той же постоянной скоростью в северном направлении. Поскольку точка L получена поворотом точки Т на 90° по часовой стрелке, она будет двигаться с той же скоростью в южном направлении. Поскольку скорости точек К и L равны по модулю, но противоположно направлены, скорость точки М— середины отрезка KL - равна нулю, и положение середины отрезка не зависит от положения точки Т. Решение. Построим прямую EF, проведем к ней перпендикуляры из точек К,М,Ти L. (Полагаем, что точки K,LylTрасположены по одну сторону от прямой EF(рис. 18). Поскольку ККХ _L EF, МА ± EF, LLX J_ EF, то ККХ || LLV поэтому KXKLL{ — трапеция. (В случае ККХ = LLX трапеция вырождается в прямоугольник.) МА _L EF и КМ= ML, следовательно, МА — средняя линия трапеции, поэтому МА = — — ^ ^ . Треугольники FKKX и FTTX — прямоугольные с равными гипотенузами, поскольку FK - FT по построению. Поскольку ККХ JL FTX и KF1. FT, получаем равенство углов: ZKXKF = ZTFTX, следовательно, AFKKX = ATFTX и ККХ = FTX. Аналогично можно доказать, что AELLX = АТЕТХ и LLX = ЕТХ. л,л ККХ+ЬЦ FTX+ETX EF „ Далее, МА — L = — L = -у. Поскольку расстоя¬ ние ЕЕ постоянно, длина отрезка МА также постоянна. Кроме того, поскольку МА — средняя линия трапеции, КХА = ALV Из равенства треугольников, доказанного выше, следует, что ТТХ - K{F= ELV Следовательно, FA=AE, т. е. А — середина отрезка EF. Таким образом, точка Млежит на серединном перпендикуляре отрезка EFh а расстоянии половины длины ЕЕ от этого отрезка. Поскольку расположение точки М не зависит от расположения точки Т, можно выбрать произвольную точку Г, отличную от точек F и Е, не только середину отрезка EF, и следовать указанному выше алгоритму построения точки М. Так как положение клада не зависит от расположения пальмы, будем считать, что точка-пальма, например, совпадает с точкой-горой (одной из гор), после чего клад находится моментально. Проект, включающий первые 20 задач, был экспериментально проверен в России и США (в США совместно с И. Люблинской и группой американских учителей.) Эксперимент показал, что
19. Компьютер. Смена парадигмы? 363 такое изучение геометрии позволяет одновременно достичь не- скольких педагогических целей и помогает школьникам открывать для себя математику. Кроме того, студенты в США (по-на- шему, школьники), принимавшие участие в данном проекте, показали заметно лучшие результаты на стандартизированных экзаменах, таких, например, как New York City Regents (выпускные экзамены, необходимые для получения аттестата зрелости) и SATs (вступительные в университет), по сравнению с контрольной группой студентов, не использовавших эти учебные материалы. Любопытны детали проведенного эксперимента. В качестве неформального подтверждения возникшей гипотезы студенты проводили порой реальный эксперимент, используя чертежные инструменты и даже реальные объекты. Например, одна девятиклассница, решая задачу о пиратах, испекла торт с кольцом, спрятанным внутри. Ее одноклассники, чтобы найти местоположение кольца, использовали на поверхности торта рассмотренный в задаче метод построения. Другие студенты при решении этой задачи раскладывали веревки на полу. Американские учителя, проводившие этот эксперимент, отметили, что: 1) повышается мотивация учеников; 2) при помощи компьютерных инструментов решение задач становится доступно более широкому кругу учащихся; 3) работа с компьютером в отличие от работы с циркулем и линейкой позволяет экономить время, которое можно использовать на обсуждение, анализ, доказательство; 4) возросшие успехи при решении задач с помощью компьютера улучшают отношение к математике в целом; 5) методику, разработанную в этом эксперименте для решения задач, можно использовать в других курсах математики. Учителя отмечали также, что использование программы будет эффективнее, если работать со специальными классами задач — на оптимизацию, на геометрическое место точек, а также предполагающими исследование большого количества случаев перед тем, как можно будет сделать вывод. Все подобранные задачи, их решения, методика работы с ними приведены в книге «Исследовательские и проектные задания по планиметрии с использованием среды “Живая математика”» (С.Г. Иванов, В.И. Рыжик. М.: Просвещение, 2013). Программа Geometry Expression’s в России почти неизвестна. Ее важная особенность — работа с символьными выражениями. Например, если задать стороны треугольника в буквенном виде,
364 Задача для учителя математики. 7-11 классы программа выведет аналитическое выражение неизвестной величины, скажем, медианы треугольника (рис. 19). Мне довелось (вместе с американскими коллегами) принять участие в разработке учебных материалов по алгебре, геометрии и началам анализа, соответствующих этой программе. Экспериментальная проверка этих материалов проводилась в двух школах США (совместно с И. Люблинской и группой американских учителей) и в одной школе России — на моих (вместе с М. Дворкиным и А. Зарембо) уроках геометрии в 8 и 9 классах и на уроках анализа в 11 классе. В приведенной задаче, используя полученные выражения для двух медиан, можно доказать равенство двух соответствующих сторон треугольника, если эти медианы равны. Кроме того, вид полученного выражения для медианы помогает найти само доказательство формулы медианы. Еще пример. В треугольнике даны три стороны, надо найти длину биссектрисы. Компьютер выдавал формулу длины, но непонятно, откуда она взялась. И тогда ученики начинали искать дополнительную информацию на рисунке. Они запросили у компьютера длины отрезков, на которые биссектриса разбивает сторону. Компьютер выдал длины этих отрезков, и стало видно, что эти длины относятся так же, как соответствующие стороны. Это был ключ к получению формулы длины биссектрисы, в итоге школьники с задачей справились. Вот еще пример задачи, решаемой с помощью этой программы (рис. 20). Рассмотрим ветвь гиперболы у = —, расположенную в первой четверти, и прямоугольник, две стороны которого лежат на осях координат, а одна вершина на гиперболе. 1. Установить, прини¬
19. Компьютер. Смена парадигмы? 365 мает ли площадь такого прямоугольника наибольшее или наименьшее значение. 2. Найти экстремальное значение периметра такого прямоугольника и определить, является оно минимальным или максимальным. В процессе исследования с помощью программы школьники прослеживают изменение как площади, так и периметра (в общем виде), перемещая точку по гиперболе, затем работают с аналитическим выражением площади (и периметра) через координаты переменной точки (рис. 21, я, б). Рис. 21 На рисунках 21 я, б на экран программа вывела уравнение для периметра, его график, график касательной к полученной кривой и ее угловой коэффициент, т. е. производную. Рассматривая рисунки, школьники приходят к выводу, что площадь прямоугольника не зависит от положения переменной точки, а для нахождения экстремального значения его периметра придется воспользоваться сведениями из алгебры и анализа.
