/
Author: Виленкин Н.Я. Жохов В.И. Чесноков А.С. Шварцбурд С.И.
Tags: общее школьное образование общеобразовательная школа математика учебные пособия и учебники по математике 6 класс точные науки
ISBN: 978-5-346-04266-2
Year: 2019
Text
МАТ&ИАТИКА
Н. Я. ВИЛЕНКИН
В. и. жохов
А. С ЧЕСНОКОВ
С И. ШВАРЦБУРД
УЧЕБНИК
для общеобразовательных
организаций
Рекомендовано
Министерством просвещения
Российской Федерации
37-е издание, стереотипное
Москва 2019
УДК 373.167.1:51
НБК 22.1я721
В44
На учебник получены положительные заключения по результатам трек экспертиз:
научной (Российская академия наук, № 004940 от 19.12,2016),
педагогической (Российская академия наук, ыс 005047 от 19,12,2016}
и общественной (РЦ1БА, № 03/16*0375 от 26.12.2016}
Виленкин Н. Я.
В-1-1 Математика. 6 класс : учебник для общеобразовательных
организации : в 2 ч. Ч. 2 / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов,
А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. — 37-е изд., стер. — М. :
Мнемозиня, 2019. — 160с. : ид.
ISBN 978-5-346-04266-2
Проверенный временем и Переработанный учебник соответствует ФГОС
и Примерной образовательной, программе основного общего обрвэованни.
Разработан с учетом возрастных и гендерных особенностей восприятия
материала учащимися. Глубоко (додуманная ооследовательность йодан и
теоретического и практического материала эффектнкно развивает ммпите-
вне, наметь и речь учащихся. Нторлл чапть учебникл носил щепа нлучеиню
ряцианллт.ш.гх чисел, состлплспию и penienitm урплнспиП, оп>гллям пагляд-
иого предстиллсиил данных.
УДК 373.167.1:51
БЕК 22.1Л721
Учебное издание
Виленкин Наум Яковлевич, Жохов Владимир Иванович,
Чесноков Александр Семёнович, Шварцбурд Семён Исаакович
МАТЕМАТИКА
6 класс
Учебник для общеобразовательных организаций
В двух частях
Ч&сгь 2
Генеральный директор издательства М. И. Безеикпнная
Редакторы Г. С. Уланским, В. В. Черноруцкий
Оформление и художественное редактирование: Т. С. Богданова
Технический редактор О. Б. Резникова. Корректоры С. О. Николаев, А. В. Дёлшка
Компьютерная вёрстка: Af А. Колшрма
Формат 70*90 */16. Бумага офсетная V; 1. Гарнитура ♦ Шкильнии♦.
Печать офсетная. Усл. иеч. л. 11,70. Дин. тираж 50 000 эка. Зиказ X
Издательство «Мнсмозина*. 105043, Москва, ул. ti-к Парконая, 2В 6.
Тед.: 8 (199} 367 5413, 367 6761. E-tiiall; кк^ишет021пж.Г11 wA-wjutiemoxliiia.ru
ИНТЕРНЕТ-магйэим. Тел.: 8 (495)783 8284. www.aho|>.ituiemoalna.ru
Отпеча тано Я филиале .Тнерской пол1сграфи|теский комбинат
детской литературы* ОАО •Издательство “Нысшая ШКОЛЬ"*.
170010, г. Тнерь, проспект 50 лет Октнбрк. д. 46.
Тел.: » 7(1822)44-85-98. Факс: 17 (4822)44-61-51.
ISBN 078-5-346-04261-8 (общ.)
ISBN 978-6-346-04266-2 (ч. 2)
© • Млемоаниа*. 1996
© *Мнем03нна», 2017, с изменениями
© «Мнемояяна», 2019
ф Оформление, *Миемоэ1гна>, 2019
!)«• правя ЧЙЩНП11Г11Ы
Предисловие
Математика — самая древняя из наук, она была и остаётся необходимой
людям. Слово -математика» греческого происхождения. Оно означает «наука*,
-размышление". В древности полученные знания, открытия часто старались со-
хранить в тайне. Например, в школе ПифагОра запрещено было делиться сво-
ими знаниями с непифа! орейцами. За нарушение згою правила один из уче-
ников, требовавший свободного обмена знаниями, — Гиппйс — был изгнан из
школы. Его сторонников стали называть математиками, т. е. приверженцами на-
уки.
Все без исключения начинают изучать основы математики уже с первых
классов школы, потому что эта наука нужна всем, особенно сейчас, когда ма-
тематика проникла во все отрасли знаний — физику и химию, науки о языке
и медицину, астрономию и биологию и т. д. Математики учат вычислительные
машины сочинять стихи и музыку, измерять размеры атомов и проектировать
ИЛ01ИНЫ ЭлекIрос 13нций.
Математика необходима в любой профессии, какую бы вы ни выбрали для
себя. Но кроме того, вы могли заметить: это и очень интересная и увлекатель-
ная наука Любите её
Желаем нам успехов и радости открытий в необозримом море — матема-
тике!
з
Часть 2
рациональные числа
§ 5. Положительные
и отрицательные числа
§ 6. Сложение и вычитание
положительных
и отрицательных чисел
§ 7. Умножение и деление
положительных
и отрицательных чисел
§ 8. Решение уравнений
§ 9. Координаты на плоское
Условные обозначения
— сведения, на которые надо обратить внимание, хорошо запомнить.
Иногда они выделены шрифтом
— правила и теоретические сведения, которые надо знать наизусть
— в этом месте объяснитепыного текста можно остановиться, обдумать
иречиганное, попьпагьсн решигь несколько упражнений по новой геме.
— вопросы к объяснительному тексту учебника.
— упражнения для работы в паре или группе
— упражнения для работы в классе по теме данного пункта,
упражнения для постороння ранее пройденного материала. {Некоторые
из этих упражнений имеют дополнительные номера: 1), 2), 3). 4) и т. д.
Они предназначены для самостоятельной работы. При этом нечётные
номера это задания для 1-го варианта, а чётные для 2-го вари-
анта)
— упражнения для домашней работы
рассказы об истории возникновения и развития математики, нс зная
прошлого науки, трудно понять её настоящее.
По тому, как человек говорит, можно судить о его культуре и интеллекте^
об умении думать. Поэтому учитесь говорить правильно. В этом вам по-
могут примеры и пояснения, данные в рубрике, отмеченной славянской
буксой -глаголь*.
В этой рубрике помещены задачи, 1юм01ающие учиться думагь, рассуж-
дать, делать наблюдения и выводы, расширяющие круг математических
знаний и представлений.
Ж
Чтобы изучение математики было успешным, чтобы учиться было интерес-
но, нужно быть внимательным и сообразительным, уметь хорошо и быстро
запоминать, обладать сильной волей. Эти качества можно развить. В этом
вам помогут специальные игры и упражнения рубрики, отмеченной сла-
вянской буквой -мыслёге».
6
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ
ЧИСЛА
26. Координаты на прямой
Точка О на прямой Дб (рис. 1) разбивает эту прямую на
два дополнительных луча — ОД и Об. Выберем единичный
отрезок и примем точку О за начало отсчёта. Тогда поло-
жение точки на каждом из лучей задаётся её координатой.
Чтобы отличить друг от друга координаты на этих лучах, ус-
ловились ставить перед координатами на одном луче знак
“+*, а перед координатами на другом луче знак *-».
-4 -3 2 -1 0 +1 +2 +3 44
-»-к--4-+--1-1--1-1-1-
АО В
Рис. 1
Положи mt ль
ные числа
-5 -3,6
—I---------
В
Отри цатлл ьн wr
числа
Числа со знаком «+* называют положительными. Пи-
2 1
шут: +1. +5. + ji +2 4< -+3.6 — и читают: «Плюс один», «Плюс
пять», -Плюс две третьих», «Плюс две целых одна четвёр-
тая*, «Плюс три целых шесть десятых* (рис. 2).
-2j -1-| 0-4+1 +2± +3,6 +5
4 о о 4
------------♦I—III—I+-------------+------<—
А О С
Рис. 2
Числа СО Знаком «—» называют отрицательными. Пи-
о 1
шут: -1, -5, -4. -2—. -3,6 — и читают: «Минус один»,
J ‘т
•Минус пять-, «Минус две третьих», - Минус две целых одна
четвертая», «Минус три целых шесть десятых» (рис. 2}.
Для краткости записи обычно опускают знак «+» перед
положительными числами и вместо +7 пишут 7. Поэтому
2 2
+7 ~ 7, +2х - 2 х, —6,3 - 6,3, т. е. -т-7 и 7 — это одно и то
же число, только по-разному обозначенное.
7
Начало
отсчёта
Координат нал
лрллая
Единичный
атремк
Координата
точки
Начало отсчёта (или начало координат) —
точка О изображает 0 (нуль). Само число 0 не
является ни положительным, ни отрицатель-
ным. Оно отделяет положительные числа от
отрица тельных.
Прямые могут находиться в различных по-
ложениях. Поэюму дополни г ельные лучи мо-
гут идти не только влево и вправо, но, напри-
мер. вверх и вниз.
Бели прямая расположена । оризон 1аньно,
то обычно положительными считают коорди-
наты точек, расположенных справа от точки О,
а о г рица тельными — координаты ючек, распо-
ложенных слева от точки О (см рис. 2).
Если прямая расположена вертикально, то
положительными считают координаты точек,
находящихся выше точки О, а отрицательны-
ми — координаты точек, находящихся ниже
точки О (рис. 3). Положительное направление
отмечают стрелкой.
Прямую с выбранными на ней началом
отсчёта, единичным отрезком и направле-
нием называют координатной прямой.
Число, показывающее положение точ-
ки на прямой, называют координатой этой
точки.
Рис. 3
Точка Л на рисунках 2 и 3 имеет координату -24» точ-
ка В — координату -3,6, а точка С — координату 3,6.
Пишут: Л' -211, В(-3,6), С(3.6).
С координатой прямой мы
встречаемся на уроках истории
(•линия времени»), на уроках гво-
। рафии (-шкала ВЫСОТ”). Шкалу с
положительными и отрицательными
числами и нулем имеют термоме-
|ры. Начало отсчёта coorueiciByei
температуре таяния льда (замерза-
ния воды) О С. При 100 С закипает
но да и превращав 1Ся в пар.
Что такое координатная прямая?
Что называют координатой точки на прямой?
Какими числами являются координаты точек на горизонтальной
Iрамой, расположенных;
а) справа от начала координат;
б) слева от начала координат?
Какую координату имеет начало координат?
Какими числами обозначают координаты точек на вертикальной
прямой, расположенных;
а) выше начала координат;
б) ниже начала координат?
"I. Поезд вышел со станции Петропавловск (рис, 4) и идёт со скоро-
стью 90 км/ч. В какой город придёт поезд через 3 ч? Где будет
находиться поезд:
а) через 10 ч, если он идёт в Новосибирск;
б) через 5 ч, если он идёт в Челябинск?
Рис, 4
2. Из спортивного лагеря (рис, 5) выходит группа туристов и движет-
ся по шоссе. Покажите, где будут находиться туристы:
я) через 3 ч, если они идут со скоростью 3 км/ч;
б) через 2 ч, если они идут со скоростью 4 км/ч.
Что ещё надо знать, чтобы на каждый вопрос был только один
3. Находясь в походе, туристы побывали в пунктах Л\ Л-f и Р
(см. рис. 5). Где по отношению к лагерю находятся эти пункты?
4. Проведите горизонтальную прямую и отметьте
на ней точку О. Отметьте на этой прямой точки
А, В, С и А', если известно, что:
а) Л правее О на 6 клеток;
б) В левее О на 5,5 клетки;
в) С правее G па 7 - клетки;
г) К левее О на 2 клетки.
5. Белка вылезла из дупла и бегает по стволу де-
рева вверх и вниз (рис. 6). Покажите, где будет
находиться белка, если она удалится от дупла
на 3 м. Сколько ответов можно дать на этот во-
прос? Покажите па рисунке, где окажется бел-
ка, если она будет находиться:
а) выше дупла на 2 м;
б) ниже дупла па 3 м;
в) ниже дупла на 1,5 м;
г) выпге дупла на 2,5 м.
Рис. 6
6. Измерьте в сантиметрах расстояние от точки О (рис. 7) до точек
С и В. Где па прямой находится каждая из этих точек по отноше-
нию к точке О?
----------1------------------1--------1--------------------------
С О В
Рис. 7
7. Запишите координаты точек О, Л, В, С, Z>, В. К, Л/ и Е (рис. 8).
Начало отсчёта — точка О.
-10 12
t I—I—1—1—I—I—I—I—I—I—I—I—I—I—1—1—I—I—I—I---►
Е М КВ ЛОВ С D
Рис. 8
8. Изобразите на координатной прямой точки А(1), В(8,3), С(-6),
Р(6). М( 2,4), Х(2,4).
9. Треугольный флажок находится в точке с координатой -2, а пря-
моугольный — в точке с координатой 1 2 (рис. 9). Отметьте и обо-
значьте начало отсчёта и единичный отрезок. Запишите координа-
ты точек В, С и D.
Рис. 9
1О. Отметьте на координатной прямой точку, имеющую координату х,
если х - -7; 3,3; -5,2; -1; 2; -1,8;
J £
Названия знаков «+« и «-» при числе во всех случаях по падежам
не склоняют.
Например:
а = -10 (а равно минус десяти};
х = +1,3 (икс равен плюс одной целой трём десятым);
-15 левее -7 (минус пятнадцать левее минус семи}.
11. Изобразите точкой на координатной прямой число а, если:
а) й —6; +3; —5; —8; + 10; +9; +7; — 7;
б) а - 2; -1; 3; -5; 4; 1;
12. Найдите по шкале (рис. 10) высоты гор и глубины морей и океа-
нов.
Метры
9000
8000
7000
€000
5000
4000
3000
2000
1000
о
>1000
-2000
-3000
4000
-5000
-6000
-7000
8000
9000
-10 000
-11 000
-12 000
Рис 10
13. На координатной прямой изображены точки Л( 2) и В(7). Найди-
те расстояние между точками .4 и В а единичных отрезках.
11
14. Назовите какие-нибудь три числа, распо-
ложенные на координатной прямой:
а) правее числа 11;
б) левее числа 8;
в) левее числа -820;
г) правее числа -78.
15. Установите на демонстрационном тер-
мометре столбик так, чтобы термометр
показывал температуру: -12°С, 11*С»
-7 °C, +3°С, -8,5 °C, -4-7,3 °C.,
Рис. 11
16. На здании Московского университета установлен термометр со
стрелкой (рис. 11). Какую температуру показывает этот термо-
метр?
3 11 7
17. Из чисел -1,2; ; --г-: О; 6; -3-; 7,2; -10 и 8 выпишите сначала
•J *1 L?
все отри цате льпые» а потом все положительные числа.
18. Вычислите устно:
а) 5 1,4 б) 10:4 в) 9 3,2 г) 2,3 4 5,7 д) 6:12
-3,2 -1,2 + 0,5 :5 м
:0,2 -6 :9 -0,7 -0,35
0,4 4 1,2 0,3 -1,1 4 0,15
1-2,4 : 18 :0,01 + 0,01 14
9 » 9 9 • 9 9 1
19. Сколько натуральных чисел расположено на координатном луче
между числами:
а) 0 и Я; б) 17,5 и 26; в) 2т и Ц; г) 116 и 117?
О £
20. Какое из чисел — правильная дробь или дробь, ей обратная, — на
координатном луче расположено ближе к единице?
21. Древнегреческий учёный Аристотель родился в 384 г. до и. э.+
а умер в 322 г. до н. э. Пифагор родился в 570 г. до н. э, и умер в
500 г. до н. э. Историк Плутарх родился в 46 г., умер в 127 г. Кто
из этих учёных родился раньше? Сколько лет прожил каждый из
них?
22. Площадь поверхности планеты Меркурий равна 75 млн км1 и со-
15
ставляст площади поверхности планеты Венера. Найдите пло-
щадь поверхности планеты Венера.
23. Вычислите устно:
а) 0,5- в) 3,15’ |'Ц-3||;
б) в| •«>,« +0,4); г) 17,8 - 7-| | • 2-|.
24. Найдите значение выражения:
а) 0,3 + (0,3)> + (0,3)’; в) ± - lih
О ' о .
1 12 '1
б) 0,5 - (0,5)» - (0t5p; г) Ц I + (||,
2 5. Из цифр 7, Я, 3 и 5 составьте четыре различных числа, оканчива-
ющиеся цифрой 7 и кратные 3.
26. На рисунке 12,а изображён цилиндр. Сверху и снизу цилиндр
ограничен кругами, которые называются основаниями цилиндра.
Раивертка боковой поверхности цилиндра — прямоугольник. На
рисунке 12,6 изображена развёртка поверхности цилиндра. По-
пробуйте вычислить площадь поверхности цилиндра, если его вы-
сота 5 см, я радиус оснований 2 см.
27, Решите задачу:
1) На автомобиль погрузили б ящиков, 4 коробки и контейнер
массой 0,13 т. Масса всего груза 0,73 т, массы ящика и короб-
ки одинаковы. Какова масса одного ящика или одной коробки?
2) На катер погрузили 7 бочонков, 6 ящиков с рыбой и бочку го-
рючего массой 0,35 т. Масса всего груза 0,61 т. Массы бочонка
и ящика одинаковы. Какова масса одного бочонка или одного
ящика?
13
3) Для работников заводя построен дом ня 210 квартир. Трех-
комнятные квартиры составляют 15% всех квартир и числа
V
Однокомнатных квартир. Остальные квартиры двухкомнатные.
Сколько в доме двух комнатных квартир?
4) На лодочной станции было 150 лодок. Трёхместные лодки со-
ставляли 14% всех лодок и числа пятиместных лодок.
Остальные лодки были четырёх местные. Сколько четырёх мест-
ных лодок было па станции?
28. Где по отношению к узлу верёвки находится каждая птица
(рис. 13)? (Сторона клетки 1 дм.)
29- Начертите в тетради горизонтальную прямую и отметьте на ней
точку О. Отметьте на этой прямой точки Л/> Nt Р и А\ если:
а) .V правее О на 14 клеток; б) ;V левее О на 15 клеток; в) Р левее
О на 9 клеток; г) К правее О на 2 клетки.
Напишите координаты точек Af, .V, Р и А", если единичный отре-
зок равен; а) длине одной клетки тетради; б) длине двух клеток
тетради.
30. Отметьте на координатной прямой точки М(—1), .V(3), 8,5),
К(7,5), С(-б), Т(в).
31. Приняв за единичный отрезок длину 6 клеток тетради, начерти-
те координатную прямую и отметьте на ней точки Лг|^ |< С(-0,5),
Е(1)’ F(1sJ' в(1)’
32. Пн чертите шкалу температур от —60 "С до 60 С, приняв отрезок
длиной 1 см за 10 СС. Отметьте на этой шкале точку замерза-
ния ртути ( 39,:С), нормальную температуру человеческого тела
(37 С), точку замерзания бензина (-60’С), точку кипения ацетона
(56 °C), точку замерзания глицерина (-20*0.
14
33. Через реку построен мост длиной 234 м. Он состоит из пяти про-
лётов, четыре из которых имеют одинаковую длину,, а пятый на
14 м длиннее каждого из остальных. Какова длина каждого про-
лёта моста?
34. Экскурсантов можно посадить в лодки или по 4 человека, или по
6 человек. В том и другом случае свободных мест не останется.
Сколько было экскурсантов, если их больше 40, но меньше 50?
35. За три дня заготовители собрали 560 кг семян различных дере-
вьев, В первый день они собрали 35% всех собранных семян, что
составляло количества семян, собранных во второй день. Сколь-
ко килограммов семян было собрано в третий день?
27. Противоположные числа
Точки с координатами 5 и -5
(рис. 14) одинаково удалены от
точки О и находятся по разные
стороны от неё. Чтобы попасть
ИЗ точки О в эти точки, надо
пройти одинаковые расстояния,
но в противоположных направ-
лениях. Числа 5 и -5 называют-
ся противоположными числами:
5 противоположно -5, а -5 про-
тивоположно 5.
Рис 14
Противомлом- Два числа, отличающиеся друг от друга только зна-
ные числа ками, называют противоположными числами.
Например, противоположными числами будут 8 и -8. так
как число 6 = +8, значит, числа 8 и -8 отличаются только
знаками. Противоположными числами также будут
2,6 и -2,6; и
Для каждого числа есть только одно противоположное
ему число.
Число 0 противоположно самому себе.
Число, противоположное числу а, обозначают -а.
Если а = -7,8. то -о = 7,8; если а = 8.3. то -а = -8,3;
если а = 0, то -а = 0. Запись «-(-15)* означает число, про-
тивоположное числу -15. Так как число, противоположное
числу -15, равно 15, то -(-15) = 15.
Вообще -(-ci) = а.
/р*лы4* числа
Л/нолгестоп
ЦГЛМХ чисг-в
Натуральные числа, противоположные им числа и
нуль называют целыми числами.
Объединение множества натуральных чисел, множества
чисел, им противоположных, и нуля образует множество
целых чисел. Множество целых чисел обозначают заглав-
ной латинской буквой Z (зэт).
Запись
5eZ -Je=Z oeZ
означает, что числа 5, -3, 0 являются целыми.
Запись -5 ё Z ЧИ13Ю1: «Минус nwih принадлежи! мно-
жеству целых чисел» или «Минус пять является целым чис-
лом-.
Запись
/gz -гол <rz
означает, что числа , -10,7, не являются целыми.
4
Запись — г Z читают: «Число четыре пятых не принад-
лежит множеству целых чисел- или «Четыре пятых не явля-
ется целым числом».
Множество натуральных чисел является подмножеством
множества целых чисел. Пишут: Дг с Z
Какие числа называют противоположными?
Число Ь противоположно числу а. Какое число противоположно
числу Ь'!
Какое число противоположно нулю?
Существует ли число, имеющее два противоположных ему числа?
Какие числа называют целыми'.’
36. Найдите числа, противоположные числам:
-276; 124; -321; 62; 9; -1; 1; -7,8; -9; 0,5; ; -з|; |
I <5 У *1
те
37. Поставьте вместо * такое число, чтобы получилось верное равен-
ство:
а) -( 80) - «; в) (-247) - *; д) -(-£] - *;
б) 3,5 = г) 3,2 = е)
Выражение -(-а) можно читать разными способами:
— число, противоположное числу минус Й,
— минус минус а.
Например, предложение “Если k = -7, jo -Л = -(-7)» можно про-
читать так:
— если -ха- равно минус семи, то минус -ха- равно числу, противо-
положному минус семи,
— минус "ка» равно минус минус семи.
38- Найдите значение выражения:
а) -гл, если ш = -8: -16; -13;
б) Л, если -к - 27; -35; 7,1; -6,9; 80; -90; з|;
г 10 о
Q я
в) -(-с), если е - 41; -3,6; 0; -2^;
39. Найдите координаты точек А, В и С (рис. 15).
-3 3
> I I—1—4—*—<--1-1-1-4' -4-1—1--1->+ .4 - 4.. 4
В С А
Рис 15
40. Каким числом является —х, если х:
а) отрицательное; 6) нуль; в) положительное?
41» Заполните пустые места в таблице и отметьте на координатной
прямой точки, имеющие своими координатами числа полученной
таблицы.
X 3 5 0 -6
-х 4 -2 -1
. о 15
42. Решите уравнений:
а) -х - 607; б) а - 30,4;
43. Какие целые числа расположены на координатной прямой между
числами:
а) -8 и -5; г) -3,6 и 4,2; ж) -7-1- и -44;
б) -3 и 0; д) -£ И 3; з) -11 и -з|?
ч> I
в)-2 и 2: е)2~и5?;
44. Из множествах — {-11; -5,6; 0; 1; 3; 5,6; 7=; 11; 12} вы-
делите подмножество:
а) натуральных чисел;
б) целых чисел;
в) пар противоположных чисел;
г) неотрицательных чисел.
4S. Вычислите устно:
46. Между какими целыми числами па координатной прямой распо-
ложено число: 2,6: 3: 0: -0,8?
47. Найдите числа, которые на координатной прямой находятся па
расстоянии:
а) 6 единиц от числа -9; в) 10 единиц от числа -4;
б) 10 единиц от числа 4; г} 100 единиц от числа 0.
48. Начертите координатную прямую, приняв за единичный отрезок
длину 1 клеток тетради, и отметьте на этой прямой точки Л I —11,
Я(0,5), С(-1,75), D|'-2|j, El'llj, F(2,25).
•1 1
49. Отметьте па «линии времени» следующие события из истории
математики: а) книга «Начала* была написана Евклидом в III в.
до я. э.; б) теория чисел зародилась в Древней Греции в VI в,
до н. э.; в) десятичные дроби появились в Китае в 111 в.; г) тео-
рия отношений и пропорций была разработана в Древней Греции
в IV в. до н. а.; д) позиционная десятичная система счисления рас-
пространилась в странах Востока в IX в. Сколько веков назад про-
изошли эти события? Сравните «линию времени* и координатную
прямую.
Vie. доя.э. /Ив. док.». Ill в. до к. ».
III е.
/Л' в.
Хллла
4^
/ ЛаХд*
Ламщм>мал
ata^Ana
/rt^AwAt
/кУА^’лм
50. Укажите пары взаимно обратных чисел: 4; 1,1; 5; 2р 0,2; ур
51. Витя купил 2,4 кг моркови. Сколько моркови купил Коля, если
известно, что о и купил:
а) на 0,7 кг больше Вити;
б) па 0,9 кг меньше Вити;
в) в 3 раза больше Вити;
г) в 1,2 раза меньше Вити;
д) 4 того, что купил Витя;
е) 4 того, что купил Витя;
52. Решите задачу;
1) Кирпичный завод должеп
ж) 0,5 того, что купил Витя;
з) 20% того, что купил Витя;
и) 120% того, что купил Витя;
к) на 20% больше того, что купил
Витя?
был изготовить для строительства
Дворца культуры 270 тыс. штук кирпича. В первую неделю он
выполнил задания, во вторую неделю оп изготовил па 10%
больше кирпичей, чем в первую неделю. Сколько тысяч штук
кирпича осталось изготовить заводу?
2) Комбайнеры обмолотили за три дня 434 т зерна. В первый день
они обмолотили этого количества, во второй день на 10%
меньше, чем в первый день, а в третий день — остальное зерно.
Сколько тонн зерна обмолотили в третий день?
53. Ноты отличаются по длительности их звучания. Знаком « обо-
значают целую, ноту вдвое короче — половинную — J, четверт-
ную — восьмую — шестнадцатую — Проверьте равенство
длительностей:
а) - JJJ: 6) J - ДМ-
Найдите недостающую ноту:
a) JJ - J7J4 ГТ; б)
54. Какие числа противоположны числам:
2
124; -124; 3|; 0,6; -2,85; -1; 0?
55. Запишите множество натуральных чисел, меньших 5, и чисел, им
противоположных.
56. Найдите значение:
2
а) т, если -щ - в) Л, если ~k — -0,2;
б) -с, если с - 2-rJ г) -л, если л - -Sy-
57. Ro второй день со склада выдали в 2 раза больше проволоки, чем
в первый, а в третий — в 3 раза больше, чем в первый. Сколько
килограммов проволоки выдали в эти три дня. если в первый день
выдали на 30 кг меньше, чем в третий?
58. На поливных землях собирали с гектара 60,8 и пшеницы. Заме-
на старого сорта пшеницы новым даёт прибавку урожая па 25%.
Сколько теперь пшеницы собирают с 23 га поливного поля?
60. Найдите значение выражения:
1I : -
I, 3 । 3
— -8,45; 6)
71
<11,81 + 8.19) 0,02
9 : 11,25
+ 3,35.
а) -----------
I 1&I - Пд
\ 3 9
28. Модуль числа
jVf одул в чиела
Расстояние до точки Af (-6) от начала отсчёта О равно
6 единичным отрезкам (рис. 16). Число 6 называют моду-
лем числа -6.
Пишут: | -6| =6.
АН-6) О В (5)
1—I » 1 I 1 I I—IJ > I 1 > I—I I > I I I---------------------►
К? единиц 5 единиц
Рис. 16
Модулем числа а называют расстояние (в единич-
ных отрезках) от начала координат до точки Д (н).
Модуль числа 5 равен 5, так как точка В(5) удалена от
начала отсчёта на 5 единичных отрезков.
Пишут: 5|=5.
Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой
О совпадает с началом отсчёта О, т. е. удалена от неё на
О единичных отрезков {см. рис. 16).
Пишут: It? | = О ,
Модуль числа не может быть отрицательным. Для поло-
жи>ельною числа и нуля он равен самому числу, а для oi-
рицательного — противоположному числу. Противополож-
ные числа имею/ равные модули. | — «| = «|,
Например,
|7| = Т. ||| = |1.5| = 1.5: |0| =0; |-7| =7;
-||-|: 1-1.51-1.5.
Что называют модулем числа?
Как обозначают модуль числа?
Как найти модуль положительного числа или нуля?
Как найти модуль отрицательного числа?
Может ли модуль какого-нибудь числа быть отрицательным чис-
лом?
8 • : 1
61. Найдите модуль каждого из чисел: 81; 1,3; -5,2;
-52; 0.
Напишите соответствующие равенства.
62. Найдите значение выражения |х , если .г — -12,3; 12,3; -66; 83;
21
63. Найдите расстояние (в единичных отрезках) от начала отсчёта до
каждой из точек: Л(3,7), В( 7,8), С( 200), Р(315,б), £(0), rf-11.
। ш
*(4Н
64. Найдите значение
а) |-8| -|-5|;
б) |-10| -1-15|;
в) |2-10|; |-80|;
г) |- 710| + | - 2901;
выражения:
д) 1-2,31 + |3,7|;
е) |-4,7|-|-1,9|;
ж) |28,52|: |-2,3|;
з) |0,1| |-10|;
Выражения, содержащие модули, читают так:
Q 1 I _ 1 _
_уз| = 9— модуль минус девяти целых одной третьей равен
девяти целым одной третьей.
65. Точка Д Лежит от начала отсчета влево на 5,8 единицы, а точ-
ка В — вправо на 9,8 единицы. Чему равна координата каждой
точки? Чему равен модуль каждой координаты?
66. Найдите:
а) отрицательное число, модуль которого ранен 25; 7,1;
б) положительное число, модуль которого равен 12; 1; 3,2.
1 о
67. Напишите асе числа, имеющие модуль;
а) 26: 6) А; в) 8 т: г) 0; л) 5,7.
У **
68. Известно, что | и | = 7. Чему равен |— и |?
69. Из двух чисел выберите то, у которого модуль больше:
а)-5,87 и-7,82; в)-700,1 и 0,24; д) - | и
б) -2,75 и 0; г) -2у и з£; е) и
1^т -у £
70. Из множества чисел {-(-7); —3; у? —7; 8; — yi у } укажите
подмножество пар: а) противоположных чисел; б) обратных чисел.
71. Вычислите ? устно:
а) 1 - | 6)2- | . 16 , Q в>й:8 Г>Н 2 4 Л) 5 + й
• 2 3 : 13 • 9 17 -ч ч ♦ 4 1. 3 5 + 6
-ч - 23 : 2 1 5 • 5
? 9 ? 7 ?
72. Какое из чисел на координатной прямой расположено правее:
-2 или -1; -6 или -7; 0 или -4,2; -11 или -15?
