Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - Филиппов А.Ф.

Author: Филиппов А.Ф.
Tags: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математика
Year: 1985
Similar
Сборник задач по дифференциальным уравнениям
Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения
Text
                    А.Ф. ФИЛИППОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С РАЗРЫВНОЙ
ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ

А.Ф. ФИЛИППОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
С РАЗРЫВНОЙ
ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
МОСКВА "НАУКА"
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1985

22.161.6
ФбЗ
УДК 517.9
Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — М.:
Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985.
Излагаются основные направления теории дифференциальных уравнений с разрыв-
разрывной правой частью и указываются ее применения для описания механических систем. Ис-
Исследуются основные свойства таких уравнений. Исследуются особенности, возникающие
на линиях или поверхностях разрыва правой части уравнения и на их пересечениях. Изла-
Излагаются критерии устойчивости положений равновесия, лежащих на поверхностях разрыва
и их пересечениях.
Для научных работников в области дифференциальных уравнений, теории колебаний
и автоматического управления, а также для студентов старших курсов и аспирантов.
Ил. 122. Библиогр. 205 назв.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук В. И. Влагодатских;
доктор физико-математических наук В.А. Якубович
Алексей Федорович Филиппов
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С РАЗРЫВНОЙ ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ
Редактор И.Е. Морозова
Технический редактор В.В. Лебедева
Корректоры Т.В. Обод, Т.А. Печко
Набор осуществлен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ№ 11960
Сдано в набор 10.08.84. Подписано к печати 29.10.84. Формат 70 X 100 1/16
бумага тип № 1. Гарнитура У ниверс. Печать офсетная ,
Усл.печл. 18,2а Усл. кр.-отт. 18,20. Уч.-изд.л. 21,5а Тираж 5350 экз.
Тип. зак. 484 иена 2 р. 90 к.
Издательство "Наука"
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства "Наука"
630077 г. Новосибирск-77, ул. Станиславского, 25
© Издательство "Наука".
1702050000 -180 Главная редакция
33 -84 физи ко -математической
053 @2) -85 литературы, 1985

ОГЛАВЛЕНИЕ
4
5
Глава 1.
Уравнения с правой частые, непрерывной подг и разрывной по Г 7
§ 1. Дифференциальные уравнения Каратеодори 7
§ 2. Уравнения с обобщенными функциями, входящими в виде слагаемых 17
§ 3. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах . 25
Глава 2.
ГУ ним" тиомшио м овшие свойства пвшяммЙ »^*пы впит сметам . . . . 39
§ 4. Различные определения решения 39
§ 5. Выпуклые множества и многозначные функции 48
§ 6. Дифференциальные включения 53
§ 7. Существование и свойства решений 59
§ 8. Зависимость решения от начальных условий и от правой части уравнения .... 67
§ 9. Замена переменных 76
§ 10. Достаточные условия единственности 81
§11. Вариация решений 89
Глава 3.
Основные методы качественной теории . . . 94
§ 12. Траектории автономных систем • 94
§ 13. Свойства траекторий на плоскости 101
3 14. Ограниченные и периодические решения 108
§ 15. Устойчивость 115
Г л а в а 4.
Локальные особенности двумерных систем 132
§ 16. Линейные особенности 132
§ 17. Топологическая классификация особых точек 143
§ 18. Грубые и негрубые системы 154
-§ 19. Особые точки на линии разрыва 163
§ 20. Особые точки на пересечении линий разрыва ¦ 188
Глава 5.
Локальные особенности трехмерных и многомерных систем 194
§ 21. Основные типы особенностей. Двумерные особенности 194
§ 22. Линейные и точечные особенности на поверхности разрыва 200
§ 23. Особенности на пересечении поверхностей разрыва 213
Список литературы 217
Предметный указатель 224
1*

ПРЕДИСЛОВИЕ
Развитие теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями в зна-
значительной степени вызвано многочисленными приложениями. Большое число задач из
механики, электротехники и теории автоматического управления, описываемых этими
уравнениями, рассматривается в книге [1]. Широкое использование различных пере-
переключателей (реле) в системах автоматического управления приводит к необходимости
построения достаточно развитой теории таких уравнений. Различным вопросам этой
теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [2) -[5], а также большое
число журнальных статей. Теория систем автоматического управления, описываемых
дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями (системы с пере-
переменной структурой и со скользящими режимами), рассматривается в книгах [6], [7].
В предлагаемой книге излагаются основные направления теории дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями. Их рассмотрение требует с самого начала
обобщения понятия решения. Перечисляются различные определения решений таких
уравнений и указываются условия их применимости.
Показывается, что многие утверждения классической теории дифференциальных
уравнений остаются справедливыми и для уравнений с разрывными правыми частями.
Обосновывается применение к таким уравнениям известных методов исследования,
конечно, с определенными ограничениями. Рассматриваются также те свойства реше-
решений, которые обусловлены разрывностью правой части уравнения. В частности, де-
детально изучаются особенности, возникающие на линиях и поверхностях разрыва, дается
классификация этих особенностей и рассматриваются их бифуркации. Приводятся
достаточные условия устойчивости положений равновесия, лежащих на линиях и по-
поверхностях разрыва, а также на их пересечениях.
Там, где это возможно, результаты различных авторов и новые результаты излага-
излагаются с единой точки зрения. В ряде случаев это позволило достичь большей общности
или упростить доказательства.
В книге не рассматриваются следующие вопросы для уравнений с разрывной правой
частью: частотный метод исследования устойчивости, хорошо изложенный в [5], крае-
краевые задачи, исследование уравнений специального вида и узких классов уравнений.
В гл. 1 и последующих главах рассматриваются разные типы уравнений, поэтому
главы 2-5 можно читать без ознакомления с содержанием § 2 и 3. Мелким шрифтом
излагаются обобщения и специальные вопросы, которые можно пропустить без ущерба
для понимания остального текста, а также некоторые громоздкие доказательства.
В каждом параграфе теоремы, леммы и формулы нумеруются независимо. При ссыл-
ссылках на материал другого параграфа указывается его номер, например: "в силу лем-
леммы 4 § 1".
Литературные ссылки указывают одну из статей (или книг), не обязательно первую,
в которой рассматривается изучаемый вопрос, и не всегда означают принадлежность
цитируемых результатов автору указанной статьи. В § 4 и 15 даются ссылки на статьи,
содержащие обзор истории исследования рассматриваемых вопросов. По тем направле-
направлениям, которые более полно, чем другие, освещены в литературе (периодические реше-
решения, устойчивость), излагаются лишь основные понятия и некоторые методы исследо-
исследования, а также даются краткие литературные указания.
В списке цитированной литературы после библиографических данных указаны также
номера рефератов в реферативном журнале "Математика".

ВВЕДЕНИЕ
Как известно, решением дифференциального уравнения
dx
— = fit,x)
dt
с непрерывной правой частью называется функция x{t), которая всюду на данном ин-
интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению. Для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как пока-
зывают следующие примеры (х обозначает производную —) .
dt
Пример 1.x- sgn t. При t < 0 имеем х = - 1, решение выражается формулой
х = -t + сх; при t > 0 имеем х = 1, решение: х = t + с2 (рис. 1). Исходя из требова-
требования непрерывности решения при г = 0, получаем
х{0) = lim (-t + Ci)= lim (f+c2), x@) = Ci=c2.
Поэтому решение выражается формулой x(t) = | f | + с. При f = 0 производной* x(t) не
существует.
Пример 2. х = 1 — 2 sgn х. При х < 0 имеем х = 3, решение: x(f) - Зг + Ci; при
х > 0 имеем х = -1, решение: x{t) = -t + с2 (рис. 2). При возрастании f каждое ре-
решение доходит до прямой х = 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с нее
ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функ-
функция x(t) = 0 не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, так как для нее х(г) = 0,
а правая часть уравнения при х = 0 равна 1 — 2 sgnO = 1 Ф 0.
Таким образом, рассмотрение дифференциальных уравнений с разрывной правой
частью требует обобщения понятия решения. При этом в случаях, когда правая часть
уравнения х - f(t, х) непрерывна по х и разрывна только по t, обычно оказывается
возможным обобщить понятие решения, пользуясь лишь математическими соображе-
соображениями (в примере 1 — требованием непрерывности решения). В случаях, когда правая
часть уравнения разрывна по х, часто простейшие математические соображения оказы-
Рис.1.
Рис.2.

ваются недостаточными. Тогда решение определяется при помощи предельного перехода
с учетом физического смысла рассматриваемой задачи.
Необходимо, чтобы обобщение понятия решения удовлетворяло следующим тре-
требованиям:
1) Для дифференциальных уравнений с непрерывной правой частью определение
решения должно быть равносильно обычному.
2) Для уравнения х = f(t) решениями должны быть функции x(t) -ff(t)dt +c и
только они.
3) При любых начальных условиях x(t0) =x0 из рассматриваемой области решение
должно существовать (хотя бы при г > г0) и продолжаться до границы области или не*
ограниченно.
4) Определение решения должно быть пригодным для описания достаточно широко-
широкого класса процессов в физических системах.
Чтобы уравнения с разрывными правыми частями можно было исследовать хорошо
разработанными методами, желательно выполнение также следующих требований:
5) Предел равномерно сходящейся последовательности решений должен быть ре-
решением.
6) При наиболее употребительных заменах переменных решение должно переходить
в решение.
Наиболее известные определения решения дифференциального уравнения с разрыв-
разрывной правой частью излагаются в § 4. Применимость того или иного определения к раз-
различным задачам обосновывается в п. 3 § 8.
К настоящему времени уже многие результаты теории дифференциальных уравнений
распространены (иногда с необходимыми изменениями) на дифференциальные уравне-
уравнения с разрывными правыми частями. Исследование таких уравнений проводится обыч-
обычно теми же методами, что и исследование дифференциальных уравнений с непрерывны-
непрерывными правыми частями.

ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ С ПРАВОЙ ЧАСТЬЮ,
НЕПРЕРЫВНОЙ ПО х И РАЗРЫВНОЙ ПО t
В гл. 1 рассматриваются дифференциальные уравнения Каратеодори и дифференциальные уравне-
уравнения с обобщенными функциями. Устанавливаются теоремы существования решений, изучаются
свойства решений, особенно зависимость решения от правой части уравнения. Рассматривается
аппроксимация уравнений различных типов уравнениями с непрерывными правыми частями.
§ 1. Дифференциальные уравнения Каратеодори
Для дифференциальных уравнений Каратеодори излагаются теоремы о существовании,
единственности, непрерывной зависимости решений при ослабленных предположениях
и теоремы о свойствах множества решений.
1. Дифференциальное уравнение х = f(t, x) с непрерывной правой частью, как из-
известно, равносильно интегральному уравнению
x(f)=x(fo) + f f(s,x(s))ds. A)
'о
В случае, когда функция f(t, х) разрывна по г и непрерывна по х, решениями уравне-
уравнения х = f(t, x) можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравне-
уравнению A). Если при этом пользоваться понятием интеграла Лебега, то получается опре-
определение решения, которое положено в основу теории дифференциальных уравнений
Каратеодори.
Всюду в § 1 x(t) и f(t, х) - п-мерные вектор-функции. Интеграл понимается в
смысле Лебега. Предполагается, что fit, x) удовлетворяет следующим условиям.
Условия Каратеодори. Пусть в области D пространства t, x
1) f(t, x) при почти всех t определена и непрерывна по х;
2) функция f(t,x) измерима по t при каждом х;
3) \f(t, x)\ <m(t), функция m[t) суммируема (на каждом конечном отрезке,
если t не ограничено в области D).
Уравнение х = f{t, х), где х — скаляр или вектор, а функция f удовлетворяет усло-
условиям 1)-3), называется уравнением Каратеодори. Функция x(f), определенная на
отрезке или интервале /, называется решением уравнения Каратеодори, если она аб-
абсолютно непрерывна на каждом отрезке [а, 0] С/ и почти всюду удовлетворяет этому
уравнению, или, что равносильно при условиях 1)— 3), если она удовлетворяет ин-
интегральному уравнению A) при каком-нибудь Го € /.
2. Приведем известные (см., например, [8], стр. 120; [9],стр. 54,111, [10]) теоре-
теоремы о существовании и единственности решения дифференциальных уравнений Кара-
Каратеодори.
Лемма 1 ([8], стр. 121). Пусть функция f{t, x) удовлетворяет условиям Кара-
Каратеодори, а функция x{t) ia<t<b) измерима.
Тогда сложная функция f(t, x(t)) суммируема.
Теорема 1. Пусть при t0 < t <t0 +э, |х - х0 I <b функция f(t, x) удовлет-
удовлетворяет условиям Каратеодори.
Тогда на отрезке [to,to+d], где е/>0, существует решение задачи
x = f{t,x). x(fo)=xo. B)

При этом число d можно взять любым, удовлетворяющим неравенствам
0<d<a, <p(to + </)</>, *(t)s / m(s)ds. C)
Доказательство. Для любого целого к > 1 возьмем h = dlk. Последователь-
Последовательно на отрезках
f0 + ih < t < f0 + (/ + 1 )h, / = 0, 1 к - 1,
построим приближенное решение, положив xk(t) = х0 при t<t0,
х0 + / f(s, xk(s - h))ds (t0 < t < t0 + tf). D)
Интеграл имеет смысл, и | x*(f) - х0 I < b в силу леммы 1 и оценки C). Кроме того,
для любых а, 0 G [г0, г0 + (У]
|х*аО-**(аН<|/#п(г>А| = 1<р@)-<р(<*>|. E)
Функция <p(t) непрерывна на отрезке [t0, f 0 + d], значит, она равномерно непрерывна.
Поэтому для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что при I ]3 - а | < 5 правая часть E)
меньше 6.
Следовательно, функции xk(t), ? = 1,2,..., равностепенно непрерывны и равно-
равномерно ограничены. По теореме Арцела выберем из них равномерно сходящуюся под-
подпоследовательность. Ее предел обозначим x{t). Так как
\xk(s-h)-xis)\<\xk(s-h)-xk(s)\ + \xk(s)-xis)\.
а первое слагаемое правой части меньше е при h = dlk < 5, то по выбранной подпосле-
подпоследовательности xk(s — h) стремится к x{s). В силу непрерывности функции f(t, х) по х
и оценки | f(t, x) | <m{t) можно перейти к пределу под знаком интеграла в D). Полу-
Получим, что предельная функция x(t) удовлетворяет уравнению A) при х(г0) =хо,т.е.
является решением задачи B).
Замечание. Если условия Каратеодори выполнены при t0 -a<t <tOt \ х -х0 I <
<Ь и d<a, |<p(t0 - d) | < b, то решение существует на отрезке [t^-d, t0] .
Теорема 2. Пусть (f0/ x0) €D,u пусть существует такая суммируемая функция
/(г), что для любых точек (t,x) и (t,y) области D
\f{t,x)-f(t,y)\<l(t)\x-y\. 16)
Тогда в области D может существовать не более одного решения задачи B).
Здесь и далее единственность решения означает, что если существуют два решения,
графики которых проходят в области D, то эти решения совпадают на общей части их
интервалов существования.
Замечание I11J. Для единственности решения при t > tQ достаточно, чтобы
вместо F) выполнялось неравенство
{fit,х) - f(t, у)) - {х - у)<lit) \x-y\2 G)
(если f,x,y — векторы, то произведение — скалярное).
Доказательство. Пусть x{t) ny(t) —решения задачи B), z{t) =x{t) —y[t),
t0 < t < 11. Так как \z \2 = z • z, то почти всюду
d\z(t)
dt
Учитывая
d
dt
V
G),
\2e~
dz
*?т —
Z.Z —
dt
получаем
2{f(t,x)-f[t,y))-
(x
d\z\2/dt<Ht)\z\2
(Z.(f) = / /(sWs)
-y).
. Тогда почти всюду
Абсолютно непрерывная функция |z|2e~L(r) не возрастает, и из z(t0) = 0 следует,
что z(t) = 0 при t > tо. Итак, единственность доказана при t > 10 в случае G), а значит,
и при условии F).
8

При условии F) случай г <f0 сводится к случаю t>t0 заменой t на —г.
Известно много других достаточных условий единственности.
Рассмотрим линейную систему в векторной записи
x=A{t)x+b(t). (8)
Теорема 3. Пусть все элементы матрицы A(t) и вектор-функция b(t) сумми-
суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в интервале (а, 0).
Тогда при toe (а,/3) решение системы (8) с любым начальным условием x(t0) = х0
существует на всем интервале (а, 0) и единственно.
Доказательство. Перейдем от (8) к интегральному уравнению, аналогично-
аналогичному A), и построим последовательные приближения: х0 it) = х0,
)=x0 + / [A{s)xk(s)+b(s)]ds, * = 0,1,... (9)
Из условий теоремы следует, что функции y(t) = \\A(t)\\ и y(t) = \b(t)\ суммируемы
на каждом отрезке [ot\, $х ] С [а, 0). Так как для любого вектора z
то на [а,, 0, ] все приближения существуют, непрерывны и
-**<*> К I / y(s)\xk{s)-xk^l{s)\ds, /г = 1Г 2
Положим ? = тах |х,(г) -хо(г) I на отрезке [oclf0i],
ФЬ) = \ f yis)ds\.
to
По индукции доказывается, что на этом отрезке
{ф(т))к
I** + iW-**WI<* . lr-1f2f...
К г
Правая часть есть к-\л член ряда, равномерно сходящегося на отрезке [с*\,$\ 1. Следова-
Следовательно, при к-*°° существует limx^(r) =x(f) ив (9) возможен предельный переход под
знаком интеграла. Поэтому функция x(t) является решением интегрального уравнения,
а значит и уравнения (8), на отрезке [at, 0i ].
Единственность решения следует из теоремы 2. Так как [ai,0il — произвольный
отрезок, содержащийся в интервале (а,0), то решение существует и единственно на
этом интервале.
На линейные системы Каратеодори (т.е. удовлетворяющие условиям теоремы 3)
переносятся также и другие утверждения: о существовании, фундаментальной систе-
системы решений, о представлении любого решения через фундаментальную систему, о
свойствах детерминанта Вронского. Они доказываются таким же путем, как для сис-
систем с непрерывными коэффициентами.
3. Решения уравнений Каратеодори обладают многими свойствами, аналогичны-
аналогичными свойствам решений уравнений с непрерывными правыми частями (продолжае-
(продолжаемость решений, компактность множества решений, свойства интегральных воронок,
рассмотренные в [12]), и исследуются в основном теми же методами.
Лемма 2. На конечном отрезке c<t<d все решения уравнения Каратеодори
равностепенно непрерывны.
Доказательство. Пусть функция <р(г) выражается интегралом C), где t0 = с*
Для каждого отрезка [а,0] С [с, d] и любого решения х(г)
Отсюда и из равномерной непрерывности функции y?(f) на отрезке [c,d] следует
равностепенная непрерывность всех решений.
Замечание. Утверждение леммы 2 справедливо и для решений, удовлетворяю*
щих разным уравнениям Каратеодори, имеющим одну и ту же суммируемую мажо-
мажоранту m(t).

Теорема 4. Пусть х = f(t, х) - уравнение Каратеодори в замкнутой ограниченной
области D.
Тогда каждое его решение, проходящее внутри D, можно продолжить в обе стороны
до выхода на границу Г области D.
Доказательство. Рассмотрим решение x(t), проходящее через точку Po{to, x0)
внутри D. Пусть €i > 0 не больше половины расстояния р(р0, Г) от этой точки до
границы Г.
Пусть c<t <d в области 0. Так как функция <p(f) в C) равномерно непрерывна
на [с, d], то найдется такое 5, > 0,5, <е х, что для любых а, 0 из [с, d], удовлетворяю-
удовлетворяющих неравенству |0—a|<5iff имеем |<р@) -<?(a) I < et - Тогда цилиндр
\t-t0 |<51# |х-х0 \<€i
содержится вО. В силу теоремы 1 и замечания к ней решение х(г) существует по мень-
меньшей мере на отрезке | г — г0 I ^&i (или его можно продолжить на этот отрезок). Если
расстояние от точки (tQ + 5j, x(t0 + 5i)) до Г не меньше 2ех, то решение можно про-
продолжить еще на 5t и т.д., пока оно не дойдет до такой точки P\(t\,xx), что
р(р,, Г)<2е,. w
Взяв €i -> 0, / = 1, 2, ..., продолжим решение последовательно до таких точек
/) , ЧТО
rt <f2 < — .
Ограниченная последовательность rir t2, ... сходится к некоторому Г*. Тогда с по-
помощью леммы 2 и критерия Коши получаем, что существует lim x(t) =х* при t -*f *— 0.
Очевидно, (f * х*) € Г. Полагая x(tm) =x*, получаем решение, достигающее границы Г
в точке (?*, х*). Влево решение продолжается таким же образом.
Другие известные теоремы о продолжении решений (например, из [13], стр. 24 и 43,
и из [11]) также справедливы не только для дифференциальных уравнений с непрерыв-
непрерывными правыми частями, но и для уравнений Каратеодори.
Перейдем к вопросу о компактности множества решений.
Лемма 3. Предел каждой сходящейся на отрезке [а, 0] последовательности реше-
решений уравнения Каратеодори есть решение того же уравнения.
Доказательство. Для последовательности решений х = xk(t), к = 1,2,.
возможность предельного перехода в A) обеспечивается условиями Каратеодори.
Поэтому предельная функция тоже удовлетворяет равенству A); значит, является ре-
решением уравнения к = f(t, x).
Лемма 4. Для уравнения Каратеодори в ограниченной замкнутой области D мно-
множество М всех решений, графики которых на отрезке a ^t <0 содержатся e^D^ являет-
является компактом в метрике С[а, 0] (т.е. в метрике равномерной сходимости на отрез-^
ке [а,0]).
Доказательство. Все эти решения на отрезке [а,0] равномерно ограничены,
а по лемме 2 равностепенно непрерывны. По теореме Арцела из любого бесконечного
множества таких решений можно выбрать последовательность, равномерно схбдящую-
ся на [а, 0]. Ее предел по лемме 3 есть решение того же уравнения. Следовательно,
множество М — компакт.
Лемма 5. Пусть xk(t) (ak<t <j5k, k = 1,2,...) - решения уравнения Каратео-
Каратеодори, графики которых содержатся в ограниченной замкнутой области D, и
Тогда найдется подпоследовательность этих решении, сходящаяся к решению, график
которого соединяет точки р(о, х0) и qr@, x*) и при a <r <0 содержится в D; при любом
5 > 0 сходимость равномерна на отрезке [а + в, 0 - б].
Доказательство. Пусть 6,-^0, /=1,2,... Пользуясь леммой 2 и теоремой
Арцела, из последовательности xk(t) выделим подпоследовательность xt/(r), у =
= 1, 2,..., равномерно сходящуюся при a + б! <f</3 - 6 w из нее-подпоследователь-
нее-подпоследовательность x2j(t), равномерно сходящуюся при а + 62<г</3-62,и т.д. Диагональная
последовательность *//(?) сходится на интервале (а, 0), притом равномерно на каждом
отрезке [а + б/# 0 — б/].
10

Предельная функция x(t) по лемме 3 является решением при а < t < J5. Ее можно
доопределить по непрерывности на отрезок [а, 0] в силу леммы 2. Для сколь угодно
малого е > 0 при достаточно малых 6 и достаточно больших у имеем
|х(<х)-х(а + 6)|<е/4, |х(а + 5) -х/7(а + 5)
По лемме 2 для такого к, что xfj{t)=xk{t)t имеем
|<€/4. |х//(а*)-хо 1<е/4
в силу A0). Следовательно, | х(а) - х0 I < е.Так как е > 0 - любое, то х(а) = х0, т.е.
решение x{t) проходит через точку р. Аналогично, оно проходит через точку q.
Следующая теорема в предположении, что функция f удовлетворяет условиям Ка-
ратеодори во всей области G, доказана в [10]. Ослабление этого требования получено
подобно [12].
Теорема 5. Пусть функция f(t, x) удовлетворяет условиям Каратеодори в каж-
каждой замкнутой ограниченной подобласти области G. Пусть А - точка (f0, x0) (или
ограниченное замкнутое множество), А С G. Если все решения уравнения х = f (t, x) с
начальным условием x(t0) = х0 (или со всевозможными начальными условиями
{t0, x(f 0)) Е А) существуют при а < Г <0 и их графики при этих t содержатся в G, то
1) множество точек, лежащих на этих графиках (т.е. отрезок а <г <0 интегральной
воронки множества А), ограничено и замкнуто)
2) множество М этих решений является компактом в метрике C[ol. 0].
Доказательство. Возьмем такую последовательность замкнутых ограничен-
ограниченных областей Die D2. ..., что А лежит внутри Dlt а Dk — внутри Ок + г, к = 1,2, ... ,
и что каждое ограниченное замкнутое множество К CG содержится в какой-то из об-
областей Dk. Покажем, что все рассматриваемые графики содержатся в одной из об-
областей Dk.
Предположим противное. Тогда для каждой из областей Dk найдутся такое решение
xk(t) и такие $к € [а,0] и ак, что
рк = (сск.хк(ак))еА, (Рк.хкфк))еб\0к. A1)
Выберем из этих решений такую подпоследовательность So (к = kt, к2. .. •), для
которой рк -*р G А. Так как A CD, CD2 CI.. ., то из A1) следует, что при каждом
m > 1 на графике каждого решения xk(t), к > m, найдется такая точка q™ E bDm
(dDm - граница области Dm), что дуга pkq™ этого графика содержится в Dm. Из под-
подпоследовательности So выделим подпоследовательность решений, для которых qlk -»
-* ql € d#i, а из нее по лемме 5 — подпоследовательность Sv решений, сходящуюся к
решению, график которого соединяет точки рЕА и ql EdDt.
Из Si тем же способом выделим новую подпоследовательность S2, сходящуюся к
решению, график которого соединяет точки pEAnq2EdD2. Продолжая этот процесс,
получим решение x(t), график которого проходит через точки р € A, ql G 0,, q2 G
€ D2, ... По условию, это решение существует на отрезке, содержащем a, j3 и абсциссу
tp точки р. График решения на этом отрезке — ограниченное замкнутое множество,
значит, он содержится в некоторой области Dm, т.е. внутри Dm+l. Это противоречит
тому, что он проходит через точку qm+* G bDm + х.
Значит, предположение неверно, и все рассматриваемые графики содержатся в одной
из областей Dk. Тогда утверждение 2) доказывается подобно лемме 4, а из него следует
утверждение 1).
4. Непрерывная зависимость решений уравнений Каратеодори от начальных условий
и. правой части уравнения или от параметра рассматривалась в ряде работ, в частности в
[10] и [14]- [27], дифференцируемая зависимость - в [28]-[31]. Ниже приводятся
две теоремы о непрерывной зависимости: простейшая (для случая, когда сходится
последовательность функций fk(t, x), стоящих в правых частях дифференциальных
уравнений) и более общая (когда сходится последовательность интегралов по t от
этих функций).
В п. 4 везде рассматриваются решения x(f, pi) уравнений, правые части которых за-
зависят от параметра м, меняющегося на каком-либо множестве М (метрического прост-
пространства) с предельной точкой /i0 Е М. и выясняются условия сходимости x(r, /i) ->
11

-*x(f ,мо) при м -> ро, т.е. при p{fi, Mo) ~*О. К этому случаю сводится и случай после-
последовательности xk(t), *»1,2..... если положить xfc(f).= x(f, р), /i=1//r-*0.
Как известно, для дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями
и уравнений Каратеодори из единственности решения следует его непрерывная зави-
зависимость от начальных условий [32]. Следующая лемма обобщает это утверждение. Она
применима не только к решениям дифференциальных уравнений, но и к решениям диф-
дифференциальных включений. Она уточняет, в каком смысле можно говорить о сходимос-
сходимости к множеству решений, когда нет единственности. Эта лемма позволяет свести усло-
условия непрерывной зависимости решения к ряду более простых условий.
Лемма 6. Пусть заданы точка (tOlа0), числа г, > f0, е0 > О, конечная область D
в пространстве t, х, множество М значений параметра ju и семейство S непрерывных
функций ?(Г), каждой из которых поставлено в соответствие ее начальное значение
а - ?(f0) и некоторое значение параметра /i G М. Пусть
1) каждая функция ?(f) определена на некотором отрезке, ее график проходит в
области D, а его концы — две точки границы области D;
2) для любых а, м (\а — а0 i<$, pGM) существует хотя бы одна функция семейст-
семейства, которой поставлены в соответствие эти а и м;
3) для любой последовательности функций ?((r)€S, /= 1,2,..., которым соответ-
соответствуют значения эу-^Эо, М,--*Мо, все функции этой последовательности равностепенно
непрерывны;
4) предел каждой равномерно сходящейся последовательности функций семейства,
для которых а=а1^а0. м = щ -*• **<>, есть функция семейства, для которой м = Мо;
5) все функции семейства, для которых и. - и.о, а-а0, определены по меньшей мере
на отрезке [t0, tx ]; множество этих функций обозначим Хо;
6) для каждой из функций %0{t) множества Хо е0- трубка
. to<t<tlw A2)
содержится в D.
Тогда для любого €>0 найдутся такие 8 > 0, 1? > 0, что для всех а и ц, удовлет-
удовлетворяющих условиям
Ia-aol<6, р(р,ло)<1), A3)
каждая из функций %{t) семейства, соответствующая этим а, и., на отрезке [to,t{]
существует и отличается от некоторой функции ?0 it) € Хо меньше, чем на в:
Кб (to<t<ti). A4)
{Дляразных g(f) функции io(t) могут быть разными.)
Доказательство. Предположим, что для некоторых э, -^ а0, щ -+ jut0 сущест-
существуют функции ii (г) € 5, определенные не на всем отрезке [r0, til- Каждая из них
согласно 1) достигает границы области D в некоторой точке а, (*/, **). tf G (t0, ti).
Из условий 3) и 6) следует, что f, ^ т0 > 10 при всех / > /*i. Из последовательности
{<7(} выбираем подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке q, а из соответ-
соответствующей подпоследовательности функций g, (f) - новую подпоследовательность,
сходящуюся к функции ?o(f), график которой соединяет точки (Го, э0) и я, как в
лемме 5. В,силу 4) функция %0{t) G Хо. Тогда в силу 6) е0тру6ка A2) содержится
в D, а я — точка (f i, ?0U i)). Это противоречит сходимости к точке я подпоследова-
подпоследовательности точек 9,(г,, X;) границы области D, так как г, < tY.
Значит, при некоторых 6 > 0, г\ > 0 для всех зим, удовлетворяющих A3), график
функции ?@ содержится в D при t0 < t < tx. Если лемма неверна, то для некоторого
е > 0 найдется такая последовательность функций xk{t) E S, k = 2, 3 что х*(г0) в
= а?-»эОг м*~*М(ь графики этих функций содержатся в О при fo<f <?i и для
каждого к и каждой функции i(t)€X0
>с, f*e[fo,r,], * = 2,3,...; A5)
точки tjt могут зависеть от выбора функции |(f) € Хо •
В силу 3) и 4) из последовательности \xk{t)} можно выбрать подпоследователь-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся к некоторой функции xo(t) € Хо. Это противоречит
A5) при ?(t) = x0 (t). Лемма доказана.
12

Следствие. Пусть выполнены условия 1) — 4) леммы 6, в семействе S имеется
для а - з0, /i = /u0 только одна функция %0(t) и для этой функции €0-трубка A2)
содержится в D. Тогда справедливо утверждение леммы 6 и каждая последовательность
fe(f) функций из S, для которой 3/-*Эо, м,-*Мо/ равномерно сходится к Z0(t) на от-
отрезке [to/flb
Замечание. Для семейства решений уравнения Каратеодори х = f(t, x) условия
1) и 2) леммы 6 выполнены в силу теорем 1 и 4, а условия 3) и 4) - в силу лемм 2 и 3.
Поэтому, если решение с начальным условием х(Г0) -а0 единственно, то оно непрерыв-
непрерывно зависит от начального условия. Для уравнения Каратеодори х = fit, x, ц ) с парамет-
параметром м условия 1) и 2) выполняются, и нужно проверять только выполнение условий 3)
и 4) и единственность решения при x{t0) = aOt м = /и0. .
Теорема 6 ({10]; [9], стр. 71). Пусть при it, х) € D, цеМ
1° fit, х, /л) измерима по t при постоянных х и /ы;
2° i f(t, x, fi) | < m{t), функция m{t) суммируема;
3° при почти всех t функция fit, х, /х) непрерывна по х, а при ц = ц0 —по х, ц;
4° решение х = ?0 @ задачи
x = f(r,x,/i), х(го)=з A6)
для а = а0, м = Мо единственно при t>t0; это решение существует при to<t<ti, и
его график имеет окрестность вида A2), содержащуюся в D.
Тогда для любых аир, достаточно близких к а0 и **0, решение задачи A6) на
отрезке [t0, f, ] существует (не обязательно единственное) и равномерно сходится
к
0, А^о
Замечание. Условие 3° приводит к тому, что для почти всех t функция
fit, x,ii)^fit,x,iiQ) равномерно по х (на любом компакте) при ц-+ц0.
Доказательство. В силу 1° - 3? уравнение A6) с мажорантой m(t), не зави-
зависящей от м, - уравнение Каратеодори, поэтому для его решений условия 1)-3) лем-
леммы 6 выполнены; условия 5) и 6) выполнены в силу 4°. Решение х - ?(г, а, м)задачиA6)
удовлетворяет интегральному уравнению
%ivta,ix)=a+ f f(s,$(s;a,M>; tfds. A7)
'о
Если при а(-+а, м/^Аю последовательность решений {(Г,*;,М/) сходится равномер-
равномерно, то в силу 3°
f[s, |(«; ait щ)\ ъ) -* fis, Us; а, ^); M9).
Тогда в силу 2° в интегральном уравнении для ?(f; 3/,(лг) возможен предельный
переход под знаком интеграла. Значит, предельная функция ?(f; а, Мо) удовлетворяет
уравнению A7) при ц = Ро и является решением задачи A6) при м~Мо, т.е. выпол-
выполнено условие 4) леммы 6. Из этой леммы следует доказываемое утверждение.
Дальнейшее обобщение теоремы о непрерывной зависимости состоит в замене требо-
требования сходимости fit, х; /л) ~> fit, х; /и0) (т.е. непрерывности функции f по м при м =
= Мо) требованием сходимости интеграла (по Г) от f(f,x;//) к интегралу от fit, *; ц0)
([14] Л17] и др.).
Теорема 7 [17]. Пусть при \л^М, t0 < Г < tw х € В iB - конечная область в Йп)
}° функция fit,x; ц) измерима по t при постоянных х, \х\
2° \fit,x; /i)j</n(f,/i). функция /п(Г,'м) суммируема по t;
3° существуют такая суммируемая функция lit) и монотонная функция ф(г) -+0
при г -*• 0, что для каждого г > 0 -при \ х — / | < г и лры novru всех Г
I fit, x; fx) - f(r# у; м> I < «г)*(г); A8)
4° для каждого х € В при р -* v0
ffis,x;v)d$-+f fis,x;ixo)ds A9)
равномерно по t на отрезке [to,ti];
5° решение х = ?0(f) задача A6) для з*эоев, ju = ji0 единственно при t > t0
и содержится в области В при Го < Г < tx.

Тогда для любых аир, достаточно близких к а0 и ц0, решение задачи A6) на
отрезке [t0, tt ] существует {не обязательно единственное) и равномерно сходится к
io{t) при a^aOl /i-*m0.
Доказательство. Сначала покажем, что для каждой последовательности
М/~*Мо и каждой последовательности непрерывных функций xf (f) G В, i ~ 1, 2, . .. ,
равномерно сходящейся к х0 (f) , имеем для всех г € [г0, г, ]
/ If is, x,(s); fif) - f{s, x0 Ы; м0 )]ds-+O (/ - «). B0)
Так как функция xp(t) (p = 1, 2, ...) непрерывна, то последовательность кусочно
постоянных функций
Ур.яМ =xp(t0 + jhq), t0 + (/- \)hq <t<t0 +fhq, /=1.2 2q.
где hq = 7Tq(ti - to)f g = 1, 2Д . . f равномерно сходится к xp(t). Найдется такое
Q(P) . ЧТО ДЛЯ ФУНКЦИИ Zpit) = /^ q{p)lt)
\zp(t)-xp(t)\<2-p (to<r<ti).
Так как xp(f)^x0(f) при р^°°, то zp(r) -^xo(r). В силу 1° и 2°
/ lf(s,zp(s); tio)-f(s,xo{$)tvo)}ds->O (/>-~). B1)
Из 4° следует, что подобное A9) соотношение справедливо для интегралов по любо-
любому интервалу, содержащемуся в [г0, гi ]. В таком соотношении на интервале, где функ-
функция zp{t) постоянна, можно заменить х на zp(t). Суммируя по таким интервалам,
получаем для р = const
Значит, для каждого f G [f0, f,] и каждого р> 1 найдется такое ip(t), что \J,\p(t)\ <
< 2~p при всех / > (p{t). Число ip{t) можно увеличить, поэтому будем считать, что
'р + 1 it) > t'p it) . ПОЛОЖИМ
v(i,t)=p при /p(r)</</p + ,(f)f p«1,2,...
Тогда для каждого t - const при /'-*<*> имеем
v{i. t) - оо# | ^ y(f; 0,f) | < г"""') ^ 0. B2)
В силу условия 3° при почти всех s е @, г)
Правая часть не превосходит суммируемой функции / {s))jj{d), где d - диаметр облас-
области В, и при почти всех 5 стремится к нулю при / -»00, так как х,- (s) -*xo(s) ,*»(/, r)(s) ¦*¦
-*xo(s). Поэтому
-* 0 B3)
при /-oo. Из B1)-B3) следует B0).
Пусть теперь xf{t) - решение задачи A6) с э=а,-*а0, Р^Щ^Ро (i-*°°) и функ-
функцией f~, удовлетворяющей условиям теоремы 7. Тогда
xt(t) = а,- + / % x,(s); м,)cfe. B4)
Если xf(t) -^Xo(t) равномерно на некотором отрезке [r0, t*], то в силу B0) в ра-
равенстве B4) можно перейти к пределу, и функция xo(f) - решение задачи A6) са=а0,
ц = Ро- Следовательно, для семейства решений задачи A6) (с разными а и ц) выполне-
выполнено условие 4) леммы 6.
Проверим выполнение условия 3) леммы 6. Так как функции f(s,aOt /j0) и I is)
суммируемы, то для любого € > 0 найдется такое 5 >0, что при любых а,0 € [r0, f 11
14

из 10 - а |< 5 следует
0 0 €
I / «*.а0; Mo><fc |<е, | / /(s)c/s |< , B5)
ос а ф№)
где с/ — диаметр области В. Для некоторого Pi (е) разность левой и правой частей соотно-
соотношения A9) меньше е при p(ju, MoKPi (в) и всех г € [г0, ?i ]. Отсюда и из B5) следует
0
(Р(М,/*О)<Р,(€)). B6)
Пусть x/(t) (/ = 1,2,...) - последовательность решений задачи A6)с а =а,-
= /*/->*1о.Из B4) имеем
х,(/3) -х,(а)» / fis, xts); m)d$. B7)
a
В силу A8) подынтегральные функции в B6) при м = № ив B7) отличаются не боль-
больше, чем на l{$) \j/{d), поэтому с учетом B5) интегралы отличаются не больше, чем на е.
Теперь из B6) и B7) при р(м/,/ио)<Р| (б) имеем
B8)
Так как At/ -*- Mo* то неравенство р(М/, Mo) < Pt(^) может не выполняться только
для конечного числа значений /. Для этих / в силу непрерывности функций х, (t) су-
существует такое 5j, что B8) выполняется при всех ос, & € [t0. t,] f j j3 - a | < 5Х. Следо-
Следовательно, при |j3 — a| < min{5; dt} неравенство B8) выполняется для всех /. Так
как е произвольно, то рассматриваемые решения равностепенно непрерывны и условие
3) леммы 6 выполнено. Условия 1) и 2) этой леммы выполнены в силу 1°—ЭР и тео-
теорем 1 и 4. В силу следствия леммы 6 справедливо утверждение доказываемой теоремы^.
/Замечание. Утверждение теоремы 7 остается справедливым, если условие 3°
заменить следующим :
3* существуют такие функции lit. г, р) и 60(е) > 0, 0 < € < е0. что для каждого
г > 0 при почти всех t и | х — у \ < г
\f1t.x,ii)-fit.y.n)\<lit.r.p). l(t,r,n)-*O (Л-+0), B9)
и для любых a,fl€ [fo,ti], \fi — а (<50(б), при всех г, fx
HctJ] = / Hs,r,tx)ds<et C0)
a
il-*O (r-^0, M^Mo). CD
При этом в доказательстве теоремы 7 нужны лишь два изменения. В B3) подын-
подынтегральная функция в силу B9) не больше, чем
US, \Xiis) -^(/,f)E) |, /*,),
поэтому интеграл B3) стремится к нулю при / -* °° в силу C1).
При |j3 - a| < min{5; 50(е)} подынтегральные функции в B6) для м =М/ ив
B7) отличаются не больше, чем на / (s, d, м,-), поэтому интегралы отличаются не боль-
больше, чем на €, в силу C0). Остальные рассуждения в доказательстве теоремы 7 не ме-
меняются.
Следующий пример показывает, что условия 3° в теоремах 6 и 7, а также условие
C1) замечания не могут быть отброшены даже в том случае, когда при каждом \х
функция f(t,x,ix) непрерывна по t,x и ограничена постоянной, не зависящей от ju.
Пусть м= 1/*->0, *=1,2 ;xGR\
1
f(t.x,n)-fkit.x)-— ¦— ^0.
[кг(х-г)-к]г + 1
Функция xk(t) - t + Vk является решением уравнения х = fk[t, х), но предел
lim x^(f) = f не удовлетворяет уравнению х = 0.
15

Теорема 8. Пусть элементы 6/7(f, /i) матрицы Bit, fi) и вектор-функция g(t, м)
для д G Af абсолютно непрерывны на отрезке [t0, t{ ] (/ равномерно not
ЬцЬ,ц)-+ЬцЬ,ц0), git,v)^g(t,ii0) (м-^Ро). <32)
Пусть существует такое 5(б) > 0 @ < е < е0), vro для всех /,/ = 1, 2, ..., п, всех
fiGM и всех a,/3G [f0, M, 10-а К$(б), имеем
f\bult,p)\dt<e. C3)
а
Тогда на отрезке [t0, rt ] решение задачи
x=Bit,fi)x+g{t,v) x(to,ii)=a C4)
при a^aOf ц -* /i0 равномерно сходится к решению такой же задачи с
Доказательство. Так как уравнение C4) типа Каратеодори, то по теореме 3
его решение x(f; яо#Мо) Для а "ао» М = Мо существует на отрезке |>0* ^13 и единст-
единственно. Тогда для задачи C4) в области
\х |< 1 + max \x(fta0,tx0) I
выполнены условия теоремы 7 и замечания. Следовательно, доказываемое утверждение
справедливо.
Следствие. Если для последовательности линейных систем Каратеодори коэф-
коэффициенты и свободные члены сходятся в метрике Lx, а последовательность начальных
условий сходится, то последовательность решений сходится равномерно на данном
отрезке.
Скорость этой сходимости можно оценить с помощью полученной в [18] оценки
разности решений двух линейных систем через нормы (в Lx) разностей их коэффи-
коэффициентов и разности свободных членов.
5. Свойства интегральных воронок, исследованные в [12] для дифференциальных
уравнений с непрерывными правыми частями, сохраняются и для дифференциальных
уравнений Каратеодори [10].
Для данного дифференциального уравнения х = f{t, x) {х € Я") интегральной во-
воронкой точки (Го, х0) (или множества А) называется множество точек пространст-
пространства t,x, лежащих на всех решениях, проходящих через точку (to,xo) (соответствен-
(соответственно через точки множества А). Отрезок воронки - ее часть, лежащая в полосе а <
<<0
f0
В следующих теоремах предполагается, что в каждой конечной части рассматривае-
рассматриваемой области уравнение х = f(t, x) удовлетворяет условиям Каратеодори и что все ре-
решения с данным начальным условием х(г0) = х0 (или все решения, проходящие через
точки данного ограниченного замкнутого множества А) существуют при а < f </3, a
точка {t0, x0) (соответственно множество А) содержится в полосе a <f <0. Компакт-
Компактность отрезка воронки была доказана в теореме 5.
Теорема 9. Если А - точка или связный компакт, то сечение воронки любой
плоскостью t = 11 € [а, K] есть связный компакт; множество решений, проходящих
через точки множества А, есть связный компакт в метрике С[ос, р].
Первое утверждение для воронки точки (t0, x0) в случае достаточно малого от-
отрезка [а, р] доказано в [10]. Второе утверждение доказывается аналогично с исполь-
использованием метрики С[а, 0]. На случай отрезка любой длины и любого связного ком-
компакта А утверждения обобщаются с помощью приемов, изложенных в [12] и [33].
Тео рема 10. Любую точку '{t\, xx) границы воронки можно соединить с точ
кой (f о/ х0) дугой графика решения, проходящей по границе воронки.
Доказано в [10].
Теорема 11. Пусть f(t, x; Mo) и А удовлетворяют условиям, сформулированным
перед теоремой 9, а функции
f{t,x;fi), ДгМ* ">/!(>, * = 1,2,...,
- условиям теоремы 6 или теоремы 1, кроме условия единственности решения. Пусть
16

Ak, A: — 1,2,..., — такая последовательность множеств, что для каждого е > О все
А к, на чин an с неко торого, содержа тся в е - окрестности множества А.
Тогда подобным же свойством обладают отрезки а < t < 0 воронок множеств Ак
для уравнений х = f (t, х; tik) no отношению к отрезку воронки множества А для
уравнения x-fit,х; /z0) •
Утверждение вытекает из леммы 6, так как при выполнении условий теоремы били
теоремы 7 (без единственности решения) для семейства решений выполнены условия
леммы 6.
§ 2. Уравнения с обобщенными функциями,
входящими в виде слагаемых
Здесь рассматриваются различные классы дифференциальных уравнений с аддитивно
входящими обобщенными функциями, в том числе дифференциальные уравнения с
толчками, линейные (и простейшие нелинейные) уравнения с обобщенными функция-
функциями в правой части, линейные системы, не разрешенные относительно производных и
обладающие разрывными решениями. Излагаются методы приведения таких уравнений
и систем к системам Каратеодори, что позволяет доказать существование и иссле-
исследовать свойства решений.
1.В [34] (стр. 169-179) рассматриваются уравнения
х = f{t0 х) + pit). A)
где х G /?Л, функция f{t, x) удовлетворяет условиям Каратеодори, a pit) - обоб-
обобщенная или обычная, не интегрируемая по Лебегу функция. В п. 1 предполагается,
что функция pit) является производной в смысле теории обобщенных функций от
некоторой измеримой и ограниченной на каждом конечном интервале функции q (r), т.е.
pit) =qit), \qit)\<y «*< t< 0). B)
В частности, pit) может быть обычной функцией, интегрируемой в том или ином
смысле, a qit) —интегралом от р(г) (интегралы Перрона, Данжуа, Данжуа -Хинчина;
более общая постановка вопроса имеется в 135]); pit) может быть дельта-функцией
(в этом случае уравнение A) относится к встречающемуся в приложениях классу
уравнений с толчками), производной в смысле теории обобщенных функций от не-
непрерывной или разрывной функции ограниченной вариации.
Во всех этих случаях уравнение A) заменой х = у + q{t) сводится к уравнению
Каратеодори
У - fit, y + qit)). C)
Измеримость правой части C) по t при любом постоянном у следует из леммы 1 § 1.
Решением уравнения A) называется любая функция вида х(г) = к(г) +</{г),где
у it) - решение уравнения C). Такая функция x(f) удовлетворяет уравнению A),
если производная х понимается в смысле теории обобщенных функций (заметим,
что производная от интегралов Перрона и Данжуа и аппроксимативная производная
от интеграла Данжуа-*Хинчина существует почти всюду и является производной в
смысле теории обобщенных функций; это следует из [36], стр. 355).
Так как уравнение C) имеет решение при любом начальном условии вида yito) = a,
то уравнение A) имеет решение при начальном условии вида
х(Г) - <7<гМг=/0 - в. DL
Если функция q непрерывна в точке Го* то условие D) равносильно начальному ус-
условию
x{to)= b ib=a+qit0)). E)
Если же функция q разрывна в точке f0, то все решения уравнения A) тоже разрывны
в этой точке и условие E) не имеет однозначно определенного смысла. Если сущест-
существует Mm qit) =</(fo-O) или lim q it) =qit0 + 0), то условие E) можно
заменить на условие x(f0 - 0) =а + qit0 - 0) или х(Г0 +0) -а +</(Г0 +0) .В других
случаях приходится ограничиваться заданием начального условия в форме D)»
2. А.Ф. Филиппов \у

Зная свойства решений уравнения C) типа Каратеодори (§ 1), с помощью замены
х = у + q (r) получаем соответствующие свойства решений уравнения A): существо-
существование решения, компактность множества решений на отрезке [г0, til, содержащихся
в замкнутой ограниченной области, единственность решения при условиях F) или G)
§ 1. В [34] (стр. 176—179) исследовано поведение решения вблизи концов его интер-
интервала существования.
Остановимся подробнее на уравнениях с толчками. Рассмотрим уравнение
х = f(t,x) + pe(f), F)
где г" (г, ж) — известная функция, а о функции ре it) известно лишь, что она равна
нулю вне малого интервала (rt - е, f i + е) и что ее интеграл по этому интервалу ра-
равен v . К таким уравнениям приводят задачи о движении тел при наличии ударов
или толчков, если известно, что удар или толчок происходит в момент г = г,, имеет
малую продолжительность, и известен общий импульс, т.е. интеграл от толкающей
силы по промежутку времени, в течение которого происходит толчок.
Чтобы исключить из рассмотрения неизвестные значения функции р€ (г) в проме-
промежутке (f t - е, f i + е), совершают предельный переход е -> О, сохраняя постоянным
значение v интеграла отр€ (t). В пределе получается уравнение
х = fit, х) + иб^-М, G)
где б - дельта-функция. В теории обобщенных функций 6 (г) * п' (г), где
nit) = 0 (f <0), <n(t) = 1 (f>0).
Поэтому уравнение G) заменой к = у + v nit — 1х) сводится к уравнению C) cq{t) =
^ v r\it - f i). Решения уравнения C) абсолютно непрерывны. Поэтому решения урав-
уравнения G) — это функции, которые при г < tx и при г > tx абсолютно непрерывны
и почти всюду удовлетворяют уравнению x = f(t,x), а при t=tx имеют скачок
х(г +0) -х(г -0) =и .
Аналогично, все решения уравнения
х = fit, х) + ? v,5(Г-Г/) (8)
/ = 1
в точках Г/ имеют скачки, равные и,- (/' = 1, 2,...), а в промежутках между этими
точками абсолютно непрерывны и удовлетворяют уравнению х = f{t, х).
Следующая теорема дает обоснование перехода как от уравнения F) к G), так
и в некоторых более общих случаях. Случаи, когда в (8) векторы v( зависят от х,
т.е. величины скачков зависят от х, будут рассмотрены в п. 3 § 3.
Теорема 1.0 ограниченной замкнутой области D рассмотрим уравнения
х* - fit, xk) +p*(f). *-1.2 (9)
где функция f удовлетворяет условиям Каратеодори, pk it) = qk (f),
•> \Qkit)\<m0 (*-1.2f...). qkit)-*q(t'). A0)
Тогда каждая функция x(f), предельная для какой-либо последовательности ре-
решений хА (г) уравнений (9) f является решением уравнения A) с pit) =</(f).
Доказательство. Перейдем от уравнения A) к C), а от уравнений (9)
. подобной же заменой хк = ук + qk (f) - к уравнениям
Ук - fit, yk+Qkit)). *-1,2.... A1)
Для этих уравнений условие 2) Каратеодори (п. 1 § 1) выполнено в силу леммы 1 § 1,
условие 3) выполнено с одной и той же функцией mit) для всех к. При почти всех г
функция fit, x) непрерывна по х. Учитывая A0) и совершая предельный переход
* -* оо в интегральном уравнении, равносильном уравнению A1), получаем, что функ-
функция у It) = \\mykit) удовлетворяет аналогичному интегральному уравнению, но с
функцией Qit) вместо qk it). Следовательно, у it) - решение уравнения C). Тогда
х(г) =к(г) +9(г) -решение уравнения A).
Дифференциальные уравнения с толчками рассматривались во многих работах,
которые не могут быть все перечислены здесь (ниже указаны лишь некоторые из этих
18

работ). Рассматривались уравнения с толчками в заданные моменты времени, как в (8),
или при выходе решения на заданные поверхности в пространстве t, x. Величины скач-
скачков решений или заданы заранее, или зависят от точки, в которой происходит скачок.
Рассматривались вопросы о существовании и единственности решений, продолже-
продолжении решений, непрерывной зависимости решений [37]-[40], свойства интегральных
воронок и поглощающих множеств, из которых решения не выходят [37], устой-
устойчивость [41]-[47], существование и устойчивость периодических решений [37],
[48] — [52], применение метода усреднения к уравнениям с малым параметром [39],
[53] -[56], использование скачков при выходе решения на границу области для удер-
удержания решения в области [57].
2. С более сложными обобщенными функциями, чем в п. 1, изучались главным
образом линейные уравнения и системы и лишь некоторые нелинейные.
В приложениях часто встречается уравнение
УМ +вй-1К(й"° + ...+ воК =Ьшг<м> +6m_lz<"I-1>+...+ 60*, A2)
где т <л, aitbi — постоянные числа или достаточно гладкие функции от Г, г -г it) —
известная функция, у - у it) - искомая. Если г € Ст. то A2) - обычное линейное
уравнение, хорошо изученное. При меньшей гладкости функции г в правую часть A2)
могут входить обобщенные функции. Ниже будет показано, что если z — обычная
функция, то решение уравнения A2) — обычные функции и могут быть найдены без
помощи теории обобщенных функций.
Для выделения единственного решения можно задавать обычные начальные условия
только при таком Го / при котором функции z,z',..., z(m) непрерывны.
Часто рассматривается следующая задача. Найти решение у it) при t > 0, если из-
известно, что у it) s г it) = 0 при г < 0 (т.е. надо найти реакцию системы на внешнее
воздействие, которое начинает действовать только в момент г - 0).
Для решения этой задачи можно применять различные методы. Если все а; и Ь/ по-
стоянны, то, например, можно проинтегрировать функцию z столько рез, чтобы про-
производная t/m) от полученной функции и была непрерывной или хотя бы интегрируемой
по Лебегу на рассматриваемом отрезке 0 <f <f,, т.е.
fzis)ds=zl{t). f z^xi$)d$ =ztit), J -1.2 k.
a at
Нижний предел интегрирования а < 0 произволен, так как z s о при t < 0; число к
таково, что функция и = zk(t) € Ст. Найдем решение х it) уравнения
xin) + ая_1Х(я-1) + ...+ аох - bww(w) + Ьт„ги{т-1) +... + 60w, A3)
равное нулю при Г < 0. Продифференцировав к раз обе части равенства A3), видим,
что функция у - х<*> есть решение уравнения A2), равное нулю при t < 0.
Другой способ [58] решения уравнения A2) состоит в сведении этого уравнения
к системе уравнений, не содержащей обобщенных функций. Пусть все а/ и Ь/ постоян-
постоянны; если т < п, то bj =0 при / > т, функция z (r) непрерывна или интегрируема по
Лебегу на каждом конечном интервале. Введем новые неизвестные функции хх,..., х„
по формулам
' 6/г, /-л-1,п-2 1. A4)
Последовательно подставляя х„ в формулу для xn_i, затем х„_| — в формулу для
х„_2 и т.д. и пользуясь уравнением A2), получаем первое уравнение следующей систе-
системы (остальные уравнения содержатся в A4)) :
boz -aoy.
хг
Подставляя у - х„ + bnz в систему A5), получаем систему нормального вида. Если
2* 19

функция г непрерывна, то эта система — обычная линейная с постоянными коэффи-
коэффициентами, а если z интегрируема по Лебегу, то - линейная система Каратеодори.
Найдя решение этой системы, получим решение уравнения A2) по формуле у =
6
Докажем это. Дифференцируя п раз равенство у = хп + Ьпг и заменяя после каждого
дифференцирования х„, х„_х,..., х\ правыми частями уравнений A5), получаем
/ » Ьпг + *>„_!*-an
Следовательно,/ удовлетворяет уравнению A2).
Если функция z ограничена на интервале а < / < 0 и функции z, z',... при f = т €
€ (а,/?) имеют скачки
z(r + O) - z(r-O) = [z], z'(r+O) - z'(r-O) =[*']
то скачки [у], [к']... функций у, у t... при t « г можно выразить [59] через [z],
[z;],... и коэффициентыд/(Ь/. Для этого заметим, что в системе A5) функции хх,...
..., х„ непрерывны. Поэтому из соотношений у = xn + bnz и A6) имеем
on[z']
Следовательно, скачки [к(А:)] выражаются через скачки [z], [z'],...f [z^k)] фор-
формулой
[у(к)] - co{z(fc)] + c1[z<fr-1>] +...+ Cft[z]f *=0,1,2,... A8)
Коэффициенты со,с{,.. . определяются последовательно:
* b , c2 - bn-2 - со5„_2
Если функция z = 0 при t < О, z € Ст при t > О, т то же, что в A2), то у (Г) при
t > 0 можно найти как решение уравнения A2) с начальными условиями
К(+0) * [к]. /(+0)= [/'] у<"-1> (+0) = [И"*],
где [у], [у*],... определяются по формулам A7) или A8), в которых [z] = z(+0),
[z'] ~z'(+0),...
Пусть теперь в A2) коэффициенты а,-, bi зависят от t,z (t) € /., (loc), т.е. функция
z (Г) интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке, содержащемся в области
ее определения. Тогда z',z",.. . -обобщенные функции. Чтобы произведения 6/(f)z<;)
и а/(Г)И'* имели смысл, потребуем выполнения условий
Ь; е С*, а(ес*. / = 0,1 п. A9)
Тогда произведение/? (f )z*** (t) определяется формулой [60]
к
/= 0 . *
где С\ — биномиальные коэффициенты,а производные понимаются в смысле теории
обобщенных функций.
Докажем формулу B0) сначала для случая b € С~. Пользуясь определениями
произведения обобщенной функции на функцию из С°° и производной обобщенной
функции ([61 ], гл. 1), имеем для любой основной функции <р ^ К
20

Выражая (Ь\р)^к^ с помощью формулы Лейбница, получаем
Снова пользуясь определениями произведения и производной для обобщенных функций,
получаем
F*<*\*>«Ы)* 2 C'><*"''>z, *<'>) = 2 ((-^
B1)
Отсюда следует B0) для функций b € С°°.
Пусть теперь 6 в С*. Аппроксимируя функцию 6 последовательностью функций
bj -+ b (сходимость в Ск), получаем, что выражения, получаемые из правой части B1)
заменой b на bj, сходятся к правой части B1) при любой функции \р G К. Для b €г Ск
правая часть B1) есть линейный непрерывный функционал на функциях $ ? К, т.е.
обобщенная функция. Следовательно, произведение bz<k) можно определить как
обобщенную функцию, удовлетворяющую равенству B1) для любой функции <р € К.
Это равносильно B0).
Чтобы определить решение уравнения A2) при условиях A9), можно или свести
его к линейной системе типа Каратеодори, или воспользоваться представлением реше-
решения в интегральной форме [62] (для случая у It) -г It) =0 при t < 0)
y{t) « bnit)z(t) + / 2 cf(s)vf(r, s)z{s)ds, r>0,
о / = i
где Vf (t, $) — решения линейного однородного уравнения с определенными начальными
условиями, а сг (s) выражаются через коэффициенты ait 6,- и их производные
(см. [62]).
Для приведения уравнения A2) при условиях A9) к линейной системе Каратео-
Каратеодори преобразуем каждое произведение Ькг<к> и а*у<*> по формуле B0). Объеди-
Объединяя члены с одним и тем же значением /, приводим уравнение A2) к виду
ипП) + ипХ) +'• •+ "i + fо " 0, B2)
un=y-bnz, */„_, = вп_ху- фп.х-пЬп)ж
и* = (а* -Ск а' + Ск а" - + 1-1)я"ь*С* 5<w"fc>»i/
После введения новых неизвестных
^Я в "я/ *и-1 ш ^л + "п-\ *1 * *2 + 
уравнение B2) принимает вид xi + u0 = 0. Таким образом, уравнение A2) сведено
к системе
х[ ш -Wo/ xj+1 -*/-«#/, /*t /»-1, B3)
где </о, tfi,..., </n_i выражаются написанными выше формулами через у и г, а
у = ип + Ьпг следует заменить на х„ + ?„.?. При указанных выше предположениях о
функциях z,aitbi полученная система—линейная система Каратеодори.
^ -Замечание. Если к правой части уравнения A2) прибавить обычную (не обоб-
обобщенную) функцию f (t.y, z), то первое уравнение системы B3) будет иметь вид х\ =
- -ц> + f t а остальные уравнения не изменятся.
Линейное уравнение с коэффициентами а, Е ст~п+1 и с правой частью, которая
является производной любого порядка т> пот интегрируемой функции,
) B4)
можно свести к подобным же уравнениям с меньшими значениями т. Замена у =
() дает
^-1> + ... + а0 it)z - -#я_,*<т-1> (f) - .. ;-#0 1г)р<т-и)(Г).
21

Каждый член правой части можно преобразовать по формуле B0). После этого пра-
правая часть будет и меть вид Л <« - О {t) + .., + h m {t), где h, (t) - интегрируемые функ-
функции. В силу линейности уравнения его решение есть сумма решений уравнений вида,
подобного B4), но с меньшими значениями /п. С помощью конечного числа таких
преобразований уравнение B4) сводится к аналогичным уравнениям, но cm <л, т.е.
к уже рассмотренным уравнениям вида A2) с переменными коэффициентами.
3. В [34], [66] и [63] рассматриваются линейные уравнения
x=A{t)x + f(t) B5)
с обобщенными функциями fit); х в Rn, A it) - матрица. Если А (Г) е С°°, то fit)
может быть любой обобщенной функцией, равной 0 при г < 0 (см. [63]).
Пусть теперь fit) - д(т + 1) (г) - (л? + 1)-я производная от функции д it) .Рассмот-
.Рассмотрим два случая:
а) функция ? it) измерима и локально ограничена, А (г) € W Aос) ,г.е.Ак™ 1} it)
локально абсолютно непрерывна, а 4 *'"* (Г) G/., Aос), т> 0;
б) функциями) локально ограниченной вариации, a A it) 6Cm.
После замены х = у+0*w) it) из B5) получаем
/- Ait)y+ Ait)g(m) it). B6)
Рассмотрим случай а). Если т = 0, Ait) € L i (loc), то B6) — линейное уравнение
Каратеодори. Если т> 1, то в силу B0) имеем
Agim} = iAg){n>)- Cxm iA'g) (m} + ...+ (-1) C™A<m)g. B7)
Поэтому решение уравнения B6) пред ставимо в виде у - у0 + У\ + ... + Ут, где Уь
ik - 0,1,... , т) — решение уравнения
Vk - Ait)yk + ihkit)){m-k\ hkit) = i-1)kCkmA<k> it)git). B8)
Для к - т уравнение B8) — уравнение Каратеодори. Для к =0, 1,... , /г? - 1 функ-
функция hk(t) измерима и локально ограничена. Поэтому уравнение B8) того же типа,
что B5), но число /т? + 1 заменено меньшим числом т — к. В нем опять можно сделать
замену у = г + (Л* it)) 0«-*-i) и т.д. После конечного числа замен уравнение B5)
сводится к уравнениям Каратеодори.
Рассмотрим случай 6). Так как Л е Cm~l, m > 1, то произведение А{т^д в B7)
есть обобщенная функция, равная
Л(т) it)g it) = — / idA<m~l> is) )g is). B9)
dt о
Интеграл понимается в смысле Стилтьеса.
Формула B7) остается справедливой. Для ее доказательства в этом случае рассмот-
рассмотрим такую последовательность 4/(Г) -*Ait), что производные А <*> it), к -0, 1,...
..., т — 1, на каждом конечном отрезке абсолютно непрерывны и сходятся к А <*) (г)
равномерно при / ">*>. Возможность предельного перехода под знаком интеграла
Стилтьеса в B9) следует из [64] (стр. 250 и 254). 8 формуле B7) с Af вместо А и
последним членом, преобразованным согласно B9), можно перейти к пределу в смыс-
смысле теории обобщенных функций. Получим, что формула B7) справедлива и тогда,
когда А в Ст~1, а функция р локально ограниченной вариации.
В силу B9) уравнение B8) для/г =т имеет вид
Ут -Ait)ym + (-1>V(f),
где pit) — непрерывная функция,' равная интегралу в B9). Заменой ут =
= г + М)тр(Г) это уравнение сводится к уравнению Каратеодори. Для к < т урав-
уравнение B8) сводится к уравнению Каратеодори тем же методом, что в случае а).
Итак, в обоих случаях уравнение B5) сводится к уравнениям Каратеодори. В силу
теоремы 3 § 1 его общее решение имеет вид
X * CtUt it) +...+ CnUn{t) + X, it).
где"! un - фундаментальная система решений однородного уравнения и* =A{t)u,
a xi it) - частное решение уравнения B5); функция xi it) может быть обобщенной.
22

Рассмотрим систему
х = A(t)x + B{t)y + Cit)y\ C0)
где у it) - известная вектор-функция, может быть, обобщенная, x(f) - искомая, а
коэффициенты класса С°°. Такую систему можно привести к системе Каратеодори
тем же способом, что и систему B5). В частности, замена х- г + C(t)y приводит си-
систему C0) к виду
В [65] известная формула Коши, выражающая решение линейного неоднородного
уравнения через его правую часть и реакцию однородного уравнения на импульсное
воздействие, обобщается на линейные уравнения общего вида с обобщенными функ-
функциями. Дается общее интегродифференциальное представление решений таких урав-
нении•
В [66], [63] и [34] (стр. 180-187), для решений уравнения B5) исследуется ус-
устойчивость в специальной топологии оператора вход-выход, т.е. оператора, преобразую-
преобразующего данную функцию fit) в решение х (t).
В [63] и [66] — [68] рассматриваются также некоторые нелинейные уравнения,
например, получаемое из B5) добавлением в правую часть функции \р (г, х) и полу-
получаемое из A2) при z = у {t, у) + f(t). В частности, там получены достаточные усло-
условия существования и устойчивости периодических решений.
4. Решения линейной системы с постоянными коэффициентами, не разрешимой относительно
старших производных каждой из неизвестных функций, могут оказаться разрывными или обоб-
обобщенными функциями даже тогда, когда правые части — обычные непрерывные функции.
В [69] (гл. 12, § 7) излагается общий метод решения таких систем с помощью приведения пучка
матриц к каноническому виду. Другие методы решения излагаются в [70], [71] (элементарные
методы и применение преобразования Лапласа} и в G2]-[75] (использование обобщений поня-
понятия обратной матрицы).
Ниже излагается элементарный метод решения, применимый в общем случае и являющийся
развитием метода [70].
Рассмотрим систему т уравнений с п неизвестными функциями и с постоянными коэффици-
коэффициентами, записанную в векторном виде
Ax+Bx=fit), CD
Здесь хи/- /7-мерные векторы, А и В - матрицы тХя,
Систему с производными любого порядка
АкУ(к) + Ак^1У(к) +...+ Аоу =fit) (^ Я")
можно или свести к системе вида CD введением новых неизвестных функций у,у',...,уК
или исследовать непосредственно, подобно системе C1) (см. [70]).
I. Если m * ли бегА Ф 0, то система C1) разрешима относительно производных всех искомых
функций:
х =-А-хВх+А~х fit).
Общее решение зависит от л произвольных постоянных. При любых начальных условиях вида х it0) =
• Хе система имеет единственное решение х it). Если f Ш& С*п, то х (г) € Cm+l.
I1. Пусть тФ п или т = п, deM = 0. Обозначим ранг матрицы А через р.
Если > s 0. то матрица А состоит только из нулей и система^f3!> *<меет вид Вх = f it). Условия
разрешимости такой системы известны из линейной алгебры (теорема КрЬЯ&квра * Капелли).
Пусть р > 1. Тогда матрица А содержит только р линейно независимых с т^с^Е ел и р < т, то
переставим соответствующие р уравнений системы C1) на первые р мест. Вычтем из остальных
т — р уравнений тёкие линейные комбинации первых р уравнений, чтобы сделать нулями коэф-
коэффициенты при производных в последних т — р уравнениях. Получим систему вида
=fxit). Cxx=gxit). C2)
Мат^ Ах ив, содержат по р строк каждая, rang Ах = р, матрица С, — т — р строк. Строки
матрицы /?« линейно независимы, но некоторые из них, например последние, могут быть линей-
ными комёи^аЧиями остальных строк матрицы Ах и некоторых строк матрицы С,. Вычтем из
уравнений сист&*?ы< соответствующих последним строкам матрицы у*,, эти линейные комбина-
комбинации уравнений, СоответсТвУЮ1иих остальным строкам матрицы Аг, и уравнений, соответствую-
соответствующих названным строкам матрицы С,, предварительно продифференцированным по г. Получим
систему
f2it), C,jr-i?. W- C3)
Матрица Л, содержит рг строк, юЭДА* = Pi < Р- Если некоторые строки матрицы Аг являются
линейными комбинациями остальных строк этой матрицы и некоторых строк матрицы С?, то со-
23

аершаем с системой C3) такие же преобразования, как с системой C2). Продолжаем эти дейст-
действия до тех пор, пока не получим систему
Аох + Вох =f0 it) (* уравнений, rang Л0 =*) ,
С*х =g*lt) (от —s уравнений),
в которой строки матрицы Ао не связаны линейными зависимостями со строками матрицы С*.
Если range* = q < m - s, то некоторые строки матрицы С* являются линейными комбина-
комбинациями остальных q строк. Вычитая из уравнений системы, соответствующих этим зависимым стро-
строкам, линейные комбинации других q уравнений, получаем уравнения с нулевыми коэффициен-
коэффициентами в левой части. Переставляя уравнения, приводим систему к виду
Аох+Вох =f0 it) is уравнений, rang Ао « s).
Сох =д0 it) iq уравнений, rang Co = q). C4)
О =h it) im — г уравнений,г -$ + q).
Строки матриц Ао и CJ, все вместе линейно независимы. Первые s уравнений в C4) совпадают
с некоторыми s уравнениями в C1). Вектор-функции д0 it) и h it) линейно выражаются через
компоненты вектор-функции fit) и их производные до порядка, не большего р — s:
Так как каждое из проделанных преобразований обратимо, то системы C1) и C4) равносиль-
равносильны. Следовательно, для существования решения системы C1) необходимо, чтобы в C4) h (г) г О.
Таким образом, последние т — г уравнений в C4) являются необходимыми условиями совмест-
совместности системы C1). . -"
Если же с самого начала р = от, то система C1) уже имеет вид C4), где 5 ¦ от. q = О, т.е. вторая
и третья группы уравнений в C4) отсутствуют.
Если q > О, т.е. вторая группа уравнений в C4) присутствует, то для дальнейшего упрощения
системы выделим из матрицы Со линейно независимые q столбцов. Пусть, например, эти столбцы
с U + 1)-го до г-го (в противном случае изменим нумерацию неизвестных х,,..., хп, чтобы эти
столбцы заняли указанные места). Пусть О — квадратная матрица, составленная из этих столбцов
матрицы Со. Тогда det А Ф 0. Умножая вторую строку в C4) слева на матрицу О'1, получаем
Lax - lit). C5)
Столбцы матрицы Lo с is + 1)-го до г-го образуют единичную матрицу, т.е. система C5) разре-
разрешена относительно неизвестных х $+j,.., хг. Подставляя выражения этих неизвестных через ос-
остальные и через lit) в первую строку C4) (т.е. умножая на некоторые числа уравнения, входя-
входящие в систему в C5), и уравнения, получаемые из них дифференцированием по г, и вычитая их
из уравнений, содержащихся в первой строке C4)), мы исключаем из первой строки C4) неизвест-
неизвестные xs+i,... хг. Получаем
А*х + В;х =f*it). - C6)
где столбцы с И 1)-го до г го матриц А* и В* состоят только из нулей. Строки матрицы >*J ос-
остаются линейно независимыми. Поэтому матрица А* содержит s линейно независимых столбцов,
например, с 1-го до s-ro (в противном случае так изменим нумерацию неизвестных, чтобы эти столб-
столбцы попали на первые места). Пусть 0О — матрица из этих столбцов. Тогда det Do Ф 0. Умножая
слева C6) на D~l, получаем
Нх + Кх -*(f),
где первые 5 столбцов матрицы// образуют единичную матрицу. Вводя обозначения
(х, xs)J «</, Uj+i , xr)J =v, (xr+i xn)J = w
i — знак транспонирования), записываем всю систему в виде
и + H3w + К}и + K3w =k it) is уравнений),
L ji/ + v + LjW • .Mr) (^=^^5 уравнений), ^ C7)
0 =/> it) (от ^сураёнений).
Некоторые из групп уравнений отсутствуют, если хотя бы одно из чисел s, q, m~r равно нулю.
Система C7) равносильна исходной системе C1), так как все преобразования обратимы.
Система разрешима только в двух случаях:
а) г-от; б)г<от, hit) = 0. CJB].
Если выполнено одно из этих условий, то вектор-функцию w можно выбирать произвольно.
Затем из первой группы уравнений определяется и через wm s произвольных постоянных, а из
второй группы уравнений вектор-функция v однозначно выражается через уж* известные
Итак, для того, чтобы система имела решение, необходимо и достаточно выполнение одного
из условий C8). Это дает т — г (скалярных) условий совместности системы. Если эти условия
выполнены, то все множество решений системы зависит от п—r произвольных функций (компо-
(компонент вектора wit)) и * произвольных постоянных.
Числа г и s можно определить непосредственно по коэффициентам системы C1), не производя
изложенных выше преобразований. Число г равно рангу матрицы рА + В, у которой элементы и
миноры являются многочленами от р. При этом г - rang ipAy* В) есть наибольший порядок ми*
24

норов, не тождественно равных нулю, as — наибольшая из степеней многочленов, которым равны
миноры порядка г.
Для системы C7) это очевидно, а при переходе от системы C1) к C7) числа г и * не меняются.
Всегда 0<s <r <p<min(m; />}; если р = т, то j =г =т. Случай $=0 возможен даже при
г -т^п, р = л—1. Например, для системы
0 C9)
имеем т = п = г =2, р = *\, s =0. Решение выражается формулами
Таким образом, система C9) имеет только одно решение, не зависящее от произвольных постоян-
постоянных. В отличие от случая I, решение менее гладко. Если в системе C9) f е Ст, то х, у е С.
Если же функция f имеет скачок, например,
fit) «О (Г< О), fit) -1 (Г > О),
то х и у—обобщенныефункции:
х =-6(f)- fit), y=6it).
Даже если функция fit) непрерывна, но не абсолютно непрерывна (пример такой функции см.
в [64], стр.232), то х и у являются обобщенными функциями.
III. Рассмотрим более подробно случай s < г - т - п. Тогда система совместней общее ре-
решение зависит только от s произвольных постоянных, s < п. Значит, решения системы заполняют
не все пространство, а только некоторое многообразие меньшей размерности. Поэтому решение
существует не при любых начальных условиях вида x(tQ) = х0. Из C4) следует, что при непре-
непрерывных f0 it) и д0 it) для существования непрерывного решения необходимо и достаточно, чтобы
начальные условия были таковы, что
Cox(to) =ffo(fo). D0)
Векторное равенство D0) содержит д =r-s условий согласования.
Для некоторых систем, описывающих реальные физические задачи, имеет смысл рассматривать
разрывные решения. Это имеет место, например, тогда, когда при составлении системы диффе-
дифференциальных уравнений не учитываются малые "паразитные" параметры, учет которых привел бы
К появлению в системе новых членов с малыми параметрами при производных (см. [1], гл. 10).
При задании начальных условий, не удовлетворяющих соотношению D0), решение совершает быст-
быстрый скачок в такую точку, где соотношение выполняется.
Найдем координаты этой точки в предположении, что при таком скачке решение остается в
ограниченной области пространства х (предположение оправдывается в тех физических задачах,
где ограниченность решения заранее ясна, например, из энергетических соображений) и что функ-
функция f0 it) ограничена, а функция gQ it) в C4) непрерывна при rsf0. Теперь третья строка в C4)
отсутствует, так как г = т * л. Решение с начальным условием х (г0) - х0 за очень малый проме-
промежуток времени г переходит в точку х,, удовлетворяющую условию согласования D0), т.е. усло-
условию Сох, =0О (г0 + т). Из C4) имеем
*oUi-*o>a/ ifoit)-Boxit))dt.
to
Так как функции f0 it) и x{t) ограничены, то при т -*0 получаем
Аохх ~ AQxQ, C0x,=ff(t0). D1)
Строки матриц Ао и Со все вместе линейно независимы, поэтому из системы D1) однозначно опре-
определяются координаты точки х1.
Если система приведена к виду C7), то в рассматриваемом случае г - т - л функция w отсут-
отсутствует и равенства D1) имеют вид
"i ""о- vx =/(r0) - l,w0;
•О—О-
В G0], [71] указывается, что к этому же результату можно прийти, решая систему C1) при
г */п=л с помощью преобразования Лапласа.
§ 3. Дифференциальные уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах
Здесь рассматриваются линейные уравнения, содержащие обобщенные функции в
коэффициентах, и некоторые нелинейные уравнения. Указываются классы таких урав-
уравнений, сводящихся заменами переменных к системам уравнений Каратеодори. Рас-
Рассматриваются различные предельные переходы от дифференциальных уравнений с
непрерывными правыми частями к уравнениям с обобщенными функциями.
25

1. В [60] рассматривается классификация обобщенных функций, являющаяся про-
продолжением классификации суммируемых функций (классы Lp и Wk). Для 0 < у < 1
класс М(у) совпадает с Lp{\oc) при р = 1/7, т.е. состоит из таких функций f (t),
-°° < t < °°, что f(f) и |г"(Г)К суммируемы на каждом конечном интервале. Для
любого целого к > 1 и 0 < у < 1 пусть Л/(~/г + у) - класс функций, абсолютно непре-
непрерывных на каждом конечном интервале вместе с производными до {к - 1)-го порядка
и имеющих к-ю производную, принадлежащую М {у), т.е. М (—к + у) = Wk (loc), р = 1 /7.
Для целого /г > 1 класс М (к + у) — класс обобщенных функций, являющихся производ-
производными порядка к от функций класса М (у). Считается, что f Е М (— °°) тогда и только
тогда, когда г" = 0.
Для функций, определенных не при всех t Е (-«>, +°°), а только на заданном ко-
конечном интервале (с, d), можно также рассматривать классы М (а). Такая функция
принадлежит классу М(а) на интервале (с, d), если она является сужением на этот
интервал некоторой функции классаМ (а) определенной при —°° < t < °°.
Очевидны следующие свойства классов М (а) (на всей числовой оси или на конеч-
конечном интервале):
Г Если а< 6, то М{а)СМ{Ь).
2° Если fe М(а),то f<*> Е М{а+к) , и наоборот.
3° Если fe M(a), с = const, то cf E M (а).
4° Если fe. М(а), д е М (Ь),то f+ge М(с), с = тах{а; Ь}.
5° Если fe М(а), д Е М (Ь), а<1, /><0,то ty E Л/(с), c = max{a; b}.
6° Если Уе М(а), де М (Ь), а >0, Ь>0, а +Ь <1,то А^Е Л/(а+Ь).
(В самом деле, на любом конечном интервале функция h = | f \ lla + | д \ 1>ь Е Z., ;
таккак^КЛ0 , 1^ |<Л*,то | Ау | <Ло+6, т.е. fg E Z.^, p = 1/(a + />).)
Произведение обобщенной функции f ем(а), а> 1, на обычную функцию <7 е М (Ь)
в случае а + b < 1 можно определить с помощью формулы B0) § 2. Пусть
а =*+а, *>1 -целое, 0<й<1; Ь = -/г+]3,а + |5<1. A)
Тогда f = h(k),he M(a), 0(fc)E /If (^). По формуле B0) §2
*Д (Л) = Л {к)д = (/?<;) (Л> - С\ (hgf) </f> + C^ {fig") (*) + . .. + (-1) *Л*(Л).
B)
Согласно 5° и 6° hg.hg hg(k~l) E M(a),hg{k) Е М (с). с = a + /J или с = а.
Следовательно, правая часть B) есть обобщенная функция класса М (к + а) = Л/ (а).
Таким образом, при условии A) произведение fg можно определить формулой B) ;
при этом fg Е М(а). Принятие такого определения можно мотивировать предельным
переходом, как для формулы B1) § 2, но в другой метрике, зависящей от к и /3.
В случае a + 0 > 1 произведение hg<k) может не являться локально интегрируемой
функцией. Тогда нельзя пользоваться формулой B).
Из сказанного вытекает следующий результат.
Лемма 1 [60]. Если f Е М (а), д Е М(Ь), а + Ь < 1, то произведение fg определено,
fg ем (а о b), aob = max{a; b; а+Ь}. C)
Если а = — °° или Ь = —°°, го полагаем а о ь - — *».
Лемма 1 дает лишь достаточные условия существования произведения fg и его при-
принадлежности тому или иному классу М (с). Например, пусть
— < 7< 1, f(t) =\t\~ye ЛГ(т + е), $r(f) = |f -1Г7Е М(т + е),
4
е > 0 - любое. Здесь а + b > 3/2 > 1, но fa Е М G + е).
Непрерывные функции, функции ограниченной вариации и измеримые ограничен-
ограниченные функции, если они не являются абсолютно непрерывными (локально), не при-
принадлежат классу М @), но принадлежат классу М (а) при любом а > 0. Если функция f
непрерывна, а функция 9 ограниченной вариации, то произведение fg' имеет смысл
(хотя здесь а + b > 1) и определяется с помощью интеграла Стилтьеса
d '
f(t)g(t) =— ff(s)dg(s), D)
dt с
где с — любая точка непрерывности функции g (t).
26

Для функций, определенных на интервале (с, d) и принадлежащих классу М (а),
а < 1, введем норму || ||Л. Если а = —/77 + <х, т> 0 — целое, 0< а< 1, р = Mot, то
С помощью введенной нормы определим сходимость. Для а < 1 сходимость f,- -+f
в М (а) означает, что || ft - f \\a -> 0. Для а = к + а {к - целое) f 0 < а < 1, сходимость
fj -*f в Af (а) означает, что для некоторых <7/ ЕМ {а), д ЕМ [а) имеем t
f/ » ^(Л). f=9{kK. 9i ^9 в Л/(а).
Тогда для любого а и целых /77 > 0 из сходимости f( -+f в М {а) следует сходимость
f(m) ^f(m) в М{а+т) а
Лемма 2. Если 0 < max{a; b) < 1 (/ а + /? < 1, го для / € М (а), ^ € М (Ь),
а о ь =у,имеем
\\fg\\y <\\f\\a • \\я\\ь- E)
Доказательство. Если b < 0 < а < 1, то у =а, ||(jr || ь > || (jr ||с = тах\д \ и
неравенство E) справедливо. Случай а <0 </? <1 аналогичен.
Если а >0, /?>0, а +/?<1,тоу=а +/?. Неравенство E) принимает вид
i
/ a JL у+ь ( d L \° ( d i- \ь
\f\f9\a+bdt) < { f\f\a dt) [f\9\b dt) .
с с ' с
Возводя обе части неравенства в степень v = \1 {а + Ь) и обозначая
а+/> а+Ь
\f\"'fi. \9\v = 9i, = Р, =Я.
а Ь
получаем известное неравенство Гель дера.
Замечание. Если max {a; b) < 0, то справедливо неравенство, подобное E),
но с числовым множителем в правой части, зависящим от а, b и от | d- с | .
Лемма З.Если а + b < 1 и f{r -+f в М (а), д± -*д в М (Ь) при i -+°°, to ffg,- -+fg
в М(ао b).
До казател ьство. Если max{a; b) < 1, то в правой части равенства
fi9i - fg = [ft - f)9i + fi9i - 9)
норма в М (ао Ь) каждого слагаемого стремится к нулю при / -+°° в силу леммы 2 и
замечания. Если же а=к+а, к> 1 —целое, 0< а< 1, то из соотношений
f = h(k), f.=hfk)t h{^h в М (a), 9i -+д в М (Ь)
в силу предыдущего следует, что для / </г
gf»^g<» в Mib+j), Vng}n)ik-n^ (hgU))ik4) в
и из формулы B) следует утверждение леммы.
Любая обычная или обобщенная функция является пределом некоторой последо-
последовательности гладких функций из С °° ([76], стр. 120). Если
= 0 (|f|>1). w(f)>0, / aj(t)dt
we(f) = e~lu>{e~lt) (e>0),
a ¦ — знак свертки, то функция
- fe(t) e C~, f€it) ^fit) (e^O). G)
Сходимость понимается в том же смысле, что и в теории обобщенных функций. Если же
fe Lp, 1 < р< оог или f G W™, то f€^f в Lp, соответственно в №р".
Следовательно, если f G М (а), то f€ ¦>f в Af (a).
2. Некоторые уравнения и системы с обобщенными функциями в коэффициентах с
помощью замены искомых функций сводятся к системам Каратеодори.
Рассмотрим уравнение [77]
bf(t)y = g'(t). (8)
27

Пусть функции а, Ь, д и {b—a)b, (b — а) д суммируемы, а производные b' (t) v\g'(t)
понимаются в смысле теории обобщенных функций. Это уравнение можно записать
в виде
(у + by-g)' = (Ь-а)у'
и заменой j/ +by — д = z свести к системе Каратеодори
y' = z-by+g, z'=(b-a){z-by+g). (9)
Для системы (9) можно задавать обычные начальные условия y{t0) ~Уо, z [tQ) -z0.
Поэтому для уравнения (8) можно задавать начальные условия
У(Го) = Ко, (Ю)
(к' + Ьу-д)\ г=Го = z0.
Здесь t0, yQl z0 - любые. Начальные условия вида y{t0) = у0, к'fro) = у'о можно
задавать не при любых t0, а при таких, при которых функции b (t) пд (г) непрерывны.
Как видно из изложенного, сведение дифференциальных уравнений с обобщенными
функциями к уравнениям Каратеодори дает возможность доказать существование
решения и выяснить вид допустимых начальных условий. Этот же метод позволяет
показать, что решение уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах непре-
непрерывно зависит от коэффициентов и1 является пределом последовательности решений
уравнений с гладкими коэффициентами at (t), b,- (t) стремящимися при / -* °° к
данным обобщенным функциям. Ниже это доказывается для уравнения (8), но
тот же метод применим и к более сложным уравнениям, рассматриваемым в даль-
дальнейших теоремах.
Лемма 4.Пусть a(t), b (f), д (f) € L2 на отрезке [с, d],
a,(f) -a(r), bi(t) -b(f), gt(t) - g (t) в L2 A1)
и Ко/ -* Ко, *o/ -* zo-
Тогда последовательность решений задач
у! + at(t)y\ + b\(t)Vi =д\Ь), i =1,2
/titо) = Ко/ . (К,' + 6.К/ - 9i)\t=t0 = *o/ A2)
сходится в W\ к решению задачи (8), A0) .
Доказательство. Каждое из рассматриваемых уравнений заменой
К- + 6/К/ ~9i = */ A3)
сведем к системе Каратеодори, подобной системе (9}. Коэффициенты этой системы
при / -» °° сходятся в [, к коэффициентам системы (9), начальные условия yoi и
zQi тоже сходятся. В силу следствия теоремы 8 § 1 последовательность решений /,-,
Zj (/=1,2,...) этих систем равномерно сходится к решению системы (9). Тогда
из A1) и A3) следует, что К/ ~+у' в L2 . Значит,// -*у в W\. Лемма доказана.
Для любых функций a, b, g E L2 определим последовательности гладких функций
a,- (f), bj (f), gt [t) подобно G), взяв 6 = 1//, /=1,2,... Тогда по лемме 4 последова-
последовательность обычных решений у\ задач A2) сходится в W\ к решению задачи (8), A0),
содержащей обобщенные функции b' (f), g ' (г) (случай а (Г) = g (f) = 0 рассмотрен
в [77]). Это позволяет распространить на уравнения с обобщенными функциями не-
некоторые известные результаты качественной теории линейных уравнений [78]. Рас-
Рассматривались также задачи на собственные значения для уравнения х"+ \p(t)x = 0,
гдер(Г) =q' (f), функция g (f) -неубывающая [79], [80].
В следующей теореме различные координаты решения х,,..,, хп — обобщенные
функции разных классов. Хотя это свойство не сохраняется при линейном преобра-
преобразовании координат, но рассматривать такие системы нужно, например, потому, что
к системе такого рода сводится уравнение порядка л.
Теорема 1 [60]. Рассмотрим линейную систему
dx n
—*-ш 2 atj[t)xi + fiit). i = 1 п, A4)
dt / = i
28

где
aif G М[аи). fi G Mitt). A5)
Если существуют такие числа Xi,. .., Х„, что
maxfi/; max а,-,- о Ху;} < X,- + 1, / = 1,. .. , п, A6)
/
а,у+ Ху<1,, /,/ = 1 п A7)
(обозначение а°\ см. в C)), то система A4) линейной заменой искомых функций
сводится к линейной системе Каратеодори. Система A4) имеет п-мерное линейное
многообразие решений, для которых
Xi e m(\j), / =1 п.
До казатэл ьство. Пусть функции х/ перенумерованы в таком порядке, что Л, < X, < . . .
. . . < ХЛ. Если все X/ < 0, то из A6) следует, что все ^/< 1, а,у < 1,и система. A4) — система Кара-
Каратеодори. Поэтому пусть
X, < ... < Xw < 0 < \т +1 < • • • < \п, 0 < т < п A8)
(если X, > 0, то т = 0 и в дальнейших формулах будут отсутствовать суммы по индексам, не пре-
превосходящим л?) .
Из A6) и A7) следует, что для всех / и/
aij < 1 - Ху, a,-j < 1 + X/ , а/у < 1 + X/ - Х;> A9)
а/; о Ху < 1 + X/ , fj < 1 + X/; B0)
если а/у^О, то Ху < X,- + 1. B1)
Покажем, что систему A4) заменой переменных можно свести к системе, у которой число \п
заменено меньшим числом
ц„ =тах{Х„-1; О}, B2)
а остальные X/ не изменились.
Пусть bnj и дп — такие функции, что b'- * anj, g'n = fn. Перепишем последнее уравнение систе-
системы A4) в виде
d m m n
— (хп- 2 bnjXj~gn) =- 2 bnkx'k* 2 an;xj.
dt y = 1 k=l /=m+l
В правой 'эсти заменим x'k (k = 1,. . ., m) соответствующими правыми частями из A4). Получае-
Получаемые произведения Ь^а/су и bnkfk имеют смысл, так как bnk t M (otnk ~ D,ae силу A9) и B0)
Так как к <т, \к < 0 и в случае э^у ^ 0 в силу B1) и A9) -Х^ < 1 — Ху, aw < ' + Ч — \» то по
лемме 1
btlkakj G Af [vj), vj = (otnk - 1) о oikj < 1 - Xy. B3)
Если учесть, что апк — 1 < \п, a^y < 1 + Х^ < 1, то получаем
vj < max { Х„; 1} = цп + 1. B4)
Аналогично, bnkfk ^М(цп + 1).
В системе A4) с уже преобразованным последним уравнением сделаем замену
т
*i =Ух *n-l = Vn-\, *п = Уп+ ? bnjYj + gn. B5)
Получим систему
dyt m n
— = 2 bij + ainbnj)yj+ 2 aifyj + aingn + fjf /=1,2 л - 1;
»f /=1 /=m+l
(/Кг ш w ;"
--—-« 2 [(вля-</т,)Ьл/-- вГл/] к/ + Г Kanj-dnj) у/- 2 *>„*'* + (эш;-(УИЛ>у„,
«« /=1 /=т+1 А;=1
B6)
(Улу= Е brtJtafc/ GAf(yy), yy < 1 - Ху, уу < дЛ + 1, B7)
dnj = 0, если Ху > 1, так как тогда ак/ = 0, к < /л (см. B1)).
29

Подобно предыдущему доказывается с помощью неравенств A8) -B1) и B7), что произведе-
произведения, входящие в коэффициенты системы B6), имеют смысл и что
\п) С AfA + Х,), B8)
bnn-dnn)gn e Af((i -Х„) °\п)СМ(»п +1). B9)
Оценим ainbnj иначе. Так как \п > О, j < т, Ху<0, товсилу A9)
•й|Ья/ е М«7/>. i>,y = в/я в (а„у - 1) < A - Хи) о (-Ху) < 1 - Ху. C0)
Аналогично получаем
«•«H-rffinlb^eAfd-X/). C1)
Если же учесть, что ап/- — 1 < Х„, то вместо C0) и C1) получим
•inbnj* dnnbnf^M (max {\n; 1>) = /И(д„ + 1). C2)
Запишем систему B6) в виде
dy( n
= 2 Cifit) у/ + hfit). / = 1 л. . C3)
dt /=1
При этом с//е М(уц), Л,-е Af(i//,). Пусть
д, * X/, / < л; д„ = тах{ Х„ - 1; о} < Х„. C4)
Покажем, что числа 7//, Ф/, д/ удовлетворяют неравенствам, подобным A6) и A7).
Неравенство Т// + щ < 1 при / < л следует из A7) и C0), а при / =п - из A7), B7) и C1) с уче-
учетом того, что 0 <, цп < \п. Неравенство фг- < щ + 1 при / < п следует из B0) и B8), а при / = п — из
B9) и полученной оценки Ьп^к- Неравенство 1ц ° ду < д/+ 1 при /*< п следует из B0) и B8), а
при / = п — из A7), B7), C1). Из полученных неравенств следует, что
max {i///; max 7^ ° д/} < щ + 1, / - 1 п. C5)
Таким образом, в системе C3) коэффициенты обладают теми же свойствами, что и в системе
A4). Поэтому с системой C3) можно поступить так же, как с системой A4). В силу C4) при каж-
каждом таком преобразовании системы наибольшее из-чисел X/ уменьшается или на 1, если оно было не
меньше 1, или до нуля, если оно было заключено между 0 и 1.
Значит, после конечного числа преобразований мы получим систему
^ 2 a?/(f) zj + ф). / = 1 п, C6)
dt j=i
для которой все числа X?, полученные из X/ последовательными уменьшениями, неположительны.
Они как и числа X/ и д/, удовлетворяют неравенствам, подобным A6) и C5),
max {*>?; max aj- • X? } < X? + 1, / - 1 л, C7)
где <р?и а,у таковы, что aj-e M(ajy), f Je M(J>?). Так как все Х?< 0, то из C7) следует, что а? < 1,
<рЧ<1. Другими словами, a,y€AfA),f?eAf A), и C6) — система Каратеодори. Из теоремы 3 § 1
следует, что эта система имеет /i-мерное линейное многообразие решений.
Покажем, что для любого ее решения z,eAf(Xp, / = 1 л. Так как функцииz/абсолютно
непрерывны, то г,- €W@). Значит, afjZj € М(а/у о 0), а]у о 0 = max {а/у; 0|. Поэтому правая часть
C6) принадлежит М[у}),
у} = тах{^; 0; max <*jy}<1. C8)
Тогда z, eAf<7,! — 1), / = 1, . . . л. Пользуясь этой уточненной оценкой z/, получаем, что правая часть
C6) принадлежит М (у*),
у) = max{^J; max aj- о (Tj -1)}. C9)
Следовательно, z/€AfG/ — 1). Продолжая этот процесс уточнения оценок, получаем z,G М{у^),
* = 1.2.
1 > 7/ > 7/ > • • • > max ^; max a? }. D0)
Покажем, что 7^—1 < X/ Для некоторого /г. При X < 0 имеем а о X =max{cr; x}. Для
тех /, для которых правая часть D0) неотрицательна, она равна 7} в C8) и левой части C7) . Значит,
7/-1 <Х?для этих /. Для остальных /правая часть в D0) отрицательна, значит, в C8) 7} B 0.
30

Поэтому
7/-1 < max(xj; -i} , /-1,...,/».
Тогда, сравнивая C9) и C7), имеем
у\ -\ < max { Xj ; -2} , / = 1, . .. , п.
Продолжая аналогично, имеем
у* -1 < птах{х?; -*}, /«1 п; *«1,2
Значит, при достаточно большом к имеем
7*-1<Х?, zf е М(у) -1) С М{\<\), /-1 п. D1)
Возвращаясь обратно от системы C6) последовательными заменами переменных к исходной си-
системе A4), получаем, что система A4) имеет л-мерное линейное многообразие решений. Покажем,
что из D1) следует, что х,- е М (X/).
Достаточно рассмотреть один из однотипных переходов, которые совершаются при возвращении
от системы C6) к A4). Пусть для системы C3) доказано, что
Переход от системы C3) к A4) совершается по формулам i25). Из D2) и C4) для/ < т имеем
И/с Л* (X/), а из A8) и A9)
X/ < О, bnj G М(а„ - 1) С Mi-\j).
Поэтому произведение ЬП}У/ имеет смысл. Далее,
<*л/ - 1 < ЬП. Ьп1у} € /If<Х„ с Х/) « Af(Xw),
дп е /И(*„-1) С М(ХЯ>.
Учитывая B5) и C4), имеем
х,- = к/ е м(Х/) (/< п), хп е А#(х„).
Теорема доказана.
Замечание 1. Лучшая из оценок вида х, € M(\f) получается тогда, когда во всех
соотношениях A6) достигается равенство.
Замечание 2. Переход от данной системы A4) к системе Кэратеодори позволя-
позволяет указать начальные условия, при которых данная система имеет единственное реше-
решение. Некоторые другие условия, обеспечивающие единственность решения, указаны
в [60].
Замечание 3. Таким же способом, как систему A4), можно привести к системе
Каратеодори некоторые нелинейные системы. Например, в системе A4) те а/;(г), для
которых а/; = -/л/; + 7/у. mtj ^ 0 — целое, 0 < 7// ^ 1 # можно заменить функциями
ptj [t,..., хк,...) класса СШ// (по своим аргументам), зависящими от Г и тех хк, для
которых Х^ < a{j. В других членах уравнений системы теху-, для которых Х; = —/у + бу,
// > 0 — целое, 0 < бу < 1, можно заменить функциями w^ {t,..., хк,...) класса Cli
(по своим аргументам), зависящими от г и от тех хк, для которых Х^ <Ху.
В следующей теореме условие D4) равносильно условию аналогичной теоремы
из [60], но выражено в значительно более простой форме.
Теорема 2 [60]. Рассмотрим линейное уравнение
У{п) +3! (г)к(""!) + ... + an(t)y= f(t), D3)
где a/€/tf(at/)f / = 1 п; fGMiy). Обозначим max{alf.. ., аЛ/ у) = ц .Если
щ -/' < 1 -/i, /= 1,. .., п, D4)
то уравнение D3) приводится к системе Каратеодори и имеет п-мерное линейное мно-
многообразие решений:
у = c^iit) + ... +cnunit) + yxit), D5)
где y\it) - частное решение уравнения D3), сх,..., сп - произвольные постоянные, а
их it),..., unit) — линейно независимые решения соответствующего однородного
уравнения. Решения D5) принадлежат Af (/i — п) ,а
- п), /io^maxla! ап) , / = 1,...,л. D6)
31