366 Задача для учителя математики. 7-11 классы В этом случае полученное аналитическое выражение помогает не только выдвинуть гипотезу, но и обосновать ее. Но программа и тут поможет. Уроки с использованием этой программы велись в компьютерном классе. Была установлена локальная сеть, школьники получали задачу по этой сети с учительского компьютера. Окончательно они доделывали задачу дома и предъявляли ее решение в виде файла Word. Дома они также могли использовать эту программу, демоверсией которой можно пользоваться на протяжении одного месяца с момента скачивания. Эффективно программа помогала в решении геометрических задач разных типов, особо отмечу задачи на установление траектории и восстановление фигуры по точкам. Вообще замечу, что использование компьютера в геометрии эффективно для: 1) поиска и конструирования объекта, удовлетворяющего условию; 2) наблюдения за изменяющимися геометрическими объектами и за величинами, с ними связанными. Методика составления задач для этой программы (а их составлено всего порядка 60) такая же, как и при составлении задач с применением «Живой математики». Любопытно и удивительно, что с помощью этой программы можно решать и некоторые текстовые задачи, прежде всего задачи на движение. Для этого потребуется по условию задачи составить ее двумерный геометрический аналог. Изобразив геометрически ситуацию, заданную условием текстовой задачи, ученики задают некие параметры полученной конфигурации и смотрят, какие ее величины можно получить с помощью программы. В случае положительного результата появляется возможность самостоятельно составить разумную текстовую задачу. Вот пример. Два туриста вышли одновременно, один из пункта А в пункт В, а другой из В в А. Расстояние между ними равно а. Каждый шел с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно повернул обратно. Туристы встретились два раза. Первый раз они встретились на расстоянии т от пункта В. На каком расстоянии п от пункта В они встретились второй раз? Создаем геометрическую модель этой ситуации. Нарисуем базу ABCD (рис. 22). На луче AD будем откладывать время, на луче АВ — расстояние. Отрезок AD показывает время второго туриста на всем пути (будем считать для некоторого удобства, что каждый
19. Компьютер. Смена парадигмы? 367 из них финишировал там же, где начал движение). На рисунке точка К соответствует месту, в котором туристы встретились первый раз, точка L месту, в котором туристы встретились второй раз. Точки Р и Мсоответствуют моментам поворота и начала движения в обратную сторону, точка Q моменту завершения пути туриста, вышедшего из пункта А. Тангенсы углов аир равны скоростям туристов. А М Q D Рис. 22 Программа показывает, чему равно значение п, т. е. на каком расстоянии от пункта В произошла вторая встреча. Программа TI-Nspire является новой для России. Ее возможности шире, нежели у «Живой математики» за счет подключения работы с аналитическими выражениями. С ее помощью решалась задача о наличии центра симметрии у графика функции Дх) = х + cosx. В программе был реализован «алгебраический» путь. Программа решала уравнение f(a + х) + f(a -х) = 2f(a), из которого следует, что точка (a,f(a)) — центр симметрии графика этой функции. (Вид этих решений указывал на то, что центров симметрии бесконечное множество.) Затем в программе был выбран «геометрический» путь. Программа выдала два графика: один из них был графиком данной функции, а другой — графиком функции х + sinx, имеющим центр симметрии в силу нечетности этой функции, Картинка показывает, что один из графиков получается из другого наклонным сдвигом (параллельным переносом) на вектор у). В результате центр симметрии одного графика переходит в центр симметрии другого графика. Далее был выбран «функциональный» путь. Программой была найдена и упрощена производная, а затем найдено условие, при
368 Задача для учителя математики. 7-11 классы котором она тождественно равна нулю. Работа со второй производной, выполненная также программой, позволила найти точки перегиба графика этой функции. Они и показали абсциссы центров симметрии графика. На уроках геометрии в 8 классе удалось рассмотреть несколько типов задач, которые подходят для того, чтобы эффективно использовать TI-Nspire. Это задачи на построение по форме (например, построить равносторонний треугольник) или задачи на построение экстремальной фигуры (например, надо построить некую траекторию с наименьшей длиной при заданных условиях). В таких задачах был найден любопытный методический ход. Обычно задачи на построение статические. Например, построить треугольник, вписанный в окружность. Мы эту задачу интерпретировали иначе, искали траектории внутри круга, которые обеспечивают нужную форму. Мы говорили: «Вот точка на окружности, теперь надо найти еще две точки на окружности, чтобы траектория движения от первой точки ко второй, от второй к третьей и от третьей к первой была, во-первых, замкнутой ломаной, во-вторых, имела нужную форму либо ограничивала экстремальную фигуру по периметру или по площади». В чем достоинство такой трактовки задачи? Задача из статической стала динамической. Первая точка фиксирована, а вторую точку ученики ставят на окружность и начинают ее двигать, проверяя выполнение условий. При этом решение задач на построение такого типа вписывается в общую структуру задач о бильярдах. Траектории в прямоугольном бильярде, или в круглом, или в эллиптическом, были предметом серьезных математических исследований. Наконец, налицо межпредметные связи — использован закон механики: при упругом ударе о преграду угол падения равен углу отражения. Задачи на нахождение траектории не всегда бывают простыми. Приведу такой пример. Мы искали в квадрате траекторию, имеющую форму равностороннего треугольника, которая возвращает движущуюся точку в первоначальное положение. Если точку взять в вершине квадрата, то поиски такой траектории труда не составляют. Но если взять точку на стороне квадрата, это уже не так просто. Чрезвычайно существенен еще один тип задач, который хорошо может быть показан с помощью TI-Nspire, — это задачи на восстановление фигуры по точкам. Например (я умышленно беру сейчас самые простые примеры), был треугольник, мы отметили
19. Компьютер. Смена парадигмы? 369 середины сторон и стерли треугольник. Предлагаем ученикам восстановить треугольник по оставшимся серединам сторон. Забавная деталь тут такова. Один ученик рисовал на экране треугольник, отмечал середины сторон, а затем треугольник убирал с экрана. Другой ученик, решая задачу, строил свой треугольник. Затем на экране восстанавливался первый треугольник и совпадение (несовпадение) треугольников было видно непосредственно. Почему существенен такой вариант задачи на построение? Потому что мы тем самым избегаем исследования, ибо не встает вопрос о существовании фигуры, которую надо восстановить. Треугольник-то был в самом начале! Правда, ввиду того, что способы восстановления могут быть разные, вопрос о числе решений остается по-прежнему. Задача на восстановление фигуры по точкам имеет очень любопытный научный аналог. Мы взяли описания опытов, которые проводились физиками, таких опытов, за каждый из которых авторы были удостоены Нобелевской премии. Первый опыт - это опыт Резерфорда. Резерфорд получил на экране картину из некоторого множества точек. Разглядывая это множество точек, Резерфорд пришел к планетарной модели атома. Второй пример — это открытие двойной спирали. Рассматривая картину, которая была получена в результате рентгеноструктурного анализа молекулы ДНК (эта картина была показана ученикам, как и картина Резерфорда), была найдена идея пространственной спирали. И, наконец, сравнительно недавний эксперимент Д. Шехтмана по теме, связанной с квазикристаллами. Там наблюдали некое множество точек. Рассматривая его, обнаружили поразительное явление — поворотную симметрию пятого порядка, которая невозможна, как считалось ранее, для неживой природы (рис. 23). Рис. 23
370 Задача для учителя математики. 7-11 классы (На рис. 23 — проекция пространственной структуры на плоскость.) После того, как мы показали ребятам эти три примера, сказали: «Видите, наблюдение за множеством точек может привести к получению Нобелевской премии». Шутка, конечно, но после этого была предложена геометрическая задача, в которой предлагалось найти многоугольники, вершины которых находятся среди полученного на экране множества точек. Задача была такая: в правильном двенадцатиугольнике провели все диагонали. Школьники должны были увидеть вершины, например квадрата. Оказалось даже, что какие-то точки пересечения этих диагоналей лежат на логарифмической спирали. Кроме того, мы с учениками решали задачи на минимакс. Например (в шутливой форме): торт имеет форму правильного треугольника, играют Малыш и Карлсон. Малыш ставит произвольную точку, а Карлсон делает разрез так, чтобы отхватить себе больший кусок торта. Вопрос: как Малыш должен поставить точку, чтобы обеспечить себе максимально возможный при этих условиях кусок? Мы решали также задачи на построение салфетки Серпинско- го, снежинки Коха, тем самым знакомя школьников с понятием фрактала. Решая задачи на перегибание листа бумаги (по сути дела, это задачи на осевую симметрию), вышли на понятие огибающей. В традиционных задачах на построение, кроме этапа исследования, о котором я говорил, есть этап доказательства. И если ученики видели, что среди точек пересечения диагоналей правильного двенадцатиугольника есть вершины квадрата, то доказывать это можно было компьютерными средствами: проверять равенство сторон и наличие прямого угла. Был и другой путь. Ранее мы знакомили учеников с понятием элемента симметрии той или иной фигуры. Например, в равностороннем треугольнике есть ось симметрии и есть центр новоротной симметрии на 120 градусов. И все это проверялось с помощью компьютера. Программа преобразовывала фигуру указанной ей осевой симметрией (поворотом), и было видно, что треугольник самосовмещается. Аналогичная работа проводилась с квадратом. В задаче про двенадцатиугольник можно было рассматривать поворот на 90 градусов четырехугольника, «подозрительного на квадратность», вокруг точки пересечения его диагона1ей. Так как в результате такого поворота он самосовмещается, значит, имеем дело с квадратом. Без компьютера такой способ в 8 классе невозможен. Это первое.
19. Компьютер. Смена парадигмы? 371 Второе. Требуется выяснить, сколько решений имеет задача. Получались разные по положению квадраты, среди которых были равные и неравные. Трудность состояла в том, что школьникам известны признаки равенства только для треугольников, потому равенство квадратов с одинаковыми сторонами под вопросом. И тогда мы предлагали найти движение, которое первый квадрат переводит во второй. И если школьники находили такое движение, то квадраты оказывались равными. Как это сделать без компьютера, непонятно. Тут же добавлю: различные по положению квадраты считались различными решениями, несмотря на то, что квадраты были равны. В последнее время я (вместе с Р. Пименовым) использую эту программу в курсе алгебры на текущих уроках (не в компьютерном классе, а в обычном помещении) с помощью специально подготовленного мини-компьютера. В заключение скажу: некоторые общие соображения об использовании компьютера в математическом образовании школьников — осмысление собственного опыта почти двух десятилетий. Его осмысление привело меня к такой картинке (рис. 24). Она отражает, попросту говоря, список «действующих лиц» в образовательном процессе: Ш — школьник, У — учитель, К — компьютер (список явно неполный, но для нашей проблематики достаточный). Мне удалось увидеть некие связи между «действующими лицами», и я попытаюсь их проиллюстрировать, используя собственный опыт. Учитель - компьютер Часто спрашивают: «А зачем вы все это делаете? Я без компьютера это могу делать». Для того, чтобы отвечать на этот вопрос, для того, чтобы была уверенность в собственных действиях, я сформулировал для себя некоторые утверждения, которые называю постулатами.