73. Пн рисунке 17,а изображён конус. Основание конуса — круг,
а развёртка боковой поверхности — сектор (см. рис. 17,6). Вы-
числите площадь поверхности конуса, если радиус его основания
3 см, а развертка боковой поверхности — сектор с прямым углом,
радиус этого сектора 12 см. Есть ли в условии задачи лишние дан-
ные?
3 1
74. Найдите значение k< если -k равно —3,5; 6,8; -jJ О; _7 —
75. Решите уравнение: а) у - 8,75; б) р —
76. Пина купила на платье 4,8 м ткани. Сколько метров ткани купила
Оля. если известно, что Нина купила:
а) на 0,3 м больше Оли;
б) на 0,5 м меньше Оли;
в) в 2 раза больше Оли;
г) в 1,5 раза меныпе Оли;
3
д) 7 того, что купила Оля;
4
е) -г того, что купила Оля;
о
ж) 0,2 того, что купила Оля;
з) 25% того, что купила Оля;
и) на 25% больше того, что купила
Оля;
к) 125% того, что купила Оля?
77. Найдите значение выражения:
1) если m - 0,6 ' | + 0,35 : ~ и а - 3,4 * 2,3 - 5,32;
2) ^7 + если п = 1,8 | + 0,4 ; и х = 12,68 - 2,7 3,4.
78. Отметьте ня координатной прямой числя, модули которых равны
3; 8; 1; 3,5; s|.
79. Из двух чисел выберите то, у которого больше модуль:
а)-45,1 и 8,31; г) 13,8 и - 13,7; ж)и
б) 45,3 и 57,8; д) 2- и з|; з) | и
в) 76,9 и —57,1; е) 2^ и -5у*
ВО. Площадь первого поля составляет площади второго поля. Чему
равна ИЛОЩаДЬ второго ноля, если Площадь первого 12,6 га?
81. На соревнованиях по бегу Иванов пробежал дистанцию за 73,2 е
и его время составило 75 'X времени, показанного Сергеевым. Кто
из них быстрее преодолел дистанцию? Какой результат показал
Сергеев?
5
82. Скорость грузовика составила у скорости легковой автомашины.
Найдите скорость легковой автомашины, если скорость грузовика
на 22 км/ч меньше скорости легковой автомашины.
83. Урожайность хлопка па первом поле на 12,5% меньше урожайно-
сти хлопка ня втором Поле. Какова урожайность хлопка на первом
поле, если на втором поле она равна 28 ц с гектара?
„ _ ,, ж 36 - 1,5 + 3,6 - 85 11,88
84. Найдите значение выражения ----? ----- < п
29. Сравнение чисел
Вчера в комнате термометр показывал 18 С. а сегод-
ня показывает 21 °C. Вчера в комнате было холоднее, чем
сегодня. Число 18 меньше числа 21. Можно записать:
18 < 21.
24
Вчера на улице термометр показывал -15 е С. а сегодня
он показывает -9С. Вчера было холоднее, чем сегодня.
Поэтому считают, что -15 меньше -9. Пишут: -15 < -9,
Вчера на улице термометр показывал -Ю'С, а сегод-
ня он показывает б^С. Вчера было холоднее, чем сегодня.
Число -10 меньше числа 5. Пишут; -10 < 5,
Любое о/рица/ельное число меньше любого по/гожигель-
нога числа. Из двух, отрицательных чисел меньше то, модуль
которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа,
но меньше любого 1юложи>ельншо числа.
Например, -7,5 < 3, так как число -7,5 отрицатель-
ное, а число 3 положительное; -15 < -9, так как числа -15
и -9 отрицательные и модуль -15 больше модуля -9, т. е.
|-15| > |-9|.
На горизонтальной координатной прямой точка с боль-
шей координатой лежит правее точки с меньшей координа-
той. На вертикальной координатной прямой точка с большей
координатой лежит выше точки с меньшей координатой.
На рисунке 18 видим, что точка В (6) лежит правее точки
А(-Ю), а точка Л(-10) лежит правее точки С(-15).
-15 -10 0 6
I I ! I I I I ! I I I I I I I I I I I I I I I----------------►
С А О В
Рис. 18
Какие число больше: положительное или отрицательное?
Какое из двух отрицательных чисел считают большим, чем дру-
гое? А какое из них — меньшим?
Какое нз чисел больше; отрицательное или 0?
Какое из чисел меньше; положительное или 0?
Как расположены на координатной прямой точки А (а) и если
а меньше h‘! если 0 больше 6?
85. Отметьте на прямой числа 0; 1; -3; -5; 8; -7; -2; -10 и 3.
Сравните:
а) 0 и 3; г) -7 и 0; ж) 1 и -10; к) -5 и -3;
б) 0 и -5; Д) -2 ц 3; з) 3 ц -3: л) -5 и -10;
в) 8 и 0; е) -7 и 1; и) 1 и 8; м) -2 и —5.
25
86. В Ростове и Воронеже измеряли температуру 1, 6, 11» 16. 21 и
26 декабря в 12 ч дня. Результаты (в градусах Цельсия) указаны в
таблице. Сравните температуру в Ростове и Воронеже в одно и то
же время.
Число декабря
1 6 11 16 21 26
Температура в Ростове, °C 9.2 3,5 -2,6 -3,1 -7,8 -19
Температура в Воронеже, иС 6,4 0 0 -1,5 3,6 -21
Неравенства, составленные из положительных и отрицательных чи-
сел, читают гак:
6 > -4 — шесть больше минус четырёх,
-8 < -1 — минус восемь меньше минус единицы.
87. Поставьте вместо * знак < или знак > так, чтобы получилось вер-
ное неравенство:
а) 8,9 * 9,2; г) -5,5 * -7,2; ж)
б)-240 * 3,2; д)—96,9 *—90,3; з)-2|*-4|.
в) 4,5 * -800; с) -1000 * 0;
88. Пользуясь таблицей, назовите города сначала в порядке возраста-
ния их высоты над уровнем Мирового океана, а затем в порядке
убывания.
Название города Высота над уровнем Мирового океана, м Название города Высота над уровнем Мирового океана, м
Москва 150 Ереван 1100
Санкт-Петербург 5 Мехико 2210
Астрахань -25 Париж 130
89. Сравните числа и результат запишите в виде неравенства:
а) - 2 3, 15 и 4’ r)-2f из|; . «2 5, ж) -2 у и -у.
б) 3 2. 11 -з’ . 7 д)"W и“8’ . - Б .8 3) -а 14 и
в) - 1 «|Ч* , ® И- в и 24’
26
90. Между какими соседними целыми числами заключено число:
а) -2,73; в) -0,63; д) -1
б)-9,5; г) 0,87; е) б||?
Ответ запишите в виде двойного неравенства.
91. Известно, что х и у положительные числа, а /и и п отрица-
тельные. Сравните:
а) 0 и н;
б) у и О;
в) -х и О;
г) 0 и -т;
д) х и т;
е) л и х;
ж) -т и л;
з) -х и у;
и) | т | и т;
к) -| т | и т;
л) х и | х |;
м) X и | -х|.
92. Запишите в виде неравенства предложение:
а) 4,3 — отрицательное число;
б) 27,1 — положительное числи;
в) а — отрицательное число;
г) b положительное число.
93. Белка сидит на дереве в точке Л/(-4), а
дятел — в точке Лт(3). Какое расстояние
от дятла до белки? Кто из них дальше от
дупла, если дупло принято за начало от-
счёта?
94. На улице температура tr’С, а в квартире
£°С. Пя сколько градусов температуря в
квартире выше, чем на улице? Решите
задачу при:
а) а = 12, b = 20; б) а = -11, b = 19,
3
9S. Какие числя имеют модуль, равный 2; 1,7; 0; 1; -(-4)?
96, Определите координаты точек В, С и 23, если Л(т) (рис. 19).
Рис. 19
97. В старинной задаче имеются такие сведении: «Один купец имел
730 рублей и был должен другому 380 рублей. Второй купен имел
970 рублей и был должен первому 460 рублей*. Сколько денег
останется у каждого купца после взаимных расчётов? Попробуйте
сформулировать задачу, используя понятие отрицательного числа.
98. При каких значениях а верно равенство а 1 а| — 0 и при каких
неверно?
99. Возраст Москвы около 850 лет. Новгорода — 1100 лет» Рима —
2700 лет, Александрии — 2300 лет, Киева — более 1400 лет, В на-1
ком веке возник каждый из городов?
1О0* Найдите значение:
а) |х| - |у|, если х — 64,1. у - 7,6;
б) | JTI + |у |, если х-54,о, у — 52,8,
1O1* Определите, у какого из двух чисел модуль больше:
а) -3,815 и -3,823; в) -2| и 1|;
• о
6)^ и 0.28; г>-5 и
102, Из рисунка 20 видно, что куб можно
составить из шести одинаковых четы-
рехугольных пирамид, у которых вер-
шина О, а основаниями служат грани
куба. Найдите объём пирамиды, если
ребро куба 1,2 см. Найдите ребро куба,
если объём одной пирамиды см4.
б
Рис. 20
103. Найдите неизвестный член пропорции:
1) 3,5 : х - 0.8 : 2,4; 2) 6.8 : 2.5 - х : 1.5.
104. Решите задачу:
1) Для приготовления компота смешали 2,5 кг яблок, 2 кг груш и
0,5 кг вишен. Найдите процентное содержание каждого вида
фруктов, взятых для приготовления компота,
2) Смешали 0,16 кг грузинского, 0,52 кг азербайджанского и
0,12 кг индийского чая. Найдите процентное содержание каж-
дого вида чая в полученной смеси.
105. Вычислите:
1) 61.71 : ((14,42 - 13,74) 1,5) 4- 63,163 : 7,61;
2) 73,32 : ((15,41 14,76) - 1,6) + 55,186 : 6,73.
Проверьте результат вычислений с помощью микрокалькулятора.
106. Поставьте вместо * знак > или < так, чтобы получилось верное не-
равенство: J*
а) -3542 * -2763; в) -? * -0,7; д) -? * -т!
• 1 J 4
1 Я
б) -65,43 * -65,39; г) -1,16 * -1 ?; е) -0,8 * т
J ч!
107* Какие цифры можно написать вместо *, чтобы получилось верное
неравенство:
а) -3841 < -384*; в) -*5,44 > -25,44; д) - у < -yi
б) -5*83 > -5183; г) -999Л > -999,1; е) -| > -|?
108. Расположите числа 2,8; 0,5; 0; -1; -1,1; 0,1 и -1,6:
а) в порядке возрастания;
б) в порядке убывания.
109. За контрольную работу 6 человек получили отметку «5*, 10 чело-
век — «‘1», а остальные четверо — «3*. Сколько процентов всех
учащихся получили отметку *5», сколько — «4» и сколько
«3»?
7
11O. Найдите неизвестный член пропорции - : 3,1 - х : 9,3.
(<•* - •'1S + 4+ <я>) 4
111. Вычислите: ---'— -----:--------------
| 3± - 2,75 I : 0,2 - 2±
\ Л £
30. Изменение величин
Температура может как повышаться, так и понижаться
Пусть, например, утром температура воздуха была 3°С,
в середине дня — 9JC, а вечером — 7'С За первую по-
ловину дня температура повысилась на 6 °C, а за вторую
половину дня понизилась на 2'С Повышение температуры
выражают положительными числами, а понижение — от-
рицательными. Так, если температура повысилась на 6’’С.
то говорят, что её изменение равно 6ПС или +6ПС, если
понизилась на 2ПС, то говорят, что её изменение равно
-2 °C
Длина пружины может как увеличиваться, так и умень-
шаться. Увеличение длины пружины будем выражать
положительными числами, а уменьшение — отрицатель-
ными.
Точка на координатной прямой может перемещать-
ся влево или вправо по этой прямой. Перемещение точки
вправо обозначают положительными числами, а перемеще-
ние влево — отрицательными (рис 21).
29
Рис. 21
Таким образом, увеличение любой величины можно вы-
разить положительными числами, а уменьшение отрица-
гельными.
г*
В каком случае изменение температуры положительно, а в каком
случае — отрицательно?
Что значит отрицательное изменение длины пружины?
©Что означает положительное перемещение точки по координатной
прямой и что означает отрицательное перемещение точки по этой
прямой?
Каким числом выражается перемещение точки на координатной
прямой влево и каким — вправо?
_________________________________________________________________У
112. Объясните смысл предложения:
а) изменение температуры равно f’C, если t = 28; —30; —8; 4,5;
-1,7;
б) изменение длины пружины равпо х миллиметрам, если х — 10;
12; -9; -4.
113. Изменение температуры равно m градусам. Чему равно т, если
температура:
а) понизилась ня 6 °C;
б) повысилась на 3,6 иС;
в) повысилась на 60 ’С;
г) понизилась на 3,4 °C?
114. Изменение длины пружины равно с мм. Чему равно с, если длина
пружины:
а) увеличилась на б мм;
б) уменьшилась на 5 мм;
в) уменьшилась ня 23 мм;
г) увеличилась на 18 мм?
115, Прочитайте показания термометров, изображённых на рисун-
ке 22.
Какую температуру будет показывать каждый из этих термо-
метров, если температуря изменится:
а) на -14}; в) на 2 °C;
б) па 1ПС; г) на-2 °C?
зо
Рис. 22
116* Отметьте на координатной прямой точку Л(2). Укажите:
а) точку Л, в которую перейдет точка А при перемещении на -6;
б) точку С, в которую перейдёт точка А при перемещении на б;
в) точку D, в которую перейдёт точка А при перемещении на -7:
г) точку Е, в которую перейдет точка А при перемещении ня 3.
Назовите координаты точек В, С, D и Е,
117. На сколько единиц переместилась точка Р(4) по координатной
прямой, если она попала в точку К ( 2)? А если она попала в точ-
ку Т(6)?
118. Среди чисел 1,6; — 2-^1 0; —| у |; 12; -19 укажите числа:
а) положительные;
б) отрицательные;
в) неположительные;
г) неотрицательные;
д) не являющиеся ни положительными, ни отрицательными.
119. Верно ли неравенство:
а > b; d < а; д > с; а > с; d > b (рис. 23)?
О
а
с b
-i---------------F
Рис. 23
120. На рисунке 24 под цифрой 1 показан вид фигуры спереди, а под
цифрой 2 — вид сверху. Какая это может быть фигура?
121. Сравните числа:
а) О и 800; г) - и
б) -45 и -20; д) -4,5 и 2,4;
в) -6ft и 0; е) -| и -у^;
ж) -3,11 и -3,1;
. 5 _11
3) 12 11 ia'
122. Какие целые числа заключены между числами:
а) -4,8 и 2.85; в) —5,3 и —1,2; д) -8тг и —з4»
* о
2 1 14
б) -3,11 и 3,1; г) -2 у и 3|j е) -Зу и -£?
123. Назовите какое-нибудь число, которое:
Ч 3 е 2.
а) меньше ?, по больше -;
5 о
ЛЧ 5 , К „
б) меньше -у, по больше -у;
в) меньше 0.17, но больше 0,16.
124. Из всего собранного зерна пшеница составляла 80%, причём 70%
этой пшеницы была пшеница твёрдых сортов. Сколько тонн зерна
было собрано, если твёрдой пшеницы было собрано 560 т?
125. Площадь прямоугольника 11,7 дма, ширина этого прямоугольника
2,6 дм. Иге его стороны увеличили на 0,2 дм. Найдите площадь
нового прямоугольника.
126. В воскресенье утром температура воздуха была -2йС. Какой ста-
ла температура воздуха в понедельник, если за сутки ока измени-
лась: а) на -5 °C; б) на 3 :,С; в) на 2*С?
127* Отметьте на координатной прямой точку С(-4). Укажите точку В,
в которую перейдёт точка С при перемещении по координатной
прямой на —3, и точку I), в которую перейдёт точка С при пере-
мещении на +9.
128* Отметьте па координатной прямой точку М(-4). После перемеще-
ния ио координатной прямой она попали а точку С(3). Чему равно
перемещение?
129. Имелась пачка бумаги. На перепечатывание одной рукописи из-
расходовали 4 пачки. На перепечатывание другой рукописи утпло
□
0,8 остатка. Сколько листов бумаги было в пачке, если после пере-
печатывания этих двух рукописей в ней осталось 40 листов?
130* Найдите значение выражения:
а) (8,74 + 0,66 : 13,2 - 3,79) • 0,31;
б) (9,68 - 0,77 : 15,4 + 0,87) • 4,2,
Q--------------
Задания для самопроверки
1. Укажите верные высказывания.
а) Число, показывающее положение точки на прямой, называют коор-
динатой этой точки.
б) Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют
обратными числами.
в) Натуральные числа, числа, им противоположные, и нуль называют
целыми числами.
г) Расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точ-
ки А(а) называют модулем числа а.
2. Используя рисунок, укажите координату точки С.
0 1 д.
3. Используя рисунок, отметьте все точки, координаты которых указа-
ны верно.
D В
а) В(-2); б) F(8); в) С(12); г)В(1); д) £( 6).
эз
4. Найдите расстояние между точками Л(-3,5) и В(4,6).
5. Укажите все пары противоположных чисел.
а) 3,4 и -з|; в) | и -21; Д) з| и -3,75,
б) -1 и 0,5; г) 1 и 2,25;
L «7
6. Закончите высказывание так, чтобы получилось верное утвержде-
ние: «Если -т - 5, то -(-пг) =...»
7. Вычислите |—13,6| - |-4,8|,
-а
в. Из двух чисел -5J и 5,65 укажите то число, модуль которого
больше.
9. Укажите, л каких случаях сравнение выполнено неверно.
а) | < 1|; в) -3,45 < -3,9; д) | < -|.
б) 500 > -600; г) - 0.001 < 0;
Ю. Укажите ряд чисел, расположенных в порядке возрастания.
а) -2,5; -2,45; 0; 1,09; ll ; в) U ; 1,09; 0; -2,45; -2,5;
3 □
б) -2,45; -2,5; 0; 1,09; 1^; г) -2,5; -2,45; 0; Ц; 1,09.
З’ >2
Отрицательные числа появились значительно позже натуральных
чисел и обыкновенных дробей. Первые сведения об отрицательных
числах встречаются у китайских математиков во II в, до и, э. Поло-
жительные числа тогда толковались как имущество, а отрицатель-
ные — как долг, недостача.
Но ни египтяне, нн вавилоняне, ни древние греки отрицательных
чисел не знали. Лишь в VII в, индийские математики начали ши-
роко использовать отрицательные числа, но относились к ним с не-
которым недоверием.
34
В Европе отри нательными числами начали пользоваться с XII—
XIII вв.г но до XVI в., как и в древности, они понимались как долги
большинство ученых считали их «ложными*, в отличие от положи
тельных чисел — «истинных*.
Признанию отрицательных чисел способствова-
ли работы французского математика, физика и
философа Рене Декарта (1596—1630). Он пред-
ложил геометрическое истолкование положитель-
ных и отрицательных чисел — ввёл координат-
ную прямую (1637 г.).
Окончательное и всеобщее признание как дей-
ствительно существующие отрицательные числа
получили лишь в первой половине XVIII в. Тог-
да же утвердилось и современное обозначение для
отрицательных чисел. р. Декар!
Темы проектных работ
1. История возникновения отрицательных чисел.
2. Путешествие по «ленте времени».
СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
31. Сложение чисел с помощью координатной
прямой
Пусть температура воздуха равна 8 С. Если она изме-
нится на 3,:С (т. е. повысится на 3°С), то она станет равной
11 :,С (рис. 25): 8 + 3 - 11. Таким образом, температура ста-
ла равной сумме первоначального значения и изменения.
Пусть температура воздуха равна 8 °C. Если она изме-
нится на -З’С (т. е. понизится на 3'ГС), то она станет равной
5 “С (рис. 26). Будем и в этом случае записывать резуль-
rai н ни де суммы первоначальною значении и изменения:
8 + (-3) - 5.
Рис 25
Рис 26
На рисунке 27 показано сложение числа 8 с числами 3 и
-3 на координатной прямой.
Применить к числу а число /г — эначи1 измени /ь число а
на b единиц.
36
Любое число от прибавления положительного числа уве-
личивается, а от прибавления отрицательного числа умень-
шается,
Пример 1. Найдем сумму -7 и 4.
Решение. На рисунке 28 видно, что при перемещении
точки А(-7) на 4 единицы, т. е, на 4 единицы вправо» она
переходит в точку В(-3). Значит, (-7) + 4 - -3.
-3
Рис. 28
Пример 2. Найдём сумму чисел -2 и -4.
Решение. На рисунке29видно, что при перемещении
точки А(-2) на -4 единицы, i. е. на 4 единицы влево, она
переходи! в ючку С(-6). Значит, (-2) + (-4) - -6.
Рис. 29
Пример 3. Найдём сумму чисел 4 и -4.
Решение, на рисунке 30 видно, что при перемещении
точки А (4) на 4 единицы влево она переходит в начало коор-
динат 0(0). Значит, 4 + (-4) - 0.
1----*--К I I--1—---1--1--1-1--»----1-►
Рис. 30
Сумма двух противоположных чисел равна нулю:
a + (~~a )= О.
Пример 4. Найдём сумму чисел -5 и 0.
Решение. Прибавить к числу -5 число 0 — значит из-
менить число -5 на 0. Другими словами, оставить число -5
без изменения. Поэтому (-5) + 0 - -5.
От прибавления нуля число не изменяется'.
a + t? = a.
37
Что значит прибавить к числу « число Ь?
К числу и прибавили число Ь. Как изменится число о, если Ь по-
ложительное; если b отрицательное; если b = О?
Чему равна сумма противоположных чисел? Запишите вывод в
виде равенства, содержащего букву.
к
131. Найдите с помощью координатной прямой сумму чисел:
а) -1 и 2; г) 1 и -5; ж) и 4»
d .1
б) 3 и - 4; д) - 5 и б; з) -14 к -4.
11 -F
в) -3 и 6; е) -3 и -2:
Сумму, в которую входят отрицательные числа, читают так:
(-4) + (-6) — сумма минус четырёх и минус шести,
— к минус четырём прибавить минус шесть.
132. Выполните сложение чисел:
4 и О; Ои-3; -5 и 0; -3 и 3; 7 и-7.
133. Найдите значение выражения:
а) (-3,9 + 3,9) + (-9,1);
б) 0 + (4,8 + (-4,8)),
134. На координатной прямой отмечены числа виа+ 1 (рис. 31), Изо-
бразите на этой же прямой числа
о + 2; о+<-3); а + (-4,5); а + (-4|-
Рис. 31
135. На координатной прямой точке А соответствует число а + 4, а точ-
ке В — число а + (-4). Какое число соответствует середине отрез-
ка АВ?
136. Температура воздуха были -2-С. Какой стала температура возду-
Тха, когда она изменилась ня 3°С; ня 1 СС; ня 2 °C; на -3СС; на 5 °C;
на -4 °C? Сложение чисел выполняйте с помощью координатной
прямой.
38
J*| 137. Вычислите устно:
а) 3 : 6 б) 0.4 • 4 в) 2 : | г) 1 - 1
3
•8 +5.2 1 1
- 1,8 -2 12 '*2
1 ч
- 0,18 : 6 - у : j
4 4
? ? ? ?
4^ •• 138. Назовите координаты точек Л, А\ С, D, М и В (рис. 32),
Рис. 32
139. Какие числа на координатной прямой удалены:
а) ат числа 4 ня 5 единиц; в) от числа -6 ня 4 единицы?
б) от числа -1 на 3 единицы;
140. Сколько целых чисел расположено между числами -50,5 и 50,5?
141. Может ли быть положительным, отрицательным, нулём выраже-
ние: а) -а; б) -(-а)?
142. Найдите сумму:
|-7| + |-3|; |-2,31 + |-0,81;
3
143. СравЕштс числа:
а) -5,2 и -3,7; в) -Зу и -1;
5 6, . 3 7
б) - у и -у, г) и
144. 78% всех выстрелов попало в цель. Сколько было сделано выстре-
лов. если в цель напало 156 нуль?
145. От провода длиной 13 м отрезали 30% его длины. Сколько метров
провода осталось?
146. Из 15 срезанных цветов 9 завяло. Сколько процентов срезаппых
цветов завяло?
147. Стенной шкаф имеет высоту 1,8 м. Его глубина составляет 30%
высоты, а ширина — 250% глубины. Найдите объём шкафа.
148. Выполните действия:
1) 61,7 - 52,1 - 43,6 «119,62 + 218,48) : 13,8);
2) 73,2 ’ 48,3 - 37,4 «166,02 + 219,38) : 16,4).
39
₽
A
149. На рисунке показаны две башни
Московских} Кремля — Арсеналь-
ная и Тай ни цкая. Рассмотрите
форму отдельных их частей: ис-
пользованы ли архитекторами из-
вестные вам фигуры — призма,
цилиндр, пирамида, конус? Про-
верьте, нет ли элементов, размеры
которых находятся в отношении
золотого сечения.
150, Найдите с помощью координатной
прямой сумму чисел:
а) -4 и 5; г) -7 и О;
6) 3 и 2; д) 8 и - 8; ж) О и
3;
в) -6 и 8; е) -6 и -5; з) —1 и -8.
151. В пятых классах школы 80 человек. Из них отличники составля-
ют 21,25%, R шестых классах 90 человек. Отличники составляют
20%. В каких классах больше отличников и на сколько человек?
152. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, длина которого
я
21 см. а ширина составляет у длины и 30% высоты.
153. Найдите значение выражения:
а) (203 - 20,809 - 150 + 83,079) : (1,3172 + 1,1528);
б) 30,3 * (124,9 - (48,96 : 6,8 + 36.04) : 9,2).
32. Сложение отрицательных чисел
Рис. 33
Пусть температура воздуха была равна —6 :’С, а по-
том она изменилась на -3 ЭС (т. е. понизилась на 3 е С).
Тогда она станет равной -6 + (-3) градусам (рис. 33).
Чтобы сложи ж числа -6 и -3 с помощью координатной
прямой, надо точку Л (-6) переместить влево на 3 еди-
ничных отрезка (рис. 34). Получим точку В( 9).
Значит, -6 + (-3) —9.
Но 9 - 6 + 3, причём 6 - | -6|, а 3 - |-3|.
Рис. 34
40
Чтобы сложить два отрицательных числа, надо:
1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным
числом знак «-«,
Например,
-8,7 । ( 3,5) = • (В,7 + 3.5) = -12,2;
(2<
8
-ч
Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел.
Может ли при сложении отрицательных чисел получиться нуль?
отрицательное число?
К 154. Число -2 изменили на -5. С какой стороны от начала отсчёта рас-
положено полученное число? Чему равно его расстояние от начала
отсчёта? Чему равна сумма чисел -2 и -5?
155. В первую половину ночи температура изменилась на -5':'С, во вто-
рую — на -4 °C. На сколько градусов изменилась температура за
ночь?
156. Выполните сложение:
а) -35 + (-9); е) -5,6 + (-2,4);
б) -7 4- ( 14); ж) 8,3 + ( 4.2);
в) -17 + ( 8); з) 1,75 + (-8,25);
г) -5 + (-238); и)-4 + |-|j;
д) 1,6+(4,7); к)-| + [-|);
л)-4 +(-2|р
м> 5П +
157. Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное не-
равенство:
а) -17 + (-31) * -17; б) -22 + (-35) * -35.
158, Найдите значение выражения х + у + (-16), если:
а) х ~ -17, у - -29; в) х - _3ур у ~
б) х = -9,1, у = -7,4;
159. Найдите значение выражения:
а) (-0,251 + (-0,37)) + (-0,2 + (-0.152));
160. Вычислите устно:
а) 2 : 4 б) 6 ’ 0,6 ч 1 1 В) 3 Q . 1 1 Г) 2 * 4
- 3 + 1.2 1 , 1
* I1»
- 1,2 : 0,4 3 е
гОЛ 0,3 3 7 5 б
> 4 ? ?
о э 9 Я 2
161. Расположите числа -15; -8,8; 3; -?; 5,5; -г; -Ют?! 0; -Ю?!
О I £4
-8,2; 1 в порядке убывания.
162. Известно, что х и у — положительные числа. Сравните:
а) 0 и х; в) -х и у; д)|х|и-х; ж)-хи|у|;
б) -у и О; г)уи-х; с) у и у; з)|~х и у.
163. При каких значениях m верно неравенство:
a) m > -m; б) - m > /п; в) т > т 4 т*1
164. На координатной прямой отмечены точки Л(х) и В(р). Найдите
координату середины С отрезка АВ, если:
а) х = 4, у = 8; 6} х = -2, у = -4; н) х = —3, у = 5.
165. Объём цилиндра равен произведению площади одного его осно-
вания и высоты. Объем конуса в 3 раза меньше объема цилиндра
с такими же основанием и высотой (рис, 35). Вычислите объём
цилиндра и объем конуса, у которых высоты по 12 см и радиусы
оснований по 2 см.
Рис. 35
166. Выполните действия:
1) 11 169,68 : 5— - 224-1 • 9 j -i- 9,7 I - 22,5;
V / V ,1
2) | (253,26 : 6,3 - 31,7) I -32т,
\ о □) 5
A 167. Выполните сложение:
а) 46 4 ( 18); д) 5.8 + ( 1,8);
б) -8 + (-12); е) -3,74 4- (-1,74);
»>-144 + (-56); ж)-| + |'-1|;
г) -6,4 + (-3,6); □) -| + |-|
ч! •_ J 1
168. Найдите значение выражения:
а) (-3,25 + (-1|)) + (-1| + (-11));
б) |-( + (-jy|| +(-1,85 + (-1,35)).
и) 4 + Н):
К)-з1 + (-1А);
л) -11 + (-2,8);
м) -14 + (-2,25).
ч>
169* Сплавили кусок меди, объём которого 15 см3, и кусок цинка, объ-
ем которого 10 см3. Какова масса 1 см* сплава, если масса 1 см3
меди 8,9 г, а масса 1 см3 цинка 7,1 г? Результат округлите до де-
сятых долей грамма.
170. В бассейн палили 1400 м3 воды, что составляет 35% объёма всего
бассейна. Чему равен объём всего бассейна?
171. Решите уравнение:
а) 4- |х = 3,2;
°) Тг х " 15 х =
в) х - 0,2х = -р-4
33. Сложение чисел с разными знаками
Если температура воздуха была равна 9 °C. а по-
том она изменилась на -6°C (т. е. понизилась на 6°C),
то она стала равной 9 + (-6) градусам (рис. 36).
Чтобы сложить числа 9 и -6 с помощью коор-
динатной прямой, надо точку Л (9) переместить вле-
во на 6 единичных отрезков (рис. 37). Получим точ-
ку В (3).
Рис. 37
41
Рис 38
Значит, 9 + (-6) = 3. Число 3 имеет тот же знак, что
и слагаемое 9, а его модуль равен разности модулей
слагаемых 9 и -6.
Действительно,
|3| - 3 и |9| - |-6| - 9-6-3.
Если та же температура воздуха 9Г'С изменилась
на -12':С (т. е. понизилась на 12 °C), то она стала рав-
ной 9 + (-12) градусам (рис. 38), Сложив числа 9 и -12
с помощью координатной прямой (рис. 39), получим
9 + (-12) = -3. Число -3 имеет тот же знак, что и сла-
гаемое -12, а его модуль равен разности модулей сла-
гаемых -12 и 9.
Действительно,
|-3| - 3 и |-12| - |-9| - 12 - 9 - 3.
Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо:
1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший;
2) поставить перед полученным числом знак того сла-
гаемого, модуль которого больше.
Обычно сначала определяют и записывают знак суммы,
а потом находят разность модулей.