Доказательство. Обычной заменой переменных
У = *ь /- *2 уД"-1) = Хп
сведем уравнение D3) к системе
х( = х,Ч1, /-1 а? — 1; х„' = апхх -. .. - аххп + f. D7)
Покажем, что при выполнении условия D4) существуют числа Х1#. . . , Х„, удовлетво-
удовлетворяющие условиям A6) (со знаками равенства) и A7) теоремы 1 в применении к си-
системе D7), т.е. условиям
*/+1 я X/ +1. /= 1,..., п; D8)
max {7; otn °Xl;aft_I°X2; ...;«! ° \„) = Х„ + 1.
Выражая все X/ через число X = Хп + 1, получаем
тах{7; <*п ° (X - л); an_t ° (Х-л + 1); ...;<*! ° (X - 1)} = X. D9)
Покажем, что число X = ц удовлетворяет этому уравнению. При X = д каждое из вы-
выражений а,- ° (ц - /) в силу D4) имеет смысл и равно max {а,-; ц - /; а,- + Ц - '}• Ясно,
что сумму а, +/и - / стоит писать только в случае д - i > 0, т.е. д > / > 1. Но в этом слу-
случае в силу D4) а, + д-/<1 <д. Поэтому левая часть D9) при X = д = max (аь . . .
. • •. OLni 7} равна д, т.е. X = ц удовлетворяет уравнению D9).
Таким образом, при Х,= /1-л + /- 1 выполнены условия D8), т.е. условия A6)
для системы D7). Условия A7) для / = п принимают вид
<*л-/+1 +/i-/i+/-1<1f /= 1 п,
и выполняются в силу D4). Для /'< л коэффициенты в уравнениях D7) постоянны,
значит, а/; в A7) можно взять меньше любого отрицательного числа, и условия A7)
выполнены.
Итак, система D7) удовлетворяет условиям теоремы 1. Следовательно, она имеет
л-мерное линейное многообразие решений, и при этом
у = х, G М(ХХ) = M(ix-n). E0)
Отсюда вытекают утверждения теоремы 2, кроме D6). Чтобы доказать D6), надо при-
применить уже полученный результат E0) к уравнению вида D3), но с f = 0.
Замечание 1. На практике обычно удобнее приводить уравнение D3) к системе
Каратеодори, не переходя предварительно к системе D7). Для этого те произведения
*/(f) И"~'Л в которых один из сомножителей — обобщенная функция (для у^п~^ этот
вопрос решается с учетом E0)), преобразуются с помощью формулы B). Затем, как
в п. 2 § 2, объединяются члены, представленные в виде производных одного порядка от
некоторых (уже не обобщенных) функций. От полученного уравнения вида B2) § 2
(но теперь и( уже другие) можно перейти к системе B3) § 2. Этим способом удается
не только формально свести уравнение D3) к системе Каратеодори, но и получить до-
доказательство теоремы 2, не зависящее от теоремы 1.
Замечание 2. Способом, изложенным в замечании 1, можно свести к системе Каратеодори
и некоторые нелинейные уравнения п-го порядка, например, уравнение
к<я> = "z y{npj(t, у. у',..., уBкЧ))+ p*(f, у. у /*У
к-\ . E1)
+ 2 ЬЛг) Wj{ f, у, у' , Иу)) + f(t).
/=о
Здесь 0 <к <п — 1, ру-е С' , ivy G С ' (по своим аргументам), функции bj и f могут быть обоб-
обобщенными, f*G М(п —к + а), 0<а<1,
bj G МЩ). 0/ < min {к -у + 1 - а; п-к + ос),
при / > 2к функции pj зависят только от t,
\рк\< <if(*V/Q +1) p'it,y.y' Ик-!)). р' ее
в случае а > 1/2 функции р/ (у > к) не зависят от к' f.
32

Тогда уравнение E1) сводится к системе Каретеодори и имеет л-мерное множество решений.
принадлежащихМ(а -к).
(*)
Чтобы свести это уравнение к системе, предполагаем, что у В М (а — к). Тогда уl ' e Mia) и
сложные функции
Wjit,y(t) y^it)) В М(а-к +/),
it, y(t) yWit)) €= AfA), p/ €= M(a0+k-j). j
где а* =¦ а (а < 1/2), a* = a - 1 (a > 1/2). Следовательно, в E1) произведения y^pj и bjWf имеют
смысл, и их можно преобразовать по формуле B). Далее, как в замечании 1, получаем уравнение
а затем систему Каратеодори. Оценивая гладкость ее решения и возвращаясь к уравнению E1),
получаем у е М (а - Аг).
Заметим, что в уравнении E1) каждое произведение bjWj можно заменить суммой конечного
числа слагаемых bjmwjm, где функции bjm и Wjm удовлетворяют тем же условиям, что bj и иу.
Нелинейные уравнения с обобщенными функциями, но более простые, чем в E1), рассматрива-
рассматривались в [81].
Пример. Приведем к системе Каретеодори уравнение
y"p3it.y,y) + P2it,y,y, y")+ bxit) wxit.y,y') + boit)woit,y) + fit). E2)
Пусть р2 еС; p9SC\ wx GC1, w0 €Са, bx еА#C/2),60е Л#E/2), feAfE/2), \р2\<у"*р*и,у,у'),
р* G С. Тогда условия замечания 2 выполнены, причем п = 4, * = 2, a = 1/2. Следовательно, к" е
G AfA/2) - L2(los). С помощью тождества B) запишем уравнение E2) в виде
УD) - (/>,)' -к"р1 + Ра +<в,иг1)' -в,^; + (во^о)"-2(вои/;)Ч-вои/; + ^",
где в\ =blf э'о' шЬъ.д" -f. а производные р^ иг'„ iVo, *Vq - полные производные по Г от сложных
функций. Полагая
получаем уравнение
у^ + к', + г', + ?0 * О.
Вводя новые неизвестные
получаем систему
Функции к/ зависят от переменных t, у, у, у") при этом у, у, у" следует заменить по формулам
у = х4, у' = хь, у" * *2 -?2 * х2 +a0it)w0(t,x4) + git).
Полученная система удовлетворяет условиям Каратеодори.
3. В [82] рассматривается линейная система в векторной записи
у = *'(f)/+0'(r), E3)
где матрица B(t) и векторч(>ункция д it) ограниченной вариации, В it) непрерывна,
производные понимаются в смысле теории обобщенных функций. Ранее [83], [84] рас-
рассматривались интегральные уравнения
V(t) - к(в) + JidBis))yis) + git)-g{a) E4)
а
(интеграл понимается в смысле Стилтьеса), равносильные E3), а также несколько бо-
более общие. В [82] доказываются существование и единственность решения с начальным
условием у (а) = у0, показывается, что фундаментальная матрица непрерывна и ограни-
ограниченной вариации. Решение выражается через фундаментальную матрицу и функцию # (?).
Существование решения можно доказать, например, применяя обычный метод последо-
последовательных приближений к уравнению E4) и пользуясь известными оценками интегра-
интегралов Стилтьеса ([64], стр. 254).
Другой способ исследования системы E3) - приведение к системе Каратеодори. За-
Заменой у it) =z(t) +g(t) из E3) и E4) получаем
t г
г = ?'(f)z+/>'(f), hit) = fidBis))gb), zit) = z{a) + J(cte(s)) г($) + hit).
а а
E5)
3. А.Ф. Филиппов 33

Из оценок в [64] (стр. 254) получаем, что функция h (г) непрерывна. Обозначим че-
через bjjit) элементы матрицы B{t), а через r(t) — непрерывную функцию
п
r(f) = г + 2 var b,As).
/./=1 a<s<t
Для любых tlf t2 > tj имеем
f 2 " t, + | />/)(t 2 ) - Ьц (f i )| < T(t 2 ) - T(t, ). E6)
Пусть Mr) — функция, обратная к r{t). Из E6) следует, что функции г(т) и
?/7 (t (г )) абсолютно непрерывны. Поэтому интеграл в E5) равен ([64], стр. 290)
НО dB(t(r))
f —- z(t(r))dT
a dT
и уравнение E5) равносильно системе Каратеодори
dz dBitir)) dBitir))
= г + дШ). E7)
dr dr dT
Из доказанного следуют сформулированные выше утверждения о решениях си-
системы E3).
Все это не обобщается непосредственно на случай, когда В (г) — разрывная функция
ограниченной вариации, даже при д (t) = 0. В этом случае решения, вообще говоря,
имеют разрывы в тех же точках, что Bit), и интеграл Стилтьеса в E4) и E5) может
не существовать (пример в [64], стр. 249). Теория обобщенных функций здесь тоже ни-
ничего не дает, так как, например, произведение дельта-функции на ее неопределенный
интеграл не определено.
Если же для функций ограниченной вариации различать значения у (t — 0), к (г),
y(t + 0) и отдельно рассматривать левый и правый скачки y{t) —y(t — 0) и y(t +0) — y(t),
то можно определить интеграл в E4), когда В (г) иу(г) - разрывные функции ограничен-
ограниченной вариации. При разных предположениях (например, когда у it) =y(t — 0) или когда
y(t) = [у (г — 0) + у (г + 0) ] /2 и др.) получаются различные условия существования ре-
решения уравнения E4) или E3), различаются и сами решения. Уравнения такого рода,
записанные в дифференциальной или интегральной форме, рассматриваются в [85] —
[90]. В [90] — [92] рассматриваются некоторые нелинейные уравнения и системы по-
подобного типа. К этому же типу уравнений относятся уравнения с толчками в случаях,
когда величина скачка решения зависит не только от г, но и от значения решения перед
скачком.
Покажем на простейшем примере, что в таких случаях различные подходы к опреде-
определению решения приводят к различным результатам. Рассмотрим линейное уравнение
y'=kb(t)y № = const). E8)
Так как /' - 0 при г < 0 и при г > 0, то
yit) = с (г<0),
y(t) = сA +з) (г>0), аФО.
т.е. y(t) = сA + зт?(г)), где
т?(г) = 0 (f<0). t?(f) = 1 (f>0). E9)
Чтобы найти а, подставляем y(t) в E8); i?'(f) = 6(f),
adit)- kbit) + kab{t)vit). F0)
Произведение б (t) ??(?) в теории обобщенных функций не определено. Если взять по-
последовательности гладких функций 5/(г) -> 5(f), т?/(г) -* rj{t), то предел произведения
5/@т?,(г), вообще говоря, не существует. В тех случаях, когда он существует, он зави-
зависит от выбора последовательностей 5f(f), ?fr(f). При естественных предположениях этот
предел, если он существует, имеет вид yd [t), где у может быть любым числом из отрез-
34

ка [0, 1 ]. Если считать, что 5 (f) т? (f) = уд (t), то из F0) получаем
к
а = к + кау, а = . F1)
1 -ку
Рассмотрим различные подходы к выбору значения 7-
1° Если считать, что 7 = 0, т.е. что S(t) r?(f) = 0 (это равносильно тому, что решения
уравнения E8), по определению, должны быть непрерывны слева) , то а = Аг,
y(t) = сA + knit)), F2)
с — произвольная постоянная. К такому же результату приводит предельный переход
Yi(t) -> y(t), где Yt(t) — решение уравнения с запаздыванием
y'iit) = Ar5,(f) Ytit - ту), rf - +0 (/ -*«>); F3)
функция 5/(f) отлична от 0 только на интервале (а,-, ft) длины не больше т„ стягиваю-
стягивающемся к точке t = О при / ~+ °°, и для некоторого q = const
f di(t)dt - 1, / |5,(f)|cfr<<7. F4)
a/ a,
В случае 7 = 0, к = -1 из F2) имеем [92]
у It) = с it<0). y(t) = 0 (f>0).
Это значит, что все те решения, которые существуют при t < О, в момент t = О скачком
переходят в точку у = О и остаются там. При начальных условиях у(f0) = Vo, ^o > О,
Ко ^ 0, имеем решение y(t) = у0 It > 0). не продолжи мое в область Г < О.
1 1
2 Если считать, что у =— , т.е. б (Г) т?(Г) = — 5 (f) (например, из соображений
2 2
симметрии, или принимая по определению, что решения уравнения E8) должны быть
таковы, что y(t) = ly(t-O) + y(t + О) ]/2), то из F1) получаем а = 2Аг/ B -Аг). При
Аг = 2 этот результат теряет смысл. Точнее, при к = 2 решение с любым начальным усло-
условием вида К (f о) = Ко ^ О, г0 < 0, не продолжимо в область f > О.
При к >2 получается решение к (*). меняющее знак, что неестественно для уравнений
вида у = y(t) у (в случае любых непрерывных или суммируемых функций <р (t) его ре-
решения не меняют знака).
3° Будем рассматривать уравнение E8) как предельное для уравнений
У! = kbj(t) к„
где для каждого / функция б/ суммируема, равна О вне интервала (а,-, 0,-) и удовлетво-
удовлетворяет условиям F4), а,-, /3,- -* О при / -> °°. Тогда
г
К/(г) = сехр(Аг
ai
При /->«> получаем yg{t)
K(f) = с (f <0), Kfr) = сек (f > О). F5)
Если считать решениями уравнения E8) функции F5), то при всех значениях к все ре-
решения существуют и при f < О, и при t > 0. Выбор такого определения решения соот-
соответствует случаю, когда в F1)
*-i ек-Л-к
а = еК \ 7 = z .
к(ек -\)
Заметим, что у -* 1/2 при Лг ->0.
Из этих рассуждений можно сделать следующий вывод. Пусть уравнение E8) рас-
рассматривается как идеализация уравнения F3), где т, > О,
5, (f) =0 (f < a,, t > ft), 8fit) > 0 (a, < t < ft), F6)
3-

интеграл от б,- it) по интервалу (ос,-, Д) равен 1, а числа т/, ос,-, ft малы. Тогда в случае
г,- > ft- - а,- решение близко к функции F2), а в случае г,- = 0 - к функции F5).
Поэтому в случае т,- > ft — ос,- предельное уравнение лучше записать не в виде E8),
а в виде
y'lt) = kb(t)vit-O);
решениями такого уравнения являются функции F2).
В [92] подобные предельные переходы рассматриваются для более сложных урав-
х/ = fit.xt) + 6i(t)glxi). Xj{t0) = х/о, F7)
/=1,2,... Пусть функции f{t,x), д(х) и б/(г) непрерывны (t0 < г <tlf x G Я"),
f,g € Rn, ?>t(t) удовлетворяет условиям F4) и F6):
ос,. -> о, ft -» 0, х/о -* х0 (i-+°°). t0 <0 < tt.
Решение задачи F7) не обязательно единственно.
Теорема 3 [92]. Пусть задачи
и'= fit, и) (to<t<0). u(t0) = х0, F8)
v = gM @ < t < 1 )f к@) = f/ @) f F9)
w=fit.w) [0<t<tl). w@)=W1) G0)
имеют единственные решения и it), v(t), wit).
Тогда для любой последовательности решений задач F7) (/=1,2,...) имеем
x,it) -> uit) (ГО< t < 0),
x,(f) -> wit)
Теорема 4. /7/сгь ту -^0, 0 < ft - ot, < ту, / = 1 f 2,.. ., с/ п/сгь задачи F8) i/
i=f(t,z) @<f <f!>, г@)=(/@)+9М) G1)
имеют единственные решения uit) t z (t).
Тогда для любой последовательности решений задач
x'iit) = fit.Xiit))* biMgiXiit-Ti)), xr(t0)= x/0 G2)
имеем при i ^°°
xtit) -» uit) ito<t<0). x,it) - zit) @<t<ГО.
Доказательство. При / > /\ имеем Го < ос, < ft < f i и решение задачи G2)
удовлетворяет уравнению
x'fit) = f(t,Xi(t)) ito<t<a,.; ft<t<f1). G3)
Так как для некоторых а > 0,Ь > 0 имеем \f (f,x) | </т?при|г| < а, |х-?/@)| < 2Ь,
то для с/ = min{a; bm~l) все те решения уравнения х' = f(f, x), для которых
| х@) — */ @) | < Ь, при 111 < d существуют и удовлетворяют неравенству
- х@)| < mlrl. G4)
В силу замечания к лемме 6 § 1 решения этого уравнения с начальными условиями
х (г0) = *7о при х/о -*х0 равномерно сходятся к и (t), t0 <t <0, т.е. для любого т?>0
эти решения при />/2(т?) удовлетворяют неравенству
\xit)-uit)\ <т? (fo<t<O).
Отсюда и из G4) следует, что при / > /2 (т?), UK т?/г?
| х(г)- ui0)\< 2т?. G5)
В силу G3) при t0 <t <а, эти решения являются решениями задачи G2). Так как
ft - а,- < т/ -> 0# то ft - ту < ot/, и при / > /3 (т?) и ot/ < f < ft имеем
ОС/ - Г/ < Г - Т/ <<*,-, | X (Г - Т/) - ?/@) | < 2Т?.
36

Так как функция д (х) непрерывна, то для любого е > 0 при достаточно малом т? и
Ti)) -д(и(О))\<е (а,<г<&). G6)
Введем обозначения \д{и(О))\= д0,
«/
Тогда в силу F4) и G6) при а,- < t < ft
Ui(t)\ <q{g0 + е), J№i) » g(u(O)) (/»«). G7)
Покажем, что для достаточно большого /4 и всех / > /4 решение x/(f) задачи G2) при
а/ < г < ft остается в шаре К {|х- и@)\<д{до + е) + 2} . При |f| <a, xG К имеем
I f{t, х) |< /??!. В силу G5) | х, (а/) - (/@) | < 1 при больших /. Далее,
х,(г) - Xiiat) - / /(s, x,(s))cfe + ,/,(f). G8)
а/
Если бы решение при 0< г — а,- < ft — а,- < /i?V вышло на границу шара /С, то в точке вы-
выхода левая часть G8) была бы больше q{g0 +е) + 1, а правая (сучетом G7)) -меньше
этого числа. Это невозможно.
Согласно G5) х/(а/) -> и @) при /-><*>. Поэтому из G8) при г = 0,-и G7) получаем
при /-*«>
(/@) + 0(<у(О)). G9)
При г > ft- решение задачи G2) совпадает с решением уравнения G3) с начальным
условием х, = x/(ft) при г = ft. Если ft > 0, то это решение можно продолжить как реше-
решение уравнения G3) вплоть до f = 0. Как при ft > 0, так и при ft < 0 из G5) и G9) по-
получаем для такого решения уравнения G3)
х,@) -> ^@) + д(и@)).
В силу замечания к лемме 6 § 1 решение xf(f) при 0 <f <tx равномерно сходится к
решению задачи G1). Это решение х,-(г) при ft < г < fi совпадает с решением задачи
G2). Теорема доказана.
Очевидно, условие непрерывности f (t, x) можно заменить условиями Каратеодори;
функция f (t, x) в G2) может зависеть также от параметра щ, Щ"+\Хо. как в теоре-
теореме 6 § 1; функцию у (х) можно заменить на непрерывную функцию ? (г, х).
Очень общие (но со сложными формулировками) теоремы о непрерывной зависи-
зависимости от параметра для дифференциальных уравнений с разрывными решениями имеют-
имеются в [92].
Подводя итог, можно сказать, что понятие решения для уравнений вида
х = f(t.x) + *(t) git, x),
где i (г) - дельта-функция или производная от разрывной функции ограниченной
вариации, как и для уравнений E3) с разрывной матрицей В it), не является однознач-
однозначно определенным. При выборе того или иного определения решения надо более полно
учитывать характер предельного перехода, приведшего к рассматриваемому уравнению.
4. В работах Я. Курцвейля ([15], [16], [92] и др.) рассматриваются обобщенные дифференциаль-
дифференциальные уравнения
— =DF(x,t). (80)
at
Указывается, что при определенных предположениях такое уравнение можно записать также в виде
dx a
— Fix,t).
dt bt
причем производные понимаются в смысле теории обобщенных функций. При определенных усло-
условиях (различных в [15] и в [92]) доказываются теоремы о существовании и единственности реию-
37

ни я, о непрерывной зависимости решения от начальных условий и от параметра. Решение уравне-
уравнения (80) определяется с помощью построенного в [15] обобщения интеграла Перрона.
В [16], [92] предполагается, что
x, t2)-Fix, г. ) I < |Л(г2)-Л(г.) |,
(81)
U,f,)-FU,f,)- Fiy,t2) + Fiy, f.) | < ы(|х-у|) | hit7) - hit, )|,
где функция Mr) — неубывающая, непрерывная слева, a cj(tj) — неубывающая, непрерывная, и
cj@) = 0. При этих условиях доказывается, что решение уравнения (80) с начальным условием
х (г0) = х0 существует на некотором отрезке [Г0/ f0 + а], о > 0. Решение удовлетворяет условию
|х(г2) -x(r,) | < |Mf2) -Mr,) I ,
следовательно, непрерывно слева. В случае cj(tj) = кг\ решение единственно при t > t0.
П.ример [92]. В области |х|<1, 1г| < 1 функция
Fix, г) = х 1г < 0), F(x, г) = 0 (f > 0) (82)
удовлетворяет обоим условиям (81) с u>(rj) = 17,
Mf)=0, (f<0) Л(г) = 1 (f>0).
При начальном условии х (г„ ) = х0, f0 < 0, имеем решение
x(t)=x0 (r<0), x(t)=0 (Г>0).
При начальном условии x(t0) =х0, t0 > 0, решение x(t) * х0 (г > 0) не продолжается в область
г < 0, если х0 Ф 0.
В этом примере рассматриваемое уравнение (80) с функцией (82) можно также записать в виде
x'(f) = -5(f)x(f-0).
Покажем, что при условиях (81) уравнение (80) можно свести к уравнению с толчками, сходно-
сходному с G2).
Как известно ([64], стр. 290), функция h it) ограниченной вариации на отрезке [г0, г, ] предста-
вима в виде
hit) = *(f) + rit) + sit). ^ (83)
где<^(г) абсолютно непрерывна, rit) — непрерывная функция ограниченной вариации, имеющая
почти всюду r'it) = 0, sit) — алгебраическая сумма скачков функции h it) на отрезке [г0, г]. Если
функция h it) —неубывающая, то функции \р.г ,s — тоже.
Пусть функция hit) из (81) представлена в виде (83). Тогда замена независимого переменно-
переменного г + rit) = т, х(г) = zir) приводит уравнение (80) к уравнению
dzir)
= fibzir)) + Z6it-tj)gjiziT-0)), (84)
dr j
fir,z) = — F\z, tir)). gjiz) = Fiz, T/ + 0) - Fiz.Tj),
сумма берется по всем точкам ту разрыва функции h it (r)). Можно показать, что при почти всех г
\fir. z) I < spitkr)) + 1,
\fW.x)- fir, у) I < w(| x-kD (*'(f(r)) + 1).
Следовательно, функция f удовлетворяет условиям Каратеодори, а если u>ir\) = кг\, то и условию
Липшица F) § 1.

ГЛАВА 2
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ОБЩИЕ СВОЙСТВА
РЕШЕНИЙ РАЗРЫВНЫХ СИСТЕМ
В гл. 2 рассматриваются различные определения решений дифференциальных уравнений и систем с
разрывными правыми частями для случаев, когда, в отличие от гл. 1, правые части не являются не-
непрерывными пох. Указываются области применимости различных определений. Для дифференциаль-
дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, а также для дифференциальных включений доказы-
доказывается существование решений и изучаются их свойства, в частности зависимость решений от
начальных условий и правых частей уравнений, свойства интегральных воронок.
§ 4. Различные определения решения
Здесь излагаются различные определения решений дифференциальных уравнений с раз-
разрывными правыми частями. Устанавливается связь таких уравнений с дифференциаль-
дифференциальными включениями. В различных случаях определяется скорость движения по поверх-
поверхности разрыва (производная dx/dt для решения, лежащего на поверхности разрыва).
В двух основных случаях определяется скорость движения по пересечению поверхно-
поверхностей разрыва.
1. Использованное в § 1 определение решения как абсолютно непрерывной функции,
почти всюду удовлетворяющей уравнению, не всегда применимо для уравнений, правые
части которых разрывны на произвольной гладкой линии или поверхности 5. Оно при-
применимо в том случае, когда с одной стороны от 5 решения подходят к S, а с другой
стороны сходят с S. Здесь решение пересекает 5 и удовлетворяет уравнению всюду,
кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (пример 1
введения).
В другом случае, когда с обеих сторон линии или поверхности разрыва 5 решения
приближаются к 5, это определение непригодно, так как ничего не говорит о том, как
продолжается решение, попавшее на 5 (пример 2 введения). Чтобы обеспечить сущест-
существование и возможность продолжения решений, в таком случае необходимо или опреде-
определенным образом изменить значение правой части уравнения в точках ее разрыва, или
доопределить ее там, если она была там не определена.
Необходимо иметь такое определение решения, которое охватывало бы эти два ос-
основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхно-
поверхностей разрыва. Получаемые при этом решения должны удовлетворять требованиям,
изложенным во введении.
Излагаемые ниже различные определения решения обычно применяются к уравне-
уравнениям и системам с кусочно непрерывными правыми частями, но некоторые из них
пригодны и в более общих случаях.
В дальнейшем х означает точку л-мерного пространства Я" с координатами
х\. •••# хп, \х\ = (*? + ••• + х»I/2- Функция или вектор-функция f[t,x\ называется
кусочно непрерывной в конечной области G (п+1) -мерного пространства Г, х, если
область G состоит из конечного числа областей G/ (/ = 1 /), в каждой из которых
функция f непрерывна вплоть до границы, и множества М меры нуль, состоящего из
точек границ этих областей. Функция непрерывна в области вплоть до границы, если
при приближении к каждой точке границы она стремится к конечному пределу, воз-
возможно, к разным пределам для разных граничных точек. Если область G бесконечна,то
39

в определении кусочно непрерывной функции каждая конечная часть области G может
иметь общие точки лишь с конечным числом областей G/.
Наиболее часто встречается случай, когда множество М точек разрыва функции f
состоит из конечного числа гиперповерхностей. В т -мерном пространстве *-мерной
гиперповерхностью будем называть такое множество S, что в окрестности каждой его
точки а (или точки а, предельной для точек из S) все координаты точек множества $
являются непрерывными функциями каких-либо к из этих координат, изменяющихся
в некоторой Дг-мерной области Gk(a). Например,
x хк)ЕС, /= 1 m; (х, xk)EGk(a).
Если при этом точка а является образом граничной точки области Gk(а), то точка а
принадлежит краю гиперповерхности 5. Если все \р( принадлежат Ср, т.е. имеют непре-
непрерывные производные до порядка р включительно, то гиперповерхность 5 принадлежит
классу Ср. Гиперповерхности класса С1 называются гладкими. Если все функции *рг
линейны, а область Gk(a) есть к-мерное пространство, то гиперповерхность называется
гиперплоскостью. Одномерная гиперповерхность есть линия.
В дальнейшем для краткости (т — 1)-мерную гиперповерхность (гиперплоскость)
в /77-мерном пространстве будем называть поверхностью (соответственно плоскостью),
а для других гиперповерхностей будем каждый раз указывать их размерность.
2. Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи
x = f(t,x) A)
с кусочно непрерывной функцией f в области G; x Е Rn, x — dx/dt; M — множество
(меры нуль) точек разрыва функции f.
Большинство известных определений решения может быть изложено следующим об-
образом. Для каждой точки (Г, х) области G указывается множество F{t,x\ в ^мерном
пространстве. Если в точке (f, х) функция f непрерывна, то множество F{t, x) состоит
из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же (t,x) —
точка разрыва функции /, то множество F{t,x) задается тем или иным способом.
Решением уравнения A) называется решение дифференциального включения
xEF(t,x). B)
т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция х(г), определенная на интервале или
отрезке /, для которой почти всюду на / x(t)E F(t, x(t)).
Существенный интерес представляют те способы доопределения F(t,x) в точках
разрыва функции f, при которых полученное дифференциальное включение B) при-
пригодно для приближенного описания процессов в реальных физических системах. Пусть
вне некоторой достаточно малой 5-окрестности множества Мфизическая система описы-
описывается дифференциальным уравнением A). Тогда для построения множества F(t,x)
надо иметь некоторые сведения о поведении физической системы в этой 5-окрестности.
Чтобы оправдать переход к математическому описанию B) физической системы, надо
показать, что при достаточно малых б движение физической системы сколь угодно
близко к некоторому решению дифференциального включения B) (например, стремит-
стремится к нему при б -*0). Строгое обоснование возможности такого перехода при различных
предположениях о поведении системы в 5-окрестности множества М будет дано
в п. 3 § 8, а здесь приводятся наиболее часто применяемые способы доопределения
функции F(t, x) на множестве М.
Следующее доопределение а) применимо, в частности, к системам с малым запазды-
запаздыванием того или иного рода (точнее см. 1° — 3° п. 3 § 8), а также к некоторым систе-
системам с сухим трением.
а) Простейшее выпуклое доопределение [93]. Для каждой точки (Г, х) EG пусть
F{t,x) — наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные
значения вектор-функции f(Г, х*), когда (t,xT) € М,х* -*• х, t = const. Решением
уравнения A) называется решение включения B) с только что построенным F( f, х).
Так как М — множество меры нуль, то при почти всех t G / мера сечения множества М
плоскостью t = const равна нулю ([64], стр. 371). При таких Г множество F(t, x) опре-
определено для всех it,x)E G.
40

В точках непрерывности функции f множество F(t,x) состоит из одной точки
f(t,x) и решение удовлетворяет уравнению A) в обычном смысле. Если же точка
(t, х) ? М лежит на границах сечений двух или нескольких областей Gx,..., Gk плос-
плоскостью Г = const, то множество F(t,x) есть отрезок, выпуклый многоугольник или
многогранник с вершинами ff (t, x), / <к, где
f,(f,x) = Urn fit.x*). C)
(г. х*)ес,-. х*~х
Все точки ff {t, x\ (/ = 1, .... к) содержатся в F(t, x), но не обязательно, чтобы все они
являлись вершинами.
Рассмотрим случай, когда функция f{t, x) разрывна на гладкой поверхности S, зада-
задаваемой уравнением *р (х) = 0. Поверхность 5 делит свою окрестность в пространстве х
на области G" и G\ Пусть при t - const и приближении точки х* к точке хЕ 5 из обла-
областей G" и G* функция f(t, х*) имеет предельные значения
Mm
x*gc;
x*-* x
lim
Тогда множество F(t,x) есть отрезок, соединяющий концы векторов f~(t,x) и
f*[t, x). Здесь и далее считаем, что эти векторы проведены из точки х.
Если этот отрезок при tx < г < г2 лежит с одной стороны от плоскости Р, касатель-
касательной к поверхности 5 в точке х, то решения при этих t переходят с одной стороны по-
поверхности S на другую (рис. 3).
Если этот отрезок пересекается с плоскостью Р, то точка пересечения является кон-
концом вектора f°{t, х), определяющего скорость движения х = f°{t, х) по поверхности S
в пространстве х (рис. 4). Это значит, что функция х(г), удовлетворяющая уравнению
). D)
в силу определения B) считается решением уравнения A). Если f° ?*f~,f°. Ф f *, то
такое решение часто называют скользящим режимом. Разумеется, непрерывная функ-
функция х(г), которая на одной части рассматриваемого интервала времени проходит в об-
области G (или в G+) и там удовлетворяет уравнению A), а на оставшейся части прохо-
проходит по поверхности 5 и удовлетворяет уравнению D), также считается решением
уравнения A) в смысле определения B).
Все ли такие движения осуществляются в реальных физических системах? Здесь надо
различать два основных случая. Пусть f^{t,x\ и f^(t,x) - проекции векторов
f" (Г, х) и f4 (г, х) на нормаль к поверхности S в точке х; нормаль направлена в сторо-
сторону области G\
рис. а
Рис 4.
41

Если с обеих сторон от поверхности S векторы f(t,x) направлены к этой поверхно-
поверхности, т.е. fu > О, ftf < О, то вблизи поверхности 5 с обеих сторон все решения прибли-
приближаются к ней при возрастании Г и ни одно решение не может сойти с 5. Поэтому реше-
решение, которое в какой-либо момент f i проходит через точку, лежащую на S, будет при
Г > f 1 оставаться на 5.
Если же с обеих сторон от поверхности 5 векторы f(t,x) направлены от этой поверх-
поверхности, т.е. fff < О, f? > 0, то решение, проходящее при f = f i через точку поверхности
5, при t > tx может или сойти с поверхности 5 в область G"e или сойти в область G\
или оставаться на S. В последнем случае оно может сойти с 5 в любой момент, поэтому
движение по поверхности 5 в случае f~N< О, f# > 0 неустойчиво и не осуществляется
в реальных системах.
Легко подсчитать, что в уравнении D)
f° =af++A -a)f~ а»-гг^—. 0<<*<1, E)
где fu и fft определены выше. В самом деле, отрезок, соединяющий концы векторов f
и f*. выражается первой из формул E), где а меняется от 0 до 1; из условия f% =
= а/дг + A - a) fu = 0 находим указанное в E) значение а. Если поверхность 5 задает-
задается уравнением у (х) = 0 и V</> = graaV Ф 0, то
(произведения векторов — скалярные).
Если поверхность разрыва функции f[t,x) задается уравнением y(t,x) = 0, то для
отыскания вектора f°(t,x) надо провести такое же построение в пространстве t,x с
(/7+1).мерными векторами (?,f*) и A, f" ) .Тогда вектор f° будет выражаться опять
первой из формул E), но при
{f — f ) Эг
Если весь отрезок с концами f и f* лежит на плоскости Р, то скорость движения f°
по поверхности 5 определяется неоднозначно.
Рис.5.
Аналогичным образом на основе определения B) можно найти скорость движения
по пересечению поверхностей разрыва (рис. 5). Эта скорость определяется однозначно
или неоднозначно в зависимости от того, имеет ли множество F(t,x) одну или больше
общих точек с касательной к этому пересечению. Если общих точек нет, то вблизи рас-
рассматриваемой точки нет решений, проходящих по пересечению этих поверхностей раз-
разрыва. В п. 3 указывается, как определить, какой из этих случаев имеет место, и как
нэйти скорость движения по пересечению поверхностей разрыва.
42

Данное выше определение решения можно видоизменить ([94], стр. 40). Во-первых,
можно множество предельных значений функции f(t,x*) при (Г,**) 9 /If, x?-*x, f .=
= const заменить множеством предельных значений функции f(t*,x*) при(г*, х?) ?
ем, г*-*г,х*-*х.
Оказывается, что в этом случае определение решения будет равносильно первоначаль-
первоначальному для широкого класса уравнений с кусочно непрерывными правыми частями (см.
ниже п. 1 § 6). Теория таких уравнений допускает более простое изложение, но зато
такие уравнения не охватывают уравнений типа Каратеодори.
Во-вторых, можно считать, что данная функция f(t, х) принимает заранее заданные
значения в точках ее разрыва, и не исключать эти точки при определении множества пре-
предельных значений функции Л
В некоторых случаях множество F(t,x) в B) в точках разрыва функции f нельзя
определить, зная только значения функции f в точках ее непрерывности. Например,
в механической системе с сухим трением
и = v, mv = —д(и) - f(v) + e(t)
(т — масса тела, и — его отклонение, 9(и) — упругая сила, f(v) —сила трения, являю-
являющаяся нечетной и разрывной при v - 0 функцией скорости у, e(t) — внешняя сила)
трение покоя f @) может принимать любое значение между своими наибольшим и наи-
наименьшим значениями f0 и -fQ. Если fQ = lim f(v), to применимо доопределение а).
?-* + 0
Если же г > Mm f{v), то движение с нулевой начальной скоростью зависит не только
v->+0
от значений функции f(v) в областях ее непрерывности, но и от величины fo. Доопреде-
Доопределение а) тогда неприменимо. В обоих случаях систему можно записать в виде включе-
включения B). Множество F(t, х) при v Ф 0 - точка, а при v = 0 - отрезок, длина которого
зависит от fQ.
Следовательно, множество F(t,x) не всегда определяется предельными значениями
функции f(t,x\ из A), и в общем случае это множество надо задавать, используя
какие-то сведения о рассматриваемой системе.
Рассмотрим еще пример такого рода ([5], стр. 148; [95]):
x = Ax + byx+cy2, Ki=sgnxw K2=sgnx!,
где А - матрица, Ь,сгх — векторы, хх — первая координата вектора х. Пусть функции
Ух и у2 в физической системе реализуются с помощью различных реле и при х, = 0 ве-
величины У\ и у2 могут принимать любые значения от —1 до +1. Тогда вследствие
неидеальности реле равенство ух = у2 может выполняться не в каждый момент време-
времени. Чтобы это подчеркнуть, пишут уг = sgn^, уг = sgn2xi. Если записать систему в
виде B), то при х, = 0 F(x) есть множество точек
+си2 И<У| <1; -1<ы2<1).
Если векторы b и с не являются одинаково направленными, то это множество сущест-
существенно шире множества точек Ах + (Ь+с)и {—1 <*у < 1), получаемого при доопределе-
доопределении а).
Необходимость охватить такие системы приводит к следующему общему способу
([95], [96]; [5], стр. 151) построения множества F(t,x). Рассмотрим систему
х = f(t, x,ux (t, х) иг (г, х)), (8)
где х G Я", вектор-функция f(t,x,ux,..., иг) непрерывна по совокупности аргументов,
а скалярные или векторные функции uf{t,x\ разрывны соответственно на множествах
Mif i =1, ..., г, которые могут иметь общие точки и даже совпадать. В каждой точке
(Г,х) разрыва функции ut должно быть задано замкнутое множество Uf(t,x) - мно-
множество возможных значений аргумента ut функции f(t,x,.uXl ..., иг). Предполагается,
что при / Ф j аргументы ut и Uj могут независимо друг от друга пробегать соответст-
соответственно множества U((t,x) и Uj (t, x). Обычно это условие выполнено, если функции
Uj(t,x) v\Uj(t,x) описывают различные независимые составные части (блоки) физиче-
физической системы. В точках, где функция ut(t,x) непрерывна, множество U((t,x) состоит
43

из одной точки <// (f, х). В точках разрыва функции uf (t, х) необходимо, чтобы множе-
множество (У/ (t, х) содержало все точки, предельные для точек любых последовательностей
вида vk € U{ (t, хк), где хк -» х, к = 1, 2,... (или vk G Ut (tk, xk), где tk -> t, xk -»x,
к = 1Г 2,...). Обычно требуют, чтобы множество Ut{t, х) было выпуклым (если
Uf (t, x) — скалярная функция, то Ut (f, x) - отрезок или точка). Пусть
F,(f,jr>-f(f,jr,(Mf,x> Ur(t,x)) (9)
— множество значений функции f{t, х, их, ,.^иг), когда t, x постоянны, а их,..., иг не-
независимо друг от друга пробегают соответственно множества Ux {t, x), ...r Ur (г, х). Ре-
Решениями дифференциального уравнения (8) называются решения дифференциального
Рис 6.
включения B), где F(t,x) = Fx(t,x). как в [7], [97], или F(t,x) = coFi (f,x), как
в [95]. Частными случаями такого способа построения функции F(t,x) являются как
доопределение а), так и изложенные ниже доопределения б) ив).
б) Доопределение методом эквивалентного уравнения ([7], стр. 37). Оно приме-
применяется к уравнениям вида (8Oгде f — непрерывная вектор-функция, i/f*(f, x) — скаляр-
скалярная функция, разрывная только на гладкой поверхности S/ («^(х) = 0), / = 1,..., г.
Допускаются пересечения и даже совпадения этих поверхностей.
В точках, принадлежащих одной или одновременно нескольким поверхностям, на-
например поверхностям Slt..., Sm (здесь 1 <т < г), полагают (если решение не может
сойти тут же с такой поверхности или с пересечения этих поверхностей)
X = fit X, l#f«(f, X); ..., Uff(t. X), Um + l (Г,Х) Ur(t, X)), A0)
где эквивалентные управления u\q,..., и%? определяются так, чтобы вектор f в A0) ка-
касался поверхностей Slt..., Sm и чтобы значение uefQ{t, x) содержалось в отрезке с кон-
концами Uf(t,x), uf(t,x), где uf,u] — предельные значения функции ut с обеих сторон
поверхности S/, / = 1, ..., т. Таким образом, функции и*я{г,х), / = 1, ..., т, опреде-
определяются из системы уравнений
V*tix)-fitx.u? uff.um + iitx) ur(t,x) = 0. -/-I т.
Решением называется абсолютно непрерывная вектор-функция, которая вне поверх-
поверхностей St удовлетворяет уравнению (8), а на этих поверхностях и их пересечениях —
уравнениям вида A0) (при почти всех Г).
Например, в случае г = 1 конец Ь вектора f{t,x,ueq{t,x)) лежит на пересечении
касательной к S в точке х с дугой a be, которую пробегает конец вектора f{t,x,u),
когда и меняется от u~{t, x) до u*{t, x) (рис. 6).
Уравнение (8), доопределенное указанным образом, сводится к дифференциальному
включению х G Fx {t, x). Множество Fx (Г, х) определено в (9), где Ut(t, x) — отрезок
с концами uj{t, х) и <//(?, х); для тех ut, которые непрерывны в точке [t, х), l//(f, x)
является точкой ut(tfx). Правая часть A0) есть вектор с концом в точке пересечения
множества Fx(t,x) с касательной к пересечению поверхностей Sx, ..., Sm . На рис. 6
множество Fx (t, x) есть дуга abc,a правая часть A0) есть вектор xb.

Для тех случаев, когда их,.... Цщ входят в уравнение (8) линейно, в п. 3 будет получе-
получено явное выражение для скорости движения A0) по пересечению поверхностей разрыва
s, sm.
в) Общее доопределение из [95]. Оно применяется к уравнениям вида (8), где функ-
функция f непрерывна по t, х, их, ..., иг, а каждая из функций c//(f, х) разрывна только на
поверхности St (</>,(*, х) = 0),/ = 1, ..., г.
Пусть Uj(t, х) и Fi(t, х) те же, что в б), a F2it, x) — наименьшее выпуклое замкну-
замкнутое множество, содержащее множество Fxit,x). Решением уравнения (8) называется
решение включения
xEF2(f,x). A1)
Движение по поверхности разрыва S (<р (х) = 0) может происходить только со ско-
скоростью х Е K(t,x), где Kit,x) — пересечение множества F2it,x) с плоскостью, каса-
касательной к 5 в точке х. В случае, изображенном на рис. 6, множество F2it, x) — наимень-
наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее дугу abc. Если эта дуга лежит в одной
плоскости, то множество F2(t, x) — сегмент между этой дугой и ее хордой, заштрихо-
заштрихованный на рис. 6, a Kit, x) — отрезок, являющийся пересечением этого сегмента с каса-
касательной к 5 в точке х.
Если функция f нелинейна по их,...,иг, то, вообще говоря, множество Kit, x) содер-
содержит более одной точки и скорость движения по 5 определяется неоднозначно.
Сравним определения а), б), в). Уравнение (8) можно записать в виде A) и приме-
применить к нему определение а). Так как при этом множество F2(t, х) содержит множества
Fit, x) и Fiit, х) из B) и (9), то каждое решение в смысле определения а) и каждое
решение в смысле определения б) является также решением в смысле определения в).
Обратное, вообще говоря, неверно (на рис. 6 множество F - хорда ac,Fx — дуга abc,
F2 — заштрихованный сегмент).
Если же функция f линейна по их,..., иг, то F2 = Fx и определения б) и в) совпа-
совпадают. Если, кроме того, все поверхности St различны и в точках их пересечения векто-
векторы нормалей линейно независимы, то множества F,F\,F2 совпадают, тогда и все три
определения а), б), в) совпадают.
Имеются также другие определения решения как для общего случая, так и для слу-
случая правой части, разрывной на одной или нескольких поверхностях. Определения в ра-
работах [97] - [99] близки к изложенным выше. В работах [7], [95], [100] - [103] рас-
рассматриваются предельные переходы, приводящие к тому или иному определению
решения. Определения из работ [104] - [109] неудобны по тем или иным причинам
(в [104], [105] движения по поверхностям разрыва считаются невозможными, а в
[106] — [109] понятие решения зависит от выбора направлений осей координат
Х\,.... х„), не отражают характера движения в реальных системах и не нашли примене-
применений. В работах [110], [111] для уравнения Каратеодори ослабляется требование непре-
непрерывности правой части по х. В работах [112] - [117] проводится обзор различных
определений решения и их сравнение. Обзор истории вопроса о понятии решения раз-
разрывной системы имеется в [95].
3. Укажем основные случаи, когда скорость движения по пересечению поверхностей
разрыва Si,..., Sm определяется однозначно, и приведем выражение для этой скорости
в некоторых случаях.
Рассмотрим случай ( [7], стр. 39), когда в уравнение (8) управления их, ..., ит.
разрывные соответственно на поверхностях 5f- («Pj(x) = 0), / = 1,...,т, входят линей-
линейно и векторы pt = V<i;(x), / = 1,..., л?, линейно независимы при хЕ 5. В этом случае
определения а), б), в) совпадают. Тогда уравнение (8) вблизи поверхностей
$i * — # Sm и их пересечения S можно записать в виде
x = fo(f,x) + fi(u)aluL A2)
где uit, х) - вектор iux,..., ит ) Т/ В it, х) — матрица пХт, "Г — знак транспонирова-
транспонирования, 1 <т <г. Остальные управления ит+ г, ...,иг непрерывны на S, и несущественно,
каким образом от них зависят непрерывные функции f0 и В.
Чтобы получить движение по пересечению поверхностей Sx. ..., Sm, надо так подо-
подобрать вектор и — ueq в A2), чтобы вектор х касался Sx, ..., Sm, т.е. был ортогонален
45

всем векторам р{, i = 1, ..., /и. Пусть G — матрица т X/?, строки которой — векто-
векторы р/. Тогда
Gx = Gf0 + GBueq = 0, </'« = -iGB)-lGf0, A3)
если det Gfl Ф 0. Если каждая координата найденного вектора ueq удовлетворяет
неравенству
' ' ' A4)
(или u;(r,x)<fif«(f,x)<fir(r,x)),
то, подставляя вектор ueq в A2), получаем вектор скорости движения по пересече-
пересечению S,
x = fQ-B(GB)-lGf0. A5)
Если хотя бы для одной из координат ие$ условие A4) не выполнено, то движений
по S не существует. Их нет и в случае, когда det GB = 0 и rang GB < rang(G?, Gf0),
где в правой части стоит ранг матрицы GB, дополненной столбцом Gf0. Дальнейшее
исследование случая det GB = 0 см. в [7] (стр. 70).
Уравнение [118]
x = ?i(f,x) + ... +gm[t,x), A6)
где каждая из функций gt(t, х) разрывна на своей поверхности S§ (^f(x) = 0), а реше-
решения понимаются в смысле определения а), сводится к A2). При этом предполагается,
что пересечение S поверхностей Slt ..., Sm есть гладкая (л—л?)-мерная гиперповерх-
гиперповерхность и что окрестность каждой точки х? S делится поверхностями Slt ..., Sm на 2т
областей так, что каждые две области лежат с разных сторон хотя бы одной поверхности
(это условие выполнено, если векторы V^.(x), / = 1, ..., т, линейно независимы при
xes).
Чтобы свести уравнение A6) к A2), обозначим 0y"(f, х) (?;*(Г, х)) непрерывное
продолжение функции gf- (t,x) из односторонней окрестности Sj~ (соответственно из
S*) поверхности S. в ее двустороннюю окрестность,
9^^-. hr^i. fo=9U...+9°m. .
Тогда уравнение A6) записывается в виде
т
). A7)
/= i
где Uj = — 1 в Sf, Uj = 1 в Sj. Уравнение A7) совпадает с A2), если B(t, x) — матри-
матрица со столбцами Л/, у = 1, ..., /п. Условия A4) принимают вид —1 < иеЯ <1,у =
= 1, ..., /п. Строки матрицыG теперь — любые линейно независимые векторы рх (х), ...
•tPm М, ортогональные S в точке х, не обязательно совпадающие с V *р((х).
Рассмотрим еще один довольно общий случай* когда скорость движения по пересече-
пересечению поверхностей разрыва для решений в смысле определения а) определяется
однозначно.
Пусть S — гладкая /-мерная поверхность в /?-мерном пространстве х. Пусть к S при-
примыкает к л-мерных областей Glf ..., Gk, в каждой из которых при а < t < b вектор-
функция f{t,x) непрерывна вплоть до границы, т.е.
fit,x) = fi{t,x). xGG,, /-1 к,
V непрерывна в замыкании области G,. Таким образом, S является пересечением гра-
границ всех областей Gx,..., Gk.
46

При фиксированных f 6 (a, b), х Е S наименьшее выпуклое замкнутое множество
F(t,x), содержащее точки fJit,x),j = 1,..., к, есть множество всех точек вида
v = alf1{f,x) + ... + a*f*(f,x). ay>0, 2a/» 1. A8)
Для решения x(f) уравнения A) почти всюду x(t) E F{t,x{t)). Если это решение идет
по гиперповерхности S, то почти всюду x{t) G P(x(t)). где Р(х) — /-мерная гипер-
гиперплоскость, касательная к S в точке х. Следовательно, почти всюду
iit)GKit.x{t)). K(t,x) = F(t,x)nP(t,x).
и для существования такого решения множество K(t, x) должно быть не пусто.
Пусть р,, ..., pn_i — какие-либо линейно независимые векторы, ортогональные S в
точке х. Тогда K(t,x) есть множество тех векторов вида A8), которые ортогональны
векторам рх, ...,р„_ t. Для таких векторов v G Kit, x) коэффициенты a,,..., ak удов-
удовлетворяют системе 1+/?—/ уравнений
1# ctiPif1 + ... + a^feP/f* =0, /= 1,..../?- /. A9)
Следовательно, для непустоты множества K{t, x) необходимо и достаточно существо-
существование неотрицательного решения a i > 0, ..., <хк > 0 системы A9). Для того чтобы ско-
скорость f°(t,x) движения по S определялась однозначна необходимо и достаточно,
чтобы множество K(t,x) состояло только из одной точки т.е. достаточно, чтобы систе-
система A9) имела одно неотрицательное решение и не имела других неотрицательных
решений.
Пусть М* — матрица коэффициентов системы A9), матрица М получается изМ* от-
отбрасыванием первой строки, состоящей из единиц, а матрица Л#/ получается из М вы-
вычеркиванием /-го столбца. Если к = п—1 + 1, то пусть
det М * = D. (-1 )'+1 detAf/ = AXj•,.
т.е. A\j — алгебраические дополнения элементов первой строки детерминанта D, и
А1Х +Л12+ ...+ Л1Л = О.
Теорема 1 [118]. а) Если гапдЛ!* = гапдМ, то множество K[t,x) пусто.
б) Если
к = /?-/+ 1. rang М* = к > гапдМ,
то в случае, когда среди чисел A^j, j = 1,.... к, нет чисел разных знаков, множество
K(t, x) состоит из одного вектора
u B0)
а в противном случае множество K[t, x) пусто.
Доказательство. В случае а) первая строка матрицы М* является линейной
комбинацией остальных строк. Вычитая из первого уравнения системы A9) эту линей-
линейную комбинацию остальных уравнений, получаем противоречие 0=1. Следовательно,
система A9) не имеет решений, и множество K(t, x) пусто.
В случае б) детерминант системы A9) равен D Ф 0 и система имеет единственное
решение. Применяя правило Крамера а/ = Dj /D и замечая, что D/ = А у , получаем
B0).
Если среди чисел AtJ- нет чисел разных знаков, то среди а, — тоже и из 1-го уравне-
уравнения A9) следует, что все а/ > 0. Если же среди чисел А 1у есть числа разных знаков, то
среди а/ —тоже. Тогда f° {t, x) в B0) не принадлежит выпуклому множеству F{ t, x)
и К( t, x) пусто.
Замечание 1. При *< п - / + 1 утверждение а) сохраняется, а утверждение б)
останется справедливым, если из системы A9) вычеркнуть уравнения, линейно зависи-
зависимые от остальных, и для полученной системы построить матрицы М*, М, Mj .
Замечание 2. Пусть после вычеркивания имеем rang Л#* = г > rang M. Если из
матрицы М* можно вычеркнуть такие k-r столбцов, что у полученной матрицы среди
47

алгебраических дополнений Axj элементов первой строки нет чисел разных знаков, то
множество K(t, х) не пусто, а если таких к-г столбцов не найдется, то пусто.
Замечание 1 и первая часть замечания 2 доказываются подобно теореме 1. При этом
полагаем равными нулю те ау-, которые соответствуют вычеркнутым столбцам. Вторая
часть доказывается с использованием свойств выпуклых множеств (см. [118]).
§ 5. Выпуклые множества и многозначные функции
Здесь излагаются известные свойства замкнутых и выпуклых множеств в л-мерном
пространстве, используемые в дальнейшем, и необходимые сведения о многозначных
функциях.
1. Числа и точки л-мерного пространства Rn везде далее обозначаются малыми буква-
буквами, а множества и матрицы — большими. Если а иб- точки с координатами ах, ...,ап
и &1, ..., Ьп соответственно, а)- число, то а + Ь, а — Ь, уа_ —точки с координатами
(соответственно) а/ + bt, а, -?>,-, 7*/ (' = 1»--.п) .ЧерезА обозначается замыкание
множества А, через ф - пустое множество. Расстояние между точками или множествами
обозначается буквой р:
р(а,6) = |а-*>|= V (a, -hrf +... + (а„ - ЬпJ]
р(а,В) = inf р(а,Ь). р{А,В) = inf pia.b).
Множество А называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Множество А называется выпуклым, если для любых двух его точек а и b все точки
отрезка, соединяющего а и 6, принадлежат этому множеству, т.е. если для любых
а ЕА, Ь€ В имеем аа + A-а|6ЕЛ для всех а,0<а<1.
Легко доказываются следующие известные утверждения:
1) Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
2) Пересечение любого множества замкнутых (или выпуклых)множеств есть замкну-
замкнутое (соответственно выпуклое) множество.
3) В непустом замкнутом множестве А всегда есть точка а, ближайшая к данной точ-
точке Ь, т.е. такая, что j){b, а) = р{Ь, А).
4) р(Ь, А) = р(Ь:А), р(А, В) = р(А,В).
5) Функция i(x) = p(x, А) непрерывна,
|р(х,/0-р(к,Д>1 < Р(х,у).
Лемма 1. Если непустые замкнутые множества Аи Вне имеют общих точек, В ог-
ограничено, то существуют такие точки аЕА, ЬЕВ, что
р(А. В) = р(а, Ь) > 0.
Доказательство. Функция \р(х) = р(х, А) непрерывна. Поэтому inf p(x,A) до-
х€ В
стигается в некоторой точке b ? В. В силу 3) найдется такая точка aGA, что р (b, A ) =
= (АЬ, а) > 0 (так как» П В = 0). Для любых точек х? В, yGA имеем
р(х,у)>р{х,А)>р{Ь,А) = р(Ь,а)>0.
Следовательно, р(В,А) > (ЛЬ,а) > 0. Но a G A, b € В, поэтому р(В,А) <р(а,Ь).
Итак,р<Я,У*) =р(Ь,а) >0.
Если оба множества А и В — неограниченные, то утверждение леммы 1 неверно. При-
Пример: А — одна ветвь гиперболы, В — асимптота гиперболы.
, Лемма 2. В непустом замкнутом выпуклом множестве А есть только одна точка а,
ближайшая к данной точке Ь, т.е. такая, что р[Ь,а) = р{Ь,А).
Доказательство. Ближайшая точка существует (см. 3)). Предположим, что
имеются две такие точки э, иа2|ис/- середина соединяющего их отрезка.Тогда
dGA, p(b, d)<p(b, a,) = р(Ь, а2),
48

так как множество А выпукло, a bd — высота равнобедренного треугольника axa2b.
Значит, точки a i и а2 — не ближайшие к Ь.
Следующие леммы имеются, например, в [119].
Лемма 3. Пусть b? A, A — непустое замкнутое выпуклое множество.
Тогда существует (п — 1) -мерная плоскость, разделяющая точку b и множество А.
Доказательство. Пусть а — ближайшая к b точка множества А. Проведем
плоскость Р 1 ab через любую неконцевую точку m отрезка ab. Если бы нашлась точка
с Е А, лежащая или на Р, или с той же стороны от Р, что и точка Ь, то угол Ьас был бы
острым и нашлась бы точка dЕ ас. которая ближе к Ь, чем точка а (рис. 7) .Так как
а 6Д сЕД, А выпукло, то dE А.Это противоречит тому, что а - ближайшая к b
точка множества А.
Рис.7.
Рис.8.
Лемма 4. Замкнутое выпуклое множество А есть пересечение всех содержащих
его замкнутых полупространств.
Доказательство. Пусть М - такое пересечение. Тогда А СМ. Пусть b ? А.
По лемме 3 найдется плоскость Р, делящая пространство на две части G и 5, причем
А С Q, b Е S. Тогда А содержится в замкнутом полупространстве Q, a b?Q. Значит,
б€Л#.Итак,4= М.
Лемма 5. Если А и В - замкнутые выпуклые множества в Яп без общих точек,
множество В ограничено, то существует (п - 1) -мерная плоскость, разделяющая Аи В.
Доказательство. Пусть точки a Е 4 и Ь Е ? те же, что в лемме 1. Плоскость
Р 1 ab, пересекающая отрезок ab в неконцевой точке, разделяет А и В. Это доказы-
доказывается подобно лемме 3.
Лемма 5 неверна, если оба множества А и В — неограниченные Пример: А — выпук-
выпуклое множество на плоскости, ограниченное одной ветвью гиперболы, В - асимптота
гиперболы.
Для выпуклого множества A Е Я" (п- 1)-мерная плоскость Р называется опорной,
если с одной стороны от Р нет точек множества А, но такие точки есть или на Р, или с
другой стороны от Р сколь угодно близко к Я.
Лемма 6. Через любую точку границы Г замкнутого выпуклого множества А
можно провести опорную плоскость.
Доказательство. Пусть а Е Г, точки bj $ A, bt -»* (/ -*-«>). По лемме 3
точка bf отделена от А плоскостью AY Пусть vt — вектор длины 1,f/ I Pi, Vj направ-
направлен от а к Я/. Тогда для всех х ? А, / Е Pt имеем vt • х< v\ • у < vt • bi% Из последо-
последовательности У/ выберем сходящуюся подпоследовательность vik~+v- Переходя по ней к
пределу, получаем v • х < v • а для всех х Е А, т.е. множество А лежит с одной стороны
от плоскости v «x= v «а, а точка а —наэтой плоскости. Следовательно, эта плоскость —
опорная.
Наименьшее выпуклое (выпуклое замкнутое) множества содержащее множество А,
обозначается со А (соответственно со А). Множество со А (со А) всегда существует и
является пересечением всех выпуклых (соответственно выпуклых замкнутых) мно-
множеств, содержащих А. В силу леммы 4 6оА является также пересечением всех замкну-
замкнутых полупространств, содержащих А.
4. А.Ф. Филиппов

Примеры. 1) Множество А состоит из двух точек а и Ь, тогда со А — отрезок ab.
2) Множество4 состоит из трех точек а, Ь, с, тогда ооА —треугольник abc.
3) Множество 4 заштриховано на рис. 8, тогда со А — полукруг abc.
Выпуклой комбинацией точек х0, xj, —»** называется каждая точка, записываемая
в виде
A)
где
af>0 (/ = 0,1 k), a0
Выпуклая комбинация является линейной комбинацией. Не всякая линейная комбина-
комбинация является выпуклой, а только такая, у которой коэффициенты удовлетворяют
условиям B).
Лемма 7. Если множество А состоит из конечного числа точек, то со А есть мно-
множество всех выпуклых комбинаций этих точек.
До казательство. Непосредственно проверяется, что множество В точек вида
A) при условиях B) замкнуто и выпукло; В D А, следовательно,*? D со А.
Любое замкнутое полупространство Q можно записать в виде с • х<7 (с — вектор).
Если точки х, Е Q, т.е. с -х,- <у, / = 0, 1, ..., к, то для каждой точки хбвиз A) и
B) следует с* х < у, т.е. х G Q. Значит, В С Q. Множество со А есть пересечение всех
таких полупространств G, поэтому В С со А. Итак, В = соА.
Лемма 8. Пусть с — вектор, А — множество и для всех х Е А справедливо нера-
неравенство с • х <7- Тогда оно справедливо и для всех хЕсЪА.
Доказательство. По условию, множество 4 лежит в полупространстве G, оп-
определяемом неравенством с х <?. Так как со А есть пересечение всех замкнутых полу-
полупространств, содержащих А, то со А С Q, т.е. с • х <7 для всех х Е со А
Теорема Каратеодори. Для любого ограниченного замкнутого множества
А С R" любая точка х Е со У* представима в виде A), где х,- Е A, i = 0, 1, ..., к,
числа а,- удовлетворяют условиям B) и к <п.
Доказательство см.в [119]* (стр.9).
Следствие. Если множество А замкнуто и ограничено, то соА= со А.
Замкнутой е-окрестностью М€ множества М называется^ множество таких точек х,
что р(х, Af) < е. Очевидно, М* — замкнутое множество; (М)€ = М€. Для любой точки
а ?М€ имеем
Лемма 9. Если множество А ограничено, то
(соА)€=со(А€). C)
Доказательство. Пусть b ? (со АN, т.е. (АЬ, со А) = a > e. Найдется такая
точка а Е ЪЪА, что fAb, а) = а. Поместим начало координат в^вчку 6_и направим ось
Ох\ от b к а. Возьмем любое 0, б < 0< а. Как в лемме 3, множество со4 лежит в об-
области X! > 0, множество А - тоже. Тогда А€ лежит в полупространстве хх > /5 — е,
со (А€) - тоже (лемма 8) и b € со (А€ ).
Пусть b € со {А€). Направим ось Ох\ от точки b к ближайшей точке с множества
со (А€). Тогда (АЬ, с) = у > 0; со/*е лежит в области Xi > 5 @< 5 < у) ,А€ -тоже.
Значит, А лежит в полупространстве х, > 6 + е, со>4 - тоже, а (со/*N — в полупрост-
полупространстве Xi > д. Значит, b $< (соА)€.
Итак, соотношения b & (со4)е и Ь& со(А€) равносильны. Лемма доказана.
Следствие. Если множество А выпукло, то А€ — тоже.
В силу леммы 9 вместо {соА)€ и соИ€) можно писать короче: соА€.
2. Если для всех х Е М определена функция f{x), то f(M) —множество значений
f(x) для всех х G Af. В частности, fix) может быть линейной: f (х) = Ах + Ь, А — матри-
матрица, тогда f(Af) =AM+b.
Аналогично, если с — число или вектор, то cAf — множество всех значений произведе-
произведения сх, где с пробегает множество Af; Af + N (или f{M, N)) — множество значений сум-
суммы х + у (или функции f(x, у)), когда х пробегает множество Af, а у — множество /V.
50

Лемма 10. Если множество М ограничено, замкнуто, а функция f(x) непрерывна,
то множество f[M) замкнуто. Если же М выпукло, f(x) = Ах+ Ь,то множество f(M)-
= AM -+ b выпукло.
Доказывается непосредственно с помощью определений.
Лемма 11. Если множество М ограничено и замкнуто, то
со(АМ+ Ь)=АсоМ + Ь.
Доказательство следует из леммы 10 и из того, что соМ есть пересечение
всех замкнутых полупространств, содержащих М, а линейное преобразование переводит
полупространство в полупространство.
Необходимость использования выпуклых множеств при исследовании дифферен-
дифференциальных включений видна, например, из следующих лемм.
Лемма 12 (о среднем значении вектор-функции). Если М — ограниченное замкну-
замкнутое множество, v(t) ЕМ при а< t < b, то
/ v(t)dtE СО М. D)
a
То же справедливо для среднего значения вектор-функции v(x) на любом измеримом
множестве конечной меры.
Доказательство. Беря разбиение области интегрирования (по Риману или
Лебегу), получаем Усред = WmS,
А/ А,
5 = 2 —v(ti), - = а,->0, 2а, = 1.
Ь—а Ь—а
Таким образом, интегральная сумма 5 есть выпуклая комбинация значений И*,-) Е М,
поэтому SEcoM, UmSEcoM = соМ.
Лемма 13. Пусть при a<t< b вектор-функции xk(t) абсолютно непрерывны,
хк {t) -+ х( t) и для каждого к = 1, 2,... почти всюду xk{t)E М,М- ограниченное замкну-
замкнутое множество.
Тогда вектор-функция х{ t) абсолютно непрерывна и х( f) G соМ там, где х (г) сущест-
существует, т.е. почти всюду на (а, Ь).
Доказательство. Так как I xk(t) К /, то для t, t" Е (а, Ь)
I **(f") -xk(t') | = |/ xk(t)dt | < /1 fи - f' |. E)
t'
При А:->«получаем, что функция х(t) удовлетворяет такому же неравенству, значит,
абсолютно непрерывна. По лемме 12
qr* = = / хк {s) dsE со М.
h h t
Поэтому
Mm qk = EcoM. F)
Функция х(г) абсолютно непрерывна, поэтому почти всюду существует х(f). В силу F)
х(Г)ЕсоЛ#.
Замечание. Если множество М невыпукло, то при условиях леммы 13 нельзя
гарантировать, что x(f) EM. Например, для последовательности "пилообразных" функ-
функций (рис. 9)
2/ / 2/ 2/ +
2/+ 2 /2/+1 2/ + 2\
xk(t) = -t I <r< J/
к V к к /
i = 0, 1, 2,..., имеем почти всюду kk(t) EM, множество М состоит из двух точек:
«* 51

1 и —1. При *->«
x*(f)-x(f)=O,
Таким образом, для дифференциального включения х(Г) EAf в случае невыпуклого
множества М предел равномерно сходящейся последовательности решений может не
быть решением.
3. Близость двух непустых замкнутых множеств А и В в метрическом пространстве,
в частности в Rn, можно характеризовать числами [120]
*)= sup p(a,B), 0(S,*)=sup pib,A),
В
); P(B,A)} .
На рис. 10 fi{A,B)=pia.b). p(B,A)=p(c,d), ot(A, В) = max {р{а,Ь); p(c.d)) .
Xk(V
Рис 9.
Рис 10.
Если А и В — ограниченные множества, то эти числа конечны. Неравенство ${А, В) <
< е равносильно тому, что множество А содержится в замкнутой е-окрестности мно-
множества В, т.е. А С В6, а а [А, В) < е — тому, что каждое из множеств А и В содержится
в замкнутой е-окрестности другого.
Для любых непустых замкнутых множеств А В, С
0 < рИ, В) <р{А, В) <<*{А, В), а[А, В) = а(В,А),
). G)
Докажем G). Пусть а(А, В) = 5, а(В, С) = €. Тогда/* С В6, В С Се,поэтому А ССЬ +е,
, 5 С А8, С С ^поэтому ССЛ64^6^!^ А) < 5 + е. Следовательно,
, С) <5 + е. Неравенство G) доказано.
Таким образом, непустые замкнутые множества образуют метрическое пространство,
в котором роль расстояния играет а (А, В), называемое отклонением множеств А и В
по Хаусдорфу.
Если А С /г", то sup I а I обозначаем IА |.
а&А •
Пусть каждой точке р из множества D С Rm поставлено в соответствие непустое
замкнутое множество F(p) С Rn. Тогда F(p) — многозначная функция. Ее график —
множество таких точек (р, q) E Rm X Rn, что р ? 0, q € F(p). Многозначные функции
в дальнейшем обозначаются большими буквами, однозначные числовые и векторные
функции — малыми. Используются обозначения
U F[p), \F(M)\= sup | к |.
p e Af у е F(A#)
Многозначная функция F называется ограниченной на множестве М, если I F(Af) I < °°,
т.е. если все значения функции F в точках множества М содержатся в некотором шаре.
Многозначная функция F(p) называется [120] ot-непрерывной (или непрерывной) в
точке р,если a(F(p'), F(p)) -» 0 при р'^-р; функция F(p) называется ^непрерывной
(или полунепрерывной сверху относительно включения) в точке р, если P{F(p ), F(p)) ->
-» 0 при р -»р. Функция F(p) называется а- или ^-непрерывной на множестве D, если она
52

а- или ^-непрерывна в каждой точке этого множества. Так как всегда Р(А, В) < а{А, В),
то из a-непрерывности функции следует ее ^-непрерывность.
Лемма 14. Пусть множество Dзамкнуто, а многозначная функция F(p) ограниче-
ограничена в окрестности каждой точки pED.
Тогда для ^-непрерывности функции F[p) на множестве D необходимо и достаточно,
чтобы ее график Г был замкнутым множеством.
Доказательство. Пусть функции F (р) /J-непрерывна, а (р, а) — предельная
точка ее графика. Это значит, что существуют последовательности
Pi^pGD, qf^q, qr/^FJp/), /=1,2,...
Тогда
piQj, Fip))<fiiFifii), F(p)) -> 0, piq, F{p\) = 0.
Так как множество F{p) замкнуто, то q ^F(p), т.е. (p, q) E Г.. Следовательно, Г — замк-
замкнутое множество.
Пусть функция F(p) не 0-'непрерывна на О. Тогда найдутся такие точки р ЕD и р/ ->р,
что
j3(F(p/),F(p))>e>0, /=1,2,...
Значит, имеются такие ?, EF(pf)t чтоp(qit F{p)) > е. В силу условия леммы последова-
последовательность (<//} ограничена. Выберем из нее сходящуюся подпоследовательность q{k -» q.
Тогда р (q, F(p)) > e. Итак,
(pik, qik) G Г, (pik, qik) ¦* (p, q) ? Г,
т.е. множество Г не замкнуто.
Лемма 15. Пусть функция F ^-непрерывна на компакте К и для каждого р€К
множество F (р) ограничено.
Тогда функция F ограничена на К.
Доказательство. В противоположном случае найдутся
PieK, qi^FiPi), \q,\^oo (/=1,2,...).
Выберем сходящуюся подпоследовательность р, .-*-р Е К. Из условий леммы следует, что
Тогда I <7/1 < а + €. Это противоречит предположению I <7/1 -* °°.
Лемма 16. Если для каждого pED множество Н(р) не пусто, замкнуто, ограниче-
ограничено и многозначная фукция Н ^непрерывна (или (^непрерывна), то и функция F(p) -
= со Н(р) ^-непрерывна (соответственно a-непреры в на).
Доказательство. Для любых ро € О и в > 0 существует такое 5 > 0, что для
всехрЕ (роN имеем Н(р) С (Н(ро))€. По лемме 9
соЩр)Ссо[(Н(Ро))€] = [со"(Ро>]€,
т.е. F (р) С (F{po))€. функция F ^-непрерывна.
Если же функция Н ^-непрерывна, то справедливо сказанное выше и, кроме того,
Н(р0) С (Н(р))€. Отсюда, подобно.предыдущему, следует, что ^(р0) С (F(p))€. Значит,
функция F а-непрерывна.
§ 6. Дифференциальные включения
Здесь исследуются свойства правых частей дифференциальных включений, к которым
были сведены в § 4 дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями.
Устанавливается связь дифференциальных включений с уравнениями в контингенциях.
Рассматриваются некоторые свойства измеримых многозначных функций.
1. Исследуем свойства многозначных функций, получаемых с помощью приемов,
использованных в § 4.
Лемма 1. Пусть f(p) — ограниченная однозначная функция, р Е D С Rm, f(p) E Rn.
Для каждого р0 Е D пусть А/(р0) — множество всех предельных значений функции
f{p) при р -» ро, дополненное значением f(p0) в случае р0 Е О.
53

Тогда функции Hip) и F(p) = со Н(р) ^непрерывны.
Доказательство. При каждом р Е 5 множество Н(р) замкнуто, H(D) ограни-
ограничено. График функции Н есть замыкание графика функции f. поэтому он замкнут. В
силу лемм 14 и 16 из § 5 функции Н и F /^-непрерывны.
Лемма 2. Пусть f(p, их,..., иг) однозначна и непрерывна. Если многозначные
функции Ux (р),..., Ur(p) в точке р0 ограничены и fi-непрерывны, то функция Н(р) =
= f(p, Ux (р),.. ., Ur(p)) ограничена и ^-непрерывна.
Доказательство подобно доказательству элементарной теоремы о непрерыв-
непрерывности сложной функции в точке р0; дополнительно используется равномерная непре-
непрерывность функции f на ограниченном замкнутом множестве - замкнутой окрестности
множества точек с координатами р=ро,их Е Ux {р0),. .. ,иг Е Ur(p0).
Рассмотрим дифференциальное уравнение х = f(t,x)c кусочно непрерывной вектор-
функцией f{t,x), как в п. 1 § 4, или уравнение (8) § 4. Каждое из доопределений
а), б), в) § 4 заменяет данное уравнение дифференциальным включением вида
xeF(t,x), A)
Множество F[t, x) — непустое, ограниченное, замкнутое, а при доопределениях а) и в) —
еще выпуклое. Яешем/ем дифференциального включения называется абсолютно непре-
непрерывная функция, определенная на интервале или отрезке и почти всюду удовлетворяю-
удовлетворяющая этому включению.
Лемма 3. Полученная при доопределении а) многозначная функция Fit, x) ^-не-
^-непрерывна по х,апри доопределениях б) ив) -по t,x.
Доказательство. В случае а) это следует из леммы 1 при р = х. В случае б)
уравнение (8) § 4 равносильно дифференциальному включению х Е Fx(tf x) с функцией
(9) § 4, где функции Ut{t,x) /3-непрерывны по t х в силу леммы 1 при р = it, x), a
функция Fx(t,x) — по лемме 2. В случае в) в формуле A1) § 4 функция F2[t,x) =
= coFj it, х) /^непрерывна по tt x в силу леммы 16 § 5.
Покажем, что и в случае а) § 4 функцию F(t,x) в A) можно заменить функцией,
/^непрерывной по t, x, если для каждой из областей G/ непрерывности функции fit, x)
выполнено следующее условие.
Условие у. Для области G/ при почти всех t сечение границы области плоскостью
t = const совпадает с границей сечения области той же плоскостью.
Границей дМ множества М называется множество точек, для каждой из которых в
сколь угодно малой окрестности имеются и точки множества М, и точки, не принадле-
принадлежащие М. Сечением Mt множества М плоскостью/9 it « const) называется множество
#, tz
U*
Рис. 11.
МПР. При определении границы Э(Л^) сечения множество М, рассматривается как
множество в плоскости Р, т.е. для точек из Mt рассматриваются окрестности, лежащие
в этой плоскости. С помощью введенных обозначений условие 7записывается так:
ibGt)t = Э iGit) при почти всех t. B)
Выполнение условия B) обычно легко проверяется. Например, для области, изобра-
изображенной на рис. 11, ibG)t =?d(Gt) лишь при t = tif t2,t3,t4, следовательно, условие у
выполнено. Условие у выполнено для очень широкого класса областей, например, для
всех локально связных областей.
Пусть Нit, х) — множество предельных значений функции fit, х') при х' -* х, f = const,
a Hoit,x) то же для fit',x') при г'-* г, х'-*х.
54

Л е м м а 4. Если области G/ непрерывности функции f(t,x ) удовлетворяют условию
у (короче: функция f удовлетворяет условию у), то при почти всех t (t?TQ, цТ0 = 0 ,
/i - мера Лебега) имеем Ио (г, х) = H(t, x).
Доказательство. Для каждой области G, равенство B) выполнено для всех
t e Tt, ц Т{ = 0. Возьмем такую точку (t, х), что t ? То = U Г,.
Если it, x) G G/, то в этой точке функция f непрерывна и
H0(t,x)=H(t,x) = f(t,x).
Если (t,x) лежит ~на границе одной или нескольких областей G/, то каждая точка
vGH0{t,x) есть \\mf(tk,xk) по некоторой последовательности (tk, xk) -* (t,x), содер-
содержащейся в одной из областей G/. Так как it, х) E (dG/)r = b(Git), то в G/f тоже найдется
последовательность (t,x°m) -> (f, x). Функция А кусочно непрерывна, поэтому
y=lim f( r^x^)=lim ^(r,x^) CH(t,x).
k-+ <*> m -* «»
Значит, f/0(f, x) С f/(^ x). Обратное включение очевидно.
Следствие. При условии у дифференциальные включения
х е Fit, x) = caH(t, x), xeF0 (f, x) = соН0it, x) C)
равносильны, т.е. имеют одни и те же решения. Функция Fo ^-непрерывна по t, x.
В самом деле, решение должно удовлетворять включению почти всюду, но в силу
леммы 4 ^ofr,*) = F(t,x) при почти всех t. По лемме 1(гдер = it, х))функции Но и Fo
^непрерывны по t, x.
Итак, доопределение а) § 4 сводит уравнение х = fit, x) при условии у к включению
х Е Fo it, x) с функцией F0(t, x) , ^непрерывной по t, x. Переход от первого из включе-
включений C) ко второму производится по той причине, что для второго доказательство
теоремы существования и исследование свойств решений проводится значительно
проще.
2. Дифференциальное включение A) при достаточно широких предположениях рав-
равносильно [120L [121] уравнению в контингенциях [122] и уравнению в паратингенциях
[33]. Понятия контингенции и паратингенции первоначально имели чисто геометричес-
геометрический смысл (обобщение понятия касательной). В теории дифференциальных включений
они рассматриваются как "многозначные производные" от вектор-функций.
В следующих определениях бесконечность считается предельной точкой последова-
последовательности {//} , если последовательность {I к,-1} не ограничена.
Контингенцией или контингентной производной [120] - [123] вектор-функции
х(t) в точке г0 называется множество Contx(?0) всех предельных точек последова-
последовательностей
х(Г/) -х(Г0)
—' — (f,-»f0, /-1.2,...). D)
tt
Паратингенцией [33] вектор-функции х( г) в точке Го называется множество
Paratx(f0) всех предельных точек последовательностей
xit( ) -х(Ы
: Uj^to, tj-»t0, /,/=1,2,...). E)
U - tj
Для любой функцииx(f) всегда Contx(f) С Paratx(F), так как в E) не исключается
случай tj = t0. Если в рассматриваемой точке t0 существует производная x'(f0), то
Contx (f0) ~х (t0), а если производная существует и в окрестности точки f0 и непрерыв-
непрерывна в этой точке, то Contx(f0) = Paratx(f0) =x'(r0)-
Лемма 5. Если | Contxit) Km на интервале ia,b), вектор-функция x(t) непре-
непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь, то она на отрезке [а, Ь] удовлетворяет усло-
условию Липшица с постоянной т.
Доказательство. В противном случае на (а, Ь) найдутся такие точки ах, Ь\,
что а! <Ь\,
\xibx)-xial)\>mx |Ь, -a, L тх>т. F)
Тогда хотя бы для одной из половин отрезка [а{,Ьх ] справедливо неравенство, подоб-
подобное F), с тем же тх. Обозначим эту половину [а2 ,Ьг ] ненова разделим пополам.
55

Продолжая процесс, получаем последовательность вложенных отрезков [at, bt],
Ь-а^Т'+НЬг -а,), /«1,2,...
Для каждого из них справедливо неравенство, подобное F), с тем же я?,. Пусть t0 -
общая точка этих отрезков. Тогда для каждого / или
IxUo)-*(*/) \>ml(i0 -a,),
или
Следовательно, длина вектора D), где tt = at или tt «=/>/, не меньше тх. Значит, из после-
последовательности векторов D) можно выбрать подпоследовательность или неограниченно
возрастающую, или стремящуюся к конечному пределу .у, \v\>mx >m. Обе возмож-
возможности противоречат условию леммы.
Теорема 1 [121]. Пусть при любых (t,x) из замкнутой области Q множество
F(t,x) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое и многозначная функция F
^-непрерывна. Пусть it,x{t)) € Qпри a<t<b.
Тогда следующие утверждения равносильны:
А. На отрезке [а, Ь) функция x{t) абсолютно непрерывна и почти всюду x'(t) €
eF(t,xlt)).
Б. При всех t € (а, Ь) множество Contx it) (или Paratx (r)) содержится в Fit, x it));
при f = а функция х (г) непрерывна справа, а при t- b — слева.
Доказательство. В случае А для каждого г0 € (*, Ь) и любого € > 0 при
\t — to\<S=S(to,e) имеем F(t, x(t)) С F€, где F€ — замкнутая еокрестность множест-
множества F(to,x (f0)) -Для любых f/, tj E [f0 - Ь, t0 + 6] в силу леммы 12 § 5 векторы D) и E)
принадлежат F€.Поэтому множества Contx (г0) и Paratx (f0) - непустые и содержатся в
F6, а в силу произвольности € - и в F(to,x(to)). Значит, из А следует Б.
Пусть выполнено Б. Функция x(t) непрерывна на [а,Ь], так как если бы при f = *о
она была разрывна, то последовательность D) имела бы предельную точку °°, не содер-
содержащуюся BF(to,x{toH. При a<t<bs силу леммы 15 § 5 \F(t, x(t))\ < m. Тогда
I Cont x (t) Кап при a<t<b. По лемме 5 вектор-функция x{t) на [а, Ь] удовлетворяет
условию Липшица, значит, абсолютно непрерывна. Почти всюду существует
x/U) = Contx(f)CF(f,x(f)),
т.е. из Б следует А.
3. Далее, излагаются некоторые свойства многозначных функций, используемые для
исследования дифференциальных включений с правыми частями, которые не являются
^-непрерывными no f,x.
Опорной функцией выпуклого множества А С Rn называется функция вектора
v€Rn, определяемая равенством
ф(А, v) = sup v х. G)
хВА
Так как ф(А, \у) = \ф(А, v) для любого \>0, то достаточно рассматривать функцию
ф{А,у) только для векторов v, длина которых равна 1. В силу G) для любого v Ф О
плоскость v • х = 7. где у = ф (A, v). является опорной для множества А, а полупростран-
полупространство v • х < у содержит множество 4 тогда и только тогда, когда у > ф{А, v). Отсюда и
из леммы 4 § 5 вытекает следующая лемма.
Лемма 6. Замкнутое выпуклое множество А полностью определяется заданием
его опорной функции ф (A, v). Точка а ЕА тогда и только тогда, когда v- a < ф(А,у)
при всех v .
Для ограниченного выпуклого множества А опорная функция непрерывна, так как
из Iх \<m, \vi - v2\. < б следует
ki -х-^.хКтяб, \ф(А,у1)-ф(А,у2)\<тд.
Поэтому ее достаточно задавать для произвольного счетного множества векторов
vif /=1,2,..., всюду плотного на единичной сфере I v I = 1. Следовательно, ограничен-
ограниченное выпуклое замкнутое множество А однозначно определяется заданием счетного
56

множества чисел
щ(А) = ф(А,у,), 1^/1 = 1. / = 1,2,... (8)
Любое непустое замкнутое множество А С Яп можно однозначно определить задани-
заданием счетного множества чисел
Ъ(А)=р{а0А), / = 1,2 (9)
- расстояний этого множества от заданного всюду плотного в R" множества точек я/.
Числа />/С4) можно рассматривать как координаты замкнутого множества А. Для
замкнутого выпуклого множества в качестве координат можно также использовать
числа (8). Разумеется, при заданных точках af (или vt) не всякое счетное множество
чисел является множеством чисел (9) (или (8)) для некоторого множества >4.
Соотношения между замкнутыми множествами Аул В накладывают вполне определен-
определенные связи между числами pt[A) и Р/(?), а для выпуклых множеств — также между
числами 1г((А) м it ((В) или опорными функциями этих множеств. В частности,
АС В*=>(>1(А)>рг(В), /=1,2
-€}, p(A,B) = sup [р((В) -p*W)). A0)
а\А. В) = sup I p/M) -p,(S) I, p\A. B) = inf (р,И) + PiiB)).
Для выпуклых замкнутых множеств
А С В <=> тг/М) < Щ(В), / - 1, 2, ...<=> ф(А, v) < ф(В, v).
/3(^e) = max{O;supGr/M)-w/E))} =max{0; sup (ф(А,у) -
i lr|=l
*№*) = nf(A) + €, ф M€, i^i = ф{А, v)+e\v\.
Если множество А является функцией точки pGG, т.е.» =А[р), то числа яг,- и pf*
также зависят отри их можно назвать координатными функциями. Из соотношений
A0) вытекает следующая лемма [124] - [126].
Лемма 7. Для а-непрерывности [или ^непрерывности) функции А (р) необходи-
необходимо и достаточно, чтобы все ее координатные функции pt(A(p)), /=1,2,..., были непре-
непрерывны (соответственно полунепрерывны снизу).
Числовая функция <р(р) называется полунепрерывной снизу в точке р0, если для
любого €>0 при \p-Po |<6(е) имеем^(р)>^(р0) — е.
Пусть для каждого р G ? С Я*1 множество А(р) С Rn замкнуто и не пусто. Много-
Многозначная функция А(р) на множестве Е называется измеримой,если множество Е измери-
измеримо и для каждого замкнутого множества ВСЯ" измеримо множество тех р€Е, для
которых А (р) С) В не пусто. (Это равносильно определению из [127].)
Если вместо замкнутых множеств В взять открытые множества или же только замк-
замкнутые (или только открытые) шары, все или только с центрами из данного всюду плот-
плотного множества {а/} и рациональными радиусами, то получится определение, равносиль-
равносильное данному выше. Если В — открытый шар с центром а, и радиусом г, то соотношение
А(р) П В Ф ф равносильно соотношению р(at, Aip)) <r. Поэтому измеримость много-
многозначной функции А[р) равносильна измеримости всех координатных функций
Р/М(р)) = р(а,,Л(р)), / = 1, 2,...
Если многозначная функция а- или /3-непрерывна, то она измерима (следует из
леммы 7).
Если функции Aj(p) (/=1,2,...) измеримы, то измеримы и функции
/ /
а также верхний и нижний топологические пределы последовательности А{{р), /=1,2,...
Если функция А (р) измерима, то со А (р) — тоже.
Если однозначная функция f(p, их,..., иг) непрерывна, а многозначные функции
А1 (р),..., Аг(р) измеримы, то сложная функция f(p, A t (р),..., Аг[р)) измерима. Эти
и другие утверждения об измеримости функций см., например, в [128].
57

Следующая теорема обобщает на многозначные функции теорему Лузина ([64],
стр. 118) об измеримых функциях. Пусть множество М содержится в области определе-
определения функции А (р). Будем говорить, что на множестве М функция А (р) а-непрерывна
по этому множеству, если функция А, (р), определенная только на М и равная там
функции А (р), а-непрерывна на М.
Теорема 2 [127]. Если многозначная функция А (р) измерима на множестве Е,
то для каждого е > 0 существует такое множество Ее С Е, рЕ€ < е, что функция А (р)
на множестве Е\Е€ a-непрерывна по этому множеству.
Доказательство [124]. Для каждой координатной функции Pt(A(p)) по
теореме Лузина существует множество Eit \xEt < 2~'е, такое, что на множестве E\Ej
функция Pj И (р)) непрерывна по этому множеству. Пусть Е€ = U ?,, тогда цЕ€ < € и
i
на множестве Е\Ее все функции Р/ (А (р)), /=1,2,..., непрерывны по этому множест-
множеству. В силу леммы 7 функция А (р) а-непрерывна на Е\Ее по этому множеству.
Следующая теорема используется для исследования свойств решений уравнений Каратеодори.
Теорема 3A29]. Пусть множество DcRn ограничено и замкнуто, при каждом х€ D одно-
однозначная вектор-функция fit,x) измерима not и при почти всех t е Г = [а,Ь] непрерывна по х.
Тогда для каждого е > О существует такое открытое множество Т€ С Т, цТ€ < е, что функция
f€it,x), определенная только при t 6Г\ Т€ ,х€ Du там равная функции fit,x), является непре-
непрерывной по t,x.
Доказательство. При почти всех t В Т график Г (г) функции f (r, х), рассматриваемой
как функция от х при t = const, является ограниченным замкнутым множеством. Покажем, что мно-
многозначная функция Г (г) измерима на Т, т.е. что для каждого открытого множества G С0Х Я71 изме-
измеримо множество TiG) тех Г, при которых Г (г) nG не пусто.
Возьмем в D счетное всюду плотное множество {х;}и зафиксируем Г € Г, при котором функ-
функция f(t,x) непрерывна по х. Сечениями множеств G и Г it) гиперплоскостью х » X/ являются откры-
открытое множество G/ СД" и точка У/ -f (f,x/). Так как f(t,x) непрерывна по х, то множество точек
U/, и/), / « 1, 2,. .., всюду плотно на Г(г). Поэтому, если множество r(t) О G не пусто, то оно содер-
содержит хотя бы одну из таких точек U/,y/), т.е. fit,Xf) CGf для некоторого/. Обратное очевидно.
Следовательно, T(G) = U Г/, где Г/ - множество тех f, при которых fit, х/) В Gi. Функция f изме-
измерима по t, поэтому множества Г/ и 7"(G) измеримы и функция Г (г) — тоже.
По теореме 2 для каждого е > 0 найдется такое множество Т€ с Г, цТ* < е, что на множестве
Т\Г* функция Г (Г) а-непрерывна по этому множеству. Множество 7/можно покрыть открытым
множеством Т€, дГ6 < е. По лемме 15 § 5 функция Fit) ограничена на Т\ Т€, а по лемме 14 § 5 ее
график замкнут, т.е. множество таких точек it ,х, ? ), что f?f\ T€, хеДк =fit,x), замкнуто.
Следовательно, однозначная функция f(t.x) на множестве f€f\ T€, xeD непрерывна по этому
множеству.
Следствие. При условиях теоремы 3 функция fit,x) измерима на множестве Т X D.
Теорема 3 позволяет уточнить, на каком множестве решения уравнения Каратеодори имеют
производную и удовлетворяют уравнению.
Теорема 4 [130]. Пусть вектор-функция f(t,x) удовлетворяет условиям Каратеодори
(п. 1 § 1) в замкнутой ограниченной области a<t <b, xS DcRn.
Тогда существует • такое множество То С [а, Ь] меры нуль, что при всех t e [a,b]\T0 каждое решение
уравнения x = f(t,x) имеет производную xit), равную f it, x it)).
Доказательство [131] .Пусть множество Т€ то же, что в теореме 3,
x(f) = i
По условию 1 f(t,x) I <m (r), функцияmit) суммируема. Для почти всех f G Q
1 t+h d t
Hm — / х^Ш^- / xls)mis)ds = Q. A1)
Л-Ю n t dt a
Пусть Q *-множество тех точек плотности множества Q, в которых выполнено A1). Тогда для
каждого решения уравнения х ¦ fit, х) при каждом f e Q * имеем
/ — *T xis)fis.xis))ds.
h t h t
Так как xis) = 0 на Q, a f - точка плотности множества Q, то первый член правой части стремится
к fit, xit)) при h -*0. Во втором члене при s S Т€ имеем 1 - xis) =0, а при s $ Т€ вследствие
непрерывности функции f на Q подынтегральная функция по модулю меньше 6ih) -+Q (при/?-Ю),
и весь второй член меньше Sift). Третий член стремится к 0 при /»-* 0 в силу A1).
Следовательно, вся правая часть стремится к fit,xit)) при /? —0. Итак, для каждого tsQ ,
цО* = цО > b —а — е, существует xit) -fit,xit)). Так как е >0 - любое, то теорема доказана.
58

Теорема 3 и ее следствие обобщаются на многозначные функции F it, х), измеримые по t и а-не-
прерывные по х. Для этого надо к каждой координатной функции pf (F (t,x)) применить теорему 3,
а затем рассуждать так же, как при доказательстве теоремы 2.
Дальнейшее обобщение на многозначные функции, измеримые по t и /3-непрерывные по х, уже
невозможно. Такая функция может не быть измеримой по Г, х.
В теории дифференциальных включений используются теоремы о выделении одно-
однозначных ветвей (селекторов) многозначных функций.
Лемма 8. Если множество А замкнуто и выпукло, то ближайшая к данной точке
b точка а€А, а-а (А), непрерывно зависит от множества А, т.е. а И/) ~*а(А) при
а(А,,А) -0.
Доказательство. Пусть аИ/ ,А) -*0 (/ -*°°), точки a/ GAt naGA — бли-
ближайшие к точке Ь (см. лемму 2 § 5). Тогда
pU>,a,) = р(Ь, At) ->pUb, A) = p(b,a). 02)
Если некоторая подпоследовательность aik -+a0 Фа, то а0 € А и из A2) следует
р(Ь.а0) = р(Ь, а). Это противоречит лемме 2 § 5.
Теорема 5. Пусть для каждого р G Е множество А(р) С Rn не пусто, замкнуто,
выпукло.
Тогда существует однозначная функция f{p) ? А (р), непрерывная, если функция
А{р) - а-непрерывная, и измеримая, если функция А{р) — измеримая.
Доказательство. Возьмем какую-либо точку аЕ R". Для каждого р G Е в
выпуклом замкнутом множестве А (р) имеется только одна точка, ближайшая к точ-
точке а (лемма 2 §5). Обозначим ее f[p). Она непрерывно зависит от множества А (р). По-
Поэтому из непрерывности А (р) на ? следует непрерывность f (p), а из измеримости А (р) и
теоремы 2 — непрерывность f (р) на множестве Е\ Е€, где цЕ€ < е. Так как е произволь-
произвольно, то f (p) измерима на Е.
Замечание. Если отбросить условие выпуклости множества А (р), то непрерыв-
непрерывную ветвь можно выделить не всегда, а измеримую - можно всегда, но это доказывает-
доказывается сложнее [132].
§ 7. Существование и свойства решений
Здесь доказываются теоремы существования решений для дифференциальных вклю-
включений и дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Показывается,
что пределы сходящихся последовательностей приближенных решений являются реше-
решениями. Доказываются теоремы о продолжении решений, о компактности и связности
множеств решений.
1. Приближенные решения часто используются в теоремах существования (например,
ломаные Эйлера) и при исследовании зависимости решения от начальных условий и от
правой части уравнения. Для дифференциального уравнения с кусочно непрерывной
правой частью естественно рассматривать не только малые изменения правой части в
областях ее непрерывности, но и малые изменения границ этих областей. Поэтому
приближенным решением уравнения х = f (t, x) надо считать, в частности, такую абсо-
абсолютно непрерывную функцию y(t), для которой почти всюду
l/(f) -f(t,z(t)) Кб, lz(f)-/(r) Кб, A)
гдег (г) — какая-нибудь функция, а число б достаточно мало.
Обозначая Мь замкнутую бюкрестность множества М, условие A) можно записать
так:
y(t)eifit,iy(t))8)N. B)
Если обозначить г (t) -y(t) = p (f), то условие A) можно записать так:
y(t) = f{t. (K(f)+p(f))+<7(f), lp(f) Кб, lgr(f)K6.
В [117] возмущения p(t) называются внутренними, q (r) - внешними. Учитывая лем-
леммы 9 и 13 из § 5, условие B) можно заменить несколько более общим условием
y(t)e [со fit, (у(t)N)]6. C)
Такое же определение приближенного решения пригодно и для дифференциального
включения с правой частью, ^-непрерывной по х. Если же правая часть включения
59

^-непрерывна по f, х, то можно еще расширить. понятие приближенного решения, заменив
в C) fit, (y(t))*) наП*6. (y(t))b).
В § § 7 и 8 используются следующие определения.
Вектор-функция у it) называется 3-решением {приближенным решением с точ-
точностью до 5) включения
xEFit,x) D)
с 0 -непрерывной по t,x функцией F. если на рассматриваемом интервале функция
у it) абсолютно непрерывна и почти всюду
y(t)eF6(t.y(t)). F6it,y)=[coFit6,y6)]6. E)
Здесь и далее F (tb,yb) означает объединение множеств F (гх,У\) для всех rt €f6,
Hi^K*. т.е. I Г! -Г I <6, I Ki — К I <«-
Замечание. Если множество. F (t,x) ограничено, выпукло, функция F 0-непре-
рывна по Г,х в области G и компакт. KCG, то для любого е>0 найдется такое
50 (в) > 0, что при всех б <б0 (с) график функции Fb it, х) на К содержится в е-окрест-
ности графика функции F (t,x) на К. (Если для некоторого е>0 точки (f/ ,х/,*^ ),
/ =1,2,..., лежат на графиках функций FS{ (б/ -^0), во вне вчжрестности графика
функции F, то, выбирая из этих точек сходящуюся подпоследовательность и пользуясь
^-непрерывностью функции F в предельной точке, придем к противоречию.)
2. Будем говорить, что многозначная функция F{t,x) в области G удовлетворяет
основным условиям, если при всех (г, х) EG множество F it, x) — непустое, ограничен-
ограниченное, замкнутое, выпуклое и функция F ^-непрерывна по f, х.
Лемма 1. Пусть F (г, х) удовлетворяет основным условиям в области G. Тогда
предел x(t) любой равномерно сходящейся последовательности б к -решений xk(t)
(дк ->(), к = 1,2,...) включения D) есгь решение этого включения [если график пре-
предельной функции x(t) ,a<t <Ь, содержится в G).
Доказательство. Возьмем любое f 0 G I** b] и любое в > 0. Функция F Не-
Непрерывна, поэтому найдется такое ту > 0, что в области Go( I t—t0 I < 2т?, I x—x (f 0) I <
<3i?) имеем
F(t,x)CFf, F0=F(t0,xlt0)). F)
Так как все xk it) непрерывны, то x(t) — тоже. Найдутся такие у € @, т?) и /го# что при
k>k0, I f — f01 < 7 имеем
6jt<min{i7;e}, lx*(f) -x(f) I<1?, lx(f) -x(f0) I <V-
Отсюда и из F) следует при 6 =bk§k>kQ§ If — to\<y<i\
t6Ctl*. (xk(t))b С (x(fo)KT?, ^(f6, Ujt(f)N) CF0€.
Так как xk it) есть б^-решение, a Fo выпукло, то почти всюду
xk (f)G [coF(f6, (xjttf)N)] б С [coFg]6 Cf02€.
Теперь из лемм 9 n 13 § 5 следует, что при I t — f0 I < У функция x{t) абсолютно
непрерывна и x(r) EFq6 там, где существует x(f), т.е. почти всюду на интервале
If-fel <7.
Такими интервалами можно покрыть весь отрезок [а,Ь], поэтому на [а, Ь] функция
x[t) абсолютно непрерывна и почти всюду существует x(t). Для каждого t0, при котором
существует х(г0), доказано, что x(r0) ^ Fq€ при сколь угодно малом е>0. Поэтому
х(г0) € Fo -F(ro,x(ro)),T.e.x(f) —решение.
Следствие 1. Ес/ш F (Г, х) удовлетворяет основным условиям, то предел рав-
равномерно сходящейся последовательности решений дифференциального включения D)
является решением этого включения.
Следствие 2. Если F it, x) удовлетворяет основным условиям, кроме условия
выпуклости, то предел равномерно сходящейся последовательности решений включе-
включения D) есть решение включения х Е cof it, x). (Так как в этом случае в силу леммы 16
§5 функция coF(t,x) удовлетворяет основным условиям, то к включению х Е
Е со F it, х) можно применить следствие 1.)
Теорема 1 [120], [122], [33]. Пусть F{t,x) удовлетворяет основным условиям
в области G.
60

Тогда для любой точки (tOtxo) € G существует решение задачи
x€F(f,x), x(fo)=xo. G)
Если область G содержит цилиндр Z (г0 <r <f0 +а, I х —х0 I </>), то решение сущест-
существует по меньшей мере на отрезке
Ja; — 1,
[ml
to<t<to +d, tf = minJa; — 1, m - sup lF(f,x)l. (8)
[l z
Замечание. Если область G содержит цилиндр Z' it 0 —a <f <r0, I x—x0 I ,
то решение существует при t0 —d'<t <t0, где d*выражается, подобно (8), через
3,6,nm'=supl F(r,x) I bZ'.
Доказательство. Существуют такие a > 0, b>0, что Z CG. По лемме 15 § 5
m<°°. Для Ar e 1,2,... возьмем
hk=dlk, tki = t0+ihk, /«0,1...., Ar.
Построим ломаную x* (г). Положим x* (f^0) =x0. Если для некоторого / > 0 значение
**(?*/) =ХА:/ уже определено и
\xki-x0\<m \tkr-t0\, (9)
то при tki<t<tkj+\ определимxk(t) равенством
**W-*M+fr-tw)ifW, ПО)
взяв любое ^/ €F (Г*/,хЛ/). Так как в силу (9)(tkitxki)€Z,To\vki\<\Fitki.xki)\<
</77, и из (9) и A0) имеем
Ixjtlfl-XoK/n IГ — Г01 itki<t<tk.i+i). A1)
Поэтому значение х* (f*,/+i)* =>fjtf/-и определено и удовлетворяет неравенству, полу-
получаемому из (9) заменой / на / + 1.
Таким образом, xk{t) последовательно строится на отрезках [tki,tkt/ +1], / =
=0,1,...,Аг—1.ВсилуA1) и (8) график функции xk(t) [t0 <r<f0 +cOсодержится в
Z. В силу A0) функция хк it) непрерывна и \xk{t)\<m it?=tki,i « 1,2,...). Поэто-
Поэтому функция хк [t) абсолютно непрерывна. Так как
xkit) = vkieFitkhxki), 0<t-tk{<hk, ixft it)-xki \<mhk.
то хк (г) есть 6*-решение включения D), где
5* = max {hk;mhk} -*0 (к •+<*>).
Функции xk (t) в силу A1) и оценки I xk (t) I <m равномерно ограничены и равно-
равностепенно непрерывны. По теореме Арцела из них можно выбрать равномерно сходящую-
сходящуюся подпоследовательность. Ее предел х(Г) по лемме 1 есть решение включения D). Из
**(*о) =*о следует х(г0) ях0
Лемма 2. Если F (г,х) удовлетворяет основным условиям в замкнутой ограни-
ограниченной области D, то все решения включения D), проходящие в этой области, равно-
равностепенно непрерывны.
Доказательство. По лемме 15 § 5 I F (f, x) I <m в D. Поэтому для всех про-
проходящих в О решений I x I </??
\xit")-xb')\<m lf"-f'L
Теорема 2 [122], [33]. Пусть F(t,x) удовлетворяет основным условиям в зам-
замкнутой ограниченной области D.
Тогда каждое решение включения D), проходящее внутри D, можно продолжить в
обе стороны до выхода на границу области D.
Чтобы это доказать, надо повторить доказательство теоремы 4 § 1, учитывая, что
теперь в формуле C) § 1 m (s) = const * m, и вместо теоремы 1 § 1 использовать тео-
теорему 1 § 7.
Для решений дифференциального включения D) с функцией F, удовлетворяющей
основным условиям в замкнутой ограниченной области D, справедливы также утверж-
утверждения лемм 4 и 5 из § 1. Их доказательства не меняются, лишь вместо лемм 2 и 3 из
§ 1 используются из § 7 лемма 2 и следствие 1 леммы 1.
61