372 Задача для учителя математики. 7-11 классы Первый постулат. Математическое образование — многогранная интеллектуальная деятельность — не только логика, не только строгая дедукция, но это еще пространственное мышление, это еще работа интуиции, формулировка гипотез, много чего еще. И все это важно для развития ребенка. Второй постулат. Математика — наука экспериментальная. Коль скоро математику можно считать наукой экспериментальной (Д. Пойа, В. Арнольд), коль скоро при изучении математики экспериментирование как таковое приветствуется (Д. Пойа), вполне естественно внедрять его в арсенал дидактических средств. Третий постулат. Компьютер играет ту же роль в математическом образовании, какую играет прибор для занятий физикой. Любой прибор предполагает наблюдение. И может отвечать на достаточно серьезные вопросы. Аналогично отношение у физика к любому прибору. Если осциллограф показывает некую кривую, то либо его показания используются в дальнейшем, либо начинаем думать, а почему он показывает именно такое? Четвертый постулат. Компьютер многократно увеличивает возможности и роль математического эксперимента. Компьютер может быть использован во всех видах интеллектуальной деятельности школьника: учебной (вычисления, построение графика и пр.), исследовательской (формулировка гипотезы и пр.) и критической (проверка гипотезы, поиски доказательства). Экспериментальные действия при изучении математики поощрялись издавна. Например, рекомендовалось организовать проверку на листе бумаги с помощью транспортира теоремы о сумме углов треугольника. Реально у детей в таком «бумажном» эксперименте 180 градусов почти никогда не получается — сам проверял. Понятно далее, что число реальных экспериментов конечно. Как-то я проверял с учениками получение приближенного значения к в игре Бюффона — было сделано порядка 1000 бросаний иглы на клетчатую бумагу. Компьютерный эксперимент в геометрии, основанный на динамической иллюстрации, меняет ситуацию принципиально, т. к. имеет континуальный (психологически) характер. Потому он убедителен. Но насколько? Пусть компьютер показывает, что «как ни гоняй» треугольник по экрану, меняя его вид, сумма углов всегда 180 градусов. Надо это затем доказывать или не надо? Ответ на этот вопрос упирается, в частности, в толкование термина «доказательство». Хотя бы доказательство в математике. Хотя бы в ее начальном преподавании.
19. Компьютер. Смена парадигмы? 373 Подчеркну особо значение компьютера для критической деятельности. Например, ученик может полагать, что чем больше стороны треугольника, тем больше его площадь. Компьютер в эксперименте обнаружит это заблуждение. Наконец, компьютер может выдать неожиданный результат. В моем личном опыте было такое: компьютер вывел прямую Симеона за исходную окружность, о чем я вначале не подозревал. Пятый постулат. Есть два равноправных уровня работы с компьютером: уровень пользователя и уровень теоретика (названия условные). Есть и третий — светский, но сейчас речь не о нем. Вообще говоря, эти два уровня необходимо присутствуют и в таком курсе математики, в котором не используется компьютер. Есть факты, которые принимаются учеником на уровне пользователя (свойства вещественных чисел; факты из геометрии, основанные на аксиомах порядка), есть и такие, которые принимаются на уровне теоретика (когда доказательство логически выдержано). Примерно то же самое происходит, когда мы используем компьютер. Например, если ученики обнаружили экспериментально группу симметрии квадрата, то мы как пользователи двигаемся дальше, используя полученный результат для решения задач. Но если нас интересует, почему так происходит, мы переходим на уровень теоретика. Шестой постулат. Результат, полученный с помощью компьютера, можно в определенных случаях считать доказанным. Сами математики полагают, что доказательство — понятие неформальное, оно из психологии. Известный специалист по математической логике В. Успенский прямо пишет, что толком ничего не доказать даже про натуральный ряд. Если толковать изображение на дисплее именно как проверку истинности некоторого утверждения, то результат, проверенный с помощью компьютера и принятый нами для дальнейшего использования, имеет смысл считать доказанным. На худой конец, дабы не дразнить иных поборников строгости, принятый нами результат компьютерного эксперимента можно назвать доказательством компьютерным (в отличие от дедуктивного или рационального). Можно предложить и специальные договоренности, в каком случае результат манипуляций с компьютером считать доказанным. Именно, если: • результат получен сначала в частном случае; • обобщение результата сформулировано на основе полученного частного результата;
374 Задача для учителя математики. 7-11 классы • последовательность шагов при доказательстве общего утверждения такая же, как при доказательстве частного утверждения; • использование программы позволяет проверить полученный результат на континуальном (психологически) уровне. Эти условия можно иллюстрировать на простом примере. Графики функций у - f(x) и у = -f(x) симметричны относительно оси абсцисс. Достаточно привести частный случай, например, рассмотреть на компьютере эту ситуацию для уравнения у = х2. Затем обобщить утверждение на произвольное уравнение такого вида. Содержательные рассуждения, основанные на работе конкретного компьютерного инструмента, можно считать доказанными, если при этом обеспечен континуум (психологический) в результате рассмотрения логически всевозможных конфигураций. Признание психологического континуума, полученного в компьютерном эксперименте, достаточным основанием для доказательства порождает использование в учебном процессе соответствующих задач. Такими являются, например, задачи, в которых на дисплее возникает некая траектория — след движущейся фигуры (в частности, точки). Добавлю: континуальность (психологическая) движения фигуры на дисплее имитирует реальное механическое движение соответствующей реальной фигуры, которое заведомо имеет континуальный характер, а потому является еще более убедительным. Седьмой постулат. Возможности, которые появляются в школьном математическом образовании при использовании компьютера, оправдывают временные затраты, необходимые при этом. Временной фактор существенен, в моей практике не было специально отведенного учебного времени на занятия с учениками в дисплейном классе. Приходилось эти уроки (1 час в неделю) проводить в рамках принятой сетки часов. Особенно показательно преподавание основ анализа в выпускном классе; на прохождение основного курса вместо 5 часов в неделю оставалось 4 часа. Пятый час был использован сугубо для освоения программы Geometry Expression’s и решения специально подобранных задач, разумеется, соответствующих программе, но не связанных напрямую с текущим материалом. Восьмой постулат. Использование компьютера сближает теоретическую и прикладную математику. Скажу иначе (чтобы никого не волновать): происходит сближение теоретического и прикладного аспекта математической науки. Такое сближение демонстрирует «математику с человеческим
19. Компьютер. Смена парадигмы? 375 лицом», делает математическое образование более «мягким», придает ему гуманитарный оттенок. Эти постулаты позволяют четче понять педагогические проблемы, порожденные использованием компьютера в математическом образовании. Что, собственно, меняется в работе учителя, использующего компьютер? Ответ будет длинный. Меняется содержание теоретического курса. Убежден, что со временем использование компьютера изменит не только технологию, но и содержание школьного курса математики. Сейчас мы делаем только первые шаги в эту сторону. Например, я уже упоминал про изучение в старших классах алгебраических кривых степени выше второй и трансцендентных кривых, знакомство восьмиклассников с фрактальными кривыми, их подведение к понятию группы симметрии. Далее. Пусть, к примеру, компьютер выдал все решения уравнения пятой степени. Я не знаю, как он это сделал, могу только предполагать, но я объясню ученикам, как он мог бы это сделать. Если эту мысль развернуть, то несложно представить появление в школе курса «компьютерной математики», ориентированной на то, чтобы работа компьютера не была для школьников загадкой. Потребуется хорошо рассказать детям об алгоритмах, итерациях, приближениях, погрешностях и т. д. Меняется содержание заданий. В самом деле, нужно ли в прежнем объеме обучать решению уравнений, нахождению производной, вычислению интегралов, построению графиков, прочим сугубо техническим умениям, если все это за пару секунд — время набора задания на клавиатуре — делает компьютер? Если и да, то недолго. В идеале надо подобрать такие задания, в которых беспомощны как школьник без компьютера, так и компьютер без школьника. Мне нравится говорить о сочетании «белкового и компьютерного интеллектов». Приведу примеры. 1. Сходимость ряда (бесконечная убывающая геометрическая прогрессия) или расходимость ряда (гармонический ряд) можно показать в вычислительном эксперименте, рассмотрев их частичные суммы, скажем, для 100 слагаемых, а затем уже доказать. 100 слагаемых — только с компьютером. 2. Появление множества точек (геометрического места точек) определенного свойства можно рассматривать как становление определенной траектории движущейся точки (серединный перпендикуляр отрезка, биссектриса угла, конические сечения, а также разные алгебраические и трансцендентные кривые. В тра¬
376 Задача для учителя математики. 7-11 классы диционном преподавании геометрии появление перед глазами непрерывной траектории исключено. Отмечу невиданные ранее возможности, когда геометрические фигуры как бы живут самостоятельной жизнью, когда с ними происходит нечто в динамике. В первую очередь выделю задачи на бесконечные процессы. То, что в них задается, по определению невозможно обозреть во всем объеме в «бескомпьютерной технологии», где мы можем воспринимать только отдельные фрагменты бесконечного процесса. Такие «процессуальные» задачи давно известны и допускают естественную классификацию: процесс может быть непрерывен, и его результат представляет собой линию (кривую); и процесс может быть дискретен, и его результат представляет собой множество изолированных точек или фигур. Вот примеры. Пример непрерывного процесса — задача о бильярде. Движение идеального бильярдного шарика (без учета сил сопротивления) бесконечно, и его траектория может иметь весьма непростые свойства, но что-то можно увидеть на дисплее. Один из легко формулируемых (но нерешаемых) вопросов про бильярдный шар: в каком случае его траектория является периодической? Замечу, что в задачах «на процессы» прямо или косвенно присутствует фактор времени, что сближает теоретическую и прикладную математику. Пример дискретного процесса — нахождение длины окружности и площади круга в процессе вписывания правильных многоугольников. Меняются акценты в преподавании. Становится важным не только то (а может быть, просто не то), что было таковым ранее. Вот нарочитый пример. Пусть надо решить уравнение х2 = ЮООх. Предположим, школьник выводит на экран графики левой и правой частей. В обозримых пределах окна дисплея (например, от —5 до 5) он увидит одну только точку их пересечения, соответствующую х = 0. Чтобы найти другую точку их пересечения, соответствующую х = 1000, он должен знать или предполагать, что она существует. В более замысловатом примере к аналогичному знанию еще надо прийти. Значит, важно откуда-то знать, сколько корней имеет данное уравнение, а потому при изучении свойств функций требуется повышенное внимание к исследованию их монотонности и поведения на бесконечности. Еще пример, очень сильный. Пропадает необходимость в решении неравенств типа/(х) > 0, ибо для этого достаточно иметь
19. Компьютер. Смена парадигмы? 377 график функции/и по нему уже отыскать на экране ее нули, дальнейшее очевидно. И теорию равносильности, и получение ответов типа 1 + л/З 1 -74 х = —-— (я уже не говорю о монстрах вида х = lg37) можно спокойно похоронить, если работаешь с компьютером. Такого рода записи чисел важны в некоторых теоретических вопросах, напри- —1 + л/5 -Q мер: число вида —-— взято из золотого сечения. И только. Виртуозность в решении фантастических уравнений — это в конечном счете «выкинутые на воздух деньги налогоплательщика». И сколько детского времени убито впустую... Меняются методические приемы учителя. Появляются новые проблемы: что и когда доверить компьютеру, а что делать «вручную»? Пример 1. Одно дело — я в 8 классе показываю, как по формуле решается квадратное уравнение, и понятно, что некоторое число таковых (какое?) ученик должен решить ручкой на бумаге. Другое дело — на выпуске из школы он может позволить себе для такого же уравнения роскошь нажатия кнопок на клавиатуре компьютера. Так в какой момент «переключать рубильник»? Пример 2. Решается уравнение е^ = 2. Компьютер выдает ответ в виде десятичной дроби. Этого достаточно? Не надо ученику писать, что * = (In 2)2? А если компьютер показывает периодичность графика и в качестве периода выдает нечто вроде 1,5707863... Кого это устроит? Замечу, что решение таких маленьких, чисто методических задач идет постоянно, а потому размышляешь, пробуешь, ошибаешься и радуешься, когда попадаешь в точку, в конечном счете обогащается профессиональный опыт. Школьник - компьютер Как должен восприниматься компьютер школьником? К учителю математики школьник имеет (по части математики) доверие практически безграничное. С компьютером так не получается, ибо компьютер может выдать нечто странное для ученика. Поэтому полезно иметь предвосхищение результата: что должно быть? Если полученный результат соответствует ожиданиям, то появляется уверенность в его истинности, а если нет ожидаемого соответствия, придется проверить разумность предположения. Вот примеры из опыта моих учеников, когда программы были далеки от совершенства.