Например:
1)6,1 + (-4,2) «+(6,1 -4,2)- 1,9,
или, короче, 6,1 + (-4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;
2 5 5 2 3
2) -3| +4| =4| -3| = 1|;
3) 2,7 + (-3,4) = -(3,4 - 2,7) = -0,7;
4) -3| + 21 - -(81 - 21) - -(Э1| - 2±; - -6i.
При сложении положительных и отрицательных чисел
можно использовать микрокалькулятор. Чтобы ввести отрица-
тельное число в микрокалькулятор, надо ввести модуль это-
го числа, потом нажать клавишу * изменение знака- /—/ .
44
Например, чтобы ввести число -56,81, надо последователь-
но нажимать клавиши: 5
Операции над числами любого знака выполняются на микро-
калькуляторе так же, как над положительными числами.
Например, сумму -6,1 + 3,8 вычисляю! но прорамме
8
Короче эту программу пишу г гак: -6,1 + 3,8
Числа а и b имеют разные знаки. Какой знак будет иметь сумма
ЭТИХ чисел, если больший модуль имеет отрицательное число?
если меньший модуль имеет отрицательное число? если больший
модуль имеет положительное число? если меньший модуль имеет
положительное число?
Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.
Как ввести в микрокалькулятор отрицательное число?
V» 172. Число 6 изменили на -10. С какой стороны от начала отсчёта рас-
положено получившееся число? На каком расстоянии от начала
отсчёта оно находится? Чему равна сумма 6 и -10?
173. Число 10 изменили на -6. С какой стороны от начала отсчёта рас-
положено получившееся число? На каком расстоянии от начала
отсчёта опо находится? Чему равна сумма 10 и -6?
174. Число -10 изменили на 3. С какой стороны от начала отсчёта рас-
положено получившееся число? На каком расстоянии от начала
отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 3?
175. Число - 10 изменили на 15. С какой стороны от начала отсчёта
расположено получившееся число? На каком расстоянии от нача-
ла отсчёта оно находится? Чему равна сумма -10 и 15?
176. В первую половину дня температура изменилась на —1СС, а во вто-
рую — на 112 °C. На сколько градусов изменилась температура в
течение дня?
177. Выполните сложение:
а) 26 + (-6); д) -6,3 + 7,8; &+&
б) -70 + 50; е) -9 + 10,2; + (>^1'г
в) -17 + 30; ж) 1 + (-0,39); *** <
г) 80 + (-120); з) 0,3 + (-1,2);
45
и) I + (-•I); и)-з| + 2|;
K) 7 * I -3 l; °) 8 + 516;
л) + 7: u) 2 7 + l-3T7.':
«>-5 + 3; P>55 + (-5eJ-
178. Прибавьте:
а) к сумме -6 и -12 число 20;
б) к числу 2,6 сумму -1,8 и 5,2;
в) к сумме -10 и -1,3 сумму 5 и 8,7;
г) к сумме 11 и -6,5 сумму —3,2 и -6.
179. Какое из чисел Я; 7,1; -7,1; -7; -0,5 является корнем уравнения
-6 + х--13,1?
180* Угадайте корень уравнения и выполните проверку:
а) х + (-3) =-11; в) m + (-12) = 2;
б) -5 + у = 15; г) 3 + л " -10,
181. Найдите значение выражения:
а) (| + (-0.5)) + (-11); в)-3.7 + (-511 + ЗЛ)
в) I0-6 +1) + (-2^); г) | 4 (-1,7 4 f).
182. Выполните действия с помощью микрокалькулятора:
а) -3,2579 + (-12.308); г) -3,8564 + (-0,8397) + 7.84;
б) 7,8547 + (-9,239); д) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
в) 0,00154 + 0,0837; е) -0,0085 4- 0,00354 + ( 0,00921).
183* Найдите значение суммы:
а)-15 4 (-38); г)-| 4 (-1); ж) -0.2 4 |-±
6)-2,3 4 (-3,9); д)-0,25 + (-1); а) | + 1 + (-|);
в)-if 4 (-21|; е)-1 + 1-1); и)-12 - (-К>И).
184. Найдите значение выражения:
а)-1.2 4 (-1.3 +(-1,4)); 6) -3| 4 (-2^ 11 4 |-31).
185. Сколько целых чисел расположено между числами:
а) 0 и 24; б) —12 и -3; в) -20 и 7?
46
186. Представьте число 10 в виде суммы двух отрицательных слагае-
мых так, чтобы:
а) оба слагаемых были целыми числами;
б) оба слагаемых были десятичными дробями;
в) одно из слагаемых было правильной обыкновенной дробью.
187. Каково расстояние (в единичных отрезках) между точками коор-
динатной прямой с координатами:
а) 0 и й; б) -й и й; в) -й и 0; г) и и -3d?
▼ft 188. Радиусы географических параллелей земной поверхности, па ко-
торых расположены города Афины и Москва, соответственно рав-
ны 5040 км и 3530 км (рис, 40). На сколько параллель Москвы
короче параллели Афин?
189. Составьте уравнение для решения задачи: «Поле площадью 2,4 га
разделили на два участка. Найдите площадь каждого участка,
если известно, что один из участков:
а) на 0,8 га больше другого;
б) на 0,2 га. меньше другого;
в) в 3 раза больше другого;
г) в 1,5 раза меньше другого;
д) составляет f другого;
О
е) составляет 0,2 другого;
ж) составляет 60 % другого;
з) составляет 140% другого*.
190. Решите задачу:
1) В первый день путешественники проехали 240 км, во второй
день 140 км, в третий день они проехали в 3 раза больше, чем
во второй, а в четвертый день они отдыхали. Сколько киломе-
тров они проехали в пятый день, если за 5 дней они проезжали
в среднем по 230 км в день?
47
2) Фермер с двумя сыновьями собранные яблоки поместили в 4 кон-
тейнера, в среднем по 135 кг в каждый. Фермер собрал 280 кг
яблок, а младший сын — н 4 рала меньше. Сколько килограммов
яблок собрал старший сын?
191. Выполните действия:
1) (2.35 + 4,65) 5.3 1 (40 - 2,9);
2) (7,63 - 5,13) • 0,4 : (3,17 + 6,83).
192. Выполните сложение:
а) 17 + (-5); ж) 6,1 + (-8,3); н) -2 + 1|; 4
б) -21 + 19; з) -3,84 + 4,16; 0) 3 +
в) -8 + (-43); и> -I+ п> Ц +1-1!)
г) -15 + (-18); К) - 4 + 2; 7 7 р) -51 + 4.5.
д) 0,5 + 6: ►-I3 1 ьй|оО л—-. г?
е) -2,1 + (-3,2); м)-1 + О
193. Предстаньте в виде суммы двух равных слагаемых каждое из чи-
сел: 10; -8; -6.8; -|; -з|; 1|.
194. Найдите значение а + h, если:
К Q
а) а - -1.6, b - 3,2; б) а -• 2,6. б - 1,9; в) а -b - 4-
И I
195. На одном этаже жилого дома было 8 квартир. Жилую площадь по
22,8 м'имели 2 квартиры, по 16,2 м2 — 3 квартиры, по 34 M2 —
2 квартиры. Какую жилую площадь имела восьмая квартира,
если па этом этаже в среднем па каждую квартиру приходилось
по 24,7 м2 жилой площади?
196. В составе товарного поезда было 12 вагона. Крытых вагонов было
,4
в 1,2 раза больше, чем платформ, а число цистерн составляло j-
числа платформ. Сколько вагонов каждого вида было в составе ио-
ездя? 3 А + 22 : А
197. Найдите значение выражения J . ft'* >
5 ; (fi 5 ” -Л '>ri
34. Вычитание
Вычитание отрицательных чисел имеет тот же смысл,
что и вычитание положительных чисел: по заданной сумме
и одному из слагаемых находят другое слагаемое Чтобы
найти искомое слагаемое, можно прибавить к сумме число,
противоположное известному Слагаемому.
Например, 8 + 3 - 11, и потому 11 - 8 - 3. Но 11 + (-8)
тоже равно 3.
Чтобы из данного числа вычесть другое, надо к
уменьшаемому прибавить число, противоположное вы-
читаемому: а - b =
Любое выражение, содержащее лишь знаки сложения и
вычитания, можно рассматривать как сумму.
Например,
-18 - 14 - -18 + (-14); -8 + 6 - * - -8 + 6 + (-А).
Размосгь двух чисел положительна, если уменьшаемое
больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое
меньше вычитаемого. Если уменьшаемое и вычитаемое
равны, то их разность равна нулю.
Задача, Чему равна длина отрезка АВ, если А{-5) и
В(9)?
Решение. Длина отрезка АВ показывает, на сколько
единичных отрезков надо переместить вправо точку А, что-
бы она перешла в точку В, т. е. сколько надо прибавить к
числу -5, чтобы получилось число 9. Поэтому если обозна-
чить длину отрезка АВ буквой х, то -5 + х - 9.
Отсюда х - 9 - (-5); х - 14.
Значит, длина отрезка равна 14 единичным отрезкам.
Длина DftlpC-iKU
на KiHipdiiHum
KOU прямой
Чтобы найти длину отрезка на координатной пря-
мой, надо из координаты его правого конца вычесть
координату его левого конца.
Что означает вычитание отрицательных чисел?
Каким действием можно заменить вычитание числа tt из числа Ь?
Ответ запишите в виде соответствующего буквенного равенства.
Как найти длину отрезка на координатной прямой?
К 198. За день температуря воздуха изменилась на — 12’С и к вечеру ста-
ла равна -8 °C. Какой была температура утром?
199. Температура воздуха утром была 5 °C, а к вечеру она стала рав-
ной -2ПС. На сколько градусов изменилась температура воздуха
зя день?
200. Вчера термометр показывал х'?С, сегодня температуря понизилась
на 12 йС. Какую температуру показывает термометр сегодня, если
х - 25; 12; 6; О? Решите задачу двумя способами: сложением и
вычитанием.
201. Проверьте равенство а) а - 18, б - 16; и - (-й) = а 4- 5, если: г) а - 4.8, b - 3,9;
б) а = -2,3, b = -0,5; д) а = -у, 5 = |;
в) а в 44, b = -7; с) b - _2 jj*
Разность, в которую входят отрицательные числа, читают так:
(-7) - (-12) — разность минус семи и минус двенадцати,
— из минус семи вычесть минус двенадцать,
— 01 минус семи OiHHib минус двенадца1ь.
л ните вычитание:
203
a) 10 - (-3); ж) 2,5 - 8,5; Н) 12 ' 12.1’
6) 12 - (-14); з) 0 - (-40,6);
в) -21 - (-19); и) 0 - 64,8; -15 “ (”1&)
г) 9 - (-9); к) -7,62 - (-7,62); “11 " 1_тк
д)-1,4 - 1,4; л) -0,21 - 0; с)-1| -
е) -5,6-(-3,1); м) -3— - 0,75; т) 1 — — 2 — т’ 1 И 2 22’
Решите уравнение и выполните проверку: а) -2 + х - 4,3; в) 5 - х - 1,7; д) я + ~ 1 й >
б) 8,1 + у- -8; г) 4 - у - -2|; <5 е) z + 0,4 - -1|. •J
50
204. Представьте в виде суммы разность:
а) -28 - (-32); в) 50 - (-24); д) -30 - р;
б) -46 - 30; г) х - 80; е) 6 - (-а),
205. Назовите каждое слагаемое в сумме:
а) -8 + г; в) — гп — 25; д) -л + 0 — А;
б) г - 6; г) 10 — « 4- у; е) —а — Ь — с.
206. Составьте сумму из следующих слагаемых:
а) -х; -р; -4,8; в) р; -20; 6; -fc; 10,3;
б) 1,5; -a; bi -с; г) —7,6; т; —л; — t; —I.
207. Найдите значение выражения:
а) (62 - 28) - 40; б) -50 + (37 + 30); ж) (14,5 - 85) 4- 55,5; з) (-2,1 + 3,7) + 4,1;
в) -6 - (-8 - 20); и> Н - гз) + 2-5;
г)-7 - (12 + 13); в>Н + 3п) 11=
д) 4,1 -( 1,8 + 2,5); л)-2| (-3|-2±)
е) (-3,2 4- 60) - 0,8; м) -3,15 - 1-4| + з||.
208. Найдите расстояние между точками А(а) и В(6), если:
а) а — 2, 6 — 8; в) а --1, 6 - 6; д) а - 3,2, b - -4,7;
б) и = -3, b = —5; г) а = 5, b = —4; е) а = -8,1, b = —2,5.
209. Выполните сложение:
в) 3,8 + (-8,9); в) -| + д) -11 +
6)-3,4 + 2,5; г)1| + |-||; в)4 + |-3||.
210. Найдите значение выраженил:
а) 3,75 + (-2,11) + 1,36; б) -4,27 4- (-3,11) 4- (-0,62).
3 1
211. Найдите число, противоположное -7,2: т! “2=; 3,85.
-J I
212. Решите уравнение:
а) —х — 3,5; г) -т-----6^ 4- 5 р
б)-р--|; д)-А- 11 + ( 12,3);
в) -X - -7,2 4- 9; е) -у - -13 + I 8-^ |.
1 1 Ы .
213. Между какими соседними целыми числами расположено число:
-21* 2—' - —* —’ -7 2* -—?
’ 3’ 9’ 11’ з '
214, Запишите все целые числа, модули которых:
а) меньше 4; б) больше 4 и меньше 10.
215. Может ли сумма двух чисел быть меньше:
а) одного из слагаемых; б) каждого из слагаемых?
Приведите примеры.
216. Высота конуса 24 см, а площадь
основания 15 см1. Какой высоты
должен быть цилиндр с такой же
площадью основания, чтобы его
объём был равен объёму конуса
(рис. 41)? Нет ли в задаче лиш-
них данных?
Рис. 41
217. ТТа пришкольном участке было собрано 360 кг овощей. Картофеля
было собрано в 5 раз больше, чем свёклы, а капусты — на 80 кг
больше, чем свёклы. Сколько килограммов каждой культуры
было собрано?
218. Решите задачу:
1) В трёх ящиках 21 кг гвоздей. В первом ящике в 1у раза боль-
ше гвоздей, чем во втором. Масса гвоздей третьего ящика со-
ставляет у массы гвоздей второго ящика. Сколько килограм-
мов гвоздей было в каждом ящике?
2) В овощеводческом хозяйстве помидоры, огурцы и морковь за-
нимали 560 га. Посевы моркови составляли 4 площади, заня*
J 1
той под огурцами, а под огурцами занято - площади, отведён-
ной под помидоры. Как велика площадь, занятая в отдельности
помидорами, огурцами и морковью?
219. Выполните действия:
1) 40,1 - 4,06 • (29,58 : 3,48) + 8,112 : 0,78;
2) 50,2 - 3,04 • (45,22 : 1,76) + 9,202 : 0,86,
Д22О. Выполните действия:
а) 26 - (-5); в) 14 - (-18);
б)-4+ (-18); г) 1,7 -8,1;
д) -3,3 + 9,6:
е) 7 - (-4,9);
52
ж)-5-(-2.9); к)2|-з|; и)-А -(-0.4);
11 /1 Jt)
3>-4-(~й); л>-11 + 7: °) -3.2-21;
и)-з|-( 1||; м>|-0,7; п) 7,8 - 8±
221. Найдите значение выражения (а + ft) - с, если:
а) а - 2,6, б — • 1,4, с — 2,1; б) а - b - -2,4, с — 3,9.
222. Отметьте на координатной прямой точки А(—1) и В(9), Найдите
расстояние между точками А и В в единичных отрезках.
223. Найдите расстояние в единичных отрезках между точками:
а) Л(-7) и В(-3); в)
б) Af(2,3) и xV(-4,2); г) d I и Л|' |-
224. Ня идите значение выражения:
а) 24 - (-13) - (-12); г) 4,7 - (-2) - (-1,5);
б)-33- 16-(-11); д)1|-11+1А;
в>-4,3 - 5,4 - 2,8; е)-7^ + 4± - 1,2.
13 о
225. Заполните пустые места таблицы:
Команды «Звезда» «Орел* «Трактор» «Сокол» «Чайка»
Ч пело забитых мячей 49 37 21 6
Число пропущенных мячей 28 23 85
Разность 33 -6 -22
226. Для учащихся было куплено 70 билетов в кукольный театр.
В партер было куплено билетов в 1,5 раза больше, чем на балкон и
бельэтаж вместе. Число билетов на балкон составило 0,4 от числа
билетов в бельэтаж. Сколько билетов каждого вида было куплено?
227. В альбоме 1105 марок, число иностранных марок составило 30%
от числа российских марок. Сколько иностранных и сколько рос-
сийских марок было в альбоме?
53
228* В доме 300 квартир. Однокомнатные квартиры составляют 28%
всех квартир дома» а остальные квартиры — двухкомнатные
и тряхкомнатные, причём двухкомнатных квартир в 1,7 раза боль-
ше, чем трёхкомнатных. Сколько квартир каждого вида в доме?
О--------------------------------------------------------
Задания для самопроверки
1. Изменение длины пружины равно k мм. Чему равно А*, если длина
пружины уменьшилась на 12 мм?
2. Укажите координату точки, в которую перейдёт точка А(3) при пе-
ремещении на -4 единицы.
з. Установите соответствие между суммой чисел и значением этой
суммы.
А. -2 + (-7) Б, -2 + 7 В. 2 + (-7) Г. -7 + 7
1)-5 2)-9 3)0 4)5
4. Укажите неверное высказывание.
а) Прибавить к числу а число Ь — значит изменить число а на b еди-
ниц.
б) Сумма двух отрицательных чисел ость число положительное.
в) Сумма двух противоположных чисел равна нулю.
г) Из числа а вычесть число Ь — это значит к числу а прибавить чис-
ло, противоположное Ь.
5. Найдите значение выражения -7,2 - 5,5 + 7,2.
6. На координатной прямой даны точка А(-14) и точка В( 12). Найдите
координату середины отрезка АВ.
7. Сопоставьте выражение и его значение.
А. -9,3 + (-5,7) Б. 15-(-15) В,-15-(-15) Г.-1 + |
1)0 2)-15 3)-0,2 4) 30
8. Решите уравнение -7,5 - х = -3,3.
э. Сколько целых чисел расположено между числами -5 и 3?
ло. При каких значениях а выполняется равенство а + ||а| 0?
а) а > 0; б) а < 0; в) к > 0; г)й <0.
54
•л* 1
J Складывать н вычитать отрицательные числа научились древнеки-
тайские учёные еще до нашей эры.
Индийские математики представляли себе положительные числа
как «имущества», а отрицательные числа как «долги*.
Вот как индийским математик Брахмагупта (VII в.) излагал прави-
ла сложения и вычитания: «Сумма двух пмуществ есть имущество*,
«Сумма двух долгов есть долг*, «Сумма имущества и долга равна
их разности* и т, д. Попробуйте перевести эти древнеиндийские
правила на современный язык.
Темы проектных работ
1. Что мы знаем о развитии математики в Индии и Китае.
2. Математики Средней Азии IX—XV веков.
55
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ
ЧИСЕЛ
3 5. Умножение
Задача 1. Фабрика выпускает вдень 200 мужских костю-
мов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона, расход
ткани на один костюм изменился на 0,4 мг. На сколько из-
менился расход ткани на костюмы за день?
Решение. Расход гкани на каждый косном увеличил-
ся на 0,4 м2. Поэтому, чтобы решить задачу, надо умножить
0,4 на 200 Получим 0,4 - 200 - ВО Значит, расход ткани на
костюмы за день увеличился на 80 м®, иными словами, из-
менился на 80 мг.
Задача 2. фабрика выпускает в день 200 мужских ко-
стюмов. Когда стали выпускать костюмы нового фасона,
расход ткани на один костюм изменился на -0.4 м?. На
сколько изменился расход ткани на костюмы за день?
Решение. Расход ткани на каждый костюм умень-
шился на 04 мг. Поэтому расход ткани на костюмы за день
уменьшился на 80 мг (0,4 * 200 - 80). Это значит, что расход
ткани на костюмы за день изменился на -80 м2.
Таким образом, произведение -0,4 и 200 равно -ВО. т. е.
-0.4 • 200 - -(0.4 • 200) - -80.
Считают, что и 200 • (-0,4) —(200 * 0,4) —80.
Чтобы перемножить два числа с разными знаками,
надо перемножить модули этих чисел и поставить пе-
ред полученным числом знак «-».
Например. (-1.2) • 0.3 = -(1.2 0,3) = -0,36;
1,2 ’ (-0.3) = -(1.2 0,3) = -0,36.
Сравнивая эти два произведения с произведением
1,2 л 0,3 — 0,36, можно замв1И1ь: чю при изменении Знака
любого множителя знак произведения меняется, а его мо-
дуль остаётся тем же.
56
Если же меняются знаки обоих множителей, то произве-
дение меняет знак дважды, и в результате знак произведе-
ния не меняется: 8 • 1,1 - 8,8; (-8) • 1,1 - -8,8; (-8) • (-1,1) =
- -(-8,8) - 8,8, Видим, что произведение отрицательных
чисел есть число положительное.
Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо
перемножить их модули.
Например, (-3,2) • (-9) = |-3,2| |-9| = 3,2 9 = 28,8.
Обычно пишут короче: (-3,2)4 (-9) - 3,2 9 - 28.8. Так как
(-3) - 2 - -(3 - 2), то можно первый множитель писать без
скобок, т. е. (-3) • 2 = -3 • 2.
Сформулируйте правило умножения двух чисел с разными знаками.
Как перемножаются два отрицательных числа?
К 229. Уровень воды в реке изменяется каждые сутки на н дм. Как изме-
нится уровень воды в реке за 3 суток, если а = 4; -3?
230. При увеличении температуры воздуха на 1 "С столбик ртути в тер-
мометре поднимается на Й мм, На сколько изменится высота стол-
бика ртути, если температура воздуха изменится:
а) на 15 'С; б) на -12 СС?
23*1. Турист движется по шоссе со скоростью с км/ч. Сейчас он нахо-
дится в точке 0 (рис, 42), Если он движется в положительном на-
правлении. то его скорость считают положительной, а в отрица-
тельном направлении — отрицательной. Значение f = -4 означает
♦ 4 ч назад*.
Рис 42
57
Где будет находиться турист через t ч? Решите задачу при сле-
дующих значениях букв:
а) и = 5, t = 1; в) t? = 5, t = -4;
б) о -5, t - 4; г) v - -5, I — 4.
232» Выполните умножение:
а) -5 • 6; к) -0,6 • (-0,9);
б) 9 (-3); л) -2,5 * 0,4;
в) -8 • (-7); м) О (-1+1);
г)-10 11; н) 1,2 (-14);
д) —11 1 (-12); о)-20,5 • (-46);
в)-1,45 4 0; п)-8,8 ‘ 302;
ж) 0,7 • ( 8); р) 9,8 • (-50,6);
з)-0,5 6; с) -17,5 • (-17,4);
и) 12 ( 0,2); т) 3,08-( 4,05).
233» Найдите значение выражения 42v, если у — 0; 1; 1; 3; 5; 30.
Произведение, в которое входят отрицательные числа, читают таг
2,4 - (-0,5) — произведение двух целых четырех десятых
и минус нуля целых пяти десятых,
— две целых четыре десятых умножить на минус
нуль целых пять десятых,
-20</ — минус двадцать игрек,
— произведение минус двадцати и игрек.
234. Найдите значение произведенил:
«)-з| 6i;
ж)-з| • 1.2;
и) -2-^ (-6,25).
235» Поставьте вместо * знак < или > так, чтобы получилось верное
равенство:
а) -68 ’9*0; в) 7,3 - (-8) * 7,3; д) -8 у * О;
б) -4,5 • (-45) * 0; г) 7,3 • (-8) * -8; е)-| |
236. Выполните умножение и сделайте вывод:
а) 1 - (-3,9);
б)(-1) • 7,4;
в)-65-(-1);
г) -1 - 7,4.
58
237* Запишите в виде произведения сумму:
а) х + х + х + х + х 4 х; в) —2у — 2у - 2у;
б) -а - а - а - а; г) 5х + 5х 4- 5х + 5х 4- 5х,
238. Найдите значение выражения:
а)х + 4 + х44 + х + 4, если х “ 9,1;
б) а — 1 + а — 1 + а — 1 + а - 1, если а = —2,1,
239. Догадайтесь, чему равен корень уравнения, и выполните про-
верку:
а) -8 - х - 72; в) 6 * у - 54;
б) -4 • х - -40; г) -6 у - 66.
240. Найдите значение выражения:
а) 3 (-2) + (-3) * (-4) - (-5) 7;
б) (-18 + 23 - 16 4 9) (-18);
в) (-4,5 4- 3,8) (2,01 - 3,81);
г) (2,8 - 3,9) (-4,3 - 2,6);
д) -4,5 • 0,1 + (-3,7) • (-2,1) - (-5,4) * (-0,2);
е) (2,3 • ( 1,8) - 1,4 • ( 0,8)) ’ ( 1,5);
ж) -3,8 (-1,5) - (-1,2) * 0,5 - 6,5;
з) 2,321 - ( 3,2 4 2,3 - 4,8 4 6,7) - 1,579,
241. Выполните действия:
а’(2К- 4) i8Й - 101= •)(-Т-П-н) п + 5’
4пп= Д> (Ц - 2-2) Н)-3.05S
в) 22,5 - 24 • (| - f) е) (-0.25 - | • (-0.2) + 3,9.
242. Найдите значение:
а) Xе, если х - -6; -1; 0,3; -0,7; -11; 21;
I г* 4
б) у1, если у- -3; 0,1; -0,1; -11; 11.
243, Выполните действие:
а) 3.7-4,8; г) | - ж)-0,5 -
б)-5,2-4,7; з)-|+0,5.
в)-5,6-(-3,8); е)-| - 1-1):
И к » '
59
244. Сравните:
а) 1-3.5 + 2,9| и |-Э,5| + |2Л)|;
245. Вычислите устно:
6) |-8,7 - 0+7| и |-8.7| + |-0,7|.
246. Представьте число -12 в виде разности:
а) двух положительных чисел;
б) двух отрицательных чисел;
в) отрицательного и положительно]’» чисел.
247. Может ли быть верным равенство а - b = b - а?
Приведите примеры. Найдите условие, при котором данное ра-
венство верно.
248. Может ли разность двух чисел быть больше их суммы?
249. Подберите такие отрицательные значения х и и, чтобы значение
выражения х - у было равно:
а)-10; 6)2,5; в) 0; г)д) 1; с) ОД.
250. Выполните действия:
а) 3,78 (2,56 2,97); 6) 6,19 + (- 1,5 + 5,19).
251. Решите уравнение:
а) х + 8,2 = 1,8; в) 8,7 - х = -2,3;
б) 4,8 - х — 5,6; г) х - 3,9 — -2,7,
252. Сосна выше ели на 1,2 м. Какова высота сосны и какова высота
ели, если известно, что:
а) сосна выше ели в 1,5 раза;
б) ель в 1,6 раза ниже сосны;
. 2
в) высота ели составляет высоты сосны;
60
г) высота ели составляет 0,4 высоты сосны;
д) высота ели составляет 80 % высоты сосны?
253. Найдите значение выражения:
3,5 , 7_ 4,4 J_ 2.1 2 ч 2.6 . .» 7
п 1.8 ’ В 3,9 1 . >,1 ' 3 ~ 4,5 ' *15
’ 26 0,8 + 20,44 : 2,8' 10.26 ; 3.8 + 1.4 12‘
254. Найдите значение произведения:
а) -24 - 36; д) -4,3 • 5,1;
б)-48 (-15); е)-2,7 (-6,4);
в) 33 ‘ (-11); ж) -1 • (-3,84);
г) 1,6 (-2,5); з)-7,2*0;
255. Выполните умножение:
a) | * в) 3,6 - I
и) —1 (-1);
к) (-3)3;
л)(-2,5)-;
м)(-0,2)’.
д)-2,8 i
с) -2| ’ 0,125.
256. Найдите значение выражения:
а) 38 (-3) - (-24) • (-4) + (-16) • (-30);
б) ( 2,8 + 6,1 - 3,4 + 6,2) - ( 3,4);
в) (4,3 - 7,8) - ( 5,6 + 8,3);
Л>1Г (4) - Н)'1
е)| -(-15,3-24,3 -1).
257. R среду привезли на 4,8 т больше сена, чем вп вторник. Сколько
тонн сена привезли за эти два дня, если во вторник привезли в
1,4 раза меньше, чем в среду?
258. Первое число 60. Второе число составляет 80% первого, а третье
число составляет 50 7о суммы первого и второго. Найдите среднее
арифметическое этих чисел.
259. Среднее арифметическое двух чисел равно 12,32. Одно из них со-
ставляет треть «т другого. Найдите каждое число.
36. Деление
Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и
деление положительных чисел: по данному произведению и
одному из множителей находят второй множитель.
Например, разделить -12 на -4 — это значит найти та-
кое число jc, что -4-х —12. Сначала найдём знак числа х-
Так как при умножении -4 на х получилось отрицательное
число 12, то множители 4 и л- должны иметь разные зна-
ки. Поэюму х — положительное число. Теперь найдём мо-
дуль числа х. Так как модуль произведения равен произве-
дению модулей множителей, то | 12| = |-4| • х|. Отсюда
|х| - |-12| : |-4|. Но так как х — положительное число, ю
х - |х|. Значит, х - 3
Пишут: (-12) : (-4) - |-12| ; |-4| - 3, или короче;
{-12) : (-4) =12:4 = 3.
Чтобы разделить отрицательное число на отрица-
ельное, надо разделить модуль делимого на модуль
делителя.
Например, -4,5 : (-1,5) - 4,5 : 1,5 - 3;
3 I. 5 ’
2 4 2 5 5
3 ‘ 5 - 3 4 6’
Разделить -24 на 4 — это значит найти такое число х,
что 4 - х - -24. При умножении 4 на х получилось отрица-
тельное число -24. значит, множители 4 и х должны иметь
разные знаки. Поэтому х — отрицательное число. При этом
должно выполняться равенство 4| - |х| - |-24|.
Отсюда |х| — |-24| : |4| — 24 : 4 - 6. Значит, х — от-
рицательное число с модулем 6, т. е. х = -6.
Итак, -24 : 4 = -6.
Рассуждая таким же образом, получим, что
24 : (-4) - -6.
При делении чисел с разными знаками, надо:
1) разделить модуль делимого на модуль делителя;
2) поставить перед полученным числом знак «-»,
Обычно вначале определяют и записывают знак частно-
го, а лотом уже находят модуль частного.
Например, 3,6 : (-3) - -(3,6 : 3) - -1,2;
l' _3 I . 3 _ f 3 . 3^ _ ( 3 4 j _ 2
8 J ‘ 4 l8 * 4 J 1.8 3 J 2’
При делении нуля на любое число, не равное нулю, по-
лучается нуль. Делить на нуль нельзя!
Сформулируйте правило деления отрицательного числа на отрица-
тельное.
Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные .знаки.
Чему равно частное О : «, где a * О?
V? 260. Верно ли выполнено деление:
а)-86 : 2 =-18; в) 2,7 : (-1) = 2,7;
б) 60 : (-1,5) - -4; г) -7.5 : (-5) - 1,5?
261. Найдите частное:
а) -38 : 19;
б) 45 : (-15);
в) -36 : (-6);
г) 270 ; (-9);
д) -5,1 : (-17);
е) 650 : (-1,3);
ж) -4,4 : 4;
з) -8,6 ; (-4,3);
и) 48,1 : (-48,1);
к) -950 : 9,5;
л) -5,42 : (-27,1);
м) 10,01 : (-1,3).
