/
Author: Воднев В.Т. Наумович Н.Ф. Наумович А.Ф.
Tags: справочные издания по математике математика
Year: 1989
Text
Зрц О'.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
В.Г.ВОДНЕВ
АФ. НАУМОВИЧ
Н.Ф. НАУМОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
СЛОВАРЬ
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
В. Т. ВОДНЕВ,
А. Ф. НАУМОВИЧ,
Н. Ф. НАУМОВИЧ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
СЛОВАРЬ
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Общая часть
Под редакцией профессора
| Ю. С. Богданова
Издание второе
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО МПИ
1989
ББК 22.1я2
Воднев В. Т.
Математический словарь высшей школы: Общ. часть/В. Т. Воднев.
А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович; Под ред. [Ю. С. Богданова].—2-е изд.—М..
Изд-во МПИ, 1988.—527 с., ил.
Переплет художника Э. П. Люледжана
Первое издание Математического словаря высшей школы вышло в
1984 году.
В книге содержится описание математических понятий и терминов,
используемых в высших учебных заведениях, и устанавливается их связь
с соответствующими понятиями из курса средней школы.
Для студентов вузов, инженеров и техников, учащихся техникумов
и старших классов общеобразовательных школ, а также лиц, занимающих-
ся математическим самообразованием.
1602000000—001
184 (02)—88
без объявления
ББК 22.1я2
© Издательство «Вышэйшая школа», 1984
© Внешнее оформление. Издательство МПИ,
1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
В условиях быстрого развития науки и техники все возрастаю-
щее значение йриобретает подготовка специалистов высокой квали-
фикации в области фундаментальных наук, в том числе математики.
Повышение требований к преподаванию математики в высших
учебных заведениях выражается прежде всего в углублении содер-
жания и прикладной направленности учебных математических ди-
сциплин. Тенденции, характеризующие прогресс преподавания, на-
шли полное отражение в программе курса «Высшая математика»
(510 учебных часов), утвержденной Учебно-методическим управле-
нием по высшему образованию Минвуза СССР в 1979 Г. Решающее
значение для успешного внедрения и использования программы
имеет издание Я. С. Бугровым и С. М. Никольским цикла учебни-
ков и задачника, написанных (впервые в вузовской практике!) в
строгом соответствии с типовой программой.
Опыт работы по указанной программе, изученный Методическим
объединением преподавателей математики вузов БССР, показывает,
что для успешного проведения учебных занятий по математике за-
метную пользу приносит применение вспомогательных учебных
средств, прежде всего справочников. Настоящий словарь и является
одним из таких справочников, разработанных на кафедре высшей
математики факультета прикладной математики Белорусского го-
сударственного университета им. В. И. Ленина. Осиовнад, задача
словаря состоит в конспективном описании математических понятий,
используемых в действующей типовой программе по математике
для вузов, а также вспомогательных терминов, служащих для обе-
спечения логической связи основных понятий и преемственности
преподавания математики на всех уровнях обучения. По содержа-
нию и построению словарь является Логическим продолжением
книги В. Т. Воднева и А. Ф. Наумовича «Математический словарь
средней школы» (изд. 2-е, Мн.! БГУ, 1978) и органически связан с
книгой авторов настоящего словаря «Основвые математические
формулы» (Ми.; Выщ. школа, 1980).
Статьи в словаре расположены в алфавитном порвдке. Много-
сложные термины в отличке от энциклопедических изданий даны
в «естествеииом» расположении, например Теорема Остроградского,
а ие Остроградского теорема.
Название каждой статьи даво жвриым ПРОПИСНЫМ шриф-
том; в отдельных случаях продолжевие иазваивя статьв дается
вразрядку.
Если термви повторяется в тексте, слова, составляющие его,
обозначаются начальными буквамв, первая из которых заглавная,
например Аргумент комплексного чвсла — А. к. ч. При интерпрета-
ции ряда терминов в понятий имеются ссылки, иа другие статьи,
из которых можно получить дополнительную виформацию. Ссылка
иа другве статьв выделяется курсивом. Если ве оговорево против-
ное, в тексте используется декартова прямоугольная система коор-
динат. Библиография в конце словаря содержит только те кнвгв,
которые цитируются в тексте.
Авторы выражают благодарность доцентам А. И. Калинину,
В. Т. Ерофееико и старшему преподавателю И. С. Щукиной за ряд
ценных советов, высказанных в процессе написания кввгв.
Все отзывы, пожелания, предложения просим присылать по
Авторы
М — множество натуральных чисел;
Ъ — множество целых чисел;
К — множество действительных чисел, чвсловая прямая;
К_|_ — множество действительных положительных чисел;
К"—арифметическое действительное п-мерное пространство,
евклидово п-мериое пространство;
О — множество рациональных чисел;
С — множество комплексных чисел;
С"—арифметическое комплексное п-мервое пространство;
{а,6,с,...|—множество, состоящее вз элементов а, Ь, С,...;
0 — пустое множество;
[а,6] — замкнутый промежуток (отрезок, сегмент, числовой отре-
зок) с началом а и концом Ь, а < Ь;
]<з. — открытый промежуток (интервал, открытый чвсловой от-
резок) с началом а и концом Ь, а <Ь\
[а,6[ — полуоткрытый промежуток с началом а в концом Ь, а < Ь
(полуинтервал; числовой отрезок, открытый справа);
]а,&] —полуоткрытый промежуток с началом а и концом Ь, а < Ь
(полуинтервал; числовой отрезок, открытый слева);
| а, Ь | — промежуток с началом а в концом Ь, а <.Ь;
а, + °°[,
— со, а] — бесконечные промежутки (чвсловые лучи);
а, + оо[,
—со, а[ — бескоиечвые промежутки (открытые числовые лучи);
—оо,-|-оо[— числовая прямая, К;
и (а) — окрестность точкв а;
с/ (а) — проколотая окрестность точки а;
€ —знак принадлежности множеству;
$ —знак непринадлежности множеству;
{х| х(. Р) —множество элементов х, удовлетворяющих условию Р;
П —знак пересечения множеств;
0 — знак объединения множеств;
\ — знак разности множеств (Л\В);
с — знак включения;
тах X — наибольший (максимальный) элемент множества X;
гп1п X — наименьший (минимальный) элемент множества X;
1пТ X — точная нижняя грань множества X;
зир X — точная верхняя грань множества X;
Б—замыкание множества О (в теории множеств); событие,
противоположное событию й (в теории вероятностей); от-
рицание высказывания Б (в логике);
С” — число сочетаний из п элементов по т; биномиальный
коэффициент;
п! — п-факториал: произведение целых чисел от 1 до п;
у — квантор общности;
3 — квантор существования;
»»—знак логического следования;
ф» — знак равносильности (эквивалентности);
~1А, А— отрицание высказывании А;
х-+ а —х стремится к а;
)1т — предел;
|а|, той а — модуль числа а;
I— мнимая единица, <•=—1;
Вег — действительная часть комплексного числа г;
1т г — мнимая часть комплексного числа г;
г — число, сопряженное комплексному числу г;
Агй г — аргумент комплексного числа г;
аге г — главное значение аргумента комплексного числа г;
тез /(г) — вычет функции /(г) в точке го;
(; X -> У — функция (, отображающая множество X в множество г;
О(/)—множество задания функции / (область определения);
Еф — множество значений функции /;
Гу —график функции /;
е=2,71828...—натуральное основание;
ехр(х) — экспонента, то же, что 8х;
1о&1 — логарифм с основанием а;
16 — десятичный логарифм;
1п — натуральный логарифм (с основанием е);
Ьп — многозначный натуральный логарифм в комплексной области;
зЬ — гиперболический синус;
сЬ — гиперболический косинус;
4Ь — гиперболический тангенс;
с4й — гиперболический котангенс;
з8п — функция сигнум: з^пх =» 1 при х > 0, з^пх — —1 при
х < 0, з8п 0 = 0;
— знаки композиции отображений (функций);
Ф—1 —функции, обратная к функции <р;
— значение х при 4= /в, т.е. х(/0);
пнп /,
X
т1п /(х)—наименьшее значение функции / на множестве X;
к(Х
тах/,
х
тах Цх) — наибольшее звачение функции / на множестве X;
х?Х
1п(/,
х
1п4/(х) — точная нижняя грань множества значений функции / на
*ех множестве X;
зир /,
х
зир/(х) — точная верхняя грань множества значений функции / на
х€Х множестве X;
Л/— приращение функции /;
Пт /(х)=
=/(а ± 0)— односторонние пределы функции / в точке а;
-----------символ эквивалентности функций;
О(х), о(х) — символы Ландау (см. Сравнение функций)}
'(штрих) — знак дифференцирования;
4/— дифференциал функции /;
<1п[ — дифференциал порядка п функции /;
дЦдх, (х — частная производная первого порядка функции / по пере-
менной х;
} — знак интеграла;
Г(х) |я— приращение функции Г, равное Р(Ь)—Р(а)',
I к — ортонормированный базис в трехмерном пространстве;
Ох, Оу, Ог— координатные оси;
Оху, Оуг,
Огх — координатные плоскости;
а — вектор;
а — вектор как элемент линейного пространства;
а=(х,г/,г),
а=(х,у,г)— вектор с координатами х,у,г;
а -Ь — скалярное произведение векторов а и 6 ;
[а,6} — векторное произведение векторов а и 6;
а Ь с — смешанное произведение векторов а , Ь , с ;
<11 уа — дивергенция векторного поля а ;
го<а — ротор векторного поля а ;
^гади — градиент скалярного поля и;
(ау)— матрица с элементами ау,
ЛтХЯ — матрица А размеров т на л;
Ат— квадратная матрица порядка т;
гапкЛ — ранг матрицы А;
АГ — матрица, транспонированная к матрице А;
|Л|, <1е1 А — определитель квадратной матрицы А;
— матрица, обратная квадратной невырожденной матрице Л;
Кег/—ядро линейного отображения (оператора) /;
= — тождественно равво;
— — знак приближенного равенства;
||х|| — норма элемента х;
X — символ суммы;
П — символ произведения (бесконечного произведения);
== — символ соответствия между оригиналом и изображением
по Лапласу;
(ая) — последовательность с л-м членом ап.
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА, модуль, действительного числа
а — неотрицательное число (обозначается |а|, той а), определяемое
следующим образом: если а^О, то |а| =а; если а<0, то |а| — — а.
Свойства А. в,: |а| — | — а|, |а2| = |а|2=а2, |а6|-|а||6|, |а| —
-|6|<|«+й|<|а| + |й|, |а|-/*| < |а-й| < |а|+|й|, |-^| =
1а1
= (&т^0). Геометрически А. в. выражает расстояние от начала
отсчета до точки координатной прямой, которой соответствует это
число
АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕН-
НЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА. Пусть функция (
задана на полуинтервале [а, й[. не ограничена около точки Ь
и интегрируема в- смысле Римаиа на любом отрезке [а, г]]>
ь
< Ь. Несобственный интеграл У / (х) йх называется
Ь
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл У | / (х)| йх. Если интег-
а
Ь Ь
рал У | / (х) | Лх расходится, а интеграл У / (х) Лх сходится, то послед-
а а
ний называют условно (или неабсолютно) сходящимся. Для исследова.
ння абсолютной сходимости несобственного интеграла используют при-
знаки сходимости несобственного интеграла от неотрицательных функций
(см. Несобственные интегралы второго рода от неотрицательных
функций). Для исследования интеграла на условную сходимость могут
быть привлечены признаки Абеля и Дирихле (см. Признаки сходимо-
сти несобственных интегралов второго рода).
АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТ-
ВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА. Пусть функция /-
задана иа полуинтервале [а, -)-оо[ и интегрируема в смысле
Римана иа любом промежутке [а, А], А>а. Несоб-
+®
ственный интеграл | / (х) 4х называется абсолютно сходящимся,
а
4“<» -|-оо
если сходится интеграл | |/(х) | Лх. Несобственный интеграл { / (х)</х
а а
называется условно (или неабсолютно) сходящимся, если он сходится,
-}-00
а интеграл | | ((х)| <1х расходится. Для выявления абсолютной сходи-
а
мости несобственного интеграла используют признаки сходимости не-
собственного интеграла от неотрицательных функций (см. Несобствен-
ные интегралы первого рода от неотрицательных функций). При ис-
следовании интеграла на условную сходимость могут быть использованы
признаки Абеля и Дирихле (см. Признаки сходимости несобственных
интегралов первого рода).
АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВЫХ РЯ-
оо
ДОВ. Ряд 2 ак называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Й=1
со со
2 I ак I- Рид 2 ак называют условно (или неабсолютно) сходящимся, ес-
й=1 А=1
со
ли он сходится, а ряд |а6| расходится. Если ряд сходится абсолютно, то
ои сходится. При исследовании абсолютной сходимости ряда исполь-
зуют признаки сходимости рядов с положительными членами (см. При-
знаки сравнения для числовых рядов. Степенной признак сходимости
числовых рядов, Признак Д’ Аламбера сходимости числового ряда.
Признак Коши сходимости числового ряда. Интегральный признак схо-
СО
димости числового ряда). Если ряд2| ац1 расходится, для выявлении
Й=1
условной сходимости числового ряда используют более тонкие призна-
ки: признак Лейбница, признак Абеля, признак Дирихле.
АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО ЧИС-
ЛА— см. Погрешность.
АБСОЛЮТНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯ-
ДА — см. Функциональный ряд.
АБСОЛЮТНО ИНТЕГРИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ. Функцию /, заданную
на отрезке [а, 6], за исключением, может быть, конечного числа точек,
называют абсолютно интегрируемой на этом отрезке, если существуют
Ь Ь
интегралы }/(х)4х и 11/(х) | йх (в смысле Римана либо в несобствен-
а а
иом смысле). Если функция / имеет только конечное число точек раз-
ь
рыва, то существование интеграла 11 [ (х) | йх обеспечивает существо-
а
Ь
ванне интеграла { / (х) Фх. Если / абсолютно интегрируема на [а, >], а
а
<р ограничена и интегрируема на [а, 6], то произведение <р/ абсолютно
интегрируемо на [а, 6]. Подобным образом функцию }, заданную на
1а, 4-°°[ (или ]—оо, в], или ]—оо, 4-со[), называют абсолютно интег-
рируемой на (а, +оо[ (]—оо, а], ]—оо, -|-оо[), если сходятся интегра-
-Н» 4-оо а а
лы ] / (х) Ох и ] I } (х) | йх (или же ] / (х) Лх и ) |} (х) | Ох, или
а а —оо —оо
4-оо 4-<ю
(х) Ох и / (х) I Ох).
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА.
Случайную величину $ называют абсолютно непрерывной (иногда
просто непрерывной), если существует неотрицательиаи функция
Р^(х), такая, что при любом х
(х) = Р @ < х) — (/) <П.
Функция (х) называется плотностью вероятности случайной вели-
чины | (плотностью распределения, дифференциальной функцией рас-
пределения). Функцию распределения (х) абсолютно непрерывной
случайной величины ? иногда называют ее интегральной функцией
распределения. Кроме условия неотрицательности, плотность вероят-
ности рс (х) удовлетворяет также условию У (х)йх«= 1. В точ-
—ОО
(х)
ках непрерывности плотности имеем р< (х) =------.
дх
Функция распределения А.и.с.в. непрерывна, и вероятность попада-
ния случайной величины в промежуток с концами а и Ь равна Р^ (&)—
Ь
— Р^ (а) = У р$ (х) йх. В частности, для любого а Р = а) - 0.
АБСОЛЮТНО НЕПРЕРЫВНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР —
случайный вектор &= (&ь.... ^п) при условии, что существует неот-
рицательная функции р^.....Ея(*ь •••’ х")> такаЯ> чт0 многомерная
функция распределения случайного вектора | представима в виде
х, хп
1\,..ея(х»......хп)= У — У ?е,..........е^1......(п) ан ... <ап.
—ОО —ОО
Функция р^ „,| (*1, •.•,*») называется плотностью вероятности
или плотностью распределения случайного вектора 5- Ее также на-
зывают совместной плотностью вероятности случайных величин
11, .... ?п. Кроме условия неотрицательности, эта функция удовле-
творяет еще условию
+со -Н»
У ... У щ е (Х1..........х„) ЙХ1 ... йх„= 1.
—ОО —ОО * п
В точках ее непрерывности
.....Еп(-<1...хп)
....•••’= дХ1 ..:Тх'п •
Компоненты к = 1,...,п, А. и. с. в. являются абсолютно непрерыв-
ными случайными величинами, и их плотности вероятности находят-
ся по формулам
4-оо +оо
% (ха) в Ре,....Е„<Х1.....хп) 4X1 - <1хк-:‘1хк+1 -
Вероятность того, что случайный вектор | примет значение из неко-
торой области О пространства Я", равна
Р (5 € 0) - | ....<я (хъ .... х„) йХ1 ... Лхл.
АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИЙСЯ РЯД —см. Числовые ряды с
комплексными членами.
АБСОЛЮТНЫЙ МОМЕНТ А-го ПОРЯДКА СЛУЧАЙНОЙ ВЕ-
ЛИЧИНЫ— см. Моменты случайной величины.
АБСОЛЮТНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ —см. Экстремаль-
ные значения функции.
АБСЦИССА — первая из координат точки в декартовой прямо-
угольной системе координат иа плоскости или в пространстве.
АВТОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА — взаимно
однозначный линейный оператор этого пространства.
АВТОНОМНАЯ СИСТЕМА, стационарная система, дифферен-
циальных уравнений — частный случай системы дифференциальных
уравнений, когда аргумент I системы ие входит явным образом в
функции, задающие систему. А. с. в нормальной форме имеет вид
йхк
•••> хп),к=*1...П,
или в векторной записи (см. Векторный вид системы дифференциаль-
ных уравнений}
Ох -> -*
^- = /(*). (1)
ас
Любую систему дифференциальных уравнений можно свести к
автономной, введя дополнительную вспомогательную функцию хп+с,
заменив ею аргумент системы I там, где ои входит явно, и дополнив
йх ,,
систему еще одним уравнением —= 1. Такаи замена, однако,
си
имеет преимущественно теоретическое значение, так как увеличивает
размерность системы с п на л+1, что усложняет структуру семей-
—> —►
ства решений. Если х=х(0— решение системы (1), то эта функция
остается решением и при сдвиге аргумента. А. с. моделирует авто-
номные процессы, т. е. процессы, ие подверженные внешним влия-
ниям, и стационарные процессы, т. е. процессы, установившиеся во
времени. Все эти процессы полностью определяются начальными
значениями переменных состояния, т. е. Х[.х», и не зависят от
выбора начального значения аргумента I (см. Однородная система
линейных дифференциальных уравнений о постоянными коэффициен-
тами, Однозначная разрешимость задачи Коши для системы линей-
ных дифференциальных уравнений, Отклонение решений автоном-
ной системы.)
АКСИАЛЬНЫЙ ВЕКТОР — то же, что осевой вектор.
АКСИОМА, постулат,— предложение, принимаемое без доказа-
тельства. В А. выражены свойства основных понятий, которые явля-
ются исходными при построении той или иной математической
теории.
АКСИОМА СИММЕТРИИ — см. Метрическое пространство.
АКСИОМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Пусть Й — простран-
ство элементарных событий, а Р — некоторая система его подмно-
жеств, удовлетворяющая следующим аксиомам.
А1. Й € Р.
ОО
А2. Если А1, А... Ап, ... € Р, то V Ак$ Р,
АЗ. Если А € Р, то А € Р.
Подмножества й, входящие в Р, называют событиями. Событие
А происходит, если происходит какое-либо элементарное событие
и € А. Событие й происходит всегда, его называют достоверным со-
бытием. Пустое множество 0 является событием как дополнение
к й. Онб никогда не происходит, его называют невозможным собы-
тием. Из А1—АЗ следует, что пересечение любого числа событий
является событием.
Вероятность есть некоторая числовая функция Р, определенная
на системе событий Р и удовлетворяющая следующим аксиомам.
А4. Р(А)>0 для любого А ( Р.
А5. Р(Й) = 1.
Аб. Если события А1, Аг, .... Ап, ... попарно не пересекаются, то
р(5л)=аДр(л*)-
Пространство элементарных событий й с выделенной системой
событий Р и заданной на Р вероятностью Р называется вероятно-
стным пространством и обозначается (й, Р, Р). Если пространство
элементарных событий й дискретное, то соответствующее вероят-
ностное пространство также называется дискретным. В дискретном
пространстве обычно в качестве Л выбирают систему всех подмно-
жеств Й.
АЛГЕБРА. В первоначальном понимании А. мыслилась как
учение о решении уравнений. В более широком смысле под А. пони-
мают раздел математики, посвященный изучению операций иад эле-
ментами множества произвольной природы, обобщающих обычные
операции сложения и умножения чисел.
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА —
см. Комплексные числа.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОПОЛНЕНИЕ м и и о р а — дополни-
тельный к нему минор, умноженный на (—1)', где (—сумма номеров
строк и столбцов данной матрицы, которые входят в рассматривае-
мый минор. А. д. элемента квадратной матрицы обозначают Ду.
Из определения А. д. следует, что А^=(— 1)‘+Шц, где — ми-
нор элемента ац.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ с одной перемен-
ной— уравнение вида аоХп-1-а1Хп_1 + ...+ап-1Х+ап=О, ао=/=О; а{ —
числа, называемые коэффициентами А. у., п€ М называется сте-
пенью А. у. А. у. иад полем комплексных чисел всегда имеет ровно
п корней, включая .и кратные корни. Над полем действительных
чисел множество корней А. у. может быть пусто. Для А. у. второй,
третьей и четвертой степеней существуют формулы, позволяющие
вычислить корни уравнений через коэффициенты уравнений (см.
Квадратное уравнение, Кубическое уравнение- для А. у. четвертой
степени они громоздки, поэтому ие приводятся). Доказано, что для
п^5 таких формул ие существует. Поэтому иа практике обычно
пользуются приближенными методами нахождения корней А. у. См.
также Многочлены с действительными коэффициентами, Основная
теорема алгебры. Уравнение.
АЛГОРИТМ — последовательность точно описанных операций,
выполняемых в определенном порядке (см. Алгоритм последователь-
ного деления, Правило Саррюса, Правило Штурма). В математике,
особенно с развитием машинной математики, важно или иайти А,
решения той или иной задачи, или доказать его отсутствие.
АЛГОРИТМ ДЕЛЕНИЯ С ОСТАТКОМ. Для любых многочле-
нов 1(х) и §(х) с комплексными (действительными) коэффициентами
существуют такие многочлены ц(х) (частное) и г(х) (остаток), что
Г(х)=ё(х)д(х)+г(х), причем степень г(х) меньше степени ^(х) или
г(х) = 0; многочлены ц(х) и г(х) определяются однозначно. В част-
ности, если ((х) и §(х) — многочлены с действительными коэффи-
циентами, то и коэффициенты ц(х) и г(х) также будут действитель-
ными. Частное и остаток находят с помощью так называемого пра-
вила деления «уголком», например
_ Г (х) = 2х* + X* — 5х» + 12х* + Юх — 2 I х‘ — 2х + 1 — « (х)
_____2*‘ ~ 4х‘ + Чх*_______ I 2х» + х — 1 — д (х)
__ х* — х* — 2х« + Юх — 2
х*______— 2х* -|- 7х
—х» 4- Зх — 2
“ —х»_______2х — 7
х + 5 — г(х)
АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА—то же, что алгоритм последователь-
ного деления многочленов.
АЛГОРИТМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ДЕЛЕНИЯ МНОГО-
ЧЛЕНОВ— алгоритм для отыскания наибольшего общего делителя
двух многочленов. Он состоит в следующем. Пусть даны многочле-
ны 1(х) и §(х) н степень )(х) не ниже степени ё(х). Делим [(х) на
ё(х). Получаем, вообще говоря, некоторый остаток г1(х). Делим
затем §(х) на п(х) и получаем остаток гг(х)\ делим г^х) на г2(х)
н т. д. Так как степени остатков все время понижаются, то в ка-
кой-то момент деление совершится нацело. Тогда остаток гх(х), на
который нацело делится предыдущий остаток Гк-[(х), будет наи-
большим общим делителем многочленов )(х) н §(х).
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, в кото-
ром геометрические фигуры и их свойства исследуются средствами
алгебры на основе метода координат.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, голоморфная, регулярная
функция. Однозначная функция ! комплексного переменного г на-
зывается аналитической в точке г0, если она дифференцируема в
каждой точке некоторой окрестности точки г0. Функция [ называется
аналитической в области О, если она аналитическая в каждой точке
этой области.
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ —см. При-
ближенное решение дифференциального уравнения.
АНТИКОММУТАТИВНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕ-
НИЯ — см. Векторное произведение.
АППЛИКАТА — третья по счету координата точки в декарто-
вой прямоугольной системе координат в пространстве.
АРГУМЕНТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА г = а+Ы — угол <р, об-
разованный радиус-вектором г, г=^0, с положительным направле-
нием оси Ох (см. Комплексная плоскость). Обозначение: <р=Аг(тг.
Значения ф А. к. ч. г такие, что —л<Ф^л, обычно обозначают
аг^г. Аг^г определяется комплексным числом г&0 с точностью до
кратного 2л, аг^ г определяется однозначно (он называется глав-
ным значением А. к. ч.). Единственным комплексным числом, для ко-
торого не определен аргумент, является число 0. Справедлива фор-
Ь
мула аг(гг=агс1й —+Ал, где А=0 для первой н четвертой коорди-
натных четвертей, А=1 для второй и А= —1 для третьей.
Свойства аргумента: Аге (212а) = Аг§Х1 + Агег»; Аг§(—)—Агй?1—
\ 22 /
— Аге г2; Агег" — п Аге г; Аге г = —Аге г.
АРИФМЕТИЧЕСКОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Мно-
жество {(аьа2..ап)|а<€ Р}, т. е. множество всех упорядоченных
наборов п чисел (кратко: множество строк длины п), образует ли-
нейное пространство размерности п, если иад строками ввести ли-
нейные операции как над матрнцамн-строкамн. Если все а, € К, то
А. л. п. называют действительным и обозначают Кп. Если а, € С, то
А. л. п. называют комплексным и обозначают Сп. Так как линейные
пространства одинаковых размерностей изоморфны, то изучение
свойств любого конечномерного линейного пространства равносильно
изучению соответствующего А. л. п.
АРХИМЕДОВА СПИРАЛЬ —траек-
тория точки, участвующей одновременно
в двух равномерных движениях, одно из
которых совершается вдоль прямой, а | г I
другое — по окружности. Если некото- \ I ( ( Уту |—/ у
рую точку О рассматриваемой прямой 'у I ! / *
принять за полюс, а данную прямую р с \\ !
выбранным на ней направлением — за хЧ.
полярную ось (см. рис.), то уравнение
А. с. в полярной системе координат бу-
дет иметь вид г=аф, где а — постоянная, отличная от нуля.
АСИМПТОТА плоской линии, имеющей бесконеч-
ную ветвь, — прямая, к которой приближается как угодно близко
точка линии при удалении ее в бесконечность (см., например, рис. к ст.
Гипербола). Если линия задана уравнением у = {(х) и имеет наклон-
ах)
ную или горизонтальную асимптоту У = кХ 4- Ь, то к — Пт ——,
х
Ь = Пт (/ (х) — кх) при х -> Ч-со или х -+ —оо. Вертикальные А. ли-
нии будут во всех точках, где задающая линию функция имеет беско-
нечный разрыв. Если линия х = х (/), у = у (/) допускает при I /о
А., уравнение которой У <=> кХ + Ь, то к == Нт * Ь = Нт (у (/)—
— кх (/)). Если линия допускает вертикальную асимптоту, то уравне-
ние ее имеет вид х = а, где а =* Нт х (/), Ит у (!) == оо,
/-♦/о
ь
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ вида $в1кхЦх)<1х при й->оо.
а
Наиболее общий результат об асимптотическом поведении интегралов
ь
такого вида дает теорема Римана — Лебега: если интеграл 11 / (х) | Лг
а
Ь
сходится, то | е1кх1 (х) Лг-> О при к -> +<х>. В этой теореме ничего ве
а
говорится о скорости стремления интеграла к нулю. Оиа зависит от
дифференциальных свойств функции / и может быть сколь угодно мед-
ленной. Асимптотические разложения для интегралов Фурье удается
получить только для достаточно гладких функций /. Если / дифферен-
цируема, а /' абсолютно интегрируема иа [а, Ь], то при к -> -|-оо
6 * / 1 \
$ е1кх( (х) <1х =» — ((а) — е‘ьк /(*)) + «• I —
а Л \ * /
Эта форйула может быть получена интегрированием по частям. В пред-
положении, что / п раз дифференцируема на [а, 6] и /<ч) абсолютно
интегрируема на |а, 6], после п-кратного интегрировании по частям
может быть получена следующая формула:
(^/0)И-^/0)(6)) + 47г)
а /««О \ « / \" /
ь
при к -*• -|-оо (см. Асимптотика интегралов вида ) (х) Фх).
а
»
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ вида { е«<*)/(х)4х п р и А-*со.
а
Пусть функции / и 5 непрерывны на [а, Ь], дифференцируемы в ок-
рестности точки а, 8' (х) непрерывна в некоторой окрестности точки а
и выполняются условия 5 (х) < 5 (а), х € 1а, Ч, 5' (а) 0, тогда
при к -* со
ь
у ек8(х} } а
а
ек8(а}
—к8’(а)
/(а) + о(-|-
\ я
или
ь . / 1 \
у (х) ах = ----- / (а) + о [ —).
а —Ко (Д) \ к /
Если / и 5 непрерывны на [а, Ь], дифференцируемы в окрестности
точки х0 € 1а, Ч, существует 5" (х0) =# 0 и 5 (х) < 3 (х0), х э4 Хо, то
при к -> оо
Ь / 5й / / 1 \\
]ек81*'> ?(х)<1х- 1/ -- к5('*)(/(хо)4-0(—)).
□ у —ко (^о) \ \ Л //
ь
АСИМПТОТИКА ИНТЕГРАЛОВ вида | е'*5(х)/(х) п ри Ы-оо.
а
Если производная 5' (х) не обращается в нуль на [а, 6], функции 3»
и / непрерывны, а 5" и /' кусочно-непрерывны на [а, Ь], то при й->ео
?е^/(х)ах=-^^
а ко (о)
к8' (Ч
Этот результат может быть получен подстановкой (—8(х) в инте-
грале и последующим интегрированием по частям. См., например,
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ решений авто-
номной системы дифференциальных уравнений
в векторном виде — частный вид устойчивости решений авто-
номной системы, когда отклонение &(/)-► 0 при См. Асим-
птотическая устойчивость решений линейного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами, Теорема Ляпунова (об
устойчивости ).
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ решений линей-
ного дифференциального уравнении
Я"ж Ап~хх
---—+ «л-1(0-—+ ... + />о.-
Л" « а/л-1
частный вид устойчивости решений, когда отклонение Д(0—*0 ПРИ
(—» 4-оо. А. у. характеризует устанавливающиеся процессы, т. е.
процессы, для которых влияние возмущении начальных данных с
течением времени становится исчезающе малым. Аналогично опреде-
ляют А. у. в отрицательном направлении. См. Асимптотическая
устойчивость решений линейного дифференциального уравнения с
постоянными коэффициентами.
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ решений линей-
ного дифференциального уравнения с постои н-
ными коэффициентами
Апх Лп~1х
—— + «,>-! ; ,~+ — + °о* — / (0. (> о.
ле
(1)
(см. Устойчивость линейного дифференциального уравнения с по-
стоянными коэффициентами) имеет место тогда и только тогда, когда
отрицательны действительные части всех характеристических чисел
однородного линейного дифференциального уравнения, соответствую-
щего уравнению (1). Алгебраический критерий А. у.: все главные
миноры определителя
“п-! 1 0 ... О
ап—3 ап—2 ап—1 •” 0
ап—2п—1 ап—2п ап-2п+1 ••• 0,0
где в(=0 при «О, отрицательны. А. у. решений уравнения (1)'имеет
место в том и только том случае, если для соответствующего одно-
родного уравнения точка покоя О является точкой притяжения. При
п=2 А. у. возможна лишь в случае узла или фокуса.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ поверхности—линии,
имеющие в каждой своей точке асимптотическое направление. Диф-
ференциальным уравнением для нахождения А. л. будет Дйи2+
+2Мди<1о+П<1о2-=0, где Ь, М, У— коэффициенты второй основной
квадратичной формы поверхности. А. л. можно также определять
как линии, нормальная кривизна которых в каждой точке равна
нулю, или как линии, в каждой точке которых касательная плоскость
поверхности совпадает с соприкасающейся плоскостью линии. Для
того чтобы координатные линии поверхности были А. л., необходимо
и достаточно, чтобы Д=0, У=0. Число А. л. поверхности совпадает
с числом асимптотических направлений.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ НАПРАВЛЕНИЯ поверхности—
самосопряженные направления поверхности (см. Сопряженные на-
правления поверхности), т. е. направления <1и : <1о, для которых
Ми2+2М(1ш1о+М(1о2’=0, где Ь, М, № — коэффициенты второй основ-
ной квадратичной формы поверхности. В гиперболической точке
имеются два различных А. и. (биссектрисами углов между ними слу-
жат главные направления). В параболической точке имеется одно
А. и., которое совпадает с направлением касательной к главному
нормальному сечеиию, имеющему нулевую кривизну. В эллиптиче-
ской точке действительных А. н. нет.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ — соотношения вида =
= 0(#(*)). /(*)=0 (&(*)), 1(х)~ё(х) при х-+а. См. Сравнение
функций.
АСИМПТОТИЧЕСКИЙ КОНУС — см. Двуполостный гиперболо-
ид, Однополостный гиперболоид.
АСИМПТОТЫ ГИПЕРБОЛЫ —см. Гипербола.
АССОЦИАТИВНОСТЬ — см. Векторное произведение, Линейное
пространство, Произведение матриц, Произведение матрицы на чис-
ло, Скалярное произведение, Сложение векторов, Сложение комп-
лексных чисел, Сложение матриц, Сложение многочленов, Умноже-
ние вектора на число, Умножение комплексных чисел. Умножение
многочленов, Умножение подстановок. См. также Закон ассоциатив-
ности.
АСТРОИДА — траектория точки, лежащей на окружности круга ра-
диуса г, который катится по внутренней стороне неподвижного круга,
радиус /? которого в 4 раза больше г (см.
рис.). Уравнение А. в прямоугольной си-
стеме координат имеет вид х^ + у'^‘ =
=/? Ее параметрические уравнении
можно привести к виду х = Рсоз3—- <
у — К 81П® — . А. является частным слу-
4
чаем гипоциклоиды (модуля т = 1/4).
Отрезок касательной к А., заключенный
между осями координат, имеет постоян-
ную длину, равную Р. Длина А. равна 6/?.
АФФИННАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ — то же, что декартова
система координат, репер.
АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть А—непустое множест-
во, элементы которого обозначим большими латинскими буквами и
назовем точками, V — линейное пространство. Множество А назы-
вается А. п., связанным с линейным пространством У, если выпол-
нены следующие аксиомы.
А1. Каждой упорядоченной паре точек М, Ы^А сопоставлен век-
тор х € V (запись: х = М№). _
А2. Для каждой точки М € А и каждого вектора х € V найдется
единственная точка У ( Л, такай, что МУ = х.
АЗ. Для любых трех точек М, Ы, Р € Л имеет место соотношение
-4- УР = МР (правило треугольника).
Если линейное пространство V п-мериое, то и связанное с ним
А.п. называется п-мерным (обозначение: Ап ).
Зафиксируем в А.п. Л некоторую точку О. Тогда каждой точке М
этого пространства будет соответствовать единственный вектор х =•
= ОМ € V, называемый радиус-вектором точки М. Обратно, каждый
вектор х € V можно рассматривать как радиус-вектор единственной точ-
ки М^А. Следовательно, множество всех радиус-векторов точек А.п.
совпадает с V.
АФФИННЫЕ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ —то же, что декартовы
координаты точки.
БАЗА — см. Трактриса, Цепная линия.
БАЗИС—1) Б. на прямой, плоскости, в простран-
стве — см. Декартовы системы координат.
2) Б. линейного пространства Уа—упорядоченная
система п линейно независимых векторов этого пространства. Век-
торы Б. линейного пространства называются базисными векторами.
Понятие Б. линейного пространства явлиетси обобщением понятия
Б. на прямой, плоскости, в пространстве.
Т. Любую линейно независимую систему к<п векторов про-
странства Уп можно дополнить до Б.
3) Б. евклидова пространства — Б. линейного про-
странства, на основе которого построено данное евклидово про-
странство.
БАЗИС ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО УРАВНЕНИЯ—см. Линейное дифференциальное уравнение.
Нормированный базис.
БАЗИС ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — см. Система линейных диффе-
ренциальных уравнений.
БАЗИС СЕМЕЙСТВА РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОЙ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ— см. Си-
стема линейных дифференциальных уравнений.
БАЗИСНЫЕ ВЕКТОРЫ — см. Базис линейного пространства,
Декартовы системы координат.
БАЗИСНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ — переменные совместной системы линейных уравне-
ний, коэффициенты прн которых образуют базисный минор матрицы
системы. Остальные переменные такой системы называют сво-
бодными.
БАЗИСНЫЕ СТРОКИ (СТОЛБЦЫ) МАТРИЦЫ —см. Базис-
ный минор матрицы.
БАЗИСНЫЙ МИНОР МАТРИЦЫ — любой отличный от нуля
ее минор, порядок которого равен рангу матрицы. Строки и столбцы
матрицы, на пересечении которых стоят элементы Б. м., называются
базисными.
Т. (О базисном миноре.) Любая строка (столбец) матрицы яв-
ляется линейной комбинацией базисных строк (столбцов). Базисные
строки (столбцы) матрицы линейно независимы.
Следствия: 1. Всякий не базисный ряд матрицы (строка или
столбец) является линейной комбинацией всех параллельных ему
рядов этой матрицы. 2. Максимальное число линейно независимых
параллельных рядов матрицы равно рангу матрицы. 3. (Критерий
равенства нулю определителя.) Для того чтобы определитель матри-
цы был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы некоторый ряд
его был линейной комбинацией других параллельных ему рядов.
БЕСКОНЕЧНАЯ ДЕСЯТИЧНАЯ ДРОБЬ — выражение вида
а=Оо, а1а2...ап...; «о — целое, 0^а*^9 (А=1,2, ...), 0,<Х1...ая...^0.
Б. д. д. служат для аналитического выражения действительных
чисел. Десятичным числам отвечают две Б. д. д. с нулем или' девят-
кой в периоде. Всем остальным действительным числам отвечает по
одной Б. д. д. Приближением Б. д. д. а по недостатку (или с недо-
статком) с п знаками называют конечную дробь ап = ао>
Дробь ая + 10-п называется приближением числа а с избытком.
Если ап, ₽п — соответственно приближения по недостатку действи-
тельных чисел а н р, то сумму а+р определяют как точную верх-
нюю грань множества десятичных дробей ап+_Рп. По такой же схе-
ме определяются н другие действия над Б. д. д.
БЕСКОНЕЧНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ — см. Производная.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — последова-
тельность (хп), для которой Уе > О, ЗА = А (е), такое, что Уп, п^
>А/•*|хв| ;>е. Для Б.б.п, пишут Нтхв=оо или хв~>оо при
Л-*-СО
п~>оо. Если Б.б.п. такова, что хп > 0 с некоторого места, то пишут
Пшхв= -|-оо или же хп -> 4-оо при п->оо. Аналогично, если хп < 0 с
Л-+С0
некоторого места, то Птхв«—оо или хв->—оо при п->оо. О Б.б.п.
И-рОО
говорят, что она имеет бесконечный предел, хотя Б.б.п. является рас-
ходящейся. Если (х„) — Б.б.п. и хв#=0, то (1/хв)— бесконечно малая
последовательность. Обратно, если (ал)—бесконечно малая последо-
вательность и ав=т^О, то (1/ап)— Б.б п.
БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШАЯ ФУНКЦИЯ. Функция /, определенная в
проколотой окрестности V (а) точки а, называется Б.б.ф. в окрестно-
ста точки а, если Уе > О, 36 = б (е) > 0, такое, что Ух, 0 < | х
— а | < б => | / (х) | > е. Для Б.б.ф. пишут Пт / (х) = со или / (х)->оо
х-*а
при х~>а и говорят, что в точке а функция имеет бесконечный предел.
Среди Б.б.ф. выделяют случаи, когда либо /(х)>0, либо /(х)<0
в некоторой проколотой окрестности точки а. Записывают соответст-
венно Ига / (х) = 4-оо, Пт / (х) = —оо. Б.б.ф. не ограничена в любой
х->а х-»а
окрестности У (а) точки а. Обратное утверждение, воббще говоря, не-
верно, т. е. не всякая неограниченная функция является Б.б.ф.
Если Пт # (х) = с Ф 0, а Л —бесконечно малая фувкция, Л (х)
х-*а
=^= О, Ух б У (а), то §/Л есть Б.б.ф. при х-*а. Символическая за-
с
пись: — = оо. При других арифметических действиях с Б.б.ф. имеют
место результаты, которые могут быть записаны так; (±оо) 4- (±*) =•
= ±оо; оо 4-(+а) = оо; (±°°) 4- (±оо) = ±оо; (±оо) — (4^с°) =»
= ±°о; с > 0, с (±оо) = ±оо; с < 0, с (±оо) =• ^оо; с + 0, с • оо =
' __ с
= оо; (±оо) (±оо) = ±оо; (±оо) (±оо) = —оо; оо • оо = оо; —=
оо
= 0 и т. д.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. Последо-
вательность (ап) называется Б. м. п., если для Уе>0, ЗУ=У(е),
V п^Ы => |ап|^е. Из определения вытекает, что Б. м. п. сходится
и Итап=0. Имеют место следующие свойства: 1) алгебраическая
Л-» со
сумма конечного числа Б. м. п. есть Б. м. п.; 2) произведение огра-
ниченной последовательности на Б. м. п. есть Б. м. п.; 3) Б. м. п.
ограничена; 4) произведение конечного числа Б. м. п. есть Б. м. п.;
5) для того чтобы (ап) была Б. м. п., необходимо и достаточно,
чтобы (1/ап), ап^0, была бесконечно большой последователь-
ностью. См. также Предел числовой последовательности.
БЕСКОНЕЧНО МАЛАЯ ФУНКЦИЯ. Функция /, определенная
проколотой окрестности I/ (а) точки а, называется Б.м.ф., если Пт /(х)=»
х-*а
= 0, т. е. Уе > О, 36 = б (е) > 0, Ух, х € У (л), 0 < | х — а | < б=»
=» I / (*)| < е. Свойства Б.м.ф.:
исжмтог ммшспаии1
1) если — В. м. ф. при х->а, а а и р — постоянные, то
а^+0Л — Б. м. ф. при х-*а;
2) если ц — Б. м. ф. при х -> а, а Л ограничена около а, то —
Б. м. ф. при х-»-а.
Рассматривают также и Б. м. ф. при х->-+<ю, или х->—оо,
или х -* оо.
БЕСКОНЕЧНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. С помощью заданной последо-
вательности (а„), ап =/= 0, Уп€Ы, образуем новую последовательность
(Рп), где Рд — атОв ... ап, которую символически можно записать в
СО
виде бесконечного произведения а^а, ... ап ... или П ак. Если ЭНшРп=»
6=1 п-+оо
= * Р, где Р— число, не равное нулю, то Б.п. называется сходящимся
(в противном случае — расходящимся), а число Р— значением Б.п. За-
ОО
пись: П аь => Р. Исследование сходимости Б.п. сводится к нсследо-
4=1
СО
ванию сходимости числового ряда, а именно Б.п. П ак сходится тогда
4=1
00
и только тогда, когда сходится ряд 1паА.
й==1
БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО —см.
Размерность линейного пространства.
БЕСКОНЕЧНЫЙ ПРОМЕЖУТОК—см. Числовые промежутки.
БЕССЕЛЕВЫ ФУНКЦИИ — см. Функции Бесселя первого рода.
Функции Бесселя второго рода.
БЕТА-ФУНКЦИЯ —эйлеров интеграл первого рода
1
В (а, 6) = {х4-1 (1 —
о
Областью определения Б.-ф. служит множество ((а, Ь) | а > О, Ь > 0},
на котором она является и непрерывной. Отметим некоторые свойства
функции В (а, Ь):
1) В (а, Ь) =» В (Ь, а) для а > О, Ь > 0;
Ь— 1
2) В (а, Ь) =--------- В (а, Ь— 1) для а > О, Ь > 1; В (а, У»)
а Ь — 1
а — 1
--;------ В (а — 1, Ь) для а > I, Ь > 0;
а + Ь — 1
3) В (а, га) — В (га, а) =—-—— --—---— для а>0, га€ Ы.
а (а 4* 1) ••• (а 4* л — 1)
1 (щ— 1)! (п— 1)!
В частности, В (а, 1) = —, В (от, га) =---------- для Уот,
а (т-\-п — 1)1
га€Л;
-Н» ^2—1 +оо ъ-х
4) В (а, 6)= Г ------— Лх = Г ---------ттЛо
6 (14-х)а+ь о (14-х)<ж’
Г (а) Г (Ь)
5) В (а, о) •= ——-—, где Г (а) — гамма-функция;
1 (а 4- о)
6) В (а, 1 — а) = -7-^—, 0 < а < 1.
81п ал
БИЕКЦИЯ, биективное отображение. Отображение
/: X -+ У называется Б., если каждый элемент у € У является обра-
зом при отображении / некоторого, и притом единственного, эле-
мента х€Х. Другими словами, Б.— это взаимно-однозначное соот-
ветствие между элементами множеств X и У. Отображение } :Х-+ У
биективно тогда и только тогда, когда оно и инъективно, и сюръек-
тивно.
БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ —уравнение вида дх«-1-дх»+
+с=0, а=/=0. Б. у. заменой у=х2 сводится к квадратному уравнению.
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА линейного га-мериого про-
странства Уя — числовая функция /(X у) двух векторных аргу-
ментов х, у, линейная по каждому из них (См. Линейная форма),
т. е.:
/(аХ1+рх2, у) = а^(Х1,^)+рНх2,»);
____________1_(х, а«/1+р«/2) =а/(х, 01) +РГ(х,у г)
для Ух, хи хг, у,У1,уи(. Уп и Уа.рсР (Р — числовое поле).
Если в заданном базисе (Т)=С?ь е», ё^) векторы х и у,
имеют соответственно координаты (хь х», х„) я (у1, уг, уп)
Л
то /(~х, ~у)*= 2 а1}х1У1 (здесь числа а{) = /(ё^, е-)\ Матрицу А=-
I. /=1
= (ац) называют матрицей Б.ф. Если обозначить через X я V коорди-
натные столбцы векторов х и у , то /("х, у) = ХТАУ.
Рангом Б. ф. называют ранг ее матрицы. Важный пример Б. ф.—
скалярное произведение в евклидовом пространстве над полем К.
Если от базиса (е) перейти к другому базису (е') = («)$, где 3 —
матрица перехода, то в новом базисе матрнца_Б._ф. будет В—3ТД5.
Б. ф. называется симметрической, если /(х, у) =}(у, х) для ух>
у$Уп. Матрица симметрической Б. ф. симметрическая. Если в сим-
метрической Б. ф. отождествить х и у, то получим _квадратичную
форму. Б. ф. называется кососимметрической, если }(х, у) = —((у, х)
для Ух, у € Уп. Матрица кососимметрической Б. ф. кососимметри-
ческая.
БИНАРНАЯ ОПЕРАЦИЯ на множестве X— закон, по ко-
торому каждой упорядоченной паре (х, у) элементов этого множест-
ва ставится в соответствие единственный элемент г этого же мно-
жества. Этот элемент называют композицией элементов х и у. Если
обозначить Б. о. символом °, то записывают, что х°у = г.
БИНОМ НЬЮТОНА — неточное название формулы Ньютона.
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Случайная величина $ имеет
Б.р., если она принимает все целые значения от 0 до п и Р = т) =>
= С”рт (1 — р)п—/п, 0 < р < 1. Это случайная величина дискретного
типа. Б.р. обладает число «успехов» в п испытаниях Бернулли. Ма-
тематическое ожидание, дисперсия и характеристическая функция слу-
чайной величины с Б.р. равны соответственно М% — пр, пр (1 —
-р), А (0 = (14-р (*"->))"•
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ —см. Формула Нью-
тона.
БИНОМИАЛЬНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ— см. Интегрирова-
ние некоторых иррациональных выражений.
БИНОРМАЛЬ пространственной линии в данной
точке — прямаи (нормаль), перпендикулярная к соприкасающейся
плоскости линии в той же точке (см. рис. к ст. Сопровождающий
трехгранник). Дли векторно-параметрического уравнении линии
/=/(/) уравнение Б. есть
(Г—г + Ь [г'г*],
для параметрических уравнений х «= х (/), у = у (/), а =» г (/) —
X — х У — У 2 —г
I у’ г' I I г' х' I I х' у’ 1
| у" г" I I г" х" ( I х" у" I
“ф
Единичный вектор Б. обозначают Ь:
. [77-1 [77].
“|Р7]1‘ |*|
где точка означает дифференцирование по натуральному параметру
линии.
БОЛЬШАЯ ОСЬ ЭЛЛИПСА —см. Эллипс.
БРАХИСТОХРОНА дает решение следующей задачи: среди
всех линий, соединяющих две данные точки А и В, ие лежащие на
одной вертикали и на одном уровне, найти ту, двигаись по которой
под действием силы тяжести, материальная точка перейдет из по-
ложении А в положение В в кратчайшее времи. В силу указанного
свойства Б. называют также линией наикратчайшего спуска. По
форме Б. полностью совпадает с циклоидой.
ВЕКОВОЕ УРАВНЕНИЕ — то же, что характеристическое урав-
нение линейного оператора.
ВЕКТОР—1) В. (геометрический вектор) — направленный от-
резок. Как н направленный отрезок, В. обозначают символом АВ,
где точки А и В — соответственно начало и конец данного направ-
ленного отрезка, либо одной жирной латинской буквой, например а,
либо символом а. На чертеже В. изображают стрелкой, причем ла-
тинскую букву, обозначающую этот вектор, пишут, как правило, у
его конца. Начало В. называют точкой приложения В. Если точка А
является началом В. а, то говорят, что В. а приложен в точке А.
Каждый В. АВ определяет параллельный перенос пространства: об-
раз произвольной точки X пространства прн параллельном переносе
есть такая точка У, что направленные отрезки АВ и XV имеют рав-
ные длины и одинаковые направления. Координатные формулы па-
раллельного переноса на векторр =(а, 6, с) есть х^х+а, у\=у+Ь,
21 = г+с.
2) В. — элемент линейного пространства.
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА —раздел векторного исчисления, по-
священный изучению операций над векторами и их свойств.
ВЕКТОРНАЯ ЛИНИЯ векторного поля — <м. Векторное
поле.
ВЕКТОРНАЯ ТРУБКА. Пусть а=а(Р)—векторное поле, 5 —
какая-нибудь площадка в этом поле. Проведем через границу этой
Площадки векторные линии. Обраауемаи при этом фигура называет-
ся В. т. (при этом векторные линии, проходищие через 5, целиком
лежат внутри В. т.). Справедливо следующее свойство: в соленои-
дальном поле поток вектора через поперечное сеченне В. т. остается
постоянным вдоль всей трубки.
ВЕКТОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ—раздел математики, посвящен-
ный изучению свойств векторов, векторных функций скалирного
аргумента и векторных полей. В. и. разделяется на векторную алгеб-
ру и векторный анализ.
ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ определяется векторной функцией точки
а = а (Р) = ах (х, у, г) Г+ ау (х, у, г) I + аг (х, у, г) к,
где Р (х, у, г) — точка пространства; г = х« + у] + гк — ее радиус-
вектор. Например, электрический заряд создает вокруг себя электри-
ческое поле: на каждый электрический заряд, помещенный в некоторой
точке поля, действует сила, вполне определенная по величине и на-
правлению (закон Кулона). Для графического изображения В.п. вводят
понятие векторной линии (силовой линии, линии тока). Векторная
линия —линия, в каждой точке которой касательная к ней совпадает
с направлением В.п. в точке касании. Векторные линии находятся из
. 4х Лу 4г
системы дифференциальных уравнении —= —— —.
ау
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов а я'Ё—век-
тор с, обозначаемый символом [а, Ь ] или а X Ь и удовлетворяющий
следующим условиям: 1) | | =•= | [ а, Г] I «= | а 11 1зш <р, где <р —
—►
угол между векторами а и Ь; 2) вектор с ортогонален векторам а н
Ь ; 3) вектор с направлен так, что тройка векторов а, Ь , С являет-
ся правой.
Понятие В.п. родилось в механике: если вектор Ь изображает при-
ложенную в некоторой точке М силу, а вектор а идет из некоторой
точки О в точку М, то вектор с = [ а, Ь ] представляет собой момент
силы Ь относительно точки О. Свойства В.п.:
1) равенство В.п. [а, б] нулю является необходимым н достаточ-
ным условием коллинеарности векторов а н Ь;
2) модуль В.п. [а, Ь ] двух неколлииеарных векторов а н Ь ра-
вен площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему
началу векторах а н Ь ;
3) [а, б] = — [ Ь, а] (антикоммутативность В.п.);
4) [а а, Ь ] == а [а , б] (ассоциативность В.п. относительно чи-
слового множителя);
5) [ а + б, с] = [ а, с] + [^, (дистрибутивность В.п. от-
носительно суммы векторов).
Если векторы а я Ь определены своими декартовыми примоуголь-
ными координатами а = (х., у., г,), Ь (х., у., гЛ, то В.п. этих век-
торов имеет координаты
=“ («/12» — УЙ, — 22X1, Х1Р2 — Х201). (1)
Дли запоминания координат В.п.
определителя:
удобно использовать символ
[а, б] =
' / к
XI У\ 21 .
х2 Уг 22
(2)
Раскрыв определитель (2) по элементам первой строки, мы получим
разложение вектора [а, б] по базису /, /, к, эквивалентное (1).
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — то же, что линейное про-
странство
ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ —
см. Способы аналитического задания линий.
ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ:
—> —> —♦ —'► —'►
г — го + иа + оЬ , где г0 — радиус-вектор точки, через которую про-
ходит плоскость; а, Ь —два неколлинеарных вектора, параллельных пло-
скости; и, V — параметры. Еслиг=(х, у, 2), го=(хо, Уо, «о), ао =
= (/1, ГП1, Л1), 6 = (/2, тг, п2), то В.-п.у.п. можно заменить соотно-
шениями № х0 + и/1 + о/2, У — Уо + игпх -|- от3, г= го + ип, -|- оп»,
которые называются параметрическими уравнениями плоскости.
ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХ-
НОСТИ — см. Способы аналитического задания поверхностей, По-
верхность.
ВЕКТОРНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ. Пря-
мая определяется заданием какой-нибудь (начальной) точки Мо (го),
через которую она проходит, и направляющим вектором а 0, кото-
рому прямая параллельна. Радиус-вектор г произвольной точки пря-
мой может быть тогда определен формулой
г = г0 + а/, (1)
где (— параметр (—со < / < 4-со, при / = 0 получаем точку Мо).
Уравнение (1) называют В.-п.у.п. Рассмотрим уравнение (1) в коорди-
натах.
—> —> —'►
1. На плоскости. Если г = (х, у), п> = (ж», Уо), а=(1, т),
то уравнение (1) равносильно уравнениим х=х# + ^> У=Ув + пг1,
которые называют параметрическими уравнениями прямой на плоско-
сти.
2. В пространстве. Если/•=>(*, у, г), го=(хо, ув 2о), а =
= (1, т, п), то уравнение (1) равносильно уравнениям х-=* ха-\- II,
у = 1/0-|- щ1, г = Зо + М, которые называют параметрическими урав-
нениями прямой в пространстве.
ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ — часть математического анализа, в
которой изучаются скалярные и векторные поли, т. е. функции от
векторного аргумента с числовыми или векторными значениями.
В а. называют также теорией поля.
ВЕКТОРНЫЙ ВИД СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ в нормальной форме — представление си-
стемы
.... хп), А«=1, п, (1)
а1
в векторной записи
где
- т № ^л\Г.
.....Хв),17 ..... а//- /=(А......./п)-
а символ Т означает транспонирование матрицы, в данном случае одно-
строчной. Система дифференциальных уравнений первого порядка в об-
-> / ([х \
щей форме имеет вид Г I к — I и 0. Если система (1) линейная,
\ ш /
то она представима в виде
= а(пх+7(о.
ш
где А — матрица коэффициентов, т. е.
/аи(1) ... в1П(/)
Л (О-...............
\аЯ1 (!) ... апп (!)
/(/) —столбец, составленный из неоднородностей отдельных уравнений.
ВЕКТОР-РЕШЕНИЕ системы линейных уравне-
ний — см. Система линейных уравнений.
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ ска лирных аргументов. Пусть!/ —
множество точек на примой, плоскости илн в пространстве. Говорят,
что на множестве I/ задана В.-ф. скалярных аргументов, если каж-
-ф —ф —ф
дой его точке М сопоставлен вектор г(М), Запись: г=*г(М). Если
в пространстве выбрать декартову прямоугольную систему координат
—ф —ф
Охуг, то В.-ф. можно представить в виде г(М) = х(Л1)«+ »(М)/4-
—ф —ф —ф
+г (Л4) к. Таким образом, задание одной В.-ф. г» г(М) равносильно за-
данию трех скалярных функций х = х(М)> у=»у(М), г=г(М), Аня-
—ф —Ф -тф —Ф
логично на плоскости г (М) = х (М) I + у (М) ) , на прямой г (М) =
= х (М) I. Если I) — множество точек на примой и если ва этой при-
мой ввести декартову координату /, то В.-ф. есть функция одного ска-
—ф “ф
лярного аргумента /. Запись: г = г (/); в координатах соответственно
7= х (/)7+ у (Щ + г (()~к, ~г*=> х (/)? + у (I)], 7= х (1)7. Если О—
множество точек на плоскости и если на этой плоскости ввести декар-
тову систему координат Ойо, то получим В.-ф. двух скалирных аргу-
ментов и и о. Запись: г = г (и, о) = х (и, о)» + у (и, о) ] 4- г (и, о)"А
”ф —ф —ф
и т, д. Аналогично в пространстве г =• г (и, о, а>) = х (и, о, и>) I -|-
—ф —ф
4- у (и, о, ш) / + г (и, о, и>) к.
ВЕЛИЧИНА ВЕКТОРА АВ иа оеи А—число, равное (А?В |, ес-
ли направление вектора АВ совпадает с направлевием оси Д, и —|А^|,
если направление вектора ^^противоположно ваправлению оси Д (|АВ|—
длина вектора Ав). В.в. АВ обозначают -АВ. Очевидно, что ВА =
=» —АВ, АА •=• 0. Справедливы следующие теоремы.
Т1. (Основная теорема о величинах векторов.) Дли любых трех
точек А, В, С оси АВ+ВС=АС,
Т2. Дли любых точек Л(*1) и В(х») координатной оси ЛВ=
ВЕРОЯТНОСТИ ПЕРЕХОДА — см. Цепь Маркова.
ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО — ем. Аксиомы теории
вероятностей.
ВЕРОЯТНОСТЬ — см. Аксиомы теории вероятностей. Свойства
вероятности. На практике под В. событии А понимают число, вокруг
которого группируется частота этого события.
ВЕРОЯТНОСТЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СОБЫТИЙ —см. Условная
вероятность.
ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ СОБЫТИЙ — см. Свойства вероят-
ности.
ВЕРХНИЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ — наибольший-ча-
стичный (частный) предел последовательности (хл), обозначаемый Пт хп.
«-►ОО
Для того чтобы число а было В.п.п. (хп), необходимо и достаточно
выполнение двух условий:
1) Уе>0 Зле, Ул > пе =* хп < а +е;
2) Уе > О Уп0> Эл'(е, По), п' > п0 =» хп, > а — е.
Первое условие означает, что при любом фиксированном е > 0 в по
следовательности (хя) может существовать лишь конечное число чле-
нов хп, таких, что хп а в. Второе условие означает, что при лю-
бом фиксированном е в последовательности (хя) существует бесконеч-
ное множество членов хп, таких, что хп > а—е. У любой последо-
вательности (хп) существует В.п.п. Если (хя) не ограничена, то Нт х„=
____________________________________________ П-*СО
= -)-оо. Если последовательность (хя) сходится, то Птхя=11тхя.
П--00 Л-*-СО
ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ числового множества Е — число В,
удовлетворяющее условию Ух, х<- Е х В. Если множество имеет
В.г., его называют ограниченным сверху. Вместо В.г. часто говорят
«верхняя граница».
ВЕРХНЯЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА —см. Треугольная
матрица.
ВЕСОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ — см. Численное интегрирование
функции.
ВЕТВЬ ФУНКЦИИ. Однозначнаи непрерывней функций Ф(а),
которая в каждой точке г некоторого множества совпадает в одним
из значений многозначной функции [(г), называетси однозначной
непрерывной В. ф. /(г) на данном множестве.
вещественное число — то же, что действительное число.
ВЗАИМНАЯ МАТРИЦА — то же, что присоединенная матрица.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ. Воз-
можны следующие случаи: 1) пересекаютси; 2) совпадают; 3) па-
раллельны, ио не совпадают.
Если плоскости заданы уравнениями тц • г + О1 = 0 и п2 • г + О2 =>
«О, то случаи 1—3 вполне характеризуютси следующими необходимы-
ми н достаточными условиими:
1) НР п2;
2) <=» п2 = йщ, Г>2 = АО1, к Ф 0;
3) ф=> п2 = кп\, Р2 Ф А Ор
Если же плоскости заданы общими уравнениями А2х В1У + С2г 4-
4- О2 = 0 и А2х 4- В2у 4- СгЗ 4" /?2 *== 0, то:
А В1 С1 Р2
} ** А2° В2~ С2 ~ о2:
а» „ Л» = „ .21^ _21
3) а2 в2 с* о2‘
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ—1. На пло-
скости возможны следующие случаи: 1) пересекаютси в одной точке;
2) совпадают; 3) параллельны, ио не совпадают.
Если прямые заданы векторно-параметрическими уравнениями .г =»
—> —♦ ♦
™ <1 4- щ/ и г = г2 4- о2/, то случаи 1—3 вполне характеризуютси сле-
дующими необходимыми и достаточными условиями:
1) <=»Д1 Ц. а2;
2) «=» щ С а» Ц г2 — п;
3) <=» 01 0 агНРгг — п.
Если примые заданы общими уравиеииими А1Х В1у -|- С1 = 0 и
А*х 4- Вгу 4- С2«» 0, то:
1)
2)
3)
Д1 , В,
41 В1__ С1
42 Вг С2
41 В1 С1
4-Ъ 1 " Е=Э —— -4^ " 1 ,
42 вг с2
Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами у >=•
= к\х 4- Ьг и у — кгх 4- &2, то:
1) *=* Vх ^2;
2) <=» = кг, &1 = 62;
3) <=> к\ = кг, 1>1 =/= Ьг.
2. В пространстве возможны следующие случаи: 1) пере-
секаются в одной точке; 2) совпадают; 3) параллельны, ио не сов-
падают; 4) ивлиются скрещивающимися.
Если прямые заданы векторно-параметрическими уравнениями г =
«= П 4- о>/ и г = гг 4- а2/, то случаи 1—4 вполне характеризуютси сле-
дующими необходимыми и достаточными условиями:
1) <=» 01 а2И<2 — п) 0102 = 0;
2) <=» 011| о2 Ц г г —~т\\
3) «=> 01 || а2 4|- Гг — н;
4) « (г2 —и) а1а2^=О.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ прямой И плоскости.
Возможны следующие случаи: 1) примаи пересекает плоскость в од-
ной точке; 2) прямаи параллельна плоскости и не лежит в ией;
3) прямаи лежит в плоскости.
Если плоскость и прямая заданы соответственно уравнениями п-г 4-
4-0-= О и г = го 4- о/, то случаи 1—3 вполне характеризуются
следующими необходимыми и достаточными условиями:
1) <=» п • а=^=0;
2) <=» п • а = 0, п гв 4- О 4 0;
3) <=» п • а = 0, п • Го 4- О = 0.
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ — см.
Обратный линейный оператор.
ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ — совокупность прямой тео-
ремы вида Р =><? и обратной теоремы вида <} => Р. Если обе В.о.т.
верны, т. е. если справедливо то они вместе называются кри-
терием или необходимым и достаточным условием.
ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —см. Отобра-
ЖеН<ВЗАИМНО ПРОСТЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ. Система 5 (5>2)
многочленов называется взаимно простой, если общими делителями
данных многочленов являются лишь многочлены иулеиой степени,
т. е. если их наибольший общий делитель равен единице. Справед-
ливы следующие теоремы.
Т1. Многочлены /(х) и &(х) тогда и только тогда В. п. м., если
можно иайти многочлены а(х) и о(х), удовлетворяющие равенству
Пх)и(х)+^(х)о(х) = 1.
Т2. Если многочлен |(х) взаимно прост с каждым из многочле-
нов <₽(х) и ф(х), то он взаимно прост и с их произведением.
ТЗ. Если произведение многочленов [(х) и §(х) делится иа <р(х),
ио /(х) и <р(х) — В. п. м., то #(х) делится на <р(х).
Т4. Если многочлен Цх) делится иа каждый из многочленов
<₽(х) и ф(х), которые между собой взаимно просты, то [(х) делится
и на их произведение.
ВЗАИМНО ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ ТЕОРЕМЫ—совокупность
прямой теоремы вида Р => С и противоположной теоремы вида 0 =»
=> Р. Если одна из этих теорем верна, то верна я другая.
ВЗАИМНЫЕ БАЗИСЫ. Два базиса (7) =» (7Х, 7», .... е~„) и
( е') = ( в1 , е2.вп) евклидова пространства Ея называются В.б.,
если е1 • е / = 6,-р где Оц — символ Кронекера. В евклидовом прост-
ранстве для любого базиса существует единственный В.б.
ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородный процесс с независимыми
приращениями Ёг, I (. [О, 4-°°[> удовлетворяющий условиям:
1) &>(<») = 0,
2) при й-»0 МА-аЛ + о(Л), Жл = *А + о(Л). Лфй|»в
-• о (Л), — оо < а < -|-со, 0 < Ь < 4-оо.
Из этого определения следует, что
Р & < X) =
1 *
...... Г ехр
у 2пЫ —оо
(а —а/)8
2Ы
Ли,
т. е. случайные величины при / =/= О распределены по нормальному
закону.
ВИНТОВАЯ ЛИНИЯ — линия, опи-
сываемая точкой М, которая вращается
с постоянной угловой скоростью со вокруг
неподвижной оси Ог и одновременно пе-
ремещается поступательно с постоянной
скоростью V вдоль этой оси (см. рис.).
Параметрические уравнения В.л. мож-
но задать в виде х = а соз со/, у =• а зш со/,
г= о/или х= всозф, р=азшф, ?=«
= />Ф, где а — радиус цилиндра, на кото-
ром расположена линия, ф = со/, Ь =»
о
со
—, ф — угол поиорота радиуса ОМ',
2л
М' — проекция точки М на плоскость Оху,
К — шаг В.л., т. е. расстояние {МЩ,
которое проходит точка М за время полно*
го оборота вокруг оси цилиндра. Длина
В.л. от точки пересечения с плоскостью
Оху до произвольной точки М раина з =»
=» а3 + 62 ф. Если за параметр на линии
принять длину ее дуги, то
параметрические уравиеиия В.л. примут следующий вид:
з . « Ьз
Vа3+ *3 ’ У^а ®1П : /^ТУ3’’
В. л., и только оиа, имеет отличные от нуля постоянные кривиз-'
ну и кручение, которые вычисляются соответственно по формулам
. а Ь
а3+ />3’ * “ а3-|- &3'
Если цилиндрическую поверхность развернуть иа плоскость, то
В. л. превратится в прямую. В зависимости от направлении движе-
ния точки (изменение I против часовой стрелки или по часовой) раз-
личают соответственно правую В. л. и левую В. л.
ВИХРЕВЫЕ ЛИНИИ — векторные лиини векторного поля ро-
торов (поля вихрей). Они образуют новое векторное поле, для ко-
торого в свою очередь можно найти дивергенцию и ротор: <Ну(го(о),
го((го4я) (см. Дифференциальные операции второго порядка в век-
торном анализе). Поле вихрей есть соленоидальное поле (<Му(го1 о) =
— 0), следовательно, В. л. или замкнуты, или начинаются и кончают-
ся у границ- поля. В л. поля линейных скоростей вращающейся
жидкости являются прямыми, параллельными оси вращения, ибо для
такого поля направление вихря совпадает с направлением вектора
угловой скорости (см. Ротор векторного поля).
ВИХРЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ—то же, что ротор векторного
ПОЛЯ.
ВНУТРЕННИЕ УРАВНЕНИЯ линий иа поверхности.
Пусть г=г(и, о) — векторно-параметрическое уравнение поверхности
и иа поверхности рассматривается линия I, параметризованная при
помощи параметра I. Тогда криволинейные координаты и н о точек
линии / будут функциями параметра I. Соответствующую систему
соотношений и—и(1), о = о(/) называют В. у. Они вполне характери-
зуют линию, если задано уравнение поверхности, ибо уравнение
—► —►
г=т(и(/), »(0) является параметрическим уравнением дайной линии.
ВНУТРЕННЯЯ ТОЧКА МНОЖЕСТВА — точка, принадлежащая
множеству вместе с некоторым шаром (кругом в К2) с центром
в этой точке.
ВОЗВРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ степени п — алгебраическое урав-
нение ао/1 + Я1ХЛ—1 + ... + ап_]Х + ап « 0, в котором коэффициен-
ты, равноудаленные от начала и конца, равны между собой (т. е.
<= ап_к для & =» О, 1. 2.п) Корни В.у. отличны от нуля. Если
а — корень В.у., то 1/а также является его корнем. В.у. нечетной
степени имеет корень а = —1. В.у. степени п = 2гп подстановками у =
, 1
>— х ± — сводится к уравнению степени т.
х
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ—см. Числовая
последовательность.
ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ —см. Монотонные функции
ВРАЩЕНИЕ — частный случай движения, при котором по край-
ней мере одна точка плоскости (пространства) остается неподвиж-
ной. При В. плоскости неподвижная точка называется центром В.,
при В. пространства неподвижная прямая называется осью В. В,
плоскости (пространства) называется собственным (В. первого рода)
или несобственным (В. второго рода) в зависимости от того, сохра-
няет оно нлн пет ориентацию плоскости (пространства). На пло-
скости в прямоугольных декартовых координатах собственное В.
выражается формулами х' = х соз <р—у мп <р, у'=х зш ф+у соз ф, где
Ф — угол поворота, а центр В. выбран в начале координат. При тех
же условиях несобственное вращение плоскости выражается форму-
лами х' = Х СОЗ ф + й 51П ф, У'=Х 81П ф — У СОЗ ф.
ВРАЩЕНИЕ ВТОРОГО РОДА —см. Вращение.
ВРАЩЕНИЕ ПЕРВОГО РОДА —см. Вращение.
ВРОНСКИАН — определитель
составленный из функций /|, ..., }п и их производных до (л— 1)-го
порядка. Тождественное обращение В. в пуль есть необходимое и
достаточное условие линейной зависимости функций.
ВРОНСКИАН РЕШЕНИЙ хь .... хп однородного линей-
ного дифференциального уравнения — определитель
XI (0 — ха(()
хи (1\ ................. , 1$,1»
х<я-”(П ... х^-'\1)
Для В.р. справедлива формула Лиувилля
х
(ап-1О>л
Ш (0 = XI) (10) «'• •
Решения Х1, ..., хп линейно независимы, если ш(/о)=#О хотя бы при
одном /0€ /•
ВТОРАЯ КРИВИЗНА ЛИНИИ — то же, что кручение линии.
ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОС-
ТИ — Фа = — <1г • йт —»т • (Рг => Ь (и, о) йи* + 2М (и, о) &ик> 4-
-|-М (и, о) йо*, где
. -* -» ** -* гии ги Го
Ь^т- Г =. —т • ги ™ Г—~ ~~1
“ У ЕС —Р*
М-=т- г и0^-ти- г0^—т0
,, -► *► -* -► гт>' и го
И~т.гт~-та. г„=
У ЕО-—Р*
т — единичный вектор нормали к поверхности; Е, Р, О — коэффи-
циенты первой основной квадратичной формы поверхности.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА — см. Свойства функ-
ций, непрерывных на отрезке.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ (в операционном и с-
(р)
числении). Если Р (р) « ——-— правильная рациональная функция и
с а (Р)
Р2 (р) » (р — р!)"1» (р — ра)т« (р — р^1"1, то оригинал можно найти
по формуле
/ тк Ак
/(0= V У ------—, 1тк—е^, 1>0,
где
Ль° 7"|Й~11т
(V— 1)1 рч-Рц йр1
В частности, если все корни знаменателя простые и Рк (р)»
=(р-рт) ...(р-р„), то
(РМ
См. Преобразование Лапласа.
ВЫБОРКА объема пдля случайной величины —
совокупность значений (Хь Хп) этой случайной величины, полу-
ченных в результате п независимых экспериментов. Величины Х<,
«=1, 2, п, вазывают выборочными значениями. Говорят, что В.
(Х1, .... Хп) взята из генеральной совокупности случайной величи-
ны 6, а под законом распределения генеральной совокупности пони-
мают закон распределения (•. На В. можно смотреть двояко: с одной
стороны —это вектор размерности п (если эксперимент проведен
н В. состоялась), с другой стороны—п-мерная случайная величина
с независимыми, распределенными так же, как и 6, компонентами
(до проведения эксперимента).
ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ — выражение
2 (х' -*)22 Х1 -Ъ
п М п &
где п—объем выборки; Х<— выборочные значения; X—выборочное
среднее. В. д. является смещенной состоятельной оценкой дисперсии.
Несмещенной состоятельной оценкой дисперсии будет исправлен-
ная В. д.
я 1 п
п—1
См. Выборка.
ВЫБОРОЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ —см. Выборка.
ВЫБОРОЧНОЕ СРЕДНЕЕ—выражение
где п — объем выборки; X, — выборочные значения. В. с. является
несмещенной состоятельной оценкой математического ожидания.
См. Выборка.
ВЫБОРОЧНЫЙ МОМЕНТ й-го порядка — см. Метод мо-
ментов.
ВЫДЕЛЕНИЕ ГЛАВНОЙ ЧАСТИ полиномиального ви-
да функции — см. Главная часть полиномиального вида.
ВЫПУКЛОСТЬ ФУНКЦИИ ВВЕРХ, ВНИЗ —см. Исследование
функции на выпуклость.
ВЫРОЖДЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА —квадратичная
форма, матрица которой вырожденная.
ВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица, опреде-
литель которой равен нулю. В. м. называется также особенной.
ВЫРОЖДЕННАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ —
система линейных уравнений, определитель которой равен нулю.
ВЫРОЖДЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА с постоянными коэф-
фициентами — см. Фазовая плоскость.
ВЫРОЖДЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР линейного
пространства Уп—оператор, матрица которого вырожденная.
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА — совокупность математических дис-
циплин, входящих в учебные планы технических и некоторых дру-
гих специальных учебных заведений. Во втузе курс В. м. состоит из
общего курса, являющегося фундаментом математического образо-
вания инженера, и специальных курсов, отражающих целевое назна-
чение данного института. Общий курс В. м. состоит из элементов
линейной алгебры и аналитической геометрии, математического ана-
лиза, основ вычислительной математики, теории вероятностей и эле-
ментов математической статистики.
ВЫЧЕТ В БЕСКОНЕЧНО УДАЛЕННОЙ ТОЧКЕ. Вычетом
функции [(г) в точке г=оо называется число — с-ь где с~1— коэф-
фициент при 1/г в разложении в ряд Лорана функции ((г) в окрест-
ности бесконечно удаленной точки, т. е. гез }(г) = — с-ь Справедлива
формула 2=00
где — любая окружность радиуса р с центром в начале координат,
расположенная в области /<|г|<4-оо аналитичности функции /(г)
и ориентированная против часовой стрелки. При вычислении вычета в
точке г = со обычно используют разложение функции в ряд Лорана,
А
однако следует иметь в виду, что гез/(г)«=—А, если / (г)-, и
Г=оо 2-*оо 2
в
гез / (г) = 0, если / (г) ~ (й > 2).
г=оо г->оо *
Если однозначная аналитическая функция /(г) имеет лишь конеч-
ное число особых точек гд, к ™ 1, 2.п, то
л
ге«/(г)~—2 гез /(г).
1=00 *=!*=**
ВЫЧЕТ В КОНЕЧНОЙ ТОЧКЕ. Вычетом однозначной аналитиче-
ской функции / (г) в точке г0 называется коэффициент с—1 из разложе-
ния в ряд Лорана функции / (г) в окрестности точки го. Обозначения:
гез/(г), Кез/(а), Выч/(г), гез (/(г), г0) и др. Из выражения для
2=2» 2==20
коэффициентов ряда Лорана следует, что
гез /(г)-=-Ц У /(г) 4г,
г=г, 2л(
где —произвольная окружность достаточно малого радиуса р с цен-
тром в точке го, ориентированная в положительном направлении. Если
точка го — правильная либо устранимая особая точка, то гез / (г) = 0.
При вычислении вычета в существенно особой точке обычно используют
разложение в ряд Лорана. См. также Вычисление вычета в полюсе.
Вычет в бесконечно удаленной точке, Основная теорема о вычетах.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЫЧЕТА В ПОЛЮСЕ. Если го —полюс порядка
ие выше т функции / (г), то для вычисления вычета в точке го можно
воспользоваться формулой
1 д.т~1
ге8 -----ЙГ Пт 7^1Г((г-*о)'П /(г)).
В частности, если / (г) “----где А (г) — аналитическая в точке
(г — «о)
гр функция, то гез / (г) --------- А<т—(го). При вычислении выче-
2»2« - 1)1
та относительно простого полюса, помимо формулы гез / (г) = Пт (г—
г=г,
® (г)
—го) /(г), в случае, если /(г)—-, где <р и ф—аналитические в точке г0
ф (г)
функции, причем ф (го) ™ 0, ф' (го) 0, удобво воспользоваться фор-
<р (г) <р (г0)
мулой гез ---— = -у
Ф(г) Ф' (го)
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДВОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ СВЕДЕНИЕМ К ПОВ-
ТОРНЫМ. Пусть квадрируемая фигура О есть криволинейная трапе-
ция, ограниченная кривыми у => <р (х), у — ф (х), х « а, х = 6 и«р (х)^
^ф(х), Ух€[а, Ь], Если функция ) интегрируема в области О и при
каждом фиксированном х € [о, &] существует определенный интеграл
Ф (х) и Ь /ф(х)
у / (х, у) йу, то существует и повторный интеграл | | у [(х, у) X
Ф (х) о\Ф(х)
X бу ^х, записываемый обычно в виде
Ь ф (х)
! Лх I / (х, у) бу,
а Ф (х)
причем имеет место равенство
Ь ф (х>
УУ/(*, У) ЛхЛу =• ] / /(х, у) бу.
О в Ф (X)
Иногда удобнее поменять ролями х и у и свести двойной интеграл к
повторному
Л |ь (?)
I бу I / (х, у) Ох.
с »(у>
Если О — область произвольного вида, то ее, как правило, можно пред-
ставить в виде объединения конечного числа криволинейных трапеций
и при вычислении у у / (х, у) бхбу воспользоваться аддитивностью ин-
й
теграла. См. Двойной интеграл.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ КРИВЫХ. Пусть кривая у задана па-
раметрическими уравнениями х=х(/), у=у(/), г=г(/), [а, И,
и функции х(/), у (/), г (0 непрерывно дифференцируемы на [а, 0}.
Тогда кривая у спрямляема, и ее длина з может быть вычислена по
формуле
₽ .____________________________
а = I V (X’ (/))»+ (у' (О)1 + (г' (О)1
а
Если кривая плоская (г = 0), то
в ________________________________________
* = .! К (*' № 4 (у' (/))» л.
а
Если кривая у является графиком непрерывно дифференцируемой фун-
кции у — / (х), х € [а, Ь], то
Ь
«-1У1 + (Г (х))2 4л.
а
Если кривая у задана в полярных координатах г — г (ф), « < ф < 0, то
В
« = I V'2 (Ф) + ('•' (ф))2 4ф.
См. также Длина дуги линии.
ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИН-
ТЕГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА. 1. Формула двойной подста-
новки. Если функция / непрерывна иа (а, Ь{ и Р—какая-нибудь
первообразная функции / на [а, 6[, то
Ь
!?(х)4х-Р(х)
й
^Р(Ь—0)—Р(а),
а
где Р (Ь — 0) « Пт р (х), причем если последний предел не существует
0
либо бесконечен, то интеграл расходится.
2. Интегрирование по частям. Если функции и, о не-
прерывно дифференцируемы на [а, Ь[, то
У и (х) о' (х) Лх и (х) о (х)
а
Ь-0 Ь
— IV (х) и' (х) 4х,
»
причем если имеют смысл любые два из выражений У и (х) и' (х) йх,
а
и (х) V (х)
ь—о ь
, | V (х) и' (х) йх, то имеет смысл и третье.
а а
3. Замена переменных. Пусть функции I непрерывна на
[а, 6[, а функция <р непрерывно дифференцируема на [а, р{, строго
ь
монотонна на этом промежутке и <р (а) = а ф (0 -* Ь. Тогда / /(х)</х=
<-0—0 а
Р
= | /(ф (/)) ф' (/) 01. Здесь 0 может оказаться и бесконечным. Оба нн-
а
теграла в последней формуле одновременно существуют или нет. Ре-
зультаты аналогичны, когда точка а особая.
ВЫЧИСЛЕНИЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИН-
ТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА. 1. Формула двойной подста-
новки. Если функция / непрерывна на [а, 4~°о[ и / — какая-нибудь
первообразная функции { на [а, +оо(, то
+; /(х)4ж=Г(ж) +00-Г(4-оо)-По),
“ а
где Р(4со) = итЕ(х), причем если последний предел ие существует
х—4-°°
или бесконечен, то интеграл расходится.
2. Интегрирование по частям. Если функции и, о непре-
рывно дифференцируемы на [а, 4-оо[, то
4-<» Ч-® 4-«
{ и (х) о' (х) Ох =«(ж) о (ж) — | о (ж)*' <х) Ох,
а а а
+®
причем если имеют смысл любые два из выражений | а (ж) о' (ж) 4х,
а
и (ж) о (ж) , { V (ж) и' (ж) Ох, то имеет смысл и третье.
• 0
3. Замена переменных. Пусть функция / непрерывна на
[а, 4- со(, а функция ф непрерывно дифференцируема на {а, Д, строго
монотонна на этом промежутке и ф-(а) •= а, <р(/) -> 4-оо. Тогда
<-0
{ ПФ(О)Ф' (ОЛ.
• а
Здесь р может быть равным и оо. В последней формуле интегралы
или оба существуют, или оба не существуют.
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО
РОДА. Если I — гладкая кривая, за чайная уравнениями х = <₽(/), у —
=> ф(/), г = ч(/), /6 [а, р], то
УР(х, у, г)<1х + (}(х, у, г)<1у + Й(х, у, г)4г==|(Р(<р(0, 'НО.
Л (/)) <₽' (О + О (ф (0. Ф (0. Л (0) Ф' (0 + Я (Ф (П. Ф (“). Л (0) Л' (0) Л-
Если плоская кривая I задана уравнением у = Цх), х^[а, 6], то
Ь
С Р (х, у) 0х + 3 (х, у) Лу - {(Р (х, I (х)) 4- (х, / (х)) Г (х)) 0х.
I а
Криволинейный интеграл второго рода можно также вычислять по
формуле Стокса (формуле Грина) и путем сведения к криволиней-
ному интегралу первого рода (см. Связь между криволинейными
интегралами первого и второго рода).
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО
РОДА. Если I—гладкая кривая, заданная уравнениями х=>ф(Г), у**
•=• ф(0, г=л(0, *€[а, Р1, и / — функция, заданная на кривой I, то
р(х, у, г)Л=|/(Ф(0, ФСО. П(0)Х
х /(фчор + сф' (0)а + (п'(0)’ л.
В случае, если I — гладкая плоская кривая, заданная уравнениям» х=»
“Ф(0. «=Ф(0. <€[а, Р1, ТО
, ₽ _____________________________
р (х, у) Оз = (ф (/), ф (П) V (ф' (/))’ + (Ф' (0)’ л.
/ а
Если кривая I задана явным уравнением у=*у(х), х([а, Ь], то
ь ___________
Г/(х, у)а*^Цх, у(х))У 1 + (§' (х))а Лх.
Если кривая I Задана полярным уравнением г«°г(ф), <р([а, р], то
0 , , ,
|/(х, у) Аз = $ / (г (<р) соз <р, г (ф) »1п ф) Vг* (ф) + (/' (ф))а Жр.
I а
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ. Объем тела может быть вычислен по
Ь
формуле V == 15 (х) Ах, где 5 (х0) — площадь поперечного сечения те-
а
ла Т плоскостью х = Хо. В частности, если тело образовано вращением
Ь
криволинейной трапеции вокруг оси Ох, то V — л { (х) Ах, а если
а
Ь
вокруг оси Оу, то V •= 2л / х/ (х) Ах. Объемы тел можно вычислять
а
также с помощью двойного и тройного интегралов (см. Геометриче-
ские приложения двойного интеграла, Тройной интеграл).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ
2Я
ВЫЧЕТОВ. 1. Интегралы вида /-=> /Д(со$/, з!п/)Л, где
о
/? (и, о) — рациональная функция переменных и и о. Заменой =» г
интеграл сводится к интегралу вида /=•]/?! (г) Аг. где (г) «
|г1»=1
=--Тк(т(г + г“,)’^(г~г~,)
По основной теореме о вычетах
п
/“2л» 2 гез (г),
где 21, ...» е»— все полюса рациональной функции К» (г), лежащие в
круге | г/ < 1.
2. Интегралы от рациональных функций I —
у К (х) Ах. Если интеграл сходится, то
— рациональная функция от г.
I = 2я« 2 гез К (г),
1т г^>0 г=г^
т. е. вычеты берутся по всем полюсам функции /? (г), лежащим в верх*
ней полуплоскости. Интеграл можно вычислить и по формуле
I =• —2л< 2 тех К (г).
1т гй<0 г=гк
4-00
3. Интегралы вида/»» У (ж) 4ж, где Я — рациоиаль-
—со
иая функция, не имеющая особых точек на действительной оси, а
с
фО, /?(ж) ~ к^> 1. Используя лемму Жордана, заключаем, что
г->оо л
при а > О
У е‘ахК (ж) Лх =• 2Ш 2 гез (е1агЦ (г)).
—оо ' 1т гк>0 г=гк
Как следствие, если /? (ж) действительно, то
У К (ж) созажйж <=» —2л 1т 2 гез (е/ог7? (г));
—со 1т г^Х) 2=?^
У й (ж) зшажфх =» 2лНе 2 тех (е^агД (г)).
—оо 1т гд>0 *=гй
Всюду гк — особые точки функции /?(г).
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР. Если функция /
непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, 61, то площадь 5 криво*
линейной трапеции О =• {(ж, у) | а <1 ж С 6, 0 <1 у < / (ж)} выражается
ь
формулой 5 = У / (ж) Лх. Если / непрерывна и неположительна на [а, 6]
а
и6=((ж, у)/а<ж^6, /(ж)^у^О), то площадь 5 фигуры О
ь
можно вычислить по формуле 5 = — У / (ж) дх. Если фигура О огра*
ничеиа линиямв у *= / (х), у=* у (х), х = а, х = Ь и функции / и д
непрерывны на [а, Ь], то площадь 5 фигуры О вычисляется по формуле
Ь
5-Л/(х)-в(х)|4х.
а
С помощью определенного интеграла могут быть вычислены и площа-
ди плоских фигур, имеющих более сложную структуру, если их мож-
но представить в виде объединения фигур, рассмотренных выше. Если
фигура О представляет собой криволинейный сектор, заданный в по-
лярных координатах г =• г (<р), ф € [а, 0], 0 < а < 0 < 2л и функция
г(<р) непрерывна на [а, 0], то площадь 5 фигуры О может быть вы-
числена по формуле
1 в
5 =* ~ I г* (<р) Лр.
х а
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ. Пло-
щадь 5 поверхности фигуры, полученной вращением кривой у = / (х)
(а<х<6, /— непрерывно дифференцируема) вокруг оси Ох, иажво
вычислить по формуле
Л
5 - 2л И (х) / 1 + (/'(х))4 Ох.
а
Если фигура получена вращением кривой х = х (<), у “ у (/), а < I <
< 0, вокруг оси Ох, то
В ,______________________
5 - 2л I у (/) V <х' (/))»+ (у' (0)’ <и.
а
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГОРО-
ДА. Пусть 5 — ориентируемая гладкая поиерхность, векторное уравнение
которой г •=> Ф (и, о), (а, о)€й (Ф (и, о) “ (Ф1 (и, о), Ф« (и, о),
Ф8(и, у))), 5+ — сторона поверхности, соответствующая нормали п =
[ г в, Гр]
— — сторона, соответствующая нормали —л. Тогда
IIги, г„]|
У у Р (х, у, г) йхйу = уур (х, у, г) соз аЛЗ;
з
УУ Ц (х, у, г) йхйу = — уу К (х, у, г) соз а <13,
где а — угол, образованный нормалью с положительным направлением
оси Ог. Для поверхностного интеграла второго рода общего иида имеем
УУР(х, у, г) йуЛг 4- ф(х, у, г) йхйг + Р (х, у, г)<1хЛу^=
х+
=* У У ((Р о ф) (И, о) СО5 а -НО о ф) (И, о) соз Р + (Р О Ф) (и, о) саз у) АЗ,
3
где (соз а, соз р, соз у) = п, а также
уу Р (х, у, г) <1х<1у = УУ Р (Ф1 (и, о), Фа (и, о), Фа(и, о)) С (и, о) <Ыо;
3+ °
УУ Р (х, У, г) АхАу = —уу Р(Ф1 (и, о), Ф»(и, о), Ф3(и, о)) С {и, о) АиАо,
ч— Р
где
«ЭФ, 5Ф1
С(«, о) = ди до
дФ3 ЭФа
ди до
н
уу Р (х, у, г) АуАг 4- (х, у, г) АгАх + К (х, у, г) АхАу =
5
= уу((Роф)(и, о) Д 4-((? о Ф) (и, о)В4(Р»Ф)(и, о) С) АиАо.
в
О коэффициентах А. В, С см. ст. Касательная плоскость к поверх-
ности.
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО
—► —►
РОДА. Если 5 — гладкая поверхность и г = Ф (и, о) = (Ф1 (и, о),
Фг(и, о), Фа (и, »)), (и, о) € О — ее векторное уравнение, то
///(*> У> г) 48 = у / (Ф1 (и, о), Фа (и, о), Фа (и, о)) У Е6—Е* йийо,
где
Имеет место также формула
у^(х, у, г) <1$ = Л / (Ф1 (и, о), Фа (и, о), Ф8 («, о)) X
X VДг + 52+ С2 ЛиОо
(о коэффициентах А (и, о), В (и, о), С (и, о) см. Касательная пло-
скость к поверхности). Если гладкая поверхность 5 задана уравнением
«=?(*. У), (*, У)(.П> то
(//(*, у, г)а5 = ;;/(*, у, е(х, у» 1/\+{&У + ^Уохау.
5 о г \ дх ] \ ду ]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ сведением к пов-
торным. Если кубируемое тело V содержится между плоскостями
х=> а и х = Ь, а каждой параллельной им плоскостью, отвечающей
фиксированному значению х, пересекается по некоторой квадрируемой
фигуре, проекцию которой на плоскость Оуг обозначим через Ь (х),
и существуют интегралы
У’ И/(х> У> г)<1у<1г,
V Е>(х)
ТО
ь
5И / (X, у, г) йхауОг «= у Ох /(х, у, г) <1у<1г.
V а О(х)
Если область V представляет собой цилиндрическое тело с обра-
зующими, параллельными оси Ог, и ограничено поверхностями г =
= ф(х, у), г—1р(х, у), <р(х, у)<ф(х, у), проецируемыми на пло-
скость Оху в множество О, и существуют интегралы
ф (X, у)
УУУ/(*. У> г) йхйуЛг-, у /(х, у, г)0г,
г ф (*. щ
то
Ф (X, у)
|уу/(х, у, г) 0х<1у<1г= $$ дхйу у /(х, у, г) 0г.
V о Ф(х, у)
Заменив в этой формуле двойной интеграл повторным, при выполне-
нии соответствующих условий (см. Вычисление двойных интегралов
сведением к повторным) можно свести вычисление тройного инте-
грала к вычислению одномерных интегралов:
Ь Л(х) ф (х, у)
(Ц/(х, у, г) ахауйг=- ^х у йу у /(х, у, г)0г.
V а I (х) ф (х, у)
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА — раздел математики,
включающий круг вопросов, связанных с использованием ЭВМ. Часто
термин <В. м.» понимается как теория численных методов и алго-
ритмов решения типовых математических задач.
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ —см. Погрешность.
ГАММА-ФУНКЦИЯ — эйлеров интеграл второго рода
Г (а) = у х“_1е-хах.
о
Функция Г (а) определена (интеграл сходится) при всех а > 0 и являет-
ся непрерывной в области своего определения. Отметим еще некоторые
свойства функции Г(а):1) Г (а) > 0 для а > 0; 2) Г (а 4-1) =
- аГ (а); 3) Г (1) = 1, Г (л 4- 1) = л1, л€Я, Г (у) =У“}Г;
4)Г(а)-Г(1 — а) = . для 0 < а < 1; 5) Г(п) (а) = Г (1п х)пх
51п ла о
X х°^1е~х<1х. С помощью соотношения Г (а + 1) = а Г (а) Г.-ф.мож-
но доопределить и для всех отрицательных значений а, кроме а =
ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ —см. Уравнение Лапласа.
00 1
ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД —ряд "Т”. Г. Р- расходится (хотя
4=1 *
Л-й член его стремится к нулю). Обобщенным Г. р. называют ряд
00 1
2^
4=1 Я
который сходится при а> I и расходится при а I.
ГАУССОВА КРИВИЗНА по в е р х и о с т и в данной ее точ-
ке—
ЕЫ — М*
Е6 — Р’
где Л1, к?— главные кривизны; Е, О, Р — коэффициенты первой, а Л,
М, К—коэффициенты второй основных квадратичных форм поверх-
ности. Г. к. поверхности называют также ее
полной кривизной.
ГЕЛИКОИД—1) Г. общего ви-
да — поверхность, образованная некоторой
линией (профилем), вращающейся вокруг
оси и одновременно поступательно движу-
щейся в направлении этой оси (причем ско-
рости этих движений пропорциональны).
2) Косой Г. — Г., профилем которого
служит прямая, пересекающая ось, ио ие
перпендикулярная к ней.
3) Прямой Г.— Г., профилем которого
служит прямая, пересекающая ось и пер-
пендикулярная к ней.
Если за ось вращения принята ось Ог (см. рис.), то параметри-
ческие уравнения прямого Г. могут быть приведены к виду х=исоз о,
у=и 51П V, г=ао, а=сопз1.
ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ —см. Выборка.
ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА линии иа поверхно-
сти — кривизна проекции рассматриваемой линии иа плоскость, ка-
сающуюся поверхности в данной точке. Подобно тому как обычная
кривизна линии показывает, насколько отклоняется линия по своей
форме от прямой, Г. к. линии характеризует уклонение данной ли-
нии на поверхности от геодезической линии, касающейся линии в
данной точке. Обычная кривизна линии связана с Г. к. кв и-нормаль-
ной кривизной кп этой линии соотношением / к2п + й* .
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ точки иа поверх-
ности— ее криволинейные координаты, когда координатными ли-
ниями являются геодезические линии, проходящие через эту точку.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ поверхности — линии на по-
верхности, в каждой точке которых геодезическая кривизна равна
нулю. Г. л. можно определить также как линии, удовлетворяющие
условию тдгсРг*=0, где г — радиус-вектор поверхности, т — вектор
нормали к поверхности. Если координатная сеть на поверхности
ортогональна, то дифференциальными уравнениями Г. л. являются:
4?и
Ли\2 ___Ли до I до\
, Оз / + Оз Оз+°"\<1з/
или
<Ри / 4иД3 . /Еи \ / ди V /\ ди 6и л
ай* + 20 / *" \2Е ~ О Д до) + \ Е ~ 20/ Но ~2Ё°~ '
где Е, О (здесь Р = 0) — коэффициенты первой основной квадратич-
дЕ „ дЕ „ дй дв
ной формы поверхности; Е..«» ——; Е„ «» —; 0„ •= -—; 0„ — ——,
“ ди ° дг> ди ” до
ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СООТВЕТСТВИЕ между точками
двух поверхностей — соответствие, при котором геодезиче-
ские линии одной поверхности соответствуют геодезическим линиям
другой поверхности.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. Пусть множество взаим-
но исключающих исходов случайного эксперимента (пространство
элементарных событий О) является квадрируемой областью пло-
скости. В этом случае событиями, считают все квадрируемые под-
множества й и для любого события полагают Р(А)=ПЛ д. В том
случае, когда Й представляет собой отрезок прямой или некоторую
кубируемую область в трехмерном пространстве, применима анало-
гичная модель с заменой площадей на длины и объемы соответ-
ственно.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.
1. Вычисление площадей. Площадь квадрируемой фигуры О
можно вычислить по формуле пл. О = уу дхду.
й
2. Вычисление объемов. Если тело Т ограничено поверх-
ностями: снизу — областью О а Оху, с боков — цилиндрической по-
верхностью, направляющая которой есть граница области О, а обра-
зующие параллельны оси Ог, сверху — поверхностью, уравнение кото-
рой г = / (х, у), (х, </) > О, V (х, у) С О), то об. Т = }(х, у) х
X ЛхЛу.
3. Вычисление площади поверхности. Площадь по-
верхности, уравнение которой г=/(х, у), (х, у)$О, а функция имеет
д[ д[
непрерывные частные производные р=“~, выражается фор-
ах оу
мулой $ = уу V 1 + Ра + <7а ЛхЛу. См. также Площадь поверхности.
й
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ
ИНТЕГРАЛОВ. 1. Длина I спрямляемой кривой Ь выражается кри-
волинейным интегралом первого рода: /= у <1з.
ь
2. Площадь 5 области Д, ограниченной кусочно-гладким контуром
дО, может быть выражена криволинейным интегралом второго рода:
5= (Рйх + ($у, где функции Р п (} таковы, что ———=1 в О,
дх дУ
Чаще всего используются формулы!
5 = Г хЛу\ 5 | уйх\ 8 = С хйу — уйх.
до до 2 до
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА — см. Вычисление длин дуг кривых, Вычисление пло-
щадей плоских фигур, Вычисление площади поверхности вращения,
Вычисление объемов.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ВЕКТОР —см. Вектор.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА. Если
функция I дифференцируема в точке х0, то существует касательная
к графику функции у=((х) в точке (х0, ^(х0)). Дифференциал функ-
ции <ц«=/'(хо)Дх равен приращению ординаты точки на касательной
при том же Ах, при котором вычисляется дифференциал.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА
функции двух переменных. Если функция г=/ (х, у) диффе-
ренцируема в точке" (х#, уо), то существует плоскость 1—г0=я
д/ д]
° — (х0, у«) (х — х0) + — (х0, уо) (у — уо), касательная к поверхно-
дх ду
ста 2 = /(х, у) в точке (хв, у0, г») (го = } (х0, у0)). Полный диффе-
ренциал Л( функции / в точке (х0, Уо) ~ (х0, у») 8х + (х0,
дх ду
Уо) Ду равен приращению аппликаты 2 на касательной плоскости, соот-
ветствующему приращениям Дх = х — х0, Ду = у — у„ независимых
переменных.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Производная
Г(хо) функции / в точке хь представляет собой угловой коэффициент
касательной к графику функции / в точке (хб, /(х0)), т. е. /'(х0) рав-
на тангенсу угла наклона касательной к оси Ох. Уравнение каса-
тельной имеет вид у-/(х0) =/'(х0) (х-х0) или у=/(хо) +Н*о) (х-
—х0). Если в точке х0 производная /'(х0) бесконечна, то касательная к
графику { в точке (х», /(хд)) вертикальна, и ее уравиеиие имеет вид
х=х0.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-
ФУНКЦИИ. Производная от вектор-функцин г(/) скалярного аргу-
меита I лежит иа касательной к годографу
этой вектор-функции и направлена в сто-
рону возрастания аргумента (см. рис.).
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ
КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ —см. Комплекс-
ная ПЛОСКОСТЬ.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВА-
НИЕ РЕШЕНИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИИ. 1. Однородные си-
стемы. Пусть Уп — линейное пространство
иад числовым полем Рив нем фиксирован
какой-нибудь базис. Вектор с € Уп назовем решением однородной
системы АХ=0, если его координаты в|, аг, .... ап в отмеченном ба-
зисе составляют решение (аь ..... ап) данной системы. Справедли-
вы следующие теоремы.
Т1. Множество О всех решений системы АХ=0 есть подпро-
странство пространства Уп-
Т2. Если ранг матрицы А однородной системы АХ=0 с п пере-
менными равен г, то размерность подпространства решений этой
системы равна л—г.
Любой базис подпространства решений однородной системы
называют фундаментальной системой решений.
ТЗ. Всякое подпространство линейного пространства Уп есть
подпространство решений некоторой линейной однородной системы
уравнений с п переменными.
2. Неоднородные системы. Пусть
АХ=В (1)
является иеодиородиой системой, а
АХ=О (2)
ее приведенная система. Справедливы следующие леммы.
Л1. Сумма произвольного решения системы (2) и любого реше-
ния системы (1) есть решение системы (1).
Л2. Разность двух любых решений системы (1) есть рещеиие
системы (2).
Т4. Все решения совместной системы линейных неоднородных
уравнений (I) можно получить, складывая какое-нибудь решение
этой системы с каждым решением приведенной системы.
>
Если г0—какое-нибудь вектор-решеиие системы (1), а с(, с»,....
Сп-т — базис (фундаментальная система) подпространства Уп-г си-
стемы (2), то все решения системы (1) получаются по формуле
но <1«1 -4- /зСа + ... + 1п_гс1
(3)
Говорят, что формула (3) задает (п—г)-мериую плоскость аффин-
ного пространства, направляющим подпространством которой явля-
ется подпространство Уп-г. Это понятие — обобщение понятий пря-
мой и плоскости в обычном пространстве.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО каких-либо фягур—мно-
жество всех таких фигур, которые обладают некоторым определен-
ным свойством. Обычно рассматривают Г. м. точек, прямых, плоско-
стей. В некоторых учебниках вместо этого термина используются
выражения: «множество точек», «множество всех точек», «множество
прямых» и т. д.
ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, посвященный изучению про-
странственных отношений и форм фигур.
ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — предгильбертово простран-
ство, полное относительно нормы || х Ц »= ~\/ (х, х), т. е. любая по-
следовательность (х„), удовлетворяющая условию Коши (Уе >0 Зп0,
Ул>п0, Ут > по => )| хя — хт || <е), является сходящейся в этом
пространстве.
ГИПЕРБОЛА — множество всех точек плоскости, координаты ко-
торых в некоторой декартовой прямоугольной системе координат Оху
удовлетворяют уравнению
х’ у’
аа “
(1)
где а, Ь — произвольные положительные числа (см. рис.). Уравие-
иие (1) называется каноническим
уравнением Г. Ось абсцисс пересекает
Г. в точках Л1(—а, О) и Аг(а, 0), на-
зываемых вершинами Г. Ось ординат
не пересекает Г. Числа а и Ь называ-
ются соответственно действительной
и мнимой полуосями Г. Для Г. оси
канонической системы координат
являются осями симметрии, начало
координат — центром симметрии
(центр Г.). Г. состоит из двух отдель-
У|
х-9
* е
ных кусков, называемых ветвями Г. Прямые у=±^-х являются асим-
птотами Г,
Положим в* = в* + Ь*. Точки Р1 (—с, 0) и Г» (с, 0) называют
с
фокусами Г. (соответственно левым и правым), отношение в = — (е >
а
> 1) — эксцентриситетом Г., прямые х= — — директрисами Г, Спра.
в
ведливы следующие теоремы.
Т1. Для того чтобы точка лежала на Г., необходимо и достаточ-
но, чтобы модуль разности расстояний от иее до фокусов равнялся
действительной оси Г.
Т2. Для того чтобы точка лежала иа Г., необходимо и доста-
точно, чтобы отношение расстояния г от нее до фокуса к расстоя-
нию (1 до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету Г.
ТЗ. Касательная к Г. в произвольной ее точке есть биссектриса
угла между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Уравнение касательной к Г. в точке Л10 (х0, р0) имеет вид —
—1. Из ТЗ следует так называемое оптическое свойство Г.: лу-
Ь*
чи света, исходящие из одного фокуса Г., после зеркального отраже-
ния от Г. проходят через второй фокус.
Фокальными радиусами точки М Г. называются отрезки прямых,
соединяющих эту точку с фокусами и Р?. Их длины Г| и г2 зада-
ются формулами: для правой ветви г1 = в.х4-а, г^—гх—а, для левой
ветви Г| = —(вх+а), г2= —(ех—а).
Фокальным параметром Г. называется длина р отрезка перпен-
дикуляра к действительной оси, восставлеииого в одном из фокусов
до пересечения с Г. Справедлива формула р= ——.
Параметрические уравнения Г. можно задать в виде х—асЫ,
у=Ь&Ы, где I— угол между положительным направлением оси Ох
и лучом, идущим из центра Г. в произвольную его точку.
Уравнения Г. в полярных координатах (полярное уравнение Г.)
для правой и левой ветвей Г. имеют соответственно следующий вид?
Р —Р
Р Е= —“ 5 р ЕЯ
1 — е соз ф 1 4 8 соз <р
(Здесь полюс полярной системы совпадает с одним из фокусов, а по-
лярная ось перпендикулярна к директрисе и направлена от дирек-
трисы к соответствующему фокусу.)
Если а=6, то Г. называют равносторонней или равнобочной.
Замечания! I. Свойства, высказанные в Т1 н Т2, могут быть при-
няты за определение Г. 2. Уравнение
-^-+-р-=1 ‘2>
также представляет Г., для которой действительной осью будет ось Оу»
мнимой — ось Ох. Если в уравнении (2) а и Ь такие же, как в уравнении
(1), то фигура, заданная уравнением (2), называется Г., сопряженной
заданной уравнением (1). Она показана на рисунке штриховыми линиями.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ СПИ-
РАЛЬ — плоская линия, описывае-
мая точкой М при движении ее
по вращающемуся лучу ОА так,
что расстояние от М до центра
вращения О обратно пропорцио-
нально углу поворота (см. рис.).
В полярной системе координат с
полюсом в точке О уравнение Г. с.
имеет вид р=—. Прямая, парал-
Ф
лельиая полярной осн и удаленная от нее на расстояние а. является
асимптотой Г. с.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА поверхности — точка, в ко-
торой гауссова кривизна К отрицательна. В окрестности Г. т. поверх-
ность имеет седлообразное строение.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ в комплексной области. Гиперболические функ-
ции зЬ г, сЬ 2, г, с1Ь г определяются по тем же формулам, что и в
действительной области: г = — (ег — е~2), сЬ г = —— (ег ё~г),
« 4»
зЬ г
сЬ г
с!Ь 2 =»
сЬ г
зЬг
. Для этих функция справедливы форму*
лы, имеющие место для гиперболических функций действительного ар-
гумента. Отметим формулы, связывающие гиперболические функции с
тригонометрическими: сЬ г = соз 1г, зЬ г = —«зш 1г, 1Ь г = —I 1г,
с!Ь г = : с1§ 1'г. Функции зЬ г, сЬ г однозначные аналитические во всей
комплексной области, разлагаются в С в следующие степенные ряды:
г® г®
зИг^г-Ь-зр+^-Ч- ...
^+1
+ (2л + 1)1 +
(Н г =
г2 г4 г2"
сЬг- 1 + + -4Г+ ... + “(2л)Г + —
Функции, обратные гиперболическим функциям, неоднозначны.и могут
быть вычислены по формулам:
АгзЬ г =• Ьп (г 4- У га + 1); АгсЬ г = Еп (г V г1 — 1);
АНЬ г = — Еп - ; Агс1Ьг==—-Еп—
2 1—2 2 2—1
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ—гиперболический сииус
(зЬ), гиперболический косинус (сЬ), гиперболический таигеис (1Ь),
гиперболический котангенс (с1й). Для Г. ф. имеют место соотноше-
ния, во многом схожие с соотношениями для тригонометрических
функций. Например: сЬ’х—зЬ2х= 1, сЬ2х+зЬ2х=сЬ2х, зЬ(х+у) =
-•зЬхсЬу+зЬусЬх, сЬ(х+у) =сЬхсЬу+зЬхзЬу и т. д. (См. также[2]).
Г. ф. широко используются при решении линейных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами. См. также Произ-
водные гиперболических функций, Первообразные гиперболических
функций.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ КОСИНУС — функция, определяемая
формулой сЬх=-у(ех+е-х). Множество задания Г. к. есть К, мно-
жество значений — промежуток [1, +<ю[. Функция четная, непрерыв-
ная, дифференцируемая, убывает иа промежутке ]— оо, 0], возраста-
ет иа [0, +оо[. См. также Производные гиперболических функций.
Первообразные гиперболических функций.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ КОТАНГЕНС—функция, определяемая фор-
сИ х , е* + е~х _
мулой с{Ьх == --, т. е. с1п х =-----. Множество задания Г.к.
зЬ х _ е-х
есть й\{0), множество значений — ]—со, —1 [[)] 1, +оо[. Функция
нечетная, непрерывная на множестве задания, дифференцируемая, убы-
вает иа промежутках ]—оо, 0[ и ]0, +оо[. См. также Производные
гиперболических функций.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — множество всех точек
пространства, координаты которых в некоторой декартовой прямо--
угольной системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
ха
р
и3
— — = 2г,
<1
(П
где р, у—произвольные положительные числа. Уравнение (1) на-
зывается каноническим уравнением Г.п. Г. п. симметричен относи-
тельно координатных плоскостей Охг, Оу г и оси Ог (см. рнс. 1).
Рис. 1
Сечения Г. п. плоскостями — либо гипербола, либо парабола, либо
пара прямых. Величины р и у называются параметрами Г. п., а на-
чало координат — его вершиной. На Г. п. имеются прямые. Более
того, Г. п. может быть образован движением прямой линии, которая
называется прямолинейной образующей, и поэтому является линей-
чатой поверхностью (см. рис. 2).
Т1. Через каждую точку Г. п. проходят две, и только две, его
прямолинейные образующие. Если Л1о(хо, у а, го)—точка Г. п., то
уравнения, проходящих через нее прямолинейных образующих мож-
но задать в виде:
Х—Хр У — Уо
У~р = УТ
г— г0
х —-<о у — Уо г —гд
У~ “ — У~ “ хр уо *
У Р Уч
Из этих уравнений следует, что все прямолинейные образующие (2) па»
раллельиы плоскости •/— — —7= = 0, а образующие (3) — плоско
У Р Уч
х , У п
сти У7+ УТ
Т2. Две прямолинейные образующие Г. п., принадлежащие к
разным семействам, пересекаются.
ТЗ. Любые две прямолинейные образующие Г. л., принадлежа-
щие одному семейству, скрещиваются.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ СИНУС — функция, определяемая формулой
зЬ х = (е* — е~ж). Множество задания Г. в. есть К, множество зна-
чений — тоже К. Функция нечетная, непрерывная, дифференцируемая,
возрастает. См. также Производные гиперболических функций, Пер-
вообразные гиперболических функций.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ТАНГЕНС — функция, определяемая фор-
X *
мулой Ш х —-----, т, е. 01 х =-----. Множество задания Г. т.
ей х е* +ё-х
есть К, множество значений — витервал ]—1, 1[. Функция нечетная,
непрерывная, дифференцируемая, возрастает.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — множество всех точек
пространства, координаты которых в некоторой декартовой прямо-
угольной системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
х2 _ у2
а2 Ь2
(1)
Г. Ц. можно рассматривать также как цилин-
дрическую поверхность, направляющей которой
является гипербола, выражаемая в системе
Оху уравнением (1), а образующие парал-
лельны оси Ог (см. рис.). Уравнение (1) на-
зывается каноническим уравнением Г. ц. Г. ц.
симметричен относительно каждой из коорди-
натных плоскостей, каждой плоскости, парал-
лельной плоскости Оху; каждой из координат-
ных осей; каждой прямой, параллельной оси Ох или Оу и пересекаю-
щей ось Ог; каждой точки, лежащей на оси Ог. Ось Ог называется
осью Г. ц. В сечениях Г. ц. плоскостями могут получиться одна или
две прямолинейные образующие, гиперболы с любым наперед задан-
ным углом между асимптотами.
ГИПЕРБОЛОИД — см. Двуполостный гиперболоид, Однопо-
лостный гиперболоид.
ГИПЕРПЛОСКОСТЬ— множество тачек аффинного л-мериого
пространства, удовлетворяющих уравнению а1х1+а2х2+...4-апхп +
+а«=0. Если рассматривать аффинное евклидово пространство и
ввести векторы п=(вь а2, ..., ап) и х2, ..., хп), то уравне-
ние Г. в векторном виде г-п+а=0. При п—3 Г. есть плоскость
обычного трехмерного пространства, при п=2— прямая плоскости.
ГИПЕРСФЕРА — множество точек евклидова л-мериого про-
странства, находящихся иа данном расстоянии К (радиус Г.) от
дайной точки 5 (центр Г.). Если 5(аь а2, .... а„), то уравнение Г.
имеет вид (Х] — О1)2+ (х2—а2)2+-..+ (хп— а„)2=№. При л=3 Г. явля-
ется сферой, при
п=2 — окружностью.
ГИПОЦИКЛОИДА — плоская линия,
описываемая точкой М окружности радиу-
са г, катящейся без скольжения по другой
окружности радиуса внутри иее (см.
рис.). Параметрические уравнения Г. имеют
вид:
х= (/?—г)соз т1+г соз(/—т1)\
у — (Я—г)з!п пг(—г зпф— т(),
Г п
где т=* —. В зависимости от т получаются
А
различные виды Г.: астроида, отрезок пря-
мой, циклоида и др.
ГЛАВНАЯ ДИАГОНАЛЬ квадратной матрицы —см.
Квадратная матрица.
ГЛАВНАЯ НОРМАЛЬ простраиствеиной линии. Пусть
$—натуральный параметр линии г =/(«). Тогда вектор г = “Г; =“
Да»'
а -
= — I г I перпендикулярен к вектору г , направленному по касатель-
ной к линии, и, следовательно, направлен по нормали к линии в рас-
сматриваемой точке. Эту нормаль называют Г. и. линии (см. рис. к
ст. Сопровождающий трехгранник). Для линии, заданной векторно-
параметрическим уравнением г = г (I), уравнение Г. и. есть р = г +
+ X [[ г', г"], г'], для параметрических уравнений х-=х(/), у = у(1),
2 «= г + 1 (р' | | | х* |)’
Единичный вектор Г. и. обозначают п:
ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО ВИДА функции /
около точки а —многочлен Рп (х) = с0 + сг (х — а) + ...+спх
X (х — а)л, обладающий свойством: / (х) — Рп (х) = о ((х — а)я) при
равносильно условию Нт —-----= 1). При выделении Г. ч. бы-
Х-»й Рп (х) /
вает удобно пользоваться основными разложениями по формуле Тейлора:
X х^ хп
е* = 1 -р "]|"+ "21” + • • • ~Р ~Ц] + 0 (•*”)> *-*0;
? х5
8|пх=л___+__
.т— 1 2т— 1
созх=1--+т-
(2т — 1)!
(2т)!
+ о(х2т);
+ о(х
№ х$
1п(14-х) = х-—+ —- ... +(-!)'
4 О
— + о (хп);
п
(1+х)“
ах
ТГ
а(а — 1) ... (а —л+1) _
— ------—-------2—' хя + о (Xя);
уЗ уЗ
агс(бх = х--3- + -5-- ... 4- (-1)”1-1 2т _ 1" + о (х2"1)-
ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ РЯДА ЛОРАНА — см. Ряд Лорана в
окрестности особой точки.
ГЛАВНАЯ ЧАСТЬ СТЕПЕННОГО ВИДА — см. Эквивалентные
бесконечно малые.
ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ АРГУМЕНТА КОМПЛЕКСНОГО ЧИС-
ЛА — см. Аргумент комплексного числа.
ГЛАВНОЕ ЗНАЧЕНИЕ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА. Пусть
функция / интегрируема иа любом конечном отрезке. Если существует
А 4-оо
конечный предел Пт | / (х)<1х, то он называется Г.з.и.и. У / (х)йх
Д->4-оо —А —оо
4-со
и обозначается V. р. | ((х) Лх. Таким образом,
—00
4-00 А
V. р. р(х)4х = Пт | /(х)4х.
—со А—н»
Подобным образом определяется и главное значение несобственного ин-
теграла второго рода:
Ь / С—7] & \
V. р. р (х) Лх = Нт | / (х) йх + ( / (х) Ох 1
а Ч-Н-О \ а СД.Ч /
(предполагается, что / ие ограничена в окрестности точки с, а<с<6).
Расходящийся несобственный интеграл может существовать в смыс-
ле главного значения. Если же несобственный интеграл сходится, то
существует и его главное значение, причем оио совпадает со значе-
нием интеграла.
ГЛАВНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОЛЯРНОГО УГЛА —см. Полярная
система координат.
ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ поверхности в точке — наи-
большая и наименьшая кривизны нормальных сечений поверхности
в этой точке. Соответствующие нормальные сечения называются
главными нормальными сечениями поверхности. В каждой точке
поверхности, ие являющейся омбилической, существует два взаимно
перпендикулярных главных нормальных сечения. Г. к. к{ и йа есть
корни характеристического уравнения поверхности
1Е6-Р)ка-(ЕП+Ь6-2ГМ)к+ЬП-М*=0,
где Е, Р, О — коэффициенты первой, а Е, М, И — коэффициенты вто-
рой основных квадратичных форм поверхности.
ГЛАВНЫЕ МИНОРЫ квадратной матрицы А=(ац)
порядка п — миноры
> „ ।_„ I вы ап
1аи । = 011> I я21 ааа
вы 01а Я1з
0а1 022 023
031 032 Озз
.... /Л|.
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ линии (поверхности)
второй степени — направления ортогональных собственных
векторов матрицы квадратичной формы, соответствующей уравнению
линии (поверхности).
ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ — иаправле
иия главных нормальных сечений (см. Главные кривизны). Г. и.
ди : до находятся из уравнения
I Еди + Мдо Мди Идо I п
| Еди + Рдо Рди + бдо | = ’
где Е, Р, О — коэффициенты первой, а Е, М, П—коэффициенты вто-
рой основных квадратичных форм поверхности.
ГЛАВНЫЕ НОРМАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ поверхности —см.
Главные кривизны.
ГЛАВНЫЕ ОСИ ц е и т р а л ь и о й линии или централь-
ной поверхности второй степени — оси симметрии ли-
нии (поверхности). Если линия (поверхность) задана общим урав-
неиием, то Г. о. имеют направления собственных векторов матрицы
квадратичной формы, соответствующей уравнению линии (поверх-
ности) .
ГЛАДКАЯ ЛИНИЯ — см. Линия.
ГЛАДКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — см. Поверхность.
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ порядка п — функция [, имеющая иа
множестве задания производные порядка п, причем /,<и> непре-
рывна. Если порядок гладкости ие указан, то обычно предполагают
его настолько высоким, что все аналитические действия, выполняемые
над функцией в ходе рассуждения, осуществимы.
ГЛОБАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ—см. Глобальный
экстремум функции нескольких переменных, Экстремальные значе-
ния функции.
ГЛОБАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕ-
МЕННЫХ. Пусть функция и — /(хг, ..., х„) определена иа множестве
О из п-мериого евклидова пространства К". Точку из О назовем точ-
кой минимума / иа О и обозначим хт1п, если / (хт1п) “ тт /. Если,
кроме того, для Ухе Г), х + хт)п, следует, что /(х)=И=/(хт)п), то
хт1п — точка строгого минимума иа О. Аналогично определяются точ-
ки максимума и строгого максимума функции / на О. Общее назва-
ние; точки экстремума, точки строгого экстремума. Чтобы подчерк-
нуть отличие этих точек от точек локального экстремума, их называют
точками глобального экстремума (глобального минимума и глобаль-
ного максимума). Если О — компакт и функция / непрерывна на О,
то точки глобального минимума и глобального максимума обязательно
существуют. Если, кроме того, предположить, что ( дифференцируема
иа множестве О и границу дИ можно задать с помощью соотношений
Л(Х1, .... х„) = 0;
, ?г ......хп)~, б,
то найти точки глобальных максимума и минимума можно следующим
образом: находят все точки х(₽) = (х{₽\ ..., х*/’’) возможного экстре-
мума функции { внутри О, затем все точки х(1?' => (х^....х^) воз-
можного условного экстремума функции / при наличии связей Гг =•
= 0...... Рг*=0. Тогда пип/«= пип }/(х(₽)), птах/=
д ₽, е о
=тах {/(х<р)), I (х<’>)},
₽> 9
ГОДОГРАФ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Будем откладывать значения
вектор-функции г (/) от фиксированной точки О, т. е. при каждом
значении I построим направленный отрезок ОМ, изображающий вектор
г (/). Множество всех построенных таким образом точек М называется
Г. в.-ф. /(/)• Если вектор-функцня г (I) определена и имеет произ-
водную г' (0 на ]а, Ь[, причем ни при каком значении / € ]о, Ь[ эта
производная не обращается в нуль, то Г. в.-ф. г(1) является линией.
—> —>
Если в некоторой точке М (/0) г' (/о) + 0, то вектор т’ (/о) колли-
иеареи касательной к годографу в точке М. Если г' (/о) = г" (/о) =
— ... •= г = 0, г<А) (/») 0, то касательная к годографу в
точке Мо коллинеарва вектору г Аналогично определяется
—> —►
Г. в.-ф. г (и. о). Если в некоторой точке Ма (и0, о0) ги (и0, Оо)^
'Я- го («о. °о), то в окрестности этой точки Г. в.-ф. является элемен-
тарной поверхностью.
ГОЛОМОРФНАЯ ФУНКЦИЯ—1) Г. ф. в точке—функция,
представимая в окрестности этой точки сходящимся степенным
рядом.
2) Г. ф. н а множестве—функция, голоморфная в каждой
точке множества. В теории функций комплексного переменного чаще
употребляется термин аналитическая функция.
ГОРЛОВОЙ ЭЛЛИПС о д н о п о л о е т н о го гиперболои-
да — см. Однополостный гиперболоид,
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ. Пусть функция и (г) = и (х, у,
г), определяющая скалярное поле, непрерывно дифференцируема. Г.с.п.
ди -» ди -* ди-*
называется вектор 8гаа и =• — * +-/ + Т- « • Г. с. п. в данной
дх ду дг
точке Р (х, у, г) направлен по нормали к поверхности уровня и (х, у,
г) = С, проходящей через точку Р. Этот вектор по величине | §габ и |=
Иди \2 / ди\% /ди\2
_7 I □_ (—1 I — I и направлению дает наибольшую ско-
дх ) \ ду ) \ дг /
рость изменения функции и. Точки в которых Г.с.п. равен нулю, на-
зывают особыми точками скалярного поля. Справедливы следующие
свойства Г.с.п.: 1) §га<1с = О, с = соп«1; 2) §гад (и 4- о) = §гад и +
, , и V §га<1 и—и стад »
4-§га<1 о; 3) §га<1(1«/)=1/йгаа и4-и§гадо; 4) §гас1 -;
5) §га<1 / (и.) = (' (и) §гад и.
Г.с.п. с помощью оператора Гамильтона можно записать в виде
§га<1 и = уи.
ГРАНИЦА МНОЖЕСТВА — см. Граничная точка множества.
ГРАНИЦА ПОГРЕШНОСТИ —см. Погрешность.
ГРАНИЦА ПРОСТОГО КУСКА ПОВЕРХНОСТИ — см. Простой,
кисок поверхности.
ГРАНИЦЫ КОРНЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ /(*)“
= аох" + аре"-1 4- ... 4-ап_,х ал = 0. 1. Многочлен с ком-
плексными коэффициентами. Верхняя граница модулей кор-
ней есть 1 , где А = шах {| аг |, | о» |.| ап |).
I Оо|
2. Многочлен с действительными коэффициен-
тами (для определенности считаем Оо>0). Верхняя граница положи-
тельных корней 1 4-. у/ В/а» , где к — номер первого из отрицатель-
ных коэффициентов; В — наибольшее число из модулей отрицательных
коэффициентов. Нижняя граница положительных корней 1/л», где А1—
верхняя граница положительных корней многочлена <Р1(х) = хп [
Верхняя граница отрицательных корней — 1/АГ», где М» —верхнян гра-
ница положительных корней многочлена <Рз(х) = хп(^——Нижняя
граница отрицательных корней —А3, где Аз — верхняя граница поло-
жительных корней многочлена <рз(х) = /(—х).
Замечание. Для отыскания верхней границы положительных кор-
ней иа практике пользуются также методом Ньютона: если для многочлена
1(х) с действительными коэффициентами и старшим коэффициентом Оо>0
}(с)>0, Г(с)>й, ...» Г (с)>0, то с служит верхней границей положительных
корней.
ГРАНИЧНАЯ ЗАДАЧА — дифференциальное уравнение вместе
с граничными условиями. При п=2 примером граничной задачи иа
[а, Ь] служит у"=1(х, у, у'); у (а)—А, у(Ь)—В. Геометрический
смысл задачи: построить линию уравнения, которая проходит через
точки (а, А) н (Ь, В). При известном общем решении У=У(х, Си С8)
для разрешения граничной задачи составляют систему соотношений
у (а, С1, С») = Л;1
у (б, С1, Са) =“ В.)
Если последняя имеет решения С1 = С1, С» = С», то граничная задача
разрешима, и ее решением будет у = у (х, Сз, Сг).
ГРАНИЧНАЯ ТОЧКА множества ЕсК"—точка, любая
окрестность которой содержит как точки, принадлежащие Е, так и
точки, не принадлежащие Е. Г. т, может н не принадлежать мно-
жеству. Совокупность всех граничных точек множества Е называют
границей множества Е и обозначают дЕ. Объединение Е с дЕ назы-
вают замыканием множества Е и обозначают ~Ё\ таким образом,
Е=Е дЕ. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно
совпадает со своим замыканием.
граничные условия — дополнительные условии, налагае-
мые иа решение дифференциального уравнении и отиосящиеси к раз-
ным значениям аргумента, например условия у(а)=А, у(Ь)=В для
уравнения у"=((х, у, у').
ГРАФИК ФУНКЦИИ. Пусть / определена на множестве ХсК.
Множество точек плоскости Гу=« {(х, /(х))|х^Х} называется Г.ф. /.
См. также Общая схема построения графика функции.
ГРАФИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО УРАВНЕНИЯ первого порядка — см. Поле направле-
ний дифференциального уравнения.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВ-
НЕНИЯ — см. Приближенное решение дифференциального урав-
нения.
ГРУППИРОВКА ЧЛЕНОВ ЧИСЛОВОГО РЯДА—см. Дей-
ствия с числовыми рядами.
ГУРВИЦИАН МНОГОЧЛЕНА ((х) =аох»+а1х»-'+...+а„-1х+
+ап — определитель
й1 По 0 0 •. * О
а3 а^ аг ао ... О
а3 01 аз аз ... О
а, а« а3 ... О
0 0 0 0 а„
(при построении Г. м. удобно пользоваться соглашением, что а^=0,
если /<0 или />п). См. Критерий Гурвица.
ДВИЖЕНИЕ — преобразование пространства (плоскости), нри
котором расстояние между точками ие нзмеияется. Различают соб-
ственное Д. (Д. первого рода) н несобственное Д. (Д. второго рода)
в зависимости от того, сохраняет оно илн не сохраняет ориентацию
пространства. На плоскости в прямоугольной декартовой системе
координат собственные Д. задаются формулами:
Х'=Х СОЗф— у 31П ф+О|
|^=А'ЗШ ф+#С05ф+&,
откуда следует, что собственное Д. представляет композицию вра-
щения вокруг начала координат на угол ч> н параллельного переноса
иа вектор р= (а, Ь). Всякое собственное Д. на плоскости есть или
параллельный перенос, нли вращение вокруг некоторой точки. Не-
собственные Д. плоскости задаются формулами:
х' = х сое ф 4- у 81п <р а;
у’ = х зш ф — у с оз ф -)- Ь.
Несобственное Д. есть произведение собственного Д. иа преобразова-
ние симметрии относительно некоторой прямой. В пространстве в пря-
моугольной декартовой системе координат Д. задаются формулами:
х' •= аих 4- ««у 4- «1зг + аг;
у’ = аих 4- а22у 4- а^г + а»;
г' = ацХ 4- ам» + а»г 4- а»,
в которых матрица А=(ау), I,/«= 1, 2, 3, ортогональна. При этом Д.
является собственным при |А| = 1 и несобственным при | А |=—1
Л
Аналогичными формулами
/= 1, 2, ....
п, с теми
же условиями на матрицу А = (ау) определяются Д. в евклидовом
п-мерном пространстве.
ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ. Для любых трех век-
—►
торов а, Ь и с справедливы формулы:
[^, [б, с]] = б(а-с)—с(а-б);
[[а*, К], = Ь ( а • с) — а ( Ь • с).
ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ функции /, заданной иа квад-
рируемом множестве Д с: К*, — предел интегральных сумм
л
Л=1
при диаметре разбиения б, стремящемся к нулю. Если Пгпа = / су-
5--0
ществует, конечен и ие зависит ни от разбиения множества Д, ни от
выбора точек Мк Ок, то функцию ( называют интегрируемой е
смысле Римана иа множестве Д, а число / называют Д.и. от функции
( по множеству Д и обозначают уу ((х, у) йхйу. Необходимым уело-
о
вием интегрируемости функции ( иа множестве Д является ее ограни-
ченность. Всякая ограниченная функция [, непрерывная на квадрируе-
мом множестве Д, интегрируема в смысле Римана иа этом множестве.
Если ограниченная на квадрируемом множестве Д функция / имеет раз-
рывы лишь иа конечном числе спрямляемых линий, то она интегрируема
на множестве Д. Основные свойства Д.и.:
1. Аддитивность. Пусть Д => Д11)Д», а Дх и Д» ие имеют
общих внутренних точек. Тогда
И / (х, У) Шу “ УУ ((*> У) Шу + УУ / (X, у) Шу,
6 01 о,
причем существование интеграла в левой части равенства влечет су-
ществование интегралов в правой, и наоборот.
2. Линейность. Если / в интегрируемы на множестве Д,
а а н р — числа, то функция а[ + Р# также интегрируема на Д и
УУ (а/ (х, у) + Ря (х,у)) Шу = а уу / (х, у) Шу + Р у{я (х, У} Шу.
о о о
3. Если функции / н й интегрируемы на множестве Д, то н
интегрируема иа Д.
4. Если / и 8 интегрируемы на множестве О и /(х, у) <8(х, у)
для V (х, у) € О, то
|р(х, у) 4хЛу < у (х, у) Шу.
о о
5, Если / интегрируема на множестве О, то и | /1 интегрируема
иа О, причем
ЩИ*, У) <Шу | < И | Г (х> У) | ^У-
(Отметим, что из интегрируемости функции | /1 на Р иа следует ин-
тегрируемость / иа О.)
6. Теорема о среднем. Если функции / и у интегрируемы
иа множестве Р, #(х, </)>0 для V (х, у) € О (# (*.</) <а0)> М ==
= зир /(х, у), т*= 1Ш /(х, у), то Яр, т<р<Л4, такое, что
(х, и'ЦО (х,
и {(*• У) у У) йхЛУ “ Р |5 е (X, у) Шу.
В частности, если / непрерывна на множестве й, а множество О связно,
то Я (5, 1)) € О, такая, что
И / (х. У) 8 (х, у) Шу = / (^, х]) 15 8 (х, у) Шу.
о о
7. Л Ахйу = пл. Р (площадь множества Р).
о
ДВУПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД — множество
странства, координаты которых в некоторой декар-
товой прямоугольной системе координат О хуг удои-
летворяют уравнению
ха иа 2я
— + —— —
аа Ьа са
где а, Ь, с — произвольные положительные числа.
Уравнение (1) называется каноническим уравне-
нием Д. г. Д. г. симметричен относительно каждой
из координатных плоскостей, каждой из коорди-
натных осей и начала координат (см. рис.). На-
чало координат — центр симметрии Д. г.— назы-
вают его центром. Сечения Д. г. плоскостями —
либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо 0.
Для представления о форме Д. г. в удаленных точках рассмотрим
одновременно с ним конус
аа 62 с’
(2)
Эллипсы пересечения плоскостей г=й с Д. г. (1)' н конусом (2) при
неограниченном возрастании |Л|, стремятся слиться, при этом Д. г.
сколь угодно близко примыкает к конусу, находясь внутри него. Ко-
нус (2) называется асимптотическим конусом Д. г. (1). Величины
2а, 2о, 2с (а также соответствующие им отрезки) называются осями
Д. г. Если а = Ь, Д. г. называется двуполостным гиперболоидом вра-
х1 г2
щения. Он может быть получен вращением гиперболы —----—=—I.
расположенной р плоскости Охг, вокруг оси Ог.
ДВУСТОРОННЯЯ ПОВЕРХНОСТЬ —см. Ориентация поверх-
ности.
ДВУСТОРОННЯЯ УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ —см. Устой-
чивость решений линейного дифференциального уравнения.
ДВУЧЛЕН — см. Многочлен.
ДВУЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ—уравнение вида хп — а =» 0, где
а?С, п С М. В поле комплексных чисел Д.у. имеет п корней, кото-
рые в комплексной плоскости располагаются на окружности с центром
в начале координат и радиусом, равным арифметическому корню п-й
п /—- ! <тН“2лй
степени из | а |. Корни Д.у. имеют вид ак = у | а 1I соз —--Е
<р-Е2лй\
+Ып-------‘I, й — 0, 1, 2, .... п—1, где <в = аге а (см. Иэвлече-
п /
ние корней из комплексных чисел).
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА —см. Квадра-
тичная форма.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ МАТРИЦА — матрица А=(ао), все эле-
менты ац которой — действительные числа (а^ € К).
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ОСЬ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ —
см. Комплексная плоскость.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ПОЛУОСЬ ГИПЕРБОЛЫ — см. Гипер-
бола.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА —см.
Комплексные числа.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Ли-
нейное пространство.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО, вещественное число, имеет ана-
литическое выражение в виде бесконечной десятичной дроби. Если
дробь периодическая, то Д. ч. является рациональным, в остальных
случаях — иррациональным. Между Д. ч. и изображающими их точ-
ками координатной прямой существует взаимно-однозначное соот-
ветствие (биекция). Множество всех Д. ч. обозначают В н называют
числовой прямой. К есть числовой промежуток ]— оо, +оо[.
ДЕЙСТВИЯ С ЧИСЛОВЫМИ РЯДАМИ. 1. Линейная комбинация
СО 00 00
рядов. Если ряды 2 ак и 2 ^к сходятся, то сходится и ряд 2 (аа*+
*=1 А=1
+ (а, 0 —постоянные), при этом
со 90 00
+ Р*а) “ “
СО
2. Группировка членов ряда. Сгруппируем слагаемые ряда 2 ак,
объединив без изменения порядка следования по нескольку (конечное
со
число) членов ряда. Получим некоторый новый ряд 2 Ьк. Если ряд
А=1
°° #
2 ак сходится, то сходится и ряд 2 Ьк. Раскрытие скобок в ряде в
к—1
общем случае недопустимо, однако: если после раскрытия скобок по-
лучается сходящийся ряд, то раскрытие скобок возможно; если в каж-
дой скобке все слагаемые имеют один и тот же знак, то раскрытие
скобок не нарушает сходимости и не изменяет величину суммы.
3. Перестановка членов ряда. Если ряд сходится абсолютно, то
любой ряд, полученный из него перестановкой членов, также схо-
дится абсолютно и имеет ту же сумму, что и исходный ряд. Если
ряд сходится условно, то для любого А (в том числе А = + оо,
А = — оо) можно так переставить члены этого ряда, что преобразо-
ванный ряд сходится к А (расходится к +оо, — оо).
См. также Произведенив числовых рядов.
ДЕКАРТОВ ЛИСТ —плоская линия,
уравнение которой в декартовой прямо-
угольной системе координат имеет вид
х3+у3—Заху=0. ПряМая х+у+а=0 являет-
ся асимптотой Д. л. (см. рис.). Параметри-
ческие уравнения Д. л. можно представить
в виде
За/ За/1
х =-------: и =----•
1 +/* 1 +/»
Полярное уравнение Д.л.
а 81п <р соз ф
31П 3 ф + соз3 ф *
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ линейныхпространств.
Пусть У — линейное пространство. Рассмотрим множество всевозмож-
ных пар (~х, ~у), где х , у € У- Это множество называют Д.п. и обоз-
начают У X V. Если иа множестве V X У ввести операции иад векто-
рами по правилам:
1) С*ь_Т1)_+ (хг, ±1) = ( «1 + *з. У1 + {/а);
2) а(хъ У1) —(ахь ауд,
то оно превращается в линейное пространство.
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ ТОЧКИ —см. Декартовы си-
стемы координат.
ДЕКАРТОВЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИ-
НАТ—1) Д. п. с. к. на плоскости. Если базисные векторы
и ег декартовой системы координат на плоскости взаимно перпенди-
кулярны и |е1| = |е2| = 1, то говорят, что построена Д. п. с. к. Для
нее векторы в1 и еа принято обозначать соответственно / и /, а коор-
динаты точек — х и у. При этом первую ось называют осью абсцисс,
вторую— осью ординат, а координаты точки М(х, у)—соответ-
ственно абсциссой и ординатой. Отметим, что х=ОМх и у = ОМ1)
есть координаты ортогональных проекций точки М на оси Ох н Оу
(см. рис. 1). Координатные прямые разбивают иа четыре части мно-
жество тех точек плоскости, которые не лежат на этих прямых.
Каждая из этихчастей называется координатной четвертью или
квадрантом.
2) Д. п. с. к. в пространстве — простейшая из декартовых
-► "*
систем координат. В этом случае базисные векторы в], е3, е3 попарно
перпендикулярны и длина каждого из иих, измеренная масштабной
единицей, принятой для всего пространства, равна единице. Для
нее векторы еь ег, е» принято обозначать соответственно (, /, к, а ко-
ординаты точек — х, у и г. При этом первую ось называют осью
абсцисс, вторую — осью ординат, третью — осью аппликат, а коор-
динаты точки М(х, у, г)—соответственно абсциссой, ординатой и
аппликатой. Отметим, что х—ОМх, у^ОМу, г^ОМ, есть координа-
ты ортогональных проекций точки М иа оси Ох, Оу, Ог (см. рис. 2).
3) Д. п. с. к. точечного евклидова пространства
Еп (т. е. аффнииого евклидова пространства) — система координат,
у которой базис соответствующего линейного пространства ортоиор-
мярованный.
ДЕКАРТОВЫ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ — 1) Д. с. к. н а пря-
мой. Возьмем иа прямой Д две несовпадающие точки О и Е (см.
рис. I). Точку О назовем началом координат, точку Е — единичной
точкой. Отрезок ОЕ примем за мае- п р м
штабную единицу для измерения _______- \ • ?
длин. Введем иа прямой Д поло- Л
жительное направление, совпадаю- Рис. 1
щее с направлением вектора ОЕ (противоположное направление на-
зовем отрицательным). Вектор е^ОЁ называют также базисным
вектором или просто базисом. Прямую Д с выбранными иа ией на-
чалом, единичной точкой и направлением называют координатной
осью или координатной прямой. Полупрямую, идущую от точки О
в положительном направлении, называют положительной полуосью,
в отрицательном — отрицательной полуосью. Координатой (декарто-
вой координатой) точки М координатной оси называют величину
вектора ОМ. Обозначив ее буквой х, по определению имеем х=ОМ.
Запись: М(х). В результате устанавливается взаимно однозначное
соответствие между точками координатной оси и множеством дей-
ствительных чисел Я (см. Числовая прямая).
2) Д. с. к. и а плоскости. Пусть О — некоторая точка, ей
—►
еа — два иеколлииеарных (линейно независимых) вектора плоскости.
Тройка {б; «1, еа} называется Д.с.к. на плоскости, или аффинной си-
стемой координат, или репером. Отложим векторы е1 и ег от точки
О, т. е. построим направленные отрезки ОЁ± — е± н ОЁъ = еа. Эти от-
резки определят две координатные оси: 0x1 и Ох^. Точку О называют
началом координат, векторы е1( еа—базисными векторами, ( *!, еа)-^
базисом плоскости. Произвольный вектор а плоскости можно единст-
венным образом представить в виде а => хм хаеа. Коэффициенты ха
и ха в этом разложении называются координатами (компонентами)
вектора а в системе координат {б; еа, еа{. При этомХ1И ха являют-
ся координатами вектора а, спроецированного иа оси Оха и Оха па-
—►
раллельно осям Оха и Оха соответственно (см. рис. 2). Запись: а (ха,
ха) или а=(Х1, ха). Координатами произвольной точки М (декарто-
выми координатами или аффинными координатами) называют коор-
динаты ее радиус-вектора 6Й. Запись: М (ха, ха). В результате уста-
навливается взаимно однозначное соответствие между точками коорди-
натной плоскости и множеством Ка упорядоченных пар действительных
чисел. На плоскости различают правые и левые декартовы системы
Рис. 2
Рис. 3
координат. Частным случаем Д.с.к.
система координат иа плоскости.
является декартова прямоугольная
3) Д.с.к. в пространстве. Пусть О — некоторая точка,
в1, ег, е» — три некомпланарных (линейно независимых) вектора. Чет-
верка (О; «1, еа, е3) -называется Д.с.к. в пространстве, или аффинной
системой координат, или репером. Отложим векторы «1, еа, е3 от
точки О, т. е. построим направленные отрезки ОЕГ = ег, ~3~Ез = еа,
ОЕз =» ез. Эти отрезки определяют три координатные оси 0x1, Оха, Ох3.
Точку О называют началом координат, векторы е^, ег, е3—базисны-
ми векторами, ( еь е2, е3) — базисом пространства. Три плоскости,
определяемые попарно координатными осями, называются координатны-
ми плоскостями соответственно 0Х1Ха, Ох&з, Ох2х3. Эти плоскости
делят пространство иа восемь частей, которые называются координат-
—►
ными октантами. Произвольный вектор а пространства можно един-
—►
ствеиным образом представить в виде а = х^ хаеа + х3е3. Коэффи-
циенты Хх, ха, Хз в этом разложении называются координатами (ком-
понентами) вектора а в системе координат {б; 61, еа, еа}. При этом
Х1, ха и Хз являются координатами вектора а, спроецированного иа оси
0X1, Охз и Охз параллельно соответствующим координатным плоско-
стям (см. рис, 3). Запись: а(Х1, ха, ха) или а=(Х1, ха, х3). Коор-
динатами произвольной точки М (декартовыми координатами или
аффинными координатами) называют координаты ее радиус-вектора
6Й. В результате устанавливается взаимно одвозначиое соответствие
между точками пространства и множеством Я* упорядоченных троек
действительных чисел. В пространстве различают правые и левые де-
картовы системы координат. Частным случаем Д.с.к. является декар-
това прямоугольная система координат в пространстве.
4) Д.с.к. в аффинном пространстве. Д.с.к., или аф-
финной системой координат, или репером, в пространстве Ап назы-
вается совокупность
{б; «1, е«. .... «л}> (О
составленная из некоторой точки 0(йл и базиса (7) => ( еа, ....
~еп) соответствующего линейного пространства Уп. Координатами точ-
ки (декартовыми координатами или аффинными координатами) в
репере (1) называются координаты хг, ха, ..., хп ее радиус-вектора
ОМ в базисе (е), т. е. коэффициенты в пазложеиии ОМ = х^т +
4- хаеа 4- ... хпеп.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ — см. Про-
стое отношение трех точек.
ДЕЛИТЕЛЬ МНОГОЧЛЕНА. Пусть/(х) и §(х) — ненулевые
многочлены с комплексными коэффициентами. Если остаток от де-
ления /(х) иа р(х) равен нулю, т. е., как говорят, /(х) делится на
§(х) (запись: цх) ]^(х)), то многочлен §(х) называется Д. м. /(х).
Многочлен §(х) тогда и только тогда будет Д. м. /(х), если сущест-
вует многочлен <Р(х), удовлетворяющий равенству /(х)=#(х)<р(х).
Если многочлен /(х) и его делитель §(х) имеют рациональные или
действительные коэффициенты, то и многочлен Ф(х) будет иметь со-
ответственно рациональные или действительные коэффициенты. См.
также Свойства делимости многочленов.
ДЕТЕРМИНАНТ — то же, что определитель. __
ДЕФЕКТ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА —см. Ядро линейного
оператора.
ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица, у кото-
рой все элементы, расположенные вне главной диагонали, равны
нулю. Д. м. порядка п имеет вид
Й1
о
о
о
а»
О
О
О
аз
О
О
о
\0 О
Если все числа аь а», ..
О
Я/г
а« равны между собой, Д. м. иазыва-
ется скалярной.
ДИАМЕТР ЛИНИИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ — прямая, иа которой
лежат середины всех параллельных хорд иеасимптотического на-
правления. Для эллипса это произвольные прямые, проходящие че-
рез центр, для гиперболы — прямые, проходящие через центр (кроме
асимптот), для параболы — ось параболы и все параллельные ей
прямые. Если направление задается вектором а=«(/, т), то соответ-
ствующий ему Д. л. в. с. ацХ2+2а12х(/+а22(/2+2а1Х+2а2//+а=О за-
дается уравнением (ацх+а12(/+а1)Л- (а12х+а22у+а2)т=0.
ДИАМЕТР РАЗБИЕНИЯ — см. Разбиение множества.
ДИАМЕТРАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ поверхности второй
степени — плоскость, содержащая середины всех параллельных
хорд иеасимптотического направления. Если это направление зада-
ется вектором а=»(/, т, п), то уравнение Д. п. есть (ацХ4-а1гу4-
4-013x4-01)14- (О12Х4-а22{/4-о2з24-о2)т4- (013x4-023^4-033x4-03)71=^0. См.
Поверхность второй степени.
ДИВЕРГЕНЦИЯ, расходимость векторного поля. Пусть а=
—
=а(Р)=ах1+аУ1+а1к — векторное поле, 5 — некоторая замкнутая
поверхность в этом поле, ограничивающая объем V, П -» || апа8 —
з
поток векторного поля через поверхность 5. Тогда П/У показывает
среднее количество жидкости (см. Поток векторного поля), посту-
пающей из единицы объема внутри поверхности 5 за единицу вре-
мени, или, как говорят, среднюю удельную обильность источников
и стоков, находящихся внутри V. Чтобы получить характеристику
удельной обильности источника (стока) в каждой отдельной точке,
поступим следующим образом. Рассмотрим некоторую точку Р век-
торного поля а и заключим ее внутри небольшой поверхности 5,
например внутри сферы достаточно малого радиуса. Объем, ограни-
ченный 5, обозначим через ДУ. Тогда П/ДУ дает среднюю удельную
обильность. Предел этой величины (если он существует), когда
ДУ->0 и ДУ стягивается в точку Р, называется дивергенцией век-
тора а и обозначается через <Ну а:
д1у^=Пт -7-|СапЛ5.
дун-о Ди Лд
Д. в. п. есть скалярная величина. Оиа образует скалярное поле в дан-
ном векторном поле. Учитывая физическое значение потока вектор-
—
вого поля, говорят, что при 61У а>0 точка Р представляет собой
—►
источник, откуда жидкость вытекает, а при <Пуа<0— сток, погло-
щающий жидкость; другими словами, в точках поля с положитель-
ной дивергенцией векторные линии начинаются, а в точках поля с
отрицательной дивергенцией — кончаются.
Замечание. Как следует из предыдущих рассуждений, интенсив-
ность источника (стока) в точке Р характеризуется Д.в.п. в этой точке и
Может быть принята равной дивергенции или пропорциональной ей. Обычно
в физике интенсивностью (платностью) источников или стоков принято счи-
1
тать величину-^ а (т. е. выбирать коэффициент пропорциональности
равным 1/4Я). Такой выбор коэффициента пропорциональности объясняется
тем, что для плотности р объемного заряда дивергенция электростатического
поля равна 4лр.
В координатной форме
_ дах дау даг
<Ну а - -| }- .
С помощью оператора Гамильтона Д.в.п. можно записать
кратко: <Иу а = \а.
Справедливы следующие формулы: <Пу с •= 0, с = сопз!; <1 (V ( а4-
+ *)™ <31у а 4- (Ну Ь; <Ну са = с <Ну а, с==согк1; <31у (иа)=шНу а+
4-аВга<1и; 61У («?)«= с^габи, с«=соп5(; <Пу7««3; <йу (бгаб и) =
д^и (Ри (Ри
— (см. Оператор Лапласа),
ох* ду* &Р
Выражение Д.в.п. в цилиндрических координатах
- 1 ( д ( \ йаФ даг \
й1у а — — — ра0 • 4—-— 4- р —-— ,
р I др I ₽ ] дф дг 1
в сферических координатах
_ 1 / д д да- \
д‘у а =• "р^пё" <др (%р’ 5’п 9) + р дё <ае8,п 0) + р ~д^~)•
ДИЗЪЮНКЦИЯ — см. Символика математической логики.
ДИКРИТИЧЕСКИЙ УЗЕЛ — см. Фазовая плоскость.
ДИСКРЕТНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА — случайная вели-
чина множество значений которой конечно или счетно. Из этого
определения следует, что любая случайная величина, заданная иа
дискретном вероятностном пространстве, является дискретной. Со-
вокупность значений Хь х2, .... х», ... Д. с. в. 5 и соответствующих
этим значениям вероятностей рь р2, ..., рь, ... (рА=Р(§««х*)) назы-
вают распределением Д. с. в. |. Заметим, что 2р* = 1. Функция рас-
пределеиия Д. с. в. может быть записана в виде
г6(х)= 2 рк.
к:хк<х
Это функция ступенчатого типа. Она терпит разрыв в точках Хь Хг,
..., Хк, ..., причем в точке х* имеет скачок
(хл + 0) - (хк - 0) = Р $ = хк) = рк,
ДИСКРЕТНОЕ ВЕРОЯТНОСТНОЕ ПРОСТРАНСТВО —см.
Аксиомы теории вероятностей.
ДИСКРЕТНОЕ ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫ-
ТИЙ — см. Пространство элементарных событий.
ДИСКРЕТНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР— случайный вектор
....... 6п), все компоненты А=1, 2, .... п, которого — дискрет-
ные случайные величины.
ДИСКРИМИНАНТ МНОГОЧЛЕНА /(х) = аохя + а1хп-,+...+
+ «л-!* + — число = П (а, — <х,)2, где ар а2.......
ап — корни многочлена /(х). Д.м. равен нулю тогда и только тог-
да, когда многочлен имеет кратные корни. Формула
"(д-р
ЖЛГ)“(-1) 2 аоО(Л.
где Ц({, (') — результант многочлена ((х) и его производной, позво-
ляет выразить Д. м. через его коэффициенты. В частности, для трех-
члена }(х) =ах*+Ьх+с (Дт^О, а, Ь, В) В=Ь2—4ас. В этом случае,
если В>0, трехчлен имеет два действительных различных корня,
если В=0— одни двукратный действительный корень, если В<0—
два комплексио-сопряжеииых корня.
ДИСКРИМИНАНТНАЯ ЛИНИЯ о д и о п а р а м е т р и ческо-
го семейства линий — см. Огибающая однопараметрического
семейства линий.
ДИСПЕРСИЯ случайной величины 5 с математи-
ческим ожиданием А45— число Л15)’ при условии,
что математическое ожидание в правой части этого равенства су-
ществует. Д. является мерой рассеяния значений случайной величи-
ны около ее среднего значения. Д. можно также представить в виде
В общем случае Д. может быть иычислеиа по
формулам
4-» 4-** /4-** \2
ВЕ “ У (*- м$* ар* (х) - / х»аг{ (х) - / хаг{ (х) .
— ОО — СО [
где Р^ (х)—функция распределения 5. и интегралы понимаются в
смысле Стилтьеса. Для абсолютно непрерывной случайной величи-
ны 6 с плотностью вероятности р^ (х)
05= / (*— (х)йх^ | х’рЕ(х)Лг— У хр1(х)Ох'\.
Если 5— дискретная случайная величина с распределением
/Х1 х,...хл\
\Р1 Р1...РкГ
то
о? = 2 (*к - Рк = 2 ^Рк — (2
Основные свойства Д.: 1) В5^0; 2) если с — постоянная, то
Ос=0; 3) если с — постоянная, то В(с5)=с2В5; 4) В(5| + 5г) =
=В5,+/)52+2соу (51, 52), где соу (5ь 5г) — ковариация случайных
величии 5ь 5г- В частности, если 51, 5з — независимые случайные
величины, то В (514-5г) =0514-РЬ-
ДИСТРИБУТИВНОСТЬ — см. Векторное произведение, Произ-
ведение матрицы на число. Скалярное произведение, Сложение ком-
плексных чисел, Сложение многочленов, Умножение вектора на чис-
ло, Умножение комплексных чисел, Умножение матриц, Умножение
многочленов. См. также Закон дистрибутивности,
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 7(Г) - вектор-функция
</Д7(/)Л.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ЧАСТНОГО, ПРО-
ИЗВЕДЕНИЯ — см. Дифференциалы арифметических комбинаций.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. Если / дифференцируема в точ-
ке х€]а, Я, т. е. для Д/ имеет место представление Др=/'(х)Дх+
+о(Дх) при Дх->0, то произведение }'(х)&х называют Д. ф. ( в
точке х, отвечающим приращению аргумента Дх, и обозначают
дЦх), т. е. ^(х)—/'(х)Дх. Поскольку </х=Дх, то ^=('(х)</х.
См. также Дифференциалы арифметических комбинаций.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕН-
НЫХ— см. Полный дифференциал функции нескольких пере-
менных.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии,
посвященный изучению свойств линий и поверхностен методами ма-
тематического анализа.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ —
см. Абсолютно непрерывная случайная величина.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ— часть математи-
ческого анализа, в которой функции исследуют иа основании связи
между приращением функции и ее производной.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ—!) уравнение для
определения функции, связывающее независимые переменные, иско-
мые функции и их дифференциалы или производные; 2) краткое
наименование (повсеместно принятое в настоящем словаре) обыкно-
венного дифференциального уравнения. См. Обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения, Уравнения в частных производных первого
порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ БЕЗ АРГУМЕНТА —
уравнение
Р(У, О’, .... у’п))“0.
Подстановка у'^р понижает порядок уравнения на единицу, причем
в преобразованном уравнении у играет роль аргумента, а р=р(у) —
искомой функции. После определения общего решения р^р(у, ....
Сп-1) преобразованного уравнения осуществляют возврат к ис-
ходной искомой функции и=*у(х) с помощью дифференциального
уравнения первого порядка ау=р(у, Сь .... Сп-ЛЛх.
дифференциальное уравнение Вез искомой
ФУНКЦИИн начальных производных—
Г(Х, у(т>, у(т+1). !/(")) =0, 1«^т<п. (1)
Подстановка у<т1=г, г°=г(х), преобразует уравнение (1) к уравне-
нию порядка п— т:
Р(х, г, г', .... г<"-т))-0.
Если г=г(х, Сь Ся-т), то общее решение уравнения (1) строят
последовательным интегрированием т раз соотношения (/|тЬг(х,
С], Сп — щ) .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В НОРМАЛЬНОЙ
ФОРМЕ — дифференциальное уравнение с аргументом I н искомой
функцией х=х(<), разрешенное относительно старшей производной:
^х
<Ип
Ах
’ аГ’
ал-1х\
<нп-1Г
О)
С помощью введения вспомогательных неизвестных функций х^х,
Хг^х!, хп = х^п~11 уравнение (1) преобразуют в систему диффе-
ренциальных уравнений первого порядка в нормальной форме:
<1х»
17 1=1.........п-1?
Г (I, Х1....хл),
а:
что позволяет перенести на уравнение (I) положения теории систем
дифференциальных уравнений соответствующего вида.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ — уравнение с частными производными, являющееся ма-
тематической моделью некоторого физического процесса. Обычно
слово «дифференциальное» опускают и употребляют термин урав-
нение математической физики. Большинство изученных физических
процессов описывается линейными дифференциальными уравнениями
второго порядка.с частными производными.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОБОБЩЕН НО-ОД НО-
РОДНОЕ — уравнение Р{х, у, у7, {/<"))=(), где функция Р такова,
что существует число к, при котором тождественно по I выполняется
равенство
Р(1х, 1Ку, 1к~1у', <*-"«/(")) =-1тР(х1 у, у\ ..., у(п)).
Такое уравнение подстановкой х=-е‘, у=ие*‘ сводится к уравнению
относительно и без аргумента I, которое допускает понижение по-
рядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, ОДНОРОДНОЕ от-
носительно искомой функции и ее производ-
ны х,—уравнение Р(х, у, у', у<”У)=0, где Г(Х1, х2, хп+2) —
(X \
У гЛх |прн-
х„ /
водит к уравнению порядка п— 1, т. е. понижает порядок. См. Диф-
ференциальное уравнение обобщенно-однородное.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
с аргументом х и искомой функцией у=у(х) имеет
вид: в общей форме Р(х, у, у')=0; в дифференциальной форме
Р(х, р)йх+0(х, у)ду*=0; в нормальной форме у'^Цх, у). Аргумент
уравнения в нормальной форме часто обозначают ( (и трактуют как
время), искомую функцию обозначают х=х((). См. также Задача
Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
в общей форме — уравнение Р(х, у, у')=0. В некоторых слу-
чаях интегрирование такого уравнения сводится к разрешению со-
вокупности уравнений в нормальной форме (см. Дифференциальное
уравнение первого порядка второй степени). Широкое применение
имеет интегрирование с помощью введения специального параметра
(см. Дифференциальные уравнения первого порядка, допускающие
параметризацию, Уравнение Клеро, Уравнение Лагранжа).
дифференциальное уравнение первого порядка
ВТОРОЙ СТЕПЕНИ — уравнение в общей форме, представимое как
многочлен второй степени от производной, т. е.
(/)2+а(х, у)у'+Ь(х, у)=0. (1)
Если
и2+а(х, у)и+Ь(х, У^и-^х, у))(и-(2(х, у)),
где /1 и — действительные функции, то
т Гу' “ 11 (*> у): (2)
(,) ~к = Ы*, у). (3)
т. е. у=у(х)—решение уравнения (1) в том и только том случае,
если эта функция — решение хотя бы одного из уравнений (2) или
(3). Если уравнения (2) и (3) имеют соответствен ио общие решения
Ф1(х, у, С)=0 и <р2(х, у, С)=0, то Ф(х, у, С)=<р1(х, у. С) -<р2(х, у,
С)=0 будет общим решением уравнения (1).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОРЯДКА/»— в об-
щем случае уравнение вида Р(х, у, у'. у(п-1), у^)=0. Общее ре-
шение его представимо в форме у=Ф(х, С[, С2. Сп), где Сь С2,
..., Сп — произвольные постоянные. См. Дифференциальное уравне-
ние в нормальной форме, Дифференциальные уравнения, допускаю-
щие понижение порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРОСТЕЙШЕГО ВИ-
ДА—уравнение р(")=/(х), х (1,с общим решением
* XI *д—1
У ?(хп)ах1ах2...ахп + с1х?~1 +... + сп_1х + сп.
Гф хв х9
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПОЛНОЙ ПРОИЗ-
ВОДНОЙ — уравнение
р{х, у, у’. у(»-‘))=0 (1)
в случае, если существует функция Ф(х, у,. уп), такая, что вы-
полняется тождество
^-Ф(х, у, у'....у,п-1,)= Р(х, у, у', у(пу). (2)
При выполнении тождества (2) уравнение (1) имеет первый инте-
грал
Ф(*, у, /..у<"-'>)=С,
где С — произвольная постоянная, и сводится поэтому к уравнению
порядка п—1, т. е. допускает понижение порядка.
дифференциальные операции второго порядка
в векторном анализе—выражения <Цу(го1а), го! (^гай и),
<йу (егаб и), го! (го! а). Для них справедливы формулы:
<11у (го! а ) = у • [у, а ] «= а • [у, у] = 0;
го! (вгад и) = [у • уи] = [у, у] и = 0;
д!у (^гад и) = у • уи = (у • у) и = у’и = Ди;
го1(го1 а ) = [у, [у, “а ]] = (у - а ) у — (у • у) а =
•= §гад (<Пу а) — у8а,
где у— оператор Гамильтона; у8 =Д — оператор Лапласа. Указан-
ные выражения называются Д. о. в. п. по той причине, что оии сво-
дятся к двукратному дифференцированию скалярных или векторных
функций (формально: в их символической записи оператор Гамиль-
—►
тона у встречается два раза). С этой точки зрения §габ и, <Нуа и
го( а являются дифференциальными операциями первого порядка.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА, — дифференциальные уравнения: про-
стейшего вида, без искомой функции, без аргумента, однородные
относительно искомой функции и ее производных, обобщенно одно-
родные, с полной производной и некоторые другие. См. [4].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯД-
КА, допускающие параметризацию, — уравнения Е(х, у,
/)=0, для которых можно указать гладкие функции <р, ф, о) вспо-
могательных аргументов р и д (р или д могут совпадать с х, у или
у'), такие, что Г(<р(р, д), ф(р, д), ш(р, р))^0. На основании соотно-
шения <1у=у'<1х, т. е. </ф(р, р)=со(р, <7)</<р(р, д), рассматриваемого
как дифференциальное уравнение, связывающее р и д, находят за-
висимость между р и д, что позволяет выразить и х и у через одни
и тот же параметр. Например, если д=к(р, С), то общее решение
исходного уравнения в параметрической форме имеет вид
х=<р(р, Л(р, С));|
</ = ф(р, А(р, С))./
См Уравнение Клеро, Уравнение Лагранжа
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯД-
КА, ИНТЕГРИРУЕМЫЕ В КВАДРАТУРАХ,—уравнения, разреши-
мые с помощью конечного числа алгебраических операций и квадра-
тур над функциями, задающими уравнение. Основные классы урав-
нений, интегрируемых в квадратурах: уравнения с разделяющимися
переменными, однородные уравнения, уравнения в полных диффе-
ренциалах, уравнение Бернулли, неполные уравнения, обобщенные
однородные уравнения, уравнение Клеро, уравнение Лагранжа,
уравнения, допускающие параметризацию. Все известные В настоя-
щее время уравнения, интегрируемые в квадратурах, собраны в [5].
См. Элементарные дифференциальные уравнения.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОМБИНАЦИИ.
Пусть и, а, а> — функции, дифференцируемые в точке х.
1. й(аи+0о) =айи+р^а (а, 0 — числа) — дифференциал линей-
ной комбииацйи, в частности Л(и+о)=Ли+Ло— дифференциал сум-
мы, Л(и—о)—Ли—Ло— дифференциал разности, Л(аи]=аЛи— вы-
несение постоянного множителя за знак дифференциала,
2. Л(ио)=иЛо+оЛи— дифференциал произведения.
I и \ оЛи — иЛо
3. Л — =>------ (у (х) 0) — дифференциал частного.
\ о ) V2
/ 1 \ Ло
Например, а( — I =— — .
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Пусть функция
[ дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и й/=/'(х)йх— дифферен-
циал первого порядка функции /. Найдем приращение дифферен-
циала <ц(х), т. е. &<#(х)=<*Пх+йх)— Л((х). Если это приращение
можно представить в виде Дй/(х)»=А(х)йх2+о(йх2) при ах->-0, где
Л(х) ие зависит от Лх (Лхг= (Лх)2), то [ называют дважды диффе-
ренцируемой в точке х, а произведение А(х)Лх2— вторым дифферен-
циалом нли дифференциалом второго порядка функции { и обозна-
чают (Р1—А(х)Лх*. Аналогично, если иа ]а, 6[ определен Лп~^(х)—
дифференциал порядка п— 1 функциями ЛЛк~^(х) =А (х)Лхп +о(ахя)
при Лх-*-0, где А(х) ие зависит от Лх и Лхп= (Лх)я, то [ дифферен-
цируема п раз в точке х и ее дифференциал порядка п равен
йп/(х) =“А(х)Лхя.
Т. Для дифференцируемости п раз функции { необходима и до-
статочна дифференцируемость (первого порядка) функции рп-|> и
представление Ля( в виде Лп1=рп1(х)Лхя. См. также Формула Лей-
бница, Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше
первого, [2].
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ функции не-
скольких переменных. Пусть функция [ обладает полным
дифференциалом Л( в точке а=(аь ..., ап). Дифференциалы после-
дующих порядков определяются индуктивно: Лт[—Л(Лт~^), т>1.
Кроме того, удобно считать Л°1°=1. При вычислении Д. в. п. вторые
и последующие дифференциалы независимых переменных в соответ-
ствии с самим смыслом этих величии полагают равными нулю, т. е.
если хк, к=1, ..., п, — независимые переменные, то ОтХк~0, чт>1.
Если функция / дважды дифференцируема в точке (см. Дифферен-
цируемость функции нескольких переменных), то в этой точке су-
ществуют все частные производные второго порядка от ( и
а2/ п а2/ а2;
" +
а2/ а2/ а2/ ,
+ 7----:— ах..ах. + —— ---------Ох-йх- . 4- —5 Ох,.
^п-^Хп "-1 пТахпахл_, п л-'^а^ "
Если / дважды непрерывно дифференцируема в точке а, то предыду-
щее равенство можно привести к виду
а2/ а2/ а2^
= -Л ах[ + 2 - 0х10х» + 2 • — 0х10х3 + . • • +
дх^ 1 дх1дх» дХ1дх3
а2/ а2/ ,
+ 2ахп гдхп ах»-1(1хп+'^а4
*==1 /=1
Это же равенство можно записать в символической форме:
/ д д д .
&? = — 4x1+— 0х» + ... +~ 0хп] } ,
\дХ1 дх» дхп }
д д д
где а = — 0x1 + —- ах» + ... + — 4хп — оператор диффереи-
ОХ± (7*2 (7ХЛ
пирования. Аналогичные формулы имеют место для дифференциалов
более высокого порядка. Например, если [ т раз непрерывно диффе-
ренцируема и Х1, ..., х„ — независимые переменные, то
! д д д
ат1-= Т" аХ1 + + г"
\дХ1 дх2 дхп
т
Г
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ — термин, обозначающий нахожде-
ние как производных (частных производных) функций, так и их
дифференциалов.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПА-
<?/
РАМЕТРА. Если функция / (х, у) и ее частная производная — (х, у)
непрерывны в прямоугольнике О= {(х, у)\а^.х^.Ь, с^у^Ф],
ь
то функция Е (у) = | /(х, у) йх дифференцируема на отрезке [с, 4],
а
и ее производная может быть найдена по формуле
ь
р' =° Г ЗГ (х> йх-
Л оу
а
Правило вычисления производной от интеграла, зависящего от
параметра, называют правилом Лейбница. Если функции /(х, у) и
— (х, у) непрерывны в прямоугольнике />=» {(х, у)(а^х^Ь,
оу
с < у < й} и функции ф и ф, заданные на отрезке [с, </] со значени-
ями иа отрезке [а, Ь], непрерывно дифференцируемы на [с, </], то
Ш)
функция I (у) = /(х, у) 4х дифференцируема на отрезке [с, 4], и
Ч>(У)
ее производную можно вычислить по формуле
/' (</) “ I (х, у) йх + } (ф (у), у) ф' (у) — / (ф («), у) ф' (у),
оу
<Р(Ю
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯ—см. Тео-
ремы существования решений функционального уравнения, Теоремы
существования решений системы функциональных уравнений. При
условии существования неявной функции «“/(х^ хп), являющей-
ся решением функционального уравнения Е(х1.хп, и)==0, частные
производные функции / первого и последующих порядков можно
также найти следующим образом. Считая, что функция ( найдена,
подставим ее в функциональное уравнение и получим тождество
Р(Х1, х2, .... Хп, 1(хи .... х„))=0.
Дифференцируя это тождество по нужным переменным требуемое
число раз, получим линейное уравнение для определения частных
производных. Указанный метод можно применять и к нахождению
частных производных функций, задаваемых посредством систем
функциональных уравнений. Задача в этом случае сводится к реше-
нию системы линейных уравнений.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА. Степенной
ОФ
ряд 2 а* (х— Хо)* с действительными членами можно дифференци»
ровать почленно в любой точке интервала сходимости ]х0—/?, х0+
+/?[. Ряд, полученный почленным дифференцщюванием, имеет тот
же радиус сходимости Я, что и исходный ряд. Отсюда вытекает, что
на интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать
почленно сколько угодно раз, при этом радиус сходимости получае-
мых рядов ие меняется. Сказанное выше справедливо и для степен-
ных рядов с комплексными членами, с той только разницей, что сло-
ва «интервал сходимости» нужно заменить словами «круг схо-
димости».
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕ-
РЕМЕННОГО— см. Производная функции комплексного перемен-
ного, Условия Коши — Римана.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ. Функция /, заданная
на интервале ]а, Ь[, называется дифференцируемой в фиксированной
точке х€]а, Ь[, если приращение Д/ (Д/=/(х+Дх) — цх), х+Дх С ]а,
6[) можно представить в виде Д/—АДх+о(Дх) при Дх->0, где ко-
эффициент А является фиксированным и ие зависит от Дх. Выраже-
ние АДх называется дифференциалом функции [ и обозначается (Ц.
Функция дифференцируема на интервале, если она дифференцируе-
ма в каждой точке этого интервала. Для дифференцируемости
{ в точке х € ]а, необходимо и достаточно существование конеч-
ной производной Г(х). При этом А”/'(х) и д[=!'(х)Кх. Если / диф-
ференцируема в точке х, то она непрерывна в этой точке. Обратное,
вообще говоря, неверно.
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ. Функция и=/(хь х2....... хп) называется дифференци-
руемой в точке х=(х1.......... хп) из евклидова п-мерного пространства
К", если ее полное приращение Д/ в этой точке может быть пред-
ставлено в виде
Д/ = ДхАхх -|- Л2Дх2 + Ап^хп + о (р),
где Лх, ,.., Лл — некоторые не зависящие от Дхх, Дхл числа;
р =• у ДХ| + Дх| + ... + Дхл ; о (р) означает бесконечно малую
/ о (р) \
более высокого порядка, .чем р при р -> 0 Нт---«= 0 , при этом
\р—О у /
здесь о (р) равно нулю при р = 0. Если функция / дифференцируема
в точке х, то оиа непрерывна в этой точке и обладает частными про-
изводными по всем переменным, и при этом
Л = “ (х), Ла = (х).....Лл = (х).
0X1 оха дхп
Имеет место и такое утверждение: если у функции / в некоторой
д{
окрестности точки х существуют частные производные — (х),
0X1
д( д!
-—(х), .... — (х), которые непрерывны в точке х, то функция /
ОХ^ ОХп
дифференцируема в точке х. Функцию / называют т раз дифферен-
цируемой в точке х, если все ее частные производные порядка т— 1
дифференцируемы в этой точке (см. Частные производные высших
порядков). Если все частные производные порядка т непрерывны
в точке х, то функцию называют непрерывно дифференцируемой
т раз в точке х. В случае, если функция т раз непрерывно дифферен-
цируема в точке х, то любую ее частную производную порядка т
можно представить в виде
д^
дх^'дх^*.. дх^"'
где в).. ап—целые числа, удовлетворяющие условиям
а1+аа+...+ ап = т.
ДИХОТОМИЯ — то же, что метод половинного деления.
ДЛИНА МКТОРА — расстояние между началом н концом век-
тора. Д.в. обозначают символом | ЛДМа |. Если вектор обозна-
чен одной буквой, например а, то Д.в. обозначают |а|. Если на-
чальная и конечная точки заданы своими координатами, то для вы-
числения Д.в. пользуются формулами расстояния между двумя точ-
ками. Д.в. называют также модулем вектора. Для вектора а «=
= (х, у, г) | а | => У х2 + У 4~ г2. На плоскости для а — (х, у)
I а/ = Ух2 + у1 .
Д.в. х как элемента евклидова пространства определяется как
арифметическое значение квадратного корня из скалярного квадрата
вектора х. Д.в. х обозначают |х|. Таким образом, | х | = ]/ х2 .
Д.в. называют также модулем вектора. В ортогональной системе
координат для х =. (аь а.......... | х | = )/ а* + а| + ... + а* .
Справедливы следующие свойства!
1) | х | ™ 0 ♦=> х => 0;
2) | ах| -= | а| • |х|,
3) (неравенство Коши — Буняковского)’,
4) |х-|-у|Ох|-)-|у| (неравенство треугольника).
Для пространства С ([а, Ь]) непрерывных функций на отрезке
ь
[а, Ь] со скалярным произведением | / (х) # (х) дх свойства 3—4 мо-
а
гут быть записаны в виде
/6 \» Ь Ь
| / (*) 8 (х) Лх] < У/* (х) Лх ) (х) дх1
\а / а а
У (/(*) + 8 (х)У Лх < ^/~ №(х)дх +
8* (х) Лх
а для пространства строк длины п со скалярным произведением
х < у *=• СХ101 + ааРа + •.. + «лРл
(а1Р1 + ••• + алРл)2 (“1 + “1+ ••• + ««) X
х (Р1 + Р1+ ... + Р„);
(а1 + Р1)2 + • • • + («л + Рл)2 “1 + • • • + ап +
+ У Р? + ... + Р2.
ДЛИНА ДУГИ линии — предел периметра ломаной линии,
вписанной в данную дугу, если число звеньев этой линии неограни-
ченно возрастает, а длина каждого звена стремится к нулю. Для
непрерывных линий упомянутый предел всегда существует, конеч-
ный или бесконечный. Если этот предел конечный, то линия (дуга
ее) называется спрямляемой. В зависимости от способа аналити-
ческого задания линий Д. д. вычисляется по следующим формулам:
для плоских линий
? -
г « т (0, I € [а, Р) => з «= 11 т' (() I
а
Р
У “ у ((?):} / аа, р] => з «= ( V (х’ (/))“ + (/ (/))* Л;
СБ
ь _______________
У «=/(*). *е[а, 1 + (/' (х))2 Лг,
а
₽ '_______________
. г «= г (<Р), Ф € [а, Р] => з = ] У г* (ф) + (г' (ф))2 Жр;
а
для пространственных линий:
- - е -
г — г (I), I е [а, р] =ф 3 «= у I г' (0 I Л;
а-
х = х (();) ₽
</=</('); '€ [а, р] =>« = ;/ (х' (/))» + (У'- (О)2 + (*' (0)’Л1
г = г (О I а
г= ^ШХе1а’ *]=>«=• ГК 1 + (<₽' (*))’ + (Г (*))’ Лх.
Ввиду-того что точки линии и значения длины дуги 5 находятся
во взаимно однозначном и
рать в качестве параметра
линии' по ее уравнению
непрерывном соответствии, « можно выби-
линии. Этот параметр удобен для изучения
например,
Нг
йз
=> 1 I и называется нашу--
рамным параметром линии-,
для линий иа поверхности
з =
„„ Ни Но
+ 2р~нГ нг + °
где «.=«(/), о = о(/)—внутренние уравнения линии на поверхности
г=г(и, о); (и — значения параметра, которые соответствуют точ-
кам, ограничивающим дугу линии. Здесь предполагается, что в фор-
мулах для коэффициентов Е, О, Г первой основной квадратичной
формы поверхности и и о выражены через /.
ДЛИНА ОТРЕЗКА АВ — расстояние между точками А и В при
выбранной единице измерении.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКО-
ГО ОЖИДАНИЯ в случае нормально распределен-
ной генеральной совокупности. 1. Доверительный ин-
тервал с коэффициентом доверия р при известной дисперсии аа име-
ет вид
где X — выборочное среднее; п — объем выборки; число 1р, удовле-
творяющее условию Фо(^) “ находят из' таблиц функции Лап-
1
ласа Фо (х) =• «р 2 Л
о
2. Доверительный интервал с коэффициентом доверия р при не-
известной дисперсии имеет вид
' — з — « Г
\х-^у=^’х + ^у=^[
где п—объем выборки; X — выборочное среднее; з2— выборочная
дисперсия; число 1Р (находимое из таблиц) удовлетворяет условию
Р(|/п_11</р)=р; /п-1 — случайная величина, распределенная по
закону Стьюдента с п— 1 степенями свободы.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ. Интервал }0, 0[, который е
вероятностью р покрывает оцениваемый параметр распределения
в: Р(6<6<0) «=р, называется Д. и. для в с коэффициентом дове-
рия (коэффициентом надежности) р.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ДИСПЕРСИИ в слу-
чае нормально распределенной генеральной со-
вокупности. Доверительный интервал с коэффициентом дове-
рия р для дисперсии нормально распределенной величины имеет вид
лз2 из2 ’
.Т1Т
где л — объем выборки; за — выборочная дисперсия; числа (на-
ходятся из таблиц) удовлетворяют соотношениям:
' (х2-> <4) - г (й_, < « —4^'
— случайная величина, распределенная по закону с п — 1 сте-
пенями свободы.
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
ОЖИДАНИЯ в случае произвольной генеральной
совокупности. При больших п, интервал
является доверительным интервалом для математического ожидания
с коэффициентом доверия, близким к р. Здесь п — объем выборки,
X— выборочное среднее; о — среднее квадратическое отклонение.
р
Число 1р, удовлетворяющее условию Фо (1р) = —, находится из таб-
лиц функции Лапласа Фо (х) =
Если среднее квад-
ратическое отклонение а неизвестно, его можно заменить, например, на
где XI — выборочные значения.
ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ —см. Достаточность.
ДОСТАТОЧНОСТЬ. Если верно высказывание Р =*(?, т. е. если
истинность Р. обеспечивает истинность то Р называют достаточ-
ным условием для ф или признаком <2. Свойство, выраженное тео-
ремой Р =>- <2, называют достаточностью Р для ().
достаточные условия существования локаль-
ного ЭКСТРЕМУМА. Пусть Хо — стационарная точка функции (.
Первое достаточное условие экстремума. Пусть
/ дифференцируема на некоторой окрестности Шх0) точки х0 и 1/(х0)
не содержит других стационарных точек. Если р меняет знак с ми-
нуса на плюс прн переходе через точку Хо (т. е. для х€ 4(х0),
х<х0; /'(х)>0 для хёЩх0), х>х0), то х0 — точка локальною ми-
нимума. Если меняет знак с плюса на минус (Р(х)>0 для
х €и(х0), х<хо; Их)<0 длн х€ 4(х0), х>х0), то х0 — точка локаль-
ною максимума. Если же производная не меняет знак прн переходе
через точку хо, то в этой точке экстремума нет.
Второе достаточное условие экстрем ум а. Пусть
существует /"(х0) и ^"(хо)^=0. Если /"(х0)>0, то х0 — точка локаль-
ного минимума, если же /"(х0)<0, то х0— точка локального мак-
симума.
Третье достаточное условие экстремума. Пусть
I дифференцируема п раз в точке х0 и Г(*о)=Г(*о)=-“Л”_|)(*о) =
«=0, а Рп)(хо)^'О. Если почетно и /<п>(х0)<0, то х0—точка локаль-
ного максимума, если п четно и /(п,(хо)>О, то х0 — точка локально-
го минимума, если же нечетно, то экстремума иет.
Отметим, что первое достаточное условие экстремума применимо
и в том случае, если ( дифференцируема иа У(х0), а в точке х0 про-
изводная Не существует.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬ-
НОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть
функция двух переменных и=[(х, у) дифференцируема в окрестности
точки (х0, Уо)> дважды непрерывно дифференцируема в самой точке
и (хо, уо) — стационарная точка функции (. Обозначим:
, д2} д2! дЧ
А ° (*о, Уо), 5 =» - _ (х0, Уо), с = — (х0, Уо).
дх2 дхду ду*
Тогда, если выполнено условие АС—В2>0, то функция } имеет в точ-
ке (хо, уо) локальный экстремум (максимум при А<0 н минимум
прн А>0). Если же АС—В2<0, то в точке (х0, у о) экстремума иет.
Случай АС—В2 = 0 требует дополнительного исследования.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЛОКАЛЬ-
НОГО ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Пусть функция и = ((х\, .... хп) дифференцируема в некоторой ок-
рестности точки а= (а], ..., а„), дважды дифференцируема в самой
точке а и точка а является стационарной точкой функции /, т. е.
й((а)=0. Тогда если дифференциал второго порядка й2((а) =
п п
V V
Лх/;йх( функции ( в точке а представляет собой
положительно определенную квадратичную форму от переменных
ИХ]... йхп, то функция ( имеет в точке а локальный минимум, если
же <Р((а)—отрицательно определенная квадратичная форма, то
а — точка локального максимума. Если второй дифференциал сРЦа)
представляет собой знакопеременную квадратичную форму, то функ-
ция / ие имеет локального экстремума в точке а. Если квадратичная
форма о!2/(а) является вырожденной или же функция не является
дифференцируемой в точке а, то нужны дополнительные исследова-
ния. Как правило, исследуют знак приращении Д/ функции ( в точ-
ке а с привлечением, в случае необходимости, формулы Тейлора для
функции нескольких переменных.
См. также Достаточные условия существования локального
зкстремума функции двух переменных.
ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ — см. Аксиомы теории вероят-
ностей.
ЕВКЛИДОВО п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО —см. Евклидово
пространство. Метрическое пространство.
ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО. Рассмотрим_линейиое действи-
тельное пространство V. Каждой паре векторов х, у € И поставим в
соответствие действительное число, обозначаемое х-у, так, что Ух,
у, г € V иУа ёН выполняются следующие аксиомы.
А1. х-у—у-х (коммутативность).
А2. (х+у)-г—х-г+у-г (дистрибутивность).
АЗ. (ах) • у=*а(х-у) (ассоциативность относительно числового
множителя)._ _ __
А 4. х-х>0, причем х • х=0«=»х=0.
Введенную операцию называют скалярным умножением векто-
ров, а число х-у — скалярным произведением. Скалярное произве-
дение х-х называют скалярным квадратом вектора х и обозначают
х2. Е. п. называется линейное действительное пространство, в кото-
ром задана операция скалярного умножения векторов. Его обычно
обозначают буквой Е. Если п-мерное линейное пространство евклн-
дово, то его называют евклидовым п-мерным пространством н обо-
значают Еп (часто Н"). Примеры Е. п.: 1) У3 — пространство всех
свободных векторов со скалярным произведением, определенным, по
формуле Х'у=|х| |у|со8<р; 2) в бесконечномерном линейном про-
странстве С ([а, о]) всех функций х(/), определенных и непрерывных
на отрезке [а, 6], скалярное произведение двух функций х\1) и у(1)
ъ
можно определить как ж (I) у (/) Л; 3) в пространстве строк
а _
длины п скалярное произведение любых двух элементов х=(я1......
а„) и у=(Рь ₽п) можно определить по формуле х-у=а1Р1 +
+а2р2+...+апРп. В ортонормированием базисе скалярное произве-
дение двух векторов определяется именно по такой формуле. См.
также Длина вектора евклидова пространства, Метрическое про-
странство, Предгильбертово пространство.
ЕДИНИЧНАЯ МАТРИЦА — диагональная матрица, у которой
каждый элемент главной диагонали равен единице. Е, м. обознача-
ют, как правило, буквой Е:
А 0...0\
\о"6'.'л/
Е. м. порядка п иногда обозначают Еп. Распространена запись
где — символ Кронекера. Справедливы следующие свой-
ства: ЕА=А, ВЕ=В, где А — произвольная матрица, имеющая п
строк; В — произвольная матрица, имеющая п столбцов; для любой
квадратной матрицы С порядка п ЕС=СЕ=С.
ЕДИНИЧНАЯ ПОДСТАНОВКА — то же, что тождественная
подстановка.
ЕДИНИЧНАЯ ТОЧКА — См. Декартовы системы координат (на
прямой).
ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР, нормированный вектор, — вектор, дли-
на которого равна единице. Если х — произвольный ненулевой вектор,
->
X X
то Е.в. являются векторы —и---------— (аналогично в евклидовом
1*1 -1*1
к
пространстве —~
1*1
же Орт.
х \ -» _
и ---— 1, где 1x1—длина вектора х. См. так-
ЖОРДАНОВА МАТРИЦА —см. Жорданова нормальная форма
матрицы.
ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. Множест-
во квадратных матриц одного и того же порядка над заданным
числовым полем разбивается на классы подобных. Каждый класс
подобных матриц характеризует линейный оператор линейного про-
странства, рассматриваемый в разных базисах. Ставится задача: в
классе подобных матриц выбрать матрицу, имеющую по возмож-
ности более простой вид. При исследовании многих вопросов оказы-
вается удобной Ж. и. ф. м. Квадратная матрица порядка т вида
(р 1 0...0 0\
0 р 1...0 о\
....р:::°.....°.
6 6 6...О 1 /
0 0 0...0 р/
где р — произвольное число, называется клеткой Жордана поряд-
ка т.
Клеточно-диагональная матрица
/7Ш1(Р1) О ... О ч
л / 0 ° у
\ о............
на диагонали которой стоят клетки Жордана, называется жордано-
вой матрицей.
Если В — произвольная квадратная матрица, а А — жорданова
матрица, подобная матрице В, то матрицу А называют ее Ж. и. ф. м.
II. Всякая квадратная матрица иад полем комплексных чисел
подобна некоторой жордановой матрице, которая определяется од-
нозначно с точностью до порядка расположения ее клеток иа глав-
ной диагонали.
Правило составления Ж. и. ф. м.: 1) для данной матрицы А со-
ставляем ее характеристическую матрицу КЕ—А-, 2) матрицу КЕ—А
приводим к каноническому виду; 3) находим элементарные делите-
ли непостоянных инвариантных множителей и по ним — систему эле-
ментарных делителей матрицы ХЕ—Л; 4) по каждому элементарному
делителю строим клетку Жордаиа, а по иим — жорданову матрицу.
Т1 можно сформулировать иа геометрическом языке: для любо-
го линейного оператора комплексного линейного пространства су-
ществует базис, в котором матрица оператора имеет Ж. и. ф. м.
Т2. Для того чтобы матрица А была подобна диагональной, не-
обходимо и достаточно, чтобы элементарные делители ее характери-
стической матрицы были простыми.
Над полем действительных чисел Т1 в общем случае ие верна.
(См, Обобщенная жорданова нормальная форма матрицы.)
ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРУ-
д2и д*и
ГЕ — найти решение и уравнения—+ — = 0 в круге х2+у2<Д2,
удовлетворяющее иа границе круга условию и|г—к=((ч), где !— за-
данная функция ((<р, г)—полярные координаты: х=гсо5<р, у=
=Г51п<р). См. также Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье.
ЗАДАЧА КОШИ — дифференциальное уравнение вместе с на-
чальными условиями Коши. См. Задача Коши для дифференциаль-
ного уравнения первого порядка, Задача Коши для дифференциаль-
ного уравнения порядка п.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕ-
НИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА имеет вид
у' = / (*. «/);!
У (хо) = Уо. I
Геометрический смысл задачи Коши: построить линию, заданную
уравнением у'—Цх, и), которая проходит через заданную точку
(ха, Уо}- См. Задача Коши для дифференциального уравнения поряд-
ка п, Однозначная разрешимость задачи Коши для дифференциаль-
ного уравнения первого порядка.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕ-
НИЯ ПОРЯДКА п имеет вид
Р(х, у, у', ум)= 0; 1
У (*о) = У О’ У' (*о) = У1.У(п~1} (*о) = У п-1 > I
где хо, уо, Уь .... Уп-1 — заданные числа. Если известно общее реше-
ние у=у(х, С{.. Сп), то для разрешения задачи Коши составляют
систему соотношений относительно С*, А=1, 2.п:
У{1} (.хо, С1.сп} = у/, / = 0, 1, .... п—1,
из которой определяют значения С* = Сь Решением задачи Коши
служит у=у(х, С]. Сп). См. Однозначная разрешимость задачи
Коши для дифференциального уравнения в нормальной форме.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГО УРАВНЕНИЯ
апх
+ ...4-ооЮ*=ЛО. ш
Х(,)(М=^, Г—0,1..л-1,
разрешима в виде
х=х(1) —^0X1(1, 1о) + ...+^п-1гп((, ^о)+х*(^>
где г» ((, (о) — нормированный базис соответствующего однородного
дифференциального уравнения; х*(1, (о)—решение уравнения (1)
с нулевыми начальными значениями (х*)<*>=0 при Если коэф-
фициенты уравнения (1) постоянные и г» — базис, нормированный
при (=0, а х*—решение (1) с нулевыми значениями при (—0, то
решением исходной задачи Коши служит
х=х(() =5о21 (/—1о) +... + ^п-1*п (1—1о) +х*(1—/о)-
См. Однозначная разрешимость задачи Коши для линейного диффе-
ренциального уравнения.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ОДНОРОДНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФ-
ФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ—см. Нормированный базис.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА в нормальной форме
имеет вид
“ {к х1> •••> хп)> •••» Ч
Х*(<0)=5*, .... п,
где (о, 5* — заданные числа. Если известно общее решение системы,
то задача Коши для системы решается аналогично задаче Кошн для
дифференциального уравнения. См. Однозначная разрешимость за-
дачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений.
ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
« •
состоит в нахождении решения уравнения колебаний струны — <=•
дг
д*и
=> а* —- + } (х, ?) в области х € К, I > /0 при дополнительных усло-
дх*
виях, заданных в некоторый начальный момент времени. Начальное
положение точек струны задается условием и /,_(а = и (/о, х) «=• <р (х),
ди ди
а начальная скорость — — = — (1а, х) = ф (х). Эти условия
о/ 1=1, д1
называют начальными условиями, а задачу Коши иногда называют
начальной задачей для уравнения колебаний струны. Без ограниче-
ния общности начальные условия можно задавать прн «=» 0.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ —см. Теорема.
ЗАКОН АССОЦИАТИВНОСТИ. Говорят, что бинарная операция
о н^ множестве X ассоциативна, если для любых элементов х, у,
г € л выполняется условие х о (усг) = (х ° у) « г. Если бинарная
операция есть умножение, то 3. а. имеет вид х(уг) = (ху)х, если сло-
жение, то х+ (у+г) = (х+у) +г. В элементарной математике 3. а.
обычно называют сочетательным законом. Примеры операций, удо-
влетворяющих 3. а., см. в ст. Ассоциативность. Примерами опера-
ций. не удовлетворяющих 3. а., служат векторное умножение (См.
Векторное произведение), вычитание и деление чисел.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ФОРМЕ ХИНЧИНА, теорема
Хинчина. Пусть ($„)—последовательность независимых одинаково
распределенных случайных величин с математическим ожиданием,
равным а. Тогда прн любом е>0 имеет место утверждение
11т Р
Я-*-Ов
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В ФОРМЕ ЧЕБЫШЕВА, теорема
Чебышева. Если случайные величины &г, —, |я, — попарно неза-
висимы и существует такая постоянная I, что А=1, 2, то
при любом 8>0 справедливо утверждение
где Л— дисперсия; М — математическое ожидание; Р—вероятность.
ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Если случайные велн-
п
чины 51-52, .... • попарно независимы н 11т — Л Л|^ =е О,
Пч-оо п1
*=1
то при любом в > 0 имеет место утверждение
(Здесь О — дисперсия, М — математическое ожидание, Р — вероят-
ность.)
ЗАКОН ГАУССА —см. Нормальное распределение.
ЗАКОН ДИСТРИБУТИВНОСТИ. Пусть на множестве X зада-
ны две бинарные операции (обозначим он*). Если для любых
элементов х, у, г € X выполняется условие х° (у * г) = (х°у) * (х о г),
то говорят, что действует 3. д. Если одну нз операций записывать
как умножение, а вторую как сложение, то 3. д. имеет внд х(у+х) =
^ху+хх. Примеры операций, удовлетворяющих 3. д., см. в вт. Ди-
атрибутивность. Так как в 3. д. операции (умножение и сложение)
входят несимметрично, то приведенное условие называют дистрибу-
тивностью умножения относительно сложения. Рассматривают так-
же условие (у+г)х—ух+гх. Это приходится делать в тех ситуациях,
когда умножение некоммутативно. В элементарной математике 3. д.
называют также распределительным законом.
ЗАКОН ИНЕРЦИИ действительной квадратичной
формы. Число положительных (положительный индекс инерции)
и число отрицательных (отрицательный индекс инерции) квадратов
в нормальном виде действительной квадратичной формы определены
однозначно и не зависят, следовательно, от выбора действительного
невырожденного линейного преобразования переменных, приводяще-
го эту форму к нормальному виду.
ЗАКОН КОММУТАТИВНОСТИ. Говорят, что бинарная опера-
ция о на множестве X коммутативна, если для любых элементов
х, у € X выполняется условие х°у~у° х. Если бинарная операция
есть умножение, то 3. к. имеет вид ху—ух, если сложение, то х+у=
=у+х. Примеры операций, удовлетворяющих 3. к., см. в ст. Ком-
мутативность. Примерами операций, не удовлетворяющих 3. к., слу-
жат деление и вычитание чисел, умножение матриц, векторное про-
изведение. В элементарной математике 3. к. обычно называют пе-
реместительным законом.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРА-
ЛЕ— одни из основных приемов интегрирования, состоящий в пре-
образовании неопределенного интеграла к другому, более простому.
Здесь возможны следующие варианты.
1. Введение множителя под знак дифферен-
циала. Если Г — первообразная для / иа некотором промежутке,
а §= (( о <₽)ф', то
р(х)<&=(Гоф(х)) +С = Г(Ф(х))-|-С.
На практике этот прием осуществляется по схеме
У 8 (х) йх - р (ф (х)) ф' (х) йх = [2и“Д(Чх) 4х] =
== р (и) йи - [Р (и) + = Р (Ф (х)) + С.
2. Вынесение миожителя из-под знака диффе-
ренциала. Пусть Р — первообразная для / на некотором проме-
жутке, функция ф дифференцируема н ф'>0 (<0), а функция д та-
кова, что (#°ф)ф'=Г Тогда
I в (*) Лх = (Г о ф-1) (х) 4- С = Г (ф-1 (х)) + С
(здесь ф-1 — функция, обратная Ф). На практике замена происходит
по схеме
I е (х) лх = [^==Ф^Р(О л] = е (ф (0) ф' (0 Л1 ~
•= У / (0 = [/= (0 + С]/=ф-1(х) = г (Ф~2(х)) + С.
Описанные приемы интегрирования называют еще интегрированием
подстановкой.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРА-
ЛЕ— один из основных приемов вычисления интеграла, состоящий
в преобразовании интеграла к другому, более простому. Возможны
два варианта замены.
1. Пусть функция Ф непрерывно дифференцируема на промежут-
ке с концами а н Ь, а / непрерывна на Е’(Ф). Тогда
Ь Ф(Ь)
У / (Ф (*)) Ф' (х) Лх =* У / (и) йи.
а Ф(а)
2. Пусть функция ф непрерывно дифференцируема на проме-
жутке с концами а и р, при этом ф'>0 (ф><0),ф(а)=а, ф(Р)=6и
( непрерывна на промежутке с концами а и Ь. Тогда
ь ₽
|/(х)Лг= у/(ф (О)Ф' (О Л.
а а
Отметим, что в формулах замены переменной не исключается слу-
чай, когда некоторые (или все) интегралы — несобственные. Описан-
ный прием преобразования интегралов называют еще интегрирова-
нием подстановкой.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ДВОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. Пусть
О и О — замкнутые ограниченные области: О с: К2, Ос К2, и систе-
ма
х=. х (и, »);)
У = У («. ») /
задает отображение О на О, удовлетворяющее следующим условиям:
1) оно взаимно однозначно) 2) функции х(и, о) и у (и, V) непрерыв-
ны н имеют непрерывные частные производные первого порядка в О;
2? /х, у)
3) якобиан -----------— всюду в О отличен от нуля. Если / интегрируе-
ма на 0, то
Р(х, у)
Р(и, V)
биЛи,
}(х, у)4х<1у
1(х(и, V), у (и, V))
СС Р(х, У)
I Я (и, V)
а
В частности,
пл. О =
Этн формулы справедливы и в случаях, когда условия взаимной
однозначности, непрерывности и непрерывной дифференцируемости
отображения х==х(«, о), у=у(и, о) нарушаются в отдельных точках
или вдоль конечного числа спрямляемых кривых. В полярных ко-
ординатах формула замены выглядит так:
У I } (х, у) ЛхЛу =• / (г соз <р, г З1п Ф) г4ф4г.
ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ В ТРОЙНОМ ИНТЕГРАЛЕ. Пусть
V и О — замкнутые ограниченные области (ограниченные кусочно-
гладкими поверхностями): V С К’, О С К3 и система
х = х (и, V, да);)
у =• У (и, V, ш>);>
з«“г(и, V, и>) )
задает отображение Я на V, удовлетворяющее следующим условиям:
1) оно взаимно однозначно; 2) функции х (и, V, а>), у (и, V, а>),
г (и, V, ю) непрерывны и имеют непрерывные производные первого по-
О(х, у, г)
рядка в Я; 3) якобиан ------------- отличен от нуля в Я.
Р (и, V, и>)
Если { интегрируема на V, то
$ 5 И (*> У< *) ”
= IИ /(*(“.”. “’)> У (“> и>), * (и, V, ю)) I. I
а I Р (и, о, и/) I
В частности,
л г "Ш "ИЛ
у а
Две последние формулы справедливы и в случаях, если условия
взаимной однозначности, непрерывности и непрерывной дифферен-
цируемости нарушаются в конечном числе точек, нлн иа конечном
числе спрямляемых линий, нлн на конечном числе гладких поверх-
ностей нз Й. В цилиндрических координатах х=гсоз<р, ^=гз1п<р,
г=г формула замены выглядит так:
I И / (*, У> г) <1хс1ус1г — 111 / (г соз <р, г з!п <р, г) гбуЛгДг,
V а
а в сферических координатах х=рсоз<рсозф, у=рз!п <рсозф,
=»'рз1п ф —
И I / (х, У, г) ахЛу<1г =
V
“ У I / (Р с°8 ф СОЗ ф, р 81П <р соз ф, р з!п ф) ра соз фсйр^фсф,
ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ. Обычно З.п. называют:
, ЗШ X
1) нт ------= 1 — замечательный тригонометрический предел;
х-*0 X
( 1
2) Пт 11 -|- — 1 = е — замечательный показательно-степенной
Х-»-«о \ X /
предел;
„ ,. 1п (1 -4- х)
3) и т----------= 1 —замечательный логарифмический предел;
х-*0 X
. 1
4) Нт-------- == 1 — замечательный показательный предел;
х-Ч) х
(1 +х)« — 1
Б) Нт--------------- — а — замечательный степенной предел,
х-о х
ЗАМКНУТАЯ ОБЛАСТЬ — см. Область.
ЗАМКНУТАЯ СИСТЕМА. Ортогональная система векторов 81,
е», ..., е„, ... предгильбертова пространства Н называется замкну-
той, если для любого элемента х € Н и для любого е > 0 найдется
п
такая линейная комбинация 2 акек конечного числа элементов сис-
А=1
темы, отклонение которой от х (по норме пространства Я) мень-
ше е, т. е.
п
х — 2
л=1
< 8.
Для того чтобы ортогональная система векторов еь е», ..., ея, ...
была замкнутой в пространстве Н, необходимо и достаточно, чтобы
для любого элемента у € Н выполнялось условие
2^11^11’.
где с\ — коэффициенты Фурье элемента у по системе еь ег, ..., еп, ...
Последнее равенство называется равенством Парсеваля — Стеклова
илн уравнением замкнутости.
ЗАМКНУТОЕ МНОЖЕСТВО В В". Множество Е с В" называ-
ется замкнутым, если его дополнение до В", т. е. совокупность всех
точек В", не входящих в Е, — открытое множество.
ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ —см.
Полнота и замкнутость тригонометрической системы.
ЗАМКНУТЫЙ ПРОМЕЖУТОК —см. Числовые промежутки.
ЗАМЫКАНИЕ МНОЖЕСТВА—см. Граничная точка.
ЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ —по-
ложительно- н отрицательно-определенные действительные квадра-
тичные формы. 3. к. ф. являются невырожденными квадратичными
формами, и поэтому нормальный вид таких форм содержит п ква-
дратов. Все главные мнноры 3. к. ф. отличны от нуля.
См. также Положительно-определенная квадратичная форма,
Отрицательно-определенная квадратичная форма.
ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЙ РЯД. Ряд 2а» называют знакопере-
*=1
менным, если средн его членов есть как положительные, так н отри-
цательные. При исследовании сходимости 3. р. используют признаки
абсолютной сходимости рядов, а также некоторые специальные при-
знаки (признак Лейбница, признак Абеля, признак Дирихле н др.).
ОО
ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЙСЯ РЯД. Ряд 2 ак называется зиакоче-
Л=1
редующимся, если ак = (—1)*— 'ак, ак > О, УЛ (либо ак =
= (—1)*«й). Прн исследовании сходимости З.р. чаще всего применя-
ют признак Лейбница.
ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ ИЗ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Для
комплексных чисел 2=г(соз ф-Н'зт ф), заданных в тригонометриче-
ской форме, справедлива формула
п.—;-------------г- "/
у г (соз ф -|- I 31П ф) = у
Ф + 26л
+ I з1п -а-Е--
п
Ф 26л
п
где 6=0,1, ..., п— 1. Из формулы следует, что все п значений корня
л-й степени из числа г расположены на окружности радиуса-/ \г\
с центром в начале координат н делят эту окружность на п равных
частей. Отметим, что корень п-й степени из действительного числа а
также имеет п различных значений, прн этом действительных среди
них будет два, одно нлн нн одного (в завнснмостн от знака а и
четности п). В частности, корни из единицы вычисляются по фор-
муле
— 26л 26л , п ,
1 = соз------4- I з!п-----, 6=0, 1, ..., п — 1.
п п
При этом
1
-т + *
Г~з~ 1 ./ з |
Т~ ’ — 2 ‘ М
Г"«“ {1, —1, 1, —/}.
ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТИ — такое преобразование по-
верхности, при котором сохраняются длины всех линий этой поверх-
ности. При И. п. не меняется ее первая основная квадратичная фор-
ма. Пример И. п.— наложение куска плоскости иа поверхность
цилиндра нлн конуса.
ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ при
линейном невырожденном преобразовании пере-
менных — см. Эквивалентные квадратичные формы.
ИЗОБРАЖЕНИЕ — см. Преобразование Лапласа.
ИЗОБРАЖЕНИЯ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК-
ЦИЙ— см. Преобразование Лапласа. Под Ц1) понимаем 1(/)/(0»
где 1 (/) — функция Хевисайда (функция единичного скачка);
1 \0, I <0.
Тогда
1 1 . 2 „ . я! ,
I = — 5 (п=—*+г
р р* р* р +
г .Г(« + 1)
(а>—1); еи =—Ц-;
Р — А
=---!---
• (р-М2’
* . д! (О
р 2ра р* — <о*
«= —г—т~> 15*п =—:-----<С05
• р2 + <ва ’ (р2 + ®2)2 ’ (рг + ш2)2
<0 р
«Ь <в/ = — ------—; ей = —;------------—;
р2 —<о2 р2 — ш2
Ф 1/ Р~“Х
е" 81п <о/ =-—----е" соз » —-------т——-
(р — X)* 4- ф* (р — X)* 4- ф*
Более подробные таблицы соответствия оригиналов и изображений
см., например, в [6).
ИЗОКЛИНА дифференциального уравнения пер-
вого порядке — линия, на всем протяжении которой наклон,
определяемый уравнением, сохраняет постоянное значение. И. диф-
ференциального уравнения {/'=?(*, у), отвечающая наклону р, опре-
деляется уравнением [(х, у)!=р. Придавая параметру р различные
значения, получим сеть изоклин, с помощью которой строятся при-
ближенные линии данного уравнения в виде ломаных с вершинами
На изоклинах сети и наклонах звеньев, определяемых параметром.
Все точки локальных экстремумов лнннй данного уравнения лежат
на нулевой И. С помощью И. определяются и другие геометрические
характеристики линий уравнения.
ИЗОЛИРОВАННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА однозначного ха-
рактера. Точка г0 называется И. о. т. функции /(г), если / — од-
нозначная и аналитическая в проколотой окрестности С/(г0) точки
гв, а в точке г0 не является аналитической (в го функция может быть
и не определена). Аналогично бесконечно удаленная точка называ-
ется И. о. т. для функции /, если функция / аналитична в области
г<|г|<оо. В зависимости от поведения функции / в окрестности
точки г0 различают три типа особых точек; устранимую особую точ-
ку, полюс и существенно особую точку.
ИЗОМЕТРИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР — линейный оператор евкли-
дова (унитарного) пространства, не изменяющий скалярного произ-
ведения и, следовательно, длин векторов и углов между ними. И. о.
являются ортогональный и унитарный операторы.
ИЗОМОРФИЗМ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ. Два евклидо-
вых пространства Е н Е' называются изоморфными, если изоморфны
соответствующие линейные пространства и, кроме того, если
х, у$Е, х', у'^Е' и хч—*•*', у +--+у', то х • у ^х' - у'.
Т. Все евклидовы пространства одной и той же размерности изо-
морфны между собой.
ИЗОМОРФИЗМ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ. Два линейных
пространства V и V' называются изоморфными, если между их эле-
ментами можно установить взаимно однозначное соответствие, такое,
что если х1 <—•> х[, х2 *--♦ х2, где V, х\, х2€ V, то хг 4-
+ х2 <—* Х1 + *#, ах1 *—*• ах; (« € К или а € С в зависимости от то-
го, являются ли пространства действительными или комплексными),
Т. Два линейных действительных (комплексных) пространства
изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую раз-
мерность.
ИМПЛИКАЦИЯ — см. Символика математической логики.
ИНВАРИАНТ. Многие математические объекты определяются в
каждой системе координат набором некоторых чисел (например, ли-
нии и поверхности второй степени — набором коэффициентов их
уравнений). Однако некоторые функции от этих чисел ие изменяют-
ся при изменении системы координат или при некоторой совокупно-
сти преобразований. Такне функции называются И. относительно
различных выборов системы координат или рассматриваемых преоб-
разований. Например, коэффициенты характеристического многочле-
на |А—матрицы А являются И. относительно всех невырожден-
ных линейных операторов (преобразований) л-мерного линейного
пространства. См. также Линия второй степени, Поверхность второй
степени.
ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА.
Для первого дифференциала дифференцируемой функции [ одной
переменной х имеет место формула 4/=/'(х)с(х, где х может быть
как независимой переменной, так и функцией произвольного аргу-
мента. Это свойство первого дифференциала сохранять независи-
мость формы и называют. И. ф. п. д. Поэтому всегда / (х) = —,
ах
где правую часть можно понимать как частное дифференциалов. Диф-
ференциал й[ функции нескольких переменных хь ..., х„ также об-
ладает неизменностью формы, т. е. формула
д( 5/ д(
а/ = -^-4х1+-2-4х2+ ...+^-ах„
0X1 ох2 дхп
имеет место как в случае, когда аргументы хь х2, ..., хп являются
независимыми переменными, так и в случае, когда аргументы Хь
Ха .... хя сами являются дифференцируемыми функциями некоторых
новых переменных 6, /г, .... 1т-
ИНВАРИАНТНЫЕ МНОЖИТЕЛИ /,(х) полиномиаль-
ной матрицы (см. Каноническая форма матрицы) определяют-
ся через систему </((х) наибольших общих делителей миноров этой
матрицы по формулам:
А (X) - 4 (х); Ц (х) - 1 “ 2....П
/г+1(Х)-... = /п (Х)-0.
ИНВАРИАНТЫ — см. Линия второй степени, Поверхность вто-
рой степени.
ИНВЕРСИЯ- Говорят, что два числа образуют в перестановке
И., если большее число стоит перед меньшим. Так, в перестановке
(1, 4, 5, 3, 2) пять И. Их образуют пары чисел: 4 н 3, 4 и 2, 5 н 3,
5 и 2, 3 и 2. Число И. в перестановке (аь а3, .... яп) обозначают
/(Я1, 0.2, ап).
ИНТЕГРАЛ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — то же, что функция Лапласа
Значения И. в. находят из таблиц.
ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
Р(х, у, у'.{/<")) =0 (1)
есть функция Ф(х, уи .... уп), такая, что
^Ф(х, у, у’, .... = Г(х, у, у'....у<п>).
Соотношение Ф(х, у, у', ..., ^("-1))=С доставляет первый, или про-
межуточный, интеграл дифференциального уравнения (1). Если из-
вестен первый интеграл, то при л>1 интегрирование уравнения (1)
сводится к интегрированию уравнения Ф(х, у, у'. по-
рядка л—1. Иногда И. д. у. называют решением данного уравнения
(1) в неявной форме. См. также Общий интеграл.
ИНТЕГРАЛ ДЮАМЕЛЯ. Если / непрерывна на [0, +<»[, ф—
непрерывно дифференцируема иа [0, +оо[ и /==Е, ф = Ф (См. Пре-
образование Лапласа), то
/ СО Ф (*— О Л= рР (р) Ф (р)
или
I
1 (/) ф (+0) + р (т) ф' (/ - т) =рр (р) ф (₽).
Эту формулу называют формулой Дюамеля, а интеграл, здесь при-
сутствующий,— И. Д. И. Д. удобно использовать для решения ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами и нулевыми начальными данными
+ а^п-1) + .., + апу = / (/);
У(О)~У' (0)- ... =у<',*1>(0) = 0.
Тогда решение этого уравнения у(1) выражается формулой
<
а С
мг и - л
аг ,)
о
или
г
а с
у (0 = "Д' 2 (т) / (I — Т) ат,
а»
о
где г(1) —решение уравнения
г(п) + а1г(п~1) + ... + алг = 1;
г (0) = г' (0) = ... = г(/,_1) (0) - 0,
т. е.
1
г II) = 2 (р) = —т—----—,------------г-.
Р (р + а[Р + • • • + оп)
ИНТЕГРАЛ, ЗАВИСЯЩИЙ ОТ ПАРАМЕТРА. Пусть Г<=Я, <р
и ф — функции, заданные на У, а функция / определена на мно-
жестве
{(*> У)1у$У, *€[П1Ш{<Р(У), ф(у)}, тах {<р (у), ф (у)}]}
и при каждом у € У интегрируема по х на отрезке с концами ф (у) и
♦(₽>
ф (у). Интеграл Р (у) -= § { (х, у) Ах называется И.з.о.п, (в дан-
ном случае параметра у). ^це встречается случай, когда функции ф
Ь
и ф постоянны, т. е. Р (у) — § / (х, у) Ах. Рассматриваются также не-
собственные интегралы, зависящие от параметра.
ИНТЕГРАЛ ЛАПЛАСА — см. Преобразование Лапласа.
ИНТЕГРАЛ МЕЛЛИНА— см. Обращение интеграла Лапласа.
ИНТЕГРАЛ ПУАССОНА—см. Решение задачи Дирихле.
ИНТЕГРАЛ РИМАНА — См. Определенный интеграл.
ИНТЕГРАЛ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ в нормальной векторной форме
х'-~7(г, 7), (/, 7)<Рсйя+1, —
(1)
дифференцируемая иа О функция Ф \1, х), отличная ет постоянной
на любой подобласти И н сохраняющая постоянное значение вдоль ре-
шении (1). Геометрический смысл: график решения с началь-
ным условием х (/о) = х0 весь целиком лежит на поверхности
Ф (/, х ) = Со, где Со = Ф (а, хо). Функция Ф — интеграл (1) в том
и только том случае, когда на О выполняется тождество
®;+фхЛ+01
т. е. в случае, когда и — Ф х ) является решением уравнения ж
частных производных первого порядка
ди . , ди . . . ди
я/ + + ”0*
Если выражение <Р1 (7) /»( х) + ... + <ря (”х) /я (*х) является диф-
ференциалом функции Ф ( х) и на О выполняется тождество
Ф1 ( х) Д ( х) + .,. + <Рп (х) /я ( х) — 0,
то Ф \ х) — интеграл автономной системы х' “ ( \ х). Наличие
интеграла уравнения (1) позволяет свести интегрирование этой си-
стемы к интегрированию системы размерности п,— 1. Интеграл си-
стемы (1) иногда называют первым интегралом. См. Общий инте-
грал системы дифференциальных уравнений.
ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА. Пусть на отрезке [а, 6] заданы функ-
ции ( и д. Произведем разбиение [а, 6] точками хк. На каждом от-
резке [хл-1, х*] выберем точку 6* н составим интегральную сумму
Стилтьеса:
п
к=1
где &д (хк) => д(хк) — ^(х*-!), к= 1, 2, п. Если а при диа-
метре разбиения 6-* 0 имеет предел /, т. е. если Уе>0 Ябо>О,
такое, что / а — 11 < в, Ух*, Дх*<6о, У^*€[х*—1, х*], то говорят,
что { интегрируема (в смысле Стилтьеса) по д иа [а, 6]. И.С. от } по
ь
д обозначают / (х) йд (х). Таким образом,
а
Ь п
Г / (х) ад (X) = Нт 27 &к) (хк).
а «-0
Если д (х) =» х, то И.С. превращается в интеграл Римана (см.,
например, [1]).
ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО.
Пусть на спрямляемой кривой у определена функции комплексного
переменного Цг). Разобьем кривую у на дуги у(, у2. уп точками
г0, г,.. гп, взитымн в порядке следования по кривой у, где г0 —
начальная точка, а гп—конечная точка у. На каждой дуге у* вы-
берем точку и составим интегральную сумму:
п
0= » («л —г*-1).
&=1
Обозначим через Ц, Л—1, ..., л, длину дуги у*, н пусть б=тах {/*}.
Если при б->0 существует конечный предел интегральных сумм а,
не зависящий ни от способа разбиения, ин от выбора точек то
его называют интегралом функции } по кривой у и обозначают
р(г)йа. Итак,
Г {(г) аг = Пт 2 / (?*) (*к — г*-1).
у
Если ^(г)-и(х, у)+1о(х, у), то И. ф. к. п. сводится к криволиней-
ному интегралу второго рода по формуле
У Цг) аг = | и (х, у) Ох —о (х, у) Оу + I $ о (х, у)0х^и (х, у) Оу.
V V V
Если г = г (/) — уравнение кривой у, то
₽
]7(г)41г=]/(г (0) г' (1)01,
У а
где изменение параметра от а до 0 согласовано с обходом по кри-
вой. См. Свойства интеграла функции комплексного переменного.
. +“
ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. Интеграл (а (X) соз Хх + Ь (X) з!п Хх) Ок,
о
где
+«• +•
а(Х)- — С /(/) соз Ш1-, Ь(к)- — V /(0з1пХ/Л,
я Л я Л
„—о» — «•
называется И. Ф. функции *. Функция [ предполагается абсолютно
интегрируемой иа к. И. Ф. можно также представить в виде
+ « 4-ОО
у Ок У / (0 соз к (х — /) 01,
О —оо
а также в комплексной форме (см. Комплексная форма интеграла
Фурье).
+~
Если / четна, то И.Ф. принимает вид Г а (к) соз кхйк, где
а(Х)-
/(/)со8Х/Л. Аналогично для нечетной функции:
о
| Ь (X) 81п Хх4х,
о
+«
где Ь (X) = — У / (/) 81п Х/Л.
о
Если ( абсолютно интегрируема и кусочно-дифференцируема иа К,
то во всех точках непрерывности функции [ И.Ф. сходится к I (х),
в точках же разрыва он сходится к — (((х — 0) + / (* + 0))- См.
также Представление функций интегралом Фурье.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ КРИВАЯ (ЛИНИЯ) дифференциаль-
ного уравнения — график решения дифференциального урав-
нения на плоскости Оху.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ СУММА — 1) Функции одной пере-
менной. Пусть на отрезке [а, 6] определена функция /. Рассмот-
рим некоторое разбиение отрезка [а, 6], зафиксируем произвольным
образом промежуточные точки 1, **]> й= I, 2, .... л, и со-
п
ставим сумму: а = 2 / (5а) Д*а- Эта сумма называется И.с. Римана
функции I иа отрезке [а, 6]. Предел интегральных сумм представляет
собой интеграл, а сами И.с. дают приближенное значение интеграла.
2) Функции нескольких переменных. Пусть функ-
ция ( задана на О — кубируемом множестве из Кт (квадрируемом,
если т = 2) и {0^}, к = 1, ..., п, — некоторое разбиение множества
О, Выберем произвольным образом точки Мк = «•., х^^(Ок и
составим сумму:
п
2/(Мл)Д0»,
А-1
где ДО* — объем множества Ок (площадь О*, если т=2). Сумма а
называется И. с. функции { на множестве О. При каждом разбиении
{Он} можно, вообще говоря, построить бесконечное множество И. с.
за счет различного выбора точек Мк € Ок-
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ —см. Теорема Коши (ин-
тегральная ).
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУАВРА - ЛАПЛАСА. Пусть
ш — число «успехов» в п испытаниях Бернулли, р — вероятность
«успеха» при одном испытании (р=сопз!) и р=1 —р. Тогда при
п-> оо
Р
т — рп
V прЧ
равномерно по а, Ь. Приближенную формулу
Р
т — пр
V прд
рекомендуется применять при п>100, прр> 20. Для нахождения
численного значения интеграла пользуются таблицами функции
Лапласа
о
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ. Пусть ?(г) — однознач-
ная дифференцируемая в ограниченной области О с С функция, не-
прерывная вплоть до границы 50 этой области (50 может состоять
нз одного или нескольких контуров). Тогда для любой точки «о€0
имеет место равенство (И. ф. К.)
/(*«)-
1
2л/
где 50 обходится в положительном направлении (так, чтобы об-
ласть оставалась слева). При выполнении тех же условий имеет
место и формула
/(п) (го) -
л1 Г /(г)
2л/ 3 (г —г0)л+1
дй
называемая И. ф. К. для производных.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ФУРЬЕ —см. Представление
функций интегралом Фурье.
ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ — см. Абсо-
лютно непрерывная случайная величина.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ — часть математического
анализа, в которой функции исследуют на основании связи между
первообразной искомой фуикцнн н интегралом от нее.
ИНТЕГРАЛЬНЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯ-
ДА. Пусть функция (, определенная на промежутке [1, +со[, неот-
рицательна и монотонно убывает. Тогда для сходимости ряда
СО
2 / (*) необходима и достаточна сходимость несобственного интеграла
4=1
-|-оо еа оо
Г / (х) дх. Если ряд 2( (^) сходится и гп = 2 / (*) — остаток
1 6=1
4-оо
данного ряда, то для гп имеет место оценка / (х) дх.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ БИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИА-
ЛОВ — см. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ТРИГОНО-
МЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Пусть К (и, о) — рациональная функция
двух переменных. Тогда /? (з!п х, соз х) всегда интегрируема в эле-
ментарных функциях. Интеграл от такой функции рационализуется
(т. е. сводится к интегралу от рациональной функции) подстановкой
х х т 2/ 1 — /^ га/
/= Тогда 51ПХ=3ТТ75' С06Х°° . V ~ Па'1
л 1 »а 1 “Г • * •
так что
о (21 1 — /*\ 2Ж С
К (з!п X, соз X) 4х = я ,, ууу) Т+Т» “ ] К1
где /?|(0—некоторая рациональная функция аргумента (. Послед-
ний интеграл может быть вычислен, например, путем разложения
на простейшие дроби. (См. Интегрирование рациональных функций )
Во многих случаях для вычисления интеграла 1/?(з1пх, созх)Фх
удобно применять специальные подстановки, рационализующие
подынтегральное выражение:
1) /—созх, если /?(з!пх, созх)-=—/?(—$1пх, созх);
2) /=зшх, если /?(зшх, созх)» —/?(з!п х, —созх);
3) / = (§ X, есЛН /?(31ПХ, СОЗ X) «=/?(—51П х, —созх).
См. также [21.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕ-
НИЯ — построение решения (разрешение) дифференциального урав-
нения. Операцию нахождения первообразной или (определенного)
интеграла в теории дифференциальных уравнений называют квадра-
турой. См. Приближенное интегрирование дифференциального урав-
нения.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИНТЕГРАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ ПАРА-
МЕТРА. Если функция / (х, у) непрерывна в прямоугольнике О =>
ь
= [а, 6] х [с, </[, то функция Р (у) = / (х, у) Фх интегрируема на
а
отрезке [с, Ф). При этом справедлива формула
<1 л /ь \ ь а
У Р (у) Фу = И р (*. У) Лх I Фу = У Фх у I (X, у) Фу.
с с \а / ас
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ ОТ ДРОБНО-
ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ — см. Интегрирование некоторых ирра-
циональных выражений.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНО-
СТЕЙ— см. Интегрирование некоторых иррациональных выражений.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ. 1. Интегрирование иррациональностей от дробно-
линейной функции. Интегралы вида
] К у ух + 6 / йх’
где т € И, т > 1, — 0у 4= 0, /? (х, у) — рациональная функция
ах + р
двух переменных, рационализует подстановка 1т =--.
9-1250
2. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Интегра-
лы вида
|хт (а-{- Ьхп)р йх, т,п,р €0, л#=0, аЬ О,
рационализуются лишь в трех случаях: а) р € 2, подстановка х = /*,
т 4- 1 , . „
к — общий знаменатель тип; б)-------€ 2, подстановка а + ох" =
п
=•!*, где к — знаменатель р; в) т -|- р ё 2, подстановка ах~" +
Л
4-6 = /*, к — знаменатель р. Указанными тремя случаями исчерпыва-
ются все случаи, когда биномиальный дифференциал интегрируется
в элементарных функциях.
3. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Интегра-
лы вида
/ Я (х, У ах2 Ьх с) Лх,
где Я (х, у) — рациональная функция двух переменных, рационализуют
подстановки Эйлера: а) У ах2 Ьх + с = + У а х-\-1, если а >0;
б) Уах* + Ьх + с = (х-^У с , если с>0; в) ах2 + 6х-|-с =
= /(х —хх), »«= 1, 2, если Ь2 — 4ас >0, ах2 + Ьх + с — а (х—Х1)х
X (х — х*). В частных случаях оказываются целесообразными следу-
ющие подстановки:
|К(х, У а2 — х* )йх — х = азш I или х = асов!;
I Я (х, У х2 — а2 )йх — х = а сЬ ! или х «=----, х = —г-?*;
СОЗ/ 81П/
| К (х, У хг + а2 )йх — х = а ей I или х= а\.&!.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ — см. Замена перемен-
ной в неопределенном интеграле. Замена переменной в определенном
интеграле.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ. Пусть функции и и о диф-
ференцируемы на некотором промежутке и У о (х) и' (х) йх существует.
Тогда У и (х) о' (х) йх также существует и
у и (х) V' (х) Лх=и (х) о (х) — / о (х) и' (х) Лх,
(формула И.п.ч.), условно У иЛо = ио — У оЛи. Для определенного
интеграла, при условии непрерывности функций и' (х) и о' (х), фор-
мула И.п.ч. принимает вид
6 6
У и (х) о' (х) Лх =» [и (х) о (х)]* — | о (х) и' (х) Лх
а а
или в условной записи
ь ь
У иЛо = [ио]д — у о Ли.
а а
ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ путем
разложения на простейшие дроби. Любую рациональ-
Р (х)
ную функцию можно представить в виде 5 (х) -|- —--, где Р, (),
ч (Л)
5 — многочлены, степень Р меньше степени (). После разложения ра-
циональной функции Р(х)/0(х) на простейшие дроби ее интегрирова-
ние сводится к интегрированию простейших рациональных функций:
Ах*-, ~ -В к;
(х - а)*
Поскольку
Мх-^ , ,
—----------г; р2 — 4<? < 0.
(ха + рх + д)к
хк+1 + С, к * -1;
л! —р 1
-----Лх = В 1п I х — а | + С;
х— а
Г--—- Лх = --+ С, к + 1,
О (х —а)А 1— к (х —а)А_1
Мх + Ы
х2 + рх + д
Лх, р2 — < 0,
р
подстановкой х + — = / сводится к линейной комбинации интегралов:
+“>+<* ]
01 1 /
= — агс18 — + С;
/8 + а* а а
Мх + Ы
(** + рх 4- д)к
Ох, р2 — 4д < 0, к> 1,
р
подстановкой х + —
1 сводится к линейной комбинации интегралов:
Г 101 1____________1
] (/’ + <?)* ” 2(1 — к) (/’+а2)*-1 + ’
01 ____________1__________ 2к — 3 Г 01
(I2 + а«)Л “ (2к _ 2) а2 (/’ + а2)*-1 + (2к — 2)аг ] (/’ + а2)*-1 ’
то рациональная функция всегда может быть проинтегрирована в
элементарных функциях.
ИНТЕГРИРОВАНИЕ СТЕПЕННОГО РЯДА. Степенной ряд можно
почленно интегрировать иа любом отрезке, принадлежащем множеству
сходимости этого ряда. Если степенной ряд 2сл(*— *в)А имеет от-
к=о
личный от нуля радиус сходимости /?, а х€]*в— Л, *о + Я[, то сте-
пенной ряд можно интегрировать, в частности, на отрезке с концами
Хо и х. Если х считать переменным, то полученный в результате по-
членного интегрировании степенной ряд будет иметь тот же радиус
сходимости К, что и исходный ряд (хоти множество сходимости его
может расширитьси за счет концевых точек промежутка сходимости).
ОО
Степенной ряд 2 сл (г — г«)А в комплексной области можно почленно
А=0
интегрировать вдоль любой спрямляемой кривой у, целиком лежа-
щей внутри круга сходимости этого рида, при этом результат инте-
грировании зависит не от формы кривой у, а лишь от ее начала
и конца г. Если считать г переменным, то радиус сходимости полу-
ченного ряда будет тот же, что и у исходного.
ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИИ В СМЫСЛЕ РИМАНА —
см. Определенный интеграл, Двойной интеграл, Тройной интеграл.
ИНТЕГРИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ для уравнения
Р (х, у)йх + 0 (х, у) йу = 0, (х, у) € Е с К*, — (I)
функция р (х, у), отличная от постоянной на Е и такая, что уравнение
ц(х, у)Р(х, у)с1х + р.(х, у)0(х, у)йу = О, (х, у)^Е, (2)
есть уравнение в полных дифференциалах. На областях, где р=^=0,
уравнения (1) и (2) равносильны, поэтому знание интегрирующе-
го множителя для уравнения (1) позволяет проинтегрировать это
уравнение в квадратурах на указанных областях. Интегрирующий
множитель у является решением уравнения в частных производных
первого порядка
Р(*. —У) —</))• (3)
Задачи полного интегрирования уравнений (1) и (3) равносильны. Од-
нако подбор одного-единствеиного ненулевого решения уравнения (3)
позволяет найти все- решения уравнении (1), а затем все решения
уравнения (3). При подборе р для уравнения (3) испытывают комби-
нации р = р (а (х, у)), где а имеет тот или иной предписанный вид.
В качестве а (х, у) чаще всего используют функции а = х, ш = у,
а х ± у, <о = ху, а = —, ш = х’ + у1 и т. д. Например, а = х
</) — О'х(х, у)
допустимо, если комбинация -------------- не зависит от у,
<2(х, у)
в частности, линейное дифференциальное уравнение первого порядка
(X \
— | а (I) И I.
хв /
При переходе от уравнения (I) к уравнению (2) могут появиться по-
сторонние решения на линиях, где а (х, у) = 0. Если р определено
не на всей области Е, то при указанном переходе возможна потеря
части решений уравнения (1). Интегрирующий множитель для урав-
нения с разделяющимися переменными Р\ (х) Р% (у) дх-{-01(х) Ог(У)йу=>
= 0 имеет вид р = —-------.
Р*(уШх)
ИНТЕРВАЛ — см. Числовые промежутки.
ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА —см. Круг
сходимости степенного ряда.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА —см.
Численное интегрирование функции.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА — формула ин-
терполяции функции / алгебраическим многочленом Ея (х) по значени-
ям [(х{) в произвольно заданных узлах хо < < ... < хп, х1 С [а, 6).
Чтобы выполнялись условия интерполирования Ьп (х,) = /(ху), интер-
поляционный многочлен Лагранжа записывается в виде разложения
по значениям функции / (х/):
*•/>(*)= 2М*Шх<),
1=0
причем Ц(х), называемые множителями Лагранжа, обязаны удовле-
творять следующим требованиям: степень /, (х) меньше или равна п,
где 61) — символ Кронекера.
Отсюда
1 = (X - Хр) (X — Хт) . . . (X — Х^,) (X—хж) ... (х-хп)
1 (Х{ — Хо) (X, — Х1) ... (х, — Х[-1) (Х{ — хж) ... (X, — Хя)
Введя обозначение ш(х) = (х—х0)(х-хО ... (х-х„), многочлен
Лагранжа можно записать в виде
ьп М = (Х_Х/)(3 (Х[} I (*<)•
1=0
Функция / представвма в ввде суммы / (х) = Ьп (х) + /?„ (х), где
/?„ (х) — остаток интерполирования. Доказывается, что если / €
С(я+Ч ([а, 6)), то И^€]а, 6[ такая, что для остатка справедливо
представление
/<п+0 (Ю
йя(х)= 1)1 <°(*).
При вычислении значения функции в точке х ? [а, Ь] остаток отбрасы-
вают и полагают / (х) ® Дя (х). Погрешность такой замены для функ-
ций с ограниченной (я 4- 1)-й производной (| /<я+1) (х) | ^п^.]) мо-
жет быть оценена таким образом: тах | Рп (х) | <
X
^п+1 , , ч ,
$ТТу!тах|<й(х)|.
Чтобы минимизировать погрешность интерполяции в точке х, узлы
интерполирования следует иыбврать как можно ближе к точке х, а
чтобы минимизировать погрешность интерполяции на отрезке, т. е.
чтобы тах | ш (х) | •* т!п, в качестве узлов интерполирования следу-
[о.Я
2к 4-1
—— л, к •= 1, 2,
2 (л + О
ет выбирать хк => соз
п, тогда ш (х)
1
2"
соз ((я + 1) агссоз х). Такой выбор узлов интерполирования иа-
зывается оптимальным. Недостаток И.ф.Л. состоит в том, что при до-
бавлении новых узлов интерполяции приходится пересчитывать все
множители Лагранжа. От такого недостатка избавлена интерполяци-
онная формула Ньютона.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА. 1. Для не-
равноотстоящей сеткн узлов а»х0<х1<...<хп=6 фор-
мула интерполяции функции ( алгебраическими многочленами по
значениям /(х<), 1=0,1, .... п, имеет внд /(х) »РП (х)+Рп(х), где
Ря (х) — интерполяционный многочлен Ньютона:
Р»(х)-Н*о)+/(х0, Х1)(Х-Х0)+Н«0, Х1, х2) (х—Хо) (X-Х1)+...+
+ЦХо, XI, .... Хп)(х-Хо) (X-Х1)...(X-Хп-1);
Цч, Х1), /(х0, XI, х2), ..., /(х0, ... х») — разделенные разности
соответственно (1, 2. п)-го порядков функции I по заданной сет-
ке узлов. И. ф. Н. можно вывести из интерполяционной формулы
Лагранжа, используя выражение разделенных разностей через зна-
чения функции в точках интерполяции. Остаток интерполирования
в форме Ньютона для неравномерной сетки в точке х записывает-
ся так:
/?п(х)=Г(Х0, Х1..Хп, х)ш(х),
где ш(х) = (х-х0)(х-Х1)...(х-х„).
2. Для равноотстоящей сеткн узлов Х1»»Хо+/Л,
1=0, 1, .... п, и для значений у^Цх/), 1=0, 1, ..., п, можно записать
интерполяционный многочлен, заменяя разделенные разноств конеч-
ными разностями. Тогда
Рл(*) = Ув+ 777(х — х0) + ... + — *о) ... (х —хя-1).
ПЛ п\п
Чтобы избежать потери точности при делении иа малые знаменате-
ли, полагают х=ха+1п, тогда
?п (*о + “ У» + ~ ДУо + А’Уо + •. • +
л)
ДпУо.
Эта формула носит название формулы Ньютона для начала таблицы
для равноотстоящей сетки узлой. Остаток интерполировании можно
представить в виде
(х.+(к)»кп+1 я- Мп+1)
(Л + 1) I
где 5 — некоторая точка из отрезка [а, 6].
Если в И. ф. Н. для неравномерной сетки перенумеровать узлы
в обратном порядке, заменить разделенные разности конечными и
положить х=хп+11г, то получим интерполяционный многочлен в
виде
«л («л + 1к) = у„ + ~ Дря_1 + - + ••» +
л!
Эта формула носит название формулы Ньютона для конца таблицы.
Остаток ₽п здесь можно представить в виде
Нп (*л + »Л) ~ кп+' ^»+П (5), (а, 61.
(л + 1)1
Формулы Ньютона обладают тем преимуществом, что при до-
бавлении одного или нескольких узлов добавляется одно или не-
сколько слагаемых в формуле и не требуется пересчета всех преды-
дущих слагаемых. Поскольку Д*р0 -» 0 при я -* оо, вычисления
можно прекратить, как только очередное слагаемое станет меньше
точности вычислений е. Чтобы использовать это преимущество, дли
х, близких к х0, применяют формулу Ньютона для начала таблицы,
а для х, близких к хп, — формулу Ньютона для конца таблицы. Име-
ются также формулы для середины таблицы (Бесселя, Стирлинга,
Гаусса)
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН ЛАГРАНЖА—см.
Интерполяционная формула Лагранжа.
ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ МНОГОЧЛЕН НЬЮТОНА —см.
Интерполяционная формула Ньютона.
интерполяция алгебраическими многочленами
функции Цх) на отрезке [а, Ь] — построение многочлена
Р„(х) степени ^п, принимающего в узлах интерполяции х0, Х(, ...,
х„ значения /(х<):
Р»(Х{)=Г(*О, *-0, I, .... п.
Система уравнений, определяющих коэффициенты такого многочле-
на, имеет вид
РП (\) = “о 4- а!х1 + 4- • • • 4- V" = / (*/)• 1 = °> 1» - М «•
Ее определителем является определитель Вандермонда
1 Хд Хд ... Хд
1 Х1 А - п (*<-*/)•
...........*..................... /«=0
1 X х2 х^1
‘ *п хп • • • *п
Он отличен от нуля при всяких попарно различных значениях х<, и
интерполирование функции / по ее значениям в узлах х( с помощью
многочлена Рп(х) Всегда возможно и единственно. (См. также Ин-
терполяционный многочлен Лагранжа, Интерполяционный многочлен
Ньютона.)
Полученную интерполяционную формулу / (х) Рп (х) часто ис-
пользуют для приближенного вычисления значений функции I при зна-
чениях аргумента х, отличных от узлов интерполирования. При этом
различают интерполирование в узком смысле, когда х € [х0, хп1, и
экстраполирование, когда х€[а, &1, х([хо, хп].
ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ /(х), заданной в точках
Хо<х,<...<х„ (узлы интерполирования) отрезка {а, Ь],— подбор
функции <р(х), значения которой в узлах интерполирования совпа-
дают с )(*•). 1=0, 1, —, л- Другими словами, интерполяция — это
восстановление функции / на отрезке {а, 6] по известным значениям
этой функции в точках х<, 1, .... п. Интерполирующую функцию
обычно разыскивают в виде <р(х)=»г(х, а{, ..., ап) и затем подбира-
ют параметры аь ..., а„ так, чтобы <р н / совпадали в узлах интер-
полировании, т. е.
Р(хг, аи ..., ап) =?(*<), <=°. .п-
При интерполяции наиболее трудным является удачный подбор
интерполирующей функции <р(х)=Г(х, а,, .... ап). Поэтому обычно
выбирают семейство Ф функций <р, более простых, чем и доста-
точно легко вычисляемых, и среди функций <р подбирают ту, для
которой ф(х,)=/(х,), 1=*0, 1, ..., п. После этого приближенно пола-
гают /(х)==<р(х) для всех х из [а, 6]. Функцию Кп(х}=((х) — ф(х)
называют остатком интерполирования. Чаще всего <р разыскивают
в виде обобщеивого многочлена, т. е.
л
Ф (*) = 2 (*>’
ь=о
где ф* принадлежат выбранному семейству Ф. Коэффициенты а»,
к=0, 1...п, подбирают из условия Г(х()=<р(х<), что приводит к
системе из п+1 лииейиых уравнений
л
2 “лФИ**) = / Оч). ‘ = 0, 1.....п.
к^О
Чтобы эта система имела едииствеииое решение, т. е. задача ннтер-
полиции была разрешимой, нужно, чтобы определитель системы
Фо (*о) Ф1(*о) ... Фл(*о)
б. = бе! (фА (х,)) = Фо (*1) Ф1 (Х1) ... Фл (*1)
Фо(хп) ф1(Х„) ... Фл (*л)
был отличен от нуля. Функции ф*(х) принято выбирать так,
чтобы условие Дэ^О выполнялось для любых наборов хь, хц .... хп,
лежащих на отрезке [а, 6] (х*=#>х/, если /г >/=/)• Систему функций ф,,
1—0, .... п, для которых выполняется это условие, называют системой
Чебышева иа [а, 6]. Интерполицию при помощи обобщенных много-
членов называют еще линейной интерполяцией в широком смысле в
отличие от лииейвой интерполяции прн помощи линейных функций.
Чаще всего при интерполировании используются обычные многочле-
ны (см. Интерполяция алгебраическими многочленами}.
См. также Интерполяционный многочлен Лагранжа, Интерпо-
ляционный многочлен Ньютона.
ИНЪЕКТИВНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ —см. Инъекция.
ИНЪЕКЦИЯ, инъективное отображение. Отображение / ! X -* У
называется И., если различные элементы множества X имеют и раз-
личные образы, т. е. если х2 € X, х2 => [(хх) / (х2). В те-
ории функций комплексного переменного И. называют однолистными
функциями.
ИРРАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — см. Действительное число.
ИСКЛЮЧЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ — переход от системы урав-
веиий, содержащей -несколько переменных, к равносильной системе,
содержащей меиьшее число переменных.
ИСПРАВЛЕННАЯ ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ— см. Вы-
борочная дисперсия.
ИСПЫТАНИЯ БЕРНУЛЛИ — последовательность независимых
испытаний с двумя исходами («успех»—«неудача»), вероятности
которых не меняются от испытания и испытанию. Если вероятность
«успеха» в каждом испытании равна р, а вероятность «неудачи»
равна <?=1 — р, то вероятность Рп(т) того, что в п И. Б. будет ров-
но т успехов, находится по формуле
Р„ (т) = С™ртуп~т, т = 0, 1, ..., п,
где С? — бнвомиальные коэффициенты: С” «=--———,
т\ (п — т)1
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ВЫПУКЛОСТЬ. Функцию /
называют строго выпуклой вверх на промежутке X с !)(/), если У%1,
*» € X =» / ((1 — т) Х1 + тх2) > (I — т)/(Х1) +т/(х2), Ут, 0<т<1.
(Если имеет место лишь нестрогое неравенство, функцию называют
выпуклой вверх.) Аналогично определяют строго выпуклые вниз и
выпуклые вниз функции (знаки неравенства в предыдущем опреде-
лении следует поменять иа противоположные). Иногда выпуклость
вниз называют выпуклостью. Для выпуклости вверх графика функ-
ции / на промежутке X необходимо и достаточно, чтобы любаи дуга
графика лежала над хордой, соединяющей концы дуги. Для диффе-
ренцируемой функции [ график расположен под касательной, если
функция выпукла вверх, и иад касательной, если вниз. Признаки
выпуклости:
I) если } дифференцируема иа X и возрастает иа X, то / вы-
пукла вниз иа X, если [' строго возрастает, то { строго выпукла
вниз. Аналогично выпуклость вверх связана с убыванием
2) если ( дважды дифференцируема на X, то при (" (х) < 0,
Ух € X, функция строго выпукла вверх иа X, а при (" (х) > 0,
Ух€Х>—строго выпукла вниз.
Иногда выпуклые вниз функции называют просто выпуклыми.
См. также Тачки перегиба.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА ЭКСТРЕМУМ с по-
мощью производных высшего порядка — см. Доста-
точные условия существования локального экстремума.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОД-
НЫХ. Аппарат дифференциального исчисления позволяет изучать
поведение функции на всем множестве задания. В основе исследо-
вания лежит выделение промежутков, на которых поведение функ-
ции остается однообразным (в том или ином смысле), и точек, в
окрестности которых происходит замена одного типа поведения
функции другим (например, замена возрастания убыванием). С по-
мощью дифференциального исчисления можно получить существен-
ную информацию о поведении функции на всем множестве задания,
рассматривая значения функции и ее производных в некоторых ха-
рактерных точках. Основную роль в этих исследованиях играет
формула Тейлора.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕ-
НИЙ — см. Метод простых итераций. Метод Ньютона, Метод Гаусса
приближенного решения системы линейных алгебраических уравне-
ний, Метод Зейделя.
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ —
см. Метод простых итераций, Метод Ньютона, Метод секущих, Мо-
дификации метода Ньютона, Метод половинного деления, Метод
парабол.
КАНОНИЧЕСКАЯ МАТРИЦА—полиномиальная матрица, удо-
влетворяющая условиям:
(А (*) 0 « » • 0 0 ... 0)
0 М*) ... 0 0 ... 0
1) (X) = 0 0 • • • 1г (*) 0 0
0 0 ... 0 «0 0
0 0 • • • 0 0 ... 0.
есть диагональная матрица;
2) !<{х), 1—1, 2, г, — ненулевые многочлены, старшие коэф-
фициенты которых равны единице;
3) для /—1, 2, .... г—1 многочлен Л+1(х) делится иа многочлен
А(х).
Система многочленов /Цх), А(*)> ..., /,(х), 0, ..., О, стоящих на
диагонали К- м. М(х), называется системой инвариантных множите-
лей этой матрицы.
Если среди ненулевых инвариантных множителей есть многочле-
ны нулевой степени, то в силу условия 2 это единицы, а в силу
условия 3 они стоят первыми на диагонали матрицы У(х). Поэтому
Л1(х), вообще говоря, имеет вид
1 .. 0 0 .. 0 0 ... 0
0 .. 1 0 .. 0 0 ... 0
0 .. 0 .. 0 0 ... 0
0 .. 0 0 •• 1г (х) 0 ... 0
0 .. 0 0 .. 0 0 ... 0
О
о ... О,
,0
о о
Т. Всякая полиномиальная матрица эквивалеитиа единствен-
ной К. м.
КАНОНИЧЕСКАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ. Если У(х)—канони-
ческая матрица, Эквивалентная полиномиальной матрице А(х), то
Лг(х) называют К. Ф- м. А(х), а систему инвариантных множителей
матрицы А'(х) —системой инвариантных множителей матрицы А(х).
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ. Исключив пара-
метр 1 из параметрических уравнений прямой (см. Векторно-пара-
метрическое уравнение прямой), получим на плоскости
х — х0 у — Уо
I “ т ‘
в пространств*
X — х0 у— у0 г — 2о
" СЭ ' ' " ся ...... ” •
I т п
(1)
(2)
Уравнения (1), (2) называют К. у. п. соответственно иа плоскости
и в пространстве.
Замечание. В уравнении (1) одно из чисел I или т (в уравнении (2)
два из чисел I, т или л) может оказаться равным нулю. Так как всякую про-
а с
порцию -г- « —•
о а
обычно понимают как равенство аЛ—Ьс, обращение в нуль
одного из знаменателей означает обращение в нуль к соответствующего числите-
ля. Например, если 1—0, то х—х*=0.
Если прямая на плоскости задана общим уравнением Ах+Ву+
+С=0, то для приведения его к каноническому Ниду в качестве
начальной точки можно взять любое решение уравнения Ах+Ву+
+С=0, а за направляющий вектор — вектор а=(В, —А).
Если прямая в пространстве задана в виде пересечения двух
плоскостей Агх + В\.у + С\г + Е>1 = 0 и А^х + В*у + С*г + О, == О,
где гапк = 2, то для задания ее каноническими уравнени-
ями в качестве начальной точки можно взять любое решение системы
А1Х В\у С,? 4-01= 0;1
А$х В%у СзХ Вз = О,/
а за направляющий вектор —
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. Квадра-
тичная форма
л л
?(•*!» х2> •••> *л) “ 2 2 аЧх1х)
1—\ /—1 •
называется канонической (или имеет канонический вид), если все
а,)~0 при Матрица К. в. к. ф. имеет диагональный вид.
Т. Всякую квадратичную форму над числовым полем Р можно
привести к каноническому виду с помощью линейного невырожден-
ного преобразования переменных с коэффициентами из Р. Число
квадратов, входящих в К. в. к. ф., равно рангу формы. Другими сло-
вами, для всякой симметрической матрицы А над числовым полем Р
существует иад Р такая невырожденная матрица 5, что 5ТА5 (см.
Эквивалентные квадратичные формы) — диагональная матрица. Су-
ществуют различные способы приведения квадратичной формы к
каноническому виду (см. Метод Лагранжа, Метод Якоби, Приведе-
ние действительной квадратичной формы к каноническому виду с
помощью ортогональных преобразований).
КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО УРАВНЕНИЯ е частными производными второ-
го порядка —
д*и (Ри ди ди
01л^ + в*Г? + 61(х' + М*, +
ох* оу* ох оу
+ с (х, у) и (х, у)*=1 (х, у),
где 0^1—1, О, 1); {—1, О, 1}; а? + <^=^0.
Канонический вид — наиболее простая форма, к которой можно
преобразовать линейное дифференциальное уравнение с частными
производными с помощью замены переменных. См. также Класси-
фикация линейных дифференциальных уравнений с частными произ-
водными второго порядка.
КАНОНИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА. Если
в многочлене выполнить приведение подобных членов и выбросить
при этом получившиеся члены с нулевыми коэффициентами, в ре-
зультате получится К. п. м. Это представление единственно с точ-
ностью до порядка следования его членов. Не исключается случай,
когда выбрасываются все члены многочлена, и в результате полу-
чается нулевой многочлен,
КАРДИОИДА — плоская линия,
описываемая точкой М окружности,
катящейся без скольжения по непод-
вижной окружности того же радиуса
г и имеющей с ией внешнее касание
(см. рис.). К. является частным
случаем эпициклоиды (при т=1).
Параметрические уравнения К. могут
быть приведены к виду: х=2гсоз/ —
—гсо5 21; у=2гз1п/—гз1п2(. Уравне-
ние К. в декартовых прямоугольных
координатах есть (х’+уа+2гх)2=
= 4г2(х2+у2), в полярных коорди-
ватах (с полюсом в точке Л) — р=2г(1 —соз<р).
КАСАНИЕ — свойство двух линий или линии и поверхности
иметь в некоторой точке общую касательную прямую или свойство
двух поверхностей иметь в некоторой точке общую касательную
плоскость. Точка, в которой две геометрические фигуры имеют К-,
называется точкой К. или точкой соприкосновения. Характеристикой
близости двух линий, линии и поверхности или двух поверхностей
в окрестности их общей точки является рорядок К.
КАСАТЕЛЬНАЯ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ. Пусть ( определена
в некоторой окрестности Щх0) точки х0 и непрерывна в точке х0,
Л4о=(хо, ((хо)), М=(х, ((х)), где х€Щх0). Предельное положение
секущей М0М при х-*х0 или, что то же самое, при ММо называ-
ется К. к г. ф. I в точке Мо. Если функция ( дифференцируема в
точке Хо, уравнение касательной имеет вид у—/(х0) =/'(х0) (х—х0)
(угловой коэффициент касательной равен ('(х0)).
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ к п о в е р хи ост и — плоскость,
проходящая через точку Мо поверхности 5 и содержащая касательные
прямые ко всем гладким кривым, лежащим иа поверхности 5 и про-
ходящим через точку Мо. К.п. определена в точках, в которых
[ га> X»] 0. Точки поверхности, в которых [ га, г„] “ 0, иазыва-
ются особыми точками поверхности. Если р = (х, у, г) — радиус-
вектор произвольной точки касательной плоскости, го=(хо, Уо, *о)—
радиус-вектор точки Л10 и г = Ф (и, о) = (Ф1(и, о), Ф« (и, о),
Фз (и, о)) — параметрические уравнения гладкой поверхности 8, то
К.п. существует в точке Л40, я ее уравнение может быть записано
в виде
/-► -► дф -> дФ
( Р — Го/ гиго “0» ги~ я (А4о)! го = , (А4#),
ди до
ИЛИ
X — Хф У—Уо г — гв
М>1 (Мо) дФ, (Мо) дФг (Мо)
ди ди ди = 0,
(Мо) дФз (Мо) дФо (Мо)
до до до
ИЛИ
где А А- А(> В, С — коэффя ЭФ> дФз ди ди ЭФя дФз до до '“*<>)+ циенты, ; В « В(у-уо)+С(г- вычисленные в ЭФя дФ1 ди ди дФр дФг до до го)=О, точке А ; с-= Го: ЭФ1 ЭФа ди ди <?Фх аФя до до
Если поверхность аадана уравнением ж=((х, у), то уравнение
К- п. в точке (хо, Уо, /(*о. Уо)) имеет вид
д/ д?
г = I (хо, Уо) + 'Г' (*•• У») (* ~ х«) + Т~ (*«’ Уд (У ~
ох оу
При неявном задании поверхности Р(х, у, г)—О уравнение К. п. в
точке (хо, Уо, г0)
др дР
т~(*о, Уо, Хо)(х — Хо) + — (хо, Уо, го)(у—Уо) +
дх оу
др
+ (х* У*' *») (г — г») •= 0.
КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ —1- К линии. Прямая называется
касательной к линии в данной ее точке, если она является предельным
положением секущей, проходящей через данную точку и другую точку
линии, иеограииченно приближающуюся к данной. Для линии г =
—►
= г (/) вектор г' (/) направлен по касательной в сторону возрастания
_ "* г’
параметра. Единичный вектор касательной обозначают / г — =
|г'|
= г (здесь точка означает дифференцирование по натуральному пара-
метру). Точки линии, в которых г' (0 обращается в нуль, называются
особыми точками параметризованной линии. Особая точка называется
несущественной, если радиус-вектор разложим вблизи этой точки по
формуле Тейлора. В такой точке направляющий вектор касательной
есть (() (для общности рассматривается случай, когда в данной
точке, кроме первой производной, обращаются в нуль все производ-
ные радиус-вектора до некоторого порядка р— 1 включительно).
В зависимости от способа аналитического задания линии уравнение
К. п. имеет следующий вид:
для плоских линий
г (/) -* р (1) — г V';
х = х (ОД _ Х~х у — У
X' " у' *
у = [ (х) У — у = Г (х) (X —х);
Р(х, у) = 0Рх{Х — х) + Ру(У — у) = 0;
для простраиствеииых линий
г(0 -* р (К) = г Д ^г'',
х-х(0П
» = «(/) )
Х—х У —у
Р(х, у, г) = 0
Ф (х, у, г) = О
У
Х—х
У —У 2-г
Ру р'г
ФуФ'г
р' р'
Л 2 1 X
ф' ф'
^2 X
Р'л Ру
Ф'хФу
2 —г
2. К поверхности. Прямая ка-
сается поверхности, если она касается не-
которой линии, лежащей на поверхности.
КАТЕНОИД — поверхность, образуе-
мая вращением цепной линии вокруг ее
базы (см. рис.). Если цепную линию за-
дать в плоскости Охг параметрическими
и
уравнениями х =» а сп —, у = 0, г «= и,
то параметрическими уравнениями К- бу-
и и
дут х = а ей — соз о, у = а ей — з1по,
а а
г<=и.
КВАДРАНТ — см. Декартовы прямоугольные системы коорди-
нат (на плоскости).
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА я переменных х,, *г, .••> х» над
числовым полем Р — многочлей ( от переменных с коэффи-
циентами из Р, каждое слагаемое которого второй степени:
п п
1(Х{, х2, .... Хп) == 2 2 ” “11х! + “12ХЛ + +
<=11=1
+ + «21*2*1 + «22*2 + ••• + а2пх2Хп + +
+ “Л1М1 + + . . . +
(П
Числа ац называются коэффициентами К-ф. Если то К.ф.
называется действительной, если ац € С — комплексной. Не ограничи-
вая общности, считают, что а^ «= а^ для /, / = 1, 2, п (этого
всегда можно достичь, сложив подобные члены н арх1х1 и Р33'
делив сумму иа 2). Симметрическую матрицу
(а11 ап ••• а1п'
а12 °22 ••• °2п
а1п а2п апп,
составленную нз коэффициентов квадратичной формы, называют
матрицей К. ф. Если ввести в рассмотрение матрицу-столбец
\хп/
т
то К. ф. (1) можно записать кратко в виде 1(х{, хг, хв)=^ АХ.
К. ф. можно получить, отождествляя в_симметрической билинейной
форме /(х, у) векторные аргументы х и у.
КВАДРАТНАЯ МАТРИЦА—матрица, у которой число строк
равно числу столбцов. К. м. имеет вид
(“11 а12 ••• а1п \
°21 °22 а2п У
ап1 ап2 апп)
Порядком к. м. называется число ее строк (или столбцов). Если
хотят указать порядок К- м., то пишут Ап. Говорят, что в К- м. эле-
менты Дц, «я, ..., о»» составляют главную диагональ, а элементы
вщ, 02 ...... — побочную диагональ.
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ—алгебраическое уравнение вто-
рой степени, т. е. уравнение вида ах2+Ьх+с—0, где а=/-0. Коэффи-
циенты а, Ь, с могут быть как действительными, так и комплексны-
ми числами. К. у. всегда имеет два корня, вычисляемых по фор-
мулам
—Ь + угЬг — 4ас
Х1, 2 = 2а *
Если о=1, то К. у. называют приведенным. Его обычно пишут в ви-
де л’+рх+^=О. Корин приведенного К. у. вычисляются по фор-
мулам
Если Ь = 0, или с=»0, или Ь = с=О, то К.У- называют неполным.
Сумма корней К-у- + х» в — —, а произведение корней Х1Х» =•
а
с
— (теорема Виета). Если К.у. с действительными коэффициентами
а
имеет комплексный корень и -|- /о, то второй его корень есть сопря-
женное число и — IV.
КВАДРАТУРА — см. Интегрирование дифференциального урав-
нения.
КВАДРАТУРНАЯ ФОРМУЛА — см. Численное интегрирование
функции.
КВАДРИРУЕМЫЕ ФИГУРЫ. Плоскую фигуру Р называют
квадрируемой (илн имеющей площадь), если точная верхняя грань
5. площадей всевозможных многоугольников Р», содержащихся в
этой фигуре, равна точной нижней грани 5* площадей всевозмож-
ных многоугольников Р*, содержащих Р. Величину 5=5* =5. назы-
вают площадью фигуры Р. См. также Вычисление площадей плоских
фигур.
КВАЗИМНОГОЧЛЕН — функция, представимая в виде суммы
конечного числа квазнодночленов. Линейная комбинация с постоян-
ными коэффициентами и произведение К., а также первообразная и
производная от К.— снова К. К. широко применяются в теории ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен-
тами, что соответствует возможности с их помощью моделировать
различные колебательные процессы, в том числе периодические,
затухающие и резонансные.
КВАЗИОДНОЧЛЕН — функция вида Аре?* соз р/ или А^е^зш р/,
где А, а, Р€К, Формулы с квазиодночленами приобре-
тают более компактный н симметричный вид, если использовать ком-
плексиозначные квазиодночлены (А + <В) где на основании
формул Эйлера = е13* (соз р/ 4- I з!п р/).
КВАЗИПОЛИНОМ— то же, что квазимногочлен.
КВАНТОРЫ — см. Символика математической логики.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ с частными производными второго по-
рядка
д2и д2и д2и ди
А (-х’ У'»Т1 + 2В + С (*’ + 61 ~а~ +
дх2 дхду ду* дх
ди
+ (к, у) ~ + с (х, у)и=-[ (х, у), А* -|- В’ + С8 =/= 0.
Если В2—ЛС>0 в области О с К!, то уравнение называют уравне-
нием гиперболического типа, если Вг—АС—0— уравнением парабо-
лического типа, если В2—ЛС<0 — уравнением эллиптического типа.
Кроме того, уравнение может быть и смешанного типа в области О
(если в различных частях области О выражевие В2—АС имеет раз-
ные знаки). Путем замены переменных в уравнении его можно пре-
образовать в одно из следующих канонических уравнений:
1) каноническое уравнение гиперболического типа
д*и д*и ! ди ди \
либо
д*и I ди ди \
дхду \ дх ду)
2) каноническое уравнение параболического типа
д*и I ди ди \
“ = В8 х, у, и, —, — ;
дх* \ дх ду)
3) каноническое уравнение эллиптического типа
д*и д*и [ ди ди \
~4- —= Е4 х, у, и, —, —
дх* ду* \ дх ду ]
КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА —см. Точки разрыва
функции.
КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ.
Пусть множество взаимоисключающих исходов случайного экспери-
мента (пространство элементарных событий О) конечно и все исхо-
ды равновозможны. В этом случае событиями считают все подмно-
жества О, а вероятность любого события А определяют по формуле
. Число элементов А
Р (А) = -------------(1)
Число элементов и
Исходы эксперимента (элементарные события), принадлежащие А
(которые приводят к наступлению А), называют благоприятными
дли этого события и соответственно формулу (1) читают так: веро-
ятность события равна отношению числа благоприятных исходов
случайного эксперимента к числу всех возможных. Это так назы-
ваемое классическое определение вероятности.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ—см.
Классическая схема определения вероятности.
КЛЕТКА ЖОРДАНА — см. Жорданова нормальная форма
матрицы.
КЛЕТОЧНО-ДИАГОНАЛЬНАЯ МАТРИЦА —матрица вида
(А1 О ... О \
О А, ... О \
О* ' ‘О ’ ’
где Ль Аг, .... А, — квадратные матрицы произвольных фиксирован-
ных порядков; О — нулевые матрицы соответствующих размерно-
стей. Если все матрицы А*. й=1, 2.з, первого порядка, то К--Д- м.
является диагональной. К.-Д. м. называются также распавшимися.
КОВАРИАЦИЯ случайных величии |ь Вз с матема-
тическими ожиданиями М|ь Л1§2 — число
СОУ,(61, &2)=^((61-М1)(&2-Л1&2)).
Если соу (6ь 6з) =0, то случайные величины называются не-
коррелированными. Из независимости 6ь 6з следует их некоррелиро-
ванность, обратное утверждение, вообще говоря, неверно.
КОЛЕБАНИЕ ФУНКЦИИ / на множестве X— разность
между точной верхней и точной нижней гранями функции иа мно-
жестве X. Таким образом, если обозначить К. ф- через X),
то <о=зир^—1пП или
х X
®=* зир I НИ —НИН зир (НИ —НИ)-
х', х $Х х’, х"$Х
Если X отрезок, а [ непрерывна на X, то 3x1, х2 € X такие, что <В=
= НН-НИ-
Еслн { ие ограничена на X, то ш = + оо.
КОЛЛИНЕАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, расположенные на
одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор счи-
—>
тается коллинеарным любому вектору. Запись: а||6. Коллинеарность
двух векторов является необходимым и достаточным условием их
линейной зависимости. Необходимым и достаточным условием кол-
линеарностн двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения.
Если два вектора а — (Хь У1, 21) н Ь = (х2, у г, 22) коллинеарны,
Х1 У1 21
то их координаты пропорциональны, т. е. — — — = —.
х2 Уг 22
КОММУТАТИВНОСТЬ — см. Линейное пространство, Скаляр-
ное произведение, Сложение векторов, Сложение комплексных чи-
сел, Сложение матриц, Сложение многочленов, Умножение комп-
лексных чисел, Умножение многочленов. См. также Закон коммута-
тивности.
КОММУТАТИВНЫЕ МАТРИЦЫ, перестановочные матрицы,—
матрицы Л и В, для которых оба произведения АВ и ВА имеют
смысл и АВ = ВА. Две К. м. обязательно являются квадратными
матрицами одинакового порядка. Например, коммутативны между
собой все степени одной и той же матрицы: АкАт=АтАк=Ат+к.
Справедливо утверждение: для того чтобы квадратная матрица А
порядка п была перестановочна со всеми матрицами того же поряд-
ка, необходимо и достаточно, чтобы оиа была скалярной.
КОМПАКТ — множество X евклидова п-мерного пространства
Кп, для которого из любой системы открытых множеств, покрываю-
щих множество X, можно выделить конечную подсистему, также по-
крывающую это множество. Множество / с К" является К. тогда
и только тогда, когда оно является замкнутым и ограниченным.
КОМПЛАНАРНЫЕ ВЕКТОРЫ — векторы, лежащие в одной
плоскости или параллельные некоторой плоскости. Компланарность
трех векторов является необходимым и достаточным условием их
линейной зависимости. Необходимым и достаточным условием ком-
планарности трех векторов является равенство нулю нх смешанного
произведения.
КОМПЛЕКСНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА —см. Квадратич-
ная форма.
КОМПЛЕКСНАЯ .МАТРИЦА — матрица А=(ао), средн эле-
ментов ац которой есть хотя бы одно комплексное число.
КОМПЛЕКСНАЯ ПЛОСКОСТЬ. Каждому комплексному числу
2=а+1Ь соответствует упорядоченная пара действительных чисел
(а, Ь), и обратно, каждой упорядоченной паре действительных чисел
(а, Ъ) соответствует комплексное число г~а+(Ь. Поэтому дли гео-
метрического изображения комплексных чисел на плоскости выби-
рают прямоугольную декартову систему координат и каждую точку
М(а, Ь) рассматривают как образ ком-
плексного числа г^а+1Ь (см. рис.). Чис-
ло а+1Ь называют аффиксом точки М.
Множество всех действительных чисел
изображается осЫо абсцисс, которая на-
зывается поэтому действительной осью, Ь
множество всех мнимых чисел — множе-
ством точек, не лежащих на осн абсцисс,
в частности множество чисто мнимых ,
чисел — осью ординат, называемой мни- •
мой осью. Плоскость, точки которой изо-
бражают комплексные числа, называется К- п.
Для геометрического представления чисел 2=04-1'6, кроме точек
(а, Ь), используют еще их радиус-векторы. Поэтому иногда употреб-
ляют как синонимы термины «комплексное число», «точка» и «век-
тор». См. также Аргумент комплексного числа. Модуль комплекс-
ного числа.
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ. Если ! абсо-
лютно интегрируема на К, кусочно-диффереицируема на каждом
конечном промежутке, то в точках непрерывности функции ( имеет
место формула
4-оо 4-°°
/(х)”йГ У У
—СО —00
где внешний интеграл понимается в смысле главного значения. Вы-
ражение, стоящее в правой части, и представляет собой К. ф. н. Ф.
КОМПЛЕКСНАЯ ФОРМА РЯДА ФУРЬЕ. Пусть 2я-периоди-
ческая функция / интегрируема на отрезке [—л, л]. Тогда тригоно-
метрический ряд Фурье этой функции может быть записан в форме
4-оо я
с/1«/ЯХ. сп = У /(х) е~1пхйх-, п^г,
л«=—оо —Я
называемой К. ф. р. Ф.
КОМПЛЕКСНОЗНАЧНАЯ ФУНКЦИЯ действительного
ие ре м е и но го — функция г=а(/), определенная на промежутке
|а, Р| а: К и принимающая комплексные значения. Эту функцию
можно представить в виде о(0 “((0 + ^(0, где/(<)—Кео(<) и #(<) =
= 1то(/)—действительные функции. Предел функции о(0“Н0 +
+ Ч?(0 определяется формулой
Пгро(<) = Пт/(0 4- / Пт
1-^1о
Функцию о(/) называют непрерывной в точке (или на проме-
жутке), если в этой точке (на промежутке) непрерывны функции
((0 И й(/)- Производная </(<) К- ф. может быть определена соотно-
шением о'(0—/'(0+‘^(0- Аналогичным образом вводится и ин-
теграл
3 ₽ ₽
]а(ОЛ-|/(ол + 1]>(оа/.
а а а
С помощью этих определений на К- ф. естественным образом пере-
носятся многие свойства действительных функций. Например, сум-
ма, разность н произведение непрерывных К- ф. представляют собой
непрерывные функции, частное непрерывно в точках, где знамена-
тель отличен от нуля. Если К- ф. непрерывна на отрезке, то она и
ограничена на этом отрезке. Производные арифметических комбина-
ций К. ф. вычисляются по тем же правилам, что и для действитель-
ных функций. Однако не все свойства дифференцируемых действи-
тельных функций могут быть перенесены на К- ф. В частности, не
имеют места теоремы Ролля и Лагранжа. Интеграл от К. ф- также
сохраняет большинство известных свойств (линейность, аддитив-
ность н т. д.). Имеет место н формула Ньютона — Лейбница. Одна-
ко теорема о среднем для К- ф. неверна. К- ф. можно рассматривать
как вектор-функцию (((/), #(0)- Если о(<) непрерывна на отрезке
(а, р1, то график функции о на комплексной плоскости представляет
собой некоторую кривую, и поэтому в теории функций комплексного
переменного эти функции широко используются для записи уравне-
ний кривых. Важную роль в теории К. Ф- играют формулы Эйлера:
8й = соз I + »31П (;
^ + е~и
соз / =>-2----1 I =»----------•
КОМПЛЕКСНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Линей-
ное пространство.
КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА. Комплексное число а —
— 1Ъ называется комплексно-сопряженным числу г = а 4- 1Ъ. Его обо-
значают г: г = а—И>. Геометрически число г изображается векто-
ром (см. Комплексная плоскость), симметричным вектору г относитель-
но оси Ох. Свойства сопряженных чисел: | г | = | г |; Агб 2 =»
«= — Агбг; ада ="г? -ад IV*I = га =/= 0; "г" = (~г)п.
\ / га
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА — выражения вида г=а+1Ь, где а
и Ъ — действительные числа, а I—так называемая мнимая единица
(?= —1). Число а называется действительной частью К. ч. (обозна-
чение: ««Кег), Ъ — мнимой частью К. ч. (обозначение: 6=1шг).
К. ч., не являющееся действительным (у которого Тгпг^О), назы-
вается существенно К. ч. илн мнимым числом. К- ч. вида Ы (Ке г=0)
называются чисто мнимыми К- ч, Действия над К. ч.:
21+га= (а+1Ь) + (с+И) = (а+с) +ф>+*Л}
21—2г= (а+И>) — (с+й!) = (а—с) +ЦЬ—д)}
2122= (а+И>) (с+И) = (ас—М)+1(си1+Ьс)}
21 «4-16 ас 4- М Ьс— ай
с 4- И 4- + с2 4- *
21 = га « а = с, Ь =; й.
Запись К. ч. в виде г—а+1Ь называется алгебраической формой
К. ч. Рассматривают также тригонометрическую форму й экспонен-
циальную форму К. ч. Множество К. ч. обозначают буквой С
КОМПОЗИЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ — то же, что
произведение линейных операторов.
КОМПОЗИЦИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. Пусть задан степенной ряд
00
У, и величина х выражена через аргумент I в виде степенного ря-
л=о
ОО СО / 00 \Л
да х — Тогда можно образовать К-с.р. 2 ак\ 2 I '
/п=®0 \ т=0 /
со
которая после формальных преобразований сводится к ряду У} ^к^1
&
оо
Если /? — радиус сходимости ряда 2 о*** и для р > 0 выполняется
4=0
00 со со
условие 2 |Рт|рт <«• ™ к.с.р. имеет смысл и 2 ак*^ ~ 2
т=0 6=0 6=0
оо
выполняется для всех I, |/| В частности, если ряд 2 имеет
т=0
ненулевой радиус сходимости и |Д0| < /?, то существует г> 0, такое,
ОО со
что тождество 2 = 2 &4^ выполняется для всех I, 111 < г.
4=о 4=0
КОМПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ. Пара функций г=Л(у) и у=§(х)
устанавливает зависимость г от х посредством промежуточных функ-
ций д и Л в виде г=}(х) =Л(#(х))_ Функцию / называют сложной
функцией, составленной из функций Л и д, или суперпозицией Л и д,
или К. ф. Л и д. К. ф. Л и д обозначают Л °д. Оиа имеет смысл при
условии Е(д) ай (к). Наряду с К. ф. к °д можно рассматривать
и композицию большего числа функций.
КОМПОЗИЦИЯ ЭЛЕМЕНТОВ — см. Бинарная операция.
КОМПОНЕНТЫ ВЕКТОРА — то же, что координаты вектора.
КОНГРУЭНТНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ — то же, что
зквивалентные квадратичные формы.
КОНЕЧНОМЕРНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО —см. Раз-
мерность линейного пространства.
КОНЕЧНЫЕ РАЗНОСТИ первого порядка дли функции [ по
равноотстоящей сетке узлов х*=х0+йЛ, к=0, 1, 2, ..., в которых из-
вестны значения функции Ук = ((,хк),— величины Дуо=|/1 —Уо, &У1 =
=У2—Уь .... Л.ук = Ук+1—У к, ... К. р. второго порядка определяются
равенствами Л2г/о=А«/1-Д'/о, Д2|/1=Д«/2-ДУ1, Е2Ук~Еук-ц-Еук, ...
и т. д. К. р. обладают следующими свойствами:
1) оператор Д К. р. линеен, т. е.
Д*(аН₽^) =аД'7+ РД*#;
2) К. р. л-го порядка от полинома л-й степени есть величина
постоянна н;
3) К. р. представляются через значения функции
к
4-2Н)'Ф(!
/=0
к
ЪУк = 2 Ф'у»;
5) если /€С<А)([хо, хо + ЗД), то 3^ € [х0. х0 + кК\, такое, что
Д*«/о =
6) связь между разделенными разностями и К. р. выражается
формулой
/(х0, Хо + Л, .... х0 + ЙЛ) = А~.
к\п
КОНЕЧНЫЕ ТОЧКИ ПРОСТОЙ ДУГИ —см. Простая дуга.
КОНИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, описываемая
прямой линией (образующей), проходящей через данную неподвиж-
ную точку 5 (вершину) н пересекающей данную неподвижную ли-
нию (направляющую).
КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ —см. Конус второй степени.
КОНТУР — простан или простая замкнутая спрямляемая кри-
вая.
КОНУС ВРАЩЕНИЯ — см. Конус второй степени.
КОНУС ВТОРОЙ СТЕПЕНИ — множество всех точек простран-
ства, координаты которых в некоторой декартовой прямоугольной
системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
где а, Ь, с — произвольные положительные числа. К. и. с. можно
рассматривать как коническую поверхность с вершиной в точке
О (0, 0, 0) и направляющей, которая получается в сечении (1) пло-
скостью 2=Л#=0 (эллипс). Уравнение (1) называется каноническим
уравнением К. в. с. К. в. с. симметричен относительно каждой коор-
динатной плоскости, каждой координатной осн и начала координат
(см. рис.). Ось Ог называется осью К. в. с., нача-
ло координат — его вершиной.
Сечение К. в. с. плоскостями — эллипс (в пло-
скостях, пересекающих все прямолинейные обра-
зующие), парабола (в плоскостях, параллельных
одной прямолинейной образующей), гипербола (в
плоскостях, параллельных двум прямолинейным
образующим), пара пересекающихся прямых,
прямая или точка — вершина (в плоскостях, прохо-
дящих через вершину). Если а = 6, К. в. с. называ-
ют конусом вращения или прямым круговым кону-
сом.
Замечание. Эллипс, гиперболу, параболу можно рассматривать
как линии пересечения К.в с. (в частности, прямого кругового конуса) плос-
костями. Поэтому эти линии часто называют коническими сечениями.
КОНФОРМНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. Непрерывное отображение,
сохраняющее углы между кривыми, проходящими через данную точ-
ку, называется конформным в этой точке. Если при этом сохраня-
ются ие только величины углов, но н направления их отсчета, то
говорят о К- о. первого рода; если же направления отсчета углов
меняются иа противоположные, то говорят о К. о. второго рода.
Если отображение является конформным во всех точках области й,
то его называют К- о. области й. Отображение посредством анали-
тической в некоторой области В функции комплексного переменного
является К. о. первого рода во всех точках, в которых производная
отлична от нуля.
КОНХОИДА НИКОМЕДА — плоская линия, полученная прн уве-
личении или уменьшении каждого радиус-вектора точек дайной прямой
У = а иа одну н ту же величину I (на рис. ОМ1 = ОК + I, 0М2 =>
^=0К—I для произвольной точки К‘, см. с. 159). Уравнение К-Н. в поляр-
а
ной системе координат имеет видр=>--+ I, в декартовой прямоуголь-
81П Ф
ной системе координат — (х2 + у2) (у — а)2 — 12у2 = 0. Прямая у = а
является асимптотой К-Н.
КОНЪЮНКЦИЯ — см. Символика математической логики.
КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНОГО-ОПЕРАТОРА. Пусть
— линейный оператор, (е ) = ( С1, е2, .... —какой-ни-
л
будь базис пространства У„, х = '^х1е произвольный вектор.
/«1
п
Тогда вектор У/е 1 в том же базисе будет иметь коорди-
наты
У1=апХ1+а12х3+...+а1пх„;
*/2=а21*1 + а22-Т2 + — + а2пЛ«>; (1)
уя=аЯ1Л1+ап2х24-...+аяп*п
нлн кратко
У1 =2 ачх/> /= !• 2> •••> ">
1=1
где
матрица оператора в базисе (е). Формулы (1) или (2), устанав-
ливающие связь между координатами вектора и его образа, назы-
ваются К. з. л. о. Если ввести в рассмотрение координатные столбцы
(х)=Х, (у)-У векторов х и у, то формулы (1) или (2) можно запи-
сать в виде
(у)=А(х) или 7=АХ. (3)
Формулу (3) называют матричной записью линейного оператора.
__ Замечание. Формулу (3) иногда записывают в символическом виде:
у-Ах.
КООРДИНАТНАЯ ОСЬ — см. Декартовы системы координат
(на прямой).
КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ — плоскость, на которой вы-
брана система координат. См. также Декартовы системы координат
(в пространстве).
КООРДИНАТНАЯ ПРЯМАЯ — то же, что координатная ось.
КООРДИНАТНАЯ ЧЕТВЕРТЬ — см. Декартовы прямоугольные
системы координат (на плоскости).
КООРДИНАТНЫЕ ВЕКТОРЫ точки иа поверхности.
Пусть г = г (и, о) — векторно-параметрнческое уравнение поверхности.
дг ->
По
определению, векторы — = г„,
ди
дг -►
—- = г„ называются
К.в., соот-
ветствующими той точке, криволинейные координаты которой под-
ставляются при их вычислении. К-в. являются касательными векторами
к координатным линиям.
КООРДИНАТНЫЕ ЛИНИИ иа поверхности — см. Кри-
волинейные координаты.
КООРДИНАТНЫЙ ОКТАНТ — см. Декартовы системы коор-
динат (в пространстве).
КООРДИНАТНЫЙ СТОЛБЕЦ ВЕКТОРА —см. Разложение
вектора по базису.
КООРДИНАТЫ — см. Метод координат.
КООРДИНАТЫ ВЕДТОРА — см. Декартовы системы коорди-
нат, Разложение вектора по базису.
КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА цх)—число с, такое, что ?(с)=0.
Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена /(х), когда
}(х) делится на х—с. Может случиться, что многочлен /(х) делится
не только иа первую степень линейного двучлена х—с, ио и иа более
высокие его степени. Число с называется к-кратным корнем много-
члена, если /(х) делится на (х—с)*, ио ие делится иа (х— с)*+’,
к СИ-В этом случае [(х) = (х—с)*<р(х), где <р(с)=?ьо. Число к назы-
вают кратностью корня с многочлена Цх). Если 6=1, то говорят,
что корень с — простой.
Т. Если число с является 6-кратным корнем многочлена ^(х), то
при 6>1 оио будет (6—1)-кратным корнем первой производной это-
го многочлена; если же к=4, то с ие будет служить корнем для
Г(х).
См. также Основная теорема алгебры.
КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ —см. Уравнение.
КОРРЕЛЯЦИЯ — вероятностная или статистическая зависи-
мость между случайными величинами.
См. также Коэффициент корреляции.
КОСИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Функцию
Г(Х)= У/(ОсозХ/Л
о
называют К.-П. Ф. для функции которая предполагается четной
либо заданной иа (О, +«>[. Если для { справедлива интегральная
формула Фурье, то функцию { можно иайти по формуле
/(х) — У (X) соз ХхйХ,
О
т. е. / в свою очередь является К.-п. Ф. для Р. Другими словами,
функции 7 и Р являются взаимными косинус-преобразоваииями.
КОСОЙ ГЕЛИКОИД —см. Геликоид.
КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА —см. Би-
линейная форма.
КОСОСИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица
•Д = (аи). для которой Ат = — А. Для К. м. а^-—для любых
а((=0. Для определителя К. м. порядка п справедливо соот-
ношение |А| = (—1)"|А|, откуда следует, что определитель К. м.
нечетного порядка всегда равен нулю.
КОСОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ — декартова си-
стема координат на плоскости или в пространстве, у которой осн
координат не перпендикулярны, но масштабные отрезки осей равны
между собой.
КОСОЭРМИТОВА МАТРИЦА — квадратная матрица А, для
которой А* = — А, где А‘ — матрица, сопряженная матрице А. Если
А—действительная матрица, то К. м. является кососимметрической.
КОЭФФИЦИЕНТ ДОВЕРИЯ — см. Доверительный интервал,
Доверительные интервалы для математического ожидания.
КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ случайных величии
51, 5г с ненулевыми дисперсиями />51» Д51 — число
соу (51, 5а)
р (51, 51) -
где соу (5ь |2) —ковариация 51 и 5г- Основные свойства К- к.:
1) 1р№., Ь)1<1;
2) если 5ь 51 независимы, то р(5ь 51) =0;
3) если 5»=я51+^ (а н Ь — постоянные), то |р(5ь 52)1 = 1.
КОЭФФИЦИЕНТ НАДЕЖНОСТИ — см. Доверительный ин-
тервал.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. Пусть а, е», ..., ея, ...— ортогональ-
ная система векторов предгильбертова пространства Н н Ц с* И У=0,
У/к^Л. Числа Сь =---------й€М, называются К-Ф. элемента у$Н
11 «л II
по системе Сх, е2, .... еп, ... Если Н — пространство действительных
функций, интегрируемых с квадратом на отрезке [а, 6], н <рх(х), ф2(х).
Фл (х), ...—ортогональная система этого пространства, причем |] фя II а=*
Ь । Ь
= У ф* (х) дх + 0, л€Н, то ск | / (х) фА (х) дх, к^Л,—
а и Фй И а
К.Ф. функции Если система функций ортонормнрована, то фор-
ь
мула для вычисления К-Ф. примет вид ск = | /(х)ф^ (х) дх, к(. И. К.Ф.
а
2л-перноднческой функции / по основной тригонометрической системе
1, 81 п х, соз х, ..., 81п их, соз их, ... вычисляются по формулам:
а-|-2л
ак = ~~ У /(х)созЛхйх, А = 0, 1, 2, ... }
а
а+2л
6 „ — | / (х) з!п кхФх, к -» 1, 2,
* я 1
(в качестве а можно взять любое действительное число. Чаще всего
полагают а = 0 нлн а = —я). Для составления К-Ф. 2/-пернодиче-
ской функции используют общую тригонометрическую систему 1,
лх лх
81п“, соз —, ....
ИЯХ ИЯХ
81 п—-—, соз—-—, а сами коэффициенты
принимают внд
а+21
1 С ^лх .
ак=з — I /(х)соз—-—йх, к = 0, I, 2, ... }
а
аЧ-2(
. I С Лях
0к<=* — | / (х) ат—-—ах, к=»\, 2,
а
КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ—БЕССЕЛЯ —см. Ряд Фурье по
функциям Бесселя.
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВ-
НЕНИЯ— задача построения решения данного уравнения, удовле-
творяющего заданным краевым условиям. Во многих случаях в тео-
рии обыкновенных дифференциальных уравнений краевыми задача-
ми называют только граничные задачи.
КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ с частными производными второго порядка.
Различают трн типа краевых задач:
I) задача Коши для уравнений гиперболического и параболи-
ческого типов, определенных на всей числовой прямой: задаются
начальные условия (начальное состояние рассматриваемого процес-
са), граничные условия (режим на границе того отрезка, где про-
исходит процесс) отсутствуют;
2) краевая задача для уравнений эллиптического типа: задают-
ся условия на границе области, где рассматривается задача, началь-
ные условия отсутствуют;
3) смешанная задача для уравнений гиперболического и пара-
болического типов: задаются н начальные, и граничные условия.
КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВ-
НЕНИЯ— начальные н граничные условия в совокупности. См.
Краевая задача для дифференциального уравнения.
КРАТНОСТЬ КОРНЯ МНОГОЧЛЕНА —см. Корень много-
члена.
КРАТНОСТЬ СОБСТВЕННОГО ЧИСЛА ВЕКТОРА (МАТРИ-
ЦЫ) — см. Собственный вектор линейного оператора.
КРАТНЫЙ ИНТЕГРАЛ от функции / покубируемо-
му множеству бсК”* — предел интегральных сумм о =
п
=2 I (Л4 к) КО к при стремлении диаметра разбиения 6 к нулю. Если этот
к=1
предел Нт о «=> / существует, конечен и не зависит ии от разбиения
г -И)
{<?*}, ни от выбора точек М&, то функцию / называют интегрируе-
мой в смысле Римана на множестве О, а число I — т-кратным интег-
ралом от ( по О (при т = 2 — двойным, при т = 3 — тройным) и
обозначают
Д ... X», .... хт)4х14х» ... йхт.
а
КРАТНЫЙ КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА—см. Корень многочлена.
КРАТЧАЙШЕЕ РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ
—ф "ф "ф “ф "ф -ф
ПРЯМЫМИ г Г1 + 011 и г => гг + аг1 вычисляется по формуле
|(~Г2 —71) Д1О1 |
|[вь «Л
КРИВАЯ — то же, что линия. В тексте этн два термина упо-
требляются равноправно.
КРИВИЗНА лнннн в данной ее точке—предел отно-
шения угла поворота касательной на дуге, стягивающейся к данной
точке, к длине этой дуги (см. Формулы Френе). К. показывает, на-
сколько отклоняется лнння по своей форме от прямой лвнии: чем
больше К-, тем сильнее это отклонение. Для прямой линии, и только
для нее, К. во всех точках равна нулю.
В завнснмостн от способа задания ливнн К. вычисляется по
следующим формулам:
ДЛЯ ПЛОСКИХ ЛИНИЙ
3
X = X (I)
У = У (()
| х'у” — х"уг I
С '2 ,2\3/2 •
У = У (*)-»* =
|У'1
'2\3/2 ;
Рхх
той
Р (х, у) = 0 -> к =
1 ух
р'
Е
хд
р'уу
РУ
р'х
РУ
0
Ы2
г (<р) -+ к
,3/2
для пространственных линий
7=Г(з)->й=. 17 |;
х = х (0;
У = У (0;
г=г(О
х = х («);
у = Н«);
г= г(з)
-» к = х2 4- у2 + га>
где 5 — натуральный параметр; г=г(<р)—уравнение плоской линии
в полярных координатах.
КРИВОЛИНЕЙНАЯ ТРАПЕЦИЯ — фигура, ограниченная гра-
фиком функции Д неотрицательной и непрерывной На отрезке [а, Ь],
отрезком [а, Ь] оси Ох н перпендикулярами, проведенными к оси Ох
в точках'а н о. К. т. называют также фигуру, ограниченную прямы-
ми х=а, х=Ь н графиками функций { и определенных на отрезке
[а, 6], причем/(х) ^8(х),Ух [а, 6].
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ точки иа поверх-
ноет и. Пусть г=г(и, о) — векторно-параметрнческое уравнение по-
верхности. Если в этом уравнении одному из параметров, например
и, дать какое-либо определенное значение и=Со, то уравнение г=
=г(со, о) задает некоторую линию на поверхности (называемую для
краткости линией и=с0). Меняя значение со, будем получать на по-
верхности различные линии семейства и=сопз1. Аналогично получа-
ется второе семейство линий о=сопзЕ Отдельная точка на поверх-
ности может рассматриваться как пересечение линии семейства
и=сопз1 с некоторой линией семейства о=сопзЕ Поэтому парамет-
ры и н V могут быть названы координатами точек иа данной поверх-
ности. Их называют К. к. точки иа поверхности. Линин семейства
и=сопз! и о=сопз! называют координатными линиями на поверх-
ности.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО РОДА от функ-
ции Д заданной иа спрямляемой пространственной кривой I, мо-
жет быть определен как предел интегральных сумм:
л
при диаметре разбиения 6 = гпах {Аз*}, стремящемся к нулю. Предпс-
к
лагается, что ориентированная кривая I разбита точками Ма, М1, ...
Мп на дуги Мк___хМк, 1, 2, п, длины которых обозначены Аз4,
Ахй — величина проекции дуги Мк_1Мк иа ось Ох, т. е. Ахй = хк —
— 1> где хк и хА—1—соответственно абсциссы точек Мк и Мк_,.
Р (ъЬ Ль ?л) — произвольная точка на дуге Мк_{Мк. Если Мт ах су
г-»о
ществует н не зависит ни от способа разбиения кривой I, ни от выбо-
ра точек Рк, то его называют К-и.в.р. от функции / по кривой I и
обозначают у /(х, у, г) Ах. Аналогично могут быть определены К. и.в.р.
I
(у (х, у, г) Аун $ к (х, у, г) Аг. Символом | / (х, у, г) Ах у (х, у,г) Ау+
г I I
+ Л (х, у, г) Аг обозначают сумму таких интегралов, взятых по
одной И той же кривой (в одном и том же направлении). См. также
Вычисление криволинейных интегралов второго рода.
КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО РОДА от
функции заданной на спрямляемой пространственной кривой
I, может быть определен как предел интегральных суммг
° ” 5
к=1
при диаметре разбиения 8=»тах (ДзА}, стремящемся к нулю. Здесь
к
предполагается, что кривая I разбита точками Мк на части
длины которых равны Да*, Рк (5*, »)*, С*) — произвольная точка, ле-
жащая на дуге Мк,Мк. Если существует Нт а =« /, не зависящий ни
8-Ц)
от способа разбиения кривой I, ни от выбора точек то 1 называ-
ют К.и.п.р. от функции / по кривой I и обозначают | / (х, у, г) Аг.
Аналогично определяется и К.и.п.р. от функции / по плоской кривой
/:} / (х, у) Аз. См. также Вычисление криволинейных интегралов пер-
I
вого рода, Основные свойства криволинейных интегралов первого рода.
КРИТЕРИИ СОГЛАСИЯ — критерии, позволяющие судить, со-
гласуются ли наблюдаемые значении м.......Хп случайной величины
| с гипотезой относительно ее закона распределения. При построе-
нии К. с. в случае полностью заданного гипотетического распреде-
ления выбирается некоторая величина О, являющаяся мерой отно-
шения эмпирической функции распределении Гд(х) от гипотетиче-
ской функции распределения Е(х):
Величина В, каким бы образом оиа ии была задана, является функ-
цией выборочных значений н, следовательно, случайной величиной.
После того как выбрана мера О и найдено ее распределение в пред-
положении справедливости гипотезы, задается число а (уровень зна-
чимости), столь малое, чтобы событие с вероятностью а можно было
считать практически невозможным. По заданному а находится та-
кое число Во (предел значимости), что /’(В^В0)=а. Проверка со-
гласуемости полученной выборки с гипотезой относительно закона
распределения генеральной совокупности осуществляется следую-
щим образом. По реализовавшейся выборке строится эмпирическая
функция распределения Рп и вычисляется реализовавшееся значе-
ние случайной величины О(Р „, Р). Если это значение окажется ие
меньше Во, то гипотеза о законе распределения отвергается (при
этом вероятность отвергнуть правильное предположение ие боль-
ше а). В противном случае гипотеза может быть принята. Описан-
ное опровержение гипотезы, разумеется, не означает ее логического
опровержения. В случае, когда гипотетическая функция распределе-
ния Р(х, 01, ..., 0.) содержит неизвестные параметры 0!. 0»,
предварительно находятся оценки 0(. 05этих параметров по вы-
борке, а затем вводится мера О(Рл, Р) отклонении эмпирической
функции распределения от гипотетической функции Р(х, 0р..., 08).
Величину В можно определять по-разному, соответственно получая
различные критерии согласия (см. Критерий согласия %2, Критерий
согласия Колмогорова). Если критерием согласия гипотеза Но от-
вергается, а в действительности оиа вериа, то такую ошибку назы-
вают ошибкой первого рода. Вероятность ошибки первого рода рав-
на уровню значимости. Если же гипотеза На принимается, а иа
самом деле верна гипотеза Н>, отличная от Но, то такая ошибка на-
зывается ошибкой второго рода. Мощностью критерия относительно
гипотезы Н\ называется вероятность отвергнуть гипотезу. Но если
вериа гипотеза Ну, мощность критерия равна 1 —₽, где (3 — вероят-
ность ошибки второго рода.
КРИТЕРИИ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ
МАТРИЦ. Две полиномиальные матрицы Л(х) и В(х) одного и то-
го же порядка эквивалентны тогда и только тогда, когда выполня-
ется одно из следующих условий: 1) совпадают их системы инва-
риантных множителей; 2) равны их ранги и системы элементарных
делителей совпадают; 3) существуют такие унимодулярные матрицы
и У(х), что В(х) = У(х)А(х)П(х).
КРИТЕРИЙ — см. Взаимно обратные теоремы.
КРИТЕРИЙ ГЕЙНЕ с у ще с т в о в а н и я конечного пре-
дела функции — см. Предел функции в точке, Предел функции
нескольких переменных.
КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА — критерий, устанавливающий необхо-
димое и достаточное условие для того, чтобы все кории многочлена
((х')=аахп+а\хп-1+...+ап-1Х+ап имели отрицательные действитель-
ные части. Если ао>0 и все коэффициенты а, € К, то К- Г. формули-
руется следующим образом; действительные части всех корней мно-
гочлена |(х) отрицательны тогда и только тогда, когда все главные
миноры гурвициана многочлена положительны.
КРИТЕРИЙ КОШИ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ ФУНК-
ЦИОНАЛЬНОГО РЯДА — см. Равномерная сходимость функцио-
нального ряда.
КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ КОНЕЧНОГО ПРЕ-
ДЕЛА ФУНКЦИИ — см. Предел функции в точке.
КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО
ИНТЕГРАЛА ВТОРОГО РОДА. Пусть функция / задана на полуин-
тервале [а, Ь], неограннчеиа в полуокрестности точки Ь и интегрируема
в смысле Римаиа на любом отрезке [а, »)}. а<ц<&. Для сходимости
Ь
несобственного интеграла [ / (х) дх необходимо и достаточно, чтобы
Уе>0, 3»)о, а<»]о<6-
а
такое,
что УЦ1, Па,
<Ь=> | ( (х) дх
КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННОГО
ИНТЕГРАЛА ПЕРВОГО РОДА. Пусть функция / задана на проме-
жутке [а, -|-со[ и интегрируема в смысле Римана на любом конечном
-+00
промежутке. Для сходимости несобственного интеграла / (х) дх не-
а
обходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 существовало такое
Ло(е)>а, что для любых А1 и Ла, Л]>Ло(е), Л2>Ло(е), следует не-
равенство
а,
] / (х) дх
А,
КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ —
см. Предел числовой последовательности.
КРИТЕРИЙ КОШИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА. Для схо-
ОО
димости ряда 2 од необходимо н достаточно, чтобы Уе>0, 3 п (е).
Уп>и(е), Ур€И=» 20* <8>
|*=л-Н
КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ ВЕК-
ТОРОВ — см. Линейная зависимость системы векторов. Матрица
системы векторов.
КРИТЕРИЙ ЛИНЕЙНОЙ НЕЗАВИСИМОСТИ СИСТЕМЫ
ВЕКТОРОВ — см. Матрица системы векторов.
КРИТЕРИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ МОНОТОННОЙ ФУНКЦИИ.
Для того чтобы функция Д монотонная на отрезке, была непрерыв-
ной на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы множеством
значений функции был тоже отрезок.
КРИТЕРИЙ ПОДОБИЯ МАТРИЦ — см. Подобные матрицы.
КРИТЕРИЙ РАВЕНСТВА НУЛЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ —см.
Базисный, минор матрицы.
КРИТЕРИЙ СИЛЬВЕСТРА положительной опреде-
ленности действительных квадратичных форм —
см. Положительно определенная квадратичная форма.
КРИТЕРИЙ СОВМЕСТНОСТИ системы линейных
уравнений, теорема Кронекера-Капелли: для совместности си-
стемы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг
матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.
Решение произвольной системы линейных уравнений можно про-
изводить по следующей схеме:
1) находят Гл—ранг матрицы системы н г л, —ранг расширен-
ной матрицы, если гл=/=гл1, то система несовместна;
2) если гл=гл1г=г, то выделяют базисный минор и базисные
переменные;
3) данную систему заменяют равносильной, состоящей из тех г
уравнений, в которые вошли элементы базисного минора;
4) если г—п, т. е. число базисных переменных равно числу пе-
ременных системы, то система имеет единственное решение, которое
можно найти по формулам Крамера. Если г<п, то нз системы, по-
лученной в п. 3, находят выражение базисных переменных через
свободные (например, по формулам Крамера). Придавая свободным
переменным произвольные значения, получают бесконечно много
решений исходной системы.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ КОЛМОГОРОВА. В К. с. К., который
применяется при полностью заданном гипотетическом распределе-
нии, мера отклонения эмпирического распределения от гипотети-
ческого (см. Критерии согласия) вводится следующим образом:
= 5ЦР I (*) — ^ (*) I •
1 п «
Если гипотеза верна и функция распределения Г(х) непрерывна, то прн
Л~>ОО
Р(К« Рп<х) -*К(*) =
” , ,
у (—•» , х>0;
О, х<0.
Таким образом, при больших п можно считать, что функция распре-
деления случайной величиныравна К(х). Функция К(х) табу-
лирована, и предел значимости находится из таблиц.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ ПИРСОНА— то же, что критерий
согласия т2.
КРИТЕРИЙ СОГЛАСИЯ у2, критерий согласия Пирсона. В К. с.
X2 мера отклонения эмпирического распределения от гипотетического
(см. Критерии согласия) строится следующим образом. Множество
возможных значений случайной величины разбивается на г непересе-
кающихся подмножеств «1, «а..эг. Пусть р(, I — 1, 2, . . ., г, — ве-
роятность попадания случайной величины в множество вычисленная
г
для гипотетического закона распределения ( Р( = 1), п — объем вы-
(=1
борки, п1г »= 1, 2, . . ,, г, — число выборочных значений, попавших
г
в п1 = ")• В качестве меры отклонения берется предложенная
/=1
Пирсоном величина
• V1 п ( п1 _ VI ПР/)2
— — Р'1 =24--------------------------
(=1 Р( \ П / »=1 ПР1
Если гипотетическая функция распределения случайной величины
содержит 5 неизвестных параметров и они оцениваются по выборке
с помощью метода наибольшего правдоподобия, то при п->со в
случае справедливости гипотезы предельным распределением для
меры Пирсона будет распределение %2 с г—з— 1 степенями свободы.
Это распределение, для которого составлены таблицы, берется в ка-
честве распределения меры Пирсона при больших п. Если гипотети-
ческое распределение полностью задано (5=0), предельным распре-
делением будет распределение %2 с г— 1 степеиими свободы.
КРИТЕРИЙ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ФУНКЦИИ —см. Сравне-
ние функций.
КРУГ КРИВИЗНЫ ЛИНИИ — круг, ограниченный соприкасаю-
щейся окружностью. К. к. л. называют также соприкасающимся
кругом.
КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА. Множество {г/г€С,
|г — го| </?}, где /? — радиус сходимости степенного ряда, называется
К. с. с. р. Во всех точках круга сходимости степенной ряд
ОО
2 сй (г — г®)* сходится, а во всех точках, лежащих вне замкнутого
*=0
круга |г— г«| — расходится. В точках границы круга сходимости
(т. е. на окружности |г — г0| = /?) степенной ряд может как сходиться,
так н расходиться. Для степенных рядов с действительными членами
ОО
У, а* (х— х0)* говорят об интервале сходимости ]х0 — Я х0 +/?[.
*=о
ОО
Во всех точках этого интервала ряд У а& (х— х0)А сходится, причем
й==0
абсолютно, вне отрезка [х0 — /?, х0 -|- /?] ряд расходится. В концевых
точках х = хо — /? и х = х0 + Я ряд может как сходиться, так и рас-
ходиться.
КРУЧЕНИЕ лииии (по модулю) в данной ее точ-
ке — предел отношения угла поворота бинормали на дуге, стяги-
вающейся к данной точке, к длине этой дуги (см. Формулы Френе).
К. характеризует степень отклонения лииии от соприкасающейся
плоскости в данной точке. Для плоских линий, и только для них, К.
во всех точках равно нулю.
В зависимости от способа задания лииии К. х вычисляется по
формулам:
х=х(/);1
У = У(*У, }->Х
Х = х(5)П
у = у (®);>-*х =
г = г («) ;
х у 2
X у 2
х У 2
х’ + у’+'г2
К. называют также второй кривизной линии.
КУБИРУЕМОЕ МНОЖЕСТВО В Я". Множество О (= И" на-
зывают кубнруемым или измеримым в смысле Жордана, если
зир{об. Р} = ш1{об. <2},
где об. Р, об. О— соответственно объемы многогранников Р, вло-
женных в множество 0 (т. е. Реб), и многогранников О, охваты-
вающих О (т. е. бс 0}. Объемом кубируемого множества О назы-
вают число
об. 6=»ир{об. Р} =1п1{об. 0).
Множество О кубируемо в том и только том случае, когда объем
границы дС этого множества равен нулю. Если О, 01, С2 — куби-
руемые множества и С = О{ Ц Ог, а об. (61 Л б?2)“0, то об. О—
=об. 61+об. Ог.
КУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА — плоская линия, являющаяся гра-
фиком функции (а=»=соп5(, а=^0).
КУБИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ — алгебраическое уравнение третьей
степени, т. е. уравнение вида Оох3 + ахх2 4- а%х + а3 =» О, где Оо =/= 0.
Коэффициенты могут быть как действительными, так и комплексными
Я1
числами. Подстановкой х =• у — — К. у. общего вида приводится к
Зйо
а? а* 2а? а^
шад „• + » + ,_О.Г,ер = -^ + -— +
+------. Корни последнего уравнения находятся по формуле Кардано:
во
при этом необходимо брать лишь те значения корней
для которых ар == —
КУСОЧНО-ГЛАДКАЯ ЛИНИЯ—см. Линия.
КУСОЧНО-ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ. Функция
называется кусочно-дифференцируемой иа отрезке [а, Ь], если: а) оиа
кусочио-иепрерывиа иа этом отрезке, т. е. допускает, может быть,
лишь конечное число точек разрыва только первого рода; б) сущест-
вует такое разбиение а=хв<х)<...<хп-1<Хп=6, что иа каждом из
интервалов ]х&-1, Хк[, к=1, 2, ..., п, функция дифференцируема, а в
точках хк существуют конечные односторонние производные (*»),
1_(Хк), к=1, 2, ..., п— 1, /^_(а), (&), при этом если хк— точка
разрыва функции, то здесь принимается, что
г . , /(х* + Д*)—М** + 0)
/+ (хк ) = кт ------;
1 Дх -* 4-0
.> / I нт Цхк + Кх)— Цхк — 0)
А_ (Хк ) <=> Пт -----д--------.
Дл * —0 ах
функция называется кусочно-дифференцируемой на К, если оиа ку-
сочно-диффередцируема иа всяком отрезке, принадлежащем К.
КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ. Функция {, опреде-
ленная на отрезке [а, 6], называется К.-и. ф. иа атом отрезке, если
существует такое разбиение [а, 6], что / непрерывна иа каждом ин-
тервале ]хц-), и существуют конечные односторонние пределы
/(ха-1+0) и /(*<—0), 6=1, 2. п. Функция называется кусочно-
непрерывной иа К, если она кусочио-иепрерывиа на каждом отрезке,
принадлежащем К.
ЛАПЛАСИАН — то же, что оператор Лапласа.
ЛЕВАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ —1) Л. Д. с. к.
на плоскости — система, в которой кратчайший поворот от
первой положительной полуоси ко второй совершается по часовой
стрелке; 2) Л. д. с. к. в пространстве — система, базисные век-
торы которой образуют левую тройку.
ЛЕВООРИЕНТИРОВАННАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРОВ, левая
тройка векторо в,— см. Ориентация тройки векторов.
ЛЕВОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ —см. Односторонние
пределы функции.
ЛЕВОСТОРОННЯЯ ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ —см. Окре-
стность точки.
ЛЕВОСТОРОННЯЯ ПРОИЗВОДНАЯ —см. Односторонние про-
изводные.
ЛЕВЫЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ — см. Односторонние пределы
функции.
ЛЕММА — вспомогательное предложение, являющееся верным
высказыванием, которое используется для доказательства одной или
нескольких теорем.
ЛЕММА ЖОРДАНА. Пусть /(г) непрерывна в области 0 =
=.{*|1пи>0, |г|>₽о>О}1 Ск—полуокружность |г( — К, 1шг>0,
гпах |/(г)|->0 при И-^со, а:>0.
Тогда
Нт ^(г^Л-О.
^°° Сп
Иепользуются и другие варианты Л. Ж.
лемниската вернул-
1у _____ ли — плоская линии, дли которой
'х произведение расстояний от любой
! \ точки до двух фиксированных то-
-I—*------чек (фокусов) гЦ—а, 0) и Рг(а,0)
V г) равно постоянному числу а1 (см.
X* рис.). Л. Б. является овалом
Кассини при а=с. Уравиеиие Л. Б.
в декартовых прямоугольных координатах есть (х2+у2)2—2а,(х1—
— и2) =0, в полярных — р2=2а2соз 2ф.
ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ФУНКЦИИ. Задача Л. ф. { состоит в по-
строении линейного приближения данной функции Цх), т. е. такой
функции Цх)=Ах+В, которая отклоняется от / меньше всех осталь-
ных функций. Методы дифференциального исчисления позволяют
решить локальную задачу лниеаризацни. В этом случав в качестве
отклонения функции I от функции / используют величину |/(х) —
—1(х)|. Задача состоит в подборе линейной функции I, которая от-
клоняется от { в достаточно малой окрестности заданной точки Хо
меньше любой другой наперед заданной линейной функции.
Т. Пусть / дифференцируема в точке х0. Тогда линейная функ-
ция /(х) =/'(х0) (х—Хо)+/(х0) является решением задачи о локаль-
ной Л. ф. / в некоторой окрестности точки Хо, причем /(х)—/(х) =
= о(х—х0) при х->-х0.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА — раздел алгебры, посвященный из-
учению линейных преобразований в конечномерных линейных про-
странствах.
ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ—то же, что линейный опе-
ратор.
ЛИНЕЙНАЯ ВЫРАЖАЕМОСТЬ ВЕКТОРА —см. Линейная
комбинация векторов.
ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. Систе-
ма векторов линейного пространства называется линейно зависимой,
если существует нетривиальная комбинация этих векторов, котораи
является нулевым вектором. Система называется линейно независи-
мой, если только тривиальная линейная комбинация этих векторов
является нулевым вектором. Таким образом, вопрос о том, является
ли данная система векторов хь х2, ..., хт линейно зависимой или
линейно независимой, сводится к выяснению того, при каких он, а*
.... ат возможно равенство а1Х1 + а2х2+...+атхт=0. Если это ра-
венство справедливо лишь при а1=а2=...=ат = 0, то векторы ли-
нейно независимы. Если же равенство выполняется при наборе чисел,
среди которых хотя бы одно отлично от нуля, то векторы лннейио
зависимы.
Т1. Система векторов, содержащий нулевой вектор, линейно
зависима.
Т2. Если часть системы векторов образуют линейно зависимую
систему, то и вся система линейно зависима.
ТЗ. Любая подсистема линейно независимой системы векторов
линейно независима.
Т4. (Критерий линейной зависимости системы векторов.) Дли
того чтобы система пг векторов (т>1) была лннейио зависимой, не-
обходимо и достаточно, чтобы хотя бы одни из этих векторов являл-
ся линейной комбинацией остальных.
Замечание. Т4 можно сформулировать и через ранг матрицы си-
стемы векторов (см. Матрица системы векторов).
Множества свободных векторов на прямой, плоскости, в про-
странстве образуют линейные пространства, поэтому все сформули-
рованные выше теоремы справедливы и для них, а некоторые из
теорем получают простую геометрическую интерпретацию. В част-
ности, справедливы следующие теоремы.
‘Т5. Для того чтобы два вектора были линейно зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Тб. Если в некоторой плоскости заданы два неколлинеарных
вектора е\ и е2, то любой вектор а этой плоскости можно едипствен-
иым образом разложить по векторам в) и е2, т. е. представить в виде
а=х1е1+х2е2.
Следствие. Любые три вектора плоскости линейно зависимы.
Т7. Для того чтобы три вектора быля лянейио зависимы, необ-
ходимо и достаточно, чтобы оии были компланарны.
Т8. Если векторы е%, е$ линейно независимы, то любой век-
тор а пространства может быть единственным образом разложен по
этим векторам, т. е. может быть представлен в виде а=Х)в)+хзв8+
-►
+х3е3.
Следствие. Любые четыре вектора пространства линейно
зависимы.
ЛИНЕЙНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ — интерполяция алгебраическим
многочленом Р1(х) = ах -|- Ь функции /, заданной в двух точках х0 и
х, отрезка [а, &] (см. Интерполяция алгебраическими многочленами).
Геометрически это означает замену графика функции / прямой, прохо-
дящей через точки (ха, /(хо)) и (хх, /(хх)). Уравнение такой прямой
У — Л*о) х — х0 _________
*меет ввд дхо -лхо) = "хГ-х0-;отсюда для
, /(Хх) — /(х0)
Дх) ® у = Рх(х) = /(х0) + _х (X — Хо).
Это и есть формула Л. и., прн этом )(х) = РЦх) -ф РЦх), где
Р1(х) — погрешность формулы:
/"(I)
Р1(х) = -у-фх — х0) (х — Х1), € [х0, Х1].
Справедлива оценка
„ , Мг МЖ2.
| Р1(х))<-р-тах / (х—Хо) (х—Х1) | = —о~,
[а,й]
где М2 = тах |/"(х)|.
[а, Ь]
Л. и. применяется для уплотнения таблиц. Формула Л. и. является
частным случаем интерполяционной формулы Лагранжа н интерпо-
ляционной формулы Ньютона. _
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ. Пусть Хц_х2, .... хк —
векторы линейного пространства V. Вектор у = а1Х1 + а2х2+... + ах1Х)1,
где аь а2, ..., ах€й(С) (т. е. а<— числа, действительные, если V —
действительное линейное пространство, и комплексные, если V —
комплексное линейное пространство), называется Л. к. в. хь х2, ...,
хц, а числа Их, а2,_..., ак — коэффициентами этой Л. к. в. Говорят
также, что вектор у линейно выражается через векторы Хх, х2, ..., х*.