378 Задача для учителя математики. 7-11 классу 1. При решении уравнения sinx = 0 на промежутке [10; 20] компьютер выдал не все ответы. 2. При решении уравнения (1 + cosx)(cosecx - 1) = 0 компьютер выдал в качестве одного из корней число 71. 3. При решении уравнения log2(x + 5) log3(3 - х) • у/(х + 5)(3 - х) = О компьютер выдал один из ответов такой: х = -5. 4. При решении уравнения х + у/х(-5 - х) = 1 компьютер не выдал корень —0,5. сгт г V*2+2 + Vx2+3 5. При вычислении предела lim , ответ был Мо° л/х2 + 5 выдан вовсе странный, именно л/3. В дальнейшем подобные огрехи компьютерных программ вроде бы исчезли, но проблема осталась. Экран дисплея — множество дискретных точек. Существует неустраняемая погрешность. Влияет ли она на результат, и если да, то на какой? Иногда полученному результату доверять нельзя, в частности, когда речь идет о вычислениях. Если измерять две длины с одним или двумя знаками после запятой, то может получиться, что эти длины одинаковы. А на самом деле они различны. Встает вопрос: что должен делать в этой ситуации ученик? Откуда он знает, что нужно повышать количество знаков после запятой? Еще пример. Пусть требуется построить в стандартном окне (от -10 до 10 или что-то подобное) график функции у = . х- 1000 И что же увидим? Прямую... Еще пример. Компьютер выдает рисунок. Если это график функции и экстремумы толком «не видны» (например, график у = sin— вблизи нуля), ученик должен разбираться в экстремумах х уже без компьютера. Что изменится для ученика, когда он начнет работать на уроке математики, используя компьютер? Ученик вынужден освоить, хотя бы в зачатке, экспериментальную методологию, именно: придется учиться грамотной постановке вопроса; предвидеть, осмыслить и верно истолковать полученный результат; желательно понимать, как компьютер мог бы решить данную задачу. Ученик должен овладеть искусством «прикидки»: на дисплее еще нет графика, а ученик уже должен его «видеть». Именно «видеть», а не рисовать, иначе пропадает весь смысл работы с ком¬
19. Компьютер. Смена парадигмы? 379 пьютером. Тренировке такого «видения» стоит посвятить много времени. Задание выглядит так: ученикам дается ряд функций, за определенное (весьма небольшое) время они должны нарисовать эскизы их графиков, а затем проверить полученные результаты с помощью компьютера. Программные средства разнятся и совершенствуются. Поэтому важно усвоение общей компьютерной идеологии, понимание того, что и как компьютер делает в принципе, независимо от того, с каким конкретным программным обеспечением имеем дело. Все это приводит к росту математической культуры. Школьник - учитель Какие же возможности дает компьютер для учителя в работе с учеником? Оперативный контроль. Имея заранее готовые батареи тестов, введенные в компьютер, можно практически моментально определять уровень знаний и умений учеников и отыскивать в них пробелы. Электронный учебник. Такой учебник, полагаю, не является механическим перенесением на экран дисплея некоего теорети- I ческого текста. Разумеется, это важно, но не в этом инновация, j А в том, что появляется возможность многократного повторения | объяснения учителя без участия учителя. К любому учебному ; фрагменту ученик может получить доступ, когда захочет и сколько ! угодно раз. Понятно, какое значение этот фактор может иметь | для детей, пропустивших занятие, и тем более для тех, кто долгое время не имеет возможности ходить в школу. I И в теоретической части курса компьютер позволит, к примеру, оживить мир геометрических фигур, показать их происхождение, становление в динамике. Скажем, квадрат получится соответствующим сдвигом отрезка. Я полагаю, что с помощью компьютера можно выстроить особый курс геометрии («динамическая геометрия»), который будет более близок ребенку особенно в начале курса. Организация исследовательской деятельности школьника. Случалось и так, что мои ученики самостоятельно придумывали темы 1 для достаточно оригинальных исследований — математических или программистских. Пример 1. Требуется выяснить, как влияет на график функции появление некой «добавки» (пусть другой функции). Предположим, мы хотим заняться функцией exsinx. Стоит задать вопрос: а что в этой функции сохранится от ех и что от sinx?
380 Задача для учителя математики. 7-11 классы Пример 2. «Навешивание модуля» на функцию. Пусть мы имеем п линейных функций: fvfvРассмотрим теперь такую: I/i I + I/2I + ••• + \fn\- Требуется найти зависимость числа точек излома графика этой функции от п. Пример 3. На дисплее роза с уравнением в полярных координатах г = sin Ахр при к иррациональном закрашивает весь экран полностью. Так ли это на самом деле? Результатом исследовательской работы школьника является решение им определенной задачи, в которой была возможность самому продвинуться достаточно далеко. Школьника интересует уже не только то, правильно ли он решил уравнение, его вопросы становятся куда более содержательными и гораздо более «математическими». Педагогические аспекты. Использование компьютера в интерактивном режиме обеспечивает высокую степень индивидуализации, т. е. способствует гуманизации математического образования. Компьютер убирает страх перед математикой у иных учеников. Даже «слабые» ученики могут самостоятельно вести наблюдение и обсуждать увиденное. Из пассивных или почти отключенных от процесса добывания знаний они в какой-то степени превращаются (хоть немного) в активных его участников. Сделанную работу требуется соответствующим образом оформить — этому тоже приходится учить. Мне ученики представляют свои решения в виде файла Word, сопровождая его рисунками, взятыми из какой-либо освоенной ими программы. Иногда школьнику имярек не хватило «пороху», чтобы продвинуться достаточно далеко в поставленной задаче. Но при этом видно, сколько старания он проявил в работе с компьютером, причем хотел сделать работу более красивой. Этого нельзя не учитывать при выставлении отметки. Что теперь и потом? Для понимания того, что происходит в образовании с появлением компьютерных инструментов, необходимы общие соображения. Я вижу их такими. 1. Использование компьютера в школе является откликом на возникновение «компьютерной цивилизации» и тем самым важно для среднего образования в целом. Что такое компьютер в общем контексте достижений цивилизации? В конечном счете еще одно устройство, которое позволяет сэкономить время. На что употребить освободившиеся
19. Компьютер. Смена парадигмы? 381 часы? Если на математику, то имеет смысл заняться изучением многих важных вещей, которые компьютеру не под силу, или тех, которым не нашлось до сих пор достойного места в школьной программе. Еще лучше отвести их на геометрию. Но, быть может, с более общих позиций, сократить учебную нагрузку ребенка и дать ему возможность самому распорядиться временем? Говоря это, я наступаю себе на горло — вот бы рассказать детям что-нибудь этакое. Но не лучше ли дать им возможность поваляться на травке? Хотя бы один час в неделю, отнятый от регламентированного образования, оправдает те громадные расходы, которые делаются всем миром для совершенствования компьютеров. 2. Со временем использование компьютера станет привычным в школьном деле. Но что изменится по сути? В школе появится какая-то другая математика? Школьнику не придется учить, к примеру, таблицу умножения? 3. Одна из проблем математического образования — проблема доказательства. Тут три аспекта: зачем доказывать, что доказывать и как доказывать. Необходимо выходим на практически приемлемое толкование термина «доказательство». Такое толкование возможно, если понять, какую роль оно играет в образовании. Роль эта двоякая. Первая — это проверка собственных предположений, возникших под влиянием разных причин: работы интеллектуальной интуиции, формулировки обобщений, формулировки обратных утверждений и т. д. Вторая — это способ убедить предполагаемого оппонента (ученика, учителя) в собственной правоте при решении задачи, при ответе на возникающий вопрос и т. д. Особо встает вопрос об аксиоматике в геометрии, что-то ведь надо принять как базу для дальнейших доказательств. Школьный курс геометрии чаще всего основывается (явно или неявно) на аксиоматике, принятой еще в «Началах» Евклида. Эта аксиоматика отражает возможности двух инструментов: циркуля и линейки, возникших в результате многократного использования в строительном деле и землемерии. Теперь посмотрим на такую цепочку. 1. Работа с реальными инструментами породила аксиоматику. 2. Аксиоматика нашла адекватное отражение в основных построениях. 3. Основные построения являются базой для решения задач на построение.