I
Г частной, в которое входят отрицательные числа, читают так:
54 : ( 2,7) частное минус пятидесяти четырёх и минус двух це-
лых семи десятых,
— минус пятьдесят четыре разделить на минус две це-
лых семь ДЙСЯ1ЫХ.
(-6m) : (-3) — частное минус шести эм и минус трёх,
— минус шесть эм разделить на минус три.
Равенства, содержащее отрицательные числа, читают так:
2 4
~7 х = ~Yi — минус две седьмых икс равны минус четырем один-
надцатым,
262. Выполните деление:
В) 4: (-18); л)(-):(-) = (+)
51-7:5; г)-8 : (-3); е> “П ; I—
63
*>-15 = n)-5,2: if;
и)-5:|; H)4.2:f. 2fj;
. <5 ,i
263. Выполните действия:
a) -4 - (-5) - (-30) : 6; д) (-8 + 32) : (-6) - 7;
б) 15 : (-15) - (-24) : 8; e) -21 + (-3 - 4 + 5) : (-2);
в) -8 • (-3 + 12) : 36 + 2;
г) 2,3 4-6- 1): 5;
ж) -6 • 4 - 64 : (-3,3 + 1,7);
з) (-6 + 6,4 - 10) : (-8) • (-3).
264. Ня идите значение выражения:
a) (3m 4» 6m) : 9, если m - -12: -5,96;
б) (5,2(7 5,25) : 5.2, если (7 —27, б - 3,64.
265. Чему равно частное:
а) 87х и 87; в) 9m и т; д) -1,9х и х?
б) -3,75 и 3,7; г) -41с и с;
266. Решите уравнение и выполните проверку:
а) -х ’ 4 - 100; в) 0,1 у - 33;
б) 3 - ( х) - 27; г) |х - -1.
ч>
267. Решите уравнение:
> 3 » . .6 .13,
а) 5 х ]0» в) 9 * 1 27’
1 8 . г 2 . й о 5
26S. Задумали число, умножили его на 6, затем из произведения выч-
ли 2,7. В результате получили 21,7. Какое число было задумано?
269. Найдите значение выражения: 1
я>^7; Г»ТГ; ж)-0,75:1А; к)'Л.
М .1 _о« . 1Z- 6
б) 3,8 * -5,1 • О,с ’ 2’® ’ 4 3’
в) ^Т2: е) °’72 : I "11; И>
-1Т5
64
270. Найдите неизвестный
5,8
а) -2,3 -4,5'
член
-4
В)
пропорции:
и|.
’Ч
14
5*
G
271. Вычислите устно:
а)
fU -2‘®
б) “зГ
» 272. Вычислите:
а) -17 • 5;
1
г) -0,2 0,3;
б)-|
ж) -1,3 (-5);
3 ,
с) (-3)3
и) (-0,3 - 0,2} • (-6).
2
7
3
В) II
273. Найдите значение выражения:
а) -2,3 0,1 + 35 (-0,01) - (-2,1) (-0,2);
б) (4,8 - 7,3 + 2,1 - 2,7 + 3,1) (-183).
274. При каких значениях множителей произведение ху равно нулю?
не равно пулю?
275. В каких случаях может быть верно равенство:
а) х - х*; б) х - х4: в) х2 - х*7
276. Проверьте на примерах справедливость равенства |ab| = |а| ' |fr|.
Попробуйте доказать, что это равенство верно при любых значе-
ниях а и Ь.
277. Представьте числа 9; 16 и 25 а виде произведения двух равных
множителей. Сколькими способами можно это сделать?
65
278. На рисунке 43 показана карта России с часовыми поясами. Опре-
делите с её помощью: ы) поясное время я Екатеринбурге и Влади-
востоке, если в Москве полночь; б) поясное время в Петропавлов-
ске-Камчатском, Новосибирске и Калининграде, если в Москве
11ч утра. Составьте сами и решите несколько выдач на определе-
ние поясного времени.
Рис. 43
279. Костя и Вера вышли одновременно из одного и того же пункты в
одном и том же направлении. Костя идет со скоростью а км/ч, а
Вера — со скоростью б км/ч. Какое расстояние будет между ними
через / ч? Составьте формулу для решения задачи, обозначив ис-
комое расстояние (в километрах) буквой я и зная, что а > Ь. Най-
дите по формуле:
а) а, если а = 4,2, £ = 3,6, t = 4;
б) а, если s - 2,2, b - 3,2, t -
в) I). если s - 0,3, а - 5,4, I —
г) I, если 5 - 1,2, а - 5,1, b - 3,3.
280. Решите предыдущую задачу, заменив в ней слова «в одном и том
же направлении» на слова «в противоположных направлениях».
Найдите по полученной формуле:
66
a) s, сели и — 4,2, b — 3,6, t — -ji
б) а, если s — 2,2, b - 3,2, t - 1;
) 5, если s - 1,5, a - 5,4, t -
r) t, если 8 — 5,6, « - 5,1, b - 3,3,
281. При каких целых значениях х верно неравенство:
а)-3,2 < х < 1,8; б)-б| < х < в)-0,3 < х < 4?
3 4
282. Вычислите с помощью микрокалькулятора:
а) -3,82 • 0,375 - 3,8275; б) 4,15 • (-1,236) + 3,0994,
283. Выполните деление:
а) 57 : (-19);
б) -123 : 41;
в) -147 : (-7);
г) 14,31 : ( 2,7);
д) -86,2 : (-0,1);
е) -51,34 :(-1,7);
ж) 1 к : 4 . 1Г
>Ь(-
1 }
и)-14 : L? Н)
к) 0,12 : (-1»
л) 0,1: | i Y . 12/
м)-| : 1,6,
284. Решите уравнение:
а) -6,32х = 60,04; г) -|х =
о и
б) у : (-3,08) --4,5; д) 2,4 ( т) --0,24;
в) 8,37 ‘ (-у) = 20,088; е) |х = -0,24.
о
285. Нн идите значение выражении:
а) (48 - 57) ; 0,9; д) 3,2 : (-0,4 • 0,2);
б) ( 84,2 - 15,8) : (• 0,01); е) 4,9 : ( 0,2 • 0,3 - 0,1);
в) (-24.6 + 13,8); 2,7; ж) : (-| +
г) 643,2 : (-87.3 + 85,7); а) | 0,2 ♦ 11 : 3,2.
67
286. Из города одновременно в одном и том же направлении выехали
Лнн мотоциклиста. Скорость первого на них были больше скоро-
сти второго и составляла 72 км/ч, Через 25 мин расстояние между
мотоциклистами было равно 5 км. Найдите скорость второго мо-
тоциклиста.
___ тт * 4,64 2 4,32 , 1
287. Найдите значение выражения : - -4-т- ’ 1 т-
т 5,3 91
288. Решите уравнение: а) туту = б) —— = —у.
33
37. Рациональные числа
Pd ц и ом d.j ьное
ч цело
Число, которое можно записать в виде отношения
а
—। где а — целое число, ап — натуральное число, на-
зывают рациональным числом.
Любое целое число а является рациональным числом,
так как его можно записать в виде -у.
Например, -3 —р 2 - -р 0 - у-
Рациональным числом будет и любая отрицательная
г -2
дробь, так как, например, -у можно записать так: —.
J J
2 2
Числа 0,23; 2у; -3,513; -4у тоже рациональные числа,
так как 0 23 = 2 - = — - -3 513 = -4 — = —
так как u, zfл ipo|Z7 7’ 4,014 1000' 5 5'
Сумма, разность и произведение рациональных чисел
тоже рациональные числа.
Например:
2.3 -14 + 9 -5.
— • — — ----- — --
3 7 21 21
5 _ 3 _ 5-6 _ ^1.
В 4 8 8 ’
3 4 л 1 33
"8 5 ” 40 '
68
Если делитель отличен от нуля, то частное двух рацио-
нальных чисел тоже рациональное число.
Например: -0.5 ;|=-ЛдХ = ^ = ^.
чиггл
Множество целых и дробных чисел образуют множество
рациональных чиСвл. Обозначаю) мн0жеС1Вр рациональных
чисел заглавной латинской буквой Q (ку)
Запись чсС? читают: «Число пять седьмых принадлежит
множеству рациональных чисел* или «Число пять седьмых
является рациональным числом*.
Множества натуральных чисел, це-
лых чисел являются подмножествами
множества рациональных чисел. Пишут:
NcQ,Z с Q
Вы уже умеете выражать некоторые
обыкновенные дроби в виде десятичных
дробей.
Например,
2-г = 0,28, так как 7 : 25 = 0,28.
2Ъ
Не все обыкновенные дроби можно
представить н виде десятичной дроби.
Например, если будем делить 1 на 3,
то получим сначала нуль целых, потом
|ри десятых, а далее при делении неё
время будут повторяться остаток 1 и в
частном цифра 3.
Деление никогда не кончится. Значит,
дробь 4 нельзя представить в виде де-
г:ятичн:ц' .i:../•./ Нс- если разрешить пи-
сать бесконечные десятичные дроби, то
4 - 0,333...
5
Разделив 5 на 11. получим, что — -
= 0,454545... , а разделив 1 на 15, полу-
чим, что тг - 0,0666...
Z5
_7<? 0.22
50
200
200
О
£_ 2
я
/о
5 //
У5У5...
УУ
jft?
55
50
УУ
60
55
5
69
Периоды чес кая
дробь
В записях 0,333... , 0,4545... и 0,0666... одна или не*
сколько цифр начинают повторяться бесконечно много раз.
Такие записи называют периодическими дробями.
Вместо 0,333... пишут 0,(3), вместо 0,4545... пишут
0,(45), а вместо 0,0666... пишут 0,0(6).
Любое рациональное число можно записать либо е виде
десятичной дроби (в частности, целого числа), либо я лиде
периодической дроби,
Для дроби 4 “ 0,333 .. число 0,3 является приближён-
ным значением до десятых с недостатком: 0,3 < 4- Число
0,4 является приближённым значением этой дроби до деся-
тых с избытком: < 0,4. Таким образом, 0,3 < < 0,4.
Если число уу - 0,4545... округлить до десятых, то полу-
чим у- =0,5, если это число округлить до сотых, то получим
= 0.45, а если округлить до тысячных, то = 0,455.
Какие числа называют рациональным]!?
Покажите, что любое целое число является рациональным числом.
Покажите, что любая десятичная дробь является рациональным
числом.
Какими числами являются сумма, разность, произведение рацио*
няльных чисел?
Всегда ли частное двух рациональных чисел является рациональ-
ным числом?
Какая запись числа называется периодической дробью?
U 2 В 9. Представьте в виде — (где a — целое число, ад — натуральное
число) следующие числа:
2у; 4; 0,35; 1,23; 1; 0; -1; Ц; -3,18;
О X £7
290. Представьте в виде — (где а — целое число, ал — натуральное
число):
а) суммы '7 + 2ТТ “ 1 22’ 9 ~ 18’ 0,5 “
70
» i 4 Ь J n n <2 1 I 5 1 .
б) произведения g ' l.-9 ,r “З3 ’ °* *9: "2 5 r -77» -I72 ’ jy
в) частные | : j-jl; 0,27 : 0,9; 0,26 : (-0,13); : 0,6.
291. Выразите в виде десятичной или периодической дроби числа 77,
7 J3 _7_ 27 „_5_ _9_ 7
12* й25’ 4 15’ 40’ д18* 175’ 42‘
,Л_ ь, , Л 3 17 1Л 14 7 23 5 7 9 5
292. Какие из дробей р jj, ж, w jj, можно
представить в виде десятичной дроби?
293. Проверьте, что следующие равенства верпы:
а) 0,222... - в) 0,818181... - _9_- 1Г д) 0,4666... -
6) 5,(6) = 65; о г) 0,(06) = е) 2.8(12) = 2^.
Выражение — можно прочитать разными способами;
— частное икс и игрек,
— дробь с числителем икс и знаменателем игрек,
— дробь: икс, деленный на игрок.
Бесконечные десятичные дроби читают так:
0,666... — ноль целых шестьсот шестьдесят шесть тысячных и так
далее,
0.(6) — ноль целых и шесть и периоде,
2,5 333... — две целых пять тысяч триста тридцать три десятитысяч-
ных и так далее,
2,5 (3) — две целых пять десятых и три в периоде.
Я 5
294. Для дробей ту и найдите десятичные приближения с недостат-
ком и с избытком: а) до десятых; б) до сотых. Запишите ответ в
виде двойного неравенства.
• 295. Выразите дроби ур -р-, jy, 1 —, -у в виде приближенного значе-
ния десятичной дроби до сотых.
296* Вычислите устно:
297* Одинаковы ли знаки чисел х и у, если верно неравенство:
а) ху < 0; б) хг/ > 0; в) ху < -3; г) ху > 5?
298. При каких значениях т верно равенство:
a) |m| - т; г) m “ |-m|; ж)т + |т -2m;
б) | /711 — -m; д) т = -т; а) т - | т | = 2т?
в) -т - | -т |; е) т + | m | - 0;
299. Может ли быть верным равенство а : ft - b : а?
Как доказать,, что утверждение «Равенство и ; ft = ft : и верни при
любых значениях а и ft» несправедливо?
300. Отметьте на координатной прямой точки с целыми координатами:
а) модуль которых больше 3 и меньше 7,1;
б) кратными двум, модуль которых больше 5 и меньше 10у*
301. Выполните деление:
а)-50: (-5); г) 2,4 : (-6); ж)-| :
б) 4: (-5); д)-3,6 : 1,8: з)-1|:(-з|..
в)-3 : 7; е): 1|;
302. Можно ли привести дробь -V к знаменателю 20; 24; 45; 75; 80;
100; 1000?
303. Можно ли привести к знаменателю 60 дроби:
1. 1. J_,
4’ 7’ 12* 22“
72
304. Можно ли представить в виде десятичной дроби числа
Ъ 1- 1* JL- 1?
3* 5* 7’ 8* 25’ 7
305. Можно ли привести к знаменателю 100 дробь —. если m - 2; 25;
3; 4?
ЗОБ. ТТайдите значение выражения:
1) -2,79 : 3,1 + 24,21 : 2,4; 4) (1 - 1,3 - 1,6) > (-3,2);
2) 2,07 : (-2,3) + 13,13 : 1,3; 5) || - || : з|;
3) (1 - 1,5 - 1,4) • (-2,8); 6) (+ || : |-1|]♦
307. Представьте в виде (где а — целое, а п — натуральное число):
а) сумму “ + у“г и сумму 3,9 - 4,7;
б) произведение -у- ‘ 1 уу и произведение -5,6 • (-1,2);
в) частное -7,5 : (-0,25) и частное -0,8 : (-0,6),
308. Проверьте, что верно равенство:
а) 0,444... = 6) 0,3(5) =
<7 1 <7
7 17
309. Выразите дроби pj, 77,
yr в виде приближённого значения деся-
тичной дроби, округлив результат до тысячных.
310. Два мальчика идут навстречу друг другу- Сейчас между ними
12 км. Скорость одного из них составляет -у скорости другого.
Найдите скорость движения каждого мальчика, если известно,
что они встретятся через 1,5 ч.
311. Найдите значение выражения:
а) ( 0,8 1,2 + 1,06) : ( 0,5);
б) (-30.15 : 15 4- 0,91) (-2,4).
38. Свойства действий с рациональными числами
Переместится ь-
нае свойство
сложения
Сочелимпсдыюе
свойство
сложения
Сложение рациональных чисел обладает перемести-
тельным и сочетательным свойствами. Иными словами,
если а, Ь и с — любые рациональные числа, то
а + b = b + а, <я + (£ + с) - (<?+£) + с.
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противо-
положных чисел равна нулю. Значит, для любого рацио-
нального числа имеем:
л + = й, д + ( — д ) = О.
Игре мести m гл &
ное свойство
умножения
Сочетательное
свойства
умножения
Распредели-
тельное
свойство
умножения
Умножение рациональных чисел тоже обладает пере-
местительным и сочетательным свойствами. Другими
словами, если ti( 6 и с - любые рациональные числа, то
ab =ba, а(Ьс} — (д2*)^4
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а
произведение числа на обратное ему число равно 1. Зна-
чит, для любого рационального числа а имеем:
д • 7 = д> д * —-- = 7, сем а О.
Умножение числа на нуль даёт в произведении нуль,
т. а. для любого рационального числа а имеем.
д 0 = 0,
Произведение может быть равно нулю лишь в том слу-
чае, когда хо/ч бы один из множи/епей ранен нулю:
£см a • b ~ О. /Но мА а ~ 0г мА b ~ О
(ммЫ случшЛьсл, ч/йо д д = 0, м b = 0).
Умножение рациональных чисел обладает и распреде-
лительным свойством относительно сложения. Другими
словами, для любых рациональных чисел а, b и с имеем:
(л +2>)
а = ае + be.
Перечислите свойства сложения рациональных чисел.
Перечислите свойства умножения рациональных чисел. В каком
случае произведение двух чисел равно нулю?
К 312. Сформулируйте словами переместительное свойство сложения
а + b — h + а и проверьте его:
а) при а = 0,7, h = 1,2; б) при « = -Зр h = — 1 у-
313. Сформулируйте словами сочетательное свойство сложения
а + (fe + е) = (u + ft) + е и проверьте его:
а) при а - 0,7, Ь - 0.3, с - 1,2;
б) при а = -1 у, b = -1 у, с = -1 у-
314* Сложив отдельно положительные и отдельно отрицательные чис-
ла. найдите значение выражения:
а) -17 + 83 + 49- 27 - 36 + 28;
б) 2.15 - 3,81 - 5,76 + 3.27 + 5,48 - 4,33;
в) 4 у + 2у ~ 5g ~ ®з - 29*
г) 0,8 - 4 - I + 0,3 - I + 0,4.
Jo Z
315. Сложив сначала противоположные числа, найдите значение выра-
жения:
а) 387 - 243 - 753 - 387 + 243;
б) -6,37 + 2,4 - 3,2 + 6,37 - 2,4;
в) з| + 2| - - з| - 2-|;
г) 0,5 + 2^ - 3,3 - 2,8 - | + 3,3,
•-1 м
31 Б. Упростите выражение:
а) х + 8 - х - 22; в) а - m + 7 - 8 + т;
б) -х — а + 12 + а - 12; г) 6,1 — k + 2,8 + р - 8,8 + k - р.
317. Выбрав удобный порядок вычислений, найдите значение выраже-
ния:
а) 7,8 + з| - 2,8 - з|; в) - 8^ +
О О 1-г 1-С 1*1 16 1 “т
б) 4| - Зу - 9,5 + 5|; г) 3| - 0,8 - 2у + 2,5 + 0.3 + 1^.
318. Сформулируйте словами переместительное свойство умножения
аt> - Ьа и проверьте его:
а) при а = -0,3, Ь = 0,4; б) при а = -2^’ & = —4^-
319. Сформулируйте словами сочетательное свойство умножения
а{6с) - (аЬ)с и проверьте его:
а) при а — 0,2. b — -0,5, с - 3,2;
2 т < 1 3
б) при £Г = -д, Р = -1у, С = -5’
75
320. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выра-
жения;
.) -2 • (-50) • 6 • 12; г)-| • (-£) .(-|) •
б) 11 • (-4) (-7) 25; д) -з| • | -1| | • (-3) (-7);
в) -0.2 0,8 (-5) • (-1.25); е) -0.2 • 2? • (-0.5)
321. Какое получится число (положительное или отрицательное), если
перемножить:
а) одно отрицательное и два положительных числа;
б) два отрицательных и одно положительное число;
в) 7 отрицательных и несколько положительных чисел;
г) 20 отрицательных и несколько положительных?
Сделайте вывод.
322. Определите знак произведения:
а) -2 (-3) - (-9) (-1,3) * 14 (-2,7) (-2,9);
б) 4 • (-11) • (-12) (-13) (-15) • (-17) 80 90.
323. Решите уравнение, использовав свойство произведения, равного
нулю:
а) 4 - (х - 5) - 0;
б) -8 - (2,6 + х) - 0;
в) 1,5 - (41 - х) - 0;
г) (Зх - 6) 2,4 - 0;
д) (х - 1) ’ (х - 2) - 0:
с) (х +• 3)' (х + 4) - О
324. Сформулируйте словами распределительное свойство умножения
(а 4 Ь) с - ас + Ьс и проверьте его:
а) при а - 0,2, h — -0,3, с - -0,5;
2 , 3 . 2
б) при а = - у» Ь = - у, с = -1ft*
325. Выбирая удобный порядок вычислений, найдите значение выра-
жения;
а) 0.3 ( 0.6) (0.7)-(0.6); в) уу 0,8 + 0,3 • I -уу |;
б)8-(-|) +7-(-|); г) [ -| - |) • (-28).
76
327. Найдите сумму всех целых чисел:
а) от -6 до 7; 6) от -18 до 17;
в) от -22 до 20.
328. Решите уравнение:
а)|х|-5,2; б)|а|--3-^; в) 4/1-0.
I
329. Придумайте такие значения х и у1 при которых верно соотноше-
ние:
<0f=l: «>Г1;
6) ~ = 0; Г) f > 0; 6) ~ < 1.
330. Найдите наибольшее значение выражения:
а) -1 х|; б) 2 - |х|; в) -1х - 11; г)-(х - 1)г-
*|1 331. Решать некоторые математические задачи помогают специаль-
ные схемы, состоящие из точек и соединяющих их дуг или стре-
лок (рис. 44). Такие схемы называют графами, точки называют
Рис. 44
77
вершинами графа, а дуги — рёбрами графа. Ответьте на вопросы,
используя графы.
а) В спортивном зале собрались Витя, Коля, Петя. Серёжа и Мак-
сим (рис. 11, а). Оказалось, ЧТО каждый из мальчиков знаком
только с двумя другими. Кто с кем знаком? (Ребро графа озна-
чает «мы знакомы».)
б) Во дворе гуляют братья и сёстры одной семьи. Кто из этих де-
тей мальчики, а кто девочки (рис. 44, б)? (Пунктирные рёбра
графа исходят от сестер, а сплошные — от братьев.)
332. Вычислите:
333. Сравните:
а) 2’ и За;
В) 0.5 (-4);
г) 8 : (-0,4);
б) (-2)’ и (-3)3;
е) -1 :
в) 1’ и I2;
Ж) 1 - 51;
з) 0,25 - 1.
г) (-1Г и(-1)\
334. Округлите 5,2853 до тысячных; до сотых; до десятых; до единиц.
335. Решите задачу:
1) Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними
23,4 км. Скорость мотоциклиста в 3,6 раза больше скорости ве-
лосипедиста. Найдите скорости велосипедиста и мотоциклиста.
если известно, что мотоциклист догонит велосипедиста через
2) Легковая автомашина догоняет автобус. Сейчас между ними
18 км. Скорость автобуса составляет - скорости легковой
авто-
машины. Найдите скорости автобуса и легковой автомашины.
если известно, что легковая автомашина догонит автобус через
2
ч.
336. Найдите значение выражения:
1) (0,7215 ; 0,23 - 2,45) * 0,18 + 0,071;
2) (0,8925 ; 0,17 - 1,65) - 0,1 7 + 0,098;
3) (-2,8 + 3,7 - 4,8) 1,5 : 0,9;
1) (5,7-6,6- 1,9) • 2,1 : (-0,49),
Проверьте ваши вычисления с помощью микрокалькулятора.
337. Выбрав удобный порядок вычислений» найдите значение выраже-
ния:
а) -24 + (-16) + (-10) + 23 + 17;
б) 36 + 72 + 21 - 36 - 72 - 24;
в) -3,4 - 7,7 + 4,2 - 8,9 + 3,5;
г) -3,9 + 8,6 + 4,7 + 3,9 - 4,7;
. . 2 „2 г 5 . ! 1 Г 1 -L П 3»
д> 4 7 “ 3 9 “ °7 + 1 3 “ J 9 + 2 7’
е)б| -з| + 5| +-Ц -б|.
338. Упростите выражение:
а) -36 + m + 24; в) 5,7 - 7,7 + а; д) | - 0,375 + fe;
б) п + 42 - 13; г) -0,44 + л- 0,22; е) т + |
339. Найдите значение выражения:
а)-5 (-1.2) (-7); в)-| • | • if (-Ц:
I1' 21
б) -12,5 - 2,4 ( 3) ( 5); г) 0,7 - Ьд I - 4,5 - 10.
340. Выполните действия:
а) 0,8 ‘ (-0,3) - 0,6 - (-0,3); г) 2| - 3,7 - 2| - (-5,3);
I. L?
3 ( Я k i , 1 . 1 1
6)-jf -0,4 -0,4 |-П.1; А) ГЧ-1т1 ’ Н;
. 7 1 4 1. j J, _ 4 . ОЛ
8 9 + 9 8’ е ।5 4 I 20,
341. По плану метростроевцы должны были проложить 2,5 км тонне-
лей. Они проложили 3,2 км тоннелей. На сколько процентов ме-
тростроевцы выполнили план и на сколько процентов они перевы-
полнили план?
342. Автомашина прошла 240 км. Из них 180 км она шла по просё-
лочной дороге, а остальной путь — по шоссе. Расход бензина на
каждые 10 км проселочной дороги составил 1,6 л, а по шоссе — па
25% меньше. Сколько литров бензина в среднем расходовалось на
каждые 10 км пути?
343. Выезжая из села, велосипедист заметил на мосту пешехода, иду-
щего в том же направлении, и догнал его через 12 мин. Найдите
скорость пешехода, если скорость велосипедиста 15 км/ч, а рас-
стояние от села до моста 1 км 800 м.
344. Выполните действия:
а) -4,8 • 3>7 - 2,9 8,7 - 2,6 • 5,3 + 6,2 • 1,9;
б) -11,31 : 5,3 - 27,81 : 2,7 + 2,565 : 3,42 + 4,1 • 0,8;
в) 3,5 • 0,23 - 3,5 • (-0,64) + 0,87 • (-2,5).
Задания для самопроверки
1. Установите соответствие между выражением и его значением.
А.-1-0,3 Б. -0,6 - (-0,5) В. 2,5-(-1,2) Г. -0.03 - 0
1)-3 2) 0,3 3)-0,3 4)0
2. Укажите неверное равенство.
а> | (-|) = -0.5; в) -6 : (-1,5) = 4;
б) -5- ;-3|;= 17; г) ; 0,4 = 1,5.
3. Укажите верные неравенства:
а) -39 • 5,5 < 0; в) 3,5 - (-4,5) > -4,5;
б)-4.8 (-5) < О: г) 1| > -1.
4. Найдите значение выражения Зе - 6, если с = -2.5.
5. Найдите значение выражения х2, если х = -0,2,
6. Вычислите (0,1 )э + (-0,1 )а,
7. Укажите номера верных высказываний.
1) При делении числа на -1 получается число, противоположное дан*
ному.
2) Произведение трёх отрицательных чисел положительно.
3) Частное двух чисел с разными знаками отрицательно.
4) Произведение двух отрицательных чисел положительно.
в. Решите уравнение -х 4,5 = 0,9.
э. Какие из дробей можно представить в виде конечной десятичной
дроби?
а’2в; 61 -3i; s> Г>4тг
во
*10. Запишите число, которым можно заменить символ *, чтобы полу-
з
чилось верное равенство j • 0,4 + 0,6 • 0,75 = * • (0,4 0,6).
а?-------------------------------------------------------------
'□ С рациональным» числами люди, как вы знаете, знакомились по*
степенно. Вначале при счёте предметов возникли натуральные чис-
ла. На первых порах их было немного. Так, ещё недавно у тузем-
цев островов в Торресовом проливе (отделяющем Новую Гвинею от
Австралии) были в языке названия только двух чисел; сура пун*
(один) и показа» (два). Островитяне считали так: «оказа-урапун»
(три), «оказа-оказа» (четыре) и т, д. Все числа, начиная с семи, ту-
земцы называли словом, обозначавшим «много».
Учёные полагают, что слово для обозначения сотни появилось бо-
лее 7000 лет назад, для обозначения тысячи — 6000 лет назад, а
5000 лет тому назад в Древнем Египте и в Древнем Вавилоне появ-
ляются названия для громадных чисел — до миллиона. Но долгое
время натуральный ряд чисел считался конечным: люди думали,
что существует самое большое число.
Величайший древнегреческий математик и физик Архимед (287—
212 гт. до н. э.) придумал способ описания громадных чисел. Самое
большое число, которое умел называть Архимед, было настолько
велико, что для его цифровой записи понадобилась бы лента в две
тысячи раз длиннее, чем расстояние от Земли до Солнца.
Но записывать такие громадные числа ещё не умели. !>го стало воз-
можным только после того, как индийскими математиками в VI в.
была придумана цифра нуль и ею стали обозначать отсутствие еди-
ниц в разрядах десятичной записи числа.
При разделе добычи и в дальнейшем при измерениях величин, да
и в других похожих случаях люди встретились с необходимостью
ввести «ломаные числа» — обыкновенные дроби. Действия над дро-
бями ещё в Средние века считались самой сложной областью мате-
матики. До сих пор немцы говорят про человека, попавшего в за-
труднительное положение, что ои «попал в дроби».
Чтобы облегчить действия с дробями, были при-
думаны десятичные дроби, В Европе их ввёл
в 1585 г. голландский математик и инженер
Симон Стевии.
Отрицательные числа появились позднее, чем
дроби. Долгое время такие числа считали «не-
существующими», * ложными» прежде всего
из-за того, что принятое истолкование для по-
ложительных и отрицательных чисел «имуще-
ство — долг» приводило к недоумениям; можно
Симон Стенин
81
сложить пли вычесть о имущества или «долги*, но как понимать про-
изведение или частное «имущества» и «долга»?
Однако, несмотря на такие сомнения и недоумения, правила умножения
и деления положительных и отрицательных чисел были предложены в
Бхаскара
III в, греческим математиком Диофантом (в виде;
«Вычитаемое, умноженное на прибавляемое, дает
вычитаемое; вычитаемое на вычитаемое даёт при-
бавляемое» и т. д,), а позже индийский математик
Бхаскара (XII в.) выразил те же правила в по-
нятиях «имущество», «долг* («Произведение двух
имущеетв или двух долгов есть имущество: произ-
ведение имущества и долга есть долг*. То же пра-
вило и при делении).
Было установлено, что свойства действий нал от-
рицательными числами те же, что и над положи-
тельными {например, сложение и умножение обладают перемести-
тельным свойством). II наконец с начала XIX в. отрицательные числа
стали равноправными с положительными.
В дальнейшем в математике появились новые числа — иррациональ-
ные, комплексные н другие. О них вы узнаете в старших классах.
-Ж---------------------------------------
Темы проектных работ
1. Математика вокруг нас.
2. Графы.
В2
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
39. Раскрытие скобок
Раскрыл? иг
скобок
Выражение а + (6 + с) можно записать без скобок;
d + (b + с) = а + b + с. Эту операцию называют раскрытием Оу
скобок.
Пример 1. Раскроем скобки е выражении и + (-ft + с).
Решение.
я + (—А+с) = <я + ( (~b) + с) = я + (~Ь) + с ~а — b + е.
Если перед скобками стоит знак «+», то можно
опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки сла-
гаемых, стоящих н скобках. Если первое слагаемое в
скобках записано без знака, то его надо записать со
знаком «+».
Пример 2. Найдём значение выражения
-2,87 + (2,87 - 7,639).
Решение. Раскрывая скобки, получим
-2,87 + (2,87 - 7,639) - -2,87 + 2,87 - 7,639 -
= 0 - 7,639 - -7,639.