Теорема 3 [33], [122], [133]. Пусть функция F (t, х) удовлетворяет основным
условиям в области G. Пусть все решения включения D) с данным начальным условием
x(t0) =х0 (или со всевозможными начальными условиями (t0, xit0)) €А,А— задан-
заданный компакт, A CG) при a<t <Р существуют и их графики проходят в области G.
Тогда множество Н точек, лежащих на этих графиках при a<t<P {отрезок ворон-
воронки), ограничено и замкнуто. Множество этих решений является компактом в метрике
ClaJ].
Чтобы это доказать, надо повторить доказательство теоремы 5 § 1, заменив ссылки
на утверждения § 1 ссылками на аналогичные утверждения § 7.
Замечание. При условиях теоремы 3 в случае, когда А — точка или связный
компакт, множество решений связно в метрике С [а, 0] и сечение множества И любой
плоскостью t - const G [a, 0] (сечение воронки) тоже связно [133].
3. В доказанных в п. 2 леммах и теоремах нельзя отбросить условие выпуклости.
Пример. Пусть хб/?1, множество F(t,x) состоит из одной точки — sgnx при
х^Оииз двух точек ± 1 прих = О. Тогда многозначная функция F(t,x) 0-непрерывна
по t, х. Для любого tо решение с начальным условием х(г0) - О не существует приГ >
> Го. Функции х* (г), построенные в замечании к лемме 13 § 5 (см. рис. 9), являются
6 ?-решения ми, 5* = 1/Аг ->О, но их предел х (г) = О не является решением.
От требования выпуклости можно отказаться, если вместо условия /^-непрерывности
функции F потребовать, чтобы она была а-непрерывной пох (см. п. 5). Тогда теоремы
о существовании и продолжении решений сохраняются, но множество решений и отрезок
воронки могут быть незамкнутыми.
Пример [134]. Рассмотрим систему
Здесь множество F (х, у) есть дуга параболы
„1=Е|^_К2, -1<у2<1,
т.е. невыпукло {vx и v2 — проекции точек множества F (х, у) на оси координат).
Рассмотрим при О <Г < 1 множество решений с начальными условиями х@) = у @) =
= 0. Если y(t) =0, то u{t) =0 почти всюду, х=-/2 +с/2 = 0,x(f) =0. Если y(t) #0
@ <f < 1), то х = —у2 +и2 < 1; при этом х< 1 на тех интервалах, где y(t) Ф0. Следо-
Следовательно, хA) < 1 для всех решений, и точка ? = 1,х=1,к = 0не принадлежит графи-
графикам решений и не принадлежит отрезку 0 <f < 1 воронки.
Рассмотрим решениеx*(f), к*(г), для которого хк@) = ук{0) = 0,
/2/ 2/+1\ /2/+1 2/ + 2\
I— <f < ), с/ = -1 I <Г< I
\к к I \ к к I
к I I
/ = 0,1, 2,... Тогда
()>1 A>>1
0<yk(t)<— , х^(г)г, х*(>
к к2 к2
Следовательно, сколь угодно близко к точке Г = 1, х= 1, у = 0 имеются точки графиков
решений с нулевыми начальными условями, а сама эта точка не лежит на графике тако-
такого решения. Итак, множество этих решений и отрезок 0<f<1 воронки не замкнуты.
Уравнения A2) можно рассматривать как уравнения управляемой системы, т.е.
системы, движением которой можно управлять, выбирая произвольно функцию и it)
в указанных пределах. Из сказанного следует, что эту систему за единицу времени нель-
нельзя перевести из состояния х = у - 0 в состояние х = 1, у = 0, но можно перевести в сос-
состояние, сколь угодно близкое к х= 1, у = 0, меняя достаточно быстро функцию и(t) от
1 до —1 и обратно (скользящий режим).
При отказе от требования выпуклости множества F (г, х) соотношения между множе-
множествами решений включения xGF (f,x) и включения xGcoF (Г,х) изучались, в част-
частности, в [135] -[140].
Если многозначная функция F it, х) а-непрерывна по t, x ограничена и удовлетво-
удовлетворяет условию Липшица по х:
a(Fit,x'),
62

где функция lit) су ммируема, то для любого решения х0 (г) включения хЕ coF(f,x)
существует последовательность решений включения xEF(f,x), равномерно сходя-
сходящаяся к xo(t) на данном отрезке [138]. Эти условия можно ослабить [136], [140],
но отбросить условие Липшица или заменить его условием Гёльдера нельзя.
Пример [137]. Множество F (х, у) не зависит от г и состоит из двух точек
.{-1, х2
Тогда ooF (х, у) — отрезок, соединяющий этих точки. Вектор-функция (хо(г), /о (О) =
= 0 удовлетворяет включению (х, у) Е со F (х, у), но не удовлетворяет включению
Предположим, что включение A3) имеет последовательность решений хк (г), ук (t),
к = 1, 2,..., сходящуюся к нулю на некотором интервале а < f < Р. Так как х = у = 0 —
не решение включения A3), то на любом интервале {у, 6) С (а, 0) для каждого к най-
найдется точка tk, в которой ук Ф О или ук = 0, х* =? 0. Так как для всех решений
то в случаях ук (tk) >0ик* кк) =0, хл (г*) #0при f>tfc имеем yft (f) >0,
Поэтому 2\/ук (t)' — f не убывает при / > f k.
и Ka it) не может стремиться к нулю на интервале 5 < t < 0.
В случае у* {г*) < 0 при t < tk имеем ук (t) < 0,
d
yk{t)>\f-yk(tl {2>J-yk(tUt)<0.
dt
Значит, 2\/—yk(ti +1 не возрастает,
и^(г) не может стремиться к нулю на интервале а < t < у.
Итак, решение х=/=0 включения (х,/) GcoF (x,/) ни на каком интервале не
может быть пределом последовательности решений включения A3).
Однако оказывается, что любое решение включения xGcoF (f,x) (x?#") всегда
является пределом некоторой последовательности приближенных решений включения
xGF (f,x), даже если рассматривать более узкий класс приближенных решений, чем
в п. 1, — класс квазитраекторий.
Для дифференциального включения x?F(f,x) с ограниченной а-непрерывной по
г,х функцией F(t,x) квазитраекторией называется [135] абсолютно непрерывная
вектор-функция г [t) (a<f <Ь), для которой существует последовательность абсо-
абсолютно непрерывных вектор-функций хк (г), обладающих свойствами
\xk(t) \<m ; xk(t)^z(t) (a<t<b);
pikk(t). F(f,Xfr(r)))-*0 почти всюду на [a,b].
Дополнительное требование, чтобы последний предельный переход был равномерным
по f, не меняет класса квазитраекторий [141].
Теорема 4 [135]. Если множество F(t,x) не пусто, ограничено, замкнуто и
функция F агнепрерывна по t,x, то множество квазитраекторий включения хЕ F (f,x)
совпадает с множеством решений включения х Е со F [t, х).
4. В некоторой открытой или замкнутой области (/?+ 1)-мерного пространства t,x
рассмотрим дифференциальное уравнение x = f(t,x) с кусочно непрерывной правой
частью, как в п. 1 § 4, а также уравнение
х = fit, х, c/i it, x) urit, x)) A4)
при условиях в) п. 2 § 4. На поверхностях разрыва правая часть доопределяется как
в случаях а) или в) п.2 § 4. Пусть области непрерывности функции 1 (t, x) удовлетворя-
удовлетворяют условию у п. 1 § 6. Тогда согласно п. 1 § 6 решения уравнений х= f (t,x) и A4) сов-
63

падают с решениями некоторых дифференциальных включений с выпуклыми правыми
частями, ^-непрерывными по t, х. Поэтому из утверждений, доказанных в п. 2 для диф-
дифференциальных включений, вытекают такие же утверждения для дифференциальных
уравнений с разрывными правыми частями при только что указанных условиях:
A. Через любую внутреннюю точку {to,xo) области проходит решение.
Б. Каждое решение, проходящее внутри рассматриваемой замкнутой ограниченной
области, продолжается в обе стороны до выхода на границу области.
B. Все решения, проходящие в замкнутой ограниченной области, равностепенно не-
непрерывны.
Г. Предел равномерно сходящейся последовательности решений (или 6*-решений,
где дк -*0) является решением.
Д. Если все решения с данным начальным условием х(г0) = х0 (или со всевозмож-
всевозможными начальными условиями (to,xo) GA,A -заданный компакт) существуют приа<
<t <0, то множество точек, лежащих на графиках этих решений (отрезок воронки),
ограничено и замкнуто. Множество этих решений является компактом в метрике С[а,Ь]
Е. Если в утверждении Д компакт А связен, то множество решений связно в метри-
метрике С [а, Ь]; любое сечение t -1 х Е [а, Ь] воронки - связный компакт.
5. Очень общие теоремы существования решений для дифференциальных включений с выпуклой
правой частью доказаны в [142], [143]. Докажем сначала лемму о приближенных решениях, усили-
усиливающую один из результатов статьи [ 144 ].
Лемма 3. Пусть при a <t <Ь вектор-функции х* (f) Mr = 1, 2,...) абсолютно непрерывны и
их графики содержатся в ограниченной замкнутой области п Пусть в области D при почти всех г
множество F it,x) - непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое; функция F ^-непрерывна по к
I F it.х) I <m it), функция тit) суммируема;
\
xkit) G [со Fit kbit)I**'*)) rik{t\ H5)
b
rikit)>0. / rikit)dt-+O (*--). A6)
Тогда а) функции xkit) равностепенно непрерывны на [а, Ь]; б) предел любой сходящейся под-
подпоследовательности функции xk it) есть решение включения хе F (г, х).
Замечание 1. F it, ixkit)) rikit)) есть объединение множеств F it. x) для всех хе
G ixk it)) ^кКП ^ т е дцЯ всех хиз замкнутой окрестности радиуса т\к it) точки хк it).
Замечание 2. Условие A5) выполнено, в частности, тогда, когда
xkit) - ukit)+qk(t), ukit) G Fit, xkit) + pkit))t
\pkit) \<rtkit), \qkit)\<rikit).
Доказательство. Из A5) следует, что почти всюду
\xkit) \<mit)+rikit). A7)
Для любого е > 0 существуют такие 6 >0 и Дг0, что для любых непересекающихся интервалов
(а? /3/) С [а, />] с суммой длин, меньшей б, и любого к > к0
ft с Ь е
Г/ m(f)</f<—, / fjfr(f)</t<-—.
/а/ 2 в 2
Тогда при Дг >*0 из A7) следует
L '^(/J/J-x^ta/) I«L I / xkit)dt\<e. A8)
/ / a/
Отсюда вытекает утверждение а).
Переходя в A8) к пределу по любой сходящейся подпоследовательности
xkit) -+ х(г), *«*,, Дга,... ->~, A9)
получаем, что предельная функция х(г) абсолютно непрерывна.
Покажем, что почти всюду x(r)ef (f#x(r)). Из A6) следует, что для любого е>0 мера мно-
множества, где I rikit) I > в, стремится к нулю при к - «, т.е. последовательность tj*(f) сходится к нулю
по мере. Поэтому из подпоследовательности nkit), k-kx, кг можно выбрать ([64], стр. 110)
новую подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду на [a,b]. Для краткости обозначим
ее yiiit)}. а соответствующую подпоследовательность из A9) обозначим {хЛг)}.
При почти всех г из х/(г)-х(г), т)/(г)->0 с учетом ^непрерывности функции Fit, х) по х
следует
Fit, (x/fc))^0) с [(F(r, x(f))] "/(Г), у,(г)
64

Здесь в правой части стоит выпуклое множество, поэтому перед левой частью можно дописать
знак со. Тогда из A5) имеем
Значит, для любого ? е Я" при почти всех г
ТптТ *,<r)-r-*(г)< чНЯг, xit)).v). B0)
где 4> — опорная функция (п. 3-к§ 6).
Для любых а, ? {а < а < 0< Ь) имеем
fv-*tM-dt< f fup
а а />/
Так как sup у-х/(г) (/' > /) при возрастании / не возрастает и стремится к левой части B0), то при
/-*.» получаем
f?-x(t)dt = r-U@)-xfo))< f*(t)dt.
Интервал (а, 0) -произвольный, поэтому wxit) <tp(t) почти всюду. В силу B0) почти всюду
на (а, Ь)
?-xit)< + lFit, x(t)). v).
То же справедливо для счетного всюду плотного множества векторов ?. Следовательно (см. лем-
лемму 6 § 6 и абзац после нее), xit)GF it, x(t)) почти всюду.
Теорема 5 [143]. Пусть при почти всех г е lfe, t0 +a) для \х-хо\<Ъ
1) множество Fit, x) - непустое, замкнутое, выпуклое:
2) функция F ^-непрерывна по х;
3) существует однозначная вектор^функция fit, x)cFit,x)t которая при каждом х измерима
по г;
4) существует такая суммируемая функция mit), что \fit, x)\<mit).
Тогда на отрезке r0 <t<t0 +d, где d определяется как в C) § 1, существует решение задачи
xeFit. x). xito)'xo. B1)
Замечание. Если при каждом х функция F измерима по t, то условие 3) выполнено в
силу теоремы 5 § 6.
До к а за тел ьство. Для к » 1, 2,... возьмем
Л* *d/k, tki аГ0+ ih/c, i - 0, \,... .к.
Построим функцию x*(f). Пусть Xbitko)~xo. Если для некоторого />0 значение x*(f*;) = *ki
уже определено и
г
I'И-х, |<*(<3fc/) bit) « fmit)ds). B2)
'о
то при f*/ < t < ffcf л-1 полагаем
г
**<f>в**/+ / ^U# xw)cfr. B3)
'Л/
Так как |^(г, х) |< m(f); то из B2) и B3) имеем
!** Ь) -хв |< y(t)<b ' ff«<f<r*,/+i). B4)
Таким образом, х^(г) строится последовательно на отрезках /w ш [tku *к /+1Ь ' " 0, 1, ...
..., Дг—1. На всем отрезке [f0, f0 +d) справедливы неравенства B4), вектор-функции xkit) абсо-
абсолютно непрерывны и почти всюду на каждом отрезке /*,-
*кЬ) - uk(t) - fit, xki) e Fo fc хЛ/),
где F0(t, x) — часть множества Fit,x), содержащаяся в шаре радиуса mit) с центром в начале
координат. Функция Fo it, х) также удовлетворяет условиям 1) -4) теоремы 5.
Пусть *kb)-xki (r*/<r<r*,f+i, /ш°' 1 Лг-1). Тогда
\xklt)-ikit)\< max^(ffc/+1)-^(rw)) - о (*-*~).
В силу леммы 3 из последовательности (х^(г)} можно выбрать равномерно сходящуюся подпо-
подпоследовательность; ее предел есть решение задачи xef0(г,х), x(f0) -хв, значит, и задачи B1).
Лемма 4 A43). Пусть выполнены условия теоремы 5 и | Fit, x)\<m. it), функция m. it)
суммируема.
5. А.Ф. Филиппов де

Тогда множество решений задачи B1) на отрезке [t0, t0 + d) является компактом в метрике С
Доказательство. Утверждение следует из леммы 3, если взять z^it) = Xfr(f), и kit) - xk{t).
Теорема 6. Пусть многозначная функция Fit, х) определена в области вив каждой огра-
ограниченной замкнутой области D с G выполнены условия леммы 4, может быть, с разными функ-
функциями mit) и ml(t) для разных областей D.
Тогда решения включения х е Fit, х) в области G обладают свойствами А-Е, перечисленными
в п. 4.
Доказывается теми же методами, что и аналогичные утверждения в п. 2; при этом ссылки на
леммы 1, 2 и теорему 1 заменяются ссылками на леммы 3, 4 и теорему 5. При несколько менее
общих условиях эти утверждения доказаны в [143].
В случае, когда множество Fit, х) может быть невыпуклым, ^-непрерывности функции F не-
недостаточно для существования решения (пример в п. 3).
Те о р е м а 7 [145]. Пусть при t0 < f < f0 + а, \х — хо\< b множество Fit, x) — непустое, зам-
замкнутое; \Fit, x)\<mit). функция mit) суммируема; функция F a непрерывна по х, измерима
по t. Тогда при t0 <t<t0 + d существует решение задачи B1).
В [146] показано, что в тех точках, где множество F(t,x) выпукло, условие а-непрерывности
функции F по х можно ослабить до ^-непрерывности.
6. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями, обобщающие уравнения Кара-
теодори на случай, когда правые части могут быть разрывными и по г, и по х, рассматривались в
[107]. [108], [93].
Пусть вектор-функция f(t, x) определена почти всюду и измерима в области G пространства
t, х (х G/? ) и для каждой ограниченной замкнутой области D С 6 существует такая почти всю-
всюду конечная функция m{t), что почти всюду в D
\fit, x)\ <mit). B5)
Пусть Fit, x) — наименьшее замкнутое выпуклое множество, содержащее все предельные зна-
значения вектор-функции fit,x'), когда х'-»х, пробегая почти всю (за исключением множества
меры нуль) окрестность точки х, т.е.
Fit, х) = П П. Eofit, хд \ЛУ). B6)
6>0 hN=0
Здесь со означает выпуклое замыкание (п. 1 § 5); пересечение берется по всем множествам Л/ ме-
меры нуль и по всем б > 0.
Так как функция fit, х). измерима в области G, то при почти всех г она измерима на сече-
сечении Gt множества 6 плоскостью f - const ив B5) mit) < °°. При этих f (множество таких f обо-
обозначим Е) функция fit, х), рассматриваемая как функция только от х, почти всюду аппроксима-
аппроксимативно непрерывна ([64], стр. 287, 396), т.е. всюду, кроме множества Л/о it) меры нуль. При г е 5
вместо B6) можно написать
Fit,x) = П со fit, х6 \N9it)). B7)
5>0
следовательно, множество Fit, x) не пусто, ограничено, замкнуто, выпукло. При остальных г мно-
множество Fit, х) можно не определять. Вместо пересечения по всем б > 0 можно взять пересечение
по произвольной последовательности б - б/-* +0 (/=1,2,...). Легко показать, что функция B7)
^-непрерывна по х.
Вектор-функция х (г), определенная на отрезке [а, Ь], называется [93] решением уравнения
х = fit, х), B8)
если она абсолютно непрерывна и почти всюду x(f)Ef(r, x(r)).
Очевидно, это определение не зависит от выбора системы координат в пространстве х. Опреде-
Определения из [107] и [108] не обладают этим свойством.
Решения в смысле этого определения для уравнений Каратеодори совпадают с решениями в
смысле п. 1 § 1, а дли уравнений с кусочно непрерывными правыми частями — с решениями в
смысле определения а) п. 2 § 4.
Тео рема 8 [93]. Пусть в области G вектор-функция fit, x) измерима и почти всюду удов-
удовлетворяет неравенству B5) с суммируемой функцией mit).
Тогда для любой точки (г0, хо)е6 существует решение уравнения B8) с начальным условием
*(t0) =х0. Решение определено по меньшей мере на отрезке [г0 -d, f0 + d), где d таково, что
цилиндр Z
| f - f0 | < d. | x - x0 | < r
(г равно большему из интегралов от функции mit) по отрезкам [to—d, t0] и [t0, t0 + d])
весь содержится внутри области G. _k
Доказательство. Пусть р0 ¦ p(Z, dG), u>* — объем шара I /1 < р? в 2 р0 ,
1
fkb, х) = / fit, x + y)dy. B9)
Для к - 1, 2,... функция ft определена при |х — х0 | < г и почти всех f G [f0 — d, t0 +d], непре-
непрерывна по х, измерима по t, х, значит, измерима по г при почти всех х (а вследствие непрерыв-
непрерывности по х - и при всех х), \ffcit, x)\<mit). Таким образом, функция fk в Z удовлетворяет
66

условиям Каратеодори, и по теореме 1 § 1 при t0 — d <t<t0 +d существует решение xk{t) задачи
проходящее в цилиндре Z. Из B9) и леммы 12 § 5 следует, что почти всюду (точнее, при fGf;
множество Е определено выше)
fkitx) €= bo fit, xPk\Noit)),
/Vo it) то же, что в B7). При у ? *P*\/V0 it) функция fit, у) аппроксимативно непрерывна по у,
поэтому fit, у) е Fit, у). Следовательно, почти всюду
xkit) « fkit, xkit)) <= coFit. ixkit))Pk). C0)
Так как функция F ^-непрерывна по х, то из леммы 14 § 5 следует, что множество
Fit, ixkit))Pk) в правой части C0) замкнуто. В силу леммы 3, где ukit) = xkit), из последователь-
последовательности {xkit)} можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность, и ее предел есть ре-
решение включения >G Fit, x). т.е. решение уравнения B8).
Теорема 9 [93]. При выполнении условий теоремы 8 решения уравнения B8) обладают
свойствами А-Е, перечисленными в п. 4.
Доказательство. Решения уравнения B8) совпадают с решениями включения х € Fit, x)
с функцией F, определяемой в B6) и B7). Функция F удовлетворяет условиям 1) и 2) теоре-
теоремы 5.
Покажем, что условия 3) и 4) тоже выполнены. Было показано, что функция B9) измерима по
t и \fkit,x)\<mit) почти всюду, точнее, при ???. Пусть Hit, x) есть множество всех предельных
точек последовательности fk it, х). к = 1, 2,... Очевидно, при ге? множества Hit, x) и
со Hit, x) — ограниченные, замкнутые. Так как для любого а е А?л
pia. Hit, х)) - lim \fkit, x)—el,
то функции pia. Hit, x)) и Hit, x) измеримы no t, со Hit, x) —тоже (п. 3 § 6).
Так как, подобно C0), fkit, x) ^coFit, xpfc), pk-^0, а функция F ^-непрерывна по х, то
со Hit, х) С coFit,x) С F(t,x). По теореме 5 § 6 существует однозначная измеримая по г функция
f*itt х) G coHit, х) С Fit, х).
Из B5) следует, что \Fit, x)\<mit) при почти всех t Следовательно, для функции Fit, x)
выполнены также условия 3) и 4) теоремы 5. Тогда в силу теоремы 6 решения включения
х е Fit, х). значит, и решения уравнения B8) обладают свойствами А—Е.
Теоремы о дифференциальных неравенствах для уравнений с разрывными правыми частями
см. в [112].
§ 8. Зависимость решения от начальных условий
и от правой части уравнения
Здесь показывается, что в случае единственности решения оно непрерывно зависит от
начальных условий и от правой части уравнения или включения, а в случае неединствен-
неединственности множество решений с данными начальными условиями полунепрерывно зависит
от начальных условий. Обосновывается применимость доопределений а) -в) § 4 для
приближенного описания движений в различных физических системах.
1. Пусть многозначная функция Fit, х) определена в некоторой е0-окрестности Do
множества D, a F*it, х) — на множестве D. Тогда при 0 < 5 V?< во для каждой точ-
точки it,x)GD определено множество Fit8, x8) — объединение множеств Fitx, x{) для
всех ti Gtd, Xj Gx . Будем писать dDiF*, F)<5 в тех и только тех случаях, когда
для всех it, x)ED
F*it, х) С [соFit8, х8)]6 A)
(обозначения см. в п. 1 § 7). При выполнении A) всякое проходящее в D решение
включения xEF*it,x) является 5-решением (п. 1 §7) включения xGF{t, x).
Число dDiF*, F), равное нижней* грани тех б, для которых справедливо A), мож-
можно назвать мерой отклонения многозначной функции F* от F. При условиях, сформу-
сформулированных в замечании в п. 1 § 7, из A) следует при достаточно малом б, что график
функции F* содержится в малой окрестности графика функции F.
Лемма 1. Пусть Fit, x) удовлетворяет основным условиям in. 2 % 7) в об-
области G, a Xjit) - Ъгрешение включения
х е Fit, х), B)
проходящее при а,- < t < jfy в замкнутой ограниченной области D С G, i - 1, 2.... ;
&~*j3, Xji&j) -*¦ Xq, Xji0f)-*"X*. C)
67

Тогда из последовательности ?х/(?)} можно выбрать подпоследовательность, рав-
равномерно сходящуюся на каждом отрезке [a, P'] С (а, 0) к решению х(г) включения
B); при этом х(а) = х0/ х@) = х*.
Доказательство. По лемме 15 §5 \F{t,x)\<m в D?, где р>0 столь ма-
мало, что lycG. Тогда при 5/>/2'<р
|*,(r)l < [соFit8'. (x/(f)N/)] 6/l < m + р. D)
Далее, надо повторить рассуждения из доказательства леммы 5 § 1, взяв m(t) = m + р.
Предел сходящейся подпоследовательности будет решением по лемме 1 § 7.
Теорема 1. Пусть F(t, х) удовлетворяет основным условиям (п. 2 § 7) в об-
области G; f0 € [a, b], (f0, xo)EG; все решения задачи
х € F(f, х), х(го)вхо <5)
при a<t<b существуют и их графики содержатся в G.
Тогда для любого е > 0 найдется такое 5 > О, что для любых rj € [а, Ь], х© и
F*(t. x), удовлетворяющих условиям
|г5-ГвКв. IxJ-XoKS, dG(F\ F)<S F)
и основным условиям, каждое решение задачи
t, xm), х*(Го) = х5 G)
при a<t<b существует и отличается от некоторого решения задачи E) не больше,
чем на в.
Это значит, что каждое решение x*(f) задачи G) или существует на [а, Ь], или его
можно продолжить на весь отрезок [а, Ь], и для него найдется такое решение х(г) зада-
задачи E), что
max |x4f)-*(f)|<e.
a<t<b
Доказательство. Множество И точек (f, x), a<t<b, лежащих на графи-
графиках решений задачи E), ограничено и замкнуто по теореме 3 § 7. По лемме 1 § 5
W dG >
Предположим, что теорема неверна. Тогда для некоторого 6 @ < 2е < р0) найдется
последовательность решений х/(г), /= 1, 2,..., задач
x,€F/(f, X/), x/(f0/) = Xoi. /e 1, 2,..., (8)
для которых при 6/ -» 0 (/-><*>) имеем
x0|<5^ dG(Fit FXbi.
и или решение х( не продолжается на весь отрезок [а, Ь], или для каждого решения
x(t) задачи E) при всех /
max |x,(f)-x(f)|>e. (9)
a<t<b
В обоих случаях для всех />/0 точка (r0/, xqi) лежит внутри Н€ и решение х,(г)
проходите //епри Oi<t<pi, t0ie{0Lif fa), а точки
Pi (а/. х,(а,)), Qi = (ft, x/ {fit))
лежат на границе ЪН€ замкнутой области И6 (теорема 2 § 7).
Выберем такую подпоследовательность /' = /!, /2/... -^ °°, по которой
A0)
Применив лемму 1 к подпоследовательности X/(f), i = i\, i*, • • , получим новую под-
подпоследовательность Я, сходящуюся к решению х(г) включения B), проходящему че-
через точки Рид.
Так как решение х;(г) проходит через точку (toi, xoi) -> {to,xo), то в силу D)
при />/* решение Х/(г) на отрезке с концами rOi и г0 проходит внутри //€ и
x(ro)
68

Значит, x(t) - решение задачи E), и его график при
max{a; tq) < Г < min {b; tp)
содержится в И. Тогда из 110) следует, что tp <а, tq>b. Теперь из леммы 1 выте-
вытекает, что поддоспелоаэтельность Р сходится к x{t) равномерно на [а, Ь]. Это проти-
противоречит (9).
Следствие 1. Пусть F(t, x) удовлетворяет основным условиям в области G,
задача E) при t>t0 имеет единственное решение x(t) и его график на отрезке [to,b]
проходит внутри G.
Тогда для любого е > 0 существует такое 5 > Q, что при любых to, х?, F* (t, x),
удовлетворяющих неравенствам F) и основным условиям в G, каждое решение задачи
G) на отрезке [t0, b] существует и отличается от x(t) меньше, чем на е.
Таким образом, из правосторонней единственности решения следует правосторонняя
непрерывная зависимость решения от начальных условий и от функции F. Аналогичное
утверждение справедливо для отрезка [at t0].
Следствие 2. Пусть F(t, x) удовлетворяет основным условиям в области G
и все решения задач E) с начальными условиями (t0, xo)EM, M - заданный компакт,
при а < t < b существуют и их графики содержатся в G.
Тогда для любого е > 0 существует такое б > О, что для любого компакта М * С М6
и любой функции F* (f, х ), удовлетворяющей основным условиям и условию
dcd1*, И<5, каждое решение задачи G) с любыми (Г©, х?)ЕМ* при a<t<b
существует и отличается от некоторого решения задачи E) с некоторыми {t0, х0) G М
не больше, чем на е.
Доказательство. Если утверждение неверно, то найдется последовательность
решений задач (8), для которых начальные точки неограниченно приближаются к Af, a
сами решения или удовлетворяют неравенству (9), или существуют не на всем отрезке
[а, Ь]. Выберем подпоследовательность решений, для которых начальные точки схо-
сходятся к некоторой точке (t0, x0) GM. Для этих решений справедливо утверждение
теоремы 1. Но это противоречит сделанному предположению.
Согласно следствию 2 множество всех решений задачи G) с (fo, Xq)GM* содержит-
содержится в 6-окрестности (в метрике С [а, Ь]) множества всех решений задачи E) с
(t0, xo)EM. Следовательно, отрезок a<t<b воронки множества М* для включе-
включения xEF*(t, х) содержится в е-окрестности отрезка воронки множества М для
включения B). Итак, множество решений с начальными условиями из данного компак-
компакта и отрезок интегральной воронки полунепрерывным сверху образом зависят от этого
компакта и от правой части включения. *
2. Из теоремы 1 выводятся аналогичные теоремы для дифференциальных уравнений
с кусочно непрерывными правыми частями, если решения понимаются в смысле опре-
определения а) или в) § 4.
Пусть вектор-функции f(t, x) и f*(t, x) в области G кусочно непрерывны, как в
п. 1 §4, и удовлетворяют условию у п. 1 §6. Будем писать d°(f*, f)<b в том и
только в том случае, когда для каждой непрерывности (г, х) функции f* найдется
такая точка непрерывности (?', х') функции f, что
U'-*!<5, |x'-x|<5,
\f{t', x')-fm(t, х)| < б.
Заметим, что из A1) не с л е д у е т, что при каком-либо из доопределений а) -в)
§ 4 значения функций f* и f на поверхности разрыва отличаются не больше, чем на 6.
Например, если х = (хь х2),
f(?/(x)) = B-c/; 0,1 -0.il/). fm(ub))= B-й; 0,2-0,1c/),
(/«0 (х2<0), (/ = 3 (х2>0),
то | f9 - f\ s 0,1 при х2 Ф 0, а в силу любого из доопределений а) -в) § 4 при
х2 =0 имеем 1= A, 0), f = @, 0).
В следующей теореме предполагается, что в области G вектор-функции f (t, x) и
f*(t, x) кусочно непрерывны и.удовлетворяют условию у, все решения понимаются
в смысле а) §4, t0G[a, b], (to,xo)EG.
69

Теорема 2. Пусть все решения задачи
к = f(t, x), x(to)=xQ A2)
при а < f < b существуют и их графики содержатся в G.
Тогда для любого е > 0 найдется такое б >0, что для любых tl G [а. Ь], х<? и
f*(t, х), удовлетворяющих условиям
A3)
каждое решение задачи
х* = fit. х*). хЧф=х? A4)
при a <t<b существует и отличается от некоторого решения задачи A1) не больше,
чем на е.
До казательство. Согласно п. 1 § 6 уравнения A2) и A4) при условии у
равносильны включениям
xtFit, х), xmEFmit х*).
В областях непрерывности функции f имеем F = f, а в точках разрыва Fit x) =
= coH{t, x), где Hit, x) - множество предельных значений для f(tif x,) при f, -> t,
Xj^x. Аналогично для F*. Согласно п. 1 § 6 функции F и F* ^-непрерывны по t, x.
Если функция f* непрерывна в точке {t, х), то из A1) имеем
. F\t, x) = rfc x)C [f(t\ x'))B C[F{t6, x6)]6.
Если же f* разрывна в точке (f, х) и непрерывна в точках (f,-, х,) -^ (t, x), то
'•<**,*/) С [f(f',# xj)]6, |f/-f,|<6f |x;-x,|<5. A5)
Покажем, что при достаточно больших / точки fit], x\) содержатся в сколь угодно
малой окрестности множества Fit8, х6). В противном случае для некоторого е>0
нашлась бы подпоследовательность точек f(t\, xj), не содержащаяся в [Fit6, x6)]€.
Из нее можно было бы выбрать новую подпоследовательность (/ = iv, i2. . . . ~+ °°),
по которой
It. я}) -* It'o. л'о) € (f6, x6), fit't, х-) - i/.
Но тогда и G F(fJ), Xq) С Fit6, x6). Это противоречит выбору первой подпоследователь-
подпоследовательности.
Из доказанного и из A5) следует, что множество И* it, x) предельных значений для
f*itit xt) содержитсяв [Fit6, x6)]6. Так как F*it, x) = coA/*(f/ x) (п. 1 §6), то с
помощью леммы 9 § 5 получаем
Fm#, x)Ccoi[Fit6f хб)]б)= [coFit6, x6)]6.
Итак, из A3) следует A), и из теоремы 1 вытекает справедливость утверждения
теоремы 2.
Сформулируем подобную теорему для задачи
x-«f, х, и, it, х) uritf х)). A6)
x(fo) = xo, A7)
где (Г, x)€G, f- непрерывная вектор-функция, u,{t, x) - скалярная функция, раз-
разрывная только на гладкой поверхности S^ /=1,...,r. Близкая теорема имеется
в [95]. Как в случае в) § 4, решениями уравнения A6) называются решения вклю-
включения
x€coFi(f, x),
Fx Ц х) = fit х, Ux Ц x),...,Ur it, x)). A8)
В точках непрерывности функции ut множество U,it, х) есть точка (//(г, х), а в точ-
точках разрыва, т.е. на поверхности Sit множество Ufit x) есть отрезок, соединяющий
точки ujit, x) и и*it, x) — предельные значения для i/,(r', x') при t'-*t, x'-^x.
70

Предполагается, что {t0, xo)GG, a^to^b. Такие же предположения делаются и
для задачи
x = f(f, х, и\Ц, *) и;it, х», x(tZ)=xl A9)
Функция f* непрерывна, функция и* непрерывна или разрывна только на поверх-
поверхности S*, i = 1,..., г.
Теорема 3. Пусть все решения (в смысле определения в) § 4) задачи A6),
A7) при a<t<b существуют и проходят в области G.
Тогда для любого е>0 найдется такое б >0, что для любых t? G [a, b], xj, /*,
и*, удовлетворяющих условиям
\tZ-to\<8, |xS-xo|<5, |/*-/|<5, d°[u*, щ)<Ъ. B0)
/ = 1,..., г, каждое решение задачи A9) при a <t<b существует и отличается от не-
некоторого решения задачи A6), A7) не больше, чем на е.
Доказательство. Согласно п. 1 § 6 функция coFl it, х) удовлетворяет основ-
основным условиям п. 2 § 7. Множество И точек it, x), a<t<b, лежащих на графиках ре-
решений задачи A6), A7), ограничено и замкнуто по теореме 3 § 7. По лемме 1 §5
р(Н, dG)>3o>0. Далее, функции uf и f рассматриваются только при it, x) G На,
(t',x')eH2a.
Для любых точек (Г, х) и it', x) из одной и той же области непрерывности функ-
функции ut при f'Gf**, x'Gx17 имеем
\utit', x')-utit, x)|</i(n). B1)
Функцию д1т?) можно взять общей для всех uif i = 1,..., г; д(т?) -* 0 при т? -* 0. При
f'G^ x'Gx11 и
K(fr, х', и\ ur)-f[t.x,ux u,)\< v(n), B2)
v{r\) -> 0 при ту ->0-
Рассуждением от противного с использованием компактности Н° доказывается сле-
следующее утверждение. Для любого в > 0 найдется такое 5 = 5@) >0, что для каждого
набора индексов /Vе \i\,..,, is) и каждой такой точки it, x)?H°, в окрестности
(Г*, х6) которой содержатся точки всех поверхностей Sf, /GN, найдется в_множестве
it0, хе) общая точка всех этих поверхностей, точнее, точка множества П S/. Очевид-
но, ЫвХв.
Пусть О<0<а, О<5<5@). В силу последнего из неравенств B0) для каждой
точки (г, ?), близкой к рассматриваемой точке it, x)Gtfa, и каждого /<г найдется
такая точка (rj, &е{т6, ?), что
k/V, f)-^(r;, Й)|<5. B3)
Если в (f6, f) нет точек поверхностей Si,..., Sr, то при (т, ?) -+ it, x) все пре-
предельные значения функции u*ir, {) в силу B3) и B1) содержатся в F +jiF))-окрест-
+jiF))-окрестности значения <// it, x), т.е.
(/fo х) С UZ/fc х)N^^^ /= 1 г. B4)
Если же в it6, xs) имеются точки одной или нескольких поверхностей S/ (т.е. по-
поверхностей S/ с номерами /€Л/),тов (г, хв) имеется общая точка it1, х) всех этих
поверхностей. Сколь угодно близко к ней найдутся точки каждой из двух областей, на
которые поверхность Sf делит пространство, т.е. точки каждой из областей непрерыв-
непрерывности функции ut, iGN. В обоих случаях (/G/V и i&N) сколь угодно близко к точ-
точке (t'e х) найдутся точки (г°, ??), принадлежащие той же области непрерывности
функции uit что и точка (т{, ?j) в B3).
Можно считать, что т, ?, т?, § отличаются от t,x.t\ x (соответственно) меньше,
чемна 5/2. Так как it', x^Git6, хв), ir'h Weir*, Г), то |т}^т?!<17, Щ-'&К
71

<r), t7= 9 + 26. А тогда в силу B1)
ЫЛ *}) - Uiirl %,°)| < ц(ч). B5)
При (т,?)-*(г,х), (Tltf)-+it',x') из B3) и B5) следует, что
Ujlt,x)C(Ui(t'.x9))*+'ito\ /- 1 г. B6)
Итак, для каждой точки (t,x)EH° найдется точка (t',x')E [te ,хв), для кото-
которой справедливо B6) (в случае B4) t' = t, х'=х). Тогда в силу B2) и неравенст-
неравенства |f* — f\ < 6 множество
FT it, x) = Г it, к, U\ it, х) U*it. x))
содержится в (б + И*?)) окрестности множества Fx it', x')C Fx{te ,xe). С помощью
леммы 9 § 5 получаем
coFJ(f,x)C [coF1(f##xe»]5+p<II>. B7)
При б -* О можно взять в -0F) -> 0, тогда т? = в + 26 -*0, i>(f?) -> 0. Значит, при дос-
достаточно малых 6 число dpicoF*,coFx) для области D=Ha сколь угодно мало, и
из теоремы 1 следует утверждение теоремы 3 для решений включений
х € coFi (t, х), х е coFJ (Г, х),
равносильных уравнениям A6) и A9).
Следствие. Если при условиях теоремы 2 {илитеоремы 3) задача A2) (со-
(соответственно задача A6), A7)) имеет единственное решение на отрезке [to,b], а
также на любом меньшем отрезке [to.c] С [to,b], то зто решение при t0 < t < b
непрерывно зависит от начальных условий и правой части уравнения.
В данном случае малыми изменениями правой части считаются такие, как в A3)
и B0) при Малом б. Это значит, что допускаются не только малые изменения ку-
кусочно непрерывных функций f в A2) и ut в A6) в областях их непрерывности,
но и малые изменения границ этих областей.
3. Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями часто применяют-
применяются для упрощенного математического описания некоторых физических систем. Выбор
того или иного способа доопределения правой части уравнения на поверхности разры-
разрыва, например доопределений а), б) или в) § 4, зависит от характера движения этой
физической системы вблизи рассматриваемой поверхности. Пусть вне некоторой окрест-
окрестности поверхности разрыва функции fit, x) движение происходит в соответствии с
уравнением x = f(t,x). В этой окрестности закон движения может быть известен не
полностью. Например, известно, что в этой окрестности движение может происходить
только в двух режимах, а переключение с одного режиме движения на другой проис-
происходит с запаздыванием, о величине которого известно лишь то, что она мала. Требуется
с помощью этих неполных сведений выбрать способ доопределения правой части урав-
уравнения на поверхности разрыва таким образом, чтобы при достаточно малой ширине
окрестности движения физической системы сколь угодно мало отличались от решений
уравнения х = fit, x), доопределенного выбранным способом. Доказанные выше теоре-
теоремы позволяют обосновать выбор того или иного способа доопределения в ряде часто
встречающихся случаев.
Пусть кусочно непрерывная вектор-функция f(t,x) и решения задачи A2) удов-
удовлетворяют условиям теоремы 2, функция y(t) абсолютно непрерывна и |/(Г0) —
-хо|<б. В каждой из областей непрерывности G( функция f равна некоторой
непрерывной в G, функции f/. Пусть функция f{ непрерывно продолжена из области
G/ в ее б-окрестность.
1° Пусть вне бюкрестности Мь множества М, на котором функция f разрывна,
ylt) удовлетворяет уравнению у-fit, у), а в самой окрестности при почти всех г
B8)
где г (г) — любая такая функция, что |z(f) - y{t)\ <6. В частности, в каждой точке
из Мь, находящейся на расстоянии, не большем б, от областей Gi.Gf.Gk,. ..,дви-
..,движение может происходить по любому из законов
y=fAt,y). y = ffit,y), y = fkit,y),...
72

Переключение, т.е. переход от движения по закону y = fiit,y) к движению по зако-
закону y = fj(t,y), может происходить в любой точке из М6, находящейся на расстоя-
расстоянии, не большем б, от областей G/ и G, (рис. 12).
Тогда для любого е>0 при достаточно малом 6 функции y(t) на данном отрез-
отрезке a<t<b отличается меньше, чем на е, от некоторого решения (в смысле опре-
определения а) §4) задачи A2).
Покажем это. В силу определения а) § 4 уравнение x = f(t,x) равносильно диф-
дифференциальному включению xGF(t,x). Согласно B8) y(t) G [F(t, {y(t)N]b, и из тео-
теоремы 1 следует доказываемое утверждение.
2и Пусть при почти всех г
y(t)=flt,yit-T)), 0<т<б.
Запаздывание б может быть постоянным или как угодно меняющимся между 0 и б.
Рис. 12.
Тогда для y(t) справедливо то же утверждение, что в случае 1°.
Покажем это. В области, где \f\<m, при 0<т<д имеем
\y(t-T)-y(t)\<md, к(г)€/Чг, (к(г)Г5),
функция F та же, что в случае 1°. Из теоремы 1 следует доказываемое утверждение.
3° Пусть в б-окрестности множества точек разрыва функции f при почти всех t
производная у it) отличается не больше, чем на б, от некоторого среднего (с любыми
неотрицательными весами) значений функции f{t,x) в бюкрестности точки (t,y{t)),
например,
1f(r/z1) + ...+awf(f/zm))|<6,
6, /=1,...,m,
числа a/ и векторы zt могут произвольным образом зависеть от t и у it).
Другая возможность: \y(t) -f*(t, y(t))\<b,
f*{t,y)= f f(t,x)p(t.x,y)dx,
\x-y\<b
C0)
p[t,x,y)>0, f p{t,x,y)dx=\.
U|<6
В частности, если функция p(t,x,y) непрерывна при \х-у\<5, то'функция C0)
непрерывна.
Тогда в каждом из случаев B9) и C0) для y[t) справедливо то же утвержде-
утверждение, что в случае 1°.
Покажем это. Значения функции fit x), через которые выражается среднее, при-
принадлежат множеству f(tb, у6) С F(tb, уь). поэтому среднее принадлежит множеству
coF(f6V), а
Из теоремы 1 следует доказываемое утверждение.
73

Замечание. Если в B9) а, - не числа, а матрицы, то утверждение, вообще
говоря, несправедливо.
4 Известны и другие случаи, когда решения разрывной системы должны пони-
пониматься в смысле определения а) § 4. Например, в [147] показано, что для линей-
линейной системы общего положения со скалярным управлением решение, оптимальное
по быстродействию, является также решением в смысле определения а) § 4 некото-
некоторой разрывной системы, полученной в результате решения задачи синтеза оптималь-
оптимального управления.
5°Рассмотрим теперь уравнение A6). Пусть функции f,ux ur и решения за-
задачи A6), A7) удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме 3 и перед
ней. Пусть абсолютно непрерывная вектор-функция yit) удовлетворяет неравенст-
неравенствам I у{t0) — х0 К б и почти всюду
\yit) - fit, yit), vx (г, yit)) vr(t, y(t)))\ < 6, C1)
причем №i(t, y) —*//(*, y)\ ^6 вне 6 ю крест ноет и поверхности S,-, на которой функция
Uj разрывна, а в этой окрестности
inf*/f- - 6 < Vf < sup*/,- + б, C2)
где inf и sup берутся по бокрестности точки it, у). Тогда для функции y(t) спра-
справедливо утверждение теоремы 3.
Покажем это. Пусть ?/, те же, что в A8). В силу C2) и C1)
vtit, у) € [U,it6, уь)] ь = U*t(t, у), yit) SFUt, y(t)),
П\t. у) = [f(t, у. U\ (t, у) U*r(t, у))]6.
Пусть Fx - функция A8). Подобно B7)
и доказательство завершается так же, как в теореме 3.
Замечание. Утверждение остается верным, если в C1) функцию f заменить
2 ак f(t, y(t), vkx (t, yit)) v*[t. yit))),
где все ак = ak it) > 0f at + ... + am = 1, а все vkt удовлетворяют тем же условиям,
что у,. (Тогда в силу леммы 7 §5 yit) ScoF* it, yit)), а в остальном доказательст-
доказательство не меняется.)
Доказанное утверждение и замечание содержатся в [95].
Рис. 13.
Рис 14.
6° Рассмотрим случаи, когда можно применять доопределение б) § 4. Во-первых,
если в A6) функция f линейна по их иг, каждая функция и,(г, х) разрывна
только на гладкой поверхности S, и в точках пересечения всех или некоторых по-
поверхностей Sj нормальные к ним векторы линейно независимы, то доопределения
аЬ бЬв) совпадают (п. 2 §4), и в любом из только что рассмотренных случаев
1°— 5° можно применять любое из этих доопределений.
74

Во-вторых, доопределение б) можно применять в следующем случае. Пусть в урав-
уравнении A6) fEC1 и на гладкой поверхности 5t (<pi(x) = O, ^i €C ) разрывна толь-
только одна функция ux(t,x). Пусть в реальной системе вместо разрывной функции
Ui(t,x) имеется непрерывная функция vx{tfx), равная ux{t,x) вне , окрестности
|^i(x)|<5 поверхности 5i и линейно зависящая от ^i(x) (или от х) на каждом
проходящем в этой окрестности отрезке нормали к Sx. Тогда проходящие вблизи
поверхности Si решения реальной системы (рис. 13) при б->0 стремятся к решениям
уравнения A6) в смысле доопределения б) (рис. 14). Это доказано в [7] (стр. 40, 57).
7° Имеются и другие случаи, когда решения дифференциальных уравнений с раз-
разрывными правыми частями могут использоваться для приближенного описания дви-
движений реальных систем. В частности, в [7] (гл. 5) рассматриваются системы, со-
содержащие малые параметры при производных в части уравнений. Наличие таких па-
параметров может быть обусловлено, например, малыми инерционности ми различного
рода, малыми индуктивностями в электрических цепях и т.п. Отбрасывание членов с
малыми параметрами приводит к понижению порядка системы. Методы исследования
таких систем с непрерывными правыми частями хорошо известны. В [7] показыва-
показывается, что эти методы применимы и в случаях, когда после понижения порядка полу-
получается система уравнений с разрывными правыми частями, в которой имеются дви-
движения по поверхностям разрыва.
8° Дифференциальные уравнения с разрывными правыми частями возникают в
реальных задачах не только в результате предельных переходов, например, таких,
как в случаях 1°-7°. В ряде случаев физические законы выражаются разрывными
функциями, например, разрывная зависимость силы трения от скорости в случае су-
сухого трения [148], [149], модель Прагера - Ишлинского упруго-пластического эле-
элемента [150], [151] и др. В ряде случаев к полученным таким путем уравнениям
с разрывными правыми частями обоснованно применялись методы качественной
теории дифференциальных уравнений и делались заключения, например, об устой-
устойчивости решений, о существовании периодических решений.
4. Ниже излагаются теоремы о непрерывной зависимости решения при более слабых, чем в
пп. 1, 2, предположениях о правой части дифференциального уравнения или включения.
Теорема 4. Пусть в области G при почти всех t многозначная функция Fit, х) удовлет-
удовлетворяет условиям теоремы 5 и леммы 4 § 7. Пусть foe [a, b], it0, xo)G G и при а ** t ** b каж-
каждое решение задачи
х е Fit, х), x<f0 ) = х0 C3)
существует и проходит внутри области G.
Тогда для каждого е>0 найдется такое 6 > 0, что для любых f* ^[a,b\, x*,F*it, х), удов-
удовлетворяющих условиям \t* — to\ < 8, |х* — хо| < 5,
F*it, х) С [coFit, xM(f))] M(f), / nit)dt < 6 C4)
a
и условиям 1)-3) теоремы 5 § 7 для функции F*, каждое решение задачи
xGF*(f,x), х(г*)=х? C5)
при a<t<b существует и отличается от некоторого решения задачи 133) не больше, чем на е
(в том же смысле, что в теореме 1 § 8).
Доказательство. Покажем, что для решений задач C3) и C5) выполнены условия
леммы 6 § 1, где а0 - ito,xQ), а роль параметра ц играет функция м(г)е L, {а, Ь]; ц0 = Q, усло-
условие ц-+ц0 означает, что Й/ий^ — 0, т.е. интеграл в C4) стремится к нулю.
Из теорем 5 и 6 § 7 следует, что выполнены условия 1) и 2) леммы 6 $ 1 и отрезок а <
<г <Ь воронки задачи C3) - компакт К с G. Следозательно, выполнены условия 5) и 6) лем-
леммы. Условия 3) и 4) выполнены в силу леммы 3 § 7. Тогда из леммы 6 $ 1 следует утвержде-
утверждение доказываемой теоремы. "
Докажем аналогичную теорему для дифференциального уравнения с разрывной измеримой
правой частью. Решения понимаются в том же смысле, что в п, б § 7.
Теорема 5. Пусть векторфункция fit,x) измерима в области G и почти всюду 'fit x)\ <
< mit), функция mit) суммируема. Пусть t0 €= [в, Ь), it0, х0) е G и при а < t < 6 каждое решение
задачи
существует и проходит внутри области G.
Тогда для каждого е >0 найдется такое 5 > 0, что при любых t*^[a,b] x* удовлетворя-
удовлетворяющих условиям |f0* - го|< 6, IxJ - х|< 5, и любой измеримой в G функции f*lt',x) такой, что

при почти всех t для (t,x)GG положительна мера множестве rex г, для которых
C7)
причем интеграл от /uU) по отрезку [в, Ь) меньше 6, кеждое решение задачи
x=f*{t,x), xit*0)=x*0
при а < t < b существует и отличается от некоторого решения задачи C6) меньше, чем
на е.
Доказательство. Решения уравнения x~fit.x) совпадают с решениями включения
хе Лг,х) с функцией F. определенной в B6) и B7) § 7. При доказательстве теоремы 9 § 7
показано, что функция F удовлетворяет условиям теоремы 5 § 7, значит, и условиям теоремы 4
§8 (неравенство \F{t, x)\ < m(t) очевидно). Функция F*(t,x), определяемая аналогично через
функцию f*(t,x), в силу C7) удовлетворяет условию C4). Поэтому из теоремы 4 вытекает ут-
утверждение теоремы 5.
О применении известного метода усреднения для получения асимптотических (при
малых б) решений дифференциальных уравнений вида k » ef(t, х) с разрывными пра-
правыми частями и дифференциальных включений см. [27], [152]-[154].
§ 9. Замена переменных
Здесь показывается, что обычные замены переменных, применяемые к дифференци-
дифференциальным уравнениям с непрерывными правыми частями, точно так же можно приме-
применять и к дифференциальным уравнениям с разрывными правыми частями и к диф-
дифференциальным включениям.
1. Используемые ниже действия с многозначными функциями определены в п. 2
§ 5. Рассмотрим замену переменных
K/siM*,*i *п). ' = 1 "* П)
в области D, где фи ... ,ф„ЕС1 и преобразование A) взаимно однозначно. Пре-
Преобразование A) запишем в векторном виде у = ф{г,х), а обратное преобразова-
преобразование - в виде х = ф it,y). Линейное преобразование л-мерного пространства с мат-
матрицей {Ьф//Ьх^и=1^п обозначим ф'хЦ,х).
Л е м м а 1 ([155], стр. 321). Всякое взаимно однозначное и в одну сторону не-
непрерывное отображение компакта непрерывно и в другую сторону и, следовательно,
является топологическим отображением.
Теорема 1 [120]. Каждое решение x{t) дифференциального включения
xGFit.x) B)
после замены у = ф(г,х) переходит в решение y(t) = ф(г, x(t)) дифференциального
включения
уеф'ги,х) + фх{Г,х)Ра,х)\х=ф-г(ГгУ). C)
получаемого из B) формальной заменой у=ф(х,х).
Доказательство. На любом отрезке а < ? < Ь функция x(t) абсолютно не-
непрерывна. В замкнутой ограниченной области, содержащей график функции x(t),
функция ф{г,х) удовлетворяет условию Липшица. Подобно [64] (стр. 264) получа-
получаем, что функция к(г) = фЬ,хк)) абсолютно непрерывна.
Почти всюду на отрезке [a,b] y(t) = ф'т(г, х) + фх(г, x)x(t). Отсюда и из B) следу-
следует, что у it) — решение включения C).
Замечание 1 [120]. Если функция F в B) удовлетворяет основным усло-
условиям п. 2 § 7, то правая часть включения C) тоже удовлетворяет (функция х -
= ^~1(г/к) непрерывна по лемме 1).
Свойство ^-непрерывности по х (или а-непрерывности) также сохраняется при пе-
переходе от B) к C).
.Замечание 2. Если deti^^O, то преобразование х = ф~1 it, у) обладает теми
же свойствами, что y = 4>{t,x). Тогда каждому решению y[t) включения C) соот-
соответствует решение x(t) = ф~1 it, y(t)) включения B).
Следующая теорема усиливает теорему 6 из [120].
Теорема 2. Пусть функция tir) — строго монотонная и абсолютно непре-
непрерывная.
76

Тогда каждое решение дифференциального включения B) при замене переменного
г = г(т) переходит в решение к(т)=х(г(т)) дифференциального включения
dy
€ Gir, К), Gib У) = Fitir), Y)t'iT), D)
dr
G{T,y) = 0 при тех т, при которых t'ir) равна нулю или не существует. Каждое ре-
решение включения D) получается такой заменой из некоторого решения включения B).
Доказательство. Если функция х(г) является решением включения B),
то она абсолютно непрерывна и почти всюду
dxit)
= vit)EFit,xit)),
dt
функция v{t) суммируема. Для любых tQ,tx
После замены t = tir) получаем ([64], стр. 283)
f\itir))t'ir)drt F)
причем подынтегральная функция считается равной нулю там, где t'(r) = 0 или t'ir)
не существует. Интеграл в F) - интеграл Лебега, поэтому функция yir) абсолют-
абсолютно непрерывна и почти всюду dy/dr равно подынтегральной функции. Значит, yir) -
решение включения D)*
Обратно, пусть yir) -решение включения D). Так как функция tir) абсолютно
непрерывна, то множество Мх меры 0 тех г, при которых t'(r) или y'ir) не су-
существует или yir) не принадлежит Gir, yir)), она преобразует в множество Nt зна-
значений г меры 0 ([€4], стр. 268). Множество М2 тех г, при которых г'(т)=О,функ-
ция tir) преобразует в множество Л/2 тоже меры 0 ([64], стр. 281). При всех ос-
остальных т существуют y'ir) и t'ir), г'(т)=?О, и из равенства у'ir) = v[t{r))t'ir) функ-
функция v(f) определяется однозначно для t?Nx U/V2, т.е. для почти всех г. При этих г,
т.е. при т?Мх UM2, имеем
yir) G Gir, yir)) = Fitir), y(r))t'ir).
Поэтому, обозначая y{r(t)) =x(t), имеем при t?Nx U N2
vit)EFit,xit)). ^ ^ G)
При этих f существуют r it) = Mt'ir) и yir), т = т(г)/ поэтому существует
x'<f) = /(T)r'(f) = vit) G Fit, xit)). (8)
Покажем, что функция xit) = yirit)) абсолютно непрерывна, даже если г (г) не
абсолютно непрерывна. Так как rit) непрерывна и монотонная, a yir) ограничен-
ограниченной вариации, то функция xit) тоже ограниченной вариации. Значит, функция v (r)
в (8) суммируема. Тогда правая часть E) есть абсолютно непрерывная функция от
fi и равна правой части F), т.е. равна y[r{tx)) = x{tx). Следовательно, функция
xit) абсолютно непрерывна и в силу (8) ^является решением включения B).
Теорему 2 можно применять для того, чтобы дифференциальное уравнение или
включение с неограниченной правой частью, оцениваемой суммируемой функцией от
Г, свести к дифференциальному уравнению или включению с ограниченной правой
частью.
Лемма 2 [93] Пусть многозначная функция Fit, x) определена в области Q
пространства t, х, и пусть для каждой ограниченной замкнутой области D С Q су-
существует такая суммируемая функция mDit), что \Fit,x)\<mDit) в D при почти
всех t.
Тогда существует такая функция tir), абсолютно непрерывная вместе с обратной
функцией r{t), что после замены переменных t = tir) дифференциальное включение
77

B) переходит в дифференциальное включение D), правая часть которого ограничена
в каждой замкнутой ограниченной области, содержащейся в Q.
Доказательство. Пусть Dl CD2 С... — замкнутые ограниченные области,
объединение которых есть Q, причем Dk содержится в полосе —?<?<? и в Dk
при почти всех t
\F(t,x)\<mk(t), (9)
функции mk(t) суммируемы, mk{t) = 0 при \t\> k. Пусть
у к 1 г
Ьк = 2* / mk (t)dt, spk (f) = — / тк {s)ds.
-к bk —
Функция \pk(t) —абсолютно непрерывная, неубывающая, 0<^*(г)<2~*. Поэтому
ряд г + «pi (г) + if>2 М + ... сходится и его сумма т(г) — возрастающая абсолютно не-
непрерывная функция на каждом конечном отрезке. Почти всюду г'(г) > 1, следова-
следовательно, обратная функция тоже абсолютно непрерывна,
'(M
t(T)<
T{t) ]+
Теперь из D} и (9) следует, что в той области, в которую переходит область Dk
при замене г = г(т), имеем \G(t, у)\ <bk.
Следствие. Дифференциальное уравнение х - f(t, x), удовлетворяющее услови-
условиям Каратеодори в области Q или в каждой замкнутой ограниченной области D С
С Q, можно преобразовать заменой t = г(г) в уравнение Каратеодори справой частью,
ограниченной в каждой замкнутой ограниченной области DCQ.
2. Покажем, что к автономным дифференциальным включениям х Е Fix) можно
применять такие же преобразования, как к автономным системам дифференциаль-
дифференциальных уравнений.
Теорема 3. Пусть непрерывная функция р{х)> 0 в области G.
Тогда в этой области дифференциальные включения
A0)
iGpix)Fix) A1)
имеют одни и те же траектории.
До касательство. Пусть x{t) — решение включения A1), т.е. функция х (г)
абсолютно непрерывна и
dxit)
i
dt
при почти всех г. На отрезке э<г<6 полагаем
Tit) -
o
Производная r'(f) =p(x(f)) >c > 0 непрерывна. Существует обратная функция г (г).
Функция х *(т) = x(f(r)) абсолютно непрерывна ([64], стр.264), и
dx*ir) dx t
V()
dT dt pix*iT))
почти всюду (так как функции Tit) и г'(т) непрерывны, то условия "при почти
всех t" и "при почти всех т" равносильны; см. [64], стр.268), т.е. х*(г) — реше-
решение включения A0).
Итак, траектория любого решения включения A1) является также траекторией
некоторого решения включения A0). Верно и обратное, так как функция 1/р(х)>
> 0 гоже непрерывна.
Замечание. Если в некоторых точках траектории х -х(г) включения A0)
функция р(х) обращается в 0, то эта траектория может разбиваться такими точка-
точками на несколько (иногда бесконечно много) траекторий включения A1).
78

Дифференциальное включение
dx
—
dt
где х = (x, х„), равносильно автономному дифференциальному
(/? + 1)-мерном пространстве xo,Xi, . . . ,х„:
A2)
включению
dt
dt
A3)
Графики решений включения A2) в пространстве t, x после переименования t в
х0 совпадают с траекториями включения A3) в пространстве хо,Х! х„. Вклю-
Включение A3) не общего вида, так как множество допустимых значений производной
Рис. 15.
dx*/dt, где х* = (xo,X! х„), лежит в п-мерной гиперплоскости (п + 1)-мерно-
1)-мерного пространства. Поэтому обратный переход от автономного дифференциального
включения к дифференциальному включению в пространстве меньшей размерности
возможен не всегда и требует дополнительного рассмотрения.
Множество F в A0) и A2) расположено в п-мерном пространстве, которое мож-
можно назвать пространством скоростей vx,.. ., vn. Пусть для всех х € G, G— область в
Rn. множество F(x) замкнуто, ограничено и лежит в полупространстве vx > у > 0„
функция F /3-непрерывна. Проектируя из начала координат множество F(x) на плос-
плоскость У] = 1, получаем множество Н{х) (рис. 15). При этом каждой точке v =
соответствует точка
A4)
^ "-);
Обозначаем (х2 хп) через у, а точку х-через (хх,у).
Лемма 3. При сформулированных условиях траектории включения
dx
— ?F(x)
dt
в области G совпадают с графиками решений включения
dy
A5)
A6)
Доказательство. Пусть x{t) = Ui(f),... ,xn(t)) — решение включения A5).
Тогда функция х(г) абсолютно непрерывна и почти всюду
dxit)
=(^(Г) vnlt))eF(x(t)). A7)
dt
79

По предположению, vxit)>y>0. Поэтому для функции xxit) существует обратная
функция t(xi), монотонная'и абсолютно непрерывная. При почти Bcexxt (это равно-
равносильно "при почти всех Г" [64], стр. 268) из A7) получаем
dxjtjxi)) d* dt ( v2(t) vn(t) \
dxx dt dxx \ vxit) vx(t) )
Так как х=(хьк), to из A8) и A4) следует A6).
Обратно, пусть yixx) - U2U1), • - . ,*я<*1>) - решение включения A6)>а<х1 <Ь.
Тогда при почти всех хх
dy / dx-i dxn \
1 =(</2<*i
dx\ \dx\ dxx 1
A9)
Выходящий из точки @, ...,0) пространства (vx,...,vn) луч, проходящий через
точку A,</2(*i),... ,unixx)). пересекает множество Fix). Пусть (*i(xi),...,vnlxi))—
точка пересечения с наименьшей координатой vx. Функции Fix) и F[x(xx)) ^-непре-
^-непрерывны/ поэтому функция *i (х) полунепрерывна снизу, значит, измерима, 0< у <
<()< Поэтому функция
обратная функция xt(r) и сложная функция x(f) = (xi (t),/(x^f))) абсолютно не-
непрерывны. Почти всюду
dx / с/к\ с/х
—=A,-—)-—
c/f V dxx/ dt
) (,2 »»ifti(rt». B0)
dxx/ dt
Так как в силу A9) (и2.... ,un)GH(x). то правая часть B0) принадлежит ^(х),
т.е. х(г) —решение включения A5).
3. Из доказанных теорем и лемм следуют аналогичные утверждения для диффе-
дифференциальных уравнений с разрывными правыми; частями
x = f(f,x) B1)
при доопределении а) § 4 и
к - fit, х, их it, х),..., urit, x)) B2)
при любом из доопределений б) и в) § 4. При этом предполагаются выполненны-
выполненными условия § 4 (кусочная непрерывность функции f в B1) и «// в B2), непрерыв-
непрерывность f в B2)) или теоремы 8 § 7 (измеримость функции f no t,x в B1) и не-'
равенство \f(t,x)\< m{t) с суммируемой функцией m{t)).
В самом деле, во всех этих случаях решениями Дифференциального уравнения на-
называются решения дифференциального включения xSFit,x), в котором функция
Fit, x) строится определенным образом с помощью множества предельных значений
функции fit',x') (или Uiit'.x')) при х'^-х, t' = t или при х'->>х, f'-*f. Так как все
рассматриваемые в пп. 1, 2 преобразования непрерывны по х (и, кроме леммы 3, сох-
сохраняют плоскости f = const или переводят их в плоскости г-const), то они перево-
переводят множество предельных значений в множество предельных значений, выпуклое
множество допустимых значений производной х подвергается линейному преобразо-
преобразованию и переходит в выпуклое множество. Поэтому из результатов пп. 1, 2 следуют
аналогичные утверждения для уравнений B1) и B2). В ;утверждении, аналогич-
аналогичном лемме 3, в случае доопределения а) надо предполагать выполнение условия 7
п. 1 § 6. Ввиду сказанного приведем только формулировки этих утверж-
утверждений.
Теорема 4 [93], [95]. Каждое решение уравнения B1) или B2) после заме-
замеу=фк,х), где функция ф€С1 и существует обратное преобразование х »
ф~~ it, у)ЕС, переходит в решение уравнения
у = ф'тк, х) + ф'хЬ,x)fit,x)\x=ri (f> y), f23)
80
ны

или, соответственно, уравнения
у = tft(t,х) + Vx{t,x)f[t,x,</, (f, x) ur[t,x))\x=ri{h y). B4)
Следствие. При замене y=\l/(t,x) уравнение x = f°(t,x), определяющее реше-
решения уравнения B1), лежащие на поверхности разрыва или на пересечении таких по-
поверхностей, переходит в уравнение y=g°(t,y), определяющее такого же рода реше-
решения уравнения B3).
Замечание. Если \1ГХ (t, у) <Е Сх, то может оказаться, что не каждое решение
уравнения* B3) или B4) получается из решения уравнения B1) или B2). Напри-
Например, уравнение х=1 имеет только решения х = г + с, а после замены у = х3 полу-
полученное уравнение у = 3у2/3 кроме решений y=(t + cK имеет еще решение у = 0, не
получаемое заменой у = х3 из решений x = t+c.
Теорема 5 [93], [95]. Пусть функция t(r) строго монотонна и t'(r) кусочно
непрерывна. Тогда каждое решение x{t) уравнения B1) или B2) при замене t -
= f(r) переходит в решение у(т)=х(г{т)) уравнения
— =f(t[T).y)t'(T)
с/т
{правая часть считается равной О, если f'(r) = О) или
^=Шт). у. </, (г(г), у) игШ. у)Н'{т).
at
Теорема 6. Пусть непрерывная функция р{х)>0. Тогда уравнения х= f{x) и
x = p(x)f(x) имеют одни и те же траектории в фазовом пространстве х. То же спра-
справедливо для уравнений
x»f(x,i/i(*),... ,ur(x)), x=p(x)f(x/(/1(x) иг{х)).
Замечание. После замен, указанных в теоремах 4—6, правые части получен-
полученных уравнений удовлетворяют тем же условиям (из числа сформулированных в на-
начале п. 3), которым они удовлетворяли до замены. Условия, наложенные на f(t, x)
в теореме 8 § 7, сохраняются и при любой абсолютно непрерывной строго моно-
монотонной функции г(г) в теореме 5.
§ 10. Достаточные условия единственности
Здесь даются достаточные условия, при которых решение, попавшее на поверхность
разрыва правой части дифференциального уравнения или на пересечение поверхнос-
поверхностей разрыва, продолжается единственным образом в сторону возрастания г.
1. Для уравнения
* = Ht,x) A)
имеет место правая единственность в точке (to,xQ), если существует такое fi >г0,
что каждые два решения этого уравнения, удовлетворяющие условию x(f0) =*0/сов-
=*0/совпадают при Го < f < f 1 или на той части этого отрезка, на которой они оба опре-
определены.
Для рассматриваемого уравнения имеет место правая единственность в области
D (открытой или замкнутой), если для каждой точки (fOfxo)€0 каждые два ре-
решения, удовлетворяющие условию x{to)=xo, совпадают на каждом отрезке ro<f <
<fi, на котором они оба существуют и проходят в этой области.
Аналогично определяется левая единственность в точке и в области — единствен-
единственность при rt <t<t0.
Лемма 1. Из правой единственности в каждой точке области D следует правая
единственность в области D. Из правой единственности в области D следует правая
единственность в каждой внутренней точке этой области.
Доказательство обоих утверждений легко проводится рассуждением от противного.
Для уравнений Каратеодори теорема 2 § 1 дает достаточное условие и правой, и
левой единственности в области О, а замечание к этой теореме — условие правой
единственности. Теорема и замечание (а также приведенное в § 1 доказательство)
6. А.Ф. Филиппов
81

остаются справедливыми и для дифференциальных уравнений с разрывными правы-
правыми частями, если их условия удовлетворяются не только для значений функции
f[t,x) в областях ее непрерывности, но и для тех значений, которыми доопределя-
доопределяется эта функция в точках ее разрыва.
Следующая теорема дает условия, при которых доопределяемые значения функ-
функции f(t,x) можно не принимать во внимание.
Теорема 1 [93]. .Пусть функция f(t,x) в области D разрывна только на мно-
множестве М меры нуль. Пусть существует такая суммируемая функция l{t), что для
почти всех точек it, х) и it, у) области D при |х - у\ < е0, €0 > 0, имеем \f[t, x)\ <
{Х-У)- ifit.x) - fit, у)) <Ht)\x - у\г. B)
Тогда для уравнения A) при доопределении а) § 4 имеет место правая единст-
единственность в области D.
Доказательство. При почти всех t имеем /(f)<°°, и неравенство B) вы-
выполняется для почти всех х и у из рассматриваемой области. Тогда при этих t уже
для любых х*, у*
* -у*\2, C)
где v и iv—любые значения из множеств V и W предельных значений функции
f[t,x) при х->х*, соответственно функции fit, у) при у-+у*- В силу леммы 8 § 5
неравенство C) сохранится, если сначала условие v€~ V заменить условием vEcoV,
а затем условие wEW - условием wEcoW. Поэтому неравенство B) справедли-
справедливо при почти всех г для всех х и у, I х — у\ < е0, если при (t,x) EM значение f{t,x)
заменить любым из множества F(t,x), определенного в §4; аналогично при
it, у) ЕМ.
Но тогда для двух любых решений x[t) и y(t) в области D при почти всех t
1 d
Ш ()|2 i) ())i) - y(t)) < l(t)\x{t) - к(гIа.
2 dt
Отсюда следует правая единственность (см. доказательство теоремы 2 § 1).
Теорема 1 справедлива [93] и для дюбой разрывной измеримой в области D функции
fit, х), если решения определяются так, как в п. 6 § 7.
2. Пусть область G С Я" разделена гладкой поверхностью S на области б"иб+.
Пусть fit, х) и bflbxt, i = 1,..., п, непрерывны в областях (в < t < b, x € G")
и [а < t < b, x G G*) вплоть до границы. На поверхности S для уравнения A) при-
применяется доопределение а) § 4. Пусть f it, х) и f+ it, x) - предельные значения функ-
функции f при приближении к точке it, х), х G S, из областей б"иб+ соответственно,
nt,x)-f-it,x)=hit,x)
- "вектор разрыва", f^, f^, hN - проекции векторов f~. f*. h на нормаль к 5 в
точке х, направленную от G~ к G+.
В областях G" и б+ имеет место единственность решения (правая и левая) вслед-
вследствие непрерывности производных bffbxif / = 1 п.
Лемма 2. Если в некоторой точке х0 G S имеем f^ ito,xo) > 0 (шн/ f^ it0, х0) <
< 0), то в области G+ существует единственное решение уравнения A) с начальным
условием х(г0) = х0. Это решение определено на некотором интервале r0 < t < fi
(соответственно ti < t < t0). Аналогичные утверждения справедливы для G~ в слу-
случаях ffi < 0 и fjj > 0.
Доказательство. Продолжим непрерывно функцию fit, x) из G* в пол-
полную окрестность точки {t0, х0). Решение с начальным условием х(г0) = *о будет су-
существовать. Для всех таких решений вектор x(r0) = f* it о, х0) направлен в сторону
области G+, так как ffi (г0, хо) > 0. Значит, каждое такое решение при Го < t < tx
проходит в S U G + , а там f € С1 и решение единственно.
Следствие 1. На участке поверхности S, где f^ > 0, f^ > 0 {или f^ < 0,
f^< 0), решения переходят из G" в G+ {соответственно из G* в G~) ,u единствен-
единственность не нарушается.
82

Проходящих по поверхности S решений здесь нет в силу доопределения а) § 4 (см.
пояснение к рис. 3).
Следствие 2. На участке поверхности S, где f~N > О, f^ < О, при каждом t
в каждую точку поверхности S приходит ровно одно решение из области G" и одно
изв*.
В случае f~N> 0, f^< 0 решения при возрастании Г не могут сойти с поверхности 5
ни в область G', ни в область G*. Они остаются на 5 и согласно а) § 4 удовлетворяют
уравнению х = f°{t, х), где функция f° определена формулой E) § 4. Если SEC1,
то единичный вектор п(х) нормали к 5 есть непрерывная функция точки х, поэтому
f-бС^^Сив силу E) § 4 f° Е С.
Если же f 6 С2, то п(х) Е С1, поэтому вектор f°(t, x) - гладкая (класса С1)
функция от локальных координат на поверхности. (Если в окрестности рассматри-
рассматриваемой точки имеем Э^/Эх/ Ф О, то уравнение <р (х) s О поверхности 5 разрешается
относительно х{ и локальными координатами являются х%, ..., *,_i, xi+u ..., хп.)
Тогда через каждую точку рассматриваемого участка поверхности S проходит ровно
одно решение уравнения х = f°(t, x).
Такие рассуждения еще не дают возможность доказать правую единственность в
точках, где fj^ > 0, f^ = 0 или fjf = О, f^ < 0, и не применимы к случаю, когда ре-
решения в течение конечного промежутка времени бесконечно много раз попадают на
поверхность разрыва и сходят с нее. Излагаемые ниже лемма 3 и теорема 2 охваты-
охватывают и эти случаи.
Лемма 3. Пусть S Е С1, в точках лежащей на поверхности S области So при
а < г < b вектор h = f + — f" направлен по нормали к поверхности {или равен нулю)
uhN< 0.
Тогда для уравнения A) при а < ? < b имеет место правая единственность в окрест-
окрестности любой точки х0 Е 5о.
Доказательство. Покажем, что выполнено неравенство B) с /(Г) = const.
Если обе точки х и у лежат с одной стороны от S, то B) следует из ограниченности
Э/Удх/ в рассматриваемой окрестности при x^S.
Если же х Е G*, у Е G~, то пусть z — ближайшая к х точка пересечения отрезка
ху с поверхностью S. Из ограниченности bflbxt следует
\fit,x)-rit,z)\< /|x-z|, \f'it.i)-flt.y)\< l\z-y\. D)
Так как zE S, остальные точки отрезка гх лежат в G + , а вектор/? = f* (t,z) - f" (t.z)
направлен в сторону области G " по нормали к 5 или равен нулю, то
(x-z)'(f+(t,z)-f-(t,z))< 0.
Это неравенство сохраняется, если вектор х — z заменить направленным в ту же
сторону вектором х - у. Складывая полученное неравенство с вытекающим из D)
неравенством
(х-к)- (f(f,x)-r(t,z) + r(f,z)-f(t,K»< l\x-y\2,
получаем неравенство B). Из теоремы 1 следует утверждение леммы.
Замечание. Знак числа hN = f^ - f^ не меняется ни при переименовании об-
областей G" и б+, ни при дифференцируемых преобразованиях координат. Например,
если hN < 0, то сумма I xN \ + | yN | расстояний от касательной плоскости к 5 точек
x(t) Е G+ и у (t) EG", близких к точке х0 Е S, уменьшается, так какхдг>0, yN < 0,
*n-Yn = fNb<*o) - ?м1*<*о) + а = hN(t,х0) + a< 0,
число а мало. Свойство уменьшения или увеличения этого расстояния, а значит и знак
hN (г, х0), сохраняется при дифференцируемых преобразованиях.
Общий случай при условии hN < 0 будет сведен к случаю леммы 3 с помощью диф-
дифференцируемого преобразования координат.
Лемма 4. Пусть функция g {z2,..., zn, t) E С1, a f (z2...., zn,t) имеет непре-
непрерывные первые и вторые производные, может, быть, кроме Ъ2 flbt2.
Тогда существует функция r?(zlf..., zn, t), имеющая непрерывные первые и вто-
вторые производные, может быть, кроме Э2т?/Эг2, и удовлетворяющая при z, = 0 услови-
условиям rj = f, Ът}1Ъгх =р.
6* 83

Доказательство. Функция , ,
fU + *1
о о
+ unzx,t)du2...dun
удовлетворяет условиям 17 - f, bi\lbzx - g при zt s 0. В следующих интегралах аргу-
аргументы функции д те же, что в предыдущем:
— - f ...fgdu2...dun+zx2 f ...f u,—du2...dun.
azx о о /=2 о о dZ/
Интегрируя по частям, получаем
1 Ьд *
Zifui— dUi=g\u -, -fgduf.
0 bzt ' 0
Следовательно, 3t//3zi имеет непрерывные вплоть до плоскости Zi = 0 первые про-
производные по всем аргументам. То же справедливо для brj/bz^ j = 2,..., /?.
Лемма 5. /7/сгь из поверхности S l*i = f 1*2/.. w хл) G С2) зздзи некасатель-
некасательный вектор h(ж2 xn,t)ecl, | h \ > Ь > 0.
7Ъгдз в окрестности поверхности S существует такое преобразование
*/ = <ft(*i zn,t), /= 1 п,
с якобианом J Ф 0, vro поверхность гх = 0 совпадает с S, а координатные линии zx
[т.е. линии, на которых постоянны z2§... t zn) в точках поверхности S касаются век-
вектора h;
\ /,/-1 п.
при Zj = 0 функции \pt не зависят от *.
Доказательство. Преобразование
Ki=x1-SU2 *п). У2=*2, •••• . Уп=*п
переводит 5 в плоскость ух - 0. Направление вектора h = (hx,..., hn) выражается
уравнениями
dxx = dx^
hx "" /»я
в старых координатах и уравнениями
d^i=^L= = с^ ? = /,,-?— Л, E)
9 h2 hn /=2 Эх/
в новых. Вектор h не касается S, поэтому дФО.
Теперь перейдем к zt zn no формулам
i zn,t). / = 2 n, F)
так, чтобы Vi и drii/bZjGC1, и при Z! = 0
r?/=z,; —- --:, / = 2 п. G)
dzt Я
Такие функции ть существуют по лемме 4. Вдоль координатных линий z, имеем
dz2 = ... = dzn -at = 0, т.е. в силу F) и G) в точках поверхности zx - 0
dy,= —i dyx =-Ldyl.
dZf ^
Отсюда и из E) следует, что при zx = 0 координатные линии zx касаются вектора h.
Выражая Xi хп через z,,..., zn, получаем требуемое преобразование. В силу
84

G) якобиан преобразования F) равен 1 при гх » 0; якобиан преобразования от х
к у тоже равен 1.
Теорема 2 [93]. Пусть выполнены условия п. 2, поверхность S G С2 и вектор
h (t, x) = f+ - f" G С1. Если при каждом t G (а, Ь) в каждой точке х G S выполнено
хотя бы одно из неравенств f^>0 или f^ < 0 {возможно, различные неравенства
при разных х и t), то в области G при а < t < Ь для уравнения A) имеет место пра-
правая единственность.
Доказательство. В каждой точке поверхности 5 выполнено хотя бы одно
из трех условий:
а) ^>0,/?>0; б) /?<0. fJ,<0; в) 'лг-^<0-
В случаях а) и б) в окрестности такой точки имеет место единственность в силу след-
следствия 1 леммы 2.
В случае в) в некоторой окрестности точки неравенство f/s/-f^< 0 тоже выпол-
выполняется, а уравнение поверхности S можно разрешить относительно одной из коор-
координат, например, xt. После такого преобразования х= <р {z, t), как в лемме 5, поверх-
поверхность S перейдет в плоскость гх = 0, а вектор h = f+ — f —в вектор, ортогональный
этой плоскости. Уравнение A) по теореме 4 § 9 преобразуется в уравнение
i = *\[t,x) + Kit,x)fit,x)\XSip(gt0. (8)
где г ¦ ф it, х) - преобразование, обратное к х = у U,t), ф[ — вектор, а ф'х - матрица
(см. п. 1 § 9). Функция ф обладает такими же свойствами гладкости, как $ в лем-
лемме 5, поэтому правая часть (8) и ее производные d/dz/ непрерывны в окрестности
рассматриваемой точки при гх > 0 и при гх < 0 вплоть до плоскости z, = 0.
Покажем, что вектор разрыва правой части (8)
Л* it, х) = ф'хЬ, х){Г (t, х) - fit, х)) = ф'хп
ортогонален плоскости разрыва гх - 0. Координатные линии л в пространстве х, т.е.
линии
x=x{zl)=y(zl,c2 сп. Г), (9)
касаются вектора h в точках поверхности S. Значит, вектор \р%х при г t = 0 коллинеарен
вектору п, т.е.
^Jz.-o-M. ПО)
Применяя к обеим частям равенства (9) преобразование z= ФИ, х), обратное к у,
получаем
z = Ui, с2...., сп) - Mr, ^(z,, с2 , сЛ/ f)).
Дифференцируя по zb имеем
п,о о) -*;.*;,.
При Zi = 0 отсюда и из A0) следует, что вектор ф'хп =/?* коллинеарен вектору A, 0,...
..., 0), т.е. ортогонален плоскости zx = 0.
В силу замечания к лемме 3 из неравенства hN = /? — f^ < 0 следует h*N < 0. По
лемме 3 в окрестности рассматриваемой точки в случае в) имеет место правая един-
единственность для уравнения (8), а значит, и для уравнения A).
3. Рассмотрим дифференциальное уравнение
к = f it, х. uit. х)) A1)
с доопределением б) на поверхности разрыва. Пусть функции f, bf/bxt (/ *= 1,..., п),
bf/Ъи непрерывны, а функция u{t. x) разрывна на гладкой поверхности 5 (s(x) = 0)f
делящей область G на области G* ($М < 0) и 6* (s(x) > 0), в которых uit, x) и
Ъи/bxf непрерывны вплоть до границы. Считаем, что six) GC1, градиент Vs Ф 0 на 5.
Предельные значения функции uit, x) при приближении к 5 из областей G" и G* обоз-
обозначим а/" (Г, х) и i/ (Г, х), а функции f it, х, и it, х)) — через f" it, х) и f+ (г, х). Пусть
^v» fN»f*N~ проекции векторов f, f~. f* на нормаль к S, как в п. 2, т.е.
fNit, х, и)
|V*(x)l

Пусть U{t, х) - отрезок с концами и (г, х) и и* (Г, х). Если х€ S и f д, (г, х) f^ [t, х)<
< 0, т.е. функция fN(t, х, и) при изменении и на отрезке U(t, x) не сохраняет знака
"+" или "-", то существует решение ueq (г, x) G U[t, х) уравнения fN (г, x, ueq (t, x)) =
= 0, т.е.
Vs(x)-f(t,x,ueq(t,x))=O. A2)
Тогда вектор feq (г, x) = f (t, x, ueq (г, x)) касается поверхности S в точке х и урав-
уравнение A1) в таких точках доопределяется следующим образом:
k = f(t,x,ueq(t,x)). A3)
Лемма 6. Если 5G С2, и в точке х Е S имеем
df*r[t,x,u)
f^{tfx)f+N(t,x)< 0, — Ф0 A4)
аи
при всех и G U(t, x), то уравнение A2) относительно ueq на отрезке U(t, x) имеет
единственное решение и*я [t, х); функции ueq [t, х) и bueq/Эх,- непрерывны по Г, х.
Доказательство. Функция fN(t, x, и) при изменении и на отрезке U(t, x)
в силу A4) монотонна и меняет знак или равна 0 в конце отрезка, поэтому решение
ueq (t, х) существует и единственно. По теореме о неявной функции исц (г, х) ? С.
Если S €Е С2, то bfN/dx,- E С, поэтому существуют непрерывные bueq/Эх,.
Следствие. Если на куске So поверхности SEC2
bfN(t,x,u)
f-N{t,x)>0, f+N(t,x)< 0, -\ Ф 0
аи
при всех и G U{t, х), то на куске So и в некоторой окрестности каждой его точки
для уравнения A1) имеет место правая единственность.
Следующая теорема, подобно теореме 2, охватывает также случаи, когда решение
в течение конечного промежутка времени может бесконечно много раз попадать на
поверхность S и сходить с нее.
Теорема 3. Пусть выполнены условия, указанные в начале п. 3, кроме того,
bf
SEC2; f, — GCl; u-(t,x), u+(t,x)ec1;
au
bfN(t,x,u)
— Ф 0 при всех и G U[t, x).
Ъи
Если при каждом t G [a, b) в каждой точке х G S выполнено хотя бы одно из не-
неравенств fff > 0 или fft < 0 (возможно, различные неравенства для разных tux),
то в области G при а < г < b для уравнения A1) имеют место существование реше-
решения с начальным условием х (г0) = х0 G G и правая единственность.
Доказательство. Как в теореме 2, достаточно рассмотреть случай f^ - f~N <
< 0. В окрестности точки,где fu >0tf^< 0, правая единственность обеспечивается след-
следствием леммы 6. Остается рассмотреть случаи, когда в рассматриваемой точке f~N > 0,
fli = 0 или f~N = 0, ftf < 0. Второй случай сводится к первому переименованием об-
областей G"и G*.
Пусть f^(r0, х0) > 0, V^(f0/ *o) =0. По теореме о неявной функции решение
ueq (Г, х) уравнения A2) существует и принадлежит С1 в некоторой окрестности
точки (г0/ х0) (| t — г01 < 5/ х G S, I х — хо| < 5) даже и там, где f^ > 0. Поэто-
Поэтому функция
1 a feq - f*
v(t,x)=f —f(t,x,u+ + o(ueq-u + ))do=— -. A5)
о Ъи и ч — и
где feq = f [t, x, ueq (t, x)), в такой окрестности принадлежит С!. Так как bfNlbu
сохраняет знак (может быть, в меньшей окрестности), то vN (Г, х) тоже сохрани-
86

ет знак. Пусть
sgn Vy(t, х) = 0, f*it, x) + Bv(t, x) = f; (Г, х). A6)
Тогда f*(f, x) G С1, вектор v коллинеарен разности feq — f + , а конец вектора fl
лежит на прямой, проведенной через концы векторов f+ и feq (рис. 16). Гладко
продолжим функцию f'c поверхности 5 в ее полуокрестность, лежащую в G".
Покажем, что решения уравнения
f{t,x,u(t,x))t xGG+,
K(t,x). xGG",
доопределенного на 5 согласно а) § 4, в области G+ и на 5 совпадают с решениями
уравнения A1), доопределенного согласно б) § 4. В самом деле, в силу A6)
f+(t,x) -
hN(t,x)< -77< 0.
A8)
поэтому {fl)N > т?/2 > 0 в окрестности точки (t0, x0). В тех точках этой окрест-
окрестности, где fft < 0, определены векторы fcq = f (t, x, ueq (г, x)) и f% (t, x) -скорость
xi
Рис. 16.
движения по поверхности 5 для уравнения A7). Концы этих векторов лежат на пря-
прямой, проходящей через концы векторов f+ и fI, и в то же время в плоскости, каса-
касательной к 5. В силу A8) эта прямая пересекает плоскость только в одной точке, ко-
которая и является концом векторов feq и f ?. Следовательно, feq = f*. (Это же мож-
можно получить и иначе, выражая feq через f* и f~ с помощью формул A5), A6), а
f°m - с помощью формулы E) § 4.)
Таким образом, решения уравнения A1) в G* и на 5 совпадают с решениями урав-
уравнения A7). Для обоих уравнений решения с 5 не сходят в область G~. Для уравнения
A7) с доопределением а) § 4 существование решения при любых начальных условиях
доказано в п. 4 § 7, а правая единственность — в теореме 2 § 10. Условие f GC1 в G"
обеспечивает существование и единственность решения уравнения A1) в области G".
Поэтому при любых начальных условиях x(f0) = х0 ? G существует решение урав-
уравнения A1) и при t > tо оно единственно.
4. Укажем достаточные условия правой единственности в точках пересечения не-
нескольких поверхностей разрыва.
Пусть область G С Rn разделена гладкими гиперповерхностями S* на области S",
j = 1,..., г. Верхний индекс означает размерность, нижний — номер поверхности или
области; S} — линии, Sf — точки. Считаем, что край каждой гиперповерхности не при-
принадлежит ей и состоит из конечного числа гладких гиперповерхностей меньших размер-
размерностей и точек.
Например, если G — трехмерное пространство, разделенное тремя координатными
плоскостями, то Sf (у = 1,... 8) - координатные октанты, Sf (/ я 1, .. . 12) - чет-
четверти координатных плоскостей, S/ (/ = 1,..., 6) — координатные полуоси, S? —
начало координат.
87

Пусть М — замыкание множества М. Вектор у Ф 0 называется касательным к мно-
множеству М в точке х Е М, если существует такая последовательность точек a,- ? М (/ =
= 1,2,...) , что а,^-х,
ai "" х
В области G рассмотрим уравнение
x = f(t,x). B0)
Пусть выполнено следующее условие:
1*. Вектор-функция f (t, х) при а < t < 0 непрерывна по f, x в каждой из облас-
областей S" вплоть до границы, т.е. f (t, x) = f"(f, х) в S". функция f" непрерывна в S".
На всех или некоторых гиперповерхностях S,*, 0 < к < п — 1, или на их некоторых
замкнутых подмножествах заданы непрерывные вектор-функции fjc (r, х); вектор
f) {t,x) лежит в Аг-мерной касательной плоскости к S* в точке х. (Если точка х ле-
лежит на крае поверхности S*, то вектор, лежащий в касательной плоскости, может
не касаться S* в смысле A9).) В точке S? может быть или задан нулевой вектор
ff = 0, или не задано никакого вектора.
Решением уравнения B0) считается абсолютно непрерывная на отрезке вектор-
функция х(г), которая при почти всех таких г, что х(Г) ? S*, удовлетворяет урав-
уравнению
x(t)=//Ar(r/x(D). B1)
Следовательно, в те точки поверхностей S*, где функции ff не определены, решение
может попадать только на множестве значений г меры нуль.
Эти условия выполнены, в частности, когда для уравнения B0) на поверхностях
разрыва применяется доопределение а) или б) § 4, если только при этом все векторы
f * (г, х) определяются однозначно, где они определены, т.е. если определенное
в п. 2 § 4 множество F (г, х)* (или, соответственно, F\ (t, х)) для каждого х G S*
имеет не более одной общей точки с Аг-мерной плоскостью Р, (х), касательной к 5,-
в точке х.
В самом деле, функция F{t,x) 0-непрерывна по t, х (п. 1 § 6), поэтому она, а также
функция
/Cr*(f/x) = F(f,x)nA>*(x) B2)
имеют замкнутые графики (лемма 14 § 5). Значит, функция B2) /3-непрерывна; если
она однозначна, то функция f\ [t, x) = К\ [t, x) непрерывна. Те же рассуждения спра-
справедливы для функции F, (t, x) в случае доопределения б).
Теорема 4. Пусть выполнено условие 1 * и
1) решения уравнения B0) не могут переходить из одного множества S* в другое
бесконечно много раз за конечное время;
2) в каждом из множеств 5 *, где определена функция ff (r, х), для уравнения
B1) имеет место правая единственность)
3) если в точке х е S? определен вектор ff [t, x), касательный к S * или равный
нулю, то в этой точке нет ни одного вектора fj (г, х) {для каждого SJ Ф Sf), равного
нулю или касательного к своем, SJ, кроме случая ff[T,x) = fj (т, х) =0 при всех
T>t.
Тогда для уравнения B0) в области G имеет место правая единственность.
Доказательство. Предположим, что условия теоремы выполнены, но при
некотором начальном условии х(г0) = х0 € G существуют два решениях (Г) и y(t),
причемх(г) ^ у (г) для Го < f< t0 + h. Пусть t\ —нижняя грань таких t € (fo,to+/*),
при которых х(г)=? /(f). Тогда x(ti) =/(fi) = xx и существует убывающая последо-
последовательность tm --> г 1 +0, для которой х(tm) Фу{гт), т ¦ 2, 3,... В силу условия 1)
88

для некоторого т*
х<Г)е$*, VMGSJ (f, < f< tm J.
В силу условия 2) ?* Ф S-. Согласно B1)
x(f)=x(f,) + J tflr.xirWdr.
tx
Так как функция ff непрерывна в S*, то существует вектор k(tx) = ff (rw x,), ка-
касательный к S* или равный нулю. Аналогично, существует вектор y[t\) = A; (fw xt),
касательный к SJ или равный нулю. В силу условия 3) это возможно только в слу-
случае, когда f*(t, хх) = fj(t, х,) = 0 при всех t>t{.
Хотя бы одна из функций x(t) и y(t) непостоянна при tt < t < t + 5 для сколь
угодно малых б, например, х(г). Тогда задача х = ff (t, x), x(f,) = х, имеет в Sf два
решения: x(t) ф хх и x*(t) = Xj f так как ff {t, xx) = 0. Это противоречит условию2).
Следовательно, предположение неверно, и теорема доказана.
Условие 1) теоремы далеко от необходимого. Его можно ослабить, например, так:
"для любого tx и любого решения существует такое t2 > tit что при ft < f < г2
это решение содержится в одном из множеств ?*". Но отбросить условие 1)
нельзя. Это видно из следующего примера. Система
B3)
при начальном условии х(г0) = у (to) - 0 имеет решение x(r) =y{t) = 0 и, кроме
того, бесконечно много решений, траектории которых - раскручивающиеся спирали.
Так как каждая следующая точка пересечения траектории с осями координат втрое
дальше от точки @, 0), чем предыдущая, а скорость движения постоянна, то проме-
промежутки времени между моментами этих пересечений образуют геометрическую про-
прогрессию. Поэтому движение от точки @, 0) до любой точки траектории занимает ко-
конечное время. Значит, при некотором конечном г0 начальным условиям х = у = 0 удов-
удовлетворяют по меньшей мере два решения: одно x(t) =y{t) = 0 и другое с траекто-
траекторией в виде спирали. Правой единственности нет.
Заметим, что в силу системы B3) — (I х | + | у |) =2. Поэтому все решения, для
dt
которых | x(t 1) | + | у (г 1) | = 2а, вышли из точки @, 0) в один и тот же момент 10 =
= г, -а.
§ 11. Вариация решений
Здесь выводятся уравнения в вариациях, которым удовлетворяет главная часть раз-
разности двух близких решений в тех случаях, когда решения пересекают поверхность
разрыва правой части дифференциального уравнения, входят на эту поверхность или
сходят с нее.
1. Векторы х € Я" и f(t,x) G Rn будем записывать в виде столбцов, например,
х = I*!,..., хп) т, 7 — знак транспонирования, а вектор \рх = (b\plbxx,..., Ъ\р/Ъх„) —
в виде строки; fx - (bfilbxfitj^x,...,#• - матрица. Произведения векторов и мат-
матриц определяем по правилу умножения прямоугольных матриц (строки первой умно-
умножаются на столбцы второй). В таких произведениях можно производить группировку
сомножителей без их перестановки, например, а Их) = {аА)х, где а - вектор-строка,
х — столбец, А — матрица. Тогда ах — скалярное произведение векторов, ха — матрица
(х/6/)/,/=],..,„; ? — единичная матрица. Легко доказывается, что
(хаJ =хаах. A)
Решения и поверхности разрыва рассматриваются в (л + 1)-мерном пространстве
t, х. Все рассматриваемые поверхности и их пересечения — гладкие класса С2.
2. Рассмотрим вариацию решения на участке, где правая часть уравнения - гладкая.
Пусть х(г) и x(t) - решения одного и того же уравнения х = f(t, x) (хЕ /?п) с на-
начальными условиями х(г0) 3 х0, x(t0) = х0 + /?о, причем f и df/dxj непрерывны.
89

Тогда, как известно,
x(f)-x(f) = Y(t)hQ +o{h0), B)
матрица Y(t) удовлетворяет уравнению в вариациях
Y(t)=fx{t,x(t))Y{t), V(fo) = ^ C)
Результат остается справедливым, если в некоторой окрестности рассматриваемого
участка решения x{t) функции f и bflbxj непрерывны по х и по модулю не превос-
превосходят какой-либо суммируемой функции m(t). Если тем же условиям удовлетворяют
и dV/dx/dx*, то в B) остаточный член можно заменить на О (hi) и можно написать
уравнение для второй вариации.
3. Рассмотрим вариацию решения, пересекающего поверхность разрыва [156]. Пусть
вектор-функция f (t, х) имеет разрыв на гладкой поверхности </? (t, х) = 0, причем
f и bflbxj непрерывны с обеих сторон этой поверхности вплоть до самой поверхности.
Решение задачи
x = f(r,x), x(fo)=xo <4>
пусть при Г = t« в точке х« = х(г+) переходит с одной стороны поверхности $ {t, x) = О
на другую, причем в этой точке
V,+^f-*O, Vr+V^^O, E)
т.е. пересечение происходит без касания. Здесь f± = f {t „ ± 0, x(f* ± 0)). Тогда раз-
разность двух близких решений пред ставим а в виде B), где матрица Y (t) с обеих сто-
сторон поверхности удовлетворяет уравнению C), а на поверхности имеет скачок
Y{t, + 0) - Y(t. - 0) = Y{tm - 0) = — Y(t„ + 0), F)
значения <р{ и *рЛ. берутся в точке (f*, xj . Согласно обозначениям п. 1 числитель дро-
дроби в F) - матрица ранга 1, а знаменатель - число.
В случае t * > Го вместо E) достаточно потребовать yt + #xf~ Ф 0, тогда справед-
справедливо первое из равенств F), но матрица Y {t«, + 0) может быть вырожденной.
Докажем формулу F). Вблизи точки (f«, xj уравнение поверхности >р (t, х) = 0
можно записать в виде
- t J + ,рЛ (х - х.) + о(\ t - t J + | x - x J ) = 0, G)
а уравнение траектории x (f) до ее пересечения с поверхностью - в виде
x(r)=x(r)+ Y(t)h0 +о(/>о)=х, +(f-rjr + Y~h0 +о(|Г-М + |Л01). (8)
где Y~ = Y(t+ - 0). Чтобы найти точку пересечения этой траектории с поверхностью,
надо в G) вместо х подставить х (t) из (8). Получим
(t - Г. > (</>, + *х f ~) + <рх Y~h0 + о A1 - t J + | /?o I) = 0.
Отсюда имеем для точки пересечения
ft = ^2 + o(h0). x(f)=x.-Г — + Y-ho+o(h<>). (9)
В случае f < f* на интервале (Г, t0) имеем dlc/dt = /+ + O(/?0), поэтому x (f J -
-x(fj =x(fj -x(r) +x(f) -x+ = (r+ -f)f++o(/?0) +x(f) -x#, и с помощью (9) по-
получаем
ФУY~hn
x(fj-x(fj = </*-/-)— +У"Ло+о(Ло). ПО)
Так как оба решения уже пересекли поверхность кр (г, х) = 0, то левая часть A0) равна
Y{t0 + 0)/?0 + о (ho) и первое равенство в F) доказано. В случае t > t„ аналогичным
образом получается тот же результат.
90

Второе равенство в F) получается из первого, если его разрешить относительно
Y{t.-O) и воспользоваться свойством A).
4. Рассмотрим вариацию решения, проходящего по поверхности разрыва. Пусть
при t * < t < t * решения x(f) и x(f) проходят по гладкой поверхности «р it, x) = О
и удовлетворяют там уравнению х = f°(t, х). Вектор-функция f° — непрерывная по
г, х и гладкая по х; вектор A, f°(t, х)) т касается этой поверхности в точке it, x).
Продолжим функцию f°{t, x) с поверхности на ее окрестность с сохранением непре-
непрерывности f° и fj. Тогда для вариации начального условия х (f J = x(f J + /?», не вы-
выводящей с поверхности (т.е. такой, что <px(tm, хф)/?„ = о(/?J, где х, = x(fj), вариа-
вариация решения записывается подобно B), C), т.е.
x(f)-x(f)= Y°(t)hm+oVim), Y°(t)=fUt,x(t))Y°(t), A1)
Y°{t J = E. Решения x (t) и x(t) лежат на поверхности, поэтому в A1) х (f) - x(f)
не зависит от способа продолжения функции f°. Значит, Y°(t)h тоже не зависит (для
всех таких векторов Л, что \px{tm. xm)h = 0), хотя матрица Y°(t) может зависеть от
способа продолжения функции f°.
Эти формулы справедливы и для решений, лежащих на гладкой гиперповерхности
любой размерности, например, на пересечении конечного числа поверхностей разрыва.
Для применения этих формул функцию f° надо гладко продолжить с этой гиперпо-
гиперповерхности в ее окрестность.
5. Рассмотрим вариацию решения, достигающего поверхности разрыва и далее про-
проходящего по ней. Пусть решение х(Г) уравнения х = f]t, x) при t0 < t < г« проходит
в области Gi, где f и fx непрерывны, при t = f, достигает гладкой поверхности
S (# (г, х) = 0) под ненулевым углом, а затем проходит по участку поверхности 5,
где решения не сходят с 5 и удовлетворяют там уравнению х = f°(t, x). Пусть функ-
функции f° и /J непрерывны.
Чтобы написать уравнение в вариациях, гладко продолжим функцию f° с поверх-
поверхности 5 в ее одностороннюю окрестность, не принадлежащую области G{. После этого
применимы те же рассуждения, что в п. 3, лишь функции f~n f* заменяются на f \л f°.
При этом iff + ifixf Ф 0 в точке (f*, х,). Подобно F), при t = tm матрица Y(t) имеет
разрыв
Y(t. + 0) - Y(t. - 0) = if ~П*Х Y(t. - 0), A2)
Vt+sf)xf
значения f°, f, $t, \px берутся в точке (t0,xm).
Покажем, что при t > tm матрица Y(t) — вырожденная. Близкие кх(г) решения
попадают на 5 в момент, близкий к г«, и остаются на S. Поэтому в B) при г > г, и
любом (малом) /?о вектор Y{t)h0 касается (/? — 1)-мерного сечения поверхности 5
плоскостью г = const и rang Y(t) < /7— 1.
При t >tm матрица Y(t) удовлетворяет уравнению
nt) = f°x(t,xb))Y(t). A3)
Покажем, что Y(t) не зависит от способа продолжения функции f° с поверхности S
в ее окрестность.
Если поверхность S - плоскость х„ = 0, то при любом малом /?0 = х (f0) -x(f0)
вектор Y{t)h0, как говорилось выше, при t > t m лежит в плоскости хп = 0. Поэтому
последняя строка матрицы Y(t) состоит из нулей. Остальныеп — 1 строк определяются
однозначно из (п - 1) -мерного уравнения в вариациях, написанного в плоскости х„ = 0,
при известном из A2) начальном значении У (г, + 0). Поэтому они не зависят от спо-
,соба продолжения функции f° и матрица Y(t) определяется однозначно.
Случай любой гладкой поверхности S сводится к случаю плоскости заменой пере-
переменных.
6. Рассмотрим вариацию решения с начальным условием на поверхности разрыва.
Исследуем случай, когда допускается вариация начального условия, выводящая
с поверхности разрыва S (v? (t, х) = 0). Пусть решение x(t) с начальным условием
x(t J = х0 при t > t. лежит на 5 и удовлетворяет уравнению х = f°(t, х), а вблизи S
в области кр (t, х) > 0 имеем уравнение х = /* (t, х), а в области «р (г, х) < 0 - урав-
уравнение х = f~(t, х); векторы /* и /" направлены к поверхности S, т.е.
91

Начальное условие х (t J = х, + hm решения х (t) в случае ^Y/?» >0 (\pxhm< 0) лежит
в области <p{t, х) > 0 (соответственно *р (t, х) < 0), если Л* достаточно мало (тре-
(требуемая малость I /? J зависит от направления вектора h т ).
Тогда вариация решения при t > t, выражается формулами B), A3), в которых
в случае урхЬ+Ф 0 условие Y(tJ = ? заменяется условием
где /* (/") берется в случае <pxhm > 0 (<0); значения f°, f*. f, ypt, крх берутся
в точке (tm,x.).
Докажем формулу A4). Пусть sf>xhm < 0. Этот случай можно получить из рассмот-
рассмотренного в п. 3, если положить г0 = Г, - 0, а функцию f°, продолженную на область
\р (t, х) > 0, обозначить f*. Так как решение х (t), достигнув поверхности у (t, х) = 0f
остается на ней, то справедлива формула A2). Скачок Y(t) при t = г, описывается
первым равенством в F), где f* заменяется на f°. Из этого равенства следует A4)
с f вместо /*.
Случай \pxhm > 0 получается из рассмотренного очевидной заменой обозначений.
7. Рассмотрим вариацию решения, переходящего с одной поверхности на другую.
Пусть решения идут по гладкой поверхности S1 (фх (t, x) = 0) и удовлетворяют там
уравнению х = fl (t, х). Достигнув поверхности S2 [ф2 {t, x) = 0) под ненулевым углом
(т.е. ф2 + if2xfx Ф 0), они продолжаются по этой поверхности, не сходя с нее, и удов-
удовлетворяют там уравнению х = f2 (г, х).
Чтобы написать уравнение вариации таких решений при вариациях /?0 начального
условия, не выводящих с поверхности S1, продолжим функцию fx с поверхности S1
на ее окрестность, лежащую с одной стороны от S2. Тогда задача сводится к рассмот-
рассмотренной в п. 5. При указанных выше /?0 вариация решения x(t) выражается формулами
B), A3), где f° заменяется на fl при t < г« и на f2 при t >t* (решение x(f) дости-
достигает S2 при f = f J; скачок-Y {t) при t = г, выражается формулой A2), где теперь
f, f° и «р надо заменить на fx, f2 и ф2.
Рассмотрим случай, когда поверхность Sl касается поверхности S2 по (п - 1)-мер-
1)-мерной поверхности Р. Проведем через Р вспомогательную поверхность \р [t, х) = 0 и рас-
рассмотрим случай, когда yt + У xfl Ф 0 на Р, т.е. проходящие по S] решения не касаются
поверхности у = 0. Такая задача аналогична рассмотренной в п. 3. Скачок матрицы
Y(t) выражается формулой A2), где f \л f° заменяются на fl и f2.
8. Рассмотрим вариацию решения, сходящего с поверхности разрыва. Пусть решения
идут по гладкой поверхности ф1 (t, х) = 0 и удовлетворяют там уравнению х = fl (t, x).
Дойдя до пересечения Р этой поверхности с гладкой поверхностью ^ (f, x) = 0 (кото-
(которая может быть или, как и поверхность фх = 0, поверхностью разрыва правой части
данного дифференциального уравнения х = f (t, x), или вспомогательной поверхностью,
служащей только для определения множества Р точек схода решений с поверхности
фх = 0), они сходят с поверхности фх = 0 и продолжаются в область G, где они удов-
удовлетворяют уравнению х = f (t, x); функции f п 1х непрерывны в G. Множество то-
точек (г, х), лежащих на этих решениях в области G, образует поверхность ф2 (г, х) = 0.
Тогда задача о вариации решения х(г), проходящего сначала по поверхности фх = 0,
а затем в области G по поверхности ф2 = 0, сводится к задаче, рассмотренной в п. 7,
но с функцией f вместо f2. Как и в п. 7, предполагается, что $х + $xfx Ф 0, т.е. при
достижении множества Р решения не касаются поверхности </? (f, x) = 0.
В том случае, когда в точках схода решений с поверхности Фх = 0 имеем fx - t',
матрица Y (t) в точках схода не имеет скачка.
9. Рассмотрим вариацию решения, идущего по поверхности разрыва и переходя-
переходящего на пересечение Р этой поверхности с другой поверхностью разрыва. Пусть реше-
решения идут по гладкой Ar-мерной поверхности Sk B <k <n) и удовлетворяют там урав-
уравнению х = fx(t, х). Дойдя до (? — 11-мерного пересечения Р этой поверхности с гладкой
л-мерйой поверхностью Sn (yp{t, х) = 0), они далее идут по Р и удовлетворяют там
уравнению х = f2(t, x). Предполагается, что yt + \pxfl Ф 0, т.е. что, дойдя до Р, реше-
решения не касаются поверхности S".
92

Вариация решения определяется как в пп. 5, 7, скачок Y{t) в момент г* достиже-
достижения Р выражается формулой A2), где теперь f и f° заменяются на f* и f2.
Подобно п. 8 рассматривается случай, когда решения идут по пересечению (любой
размерности) поверхностей разрыва, а затем сходят с него на одну из этих поверх-
поверхностей или в область непрерывности правой части уравнения.
10. Таким образом, вариацию решения можно написать в форме B), когда решение
проходит по области гладкости правой части уравнения, когда оно пересекает поверх-
поверхность разрыва или вступает на нее и идет по ней, когда решение попадает на пересече-
пересечение поверхностей разрыва и идет по нему или сходит с него, или сходит с поверхности
разрыва. При этом предполагается, что
1) все поверхности разрыва и их пересечения любых размерностей класса С2, а
функции, определяющие скорости движения, класса С1;
2) из каждой области S" *! непрерывности правой части уравнения, с поверхно-
поверхности S" разрыва или с пересечения Sk таких поверхностей (верхний индекс указывает
размерность) варьируемое решение x(t) попадает только на поверхность (или пере-
пересечение поверхностей) Р* на единицу меньшей размерности и под ненулевым углом;
Pi лежит на Sk или на границе Sk;
3) далее, решение или тотчас сходит с Р(, или идет по Р1 в течение некоторого време-
времени; сойти с Р* оно может, только достигнув под ненулевым углом какой-либо глад-
* кой гиперповерхности (У, j = / - 1 (т.е. dim Q7 - dim P* — 1), лежащей на/*' или на
границе Р() сход с Р* возможен в любое из примыкающих к Р* множеств Sm размер-
размерности т> / - 1;
4) сходы решений с любых Sk однозначно определяются направлениями векторов
скорости f(t, x) в множествах Sm (m>k), примыкающих к Sk;
5) на конечном интервале времени может существовать только конечное число
точек перехода решений из одного множества Sk в другое.
Например, если поверхности разрыва - грани S2 куба 53, то рассматриваются вариа-
вариации только таких решений, которые не попадают из S3 сразу на ребро S1 или в верши-
вершину 5°, а также из S2 в 5°. Сход с грани S2 осуществляется при достижении под ненуле-
ненулевым углом некоторой линии О1, которая может быть или не быть ребром. Сход с
грани возможен или на ребро (но не в вершину), или во внутренность или внешность
куба.
При условиях 1)-5) все решения с начальными условиями, достаточно близкими
к х(г0), попадают на поверхности Sk в том же порядке, что решение х(г). Вариация
решения определяется формулой B). Матрица Y(t) при прохождении решения в каж-
каждом множестве Sk удовлетворяет уравнению вида C) или A3), а при переходе из
одного Sk в другое испытывает скачки, указанные в пп. 3-9.