Если все коэффициенты Л. к. в. равны нулю, то такая комбинация
векторов называется тривиальной. Если хотя бы один из коэффи-
циентов а>, 1=1, 2, ..., к, отличен от Нуля, комбинация называется
нетривиальной. В линейном «-мерном пространстве каждый вектор
является Л. к. в. базиса.
Так как множества свободных векторов на прямой, плоскости,
в пространстве образуют линейные пространства, то все приведен-
ные понятия справедливы н для ннх.
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ РЯДОВ МАТРИЦЫ. Если в мат-
рице некоторый ряд ^строка, столбец) может быть представлен в
виде суммы к других параллельных ему рядов, умноженных соответ-
ственно на числа вц аг.. а&, та говорят, что данный ряд является
линейной комбинацией указанных рядов матрицы. Говорят, что I
параллельных рядов матрицы линейно зависимы, если хотя бы один
из этих рядов является линейной комбинацией остальных. В против-
ном случае параллельные ряды называют линейно независимыми.
ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ —см. Дей-
ствия с числовыми рядами. _
ЛИНЕЙНАЯ ОБОЛОЧКА ВЕКТОРОВ аи а^, .. ., ак линейно-
{* - 1
2 1 € Р 1 всех ли-
/=1 }
иейных комбинаций векторов с коэффициентами из числового поля
Р. Л. о. в. есть подпространство пространства Уп. Его обычно назы-
вают подпространством, натянутым на данные векторы, и обозначают
I. (ах, а2, . . ., ак).
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА — краткое наименование системы ли-
нейных уравнений.
ЛИНЕЙНАЯ ФОРМА линейного «мерного про-
странства Уп. Говорят, что в пространстве Уп задана Л. ф.
(илн линейная функция), если каждому вектору х€Рп поставлено
в соответствие число /'(х)ЕР так, что выполнены следующие усло-
вия: 1) [(х+у)~((х)+{(у)\ 2) /(ах) = а/(х) для ух? У„ и
V а € Р (Р— числовое поле).
Замечание. Условия 1, 2 равносильны условию Нох+Рр)—<х/(х) +
+Р№) для ух, н а, р?р. _
Если X], Хг, .... хп — координаты вектора х в заданном базисе
(е) = (еь е2, .... еп), то Л. ф. имеет вид }(х) =а1Х1+’агх2+...-|-апХп,
где числа а(=/(е(). Множество V* всех Л. ф., заданных в простран-
стве Гп, образует линейное пространство, называемое сопряженным
пространству Гп. V* также имеет размерность п. Л. ф. представля-
ет собой функционал на пространстве Уп.
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ —см. Линей-
ная зависимость системы векторов.
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ РЯДЫ МАТРИЦЫ—см. Линейная
комбинация рядов матрицы.
ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ. Система функций /(, /2,
/„ называется лннейио зависимой на промежутке I, если Я числа
сц, а.2, ..., апсие все равные нулю, такие, что
а1/1(х)+а2/2(х)+...+а„/п(х)=0, I.
В противном случае система называется линейно независимой.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ —см.
Линейная зависимость системы векторов.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ РЕШЕНИЯ однородного
линейного дифференциального уравнения — сово-
купность решений, ии одно нз которых не представимо в виде ли-
нейной комбинации остальных решений с постоянными коэффициен-
тами. Совокупность п решений уравнения п-го порядка линейно не-
зависима в том и только том случае, когда вронскиан, составленный
из решений указанной совокупности, отличен от нули хотя бы в
одной точке рассматриваемого промежутка. Если п решений одно-
родного линейного дифференциального уравнении линейно независи-
мы, то они образуют базис этого уравнения.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ РЕШЕНИЯ однородной си-
стемы линейных дифференциальных уравнений
первого порядка — по аналогии со случаем одного однород-
ного линейного дифференциального уравнения порядка п — совокуп-
ность решений (векторных функций), ии одно из которых ие выража-
ется в виде линейной комбинации остальных решений с постоян-
ными коэффициентами. Совокупность п решений лииейио независима
в том и только том случае, если матрица, составленная из этих ре-
шений, невырожденная хоти бы в одной точке рассматриваемого
промежутка (и тогда невырожденная иа всем промежутке). В ука-
занном случае решения составляют базис системы.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ РЯДЫ МАТРИЦЫ —см. Ли-
нейная комбинация рядов матрицы.
ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ ФУНКЦИИ — см. Линейно зави-
симые функции.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ В ОСНОВНОЙ
ФОРМЕ имеет вид
х(п) -|-аП-1 (О-**"-1) + ... + а1(0-*' + а1)(1)х>= [(I), (1)
где коэффициенты ак и неоднородность / непрерывны на промежутке
Любая задача Коши для Л. д. у. (1) при 1 = 1<>(;Е однознач-
но разрешима, и решение определено дли всех 1(,Е. Уравнение
гСп) 4- ап-1 (0г("-1) + •.. + ах (1)г' а0 (0г =» 0 (2)
называют однородным линейным дифференциальным уравнением, со-
ответствующим уравнению (1). Все решения неоднородного уравне-
нии (1) можно найти, если к каждому решению соответствующего
однородного уравнения (2) прибавить любое одно и то же (частное)
решение иеодиородиого уравнения (1).
Совокупность п линейно независимых решений г,, г2, гп урав-
нении (2) ивляется базисом (фундаментальной системой решений)
семейства решений (2) в том смысле, что соотношение (общее ре-
шение)
г=г(0=с1г|(0 +с2г2(0+...+с„г„(0
при всевозможных постоянных ск доставляет все решении уравне-
нии (2). Частное решение х* уравнения (1) можно получить, иапрн-
мер, вариацией произвольных постоянных или методом Коши. Общее
решение уравнении (1) имеет вид
х=х(1) =с1г1(0 +с2х2(1) + ...+спХп(1) +х*(0.
См. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Линей-
ное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
С помощью линейного дифференциального оператора урав-,
нении (1) и (2) могут быть записаны в операторной форме;
Ьпх=((1)-, Ьпг=Ъ.
См. Задача Коши для линейного дифференциального уравнения.
Нормированный базис, Принцип суперпозиции, Линейный осциллятор.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА у' + а (х)у = Цх), х^1, имеет интегрирующий множитель
/ X \
|1(х) =» ехр I | I и поэтому интегрируется в квадратурах:
\ *• /
у = у(х) •«= С ехр |—I а(1)Л )+ехр(—/ а(/)л)х / / (/) ехр//а (т)
\ *• / ' х. 1 х» \х, ' ' /
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СО СТА-
ЦИОНАРНЫМ ОПЕРАТОРОМ — см. Линейное дифференциальное
уравнение с постоянными коэффициентами.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПО-
СТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ имеет вид (ал — постоян-
ные): в основной форме
*<п>-Рап-1Х<п“,)+...+а1Х'+оох=^(0. ИЕсЯ, (1)
в операторной форме
С„х=/(1), ЦЕсК. (1а)
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
2<п)+ап-1г<п-1>+...+а1г'4-ао2=О; (2)
Сп(г)=0. (2а)
Базис семейства решений уравнения (2), (2а) состоит_из квазиодио-
членов вида г=1те**со&р,1 или (при р^О) г=Гех,81прС где у=дГ=«
= Х±1р — характеристическое число оператора Сп, т. е, корень крат-
ности ц характеристического уравнения
гп+ап-1Уп-,+...+а1У+ао=О,
а г — любое целое от Нуля до ц— 1. Общее решение уравнений (2),
(2а) представляет собой линейную комбинацию указанных квазнод-
ночленов. Общее решение однородного линейного дифференциально-
го уравнения представляет собой квазиполином, определяемый
спектром оператора Сп, т. е. набором корней характеристического
уравнения для с указанием кратности корней, и имеющий произ-
вольные постоянные коэффициенты.
Найденное (с помощью алгебраических операций) общее реше-
ние г однородного уравнений (2) или (2а) позволяет применить
метод Лагранжа или метод Коши для построения (с помощью эле-
ментарных операций) частного решения х* исходного неоднородного
уравнения (1) или (1а). Сумма г+х* дает общее решение уравне-
ния (1) или (1а) (см. Линейное дифференциальное уравнение в
основной форме}. Л. д. у. с п. к. являются уравиеииями со стацио-
нарным лниейиым дифференциальным оператором и моделируют
колебательные устройства, сохраняющие неизменной во времени
структуру, но воспринимающие на своем входе различные сигналы
и выдающие соответствующие сигналы на выходе (см. Задача Коши
для линейного дифференциального уравнения, Нормированный ба-
зис). См. также Линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами и квазиполиномиальной неоднородностью,
Однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка
с постоянными коэффициентами.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ПО-
СТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И КВАЗИПОЛИНОМИАЛЬ-
НОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ — уравнение
х<п)+ап_1Х<п-1)+...4-«!х'+аох=О(/) (П
нли . С„х=С>(/), (1а)
где <2(/) —квазиполином (квазиполиномиальиую неоднородность на-
зывают также специальной правой частью). Общее решение соответ-
ствующего однородного уравнения находится с помощью алгебраи-
ческих операций (см. Линейные дифференциальные уравнения с по-
стоянными коэффициентами). При построении частного решения
уравнения (1) на основании принципа суперпозиции достаточно огра-
ничиться случаем
Спх=<Э(/), (2)
где —квазиполином вида 5(0 =° (Р1К)С05 ₽<4-Р2(08’т Р0е“* с
полиномами Р1 и Ря, наибольшая из степеней которых равна р. Если
а+ф не являетси характеристическим числом оператора Ьп, то урав-
нение (2) имеет решение вида
х=х(0 = (К^соз Э/+/?2(0зш Р0й06/> (3)
где /?1(0 и Рг(О—полиномы, степени которых ие превосходят р.
Если же а-М‘Р — характеристическое число Еп кратности <?, то су-
ществует решение
х=х“(0 =Г«(/?1(0соз РГ + Р2(О«‘П РОе". (4)
где и Кг имеют прежние значения^
Выявленная структура решения х(0 позволяет применить метод
Эйлера (вариант метода неопределенных коэффициентов) для по-
строения этого решении. С этой целью рассматривают выражения (3)
нли (4) в зависимости от характера связи а-Н'Р со спектром Ьп,
причем в качестве К> и Кг берутся многочлены общего вида степе-
ни р с неопределенными числовыми коэффициентами. Указанное вы-
ражение подставляют вместо х в уравнение (2). Выполняют все дей-
ствия, предписанные оператором Е„, суммируют квазиодиочлеиы
одинакового типа, т. е. квазиодиочлеиы, различающиеся лишь число-
выми коэффициентами, и приравнивают друг к другу коэффициенты
квазиодиочлеиов левой и правой частей уравнения (2). Получается
однозначно разрешимая линейная алгебраическая система уравнений
относительно коэффициентов х(1). Аналогично определяют частные
решения, отвечающие дфугим составляющим квазиполинома Ц. Сум-
мируя все найденные частные решения х, получают частное решение
х* уравнения (1). Все решения неоднородного уравнения (1) явля-
ются квазиполиномами.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ
ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА — уравнение вида
т д2и г ди
У.........., аи(Х!...хп) - + Ьк(х1,..,,хп)— + сц = /(х1,...,хп).
,"=1 дх^х] дхк
Ряд физических процессов описывается такими уравнениями с функцией
и, зависящей только от двух переменных х и у, т. е. уравиеииями вида
д2и д2и д2и ди
Л(х Й^,+ 2В(Х, »Й + С(«, + +
ди
+ Ь(Х, у) — + с (х, у) и =• / (х, у).
ду
См. также Классификация линейных дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка.
ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ С ЧАСТ-
НЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГИПЕРБОЛИ-
ЧЕСКОГО, ПАРАБОЛИЧЕСКОГО И ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА —
см. Классификация линейных дифференциальных уравнений с част-
ными производными второго порядка.
ЛИНЕЙНОЕ л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Размерность
линейного пространства.
ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ хь х2,
замена их новыми переменными у\, у?,... ,уп по формулам:
У1 = «нА + ЯцХз -р ,., 4- ®1Яхп;
= а21Х1 а22х2 4-... 4- ®2лхл;
Уп — ВД + «л2х2 4- • • • + аппхп> •
>хп~
(П
где —числа.
Матрицу А = (ау) называют матрицей Л. п. п. Если ввести в рас-
смотрение матрицы
(*1\ /У1\
** | . . / Уг |
: I; (80 = I ; I.
хл/ \Уп/
то система равенств (1) равносильна одному матричному равенству
(1/)=А(х). (2)
Л. п. п. называют невырожденным, если его матрица невыро-
жденная. В этом случае из равенства (2) следует, что (х)=Л-1(г/).
Если переменные (х) преобразуются в переменные (у) по фор-
муле (2), а переменные (у)—в переменные (г) по формуле (г) =
=В(у) (т. е. последовательное применение двух Л. п. п.), то, пере-
менные (х) в переменные (г) будут преобразовываться по формуле
(г) = (ВА)(х). (3)
Преобразование-, (3) называют произведением Л. п. п. Из формулы
(3) следует, что матрйца произведения Л. п. п. есть произведение
матриц сомножителей, а также то, что произведение невырожденных
Л. п. п. есть невырожденное Л. п. п.
ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Пусть V—непустое множество,
элементы которого будем называть векторами И обозначать а, с,
.... х, у, К — множество действительных чисел. Множество V на-
зывается Л. п. (векторным) иад К (или действительным Л. п.), если:
1) задан закон, по которому любым двум векторам х, у € V ста-
вится в соответствие третий вектор из V, называемый суммой векто-
ров х и у и обозначаемый х+у;
2) задай закон, по которому любому х € V и любому а € К ста-
вится в соответствие вектор из V, называемый произведением век-
тора х на число а и обозначаемый ах (или ха);
3) для любых векторов х, у, г € V и для любых а, (5 € К выпол-
няются следующие условия (аксиомы):
а) х+у=у+х (коммутативность);
б) (х+у) +г^х+ (у+г) (ассоциативность);
в) в множестве V существует вектор, который называют нулевым
и обозначают 0, такой, что х+0=х дляу х€ V;
г) для Ух СУ существует вектор, который называют противо-
положным вектору х и обозначают — х, такой, что х+( —х)=0;
д) 1 • ~х*=х\ _
е) а(Рх)-=(а0)х (ассоциативность относительно умножения
чисел);
ж) а(х+^)=ах+ау (дистрибутивность умножения на число
относительно сложения векторов);
з) (а+Р)х = ах+₽х (дистрибутивность умножения на вектор от-
носительно сложения чисел).
Аналогично определяется комплексное линейное пространство.
В атом случае вместо множества К берется множество С всех ком-
плексных чисел.
Замечание. В тексте мы опускаем слова <действительное> и <ком-
плексяое» а тех случаях, когда речь идет о свойствах, справедливых как
для действительных, так и для комплексных линейных пространств.
Свойства Л. п.: 1) в Л. п. существует единственный нулевой
вектор; 2) в Л. п. для каждого вектора существует единственный
противоположный ему вектор; 3) 0 • х =• О для Ух€ V', 4) (—1) х =
= —х для Ух € V; 5) а • б =• б для Уа € К (С); 6)ах => б и х б =>
=> а = 0.
Сумму х+( — у) называют разностью векторов х и у и обозна-
чают х- у. Множества свободных векторов на прямой, плоскости, в
пространстве, изучаемых в аналитической геометрии, являются при-
мерами Л. п.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПО-
СТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СПЕЦИАЛЬНОЙ ПРА-
ВОЙ ЧАСТЬЮ — см. Линейное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами и квазиполиномиальной неоднород-
ностью.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ — операции ело
жения векторов и умножения вектора на число.
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ — операции
сложения матриц и умножения матрицы на число.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ — уравнения вида 01X1+02*2+...+
+ап*п = 6, где хь *2, хп—переменные, вц ап, Ь — числа.
Л. у. задает гиперплоскость н аффинном пространстве. В частности,
Л. у. с двумя переменными определяет прямую на плоскости, с тре-
мя переменными — плоскость в пространстве (прн условии, что хотя
бы один из коэффициентов а, =/=0). Множество решений Л. у. с од-
ной переменной (т. е. уравнения вида ах=Ь) состоит из одного эле-
мента х= — прн ау^О, бесконечно при а=&=0, пусто при а=0, Ь^=0.
а
См. также Система линейных уравнений.
ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ПОРЯД-
КА п — дифференциальное выражение
ая , а*-1 а
а"“1 (/) “аг*31 + ’ ’ ’+ а1(^ + а^’
действие которого на гладкую функцию х(1) определяется формулой
а*х(0 , ах(0
М0° -^Г-+ая-1(П-^я=г + ... +а^)-^-+а0(1)х(1).
Если все коэффициенты ак постоянны, то оператор называют ста-
ционарным. Оператор Ьп обладает обычными свойствами линейных
операторов:
Ьп (Х1+Х2) = Еп(Х1)4-Лп (хг);
1п(ах}=аЬп(х), а€К.
ЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ в векторном поле а = ах » +
+ ау ] + аг к п о линии I определяется формулой
Га • а г = [ а$ йс = Г ах йх + ау йу + аг аг,
7 I I
—►
где а5 — проекция вектора а на касательную к I. Л. и. выражает ра-
—►
боту векторного поля а вдоль линии I.
В потенциальном векторном поле Л. и. от вектора поля по неко-
торой кривой равен разности значений потенциала поля в конечной и
начальной точках кривой: [ а • а г = и (В) — и (Л). Другими слова-
АВ
ми, работа потенциального векторного поля вдоль некоторой кривой
не зависит от формы кривой и равна разности значений потенциала по-
ля в конечной и начальной точках.
См. также Циркуляция векторного поля.
ЛИНЕЙНЫЙ МНОГОЧЛЕН — многочлен первой степени.
ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР. Оператор /: VV, действующий в
линейном пространстве V, называется Л. о., если для любых векто-
ров пространства V и произвольного числа а (а € К, если V действи-
тельное и а € С. если V комплексное), выполниютси соотношении!
1) ?(ху+х2)~=Ц*1) +((х2) (аддитивность Л. о.);
2) /(ах)=а/(х) (однородность Л. о.).
Замечание. Соотношения I, 2 равносильны одному»
На*1 + ₽*2) =а?(Х1) + ₽((*Г),
где а, Р — любые числа (действительные или комплексные).
Пусть в линейном пространстве Уп Л. о. переводит некоторый
базис еь е2, ..., еп в векторы ... еп, т. е. в] =/(^1), е' =/(б2),
еп=1(еп). Дли произвольного вектора
х = + а^г 4- ... +«„ё„ =*/(*) = Х«1ё1 + а2в2 4- ...+«пёп) =
=«1/(ё1) + «2/(ёя) 4- ... + а„ /(ё„) = а^! + «262 4-. •. + а„ёп,
откуда следует, что Л. о. пространства вполне определен, если за-
даны образы базисных векторов этого пространства. _
Справедливы следующие свойства Л. о.: 1) /(0) =0, т. е^ нулевой
вектор под действием Л. о. переходит в нулевой; 2) /(—а) = —/(а)
дли уа€ Уп; 3) под действием Л. о. линейно зависимей система
векторов переходит в линейно зависимую с сохранением всех линей-
ных соотношений между векторами; 4) если (} — подпространство
пространства Уп, то /(С)—также подпространство, причем
<Пт/((?)^<Ит (2 (см. Размерность линейного пространства).
Л. о. называют также линейной вектор-функцией.
ЛИНЕЙНЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР — дифференциальное выражение
х//+(Х+а(())х с периодической функцией а(() периода I. Основная
граиичиаи задача для линейного осциллятора имеет вид
х"+(Х+а(0)х=0; х(0)=х(/)=0.
Значении Л, при которых граничная задача имеет ненулевое реше-
ние,— собственные числа осциллятора. Например, собственными
числами осциллятора х"+Хх, 1=1, являются Лд=(«я)2, к € 20. Л. о.
описывают многие колебательные процессы, причем собственные
числа выделяют периоды (и частоты) свободных колебаний.
ЛИНЕЙЧАТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, образуемая
движением примой (образующей) по некоторой линии (направляю-
щей). Среди поверхностей второй степени Л. п. ивлиются гиперболи-
ческий параболоид, однополостиый гиперболоид, конус, цилиндры.
На первых двух поверхностях имеются по два семейства прямоли-
нейных образующих, иа остальных — по одному.
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ поверхности — линии, имеющие в
каждой своей точке главное направление. Дифференциальным урав-
нением дли нахождения Л. к. служит уравнение
I Ейи 4- МЛ) Мйи + АМо I п
I Ейи + РЛ) Раи + ОЛ | = 0’
где Е, Р, О — коэффициенты первой, а Е, М, П — коэффициенты
второй основных квадратичных форм поверхности. Это уравнение
можно также представить в виде
до2 — йийо ди1
Е Р 0=0.
о м к
В общем случае из каждой точки исходят две Л. к., образующие
между собой прямой угол. Дли того чтобы координатные лииии
были Л. к., необходимо и достаточно, чтобы Г=0, М=0. На сфере,
целиком состоящей нз омбилических точек, и плоскости, целиком со-
стоящей из точек уплощения, любая лииии будет Л. к.
ЛИНИИ УРОВНЯ—см. Поверхности уровня скалярного поля.
ЛИНИЯ, кривая. Точное определение этого основного геоме-
трического понятия представляет значительные трудности и в раз-
ных разделах математики определяется по-разному.
В элементарной геометрии понятие Л. не получает отчетливой
формулировки. По существу, изучение Л. сводится к рассмотрению
примеров (прямая, отрезок, ломаная, окружность, парабола и др.).
Не располагая общими методами, а применяя в каждом случае спе-
циальные приемы, в элементарной геометрии детально изучают ли-
нии, заданные алгебраическими уравнениями первой, второй и неко-
торых высших степеней, а также ряд линий, заданных трансцендент-
ными уравнениями.
В дифференциальной геометрии одним из вариантов определе-
ния Л. служит следующее: Л.— множество точек плоскости (про-
странства), состоящее из конечного или счетного множества простых
дуг, примыкающих друг к другу (см. Простая дуга).
В математическом анализе под Л., как правило, понимают мно-
жество точек, являющихся образом отрезка или окружности при
некотором непрерывном отображении. При этом Л. называют глад-
кой (именно такие обычно и рассматривают), если в ее параметри-
ческих уравнениях (см. Способы аналитического задания линий)
функции *(/), у(1), г(1) непрерывно дифференцируемы на заданном
промежутке |а, и (*'(/))!+ (у'(0)*+ (2,(0)8^ 0 для |а, Р|,
и кусочно-гладкой, если ее можно
разбить на конечное число гладких Л.
См. также Длина дуги, Касатель-
ная прямая, Кривизна, Кручение,
Плоская линия, Пространственная
линия, Сопровождающий трехгранник,
Формулы Френе.
ЛИНИЯ ВИВИАНИ — линия пе-
ресечения сферы радиуса /? круг-
лой цилиндрической поверхностью,
диаметр которой равен радиусу сфе-
ры и одна из образующих проходит
через центр сферы (см. рис.). Неяв-
ные уравнения Л. в.:
хг + у* + г* = /?*; 1
х1 + У1 — Их = 0, /
параметрические уравнения можно представить в виде х=Цс.озги,
у=Ксози з1па, г=±/?51пи, где и—долгота точки на сфере.
ЛИНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ—множество всех точек плоскости,
координаты которых в некоторой декартовой прямоугольной системе
координат Оху удовлетворяют уравнению
ап*8 + 2ацху 4- амр2 2а1* + 2а»у + а == 0, (1)
в котором среди коэффициентов ац, аи, ап есть хотя бы один, от-
личный от нуля (а,, -|- а|2+ 4!>0).
ТЕ Уравнение (I) определяет одну из следующих линий:
Xя Уя
1) — + ~ « 1 —эллипс;
ая от
X2 У2
2) а2 + Ь2
= —!— 0 (называют иногда мнимым эллипсом)}
X2 У2
3) ”Т + ТГ ” 0 ~ точка;
а2 о2
У2
Ь2
1 — гипербола;
X2 У2
а2 Ь2
= 0 — две пересекающиеся прямые}
6) У2 == 2рХ—парабола;
7) X2 = а2 — две параллельные прямые;
8) X2 « —а2 — 0 (две мнимые параллельные прямые);
9) X2 — 0 — две совпадающие прямые.
Величины
71 = ап + ад /2 = |“и “12
I «12 Лгг
011
012
Я1
012
022
02
О1
02
а
являются инвариантами по отношению к преобразованию одной де-
картовой прямоугольной системы в другую (по отношению к мно-
жеству ортогональных преобразований плоскости).
Характеристическим уравнением Л. в. с. является К2—ЦХ+1^0;
его корни Хь Л? — действительные числа.
Т2. Необходимыми и достаточными признаками линий 1—9
являются:
1) <=> 72>0, А /з<0;
2) о 72>О, 71 /з>0;
3) о72>0, /з = 0;
4) $=> 72 <0, 73=^=0;
5) <=> /2<0, /з = 0;
6) <=^72 = 0, 7з 0;
7) /2 = о, /з = 0. Х<0;
8) «/2 = 0, /з = 0, Х>0;
9) « /2 = 0, /з = О, К = О,
где
аи
01
01 022
+
а аг
01
а
С учетом введенных обозначений канонические уравнения Л. в. с.
имеют один из следующих видав: для линий 1—5
Х1Х* + М" + -у- = 0;
/1
для линий в
ДХ2
-у-г «О;
11
для линий 7—9
К.
ДХ2 + у- = 0.
11
Отметим расположение эллипса, гиперболы, параболы относительно
исходной системы координат. Для эллипса и гиперболы координаты но-
вого начала (центра) — решение системы
Оцх оцу 4* 01 = 0; )
Я12* + Оцу 4- 01 = 0, /
X
угловой коэффициент новой оси О'Х' в случае Оц 0 к =--------------}
012
дли параболы координаты вершины — решение системы, определяемой
уравнением параболы и уравнением ее оси
, 01101 4* 01202
оцх 4- ацу 4--------------=» О
Оц 4- Й22
или
02202 + 012^1
012* 4- ацу 4-------------= 0;
011 4* 022
при этом параметр параболы —/3| /$ ,
Направляющий вектор оси (в
а»
сторону вогнутости
011 012
01 02
022
02
См. также Приведение уравнения линии второй степени к канони-
ческому виду.
ЛИНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ —см. Интег-
ральная кривая (линия) дифференциального уравнения.
ЛИНИЯ НАИКРАТЧАЙШЕГО СПУСКА—то же, что брахисто-
хрона.
ЛИНИЯ ТОКА ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ — то же, что векторная ли-
ния векторного поля (см. Векторное поле).
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская линия, уравнение ко-
торой в полярных координатах имеет вид р = аф, а>0 (см. рис.). Л.с.
пересекает все свои радиус-векторы под одним и тем же углом.
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ — функция, обратная показа-
тельной. Обозначают Л. ф. 1о§а (а>0, а=(= 1). Имеет место тождество
а10®а х = х ПрИ х>0. Множество задания функции 1о§д — Ц_|_, мно-
жество значений — К. Л. ф. непрерывна, дифференцируема, возрастает
при а>1, убывает при 0<а<1. Имеют место формулы:
и
; 108а (ио) = 1оеаи + 10&0; 10&,— =• 10&И — 10^0;
16“ 0
1°8ь “ . . 1
10&1 = 0; 1а§аи’ = о 1о&»и; 1о&,и = —---; 108 * = —.
1°8ьа хта
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО АРГУ-
МЕНТА ю=Ьпг — обратная функция к ег. Функция многозначна,
каждому г соответствует бесконечное множество значений, которые
могут быть вычислены по формуле Ьпг=1п|г| +/гг§г+2кя1, к € 2.
Каждое фиксированное к определяет одну из ветвей функции Ьпг.
Ветвь при к=0 называют главной ветвью или главным значением
Л. ф. к. а. и обозначают 1пг. Таким образом, 1п г=1п|г|+«’аг$ г и
Ьп г=1п г+2кл1.
21
Свойства Л. ф. к. а.: Ьп (г^г) = Ьп гх + Ьп г2; Ьп — = Ьп 21 —
?2
— Ьпг2. Эти равенства следует понимать как равенства множеств.
ЛОКАЛЬНАЯ ОГРАНИЧЕННОСТЬ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНК-
ЦИИ — см. Локальные свойства непрерывных функций.
ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МУ АВРА-ЛАПЛАСА. Если в схеме
Бернулли п стремится к бесконечности, р(0<р<1) постоянно, велн-
т — пр
чина хт = — ограничена равномерно по т и п (—оо <а^хт<
V пру
< о<4-оо), то
1 ( I \
Рл(т) = Г^ехрк~ТД, + ал('п)? -
с
где ал (/и) <-т.-— , о О, с — постоянная. Приближенную формулу
рекомендуется применять при п> 100 и лрр>20.
ЛОКАЛЬНО-ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ —См. Сравнение
функций.
ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ —
1) локальная ограниченность: функция, непрерывная на интервале,
ограничена около любой точки этого интервала;
2) устойчивость знака: если функция / непрерывна на интервале
и отлична от нуля в точке х0 из этого интервала, то существует
окрестность II (х0), на которой / сохраняет знак. Это свойство назы-
вают еще теоремой о стабилизации знака.
ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ, МИНИМУМ, ЭКСТРЕМУМ
ФУНКЦИИ — см. Достаточные условия существования локального
экстремума функции двух переменных. Точки локального экстре-
мума.
ЛОКОН АНЬЕЗИ. Пусть имеется круг диаметра | ОС | = а.
Л. А.—множество точек М плоскости, для каждой из которых
| ОВ |: I ВО | = | ОС 1: | ВМ | (см. рис.). Уравнение Л. А. в декарто-
а9
вой прямоугольной системе координат есть у =» ——Прямая у = О
является асимптотой Л. А.
ЛОМАНАЯ ЭЙЛЕРА — см. Поле направлений дифференциаль-
ного уравнения.
ЛУЧ. Каждая точка О на прямой разбивает множество точек,
отличных от О, на два непустых множества так, что: а) точка О ле-
жит между любыми двумя точками, принадлежащими разным мно-
жествам; б) Из двух точек, принадлежащих одному множеству, одна
лежит между другой и точкой О. Каждое из множеств, на которое
точка О разбивает прямую, называется открытым Л. с началом О.
Объединение открытого Л. с его началом — точкой О — называется
Л. с началом О. [ОА) — обозначение Л. с началом О, содержащего
точку А. Для любого расстояния а на заданном луче с началом О
существует единственная точка А, находящаяся на расстоянии а от
точки О. Л. также называются бесконечные промежутки (полупря-
мые) числовой примой (см. Числовые промежутки).
МАЛАЯ ОСЬ ЭЛЛИПСА — см. Эллипс.
МАТЕМАТИКА — наука о количественных соотношениях и про-
странственных формах действительного мира.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ИНДУКЦИЯ — см. Принцип математиче-
ской индукции.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА — логика, развиваемая матема-
тическими методами. Характерным для М. л. является использование
формальных изыков с четкими обозначениями и правилами, одно-
значно определяющими понимание формул. Потребность в такой
логике выявилась в XX в. в связи с интенсивной разработкой осно-
ваний математики и внедрением математической техники, в частности
с конструированием и использованием ЭВМ.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА — раздел математики, в
котором изучаются методы систематизации и использовании стати-
стических данных. М. с. опирается на теорию вероитностей.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ — раздел высшей математики,
в котором изучаются функциональные зависимости методами диф-
ференциального и интегрального исчислении. М. а. состоит из диф-
ференциального исчисления функций одного переменного и функций
векторного или комплексного переменного, интегрального исчисления,
теории дифференциальных уравнений, теории ридов и векторного
анализа.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ, среднее значение, случай-
ной величины с функцией распределения Р^(х) —число
<= У (X)
—00
при условии, что этот интеграл Стилтьеса сходится абсолютно. Если
же интеграл не является абсолютно сходящимся, то говорят, что
М. о. не существует. М. о. дискретной случайной величины с рас-
пределением
( *1 X, ... X* ... \
\ Р1 Рч ... Р* • • •)
равно = 2 хкРк ПРИ условии, что этот ряд сходится абсолютно.
к
В противном случае говорят, что М. о. ие существует.
М. о. абсолютно непрерывной случайной величины с плотностью
вероятности р^ (х) равно
+»
| хр^(х)Лх
—со
при условии, что интеграл абсолютно сходится (в противном случае
М. о. не существует).
Основные свойства М. о.: 1) если с — постоянная, то Мс=с;
2) если с — постоянная, то М(с%)=сМ%; 3) || М111; 4) М(|1 +
+Ьг) =М51+Л1|2, причем если существуют какие-либо два из М. о.,
то существует и третье; 5) если случайные величины |2 независи-
мы, то причем из существования любых двух
М. о. следует существование третьего.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ФУНКЦИИ случайной
величины. Если | — случайная величина с функцией распределе-
ния Р^ (х), а /(*) —функция действительной переменной, такая, что
суперпозиция /(^) является случайной величиной, то М. о. ф. назы-
вается
4-00
М? (I) =• | 1(х)ЛР^ (х)
—со
при условии, что интеграл Стилтьеса сходится абсолютно (в против-
ном случае М. о. ф. не существует). Если — дискретная случайная
величина с распределением
( Х1 х2 . . . хк . . . \
\ Р1 Рг ... рк ,
то М/(5) =2/(Хк)р* при условии, что этот ряд сходится абсолютно.
к
Для абсолютно непрерывной случайной величины с плотностью
+°0
вероятности р^ (х) М[ (§) = | / (х) р^ (х) Лх при условии, что ии-
—оо
теграл абсолютно сходится.
МАТРИЦА. Совокупность тп. чисел, расположенных в виде пря-
моугольной таблицы из т строк н п столбцов, называется М. разме-
ров тХл (т на л) или прямоугольной М. Числа, из которых состав-
лена М., называются элементами М. Элементы М. обычно обозначают
двойными индексами: а^; первый индекс / означает номер строки,
второй индекс / — номер столбца, в которых находится элемент а{{
М. Для М. размеров тХп обычно употребляются следующие обо-
значения: / Он «21 д12 • • «22 • • • О1„\ • О2Л 1. |> Он 021 аи , Ом . • • гэ а а
\ От2 • • • атп/ ат1 От2 . • • атп
аи 012 • • • °1Л
021 Ом < • °2л
Оот1 Ощ2 • • • атп
им кратко (ац); || а^Ц; [а;у], 1=1,2, .... т;/=1,2, ..., л.
Иногда М. обозначают одной буквой, например (а^)=А. Если хотят
указать размеры М., то пишут АшХ«.
Замечание. Рассматриваются и М„ составленные из элементов про-
извольной природы. Так, в приложениях часто используют полиномиальные
М„ элементами которых являются полиномы (многочлены) (см., например.
Характеристическая матрица). Поэтому точнее было бы называть рассматри-
ваемые М. числовыми.
МАТРИЦА КОШИ однородной линейкой дифферен-
циальной системы — см. Метод вариации произвольных по-
стоянных для построения решений системы дифференциальных урав-
нений, Система линейных дифференциальных уравнений.
МАТРИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ системы линейных диф-
ференциальных уравнений — см. Векторный вид системы
дифференциальных уравнений в нормальной форме.
МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА. Пусть /: — ли-
нейный оператор линейного пространства У„, переводящий базис
(е ) = ( «1, Сз, ..., еп ) в векторы е 1, е 2,..., е Разложим векторы
е, е2.....еп по заданному базису:
е 1 = / ( ®Г) = аИ е1 + 021 е2 + • • • + Од! бл>‘
«= Оц С1 4* ^22 ₽2 4* • • • 4* аЛ2 ел1
е п = Т (®л) — °1л е1 + а2л е2 4* • • • + апп еП
___ п
(кратко: е{•= I =• аЛ е/ >' {= 1 >2................”)• Матрицу
/=1
(аи Оц • • • Я1п
021 °м • • • о2л
ал1 ат ... апп
называют М. л. о. в базисе (е). Заметим, что столбцами М. л. о.
являются координатные столбцы образов базисных векторов линей-
ного оператора в заданном базисе. Таким образом, каждому линей-
ному оператору в заданном базисе соответствует матрица. Справед-
ливо и обратное: всякой матрице порядка п соответствует линейный
оператор п-мерного линейного пространстза.
См. также Связь между матрицами линейного оператора в раз-
личных базисах.
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ИЗ СОСТОЯНИЯ А, В СОСТОЯНИЕ
А} — см. Цепь Маркова.
МАТРИЦА ПЕРЕХОДА ОТ ОДНОГО БАЗИСА К ДРУГОМУ. Рас-
смотрим в линейном пространстве Vп два базиса:
( е ) = (еь ег, .... еп); (1)
(ёг) = (Т1, ~г. ••••«л) (2)
и пусть
«11 «12 ... «1л
«21 «22 ... «2л
3П1 ®Л2 «ЛЛ
является матрицей системы векторов е р е 2, .,,,е„ в базисе
е1 > е......... т. е.
в 1 = «11 + «л е* + . •. + «л1 ел ;
е 2 “ ®12 «1 + ®22 е» + • • • + ®л2 ел;
в л = «1л в1 + 82л е2 + ... + 8ЛЛ вд,
или кратко (см. Разложение вектора по базису) (е') = (е)5. Матри-
цу 5 называют матрицей перехода от базиса (1) к базису (2). Мат-
рица 5 — иевырождеииая (см. теорему в ст. Матрица системы век-
торов). Обратно, всякую невырожденную матрицу порядка п можно
рассматривать как матрицу перехода от одного базиса к другому
в л-мерном пространстве. Очевидно, что матрица 5-1 является мат-
рицей перехода от базиса (2) к базису (1).
На плоскости матрицей перехода от базиса ц ) к базису Г,по-
лученному из базиса I, / поворотом на угол <р, является матрица
( СОЗ ф —81П ф \
\ 81П ф СО8 ф )'
МАТРИЦА, ПРИВОДИМАЯ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ, -см.
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
МАТРИЦА ПРОИЗВОДНЫХ 4//4х векторной функции
/ = (/1. /2..... 1п)Т по векторному аргументу х=(Х1, х»,...,
Хл)г определяется формулой
(^ ^ . . .
дХ1 дхя ’ дхп
я-т д/2 Э/д
—С= дх1 дхг * дх„ ,
<Гх ...................
% . . . ^«
дх1 дхг ‘ дх„
МАТРИЦА СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ. Пусть
Х1=(Яц, а21. .... Оп1);
Хд—(^12» Я22, ...» ^пг);
Хт—(&1т> Я3п>, ...» Я»и)
есть система векторов линейного пространства Уп, координаты ко-
торых даны в одном и том же базисе. Матрицу
I “11 ОН ... О1т \
Л = 1 а22 ... а2т |
\ал1 ап* • • • впт /
называют М. с. в. в данном базисе.
Т. (Критерий линейной независимости системы векторов.) Для
того чтобы т векторов пространства Уп были линейно независимы,
необходимо и достаточно, чтобы ранг М. с. в. был равен т.
Следствия: 1. Для того чтобы система п векторов простран-
ства Уп была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы
матрица этой системы векторов была невырожденной.
2. Если ранг матрицы системы т векторов равен г, то макси-
мальное число линейно независимых векторов этой системы равно г.
3. (Критерий линейной зависимости системы векторов.) Дли того
чтобы т векторов пространства Уп были линейно зависимыми, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ранг М. с. в. был меньше т.
МАТРИЦА-СТОЛБЕЦ — матрица, состоящая из одного столбца.
Такая матрица имеет вид
Применяют также запись: (ац ац...ат1)г .
МАТРИЦА-СТРОКА—матрица, состоящая из одной строки. Та-
кая матрица имеет вид (ан Я12...Я1П).
МАТРИЦА ЯКОБИ системы функций ид — /й(Х1, х.................
х„), Л= 1, 2,...,т, имеющих в некоторой точкех<0) =(х|10>, х2°'.
х<°>) все частные производные первого порядка, —матрица
д/1 ' ' . д[г_
дХ1 * * * дхп
Я*.
0x1 0X1 * * ' дх„ «
'^п Чь ’ ’ ’
0x1 0X1 ’ ' 0х„
в которой все частные производные вычислены в точке х<°>. См. так-
же Матрица производных.
МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА — см. Ко-
ординатная запись линейного оператора.
МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — см. Система линейных уравнений.
МАТРИЧНЫЙ МНОГОЧЛЕН —выражение вида
/(X) =А<Л,-МЛ*-1+...+А.-А+А„
где X — переменное; Ао, Аь ..., А, — квадратные матрицы с числовы-
ми элементами одного и того же порядка п. Число п называют по-
рядком многочлена /(X), число а (при А0=/=0)—степенью много-
члена.
МЕРИДИАН ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ—см. Поверхность
вращения.
МЕТОД БЕЗУСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА. Задача об отыскании
точек локального условного экстремума функции и =* *»> • • •. хл)
с условиями связи
К1(Х1, ......*л) = 0;
/’аСхь Х1....хл) =• 0;
Ъ(Х1, **> ...,х„) = 0
может быть сведена к задаче отыскания точек локального экстремума
функции меньшего числа переменных. Для этого следует систему урав-
нений связи разрешить относительно каких-нибудь г переменных, на-
пример Х1, Х1,.... хг, и это решение Х1 => .... хл), ..., хг =
“ФХ-'Ж.......хл) подставить в выражение для функции
и = /(<Р1 (хг+1, ..., хл)... (хг+1...хл), .......хл).
Исследуем эту функцию на локальный экстремум (см. Экстремум
функции нескольких переменных). Если ( х®^, ...» х(п0>) — точка экст-
ремума этой функции, то (ф1 ( х^,,.... х<°>),..., <₽г( Х^р ..х<р),
х<0^....*д0)) —точка локального условного экстремума функции
Если систему уравнений связи разрешить невозможно или трудно, то
используют другие методы, например метод множителей Лагранжа,
метод дифференциалов.
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ для
построения решений системы линейных диффе-
ренциальных уравнений в векторной нормальной
форме
-^. = Л(П*+7(0. (1)
л
состоит в построении частного решения системы (1) в виде
х=х*(0=2(0«(0.
где 2(<) —базис решений соответствующего однородного уравнения,
записанный в виде матрицы, а векторная функция и, заменившая
вектор произвольных постоянных, определена соотношением «'(/) =
=2-’(0/(0- Искомое частное решение (с нулевыми начальными
значениями прн /=<0) имеет вид
е
х ^х*(0 = | 2(02-1(1)/^)Л.
Для системы с постоянными коэффициентами последнее выражение
упрощается:
г г I
х = х* (0 = 2(1 — т) / (т) А.
I,
Матрицу 2(<)2_,(т) называют матрицей Коши оператора Ь=А(<).
См. Метод вариации произвольных постоянных для построения ре-
шения линейного дифференциального уравнения.
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ для
построения решения линейного дифференциаль-
ного уравнения состоит в замене произвольных постоянных
ск в общем решении соответствующего однородного уравнения на
вспомогательные функции «*(<)> производные которых удовлетворя-
ют линейной алгебраической системе
г1(0«'1(0 + ... + гл(0<(0 = 0;
г<л-2> (0 и\(1) + ... + г<п-2) (0 (0 = (°
г<л-1) (0 + ... + г^-1» (0 и'„ (<) = /(<).
Определителем системы (1) служит вронскиан функций гь г?, .... гп.
что обеспечивает ее однозначную разрешимость относительно и'к.
Если и* — первообразные для и’к, взятые при любых фиксированных
значениях постоянных интегрирования, то функция
*=**(0 =и1(0г1 (•') (/)г„(0
является решением исходного линейного (неоднородного) дифферен-
циального уравнения. Интегрирование неоднородного уравнения при
наличии общего решения соответствующего однородного уравнения
сводится, таким образом, к квадратурам. Метод вариации произволь-
ных постоянных называют также методом Лагранжа. См. Метод
вариации произвольных постоянных для построения решений системы
линейных дифференциальных уравнений.
МЕТОД ГАУССА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ системы
линейных алгебраических уравнений
аы*1 012X2 4~ ••• 4~ а1пхп = ^Г>
021*1 + 022*2 4- О2Л*Л = 62;
ол1*1 4- ОЛ2*2 4- • • • 4- аППхП — Ьп ,
с определителем, отличным от нуля, состоит в приведении этой си-
стемы К треугольному виду (прямой ход) и дальнейшем последова-
тельном определении переменных *п, *п-ь .... *1 (обратный ход).
Для этого выбираем произвольное уравнение системы и какое-либо
переменное в нем, коэффициент при котором отличен от нуля. Пере-
ставив, в случае необходимости, уравнения и поменяв местами пере-
менные, будем считать, что избрано первое уравнение, переменное *[
н ац=/=0. Разделим уравнение на Оц н приведем его к виду
*1 4- х» 4- • • • 4- Ящ *я = 6(1?.
Исключим теперь *1 из остальных уравнений системы. Для этого по-
следовательно умножаем первое уравнение на ац, а31..... а„1 н вы-
читаем из второго, третьего, ... последнего уравнений системы. Пре-
образованные таким образом уравнения приводятся к виду
а2р*2 + °2р *«+••• + а2п Хп = ^2^’
+ «ЛЗ *’+••• + апп хп = Ь(^,
где — = Ь{ — “д «./ = 2,3, л.
Эти уравнения образуют систему л — 1 уравнений с переменными
х2, К этой системе применим такое же преобразование, как и
к исходной: делим первое уравнение (в предположении, что а^1 ^0,
чего можно добиться перестановкой уравнений) н с помощью получен-
ного уравнения исключаем переменное х2 из остальных уравнений. За
п шагов приходам к системе
Х1 + а^> х2 + а^> х3 + ... + х„ = &<}>;
х2 + х3 + ... + а^’ х„ = Ь(?;
На этом заканчивается прямой ход. Осуществляя обратный ход, из
предпоследнего уравнения определим хл_1 с учетом последнего урав-
нения; зная хя_1 и хп, находим х„_2 и т. д., пока не оп-
ределим последнее из переменных — х2. Чтобы избежать ариф-
метических ошибок в вычислениях, обычно применяют кон-
трольные операции. В методе Гаусса таблицу коэффициентов
ау и свободных членов Ь{ принято дополнять столбцом сумм коэф-
л
фицнентов уравнений и свободного члена: «/ = 2 ац 4- Ь{. Столбец
/=.1
таких сумм помещают рядом со столбцом свободных членов и произво-
дят над ним на каждом шаге такие же действия, как и с 6/. В каж-
дом вновь полученном прн преобразованиях уравнении сумма его коэф-
фициентов и свободного члена должна совпадать с вновь полученным
значением вспомогательной величины
Недостатком изложенного метода является тот факт, что если эле-
мент мал, то на й-м шаге к-я строка умножается на большое чис-
ло 1/а$, что приводит к значительным ошибкам округления при вы-
числениях. Чтобы избежать этого, каждый шаг начинают е перестановки
уравнений, добиваясь, чтобы коэффициент при х* был максимальным
по модулю, и затем применяют процесс, описанный в методе Гаусса. Та-
кой метод является модификацией метода Гаусса, его называют мето-
дом Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента по столбцу. При-
меняют также метод Гаусса с выбором главного элемента по стро-
ке нли же с выбором главного элемента по матрице (на каждом шаге
выбирается максимальный по модулю элемент среди всех коэффициен-
тов системы). Изложенная схема последовательного исключения неиз-
вестных по методу Гаусса может быть использована для вычисления
определителей и для обращения матриц (см., например, [7]).
МЕТОД ГАУССА РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ, метод последовательного исключения переменных, состоит
в следующем. Пусть
п
1=>1, 2, .... т, (1)
есть Данная система линейных уравнений, А—матрица, А|—рас-
ширенная матрица системы (1) (см. Система линейных уравнений).
С помощью элементарных преобразований строк расширенной матри-
цы А1 системы (1) приводят к ступенчатому виду матрицу А систе-
мы. В результате матрица А> принимает вид
сп си • • • С1|. • • • С1л 41
О См • « • си « • • с»л 4»
0 0
о о
(2)
о о ... о
где с<1^0, 1=1, 2...г. (Подробнее об этом см. в ст. Метод Гаусса
приближенного решения системы линейных алгебраических уравне-
ний.) Переход от системы (1) к эквивалентной ей системе с матри-
цей (2) называют прямым ходом метода Гаусса. Возможны следую-
щие случаи:
1) если среди чисел </г+1, </г+2, .... дт есть отличные от
система (1) несовместна,
2) если йг+1=йг+2=...=йт=0, то:
а) при г=л исходная система равносильна системе
сцХ1 4* Г12х2 4" • • • 4" с^пхп
С22Х2 4" • • 4" с2пХП
нуля, то
(3)
сппхп “ йп,
имеющей единственное решение (находим сначала из последнего уравне-
ния хя, из предпоследнего хп_1 нт. д. и из первого Х1);
б) при г<п исходная система равносильна системе
сцХ1 4- С12Х2 4- • ♦ • 4- с1гхг = А — с1г4-1*г-(-1 — •
С22Х2 -|- • • • + С%ГХГ ^2 — С2Г+1ХГ_(.1 — .
сггхг = дг сгг4-1ХеЧ-1 “ •
с1пхп1
С2ПХп‘,
— сгпхп
(4)
имеющей бесчисленное множество решений (здесь хг+1, х,+2.хп —
свободные переменные; см. ст. Критерий совместности системы ли-
нейных уравнений). Нахождение переменных хь х2, ..., х„ из систе-
мы (3) или (4) называется обратным ходом метода Гаусса.
МЕТОД ГАУССА С ВЫБОРОМ ГЛАВНОГО ЭЛЕМЕНТА —см.
Метод Гаусса приближенного решения системы линейных уравнений.
МЕТОД Д’АЛАМБЕРА решения задачи Коши ДЛЯ
уравнения колебаний струны. Решается следующая задача
д*и д2и
Коши: найти решение уравнения —2 = а2 — в области О = {(/, х) |
1>0, х€ В) при начальных условиях и
ди
= РИ,
где /, Р— заданные иа В функции. Общее решение уравнения колеба-
ний струны ищем н виде и(х, 0 = <р (х — Щ) 4- Ф (х 4* о/), где <р и
ф — произвольные дважды дифференцируемые функции. Полагая I «= О
и используя первое из начальных условий, получаем <р(х) ф(х) = Дх).
Используя второе начальное условие, приходим к уравнению — а<р' (х) 4-
+ аф' (х) = Р(х), интегрируя которое от нуля до х и преобразуя, по-
лучаем
1 5
—<р (х) ф (х) = — ] Р(г) дх 4- с, с =» —<р(0) 4- ф(0).
а о
Теперь из системы уравнений находим функции ф и ф:
1 1 * с
$(*) “ — /(*) 4- У Г(г) * ч- —.
Таким образом,
ц(х, /) = ф (х — а1) 4- ф (х 4- а*) = ~ I (* — о0 4- I (* + а1} —
1 х —а/ 1 х + а/
— ~ У р^аг + ~^ У Г(г)йг.
2а 2а
Преобразуя сумму интегралов, решению можно придать следующий вид:
1 / \ 1 * + <*
«(х, 0 = -— /(х —а/) + /(х-Ьа/) 4-— С Г(г)йг.
2 \ / лах~01
Эту формулу называют формулой Д’Аламбера, а метод нахождения ре-
шения задачи Кошн — методом Д’Аламбера.
МЕТОД ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ (при разыскании условного экстре-
мума) — метод, позволяющий установить необходимые условия сущест-
вования условного экстремума, т. е. найти точки возможного условно-
го экстремума функции и = ( (ха, хз....хл) при условиях связи
Рк(хз, *2....*л) = 0, к = 1, 2, Предположим, что функции
Рк дифференцируемы, якобиан функций Рг по каким-нибудь г перемен-
ным отличен от нуля, например
Р (Ри Г*.....рг) , 0.
О (Х1, ха, .... хг)
Тогда система
дР1 дР1 дР1
ЙХ1 4- - <1хз 4- ... 4- Лхп = 0;
дХ1 иХз ОХп
дРг дР, дРг .
-— <1x1 4- 7 <^хк + • • • + я = 0|
дХ1 охз охп
являющаяся линейной относительно Лхх, Лх2, Лхп, может быть
разрешена относительно ЙХ1 Лхг, которые выражаются линейно че-
рез переменные Лхп. Подставим их в равенство Ли =•
д/ д$
= -— 0X1 + ... — Лх„, приведем подобные члены и результат прирав-
0*1 дхп
няем нулю. Получим выражение вида Лг+1 йхг+1 -|-... 4- Ап Лхп ™ 0, где
через Лг+1,..., Ап обозначены соответствующие рациональные функ-
ции частных производных функций /, 51, ...,РГ. Учитывая, что в по-
лученном равенстве фигурируют дифференциалы только независимых
переменных, приходим к равенствам Дг+1 = 0, . ,.,ДЯ=О. Присоеди-
няя к ним условия связи 51 = 0..Рг = 0, получаем систему п урав-
нений для определения точек (Х1, ..., хп) возможного условного экст-
ремума функции /.
МЕТОД ЗЕЙДЕЛЯ решения системы линейных
алгебраических уравнений — модификация метода простых
итераций. Систему а* 1X1 акгхг а/1Пха = й = 1,..., п,
приводят к каноническому виду:
л
»1 = + 2 Ьцх}, г = 1......п,
/=1
выбирают произвольное начальное приближение корней х|°*, х^>,...,
х^ и вычисляют последующие приближения по формулам
1-1 л
х<й+*>= &14-2^*/*+1)+26У*,(А) ,1^ 1,2,3.......п; й==0,1,2 ....
/=1 1=4
Процесс будет сходящимся, если для канонической системы выполняет -
ся по крайней мере одно из условий:
2 1*у1<1. 2........
/=1
2 1^1<1. /=1» 2,
/=1
Итерации зейделевского типа используются и при решении систем
нелинейных уравнений, когда в отличие от метода простой итерации
каждая улучшенная координата (к + 1)-й итерации применяется
для нахождения следующих координат {к + 1)-й итерации •’ч+г'1
и т. д.
МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ для системы дифференци-
альных уравнений состоит в приведении нормальной системы
п-го порядка к одному обыкновенному дифференциальному уравне-
нию п-го порядка с одной искомой функцией (или к нескольким та-
ким уравнениям с суммой порядков, равной п) и последующим инте-
грированием полученного уравнения. После этого общее решение
системы уже находится из общего решения полученного уравнения.
Приведение системы к одному уравнению п-го порядка достигается
последовательным дифференцированием одного из уравнений систе-
мы и исключением всех неизвестных функций, кроме одной.
МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ — то же, что метод Ньютона.
МЕТОД КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ — см. Метод сеток.
МЕТОД КООРДИНАТ — способ определять положение точки
илн тела с помощью чисел или других символов (например, положе-
ние шахматных фигур на доске определяется с помощью чисел и
букв). Числа (символы), определяющие положение точки (тела) на
прямой, плоскости, в пространстве, на поверхности и т. д., называ-
ются ее координатами. В зависимости от целей и характера исследо-
вания выбирают различные системы координат. См. Декартовы пря-
моугольные системы координат. Декартовы системы координат. Кри-
волинейные координаты точки на поверхности, Полярная система
координат, Сферические координаты, Цилиндрические координаты.
МЕТОД КОШИ для построения решения линей-
ного дифференциального уравнения
д.пх дп—1 х йх
+ «л-1 (0 . - + Й1 (!) + аоц)х = /(/), / б /, (О
основан на использовании вспомогательной функции Коши К (I, т)
(<, т) €/X/,определяемой при каждом т как решение г(1) соответству-
ющего однородного уравнения с начальными условиями г(т) = .,, —
= г(л—2) = 0) г(п—1) 1 (если известно общее решение од-
нородного уравнения, то построение К{1, т) сводится к алгебраическим
операциям (см. Метод вариации произвольных постоянных для по-
строения решения линейного дифференциального уравнения). Функция
/
X = х*(0 = У К (I, т) /(т) л
I,
является решением уравнения (1) с нулевыми начальными значениями.'
Метод Кошн удобен при рассмотрении совокупности линейных
дифференциальных уравнений, различающихси лишь неоднородно-
стями и начальными значениями решений. Он иаходнт широкое при-
менение в радиотехнике, где неоднородность играет роль входного
сигнала, оператор Ьп — роль перерабатывающего устройства, Х(/, т)
является так называемой весовой функцией. См. Метод Коши для
построения решения системы линейных дифференциальных уравнений.
МЕТОД КОШИ для построения решения системы
линейных дифференциальных уравнений состоит в
применении матрицы Коши для интегрального представления част-
ного решения неоднородной системы с помощью общего решения
соответствующей однородной системы. См. Метод Коши для построе-
ния решения линейного дифференциального уравнения, Метод ва-
риации произвольных постоянных для построения решений системы
линейных дифференциальных уравнений.
МЕТОД ЛАГРАНЖА — метод вариации произвольных постоян-
ных. См. Метод вариации произвольных постоянных для построения
решений системы линейных дифференциальных уравнений. Метод
вариации произвольных постоянных для построения решения линей-
ного дифференциального уравнения.
МЕТОД ЛАГРАНЖА п р и ведения квадратичной фор-
мы к каноническому виду состоит в последовательном
выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть
п п
Г(Х!,Х.....,хл)=2 2 аЦХ1К!
1=1 /=1
есть данная квадратичная форма. Возможны два случая: 1) хотя бы
один из коэффициентов ац при квадратах переменных отличен от
нуля. Не нарушая общности, будем считать, что Яц=/=0 (этого всегда
можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);
2) все коэффициенты а,ч=О, < = 1, 2, .... п, ио есть коэффициент а^,
<^=/, отличный от нуля (для определенности пусть ац#=0).
В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим об-
разом:
/ (Х1,х.., хл1 = (оцх, + 2018X1X2 + ... +2Я1ЛХ1ХЛ) + Л (х2, ..
х„) = — (ацХ1 4- Я12Х2 + ... + а1Лхл)2 — —(012X2+... + ащх„)* +
Оц 1 Оц
+ (1 (х2, Ха,, х„) = — у\ + /2 (х2, ха,..., х„),
Дц
где у! = ацХ1 + 012X2 + ... + 01„х„, а через /2 (х2, х3.хл) обо-
значены все остальные слагаемые. /2 (ха, • • • ,хл) представляет собой
квадратичную форму от л — 1 переменных х2, хз, ... ,х„. С ней посту-
х о 1 д1 -
пают аналогичным образом и т. д. Заметим, что У1 = — ——. Второй
2 0X1
случай заменой переменных Х1 = ут + у г, хг — У1 — у», хз = уз, ...,
х„ = Уп сводится к первому.
МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ — то же, что метод Ньютона.
МЕТОД ЛОМАНЫХ решения задачи Коши для обык-
новенного дифференциального уравнения первого порядка — см.
Метод Эйлера.
МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ—см. Принцип ма-
тематической индукции.
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА при разыскании
условного экстремума. Пусть функцию ^(Х1, х2, .... хп) не-
обходимо исследовать на условный локальный экстремум при вы-
полнении следующих условий связи:
Р1(хь х2, .... хп)=0;
КгСхь х2, .... хп)=0;
Л(хь х2, ..., Хп)=0.
Строим функцию ^/+Х1/;1+^2+... + Хг/:'г1 где Хь .... К — неопре-
деленные множители Лагранжа. Функцию Ь называют функцией
Лагранжа. Составим систему уравнений:
д! д! дРг
СЯ —— ф я
дхк дхк дхк
^ = 0, 1.2,
дх*
п\
Решая эту систему из п + г уравнений относительно переменных
Х1, х2,..., хп, Х1, Х2,..., Хг, находим точки (Х1, х2.х„) возмож-
ного экстремума функции / и сопутствующие им множители Ах....,
Второй дифференциал в точке возможного экстремума, вычис-
дЬ
лениый с учетом связей Р,= 0 и условий -— = 0, совпадаете д2/> по-
дх^
этому при проверке достаточных условий локального условного экстре-
мума функции / можно использовать достаточные условия локального
экстремума функций нескольких переменных применительно к функции Ь.
МЕТОД МОМЕНТОВ — один нз методов получения оценок не-
известных параметров распределения. Суть его состоит в том, что
для оценки неизвестных параметров 01, 02, ..., 0» распределения слу-
чайной величины вычисляются а первых теоретических моментов
т*(0|, 02..0.)=М^*, й=1, 2, .... з,
которые приравниваются к соответствующим эмпирическим (выбо-
рочным) моментам
1 л .
14, (Х1,Х2.....Х„)= —2Х*. Л =>1,2................
П 1=1
Решение 0* (Хх, Х2.....X л),..., 0* (Хх, Х2....Хл) берется в ка-
честве оценок неизвестных параметров 01, ..., 0з распределения.
МЕТОД НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ — один из методов
получения оценок неизвестных параметров распределения. Согласно
М. н. п„ в качестве оценок неизвестных параметров распределения 0х,02,..„
0.x случайной величины берутся числа 0, (Хх, Х2,.. .,ХЛ),..., 0*(Хь
Х2, ..., Х„) (оценки наибольшего правдоподобия), доставляющие мак-
симальное значение функции правдоподобия
ЦХ'..... Х„, 0!..... 0,)=р(Х1, 01.. 0,) ... р(Х„, 0!. 0,),
где Х|, .... Хп — выборочные значения; р(Х, 0(, ...,0,) — плотность5,
если это случайная величина абсолютно непрерывного типа. В ди-
скретном случае
р(Хк, 0!...0.)= р(5 = Хх), Л=1, 2...п
Оценки наибольшего правдоподобия находятся среди решений еле-
дующей системы уравнений, называемых уравнениями правдоподо-
бия;
д'пЦХг, ...,ХЯ, ....6,) „ , . _
= °’ 2...........
Оценки наибольшего правдоподобии ивляютси состоятельными.
МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ — один из методов
аппроксимации функции у’=у(х), заданной таблицей из п значений.
По этому методу строится функциональная зависимость у=[(х, аи
—> ат), где а(, ..., ат — неизвестные параметры, подбираемые так,
чтобы величина выражения
л
•—^2 (/(*о ............. ат)~У1)*
была бы минимальной (р{ —положительные числа, называемые весами,
они выбираютси произвольно, исходя нз физических или математических
соображений, либо полагаютси все равными единице). Параметры
01,..,, ат должны удовлетворить системе уравнений — = 0, 1 =
= 1, .... т (нормальная система). Если нормальная система имеет
единственное решение, то оно и являетси искомым. Обычно в качестве
х{ , а1, ..., ат) выбирают многочлены (алгебраические или обоб-
щенные). Прн выборе алгебраического многочлена в случае т=п при-
ходим к интерполяционному многочлену, в случае т>п задача неопре-
деленна. М. и. к. применяется при т<п. В частном случае, когда
строится линейная зависимость вида /(х) = ах -|- Ь, коэффициенты а н
Ь находятся из системы линейных уравнений
ппп
«2 *?+6 2 х1= 5 х1 ’
1=1 1=1 1=1
п п
^2 х1 ч- ьп=2 »
1=1 1=1
где у( =. у (х( ).
МЕТОД НЬЮТОНА. 1. Метод численного решения
уравнении /(х)«»0 может быть описан следующим образом. Если
Хл — некоторое приближение точного значения корни х* исходного
уравнения, то уточним хп, положив х*=хп+^п, где Лп считаем
малой величиной. Применив формулу Тейлора, получим
0=/(Хп+й„)=^(хп)Лв/' (*п) +о(й„).
Отбросив о(Лл) (бесконечно малую более высокого порядка, чем Лл),
получим Ал « — • Учитывая эту поправку, получаем следую-
I \хп)
щее приближение корни х*:
*л-н = хп ,,, . > л = 0, 1, 2, ,,,
. 1 \хп)
Геометрически М. Н. означает, что следующее приближение хл+1
находится, если график Гу функции / в окрестности точки (хл, ^(хл))
заменить касательной к графику, проведенной в этой точке, и взить
за хл-|_1 точку пересечения касательной с осью абсцисс.
Если функции н /" непрерывны н сохраняют определенные зна-
ки при хЕ[а, Ь], а /(а)/(6)<0, то, исходи из начального приближения
х0€[а, 6], удовлетворяющего условию /(х0) /"(хо)>О, можно вычислить
методом Ньютона единственный корень уравнения /(х) = 0 с любой
степенью точности.
При произвольном начальном приближении ньютоновские итерации
сходятся, если всюду на [а, 6] выполняется условие | [Г'\ <(/')2.
М. Н. можно рассматривать как частный случай метода простых итера-
/(х)
ций, если положить <р(х) = х — ——. Для простого корня скорость схо-
I \~)
димости определяется соотношением
м2
|х* — х„1 < -—(х„ — ХЛ_1)\
где Ш1 — пип I Г(х) Г, Мз — тах | /"(х) |. (Отсюда следует квадратнч-
[а, &] [а, &]
ный характер сходимости.)
М. Н. особенно удобно применить тогда, когда численное значе-
ние Г(х) в окрестности корня велико. При этом желательно отделить
корень уравнении /(х)=0 (см. Отделение корней). М. Н. называют
еще методом, касательных и методом линеаризации. См. также Моди-
фикации метода Ньютона, Метод секущих.
2. Метод численного решения систем уравнений
( Х1 'х2 • • • • > хп ) = О' * = Ь 2» • • •. я> состоит в определении
последующего приближения ( х^+1), ..., х^"*"1)) точного зна-
чения корня (х*, х*3, . ,.,х*) по предыдущему приближению ( х^,
х(к\ ..., х'"] как решения системы линейных уравнений относитель-
„О Г(*+П Л*+1) У(*+П.
2 хп ) (^+0_ (х(«...х<*>).
/-1 - Ох!
Метод применяется для дважды дифференцируемых функций с
отличным от нуля якобианом.
МЕТОД ОКАЙМЛЯЮЩИХ МИНОРОВ для вычисления
ранга матрицы — см. Окаймляющий минор.
МЕТОД ПАРАБОЛ решения уравнения Дх)=0— один
из интерполяционных методов решения уравнений, заключающийся
в замене функции / ее интерполяционным многочленом Рг(х) второй
степени по трем последним итерациям. Запишем интерполяционный
многочлен для { в форме Ньютона (см. Интерполяционная формула
Ньютона):
Р%(х) =[(Хп) + (X — Хп)[(Хп, Хп —1) +
+ (х~Хп) (Х-Хп-\)!(Хп, Хп-1,Хп-г).
Приравнивая этот многочлен к нулю, получаем квадратное уравне-
ние аг2+Ьг+с~0, где г=х—хп, а—Цхп, хя-ь х„-2), Ь = а(хп —
-Хп— 1)+/(х«, Хп—1), с=|(Хп). Тот из двух корней квадратного
уравнения, который меньше по модулю, определят новое приближе-
ние хп+1=х„+г. Для начала расчета надо задать три первых при-
ближения хо, Х1, х2 (обычно их выбирают произвольно).
МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ п ри решении урав-
нения /(х)=0. Применяется при условии, что известны два зна-
чения хо н Х1, таких, что ^(х0)нХ1)<0 н ( непрерывна на отрезке
[хо, х,]. Отрезок [хо, Х1] делится пополам, т. е. находится точка ха==
и вычисляется/(х2), затем из отрезков [хо, х2] и [х2, х,] вы-
бираем тот, на концах которого / имеет значения разных знаков,
с ним проделываем аналогичную операцию и т. д. Таким образом
находим приближенное значение х„ корня х* уравнения /(х)=0.
Если требуется определить корень с точностью е, то процесс про-
должается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше 2е,
тогда середина этого отрезка дает значение корня с точностью е.
М. п. д. прост н надежен, может быть применен и к недифференци-
руемым функциям, легко реализуется на ЭВМ, устойчив к ошибкам
округления. Если корни уравнения не отделены на рассматриваемом
отрезке, то таким образом может быть найден только один нз корней
уравнения. М. п. д. удобно применять для грубого приближения
корня, так как при увеличении точности значительно возрастает
объем вычислительной работы. Иногда М. п. д. называют дихо-
томией.
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ИСКЛЮЧЕНИЯ ПЕРЕМЕН-
НЫХ — то же, что метод Гаусса решения систем линейных урав-
нений
МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИИ—1) Численного реше-
ния уравнения ((х) = 0. Предварительно исходное уравнение
приводят к виду х=ф(х) (это можно сделать различными способа-
ми, например, выразив х из уравнения /(х)=0 либо положив ф(х) =
= х+ф(х)/(х), где ф — произвольная непрерывная знакопостоянная
функция). Затем выбирают некоторое приближение хо искомого
корня уравнения /(х)=0 и последующие приближения вычисляют
по формулам Хп+1=ф(хп), п=0, 1, 2, ... Этот процесс называют так-
же одношаговой итерацией. Если: а) функция <р определена на отрез-
ке |х—Хо|^б, непрерывна на нем и удовлетворяет условию Липши-
ца |ф(х) — ф(х') | х'|, б) для начального приближе-
ния Хо выполняется неравенство |хо—ф(хо)|^т; в) числа б, у, т
удовлетворяют условию———<б, то уравнение х=ф(х) в области
1 — 9
|х—х0|Сб имеет решение. Последовательность (хп) приближений,
построенная по формуле хп-и=ф(*п), принадлежит рассматриваемо-
му отрезку, является сходящейся (11тхп = х*), и х* удовлетворяет
уравнению х=ф(х), а скорость сходимости хв к х* оценивается не-
равенством
I <* — К л == 1, 2, .. •
Если ф— дифференцируемая функция, то условие Липшица может
быть заменено условием |ф'(х) | ^ц<1. Итерационный процесс обыч-
но прекращают, если два соседних приближения совпадают с задан-
ной точностью: |х„ — хп-1| СХ
2) Численного решения системы уравнений
1к(х1, ..., хп) = 0, к = 1, 2, ..., п (илн в векторной форме Дх) = 0).
Систему заменяют равносильной: хк <= <Рк (*1, • • > хп), к= 1,2,..., п
(или в векторной форме х = ф (х)), выбирают начальное прибли-
жение х<°> = ( х<°>, ,.., х^) к точному решению х* = ( х*, ..., х'„}
и последующие приближения находят по правилу х(л+1) = ф (х(л))> п =
= 0, 1, 2,... Процесс будет сходиться к точному решению х* для
дифференцируемых функций ф(х), когда все собственные значения мат-
рицы Якоби системы функций <рь(х) по модулю не превосходят едини-
цы либо
п
<?*= тах 2
» 4=1
5ф,
-—(Х1, х2,
дхк
> Хп) <1
н окрестности начального приближения.
3) Решения системы линейных алгебраических
уравнений Ах=). Систему приводят к каноническому виду
х<=Вх+Ь (разрешая относительно Хь х2, хп, если есть диагональ-
ное преобладание, либо х=х+САх—С/, С — невырожденная). Итера-
ции х(Ж>=Вх<М+Ь сходятся к решению, если |Х, (В) | <1 (необходи-
мый и достаточный признак) либо ||В||< 1 (достаточный признак), прн
этом
11х‘-х<*>||<
||В||*+Х || Ь [|
1-11 ВЦ
где х<°>=Ь.
МЕТОД РУНГЕ —КУТТА решения задачи Коши
/(х)=((х, у), у(ха)=у0, Хо^х^Х. Для функции /(х, у), обладаю-
щей непрерывными частными производными до (54-1)-го порядка
включительно, с известным значением у(х) прн х=х„ (у (х„)=рп)
Рунге предложил искать значение ^(хп4-А) в виде
Р(ХпЧ-А) =р(хп) 4-Р1АДА) 4-р2А2(А) +...+р,к,(к) 4-О(А*+’),
где А1(А)=А((х„, уп), А2(А) =А((х„4-а2А, рп4-₽21А|(А))....... А,(А) =
=А((хп4-а«А, р„4-Р„А1(А)4-...4-р,,-1А,-1(А)), ри рг,...,р„а2,...,а.,
р21, ₽«I — некоторые параметры. Путем выбора $ и параметров
можно получать различные вычислительные формулы. Наиболее
употребительными являются следующие:
Уп+1 ~ УпЛ~ + ^2 4~ л =• О, 1,2.............
о
где к1 = Л/ (х„, у„); к2 = /г/ (хл + —Л, уп 4- —к3 = й/ (х„ 4- й,
Уп — + 2йг), и
УпЦ-1 = Уп + "^(^1 4” 2^2 4* 2йз 4- й«), п = 0, 1, 2, ...,
где й1 = й/(х„, уп); к2 = к( (хп + -уЛ, уп 4- -^йД-
+ ±Ь> Уп+-к2); к*=к/(х„ + /1, У„ + к3).
к3~Щхп +
Погрешность на каждом шаге интегрировании по М.Р.— К. имеет
порядок О(й’+>) (в первом варианте О(й3), во втором О(й4)).
МЕТОД СЕКУЩИХ численного решения уравнения
/(х)=0— модификация метода Ньютона, когда касательная заменя-
ется секущей, проходящей через точки (х„_и /'(х„_|)) и (хп, Цхп)),
т. е. производная заменяется первой разделенной разностью, найден-
ной по двум последним итерациям. Вычислительная формула имеет
вид
хп±1 “ хп
Кхп ) ?(хл-1)
(хп— Хп_]), л =» 1, 2, ...
М.с. является двухшаговым, н нахождение следующего значения
х„+1 в нем требует знания двух предыдущих значений х„, хп-1-
В частности, начало расчета требует знания двух начальных значений
х0 и хь Обычно Хо выбирают так же, как и прн использовании метода
Ньютона, а Х| берут достаточно близким к хо. Погрешность вычисле-
ний при применении М.с. убывает медленнее, чем при применении ме-
тода Ньютона, но зато в этом случае не используются значения произ-
водной, что позволяет прн одинаковом объеме вычислений сделать
вдвое больше итераций и за счет «того получить более высокую
точность.
М. с. называют также и методом хорд. Иногда методом хорд на-
зывают метод, при котором один из концов отрезка [а, 6] закреплен,
т. е. вычисление приближения корня уравнения Цх)=0 производят по
формулам:
либо
Прн этом предполагается, что корень уравнения }(х)=0 отделен и
расположен на отрезке [а, 6] (см. Отделение корней) и /"(х) сохра-
няет знак иа [а, &]. В этом случае
, ЛД — «1
]хп ~хп-1\>
где «1 = т1п I }'(х) Г, Л41 = тах |/'(х) I.
[а. Ь] [а, Ь]
МЕТОД СЕТОК решения уравнений с частными
производными, метод конечных разностей, состоит в замене
частных производных, входящих в уравнение и в граничные и началь-
ные условия, разностными выражениями, содержащими линейные
комбинации значений функций решения. На плоскости Оху, содержа-
щей область О изменения переменных уравнения с частными произ-
водными (для случая двух независимых переменных), строят два се-
мейства параллельных прямых х=х0+1Н, у=уа+Ь1 (», /г=0, ±1,
±2, Точки пересечения этих прямых называют узлами. Два узла
называют соседними, если они удалены друг от друга иа расстояние,
равное шагу сетки (Л или /). Узел называют внутренним, если он
принадлежит множеству О + дО вместе со всеми соседними узлами,
и граничным, если он не является внутренним, но лежит на расстоя-
нии, не большем, чем шаг, от границы дО области О. Пусть =
— «(Хо+й, у0+Ы) есть значения искомой функции и=и(х, у) в узлах
сетки. В каждом внутреннем узле (х0 + й, Уо+к1) частные производ-
ные, входящие в уравнение или в граничные условия, можно заменить
разностными отношениями:
/ \ + 1, * ~И< — 1, к ( ди\ ~ и1, к + 1 ~~и1, к—1
\ дх /1к а 2Л ’ \ ду / 1к ~ 2/
в граничных же точках:
и‘ + Кк~
\ дх Цк ~ Л
и1к 1ди\
’ \ ду “
и1, к + 1 ~ и1к
---------1---------'
Аналогично заменяются и частные производные более высоких по-
рядков. Такая замена позволяет свести решение уравнения с частны-
ми производными к решению системы алгебраических уравнений. Тем
самым получаем приближенные решения уравнения с частными произ-
водными в узлах сетки. М.с. используется также при решении обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Например, граничная задача
у"+р(х)у' +д(х)у=](х) с условиями у (а) =А, у(Ь) -=В
( , Ус + 1 ~ — 1
I У =---------2А--------;
„ У1 + 1-2у{ + У{_1'
у л2
сводится к системе линейных уравнений
У, + 1-2^й +
+/’(*<) 2Л
У (а) = Ул — А;
У(Ь) = уы = В, 1=1.......ТУ—1,
+ Ч(*1 )У{
решая которую, определяем приближенное значение решения в узлах
сетки Хь ..., хк-ь
МЕТОД ФУРЬЕ решения задачи Коши для уравне-
ния теплопроводности. Требуется иайти решение уравнения
ди д2и
-^-= а2у^, х € К, при условии и _ 0 = /(х), т. е. рассматривается
задача распространения температуры в неограниченном стержне. Част-
ные решения' ищем в виде и(1, х) = Х(х) Подставляя их в урав-
Т'(1) Х"(х) „
некие, получаем Х(х) Г'(0 = а2Х"(х) Т(1) или —2 = - . По-
и 7 (г) Х(х)
скольку левая часть равенства не зависит от х, а правая от I, то ра-
венство имеет место тогда и только тогда, когда правая и левая части
равны постоянной. Обозначим ее —X2 (постоянная разделения). Тогда
П0. = _Х2;
а2Т(1) Х(х)
Первое из этих уравнений имеет общее решение Т(/) = С (Х)е->*“*<•
второе — Х(х)=А(к) созХх+В(Х) зш Хх. Таким образом, решение
неходкого уравнения можно получить в виде
“х (*> *) ~ 0С со® ^х+ВС 51п Хх)е—
Полагая а(Х)=Л (Х)С(Х), Р(Х) =В(Х)С(Х), получаем семейство реше-
ний исходного уравнения:
“х (*> х) ~ (аМС05 З'п Хх)е—х*аЧ,
где к — параметр: — оо<Х<4-°°. Тогда функция
и(1, *)™ У «х (^> У (а(Х) соз Хх Р(Х) з!п кх) ё~х*а'1 ЛХ
ди
также является решением уравнения —— <=• а2
д1
ции а(Х) и р(Х) из начального условия
№
—. Определим
дх2
фуик-
-Н»
к|( _!)= У (®(Х) соз Хх 4- Р(Х) з1п Хх) Лк = /(х).
—оо
Из теории интеграла Фурье и полученного равенства следует, что функ-
ции а(Х) и Р(Х) определяются по формулам:
1 +?>
а(Ь) = 'Т' У Л5)созХ|^;
—00
Р(*) = — у /®)51пХ5а$.
—со
Испольйонав найденные выражения для а(Х) и Р(Х), окончательно по-
лучим решение задачи Коши:
1 +оо 4-оо
“(*. *)ет'Г’ У У /(?)С05М*~ 6) е-к’аЧ
—00 —00
Изложенный метод нахождения решения называется М. Ф. Полученное
решение можно преобразовать к виду
1 +Р°° /
МЕТОД ХОРД —то же, что метод секущих.
МЕТОД ЭЙЛЕРА построения численного решения
задачи Коши у'^=](х, у), у(х0)-=Уа,х0^х^Х. В предположении,
что Цх, у) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х0, уа),
значение решения у(х) (известного при х=хп) в точке х„+А можно
найти, проинтегрировав уравнение #'=/(х, у) от хп до Хп+А:
х„ +Л
у(хл+А) = у(х„)+ 5 у’(х)0х.
*п
Так как у' =» / (х, у), то
*п + А
У(хп +н)^У(хп )+ I Цх, у(х))дх.
хп
Применяя формулу Тейлора, получаем соотношение у (хп + А) =
У (хп)’^ ^(хп ’ У(хп)) +гл + 1‘ Отбрасыная в этом выражении
остаток гп + ] и полагая хп + ( = х„ + А, = 0 ( *л )> Уп +1 “
= У ( хп 4.1), получаем формулу Эйлера
Уп+\ ^Уп + нНхп’ Уп)’ п = 0> Ь2, ...
Локальная погрешность формулы на одном шаге имеет порядок О (А2)
А2
и равна гл + , = хл + 0А) (0<6<1) в предположевии, что /
непрерывна и ограничена вместе со своими первыми частными производ-
ными:
//(*> -7-(*. У) < М2; -^-(х, у)
Интегральная погрешность оценивается следующим образом:
। — / \ । Мг +М1М» м , г _ , ч
к(*я)-*л|<——е>( л о)А
(через у (хл) обозначено точное значение решения в точке хп).
М. Э. называют еще методом ломаных (см. также Модификации ме-
тода Эйлера). Явный М. Э. обладает тем недостатком, что требует
ограничения иа шаг, так как является асимптотически неустойчивым
(см. также Приближенное интегрирование дифференциального уравне-
ния). М. Э. используется и для линейных дифференциальных уравне-
ний и их систем".
МЕТОД ЯКОБИ приведения квадратичной формы
к каноническому виду применим в случае, когда все глав-
ные миноры матрицы квадратичной формы отличны от нуля. Тогда
существует линейное невырожденное преобразование переменных,
при которых данная квадратичная форма
п п
х.......*«) = 2 2 аих1х!
1=1 /=1
перейдет в эквивалентную ей квадратичную форму
. , Д° 9. . Д* 2 . _ Дп — 1 ?
Я (Уъ У», > > Уп) — Д1 «1 + — у2 + . •. 4--- Уп ”
д/ -1
У* >
где До=»1; Дх, Д», ...,ДЛ—главные мииоры указанных порядков
матрицы А = ( а(у).
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ. Общего
М. в. о. ие существует. К определителям того или иного специального
вида применяются различные методы вычисления, приводящие к более
простым выражениям, нежели выражения, получаемые из определе-
ния определителя.
1. Разложение определителя по элементам
строки илн столбца. Теорема о разложении определителя по
элементам ряда позволяет свести вычисление определителя л-го по-
рядка (п>1) к вычислению определителей порядка п— 1. Используя
свойства определителей, можно преобразовать определитель п-го по-
рядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме,
может быть, одного, равнялись нулю. И тогда вычисление сведется к
вычислению одного определителя (п—1)-го порядка.
2. Приведение определителя к треугольному
виду. Определителем треугольного вида называется определитель
треугольной матрицы. Он равен произведению диагональных элемен-
тов; поэтому удобно преобразовать определитель к такому виду.
3. Разложение определителя по теореме Лап-
ласа. Этот метод позволяет свести вычисление определители
порядка л к вычислению определителей более нвзкнх порядков.
Удобно выделять в определителе те к строк или столбцов, которые
содержат наибольшее число мииоров порядка к, равных нулю.
4. Метод опорного элемента. Метод заключается в
последовательном применении формулы, выражающей определитель
порядка л через определитель порядка п— 1, элементами которого
являются определители второго порядка. Так, если ац=/=0, то
а11 аН °13* • * °1л
“21 а22 а23 • • • °2п
а31 а32 а33 ’ • • а3л
ап1 ап2 $лЗ • • • апп
Элемент ац а этом случае называется опорным элементом определи-
теля. В качестве него можно взять любой отличный от нули элемент
данного определителя.
5. Вычисление с помощью рекуррентных фор-
мул. Данный определитель порядка л после преобразований его н
разложения по строке или столбцу иногда выражается через опреде-
лители того же вида, но более низких порядков. Полученное равенст-
во называют рекуррентным соотношением. Пользуясь этими соотно-
шениями, легко вычислить определитель по индукции.
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАНГА МАТРИЦЫ. Ранг матри-
цы вычисляют двумя способами: 1) с помощью элементарных преоб-
разований приводят ее к трапециевидному виду, и тогда число отлич-
ных от нуля элементов с одинаковымв индексами дает ее ранг; 2) ме-
тодом окаймляющих минорое. Первый способ при больших размерах
матрицы быстрее ведет к цели, второй ценен тем, что в ходе вычис-
лений позволяет выделить базисный мннор матрицы.
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НА СХОДИМОСТЬ числовых
рядов с комплексными членами—см. Числовые ряды с
комплексными членами.
МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ —
см. Метод Ньютона, Метод парабол, Метод половинного деления,
Метод простых итераций, Метод секущих, Модификации метода Нью-
тона.
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ« СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ— см. Критерий совместности системы линейных уравнений,
Метод Гаусса, Формулы Крамера.
МЕТРИКА — см. Метрическое пространство.
МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО. Множество X называется
М. п., если на множестве упорядоченных пар элементов множества
X задана функция р(х, у), удовлетворяющая следующим аксиомам.
А1. р(х, у)^0, причем р(х, у)=0 тогда и только тогда,
когда х=у.
А2. р(х, у)=р(у, х) (аксиома симметрии).
АЗ. р(х, у)^р(х, г)+р(г, у) (неравенство треугольника).
Функция р называется метрикой или функцией расстояния, число
р (х, у) — расстоянием между двумя точками х и у множества X.
На множестве действительных чисел К метрику можно ввести по
формуле р (х, у) = | х — у |. Координатное п-мерное пространство, точ-
ки которого — упорядоченные наборы п чисел х = (%1 х3........ хп ),
превращается в М. п., если положить р (х, у) =
(*к — УьР-
Это М. п. называют евклидовым п-мерным пространством и обозна-
чают символом К" (иногда ЕП).
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДВОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.
Пусть в плоскости Оху есть материальная пластинка, т.е. некоторая
область О, по которой распределена масса с плотностью р (х, у).
Тогда:
1) масса пластинки м= Д р(х, у) ФхЛу,
Б
2) статические моменты относительно координатных осей:
У)ахаУ,
О о
3) координаты (хс, у с) центра масс пластинки:
ЛЕ, Мх
4) моменты инерции пластинки:
а) относительно оси Оу /»=// х2ц(х, у) ЛхЛу;
о
б) относительно оси Ох /» = _[/ Уг^(х, у)ЛхЛу;
о
в) относительно начала координат /о=/У (х^+у2)ц(х, у)Лх<1у.
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИН-
ТЕГРАЛОВ. 1. Работа А по перемещению материальной точки вдоль
кривой I под действием силы Р=(Р[х, у, г), 0(х, у, г), Р(х, у, г))
вычисляется по формуле
А= ^Р(х, у, г)Лс+<2(х, у, г)с1у+К(х, у, г)Лг.
2. Масса т кривой I, линейная плотность которой вдоль кривой
I равна р(х, у, г), выражается интегралом иг=| ц(х, у, г)Лз.
I
3. Координаты (хс, у., ге) центра масс (центра тяжести) кривой
/ с линейной плотностью ц (х, у, г) находятся по формулам:
1 С I С
*с = — I хц (х. у, г) ус = — Ь/р (х, у, г) Оз;
т л т
I I
° | гр (х, У, г) (1з,
т ,)
I
где т — масса кривой I.
4. Моменты инерции кривой I относительно координатных осей:
1х=^(у2А-г2)ц(х, у, г)<1з; ^(^‘+гг)ц(х, у, г)(1з;
Л=У (х2+у2)ц(х, у, г)Лз.
I
5. Сила притяжения точечной массы материальной кривой I есть
₽ Г Iх {х' У’ Та.
Р = I ---------—----- г аз,
где р(х, у, г)—линейная плотность кривой I; та — масса точки с
координатами (хо, у^, го); у — постоянная тяготения;
г=(х-х0) 7+(у-уо)1 + (г-Ъ>)И; г=1И-
МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТРОЙНОГО ИНТЕГРАЛА.
Пусть ц(х, у, г) — объемная непрерывная плотность тела V. Тогда:
1) масса тела V
У, г)<1хау4г;
V
2) статические моменты относительно координатных плоскостей:
Мж,= Ирц(х, у, г) ахЛуаг-, у, г)с!хс1уйг\
V V
гч(х. У, г)Лхйу<1г-,
у
3) координаты центра масс тела:
Муг Мхг Мху
с ~аг'Ус ~аг’ с ~аг'
4) моменты инерции тела:
относительно координатных плоскостей
^^^уЛг- /цг—Щ Хгц4х</у<1г;
V V
у^хЛуаг-,
V
относительно координатных осей
/х“Ш (У3+г‘)у(х> У, г)Лх<1уаг- /„= Щ (хг+г1)ц(х, у, г)4х4у<1г-,
V V
/,= Ш (*2+У2)и(*. У. гуахЛуЛг-,
V
относительно начала координат
А>=5И (х®+№+г»)н(х, У, г)ахауОг.
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ. Если «(/) —закон
движения точки по прямой, то в момент времени I скорость этой точ-
Аз
ки з' (0 = 1нп —•
А/-М) Дт .
МЕХАНИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ.
Пусть материальная точка движется по траектории, уравнение которой
г = г (/), где / — время. Тогда вектор МЫ= Д г (/) изображает пере-
мещение точки ла время Д/, а отношение Д г яжх среднюю
скорость перемещения за этот промежуток времени. Переходя к преде-
лу при Д/->0, из вектора средней скорости получим вектор истинной
—►
скорости V в момент I. Следовательно, вектор скорости V есть про-
-* а7
изводнаи радиус-вектора движущейся точки по времени: V = —. Так
д г
7й
здесь о = р |1 . Таким образом, численное значение
= ——, где а — длина дуги траектории (см. Длина дуги ли-
си
дг г
ний), то о = —— (
а!
(модуль) вектора скорости равно производной от длины дуги траектории
по времени. Дифференцируя вектор г два раза, получим вектор
-> <17 <?7
ускорения и/ = — = ——.
МИНИМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ —
см. Приближение в среднем.
МИНИМАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ — поверхности, у которых
средняя кривизна в любой точке равна нулю.
МИНОР. Пусть дана матрица АтУ.п — (а<1). Выберем в ней про-
извольно а строк и 5 столбцов Ц^зСппп {т, п]). Определитель мат-
рицы, полученной на пересечении выбранных строк и столбцов, назы-
вается М. порядка а данной матрицы. Пусть А — квадратная матрица
и М — ее М. порядка $. Определитель М' матрицы, оставшейся после
вычеркивания строк и столбцов, входящих в М, -называется М., до-
полнительным к М. М. Очевидно, что дополнительным к М' будет
М. М. квадратной матрицы называется также М. ее определителя.
Каждый элемент ац матрицы порядка п является М. первого поряд-
ка. Дополнительный к нему М. называют М. элемента и обозна-
чают М(р
МНИМАЯ ЕДИНИЦА— см. Комплексные числа. Для М. е. I
справедливы соотношения: I4**»!, /<*+1=/, »«*+2= —1, /«*+»= — / при
любом к 6 1.
МНИМАЯ ОСЬ КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ —см. Ком-
плексная ПЛОСКОСТЬ.
МНИМАЯ ПОЛУОСЬ ГИПЕРБОЛЫ —см. Гипербола.
МНИМАЯ ЧАСТЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА —см. Комплекс-
ные числа.
МНИМОЕ ЧИСЛО —см. Комплексные числа.
МНОГОГРАННИК В Кп — множество Р, которое можно'раз-
бить на конечное число симплексов. Сумма объемов составляющих
симплексов не зависит от способа разбиения М. Р иа симплексы. Эту
сумму называют объемом М. Р и обозначают символом тез Р.
МНОГОМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА —см. Случайный
вектор.
МНОГОМЕРНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайно-
го вектора |=(51>^...... ?п) — функция Р{,.„&,(*«, .... Хп)
от л переменных хь х2.хп, задаваемая равенством
^Ь...8л(х‘» х*> •••> *п) = Р(51<Х1> Вг<*2,.... <х„).
Эту функцию называют также совместной функцией распределения
случайных величин 5ь ..., 5"- Основные свойства М. ф. р.г
1) если х^уь х2^уг...... Хп^уп, то
р\1..\п(х^ хъ •••• х»Х^Ь...&| У1’ У”)’
2) для любого к= 1,2, ..., п
Ит ръ..лАх1 .—,««)*= 0;
л
Нт РЪ..Л„ (хь •••’ х«)”
= , (*!» Хк—Р хк+и •••• хл)!
г ъ ... *
3) рЪ..Лп(х1~ 0......... °)“ГЕ,..Лп(хь —• хп)-
МНОГОМЕРНОЕ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что
абсолютно непрерывный случайный вектор 5 = ( 5, , • • •, 5п ) имеет
нормальное распределение, если его плотность вероятности
1/ ]~Л~1 ( 1 \
₽Е,...ЕЯ <х»> х«« «”>хл)“ (2я)п/2 "’,Хя)г
где 0 = 2 аЦ (Х1 ~а{)(х/ ~а1)~ положительио определенная
С/=1
квадратичная форма; | А |—определитель натриды
МНЦГОЧЛЕН, полином, одной переменной х—целая
рациональная функция /(х) = аохл-Ьа1хп-' +... 4-ап-^х+а,,, где
ао> ...в»-|, ап — заданные числа, называемые коэффициентами
М., при этом во=#0 (как правило, коэффициенты М.— числа из мно-
жества Я или С). Число л (л€20) называется степенью М., член
аоХп — старшим членом.
М. определяют также как сумму одночленов. Каждый одночлен,
входящий в М., называют членом М. Подобные слагаемые в М. на-
зываются подобными членами. Если все члены М. записать в стан-
дартном виде и выполнить приведение подобных членов, то полу-
чится М. стандартного вида (в первом определении М. записан в
стандартном виде). В зависимости от числа членои М. называются
двучленами, трехчленами я т. д. Одночлен, имеющий наибольшую
степень, называется старшим членом М. Степенью М. стандартного
вида называется степень старшего его члена.
Иногда М. записывается по возрастающим степеням переменного:
[(х) =а0+а1х+...+ап_1х"-1-|-а„хп, ап=#0.
М. непрерывны при всех значениях независимой переменной н всюду
дифференцируемые функции.
МНОГОЧЛЕН ОТ МАТРИЦЫ. Значением многочлена ((х) =
= сохт + С1Хт~,+...+ст-1х-1-ст с числовыми коэффициентами Со,
С].. ст от матрицы А илк значением многочлена [(х) при х=Л
называется матрица
КА)=с0А™-|-с1Ат-1+...+с,п_1А-|-стЕ,
где Е — единичная матрица.
МНОГОЧЛЕН ТЕЙЛОРА — см. Формула Тейлора.
МНОГОЧЛЕНЫ С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИЕН-
ТАМИ. Есля а — корень М. с д. к., то число а также будет корнем,
при этом кратности корней а н а совпадают. М. с д. к. нечетной сте-
пени всегда имеют хотя бы один действительный корень; если же
действительных корней больше-единицы, то их будет нечетное число.
МНОЖЕСТВО ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ —см. Множество
действительных чисел.
МНОЖЕСТВО ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ Я —совокуп-
ность, обладающаи следующими свойствами.
1. Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел
а и б определено отношением порядка, т. е. два любых действитель-
ных числа а и Ь удовлетворяют одному и только одному из следующих
трех соотношений: а<Ь, а—Ь, а>Ь; при этом если а<Ь и Ь<с, то
а<с.
2. Свойства операции сложения. Для любой упоря-
доченной пары чисел а и о определено, и притом единственным обра-
зом, число, называемое их суммой и обозначаемое а+Ь, так что прн
этом имеют место следующие свойства:
1) для любой пары чисел а и Ь а+Ь — Ь+а;
2) для любой тройки чисел а, Ь, с а+(Ь+с)=(а+Ь)+с;
3) существует число, обозначаемое 0 и называемое нулем, такое,
что для любого числа а а+0=а;
4) для любого числа а существует число, обозначаемое —а и на-
зываемое противоположным данному, такое, что а+(—а)=0;
5) если а<Ь, то для любого числа с а + с<Ь+с.
3. Свойства операции умножения. Для любой
упорядоченной пары чисел а и Ь определено, и притом единственным
образом, число, называемое их произведением и обозначаемое аЬ,
так что при этом имеют место следующие свойства:
1) для любой пары чисел а и Ь аЬ=Ьа\
2) для любой тройки чисел а, Ь, с а(Ьс) = (аЬ)с-
3) существует число, обозначаемое 1 и называемое единицей, та-
кое, что 1 =#=0 и а • 1 =а для любого числа а;
. 4) для любого числа а=/=0 существует число, обозначаемое 1/а
и называемое обратным данному, такое, что а--—=1;
5) если а<Ь и с>0, то ас<Ьс-, если же а<Ь и с<0, то ас>Ьс.
4. Связь операций сложения и умножения. Для
любой тройки чисел а, Ь, с (а+Ь)с—ас+Ьс.
5. Свойство Архимеда. Каково бы нн было число а,
существует такое целое число л, что л>а.
6. Свойство непрерывности действительных
чисел. Принцип вложенных отрезков: для всякой системы вложен-
ных отрезков существует хотя бы одно число, которое принадлежит
всем отрезкам данной системы.
МНОЖЕСТВО ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ — см. Функции несколь-
ких переменных, Функция.
МНОЖЕСТВО ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ—см. Функции несколь-
ких переменных, Функция.
МНОЖЕСТВО, ИЗМЕРИМОЕ В СМЫСЛЕ ЖОРДАНА,—см.
Кубируемое множество.
МНОЖЕСТВО, ОГРАНИЧЕННОЕ СВЕРХУ,—см. Верхняя грань.
МНОЖЕСТВО, ОГРАНИЧЕННОЕ СНИЗУ,—см. Нижняя грань.
МНОЖЕСТВО СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА:
ОО
а) 2 ак (х — х^к с Действительными членами всегда
к=0
есть промежуток с концами х®— /? и х® + /?, где П — радиус сходи-
ОО
мости степенного ряда. Так, для степенного ряда —— М. с. с. р.
к2
к = 1
СО
VI х»
есть отрезок [—1, 1], для —----полуинтервал [—1, 1[, для
^^1
2** —интервал ]—1 Ц. В отдельных случаях М. с. с. р. (при
*=1
СО
/? = 0) есть точка х®, например для ряда 2 хк> или вся числовая
к=0
VI х*
прямая (при /?= оо), например для ряда
со
б) 2 сй (г — г®)* с комплексными членами нобщем слу-
4=0
чае есть круг /г — г® | < Н, где И — радиус сходимости ряда
М. с. с. р. могут принадлежать и некоторые точки окружности
\г—г®|=/?. М. с. с. р. может состоять из одной точки г=г® (если
Л = 0) или быть равным С (при /?=оо).
МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА — см. Интерполяционная формула
Лагранжа.
МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА НЬЮТОНА решения уравне-
ния I (х) =0. К иим относятся: метод секущих, метод хорд. Иногда
для вычисления корня применяют приближения по правилу
7(М _ . „
х„ ' г » хл — *--, п «» 0» 1» 2» . •.
л + 1 п /'(*•)
Геометрически это означает, что за *п+1 принимают абсциссу точки
пересечения с осью Ох прямой, проведенной через точку (хп, Цх„))
графика Г/ параллельно касательной к Г/ в точке (х0, Н*»))- Ско-
рость сходимости будет медленнее, чем в случае применения метода
Ньютона, однако объем вычислений иа одном шаге сокращается.
М. м. Н. прн решении систем уравнений состоят либо в однократном
обращении матрицы Якоби иа элементе Хо, либо в приближенной
замене частных производных в матрице Якоби разделенными разно-
стями.
МОДИФИКАЦИИ МЕТОДА ЭЙЛЕРА решения задачи
Коши для дифференциального уравнения у' => {(х, у),
у (х0) = у0, Хо<х<Х, могут быть получены из формулы
хп + к
у ( хп + Н) = у ( хп)+ / /(*. У(х))<1х
*п
(см. Метод Эйлера) применением различных приближенных формул вы-
числения интеграла в правой части. Например, применение формулы
трапеций дает следующие расчетные формулы:
н •
Уп + 1 *=• Уп + ( хп • Уп ) + / ( Хп + !• Уп + 1),
где *л + 1 = х» +А; ^ + 1 ='/(хл + 1); Уп°у(хп)> у*п + \^Уп +
+ НЦхп, уп). Погрешность этой формулы имеет порядок О (/г3)-
Применение формулы правых прямоугольников дает формулу уп +1 =»
= Уп ( хп + I > Уп + ! )• называемую неявной формулой Эйлера.
Локальная погрешность неявного метода Эйлера имеет порядок О (/г2),
однако этот метод является асимптотически устойчивым и не требует
ограничения на шаг. Реализация неявного метода осуществляется ите-
рационно: у^Р Уп+^(хп + 1 > Уп +1), * = 0. 1, 2, ..., где
У^п + г"* Уп* а прекращаются итерации, когда 8
(заданной точности); тогда + 1
МОДУЛЬ ВЕКТОРА—то же, что длина вектора.
МОДУЛЬ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ЧИСЛА —см. Абсолютная вели-
чина.
МОДУЛЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА г => а + 1Ь — число г = | г | =
= Уа2 + Ь2.
Геометрическим, к. ч. выражает расстояние от начала координат до
точки, изображающей число на комплексной плоскости. Свойства мо-
.—. __ 21 |21|
дуля:|г|» )г|, где г«= а—|гхг21 = |гх11г21; — = — ;
?2 |?2 I
|г"| “ |?Г} 1211 — | г21< / гх + г21< / 21 / + / г21; 121 (— / г2 <
<| 21 — 22 К I 21 / + | 22 |.
МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ. Моментом й-го поряд-
ка случайной величины 5 называется центральным моментом
к-го порядка — М (§—М%)А, абсолютным моментом к-го порядка —
М|^|А, центральным абсолютным моментом к-го порядка—М|§—
—(см. Математическое ожидание случайной величины, Матема-
тическое ожидание функции случайной величины). Таким образом,
математическое ожидание случайной величины есть ее момент пер-
вого порядка, а дисперсия — центральный момент второго порядка.
Формулы для вычисления М. с. в. получаются из формул для матема-
тического ожидания случайной величины, если положить в них функ-
цию /(х) равной соответственно хА, (х—МЪ)к, |х|* , |х—М||*.
МОНОТОННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — см. Числовая по-
следовательность, Существование предела монотонной ограниченной
последовательности.
МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ. Функцию Д заданную на множестве
X, называют возрастающей на X, если Ухь х2 € X, Х1<х2 => / (Х1) <
</(х2). Если при этом /(хх) </(х2), то функцию называют строго
возрастающей. Функцию / называют убывающей на X, если Ух1, х2 ё X,
Х1<х2 => /(Х1)>/(х2). Если при этом/(Х1)>/(х2), то функцию называют
строго убывающей. Возрастающие и убывающие функции называются
монотонными, а строго возрастающие и строго убывающие — строго
монотонными. (Часто используют иную терминологию: называют функ-
цию соответственно неубывающей, возрастающей, невозрастающей,
убывающей.)
Об исследовании функции на монотонность см. ст. Условия возра-
стания и убывания функций.
МОЩНОСТЬ КРИТЕРИЯ —см. Критерии согласия.
НАБЛА ОПЕРАТОР — см. Оператор Гамильтона.
НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ многочленов —
многочлен, который является их общим делителем и вместе с тем сам
делится на любой другой общий делитесь этих многочленов. Н. о. д.