Чтобы найти значение выражения -(-9 + 5), надо сло-
жить числа -9 и 5 и найти число, противоположное полу-
ченной сумме: -(-9 » 5) = -{-4) = 4.
То же значение можно получить по-другому: вначале за-
писать числа, противоположные данным слагаемым (т. е.
изменить их знаки), а потом сложить: 9 + (-5) = 4. Таким
образом,
-(-9 + 5) - 9 - 5 - 4.
Чтобы записать сумму, прогивоположную сумме
нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных
слагаемых.
Значит, -(л +£) - -а - Ь.
83
Пример 3. Найдём значение выражения
16- (10 - 18 + 12).
Решение.
16 - (10 - 18 + 12) - 16 + (-{10 - 18 + 12)) -
= 16 Н 10 » 18 12) = 16 10 + 18 12 = 12.
Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак
«-*, надо заменить этот знак на <*+*, поменяв знаки
всех слагаемых в скобках на противоположные, а по-
том раскрыть скобки.
Пример 4. Найдём значение выражения
9,36 - (9,36 - 5.48).
Решение.
9,36 - (9,36 - 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) =
= 9.36 - 9,36 + 5,48 = 0 + 5,48 = 5,48.
Раскрытие скобок и применение переместительного и
сочетательного свойств сложения позволяют упрощать вы-
числения.
Пример 5. Найдём значение выражения
(-4 - 20) + (6 + 13) - (7 - 8) - 5.
Решение. Сначала раскроем скобки, потом найдём
отдельно сумму всех положительных и отдельно сумму всех
отрицательных чисел и, наконец, сложим полученные ре-
зультаты:
(_4 _ 20) + (6 4 13) - (7 - 8) - 5 =
--4-20 + 6+13-7 + 8- 5-
- (6 + 13 + 8) + (-4 - 20 - 7 - 5) - 27 - 36 - -9.
Пример 6. Найдем значение выражения
Решение. Сначала представим каждое слагаемое в
виде суммы их целой и дробной частей, затем раскроем
скобки, потом сложим отдельно целые и отдельно дробные
части и, наконец, сложим полученные результаты;
-з1+4-1зН3+1М2+1М1+Ю_
_ _3 _ | + г + 3 _ , _ | . (_3 + 2 _ 1 > + (-j + з _ и _
- • 0 । Е? - В _ _ з _ _9 з
12 12 4 4Г
84
Как раскрывают скобки, перед которыми стоит знак «4-*?
Как можно найти значение выражения, противоположное сумме
нескольких чисел?
Как раскрыть скобки, перед которыми стоит знак *-»?
345. Раскройте скобки:
а) 3,4 + (2,6 + 8,3); я) т + (л - ft);
б) 4,57 + (2,6 - 4,57); г) е + (-п 4- &).
346. Ня дите значение выражения:
а) (-5,75 + 3,24);
б) (6,38 - 2,47);
347. Раскройте скобки:
а) 85 + (7,8 + 98);
б) (4,7 - 17) + 7,5;
в) 64 - (90 + 100);
г) -(80 - 16) + 84;
д) -а + (т - 2,6);
е) с + (-а - 5);
ж) а - (b - k - л);
з) -(о - 5 + с);
и) (т - л) - (р - Л).
348. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
а) 5,4 + (3,7 - 5,4); ^?|4С 4- N|t— я
б) -8,79 + (-1,76 + 8,79); «) 4 + (4 -1)
в) 3,4 + (2,9 - 3,4 + 4,1); л) (Ц - 71) + (2,25-21);
г) (4,67 - 3,94) + (3,94 - 3.67); м) 3,15 + I f - 2,15 );
д) 7.2 - (3,2 - 5.9);
е) (4,8 + 2,75) -(4,8 - 3,25); о)4у - | 2| + 1| j;
ж) -6,9 - (4,21 - 10,9); . й!1 _ 11 _ ±1- П) 8 15 1.3 15.!’
з) (3,72 - 5,43) - (4,57 4 3,22); р> (711 _ 3,2) - (2± + 1.8 |
349. Упростите выражение:
а) 0,4 + (nt - 22);
б) (6 - х) +
в) -0,16 + (4,06 - т);
г) (16 - а) - 20 ух;
д)р + (1,4 - р);
с) а + (а-1,1);
ж) | - 11 - т );
О I, о ,Г
3) -8,3 - (-х - 8,3);
и) w - (л 4- m);
к) -(д - x) - x;
л) p + (~wi + £ — /?>;
м) -a - (m - a 4- p);
h) -(ffi - a) - (A 4- a);
o) m + (ft - a - zzj);
n) m - (a + m) - (-a - zn);
p) a - (a - ft).
<^7 350* Напишите сумму двух
я) —4 — т и т + 6,4;
б) 1Д + а и -26 - а;
в) а + 13 и -13 + ft;
выражений и упростите её:
г) а 4- ft и р - Ь;
д) -т + й п -k - п;
е) m - п и п - ль
351. Напишите разность двух выражений и упростите её;
а) -3 4- а и а +• 60Д;
4
б) 3,2 - л и -л + 1?!
в) m + й и А + т;
• 352. Решите уравнение:
а) 7,2 - (6,2 - Jt} - 2,2;
б) -5 4- (а - 25) - -4;
Ч 5 3 _ й - 6.
в> 16 1.16 х.1 8’
г) -а + А и ft - а;
д) -р - в и А - а;
е) т - а и -а + m - ft.
г) (х 4- 3) - 17 - -20:
д) -(10 - ft) 4- 23,5 - -40,4;
•> ( + п) - В - °’8-
353. Решите с помощью уравнения задачу:
а) На одной полке 42 книги, а на другой — 34, Со второй полки сня-
ли несколько книг, я с первой — столько, сколько осталось на вто-
рой. После этого на первой полке осталось 12 книг. Сколько книг
сняли со второй полки?
б) В первом классе 42 ученика, во втором — на 3 ученика меньше,
чем в третьем. Сколько учеников в третьем классе, если всего в
этих трёх классах 125 учеников?
354. Найдите значение выражения:
7 14 7 9 15 4
а) “5То 1 3Тй; г> + То’ ж) 3-j 2^ 1^;
г>)312 41б; А)2к+3Т2 61б; 3)54 2 12 43*
в) -3 g - 1 е) 3— - 8 12 4- 1 эд»
В6
356+ Найдите наибольшее значение выражения:
а) 157 - х, если х - 68; -19; ОД 7; “5“;
б) ЗОх, если х - 0,2; 0,7; 8; 2т;
в) х : (-0,5), если х - 12,5; -3,5; -1-^; 6.
357, Укажите 4 последовательных целых числа, если:
а) меньшее из них равно -12;
б) большее из них равно 18;
в) меньшее из них равно л;
г) большее из них равно k.
358, Найдите координаты середины отрезка, если координаты его кон-
цов равны:
а) —3 и 5; б) -би 1; в) -2,5 и 1Т5; г) -8 и -1 “ .
•J
359. Каким числом может быть значение выражения х + у, если:
а) х > 0, у > О; в) х > О, у < 0; д) х > О, у - О;
б) х < О, у < О; г) X = 0, у < О; е) х = О, и = О?
360. Найдите значение выражения:
а) 35 - 8 + 14 - 35 + 8 - 14; г) -| • (-3,2) 1| (-10);
6) | +0,4- | +0,8; Д) | . £ + | . |-||;
B)-j | l|; е) (| + I) • (-35).
361. Представьте:
а) в виде десятичных дробей: -
•J
1. , 1. . с . ,3
4’ 32- 4Й; *7
б) в виде обыкновенных дробей: 1,2; 3,25; 0,75; 1,125,
87
1 362. Найдите неизвестный член пропорции:
Ч 1 15
1) 4* ; 7» = х : 12; 2) : х = 6т : 4,1.
4 IS £ Г>
363. Решите уравнение:
II) -2(3,lx - 1) + 3(1,2х 4 1) - -14,5;
2) 5(4,2t/ + 1) + 4(1,41/ - 2) - 20,7.
364. Решите с помощью графа задачу: «Вера, Нина, Оля и Люба на-
дели платья разных цветов (красное, синее, жёлтое, зелёное). На
вопрос, кто из них в каком платье, три девочки ответили: 1) Оля —
в синем, Люба — в жёлтом; 2) Оля — в красном, Нина — в синем;
3) Вера — в синем, Люба — в зеленом. В каждом ответе только
одна часть верна, а другая нет. Платье какого цветя надела кяж-
А
365. Раскройте скобки и найдите значение выражения:
а) 8,757 - (7,8 - 1,043); г) I 2у + 1^ | - 11^ + § |;
б) 3,96 + (2,375 - 3,96); д) 2,77 - | - j 0,23 -
+ е)-|. 1.37)-Г-2,87-
366. Упростите выражение:
а) 0.2 - (х - 3,3); г) 9 - | - х ];
б) /и - (3,5 + т); д) е - (о + с);
в) 2,9 - (х- 6,7);
е) (т 4- л) - (л - «?),
367* Решите уравнение:
а)8,4-(х 7.2)-8.6; г)- (m - 1) -
б)-1,3 + (х- 4.8)- -7.1; д) 1| - | у + 11 - 1|.
в) 3.3 - (х - 6,7) = 100;
368. Найдите значение выражения:
я) 1 15 210 1 б’ в)435 2 14 1 10’
в)2и 4 + 1п: 1'>11 + 21 4
369. Решите задачу, Составив пропорцию:
а) Затрачивая па изготовление каждой детали мин, бригада вы-
пускала за смену 540 деталей. Сколько деталей будет выпускать
за смену бригада, если на изготовление каждой детали будут за-
3
трачивать т мин? На сколько процентов повысится при этом
производительность трудя?
б) Масса 15 л керосина равна 12,3 кг. Какова масса 35 л керосина?
в) Из 0,3 т свежих яблок получается 57 кг сушеных. Сколько су-
шеных яблок получится из 5,5 т свежих?
370. Решите уравнение:
а) 4,8 : 1.5 ’ 1.8 : (|х |; б) 4- : (2х) - 1,3 : 3.
40. Коэффициент
Переместительное и сочетательное свойства умножения
позволяют упрощать выражения.
Пример 1. Упростим выражение 0,3а (-0,76).
Решение. Это выражение является произведением
четырёх множителей: 0,3 • и • (-0,7) • Ь. Сгруппировав от-
дельно числовые и отдельно буквенные множители, полу-
чим:
О,За ’ ( 0,76) = 0,3 - а • ( 0.7) 6 =
= (0,3 • ( 0,7)) • (а • 6} = -0,21а6.
Число -0,21 называют коэффициентом в полученном
выражении.
89
Если выражение является произведением числа и
одной или нескольких букв, го это число называют чис-
ловым коэффициентом (или просто коэффициентом).
Коэффициент обычно пишут перед буквенными множи-
телями.
Коэффициентом такого выражения, как и или ab, считают
1. так как и = 1 • a; ab = 1 • ab.
При умножении -1 на любое число а получается число
-а:
— 7 ' a — — a.
Поэтому числовом коэффициентом выражения -а счи-
тают число -1.
Пример 2. Найдём коэффициент выражения -а - (-Ь).
Решение. Так как -а • (-b) = db, то, значит, коэффици-
ентом выражения -а (-Ь) является 1.
Что называют числовым коэффициентом выражения?
Чему равен коэффициент выражения ах? Л выражения —ах?
371. Упростите выражение:
а) -8,3 10 * х: г) -3,2 • a (-3);
б) 4 (-6,5) т; д) | a • (-3);
в) х • (-1,5) • 2,2; е) “I - с (-1^ |;
372. ТТяидите коэффициент произведения:
a) 8m ' 7; д) 6с - (-7);
б) -4 - (-12х);
в) -2р (-1,4);
г> Iе* 1'г* 6) • (т)
. 1 3 5.
-1 д - m • 5,
з) 0,8 - f - • J J*
и) -2,5m - (-3);
к) -0,11х • (~2т);
л) -2,7ай • (-1);
м) -1| (-т) * | -Ц |-
е) -т - л;
ж) —с • (-5);
з) 75 m ‘ );
373. Определите знак коэффициента:
а) -а • (-5) (—с) * (-</); в) —5а 6Ь • (—0,3с);
б) -Зе • Зс <-4>; г) • О.Зп (-5р) •
90
374. Упростите выражение и подчеркните коэффициент:
a) -3m • (-8А); е) -0,6 • 5с ’ (-20);
б) 5а (-65); ж) |а • (-65) • | -Г|;
в) -2с (-0,45); 3) j -lit] (-0,5) (-4с);
г) 4 - (-2х) • (Зр); и) • | -^л • • j-
д) 0,5 ’ ( 3«) (0,2m);
лите знак произведения ab.
b 0 я а 1 2 й
1—I----1----------------► -----1—1----1----t
а в
Рис, 45
377. Найдите произведение всех целых чисел:
а) от -6 до -1; к) модуль которых меньше 10;
б) от 12 до 1: г) модуль которых больше 3 и меньше 5,6.
378. Каким числом будет произведение ху, если:
а) х > 0, у > О; в) х > О, у < 0; д) х < 0, г/ = О;
б) х < 0, у < 0; г) х — 0, у < 0: е) х - 0, у - О?
379. Найдите наименьшее целое положительное и наибольшее целое
отрицательное решение неравенства:
а) | х| > 4; б) |х - 3| > 5; в) |х| > 3^
380. Найдите значение выражения:
а) (3,2 - 5) - (3,2 + 7); в) (f - 1,2 j - | -1,8 + ().
381. Вычислите:
-1 + |; -2+4; 3-|; 1-4; -2-4; -5-21
7 4 7 4 7 г
382* Найдите значение выражения:
а) -(т + я) + (А + т) - (А - 0,13), сели п - -2,13;
б) (с + d + А) - (с + А - 15,3), если d - -14,7,
383. Напишите сумму двух выражений и упростите её:
а) а + b и р - 6; б) -т + ?? и -А - п.
384. Напишите разность двух выражений и упростите её:
а) -а + b и б - а; б) -4 - т и 6,4 - ш.
4^. 385. Найдите значение выражения:
1) -2,6 - {3 - 3,8) + 4,2 • (4 - 2,7);
2) -1,212 : 0,4 + 2,9 (2 - 4,3).
386* Упростите выражение и подчеркните его числовой коэффициент:
а)-а (-7); д) 2а • (-36); и) 4а 4 I| •
J о J
б) b (-4m); е) 4а ‘ 4е; к) 4m • у-л ' 6А.
•J ч J
в) ЗаЬ • 2;
О о
, / е , х 10 е ' J
г) -тп * (-3); 3) — А 5
387. Выполните действия:
а) -13,6 - (-7,2 + 313,2 : 8,7); в) -9,396 : 2,7 - 0,2 ’ 1,7;
б) -16,3 ’ (-8,3 + 212,8 : 7,6); г) -0,8 ’ 1,6 - 14,911 : 3,7.
388. Решите уравнение:
а) 14 : 3,75 - 4х : 15; б) | : 13 - |х : 41
4 в v 1Л
389. Из 3,2 кг ржаной муки получается 4,48 кг хлеба. Сколько муки
расходует хлебозавод на выпечку 28 т хлеба?
390. Стены дома 8 каменщиков сложили за 42 дня. Сколько нужно ка-
менщиков, чтобы сложить стены такого же дома за 28 дней?
391. Выполнив план на 25%, трактористы вспахали 144 га. Сколько
земли нужно вспахать, чтобы выполнить 65% плана?
92
41. Подобные слагаемые
Распределительное свойство умножение (а + Ь) • с =
- ас + Ьс справедливо для любых чисел я, ft и с,
Замену выражения (а + ft) с выражением ас + ftc или
выражения с • (а + ft) выражением са + cb также называют
раскрытием скобок
Пример 1. Раскроем скобки в выражении -3 - (а - 2ft).
Решение. Умножим -3 на каждое из слагаемых а и
-2ft. Получим —3 * (а — 2ft) “ -3 ’ а + (-3) - (-2ft) - -За + 6ft.
Пример 2. Упростим выражение 2/п - 7m • 3m.
Решение. В данном выражении все слагаемые имеют
общий множитель т. Значит, по распределительному свой-
ству умножения 2m - 7m + 3m = m • (2 - 7 + 3). В скобках
записана сумма коэффициентов всех слагаемых. Она равна
-2. Поэтому 2m - 7m + 3m —2m.
В выражении 2m - 7m + 3m все слагаемые имеют об-
щую буквенную часть и отличаются друг от друга только ко-
эффициентами. Такие слагаемые называют подобными.
Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть,
называют подобными слагаемыми.
Подобные слагаемые могут отличаться только коэффи-
циентами.
Приведение
подобных
слагаемых
Чтобы сложить (или говорят: привести) подобные
слагаемые, надо сложить их коэффициенты и резуль-
тат умножить на общую буквенную часть.
Пример 3. Приведем подобные слагаемые в выраже-
нии 5а + а - 2а.
Решение. В данной сумме все слагаемые подобны,
так как у них одинаковая буквенная часть а. Сложим коэф-
фициенты: 5+1 -2-4, Значит, 5а + а - 2а - 4а,
Какие слагаемые называют подобными?
Чем могут отличаться друг от друга подобные Слагаемые?
На основании какого свойства умножения выполняют приведение
(сложение) подобных слагаемых?
93
392. Раскройте скобки:
a) (a - b 4- <?) • 8;
б) -5 (ш - л - А);
в) а • (ft - m 4- л);
г) -а 4 (6ft - Зс + 4);
д) (3m - 2k + 1) (-3);
е) -2а - (ft 4- 2с - 3m);
ж) (-2а + 3ft 4- 5е) 4m;
з) -я - (3m 4- k - л).
393. Выполните действия, применив распределительное свойство умно-
жения:
а) 9 • 13 + 9 * 7;
б) 27 - 19 - 17 - 19;
в) 8 4 11 4-16 11;
с) 0,9 ’ 0,8 - 0,8 ’ 0,8;
2 5 2 2.
ж) 3 * 7 + 3 ' 7’
, 1 _L з j_ 3-
31 1 19 ‘ I 19 ‘ 7’
г) 9 17-3- 17; и) 2| 4у - 4 4у.
д) 1,5 13+1,5-7;
•^ter 394. Сложите подобные слагаемые:
a) -9х 4- 7х — 5х + 2х;
б) 5а — 6а + 2а — 10а;
в) 11р + 2р 4 20р 7р;
г) -3,8А - k 4- 3,8А 4- А;
д) а + 6,2а - 6,5а - а;
е) -18л - 12л 4- 7,3л + 6,5л;
ч 2 2 3 5
ж) q m 4- g т - лл - m;
,2 1,1 1
•) 3a~ 0°+ 2a~ 12°:
и) b + 0,45 — 4- b - 4 b.
r э 2
Выражения вида 7x - Зх 4- 6x - 4x читают так:
— сумма семи икс, минус трёх икс, шести икс и минус четырёх икс,
— семь икс минус три икс плюс шесть икс минус четыре икс.
395. Выполните приведение подобных слах’аемых:
е) -6a 4- 5a — х 4- 4;
ж) 23х - 23 4- 40 4- 4х;
а) -а 4- х 4- 1,1а - 1,3х;
и) -12р 4- ЗА 4- 3,2р - 2,ЗА;
к) 0,5а - f ft “ fa _ ^ft+
a) 10a + ft - 10ft - a;
б) -8/y + 7x + 6t/ 4- 7x;
h) -8x 4- 5,2a 4- 3x 4- 5a;
r) 5a 4- 7a - 9,2m 4- 15m;
.2 4 5 2
Л) 7r“ о»~ Пх +
396. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
а) 7 (2х - 3) 4- 4 • (Зх - 2);
б) -2 (4А + В) - 3 • (5А - 1);
в)-8-(2- 2у)4 4 - (3 - 4у);
г) (Зх - 11)4 2 - 5 - (4 - Зх);
д) (8a - 1) • (-6) - (За - 7) • (-2);
в) -0,5 • (-2х 4- 4) - (10 - х);
ж)
з) 5 • [|« - 0.7) - 3 • (|* - 0.2).
397. Найдите значение выражения:
a) 4х - 2а + 6х - За + 4а, если х = -0,15, а = 0,03;
б) -6,3m +• 8 - 3,2m - 5, если m--2; -4; -0,4.
п
398. Решите уравнение:
а) 3 - (2х + 8) - (5х + 2) = 0;
б) -3 (Зу + 4) + 4 (2у - 1) - 0;
в) 8 (3 - 2х) + 5 (Зх + 5) - 9.
399. В мешок помещается 20 кг картофеля или 14 кг капусты, В столо-
вую привезли картофеля на 3 мешка больше, чем капусты. Всего
привезли 1,62 ц картофеля и капусты. Сколько привезли мешков
картофеля и сколько капусты?
400. Турист шёл 3 ч пешком и 4 ч ехал на велосипеде. Всего ин проде-
лал путь в 62 км. С какой скоростью турист шел пешком, если он
шёл па 5 км/ч медленнее, чем ехал на велосипеде?
401. Вычислите устно:
а) 34 - 90 : (-14) (-15) + 39 б) -23 - 29 : (-13) ' (-17) - 32 в) -14 • (-7) :(-2) - 2 : 17 г) 45 - 90 :(-15) (-17) - 49
? ? 7 ?
402, Чему равна сумма тысячи слагаемых, каждое из которых равно
-1? Чему равно произведение тысячи множителей, каждый из ко-
торых равен —1?
403. Найдите значение ныражения:
1 - 3 + 5 - 7 + 9 - 11 + ... + 97 - 99.
404. Решите устно уравнение:
а) х + 4 = 0; в) m 4- т + m = 3m;
б) а + 3 - а - 1; г) - 3)(у + 1) - О.
405. Выполните умножение:
а) 0,2 • | 5 {: в) 2,5 • 1| • 4 •
6)3,5- 18 - I г) ; 1| -Ij ».
406. Чему равен коэффициент в каждом из выражений:
2
3m; 5«•; m^r; am; •р-(-Л);
|a-4^ О,2Ь-4с; -За ( 0,26)?
ч» *1
407. Расстояние от Москвы до Нижнего Новгорода 440 км. Каким дол-
жен быть масштаб карты, чтобы ня ной это расстояние имело дли-
ну 8,8 см?
408. Отрезком какой длины изображается на карте расстояние 35 км,
если масштаб карты 1 : 100 000?
409. Расстояние от Киева до Одессы изображается на карте, масштаб
которой 1 : 10 000 000, отрезком 6,5 см. Определите это расстоя-
ние на местности,
410, Прямоугольник на плане, масштаб которого 2 : 5, имеет длину
38 мм, а ширину 26 мм. Найдите площадь этого прямоугольника
в натуре.
411. Отрезок ня плане, масштаб которого 2 : 7, изображается отрезком
4,2 см. Какой длины будет этот отрезок на плане, сделанном в
масштабе 5 : 3?
412. Решите задачу:
1) Комбайнер перевыполнил план на 15% и убрал зерновые на пло-
щади 230 га. Сколько гектаров по плану должен убрать комбай-
нер?
2) Бригада плотников израсходовала на ремонт здания 4,2 м1 до-
сок. При этом она сэкономила 16 % выделенных для ремонта
досок. Сколько кубических метров досок было выделено на ре-
монт здания?
413. Найдите значение выражения:
Г1) -3,4 ’ 7,1 - 3,6 ’ 6,8 4- 9,7 8,6;
2) 4,1 - 8,3 + 2,5 - 7,9 - 3,9 • 4,2.
414. Решите с помощью графа задачу: «Марина, Лариса, Жанна и
Катя умеют играть на разных инструментах (пианино, виолонче-
ли, гитаре, скрипке), но каждая только на одном. Они же знают
иностранные языки (английский, французский, немецкий, испан-
ский), но каждая только один. Известно:
1) девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански;
2) Лариса не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает
английского языка;
3) Марина не играет ни на скрипке, ни ня виолончели и не знает
ни немецкого, ни английского языка;
4) девушка, которая говорит по-немецки, ис играет на виолончели;
5) Жанна знает французский язык, но не играет на скрипке.
Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык
знает?»
415. Раскройте скобки:
а) (х + у - z) - 3;
б) 4 • (т - п - р);
в) -8 - (а - 5 - с);
г) (2х - у + 3) - (-2);
Д) (3m - 2п + р) (-1);
е) (а + 5 - 5 - с) ‘ т.
416. Найдите значение выражения, применив распределительное свой-
ство умножения:
а) 9 157 + 9 1-13; г) | • | + |
б) 3,5 * 2,4 ~ 3,5 - 1,4; д) 1 g - 1g “»
в) 4,75 « 3,2 + 3,2 3,25; е) 12,9 • £ - 11,3 -
417. Приведите подобные слагаемые:
а) 3m 4- 2m 4- 4m;
б) а 4- g1 о ~ |j а;
в) 0,9^ - 1,35 + 0,75;
г) х - 0,2х - 0,7х;
1 1 1
Л/ 12 4 т 3
е) с - 0,8с - |с - |с;
ж) 0,3а - 0,25 - 0,7а 4- 0,25;
з) 4а - 6а - 2а 4- 12 - 11;
, 2 3 1 1
и) 3* 4- 8*- ва- 4Ь;
, 5 . 2 з . Г
к) f к “ g — 14^” 3*
2 5
л) 0,2m “ g “ 3m 4- gl
ч 1 ,1 1 .2
М^2я+Зс~^а+Зс’
418. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые:
a) 5m - (3m + 5) + (2m - 4);
б) -5(х + 3) + 1(х - 2) - 6(2х + 1);
в) 0,2(6х - 5) - 4(0,2х - 2);
г) 0,4(1,5у + 3) - 2,5(3 - 0,6у);
е) -4'1 - 8|2|х + |);
ж) 1(1.8m - 5,4) - 1(2,Im - 4,2);
з) |(0,3y - 0,6) - |(0,4у 0,8).
419. Решите уравнение:
а) 3(1/ - 5) - 2(у - 4) - 8; в) |(3х - 6} - |(7х - 21) - 9;
б) -5(5 - х) - 4х = 18; г) 5,4(3д/ - 2)-7,2(2./ - 3) = 1,2.
420. Группа туристов 1 ч ехала ня автобусе, а затем б ч игла пешком
со скоростью на 18 км/ч меньшей, чем скорость автобуса. Всего
группа преодолела 67 км. Найдите скорость автобуса и туристов в
пепгем походе.
421. К трёх классах 71 учащийся. R первом классе учащихся на
4 человека больше, чем do втором, и на 3 человека меньше, чем в
третьем классе. Сколько учащихся а каждом классе?
422. Определите масштаб карты, если расстояние между двумя пунк-
тами на местности 750 м, а на карте 25 мм.
423. Какой длины отрезком изображается на карте расстояние 6,5 км,
если масштаб карты 1:25 000?
424. На карте отрезок имеет длину 12,6 см. Какова длина этого отрезка
на местности, если масштаб карты 1 : 150 000?
42. Решение уравнений
Пример 1. Решим уравнение 4 - (х + 5) — 12
Решение. По правилу отыскания неизвестного множи-
теля имеем х + 5 = 12 : 4, т. е. х + 5 = 3. Это же уравне-
ние можно получить, разделив обе части данного уравнения
на 4 или умножив обе части на 4- Теперь легко найти зна-
чение х Имеем х - 3 - 5. или х —2.
98
Число -2 является корнем уравнения т + 5 = 3 и урав-
нения 4 ’ (л- + 5) = 12, так как -2 + 5 = 3 и 4 • (-2 + 5) = 12.
Корни уравнения не изменяются, если обе части
уравнения умножить или разделить на одно и то же
число, нс равное нулю.
Пример 2. Решим уравнение 2т + 5 = 17.
Решение. По правилу отыскания неизвестного слага-
емого имеем 2х = 17 5, т. с. 2т = 12. Уравнения 2т * 5 =
- 17 и 2т - 17 - 5 имекн один и юг же корень 6, »ак как
2 - 6 + 5 - 17 и 2'6 - 17 - 5.
Уравнение 2т = 17 - 5 можно записать так: 2т = 17 +
+ (-5). Видим, чю корень уравнения 2т + 5 17 не изменя-
ется, если перенести слагаемое 5 из левой части уравнения
в правую, изменив его знак на противоположный.
Пример 3. Решим уравнение 5т = 2т + 6 (рис. 46).
Рис. 46
Решение. Вычтем из обеих частей уравнения по 2т
(снимем с обеих чашек весов по два пакета муки). Получим
5х - 2т - 2х - 2х + 6. Но 2т - 2т - 0, значит, 5х - 2х в
- 6 Это уравнение можно получить из данного, если сла-
гаемое 2х перенести из правой части в левую, изменив
его знак на противоположный. Решая дальше уравнение
5т - 2х - 6, получим Зх - 6 и х - 2.
Число 2 есть корень уравнения 5т - 2х = 6 и уравнения
5х - 2х + 6, так как 5-2-2*2“6и5*2-2‘2 + 6.
Корни уравнения не изменяются, если какое-нибудь
слагаемое перенести из одной части уравнения в дру-
гую, изменив при этом его знак.
Пример 4. Решим уравнение 4х + 12-х.
Решение. Умножим левую и правую части уравнения
на 3 для того, чтобы освободиться от дробного коэффици-
ента. Получим х + 36 - Зх. Перенесём с противоположными
знаками слагаемое 36 из левой части в правую, а слагае-
мое Зх из правой части в левую: х - Зх = -36. Упростим ле-
вую часть уравнения: -2х = -36. Теперь разделим обе части
уравнения на -2, получим х = 18.
Число 18 является корнем данного уравнения 4х + 12 -
1
= х, так как верно равенство - • 1В + 12 = 18.
Во всех рассмотренных примерах мы приводили данные
уравнения к виду ах - Ь, где а х 0.
Уравнение, которое можно привести к такому виду с по-
мощью переноса слагаемых и приведения подобных слага-
емых, называют линейным уравнением с одним неизвест-
ным.
Обе части уравнения умножили на число, не равное О. Изменились
ли корни данного уравнения?
Обе части уравнении разделили на одно н то же число, сиг личное от
нуля. Изменились лн корни данного уравнения?
Сформулируйте правило переноса слагаемых из одной части урав-
нения в другую.
Какие уравнения называют лилейными?
К 425. Перенесите из левой части уравнения в правую то слагаемое,
которое не содержит неизвестного:
а) 8х + 5.9 - 7х + 20; б) 6х - 8 - -5х - 1.6.
426. Соберите в левой части уравнения все слагаемые, содержащие не-
известное, а в правой — не содержащие неизвестное:
a) 15j/ - 8 - -бу 1- 4,6;
427. Решите уравнение:
а) 6х - 12 = 5х + 4;
б) -9а + 8 - -10а - 2;
в) 7m + 1= 8m + 9;
г) 12n-3-lln-3;
б) -16г + 1.7 - 2г - 1.
д) 4 + 25у - 6 + 24у;
е) 11 - 5г - 12 - 6г;
ж) 4А + 7 = —3 + 5А;
з) 6 - 2е - 8 - Зе.
—
Уравнение -7у + 9 - -8$/ - 3 читают так;
— сумма минус семи игрек и девяти равна сумме минус восьми
игрек и минус трёх.
Корень этого уравнения — число минус двенадцать.
ТОО
428* С помощью умножения обеих частей уравнения на одно и то же
число освободите сь от дробных чисел и решите уравнение:
а.. ч: и 1 + bs|^ W II II + | •— Си чх 1 ш •л ч в) 7 х + г + 5 = х; г) 0,2х + 2,3 = 0,7х - 3,2.