ГЛАВА 3
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
В гл. 3 основные методы качественной теории дифференциальных уравнений применяются для
исследования дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями и дифференциальных
включений. Излагаются общие свойства траекторий автономных систем, свойства траекторий на
плоскости (в частности, при наличии только правой единственности), условия существования огра-
ограниченных и периодических решений, методы исследования устойчивости с помощью функций Ля-
Ляпунова и по первому приближению.
§ 12. Траектории автономных систем
Здесь показывается, что многие свойства траекторий автономных систем обыкно-
обыкновенных дифференциальных уравнений сохраняются и для дифференциальных уравнений
с разрывными правыми частями, и для дифференциальных включений. Имеющиеся
различия в свойствах вызваны в основном не наличием разрывов правой части урав-
уравнения, а отсутствием единственности.
1. В области G пространства R" рассмотрим автономное дифференциальное вклю-
включение
х Е Fix) A)
или автономную систему дифференциальных уравнений с разрывными правыми частя-
частями, приводящуюся к A), например, с помощью доопределения а) или в) § 4. Пред-
Предполагается, что выполнены основные условия п. 2 § 7: при каждом х Е G множество
F(x) — непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое и функция F /3-непрерывна. В
этом случае для каждой ограниченной замкнутой области D CG функция F ограниче-
ограничена в D (лемма 15 § 5) и решения обладают следующими свойствами, установленными
впп.2,4§ 7:
А° При любом начальном условии x(t0) = х0, где х0 - внутренняя точка области D,
решение существует и продолжается при возрастании t (и при убывании t) или не-
неограниченно, т.е. при t -*o°, или до выхода на границу области D.
Б° Все проходящие в D решения равностепенно непрерывны.
В° Предел каждой равномерно сходящейся последовательности решений есть ре-
решение.
Г° Если x(t) (Го < t < 11) и y(t) (ti < t < 12) - решения и x(f x) = y{tx), то реше-
решением является также функция
(r0 < t < и), z(t) = y(t) (tx < t < t7).
Только из наличия свойств А° — Г° вытекают и некоторые другие свойства решений.
В частности, если все решения с данным начальным условием x(t0) = х0 существуют
при tо < t < 11, то множество этих решений является компактом в метрике C[t0, til
(теорема 3 § 7); этот компакт является полунепрерывной сверху (относительно
включения) функцией начальной точки (Го, х0) (следствие 2 теоремы 1 § 8). Если
решение с начальным условием х(Г0) = х0 единственно на отрезке [t0, tx] и на любом
меньшем отрезке [tQ, t'] С [tOf ti), то оно непрерывно зависит от f0, x0 и от правой
части уравнения или включения (следствие 1 теоремы 1 § 8).
94

2. Для дифференциального включения A) (или приводящегося к нему дифферен-
дифференциального уравнения) траекторией называется точка или линия в пространстве х, опре-
определяемая вектор-функцией х =y(t), которая является решением включения A). Траек-
Траектории, проходящие через точку р, обозначаются Tip), Txip), T2ip), Lip), Rip) и т.п.
Часть траектории Tip), пробегаемая при t > t0 (где <p(t0) = p), обозначается
Г* 1р), а при t < t0 обозначается Т~ (р) (положительная и отрицательная полу-
траектооии \
Точка х = р называется стационарной, если она является траекторией, т.е. если
х(г) = р есть решение включения A). Название "особая точка" здесь не используется,
так как кроме стационарных точек будут рассматриваться и другие особые точки,
например, точки ветвления и точки слияния траекторий.
Из определения решения и независимости от г правой части включения A) вытека-
вытекают следующие свойства решений и траекторий.
Если х = v?(f) - решение (при a < t < /й, то для любого постоянного с функция
х = </?(f + с) (a — c<t<E— с) — тоже решение и эти решения имеют одну и ту
же траекторию.
Точка р - стационарная для включения A) в том и только в том случае, когда
OEF(p).
Множество стационарных точек, содержащихся в замкнутой области D, является
замкнутым.
Как известно ([157], стр. 30), при наличии единственности решений каждая траек-
траектория автономной системы является или стационарной точкой, или замкнутой кривой,
или незамкнутой кривой без самопересечений. Траектории автономного дифферен-
дифференциального включения A) в общем случае могут иметь любые самопересечения.
Теорема 1. При наличии правой единственности каждая траектория дифферен-
дифференциального включения A) принадлежит одному из следующих типов:
1) стационарная точка - траектория решения xit) = р;
2) замкнутая кривая без самопересечений — траектория периодического решения
xit) Ф const;
3) незамкнутая кривая без самопересечений;
4) траектория, входящая в стационарную точку, т.е. состоящая из простой дуги без
самопересечений х = {pit) it < 1х) и стационарной точки x=^(f) = р it > tx);
5) траектория, вливающаяся в замкнутую траекторию, т.е. состоящая из простой
дуги без самопересечений х = <?(f) it <tx) и замкнутой траектории х =\p(t) = «p(f + /)
it > txt I = const >0).
В случаях 4) и 5) части t < tt и t > tx траектории х = fit) не имеют общих точек.
Доказательство. Если \pitx) Ф y{t2) для решения х = v?(f) (-°° <a< t <
< |3 <°°) при любых ?i, t2, fi Ф t2, то имеем случай 3). В остальных случаях пусть
tt - нижняя грань таких г, что ylr) = v?(a) хотя бы для одного значения о> г. Пусть
a - т = п. Тогда \frit) - ^(r + h) - решение, Щт) = yio) = v?(r). Значит, ypit) = фк)
при t> т,
it>T). B)
Если v?(r) = v?(r) при г < t < а, то в силу B) v?(f) = у (г) при всех t > т, а вследст-
вследствие непрерывности функции ^ - и при всех t > tit если tx > а. Так как y(t) Ф\ркх)
при f < f i в силу выбора f i, то имеет место случай 4). Если же Г! = а, то <p(f) = const -
случай 1).
Пусть ifit) Щ const при т<г<аит+/- нижняя грань тех f > г, для которых
frtf) e V>(r). Тогда 0 < / <Л (если / = 0, то, подобно B), v?(f) = v?(f + //) (г > г) при
сколь угодно малых // и, так как функция </? непрерывна, v?(f) = const it > т). что
противоречит предположению). Следовательно, v?(f) = yplt + /) (f > г), т.е. при t > т
функция \pit) - периодическая с наименьшим периодом/> 0. Замкнутая кривая х =
= fit) (г < t <т + /) не имеет самопересечений, так как в противном случае \р1тх) =
= ypioi), 0 < ^ - Ti < /, и, подобно B), функция \р имела бы период О\ — Т\ < I.
Если при этом f! = а, то имеем случай 2), а если t х > а, то случай 5).
Лемма 1. Пусть D - ограниченная замкнутая область,
/=1,2
95

- последовательность дуг траекторий включений A), содержащихся в D,
при этом Ь, - а#- = // > у > О, /=1,2,...
Тогда:
1) ес/и/ Шп// = /< °°, то в D содержится дуга 0<Г </ некоторой траектории х =
2) если Шп"/,-в °°, то в D содержатся некоторые полутраектории Т* ip) (x = *pit),
О <г < «) i/V"to) (x =
Дуга pq или полутраектории Т+{р) и T~(q) являются пределами некоторой под-
подпоследовательности данных дуг pfii или их частей.
Доказательство. Решения
х -iMf) = i,(a, + t) @ < t < //) C)
имеют те же траектории, что и решения ^t(t). Для сколь угодно больших к возьмем
\к = / — 2~к в случае 1) и \к = к в случае 2). Зафиксируем Аг. Последовательность
решений C) для / * ik, ik + 1, . . . компактна в метрике С на отрезке 0 < Г < ХЛ соглас-
согласно Б°. Выберем из нее подпоследовательность, для которой /,-*/ в случае 1) или
1{ ->оо в случае 2). Из последней выберем равномерно сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность. Ее предел - тоже решениех = ip(t), 0<t <\к, траектория которого содержит-
содержится в D,
\р@) = lim ^/@) » limp/ = p.
Теперь рассмотрим решения подпоследовательности при 0 <t <\k+ { и выберем
из них новую подпоследовательность, равномерно сходящуюся при 0 < t < Х^ +1. Ее
предел — решение при 0 < t <\k+ lf совпадающее с решением <р(г) при 0 < t < \k,
поэтому для него можно сохранить обозначение <р(г). Продолжая аналогично, полу-
получим решение <р(Г) при 0 < t < I (в случае 2) / = °°), траектория которого содержит-
содержится в D. В случае 2) полутраектория Т*{р) построена, T~(q) строится аналогично.
В случае 1) |F(x)| <m в D. значит, для всех решений |x(f)| <m, и существует
lim <fi[t) = уЦ). Для любого е > 0 при к > к0 (е) и />/0(Дг,е) имеем
/n(/-\t) = Ткт < е, МХ*)-^(Х*)| < е,
m(\k-li)< е,
Следовательно,! \рA) - q\ < 4е. Так как б произвольно, то \p(l) =q.
3. В следующей теореме рассматривается поведение траекторий вблизи нестацио-
нестационарной точки без предположения единственности.
Теорема 2. Пусть точка Ь - нестационарная для включения A), г.е. 0 С F[b).
Тогда существуют такие вектор v (| v \ = 1), постоянная у>0и замкнутая окрест-
окрестность К (|х — Ь | < е0) точки Ь, что для всех траекторий, проходящих в К, имеем
vxit) > у > 0, D)
а угол между векторами v и x{t) не больше а,
7Г У
а я arcsin , m = max | Fix) |. E)
2 m
Все траектории, имеющие общие точки с диаметральным сечением S {v • х = v • b,
| х — b | <€0) окрестности К, пересекают это сечение в одном направлении - в направ-
направлении возрастания произведения v • х.
Доказательство. Так как О f. F(b), а множество F(b) выпукло, то по лем-
лемме 3 § 5 существует плоскость Р, разделяющая 0 и Fib). Уравнение плоскости Р можно
записать в виде v • х = у, где | v \ = 1, у > 0. Точка 0 лежит в области v • х < у, а мно-
множество Fib) - в области v • х > 7- По лемме 1 § 5 piFib) ,Р) = р0 > 0. Так как функ-
функция F ^-непрерывна, то найдется такое е0 > 0, что при lx - b\ < е0 имеем
96

(F(b)f°.Тогда F(x) лежит в
области v-x>y, и для любого решения включения
A) в области |х - Ь\ < е0 имеем D).
Далее, при |х — 6| < в0 множество F(x) лежит в
шаре |х|</77 (лемма 15 § 5). Для любого yGF(x)
имеем \у\ <т, i<v- у = М • lKlcosaw a, - угол меж-
между векторами v и /. Так как \v\ - 1, то cosaj ^у/\у\*>
>у/т. Отсюда следует E).
Следствие 1. При условиях теоремы 2 для
любого е>0 найдется такое 6 > О, что каждая тра-
траектория, проходящая в Ь-окрестности b точки Ь,
не выходя из ее е-окрестности Ь€, пересечет постро-
построенное в теореме 2 сечение S и затем выйдет из Ь€.
Доказательство. Пусть е < е0, указанно-
указанного в теореме 2, Ъ = у elm. Каждая траектория, прохо-
проходящая через точку qEbb, в силу D) не может оста-
оставаться в Ь€. поэтому выходит на границу окрестности
Ь€ и при убывании, и при возрастании t. Рассмотрим (рис. 17) конус с осью, направлен-
направленной вдоль вектора v , с основанием до, (|х-6| < e,v- x = v- b), с боковой поверхностью,
касающейся шара Ьь. Тогда cos a = \br\ : \bp\ - Ые = y/m, угол между образующей гр и
вектором v также равен а. Так как угол между векторами х (г) и v не больше а (см. E)),
то траектория из точки q шара b не выйдет из конуса, пока не пересечет его основа-
основание ррх.
Следствие 2. Пусть на дуге ab траектории Т (х = \p(t), a < t < j3, ip(ot) = а,
yip) =b) имеет место правая единственность и точка b - нестационарная.
Тогда для любого е > 0 найдется такое т? > 0, что каждая траектория, проходящая
через точку а\ €= а**, при возрастании t пересекает сечение S, проходящее через точку Ь,
в некоторой точке clf вся дуга ахсх С (аЬ)е и время движения по дуге ахсх сколь,
угодно мало отличается (при малых rj) от времени движения по аЬ.
Доказательство. Для данного 6 найдется такое 6 < е, как в следствии 1.
Из наличия правой единственности следует существование такого т? > 0, что у любой
траектории Тх(ах) (х - \p(t), ф(а) = ах) дуга axbx (a<f </?) содержится в 6-окрест-
6-окрестности (аЬ)ь дуги аЬ (следствие 1 теоремы 1 § 8). Так как ф@) = Ьх €Е Ьъ, то траекто-
траектория Тх(ах) пересекает 5 в некоторой точке сх; при этом дуга Ьхсх С Ье. Тогда вся
дугаа^! С (аЬ)€. Так как дуга Ьхсх СЬе, то | v • (сх -Ьх)\ <2е (если | v \ =1) и из
D) следует, что время движения по дуге Ьхсх не больше 2е?7-
Следующие две известные теоремы о выпрямлении траекторий в окрестности не-
нестационарной точки при наличии единственности приводятся в той форме, которая нужна
для дальнейшего изложения.
Теорема 3. Пусть непрерывная функция х = \l/(v), где v = (vx, . . . , vn _,),
взаимно однозначно отображает компакт К С R" ~ l на множество М С Rn. Пусть для
каждого х0 ^ М решение х = %(t; х0) включения A) или уравнения х = f(x) с началь-
начальным условием ?@; хо1 = х0 на отрезке I = [a, 0] (а <0<|3) существует, единственно
и дуги a < t < 0 траекторий таких решений не имеют общих точек.
Тогда функция х - |(f; yl/(v)) топологически отображает множество I X К на мно-
множество Q С /?", заполненное дугами a < t < 0 траекторий с начальными условиями
х@) ЕМ. Эти дуги являются образами отрезков прямых v = const.
Доказательство. Взаимная однозначность отображения / X К на Q следует
из отсутствия общих точек у рассматриваемых дуг траекторий. Его непрерывность
следует из непрерывности функций ф(у) и х = ?{f; хо>; функция | непрерывна вслед-
вследствие единственности решений. Обратное отображение непрерывно по лемме 1 § 9.
Теорема 4. Пусть для уравнения х = f (x) выполнены условия теоремы 3 и, кроме
того, К — замкнутая ограниченная область в Rn~l, f Е С1, J/E С1 и при всех v E К,
j
x = ф(у) векторы f (x), дф/дух,
Тогда отображение х = ?(f,
непрерывно дифференцируемы.
Доказательство. По теореме 3 отображение х :
Оно непрерывно дифференцируемо, так как ?(f, x0) ЕС1
7. А.Ф. Филиппов
„_, линейно независимы.
) множества I X К на Q и обратное отображение
tit, ФМ) -топологическое,
по теореме о дифференцируе-
97

мости решения по начальным условиям. Производные ut = Эх/Эй/, /=1,...,л— 1,
удовлетворяют уравнению в вариациях с начальными условиями ut{0) = Э^/Эи/.
Так как уравнение х = f(x) автономно, то решение x(f; t0, x0) с начальным усло-
условием x(f0; to, х0) = х0 зависит только от f — f0 и *о- Поэтому функция (/0 = bx/bt =
= — Эх/Э^о удовлетворяет уравнению в вариациях с начальным условием uoito) -
= ^(х0) ([13], стр. 120). Из условия теоремы следует, что векторы ut {t).i =0,1,... ,л- 1,
линейно независимы при f = 0. Они удовлетворяют линейному однородному уравне-
уравнению в вариациях, поэтому линейно независимы и при любом г. Значит, составленный
из них детерминант, являющийся якобианом отображения х = ?(г, фМ), не равен
нулю, и обратное отображение тоже непрерывно дифференцируемо.
4. Многие свойства предельных множеств траекторий автономной системы диффе-
дифференциальных уравнений сохраняются и для предельных множеств траекторий диф-
дифференциального включения х Е F(x) при выполнении основных условий п. 1. Прежде
всего это относится к тем свойствам, которыми обладают предельные множества любых
непрерывных кривых в пространстве Rn, заданных в виде х =y(t), t0 <t <°°.
Точка q Е Rn называется и-предельной для кривой L (х = y(t), Г 0 < t < °°, ^ Е С),
если существует такая последовательность t\,t2, • • . стремящаяся к°°, что^(Г/) -+Q
(/' -+ °°). Множество всех олредельных точек кривой L называется сопредельным
множеством кривой L и обозначается U(L).
Для кривой х *<i(f) (—°° < t ^t0, <р € С) точкар Е Rn называется оьпредельной,
если существует последовательность точек ^(Г/) -»р (/ = 1, 2, . . . ; Г/ -*•-<»); оьпре-
дельное множество кривой — множество всех ее а-предельных точек.
Если данная кривая х = \p[t) является траекторией или полутраекторией автоном-
автономного дифференциального уравнения или включения, то говорят о предельных точках
и множествах этой траектории или полутраектории.
Следующие известные и легко доказываемые утверждения относятся не только к
предельным множествам траекторий, но и к предельным множествам любых непре-
непрерывных кривых в /?". Утверждения формулируются для сопредельных множеств;
а-предельные множества обладают аналогичными свойствами.
1) Пусть L - кривая х - *p(t), t0 <t < °°, a Lk - ее часть, tk <t<°°, причем tk
(/г-*°°). Тогда
SliL) С Г, SllL) - П Гк.
к=1
2) Множество ?2(/.) замкнуто.
3) Множество U{L) пусто тогда и только тогда, когда | <p(t) \ ->°° при t ^°°.
4) Множество ?l(L) ограничено тогда и только тогда, когда кривая L (х = *P(t)f
t0 <t < °°) содержится в ограниченной области.
5) Если множество U(L) ограничено, то
), SHU) - 0 (Г -*<*).
6) Всегда
-> 0 (f -> °°)
Лемма 2. Множество Sl(L) не является объединением двух непересекающихся
непустых замкнутых множеств, из которых, хотя бы одно ограничено.
Доказательство. Предположим, что п(П = A UB, А ПВ=ф, АФф, ВФф.
А и В замкнуты, В ограничено. По лемме 1 § Ь р{А, В) =2d>0. Возьмем точки а €4,
b E В. Они со-предельные, поэтому найдется такая возрастающая последовательность
t\,tlt..., стремящаяся к<»,что
iU> < d. p(<p(t2k),b) <d, k = 1,2,...
Тогда p(f{t2k-\)'B) > d, k - 1,2,... (в противном случае
p(a,B) < p{
что невозможно, так как p(A,B)=2d). Непрерывная функция p{<p{t),B) боль-
больше d при r=r2/f-i и меньше d при г = t2k.k = 1, 2,..., значит, для некоторого
98

. В) = d, к = 1. 2,..., тк -+ «>.
Ограниченная последовательность *р(тк) имеет предельную точку с Е пЦ). Так как
р(с,#) = </>0,рИ,?) = 2</, тосбЯ, с gA Это противоречит тому, что сЕП{/.) = 4 U В.
Следствие. Если U(L) ограничено, то оно связно.
Формулировка леммы 2 упрощается, если пространство Я" дополнить одной точкой
х = оо дО компакта [Rn ] с естественной топологией: хк -*х, если | хк — х | -*0; х* -*°°,
если |х* | ->«>. Тогда лемму 2 можно сформулировать так: множество &(/.) связно
]
Лемма 3. Если П(/. > //е имеет общих точек с линией L (х = «/?(f) f г0 < t < °°),
то L содержится в одной из компонент Gx открытого множества Rn\u(L), U(L)
нигде не плотно, П{/.) = bGx, т.е. ?l(L) является границей области Gx.
Доказательство. Первое утверждение следует из условия леммы и связ-
связности линии L. Из L CGX следует ЩЬ) CbGx. а так какGtС/?"№(/.), то bGx CSl(L).
Следовательно, Щ1-) = bGx. В силу определения границы области в любой окрестно-
окрестности каждой точки a Е bGx имеются точки области Gx, значит, множество ?l(L) - dGx
нигде не плотно.
Далее рассматриваются предельные множества траекторий дифференциального
включения A) в замкнутой области D при выполнении основных условий (п. 1) и
условия | Fix) | <m в D.
Условие | Fix) \ < m не является сильным ограничением, так как в каждой ограни-
ограниченной части Dk = D П Bk iBk - шар, \х\ <к) области D по лемме 15 § 5 | F(x) \ <
< шк. Поэтому включение A) можно заменить включением х € р{\ х \)F(x), которое
по теореме 3 § 9 имеет те же траектории, что и включение A), но у которого правая
часть ограничена во всей области D. Для этого достаточно взять в качестве р(?) такую
непрерывную неубывающую функцию, mopik -\)> mk, к * 1, 2,...
Лемма 4. Через каждую точку а ? ЩТ) проходит целая траектория То (х=ф(г>,
-оо < Г < °°), содержащаяся в ЩТ). То же справедливо для сопредельного множества
АКТ).
Доказательство. Точка а - сопредельная для траектории Т (х = <р(?)), т.е.
существует такая последовательность Г/ -^°°, что<р(?/) ->а. Функции
^,{г) = ф + Г,) (f0 - Г, < г < оо)
являются решениями, и \pj @) -> а. Так как | Fix) \ </?7, то на любом конечном отрез-
отрезке —к <Г <к решения 0,(г), начиная с некоторого, определены, равностепенно непре-
непрерывны и равномерно ограничены. Поэтому из последовательности {ф,М} можно вы-
выбрать подпоследовательность, равномерно сходящуюся при — 1 < г < 1 к решению
«//(Г), изнее-подпоследовательность,равномерно сходящуюся при -2 <? <2 к тому же
решению, продолженному на отрезок [-2; 2], и т.д. Получим решение ф(г), опреде-
определенное при -оо < t < оо. При этом ^@) = Mm ^,@) = а. Траектория этого решения
содержится в ?2{Г), так как для любого t точка фк) есть предел некоторой подпо-
подпоследовательности точек \l/jit) = yit + Г/), / = /) -> оо.
СлучайaEAiT) сводится к рассмотренному заменой г на -г.
5. Исследуем более детально свойства предельных множеств в том случае, когда
выполнены условия, перечисленные перед леммой 4, и, кроме того, решение с любым
начальным условим x(f0) = х0 Е Dединственно при t>tQ.
Лемма 5. Если траектория Т (х = $it), a < t < °°) имеет общую точку х, = *pitj
с множеством ЩТ), то или Т С ЩТ), или некоторая полутраектория Т+ (х=«р(Г>,
tx < t < оо) содержится в ?ЦТ), а остальная часть траектории T(t < tx) не имеет ни
самопересечений, ни общих точек с П{Т).
Доказательство. По лемме 4 через точку х, проходит некоторая траектория *
То С uiT). Пусть То - траектория решения х » ^(г). Так как х = фк + с) - решение
при любом с, то можно считать, что фЬ J =х, = *pitj . Тогда вследствие правой един-
единственности ^(r) = v?(t) при всех г > г,. Пусть tx - нижняя грань таких t0t что^(Г») Е
Е ЩТ). Из доказанного следует, что *pit) E uiT) при всех t > tx. Если tx - а, то Г С
СП{7) . Если Г! >а, то v?(t) в ЩТ) при а < г < tx в силу выбора rw a «p (rj Е ПG)
в силу непрерывности <р it) и замкнутости ЩТ). Отсутствие самопересечений дуги
V? (г) при а < f < f j следует из теоремы 1/
99

Теорема 5. Пусть выполнены условия указанные перед леммой 4, и в области
D имеет место правая единственность. Если траектория Т имеет общую точку с ЩТ),
то возможны только следующие случаи:
1) ЩТ) совпадает с Т или с некоторой полутраекторией Г* С Г; в этом случае
ЩТ) - стационарная точка или замкнутая траектория;
2) ЩТ) содержит хотя бы одну точку, не принадлежащую Т; в этом случае ЩТ) со-
состоит из несчетного множества (континуума) траекторий; в окрестности любой точки
а ? ЩТ) имеются как точки траектории Т, так и точки множества ЩТ) \ Т.
Доказательство. Если ЩТ) — стационарная точка или замкнутая траекто-
траектория, то имеет место случай 1). Если он не имеет места, то точка 6G ТП ЩТ) - неста-
нестационарная. По теореме 2 через нее проходит локальное сечение 5. Так как точка b -
сопредельная для траектории Г (х = <p(t)), то существует последовательность ^(f/) -+b,
t'i-* °°, / = 1, 2, ... Траектория Т, попавшая в некоторую окрестность точки Ь при
t - t) (/=/j,/, + 1,...), в силу следствия 1 теоремы 2 должна пересечь сечение S
в некоторый момент f/, близкий к t\. Таким образом, имеем последовательность точек
<piti) - Ь{ -> Ь. bt € S П Г+(/>) С S П ЩТ),
так как Т*(Ь) СЩТ) по лемме 5.
Все точки bj различны, так как Т*(Ь) не является замкнутой траекторией. Поэто-
Поэтому точка b - предельная для замкнутого множества М = ЩТ) П 5. То же справедли-
справедливо для каждой точки множества М, может быть, кроме точек, лежащих на границе
35 сечения S. Удалив из М точки, лежащие на bS и не являющиеся предельными для
точек из M\dS, получим непустое замкнутое множество Мо, не содержащее изолиро-
изолированных точек, следовательно, имеющее мощность континуума ([64], стр. 58).
Каждая траектория, пересекающая 5, после пересечения должна выйти из неко-
некоторой окрестности точки b (в силу D)'), прежде чем вновь пересечь S. Поэтому про-
промежутки времени между двумя пересечениями не могут быть сколь угодно малыми.
Значит, каждая траектория может пересечь 5 не более чем в счетном множестве точек.
Поэтому через точки множества Мо С ЩТ) О 5 проходит, кроме Т, несчетное мно-
множество (континуум) других траекторий, содержащихся в ЩТ). Это справедливо для
любой окрестности любой точки а ? ЩТ).
Лемма 5 и теорема 5 позволяют детализировать классификацию траекторий, ко-
которую дает теорема 1. При этом учитывается наличие или отсутствие пересечений траек-
траектории с ее сопредельным множеством.
В случаях 1) и 4) теоремы 1 ЩТ) есть точка, в случаях 2) и 5) - замкнутая траек-
траектория. При этом в случаях 1) и 2) ЩТ) = Г, а в случаях 4) и 5) ЩТ) СТ, но ЩТ) Ф Т.
В случае 3) траектория Т — незамкнутая кривая без самопересечений, и имеются сле-
следующие возможности:
За) ЩТ) пусто;
36) ЩТ) не пусто и не имеет общих точек с Г;
Зв) ТСП(Т),ноТФЩТ);
Зг) часть t < tx траекторииТ (х = \p(t)) не имеет общих точек с ЩТ), а остальная
ее часть tx <t <°° содержится в ЩТ), но не совпадает с ним.
По теореме 5 в случаях Зв) и Зг) множество ЩТ) содержит, кроме траектории Т
(или ее части ft <r < <*>), еще несчетное множество (континуум) других траекторий.
Примеры траекторий типов 1), 2), 4), 5) очевидны, типа За) - траектория х = f,
типа 36) — траектория х = е"г, типа Зв) - траектория из иррациональной обмотки
тора ([158], стр. 70); другие примеры см. в [158] (стр. 408 и 418), типа Зг) — траек-
траектория, извне приближающаяся к тору и вливающаяся в одну из траекторий его ирра-
иррациональной обмотки.
С помощью рассуждений, аналогичных использованным в лемме 5 и теореме 5,
можно изучить расположение траектории по отношению к а-предельному множеству
А(Т). Возможны случаи А(Т) = ф н А{Т) Ф ф, А(Т) П Т = ф. Если траектория Г имеет
общую точку а с множеством А(Т), то в силу леммы 4 и правой единственности
Т*(а) СА(Т). При этом, как в теореме 5, возможны случаи: Т = А(Т), тогда Т - ста-
стационарная точка или замкнутая траектория; Т СА{Т), но Г Ф А(Т), тогда А(Т) со-
содержит, кроме Т, еще континуум траекторий; возможен также случай, когда Т со-
содержит точки а ? А(Т) и b $А(Т), тогда Т'(Ь) П А(Т) = 0, Т+(а) СА(Т). Последний
100

случай имеет место, например, для траектории
х = cos B(t), у = sin 0(f); 6(t) = min { e*; 2л}.
6. Пусть выполнены основные условия п. 1. Единственность не предполагается.
Если все решения дифференциального включения A) определены при — °° < f < °°,
то они определяют [120] обобщенную (т.е. без единственности) динамическую систе-
систему. Такие системы обладают некоторыми свойствами обычных динамических систем,
в частности, относящимися к минимальным множествам и рекуррентным траекториям
[159], [160].
Множество М называется минимальным, если оно не пусто, замкнуто, состоит из
целых траекторий (т.е. через каждую точку р G М проходит хотя бы одна целая траек-
траектория х = Kp(t), —°° < f < «>, содержащаяся в М) и не содержит никакого подмножества
Мо Ф М, обладающего этими же свойствами. Траектория Г называется рекуррентной,
если для любого е > 0 существует такое т(е), что 6-окрестность любой дуги траекто-
траектории Г, пробегаемой за время г (в), содержит всю траекторию Г.
Теорема 6 [159]. Любое непустое компактное множество, состоящее из целых
траекторий, содержит минимальное множество.
Следствие. Если множество 12 (Г) не пусто и ограничено,то оно содержит мини-
минимальное множество.
Теорема 7 [159]. Каждая целая траектория, содержащаяся в компактном ми-
минимальном множестве, рекуррентна.
Теорема 8 [159]. Замыкание рекуррентной траектории, содержащейся в ограни-
ограниченной области, является компактным минимальным множеством.
§ 13. Свойства траекторий на плоскости
Здесь выясняется, какие из хорошо известных свойств траекторий уравнения х = f(x)
(х G R2, f G С1) сохраняются для траекторий дифференциального включения х G Их)
(х G /?2) и, следовательно, для дифференциальных уравнений с разрывными правыми
частями в области на плоскости при доопределении а) или в) § 4. В частности, для
таких уравнений и включений устанавливаются теоремы, аналогичные теоремам Бен-
диксона о предельных множествах на плоскости и о замкнутых траекториях.
1. Общие свойства траекторий дифференциальных уравнений на плоскости при нали-
наличии единственности изучались в [161] и в [158] (гл. 2, § 1), а без предположения
единственности — в [162] и в [13] (гл. 7, §4). Многие из этих свойств с небольшими
изменениями сохраняются и для дифференциальных включений (см., в частности, [163],
[164]). Доказательства проводятся по тому же пл'ану, что в [13] ив [158], со следую-
следующими изменениями. Вместо отрезка нормали к траектории или дуги без контакта,
пересекаемой траекториями только в одном направлении, рассматривается сечение,
построенное в теореме 2 § 12; вместо теоремы о непрерывной зависимости решений
от начальных условий используется локальная компактность множества решений
(свойства Б° и В° п. 1 § 12).
В замкнутой области на плоскости рассмотрим дифференциальное включение
A)
удовлетворяющее основным условиям п. 1 § 12 и условию I F(x) I </??.
Сечением называется любой отрезок S, пересекаемый траекториями только в одном
направлении, точнее, такой, что в некоторой его окрестности для любого х и любого
и G F(x) имеем v • и > ? > 0, где v — заданный вектор, ортогональный отрезку S.
Для любой нестационарной точки существование сечения, проходящего через эту точку,
доказано в теореме 2 § 12.
Лемма 1. Если на сечении S имеется точка b G ЩТ) (или b G А(Т)), то траекто-
траектория Т (х = tp(t)) пересекает сечение S при сколь угодно больших \t\ruu3 точек пере-
пересечения можно выбрать последовательность
Ь, Г/ -* oo (/ -> oo)
(соответственно г, -* — <»).
101

Доказательство. Точка b - оо-предельная для траектории 7" (х = кр(г)), значит,
на Г существует последовательность точек а,- = \p(t)) -+b, t't -*«\ В силу следствия 1
теоремы 2 § 12 траектория Т, проходящая через любую точку а(, достаточно близкую
к Ь, пересечет S в точке Ь/, и из а,•->/? следует Ь,- -+Ь. и, с учетом D) § 12, f,- - f J -*
Случай />еЛ(Г) сводится к рассмотренному заменой f на-f.
В следующих леммах 2-6 предполагается, что данная траектория Т (х = #(t)) удов-
удовлетворяет хотя бы одному из двух условий: а) или ip(*i) ^ <p(f2> при любы* f, # f2,
fi # f2» б) или в точках траектории Г имеет место правая единственность. О других
траекториях, кроме 7", ничего не предполагается.
Рис. 18.
Такое предположение является сильным ограничением для дифференциальных вклю-
включений. Оно выполняется, в частности, для тех дифференциальных включений, к кото-
которым сводятся с помощью доопределения а) § 4 дифференциальные уравнения с разрыв-
разрывной правой частью при наличии правой единственности.
Лемма 2. Если траектория Т пересекает сечение S несколько раз. то точки пересе-
пересечения расположены на S монотонно (при условии а) строго монотонно), т.е. в том же
порядке, что на траектории.
Доказательство. Если траектория Г пересекла сечение S =ас в точках Ь\ и
Ь2, то замкнутая кривая, состоящая из дуги bxb2 траектории 7" и отрезкаb2b{ сечения
S, делит плоскость на две части А и В. Пусть abx С А, Ь2с С В (рис. 18). Пройдя точ-
точку Ь2, траектория 7" остается в В и не может попасть ни на участок abx сечения, лежащий
в А, ни на участок blb2, к которому траектории подходят только из области А. Поэто-
Поэтому траектория Г после точки Ь2 может пересечь сечение ас только на участке Ь2с.
Лемма 3. Для траектории Т (х = Kp{t)) множество 12G") может пересекать сече-
сечение S не более чем в одной точке. Если b — точка пересечения 12(Г) с S, то Т пересе-
пересекает S только в точках
(/-1,2,...),
B)
точки bj стремятся к b монотонно на S.
Аналогичное утверждение справедливо для ^G"), но тогда f,-+ х < f,-, f,- -* — °°.
Доказательство. Пусть b Е 12G") П S. По лемме 1 существует последова-
последовательность B) точек'пересечения 7" с S. Из оценки v - x(t) >y>0 следует, что после каж-
каждого пересечения решение должно выйти из определенной окрестности сечения 5. Поэто-
Поэтому интервалы времени между последовательными пересечениями не меньше положи-
положительной постоянной. Перенумеруем все точки пересечения, начиная с некоторой, в по-
порядке возрастания чисел г(-. В силу леммы 1 некоторая подпоследовательность этой
последовательности сходится к точке Ь. По лемме 2 точки /?,- расположены на S моно-
монотонно, поэтому вся последовательность Ь,- -* Ь.
Если пересечение ?2(П П S содержит, кроме Ь, еще точку а, то подобно предыдуще-
предыдущему Ь( -> а. Это невозможно, если а Ф Ь.
Для А(Т) доказательство проводится аналогично.
Теорема 1. Если траектория Т имеет общую точку Ьх с множеством 12G") и на Т
имеет место правая единственность, то 12G") является стационарной точкой или замкну-
замкнутой траекторией и совпадает с Т или ее полутраекторией T+(bi).
Доказательство. Если Ьх — стационарная точка, то в силу правой единствен-
единственности Ь, = 7"+(Ь,) = 12(Г). Если точка Ьх - нестационарная, то по лемме 3 точки Ьх.
102

b2,.. . пересечения Г с сечением S, проведенным через Ьх, расположены на 5 монотонно
и стремятся к Ьх. Это возможно только в случае Ь\ - Ь2 = ... Значит, для траектории Г
(х = ip(t)) имеем у(*\) =фкг). *\ ^*2- Тогда Т*(ЬХ) -замкнутая траектория (см.
доказательство теоремы 1 § 12) и 12G") = Т*(Ь\).
Сл едствие. При правой единственности на плоскости не может существовать
траекторий типов Зв) и Зг) (п. 5 § 12).
Теорема 2. Если траектория Т имеет общую точку а с множеством А{Т) и на Т
имеет место правая единственность, то или Т — стационарная точка, или Т - замкнутая
траектория, или А(Т) состоит только из стационарных точек, а ЩТ) = а Е /4G").
Доказательство. Пусть нестационарная точка b ЕА[Т). Проходящее через
точку b сечение S по лемме 3 пересекает А(Г) только в точке Ь, а траекторию 7" (х =
= <p(t)) — в точках
Ь( = ф(г()-*Ь, ti+l<tj (/=1,2,...), f/-*-«>. C)
Если b,- = b для некоторого /, то, так как последовательность {б,-} монотонна на S,
имеем bj = 6* = b для всех k > i. Тогда дуга х = \p(t), t* + j < f ^ *>» траектории Г -
замкнутая кривая. Вследствие правой единственности Т*{Ьк + 1) - замкнутая кривая.
Так как bk = $(tk), t k -*¦ - °° (/г-*00), то вся траектория Г — замкнутая кривая и
Если 6, ^6 для всех /, то в силу C) и монотонности последовательности ( bt) имеем
bj Ф b,-+i для некоторого / = i у, а вследствие правой единственности — и для всех / >
> i 1. Для такого / дуга Ь(+2Ь,- траектории Г и отрезок ?/?, + 2 ^ ^ делят плоскость на
три части, в одной из которых содержится Г+(/>,), кроме точки Ь,, а в другой —
7"~F/ + i) и, значит, А(Т) (рис. 19). Взяв такое большое /, что Ь,- Ф а и точка а € Г П
П4(Г) лежит на Г+(Ь,), получаем противоречие.
Итак, или Г- замкнутая траектория, или А(Т) состоит только из стационарных то-
точек. В последнем случае из а € Г О А{Т) и из теоремы единственности следует, что
Т*(а) = а = 12 (Л . Тогда или Г = а, или Г "(а) Фа, нА(Т) состоит или из одной точки а,
или из бесконечного множества точек.
Следующие примеры (где Р, 6 — полярные координаты, с > 0 — произвольная по-
постоянная) показывают, что оба последних случая возможны.
{f; 2тг}, p(t) = с.
1Л
2)
'; 2тг},
0@/
Эта траектория изображена на
рис. 20.
2. На дифференциальные включения с правой единственностью (а в некоторых слу-
случаях и без нее) переносится ряд утверждений о свойствах со-предельных множеств,
содержащих нестационарные точки.
В следующих ниже леммах 4 - 6 и теоремах 3-5 предполагаются выполненными
основные условия п. 1 § 12, условие I F(x) \ <т и в точках траектории Г хотя бы одно
из условий а) и б), сформулированных перед леммой 2.
103

Лемма А. У каждой нестационарной точки b Е 12(Г) имеется такая окрестность,
в которой проходит только одна простая дуга одной траектории L С12 (Г) и нет других
точек множества 12(Г).
Доказательство. По лемме 4 § 12 через точку b проходит траектория L С
С ?2(Г). По теореме 2 § 12 существует круг К (\х — Ь\ <€0), в котором для всех
траекторий v • х > у > 0, угол между векторами х и v не больше a, a < тг/2, v — по-
постоянный вектор, |Н = 1. Пусть х = (хХех2) ,ось Охх параллельна v. Тогда для всех
траекторий в К имеем dxx/dt >у>0, и каждая хорда хх « const круга К является
сечением.
Проходящая через точку b траектория L пересекает каждую из хорд х, = с (%х < с <
< ?2) в одной точке (рис. 21). По лемме 3 других точек из 12(Г) нет в части %х < хх <
< ?2 круга К.
Лемма 5. Если замкнутая траектория (без стационарных точек) L С12 (Г), то
Доказательство. По лемме 4 каждая точка b Е L имеет окрестность, не со-
содержащую точек множества М- ЩТ) \ L. Объединение таких окрестностей - открытое
множество G Э L Его дополнение R2\G = D замкнуто, MCD. Так как М = ?1(Т) П
П0, то М замкнуто. Значит, 12G") = LUM, L и М замкнуты, LHAf = 0, L ограниче-
ограничено. По лемме 2 § 12 это возможно только в случае М - ф, ЩТ) = L.
Лемма 6. Пусть траектория L С ?2(Г), множество ЩЦ или A(L) не пусто и на L
нет стационарных точек.
Тогда или L — замкнутая траектория и L =12 (Г), или все ее а- и со-предельные
точки — стационарные.
Доказательство. Пусть нестационарная точка b Е 12 (L ). Через точку b про-
проходит сечение S. По лемме 1 L пересекает S в точках Ьх, Ь2,. . .-* Ь. Так как L С12G"),
то Ь/ €12G") и из леммы 3 следует &i = b2 - .. .=b. Значит, через точку b проходит
дуга bxb2 траектории L, являющаяся замкнутой кривой Lo CL С!2(Г). По лемме 5
!2(Г) = Ц. Значит, 12G-) = L = Lo.
Случай bEA(L) рассматривается аналогично.
Замечание. Леммы 4 — 6 остаются верными, если 12 G") заменить а-предельным
множеством А(Т) .*
Теорема 3. Пусть выполнены условия, указанные в начале п. 2. Если множество
12(Г) или -4G") ограничено и не содержит стационарных точек, то оно состоит из одной
замкнутой траектории.
Доказательство. Любая траектория L С12 (Г) ограничена, значит, множество
!2(L) CL не пусто. Так как 12(Г) замкнуто, то L С 12G") ив/, нет стационарных то-
точек. В силу леммы 6 12G") — замкнутая траектория.
Теорема 4. Пусть выполнены условия, указанные в начале п. 2. Пусть множество
12(Г) не является замкнутой траекторией.
Тогда
1) множество 12 о стационарных точек, содержащихся в 12G"), или пусто, или замк-
замкнуто)
2) множество нестационарных точек, содержащихся в 12 (Г), или пусто, или состоит
из конечного или счетного множества непересекающихся дуг траекторий Li С12(Г);
3) для этих дуг Li множества 12 (Li) и A(Li) или пусты (если Li уходит в бесконеч-
бесконечность) , или состоят только из стационарных точек и содержатся в 120.
Доказательство. 1) Множество 12 (L) замкнуто (п. 4 § 12), множество М
всех стационарных точек — тоже (п..2 § 12), поэтому множество 120 = 12(Г) П М
замкнуто.
2) Через каждую нестационарную точку из 12(Г) в силу леммы 4 проходит единст-
единственная траектория Lit и дуги таких траекторий, не содержащие стационарных точек,
или не пересекаются, или совпадают. Покажем, что различных дуг Lf не более чем счет-
счетное множество. В силу леммы 4 для каждой дуги Lt можно построить круг с центром
b E L(, не имеющий общих точек с другими дугами L/. Круги вдвое меньшего радиуса
не пересекаются. Так как их не более чем счетное множество, то траекторий Lf — тоже.
3) Пусть х = Kpt(t) (a,- < t < &t) — максимальная дуга траектории L,- С!2(Г), не
содержащая стационарных точек. Эта дуга (или ее часть) не может быть замкнутой
траекторией по лемме 5Г так как 12(Г) не есть замкнутая траектория. Если 0, < °°, то
104

существует lim *pf{t) = Qt. Точка qt — стационарная, иначе дугу Z_/ можно было бы
продолжить за точку qr Положим «^(г) = q{ при 0,- <t < °°. Аналогично поступаем,
если Л/ > — оо. Полученную целую траекторию х = ^(f) (— °° < f < + °°) снова обо-
обозначим /.,-. Тогда 12(/.,) (или >4(/./))—стационарная точка.
Если fy = °°, то в случае | у. U) \ > ~ (t -»**) множество ПA,) пусто. В противном
случае 12A./) не пусто. Траектория Lt — незамкнутая, и S2(/./) состоит из стационарных
точек по лемме 6. Так как 12(L,) С Г, С 12G"), то Г2(/.,) С 120-
Следствие. Белы множество 12G") содержит конечное или только счетное мно-
множество М стационарных точек, то 12(Г) или является стационарной точкой, или состоит
из множества М и конечного или счетного множества дуг траекторий, у которых
о
Рис. 22.
каждый конец или является одной из точек множества М, или уходит в беско-
бесконечность {рис. 22).
Доказательство. По лемме 2 § 12 множество 12 (Г), если оно не является
точкой, не может иметь изолированных точек. Тогда 12(Г) — замкнутое множество без
изолированных точек, следовательно, имеет мощность континуума ([64], стр. 58).
Значит, если М — не одна точка, то, кроме точек множества М, множество 12(Г) содер-
содержит и нестационарные точки. По теореме 4 они лежат на конечном или счетном множест-
множестве дуг траекторий /.,; 12(/.,) или пусто (тогда /., уходит в бесконечность), или содер-
содержится в М и в силу связности является точкой. В силу свойства 5) п. 4 § 12 траектория
L{ или приближается к этой точке при t -*°° (или при t -*— °°), или вливается в нее
при конечном г. Утверждение доказано.
При условии а) или б) (см. перед леммой 2) множество 12(Г), содержащее нестацио-
нестационарную точку Ь, обладает некоторыми свойствами устойчивого предельного цикла. Если
12G") является замкнутой траекторией, то возможны два случая: или траектория Г
вся лежит с одной стороны от 12(Г) (внутри нее или вне), не имеет общих точек с 12 (Г)
и "навертывается" на 12 (Г), или траектория Г вливается в замкнутую траекторию 12(Г)
в некоторой точке (случай 5) теоремы 1 § 12); при условии а) второй случай невоз-
невозможен.
Мы говорим, что траектория Г навертывается на предельное множество 12(Г),
гели она
1) не имеет общих точек с !2(Г) и, значит, вся лежит в одной из областей G *, на ко-
которые множество 12G") делит плоскость;
2) существует не менее трех простых дуг а;а} (/ = 1, . . ., т; т > 3), не имеющих
попарно общих точек, лежащих в G*, с концамиа; Е 12 (Г) и пересекаемых траекторией Т
только в одном направлении, т.е. всегда так, что точка а) остается слева от Т, а точка
а, - справа, / = 1,..., m (рис. 23), или всегда наоборот;
3) начиная с некоторой точки, траектория Г пересекает эти дуги поочередно в одном
и том же порядке, повторяемом бесконечно много раз.
Теорема 5. Пусть выполнены условия, указанные в начале п. 2. Если множество
12(Г) содержит нестационарную точку Ь, то
1° или траектория Т навертывается на 12(Г),
2° или траектория Т совпадает с 12(Г) или вливается в 12(Г) в некоторой точке, и
12(Г) - замкнутая траектория.
При условии а) (см. перед леммой 2) случай 2° невозможен. Если Г не является
замкнутой траекторией, то в обоих случаях А(Т) не имеет общих точек с 12G").
105

Доказательст в'о. Через точку Ь проведем сечение S. По лемме 3 траектория Т
пересекает S в точках Ь(, обладающих свойствами B).
Если bj = b для некоторого /', то вследствие монотонности последовательности {/>, }
имеем />/+i = b( =b. Значит, выполнено не условие а), а условие б) - правая единствен-
единственность на Г Тогда дуга />//>/+, траектории Т есть замкнутая кривая L без стационарных
точек и T*(bt) = L =п{Т) ,'т.е. имеет место случай 2°. Если при этом ТФ L, то из теоре-
теоремы 2 следует, что ТПА(Т) = ф, Так как ЩТ) С Т, то ЩТ) ПА{Т) = ф.
Пусть bt Ф b для всех /. Тогда не только при условии а), но и при условии б), траек-
траектория Г не проходит дважды через одну точку (в противном случае в силу правой един-
единственности траектория вливалась бы в замкнутую и было бы bt = Ь, />/,). Поэтому
Q(TJ
Рис. 23.
Рис. 24.
для всех / имеем bt Ф Ь, + х, и кривая К{, состоящая из дуги ЬгЬг+ х траектории и отрезка
bi+tbt сечения S, делит плоскость на две области: область G,, содержащую T~Jbt )\bif
и область Hit содержащую T*(bj+i)\ bt+i. Тогда G, CG,+ ! С. ..; Gt П /У, + 2 = ф,
ЩТ) CHi+2. T"(bt) СGit следовательно, T'(bt) П ЩТ) =ф. Так как/ произвольно,
то ТПЩТ)=ф, а так как А(Т)С T'ibj), то А(Т)ПЩТ) = ф.
Покажем, что Г навертывается на п(Т). По теореме 4 п(Т) содержит бесконечно
много нестационарных точек. Пусть S, (/' = 1, . .., /л) - сечения в каких-то m из этих
точек ах, .... aw. Укоротим сечения, чтобы они не пересекались. Пусть траектория
Г (х = </>(f)) первый раз пересекает S/ при t = т; и т0 = max ту, Ь/ = <р(т0) € S!. Тогда
T~{bj) пересекает все сечения Si, ..., Sm. При этом точки «],..., ат € ЩТ) лежат
вне каждой из областей Gk. Поэтому можно укоротить сечения так, чтобы полутраек-
полутраектория T~{bj) пересекала всех их по одному разу и чтобы все точки аи. .. ,ат (концы
сечений) лежали в области G,. х. Тогда при каждом к > / каждый отрезок а^а) С S/
пересекает границу области Gk, т.е. лугу bkbk + l траектории Г.'
Если дуга />//>, + ! С Г пересекает все сечения, например, в порядке S\, ..., Sm, то
дуга 6/+1/>/+2 пересекает их в том же порядке. В самом деле, пусть область Q ограниче-
ограничена дугой траектории Т от точки />,- ее пересечения с сечением Si до первой точки с{ пе-
пересечения со следующим сечением S2, отрезками Ь,а, CSX, c{a2 CS2 этих сечений и
частью множества п{Т), ограниченной точками з,и э2 (рис.24). В Q нет точек
других сечений, так как другие сечения не пересекают ни Si, ни S2, ни дугу 6/С/ С Т.
Траектория Г, войдя в область Q в точкеЬ(+{, не может оставаться в ней, так как перед
возвращением на St в точке Ь{+2 траектория Г проходит вне Q. Она может выйти из Q,
только пересекая отрезок cta2 CS2. Следовательно, после каждого пересечения с Si
траектория Г пересекает другие сечения в одном и том же порядке.
3. Следующие теоремы, аналогичные известным теоремам качественной теории
дифференциальных уравнений, справедливы для дифференциальных включений ви-
вида A) в замкнутой области на плоскости при выполнении основных условий п. 1
§ 12 и условия |F(x)|</77, без каких бы то ни было предположений о единствен-
единственности решений.
106

Теорема 6. Если полутраектория Г* ограничена, то ее предельное множество
п{Т) содержит или стационарную точку, или замкнутую траекторию.
Доказательство ([13], стр. 192). Множество ЩТ) ограничено и не пусто
(свойство 3) п. 4 § 12). Пусть ЩТ) не содержит стационарных точек. Через любую
точку рЕ 12G") по лемме 4 § 12 проходит траектория L С ЩТ). Так как ЩТ) замк-
замкнуто, то ?l(L)CL С ЩТ). Поэтому множество ?1{L) ограничено и не содержит ста-
стационарных точек. Если траектория L (х = \p(t)) не самопересекается, т.е. фкх) Ф фк2)
при любых tl,t2,t[ Фг2, то U(L) есть замкнутая траектория по теореме 3.
Если же ф(тх) = \fr(t2) при некоторых tx,t2f tx <f2, то часть tx <t <t2 траектории
L есть замкнутая траектория.
Следствие. Если полутраектория 7"+ содержится в замкнутой области, в ко-
которой нет стационарных точек, то в этой области имеется замкнутая траектория.
Заметим, что это возможно только в кольцевой области, как и в качественной
теории дифференциальных уравнений.
Теорема 7 [164]. Пусть в замкнутой области D, ограниченной замкнутой траек-
траекторией L, выполнен ы+условия, указанные в начале п. 3. Тогда в этой области имеется
стационарная точка.
Доказательство можно провести тем же методом, что в [158] (стр.54),
для системы двух дифференциальных уравнений. Предположим, что в О нет ста-
стационарных точек. Через произвольную внутреннюю точку р области D проходит
траектория Т (х = $(t)).
Если она дважды попадает во внутреннюю точку q области D, т.е. <p{t\) = <p{t2) = q,
tx <f2, то дуга tx <f <f2 траектории Т есть замкнутая траектория 7, проходящая
через точку q. Если То имеет самопересечения, то из нее можно выделить меньшую
замкнутую траекторию L х без самопересечений, проходящую через точку q (некото-
(некоторая дуга траектории 7, содержащая точку q, не самопересекается в силу оценки
D) § 12). Так как q^L, то Lx Ф1.
Если траектория Т не попадает дважды ни в одну внутреннюю точку области D,
то каждая из ее полутраекторий или выходит на границу L области D, или наверты-
навертывается на L либо на замкнутую траекторию L^L. Если обе полутраектории вы-
выходят на L в точках а и Ь, то дуга ab траектории Г и дуга ba CL составляют
замкнутую траекторию, проходящую через внутреннюю точку р. Если одна выхо-
выходит на L, а другая навертывается на L, то они пересекаются внутри D. Не имея
пересечений внутри D, обе навертываться на L не могут, так как по теореме 5
А(ЛФП(Т).
Таким образом, во всех случаях в D содержится замкнутая траектория L{ ^ L.
В области Di CD, ограниченной траекторией Lx,b силу тех же рассуждений содержится
замкнутая траектория 1гФ Lx. Она ограничивает область D2tCDx и т.д.
Последовательность вложенных замкнутых областей D D Dx D D2 D ... имеет не-
непустое пересечение D^. По предположению, любая точка b ? Э0^ — нестационарная.
По теореме 2 § 12 существует круг К (| х - Ь\ <е0), в котором для решений выпол-
выполняются неравенства D) и E) из § 12. Пусть х = (х,, x2),ocbOxi параллельна векто-
вектору v из формулы D) § 12. Тогда каждая хорда хх= const круга К является
сечением.
При / > / *(б) траектория Lt проходит через 5-окрестность точки Ь. В силу следст-
следствия 1 теоремы 2 § 12 Z./ пересекает диаметр хх = 0, круга К, а значит, и все близкие
к нему хорды, притом каждую в одной точке (по лемме 3, так как /./ = u{Lf)).
В силу E) § 12 уравнение траектории Lf в круге К записывается в виде х2 = Ц (хх),
где | ф'§ | < tg а. Так как Dx Э D2 Э .. ., то последовательность функций ф( монотон-
монотонна и при |х, - /J1 | <б0 сходится к функции ф(хх), график которой проходит через
точку b и является траекторией L& включения A) (свойства Б° и В° п. 1 § 12).
Если для некоторого / часть круга /С, лежащая в полосе | х1 — /J1 | <б0 выше кривой
М*2 = ^,(^1)), не принадлежит области Dita ниже кривой - принадлежит, то вследст-
вследствие вложенности областей D( то же будет при всех /. Поэтому часть круга К, лежащая
в этой полосе выше траектории /.?,, не принадлежит. ?>?,, а ниже - принадлежит, т.е.
множество ???, имеет внутренние точки. Замыкание любой компоненты множества
этих внутренних точек обозначим 0Ы. По доказанному, границей замкнутой облас-
области Dw является траектория ?ы.
107

Теперь можно построить трансфинитную последовательность вложенных областей и
завершить доказательство с помощью теоремы Бэра, как в [158] (стр. 55).
Теорема 8. Пусть в окрестности U стационарной точки р нет других стационар-
стационарных точек.
Тогда или существует траектория, одним концом входящая в точку р (за конечное
или бесконечное время), или в каждой окрестности точки р имеются замкнутые траек-
траектории, окружающие эту точку.
Доказательство. В круге К (| х - р | <е, е сколь угодно мало), содержа-
содержащемся в U, возьмем последовательность pi -* р. Если T*[pt) С К, то множество ?2( Г) С
С К по теореме 6 содержит стационарную точку — точку р (других нет) или замкнутую
траекторию Го. В первом случае или ЩТ) = р, или в силу следствия теоремы 4 ЩТ)
состоит из точки р и одной или большего числа траекторий, обоими концами входящих
в точку р (других стационарных точек нет в К). Таким образом, существует траекто-
траектория, одним концом входящая в точку р. Во втором случае внутри области, ограничен-
ограниченной траекторией 7, по теореме 7 есть стационарная точка— точка р, так как других нет.
Если 7"+(pf.) выходит из круга К в точке (?,-, то выберем сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность qt -* q, i = /*!, /2,... -*00. Так как для решений | х | <J F(x) | <я?, то время
движения по траектории Т от точки pi до qi не меньше некоторого 7> 0. Тогда по
лемме 1 § 12 в К содержится или дуга траектории, соединяющая точки р и q, или целая
полутраектория T~(q) С К. Последний случай рассматривается так же, как случай
Возьмем последовательность кругов К,- (|х - р| < е,), е, -* 0. По доказанному,
или хотя бы в одном из них имеется траектория, одним концом входящая в точку р,
или в каждом круге имеется замкнутая траектория, окружающая точку р. Теорема до-
доказана.
Некоторые результаты по качественной теории дифференциальных включений содер-
содержатся в работах по теории управляемых систем. Например, в [165] исследуются облас-
области на плоскости, в которые можно попасть, идя из данной точки по траекториям диф-
дифференциального включения.
§ 14. Ограниченные и периодические решения
Здесь излагается понятие вращения многозначного векторного поля и формулируются
свойства вращения. С их помощью устанавливаются достаточные условия существова-
существования ограниченных и периодических решений дифференциальных включений, аналогич-
аналогичные известным для обыкновенных дифференциальных уравнений.
1. Во всем § 14 предполагается, что многозначная функция F удовлетворяет основ-
основным условиям п. 2 § 7 в области G, компакт К CG. Используются обозначения, вве-
введенные в § 5.
Лемма 1. Для любого е > 0 и любого компакта К найдется такое б0 > 0, что при
всех 5 <50 график функции F6{p) = [coF(p6)]6, p E К, находится в ^-окрестности
графика Г функции F(p), рЁК.
Доказательство. 3 противном случае найдутся такое е > 0 и такие последо-
последовательности 6, -* 0, р( 6 К, q( € F6 .(рД /=1,2,..., что
P((P/.<J/).n>ef /=1,2,... A)
Пусть max 5/ =6, <p{K,bG). По лемме 15 § 5 \F[p)\ <m для pE/C6i, поэтому
I ^6 .(Р) I ^m + ^i Д^ Р^ К- Вследствие этой оценки и компактности К можно считать,
что р,-*ро GK. qf-+qo. Из A) следует р((р*,9о). Г) > е, значит, p(q0, F{p0)) > e.
В силу /3-непрерывности функции F найдется такое б > 0, что F[p) С (F(po))€/4 при
всех р€ро,т.е.Я(Ро) с (^(Ро)N/4. Так как F(p0) и (F{po))€/4 выпуклы, то со F{p60) С
С(Г(ро))€/4,ипри 5/<б/2, б, <е/4, |р,-р0 К6/2 имеем (р,N'Ср*,
q. € Fb\pt) = [со F(p6/)] 6/ С [со F(Po6)]e/4 С (F(po))e/2.
Это противоречит неравенству p(qo,F{po)) >e, так как q,-+qo.
108

Лемма 2. Для данной многозначной функции F{p) и любых б, е > О существует
однозначная непрерывная вектор-функция f{p),pEK, график которой находится в
е-окрестности графика функции F{p), р€К, и при этом f(p) Е со F(pb П К).
Доказательство. Для данного е > 0 возьмем такое 50, как в лемме 1, и лю-
любое б < б0. Покроем компакт К конечным числом шаров \р — р,- I < 6, р,- Е К, i -
= 1, . .. , к. Возьмем какие нибудь qt ^ F(pf). / = 1 к. Положим в,{р) =
= тах{0; б - |р-р,-1},
a,(pH0,(p)/Z 0у(р), Цр) = Z tt/tpky,.
/=i 1=1
Все Oj{p) непрерывны, 20/{p) > 0, 2a,(p) = 1. Поэтому функция f{p) непрерывна.
Так как a,{p) Ф 0 только при р, е р6, то f (р) Е со F{p6). По лемме 1 график f{p)
содержится в е-окрестности графика функции F(p).
Замечание. Функция f[p) удовлетворяет условию Липшица.
Лемма 3. Если 0 & F{p) для всех р € К, К - компакт, то найдется такое б0 > 0,
что для всех р€ К, б < б0 имеем
p@,[coF{pb)}b)>po>0.
Доказательство. График функции F{p), р е К,- замкнутое ограниченное
множество (леммы 14 и 15 из § 5) .Поэтому его проекция F(K) - замкнутое множест-
множество. Так как 0 4 F(K), то р@, F{K)) = 2р0 > 0. По лемме 1 найдется такое б0 > 0, что
для всех б <б0 график функции Fь{р) - [со F{pb )]ь, р € К, находится в р0*окрестнос-
ти графика функции F(p). Тогда р@, Fh (р)) > р0 для х Е К.
Лемма 4. Пусть 0 Ф F (р) для всех р€ К, К — компакт, а вектор-функции f{p) и
д{р) однозначны, непрерывны и их графики для р Е К содержатся в б -окрестности
графика функции F(p), 5<б0, б0 то же, что в лемме 3.
Тогда f(p) Ф 0 в К, д(р) Ф 0 в К ив К не найдется точки р, в которой векторы
f{p) и д(р) были бы противоположно направлены.
Доказательство. Векторы f(p) и д{р) содержатся в выпуклом множестве
[со F{pb) ]b. Если бы при некотором р Е К они были бы противоположно направлены,
то нашлось бы такое а Е @, 1), что af(p) + A — ос)д{р) = 0. Сумма принадлежит тому
же выпуклому множеству. Но по лемме 3 это множество не содержит нуля. Проти-
Противоречие.
Лемма 5. Если ограниченные замкнутые выпуклые множества А и В в Яп не
содержат ни нуля, ни противоположно направленных векторов и Е A, v E В, то
0ф со (A U В).
Доказательство. Предположим, что 0 Е со (A UB). По теореме Каратеодори
(§ 5) найдутся такие точки з0, а,,..., ак Е AUB, к <л, и числа a0, at,..., ak > 0, что
.. ,+акак. ao + ... +а* = 1. B)
Пусть, например, э0, ..., а, Е А; а/ + ь ... ,ак Е В; а0 + ... + а, = a, a/ + i + .. .
... + ak = 0. Если /3 = 0, то 0 * а0з0 + ... + сг/З, Е 4; если а = 0, то 0 Е В, что противо-
противоречит условию. Значит, a > 0, 0 > 0. Тогда
О?"Мао«о + • - . + а,з,) = GЕЛ, 0 (а/ + 1 з, + 1 +.. .+akak) = veB
и в силу B) аи + /fr = 0, т.е. векторы l/ и v противоположно направлены. Это невоз-
невозможно. Поэтому предположение неверно, и лемма доказана.
2. Определение вращения непрерывного векторного поля в л-мерном случае при
п > 2 является довольно сложным. Поэтому сначала изложим определение вращения
и его свойства в случае п = 2, когда оно является элементарным.
Пусть f{x) - однозначное непрерывное векторное поле в области G на плоскости Я2,
L —непрерывная замкнутая кривая х = ?(s) в G, 50 <s<Sj. На кривой задано на-
направление обхода-в направлении возрастания 5. Пусть Нх)Ф0 на L. Пусть 6[s) -
непрерывная функция, равная величине угла между направлением оси Охх и на-
направлением вектора f (?(s)), s0 < s < s,. Угол определен с точностью до слагаемо-
слагаемого, кратного 2тг. Это слагаемое выбирается так, чтобы функция в is) была непре-
непрерывной.
109

Вращением векторного поля f(x) вдоль кривой L называется число
Так как кривая замкнута, то 0($i) -0(so) кратно 2я и вращение - целое число. Если
bG\ — граница области G\ С G, состоящая из одной или нескольких замкнутых кривых
L\,... , Lm, то по определению
7(f, bG{) = y(f, Ц ) + ...+ y(f, Lm), C)
причем на каждой кривой L/ направление движения выбирается так, чтобы об-
область G, оставалась слева (рис.25).
х2
Рис. 25.
Особой точкой непрерывного векторного поля fix) называется точка х=э, в ко-
которой f(a) = O. Индексом ylf,a) изолированной особой точки х=а в векторном поле
fix) называется вращение y{f, ЪН) поля f на границе ЪН любой области Н, содер-
содержащей эту особую точку и не содержащей внутри или на границе других особых точек.
(В силу сформулированного ниже свойства 3° число y{f,bH) одно и то же для всех
таких областей Н.)
Пусть на L определено векторное поле f(x, /u), зависящее от параметра /i. Если век-
вектор-функция f{x, ц ) непрерывна по совокупности переменных, то говорят, что вектор-
векторное поле fix, ц) непрерывно меняется при изменении /х.
Свойства вращения непрерывного векторного поля на плоскости и индекса
особой точки в таком поле изложены, например, в [157] (стр. 205 — 216) ив [9]
(стр. 434 - 437).
Пусть L — замкнутая кривая без самопересечений или граница ограниченной области,
Пх)Ф0 на L.
1° При непрерывном изменении векторного поля его вращение yif, L) не меняется,
если при этом f не обращается в нуль на L.
2° Если ни в одной точке х е /L векторы f(x) и д(х) не обращаются в нуль и не яв-
являются противоположно направленными, то y{f, L) = у{д, L).
3° Если fix) Ф 0 в замкнутой области D, то y{f, ЪО) = 0.
4° Индекс точки х = 0 в векторном поле f(x) = Ax (det А Ф 0) равен т(Ах, 0) =
= sgn det A.
5° Если в области Go имеется только конечное число особых точек ах,..., ат и на
ее границе f(x) Ф 0, то
Пусть F(x) — многозначная век тор-функция, удовлетворяющая основным условиям
в области G на плоскости, L — или граница ограниченной замкнутой области D С G,
или замкнутая без самопересечений кривая в области G, и на L задано направление
обхода (если оно не указано, то обход производится в положительном направлении).
Пусть 0 ? Fix) для каждого xGL
Вращением yiF. L) МНП?п-*наиип?п оекториозо поля F(x) на i ноэыоостол [1СО]
вращение y(f, L) любого такого однозначного векторного поля f(x) на L, что график
функции f\x) на L содержится в 50-окрестности графика функции F{x) на L; 50 то же,
что в лемме 3. Такая функция f существует по леммё*2. Из леммы 4 и свойства 2°
следует, что f(x) Ф0 на L и что число y(f, L) не зависит от выбора функции f.
110

Особой точкой многозначного векторного поля F(x) называется такая точка к ~ а,
что О Е. F{a). Индекс особой точки y(F, а) определяется, подобно y(f, a), через враще-
вращение y{F, ЪН), где а € И и И не содержит других особых точек.
Покажем, что y(F, ЪН) не зависит от выбора области Н. Пусть Нх и Н2 — области с те-
теми же свойствами, что Н, и область Но содержится строго внутри пересечения Нх СЛН2г
а ? Но. Так как О ф F(x) для всех х в замкнутой области К = [Нх UH2)\H0, то в К
можно построить однозначную непрерывную вектор*функцию f[x) Ф О, график кото-
которой содержится в 60-окрестности графика функции F(x) в К (лемма 3). По определе-
определению вращения поля F имеем
y(F, ЪНХ) = y(f, ЪНХ), y(F, ЬН2) = y(f, ЪН2).
Так как f(x) Ф 0 в К, то в силу свойства 3° и формулы C)
О - y(f. b(Ht \Н0)) = y(f. ЪН() - y(f, ЬН0), i = 1, 2.
Следовательно, y(f, ЪНХ) = y(f, ЪН2), y(F, ЪНХ) = y{F, ЪН2).
Для многозначных векторных полей сохраняются свойства 3° и 5° с заменой f на F
и условия f(x) Ф 0 на условие 0 ? F(x). Это следует из определения y(F, L) через
y(f, L) и леммы 4.
Свойство 2° заменяется следующим:
2*. Если на L нет такой точки х, в которой или 0 € Fx{x), или О Е F2(x), или мно-
множества Fx(x) и F2(x) содержат противоположно направленные векторы и Е F х(х),
vGF2(x). то y{Fx,L) = y{F2,L).
До казательство. Функция F{x) = со (F x{x) UF2(x)) удовлетворяет основ-
основным условиям, так как 0-непрерывность для функции Fx{x) UF2(x) очевидна, а для
F{x) следует из леммы 16 § 5. По лемме 5 0? F(x) для всех x?lL. По лемме 3
0$ со Fix6) при 5<5О. По лемме 2 для любого 5 >0 существуют такие непре-
непрерывные однозначные функции f\, f2, что для х € L
fi{x)GcoF(x6 CiDCcoFlx6), /= 1,2,
Так как векторы fx(x) и f2(x) принадлежат одному и тому же замкнутому выпуклому
множеству, не содержащему точки 0, то они не равны нулю и не направлены противо-
противоположно. В силу свойства 2° y{fx, L) = y{f2, L). Отсюда и из определения y{Fj, L)
следует утверждение 2*.
3. Пусть f{x) - непрерывное векторное поле в Rn или на границе L = bG0 ограни-
ограниченной области Go С/?", причем f(x) Ф 0 на L. Вращение j{f, L) определяется, напри-
например, в [167] (стр.88) как степень отображения
Тх = f(x)/ | f (x) | (xGL)
границы L области Go на единичную сферу. Вращение является целым числом. Граница
сначала предполагается гладкой, но затем определение вращения распространяется на
случай произвольной границы ([167], п. 5.3).
В случае п > 2 степень отображения — неэлементарное топологическое понятие, по-
поэтому и понятие вращения непрерывного векторного поля неэлементарно. В большинст-
большинстве приложений используется не определение вращения, а его свойства, излагаемые ниже
по книге [167] (§5).
Вращение y{f, L) обладает свойствами 1°— 5° п. 2. Формулировки этих свойств и опре-
определение индекса особой точки сохраняются без изменений при любом п> 2. Ниже ука-
указываются еще некоторые свойства вращения и индекса для случая любого п> 2.
6° 7(_f,U = (-ir7</U).
7° Если fix) G С1, Ца) = 0, f'(a) - матрица
[dfi/dxj). /=1 п при х = а и det f '(а) Ф 0, то
y(f. a) = sgn det f'(a).
8° Если область Q разбита поверхностями на области Qx, .. ., Qm и на их границах
Пх)Ф0, то
y(f,Q) = y(f,Qt)+ ... +y{f,Qm).
lit

Понятие вращения векторного поля используется в теоремах о неподвижных точках
непрерывного отображения h(x), т.е. о решениях уравнения h(x) = x. Такие точки
являются особыми точками векторного прля fix) = /?(х) -х.
Теорема 1. Пусть отображение h{x) непрерывно в ограниченной замкнутой
области DCR" и y(f,dD)*Q, f(x) =/?(x)-*r
Тогда существует такая точка xGO, что п{х) = х.
Доказательство. Если Зы такой точки не нашлось, то f(x) Ф 0 в D и в силу
свойства 3° вращение y{f, bD) было бы равно нулю.
Теорема 2 (теорема Брауэра). Пусть замкнутая область DCRn гомеоморфна шару.
Тогда при непрерывном отображении h (х) области D в себя имеется по меньшей мере
одна неподвижная точка х0, т.е. такая, что п{х0) = х0.
Доказательство. Сначала докажем теорему для шара К с центром х = 0.
Для любой точки х Е S = ЪК имеем п(х) Е К, поэтому вектор h(x) — x не может быть
направлен в ту же сторону, что вектор х. Значит, для любой точки х Е 5 векто-
•ры h(x)-x и -х не являются противоположно направленными.
Если h (х) — х = 0 для некоторого х Е S, то х — неподвижная точка. Если же
п(х) — хФО на S, то в силу свойств 2° и 4°
у{п{х) - х. S) = т(- х, S) = (-1 )п Ф 0.
По теореме 1 существует такая точка х0 Е К, что п(х0) = х0.
Теперь пусть замкнутая область 0 гомеоморфна шару К, т.е. существует гомеомор-
гомеоморфизм у=д{х), х=д~х(у), хЕО, у^К, д\лд~х непрерывны. Точкам х и /»(*) области
0 соответствуют точки #(х) =/ и 0(Л(х» = ^(^(^"М/))) = *(К) шара АС, отображение
z(y) непрерывно. По доказанному, существует точка у0 Е К, для которой г(у0) = /0,
T.e.^i/rfe' (/о))) = Ко- Отсюда/?^ (Ко» =д~1 (Ко). т.е. Л(х0) = х0, гдех0 =^-1 (Ко).
Пусть F{x) - многозначная вектор-функция, удовлетворяющая основным условиям
в ограниченной области D С Rn с границей L.
Пусть 0 ф. F{x) для каждого х Е Z.. Вращение y(F, L) многозначного векторного по-
поля F{x) на L определяется точно так же, как в случае /7 = 2 (см. п. 2), через вращение
вспомогательного однозначного векторного поля fix). Изложенные в п. 2 доказательст-
доказательство независимости y(f, L) от выбора поля fix) при достаточно малых 5 и свойства вра-
вращения y{F, L) сохраняются в случае любого п > 2. Подробное изложение теории враще-
вращения многозначных векторных полей см. в [166].
4. Использование понятия вращения векторного поля дает возможность установить
ряд теорем о существовании ограниченных и периодических решений дифференциаль-
дифференциальных уравнений ([167], § § 6 - 8). Ниже излагаются некоторые из полученных в [168],
[169] обобщений этих теорем на дифференциальные включения.
Теорема 3 [168]. Пусть W - ограниченная замкнутая выпуклая область в Rn,
Kpix) € С1, ipix) <0 в области W, <р(х) = Она ее границе bW. Пусть многозначная функ-
функция F{t,x) удовлетворяет основным условиям п. 2 % 7 и
Fit + l,x) = Fit, x) ixEW), D)
gracMx)*0 (grad ф)) • y< 0 E)
для всех xEdW, yEFit.x).
Тогда включение
xEF(f,x) F)
имеет в области W решение с периодом I.
До казательство. Пусть точка х = 0 лежит внутри W (в противном случае
перенесем начало координат внутрь области И/). В силу E) и выпуклости области
имеем
(grad ф)) • х >g0 > 0 (х Е bW). G)
Для любых е и 5 > 0 построим такую функцию
fit,x)EcoF(t6,x6 nW) @<Г</, xEW),
как в лемме 2 при р = (г, х). Рассуждением от противного с учетом компактности dtV,
112

^-непрерывности F(t, х) и неравенства E) доказывается, что
sup {grad<p(x))-f(t,x)<Ti{8,€)-*0 E - О, е-*0).
0<t </. xGdW
Возьмем последовательности 5, -> О, б/ -* 0. Обозначим 17E,-, е,) через i?,- , а функцию
f (t, х) для б =6,, е = е, - через f,(f,x). Пусть f/(f, х) -2i?,0o!x = f*(t,x). В си-
силу E) и G)
Mgrad </>(*)) • f *(f, x) < - rji < 0 @ < t < I. x G dW).
Значит, решения уравнений х, = f *(f, x) не выходят из области W (\р(х) <0) при воз-
возрастании Г. Так как fL удовлетворяет условию Липшица, то решение X/ = ф,^; а)
единственно, оно непрерывно зависит от начального условия х,-@) = а.
Тогда у = ^,(/; х), х G W, есть непрерывное отображение замкнутой области W в
себя. По теореме 2 существует такая точка з,е1У, что !//,(/; a,-)saf-.
Последовательность решений x,{t) = 4/,{t; a,) @ < Г </), /=1,2,..., компактна,
так как
\F{t.x)\<m ixEW). \х!\<т + 2т1/до1 \W\,
и из нее можно выбрать равномерно сходящуюся подпоследовательность. Так как
график ff лежит в б*-окрестности графика функции F, где
е* =6/ + 2T?/5fol l*V|-*0 (/-«>),
то по лемме 1 § 7 предел подпоследовательности есть решение х(г) включения F),
лежащее в области УУ.Так как ^t(l; af) =a,,т.е. xf(l) =x,@) ,то х(/) =х@). Продол-
Продолжим функцию x(f) так, чтобы x(f + /) = x(f). Она будет периодическим решением
вследствие периодичности функции F(t, x).
Теорему 3 можно распространить [168] и на случай, когда область W задается конеч-
конечным числом неравенств $( (х) <0, / = 1,..., г, как в [167] (стр. 44).
Для любого х0 G D пусть x(f) = ^(f; x0) - единственное решение (О < t </)
уравнения х = f{t, х) с начальным условием х@) = х0; функция f непрерывна. Тогда,
как известно [32], функция ф{г; х0) непрерывна @<f</, x0GD).
Лемма 6 ([167], стр. 101). Пусть D - замкнутая ограниченная область в Яп,
Ц0.х)Ф0 (xebD = L),
фЬ; х)Фх @<f</, xGL). (8)
Тогда
у{х - фЦ х), L) = т(- W.x).(L). (9)
Доказательство. Функция
1 1 t
y(t, x) » - / f(\t, ф{\г, x))d\ = / Пт, ф(т, x))dr
о го
непрерывна по t, х @ <г </, х Е D) и равна -f@, х) при t = 0, (х - i?(f, x))/f при
0 < Г < /. В силу (8) у (Г, х) =? 0 при х G Z., и в силу свойства 1° п. 2 справедливо (9).
Теорема 4 [169]. Пусть многозначная функция F(t, x) удовлетворяет основным
условиям п. 2 § 7 при всех t G Rl, х G R" и F{t + /, х) s F(f, x). Пусть каждое решение
включения F) продолжим о до сколь угодно больших t. Пусть
ф)^С\ (grad^(x))-/<0 (|x|>ro, 0<f</) A0)
для всех у Е F{t, х). Пусть вращение векторного поля grad </?(x) «а некоторой сфере
| х | = г* > г0 «еравно нулю.
Тогда включение F) имеет решение с периодом I.
Доказате л«ь с т в о. В силу теоремы 3 § 7 существуют такие /*, >г0 + 1 и г2, что
все решения с начальными условиями t0, х0 [0 <t0 ^1, |х0 I <г0) при t0 <г </ со-
содержатся в шаре |х | </-, - 1, а решения с начальными условиями г0, х0 (О <f0 *^l >
1 х0 I < гх) - в шаре | х | <г2 - 1. Из A0) и ^-непрерывности функции F следует, что
8. А.Ф. Филиппов 1^3

для некоторого т?>0 при 0<r</, ro<x<r2, yeF{t,x) имеем (grad </?(х)) у<
< - 2т? < 0.
Возьмем последовательности б/ -> 0, 6/ -> 0 и для каждого / = 1,2,... построим
такую функцию f,(f, х), как в доказательстве теоремы 3, взяв в качестве W шар
|х|<г2. Тогда при />/*i имеем
(grao>(x))-ff.(f,x)<--T?<0 @<f</, /о<|х|<г2). A1)
Для / > /2 все решения уравнения х = f.{t, х) с начальными условиями 0 <г0 </,
I х0 I < г о при г о < t < / содержатся в шаре I х | < л,, а с начальными условиями 0 <
<Г о </ . I *o I <^1 - в шаре | х | <г2 (в силу следствия 2 теоремы 1 § 8).
Покажем, что для всех решений уравнения к = ff(t, х) (/* > max{/1; /2}) с началь-
начальными условиями | х@) I = г, имеем
0<Г</. A2)
Эти решения содержатся в шаре |х| < г2. Если |х(г) | > г0, 0 < t <t0 </, то при
этих t в силу A1) i(x(f)) убывает, значит, x(f) Ф х@). Если t0 <1, \x(t0) | < г0,
то по доказанному | х(г) | < г,, f0 < t < /# значит, x(f) =? х@).
Так как grad #{х) Ф 0 при | х | > г0 в силу A0), то вращение grad <p(x) на сферах
I х | = г* и Z. (| х 11 = г 1) одинаково (в силу свойства 3° п. 2) и не равно нулю. В силу
A1) ff{x) Ф 0 и векторы -ff(x) и grad^(x) не противоположно направлены при
хЕ L, значит,
7(- U. D = T(grad у. L) Ф 0. A3)
Пусть х = ф#.(Г; х0) - решение уравнения x = ft(t, x) с начальным условием
^/@;хо)=хо €/.. Из A2), леммы 6 и A3) следует
7(* - */(/; х), /.) = т(- Ъ. иФО.
Согласно 3° п. 2 в области I х | < г, есть точка х0/, в которой ^f(/; х0,-) = х0/.
Из последовательности решений \pj{t; xOi) выберем равномерно сходящуюся при
0 <f </ подпоследовательность. По лемме 1 § 7 ее предел x(t) — решение включения
F); при этом х(/) = х@). Продолжив функцию x(t) с периодом /, получим искомое
периодическое решение.
Теорема 5 [169]. Пусть выполнены все условия теоремы 3, кроме условия D).
Тогда включение F) имеет хотя бы одно ограниченное решение
x(t)ew (-«><*<«>). A4)
Доказательство. Взяв любое к = 1,2,... и проведя те же рассуждения, что
в доказательстве теоремы 3, но на отрезке —к <f </г вместо отрезка 0 <г </, получим
решение хк{t) E W {-к <t <к) включения F). Из последовательности {хк(f)} вы-
выберем подпоследовательность, сходящуюся при \t\ < 1, из нее выберем новую под-
подпоследовательность, сходящуюся при |Г I <2, и т.д. Предельная функция х(г) удов-
удовлетворяет A4) ив силу следствия 1 леммы 1 § 7 является решением включения F).
Теоремы о диссипативных системах дифференциальных уравнений, например теоре-
теорема 2.5 из [170], также распространяются на дифференциальные включения.
Дифференциальное включение F), где функция F(t, х) определена при t > Г*, х €
? Rn, обладает свойством диссипативности, если каждое решение продолжимо до сколь
угодно больших t и существует такой шар | х | < Ь, что каждое решение при возраста-
возрастании t входит в этот шар и остается там.
Теорема 6. Пусть многозначная функция F{t,x) удовлетворяет основным усло-
условиям п. 2 % 7 и условию D). Пусть при \х \>а существует функция $(t, x) E С1 со
следующими свойствами:
<p(t + l,x) = <p{t,x); ip{t,
и для каждого у € F(t, x)
— +(gradX(?(f,x))-K<0. A5)
114

Тогда включение F) обладает свойством диссипативности.
Доказательство. Пусть x(f) — решение включения F),х(г0) = х0. Множество
0, @<f <l,m<y(t,x) <mle |х|>а),где m = max «?<*,?); mx>m, mx>
|*|=<i. 0<f</
>^fro,*o), замкнуто и ограничено. На этом множестве график функции F(t,x) -
компакт К (леммы 14 и 15 § 5). Значит, левая часть A6) при {tr х, у) е К достигает
максимума в некоторой точке, и этот максимум равен - т?< 0. Поэтому для каждого
решения включения F), проходящего в области О,, а в силу периодичности функ-
функций F и *р - и в области D (\x\>a, m <${t,x) <ml), при почти всех t
— *(t,x(t)) =— + (gradx ф,х)) x(f) < -т?<0.
eft df
Следовательно, <p{x(t)) убывает, и решение x(t) за конечное время выйдет из облас-
области D в область, где <p{t,x)<,m или |х|<з, и останется там. Эта область не зави-
зависит от решения x{t) и содержится в некотором шаре I x \<b.
5. Вопрос о существовании периодических решений дифференциальных уравне-
уравнений с разрывными правыми частями в ряде работ, например в [1] (гл.8), [4]
(гл. 18,19), исследуется обычными методами качественной теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Для отыскания периодических решений применяются метод точеч-
точечных отображений, "склеивание" решений из отдельных кусков [3] (гл.2, §4),
[59], [171], [172], а также приближенные методы, в частности, метод гармоничес-
гармонического баланса [172], [173]. Исследуется устойчивость периодических решений, на-
например, в [96], [159], [172]. Рассматриваются бифуркации периодических реше-
решений [174], [175].
§ 15. Устойчивость
Здесь излагаются некоторые методы исследования устойчивости для дифферен-
дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями и для дифференциальных вклю-
включений: метод функций Ляпунова, исследование устойчивости по первому прибли-
приближению, разделение движений, метод точечных отображений. Приводятся примеры
применения этих методов.
1. Для дифференциальных включений имеются два типа устойчивости: устойчи-
устойчивость и слабая устойчивость [ 176].
Решение х = ip(t) (t0 < f < <*>) дифференциального включения
xGF{t,x) A)
называется устойчивым (соответственно слабо устойчивым), если для каждого € > 0
существует такое 5 >0, что для каждого такого х0. что |х0 — vit0) |<б, каждое ре-
решение (соответственно некоторое решение) x{t) с начальным условием x(t0) =x0 при
r0 < t < во существует и удовлетворяет неравенству
|х(Г)-^И<€ (f0<f<oo). B)
Асимптотическая устойчивость и слабая асимптотическая устойчивость определяются
аналогично, но с дополнительным условием x(t)-$(t)-+O при f-*°°.
Рассмотрим систему с управлением u(t):
x = /(f/x/?/), i/ = «/(f)€(/(r,x). C)
Решением называется пара функций: абсолютно непрерывная функция x(t) и измери-
измеримая функция u(t), которые почти всюду на рассматриваемом интервале удовлетворяют
системе C).
Чтобы рассмотреть множество всех решений системы C), можно ее заменить диф-
дифференциальным включением A), где
F{t,x) = Ht0x0U{t.x)).
Тогда устойчивость решения х = i(r) включения A) означает, что при I x{t0) - *p(t0) | <
< б решение x(f) уравнения х = f(t, x, u[t)) удовлетворяет неравенству B) при все-
8* 115

возможных допустимых управлениях u{t), а слабая устойчивость - что при некотором
допустимом управлении u{t). Таким образом, слабая асимптотическая устойчивость
решения х = <p{t) означает, что система стабилизируема к этому решению при доста-
достаточно малых начальных отклонениях.
Примеры. 1) х = - |х|а (-«><х<«>, а = const > 0). Решение x{t) = 0 асимпто-
асимптотически устойчиво. При 0 < а < 1 любое другое решение достигает положения равно-
равновесия х = 0 за конечное время, а при а. > 1 — за бесконечное время.
2) х € F(x), F{x) — отрезок с концами kxv\ mx; k <m. Вслегда x(t) = 0 — решение.
Для других решений имеем
*<— <m, ekt< — <emt @<f<«>).
х х@)
При k<m<0 решение x(f) = 0 асимптотически устойчиво,
при к < т = 0 — устойчиво,
при к < 0 < т — слабо асимптотически устойчиво,
при к = 0<т - слабо устойчиво,
при 0 < к < т — неустойчиво.
Для функции v(t, x) Е С1 определяются верхняя и нижняя производные в силу диф-
дифференциального включения A):
v =1 1 = sup tyt + Vvy), v«=l 1 = «nf Wt+Vv-y).
\dt I ySF(t,x) \dt /„ &F{t)
Здесь x/v = gradxv^. При почти всех Г производная x{t) существует и удовлетворяет
включению A). При этих г существует
v = — v{t,xit))**vt+Vv'-x; v*<v<v*. D)
dt
Теорема 1. Пусть в замкнутой области D [t0 <t <<*>, \х\ <е0) функция F(t, x)
удовлетворяет основным условиям п. 2 § 7; 0GF(f,0); существуют функции
v(t,x)GCl, v0M€C, для которых
v{t, 0) = 0, vb. x)>voix)>0 @ < I х |< e01.
Тогда :
1) Если v* <0 в D, то решение x{t) =0 включения A) устойчиво.
2) Если, кроме того, существуют функции vx (x) E Ct w{x) € С (|х | < е0), причем
v(t,x) < vxU). vm<-w{x)<Q @<|x|<e0), vx @) =0,
то решение х (t) = 0 асимптотически устойчиво.
Изестные доказательства этих утверждений для дифференциальных уравнений оста-
остаются справедливыми и для дифференциальных включений; при этом для оценки сверху
функции v (t, x[t)) используются соотношения D).
Теорема 2 [176]. Если выполнены условия теоремы 1, но с заменой v* на v*, то
решение х (г) =0 слабо устойчиво в случае 1) и слабо асимптотически устойчиво в
случае 2).
Доказательство. Множество F {t, x) замкнуто, поэтому inf в формуле для у*
достигается на замкнутом подмножестве Fx (t, х) С F (t, х). Для всех у € F, (f, x)
у, +Vy-K<0 (или <-iv(x)<0). E)
Замкнув график Gx многозначной функции F, (t, x), Лол учим график G2 функции
F2 (г, х), ^-непрерывной по лемме 14 § 5. Так как_функция F /^непрерывна, то ее гра-
график G замкнут, поэтому из Gx CG следует G2 e Gx С G = G , т.е. F2 it, х) С F (f, x).
Так как левая часть E) непрерывна по г, х, у, то для всех it, х,у) € Gx = G2, т.е. для
всех к Е F2 [t, x), также справедливо E).
При фиксированных t, x линейное по у неравенство E) выполняется для тех и толь-
только тех у, которые принадлежат некоторому замкнутому полупространству P{t, x).
Значит, F2 {t, x) CP{t, x). А тогда Fo U, х) = со F2(t, x) CP{t, x), т.е. E) справедливо
для всех к G Fo (t, х). По лемме 16 § 5 функция Fo (t, x) ^непрерывна. По теореме 1
116