определен с точностью до множителя нулевой степени, и поэтому
обычно считают, что старший коэффициент Н. о. д. равен единице.
Способ отыскании Н. о. д. двух многочленов см. в ст. Алгоритм после-
довательного деления многочленов. Способ отыскания Н. о. д. 5 мно-
гочленов вытекает из теоремы.
Т. Н.о. д. многочленов Л(х), /2(х), .... |«(х) равен Н. о. д. много-
члена (,(х) и Н. о. д. многочленов /1(х), /2(х), .... /,_|(х).
НАПРАВЛЕНИЕ— 1. Если два луча лежат на одной прямой, то
их называют одинаково направленными или сонаправленными, если
один из иих содержится в другом, и противоположно направленными,
если ни один из них не содержится в другом.
2. Если два луча параллельны, ио не лежат иа одной прямой, то
через их начала проводит прямую. Если лучи лежат в одной полупло-
скости, то оии сонаправлены, если в разных полуплоскостях — проти-
воположно направлены.
3. Множество всех лучей, каждый из которых сонаправлеи с од-
ним и тем же лучом, называетси Н.
Сонаправлениость лучей Й1 и й2 обозначают й|||/ц. Сонаправлен-
ность лучей обладает свойством транзитивности, т. е. если й1||й2 п
й2||йз, то й1||й3. Если А1 и й2 противоположно направлены, то
пишут Й1||Л2.
НАПРАВЛЕНИЕ ОТРЕЗКА — см. Направленный отрезок.
НАПРАВЛЕНИЯ НА ПРЯМОЙ. Одно из двух направлений на
прямой называют положительным (на рисунке его обычно обозначают
стрелкой). Противоположное направление называют отрицательным.
НАПРАВЛЕННЫЙ ОТРЕЗОК — отрезок оси, ограниченный дву-
мя точками, если указано, какая из заданных точек считается нача-
лом отрезка, а какай — концом. Направлением отрезка считают на-
правление от начала к концу. Н. о. называют также вектором. Н. о. с
началом в точке А и концом в точке В обозначают символом АВ. Две
точки А и В определяют два вектора: АВ и ВА. Не исключается из
рассмотрения и случай, когда точки А и В совпадают. В этом слу-
чае получается нулевой вектор, ие имеющий определенного направле-
ния. См. также Величина вектора, Длина вектора.
НАПРАВЛЯЮЩАЯ ЛИНИЯ линейчатой поверхно-
сти — линия, по которой движется точка прямой, описывающей эту
поверхность.
НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ ВЕКТОРА — косинусы углов
а, Р, у, образуемых этим вектором с положительными направлениими
осей координат Ох, Оу, Ог прямоугольной декартовой системы коор-
динат. Н. к. в. связаны соотношением соз2 а+соз2 р+соз2 у-=1. Если
вектор единичный, то Н. к. в. есть его координаты.
НАПРАВЛЯЮЩИЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ — любой ненулевой
вектор, параллельный данной прямой.
НАТУРАЛЬНОЕ ОСНОВАНИЕ — см. Число е.
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ—1. Для плоской
линии. Будем приписывать кривизне линии определенный знак,
вычисляя ее по формуле ^ =» , где а — угол, который образует
аз
касательная к линии с осью Ох, з — натуральный параметр. Н. у. л.
называются уравнения вида: а) к=к(з); б) В (к, «)=0; в) й=/г(<),
з=з(1). Если заданы Н. у. л., то параметрические уравнении линии
имеют вид: х= |соз а(з)Й5, р=^зш а(з)<18.
2. Для пространственной линии. Н. у. л. называются
уравнения к=к(з), х=х(«). Здесь к — кривизна, з— натуральный
параметр, х— кручение. Зиая Н. у. л., можно восстановить всю линию
с точностью до положения в пространстве.
НАТУРАЛЬНЫЙ ЛОГАРИФМ — логарифм по основанию е. Его
обозначают 1п; 1п х=1о(»«х (см. также Логарифмическая функция).
Деситичные и Н. л. связаны формулой 1^х=А4!пх, где М = 1^е="
•=0,43429... Число М называется модулем перехода от Н. л. к деся-
тичным.
НАТУРАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТР ЛИНИИ —см. Длина дуги ли-
нии.
НАЧАЛО КООРДИНАТ — см. Декартовы системы координат.
НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВ-
НЕНИЯ — уравнение вместе с начальными условиями (см. Задача
Коши).
НАЧАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЯ
СТРУНЫ — то же, что задача Коши для уравнения колебаний
струны.
НАЧАЛЬНО-КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛО-
ПРОВОДНОСТИ — задача нахождения решения и (I, х) уравнения
ди „ д>и
— = а2 —- в области />0, 0<х</, удовлетворяющего начальному
д( дх2
условию и „о0 «(О, х) =/(х), где / — заданная функция, и гранич-
ным условиям и |г_0 = А(0, и |х = / = В(1); А(1), В(1) — заданные
функции. Возможны и более общие краевые условия:
(ди \ I
а (/) — + ₽(/)« =А(/);
\ дх / |ж = о
/ ди . \ I
МО —+6(0“ =В(0,
\ дх 1 |х -I
где а, р, X, б — заданные функции.
НАЧАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ РЕШЕНИЯ — значения, которые
принимает решение при значении аргумента, выбранном за начало
отсчета. Н. з. р. х=х(1) при /=/0 записывают в виде х|»=ц =х((0).
Аналогично записывают начальные значения производных решения.
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ для дифференциального
уравнения (системы) — дополнительные условия, налагаемые
на решение уравнения (системы), отнесенные к одному и тому же
значению аргумента. Наиболее распространено условие Коши.
НЕВОЗМОЖНОЕ СОБЫТИЕ — см. Аксиомы теории вероятно-
стей.
НЕВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — см, Монотонные функции.
НЕВЫРОЖДЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — квадратич-
ная форма, матрица которой невырождеииая. Ранг Н. к.ф. равен чис-
лу переменных этой формы.
НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА —квадратная матрица, опреде-
литель которой отличен от нуля. Н. м. называют также неособенной.
НЕВЫРОЖДЕННАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — система линейных уравнений, определитель которой отличен
от нуля.
НЕВЫРОЖДЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПЕ-
РЕМЕННЫХ — см. Линейное преобразование переменных.
НЕВЫРОЖДЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР линейно-
го пространства Уп — оператор, матрица которого невырож-
денная.
Т1. Произведение двух Н. л. о. есть Н. л. о.
Т2. Для того чтобы линейный оператор / был невырожденным,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из следующих ус-
ловий: 1) / — автоморфизм; 2) ранг [ равен п; 3) Кег/={0};
4) /(У») = Уп', 5) дефект равен нулю; 6) [ всякий базис простран-
ства переводит в базис; 7) / всякую линейно независимую систему
векторов переводит в линейно независимую систему; 8) характери-
стический многочлен ( не имеет нулевых корней.
НЕЗАВИСИМЫЕ В СОВОКУПНОСТИ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИ-
ЧИНЫ — см. Независимые случайные величины.
НЕЗАВИСИМЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ. Случайные ве-
личины ..., называются независимыми в совокупности нлн про-
сто независимыми, если функция распределения случайного вектора
6= (5ь ••> ?") представима в виде
(х2) - ги (*»)>
Где —функция распределения случайной величины 5». Две дис-
кретные случайные величины § и г) со значениями соответственно
XI, х2, ..., X/, ... и уи у2, ..., Уз,... независимы тогда и только тогда, ког-
да при любых I, I
Р(1=Х{, ^ = У1)=Р^ = х<)Р(г}=у1).
Для того чтобы абсолютно непрерывные случайные величины г) с
плотностями рЕ (х), р1,(у) были независимы, необходимо и доста-
точно, чтобы существовала нх совместная плотность вероятности
% (х> У) и /’Ц У) = Р±. (х)₽ч (У)-
НЕЗАВИСИМЫЕ СОБЫТИЯ. События А и В называются Н. с.,
если Р(АВ)=Р(А)Р(В). Если А, В — Н. с. с ненулевыми вероятно-
стями, то Р(А\В)—Р(А), Р(В\А)=Р(В).
НЕИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПО-
РЯДКА ВЫШЕ ПЕРВОГО. В случае, если х является независимой
переменной, для дифференциала п-го порядка имеет место формула
йп[=[(”)(х)йхп. Если же х — промежуточная функция, то указанная
формула при п^2, вообще говоря, места ие имеет. Например, уже
для случая л=2 й2/=/"(х)Лх2+/'(х)сРх. Одиако формула <!”(=
*=1(пЧх)с1хп остается справедливой, если х— линейная функция.
Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных
также ие обладают иивариаитиостью формы.
НЕКОРРЕЛИРОВАННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ —см.
Ковариация случайных величин.
НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ—см. Взаим-
но обратные теоремы.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ —см. Необходимость.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА.
Если / дифференцируема иа отрезке ]а, Ь[ и ха € ]а. ЭД — точка ло-
кального экстремума, то хо— стационарная точка (т. е. /'(хо)=0).
Функция / может иметь локальный эстремум и в точке, в которой
Г ие существует. Таким образом, функция ( может иметь локальный
экстремум либо в своих стационарных точках, либо в точках, где
оиа иедиффереицируема.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Если точка а=(Ц|,
а2,..., ап) является точкой экстремума функции п переменных
и=/(хь х2, .... Хп) и функция ( дифференцируема в точке а, то все
частные производные функции ( в точке а обращаются в нуль, т. е.
д( д/ д{
-Ча) = 0, у- (а) = 0...... Ч- (а) = 0.
0X1 дх2 охп
Последние п условий равносильны условию <Ц(а)=О. Точка, в кото-
рой все частные производные функции / обращаются в нуль, называ-
ется стационарной точкой функции. Таким образом, точками, в кото-
рых возможен экстремум дифференцируемой функции, являются
стационарные точки. Отметим, что экстремум функции также возмо-
жен и в точке, где функция иедиффереицируема.
НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО РЯДА.
00
Для сходимости ряда У. аь необходимо, чтобы последовательность членов
А=1
(а ) этого ряда была бесконечно малой (т. е. Ит ап = 0).
' ' п—оа
НЕОБХОДИМОСТЬ. Если верно высказывание Р*=<2, т.-е. если
из истиииости <2 необходимо следует истинность Р, то Р называют
необходимым условием для <Э. Свойство Р, выраженное теоремой
Ре=<2, называют Н. Р для ($,
НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — см. Система линейных дифференциальных
уравнений.
НЕОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ —
система линейных уравнений, у которой хотя бы одни из свободных
членов отличен от нуля. Если АХ=В— Н. с. л. у., то однородную си-
стему АХ=О с той же матрицей А называют ее приведенной си-
стемой.
НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ — см. Линейное дифференциальное уравнение.
НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА — квадратичная
п п
•-М=3 2а.7х1х/
форма / (хь
которая йри действитель-
ных значениях переменных может принимать как положительные, так
и отрицательные значения. Нормальный вид Н. к. ф: ^ + ... +
+ У* —— ••• — У% где г—ранг квадратичной формы (г<л).
НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ— совместная
система, имеющая более одного решения. Н. с. у., как правило, имеет
бесконечно много решений, Н. с. линейных уравнений всегда имеет
бесконечно много решений.
НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, содержащее
более чем одно переменное. Н. у., как правило, имеет бесконечное
число решений.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ — выражения, предел
которых ие может быть найден непосредственно, с помощью теорем о
пределах, например отношение ((х)/§(х), когда / и § — бесконечно
малые (символическая запись 0/0) либо / и § бесконечно большие
(символически: оо/оо). Раскрытие неопределенностей вида 0/0, оо/оо
возможно после предварительного упрощения либо использовании
замечательных пределов, либо применения правила Лопиталя. Неко-
торые другие Н. в. (символически 0 • °°, ( + °°) —( + °°), 1“, 0°, оо°)
могут быть преобразованы к неопределенностям вида 0/0 или оо/оо.
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Совокупность всех первооб-
разных функции /, определенной на некотором промежутке X, назы-
вается Н. и. от функции / иа промежутке X и обозначается |/(х)йх.
Выражение {(х)<1х в этом случае называют подынтегральным выра-
жением, а /(х)—подынтегральной функцией. Если Р— некоторая
первообразная для /, то |/(х)йх=Е(х)+С, где С — произвольная
постоянная. Последнее равенство следует понимать как равенство
двух множеств.
Основные свойства Н. ил
- 1) УаГ(х)=/?(х)+С;
2) }(х)дх=1(х)дх;
3) 1(1(х)+в(х))<1х= 5 [(х)Лх+ 5е(х)<1х;
4) ]а/(х)Лх=а | Цх)дх, а=^=0.
Равенства 3 и 4 носят условный характер. Их следует понимать
как равенства правой я левой частей с точностью до произвольного
постоянного.
НЕОСОБЕННАЯ МАТРИЦА — то же, что невырожденная мат-
рица.
НЕПОЛНОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — см. Квадратное
уравнение.
НЕПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ — общее уравнение
Ах+Ву+Сг+О=0, у которого хотя бы один из коэффициентов
А, В, С, О равен нулю. Возможны следующие виды Н. у. п.:
1) 0=0; Ах+Ву+Сг=0— плоскость, проходящая через начало
координат;
2) А=0; Ву+Сг+О=0 — плоскость, параллельная оси Ох;
3) В=0; Ах+Сг+й=0 — плоскость, параллельная оси Оу;
4) С=0; Ах+Ву+Г>=0 — плоскость, параллельная осн Ог;
5) А=Д=0; Сг+О=0— плоскость, параллельная координатной
плоскости Оху;
6) А=С=0; Ву+О=0— плоскость, параллельная координатной
плоскости Охг;
7) в = С=0; Ах+О=0 — плоскость, параллельная координатной
плоскости Оуг;
8) д=в=д=0; Сг=0 (или г=0) — плоскость Оху;
9) А=С=О=0; Ву=0 (или у=0) — плоскость Охг;
10) В = С=Г>=0; Ах=0 (или х=0) —плоскость Оуг.
НЕПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости. Об-
щее уравнение прямой Ах+Ву+С=0 называется неполным, если
хотя бы одни из коэффициентов А, В, С равен нулю. Возможны сле-
дующие виды Н. у. п.:
I) С=0; Ах+Ву=0 — прямая, проходящая через начало коорди-
нат;
2) В=0; Ах+С=0— прямая, параллельная оси Оу;
3) А=0; Ву+С=0 — прямая, параллельная оси Ох;
4) В = С=0; Лх=0 (или х—0)—ось Оу;
5) А=С=0; Ву=0 (или </=0) —ось Ох.
НЕПОЛНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВО-
ГО ПОРЯДКА — уравнения Р(х, у') =0 и Р(у, у') =0, разрешимые в
квадратурах соответственно с помощью подстановок у'—и и у'=р.
НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ состоит в сведе-
нии интегралов от сложных выражений к табличным интегралам пу-
тем преобразования подынтегральной функции и использования
свойств неопределенного интеграла.
НЕПРАВИЛЬНАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — рациональ-
ная функция Р(х)/(Цх), для которой степень многочлена Р(х) боль-
ше или равна степени многочлена СЦх). Любую Н. р. ф. можно пред-
ставить в виде суммы многочлена и правильной рациональной
функции.
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
V ДИ-
^+ал-1(0-^ГГ+ ••• +“1(0-^- 4-ао(0«=/(П.
от начальных значений на промежутке Цс! — свой-
ство отклонения решений уравнения (I), состоящее в том, что для
любого е>0 существует б>0, такое, что
|Д|о| +|Д61|+...+ |Д5п-,|<б=>|Д(0 |^е, у/ €
Если 7, —отрезок [а, 6], то любое решение уравнения (1) непрерывно
зависит от начальных значений на этом отрезке.
НЕПРЕРЫВНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА —см. Абсолютно
непрерывная случайная величина.
НЕПРЕРЫВНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ш РАЗ ФУНКЦИЯ —
1) одного переменного — функция, имеющая непрерывную
производную порядка т (см. Производные высших порядков);
2) нескольких переменных — функция, у которой все
частные производные порядка т непрерывны (см. Дифференцируе-
мость функции нескольких переменных, Частные производные высших
порядков ).
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Вектор-функция на-
зывается непрерывной в точке А4Э, если Птг(М) —г(Ма). Функция,
непрерывная в каждой точке множества V, называется непрерывной
иа множестве 1У. Если функции г,(М), 1=1, 2, 3, и {(М) непрерывны
в точке Мо, то в этой точке непрерывны также функции Г1(М)±Гг(М),
[Г1(М), 72(М)1, п(Л4) 72(М), ^(М)72(М)^(М), цм)^(М).
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ
ПАРАМЕТРА. Если функция /(*, у) непрерывна в прямоугольнике
ь
О = {(х, у) | а^х^Ь, с^у^Л}, то Р(у) = | / (х, у) Лх является не-
а
прерывной на отрезке [с, Л] функцией у. Если функция {(х, у) непре-
рывна в прямоугольнике Е), а функции <р и ф непрерывны иа [с, 4]
и множество значений функций <р и ф принадлежит отрезку [а, Ь], то
тМлО
интеграл Цу) = ] /(*, У) Лх представляет собой непрерывную иа от-
чг<»>
резке (с, 4] функцию.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНК-
ЦИИ. Каждая основная элементарная функция непрерывна на мно-
жестве своего задания.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СЛЕВА, СПРАВА —См. Односторонняя
непрерывность.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ, ЧАСТНОГО
ФУНКЦИИ, СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ — см. Свойства функций, непре-
рывных в точке.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ СУММЫ СТЕПЕННОГО РЯДА. Сумма
00
степенного ряда Ха&(х—Хо)к непрерывна на интервале его сходнмо-
А» == О
стн, т. е. на промежутке ]х0-7?, Хо+#[, где 7? — радиус сходимости,
а также односторонне непрерывна в концевых точках этого интер-
вала, если они принадлежат множеству сходимости степенного ряда.
Если К=<», то сумма степенного ряда есть функция, непрерывная
на всей числовой прямой.
00
Сумма степенного ряда 2 ск (г — г0)к с комплексными членами есть
*=о
функция, непрерывная внутри круга сходимости | г — го | <7? этого ря-
да, где 7? — радиус сходимости.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. Пусть функция } опре-
делена на некоторой окрестности С/ (а) точки а. Функцию / называют
непрерывной в точке а, если Пт/(х) существует и равен /(а), т. е.
Уе > 0 Яб = б(е) > 0, Ух, х € 1/(а), /х — а|<б=>/ /(х) —Да) / <е.
Критерий непрерывности: для непрерывности функции / в точке а не-
обходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности (хя ),
х„€С/(а), хп -> а, выполнялось условие /(хя )->/(а) при л->оо.
См. также Свойства функций* непрерывных в точке.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
в области вплоть до границы. Функцию / называют непре-
рывной в области О вплоть до ее границы дО, если для каждой точ-
ки а С ОЦдО выполняется равенство Нт /(г) = /(а), где р0(г,
РО (г, а)-»0
а) — расстояние между точками г и а по области О, т. е. ро(г, а) =
= шГ /(у), /(у) — длина кривой у, соединяющей точки г и а, а нижняя
грань берется по всем кривым у, соедвняющнм точки г и а и лежа-
щим в области О.
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Пусть / — функция п переменных, определенная иа множестве X евкли-
дова л-мериого пространства К", и точка а б X является предельной
точкой множества X. Функция / называется непрерывной в точке а,
если предел этой функции в точке а существует и равен значению
функции в точке а, т. е. 1!т/(х) =/(а). Другими словами, функция
х -а
/непрерывна в точке а. если Уе > О, Эб8 >0, Ух€Х, р (х, а) <
=> | /(х) — /(а) | (р (х, у) — расстояние между точками х и у).
Функцию / называют непрерывной на множестве X, если она непре-
рывна в каждой точке этого множества.
НЕПРИВОДИМОЕ УРАВНЕНИЕ над числовым полем
Р—алгебраическое уравнение /(х)=0, где /(х)—неприводимый
многочлен над полем Р.
НЕПРИВОДИМЫЙ МНОГОЧЛЕН — см. Приводимый много-
член.
НЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ—то же, что
совместная система уравнений.
НЕРАВЕНСТВО КОШИ —БУНЯКОВСКОГО —см. Длина век-
тора.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА —см. Длина вектора, Мет-
рическое пространство.
НЕРАВЕНСТВО ЧЕБЫШЕВА. Если случайная величина & имеет
дисперсию то при любом в > 0 имеет место неравенство Р (| $ —
— > е) < —, называемое Н. Ч.
е3
НЕСМЕЩЕННАЯ ОЦЕНКА — см. Оценка неизвестного парамет-
ра распределения.
НЕСОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ —см. Вращение.
НЕСОБСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ —см. Движение.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА. Пусть функ-
ция / определена и ие ограничена иа полуинтервале [а, и интегри-
руема в смысле Римана иа любом отрезке [а, т|], а < т) < Ь, т. е. су-
ществует интеграл Р (т]) = Дх) Лх. Предел
а
Иш Е(т]) = Нт (/ (*) Лх
ц—Ь—О Ч—Р—О а
называют
функции
Ь
Н. и. в. р. (несобственным интегралом от неограниченной
иа конечном промежутке) от функции / н обозначают симво-
лом ]" /(х) Лх. Если указанный предел существует и конечен, то гово-
рят, что несобственный интеграл | /(*) Лх сходится. Таким образом,
а
в случае сходимости
] Дх) Лх<=- Нт ? Дх) Лх.
а
ь
Если же Нт Е(г]) не существует либо бесконечен, то Г Дх) Лх иазы-
ч—ь—о о
вают расходящимся. Аналогично определяются несобственные' интегра-
лы, если функция / не ограничена около точки а либо в окрестности
точки с€]щ Ь[. Первый из этих интегралов определяется как
Нт Г Дх) Лх, второй — как предел
П-а+О ц
Пт
Ч.-с-О
П.-с+О.
) /(*) |М <1*),
если Щ-*с — Он Ча-*с + 0 независимо друг от друга. Во всех случаях
ь
для обозначения Н. и. в. р. используют символ Г [(х) Лх. Из послед*
него определения вытекает, что если сходятся интегралы I /(х) Лх и
| Дх) Лх, то сходится и интеграл /(х) Лх, и справедливо равенство
| /(х) Лх «= у Дх) Лх + ]' /(х) Лх.
См. также Вычисление и преобразование несобственных интегралов
второго рода, Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
второго рода, Свойства несобственных интегралов второго рода.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА ОТ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. Пусть функция ( определена и не-
отрицательна на полуинтервале [а, б[, ие ограничена около точки Ь и
интегрируема в смысле Римаиа иа любом отрезке [а, т)], 0 < т) < Ь.
ь
Для сходимости несобственного интеграла Г /(х) Лх необходимо и до-
статочно, чтобы интегралы Г /(х) Лх были ограничены в совокупности,
т. е. ИМ > 0, что для Ут), а »1 < Ь, Г /(х) Лх < М.
См. также Теоремы сравнения для несобственных интегралов вто-
рого рода. Степенной признак сходимости несобственных интегралов
второго рода.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
Пусть функция / определена иа множестве {(х, у) | а < х < Ь, у € V},
где У — числовое множество, —оо < а < Ь < 4~оо, и функция / при
каждом у$У интегрируема по х на [а, й] в несобственном смысле (при
некоторых у может быть интегрируема по Риману). Тогда интеграл
ь
/ /(*, У) ^х называется Н. и. з. о. п. Среди интегралов различают несоб-
а
ственные интегралы первого рода, зависящие от параметра, когда
ь
У !(х,у) дх при каждом фиксированном у € У представляет собой несобст-
а
венный интеграл первого рода (т. е. либо а = —оо, либо й=+оо,
либо то и другое вместе), и несобственные интегралы второго рода,
ь
зависящие от параметра, когда | КХ>У) ПРИ каждом фиксированном
а
у (У (или хотв бы при некоторых у (У) является несобственным ин-
ь
тегралом второго рода. Если интеграл Р(у) = У / (х, у) дх сходится при
а
каждом у € У, то его называют сходящимся на множестве У. См. так-
же Сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра.
Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕОГРАНИЧЕННЫХ
ФУНКЦИЙ — см. Несобственные интегралы второго рода.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА. Пусть функ-
ция / определена иа промежутке {а, и интегрируема в смысле
Римана на любом конечном промежутке [а, А], т. е. существует интег-
А А
рал Г(А) => Г 1(х) дх. Предел Нт Р(А) = 1йп Г }(х) дх называют
п Л-4-00 А-+<о“
Н. н. п. р. (несобственным интегралом по бесконечному промежутку
|а, +оо[) от функции / и обозначают символом ] Цх)дх. Если ука-
а
ванный предел существует и конечен, то говорят, что несобственный
+«
интеграл у 1(х)дх сходится. Таким образом, в случае сходимости
а
+оо А
Г 1(х) Лх » Пт Г /(х) дх.
1 Лм. + <х>^
+<»
Если же Пт Р(А) не существует либо бесконечен, то Г /(х) дх на-
А->-+а> Ъ
зывают расходящимся. Аналогично определяются несобственные интег-
ралы по промежуткам ]—оо, й] и ]—оо, 4-оо[. Первый из этих интег-
ь
ралов определяется как предел Нт Г /(х) 4х н обозначается симво-
Л-~°° А
Ь +оо
лом | /(х) дх, интеграл же | /(х) йх—как
—00 —оо
А
Пт Г /(х) дх,
Л-»-4-оо ь
В->—оо
если А-> 4 оо и — оо независимо друг от друга. Из это-
го определения вытекает, что если для некоторого действнтельио-
а
го числа а сходится каждый из несобственных интегралов у /(х) дх и
4-оо Ц-со
| /(х) <1х, то сходится и несобственный интеграл | /(х) 4х, причем
а —со
справедливо равенство
4-оо а 4-со
| Дх)<1х«= у Цх)дх + У 1(х)дх.
—со — со а
См. также Вычисление и преобразование несобственных интегралов
первого рода, Критерий Коши сходимости несобственного интеграла
первого рода, Свойства несобственных интегралов первого рода.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА ОТ
НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. Пусть функция / определена и не-
отрицательна на промежутке [а, +оо[ и интегрируема в смысле Римана
на любом отрезке [а, А]. Для сходимости несобственного интеграла
4-оо А
У Дх) дх необходимо и достаточно, чтобы интегралы | Дх) дх были
а а
А
ограничены в совокупности, т, е. ИВ > 0, что УЛ > а=» | /(х)<1х < В.
а
См. также Теоремы сравнения для несобственных интегралов первого
рода. Степенной признак сходимости несобственных интегралов пер-
вого рода.
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ ПРЕ-
ДЕЛАМИ— то же, что несобственные интегралы первого рода.
НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ — обобщение понятия опреде-
ленного интеграла на случай, когда промежуток интегрировании
является бесконечным (т. е. представляет собой промежуток одного
из типов ]—оо, +оо[, [а, +оо[, ]—оо, &]) либо подынтегральная функ-
ция является неограниченной в окрестности некоторых точек области
интегрирования. Возникающие при этом обобщении интегралы приня-
то называть Н. и. соответственно первого нлн второго рода. Рассмат-
риваются также интегралы, когда и промежуток интегрирования
бесконечен, в функция ие ограничена в окрестности некоторых точек.
Такие интегралы в силу аддитивности интеграла сводятся к несобст-
венным интегралам первого и второго рода.
НЕСОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ, противоречивая
система уравнений,— система, не имеющая решений.
НЕСОВМЕСТНЫЕ СОБЫТИЯ — см. Операции над событиями.
НЕСУЩЕСТВЕННАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА ЛИНИИ — см. Каса-
тельная прямая.
НЕТРИВИАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТО-
РОВ— см. Линейная комбинация векторов.
НЕУБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — см. Монотонные функции.
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕН-
ЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ — см. Устойчивость решений линейного
дифференциального уравнения.
НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ —см. Погрешность.
НЕЧЕТНАЯ ПЕРЕСТАНОВКА — перестановка с нечетным чис-
лом инверсий.
НЕЧЕТНАЯ ПОДСТАНОВКА—подстановка, у которой четно-
сти верхней и инжней строк (перестановок) противоположны. Иначе,
Н. п. — подстановка, у которой общее число инверсий в двух ее сгро-
ках нечетно. Число Н. п. л-й степени равно числу четных, т. е. равно
_1_ л|. См. также Транспозиция.
НЕЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — см. Четные и нечетные функции.
НЕЯВНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ— см. Способы ана-
литического задания поверхностей.
НЕЯВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ —см. Способы аналитичес-
кого задания линий.
НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. Пусть переменная и, являющаяся функ-
цией переменных хь хг, .... хп, задается посредством функционального
уравнения Г(х1, ха, ..., хп, и) =0. В этом случае говорят, что и как
функция аргументов Хь ха, ..., х„ задана неявно, а саму функцию и
называют Н. ф. Н. ф. могут задаваться н посредством системы функ-
циональных уравнений. См. также Теоремы существования решений
функционального уравнения, Теоремы существования решений систе-
мы функциональных уравнений.
НИЖНЯЯ ГРАНЬ, нижняя граница. Число А называют Н. г.
числового множества ЕаЯ., если Ух, х € Е =» х А. Множество назы-
вают ограниченным снизи, если у него есть Н. г.
НИЖНЯЯ ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА —см. Треугольная мат-
рица.
НОРМА — см. Нормированное пространство.
НОРМАЛЬ—1) Н. к линии в данной ее точке — прямая,
проходящая через эту точку и перпендякуляриая к касательной
прямой.
Плоская линия в каждой своей точке имеет единственную Н.
В зависимости от способа аналитического задания уравнение Н. имеет
вид: для векторно-параметрического уравнения г=г(1)
(р-г7/))-Р(0=0;
для параметрических уравнений х=х(/), у=у(1)
(Х-х(())х'(() + (У-у(())у'Ю=0;
для явного уравнения у=)(х)
Х-х+(У-/(х))/'(х)=0;
для неявного уравиеиня Р(х, у)=0
Х — х ~ У —У
у) Гу(х, у)
Пространственная линия в каждой своей точке имеет бесконеч-
ное множество Н., лежащих в нормальной плоскости. Две из них —
главная Н. и бинормаль — выделяются особо.
2) Н. к поверхности в данной ее точке — прямая, прохо-
дящая через эту точку и перпендикулярная к касательной плоскости
в этой же точке поверхности.
В зависимости от способа аналитического задания поверхности
уравнение Н. имеет вид: для векторно-параметрического уравнения
г«=г(и, о)
р=г(и, о) +Л[ги, г,];
для параметрических уравнений х=х(и, о), у=у(и, о), г—г(и, о)
Х-х(и, о) У — у (и, о) 1 — г (и, о)
Уи г« У» гь ги хи гь хь хи Уи Хи Уа
для явного уравнения г = /(х, у) х — х у —у г. д//дх дЦбу -}(* У) -1
для неявного уравнения Р (х, у, г) = О
X — х У — У I — г
Р'х = 6 = р'г
Иногда Н. называют также нормальный вектор к поверхности.
НОРМАЛЬНАЯ КРИВИЗНА линии на поверхности —
кривизна нормального сечения. Н. к. кп вычисляется по формуле
ЬЛи* + 2Мйийо + фг йг • й т
ЕЛи1 + 2 Ейи&> + Ойо2 Ф1 йа2
где Ф1 и фа —соответственно первая и вторая основные квадратичные
формы поверхности. См. также Формула Эйлера.
НОРМАЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ пространственной ли-
иии в данной ее точке — плоскость, проходящая через эту
точку и перпендикулярная к касательной прямой в той же точке.
Для векторно-параметрического уравнения линии г=г(<) уравнение
Н. п. есть
(р-г) ./-'=0,
а для параметрических уравнений х=х(/), у=у(1), г=г[() —
(Х-х)х'ц- (У—у)у'+ (2-г)г'~0.
Если линия задана в неявном виде
Р(х, У, г)=0; 1
Ф(х, у, г)-0, }
то уравнение Н. п. есть
НОРМАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ —см. Ортонор мирован-
ная система функций.
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ — см. Система дифференциальных уравнений.
НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — см. Система линейных диффе-
ренциальных уравнений.
НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Говорят, что абсолютно
непрерывная случайная величина распределена по нормальному зако-
ну с параметрами а, а (о>0), если
1 / (х-о)’\
(х) => ехр —-------I.
оД/ 2 я \ 2 о* /
Нормальный закон распределения называют еще законом Гаусса.
Если а«=0, о=1, то Н. р. называется стандартным. Если случайная
величина | распределена нормально с параметрами а, а, то ее можно
представить в виде 5=о^о+о, где — случайная величина, имеющая
стандартное Н. р.
Математическое ожидание, дисперсия и характеристическая
функция случайной величины, распределенной по нормальному зако-
ну с параметрами а, а, равны соответственно М%=а, Ос,—о1,
I о2/2 \
Д (0-ехр .
НОРМАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ—линия пересече-
ния поверхности плоскостью, проходящей через нормаль к поверх-
ности.
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ — х соз а + у соз 0 +
4- г соз у — р =• 0, где а, 0, у — соответственно углы между осями
координат Ох, Оу, Ог и направленным отрезком ОР (Р — основание
перпендикуляра, проведенного из начала координат О на данную плос-
кость); р — длина отрезка 1ОР/. Чтобы привести общее уравнение
плоскости Ах Ву 4- Сг 4- О = 0 к нормальному виду, следует умно-
жить его на число Х = ± гт=======, знак которого необходимо
V А2 + о2 + С2
выбрать противоположным знаку О (при 0 = 0 знак X выбирается про-
извольно). X называют нормирующим множителем плоскости.
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ —
хсоза 4-»/81П а — р = 0, где а —угол между осью Ох и направ-
>
ленным отрезком ОР (Р— основание перпендикуляра, проведенного нз
начала координат О на данную прямую); р — длина отрезка |0Р|.
Чтобы привести общее уравнение прямой Ах 4- Ву 4* С => 0 к нормаль-
ному виду, следует умножить его иа число X = + ~|/~ д* _|_ Цг' знак
которого необходимо выбрать противоположным знаку С (при С = О
знак X выбирается произвольно). X называют нормирующим множите-
лем прямой.
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОРК ПОВЕРХНОСТИ. Вектор т, прове-
денный в точке Мо гладкой поверхности 5 и ортогональный касатель-
ной плоскости к поверхности в точке Мо, называют нормалью к по-
верхности 3 в точке Ма. Вектор п= называют единичным векто-
и
ром нормали. Если г=Ф(и, о) — векторное уравнение поверхности,
Ф(и, ч) = (Ф1(и, V), Ф1(и, о),Ф3(и, «)), то единичный вектор нормали
в точке Ма имеет вид
[ ги - го ] Л?+ + СТ
± | ри, \ ] | ±Ула + в2 + с2
где
дф3 дФз
ди ди
дФз дФ3
ди ди
Направляющие косинусы нормали находят по формулам!
А „ В
соз а =----------------—: сов р —.............. .
±у А2 + В2 + С2 ±у Л2 + В24-С»
с
сов у =---
±У А2 +В2 + С2
где а, р, у — углы, которые составляет нормаль с положительными
направлениями осей Ох, Оу, Ог соответственно. Уравнение нормали
имеет вид
(р* — • 7„-=0;
где р~(х, у, г)—радиус-вектор переменной точки нормали; г0 — ра-
диус-вектор точки Мо. Если поверхность задана уравнением г—Цх, у)
и функция I дифференцируема в точке (*«, уп), то Н. в. к п. в точке
(*о, Уп, *<>), где г0=)(х0, у0), есть
т = — (х0, Уп), — (х0, «/»), — 1 ,
\дх ду I
а уравнение нормали к поверхности в этой точке имеет вид
х — х0 У — Уп _ г — гп
д( . . = д( “ -1 '
— (х0, Уп) — (х0, Уп)
дх ду
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ — любой ненулевой
вектор, перпендикулярный к плоскости. Например, в общем уравне-
нии плоскости Ах+Ву+Сг+О—Ъ в декартовой прямоугольной систе-
ме координат вектор п= (А, В, С) является Н. в. п.
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПРЯМОЙ на плоскости — любой
ненулевой вектор, перпендикулярный к направляющему вектору
прямой. Если прямая задана общим уравнением Ах+В»/+С=0, то в
декартовой прямоугольной системе координат вектор п=(А, В) яв-
ляется Н. в. п.
НОРМАЛЬНЫЙ ВИД КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ. 1. Над полем
действительных чисел. Всякая действительная квадратичная
форма с помощью действительного невырожденного линейного преобразо-
вания переменных может быть приведена к виду е± у\ + ег + • • • +
+ ег (е; =+!, г—ранг квадратичной формы), который называ-
ется Н. в, к. ф. Число положительных и отрицательных квадратов оп-
ределяется однозначно (см. Закон инерции).
2. Над полем комплексных чисел. Всякая комплекс-
ная квадратичная форма с помощью комплексного невырожденного
линейного преобразования переменных может быть приведена к виду
у? 4- у^ +...+ у? (г — ранг квадратичной формы), который называется
Н. в. к. ф.
НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ—см. Нормальное
распределение.
НОРМИРОВАННАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ —см. Ортонорми-
рованная система функций.
НОРМИРОВАННАЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕ-
НИЙ однородной системы линейных уравнений —
см. Фундаментальная система решений однородной системы линей-
ных уравнений.
НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО. Линейное пространство Л
называется нормированным, если на множестве его элементов опре-
делена действительная функция, называемая нормой (обозначение // х ||,
х{Ь), которая удовлетворяет следующим аксиомам.
А1. || х || > 0 для Чх^Ь, причем ||х|| = 0 тогда и только тогда,
когда х = О.а
Л2. ||ах|| = |а| ||х||, Ух€Ь, а —число.
АЗ. || х + у || < II х|| -I- || у ||, Ух, у € Ь.
Значение нормы на элементе х называется нормой элемента х
или длиной. В любом нормированном пространстве может быть вве-
дена естественная метрика по правилу р(х, у)=||х—1/Ц.
НОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС (при 1=1л) однородного ли-
лейного дифференциального уравнения
йпг д'1—1 г йг
^ + ач-1 (О •..+«! (О — + 00(1)2-0
есть его базис гЛ (I, /о), 1, 2,..., п, обладающий тем свойством,
что (/о, 1л) = 1, Цо. 1л) — 0 при к #= /. Решение задачи Ко-
ши г(‘> (1л) =" 5/ ( = 0, 1,..., п—1, с помощью нормированного
базиса представимо в виде
г = г (1) — 5о г1 (1, 1л) + 51 (1, 1а) + ... + 5л _ 1 г„ Ц. 1л)-
Если а* — постоянные и г*(/) —базис, нормированный при /=0, то
решением указанной задачи Коши является
2=2(1) =§о21 (1—1л) +^<22(1—1л) +—+^п-12п (1—1л)-
НОРМИРОВАННЫЙ ВЕКТОР — то же, что единичный вектор.
НОРМИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ПЛОСКОСТИ —см. Нор-
мальное уравнение плоскости.
НОРМИРУЮЩИЙ МНОЖИТЕЛЬ ПРЯМОЙ —см. Нормальное
уравнение прямой.
НУЛЕВАЯ МАТРИЦА— матрица, все элементы которой равны
нулю. Н. м. обычно обозначают буквой О. Если необходимо указать
размеры НЛИ ПОрЯДОК, ТО ПИШуТ ОтХп илн Оп.
НУЛЕВОЙ ВЕКТОР — вектор, начало и конец которого совпада-
ют. Обозначение: 0, 0 или 0. Длина Н. в. равна нулю. Н. в. ие имеет
определенного направления. В линейном пространстве Н. в. как эле-
мент этого пространства вводится аксиоматически.
НУЛЕВОЙ МНОГОЧЛЕН. Число 0 обычно считают многочленом
и называют Н. м. Это единственный многочлен, степень которого ие
определена.
ОБЛАСТЬ в Кп — открытое связное множество. Замыкание от-
крытого множества называется замкнутой О.
ОБЛАСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА } линей-
ного пространства V — множество } (V), т. е. образ множест-
ва V при действии линейного оператора /. /(V) образует подпростран-
ство пространства V. Его размерность называют рангом линейного
оператора.
Т1. Ранг линейного оператора равен рангу матрицы линейного
оператора.
Следствие. Ранги подобных матриц равны.
Т2. Сумма ранга линейного оператора и его дефекта (см. Ядро
линейного оператора) равна размерности линейного пространства.
ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ —см. Функции не-
скольких переменных, Функция.
ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА. Пусть
функции ий(х), определены на множестве Е с й. Множество
СО
всех точек из Е, для которых ряд 2 «д (х) сходится, называется мно-
к=1
ОО
жеством или о. с. ф. р. 2 “д (х).
ОБОБЩЕННАЯ ЖОРДАНОВА МАТРИЦА —см. Обобщенная
жорданова нормальная форма матрицы.
ОБОБЩЕННАЯ ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТ-
РИЦЫ. Над полем действительных чисел ие всякая квадратная мат-
рица имеет жорданову нормальную форму, ибо есть действительные
матрицы с комплексными корнями характеристического многочлена.
Для этих матриц существует другая нормальная форма — О. ж. и. ф. м.
Пусть №+р\+ц — многочлен с коэффициентами из К, неприво-
димый иад К, ౫Р— его корни. Матрица
С Е О ... О О
О С Е ... О О
10 О О ... С Е I
\ О О О ... О С /
где Е и О — единичная и нулевая матрицы второго по-
рядка, называется обобщенной клеткой Жордана.
Клеточно-диагональная матрица
(А1 О ... О \
О А, ... О ]
каждая диагональная клетка А, которой есть клетка Жордана
или обобщенная клетка Жордана, называется обобщенной жордано-
вой матрицей.
Если В — произвольная действительная квадратная матрица, а
А — обобщенная жорданова матрица, подобная матрице В, то мат-
рица А называется О. ж. н. ф. м. В.
Т. Всякая квадратная матрица иад полем действительных чисел
подобна некоторой обобщенной жордановой нормальной форме, ко-
торая определяется однозначно с точностью до порядка расположе-
ния ее клеток иа главной диагонали.
Эту теорему иа геометрическом языке можно сформулировать
так:
Т'. Для любого линейного оператора действительного линейного
пространства существует базис, в котором матрица оператора имеет
О. ж. и. ф. м.
Схема построения для данной матрицы ее О> ж. и. ф. м. аналогич-
на построению жордановой нормальной формы матрицы.
ОБОБЩЕННАЯ КЛЕТКА ЖОРДАНА —см. Обобщенная жор-
данова нормальная форма матрицы.
ОБОБЩЕННОЕ ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
УРАВНЕНИЕ первого порядка — уравнение Р(х, ц)дх+
+0(х, у)ду=О при условии существования числа к, такого, что вы-
ражение Рдх+(}ау становится однородной функцией (некоторой сте-
пени т) относительно величин х, у, дх, ду, если эти величины счи-
тать величинами измерения соответственно 1, к, 0, к—1. О. о. д. у.
подстановкой у=их1' приводится к уравнению с разделяющимися пе-
ременными.
ОБОБЩЕННЫЙ ГАРМОНИЧЕСКИЙ РЯД —см Гармониче-
ский ряд.
ОБОБЩЕННЫЙ МНОГОЧЛЕН Рп(х)—линейная комбинация
с постоянными действительными коэффициентами непрерывных ^на
некотором множестве Б линейно независимых функций фо, <рь .... <₽п,
т. е.
п
Рп (х) = 2 Фа (*)•
/?== и
со
ОБОБЩЕННЫЙ СТЕПЕННОЙ РЯД — ряд вида 2 скхк,
к=0
со
Ф 0, где р — заданное число, а степенной ряд 2 ск хк сходится иа
А?«“0
некотором интервале ] — К, /?[. Если р € { 0, 1, 2,... ), то О. с. р.
представляет собой обыкновенный степенной ряд.
О. с. р. обладают многими свойствами обычных степенных рядов:
1) совпадение сумм двух О. с. р. рассматриваемого вида равно-
сильно совпадению соответствующих коэффициентов;
2) на любом отрезке [а, 0] <= ]0, /?[ О. с. р. сходится абсолютно и
равномерно;
3) два О. с. р. одного и того же вида можно перемножать обыч-
ным способом на интервале, на котором они оба сходятся; произве-
дением является О. с. р ;
4) сумма О. с. р. обладает иа интервале ]0, /?[ производными лю-
бых порядков.
Наряду с О. с. р. рассматриваются формальные О. с. р.
ОО
ж** 2 ап х"’ Д®я которых ие ставится вопрос о сходимости и различ-
п=0
ные действия определяются без использования понятия суммы ряда.
О. с. р. находят широкое применение прн интегрировании обыкновен-
ных дифференциальных уравнений.
ОБРАЗ ЭЛЕМЕНТА, МНОЖЕСТВА, ВЕКТОРА при отобра-
жении — см. Отображение.
ОБРАЗУЮЩАЯ ЛИНИЯ линейчатой поверхно-
сти — прямая, пересекающая при своем движении данную лннню
(направляющую) и образующая линейчатую поверхность.
ОБРАТНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ — см. Символика математической
логики.
ОБРАТНАЯ МАТРИЦА. Матрица В называется обратной квад-
ратной матрице А, если АВ=ВА = Е. Для того чтобы существовала
матрица, обратная матрице А, необходимо и достаточно, чтобы мат-
рица А была невырожденной. Для невырожденной матрицы сущест-
вует единственная О. м. О. м. обозначают А-1:
(Ап Д21 ... ЛЛ1 \
Ац ^22 • • • А12 I
'
^1п ^2п • • •......А/гп '
где Ац — алгебраические дополнения элементов а-ц матрицы А.
Свойства О. м.: /А—1|= —~; (А~х)г = (Аг)—(А—1)—х=
I А/
= А; (АВ)-х = В-‘ А-1.
О. м. удобно находить с помощью следующей теоремы.
Т. Если к единичной матрице порядка п применить те же эле-
ментарные преобразования только над строками и в том же порядке,
с помощью которых невырожденная матрица А поридка п приводится
к единичной, то полученная при этом матрица будет обратной матри-
це А. (При этом удобно записывать матрицы А и Е рядом через
черту (В=(А|Е)) и производить над строками матрицы В такие
элементарные преобразования, чтобы А перешла в Е. Тогда Е пе-
рейдет в А-1; (с|А-‘).)
ОБРАТНАЯ ПОДСТАНОВКА для подстановки / — подстановка #
тон же степени, такая, что /§=§/= е, где е — тождественная под-
становка. Обычно О. п. для / обозначают /—х. Очевидно, что для под-
становки /=(«, а2;:: ая)°-п- /-1 =( “* ?;;; “")•
ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА —см. Теорема.
ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. Пусть на множестве X задана функция / и
каждому х € X отвечает только одно у С У, причем для каждого у еУ
существует х=='§(у)€Х, такое, что у = /(х). Функция д называется
О. ф. для /. О. ф. часто обозначают /—г. Справедливы соотношения:
П (/-!) = Е (/); Щ/-1)-^/); «/ = /(%), }~1(у)^х, Ухюцу,
Г-ЦЦхуу^х, Ух€П(/); /(/-1 («/)) = у, ЧуеВЦ-').
Если / строго монотонна и непрерывна на О(/) =]а, Ь[, причем
Е(/)=]Л, В[, то на интервале ]А, В[ существует строго монотонная
непрерывная О. ф.
ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ —см. Преобразова-
ние Фурье.
ОБРАТНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Обратной ддя ги-
перболического синуса у — «Ь х служит функция у = 1п (х + V*5 + 0 =
«= агзЬ х — ареа-синус. В (агзЬ) => К, Е (агсзЬ) =К, функция нечетная,
возрастает, (агзЬ х)' <= .—.
Обратной для гиперболического косинуса у = сЬ х является
функция у =. 1п (х "|/*2 — 1 ) •= агсЬ х — ареа-косинус. В (агсЬ) =
«= [1, +°о[, Е (агсЬ) — [0, -|-оо[, функция возрастает, (агсЬхУ =
1
Обратной для гиперболического тангенса у = <Ь х является функ-
1 । 4- х
ция у = — 1п-------- = аг111 х — ареа-тангенс. В (аг(Ь) = ] —1; 1[,
2 1 —х
I
Е (аг(Ь) = В, (аг(йх)' = —---—, функция нечетная, возрастающая.
Обратной для гиперболического котангенса (с1Ь х) для х > 0 слу»
ЖИТ
. I . х + 1
функция у = 1п —--------
= агс111 х — ареа-котангевс.
Функция
нечетная, убывает на промежутках ]—оо, —1[ и ]!, -|-оо[.
См. также [2].
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ —см. [2].
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМ-
ПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ о»=Агс81пг, и»=Агссозг, и»=Агс(^г,
а»=Агсс1§;г определяются как обратные к соответствующим триго-
нометрическим функциям. Все эти функции бесконечнозначны и мо
гут быть выражены через логарифмическую функцию:
Агсзш г = — Еп ( 1г 4- V1 — г* );
Атссоз г = — Еп ( г + ~Угг — 1);
, . 1 . 1 *Ь
Агсгц г = —г Еп-----—•
е 2/ 1 — 1г
. , 1 Г г 4~ *
Агссш г => — Еп---
е 21 г—1
ОБРАТНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР. Линейный оператор ф на-
зывается обратным данному линейному оператору ( линейного прост-
ранства Уп , если для любого вектора х € Уп имеют место равенства
(/°Ф) (Т) = (ф°/) (7) =Т, (1)
т. е. /офифо/ — тождественные операторы.
Очевидно, что если ф является обратным /, то / будет обратным
Ф, поэтому операторы / н ф, удовлетворяющие условию (1), называ-
ются взаимно обратными линейными операторами.
Если операторы / и ф имеют в некотором базисе соответственно
матрицы А н В, то нз условия (1) следует, что АВ=ВА=Е, т. е.
А и В — взаимно обратные матрицы.
Т1. Для того чтобы линейный оператор имел обратный, необхо-
димо и достаточно, чтобы он был невырожденным.
Т2. Дли данного невырожденного линейного оператора с матри-
цей А в некотором базисе существует единственный О. л. о., причем
его матрица равна матрице А-1 в том же базисе.
ОБРАТНЫЙ ХОД МЕТОДА ГАУССА —см. Метод Гаусса.
ОБРАЩЕНИЕ ИНТЕГРАЛА ЛАПЛАСА. Пусть функция Р комп-
лексного переменного р = х + 1у удовлетворяет следующим условиям:
1) Р — аналитическая в области Йе р > а; 2) в области Йе р > а функ-
ция Р стремится к нулю при | р | -> -{-аз равномерно относительно аг§ р;
*Н'о°
3) для всех Йе р = х> а сходится интеграл | )Р (р) | йу. Тогда
X—1т
функция Р при Йе р > а является изображением функции / действи-
тельного переменного /, которую можно найти по формуле
1 х+1т
/(0 = — I еР1 Р (р)<1р, х> а.
2ш х-1т
Эта формула называется формулой Меллина, а интеграл — интегра-
лом Меллина. Во многих случаях интеграл Меллииа может быть вы-
числен с помощью вычетов. А именно, если функция Р, задаиная в
области Йе р>а, может быть аналитически продолжена иа всю
плоскость комплексного переменного с конечным числом особых то-
чек р|, р21 ...,рп и ее аналитическое продолжение удовлетворяет при
Йе р<а условиям леммы Жордана, то
/(/)= Е гез (еР1Р(р)),
*=1 р = рк
См. также Первая теорема разложения. Вторая теорема разложения.
ОБЩАЯ СХЕМА ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА ФУНКЦИИ. По-
строению графика функции /, на котором изображается в заданных
пределах точности каждое значение /, целесообразно предпослать
набросок схемы графика, отражающий основные качественные ха-
рактеристики графика. Возможный вариант построения графика:
1) определяют множество задания функции и наносят его иа
ось Ох. Выделяют участки непрерывности. Определяют характер
разрывов. Находят и изображают вертикальные асимптоты;
2) если / периодическая, то находят ее период и дальнейшие
построения базисной схемы проводят иа промежутке, равном длине
периода. Полная схема затем будет получена периодическим продол-
жением базисной схемы;
3) исследуют { на четность и нечетность. Если / четна или не-
четна, то базисная схема строится лишь иа [0, +<»[ 7а для периоди-
ческих функций — иа [0, ш], где 2® — период). Для построения
полной схемы базисную схему симметрично отображают относи-
тельио оси Оу в случае четной функции или относительно начала
координат в случае нечетной функции;
4) выявляют наклонные асимптоты;
5) вычисляют Находят участки возрастания и убывания {.
Определяют стационарные точки и точки, в которых производная ие
существует. Выявляют точки4 локальных экстремумов;
6) вычисляют Находят промежутки выпуклости вверх или
вивз. Находят точки, «подозрительные> на перегиб. Исследуют эти
точки, выявляя точки перегиба;
7) выделяют особые приметы графика рассматриваемой функции
(острые экстремумы, вертикальные перегибы, близость иа некоторых
участках к линиям более простой аналитической структуры). Опре-
деляют опорные точки графика, находя, в частности, точки пересече-
ния графика с осью Ох.
Результаты обычно сводят в таблицу, в которой выделяют ха-
рактерные точки графика (разрывы, локальные и глобальные экстре-
мумы, точки перегиба, точки недифференцируемости) и указывают
участки однообразного поведения функции (участки возрастания или
убывания, участки выпуклости и т. д.). После этого строят схему гра-
фика функции.
ОБЩАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИИ —
см. Тригонометрическая система функций.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ—1) Дифференциального урав-
нения первого порядка имеет вид р=Ф(х, С), где С — па-
раметр (произвольная постоянная) из множества допустимых значе-
ний Е€Я, причем при каждом С=С0€Е соотношение у=Ф(х, Си)
доставляет решение данного уравиеиня (частное решение).
2) Дифференциального уравиеиня порядка п за-
дается формулой у = Ф(х, Сь..., С„), где (Сь..., Сл)СЕсК",
жпорая при всех (С>...., Сп ) 6 Е определяет решение у — Ф (х>
С,,... г Сй) уравнения (частное решение).
3) Системы в векторном виде п дифференциаль-
ных уравнений первого порядка представимо в виде х = Ф (/, с),
где С € Е с Кл, причем х = Ф (/, С, ) является решением системы при
всех С» € Е.
С помощью О. р. находят решения как начальных, так и (прн
п > 2) граничных задач. См. также Общее решение в неявной форме,
Общее решение в параметрической форме, Общий интеграл.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ В НЕЯВНОЙ ФОРМЕ— 1) Дифферен-
циального уравнении первого порядка — соотношение
□ (х, у, С) = 0, определяющее при каждом постоянном С = С из не-
которого множества допустимых значений Е с: К неявное решение
Й (х, у, С) = 0 данного уравнения.
2) Дифференциального уравнения порядка п —
соотношение Й (х, у, С„ ) = 0.
3) Системы в векторном виде «дифференциаль-
ных уравнений первого порядка — векторное соотноше-
ние (система п скалярных соотношений) Й (/, х, с)=0, обладающее
свойствами, аналогичными свойствам, приведенным в п. 1. (см. Общее ре-
шение).
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ — 1) Диф-
ференциального уравнения первого порядка —сис-
тема соотношений х = <р(/, С), у = ф(/, С), которая при каждом
С = С из множества допустимых значений Е с. К приводит к решению
в параметрической форме х = <р(/, С), у = ф(/, С) данного уравне-
ния;
2) Дифференциального уравнения порядка» —
соотношения х=<р(/, Сь ..., С„), у= Ф(/, Сь ..., С„) со свойствами,
аналогичными свойствам, приведенным в п. 1 (см. Общее решение).
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ — см. Линейное дифференциальное уравнение.
ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕН-
ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ—см. Система линейных дифференци-
альных уравнений.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ — уравнение
Ах+Ву+Сг+О=0 (А2+В*+С2>0) (1)
в декартовой системе координат. В прямоугольной системе коорди-
нат вектор п= (А, В, С) является нормальным вектором плоскости.
Т. Если в пространстве выбрана некоторая декартова система
координат Охуг, то всякая плоскость может быть задана линейным
уравнением (1), и обратно, всякое уравнение вида (1) есть уравнение
плоскости.
Если обозначить г = г (х, у, г), то О. у. п. можно записать в'
—►
виде п • г -(- С —I 0.
См. также Полное уравнение плоскости, Неполное уравнение плос-
кости.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ — уравнение
Ах + Ву + С = 0 (А2 + В2>0) (1)
в декартовой системе координат. Для прямой, заданной уравнением (1),
А
угловой коэффициент к = — —- (при В Ф 0), направляющий вектор
В
а = (В, —А). В прямоугольной системе координат вектор п = (А, В)
является нормальным вектором прямой.
Т. Любая прямая на плоскости может быть задана в фиксиро-
ванной декартовой системе координат уравнением первой степени,
и обратно, любое уравнение первой степени относительно декартовых
координат является уравнением прямой.
Если обозначить г •=» г (х, у), то О. у. п. можно записать в виде
п • г + С = 0.
См. также Полное уравнение прямой, Неполное уравнение пря-
мой.
ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ любой конечной системы многочленов —
многочлен, который служит делителем для каждого из них.
ОБЩИЙ ИНТЕГРАЛ — 1) Дифференциального урав-
нения первого порядка — функция О(х, у), такая, что
соотношение й(х, у) = С при каждом С—Са из множества допустимых
значений В € К превращается в решение в неявной форме данного
уравнения (соотношение Й(х, у) — С0 иногда называют частным ин-
тегралом). См. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирую-
щий множитель.
2) Системы дифференциальных у равнений в нор-
мальной векторной форме — функция О (/, х), такая, что
при каждом с “С, соотношение й(/, х) = с, определяет решение в
неявной форме данной системы дифференциальных уравнений. См. Общее
решение, Интеграл системы дифференциальных уравнений в нормаль-
ной векторной форме.
Задача Коши для уравнения первого порядка у' = ((х, у), у(х0) =>
= Уо при условии, что (х0, Уо) € Е, разрешима в неявном виде ы (х, у) =
= со (х0, уо). Аналогично для системы дифференциальных уравнений.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ— диф-
ференциальные уравнения для определения функций, зависящих от од-
ного единственного аргумента, например уравнения вида Р (х, у)йх +
+ <2 (*. У) Лу = 0> Р х х',..., х<я>) = О, Р (/, х, х') = 0. Кро-
ме того, к О. д. у. относят и дифференциальные уравнения с парамет-
рами, когда искомая функция зависит от нескольких аргументов, но
производные, участвующие в уравнении, берутся лишь по одному из
дх(1, X)
аргументов, например уравнение-----= / (г, х, К) или в условной
д1
Л
записи х' = I (I, х, X), ' = ——. (Для краткости О. д. у. называют
ш
обычно дифференциальными уравнениями.) См. Дифференциальные урав-
нения первого порядка. Дифференциальные уравнения порядка п. Сис-
тема дифференциальных уравнений.
ОВАЛ КАССИНИ — множество точек плоскости, произведение
расстояний каждой из которых до двух данных точек (фокусов)
Г1(—с, 0) и РДс, 0) равно по-
стоииному числу а2 (см. рис.).
При а^с/2 ОК.— выпуклаи ли-
ния, при с<а<сУ2 имеет вид ова-
ла с двумя утолщениями, при
а=с является лемнискатой Бер-
нулли, при а<с состоит из двух
замкнутых ветвей. Уравнение О.К.
в декартовой прямоугольной си-
стеме координат есть (х2+у2)2—
—2 с2 (х2—у2) =а*—с*.
ОГИБАЮЩАЯ ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СЕМЕЙСТВА
ЛИНИЙ. Пусть Р (х, у. С) = 0 — однопараметрическое семейство плос-
ких линий (С—параметр). Множество всех точек, удовлетворяющих
системе уравнений Р (х, у. С) = 0, Рс (х, у, С) = 0, называется диск-
риминантной линией семейства. Если/'* и Ру в точках дискрими-
наитной линии одновременно в нуль ие обращаются, то дискриминант-
ная линия совпадает с О. о. с. л., т. е. с такой линией, которая в каж-
дой своей точке касается некоторой лннин семейства. Дискриминантная
линия семейства, заданного уравнением в векторном виде г ~ г(1, С),
определяется системой уравнений г «= г (1, С), [ г(, гс] = 0.
ОГРАНИЧЕННАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см. Числовая
последовательность.
ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО В йл. Множество О с К” назы-
вается ограниченным, если существует шар В (0, г) «= { х | х С Кл,
р (0, х) < г} (р (х, у) — расстояние между точками х н у), такой, что
Ос В (0, г).
ОГРАНИЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО (ЧИСЛОВОЕ) — множество Е,
ограниченное сверху и снизу, т. е. такое, что ЗЛ, В€К, Ух, х€Д=*
А х В. Для ограниченности Е необходимо и достаточно сущест-
вование М € Р+, такого, что Ух, х€ Е => | х | <Л4.
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ — существование н единст-
венность решения рассматриваемой задачи.
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ в нормальной фор-
ме. Если функция /(/, хь х2, ..., х„) непрерывна и обладает ограни-
ченными частными производными д]1дх), /=1, ..., п, в некоторой об-
ласти Е € Рп+1, содержащей точку (/0, 5о> то задача Коши
*'...х );
... *(Л"Ч-г.“
однозначно разрешима в окрестности значения /0 (теорема о сущест-
вовании и единственности для дифференциального уравнения поряд-
ка п). Условие существования и ограниченности производных д^дх)
заменимо условием Липшица для функции Ц1, Хь ..., х„) по пере-
менным хг, х2, .... хп.
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА в нор-
мальной форме. Если функции [ (х, у) непрерывна н имеет
ограниченную частную производную (х, у) в области О с Ц2, содер-
жащей точку (х0, у0), то задача Коши
<1у ,, . .
— = / *. У), У к = Уо
Эх I*—*•
однозначно разрешима в виде у=у(х) в окрестности значения х0
(теорема существования и единственности для дифференциального
уравнения первого порядка). Условие ограниченности производной
Гу заменимо условием Липшица для ( по у. Геометрический смысл:
через точку (хо, уо) проходит, и притом единственная, линия данного
уравнения.
Однозначная разрешимость задачи Коши для системы дифферен-
циальных уравнений в нормальной векторной форме: если векторная
функция / (/, х) непрерывна и имеет ограниченную матрицу произ-
водных д[ /дх в области И с. ЙЯ+1 , причем 0о> 5 ) € О, то зада-
ча Коши
^ИТ(<5), = 5 (О
а1
однозначно разрешима в окрестности (/о, <0 (теорема о существова-
нии и единственности для системы дифференциальных уравнений).
Требование ограниченности 3/ /Эх может быть заменено условием Лип-
шица для функции / по вектору х. В случае однозначной разрешимос-
ти решение задачи Коши (1) обозначают х = х 0; /оЛ). а для ав-
тоиомных систем х => х (/; ), считая 10 = 0.
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ. Если коэффи-
циенты а* (/) и неоднородность / (/) непрерывны на промежутке /сП,
то для любых /0 с / и |0, 51,.... 5Я_1 € В задача Коши
$+(о 5^
I
...................
однозначно разрешима, и ее решение определено на всем I (теорема су-
ществования и единственности для линейного дифференциального урав-
нения).
ОДНОЗНАЧНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
в векторной форме. Если матрица А (/) и векторная функция
—>
I (/) непрерывны иа промежутке /сИ, то для любых 10(,1 и^йя
задача Коши
ах । -*
— ~ А (/) х + { (/), х |/=/0 - $
ш
однозначно разрешима, и ее решение определено для всех 1^1 (теоре-
ма существования н единственности для системы линейных дифферен-
циальных уравнений).
ОДНОЛИСТНЫЕ ФУНКЦИИ —см. Инъекция.
ОДИОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД — множество всех точек
пространства, координаты которых в некоторой декартовой прямо-
угольной системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
х2 у2 г2
—— -4- — —— ю 1
а2 Ь2 с2
(1)
где а, Ь, с—произвольные положительные чис-
ла. Уравнение (1) называется каноническим урав-
нением О. г. О. г. симметричен относительно
каждой из трех координатных плоскостей,
каждой из координатных осей и начала коорди-
нат (см. рис). Начало координат—центр симмет-
рии О. г.—называют его центром. В сечениях
О. г. плоскостями могут получиться эллипсы,
гиперболы, параболы, прямые. В сечении плос-
„ х2 У2
костью г ™ 0 получается эллипс —у -ф- — = 1,
который называется горловым эллипсом О. г.
Для представления о форме О. г. н удаленных точках рассмотрим
одновременно с иим конус
х2 у2 г2
— —— = 0.
а2 Ь2 с2
(2)
Эллипсы пересечения плоскостей г == й с О. г. (1) и конусом (2) при
неограниченном возрастании / й) стремятся слиться, при этом О. г.
сколь угодно близко примыкает к конусу. Конус (2) называется асимп-
тотическим конусом О. г. (1). Величины 2а, 2Ь, 2с (а также соответ-
ствующие им отрезки) называются осями О. г. Если а = Ь, О. г. назы-
вается О. г. вращения. Он может быть получен вращением гиперболы
^2 2»2
— — — = 1, расположенной в плоскости Охг, вокруг оси Ог. На О. г.
а2 с*
имеются прямые. Более того, О. г. может быть образован движением
прямой линии (прямолинейной образующей) и поэтому является линей-
чатой поверхностью.
Т1. Через каждую точку О. г. проходят две и только две его
прямолинейные образующие.
В частности, через каждую точку Л40 (хв, у0, 0) горлового эллип-
са проходят две прямолинейные образующие О. г., выражаемые урав-
нениями:
х — х» У —уо г х — х0 у —уо г
ауо ЬхЙ с ' аур Ьхв с *
Ь а Ь а
и любая прямолинейная образующая О. г. может быть задана одним
из этих уравнений. Все прямолинейные образующие О. г. разбивают
на два семейства: к первому относят образующие с направляющими
/ ауа Ьхь \
векторами I — —, с], ко второму—с направляющими вектора-
\ Ь а /
/ауо 6хв \
ми —, — —, с I.
\ Ь а )
Т!'. Через каждую точку О. г. проходит одна прямолинейная
образующая из первого семейства и одна из второго.
Т2. Две прямолинейные образующие О. г., принадлежащие к раз-
ным семействам, всегда лежат в одной плоскости и параллельны
тогда и только тогда, когда они проходят через точки горлового
эллипса, симметричные относительно центра.
ТЗ. Две прямолинейные образующие О. г„ принадлежащие одному
семейству, скрещиваются.
ОДНОПОЛОСТНЫЙ ГИПЕРБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ —см. Од-
нополостный гиперболоид.
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ — см. Система линейных дифференциаль-
ных уравнений.
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ —
система
^ = 2 й-1, 2,..,, п, (1)
ш /=1
или в векторной форме
= Ах, (»а)
ш
где или А — постоянные.
Построение базиса решений может быть проведено с помощью ал-
гебраических операций. Обозначим ух, V»,..., уп характеристические
числа матрицы А, т. е. корни уравнения де! (А — уЕ) = 0 (де! (А—
— уЕ) —характеристический многочлен),. Если Ук = X* действительны
и попарно различны и если —соответствующие собственные векторы
матрицы А, определяемые из соотношений А 5» то функции
е * ^образуют базис системы решений уравнения (I) или (1а). Если
ук попарно различны, но некоторые из них комплексны, то по описан-
ному выше способу строят решения (при необходимости — комплексно-
значные) в виде е Л*» причем при комплексных ук, рассматривая,
для определенности, лишь характеристические числа с положительными
мнимыми частями, отделяют в е т)А действительную и мнимую час-
ти, образующие самостоятельные действительные решения уравнения (1)
или (1а). Совокупность всех найденных решений составляет базис. Ес-
ли среди характеристических чисел Уу есть /Пу-кратные, то каждо-
му такому числу отвечает совокупность иу линейно независимых реше-
ний вида х — (р1 (!) е1* ,..., рп (1) ), где рк (!) — многочлены,
степени которых зависят от структуры элементарных делителей А, от-
вечающих характеристическому числу Уу, и не превосходят наибольшей
степени элементарных делителей. При комплексных Уу обычным обра-
зом отделяют действительную и мнимую части решения. Построенные
решения в совокупности составляют базкс. Для фактического определе-
ния составляющих собственных векторов и многочленов р* (/) может
быть использован метод Эйлера, когда в систему подставляют выраже-
ния е или е Л, или е 1 Р (0 пРн данном л* или V* с нео-
пределенными коэффициентами, а затем определяют указанные коэффи-
циенты из возникающих тождеств. См. Система линейных дифферен-
циальных уравнений с постоянными коэффициентами.
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ — си-
стема линейных уравнений, у которой все свободные члены равны
нулю, т. е. система вида
+ 018*2 + ... + 01Лхп => 0;
021*1 + 022*2 + • . . + О2л*л = 0; Ц)
От1*1 + От2*2 + .. • + атпхп = 0 ]
или АХ*=О, где А — матрица системы. Система (1) всегда совместна
(см. Критерий совместности системы линейных уравнений). Она име-
ет Лишь тривиальное (нулевое) решение тогда и только тогда, когда
г«=п, где г — ранг матрицы системы. В частности, если т=п, то для
того, чтобы система имела только тривиальное решение, необходимо н
достаточно, чтобы система была невырожденной. См. Геометрическое
истолкование решений систем линейных уравнений, Фундаментальная
система решений однородной системы линейных уравнений.
ОДНОРОДНАЯ ФУНКЦИЯ степени т— функция /(*1в
Хг, ..., хг), такая, что
/(/*ь !хг, .... 1Хт)=1”Ф(Хх, х2.хг)
тождественно по I. Для дифференцируемых однородных функций
степени т выполняется тождество Эйлера
д{ % , , д/
Х1~Г~ + *2“ I- ... + *г" “ Л1/.
дхг дх2 дхг
ОДНОРОДНАЯ ЦЕПЬ МАРКОВА — см. Цепь Маркова.
ОДНОРОДНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОГО
ПОРЯДКА — уравнение / = /(*, у), где / — однородная функция ну-
левой степени, что позволяет представить уравнение в виде у' =•
/ у \
“ ё I — I. Подстановка у •= их преобразует данное уравнение в урав-
нение с разделяющимися переменными и и х. Если % («о) = и», то ре-
шение у = иох может оказаться особым. См. Уравнение, приводящееся
к однородному.
ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ дифференциальное урав-
нение— см. Линейное дифференциальное уравнение.
ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВ-
НЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА с постоянными коэффици-
ентами
&х Фх
л?+а1 <и +аоХ = о (1)
имеет характеристические числа VI,
Если а? — 4йо > 0, то общее решение имеет вид х — С1 еч'{ + Сг е’**-
При а, — 4а» < 0 характеристические числа — комплексные: VI, а =
== X ± Гр., и общим решением служит х = С1 ех‘ соз р,Г + Са е11 з(п рб
Если а, — 4а0 = 0, то VI, а = X, и общим решением является х =
= С1 е11 +С%1 е*А Во всех случаях коэффициенты при Ст и С* обра-
зуют базис семейства решений уравнения (1). Аргумент I везде можно
заменить на I +10 при любом постоянном /о (число независимых про-
извольных постоянных в общё!и решении тем ие менее равно двум).
См. Линейный осциллятор.
ОДНОРОДНЫЙ МНОГОЧЛЕН — то же, что форма.
ОДНОРОДНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС — см. Случайный
процесс.
ОДНОСВЯЗНАЯ ОБЛАСТЬ В К2 — область Е, такая, что любой
замкнутый контур, расположенный в Е, ограничивает извне множест-
во, состоящее сплошь из точек Е. Область Е одиосвязиа в том и
только том случае, если любой замкнутый контур, охватывающий
точку, принадлежащую Е, можно стянуть к этой точке, не выходя нз
Е. Если Е ограничена извне гладкой кривой без самопересечения, то
Е односвязна.
ОДНОСТОРОННИЕ ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ —см. Окрестность
точки.
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИИ. Пусть функция /
определена в правосторонней окрестности точки а, т. е. на интервале
]а, а + /[, где I > 0. Число А называется правосторонним пределом
(правым пределом, пределом справа) функции / в точке а, если для
Уе > 0 Эд = д (в), такое, что Ух, а<х^а-|-6=»//(х) — А | в.
Правосторонний предел обозначают Пт [ (х), /(а-|-0). Аналогично
х—а + о
если ( определена в левосторонней окрестности точки а, то число В
называют левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева)
функции / в точке а, если Уе > 0 Э6=6(в), такое, что Ух,
а-6<х<а=>//(х)-В|<в. Обозначение: Пт Дх), Да — 0).
х-»а —0
Левосторонний и правосторонний пределы называют О. п. ф. Односто-
ронними называют также пределы Пт / (х) и Нт /(х), которые
—00 х— + <ю
обозначают /(—со) я /(+<») (см. также Предел функции в бесконеч-
ности). Функция [ имеет предел в точке тогда и только тогда, когда
в этой точке существуют как левосторонний, так и правосторонний
пределы и они равны между собой. В этом случае их общее значение
равно пределу функции в этой точке.
ОДНОСТОРОННИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. Пусть функции / определена
в некоторой окрестности 1У (а) точки а. Правосторонний предел
Нт —— называют правосторонней производной (или производной
Дх-+о Дх
справа) функции / в точке а и обозначают /+ (а). Аналогично опре-
деляется левосторонняя производная /_ (а) (производная слева) как
Д/
левосторонний предел Пт —. Правостороннюю и левостороннюю
Дх--—о Ах
производные называют О. п. Производная в точке а существует
тогда и только тогда, когда существуют и совпадают О. п.
Если же в точке а О. п. существуют, но различны, то а называют
угловой точкой. В угловой точке к графику / можно провести всего
лишь полукасательные (касательные лучн).
ОДНОСТОРОННЯЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ. Функция / называется
непрерывной справа в точке а, если / (а + 0) == ((а), т. е. Пт Дх) =
х-^о-^О
= / (а). Иначе: / непрерывна справа в точке а, если Уе > 0 Яд ==
= 6 (в), Ух, а < х < а + 6 => / / (х) — / (а) е. Аналогично / непре-
рывна слева в точке а, если / (а — 0) = / (а), или Уе > 0 Я6 = 6 (е),
Ух. а — 6 < х < а => I } (х) — Ца) |< е.
Критерий непрерывности функции / в точке: пусть { определена
в некоторой окрестности и (а) точки а; тогда для непрерывности
[ в точке а необходимо н достаточно, чтобы функция / в точке а
была непрерывна справа н непрерывна слева. Таким образом, для
непрерывности функции ( в точке а необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство [(а—0) =/(а) =|(а+0).
ОДНОЧЛЕН — выражение, содержащее числа, переменные, выра-
жения, противоположные переменным, а также степени чисел и пере-
менных и их произведения. Говорят, что О. имеет стандартный вид,
если он имеет одни числовой множитель (коэффициент О.), стоящий
ца первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных
в нем представлено степенью. Если О. содержит несколько перемен-
ных, то степенью О. называют сумму показателей степеней этих пе-
ременных. Если О. есть число, то его степень считают равной нулю.
Исключение составляет число 0. Этому О. не приписывается никакой
степени. По определению полагают, что х°=1 прн х=#0. Выражению
0° не приписывают никакого смысла.
ОКАЙМЛЯЮЩИЙ МИНОР. О. м. мииора М порядка к матрицы
А называют мииор порядка й+1 этой матрицы, содержащий ми-
нор М.
Т. Если в матрице имеется минор М, отличный от нуля, а все
окаймляющие его миноры (если оин существуют) равны нулю, то
любой ряд этой матрицы, не проходящий через М, является ли-
нейной комбинацией параллельных ему рядов, проходящих через М.
Из этой теоремы, а также теоремы о базисном миноре (см. Ба-
зисный минор) следует, что если в матрице А имеется мниор М по-
рядка г, отличный от нуля, а все мниоры матрицы А, О. м. М., равны
нулю, то гапк А=г. Поэтому для определения ранга матрицы доста-
точно найти какой-нибудь отличный от нуля мииор М, все О. м. кото-
рого равны нулю. Тогда гапкА равен порядку минора М. Этот способ
вычисления ранга матрицы называется методом окаймляющих ми-
норов для вычисления ранга матрицы.
ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ. Если а€й, то О. т. а называют любой
интервал С/ (а) = ]а, 0[, такой, что а€ ]®, ₽[• Исключив нз 1У (а) точ-
ку а, получим проколотую окрестность 1У (а) точки а; 6-окрестностью
точки а называют интервал ]а — 6, а + б[ === а8. Проколотая 6-окрест-
ность а8 точки а — окрестность а6 без точки а. Окрестностью оо на-
зывают множество К\[а, р], где [а, Р] — произвольный отрезок.
В частности, окрестность -|-оз — интервал ]р, -)-оо[, (р€К), окрест-
ность —оо — интервал ]—оо, а[ (а€К).
П равосторонней окрестностью точки а называют любой интервал
вида ]а, Р(, где Р>а. Левосторонней окрестностью точки а называют
любой интервал вида ]а, а[, где а<а. Левосторонняя и правосторон-
няя окрестности называются односторонними окрестностями.
ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ В кп — произвольное открытое множе-
ство, содержащее данную точку а€ К”. Окрестность точки а обозна-
чают символом и (а). Множество, получающееся из I) (а) удалением
точки а, называют проколотой окрестностью точки а н обозначают
*/(«)•
ОКРУЖНОСТЬ — множество всех точек плоскости, расстояние от
которых до данной точки той же плоскости (центра О.) равно дан-
ному отрезку К (радиусу О.). Уравнение О. радиуса 7? с центром в
точке 5(а, Ь) в прямоугольных декартовых координатах имеет вид
(х—а)2+ (у—Ь)2=№. В частности, уравнение О. с центром в начале
координат есть х2+у2=Я2. Параметрические уравнения О. с центром в
начале координат можно представить в виде х=/?соз/, у=7?з!п<,
где I— угол между положительным направлением оси Ох и лучом,
идущим нз центра О. в произвольную ее точку (угол отсчитывается в
положительном направлении, т. е. против часовой стрелки). Уравнение
О. в полярных координатах (полярное уравнение О.): р=Л. (Здесь
полюс полярной системы совпадает с центром О.)
ОМБИЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА ПОВЕРХНОСТИ — точка, в которой
нормальная кривизна кп имеет одно и то же, ве равное нулю, значе-
ние для всех нормальных сечений. В О. т. п. коэффициенты второй
и первой основных квадратичных форм соответственно пропорциональ-
1 М Ы „
ны: — = — = —. Поверхность, целиком состоящая из О. т. п.,
ЕГО
есть сфера.
ОПЕРАТОР — то же, что отображение.
ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА. Основные понятия теории поля (см.
Векторное поле, Скалярное поле) очень просто записываются при
помощи символического вектора — дифференциального оператора V
(знаку читается «набла»), предложенного Гамильтоном;
-> д . -г д •* Э
7 = ‘Т"+ >'Т~ + к 47'
дх ду дг
Сам вектор не имеет реального значения. Он приобретает смысл
лишь в комбинации со скалярными нли векторными функциями. Так,
применяя его к скалярной функции и(х, у, г), получим
ди -* ди
ди
Vй = Т * + Г' + 47й
дх ду дг
что является градиентом скалярной функции и, т. е. V и=дга(1и. Ана-
логично
• -* дах дач даг -►
у.а=—+—^ + —- = а1уа;
дх ду дг
Таким образом, с помощью О. Г. основные понятия поля, получаемые
дифференцированием, можно записать в виде различного рода про-
изведений, применяемых в векторной алгебре,
д -► а
ОПЕРАТОР ЛАПЛАСА, лапласиан, ПУЯьТ_<—+ /—+
д $
+ к —— — оператор Гамильтона. Рассмотрим у . у = у’ = Д = —- +
дг дх*
д* а»
+ — -|- —. Полученный скалярный оператор Д = Д’ называют О. Л.
ду* дг*
Аналогично определяется О. Л. и для любого числа переменных. Рас-
смотрим (Ну (йгаб и):
( ди ди ди ->\ д*и д*и д*и
(§гад (*)= 61У — » + — / + РГ1+4+4”
\ дх ду дг ) дх* ду* дг*
<= у2и = Ди.
Если векторное поле является одновременно потенциальным и соле-
ноидальным, то (Ну (^габ и) = 0, и, следовате льно, потенциальна
функция и — гармоническая, ибо она удовлетворяет уравнению Лапла-
д*и д*и д*и
03 7Ч + п + ^Г = 0(или Дй=,())-
дх* ду* дг*
О. Л. в цилиндрических координатах
1 / д / ди \ 1 д2и д2и\
&и =— т-' рт" + — ^ + РЧЗ
р \ Эр \ Эр} р дф2 дг2/
в сферических координатах
1 / „ д [ ди \ д ! п ди \
Ди = —--------18ш 0----I р2------1 4-----151п 0----1 4-
р2 ли 0 \ др \ др / д0 \ д0 /
1 д2и \
81П 0 д<р2 /
См. также Уравнение Лапласа.
ОПЕРАТОРНАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО УРАВНЕНИЯ — см. Линейное дифференциальное уравнение.
ОПЕРАЦИИ НАД КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ — сложение,
вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение кор-
ней. См. Комплексные числа. Тригонометрическая форма комплексно-
го числа, Экспоненциальная форма комплексного числа.
ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ и отношения между
ними. Произведением АВ двух событий А и В называют их пере-
сечение А(]В. Событие АВ происходит тогда и только тогда, когда
происходит и А, и В. Если АВ = 0, то говорят, что события А, В не-
совместные. Несовместные события не могут произойти одновременно.
Суммой А+В событий А и В называют их объединение А()В. Собы-
тие Ац-В состоит в том, что произошло по крайней мере одно из со-
бытий А или В. Разностью А —В событий А и В называют подмно-
жество О, состоящее из элементов А, не принадлежащих В. Из акси-
ом теории вероятностей следует, что разность событий является со-
бытием. Событие А—В состоит в том, что А произошло, а В не про-
изошло. Событие А = й—А называется противоположным событию А.
Событие А означает, что А не произошло. Если А с: В, то говорят,
что А влечет за собой В. В этом случае, если происходит А, то про-
исходит и В
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ— одни из методов матема-
тического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых
правил решать сложные математические задачи. В основе метода ле-
жит идея замены изучаемых функций (оригиналов) некоторыми дру-
гими функциями (образами), получаемыми из данных по определен-
ным правилам, причем действия над оригиналами заменяются более
простыми действиями иад образами. Наиболее часто для этих целей
используется преобразование Лапласа.
ОПОРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ —см. Методы вычис-
ления определителей.
ОПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ — совместная си-
стема, имеющая единственное решение. п
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. Пусть а = 2/(5л)А*л — интег-
к-1
ральная сумма для функции / на отрезке [а, 6]. Если существует
предел / интегральных сумм о при диаметре разбиения 6, стремящемся
к +0 (6 — тах (Дх*) ), т. е. Уе > 0 Эбо > 0, такое, что Уб < бо =»
к
=> | о — 11 < е, и этот предел не зависит ни от способа разбиения от-
резка [а, 6], ни от выбора промежуточных точек 5*. то 1 называют
О. и. (интегралом Римана) функции / на отрезке [а, 6] и обозначают
ь
| / (х) Лх, а функцию / называют интегрируемой в смысле Римана на
а
отрезке [а, 6]. Таким образом,
Ь п
р(х)ах= Нт 2/(^)Дха.
Ь 8-4-0 Л-1
Необходимым условием интегрируемости функции является ее ограни-
ченность. Функция /, заданная на [а, 6], будет заведомо интегрируе-
мой на [а, 6] в каждом из следующих случаев: 1) / непрерывна; 2) /
монотонна; 3) / кусочно-монотонна; 4) / ограничена и имеет конеч-
ное число точек разрыва; 5) / является произведением интегрируе-
мых функций.
См. также Свойства определенного интеграла.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ. Рассмотрим квадратную матрицу А = (ап)
порядка п и всевозможные произведения элементов этой матрицы,
взятых по одному и только по одному из каждой ее строки и каждого
столбца. Любое такое произведение будет содержать п сомножите-
лей и может быть записано в виде а1а,.а2а.г апап (для удобства
сомножители расположены так, что первые индексы (номера) строк
следуют в порядке возрастания). О. матрицы А (О. п-го порядка или
О. порядка п) называют число
2 (-1/(а‘,а.....
• ал>
«п>
°1«, а2а,--- апьп>
где сумма содержит все слагаемые, для которых перестановки (а^
а2, а«) различны (здесь /(О|, а2.... ап) —число инверсий в пе-
рестановке (аь а2, ап)). О. обозначают |А|, |л,у| или более под-
робно
011 01» ... О1П
о»1 о22 . . . л2п
ап1 апЗ • • • апп
О. иногда называют также детерминантом и обозначают <1е( А,
<1е1 (ау).
I (#1, *(»*••» )
Каждое из л! выражений (—1) а1а> о2а1 ... на-
зывают членом О.
Справедливы следующие формулы:
I А | = У (—1/ ........- > + 1 <₽» ₽«..₽л) а „ аа « ... оа 6
' I ' «»Р1 ««Р» «пРл
(здесь Од^^ оажр1... аЯпрп — произведения элементов О., взятые по од-
ному и только по одному из каждой строки и каждого столбца мат-
рицы А);
л
|Л| = 2 (-1)1+701УЛйу
/=1
(здесь Му— О. (миноры), полученные из матрицы А вычеркиванием
первой строки и /-го столбца). Иногда эти выражения принимают за
определение О.
Отметим случаи п= 1, 2, 3:
п = 1, = (ли) => / А11 = | лц | = Лц;
п = 2, Аа = Г д11 д1а => I А2 I = I ®и а1а I = ЛцЛаз — 01аЛа1;
\ Ом а22 ) I а»1 о»а I
(Лц Лц Л1» \
о»1 о»а о»з I =» I Ац | =
0з1 Оза азз /
011 013 01»
0а1 о2а о»з =
Оз1 о»2 Ода
= ОцЛааОзз -|- ацвгзаз! + О1зл21Оз2 — ОазЛааОза — О1аОа1О»з — ОцОазОза.
В случае п=3 существуют некоторые правила, облегчающие со-
ставление О:
(Это правило называется правилом Саррюса илн правилом треуголь-
ников)-.
См. также Свойства определителей, Методы вычисления определите-
лей.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВАНДЕРМОНДА —
А(Х1, х8,...,
= («2 —Х1) (Х3 —Х1)...(Х„ —Х1) (х8 — х8).,.(хл — х»)...(хп — хп-1).
__ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ГРАМА системы векторов а^, а»,...,
ап евклидова пространства — определитель
Г(а1, а.......ат) =
«1 • ат
а2 ' ат
ат ' “1 ат • а2
2
ат
__ _Т1. Если система векторов Ьь Ь2, Ьт получена из системы
О|, а2, .„, ат в результате ортогонализации, то Г(6ь Ь2, .... Ьт) =
= Г(аь а2, •••> а22.)-_ _
Т2. О. Г.Г(аь а2....ат) —действительное неотрицательное число,
равное нулю тогда и только тогда, когда система векторов Оц а2, ....
ат линейно зависима.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ МАТРИЦ. Если А=ВС,
то |А | = |В| | С|. Подобная формула справедлива и для случая произ-
ведения к (к>2) квадратных матриц. А именно, если А=А1А2...Аь,
то |А| = |А,| |А2|...|Ал|.
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ —
определитель матрицы системы линейных уравнений (для систем, у
которых число уравнений равно числу переменных).
ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЯКОБИ —см. Якобиан.
ОРДИНАТА — вторая из координат точки в декартовой прямо-
угольной системе координат на плоскости или в пространстве.
ОРИГИНАЛ — см. Преобразование Лапласа.
ОРИЕНТАЦИЯ БАЗИСОВ. Говорят, что два базиса линейного
пространства одинаково ориентированы, если определитель матрицы
перехода от одного базиса к другому положительный, и противопо-
ложно ориентированы, если этот определитель отрицательный.
ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ. Пусть 5 —гладкая поверх-
ность в пространстве. Выберем в произвольной точке Мо € 5 нормаль
п2 к поверхности н рассмотрим произвольную замкнутую кривую
I с. 5, проходящую через точку Мо и ие имеющую общих точек с гра-
ницей 5. Будем перемещать вектор п0 вдоль кривой I так, чтобы, из-
меняясь непрерывно, он оставался все время нормальным к 5. Если
прн любом выборе точки Мо иа поверхности для любой замкнутой
кривой I с 5 после обхода кривой I мы возвращаемся в точку Мо с
выбранным вначале направлением нормали По, то поверхность 5 на-
зывают ориентируемой или двусторонней. Если же существуют точка
Мо и кривая I, при обходе по которой приходим в точку с про-
тивоположным направлением нормали, то поверхность называют од-
носторонней или иеориентируемой.
Если поверхность 5 двусторонняя, то стороной поверхности на-
зывают множество точек 5 с указанными в них направлениями нор-
мали (другой стороне поверхности отвечают противоположные на-
правления нормалей). Указать сторону поверхности можно, указав
направление нормали в одной из точек, либо описанием (верхняя —
иижняя, левая — правая, ближияя — дальняя, внешняя — внутренняя,
если это возможно), а также выбором знака плюс либо минус во
всех формулах:
А „ В
соз а =--- : соз В =............. ..........:
±УД2 + В2 + С2 ±У<42 + В2 + С2
С
СО5 V =--- " .
±Ул2 + в2 + с2
Выбор стороны определяет ориентацию всех простых замкнутых кри-
вых, расположенных на поверхности.
ОРИЕНТАЦИЯ ТРОЙКИ ВЕКТОРОВ. Три вектора называются
упорядоченной тройкой векторов, если указано, какой из иих являетси
первым, какой — вторым и какой — третьим. Из трех векторов а, Ь
и с можно составить шесть упорядоченных троек:
(УК 7), ( 6, с, а ), ( с, а, Ь ); (1)
( У а, с ), (~а, Ь ), ( с, Ь, а). (2)
Упорядоченная тройка иекомплаиариых векторов называется
правоориентированной или просто правой, если из конца третьего
вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против
часовой стрелки, и левоориентированной или левой, если этот пово-
рот виден по часовой стрелке (начала векторов тройки предполага-
ются совмещенными). Если две упорядоченные тройки являются
либо обе правыми, либо обе левыми, то говорят, что оии одной ориен-
тации. В противном случае говорят, что рассматриваемые две тройки
противоположной ориентации. Так, тройки (1) той же ориентации,
что и тройка (а, Ь, с), а тройки (2) имеют ориентацию, противопо-
ложную (а, Ь, с).
ОРИЕНТИРУЕМАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — см. Ориентация поверх-
ности.
ОРТ произвольного ненулевого вектора а —
единичный вектор, коллинеарный а и имеющий одинаковое с а на-
-> -* а
правление. Если О. обозначить через е, то е = —. В евклидовом
- Iа I _
пространстве О. вектора а, по определению, есть вектор а/\ а\.
ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ БАЗИСА — процесс построения по данному
базису евклвдова пространства Еп ортонормированного базиса. Процесс
О. б. можно произвести по следующему, осуществляемому шаг за ша-
гом, алгоритму построения по даииоА системе п линейно независимых
векторов /1,/»... пространства Еп ортонормированной системы
векторов «1, ег.. еп:
е» = -4-, где йя = /а — (/а • ё1 ) ёс,
18з|
ё» = где ё» =• 7з - (7з • — (/з • ё, ) ёа;
18з I
еп — . — > гДе 8л /п (7п ’ • • • (7л ' еп—г ) еп — 1-
18л1
Приведенный алгоритм обычно называют процессом ортогонализации
системы векторов.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ ТОЧКИ, ВЕКТОРА — см. Про-
екции.
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ в евклидовом
пространстве. Система векторов хг, х»,..., х* € Еп, к^2, назы-
вается ортогональной, если эти векторы попарно ортогональны, т. «.
х, -"х/^О при «=#/.
Т1. Ортогональная система ненулевых векторов линейно не-
зависима.
Т2. Во всяком пространстве Еп, п^2, существует ортогональный
базис (см. Ортогонализация базиса).
ОРТОГОНАЛЬНАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИИ —см. Ортонорми-
рованная система функций.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ВЕКТОРЫ. В обычном пространстве (на
плоскости) О. в. — то же, что перпендикулярные векторы. В евклидо-
вом пространстве О. в. определяются как векторы, скалярное произ-
ведение которых равно нулю. Очевидно, что нулевой вектор ортого-
нален любому другому вектору.
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ. Действительная квадратная
матрица А называется О. м., если
АТА = Е. (I)
Условие (1) равносильно каждому из следующих условий!
АЛ’’ = Е; (2)
АГ=А-1. (3)
Если А = (ау), то для того, чтобы А была О. м., необходимо
п
и достаточно, чтобы 2 аМак) = бу (равносильно условию (1)) или
л=1
п
2 а‘* = ^1} (равносильно условию (2)), где бу — символ Кронеке-
*=1
ра. Справедливы следующие свойства О. м.: 1) определитель О. м.
равен +1; 2) О. м. является невырождеивой; 3) произведение двух
О. м. есть О. м.; 4) если А — О. м., то Ат также О. м.; 5) если
А—О. м., то А—1 также О. м.
Т. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к дру-
гому является О. м.
ортогональный оператор, линейный оператор евклидова
пространства Еп называется О. о., если в некотором ортонормирован-
ием базисе его матрица ортогональна.
Т1. Для того чтобы линейный оператор евклидова пространства
был О. о., необходимо и достаточно, чтобы он ортонормированный
базис переводил в ортонормированный.
Т2. О. о. не меняет скалярного произведения векторов.
Следствия: 1. О. о. не меняет длины вектора. 2. О. о. не ме-
няет угла между векторами.
Справедливы следующие свойства О. о.: 1) О. о. — невырожден-
ный; 2) для О. о. существует обратный, который также является О. о.;
3) если Л—матрица О. о., то Лг — матрица обратного ему операто-
ра; 4) произведение О. о. является также О. о.; 5) если X — собствен-
ное значение О. о., то 1=±1.
Чтобы построить О. о. пространства Еп, достаточно найтн ортого-
нальную матрицу порядка п, т. е. построить систему из п ортонормн-
рованных п-мерных векторов. Это построение можно осуществить сле-
дующим образом. В качестве первого вектора Х1 возьмем произволь-
ный ненулевой вектор, т. е. произвольную систему п действительных
чисел Оц, а21,.,., ал1, среди которых хотя бы одно отлично от нуля.
Координаты Ч, /п второго вектора х2 найдем из условия ор-
тогональности его с вектором Х1, т. е. из условия аиЧ + +•. .-)-
+ап1/л =» 0. Какое-нибудь ненулевое решение /1 = а13, 1г =_агг,...,
1п = ал2 этого уравнения возьмем в качестве координат х2. Век-
тор Хз найдем из условий ортогональности его с х2 и х2, и т. д.
Пронормировав полученные векторы х2, х2,...,хл, получим ортонор-
мированную систему векторов 61, е2,..., еп. Матрица из координатных
столбцов векторов 61, ... еп будет искомой.
ОРТОНОРМИРОВАННЛЯ СИСТЕМА ВЕКТОРОВ в евклидо-
вом пространстве. Система векторов хь ..€ ^л,_^>2,
называется ортонормированиой, если оиа ортогональна и каждый век-
тор является нормированным (единичным), т. е.
«•'>{?:2......................*•
ОРТОНОРМИРОВАННЛЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ. Две функция <р
и ф, интегрируемые с квадратом на отрезке [а, 6], будем называть
ортогональными на отрезке [а, 6], если
ь
У Ф (х) ф (х) <1х = 0.
а
Бесконечная система действительных функций Ф1, Ф* <ря,....
интегрируемых с квадратом на отрезке [а, Ь|, называется ортогональ-
ной на [а, &], если функции данной системы попарно ортогональны на
этом отрезке, т. е,
Ь
У Фп (*) ф« (х)0х = 0, п, т € И; л =# т.
а
Система функций <Р1, фа,..., фп.-.- называется нормированной иля
нормальной на отрезке [а, Ь], если | ф* у = 1, где ВФ^К**
/Ь ;
У Ф® (х) Лх — норма функции фЛ.
а
Системы функций, являющихся одновременно ортогональными м
нормальными, называют О. с. ф. Всякую ортогональную на отрезка
[а, Ь] систему функций А> А../я,... можно нормировать при ус-
ловии, что В/„ II =#0, Ул€ И (система—у—, -....- {* ....
ОАО ОАО 0/п1
будет ортоиормированной).
ОРТОНОРМИРОВАННЫЙ БАЗИС — базис евклидова простран-
ства Еп, базисные векторы которого составляют ортоиормированную
систему векторов.
Т. Во всяком пространстве Еп, н^2, существует О. б. (см. Орто-
гонализация базиса).
В обычном пространстве (на плоскости) базис декартовой пря-
моугольной системы координат является О. б.
Справедливы следующие свойства: 1) в О. б, и только в нем,
скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произве-
дений соответствующих координат этих векторов; 2) координаты
произвольного вектора относительно О. б. равны скалярным произве-
дениям этого вектора на соответствующие базисные векторы; 3) мат-
рица перехода от одного О. б. к другому ортогональная. Более того,
если дан О. б. и от него переходят к другому базису с помощью
ортогональной матрицы, то получают также О. б.
ОСЕВОЙ ВЕКТОР — вектор в ориентированном пространстве,
который при изменении ориентации пространства преобразуется в
противоположный вектор. Например, векторное произведение двух
векторов является О. в., ибо его направление изменяется на противо-
положное при переходе от правой системы координат к левой. О. в.
называют также псввдовектором или аксиальным вектором.
О-СИМВОЛИКА— см. Сравнение функций.
ОСНОВНАЯ МАТРИЦА СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — см. Система линейных уравнений.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА АЛГЕБРЫ. Всякий многочлен с любыми
числовыми коэффициентами, степень которого не меньше единицы,
имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
Следствие. Всякий многочлен / (х) степени п (п 1) с лю-
быми числовыми коэффициентами имеет п корней, если каждый из
корней считать столько раз, какова его кратность. Отсюда следует,
что / (х) = а0 х" + щх"—1 + ... + ал—+ ап, где а*€С, можно
представить в виде / (х) — во (х — (х — аг)л» ... (х — а5)Аз, где
кт + кг + .. • + А, => п и среди корней ах, аг.а5 нет равных.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЕЛИЧИНАХ ВЕКТОРОВ —см. Ве-
личина вектора.
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Пусть функция Цг) ана-
литическая в ограниченной односвязной области О, за исключением
конечного числа изолированных особых точек однозначного характе-
ра «|, г2, ..., гп, и у — простая замкнутая кривая, лежащая в области
О и содержащая внутри себя точки гь г2, ..., гп. Тогда
л
ГI (г) йг => 2 ш V гез [ (г),
у 4=1
у ориентирована в положительном направлении (при обходе у огра-
ничиваемая ею область остается слева).
Следствием этой теоремы является следующее утверждение: если
функция [ аналитическая во всей расширенной комплексной плоско-
сти, за исключением конечного числа г,.гп изолированных особых
точек, то сумма всех вычетов функции I, включая вычет в точке
г=со, равна нулю:
л
2 Ге8 / (г) + Ге8 Г <г> “
к-1 г'"гк
Обобщением О. т. о в. является следующая теорема.
Т. Пусть функция ((г) аналитическая в области О, за исключе-
нием конечного числа особых точек, и непрерывна вплоть до границы
дЬ этой области. Тогда если область О ие содержит точку то
У / (г) (/г =» 2 л! 2 Гез / (г);
дв л=1 г“гл
если г = оо принадлежит области О, то
У ((г) йг = 2 к1 2 гез / (г) + 2 п1 гез ( (г).
дв к=1 2~2к г=°°
ОСНОВНАЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНК-
ЦИЙ— см. Тригонометрическая система функций.
ОСНОВНАЯ ФОРМА ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ — см. Линейное дифференциальное уравнение.
ОСНОВНАЯ ФОРМУЛА ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ —
см. Формула Ньютона-Лейбница.
ОСНОВНОЙ ТРЕХГРАННИК ЛИНИИ—то же, что сопровож-
дающий трехгранник линии.
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА, ИНТЕГРИРУЕМЫХ В КВАДРАТУ-
РАХ,— см. Дифференциальные уравнения первого порядка, интегри-
руемые в квадратурах.
ОСНОВНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ТЕЙЛОРА. Для основ-
ных элементарных функций имеют место следующие разложения в
ряд Тейлора (ряд Маклорена):
оо х"
= 2 “Г.
"о п1
оо
зЬ х =*= V —--—, х € К;
ь=о
00
“а»''5*
°° (—
<»+<я -'6В:
«° (-*-!)* х**
1п(1+*) = 2 (-1)"-1 —, *€ ]—1. Н;
п-1 п
°» а (а- 1) ... (а — п+ 1)
(1 +х)" ~ 1 + 2 ----------;---------*”• *€Ы. Ц.
«31 л1
Последний ряд в точке х=1 при а> — I сходитси, а при а^ —1
расходится. В точке х= —1 при а^О ряд сходится, а при а<0 рас-
ходится. См. также [2].
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ВТОРОГО РОДА. 1. Если функция [ непрерывна на спрямляемой
кривой I, то интеграл У / (х, у, г) 4х существует.
2. Криволинейный интеграл второго рода меняет знак при изме-
нении ориентации кривой:
У. ~ У> гУах-
АВ ВА
3. Линейность:
.((а} (х, у, г) + ре (х. у, г)) Ох = а I / (х, у, г} Ох + р Г е (*. У- г)
I 11
где а и Р — постоянные (в предположении, что интегралы
|/(х, у, г)4х и 18 (*, У, г) <1* существуют).
4. Аддитивность. Если кривая I есть объединение кривых
<1,1] (без общих внутренних точек), причем ориентации I согласована
с ориентациям^ Ц и 11, то
1I (*, у, г) <1х = р (х, у, г) Ох + I / (х у, г) Ох
I 11 I,
при условии, что существует | / (х, у, $4х (либо существуют
П(х, у, г)дх и \((х, у, г) Ох^.
‘ ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА КРИВОЛИНЕЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ПЕРВОГО РОДА. 1. Линейность. Если для функций / и §
существуют криволинейные интегралы | / (х, у, г) Лз и I # (х, у, г) йз и
аир — постоянные, то существует криволинейный интеграл по I
функции а/ + р^ и при этом
! («Их, у, г) + ре(х, У, г))<1з^а^ ((х, у, г)4з + р 5§ (х, у, г) <1з.
2. Аддитивность. Если кривая I есть объединение кривых
/| н 1г (без общих внутренних точек) и существует криволинейный
интеграл от / по кривой I (либо по кривым Ц и /2), то
I / (*, у, г)4з=> У / (х, у, г)0з+ } / (х, у, г) <1$.