429. Решите уравнение и выполните проверку:
а) -40 ( 7х + 5) - 1600; б) ( 20х - 50)2 - 100; в) 2,1(4 бу) —-42; г) -3 (2 - 15х) - -6.
430. Найдите корень уравнения: а) 0,5х + 3 - 0,2х; д) |л- 12,5-
б) -0,4а - 14 = 0,3а; в) 2х - 6 у = 4 х -1- 7 4; е) 1,7 - 8z = 4,9 - Юг; ж) 7,3а = 1.6а;
г) 6,9 - 9л - - 5д - 33,1; з) -19/ - 11/.
431. Решите уравнение» используя основное свойство пропорции:
й -г Н м II |<| . х + 7 . 2Х 3,
б а’ BJ g 5 ’
Л 15. , 0,2 0.7
и’ 2х + 3 4,51 х + 3 х - 2‘
432. В первом бидоне в 3 раза больше молока, чем во втором. Если из
первого перелить 20 л во второй, то молока в бидонах будет поровну.
Сколько молока в каждом бидоне?
433. Длина отрезка Ай на 2 см больше, чем длина отрезка CD, Если
длину отрезка АВ увеличить на 10 см, а длину отрезка CD уве-
личить в 3 раза, то получатся равные результаты. Найдите длину
отрезка АВ.
434. Автобус проходит расстояние от города до села за 1,8 ч, а легковая
автомашина — за 0,8 ч. Найдите скорость автобуса, если извест-
но, что она меньше скорости легковой автомашины на 50 км/ч.
435. На первую автомашину погрузили на 0,6 т зерна больше, чем
на вторую. Если бы на первую автомашину погрузили в 1,2 раза
больше, а на вторую в 1,4 раза больше, то груза на обеих автома-
шинах было бы поровну. Сколько тонн груза погрузили на каждую
автомашину?
436. В спортивном jiai'epe -г прибывших туристов разместили в гости-
1 9 тк
пице, - в летних домиках, а остальных j5 туристов — в палат-
ках, Сколько туристов прибыло в спортивный лагерь?
ИО1
437. В школьной библиотеке есть художественная, научно-популярная
и справочная литература. Число книг с художественными произ-
ведениями составляет у всех кпиг библиотеки, число паучио-по-
3
пулярных книг составляет — от числа художественных, а осталъ-
иые 160 книг — справочники. Сколько всего книг в библиотеке?
438. Три завода получили заказ на изготовление моторов. Первый за-
вод выполнил 0,56 всего заказа, второй — — того, что выполнил
14
первый завод, а третий завод изготовил остальные 240 моторов.
Сколько всего моторов изготовили все три завода?
439. Верёвку длиной 63 м разрезали на два куска так, что 0,4 длины
первого куска были равны 0,3 длины второго куска. Найдите дли-
ну каждого куска веревки.
440. На отливку блока объёмом 2,5 м* требуется 5,5 т бетона. На сколь-
ко увеличится расход бетона при отливке блока объемом 2,9 м3?
<$►441. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то
в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли
было r растворе первоначально?
442. Вычислите устно:
а) 8 - 70 - 19 : 3 - (-2) б)-19 4 100 : (-3) 13 + 6 в) -18 - 46 : 16 - 77 - (-3) г) -15 6 : 9 (-13) - 260
9 9 « 9 W 9 ।
443. I [ри каких значениях а верно
а) а < -а; б) -а < а;
неравенство:
в) -а > а?
<&► 444. Приведите подобные
слагаемые:
й
г) z- m -лк
7
д) 1,2 г/ + З.бу - 0,7у;
. 4 2 1
е) + 9 а - з а;
a) 9,5m + 3m;
ж) -4х - х + 3;
з) 7х - бу - 2х + 8у.
б) 6Ь - б;
, л 2 л+
в) а - - и;
445. Упростите выражение:
я) 2х - (х + 1); б) л + 2(.3л - 1).
446. Расфасовочная машина может всю привезённую продукции» обра-
ботать за 20 ч. Определите:
102
а) какую часть всей продукции она обработает за 1 ч;
6) сколько процентов всей продукции ина обработает за 1 ч;
в) какую часть всей продукции она обработает за 8 ч;
г) сколько процентов всей продукции она обработает за 9 ч.
447. За какое время всё свекловичное поле уберёт уборочная машина»
если известно, что она за 1 ч убирает: а} 5% всего поля; б) 1 всего
поля; в) 0,4 всего поля?
448. За какое время двигатель израсходует весь бепзип из бака» если оп:
а) за 3 ч расходует 12% всего бензина;
б) зм 3 ч расходует т4- всего бензина;
19
в) за 6 ч расходует 0,24 всего бензина?
449. Докажите, что при любом значении буквы значение выражения:
1) 5 (7.1/ - 2) - 7 (5у < 2) равно -24;
2) 4 (8а + 3) - 8 • (4а - 3) равно 36.
450. Найдите значение выражения:
1) (503,44 : 12,4 - 225,36 : 7,2) • (1,6905 : 0,49);
2) (971,1 : 23,4 - 211,1 1 : 6,9) • (6,5701 ; 0,86).
451. Старинпил задачи.
— Скажи мне, учитель, сколько учеников посещают твою тпко-
лу и слушают твои беседы.
— Вот сколько, — ответил учитель. — Половина изучает мате-
матику, четверть — природу, седьмая часть проводит время в раз-
мышлении, и, кроме того, есть ещё три женщины.
452. Решите уравнение и выполните проверку:
а) -20 • (х - 13) = -220; г) (2,8 - 0,1 х) • 3,7 = 7,4;
б) (30 - 7х) - 8 - 352; д) (Зх - 1,2) - 7 - 10,5;
% 5 3 1, .15 iil
в) 12^ 4 ” 2‘ е) * 6Д * ~ 13’
453. Решите уравнение:
а) -27х + 220 = -5х;
б) 7а - -310 + За;
в) -2х + 16 = 5х - 19;
г) 25 - 35 - 9 - 55;
д) 3 + 110 = 203 + у;
е) 3 ♦ (4х - 8) - Зх - б;
ж) -4 • (-2 + 7) - 2 + 17; к) -5 (За + 1) - 11 - -16;
з) с - 32 = (с + 8) (-7); л) -3,2л + 4,8 = -2 * (1,2л + 2,4);
и) 12 - 2 - (/г + 3) - 26; м) -5 (0,8г - 1,2) - -г + 7,2.
юз
454. Одно число больше другого в 4,5 раза. Если от большего числа от-
нять 54, а к меньшему прибавить 72, то получатся равные резуль-
таты. Чему равны эти числа?
455. Бутылка с кефиром в 2 раза тяжелее пустой бутылки (рис, 47).
Галя выпила половину бутылки кефира. Сколько граммов кефира
выпила Галя?
Рис. 47
456. У Миши и Коли а коллекциях было одинаковое число марок, Ког’
да Миша подарил часть своих марок младшему брату, а Коля в
1,4 раза меньшее число своих марок отдал ня выставку, у Миши
осталось 20 марок, а у Коли — 40 марок. Сколько марок было у
каждого мальчика первоначально, сколько марок Коли па выстав-
ке и сколько марок Миша подарил брату?
457. Пн одной полке было в 3 ряда больше книг, чем ня другой. Когда с
одной полки сняли 8 книг, а на другую положили 32 книги, то на
полках стало книг поровну. Сколько книг было па каждой полке
1 iep вонач я л ьн о?
45В. В двух бочках 725 л бензина. Когда из первой бочки взяли а из
2
второй бочки — бензина, то в обеих бочках бензина стало поровну.
Сколько литров бензина было в каждой бочке первоначально?
459. Решите уравнение, используя основное свойство пропорции:
Зг + 5,1 г °*
Х + 3
м
а) -Ц
2
х Ч
460. Смешали индийский и цейлонский чай. Индийский чай составил
30% всей смеси. Если в эту смесь добавить ещё 120 г индийского
чая, то он будет составлять 45% смеси. Сколько граммов индий-
ского чая было в смеси первоначально?
461. Поезд шёл 3,5 ч со скоростью 64,4 км/ч. На сколько надо увели-
чить скорость поезда, чтобы пройти это расстояние за 2,8 ч?
104
462. Одна поливочная машина может полить всю улицу за 15 мин, а
другая — за 12 мин. Какую часть улицы польют обе машины за
1 мин? за 3 мин?
--------------------------------------------------------
Задания для самопроверки
1. Укажите выражения, в которых скобки раскрыты неверно.
а) 2х - (5 - 4р) = 2х - 5 - Ау: в) х - (5а - 1) = .г - 5а + 1;
б) За - (Ь + 2) = За - Ь - 2; г) -26 + (1 - р) = 1 - 26 + у.
2. Укажите выражения, в которых верно выполнено заключение в
скобки.
а) 4 - а - 2с = 4 - (а - 2с); в) Зх + 1 - 2р = 1 + (2у - Зх);
б) 1 - х - Зр = 1 - {х + Зр); г) а - 56 + 2 = а + (2 - 56).
2
3. Найдите коэффициент выражения -За • 2.5J • ^-6.
4. Приведите подобные слагаемые в выражении -8х + 9;/ - 5х -Юр.
а) — 13х - у; б) у - 13х; в) -Зх - р; г) Зх - у.
5. Установите соответствие между выражениями так, чтобы получи-
лось верное равенство.
А. (2х - 3) р В. -Зр • {1 - 2х)
Б. 2х • (р - 3) Г. -3 • (2х - р)
1) 2ху - 6х; 2) Зр - 6х; 3) 2ху - Зр; 4) бхр - Зр.
6. Найди1е значение выражения -3m - 4н - 7m + л + mn при т = 0,3;
7. Решите уравнение 6 • (х + 4) - (5х + 2) = 1.
8. Решите уравнение 4 Зх - 6 + х.
9. Укажите неверное высказывание.
1) Если перед скобками стоит знак минус, то при раскрытии скобок
знаки слагаемых в скобках изменяются на противоположные.
2) Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффици-
енты и результат умножить на общую буквенную часть.
3) Корни уравнения не изменяются, если слагаемое перенести из од-
ной части уравнения в другую.
105
4) Корни уравнения не изменяются, если обе части уравнения разде-
лить на одно и то же число, не равное нулю.
1О. Укажите уравнение, соответствующее условию задачи: «На одной
полке книг в 4 раза больше, чем на другой. Если с первой полки
12 книг переставить на вторую полку, то на обеих полках книг ста-
нет поровну».
а) 4х - 12 х + 12; в) 4х = х + 12;
б) 4х - х = 12; г) х = 4х - 12.
£------------------------------------:---------------------------
—J Среди задач, которые с давних времён приходилось решать людям.
много было похожих, однотипных; вычисление площадей участков,
нахождение объёмов фигур определённой формы, деление доходов,
вычисление стоимости товара, измерение массы с помощью разлнч-
пых единиц и другие.
Для однотипных задач в разное время, в разных странах пытались
отыскать общие способы, правила решения. В этих правилах рас-
крывалось. как найти неизвестную величину через данные числа
дли группы похожих задач. Так возникла алгебра — одни из раз-
делов математики, в котором вначале в основном рассматривалось
решение различных уравнений.
Некоторые алгебраические понятия и общие
приёмы решения задач знали уже в Древ-
нем Вавилоне и Египте более 4000 лет назад.
Большой вклад в создание алгебры внёс выда-
ющийся древнегреческий математик Диофант
(III в.), которого по праву считают * отцом ал-
гебры*. Диофант умел решать очень сложные
уравнения, применял для неизвестных буквен-
ные обозначения, ввёл специальный символ для
вычитания, использовал сокращения слов,
В начале нашей Эры греческая наука и культура
пришли в упадок. Но к тому времени больших успехов в развитии
математики достигли индийские учёные, С V по XII в. ими было
сделано много открытии, значительно обогатились начала алге-
бры. Культуру древних индийцев усвоили их соседи — арабы, уз-
беки, персы, таджики и другие народы. И в IX—XV вв. мировым
центром наук становится Средняя Азия, подарившая миру много
учёных-математиков. Их труды в дальнейшем оказали большое
влияние на развитие науки в Европе.
В 825 г. арабский учёный аль Xорезми написал Кингу «Китаб
аль-джебр валь-мукабала», что означает «Книга о восстановле-
нии и противопоставлении». <>то был первый в мире учебник ал-
106
гебры. С этого времени алгебра становится са-
мостоятельной наукой. Само слово «алгебра*
произошло от слова «аль-джебр* — вое пил не пне;
так аль-Хорезми называл перенос отрицательных
слагаемых из одной части уравнения в другую с
переменой знака. В дальнейшем большой вклад
в развитие алгебры внесли европейские учёные
Франсуа Виет (1540—1603) и Рене Декарт,
которые ввели в алгебру буквы и разработали пра-
вила действии с буквенными выражениями.
Аль-Хорезми
______________________________________________________
Темы проектных работ
1. Диофант.
2. У исюкое алгебры.
107
КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
43. Перпендикулярные прямые
Нерп ендикуляр
ные прямые
Две прямые, образующие при пересечении прямые
углы, называют перпендикулярными (рис. 48).
Пишут:
Эту запись читают; «Прямая АВ перпендикулярна пря-
мой MN».
Если АВ 1 MN, то MN 1 АВ
Для построения перпендикулярных прямых используют
чертёжный треугольник (рис. 49) или транспортир (рис. 50).
Рис. 48
Iltpntн дику.гяр-
иыг отрезки
(лучи.)
О/резки (или яучи)г лежащие на перпендикулярных пря-
мых, называют перпендикулярными отрезками (или луча-
ми) (рис. 51).
Рис. 51
108
©Какие прямые
RaI'UP Jl'TrLP'lWU
! называют перпендикулярными?
Какие отрезки н какие лучи называют перпендикулярными?
С помощью каких чертежных инструментов строят перпендику-
лярные прямые?
К 463. Постройте г помощью транспортира две перпендикулярные пря-
мые.
464. Определите сначала на глаз, а потом про-
верьте с помощью чертёжного треуголь-
ника, какие пары прямых на рисунке 52
перпендикулярны.
465. Начертите прямую МР и отметьте точ-
ку А, не лежащую на этой прямой.
Проведите с помощью чертёжного тре-
угольника через точку А прямую, пер*
пендикулярпую прямой МР. Сколько
прямых, перпендикулярных Л/Р, можно
провести через точку А?
Рис. 52
466. Начертите в тетради прямую АВ и отметьте точку М так, как по-
казано на рисунке 53. Проводите через точку Л/ перпендикуляр к
прямой АВ.
467. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 54, перпендикуляр-
ны?
Рис. 53
Рис. 54
468. Начертите прямой угол. Отметьте на сторонах угла по одной точке
и проведите через них прямые, перпендикулярные сторонам угла.
Отметьте точку пересечения этих прямых. Что за четырёхуголь-
ник получился на чертеже?
109
Г" 469. Найдите корень уравнения:
а) 2х - 5 = х + 2; в) 0,5е/ — 0,6 = 0,14/ + 0,2;
б) |x+ I - |х;
470. Сумма трёх последовательных целых чисел
равна нулю. Какие это числа?
471. Расставьте числа 1, -2, 3» -4, 5, -6, 7, -8, 9 б
клетках квадрата (рис. 55) так, чтобы их про-
изведения по веем горизонталям, вертикалям и
диагоналям были положительны,
472. Старинная задача. В клетке сидят фазаны и
кролики, У них 19 голов и 62 ноги. Сколько
фазанов и сколько кроликов в клетке?
Рис 55
473. Трое ребят нашли в лесу 200 грибов. Никита нашёл 40% всех гри-
бов, Олег — — числа грибов, которые нагнел Никита, Дима нашёл
остальные грибы. Сколько грибов нашёл Дима?
474. От куска провода отрезали 50%, а потом ещё 20% остатка. После
этого осталось 60 М проводя. Сколько метров проводя было в куске
первоначально?
475. Найдите значение выражения:
4-К-4 « 91:
11 (9 - 1.5) : 25 ’ (8.5 - 4.7) : 38 ’
Д 476. Перечертите рисунок 56 в тетрадь. Проведите через точки М и Р
прямые, перпендикулярные прямой /,
140
Рис. 56
477. Начертите два хсериендикулярных отрезка — АВ и MN — так,
чтобы они:
а) пс пересекались: б) пересекались.
478. Начертите два перпендикулярных луча так, чтобы они:
а) не пересекались; б) пересекались; в) имели общее начало.
479, В каждом из двух вагонов трамвая было одинаковое число пасса*
жиров. После остановки в первом вагоне стало па 20 пассажиров
меньше, а во втором — нм 10 и число пассажиров в первом вагоне
5
Составило jr числа пассажиров во втором вагоне. Сколько пасса-
жиров было в каждом вагоне до остановки?
480. Выполните действия:
а) 12 + 7,8 * (8,1 - 8,4);
б) -6 - 4,5 (5,2 - 10,6);
в) 18,2 : (-9,1) • 0,7 - 3,4 • (-2,3) : 17;
г) -16,1 : (-8,2) * (-0,6) 4- 5,2 - 3,8 ; (-19),
44. Параллельные прямые
Параллел ьлые
Л/МИ(Ы£
Две различные прямые могут либо пересекаться в од-
ной точке, либо не пересекаться,
Две непересекающиеся прямые на плоскости назы-
вают параллельными.
ж" Л
пт
Пишут:
ЛЯ II ЛЯ
Эту запись читают; «Прямая АВ параллельна прямой
МЛГ». Если ,4В || AfN, то MN || х4В {рис, 57),
Параллельные Отрезки (лучи}, лежащие на параллельных прямых, на-
отрезки (лучи) зывают параллельными отрезками (лучами) (рис. 58, 59).
Рис. 57 Рис. 58 Рис. 59
Прямые /л и л на рисунке 60 перпендикулярны прямой I.
Они параллельны друг другу.
Если две прямые в плоскости перпендикулярны
третьей прямой, то они параллельны.
Поэтому противоположные стороны любого прямоуголь-
ника параллельны (рис. 61). Они образуют прямые углы с
двумя другими сторонами этого прямоугольника.
На рисунке 62 показано, как с помощью треугольника
и линейки можно построить прямую л, параллельную пря-
мой т.
Рис. 60 Рис. 51 Рис. 62
Через каждую точку плоскости, не лежащую на дан-
ной прямой, можно провести только одну прямую, па-
раллельную данной прямой.
Какие прямые называют параллельными?
Какие отрезки называют параллельными?
На ПЛОСКОСТИ проведена прямая и отмечена точка, не лежащая на
этой прямой. Сколько прямых, параллельных данной, можно про-
вести через эту точку?
Могут ли пересечься две прямые, перпендикулярные одной н той
же прямой?
М 481. Начертите пять параллельных друг другу прямых.
482. Начертите прямую f и отметьте точки Л/ и К вне этой прямой.
Проведите через точки Л/ и К прямые, параллельные прямой /.
483. Начертите треугольник и проведите через каждую вершину пря-
мую, параллельную противоположной стороне.
484. Найдите с помощью линейки и тре-
угольника все пары параллельных
прямых, изображенных на рисун-
ке 83.
48 5. Начертите прямую /и и отметьте на
пей три точки — А, В и С. Через
эти точки проведите прямые, пер-
пендикулярные прямой т. Отметь-
те па этих прямых параллельные
отрезки.
Рис. 63
П 486. Постройте угол АОВ, равный 35'\ Отметьте точку М на стороне
ОА и точку N на стороне ОВ. Проведите через точку Л/ прямую,
перпендикулярную стороне ОВ, а через точку Л' прямую, перпен-
дикулярную стороне ОД.
487. Решите уравнение:
а) Зх - 5 = х + 7; в)
V о
б)|х-|х+1; r>l-i.
488. Приведите подобные слагаемые: х — 7 + 2х — 5х + 1.
489. Вычислите: —’ М.-9; 15v>4.
Ut 'I r> l> 1 £
490. Что больше: а или 2a? а или 4-
b.
5 7
491. - некоторого числа равны -г этого числа. Какое это число?
Г А
113
492. До конца суток осталось того времени» которое прошло от на-
чала суток. Который сейчас час?
493. Выполните действия:
1) 45,09 : 1,5- | й • Ц - 2,5 - 2±) : Л;
1 О Z Z 1
2) I 5,05 ; JL - 2.8 -1 j • 0.3 + 1,6'0,1875.
494. Из пятидесяти звеньев составлена цепь. Найдите длину этой цепи,
если просвет каждого звена — 16 мм, а толщина — 4 мм (рис. 64).
Д 495. Перечертите рисунок 65 в тетрадь. Проведите через точку Л" пря-
мую: я) параллельную прямой а; б) перпендикулярную прямой а.
Рис. 65
496. Начертите угол АВС, равный 75 й. На стороне ВА отметьте точку М
и проведите через нес две прямые, одна из которых параллельна,
а другая перпендикулярна стороне ВС.
497. В лаборатории стояли 25 столов с ящиками, В одних столах было
по 3 ящика, а в других — по 4 ящика. Сколько было столов с тре-
мя ящиками и сколько было столов с четырьмя ящиками» если
общее число всех ящиков равно 91?
498. По норме рабочий должен изготовить 72 детали, а он изготовил
90 деталей. На сколько процентов рабочий выполнил норму и на
сколько процентов он перевыполнил норму?
Д 3
499. На у земельного участка разбит сад, где — сада занимают ябло-
ни, Какую площадь занимают яблони, если площадь земельного
участка га?
500. Найдите значение выражения:
б) (7-81)-г;
в) (204,12 : 10,5 - 3,2 > 1,2) ‘ б| + 7 : 2±
— -1
45. Координатная плоскость
Систелга
координат
на плоскости
Координатная
плоскость
Начало
коорди на r>t
Ось аДсциее,
ось opih/rttfrti
Координаты
точки
Абсцисса точки
Ордината
точки
Места в зрительном зале кинотеатра задают двумя чис-
лами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым —
номер кресла в этом ряду (см. рис. на форзаце). При этом
места (3; 8) и (8: 3) различны; первое является креслом № 8
в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду.
Подобным образом можно обозначить и положение точ-
ки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две
перпендикулярные координатные прямые — х и у, которые
пересекаются в начале отсчёта — точке О (рис. 66). Эти
прямые называют системой координат на плоскости, а
точку о — началом координат. Плоскость, на которой вы-
брана система координат, называют координатной пло-
скостью
Пусть Af — некоторая точка координатной плоскости
(рис. 66). Проведём через неё прямую ЛМ. перпендикуляр-
ную координатной прямой х, и прямую МВ, перпендикуляр-
ную координатной прямой у. Так как точка А имеет коорди-
нату 6, а точка В — координату -5, то положение точки Af
определяется парой чисел (6; -5). Эту пару чисел называют
координатами точки Af. Число 6 называют абсциссой точ-
ки Af, а число -5 называют ординатой точки Af Коорди-
натную прямую х называют осью абсцисс, а координатную
прямую у — осью ординат.
Точку jW с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так;
М (6; -5), При этом всегда на первом месте пишут абсцис-
су ючки, а на втором — её ординату. Если переставить ко-
ординаты местами, то получится другая точка — Лг(-5; 6),
которая показана на рисунке 66.
Каждой точке Л/ на координатной плоскости соответ-
ствует пара чисел: её абсцисса и ордината. Наоборот, каж-
дой паре чисел соо/не/сгнуег одна /очка г плоскости, для
которой эти числа являются координатами.
На рисунке 67 показано, как попасть в точку С с коор-
динатами (-4; -3); сначала надо пройти по оси х от нача-
ла отсчёта влево на 4 единицы, а потом — на 3 единицы
вниз.
В географии положение точек на земной поверхности
тоже определяют двумя числами — географическими коор-
динатами; широтой и долготой.
Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у. обра-
зующие систему координат на плоскости? Как называют каждую
из этих прямых? Как называют точку пересечения этих прямых?
Как называют пару чисел, определяющих положение точки на пло-
скости? Как называют первое число? Как называют второе число?
Расскажите, как найти абсциссу и ординат}' точки на координат*
нон плоскости.
Расскажите, как построить точку по её координатам.
\____________________________________________________________________
116
К 501. По рисунку 68 определите, сколько клеток надо пройти слева на-
право и сколько — снизу вверх, чтобы попасть из точки О в точки
М, Kr Р и ЛГ,
Запись М(-2: 7) читают так:
— точка эм с абсциссой минус два и ординатой семь,
— точка эм с координатами минус два и семь,
— координаты точки эм — пара чисел минус два и семь.
502. Шестиклассники участвовали в спортивной игре. Сначала звено
было в точке О (рис. 69). Командир звени получил приказ: «Идите
на восток 5 км, а затем на север 1 км*. Назовите координаты точ-
ки В» в которую должно попасть это звено. Сформулируйте при-
казы для других звеньев, которые должны попасть из точки О в
точки С, Г), /?, X’, ЛГ, .V. Назовите координаты этих точек,
503. Возьмите географическую карту и назовите широту и долготу го-
родов: Москвы, Киева, Алма-Аты.
504. Постройте координатные прямые гири отметьте точки А(2; 8).
В(3; 4), С( 4; 5), Р( 3; 7), £’(0; 5), Л/(О; 4). К(6: О), Р(-7; О).
117
505. Найдите координаты точек А,
В, С и О (рис. ТО).
506. У каких точек па координат-
ной плоскости абсцисса равна
нулю? У каких точек равна
пулю ордината? Какая точка
имеет координаты (О; О)?
507. Где расположены на коорди-
натной плоскости точки, аб-
сцисса которых равна 4? А где
расположены точки, ордината
которых равна -1?
508. Изобразите на координатной
плоскости точки А (-2; -2),
В(-1; -1), С(0; 0), £>(1; 1).
Е(2; 2). Проверьте с помощью
линейки, лежат ли эти точки
на одной прямой и лежит ли
на этой прямой точка Af(-5; 5).
Рис. 70
► 509. Постройте на координатной плоскости четырёхугольник ABCD,
если А(-10; -2). В(-2; -2), С(-2; -6)+ В(-10; -6).
Является ли он прямоугольником? квадратом?
Найдите периметр и площадь этого четырёхугольника, если еди-
ничный отрезок равен 1 см. Проведите отрезки АС и BD и найдите
координаты точки пересечения F. этих отрезков.
510. Постройте треугольник ОВС, где 0(0; 0}, В(4; 6), С(1; 5).
511. На миллиметровой бумаге (рис. 71) отмечены точки А, В, С, Dt Е>
F, К и Л/. Найдите их координаты.
512. В координатной плоскости проведена линия (рис. 72). Найдите на
этой линии точку:
а) абсцисса которой рання 2; 1,7; -1,2;
б) ордината которой равна 1,8; 2,1; -1,6; -2,5; -3,2.
513. Даны точки А(1; 3). В{-1; 4), С(7; -5), D{0; б). Какие из этих то-
чек расположены:
а) выпте оси абсцисс;
б) левее оси ординат?
11В
Рис. 71
Рис. 72
514* Вычислите устно:
а) -2,8 - 3,2 б) 1,4 - 8,2
: 1,2 : 3,4
• 1,6 0,5
+ 8,5 + 0,8
? ?
в) 0,8-7 г)—10 4-1,8
1,9 : 0.41
: 3 + 5,4
• 0,2 * 0,5
515. Что больше: х или х2? х2 или ха?
g
516. Найдите все дроби со знаменателем 15, которые больше - и мень-
ше 1,
р
I
517. Числа 90 и 100 разделили на одно и то же число. В первом случае
получили остаток 18, а во втором случае — остаток 4. Ияйлите де-
литель.
518. Из корзины взяли 6 яблок, затем треть остатка и ещё 6 яблок.
После этого в корзине осталась половина первоначального числа
яблок. Сколько яблок было в корзине?
rf| 519. Попробуйте найти простой способ для вычисления значения вы-
ряжения:
II . 1 . 1 . 1 . 1 . 1 , 1 . 1 , 1
1 2 2 3 * 3 4 ' 4-5 5 6 6 7 7-8 ‘ 8 9 9 10‘
4^^. 520. Начертите какой-нибудь треугольник ARC. Через вершину С про-
ведите прямую I, параллельную стороне АВ, и прямую т, перпен-
дикулярную стороне АВ,
521. Найдите длину окружности, радиус которой 7 см; 0,7 см; 0,14 см,
23
приняв П = -уЧ
4^ь 522. Найдите радиус окружности, длина которой 6,28 мм; 3,14 см;
0,0628 м, приняв л = 3,14.
523. Вычислите:
(-0,4)*; (ОЛУ*; (0,6)2; (0,2)*; f + 4,2; 2-7 +3,75.
.э *1
524. Найдите объём и площадь поверхности куба, ребро которого рав-
но: а) 1 см; б) 0,2 м.
4^ - 52 5. Решите уравнение:
1) 0,8 • (9 + 2х) = 0,5 • (2 - Зх); 2) 0,5 • (х + 3) = 0,8 (10 - х),
526. Решите задачу:
1) На заводе производится смена оборудования. После того как
51 станок заменили новыми, осталось заменить еще 83% стан-
ков. Сколько всего станков ня заводе надо было заменить но-
выми?
2) Купили пачку бумаги. После того как израсходовали 30 листов,
осталось 85% пачки. Сколько листов бумаги было в пачке?
4^.-* 527. Решите уравнение:
1) (13,4 у) - 4,3 - 20,05 - 78,05 + 6,71/;
2) (16,2 - х) 3,2 - 50,08 - -8,12 - 5,1х,
Д 528. Постройте ломаные линии ARCDE и MNK по координатам точек
А( 6; 2), В( 4; 6), С(1; 1), D(2; 5), В(8; 1) и Af ( 5; 5), N( 1; 7),
А"(8; 4). Найдите координаты точек пересечения ломаных ABCDE
и MWK,
529. Построите четырехугольник АДСВ по координатам его вершин
А( 8; 6), В(6; 5), С(1; 3), Р(-7; 1), Найдите координаты точки
пересечения отрезков АС и BD.
530. Отметьте на координатной плоскости точки Af(O; 5), Дг(8; 1),
С(2; 2), D(-6; -2), Найдите координаты точки пересечения пря
мых А/Л’ и CD. На какой из этих прямых лежит точка Л'(0; 1)?
120
531* Постройте треугольник АВА' по координатам его вершин Л( 2; 2),
23(1: 5), А" (6; -2). Найдите координаты точки пересечения сторо-
ны ДА с огью ординат.
532. Решите уравнение:
а) -3,7 • (2,5х - 7,6) — -3,66 + 2,1jc;
б) 0,4 • (у - 0,6) = 0,5 • (у - 0,8) + 0,08.
533. Отметьте точку Af и проведите через неё две прямые — т и I —
так, чтобы они образовали угол» равный 62*.
534* Постройте угол СОР, равный 50°. Через точку Л/, лежащую на
стороне OD, проведите прямую т, параллельную стороне ОС, а
через точку А', лежащую на стороне ОС, проведите прямую л, па-
раллельную стороне OD. Измерьте транспортиром углы, образо-
вавшиеся при пересечении прямых л: ил.
535. Найдите значение выражения:
а) -3,8 - (4 - 4,9) + 13,4 • (3 - 2,8);
б) “3,636 : 0,6 + 2.6 ’ (5 - 1,1).