решение x(t) = 0 включения х Е FQ (t, х) устойчиво (или асимптотически устойчиво).
Так как
Fo (Г, x) = со F2 (f, x) С со Fit, x) = F(t, x),
то каждое решение включения xGf0 (?, *) является решением включения A). Отсю-
Отсюда следует утверждение теоремы.
В [ 176] получены более общие результаты, чем в теоремах 1 и 2. В частности, там рас-
рассматривается не только устойчивость точки х = 0, но и устойчивость компактного мно-
множества; допускаются негладкие и даже разрывные функции v {t, x); при этом вместо
производной dvfdt рассматривается верхняя правая производная и т.п.
В [5] (§ 2.3) различаются устойчивость стационарного множества (множества, со-
состоящего из всех стационарных точек включения A)) и точечная устойчивость этого
множества. Точка с называется стационарной, если х (f) = с есть решение включение A).
Если включение A) удовлетворяет основным условиям п. 2 § 7, то стационарное мно-
множество замкнуто в силу следствия I леммы I § 7.
Множество М С/?" (не обязательно стационарное) называется устойчивым, если для
любого е > О существует такое 5 > 0, что каждое решение х (Г) с начальным условием
х (го) из 5-окрестности множества М при f 0 < f < °° существует и удовлетворяет нера-
неравенству р(х (f), М) < е . Очевидно, для устойчивости замкнутого множества М С R" не-
необходимо, чтобы любое решение с начальным условием x(r0) Е М оставалось в М при
Го <*" < °°. Для дифференциального включения х Е F (х) стационарное множество мо-
может не обладать этим свойством (пример: х Е Rl, F (х) — отрезок [х — 1, х + 1], из
множества стационарных точек —1 <х < 1 уходит решение х = ет).
Стационарное множество называется устойчивым в целом [5], если оно устойчиво и
каждое решение при f ->°° неограниченно приближается к этому множеству. Стационар-
Стационарное множество называется точечно устойчивым в целом [5], если оно устойчиво и каж-
каждое решение при t -*°° стремится к стационарной точке. Достаточные условия устойчи-
устойчивости, устойчивости в целом и точечной устойчивости в целом для ограниченного ста-
стационарного множества дифференциального включения х Е F (х) в [5] (§ 2.3) сформу-
сформулированы с помощью функций Ляпунова.
В [5] (гл. 3) рассматриваются системы вида
х = Ах + Ьцръ (ci - х) + . . . + bmifim{cm • х),
где х, Ь/, с, Е /?", функции \pf кусочно непрерывны и в точках разрыва многозначны,
значением функции \pi в точке разрыва служит отрезок, содержащий предельные значе-
значения функции при приближении к этой точке. Для таких систем получены частотные
условия устойчивости (в том или ином смысле) стационарного множества.
Пусть дифференциальное включение A) получено из дифференциального уравнения
х = Mr, x) F)
с кусочно непрерывной правой частью с помощью.доопределения а) § 4 и функция
v(t,x) E С1. Тогда при проверке выполнения условий теоремы 1 достаточно убедить-
убедиться, что
dv
— =vf+Vvf<0 (или <-iv(x)<0), | х | < eo G)
dt
только в областях непрерывности функции f (r, х). В самом деле, в этих областях
F (г, х) = f (f, x), а в точках разрыва функции f множество F (г, х) определяется с по-
помощью операций замыкания графика функции f (безразлично, в пространстве х или в
пространстве f, x) и перехода к выпуклой оболочке. Как показано при доказательстве
теоремы 2, эти операции не увеличивают верхней грани выражения v t +Vv • f. p о этом у
из выполнения неравенства G) в областях непрерывности функции f следует выполне-
выполнение такого же неравенства для функции v*, определенной выше, т.е. выполнение усло-
условия теоремы 1.
Рассмотрим теперь случай, когда функция Ляпунова v (r, х) может не принад-
принадлежать С1; но удовлетворяет условию Липшица в окрестности каждой трчки рассматри-
рассматриваемой области. Тогда для любой абсолютно непрерывной функции х (Т), значит и для
любого решения, сложная функция v(t, x(t)) абсолютно непрерывна и почти всюду
117

d
dt
v(t,x(t)) ••
d
dh
¦v(t
x(t)
+ hy)
имеет производную по t. Однако решение может в течение некоторого промежутка вре-
времени идти по линии или поверхности, на которой grad v не существует, и производную
dv/dt нельзя выразить как в G). Покажем, что в этом случае
(К = *(г>). (8)
/?=о
В самом деле, если при некотором t производные x(t) = / и dv{t. x(t))ldt существуют, то
d v(t+h, x{t +/?))- v{t, x{t))
— v{t, x(f)) = lim =
dt h-+o h
v[t + h, x(t) + hy) - v{t, x(f)) v{t+h, x(t + h)) - v(t + h, x(f) + hy)
» lim + lim .
/i-»0 h h—О Л
Последний предел равен нулю, так как х (f + h) - х (f) + Л/ + о (Л), а функция v удо-
удовлетворяет условию Липшица. Поэтому и предпоследний предел существует. Он равен
правой части (8). Утверждение доказано.
Пример. Пусть v = I f2 - х|, и в точке Г = х = 1 пусть известно, что х = 2. Тогда в
этой точке в силу (8)
d
dh
v(t+h, x + 2h)
r=*=i,/i=o dh
= 0.
/1=0
Заметим, что выразить v через правые производные функции v по f и х нельзя, так
как в точке f = х = 1 (значок'*' означает правую производную)
i/y =2, ifjj" - 1, у+ = 0 =? i? + *? • х = 4.
В силу сказанного выше, например, для невозрастания функции v (t, x (t)) достаточ-
достаточно, чтобы выражение (8) было неположительным. Таким образом, в случае функции
v {t, x), удовлетворяющей условию Липшица, верхнюю и нижнюю производные v* и
v. от функции v в силу включения A) можно определить как sup и inf правой ча-
части (8) по всем у G F [t, x). Тогда теоремы 1 и 2 сохраняются, но доказательство тео-
теоремы 2 усложняется [177].
Более общие, чем (8), определения производной в силу дифференциального включе-
включения A), имеются в [176] и [177].
Если v ф. С1, то уже нельзя пренебрегать отысканием dv/dt на линиях и поверхностях
разрыва функции f [t, x) даже в случае доопределения а) § 4.
Пример. Производная функции v = |х| + \у\ в силу системы хs sgnx, / » -2sgn у
при ху Ф 0 равна
v = vxx + ^/ = 1 -2= -КО.
Этого недостаточно для применения теоремы 1, так как производные vx и vy разрывны
на осях координат, т.е. там же, где разрывны правые части системы. На оси Ох при до-
доопределении а) § 4 имеем х ¦ sgn x, y = 0,v= \ x |, поэтому
Vя— \x(t) | ¦ х sgnx - 1 >0,
dt
и условия теоремы 1 не выполнены. Тот же результат получается по формуле (8):
d
dh
I d
<, ОН =
l/i=o dh
h sgn х, ОН = I х + h sgn x
1.
/1 = 0
Так как на Ох имеем х = sgn x, у - 0, то решения по оси удаляются от точки @,0) со
скоростью 1 и решение х = к = 0 неустойчиво (рис. 26).
Приведем пример применения функции Ляпунова для получения достаточных усло-
условий устойчивости нулевого решения разрывной системы. Условия следующей теоремы
не инвариантны относительно преобразований вида х, = ум, i = 1,..., п. Условия устой-
устойчивости, инвариантные относительно таких преобразований, известны [178] для п = 3,
ац я const.
118

Теорема 3. ([7], стр. 85). Для асимптотической устойчивости нулевого решения
системы
X/ - - 2 8//(f, х) sgn x,, / = 1,..., п,
1
(9)
/
доопределяемой согласно а) % Л,с непрерывными ац {t, x) достаточно, чтобы при х ~0и
всех t квадратичная форма
п
Фх р„; г, х) = 2 в//(г, х)р/ру
была положительно определенной {условие ац = а;-/ //е обязательно).
Доказательство. Пусть flit, х) = min \р на поверхности куба I р,-1 < 1, / = 1, . . .
. . . , п. В силу положительной определенности формы <р имеем //(г0, 0) >0. Так как
Рис. 26.
функции a,j(t, х), значит и n(t, х), непрерывны при х = 0, то для некоторого 60 > 0 в
области Q (|х, | + ... + |х„|<бо, f0 <t<f0 +50) имеем /iff, x) >h >0.
Пусть v- \х\\ + ... + | хя|. В области Q при Xi Ф 0,..., хпФ0
v = S X/ sgn х, = - Z a.-, sgn x,- sgn x,- < -/? < 0.
/=i /,/=1
Рассмотрим теперь точку х, у которой одна или несколько координат равны нулю.
Например, пусть
Ф 0 х„=?0, 1<*</Г-1. A0)
Согласно доопределению а) § 4 в такой точке х (г) может принимать лишь значения из
наименьшего выпуклого замкнутого множества, содержащего предельные значения
правой части (9), т.е. для / = 1,..., п
xi = -2 aijPj - 2 aif sgnxy --js a//P/,
A1)
- y-* + 1 n
p; = sgn
Если решение x(f) удовлетворяет условиям A0) на множестве значений t меры
нуль, то значения х,- и v при этих г можно не учитывать. Если решение удовлетворяет
условиям A0) на множестве М значений t положительной меры, то почти все эти значе-
значения г — неизолированные точки множества Af. При почти всех таких неизолированных t
существует х,, и из A0) и определения производной следует, что х, = 0, / = 1, ...,*.
Отсюда и из A1) имеем при таких г
х,- sgn
п п
= - 2 2
119

Прибавляя к этой сумме равную нулю сумму
к к и
0= 2 р,'Х,- = -2 2
/i /i/
получаем квадратичную форму v = -<p(Pi,... ,pn;t,x) <-h<0 (так как к <п - 1, то
хоть одно изр/ есть 1 или -1).
Итак, в области Q при почти всех t имеем
v(x(t)) <-u(t,x(t)) <-h<0,
поках(Г) Ф0. Следовательно, если Их(го))< min (б0; Л50}, то вдоль решения v(x(t))
убывает и решение не выходит из этой области до момента t = t0 + 50. В этот момент
v (x(t)) = 0, х (f) =0. Равенство х (f) =0 сохраняется и при всех t >t0 + 50, так как в
окрестности каждой точки (f,0) имеем v <0. Асимптотическая устойчивость доказана.
Замечание 1 ([7], стр. 86). Если при всех t, х функции а/; (г, х) ограничены и
det Иа/7 + а/7 ll/,/=i,.. ., п > const > 0,
то \i {t, х) > h > 0 при всех f, x и нулевое решение системы (9) асимптотически устой-
устойчиво в целом. (В самом деле, ц (г, x) > Xt (f, x), где Xj (r, х) — минимум квадратичной
формы <р на сфере р\ + . . . + р2п = 1, равный наименьшему собственному значению мат-
матрицы II (а/у- +а77)/2И|/=1 „. При сформулированных выше условиях корни характе-
характеристического уравнения этой матрицы ограничены снизу положительным числом).
Замечание 2. Для асимптотической устойчивости нулевого решения системы
к
х/ = bjit, х) - 2 э.7(Г, х) sgn х/, / = 1,..., к,
Л/=1
с непрерывными bt(t, x) и au(t, x) достаточно выполнение хотя бы одного из двух
условий:
а) |Ь,| + 2 \ац\<ап, / = 1 к;
б) |bj|+ ... + |ЬЛ| < Xi, X, - наименьший корень уравнения
det |!фе-хв,|
J 2 'l
J
гдеб// -символ Кронекера: 5/7 в 1, 5/; =0 (/ Ф/).
В самом деле, в обоих случаях вследствие непрерывности разность между правой и
левой частями неравенства в некоторой окрестности точки (f, 0) не меньше некоторого
h >0. Тогда в этой окрестности в случае а) при x;(f) =?0 (у = 1, . . . , к) имеем x,(f) <
< -Л < 0# если x,(f) > 0, и Xj(t) > h > 0, если x,(f) < 0. Согласно доопределению а) § 4
это же справедливо и при любых xf(t) ЦФ i), если x,{t) существует, x,(t) Ф 0. Значит,
те координаты x,(t), которые не равны 0, убывают по абсолютной величине со ско-
скоростью, не меньшей h, и через конечное время решение станет равным нулю.
В случае б) вместо неравенства v < — д< — h < 0 получаем
... + |Ь*|< -X, + \bt\+ ... +|ЬЛ|< -Л< 0,
и доказательство завершается так же, как раньше.
О других условиях устойчивости для системы (9) и об их сравнении см., напри-
например, [178].
2. Ниже излагаются некоторые методы исследования устойчивости однородных диф-
дифференциальных включений и уравнений. Если А — множество в /?", с — число, то сА
обозначает множество точек вида сх для всех xGA.
Многозначная функция F (х) называется однородной степени а, если F (сх) = caF (x)
для всех с >0.
Дифференциальное включение
х S Fix) (F(cx) = c*FW. О О» A2)
120

называется однородным. Оно не меняется при замене х = сх\, t = с1 atl с любым
с > 0. Если х = у (t) — решение включения A2), то для любого с > 0 функция х =
= ар {са~11) тоже является решением.
Включения A2) nxEf0 (х), где Fo (x) = \x\~aF(x) - однородная функция нуле-
нулевой степени, имеют в области х Ф 0 одни и те же траектории, но разные скорости движе-
движения по траекториям (теорема 3 § 9).
Однородное дифференциальное уравнение
х = fix) (f(cx) = caf(x), c> 0) A3)
при любом из доопределений а), б), в) § 4 также обладает указанными выше свойствами.
Все поверхности разрыва однородной кусочно непрерывной функции fix) — кони-
конические с вершиной в начале координат.
Далее в п. 2 предполагается, что многозначная функция F (х) удовлетворяет основ-
основным условиям п. 2 § 7 и что в A2) и A3) а> 0.
Лемма 1. Если включение х €Е F (х) имеет асимптотически устойчивое решение
х (t) = 0, то существует такое 50 >0, что все решения с начальными условиями
|х@)| < 6о при t -* °° стремятся к нулю равномерно.
Доказательство. В противном случае для любого б > 0 найдутся такие реше-
решения xk (t), к - 1Г 2, . . . , что
ix*@)|<5, |x*(f*)| > т?F) >0, * = 1,2,...; гл-*оо.
Решение х = 0 асимптотически устойчиво, поэтому можно взять 5 столь малым, что
для всех решений с |х@)|<5 имеем
|x(f)|<€ @<f<«)f x{t) -+ 0 (f-¦«»), A4)
и при некотором ц>0 для всех решений с \х[0)\<ц имеем | x(f)| < 17F) при 0 <
<f <°°. Тогда для всех xk{t)
\xk{0)\<6, n<\xk{t)\ < е npviO<t<tk, k = \,2 A5)
так как в случае |x*(f*)|< д, t* <tk для решения zit) -xk(t + f*) выполнялись бы не-
неравенства I z@) \ < ц, | z{tk — t*) | > 17F), что противоречит выбору ц. Из последова-
последовательности отрезков решений A5) можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся
при 0 <f < 11 , из нее — новую подпоследовательность, сходящуюся при 0 <г <Г2, и
т.д. Предельная функция х (f) — решение, для которого
|х@)|<6, fi<\x{t)\<e @ < г < 00).
Это противоречит A4).
Л е м м а 2. Стремление всех решений включения A2) к нулю при t -^°° необходи-
необходимо и достаточно для того, чтобы функция х it) = 0 была асимптотически устойчивым
решением.
Доказательство. Необходимость следует из определения асимптотической
устойчивости в силу свойства однородности.
Докажем достаточность. Пусть все решения стремятся к нулю при t -+°°. Тогда функ-
функция х = 0 —решение (она является пределом решений xk it) = х0 it + к) ,А: = 1,2,.. .,
где х0 it) — какое-нибудь решение).
Предположим, что решение х it) =0 неустойчиво. Тогда найдутся такие е >0 и по-
последовательность решений х,-(г), что
I х,@)| = 5, -> 0, \Xfiti)\ > e, t,>0.
Пусть а,- — последняя из точек отрезка [0; Г,], в которой | х,-(в/) I = 6, a bt — первая
после я, точка, в которой |х/(Ь,-)| = е. Тогда у fit) =x,(f+a,) —решение, z,-(r) =
= 5J у,- E/ ~af) — тоже решение включения A),
|z,@)| =1, \Zf(t*)\ > 8Jle -> « к |Z/(f)| < 5,-ie
Все решения с |z@)| = 1 существуют при 0 < t < °°, так как по условию они стремятся
к нулю при t -*-°°. По теореме 3 § 7 множество этих решений на любом отрезке
121

О <г </компактно. Поэтому Г/*-*°°(/ ->«>). Из последовательности {*,(?)} выберем
подпоследовательность, равномерно сходящуюся при 0 <f < 1, из нее — подпоследова-
подпоследовательность, равномерно сходящуюся при 0 < t < 2, и т.д. Предельная функция г (t) -
решение, \z(t)\>*\ при 0 < f < *>. Это противоречит тому, что все решения стремятся
к нулю.
Следовательно, предположение неверно, и решение x(t) = О устойчиво. Так как все
решения стремятся к нулю при t ->«>, то решение х (f) =0 асимптотически устойчиво.
Теорема 4 [144]. Если нулевое решение включения A2) асимптотически устой-
устойчиво и 0 < a < 1, то существуют такие постоянные с0 и cif что для каждого решения
х (t) с |x(fo)| <a имеем
\x[t)\<coa (to<t<to+t*), х(г) = 0 (fo+f
A6)
Доказательство. По лемме 1 найдется такое т > 0, что для всех решений с
|х@)|<60 имеем \x{t)] <бо/2 при г <f < °°, а по теореме 3 § 7 |x(f)| <со5о при 0 <
<f <т.
Еслих(Г) - решение с |х@)|<а, то при с - 80а "! функция хо (t) =scx(cOc~lt) -то-
-тоже решение, I х0 @) К 5(), поэтому
|xo(f)|<6o/2 (т <t <<*>), |xo(f)|<co5o @ < f < т).
Возвращаясь от хо (f) к x(f), получаем при q - Ь%~ 1а1""в
|x(f)| < с0 |х@)| @<t<qT), |x(f)|<|x@)|/2 (<7т<Г<~). A7)
Так как замена t на t + const переводит решение в решение, то из A7) следует, что-
если |x(f/)|<a/t то
|x(r)|<|x(f/)|/2 (t,+q,T<t<°°; q, =6g-1a*"a). A8)
Для решения x(f) с |x(fp) | <а возьмема,; = 2~la, r/+I =t(+ qp, / = 0,1,2, . . . Тогда
из A8) следует^ Нг-'бо1*I-*,
|х(г)|< 2 ''|x(fo)| (f/<f<oo/ />d. A9)
Так как а < 1, то
*i -^о e too + <7i +... +<7,_i)r<c,31-c*.
При f> f0 + Cia1'01 неравенство A9) выполнено для всех / , т.е. x(f) =0 при этих t.
Замечание. Все сказанное в доказательстве вплоть до оценки A9) справедливо
при всех о. > 0. В случае а = 1 имеем q, = 1, t,- -to+ /r, и из A9) следует
< c2e"r(t-t'>Ux(to)\ (tQ<t<oo: T>0). B0)
Подобная оценка имеется в [179], [180].
В случае а> 1 из A9) можно получить [144] оценку
|x(f) | < min{c0 |x(f0) |; с, (г -
а -1
Рассмотрим вопрос о сохранении асимптотической устойчивости нулевого решения
однородного дифференциального включения при малых возмущениях, не нарушаю-
нарушающих его однородности. При. этом допускаются малые изменения и аргумента, и функ-
функции, как в п. 1 § 7. Через хе и М€ обозначаются е-окрестности точки х и множества М.
Для однородной функции F (х) степени а и чисел р > 0, q > 0 пусть
Р tv\ — for» ?*/%*Pl-V|ll </UI . ЮЛ\
Грц\Х) — [СО г \Х I \/1|
Функция Fpq — однородная функция той же степени а. Если F удовлетворяет основ-
основным условиям, то Fpq — тоже.
Теорема 5. Если нулевое решение включения A2) асимптотически устойчиво и
a > 0, то при достаточно малых р и q нулевое решение включения
хЕ Fpq(x) B2)
тоже асимптотически устойчиво. При этом постоянные с0, сь Сг, у в оценках A6) и
122

B0) для решений включения B2) можно взять сколь угодно мало отличающимися
от значений этих постоянных для включения A2)/ если р и q достаточно малы и
Доказательство. Пусть 0 < е < 1/2, постоянные с0, <?i те же, что в A6) для
включения A2), 0 <а < 1. В силу следствия 2 теоремы 1 § 8 найдется такое 5 >0, что
при 0<f<Cj все решения включения xGF*(x) с I х@) I <1 отличаются мень-
меньше, чем на е , от решений включения A2) с теми же начальными условиями, если толь-
только d(F*, F) < 6 (е). Тогда они содержатся в шаре |х| <с0 + е при 0 < f <с2. При до-
достаточно малых р и q неравенство dD(Fpq, F) <б(е) выполнено для области D{\x\ <
< с0 + 2е ). Тогда для решений включения B2) с | х@) | < 1 имеем
lx(f)l<co+c @<f<c,), Ix{c,)l<e. B3)
Так как включение B2) однородно, то с помощью приемов, использованных при вы-
выводе неравенств A8) и A9), получаем из B3) для /-1,2,...
\x(t)
B4)
lx(c/,).<e'+1, с/, = </,_, +Cle/A-Q).
Здесь с$ = Co + e, d0 = cx. Так как dj -+d* = cx + О (с), то x {d*) = 0. Вследствие однород-
однородности включения B2) отсюда следует утверждение теоремы.
Если а> 1, то с помощью леммы 1 получим для решений включения A2) с I x@) I <
<1 оценку I х(с,) I <е/2 при некотором с, >0. Как в случае а < 1, выводим для ре-
решений включения B2) неравенства B3) и B4). Из B4) с d* = °° следует асимптотичес-
асимптотическая устойчивость нулевого решения.
Пусть а = 1 и для решений включения A2) имеется оценка B0). Для любого е >0
и /3 € @, 7) возьмем такое s > 0, что с2 + е <е*7 ^5. Как и в начале доказательства,
показывается, что при достаточно малых р и q все решения включения B2) с начальны-
начальными условиями |х@)| < 1 при 0 < f < s отличаются от некоторых решений включения
A2) с |х@)| < 1 меньше, чем на ее уг, и поэтому с учетом B0) удовлетворяют нера-
неравенству |x(f)| < (с2 + e)e~yt @ <f <s). Беря за начальные условия х (s), xBs), . .. и
применяя полученную оценку, находим
|x(f) | < (с2 + еУе~ут ((/- Ds < f < /s; /= 1r2 ).
В силу выбора s правая часть не больше (с2 + е ) е~Рг. Теорема доказана.
В случае a = 1 эта теорема доказана в [180].
Ряд результатов об устойчивости однородных дифференциальных включений с воз-
возмущениями и без них получен в [181] на основе принципа отсутствия ограниченных
решений.
Следующая теорема дает условие устойчивости однородного (а = 0) дифференциаль-
дифференциального включения с кусочно постоянной правой частью. Ее можно применять и к диффе-
дифференциальным уравнениям с кусочно постоянной правой частью при доопределении а)
или в) § 4.
Пусть куски конических гиперповерхностей S™ {m — размерность, р — номер кус-
куска) делят пространство R" на конические области S JJ с вершиной х = 0. Граница каждо-
каждого куска S™ состоит из кусков гиперповерхностей меньших размерностей и не причис-
причисляется к S^.
Теорема 6. Пусть многозначная функция F (х) удовлетворяет основным усло-
условиям и в каждой из областей S'pU на каждом куске S™ не зависит от х, т.е. F (х) =
= Fj? при х€ S™, я? = 1, . . . , п; р - 1,...,рт. Пусть решения включения х €= F (х)
не могут бесконечное число раз переходить из одного S™ в другое A <л?</?). Для
того, чтобы функция х (f) =0 была асимптотически устойчивым решением, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы для каждого Sp" {1<т<п)ни один вектор из F™ не лежал
в Sj? или на его границе dS™.
Доказательство. Необходимость. Если v Ф 0, v € F™ и vES™ или v € S^ С
С dS™, то х = vt - решение (в случае v€Slg С 3S? имеем vG F™ С Flq вследствие
123

/3-непрерывности функции F). Если ^=0G^'"( то для любогох0 G S™ функция х(t) =
= х0 — решение. В этих случаях точка х = 0 не является асимптотически устойчивой.
Достаточность. Пусть решение х (f) не входит в точку х = 0 при конечном t. Тогда
при t, < f < оо оно остается в некотором S'pl и
x(f,) 1 ' .
= / х(т) dr = y(t), | y(t) | < с. B5)
t 'tt
Так как x(r)^Fpl, множество Fpn замкнуто и выпукло, то по лемме 12 §5 p
при г j < t < оо. с другой стороны, х (г) е Sp\ S'p - коническое множество с верши-
вершиной 0, следовательно,
es?.
f - f 1
при г -» °°. Поэтому любая из предельных точек для y(t) при t ~+ °° принадлежит и
F™, и Sp1. Это противоречит условию. Значит, предположение неверно, и каждое ре-
решение входит в точку х - 0 при конечном г.
Выйти из точки х = 0 решение не может, так как тогда x(f J = 0, x(r) € S™ {tt <
< t < t2) ив силу B5) y(t) € S™, y(t) G F™'. Это невозможно, так как F^ П S™ = ф.
Поэтому каждое решение входит в точку х = 0 и остается там. По лемме 2 х(г) = 0 —
асимптотически устойчивое решение.
Замечание. Если решения могут переходить бесконечно много раз из одного
множества S'p в другое, то утверждение о достаточности неверно. Пример: система
B3) из § 10.
В случае, когда решения совершают бесконечно много переходов, устойчивость
надо исследовать другими методами, например, с помощью функций Ляпунова, частот-
частотного метода ([5], гл. 3) или метода точечных отображений ([3], гл. 2, § 2). Изложим
кратко последний метод в предположении правой единственности решений. Он может
применяться не только к однородным, но и к другим уравнениям.
Пусть в окрестности точки х = 0 решения пересекают какую-либо поверхность Р
бесконечно много раз в одном направлении и такие пересечения происходят в каждой
точки поверхности. Траектория, выходящая из любой точки х Е Р, пересекает поверх-
поверхность Р следующий раз в точке Тхх. Так как из правой единственности следует право-
правосторонняя непрерывная зависимость решения от начальных условий, то точка Т1х
непрерывно зависит от точки х, т.е. Tl x — непрерывное отображение поверхности
Р в себя.
Если отображение Г1 имеет неподвижную точку а €= Р, т.е. Т1а =а, то или а — ста-
стационарная точка, т.е. положение равновесия (если х(г) = а - решение), или решение,
проходящее через точку а, — периодическое.
Если удается доказать, что для любой точки х €Е Р, достаточно близкой к точке 0,
последовательность
х, Тхх, Т2х = Г1 (Т1х), Тгх = Г1 (Т2х)....
сходится к 0, то после этого обычно легко доказывается асимптотическая устойчи-
устойчивость нулевого решения.
Если данное дифференциальное уравнение или включение однородно, то в качестве Р
берут полуплоскость или плоскость, проходящую через начало координат или кони-
коническую поверхность с вершиной х = 0. Тогда первоначальная л-мерная задача сводится
к исследованию отображения Г1 (п — 1)-мерной поверхности Р, а затем, в силу одно-
однородности, к исследованию отображения некоторой (п — 2)-мерной поверхности (при
/7 = 3 — линии).
Примеры применения метода точечных отображений к разрывным системам имеют-
имеются, например, в [1] (гл.8).
Пример. Исследовать, устойчиво ли нулевое решение системы
х = 2 sgn х - 6 sgn к - 2 sgn г,
у = 6 sgn х - 4 sgn г, B6)
z - 12 sgn x + sgn у — 9 sgn г.
124

Во всех координатных октантах
sgn х = —sgn у, sgn у = sgn z = sgn x.
Поэтому траектории совершают обороты вокруг оси Ох3 и много раз попадают на
плоскость х = 0, пересекая ее при у > 0 в одном направлении, а при у < 0 — в другом.
Построим отображение Т1 полуплоскости х = 0, у > 0 в себя, определяемое движением
по траекториям системы.
Решение с начальными условиями х0 = 0, у0 > О, г0 < 0 проходит сначала в области
х < 0, у > О, z < 0. В этой области х = —6, у - —2, z = —2 и решение имеет вид
x = -6f, K = Ko-2f, z=zo-2f.
Оно пересекает плоскость к = 0 в момент f * = /0/2 в точке ,
**=-Зко<О, К*=0, z*=zo-Ko<O.
Далее, оно проходит в области х < Q, у < 0, z < 0, где х = 6, у = -2, z = —4, и имеет
вид
х = -3ио +6(f-f), Ks-2(f-f*), z=z0 -Ко -4(f-f).
Оно пересекает плоскостях = 0 в момент f, = f *+ Ко/2 в точке
*i e 0, Ki = -Ко < 0, zx=z0- Зко < 0.
Аналогично рассматриваются случаи 0 < z0 ^ 2ко (в этом и следующем случаях
надо учесть, что траектория пересекает плоскость z = 0), 2у0 < z0 < 13ко и z0 > 13ко-
Получаем, что траектория из точки х0 = 0, ко ^ 0, z0 возвращается на плоскость х = 0
первый раз в точкех,, Ki/ ^ь где Xi =0,
^о 7
Ki = ~Ко + , -?i =— Л> - Зко
3 6 B7)
17к0 - 14z0 2z0 - 26ко /о . . 1Q .
33
33 33
Это — отображение полуплоскости Ро (х = 0, у > 0) на полуплоскость Р{ (х = 0, у < 0).
Далее, траектория из точки (xuyi,zx) ЕР{ через областьх>0 идет в точку (хг,у1,г1) G
Е />0. Так как система B6) не меняется от одновременной замены х, y,z соответствен-
соответственно на —х, —у, — z, то это отображение выражается формулами, аналогичными B7),
с заменой у0, z0 соответственно на —у\, —zx, a yu zx — на — у2. —*2- Следовательно,
вместо отображения Т1 полуплоскости Ро в Ро в данном случае можно рассмотреть
отображение 7\, получаемое из B7) заменой ух \л zx соответственно на -ух и -zx\
при этом 7м = G\J.
Пользуясь однородностью отображения 7%, сводим его к отображению прямой
в себя. Полагая z0 = ку0, zx - f(k)yx, получаем из B7) (после замены ух, zx соот-
соответственно на -к 1, -*i) Ki =
= 1, f(k) =
к
3 '
14*-17
33
= 5, f(k)
3 -*
Цк)
f
13
(* < 0),
18-7*
6-2*
26-
it)
14*-
-*
(*>
\li
2*
-17
13).
125

Чтобы изучить итерации G"J\ / = 1, 2, . . . , преобразования Тт. рассмотрим для
любого к0 последовательность чисел к{ = f(k{_ ,), / = 1, 2, . . . функция f{k) - непре-
непрерывная, убывающая. Если к0 лежит вне отрезка 0 < к < 13, то после каждых двух
итераций расстояние от точки к( до этого отрезка уменьшается более чем в 5 раз, и
после конечного числа итераций будем иметь
13,
Тогда <рМг/) < 0,8, значит, уг ^0,Z/ ->О при / -*°°. Следовательно, все решения системы
B6) стремятся к 0 при t -* °° (при этом учитывается, что при движении от точки
(О, к,-, zg) до точки @, у/ + , ,zt + !) траектория проходит в области |х| + | И I + I ^ I <
< const (| К/ I + I*/ I) и что на оси Ог в силу доопределения а) § 4 имеются решения,
5
удовлетворяющие уравнению z sgn z). По лемме 2 нулевое решение асимптоти-
асимптотически устойчиво.
Покажем, что для системы B6) не существует функции Ляпунова вида
у = оц\х\ + а2\у\ + ax\z\ + ftx + p2y + foz,
где a,- > | ft |, / = 1, 2, 3, иначе функция и не была бы положительно определенной.
Решение из точки @, у0, z0), где z0 > 13к0 > 0, попадает на плоскость х = 0 в точку
(О, - Ъуо. z0 - 13к0), а затем в точку @, byQ, z0 + 2у0). В последней из этих точек
значение любой функции v указанного вида больше, чем в точке @, у0, z0). Поэтому
такая функция не может служить функцией Ляпунова.
С помощью методов, изложенных в [182], для системы B6) можно построить
функцию Ляпунова
К однородным дифференциальным включениям степени 1 сводится важный для
приложений класс кусочно линейных систем — систем с переменной структурой [6].
Фазовое пространство такой системы делится плоскостями переключения, проходящи-
проходящими через начало координат, на области, в каждой из которых система линейна, но с
разными коэффициентами в разных областях. Одним из употребительных методов
исследования устойчивости таких систем является следующий. Если 1) каждая траек-
траектория попадает на плоскость переключения Р или неограниченно приближается к ней;
2) с плоскости Р траектории не могут сойти ни в одну, ни в другую сторону; 3) на
этой плоскости все решения стремятся к нулю при г -*°°, то решение х = 0 асимптоти-
асимптотически устойчиво. Подробнее см. [6] (гл. 2 и 3), [7] (гл. 8).
Устойчивость систем автоматического управления исследовалась во многих работах,
которые невозможно здесь перечислить. Одной из последних обзорных статей явля-
является [183].
3. Для исследования устойчивости нулевого решения дифференциальных уравнений
и включений, близких к однородным, можно заменить данное уравнение или включе-
включение "первым приближением" — уравнением или включением с однородной правой
частью, см. [180] для случая а = 1 и [144]. Эти результаты излагаются ниже в более
общей форме.
В п. 3 везде предполагается, что многозначные функции F(x) и F{t, x) удовлетво-
удовлетворяют основным условиям п. 2 § 7 и что a > 0.
Для каждой точки х G R" определим " полярные координаты": число р = |х | и
вектор <о = х/\ х | длины 1. Тогда х = ра>. Для х = 0 вектор <о произвольный или, лучше
сказать, многозначный и принимает все значения с I со I = 1.
Пусть многозначная функция F(x) (\x\ <Pi) удовлетворяет условиям: | ^(х) | <
< /wjxl**; существует такая последовательность х; -> 0, что |FU/)I ^ mo\xj \a,
т0 > 0. Выделим однородную главную часть Н(х) функции /Чх). Для каждого сог
| со | =1, рассмотрим всевозможные последовательности х/ -> 0, такие, что х, Ф 0,
со,- = х//|х/ | -> со, и последовательности yt € | х,- \~aF(xi). Пусть Н(со) = со А/°(ю),
где А/°(со) — множество предельных точек для всех таких последовательностей { у{).
Для каждого х Ф 0 пусть Н(х) = | х |аА/(со), со = х/| х |; пусть Н@) = 0, если a > 0, и
Н@) = со Я°@), где Я°@) - объединение всех множеств Я(со) < | со | =1) и мно-
множества F{0), если a = 0.
126

Тогда функция Н(х) — однородная степени а, |//(х) | <ш,|х \и. График функции
Н°((л)) есть множество всех предельных точек последовательностей (со,-, yt), / =1,2,...
Поэтому он замкнут и функции //°(со) , //(со) и Н(х) ^-непрерывны (леммы 14 и 16
§5).
Пример. Пусть круг х\ + х\ <р] разделен гладкими кривыми на конечное число
секторов и в каждом секторе 5/ функция F(x), где х = (х,, х2), однозначна и непре-
непрерывна вплоть до границы. На границе Lj двух секторов пусть F(x) — выпуклый ком-
компакт, содержащий предельные значения F(x') при х'-* х. Пусть hm F (х) = Ft при
х е Sit х ->О; a(F(x), F*) -+Q при х е /.,-, х -+0; обозначение аИ, ?) см. в п. 3 § 5.
Тогда Н(х) — кусочно постоянная функция, равная Ft в каждой угловой области,
границы которой — лучи, касающиеся в точке 0 границ сектора S/, и равная F* на луче,
касающемся линии /./ в точке 0. Если одного луча касается в точке О несколько линий
Lj, Lk. . . . , то на этом луче Н(х) — выпуклое замыкание объединения множеств Ff,
F?. , . . (В последнем случае было бы ошибкой перейти от данного неоднородного
дифференциального уравнения с разрывной правой частью к однородному дифферен-
дифференциальному уравнению, а затем к дифференциальному включению - тогда могут по-
потеряться предельные значения правой части уравнения в бесконечно сужающихся секто-
секторах между такими линиями Lj, Lk.)
Пусть многозначная функция F{t, х) (\х I < px, a <f <Ь) удовлетворяет условиям
| F[t, х) | </77,|х|а и для каждого t Е [а, Ь] существует такая последовательность
Xj -+ 0, что | Fit, Xj)\ > mo\xj |a. Пусть H^icj) — множество предельных точек для
всевозможных последовательностей yt E | x/ \~aF{tt, х/), где t( -*• s, x, -* 0, xf Ф 0,
х,/| х/ | = со/ -* со. Тогда график функции /У^(со) ia <s <b. | со | =1) замкнут. Далее,
//,(«) = со^°(со), H5ix) = |х |aA/5(co), со = х/|х |;
Hs @) = 0, если а> 0, а если a = 0, то A/s @) — выпуклое замыкание множества предель-
предельных точек всех последовательностей yt Ef (t,,^), f,- -^5,х,- ^0. Функция А/5 (х)
/3-непрерывна как по s, х, так и по х при любом s = const.
Пусть функция Н{х) — однородная степени а. Будем писать daiF, H) < 5 при
I х I ^Ро' если Для каждого р€ @, р0] график функции p~aF(pco), рассматриваемой
как функция от со, | со | =1, лежит в 5-окрестности графика функции /-/(со), и FiO) С
CHi0)b. Будем говорить, что многозначная функция Fix) близка к однородной функ-
функции//(х) степенна, eenndaiF,H) <5(p) при|х| <^, гдеб(р) ^Оприр-^0.
Многозначная функция Fit, х) при а < t < b близка к однородной функции Hsix)
степени а, зависящей от параметра s € [а, Ь), если для каждого s € [а, Ь) и каждого
5 > 0 найдутся такие / > 0 и 17 > 0, что при каждом фиксированном г Е ($•-/, s +/),
t € [а, Ь) имеем
е/^,Н5)<8 при |х| < т?. B8)
Лемма 3. Если Н(х) — однородная главная часть многЪзначной функции Fix),
го функция Fix) близка к однородной функции Hix). To же справедливо для функ-
функции Fit, х) и построенной для нее однородной функции Hs (x).
Доказательство. Предположим, что существует такое 5 > 0, что для неко-
некоторых сколь угодно малых р > 0 график функции p~~"F(pco) не лежит в 5-окрестно-
5-окрестности графика 6 функции //(со). Тогда найдутся такие последовательности р/ -* 0,
со,- (| со,- | = 1), к/ е praFipiсо,) ,что расстояние
р((со„ к,), G) > 8, / = 1,2,..? • B9)
Так как | к/ I < mXl то для некоторой подпоследовательности { ik) имеем yik -+• у,
cjik -» со. Но тогда у € //(со) по определению множества //(со), т.е. (со, у) е. G. Это
противоречит B9). Отсюда следует первое утверждение леммы. Второе доказывает-
доказывается аналогично.
Следующие две теоремы позволяют исследовать "по первому приближению" устой-
устойчивость как автономных, так и некоторых неавтономных дифференциальных вклю-
включений. Предполагается, что правые части всех рассматриваемых дифференциальных
включений удовлетворяют основным условиям п. 2 § 7.
127

Теорема 7. Пусть функции Н[х) — однородная степени a >0 и существует такая
функция б(р) -> 0 [р -+ 0), что для каждого фиксированного t E [tlt °°) и р< р0
dOL(F(t,x),H(x)) < Ь(р) при |х| < р.
Если включение
х е Щх) C0)
имеет асимптотически устойчивое нулевое решение, то это же справедливо для вклю-
включения
х Е F{t,x). C1)
Д о к а з а т ел ь с т в о. Из условия теоремы следует, что для всех указанных t и
р график функции p~aF{tf рсо), рассматриваемой как функция от со, | со | = 1, лежит
в 5-окрестности графика функции #(со) = р~аН[роо); 5 = 6(р). Тогда Fit, pco) С
а
]р\ т.е.
F(t,x) С [Н1хрь)]р*6 dHpq(x), р = |х|, C2)
где р = q = 6 = 6(р), а обозначение Н^ см. в B1).
Так как нулевое решение включения C0) асимптотически устойчиво, то по теоре-
теореме 5 при достаточно малых р uq (р, q <pt) то же справедливо для включения
ix). C3)
В силу теоремы 4 и замечания для решений включения C3) с р = q =px имеем
I x(f) | < с01 x(t0) | (Го < t < «>), x(f) - 0 It - ~), C4)
при а = 1 число с0 заменяется на с2 из B0).
Пусть число Pi > 0 так мало, что при всех р€ @, pj имеем 5Bсор) <Pi. Тогда
в области | х | < 2с0р справедливо C2) с р = q = pu значит, в этой области решения
включения C1) являются решениями включения C3). Поэтому решения включения
C1) с |x(fo)| - р < Pi остаются в области \х | < сор. Тогда для них справедливо
C4), т.е. нулевое решение включения C1) асимптотически устойчиво.
Следствие. Если функция F(x) близка к однородной функции Н(х) и диф-
дифференциальное включение C0) имеет асимптотически устойчивое нулевое решение,
то включение х G F(x) также имеет асимптотически устойчивое нулевое решение.
В случае a - 1 подобное утверждение доказано в [180].
Следующая теорема утверждает, что в случае 0 < а < 1 для исследования устой-
устойчивости неавтономного дифференциального включения можно использовать метод
"замораживания коэффициентов".
Теорема 8. Пусть функция F{t, х) при f, < t < °° близка к однородной функции
Hs{x) степени а, 0 < а < 1. Если при каждом значении параметра s € [t t, °°) включение
хен5(х) C5)
имеет асимптотически устойчивое нулевое решение, то включение C1) также имеет
асимптотически устойчивое нулевое решение. Каждое решение включения C1) с до-
достаточно малым | x(t0) | достигает точки х = 0 за конечное время.
Доказательство. Пусть t0E [t x, °°). Возьмем s = 10. Нулевое решение вклю-
включения C5) асимптотически устойчиво. По теореме 5 существует такое 5 > 0, что при
р = q =6 нулевое решение включения
C6)
тоже асимптотически устойчиво (функция Hs pq определяется через функцию Hs
подобно B1)).По теореме 4 решения включения C6) с |х(го)| = а, а - любое, удов-
удовлетворяют соотношениям A6).
Так как функция F(t, x) близка к однородной функции Hs{x), то найдется такое
Яо =я0F), что при каждом фиксированном t € [f0, t0 + Ci3o~aJ и 77 = 2соао (с0 vtCi
те же, что в A6)) справедливо неравенство B8). Из него следует соотношение C2)
в цилиндре tо < t < tо + c^l'01, \ х \ < 2сояо, но с функцией Hs pq вместо Hpq. Тогда
все решения включения C1), проходящие в этом цилиндре, являются решениями
128

включения C6). Значит, решения включения C1) с |x(fo)l " э, а < я0, при t > t0
являются решениями включения C6) и в силу A6) выходят из этого цилиндра толь-
только в точке f = f о + cxa\>~a, х = 0.
Далее, решения включения C1) не сходят с прямой х = 0, так как в противном
случае аналогичное рассуждение для цилиндра, построенного вблизи точки схода, при-
приводит к противоречию с A6).
В [184] рассматривается устойчивость нулевого решения однородного дифферен-
дифференциального включения степени a = 1 по отношению к постоянно действующим воз-
возмущениям. Если вектор-функция g(t) абсолютно непрерывна, то включение
равносильно включению
yeF(y + g(t)) (y = x-g(t)). C8)
Включение C8) имеет смысл не только для абсолютно непрерывных функций g[t),
но и для некоторых других. В [184] переход к C8) служит для определения решения
включения C7) и исследования его свойств в случае, когда функция <7(f) — функция
ограниченной вариации на каждом конечном интервале. Если функция д(t) имеет
скачки, то C7) — дифференциальное включение с импульсными возмущениями.
Следующая теорема относится к случаю, когда для данного дифференциального
уравнения или включения решения естественным образом разделяются на решения,
достигающие /-мерной гиперповерхности $ С Я" за конечное время, и решения, идущие
по этой гиперповерхности. В частности, сюда относится случай, когда S является пере-
пересечением поверхностей разрыва правой части дифференциального уравнения или вклю-
включения (но ^-непрерывность сохраняется и на 5), и исследуется устойчивость движений
в скользящем режиме по поверхности 5 по отношению к возмущениям, выводя-
выводящим с 5.
Рассмотрим включение C1) при f E [tlt °°), х G G, где G CR" — окрестность ги-
гиперповерхности 5. Пусть координаты хи . . . , хп выбраны так, что S— гиперплоскость
хх = . . . = х„_/ =0. Обозначим (х,, . . . , х„_/) = у, (х„ _ /+ |, . .. , х„) =z. Тогда х =
= ty,z).
Пусть G(t, у, г) и H(t, у, г) — проекции множества F[t, x) из C1) на подпростран-
подпространства у и г. Тогда каждое решение включения C1) есть решение системы
y?G(t,y,z), z<EH{t,y,z). C9)
Обратное не всегда верно. Для лежащих на S решений х(г) = @,z(f)) включения C1)
функции г it) являются решениями включения
zGH0(t,z) (H0(t,z) = F(t,x)nS при x=@,z)). D0)
Пусть Gsv iy) — выпуклое замыкание множества всех предельных значений функции
i г\Уг> zi) пРи f/ -* s. z,- -> v, yt -*у, г/ -*0. Тогда функция GsV(y) - однородная
по у степени a = 0.
Теорема 9. Пусть xo{t) = @, zo(f)) (f0 < f < «>) - решение включения C1).
Пусть для любых постоянных s, v ($6 [tQ, °°), \v — zo(s)\ <e0) включение у €=
? GSy{y) имеет асимптотически устойчивое решение у = 0, а решение zo(t) включения
D0) устойчиво {или асимптотически устойчиво).
Тогда решение xo(f) устойчиво (соответственно асимптотически устойчиво).
Доказательство. Пусть x(f) = (y(t),z{t)) - решение включения C1),
причем
1к(*оН<Ъ \*ito)-zolto)\ < V- D1)
В замкнутой области В(Ь) (| у | <b, \z - zo(fo) | <b,to<t<to+b) при некотором
b = Ьо> 0 имеем | H(t, у, z)\ <m, |tfo(f,z)| < m.
Методом, использованным при доказательстве леммы 3, показывается, что для .лю-
.любого 5 > 0 при достаточно малом b = b(S) > 0 в области В(Ь) имеем
G(t,y,z)CGsv,pq(y), D2)
где s = f0, v = zo(to), р = q = 5, а функция Gs v;pq(y) определяется через функцию
Gsv(y) подобно B1). По теореме 5 число б можно взять столь малым, чтобы нулевое
9. А.Ф. Филиппов 129

решение включения
) D3)
было асимптотически устойчивым. Тогда для всех решений включения D3) по тео-
теореме 4 с а = 0
(to<t<to +ctal к(Г) = О (t>to+cla), D4)
где а = | y{t0) |. Пусть гH > 0 так мало, что
(с0 + 1 +с1 +тс1)щ<Ь(д)<Ь0. D5)
Решение системы C9) с начальными условиями D1), где т? < щ, на некотором
отрезке f0 < t <f 2 проходит в области В(Ь(Ь)). Пусть 12 > г0 -первый момент выхода
решения на границу этой области. Пока решение проходит в указанной области, его
компонента y{t) является решением включения D3), следовательно, удовлетворяет
D4) при t0 <t <t2, а \г | < т. Поэтому при таких t
y(t) | <с0г\<Ь[Ь). |z(f)-zo(fo)|<7? + m(f-ro). D6)
Правая часть при f-to<c,i)oB силу D5) меньше Ь{8), поэтому решение выходит
из В(Ь(8)) лишь при t2 > tQ + схщ, т.е. после того, как оно в силу D4) достигло
плоскости S (к = 0) в момент f*<r0 +c1tj< t2 в точке (O,z(f*)). В силу D6)
D7)
При t > t* решение (y(t), z(t)) уже не сходит с 5 (доказывается такими же рас-
рассуждениями, как в конце доказательства теоремы 8).
Пусть z*(f) — решение включения C9) (г > t0), совпадающее с z{t) при f > г*.
Так как | Но | < т, то
\zm(t0)-z*(tm)\<m(t* -t
Отсюда и из D7) получаем
|г*(Го)-го(ГоI<^ + 2тс1т?. D8)
Так как решение zo(t) включения D0) по условию устойчиво, то из D8) следует
если т? достаточно мало. Так как z (t) = z*{t) при t > t\ а при 10 < t <t* имеем оцен-
оценки D6), то для всех достаточно малых т? решение {yit), z(t)) при t0 <t < °° отлича-
отличается от решения @, zo\t)) меньше, чем на 6. Следовательно, решение х0(Г) = @, zo(r))
включения C1) устойчиво.
Если же решение zo{t) включения D0) асимптотически устойчиво, то, кроме уже
доказанного, имеем z*{t) - zo(t) -> 0 при t ->°°. значит, z(t) - zo(f) ->О, и решение
xo(f) асимптотически устойчиво.
Пример. Дать достаточные условия асимптотической устойчивости нулевого
решения системы
ij = bt(t. x) - Ъ atj(tt x) sgn ху, / - 1 , п, D9)
где п - к + / > к, функции Ь/ и aif непрерывны, и используется доопределение а) §4.
Применяем теорему 9, взяв у - (хх,. . . , хк)Т, z - ixk+ {,. . . , х„)т. Обозначаем
> II/./- 1 k=Ai. И *//<*• х> И / = к + 1 п = &г.
/-!,....*
(Ьх (Г, х) b*(f, х))т = c(t, yt z), (Ьк + ! (Г, х) />„(Г,х)) т = ?/(Г, к, z),
(sgn х,,..., sgn x*) T= sgn /. Система D9) принимает вид
/ = c(t, y,z)-Ax (t, у, z) sgn y, z = d(t, y,z) -A2 (t, y. z) sgn /, E0)
аналогичный системе C9). Включение у G G5V(y) из теоремы 9 здесь имеет вид
у = c(s, 0, v) -Axi$, 0, v) sgn / E1)
130

с доопределением а) § 4. Уравнение E1) есть векторная запись системы, аналогии*
ной рассмотренной в замечании 2 к теореме 3; $ и v — параметры. Пусть ац (t, к) и
bt(t, х) (/, j = 1, . . . , к) при всех f > 10, х = @, г), | г \ < е<>, удовлетворяют одному
из условий а) или б) указанного замечания. Тогда при любых s > f 0 и | v \ < е0 реше-
решение у = 0 уравнения E1) асимптотически устойчиво и, кроме того, det A t Ф 0.
Уравнение движения по гиперплоскости у - 0 получается, если, как при доказа-
доказательстве теоремы 3, заменить в E0) sgn у на вектор р, определить его из первого
уравнения E0) при у = 0 и подставить во второе. Получаем уравнение вида D0):
z = /V0(f,z), H0(t,z) = d-A2A\lc\y=0. E2)
Если нулевое решение уравнения E2) (с непрерывной правой частью) асимптоти-
асимптотически устойчиво, а для уравнения E1) выполнено одно из указанных выше условий,
то по теореме 9 нулевое решение системы D9) тоже асимптотически устойчиво.
В теореме 3 и замечаниях к ней даются лишь достаточные условия асимптотической
устойчивости нулевого решения систем (9) и E1). В случае постоянных коэффициен-
коэффициентов необходимые и достаточные условия для системы E1) известны лишь при к <2
(см. ниже в п. 3 § 20), а для системы (9) при п <3 (см. в [182]). В случае п = 3 эти
условия имеют весьма сложный вид. Достаточные условия для /7=3, которые в случае
постоянных коэффициентов усиливают теорему 3, см. в [178].

ГЛАВА 4
ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ
В этой главе изучаются особенности в расположении траекторий двумерных автономных систем
с кусочно непрерывными правыми частями. Дается топологическая классификация особенностей
на линиях и особенностей в точках. Указываются все типы грубых особых точек, лежащих на линии
разрыва правых частей системы, особых точек первой степени негрубости и их бифуркации. Изуча-
Изучаются также особые точки, лежащие на пересечении линий разрыва.
§ 16. Линейные особенности
Здесь устанавливается топологическая классификация особенностей на линиях и
даются аналитические условия принадлежности особенности на линии тому или иному
классу. Дается также классификация относительно диффеоморфизмов.
1. Рассмотрим автономную систему
в конечной области G плоскости х,, х2. Систему A) можно записать в векторной форме
x = f(x> (x = (x,,x2)GG). B)
Предполагается, что непрерывность правой части уравнения B) и единственность
решений могут нарушаться только на отдельных кусочно гладких линиях и в изолиро-
изолированных точках.
В тех случаях, когда решение, попавшее на линию разрыва, не может с нее сойти
при возрастайии t (или при убывании t), правая часть уравнения должна быть до-
доопределена на этой линии, чтобы обеспечить существование решения при любых на-
начальных условиях x(t0) = х0 и чтобы предел каждой равномерно сходящейся последо-
последовательности решений был решением. Вектор-функция f° (х), определяющая скорость
движения по линии разрыва, должна быть, кроме изолированных точек, однозначна
и непрерывна. При этих предположениях в областях единственности имеет место непре-
непрерывная зависимость решений от начальных условий.
Точка х = а называется стационарной, если вектор-функция x(t) = а является реше-
решением. В точке х- b нарушается единственность, если существуют два решения, удов-
удовлетворяющие одному и тому же начальному условию x{t0) - b, но различные на сколь
угодно малом интервале t0 — Ъ < t < t0 + 8. Если в стационарной точке нарушается
единственность, то некоторые решения входят в эту точку (при возрастании или убыва-
убывании t) за конечное время, а если не нарушается, то таких решений нет.
Области, все точки которых являются точками нарушения единственности, могут
встречаться для уравнений и систем с недифференцируемыми правыми частями (пример
в [13], стр. 31), а также для дифференциальных включений (пример: х= 1, I у \ <1).
Такие случаи здесь не рассматриваются.
При этих предположениях можно выделить два типа топологически однородных
областей:
1) не содержащие стационарных точек области, через каждую точку которых про-
проходит единственная траектория;
2) области, состоящие только из стационарных точек, т.е. области, в которых
f(x) = O.
132

Топологическая однородность области (или линии) означает, что у каждых двух
ее точек а и b имеются такие окрестности Va и Vb, для которых существует тополо-
топологическое (т.е. взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное) отображение одной
окрестности на другую, переводящее точку а в точку b и траектории в траектории;
обратное отображение тоже переводит траектории в траектории.
По теореме 3 § 12 у каждой точки в области 1-го типа найдется окрестность, для кото-
которой существует топологическое отображение на прямоугольник, переводящее траектории
в прямые, параллельные стороне прямоугольника. Поэтому область 1-го типа топологи-
топологически однородна. Топологическая однородность области 2-го типа очевидна. Так как
предполагается, что точки нарушения единственности не могут заполнять области,
то других типов топологически однородных областей для рассматриваемого класса
систем не существует.
Границы топологически однородных областей состоят из точек нарушения единст-
единственности и из стационарных точек. Для уравнений с кусочно непрерывными и кусочно
гладкими правыми частями типичным является случай, когда такую границу можно
разбить на конечное число топологически однородных линий.
Линейной особенностью называется максимальная топологически однородная линия,
не проходящая внутри топологически однородной области.
Требование максимальности означает, что эта линия не является частью другой линии,
обладающей теми же свойствами. Линия должна быть, незамкнутой простой дугой
х = ^(г) (а < г < 0) или замкнутой кривой. Отсутствие самопересечений следует из
топологической однородности. Эта линия не должна проходить внутри топологически
однородной области, иначе ее точки не будут топологически выделяться среди других
точек области.
Не у каждой линейной особенности имеется полуокрестность (односторонняя ок-
окрестность), являющаяся топологически однородной областью. Например, пусть L —ок-
—окружность, на которую снаружи и изнутри навертываются траектории. Среди них есть
конечное число траекторий, в каждой точке которых нарушается единственность,
т.е. которые являются линиями слияния траекторий. На других траекториях и на L един-
единственность неа нарушается. (Конкретный пример можно получить, сделав в системе
т? = (sin 17) *'3, | = 1 замену ? = 0, т? = 0 + In I p — 11 и истолковав р, В как полярные
координаты.) Тогда L — топологически однородная линия, т.е. линейная особенность.
В любой полуокрестности каждой точки линии L единственность нарушается только
в точках бесконечного множества дуг, сходящихся к L. Следовательно, такая полуок-
полуокрестность не является топологически однородной областью. В дальнейшем подобные
случаи будут исключены условиями, накладываемыми в п. 2.
Приведем примеры линейных особенностей различных топологических классов.
Во всех примерах линейной особенностью является прямая v = 0.
Линейные особенности 1 -го рода, т.е. не содержащие стационарных точек:
1) *}= 1, v = -sgn v) 2) й= 1, v = 0 {v <0), v = -1 {v >0); 3) J= 1. v = 3v 2/3.
Линейные особенности 2-го рода, т.е. состоящие только из стационарных точек:
4) и = 0, v = -sgn v, 5) и = 0, v = v (v < 0), v = -1 (v>0); 6) и = v, v = 0 (v<0),
и = 0, i? = —1 (и > 0); 7)(}=0, и = 0 (i/<0), i/ = -1 (y>0); 8) и = 0, v = -v; 9) и = v,
v = 0; 10) и = 0, v = v (v < 0), и = v. v = 0 {v > 0); 11) и = 0, v = 0 {v < 0), v = -v
(i/>0); 12)<y = 0 W<0), u = v (v>0), v = 0; 13)J = 0, i/ = 3i/2/3; 14) пример нерегу
лярной линейной особенности:
траекториями являются линии и = с + sin A/и) и стационарные точки и = с, v =0. Нере-
Нерегулярные линейные особенности исключаются условиями п. 2 и более подробно не рас-
рассматриваются.
Те из приведенных примеров, в которых правые части разрывны, могут быть заме-
заменены другими, с непрерывными правыми частями и принадлежащими тем же топологи-
топологическим классам. Для этого, например, уравнение v - —sgn v можно заменить уравне-
уравнением v - — v 1/3 и т.п. Таким образом, приведенная ниже в п.2 топологическая клас-
классификация линейных особенностей с небольшими дополнениями (из-за наличия приме-
примеров 3) и 13)) пригодна и для дифференциальных уравнений с непрерывными правыми
частями, недифференцируемыми лишь на отдельных линиях.
133

Точечными особенностями назовем все точки, которые не принадлежат линейным
особенностям и топологически однородным областям. Таким образом, к точечным
особенностям относятся концы линейных особенностей и не принадлежащие названным
выше особенностям и областям точки нарушения единственности, предельные для них
точки и стационарные точки.
2. Укажем условия, достаточные для того, чтобы рассматриваемая система A) имела
линейные особенности того или иного типа, и перечислим локальные топологические
классы линейных особенностей.
Пусть L — гладкая линия, например, линия разрыва вектор-функции fix) - ifx (х, ,х2),
fi (*i,x2)) или линия» на которой / (х) =0. Обозначим f ~(x) и f + (х) предельные
значения вектор-функции f при приближении к точке х€ L из примыкающих к линии L
областей б~и G+ непрерывности функции /, a f.v(x) и f%{x) обозначим проекции
векторов f ~ (х) и f * (х) на нормаль к линии L в точке х, направленную от 6 ~ к G +.
1 ° Пусть в конечной области G вектор-функция f (x) кусочно непрерывна и кусочно
гладка.
Это значит, что область G конечным числом гладких линий конечной длины (кото-
(которые могут иметь общие концы) делится на конечное число подобластей, в каждой из
которых f, bf/Ъху и bflbxi непрерывны вплоть до границы.
2 ° В тех точках х линии разрыва L, где 1 д (х) f%- (x) <0, кроме, может быть, случая
= 0. Г-(х)*Л(х), C)
задана непрерывная вектор-функция f ° (х), определяющая скорость движения x-f° (x)
по линии L. Вектор f°{x) касается L в точке х. Если /\(х) =0, то f ° (х) - f~{x);
если f у(х) = 0, то f °(х) = f * (х).
Условие 2° выполняется, в частности, тогда, когда вектор f * (х) на L определяется
согласно а) п. 2 § 4.
3° Случай C) допускается только в конечном числе точек.
4 ° Если f * (х) =0 (или f ~~ (х) = 0) на линии L, то вблизи каждой точки линии L,
может быть, кроме конечного числа точек, в G 4 (соответственно вб"") или f (x) ^0
и функция
<7<x)=/(x)/|f(x)| D)
удовлетворяет условию Липшица, или f (х) = 0.
Лемма 1. Если L — линия х2 - ф(xj), ф€ С1,и f + (х) = Она L, то для выполнения
условия Липшица для функции D) в G+ достаточно существование такого т>\,
чтобы на L односторонние [в сторону области G *) производные удовлетворяли усло-
условиям
ЪЧ bmf
7-=0' * = 0, 1 я>-1; ^Г*0 E)
Эх2* ЭхГ
I/ vrofo/ вблизи L в G* производная bmf/bx™ удовлетворяла условию Липшица. То
же справедливо и для G ~, если f ~ (х) = 0 на L.
Доказательство следует из представления функции fixi,x2) по формуле
Тейлора с интегральным остаточным членом:
;
так как последний интеграл при малых z (на Z. и в G+ вблизи L) не обращается
в нуль и удовлетворяет условию Липшица.
Из леммы 1 следует, что условие 4выполняется, в частности, тогда, когда вблизи L
функция f — аналитическая отдельно в G * и в G ~ вплоть до L.
Лемма 2. Пусть выполнено условие 1 ° и f д- (х) > 0 {или <0) >/я ?. Гогдя ни одна
траектория из области G* не может стремиться к какой-либо точке линии L при воз-
134

растении [соответственно убывании) t до конечного предела, а если еще f + (х) ФО на
L,to и при t -*°° {соответственно при t -* — °°).
Доказательство. Предположим, что траектория хх - ^i (t), х2 - $2 (t) из об-
области G+ (х2 > ^(Xi)) достигает точки @, 0) линии L (х2 = ф(х{) ,фЕ С1; можно счи-
считать ф@) = ф' @) = 0) при Г ->г 1 - 0. Тогда
z(r)=v?2(t)-^(Vi^))>0 (to <f<ti), z(r,) = 0.
Следовательно, i = Л (г, z), где
Так как ( —i^'(
/?(f, 0) = /\ -
f »)+*). /=1,2.
i), 1) есть вектор, нормальный к Z. в точке
)), то
Из ограниченности Ъп/Ъг следует, что при г > 0
z=hit,z)>h(t,O)-kz>-kz; z(t) >z(fo)e~*('~f°}
при Го <f ^Ti. Это противоречит предположению г (f i) =0.
Если же^ %(х) >0, f +(х) ^0 на L, то I f * @, 0) I =™>0. Поэтому или f2+ @, 0) =
-f лг(ОгО) >т/2, или I fj @,0) I > т/2. Хотя бы одно из неравенств f2 > т/2 или
I fx I >m/2 выполнено и в некоторой односторонней (в G+) окрестности точки
@, 0). Значит, решение за конечное время выходит из этой окрестности и не может
стремиться к точке @, 0) при t -*°°.
Лемма 3. Пусть функции f (хх, х2) при х2 > ф{хх) и ф{хх) удовлетворяют усло-
условию Липшица, Тогда функцию f можно продолжить в область х2 < ф{Х\) с сохранением
условия Липшица.
Доказательство. Можно взять f (х,, х2) = f Ui, Ф ixt)) при х2 < ф{хх).
Рассмотрим возможные расположения траекторий системы A) в односторонней
окрестности линии L при условиях 1 ° и 4°.
А. Если f %{х) Ф0 на L, то в каждую точку линии L из области G * приходит ровно
одна траектория: при возрастании f, если f%<0, и при убывании t, если f\>0
(рис.27). Траектории из области G + достигают L при конечных значениях Г.
Для доказательства можно продолжить функцию f из G+ в G ~ по лемме 3 и приме-
применить теорему существования и единственности.
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
В. Если f jv (x) = 0, f + (х) Ф 0 на ?, то из G +на линию L не приходит ни одна траекто-
траектория (рис. 28).
Это следует из того, что после продолжения функции f из G+ в G по лемме 3 линия
L сама будет траекторией.
Если же f + (х) - 0 на L, но 1Ф 0 в G + вблизи линии Z., то для функции D) определя-
определяем д+ (х) и д*у (х) подобно f + (х) и f %(х). Тогда:
а) если 0д'(х) Ф 0 на /L, то траектории в G * расположены как в случае А, но могут
приближаться к точкам линии/, только при t -* + <» (если д %< 0 на L ) или при t~*-°°
(если g% > 0 на Z.) ;
о) если^ дг(х) « 0 на /., то траектории в G* расположены как в случае В.
135

В самом деле, в области G * траектории уравнений х = f {х) и х = д {х) совпадают,
а функция, равная д (х) bG+h^ + W на L, в силу 4 ° удовлетворяет условию Липшица;
всегда I g (х) 1-1; поэтому различные траектории не имеют общих точек ни в G+, ни
naL.
с) Если / = 0 в G + вблизи Z., то некоторая односторонняя (в G + ) окрестность линии
L заполнена стационарными точками.
В случаях В, а), Ь) ,с) некоторые функции обращаются в нуль на линии или в области.
Поэтому такие случаи являются исключительными, редко встречающимися. Они приво-
приводятся для полноты классификации.
В области G ~ вблизи L может иметь место также любой из случаев А, В, а), Ь), с).
Сочетая каждый из случаев в области G+c каждым в G ~, получаем следующую клас-
классификацию.
\\\\
Рис. 30.
Рис.31.
Рис. 32.
Случай ААо. f n^n^ 0« Траектории пересекают линию L, и она не является ли-
линейной особенностью. Пример: к= 1, у = 2 + sgn у (рис. 29).
Случай AAi. fJjf*N<0, f° Ф0. Траектории с обеих сторон вливаются в линию
L при конечных значениях t, линия L — тоже траектория. См. пример 1 п. 1 (рис. 30).
Случай ААг. fjifiv^O, f° = Q. Траектории с обеих сторон вливаются в L при
конечных значениях t; линия L состоит вся из стационарных точек. См. пример 4
п. 1 (рис. 31).
Случай АВ.Г%ФО,ГЦ = О,Г-фО (или f^/ФО, f# = 0, f+ Ф0). С одной стороны
траектории вливаются в траекторию L при конечных г, а с другой стороны не вливается
ни одна. См. пример 2 п. 1 (рис. 32).
Случай Аа. fыФ0,f* =0,дцФ0 (или f%ФOff~^O,gЛФO). С обеих сторон
траектории приближаются к точкам линии L, с одной стороны — при конечных г, а
с другой стороны — при г -^°° (или f -> — °°); линия L состоит из стационарных точек.
См. пример 5 п.1.
Случай АЬ. f/^ФО, f+ = 0, ? w = 0 (или f%ФOlf~ =0, ?yv = O). С одной стороны
траектории приближаются к точкам линии L при конечных г, а с другой — не прибли-
приближается ни одна; линия L состоит из стационарных точек. См. пример 6 п. 1.
Случай аа. /' ~ = f + = 0,д]\'Ф0гд^/Ф0. С обеих сторон траектории приближают-
приближаются к точкам линии L при t -*°° или при t -*—<»; эти точки — стационарные. См. при-
пример 8 п. 1.
Случай ab. f ~ = f * = 0 и, кроме того, или д м Ф 0, д % s 0. или дТ;-0,д^Ф0.
С одной стороны траектории приближаются к точкам линии L при t -+°° (или г -¦ — °°),
а с другой — не приближаются; эти точки — стационарные. См. пример 10 п. 1.
Случай bb. f ~ = f* = 0, д ]\г- 9 n~ ^- Линия L состоит из стационарных точек,
и к этим точкам ни с одной стороны не приближаются траектории. См. пример 9 п. 1.
В следующих случаях траектории с одной стороны от L расположены так же, как в
случаях А, а), Ь) (см. выше), а с другой стороны от L все точки — стационарные.
Случай Ac. f(x) = 0 в G~ вблизи Z., f jy=?O (или f(x) =0bG+ вблизи L, f^^O).
См, пример 7 п. 1.
Случай ас. f(x) =0 в G~ вблизи L,f+=O, д^ФО (или/(х) =0в G+ вблизи L,
f~ = 0, д ыФ®) ¦ См. пример 1 \ п. 1.
Случай be. Вблизи L в G" f(x) = 0, в G+ f(x)ФQ, на L f+ =9^=0 (или в
G+ fix) =0. в G " " "" "
136
fix) Ф0, на L f~ =g~ =0). См. пример 12 п. 1.

В случае ее в силу 2° L не является линейной особенностью.
Если ослабить условие 3°, допустив случай C) не только в конечном числе точек,
но и в каждой точке конечного числа дуг, то появляются возможности 8В, За, Bb, Be.
Их классификация зависит от способа доопределения правой части дифференциального
уравнения на линии L. Доопределение а) § 4 в этом случае многозначно. Приняв такое
доопределение, можно выделить следующие случаи.
Случай BBt.f7v = ^A=0' векторы f и f * направлены в одну сторону.
Случай ВВг ¦ ^N-f^-O, векторы f ~ и f + направлены противоположно.
Случаи Ва, ВЬ и Вс не требуют пояснений.
Далее, такие случаи, когда на L скорость движения определяется неоднозначно,
не будут рассматриваться.
Укажем достаточные условия существования линейной особенности такого типа,
как в примере 3 п. 1. При этом производные функции fix) уже не будут непрерывны
Рис 33.
вплоть до линии L, т.е. условие 1 ° уже не будет выполнено. Пусть х2 - ^Ui) (а< х<
< 0) — уравнение линии L,\j;? С]. Замена Xi = х, х2 — 0(xj) = у переводит линию L
в кусок а < х< |3 прямой у ~ 0, а систему A) — в систему
х=р{х,у), y^q{x,y). F)
Лемма 4. Пусть в окрестности линии L функции p,py,q непрерывны, рФО,
y)t f —Ф±о°, G)
()
€ > 0, функции \f, h, h'y непрерывны, \h\ > с > 0, ^@) = 0, при 0 < | у | < е или
кр(у)>0, или ^(у) <0.
Тогда линия L {у = 0) является дугой траектории системы F) и из каждой точки
линии L в одну сторону уходит положительная полутраектория, а в другую — отрица-
отрицательная, т.е. в каждой точке линии L ее пересекает траектория.
Доказательство. Так как р (х, у) Ф 0, & @) =0, то у - 0 — траектория. Деля
второе уравнение в F) на первое, после замены
у dy
f = z, dy = yp(y)dz, h(x, у) =p(x,y)k(x,y)
)
получаем dzldx- k (x, у (z)). Так как функции k \лЪк(х,у (z)) Ibz = k'y • \p непрерывны,
то через каждую точку (х0, 0) проходит единственное решение z (x). Так как dzldt =
= h, то оно идет из области z < 0 в область z >0 (или наооборот), если п> с>0 (со-
(соответственно, если /? < —с < 0). Возвращаясь от z к у, получаем утверждение леммы.
Замечание. Можно допустить, чтобы функция ^ (/) при к = 0 имела разрыв 1-го
рода (скачок) с соблюдением условия *р {+ 0) \р (—0) =0.
Линейные особенности, описанные в утверждении леммы 4, отнесем к классу АА3
(пример 3 п. 1, рис. 33).
Если же линия L состоит из стационарных точек и в каждой точке ее пересекает
траектория, то L — линейная особенность класса АА4 (пример 13 п.1). Достаточные
условия наличия такой особенности получаются из леммы 4, если отбросить условие
рФО \л потребовать, чтобы р(х, ± 0) =0 и чтобы функции р и h принадлежали С1 при
у > 0 и при у < 0 вплоть до линии у - 0.
Следующая теорема указывает условия, при которых система A) или уравнение
B) имеет только конечное число линейных и точечных особенностей.
137

Теорема 1. Пусть правая часть уравнения B) в конечной области G удовлет-
удовлетворяет условию 1° и может обращаться в нуль только в конечном числе областей,
границы которых состоят из конечного числа гладких линий, и, кроме того, еще в
конечном числе точек и гладких линий. Все эти линии конечной длины. Пусть на ли-
линиях разрыва функций ftbf/bxltbf/bx2 векторы f~(x),f+{x), f°[x) могут обра-
обращаться в нуль, a f ~ M и f * (х) - касаться линий разрыва только в конечном числе то-
точек и, может быть, еще в каждой точке конечного числа дуг. На линиях разрыва и ли-
линиях, где f (х) = 0, пусть выполнены условия 2° — 4°.
Тогда в области G может содержаться только конечное число линейных и точечных
особенностей. #
Доказательство. В любой подобласти, где f,bf/bxltbf/bx2 непрерывны и
f (х) Ф О, через каждую точку проходит только одна траектория. Там и в подобластях,
где f (х) = 0, нет линейных и точечных особенностей. Границы тех подобластей, в кото-
которых fix) = 0, состоят из конечного числа линий, на которых выполнены условия 2° —
4°. Такие линии состоят из конечного числа линейных особенностей классов Ас, ас, be.
Линии разрыва состоят из конечного числа гладких кусков, на каждом из которых
каждая из функций f \ w f уили сохраняет знак, или тождественно равна нулю, а каж-
каждая из вектор-функций f~.f* и f° или не обращается в нуль, или тождественно равна
нулю. В силу условий 2° — 4° и рассуждений, проведенных при классификации, такие кус-
куски (кроме случая АА0, когда особенности нет) являются линейными особенностями клас-
классов АА|, АА2, АВ, Аа, АЬ. В силу условия 4° остальные линии, на которых f=0, состоят
из конечного числа кусков, являющихся линейными особенностями классов аа, ab, bb. Та-
Таким образом, линейных особенностей конечное число. Точечными особенностями являют-
являются их концы и изолированные точки, где f(x) = О, значит, и их конечное число.
Замечание. Если выполнены условия теоремы 1 и функция f (x) непрерывна
в G, то могут существовать линейные особенности только классов аа, ab, ас, bb, be.
3. Покажем, что проведенная в п. 2 при условиях 1° - 4° классификация линейных
особенностей —локальная топологическая. Будем говорить, что траектории двух данных
систем в открытых или замкнутых областях (Зх и G2 (соответственно) имеют одинако-
одинаковую топологическую структуру ([157],стр. 125), или, короче, области Gj и G2 имеют оди-
одинаковую топологическую структуру, если существует топологическое отображение обла-
области G, на область G2, переводящее, как и обратное отображение, траектории в траектории.
Это означает, что отображение области G, на область G2 переводит каждую содержа-
содержащуюся в G, дугу траектории (или стационарную точку) первой системы в дугу траекто-
траектории (соответственно стационарную точку) второй системы, а обратное отображение
переводит каждую содержащуюся в G2 дугу траектории (или стационарную точку)
второй системы в дугу траектории (или стационарную точку) первой системы. Это ото-
отображение не обязано сохранять направление движения по траекториям или менять его
одновременно на всех траекториях ([157], стр. 128). Пример: тождественное отображе-
отображение х = х, у = у переводит траектории системы х = х, у = 0 в траектории системы х = х2,
у = 0 и обратно ; направление движения по траекториям в полуплоскости х> 0 сохра-
сохраняется, а в полуплоскости х< 0 меняется.
Если область G( замкнута и ограничена, то из непрерывности взаимно однозначного
отображения Gi на G2 следует непрерывность обратного отображения ([155], стр.321).
Требование, чтобы обратное отображение также переводило дугу траектории в дугу
траектории, не вытекает из остальных требований.
Пример ([157], стр. 126). Каждая дуга траектории системы
х=х2+к2, к = 0 (8)
при тождественном отображении х = х, у - у переходит в дугу траектории системы
х = 1, к-0, (9)
но дуга — 1 < х< 1 траектории у = 0 системы (9) не переходит в дугу траектории систе-
системы (8). Дополнительное требование, чтобы стационарная точка первой системы перехо-
переходила в стационарную точку второй системы, не помогает, так как систему (9) можно
заменить системой
х = к2 +3 Vx*7 К = 0, A0)
для которой та же дуга -1 < х < 1, у = 0 есть дуга траектории решения х = t3, у = 0.
138

Требование, чтобы стационарная точка переходила в стационарную точку второй
системы, не вытекает из остальных требований. Это показывает отображение х = х,
у = у траекторий системы (9) в траектории системы A0) и обратное отображение A0) в
(9).
В [157] (стр. 125) вместо требования, чтобы отображение переводило каждую дугу
траектории в дугу траектории, содержится требование, чтобы отображение переводило
каждые две точки, лежащие на одной траектории, в две точки, лежащие на одной траекто-
траектории. Эти требования равносильны в том случае, когда при любых начальных условиях
х@) = х0, у @) = Ко решение единственно, но не равносильны для систем с нарушением
единственности, как показывает следующий пример (рис. 34, 35).
Рис. 34
Рис. 35.
В обоих случаях ось Ох — траектория, в каждой точке которой нарушается единст-
единственность; решения достигают стационарной точки О за конечное время. Существует
топологическое отображение, например, тождественное в областях у > 0 и нижетраекто-
ри тОп и очевидным образом продолженное (по траекториям) в области mOd и nOf',
переводящее любые две точки одной траектории в две точки одной траектории. Точки
а и Ь переходят в точки ах и Ьх, но соединяющая их дута траекторииacOdefb не пере-
переходит в дугу траектории; точки а { и Ьх соединены дугой траектории а х кх Осх fx b\.
Индекс стационарной точки О равен 0 на рис. 34 и равен +1 на рис. 35.
Будем говорить, что линейные особенности L и К принадлежат одному и тому же
топологическому классу, если у любых (неконцевых) точек xEjL, x*EK имеются
окрестности одинаковой топологической структуры. Таким образом, здесь проводится
локальная топологическая классификация линейных особенностей.
Теорема 2. При условиях 1 ° — 4° п. 2 существуют только 11 топологических
классов линейных особенностей: AAt, АА2, АВ, Аа, Ab, Ac, aa, ab, ас, bb, be.
Доказательство. Покажем, что у каждой неконцевой точки х0 линейной осо-
особенности L существует окрестность, которую можно топологически отобразить на ок-
окрестность любой точки оси О и в соответствующем из примеров, указанных в пп. 1, 2,
так, чтобы траектории переходили в траектории. Пусть х = фк) {-e <s <e ) - дуга
/линейной особенности L, ф€. С1, ф' is) Ф0,ф@) = х0. Если на этой дуге f%ix) >0
(обозначения см. в п. 2), а х= <р (t,s) - проходящее при 0< t <^ в6+ решение с на-
начальным условием i @,s) -ф{$), то по теореме 3 § 12 функция y(v,$) топологически
отображает прямоугольник — е <s <в , 0 <i/ <fi, на некоторую одностороннюю (в
G*) окрестность точки х0 линии L . Существование числа t х > 0, общего для всех таких
решений kfi it,s), I s I <?, следует из условия f\(x) >0 и равномерной непрерывности
функции fix) в G+ вблизи дуги /.
Случай f % < 0 сводится к рассмотренному заменой t на — t, а случай # д >0и#л<0 —
переходом к уравнению х = д(х), имеющему в силу D) те же траектории в области G*.
Если же на дуге / е L имеем f д = 0,f + Ф 0, то из -очки х0 G / проведем в область
G* достаточно малый отрезок без контакта х = х(*?), 0<т?<6 (х^ С1, X'^0, х@) »
-х0).
Функцию f доопределим на L значениями f = f+. Пусть х = »?» (t,r}) ~ решение
уравнения х = f (х) с начальным условиям ^ @, г?) = х h) • При т? = 0 это решение пробе-
пробегает часть дуги /за промежуток времени fj <f <^t2r где tx <0<t2- В силу непре-
139

рыв ной зависимости решений от начальных условий при достаточно малых 8 функция
«/>! определена и непрерывна в прямоугольнике Р {tx <t <t2, 0 <rj <8). По теореме 3
§ 12 она топологически отображает Р на некоторую одностороннюю окрестность точ-
точки х0.
Случай, когда f* ssOlg% = Otg'*' ФО на/,сводится к рассмотренному, если перейти
к уравнению х - д (х).
Таким образом, в случаях А# В, а), Ь) п. 2. существует топологическое отображение
некоторой односторонней окрестности точки х0 € L на прямоугольник, при котором
траектории переходят в параллельные прямые. В случае с) можно взять произвольное
топологическое отображение такой окрестности на прямоугольник, лишь бы дуга
ICL переходила в одну из сторон прямоугольника.
Сочетая каждый из случаев А, В, а), Ь), с) в G* с каждым вб"и замечая, что топо-
топологические отображения двух односторонних окрестностей (в G+ и G ~) можно непре-
непрерывно соединить вдоль дуги /, получаем отображение полной окрестности точки х0
на некоторый прямоугольник. Случаи ВВ!, ВВ2, Ва, Bb, Be исключаются из-за усло-
условия 3°, в случае ее линейной особенности нет. Случай АА разбивается на подслучаи,
как в п. 2.
В случаях АА2, Аа, Ab, Ac, aa, ah, ас, bb, be построенное топологическое отображение
окрестности точки х0 на прямоугольник является искомым (с точностью до обозначе-
обозначения координат). В случае AAi остается только обе половины прямоугольника (в случае
АВ — одну) с помощью линейного преобразования отобразить на параллелограммы,
ограниченные линиями у=0, и = ±5и двумя траекториями примера 1 (или примера 2) п. 1.
Таким образом, все линейные особенности, удовлетворяющие условиям одного и
того же (любого) из 11 случаев АА!, . . ., be п. 2, принадлежат одному и тому же топо-
топологическому классу. Эти 11 топологических классов различны. Например, в случае
АА2 каждая течка линейной особенности является стационарной и, кроме того, при-
принадлежит двум другим траекториям, входящим в эту точку за конечное время, в слу-
случае Аа — только одной такой траектории, а в случае аа — ни одной. Различие других
случаев доказывается столь же просто.
Условия 2° — 4° п. 2 допускают, чтобы требования, наложенные в каждом из слу-
случаев AAi, .. . , нарушались в конечном числе "исключительных" точек линии L. Если
структура окрестности такой точки отлична от структуры окрестностей других точек
линии L, то такая точка не принадлежит линейной особенности, а является границей
двух линейных особенностей, лежащих на L. Если же структура окрестности такой точ-
точки одинакова со структурой окрестностей близких к ней точек линии L, то эта точка
принадлежит линейной особенности. Принадлежность линейной особенности тому или
иному топологическому классу определяется по выполнению требований на функции
f +, f ~~,. . . в точках, не являющихся "исключительными". Так как в п. 2 рассмотре-
рассмотрены все случаи, которые при условиях 1 ° — 4° могут выполняться на целой дуге
линии L, то при этих условиях каждая линейная особенность принадлежит одному из
указанных 11 топологических классов.
Изложенная здесь локальная топологическая классификация линейных особеннос-
особенностей может быть детализирована. Например, если рассматривать только топологические
отображения, сохраняющие направление движения по траекториям или меняющие
его одновременно на всех траекториях, то каждый из классов Аа, аа, bb распадается
на два класса, а остальные классы сохраняются.
4. Продолжим теперь топологическую классификацию до классификации относительно диф-
диффеоморфизмов, т.е. топологических отображений, которые являются непрерывно дифференцируе-
дифференцируемыми вместе с обратными отображениями.
Условие 4е п. 2 надо теперь усилить,-потребовав, чтобы g Ы е С1 вплоть до линии L. Заметим
также, что если векторы f и f" (или f "** и g ~, или f ~ и g +, или g ~ и g +) в некоторой точке х
коллинеарны, то они сохраняют это свойство и после любого дифференцируемого отображения.
Поэтому в дополнение к условиям 1 ° — 4° потребуем, чтобы линия L состояла из конечного числа
дуг, на каждой из которых эти векторы или не коллинеарны ни в одной точке или коллинеарны в
каждой точке дуги.
Далее, в случае bb после перехода к уравнению х - g (х) векторы g ' (х) и д* (х) касаются L.
Если они противоположно направлены, то заменим г на —г в С. Так как всегда \д U) I * 1, то по-
получим уравнение х -д ix) с непрерывной функцией д (х). Если на некотором участке линии L имеем
д 9
— 9ai(x) ^ — 9м(х) , то после любого диффеоморфизма для преобразованного уравнения эти
bN N ЪЫ
140

d
производные оказываются различными, т.е. разрыв производной 9\'(х) по нормали к L нель-
зя устранить с помощью диффеоморфизма. Поэтому надо наложить еще одно условие: каждая линия
разрыва состоит из конечного числа дуг, на каждой из которых равенство
— gft(x) = д+Ы A1)
или выполняется во всех точках дуги, или не выполняется ни в одной точке дуги.
Для таких дуг можно дать классификацию относительно диффеоморфизмов.
Теорема 3. При сформулированных условиях имеются 18 классов линейных особенностей
относительно диффеоморфизмов. Из 11 классов, указанных в теореме 2, класс АА, распадается
на 3 класса, каждый из классов АА2, Аа, аа, bb — на 2 класса, и добавляется класс АА0 с неколли-
неарными векторами f и f*.
Если на линии разрыва применяется доопределение а) §4, то вместо этих 18 классов имеются
только 15 (классы А А, и АА2 не распадаются) .
Доказательство. Пусть L — кусок линейной особенности класса АА, и в каждой точке
х е L векторы f~ (х) и f* (х) неколлинеарны, fft Ф О, fft Ф 0. Построим диффеоморфизм, пере-
переводящий траектории данной системы
х =f(x) (x^L), x=f°(x) (x€EL) A2)
вблизи L в траектории одной из двух систем:
и =1, v =-sgnn (v ф 0), и =1, и =0 W = 0), A3)
и = 1. v = -sgn и (и * 0) , w = -1. v = 0 (и =0). A4)
Рассмотрим случай ffi/>0, fft < 0 (к нему сводится случай fft < 0, f д > 0 с помощью замены г
на -f) .
Для xGi. рассмотрим функцию
fftix)
у(х) «-— > 0, т(х) G С1.
fftix)
Продолжим ее в окрестность линии L с сохранением условий у (х) > 0, 7<^> tf С1 (например,
так, как в лемме 3) . Заменим данное уравнение A2) уравнением
i=/7(x) (h(x)=fix). xeG + ; hix) =-y (x)f ix). x^G), A5)
имеющим bG* и G" те же траектории, что A2). Так как h ft = fft = —/»дг< 0, то при х€ L положим
A6)
Вектор /»°(х) касается L в точке х. Так как векторы f~ и f*, значит л"и /?*, неколлинеарны, то
Пусть xo€L,3x = il/|f) — решение уравнения A6) с начальным условием ф (О) = х0. Для неко-
некоторого е > О дуга х = \p(t) . I f I < e, лежит на L . Пусть х = <р~ it. s) nx^^+(f,s) - проходящие
соответственно в G" и С решения уравнения A5) с общим начальным условием у~ @,5) ~\f* (О, s) =
= С/ E) . Как в доказательстве теоремы 2, функции </?" и у * определены при | s | < е , -f, < t < 0.
Покажем, что
x=\p~(v, и — v) (i^<0), x=^ + (—v, u + v) (v > 0) A7)
-искомый диффеоморфизм. В самом деле, как в доказательстве теоремы 2, формулы A7) оп-
определяют гомеоморфизм замкнутой области I v | < f t, I 1/+ | И I < е на окрестность точки х0 .
Траектории уравнения A5) выражаются формулами x=^pt{t,s) при s = const и переменном t.
значит, траектории системы A3) при v*0 формулами A7) отображаются в траектории уравне-
уравнения A5) . В силу теоремы о дифференцируемо сти решения по параметру у~, ^+еС'. Очевид-
Очевидно, в A7) производная Ъх/Ъи непрерывна и при v = 0.
Остается доказать непрерывность производной Ъх/bv при v =0. Так как y~(t,s). ^p + (t, s)
и ф (t) — решения указанных выше уравнений, то при и = 0
=/»', =/?\ = = =Л°.
ЭГ 9f bs ds bs
Следовательно, для отображения A7)
Эх
Эй
(и, и — v) Ъ\р" Ъ$" Эх
v - _o
В силу A6) эти выражения совпадают. Значит, A7) — отображение класса С1. При v = 0 вектор
Ъх/Ъи = i(/'($) = п°(х) касается L , а Ъх/bv = п~ — /»° не касается. Следовательно, якобиан отобра-
отображения A7) не равен нулю на линии L и в ее окрестности.
141

Итак, A7) — диффеоморфизм, переводящий траектории системы A3) в траектории системы
A5), A6).
Если векторы f° (х) и /?°(х) при хбИ. направлены в одну сторону, то траектории систем A2)
и A5), A6) совпадают и диффеоморфизм A7) переводит траектории A3) в траектории A2).
Если векторы г"°(х) и /?°(х) противоположно направлены, то диффеоморфизм A7) переводит
траектории системы A4) в траектории A2). Если же f°(x) - 0 (случай АА:) и векторы f* и f
неколлинеарны, то диффеоморфизм A7) отображает траектории системы
и = 1, v = -sgn v iv ф 0). и = v = 0 W - 0)
в траектории системы A2) .
К рассмотренному случаю сводятся случаи ААО (заменой f (х) на — f (х) в G* или в С) и Аа,
аа (заменой функции fix) на функцию д (х) из D)) при неколлинеарных векторах f * и f (или
9' И0-)
Если же векторы f*(x) и г"~(х) (или <7*(х) и <7~(хI nP** каждом х ^ L коллинеарны, но не
касаются линии ?., то в случае АА„ траектории не имеют особенностей и отображаются на семейст-
семейство параллельных прямых, а в случаях АА, , АА,, Аа, аа — в части прямых!/ - const в полуплоскос-
полуплоскостях и > 0 и v < Оив траекторию (в случае АА, ) или в стационарные точки на прямой v = 0. Для
построения диффеоморфизма в этих случаях надо заменить уравнение A2) уравнением х = д (х)
(см. D)) ив случае 9 \9 \ < 0 заменить в G* или вб" направление вектора # (х) на противополож-
противоположное. После этого д (х) еС'в окрестности линии L и диффеоморфизм строится как в теореме 4 § 12.
Если на линии разрыва применяется доопределение а) § 4, то векторы f° в A2) и/»0 в A6)
всегда направлены в одну сторону, а в случае коллинеарности f* и f имеем f° = 0, h° = 0. Поэ-
Поэтому в случаях АА, и АА, остается только по одной из перечисленных возможностей.
В случаях АВ, Ab, ab с одной стороны от L строится вектор-функция х = \р (t, s). в с другой
х = ^\ (?' л). как в доказательстве теоремы 2, но при этом функция f предварительно заменяется
функцией д из D) . Так как на L векторы у'г и <p's неколлинеарны и векторы <f\t и $\ц тоже некол-
неколлинеарны, то якобианы век тор-функций # и ^, не обращаются в нуль. Поэтому вблизи L функции
s = s (х) е С1 , п = riix) 6C1 вплоть до L . Продолжая каждую из функций s (x) и г)(х) на другую
сторону линии L с сохранением класса С1 , получаем диффеоморфизм s = s (x) , rj = rj(x). при ко-
котором (. переходит в прямую т? = 0, а траектории системы A2) с одной стороны от L - в прямые
5 = const, а с другой — в прямые л = const, т.е. в случаях Ab и ab — в траектории примеров 6) и
10) п.1 В случае АВ надо еще сделать линейное преобразование, чтобы получить траектории при-
примера 2) п.1.
В случае bb после перехода к уравнению х = д (х) (и, если д~ (х) = -^Мх) , после замены t на
— f в G ) получаем уравнение с непрерывной функцией д (х) . Так как ' д (х) \ = 1 ив случае bb
на линии L вектор д (х) касается этой линии, то на дуге 1е L , где выполнено A1), производные
Ъд1Ъх( непрерывны, / - 1,2В окрестности каждой точки этой дуги ? (х) бС'.ипо теореме 4 §12
существует диффеоморфизм, отображающий траектории уравнения х = д (х) на семейство парал-
параллельных прямых. Траектории исходной системы х = f (x) он отображает в траектории приме-
ра9) п.1.
Пусть ни в одной точке дуги /С L не выполнено равенство A1) . Как в случае ab, с помощью
диффеоморфизма переведем траектории в области G' в параллельные прямые. Система при-
примет вид
1=1, 77-0 (п< 0); ? = 1, г)=Я(Ь. т?) (т)>0). A8)
При этом д(?, 0) =0 (имеем случай bb) . Так как равенство A1) не выполняется, то в силу ска-
сказанного перед формулировкой теоремы д^(? , 0) =р(?) * 0. Сделаем замену
и /
0
Получим систему
du dr{ du d-q q{%(u),r))
= 1, - 0 ( г) < 0); = 1, (rj > 0).
dr dr dr dr pit iu) )
Последнюю дробь обозначим 0 iu, 17) . В силу выбора функции р(?) имеем Ъ01Ьп - 1 при 17 = 0.
Пусть и - т, ц - yf (т, с) — решение с начальными условиями ы@) =0, rj(O) = с > 0 Положим
ri =^ [ut ve~u) (i'^O), r\ =v (и<0); и=и. A9)
Тогда траектории и = т, rj = >р (т, с) переходят в линии и = т. у = сет при с > 0. Следовательно,
система переходит в систему (здесь и - du/dr и т.д.)
I/ = 1, 1?=^ Ы ^ 0) . B0)
Покажем, что Эт?/д^ непрерывна при и = 0. Из A9) дт)/ди = е"иЪ<р1дс. Производная Э^/дс = и/
удовлетворяет уравнению в вариациях
w =wd0/dr); wiO) = 1.
При tj = 0 имеем Ъв1Ът) = 1, следовательно,
w =ег; дп/Э|г| |(Г=ч0 -в "ег =1.
При к <0 имеем r\ = v , dr)/dv| и--0=1- Следовательно, A9) -диффеоморфизм.
142

Итак, в случае bb траектории данной системы отображаются или в траектории примера 9) п.1,
или в траектории системы B0) .
В остальных случаях Ас, ас, be с одной стороны от линии L строится, как в случае ab, диффео-
диффеоморфизм, переводящий траектории в параллельные прямые. Затем этот диффеоморфизм произ-
произвольно продолжается через линию L в область, заполненную особыми точками.
§ 17. Топологическая классификация особых точек
Известная топологическая классификация особых точек по числу и расположению
гиперболических, параболических, эллиптических секторов распространяется на осо-
особые точки и другие точечные особенности систем с кусочно непрерывными правыми
частями. При этом число топологических классов секторов увеличивается.
Рис. 36.
Рис. 37.
1. Для автономных систем с нарушениями единственности необходимо обобщить
понятие сепаратрисы. Сепаратрисы могут иметься не только у стационарных точек
(положений равновесия),но и уточек нарушения единственности, и у других точечных
особенностей. Например, если пучок траекторий сливается в некоторой точке в одну
траекторию, то две крайние полутраектории пучка и полутраектория, образующаяся
после слияния, являются сепаратрисами» так как они разделяют траектории, имеющие
разное поведение (рис. 36). Эти сепаратрисы аналогичны трем сепаратрисам седло у зла
и отличаются от них лишь тем, что не являются целыми траекториями.
У особой точки могут иметься орбитно-устойчивые сепаратрисы. Например, у систе-
системы (рис.37)
[0 (x<-|Kl),
х = -х, у =| -к (| х |^| у\ ) ,
[ -xsgn у {х> | у | )
все положительные пол ут рае к тори и стремятся к устойчивому узлу @,0) и являются
о>орбитно-устойчивыми([157],стр.257). Три полутраектории:
у = 0, х>0; у = х<0; у = -х>0
— линейные особенности и три пол у траектории :
у = 0, х<0; к = х > 0; и = - х < 0
— сепаратрисы. Эти шесть полутраекторий разбивают окрестность точки @,0) нашесть
параболических секторов, из которых два принадлежат одному топологическому
типу, а четыре — другому.
Ниже дается определение сепаратрисы для системы с конечным числом линейных
и точечных особенностей (п.1 §16). Во всех случаях концы дуги считаются не принад-
принадлежащими этой дуге.
Сепаратрисой I точечной особенности b называется траектория, стремящаяся к
точке Ь, или дуга траектории с концом в точке b такая, что на / не нарушается един-
единственность и что для любой точки a Е / существуют такие дуги траекторий /,,
/ =1,2,..., что b$lj и, кроме того, или
1) /, = а,- Ь/ С/, a, bj -* ab, p(cit b) > €0 > 0, / = 1,2,...,
или
143

2) // = З/Ь/ -* ab, точка b,- лежит на линейной особенности.
Различаются сепаратрисы 1-го и 2-го рода, для которых выполняется соответственно
условие 1) или 2). Сепаратриса может принадлежать одновременно к 1-му и 2-му роду,
например, сепаратриса ab на рис. 38 и 39 (на обоих рисунках be - линейная особен-
особенность) .
Сепаратриса точки b называется целой сепаратрисой, если она от точки b продолжена
или неограниченно, или до ближайшей (вдоль нее) точечной или линейной особенности.
Для системы без нарушений единственности и только с изолированными особыми
точками могут существовать только сепаратрисы 1-го рода. В этом случае данное выше
определение сепаратрисы равносильно (в силу теоремы 38 из [157]) определению
?
Рис. за
сепаратрисы как орбитно-неустойчивой пол у траектории, стремящейся к особой точке,
данному в [157] [стр.277).
2. Рассмотрим систему в векторной записи
х = f(x), xG GCR2, (D
удовлетворяющую условиям 1°-4° п.2 § 16. По теореме 1 § 16 эта система в конеч-
конечной области G может иметь только конечное число линейных и точечных особенностей.
Пусть точка о (х = 0) является стационарной точкой или точечной особенностью, и
пусть у нее имеется окрестность, не содержащая других стационарных точек, точечных
особенностей, целых линейных особенностей и целых сепаратрис.
Если имеются решения, входящие в точку о (х = 0) за конечное время, то заменим
данное уравнение A) уравнением
B)
имеющим в области х Ф 0 те же траектории. Так как I f(x) I < m при |х|<5, то из B)
следует, что I с/ I x i/tff I < I x I < m I x I, ! In |x(f2) I - In I x(f,) IKm|f2-f, I- Поэто-
Поэтому решения уравнения B) могут входить в точку х = 0 только за бесконечное время и
точка х = 0 является стационарной точкой (в § 17 будем говорить особой точкой).
Ниже будет показано, что при этих условиях у точки х = 0, если она не является
центром или центрофокусом, существует окрестность, которая траекториями, стремя-
стремящимися к этой точке, разбивается на конечное число секторов десяти классов (рис. 40).
Как известно ([157], § 19), для системы A) cf€ С1 эти секторы могут принадлежать
только трем классам, т.е. быть эллиптическими (?), гиперболическими (Н) или парабо-
параболическими (Р).
В каждом секторе одна из точек границы (на рис. 40 - нижняя) является особой
точкой, а других особых точек и точечных особенностей в секторе и на его границе нет.
Направление движения на всех траекториях одновременно можно заменить на противо-
противоположное. В каждом секторе через каждую внутреннюю точку, а в секторах Е, И, Р -
и через граничную проходит только одна траектория. Секторы Е, F, G - эллиптические
(все траектории, может быть, кроме идущих по границам сектора, обоими концами
стремятся к особой точке) ,H,K,L- гиперболические (все траектории, кроме иду-
идущих по границе сектора, обоими концами выходят из окрестности особой точки),
Р, Q, R,S - параболические (все траектории одним концом входят в особую точку, а
другим — выходят из ее окрестности).
Каждый сектор ограничен простой замкнутой кривой, содержащей особую точку и
конечное число дуг траекторий и дуг без контакта, пересекаемых траекториями без
144