I
3. Оценка модуля. Если существует криволинейный инте-
грал от функции I по кривой I, то существует и криволинейный ин-
теграл по кривой I от функции |/|, причем
| У / (х, у, г) Оз | 111 (х, у, г) | Оз.
4. Формула среднего значении. Если / непрерывна
иа кривой I, то на этой кривой существует точка М*, такай, что
| / (*. У, г)4з=> [ (М*) з,
где з— длина кривой I.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОРИГИНАЛОВ И ИЗОБРАЖЕНИЙ.
1. Линейность изображения. Если Азх/х, Ке р > Их,
[г = Рг, В,ер>аг и а, Р— постоянные, то
«А + РА = + Р^«. Не р > тах {щ, а^.
2. Теорема подобия. Если /==Е, Ке р > я и X > О, то
1 / р \
?№) = — Р V . Кер>а.
А \ А /
3. Теорема запаздывания. Если / = Кер>а, с(С,
то
1 (/ — с) / (I— с) = е^Р (р), Нер > а.
4. Теорема смещения. Если 1=-Р, В.ер>а, Х€С, то
Р (р — Л) = еи[ (/), Не р > а + Не X.
б. Дифференцирование оригинала. Если / =
Не р > а и /' — оригинал, то
Г (0 = РПр)-/(+<>), Не р > а.
Если /(") — оригинал, то при Не р > а
/°”(0 = р'Р (р) - р"-1/ (+0) - рп~2Г (+0)--
-р/<',-2>(+0)-/(п-1)(+0).
6. Интегрирование оригинала. Если [=Р, Не р > а,
то
I
1/(т)4т = —р (р), Кер>а.
Л Р
о
7. Дифференцирование изображения. Если Р ==[,
Не р > а, то
Р' (Р) = -Ч (0> Р{пЧр} = (-!)"<"/ (0. Не р > а.
8. Интегрирование изображения. Если / = Р,
Кер> а и — —оригинал, то
ео
? • = У Р (в) йз, Не р > в
р
(путь интегрирования лежит в полуплоскости Нер>а, р-*оо, так,
что Не р -+ +со).
9. Изображение свертки (теорема умножения). Если
Д=Г1, Кер» аг; /2=Г2, Кер>а«, то
{ А (т) А (/ — т) 4т = Р1 (р) Ра (р), Ке р > шах {а^ а,},
о
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ —см. Элементар-
ные функции.
ОСОБАЯ ТОЧКА ЛИНИИ — см. Касательная прямая.
ОСОБАЯ ТОЧКА ПОВЕРХНОСТИ — см. Касательная плоскость.
ОСОБАЯ ТОЧКА СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ —см. Градиент скаляр-
ного поля.
ОСОБЕННАЯ МАТРИЦА — то же, что вырожденная матрица.
ОСОБОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА Р (х, у, у') = 0— решение у = у(х), через
каждую точку (х0, Уо) которого проходит еще одно решение р = у(х)
с той же самой касательной, ио у (х) и у (х) не совпадают ни иа од-
ной окрестности х«. Если Р = Р (х, у, р) и Ру, Р$ непрерывны в
рассматриваемой области К3, то особые решения данного уравнения
содержатся среди решений в параметрической форме х = <р (р),
у = ф (р), неявно определяемых системой соотношений
Г (« У, Р) = О’. "I
Рр (х, у, р) *=().]
ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ —см. Изо-
лированные особые точки.
ОСОБЫЕ ТОЧКИ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ — см. Градиент ска-
лярного поля.
ОСТАТОК ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ — см. Интерполяция фун-
кции.
ОСТАТОК РЯДА а* (п-й остаток)—ряд 2 ал- Если ряд
к—\ 4=п-р1
Уад, сходится, то каждый из его остатков гп сходится и последова-
4=1
тельиость (гв) является бесконечно малой, т. е. Ит гп = 0. Длясхо-
дящегося ряда У, а$, сумма которого в, имеет место соотношение
4=1
Гв = в — «п> гДе 5п — частная сумма ряда. См. также Интегральный
признак сходимости числового ряда, Признак Лейбница.
ОСТАТОК ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА —см. Функциональный
ряд.
ОСТАТОЧНЫЙ ЧЛЕН ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА —см. Формула
Тейлора.
ОСЬ — прямая, иа которой выбрано положительное направление.
ОСЬ АБСЦИСС — см. Декартовы прямоугольные системы коор-
динат (иа плоскости, в пространстве).
ОСЬ АППЛИКАТ — см. Декартовы прямоугольные системы ко-
ординат (в пространстве).
ОСЬ ОРДИНАТ — см. Декартовы прямоугольные системы коор-
динат (на плоскости, в пространстве).
ОТДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ уравнения 1(х)—0. Отделить ко-
рень уравнения — иайти такой конечный интервал, иа котором име-
ется единственный его корень. Если непрерывная иа отрезке [а, 0]
функция ) принимает иа его концах значения разных знаков, то на
интервале ]а, 0[ существует хотя бы один корень уравнения {(х)=0.
При этом корень будет заведомо единственным, если / монотонна иа
[а, В] (например, в случае, когда ] дифференцируема и /'(х)>0 иа
]а, ЭД- „
Иногда О. к. удобно производить графически. Точное число ле-
жащих на данном интервале действительных корней многочлена с
действительными коэффициентами, ие имеющего кратных корней, на-
ходят по правилу Штурма.
ОТКЛОНЕНИЕ РЕШЕНИЙ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ в векторном виде —-— =
а1
«=./(%) с однозначной разрешимостью задачи Коши х — х (/; ^),
х (0; ) = 5, вызванное возмущением начального значения —
функция
Д(О = П(';Г+лГ)-* (нШ.
определенная иа промежутке изменения I, где заданы оба рассматри-
ваемых решения. В силу автономности системы допустйм сдвиг ар-
гумента, поэтому
Д(0 = II * (* + 4>; /о, Т+ дТ) - 7 (/ + /я; /о, Т) II
при любом /о€В. См. Устойчивость решения автономной системы
дифференциальных уравнений.
ОТКЛОНЕНИЕ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬ-
НОГО УРАВНЕНИЯ Дпх =/(<), вызванное возмущением Д^ началь-
ных значений, —функция
п
д<о = 21 ы - х(к~" ('; 5. '») I,
А=1
где х(/; I, /о) —решеине данного уравнения с начальными значениями
&>, Въ • В»-1 ПРИ 1=1а. Отклонение является линейной формой от
Д^о, ..., Д^п-1 с непрерывными по I коэффициентами и ие зависит ни
от неоднородности ни от начального значения (см. Задача Коши
для линейного дифференциального уравнения). Отклонение решений
характеризует влияние возмущения решения, вызванное изменением
начальных значений иа величины Д^ь. См. также Непрерывная зави-
симость решений линейного дифференциального уравнения, Устойчи-
вость решений.
ОТКРЫТОЕ МНОЖЕСТВО — множество, каждая точка которо-
го является внутренней.
ОТКРЫТЫЙ ЧИСЛОВОЙ ОТРЕЗОК, ПРОМЕЖУТОК, ЛУЧ —
см. Числовые промежутки.
ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО
ЧИСЛА — см. Погрешность.
ОТОБРАЖЕНЙЕ. Пусть X, У —произвольные непустые мно-
жества. Если каждому элементу х € X ставится в соответствие неко-
торый вполне определенный элемент у СУ, то говорят, что определе-
но О. множества X в множество У (запись: /:Х-*К). Прн этом у
называют образом элемента х при О. /, а х — прообразом у (запись:
у = /(х)). Два О. / : X -> К и <р : X -> К называются равными, если
результаты их действия одинаковы, т. е. если для каждого элемента х
множества X =*/(х) = <р (х). Множество / (X) = {/(х) | х € X) обра-
зов всех элементов множества X называют образом множества X
при О. /.
Пусть у — некоторый фиксированный элемент множества У. Мно-
жество /~*(</)=•{*( х € X, ((х) = у} всех тех элементов из X, для
которых у является образом при О. называют полным прообразом
элемента у при О. /. Каждый элемент множества /—1(у) есть про-
образ элемента у при О.
О. называют взаимно однозначным О., если каждому элементу
множества X соответствует только одни элемент множества У и на-
оборот. Отображение множества X в себя, при котором для каждого
элемента х следует }(х)—х, называют тождественным О. (его, как
правило, обозначают буквой е).
Синонимы термина О.— оператор, функция, преобразование. При
этом термин «функции» обычно используют в тех случаях, когда X
и У — числовые множества. В частности, если X н У — линейные про-
странства, то говорит об О. линейных пространств. В этом случае
употребляют термин образ вектора при О. прообраз вектора при
О. [ и т. д. О.— одно из основных понятий математики. В данном
словаре подробно рассматривается наиболее важный класс О.— ли-
нейные операторы.
ОТРЕЗОК — см. Числовые промежутки.
ОТРИЦАНИЕ — см. Символы математической логики.
ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ ПОЛУОСЬ — см. Декартовы системы коор-
динат (на прямой).
ОТРИЦАТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ НА ПРЯМОЙ —см. На-
правления на прямой.
ОТРИЦАТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА.
п п
Действительная квадратичная форма /(*1, х», ..., х„) = 2 2 т
!=\
называется О.-о.к.ф., если Цхг, х8, ..., х„) < 0 для любого набора
значений переменных хг, хг, ..., х„, среди которых есть хотя бы одно,
отличное от нуля.
Т1. Если квадратичная форма является О.-о. к.ф.,то отрицатель-
но определена и всякая форма, ей эквивалентная.
Т2. Если квадратичная форма от п переменных является
О.-о. к. ф-,то при п четном определитель ее матрицы положительный,
а при нечетном — отрицательный.
ТЗ. Нормальный внд О.-о. к. ф. от п переменных содержит п от-
рицательных квадратов.
Т4. (Критерий отрицательной определенности.) Действительная
квадратичная форма является О.-о. к. ф. тогда и только тогда, когда
все главные мииоры ее матрицы нечетного порядка отрицательны, а
все главные миноры четного порядка положительны.
ОТРИЦАТЕЛЬНЫЙ ИНДЕКС ИНЕРЦИИ действитель-
ной квадратичной формы — число отрицательных квадратов
в нормальном виде квадратичной формы.
отыскание наибольшего и наименьшего значе-
ний НЕПРЕРЫВНОЙ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИИ. Пусть функция
/ непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на ]а, 6[, за исклю-
чением, может быть, конечного числа точек аь а2, ..., а», и имеет
конечное число стационарных точек сь с2.ст на ]а, 6[. Тогда наи-
большее и наименьшее значения функции | на [а, 6] (глобальные
максимум и минимум функции /) могут быть найдены следующим
образом:
тах/=тах{/(а), /(а^, ..., /(а„), /(а)........ /(ст), /(6)};
[о, Ь]
тш /=пйп{/(а), /(аО, .... /(а„), /(с^....../(ст), /(6)}.
[о. *]
Отметим, что у непрерывной на [а, 6] функции шах / и пНп /
[о, Ь] [о, Ь]
всегда существуют (см. Свойства функций, непрерывных на отрезке).
ОЦЕНКА НАИБОЛЬШЕГО ПРАВДОПОДОБИЯ — см. Метод наи-
большего правдоподобия.
ОЦЕНКА НЕИЗВЕСТНОГО ПАРАМЕТРА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.
Пусть функция распределения случайной величины $ зависит от неиз-
вестного параметра 0: Р^ (х) = Р^ (х, 0). Оценкой параметра 0 по
выборке (Хг, Хг...Х„), взятой из генеральной совокупности слу-
чайной величины называется произвольная функция 0* «•
= 0„ (Х1, Хг..Хп). Выборка, с одной стороны, является п-векто-
ром, с другой — п-мерной случайной величиной. Соответственно с
этим в двух качествах (как число и как случайная величина) высту-
пает и оценка. Говорят, что 0* — несмещенная оценка параметра 0,
если М&а = 0 при любом п. Оценка 0П называется состоятельной,
если для любого е > 0 Нш Р 0* — 01 < е) = 1.
ОШИБКА ПЕРВОГО РОДА, ВТОРОГО РОДА —см. Критерии со-
гласия.
ПАРАБОЛА — плоская линия, которая в подходящей декартовой
системе координат может быть задана уравиеинем
у2=2рх, р>0.
Уравнение (1) называют каноническим уравнением П.
Ось абсцисс канонической системы ко-
ординат является осью симметрии П. Т оч-
ку О (0, 0) называют вершиной П., точку
(р \ Р
—, 0) —фокусом П., прямую х = — ——
директрисой П., отрезок прямой, соеди-
няющий произвольную точку М линии с
фокусом,— фокальным радиусом П. (см.
рис. 1). Величину р называют фокальным па-
раметром или просто параметром П. Ои
равен длине перпендикуляра к осн П., вос-
ставленного из фокуса до точки пересе-
чения с П.
(1)
Т1. Для того чтобы точка лежала на П., необходимо и доста-
точно, чтобы она была одинаково удалена от фокуса и от директ-
рисы П.
Т2. Касательная к П. в произвольной ее точке Мо образует с
осью П. н фокальным радиусом точки касания равные углы.
Уравнение касательной к П. в точке М0(Хо, Уо) есть ууо=р(х+хо).
Из Т2. следует оптическое свойство П.: лучи света, исходящие из
фокуса П„ после зеркального отражения от П. образуют пучок, па-
раллельный оси П. На этом свойстве основано, например, устройство
прожектора.
Уравнение П. в полярных координатах (полярное уравнение П.)
I — соз ф"
Замечания: 1. Иа Т1 следует, что для любой точки П. отношение
расстояния г от этой точки до фокуса и расстоянию Л до директрисы равно
единице. Так как для эллипса и гиперболы-^•« с, то по аналогии (по опреде-
лению) эксцентриситет П. полагают равным единице. 2. Наряду с уравнением
(1) рассматривают уравнения р!—— 2рх, ха—2чу, х‘——2ду. Они также задают
параболы, изображенные на рис. 2.
Рис. 2
ПАРАБОЛА НЕЙЛЯ — то же, что полукубическая парабола.
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ СПИРАЛЬ — плоская линия, уравнение
которой в полярных координатах имеет вид р=аУ<р+/, где а, I — по-
стоянные, />0 (см. рис. 1 на с. 302).
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ТОЧКА поверхности — точка, а ко-
торой гауссова кривизна К равна нулю.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — множество точек простран-
ства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат
Охуг удовлетворяют уравнению
х2-2ру, р>0, (I)
называемому каноническим уравнением П. ц. П. ц. можно рассматри-
вать тЬкже как цилиндрическую поверхность, направляющей которой
является парабола, заданная в системе координат Оху уравнением
(1), а образующие параллельны оси Ог (см. рис. 2 ка с. 302). П. ц.
симметричен относительно плоскости Оуг-, плоскости Оху и любой
плоскости, ей параллельной; оси Оу и любой прямой, ей параллель-
ной и пересекающей ось Ог. В сечениях П. ц. плоскостями могут
получиться одна или две прямолинейные образующие, а также пара-
болы любого параметра.
ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ — см. Эллиптический параболоид.
ПАРАЛЛЕЛЬ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ—см. Поверх-
ность вращения.
Р и с. 1
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС —см. Вектор.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ—см. Способы
аналитического задания линий.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТИ—см. Век-
торно-параметрическое уравнение плоскости.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ—см.
Поверхность, Способы аналитического задания поверхностей.
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ —см. Векторно-
параметрическое уравнение прямой.
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХ-
НОСТИ — квадрат дифференциала 4г = гиби гойо, т. е. <р, = 4га =
= 4з2 = г24и2 + 2 ( г„ • гр) йиЛо + г24о2. Коэффициенты этой формы
обозначают соответственно Е =• г2, Р =• ги • г0, О = г^, т. е. <р( =
= 4а2 = Е (и, у) 4м2 2А (и, о) 4и4о + О (и, о) Ло2. В координатах
Е “ + Уи + 4 ^-»А + УиУь + «А. О-4 + ^ + 4 В не‘
особых точках поверхности Е > О, О > О, ЕС — Р* > 0, т. е.
П.о.к.ф.п. является положительно-определенной квадратичной формой.
См. также Угол между двумя линиями на поверхности, Площадь
поверхности.
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА — см. Свойства функций,
непрерывных на отрезке.
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ. Если функция Р (р) разла-
гается в окрестности бесконечно удаленной точки в сходящийся ряд
Лорана, имеющий вид Р (р) »
Сп
рЛ+1
, « Р (р) является изобра-
жением оригинала
со
О , I < 0.
См. также Обращение интеграла Лапласа.
ПЕРВООБРАЗНАЯ. Функция Р называется первообразной функ-
цией или просто П. функции ) на промежутке X, если Р(х) дифферен-
цируема иа X и Р'(х)—{(х} для Ух€Х. (На конце промежутка,
если ои входит в X, имеется в виду соответствующая односторонняя
производная.) Если Р — П. для / на X, то функция Р+С, где С —
постоянная, также является П. для / на X. Если Р и Ф — две П. для
I иа X, то существует постоянная С, такая, что Ф(х)~Р(х)+С. См.
также Неопределенный интеграл.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ВЫРАЖЕНИЯ
Р (х, у) ах + <2 (х, у) йу в области Е — такая функция и (х, у),
для которой = Р (х, у) ах + 0 (х, у) ау, \ (х, у) € Е (тогда Рйх +
+ 0<1у называют полным дифференциалом). Если Р и <2 непрерывно
дифференцируемы иа односвязиой области Е, то для существования
первообразной необходимо и достаточно выполнение условия Эйлера
дР дО
^(х, У)Ъ{Х' У)г У(Х’ У)^Е-
Если оно выполнено, то первообразную, обращающуюся в нуль в
точке (Хд, у0}, можно найти как криволинейный интеграл второго
рода
(х, ₽)
« (х, у} = / Р (х, у} Ох 4- 0 (х, у) ду,
(х«, Г,)
ИЛИ
5 в
и(х, У)=“ ] Р (*. у} Л* + С (хо, у) ау,
х,
или же
9 5
«(*. У) — У)аУ + \р(*> Уо}бх,
V» *•
Все первообразные получаются из одной прибавлением произвольной
постоиииой.
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что первообразная.
ПЕРВООБРАЗНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ: I зй хйх=
«= ей х + С; I ей хбх => зк х 4- С; У Ш х4х =» 1п скх + С; У сПз х4х =
С (1х С йх
>= 1п I зкх|С; | ——=»—сН1х + С; I ———°(Ьх+С. См.
1 ’ Л зЬ’х Л ск'х
также [2].
ПЕРВООБРАЗНЫЕ КОРНИ п-й степени из единицы.
Всякий корень й-й степени из единицы является также корнем /й
степени из единицы для всякого I, кратного к. Из этого следует, что
в множестве всех корней п-й степени из единицы некоторые из них
являются корнями т-й степени из единицы для тех т, которые будут
делителями числа п. Но при этом для любого п существуют корни
п-й степени, не являющиеся корнями из единицы степени, меньшей п.
Их н называют П. к.
2л 2л
Т1. Для любого числа число в1 = соз— + /51П—
п п
(см. Извлечение корней из комплексных чисел) является П. к. п-й
степени из единицы.
Т2. Корень п-й степени из единицы тогда и только тогда будет
П. к., если его А-е степени (й=0, 1, 2.п— 1) различны.
ТЗ. Если е — П. к. п-й степени из единицы, то е* тогда и только
тогда будет П. к., когда числа к и п взаимно просты.
ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕ-
НИЯ— см. Интеграл дифференциального уравнения.
ПЕРВЫЙ ИНТЕГРАЛ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ —см. Интеграл системы дифференциальных уравнений.
ПЕРЕГИБ ГРАФИКА —см. Точки перегиба.
ПЕРЕМЕСТИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — то же, что закон коммута-
тивности.
ПЕРЕСТАНОВКА из п натуральных чисел 1,2..., п—
любое их расположение в определенном порядке. Запись: (аь а2, ...,
ав), где каждое а(— одно из чисел1,2, п,а<^а). Число различных
П. (т. е. отличающихся расположением хотя бы одного числа) рав-
но п!.
ПЕРЕСТАНОВКА ЧЛЕНОВ ЧИСЛОВОГО РЯДА —см. Дейст-
вия с числовыми рядами.
ПЕРЕСТАНОВОЧНЫЕ МАТРИЦЫ — то ж®, что коммутативные
матрицы,
ПЕРЕХОД К ПРЕДЕЛУ В НЕРАВЕНСТВАХ. Пусть последова-
тельности (хп) и (уп) сходятся. Тогда из хп^уя» Нт
И-»-со
Пт уп. В частности, из хп < а, Чп*=> Ит хп^а. Если последо-
Н-*-оо Л-*-оо
вательиости (хп) и (уп) сходятся к общему пределу и хп < гп уп,
Уп, то н последовательность (гп) сходится и имеет тот же предел.
Отметим также, что если (х„) сходится и х„6[а, Ь] для Уп, то и
Пт хп€[а, &]•
П-,«о
ПЕРИОД ФУНКЦИИ — см. Периодические функции.
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Функция / называется перио-
дической, если для нее существует такое число /^=0, что при любом
х из области определения функции I числа х—1 и х+1 также принад-
лежат этой области и выполняется равенство Нх+1)*=[(х). В этом
случае число I называется периодом функции /. Обычно периодом
функции [ называют наименьший положительный ее период (если он
существует). Сумма, разность, произведение н частное функций с
периодом I также являются функциями с периодом I. Если функция
периода I интегрируема иа некотором отрезке длины I, то оиа ин-
тегрируема иа всяком другом отрезке той же длины и при этом
а+1 I
У / (х) Ах = У / (х) Ах при любом а € К.
а О
ПЛОСКАЯ ЛИНИЯ — линия, все точки которой принадлежат
некоторой плоскости. Кручение П. л. равно нулю. См. также Линия,
Способы аналитического задания линий.
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ — см. Скалярное поле.
ПЛОСКОСТЬ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА—см. Геометри-
ческое истолкование решений систем линейных уравнений.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА—см.
Абсолютно непрерывный случайный вектор.
ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ —
см. Абсолютно непрерывная случайная величина.
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТО-
РА — см. Абсолютно непрерывный случайный вектор.
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИ.
НЫ — см. Абсолютно непрерывная случайная величина.
ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ. Пусть гладкая поверхность 5 задана
уравнением г»Ф(и, и), (и, я) $ Г>. Произведем разбиение области
В на части Ек. Выберем на Ек произвольную точку (ик, ок) и в точ«
ке (Ф1 (ик, ок), Ф2 (ик, ок), Фз (ик, вк)) поверхности 5 проведем ка-
сательную плоскость. Спроецируем на касательную плоскость ту часть
поверхности 5, которая соответствует Ек при отображении Ф, и обо-
значим площадь проекции через &Тк. Просуммируем по всем к:
п
= &Тк. Предел а при стремлении к нулю диаметра разбиении 5
4=1
называют П.п. 5.
П.п. 5 можно найти по формуле
пл. 5 “ $ V ЕС — Р* диЛо,
трр Е ги • ги*- % О = г0 • г0 = г*; Р = ги • ги, или
пл. 5
да + 4. с* диЛо
(о коэффициентах А, В, С см. в ст. Нормальный вектор к поверх-
ности). Если поверхность 5 задана явным уравнением г =•/(*, у),
(х, У) € О, то
“]/ ,+Ш+Ш
ПЛОЩАДЬ ФИГУРЫ — см. Квадрируемые фигуры.
ПОБОЧНАЯ ДИАГОНАЛЬ квадратной матрицы — см.
Квадратная матрица.
ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ скалярного поля — поверхно-
сти и(х, у, г)—С (см. Скалярное поле), где С=соп«1. Функцию,, за-
дающую скалярное поле, иногда называют потенциалом, и поэтому
П. у. Называют еще эквипотенциальными поверхностями, т. е. по-
верхностями равного потенциала. Уравнение П. у., проходищей через
точку Р(Хо, у0, г0), имеет вид и(х, у, г)-и(хе, у0, г0). Так как
“(*> У> *)—однозначная функция, через каждую точку поля про-
ходит только одна П. у. В случае плоского поля П. у. и(х, у) =
-С являются цилиндрическими поверхностями с образующими, па-
раллельными оси Ог. Если плоское поле рассматривать только на
плоскости Оху, то уравнение и(х, у)=С определяет совокупность
его линий уровня.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА. Произведем
разбиение гладкой ориентируемой поверхности 5 (так же, как и для
поверхностного интеграла первого рода) и составим интегральную
сумму: аху = 2^*’ ’1ь (±пл- рк), где Рк — проекция Зк на
*>=:
плоскость Оху, знак плюс или минус выбирается в зависимости от
ориентации поверхности: плюс, если угол между выбранными направ-
лением нормали и положительным направлением оси Ог — острый, и
минус, если этот угол тупой. Если существует предел интегральных
сумм оху прн стремлении диаметра разбиения к нулю и этот предел
не зависит ни от способа разбнення, ни от выбора точек т^,
то его называют П.и.в.р. от функции / по поверхности 5 и обозна-
чают И/(х, У, г)йхйу. Аналогично определяют интегралы
5
И у (х, у, г) дхдг и || Н (х, у, г) дудг. Часто рассматривают П.и.в.р.,
8 8
являющийся суммой трех указанных интегралов, и записывают его
единым символом
У, *) буск + 8 (х, у, г) с1хс1г + {(х, у, г)йх<1у.
5
См. Вычисление поверхностных интегралов второго рода, Свойства
поверхностных интегралов второго рода.
ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА. Пусть на
гладкой поверхности 5 задана функция (. Разобьем 5 кусочно-глад-
кими кривыми иа конечное число частей 5», 4-1, 2, ..., п, и обозна-
чим через Д5» площадь части 5*. Диаметром части 5* назовем число
б* =^прр(А, В), где р(А, В)=1п({/}, I — длины дуг всевозможных
спрямляемых кривых, соединяющих точки А и В и расположенных
на 5». Диаметром разбиения поверхности $ будем навивать число
б—тах {б*}-
Составим интегральную сумму:
п
о = У, / (5л>
где т)л, — произвольная точка, принадлежащая 3*. Если при
б -► 0 существует предел интегральных сумм о и ои ие зависит ни от
выбора точек (6*, т)*, Е»), ии от способа разбиения поверхности 5
иа части, то этот предел называют П. и. п. р. от функции / по поверх-
ности 3 и обозначает И / (х, у, г) 43.См. Вычисление поверхностных
интегралов первого рода. Свойства поверхностных интегралов перво-
го рода.
ПОВЕРХНОСТЬ. Множество Зс№ называется П., если оио яв-
ляется образом открытого связного множества Р из К2 при некотором
непрерывном отображении, т. е. существует непрерывная функция
Ф: Р->К8, чтоФ(Р) = 3. Если ф = (Фь Ф8, Ф3), то уравнения
х — Ф1 (и, о), уе=Ф2(и, п), г = Ф8(и, о), (и, о) (О, называют па-
раметрическими уравнениями П., а г=Ф(и, о) — векторно-пара-
метрическим уравнением П. Если существует такая функция Ф,
что УЛ11 € О, УЛЬ С Р, Л41ЛЬ => Ф Ф (М^, то П. 3 назы-
вают простой Л.
Если функция Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) непрерывно дифференцируема
на Р и
ЭФ1 <ЭФ1
ди до
гапк 4Ф, дф$
ди до
6Ф8 <ЭФ2
5а до
для V (а, о) € Р, то П. 3 называют гладкой. В этом случае в окрест-
ности каждой точки М € Р П. можно однозначно спроецировать хотя
бы на одну из координатных плоскостей Оху, Охг или Оуг. П. можно
представить в виде объединения конечного или счетного числа простых
кусков. См. также Способы аналитического задания поверхностей.
ПОВЕРХНОСТЬ ВРАЩЕНИЯ — поверхность, образуемая вра-
щением некоторой плоской линии вокруг Прямой (оси П. в.), располо-
женной в плоскости этой линии. Линии пересечения П. в. с плоскостя-
ми, проходящими через ее ось, называются меридианами П. в.; линии
пересечения П. в. с плоскостями, перпендикулярными к оси, называ-
ются параллелями П. в. Параллели П. в.— окружности. Если за ис-
ходную линию взять линию х=/(и), х=ф(и) в плоскости Охг и вра-
щать ее вокруг оси Ог, то параметрическими уравнениями П. и. будут
х=((и)соз V, у=}(и)8\п о, г=<р(п).
ПОВЕРХНОСТЬ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ — множество точек про-
странства, координаты которых в некоторой декартовой прямоуголь-
ной системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
011Х*+а22у2+а33г2+2апху+2а,3хг+2а23у г+
Ч-2а1х-(-2а2у4-2а3г-|-а=0, (1)
причем среди коэффициентов ап, а22, ам, а13, а13, а23 есть хотя бы
один, отличный от нуля.
Т1. Уравнение (1) определяет одну из следующих поверхностей:
X2 У2 Т.2
1) + -р- + = 1 — ЭЛЛИПСОИД:
у1 ух 2»
2) + -^2 + = —1 — 0 (называют иногда мнимым эл-
липсоидом);
X2 Г> 2* „
3) + -р- + = 0 — точка (мнимый конус);
X» у» х.2
4) -^7 + -&• — “ 1 — одиополостиый гиперболоид;
X2 У2 г2
5) а2 + •-р- — —& =• —1 — двуполостиый гиперболоид;
X2 У2 г2 „
6) •= 0 — коиуо второй степени;
X» ух
7) — 4- — = 22 — эллиптический параболоид;
8) = 22 — гиперболический параболоид;
№ У*
9) -^7 4* «= 1 — эллиптический цилиндр;
X* У1
1°) =* —1 — 0 (мнимый эллиптический цилиндр);
X* У*
11) “^г + зг=*0 —прямая (Х = 0, У => 0);
X» уа
12) =* 1 —гиперболический цилиндр;
X1 У2
13) —-——--«=> О —паРа пересекающихся плоскостей;
14) Х2=2рУ — параболический цилиндр;
15) Х2=а2 — пара параллельных плоскостей;
16) Х2= — аг — 0 (пара мнимых параллельных
плоскостей);
17) Х2=0 — пара совпадающих плоскостей.
Введем следующие обозначения:
ь-|г 21+12 21+12 21'
/» =
ац ац аи
оц агг а» ;
013 02» а»»
ац ац аи 01
оц ап ап а»
ац ап 01» а»
аг а» аз а
I оц аг I , I ап а» I . I а»» а» I
IО1 а | “ | а» а | ' | а» а |’
ац ац О1
ац Ом о»
01 Оз а
ац аи О1
Ям Озз Оз
О1 а» а
Озз о» °з|
озз Озз а» I.
в! а, а I
Отметим, что /|, I», 11, 1* являются инвариантами П. в. с. по отноше-
нию к множеству ортогональных преобразований пространства.
Т2. Необходимыми и достаточными признаками поверхностей
вида 1—17 являются:
1) 4=> /2 > О, Л/, >0, Л < 0;
2) *> /2 > 0, Л/3 >0, /4 > 0;
3) <=>/«>• 0, /1/3>0, /« = 0;
4) <=»/2^0; /1/3<0, /«>0;
5) <=>/2<0, Л/3<0, /4 <0;
6) <=> /, < 0, /!?, <0, /« = 0;
7) <=>/«<0;
8) «=»/«> 0;
9) <=> /2 > 0, / < 0;
10) «=>/,> 0, /1/С8 > 0;
11) <=>/> >0, Х2 = 0;
12) «=> /, < 0, Кг * 0;
13) «=> /2 < 0, Кг = 0;
14) <=> /2 = /3 = /4 = О, Кг э* 0;
15) &К1 <0;
16) «=>Я1 >0;
17) <=> К1 = 0.
Характеристическое уравнение П. в. с. имеет вид X’—/1Х2+72Х—
—7з=0, все его корни Хъ Хг, Хз— действительные числа.
С учетом введенных обозначений каиоинческне уравнения
П. в. с. имеют один из следующих видов:
для поверхностей 1—6
Х1Х» +х,г> + х»г* + ~ = О,
ъ
поверхностей 7, 8
Х1Х1 + х,г> ± 21/ — г = о,
Г
поверхностей 9—13
Х^’ + Х.Г* 4-^ «о,
поверхности 14
Х1Х1±2]Л —-^Г = 0,
поверхностей 15—17
х1ха + 41 = о-
/1
Координаты центра П. в. с. определяются как решение системы
линейных уравнений
вцх 4- ацу 4- 0132 -|- 01 = 0;1
ОцХ 01гУ 4- 4" Ог = 0; |
в1з* 4- ОазУ 4" а3з? 4* Оз = 0.1
См. также Приведение уравнения поверхности второй степени к
каноническому виду.
ПОВТОРНЫЕ ПРЕДЕЛЫ функции нескольких пере-
менных. Пустьи = /(х, у) — функция двух переменных, заданная
в некоторой проколотой окрестности И (а) точки а = (О1, аз), и для
каждого фиксированного у существует предел функции / (х, у) одной
переменной х в точке 01 Пт } (х, {/) = <₽(«/). Пусть, кроме того, су-
х->а,
шествует Нт <р (у). В этом случае говорят, что существует повтор-
у-а,
иый предел функции /(х, у) в точке а, который обозначают так:
11т Пт / (х, у). Аналогично определяется Нт Пт / (х. у). Во-
у-*а, х-*-а, х--а, у-*а2
обще говоря, из существования предела функции / в данной точке
не следует существование повторных пределов в этой точке, а из су-
ществования повторных пределов не следует существование предела.
ПОВТОРНЫЙ ИНТЕГРАЛ — см. Вычисление двойных интегра-
лов сведением к повторным, Вычисление тройных интегралов сведе-
нием к повторным.
ПОГРЕШНОСТЬ — 1) Вычислений состоит из: П. е0 началь-
ных данных, которая не зависит от математической стороны решения
задачи и называется обычно неустранимой П.; П. г численного мето-
да решения задачи, которую называют еще погрешностью аппрокси-
мации-, П. б, возникающей из-за округлений при вычислениях и назы-
ваемой вычислительной П.
2) в (ошибка) приближенного числа а — разность
между соответствующим точным числом А и его приближенным зна-
чением а, т. е. в=А — а. Число е называют также П. приближенного
равенства а*=А. Во многих случаях знак ошибки неизвестен, и тогда
используют абсолютную П. |е| приближенного числа а-. |е| = |А —а|.
Абсолютная П. имеет, вообще говоря, теоретический интерес, посколь-
ку, как правило, неизвестно точное число А. Практически же удается
оценить величину е, т. е. построить верхнюю границу Д величины
|е|. Тогда |А—а| = |е|СД- Величину Д называют границей П. е или
предельной абсолютной П. приближенного значения а. Точное зна-
чение А лежит в пределах а—Д^Л^а+Д или в условной записи
Л = а±Д. Число Д определяется неоднозначно, его стараются вы-
брать по возможности наименьшим. Качество приближенного зна-
чения а определяется не только величиной Д, но и приближаемой
величиной. В связи с этим используют относительную П.— отноше-
• I с I
ние абсолютной П. к модулю числа а: бв = —, или предельную от-
носительную П. ба — -—. Относительную П. обычно выражают в процен-
1«1
тах.
ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ —см. Погрешность.
ПОГРЕШНОСТЬ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ — модуль разности решения урав-
нения с начальным значением Мо и приближенного решения с тем же
начальным значением.
ПОДМНОЖЕСТВА МНОЖЕСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИ-
СЕЛ. Основными П. м. д. ч. К являются: — множество всех на-
туральных чисел, 1 — множество всех целых чисел, 2о — множест-
во всех неотрицательных целых чисел, О — множество всех рацио-
нальных чисел, К+ — множество всех положительных действитель-
ных чисел, Ко — множество всех неотрицательных действительных
чисел, а также промежутки и совокупности промежутков.
ПОДОБНЫЕ МАТРИЦЫ. Говорят, что квадратная матрица
В порядка п подобна квадратной матрице А того же порядка, если
существует такая иевырождеииая матрица 5, что В=5-1А5. Так
как А = Т-1ВГ, где Т=8~', то А также подобна В, и поэтому про-
сто говорят о П. м. П. м. имеют одинаковые определители, собствен-
ные значения, ранги, характеристические уравнения. Они изобра-
жают один и тот же линейный оператор в разных базисах.
Т. (Критерий подобия матриц.) Для того чтобы две матрицы
А и В одного и того же порядка были П. м., необходимо и доста-
точно, чтобы их характеристические матрицы были эквивалентными.
ПОДОБНЫЕ ЧЛЕНЫ МНОГОЧЛЕНА — см. Многочлен.
ПОДПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ. Если (п*)—возрастающая
последовательность натуральных чисел, то последовательность
(хЖ(Ь) называют П. заданной последовательности (хж). Если после-
довательность сходится, то любая ее П. сходится к тому же пре-
делу. Любая последовательность содержит монотонную П. У вся-
кой ограниченной последовательности существует сходящаяся П.
ПОДПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. Множест-
во V элементов линейного пространства V называется П.л.п. V, если
выполняются следующие условия: 1) в множестве V' операция сложе-
ния элементов и умножения элемента на число определяется так же,
как в множестве V; 2) если х, у(. V', то * + У';- 3) если х€ V и
а€К(С), то ах € У'. Всикое_П.л.п. само является линейным про-
странством. Нулевой элемент 0 линейного пространства образует под-
пространство этого пространства. Само пространство V можно рассмат-
ривать как подпространство пространства V.
ПОДСТАНОВКА степени п — взаимно однозначное отображение
множества из я символов (для удобства берут первые я натуральных
чисел) иа себя. Запись: ”• где (сь, а2.........а„),
(Р1, Ра..Рп) — перестановки из я натуральных чисел 1, 2.я.
Любая П. может быть записана в виде /=(/(1) /(2) ”• /%))’ Т- е*
с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Т. Число различных П. множества из л элементов равно я!.
ПОДСТАНОВКИ ЭЙЛЕРА — см. Интегрирование некоторых
иррациональных выражений.
ПОДЫНТЕГРАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ—см. Неопределенный
интеграл.
ПОДЫНТЕГРАЛЬНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ —см. Неопределенный
интеграл.
ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ РОСТА — см. Преобразование Лап-
ласа.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ — функция, заданная формулой
у = ах, где а — некоторое положительное число. Если а = е, тоП.ф.
называют экспонентой и обозначают у = 6х = ехр (х). Множество за-
дания П.ф. — Ц, множество значений —Кц.. П.ф. непрерывна на К,
дифференцируема, возрастает при а>1, убывает при 0<а<1.
Свойства П.ф.: ах = ех1па; (а*)' = ах1па; (₽*)'= в*; { ахйх =»
— + С; I ех<1х = 6х -|- С.
1п а
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ в комплексной области
№ = Если г = х + й/, то е2 = 6х (соз у + у), |е21 = е2,
Дгое2 —у + к$Т. П.ф. аналитична во всей плоскости, (в2)' —
ОО
, VI г*
= е2. Функция представима рядом е2 ~ , который сходится
для V», |г|<+оо. Свойства П.ф.! в2*е2* = е2,+2‘, е2+2я/— е2,
= |, вм — —I, («2)а = е“2. Функция щ = а2 сводится к изу-
ченной: а> = е2Ьпа (см. Логарифмическая функция).
ПОКАЗАТЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютно непрерывная
случайная величина $ имеет П.р. с параметром Х> О, если
( 0 , х < 0;
^(Х, = И,х>0.
Математическое ожидание, дисперсия и характеристическая функция
случайной величины, имеющей П.р., равны соответственно: А1^ =
= —. = = А —й'
ПОЛЕ — см. Числовое поле.
ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИИ — область пространства или поверх-
ности, с каждой точкой которой свизано направление. Например,
всякое векторное поле можно рассматривать как П. и.
ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИИ дифференциального урав-
нения
У'4(х,у)— (I)
область О(/)еК2, в каждой точке которой отмечено направление
(угловой коэффициент, равный /(х, у)) касательной к интегральной
кривой (I). Линия у=у(х) является интегральной кривой (I) в
том и только том случае, когда она служит характеристикой поля
направлений, т. е. имеет в каждой своей точке касательную с угло-
вым коэффицневтом [(х, у), предписанным П. н. (другими словами:
характеристика в каждой точке касается направления поля в
этой точке).
П. и. используют для выявления общих свойств семейства
линий (1) и для графического интегрирования дифференциального
уравнения (1), когда, отправляясь от начальной точки Мо вправо,
последовательно строят ломаную Эйлера ... Мт, состоящую
вз отрезков направление которых на левом конце М*_]
совпадает с направленвем поля в точке М*-!, а проекцвя на ось
Ох равна по длине предписанной величине Н — шагу ломаной Эйле-
ра. Аналогичную схему используют и для построения ломаной
Эйлера влево. Ломаная Эйлера является графиком приближенного
решения (1) с начальным значением Мо. Погрешность этого при-
ближенного решения уменьшается прн уменьшении шага ломаной
Эйлера,
ПОЛИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА линейного «-мерного
пространства Уп — числовая функция нескольких векторных
аргументов, линейная по каждому вз ннх. Если аргументов два,
П. ф. называют билинейной формой.
ПОЛИНОМ — то же, что многочлен.
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ МАТРИЦА —см. Матрица.
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СХЕМА распределения веро-
ятностей. Пусть производится п, независимых испытаний, каж-
дое из которых может иметь к исходов А,, Аг, .... А*, причем веро-
ятности Р(А{)=р{, (=1, 2. к, каждого из этих исходов не ме-
няются от нспытанвя к испытанию. Тогда вероятность того, что в
п, испытанвях событве А{ превзойдет раз, Аг—/Пг раз, .... А*—/п*
раз (т1+/пг+—+ 'пх=п), равна
.......т11тг1^Р^’ -
к
Заметим, что 2 р1 1.
ПОЛНАЯ ГРУППА СОБЫТИЙ. События Аь Аг, .... А„ образу-
ют П.г.с., если они попарно несовместны (А^А; = 0, I =* /) и их
(л \
2 = Й . Отсюда следует, что в
(=1 /
результате случайного эксперимента происходит одно и только одно
событие из П.г.с. Если А1( Аг..Ап образуют П.г.с., то
2 Р(А/) = 1.
I—1
ПОЛНАЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ—то же, что гауссова
кривизна.
ПОЛНАЯ СИСТЕМА. Ортогональная система векторов е», ....
еп, ... предгильбертова пространства Н называется полной, если, кро-
ме нулевого, не существует никакого другого элемента х € Н, который
был бы ортогонален ко всем элементам^, к{ М, системы е^, е2, е„, ...
ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ —см. Приращение
функции нескольких переменных в точке.
ПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ — общее уравнение
Ах+Ву+Сг+Л=0, у которого все коэффициенты А, В, С, О от-
личны от нуля. П. у. всегда может быть приведено к уравнению
поверхности *в отрезках».
ПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ на плоскости. Общее
уравнение прямой Ах+В{/+С=0 называется полным, если все его
коэффициенты А, В н С отличны от нуля. П. у. всегда может быть
приведено к уравнению прямой «в отрезках».
ПОЛНОТА И ЗАМКНУТОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ. Основная тригонометрическая система 1, з1п х,
соз х, .... 51п пх, соз пх, ... является замкнутой, т. е. для любой функ-
ции интегрируемой с квадратом, я любого положительного е су-
ществует такой тригонометрический многочлен Т(х), что
|| / (х) - Т (х) Ц = у4 (/ (х) - Т (х))2 Лх < е.
Основная тригонометрическая система является полной, т. е. кроме
функции, тождественно равной нулю, не существует непрерывной
функции, которая в промежутке [—л, л] (нлн на каком-нибудь
другом промежутке длины 2л) была бы ортогональна всем функци-
ям основной тригонометрической системы. Для тригонометрической
системы понятия полноты и замкнутости равносильны. Из полноты
тригонометрической системы вытекает справедливость следующих
утверждений.
1. Дли любой функции /, интегрируемой с квадратом н имеющей
период 2л, справедливо равенство
2 " . я
Т + ^(°* + 61)°~ \?Ме1х’
к^1 -Я
где а* в 6* — коэффициенты рнда Фурье функции } по основной
тригонометрической системе. Это равенство называют равенством
Парсеваля — Стеклова илн уравнением замкнутости.
2. Тригонометрический рид Фурье 2я-периоднческой функции,
интегрируемой с квадратом на [—я, я], можно интегрировать по-
членно.
3. Тригонометрический ряд Фурье 2я-периоднческой функции
Л интегрируемой с квадратом, сходитси в среднем к этой функции.
4. Если две 2л-перноднческие функции, интегрируемые с квад-
ратом, имеют одинаковые тригонометрические ряды Фурье, то эти
функции совпадают на отрезке [—я, л], за исключением, может
быть, конечного числа точек.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ г(и, о)—
см. Частные производные вектор-функции.
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕ-
МЕННЫХ. Если функция [ дифференцируема в точке х =
|= (*1, ..., хя)€Кп (см. Дифференцируемость функции нескольких
переменных), то выражение АхАхт + ... + АяДхя называют полным
дифференциалом функции / в точке х или дифференциалом функции /
и обозначают д[ (х) илн просто й/. Итак, д[ = АхДх1 + А2Дх2 +
д/
+ ... + АяДхя. Учитывая, что А* = -—(х), Дх* = йх*, к=1,..,,п,
дхк
получаем
д( , дГ
д( = я дХ1 + дх3 + ... + дхп.
ОХх ох2 охя
Дифференциалы функций нескольких переменных обладают свойства-
ми, аналогичными свойствам дифференциалов функции одного перемен-
ного. Например, если и и о — дифференцируемые функции нескольких
переменных, то д (аи + ₽о) = ади + рдо (а, 0 — постоянные),
(и \ оди — идо
— 1 ----—----(о 4= 0). См. также Инвари-
антность формы первого дифференциала. Первообразная дифферен-
циального выражения.
ПОЛНЫЙ ОБРАЗ ЭЛЕМЕНТА прн отображении —
см. Отображение.
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ ПОЛУОСЬ —см. Декартовы системы
координат (на прямой).
ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ НАПРАВЛЕНИЕ НА ПРЯМОЙ —см.
Направления на прямой.
ПОЛОЖИТЕЛЬНО-ОПРЕДЕЛЕННАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА.
п п
Действительную квадратичную форму / (х2, ж.х„) ~ 2 2
1=1 1=1
называют П.-о.к.ф., если /(х2, х2, х„)>0 дли любого набора
значений переменных хх, х2, х„, среди которых есть хотя бы од-
но, отличное от нуля.
Т1. Если квадратнчнаи форма является П.-о.к.ф., то положи-
тельно определена и всякая квадратичная форма, ей эквивалентная.
Т2. Если квадратичная форма является П.-о.к.ф., то ан>0 дли
всех <=1, 2, .... п.
ТЗ. Если квадратичная форма ивляется П.-о. к. ф., то определи-
тель ее матрицы положителен.
Т4. Нормальный вид П.-о. к. ф. от п переменных содержит п по-
ложительных квадратов.
Т5. (Критерий Сильвестра.) Действительней квадратичная фор-
ма является П.-о. к. ф. тогда и только тогда, когда положительны
все главные миноры ее матрицы.
ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЙ ИНДЕКС ИНЕРЦИИ
действительной квадратичной фор-
мы — число положительных квадратов в нор-
мальном виде квадратичной формы.
ПОЛУИНТЕРВАЛ— см. Числовые проме-
жутки.
ПОЛУКУБИЧЕСКАЯ ПАРАБОЛА — плос-
кая линия, являющаяся графиком уравнения у2=
= ах3, а=сопз1, а=#=0 (см. рнс.). Ось Ох является
касательной к П. п. в начале координат. П. п. на-
зывается также параболой Нейля.
ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ
ствительная квадратичная форма Цхь х2.... хв) называется поло-
жительно (отрицательно) -полуопределенной, если при любых дей-
ствительных значеииих переменных будет /(хь х2, ..., хп)^0
(/(хь х2, ..., хп) =50). Нормальный вид: ... (г < п) — для
положительно П.к.ф,—у% — ... — у} (г < п) — дли отрицательно П.к.ф.
ФОРМЫ. Дей-
ПОЛУОТКРЫТЫЙ ПРОМЕЖУТОК —см. Числовые проме-
жутки.
ПОЛУПРЯМАЯ—см. Числовые промежутки.
ПОЛЮС. Если «о—изолироваииая особая точка однозначного
характера функции /(г), г0^=оо, и ряд Лорана содержит конечное
(отличное от нуля) число членов главной части, т. е. имеет вид
<(г) - + Лад”-: + - + +Ё
п=0
в проколотой окрестности точки «о (причем с_т=#0), то го назы-
вают П. порядка т функции /. П. первого порядка называют также
простым П.
Для того чтобы 2о была П. функции /(г), необходимо и доста-
точно, чтобы Нт /(г) = оо. Для того чтобы точка г0, г0 =* оо, бы-
ла П. порядка /«'функции /(г), необходимо и достаточно, чтобы эта
функция была представима в виде / (г) = (г— г0) —тФ(г), где <р (г)—
аналитическая в точке го, <₽(го)=й=О (т€1*0- В этом случав
/ (г) ~ А (г — го)-т прн г-> г0, А 0. Точка го = оо является П.
функции / (г), если ее ряд Лорана в окрестности бесконечно удален-
ной точки имеет вид
ОО
/(г) «= с^г"* + с^-хг"*-1 + ... + схг 4- ст + 0.
п=0
Для того чтобы го=<» была полюсом функции (, необходимо и до-
статочно, чтобы ^(г)=гтй(г), где Л(г)—функция, аналитическая в
точке го=оо, Л(о°)=/=0. В этом случае }(г)~Вгт при г->оо, В^=0.
ПОЛЮС ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ —см. Поляр-
ная система координат.
ПОЛЯРНАЯ ОСЬ —см. Полярная система координат.
ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ иа плоскости вво-
дится следующим образом. Выбирают на плоскости какую-нибудь
точку О (называют полюсом) и луч ОА (называют полярной осью;
обычно берут горизонтальный луч). Выбирают также масштаб для
измерения длин и положительное направление поворотов вокруг точ-
ки О (обычно направление против часовой стрелки). Произвольной
точке М плоскости ставят в соответствие; р — расстояние от точки
У,
М до полюса О, <р — угол, на который надо по-
М(р,ф} вернуть луч ОА до совпадения с лучом ОМ
А
7
(см. рис.). Для того чтобы каждая точка плоско-
сти получила вполне определенные значения р
и <р, достаточно считать, что — л<<р^л, а в по-
люсе <р=0 (для всех точек плоскости р^=0). Эти
значения <р (которые в общем случае определены
с точностью до слагаемого 2кп, & € 2) называют-
ся главными значениями полярного угла (иногда берут 0^ф<2л).
Величины р и <р называются полярными координатами точки М,
р — полярным радиусом, ф — полярным углом.
Если одновременно с П. с. к. рассмотреть декартову прямоуголь-
ную систему координат, начало которой совпадает с полюсом
П. с. к., а ось Ох направлена по полярной оси, то очевидно, что для
произвольной точки М(х, у) ПЛОСКОСТИ Х-=рСО8ф, у=рз!пф. Для
выражения полярных координат через декартовы пользуются фор-
мулами:
р = У х» + у» ; соз ф = =
V х2 + у*
; 81Пф =
У
У х’ + уа
Замечание: Полярные координаты — один из видов криволинейных
координат, где одним из семейств координатных линий являются лучи, исхо-
дящие из полюса, другим — концентрические окружности с центром в по-
люсе.
ПОЛЯРНЫЙ РАДИУС— см. Полярная система координат.
ПОЛЯРНЫЙ угол — см. Полярная система координат.
ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА дифференциального
уравнения — см. Дифференциальные уравнения, допускающие
понижение порядка.
ПОРЯДОК ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ — см.
Дифференциальное уравнение
порядка п, Уравнения в ча-
стных производных.
ПОРЯДОК КАСАНИЯ.
Говорят, что две линии / и у
(см. рис.) имеют П. к., равный
л, если отрезок есть вели*
чина (п+1)-го порядка мало-
сти по отношению к отрезку
МК (отрезок (}!. перпендикулярен к общей касательной линий ди/
в точке М), Аналогично определяется П. к. поверхностей или линии
и поверхности (следует только вместо касательной прямой МК рас-
сматривать касательную плоскость к поверхности (поверхностям) в
точке М).
ПОРЯДОК КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ —см. Квадратная мат-
рица.
ПОРЯДОК МАЛОСТИ. Пусть ( и §—бесконечно малые функ-
ции, например при х—>а. Если Я&>0 такое, что / (*) ~ (8(х))к при
х—>а (см. Эквивалентные бесконечно малые), то говорят, что { имеет
П. м. к по сравнению с § при х->а. Чаще всего в роли @(х) высту-
пает |х—а( или (х—а) (но в последнем случае, вообще говоря, к
должно быть натуральным). Если х-*-оо, то в качестве §(х) можно
брать 1/|х| или 1/х.
ПОРЯДОК ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ — см. Определитель.
ПОРЯДОК СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — см. Система дифференциальных уравнений.
ПОРЯДОК СОПРИКОСНОВЕНИЯ ЛИНИЙ —см. Соприкосно-
вение линий.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — см. Числовая последователь-
ность.
ПОСТОЯННАЯ ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см.
Числовая последовательность.
ПОСТУЛАТ — то же, что аксиома.
ПОТЕНЦИАЛ — см. Поверхности уровня скалярного поля.
ПОТЕНЦИАЛ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ —см. Потенциальное
векторное поле.
ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ. Векторное поле
а(г) называется П. в. п., если а=§гади, где и = и(г)—скалярная
функция (потенциал векторного поля а). Для потенциальности век-
—>
торного поля а, заданного в одиосвязной области, необходимо и
достаточно, чтобы го1 а=0 (т. е. чтобы оно было безвихревым).
В этом случае потенциал определяется из уравнения ди=ах(1х+
+ау(1у+а1аг.
Замечания. 1. Условие го1 а=-0 является также необходимым и до-
статочным условием независимости линейного интеграла от формы пути ин-
тсгрироваиия. 2. Условие го( а=0 равносильно условию равенства нулю цир-
куляции вектора а по любому замкнутому пути (см. следствие 3 в ст. Тео-
рема Стокса) Имея же в виду физический смысл линейного интеграла (см.
Линейный интеграл в векторном поле) и его связь с циркуляцией, можно
дать следующее определение: векторное поле называется П.в.п., если раббта
поля йдоль любой замкнутой кривой равна нулю.
ПОТОК ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ о (Р) = ахГ + ау/4- агкчерез по-
верхность 5 в сторону, определяемую единичным вектором норма-
ли п = (соз а, соз р, соз у) к поверхности 5, — интеграл
П=Я(а.«)й5 = Паяй5,
5 5
где ап — величина проекции вектора а на направление вектора п.
—>
Если векторное поле а (Р) есть поле скоростей текущей жидкости,
то П.в.п. а (Р) через поверхность 5 определяет количество жидкости,
протекающей через 5 в единицу времени (это и объясняет выбор на-
звания «поток»). Если а (Р) обозначает вектор магнитного поля, то
П.в.п. выражает количество магнитных силовых линий, проходя-
щих через 5.
Другие формы записи П.в.п.:
П «= Л (ах соз а + ау соз р + аг соз у) (18 =
«= И ах(1у(1г + аУ(1х(1г + а^хду.
ъ
См. также Теорема Остроградского.
ПОТОЧЕЧНАЯ СХОДИМОСТЬ тригонометрического
ряда Фурье. Ряд Фурье по тригонометрической системе для
кусочио-дифференцируемой периодической функции / сходится для
всех значений х, причем его сумма равна [(х) в каждой точке не-
/(х + 0) + Нх-0)
прерывности и равна--------------------(среднее арифметическое
предельных значений справа н слева в точке х) в каждой точке
разрыва. Если ( всюду непрерывна, то ряд сходится абсолютно и
равномерно к НЕ-
ПРАВАЯ ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ—1) П. д. с. к.
на плоскости — система, в которой кратчайший поворот от
первой положительной полуоси ко второй совершается против часо-
вой стрелки.
2) П. д. с. к. в пространстве — система, базисные векторы
которой образуют правую тройку.
ПРАВАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРОВ — см. Ориентация тройки век-
торов.
ПРАВИЛО ДЕ МОРГАНА—см. Правило отрицания.
ПРАВИЛО ЗАМЫКАЮЩЕЙ сложения векторов — см.
Сумма векторов.
ПРАВИЛО КРАМЕРА — правило решения невырожденных си-
стем п линейных уравнений с п переменными по формулам. Крамера.
ПРАВИЛО ЛЕЙБНИЦА — см. Дифференцирование интеграла,
зависящего от параметра, Свойства несобственных интегралов, за-
висящих от параметра, Формула Лейбница.
ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ — правило, позволяющее при вычисле-
нии предела частного двух функций в случае неопределенности ви-
да 0/0 или оо/оо заменять это частное отношением производных
данных функций, если предел частного производных существует
(конечный или бесконечный). Основанием для этого правила, на-
пример при х -► а, а € К, и неопределенности вида 0/0 служит следую-
щая теорема:
Т. Еслв / н ц дифференцируемы на й (а) — проколотой окрест-
• . Г (*)
иости точки а, § (х) & 0, в' (х) + 0 на 1/(а) и существует Иш -,
х-*а В \х)
Нх)
то существует )1т-------и имеет место равенство
хч-а 8 (х)
/(*) .. Г(х)
кт------= Пт —-------.
хча 8 (х) хча 8 (х)
Аналогичные теоремы имеют место при отыскании односторонних пре-
делов, пределов на бесконечности и т. д. Отметим, что в случае,
/' (*) / (х)
когда Игл -—-— ие существует, Пт----------- все же может суще-
х-а 8' (х) хч-а 8 (х)
ствовать.
П. Л. для раскрытия неопределенности вида 0/0 называют первым
П.Л., а для раскрытия неопределенности оо/оо—вторым П.Л. или
правилом Штольца. Неопределенные выражения других типов (0 • оо ,
оо — оо, 1”, 0°, оо°) могут быть сведены к неопределенностям вида
0/0 или оо/оо.
ПРАВИЛО МНОГОУГОЛЬНИКА сложения векторов —
см. Сумма векторов.
ПРАВИЛО ОТРИЦАНИЯ применяется для построения отри-
цаний высказываний, содержащих кванторы, и имеет вид
1 (Ух) Р (х) - (Их) -|Р (х)!
-ЦИх)Р (х) = (Ух)-]Р (х).
П. о. называют также правилом де Моргана.
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА сложения трех век-
торов — см. Сумма векторов. г
ПРАВИЛО ПАРАЛЛЕЛОГРАММА сложения двух'век-
торов — см. Сумма векторов.
ПРАВИЛО, САРРЮСА — см. Определитель.
ПРАЙИЛОТРЕУГОЛЬНИКА сложения двух векто-
ров — см. Аффинное пространство. Сумма векторов.
ПРАВИЛО ТРЕУГОЛЬНИКОВ —см. Определитель.
ПРАВИЛО ЦЕПОЧКИ вычисления производной
композиции функций — см. Производная композиции.
ПРАВИЛО ШТУРМА позволяет найти точное число действи-
тельных корней, лежащих на данном интервале (в частности, число
всех действительных корней), многочлена с действительными коэф-
фициентами, не имеющего кратных корней (если кратные корни
имеются, следует разделить многочлен иа наибольший общий дели-
тель многочленов /(х) и /'(х), а затем рассмотреть полученный
многочлен без кратных корней). Пусть Ц7(с)—число перемен зна-
ков в ряду чисел Мс), Щс). /т(с), где /0(х), /,(х). /т(х) —
система Штурма многочлена Их). Тогда справедлива следующая
теорема, называемая теоремой Штурма.
Т. Если а, & € К, а<Ь, не являются корнями многочлена /(х),
не имеющего кратных корней, то Й7(а)>:й7(6) и разность №(а)-
— Й7(Ь) равна числу действительных корней этого многочлена, за-
ключенных между а и Ь.
ПРАВИЛЬНАЯ РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ- Рациональная
функция Р(х)/<2(х) называется правильной, если степень многочлена
Р(х) меньше степени многочлена <?(х).
ПРАВИЛЬНАЯ ЧАСТЬ РЯДА ЛОРАНА —см. Ряд Лорана в
окрестности особой точки.
ПРАВООРИЕНТИРОВАННАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРОВ —см.
Ориентация тройки векторов.
ПРАВОСТОРОННИЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ —см. Односторон-
ние пределы функции.
ПРАВОСТОРОННЯЯ ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ —см. Окрест-
ность точки.
ПРАВОСТОРОННЯЯ ПРОИЗВОДНАЯ —см. Односторонние
производные.
ПРАВЫЙ ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ — см. Односторонние пределы
функции.
ПРЕДГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО — линейное простран-
ство X, на котором определено скалярное произведение. П. п. можно
считать нормированным, так как скалярное произведение порождает
естественную норму ||х||=У(х, х). В теории рядов Фурье широкое
распростраиеиие находит П. п. действительных функций, интегрируе-
мых с квадратом, если скалярное произведение определить как
ь
У. й)=5 ((х)8(х)^х- См. также Евклидово пространство,
а
ПРЕДЕЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. Вектор ~а называют П.в.-ф.
г (М) в точке Мо и пишут Нт г (М) = а, если для Ув>0
М-*М,
36 > 0, такое, что УМ, | ММа | С ® =* I г (М) — а | < в.
Если Нт 7(ЛП= то (1= 1, 2, 3), 11т /(Л4) = а (а^К),
м-м, М-*М,
то имеют место формулы!
Нт (7 (М)+72 (М)) «= то ± Ть
М-»М0
Нт (/ (М) н (М)) “ аат’,
М-*М,
Пт (и (М) • 7г (Л4)) = • аг',
Пт [71 (М), ~Гг (Л1)] = [ ТО, то];
М-М,
Пт (М) 7а (М) К (М)} = О1 ^2 а3«
М-М*
ПРЕДЕЛ ЗНАЧИМОСТИ — см. Критерии согласия.
ПРЕДЕЛ КОМПОЗИЦИИ, предел сложной функции. Если суще-
ствуют пределы Ит / (х) — уо, Ит р (у) н, кроме того, / (х) у- уо
х-»х<> У-»!/»
при х У хо, то при х -*• хо существует П. к. Р« [ и 1 !т Р (/(*))“
оо Цт Р (у). Последняя формула имеет место, например, в случае,
у-*Уь
когда существует Ит / (х) = уо, а функция Р непрерывна в точке уо.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ — см. Предел числовой
последовательности.
ПРЕДЕЛ СЛЕВА функции в точке — см. Односторон-
ние пределы функции.
ПРЕДЕЛ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ — см. Предел композиции.
ПРЕДЕЛ СПРАВА функции в точке — см. Односторон-
ние пределы функции.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В БЕСКОНЕЧНОСТИ. Пусть функция /
определена в окрестности оо (см. Окрестность точки). Число А на-
зывается пределом функции / при х + со, если для Уе > 0, Зб=6(е),
такое, что Ух, | х ( 6 | / (х)— А(<е. Запись: Пт /(х)=А или
Х~*оо
/ (х) -*• А при х -> оо.
Число А называют пределом функции / при х->4-°°' если
для Уе > О, 36 = 6 (е), такое, что Ух, х 6 => (/(х) — А| е. Запись:
Нт ) (х) «= А, } (х)-* А при х-*-|-оо. Аналогично определяют
х-»--|-оо
Нт / (х). Для существования Ит/(л) необходимо и достаточно
х~>—00 х~*оо
существование Ит } (х) и Нт / (х) и их совпадение. При этом
х~>4-ао х-*—со
Нт/(х)«= Пт /(х)= Нт /(х).
Х-*00 Х-+-Р00 Х-Ф—00
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. Пусть множество задания О (/)
числовой функции / содержит проколотую окрестность точки а. Чис-
ло А С К называется пределом функции / в точке а, если для Уе > О,
36 =. 6 (е), такое, что Ух, 0 < | х — а | < 6 *=> | / (х) — А | <е. Запись:
Нт [(х) = А или / (х) -+ А при х -> а.
Критерий Коши существования конечного предела функции: для
того чтобы / имела в точке а конечный предел, необходимо и доста-
точно, чтобы Уе > 0, 36 = 6 (е), такое, что Ух', х", 0 < | х' — а| ^6,
0< |х''-а|<6=Ф^(х')-^(х")|<в.
Критерий Гейне существования конечного предела функции:
Нт / (х) = Л <=» V (хл), хяё !>(/), хл-*о, хл а => Ит/(х„)=А.
х-*а п-^со
См. также Свойства функций, имеющих предел.
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть
функция / определена на множестве X из п-мерного евклидова прост-
ранства Кп и а = (01, а2.ап) — предельная точка множества X.
Число А называют пределом функции / при х -> а, есля для Уе > О,
36 (е) > 0, такое, что Ух € X и 0 < р (х, а) < 6 (е) => | [ (х) — А |^е,
где р (х, у) — расстояние между точками х и у из X. Для обозначе-
ния предела функции и = [ (х) используется следующая символика:
Нт / (х) = А, либо / (х) -► А при х -> а, либо
х-»в
Нт /(хъ хл) = А,
где (щ, о2...пп)“0, (Х1....хп)-=х.
Имеет место критерий Гейне существования конечного предела
функции: для того чтобы / (х) -> А при х -> а, необходимо и доста-
точно, чтобы для любой последовательности точек (х(*0> х^^Х,
х^->а при й->4-оо, х<4) о, У^€М, выполнялось условие
{ (х<*>) -► А при Л->+оо. Критерий Гейне позволяет перенести на
П. ф. н. п. все основные свойства предела числовой последователь-
ности. Например, предел линейной комбинации (с постоянными коэф-
фициентами) функций равен линейной комбинации пределов этих
функций с теми же коэффициентами, предел произведения равен
произведению пределов, предел частного равен частному пределов
при условии, что знаменатель отличен от нуля, н т. д. См. также
Повторные пределы функции нескольких переменных.
ПРЕДЕЛ ЧИСЛОВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. Число а назы-
вается П.ч.п. (хл), если Уе > О, ЗУ = У (е), Уп, п У (е) =>
=ф | хп — а |<е. Обозначения: Нт х„ = а нли хп->а при лоо.
л-»оо
Последовательность, имеющую предел а € К, называют сходящейся
последовательностью (в противном случае — расходящейся). После-
довательность (хп) сходится тогда н только тогда, когда хп можно
представить в виде х„ = а+ап, где (а„)—бесконечно малая после-
довательность. Сходящаяся последовательность ограничена и имеет
лишь единственный предел. Для сходящихся последовательностей
справедливы теоремы о пределе суммы, произведения н частного:
Ит (х„ + уя) = Пт х„ + Нт у„;
«-►СО п-*со п-*со
Ит (хпуп) = Кт хп • Пт уп\
П-+СО Л-+ОО Л-+ОО
Ит хп
1. %П П-+СХ)
Пт — »—;, Пт уп * 0;
л—оо уп Ит уп л-<-оэ
Л-*со
Нт (схп) — с Ит х„, с = сопз(.
«-♦СО П~>00
Критерий Коши сходимости последовательности: для того чтобы
последовательность (хп) была сходящейся, необходимо и достаточно,
чтобы для Уе > 0, ЗУ «= У (е), что Уп, т, п > У, т > У | хп —
— хт|<.е (либо Уе > 0, ЗМ = М (е), Уп, и Ур€Й=»
=* | *п+р—*п|<8). См. также Переход к пределу в неравенствах
ПРЕДЕЛЬНАЯ АБСОЛЮТНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ — см. По-
грешность.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ — см. Цепь Маркова.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТЬ —см.
Погрешность.
ПРЕДЕЛЬНАЯ ТОЧКА МНОЖЕСТВА. Точку а пространства
К" называют П. т. м. 1сК”, если в любой окрестности V(а) точки
а содержится хотя бы одна точка множества X, отличная от а.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ИНТЕГРАЛОМ ФУРЬЕ Есля
функция } абсолютно интегрируема, кусочно-диффереицнруема на
К, то прн каждом х справедлива формула
/(* + 0) 4~/(* — 0)
2
4-оо 4-со
— сП. У / (/) соз к (х — I) сН
О *-оо
или же
./(х + 0) + (х —0) „ у (а (Х) соз кх + Ь (к) з!п кх) л,
о
где
•1-00 4со
а(к) = — С Г(1)соаМсЩ Ь (к) = — Г /(<)з!пШ/.
я и л л
—СО —оо
В точках непрерывности функции { будет
+со 4-00
} (х) = — у Л У / (/) соз к (х — /) Л.
О •—оо
Эта формула называется интегральной формулой Фурье. См. также
Интеграл Фурье.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПО ФОРМУЛЕ ТЕЙЛОРА. Фор-
мула Тейлора при хй = 0 (формула Маклорена) / (х) «» / (0) +
+ х 4- х" + Ял (х) для функций ех, зш х,
созх, 1п (1 +*), (1 +*)“ приводит к следующим разложениям (для
остаточного члена Цп (х) приводятся представления в форме Лагранжа
или в форме Коши, наиболее удобных для оценки погрешностей):
№ х” евх
е* ==* 1 + х + *2[“ + ••• + (х), 7?л (х) = Х-+1,
О < 0 < 1;
ла л* хая1
С08Х=1₽-Г + —_ ... +(-!)“ — + *2т+1 (X),
^2т+1 (х) —
СО5(2т4-2)0х
(2т + 2)!
х2^2, 0 < 0 < 1;
X® X® 1 х^т 1
81пх = х — -3Г + -5Г— ••• +(—!)'"“ (2т —1)1 + Л2«<ж)’
5]п<2т+1 >0х
^2т (*) *= (2т + 1)1 х , 0 < 0 < 1;
^2 х3 (__|»л-1
1п (1 4-х) = х — ~2~ 4- "з- — ... Ч-----~ хп -}- /?„ (х),
„ (—1)лхл+1
₽л & =--------—--------ТТТ". 0 < 6 < 1
(п 4-1) (1 + 6х)л+1
ИЛИ
(| _________________________л \п
1 4- 01Х / 1 4-0хх > 0 < 01 < 1;
(1 4- Х)“ = 1 4- ах 4- -а' - X2 4- ... 4-
а (а — 1) ... (а — я 4-1)
+ п!
*л 4- (х),
ял(х) = “(а ,1} ”• (а п)(14-ех)“-л*1хл+1, о<е< I.
(п 4- 1)1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ РЯДОМ ЛОРАНА. Всякая функ-
ция /, однозначная и аналитическая в круговом кольце г < | г — го |<К,
представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана / (г) •=.
+°°
_ (2^*+г. "«г. Тр-
л=-00 Ур
любая окружность радиуса р (г<р</?) с центром в точке г0. Отме-
тим, что не исключаются случаи: 1) г=0, /?< + <х>; 2) г>0, /?=+«;
3) г=0, /?= + оо. В первом случае говорят, что функция / предста-
вима рядом Лорана в окрестности точки го, во втором — что функ-
ция I представима рядом Лорана в окрестности бесконечно удален-
ной точки.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ — см. Отображение.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ. Пусть в
аффинном пространстве Ап заданы два репера:
(О; ёь ег, .... е~У, (1)
(О'; ё[, ё', ё'п). (2)
Если 5 = (5(у)— матрица перехода от базиса (ё) = (ех, ел) к ба-
зису (е') = (е1, е„), (а) = (ах, а..... а„)г — координатный
столбец точки О' в репере (1), (х) = (хх, хя)г и (х') =
= (хр .... х„)г—координатные столбцы произвольной точки М € Ап
соответственно в реперах (1) и (2), то
(х)=5(х') + (а). (3)
Формулы (3) называют формулами преобразования координат.
В координатной записи оии имеют вид
х1 = 2 *ЦХ1 + <х{, 1=1, 2..п. (4)
1=1
Так как рассматриваемые в аналитической геометрии прямая, пло-
скость, пространство являются аффинными пространствами соответ-
ственно А[, Аг, 4з, то формулы (4) будут справедливы и для преоб-
разования декартовых координат на прямой (при п=1), плоскости
(при п—2) и в пространстве (при п—3). Например, иа плоскости
онн имеют вид
Х1 = 511Х1 "Ь $12*2 4* а1»
х2 ~ 821х1 + 822х2 "Ь а2’
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ
КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ. Пусть иа плоскости даны две де-
картовы прямоугольные системы координат Оху и О'Х'у' с одним
и тем же масштабом для измерения длин. Постановку задачи см. в
ст. Преобразование координат.
1. Параллельный сдвиг координатных осей.
Переход от системы координат Оху к системе О'Х'у' называется па-
раллельным сдвигом координатных осей, если оси О'х' и О'у' парал-
лельны соответственно осям Ох и Оу и имеют одинаковые с ними
направления. Если О' имеет координаты а и 6 относительно Оху, то
х = х' 4- а;1
У = У' + 6 )
х' = х —
у' ^у — Ь.1
ИЛИ
2. Поворот координатных осей. Если оси новой
координатной системы Ох'у' получаются из осей старой системы
Оху поворотом вокруг точки О на угол а, то
х = х' соз а—у'з1па;'1 х' = х соз а + У щп а; 1
у =• х' 51П а + у' соз а / у' •= —х зш а + у соз а.)
3. Параллельный сдвиг и поворот координат-
ных осей. Если система О’х'у' получена из системы Оху в ре-
зультате параллельного сдвига координатных осей, перемещающего
точку О (0, 0) в точку О'(а, Ь), и последующего поворота иа угол
а, то
х = хг соз а — у' 51п а + а;1 х' = (х — а) соз а + (у—&)зша;|
у = х' 81П а + у’ соз а + Ь / л у'=— (х—а) зш а 4-(у— &)соза./
Замечание. Приведенные формулы справедливы для систем одной
ориентации. Для систем разной ориентации формулами преобразования ко-
ординат будут
х-х'соза+у'51па+ а;
г/'соза-ь Ь.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ — переход от одной систе-
мы координат к другой. Задача П. к. состоит в том, чтобы по коор-
динатам произвольной точки (вектора) в одной системе координат
найти координаты этой же точки (вектора) в другой системе коорди-
нат. Формулы, связывающие координаты произвольной точки (век-
тора) в одной и другой (обычно говорят <в старой и новой») систе-
мах координат, называются формулами П. к. См. Преобразование
декартовых прямоугольных координат, Преобразование декартовых
координат, Преобразование координат вектора.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ВЕКТОРА. Пусть (х) — ко-
ординатный столбец вектора х в базисе (ё), (х') — координатный
столбец того же вектора в базисе (ё') (см. Разложение вектора по
базису) и (е') «= (ё) 5, 5 = (з/;) — матрица перехода от базиса (ё) к
базису (е') (см. Матрица перехода от одного базиса к другому).
Тогда
(х) =5 (х')
(1)
или более подробно
а1 511а1 + ®12а2 + ••• 4" ®1лал5
“г = «21а1 + ®22а2 + ••• + Х2лап! ца)
ал Зп1а1 + 8л2а2 + ••• + 5ппа'п'
Формулы (1) или (1а) называются формулами П.к.в.
Так как рассматриваемые в аналитической геометрии множества
свободных (геометрических) векторов на прямой, плоскости, в про-
странстве являются линейными пространствами соответственно. У|,
У 2. Уз, то все сказанное выше справедливо и дли них. Так, форму-
лами преобразования координат вектора иа плоскости будут
а1 = 5Х1“1 4" ®12а2>
а2= я21ах 4" ®22®2*
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА ставит в соответствие функции
! (/) действительного переменного функцию Р (р) комплексного пере-
-}-00
менного с помощью соотношения Р (р) = е~р1[(/) сП. Интеграл,
о
стоящий в правой части, называют интегралом Лапласа функции
Функцию Р называют изображением функции /, а / — оригиналом
для р. Коротко записывают [(1)-=р(р) (либо р (р) = Ь/ (/), либо
В операционном исчислении обычно принято рассматривать функ-
ции Д удовлетворяющие условиям: 1) ( задана на К, причем / (0=0
для —оо, 0[; 2) при / функция / на любом ограниченном
промежутке имеет не более чем конечное число точек разрыва пер-
вого рода; 3) существуют такие числа М >0 и а>0, что У7>0=»
=»|((/)|< Меа1. Число р = хпЕ {а) называют показателем степени
роста функции Изображение Лапласа функции /, удовлетворяю-
щей перечисленным свойствам, является аналитической функцией в
области Ке р > р. См. также Основные свойства оригиналов и изо-
бражений, Обращение интеграла Лапласа.
4-00
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. Функцию Л(А.) = ^=^
Г— оо
называют П.Ф. функции /. П.Ф. определено, в частности, для всех
абсолютно интегрируемых функций. Если функция / такова, что для
нее имеет место интегральная формула Фурье, то / можно найти
по формуле
4-со
•-00
Эта формула определяет обратное П.Ф. функции Г. См. также
Свойства преобразования Фурье.
ПРИБЛИЖЕНИЕ В СРЕДНЕМ. Пусть фъ ф,...........ф„, ... — бес-
конечная действительная ортогональная система функций с интегриру-
емыми квадратами на отрезке [а, &] и I — заданная в том же проме-
жутке функция, интегрируемая с квадратом. Из всевозможных линейных
комбинаций первых п функций системы ф2, ф2.......фл, .... т. е.
функций вида а„ «= уцрх -|- у2ф2 ... упф„, наилучшее приближе-
ь
ние к функции / в том смысле, что величина Дя = ] (/ (х) — а„ (х))а дх
а
является минимальной, осуществляет функция ап, у которой в ка-
честве коэффициентов уь у2, •••, Уп взяты коэффициенты Фурье
функции /, т. е. о’(х) =С1ф1 (х) + с2<р2 (х)’+(х), где
Ь
= II У / (х) ф& (х) дх, к=1, 2, .... п. Это свойство называют
а
еще минимальным свойством коэффициентов Фурье, а функцию
ол (х) — приближением в среднем функции /. Наилучшее приближение
в среднем функции (по тригонометрической системе 1, б1п х, соах, ....
81П пх, со® пх, ... дает функция
п
°п == («А С05 ** + Ьк 51П Ь).
См. ряд Фурье.
ПРИБЛИЖЕНИЕ ПО НЕДОСТАТКУ — см. Бесконечные де-
сятичные дроби.
ПРИБЛИЖЕНИЕ С ИЗБЫТКОМ — см. Бесконечные десятич-
ные дроби.
приближенное вычисление определенного ин-
теграла. Наиболее употребительными приближенными методами
вычисления определенных интегралов являются: метод прямоуголь-
ников, метод трапеций и метод Симпсона (метод парабол). Основ-
ная идея этих методов заключается в замене подынтегральной функ-
ции ) функцией более простой природы — многочленом, совпадаю-
щим с / в некоторых точках (см. Формула прямоугольников. Фор-
мула Симпсона, Формула трапеций).
приближенное интегрирование дифференци-
ального УРАВНЕНИЯ у'=((х, у)—операция построения при-
ближенного решения. Если функция /(х, у) имеет частные производ-
ные всех порядков в области О((р), то аналитическое приближенное
решение с начальным значением (хо, уо) может быть построено в
виде полинома Тейлора:
УУ(/)(хо) .
-------(X — Х0)А
где у(0> (х0) = у (х0) = уо, У' (хо) = / (х0, у о), а остальные у(П (х0)
определяются из тождества р'(х)=/(х, р(х)) с помощью последо-
вательного дифференцирования и подстановки начальных значений
хо, Уо, Уо, — При увеличении ш погрешность б(х) уменьшается. Гра-
фическим решением уравнения служит ломаная Эйлера. Та же идея
лежит и в основе метода Эйлера построения численного решения,
когда (X], у,) при шаге й определяются при данных х0, уо по ин-
дукции соотношениями хл=х)1_1 + /1, ук=Ук-> + {(.Хк-\, Ук-1)й. Ана-
логичные методы используются для построения приближенных ре-
шений уравнений и систем уравнений произвольного порядка. В свя-
зи с развитием вычислительной техники все возрастающее значение
приобретают методы численного интегрирования.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВ-
НЕНИЯ у' = /(х, у), соответствующее истинному решению у — у(х),
х^.1, у(ха)=-уо:
1) аналитическое приближенное решение — функ-
ция у=у(х), у (х0) = уо, заданная на промежутке I ср I и равная
у (х) с точностью до некоторой погрешности б (х), т. е. у (х) = !/(х)4:
± б (х), х€ /г;
2) численное (приближенное) решение — таблица,
которая значениям аргумента X], / = 0, 1.т, сопоставляет значе-
ния у I, совпадающие со значениями у {х]) с точностью до некоторой
погрешности <5р
3) графическое (приближенное) решение — линия
на плоскости Оху, отклоняющаяся от интегральной кривой у => у (х),
х€/1, в направлении Оу на погрешность б(х).
См. Приближенное интегрирование дифференциального урав-
нения.
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ —см. При-
ближенное решение дифференциального уравнения.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ —см. Метод
Ньютона, Метод парабол. Метод половинного деления, Метод про-
стых итераций, Метод секущих, Модификации метода Ньютона.
ПРИВЕДЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОР-
МЫ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ с помощью ортогональ-
ных преобразований. Справедлива следующая теорема.
Т. Для любой действительной квадратичной формы ((хх, х2.
хл) существует ортогональное преобразование с матрицей 5, приводя-
щее ее к каноническому виду в (Уъ У.Уп) = 114/1 + 1г4/|+ ... +
4- кпу2, где 11, 1а, ..., 1Л— корни характеристического многочлена
матрицы А квадратичной формы / (хь х2, хл), а столбцами матри-
цы 5 являются собственные векторы матрицы А, соответствующие 11,
1а, •••> 1д•
Отсюда вытекает правило нахождения ортогонального преоб-
разования, приводящего квадратичную форму от п переменных к
каноническому виду: 1) записываем матрицу А данной квадратич-
ной формы и находим характеристические числа этой матрицы;
2) находим ортонормироваиную систему собственных вектор-
столбцов матрицы А; 3) составляем искомое ортогональное преоб-
разование. О других способах приведения квадратичной формы к
каноническому виду см. в ст. Метод Лагранжа, Метод Якоби.
ПРИВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА К
ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ. Справедливы следующие теоремы.
_ ТГ_Для того чтобы матрица А линейного оператора I в базисе
(е) = (еь е2. е„) была диагональной, необходимо и достаточно,
чтобы каждый базисный вектор был собственным вектором опера-
тора /.
Квадратная матрица А называется приводимой к диагонально-
му виду, если существует невырожденная матрица 5, такая, что
матрица 5_,Л5— диагональная. Характеристические многочлены
матриц А и 5_,Л5 совпадают (см. Характеристический многочлен
матрицы, Связь между матрицами линейного оператора в различных
базисах); а характеристические числа диагональной матрицы1 равны
ее диагональным элементам. Поэтому если матрица Л приводима к
диагональной матрице В, то
Д1 о ... о \
п , I О X» ... О |
\0 О ... ?.п/
где Хь Ха, .... Хп — характеристические числа матрицы Л.
Т2. Для того чтобы матрица Л линейного оператора / линейно-
го пространства Уп была приводима к диагональному виду, необхо-
димо и достаточно, чтобы существовал базис этого пространства,
состоящий нз собственных векторов оператора /.
ТЗ. Пусть собственные числа Х1( Ха, ..., Хь матрицы Л порядка п,
кратности которых равны соответственно тц т2, ..., ть (^1 +
+ т2+...+/пь=л), попарно различны. Если 1П}=п—/ц, т2—п—
—г2, ..., тк — п—гк, где и, г2, .... Гк — соответственно ранги матриц
Л—Х1Е, Л — },2Е Л —ХьЕ, то матрица А приводится к диагональ-
ному виду.
Следствие. Если все собственные числа матрицы попарно
различны, то матрица приводится к диагональному виду.
Замечание. Столбцами матрицы 5, приводящей матрицу А к диаго-
нальному виду (если такая существует), являются координатные столбцы
собственных векторов матрицы А.
См. также Жорданова нормальная форма матрицы.
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ К КА-
НОНИЧЕСКОМУ ВИДУ. Пусть
4- %а22ху 4- а22у2 4~ 2а2х Ча2у а == 0 (1)
есть уравнение заданной линии. Рассмотрим квадратичную форму
Дцх2 4- Чаг2ху 4- а22у2, (2)
соответствующую уравнению (1), и приведем ее к каноническому виду
ортогональным преобразованием (см. П риведение действительной квадра-
тичной формы к каноническому виду с помощью ортогональных преобра-
зований). Форма (2) примет вид Хгх’ + У^у , где Х1 и X» — корни харак-
теристического уравнения матрицы А = К11 0121, а уравнение (1) —
\®И $22/
Х1Х * 4- К^у'* 4- 2Ь1Х' 2Ь?у' 4-6 = 0. (3)
Операцию перехода от уравнения (I) к уравнению (3) называют от-
несением линии к главным осям. Для эллипса и гиперболы новые
координатные оси параллельны осям симметрии. Уравнение (3) упро-
щают, выделяя полные квадраты. Например, если Х[ и Ха отличны
от нуля, то уравнение (3) можно привести к виду
. / 61 \2 / 6а \2
Х1 [ х 4* ~Т~) 4* (У 4* ~Г~) 4- & —
\ А1 / \ Ла /
= 0
Х1 Ха
.2 "2 61 6а
или Л1Х 4- Лау с = 0, где х" =« х' Т-, У == у' 4- ~Г~> —
Л1 Ла
Х1 Ха
Таким образом, чтобы найти систему координат, в которой урав-
нение (1) принимает канонический внд, поступают следующим
образом: 1) находят ортогональное преобразование, приводящее
квадратичную форму, соответствующую данному уравнению, к кано-
ническому виду; 2) по этому преобразованию находят главные на-
правления линии, т. е. векторы е, , е,— ортонормировапные собст-
венные векторы матрицы квадратичной формы, соответствующей дан-
ному уравнению; 3) находят уравнение линии в репере {О; е,, е ,} 5
4) в полученном уравнении производят дополнения до полных
квадратов и находят координаты точки О', которая является нача-
лом искомой системы координат. В найденной системе координат
10'; ё,, е2) уравнение линии имеет канонический вид.
Замечание. Чтобы от уравнения (I) перейти к уравнению (3), в ко-
тором отсутствуют члены с произведением координат, можно повернуть ко-
ординатные осн на угол а, удовлетворяющий условию 2а = ---2^
2а1а
ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ проводят по схеме, опи-
санной в ст. Приведение уравнения линии второй степени к канони-
ческому виду.
ПРИВЕДЕННАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ — см.
Неоднородная система линейных уравнений.
ПРИВЕДЕННОЕ КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — см. Квадрат-
ное уравнение.
ПРИВОДИМЫЙ МНОГОЧЛЕН над числовым полем —
многочлен, который разлагается в произведение по крайней мере
двух многочленов ненулевой степени с коэффициентами из того же
поля. Если такое разложение невозможно, многочлен называетсн
неприводимым многочленом над данным числовым полем. Один и
тот же многочлен может быть П. м. в одном числовом поле и не-
приводимым в другом. Например, многочлен х2—3 неприводим в
поле (1 рациональных чисел, но приводим в поле К действительных
чисел, ибо х2—3= (х—УЗ) (х+УЗ). Многочлен х2+1 неприводим в
поле О и в поле К. но приводим в поле С комплексных чисел, ибо
х2+1 = (х-|) (х-н’).
ПРИЗНАК.— см. Достаточность.
ПРИЗНАК АБЕЛЯ сходимости числового ряда. Если
ОО
ряд 2 аь сходится, а последовательность (6„) монотонна и ограничена,
к=1
СО
то ряд2 акЬк сходится.
*=1
ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА равномерной сходимости
несобственных интегралов, зависящих от парамет-
ра, — см. Равномерная сходимость несобственных интегралов, зави-
сящих от параметра.
ПРИЗНАК ВЕЙЕРШТРАССА равномерной сходимости
ОО
фувкпионального ряда. Если функциональный ряд 2 ик(х)
к~1
определен иа множестве Е и если существует сходящийся числовой
СО
ряд 2 ок, такой, что для всех х из множества Е а справед-
о»
ливо неравенство | и* (х) | то функциональный ряд 2 иъ(х)
дится равномерно на множестве Е.
СО
Ряд 2а* называют числовой мажорантой для функционального
А=1
00
ряда 2 ик (*) и* множестве Е, если | иА (х) | <аА, Ух$ Е, 14.
/?“— 1
П.В. может быть сформулирован следующим образом: если функцио-
00
нальный ряд 2 (х) имеет на множестве Е сходящуюся числовую ма-
А=1
жоранту, то он равномерно сходится на множестве Е.
Отметим, что из условий П.В. вытекает н абсолютная сходимость
00
ряда 2 ик(х).
ПРИЗНАК- Д’АЛАМБЕРА сходимости числового ря-
00
да. Пусть дан ряд 2а*> ак > О ДДЯ Рассмотрим последова-
к=\
( а«+1 \ г-
тельность ------- . Если для достаточно больших п выполняется не-
\ ап /
равенство------< р, где р — постоянная, р < 1, то ряд ак сходит-
ап к^\
ап-Н .
ся; если же начиная с Некоторого номера -----1, то ряд расхо-
ап
дится. П.Д. применяют чаще в предельной форме: если существует
а ,, оо
ит-------= д, то при д < 1 ряд V сходится, при д > 1 ряд рас-
л-’-°о ап к=\
ходится; если д= 1, то П.Д. не дает возможности судить о сходимо-
сти ряда.
ПРИЗНАК ДИРИХЛЕ сходимости числового ряда.
00
Если последовательность (а„) частных сумм ряда 2 аъ ограничена, а
Л=1
00
последовательность 1Ьп) монотонно стремится к нулю, то ряд 2; акЬк
*=1
СХОДИТСЯ.
ПРИЗНАК КОШИ сходимости числового ряда. Пусть
00
дан ряд 2 АЛ” V/г б Составим последовательность
6=1
(у4 ап)• Если при достаточно больших п выполняется неравенство
п 03
/а„ Щ гДе И—постоянная, р. < 1, то ряд 2 а* сходится, если
А=1
же начиная с некоторого номера ап~^\, то ряд расходится. П.К.
применяют чаще в предельной форме: если существует Пт у ап=д, то
00 Л-+О0
при д < 1 ряд 2 аь сходится, при д > 1 — расходится. В случае
Л=1
</= 1 П.К. не дает возможности судить о сходимости ряда. П.К- может
быть сформулирован и с помощью верхнего предела последовательно-
со
ста: если Пт ап~ д, то при д < 1 ряд 2 ок сходится, при д> 1—
расходится.
ПРИЗНАК ЛЕЙБНИЦА сходимости знакочередующе-
гося ряда. Если Пт ап = 0 и ап~^ ап , [ >0, Ул € И, то знакоче-
П-.ОС ’
00
редующцйся ряд 2(—О*- *ак СХОДИТСЯ, при этом
^=1
|г„|<а„+1, (1)
00
где г п—остаток ряда 2(“О*-'0*- Оценка (1) удобна в прибли-
Л=1
жеииых вычислениях суммы ряда, удовлетворяющего условиям П.Л.:
погрешность при замене суммы ряда его частной суммой не превосхо-
дит модуля первого отбрасываемого члена.
ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ —см.
Скалярное произведение.
ПРИЗНАКИ СРАВНЕНИЯ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ. Если 0 < ак <
00
^.Ьк для то из сходимости ряда 2 следует сходимость ря-
к~\
00 00 оо
да 2 ак< а 1,3 расходимости ряда 2 ак — расходимость ряда 2
й=»1 /г«1
Заключение остается справедливым, если существуют постоянные М,
К, такие, что 0 *^ак МЬк для
ак
Пусть ак 0,- Ьк > 0 и существует предел Пт —— — с. Тогда при
А-+оо Ьк
оо оо
О <с<4-00 ряды 2 ак и 2 Ьк нли оба сходятся, или оба расходятся;
00 00
при с » 0 из сходимости ряда 2 следует сходимость ряда 2 аь>
М к=\
СО
при с 4~оо из расходимости ряда 2 слеДУет расходимость ряда
/?=!
оо оо оо
2 Дм В частности, если ак~Ьк при й->-4-оо, то ряды 2 о* и 2^
к—-1 /г=1 А=1 Л
оба сходятся или оба расходятся.
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРА-
ЛОВ ВТОРОГО РОДА. При исследовании сходимости несобствен-
ных интегралов от неотрицательных функций чаще всего используют
теоремы сравнения для несобственных интегралов второго рода и
степенной признак сходимости несобственных интегралов второго
рода. Часто используются также следующие признаки.
Признак Абеля. Пусть функция / задана на [а, 6[ и ие ог-
ь
раничена в окрестности точки Ь. Если несобственный интеграл У /(х)</х
а
сходится, а функция § монотонна и ограничена на [ а, Ь[, то ни-
ь
теграл } / (х) § (х) дх сходится.
а
Признак Дирихле. Пусть функция / определена на [а, 1>1
и не ограничена в окрестности точки Ь. Если / имеет ограниченную
первообразную на [а, &[, т. е. ЗЛ4 > 0, такое, что выполняется усло-
вне
| / (х) дх ^.М для Ут), а < г) < Ь, а # монотонно стремится
к
а
ь
нулю при х->6 — 0, то / / (х) & (*) дх сходится,
а
ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ
ЛОВ ПЕРВОГО РОДА. При исследовании сходимости
ИНТЕГРА-
интегралов
неотрицательных функций чаще всего используют теоремы сравне-
ния для несобственных интегралов первого рода и степенной при-
знак сходимости несобственных интегралов первого рода. Имеют
место также следующие признаки.
Део
Признак Абеля. Если интеграл 5 / (х) дх сходится, а функ-
а
+°°
ция # монотонна и ограничена иа (а, +оо[, то | /(х)#(х)йх схо-
а
дится.
Признак Дирихле. Если / имеет ограниченную-первообраз-
А
ную на [а, 4-со[, т. е. ЭВ >0, / (х) дх < В, VЛ > а, а в моно-
тонно стремится к нулю при х->-(-<», то У / (х) (х) 4х сходится. .
ПРИЛОЖЕНИЯ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА. Формула Тейлора
используется в первую очередь: 1) при приближенных вычислениях
значений функции и оценке погрешности; 2) при исследовании пове-
дения функции в окрестности данной точки (стационарной, экстре-
мальной, точки перегиба), выделении главной части, раскрытии
неопределенностей и т. п.; 3) при разложении функций в ряды.
ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧЕТОВ К ВЫЧИСЛЕНИЮ ИНТЕГРА-
ЛОВ. Для вычисления интегралов от функции /(г) по замкнутому
простому контуру у используют основную теорему о вычетах:
п
| / (г) = 2лд 2 гез/(г),
у А=1 *—2к
где /—аналитическая функция в области О, ограниченной контуром
V, за исключением конечного числа изолированных особых точек
гь г2, .... г„. . _
Если функция ( аналитическая в области С\О, за исключением,
конечного числа изолированных особых точек , Ет, то для
вычисления интеграла по контуру у бывает удобно использовать
формулу
Р (г) = —2л/[ 2 ге5 /(г)4-гез/(г)
у \й=1 г=оо ]
См. также Вычисление определенных интегралов с помощью вы-
четов.
ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА В ПРИБЛИЖЕННЫХ
ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Использование дифференциалов при приближен-
ных вычислениях основано иа возможности заменить с большой
степенью точности приращение данной функции ее дифференциалом,
т. е. иа замене функции ее линейным приближением в окрестности
рассматриваемого значения аргумента:
Цх) «((х0) +аЦх0) “Цхо) +Г(Хо) (X—Хо).
При необходимости более точного вычисления значений функции
могут быть привлечены дифференциалы более высокого порядка:
/м.№н®+^+...+^.
При оценке погрешности можно использовать выражение для оста-
точного члена формулы Тейлора.
ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ
ВЫЧИСЛЕНИЯМ. Используя разложения функций в степенные
ряды, можно приближенно вычислять значения функций в точках,
лежащих иа промежутке сходимости степенного ряда. Для оценки
погрешности используют остаточный член формулы Тейлора. В слу-
чае, если ряд знакочередующийся, погрешность можно оценить,
используя результат (1) из признака Лейбница (см. также Прило-
жения формулы Тейлора). С помощью разложения подынтегральной
функции в ряд и последующего интегрирования можно вычислять
определенные интегралы.
ПРИМЫКАЮЩИЕ ДУГИ —см. Простая дуга.
ПРИНЦИП МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. Если утверж-
дение Д(л), где л— натуральное число, истинно при л=Ло и из пред-
положения, что оио истииио при л=А (й^Ло) следует, что оио
истинно при п=к + 1, то утверждение Л (л) верно при всех п^па.
На П. м. и. основан метод доказательства, называемый методом ма-
тематической индукции: 1) проверяют истинность утверждения
Л (по); 2) предполагая истинность утверждения Л (6), доказывают
истинность А (к+1).
ПРИНЦИП СУПЕРПОЗИЦИИ для линейного дифферен-
циального уравнения. Если функции Х“Х;(/), 1(:1, / =
= I..... т, являются соответственно решениями уравнений х(л> 4-
4-ал_1Юх(л-‘)+ ... +ао(/)х=//(О, /=1....... т, то
функция х = Х1 (0 + ... 4-хт (0> будет решением уравнения
х(л)4-ая_|(пх(л-1)4-... +мох = мо+ - +ш н/.
ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. Пусть функция / задана в некоторой
окрестности У (а) точки а и а 4- кх € У (а). Тогда выражение Д/ =
= / (а 4- Дх) — / (а) называют П.ф. в точке а.
ПРИРАЩЕНИЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ в
точке. Пусть функция и = / (хъ ..., хл) определена в некоторой
окрестности точки х'°* = (х{°\ ..., хл0^. Зафиксируем все аргумен-
ты функции, за исключением х*, которому придадим приращение Дх*
таким образом, чтобы точка х(1) = (х}0), ..., х^р х^0) 4-Ах*, х^р
.... х<°>) принадлежала рассматриваемой окрестности точки х(0). Тог-
да приращение функции называется частным приращением функции /
в точке х(0> = (х}°\ ..., х<°>), соответствующим приращению Дх* ар-
гумента х*, и обозначается Дх /. Таким образом,
к
....х<°Л, ХР4-ДХ*, х^.......хРН(хГ....,х<»))-
Полным приращением функции I в точке х^°\ соответствующим при-
ращениям аргументов Дх1, Дха...Дхл , называют разность
/(х<°> 4- ДХ1, х<°> 4- Аха.х<°> 4- Ахл) (х<°>, х$°>...х<°> )•
Полное приращение функции / обозначают Д/ или Ди,
ПРИСОЕДИНЕННАЯ МАТРИЦА к м а т р и ц е Ап={а^)—матрица
/Лп Д21 ... Ап[
А=1 ^12 ^22 ••• Л12
'^1л ^2п ^пп
где Ац — алгебраические дополнения элементов ац данной матрицы
Ап. Справедливы соотношения А/Г=А'А=В|А|. П. м. называется
-также союзной к матрице А или взаимной.
ПРОЕКЦИИ. 1) Проекция на прямую в простран-
стве. Пусть Л — прямая, П — ие параллельная ей плоскость,
А — произвольная точка, А]—точка пересечения плоскости Пь про-
ходящей через А параллельно П, с Л. Точку А1 называют проек-
цией точки А на прямую Л параллельно плоскости П. Если
П±Д, проекция называется прямоугольной или ортогональной.
В этом случае точка А, является основанием перпендикуляра, про-
веденного из А на прямую Д. Проецируя вектор АВ, получим век-
тор А1Вь который называется проекцией вектора АВ иа прямую Д
параллельно плоскости П. Запись: А1В1=пр4 АВ(||П). Величину
А1В] вектора А^] обозначают А,В| = пр4 АВ(||П).
Справедливы формулы:
прд («+?)•= прдМ-прдТ;
лрд (а + ?) = пр да + прд?;
пр д(« а) = апрдО*;
прд (а а) = а прда ;
пр д («101 4- «гОа + ... + аАа = а1пр\а1 +
4-а2пр два + ... 4-а^прда^;
иРд («Л + «аОа + ... + а^а к) = «1 прдО1 4*
+ «апрдО» + ... + аАпрда к,
где аь аа..а» € К.
2) Проекция иа прямую в плоскости. Пусть А
и А|—две пересекающиеся прямые, А — произвольная точка, А|—
точка пересечения прямой, проходящей через точку А параллельно
А], с прямой А. Точку А! Называют проекцией точки иа прямую А
параллельно прямой А,. Справедливы формулы, аналогичные фор-
мулам, приведенным и п. 1.
3) Проекция иа плоскость. Пусть П — плоскость, А —
не параллельная ей прямая, А — произвольная точка, А1 — точка пере-
сечения прямой А!, проходящей через А параллельно А!, с П. Точку.
А1 называют проекцией точки на плоскость П, параллельно пря-
мой А. Если АхП, проекция называется прямоугольной или ортого-
нальной. В этом случае Аг является основанием перпендикуляра, про-
веденного из А иа плоскость П. Проецируя вектор АД получим век-
тор А1В1, который называется проекцией вектора Ай" иа плоскость П
параллельно прямой А. Запись: А1В1 = прпАВ ( [| А). Величину А1В1
вектора А1В1 обозначают А1В1 =прпАВ ((] А). Справедливы форму-
лы, аналогичные формулам, приведенным в п. 1.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО. Произведением вектора
а иа число а (а € К) называется нектор Ь , удовлетворяющий усло-
виям: 1) | Ь | = | а 11 а |, ?) Ь || а , 3) Ь и а направлены одинаково,
если а > 0, и противоположно, если а < О (если а = 0, то Ь = 0).
Обозначение: аа (б = аа\ Если а = (х, у, г), то аа = (ах,аг/,аг).
В линейном пространстве П.в.н.ч. определяется аксиоматически.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА НА ЧИСЛО. Если
/ — линейный оператор векторного пространства Уп , к — число, то их
произведение, по определению, есть отображение, определяемое форму-
лой (X/) (х) = X/ (х) для Ух € У„.
Справедливы теоремы:
Т1. П. л. о. и. ч. есть линейный оператор»
Т2. Если / имеет в некотором базисе пространства У„ матрицу
А, то имеет в том же базисе матрицу ХА.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ, композиция
линейных операторов,— результат последовательного выполнения
этих операторов. П. л. о. { и Д обозначают /, причем оператор,
который применяется первым,_запнсывается справа. Таким образом,
по определению (й°/) (х) =е(1(х)).
Т1. П. л. о. есть линейный оператор.
Т2. Если линейные операторы / и § имеют соответственно мат-
рицы Л и В в некотором базисе, то линейный оператор цо( имеет
в том же базисе матрицу ВА.