382 Задача для учителя математики. 7-11 классы 4. Построение фигуры является доказательством ее существования. Тем самым видно, что иное доказательство в геометрии зависит от первоначального набора инструментов, используемых на практике. Не видно серьезных логических препятствий тому, чтобы использовать компьютерные инструменты как основу аксиоматической теории геометрии. Точнее, так: можно принимать без доказательств (считать аксиоматикой) такие построения, которые содержатся в основном наборе операций программы. Например, если программа выдает перпендикуляр из точки на прямую как основную процедуру, то его существование и единственность могут быть приняты за аксиому. И на этой основе затем выстроить курс школьной планиметрии. По существу это означает только одно — мы принимаем за основу избыточную систему аксиом, но таковая весьма разумна для детей. При желании в конце курса можно обсудить с учениками вопрос о ее минимальности. С дидактической точки зрения эта позиция не нова, она ничем отличается от того, что систематический курс геометрии строится на основе уже известных знаний из начальной школы, как это сделано В. Болтянским в его учебниках. В образовании, как и в обществе в целом, идет «ползучая компьютерная революция». Поясню одним забавным примером. В 1997 году на международной конференции в США (в Индианском университете) я рассказывал, как в школе можно использовать Derive. Организаторы спросили, что мне нужно для выступления, я попросил доску, мел и тряпку. В университете началась легкая суматоха, не сразу все это было найдено. По ходу выступления я ощутил чрезвычайный интерес со стороны аудитории и местной прессы, фотографы старались вовсю. Потом только понял, чем он был вызван. Вряд ли содержанием доклада — я с мелом и тряпкой в руке был единственным «реликтовым» участником конференции, напомнившим собравшимся о «доисторических» временах в образовании. Уже тогда для остальных, собравшихся со всего света, это был вчерашний день образования. Нам повезло: мы видели, как началась «компьютерная революция». И даже можем поучаствовать в ее продвижении - как в тех направлениях, о которых я рассказал, так и в иных, сейчас нам неведомых. Мне ясно, что преподавание математики, скажем, через 100 лет, благодаря компьютеру будет совсем другим. Я убежден: когда каждый школьник будет иметь выход на компьютер,
19. Компьютер. Смена парадигмы? 383 многие вековые задачи преподавания математики разрешатся чуть ли не автоматически. И не героические усилия «новаторов», доступные, по мнению чересчур восторженных журналистов, якобы всем, не появление очередного «чудо-метода» (а сколько их было на моей I памяти!), не очередные потуги реформаторов образования очередной перетасовкой системы сделать невозможное возможным, а небольшая «железка» — грандиозное достижение человеческого интеллекта сдвинет наше дело от болтовни к реальным достижениям, как продвинул его в свое время печатный станок. Не раз я слышал, однако: «А если компьютер выйдет из строя, что тогда? Ваш ученик не сможет сделать даже простенькое уравнение!». Вопрос и смешной, и серьезный одновременно. Почему смешной — ясно. Каждый день где-нибудь ломается телевизор, так его чинят. А серьезный потому, что порождает важную ме- ; тодическую проблему: выделение минимального круга математических идей, который дает достаточно современное представление о математике. Несмотря на такое отношение к компьютеру, я далек от мысли, что вместе с ним в школу придет учительский и ученический : рай. Математическое образование станет другим, более человечным, что ли, ибо разные скучные задачи попросту исчезнут... Особливо — на вычисление; исчезли ведь и счеты (а когда-то они стояли в классных комнатах), и логарифмическая линейка (и она висела над доской). Многие нынешние проблемы преподавания канут в Лету, но появятся новые, не менее сложные. Будут учить другому и иначе. В чем — другому? Как — иначе? На эти вопросы придется отвечать уже в XXI веке. Трудно загадывать на будущее и даже безнадежно предвидеть то, как школьная математика будет использовать компьютерную технологию. Полвека назад ее вообще не было! Пока ясно вот что. Она эффективна в символизированной математике (алгебре и анализе) гораздо больше, чем в геометрии. Основа геометрии — мышление образами. Именно потому, что так важна «человеческая» альтернатива компьютерной математике, геометрия ; становится все более ценной составляющей в школьном матема- ! тическом образовании. Впрочем, эта мысль о геометрии не нова. Вот что писал около 100 лет назад американский педагог В. Юнг: «В геометрии, быть может, в большей мере, чем в каком-либо I ином математическом предмете, изучаемом в средней школе, j представляется возможность достижения всех целей, преследуемых преподаванием математики».
384 Задача для учителя математики. 7-11 классы 20. «ВРЕМЕНА ТЕПЕРЕШНИЕ» Мы дожили до «теперешних времен», как охнула одна бабуля... С началом перестроечных времен наступила пора переосмысления всего, что знал, о чем думал, к чему пришел, наступило время «вылезать из собственной шкуры», время гамбургского счета: если ты такой умный да ретивый, а тебе все только мешали, - действуй! Перефразируя древних греков, скажем: «Родос — сейчас и здесь — так прыгай!» И впрямь «попрыгали»... За последние годы в нашем деле столько навылезало всякого, как грибов после дождя. Отделить бы теперь зерна от плевел. Усердно начали считать деньги, и в образовании тоже. Доверили образовательные реформы экономистам. И что получили? Превращение образования в услугу. А чего было ждать от экономистов? Даже занятно, они ухитрились превратить тем самым и воспитание в услугу. Вольные педагогические мысли — прекрасно. Но ведь они бывают всякие. Субъект с горящими глазами может начать исповедовать все что угодно, и добро бы он это делал в пустом своем жилище, ну а если перед детьми и учителями? Мне уже довелось выслушивать таких. Ну, например, о том, что детей надо сортировать по общим интеллектуальным способностям лет в 10-11 и тех, кто не выдержал испытания, отворачивать от полноценного образования. Дать им элементарный минимум полезных знаний, что-то вроде умения считать в пределах сотни и читать тексты на уровне правил уличного движения, да научить труду как можно быстрее — и хватит с них. «Но ведь это примерно то, что предлагал Й. Геббельс для славянских детей во всемирном Третьем рейхе», - не выдержал я. «А что, Й. Геббельс был умный человек», — услышал в ответ не только я от небезызвестного автора многих книжек о воспитании детей. И что самое жуткое — у этих «теоретиков» с горящими глазами есть учителя-единомышленники, и они ведь еще делились опытом в почтенных аудиториях. Однако же все эти реформы, вольнодумства и катавасии в образовании вообще вроде бы не имеют отношения к преподаванию математики. Как-то у нас, в Питере, был небольшой семинар учителей, поднаторевших в деле. И весьма уважаемые в городе мастера безо всякого сомнения стояли на своем: школьная математика — вещь, так сказать, в себе, и решение квадратных уравнений совершенно не зависит от того, какое сейчас «тысячелетье
20. «Времена теперешние» 385 на дворе». Позиция четкая и даже привлекательная в любые времена — диктатуры или застоя, или еще какие-то, учитель математики спокойно жил среди иксов и игреков. И более того, нес в сознание учеников свет окончательной истины. Но все-таки, все-таки... Все ж таки нет былого мощного идеологического пресса, давившего в образовании инакомыслие. Сейчас можно спокойно думать не только о методах преподавания, но и о глубинном смысле собственных устремлений, о вековых культурных ценностях. Движение к мировой культуре меняет ценности образования и при этом вовсе не отменяет все предыдущее, но по-иному ставит акценты. И еще острее, чем раньше, спрашиваю себя: так кого же я хочу видеть в сидящем передо мной ребенке — инженера, повара, артиста? Компетентного индивида, вооруженного знаниями и умениями, чтобы выжить и достичь успеха в предстоящей борьбе за место под солнцем? Потребителя услуг? Нынешние беды российского образования, в том числе и математического, наводят на грустные мысли. Но совершенно нелепо искать виноватых, а тем более обнаруживать таковых. Нелепо, ибо такого рода поиски — удел примитивного сознания. Любителей найти «врагов народа» всегда было предостаточно, это трагическая часть нашей истории. Да и сейчас их хватает. Однако я всегда полагал, что отыскание «вредителей» далеко от нашего профессионального круга, и с тем большим изумлением прочитал в книге Ю. Колягина, академика РАО (!), что «виновники» нынешнего состояния дел — это «западники», зачинатели перестройки, «демократы» и сомнительные типы с нерусскими именами. И. Шарыгин тоже искал супостатов, только на стороне. Как говорится, приехали... Нелепо идеализировать математическое образование в первые послевоенные годы. Мы были винтиками в государственной машине, пропитанной идеологией, а потому и дети потихоньку превращались в такие же винтики. Но так ли уж торопиться выбрасывать старое? Традиционная советская педагогика, говоря о воспитании ученика, на первое место выдвигала задачу формирования у него мировоззрения. Это казалось малоинтересным, оно ведь было у всех одинаковое, единственное и правильное. А теперь, когда прокрустово ложе классового подхода уничтожено, что оказалось? Что мировоззрения бывают очень даже разные, и даже не научные, а религиозные. И гут же хлынуло великое наступление подспудного, откуда-то пробились и астрология, и всякого рода магия, какие-то