касания и только в одном направлении. Граница сектора Е содержит одну траекторию,
стремящуюся обоими концами к особой точке, граница каждого из остальных секторов
содержит две полутраектории, стремящиеся к особой точке и называемые боковыми
границами сектора. В секторах F и R эти две полутраектории имеют общую точку и
замыкают сектор. Секторы G, Z.,S замыкаются одной дугой траектории с концами на
боковых границах, сектор Р — дугой без контакта, секторы К и Q — дугой без контакта
и одной дугой траектории, а сектор Н — двумя дугами без контакта и одной дугой
траектории. На рис. 40 эти дуги без контакта обозначены пунктиром.
У секторов F, К, Q, R одна граничная траектория является линейной особенностью
(или ее частью), а у секторов G,L,S — две. В эти линейные особенности вливаются
(соответственно одним концом или двумя) все траектории, проходящие через внутрен-
внутренние точки сектора. В секторе Q на дуге траектории, соединяющей любую внутреннюю
точку сектора с особой точкой, есть точка слияния этой траектории с особой точкой, а
в секторе Я — нет. В секторе Е все траектории — петли, обоими концами входящие в
особую точку, причем из каждых двух петель одна лежит внутри другой.
Заметим еще, что вся окрестность особой точки может состоять из одного сектора
Р, Q или S. Такой сектор будем обозначать Ро, Qo или So. Сектор класса So содержит
линейную особенность класса АА* и поэтому может встречаться только в случаях,
когда условие 1° п. 2 § 16 ослаблено, например, так, как в лемме 4 § 16. После того,
как мы разрежем сектор вдоль одной из траекторий, он будет иметь такую же струк-
структуру, как сектор Р, Q или S. У особой точки типа "центр" имеется окрестность, запол-
заполненная замкнутыми траекториями, окружающими эту точку, и ограниченная замкнутой
траекторией. Такую окрестность можно рассматривать как сектор класса О0.
Докажем, что описанные здесь классы секторов являются топологическими.
Лемма 1. в секторе любого из классов F, R, G, L,S на боковой границе ос, являю-
являющейся линейной особенностью, возьмем монотонную последовательность точек ait
/=1,2,..., сходящуюся к особой точке о. Траектории, вливающиеся в ос в точках а,,
отделяют от сектора области Dh на границах которых лежит точка о и не лежит точка с.
Тогда диаметр области D( стремится к нулю при /->«>.
Доказательство. Пусть р/ — точка замкнутой области 0,, наиболее удаленная
от точки о. Последовательность а{ монотонна , поэтому
D{DD2D |p,-o| = d,, dl>d2>...
Предположим, чтор, не стремится ко. Тогда среди предельных точек последовательнос-
последовательности pi есть точка р Фо, принадлежащая всем областям D/.
Так как часть линии ос, содержащаяся в Dt, есть дуга oait сколь угодно малая при
больших /', то р ?ос. В секторах рассматриваемых классов через каждую точку сектора
проходит дуга траектории, идущая внутри сектора от этой точки до некоторой точки на
ос, отличной о г точки о. Значит, из точки р идет дуга траектории pq, q G ос, q Фо. Она_не
может пересечь вышедшую из точки я, траекторию, идущую по границе области Dit
поэтому содержится в D\ и может выйти на ос только в точках дуги о а,-. Значит, q S оз/
при всех /, q Фо. Это противоречит тому, что ах? ->¦ о (/ -* °°). Итак, предположение невер-
неверно, и лемма доказана.
Лемма 2, Пусть дуга xobo траектории, выходящая из точки х0 и проходящая в
области единственности решений, достигает линейной особенности 1в точке Ьо- Тогда
1) все траектории, выходящие из точек х некоторой окрестности точки х{и тоже
достигают I в точках b = b{x);
10. А.Ф. Филиппов
145

2) точка Ь и время движения txb no дуге xb непрерывно зависят от точки х.
Доказательство. Через какую-либо точку я0 дуги х0 Ьо проведем сече-
сечение /0 (например, дугу без контакта), пересекаемое траекториями только в одном
направлении. В силу следствия 2 теоремы 2 § 12 все траектории, выходящие из точек х
некоторой окрестности Vx точки х0, пересекают /о, причем точка пересечения а и время
движения txa по дуге ха непрерывно зависят от х.
В силу теоремы 2 § 16 у точки Ьо Е/есть односторонняя (с той стороны от /, где
проходит дуга х0Ь0) окрестность U, которая топологически отображается на прямо-
прямоугольник, заполненный прямыми — образами траекторий. Траектория Т(х), выходящая
из любой точки х окрестности V2 точки х0, идет вблизи дуги х0Ь0 и попадает в U. Тогда
она достигает / в точке Ь, близкой к Ьо •
Рис.41.
Следовательно, для xGl/, П V2 определены точки а(х) и Ь{х) пересечения траекто-
траектории Т(х) с линиями/0 и /|; при этом а{х), Ь(х) и txa непрерывно зависят от х. Если
взять х Е /, то Ь(х) - х, значит, время движения tba непрерывно зависит от точки Ь. Тог-
Тогда txh- txa + tab (или txb= tab — tax в зависимости от порядка точек а, х, b на траекто-
траектории) непрерывно зависит от х.
Лемма 3. Каждый из секторов К и Q можно топологически отобразить на прямо-
прямоугольник так, что все траектории, проходящие внутри сектора, отображаются на
прямые, параллельные его стороне.
Доказательство. Сектор ограничен дугой Ь0о линейной особенности, дугами
траекторий а0Ь0 и со и дугой без контакта аос (х = $(v),Q^v^vo,c = ф@)) (рис. 41).
По определению сектора К (или Q), через каждую его точку х, кроме особой точки о,
проходит траектория, одним концом выходящая на дугу аос в точке а, другими — на
дугу Ь0о в точке Ь, и такие траектории не имеют общих точек. В силу следствия 2
теоремы 2 § 12 точка а и время движения т(х) от х до а (или от а до х) непрерывно
зависят от х при хФо. Это верно и при х ЕЬ0о, т.е. прих = Ь. Следовательно, а непре-
непрерывно и монотонно (так как траектории не пересекаются) зависит от b, a b — от а
(непрерывность обратной функции).
Пусть движение по траекториям направлено от дуги аос к дуге b0o, a x = </?(г, а) —
решение с начальным условием у@, а) ~ а. Тогда b = </?(т(Ь), а). Точка b и число т (Ь)
непрерывно зависят от точки а ? аос, но при а -* с имеем т(Ь) -* °° (в противном случае
по лемме 1 § 12 время движения от с до о было бы конечным) ,Ь -> о (так как в каж-
каждую точку дуги Ь0о вливается траектория, другим концом выходящая из сектора через
дугу а()с).
Для 0 < v < v0, O^ty<1 пусть a( v) = т{Ь) — время движения от точки а = ф( v) до
точки b€b0o, $Ы = 1 — e'a^v\
t(u, v) = - lnA -us(v)), x = v?(f (u, v), ФМ). C)
При v = const и изменении и от 0 до 1 точка х пробегает дугу траектории от точки а -
= ФМ до точки Ь. Соответствие между [и, v) и точками х сектора взаимно однозначно.
При {и, v) Ф A, 0) оно непрерывно вследствие непрерывности всех рассматриваемых
функций. Докажем непрерывность при и = 1, v = 0. При w -> 1, и -* 0 имеем
Так как функция г(х) = tax ~ t(и. v) непрерывна при х^о и т(х) -*°° только при
*о, то при i/-*
0 в C) имеем х —о.
146

Итак, функция C) непрерывна во всем прямоугольнике 0 < t/ «^ 1, 0 < у ^ у<> и отоб-
отображает его на рассматриваемый сектор топологически (лемма 1 § 9).
Лемма 4. Любые два сектора, принадлежащие разным классам, имеют различную
топологическую структуру (п. 3 § 16), а принадлежащие одному и тому же классу
(кроме So) - одинаковую структуру.
Доказательство. Первое утверждение леммы следует из приведенного выше
описания секторов. Докажем второе утверждение. Для секторов классов Е, И, Р, Ро и 0{)
оно доказано в [157J (стр. 341 — 346 и 361). Для секторов классов F и R оно доказы-
доказывается с помощью леммы 1 и того же рассуждения, что для сектора класса ? в [157]
(стр. 345). Для секторов /Си Q утверждение следует из леммы 3.
В секторах класса G, L или 5 через любую точку х проходит траектория, выходящая
обоими концами на боковые границы /, и /2 сектора в точках а и b соответственно. По
лемме 2 точки а и b и время движения tax и txh непрерывно зависят от точки х. В
частности, при х - а получается, что b и tab непрерывно зависят от а. Так как дуги
траекторий не пересекаются внутри сектора, а в каждую точку на Л и /2 приходит ровно
одна такая дуга, то точка b монотонно зависит от а.
Разобьем сектор последовательностью дуг аД траекторий, где а,- € /,, 6, ? /2, /
= 1,2,...; а,-* о, на криволинейные четырехугольники Мг = ?/&/&,- -, i a, 4 i, / = 1,2,...
Отобразим Mj на область
2"' < р< 2'', О<0^тг/4
так, чтобы траектории перешли в дуги р = const. Это делается, как в доказательстве
леммы 3, с упрощениями из-за непрерывности и ограниченности tax в Мг На общих
сторонах четырехугольников отображение можно сделать непрерывным ([157],
стр. 340). Получим топологическое отображение всего (в силу леммы 1) данного
сектора а, 6, о на круговой сектор 0<р<2~', О^0<л74, при котором траектории
переходят в дуги р = const. Непрерывность отображения в точке р = 0 доказывается с
помощью леммы 1 и того же рассуждения, что в [157] (стр. 342).
Замечание. При топологическом отображении одного сектора класса G, L или S
на другой сектор того же класса можно сделать, чтобы это отображение на одной боко
вой границе сектора совпадало с заданным топологическим отображением этой границы
(переводящим особую точку в особую точку), а для сектора любого из остальных
классов — чтобы оно совпадало с заданным на двух боковых границах. Это доказывает-
доказывается так же, как подобные утверждения в [157] (стр. 340—345).
3. Рассмотрим изолированную особую точку о системы, удовлетворяющей условиям
1° — 4е п. 2 §16и имеющей только конечное число линейных и точечных особенностей.
Лемма 5. Пусть в сколь угодно малой окрестности точки о имеются точки линей-
линейных особенностей. Тогда у точки о имеется сколь угодно малая замкнутая окрестность
U, граница которой — замкнутая кривая без самопересечений и в которой
1) нет других точечных особенностей, кроме о;
2) каждая линейная особенность одним концом входит в особую точку, а другим —
выходит из окрестности;
3) каждая полу траектория или стремится к точке о, или достигает линейной особен-
особенности, или выходит из окрестности.
Доказательство. В силу условий линейные особенности имеют конечную
длину, поэтому они не могут иметь предельных множеств, отличных от точек. Следова
тельно, найдется окрестность, в которой все линейные особенности входят в точку о
одним или обоими концами. Уменьшив окрестность так, чтобы она не содержала ни
одной линейной особенности целиком, ни точечных особенностей, кроме точки о, полу-
получим утверждения 1) и 2).
Если полутраектория Т не выходит из окрестности U, обладающей свойствами 1) и
2), и не имеет общих точек с линейными особенностями, то она содержится в области
единственности решений. Ее предельное множество М не пусто и содержится в U. Если
М = о, то по л у траектория Т стремится к о. Если М не содержит особых точек, то М —
замкнутая траектория. Внутри М должна содержаться особая точка — точка о. Тогда
траектория М, а значит и Т, пересекает линейную особенность, которая одним концом
входит в точку о, а другим — выходит из окрестности.
Если М содержит и точку о, и обыкновенные точки, то М состоит из особой точки о
и траекторий, входящих обоими концами в эту точку. Если при этом Т навертывается
10* 147

на М снаружи, то Г пересекает линейную особенность, как в предыдущем случае. Если
же Т навертывается на М изнутри, то в U содержатся и а-, и сопредельные множества
для Т. По теореме 5 § 13 они не имеют общих точек. Значит, лишь одно из них (М)
содержит особую точку о, а другое (N) лежит внутри М. Там нет особых точек, поэтому
Л/ — замкнутая траектория. Но тогда внутри Л/ есть особая точка, отличная от точки о,
лежащей вне N. Это невозможно.
Теорема 1. Пусть в некоторой окрестности изолированной особой точки содер-
содержится только конечное число (или не содержится вовсе) точечных особенностей, целых
сепаратрис и кусков линейных особенностей. Тогда либо особая точка является центром
или центрофокусом, либо у нее есть окрестность, состоящая или из одного сектора
класса Ро или Qo, или из конечного числа секторов, которые могут принадлежать толь-
только классам Е, F, G, И, К, L, Р, Q, /?, S.
Доказательство. Пусть в некоторой окрестности особой точки о нет линей-
линейных особенностей и других особых точек и точечных особенностей. Тогда в этой окрест-
окрестности не нарушается единственность решения (для данного уравнения или уравнения
B), имеющего те же траектории). Следовательно, справедливы известные результаты о
структуре окрестности особой точки.
Если при этом в сколь угодно малой окрестности точки о имеются замкнутые траек-
траектории, то она является центром или центрофокусом ([158], стр. 77, 78).
Если же в некоторой окрестности особой точки о нет замкнутых траекторий, а число
сепаратрис конечно, то ([157], стр. 351) существует каноническая окрестность этой
точки, состоящая или из одного сектора класса Ро, или из конечного числа секторов
классов Е, Н, Р.
Пусть теперь в сколь угодно малой окрестности особой точки о имеются линейные
особенности. Они не могут состоять из особых точек (особая точка о изолирована),
поэтому могут принадлежать только классамАА, ,АВ (п. 2 §16). Найдется окрест-
окрестность 0 точки о, обладающая свойствами, указанными в лемме 5, и не содержащая
целых сепаратрис. Пусть /0 — одна из линейных особенностей в U. По лемме 5 она
одним концом входит в точку о, а другим — выходит из U.
а) Пусть в U имеется полутраектория, идущая из точки р ? /0 в точку о и не имею-
имеющая общих точек, кроме р, с линейными особенностями. Эта полутраектория и дуга
ро С /0 ограничивают область Dp, в которой нет линейных особенностей, так как
имеющиеся в U линейные особенности одним концом выходят из U. Все полутраекто-
полутраектории, выходящие из точек дуги ро С/0 в область Dp, остаются в Dp и по лемме 5 стре-
стремятся к точке о. Если они заполняют всю область Dp, то эта область —сектор класса
F или R в зависимости от направления движения по этим траекториям и по /„.
Если же такие по л у траектории заполняют лишь часть В области Dp, то через точку
а € Dp Г) Ьв (ЪВ — граница множества В) проходит траектория Т{а), входящая обоими
концами в точку о по лемме 5. Так как через точки а, €В,а, -+а (/=1,2,...) проходят
траектории, выходящие на /0, то Т(а) — сепаратриса 2-го рода. Это невозможно, так
как U не содержит целых сепаратрис.
б) Пусть не имеет места случай а), но в U имеется дуга pq траектории, идущая из
точки р ? /0 в точку q другой линейной особенности /, и не имеющая общих точек с
другими линейными особенностями.
Если в области Dpq, ограниченной дугой pq и дугами ро С /0, qo С /,, все траекто-
траектории также одним концом выходят на /0, а другим - на /|, то Dpq — сектор класса
G, L или S.
Если же траектории, выходящие одним концом на/0, другим — на /,, заполняют
лишь часть области Dpq, то, как в случае а), в Dpq имеется целая сепаратриса. Это
противоречит выбору окрестности U.
в) Пусть не имеют места случаи а) и б). В силу леммы 5 каждая полу траектория,
выходящая из точек линии /<, в рассматриваемую сторону, выходит из U. Такие полу-
полутраектории, например Г+(р,), из точекР/?/о, Pi~+o (точка р,+ \ лежит между р,- и
р, + 2, /' = 1, 2, . . . ) выходят из Uпервый раз в точках qt GdU. Дуги р,4,- не пересекаются,
поэтому последовательность точек qt на дU тоже монотонна и имеет предел q. По
лемме 1 § 12 через точку q проходит полутраектория T~{q)C U, являющаяся пределом
дуг qiPi (рис. 42).
148

Кроме случая T'{q) = роо С/о, полутраектория T~(q) не может иметь общих точек
с линейными особенностями. В самом деле, если бы T~{q) имела бы общую точку р* Фя
с линейной особенностью /,, то по лемме 2 при достаточно больших / дуги д,р, дости-
достигали бы /| (значит, /, = /()) с той же стороны, что T~(q), в точках, сколь угодно близких
к р *; это невозможно, так какр, -* о,<р * Ф о. Тогда в силу леммы 5 T'(q) стремится к о.
Из точки с G T~(q), лежащей внутри U, в ту сторону от T'iq), где проходят дуги p(qh
проведем дугу без контакта 7- При всех / > к дуги p,qt пересекают 7 в точках с, -* с
(/' -*°°). Каждая траектория, выходящая из какой-нибудь точки дугир^о С /0, лежит
между некоторыми траекториямир;с7, и рг + |С7/+1 (/>*) или совпадает с одной из
них. Так как она не может ни вернуться на /0, ни подойти к точке о, то она выходит из
U (лемма 5), значит, пересекает дугу скс С у. Аналогично, все траектории, пересекаю-
пересекающие эту дугу, выходят из точек дуги рко С /0. *""
Рис. 42.
Если эти траектории заполняют всю область DUf ограниченную дугами траекторий
ркск/ ос С T~(q),pko С /0 и дугой скс Су, то эта область — сектор класса К или Q
(класса О0,если T'iq) =р0о С/0 ).
Если же такие траектории заполняют лишь часть В области Do, то через точку
а ?0О П ЪВ проходит траектория Т(а), которая в силу сказанного выше не может
выйти из 00 ни на дугу рко С /0, ни на дугу скс Су. Тогда по лемме 5 она обоими кон-
концами стремится к точке о. Через точки ат ЕВ,ат-+а (т = 1, 2, . . . ) проходят траекто-
траектории, выходящие на дугу скс в точках ст (при т> тх). Пользуясь непрерывной зависи-
зависимостью от начальных условий, из дуг этст этих траекторий можно выделить части
атЬПц сходящиеся к дуге ао С Т(а). Значит, Т(а) — сепаратриса 1-го рода. Это невоз-
невозможно, так как в U нет целых сепаратрис.
Таким образом, при наличии линейных особенностей из U выделяется или сектор
класса Qo, содержащий некоторую окрестность точки о, или конечное число секторов,
каждый из которых ограничен линейной особенностью, некоторой дугой траектории,
входящей в точку о, может быть, еще дугой без контакта скс. и принадлежащий одно-
одному из классов F, G, Kf L, Q, R, S. В остающихся секторах окрестности U, ограниченных
каждый двумя полутраекториями, входящими в точку о, нет точечных и линейных
особенностей, значит, нет точек нарушения единственности. Эти секторы разбиваются
на конечное число секторов классов Е, И, Р, подобно тому, как это сделано в [157]
(§ 19). При этом отбрасываются некоторые части окрестности Uотстоящие на положи-
положительное расстояние от точки о. В результате остается окрестность точки о, состоящая из
конечного числа секторов указанных классов. Теорема доказана.
Изучим некоторые свойства этого разбиения на секторы. Граница каждого сектора
содержит две полутраектории, стремящиеся к точке о. Каждая из них является также
граничной полутраекторией соседнего сектора. Поэтому все секторы расположены в
циклическом порядке вокруг точки о.
Все линейные особенности и сепаратрисы, имеющиеся в окрестности, идут по грани-
границам секторов, кроме того, сектор Е с двух сторон, а секторы F и R с одной стороны
ограничены обычными полутраекториями, не являющимися ни сепаратрисами, ни
линейными особенностями. При уменьшении окрестности линейные особенности и сепа-
сепаратрисы остаются границами секторов, а названные выше обычные полутраектории уже
не идут по границам. При этом от секторов ?, F, R отделяются части, заполненные траек-
траекториями, которые одним концом стремятся к о, а другим — выходят из окрестности.
Эти части присоединяются к соседним секторам класса Я.
149

К сектору Е с обеих сторон, а к секторам F и R с одной стороны прилегают секторы
класса Р (к той границе сектора F или R, в которую не вливаются другие траектории).
В самом деле, разобрав другие возможные случаи, убеждаемся, что если бы к этой
границе прилегал сектор любого другого класса, то она была бы целой сепаратрисой
или целой линейной особенностью, а их нет в выбранной окрестности. Отсюда также
следует, что при уменьшении окрестности число, классы и циклический порядок секто-
секторов сохраняются.
Для описания структуры особой точки надо перечислить классы секторов, встречаю-
встречающиеся при обходе вокруг особой точки в положительном направлении, начиная с любо-
любого сектора. Если при этом встречается сектор, являющийся образом стандартного
(изображенного на рис. 40) сектора класса F, К, Q, R или 5 при топологическом отобра-
отображении, меняющем ориентацию (например, при зеркальном отражении), то над обозначе-
обозначением класса ставится черта: F, /С, Q, R, S. Одновременное изменение направления движе-
движения на всех траекториях сектора, включая граничные, не влияет на наличие или отсутст-
отсутствие черты (рис. 43).
Рис. 43.
Согласно сказанному запись HKPQ означает структуру особой точки на рис. 44, а
HKPQ — на рис. 45. На обоих рисунках каждый сектор занимает одну координатную
четверть. При циклической перестановке букв (например, HKPQ и KPQH) циклический
порядок секторов и структура особой точки не меняются. При топологическом отобра-
отображении, меняющем ориентацию, порядок секторов меняется на обратный. При этом бук-
буквы F, К, Q, R, S приобретают черту (или теряют ее, если она была) Например, запись
HKPQ переходит в QPKH.
Сумма числа эллиптических секторов и числа гиперболических секторов для любой
особой точки всегда четная. (Утверждение следует из того, что на обеих границах пара
боли чес ко го сектора движение происходит в одном направлении — к особой точке или
от нее, а на двух границах эллиптического или гиперболического сектора — в разных
направлениях.)
Если требуется указать направление движения по траекториям, то достаточно задать
направление движения на одной границе между двумя секторами — к особой точке
(скажем, значком "+") или от нее (значком "—"). Тогда на остальных траекториях нап-
направление движения определяется однозначно. Например, с учетом направления движе-
движения структуру особой точки рис.44 можно записать так: И KPQ (или
HK+PQ и т.п.).
В случае, когда окрестность особой точки состоит из любого числа секторов только
классов G, L, S, в этой окрестности имеются окружающие особую точку кривые, состоя-
состоящие из дуг траекторий. Каждая дуга пересекает один сектор, ее концы лежат на линей-
линейных особенностях, а концы всей кривой — на одной и той же линейной особенности
(рис. 46). Кривая может быть замкнутой или незамкнутой. Поэтому две особые точки с
секторами одних и тех же классов G, L, S могут иметь разную топологическую структу-
структуру. Их различать можно с помощью обобщенной функции последования.
На некоторой дуге / одной из линейных особенностей, начинающейся в особой точке,
введем параметр s, монотонно и непрерывно возрастающий от s = 0 в особой точке до
некоторого 5 = а0 > 0. Для каждого s0 € @, а0) из точки s = s0 на дуге / выходит линия,
составленная из дуг траекторий, пересекающая каждую границу секторов только в
одной точке и делающая один оборот в положительном направлении вокруг особой точ-
точки. Эта линия возвращается на / в точке s = Si. Функция S| = #($o) называется обобщен-
обобщенной функцией последования.
150

Функция ф - строго возрастающая, так как внутри секторов траектории не пересека-
пересекаются и в каждую точку линейной особенности может входить из сектора не более одной
траектории. Функция ф непрерывна в силу леммы 2; ф(з) ~> + 0 при s — + О (следует из
леммы 1).
Две функции фиф* назовем эквивалентными, если существует непрерывная и воз-
возрастающая замена переменных, при которой одна функция переходит в другую на неко-
некотором интервале 0 ^s < а, т.е.
D)
Лемма 6. Для эквивалентности возрастающих непрерывных функций ф и ф*необ-
ф*необходимо и достаточно, чтобы в некоторой области 0 < s < а интервалы, где i//(s) >s, где
ф{$) <s,a также точки и отрезки, где i//(s) = s, были расположены в том же порядке,
как такого же рода интервалы, точки и отрезки для функции ф*(з) области О < s < а*.
К
1
р
1,
\
N
0 ~*—_
Q
к
р /
¦ V!
0
Q
Рис. 44.
Рис. 45.
Рис. 46.
Доказательство. Необходимость следует из того, что при преобразовании s* =
= 0(s), i//*(s*) =0(i//(s)) знак разности $*(s*) — s* совпадает со знаком разности ф{$) —s
(функции \p(s) и 6{s) - возрастающие).
Цостаточность. Каждой точке или отрезку, где ф($) =5, поставим в соответствие точ-
точку или отрезок (с сохранением их порядка), где ф*и*) - s*; на таких отрезках соот-
соответствие между s и s* можно задать, например, линейным. Получим функцию s* = в is),
определенную, непрерывную и возрастающую на замкнутом множестве тех s, при кото-
которых \Ms) = s.
Пусть ф{$) >s на интервале {а],а2), а на его концах i//(s)=s. Для какого-нибудь
s0 G (q, , а2) определим последовательности
sr^iU.r^ls.iHl /=1.2 E)
где функция ф~[ — обратная для ф. Тогда
при / -* °°. Интервалу (a!, a2) соответствует интервал (j3j, fa ) = (Q(<X\), 0(oc2)). на кото-
котором i//?(s*)>s*. На интервале (/3|, 02) аналогично построим возрастающую последова-
последовательность {$f*) ,
*4s*,)«s;+l, / = ... -2,-1,0, 1,2, ... F)
Зададим функцию 0{s) при s0 <s<Si так, чтобы она была непрерывной и возрастающей,
например, линейной, и 0{so)=So, 0is\ )=s*. Когда s возрастает от s0 до S], функция y(s)
возрастает от s, до 52, поэтому с помощью D) функция в is) определяется при
S| <s<s2, ее непрерывность при s = S| следует из E) и F). Таким же образом с
помощью D) определяем функцию 6(s) последовательно на отрезках [$,-, Sf + J, / =
= 2,3,... Из D) следует равенство
из которого 0(s) определяется последовательно на отрезках [$„ ,v s_,- + | ], / = 1, 2, ...
Таким образом, функция в is) определена на всем интервале [ot\, a2) и отображает его
на интервал (/3i,/32). Аналогично можно определить 6(s) на интервалах, где ^(s) < s.
Получим функцию 0Ы, которая при 0< s <а непрерывна, возрастает и удовлетворяет
D). Следовательно, функции ф и ф* эквивалентны.
151

Замечание. При зеркальном отображении окрестности особой точки обобщенная
функция последования ф($) заменяется обратной функцией ф~1 is) (напомним, что
\p{s) определяется при обходе особой точки в положительном направлении).
Теорема 2. Для того чтобы у двух изолированных особых точек, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям теоремы Л и не являющихся центрофокусами, существовали окрестности
одинаковой топологической структуры, необходимо и достаточно, чтобы они имели
{может быть, после зеркального отражения одной из окрестностей) одну и ту же
циклическую последовательность секторов, а в случае наличия только секторов классов
G, L,S еще чтобы обобщенные функции последования были эквивалентными.
Доказательство. Необходимость следует из того, что топологическое преоб-
преобразование одной окрестности в другую сохраняет классы секторов, их циклический
порядок и переводит функцию последования одной особой точки в функцию последова-
последования другой особой точки.
Достаточность для особых точек типа "центр" доказана в [157] (стр. 361). В осталь-
остальных случаях для каждой из двух особых точек в ее окрестности, разделенной на секто-
секторы, построим меньшую "каноническую" окрестность, подобно п 2. §19 [157]. При
этом каждый сектор можно заменить меньшим сектором того же класса.
Рассмотрим случай, когда имеется хоть один сектор, не принадлежащий классам
6, L, S. В этом случае имеется хоть один сектор класса Н, К, Р или Q, так как к сектору
класса Е, F или R всегда примыкает сектор класса Р. У секторов классов G, L, S умень-
уменьшение одной боковой границы вызывает вполне определенное уменьшение другой
боковой границы. У секторов классов И, К, Р, Q можно уменьшать их боковые границы,
каждую независимо от другой, так как дуги без контакта, замыкающие такие секторы,
можно провести из любых точек его боковых границ (для секторов Р и Н см. [157],
стр. 331 —339, а для секторов К и Q это следует из леммы 3).
Поэтому в рассматриваемом случае, уменьшая секторы, можно построить для особой
точки окрестность, граница которой — простая замкнутая кривая, состоящая только из
1) дуг траекторий, идущих по границам секторов классов Е, F, Я и не доходящих
до особой точки;
2) дуг траекторий,замыкающих секторы G, L,S\
3) дуг без контакта и дуг траекторий, замыкающих секторы классов И', Kf P, Q.
Такую окрестность назовем канонической (рис. 47).
Построим канонические окрестности для обеих особых точек. По условию, в обеих
окрестностях секторы расположены в одном и том же циклическом порядке. В силу
леммы 4 можно поочередно топологически отображать каждый сектор первой окрест-
окрестности на соответствующий сектор второй окрестности. Последним отображаем сектор
класса Н, К, Р или Q. В силу замечания к лемме 4 отображения соседних секторов
можно сделать совпадающими на их общей границе, а отображение последнего сектора -
совпадающим на обеих его боковых границах с ранее построенными отображениями
соседних секторов. Получим топологическое отображение канонической окрестности
одной особой точки на каноническую окрестность другой особой точки, переводящее
траектории в траектории. Следовательно, эти окрестности имеют одинаковую топологи-
топологическую структуру.
Рассмотрим случай, когда имеются только секторы классов G, L,S. Кривой, состав-
составленной из дуг траекторий, начинающихся на ли-
линейной особенности / в точке s = s0 (обозначе-
(обозначения введены перед леммой 6), обходящей во-
вокруг особой точки и возвращающейся на / в точ-
точке sx = ф (s0), поставим в соответствие такую
же кривую в окрестности другой особой точки,
выходящую из точки s* = Sq— в (so) линейной
особенности / *; функция 6{s0) та же, что в D).
Граница канонической окрестности состоит из
одной такой кривой и, если ф (Sq) Ф Sq, из кус-
куска линейной особенности / с концами s = s0
и s - ф($ц)\ граница окрестности другой особой
точки — из соответствующей кривой и анало-
аналогичного куска линейной особенности / *. С по-
Рис. 47.
152

мощью леммы 4 и замечания к ней строится топологическое отображение первого сека-
секатора, прилегающего к /, на соответствующий сектор окрестности другой особой точки.
На / оно должно совпадать с отображением s * = 6(s). Затем строится отображение вто-
второго сектора, совпадающее на его границе с первым с уже имеющимся отображением
первого сектора, и т.д. Отображение последнего сектора совпадает на / с уже построен-
построенным отображением $* — 6(s) вследствие эквивалентности функций последования. Во
всех случаях теорема доказана.
Ослабим условие 1° или 2° п. 2 § 16 так, чтобы кроме линейных особенностей*, ука-
указанных в теореме 2 § 16, допустить также существование линейных особенностей
класса ААз- Тогда кроме рассмотренных выше случаев возможен также случай, когда
окрестность особой точки состоит из одного сектора класса 50- При допущении линей-
линейных особенностей АА3 верны леммы 1—5; лемма 1 верна и для сектора 50- В формули-
формулировке теоремы 1 после Go добавляется "или So". Изменения в ее доказательстве: воз-
возможны также линейные особенности класса ААз; в случае б) может оказаться, что
/1 = /0, тогда образуется сектор So. В теореме 2 вместо "G, L,S" надо "G, L,S,S0".
Теорема 2 и предыдущие рассуждения дают следующую топологическую классифика-
классификацию изолированных особых точек при наличии лишь конечного числа точечных и линей-
линейных особенностей и сепаратрис (допускаются линейные особенности классов AAj,
АА3,АВ).
Точки без секторов: центр — класс О0 и центрофокус — бесконечно много топологи-
топологических классов.
Точки с одним сектором: узлы классов Яо, Оо,$о(Ф)- Символ Soi$) означает, что
в случае сектора So имеется бесконечно много топологических классов, каждый^уз ко-
которых определяется классом эквивалентных функций последования ф- Класс $0(ф)
совпадает с So( ^~!) •
Точки с двумя и более секторами. Структура такой особой точки задается конечной
циклической последовательностью, составленной из букв Е, F, F, G, H, K,K, L, Р, О,
О, R, R, S, S со следующими ограничениями:
1. Суммарное число букв Е, F, F, G, Н, К, К, L четно.
2. Буквы E,F,FrR,R могут входить только в сочетаниях PEP, PF, FP, RP, PR.
3. Две буквы Р не стоят рядом.
4. При наличии только секторов G, L, S, S надо задавать также обобщенную функцию
последования ф (с точностью до эквивалентности) •
5- Любая последовательность и симметричная последовательность,^.е. последователь-
последовательность тех же букв в обратном порядке с заменой F, Kf Q, R, S на F, К, Q, R, S (и наобо-
наоборот) , а функции ф — на ф, определяют два расположения секторов, получающиеся
одно из другого зеркальным отражением.
Все рассматриваемые здесь классы особых точек существуют и у систем дифферен-
дифференциальных уравнений с непрерывными правыми частями.
При дополнительных ограничениях на правые части число топологических классов
уменьшается. В частности, при условиях 1°—4° п. 2 § 16 не может существовать линей-
линейных особенностей класса АА3, поэтому в окрестности особой точки после любого из
секторов F, G, Q, S не может стоять ни один из секторов К, L, R,S, а после любого из
секторов К, L, R, S — ни один из секторов F, G, Q, S.
В случае, когда для любых начальных условий x{t0) = x() решение единственно при
t > 10,_не могут существовать секторы классов G, L, S, So; в секторах классов F, F, Q,
Q, Go, Go по линейной особенности возможно движение только в сторону особой точки,
а в секторах классов К, К, R, R — только от нее; это налагает еще новые ограничения на
порядок следования секторов.
Рассмотрим теперь случай, когда среди линейных особенностей, оканчивающихся в
рассматриваемой особой точке о, могут быть также линейные особенности 2-го рода,
т.е. состоящие из особых точек. Тогда особая точка о -неизолированная. По-прежнему
предполагается, что в некоторой окрестности этой точки может иметься только конеч-
конечное число точечных и линейных особенностей и сепаратрис, а линейные особенности при-
принадлежат классам, рассмотренным в пп. 2, 3 § 16. В этом случае изложенные выше ре-
результаты о структуре окрестности особой точки в основном сохраняются. Добавляется
153

еще конечное число топологических классов секторов, отличающихся от изображенных
на рис. 40 только тем, что одна или две боковые границы являются линейными особен-
особенностями, состоящими из особых точек, и круговые секторы, подобные секторам Ро,
Qo,So. но с линейной особенностью из особых точек. Появляются очевидные ограниче-
ограничения на классы соседних секторов.
4. Исследование изолированной точечной особенности х = о уравнения A), не яв-
являющейся особой (стационарной) точкой, сводится к исследованию особой точки х—о
уравнения B). Такая точка не может быть центром или центрофокусом, так как тогда
она была бы особой'точкой и для уравнения A). Поэтому в силу теоремы 1 ее окрест-
окрестность разбивается на конечное число секторов, принадлежащих указанным в п. 2
классам.
Теорема 3. Пусть правая часть уравнения A) кусочно-непрерывна, применяется
доопределение а) § 4 и точечная особенность о изолирована и не является стационарной
точкой. Пусть в некоторой окрестности точки о может иметься только конечное число
линейных особенностей. Тогда у этой точки имеется окрестность, содержащая ровно два
гиперболических сектора и не содержащая эллиптических секторов.
Доказательство- По теореме 2 § 12 для всех траекторий в окрестности точ-
точки о справедливо неравенство D) § 12. Тогда в этой окрестности нет стационарных
точек, замкнутых траекторий и траекторий, стремящихся обоими концами к точке о,
значит, нет эллиптических секторов. Сечение S (теорема 2 § 12) является диаметром
некоторого круга. Траектории, пересекающие S. не могут войти в точку о в силу D)
§ 12, следовательно, заполняют два гиперболических сектора. Они разделены траекто-
траекториями, проходящими через точку о (и заполняющими параболические секторы, если
таких траекторий более одной). Других гиперболических секторов нет, так как любая
траектория в окрестности точки о должна пересечь сечение S.
§ 18. Грубые и негрубые системы
Понятия грубости системы и степеней негрубости распространяются на системы диффе-
дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Указываются необходимые и
достаточные условия грубости системы.
1. Грубые системы — это такие, которые сохраняют свою топологическую структуру
при любых достаточно малых допустимых возмущениях (т.е. изменениях правых
частей). Точное определение будет дано ниже. Сначала рассмотрим примеры.
Система х = у, у = х имеет особую точку х = у - 0 (типа "седло") и в ее окрестно-
окрестности является грубой по отношению к возмущениям класса С1 ( [185], § 9). Это озна-
означает, в частности, что любая система
х = р(х, у), у = q(x, у),
правые части которой в заданной окрестности точки @,0) достаточно близки в метрике
С1 (т.е. вместе с производными 1-го порядка) к правым частям данной системы, имеет
в этой окрестности только одну особую точку; эта точка близка к точке @,0) и тоже
является седлом.
Система х = х, у - у2 — негрубая, так как она имеет одну особую точку @,0), а си-
система х = х, у = у2 — а2, сколь угодно близкая к данной, если число а мало, имеет две
особые точки: @,а) и @,-а) в окрестности точки @,0).
Грубость или негрубость системы может зависеть от того, какие возмущения счи-
считаются допустимыми. Например, рассмотренная выше система х = у, у - х — грубая
относительно возмущений класса С1. Если же считать допустимыми возмущения, раз-
разрывные на прямой у - 0 и гладкие вплоть до границы в каждой из областей у < 0 и
у > 0, то эта же система не будет грубой, так как сколь угодно близкая система
х = У - &, У ~ х (у>0)
E > 0 сколь угодно мало) имеет три особые точки: седла @, —5) и @, 5) и центр
@,0). В этой главе допустимыми считаются возмущения, разрывные на заранее задан-
заданных линиях.
154

В конечной области G плоскости рассмотрим систему в векторной записи
(xGGCR2). A)
Область G конечным числом гладких линий конечной длины, которые могут иметь
общие концы, делится на конечное число подобластей G,f j = 1,...,/, в каждой из ко-
которых f, bf/dxi, bf/bx2 непрерывны вплоть до границы. На линиях разрыва исполь-
используется доопределение а) §4.
Пусть Cf — класс систем вида A), у которых линии разрыва класса Ср (п. 1 § 4)
и одни и те же для всех систем этого класса, а функции f {х) вместе с производными до
рто порядка включительно непрерывны в каждой из подобластей G7 вплоть до
границы.
Будем говорить, что система A) и система
х=7(х) B)
с теми же линиями разрыва Ь-близки в метрике С„ , т.е. II f — f II ^ <6, если в каждой
из подобластей G, компоненты вектор-функции f — /иих частные производные до по-
порядка т включительно не превосходят 5 по абсолютной величине.
Далее, в §§ 18—20, рассматриваются системы класса Cf, р> 1. Особыми точками
называются стационарные точки (в которых f(x) = 0 или f°(x) = 0; обозначения те
же, что в п 2 § 16), точечные особенности (см. п. 1 § 16) и все точки, в которых вектор
f(x) касается линии разрывал.е. f^{x) = 0 или f^ix) = 0.
Это определение не является чисто топологическим, так как использует понятие каса-
касания. Оно равносильно следующему определению. Особь/ми точками называются стацио-
стационарные точки, точечные особенности и бифурцирующие точки, т.е. такие, у которых
сколь угодно малая окрестность меняет топологическую структуру при некоторых
сколь угодно малых изменениях системы. Последнее означает, что для любого /т? > 1 и
любых сколь угодно малых е0, е < е0 и 6 найдется система B), <S-близкая в е0-окрест-
ности U() рассматриваемой точки к данной системе A) в метрике С™ и такая, что не су-
существует топологического отображения окрестности Uo, сдвигающего каждую точку
меньше, чем на б, и переводящего дуги траекторий системы B) в дуги траекторий
системы A) так, что обратное отображение тоже переводит дуги траекторий в дуги
траекторий.
Равносильность этих двух определений особой точки следует из лемм 1 -4. Эти лем-
леммы дают также информацию о том, какие особенности могут испытывать бифуркации,
а какие — нет: В этих леммах "особая точка" - это точка, удовлетворяющая второму
определению.
Лемма 1В области Gy гладкости функции f те точки, в которых fix) Ф0, не яв-
являются особыми. На линиях разрыва функции f те точкиf в которых //у (х)Ф 0,
f/vtx) ^0 (tf f ° (х) Ф0, если определена функция f° (x)), не являются особыми.
Доказательство. Пусть х0 G Gj, f(xQ) Ф 0. Из теоремы 3 § 12 следует, что
точка х0 не является точечной особенностью. Пусть х= ф (s) (^G С1, ^ =?0, \s\ </») —
дуга без контакта с траекториями системы A),^@) =xo,ax=^(f, s) (|г|<т) —
решение системы A) с начальным условием ^@, s) = \!/ (s); h и 7 столь малы, что эти .
решения содержатся в Gy и^(*1, $i ) ^s^(^2/ ^2) при (f^Sil Ф U:,*:)-
Если система B) достаточно близка к A), то х= ф (s) -дуга без контакта и для си-
системы B), и для ее решений х = <3 (t,s) с $ @,5) = ф (s) имеем
\fit.s)-fit,s)\<€ {\s\<h, |f|<r».
Отображение, которое точке ${t, s) ставит в соответствие точку ?(f, s), — топологиче-
топологическое. Структура окрестности точки х0 не меняется при переходе к близкой системе.
Точка х0 - неособая.
В случае, когда точка х0 лежит на линии разрыва, в качестве дуги х- ф {s) берется
часть этой линии. В остальном доказательство аналогично.
Случай, когда х0 — конец линии разрыва (тогда (v"(x0) = f^(x0) Ф 0), сводится к
предыдущему, если линию гладко продолжить за этот конец.
155

Лемма 2. Общая точка х0 нескольких гладких линий разрыва является неособой,
если она не является ни стационарной точкой, ни точечной особенностью, и если для
каждой из этих линий разрыва имеем fy(x0) ?=0, f^ (х0) ФО.
Доказательство. Пусть точка х0 не лежит на линейной особенности. Тогда в
некоторой ее окрестности нет линейных особенностей и на линиях разрыва
fN (x) fff (х) > О, т.е. траектории пересекают линии разрыва под ненулевым углом. Зна-
Значит, в окрестности точки х0 единственность не нарушается. В точке х0 тоже, так как
она не является точечной особенностью.
Лишь в одном секторе, на которые окрестность точки х0 делится линиями разрыва,
имеется траектория, входящая в точку х0 при возрастании t, и лишь в одном — выхо-
выходящая из этой точки. Траектории не касаются линий разрыва. Все это справедливо и для
любой достаточно близкой к A) системы B).
Через точку х0 проведем дугу 7 без контакта с траекториями системы A), не касаю-
касающуюся линий разрыва. Она будет дугой без контакта и для близкой системы B). Каж-
Каждую точку aGy отобразим в себя. Точки пересечения траектории х — <p(t,a)
{if@,a)= а) системы A) с линиями разрыва отобразим в точки пересечения траекто-
траектории х = $ (t, a) системы B) с теми же линиями разрыва. Получим в окрестности точки
х0 топологическое отображение границ секторов (линий разрыва и дуги 7) • На каждый
сектор его продолжим по траекториям. Если траектория х = \p(t, а) пересекает границы
сектора при t = tY \л t - t2t а траектория х = *p{t,a) — при t = т i и t = т2, то точке
spit, a) (t\ < t < Ы поставим в соответствие точку ${т,а), где г определяется из
условия
(Г- f I) :(f2 ~ tx) = (т- тх):(т2 -г,).
Если при t > t2 траектория х = ${t,a) уже не пересекает границы этих секторов, то
точке *р (t, а ) (t > f2) поставим в соответствие точку ${т, а), т —т2 = t — f2. Так как
траектории не касаются границ секторов, то функции f i = t\ (a) и т.п. непрерывны и
это соответствие — топологическое в окрестности точки х0. Структура окрестности не
меняется при переходе к достаточно близкой системе B). Точка х0 — неособая.
Пусть точка х0 лежит на линейной особенности /. Тогда / состоит из линий разрыва
L} и L ? с общим концом х0 и в силу условий на /д и fy принадлежит классу АА|.
В каждую точку а ? / с каждой стороны входит по одной траектории, и они не касают-
касаются линий разрыва. Поэтому с каждой стороны от / топологическое отображение можно
построить изложенным выше способом. И в этом случае точка х{) — неособая.
Лемма 3. Точка х0 на гладкой линии разрыва L или на ее конце в случае
fN (*о) f/j (х0 > = ° является особой.
Доказательство. Если в точке хс определена функция f° и f °(х()) = 0, то
точка х0 —стационарная, значит, особая. Рассмотрим другие случаи.
Пусть в сколь угодно малой окрестности точки х0 на L имеются точки (значит, и ду-
дуги), где /уу~(х)/у (х) < 0. Эти дуги принадлежат линейным особенностям класса АА,.
Если при этом в любой окрестности точки х0 имеются концы этих линейных особенно-
особенностей, т.е. точечные особенности, или точка х0 сама является таким концом, то х0 —
точечная особенность, значит, особая точка.
Если в некоторой окрестности точки х() таких концов нет, то х0 —неконцевая точка
линейной особенности класса AAj. В ее е0-окрестности fN и f^ не меняют знаков, на-
например, f^ > 0, f^ <0, а в точке х0, например, (v (х0) = 0. Положим f (x) = f(x) +ani}
в G ~ и в G*, где п0 — вектор, направленный в сторону области G * по нормали к L
в точке х0, а число а > 0 сколь угодно мало. Тогда в точке х0, значит и в некоторой ее
окрестности, fy > 0, Лу ^ ^, т.е. там траектории переходят через L из G ~ в G \ Струк-
Структура б о-окрестности точки х0 изменилась, значит, точка х0 — особая.
Пусть ^д(х)Лу(х) > 0 в некоторой е0-окрестности точки х0 на L, а в этой точке
f\{X())f*/v{xo) — 0. Тогда в этой окрестности нет линейных особенностей класса AAj
(следует из леммы 2 § 16). Положим
(xGG~), f(x) = f[x)-an0 (xEG*), C)
156

где вектор п0 тот же, что выше, |а| сколь угодно мало, а > 0, если ^(х0) > О,
f^(x0) < 0, а <0 в остальных случаях. Тогда ^(хо)?^(хо) < 0, значит, точка х0 лежит
на линейной особенности класса АА]. Структура окрестности точки х0 изменилась,
значит, точка л0 —особая.
Лемма 4. Общая точка х0 нескольких гладких линий разрыва в случае, когда
хотя бы для одной из этих линий f^(x0) f^ (х0) =0, является особой.
Доказательство проводится тем же способом, что в лемме 3, со следующим
дополнением. Если х0 — неконцевая точка линейной особенности /, то вблизи точки х0
линия / состоит из дуг двух линий разрыва (Z.; и Lk) и выходит обоими концами на
границу ео-окрестности точки х0 в точках а; и ак. Если при этом для линии Lk (или
Lf ) fN{x) > 0 (|х - х0 | <е0), f*N(x0) = 0, то при переходе к функции /(х) =
= f (х) + ап0 (см. доказательство леммы 3) часть линии Lk (или /., ) перестает быть
линейной особенностью. В достаточно малой е-окрестности линии / система B) уже не
имеет линейных особенностей, соединяющих точки а} и ак (или близкие к ним). Тогда
не существует топологического отображения, переводящего траектории системы A) в
ео-окрестности точки х0 в траектории системы B) и сдвигающего каждую точку мень-
меньше, чем на е. Значит, х0 — особая точка.
Если же для обеих линий L} и Lk имеем
но для какой-нибудь третьей линии разрыва Lm имеем fу(х0) - 0, то линия Lm вблизи
точки х0 не содержит дуг линейных особенностей (иначе точка х0 была бы точечной осо-
особенностью) . Тогда при переходе к функции C) на Lm появляется линейная особенность
с концом х0 и при достаточно малом а линии Lj и Lk остаются линейными особенно-
особенностями в силу D). Для системы B) точка х0 является точкой стыка трех линейных осо-
особенностей. Топологическая структура окрестности точки х0 меняется при переходе к си-
системе B), и х0 — особая точка.
2. Пусть Аи А- системы A) и B). Система А в области Н с тождественна ([185],
стр. 41) системе А в области И, т.е.
(Н,А ) = (Н,А),
если существует такое топологическое отображение области Н на область Н, при кото-
котором каждая точка сдвигается меньше, чем на е, а траектории и особые точки системы А
переходят в траектории и особые точки системы А, и если обратное отображение обла-
обладает этими же свойствами. Такое отображение в дальнейшем называется е-отобра-
жением.
Пусть система А класса CJ в области G, a W — замкнутая или открытая подобласть,
WCG.
Система А называется грубой ( [185], стр. 64) в области W, если существует такая
область И, WСИ СИ CG, что для любого б > 0 найдется такое 6 > 0, что для каждой
системы А, б-близкой к А в С,1 (G), найдется такая область И, что
(И .А) = (Н,А). E)
Можно показать, что грубость или негрубость системы А в области И^не зависит от того,
какова область G Э W.
Замечание. Пусть D С G. Если для любого € > 0 найдется такое б > 0, что для
каждой системы А, 5-близкой к А в С} [G). найдется такая область D, что
(D, А) = @, А), то система А не обязательно груба в 0 (пример в [185], стр. 482),
но груба в любой подобласти W, строго внутренней для 0 (в самом деле, тогда условие
E) выполнено, если взять Н - 0).
Если система А груба в W, то найдется такая область Нх, содержащая Нестрого
внутри, что система А груба и в области Нх.
Из определения грубости следует, что если система груба в некоторой области, то она
груба и в любой подобласти. Это позволяет дать следующее определение. Траектория
157

или ее часть (дуга, точка) называется грубой, если у нее существует окрестность, в ко-
которой система является грубой.
Обыкновенная точка (в которой f(x) Ф 0), лежащая внутри области G; гладкости
функции f(x) в A), является грубой. Грубой является также любая точка или дуга
гладкой линии разрыва, если в этой точке или на этой дуге fN(x)f^{x) Ф0 (и f ° (х) т^О,
если fx(x)fftix) < 0). Это следует из доказательства леммы 1.
Грубыми являются также лежащие внутри Gy особые точки типа "седло", "узел",
"фокус", если матрица линеаризованной (в рассматриваемой особой точке) системы
имеет Re X |2 Ф 0 ([185], §§ 8, 9). При наличии хотя бы одного собственного значе-
значения X с Re X = 0 особая точка - негрубая {[185], стр. 75, 103).
Лежащая на линии разрыва точка может быть как грубой, так и негрубой, даже в том
случае, когда в ее окрестности траектории расположены топологически так же, как в
окрестности обыкновенной точки. Например, для системы
К=1 (К<О), к = х2 (к>0); х = 1 F)
через каждую точку проходит единственная траектория. Точка @, 0) в топологическом
отношении ничем не выделяется. Сколь угодно близкая к F) (при малых а Ф 0)
система
К=1 (к<0), у = х2-а2 (к>0); х=1 G)
имеет линейную особенность — линию —а < х<а, к = 0, в точках которой траектории
сливаются. Значит, система G) не б-тождественна системе F). Поэтому система F) —
негрубая в любой окрестности точки @, 0) и эта точка — негрубая.
Любая точка или дуга линейной особенности класса АВ для системы A) - негрубая,
так как сколь угодно близкая к A) система B) с функцией f вида C) имеет линейную
особенность уже другого класса — класса АА {.
Грубые системы можно назвать системами нулевой степени негрубости. Среди негру-
негрубых систем можно последовательно выделить системы 1-й, 2-й и т.д. степеней негрубо-
негрубости. Пусть к > 1 и системы 0-й,..., {к—1) -й степени негрубости уже определены.
Система А класса C*k+l в области G называется системой к-и степени негрубости
([185], стр. 217, 338) в области W, WCG, если А не является системой меньшей степе-
степени негрубости в W и если существует такая область Н, W С И С Н С G, что для любого
е > 0 найдется такое 5 > 0, что каждая система А, 5-близкая к А в метрике С™ + I (G),
или имеет в W степень негрубости меньше к, или для нее существует область Н, в кото-
которой [Н,А) = {Н,А).
Система А класса С~ имеет степень негрубости оо в области W, если для любых 5 > 0
и к существуют системы степени негрубости > к в области И/, 6-близкие к А в мет-
метрике С**+|-
Из этих определений следует, что система км степени негрубости в области W имеет
в любой подобласти степень негрубости не больше к.
Пусть последовательность областей Go D Gt D G2 3 ... стягивается к точке айв
области G, система имеет степень негрубости kh Тогда к0 > кх > к2 > ... и существует
такое/, что Аг, = kj для всех / > /. Для каждой содержащей точку а области G CGj
найдется такая область G/, что а Е G/ CG CG; , поэтому в G степень негрубости систе-
системы равна kj. Это число kj называется степенью негрубости точки а. Таким образом, сте-
степень негрубости точки а для системы А есть степень негрубости этой системы в каждой
достаточно малой области, содержащей точку а. Аналогично определяется степень
негрубости траектории.
Выбор класса гладкости С]к +1 в определении системы км степени негрубости опре-
определяется свойствами особых точек типа сложного фокуса { [185], стр.264) и лежащих
на линиях разрыва и их пересечениях особых точек, состоящих только из секторов клас-
классов G, L , S, So (пп. 2, 3 § 17). При отсутствии таких точек класс C%k + l можно
заменить классом C* + l.
158

3. Число х0 называется корнем кратности г функции f(x) GCr (a <х<0), если
fixo) = O, fu)ixo)=0 (i<r), f(r)(xo)*0, r>\. (8)
Следующие леммы близки к утверждениям п. 3 § 1 [185] и доказываются теми же
методами.
Лемма 5. Пусть х0 — корень кратности г функции f E Cr, f(x) Ф 0 при
а < х < х0 ^ при *о < * ^ 0. Тогда для любого е > 0 найдется такое 5 > 0, что любая
функция f, при каком-нибудь m> r удовлетворяющая неравенству
U-f\\cm < б, (9)
может иметь на отрезке [а, 0] не больше г корней; все они лежат на интервале
(х0 — е, х0 + е); сумма их кратностей равна г или меньше на четное число.
Лемма 6. Пусть f{x)E Ср[а, Ь], р > 1, х0 Е {а, Ь) и
0. A0)
Тогда для любых е > 0, б > 0, /т? > 1,1 <Аг <р существует функция f(x) E Ср, удовлет-
удовлетворяющая неравенству (9), совпадающая с f(x) при |х - хо| > е и имеющая на
отрезке | х — х0 I < е /2 корень х0 кратности р+ 1 — к и еще не менее к различных кор-
корней с,-.
Замечание 1. Можно добиться того, чтобы любое заданное число /< к кор-
корней с,- лежало на интервале (х0 — е/2, х0).
Замечание 2. Можно сделать так, чтобы корни с,- были простыми, т.е. имели
кратность 1.
Л е м м а 7 ( [64], стр. 248). Если f{x) - непрерывная функция ограниченной ва-
вариации на [а, Ь], то при почти всех с функция f(x)—c имеет лишь конечное число кор-
корней на [а, Ь].
Утверждение леммы справедливо, в частности, для всех функций класса С1 [а,Ь].
Лемма 8. Пусть функция f{x) G Ср имеет на отрезке [а,Ь] бесконечно много
корней, х0 — одна из предельных точек для корней. Тогда для любых б > 0 и m > р
найдется функция f(x) Е Ср, удовлетворяющая (9) и имеющая на [а,Ь] только конеч-
конечное число корней, из которых корень х0 имеет кратность р.
Доказательство. Применяя к f, f ',..., f(p " ' * теорему Ролля, получаем, что
ff* (/ = 1, ...,р) имеет на [а, Ь] бесконечно много корней с предельной точкой х0. В этой
точке справедливы равенства A0). Для заданных бит функция
при всех aE (a!, 2а,), где а, > 0 достаточно мало, удовлетворяет (9) и имеет корень
х0 кратности р. В силу A0) для некоторого т/> 0
fix; a,) > 0 (х0 < х < х0 + т?), (-1 )pf(х; а,)> 0 (х0 - т? < х < х0).
То же справедливо для fix; a) при всех a G (a,, 2a,).
По лемме 7 найдется такое a E (a,, 2а,), что функция
f(x; а) (х-х0Гр = Пх) (х-х0) р +а
имеет на отрезках [а, х0 - т?] и [х0 + J?, Ь] только конечное число корней. Тогда f{x) =
= f(x, a) удовлетворяет всем требованиям леммы.
4. При исследовании грубости системы с гладкими правыми частями надо выяснить,
являются ли грубыми ее особые точки, замкнутые траектории и имеются ли траекто-
траектории, у которых обе полутраектории являются сепаратрисами ([185], стр. 165). По это-
этому же плану исследуется грубость систем с кусочно непрерывными правыми частями
класса С\. Условия грубости особых точек таких систем получены в [186], см. ниже
§§ 19, 20, а здесь рассматриваются замкнутые траектории, сепаратрисы и линейные
особенности. При этом оказывается, что кроме траекторий надо рассматривать также
линии, составленные из частей траекторий. С помощью таких линий в п. 3 § 17 строи-
159

Рис. да
Рис. 49.
лась функция последования и определялся топологический класс особой точки, окрест-
окрестность которой состоит из секторов G, L.S. Покажем, что такие же составные линии мо-
могут играть роль сепаратрис, идущих из одной особой точки в другую. Особые точки
понимаются в смысле определения, данного в п. 1. Сепаратриса особой точки опреде-
определяется так же, как определялась сепаратриса точечной особенности в п. 1 § 17.
На рис. 48 система с двумя линиями разрыва [тп и pq) содержит сепаратрисы ab и
cd точек а и d. Эти сепаратрисы вместе с дугой be траектории составляют линию abed,
которая идет из одной особой точки в другую и у которой оба конца являются сепа-
сепаратрисами. Наличие такой линии приводит к негрубости системы. В самом деле, меняя
сколь угодно мало наклон траекторий между линиями тп и pq, можно получить систе-
систему, в которой концы бис сепаратрис ab и dc не соединены траекторией (рис. 49).
Такая система имеет уже другую топологическую структуру. Следовательно, система,
изображенная на рис. 48, — негрубая.
Система, изображенная на рис. 49, является грубой, если особые точки а и d — гру-
грубые. В этом случае точки а и d соединены линией abecd, состоящей из дуг траекторий и
содержащей часть ее линейной особенности.
Сказанное приводит к следующему определению [186].
Линия, составленная из последовательно расположенных дуг траекторий, называется
политраекторией, если она не проходит через особые точки и не содержит дуг линей-
линейных особенностей.
Политраекториями являются линии abed и a'b'cd' на рис. 48 и не является линия
abecd на рис. 49.
Из этого определения и теорем о существовании, единственности и продолжении ре-
решений следует, что для системы класса С[ через каждую неособую точку проходит
единственная политраектория. Она продолжается или неограниченно, или до границы
рассматриваемой области, или до особой точки. Политраектория может пересекать ли-
линейные особенности классов АА, и ААз. Другие линейные особенности в соответствии
с определением п. 1 состоят из особых точек, и поли траектория, если достигает такой
точки, заканчивается. Политраектория может быть также замкнутой кривой без само-
самопересечений.
Каждая неконцевая точка политраектории является или точкой единственности, или
точкой, в которой поли траектория пересекает линейную особенность, переходя с одной
ее стороны на другую. Поэтому две различные (из которых каждая не является продол-
продолжением другой) политраектории могут иметь общими только концы — особые точки.
Политраектория может касаться линии разрыва правой части системы только своим
концом (так как точка касания траектории с линией разрыва является особой;
см. п. 1).
Двойной сепаратрисой называется траектория или пол и траектория, у которой обе
концевые дуги являются сепаратрисами.
160

Лемма 9 [186]. Система, грубая в ограниченной замкнутой области W, может
иметь в этой области только конечное число особых точек.
Следствие. Линейные особенности грубой системы могут принадлежать только
классам АА{ и АА3.
В самом деле, линейные особенности других классов состоят из особых точек. Гру-
Грубая система имеет только конечное число особых точек.
Лемма 10 [186]. Система, грубая в области W, не может иметь двойных сепара-
сепаратрис, содержащихся в этой области.
Доказательство. Предположим, что система А вида A), грубая в области W,
имеет двойную сепаратрису ab CW. Пусть Н - такая область, как в определении гру-
грубости, W С Н. Тогда для некоторого р0 > 0 замкнутая р0-окрестность V сепаратрисы
ab содержится в Н и не содержит других особых точек, кроме а и/).
Пусть точка х0Е ab такова, что в ее окрестности f(x) € С1, и f{x0) Ф 0. Тогда для
некоторого р ? @, р0) угол между векторами fix) и f(x0) меньше я/4 при | х - х0 \ <
< р. Положим для системы B)
-хо1К A1)
где v Ф 0 - вектор, ортогональный вектору f (х0), число а > 0 сколь угодно мало, а
т?(?) - функция класса С°° @<?<°°),
= 0
Тогда вне р-окрестности U точки х0 траектории и поли траектории системы B) те же,
что у A), а внутри U траектории системы B) пересекают траектории системы A),
все в одном направлении, например, слева направо. Вне U, но в той же области глад-
гладкости функции f (х), через точку р дуги xob Cab проведем сечение S (дугу без кон-
контакта) (рис. 50). Рассмотрим политраекторию Т2 системы B), совпадающую с сепа-
сепаратрисой ab системы A) на участке от точки а до входа в U. В U она уже не совпа-
совпадает с ab и пересекает сечение S в точке/о(а), непрерывно зависящей от а и стремящей-
стремящейся к р при а -* 0.
Так как ab — сепаратриса точки Ь, то существует такая последовательность дуг траек-
траекторий BjbjCi (или 3,-Ь/), /=1,2,..., что
a, bj -» aob С ab, p(chb)> e0
(или точка bj лежит на линейной особенности). Эти дуги, продолженные за точку а, как
политраектории, пересекают S в точках р, -* р. Существует последовательность а, -*
-> 0 (/ -* °°), для которой р(а,-) = pi•. При а = а, политраектория Т2, являющаяся сепа-
сепаратрисой точки а, после пересечения с S в точке p{ot,) = р, далее идет по дуге а,А-с, и
Рис. 50.
выходит из ео-окрестности точки b (или в точке bt достигает линейной особенности).
По определению сепаратрисы, на ее дуге а0Ь нет точек линейных особенностей, поэто-
поэтому в обоих случаях при достаточно малых е е-отображение, переводящее траектории
системы A) в траектории системы B), не может переводить двойную сепаратрису ab
в политраекторию Т2.
С другой стороны, сепаратрису ах0 точки а оно должно переводить в сепаратрису
точки а. Но для грубой системы особая точка а может иметь только конечное число
сепаратрис (следует из [186]). Поэтому при достаточно малых е с-отображение не мо-
может переводить сепаратрису ах0 ни в какую другую, кроме сепаратрисы Г2, совпадаю-
совпадающей с ах0 вблизи точки а. Это противоречит сказанному выше. Значит, предположение
о существовании двойной сепаратрисы неверно, и лемма доказана.
1 1 . А.Ф. ФИЛИППОВ f?f

У грубых систем класса С\ грубыми являются не только замкнутые траектории, но
и замкнутые поли траектории. Пусть замкнутая политраектория Г пересекает последова-
последовательно гладкие линии разрыва L ,, . . ., Lk функции fix). По свойству политраекторий,
пересечение происходит без касания. Пусть еще Т пересекает без касания гладкую
дугу /.о, лежащую в области гладкости функции f(x) или совпадающую с Lk. Линии
Lj заданы параметрически:
х = /,(а,) ЕС1, I'M) Ф 0 (а, < а, < 0.).
Политраектория Т выходит из точки х* = 1{)(о*) G [0 и возвращается на Lo в ту же
точку. С помощью теоремы о дифференцируемости решения по начальным условиям и
Рис.51.
теоремы о неявной функции легко получить, что из любой точки х0 = /0(сг0) Е Lo,
достаточно близкой к х*, выходит поли траектория, проходящая вблизи Г, пересекаю-
пересекающая линии L 1, . . . , Lk в точках /,- (о,-), / = 1, . . ., к, и возвращающаяся на Lo в точке
*к +1 = 1о(°к +1). и что для этих точек пересечения функции
а/+| =а| + |(а/)еС1, а/+|(а#.)#О. / = 0,1 к. A2)
Функция i//(a0) = ал + ,(ал ( . . . ai(o0). . . )) ЕС1 называется обобщенной функцией
последования. Политраектории не пересекаются, поэтому ф(о0) возрастает; ф (а0) #
#0. Политраектория замкнутая тогда и только тогда, когда ф(о()) = а().
Если политраектория проходит через точку стыка нескольких линий разрыва, то эта
точка — неособая (по определению политраектории). Поэтому в ее окрестности векто-
векторы f(x) не касаются линий разрыва. Подобно предыдущему доказывается, что тогда
существуют левая и правая производные ф'_(о0) и ф[(о()) функции ф(о()).
Лемма 11 [ 186]. Для грубости замкнутой политраектории, пересекающей дугу L 0
в точке х* = /0 (а^), необходимо и достаточно, чтобы
Замечание. В отличие от поли траекторий, траектории систем класса С\ могут
сливаться и могут проходить через особые точки. Поэтому не всякая замкнутая
траектория является политраекторией. Для таких замкнутых траекторий не всегда
справедливы утверждения, доказанные для политраекторий.
Например, у грубой системы устойчивый предельный цикл или его часть может
являться линейной особенностью класса AAt. В этом случае ф(о0) = const на не-
некотором интервале У\ <[ а0 <С Уг •
Далее, грубая система может иметь несчетное множество замкнутых траекторий,
проходящих через особую точку. Например, у системы
х = 2 + sgn х - 2 sgn у, у = 2 + 2 sgn x - sgn у,
доопределяемой на линиях разрыва согласно а) § 4, замкнутыми траекториями яв-
являются трехзвенные ломаные с вершинами (-3,0), @,0) и @,з) для любого
а>0 (рис.51).
Теорема 1 [186]. Для грубости системы A) класса С\ в замкнутой ограничен-
ограниченной области необходимо и достаточно, чтобы она не имела двойных сепаратрис, чтобы
162

особых точек и замкнутых политраекторий (если они есть) было только конечное
число и чтобы все они были грубыми.
Для систем класса С1 подобная теорема доказана в [185] (стр. 165).
§ 19. Особые точки на линии разрыва
Здесь изучаются особые точки и точечные особенности, лежащие на линии разрыва
правых частей системы двух дифференциальных уравнений. Устанавливаются ана-
аналитические критерии принадлежности этих точек тому или иному топологическо-
топологическому классу. Указываются все грубые особые точки и точки первой степени негру-
негрубости, а также некоторые другие.
1. Чтобы исследовать систему, правые части которой разрывны на гладкой линии,
можно сделать гладкое преобразование, при котором эта линия переходит в отрезок
оси Ох. Поэтому далее рассматриваются системы, с правыми частями, разрывными на
оси Ох.
В области G, разделенной осью Ох на части G " (у < 0) и6+ (у > 0), рассмотрим
систему
х = Р(х,у), у = О(х,у). A)
Пусть Р, Q € С*, к > 1. Это значит, что
Р = Р~(х,у), Q = Q'(x,y) в G", Р = Р+(х,у), Q = Q + (x,y) в G+,
По тем отрезкам оси Ох, где Q~(x, 0)Q+(x, 0) < 0, возможно движение со скоростью
х = Я°(х), к = 0. B)
Функция Р°(х) определена и принадлежит Ск на этих отрезках всюду, может быть,
кроме точек, где
Q-(x, 0) = G + (x, 0) = 0f P-(X. 0) Ф PUx, 0). C)
Предполагается также, что
Р°(х) = Р-(х,0), если О'(х,0) = 0, G + (x,0)*0,
Р°{х) = Р+(х,0), если Q+(x,0) = 0, О~(х,0)Ф0. <4)
Эти условия выполнены, в частности, при доопределении а) § 4. В этом случае
f{x)
Р°(х)= . f(x) = P+(x,0)Q-lx,0)-p-(x,0)Q+(x,0). E)
Q-(x.O) -Q+(x,0)
2. Исследуем случаи, когда функции Q~{x, 0), Q*(x, 0) и Р°(х) могут обращаться
в нуль только в изолированных точках. Согласно п. 1 § 18 только эти точки и будут
особыми. Имеются 6 типов таких точек [187], характеризуемых следующими условия-
условиями (значения всех функций берутся в рассматриваемой точке (с, 0) оси Ох):
1.Q-Q+<0f Я°(с)=0.
2. <Э+=0, О'ФО, Р+Ф0 или Q- = 0f О+Ф0. Р~Ф0.
3. Q" = Q+ = 0f Р-Ф0, Р+Ф0.
4. A>+=Q+=O, Q-^0 или />- = Q- = 0, Q+Ф0.
5. Q" = Q+=0 и только одна из функций Р~, Р+ равна 0.
6. P~ = Q- = P+ =Q+ =0.
Для каждого из этих типов исследуем возможные расположения траекторий вблизи
рассматриваемой точки (с, 0).
Т и п 1. Пусть в точке (с, 0)
СГ>0, O+<0f Я°=0 ' F)
(случай Q" < 0, Q* > 0, Р° - 0 сводится к рассматриваемому заменой t на -1 в систе-
системе A)). В окрестности точки (с, 0) имеем \у\ > const > 0, |х| < const (прик^О),
поэтому из некоторой меньшей окрестности этой точки все решения за конечное время
попадают на ось Ох. После этого они остаются там и удовлетворяют системе B). Так
11* 163

X
Рис. 52.
Рис. 5а
Рис. 54.
I и mi
Рис 55.
Рис. 56.
как х = с - изолированный корень функции Р^{х), то при малых | х - с | возможны 3
случая (при условии F)).
1а. В случае (х - с)Р°(х) < О (х Фс) решения по оси Ох с обеих сторон приближают-
приближаются к точке х = с. Эта точка — устойчивый узел (рис. 52). Пример: х = — х, у = — sgn у.
1Ь. В случае (х — с)Я°(х) > 0 (х Ф с) решения по оси Ох с обеих сторон удаляются
от точки х = с. Эта точка - седло (рис. 53). Пример: к = х, у = - sgn у.
1с. В случае, когда Р°[х) имеет один и тот же знак при х < с и при х > с, решения по
оси Ох с одной стороны приближаются к точке х = с, а с другой - удаляются от нее.
Эта точка - седлоузел (рис. 54). Пример: х = х2, /=-sgnH.
Итак, тип 1 содержит 3 топологических класса:
класс 1а - узел, состоящий изсекторов QQQQ (обозначения те же, что в п. 3 § 17);
класс 1Ь — седло из секторов КККК;_
класс 1 с — седлоузел из секторов KQQK.
Топологическая эквивалентность особых точек, принадлежащих одному и тому же
классу, следует из теоремы 2 § 17.
Если требование изолированности особых точек заменить требованием конечности
числа линейных и точечных особенностей, то функция Р°{х) сможет обращаться в нуль
в отдельных точках и на целых отрезках. Эти отрезки будут линейными особенностями
класса АА2, а их концы — точечными особенностями. На рис. 55 точка а — полуузел,
точка b - полуседло.
Т и п 2. Пусть в точке (с, 0)
Q->0, Q+=0, />+>0 G)
(другие случаи сводятся к этому заменами переменных). В некоторой окрестности
этой точки
К>const > 0 при у<0, х>const >0 при у>0.
Из той части окрестности, где у < 0, решения попадают на ось Ох. При у > 0 возможны
следующие случаи:
2а. Если (х — c)Q (х, 0) > 0, то в каждую точку (х, 0). где с — 5 < х < с, приходит
одна траектория из области у > 0, а из каждой точки (х, 0), с < х < с + 6, уходит в
эту область одна траектория. Пределом этих траекторий является траектория, прохо-
проходящая через точку (с, 0) и лежащая в области у > 0 (рис. 56). По участку с - б <х <с
оси Ох проходит траектория, для нее х =Р° (х) > 0 в силу D). Пример:
x = 0f к=1 (к<0); х=1. к = х
2Ь. Если (х — c)Q*(x, 0) < 0, то из точек (х, 0), с — б < х < с уходят траектории в
область у > 0, а в точки (х, 0), с < х < с + 6 приходят траектории из этой области. Так
164

Рис. 57.
Рис.60.
Рис. 58.
7/77Г ТтТ
Рис. 59.
Рис.61.
Рис. 62.
Рис. 63.
как вблизи точки (с, 0) при у > 0 имеем х > const > 0f \у\ < const, то названные
выше траектории пересекают некоторый отрезок х = с, 0 <к ^У\ • Через точки этого
отрезка, достаточно близкие к (с, 0), проходят траектории, выходящие обоими концами
на ось Ох (рис. 57). По участку с <х <с + б оси Ох проходит траектория, для неех =
= Р°(х)>0 всилу D). Пример: х = 0, к= 1 (К<0); х= 1, к=-х (у>0).
2с. Если Q+(x, 0) > 0 при 0< I х - с | <б,то все траектории в окрестности точки
(с, 0) переходят из области у <0 в область у > 0 (рис. 58). Пример:
х = 0, К=1 (к<0); х=1, к = *2
2d. Если Q+(x, 0) < 0 при 0 < I х — с | < б, то все траектории в окрестности точки
(с, 0) вливаются в траекторию, лежащую на оси Ох (рис. 59). Ось Ох -линейная осо-
особенность класса АА,. Пример:
х = 0, к=1 (к<0); х=1, к = -х2 (к>0).
Таким образом, тип 2 состоит из 4 топологических классов: 2а (окрестностьособой
точки состоит из секторов HQQH), 2Ь (секторы КК), 2с (секторы НИ), 2d (секторы
KQQK). Во всех этих случаях точка (с, 0) не является стационарной точкой, так как
из G) и D) следует, что в тех случаях, когда имеются решения, лежащие на оси Ох,
для них х = Р°(х) > 0. Этим отличается, в частности, класс 2d от класса 1с.
Если требование изолированности особой точки заменить требованием конечности
числа точечных и линейных особенностей, то функция О*(х, 0) сможет обращаться в
нуль на целых отрезках. Они будут линейными особенностими_класса_АВ, а их концы -
точечными особенностями (рис. 60-63, классы НК, HQQK, НОИ, КОК).
Т и п 3. В точке (с, 0)
Q-=0f P>0, Q*=0, Р+Ф0. (8)
Поэтому в каждой из полуокрестностей этой точки траектории могут быть расположе-
расположены так же, как в верхней полуокрестности точки (с, 0) на любом из рис. 56—59. Таким
образом, имеются следующие возможности (рис. 64 - 71).
Каждому рисунку соответствует несколько топологических классов расположения
траекторий в зависимости от того, имеют ли Р~ и Р+ одинаковые или разные знаки, и
в некоторых случаях в зависимости от знаков Р°(х) с обеих сторон от рассматриваемой
165

Рис.64.
Рис. 65.
Рис. 66.
Рис. 67.
Рис.
Рис. 69.
/УУУ/
Рис. 70.
Рис.71.
точки (с, 0). При доопределении а) § 4 в случае Р~Р* > 0 точка (с, 0) - нестационарная,
а в случае Р~Р+ < 0 - стационарная.
На рис. 64 в^лучае Р~Р* < 0 - седло (класс НННН), а в случае Р~Р* > 0 - квазисед-
квазиседло (класс QHQQHQ) с траекторией, идущей по оси Ох. На рис. 65 и 70 в случае Р~Р+ > 0
точки топологически не отличаются от обыкновенных (класс НН), а в случаеР~Р+ < 0
имеются по три класса (GQHQ, LKHK, SQHK для рис. 65, QQQQ. KKKK, KQQK для
рис. 70) в зависимости от направления движения по оси Ох с обеих сторон от особой
точки. На рис. 66 в случае Р~Р+ > 0 — один топологический класс QHHQ, а в случае
Р-Р* < 0 - два класса: НККН и HQQH. На рис. 67 и 68 в случае Р~Р+ < 0 - классы Ро
(фокус) и О0 (центр), а в случае Р~Р* > 0 - классы И(ф) с \p(s) Ф s (квазифокус)
и с \p{s) = 5 (квазицентр); случаи центрофокуса здесь не рассматриваются. На рис. 69
в случае Р~Р* > 0 - класс КК, а в случае Р'Р+ < 0 - классы QQ и КК. На рис. 71 в слу-
случае Р~Р*<0 — класс НН, а в случае Р~Р* > 0 точечной особенности нет —
класс KQQK.
Каждый из этих классов состоит из одного или нескольких топологических классов
в зависимости от того, входят ли траектории по оси Ох в особую точку за конечное или
бесконечное время. Всего получается 39 топологических классов (в случае аналитичес-
аналитических функций Р", Q~, P + , Q+ - 24 класса).
Тип 4. Из одной полуплоскости траектории достигают оси Ох, не касаясь ее, а в
другой полуплоскости на ее границе имеется стационарная точка. Она может быть лю-
любой стационарной точкой, которая возможна у системы класса С1. Поэтому тип 4
содержит бесконечно много топологических классов. Простейшие из них будут пере-
перечислены в п. 5.
Тип 5. В одной полуплоскости вектор (Р, Q) касается оси Ох в рассматриваемой
точке, и траектории расположены как в области у > 0 на любом из рис. 56 — 59. Для
системы в другой полуплоскости рассматриваемая точка — стационарная, любого вида.
Т и п 6. Рассматриваемая точка является стационарной как для системы х = Р~,
у = Q~, так и для системы х = Р+, у = О+. Картина расположения траекторий вблизи
этой точки склеена из двух картин полуокрестностей любых стационарных точек.
Каждый из типов 5 и 6 содержит бесконечно много топологических классов.
166

Покажем, что грубые особые точки содержатся только в типах 1 и 2, а особые точки
1-й степени негрубости — только в типах 1—4,
Лемма 1 [ 188]. Изолированные особые точки типов ЗиЛ- негрубые.
Доказательство. Пусть {с, 0) — изолированная особая точка типа 3 систе-
системы А вида A), т.е. в этой точке выполнены условия (8). Для любого с,, близкого
к с, рассмотрим систему А, получаемую из А заменой G+(x, у) на функцию О+(х, у) —
- Q+(c,, 0). Система А имеет в некоторой 2е-окрестности И точки (с, 0) только одну
особую точку - точку (с, 0), а при i c*i - с |<е система А, сколь угодно близкая к А,
если |с, — с\ достаточно мало, имеет в е-окрестности точки (с, 0) две особые точки:
(с, 0) и (cif0). Поэтому {Н, А)^ (Н,А) для любой области Н. Значит, точка (с, 0) -
негрубая.
Пусть (с, 0) - особая точка типа 4 системы Айв этой точке Я+ = Q+ = 0, Q~ Ф 0,
а в ее 2е-окрестности И нет других особых точек. Возьмем сколь угодно малое ух > 0.
Система А, получаемая из А заменой Р*{х,у) и Q*{x,y) на функции Р+{х, у) —
-Р + {с, У\) и Q + (x, у) -Q+(c, У\), сколь угодно близка к А и имеет особую точку
(с, ух). При у >0 система А класса С1, поэтому нет траекторий, входящих в эту осо-
особую точку за конечное время. У системы А в особую точку (с, 0) из области ><0
входит за конечное время траектория, т.е. особая точка лежит на этой траектории.
Поэтому для любой области Н имеем (Н, А) # (И, А), и точка (с, 0) - негрубая.
Лемма 2 [188]. Изолированная особая точка типа 5 не может иметь степень не-
негрубости ниже 2, а типа 6 — ниже 3.
Доказательство. Пусть у системы А точка {с, 0) типа бив ней Q~ = Q* =
= />+«=0, Р'ФО. При с,, достаточно близком к с, система А, получаемая из А за-
заменой функций Р + (х,у), Q + (x, у) на
Р + (х, у) = Р+(х, у) - Р + (с,, 0), Q + (x, у) = Q + (x, у) - QUcx, 0), (9)
имеет в окрестности точки {сх,0) две особые точки: (с, 0) типа2 и (clf0) типа 4.
Поэтому система А не е-тождественна системе А. По лемме 1 система А — негрубая,
значит, система А не может иметь степень негрубости ниже 2.
Пусть (с, 0) — точка типа 6 системы А. Система А. полученная заменой (9), имеет
две особые точки типа 4: (с, 0) и (с{, 0). Поэтому она не е-тождественна системе А.
Сдвинув осп%ю точку (?}, 0) в область у > 0, как в доказательстве леммы 1, получим
систему А*, не е-тождественную системе А и имеющую особую точку (сх.у\) и не-
негрубую особую точку (с, 0). Поэтому система А — негрубая, система А не может иметь
степень негрубости ниже 2, а А — ниже 3.
3. Укажем все грубые и негрубые изолированные особые точки типов 1 и 2, а также
некоторые их бифуркации. Предполагается, что система A) в области G удовлетворяет
условиям п. 1. На линии разрыва используется доопределение в) § 4.
Лемма 3 [187] . Если (с, 0) - особая точка типа 1 [или 2) системы A), го в не-
некоторой окрестности этой точки любая достаточно близкая (в метрике С\) система
может иметь особые точки только того же типа.
Доказательство следует из того, что неравенства Q~ (х, 0) Q+ {х, 0) < 0
для типа 1 иО~(х,0) Ф 0, Р+ (х, 0) Ф0 для типа 2 справедливы и в окрестности точки
(с, 0); они сохраняются и для всех достаточно близких систем.
Пусть на отрезке Г (а<х<Ь) оси Ох имеется только конечное число особых точек
(ct, 0), / = 1,... ,m {m > 0) системы А вида A), все они типа 1, точки х = аих=Ь —
неособые. Тогда функции Q ~ и Q+ на этом отрезке сохраняют знаки, и в некоторой его
окрестности V имеем I Q(x,y) I >const >0 при уФО, Содержащуюся в V замкнутую
область, ограниченную 4 дугами траекторий, выходящими из концов отрезка, и двумя
отрезками прямых у = ±п (рис. 72), назовем областью типа 1.
Лемма 4 [187]. Рассмотрим систему А в области И типа 1. Для любого е>?
найдутся числа 5 >0 и т? >0, обладающие следующим двойством. Пусть система А
Ь-близка к А в метрике С\ и для системы. А функция Р°(х) имеет на отрезке [а, Ь]
корни только в точках с/, I с} — Cf! < ц, / = 1,..., т.
167

Тогда найдется такая область Н, что (Н, А) = (Н, А).
До казательство. Пусть
а =с0
.. .<c
2tj< min
Каждый из отрезков [ct,Cj+l] отобразим в отрезок [cf.cj+j] линейно. Получим топо-
топологическое отображение | = ф{!?) отрезка [a,b] l себя, I ? — % \ <tj. При достаточно
малых 6 и г/ функция Р° имеет на каждом интервале (cj", c/+1) тот же знак, что функ-
функция Я0 на интервале (c/f c/+ i).
Траектории системы А удовлетворяют уравнению dx/dy = P/Q. Пусть х=$(у, %) -
его решение с начальным условием <р (О, ?) = |, а х = *р {у, {•) — аналогичное решение для
Рис. 72.
А. Отображение, ставящее в соответствие каждой точке {^(у, %), у) Е Н точку
(Ф(У, \М?)), У). — топологическое. Оно переводит траектории системы А в траектории
системы А и при достаточно малых бит? сдвигает каждую точку меньше, чем на е.
Теорема 1 [187]. Пусть для системы А € С? вида A)
Q-(x,0)Q+(x,0)<0 (*<*</>), Я°Ы*О, Р°(Ь)ФО. A0)
Ляя гого vro&>/ эта система имела степень негрубости s @ <s <p — 1) в области Но
типа 1,пересечение которой с осью Ох есть отрезок а <х<Ь„ необходимо и достаточно,
чтобы функция Р° (х) на этом отрезке имела только конечное число корней сх,...
..., ст (т > 0) и чтобы их кратности г t,..., rm удовлетворяли условию S=$, где
S=(r, -1) + ... + {rw -1). A1)
Доказательство достаточности проводится индукцией по числу S, а необходимости —
индукцией по числу s. Пусть п > 0. Если п > 0, то предполагаем, что достаточность доказана для
всех 5 < #1, а необходимость — для всех s < п; и то, и другое — для всех областей типа 1.
Достаточность, Пусть функция Р°(х) имеет на [а, Ь\ только корни с,, . . ., ст кратностей г, , . . .
• ¦ • , гт и в A1) S =п. В силу предположения индукции система А в окрестности отрезка [а, Ь) оси
Ох не может иметь степень негрубости s < п. Для системы А в области Н такой, как в лемме 4,
И D Ha и любого с > 0 подберем числа 6 и rj по лемме 4. В силу E) при достаточно малом 6 для
любой системы А, 6-близкой к А в метрике С* , функция ?° будет столь близка к Р°, что не
сможет иметь корней вне ^-окрестности Vj точек с^. При достаточно малом 6 функция Р° в И/ имеет
корни сд кратностей.Qд, * =1, ...,//, и по лемме 5 $ 18
S
/
Е iqik - 1) < П -/,,/= 1
A2)
Если m =0 или // = 1 для всех /, то по лемме 4 найдется такая область Н, что (Н, А) = {Н, А).
В частности, при п = 0 возможен только этот случай, значит, система А — грубая.
Если же // > 2 для некоторого /', то из A2) имеем
т
$ = Е Г ((?;*- 1)< 2(Г/-1) — 1=S-1. A3)
m //
Е Г
/=1 Л=1
При достаточно малом 6 > 0 для системы А можно так построить область Н типа 1, чтобы Н СН и
чтобы замыкание области А/ не содержало особых точек системы А, не лежащих в Н. Так как 5 <
<я— 1 (см. A3)), то в силу предположения индукции система А имеет в И степень негрубости не
больше п — 1.
Следовательно, в области Н система А имеет степень негрубости s <п. Так как случай s < n не-
невозможен (см. выше), то s = п.
168

Необходимость. Пусть система А имеет степень негрубости п в области Н.
Допустим, что существуют такие точки с/ е (а, Ь) и числа г/ > 1 (/ = 1, . . . , т), что Р°[х) Ф О
при х Ф cj.
=0 (* = 0.1 r^-i), Г (г/ — 1) > /? + 1. A4)
Тогда rj ,у 2 для некоторого/. Пусть замкнутая окрестность V точки су лежит в (а, Ь) и не содер-
содержит точек су, i Ф]. По лемме 6518 для любых 6' > 0 и q > р найдется функция Рх (х), имеющая в
V корень Cj кратности г; - 1 и корень с/ Ф с}¦, совпадающая с Р ° Ы вне V и такая, что IIP, —Pa$cq<
< 6. В силу E) найдется система А, Ь -близкая в С? к системе А и такая, что для нее функция /»°Ы
совпадает с Я, Ы . Система А имеет особые точки (с/, 0), / = 1, . . . , т, и (су, 0). Их больше, чем у
системы А, поэтому она не е -тождественна системе А. В случае /7 = 0 это противоречит предположе-
предположению о грубости системы А. _
В случае п > 0 степень негрубости системы А равна п, значит, для системы А она не больше п — 1.
По предположению индукции, для системы А сумма S, аналогичная A1), не больше п — 1. Но для
системы А функция Р° имеет корни с,-,/ = 1, . , . , т, кратностей г) > г/ {/ *¦ j ), гу =г, —1, и
корень су. Поэтому для системы А
w m
S ^ Z (г} - 1) > Г (г, -- 1) - 1 ^ /7
/= 1 /= 1
в силу A4). Противоречие показывает, что неравенство A4) невозможно.
Допустим, что Р°(х) имеет бесконечно много корней на {а, Ь) . По лемме 8 § 18 найдется функ-
функция Рх (х), сколь угодно близкая к Рп{х) и имеющая на {а, Ь] только конечное число корней, хотя
бы один из которых xt) имеет кратность г, =л + 1. Найдется система А, близкая к А, для которой
Р°(х) =Я,(х). Тогда она не е-тождественна системе А, степень негрубости системы А не больше
п — 1 и, по предположению индукции, S < п — 1. Это противоречит тому, что гц = п + 1 .
Итак, для системы А л-й степени негрубости функция Я" Ы имеет только конечное число корней
и не может обладать свойствами A4) . Значит, эти корни имеют кратности г/ и
S = (rt - 1) + ... + (rm - 1) < п.
В случае S < п, по предположению индукции, система имеет степень иегрубости меньше п. Поэтому
5=л.
Следствие 1. Для системы {1) класса С* {k > s + 1) особая точка типа 1 имеет
степень негрубости s тогда и только тогда, когда в этой точке функция Р°[х) имеет
корень кратности s + 1.
Следствие 2. Если для системы A) класса С™ на некотором отрезке оси Ох
Q~(x, 0)G + U, 0X0, Р°М = 0,
то этот отрезок — часть линейной особенности класса ААг (п. 2 § 16) и система в
любой окрестности этого отрезка [или любой его точки) имеет степень негрубости °°.
Замечание. Отсюда не следует, что всякая физическая система, имеющая целый
отрезок, состоящий из положений равновесия, может потерять его при сколь угодно
малых возмущениях. Рассмотрим колебательную систему, описываемую уравнением
второго порядка,
x + bsgnx+g(x\ = f{x, x), A5)
где функции f,g?Cl. Любые возмущения этих функций приводят к возмущениям
лишь второго уравнения системы
х=К, V = fbc, у) -g(x) -bsgny, A6)
к которой сводится уравнение A5). Если имеется отрезок оси Ох, на котором
! f{x,0) —g(x) I <?, то он целиком состоит из положений равновесия. Та его часть,
где \f{x,0) — # (х) | </?—6, сохраняется при любых возмущениях функции f — g,
не превосходящих е. Такой отрезок является грубой особенностью по отношению
к возмущениям второго уравнения в A6) или уравнения A5), т.е. по отношению
к возмущениям физической системы.
По отношению к возмущениям обоих уравнений A6) эта особенность имеет степень
негрубости °° в силу следствия 2 (если f,g€ С). Но такие возмущения не имеют
физического смысла. Таким образом, в ряде случаев надо рассматривать гру-
грубость системы по отношению к возмущениям лишь некоторых уравнений
системы.
N9

В [5] (§§ 3.1, 3.2) рассматривается много примеров физических систем, имеющих
бесконечное множество состояний равновесия, заполняющее целый отрезок в фазовом
пространстве. Исследуется устойчивость этих состояний равновесия.
В [189] указывается, что для него лоно мных механических систем типичным явля-
является случай, когда множество состояний равновесия — многообразие, размерность ко-
то рог о равна числу неголономных связей.
Бифуркации особых точек типа 1 полностью определяются бифуркациями корней
функции Р°{х) с учетом знаков этой функции с каждой стороны от каждого корня.
Если х = с — корень кратности 1 функции Р°{х), то при переходе через этот корень
функция Р°{х) меняет знак, поэтому точка (с, 0) класса 1а или 1Ь (рис. 52, 53). В силу
УСУ/
U-П-ПШ'
Рис. 73.
Рис. 74.
следствия 1 теоремы 1 эта точка — грубая, т.е. не испытывает бифуркаций при малых
(в С1) изменениях системы.
Если х = с — корень кратности 2 функции Р°(х), то функция Р°(х) не меняет знака
при переходе через этот корень. Поэтому особая точка (с, 0) класса 1с. При малых
(в С2) изменениях функции Р°(х) возможны 3 случая: корень кратности 2 сохраняет-
сохраняется (возможно, сдвигается по оси Ох); корень исчезает; корень распадается на два кор-
корня кратности 1 (рис. 73). Поэтому особая точка класса 1с 1-й степени негрубости
(рис. 54) при малом изменении системы или сохраняет свой топологический класс,
или исчезает (при этом остается линейная особенность класса AAi, рис. 30), или рас-
распадается на 2 грубые особые точки классов 1а и 1Ь (рис. 72).
Рассмотрев бифуркации трехкратного корня функции Р°{х), можно получить все
возможные бифуркации особых точек типа 1 2-й степени не грубости.
Рассмотрим теперь систему А вида A) с особыми точками типа 2. Пусть, например,
на рассматриваемом отрезке Г оси Ох
СГ(х,0)>0, />+(х,0)>0, Р°(х)Ф0. A7)
Здесь и далее неравенства для Р°{х) относятся к тем точкам и отрезкам, где определе-
определена функция Р°{х). На концах каждого такого отрезка в случае A7) имеем Q* (х, 0) =0,
поэтому в силу D) там, а значит и на всем отрезке, Р°(х) > 0. Все дальнейшее относит-
относится к такой окрестности V отрезка Т, в которой при некотором ц > 0
\О-(х,у)\>ц, \Р+(х,у)\>ц, \Р°{х)\>ц. A8)
Пусть Н CV, в Н имеется конечное число особых точек (в силу A7) они типа 2),
И — замкнутая область, граница которой — простая замкнутая кривая, состоящая из
конечного числа дуг траекторий и дуг без контакта, не проходящая через особые точки,
имеющая только две общие точки (а, 0) и (/>, 0) с осью Ох и пересекающая ее в этих
точках (рис. 74). Концы этих дуг траекторий назовем угловыми точками. Точки (а, 0)
и (Ь, 0) не должны лежать на выбранных дугах без контакта. Область Н не должна
содержать сепаратрис, соединяющих особую точку с угловой, и проходящих внутри И
(но не по оси Ох) дут траекторий, соединяющих две угловые точки. Такую область
назовем областью типа 2.
Сепаратрису особой точки (с, 0) системы А с условием A7) назовем левой {пра-
{правой ), если вблизи этой точки на сепаратрисе х < с (х > с) и у > 0.
Лемма 5 [187]. Пусть в области Н типа 2 для системы А выполнены условия
A8) а имеется только конечное число особых точек (с/, 0), / = 1,. . ., п. Пусть система
А Ь-близка в С1 к системе А, имеет только особые точки id/, 0), i = 1, .. ., п, причем
1) I dj. — Cf I < rj и точка {d/, 0) того же класса, что (с,, 0), / = 1, . . ., п\
170

2) из точки (<//,0) выходит содержащаяся в Н двойная сепаратриса системы А,
левая или правая для точки {dit 0), тогда и только тогда, когда из точки (с/, 0) выхо-
выходит содержащаяся в И двойная сепаратриса системы А, соответственно левая или правая
для этой точки. ^ ^ €
Тогда для любого е > 0 существуют такие 5 > 0,1? > 0, что (Н,А) = (Н, А) в неко-
некоторой области И.
Доказательство. Пусть ct < сг < . . . < сп и i? так мало, что dx < dt < . . . < dn. Если
двойная сепаратриса S/m системы А идет из точки (с/, 0) в точку \ст,0), т >/, то по условию
из точки (*//, 0) идет правая двойная сепаратриса 8ц системы А в некоторую точку (df, Q) ,!>/'.
Покажем, что I = т.
Рис. 75.
Предположим, например, что / < т. Из точки (с/,0) идет левая сепаратриса Sy / системы А в
некоторую точку (су,О). Сепаратрисы Sfm и Sy/ не могут иметь общих точек при у > 0, поэтому
/ </ < /. Из точки idj, 0) идет правая сепаратриса Sj^ системы А в некоторую точку </*,/ </ <
< к < I, так как Sy* и S// не могут иметь общих точек. Из точки (сд,О) идет левая сепаратриса
системы А и т.д. Получаем последовательность вложенных отрезков \cj,cm] Э [cj.Cf ] Э . ..
оси Ох; концы каждого отрезка соединены сепаратрисой системы А. Особых точек конечное число,
поэтому процесс должен оборваться. Это приводит к противоречию с условием 2) леммы.
Построим область Н. Проведем траектории системы А из точек (а, 0), (Ь, 0) и из одного из кон-
концов каждой из остальных дуг L/ траекторий системы А, идущих по границе области Н (или из
точек, достаточно близких к этим точкам), до пересечения с теми же дугами без контакта (или
близкими к ним), на которых кончаются дуги L(. При достаточно малом 6 точки пересечения су-
существуют и близки к концам дуг Lf. Эти точки и точки пересечения сепаратрис и граничных траек-
траекторий с граничными дугами без контакта (и с осью Ох) расположены на этих дугах в одном и том
же порядке для систем А и А, если 6 и г; достаточно малы. Построенные дуги траекторий системы А
и дуги без контакта ограничивают область Н типа 2 для системы Л.
Траектории системы А (соответственно А), проходящие через особые и угловые точки, и ось Ох
разбивают область И (соответственно Й) на элементарные четырехугольники ([157], стр. 86),
обобщенные элементарные четырехугольники Hj и элементарные сегменты Тк (соответственно Яу и
7/i) (рис. 75). При достаточно малых б и 77 из сказанного о порядке точек пересечения траекторий
с дугами без контакта следует, что эти элементарные области в Н и в Н расположены одинаково.
Для каждой области Rj или Гд можно построить ^-отображение (п. 2 § 18) на соответствующую
область Rj или 7\ (как для элементарных четырехугольников в [ 185], стр. 51—53, и как для секто-
секторов классов K,Q,L в леммах 3 и 4 $ 17). Отображения соседних элементарных областей можно
сделать совпадающими на их общей границе. Для этого сначала отображаются отрезки линии разры-
разрыва, являющиеся дугами траекторий, затем области Rj и 7^, примыкающие к этим отрезкам, а после
этого — остальные. Получаем е-отображение области Й на Н.
Теорема 2 [187]. Пусть для системы А € С? вида A)
О~(х,0)Ф0, Р + (х,0)Ф0, Р°МФ0; О+(а,0)Ф0, О + (Ь,0)Ф0;
W- область типа 2, пересекаемая осью Ох по отрезку а<х<Ь. Для того чтобы система
А в области W имела степень негрубости h @ </? <р — 1), необходимо и достаточно,
чтобы функция Q + (х, 0) на [а, Ь] имела только конечное число корней сх,..., сп
(п > 0) и их кратности гх гп удовлетворяли условию S = п, где
S=ln -1) + . .. + (/•„ -1)+s, A9)
s — число двойных сепаратрис, содержащихся в области W.
Доказательство. Достаточность доказывается индукцией по S, а необходимость — индук-
индукцией no h. Пусть целое число q > 0. При q > 0 предполагаем, что для всех областей типа 2 достаточ-
достаточность доказана для всех S < q, а необходимость — для всех h < q.
Достаточность. Пусть S =q. Тогда, по предположению индукции,си..тема А не может иметь степень
негрубости меньше q. Возьмем область Н D W, обладающую теми же свойствами, что W, и несодер-
171

жащую других особых точек и сепаратрис. Возьмем любое е > О и столь малое rj > О, чтобы в Зт)-ок-
Зт)-окрестности каждого корня с/ не было ни других корней, ни точек а и Ь. Пусть система А 1х = Р(х, у),
у =Q{x,y)) 6-близка в Cj+1 к системе А; число 6 < ц. (см. A8)) так мало, что sgnG + (x, О) =
= sgn Q (х, О) вне ^окрестностей всех точек с/.
Случай 1. Функция Q* (х, 0) имеет ровно по одному корню d\ в tj-окрестности каждой точки
С/, Тогда для системы А выполнены неравенства, подобные A8), но с /и — 6 вместо дензнаки
Q (х, 0) слева и справа каждого корня те же, что у Q (х, 0). Тогда выполнено условие 1) леммы 5.
Если из точки (с/. О) не выходит левая (или правая) двойная сепаратриса системы А, содержа-
содержащаяся в Н, то при малых 6 это же справедливо и для точки [d(, О) и системы А (в силу непрерыв-
непрерывной зависимости решения от начальных условий и правых частей системы).
а) Если выполнено также условие 2) леммы 5, то по этой лемме {И, А) >~ [Н,А).
В частности, если S = 0, то все/7 = 1, s = О, значит, имеет место случай 1 и у систем А нет двойных
сепаратрис. Тогда (Н,А) = (Н, А) и система А — грубая.
б) Если условие 2) леммы 5 не выполнено, то в силу сказанного система А при малых 6 имеет
меньше двойных сепаратрис, чем А. По лемме 5 ? 18 кратность каждого корня dj не больше, чем
краткости корня с/. Поэтому для системы А сумма S вида A9) меньшеq. ^
Случай 2. В окрестности каждой точки С/ имеется не более одного корня функции Q (х. О),
причем в окрестности некоторой точки cj нет ни одного корня этой функции. В силу леммы 5 § 18
корень Cj имеет кратность rj > 2. Поэтому при переходе от системы А к А из A9) исключается
слагаемое гу — 1 > 1, а остальные не увеличиваются, как в случае 1. Число двойных сепаратрис не
увеличивается, так как они могут перестать быть двойными или две (левая и правая сепаратрисы
точки Cj ) слиться в одну. Тогда для системы А имеем S < S = q.
Случай 3. В окрестности точки с/ имеется гц > О корней d/j (/' - 1» •••»*/; ' ~1» ...,")
функции Q (х, 0), причем л/ > 2 хотя бы для одного /'.
Если для какого-нибудь / из точки (с,-, 0) не выходит левая (правая) двойная сепаратриса
системы А, то при достаточно малом 6 из точек (djj, О),/ = 1,. . ., гц, не выходит ни одной левой
(соответственно правой) "внешней" двойной сепаратрисы системы А, т.е. идущей в какую-либо
особую точку ((/д/,0), к Ф1. В самом деле, внешние левые сепаратрисы точек (d/j О), если та-
такие существуют, при малом 6 должны содержаться в малой окрестности левой сепаратрисы точки
(с/. О) системы А, а эта сепаратриса, по предположению, проходит на положительном расстоянии от
других особых точек. *
Функция Q+ (x, 0) на интервале// {cf—t],Cf +17) меняет знак один раз в точке С/ или не меняет
знака. Число перемен знака с "—" на "+" функции Q (х, 0) на этом интервале больше, чем у Q (х, О),
на число Pf > О, с "+" на "—" тоже больше нар/; число корней, при переходе через которые Q4 (х, 0)
не меняет знака, больше на л/ — У — 2р(. Согласно п. 1 при условии A7) точка перемены знака с
"-" на "+" (или с "+" на "—") есть особая точка класса 2а (класса 2Ь), к ней подходят^из области
у > 0 две сепаратрисы (соответственно ни одной) . Корень, при переходе через который Q+ (x, 0) не
меняет знака, есть точка класса 2с или 26. к ней подходит одна сепаратриса. Может быть, не все эти
сепаратрисы двойные,
Таким образом, когда /7/ > 2, число концов двойных сепаратрис в интервале//может увеличить-
увеличиться не больше, чем на 2р\ + Кщ — 1 — 2р/) - гц — 1. Когда же п/ = 1 и л/ = 0, число таких концов
не увеличивается, как в случаях 1 и 2. Каждая двойная сепаратриса имеет два конца в особых точ-
точках, поэтому число всех двойных сепаратрис при переходе от системы А к А может увеличиться не
больше, чем на число Вх =— Е*(л/ —1); суммирование производится только по тем /, для которых
п/ > 2.
Сумма кратностей корней функции Q (х, 0) в интервале// равна г t < /7 (лемма 5 § 18). При
переходе от системы А к А сумма Sir/ — 1) в A9) заменяется суммой
п ni n
1' Г (г7/-1) = ? (fy-л/),
/=1 /=1 /=1
которая меньше суммы ?(г/ — 1) по крайней мере на число В2 - ?*(л/ — 1). Поэтому при пере-
переходе от А к А сумма A9) получает приращение
S -S<BX -B2 = --^- ?*(л,--1).
Последняя сумма положительна, так как в случае 3 хоть одно гц > 2. Числа S и S — целые, поэтому
5 — S < — 1, т.е. для системы А имеем S <q — 1. ^ ^
Таким образом, для системы А в случаях 16,2,3 имеем S <q. Для А построим область Н
типа 2, не содержащую других особых точек и двойных сепаратрис, кроме^имеющихся в/У, так, чтобы
Н СН. По предположению индукции, степень негрубости системы А в Н, а значит и в Н, не больше
q - 1. Учитывая также случай 1а, получаем, что система А в области W имеет степень негрубости q.
172