ТЗ. Ранг произведения двух лпиейиых операторов пространства
Гп не превосходит ранга каждого из сомножителей. Если одни из
сомножителей есть автоморфизм, то ранг произведения равен рангу
другого сомножителя.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ПЕРЕ-
МЕННЫХ — см. Линейное преобразование переменных.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ. Произведением матрицы АтХр «= (а/й)
иа матрицу Врхп •= (Ь^) называется матрица Стхп •= (с/;-), такая, что
р
= 2 аиРк; для любых * “= 1» 2> ••• т> I = Ь 2, ..., л. Произве-
деиие матрицы А на матрицу В обозначают С = АВ. Из определения
П.м. следует, что, во-первых, рассматривается произведение только
согласованных матриц, во-вторых, элемент матрицы АВ, стоящий в
/-Й строке и / м столбце, равен сумме произведений элементов 1-й стро-
ки матрицы А на соответствующие элементы /-го столбца матрицы В.
Если матрица А согласована с матрицей В, а матрица АВ согласована
с матрицей С, то под произведением АВС трех матриц понимают мат-
рицу (АВ) С. Аналогично определяется произведение любого числа к
(к > 3) матриц.
Справедливо утверждение: ранг произведения двух матриц ие
превосходит ранга каждого из сомножителей; если одна из матриц
иевырождеииая, то ранг произведения равен рангу второй матрицы.
См. также Умножение матриц.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО. Произведением
матрицы Атхп— (аг1) иа число а (или числа а иа матрицу А) на-
зывается матрица Втхп*=(Ьц) тех же размеров, такая, что
6ъ = ааи для любых /=1, 2, .... т; /=1, 2,.... п. Обозначения: аА или
Да. Операция составления П. м. и. ч. называется умножением матри-
цы на число. Справедливы следующие свойства: 1) 1-А=А;
2) а(РА) = (аР)А (ассоциативность отиоснтельио умножения чисел);
3) а(А + В)=аА + аВ (дистрибутивность умножения иа число отно-
сительно сложения матриц); 4) (а+Р)А=аА+рА (дистрибутив-
ность умножения иа матрицу относительно сложения чисел).
ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ /(х) - о0 4~ ЪХ + ... + аяхя,
а„#=0, и 8 (х) = Ьо + 51Х 4~ ••• + Ьтхт, Ьт^0 с комплексны-
ми или действительными коэффициентами — много-
член / (х) 8 (х) = до 4- Л\х + ... 4- ал,тхл+т, где = 2 акЬ1, I —
к+1=1
= 0, 1, .... П 4- /П, Т. е. дф = СЕо^о. = Оо51 4~ ^1^0» ^2 СТо^2 4~
4* 4- 02^0, .... Ац+т = опЬт. Таким образом, чтобы умножить мно-
гочлен } (х) на многочлен §(х), нужно каждый член многочлена /(х)
умножить на каждый член многочлена 8 (х), сложить полученные произ-
ведения и привести подобные члены. Степень П.м. всегда равна сумме
степеней сомножителей.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОДСТАНОВОК п-й степени— результат по-
следовательного выполнения этих подстановок. Так, если [
“ (а, а2 ::: а„)’ **= (₽г р,2 рял). то по определению & =
= (р4 р2 р У П.п. некоммутативно, т. е. [8^8?-
ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ — см. Операции над событиями.
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ ^а* и ^1Ьк~РЯД2С»'
6=1 6=1
6 со
где ск •= агЬк 4- агЬк_х 4- ... 4- акЬ\ = У аД+1_г Если ряды У ак
1=1 4=1
ОО
и 2 ^к сходятся абсолютно и имеют суммы 5 и ст соответственно, то
4=1
произведение этих рядов также сходится абсолютно и имеет сумму за.
СО 00
Отметим, что произведение рядов У ак и 2 Ьк также сходится к «ст,
4=1 4=1
если один из рядов сходится, а другой — сходится абсолютно.
ПРОИЗВОДНАЯ. Пусть функция [ определена в некоторой окре-
.... ....... Цх) — / (Хо)
стности О (х0) точки Хо и пусть х€ О (хо). Если частное ----------
х — Хц
имеет конечный предел при х-*хо» то этот предел называется П. функ-
ции / в точке хо и обозначается /' (хо) или 2>/(х0). Если ввести обо-
значения х — х0 = Ах, / (х0 4* Ах) — } (х0) =» А/, то
Гт + &Х) — ЦХО) Д(/
Г ио) = пт —= пт ----------------------= Пт —.
Дх-*0 &Х Дх-Щ Дх Дх-И) Дх
л/
Если для некоторого значения х0 выполняется условие Пт — =
дх->-оДх
Д^ - , Д^
== -|-0О, ИЛИ 1,т -=—°°> НЛИ *‘т ------ = оо, то говорят, что для
Дх-*0 Ах Дх-о Ах
этого значения х0 существует бесконечная П.
ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИи7(0 — Пт г^ + А/)~г(/).
А/-» о А/
Эта производная обозначается символом йг/еИ или г ’ (/). Производные
высших порядков определяются следующим образом: г" (/) = ( г '(о)'»
г"' (I) = (/"(/)) > •••> г (л)(0 = ( г (Л—^(О) • Если функции г /((),
/=» 1, 2, 3, и / (/) дифференцируемы, то имеют место следующие фор-
мулы (аргументы опущены):
(и+’гз) ^[±^2',
( Г1 ~гг) = г ' • п + Г1 -У2-,
рь = [?1, ’г’в] 4- [н. ’
( гИаГз) = г , г2Гз 4- Г1Г 2 г3 г^з-
Если г (I) = х (О I 4- у (Г) I 4- г (0*. то г' (() = х' (/) I + у' (I) ] 4-
+ г' (/) к. См. также Геометрический смысл производной вектор~функ-
ции, Механический смысл производной вектор-функции.
ПРОИЗВОДНАЯ ИНТЕГРАЛА ПО ВЕРХНЕМУ ПРЕДЕЛУ. Про-
изводная интеграла от непрерывной функции по переменному верхнему
пределу равна значению подынтегральной функции, вычисленному на
X
верхнем пределе, т. е. если Г (х) = 5 №№ Л”я Ух€ [а, Ч, то Г'(х)=
а
= / (х) или I У / (/) <И I •= / (х). Сформулированная теорема называет-
\ а )
ся теоремой, Барроу.
ПРОИЗВОДНАЯ КОМПОЗИЦИИ. Пусть функции § и Л определе-
ны соответственно в окрестностях точек х € Р (§) и у = д (х) € О (Л) и
обладают конечными производными (х) и к' (у). Тогда композиция
/ = к о д определена в окрестности точки х и имеет конечную производ-
ную которую можно вычислить по правилу !' (х) = к' (д (х)) д'(х)
или в символической форме (к ° дУ = (к' о д) д'. Правило вычисления
П.к. называют правилом цепочки. Правило - цепочки распространяется
на композицию любого конечного числа функций.
ПРОИЗВОДНАЯ КОМПОЗИЦИИ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ. Пусть функции Хй = ф*(Ц> ^2.............*=1, 2, ...,
п, дифференцируемы в точке № = .... 1^)’ а Функция
и = / (Х1, ха, ..., хп) дифференцируема в точке х*0) = (х{°\ х^°\ ....
х<<»), где х^0) = ^0>, ..., &=1, 2, ..., п. Тогда слож-
ная функция ц=/(Х1, х2, .... х„), где хЛ = <рй(*1, /а. Сп)> * =*
= 1, 2, ..., п, дифференцируема в точке Прн этомчастные произ-
водные этой сложной функции в точке ^0) находятся по формулам:
^о)) = ^(х<о>)^Ц(о>)+ -^(хО»)^ ... +
011 дХ1 д1] дх%
+ 2............................т-
0ХП
ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ. Пусть функция / определе-
на и строго монотонна в окрестности точки х. Если существует и отлична
от нуля производная /' (х), то обратная функция {~1 имеет в точке
У=УХ) производную (р1 (у))', причем (Г~1(у)У = .
ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. Производная скалярного
—► —>
поля и(Р) по направлению /, заданному вектором а=» + +
-► ди ди ди ди
+ а,к , вычисляется' по формуле —= — соз асоз р + ~ X
4 д1 дх ду 02
Хсозу, где соза = рп, С05₽=рг7, соз у — |а| =
__________ |а| 1а1 |а|
^Уа^ + а^ + а^. П.п.н. связана с градиентом скалярного поля фор-
. ди -* -*
мулои -^-= е • 8гааи( где е — единичный вектор заданного направ-
ления. Точка, в которой производная скалярного поля в любом на-
правлении равна нулю, называется стационарной точкой поля.
ПРОИЗВОДНАЯ СЛЕВА, СПРАВА — см. Односторонние про-
ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ —то же, что произ-
водная композиции.
ПРОИЗВОДНАЯ СУММЫ, РАЗНОСТИ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ,
ЧАСТНОГО — см. Производные арифметических комбинаций.
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕН-
НОГО. Пусть функция { определена в некоторой окрестности точ-
ки ?о. Если существует конечный предел
ит _ 11т ЛЙ-1Ш)
Дг-И) Дг .г-г, г —г®
то его называют П.ф.к.п. / в точке г0 и обозначают /'(го), а функ-
цию / называют дифференцируемой в точке г0. Таким образом,
х .. /(г)-/(го)
/ (го) = 11т ---------.
г-+г0 г — го
Функция / называется дифференцируемой в области, если оиа
дифференцируема в каждой точке этой области. Для дифференцируе-
мости функции в точке го необходимо и достаточно выполнение ра-
венства Д/=/'(го)Дг+о(Дг) при Дг->0, где Дг — приращение аргу-
мента, Д/=/(г0+Дг) —/(г0) — приращение функции/в точке г0. Если
функция / дифференцируема в области, то она обладает в этой об-
ласти производной любого порядка. См. также Условия Коши —
Римана.
ПРОИЗВОДНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ КОМБИНАЦИЙ. Пусть
функции / и § дифференцируемы в точке х. Тогда:
1) (а/ (х) + (х))' = а/' (х) 4- (х), а, —линейность
дифференцирования. В частности, (/ (х) + § (х))' = /' (х) -ф ц' (х) —
производная суммы, (/(х)—₽(*))'= /'(*)— (х)— производная
разности, («/ (х))' =• а/' (х) — вынесение постоянного множителя за
знак производной;
2) (/(х)г(х))'
дения;
3)
’ /(х) у
ё(х) /
= Г (*) 8 (*) + / (*) 8' (х) — производная произве-
{' (х) 8 (х) — {(х) 8' (*)
----------——-----------—производная частного.
82(х)
ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Пусть функция / обла-
дает конечной производной на интервале ]а, &[. Если функция @ (х) =
= /' (х) имеет производную в точке х € ]з, Ь[, то р' (х) называют
второй производной функции / и обозначают /" (х) или /*2)(х). Анало-
гично, если иа ]а, Ь[ существует конечная производная порядка п — 1
от функции / и функция 8 = имеет производную в точке х, то
8' (х) называют производной порядка п от функции / в точке х и обо-
значают /<л’(х). Таким образом, = (/<п— И)', См. также [2].
ПРОИЗВОДНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. Все гипербо-
лические функции дифференцируемы на множестве своего задания, и
производные их выражаются следующими формулами: (зй х)' = ей х;
(ей х)'«= зй х; (<йх)' =—-—; (с<й х)' = — ———.
ей2 х зй2 х
ПРОИЗВОДНЫЕ обратных тригонометрических ФУНК-
ЦИЙ:
(агс81пх)' = у===-
(агссоз х)'
(агс4б х)' = —у-; (агсс{8 х)'
1 -р X 1 “р л*
ПРОКОЛОТАЯ ОКРЕСТНОСТЬ ТОЧКИ—см. Окрестность
точки.
ПРОМЕЖУТКИ — см. Числовые промежутки.
ПРОМЕЖУТОЧНЫЙ ИНТЕГРАЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ —см. Интеграл дифференциального уравнения.
ПРООБРАЗ ВЕКТОРА при отображении—см. Ото-
бражение.
ПРООБРАЗ ЭЛЕМЕНТА при отображении — см. Ото-
бражение.
ПРОСТАЯ ДУГА, простая линия, — множество точек пло-
скости или пространства, находящихся во взаимно однозначном в
взаимно непрерывном соответствии с отрезком прямой. Точки, со-
ответствующие конечным точкам отрезка, называются конечными
точками П. д. Две дуги называются примыкающими, если одна пара
концов этих дуг или обе пары этих концов совпадают между собой.
См. также Линия.
ПРОСТАЯ ЛИНИЯ — то же, что простая дуга.
ПРОСТАЯ ПОВЕРХНОСТЬ —см. Поверхность.
ПРОСТЕЙШИЕ РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — одночлен Ахт,
А Мх + М
шеХ», и дроби вида—------;—~т, р2 —
(х — а) (х2 + рх + <7)‘
— 4? < 0.
ПРОСТОЕ ОТНОШЕНИЕ ТРЕХ ТОЧЕК. Пусть ЛГХ, М2, М— три
точки, лежащие на прямей Д (причем точка М2 не совпадает ни с А41э
ни с М). П.о.т.т., взятых в указанном порядке, называется число Х=»
= (Л41Л42Л1) = —-—, где М\М, ММ&—величины направленных от-
Л4Л4а
резкое. Если точка М лежит внутри отрезка [Л^ЛЬ], то говорят, что
М делит этот отрезок внутренним образом ( в этом случае X >0).
Если точка М лежит вне отрезка [Л41Л42], то говорят, что она делит
отрезок внешним образом (в этом случае X <0). Если точки ЛЦ и М
совпадают, то X = 0. Значение П.о.т.т. не зависит от направления и
масштаба.
Если Д — координатная ось и Л41(Х1), Л42(х2), М. (х), то X =
X — Х1
х2 — х’
ванных точках ЛЦ н М2 н фиксированном значении X =р—1 мы тем
самым находим точку Л4, делящую отрезок [Л4]М2] в отношении X. В
частности, если Д — произвольная прямая плоскости Оху, то коорди-
наты точки М (х, у), делящей отрезок, ограниченный точками ЛЦ (Хх,
(/1) и М2 (х2, у2), в отношении X, выражаются формулами:
Х1 + Хх2
— -----—. При фиксиро-
Выражая отсюда х, получим х =>
Х1 4- У1 + Ху2
I 4-Х ’ У = 1 4-х ’
Аналогично для пространственного случая имеем:
Х1 4* Ххд У1 +
X =----------, у п --------, 2 =--------
1 + Л у н-х ’ 1+Л
При 1=1 в приведенных формулах получаем координаты середины
отрезка, выраженные через координаты его концов.
ПРОСТОЙ КОРЕНЬ МНОГОЧЛЕНА— см. Корень многочлена.
ПРОСТОЙ КУСОК ПОВЕРХНОСТИ — множество точек про-
странства, которое может быть взаимно однозначно и непрерывно
отображено на множество точек круга н множество точек окружности.
Те точки куска, которые отображаются в точки окружности, назы-
ваются его граничными точками. Граничные точки образуют замкну-
тую линию — границу П.к.п. Говорят, что два П. к. п. склеены, если
после некоторой непрерывной деформации они приведены в такое
взаимное расположение, в котором части их границ или обе границы
целиком совпадают друг с другом.
ПРОСТОЙ ПОЛЮС —см. Полюс.
ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЛИНИЯ — линия, не являющаяся пло-
ской. П. л. может быть определена как линия, кручение которой не
равно тождественно нулю. См. Линия, Способы аналитического зада-
ния линий.
ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ — множество
всех взаимно исключающих исходов случайного эксперимента. Эле-
менты этого множества называют элементарными событиями.
П. э. с. называется дискретным, если число его элементов (элементар-
ных событий) конечно или счетно.
ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ МАТРИЦА для матрицы А —
матрица (—1)А. П. м. обозначают —А.
ПРОТИВОПОЛОЖНАЯ ТЕОРЕМА — см. Взаимно противопо-
ложные теоремы.
ПРОТИВОПОЛОЖНО НАПРАВЛЕННЫЕ ЛУЧИ—см. На-
правление.
ПРОТИВОПОЛОЖНОЕ СОБЫТИЕ —см. Операции над собы-
тиями.
ПРОТИВОПОЛОЖНЫЙ ВЕКТОР. В аксиомах линейного прост-
ранства (см. аксиому 4) утверждается, что для каждого вектора х
существует вектор —х (называют П.в. х ), такой, что х (—х ) = 0 .
Доказывается, что для каждого вектора существует единственный ему
П.н. и что—х =(—1)х. В обычном пространстве П.в. нектору
х — вектор, коллинеарный х и имеющий с х одинаковую длину и про-
тивоположное направление.
ПРОТИВОРЕЧИВАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ —то же, что
несовместная система уравнений.
ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ —
См. Ортогонализация базиса.
ПРЯМАЯ ТЕОРЕМА — см. Теорема.
ПРЯМАЯ ЧИСЛОВОЙ ПЛОСКОСТИ —см. Числовая пло-
скость.
ПРЯМОЙ ГЕЛИКОИД —см. Геликоид.
ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС —см.
Конус второй степени.
ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР-
ОМ. Эллиптический цилиндр.
ПРЯМОЙ ХОД МЕТОДА ГАУССА —
см. Метод Гаусса приближенного решения
системы уравнений.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА —см.
Матрица.
ПРЯМОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ
точки, вектора — см. Проекции.
ПСЕВДОВЕКТОР — то же, что осевой
вектор.
ПСЕВДОСФЕРА — поверхность, образуемая вращением трактрисы
вокруг ее базы (см. рис.). Если трактрису задать в плоскости Охг па-
, и
раметрическнми уравнениями х = а зш и, у = О, г = а 11п <8 -у 4-
+ соз и^, то параметрическими уравнениями П. будут х = а з!п и соз о,
/, и \
у = а ат и ат о, г = а 11п — 4- соз и I. Гауссова кривизна К П. по-
стоянна, отрицательна и равна —1/а’.
ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС — однородный процессе независи-
мыми приращениями / С [0, +оо[, удовлетворяющий условиям:
1) |0 (и) = 0, со € Й;
2) при й->0 Р (5Л = 0) = 1 — М + о (Л), Р (?л = 1) = ЛЛ + о (Л),
0 <>.<4-оо, Р(5л>2) = о(Л).
Из определения П.п. следует, что Р (5/ = 6) и й —
к\
= О, 1, 2, ... Таким образом, случайные величины при /=/=0 рас-
пределены по закону Пуассона.
ПУТЬ. Пусть кусочно-гладкая кривая I с началом А и концом В
задана соотношениями:
I = {(*. </)!*=* СТ. У “ У СТ. { € [а. ₽]};
Л = (х(а), у (а)); В = (х (Р), у (₽)).
Положим у (/)), Х({1. Путем АВ называют множество,
которое пробегает точка л^1 при изменении параметра I от а до р,
причем участки многократного прохождения учитываются соответствен-
но их кратности.
ПУЧОК ПЛОСКОСТЕЙ — множество всех плоскостей, прохо-
дящих через некоторую прямую, называемую осью П. п. Пусть
А 1*+В}у+С12+ О, =0, А2х+В2у+С2г+О2=0— две пересекающиеся
плоскости, определяющие ось пучка.
Т. Если а и Р — два числа, не равных одновременно нулю, то
уравнение
а(Л]Х-|-В1//+С]2-|-01) 4-Р(А2х4-В2«/4-С224-О2) =0 (1)
задает некоторую плоскость данного пучка. Обратно, любая пло-
скость этого пучка может быть задана уравнением (1) при некото-
рых аир.
ПУЧОК ПРЯМЫХ на плоскости— совокупность всех
прямых плоскости, проходящих через некоторую фиксированную
точку (центр П. п.) 5 этой плоскости. Если 5(х0, у0), то уравнение
П. п. будет А(х—хо)+В(у—уо)=О, где А, В — произвольные по-
стоянные, не равные одновременно нулю. Если центр П. п. задан
парой пересекающихся прямых Л1х-|-В1у4-С1=0 и Л2х4-В2у4-С2=0,
то уравнение П. п. будет иметь вид а(Л1х-|-В|1/4-С1)4-р(Д2х4-В2у4-
4-С2) =0, где а, р — произвольные числа, а2 4- р2 ^0.
РАВЕНСТВО МНОГОЧЛЕНОВ. Два многочлена 1{х) и #(х)
степени п считаются равными, если сц = Ь< для (=0,1, ..., п,гдеа< —
коэффициенты многочлена /(*), 5.—коэффициенты многочлена
§(х), т. е. если у них равны коэффициенты при одинаковых степе-
нях переменного.
Т. Если многочлены Цх) н §{х), степени которых не превосхо-
дят п, имеют равные значения более чем при п различных значениях
переменного, то /(х) = ё(х)-
РАВЕНСТВО ПАРСЕВАЛЯ —СТЕКЛОВА —см. Замкнутая
система, Полнота и замкнутость тригонометрической системы, Ряд
Фурье по полной ортонормированной системе функций.
РАВНОБОЧНАЯ ГИПЕРБОЛА —см. Гипербола.
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ. Функция за-
данная на множестве X, называется равномерно непрерывной на X,
если Уе > О, 36 (е) > О, Хх', х"^Х, ( х’—х" 6 (е) => | / (х') —
— ?(.х") I Из Р.н.ф. / на X следует непрерывность в каждой точ-
ке X, но не наоборот. Однако если функция непрерывна на отрезке,
то она равномерно непрерывна на этом отрезке {теорема Кантора).
РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ. Функция / называется равномерно непрерывной на
множестве X евклидова пространства Кл, если для Уе >0, 36 = 6(е),
такое, что для Ххг, х2€А, удовлетворяющих условию р (*г, х2)<6,
выполняется неравенство | Дхх)—/ {х2) | < в (р (х, у) — расстояние в К”).
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРА-
ЛОВ, зависящих от параметра. Сходящийся на множестве
4-со
V интеграл У { (х, у) дх (см. Сходимость несобственного интеграла,
а
зависящего от параметра) называется равномерно сходящимся на этом
+°°
множестве, если Уе > 0, ЗА0 (е) >0, УА > Ао (е) и Ху^ У=>| У / (х,
А
у)йх|<Се, Несобственный интеграл второго рода, зависящий от пара-
метра У / (х, у)дх {[ (х, у) — не ограниченная в точке Ь при каждом
а
фиксированном у€У), называется сходящимся равномерно на множе-
стве V, если Уе > 0, 36 (е) > 0, такое, что для Уч, Ь— о (е) <1 ч < Ь и
ь
Ху^Х выполняется неравенство | / (х, у) йх <(е.
д
Для выявления Р.с.н.и. может быть использован, например, приз-
нак Вейериипрасса: если существует функция ф(х), определенная на
промежутке [а, +оо[ и интегрируемая по Риману на [а, Л] для УА>
>а, такая, что: 1) |/(х, </)|<<р(х) при х€[а, +°°{. у€У; 2) ин-
4-00 4-00
теграл | <р (х) Лх сходится, то интеграл ] / (х, у) Лх сходится рав-
а а
номерно на множестве У. Аналогично формулируется признак Вейер-
штрасса для несобственных интегралов второго рода, зависящих от па-
раметра: если функция <р определена на [а, Ь[ и интегрируема по Ри-
ману на каждом отрезке [а, т]], где а < л < Ь, и а) | / (х, у) | (х),
ь ь
при Ух€[а, 6[, Уу € У, б) { <р (х) Лх сходится, то (х, у)Лх схо-
а а
дится равномерно на множестве У.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. Степей-
ОО
ной ряд 2 ск (г — г°)* с комплексными членами сходится равномерно
к=о
на любом замкнутом множестве, целиком принадлежащем кругу схо-
димости. В частности, степенной ряд сходится равномерно в круге |г —
— г0|^г, где г < К (К — радиус сходимости степенного ряда). Сте-
СО
пенной ряд 2 ак (х — с действительными членами сходится рав-
а=о
номерно на любом отрезке из множества сходимости.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА
СО 00
ФУРЬЕ. Если ряд У (I ап | 4- | Ьп |) сходится, то ряд — 4- У, ап х
Л=1 П=1
X соз пх 4- Ьп з1п пх сходится абсолютно в равномерно и, следователь-
но, имеет непрерывную сумму, для которой он является рядом Фурье.
Тригонометрический ряд Фурье непрерывной кусочно-дифференцируемой
функции / периода 2л сходится к ней абсолютно и равномерно. Ряд
Фурье непрерывной функции / периода 2л, производная которой есть
функция с интегрируемым квадратом (последняя может и не существо-
вать в отдельных точках), сходится к / абсолютно и равномерно.
РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА.
со
Функциональный ряд 2 ик (х) называется равномерно сходящимся на
Л=1
множестве Е, если Уе > О, ЗА/(в), Ул^>АЦв) Ух€ Е=$ | зя (х) —
— з (х) |< е. Учитывая, что з (х) = зп (х) + гп (х), последнее условие
можно заменить на | гп (х) | < е, где з (х) — сумма ряда, зп (х) — ча-
стная сумма, гп (х) — остаток ряда. Из Р.с.ф.р. на множестве Е вы
текает сходимость ряда на этом же множестве. Для того чтобы ряд
СО
У, ик (х) сходился равномерно иа множестве Е, необходимо и доста-
к=1
точно, чтобы Пт аир | гп (х) | = 0. Имеет место критерий Коши: для
л->+со Е
равномерной сходимости ряда 2 (*) на множестве Е необходимо и
к=\
достаточно, чтобы Уе > 0, ЗА (е), Уя^>А(е) и Ур>0, Ух€Д=*
«+₽
=> 2 ик (х) <^е. См. также Свойства равномерно сходящихся функ-
циональных рядов.
РАВНОМЕРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ. Абсолютно непрерывную
случайную величину называют равномерно распределенной
вале ]а, Ь[, если ее плотность вероятности имеет вид
в интер-
РЕ (*)
Математическое ожидание,
равномерно распределенной
равны соответственно:
= о — а
0 , х$]а, д[.
дисперсия и характеристическая
в интервале ]а,
б[ случайной
функция
величины
а + Ь _ (Ь — а)1
' = |2 ; (!)
РАВНОСИЛЬНОСТЬ — см. Символика
еиь_е“а
= д (Ь — а) •
математической логики.
РАВНОСИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ — две системы
уравнений, для которых множества нх решений совпадают (всякое
решение одной из них является решением другой). По определению,
всякие две несовместные системы считаются равносильными.
Т. Любые две эквивалентные системы линейных уравнений —
равносильные
РАВНОСИЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ—см. Уравнение.
РАВНОСТОРОННЯЯ ГИПЕРБОЛА —см. Гипербола.
РАВНЫЕ ВЕКТОРЫ — коллинеарные, одинаково направлен-
ные векторы, имеющие равные длины. Все нулевые векторы считают-
ся равными. Из определения следует, что из любой точки А' можно
единственным образом построить вектор А'В', равный заданному
вектору АВ, илн, как говорят, перенести (параллельно перенести)
вектор АВ в точку А'. Р. в. имеют в выбранной системе координат
равные координаты. В евклидовом пространстве это кладется в
основу определения равенства векторов.
РАВНЫЕ МАТРИЦЫ — две матрицы А и В одинаковых раз-
меров, все соответствующие элементы которых равны между собой.
Запись: А=В.
РАВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ — см. Отображение.
РАДИУС КРИВИЗНЫ ЛИНИИ — см. Соприкасающаяся
окружность.
РАДИУС СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА. Величина Я > О
(Р— число илн символ +оо), такая, что для Уг, |г — г01 < К, ряд
ОО
У, ск (г — г0)* сходится, а для Уг, | г — г01 > К, расходится, иазы-
к=0
вается Р.с.с.р. У всякого степенного ряда существует радиус сходи-
мости, который может быть вычислен по формуле.
п-*со
где символ Нт ап означает верхний предел последовательности (ал).
Л-+-СО
Последняя формула носнт название формулы Коши — Адамара.
Если существует Пт
Л-*-СО
= й, 0 < б < +<», то радиус схо-
00
димостн К степенного ряда У ск (г — го)* равен 4. Если существует
&
п — I
1:т/' I с„ I =с (0<с<4-оо), то К = — (К = Опри с=4-со, К=
л->-со 1 1 О
= 4-00 при с«= 0),
Все формулы справедливы и для степенных рядов с действи-
тельными членами.
РАДИУС-ВЕКТОР точки М—вектор ОМ, идущий от начала
координат О к точке М. Р.-в. есть пример связанного вектора. См.
также Аффинное пространство.
РАЗБИЕНИЕ МНОЖЕСТВА. Пусть О — множество точек
из К". Совокупность множеств {6*}, А=1, 2, .... п, называют Р. м.
О, если объединение всех Оа совпадает с множеством О н если лю-
бые два различных множества нз {Оа}, 2, .... п, не имеют
общих внутренних точек. Если множества О и Оа, А=1, 2, п,
кубируемы, то
л л
об. О = 2 об.ОА = 2
к=1 4=1
Диаметром разбиения {Оа} называют величину 6=тахб(0л), где
6(0а) —диаметр множества 6а. *
РАЗБИЕНИЕ ОТРЕЗКА [а, б] — любая конечная система его
точек ха, к=0, 1, 2, ..., п, такая, что а— «
= х0<х1<...<х„_1<х„=б. Каждый нз от- 1
резков [ха-,, ха1, к=1, 2, .... п, называется
отрезком разбиения, его длина обозначает-
ся ДхА; Дха = ха —ха-ь к—1, 2, .... п. Вели-
чина б = тах{ДхА}—диаметр разбиения.
РАЗВЕРТКА ОКРУЖНОСТИ, эволь-
вента окружност н,— траектория
конца туго натянутой нити, сматываемой с
неподвижной круглой плоской катушкн
(см. рис.). Параметрические уравнения Р. о.
могут быть представлены в виде х=
= /? (СОЗ /+/ 81П /), У = Н (в1П 1—1 соз /).
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХ-
НОСТИ — поверхности, которые с помощью
изгибания могут быть преобразованы в ку-
сок плоскости. Гауссова кривизна Р. п.
равна нулю.
РАЗДЕЛЕННАЯ РАЗНОСТЬ, разностное отношение, первого
порядка функции / для двух различных точек х0,
/ (*1) — / (*о) „
Х1 отрезка [а,&] —отношение /(х0, хх) =----------------—. Р.р.
Хо
второго порядка функции / по трем различным точкам х0, Х1, х2 от-
г „ ,, . / (*1. х2} — /(х0, Х1)
резка [а, &] называют выражение / (*о> х2) =------------------•
х2 — х0
Аналогичным образом для сетки а х0 < хх < ••• <хп^Ь можно
составить Р.р. л-го порядка, определяя ее через Р.р. (п—1)-го порядка:
/(ХХ, Х2...........................Хп) — Г(Х0, XI....хл_[)
Х1....хя)=--------------------
Свойства Р. р.:
1) Р. р. симметрична относительно своих аргументов:
/(х0, X].......... Хп)=/(Х„, хь ..., Хп-ь Хо);
2) Р. р. линейна: (а/+Ря)(*о, Х1)=а/(х0, *|)+Ря(*о, *1);
3) Р. р. л-го порядка многочлена Р(х) степени не выше п
является величиной постоянной;
4) Р. р. могут быть выражены через значения функции / в точ-
ках х<:
/(Хо, Х1, .... х„ =21 /ТТ"?
п
где и (х) = П(х — х<);
/=о
5) для ^Сп ([а, &])
, /<">©
/(Хо, XI, .... Хл) = -—,
П1
где 5 — некоторая точка отрезка (а, &].
РАЗЛОЖЕНИЕ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ функ-
ций, заданных на интервале ]—I, /(, —см. Тригономет-
рический ряд Фурье.
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ. Справедлива следующая
теорема.
Т. Если”ё"1, еа, еп — базис линейного пространства У„, то
для любого вектора х существует единственная система чисел хь
х2......х„, такая, что
_ _ п
х “ + Ха е, + ... + хпе „ = 2 Х1 е р
(=1
Это выражение называется разложением вектора х по базису е 1,
еа, .... еп, а коэффициенты разложения Х1, .......х„ — координа-
тами вектора в этом базисе. Если - вектор х имеет в некотором ба-
зисе координаты Х1, .....хп, то пишут: х = (Х1, ха, хп). Для
сокращения записи вводят также следующие обозначения: векторы ба-
зиса ег, е2, еп записывают в строку: (е ) = е2, е п),
а координаты вектора х в базисе ( е) — в столбец:
/Х1\
\ Хг\
(х) = X = I • I = (хь ......х„)г,
'-Хд/
который называется координатным столбцом вектора. Тогда Р.в.п.б.
записывают в виде
Справедливы следующие свойства координат вектора:
1) координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны
суммам соответствующих координат этих векторов в том же базисе;
2) координаты произведения вектора на число в некотором бази-
се равны произведениям соответствующих координат данного вектора
в том же базисе_на это число;
__ 3) вектор х является линейной комбинацией векторов х2, х2, ....
х* то1да и только тогда, когда каждая координата вектора х в не-
котором базисе является такой же линейной комбинацией соответст-
вующих координат векторов хъ ........ в том же базисе;
4) два вектора равны между собой тогда и только тогда, когда
равны между собой их соответствующие координаты в одном и том
же базисе.
Так как рассматриваемые в аналитической геометрии множества
свободных векторов (геометрических векторов) на прямой, плоскости,
в пространстве являются линейными пространствами соответственно
Уг, Уз, то все сказанное выше справедливо и для них.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ. Пусть
^('х) = аохп + а1Хп~1+...+ап-]Х+ап (1)
есть заданный многочлен.
1) Многочлен с комплексными коэффициен-
тами. В этом случае многочлен (1) можно представить в виде
/4х) = а0(х—а^Дх—а2)*,...(х—а„)*5, (2)
где к1+к2+... + кз=п н средн корней аь а2.... а, нет равных. Раз-
ложение (2) единственно с точностью до порядка сомножителей.
2) Многочлен с действительными коэффициен-
тами. В этом случае многочлен (1) представим в виде
I (х) = а» (<рх (х))'* ..и<рг (х)/' (х - ... (х - ₽Р)Ч (3)
где <рг (х) = (х — аД (х — а,) = х2 — (а, 4- а,) х 4- агаг — многочлены
второй степени с действительными коэффициентами; Ру — действитель-
ные корни многочлена; 2/х 4- ... 4- 2/г 4- йх 4- ... 4- кр = п. Разло-
жение (3) единственно с точностью до порядка множителей.
РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА ПО СТЕПЕНЯМ РАЗНОСТИ. Для
любого многочлена ( (х) = аохп 4- ахх"— 1 4- ..г 4-ая_1х4-°л и лю-
бого числа с можно написать разложение / (х) по степеням разности
х — с: / (х) = Мх — с)" 4-Мх — с)я-1 4- ... 4- Ьп_{ (х — с) 4- Ь„.
Коэффициенты Ь[ находят по следующей схеме. Делят сначала / (х) на
х — с. В остатке получается Ьп. Частное от деления д (х) делят на
х — с, в остатке получают дя_г Частное <?х (х) делят иа х — с, в ос-
татке получают Ьп_2 и т. д. Вычисления удобно проводить по схеме
Г (с)
Горнера. Учитывая в то же время, что &я<=/(с), Ья_[ •=—~—,
. Г (с) .
Ьп_2 = ———, .... о0 = ~~—> легко наити значения производных
многочлена / (х) при х = с.
РАЗЛОЖЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ. Любую неправиль-
, Р (х)
ную рациональную функцию можно представить в виде 5 (х) 4- --
0(х)
где 5 (х) — многочлен, а Р (х)/ф (х) — правильная рациональная функ-
ция. Всякую же правильную рациональную функцию можно предста-
вить в виде суммы простейших рациональных функций:
Р(х) _ 4‘> А<‘> < ЛИ
<2(Х) X— ах^”(х — ох)2 +(х — ах)*‘ х — а,
Акг М{"х + ^
(х аг)* (х — аг)кг & + Р1Х + ?1
М<1>х + ^1> +
+ (х2+рхх + 9х)2+ - + (х2 + р;Х+др ’ ’
где Р (х) и (? (х) — многочлены с действительными коэффициентами:
<2 (х) = (х — ах)А* (х — а2)к‘ ... (х — о,)*'(х2 + рхх + ?х)т* (*2+
+ Р2х+д2)'”‘ ... (х2 + р^ + р1)т‘, 4?;<0
(см. Разложение многочлена на множители)-, А*/', А^1',' ..., А^г),
Л1*1», М«\, Л^> — некоторые действительные постоянные
(коэффициенты разложения). Указанное разложение единственно с точ-
ностью до порядка сомножителей.
При построении системы уравнений для определения коэффи-
циентов разложения используют несколько практических способов.
1. Способ соответствующих коэффициентов.
Умножаем тождество (1) на Ч(х) и получаем равенство многочле-
нов Р(х)=Р*(х). После этого, приравнивая коэффициенты при
соответствующих степенях х, получаем систему линейных алгебраи-
ческих уравнений для определения коэффициентов разложения.
2. Способ частных значений. Умножаем тождество
(1) на (}(х) и приходим к равенству Р(х)=Р*(х). Придавая х под-
ходящие конкретные значения, получаем систему уравнений для
коэффициентов разложения.
3. Способ домножения. Умножаем тождество (1) на
множители вида (х— а;)* или (х’+р<х+<7<)т н полагаем х=ау или
х=а+ф, где а+ф — корень уравнения х24-р,х+?<=0.
Иногда комбинируют различные способы для определения коэффи-
циентов разложения. В случае, когда корни (} (х) простые, т. е, (} (х)=
= (х — бх) (х— ба) ... (х — бл), разложение Р (х)/ф (х) имеет вид
Р (*) Лх А? А„
Ч(х) х —Ь1 х— Ь1 *’* х — Ь„‘
Р(Ь})
где А) -
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В РЯД ФУРЬЕ ПО ФУНКЦИЯМ
БЕССЕЛЯ—см. Ряд Фурье по функциям Бесселя.
РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ. Гово-
рят, что функция / на множестве X может быть разложена в сте-
пенной ряд, если существует степенной ряд, сходящийся к ((х) иа
множестве X. Для того чтобы функция ( на множестве X могла быть
разложена в степенной ряд, необходимо, чтобы ( имела иа множе-
стве X непрерывные производные всех порядков. Если функция )
может быть разложена иа множестве X в степенной ряд, то лишь
единственным образом. См. также Ряд Тейлора.
РАЗМЕРНОСТЬ ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. Линейное
пространство V называется п-мериым, если в нем существует п ли-
нейно независимых векторов, а любая система п+1 векторов линей-
но зависима. При этом число п. называют Р. л. п. V и записывают
<Нт И=п (от фр. сНтепэюп—размерность). Если пространство со-
стоит только из одного нулевого вектора, то его размерность счи-
тается равной нулю. Пространство размерности п обозначают Уп-
Может случиться, что каково бы ни было натуральное число т,
в пространстве У найдется т линейно независимых векторов. Такое
пространство называют бесконечномерным. В настоящей книге в
основном рассматриваются пространства конечной размерности п
(конечномерные линейные пространства).
Замечание. Множество свободных векторов на прямой является ли-
нейным пространством Уь на плоскости — Уз, в пространстве — Уз.
РАЗМЕРНОСТЬ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ — см. Система дифференциальных уравнений.
РАЗМЕРЬ! МАТРИЦЫ — см. Матрица.
РАЗНОСТНОЕ ОТНОШЕНИЕ — то же, что разделенная раз-
ность.
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ а и Ь —такой вектор с, что с -|- Ь =>
= а. Обозначение: с = а — Ь. Доказывается, что а — Ь = а + (—Ь ),
где —Ь — вектор, противоположный вектору Ь. Из определения сло-
жения векторов и правила треугольника вытекает следующее прави-
ло построения Р.в.: разность а— Ь приведенных к общему началу
векторов а и Ь представляет собой вектор, идущий из конца вычи-
—♦ —♦
таемого вектора Ь в конец уменьшаемого вектора а. Из этого прави-
ла вытекает формула вычитания векторов: ОВ — О А = АВ (для лю-
—ф
бых трех точек О, А, В пространства). Если а = (хх, {/х, гх),
—► ♦
Ь = (хг, у*, гг), то а — Ь = (хх— хх, Уг^Ул, гх— гг). Аналогично
определяется Р.в. — элементов линейного пространства.
РАЗНОСТЬ МАТРИЦ АтХп = (щ/) и Втхп=(&1з) одинако-
вых размеров — матрица Стхп = (со) тех же размеров, такая, что
Сх)=-а^—Ь') для любых 1=1, 2, .... т, /=1, 2. п. Р. м. А и В обо-
значается С=А—В. Р. м. можно определить также следующим обра-
зом: А—В=А + (—В), где —В — матрица, противоположная ма-
трице В.
РАЗНОСТЬ СОБЫТИЙ —см. Операции над событиями.
РАЗРЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ—то
же, что интегрирование дифференциального уравнения.
РАНГ БИЛИНЕЙНОЙ ФОРМЫ — см. Билинейная форма.
РАНГ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ — ранг матрицы квадра-
тичной формы.
РАНГ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА —см. Область значений ли-
нейного оператора.
РАНГ МАТРИЦЫ — наибольший из порядков ее мииоров, от-
личных от нуля. Р. м. будем обозначать гапк или одной буквой г.
Свойства Р. м.:
1) для матрицы Атхл 0^г^т'ш{т, п};
2) г=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы рав-
ны нулю;
3) для матрицы Ап раит равен п тогда и только тогда, иогда
Ап — невырожденная;
4) гапк Л=гапк Ат;
5) Р. м. не меняется при элементарных преобразованиях ма-
трицы;
6) если В — невырожденная матрица, то гапк АВ = гапкА,
гапкоЛ=гапкА. В общем случае гапкЛВ^гапкА, гапкЛВ^
^гапкВ.
О способах вычисления Р. м. см. ст. Элементарные преобразо-
вания матрицы, Окаймляющий минор.
РАНГ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ — ранг матрицы этой системы
векторов. Р. с. в. определяют так же, как максимальное число линей-
но независимых векторов системы.
РАСПАВШАЯСЯ МАТРИЦА — то же, что клеточно-диагональ-
ная матрица.
РАСПАДАЮЩАЯСЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА н-ад число-
вым полем Р — квадратичная форма, которая может быть пред-
ставлена в виде произведения двух линейных форм над полем Р.
Т1. Для того чтобы комплексная квадратичная форма была
Р. к. ф., необходимо и достаточно, чтобы ее ранг был не больше
двух.
Т2. Для того чтобы действительная квадратичная форма была
Р. к. ф., необходимо н достаточно, чтобы ее ранг был не больше
двух, и если он равен двум, то сигнатура равна нулю.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИ-
НЫ — см. Дискретная случайная величина.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА. Случайная величина 5 имеет
пуассоновское распределение, если она принимает только целые неот-
рицательные значения иР(^ = я)=—е , л > 0, т = 0, 1,2...
Согласно теореме Пуассона, Р.П. является предельным для биноми-
ального. Математическое ожидание, дисперсия и характеристическая
функция случайной величины, распределенной по закону Пуассона,
равны соответственно:
< = X, 1, (0 = ехр (X (е11 - 1)).
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА с п степенями свобо-
ды— распределение случайной величины 1п =—Л • где | —
случайная величина, распределенная по стандартному нормальному за-
кону; Хп имеет распределение х’ с п. степенями свободы и не зависит
от Плотность Р.С. имеет вид
где Г (х) — гамма-функция.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СУММЫ НЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН. Если абсолютно непрерывные случайные величины 51, 5»
с плотностями р^ (х), (х) независимы, то их сумма 51 + Ь будет
также абсолютно непрерывной случайной величиной с плотностью
вероятности
-|-оо
Ръ+1,“ I РЬ1 Р1, (х — “) а“-
—со
Сумма двух независимых случайных величин 51, 5г, распределен-
ных по нормальному закону соответственно с параметрами (аг, 01),
(аг, Ог), имеет нормальное распределение с параметрами (аг + аг,
К + ^ )•
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ X2 с п степенями свободы — распре-
п
деление случайной величины Хп = 2 Й’ Где •••, 1п — незави-
к=\
симые случайные величины, распределенные по стандартному нормаль-
ному закону. Плотность распределения
Рп (х)
где Г (х) — гамма-фуикция.
• п , X
х2 е 2
—— ---—, х >0}
2 2 Г (—)
К 2 /
1 0 , х<0,
РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН —то же, что закон дистри-
бутивности .
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ. Если точки А4х и
м» заданы своими радиус-векторами (л11 ( гх), ЛТз (г2)), то рассто-
яние между этими точками вычисляется по формуле
д = | Л11Л4» | =. ]/ (г» — п)2 «» | п — гх |.
В координатах:
а) на координатной прямой 4= |М1М2| = |х2—х^, где А4х(жх),
Л/2(х2);
б) на плоскости
а = | М1Л}2 | = /(Х2 —Хх)2 + (у2~ У1)2,
где Л41(хх, ух), М2(х2, у2);
в) в пространстве
а = I Л41Л421 = V (Х2 — Х1)а 4- (у, — У1)’ 4- (г2 — гх)а,
где Л4х (хх, ух, 21), М2(х2, у2, г2).
Замечание. В двух последних случаях формулы приведены для де-
картовой прямоугольной системы координат.
Р.м.д.т. метрического пространства определяется аксиоматически.
РАССТОЯНИЕ от точки до плоскости. Расстояние
д от точки Мр(х0, у0, г0) до плоскости хсоза+усозр+гсозу—р=0,
заданной нормальным уравнением, находится по формуле
й = | хо соз а 4- Уо соз Р 4- соз У — р |.
Если плоскость задана общим уравнением Ах 4- Ву 4- Сг 4- О = 0, то
| Ахр 4~ Вур 4~ Сгр 4~ В I
= / А2 4-В2 4-Са
РАССТОЯНИЕ ОТ ТОЧКИ ДО ПРЯМОЙ. Расстояние д. от
точки М0(х0, уо) по прямой хсоза4-у 81П а—р=0, заданной нор-
мальным уравнением, находится по формуле
й=|х0соза4-уо81па—р|.
Если прямая задана общим уравнением Дх4-Ву4-С=0, то
| Ахр 4~ Вуо 4- С |
“ / Аа4-В2
Для прямой, заданной векторно-параметрическим
г = п 4-а/ (на плоскости или в пространстве),
|[ п>— г,. а]|
‘-------йГ"’
уравнением
где г0 — радиус-вектор точки Мо.
РАСХОДИМОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ —то же, что дивер-
генция векторного поля.
РАСХОДЯЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см. Предел
числовой последовательности.
РАСХОДЯЩИЙСЯ РЯД —см. Числовые ряды.
РАСШИРЕННАЯ ПЛОСКОСТЬ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕ-
МЕННОГО — комплексная плоскость, пополненная бесконечно уда-
ленной точкой 2=00.
РАСШИРЕННАЯ МАТРИЦА СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ — см. Система линейных уравнений.
РАЦИОНАЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ. Мно-
гочленом степени п от двух переменных х и у называется выраже-
ние вида
Рп (х, у) = а®» + а10х + а01У + а№х2 + аиху 4- а^у2 4- ... +
+ а1(л-1) ХУП~1 + аопУЯ >
в котором Дод, а10.аОп — векоторые действительные постоянные,
такие, что среди чисел ап0, а(я_ц р а(я_2) 2.а0п есть хотя бы
одно, отличное от нуля, Р.ф.д.п. х и у называют выражение вида
„ , . Рп (х, У}
у) = ——------
<6п(*> У)
где Рп (х, у) и <дт (х, у) — многочлены от двух переменных.
РАЦИОНАЛЬНОЕ ЧИСЛО — число, представимое в виде дроби
т/п, гдепбЫ, Множество Р.ч. обозначают О. Каждое Р.ч.
представляется бесконечной периодической десятичной дробью. См.
также Действительное число.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — целая Р. ф. (многочлен) и
дробно-рацнональная функция (частное двух многочленов).
РЕАЛИЗАЦИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА—см. Случайный
процесс.
РЕГУЛЯРНАЯ ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕН-
НОГО — см. Аналитическая функция.
РЕЗУЛЬТАНТ двух многочленов /:(х9=а()хп+а1Хп-,+
4-...4-ап-1*4-а„ и ^(х) = &ох’+&1Х'-1+...-|-&,-1Х+&, — выражение
П 5
«(А я)=%5^п п (а/-₽д
где а/, Ру — корни многочленов соответственно / (х) и ^(х). Суще-
ствуют и другие представления для Р., например:
К (А Я) =во Д "(аг);
$
К (А (г. А = (-1)П5^П /(Ру).
/=1
РЕПЕР — то же, что декартова система координат, аффинная
система координат.
РЕШЕНИЕ В НЕЯВНОЙ ФОРМЕ дифференциального
уравнения — соотношение со(х, у)=0, определяющее неявную
функцию у=Ц>(х), которая является решением данного уравнения.
РЕШЕНИЕ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ дифферен-
циального уравнения первого порядка Р(х, у)йх+
+ <Э(х, (/)йу=О — пара дифференцируемых функций х=<р(?), у=
=ф (/), заданных на промежутке / и обращающих данное уравнение
в тождество на I. Аналогично определяют Р. в п. ф. уравнений
Р(х, у, у')=0, Р(х, у, у'.у(”>)=0.
РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ОПЕРА-
ЦИОННЫМ МЕТОДОМ. Операционный метод применяется для
решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения
с постоянными коэффициентами
х(п) + ап_1х(п~0 + ... + а1х' +аох = 1 (/);
х(« (0)=^, й = 0, I.......л — 1.
Применив преобразование Лапласа и использовав теорему о диф-
ференцировании оригинала, приходим к линейному алгебраическому
уравнению относительно изображения искомой функции л(р):
(рях (р) - р"-1^ --... - р^2 - и-0 +
+ ая,! (р^Х (р) - рп-%-------------^2) + ... + 01 (рХ (р) -
— &>) + воХ (р) Р (р),
где х»Х; !~Р. После преобразования получим уравнение вида
^(Р) + ^(Р)
I (р) X (р) — У (р) = Р (р), откуда X (р) =--—--------. Из послед-
МР)
него соотношения получаем возможность найти оригинал х (I) по его
изображению X (р). Начальная задача х^ (/0) = 5*. к=0, 1, ..., п—1,
сводится заменой т = I — (о к описанной. По аналогичной схеме ре-
шается задача Коши для систем линейных дифференциальных уравне-
ний с постоянными коэффициентами. См. также Интеграл Дюамеля.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В КРУГЕ методом Фурье.
Переходя к полярным координатам, задачу Дирихле для уравнения
Лапласа в круге преобразуем к следующей задаче: решить уравнение
1 д [ ди\ 1 д2и
-----— г —- Н- — — = 0 в круге г < 2? при условии и |._п =
г дг \ д<р / г’ к
= ((<р). Метод Фурье состоит в определении всех решений вида
“ (Ф. г) = И (г) Ф (<р), где И — функция только г, Ф — функция толь-
ко <р. Из исходного уравнения для функций И и Ф получим урав-
нение
1 а ( ди\ 1 а2Ф „
г дг \ дг) г2 д<р2
или
г а / дц\ _ 1 а2Ф
И дг V дг)=‘~ Ф а<р2 *
Поскольку левая часть уравнения не зависит от <р, а правая от г, то
равенство имеет место тогда и только тогда, когда и левая и правая
г д ( дИ\ . 1 д2Ф
части постоянны. Обозначим ——— г — = X, тогда —--------------;~*"
И дг \ дг) Ф Жр2
= —X, Второе уравнение имеет общее решение Ф^ (<р) —
-Л(Х) соз У X <р + В (X) $1П У X <р. Поскольку решение должно
быть периодичным в круге, то Ф (<р4- 2л) = Ф(ф), следовательно,
X — па (л € Я) и Фх (ф) = Фл (ф) «= А„ соз п ф + Вп 81п лф, где Ап =
-Л(ла), В„ = В(ла).
г а { аи\
Из уравнения — — I г — I " л’, X = п1, получаем га —- +
V Аг \ Аг ] Аг*
АН.
4- г——пЧ] = 0. Это уравнение имеет два линейно независимых
Аг
решения: 11 п (г) = г" и У1п(г) =, г~п. (Решение (/|Л«=г—а исклю-
чим, так как при л > 0 оио ие ограничено в центре круга, а поста-
новка задачи предполагает его ограниченным.) Окончательно </п(ф, г)=
= Ф„ (ф) Уп (г) = гп (Лл соз лф + Вп 81п л ф). В силу линейности и
однородности уравнения Лапласа сумма частных решений и (ф, г) =
ОО 00
= 22 ип (ф, Н = 2 гП со5 п Ф + вп 8<п п Ф) также является ре-
п=0 л=0
шеиием уравнения Лапласа. Введя обозначения во = 2А, ап = Ап, Ьп = Вп
ОО
Со ЖЧ
(п€М), запишем решение в виде и (ф, г)=— (ап С05 ПФ 4-
п=Л
4- Ьп зш лф) гп. Определим а0 и ап, Ьп из граничного условия
00
“ (Ф> Ю = -^-4- КП°п С05 лф ^ПЬп 8'п пф =- (<р)'
Л=1
Эта формула дает представление функции / рядом Фурье. Поэтому
2Л
7?яол=—— У /(6)со8л9й6, п = 0, 1,2,
О
2Я
КпЬп - — С / (6) з!п пМе, п - 1, 2, ...
я 4
Подставив выражения для коэффициентов ап и Ьп в формулу для и,
получим
2л / <х> »
«(ф. + СО8П(Ф — 6) |
Л \ 4 \ " / I
О X 71=1 /
Преобразуя этот интеграл, можно получить решение задачи Дирихле
в виде
2Л
1 Г /?»— г2
« (ф. г) = — / (6) ———------—— ае.
2л ,] /<а — 2Рг соз (ф — 0) + г’
о
Интеграл в правой части формулы называют интегралом Пуассона, а
К2—г2
ВЫраЖеИИе &~2Кг соз (Ф — В) + г2~ Ядр°М ПуаСС°На-
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ — действительная или комплекснозначная функция,
определенная на промежутке I действительной оси, обладающая на 1
производными всех порядков до порядка уравнения включительно н
обращающая данное дифференциальное уравнение и тождество на /,
Процесс нахождения решения называется разрешением или интегри-
рованием дифференциального уравнения.
См. также Решение в неявной форме дифференциального уравне-
ния, Решение в параметрической форме дифференциального уравне-
ния, Общее решение дифференциального уравнения, Приближенное
решение дифференциального уравнения.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — см. Система дифференциальных уравнений.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ — см. Система урав-
нений.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ —см. Уравнение.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БЕССЕЛЯ с помощью степен-
ных рядов. Решение уравнения Бесселя х2у" + ху' + (х2— У2)у=
= 0 можно искать в виде формального обобщенного степенного ряда
ОО
у (х) = х^ 2 апхП с неопределенными коэффициентами. После вычис-
л=0
лення производных от ряда у (х), подстановки их в уравнение Бесселя
и преобразований получаем соотношение
(Ха - V») алхк + ((X + 1)а - V») о1хх+1 + 2 (((« + М* - V2) ап +
п=2
+ ап_2)хп+к^0,
которое равносильно бесконечной алгебраической системе
(А,2-у2)ао=О;
((Х+1)2-№)О1=0;
((Х+п)2—№)ап + ап_2=0, п=2, 3, 4, ...
Из первого уравнения следует, что Х=±у. Для определенности поло-
жим Л=у. Тогда получаем, что ао произвольно, и формальное реше-
ние имеет вид
СО
У! (х) = а0 X] ---2-—-— 7
22Яп! (V + 1) ... (V + п)
Этот ряд сходится для всех х > О и поэтому является для х > О
решением уравнения Бесселя. Если положить ао = » где
Г (V) — гамма-функция, то функция уг (х) превращается в функцию
Бесселя первого рода порядка V:
УЛ (-1)" / х \2"+у
*~ 2^ л! Г (V + п + 1) \2) ’
п=0
Если V не является целым числом, то наряду с решением у± (х) урав-
нение Бесселя имеет также решение
ЛГ1 (—1)" [ х \2л-у
4,2 (Х) " п! Г (—V + п + 1) \ 2 / *
п=0
где — функция Бесселя первого рода порядка —V. Прн нецелом
V решения и линейно независимы, что позволяет о помощью
линейных комбинаций вида а/у + решить любую начальную
задачу при х = х0 > 0. При целых V второе независимое решение
уравнения Бесселя дает функция Бесселя второго рода:
7 (х) соз — 7 (х)
-------К-----------
(V — не целое). Переходя к пределу в У у (х) при V, стремящемся
к целому числу, получаем частное решение (х), линейно независи-
мое с ^(х). Общее решение уравнения Бесселя всегда может быть
представлено в виде у (х) = А7у (х) + ВУЧ (х), где Л и В — произ-
вольные постоянные.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫ-
МИ — см Уравнения в частных производных.
РОЗЫ — семейство плоских линий, полярное уравнение которых
имеет вид р=аз1п^ф, где а, к — постоянные числа. Рассматривают
также уравнение р = асоз&ф. Свойства Р.:
1) если к—нечетное число, Р. состоит из к лепестков;
2) если к — четное число, Р. состоят из 2к лепестков;
т
3) если к ——, п>1,— рациональное число, Р. состоит из т
п
лепестков при тип нечетных и из 2т лепестков, если одно из этих
чисел четное (при этом каждый следующий лепесток частично по-
крывает предыдущий);
4) если к — иррациональное число, Р. состоит нз бесконечного
множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.
Некоторые Р. приведены на рис.
РОТОР ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ—вектор, проекция которого на
каждое направление равна пределу отношения циркуляции вектор-
ного поля по контуру Ь плоской площадки Д5, перпендикулярной к
атому направлению, к величине этой площадки, когда размеры пло-
щадки стремятся к нулю, а сама площадка Стягивается в точку.
Р, в. п. а(х, у, г) обозначают го! а. Таким образом,
а • Лг
го!-* а = Пт---------
л Д5-*0 До
—>
Нормаль п к площадке направлена так, чтобы прн вычислении цирку-
ляции обход по контуру Ь казался совершающимся против часовой
стрелки. Р. в. п. называют также вихрем векторного поля.
Приведенная формула показывает, что при неизменной величине
площадки значение циркуляции по ее контуру зависит от ориентиров-
ки последней относительно направления Р. в. п.; оно будет наиболь:
шим, когда площадка перпендикулярна к Р. в. п., ибо в этом случае
проекция Р. в. п. максимальна и равна его модулю.
В поле линейных скоростей V вращающейся жидкости отноше-
ние циркуляции по произвольной замкнутой линии к площади, огра-
ниченной ею, равно проекции постоянного вектора 2со на направле-
ние, перпендикулярное к этой площадке, и поэтому предел указан-
ного отношения также равен этой проекции вектора 2<о. Следователь-
но (согласно определению Р.в.п.), го!о = 2со. Таким образом,
Р. в. п. линейных скоростей вращающейся жидкости есть постоянный
вектор, направленный параллельно оси вращения, модуль которого
равен удвоенной угловой скорости вращения.
Проекции вектора го! а на оси координат соответственно равны:
даг даи дах даг дау дах
го^ а=,~у—~дг‘> го^0 = а? — 77: го1*а = ~дх ~ ~ду •
Соответственно этому
!даг дау\_* /дах даЛ /дау дах\^
то1а ,= \ду~'дг/ 1 +[дг~~дх} 1 + [дх ~~ду) к’
По своему строению го! а напоминает векторное произведение двух
векторов, в котором проекции первого сомножителя заменены знака-
ми дифференцирования по х, у, х. Поэтому го! а можно символически
записать в виде
го! а
= [у. в ]
I
д
~дх
1 1
дг
ах
ау аг
Справедливы следующие свойства Р.в.п.:
1) го( ( а + Ь ) = го! а + го! 6;
2) го! ( иа ) = и го! а + [бгас! и, а ];
3) сПV [ а, Ь ] = Ь • го! а — а • го! 6;
—> -► —>
4) го! с = 0, с = сопз!;
5) го! г — 0, где г = х1 + у] + гй;
6) го( (бгад и) = 0;
7) <11V (го1^ ) =0;
8) го! го! а = йга<1 <Пу а — Аа,
где До — &ах1 + До^/ + Догй; Д — оператор Лапласа.
РЯД — выражение вида и| + и2 + ... + «п + ..., где (ип)— последо-
вательность чисел или функций, заданных на множестве Е, общем
для всех членов последовательности. Сумму п первых членов Р. на-
зывают п-й частной (частичной) суммой Р. и обозначают з„. Если
существует конечный предел последовательности (зп) частичных сумм
Р., то говорят, что Р. сходится, а указанный предел называют
суммой Р. См. также Числовой ряд, Функциональный ряд.
+со
РЯД ЛОРАНА — ряд вида 2 сл (2— го)я (сл € С—коэффици-
П=—ОО
00
енты, го € С), который понимается как сумма двух рядов: 2 сл(г и~ го)п
«=о
00
и 2 е—я (г—го)—". По определению, сходимость Р.Л. прн некого-
я=1
ром * означает сходимость этих двух рядов прн этом г. Если обо-
значить:
1 1 1
11ГП / | Сп I г 11ГП У I С—п |
п-»оо п->оо
то прн г</? областью сходимости Р. Л. будет круговое кольцо
Г<|2—20| </?. (Кроме того, Р.Л. может сходиться в некоторых точ-
ках, лежащих иа границе этого кругового кольца.) Если же г>/?, то
Р. Л. расходится во всех точках. См. также Ряд Лорана в окрест-
ности особой точки, Представление функций рядом Лорана.
РЯД ЛОРАНА В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ. Если функ-
ция / (г) аналитическая в кольце 0 < | г — г0 | < /?, то ее можно
представить в этом кольце сходящимся рядом Лорана /(г) =
+<»
2 сл (2—г°У'‘ ®тот Ряд «бывают рядом Лорана для функции
д=—со
/ в окрестности точки г0, а ряды Д (г) = \ С п и /2 (г)
(2~ 2о)
П=1
«= 2 Сп (г — г°^П—соответственно главной частью и правильной
п=0
частью ряда Дорана.
Если функция / представима в окрестности бесконечно удаленной
точки (т. е. в области г < | г | < -|-оо) сходящимся рядом / (г) =
+°°
«= 2 Сп2”» то этот ряд называют рядом Лорана для функции /
Л=—00
со
в окрестности бесконечно удаленной точки, а ряды (г) = 2 ся2”
я=1
00
И М2)= со+2С—я2-” — Соответственно главной частью и пра-
п=1 '
сильной частью ряда Лорана.
РЯД МАКЛОРЕНА — то же, что ряд Тейлора в случае хо =0.
См. также Основные разложения в ряд Тейлора.
оо
РЯД ТЕЙЛОРА — степенной ряд ^ак(х — х0)к функции / око-
к=о
ло точки х0, коэффициенты которого определены формулой а% =
='—Если функция / может быть разложена на множестве X
в степенной ряд, то этот ряд является Р.Т. функции /.
Для того чтобы функция { могла быть разложена в Р. Т. на
множестве X, необходимо и достаточно, -чтобы остаточный член в
формуле Тейлора для этой функции стремился к нулю на мно-
жестве X.
Если функция / и все ее производные ограничены в совокупности
на интервале ]х0—Н, х0+й[, т. е. существует такая постоянная М>0,
что для всех х € ]х0—й, *о+^[ и всех п=0, 1, 2, ... выполняется нера-
венство |/<")(х)|^М, то на интервале ]х0—Л, х0-М[ функция / рас-
кладывается в Р. Т., т. е.
/(х)
/(А) (Хо)
к\
(х — Хо)к, I X — Хо | < Л.
См также Основные разложения в ряд Тейлора.
РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕ-
МЕННОГО. Если /—однозначная аналитическая функция в области
О с: С, га € Т) и г — расстояние от г0 до границы дО области О, то
в круге |г—20|<г ( представима рядом Тейлора по степеням 2—2а:
00
/ (г) = 2 ап <г ~ г»)Л'
п=0
где
/(п) (го) = 1 С / (г) <12
п п! 2гЛ а (г — гб)"^1 ’
?Р
Ур — окружность радиуса р (0 < р < г) с центром в точке го.
Разложения в ряды Тейлора основных элементарных функций:
VI (—1)лг2л+1
5|П,~2| (2. + 1), “С|
л=0
VI (-Ц"*2"
соз г = > . -— -----, г € С{
(2п)!
л=0
оо
VI— 1)л-12л
,---------------. |г| < 1.
п
о=1
РЯД ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ — см. Ряд Фурье по функциям Бесселя.
РЯД ФУРЬЕ ПО ПОЛНОЙ ОРТОНОРМИРОВАННОЙ СИСТЕМЕ
ФУНКЦИЙ. Пусть фх, ф2........фл, ... — полная ортонормироваиная
на отрезке [а, 6] система действительных функций. Ряд Фурье для
00
функции / на отрезке [а, 6] имеет ввд 2 с*ф* (х), где с* «=
&=1
ь
= У / (х) ф^ (х) дх — коэффициенты Фурье функции / по данной систе-
а
ме. Для Р.Ф. имеют место следующие утверждения:
1) Р.Ф. для любой функции, интегрируемой с квадратом, схо-
дится в среднем к этой функции;
2) всякая функция / с интегрируемым квадратом вполне опре-
делена (с точностью до значений в конечном числе точек) своим
Р. Ф., независимо от того, сходится этот ряд или иет;
3) Р. Ф. каждой функции /, интегрируемой с квадратом, можно
интегрировать почленно, независимо от того, сходится он или иет;
4) если функции фл, п€14> непрерывны и Р.Ф. для непрерывной
функции / сходится равномерно, то его сумма совпадает с /;
5) имеет место равенство Парсеваля — Стеклова для любой
интегрируемой с квадратом на отрезке [а, 6] функции (:
Ь оо
]’/2{х)йх=. 24
а 6=1
РЯД ФУРЬЕ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ—см.
Тригонометрический ряд Фурье.
РЯД ФУРЬЕ ПО ФУНКЦИЯМ БЕССЕЛЯ. Пусть М, ^....
Ап,... — пронумерованные в порядке возрастания положительные
корни функции Бесселя первого рода 1р(х) (р> — 1). Тогда функции
/Р(Мх), /р(^).... /р(Л„х), ... образуют на отрезке [0, 1] ортого-
нальную систему с весом х (см. Функции Бесселя первого рода), т. е.
1
| хдр (ктх) 3р (ХАх) дх = 0, к € Ы; т € 14; к т.
о
Для всякой функции /.абсолютно интегрируемой иа [0,1], можно со-
ставить ряд Фурье по рассматриваемой системе:
ОО
/ (*) ~ ск^ р кх) •
А=1
где постоянные ск определяются по формулам
{х) 1 р(ккх) дх 2 1
ск = 1 ~ , ] х! (х) 1 р (^кх) ^х
^р^дх 1
н называются коэффициентами ряда Фурье по системе функций Бес-
селя или, короче, коэффициентами Фурье — Бесселя. Сам ряд иногда
называют рядом Фурье — Бесселя.
Ряд Фурье — Бесселя \р кусочно-дифференцируемой на
отрезке [0, 1] функции / сходится для 0 < х < 1, причем его сумма
равна / (х) в каждой точке непрерывности функции / и равна числу
— (/ (х + 0) + / (х — 0)) в каждой точке разрыва. Для х =» 1 всегда,
а для х = 0 — при р > 0 ряд сходится к нулю.
Ряд Фурье — Бесселя
абсолютно интегрируемой на
отрезке [0, 1| функции /, непрерывной и обладающей абсолютно ин-
тегрируемой производной на [а, 6] с [0, 1], сходится равномерно на
каждом отрезке [а + 6, Ь — 6], '6 > 0.
Отметим, что ряд Фурье — Бесселя для функции / можно полу-
чить, разлагая функцию х [ (х) в ряд по обычной ортогональной
системе У х Тр (Х^х), У х 7р(Х2х), .... У~~х~ Тр(^пх), .... что
позволяет перенести на ряды Фурье — Бесселя результаты, известные
для рядов Фурье по ортогональным системам.
САМОСОПРЯЖЕННЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР. Линейный
оператор / евклидова или унитарного пространства называется
С._л. о., если для любой пары векторов х и у этого пространства
/(х) -у=х-!(у).
Т1. Линейный оператор / евклидова (унитарного) пространства
является С. л. о. тогда и только тогда, когда его матрица в ортонор-
мнрованном базисе симметрическая (эрмитова).
Т2. Все корни характеристического многочлена действительной
симметрической и эрмитовой матриц действительные.
ТЗ. Собственные векторы С. л. о., относящиеся к различным соб-
ственным значениям, попарно ортогональны.
Т4. (Теорема о полноте собственных векторов.) Для любого
С. л. о. евклидова (унитарного) пространства существует ортоиорми-
роваииый базис из собственных векторов оператора /.
Т5. Всякая действительная симметрическая матрица ортогональ-
но подобна некоторой действительной диагональной матрице (т. е.
если А симметрическая, то существует ортогональная матрица 5,
такая, что 5~‘Л5 — диагональная). Аналогично всякая эрмитова
матрица унитарно подобна некоторой действительной диагональной
матрице.
Из Т5 следует, что для С. л. о. существует базис, в котором
матрица оператора действительная диагональная. Такой вид матрицы
С. л. о. называется каноническим.
<
СВЕРТКА ФУНКЦИЙ / и § — функция <р (/) = § }(т) § (/—т) дх.
о
С.ф. обладает переместительным свойством:
I I
|! (1) 8 (I — т) 4т = Г § (т) } (I — т) 4т.
о о
Если /==Г, ^==0, то
I
|/(т)г(/-т)4т=&Г(р)0(р).
о
См. Преобразование Лапласа.
СВОБОДНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ системы линейных
уравнений — см. Базисные переменные системы линейных урав-
нений.
СВОБОДНЫЕ ЧЛЕНЫ системы линейных уравне-
ний — см. Система линейных уравнений.
—►
СВОБОДНЫЙ ВЕКТОР. Точка приложения данного вектора а
может быть выбрана произвольно (см. Равные векторы). В соответ-
ствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют С. в. (они
определены с точностью до точки приложения и задаются своей дли-
ной И направлением). Примерами С. в. могут служить скорость и
ускорение твердого тела, движущегося поступательно.
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ —см.
Бесконечно большие функции, Связь между бесконечно большими и
бесконечно малыми функциями.
СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ ФУНКЦИЙ—см. Беско-
нечно малые функции, Связь между бесконечно большими и бесконеч-
но малыми функциями.
СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ. Из аксиом теории вероятностей
вытекают следующие основные С. в.:
1) вероятность невозможного события равна нулю: Р(0)=О;
2) вероятности события А и противоположного ему события Л
связаны соотношением Р(Л) = 1— Р(А);
3) если событие А влечет за собой событие В, т. е. Ас.В, то
Р(А)^Р(В);
4) вероятность любого события не превосходит единицы;
5) Р(А+В) -*Р(А) +Р(В)— Р(АВ)-, при большем числе сла-
гаемых
Р{% лЛ =ЕР(Л()- 2РИ<4А)4-
\/=1 / (=1 /<А
+ 2 р(МИ<)- - +(-1)я-1Р(Л1Ла... лл).
1<к<1
Это свойство называют теоремой сложения вероятностей.
СВОЙСТВА ДЕЛИМОСТИ МНОГОЧЛЕНОВ:
1) если / (х) | § (х), (х) | й (х), то / (х) | й (х);
2) если [ (х) | й (х), § (х) | й (х), то (/ (х) ± § (х)) | й (х);
3) если / (х) | § (х), то / (х) й (х) | д (х), Уй (х);
4) если Д (х) | § (х), /а (х) | д(х),..., (х) | д(х), то (/1(х) йг(х) +
4- Л (х) й2 (х) + ... + (х) йк (х)) | д (х), Уй1 (х).йь (х);
5) V/ (х) делится на любой многочлен нулевой степени;
6) если /(х)|#(х), то /(х)|с^(х) Ус€С, с=^=0;
7) многочлены с) (х) (с?С, с#=0), и только они, будут делителя-
ми многочлена /(х), имеющими такую же степень, что и /(х);
8) многочлены ((х) и д (х) тогда и только тогда делятся друг на
друга, когда д (х) = с/ (х) (с =^= 0, с€ С).
Обозначения см в ст. Делитель многочлена.
СВОЙСТВА ДИСПЕРСИИ— см. Дисперсия случайной ве-
личины.
СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА от функции комплексного
переменного:
1) прн изменении ориентации иа кривой интеграл меняет знак:
--------------------------I /(г)&;
т у—
2) если кривая у задана уравнением г = а (/) = 5 (0 + (О
а < I < Р, то
Р
У/(г) & = У/(а (0) о'
•у а
3) непрерывная на кривой функция интегрируема вдоль этой кривой;
4) линейность:
I (а/ (г) + (г)) Аг = а У / (г) Л + ₽ У д (г)
V V V
5) аддитивность:
У /(г)*= У/(г)Л+ У/(г)Л
V,0 V, У1 V.
(71 и 72 не имеют общих внутренних точек);
6) |У/(г)&1<У|/(г)||Л|=У|/(г)1*,
где | аг | = аз — дифференциал дуги 7; .
7) если | / (г) | < М, Уг? у, то | У / (г) 4г| ^.М дл. 7;
8) 1У/(г)Лг|<8ир|/(г)|дл. т.
IV IV
См. Интеграл функции комплексного переменного.
СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ —см. Мате-
матическое ожидание случайной величины.
СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ
ПЕРЕМЕННЫХ. Отметим некоторые свойства, аналогичные свойст-
вам непрерывных функций одного переменного:
1) если функции / н д непрерывны в точке х € К", то функции
«/+₽&(«> Р— постоянные), (д, (в(х)^0) также непрерывны в
точке х;
2) если функции Х1=ф.(^, /2. —. 1р), 1=1, 2.п, непрерывны в
точке а~(а1, а2....ар), а функция / непрерывна в точке Ь^(Ь1г
Ьг, .... Ьп), где 6< = ф((а1, а2, ..., ар), 1=1, 2, .... л, то сложная функ-
ция и = (/ од) (/) =7(ф1(Л, (р), ..., фп(?./₽)) непрерывна в точ-
ке а;
3) (теорема о стабилизации знака) если функция { непрерывна в
точке а и /(а)=#0,то существует такая окрестность И (а) точки а,
что /(*)=/= О для всех точек х$И(а), при этом 8(?п )(х) =эдп !(а);
4) если функция ( непрерывна иа компакте, то оиа ограинчеиа иа
этом компакте;
5) если функция / непрерывиа иа компакте, то она достигает
на нем своих точных верхней н нижней граией;
6) (теорема Кантора о равномерной непрерывности) непре-
рывная на компакте функция равномерно непрерывна на нем.
СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО
РОДА. Отметим основные свойства несобственных интегралов (фун-
кции I н I предполагаются заданными на полуинтервале [а, 6[, нео-
граниченными около точки Ь и интегрируемыми в смысле Рнмана на
любом отрезке [а, т]], а^т]<Ь).
Ь
1. Аддитивность. Если у/(х)Лх сходится, то для Ус,
а
Ь
а < с <Ь, сходится н интеграл §} (х) дх, причем справедливо равен-
с
ство
Ь с Ь
У / (х) <*х = | / (х) дх 4- у / (х) дх.
а о
Ъ Ъ
2. Линейность. Если интегралы У / (х) дх, У ц (х) дх сходятся
а а
Ь
и а, Р — постоянные, то интеграл | (а/ (х) 4- Р^ (х)) дх также сходит-
а
ся и выполняется равенство
ь » ь
У (а/ (х) 4- р^ (х)) дх = а У / (х) дх 4- Р у е (х) дх.
а а а
Ь
3. Если сходится несобственный интеграл у | / (х) | дх, то сходится
а
ь
также интеграл У } (х) дх и
а
Ь Ь
У/(х)4х <У|/(х)|йх.
а а
СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ, ЗАВИСЯЩИХ
ОТ ПАРАМЕТРА:
1) пусть функция / (х, у) определена и непрерывна на множестве
{(*, У) Iа < +°°, с^У^й}- Тогда если интеграл Р (у) =
+<»
= У ({х, у) Ах сходится равномерно на отрезке [с, 4], то Р (у) явля-
а
ется непрерывной функцией на этом отрезке;
2) в тех же предположениях
<1 Л +<» +оо А
$Р(у)Ау = $Ау У / (х, у) Ах = У Ах у / (х, у) Ау)
с с а а о
3) пусть функции /(х, у) и -^(х> У) определены и непрерывны
иа множестве {(х, у) | а <^х < -{-оо, с^у^.А}, Если интеграл
+«° +оо а/
I (х, у) Ах сходится, а интеграл —— (х, у) Ах равномерно схо-
а а °У
дится на отрезке [с, 4], то функция Р (у) «• С / (х, у} Ах непрерывно
а
дифференцируема на [с, 4] и ее производную можно вычислить по пра-
вилу Лейбница:
4 +со +со а/
— р(«, ил- ;-ь, щл.
Аналогичные свойства имеют место и для несобственных интегра-
лов второго рода, зависящих от параметра.
СВОЙСТВА НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА.
Отметим основные свойства несобственных интегралов (функции / и §
предполагаются заданными на полуинтервале [а, -}-оо[ и интегрируемы-
ми в смысле Римана на любом конечном промежутке [а, А]).
+<»
1. Аддитивность, Если | }(х)Ах сходится, то для любого
+<»
Ь, Ь > а, сходится и интеграл Г } (х) Лх, причем справедливо равен-
Ь
ство
со Ь 4-со
У / (х) Лх = р (х) Лх + У Цх) Лх.
а а Ъ
+<ю -}-оо
2. Линейность. Если интегралы |/(х)4х и | & (х) Лх
а а
+<ю
сходятся и а, ₽ — постоянные, то интеграл ]* (а/ (х) + (х)) Лх
а
также сходится и выполняется равенство
У («/(*) + РёМ)Лх-= а у/(х)4х + р у е(х)Лх.
а а а
4-оо
3. Если сходится несобственный интеграл у | ((х) | Лх, то схо-
+°°
лится также интеграл У / (х) Лх и
У 1(х)Лх < У | Г (х) | Лх.
| а а
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА:
1. Линейность. Если функции / и д интегрируемы на отрез-
ке [а, 6], то и их линейная комбинация «/ + Рг с постоянными коэф-
фициентами также интегрируема на [а, 6] и
Ь ь ь
У (а/ (х) + Р^ (х)) Лх = а у / (х) Лх + Р У д (х) Лх.
а а а
2. Аддитивность. Прн любом взаимном расположеннин то-
чек а, Ь, с
У / (х) Ох = р (х) ах + У / (х) Ох,
причем нз интегрируемости функции / на большем промежутке следует
ее интегрируемость на меньших промежутках, и наоборот (по определе-
а Ь а \
нию, у} (х) Ох = о, у / (х) ах — —у / (х) ах I.
а а Ь /
В последующих свойствах функции предполагаются интегрируемы-
ми на промежутке [а, *]•
3. Монотонность. Если / (х) (х) и а < Ь, то
У / (х) Ох < у в (х) Ох.
В частности, если / (х) > 0 и а < Ь, то у [ (х) Ох > 0.
4. (Теоремы о среднем)
ъ
1) ГI (х) ах = [X (Ь — а), где 1п(/< зир
I [о. Ь] [а. Ь]
Если функция / непрерывна на [а, 6], то 35 € [а, 6]» что
у/(х)йх = н?) (6 — 4;
2) если /, § непрерывны на [а, 6], д не меняет знак на [а, 6], то
35 € [а, 6], что У / (х) § (х) ах = / (5) | § (х) Ох.
5. Оценки интегралов:
Ь
1) Если Л (х) < В, а < Ь, то А (Ь — а)< У /(х) ах < В (Ь — а);
2) У 1(х)ах <У|/(х)|йх, а<Ь.
Отметим, что нз интегрируемости функции / на [а, 6] вытекает ин-
тегрируемость функции [ / [ иа [а, 6]. Обратное, вообще говоря, не вер-
но.
Ь
[ / (х) ах
3) если |/ (х) |< Л, то
А | Ь — а |.
СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
1) МТ| = |А|;
2) если все элементы некоторого ряда (строки, столбца) опреде-
лителя равны нулю, то определитель равен нулю;
3) если все элементы некоторого ряда определителя имеют об-
щий множитель, то его можно вынестн за знак определителя;
4) определитель, у которого каждый элемент некоторого ряда
является суммой двух слагаемых, равен сумме двух определителей,
у первого из которых в указанном ряду стоят первые слагаемые,
а у второго — вторые слагаемые; остальные ряды, параллельные
указанному, у всех определителей одинаковы;
5) если матрица В получена из матрицы А перестановкой двух
параллельных рядов, то |А|= —|В|;
6) если матрица А имеет два одинаковых параллельных ряда,
то | А | =0;
7) если матрица А имеет два параллельных пропорциональных
ряда, то |А| =0;
8) если матрица В получена из матрицы А прибавлением к не-
которому ряду другого, параллельного ему ряда, умноженного на
X, то |А| = |В|; более того, если В получена из А прибавлением к
некоторому ряду линейной комбинации других его параллельных
рядов, то |А| = |В|;
9) если в определителе какой-нибудь ряд есть линейная комби-
нация других параллельных ему рядов, то определитель равен нулю;
10) (теорема Лапласа о разложении определителя) определитель
п-го порядка равен сумме произведений всевозможных миноров
к-то порядка (к<п), которые можно составить из произвольно вы-
бранных к параллельных рядов, на алгебраические дополнения этих
миноров. Частный случай этой теоремы — теорема о разложении
определителя по элементам ряда: определитель матрицы равен сумме
произведений элементов некоторого его ряда иа алгебраические до-
полнения этих элементов. Таким образом,
л
| А | <= Дц + а12 Аа 4- .,, 4- а1п А1п = 2 а1к
Й=1
л
| Л | = а,у Л 1у +а2/ А2/ + + ап/ Ап/ = 2 %• ЛА/,
А=1
где I, / — некоторые фиксированные числа: 1 1 </^п;
11) сумма произведений элементов одного из рядов квадратной
матрицы на алгебраические дополнения элементов другого, парал-
лельного ему ряда равна нулю.
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ВТОРОГО
РОДА:
1) поверхностный интеграл второго рода меняет зиак при
изменении ориентации поверхности;
2) из формул сведения к поверхностным интегралам первого
рода и двойным интегралам (см. Вычисление поверхностных интег-
ралов второго рода) вытекает, что поверхностные интегралы второ-
го рода обладают обычными свойствами интегралов (линейностью,
аддитивностью и т. д.).
СВОЙСТВА ПОВЕРХНОСТНЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО
РОДА:
1) П а5 = пл.5;
&
2) поверхностные интегралы первого рода не зависят от ориен-
тации поверхности;
3) с помощью формул сведения к двойным интегралам (см.
Вычисление поверхностных интегралов первого рода) иа поверхност-
ные интегралы естественным образом переносятся обычные свойства
двойных интегралов (линейность, аддитивность, теоремы о среднем
и т. д.);
4) масса т материальной поверхности 5 вычисляется по формуле
у, г)д8, где р— поверхностная плотность массы;
5) координаты центра масс определяются по формулам:
1 гг
хв = — Л хр (х, у, 2) д8;
Уо = у ур (х, у, г} (18;
1 ГГ
го = — Н гр. (х, у, г) д8;
6) момент инерции поверхности 5 относительно оси Ог
1г = (*г + Уг) Н {х, у, г) <18.
Аналогично вычисляются моменты инерции относительно других
осей.
СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ. Отметим несколь-
ко С. п. Ф.
1 +<»
у 2 л —оо
1) если функция [ абсолютно интегрируема на ]—оо, +оо[, то р
непрерывна для всех х и стремится к нулю при х->оо;
2) если функция хп [ (х) (л € М) абсолютно интегрируема на ]—оо,
+оо[, то для р существует п производных, причем
, к. (0* +°°
Г (х) = —— Г <11, к= 1,
1/2 л
и все эти производные стремятся к нулю при х -> оо;
3) если / непрерывна и стремится к нулю при х -> оо, /' абсолют-
но интегрируема на ]—оо, +оо[, то
1 +°° х
—— Г = —Г(х);
1/2 я ‘
X
4) если / абсолютно интегрируема на К, а У )(I) <11 -* 0 при х->0,
о
го
1 +«> Л \ I
—Г(х);
1/2 я _<□ \4 / х
5) преобразование Фурье линейной комбинации с постоянными
коэффициентами равно линейной комбинации преобразований Фурье
с теми же коэффициентами.
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ ФУНКЦИО-
НАЛЬНЫХ РЯДОВ —см. Теорема о непрерывности суммы функ-
ционального ряда, Теорема о почленном интегрировании функцио-
нального ряда, Теорема о почленном дифференцировании функцио-
нального ряда.
СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ И СОБСТВЕН-
НЫХ ЗНАЧЕНИЙ:
1) собственный вектор линейного оператора имеет единственное
собственное значение;
2) если XI, х2, ..., хг — линейно независимые векторы линейного
оператора с одним и тем же собственным значением X, то любая
нетривиальная линейная комбинация этих векторов является собст-
венным вектором этого линейного оператора с собственным значе-
нием X; _ _ _
3) если собственные векторы х(, х2. хг принадлежат попарно
различным собственным значениям, то они линейно независимы;
4) все собственные векторы линейного оператора, принадлежа-
щие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым
вектором образуют линейное пространство; его размерность не пре-
восходит кратности собственного значения;
5) линейный оператор имеет собственное значение, равное нулю,
тогда н только тогда, когда он не является взаимно однозначным.
См. также Приведение матрицы линейного оператора к диаго-
нальному виду.
СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. Если степенные ряды
ОО 00
2 ге)* и 2 Ьь (г —имеют радиусы сходимости соответст-
4=0 4=0
венно и 7?а, то в круге | г — го | < К, где /? = ппп {/?1, /?а):
ОО 00 со
1) а 2 са (г — г«)Л + ₽ 2 (г ~ *»)* = 2 <ас4 + ₽**) г»)*
4=0 4=0 4=0
(а и Р — комплексные постоянные);
(ОО \ / СО \ 00 / Л \
2 с4 (г—*)* 2 (г—г°)‘) “ 2 2 сА-у *<>)*•
4=0 / \4=0 / 4=0\/=0 /
Каждый сходящийся степенной ряд оказывается в круге сходи-
мости рядом Тейлора своей суммы. Два степенных ряда имеют в
круге одну н ту же сумму тогда и только тогда, когда совпадают
соответствующие коэффициенты этих рядов. Внутри круга сходимо-
сти образование линейной комбинации степенных рядов, перемиоже-
ние, интегрирование, дифференцирование рядов, а также нх сравне-
ние могут выполняться по теМ же правилам, что и для многочленов.
См. также Непрерывность суммы степенного ряда, Интегрирование
степенного ряда, Дифференцирование степенного ряда, Композиция
степенных рядов.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ. Отметим некоторые С. ф. Б.
первого рода. Для любого р имеют место формулы:
№р (х))г = х'Чр-! (х);
(х-р^ (х))' <= —х-Р}р+1 (х)[
хУр (х) + Р-1р (х) в-х.!,,-! (х);
х^р (х) — р.1р (х) = — х^+1 (х);
Фр_1 (х) — ^+1 (х) = 2 .Гр (х);
2р
^-1 (х) + ^+1 (х) = — ^ (х).
Аналогичные формулы имеют место и для функций Бесселя второго
рода. Для функций Бесселя первого рода имеет место асимптотическая
формула (р > —1)
, . / 2~ I рп п\ гр (х)
у+Т)+7^'
где функция гр(х) ограничена при х-> оо.
Если X и р.—два различных положительных корня функции Д,(х)
(т. е. Зр (X) - Гр (и) - О, X =# и), то
1
У х.1р (Хх) .Гр (рх) Лх — 0.
0
Поэтому говорят, что функции /Р (Хх) и 1Р (цх) ортогональны с ве-
сом х иа отрезке [0, 1]. Эту ортогональность можно трактовать как
обычную ортогональность функций т/хГр (Хх) и ух/р(цх) иа отрезке
[0, 1]. Отметим также, что если X — положительный корень функ-
ции /р(х), то
Н (М ах = 7'2 (1) = 2_ ^+1 (1).
О * 2
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ ПРЕДЕЛ:
1) если / (х) -> А при х -» а и А С К, то [ ограничена в окрест
ности точки а;
2) функция / может иметь в точке а только один предел;
3) если существуют Пт / (х) и Ит 8(х)< то:
х~+а х-+а
а) при любых постоянных а и р существует Ит (а/ (х) -|- (х)),
хч-а
и при этом Пт (а/ (х) + (х)) = а Пт / (х) + р Пт § (х);
дг-+а х-*а х->а
б) существует Нт / (х) 8 (х) = (Нт / (х)) (Нт 8(х));
х-*а х-+а х~*а
{{х) Ю
в) при Нт§(х) 0 существует Нт -------= ---------}
хча Хча8 (х) Пт § (х)
х-*а
4) если существуют Пт / (х) и Пт 8 (х) и ух € V (а), / (х) < 8 (х),
х-+а х-+а
то Нт/(х) <Ит§(х) (отметим, что при переходе к пределу в строгом
Хча хчо
неравенстве } (х) < 8(х)> х 0 (а) в общем случае, т. е. при от-
сутствии дополнительной информации о поведении / и на С/ (а), мож-
но утверждать лишь, что выполняется нестрогое предельное неравенст-
во Нт / (х) < Пт (х));
хча хча
5) если / (х) < Н (х) < 8 (х) для ух, х € 11 (а), существуют пределы
Пт / (х) и Нт 8 (х) и оии совпадают, то существует и Нт Л (х), при
х-+а х->а х-+а
этом Нт Л (х) = Пт / (х) = Пт 8 (х).
СВОЙСТВА* ФУНКЦИЙ? НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ:
1) если / и 8 непрерывны в точке а, то функции с/ (с — постоян-
ное), (+8, (8, а если, кроме того, §(о)=/=0, то и функция {/8, также
непрерывны в точке а;
2) если функция <р непрерывна в точке а н функция / непре-
рывна в точке <р(п), то композиция (о <р непрерывна в точке а (или
говорят: сложная функция /(<р(х)) непрерывна в точке в)}
3) если функция непрерывна в точке а, то существует окре-
стность О (а) точки а, в которой функция / ограничена;
4) если ( непрерывна в точке а и Ца)#=0, то существует окре-
стность точки а, иа которой / сохраняет знак.
СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ:
1. Ограниченность. Если / непрерывна иа отрезке [а, &],
то она н ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейер-
штрасса).
2. Достижение экстремальных зн а ч е н и й. Функция,
непрерывная на отрезке [а, 6], достигает иа этом отрезке экстремальных
значений, т. е. на отрезке существуют точки х и х, такие, что /(х) =
= тах /и Н х) — тт / (вторая теорема Вейерштрасса).
[а, />] [а, Ь]
3. Прохождение непрерывной функции через
пуль. Если ( непрерывна на отрезке [а, Ь] и ((а) ((Ь) <0, то иа
интервале ]а, 6[ существует точка такая, что ^(5) =0.
4. Теорема о промежуточном значении. Если
функция ( непрерывна на отрезке [а, 6] и )(а)~А, }(Ь)=В, то для
любого значения С, заключенного между А и В, существует такая
точка | € ]а, Ь[, что НВ) =С.
5. Множество значений функции, непрерывной на отрезке, есть
отрезок.
6. Теорема Кантора. Функция, непрерывная иа отрезке, равно-
мерно непрерывна на этом отрезке.
СВОЙСТВО СТАТИСТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЧАСТОТ,
свойство устойчивост и,— см. Частота события.
СВЯЗАННЫЙ ВЕКТОР — вектор, начало которого совпадает с
заданной фиксированной точкой. Например, в физике примером С. в.
служит сила, приложенная к некоторой точке упругого тела. Дру-
гой пример: радиус-вектор точки является С. в.
СВЯЗКА ПЛОСКОСТЕЙ — множество всех плоскостей, прохо-
дящих через некоторую точку, называемую центром С. п. Если центр
С. п. есть 5(х0, Уо, г0), то любая плоскость С. п. может быть задана
уравнением
4(х-хо)+В(у-уо) + С(г-го)=О, (1)
где А, В, С — числа, не равные одновременно нулю; обратно, при
любых А, В, С, ие равных одновременно нулю, уравнение (1) задает
плоскость С. п. с центром в точке 5.
Если центр С. п. задан пересечением трех плоскостей А*х+В*у+
+ С*г+/\=0, А=1, 2, 3, то уравнение а(А1х+.81у+С1г+1)1)4-
+ (1(Л2*4"^2//+1-'224"^2) 4"'у(Дз*4"^з//4"^'з24"1Л1) =0 при не равных
одновременно нулю числах а, 0, у определяет С. п.
СВЯЗНОЕ МНОЖЕСТВО. Множество М называется связным,
если любые две точки из М можно соединить непрерывной кривой*
лежащей в М. На числовой прямой С. м. может быть только про-
межутком.
СВЯЗЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛА С ПРОИЗВОДНОЙ. Для диф-
ференцируемости функции ( в точке х необходимо и достаточно су-
ществование конечной: производной При этом д} (х) —{'(х)дх.
СВЯЗЬ ДИФФЕРЕНЦИАЛА ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ —см. Полный
дифференциал функции нескольких переменных. Дифференцируе-
мость функции нескольких переменных.
СВЯЗЬ ИНТЕГРАЛА ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕН-
НОГО С КРИВОЛИНЕЙНЫМ ИНТЕГРАЛОМ. Пусть г^х + ‘У,
/ (г) — и (х, у) + ю (х, у). Тогда существование интеграла У [ (г) йг
х V
функции комплексного переменного равносильно существованию двул
криволинейных интегралов второго рода У и (х, у) дх — V (х, у) ду и
V
| V (х, у) дх-}- и (х, у) ду и выполняется равенство
V
Р (г) дг = У и (х, у) дх — V (х, у)ду + 1 У о (х, у) дх + и (х, у) ду.
V V V
СВЯЗЬ МЕЖДУ БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИМИ И БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫМИ ФУНКЦИЯМИ. Пусть далее всюду х-*а. Если ( — беско-
нечно большая функция, то у = -у- — бесконечно малая функция.
Если / — бесконечно малая функция и ( (х) 0 в некоторой про-
колотой окрестности I) (а}, то — бесконечно большая.
Если Нт / (х) = с 0, а у— бесконечно малая функция, &(х)*
х-*а.
? 0 на I/ (а), то (/§ — бесконечно большая. Аналогичные утвер-
ждения имеют место при х -> а — 0, х -» а 4- 0, х -> —оо, х -> 4-оо,
х -> со.
связь МЕЖДУ ДЕКАРТОВОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ И ПО-
ЛЯРНОЙ СИСТЕМАМИ КООРДИНАТ —см. Полярная система
координат.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕКАРТОВЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И
СФЕРИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — см. Сферические коор-
динаты.
СВЯЗЬ МЕЖДУ ДЕКАРТОВЫМИ ПРЯМОУГОЛЬНЫМИ И
ЦИЛИНДРИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ— см. Цилиндрические
координаты.
СВЯЗЬ МЕЖДУ КООРДИНАТАМИ ВЕКТОРА И ЕГО ОБРА-
ЗА — см. Координатная запись линейного оператора.
СВЯЗЬ МЕЖДУ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ ИНТЕГРАЛАМИ ПЕРВО-
ГО И ВТОРОГО РОДА. Выбранная ориентация кривой ? инцуцирует
определенное направление касательной в каждой точке этой кривой (в
угловых точках для определенности рассматриваем правые полукаса-
тельные). Положительную полукасательиую в точке (х, у) € ? зададим
—> —► • "7*
с помощью единичного вектора лс=со8а(х, у)1 + зш а (х, у)),
где а (х, у) — угол между положительной полукасательной и осью Ох.
Если у — кусочно-гладкая кривая, то
у) йх^ { Р (х, у) соз а (х, у) <Ц;
•V V
У 0 (х, у) ду = 5 <2 (х, у) зш а (х, у) де
V V
в предположении, что интегралы в правой части существуют.
СВЯЗЬ МЕЖДУ МАТРИЦАМИ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
в различных базисах. Если ("ё") = (ей еа, ..., еп) и ( е') =
= е2, .... «— Два базиса линейного пространства Vп и А —
матрица линейного оператора / пространства Уп в базисе ( е), то мат-
рица В этого оператора в базисе (е') имеет вид В = 5—1А5, где 5 —
матрица перехода от базиса (7) к базису (е') (т. е. матрицы-В и А
подобны). См. также Подобные матрицы.
СДВИГ АРГУМЕНТА ФУНКЦИИ — замена функции ^(х)
функцией /(х + а), где а — постоянное.
СЕГМЕНТ—то же, что отрезок (см. Числовые промежутки).
СЕДЛО — см. Точка покоя однородного линейного дифферен-
анальною уравнения • второю порядка е постоянными коэффи-
циентами.
СИГНАТУРА действительной квадратичной фор-
мы—» разность между положительным и Отрицательным индексами
квадратичной формы. См. также Закон инерции.
СИЛОВАЯ ЛИНИЯ — см. Векторное поле.
Символ КРОНЕКЕРА1
' I при I — /;
.0 при : ^ /.
С. к. обозначают также 6^ или б^.
СИМВОЛИКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ. Основными симво-
лами математической логики служат символы:
1) импликации: «ф (Р =ф ф означает, что на истинности Р следует
истинность (2);
2) обратной импликации: ф» (Р «=^ равносильно =» Р);
3) равносильности: фф (Р фф ф означает, что Р н одновременно
истинны или ложны);
4) отрицания: или "1 (р или “| Р означает отрицание Р).
Кроме того, используются символы дизъюнкции V (РУ<2 означает,
что верно хотя бы одно из высказываний Риф), конъюнкции Л (РЛф
означает, что одновременно верны и Р и О). Для неопределенных выра-
жений (т. е. выражений вида Р (х), истинность которых зависит от
конкретного значения переменной х из данного множества значений X)
используют кванторы общности V ((Ух) Р (х) означает, что для любого
х ( X высказывание Р (х) истинно) и существования Я ((Их) Р (х)
означает, что существует х и* X, для которого Р (х) истинно).
СИМВОЛЫ ЛАНДАУ — см. Сравнение функций.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМА —см. Били-
нейная форма.
СИММЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА. Квадратная матрица А —
= (ач) называется С. м., если АТ~А. Для С. м. для любых
А /, т. е. элементы, симметричные относительно главной диагонали
матрицы, равны.
См. также Самосопряженный линейный оператор.
симплекс в кп с вершинами р», р*—7х»ь х*», ....
1» 2, ..., п+,1,множеством всевозможных точек Р — (хх, х,,..., х„),
Хт~1кХкт, <|+^+...+<»" 1.
5 называют модуль числа
*11 Х12
I х21 х22
Объемом тез 5 симплекса
Х1п 1
*гл I
хл+11 хп+12 .
ХЛ-|-1 л 1
СИНУС-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ функции / —функция Ф,
определяемая формулой
ф (X) - Л 2 у / (0 зт X 101,
Г я о
Функция / прн этом предполагается нечетной либо заданной на
[0, +оо[. Если для / справедлива интегральная формула Фурье, то
функцию / можно восстановить по формуле
----+“
/ (х) = |/ А у Ф (X) з1пХхЛ,
* о
т. е. / в свою очередь является С.-п.Ф. функции Ф. Другими словами,
/ и Ф оказываются взаимными С.-п.Ф.
СИСТЕМА ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ. Система числовых
отрезков [а1( й|], [а2, Ь2], .... [а„, йп], ... называется вложенной, если
О1СагС...< Оп<-..<*п < йп-1< &1- Если при этом Ьп-
—ап->0, то С. в. о. имеет едннствеииую точку, общую для всех
отрезков.
СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ: 1) в об-
щей форме имеет вид
р/(х, у1г у{.у[ ут, у'т....у</'п))=0,/= 1, 2 ..., т. (1)
Числа т и п=?|+?2+...-Н’>п — соответственно размерность и поря-
док системы. Решение системы (1)—совокупность функций ...,
ут, определенных на одном и том же промежутке 1, обладающих
соответственными производными и обращающих уравнения (1) в
тождества иа /;
2) в нормальной форме — система (1), у которой стар-
шая производная каждой искомой функции входит лишь в одно
уравнение системы и это уравнение разрешено относительно указан-
ной старшей производной, т. е.
4 1' У\.....4 '* -1)....Ут, Ут....У{тт~‘•
(2)
С помощью введения новых искомых функций х* вместо у^п пере-
обозначении аргумента системы (/ вместо х) систему (2) можно све-
сти к системе первого порядка размерности п
Лк/
уЧ/М.х,...........х„), /=-1,2......п; (3)
3) в векторной нормальной форме — компактная
запись системы (3). в виде векторного дифференциального уравнения
= 7), 7= (XI, х2...Х„)Г; 7=(/1, /а..../я)г. (4)
ш
Решение системы (4) —векторная функция х= х(/)> < € /, обращаю-
щая уравнение (4) в тождество иа / (см. Векторный вид системы диф-
ференциальных уравнений).
См. Задача Коши для системы дифференциальных уравнений,
Метод исключения для системы дифференциальных уравнений, Одно-
значная разрешимость задачи Коши для системы линейных диффе-
ренциальных уравнений, Интеграл системы дифференциальных урав-
нений.
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ — система дифференциальных уравнений вида
л т/
22 <М(0х/(/)+/а(0 = <>, < € / = |а, р|; А=1, 2..п. (1)
/=1 /=о
Если /ь (/) == 0, V/ € /, УА € {I, 2, ..., п), то система называется
однородной, в противном случае — неоднородной (систему (1) называют
также системой в общем виде). С помощью введения вспомогатель -
иых искомых функций систему (1) можно преобразовать к равносильной
системе линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
2 Аг, (4) ж, + 2 Вг, (/) г3 + ег(() = о, I € /; г - I, 2, .... ЛГ. (2)
9я»! 9*1
Если система (2) разрешена относительно производных:
йгт
= 2 Ьтл (0 Ч + Аг (о, / € /; г- I, 2......ЛГ,
то говорят, что оиа имеет нормальную форму. В справочнике рассмат-
риваются системы в нормальной форме
(1х п
2«м(0*/ + М0. I, 2, .... п, (3)
которые можно записать в векторном виде (см. Векторная форма сис-
темы линейных дифференциальных уравнений}'.
— = Л(0 х+ /(/),/€ /. (За)
<и
Для системы (3) или (За) справедливы общие положения теории
систем дифференциальных уравнений н теории линейных дифферен-
циальных уравнений. Для построения общего решения системы (За)
достаточно к общему решению соответствующей однородной систе-
мы линейных дифференциальных уравнений
(4)
—►
прибавить какое-нибудь решение г=г*(1), системы (За). Исхо-
дя из базиса системы (4), т. е. фундаментальной системы решений
(4), состоящей нз л линейно независимых решений и образующих
матрицу 2(1) (фундаментальную матрицу решений однородной си-
стемы), методом вариации произвольных постоянных (методом Ла-
гранжа), аналогичным соответствующему методу для линейных
дифференциальных уравнений, можно построить частное решение
—► —►
системы (За). Решение начальной задачи х(У=л0 для системы (За)
доставляет формула
X = X (0 = 2 (1)2~1 (1а) Хо+^2 (1)2 (т) / (т) 4т.