386 Задача для учителя математики. 7-11 классы специалисты по связям с потусторонним миром и галактическим сверхсознанием. Но все это было, было... Еще Диоген Синопский, видя толкователей снов, прорицателей и тех, кто им верит, считал, что нет никого глупее человека. Прекрасно проехался на эту тему еще А. Аверченко: «Спиритизмом называется искусство довести деревянный стол до такого состояния, чтобы он заговорил»; «Магнетизмом называется такое состояние, когда от совершенно постороннего человека внезапно начинают исходить магнетические лучи и волны. Лучи и волны очень схожи между собой, совершенно незаметны для непосвященного глаза и наблюдаются на слово». Хорошо известно даже из новейшей истории: всплеск этой галиматьи всегда сопутствует временам темным и даже трагическим. И не потому ли я должен изо всех сил держаться за самую суть дела, которое делаю, за то, что прихожу в класс как человек от науки, от научного мировоззрения, а не как специалист по таблице умножения или решатель конкурсных задач? И не поставщик услуг! Очень точно надо разобраться: я даю финальное или промежуточное математическое образование? Если финальное, можно выкинуть 90% математической техники, но долго и тщательно формировать общее представление о математике, доведенное, конечно, до простейших умений. Если промежуточное, то доля техники возрастает и приходится думать и о вступительных экзаменах, и о дальнейшей математике. Особенно остро встает вопрос о месте математики в общем среднем образовании. Острота эта подчеркивается тенденцией к гуманитаризации и — в практическом аспекте — резким уменьшением числа часов, отводимых на изучение математики. Здесь же замечу вот что. Многие реформаторы среднего образования, уничтожая математику в школе, «не видят очевидного». Элементарная математика дает ничем не заменимую возможность для естественной и регулярной деятельности по преодолению интеллектуальных трудностей, связанных с абстрактным мышлением; тем самым она удовлетворяет двум важнейшим потребностям развивающегося ребенка, о чем я уже упомянул выше, - потребности в «вооруженности» (по П. Симонову) и потребности в преодолении трудностей. Я упоминал ранее о кризисе математического образования. Теперь чуть подробнее. Проблемы математического образования (далее в тексте я буду под математическим образованием — аббревиатура МО — пони¬
20. «Времена теперешние» 387 мать среднее школьное математическое образование) в последнее время оказались предметом внимания американского и российского президентов. И что любопытно, мы перенимаем американский опыт, а в США стараются изучить опыт российский. Достоинства российского МО общепризнаны. Мне и моим коллегам по школе не раз довелось рассказывать о нем иностранным специалистам. И везде слушали, как говорится, «с открытым ртом». И не только слушали. Вот пример. Отец одного из наших выпускников стал работать в университете Лунда (Швеция), и его сын, Тимофей Д., перевелся в этот университет. Никакой он был не «олимпиадник», обычный хороший ученик. А через год от факультета этого университета пришло нам в школу приглашение, мол, пришлите нам еще человек 10 таких же, гарантируем оплату их обучения вплоть до окончания. Это были тяжелые годы для страны, начало последнего десятилетия прошлого века, потому мы согласились, и все получилось, как они предложили. Другой пример, немного комичный. Наша выпускница, Маша Л., привлекла внимание профессора математики в американском университете тем, что никогда не забывала добавлять произвольную постоянную при отыскании первообразной. Затем она стала ему помогать в работе со студентами. Полагаю, что интерес к нашему МО обусловлен его уникальностью. Уникальность сия видится мне в разных ипостасях. 1. Сциентистский подход к образованию в целом, когда основное внимание уделяется изучению основ разнообразных наук. 2. Отказ от утилитарного и рецептурного подхода к предмету. Принято у нас не только объяснять, как надо делать, но и почему надо делать именно так или сяк. Не только работать по формуле, но и показывать, откуда и зачем она появилась. 3. Достаточно большое количество часов на математику за все время обучения, начиная с первого класса и по выпускной. 4. Многолетний систематический курс геометрии в духе Евклида, разбитый на планиметрию и стереометрию. Мало где такое есть. В шутку я говорил своим зарубежным коллегам: «Не надо было засылать к нам шпионов. Главное секретное оружие СССР — это хорошо поставленное геометрическое образование». 5. Интерес к МО профессиональных ученых порой самого высокого уровня, в частности, к написанию учебников, учебной и популярной литературы. Назову только А. Александрова, П. Александрова, Д. Аносова, В. Арнольда, В. Болтянского,
388 Задача для учителя математики. 7-11 классы Н. Виленкина, И. Гельфанда, В. Гончарова, Е. Дынкина, Я. Дубнова, Я. Зельдовича, А. Колмогорова, Л. Ландау, Л. Люстерника, А. Маркушевича, С. Никольского, А. Погорелова, Э. Позняка, Л. Понтрягина, В. Тихомирова, Д. Фаддеева, А. Хинчина. 6. Наличие первоклассной профессиональной, общенаучной и научно-популярной литературы для учителей, обеспечивающей учителей и школьников полноценной математикой, ее историей, но также и методикой, дидактикой, педагогикой, психологией. Упомяну два выдающихся сочинения. Первое — три тома сборника под общим названием «Математика, ее содержание, методы и значение» (20 статей под редакцией А. Александрова, А. Колмогорова, М. Лаврентьева). Второе — пять томов под общим названием «Энциклопедия элементарной математики» (28 статей под общей редакцией П. Александрова, А. Маркушевича, А. Хинчина. В популярной математической литературе громаден вклад И. Перельмана, Б. Кордемского. 7. Постоянное внимание математического сообщества к внеклассной деятельности школьника. Тут олимпиады, заочные фи- зико-математические школы, многочисленные кружки в отдельных школах, издание дешевой научно-популярной литературы и специальных журналов для школьников, детские конференции. Как апофеоз, создание физико-математических школ, включая интернаты при университетах. Здесь неоценим вклад И. Гельфанда, Е. Дынкина, А. Колмогорова (в Москве), М. Лаврентьева (в Новосибирске), Ж. Алферова, Г. Петрашеня (в Ленинграде - Петербурге). 8. Наличие специализированных методических кабинетов, готовых оказать учителю квалифицированную помощь. Но если наш опыт востребован в мире, то откуда же нынешнее осознание надвигающейся катастрофы? Казалось бы, продолжаем в том же духе и нет никаких причин для появления специальной строчки в Указе Президента. Ан нет! И хочется понять, в чем же дело. Противоречия в математическом образовании То, что за внешним благополучием скрываются серьезные проблемы, специалисты знали давно уже. Академик А. Ершов, выступая на Шестом международном конгрессе по математическому образованию, говорил о кризисе в МО, подчеркивая нарастание противоречий в понимании целей математического образования. Именно противоречий, именно нарастание, именно целей. О кризисе можно было услышать и на совещании «Ма¬
20. «Времена теперешние» 389 тематика и общество» в Дубне в 2000 году, и на Всероссийском съезде учителей математики в Москве в 2010 году. Каковы же эти цели, каковы противоречия и в чем их нарастание? Противоречия я пытался в той или иной степени показать, резюмируя, в этой книге. Вот они: 1) между значимостью МО как части культуры и восприятием МО в обществе; 2) во взглядах на школьное математическое образование между научным и учительским сообществом; 3) в понимании роли теории и задач; 4) между многолетней ориентацией на ЗУНы (знания, умения, навыки) и ценностями МО; 5) между математикой и ее приложениями, в первую очередь физикой; 6) между учебной деятельностью ученика и другими видами деятельности, существенными для МО, — исследовательской и критической; 7) между школьной и вузовской математикой; 8) между логическим и генетическим подходом при изучении теоретического материала; 9) между значением геометрии для общего развития ребенка и тем местом, которое она занимает в реальном преподавании; 10) между различными тенденциями при выборе программного материала; 11) между процессом образования и контролем за его результатами. Обострение противоречий Введение ЕГЭ, ГИА и Стандарта обостряет почти все перечисленные выше противоречия. Тому можно привести несколько примеров. 1. Обостряется противоречие между теорией и практикой. Изучение теории уходит на второй план. Вместе с этим уходит и понимание предмета, как в целом, так и в частностях. На первый план выходит решение упражнений, точнее специальная тренировка в решении определенного круга упражнений. Эти упражнения фиксируются в открытом банке, а потому понятно, на что будут уходить учительские усилия. В учительской среде уже звучат мнения, что именно к этим упражнениям надо готовить детей чуть ли не с начальной школы.