Необходимость. Пусть система А имеет степень негрубости q в области W. Тогда существует
такая область Н типа 2, что W лежит строго внутри Н, система А имеет в Н степень негрубости q.
и Н содержит только те особые точки и двойные сепаратрисы, которые содержатся в W. Предполо-
Предположим, что существуют такие числа с/ е (а, Ь) и р/ > 1, что для функции Я(х) s=Q+(x, О) имеем
Я(/)(с,) = О (/ = 0,1 Р/-1; /-1 л), B0)
(р, - 1) + .. . + (р„-1)+ж>9 + 1. B1)
где s — число двойных сепаратрис в области W.
Для некоторого е > 0 и любого 6 > 0 построим такую систему А, что
1 ° система А 6-близка к А в метрике С»
2° (/V,>f) 4 Ш,А) для любой области М если *Vctf;
Зссуществуют такие числа^ G (а, 6) ир,- > 1, что для функции Я(х) = Q+ (х, 0) имееем
Я(/)(</,)=0 (/ = 0,1 Р/-1; #-1 *). B2)
(р7 -1) + ... + (р*-1)+*>Q, B3)
где Т — число двойных сепаратрис системы А в области W.
Пусть s > 0. Пусть у е С'', <р (х, к) > 0 в малой окрестности V\ точки (xt, ух), ух > 0, лежащей
на одной из двойных сепаратрис, *р = 0 вне Vx. Система А, полученная из А заменой функции Q на
G-G + \<1, при достаточно малых \>0 близка к А, имеет те же особые точки (<// = cyj и числа
Р{ ~ Pi' ио иа ОДНУ двойную сепаратрису меньше, как в лемме 10 § 18. Такая система А обладает
свойствами 1 ° — 3° .
Пусть s=0. Тогда в силу B1) pj > 2 для некоторого/ . Пусть отрезок /*= [cj — v,cf + v] C{a,b)
не содержит особых точек с/, / ^/\ По лемме 6 § 18 для любого 6 >0 найдется функция Я(х),
имеющая в /* корень су кратности Р/ =/зу - 1 и корень с.* Ф Cj , совпадающая с R (х) вне /*и такая,
что
I Я(х) -ДЫ1 +1 <6. B4)
Тогда при достаточно малом 6 система А, полученная из А заменой Q (х. у) на
Q(x, у) = GU, к) + Я(х) - Я(х), B5)
обладает свойствами 1° и 3° при cj - с/ (так как р/ =р/, / ^/ , Pj =щ - 1). Если система А имела
конечное число особых точек, то А имеет еще особую точку (с*, 0) и обладает свойством 2°.
Если же система А имела бесконечно много особых точек, т.е. функция R(x) имела бесконечно
много корней на [а,Ь], то по лемме 8 § 18 существует функция Я(х), удовлетворяющая B4) и
имеющая на [a,b] только конечное число корней, из которых один корень с1 кратности р. Тогда
система А, полученная подобно B5). имеет конечное число особых точек и обладает свойствами
1 ° и 2° . Беря в B2) / =к =1, pj =р и замечая, что по условию р— 1 > q, получаем B3). Следова-
Следовательно, система А обладает свойством 3° . _
Итак, во всех случаях существует система А со свойствами 1 ° — 3° .
В случае g = 0 это противоречит грубости системы А.
В случае q > 1 для достаточно близкой к А системы А строим область Н типа 2, как в лемме 5.
При этом можно сделать, чтобы WCH СН. Из 1 ° и 2° следует, что система А в области Н, а значит
и в /У, имеет степень негрубости меньшеq. Тогда в силу предположения индукции корни dj функции
Я (х) = Q ix, 0) имеют конечные кратности г/, причем
<г7 -1) + . .. + <гЛ -U+I<д. B6)
Так как /7 > pj в силу B2), то неравенство B6) противоречит B3).
Во всех случаях существование системы А со свойствами 1°—3е приводит к противоречию.
Значит, предположение B0), B1) неверно, т.е. корни С( имеют конечные кратности г/, и суммаA9)
равна q (в случае S < q степень негрубости системы А была бы меньше q).
Следствие 1. Для системы A) класса Ср+ (р> q + 1) точка (с, 0) является осо-
особой точкой типа 2 и имеет степень негрубости q тогда и только тогда, когда в этой
точке О~Ф0,Р+Ф0, a Q+(x, 0) имеет корень х = с кратности q+1 {или G+#0,
Р ~ Ф 0, a Q~(х, 0) имеет корень х- с кратности q + 1).
Следствие 2. Если для системы A) класса С7 на некотором отрезке оси Ох
Q-фО. Р+Ф0. Q+(x,0)=0 (илиО+ФО, Р~ Ф0, Q-(x,Q) = Q),
то этот отрезок — часть линейной особенности класса АВ и система в сколь угодно ма-
малой окрестности этого отрезка имеет степень негрубости бесконечность.
173

Доказательство. Система, полученная из A) заменой Q(x, у) на функцию
О (х, у) = Q(x, у) + Х(х — с)р (X > 0 сколь угодно мало), в силу следствия 1 имеет в
окрестности точки (с, 0) степень негрубости р - 1; число р — сколь угодно большое.
Бифуркации особых точек типа 2 определяются бифуркациями корней функции
Q*(x, 0) (или Q~[x, 0)), знаками этой функции с каждой стороны от каждого корня и
расположением сепаратрис. Пусть ОТ > 0, Р* > 0.
Если х -с — корень кратности 1 функции R(x) = Q*(x, 0), то особая точка (с,0) клас-
класса 2а (если R'{c) > 0) или 2Ь (если R'(c) < 0) (рис. 56 и 57); она является грубой и не
испытывает бифуркаций.
Если х = с — корень кратности 2, то функция R(x) не меняет знака и особая точка
(с, 0) класса 2с (если Я "(с) > 0) и класса 2d (если R"{c) < 0) (рис. 58 и 59); она имеет
первую степень негрубости. При малых (в С2) изменениях функции R(x) корень крат-
кратности 2 может сохраниться, исчезнуть или распасться на два простых корня, как на
рис. 73.
Поэтому особая точка класса 2с при малых (в С2) изменениях системы может или
сохраниться, или исчезнуть (при этом остается такая особенность на линии у = 0, как в
случае АА0 п. 2 § 16, рис. 29), или распасться на две грубые особые точки классов 2а и
2Ь (рис. 76), соединенные линией слияния траекторий — линейной особенностью класса
AAi. Особая точка класса 2d также может или сохраниться, или превратиться в ничем не
выделяющуюся точку линейной особенности класса AAi (рис. 30), или распасться на две
особые точки классов 2а и 2Ь; линия слияния траекторий при этом разрывается (рис.77).
Если х = с — корень кратности 3 функции /7(х), то особая точка (с, 0) второй степени
негрубости и класса 2а (если Я'"(с) > 0) или класса 2Ь (если /?'"(с) < 0). Рассматривая
бифуркации корня кратности 3, получаем все возможные бифуркации такой особой
точки. При R'"(c) >0 для близких (в С3) систем возможны следующие случаи наличия
особых точек: 1) одна точка класса 2а; 2) две точки классов 2d и 2а; 3) две точки
классов 2а и 2с; 4) три точки классов 2а, 2Ь, 2а, расположенные в указанном порядке
7/77777
Рис, 76.
Рис. 77.
Рис. 78.
* ill И П
Рис. 79.
(здесь возможны три топологически различных расположения сепаратрис). При R"'(c) <
< 0 возможны случаи: 1) одна точка класса 2Ь; 2) две точки классов 2с и 2Ь (рис. 78);
3) две точки классов 2Ь и 2d (рис.79); 4) три последовательно расположенные точки
классов 2 Ь, 2 а, 2Ь.
Замечание. Введенное в п. 2 § 18 понятие степени не грубости существенно изме-
изменится, если в определении 6-тождественности систем А и А не требовать, чтобы особые
точки переходили в особые точки (или если не считать особыми те точки, в окрестно-
окрестности которых траектории расположены топологически так же, как в окрестности обык-
обыкновенных точек или как в окрестности неконцевых точек линейной особенности,
рис.58,59).
Например, при бифуркации последней из рассмотренных особых точек (когда
R'" (с) < 0) в случаях 1), 2), 3) полученная система топологически эквивалентна исход-
174

ной, так как особые точки классов 2с и 2d топологически эквивалентны неособым
(сравнить рис. 57, 78, 79), а в случае 4) полученная система - грубая. Поэтому при
измененном, как указано выше, определении е-тождественности (или изменении опре-
определения особой точки) такой особой точке с R (с) = Я'(с) = Ft"(c) = О, R '"{с)< 0 пришлось
бы приписать первую степень негрубости. Эти усложнило бы формулировку и доказа-
доказательство теоремы 2.
4. Среди особых точек типа 3 наиболее детально изучен ([4], стр. 393; [190]) "сши-
"сшитый фокус" (рис. 67).
Пусть для системы A) класса C*m, m > 2, в точке @,0)
CT = Q+ = 0, Р~<0, Р*>0, B7)
а в ее окрестности
хСГ(х, 0)<0, xQUx.OXO @<tx|<po).
B8)
При этих условиях для достаточно малого х0 > 0 траектория из точки (х0, 0) проходит
в области у < 0, пересекает ось Ох в точке (х,, 0), хх < 0, проходит в области у > 0 и
Рис. 80.
Рис.81.
возвращается на ось Ох в точке (х2, 0), х2 > 0. Вместо функции последования х2 =
= f(x0) удобнее рассматривать ([4], стр. 396) функции
Хц=о~(хх), x2=a+(xj), X(*i) ~х2 —х0 = а+(х\) — а~(х,). B9)
Если х U1) > 0 на некотором интервале -5х < х, < 0, то фокус неустойчивый (рис. 80) ;
если x(*i )< 0, то устойчивый (рис. 81), а если x(*i) = 0, то особая точка - сшитый
центр (рис. 68). Если на каждом интервале вида -5, <х, <0 функция х принимает и
нулевые, и ненулевые значения, то особая точка — сшитый центрофокус.
Для изучения свойств функций а*(х) и о"(х) удобно их доопределить при х > 0,
положив а~@) = 0, а+(х2) = х1# а'(х0) =хь гдех2 >0, х{ < 0,х0 >0те же, что выше.
Тогда функции о±(х) определены при —р2 < х < р2, plt p2 > 0, и
о {о (х)) —х, a~(a~(x))=x. C0)
Лемма 6. Если Р~, Р*, Q~, Q* Е С, т > 1, в точке @, 0) выполнены условия B7)
и производные Q~ <Q,Q*< 0, то о~, о\ хМ Е Ст при \ х \< 5,, 5, > 0.
Доказательство. Из A) при у>0 имеем
fV=fU } fmSLecm > F 2
dx ' Р* " ' х ' ~"
Полагав k=/?2z2, получаем уравнение 7&zdzidx = F(x,z2), от которого переходим к
системе
dz
1
C1)
Так как A/G Cw (x2 +z2<5j), Н{х,г) = -х +о<|х| + \г \), то доказываемое утвержде-
утверждение следует из [185] (стр.252).
Лемма 7.Если а{х) ЕС1, о@) = 0, a(a(x)) гХ/ ха(х)<0 @< 1х!<5), гоа'@) = -1.
Доказательство. Дифференцируя равенство о(о(х)) =х в точке х = 0, имеем
(a'@)J = 1.Таккакха(х)<0 @<!xl<5), тоа@) = -1.
Лемма 8. Если функции ох (х) и о2 (х) удовлетворяют условиям леммы 1 и
О\(х) < о2 (х) при 0 < х < 5, то ох (х) < a2 (x) u //а некотором интер-
интервале -Ьх < х< 0.
175

Доказательство. Если Ох(х) = у, то ох{у)=х, т.е. график функции аг{х)
симметричен относительно прямой у = х; то же верно и для о2(х). Из симметрии гра-
графиков и убывания функций ох,о2 следует утверждение леммы (рис. 82).
Л е м м а 9 ([4], стр. 397). Функции а~, о*, х обладают свойствами:
V + 0, (G")'|х = о = (а+)'|х = о в~1' х'@) = 0. C2)
2° Если для некоторого к>2 существуют \^ @), / = 1,. .., /г, и
Х(/)@) = 0, (/<*-1), х{к)@)*0. C3)
то к — четное число.
3° Каждая из функций о' и а* также обладает свойством 2°^.
Доказательство. Свойство 1 ° вытекает из B9), C0) и леммы 7.
Рис.82.
2 Если бы в C3) число к было нечетным, то разность
Х(А)@)
Х@)
оЧх) ~ о~{х) = \М = *к +о(хк)
к\
меняла бы знак при переходе через точку х = 0, Это противоречило бы лемме 8.
Свойство 3° доказывается подобно 2°, если одну из функций а* или а" заменить
функцией о2 (х) = — х.
У обычного фокуса, в отличие от "сшитого", первая из отличных от нуля при р = 0
производных функции d(p) = fip) — p [f{p) — функция последования) имеет нечетный
порядок ([185], стр. 253).
Найдем несколько первых коэффициентов разложения функции х(*) по степеням х.
При условиях B7) траектории системы A) вблизи точки '0,0) при у > Ои у<0 удов-
удовлетворяют уравнению (его коэффициенты различны при / > 0 и при у < 0)
dy Q(x,y)
_ = _— ^ m + fyy 4- сх2 + dxy + eyl + <р{х, у), C4)
dx P{x, у)
yixt у) € C2t sp{xp y) s о (х2 + у2). Если ^QG Cl, то можно написать
+ф{х,у), ф(х,у) =о(х4+к2). C5)
Ищем решение, выходящее из точки (— р, 0). Для него х = О(р), у - О(р2). Делая в
C4) замену 2у ~ — ау{, а затем — 2х +bKi =— 2xi, получаем
¦K-f)
+ 0(x2+lKil>, A = — [о ). C6)
dxi 3 \ a /
Интегрируя от -р до х, и учитывая, что ух (- р) = 0, получаем (вместо х, пишем х)
Ki(x) =р2 ~х2 +А(х3 +р3) +о((х + р)р2). C7)
Функция C7) равна нулю при х = -ри при х = о(-р). Приравнивая C7) к нулю и
сокращая на х +р, получаем
х~р=Ар2 +4х(х-р)+о(р2). C8)
Так как ищется корень х = о(-р) = О(р),тоизC8)имеем х - р = О(р2). Подставляя это
176

снова в C8), получаем
о(-р)=р+Ар2 +о(р2),
3 \ а)
3h\
.
а/
В случае, когда функция у в C4) имеет вид C5), тем же способом получаем
о\ — р/=р ^Ар ^* А р "^" лр ^ о\р ),
10 , Ad 2 (be2 2съ 2bf Scf
/С= — Аъ + — + — (— ——--2ае- + ——
11 5 15\а2 а3 а а2
Теперь из B9) и C9) имеем дг.1 систем класса С2
Х(-р) =а2р2 +о[р2), а2 =А*-А~,
а для систем класса С?
Х(-р) = а2р2 +а3р3 +а4р4 + о(р4).
C9)
D0)
D1)
D2)
Здесь А*, К* {А , К) выражаются формулами C9) и D0) через значения коэффициен-
коэффициентов а = а+<0, b = Ь*,... уравнения C4) в области у > 0 (соответственно а = а" > 0,
b = b~r. .. в области к < 0). Их можно выразить и непосредственно через значения
функций Р, Q и их производных в точке @,0), например,
Qx Qy Qxx PXQX 2( c\ 2/Pv+Qv Qxx \
Я Я 2P P2 3\ a I 3\ P 2QX)
2P P* 3 \ a / 3\ P
Знание коэффициентов а2,а4, . . . функции х(—р) дает возможность исследовать
устойчивость сшитого фокуса и его бифуркации.
Теорема 3. Пусть выполнены условия B7) и
Q;@f0)<0, О; @,0X0.
D4)
Если а2 < 0, или а2 = 0, а4 < 0, или х*Л*@) < 0 в C3), то нулевое решение асимптоти-
асимптотически устойчиво. Если а2 > 0, или а2 = 0, а4 > 0, или х^кЦО) > 0 в C3), то нулевое
решение неустойчиво. В случае устойчивости траектория достигает точки @, 0) только
за бесконечное время и решения стремятся к нулю с характеристическим показателем
1
Игл
1 г
— lnVx
t
а2
. а2
(f)+K2U)=— , r
2
1
1
— , r= + — .
2т Р @,0) P+@,0)
D5)
Доказательство. Траектория, проходящая через точку (—р, 0) пересекает
полуось Ох, х >0, в точкахх0 = сГ[— р) и х2 = о*{— р). Если х( —р) < 0 @ < Р < Poh
то х2 <х0 (рис. 81) и далее траектория пересекает эту полуось в точках х4 > х6 > . . .
. . . > 0. Существует lim x2i > 0, Так как, подобно B9),
*2г+2 =^2/+ Х(Х2/+ l), D6)
то при/-*00 имеем х(*2/+ i) ^0,х2/ + i ~* 0. Значит, х2/ = а"(х2/+ i) -* 0, и на траекто-
траектории имеем х (Г) -*• 0 при возрастании г, а так как I dyldx I < const, то и у (t)~+ 0. Асимп-
Асимптотическая устойчивость доказана.
Если Х(-Р) >0 @<р<ро), то аналогично получаем,чтох(г), y(t) -* 0 при убывании
t, и нулевое решение неустойчиво.
Оценим скорость приближения решения к нулю в случае Х<0. В силу C2)
X2i+ i/*2i~* - 1 при /-к», поэтому для любого € >0из D1) и D6) имеем для всех
(а2 -€)Х2/Х2/+2 ^^2/+2 -/
Так как 1пх<х-1 @<х<°°),то
(а2 -е)х2/<
12. А.Ф. Филиппов
In
+2
Х2/
<(а2+е)х2|-.
177

Время движения по траектории от точки (х2/, 0) до точки (х2/+2,0) равно tf =
= 2тх2/A + оA)), где г то же, что в D5). Суммируя D7) по / от некоторого / = /(е)
до любого к, получаем
Тк^ In ^ — Тк, Тк = 2 tf.
2г х2/ 2г / = /
Отсюда с учетом ограниченности dy/dx следует D5).
Рассмотрим бифуркации сшитого фокуса при условиях B7), D4). При переходе от
функций P,Q к близким в Cl функциям Р, S особая точка или остается изолированной
Рис. 83.
(когда функции 0~(х, 0) и Q*(x, 0) имеют общий корень), или распадается на несколь-
несколько особых точек (когда корни этих функций различны). Первый случай рассматривает-
рассматривается в [4] (стр. 398) и [190], а второй — ниже, в п. 5.
В первом случае после переноса начала координат в особую точку условия B8)
сохраняются. Если а2 =? 0 в D1), то в силу D3) при малых (в Cl) изменениях функций
Р, О знак а2 сохраняется, и по теореме 3 особая точка остается устойчивым (если
а2 < 0) или неустойчивым (если а2 >0) фокусом.
Пусть Р, QECi и а2 = 0, аА < 0. Тогда особая точка — устойчивый фокус. При малых
(в Ci) изменениях функций Р, Q знак а4 сохраняется. Возможны два случая. Если при
этом окажется а2 < 0, то фокус останется устойчивым. Если же станет а2 > 0, то фокус
станет неустойчивым и вокруг него появится устойчивый предельный цикл (рис. 83).
В самом деле, при малых р функция D2) отрицательна в случае а2 = 0, а4 < 0 и имеет
4-кратный корень р = 0. При а4 < 0 и достаточно малых а2 > 0 она остается отрицатель-
отрицательной при некоторых р* < 0 и р** >0, но становится положительной при малых I p |. Сле-
Следовательно, она обращается в нуль при некоторых р\ <0 и Рг >0, и через точки
(— р|, 0) и (—fa, 0) проходит замкнутая траектория. По лемме 5 § 18 сумма кратнос-
тей корней функции D2) {с а4 ^0) в окрестности точки р = 0 не больше 4. Ток как
р = 0 — двукратный корень, то pt и р2 — простые. Значит, замкнутая траектория —
предельный цикл. Он устойчив, так как при возрастании I р I функция х меняет знак с
"+" на "—".
5. По лемме 1 особые точки типов 3 и 4 негрубые. Выделим среди них точки 1-й
степени негрубости. Предполагаем, что Р, QEC? и что скорость движения по тем участ-
участкам оси Ох, где Q~(x, 0) Q+(x, 0) < 0, определяется формулой E). Доказательства
излагаются кратко.
Пусть @, 0) — особая точка типа 3, т.е. в этой точке
Q~ = Q* = 0, Р'ФО, Р*Ф0. D8)
Лемма 10. Если @, 0) -особая точка типа 3 Ьй степени негрубости, то она изоли-
изолирована и в этой точке
О;@,0)#0, Q* @,0)*0. D9)
Доказательство. Пусть точка @,0) —предельная для особых точек (х,,0),
т.е. точек, в которых или Р (х/) = 0, или Q~(xit 0) = 0, или Q*(xit 0) = 0, / = 1, 2, . . .
Функции Р° и f (x) определены в E).
Рассмотрим систему А, полученную из системы А вида П) заменой функции
О*(х, у) на функцию
Q*(x,y) = Q*(x,y) -ax. E0)
178

Для системы А имеем 7(х) = f(x) + ахР~(х, 0). Так как Р Ф0, то, как в лемме 8 §18,
при почти всех а функции fix) и Q+(x, 0) имеют только конечное число корней в
окрестности U точки х =0. Берем достаточно малое из таких а и заменой Q~(x, у) на
б~(х, у) = СГ(х, у) - j3x добиваемся, чтобы функции ?* ^ Р* б~ - Р~ Q* и Q~(x, 0) имели
каждая конечное число корней в U. Полученная система имеет изолированную особую
точку @, 0) типа 3, т.е. негрубую, и не е-тождественна системе А. Значит, система А с
неизолированной особой точкой не может иметь 1-ю степень негрубости.
Пусть изолированная особая точка @, 0) типа 3 и в ней, например, Q* = 0. Рассмот-
Рассмотрим систему А с функцией E0), взяв а -с'1 Q*[c, 0). В Зе-окрестности точки @, 0)
нет других особых точек, поэтому а Ф 0 при с = е. Система А имеет в V особые точки
@, 0) типа 3 и fe, 0). Значит, она негрубая и не е-тождественна системе А. Поэтому
система А и точка @, 0) не могут иметь 1-ю степень негрубости. Это противоречит усло-
условию. Значит, предположение Q* - 0 неверно.
Следствие. Особые точки типа 3, изображенные на рис. 66, 69, 70, 71, не могут
иметь 1-ю степень негрубости. (Функция Q*(x, 0) или ОГ(х, 0) не меняет знака, и усло-
условие D9) не выполнено.)
Лемма 11. Вблизи точки @, 0) траектории систем
А": х=р-(х,у). y = Q~(x,y); A+: x = />+(х, у), к = О+(х,к) E1)
записываются в виде у = *р Лх)Й у = у+ (х), причем, если ^@) = 0, то
</>"@) = <2" @,0)//>~@.0)f *;'@) = Qx@.0UP+@.0). E2)
Доказательство следует с учетом D8) из формул
Следствие 1. Если в точке @,0) ОГХР~ < 0, QXP* > 0, то особая точка {рис. 64) —
седло (при Р~Р* < 0) или квазиседло с траекторией, идущей по оси Ох (при Р'Р* > 0).
Следствие 2. Если в точке @, 0) Q~ Р~ > 0, ЬХР* < 0, то вблизи этой точки все
траектории обоими концами выходят на ось Ох. Если нет замкнутых кривых, состав-
составленных из дуг траекторий, то особая точка (рис, 67) — фокус (при Р~ Р* < 0) или
квазифокус с траекторией по оси Ох [при_Р~Р* > 0).
Следствие 3. Если в точке @,0) Q^ Q^P'P* > 0, то траектории при у < 0 l у > 0
выпуклы в одну и ту же сторону (рис. 65). В случае Р~Р* < 0 имеется траектория,
идущая по оси Ох.
Во всех трех случаях (следствия 1-3) вблизи точки @, 0) имеется траектория,
идущая по оси Ох, только если
О;@, 0) Qx@, 0) < 0. E3)
В точке @, 0) из E) и D8) следует, что
f'@) = />*@, 0) Q-@, 0) - Р~@. 0) 0^@, 0). E4)
В случаях 1 и 2 при условии E3) имеем f@) = 0, f '@) ФЪ,О~ХФ Q*, поэтому Р° (х) в E)
не меняет знака вблизи точки х = 0, т.е. движение по оси Ох с обеих сторон от особой
точки происходит в одном направлении. В случае 3 это имеет место, если
Qx@. 0) />+@, 0) Ф Qx@, 0) />"@, 0),
т.е. если в точке @, 0) кривизны траекторий двух систем E1) различны (следует
из E2)).
Теорема 4 [188]. Если система А класса due точке @, 0) выполнены условия
D8), то эта точка имеет \-юстепень негрубости тогда и только тогда, когда выполнены
следующие условия:
2° Если е точке @,0) Qx Р " > 0, QXP ' <0,то в этой точке
Рх + о у _ о;х _ р;+о; о;х _
12* 179

3° Если в точке @,0) Р ~ Р* < 0f Q* Q* < 0, то в этой точке
Ох~ Ох Ох Ох
= 2
е= 1/2
E5)
Доказательство. Достаточность. Пусть выполнены условия D8) и Iе —3е. Тогда в неко-
некоторой окрестности (Уточки @,0) функции Р~, Р*, Q%, Q*x (а в случае Р "Р* < 0 также f'{x)) со-
сохраняют знаки и по модулю превосходят постоянную ц. > 0. Для f 9(x) это следует в случае 3°из E5),
а в случае Р~Р* < 0, О* О* > 0 — из E4). Для любой системы А, достаточно близкой в С* к систе-
системе А, функции Р", Р*, QX,Q*X (и ?', если Р~ Р* < 0) в U имеют те же знаки, что Р~, Р*, Qx,
Qx (и f'). Поэтому система А может иметь в U особые точки только типов 1. 2 и 3 (только типов
2 и 3, если Р'Р* > 0). Так как Qx Ф 0, Qx Ф 0 (и f 3 Ф 0),то функции Q~(x,0), Q* (х. О)
(и fix), если Р~Р* < 0) в (/имеют по одному, притом простому корню (х(/ х:/ х0 соответственно).
Если х, = х2, то f(xx) - 0, поэтому х, = х2 = х„ и в U существует только одна особая точка о
системы А. В ней функции Р1, Ьх (и f') удовлетворяют тем же неравенствам, что Р*, Q?
(и f'). Поэтому особые точки @,0) и о принадлежат одному .и тому же топологическому классу.
В их окрестностях можно доказать б-тождественность систем А и А.
В случае хх Ф х: имеем f(xl) Ф 0, Т(х2) Ф О, поэтому х, Ф х0 Ф х2. Система А имеет в (/две осо-
особые точки (х,, 0) и (х2, 0) типа 2 (и одну точку х0 типа 1, если Р' Р* < 0). Эти точки — грубые
(теоремы 1 и 2), так как корни х,, х2/ х0 - простые.
а) Если Р" Qx < 0, P*QX > 0 в точке @,0), то такие же неравенства имеют место для системы А
в U. Траектории выпуклы в сторону оси Ох (рис. 84). Особые точки (х,, 0) и (х2, О) класса 2а,
(х0, 0) класса 1Ь. Грубость системы А доказывается как в лемме 5.
б) Если P~Qx > 0, Р* Qx < 0, то траектории систем А и А вогнуты в сторону оси Ох. Особые точ-
точки (х1#0)и (х2, 0) класса 2Ь, (х0#0) класса 1а. В силу условия 2°з2*0в D1). Значит, (о*)" - (о~)" =
~ х" Ф 0, и графики функций о* и а" расположены как на рис. 82. При малых (в С*) изменениях
системы А функции о* и а" мало меняются в С2 (это можно получить, применив к системе C1) ре-
результаты из 1185], стр. 252). Тогда для системы А, близкой к А. графики или тоже касаются, или не
имеют общих точек, или пересекаются в двух точках, т.е. уравнение х (х) =0 или имеет двукратный
корень, или не имеет корней, или имеет два простых (лемма 5 § 18) корня. В первом случае систе-
система А б •тождественна системе А. Во втором и третьем случаях траектории системы А изображены на
рис. 85 и 86, если Р" < 0, Р* > 0, a2 < 0 (при других знаках будет другим направление движения по
траекториям в одной или двух полуплоскостях; при Р"Р* > 0 траектории по оси Ох идут лишь вне
интервала (х,, х3)) Простые корни функции х соответствуют грубому предельному циклу. Двойных
сепаратрис нет. Это позволяет доказать грубость системы А.
в) Если в точке @,0) Р'Р* > 0, QXQX > 0, то в (/все траектории систем Аи А выпуклы в одну
сторону. Система А имеет только две особые точки (х,, 0) и (х2, 0) классов 2Ь и 2а (рис. 87). Гру-
Грубость системы А доказывается как в случае а).
г) Если в точке @,0) Р'Р* < 0, Q~QX < 0, то в (/все траектории систем Аи А выпуклы в одну
сторону. Для системы А ось Ох является траекторией, движение по ней с обеих сторон от точки
Рис. 84.
Рис. 85.
Рис.86.
180

Рис. 87.
Рис.88.
x = 0 направлено в одну сторону в силу условия 3~ а). Система А имеет две особые точки (х,, 0) и
(х;, 0) типа 2 классов 2а и 2Ь и одну особую точку (х„, 0) типа 1 (рис. 88). Замкнутых траекторий
нет. Сепаратриса особой точки класса 2а может идти в особую точку типа 1. Покажем, что при усло-
условии 3е б) это невозможно для систем А, достаточно близких к А.
В силу D8) для траекторий системы А имеем
dy . 0^.@,0)
— = /?~х + ^~(х, у), h =—j Ф О,
dx Р~@,0)
значок * (") берется при у > 0 (у < 0); ** € С2, <pt = О (х2 + |у|). Пусть, например, Qy^+ > °<
тогда /7* > 0, /? ~ > 0. Для системы А после переноса начала координат в точку {хг, 0), где
Q* (х:,0) = 0, имеем
dy Q-
— = =<*- + (Л1 +0-)х + </?±(х, к), E6)
dx Я*
где <у+ = 0, а", 0 *, 0' малы, f * е С2^, J + = О (х2 + I у\). Сепаратриса особой точки @,0) системы А
в области у < 0 имеет вид
у =<*~х + (/Г+/Г)х2/2 + О(! х I3 + I а"| х2 ).
Она еще раз пересекает ось Ох в точке х3 =
+ 0{{а"J).
С другой стороны, в точке х0 имеем f(x6) - О, т.е. д~/Р~ = Q*/Р*. Отсюда и из E6) получаем
-h -
х, — xtl -•
R.
E7)
Если существуют системы А с двойной сепаратрисой, сколь угодно близкие к А, то х-, — х0 = С
для некоторой последовательности значений а" = c*J -*0, 0' = &J —О, 0* = 0J —О, / = 1, 2, ... При
равнивая E7) к нулю, деля на а" и переходя к пределу по такой последовательности, получаем
2/»+ - h" - О, т.е. 2Qx/P* - Q.WP~ в точке @,0). Это противоречит условию 3° б). Следовательно,
система А не имеет двойных сепаратрис. Ее грубость доказывается как в случае а).
Итак, в случае х, = х: имеем {Н, А ) = (Н,А), ав случае х, Ф х2 система А - грубая. Поэтому
система А и ее особая точка @,0) имеют 1-ю степень негрубости.
Необходимость условия 1° доказана в лемме 10. Докажем ее для условий 2е и 3е.
2° Пусть QxP " > 0, Q?P+ < 0 и, например, Р" < О, Р* > О. Пусть а: = 0. Тогда для системы А
имеем х(х) = oix2) в силу D1) и D3). Для системы А, получаемой из А заменой Р* (х, у) на
Р*(х, у) - Р* (х, у) + цх, функция х в силу D3) равна
2/и
-х2 +о(х2).
E8)
Если @,0) — центр или центрофокус для системы А, то при любом ц Ф 0 в силу E8) эта точка —
фокус для системы А.
Если в некоторой окрестности точки @,0) нет замкнутых траекторий системы А, то \ U,) Ф 0
для сколь угодно малого xt > 0, например, х(хх) > 0. Найдется такое* малое ц Ф 0, что
X (х,; /и) > 0 и для некоторого х2 Е @, х,) в силу E8) х(х2; ц) < 0. Тогда х(*3; ц) *0длянеко-
торого х3 € (х2, х,). Через точку (х,, 0) проходит замкнутая траектория системы А.
181

В обоих случаях системы А и А не б-тождественны при малых е. Для системы А точка @,0) ти-
типа 3, поэтому система А — негрубая. Значит, система А и ее особая точка @,0) не могут иметь
1-ю степень негрубости.
3е Пусть Р"Р* < 0, Q*Qi < 0 в точке @,0). Если не выполняется условие 3° а), то ff@) = 0
(см. E4)). Пусть система А получается из А заменой функций Q±(x, у) на функцию
Q (x, у) » Q~(x, у) — осР {х, у) — с
Система А близка к А, если а мало, и для нее
5* @,0) д~ @,0) =а2Р+@,0)/М0,0)<0, ПО) =0, ?'@) =0.
Значит, для системы А особая точка @,0) — негрубая типа 1 (теорема 1). Она топологически отлич-
отлична от особой точки типа 3 при условиях Р"Р* < 0, Q.v Q.v < 0 (ее окрестность состоит из других сек-
секторов, см. п. 2).
Пусть не выполнено условие 3° б) и, например, Q?P* > 0. Построим систему А с двойной сепара-
сепаратрисой, сколь угодно близкую к А. Для этого в E6) возьмем а* - 0* = 0, J1 = ^*, и для сколь
угодно малого а' Ф 0 так подберем /3", чтобы х3 — х0 = 0 в E7). Так как Л " = 2 Л*, то из уравне-
уравнения х3 — х0 = 0 имеем
/3" - BЛ+ + 0~)(Л+ + 0~)R/a~ E9)
Так как IRI < к (а ~J, то уравнение E9) имеет решение 0~= О{а").
Итак, при невыполнении условия 3° а) или 3° б) существуют сколь угодно близкие к А негрубые
системы, топологически отличные от А. Значит, система А в окрестности точки @,0) не может иметь
1 -ю степень негрубости.
6. Пусть @,0) — особая точка типа 4 и
РЧО.О) = Q+@,0) = 0, Q"@,0) Ф 0. F0)
Будем считать, что система А+ (см. E1)) класса С1 определена в полной окрестности
точки @,0), а не только при у > 0. В силу F0) точка @,0) — стационарная точка систе-
Г г
Рис. 92.
Рис. 93.
Рис. 94.
Рис. 95.
Рис. 96.
182

мы А\ Положим
а = #@,0), Ь = ; ^
o = a+d, A-ad—be.
При линейных преобразованиях плоскости и заменах Г на —Г и х на — х не меняются
знаки величин А, о2 — A A, oQ "@,0) и f'@), где f(x) та же, что в E).
Из F0) следует, что в случае О* @,0) Ф о функция Qx(x, 0)Q* (*, 0) меняет знак
при переходе от значений х < 0 к х > 0. Поэтому движение по оси Ох имеется только в
одной полуокрестности (х < 0 или х > 0) точки х = 0. Это движение и движение по про-
проходящей при у < 0 через точку @,0) траектории системы А" (см. E1)) согласно E)
направлены оба к точке @,0) или оба от этой точки, если f'@) < 0, и направлены одно к
этой точке, другое от нее, если f '@) > 0. В случае Д < 0 особая точка @,0) системы
А+ — седло, в случае 0 < 4 А < о2 — узел, в случае 0 < о2 < А А — фокус. Эти рассужде-
рассуждения дают следующие 8 топологических классов особых точек. _
1) Если А < 0, О^@,0) Ф0, то в случае f'@) < 0 имеем класс HQQH (рис. 89), а в
случае f ' @) > 0 - класс НККН (рис. 90).
2) Если 0 < Л А < о2, Qx@,0) Ф 0, то в случае f '@) < 0 имеем классы QPQ, если
аСГ@,0) < 0 (рис. 91), и HPFQ, если аСГ@,0) > 0 (рис. 92), a в случае f' @) >0-
классы КРК, если oQ'@,0) < 0 (рис. 93), и HPRK, если аО"@,0) > 0 (рис. 94).
3) Если о2 < Л А, то в случае f'@) < 0 имеем класс QQ (рис. 95), а в случае
f ' @) > 0 - класс КК (рис. 96).
У
Рис. 97.
Если особая точка — узел или седло, то ( [157], стр. 186) траектории, входящие в эту
точку, касаются в ней собственных векторов матрицы
М
q;
F1)
x - у = О
Ненулевой вектор (и, v) тогда является собственным, когда
аи + bv = \и, си + dv = \v, F2)
т.е. когда
(аи + bv)v = (си + dv)u. F3)
Если с Ф 0, то собственные векторы имеют вид Uj,1) и (к2,1), где к и к2 — корни
уравнения
^ (к) =ск2 + (d — а)к — b = 0. F4)
Лемма 12 ( [185], § 9). ^7/сгь @,0) - особая точка системы A* G С1, причем
АФО. Тогда
а) существуют такие р > 0, 50 > 0, vro /7pt/ 0 < 5 < 60 всякая система А*,Ь-близкая
в С1 к системе Af/ имеет в круге Кх(х2 + у2 <р2) ровно одну особую точку (х0/ у0);
при этом х0 = 0F), /о = 0E);
183

б) если А < 0 или О < а2 Ф 4 Д > О, то для некоторого 61 > О при О < 6 < 61 особая
точка (х0, /о) того же типа {узел, седло или фокус), что точка @,0) системы А+;
в) если А < 0 или 0 < 4Д < о2, то для любого е > 0 найдутся такие р, (е), 52{е),
«/го яр*/ 0< р< р\ (е) ,0<Ь <Ь2{е) существуют гладкие линии L\, L2, каждая из ко-
которых состоит из двух полутраекторий системы А*, входящих в особую точку (х0, Ко),
и делит круг К{ (х - х0J + {у - у0) 2 < р2) на две части (рис. 97); касательная к
Li, / = 1,2, в любой точке образует с собственным вектором (uit yt) матрицы F1)
угол, меньший е.
Замечание. Если Q*x Ф 0, то утверждение об угле можно заменить следующим:
на L i
dx
<€, / = 1,2. F5)
Лемма 13. Пусть система
x=ax + by, y = cx + dy F6)
имеет особую точку типа ''фокус". Тогда траектория системы, касающаяся прямой
у — —\, имеет в первой точке (% j, 0) своего пересечения с этой прямой производную
dx/dy - к0; при этом о(а - ск0) > О,
г c[cK2+{d-a)K0-b) ( 2А \ 0
In ; + arctgI о I = 2tfsgnо — arctg — ,
2a (з-ско) \а-ск0 I r
F7)
r = >/-4Ьс- (сУ-аJ' > О.
Доказательство. Деля первое уравнение F6) на второе, получаем однород-
однородное уравнение. Решаем его подстановкой х -- иу. Проходящая через точку касания
у - — 1, и - —d/c интегральная кривая разбивается на куски, на каждом из которых по-
постоянная интегрирования определяется отдельно. В точке пересечения с прямой у = —^
получаем уравнение для и; выражая и через dx/dy = к 0, получаем F7).
Теорема 5 [188]. Пусть система А€ С2 и в особой точке @,0) выполнены усло-
условия F0). Для того чтобы эта точка имела 1-ю степень негрубости, необходимо и доста-
достаточно выполнение следующих условий:
1° Или А < 0, или А > 0, оФ 0, а2 Ф ЛА.
2° О; @,0) *0.
3° Р* @,0)Q" @,0) ФР " @,0) Q 1@,0).
4° Если А < 0 и выполнено F3) с и = Р "@,0), v = Q~@,0), то должно выполняться
условие
О*Ж0}Р'@,0) + о;.@,0Ю~@.0) < 0. F8)
5° Если 4 А > а2 и для к 0 = Р " @,0) /Q"@,0) выполнено F7), где а, Ь, с, d те же, что
в F1), то должно выполняться условие aQ~@,0) < 0.
Доказательство. Необходимость. Для условия 2* она доказывается подобно лемме 10.
Пусть условие 2° выполнено, а Г — нет. Если Д = 0 или Д > 0, о = 0, то точка @,0) для системы
А* — негрубая (( 185), теоремы 11 и 15). Сдвинем ее в точку @, 77), т.е. заменим функции Р*{х, у)
и Q* (х, у) на Р*{х, у) = Р*Ах, у — rj) и Q*\x, у) - Q*(x, у - tj). Полученная система негрубая и,
как в конце доказательства леммы 1, не с -тождественна системе А. Значит, система А не может
иметь 1-ю степень негрубости. (Здесь и далее не указывается, как выбирать область Н, для которой
[Н, А) -. (Н, А), из-за очевидности этого выбора.)
Если о2 = 4Д s 0, то для системы А* точка @,0) — узел. В силу 2 вектор A,0) не удовлетво-
удовлетворяет F4), значит, из области у > О в точку @,0) входит бесконечно много траекторий. Сколь угод-
угодно мало изменим систему, чтобы было 4Д > о2. Точка @,0) станет фокусом системы А*, и из обла-
области у > 0 в эту точку не будет входить ни одна траектория. Одна траектория будет входить из
области у < 0 и одна — по оси Ох (см. рис. 95 и 96). Полученная система не б-тождественна исход-
исходной системе А и негрубая по лемме 1. Значит, система А не может иметь 1-ю степень
негрубости.
184

Пусть не выполнено условие 3 . Тогда для функции fix) из E) имеем f ' @) = 0. Для систе-
системы А, полученной из А заменой функций Р\ Q* на
РЧх, у) = Р*{х, у) - aPiO.Q) - ccx
Q*(x,y) =Q*ix,y) -aQ~i0.0) -а2хО*@,0),
при сколь угодно малом a > 0 имеем
О @,0)О+@,0) = a(Q-@.0)J <0, f(O)=f'(O)=O.
Для системы А @, 01— особая точка типа 1, негрубая по теореме 1. Вблизи нее Q" Q* < 0, поэтому
на обоих интервалах -р<х<0и0<х<р оси Ох сливаются траектории, а для системы А — только
на одном, так как О" U, 0) Q* {х, 0) меняет знак в силу Т и F0). Тогда особая точка @,0) систе-
системы А и особая точка @,0) системы А топологически различны. Значит, система А не может иметь
1-ю степень негрубости.
Пусть, как в 4' , Д < 0. Тогда для системы А* точка @,0) — седло и его сепаратрисы касаются
векторов (к/, 1), к/ (/ =1,2)— корни уравнения F4). Для системы А*:
х =Р*(х, у) =P*ix, у) -P'iO.-n), У = Q*ix,y) = О*(х, у)- Q*@, п) F9)
по лемме 12 при малых ц > 0 точка @, т)) — седло.
Пусть выполнено F3) с и = Р~ @,0), v - Q'@,0). Тогда [и, v) - собственный вектор матрицы
F1). Он коллинеарен одному из векторов (к,, 1), например, вектору (к,, 1). По лемме 12 одна
сепаратриса Г системы А * пересекает ось Ох в точке (х,, 0), и в этой точке
dx Я+(х.,0) f>~@,0)
— = =к, +м<г?)= + M<tj); G0)
dy Q+(x,,0) Q"@,0)
при этом х, -* 0, ц (т]) — 0 при 77 — 0.
Пусть система А при у > 0 совпадает с А*, а при у < 0 получается из А заменой функции
Р" (х, у), на функцию Р" (х, у). = Р" (х, у) + v, где v определяется из равенства
P"U,.0) + i' Я"@,0)
v -0 (rj-O),
Q"(x,,0) Q"@,0)
а Q~ Q~ . Тогда для системы А в точке (х,, 0) векторы [Р\ Q* ) и {Р~, Q~ ) коллинеарны и
Г(х,) ¦= Р* Q" - P'Q* = 0.
Если Л — собственное значение матрицы F1), соответствующее вектору iu,v\ - (P~ @,0),
Q" @,0)), то в силу F2) левая часть F8) равна Л О" @,0). Если условие F8) не выполнено, то
ЛО" @,0) > 0. Если X > 0, то Q" @,0) > 0 и движение по сепаратрисе Г направлено от седла @, т?)
к точке (х,, 0), поэтому Q* (х,, 0) < 0. Тогда при малых г|их, имеем Q* (xlt 0)Q~(x. ,0) < 0. Так
как f(x[) — 0, то (х,, 0) - особая точка типа 1 системы А, а Г — двойная сепаратриса. Это же спра-
справедливо в случае Л < 0.
Поэтому система А - негрубая, а система А не может иметь 1-ю степень негрубости.
Пусть, как в 5 , 4Л > а2. Тогда @,0) — фокус как для системы А\ так и для ее линейной части —
системы F6). Теперь при малых г? точка @, 77) — фокус для системы F9). После замены х = г?Х,
у - п ( у + 1) точка @, tj) переходит в точку X — У — 0, а прямая у - 0 — в прямую У - — 1. Систе-
Система F9) переходит в систему, сколь угодно близкую к F6) в области \Х\ r m, \У\< т, если г\ доста-
достаточно мало. Полученная система имеет траекторию, касающуюся прямой V = — 1 и затем пересекаю-
пересекающую ее в точке X,, близкой к ? ,, с производной dX/dY = к0 + ц( rj), где ц (т?) - 0 при tj — 0, а ? , и к„
те же, что в лемме 13. Возвращаясь к х, у, получаем, что траектория Т системы F9), касающаяся
оси Ох в некоторой точке (х*, 0), затем пересекает ее в точке (х,, 0), х, = tjX, , с производной
dx/dy = кп ¦ м in) • Далее, как в доказательстве необходимости условия 4 , показывается, что при
невыполнении условия 5 существует сколь угодно близкая к А система А, для которой точка
(х,, 0) — особая типа 1, а Г — двойная сепаратриса. Следовательно, система А не может иметь 1-ю
степень негрубости.
Достаточность. Пусть выполнены условия 1—5 и V — достаточно малая окрестность точки
@,0). Согласно 1' точка @,0) для системы А* — седло, фокус или обычный узел. При малом h > 0
для любой системы А, Л-близкой в С* к системе А, функция Q" (х, у) Ф 0 в V. Поэтому система А
может иметь в V особые точки только типов 1, 2 и 4 и не более одной стационарной точки (х„, у,)
при у > 0. Если Ь мало, то в силу 2 , 3 и F0) для системы А функции Q+ (x, 0) и
f"ix) =Я + (х, 0)Q"(x, 0) -Р~(х, 0)QUx,0)
имеют на отрезке оси Ох в И только по одному корню х * и х, соответственно (так как для функ-
функции f из E) имеем МО) = 0, f ' @) Ф 0); эти корни простые; x*t x,, x0, yit - О F ), точка fx(), y,t)
того же типа, что точка @,0) для А*.
185

А° Если y0 = 0, тоР+ Uo,0) = Q* UO,O) = 0,?(x0) - О, поэтому x*= x, = x0. Тогда в И имеет-
имеется только одна особая точка (х0, 0) системы А. Эта точка типа 4. При малых б в ней выполняются
условия, аналогичные условиям 1° —3° для системы А, и функции Q" ,Qx, ?'. Д, о1 — 4Д, а (при
Д = 0) имеют те же знаки, что соответствующие функции для системы А. Тогда окрестности этих
особых точек состоят из одних и тех же секторов {см. случаи 1) -3), рис. 89—96) и топологически
эквивалентны. Имеем [V,A) = {V,A) при малом б > 0 для некоторой окрестности V точки
U(),0).
Б° Если у0 > 0 или если в части у > 0 окрестности V нет стационарных точек системы A* (х =
= Р* (х, у)., у — Q* (х, у).), то в V имеется ровно одна особая точка (х*, 0) типа 2, не более одной
особой точки [хх, 0) типа 1 и не более одной стационарной точки (х0/ уа) в области у > 0. Так как
Qx(x*t 0) Ф 0, ft(xl) Ф 0, то в силу теорем 1 и 2 и условия 1° эти точки — грубые. Покажем, что
в V нет двойных сепаратрис и негрубых замкнутых политраекторий.
Функция Q" сохраняет знак в V, поэтому замкнутая траектория не может хотя бы частично ле-
лежать в области у < 0. Если бы она целиком лежала в области у > 0, то внутри нее имелась бы особая
точка (х0, y<j) индекса 1, т.е. с Д > 0. Но тогда о Ф 0 для системы А, значит, при малых V \л Ь для
системы А сумма Рх* + Q\>, близкая в И к числу а, сохраняет знак в V. Тогда в V при у > 0 нет
замкнутых траекторий (|157), стр. 228). Поэтому замкнутая траектория может только частично
лежать в области у > 0, а частично — на оси Ох (рис. 98). Но тогда она содержит кусок оси Охе на
котором Q' Ф 0, т.е. кусок линейной особенности, и не является поли траекторией.
Покажем, что в V нет двойных сепаратрис.
1) Предположим, что сепаратриса Т особой точки (х*, 0) типа 2 идет в точку (хх, 0) типа 1.
В точке (х,, 0) функция h(x) - Q~(x, 0)Q+(x, 0) < 0, она меняет знак только в точке (х* 0). Следо-
Следовательно, h{x) < 0 на участке оси Ох между этими точками, и по указанному участку идет траекто-
траектория L. Траектории Ти L ограничивают область ИЛ Вторая сепаратриса точки (х*, 0) входит внутрь W,
так как в противном случае функция Q+(x, 0) на указанном участке еще раз меняла бы
знак (рис. 99), что невозможно. Тогда внутри W есть особая точка (х„, у()). При малых б она может
быть только фокусом, так как в случае узла и седла в силу леммы 12 в) через точку (х„, у0) прохо-
проходит делящая W на две части линия, которую не может пересечь траектория Т. Значит, для системы
А+ точка @, 0) — тоже фокус. А тогда из рассуждений, подобных проведенным при доказательстве
необходимости условия 5° , следует, что при выполнении условия 5° нет двойных сепаратрис.
2) Пусть сепаратриса выходит из точки (х0, у0), ус > 0. Тогда эта точка — седло системы А.
Так как 0^.@, 0) Ф 0, то сепаратрисы особой точки @, 0) системы А не касаются оси Ох в этой
точке. По лемме 12 при малых 6 сепаратрисы точки (х0, у0) системы А тоже не касаются оси Ох
в окрестности V. Значит, они не попадают в точку U* 0) в которой траектория касается оси Ох.
При выполнении условия 4° они не попадают и в особую точку (х,, 0). Это доказывается с по-
помощью рассуждений, подобных использованным при доказательстве необходимости условия 4°.
Значит, и в этом случае в V нет двойных сепаратрис.
Таким образом, в случае Б° система А при малых б не имеет негрубых особых точек, негрубых
замкнутых политраекторий и двойных сепаратрис. Тогда в силу теоремы 1 § 18 система А - гру-
грубая в V.
Из А0 и Б° следует, что система А в области V и особая точка @, 0) имеют 1-ю степень негру
бости.
В силу доказанной теоремы существуют 8 топологических классов особых точек ти-
типа 4 1-й степени негрубости (рис. 89 — 96). Рассмотрим бифуркации этих точек.
В случае А < 0, f' @) < 0 (рис. 89) возможны следующие бифуркации. Для систе-
системы А, близкой к А, при Уо > 0 вблизи начала координат имеются (рис. 100) особая
точка (х*, 0) класса 2Ь, особая точка (х,, 0) класса 1а и седло (х0, у0). Точка (х*, 0)
лежит на интервале между точками пересечения сепаратрис седла с осью Ох, а точка
(х,, 0) или на этом же интервале, или вне его.
Если /о < 0, т.е. система А+ не имеет стационарных точек при у0 > 0, то система А
имеет только особую точку класса 2а (рис. 56).
В случае А < 0, f' @) > 0 (рис. 90 для системы А) расположение траекторий систе-
системы А сходно с предыдущим случаем, но при Ко > 0 нет особой точки типа 1, а при Ко <
< 0 имеются особая точка (х,, 0) класса 1Ь и особая точка (х*, 0) класса 2а.
В случае 0 < 4Д < о2, f'{0) < 0 (рис. 91 и 92 для системы А) система А, если Ко > 0,
имеет особую точку (х*, 0) класса 2а и узел (х0, Ко), а если Ко < 0 — особые точки
классов 2Ь и 1а. Бифуркации особой точки, изображенной на рис. 91, представлены на
рис. 101. (Бифуркации особой точки рис. 92 рассматриваются аналогично.)
186

Рис. 98.
x* L
Рис. 99.
ТТЛ
Рис. 101.
ТТЛ
Рис. 100.
Рис. 102.
Бифуркации особых точек в случае 0 < 4Д < а2, f'@) > 0 (рис. 93 и 94) отличают-
отличаются от рассмотренных тем, что у системы А особая точка типа 1 имеется лишь в случае
Ко > 0, она принадлежит классу 1Ь.
В случае 0 < а2 < 4Л, f '{О) > 0 траектории системы А изображены на рис. 96. Если
Ко > 0, система А имеет особую точку (х*, 0) класса 2а, особую точку (х,, 0) класса
1Ь и фокус (х0, Ко) • При выполнении условия 5° система А может иметь грубый пре-
предельный цикл (рис. 98) или не иметь его (рис. 102). В случае oQ~@, 0) < 0 предельно-
предельного цикла нет. Если Ко < 0, система А имеет только особую точку класса 2Ь (рис. 57).
В случае 0 < о2 < 4Д, f'@) < 0 (рис. 95 для системы А) бифуркации особой точки
отличаются тем, что у системы А особая точка типа 1 имеется лишь при Ко < 0» она ПРИ*
надлежит классу 1а.
Число топологических классов изолированных особых точек каждого типа (не счи-
считая центрофокусов, которых бесконечно много) указано в следующей таблице [188] :
Тип
Всего топологических классов
Из них грубых
1-й степени негрубости
3
2
1
39
0
7
Примечание. Для типа 3 используется доопределение а) § 4.
Бифуркации векторных полей с особенностями на границе полуплоскости рассмат-
рассматривались в [191], [192].
187

§ 20. Особые точки на пересечении линий разрыва
Проводится качественное исследование особой точки, лежащей на пересечении любого
конечного числа линий разрыва. Даются достаточные условия устойчивости и неустой-
неустойчивости такой точки и достаточные условия ее грубости. Более полные результаты при-
приводятся для особой точки на пересечении двух линий разрыва.
1. Пусть круг К (х\ + х\ < Го) с центром О разделен гладкими линиями (простыми
дугами класса С1) L х, ..., Lm на т областей S,- (/ = 1, . .., т; т > 2), называемых
секторами. Сектор S,- лежит между линиями /., и Li + l; Lm + l = L i. Только концы
ai линий Lj лежат на окружности круга К. Направление обхода аха2- • . ата{ — поло-
положительное. Каждые две линии Z.,- и Lj не имеют общих точек, кроме точки О, являю-
являющейся их общим концом.
В круге К рассмотрим систему в векторной записи
x = f(x), х = (х,,х2). П)
Предполагается, что в каждом секторе S,- вектор*функция f(x) удовлетворяет условию
Липшица. Она может быть разрывной только на линиях L \,. . ., Lm. Пусть ff (x) — не-
непрерывное продолжение функции f из сектора 5,- на его замыкание S,. Для х ? /_,• пусть
f~bjW и f\r{x) — проекции векторов f/_t(x) и/(х) на нормаль к/.,, направленную от
S/: _! к 5/. На тех участках линии Lf, где fj^M f^M ^0 (или хотя бы там, где f]^{x)>
** 0, fjv(x) <0), определена непрерывная вектор-функция fJ4x), касательная к /.,- и
определяющая скорость движения х = f°. (x) по таким участкам.
Лемма 1. Если f, (х) Ф0 в St\ 0, то траектория, проходящая через произвольную
точку сектора S,, при продолжении в каждую сторону или выходит на границу сектора,
или стремится к точке О.
Доказывается подобно утверждению 3 леммы 5 § 17.
Пусть а,- - отсчитываемый в положительном направлении угол между положитель-
положительным направлением оси Ох и лучом, касательным к дуге /.,- в точке О; при этом
<ог2 < ... <ат <<*! + 2я; ат + 1 =а, + 2тг.
Если fi @) Ф 0, то ур{ — угол между Ох и вектором fi @). Прибавляя, если надо, к
слагаемое, кратное 2 я, всегда считаем, что
Пусть Кр - круг х\ +xl <р2.
Лемма 2. Пусть f,@) Ф 0 для некоторого /. Тогда:
а) если or, < <p. <ai + l (или а,¦< ${ - тг < а, + {), то найдется такое р>0, что каж-
каждая траектория, проходящая в S/ П Кр, при возрастании t (соответственно при убыва-
убывании t) выходит из S, П Кр через дугу окружности | х | = р; в S, имеется только одна
траектория, входящая в точку О при убывании t (соответственно при возрастании t) ;
в этой точке она касается вектора fj @);
б) если а,- +1 < кр i < а ,• + it (или а,- + j <
< <р i — я < а/ + тг), го найдутся такие к и
р, vro каждая траектория, проходящая через
какую-нибудь точку b G 5,- П /Ср, л/н/ /6ы-
вании t выходит из 5/ /ю линию Lt (соот-
(соответственно Lj + i), а при возрастании t — на
линию Z./+1 (соответственно Lf), и дуга этой
траектории от входа в 5,- do выхода содер-
содержится в области k'1 \b\<\x\ <к\Ь\.
Доказательство. Пусть а,- <
< кр i < otf + i. Тогда вектор //@)из точки
О направлен внутрь сектора 5/. Вследствие
непрерывности f,(x) в 5,- и гладкости ли-
Рис. 103. ний Lj и Z./ + 1 найдется такое р > 0, что в
188

каждой точке х этих линий, в которой |х| < р, вектор fj(x) тоже направлен внутрь секто-
сектора. Через каждую такую точку в сектор входит по одной (в силу условия Липшица) тра-
траектории. Из сектора S,- П Кр они выходят только через дугу \х\ = р.
Пусть а,+, < spt < ott + я. Возьмем такое 1? > 0, чтобы было а, + 1 + г? < ty < а, +
+ тг — 1?, и такое р, > 0, чтобы в области | х | < р,, х Е Sf, направления вектора г",- (х)
и касательных к линиям L, и Z., + 1 отличались от направлений лучей «? = <?,•, соответ-
соответственно <? = <*,, ^=a/+i, меньше, чем нае @<в<т?/4). Тогда при |х| < р. линия /.,
лежит между лучами Осх и Ос2 (v? = a,+e), линия /., + , — между лучами Осз и Ос4
fa = ai + i +е) (рис. 103). Возьмем р = р/ sin t|i, r?i = 17 - 2б, и проведем через любую
точку bESjt^Kp, ЬФО, прямые pq и rs по направлениям с полярными углами у =
= <?,• + е. Они пересекут лучи Ос\, -.., Ос4 в области I х | <р., так как, например, раз-
разность полярных углов лучей Ьр и Ос4 равна
lipt - в) - (а|+, + е) = spt - а|+ х - 2е > т?,,
/.орб > ту,, и по теореме синусов для треугольника obp имеем
sin obp 1 1
|ор| = |о6| <|ob| <р =р,. C)
sin opb sin т?! sin ??,
Аналогично получаем, что расстояние от точки О до ближайшей точки прямых pq и
rs не меньше, чем \Ob Isinr?,. Проходящая через точку b траектория заключена меж-
между этими прямыми. Отсюда следует утверждение б) леммы в рассматриваемом случае.
Остальные случаи сводятся к рассмотренным заменой Г на -Г.
Теорема 1. Пусть г",@) Ф 0 для всех /, а числа щ те же, что в B). Для асимпто-
асимптотической устойчивости точки х = 0 достаточно, чтобы
1) при каждом i (j/ьти выполнены неравенства
2) A?pw 0< |х \<р0 векторы tfix) там, где они определены, были направлены по
касательным к линиям L( в сторону точки О, и ^{х)Ф0;
3) если
0f/ +1 < \р. < OLf + Я, / = 1, . . . , /77, E)
то требуется, чтобы
™ sin(a. + 7r у)
71, <7= П ' %-. F)
/=i sin(^. -а, + 1)
а если
а| + 1+я<^. <а, + 2я# /=1f...,/w, G)
го а > 1.
Если же границы секторов — прямые, а направление вектора f(x) в каждом секторе
постоянно, то условия 1) — 3) являются и необходимыми.
Замечание. Если скорость движения по линиям /.,- определяется согласно а)
§ 4 и выполнено условие 1), то для выполнения условия 2) достаточно, чтобы
I \piг — yi+j | < я для тех /, при которых
я)Ц-а/+1 -тгХО.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда
щФа,+п, цФац.х+п, /=1,...,/77. (8)
Тогда при достаточно малом е > 0
|^-а/-я |>2с, 1^-а/+| -я |>2е, /=1,...,/г7. (9)
В силу D) и (9) для |х| < р0 вектор г*,-(х) при х Е Lf не касается /-/, а при х €
Е /., + , не касается Z./ + 1- Тогда для каждого / в зависимости от знака разности v?/ —
— а,- — я или на всем участке I х | < р0 линии /.,- траектории только выходят из сек-
189

тора 5/ на линию /./, или на всем этом участке сходят с линии /./ в сектор S,*. То же
справедливо при |х| < р0 на границе L/ + x сектора S/. В частности, в случае E) вы-
выполнено (8), и все траектории при малых |х| последовательно переходят из Sj в
$2/ - • •, Sm, затем снова в Si и т.д. Для точек х,- пересечения траектории с Z.,, / =
= 1,2,..., из C) следует
sin@x,x/+1)
- | х/ | —— .
lO)
В достаточно малой окрестности точки О это отношение синусов сколь угодно близко к
отношению синусов в F). Значит, при достаточно малом |xt | траектория из точки Xi
сделает оборот вокруг точки О и вернется на L х в точке хт +i, где I хт +1 | <,qx | X] | .
Так как q < 1, то qx < 1 если |xj | < р*. Но тогда траектория сделает еще оборот
вокруг точки О и т.д. После /7 оборотов \хпт + х | <<7Г1Х1 I ~* О ПРИ Л -*°°. На дуге
траектории между точками xwm+1 nx(w+1)m + 1 имеем |x(f) | <c\xnm+l | в силу C).
Из этих оценок следует асимптотическая устойчивость точки х = 0.
В случае G) рассуждения аналогичны, но обороты совершаются в отрицательном
направлении.
Если выполнено (8), но не выполнено ни E), ни G), то траектория не может вер-
вернуться в тот сектор, в котором уже побывала. В силу C) в каждом секторе I x(r) | мо-
может возрасти не более чем в (sin^) раз, значит, |x(r) | < (sinr?,)~m |х(г0) I при
f о < Г < °°. Начиная с некоторого момента t{, траектория остается в одном из секторов
S/ (и тогда входит в точку О по лемме 1) или на одной из линий Lf (и тогда стремится
к точке О в силу условия 2) теоремы). Итак, в случае (8) асимптотическая устойчи-
устойчивость доказана.
Пусть для некоторого / вектор f,(x) касается линии L,- в некоторых точках х€ /.,-,
сколь угодно близких к О. Тогда <р{ = щ + я и при |х| < р направления векторов
fi(x) и f°.{x) отличаются от направления с полярным углом <р( меньше, чем на е. По-
Поэтому в тех частях сектора Sf и линии L,-, которые находятся в секторе \ <р - ocj \ < я/8
круга Кfj, функция I x(t) | убывает вдоль траектории даже в том случае, когда траекто-
траектория бесконечно много раз попадает на линию /., и сходит с нее в сектор 5/ или в сектор
5,_ 1, если и там <р;- _х = at + я. Если же </?,-_х Ф а,- ь я, то при достаточно малых | х |
траектории или сходят с /., в Sf _ j, не возвращаясь на L /, или не могут сойти.
Если совпадают значения </?, для группы соседних секторов 5/, а для разделяющих их
линий Lj значения ау + я совпадают с этими ^/, то траектория может в течение некото-
некоторого промежутка времени оставаться в этих секторах, переходя любое число раз (даже
бесконечно много раз) из одного сектора S, в другой и, возможно, проходя по лини-
линиям Lj. Из сказанного выше следует, что на таком промежутке времени I x{t) | убывает
вдоль траектории. На остальных промежутках времени справедливы те же оценки, что
и в случае (8). Следовательно, во всех случаях при выполнении условий теоремы имеет
место асимптотическая устойчивость.
2. Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 1 и лемм, позволяют
провести качественное исследование окрестности точки О в случае, когда все векторы
fj{0) не равны нулю и каждый из них не касается границ /./ и /., + 1 сектора 5,- в точке
О, т.е. для / = 1,2,... ,/77
0. Ф ah у. Ф а,- + я, ^ Ф а/+,, ^ Фа!+1±п, A0)
и f®(x) Ф 0 на линиях /./.В этом случае в некоторой окрестности точки О нет особых
точек, отличных от О, а сама точка О может быть особой или неособой (определение
особой точки см. в п. 1 § 18) •
В случаях E) и G) особая точка О— фокус, центр или центрофокус и вблизи нее
нет линейных особенностей. В случае E) движение по траекториям вокруг точки О
происходит в положительном направлении, при О < 1 имеем устойчивый фокус, при
<7 > 1 — неустойчивый. В случае G) движение происходит в отрицательном направлении,
при q < 1 — неустойчивый фокус, при q> 1 — устойчивый. Случай G = 1— критический,
точка О может быть фокусом, центром или центрофокусом. Если все линии Z.,- — пря-
190

мые и направления векторов f,(x) постоянны в каждом секторе S/, и q = 1, то особая
точка — центр.
Если же при некоторых (не всех) значениях / выполнено двойное неравенство E),
а при всех остальных — G), то найдется такая линия Lj, для которой f^> 0, f^< О,
и другая линия, для которой fjv<0, f^>0. Таких линий четное число. Они являются
линейными особенностями класса AAi и делят окрестность точки О на топологические
секторы классов G, L, S (в отличие от секторов 5/, топологическими здеиь называются
секторы, рассмотренные в § 17). Устойчивость особой точки и принадлежность тополо-
топологических секторов классу G, L или S зависят от направления движения по линиям /./,
являющимся линейными особенностями.
Если для некоторого / имеем а,- < spf < ai+j (или щ < </^ — тг < ai+ {), то по лемме 2
в секторе St имеется траектория, входящая в точку О при убывании (возрастании) t.
Пусть хотя бы в одном секторе S/ выполнено неравенство а, < \р( - тг < а/+1, ни в од-
одном из остальных не выполнено неравенство а, <^; ^<*7-+| и ни на одной из линий /./
вблизи точки О нет ни точек, где f°(x) = О, ни движений, направленных от точки О.
Тогда точка О асимптотически устойчива. В ее окрестности могут иметься только то-
топологические секторы классов Q и S. Если а,- < $f < ai+l хотя бы для одного /, то
точка О не может быть устойчивой.
Если ос; < $г < а, + 1 хотя бы для одного / и ау < ^- — тг < а/ + 1 хотя бы для одного/,
то при отсутствии секторов Sf с неравенствами E) и G) точка О седлового типа; ее
окрестность может состоять только из топологических секторов классов Н, К, Q. При
наличии также секторов 5/ с неравенствами E) или G) могут иметься и топологичес-
топологические секторы классов G, L, S. Точка О может быть особой или неособой (класса НИ
или KQQK).
Лемма 3. Если для i = 1,. . ., т выполнены условия A0), f,- @) Ф 0 и f°t @) Ф 0
на линиях Z.,-, на которых определена функция f®, и если q Ф 1 в случаях, когда для
каждого i выполняется или E), или G) {может быть, для некоторых i — E), а для
других — G)), то точка О — грубая.
Доказательство. При достаточно малых (в С1) изменениях правой части
дифференциального уравнения для каждого / сохраняется то из четырех условий пунк-
пунктов а) и б) леммы 2, которое было выполнено для этого /. Тогда поведение траекторий
в каждом секторе и на каждой линии L,- остается прежним. Условие q Ф 1 обеспечи-
обеспечивает отсутствие замкнутых политраекторий (п. 4 § 18) вблизи точки О. Для каждого
сектора S, его 6-отображение на соответствующий сектор фазовой плоскости другого,
6-близкого уравнения строится методами, рассмотренными в § 17. Это доказывает
грубость точки О.
Условия леммы 3 лишь достаточны для грубости. Необходимые и достаточные усло-
условия получены в [186].
Рассмотрим теперь уравнение A) с доопределением а) § 4. Все предыдущие резуль-
результаты справедливы и в этом случае, но их формулировки теперь упрощаются.
Наряду с фазовой плоскостью хх, х2, разделенной линиями /.,- на секторы S/, рас-
рассмотрим "плоскость скоростей" V\, v2, разделенную лучами /,- (</? = а,) на углы s,
(а,- < </? < a/+i). Точка О считается принадлежащей всем лучам //. Пусть ut — конец
вектора f/@), построенного на плоскости vXl v2. Пусть Р — замкнутая ломаная линия
с вершинами и%. и2, •. ., ит, ит + \ = их. Если отрезок UjUj + x пересекает луч /, + i (или
его продолжение за точку О) в точке w, то согласно а) § 4 на линии Z.l + 1 определен
вектор f%x@) - w. Выпуклое замыкание множества точек их. ... , ит обозначаем М.
Справедливы следующие утверждения.
1) Точка х - 0 - стационарная тогда и только тогда, когда О G М (п. 2 § 12).
2) Если OEM, Оф Р. то точка х = 0 - изолированная стационарная (так как тогда
в силу непрерывности функций ff при |х|<р имеем Ь(х)Ф0, ^(х)Ф0).
3) Если для i = 1, ..., m точка и; не лежит ни на лучах //,// + !, ни на их продолже-
продолжениях, О ^ Р и если q Ф 1 в случаях, когда для каждого i выполнено или E), или G),
то точка х = 0 - грубая (лемма 3).
4) Если хотя бы для одного i не выполнено ни E), ни G), точки uf ^ 5/ и отрезки
UjUj +1 не имеют общих точек с лучами /,- + j, / = 1, ..., m, то точка х = 0 асимптотичес-
асимптотически устойчива (следует из теоремы 1).
191

5) Если ломаная ихи2 - • • итих не проходит через точку О, то индекс точки х = О
равен числу оборотов вокруг точки О, которые делает эта ломаная (п. 2 § 14).
6) Если линии Li — прямые и в каждом секторе S/ функции f§(x) постоянны, то
условия, сформулированные в 2) и 3), являются не только достаточными, но и необхо-
необходимыми.
Качественное исследование системы с правой частью, разрывной на линиях /.,-, выхо-
выходящих из точки О, проводилось в работах [104], [193]- [196] и др.
3. Рассмотрим случай, когда правые части системы являются суммами двух слагае-
слагаемых, одно из которых разрывно на одной гладкой линии, другое — на другой, и эти ли-
линии пересекаются под ненулевым углом. Если сделать замену переменных так, чтобы
эти две линии стали осями координат, то система примет вид
х = f\{x, у) +gx(x,y), y = f2ix,y) + 02(х,/);
функции fj разрывны только на оси Оу, дt — только на Ох. Чтобы исследовать поведе-
поведение траекторий вблизи точки пересечения линий разрыва в грубых случаях, можно в
каждой из координатных четвертей заменить функции f/,<7/ их предельными значения-
ми при х-»-0, к->О. Получится система [197]
х = а + 6sgnx +csgn у, / = tf + esgnx +f sgn /. A3)
На линиях разрыва используется доопределение а) § 4. Перечислим ряд свойств реше-
решений этой системы, часть из которых непосредственно следует из результатов п. 2, а часть
получена в [197].
Если | f | > | d + e sgn x |, х > 0 или х < 0, то имеется решение, идущее по рассмат-
рассматриваемой полуоси Ох; при этом
1
х =-
i
0 =
-@
b
е
1 +0
с
f
sgn
Q
х).
I =
a
d
' = (
с
f
b
e
a
d
Если | b | > | a + с sgn у \ , у > 0 или у < 0, то существует решение, идущее по рассмат-
рассматриваемой полуоси Оу; при этом
х = 0,
1
у = — @2
b
О sgn у).
Точка @, 0) - стационарная тогда и только тогда, когда или
101 KI0I, 102 KI0I, 0*0,
ИЛИ
точка @, 0) — изолированная стационарная только в том случае, когда
101 KI0I, |02 KI0I.
A4)
В случае A4) индекс / особой точки @, 0) равен sgn0; если точка @,0)-* нестацио-
нестационарная, то / = 0.
Точка @, 0) - седло, если 0 < - | 0, |, 0 < - | 02 |.
Точка @, 0) — фокус или центр, если
|с|>|э| + |6|. |е|>|сМ+|П, се<0. A5)
При этом в случае
f(b2
be
-a2)< (e2 +f2 -c/2)
e
A6)
точка @, 0) — устойчивый фокус, при выполнении противоположного неравенства —
неустойчивый фокус, а в случае равенства в A6) - центр.
192

Для того чтобы х = О, у — 0 было асимптотически устойчивым решением системы
A3), необходимо и достаточно, чтобы в случае A5) выполнялось неравенство A6),
а в случае невыполнения хотя бы одного из неравенств A5) было выполнено
0>|0il. 0>|02I; /><[|з|-|с||, f<\\d\-\e\\. A7)
Точка @, 0) — устойчивый узел, если выполнены неравенства A7) и не выполнено
хотя бы одно из неравенств A5). Если выполнены те же условия, но с заменой b и f на
-Ь и -f в последних двух неравенствах A5), то @,0) - неустойчивый узел.
Точка @, 0) — стационарная с эллиптической областью (рис. 51), если 0> | 0, | ,
D > \ D2 I, и, кроме того, или
\c+a\<b<a-c, -e-d<f<-\e-d\,
ИЛИ ' *
-с-а<Ь<-\с-а\. \e + d\<f<d -е.
Условия грубости: а ± b ± с Ф 0, d±e±f Ф0 (8 условий со всевозможными сочета-
сочетаниями знаков), | D | Ф max [| 0, | , | D2 1} , и если во всех четвертях плоскости имеем
хуку < 0 в силу системы A3), то
ef(b2 +с2 -а2)ФЬс[е2 + f2 -d2)
(тогда нет замкнутых ломаных, состоящих из кусков траекторий).
13. А.Ф. Филиппов

ГЛАВА 5
ЛОКАЛЬНЫЕ ОСОБЕННОСТИ ТРЕХМЕРНЫХ
И МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
В гл. 5 исследуются локальные особенности трехмерных автономных систем с кусочно непрерывны-
непрерывными и кусочно гладкими правыми частями. Рассматриваются особенности, лежащие на поверхности
разрыва правых частей системы или на пересечении поверхностей разрыва. Указываются основные
топологические классы особенностей. Выделяются грубые особенности. Часть результатов перено-
переносится на многомеоные системы.
§ 21. Основные типы особенностей. Двумерные особенности
Здесь указываются основные признаки, по которым проводится классификация осо-
особенностей трехмерных систем. Изучаются особенности расположения траекторий вблизи
гладкой поверхности разрыва правых частей системы. Рассматриваются двумерные
особенности, выделяются их топологические классы и указываются условия грубости.
1. В области G рассматривается автономная система
x = f(x), x = (x,,x2,x3)eG. A)
Область G состоит из конечного числа конечных областей G/ (/' = 1, . .. , /), в каждой
из которых вектор-функция f(x) принадлежит С1 вплоть до границы, и множества/If,
содержащего те граничные точки всех областей G/, которые принадлежат G, и состояще-
состоящего из конечного числа кусков гладких поверхностей конечной площади, гладких линий
конечной длины и точек. Каждая из этих линий и точек лежит на крае одного или не-
нескольких таких кусков поверхностей.
Граница (край) каждого куска поверхности или линии считается не принадлежащей
ему. Различные куски не имеют общих точек, а их границы — могут иметь. Например,
если функция f разрывна на трех координатных плоскостях, то области G/ — коорди-
координатные октанты, а множество М содержит 12 четвертей координатных плоскостей, 6 ко-
координатных полуосей и одну точку х = 0.
На той части множества М, откуда решение не может сойти ни в одну из областей Gj,
система должна быть доопределена. Допускается доопределение а) § 4 или любое до-
доопределение, удовлетворяющее условиям, которые будут указаны ниже, в п. 2.
Будем говорить, что окрестности двух точек х* и /*, заполненные траекториями
системы A) (или двух разных систем), имеют одну и ту же структуру, если существует
отображение одной окрестности на другую, которое переводит точку х* в точку у*
и которое, как и обратное отображение, однозначно, непрерывно и переводит траекто-
траектории в траектории (т.е. каждую дугу траектории - в дугу траектории, а стационарную
точку — в стационарную точку).
Точку х* Е G назовем топологичес. / обыкновенной точкой системы A), если у нее
есть не содержащая стационарных точек окрестность V, которую можно так топологи-
топологически отобразить на некоторую область, что все содержащиеся в V дуги траекторий пе-
переходят в отрезки параллельных прямых. Остальные точки области G назовем тополо-
топологически особыми для системы A). Из теоремы 3 § 12 следует, что все внутренние точки
области, в которой f(x) удовлетворяет условию Липшица и не обращается в нуль,
являются топологически обыкновенными. Таким образом, все топологически обыкно-
обыкновенные точки имеют окрестности одной и той же структуры. Топологически особые точ-
точки системы A) могут иметь окрестности разной структуры.
194

Рассмотрим в области G связное множество, все точки которого топологически осо-
особые и имеют окрестности одной и той же структуры. Пусть оно не содержится ни в ка-
каком другом множестве с этими же свойствами. Если это множество - поверхность,
то оно называется двумерной особенностью системы A); если — линия, то линейной
особенностью; если — точка, то точечной особенностью.
Все топологически особые точки и, следовательно, двумерные, линейные и точечные
особенности системы A) могут лежать только на множестве, где f(x) = 0, и на мно-
множестве М, т.е. на поверхностях разрыва функции f и на их краях.
Это приводит к следующей предварительной классификации особенностей:
1) Особенности в области гладкости функции f (все они состоят из стационарных
точек, т.е. из точек, где f(x) = 0).
а) Изолированные стационарные точки (их изучение составляет одно из направлений
качественной теории дифференциальных уравнений).
б) Линии, состоящие из стационарных точек.
в) Поверхности, состоящие из стационарных точек.
Такие особенности изучались с более общей точки зрения: в л-мерном фазовом пространстве
рассматривалось m-мерное многообразие, все точки которого — стационарные* С точки зрения
теории дифференциальных уравнений этот случай может показаться исключительным, редко встре-
встречающимся. Однако он является типичным для механических систем с неголономными связями
[189], [198]. В [198] изучались достаточные условия устойчивости стационарных точек, лежащих
на таком многообразии, в форме теоремы об устойчивости по первому приближению, в [199]
рассматривались простейшие критические случаи устойчивости и некоторые бифуркации.
2) Особенности на гладкой поверхности разрыва.
а) Двумерные особенности.
б) Линейные особенности.
в) Точечные особенности.
3) Особенности на гладкой линии пересечения поверхностей разрыва или на гладком
крае поверхности разрыва.
а) Линейные особенности.
б) Точечные особенности.
4) Точечные особенности в точках пересечения нескольких поверхностей разрыва,
а также в точках негладкости края поверхности разрыва или линии пересечения поверх-
поверхностей разрыва.
Для дальнейшей классификации всех этих особенностей учитываются следующие об-
обстоятельства: состоит ли особенность из стационарных точек или из дуг траекторий или
не состоит; имеются ли траектории, стремящиеся к ее точкам за конечное или бесконеч-
бесконечное время; какие особенности большей размерности примыкают к данной линейной
или точечной особенности; касается ли поверхности разрыва векторное поле f(х) в
точках особенности (с одной или с двух сторон этой поверхности) ?
Выясним, какие особенности являются типичными и какие встречаются редко, в
исключительных случаях. Для гладкой функции ф[*\) одного переменного типичным
является случай, когда она обращается в нуль лишь в изолированных точках и имеет
лишь простые корни или всюду отлична от нуля. Это значит, что указанное свойство
сохраняется при любом достаточно малом изменении функции (в данном случае - в
метрике С1).
Для одной гладкой функции <р(х,, х2) двух переменных типичным является
случай ее обращения в нуль на гладких линиях (с grad^^O на этих линиях), а
для двух таких функций - в изолированных точках. Случаи кратных корней для ф{х1)
или одновременного обращения в нуль <р(хх, х2) и grad ф — более редкие. Случаи,
когда ф(хг) (или одновременно <?i(x,, x2) и ip2(xx, *г)) обращаются в нуль на линии
или у(х\, хг) — в области, являются исключительными.
Поэтому типичными являются, например, случаи, когда векторное поле fix) касается
поверхности разрыва только в точках некоторой линии (или не касается вовсе), а слу-
случай касания во всех точках какой-либо области на поверхности - исключительный.
Однако в некоторых классах механических систем (система с сухим трением A5) § 19;
неголономные системы) встречаются и нетипичные особенности.
2. Говорят, что поверхность Р класса Ск, если в окрестности каждой ее точки урав-
уравнение поверхности Р можно записать в форме, разрешенной относительно одной из
координат, например, х3 = ^р(хг,х2), причем </?€C*.
13* 195

Пусть поверхность Р класса Cm + 1 (m > 1) делит область G С/?§ на подобласти G~ и
G . Обозначим С?1 класс вектор-функций f(x), непрерывных в каждой из областей
G' и G вплоть до границы вместе со своими частными производными до порядка т
включительно. Пусть f~(x) и f+(x) — предельные значения вектор-функции f при
приближении к точке х Е Р из областей G" и G * соответственно, a f^(x) и f^ — проек-
проекции векторов f'M .и f+(х) на нормаль к Рв точке х, направленную в сторону
области G +.
Рассмотрим систему в векторной записи A) при следующих условиях:
1° Функция f Е С™ в области GC/?3 и разрывна только на поверхности РЕ
ECm + 1, m>\.
2° В тех точках х Е Л где f^r(x)f^(x) < 0, задан вектор f °(х), касательный к Р и
определяющий скорость движения х = f °(х) по поверхности Я; г Е Ст там, где
I ^(х) I + I /?(х)| # 0; если fN[x) = 0, то f°(x) = Г(х); если /^(х) = 0, то f°(x) = Г (х),
может быть, кроме случая
/^(х) = ^(х)*0, Г(х)*Г(х). B)
Если выполнено условие 1° и на поверхности Р используется доопределение а) § 4,
то условие 2° тоже выполнено.
3° Случай B) допускается только в конечном числе точек.
4° Если f~(x) = 0 (или f*[x) = 0) на поверхности Р. то пусть вблизи каждой точки
поверхности Р, может быть, кроме точек, лежащих на конечном числе гладких линий,
в G" (соответственное G + ) или f(x)^0 и функция
g(x) = f(x)/\f(x)\ C)
удовлетворяет условию Липшица, или f(x) = 0.
Лемма 1. Если Р - поверхность х3 = i//(x,, х2), \рЕ С1, и f+(х) = Она Р, го для
выполнения условия 4° б G+ достаточно, чтобы существовало такое q> 1, что на Р
односторонние (в сторону области G + ) производные удовлетворяют требованиям
ъЧ
0, к = 0,1 q - 1; . —7 Ф 0,
Эх]
D)
(/ «/гобь/ вблизи Р в G* производная bqf/bx\ удовлетворяла условию Липшица. Анало-
Аналогичное утверждение справедливо и для G ~, если f'(x) - 0 на Р.
Доказательство подобно доказательству леммы 1 § 16.
Из леммы 1 следует, что условие 4° выполняется, в частности, для кусочно аналити-
аналитических функций f(x).
Рис. 104.
Рис 105.
Рассмотрим возможные расположения траекторий в области G* вблизи поверх-
поверхности Р при условиях 1° -4°.
А. Если f?i Ф 0 на Р, то в каждую точку поверхности Р из области G* приходит
(притом при конечном г) только одна траектория (рис.104). Для каждого ком-
компакта К СР существует такое г>0, что все такие траектории, приходящие в точки
компакта К при f = 0, содержатся в G+ при - r<f < 0 или при 0< f <т (вследствие
равномерной непрерывности функции f{x) в содержащейся в G+ окрестности компак-
компакта К) и не пересекаются (так как f E С1 в этой окрестности). Из теоремы 3 § 12 следует,
196

что такие траектории заполняют некоторую одностороннюю окрестность поверхности Р.
Пример: ? = v = 0, wV=1 (iv>0).
Замечание. Условие f^ Ф 0 является лишь достаточным для только что описан-
описанного расположения траекторий. В случае fEC1 (G*UP) необходимым и достаточ-
достаточным является условие: f? > 0 на Р (или f# < 0 на Р) и ни одна лежащая на Я дуга
не является дугой траектории системы x = f+(x).
В. Если ftf = O, f* ФО на Р. то в каждой точке хЕР вектор f+(x) касается по-
поверхности Р и она заполнена траекториями системы x = f+(x). Проходящие в G*
траектории системы A) не могут выйти на Р по теореме единственности (рис.105).
Пример: и = *\, v= и> = О Ы>0).
В случаях, когда f *(х) = 0 на Р, но f(x) ^ 0 в G + вблизи Р, все точки поверхнос-
поверхности Р — стационарные для системы A), доопределенной значениями f(x) = f+(x) на Р.
По теореме единственности проходящие bG+ траектории не могут достичь поверхнос-
поверхности Р за конечное время. В силу условия 4° система A) bG+ имеет те же траектории,
что система
х=д(х). E)
Вследствие выполнения условия Липшица функция д{х) непрерывно продолжается из
G* на Р; везде \д{х)\ = 1 Ф 0. Для функции ^(х) определяются д+(х), д^М и т.п.,
ПОДОбНО f+, ftf, . . .
а) Если д# Ф 0 на Р. то для системы E) имеет место случай А. Поэтому в каждую
точку на Р приходит из области G + ровно одна траектория (за конечное время для
системы E) и за бесконечное время для системы A)). Пример: и = v = 0, w =
>
b) Пусть gfo = 0 на Р, дЕ Lip(Joc G +). Последняя запись означает, что у каждой точки
х Е Р есть полуокрестность (в G*), в которой функция ? удовлетворяет условию Лип-
Липшица. Для системы E) вблизи Р имеет место случай В, поэтому ее траектории, а значит
и траектории системы A), проходящие в односторонней (в G + ) окрестности поверх-
поверхности Р, не выходят на Р. Все точки поверхности Р — стационарные для системы A),
но не для E). Пример: и = и/, v = w = 0 (w > 0).
c) Если f(x) =0 bG+ вблизи поверхности Л то односторонняя (в6 + ) окрестность
поверхности Р заполнена стационарными точками системы A). Пример: и = v =
При невыполнении условия 4° возможен также нерегулярный случай, представление
о котором дает пример 14) п. 1 § 16, если к нему дописать уравнение г = 0.
Сочетая каждый из случаев А, В, а), Ь), с) bG+c каждым из таких же случаев в G~,
получаем следующие возможные случаи расположения траекторий системы A) вблизи
поверхности Р при условиях 1° —4°: АА0, ААЬ АА2, АВ, Аа, Ab, Ac, aa, ab, ас, bb,,
bb2, be. Описание этих случаев аналогично описанию одноименных случаев расположения
траекторий на плоскости вблизи линейной особенности в п. 2 § 16, поэтому нет необхо-
необходимости его приводить. Только случай bb* распадается на случай bb1; когда векторы
д~{х) и ?*(х)коллинеарны при каждом х G Р. и случай bb2, когда они неколлинеарны
при каждом х Е Р.
При невыполнении условия 3° возможны также случаи BBt, ВВ2, Ва, Bbt, Be, анало-
аналогичные соответствующим случаям в п. 2 § 16, а также случаи ВВ3, ВЬ2, отличающиеся
тем, что векторы f+(x) и f ~(х) или ^+(х) и 0~(х) неколлинеарны при каждом х G Р.
Теорема 1. При условиях 1° — 4° существуют только 12 локальных топологичес-
топологических классов двумерных особенностей: AAi, AA2, AB, Aa, Ab, Ac, aa, ab, ас, bbi, bb2, be.
Доказательство проводится тем же путем, что и для теоремы 2 § 16, и поэто-
поэтому излагается кратко.
Если для системы A) в G+ имеет место один из случаев А, В, а), Ь), с), то для произ-
произвольной точки х0 поверхности Р тем же методом, что в теореме 2 § 16, строится топо-
топологическое отображение некоторой полуокрестности 6/+(х0) CG+ на полуокрестность
точки и = v = w = 0, при котором траектории системы A) переходят в траектории со-'
ответствующего из приведенных примеров. Если с одной стороны от Р имеет место
случай В или Ь), то сначала строится отображение этой полуокрестности, а потом —
197

отображение другой, совпадающее с первым на Р. В случае bb2 на/'имеются траектории
системы х = д~(х), пересекающиеся с траекториями системы х = д+(х). Сначала эти
два семейства траекторий отображаются в семейства линий и = const и v = const
плоскости w = 0, а затем строится отображение полуокрестностей, совпадающее на Р
с построенным отображением. В каждом случае получается топологическое отображение
полной окрестности точки х0 на окрестность точки и = v = w = 0, при котором траекто-
траектории системы A) переходят в траектории соответствующей стандартной системы. Поэто-
Поэтому у любых двух систем, для которых имеет место один и тот же из случаев AAi,
АА2, . . . , окрестности двух любых точек поверхности Р имеют одинаковую
структуру.
Различие структуры таких окрестностей для систем, относящихся к разным случаям,
доказывается как в теореме 2 § 16; различие структур в случаях bb, и bb2 следует
-13 того, что в случае bb} на поверхности Р имеется лишь одно семейство линий, являю-
являющихся пределами сходящихся последовательностей траекторий системы A), а в случае
bb2 — два семейства (траектории систем х=д~(х) \л-х =д+{х)).
Докажем, что при условии 1° — 4е каждая двумерная особенность Я принадлежит од-
одному из этих 12 классов. В силу 1° — 4° на Р найдется точка у, в окрестности U*(y) С
CG* которой имеет место один из случаев: (A) f дг^О; (В) f^- О, f+ Ф0\ (a) f+ =
-О на Л д^ФО; (b) t = 0, д^ = 0 на P. ge Lip(loc U+(у)): (с) f=0 в U + (y).
Вблизи точки к на Я найдется точка г, для которой со стороны области G* имеет
место тот же из этих случаев, а со стороны области G ' — один из таких же пяти случаев,
но с функциями f и д~, и которая отлична от точек, упомянутых в условии 3°. Случай
АА разбивается на подслучаи f~(x)f*(x) > О (АА0, топологической особенности нет),
f~{x)f*{x) < 0 и f°(x) = 0 (случай АА2) или f°(x) Ф 0 (тогда вблизи z берем точку
qEP, в которой f°{q)^O, случай AAi). Аналогично разбивается случай bb.
Тогда окрестность точки z (или точки q) принадлежит одному из указанных 12 топо-
топологических классов, По определению двумерной особенности, у любой ее точки х име-
имеется окрестность той же структуры, что окрестность точки z (или q), т.е. принадлежа-
принадлежащая одному из этих 12 классов.
Покажем, что грубыми являются только особенности класса AAi в случае f~Nf*N < 0.
Предполагается, что выполнено следующее условие.
Если ffi/fN^ 0 на Р в замкнутой окрестности V точки х0 € Р, то при достаточно ма-
малых изменениях (в С\) функции f функция f° меняется сколь угодно мало в метрике
С1 (У); если f°{x) = 0 в V, то можно так изменить функцию f (сколь угодно мало
в Cl), чтобы было f° (х) ^ 0 в каждой окрестности любой точки х, € V.
При доопределении а) § 4 это условие выполнено.
Лемма 2. Если в некоторой окрестности точки х0 Е Р имеет место случай АА0
[f^ftf > 0) или AAi (^д? ^N ^ 0' f° ^ 0) ,то в некоторой окрестности точки х0 систе-
система A) является грубой.
Доказательство. При достаточно малых изменениях функции f написанные
неравенства сохраняются, и двумерная особенность сохраняет свой класс. Сначала
построим €i-отображение х = ^(х), х € Р, которое переводит лежащие на Р вблизи
точки х0 траектории системы A) в траектории 5-близкой системы.
Пусть х = \p(t. х*) и х = t/?(f, х*) — лежащие в G+ решения этих систем с начальными
условиями х*ЕЯих* €Я при Г = 0. Отображение, ставящее в соответствие точке х =
= V?(f, х*) точку х =<?(f, i//(x*)), при |х*-хо| <Р, 0<f<r (или-г<Г<0) -топо-
-топологическое, если риг малы. Это следует из теоремы 3 § 12. При достаточно малых б
оно сдвигает каждую точку меньше, чем на е, в силу непрерывной зависимости решений
и компактности окрестности |х — х0 I < р. То же справедливо для траекторий в G".
Значит, в окрестности точки х0 система A) — грубая.
Лемма 3. Если на двумерной особенности Р в некоторой точке х0 имеем f^,{x0) =
= 0 (или f^ixo) = 0, или f°(x0) = 0), то система A) в любой окрестности этой точки -
негрубая.
Доказательство. Если f °(х0) = 0, f ^(х0) f^(x0) < 0. то х0 - стационарная
точка. Так как Р — двумерная особенность, то на Р все точки — стационарные. Изменим
198

сколь угодно мало систему так, чтобы иметь f°{x) Ф 0 вблизи точки х0. Тогда там не
все точки будут стационарными. Значит, система A) — негрубая.
Пусть f\(x0) = 0, h — вектор нормали к Р в точке х0.
Уравнения к = f(x), / = 1,2, где
при малых ju сколь угодно мало отличаются от уравнения A). При достаточно малых
/i > 0 для одного из них в окрестности точки х0 имеет место случай ААо, для дру-
другого — AAi. Хотя бы в одном из этих случаев структура окрестности точки х0 от-
отлична от структуры этой окрестности для уравнения A). Негрубость доказана.
3. Рассмотрим преобразования траекторий системы A) с помощью диффеоморфизмов, т.е.
таких взаимно однозначных отображений у=^(х)еС!, у которых обратное отображение ?"' (у)
принадлежит С1. Предполагается, что на поверхности разрыва применяется доопределение а) §4.
Пусть правые части систем A) и
y = giy) F)
класса С* разрывны только на поверхностях S и S класса С2 соответственно, и пусть
f~N>0, /^<0 на S, 9п>0, д^<0иа8. G)
Теорема 2 [200]. Пусть выполнено условие G) и существует диффеоморфизм у = \{х) ,
х G S, у G S, удовлетворяющий условию
y)\y^xixy *(х)>0, *(x)<ECl, (8)
следовательно, преобразующий лежащие на поверхности S траектории (х = г*°(х)) системы A) в ле-
лежащие на 5* траектории (у - g°iy)) системы F) с сохранением направления движения по траек-
траекториям. Тогда и в окрестности поверхности S существует диффеоморфизм, преобразующий
траектории системы A) в траектории системы F) с сохранением направления движения.
Доказательство. Так как гладкие (класса С2) поверхность] S и S можно гладким
преобразованием перевести в плоскости, то будем считать, что S и S — конечные области на
плоскостях х3 = 0 и уъ - 0 (здесь х » (х,,х:,х3), f = (f,, Л, f%) и т.п.). Пусть
fix) giy)
р(х) = , q{y) ¦
\9tty)\
Тогда
р~+р* q +а +
Р°* , q° = — (9)
2 2
и системы х=р(х), у ~ р[у) по теореме 6§ 9 имеют те же траектории, что системы A) и F)
соответственно. Выражая в (8) f° и д° по формуле E) § 4, получаем
x'U)(p"+p*)
Функции f], ^*3,^"i,^*3//r(x) принадлежат С1 и не обращаются в нуль, поэтому функцию miy) >
> 0 можно поди брать так, чтобы выполнялось
x>ix)p°ix)-miy)qoiy)\ysxixy A0)
Пусть х = ?~(а, г) и х = $*{а, t) —решения системы х = р(х) с начальными условиями fie,0) =
= i*(a, 0) =aeS, проходящие при -6 < t < 0 а областях х3 < 0 и х3 > 0 соответственно. Для
системы у - q(y) аналогично определяются решения у = п~ (b.t) и у - цУ{Ь, t), Ь = х(^)е^- Каждой
точке х = ^~(а, f) на траектории такого решения (или х = ?+(з, f)) поставим в соответствие точку
К = т?~F, m(b)t) (соответственно у - rf\b, m(b)t)).
Полученное отображение у-^{х) совпадает на S с отображением / = х^) и переводит тра-
траектории системы х = р[х) в траектории системы y=q(y) с сохранением направления движения.
При х3 ^ 0 ^(х)еС1, а при х3 = 0 непрерывны b^/bxj, /-1,2. Для непрерывности Ъ^/Ъх^
достаточно непрерывности производной от \> по направлению вектора п = р6 — р* -р"—р°, т.е.
достаточно непрерывности &'[х)п (i/M —матрица Якоби).
Так как \Нх) - х(х) на плоскости х3 = 0, а вектор р° лежит в этсй плоскости, то в силу A0)
при хэ = 0
*>'1х)р° = \'{х)р° (х) = m{y)q0 (у)\у=х(х), A1)
199