46. Столбчатые диаграммы
Столбчатая
диаграмма
В селе 90 домов, Из них 15 — под железной кры-
шей, 45 — под черепичной и 30 — под шиферной. Чис-
до домов каждого вида изображено на круговой диаграмма
(рис. 73). По-другому эти числа можно изобразить с помо-
щью столбчатой диаграммы (рис. 74). Для этого надо
нарисовать три столбика, высота которых соответству-
ет количеству домов каждого вида. Пусть высота перво-
го столбика 15 мм, второго 45 мм, третьего 30 мм. Если
бы каждый дом изображался столбиком в 2 мм, то высо-
ты всех трёх столбиков на рисунке увеличились бы в 2 раза.
Рис. 73 Рис. 74
121
R 536. В селе 22 двухэтажных дома, а остальные 68 одноэтажные. По-
стройте круговую и столбчатую диаграммы (один дом — 2 мм).
537. Постройте столбчатую диаграмму» показывающую массы первых
десяти космических кораблей серии «Венера»,
Название и год запуска Венера-1 1961 Венера-2 1965 Венера-3 1965 Венера-4 1967 Венера-5 1969
Масса, кг 643,5 963 960 1106 1130
Название и гад запуска Венера-6 1969 Венера-7 1970 Венера-8 1972 Венера-9 19*5 Венера-10 1975
Масса, кг ИЗО 1180 1184 4936 5033
538. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным:
а) наибольшая глубина озера Байкал 1620 м, Онежского озера
127 м, озера Иссык-Куль 668 м, Ладожского озера 225 м;
б) расстояние до Солнца от планеты Меркурий = 58 млн км, от
планеты Венера * 108 млн км, от планеты Земля * 150 млн км,
от планеты Марс « 228 млн км.
П 539. Отметьте на координатной плоскости точки А(— 2; I), /?(—!;—5),
С(8; 0). Р( 4; 4). Найдите координаты точки пересечения прямых
АВ и CD.
540. Ня координатной плоскости отмечены точки А(2; 3), В(—3; 4),
С(-5; 6>, D(3; -4), Е(0; -5), К(0; 3), .V(-2; 0), .W(5; 0). Напишите
множество точек, расположенных:
а) выше оси абсцисс;
б) ниже оси абсцисс;
в) правее оси ординат;
г) левее оси ординат
д) на оси абсцисс;
е) на оси ординат?
•) 1,| + 1,1 ‘ 16;
б) 12-г : 2| - 6;
542. Раскройте скобки:
а) у • (4 + 12х);
. О 2 . I,
R) 2 : 3 ‘ 1 2’
. 3 5 3 2
Г) 7 ' 7 ‘ 4 ’ 7’
2
‘ 3'
543. Из делителя вычли его 4. Как изменится частное?
&
122
544. Какой цифрой оканчивается разность
12 • 3 • 4 ‘ ... 26 27 - 1 • 3 • 5 7 ... 25 • 27?
545. Запишите в виде двойного неравенства условия,, которым подчи-
няются (рис. 75):
а) абсциссы любой точки фигуры;
б) ординаты любой точки фигуры.
Рис. 75
546. Найдите массу 1 см1 вещества, если 4 см3 этого вещества имеют
4 тт -
массу х г. Найдите объем этого вещества, если его масса равна
1 г.
547. Найдите значение выражения:
1) 11,75 | - 1,75 : 1| j • 4,5 - 4.5;
г с» г
2) |2,75 А - 2.75 : UV 2,7 - 2,7.
I. 11 г» Г
548. Постройте столбчатую диаграмму по следующим данным:
а) илощадь России равна 17.1 млн км*, площадь КНР —
9,6 млн км3, площадь Индии — 3,3 млн км- и площадь США —
9,4 млн кмг;
б) длина Днепра — 2,2 тыс. км, Дона — 1.9 тыс. км, Днестра —
1,1 тыс, км, Печоры — 1,8 тыс. км, Волги — 3,5 тыс, км.
133
549. В одной пачке было в 2,5 раза больше тетрадей, чем в другой. Ког-
да из второй пачки переложили в первую 5 тетрадей, то во второй
стало в 3 раза меньше тетрадей, чем в первой. Сколько тетрадей
было в каждой пачке первоначально?
550. Для оклейки степ обоями па 1 м2 требуется: обоев 0,25 рулона,
крахмала 0,09 кг, клея 0,01 кг, газетной бумаги 0,07 кг. Сколько
материалов потребуется для оклейки обоями комнаты, если пло-
щадь всех её степ вместе с окнами и дверями 35,3 №, а пло-
щадь окон и дверей равны 10,2 м2? Ответ округлите с избытком ДО
десятых долей килограммов и до целых рулонов.
551. Найдите значение выражения:
а) (1,6 + 154,66 : 70,3) : 1,9 - 0,3;
б) (89,54 : 2,2 + 3,3) : 1,1 + 0,9;
В)(°,3-Х).2|_| :1Л.
D 11-08 - il = 7 - °’25 = Г
47. Графики
Когда Маше был год, её рост составлял 70 см, когда ей
было 3 года — 100 см, 5 лет — 120 см и 7 лет — 130 см. По
этим данным можно построить диаграмму (рис. 76). На этой
диаграмме не полностью видно, как менялся рост Маши:
она росла всё время, а на диаграмме виден её рост, только
когда ей был 1 год, 3 года, 5 лет и 7 лет. Соединим верхние
концы столбиков отрезками. Получится ломаная линия, кото-
рая нагляднее показывает, как изменялся рост Маши (рис. 77).
Мы видим, что в 4 года её рост примерно равнялся 110 см.
а в 6 лет — 125 см.
Если бы рост Маши измерялся всё время, то получи-
лась бы не ломаная, а гладкая линия, такая же, как на ри-
сунке 7в. По этой линии можно узнать рост Маши в любом
возрасте от 1 года до 7 лет. Так. например, в 2 года её рост
Графил: был 90 см. Эту линию называют графиком роста Маши.
Для большей точности построения графиков их чертят
на миллиметровой бумаге. Например, график роста Маши
на миллиметровой бумаге показан на рисунке 79 Графики
чертят и с помощью компьютеров, которые обеспечивают
ещё большую точность.
124
Рис. 76
Рис. 77
S 150
-
р
= 100
I-
X
X 50
-Г
:::uu:::::::::::::::::::::::::::::::::
IBBBBBIXIXIXIXIBBBBBBBIXIXH
::::::::::::х1хшвввввв|"~«1ш
1ВВВВПВ!Ш1ВВГ«мВВВ1Х1ХП
iHm:ns:i:ixxxix!xix:HtH:txi:]:::i:
iBBtmixixixxxixixxnBBXxunixixn
iBBKxnimixxxxnxHiBBBixixix::::
s::::::::::!:::::::::!::::::::::::::::::
012345678
Возраст (в гадах)
Рис- 79
Графиками пользуются для изображения движений.
Пусть поезд, идущий со скоростью 60 км/ч, вышел в
3 ч утра из г. Ромска. Тогда в 4 ч он окажется на расстоя-
нии 60 км от Ромска, й 5ч - на расстоянии 120 км от него
и т. д. Следующая таблица показывает расстояние от Ром-
ска до поезда в разные моменты времени:
Время суток, ч 3 4 5 6 7 В 9
Расстояние от г. Ромска, км 0 60 120 180 240 300 360
Изобразим пары чисел (3; 0). (4; 60), (5: 120) и т. д. точ-
ками на координатной плоскости, При этом удобнее вы-
бирать разные масштабы на осях координат. Будем на оси
абсцисс изображать 1 ч отрезком 1 см, а на оси ординат —
60 км отрезком 1 см. Получим точки Л, В, С, D, Е, F и Н
(рис. 80).
Все эти точки лежат на одной прямой.
Если поезд не вышел из Ромска в 3 ч утра, а прошёл
мимо него в это аремя, то таблицу можно продолжить и
влево:
Время суток, ч 0 1 2
Расстояние от г, Ромска, км -180 I7Q -60
Знак «-» здесь показывает, что поезд ещё не дошёл до
г. Ромска, а идёт к нему. Точки с координатами (0; -180),
(1; -120); (2; -60) лежат на одной прямой с ранее найден-
график
ными. Эту прямую называют графиком движения поезда
(см. рис. 80). По графику можно узнать, где находился по-
езд е б ч 30 мин {он отошёл от г, Ромска на 210 км), где он
был в 1 ч 30 мин (он не дошёл до г. Ромска 90 км), когда он
отошёл от г. Ромска на 270 км (в 7 ч 30 мин), s какое время
поезд прибыл в конечный пункт и т. д,
5S2* На рисунке 81 изображён график изменения температуры воздуха
в течение суток. Ответьте на следующие вопросы:
а) Чему равнялась температура воздуха в 3 ч; в 12 ч?
б) В какие часы температура воздуха была отрицательной?
в) В какие часы температура воздуха была положительной?
г) Когда температура воздуха равнялась пулю; 2:: С; 6:‘ С?
д) На сколько градусов изменилась температура с 2 ч до 13 ч;
с 18 ч до 24 ч?
Температура (в градусах Цельсия)
553* На рисунке 82 показан график изменения массы Пети в зависимо-
сти от его возраста. Какова масса Пети в возрасте 6 лет; 8,5 лот;
Рис. 82
554. Высота сосны изменялась в зависимости от ее возраста следу-
ющим образом:
Возраст сосны, лет 0 1 20 30 40 50 60 70 80 90
Высота сосны, м 0 3,2 6 9,2 12,4 14.9 17 19,2 21,3 24
Постройте график зависимости
высоты сосны от её возраста. Поль-
зуясь графиком» найдите:
а) высоту сосны в 15 лет; в 35 лет;
в 75 лет;
б) возраст сосны, когда ее высота
была 10 м; 16 м; 20 м;
в) нн сколько метров выросла со-
сна за первые 20 лет; за вторые
20 лет; за третьи 20 лет;
г) на сколько метров выросла сосна
за время от 15 до -15 лет.
555. В пустой графин (рис, 83) наливают
воду стаканом, содержаниим 0.2 л,
и каждый раз отмечают высоту
воды в графине. На рисунке 84 изо-
бражен получившийся график.
Высота
(в см)
Рис 83
128
Рис. В4
Пользуясь графиком» определите:
а) какой будет уровень воды в графине, если в него налить 0,8 л
воды; 2 л воды;
б) сколько воды надо палить в графин, чтобы уровень воды ока-
зался на высоте 7 см; на высоте 13 см;
в) почему сначала уровень воды в графине растёт быстрее, потом
медленнее, а затем опять быстрее.
556. Пн рисунке 85 изображены графики движения двух автомобилей:
грузового (график АВ) и легкового (график СЛ), Определите, поль-
зуясь графиком:
а) в какое время вышли автомобили из города;
б) на каком расстоянии от города был легковой автомобиль в
4 ч 30 мип; в 7 ч;
в) на каком расстоянии от города был грузовой автомобиль в 4 и;
в 6 ч 30 мин;
г) в какое время грузовой автомобиль находился в 135 км от горо-
да; в 210 км от городя;
129
у
»? 270
Я
s 240
3E
£ 210
и 180
ч 150
О
2 120
! 90
I 60
S 30
*5
Рис. 85
д) в какое время легковой автомобиль находился в 135 км от го-
рода; в 225 км от города;
е) в какое время и па каком расстоянии от города легковой авто-
мобиль догнал грузовой автомобиль;
ж) какой автомобиль шёл с постоянной скоростью;
з) какова была скорость грузового автомобиля между 5 ч и 6 ч;
между 6 ч и 7 ч;
и) на каком расстоянии друг от друга были автомобили в 5 ч;
в 7 ч.
557, Рыболов рассказал, что, выйдя из дома, он шёл 2 ч по берегу реки
и дошёл до места, где в неё впадает приток. Там он ловил рыбу
1,5 ч, а потом пошёл дальше. Через 1 ч он выбрал новое место,
где в течение 2 ч ловил рыбу, варил уху, обедал. После обеда он
отправился домой. На всё это он затратил 9 ч. График движения
рыболова изображён на рисунке 86.
Ответьте на следующие вопросы.
а) На каком расстоянии от дома был рыболов через 30 мин; через
4 ч 40 мин; через 5,5 ч после выхода из дома?
б) Через сколько часов после выхода из дома был рыболов в 5 км от
дома?
в) Когда расстояние от дома увеличивалось; уменьшалось; не из-
менялось?
130
Рис. 86
г) Сколько километров прошёл рыболов за последние 2 ч?
д) С каком скоростью рыболов гнёл в первый и с каком в послед-
ний час пути? Чему равна скорость движения рыболова в проме-
жутке времени между 4 и 4,5 ч после выхода из дома?
131
п
558. Найдите:
а) | от 12,6; б}0,2 от 26; в) 15% от 20.
«3
559. Найдите число, если:
а) у его равны 35; в) 18% его равны 24,
б) 0,12 его равны 48;
560. Определите:
а) какую часть 12 составляет от 18;
б) какую часть 70 составляет от 100;
в) сколько процентов 8 составляет от 40.
561. Вычислите:
а) | в} f * д) 0,6 + 0,24; ж) 0,6
□ •» О и>
0,21;
б) | г) | : j; е) 0,6 - 0,24; з) 0,6 : 0,24.
О «5 О «3
562. Где расположена на координатной плоскости точка Af(x, г/), если:
а) х > 0, у > 0; в) х < 0, у >0; д) х > 0, у < 0;
б) х < 0, р < 0; г) х = 0,. у = 0; е) х = 0?
563. Решите уравнение:
а) Зх - 2,5 - х; б) 4у - 1 - в) ОД* _ 0,5г + 3.
564. Решите уравнение:
а) |х| + |-12| = |-22|; б)|-7| |х| = |-49|.
565. Найдите целые решения неравенств:
а)3<|х|<7; б) 5 j < | х| < 10,1,
566. Начертите на координатной плоскости такой отрезок, чтобы аб-
сциссы и ординаты его точек удовлетворяли условиям:
а) -2 < х < 5, -3 £ у £ 7; б) |х| £ 6, |у| £ 4.
I 2 *1
567. Сумма двух чисел равна 75, причём одного числа равны - дру-
гого, Найдите ати числа.
568. Масса трёх сазанов 10,8 кг. Масса третьего сазана составляла 50 %
массы первого, масса второго — в 1,5 раза больше массы первого.
Найдите массу каждого сазана.
569. Моторная лодка прошла вверх по реке 60 км, а вниз 150 км. Най-
дите среднюю скорость лодки на всем пути, если её собственная
скорость 20 км/ч, а скорость течения 4 км/ч.
132
570. Решите задачу:
1) Привезённый картофель распределили между тремя магазина-
ми. Первый магазин получил - привезённого картофеля, вто-
рой — q- привезённого картофеля, а третий — остальные 21 т
картофеля. Сколько тонн картофеля было привезено?
2) Трём машинисткам было поручено перепечатать рукопись кни-
ги. Первая машинистка перепечатала всей рукописи, вто-
рая — всей рукописи, а третья — остальные 60 страниц.
Сколько страниц было и рукописи?
571. Ня идите значение выражения:
1)
18.fi : 4
_________L
47,52 :
-111 п
1,8 - 17
9 1
24,3 : — - 4,5 3-
’ 56,81 ; 2,3 - 18 '
572, На рисунке 87 изображён график движения поезда.
Определите по графику:
а) какое расстояние прошёл поезд за первые 2 ч;
б) сколько минут поезд стоял на каждой остановке;
в) каково расстояние между остановками поезда;
г) среднюю скорость движения за 3 ч.
У
180
120
iriiEiiziiSiaiaiEiEiainiuiSixiiaiaiuiSinir
1П1
:: *:iiiiaiui5iuiuinininii
60
uuiji:
________SgjSiL... _
SiuitiiEiEiiziEigiziiEiEiFiiiiuitiiLiiEioiiJuiggiaiziitiiEbiuiLiii
jiuiniEiKininirn’iiainiEiiniriininiEiEiciuiiriirHFiiiiiiiiHininiEii
3iniiJ]ujEiixjrfi3@irii5i£iiui5iuiEiuiSi5iGiEiigEiiBiMjnininiEii
lininjninir digggiHmiSinininiEiniEiniggiSiiiinrninininii
nininini^jiEigraminiriinrnininirTinininignSininrnininiEii
Гт
Время (в минутах)
Рис 87
573. На рисунке 88 показан график температуры поды в электрическом
самоваре. На прямой х откладывали время в минутах после вклю-
чения самовара, а на прямой у — температуру воды в градусах
Цельсия, Определите по графику:
а) температуру воды через 20 мин после включения самовара;
б) момент закипания воды в самоваре;
в) сколько минут кипела вода в самоваре;
г) когда температура воды в самоваре была 88 dC,
Рис 68
574. На рисунке 89 изображен график движения. Придумайте рассказ
к этому графику.
575. В двух альбомах 750 марок, причем в первом альбоме 4 имев-
П1НХСЯ марок составляли иностранные марки. Во втором альбоме
иностранные марки составляли 0,9 имевшихся там марок. Сколь-
ко всего марок было в каждом альбоме, сели число иностранных
марок в них было одинаково?
134
576. Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся об-
ратно. Найдите среднюю скорость катера на всём пути, если его
собственная скорость 18 км/ч, а скорость течения 2 км/ч,
577. В один из дней после уроков в школе 4- всех учащихся пошли на
2 J
олимпиаду но математике, — всех учащихся — в спортивные сек-
ции, а остальные 142 ученика отправились домой. Сколько всего
учащихся в школе, если в этот день не было пропустивших уроки?
578. Найдите значение выражения:
а) | |б| : 6 - 8,016 - 0,125 + - 0,031 • 2|;
б) (9^-1,24) : 2| + (| 4-2|) ; 0,625;
в) (70,4 - 51,6 - 3541,84) (603,48 : 56,4) - 889,75.
©-------------------------------------------
Задания для самопроверки
1. Укажите верные высказывания.
1) Две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют
перпендикулярными.
2) Две прямые в плоскости, перпендикулярные третьей прямой, пер-
пендикулярны.
3) Две непересекающиеся прямые на плоскости называют параллель-
ными,
4) Если два отрезка не пересекаются, то они параллельны.
2. Укажите перпендикулярные прямые.
ZJ
4)
з. Какие из отрезков, изображённых на рисунке, перпендикулярны?
136
4. Укажите пары параллельных
прямых.
5. Установите соответствие меж-
ду каждой точкой координат-
ной плоскости и её координа-
гами.
€, Укажите неверные высказыва-
ния.
Плоскость, на которой вы-
брана система координат, на-
зывают координатной плоско-
стью.
2) Точку пересечения двух пер-
пендикулярных координатных
прямых называют началом ко-
ординат,
3) Координатную прямую х назы-
вают осью ординат.
4) Координатную прямую у назы-
вают осью абсцисс.
7. На рисунке изображён график изменения температуры воздуха в
течение суток. По вертикали указана температура воздуха в граду-
сах Цельсия, по горизонтали — время суток. На сколько градусов
повысилась температура с 8 ч до 16 ч?
8. На уроке физкультуры учащиеся сдавали норматив по подтягива-
нию. Норматив считался сданным, если ученик подтянулся не ме-
нее 15 раз. Сколько учащихся сдали норматив по подтягиванию,
если по горизонтали показано количество подтягиваний, а по вер-
тикали — количество учащихся?
9. Пятиклассников попросили назвать один из видов спорта для за-
нятий по выбору. На диаграмме показано распределение выбора
учащихся. Какой вид спорта оказался вторым по популярности вы-
бора?
1О. На графике приведена зависимость между возрастом дерева и его
средней высотой. По горизонтальной оси откладывается возраст
дерева в годах, по вертикальной — его средняя высота в санти-
метрах. По графику определите, через сколько лет высота дерева
будет равна 130 см.
о
и
3
д
в;
Е
138
1
Птолемей
Лейбниц
I История возникновения координат и системы координат начина-
ется очень давно и связана с развитием астрономии и географии.
При составлении календаря, звёздных и географических карт не-
обходимо было определять положение светил на небе н населённых
пунктов на поверхности Земли,
Более чем за 100 лет до и. э. древнегреческий ученый Гиппарх
предложил на карте опоясать земной шар параллелями н меридиа-
нами и ввести географические координаты; широту и долготу, обо-
значив их числами.
Во II веке древнегреческий ученый Клавдин
Птолемей! уже пользовался долготой и широ-
той в качестве координат. В своей работе «Ру-
ководство по географии* он заложил основы
математической географии н картографии, опу-
бликовав координаты 8000 населённых пунктов
от Скандинавии до Египта и от Атлантики до
Индокитая.
Но основная заслуга в создании современного
метода координат принадлежит французскому
математику Рене Декарту (1506—1650).
До наших времён дошла история, подтолкнувшая Декарта к его от-
крытию. Посещая парижские театры, он не уставал удивляться пу-
танице, перебранкам, а подчас и вызовам на дуэль, возникающим
из-за отсутствия элементарного порядка при распределении публи-
ки к зрительном зале. Предложенная нм система нумерации, в ко-
торой каждое место получало номер ряда п порядковый! номер от
края, сразу сняла все поводы для раздоров н произвела настоящий
фурор в парижском высшем обществе.
Научное описание прямоугольной системы ко-
ординат Рене Декарт впервые сделал в своей
работе «Рассуждение о методе* в 1637 году.
Поэтому прямоугольную систему координат на-
зывают также — декартова система координат.
В декартовой системе координат получили реаль*
ное истолкование отрицательные числа.
В конце XVII в. выдающийся немецкий учёный
(философ, математик, логик, физик, историк,
дипломат) Готфрид Вильгельм Лейбниц
(1646—1716) стал использовать такие термины,
как «абсцисса*. * ордината«, «координаты*.
139
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ
Вопросы и задачи
579. Приведите примеры:
а) множества целых чисел;
б) множества натуральных чисел;
в) множества отрицательных чисел, не являющихся целыми;
г) множества положительных чисел, не являющихся натуральны-
ми;
д) множества рациональных чисел, не являющихся целыми;
е) двух рациональных взаимно обратных чисел;
ж) двух противоположных целых чисел;
з) двух рациональных чисел, произведение которых равно 0; рав-
но 1;
и) двух целых чисел, сумма которых равна 0; равна 1.
580. При каком условии равно нулю:
а) произведение рациональных чисел;
б) частное рациональных чисел?
581. Верно ли, что:
а) число, обратное произведению двух чисел, равно произведению
чисел, обратных множителям;
б) число, обратное сумме двух чисел, равно сумме чисел, обратных
слагаемым;
в) число, противоположное произведению двух чисел, равно про-
изведению чисел, противоположных множителям;
г) число, противоположное сумме двух чисел, равно сумме чисел,
противоположных слагаем ы м?
582. Вычислите устно:
а)-1,8-4,6 6)0,1-10 в)‘1,6 — 6 г}|-1
: 1,6 : 3 • 2 4
4- 12,1 2,7 1,4 : 6
: (-3) : 4 : 3 1
4
? 7 L ? 7 л
140
583* Найдите значение выражения:
1) [3,5 + 2± : (3,5 2|); 3) (16-81) : (-21);
2) [5,6 — 31) : (1,5 + 11); 4) (15 9» : ( (з|).
584. Ответьте ня вопросы.
а) Какое число называют делителем данного числа? кратным дан-
ного числа? Приведите примеры,
б) Какое число называют четным? Приведите примеры.
в) Как формулируется признак делимости на 2? на 3? на 9? не 5?
на 10?
г) Какое число называют простым? составным? Приведите приме-
ры. Является ли простым число 11? число 2? число 1?
д) Какие числа называют взаимно простыми? Приведите примеры.
Чему равны наибольший общий делитель и наименьшее общее
кратное взаимно простых чисел?
585. Сформулируйте основное свойство дроби. Приведите примеры ис-
пользования основного свойства дроби.
586. Из множества натуральных чисел, расположенных между числа-
ми 11 и 43, выпишите множество чисел:
а) кратных числу 7; в) кратных числу 9; д) нечётных.
б) кратных числу 3; г) кратных числу 5;
587. Запишите все делители чисел 18; 21; 45.
588. Какие из чисел 3572, 81 375, 158 457, 237 583, 67 932, 2 487 960
делятся нацело на 3? делятся нацело на 9? делятся нацело на 5?
делятся нацело на 15?
589* Найдите значение выражения:
1) 13 ’ 1— - 15,3;
2) ’ 3,5 ’ ' 6,25 : т :
3) 17 ’ - 37,9;
4) 7,2 ’ Ya ' 2»7 2: 2^
1
1254
590. Верно ли, что:
а) сумма простых чисел есть число простое;
6) произведение двух простых чисел есть число простое;
в) произведение двух составных чисел есть число составное?
591. При строительстве железной дороги перемещается грунт. Сколь-
ко ездок должен сделать 25-тонный грузовик, чтобы перевезти
220 млн ма грунта, если масса одного кубометра грунта 24 т?
£
592. Сформулируйте и запишите г помощью букв:
а) свойства сложения рациональных чисел;
б) свойства умножения рациональных чисел;
в) свойства нуля при сложении;
г) свойства Он 1 при умножении рациональных чисел.
Придумайте примеры, в которых использование свойств арифме-
тических действий упрощает вычисления,
593. Постройте столбчатую диаграмму сравнительной продолжительно
сти жизни некоторых деревьев по следующим данным: баобаб
5000 лет, кипарис — 3000 лет, кедр — 1200 лет, дуб — 1000 лет,
сосна обыкновенная — 600 лет, берёза — 250 лет, рябина — 80 лет.
594. Ответьте на вопросы.
а) Чему равен модуль положительного числа; отрицательного чис-
ла? Чему равен модуль нуля?
б) Может ли быть положительным, отрицательным или нулём
Л». I I о
значение выражения —т; | т ; ш — л?
в) Верно ли равенство |-л| - «; |х| “ -х; |-&| - |fr ?
595. Валерий заболел. Па рисунке 90 показано изменение температуры
больного, Ответьте на вопросы.
« У
s
S 40
1=2
а?
? 39
я
I
3 38
Q.
U,
rriKttvfiiifVf (««« rtliff »«-. raaatwtil
В Ж В IBI4BBIBBI41BBI В fl Ж Ж В В 1114 IBBIIIBBIBB В Ж В Ж В В В Ж В В ВВВ41ВВВ В Ж ШВ В В • *. ж в в в в в ж в в в В В Л Ж В ввввжвввввжвжввв
£ 35
Ь 1 2 3 4 5678 9 10 *
Дни болезни
Рис. 90
а) Сколько дней у Валерия была повышенная температура?
б) В какой день после начала болезни температура была самой высо-
кой?
в) В какие дни болезни температура повышалась? понижалась?
г) В какие дни болезни температура Валерия была ниже 37 °C?
д) В какой день температура Валерия были 36,6 °C?
596* На рисунке 91 изображен график изменения температуры воздуха
в течение суток. Определите по графику:
а) температуру воздуха в 4 ч; в 14 ч; в 22 ч;
б) время суток, когда температура воздуха была равна О °C; 5 °C;
-3 °C;
в) промежутки времени, когда температура воздуха повышалась;
понижалась;
г) промежутки времени, когда температура воздуха была положи-
тельной; отрицательной.
597. По какому правилу выполняется:
а) сложение дробей с одинаковыми знаменателями;
б) сложение дробей с разными знаменателями;
в) умножение дробей;
г) деление дробей;
д) сравнение рациональных чисел;
е) сложение рациональных чисел е одинаковыми знаками; с раз-
ными знаками;
ж) вычитание рациональных чисел;
143
з) умножение рациональных чисел с одинаковыми знаками; с раз-
ными знаками;
и) деление рациональных чисел с од и ня ко вы ми знаками; с разны-
ми знаками;
к) раскрытие скобок, перед которыми стоит знак «+*; знак <-»?
598. В каком порядке следует выполнять действия в выражении без
скобок, если в нем содержится по одному разу вычитание, возведе-
ние числа в куб и деление?
г 599. Выполните действия:
1) ’ (-0.4) 0,3 - 0,01064 : (-0,14);
•>
2) 0,00936 : (-0,18)- 0,7 • (-0,3) I -|
J I
3) -36 : 25 - (2,1 + 2,7-0,3);
4) 44 : ( 25) (4,3 • 0,3 - 3,7);
5)-2,5- || | - 11,2:
в)-10.8 : £ - 12,5- if I -
600. Ня идите значение выражения:
Л 17
2,727 $ 0,5508 • 4^
я) ------Я* 61 --------—
' 10,1 ’ ' 3.08
601. Составьте программу вычислений и с помощью микрокалькулято-
%?* -* *•
ры найдите значение выражения:
а) (ЗЛ5 - 4,65): 6 + 0,75 - 12,5 : 0,625 + 67,25 - 81,75;
б) (12,8 : 0,64 4- 12,6 : 9) • (302,4 : 0,9 - 84.5) + 4,45.
602. Сравните числа с помощью вычитания:
1 7 5. « 7 . ч 9 6. ч 9 7
а> 9 “ 75 б) 15 “ Т2: В> ~П “ ’7= Г) ’10 “ "8‘
603. Узнайте:
. 7 8 9 15
а) что меньше: - или —; — или —;
8 911 11
б) что больше: — или —; — или —.
14 1Ъ 1-Э Z1
604. Здание Кремлевского дворца съездов в Москве имеет форму пря-
моугольного параллелепипеда длиной 120 м и общим объёмом
369 600 м:. Найдите высоту здания над землёй, если оно эаглубле-
5
но в землю па 15 м и длина здания больше его ширины в 1у раза.
144
605. Выполните действия:
а) (156,6 : 18 - 8,6) - 100 : 0,1 - 99;
6)11,21 (38,418:0,3 4,8 ’ 11,6) : 11 + 13,79;
в) (2,727 : (-0,9) + 1,9 > (-5,3) + 1,58) : 4,8;
г) 4,2 - (-0,3) : 0,9 - 5,6 : (-1,4) - 3,7;
д) -{I : I 1 + 5,52 : (-13,8) - 0,1;
H)(7_4|).il+(6-4):il;
606. Приведите примеры:
а) отношения двух величин;
б) верной пропорции и назоните её крайние и средние члены;
в) двух величин, зависимость между которыми прямо пропорцио-
нальная:
г) двух величин, зависимость между которыми обратно пропорцио-
нальная.
607. В чём состоит основное свойство пропорции? Придумайте приме-
ры использования этого свойства пропорции:
а) для доказательства, что пропорция верпа;
б) для решения уравнения.
608. а) Чему равно отношение длины окружности к её диаметру? отно-
шение площади круга к квадрату его радиуса?
б) По какой формуле вычисляется длина окружности? площадь
круга?
в) Какое получится число при округлении числа п до сотых?
609. Сравните числа, найдя их отношение:
Л Е« 13, 17 Л . 11 9 . 15 16
а) 0,52 и б) и 0,85; в) п и —; г) уу и —.
610. Бригада проходчиков при строительстве тоннеля метро в течение
недели ежедневно проходила по 0,8 м. За х дней длина тоннеля
увеличилась на у метров. Выразите у через х. Является ли зави-
симость у от х прямой пропорциональностью? Найдите значение
у при х - 1; 3; 7.
145
611. Площадь прямоугольника равна 12 см2. Длины сторон прямо-
угольника равны а см и b см. Найдите о» если Ь = 2; 4; 6; 12. Най-
дите формулу зависимости « от h. Является ли эта зависимость об-
ратно пропорциональной?
612. Решите уравпепие:
6,3.
7,3’
51
.г-0,8
х + 0.2
« Ю.5
б) ГТё
в)
к - 1,2
3,2
к - 3,45,
.¥ + 1,8'
г)
1.2
5jt — Б
0,5 ’
3 -
613. За 2— ч поезд прошел расстояние 330 км. Какой путь прейдёт ио-
4
езд за 7,5 ч, если будет идти с той же скоростью?