390 Задача для учителя математики. 7-11 классы 2. Обостряется противоречие между учителем — воспитателем и учителем — технологом. Задания ЕГЭ в целом ориентированы куда больше на поступление в вуз, нежели на проверку качества МО. Учитель становится репетитором. Несколько слов о Стандарте. Существенное отличие Стандарта от программы (документа, который всегда был основой для работы) — в его юридическом статусе. Если раньше учитель мог закрыть глаза на то, что крайне проблемный ученик не знает, к примеру, что такое правильная пирамида, то теперь такое «закрытие глаз» приводит к нарушению закона. Дело не шуточное. В Стандарте используется термин «компетентностный подход». В конечном счете, кроме умений, за этим термином ничего не стоит. Эти новые умения не отменяют старые умения. И откуда же возьмется и время, и учебный материал для обучения новым умениям? (Впрочем, времена меняются быстро, и похоже, что этот термин может исчезнуть из указующих документов.) Появился в Стандарте термин «понимание». Но что за ним стоит? Известно, сколь разно понимают, к примеру, школьную геометрию разные авторы учебников. Так какого понимания придерживаться учителю? И терминология неудачна. Стандарт, по общему смыслу понятия, предназначен для калибровки изделия. Причем по формальным признакам. Какое отношение это имеет к образованию? К опыту усвоения культуры? Ах, да! К услугам, как же я забыл... Добавлю еще, средства для достижения целей обретают самостоятельность и запросто превращаются в цель. Например, решение громадного числа упражнений становится самостоятельной целью. Нарастание противоречий Нарастание противоречий связано с изменениями в содержании и структуре МО. Появляются новые ценности, возникают новые объекты внимания, новые технологии. Вклиниваясь в старую систему МО, они порождают новые противоречия. Так или иначе все это влияет на реальную школьную практику. Какие изменения уже заметны? 1. В среде (обществе) — появление Интернета, специализированных для образования компьютерных технологий. 2. В математике — возрастание роли теории множеств, дискретной математики, теории вероятностей и элементов статистики.
20. «Времена теперешние» 391 3. В школьном образовании — внедрение новых разделов курса, уменьшение общего числа отводимых на математику часов, включение новых ценностей и целей. 4. В системе контроля за результатами образования — ЕГЭ, ОГЭ, Стандарт. ЕГЭ более всего порождает мысль о прожектерстве его идеологов. Уж сколько раз в него вносились поправки. Кончилось это тем, что начальную букву в аббревиатуре ЕГЭ можно убрать, ибо экзамен перестал быть единым. И, ясное дело, новые объекты и тенденции образуют в МО новые связи и разрушают старые. Кризисные явления в МО Обострение и нарастание противоречий ведет к кризису МО. О кризисе как о реалии можно говорить тогда, когда изменения становятся существенными или происходят достаточно часто. Попытки выйти из кризиса, сгладить, а то и вовсе убрать противоречия изменяют как содержание, так и структуру МО. Явный симптом кризиса — рост общественного внимания к МО, обеспокоенность происходящим не только математического и педагогического сообщества, но и федеральной власти. Такого всплеска статей, посвященных нынешнему состоянию МО, я не припомню. Все слышнее звучит реквием по математическому образованию. Итог Кризис как таковой не есть зло. Противоречия присущи сложной системе. Кризисные явления в системе тем и полезны, что в результате их преодоления совершенствуется вся система. Но каков механизм выхода из кризиса? Один из разумных шагов в этом направлении — осознание необходимости концепции МО - уже сделан. (О качестве созданной концепции лучше не говорить.) Однако же мало этого. Очень мало. Необходима перестройка всей системы разработки и внедрения инновационных идей и проектов. Главенствующую роль надлежит отвести регионам, оставив центру экспертную и финансовую поддержку наиболее приемлемых предложений. Необходимо свести централизацию в системе образования к минимуму. Весь опыт советской и российской школы говорит о несостоятельности такой образовательной политики, когда реформистское движение определяется действиями единого центра.
392 Задача для учителя математики. 7-11 классы 21.ФТШ Последние десятилетия я работаю в физико-технической школе (ФТШ). Школа получила статус лицея, но всем удобнее называть ее так, как было при создании, — ФТШ. Школа, бакалавриат, магистратура, аспирантура в недавно созданном Академическом университете, затем профессиональная работа физика — таковы ступени становления. Так реализовалась исходная задумка академика, лауреата Нобелевской премии Ж. Алферова — соединить образование (среднее и высшее) с наукой. За более четверти века ФТШ добилась многого. Она занимает первое место в России по числу победителей всякого рода олимпиад по физике, входит в лучшую пятерку школ России по постановке научного образования. В городе она первая или среди первых по физике, математике и информатике. ФТШ проводит громадную внеклассную и внешкольную работу. Учителя школы знакомили с нашим опытом специалистов Петербурга, России, а также зарубежных. Ясное дело, ФТШ имеет громадную поддержку ученых, аспирантов, студентов Академического университета, среди них есть наши выпускники. У ФТШ есть принципиальная особенность — наши ученики проходят практику в научных лабораториях, принимая участие, разумеется очень скромное, в реальных научных исследованиях. Начав это делать в школе, кое-кто застревает в лаборатории на все студенческие годы, затем аспирантура и работа там же — такой путь уже проторен. с Мне работать в ФТШ не только интересно, но и приятно: среди коллег более десятка моих бывших учеников, а среди школьников есть дети и даже внуки тех, кого я учил когда-то. На одном из выпускных вечеров получили аттестат четверо, у которых я учил и папу, и маму. Школа элитарная. Мы уже не боимся этого термина, потребовалось только его уточнить, и в нее всегда большой конкурс, несмотря на то, что образовательные приоритеты в обществе заметно качнулись. О всех бедах, свалившихся на российскую науку, достаточно хорошо известно. Среди учеников появились дети не только из Петербурга и окрестностей. Происхождение школы, ее статус, элитарность накладывают серьезные обязательства на всех, кто тут работает. Прежде всего надо было хорошо понять, кого мы хотим видеть в «фзтэшенке».
21.ФТШ 393 Хорошо подготовленного абитуриента? Как это делается, известно и малоинтересно по содержанию. Деятельность учителя тут сводится к репетиторской, и в этой скучной работе тонет чудо развития ребенка. К сожалению, на эту дорогу очень легко сбиться даже в хорошей школе. Сугубо олимпиадника? Этакого бойкого решателя заковыристых задач? Тупиковая дорога, как я думаю. Из разумного дела всего общества по обнаружению способных детей олимпиады превратились в спортивное мероприятие престижного свойства на государственном уровне. Но тогда тренировки, сборы, отборы, натаскивание на использование в решении задач разного рода «фокусов», да еще в лимитированное время, — все это далековато от приобщения к основам науки. Уж если конкурсы, так типа конкурса юных физиков, когда задача дается этак на полгода размышления. Вообще замечу, что задачам, точнее упражнениям, в нынешнем школьном математическом образовании уделяется чрезмерное внимание, не способствующее пониманию великолепного здания математики в целом. За деревьями (упражнениями) исчезает из виду лес. Будущего студента? Уже интереснее, появляются серьезные задачи, например обучение самостоятельной деятельности. Здесь работа с учебником, с первоисточником, семинары, курсовые работы, публичные выступления реферативного характера, участие в конференциях... Но все-таки студент в основном нацелен на приобретение знаний и умений. Так что же, готовить будущего специалиста, в нашем случае физика? Цель большая и почетная. Но меня что-то настораживает. Что? Известно ведь: «Планету погубят специалисты». В каком смысле? А в том, что «специалист» в контексте последней фразы — человек только одного видения мира, чисто профессионального, а потому одноцветного. С таким видением мы сталкиваемся на каждом шагу. Послушать таких профессионалов — так главное дело в жизни общества как раз то, чем именно они и занимаются: война, искусство, образование, экология, животноводство... Еще интереснее — и это уже настоящая работа — готовить будущего исследователя, путника, ползущего вверх по узенькой тропочке между неизвестным и знакомым, будущего первопро- ходителя. (Элитарность я бы толковал как способность индивида чувствовать себя комфортно именно в такой ситуации.) А исследователя я бы сравнил с интеллектуальным авантюристом. Сейчас основная цель школы — формирование исследователя. Потому во главу угла ставится личность и начинается не¬
394 Задача для учителя математики. 7-11 классы прерывный процесс, который продолжается в высшей школе и окончательно оформляется только в профессиональной деятельности. Принятие этой точки зрения порождает множество инноваций в методике, дидактике, педагогике, в реальной работе учителя. На авансцену выходят не знания и умения, а понимание; знания и умения — только предпосылки понимания. Знания (точнее, информация, отнесенная к знаниям) весьма часто находятся в учебниках, справочниках, и специалист просто должен знать, куда посмотреть. (Кстати, я плохо понимаю, почему ученик не может всегда пользоваться справочниками — даже на экзамене; умнее от этого не становишься, а память от волнения, чрезмерной мотивации может отказать.) Но если в рамках учебной деятельности я все же обязан «нажимать» на приобретение громадной массы фактических знаний, то в рамках исследовательской деятельности я могу быть куда менее «жестким». Точно такой же разговор можно повести и про умения. Многие умения сейчас отнесены к компьютеру и даже к микрокалькулятору. И, грубо говоря, если ученик не может решить какое-то уравнение, не беда, ибо его всегда «решит» компьютер. Не беда, если мы говорим не про учебную деятельность, а про исследовательскую. Впрочем, даже в рамках учебной деятельности нелепо абсолютное запрещение пользования калькулятором. Я знаю детей, которые затруднялись в вычислениях, у них были проблемы даже с таблицей умножения по причинам скорее физиологическим, они чуть ли не наследовали эту особенность. Это не мешает им быть весьма способными в живописи, музыке. Помочь таким детям, дав в руки калькулятор, — святое дело. Далее, упор делается на максимально возможную самостоятельность ученика даже при изучении теории. Оказывается, что этой линии больше соответствует работа не с учебником, а со справочником. В нем есть все результаты, а доказательства надо придумывать самим. Так я обучал основам анализа. Многое меняется в организации образовательного процесса. Иначе проводятся уроки, самостоятельные работы, экзамены, иначе оцениваются ответы и т. д. Меняется содержание упражнений, домашних заданий... Все более индивидуализируется работа ученика. Он выполняет не столько общее домашнее задание, сколько то, которое выбрал сам. В результате растет его самооценка. В общем, преобразуется вся наработанная система работы учителя. И, разумеется, меняется атмосфера урока.