Далее,
Ф\{х)р±\х=а *(**(«, f)) rfib.mlbU) A2)
1 '* dt dt
при t=0, b*=xia), i//'(x)«= lim t/U,, x3, хэ). Так как к«1)*1Ь,0 — решение системы у=д(у),
х3^±0
то правая часть A2) равна m(y)q [у), где у = х{а). Значит, при у = \(х)
±
Отсюда и из A1) следует при y*xia),a^S,
*>)<?* Ы - pie)) = m(y)(q° iy) -q+iy)).
+:b)ip-to)-po{a)) = miy)iq-iy)-q°iy)). 3)
Правые части совпадают в силу (9). Тогда предельные значения вектор-функции v/(x)n с од-
одной и с другой стороны поверхности 5 совпадают, т.е. эта функция непрерывна на 5. Следова-
Следовательно, ф(х)€:С1.
Так как K = xU) —диффеоморфизм на $. то векторы ф'(х)ех, iJ/'U) -е2 U<ES;e,,e: — век-
векторы, параллельные осям Охх, Ох,) линейно независимы и лежат в плоскости х3 -О. В 'силу G)
и A3) вектор \р'(х)(р° - р') не лежит в этой плоскости. Область значений линейного преобра-
преобразования i/U) содержит три линейно независимых вектора, поэтому deti^'U) Ф 0 (x^S). Сле-
Следовательно, у=ф(х) —диффеоморфизм в окрестности поверхности 5.
Следствие. При доопределении а) § 4 в окрестности любой точки двумерной особеннос-
особенности, где f}jix) f\f(x) <0, f°(x) фО, существует диффеоморфизм, при котором траектории систе-
системы A) переходят в траектории системы
Ух в 1. К: =0, Кэ =-sgnK3-
4. Большая часть результатов п. 2 сохраняется и для автономных систем диффе-
дифференциальных уравнений в л-мерном пространстве с правыми частями, разрывными
на гладкой (п -1) -мерной поверхности. Однако случаи ЬЬ2,ВЬ2,ВВ3 (когда век-
векторы д~(х) и д*{х) касаются поверхности Р. но не коллинеарны) распадаются на
более мелкие топологические классы.
Пример. Для системы
*i = 1, *2 =х3=х4=0 (х4<0); х2 = 1. X!=x3=x4=0 (x4 > 0)
имеются лежащие на трехмерной гиперплоскости Р (х4 = 0) двумерные поверхности
х3 -с, х4 = 0, заполненные двумя семействами траекторий — траекториями систем
x = f'{x) и x = f*(x). Для системы, получаемой из написанной заменой лишь одного
уравнения х3 = 0 уравнением хъ-хх при х4 > 0, таких двумерных поверхностей нет.
§ 21. Линейные и точечные особенности на поверхности разрыва
Выделяются топологические классы линейных и точечных особенностей, лежащих
на гладкой поверхности разрыва правой части системы. Указываются грубые особен-
особенности и некоторые негрубые.
1. Пусть поверхность SEC2 делит конечную область G С /?3 на части С и G*,
а вектор-функция f€C\ разрывна только на S. Пусть выполнены условия 1°— 4°
п. 2 §21. Обозначения f\ f*N и т.д. те же, что в §21. Рассмотрим систему
A)
Случаи ^iv^iv^O (топологической особенности нет) и f'Nf*N<0, f° Ф0 (дву-
(двумерная особенность класса AAt) рассмотрены в § 21. Поэтому другие особенности
могут появляться только на тех подмножествах поверхности S, где или f° = 0, или
f'N = 0, или f*N = 0. Можно выделить 6 типов особенностей, лежащих на поверхнос-
поверхности 5 и характеризуемых выполнением следующих условий в точках рассматриваемой
особенности:
1.f~NfN<0. f° = 0.
2Jn = 0, f**0, ЪФО (или /^ = 0, ГФ0, ^Ф0).
3. fs = fs = 0, ГФ 0, Г Ф 0.
4.f+ = 0, ЪФО (или Г = 0, f^^O).
5. f*=0, fu = O. ГФ0 (или Г=0, /^=0,
e.r = f+ = o.
200

Условия, характеризующие типы 4-6, могут нарушаться при сколь угодно малых из-
изменениях функции f. Поэтому далее рассматриваются только особенности типов 1 —3.
В /7-мерном случае особенности типов 1—3 рассматривались в [3]/ гл. 2, § 1, и
в [100], [199]-[202].
Будем предполагать, что функции f~, f\ f°, f~N, fjv могут обращаться в нуль толь-
только в изолированных точках, на конечном числе кусочно гладких линий и в конеч-
конечном числе областей с кусочно гладкими границами. Это предположение выполняет-
выполняется, в частности, когда функция fix) и поверхность 5 — кусочно аналитические.
Рассмотрим случай f}s/f*K<0. Пусть, например,
ft>0, fn<0. B)
Области на поверхности S, где f° Ф 0, являются двумерными особенностями клас-
класса AAi, а области, где f° = 0, — класса АА2 {п. 2 § 21). Остается рассмотреть гра-
границы областей, в которых f° = 0, и отдельные линии и точки, где f° = 0. Для сис-
системы
x = f°(x), xGS, C)
описывающей движения по поверхности S, эти линии (или их куски) и точки яв-
являются линейными и точечными особенностями, состоящими из стационарных точек.
Так как f°GCl, то из теоремы 2 § 16 следует, что такие линейные особеннос-
особенности могут принадлежать только классам аа, ab, ас, bb, be (если функция f° удовле-
удовлетворяет условию 4° п. 2 § 16). Рассматривая различные направления движения по
траекториям системы C) с одной и с другой стороны исследуемой линии L и учи-
учитывая B), получаем 10 различных случаев поведения траекторий в трехмерной ок-
окрестности линии L. Класс аа дает 3 случая, классы ab, ас и bb - по два, класс be-
один случай. Покажем, что эти 10 случаев дают 10 топологических классов линей-
линейных особенностей.
Если f~N>0, Гдг < 0 в замкнутой ограниченной области /С, лежащей на поверхнос-
поверхности 5, то в каждую точку aGK приходит при Г-0 одна траектория из области G'
и одна из G*. Для некоторого т>0 все эти траектории при — г<г<0 существу-
существуют, не имеют общих точек, кроме общих концов а?К (см. случай А, п. 2 § 21),
и заполняют замкнутую область Z(K, т). ^ ^
Рассмотрим систему A) и систему х = f{x) с функцией fGC\, разрывной на по-
поверхности ?; подобно B) и C), на ?
7„>0, ?n<0, х=7°(х).
Лемма 1 [200]. Если существует топологическое отображение Т замкнутой ог-
ограниченной области KCS на замкнутую область КС?, при котором траектории
системы C) переходят в траектории системы x^f°{x) (и обратно) с сохранением
направления движения по траекториям, то отображение Т можно продолжить на
Z(K, т) с сохранением указанных свойств по отношению к траекториям систем A) и
х = fix).
Доказательство. Пусть при —
— решения системы A), \р* проходит в G+, <р~ — в G'. Аналогичное = ф± (г, Ь) —
решения системы х = 7{х), ЬЕК, — т{ < t < 0. Точке х = ^*(г, а) поставим в соответ-
соответствие точку х*= ф*{тхт~1г. Та), аналогично для \р~. Так как решения непрерывно за-
зависят от начальных условий, а в силу B) точка а и время движения г непрерыв-
непрерывно зависят от точки x-^p*{t,a), то построенное отображение удовлетворяет требо-
требованиям леммы.
Замечание Для данной системы A), области К и любого е > 0 найдется чис-
число б >J) со следующими свойствами. Для каждой системы х=7{х) такой, что 7 €
?С*Ф, \7-f\<8 и \Тх -х| <8{х?К), отображение Т. продолженное в силу леммы 1,
сдвигает каждую точку области Z{K, т) меньше, чем на е . Для всех 6 из некото-
некоторого промежутка @, 60) число т>0 можно взять не зависящим от 6 и от выбора
функции f.
201

Доказательство. Возможность выбора т вытекает из B) и равномерной не-
непрерывности функции f в обеих полуокрестностях компакта АС. Утверждение© сдви-
сдвиге, меньшем е, следует из теоремы о непрерывной зависимости решения. Непре-
Непрерывность равномерна на компакте К.
Из леммы 1 следует, что при условии B) и условии 4° п. 2 § 16 для ^°всесис-
темы, для которых имеет место один и тот же (любой) из указанных выше
10 случаев, составляют один локальный топологический класс. Таким образом,
при этих условиях имеются 10 локальных топологических классов линейных осо-
особенностей.
Чтобы исследовать грубость осооенности, предположим, что выполнено следующее
условие:
5° Для некоторого т>\ имеем SEC*1, f€C™, и на каждом компакте, где
VnMI + |^(х)|^0, при достаточно малых изменениях (в С™) функции f функция
f° тоже мало меняется (в Ст), и любое малое изменение (в Ст) функции ^мож-
^можно получить, мало меняя функцию f (в С™).
Это условие выполняется, в частности, при доопределении а) § 4.
Лемма 2 [200]. Пусть система A) удовлетворяет условию 5° с m = 1 и усло-
условию B). Тогда грубость системы C) в замкнутой ограниченной области WCS яв-
является необходимым и достаточным условием грубости системы A) в области
Z(W, т).
Доказательство проводится путем применения стандартных рассуждений о
грубых системах с использованием замечания к лемме 1.
Замечание. Подобное лемме 2 утверждение, но уже сш=3, справедливо для
систем 1-й степени негрубости.
Следствие 1. Линейные особенности указанных выше 10 локальных тополо-
топологических классов являются локально негрубыми, т.е. система A) — не грубая в каж-
каждой окрестности любой точки такой линейной особенности.
Можно показать, что в этом случае степень негрубости бесконечна.
Следствие 2. При условии B) существуют только 3 топологических класса
грубых точечных особенностей системы A). При этом система C) на поверхности
S имеет соответственно: 1) грубый устойчивый узел или фокус, 2) грубый неус-
неустойчивый узел или фокус, 3) грубое седло.
Следствие 3. При условии B) существуют только 4 топологических класса
точечных особенностей 1-й степени негрубости для системы A). При этом система
C) на поверхности S имеет или седлоузел кратности 2 ([185], стр. 236), или слож-
сложный фокус кратности 1 ([185], стр. 253). Каждому из этих случаев для системы C)
соответствуют по два топологических класса точечных особенностей для системы A),
различающихся направлением движения по траекториям на поверхности S.
Это утверждение следует из замечания к лемме 2 и из того, что только указан-
указанные два типа особых точек системы C) имеют 1-ю степень негрубости ([185],
стр. 382).
Рассмотрим теперь уравнение A) в л-мерном пространстве в окрестности глад-
гладкой (л-1)-мерной поверхности 5, на которой вектор-функция f(x) разрывна. Как
в случае п = 3, при условии B) топологическая классификация особенностей сис-
системы C) (с сохранением направления движения по траекториям) полностью опре-
определяет топологическую классификацию особенностей системы A), лежащих на по-
поверхности 5, и все такие особенности состоят из стационарных точек. Леммы 1 и 2
остаются справедливыми и в /7-мерном случае. Подобно следствию 2 леммы 2 спра-
справедливо следующее утверждение:
Для уравнения A), где хЕ/?", при условии B) существует только п топологи-
топологических классов грубых точек, лежащих на поверхности 5. Если S — плоскость хп =
= 0, то для особых точек k-го топологического класса матрица {п — 1) -го порядка
{значения производных берутся в особой точке) имеет п —к отрицательных и к — 1
положительных ReX/. При выполнении условий B) и ReX, < 0, / = 1,.. ., л — 1, осо-
особая точка асимптотически устойчива.
202

Рис. 106.
Рис. 107.
2. Рассмотрим случай., когда на гладкой линии LC S только одна из функций
f~N и f*N равна нулю. Пусть, например,
)iv>0# /V0, ^ = 0 на L D)
Часть поверхности S, лежащая вблизи рассматриваемой линии L, делится этой ли-
линией на две области: Sx и S2. В силу D) можно считать, что f ~N > 0 в S{ и S2.
Пусть функция /"jv в каждой из областей 5] и 52 или сохраняет знак, или рав-
равна нулю, а вектор г (х) в точках х Е L направлен или от S\ kS2. или от S2 к Slt
или по касательной к L. Рассматривая различные комбинации этих возможностей,
получаем основные классы линейных особенностей, лежащих на поверхности S, при
условии D). Случаи, когда в сколь угодно малой окрестности рассматриваемой
точки a?/L функция f]^ либо в 5Ь либо в S2 меняет знак или вектор f* меня-
меняет направление, приводят к точечным особенностям. Ввиду большого числа возмож-
возможностей далее рассматриваются лишь основные из них, в том числе все грубые особен-
особенности.
а) Пусть выполнено условие D) и функция f/v имеет разные знаки в Si и в
S2, например.
S2.
E)
а в
Тогда к линии L в области Sj примыкает двумерная особенность класса
области S2 траектории пересекают поверхность 5 и идут из G' в G*.
Для х Е L пусть nix) — ненулевой вектор, касательный к S, нормальный к L и
направленный от S, к S2. Рассмотрим случаи
n-f*>0 на L. F)
<0 на L,
= 0 на L.
G)
(8)
Лемма 3 [200]. Все системы, удовлетворяющие условиям D) — F), в окрест-
окрестности каждой точки линии L имеют такую же топологическую структуру (рис. 106),
как система
У\ = 1, /2 =0,
/i, (/з >0),
/i =К2 =0, кз = 1 (/з<0), <9)
доопределенная согласно а) § 4, в окрестности точки О = @, 0, 0).
Доказательство. Построим топологическое отображение, переводящее тра-
траектории данной системы A) в окрестности точки aEL в траектории системы (9).
Пусть Р - гладкая поверхность, проходящая через линию L, ни в какой точке
xG/. не касающаяся вектора f(x) и расположенная в G+ вблизи линии L. Пусть
у = ф(х) -топологическое отображение, переводящее точку а в точку О, содержащий
точку а кусок / линии L - в отрезок \у2\<р оси Оуг, а примыкающие к / куски
203

поверхностей S2 и Р, пересекаемые траекториями системы A) только в одном
направлении, — в куски полуплоскостей /3 = 0, у\ > 0 и У\ = 0, Уу> О, примыка-
примыкающие к отрезку оси Qy2.
Продолжим это отображение по траекториям на S,. Если x = </?°(f, b) — реше-
решение системы C) на S\ с начальным условием ^°@,6)=6Е// a к = ^°(г, 2>) — лежа-
лежащее на полуплоскости уг = 0, /i < 0 решение системы (9), доопределенной соглас-
согласно а) % 4, $°@,?) =Ъ = ф{Ь), то каждой точке х = </>°(г, 6) поставим в соответствие
точку y = 4P°{t, ф(Ь)).
Затем таким же образом продолжим это отображение по траекториям системы
A), выходящим из точек поверхностей 5 и Р в области G" и G\ Построенное
отображение взаимно однозначно и непрерывно в некоторой окрестности точки а
в силу непрерывной зависимости решения от начального условия и непрерывной за-
зависимости точки x0GS м числа Г от точки х = <р(Г, х0). По лемме 1 §9 это отоб-
отображение — топологическое.
Лемма 4 [200]. Все системы, удовлетворяющие условиям D), E), G), в ок-
окрестности каждой точки линии L имеют такую же топологическую структуру
(рис. 107), как система
Ki=-1, K2=0, Кз=И1, (Кз>0);
У\ = У2 = 0, уг = 1 (/з < 0),
доопределенная согласно а) § 4, в окрестности точки О = @, 0, 0).
Доказательство. Сначала построим отображение у=ф{х) на линии L. Как
в лемме 3, продолжим его по траекториям на S\.
Траектория x = y*(t,b) системы A) с начальным условием ^(Otb)=b^Sl, про-
проходящая в области G*, пересечет S2 в точке с = с(Ь), если точка b достаточно близ-
близка к линии L. (В самом деле, если функцию fix) в A) гладко продолжить из
области G* в 6", то в силу E) через точки линии L будут проходить траектории,
обоими концами уходящие в G* Поэтому через все достаточно близкие к L точки
bGSx UG* проходят траектории, идущие сначала в G\ а затем пересекающие S2
вблизи L и уходящие в G~.)
Отображение с(Ь) непрерывно в окрестности^ линии L, Если с = i*(fi (/?),&), b =
= ф(Ь) и для системы A0) точка c = $*{t2(b),%) траектории x=i*(f,/?) лежит в по-
полуплоскости Кз = 0, у\ > 0, то при 0> t> t\(b) точка x = ^*(t,b) траектории систе-
системы A) отображается в точку у = ^(tt2(b)/tx{b),b) траектории системы A0). Таким
образом, отображение у-ф(х) продолжается на лежащую в G* полуокрестность ли-
линии L. Продолжение в G~ производится как в лемме 3.
Будем говорить, что линейная особенность принадлежит классу L{ (или L2), ес-
если окрестности ее точек имеют ту же топологическую структуру, что окрестности
точек линии L для системы (9), (рис.106) (соответственно для системы A0),
рис.107).
Лемма 5. При условиях леммы 3 (или леммы 4) и условии 5° п. 1 система
A) — грубая в достаточно малой окрестности любой точки линии L.
Доказательство. Топологическое отображение окрестности точки^а Е L, пе-
переводящее траектории системы A) в траектории 5-близкой системы x=f(x), стро-
строится так же, как в леммах 3 и 4. При достаточно малом б это отображение мож-
можно сделать е-о то бра же ни ем, как в замечании к*лемме 1.
Для исследования негрубых случаев нужна следующая лемма.
Лемма 6. Пусть в цилиндре Z(\xx \ < т?, х\ + х\ < р2)
М^^^еС1, fx>h>0, f2(xi,0,0) >0, f3Ui,0,0) = 0. A1)
Если Т7>0 достаточно мало, то существует поверхность РЛх2 = д{хх, х3) ЕС), прохо-
проходящая через ось Охг, делящая Z на две части Z~ U2<^(xi ,x3)),Z+ (x2 >^(x!,x3))
и пересекаемая траекториями системы х = f (x) только в одном направлении - из
Z' в Z*. Каждая траектория пересекает Р в одной точке, кроме случая, когда траек-
траектория содержит отрезок оси Охх, на котором f2 = 0.
Доказательство. Пусть / — постоянная Липшица для функции f в Z и 0 <
<r\<hlbl,r = \jx\ +X3.1 Возьмем k = Allh. Функция у=х2 +кххг равна нулю только
204

на поверхности Р,
х2 = -*х,|хз1A -*2xirl/2.
При |xi|<i7, гФО в силу системы х = f(х) имеем
v't = krfx +М + *х,— )f2 + *х,— f3.
В силу условия Липшица и соотношений A1) f2>-lr, \f$\<lr. Так как |Arxil<1,
|Х/М < 1, / s 2, 3, то при г> О
/, >*гЛ - 2/г - /г = г(*/> - 3/) > 0.
Значит, решения не могут попасть из области Z*, где и>0, на поверхность Р, где
v = 0, а с Я не могут сойти в Z".
Лемма 7. See системы, удовлетворяющие условиям D), E), (8), в окрестнос-
окрестности любой точки линии LG С2 имеют такую же топологическую структуру, как сис-
система
У\ = 1. /2 =0, /з = Уг (Кз>0);
У\ = Уг =0, Кз = 1 (Кз <0) A2)
в окрестности точки @, 0, 0).
Доказательство. С помощью гладкой (класса С2) замены переменных пере-
переведем поверхность 5 в плоскость So, а линию /., являющуюся траекторией в силу (8) ,—
в прямую /-о- Тогда будут выполнены условия, подобные D), E), (8). Из леммы 6
следует, что у каждой точки з€ Lo имеется окрестность, в которой нет дуг траекто-
траекторий, выходящих обоими концами на плоскость So. В такой окрестности можно постро-
построить топологическое отображение, переводящее траектории данной системы в траектории
системы A2), тем же способом, что в лемме 3.
Лемма 8. При условиях D), E) и L Е С2 имеются только 3локальных топологи-
топологических класса линейных особенностей, указанных в леммах 3, 4 и 7.
Доказательство. На. каждой линейной особенности L имеется дуга, на кото-
которой выполнено одно из условий F) - (8). В окрестности любой точки такой дуги линей-
линейная особенность принадлежит одному из этих трех классов. Из определения линейной
особенности следует, что то же справедливо для окрестности любой точки линии L.
Таким образом, в случае а), когда выполнены условия D) и E), рассмотрены все
линейные особенности.
б) Пусть выполнено условие D) и f % > 0 в Si и S2. Тогда с обеих сторон от линии L
траектории пересекают поверхность S. В каждую точку линии L входит одна траектория
из области G ". Если на L (или на какой-либо дуге/ CL ) выполнено условие (8), то L
(или дуга /) является траекторией, а в силу сказанного выше — линейной особенностью.
Если же ни на какой дуге линии L не выполнено условие (8), то никакая дуга линии L не
является траекторией. Тогда через каждую точку линии L проходит единственная траек-
траектория и в этой окрестности нет никаких топологических особенностей по теореме 3 § 12.
Случай, когда выполнено условие D) и f дг< 0 в Si и S2. сводится к предыдущему
заменой Г на -Г в уравнении A) в областиG+ . Следовательно, если условие (8) выпол-
выполнено на дуге / CL, то эта дуга — траектория, в каждую точку которой вливается только
одна траектория — траектория из области G~ .В каждую точку областей Si и S2 влива-
вливаются две траектории — одна из G ~, другая из G + . Дуга / — линейная особенность. Если
же никакая дуга линии L не является траекторией, то поверхность S (вблизи линии L)
является двумерной особенностью класса АА i.
в) Случаи, когда выполнено условие D) и f дг = 0 в Si, а в S2 или f % > 0, или f% <
< 0, рассматриваются аналогично. В каждом из этих случаев имеется по 3 класса ли-
линейных особенностей, выделяемых соответственно условиями F), G) и (8).
Итак, при условии D) и L € С2 имеется 11 локальных топологических классов
линейных особенностей. Из них только 2 грубых (указанных в леммах 3 и 4).
г) Рассмотрим случаи, когда выполняются условия D) и E) и на дуге ab линии L
выполняется одно из условий F) — (8), а на дуге be — другое. Тогда эти дуги — ли-
линейные особенности разных классов, а их общий конец b — точечная особенность.
205

Пусть x=^(s) - уравнение линии L, </> € С2, / (s) ?=0, a<s <0. Функция f%(x) G
€ С1 определена для х€ 5, и Vf дг - ее градиент, т.е. вектор, касательный к S. Он нап-
направлен в сторону быстрейшего роста функции f%na S, а его длина равна производной
от fдгпо этому направлению. Для xG L вектор п(х) ЕС1 касается S и направлен по
нормали к L от Sx к S2,n(x) Ф0. Рассмотрим скалярное произведение
PW-nM.f+W\x^isy A3)
Пусть параметр s выбран так, что s < 0 на ab, s > 0 на fcc, i @) = b. Вектор f * (/>) каса-
касается L. Пусть вектор \р @) направлен в ту же сторону, что f+{b). Исследуем расположе-
Рис. 108.
Рис.109.
ние траекторий в общем случае, т.е. при условиях
Vf% Ф 0 на L, р'@)Ф0. A4)
Согласно [203J векторное поле f (x) G С°° общего положения, не имеющее особых
точек (т.е. f{x) Ф0), в области G+ С/?3 с гладкой (класса С°°) границей S в окрест-
окрестности любой точки границы гладкой заменой переменных приводится к одному из
трех видов:
li=1, Ь=0, |3 = 0;
В каждом из этих случаев имеются две возможности: область G+ переходит в область
$1 >0 или в область ?, < 0. Первый случай рассматривался в п. 2 § 21 (случай А),
а второй -в леммахЗи4 § 22. В третьем случае замена 2^ =к3,? з ~2|2 'УгЛг'Ух
приводит систему к виду (рис. 108)
Ki=1r /2=0, уъ=у\-гУг (кз>0); A5)
если же система рассматривается в области %х < 0, то, заменяя уъ на -/3* имеем
(рис. 109)
Kie1» K2=0r Кз=К2-К1 (Кз>0). A6)
На обоих рисунках траектории в области у3 > 0 расположены топологически одинаково.
Пусть система A5) или A6) получена из системы A), где функция f определена
в G* и в G ", причем f n> 0. Траектории из области G " достигают поверхности S при
возрастании г, а поверхность S переходит в плоскость Кз = 0. Поэтому на плоскости
Кз=0 имеются траектории в области у2 >у\ (рис. 108) или в области уг<у\
(рис. 109). Эта область есть область S{ (см. E)). На линии L {у2 = у\, уъ = 0) вектор
f* (у) = A,0, 0) касается плоскости уъ = 0, а точке ух « у2 = /3 = 0 касается линии Z..
В^силу условия 2 п. 2 § 21 на L имеем f ° (у) = f + (к) = A, 0, 0). Пользуясь тем, что
f° (у) G С1 вблизи точки / = 0, можно показать, что там у системы A5) существуют
лежащие на плоскости уъ = 0 траектории, обоими концами выходящие на линию L, а
у системы A6) их нет. Значит, эти два случая топологически различны.
Беря s =Ki и учитывая, что вектор п(у) направлен от S, к S2, получаем, что при
п{у) - B/, ,-1,0) функция A3)для системы A5) равна р{ух) =2yY. Для системы
A6) п(у) - (-2/1,1,0), р(у) =-2/,.
206

Теорема 1 [200]. Если fec°° в G+US, fGC1 в G~, S G C~ и на S исполь-
используется доопределение a) § 4, то при условиях D), E) и A4) существуют только 2
топологических класса точечных особенностей на линии L. Они выделяются условиями
р @) > 0 (рис. 108) и р @) < 0 (рис. 109).
Доказательство. Пусть системы А и А удовлетворяют условиям теоремы и,
например, р @) < O,jf @) < 0. С помощью сформулированного выше утверждения
из [203] приводим обе системы к виду A6) в области уъ >0. Оба преобразования
гладко продолжаются в область G~, и полученные системы В и В, вообще
говоря, различны при уъ < 0, значит, их траектории в плоскости уг = 0 тоже
различны.
Траектории системы [ЛЬ), касающиеся плоскости уъ = 0 в точках дуги Кх {у2 =
= у1. У\ ^0), возвращаются на плоскость Кз=0в точках дуги Къ Dу2 = Уи У\ > 0),
изображенной пунктиром на рис. 109. Вблизи точки О = @, 0, 0) для дуги Къ dy2/dxl =
= Ki/2, а для лежащей на плоскости у3 = 0 траектории в силу доопределения а) § 4 по-
получаем на /е3
\dy2tdyx\<ky\, k = const. A7)
В окрестности точки О на К3 наклон A7) траекторий меньше наклона дуги К3, и эти
траектории пересекают там дугу К3, по одному разу каждая.
В окрестности точки О построим топологическое отображение /= ф(у), при кото-
котором траектории системы В переходят в траектории системы В. На дугах Klt Къ, на
полупрямой у\ =Кз =0, у2 <0 и на проходящих через них траекториях, лежащих в
области /з >0, пусть ф(у) -у. Далее, на часть у2 <к? плоскости Кз = 0 отображение
распространяется по траекториям, лежащим в плоскости у$-0. На'остальную часть
пространственной окрестности точки О отображение распространяется по траекториям,
проходящим в областях Уз >0 м у$ < 0, как в леммах 3 и 4.
Случай р@) > 0 рассматривается аналогично.
Замечание. Условия f € С°°, S? С°° в теореме 1 не являются необходимыми.
Их можно ослабить, исключив ссылку на [203] и изменив доказательство. При этом
усложняется вывод оценки A7). Получение оценки A7) (хотя бы с о{у\) в правой
части), равномерной для всех систем, достаточно близких к данной, позволяет дока-
доказать грубость точечной особенности при условиях D), E) и A4).
Рассмотрим теперь случай, когда в A1) условиер'(О) Ф 0 заменяется условием
р(/)@)=0 (/=0,1 к), р(*+1)@)*0. A8)
При этом во всех условиях гладкости порядок гладкости надо повысить на к единиц.
Если к нечетно, функция p{s) не меняет знака и обращается в нуль только при5 = 0.
Тогда никакой точечной особенности нет в силу следующей леммы.
Лемма 9. Пусть выполнено условие D), L € С2,
f%<0 в S,, f%>0 в S2
и ни одна дуга, лежащая на S, не является дугой траектории уравнения х =f+(x). Тогда
L — линейная особенность класса 1-\,если n-f+^0naL,u класса L2, если п • f + <0
на L.
Доказательство. Из условий леммы в силу замечания к случаю А п. 2 § 21
следует, что в 5t имеется двумерная особенность класса AAt, а в S2 траектории пере-
пересекают поверхность S. Пусть f* = fsG+,f*€Cl в полной окрестности точки 6Е L.
Сделав замену переменных, можем считать, что 5 — плоскость, a L — прямая. При
надлежащем выборе координат функция f* удовлетворяет условию A1). По лемме
6 в окрестности точки а существует поверхность Р, проходящая через линию L, пересе-
пересекаемая траекториями системы х= f*(x) только в одном направлении и имеющая лишь
одну общую точку с каждой из них. С помощью этой поверхности сечения можно пост-
построить, как в леммах 3 и4, топологическое отображение, переводящее траектории данной
системы в траектории системы (9), если п • 1+ > 0, и в траектории системы A0), если
nf+<0.
При четном к> 2 функция p(s) меняет знак, и точка ЬЕ L является концом линей-
линейных особенностей классов Lx и L 2, как в теореме 1.
207

При Аг> 1 случай A8) — негрубый, так как при сколь угодно малом изменении
функции f в A) у функции pis) кратный корень может распасться на несколько прос-
простых. Тогда точечная особенность распадается на несколько других точечных особен-
особенностей.
Аналогичными методами можно рассмотреть также такие точки линии L, с одной
стороны от которых р (s) = 0 на L, а с другой р (s) Ф О, а также случай, когда ffo имеет
один и тот же знак в Si и 52 при различных предположениях о функции р Is).
д) Пусть выполнено условие D) и в некоторой точке поверхности S
fjv=O, Wat=O. A9)
Будем считать, что поверхность 5 — плоскость х3 = 0, а эта точка — начало координат О,
и что f% ? С2. Тогда в окрестности точки О
fN = ft =**? + 2/>х,х2 +сх1 +<p(xi/x2), <? = o(x? + х|). B0)
Если а>0,ас>Ь2 (или а < 0,ас>Ь2), то квадратичная форма положительно
(отрицательно) определенная и f$ > 0 (f3+ < 0) всюду, кроме точки О. Тогда в окрест-
окрестности точки О нет топологических особенностей (соответственно на 5 имеется только
двумерная особенность класса AAi). Это следует из замечания к случаю А п.2 § 21.
В обоих этих случаях система в любой окрестности точки О — негрубая, так как до-
добавление в B0) сколь угодно малого линейного члена приводит к появлению линейной
особенности.
Если ас<Ь2, то квадратичная форма знакопеременная и f3+ = 0 на двух гладких
линиях, пересекающихся в точке О. Два сектора плоскости х3 = 0 между этими линиями
пересекаются траекториями, а два других — двумерные особенности класса AAi • Части
указанных двух линий — линейные особенности классов Lx и L2, точка О — точечная
особенность, негрубая, как в предыдущем случае.
Аналогично можно рассмотреть случай ас-Ь2 и другие случаи.
В общем случае множество, на котором fn = 0t может иметь и более сложную струк-
структуру. При предположениях п. 1 оно состоит из конечного числа гладких кривых Kit
входящих одним концом в рассматриваемую точку рЕ 5, и, может быть, конечного числа
областей между некоторыми из этих кривых. При топологической классификации
таких случаев надо учитывать, в сторону какой из областей между кривыми Kf направ-
направлен вектор f+(p). Если в окрестности точки р имеются дуги траекторий с обоими
концами на S, то надо также рассматривать расположение линий, которые описывают
один конец такой дуги, когда другой движется по кривой Kf или по траектории, лежа-
лежащей на S.
3. Пусть на поверхности S в некоторой точке р
f~N=fN=0, f-фО, f+ФО, B1)
т.е, в этой точке векторы f ~ и f + касаются S. С каждой стороны от 5 траектории могут
быть расположены так, как в области G * в п.2. Сочетая каждое из расположений, рас-
рассмотренных в п.2 для области G4,c каждым в G~, получаем большое число случаев,
которые в свою очередь распадаются на топологические классы. Поэтому рассмотрим
только случай общего положения, когда каждая из функций f^n f дгобращается в нуль
на некоторой линии. Эти две линии пересекаются в точке р под ненулевым углом, век-
векторы f~ и f* не касаются этих линий, и градиенты ^fs(p) Ф0, Vf%(p) Ф0. Тогда
с каждой стороны от S траектории расположены так же, как в леммах 3 и 4 в области
G * (рис. 106 и 107). На поверхности S пусть используется доопределение а) § 4.
Точка р — стационарная только тогда, когда векторы f ~(p) и f +(p) противоположно
направлены. В других случаях в ее окрестности нет стационарных точек.
Перейдем к новым координатам, в которых поверхность S — плоскость z = 0, а ука-
указанные выше линии — оси Ох и О у. Выбирая подходящим образом направление и мас-
масштаб на осях, получаем систему
B2)
B3)
где Id~l=l0+I=1,a ненаписанные члены вблизи точки О бесконечно малы по срав-
208

нению с написанными. На плоскости S {г = 0) во 2-й и 4-й четвертях траектории пере-
пересекают плоскость S. а в 1-й и 3-й четвертях на ней имеются траектории, для которых
B4)
Всегда, кроме случая аЬ = в"в +,ав" <0, точка х= у = 0 не является стационарной.
После отбрасывания знаменателей в B4) (при этом меняется направление движения
в 3-й четверти) матрица Af линейной части системы имеет характеристическое уравнение
X2 - (а+6)Х+Ы>--0-0+) = О. B5)
Угловые коэффициенты кх и к2 направлений, по которым траектории входят в точку
О, - корни уравнения
0"Аг2 + (а-6)*-0 + = 0. B6)
Если корни вещественны, то считаем кх <к2. Так как A,*i ) и A,Аг2) -собственные
векторы матрицы М, то
Х/=а+0"Аг/, / = 1,2. B7)
а) Рассмотрим случай в" =0+ = -1. Тогда координатные полуоси - линейные осо-
особенности класса Lx (п.2) (рис. 110). В силу B6) кхк2 = -1, поэтому в 1-й и 3-й чет-
четвертях траектории входят в точку О с угловым коэффициентом к2 > 0. Если отбросить
особый случай, когда векторы f @) и f + @) противоположно направлены, то в 1-й и
3-й четвертях возможны два топологически различных расположения траекторий.
1) В случае ab > 1, а + b > 0 имеем 0 < Х2 < \х (рис. 111).
2) В случаях аЬ<1иаЬ>1,а+Ь<0 имеем соответственно \2 <0<\х н\2 <\ <
<0 (рис. 112). Допускается, чтобы а - 0 или 6 = 0.
б) Рассмотрим случай 0 " = -1, 0 + = 1 (рис. 113). (Случай 0 ' = 1, 0 + = -1 сводится
к этому заменой г, х, у на -г, у, х.) Обе полуоси Оу - линейные особенности класса L х
У
Рис.110.
Рис. 111.
Рис.112.
14. А.Ф. Филиппов
209

Рис. 113.
Рис. 114.
«2?
Рис. 115.
Рис. 116.
117.
обе полуоси Ох — класса L 2. В силу B6) в 1-й четверти или нет направлений, по кото-
которым траектории могут входить в точку О (в случае Ь>а — 2, рис. 114), или два таких
направления (в случае Ь<а — 2; при Ь-а—2 они совпадают). Если /><а — 2, то в
случае ab > —1 имеем Xi Х2 > 0» 0 < *i < 1 < *2, и точка О — узел, в 1-й четверти ус-
устойчивый при а +6<0 (рис. 115), неустойчивый при а +Ь>0 (рис. 116). В случае
b < а — 2, а/> < — 1, точка О — седло (рис. 117).
Как в лемме 4, вблизи точки О траектории из области z > 0 обоими концами (х0, Ко, 0)
и (*i'Ki*0) выходят на плоскость z = 0. С помощью B3) получаем
= х0 - 2ау0 + i
o(lx0l+ I Ко I
iUo/Ко), Ki =-Ko + <
Uo.Ko).
B8)
Эх0
(хо-»0,
Отображение B8) обозначаем Г+; при этом (Г + )"! = Г + .
Топологический класс расположения траекторий в области х2 + у2 + z2 < 52 зависит
не только от расположения траекторий в плоскости z = 0, но и от взаимного расположе-
расположения их и их образов при отображении 7"+. В малой окрестности точки О Т+ отображает
линию к = Ф М с dyldx = к в линию к = Л М с
dy к
— = +оA), B9)
?/х 2а*-1
если 2ак Ф 1, и в линию х= ф0 (у) с dxldy = оA), если 2а* = 1. Образы оси Оу и траек-
траекторий, входящих в точку О с угловыми коэффициентами кх и *2, являются кривыми,
входящими в точку О с угловыми коэффициентами
2а 2а*!-1 2а - *2 2а-*i
Следовательно, топологический класс зависит от порядка расположения на числовой
210

оси тех из чисел кх, к2, к*, кх , k2t которые являются положительными. Приравнивая их
попарно, найдем бифуркационные значения параметров а, Ь.
Полагая к* = кх > О, имеем 2а = Мкх = к2 >0, и в силу B6)
-1. а>0.
Полагая кх = к2 > О, имеем а - b = 2. Полагая кх = /гГ > 0, имеем Аг2 = а > 0 и из B6)
яб = — 1. Полагая кх = к2 >0, имеем к2 = 1 /Лгж = 2а -кх > 0 и из B6) а + 6 = 0,а>0.
Полученные соотношения определяют линии, делящие плоскость параметров а,Ь на
11 областей (рис. 118).
Теорема 2 [200]. В случае в ~ - в + = — 1 существуют только 2 топологических
класса грубых точечных особенностей в точке О для системы B2), B3), выделяемых
неравенствами: 1) Ь>а'1 >0, 2) Ь<0 или ab<\. В случае 0+ = — 0~ - 1 — только
11 классов, области значений аи b для каждого класса указаны на рис. 118.
Доказательство. В случае в ~ - в + = — 1 топологические классы расположения
траекторий на плоскости г = 0 указаны в пункте а) .Они полностью определяют тополо-
топологический характер расположения траекторий в пространственной окрестности точки
О, как в лемме 3. Грубость доказывается как в лемме 5. Для систем сЬ=а~1 >0
имеются сколь угодно близкие системы, как принадлежащие одному из этих классов,
так и принадлежащие другому. Поэтому системы с b - а~1 > 0 — негрубые.
В случае 0+ = -*0 ~~ = 1 возьмем любые две системы А иВ, для которых значения пара-
параметров а и b принадлежат одной и той же области на бифуркационной диаграмме
рис. 118, например, области 8, для которой а>0, ab< -1, 2а(а+6) < -1. В этом
случае
к\ <0<кх <к*<к2 <к2, Х2<О<Х,, C0)
и траектории расположены так, как сплошные линии на рис. 119, а их образы при
отображении Г* — как прерывистые. Линии Окх, О к*,. . . имеют в точке О касатель-
касательные с угловыми коэффициентами кх,к*, .. . соответственно. В области между линия-
линиями О к* и О у имеются два семейства линий. Эта область делится линиями Ок2 и Ок2
на три сектора, расположенные для систем А и В одинаково в силу C0). Сплошные и
прерывистые линии вблизи точки О касаются друг друга только на оси Ох (из формул
B4), B8), B9) следует, что касание возможно только при (а + b) (ab + 1) у - 0, а > 0,
но в случаях 1 —11 рис. 118 эти условия выполняются только при у = 0).
Построим сначала топологическое отображение на плоскости z - 0. Если на гра-
границах Ок2 и Оу сектора к2Оу отображение уже выбрано и точкам /?? Ок2 и <j€E Oy
соответствуют точки р и q для системы В, то линии qr и рг (рис. 119) должны перейти
в траекторию qr и образ рг'траектории системы В, значит, точка г должна перейти
в пересечение г'. Таким образом, отображение в секторе определяется отображением
его границ (или части uv границы в случае рис. 120). Строим отображения секторов
Рис. 118.
Рис. 119.
14*
211

с двумя семействами линий, затем (с большей степенью произвола) -с одним семейст-
семейством. Для каждого из 11 случаев легко проверить, что, последовательно отображая сек-
секторы, можно получить топологическое отображение 1-й и 3-й четвертей плоскости г = О,
переводящее траектории системы А и их Г+-образы в траектории и их образы для сис-
системы В. Если системы А и В принадлежат разным классам, то такого отображения не
существует.
Построенное в 1-й и 3-й четвертях плоскости z = О отображение распространяется
на пространственную окрестность точки О при z >0, как в лемме 4, а при z < О, как в
лемме 3. Грубость систем этих 11 классов и отсутствие других грубых систем доказы-
доказываются как в случае в " = в + = -1.
Рис. 120.
Рис.121.
в) Рассмотрим случай в =0+ = 1. Тогда через каждую точку окрестности точки О
проходит траектория, обоими концами выходящая на плоскость z=0 (рис. 121).
Четыре координатные полуоси — линейные особенности класса L2- Этот случай (и ана-
аналогичный случай в Rп) исследовался в [202] методом точечных отображений.
В области г > 0 траектории расположены как в случае б), поэтому на плоскости
z =0 вблизи точки О определено отображение Т+ вида B8) - переход из одной точки
плоскости z = 0 в другую по траектории системы B3). Аналогично определяется ото-
отображение Т~,
Ко -26х0 + ^2<х0, Ко)
X! = -х0 + iM*o, Ко), У\
- переход по траектории системы B2).
Траектория идет из точки р = (х0, Ко) # если Ко < 0, в точку Т*р, затем, если в этой
точкех< 0, в точку Т~~ Т+р, затем, если там у< 0, в точку Т* Т~ 7"+ри т.д.
Согласно B8) и C1) отображение Т= Т~Т* имеет вид
х = -х0 +2ако + ..., к = -2/?х0 + Dab - 1)ко +••• C2)
Ненаписанные слагаемые имеют такие же оценки, как в B8). Так как (Г") = 7"~,
(Г*) = Г+,то (Г"Г+) = Т+Т~. Линейная часть отображения C2) имеет собствен-
собственные значения
t -Л ±2\fab(ab- 1);
Проведем качественное исследование системы B2), B3). Пусть Я/ -/-я координат-
координатная четверть плоскости z - 0. Если а > 0, то вблизи точки О в силу каждой из систем
B2) - B4) имеем х > const > 0, а если Ь > 0, то у > const > 0. Если же а < 0, Ь < 0,
з/><1,то
[A-Ь)х
dt
A -а) у] = 1 ~а/? + .. . > const >0.
C4)
В этих трех случаях вблизи точки О каждая траектория после конечного числа пересе-
пересечений с плоскостью z = 0 попадает в R\ (в третьем случае надо учесть, что в силу C3)
/Ltj 2 - cos v ± / sin v, 0<v<n, C5)
поэтому линейная часть То отображаения Т при некотором выборе базиса на плоскости
х, к приводится к повороту на угол v). В Rx в силу B4) и тех же оценок все решения
212

уходят из окрестности точки О. Устойчивости нет. (При других способах доопределения
системы в /?! и /?3 наличие устойчивости зависит от поведения траекторий в Яг.)
В случае а < О, b < Q,ab > 1 в C4) имеем 1 - яЬ+ ... < const < 0, поэтому те траек-
траектории, которые не попали в Rlf пересекают плоскости z = 0 поочередно в R2 и ЯА,
удаляясь в конечном счете от точки О. Устойчивости нет (при любых доопределениях
системы в /?! и /?3).
Случай а < О, b < О, ab = 1 - критический. Точка О - стационарная, она может быть
устойчивой или нет в зависимости от членов высших порядков в B2) и B3). На-
Например, для системы
доопределенной при z = 0 согласно а) § 4, точка О асимптотически устойчива. Это дока-
доказывается с помощью функции Ляпунова
v={x-yJ +4|x+k i + 8 |z|.
Можно показать, что в случае в~ = в+ = 1 система B2), B3) класса С1, доопределяе-
доопределяемая согласно а) § 4 при любых значениях а и Ь, — негрубая в любой окрестности точ-
точки О и что существует бесконечно много топологических классов таких систем.
Рассмотрим случай, когда, в отличие от B2), B3), оба равенства ^ = 0и f^ = О
выполняются не на разных линиях, а на одной и той же линии L. Эта линия или ее части
могут быть линейными особенностями. Они исследуются теми же методами, как в
случаях а) — в) п. 2, в зависимости от знаков f п и f% в областях Sx и S2 и от направле-
направлений векторов f~[x) и f+{x) при xSL.
Наиболее сложный случай - когда в G + траектории идут от Si к S2, а в G~ от S2 к
Si — рассматривался в [201], [202] с помощью метода точечных отображений. Полу-
Получены достаточные условия асимптотической устойчивости стационарной точки, лежащей
на L. При этом данная система рассматривается в л-мерном пространстве, а ее правая
часть разрывна на (п — 1)-мерной поверхности S, f~N = f ^ = 0 на (п - 2)-мерной
гиперповерхности L.
4. Особенности типов 4 — 6 (п. 1) состоят из стационарных точек, лежащих на по-
поверхности разрыва. Если такая точка изолирована, то ее негрубость доказывается так
же, как в двумерном случае (леммы 1 и 2 § 19).
§ 23. Особенности на пересечении поверхностей разрыва
Здесь рассматриваются линейные и точечные особенности на линиях пересечения конеч-
конечного числа поверхностей разрыва и точечные особенности в точках пересечения поверх-
поверхностей разрыва. В некоторых случаях выясняется топологическая структура располо-
расположения траекторий вблизи особенности. Указываются методы исследования устой-
устойчивости.
1. Пусть к линии L € С2 примыкает конечное число поверхностей S, €С2, / =
= 1,..., р, не имеющих общих и граничных точек, не лежащих на L (рис. 122). Эти по-
поверхности делят окрестность линии L на области G,-, / = 1,.. . ,р, в каждой из которых
f(x) E С1 вплоть до границы. Линия L может быть также краем гладкой поверхности
разрыва; в этом случае р = 1. Исследуем лежащие на L линейные и точечные особен-
особенности системы (в векторной записи)
x = f(x). A)
На поверхностях и линиях разрыва применяется или доопределение а) § 4, или любое
доопределение, удовлетворяющее условиям 1° и 2°п. 2 § 21 (cm = 1).
Предполагается, что никакие две поверхности S/ и S, не касаются друг друга в точ-
точках линии L. Допускается, чтобы одна из них была продолжением другой, как Sx и S3
на рис. 122.
Устойчивость стационарной точки, лежащей на линии L, можно исследовать с по-
помощью теоремы 9 § 15. Пусть линия L проходит по оси Ох3. Тогда, как в теореме 9
§ 15, полагаем х= (у.г), где у= (х^Хг), * = х3,
и,г), h(y,г)), д={дх,д2).
213

Система A) записывается так:
y = g'(y,z), г = п*(у,г), (y,z)eGit /=1 р,
B)
к = <7°'(и,*), i=hot{y,z). (y,z)esit /е/,
где / - множество тех значений /, для которых на поверхностях S,- лежат куски траек-
траекторий. Для решений, лежащих на линии L, имеем
z = h°(z), C)
функция h°(z) предполагается непрерывной.
Точка у * 0, z = z0 линии L - стационарная, если h°(z0) = 0. Для исследования ее
устойчивости в ее окрестности рассмотрим первое приближение к системе B). При
этом поверхности 5/ заменяются полуплоскостями Sf, касательными к 5/ в точке
@, z0), области Gj - двугранными углами G;° с гранями S?, а функции д1 [у, z) и
д01 (у, г) - постоянными д1 @, z0) и д°* @, z0). Пусть 1/; и Z., - сечения области Gf
играни S? плоскостью z = z0.
Теорема 1. Пусть решение у = 0 двумерной системы
y = g4o,z0), yevh /-i Р,
D)
к = ^О|(О^оЬ ке/.,. /ел
асимптотически устойчиво, решение z = z0 уравнения C) устойчиво (или асимптотичес-
асимптотически устойчиво) и
д*@,го)Ф0, /=1 р, flr0/(Ofz0)^Of /€/. E)
Тогда решение у = 0, z = z0 системы B), C) устойчиво (соответственно асимптоти-
асимптотически устойчиво).
Теорема доказывается подобно теореме 9 § 15.
Теорема 1 сводит исследование устойчивости стационарной точки @, z0) EL к ис-
исследованию одномерного уравнения C) и двумерной кусочно постоянной
системы D). Система D) исследуется методами, рассмотренными в § 20. Наиболее
существенное ограничение в теореме 1 — это требование E). Если оно не выполнено, то
система D) имеет стационарные точки, сколь угодно близкие к точке у = 0, поэтому ее
решение / = 0 не может быть асимптотически устойчивым.
Случай невыполнения условия E) — критический, подобно случаю наличия нулевых
корней в обычной теореме об устойчивости по первому приближению. Он должен ис-
исследоваться другими методами, уже с учетом значений д'{у, z) при у Ф 0, z Ф z0.
2. Укажем один класс линейных особенностей, лежащих на линии L, и опишем их
структуру. Простейшие примеры линейных особенностей получаются в тех случаях,
когда поверхности 5, - плоскости или цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными оси Oz, а функции д', п1, д0', hOt ,h° не зависят от z. Тогда любой
сдвиг, параллельный оси Oz, переводит траектории системы B) в траектории. Поэтому
структура окрестностей любых двух точек оси Oz одна и та же и эта ось является
линейной особенностью (конечно, если она не проходит по поверхности или
в области, все точки которой имеют окрестности одной и той же струк-
структуры ).
214

Выделим случаи, когда окрестность каждой точки линии L расслаивается на поверх-
поверхности z = г\у\ X) (X - параметр семейства), заполненные дугами траекторий систе-
системы B). Естественно требовать, чтобы функция г\у\ X) была непрерывной и чтобы рас-
расслоение сохранялось при малых изменениях правых частей системы B). Для этого
необходимо, чтобы вблизи линии L не было таких линий, состоящих из дуг траекторий
системы B), которые проектировались бы на плоскость г = 0 в замкнутые кривые
(если такая линия не замкнута, то ее концы (у, zx) и iy, z2), *\ Ф z2, не лежат на од-
одной поверхности z - z(y, X), а если она замкнута, то она разрушается при малых изме-
изменениях функций h' в B)). Следовательно, на такой поверхности траектории вблизи
особой точки у = 0 не должны образовывать секторов классов Е, F, G, L, R. S (п. 2
§ 17). Условие E) также необходимо по аналогичным причинам. Эти соображения
объясняют происхождение налагаемых ниже условий.
Лемма 1. Пусть поверхности S, — полуплоскости, примыкающие к оси Oz, в сис-
системе B), C) каждая из функций gl, hl, g01, h01 ,h° постоянна, каждый вектор g1 не
коллинеарен сторонам того угла V,-, где он задан, и окрестность особой точки у = О
системы D) состоит только из секторов классов Н, К. P. Q. Тогда ось Oz — линейная
особенность. Ее окрестность заполнена семейством поверхностей
F)
каждая из которых заполнена дугами траекторий системы B).
До казательство. Пусть Мо — множество, состоящее из точки у = z = 0 и точек
(у, z), которые лежат на траекториях системы B), идущих по поверхностям 5,- и вхо-
входящих в точку у - z = 0 при возрастании или убывании t. В каждом секторе класса Н
на плоскости z =0 построим луч, выходящий из точки О и пересекающий под ненуле-
ненулевым углом траектории этого сектора. Присоединяя к Мо точки, лежащие на дугах траек-
траекторий с одним концом в точках множества /Vf0, и на траекториях, пересекающих по-
построенные в плоскости :в0 лучи, получаем множество М. Его проекция на плоскость
z = 0 заполняет все секторы классов Н. К. Р, Q. Из предположений о функциях д',
п1, ... и наличия только этих секторов следует, что в каждую точку плоскости z = 0
проектируется лишь одна точка множества М. т.е. множество М задается уравнением
z = ^р{у). В каждой области G/t заключенной между плоскостями 5; и 5у +1, точки мно-
множества М заполняют кусок плоскости. Поэтому функция <р{у) непрерывна и даже удов-
удовлетворяет условию Липшица.
Так как любой сдвиг, параллельный оси Oz, переводит траектории в траектории,
то при любом с поверхность z = $(у) + с тоже заполнена дугами траекторий и, как в
начале п. 2, ось Oz — линейная особенность. Лемма доказана.
В следующей теореме поверхности 5/ и система'B) удовлетворяют условиям, ука-
указанным в начале п. 1, линия L — ось Oz.
Теорема 2. Пусть для каждого z0 Е (а, Р) вектор д! @, z0) не коллинеарен
сторонам угла V( (i = 1, . .., р), окрестность особой точки у = 0 системы D) состоит
только из секторов классов Н, К, Q и h°(z0) Ф 0. Тогда интервал a < z < /3 оси Oz яв-
является линейной особенностью (или ее частью) для системы B). Окрестность любой
точки этого интервала заполнена семейством поверхностей, каждая из которых за-
заполнена (топологически одинаково) дугами траекторий системы B). В некоторой
окрестности произвольной точки этого интервала система B) является грубой.
Доказательство. Для любого z0 G (а, 0) построим систему Ао первого при-
приближения, как в п. 1, заменив также h°{z) на Л°(г0). Затем будем строить топологи-
топологическое отображение окрестности точки у - 0, z = z0, при котором точки оси Oz пере-
переходят в себя, а траектории системы Ао переходят в траектории системы B).
Пусть х = ?'(f;b) и х = ??(f; Ь) - решения системы B) и системы Ао, идущие по
поверхности S,- и плоскости S° соответственно и проходящие через точку х - b при
t - 0. При достаточно малых г (того знака, при котором эти решения идут по указан-
указанным поверхностям) каждой точке a = ?o(t; bi). где bx = @,zx). поставим в соответ-
соответствие точку ф(а) = ?'(f; bx). Аналогично поступаем на траекториях, идущих из точки
@, г,) непосредственно в области Gf. На лучах lh, лежащих в плоскости z = z, и проек-
проектирующихся на плоскость z - 0 в лучи, построенные при доказательстве леммы 1
в секторах класса Н, положим ф(а) = а.
215

Через каждую внутреннюю точку сектора К или Q проходит траектория системы D),
выходящая на боковую границу сектора только одним концом, а в секторе// проходит
траектория, имеющая только одну общую точку с построенным лучом. В такую траек-
траекторию проектируется траектория х = %0{t; а) системы Ао, проходящая по построенной
в лемме 1 поверхности Мх (z = <р{у) + zx). Точка а лежит на поверхности Sf или на
луче //,, и в ней отображение ф(а) уже определено. Точке х = %0{t; а) поставим в соот-
соответствие точку t//(x) = ?(f; ф(а)) на траектории системы B).
Полученное отображение ф{х) в некоторой окрестности точки @,z0) взаимноод-
взаимнооднозначно и переводит траектории системы Ао в траектории системы B). Точка а, в
которой траектория выходит на границу сектора или пересекается с лучом //,, непре-
непрерывно зависит от точки х = ?0(f; а) вследствие условия неколлинеарности, а точка
Ь\ = @, zx) - от точки а. Отсюда и из теорем о непрерывной зависимости решения сле-
следует, что отображение ф(х) непрерывно и на поверхности Мх, и в полной окрестности
точки @, z0) (точка zx пробегает некоторую окрестность точки z0). В силу леммы 1
§9 отображение ф{х) — топологическое в замкнутой окрестности точки @, z0). Оно
переводит семейство поверхностей z ~ <p (у) + с в семейство поверхностей, заполня-
заполняющих некоторую окрестность точки @, z0) и состоящих из дуг траекторий системы B).
Для системы Ао все точки оси Oz в силу леммы 1 имеют окрестности одинаковой
структуры. Отображение ф{х) — топологическое, поэтому для системы B) все точки
оси Oz, лежащие в рассматриваемой окрестности точки z0, тоже имеют окрестности
одинаковой структуры для системы B). Любую компактную часть данного интерва-
интервала а < z < /3 оси Oz можно покрыть конечным числом таких окрестностей. Поэтому
любые две точки этого интервала имеют окрестности одинаковой структуры и для
системы B) этот интервал — линейная особенность (или ее часть).
Если система B) мало меняется в С\ (п. 1 § 18), то системы Ао и D) тоже мало
меняются. Вследствие условия неколлинеарности все секторы для системы D) сохра-
сохраняют свои топологические классы. В силу теоремы 2 § 17 топологическая структура
окрестности точки у = 0 для системы D) не меняется. То же справедливо и для систе-
системы Ао из-за наличия расслоения F), а значит, и для системы B) в некоторой окрест-
окрестности любой точки рассматриваемого интервала оси Oz, так как топологическое ото-
отображение, аналогичное ф{х), существует и для измененной системы.
Чтобы построить е-отображение, переводящее траектории системы B) в траектории
измененной системы, надо, как в первой части доказательства, сначала построить это
отображение для траекторий, идущих по поверхностям 5/, а затем для остальных
траекторий. Для достаточно близких систем это отображение сдвигает каждую точку
меньше, чем на е, в силу непрерывной зависимости решений от начальных условий и
от правых частей системы. Поэтому система груба в рассматриваемой окрестности.
Из доказанной теоремы и теоремы 2 § 17 следует, что топологическая классифика-
классификация тех линейных особенностей, которые могут существовать при выполнении условий
теоремы, полностью определяется числом и циклическим порядком секторов классов
Н, К, Q для двумерной системы D).
Пусть топологическая структура окрестности особой точки у = 0 для системы D)
при z0 G (а, 0) одна, а при z0 ? @, у) другая (или та же самая, но функция h°[z) в
C) на интервалах (а, 0) и $,у) имеет разные знаки). Тогда интервалы (а,/?) и (/3,7)
оси Oz принадлежат разным линейным особенностям, а их общий конец z = /3 есть
точечная особенность.
Более детально расположение траекторий вблизи линии пересечения поверхностей
разрыва не изучалось. Рассматривались отдельные системы такого рода, встречающиеся
в приложениях (например, в [204]), а также системы автоматического управления с
двумя и более релейными функциями (например, в [5], стр. 197 и 249).
3. Точечная особенность в точке пересечения нескольких поверхностей разрыва изу-
изучалась в основном с точки зрения ее устойчивости [182], [178], [205]. При естествен-
естественном предположении, что поверхности разрыва (возможно, искривленные) расположены
как грани многогранных углов, автономная система в окрестности такой точки близка
к однородной. Некоторые методы исследования устойчивости таких систем указа-
указаны в § 15. В [182] для получения необходимых и достаточных условий устойчивости
системы с тремя разрывными функциями (sgnx, sgny, sgnz) проводится качествен-
качественное исследование расположения траекторий в различных случаях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
\. Андронов А.А., Burr A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. - М.: Физматгиз, 1959. РЖМат, 1960,
12816 К.
2. Б арба шин Е.А. Введение в теорию устойчивости. — М.: Наука, 1967. РЖМат, 1968, 5 Б 241 К.
3. Неймарк Ю.И. Метод точенных отображений в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1972.
РЖМат, 1972,11 Б 291 К.
4. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических сис-
систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. РЖМат, 1977, 5 Б 125 К.
5. Гели г А.Х., Леонов Г.А.. Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неединственным со-
состоянием равновесия. - М.: Наука, 1978. РЖМат, 1979, 1 Б 138 К.
6. Теория систем с переменной структурой / Под ред. Емельянова СВ. — М.: Наука, 1970.
Т.Угкин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1981,
РЖМат, 1982,1 Б 883 К.
8. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1954. — Т. 2. РЖМат, 1955,
2676 К.
9. Коддингтон Э.А., Леей неон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: ИЛ,
1958. РЖМат, 1960, 3002 К.
10. Бок штейн М.Ф. Теоремы существования и единственности решений систем обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. - Учен, записки МГУ, матем., 1939, вып. 15, 3—72.
11. Красносельский М.А., Крей н С Г. Нелокальные теоремы существования и теоремы единствен-
единственности для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — ДАН СССР, 1955, 102, № 1,
13-16. РЖМат, 1956,3815.
12. Kamke E. Zur Theorie der Systeme gewdhnlicher Differentialgleichungen. - Acta Math., 1932, 58,
№1,57-85.
13. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1970. РЖМат, 1971,
ЗБ 141 К.
14. Красносельский М.А., Крейн С.Г. О принципе усреднения в нелинейной механике.—УМН, 1955,
10, № 3, 147-152. РЖМат, 1956, 4493.
15. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter. —
Чехосл. матем. журн., 1957, 7, № 3, 418-449. РЖМат, 1958, 8823.
16. Курцвейль Я. Об обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнениях, обладающих раз-
разрывными решениями. - ПММ, 1958. 22, № 1, 27-45. РЖМат, 1959, 2601.
17. Курцвейль Я., Во реп 3. О непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от
параметра. - Чехосл. матем. журн., 1957, 7, № 4, 568-583. РЖМат, 1959, 316.
18. Dolezal V.t Kurzweil J. О nlkterych vlastnostech lineaVnich diferentialnich rovnic. — Aplikace mat.,
1959, 4, № 3, 163-176. РЖМат, 1960, 10265.
19. Jam/k J. On a certain modification on the theorem on the continuous dependence on a parameter. —
Casopis pro pestov. mat., 1961,86, №4, 415-424. РЖМат, 1962, 10 Б 142.
20. Петров Н.Н. Некоторые достаточные условия непрерывной зависимости решения дифферен-
дифференциального уравнения от параметра. — Вестник ЛГУ, 1962, № 19, сер. матем., вып. 4, 26—40.
РЖМат, 1963, 10 Б 194.
7\.Arnese G. Sulla dipendenza dal parametro degli integral! di una equazione differenziale ordinaria del
primo ordine. - Rend, semin. mat. Univ. Padova, 1963, 33, 140-162. РЖМат, 1964, 3 Б 222.
22. Kartdk К. A theorem on continuous dependence on a parameter. — Casop. pro pestov. mat., 1966, 91,
№ 2, 178-194. РЖМат, 1967, 3 Б 217.
23. Kartak К. Continuous dependence on parameters and generalised solutions of ordinary differential
equations. - Beitr. Anal., 1976, 9, 39-41. РЖМат, 1978, 6 Б 146.
24. Artstein Z. Continuous dependence on parameters: on the best possible results.— Journ. of Dif. Equat.,
1975,19, № 2, 214-225, РЖМат, 1977, 2 Б 179.
25. Artstein Z. Topological dynamics of ordinary differential equations and Kurzweil equations. — Jounr. of
Dif. Equat., 1977, 23, № 2, 224-243. РЖМат, 1977. 12 Б 381.
26. Vorel Z. Continuous dependence on parameters. — Nonlinear Anal.: Theory, Meth. and Appl., 1981,
5, № 4, 373-380. РЖМат, 1981, 9 Б 172.
27. Матвеев Н.М., Носов СЛ., Покровский А.Н. К вопросу о принципе усреднения. — Диф. уравн.,
1978, 14, № 2. 371 -373. РЖМат, 1978, 6 Б 147.
217

28. Volpato M. Sulla derivabilita, rispetto a valori iniziali ed a parametri delle soluzioni dei sistemj di equ-
azioni differenziali ordinarie del primo ordine. — Rend. Semin. mat. Univ. Padova, 1958, 28 №1.
71-106. РЖМат, 1959, 6868.
29. Ursescu C. A differentiate dependence on the right—hand side of solutions of ordinary differential equ-
equations. - Ann. polon. math., 1975, 31, № 2, 191-195. РЖМат, 1976, 8 Б 214.
30. Re/mann H.M. Ordinary differential equations and quasiconformal mappings. — Invent, math.. 1976,
33, № 3, 247-270. РЖМат, 1977, 2 Б 178.
31. Благодатских В.И. О дифференцируемое™ решений по начальным условиям. — Диф. уравн.,
1973, 9, №12, 2136-2140.
32. Андреев А.Ф., Богданов Ю.С. О непрерывной зависимости решения задачи Коши от начальных
данных. - УМН, 1958, 13, № 3, 165-166. РЖМат, 1959, 6862.
33. Zaremba S.C. Sur les Equations au paratingent. - Bull, des Scienc. Math., 1936, 2 Ser.( 60, № 5, 139-
160.
34. Хал а най A., Be к еле р Д. Качественная теория импульсных систем. -М • Мир, 1971. РЖМат, 1971,
12 5,396.
35. Kartak К. A generalization of the Caratheodory theory of differential equations. — Czechosl. Math.
Journ., 1967, 17# №3,482-514. РЖМат, 1968,8 5 171.
36. Сакс С. Теория интеграла.- М.: ИЛ, 1949.
37. Мышкис А.Д.. Самойленко A.M. Системы с толчками в заданные моменты времени. — Матем.
сборн., 1967, 74, № 2, 202-208. РЖМат, 1968, 5 Б 254.
38. Schwab/k S. Verallgemeinerte gewohnliche Differentialgleichungen; Systeme mit Impulsen auf Fla-
chen I, II. - Czechosl. Math. Journ., 1970, 20, № 3, 468-490; 1971, 21, № 2, 172-197. РЖМат,
1971,5 5 194; 1972, 1 5 247.
39. Schwabik §. Stetige Abhangigkeit von einem Parameter fiirein Differentialgleichungssystem mit Im-
Impulsen. - Czechosl. Math. Journ., 1971, 21, № 2, 198-212. РЖМат, 1972, 1 5 248.
40. Pandit S.G. Systems described by differential equations containing impulses: existence and unique-
uniqueness. - Rev. roum. math, puresetappl., 1981, 26, № 6, 879-887. РЖМат, 1982, 1 5 310.
41. Мильман В.Д., Мышкис А.Д. Об устойчивости движения при наличии толчков. — Сибирск.
матем. журн., 1960, 1, № 2, 233-237. РЖМат, 1961, 9 Б 145.
42.Рожко В.Ф. Устойчивость по Ляпунову в разрывных динамических системах. - Диф. уравн.,
1975, 11,1^6, 1005-1012. РЖМат, 1975, 11 5 362.
43. Schwabik S. Bemerkungen zu Stabilitatsfragen fur verallgemeinerte Differentialgleichungen. — Casop.
pro pestov. mat., 1971, 96, № 1, 55-66. РЖМат, 1971, 7 5 255.
44. Rao M.R.M., Rao V.S.H. Stability of impulsively perturbed systems. — Bull. Austral. Math. Soc, 1977,
16, № 1,99-110. РЖМат, 1978, 1 Б 114.
45. Самойленко A.M., Перес тюк Н.А. Устойчивость решений дифференциальных уравнений с им-
импульсным воздействием. - Диф. уравн., 1977, 13, № 11, 1981-1992. РЖМат, 1978, 5 Б 157.
46. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Об устойчивости решений системы с импульсным воздейст-
воздействием. - Диф. уравн., 1981, 17, № 11, 1995-2001. РЖМат, 1982, 3 Б 259.
47. Самойленко A.M., Теплинский Ю.В., Цыгановский Н.С. О поведении решений квазилинейной
системы дифференциальных уравнений с импульсами в окрестности инвариантного тора. — Диф.
уравн., 1982, 18, № 5, 833-839. РЖМат, 1982, 10 Б 182.
48. Розенвассер Е.Н. К теории кусочно-линейных систем с периодически изменяющимися пара-
параметрами. - Автоматика и телемеханика, 1962, 23, № 1, 122-126. РЖМат, 1963, 1 Б 200.
49. Аматов М.А. Об устойчивости движения импульсных систем. — Диф. уравн., Рязань: 1977, вып. 9,
21- 28. РЖМат, 1978, 4 Б 138.
50. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Периодические решения слабо нелинейных систем с импульс-
импульсным воздействием. - Диф. уравн.. 1978, 14, № 6, . 1034-1045. РЖМат, 1978, 11 Б 237.
51. Перестюк Н.А., Шовкопляс В.Н. Периодические решения нелинейных дифференциальных урав-
уравнений с импульсным воздействием. — Украинск. матем. журн., 1979, 31, №5, 517—524. РЖМат,
1980,2 5 193.
52. Самойленко A.M., Перестюк Н.А. Периодические и почти периодические решения дифферен-
дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. — Украинск. матем. журн., 1982, 34, № 1,
66-73. РЖМат, 1982, 6 Б 231.
53. Митропольский Ю.А., Самойленко A.M., Перестюк Н.А. К вопросу обоснования метода усред-
усреднения для уравнений второго порядка с импульсным воздействием. — Украинск, матем. журн.,
1977, 29# № 6, 750-762. РЖМат, 1978. 9 Б 178.
54. Цыгановский Н.С. К вопросу обоснования метода усреднения для систем с импульсным воздей-
воздействием. - Украинск. матем. журн., 1979, 31 # № 4, 469-473. РЖМат, 1979, 11 Б 234.
55. Schwabik S. Uber ein Differentialgleichungssystem mit unstetigen Losungen endlicher Variation. —
Zeitschr. angew. Math, und Mech., 1968, 48, Sonderheft, № 8, 30-32. РЖМат, 1969, 11 Б 300.
56. Каркинбаев И. К вопросу обоснования метода усреднения для систем дифференциальных урав-
уравнений с импульсным воздействием. — Матем. физика. Рее публ. межвед. сборн. Киев: 1979,
№ 26, 40-48. РЖМат, 1S80, 1 Б 244.
Ы. Завали шин СТ. Об одном способе оптимального синтеза при неизвестных возмущениях. —
Труды ин-та матем. и механ. Уральск, науч. центр АН СССР, 1979, вып. 32, 45—70. РЖМат,
1980, 3 Б 529.
58. Benei К. On modelling dynamic systems excited by the Dirac function. — Acta Univ. Palack. Olomuc.
Fac. rerum nat., 1978, 57 156], 123-129. РЖМат, 1980, 6 Б 281.
59. Айзерман М.А., Гантмахер Ф.Р. Об определении периодических режимов в нелинейной динами-
динамической системе с кусочно-линейными характеристиками. — ПММ, 1956, 20, № 5, 639—654.
РЖМат, 1957.3978.
218

60. Kurzweil J. Linear differential equations with distributions as coefficients. — Bull. Acad. Polon.Sci.,
sermath., 1959,7, № 9, 557-560. РЖМат# 1961# 1Б410.
61. Гельфанд И.М.. Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М.: Физматгиз, 1959.
РЖМат, 1960#6755К.
62. Завали щин С.Т. Определение реакции линейной нестационарной системы передачи на локально
суммируемые воздействия. - Диф. уравн., 1968, 4, № 8, 1404-1412. РЖМат, 1969, 1 Б 320.
63. Завалищин С.Т. Устойчивость обобщенных процессов. I, II.— Диф. уравн., 1966, 2, № 7, 872-
881; 1967, 3,№ 2, 171-179. РЖМат, 1967, 2 5 239; 9 Б 234.
64. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. — М.: Гостехиздат, 1957. РЖМат,
1958# 9700 К.
65. Завалишин С.Т. Формула Коши для линейного уравнения общего вида в обобщенных функ-
функциях. -Диф. уравн., 1973, 9, №6, 1138-1140. РЖМат, 1973, 10 Б 591.
66. Барбашин Е.А. Об устойчивости по отношению к импульсным воздействиям. — Диф. уравн.,
1966, 2, W 7, 863-871. РЖМат, 1967, 6 Б 217.
67. Завали щи н С.Т. Периодические обобщенные орбиты. — Диф. уравн., 1967, 3, № 8, 1231—1239.
РЖМат, 1968, 3 Б 230.
68. Завали шин С.Т. О локально интегрируемых периодических движениях нелинейной системы пере-
передачи. - Диф. уравн., 1969, 5, № 9. 1575-1582. РЖМат, 1970, 1 Б 344.
69. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. РЖМат, 1966, 11 А 126 К.
70. Doetsch G. Das Anfangswertproblem fur Systeme Iinearer Differentialgleichungen unter unzulassigen
Anfangsbedingungen. - Annali di mat. pura ed appl., 1955, 39, 25-37. РЖМат, 1956, 8015.
71. Focke J. Losung von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen durch Sprungfunktionen. — Wiss.
Zeitschr. Univ. Leipzig. Math. - Nat. Reihe, 1958/59, 8, № 5, 867-870. РЖМат, 1960, 13796.
72. Campbell S.L., Meyer CD., Rose N.J. Application of the Drazin inverse matrix to linear systems of dif-
differential equations with singular constant coefficients. — SIAM Journ. Appl. Math., 1976, 31, № 3,
421-425. РЖМат, 1977, 5 Б 649.
73. Campbell S,L. Linear systems of differential equations with singular coefficients. — SIAM Journ. Math.
Anal., 1977#8,№6. 1057-1066. РЖМат, 1978#6 Б 189.
74. Бояринцев Ю.Е., Корсуков В.М. Структура общего непрерывно дифференцируемого решения
краевой задачи для сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. —
Вопросы прикл. матем., Иркутск: 1977, 73-93. РЖМат, 1978, 7 Б 314.
75. Бояринцев Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1980. РЖМат, 1980, 8 Б 197 К.
76. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. РЖМат, 1968, 12 Б 410 К.
ll.Pfaif Я. Gewohnliche lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit Distributionskoeffizient. —
Arch. Math., 1979, 32, № 5, 469-478. РЖМат, 1980, 3 Б J50.
IS. Ligeza J. On generalized periodic solutions of linear differential equations of order/?. - Ann. polon.
math.# 1977, 33, №3, 209-218. РЖМат, 1977. 11 Б 185.
79. Uno Т., Hong I. Some consideration of asymptotic distribution of eigenvalues for the equation d2u/dx2 +
+ \p(x)u = 0. - Japan. Journ. Math., 1959, 29, 152-164. РЖМат, 1962, 7 Б 196.
80. Guggenheimer H. Stability theory for Hill equations with generalized coefficient. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1975, 53, № 1, 155-158. РЖМат, 1976, 8 Б 262.
81. Ligeza J. On generalized solutions of some differential nonlinear equations of order n. - Ann. polon.
math., 1975, 31, № 2, 115-120. РЖМат, 1976# 8 Б 216.
82. Ligeza J. Cauchy's problem for systems of linear differential equations with distributional coeffici-
coefficients. - Colloq. math.# 1975, 33, № 2, 295-303. РЖМат, 1976, 8 Б 215.
83. Wall H.S. Concerning harmonic matrices. - Archiv Math., 1954, 5# № 3, 160-167. РЖМат, 1955,
3796.
84. MacNerney J.S. Stilties integrals in linear spaces. — Annals of Math., B), 1955, 61, № 2, 354—367.
РЖМат, 1956,4660.
85. Hildebrandt Т.Н. On systems of linear differentio-Stiltjes-integral equations. - Illinois Journ. Math.,
1959, 3, № 3# 352-373. РЖМат, 1960, 9040.
86. Reid W.T. Generalised linear differential systems. — Journ. of Math, and Phys.# 1959, 8# № 5, 705—726.
РЖМат. 1961,9 5 318.
87. Schwabik s. Verallgemeinerte lineare Dtfferentialgleichungssysteme. — Casop. pro pestov. mat., 1971,
96# №2, 183-211.РЖМат, 1971,125290.
88. Ligfza J. On distributional solution of some systems of linear differential equations. — Casop. pro pes-
pestov. mat., 1?77, 102, N° 1, 37-41. РЖМат, 1977, 8 Б 212.
89. Schwabik $., Tvrdy M. Boundary value problems for generalized linear differential equations. —
Czechosl. Math. Journ., 1979, 29, № 3, 451-477. РЖМат, 1980, 3 5 200.
90. Pandit S.G. Differential systems with impulsive perturbations. - Pacific Journ. Math.# 1980, 86, № 2,
553-560. РЖМат, 1981, 3 Б 194.
91. Ligeza J. The existence and the uniqueness of distributional solutions of some systems of non-linear
differential equations. Casop. pro pestov. mat., 1977, 102, № 1, 30-36. РЖМат# 1977, 8 5 203.
92. Kurzweil J. Generalized ordinary differential equations. - Czechosl. Math. Journ., 1958, 8# № 3. 360-
388. РЖМат, 1960,317.
93. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. — Матем. сборн.,
1960, 51, № 1,99-128. РЖМат, 1960, 13788.
94. Красовскии Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. - М.; Наука, 1974.
РЖМат. 1975,5 5 608 К.
95. Аизернин М.А., Пятницкий Е.С. Основы теории разрывных систем. I, II - Автоматика и теле-
телеги ex.. 1974, № 7, 33-47; №8, 39-61. РЖМат, 1974. 11 Б 215, 216.
219

96. Якубович В А. Периодические и почти периодические предельные режимы регулируемых систем
с несколькими, вообще говоря, разрывными нелинейностями. ДАН, 1966, 171, № 3, 533—536.
РЖМат, 1967, 4 Б 216.
97. Алимов Ю.И. О применении прямого метода Ляпунова к дифференциальным уравнениям с
неоднозначными правыми частями. — Автоматика и телемех., 1961, 22, № 7, 817—830. РЖМат,
1962,3 8 296.
98. Malgarini G. Su un particolare sistema differenziale ordinario, con secondi membri discontinue — Rend.
1st. lombardo sci. e lettere. Sci. mat., fiz., chim. e geol., 1960, A94, № 3, 612-631. РЖМат, 1963,
4 Б 162.
99. Malgarini G. Sull'integrazione di un sistema differenziale ordinario, discontinuo rispetto alle incogni-
te. - Rend. 1st. lombardoscie lettere. Sci.mat., fiz., chim. e geol., 1961, A95, № 1, 3-21. РЖМат,
1964,10 5 121.
100. Andre J., Seibert P. Uber stuckweise lineare Differentialgleichungen, die bei Regelungsproblemen auf-
treten. I, II. - Arch, der Math., 1956, 7, № 2, 148-156; № 3, 157-164. РЖМат, 1957, 403; 1958,
9810.
101. Тонкова B.C., Тонкое Е.Л. Некоторые свойства усредненных решений системы регулирования
с разрывной нелинейностью. — Диф. уравн., 1973, 9, № 2, 278—289. РЖМат, 1973, 6 Б 289.
102. Hermes H. Discontinuous vector fields and feedback control. — Different. Equat. and Dynam. Syst.,
155-165. New York, Acad. Press, 1967. РЖМат, 1968. 10 Б 489.
103. Sent is R. Equations differentiates a second membre measurable.— Boll. Unione mat. ital., 1978, B15,
№ 3, 724-742. РЖМат, 1979, 7 Б 158.
104. Солнцев Ю.К. Об устойчивости по Ляпунову положений равновесия системы двух дифферен-
дифференциальных уравнений в случае разрывных правых частей. — Учен, записки МГУ, сер. матем. 1951,
вып. 148,4, 144-180.
105. Солнцев Ю.К. О непрерывной зависимости от начальных условий решений систем дифферен-
дифференциальных уравнений с кусочно непрерывными правыми частями. — Учен, записки МГУ, сер.
матем. 1959,.вып. 186, 9, 191-203. РЖМат, 1961, 8 Б 134.
106. Nagumo M. Uber das System der gewohnlicher Differentialgleichungen. — Japanese Journ. of Math.,
1927,4, №4.215-230.
107. Rosen thai A. Uber die Existenz der Losungen von Systemen gewohnlicher Differentialgleichungen. —
Sitzungsberichte der Heidelberger Akad., Math. Naturw. Klasse, 1929, 19 Abhandl., 3-10.
108. BuKTopoecKuu E.E. Об одном обобщении понятия интегральных кривых для разрывного поля
направлений. - Матем. сборн., 1954, 34, № 2, 213-248. РЖМат, 1955, 714.
109. Персидский К.П. Обобщенные решения дифференциальных уравнений. — Известия АН Казах.
ССР, сер. физ.-мат. наук, 1965, вып. 3, сер. матем. и мех., вып. 18, 17-24. РЖМат, 1966, 8 Б 173.
110. Coletti G. Regoli G. Criteri di existenzae di limitatezza di soluzioni di equazioni differenziali поп li-
linear i. - Rend, mat., 1978,11, № 3, 393-403. РЖМат, 1979, 9 Б 97.
111. Guintini S., Pianigiani G. Equazioni differential! ordinarie con secondo membro discontinuo. — Atti
•emin. mat. e fiz. Univ. Modena, 1974A975), 23, № 2, 233-240. РЖМат, 1976, 7 Б 163.
112. Матросов В.М. О дифференциальных уравнениях и неравенствах с разрывными правыми частя-
частями. I, II. - Диф. уравн.. 1967, 3, № 3, 395-409; № 5, 869-878. РЖМат, 1967, 12 Б 241; 1968
4 Б 197.
113. Козлов Р.И. К теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. — Диф.
уравн., 1974, 10, № 7. 1264-1275. РЖМат, J974, 11 Б ?18.
114. Яе/алг J. Vztahy mezi ruznymi typy zobechenych feseni obycejnnych differencialnich rovnic —Knizn.
odbor a ved. spisu VUT Вте*. 1975, sec. 1, B-56, 181-187. РЖМат, 1976, 6 Б 198.
115. Reid W.T. Anatomy of the ordinary differential equation. — Amer. Math, monthly, 1975, 82, № 10,
971 -984. РЖМат, 1976, 9 Б 160.
116. Binding P. The differential equation x = f°x. — Journ. of Dif. Equat., 1979, 31, № 2, 183—199. РЖМат,
1980, 1 Б 234.
117. Hajek О. Discontinuous differential equations. !, II. — Journ. of Dif. Equat., 1979, 32, № 2, 149-170;
171-185. РЖМат, 1980, 3 Б 148, 149.
IIS. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с правой частью, разрывной на пересекающихся
поверхностях. - Диф. уравн., 1979, 15, № 10, 1814-1823. РЖМат, 1980, 1 Б 233.
119. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980. РЖМат, 1980,
10Б557 К.
120. Барбашин Е.А., Алимов Ю.И. К теории релейных дифференциальных уравнений. — Известия
вузов, сер. матем., 1962, №1,3-13. РЖМат, 1,963, 2 Б 157.
121. Waiewski Т. Sur une condition /quivalente a I'equation au contingent. — Bull. Acad. Polon. Sci., ser.
math, astr., phys., 1961, 9, № 12, 865-867. РЖМат, 1963, 2 Б 158. /
122. Marchaud A. Sur les champs des demi—cdneset les equations differentielles du premier ordre. — Bull.
Soc. Math. France, 1934,62, 1, 1-38.
123. Marchaud A. Sur les champs de demi-cones convexes. — Bull. Sci. Math., 2 ser., 1938, 62, H° 8, 229—
240.
124. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с многозначной разрывной правой частью. —
ДАН СССР, 1963, 151. № 1, 65-68. РЖМат, 1963, 12 Б 248.
125. Kowalski Z. Measurability conditions for set—valued functions. - Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math,
astr., phys., 1964, 12, № 8, 449-453. РЖМат, 1965, 8 Б 48.
126. Kowalski Z. Measurability conditions and scalar coordinates for orientor fields. — Bull. Acad. Polon.
Sci., ser. math., astr., phys., 1964, 12, № 8, 455-459. РЖМат. 1965, 8 Б 49.
Ml.Plis' A. Remark on measurable set—valued functions. -Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys.,
1961. 9, № 12. 857-859. РЖМат. 1962. 10 Б 58.
220

128. Kikuchi N. Control problem of contingent equation. — Publ. Res. Inst. Math. Sci., Kyoto Univ., ser. A,
1967, 3, № 1, 85-99. РЖМат, 1969, 2 Б 507.
129. Scoria Dragoni G. Un teorema sulle funzioni continue rispetto ad una e misurabili rispetto ad un'altra
variabile. - Rend. Semin. Mat. Padova, 1948,17,102-106.
130. Scoria Dragon i G. Una applicazione del la quasi continuita semi regol are delle funzioni misurabili ris-
rispetto ad una e continue ad un'altra variabile. — Atti A cad. Naz. Lincei, 1952, Ser. 8. Classe f is., mat.,
12, №1, 55-61 v
131. Opial Z. Sur ('equation differentielle ordinaire du premier ordre dont le second membre satisfait aux
conditions de Caratheodory.- Annales polon. math., 1960, 8, № 1, 23-28. РЖМат, 1961, 2 Б 113.
132. Wazewski Т. Sur une condition d'existence des fonctions implicites mesurables. — Bull. Acad. Polon.
Sci., ser. math., astr., phys., 1961,9, № 12, 861 -863. РЖМат, 1962, 11 Б 53.
133. Wazewski Т. Systemes de commande et equations au contingent. — Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math.,
astr., phys., 1961, 9, № 3, 151-155. РЖМат, 1962, 6 В 252.
134. Филиппов А.Ф. О некоторых вопросах теории оптимального регулирования. — Вестник МГУ,
сер. мат ем., мех., 1959, № 2, 25-32. РЖМат, 1961, 6 Б 315. ,
135. Wazewski Т. Sur une gene'ralisation de la notion des solutions d'une equation au contingent. — Bull.
Acad. Polon. Sci., ser. math., astr. phys., 1962,10, № 1, 11-15. РЖМат, 1963,2 6 159.
136. Turowicz A. Sur les trajectoires et quasitrajectoires des systemes de commande nonlineaires. — Bull.
Acad. Polon. Sci., ser. math., astr., phys., 1962, 10, № 10, 529-531. РЖМат, 1963, 8 Б 191.
137. Plis A. Trajectories and quasitrajectories of an orientor field. — Bull. Acad. Polon. Sci., ser. math,
astr., phys., 1963, 11. № 6, 369-370. РЖМат, 1964, 4 Б 204.
138. Филиппов А.Ф. Классические решения дифференциальных уравнений с многозначной правой
частью. - Вестник МГУ, сер. матем., мех., 1967, № 3, 16-26. РЖМат, 1968, 2 Б 260.
139. Hermes H. The generalised differential equation x G R{t, x). - Advances Math., 1970, 4, № 2, 149-
169. РЖМат, 1970, 11 Б 189.
140. Толстоногое АЛ., Чугумов П.И. О множестве решений дифференциального включения в банахо-
банаховом пространстве. 1.Сибирск. матем. журн., 1983, 24, №6, 144-159. РЖМат, 1984, 6 Б 1220.
141. Turowicz A. Remarque sur la definition des quasitrajectoires d'un system de commande nonline'aire. —
Bull. Acad. Polon. sci., ser. math., astr., phys., 1963, 11, № 6, 367-368. РЖМат, 1964. 4 Б 203.
142. Ms'A. Measurable orientor fields. - Bull. Acad. Polon.sci.,ser. math., astr., phys., 1965, 13, №8, 565-*
569. РЖМат, 1966, 7 Б 206.
143. Davy J.L. Properties of the solution set of a generalised differential equation. - Bull. Austral. Math.
Soc, 1972, 6, № 3, 379-398. РЖМат, 1972, 12 Б 195.
144. Филиппов А.Ф. Устойчивость для дифференциальных уравнений с разрывными и многозначны-
многозначными правыми частями. - Диф. уравн., 1979, 15, №6, 1018-1027. РЖМат, 1979, 10 Б 305.
145. Kaczynski Н., Olech С. Existence of solutions of orientor fields with поп-con vex right-hand side. —
Annales polon. math., 1974, 29, № 1, 61-66. РЖМат, 1974, 11 Б 208.
146. Olech С. Existence of solutions of non-convex orientor fields. — Boll. Unione mat. ital., 1975, 11,
№ 3, 189-197. РЖМат, 1976, 8 Б 217.
147. Brunovsky P. Every normal linear system has a regular time-optimal synthesis. — Mat. slovaca, 1978,
28, № 1, 81-100. РЖМат, 1978, 7 Б 634.
148. Железцов Н.А. Метод точечного преобразования и задача о вынужденных колебаниях осцилля-
осциллятора с "комбинированным" трением. — ПММ. 1949, 13, № 1, 3-40.
149. Ressig Я. Uber die Stabilitat gedSmpfter erzwungener Bewegungen mit linearer Ruckstellkraft. — Math.
Nachr., 1955, 13, № 3-4, 231-245. РЖМат, 1956, 2995.
150. Забрей ко П.П., Красносельский М.А., Лифшиц ЕЛ. Осциллятор на упруго-пластическом эле-
элементе. - ДАН СССР, 1970, 190, № 2, 266-268. РЖМат, 1970, 6 Б 291.
151. Buhite J.L., Owen D.R. An ordinary differential equation from the theory of plasticity. - Arch. Ration.
Mech. and Anal., 1979, 71, № 4, 357-383. РЖМат, 1980, 3 Б 159.
152. Плотников В.А. Метод усреднения для дифференциальных включений. — Диф. уравн., 1979,
15, №8, 1427-1433. РЖМат, 1979,12 Б 612.
153. Плотников В.А., Зверкова Т.С. Метод усреднения для систем стандартного вида с разрывными
правыми частями. - Диф. уравн., 1982, 18, № 6, 1091-1093. РЖМат, 1982, 11 Б 288.
154. Козлов Р.И. К обоснованию метода усреднения для дифференциальных уравнений с разрывны-
разрывными правыми частями. — Устойчивость и управление. Казань, 1981, 33—42. РЖМат, 1982,
ЗБ310.
155. Александров П.С. Введение в общую теорию множеств и функций. — М. - П.; Гостехиздат
1948.
УЪб.Айзерман МЛ., Гантмахер Ф.Р. Устойчивость по линейному приближению периодического реше-
решения системы дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. — ПММ, 1957
21, № 5, 658-669. РЖМат, 1959, 363.
^1. Андронов А.А., Леонтович ЕЛ., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических
систем второго порядка. — М.: Наука, 1966.
158. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. - М. - П.;
Гостехиздат, 1949.
УЪЪ. Барбашин ЕЛ. К теории обобщенных динамических систем. — Учен, записки МГУ, матем.,
1949, 2, вып. 135,110-133.
160. Петров Н.Н. Аналог теории Биркгофа для инвариантных множеств систем управления. — Диф.
уравн., 1979,15, № 12, 2155-2160. РЖМат, 1980, 4 Б 353.
161. Bendixson I. Sur les courbes definies par les e'quations diffe'rentielles. - Acta Math., 1901, 24, 1-88.
Перевод первой главы: О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. - УМН,
1941, вып. 9. 191-211.
221

162. Brouwer L.EJ.On continuous vector distributions. I, II, III. - Verhandl. Nederl. Akad. Wetersch. Afd.
Natuurk., Sec. 1,1909,11, 850-858; 1910,12, 716-734; 1910,13, 171-186.
163. Мышки с AM- Обобщения теоремы о точке покоя внутри замкнутой траектории. — Матем.
сборник, 1954. 34, № 3, 525-540. РЖМат, 1955, 732.
164. Haunts M.L., Неутапп М., Stern R.J. Rest point theorems for autonomous control systems. — Journ.
Math. Anal, and Appl., 1977, 58, № 1, 98-112. РЖМат, 1977, 11 Б 186.
165. Байтман M.M. Об областях управляемости на плоскости. - Диф. уравн. 1978, 14, № 4, 579-593.
РЖМат, 1978. 10 Б 287.
166. БорисовичЮ.Г., Гельман Б.Д., Мухамадиев Э.М., Обуховский В.В. О вращении многозначных
векторных полей. - Труды семин. по функц. ан., Воронежск. ун-т, 1969, вып. 12, 69-84. РЖМат
1970,2 5 816.
167'. Красносельский М.А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. — М.: Нау-
Наука, 1966. РЖМат, 1967, 4 Б 218 К. У
168. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. Периодические решения дифференциальных уравнений с много-
многозначной правой частью. — Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1970 464 235—242
РЖМат, 1971, 7 Б 230.
169. Поволоцкий А.И., Ганго Е.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с
многозначной правой частью. - Учен, записки. Ленингр. пед. ин-т им. Герцена, 1972, 541, 145-
154. РЖМат, 1972,5 5 181.
МО. Плисе В.А. Нелокальные проблемы теории колебаний. — М.—Л.: Наука, 1964. РЖМат 1965
1 Б 214 К.
\1\.Неймарк Ю.И. О периодических движениях релейных систем. В кн.: Памяти А.А. Андронова. —
М.: Изд-во АН, 1955. РЖМат, 1957, 2367.
172. Розенвассер Е.Н. Колебания нелинейных систем. - М,: Наука, 1969. РЖМат, 1970, 4 Б 336 К.
173.Долголенко Ю.В. Приближенное определение частично скользящих периодических режимов
в релейных системах регулирования. Автоматика и телемех., 1957, 18, № 1, 3-26.
МА. Неймарк Ю.И.. Кимяпин СМ- О рождении периодического движения из состояния равновесия,
расположенного на поверхности разрыва. - Известия ВУЗов, Радиофиз., 1962, 5, № 6, 1196-
1205. РЖМат, 1963, 9 Б 235.
175. Брусин В.А., Неймарк Ю.И., Фейгин М.И. О некоторых случаях зависимости периодических
движений релейной системы от параметров. — Известия ВУЗов, Радиофиз., 1963, 6, № 4, 785—
800. РЖМат, 1964, 6 Б 248.
176. Roxin E. Stability in general control systems. -Journ. of Dif. Equat., 1965, 1, №2, 115-150. РЖМат,
1966, 6 Б 283.
Ml.Krbec P. Weak stability of multivalued differential equations. - Czechosl. Math. Journ., 1976, 26,
№ 3, 470-476. РЖМат, 1977, 5 Б 118.
178. Филиппов А.Ф. Система дифференциальных уравнений с несколькими разрывными функци-
функциями. - Матем. заметки, 1980, 27, N° 2, 255-266. РЖМат, 1980, 6 Б 181.
179. Foti J.P. Asymptotically autonomous multivalued differential equations. — Trans. Amer. Math. Soc,
1976, 221, № 2, 449-452. РЖМат, 1977, 5 5 119.
УЪО.Цалюк В.З. Об устойчивости по первому приближению дифференциальных включений. — Диф.
уравн. 1980, 16, № 2, 258-263. РЖМат, 1980, 6 Б 183.
181. Красносельский М.А., Покровский А.В. Принцип отсутствия ограниченных решений в пробле-
проблеме абсолютной устойчивости. - ДАН СССР, 1977, 233, № 3, 293-296. РЖМат, 1977, 8 Б 195.
182. Худое В.Ф. Об устойчивости трех координатной нелинейной системы углового сопровождения.
Автореф. канд. дисс. - М.: МГУ, 1970.
183. Воронов А.А. Современное состояние и проблемы теории устойчивости. — Автоматика и теле*
мех., 1982, № 5, 5-28. РЖМат, 1982, 9 Б 250.
184. Цалюк В.З. Возмущения экспоненциально устойчивых дифференциальных включений обобщен-
обобщенными функциями. — Матем. физика. Республ. межвед. сборн., Киев, 1980, вып. 28, 34—40.
РЖМат, 1981,4 5 226.
185. А ндронов А.А.. Леонтович Е.А., Гордон И.И., Май ер А.Г Теория бифуркаций динамических
систем на плоскости. — М.: Наука, 1967. РЖМат, 1968, 8 Б 249 К.
186. Козлова B.C. Грубость разрывных систем. - Вестник МГУ,сер. матем. и механ.,1984, № 5,16-20.
187. Козлова B.C. Грубые особые точки на линии разрыва правых частей системы дифференциальных
уравнений. - Депо ни р. в ВИНИТИ (Москва) 22.06.84, № 4271-84.
188. Козлова B.C. Особые точки первой степени негрубости, лежащие на линии разрыва правых час-
частей системы. - Депонир. в ВИНИТИ (Москва) 22.06.84, № 4284^84.
189. Неймарк Ю.И., Фу фа ев Н.А. Динамика неголономных систем. — М.: Наука, 1967. РЖМат, 1968,
7 Б 169 К.
190. Скрябин Б.Н. Рождение предельного цикла от "сшитого фокуса". — ПММ, 1978, 42, № 5, 952—
955. РЖМат, 1979, 2 Б 135.
191. Teixeira M.A. Generic bifurcation in manifolds with boundary. — Journ. of Dif. Equat., 1977, 25, № 1,
65-89. РЖМат, 1978, 2 Б 279.
192. Teixeira M.A. Generic bifurcation of certain singularities. - Boll. Unione Mat. Ital., 1979, ser. 5, 16-B,
№1,238-254.
УЗЗ.Мышкис AM-. Хохряков А.Я. Бушующие динамические системы. I. Особые точки на плоскос-
плоскости. - Матем. сборн., 1958, 45, № 3, 401-414. РЖМат, 1962, 3 Б 207.
194./7оглова НИ., Потлов В.В. Некоторые свойства траекторий одного класса систем однородного
типа с разрывными правыми частями. — Диф. уравн., Рязань, 1978, вып. 11, 140—143. РЖМат,
1978,12 5 361.
195. Потлов В.В., Потлова Н.И. Качественное интегрирование систем однородного типа. Диф. уравн.,
Рязань, 1980, вып. 15, 100-115. РЖМат, 1982, 7 Б 210.
222

196. Pachter M.t Jacobson D.H. The stability of planar dynamical systems linear-in-cones. — IEEE Trans.
Automat.Contr., 1981, 26, № 2, 587-590. РЖМат, 1981, 12 Б 198.
197. Филиппов А.Ф. Исследование системы дифференциальных уравнений с двумя пересекающими-
пересекающимися линиями разрыва. — Вестник МГУ, сер. матем. и механ., 1979, № 6, 68—75. РЖМат, 1980,
4 Б 179.
198. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Об устойчивости состояний равновесия неголономных систем. —
ДАН СССР, 1965,160, № 4, 781 -784. РЖМат, 1967, 9 Б 162.
199. Стрыгин В.В. Системы дифференциальных уравнений, имеющих многообразие стационарных
положений и находящиеся вблизи границы области устойчивости. — Диф. уравн. Межвузов-
Межвузовский сборник. - Куйбышев, 1976, 72-126. РЖМат, 1977, 9 Б 249.
200. Шумафов М.М. Топологическая классификация особенностей на поверхности разрыва правых
частей системы трех дифференциальных уравнений. — В сб. Дифференциальные уравнения и
их приложения.-М.: МГУ, 1984. 123-130.
201. Айзерман М.А., ГамтмахерФ.Р.ОЬ устойчивости положений равновесия в разрывных системах.
ПММ, 1960, 24, № 2, 283-293. РЖМат, 1960, 13833.
202. Ней марк Ю.И., Киняпин СМ- О состоянии равновесия расположенном на поверхности разры-
разрыва. - Известия ВУЗов, Радиофиз., 1960, 3, № 4, 694-705. РЖМат, 1961, 5 Б 219.
203. Виши к СМ. Векторные поля в окрестности края многообразия. — Вестник МГУ, сер. матем.
и механ.,1972,№ 1,21-28. РЖМат, 1972, 4 А 673.
204. Киняпин С.Д- Об устойчивости состояния равновесия двухкаскьдной релейной системы. —
Известия ВУЗов, Радиофиз., 1960, 3, № 3, 511-525. РЖМат, 1961, 12 Б 209.
20Ь. Лоз га чев Г.И. Достаточные условия устойчивости одного класса разрывных систем. — Сб.
трудов ВНИИ систем, исслед., 1980, № 4, 21-24. РЖМат, 1981,8 Б 241.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Асимптотическая устойчивость 115
Бифуркации 170,174, 178,180, 186, 211
Вариация решения 89
Вращение векторного поля 110—112
Выпуклая комбинация 50
Выпуклое множество 48
Гиперплоскость 40
Гиперповерхность 40
Граница 54
График 52
Грубая особая точка 158
-система 154, 157, 162
Двойная сепаратриса 160
Двумерная особенность 195
Дельта-функция 18, 34
Диффеоморфизм 140,199
Дифференциальное включение 54
Доопределение 40-45
Единственность решений 8,81
Замена переменных 76
Замкнутое множество 48
Замораживание коэффициентов 128
Измеримая многозначная функция 57
Индекс особой точки 110.111
Интегральная воронка 16
Каноническая окрестность 152
Касательный вектор 87
Квазитраектория 63
Классификация двумерных особенностей 197
— линейных особенностей 136, 200
— обобщенных функций 26
— особых точек 153,163, 200
Компактность множества решений 10, 62, 64
Контингенция 55
Край поверхности 40
Кусочная гладкость 134
— непрерывность 39
Линейная особенность 133,195
Метрика С1" 155
Минимальное множество 101
Многозначная функция 52
Непрерывная зависимость решений 13, 69. 72, 75
Непрерывность вплоть до границы 39
а-непрерывность 52
/3-непрерывность 52
Однородная многозначная функция 120
Однородное дифференциальное включение 121
Опорная плоскость 49
— функция 56
Основные условия 60
Особая точка 110,111,144
Отклонение по Хаусдорфу 52
Отрезок воронки 11,16, 62, 64
Паратингенция 55
Периодические решения 19,112—115
Поли траектория 160
Полунепрерывность 52
Полутраектория 95
Правая единственность 81
Предельная точка 98
Предельное множество 98
Приближенное решение 59, 60, 64
Продолжение решений 10, 61. 64
Рекуррентная траектория 101
Решение 7,40—45
Ъ -решение 60
Секторы 144
Сепаратриса 143
Сечение 96, 101
— воронки 16, 62, 64
Скачки решений 18, 25, 34
Скользящий режим 41, 62
Слабая устойчивость 115
Стационарная точка 95, 132
Степень негрубости 158
Сухое трение 43, 75
Существование решений 7, 60, 64
Сшитый фокус 175
е -тождественность 157
Топологическая однородность 133
—структура 138
Топологическое отображение 133
Точечная особенность 134, 154,195
— устойчивость 117
Точечное отображение 124
Траектория 95
Управляемая система 62. 74, 115
Уравнение Каратеодори 7
— с запаздыванием 73
— с толчками 18
Условие Липшица 62
Усреднение 73, 76
Устойчивость 115
— по первому приближению 127
функции Ляпунова 116—119
— по следования 151,162,175
Характеристический показатель 177
Частотный метод 124
Эквивалентное управление 44