614. Масса муки составляет 0,7 массы выпеченного из неё хлеба.
Сколько получится хлеба, если взять 3 — ц муки? Сколько муки
надо взять, чтобы выпечь 100 кг хлеба?
615. Начертите окружность, радиус которой 2,5 см, и отрезок, длина
которого равна длине окружности (длину окружности округлите
до десятых долей сантиметра).
616. Сравните площадь круга, радиус которого б см, и площадь прямо-
угольника со сторонами 6,5 см и 1,4 дм.
617. Назовите коэффициент выражения:
а) 8и; б) -Зх; в) а; г) -р; д) -За 56.
618. Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых.
619. Какие правила необходимо применять для решения уравнения:
а) 2х + 12,3 - х; б) -Зх - б|?
620. Выполните действия:
б)(3^ '21
в) 19,6'2- - (2,0625 -lA) . 1;
г) 4 : 0Д25 + 1,456 : 4 + 4,5 1 I*
621. При х — 2; -2; 4 найдите значение выражения:
а) -2х'; б) х!.
146
я
622. Упростите выражение. Найдите его значение при у - -2-rt
«1 -6 - II - b) - 2 • (1 -
6) -8-(1-1») -8- |1-21»).
623. Решите уравнение:
I) 5 (х - 7) = 3 • (х- 1)- 27;
2) Зх + 2 - (2х - 3) - 8 - 7 (х - 2);
3) 4 ’ (х - 3) - 16 - 5 - (х - 5);
4) 3 • (2х - 5) + 4х = 5 • (х - 3) + 27,
624. Газовая туристская плитка и дня баллона имеют массу 7 кг. Масса
плитки меньше массы баллона на 2 кг. Найдите массу баллона.
62 5. Кофейник и две чашки вмещают 740 г воды. В кофейник входит
на 380 г воды больше,, чем н чашку. Сколько граммов воды вме-
щает кофейник?
626. За три дня было продано 830 кг апельсинов. Ro второй день прода*
ли па 30 кг меньше, чем в первый, а в третий в 3 раза больше,
чем во второй. Сколько килограммов апельсинов было продано в
первый день?
627. Велосипедист проехал 13 км. По проселочной дороге он проехал
в 3 раза большее расстояние, чем по лесной тропинке, а по тропинке
на 35 км меньше, чем ио шоссе. Какой длины была каждая часть
пути?
62В. Решите уравнение:
а* 3х * 21 4 " 2 3Х 1 24Х'
629. Площадь двух участков, засеянных кукурузой, равна 60 га. На од-
ном участке с каждого гектара собрали 85 т зеленой массы, а на
другом 95 т. С первого участка собрали на 1500 т больше, чем
со второго. Найдите площадь каждого участка.
& 630. В одной силосной яме ПО т силоса, а в другой — 130 т. После того
|как из второй ямы взяли силоса в 2 раза больше, чем из первой,
в первой оказалось на 5 т больше, чем во второй. Сколько тонн
силоса взяли из каждой ямы?
631. Периметр треугольника АВС равен 85 см. Сторона ЛВ меньше сто-
роны J3C на 15 см, а сторона АС больше стороны АВ на 22 см. Най-
дите длину стороны ВС.
632. Сумма четырех последовательных целых чисел равна 2. Найдите
эти числа.
633. Сумма пяти последовательных целых чисел равна 10. Найдите
эти числа.
634. В летние каникулы мальчик проехал на поезде на 120 км больше,
чем проплыл на теплоходе. Если бы он проехал на поезде в 4 раза
больше, а па теплоходе проплыл в 8 раз больше, чем в действи-
тельности, то общий путь составил бы 1200 км. Сколько киломе-
тров мальчик проплыл на теплоходе?
635. Как найти:
а) дробь от числа;
б) число но его дроби;
в) масштаб карты;
г) расстояние па местности по известному расстоянию па карте и
масштабу карты?
636. Длина дороги 25,5 км. За 5 дней бригада отремонтировала 4 до-
роги, ремонтируя ежедневно участки дороги одинаковой длины.
Сколько километров дороги бригада ремонтировала за один день?
637. Решите двумя способами задачу:
а) В районе зерновыми культурами занято 52.5 км1. Рожь занима-
ет а пшеница — всех посевов. Остальную часть занимает
ячмень. Сколько гектаров занимает ячмень?
б) Собрали 72,8 т фруктов. Половину этих фруктов отправили в
магазины, четверть — в школы и детские сады, а остальные за-
ложили на хранение поровну в 4 холодильника. Сколько тонн
фруктов заложили в каждый холодильник?
63В. В школе учатся 360 девочек. Сколько учащихся в школе, если
мальчики составляют 52 % всех учащихся?
639. Фермер снял с каждого из 9 га своей плантации 35 т овощей. Кон-
сервный завод купил 12% собранных фермером овощей. Сколько
тонн овище]1 купил консервный завод у фермера?
640. Для строительства железной дороги будет поставляться 70 тыс. т
проката, из которых 50 тыс. т — прокат, устойчивый при низ-
ких температурах. Какой процепт всего проката составит прокат,
устойчивый при низких температурах?
14В
641. Жильцы дома решили озеленить свой двор. Они разбили газон
площадью 250 м_. Ня каждые 100 м’ они высеян л и 1,2 кг смеси
п 1 2
семян. В эту смесь входило: - мятлика лугового, £ овсяницы и
40% райграса пастбищного. Сколько семян каждого вида понадо-
билось?
642. Сколькими числами определяется положение точки: а) па коорди-
натной прямой; б) на координатной плоскости? Как называют эти
числа?
643. Постройте точки: а) на координатной прямой: К11-| |,
Р(-0,6); б) на координатной плоскости: В(-1; 4), С(0; 5)t D(-2; 0).
В упражнении б) назовите абсциссу и ординату каждой точки,
644. Па координатной плоскости постройте треугольник ЛВС, если
А(-3; 6), В(~3; -4), С(2; -4}, Запишите координаты точек пере-
сечения сторон треугольника с осями координат.
645. На координатной плоскости начертите треугольник МКР, если
Л/( 5; 5). К( 4; 9), Р(5; 10). Измерьте транспортиром углы этого
треугольника.
646. Постройте квадрат ЛВС!) по координатам его вершил Л(0; 3),
В(3; 6), С(6; 3) и Z>(3; 0). Проведите отрезки АС и BD. Найдите
координаты точки, в которой пересекаются эти отрезки.
647. На координатной плоскости начертите окружность с центром в
точке С(—4; 0) и радиусом, равным 5 единичным отрезкам. Запи-
шите координаты точек пересечения окружности с осями коорди-
нат.
648. Отметьте на координатной плоскости вершины А(-4; 2), В(1; 7) и
С(6; 2) квадрата ABCD. Найдите координаты вершины £>.
649. Турист шёл в гору со скоростью 3 км/ч. Пройденный им путь
можно вычислить по формуле $ — 3/. Является ли зависимость
пути, пройденного туристам, от времени прямой или обратной
пропорциональной зависимостью? Составьте таблицу значений s
для t - 1; 2; 3; 4; 5 ч. Постройте график движения туриста,
650. Сумма двух чисел — 177, При делении большего из них на мень-
шое в частном получается 3 и в остатке 9. Найдите эти числа.
651. 0т причала вниз по реке отправили плот, который двигался со
скоростью 4 км/ч. Через 3 ч вслед за ним вышла лодка. Ее соб-
ственная скорость 9 км/ч. На каком расстоянии от причала лодка
догонит плот?
652* Велосипедист и пешеход одновременно отправились навстречу
друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 6,2 км.
При встрече оказалось, что пройденный пешеходом путь состав-
лист пути, проделанного велосипедистом. Сколько часов был в
пути велосипедист до встречи с пешеходом, если его скорость была
па 4,5 км/ч больше скорости пешехода?
653. Расстояние между городами А и В равно 450 км. Из Л в В вышла
грузовая автомашина. Спустя 2 ч навстречу ей из В вышла легко-
вая автомашина. Скорость грузовой автомашины 60 км/ч, а ско-
рость легковой в 1 раза больше. Постройте графики движения
обеих автомашин. Через сколько часов после своего выходя легко-
вая автомашина встретит грузовую?
654. Какие прямые называют перпендикулярными? Какие отрезки
считают перпендикулярными? Постройте такие отрезки. Какие
лучи считают перпендикулярными? Постройте такие лучи.
655. Какие прямые называют параллельными? Какие отрезки считают
параллельными? Постройте три параллельные прямые.
656. Начертите угол CDJl, ранный 130-. Отметьте точку Л£, не лежа-
щую на сторонах этого угла, и проведите через точку XI прямые,
параллельные сторонам угла CDK.
657. Начертите угол АРА-, равный 80°. Отметьте па сторопе РА точ-
ку Af и проведите через нее прямые, перпендикулярные сторонам
угла АРК,
658. На координатной плоскости отметьте точки А(-5; 10), В(3; -6),
С(-3; -4), 0(9; 2), Е(-7; 4), F(3; 9), ЛГ(4; 5), Р(7; 14). М(-3; -4) ><
Лг(-6; 2). Проведите прямые АВ, CD, EF, КР и MJV. С помощью чер-
тежного угольника и линейки определите, какие из этих прямых па-
раллельны и какие перпендикулярны друг другу* Определите коор-
динаты точки пересечения прямой CD с осью х и координаты точки
пересечения прямой КР с осью у,
659. Лесорубы заготовили 32 000 ма строительного леса. По реке спла-
вили 60% заготовленного леса, я остальной отправили по железной
дороге. На сколько кубометров меньше леса отправили по желез-
ной дорого, чем по воде?
660. На ремонт физкультурного зала было израсходовано 44 кг краски,
что составляет 20 % всей краски, отпущенной со склада ня ремонт
школы. Сколько килограммов краски было на складе, если школе
отпущено 12,5% имевшейся там краски?
150
661. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника с из-
мере ни нми 30 см и 20 ем, если большую сторону увеличить на
10 Xi, а другую уменьшить на 10%? Есть ли лишние данные в ус-
ловии задачи?
662. После первого усовершенствования производительность станка
возросла на 10%, а после второго — ещё на 10%. На сколько про-
центов возросла производительность станка в результате двух усо-
вершенствований?
g
663. За первый год было построено ;=• дороги от колхоза к шоссе, за
I **
следующий год построили дороги, а за третий год остальные
1 4
5— км. Какой длины дорога?
664. В кафе в первый день продали В
ч_&'? Л i
3
имевшегося сока, во второй т
остатка. Сколько литров сока было в кафе, если во второй день
продали 60 л?
665. Фермер привёз па мельницу 3 мешка пшеницы. В первый мешок
5 " 1
вошло всей полученной пшеницы, во второй — всей пше-
ницы, а в третий — на 10 кг больше, чем вл второй. Сколько ки-
лограммов пшеницы привёз фермер на мельницу? Сколько кило-
граммов муки получилось из этого зерна, если 9% ушло в отходы?
666. В первый день было заасфальтировано у участка дороги, во вто-
рой день уу этого участка. Сколько километров составляет
весь участок дороги, если в первый день было заасфальтировано
па 7 км больше, чем во второй? Сколько километров останется за-
асфальтировать после двух дней работы?
з
667. Масло перелили из бака в 3 бидона, В первый бидон вошло все-
го масла, во второй — - всего масла, я в третий — на 6 л меньше,
чем в первый бидон. Сколько масла было в баке?
668- Типография израсходовала за два дня 60% всей полученной бума-
га, причём во второй лень было израсходовано бумаги в 11 раза
больше, чем в первый день. Сколько бумаги израсходовалв типо-
3
графия в первый день, сели было получено 6- т бумаги?
669. За день было продано 75% всего завезённого картофеля. До обе-
денного перерыва было продано у картофеля, проданного после
обеденного перерыва. Сколько картофеля продано до перерыва и
сколько после перерыва, если было завезено з| т картофеля?
151
670* В классе за контрольную работу по математике 8 учеников
получили оценку «5», 18 учеников — *4*, 12 учеников — «3», а
несколько учеников получили оценку <2», Сколько учеников по-
лучили оценку «2*, если средний балл класса за контрольную ра-
боту ранен 3,8?
671. Выполните действие:
а) 0,38 • -i; в) £ - 0.48; д) 13.13 :
17 С 11
б) 3,16 : г) 0,169 : е) 232,3 : 331-
672. Найдите значение выражения:
а) (2,2)2 * * * + (-О,2)2; в) |-|) “ (() ?
б) (-0,2 + ОД)2; г) | -| + | Ь
673. Найдите значение дробного выражения:
. м а-7. Й1 «•» - Ц а 2,9 21 ’ 6 ^ГТ2’’ ev " П“ •J 674. Выполните действия: .. 8,1 • 0,2 0,36 ’
а) 8у + 3,15 + 1| + 4,25; д) 2,1 + -(4- 2,9);
б) 4,7 + 4 4- 4- 3,3; в) 8-Ц + 5,875 + 20-^; г)6,75 + з| -7^; ‘t е) 22- | 4| + 8,91 4-1,09) ж) 76 - 4— + 8,28; з)2|-1,6-|.
675. Найдите .значение выражения:
; »
a) ja 4- 0,75с* — а, если д =0,1;
2 5,
б) тх + 7 х - 2х, если х —3,2;
а О
в) —(4,7m + 2,8m - 5,7m) - 3,7mt если m = -0,01; 0,1;
г) 1 (0,2x 0,4t/ - 0,5) - 0,4^, если x - -4, у — -7,7.
676. Запишите все делители числа 28 и числя 36,
677. Запишите все двузначные числа:
а) кратные числу 17; б) кратные числу 28.
678* Решите уравнение:
а) 37,5 - х + 12| = 5,35;
б) б| - у + 2,1 - б|;
в) -4 - (3 - 5г) - 18г - 7;
г) 1,2 - 2 - (1,3х + 1) = 5,6х - 27,04;
д) 8(2а - 6) - 2(4а + 3);
е) -3(2,In? - 1) + 4,8 - -6,7 m + 9,4.
679, На первом катере было в 2 раза больше людей, чем на втором,
Когда на ближайшей пристани с первого катера сошли 98 чело-
век, а го второго — 16 человек, то на обоих катерах людей стало
поровну. Сколько человек было на каждом катере первоначально?
680, В одном элеваторе было зерна в 3 раза больше, чем в другом.
Из первого элеватора вывезли 960 т зерна, а во второй привезли
240 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поровну. Сколько
тонн зерна было в каждом элеваторе первоначально?
681, На железнодорожной станции стояли два состава, причём в одном
из них было в 2 раза больше вагонов, чем в другом. Когда от пер-
вого состава отцепили 14 нагонов и прицепили их ко второму со-
ставу, то вагонов в составах стало поровну. Сколько вагонов было
в каждом составе?
682. Постройте в координатной плоскости треугольник Л/Л".\т, если
Л/(~7; -5), ,V(-3; 5), Ar(7; 1). Измерьте углы и стороны этого тре-
угольника, Найдите координаты середины стороны MN.
683, Отметьте на координатной плоскости точки А(3; 6), В(1; -4) и
Af(-5; 2). Проведите через точку М прямую CD, параллельную
прямой Ай. и прямую EF, перпендикулярную прямой Ай.
684. Постройте на координатной плоскости треугольник CDE, если
С( 6; 2), £*(3; 1) и Е(3; 2). Запишите координаты точек пере-
сечения сторон треугольника с осями координат.
685. На координатной плоскости отметьте точку А(-3; О). Начертите
окружность с центром А и радиусом, равным 5 единичным отрез-
кам. Запишите координаты пересечения этой окружности с осями
координат.
686. Решите уравнение:
а) х : 3,5 =1,2: 0,4; в) 2,3 : 6,9 = х :
б) 2,5 : 6,8 - 1,5 : г) 4 : у - б| : 11-
153
687. На завод привезли свёклу, из которой при переработке получают
12% сахара. Сколько получится сахара из 2629,5 тыс. т свёклы
указанного сорта?
688. Женщины составляют 34,5% всех рабочих фабрики. Остальные ра-
бочие мужчины. Сколько рабочих па фабрике, если мужчин па
ней 262?
689. У геологическом Экспедиции 40% маршрута проходили по степи,
26% — по горной местности, а остальные 102 км — по долине
реки. Сколько километров маршрута экспедиции прошло по степи
и сколько — по горной местности?
690. Андрей в первый день прочитал 30% всей книги, но второй
день — 25% всей книга, в третий день — остальные 180 страниц.
Сколько страниц прочитал Андрей в первый день?
691. Чтобы доставить нефть из Тюмени на Сахалин, её надо везти по-
ездом 7150 км и по морю 550 км. После того как была построена
Байкало-Амурская магистраль, путь сократился на 1000 км. На
сколько процентов сократился путь?
692. На карте железная дорога Москва — Санкт-Петербург, имеющая
длину 650 км, изображена линией длиной 5 СМ- Какую длину на
этой карте имеет линия, изображающая Байкале-Амурскую маги-
страль, если длина этой магистрали 3145 км?
693. Решите уравнение:
а) 6(2х - 3) + 2(4 - Зх) = 5;
б) 3(2|х - 0,2 | - 15рг - 6 - |'| - 0.5х|.
694. Отлитый в 1735 г. Царь-колокол, хранящийся в Московском
Кремле, имеет диаметр 6,6 м. Вычислите длину окружности осно-
вания Цярь-колокола.
695. Сколько граммов семян потребуется для посева цветов на круглой
клумбе диаметром 3,4 м, если на 1 м2 высевают 12 г семян?
696. Выполните действия:
а) (112 : 28 - 36 - 24) : (-1,1);
б) 4.9 - 4.8 : (3 - 19) - 1,4 : (- 8);
в) -5,7 : (-19) - 0,8 • (-4) + 2,7 : 0,3;
г) (-6,4 * 0,3 + 5,4 0,3) : (-0,2) - 5,1.
697. R открытом грунте с 2^ га получили 800 ц огурцов, а в теплице
со 100 ма — 3200 кг. Где выше урожайность (т. е. урожай с 1 га)
и на сколько процентов?
698, В двух бригадах было поровну рабочих. Когда в первую бригаду
поступило 8 человек, а из второй ушли 2 человека, в первой бри-
гаде стало в 3 раза больше рабочих, чем во второй. Сколько рабо-
чих было в каждой бригаде?
699. Шаг Пети па 12 см длиннее шага Толи. Но 4 шага Пети короче
6 шагов Толп на 54 см. Найдите длину шага каждого мальчика.
700. Найдите значение выражения:
a)(7-1H st+sl ^)!<-5=
701. Расстояние между городом и совхозом машина прошла за
1 ч 15 мип. Если бы скорость машины была на 10 км/ч меньше,
то этот путь она прошла бы за I ч 30 мин. Найдите скорость ма-
шины и расстояние от города до совхоза.
1
702. В одном баке 840 л воды, а в другом — того, что в первом. Из пер-
вого бака выливают в минуту в 3 раза больше воды, чем из вто-
рого, Через 5 мин в первом баке остаётся на 40 л воды меньше,
чем во втором. Сколько литров воды выливают из каждого бака за
одну минуту?
703. Из двух сел, расстояние между которыми 21 км, вышли одновре-
менно навстречу друг другу мужчина и женщина. При встрече
оказалось, что мужчина прошёл в 11 раза большее расстояние,
чем женщина. Через сколько часов после выхода они встретились,
если скорость мужчины 6 км/ч? С какой скоростью шла женщи-
на?
704. Теплоход проходит за 15 ч против течения столько же, сколько
за 13 ч по течению. Найдите скорость течения, если собственная
скорость теплохода 70 км/ч.
705. Найдите 4 числа, каждое из которых, начиная со второго, на 7
больше предыдущего, если среднее арифметическое их равно 25,5.
706. Начертите треугольник ЛВС с прямым углом В. Как разделить
этот треугольник нн четыре равных треугольники?
Задания для самопроверки
1. Запишите номера выражений в порядке возрастания их значений.
1) |21-3'|.0.12; 2) (0,5 - 0,23) : (-3);
2. Найдите наибольший общий делитель чисел 108, 144 и 216.
3. Найдите наименьшее общее кратное чисел 48, 72 и 96-
4. Какую часть часа составляют 18 минут?
5. Какое число лежит на числовом луче между числами 0,1 и 0,2?
6>ЯГ в) 1>
6. Один рабочий может сделать заказ за 6 дней, а другой за 8 дней.
Какая часть заказа останется невыполненной после их совместной
работы за один день?
. 17 . й. 7 . , 6 . .13
а) 24 » 24 ’ в) 7 ’ г) 14 '
7. Укажите верные неравенства.
а)-363 : (-5,5) < 0; a) --L® < 1;
—О, I
б) 1,8 ’ (-45) < 0; г) -1
8. Решите уравнение 10 - 6х ~ 12-х.
9. Для отливки колоколов используют «колокольную» бронзу, которая
содержит 20 % олова и 80 % меди. Какую часть сплава составляет
олово?
1О. В парке высадили молодые деревья. Из них не принялись 20 %
всех саженцев. Сколько было высажено деревьев, если принялось
120 саженцев?
156
ОТВЕТЫ
§ 5. Положительные и отрицательные числа
27. 1) 60 кг; 2) 20 кг; 3) 150; 4) 105. 33. Четыре по 11 м и 58 м. 34. -18. 35. 140 кг.
52. 1) 18 тыс.; 2) 168 т. 57. 90 кг. 58. 1748 ц. 59. а) 3; 6) 2. 60. а) 0,05; 6) 3,85.
82. 77 км/ч. 83. 24,5 ц. 84. 308. 103. 1) 10,5; 2) 4,08. 104. 1) 50%, 40%, 10%;
2) 20%, 65%, 15%. 105. 1)68,8; 2) 78,7. 109. 30%, 50%, 20%. ПО. 2-. 111.0.4.
124. 1000 т. 125, 13,16 дм2. 129. 500. 130, а) 1,55; б) 44,1.
§ 6. Сложение и вычитание положительным и отрицательных чисел
147.1,3122 ма. 148. 1) 2146.37; 2) 2656,66. 151. В шестых классах на 1 человека.
152. 5670 см1. 153. а) 46,108; б) 3612,06. 166. 1) 1804,5; 2) 2624,3. 169. 8,2 г.
171. а) 2.88; б) 3,4; в) 190. 1) 350 км; 2) 190 кг. 191. 1) 1; 2)0,1. 195. 35,4 м2.
196. 15; 18; 9. 197. 14217. 40 кг, 200 кг, 120 кг. 218. 1) 12 кг, 7 кг. 2 кг;
2) 280 га, 245 га, 35 га. 219. 1) 15,99; 2) 32,02. 226. 12; 20; 8. 227. 255; 850.
228. 84; 136; 80.
§ 7. Умножение и деление положительных и отрицательных
чисел
253. 1) -j; 2) 256. а) 270; б) -20,74; в) -9,45; г) -у: д) 2; е) -24. 257. 28,8 т.
258. 54. 259. 18.48; 6,16. 273. а) -1; б) 0 . 282. а) -5,26; б) -2,03. 285. а) -10;
б) 10 000; в) -4; г) -402; д) -40; е) 30,625; ж) -8,5; з) 286. 60 км/ч. 287. 2.
288. а) -10,6; б) -2,5. 306. 1) 9.2; 2) 9,2; 3) 3.08; 4) 3,456; 5) 6)
310. 3,2 км/ч; 4,8 км/ч. 311. а) -0,2; б) 2,64. 335. 1) 13,5 км/ч; 48,6 км/ч;
2) 45 км/ч; 72 км/ч. 336. 1) 0,2; 2) 0.2; 3) -6,5; 4) 12. 340. а) -0,06; б) Ц;
в) г) 20; д) -37; е) -7. 341. На 128%, на 28%. 342. 1,5 л. 343. 6 км/ч.
344. а) -41,99; б) -8,97; в) 0,87,
§ 8. Решение уравнений
362, 1) 8; 2} 3,9, 363, 1) 7,5; 2) 0,5. 367. а) 7; 6) -1; в) -90; г) д)
368. а) -2|; 6) в) г) -1369. а) 600; на 111 %; б) 28,7 кг; в) 10-15 кг.
370. а) 1,5; б) 5. 385. 1) 7,54; 2) -9,7. 387. а) -391,68; б) -321,11; в) -3,82;
г) -5,31. 388. а) 1,75; б) 0,5. 389. 20 т. 390. 12. 391. 374,4 га. 412. 1) 200 га;
2) 5 м1. 413. 1) 34,8; 2} -30,66. 419. а) 15; б) 43; в) -5; г) 420. 25 км/ч;
7 км/ч. 421. 24; 20; 27. 422. 1 :30 000. 423. 26 см. 424. 18,9 км. 450. 1) 32,085;
2) 83,276. 451. 28. 454. 162; 36. 455. 250 г. 450. 90, 50, 70 марок. 457. 60; 20.
458. 375 л; 350 л. 459. а) 2,5; 6) 3. 400. 132 г. 461. На 16,1 км/ч. 402. -777
JU
§ 9. Координаты на плоскости
472. 7; 12. 473. 100. 474. 150 м. 475. 1} 10; 2) 10. 479. 70 пассажиров. 480. а) 9,66;
6) 18,3; R) -0,94; г) -2,24. 493. 1) 29,06; 2) 60,3. 497. 9; 16. 498, На 125%, на 25%.
9 1
499. — га. 500. а) 1-^; 6) 19; в) 10,8, 518. 60. 525. 1) -2; 2) 5. 529. 1) 300;
2) 200. 527. I) -3,68; 2) -5,2. 532. а) 2,8; 6) 0,8. 535. а) 6,1; 6) 1,08. 549, 100;
40. 550. 7 рулонов; 2,3 кг; 0,3 кг; 1,8 кг. 551. а) 1,7; 6) 40,9; в) г) 1. 567. 30;
45. 568. 3,6 кг; 5,4 кг; 1,8 кг. 569. 21 км/ч. 570. 1) 56 т; 2) 270 с. 571. 1) 2; 2) 3.
575. 450; 300. 576.17- км/ч. 577. 639 учащихся. 578. а) 0,2805; 6) 8,79; в) 81,81.
Итоговое повторение
583. 1) 5; 2) 0,8; 3) -3; 4) -1,5. 589. 1) -0,9; 2) 1750; 3) -0,15; 4) 1458. 591, 22 млн.
599. 1) 0,1; 2) -0,136; 3) -4,65; 4) -1,5; 5) -14,8; 6) -20,6. 600. а) 0,15; б) 0Д7.
601. а) 0,3; 6) 5386,55, 604. 29 м. 605. а) 1; 6) 18,12; в) -2,4; г) 13,4; д) 0: е) 4,2;
ж) 1; з) 4 т; И) т?; к) 4^. 612, а) 7,1; 6) 5; в) 6; г) 1,12. 613, 900 км. 614. 5 ц;
4 i i о
70 кг. 620. а) з|; б) 4у; в) 431; г) 11,3. 622. а) 26,4; б) 27,4. 623. 1) -2; 2) 2;
3) -3; 4) 5,4. 624. 3 кг. 625. 500 г. 626. 190 кг. 627. 1,6 км; 4,8 км; 36,6 км.
628. а) -з|; б) ||; в) г) 629. 40 га; 20 га. 630. 25 т; 50 т. 631. 31 см.
632. 1; 0; 1; 2. 633, 4; 3; 2; 1; 0, 634. 60 км. 636, 3,06 км. 637. а) 1400 га;
б) 4,55 т. 638. 750. 639. 37,8 т. 640. 711 %. 641, 0,6 кг; 1,2 кг; 1,2 кг. 650. 42; 135.
651. 171 км, 652. 0,4 ч. 653. Через 2,2 ч. 659. На 6400 м3. 660. 1760 кг.
661. Уменьшилась па 1%. 662. На 21%. 663. 201 км, 664. 140 л. 665, 180 кг;
163,8 кг. 666. 98 км, 21 км. 667. 60 л. 668. 11 т, 669. 1 т; 1 f т. 670. 2. 673. а) 0,6;
б) в) 4|, 674. а) 17,4; б) 10~; в) 35,7; г) 2™; д) 2^; е) ж) 80; a)
675. а) 0,05; б) 1,6; в) 0,055; 0,55; г) 2,3. 678. а) 44,9; б) 2,1; в) 2,5; г) 3,2;
д) 6,75; е) 4. 679. 164 и 82. 680. 1800 т; 600 т. 681. 56; 28. 686. а) 10,5; б) 4,08;
в} г) 1. 687. 315,54 тыс. т. 688. 400. 689, 120 км; 78 км. 690. 120. 691, = 13%.
692. = 24,2 см. 693. а) 2,5; б) 3, 695. = 109 г. 696. а) 40; 6) 5,375; в) 12,5; г) 3,6.
697. В теплице на 900%. 699. 63 см; 51 см. 700. а) з|; б) 1|. 701, 60 км/ч;
75 км. 702. 120 л; 40 л, 703, Через 2 ч; 4,5 км/ч. 704, 5 км/ч. 705, 15; 22; 29; 36.
15В
предметный указатель
Абсцисса точки 115
Алгебра 106
Вычитание отрицательных
и положительных чисел 49
Граф 77
График 124
— движения 127
Деление отрицательных
и положительных чисел 62
Диаграмма круговая 121
— столбчатая 121
Дробь периодическая 70
Конус 23
Координата точки
на плоскости 115
-------- прямой 8
Координатная плоскость 115
— прямая 8
Коэффициент 90
Линейное уравнение 100
Модуль числа 21
Ордината точки 115
Ось абсцисс 115
— ординат 115
Параллельные лучи, отрепки,
прямые 111 — 112
Перпендикулярные лучи, отрезки,
прямые 108
Подобные слагаемые 93
Раскрытие скобок 83-8-1
Решение уравнений 99
Свойства действий с
рациональными числами 73—74
Система координат
на плоскости 115
Сложение отрицательных
и положительных чисел 41, 44
— подобных слагаемых 93
Сравнение отрицательных
и положительных чисел 25
Умножение отрицательных
и положительных чисел 56—57
Цилиндр 13
Числа отрицательные 7
— положительные 7
— противоположные 15
— рациональные 68
— целые 16
159
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие................................................. 3
Условные обозначения......................................... 6
Часть II. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 5- Положительные н отрицательные числа.............7
26. Координаты на прямой................................... 7
27. Противоположные числа ...................1 5
28. Модуль числа.......................................... 20
29. Сравнение чисел .................................... 24
30. Изменение величин.,.............................. ...» 29
§ 6. Сложение н вычитание положительных и отрицательных чисел ... 36
31. Сложение чисел с помощью координатной прямой........... 36
32. Сложение отрицательных чисел........................ 40
33. Сложение чисел с разными знаками...................... 43
34. Вычитание............................................. 49
§ 7. Умножение и деление положительных и отрицательных чисел.. 56
35- Умножение 56
36. Деление............................................ 62
37. Рациональные ЧИСЛА 68
38. Свойства действий с рациональными числами ............. 73
§ 8. Решение уравнении .................................. 83
39. Раскрытие скобок...................................... 83
40. Коэффициент.♦+♦♦♦.»»................................. 89
41. Подобные слагаемые.................................. 93
42. Решение уравнений................................... 98
$ 9. Координаты на плоскости ............................ 108
43. Перпендикулярные прямые ........................... 108
44. Параллельные прямые................................... 111
45. Координатная ПЛОСКОСТЬ............................. 115
46. Столбчатые диаграммы................................... 121
47. Графики ......................................... 124
Итоговое повторение....................................... 140
Ответы .............. ................................. 157
Предметный указатель............................... 159
160