21.. ФТШ 395 Учитывая потребности физики и использование компьютера, я составил программу четырехлетнего обучения по курсу алгебры и начал анализа. Приведу ее фрагменты. Первый фрагмент — из пояснительной записки. Четырехлетнему математическому образованию в физико-технической школе соответствуют несколько важных целей и ценностей. Вот их перечень (не по степени важности). • Способствовать верному пониманию математики как науки, в частности пониманию взаимосвязей ее различных разделов. • Подготовить выпускников школы к продолжению математического образования в высшей школе, причем на уровне, достаточном для получения профессионального образования в области физики и математики. • Сформировать основы исследовательской деятельности. • Сформировать основы критической деятельности. • Способствовать развитию ученика во всех отношениях (интеллект, характер, мировоззрение, эмоции, способности, мотивация). В соответствии с этими целями и ценностями в программе необходимо было учесть несколько моментов. 1. Математика как наука имеет своим содержанием: а) изучение имеющихся математических моделей и получение новых; б) использование готовых моделей; в) обоснование имеющихся математических методов. Поэтому в программе отражены и собственно математические методы, и их применение в прикладной ситуации, также и аксиоматический метод. 2. Чрезвычайно важно в математическом образовании довести до сознания учеников мировоззренческие идеи: а) детерминистский и стохастический подходы к действительности (поэтому в программе важное значение придается дифференциальным уравнениям, их составлению, а также элементам теории вероятностей); б) идею бесконечности (поэтому в программе введены основные понятия теории множеств и некоторые факты, связанные с понятием мощности множества), подчеркивается значимость и возможность сведения бесконечного к конечному; в) идею непрерывного и дискретного (поэтому в программе находятся, наряду с анализом бесконечно малых, элементы конечной математики). Большое, если не решающее значение при составлении программы имели следующие соображения. 1. Для изучения физики весь необходимый математический аппарат должен быть готов в надлежащее время, причем в первую
396 Задача для учителя математики. 7-11 классы очередь на оперативном уровне. Реально это означает, что ученики, к примеру, обучаются дифференцировать простейшие функции раньше, чем они познакомятся с обоснованием операции дифференцирования на достаточно высоком уровне строгости. 2. Использование компьютерных инструментов не только позволяет сократить время при выполнении чисто технической части математической деятельности, но и наполняет эту деятельность новым содержанием. В частности, появляются разнообразные возможности соединения интеллекта и компьютерных технологий. 3. В любом случае курс математики должен в главном мажорировать стандартный курс, который имеется в специализированной математической школе. Четырехлетнее математическое образование разбивается на два этапа. На первом этапе (8—9 классы) основное внимание уделяется «оперативной математике», иначе говоря, технической стороне дела. На втором этапе (10—11 классы) основное внимание уделяется обоснованию, расширению и углублению полученных знаний, дальнейшему совершенствованию умений. Об одной детали чуть подробнее. Состояние исследования возбуждает интерес, мобилизует волю, творческие потенции. Ученый тем и отличается, что у него в голове всегда «сидит задача». Помню, как давно еще В. Болтянский, выступая перед моими учениками, удивил их высказыванием о том, что ученому-теоре- тику не надо каждый день ходить на работу, ибо его голова всегда работает над решением задачи, даже когда он спит. Любопытно, что потом об этой особенности работы мозга мне говорили и дети — только задача должна «зацепить». Как создать эту ситуацию в обыденных учебных условиях? Ключевой для нее я вижу куда большую степень неопределенности, чем обычно. И потому стараюсь неопределенность, как таковую, почаще вставлять в образовательный процесс. Неопределенность весьма разнообразна в проявлениях. Вот пример. Некогда я проводил устный экзамен по геометрии. Билетов в традиционном понимании не было, было нечто другое. Каждый ученик получал персональное задание. В этом задании описан какой-то конкретный, не вполне стандартный многогранник, ну, например, многогранник, состоящий из двух правильных треугольных пирамид, совмещенных основаниями. Другие их грани каким-то образом фиксированы. И в течение двух часов экзаменующийся должен был сам установить свойства этого мно¬
21.ФТШ 397 гогранника, а о наиболее интересных рассказать экзаменаторам. По желанию последних ученик должен показать и выкладки, подтверждающие полученные результаты. При этом ученик мог высказывать и гипотетические предположения, обязательно это оговорив. Аналогично был устроен экзамен по геометрии в 9 классе. В результате оказалось, что включение в образовательный процесс исследовательской деятельности (плюс критической), акцент на понимание делает образование гораздо более содержательным и куда более интересным. Однако «теперешние времена» вносят новые коррективы в так понятую цель существования ФТШ. Появилась воистину ЦЕЛЬ - готовить не просто первопроходителя, а исследователя «культурного».
Заключение Размышляя о «хорошей задаче», я пришел к такой вот триаде: «увидел, понят, доказал». Что такое «доказал», я говорить здесь не буду. Но что такое «увидел, понял»? Вернемся к задаче о нахождении радиуса шара, описанного около прямоугольного тетраэдра. «Увидел» — в своем пространственном представлении воссоздал такой тетраэдр как часть прямоугольного параллелепипеда. «Понял» - установил связь между центром шара, описанного около этого тетраэдра, и центром шара, описанного около этого прямоугольного параллелепипеда. Эти центры совпадают. Еще пример. Требуется доказать, что производная от четной функции нечетна. «Увидел» — перевел задачу на геометрический язык в виде такого рисунка (рис. 25). «Понял» — нашел переход от равенства углов равнобедренного треугольника к равенству модулей тангенсов соответствующих углов, т. е. к тому, что противоположны значения производной, сосчитанные в точках х и -х. Впрочем, все это премудрости школьной математики, и только. Гораздо позже неожиданно для себя я нашел в этих словах совсем другой смысл. У А. Эйнштейна есть такое: «Радость видеть и понимать есть самый прекрасный дар природы!» «Радость видеть и понимать...» В этих словах слились воедино чувство, эмоция и разум — все то, что дает человеку возможность открывать. Детям — мир и нас, а нам — их.
Содержание Предисловие 3 1. Каждый везет свою тачку 4 2. «АСУ» учителя 10 3. Понять, что делаю 38 4. Начало пути — и сразу проблемы 64 5. «Война» с ОДЗ 71 6. Давайте сделаем проверку 81 7. Дидактические материалы, тесты, задачи 109 8. Хорошая задача делает нас умнее 133 9. О задачах в учебнике 146 10. На ошибках учат 182 11. Человек критический 210 12. О понимании 231 13. Упростить? Нет ничего проще?! 266 14. Творчество на каждом уроке 275 15. С одной стороны... С другой стороны 283 16. Не равна нулю 315 17. Логика в школьном курсе математики 320 18. Гуманитарная математика 341 19. Компьютер. Смена парадигмы? 355 20. «Времена теперешние» 384 21. ФТШ 392 Заключение 398
Учебно-методическое пособие f учителя математики МАСТЕРСКАЯ Рыжик Валерий Идельевич ЗАДАЧА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ Выпускающий редактор Ирина Нагибина Дизайн обложки и верстка Дмитрия Сахарова По вопросам приобретения книг издательства «ВАКО» обращаться в ООО «Образовательный проект» по телефонам: 8 (495) 778-58-27, 967-19-26. Сайт: www.obrazpro.ru Приглашаем к сотрудничеству авторов. Телефон: 8 (495) 507-33-42. Сайт: www.vaco.ru Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции О К 005-93-953000. Издательство «ВАКО» Подписано в печать 30.08.2016. Формат 84х 108/32. Печать офсетная. Гарнитура Newton. Уел. печ. листов 21. Тираж 2000 экз. Заказ №0880. Отпечатано в полном соответствии с предоставленными материалами в типографии ООО «Чеховский печатник». 142300, Московская область, г. Чехов, ул. Полиграфистов, д. 1. Тел.: +7-915-222-15-42, +7-926-063-81-80. 7—11 классы