Матрицу 2(()2~‘(х) называют матрицей Коши для уравнения (4).
См. Метод вариации произвольных постоянных, Система линей-
ных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ В НОРМАЛЬНОЙ ФОРМЕ — см. Система линейных
дифференциальных уравнений.
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВ-
НЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ—частный
случай системы линейных дифференциальных уравнений, когда коэф-
фициенты системы являются постоянными функциями на рассматри-
ваемом промежутке /. В векторной форме такая система имеет вид
дх -* -►
— = Ах+/(0, * € /, (1)
где А — квадратная постоянная матрица. Общее решение соответ-
ствующей однородной системы
4г -*
--Аг (2)
находится с помощью алгебраических операций (см. Однородная
система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами). Частное решение неоднородной системы (1) мож-
но получить, например, методом вариации произвольных постоян-
ных. Таким образом, общее решение системы (1)—сумма общего
решения соответствующей одиородиой системы (2) и частного реше-
нии системы (1)—находится с помощью квадратур. См. Система
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
циентами и квазиполиномиальной неоднородностью. Метод вариации
произвольных постоянных для построения решений системы линей-
ных дифференциальных уравнений.
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ с постоянными КОЭФФИЦИЕНТАМИ И КВ АЗИ ПО-
ЛИНОМИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТЬЮ —система вида
4? ==л *+7 (0- со
ш
где составляющими неоднородности (векторной функции () являют-
ся квазиполиномы. Частное решение системы (1) можно построить
по методу Эйлера, используя векторную полиномиальную функцию
с неопределенными коэффициентами, структура которой определяет-
ся спектром компонент / и отсутствием или наличием в этом спектре
характеристических чисел матрицы А (см. Линейное дифференциаль-
ное уравнение с постоянными коэффициентами и квазиполиномиаль-
ной неоднородностью).
СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Системой т линей-
ных уравнений с п переменными (кратко: линейной системой) назы-
вается система вида
011 Х1 4" 012 ** + • • • + °1л хп = ^1»
021 Х1 -|- 022 *2 + . . . + Огл Хц = Ь1\
(1)
ат1 Х1 + ат2 Х1 4" • • • 4* атп Хп = Ьт,
где ац, 6г —числа (1=1, 2......т; /= 1, 2, .... л); оц называют
коэффициентами С. л. у., Ь{— свободными членами. Сокращенная за-
пись системы (1):
Матрицы
п
2 а1] х/ -= Ь{, I = 1, 2, .., /л.
/=1
(1а)
А =
А1
/ Оц I 021 ац ... 022 .•. 0,л 0,»
\Ощ1 Ощ* • • • атп
оц 012 •• • а1П
О81 022 а1П
&1П1 0/п2 апп
61
&2
Ьт
называют соответственно матрицей (основной матрицей) и расширенной
матрицей С. л. у.
Если ввести в рассмотрение матрицы
то систему (1) можно кратко записать в виде
АХ—В. (16)
Такая запись С. л. у. называется матричной.
Если система чисел сь сз, .... сп есть решение линейной системы
(1), то матрицу С— (сь с2, .... Сп)г называют вектор-решением дан-
ной С. л. у. Матрица С удовлетворяет уравнению (16).
См. также Геометрическое истолкование решений систем линей-
ных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений,
Метод Гаусса, Неоднородная система линейных уравнений. Однород-
ная система линейных уравнений, Равносильные системы уравнений,
Формулы Крамера, Фундаментальная система решений однородной
системы линейных уравнений, Эквивалентные системы линейных
уравнений.
СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ — конечное множество уравнений.
Решением С. у. с п переменными называется упорядоченная система
чисел (Сь с2, .... сп), являющаяся решением каждого из уравнений,
входящих в систему. Решить С. у.— это значит выяснить, совместна
она или нет, и в случае совместности найти все ее решения.
СИСТЕМА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — система
уравнений вида
Р1 (Х1, х2...Хп , «1, «»...«„) — 0;
Рз (хь х», хя , «1, «2..ит) •= 0;
Рщ (Х1. Х2...хп , и1г из.... М(я) = 0)
дли определения функций щ, и2, .... ит переменных хь х2..... хп.
См. Теоремы существования решений системы функциональных урав-
нений.
СИСТЕМА ШТУРМА для многочлена Цх) с дей-
ствительными коэффициентами, не имеющего крат-
ных корней,— конечное упорядоченное множество отличных от нуля
многочленов с действительными коэффициентами (о(х), ^(х), ....
^т(х); (о(х)-Цх), для которых выполняются следующие условия:
1) любые два многочлена ^*(х) и /*+1(х) (6=0, 1, т — 1) не
имеют общих корней;
2) многочлен }т(х) не имеет действительных корней;
3) если а — действительный корень одного из промежуточных
многочленов /*(х) (1^6^т—1), то /*_](а) и /*+1(а) имеют раз-
ные знаки;
4) если а€К—корень многочлена Т(х), то произведение
/(*)А(Х) меииет знак с минуса иа плюс, когда х, возрастая, прохо-
дит через точку а, т. е. если а<а<Ь, то Г(а)^(а)<0, |(Ь)Ь(Ь)>0.
Одни из способов построении С. Ш. состоит в следующем: пола-
гают Ь(х)=^(х), Мх)=Г(х), а /*+1(х) (6 = 1, 2.. т-1) находят
последовательно по правилу /*+1(х) =щх)<7*(х) — |к-1(х), дк(х) —
многочлен, такой, что степень /*+1(х) меньше степени /*(х). См.
также Правило Штурма.
СКАЛЯРНАЯ МАТРИЦА — см. Циа^онильнйя матрица.
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ определяется скалярной функцией « =
-и(Р)=и(х, у, г)=и(г), где Р(х, у, г)—точка пространства, г=
=х1+у!+гк — ее радиус-вектор. Функция и=и(Р) предполагается
однозначной и принимающей конечные действительные значения.
С. п. и=и(Р) называют плоским, если существует такая система
координат, что функция и фактически ие зависит от одной из коор-
динат (для определенности пусть от г), т. е. п=«(х, у). Такое поле
принимает одинаковые значения иа каждой прямой, параллельной
осн Ог, поэтому его обычно рассматривают только в плоскости Оху.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ двух векторов аи’Ь —
число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла меж-
—> —> >
ду ними. Обозначение: а • Ь, следовательно, по определению, а • Ь ~
“I а|| б| соз<р, где ф=("а, "б). Произведение а • а (запись: а3)
называетси скалярным квадратом вектора а. Свойства С. п.:
1) а • Ь = Ь • а (коммутативность С, п.);
2) (а а) • Ь — а ( а- б) (ассоциативность С. п. относительно чис-
лового множителя);
3) (а+б)-с=а-с-{-6«с (дистрибутивность С. п. отно-
сительно суммы векторов);
4)^а-^>0, бГ=»О«-/а = (Г
для любых векторов а, Ь, си любого а € К-
-* -* -> —►
Кроме того, а • Ь = 0<=> а X Ь (признак перпендикулярности
двух векторов) , а = | а| .
Если а = («1, ух, 21), Ь = (х2, уг, г2), то а • Ь = ххх2 +
+ У1У2 + ?№-
—►
Если вектор а изображает силу, точка приложения которой пе-
ремещается из начала в конец вектора Ь, то работа А указанной си-
лы определяется равенством А = | а | I Ь | соз <р «= а • Ь.
В евклидовом и унитарном пространствах С. п. определяется ак-
сиоматически.
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ —см. Евклидово
пространство.
СКАЛЯРНЫЙ КВАДРАТ ВЕКТОРА —см. Евклидово про-
странство, Скалярное произведение.
СКЛЕИВАНИЕ простых кусков поверхностей—
см. Простой кусок поверхности.
СКОЛЬЗЯЩИЙ ВЕКТОР — вектор, для которого указана пря-
мая, на которой он должен быть расположен. Так, вектор угловой
скорости при вращательном движении всегда расположен на оси
вращения.
СЛАБАЯ СХОДИМОСТЬ последовательности функ-
ций распределения. Говорит, что последовательность функций
распределении (Еп (х)) слабо сходится к функции распределения Е(х), если
ПтГд (х) = р (х) в любой точке х, в которой функция Г непрерывна.
П~>ОО
СЛЕД МАТРИЦЫ — сумма элементов главной диагонали
квадратной матрицы.
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ—операции, сопоставляющая двум
векторам их сумму. Свойства операции С. в.:
1) о + Ь = Ь Ц- а (коммутативность)-,
2) а + ("й + с) = ( а+ + ”с (ассоциативность);
3) а + 0 = а;
4) а + (—1) а = "о
для любых векторов а, Ь, с.
В линейном пространстве свойства операции С. в. заложены в
его аксиомах.
СЛОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ— операция нахожде-
ния суммы комплексных чисел. С. к. ч. обладает следующими свой-
ствами:
1) г1+г2=г2+г1 (коммутативность);
2) (г|+г2)+г3=г1 + (г2+г3) (ассоциативность);
3) (21 + г2) г3 = 2123 + га23 (дистрибутивность) V 21, г», г3?С.
СЛОЖЕНИЕ МАТРИЦ — операция нахождении суммы матриц.
Справедливы следующие свойства С. м.:
1) А+В-^В+А (коммутативность);
2) А + (В + С) = (А+В) + С (ассоциативность);
3) А+О-=А (здесь О—нулевая матрица);
4) (—А)+А = О (—А — матрица, противоположная матрице А)
для любых матриц А, В, С одинаковых размеров.
СЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ — операция нахождения суммы
многочленов. Свойства С. м.:
1) 1(х) +е(х) =е(х) +?(*) (коммутативность);
2) (Г(х)+й(х))+А(х)=|:(х) + (2(х)+Л(х)) (ассоциативность);
3) (/(*)+Я(х))й(х)=/(х)й(х)+^(х)й(х) (дистрибутивность);
4) Цх)+0=/(х);
5) Цх) + (-/(*)) =0
ЧКх), 3(х), Н(х).
для
СЛОЖНАЯ ФУНКЦИЯ — то же, что композиция функций.
СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА. Пусть (□, Р, Р}—вероятностное
пространство. С. в. называют действительную функцию ^=^(со),
со € К, такую, что при каждом действительном х {со|$(со)<х}аР.
Если в Р входят все подмножества □ (любое подмножество про-
странства элементарных событий является событием), то С. в. будет
любая действительная функция, заданная иа О. Это, в частности,
имеет место, когда (□, Р, Р) — дискретное вероятностное простран-
ство. До проведения случайного эксперимента ие известно, какое
значение 5(ы) примет случайная величина поскольку заранее не
известно, каким элементарным событием о> завершится эксперимент.
СЛУЧАЙНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см. Случайный
процесс.
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР. Пусть на вероятностном простран-
стве (□, Р, Р) заданы случайные величины
Бп = $п(ю), о € Каждому о из О эти величины ставят в соот-
ветствие п-мерный вектор (®).. ?«(©)), который
называют С. в. или многомерной случайной величиной размер-
ности п.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС—семейство случайных величии =
=5<(®)> заданных на одном вероятностном пространстве (□, Р, Р)
и зависящих от параметра /, принимающего значения из некоторого
множества Т. Параметр I обычно интерпретируется как время. Если
множество Т счетно, то говорят, что — С.п. с дискретным време-
нем или случайная последовательность. Если же Ь], то
— С. п. с непрерывным временем (в частности, может быть, что
а— — оо, Ь~ 4-оо). Действительную функцию 5<(®о) при фиксирован-
ном о>о € □ называют реализацией или траекторией случайного про-
цесса. С. п. с непрерывным временем называется С. п. с независи-
мыми приращениями, если при^любых а^,1{<1г<...<1п^Ь случайные
величины ... _х независимы. С.п. с независимы-
ми приращениями называют однородным, если распределение
^(+Д( —определяется лишь величиной М и не зависит от I.
СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС С ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ,
С НЕПРЕРЫВНЫМ ВРЕМЕНЕМ, С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИ-
РАЩЕНИЯМИ — см. Случайный процесс.
СЛУЧАЙНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ — наблюдение или опыт, ис-
ход которого ие вполне однозначно определяется его условиями.
Любой факт, регистрируемый в результате С. э„ называют
событием.
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ трех векторов а, Ь, с —
число [а, б] • с. Доказывается, что [а, й] • с = а - [б, с], и по-
этому С. п. обычно обозначают а Ь с. Геометрический смысл С. п. вы-
текает из следующей теоремы:
Т. С. п. й Ь с равно объему параллелепипеда, построенного на прн-
—► -♦ —►
веденных к общему началу векторах а, Ь и с, взятому со знаком
плюс, если упорядоченная тройка ( а, Ь, с) правая, и со знаком ми-
нус, есля она левая. Если же векторы а, Ь, с компланарны, то аЬс
равно нулю.
Свойства С. п.: 1) а6с=са6=6са = — Ьас<= — сЬ
= — а сЬ; 2) равенство С. п. нулю является необходимым и достаточ-
ным условием компланарности векторов.
Если (хь у!, (х2, уг, г2), "с= (х3, Уз, ?з), то
аЬс
XI
X»
Х9
У1 21
Уз 2г
У» гз
СМЕШАННЫЕ ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. Пусть функция двух
переменных и == ((к, у) обладает в точке а — (а2, а2) частными произ-
а2/ а2/
водными второго порядка-и------ Эти производные иосят наз-
дхду дудх'
ванне С. ч. п. второго порядка функции /. В общем случае оии могут
~ 07 07
и не совпадать. Одиако если-и------ непрерывны в точке а,
дхду дудх
а2/ а2/
то ~т—~(а) Аналогичное утверждение имеет место и для
дхду дудх
смешанных производных более высокого порядка от функции п пере-
менных.
СОБСТВЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ —см. Вращение.
СОБСТВЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ — см. Движение.
СОБСТВЕННОЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЕКТОРА —см. Собственный
вектор линейного оператора.
СОБСТВЕННОЕ ЧИСЛО ВЕКТОРА, МАТРИЦЫ —см. Собст-
венный вектор линейного оператора.
СОБСТВЕННОЕ ЧИСЛО ЛИНЕЙНОГО ОСЦИЛЛЯТОРА —
см. Линейный осциллятор.
СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА.
Ненулевой вектор х линейного пространства V называется С. в. л. о.
I этого пространства, если существует число X, такое, что
(1)
(при этом X — действительное, если V действительное, и комплексное,
если V комплексное). Число X называется собственным числом век-
тора относительно оператора / нли собственным значением вектора
(говорят также, что собственный вектор х принадлежит собственно-
му значению X).
Равенство (1) можно записать в матричном виде
ДХ=ХХ или Д(х)=Х(х), (1а)
где А — матрица лниейиого оператора { в некотором базисе,
Х=(х)—координатный столбец вектора х в том же базисе. Нену-
левую матрицу-столбец X, удовлетворяющую условию (1а), называ-
ют собственным вектор-столбцом матрицы А с собственным чис-
лом X.
Т. В комплексном линейном пространстве все корни характе-
ристического уравнения, и только они, являются собственными зна-
чениями линейного оператора. В действительном линейном про-
странстве то же утверждение имеет место для действительных кор-
ней характеристического уравнения.
Следствие. В комплексном линейном пространстве каждый
линейный оператор имеет хотя бы одно собствеииое значение н, следо-
вательно, хотя бы один собственный вектор.
Собственные числа линейного оператора называют также соб-
ственными числами матрицы этого оператора.
Собствеииое число называется ш-кратным (кратности т), если
оно является т-кратным корнем характеристического уравнения.
В частности, собствеииое число называется простым, если оио явля-
ется простым корнем характеристического уравнения.
Пусть
(ап 012 ... а1л \
а21 агз ... | _з
ащ ап2 ... Опп/
есть матрица линейного оператора [, X — собствеииое число этого
оператора. Тогда координаты С. в. л. о. с собственным числом к на-
ходят из системы
(аи—1) Х1 -(- ок х2 -(- ... + а1п хп = 0;'
021X1 4- (а22 — Х)х24- ••• 4-“2/1*л = 0;
ал1 + -+(алл - Ч хл =
(получена нз соотношения (1а), нз которого следует (А—кЕ)Х=О).
Таким образом, получается следующая схема нахождения С. в. л. о.
(см. также Свойства собственных векторов и собственных значений,
Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду):
1) составляют характеристическое уравнение |А—Х5|=0
данного оператора и находят его корни Хь Х2.Хп, т. е. характери-
стические числа;
2) выделяют только те характеристические числа, которые
являются собственными числами (значениями) данного оператора;
3) в системе (2) полагают к равным одному из собственных
значений данного линейного оператора, например к=ко и находят
ненулевое решение (аь а2, ...» а„) этой системы;
4) записывают вектор х=(йь а2, ..., ап), который является
собственным вектором данного линейного оператора с собственным
числом Хь
Аналогично поступают с другими собственными числами данного
оператора.
СОБСТВЕННЫЙ ВЕКТОР-СТОЛБЕЦ МАТРИЦЫ—см. Соб-
ственный вектор линейного оператора.
СОБЫТИЕ — см. Аксиомы теории вероятностей, Случайный
эксперимент.
СОБЫТИЯ, НЕЗАВИСИМЫЕ В СОВОКУПНОСТИ,— события
<4ь Аг, ..., Ап, такие, что для любых /г из них (к^.п)
к
Я(Л,у).
СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ СЛУЧАЙ-
НЫХ ВЕЛИЧИН — см. Абсолютно непрерывный случайный вектор.
СОВМЕСТНАЯ СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ — система, для кото-
рой существует хотя бы одно ее решение. С. с. у. называется также
непротиворечивой системой уравнений.
СОВМЕСТНАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙ-
НЫХ ВЕЛИЧИН — см. Многомерная функция распределения слу-
чайного вектора.
СОГЛАСОВАННЫЕ МАТРИЦЫ. Матрицу А называют согла-
сованной с матрицей В, если число столбцов матрицы А равно
числу строк матрицы В.
СОЛЕНОИДАЛЬНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ — векторное поле
—► —►
а=а(Р), в каждой точке которого <1гуа=0. В этом случае поток
вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю. С. в. п. не
могут иметь нн источников, ни стоков, а значит, и точек, где начина-
ются или кончаются векторные лннин. Векторные лицин С. в. п. либо
замкнуты, либо начинаются и кончаются у границ поля (или
уходят в бесконечность).
СОНАПРАВЛЕННЫЕ ЛУЧИ —см. Направление.
СООТВЕТСТВУЮЩАЯ ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ЛИНЕЙ-
НЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — см. Система ли-
нейных дифференциальных уравнений.
СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФ-
ФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ —см. Линейное дифференциаль-
ное уравнение.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ линии в задан-
ной точке—окружность, имеющая с линией касание ие ниже
второго порядка. Центр С. о. называется центром кривизны линии в
заданной точке, ее радиус — радиусом кривизны линии в заданной
точке. Радиус кривизны вычисляется по формуле К =-& , где к —
кривизна лнннн в той же точке. Центр С. о. плоской лннни располо-
жен иа нормали, проведенной в данной точке, с той стороны от
касательной, где расположена линия. С. о. пространственной линии
лежит в соприкасающейся плоскости, проведенной в данной точке,
а ее центр расположен иа главной нормали в положительном напра-
влении.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ пространственной
линии — плоскость, содержащая касательную и главную нормаль.
Иначе: С. п. в точке М линии I — плоскость, имеющая с линией /
в точке М касание не ниже второго порядка. Для векторно-парамет-
рического уравнения линии г = г (/) уравнение С. п. есть( р — г ) г' г" =•
0; для параметрических уравнений линии х = х (I), у = у (I), г— г (0 —
Х-Х(О У-у(() 2-2(0
х' (/) у' (0 2' (0
X" (0 у" (0 2"(0
= 0.
Для плоской линии
С.п. совпадает с плоскостью линии. С.п. ие
определена в точках линии, в которых [г', г"]=0. Такие точки назы-
ваются точками распрямления. Линия, целиком состоящая из точек
распрямления, есть прямая.
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА линии в заданной
точке — сфера, имеющая с линией касание ве ниже третьего по-
рядка. Если радиус кривизны линии в заданной точке равен К, а
кручение — х, то формула для вычисления радиуса С. с. имеет вид
2
Р“
где Лз — дифференциал дуги линии.
СОПРИКАСАЮЩИЙСЯ КРУГ — то же, что круг кривизны ли-
нии.
СОПРИКОСНОВЕНИЕ. Говорят, что линия у имеет с линией I
в точке М С., если у имеет с I в точке М касание максимального
порядка по сравнению с любой другой линией некоторого семейства
линий, включающего у. Аналогично определяется понятие С. поверх-
ности с какой-нибудь линией илн поверхностью.
СОПРИКОСНОВЕНИЕ ЛИНИЙ. Если в общей точке двух линий
п “ Г1 (5)| г2 “г2(5) при 5=5о (5 — натуральный параметр)
-> -> а Г! _ а Та а>г Г1 _ а* Та
Г1 Г*’ Аз дз ' йзк <1зк
то говорят, что эти линии в указанной точке имеют соприкосновение
порядка не ниже к. Если, кроме условий (1), выполняется неравенство
а*+172
.. — „е---------то говорят, что линии в указанной точке име-
4+1 .4+1
аз аз
ют соприкосновение порядка к.
Если одна линия дана в параметрическом виде х = х ((), у = у((),
а другая — в неявном виде Р (х, у) = 0, то линии имеют соприкоснове-
иие
порядка к, если в точке,
АР
Р(х(1), »(0)“0, -=0,
принадлежащей обеим линиям,
АкР йк+1Р
См. также Касание.
СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХ-
ГРАННИК линии. Касательная,
главная нормаль н бинормаль линии
определяют в каждой точке линии
трехгранник с тремя прямыми углами
при вершине, совпадающей с точкой
линии (см. рис.) Этот трехгранник на-
зывается С.т., илн основным трех-
гранником линии, илн триэдром. Гра-
нями С.т. будут три взаимно пер-
пендикулярные плоскости: соприка-
сающаяся плоскость, нормальная
плоскость, спрямляющая плоскость.
МнМ
юрмаль
СОПРЯЖЕННАЯ ГИПЕРБОЛА —см. Гипербола.
СОПРЯЖЕННАЯ МАТРИЦА. Матрицей, сопряженной с квад-
ратной матрицей Д, называется матрица А*=АТ, т. е. матрица,
полученная из А транспонированием и заменой всех элементов на
комплексно-сопряженные. Если Д — действительная матрица, то
С. м. являетсн транспонированной для А. Свойства С. м.: 1) (А*)* =
=Д; 2) (аД)* = аД*; 3) ("Д+Д)*=Д*+В*; 4) (АВ)*=В*А*.
СОПРЯЖЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО — см. Линей-
ная форма.
СОПРЯЖЕННЫЕ ДИАМЕТРЫ линии второй степе-
ни— два диаметра, каждый нз которых делит пополам хорды этой
линии, параллельные другому диаметру. Для окружности С. д. бу-
дут любые два взаимно перпендикулярных диаметра.
СОПРЯЖЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ поверхности. На-
правления двух линий и=и{(1), п=»1(/) и ц = и2(0, п=»2(<) иа по-
верхности называются С. и., если они удовлетворнют условию
Ыихйи2+М(<1их<1аг+д.и2д.ох) 4-М7/п1Дп2«=0,
где Е, М, К — коэффициенты второй основной квадратичной формы
поверхности. Для того чтобы координатные линнн поверхности имели
С. н., необходимо н достаточно, чтобы Л4=0.
СОПРЯЖЕННЫЙ ОПЕРАТОР. Линейный оператор <р унитарного
или евклидова пространства называется сопряженным линейному опера-
тору /, если для любых двух векторов хну пространства <р ( х) • у =
= х • / ( у ). Для каждого линейного оператора существует единст-
венный С. о.
Т1. Если линейный оператор } унитарного пространства
имеет в ортонормированием базисе матрицу А, то С. о. будет
иметь в этом базисе сопряженную матрицу А*.
Т2. Если линейный оператор / евклидова пространства
имеет в ортонормированном базисе матрицу А, то С. о. будет
иметь в этом базисе транспонированную матрицу Ат.
СОСТОЯТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА — см. Оценка неизвестного пара-
метра распределения.
СОЧЕТАТЕЛЬНЫЙ ЗАКОН — то же, что закон ассоциатив-
ности.
СОЮЗНАЯ МАТРИЦА— то же, что присоединенная матрица.
СПЕКТР КВАЗИПОЛИНОМА — набор числовых коэффициентов
V у показателей экспонент е'4, участвующих в квазиполиноме.
СПЕКТР ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА — множество собствен-
ных значений данного линейного оператора.
СПЕКТР СТАЦИОНАРНОГО ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНОГО ОПЕРАТОРА — см. Линейное дифференциальное уравне-
ние с постоянными коэффициентами.
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ — функ-
ции, задаваемые линейными дифферен-
циальными уравнениями с полиномиальны-
ми коэффициентами. С. ф. играют важную
роль в математической физике. Они зави-
сят от параметров, входящих в уравнение,
что позволяет использовать совокупности
одноименных функций с различными индек-
сами в качестве базисов различных фунда-
ментальных совокупностей. Пример: урав-
нение н функции Бесселя.
СПИРАЛЬ ФЕРМИ — плоская линия, уравнение которой в
полярных координатах имеет внд р=а/<р, а=сопз( (см. рис.).
СПОСОБЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ ЛИНИЙ: 1. Плоские
линии:
г = г = х{1) 1 4- у (/) / — векторно-параметрическое уравне-
ние:
— параметрические уравнения}
у = {(х) — явное уравнение:
Р (х, у) = 0 — неявное уравнение,
2. Пространственные линии:
г = /•(/)=.*(/) I у (/) ] 4- г (/) к — векторно-параметричес-
кое уравнение:
х= «(/);]
У = У (О;/ — параметрические уравнения;
г = г (0 1
2 = —явные уравнения линии;
Ф(х’ “у г) =о } —неявные уравнения линии.
СПОСОБЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ЗАДАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ:
—► —► —► —> —►
г — г (и, о) = х (и, о) 1’4-1/ (и, о) / 4- г (и, о) к — векторно-пара-
метрическое уравнение:
х=*х(и, о);1
у = у (и, о); > — параметрические уравнения;
г = г (и, о) ;
г—[(х,у) — явное уравнение;
Р (х, у, г) = 0 — неявное уравнение.
СПРЯМЛЯЕМАЯ ЛИНИЯ — см. Длина дуги.
СПРЯМЛЯЮЩАЯ ПЛОСКОСТЬ пространственной ли-
пни — плоскость, содержащая бинормаль и касательную. Для векторно-
параметрического уравнения линии г = г (/) уравнение С. п. есть
( р — г) г 0, для параметрических уравнений х «» х (О, у =
“ У (О, г = г (О —
Х-х У-у
х' у'
у' г'\ 1г' х' !
у" г"| |г" х"
2 —г
г'
У' I
х" у"\
О.
СРАВНЕНИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬ-
ШИХ ФУНКЦИЙ. I. Пусть функции / и & определены обе на I/ (а) и
являются бесконечно малыми при х -> а.
1. Если Нт — = 0 (или же Пт = со^ , то функцию / назы-
х-*а ё (х) \ х-*а } (х) )
вают бесконечно малой более высокого порядка, чем при х -> а.
I (^)
2. Если Нт —— = с, | с | € «+> то функции / и § называют
х—а ё (*)
бесконечно малыми одного порядка при х -> а.
ос г (*) ж
3. Если пт —-— ие существует, то функции [ и §— несравни-
х - а ё (*)
мые бесконечно малые.
11. Пусть функции / и § определены на У (а) и яиляются беско-
нечно большими при х -» а.
1. Если Нт «= со (или же Пт <=? о\ то / называют
х-айГ(х) \ х-*а/(х) /
бесконечнд большой более высокого поридка, чем § при х -> а.
г (х)
2. Если Пт —— = с, | с[ € «+, то / и § — бесконечно боль-
х - а 8 (X)
шие одного порядка при х ** а,
I (*)
3. Если Кт ------- не существует, то бесконечно большие / и 0
х^аё(х)
несравнимы.
Аналогично сравнивают бесконечно малые (бесконечно большие)
функции при х->а — 0, х->а + 0, х->оо, х->—со, х->+со.
См. также Эквивалентные бесконечно малые.
СРАВНЕНИЕ ФУНКЦИЙ. Пусть функции / и § определены в
V (а), §(х) О, й (а).
I (я)
I. Если Кт ----- = 1, то функции [ я § называют локально-эк-
х-^а8(х)
бивалентными при х -> а и записывают / ~ § при х -> а. Замена функ-
ций эквивалентными удобна при отыскании пределов, при этом допус-
кается замена множителей в числителе и знаменателе им эквивалентными.
/ (^)
2. Если Нт ----= 0, то записывают ( (х) = о(е (х))*при х -> а.
х^а§(х)
В частности, запись / (х) = о (1) при х -» а означает, что / — бесконеч-
но малая функция при х -+ а. Если ( и § бесконечно малые, то запись
( (х) = о(§ (х)) означает, что (— бесконечно малая более высокого по-
рядка, чем § при х -> а (см. Сравнение бесконечно малых и беско-
нечно больших функций). Критерий эквивалентности функций: [(х) ~
~ 8 (*), х-> л<=>/(х) —йГ(х) = о(^(х)) (/(*) — 8 (х) ~ о(/(х))),
3. Если ЯМ, | /(х) | < М. | § (х) |, Ух € й (а), то записывают
/(х)=О(^(х)) при х->-а. В частности, запись ((х)~О(\) означает,
что функция / ограничена в V (а). Символы о и О называют симво-
лами Ландау. Арифметика О-символики: о(|) ±о([) = о(Н, о(/) +
+О(Г)=О(П, О(П±О(П=О(|), со(Г)=о(Г), С.О(Г)=О(|), О(пх
ХО(8)=О(|2), о(Г)-о(8)=о(Г2), о(|) .О(е)=о(Ге), О(Г)=Г-О(П.
о(/)=Г-о(1), о(О(П)=о(|), о(Г2)=2-о(П, о(о(П)=о(П-
Аналогично проводится С. ф. при х-*-а—0, х->-а-|-0, х->оо,
х-> —оо, х —> +оо.
СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ —см.
Математическое ожидание случайной величины.
СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧЕСКОЕ ОТКЛОНЕНИЕ случай
ной величины с дисперсией — число УЩ.
СРЕДНЯЯ КРИВИЗНА ПОВЕРХНОСТИ в данной ее
„ *1 + *2 ЕМ —2/чИ + ОЕ
точке — Н =------— =----' -----1
2 2 (ЕС — Е2)
где ки к2 — главные кривизны; Е, Е, С — коэффициенты первой, а
Ь, М, И — коэффициенты второй основных квадратичных форм по-
верхности.
СТАНДАРТНЫЙ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕ-
НИЯ — см. Нормальное распределение.
СТАРШИЙ ЧЛЕН МНОГОЧЛЕНА —см. Многочлен.
СТАЦИОНАРНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ —то же, что автономная система дифференциальных
уравнений.
СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ПОЛЯ —см. Производная по на-
правлению.
СТАЦИОНАРНАЯ ТОЧКА ФУНКЦИИ — точка, в которой
производная функции обращается в нуль. С. т. ф. { нескольких пе-
ременных— точка, в которой сЦ=О, что равносильно тому, что в
этой точке обращаются в нуль все частные производные первого по-
рядка функции [.
СТАЦИОНАРНАЯ ТРАЕКТОРИЯ — см. Фазовая плоскость.
СТАЦИОНАРНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ —
см. Цепь Маркова.
СТАЦИОНАРНЫЙ ЛИНЕЙНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ
ОПЕРАТОР — см. Линейный дифференциальный оператор.
СТЕПЕНИ МАТРИЦЫ. Пусть А — квадратная матрица, &€ И.
По определению, Ак есть произведение к матриц, равных А. Полага-
ют, что А°=Е, А'=А, где Е — единичная матрица. Степени с отри-
цательными показателями определяются лишь для невырожденных
матриц: при целом й> 1 А~к — это любая из двух равных матриц
(Ак)_|, (А-1)к- Справедливы следующие формулы: А*Ат=Ак+т,
(Ак)’п = Айт, (АВ)к=АкВк (если только АВ — ВА), где т, к{ И.
Если АВ = ВА (матрицы перестановочны), то верна формула бино-
ма Ньютона:
(А + В)т = Ат 4- С’т Ат~1 В + Ат~г В1 + ... 4- Вт,
где т € И.
Замечание. Определяются также С. м. о любыми действительными
или комплексными показателями.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ —функция /(х) = х“,<х € К (см. [2]).
Дифференцирование и интегрирование С. ф. производится по формулам
/'(*) *= ох"-1, Г х“ д.х --4-С, а +—1, х € Ю. 4-с°(. Г—=
Л а 4-1 X
“1п|х|4-С иа промежутках ]—со, 0[,]0, 4*°°1-
СТЕПЕННОЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИН-
ТЕГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА. Пусть на полуинтервале [а, 4[ задана ие-
отрицательная функция /, не ограниченная около точки Ь и интегрируе-
мая в смысле Римана на любом отрезке [а, г)], а < т) < Ь. Если су-
ществуют постоянные с и а, где о 0, а< I, такие, что /(х) <
с Ъ с
<-----------, то интеграл \}{х)Лх сходится; если /(х)>----------- в
а (*-х)“
О О, а>1, то расходится,-
(X
В случае существования предела Нт (6 — х) / (х) •= с можно
х-*Ь —о
ь
утверждать, что интеграл | / (х) Лх сходится, если а < 1, 0 < с< -|-оо,
а
и расходится, если а>1, 0<с<+оо. В частности, если
с Ь
~--------— при х -> 5 — 0, то интеграл г / (х) Лх сходится при а < I
(5 —Х)“ а
и расходится при а^1. Если функция / задана иа ]а, Ь], не огра-
ничена около точки а и интегрируема на [т], Л], а < Т]< Ь, то степей-
ь
иой признак сходимости имеет место и для интеграла (х) Лх, только
ч
двучлен Ь —х нужно но всех формулировках заменить на двучлен х — а.
СТЕПЕННОЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИН-
ТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО РОДА. Пусть на промежутке [а, 4-оо[, а>0,
задана неотрицательная функция /, интегрируемая в смысле Римана на
любом конечном промежутке [а, Д]. Если существуют постоянные с
с +во
и а, где а > 1, такие, что / (х) < —, то интеграл С I (х) Лх схо-
Л «
х а
С
дится; если / (х) — и а < I, то расходится,
х
В случае существования предела Ига х“ / (х) «= с можно утвер-
х -* +«>
4-00
ждать, что | / (х) Лх сходится, если а > 1 и 0 < с < -|-оо, и рас-
а
С
ходится, если а < I и 0 < с < +оо. В частности, если / (х) ~
с > 0, то интеграл | / (х) дх сходитси при а > 1 и расходится при
а
а < 1.
СТЕПЕННОЙ ПРИЗНАК сходимости ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ.
Пусть ал>0 для Ул € И- Если существуют постоянные с и а, такие,
С оо
что ап < ~„ и с > О, а > 1,' то ряд 2 а* сходнтси. Если же ап >
п 4=1
СО
И О О, а < 1, то ряд V аь расходится.
“ 4 = 1
л а
В случае существования предела Пт л ап =• а можно утверж-
П -* со
оо
дать, что ряд 2 Чк сходится, если а > 1 и 0 < с < +оо, и расходит-
й = 1
с
ся, если а < 1 иО<с<-|-со. В частности, если ап ~ „ при л ->
оо л
_> 4-оо, то ряд 2 а4 сходится прн а > 1 и расходится при а < 1,
к = I
00
СТЕПЕННОЙ РЯД —функциональный ряд вида 2 с* (г — г0)А,
4 = 0
где Ск н г0 — заданные комплексные числа, аг — комплексное перемен-
ное. Числа с*, й=»0, 1, 2.....называются коэффициентами С. р.
оо
Ряды ак (х — х«) > где ак> *о — действительные числа, пред-
4 = 0
ставляют собой частный случай С. р., описанных выше. См. Мно-
жество сходимости степенного ряда. Радиус сходимости степенного
ряда, Ряд Тейлора, Ряд Тейлора для функций комплексного перемен-
ного, Свойства степенных рядов.
СТЕПЕНЬ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ КОМПЛЕКСНЫМ ПОКА-
ЗАТЕЛЕМ— функция ш=2а, а € С. Сводится к компознцнн пока-
зательной н логарифмической функций посредством соотношения
а)=га=еаЬп1. Вообще говоря, га«га» =/=га1+а» .
СТРОГИЙ ЛОКАЛЬНЫЙ МАКСИМУМ, МИНИМУМ,
ЭКСТРЕМУМ —см. Точки локального экстремума.
СТРОГИЙ МАКСИМУМ, МИНИМУМ, ЭКСТРЕМУМ —см.
Глобальные экстремумы функции нескольких переменных.
СТРОГО ВОЗРАСТАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см.
Числовая последовательность.
СТРОГО ВОЗРАСТАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ—см. Монотонные
функции.
СТРОГО ВЫПУКЛАЯ ВВЕРХ ФУНКЦИЯ —см. Исследова-
ние функций на выпуклость.
СТРОГО ВЫПУКЛАЯ ВНИЗ ФУНКЦИЯ — СМ. Исследование
функции на выпуклость.
СТРОГО МОНОТОННАЯ
Числовая последовательность.
СТРОГО МОНОТОННАЯ
функции.
СТРОГО УБЫВАЮЩАЯ
Числовая последовательность.
СТРОГО УБЫВАЮЩАЯ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см.
ФУНКЦИЯ — см. Монотонные
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ — см.
ФУНКЦИЯ—см. Монотонные
функции.
СТРОФОИДА. Пусть даны точка О и прямая, находящаяся от
точки О иа расстоянии | ОА | = а. Будем вращать вокруг точки О луч,
пересекающий прямую в переменной точке В. С. — множество точек
Л41 и ЛЬ, таких, что ВМ1 = ВМ% = АВ (см. рис.). Уравнение С. в
декартовых прямоугольных координатах есть (х2 + у2) (х — а)2 —
— а2у2 = 0; в полярных — р =»------ ±
СОЯ <р
± а<йф. Параметрические уравнения С.
можно представить в виде
2 а/2 аЦР — 1)
СТРУКТУРА ОБЩЕГО РЕШЕНИЯ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕН-
ЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ —см. Систе-
ма линейных дифференциальных уравне-
ний.
СТУПЕНЧАТАЯ МАТРИЦА — то же, что
трапециевидная матрица.
СУММА ВЕКТОРОВ. Суммой а + Ь двух
векторов а и Ь называется вектор, идущий
—► —►
из начала вектора а в конец вектора Ь прн
условии, что вектор Ь приложен к концу век-
тора а (см. рнс.). Правило сложения двух
векторов (см. Сложение векторов), содержащееся в этом опре-
делении, называют правилом треугольника. Это название объя-
сняется тем, что (в случае, когда векторы а и Ь не кол-
линеарны) векторы а, Ь и их сумма а+ Ь образуют треугольник.
Из коммутативности сложения векторов а и &(а+6=&-{-л)
следует правило параллелограмма сложения двух неколлннеарных
векторов: если векторы а и Ь приложены к общему началу и на
—► —►
на них построен параллелограмм, то сумма а + Ь этих векторов пред-
ставляет собой диагональ указанного параллелограмма, идущую нз об-
щего начала векторов а и Ь.
Сумма произвольного числа векторов щ, аг, ...» ап строится
по правилу: если вектор аг приложить к концу вектора аг, вектор
аз — к концу вектора да, вектор ап — к концу вектора а . ,
—► —► —►
то сумма 01 + аг + ... + ап будет представлять собой вектор,
идущий из начала вектора ат в конец вектора ап. Это
правило называют правилом многоугольника или правилом замы-
кающей. В частности, для сложения трех некомпланарных векторов
(что следует из ассоциативности операции сложения векторов) пользу-
—►
ются правилом параллелепипеда: если векторы а, 6, с приложены к
—* —> —+
общему началу и на них построен параллелепипед, то сумма а + Ь 4- с
этих векторов представляет собой диагональ указанного параллелепипеда,
идущую из общего начала векторов.
Координаты С. в. равны суммам одноименных координат слагав-
мых. С. в. как элементов линейного пространства определяется аксио-
матически (см. Линейное пространство).
СУММА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ / и <р линейного про-
странства Vп (обозначение: / + ф) — отображение пространства,
определяемое для каждого вектора х & Уп формулой (/ + <р) ( х ) =
= /(*) + <₽ С*)-
Т1. С. л. о. есть линейный оператор.
Т2. Если линейные операторы [ и § имеют соответственно матри-
цы А н В в некотором базисе, то линейный оператор (+§ имеет
матрицу А+В в том же базисе.
СУММА МАТРИЦ. Суммой двух матриц Атхп=(ац) и
Вту.п = (Ь,)) одинаковых размеров называется матрица Стхп"
= (с,Д тех же размеров, такая, что с^=а^+6(^ для любых < = 1,
2, ..., т, 1 = 1, 2, ..., п. Для обозначения суммы двух матриц исполь-
зуется запись С=А+В. Сумма А+В + С трех матриц — матрица, ко-
торая получается последовательным сложением данных матриц, т. е.
А+В+С= (А+В)-|-С. Аналогично определяется сумма произволь-
ного числа матриц одинаковых размеров. См. также Сложение
матриц.
СУММА МНОГОЧЛЕНОВ. Если {(х) =а0+а1Х+...+ав_1Хп-| +
+апхп (ап^=0) и §(х) =6о+й|Х+... + йт_1хт-1+йтХт (6т=А0) —
многочлены с комплексными (действительными) коэффициентами и, на-
пример, п^т, то их сумма есть многочлен ?(х) +&(х) =с0+с1х+...+
+Сп-1Хя~,+спхп, где С1 = а, + Ь,; 1=0, 1, ..., т; С]=аз, /=т + 1.п,
т. е. многочлен, у которого коэффициент при каждой степени пере-
менного х равен сумме коэффициентов при той же степени х в мно-
гочленах |(х) н §(х). Степень ()(х) +§(*)) Стах {степень /(х),
степень &(х)}.
СУММА РЯДА — см. Ряд.
СУММА СОБЫТИЙ — см. Операции над событиями.
СУММА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА — см. Функциональный
ряд.
СУММА ЧИСЛОВОГО РЯДА —см. Числовые ряды.
СУПЕРПОЗИЦИЯ ФУНКЦИЙ —то же, что композиция
функций.
СУЩЕСТВЕННО КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО —см. Комплекс-
ные числа.
СУЩЕСТВЕННО ОСОБАЯ ТОЧКА. Если г0 — изолированная
особая точка одноаначного характера функции / и ряд Лорана
функции I в окрестности точки г0 содержит бесконечное число чле-
нов главной части, то точку г0 называют С. о. т.
Для того чтобы г0 была С. о. т. функции необходимо н доста-
точно, чтобы не существовал Ит^(г) (конечный или бесконеч-
г->го
ный). Поведение функции в окрестности С. о. т. характеризует сле-
дующая теорема.
Т. (Теорема Сохоцкого.) Если г0 — С. о. т. для функции /, то
для любого комплексного А (в том числе и А = оо) найдется после-
довательность точек (гп), сходящаяся к г0 и такая, что Нт/(гп) =
п-*оо
=А.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ПРЕДЕЛА монотонной ограни-
ченной последовательности. Если монотонная последо-
вательность ограничена, то она сходится (теорема Вейерштрасса).
Если же последовательность монотонна, но не ограничена, то она
бесконечно большая (определенного знака). Таким образом, любая
монотонная последовательность имеет предел. Этот предел коне-
чен, если последовательность ограничена, и бесконечен в противном
случае.
СФЕРА —множество всех точек пространства, расстояние от
которых до данной точки (центра С.) равно данному числу /?
(радиусу С.). Уравнение С. радиуса Я с центром в точке 8 (а, Ь, с)
в прямоугольных декартовых координатах имеет вид (х—а)2+
+ (у—Ь)2+ (г—с)г=В2. В частности, уравнение С. с центром в на-
чале координат есть х2+у2+г2=В.2. Параметрические уравнения С.
с центром в начале координат можно представить в виде х=
—Ясоз «соз о; у=Ясо8изшо; х=/?81пи, где и—широта, о — долго-
та точки на поверхности С.
Обобщением понятия С. в евклидовом л-мерном пространстве
является гиперсфера.
СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ. Положение точки М в про-
странстве можно определить: 1) расстоянием р от точки М до фик-
сированной точки О; 2) углом 0, образованным радиус-вектором
ОМ точки М с осью Ог; 3) углом <р, заключенным между пло-
скостью Охг и полуплоскостью, ограниченной осью Ог и проходя-
щей через точку М (р, 0, <р изменяются в
пределах: 0^р< + °о, О^О^л, 0^<р<
<2л) (см. рис.). Упорядоченную тройку чи-
сел (р, 0, <₽) называют С. к. точки М. Вы-
брав ось Оу так, чтобы Охуг образовала
декартову прямоугольную правую систему
координат, получим следующую связь со
С. к.: х=р8ш 0 соз <р, //=рзш0 8Шф, г=
=р соз 0.
Замечание. Часто используется и другой вариант сферических ко-
ординат: х=рсоз <)со8 <р: р=рсоз ф81п <р; г=р51п ф, где угол ф образован ра-
диус-вектором ОМ точки М и его проекцией па плоскость Оху, причем вели-
чина угла берется со знаком плюс, если аппликата точки М положительна,
и со знаком минус, если она отрицательна (р. <р. Ф* меняются в пределах:
0<р<+«>, 0<<р<2л,--------< ф < -у).
СХЕМА ГОРНЕРА — способ деления многочлена произвольной
степени л^1 иа линейный двучлен. Если [(х) — аохп+а1Хп~,+...+
+ап-1Х+ап, §(х)=х—с, то при делении Цх) на §(х) коэффициенты
частного ?(х) =ЬоХп-|+61хп-2+...+&п_2х+Ьп-1 вычисляются по-
следовательно по формулам Ь0=а0, Ьк=сЬк-1+ак (/г=1, 2, ..., л—1),
а остаток — по формуле г=сЬп-1+ап. Вычисления по С. Г. удобно
располагать в таблице:
Оо Л1 а2 ... ап-} "л
С Ьо = Й1 = => сЬ0 4-01 Ь2 = = сЬ1 4- “Ь Оз ... ЬП—1 = = с&„_2+ 4~ач-1 г = 1 (с) = = сЬп-1 + 4- ал
С. Г. позволяет быстро вычислять значения многочлена при
х—с, т. е. ((с).
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ. Пусть функции ( и }п, п € М, иитег-
рируемы с квадратом иа отрезке [а, &]. Говорят, что последователь-
ность функций ([п) сходится в среднем к функции / на отрезке [а, 6],
если
ь
Пт Г (Д (х) — / (х))2 йх = 0.
Л~>ОО д
со
Ряд функций У, /л (х) называют сходящимся в среднем к фуик-
4=1
ции / на отрезке [а, 6], если сходится в среднем к функции / после-
довательность его частных сумм, т. е.
2
Ь
п
Ит Г Ц (х) — У (х) р/х = 0.
л-о°а \ /;=1 /
СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННОГО ИНТЕГРАЛА, зависяте-
ь
го от параметра. Несобственный интеграл (х, у) Ох, завися-
а
щий от параметра, называют сходящимся иа множестве У, если ои схо-
дится как несобственный интеграл при каждом фиксированном у V.
+°°
Для несобственного интеграла } / (х, у) йх первого рода, зависящего
а
от параметра, это означает, что при Чу^У существует конечный пре-
А
дел Пт / !(х, у) Ох, т. е. Уе > 0, = Ао (в, у), УД>Л>=*
У Дх, у) ах
А
8.
ь
Для несобственного интеграла } ( (х, у) Ох второго рода (6 — осо-
а
бая точка) зависящего от параметра, сходимость на множестве У оз-
ч
начает, что существует конечный предел Ит | / (х, у) Ох, т. е. при
—0 а
каждом фиксированном У, Уе > 0, Эб = 6 (е, у), Ут], 0<б —
|Ь
СХОДИМОСТЬ РЯДА —см. Ряд.
СХОДИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА ФУРЬЕ В
СРЕДНЕМ. Тригонометрический ряд Фурье периодической функ-
ции интегрируемой с квадратом, сходится в среднем к этой
функции.
СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА —см. Функцио-
нальный ряд.
СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА —см. Числовые ряды.
СХОДЯЩАЯСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см. Предел чи-
словой последовательности.
СЮРЪЕКЦИЯ, сюръективное отображение. Отобра-
жение [:Х-^У называется С., если }(Х) — У, или, другими словами,
если каждый элемент из У является образом при отображении ( по
крайней мере одного элемента из X. С.— это отображение X на У.
ТЕОРЕМА — математическое предложение, истинность которого
доказывается. Если Т. высказана в форме условного предложения,
то первая ее часть (после слова «если» до слова «то») выражает
условие Т., а вторая часть (после слова «то») — заключение Т. Если
поменять местами условие и заключение данной теоремы, то полу-
чим обратную Т. Полученные при этом предложения называют
взаимно обратными. Если верно некоторое предложение, то обрат-
ное ему ие всегда верно. Исходная Т. называется прямой Т.
ОО
ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. Если степенной ряд 2 съ (г — 3>)* сходится
к—О
при г = 21 =/= го, то он сходится, притом абсолютно, при любом г, для
которого | г — го| < | 21 — 2о|. Если степенной ряд расходится при г =
= г2, то он расходится для любых г, таких, что | г — 2о | > | г2 — г0 |.
Т. А. может быть сформулирована и для степенных рядов с дей-
00
ствительиыми членами: если ряд У, ак (х — ха)к сходится при х =х^
*=о
Хо, то он сходится, притом абсолютно, при любых х, для которых
|х—Хо | < | Х1 — Хо |. Если степенной ряд расходится прн х = х2, то
он расходится и при любых х, таких, что | х— х0 | > | х2 — хо |.
ТЕОРЕМА БАРРОУ—см. Производная интеграла по верхнему
пределу.
ТЕОРЕМА БЕЗУ. Остаток от деления многочлена /(х) иа дву-
член х—с равен значению /(с) многочлена при х=с.
Следствие. Число с тогда и только тогда будет корнем мно-
гочлена /(х), когда /(х) делится на х—с. Таким образом, разыска-
ние корней многочлена равносильно разысканию его линейных де-
лителей.
ТЕОРЕМА БЕРНУЛЛИ. Пусть ш — число «успехов» в п испыта-
ниях Бернулли и р — вероятность успеха в каждом испытании, тогда
/I т I \
для любого в > 0 Пт Р —— р < е = Т.
П-»-00 V п ’ /
ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО — ВЕЙЕРШТРАССА. Любая ограничен-
ная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность.
ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА — см. Существование предела мо-
нотонной ограниченной последовательности.
ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА — КЭЛИ, Квадратная матрица явля-
ется корнем своего характеристического многочлена.
ТЕОРЕМА КАНТОРА — см. Свойства функций, непрерывных на
отрезке. Равномерная непрерывность функции. Свойства непрерыв-
ных функций нескольких переменных.
ТЕОРЕМА КОШИ интегральная. Если функция комплекс-
ного переменного ( дифференцируема в конечной односвязной об-
ласти О, то интеграл от ( по любой замкнутой кривой у, лежащей
в области й, равен нулю: $^(г)йг=О. Иногда Т. К. формулируют
V
следующим образом: если функция { дифференцируема в конечной
односвязной области И с кусочно-гладкой границей дй и непрерыв-
на вплоть до границы И, то I/(г)аг=О. Т. К. имеет место и для
до
иеодносвязной области, если под дО понимать совокупность всех
контуров, составляющих границу области О с согласованным па-
правлением обхода (например, так, чтобы при обходе каждого из
контуров область О оставалась слева).
ТЕОРЕМА КОШИ об отношении конечных прираще-
ний. Пусть функции /ио непрерывны на отрезке [а, 6] и диффе-
ренцируемы на интервале ]а, о[, причем (х) О, Ух€]н, 6[. Тогда
на ]а, Ь[ существует точка с, такая, что
/(&) — / (а) ~ /' (с)
8 (*) — 8 (а) §' (с) ‘
Т.К. используется, например, при выводе правила Лопиталя.
ТЕОРЕМА КРОНЕКЕРА — КАПЕЛЛИ—то же, что критерий
совместности системы линейных уравнений.
ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА, теорема о среднем. Пусть функ-
ция / непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируема на ]а, &(.
Тогда существует ]а, Ь[, такое, что /(&) —/(а) =/'(с) (Ь — а) (фор-
мула Лагранжа). Формулу Лагранжа можно записать в виде ЦЬ) —
—}(а)‘=!'(а+&(Ь—а))(Ь — а), О<0<1. Последняя формула верна
при любом взаимном расположении точек а и Ь. Формулу Лагран-
жа, записанную в виде /(х+Дх) — /(х) =/'(х+0Дх)Дх, называют
формулой конечных приращений.
ТЕОРЕМА ЛАПЛАСА о разложении определите-
ля — см. Свойства определителей.
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА — см. Центральная предельная теоре-
ма в форме Ляпунова, Устойчивость решений линейного дифферен-
циального уравнения с постоянными коэффициентами.
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА об устойчивости. Если для систе-
мы дифференциальных уравнений в векторном виде——=>7 (<. х),
си
/ (о, х ) = 0, существует функция Ляпунова о ( х) то нулевое реше-
ние данной системы устойчиво. Если, кроме того,
24(/, х)^<-₽<0, Ух«йп,
4=1 дхк
где р — постоянная, то нулевое решение асимптотически устойчиво.
ТЕОРЕМА О БАЗИСНОМ МИНОРЕ — см. Базисный минор
матрицы.
ТЕОРЕМА О ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНОМ И НЕПРЕРЫВ-
НОМ СООТВЕТСТВИИ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И
ФУНКЦИЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Если последовательность функций
распределения (Ея(х)) слабо сходится к функции распределения
г(х) некоторой случайной величины то соответствующая последо-
вательность характеристических функций {(п{()) сходится к харак-
теристической функции ((I) величины $, причем сходимость равно-
мерная в любом конечном промежутке [—7", Г]. Обратно, если по-
следовательность характеристических функций (/я (О ) сходится к
непрерывной в нуле функции /(/), то соответствующая последова-
тельность функций распределения {Рп (х)) слабо сходится к функции
распределения Р{х) некоторой случайной величины прн этом
,(/) есть характеристическая функция
ТЕОРЕМА О ЕДИНСТВЕННОСТИ РАЗЛОЖЕНИЯ ФУНКЦИИ
В СТЕПЕННОЙ РЯД—см. Разложение функций в степенные ряды.
ТЕОРЕМА О НЕПРЕРЫВНОСТИ СУММЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
РЯДА, теорема Стокса — Зейделя. Если функции ик (х), к € Я, не-
СО
прерывны на множестве Е и ряд У, ик (х) сходится равномерно на мно-
4=1
со
жестве Е, то его сумма «(х) =• 2 (х) также непрерывна на мно-
»=1
жестве Е.
ТЕОРЕМА О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ - см. Са-
мосопряженный линейный оператор.
ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИИ ФУНК-
ЦИОНАЛЬНОГО РЯДА. Если функции ик (х), дифференцируемы
со
на отрезке [а. 6] и ряд из производных 2 ик (х) сходится равиомер-
4»1
со
но на [а, 6], а сам ряд 2 иА (х) сходится хотя бы в одной точке от-
4=1
оо
резка [а, 6), то ряд У ик (х) сходится равномерно иа [а, 6], причем
4=1
этот ряд можно дифференцировать иа [а, 6] почленно) т« е.
(СО \' 00
2 М*) “ 2 ик (х).
4=1 / 4=1
ТЕОРЕМА О ПОЧЛЕННОМ ИНТЕГРИРОВАНИИ ФУНКЦИО-
ОО
НАЛЬНОГО РЯДА. Если функциональный ряд У, ик (х) сходится рав-
А=1
номерно иа промежутке Е и если каждый член этого ряда представ-
ляет собой функцию, интегрируемую на отрезке [а, Ь] с Е, то сумма
«(х) Функционального ряда является функцией, интегрируемой на от-
резке [а, 6], причем данный функциональный ряд можно интегрировать
почленно на [а, 6], т. е.
Ь Ь / оо \ оо Ь
| 5 (х) ОХ = | I 2 ик (х) Их = 2 I ик (х) Лх-
а а \к=\. / к=1 а
Кратко: равномерно сходящийся иа промежутке Е ряд с интегрируе-
мыми членами можно почленно интегрировать по любому отрезку
[а, 6] с Е.
ТЕОРЕМА О ПРЕДЕЛЬНЫХ ВЕРОЯТНОСТЯХ — см. Цепь
Маркова.
ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО ЭЛЕ-
МЕНТАМ РЯДА — см. Свойства определителей.
ТЕОРЕМА О СТАБИЛИЗАЦИИ ЗНАКА —см. Локальные
свойства непрерывных функций, Свойства непрерывных функций не-
скольких переменных.
ТЕОРЕМА О СХОДИМОСТИ АБСОЛЮТНО СХОДЯЩЕГОСЯ РЯ-
00
ДА. Если ряд 2а* сходится абсолютно, то ои сходится. См. также
й=1
Абсолютная и условная сходимость числовых рядов.
ТЕОРЕМА О ТОЧНЫХ ГРАНЯХ. Пусть Е — непустое числовое
множество. Если Е ограничено сверху, то существует зир Е (точная
верхняя грань), зир Е с К. Если Е ограничено снизу, то существует
ш( Е (точная ннжняя грань), 1п[ Е с К.
ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО. Поток векторного поля а через
замкнутую поверхность 5 равен интегралу от (Пу а, взятому по телу V,
ограниченному поверхностью 5, т. е.
^а„ <*$ = $$$ <Ич а а?.
8 V
Эту формулу называют формулой Остроградского. В координатной за-
писи оиа имеет вид
УУ (ахсоз а + аисоз ₽ + агсоз у) 48 = УУУ (-^+ йхдудг
5 V
ИЛИ
С С ССС/’ дах дау
] ах<1у<12 + аудхОг + агдхду “ ] ] ] ^-57- + ^хдудг.
5 V
Замечание. Предполагается, что проекции ах, а у, ^векторного поля
а непрерывны на V вместе со своими частными производными, а п=(.соза,
соз?, созV) — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5.
—>
Следствия: 1. В соленоидальном поле (<Цуа=0) поток век-
тора через любую замкнутую поверхность равен нулю. 2. Пусть в
точке Р имеется изолированный источник нлн сток (см. Дивергенция
векторного поля), т. е. Й1УЯ=0 всюду в поле, кроме точки Р. Тогда
поток вектора а через поверхность 5, внутри которой находится
точка Р, не зависит от формы поверхности.
ТЕОРЕМА ПУАССОНА. Если в схеме Бернулли п->оо и р -> О,
так, что пр -> X, 0 < X < 1, то РЛт) = С™ртдп~т-> —- е~\ Таким
" т\
образом, прн большвх п и малых р можно пользоваться приближенной
Хт -х
формулой Рп {т) ~ — е ", где Хп = пр. Ее рекомендуется прнме-
т!
пять при п > 100, пр < 30.
ТЕОРЕМА РОЛЛЯ. Пусть функция / непрерывна на отрезке
[а,д] н дифференцируема иа интервале ]а, Ц. Если /(а) = /(*),
то на ]а, 6[ лежит по крайней мере одна стационарная точка, т. е.
Эс€]а, й[, Г (с)«=0. Т.Р. используется как достаточный признак
существования стационарной точки.
ТЕОРЕМА СОХОЦКОГО —см. Существенно особая точка.
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ —см. Свойства ве-
роятности.
ТЕОРЕМА СТОКСА. Циркуляция вектора а по замкнутой ли-
нии Ь равна потоку ротора вектора через произвольную поверх-
ность 5, лежащую в векторном поле и имеющую своей границей
линию Дэ
п • го1 а <2$
или
«= || кЛпа<18.
Здесь п — вектор нормали к поверхности 5, иаправлеине которого долж-
но быть выбрано так, чтобы наблюдатель, перемещающийся идоль кон-
тура Е вместе с вектором п, видел непосредственно прилегающую к
нему часть поверхности слева от себя; — проекция вектора а иа ка-
сательную к линии Е; го1па— проекция ротора вектора а иа нормаль
к 5. Предполагается, что проекции ах, ау, аг векторного поли а не-
прерывны на поверхности 5 вместе со своими частными производ-
ными.
Т.С. и координатной форме запншетсн так:
Шдац дах \ / даг
~д7~ ~ ~~ду~ )-ахау + {"ду-~~
да \ I да, да, \
—дГ/ йхйг-
Каждая из приведенных формул называется формулой Стокса.
Следствии: 1. Поток ротора вектора через замкнутую по-
верхность равен нулю. 2. Поле ротора является соленоидальным.
3. Если в некоторой части векторного поля го1а=0, то циркуляция
вектора а по любому замкнутому пути в этой части поля равна
нулю. Обратно, если циркуляция векторного поля а по любой
замкнутой линии равна нулю, то го1а=0 н поле безвихревое.
ТЕОРЕМА СТОКСА — ЗЕЙДЕЛЯ — см. Теорема о непрерыв-
ности суммы функционального ряда.
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ РЕ-
ШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ — см. Однозначная разрешимость задачи
Коши.
ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ —см. Условная
вероятность.
ТЕОРЕМА ФЕРМА. Если функция / задана на промежутке,
принимает экстремальное значение в некоторой внутренней точке с
и дифференцируема в этой точке, то с — стационарная точка функ-
ции /, т. е. К (с) =0.
ТЕОРЕМА ХИНЧИНА — см. Закон больших чисел в форме
Хинчина.
ТЕОРЕМА ЧЕБЫШЕВА — см. Закон больших чисел в форме
Чебышева.
ТЕОРЕМА ШТУРМА — см. Правило Штурма.
ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ. К числу
таких теорем относят теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕ-
ГРАЛОВ ВТОРОГО РОДА. Пусть на полуинтервале [а, заданы
функции { и §, не ограниченные около точки Ь и интегрируемые в
смысле Римана на каждом отрезке [а, Т)], а^т]<6.
Т1. Пусть выполняется неравенство 0 < / (х) # (х) для Ух € [а,Ь|.
ь
Тогда из сходимости интеграла | д (х) дх следует сходимость иитег-
а
ь ь
рала У {(х) дх, а из расходимости интеграла | / (х) дх — расходимость
а а
Ь
интеграла ! е (х) дх.
Т2. Если / (х) >0, % (х) > 0 иа [а, 6[ и / (х) « О (е (х)) при х ->
ч. Ь — 0 (см. Сравнение функций), то из сходимости интеграла
Ь Ь
| й (х) дх вытекает сходимость интеграла { / (х) дх, а из расходимости
о а
ь *
интеграла | /(х)Дх— расходимость интеграла У#(х)Дх.
а а
/М
ТЗ. Если /(х)>0, 1(х)>0 иа 1а> ЭД и Нт -------—— е, топов
х-ь-о е(х)
ь ь с
0<с<4-со интегралы У / (х)Дх и У ц (х) Ох оба сходятся или оба
а а
Ь
расходятся, прн с = 0 из сходимости интеграла У # (х) Дх следует схо-
а
Ь
днмость интеграла У /(х)Дх, при с = -|-со из расходимости интеграла
а
Ь Ь
У / (х) Дх следует расходимость интеграла У ц (х) Дх. В частности, если
а а
Ь Ь
[(х) ~ е (х) при х -> Ь — 0, то интегралы У / (х) Дх и У ц(х)<1х оба схо-
а а
дятся или оба расходятся.
ТЕОРЕМЫ СРАВНЕНИЯ ДЛЯ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРА-
ЛОВ ПЕРВОГО РОДА. Пусть функции / и # заданы на промежутке
[а, +<»[ н интегрируемы в смысле Римана на любом конечном проме-
жутке [а, А].
Т1. Если 0</(х)<й(х), Ух С [а, +«4, то из сходимости ив-
4-00 4-00
теграла $ # (х) Дх следует сходимость интеграла У / (х) Дх, а из рас-
ходимости интеграла $ } (х) Ах — расходимость интеграла 5 й(х)Дх.
а а
Т2. Если / (х) >0, # (х) > О на [а, -|-со[ и / (х) = О (х)) при
4-00
х -* -|-со (см. Сравнение функций), то из сходимости У # (х) Дх вы-
а
4-00
текает сходимость { /(х)4х, а нз расходимости интеграла
а
4-00 400
| / (х) Ох — расходимость | % (х)
а а
/ (х)
ТЗ. Пусть /(х)>0, # (х) > О иа [а, -|-оо[ и Ит —1—= с,
ж->+» д(х)
4-СО 4-00
тогда при 0 < с < 4-со интегралы / / (х) Лх и У #(х) Лх или оба схо-
а а
дятся или оба расходятся. При с =• 0 из сходимости интеграла
4-00 4-00
5 § (х) <1х следует сходимость интеграла | / (х) Йх. При с=*-|-оо из рас-
а а
4-оо 4-со
ходимости интеграла { /(х) Йх следует расходимость { § (х) Йх. В част-
а а
4-оо
ности, если } (х) ~ ц (х) при х-*4-со, то интегралы У }(х)Лх и
а
+оо
5 § (х) Лх или оба сходятся, или оба расходятся.
а
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ФУНК-
ЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пусть т функций
Л(Х1, Х„, «1.......иту,
Ег(Х1.....х„, «1, ...» нт);
Ещ (*!> •••• •••»
дифференцируемы в некоторой окрестности точки а •= [х,(0\ х^0),
нр)......ыт') евклидова пространства Ц/’+'п, причем частные произ-
водные этих функций по переменным щ, .... ит непрерывны в точке
а. Тогда если все функции Е\, ,,,, рт обращаются в нуль в точке а.
якобиан — .......—— отличен от нуля в этой точке, то найдется
^(«1.....«т)
окрестность точки (х{°\ х^0>.... х^°в которой существуют един-
ственные т функций и1»=/1(х1, х2, .... хп), и2 = 1г{х1, х2, хл),
ит = /т (хх, х2, хп), являющиеся решениями системы
Л(Х1...хп, иъ .... ит)=0;
Ра(Х1, .... х„, ..«т)*=0;
Рт (хь ...» х„, иъ .... ит) = 0,
причем это решение непрерывно и дифференцируемо в указанной окре4
стности точки (х<°>. х<°>). При этом
дГк____________Р(Р1, рт)____________Р(Р1, Рт)
дх^ О(«1....... «4-1. Ху, «А+1.ит)- ..........„т) '
Выражения для частных производных второго и последующих по-
рядков, при условии их существования, можно получить посредством
дифференцирования этих формул.
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ РЕШЕНИЙ ФУНКЦИОНАЛЬНО-
ГО УРАВНЕНИЯ- Пусть функция Р (Хь х%, ..., хп, и) непрерывна на
области Р евклидова пространства К72"*4, Р (х{°\ х^°\ х^°\и(0^)==
= 0, ^-(х*0», х<»>, .... х<°>, «<°>) ^ 0 (точка (х<°>, х<°>.х<°>,
Тогда существует окрестность указанной точки, в которой
уравнение Р (хх, ..., хп, и) = 0 однозначно разрешимо, причем реше-
ние и = /(х1, х2, .... хп) непрерывно в этой окрестности. Если, кро-
ме условий, оговоренных выше, функция р дифференцируема в окре-
стности точки (х<°>, х^, х^0'1, и дР/ди непрерывна в этой
точке, то решение и = /(х1, хп) дифференцируемо в окрестности
рассматриваемой точки, причем
«V дР дР Ь , о
дх* дхк ди
Частные производные второго и более высоких порядков, при усло-
вии их существования, могут быть иайдеиы посредством дифферен-
цирования формул для частных производных первого порядка.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ — раздел математики, в котором по
данным вероятностям одних случайных событий находят вероятно-
сти других случайных событий, связанных тем или иным способом
с первыми.
ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ — часть ма-
тематического анализа, в которой изучают функции, заданные с по-
мощью дифференциальных уравнений,
ТЕОРИЯ ПОЛЯ —см. Векторный анализ.
ТЕОРИЯ РЯДОВ — часть математического анализа, в которой
ряды систематически используются для представления и исследова-
ния функций.
ТОЖДЕСТВЕННАЯ ПОДСТАНОВКА — подстановка
/1 2 ... п \
2 п/’ т’ е‘ п°Дстановка, ПРИ которой иа месте остаются
все символы. Т. п. называют также единичной подстановкой, ибо
для любой подстановки { той же степени /е=е/=/.
ТОЖДЕСТВЕННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ-см. Отображение.
ТОЖДЕСТВЕННЫЙ ОПЕРАТОР линейного простран-
ства — оператор, ставящий в соответствие каждому вектору про-
странства этот же вектор, т. е. }(х)=х. Т. о. является линей-
ным; его матрицей в произвольном базисе п-мерного линейного
пространства будет единичная матрица.
ТОЖДЕСТВО — см. Уравнение.
ТОЖДЕСТВО ЭЙЛЕРА -
см. Однородная функция.
ТОР — поверхность, кото-
рая получается при вращении
окружности вокруг оси, лежа-
щей в ее плоскости и не пере-
секающей окружности (см
рис.). Если вращать вокруг
оси Ог окружность х=а +
Ч-Ьсози, у=0, г=Ьыпи
(Ь<а), то параметрическими
уравнениями Т. будут х= (а+
+ Ьсоз ы)созо, </=(а+&С05«)Х
Хз!П V, г = б51П и.
ТОЧКА АБСОЛЮТНОГО ЭКСТРЕМУМА — см. Экстремальные
значения функции.
ТОЧКА БЕСКОНЕЧНОГО СКАЧКА —см. Точки разрыва
функции.
ТОЧКА ВЕТВЛЕНИЯ, точка разветвления,— точка комплексной
плоскости, обладающая тем свойством, что однократный обход во-
круг иее в любой достаточно малой окрестности по какой-либо
замкнутой спрямляемой кривой приводит к замене однозначной
аналитической ветви многозначной функции другой ее ветвью. Если
после п-кратного обхода в одном и том же направлении снова воз-
вращаются к исходной ветви, то говорят, что Т. в. имеет конечный
порядок, равный п— 1. Т. в. конечного порядка называют алгебраи-
ческими точками ветвления. Если же в результате обхода точки г0
не возвращаются к исходной ветви, то точку г0 называют Т. в.
бесконечного порядка или логарифмической Т. в.
ТОЧКА ГЛОБАЛЬНОГО МАКСИМУМА, МИНИМУМА, ЭКСТ-
РЕМУМА — см. Глобальные экстремумы функции нескольких пере-
менных, Экстремальные значения функции.
ТОЧКА КАСАНИЯ — см. Касание.
ТОЧКА ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА, МИНИМУМА —см.
Достаточные условия существования локального экстремума, Доста-
точные условия существования локального экстремума функции не-
скольких переменных. Точки локального экстремума.
ТОЧКА ЛОКАЛЬНОГО УСЛОВНОГО МАКСИМУМА, МИНИ-
МУМА, ЭКСТРЕМУМА— см. Условный экстремум функции несколь-
ких переменных.
ТОЧКА МАКСИМУМА, МИНИМУМА —см. Экстремальные
значения функции.
ТОЧКА НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ — см. Точки разрыва функции.
ТОЧКА ОТТАЛКИВАНИЯ — см. Точка покоя однородного ли-
нейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициен-
тами.
ТОЧКА ПОКОЯ однородного линейного диффе-
ренциального уравнения второго порядка с по-
стоянными коэффициентами
й2х йх
& + а177 + а»Хо0
есть фазовая траектория, вырождающаяся в точку (см. Фазовая
плоскость). Невырожденное уравнение (1) (ао^О) имеет единствен-
ную точку покоя О (0, 0), относящуюся к одному из четырех типов
(далее траекториями называются фазовые траектории ненулевых
решений уравнения (1)).
1. Узел. Все траектории примыкают (с определенной касатель-
ной) при +со (или все примыкают при (-* —<х>) к точке покоя.
Критерий узла: характеристические числа уравнении (1} действи-
тельные и одного знака.
2. Седло. Среди траекторий имеются четыре луча, два из кото-
рых примыкают к точке покоя при /->±оо, а два других — прн
/->—оо; остальные траектории уходят на бесконечность при
/->±оо, имея асимптотами пару разнонаправленных лучей (направ-
ления движений по ветвям согласованы с направлением движения
по асимптотам). Критерий седла: характеристические числа уравне-
ния (1) действительные и разных знаков.
3. Фокус. Все траектории, имеют вид спиралей, накручивающихся
на точку покоя при /->±оо (или все — прн /-> — оо). Критерий
фокуса: характеристические числа уравнения (1) комплексные с не-
нулевой действительной частью.
4. Центр. Все траектории — эллипсы с центром в точке покоя.
Критерий центра: характеристические числа чисто мнимые. Если
уравнение (1) вырождено, то ось Ох сплошь состоит нз точек покоя,
а остальные траектории представляют собой либо (прн а^О) па-
раллельные лучи, примыкающие к точкам Ох, либо (прн й1=0) го-
ризонтальные прямые.
См. Фазовая плоскость.
ТОЧКА ПОКОЯ однородного линейного диффе-
ренциального уравнения с постоянными коэффи-
циентами — фазовая траектория, вырождающаяся в точку (см.
Фазовое пространство). Выделяют четыре основных класса точек
покоя О (0, ..., 0) однородного линейного дифференциального урав-
нения с постоянными коэффициентами (фазовые траектории ненуле-
вых решений уравнения кратко называют траекториями).
1. Точка притяжения. Любая траектория стремится к О прн
/—>±оо (критерий точки притяжения: нулевое решение данного
уравнения асимптотически устойчиво).
2. Точка отталкивания. Любая траектория стремится к О при
/->—оо (критерий точки отталкивания: нулевое решение асимпто-
тически устойчиво в отрицательном направлении).
3. Точка удержания. Траектории, пересекающие достаточно ма-
лую окрестность О, не покидают любую наперед заданную окре-
стность О (критерий точки удержания: нулевое решение двусторон-
не устойчиво).
4. Точка распределения. Имеются как траектории, стремящиеся
к О при /->4-оо, так и траектории, стремящиеся к О при /->—оо.
При п»2 точками притяжения (отталкивания) являются устой-
чивые (устойчивые при /->— оо) узлы и фокусы, точками удержа-
ния— центры, точками распределения — седла (см. Точка покоя
однородного линейного дифференциального уравнения второго по-
рядка с постоянными коэффициентами). Классификацию точек покоя
можно провести на основе вида совокупности действительных частей
характеристических чисел данного уравнения. Критериями принад-
лежности изолированной точки покоя О к соответствующему классу
являются: 1) действительные части всех характеристических чисел
данного уравнения отрицательны; 2) действительные части всех ха-
рактеристических чисел положительны; 3) все характеристические
числа однократны н чисто мнимы; 4) имеются характеристические
числа с разными знаками действительных частей.
Более сложным по своей структуре оказывается класс точек
покоя в случае, когда среди характеристических чисел только неко-
торые являются чисто мнимыми нли если мнимые характеристи-
ческие числа имеют кратность выше первой. См. Фазовое про-
странство.
ТОЧКА ПРИЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРА — см. Вектор.
ТОЧКА ПРИТЯЖЕНИЯ — см. Точка покоя однородного линей-
ного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
ТОЧКА РАЗВЕТВЛЕНИЯ—то же, что точка ветвления.
ТОЧКА РАВНОВЕСИЯ однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентам и — то же, что точка покоя.
ТОЧКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ—см. Точка покоя однородного
линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффи-
циентами.
ТОЧКА РАСПРЯМЛЕНИЯ — см. Соприкасающаяся плоскость.
ТОЧКА СКАЧКА — см. Точки разрыва функции. ,
ТОЧКА СОПРИКОСНОВЕНИЯ—см. Касание.
ТОЧКА СТРОГОГО МАКСИМУМА, МИНИМУМА —см. Гло-
бальные экстремумы функции нескольких переменных.
ТОЧКА СТРОГОГО ЛОКАЛЬНОГО МАКСИМУМА, МИНИ-
МУМА — см. Точки локального эстремума.
ТОЧКА СТРОГОГО ЛОКАЛЬНОГО УСЛОВНОГО МАКСИ-
МУМА, МИНИМУМА, ЭКСТРЕМУМА—см. Условный экстремум
функции нескольких переменных.
точка удержания — см. Точка покоя однородного линейно-
го дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
ТОЧКА УПЛОЩЕНИЯ поверхности — точка, в которой
нормальная кривизна любого нормального сечення равна нулю.
Поверхность, целиком состоящая нз Т. у., есть плоскость.
ТОЧКА УСЛОВНОГО МАКСИМУМА, МИНИМУМА, ЭКСТРЕ-
МУМА ФУНКЦИИ — см. Условный экстремум функции нескольких
переменных.
ТОЧКИ ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА. Пусть функция / задана
на промежутке ]а, &[. Точку хо€К называют Т.л.э. функции ),
если существует окрестность I) (х») точки х0, такая, что х0 является
точкой экстремума функции } на I) (х0). Подробнее: х0—точка локаль-
ного максимума функции (, если / (х) < / (х0) для Ух^(/(х0); х0 —
точка локального минимума функции {, если /(х)^/(х0) для Ух€
€1/ (хо). Величину /(х0) называют локальным экстремумом функции}
(х0) — локальный максимум, } (х0) — локальный минимум). Если в
этом определении заменить знаки нестрогих неравенств на строгие (при
х ф хо), то Хо и Хо — точки строгого локального экстремума (х0 —
точка строгого локального максимума, хо — точка строгого локального
минимума). См. Достаточные условия существования экстремума.
Экстремальные значения функции.
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА. Точку с € ]«, Ь[сД)(!) называют Т. п.
дифференцируемой функции [, если существуют аир, такие, что
функция / на промежутках ]а, с] и [с, р[ имеет различные направле-
ния выпуклости (см. Исследование функции на выпуклость и вогну-
тость). Если с — точка перегиба, то на интервале ]а, с[ график функ-
ции / лежит по одну сторону от касательной, а на интервале ]с, р[ —
по другую. В Т. п. функции ( производная [' меняет характер стро-
гой монотонности и поэтому имеет строгий локальный экстремум.
Исследование } иа перегиб равносильно исследованию {' на локаль-
ный эстремум. В частности, точками, «подозрительными» на перегиб
для дважды дифференцируемой функции, являются точки, в кото-
рых (" обращается в нуль. Для исследования Т. п. используют до-
статочные признаки существования экстремума применительно к
Например, первое достаточное условие точки перегиба будет выгля-
деть следующим образом: пусть ( дважды непрерывно дифферен-
цируема иа ]а, р{, причем (" обращается и нуль только в точке
о € ]а, № точка с будет точкой перегиба в том и только в том слу-
чае, если (" меняет знак при переходе через х=с.
ТОЧКИ РАЗРЫВА ПЕРВОГО РОДА, ВТОРОГО РОДА—см.
Точки разрыва функции.
ТОЧКИ РАЗРЫВА ФУНКЦИИ. Функцию (, определенную в
некоторой окрестности И (а) точки а, называют разрывной в точ-
ке а, если она не явлнется непрерывной в этой точке. Различают
точки разрыва первого рода-, пределы Ца—0), ((о 4-0) существуют
и конечны, но не выполняется равенство Ца—0) =Ца) =Цац-0);
точки разрыва второго рода: по крайней мере один из пределов
Ца—0), Ца+0) бесконечен илн ие существует. Точки разрыва пер-
вого рода подразделяют иа устранимые точки разрыва (Ца—0) =
=/(а+0) #=/(а)) и точки скачка (Ца-0) #=/(а+0)), а точки разры-
ва второго рода — на точки бесконечного скачка (пределы Ца—0),
Ца+0) существуют, но хотя бы один из них бесконечен) н точки
неопределенности (по крайней мере один нз пределов Ца—0) или
/(Д4-0) не существует). Иногда, в случаях, если односторонние пре-
делы функции ( в точке а различны, или есть бесконечный односто-
ронний предел, или хотя бы один нз односторонних пределои не су-
ществует, точку а называют точкой разрыва [, если даже / и ие
определена при х—а.
ТОЧКИ СТРОГОГО ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА— ем.Точки
локального экстремума.
ТОЧКИ СТРОГОГО ЭКСТРЕМУМА —см. Глобальные экстре-
мумы функции нескольких переменных.
ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА — см. Экстремальные значения функ-
ции, Точки локального экстремума, Глобальные экстремумы функции
нескольких переменных.
ТОЧНАЯ ВЕРХНЯЯ ГРАНЬ. Число Ь называют Т.и.г. (верхней
гранью, точной верхней границей) числового множества Е, если Ь —
наименьшая из верхних граней Е, т. е. Ух, х{Е =>х^Ь и УЬ', Ь'<
< Ь => Зх' € Е, х' > Ь'. Обозначение: Ь = зир Е (супремум Е). (См.
также Теорема о точных гранях). Для не ограниченного сверху мно-
жества Е полагают зир Е = 4-со. для пустого множества — зир 0 =>
= —со.
ТОЧНАЯ НИЖНЯЯ ГРАНЬ. Число а называют Т.и.г. (нижней
гранью, точной нижней границей) числового множества Е, если а —
наибольшая из нижних граней Е, т. е. Ух, х^Е =ьх^а и Уа', а’>
>а=>’^х'^Е, х’ < а’. Обозначение: а=ш!Д (инфимум Е). (См.
также Теорема о точных гранях.)
Для не ограниченного снизу множестиа Е полагают 1пГЯ= —оо,
для пустого множества — Ы 0 = 4-°о.
ТРАЕКТОРИЯ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА —см. Случайный
процесс.
ТРАЕКТОРИЯ ТОЧКИ ФАЗОВОЙ ПЛОСКОСТИ — см. Фа-
зовая плоскость, Фазовое пространство.
ТРАКТРИСА — плоская линия, характеризуемая тем свойством,
что длина отрезка ее касательной между точкой прикосновения и
некоторой прямой (базой Т.) явля-
ется постоянной величиной а (см.
рис.). Если принять базу Т. за
ось Ох, а угол I наклона каса-
тельной к осн Ох за параметр, то
ее параметрические уравнения бу-
дут иметь вид х=а(1п +соз /),
у~а 51П I. Прн вращении Т. вокруг
ее базы получается псевдосфера.
ТРАНСПОЗИЦИЯ — перемена местами двух чисел перестанов-
ки. От любой перестановки п чисел можно перейти к любой другой
перестановке этих чисел, последовательно применяя несколько под-
ходящих Т. Однократное применение Т. изменяет характер четности
перестановки на противоположный. Т. называют также подстановки,
получающиеся нз тождественной подстановки е прн помощи одной
Т., производимой в ее нижней строке. Такне подстановки имеют вид
где многоточиями заменены символы, остающиеся на месте. Такне
подстановки нечетны. Их обычно обозначают (I, Справедливы
следующие утверждения:
1) всякая подстановка представима в виде произведения Т.;
2) прн всех разложениях подстановки в произведение Т. чет-
ность числа этих Т. одна и та же, причем она совпадает с четностью
самой подстановки.
ТРАНСПОНИРОВАННАЯ МАТРИЦА. Матрица, полученная
нз данной заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером,
называется матрицей, транспонированной к данной. Т. м. к матрице
А обозначают Ат (или А'). Таким образом, если
т (а\1 “21 ”• ат1
А = | а12 «22 "• ат2
'«1л «2л
Операция нахождения матрицы, транспонированной к данной, на-
зывается транспонированием матрицы. Справедливы следующие свойст-
ва Т.м.: 1) (АТ)Т = А; 2) (аА)г = аАг; 3) (А + В)т = Ат + Вт;
4) (АВ)Т = ВГАГ; 5) (А-1)7 = (А7)-1; 6) | Ат | = | А |. Заметим, что
свойство 4 для п сомножителей имеет вид (А1А2 ... Ап_1 Ап)т =
= Ат Ат АтАт
лп лп— 1 • • • л2 л 1 •
ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение, не являю-
щееся алгебраическим (обычно это уравнения, содержащие показа-
тельные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригоно-
метрические функции). Общих приемов решения Т. у., кроме прибли-
женных, не существует.
ТРАПЕЦИЕВИДНАЯ МАТРИЦА — матрица произвольных
размеров вида
«11 0 а12 “22 «13 «23 а1г °2Г • •• «1л «2л
0 0 0 агг •• «гл
0 0 0 0 0
0 0 0 0 . 0
где ац, а22, Огг отличны от нуля. Ранг такой матрицы равен г.
Т. м. называют еще ступенчатой.
ТРЕУГОЛЬНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица, у которой
все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагона-
ли, равны нулю. Прн этом матрицы вида:
называются соответственно верхней треугольной и нижней треу-
гольной.
ТРЕХОСНЫЙ ЭЛЛИПСОИД — см. Эллипсоид.
ТРЕХЧЛЕН — см. Многочлен.
ТРЕХЧЛЕННОЕ УРАВНЕНИЕ—уравнение вида ах2п+Ьхп +
+ с=0, где аЬс^О. Заменой у=хп Т. у. сводится к квадратному
уравнению. При п = 2 получаем биквадратное уравнение.
ТРИВИАЛЬНАЯ ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ —
см. Линейная комбинация векторов.
ТРИВИАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ однородной системы
линейных уравнений — нулевое решение однородной систе-
мы линейных уравнений, т. е. решение Х1 = 0, х2=0, ..., х„=0. Любая
однородная система имеет тривиальное решение. Кроме тривиаль-
ных, система может иметь и другие решения.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ФУНКЦИЙ. Основной Т.с.ф.
называют систему 1, япх, созх..51П пх, соз пх, ... Эта система
является ортогональной на любом отрезке длины 2л, т. е. при к=^т:
<х+2Я
У зш &хзш тх йх = О, т>1;
а
а+2л
| соз кх соз тхйх = 0, к 0 т > 0;
а
а+2Л
У зш кх соз тхЛх = 0, к > 1, т > 0.
а
При вычислении нормы членов Т.с.ф. получим Ц зш пх [| —
Г а+2п ___ Г а+2л
= 1/ У зш’пхйх = У « ; ОС08ПХП = 1/ I СО32ПХЙХ =
у а ___ У а
= у я , иск, II 1 П = /2л.
Свстема явлиется полной и замкнутой на всяком промежутке дли-
ны 2л (см. Полнота и замкнутость тригонометрической системы).
. пх лх . плх
Общей Т.с.ф. называют систему 1, зш—, соз— ..., зш—-—,
плх „ »
соз —-—, ... Эта система на любом отрезке длины 2/ обладает свой-
ствами, аналогичными свойствам тригонометрической системы на отрез-
ке длины 2л | отметим, что
плх
51П --—
плх
соз ——
|= V I .
о 1П = /2/).
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА —
2 — г (соз ф + I 81П ф), где г — мотеупъ, ф — аргумент комплексного
числа. Если гг = п (соз фа 4- I зш ф1), г2=л2 (соз <р2 + I51П ф2), то 21?2 =
21 Г1
= ПГ2 (СОЗ (ф1 + <Рз) + I 51П (фх + <р2)), - =- (СОЗ (^ — фа) +
2а Г2
+«зш (ф1 — ф2)).См. также Извлечение корней из комплексных чисел.
Формула Муавра.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ —см. [2].
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБ-
„ 51П 2 СОЗ 2
ЛАСТИ — Ш=51П2, 10 = СОЗ 2, И) =(§2 =-----, О> = с(& 2 =-,
СО5 2 81П 2
51п 2 = — (е1г — е~1г), соз 2 — — (е1г 4- е~{г). Функции 81п 2 и соз 2
определены для всех значений г и однозначны, (81п г)' — соз 2, (соз г)' =
=—81п г; зш г и соз г периодические с периодом 2л, т. е. зш (г -|-
2л) = зш г, соз (г + 2л) = соз г. Вообще, все известные из тригоно-
метрии соотношения, связанные знаком равенства, имеют место и для
тригонометрических функций комплексного аргумента. Так, например,
81П (21 4-22) = 51П 21 СОЗ 2а + СОЗ 21 51П 2а. ОтМвТИМ ОДИЭКО, ЧТО фуИКЦИИ
зш 2 и соз 2 не ограничены в комплексной плоскости, а при Ус € С урав-
нение зш 2 = с (как и соз г = с) имеет бесчисленное множество решений.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН — произвольная линейная
комбинация любого конечного числа элементов тригонометрической си-
п
стемы, т. е. выражение вида Т (х) = а0 4- 2 (а* соз кх 4- рй зш кх),
к=1
где а*, — постоянные. Если а?п 4- Й =/= 0, то Г (х) — Т.м. степе-
ни п (иначе — степени не выше п). Рассматривают также
Т.м. и по общей тригонометрической системе Т (х) = «о 4*
", /- клх - клх \
+ Л I а* соз —— 4- р* 81П —— у.
Тригонометрический ряд фурье — ряд Фурье по системе
функций 1, зшх, созх, ..., зш пх. соз пх ... (см. Тригонометриче-
Ская система функций} для функции /, имеющей период 2л и интег-
рируемой с квадратом на любом промежутке длины 2л. Т.р.Ф. для
функции / имеет вид
+ У, (ак соз кх + Ьк зш кх),
г *=1
где
1 —л
ак =— С ((х)созкхЛх, к=>0, 1, 2,
л
—л
1 "
Ьк =—- Г/(х)зшАхйх, 4=1, 2, ...
я -Л
являются коэффициентами Фурье функции /. Тот факт, что ряд Фурье
построен для функции (, записывают так:
Оо °°
к соз кх + Ьк 81п кх.
2 Л=1
Т.р.Ф. ^-периодической функции интегрируемой с квадратом иа
любом промежутке длины 21, имеет вид
а® кях . кях
где ак, Ьк — коэффициенты Фурье
лх пях пях
соз-у, ..., 31П—-—, соз—,
I
1 С кях
ак=‘~ I [(х) соз — Лх-, Ък = — I ! (х) зш ——Лх.
-I -I
См. Ряд Фурье по полной ортонормированной системе.
функции / по системе I, з!п—,
I
I С . кях
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЙ РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕ-
ЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ. Пусть функция / задана на интервале ]—л, л[,
интегрируема на этом интервале н является нечетной. Тогда ряд Фурье
этой функции имеет вид
ОО
/ (х) ~ 2 Ьк 5'п кх'
6=1
где коэффициенты вычисляются по формулам
я
Ьк = У / (х) з1п кх&х, к = 1, 2, ...
о
Если же / четная, то
оо Л
/ (х)--“ + кх, аь= ~У / (х) соз &хДх, к == 0, 1, 2, ...
6=1 о
ТРИЭДР — то же, что сопровождающий трехгранник линии.
ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ определяется для функции /, заданной на
кубируемом множестве Ис К3, как предел интегральных сумм а =
п
= 2 ПРИ Диаметре разбиения 6, стремящемся к нулю. Если
6=1
указанный предел Пт о = I существует, конечен и не зависит ии от
8—0
способа разбиения множества И, ни от выбора точек Мь$ И*, то функ-
цию / называют интегрируемой в смысле Римана на множестве И, а
число / — Т.и. от функции / по множеству V и обозначают Щ [ (х,
V
у, г) йхдуйг. Если функция [ интегрируема на кубируемом множестве
V, то она ограничена на этом множестве. Если функция /, заданная
на кубируемом множестве И, ограничена на этом множестве и непре-
рывна за исключение^, может быть, конечного числа гладких поверх-
ностей (гладких линий, точек), то оиа интегрируема на V. Т.и. обла-
дает следующими основными свойствами.
1. Аддитивность, Пусть И = И111Иа, а Ух и Уз не имеют
общих внутренних точек; тогда
У> г) йхйуйг = 555 / (х, у, г) йхйуОг + 55 5/ (х, у,г)йх(1уй2
V V, V,
причем существование интеграла в левой части равенства влечет су-
ществование интегралов в правой части, и наоборот.
2. Линейность. Если [ и § интегрируемы на множестве V,
а а и Р — числа, то функция а/ + р§ также интегрируема на V и
555 (а/ (х, у, г) + р§ (х, у, г)) ахйуйг == а 555 / (х, у, г) ахйуОг 4-
V V
+ Р 555 е (х, у, г) йхйуйг.
V
3. Если функции / и д интегрируемы иа множестве V, то (д
также интегрируема на V.
4. Если для интегрируемых на множестве V функций [ и д вы-
полняется неравенство [ (х, у, г) < д (х, у, г) для V (х, у, г) € V, то
555 <*> У' АхАу/к < 555 д (х, у, г) ахйуйг.
к V
5. Если / интегрируема на множестве V, то |^| также интегри-
руема на V, причем
I 555 / (х, у, г) ахйуйг\< 555 | [ (х, у, г) | ОхАу/Ь
V V
(из интегрируемости |(| на V интегрируемость 5 на V не следует).
6. Если / и д интегрируемы на множестве V и д (х, у, г) > 0 на
И (ё (х, у, г) < 0), то Эр, 1пГ / (х, у, г) < р < зир / (х, у, г), такое
что
555 / (х, у, г) д (х, у, г) Охйуйг <= р 555 д (х, у, г) ОхЛуйг.
у V
В частности, если V — связное множество а [ непрерывйа на V, то
Я (5, П- Й € V, что
555 Цх, у, г)д(х, у, г) ШуОг = / (5, г), $) 555 д (х, у, г)0хау0г.
у V
7. 555 Лтйрйг = об. V.
V
См. также Вычисление тройных интегралов, Замена переменных
в тройном интеграле.
УБЫВАЮЩАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ —см. Числовая
последовательность
УБЫВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ — см. Монотонные функции.
УГЛОВАЯ ТОЧКА — си Односторонние производные.
УГЛОВОЙ КОЭФФИЦИЕНТ ПРЯМОЙ на плоскости. Если
а=(/, т) есть направляющий вектор прямой на плоскости, то число
к = — называют У.к.п. В декартовой прямоугольной системе коорди-
нат У.к.п. представляет собой тангенс угла, который прямая образует
с осью Ох (этот угол отсчитывается от оси Ох в направлении кратчай-
шего поворота от оси Ох к оси Оу). Для прямой, параллельной оси
Оу, У.к.п. ие существует. Если на прямой, ве параллельной оси Оу,
Уг — У1
заданы две различные точки МА (х1г уг) и Мз(хз, уг), то к =-
х2 — хх.
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ВЕКТОРАМИ. Если два вектора
а и & привести к общему началу, то оии образуют два угла. Согла-
шение: под У. м. д. в. подразумевают угол, не превышающий л.
Т. Два ненулевых вектора а и Ь составляют острый (тупой)
угол тогда и только тогда, когда их скалярное произведение по-
ложительно (отрицательно).
У. м. д. в. определяется из формулы
-► -*•
а Ь
соз <р = • .
мы
Если а = (Х1, У1), Ь = (х2, Уъ), то
Х1Х2 + У!У2
СОЗ ф = л. =—7==-;
V х^ + у^ V х% + у%
если а = (хх, уг, гО, Ь — (х2, у2, г2) то
Х1Х2 + У1У2 + г1г2
СОЗ ф = —=Г.
V Х,+У1 + ^ К % + У2 + *2
Условие перпендикулярности двух векторов — обращение в нуль
нх скалярного произведения.
У. м. д. в. х н у как элементами евклидова пространства опре-
х -~у
деляется как число ф, удовлетворяющее условию со8ф= — _ Кор-
1*1-\У\
ректность этого определения следует из неравенства Коши — Буия-
ковского (см Длина вектора)
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ЛИНИЯМИ и а поверхно-
с т и — угол между касательными к этим линиям. Если этот угол
обозначить ф, то
______________Е^1и42и -|- Р (^1и42о 4~ (Дойги) + СсДвй
«» Ф - |4^1Ц2 + 2рд1иа1о + СсДо* V Ей2и2 + 2Рй2и(12о + Ш2о2 ’
где Е, О, Р — коэффициенты первой квадратичной формы поверхности,
(Ди, (До — дифференциалы функций и и V, взятые из уравнений и =
= «!(/), V = О] (?) первой линии, а д2и, (До— дифференциалы от и и
V, взятые из уравнений и — и2 (?), о = о2 (?) второй линии. В частно-
сти, для координатных углов, т. е. углов между линиями коордииат-
Р
ной сети, соз ф = Отсюда следует, что координатные линии пе-
ресекаются под прямым углом, т. е. образуют ортогональную сеть тог-
да и только тогда, когда Р = 0.
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПЛОСКОСТЯМИ. Если плоскости заданы
уравнениями А1Х + В1У + (Дг + = 0 (п1-г + Г)1=о) и Агх
~Ь В^у С^г -|- О2 = 0 (л2 • г -|- Р2 = о), то
Л1Д2 С1С2 П\ • Й2
соз ф = 1 - - ‘ -----——•.
V А2 + В ] + С, У + В| + С2 | П111 п31
Условие перпендикулярности плоскостей (соз<р = 0) имеет вид
Д1Д2 + В1В2 С1С2 0 (иЛИ П\ • п3 3 о),
условие параллельности —
А1 В! С1 / -> -> х
т= Т" = т- или ”>11 "2>-
Я2 $2 Ь2
УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ. 1. На плоскости. Если
прямые заданы общими уравнениями Д1Х+В1у4-С1 = 0 {п1 • г -|-С1=о)
и А%х В3у -|- С3 а ® («г * г + б?2 = О) , ТО
4“ ^1^2 • #2
СОЗ ф = —л. " =—,— .
У А2 + В] У А2 + В2 | пх 11 пг I
Если прямые заданы каноническими уравнениями -------=----------
‘1 Ш1
х — х2 у — у3 (х - х 11 1х—х^,4-1а1
и ------=-------- или параметрическими 1Т2<и Т <
/2 т2 не \У = У1+1П11 \у=У2+т^
(векторио-параметрическими г = п + Я1/ и г = г2 + л2/), то
/1/г + »11»1г <21 а2
У 12 + т2 У 1^ + т2 |<^||а2|
Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом у =
= к-^х + &1 и у = к2х + Ь2, то
к2 — к±
(е <р =--------.
1 + Мг
Для указанных способов задания условия параллельности прямых
имеют соответственно вид:
Дг Ва
/1_____П11
1г т2
к2.
(или П1 || я2);
или Ях || Яг
Условия перпендикулярности для этих же способов задания пря-
мых соответственно:
-41^2 + В1В2 = 0 (или щ • п2 = 0
/1/2 + Я11Я12 = 0 ^ИЛИ Я1 • Яг = о
2. В пространстве. Если прямые заданы каноническими или
параметрическими (векторно-параметрическими) уравнениями, у которых
направляющие векторы Я1 = (/1, /Ль Я1) и а2 = (/г, яг2, яг), то
/1/2 + /П1/П2 + Я1П2 Я1 • я2
V + Я1? + Я? К /^Ч-т^+я2 1^11^1
„ /1 /Я1 Я1
Условия параллельности прямых есть — = — = —, условие
1г т2 п2
перпендикулярности — 1112 -|- трпг + Я1Я2 = 0.
УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТЬЮ — угол между прямой
и ортогональной проекцией этой прямой на плоскость. Если прямая и
плоскость заданы соответственно уравнениями г = г0 4- я/ к п г -\-
4-0 = 0, то
|я-я|
51п ф= ,--------.
Iя| I а I
Если прямая задана уравнениями х = хо + II, у = у0-[ т1, г =*
= го + п1, а плоскость — уравнением Ах + Ву + Сг О = 0, то
_______| А! + Вт 4- Сп |____
5ШФ = уГА2+ В2 + С2 /р + т2 + п2 '
УДЛИНЕННАЯ (УКОРОЧЕННАЯ) ЦИКЛОИДА —траекто-
рия точки, находящейся на расстоянии й от центра круга радиуса
а=#=й, который без скольжения катится по прямой. Прн <1<а имеем
укороченную циклоиду (см. рис. 1), при <1>а— удлиненную (см.
рис. 2). Принимая данную прямую за ось Ох, получаем параметри-
ческие уравнения циклоид в виде х=а1 — й зш/, у=а— й соз А
Замечание. Если Н=а, то получим циклоиду.
УЗЕЛ—см. Метод сеток, Точка покоя однородного линейного
дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэф-
фициентами.
УЗЕЛ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ — см. Интерполяция функции.
УЗЕЛ КВАДРАТУРНОЙ ФОРМУЛЫ —см. Численное инте-
грирование функции.
УЛИТКА ПАСКАЛЯ—плоская линия, определяемая как мно-
жество точек Л!, и М2, расположенных на прямых пучка с центром
в точке О, лежащей на данной окружности радиуса а, и находящих-
ся на равном расстоянии I по обе стороны от точки пересечения А
прямых пучка с окружностью (см. рнс.). Уравнение У. П. в декарто-
вых прямоугольных координатах есть (х1 2 3 4 5ц-у2— 2ах)2 — 12(х2+у2) =0,
в полярных — р = 2асо«ф±/. При 1=2а получается кардиоида.
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО — операция, сопо
ставляющая вектору и числу произведение вектора на это число.
Свойства операции У. в. и. ч.:
1) а(а + &) = аа + а& (дистрибутивность числового сомножи-
теля относительно суммы векторов);
—> —> —>
2) (а Р) а = аа + ра (дистрибутивность векторного сомножи-
теля относительно суммы чисел);
3) а(р а) = (ар) а (ассоциативность числовых сомножителей);
4) I • а а;
5) (—1)а = —д
—> —►
для любых векторов а, Ь и любых а, р € К.
В линейном пространстве свойства операции У. в. и. ч. заложены
в его аксиомах.
УМНОЖЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ — операция нахо-
ждения произведения комплексных чисел. У. к. ч. обладает следую-
щими свойствами: 1) г1г2=г2г1 (коммутативность)-, 2) (г,г2)г3=
= 21(г2г3) (ассоциативность)-, 3) г1(г2+г3)=г1г2+г1гэ (дистрибу-
тивность)'^ гь г2, г3 € С.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦ — операция составления произведе-
ния матриц. Из существования произведения АВ не следует, что
существует произведение ВА. Если же матрицу А можно умножить
на матрицу В, а В можно умножить на А, то, вообще говоря,
АВ=/=ВА. Справедливы следующие свойства У. м. (прн условии, что
указанные операции имеют смысл):
1) (АВ)С-А(ВС) (ассоциативность);
2) а(Дв) = (аД)В=Д(ав);
3) (Д + В)С=ДС+ВС {дистрибутивность У. м. справа относи-
тельно сложения матриц);
4) С(Д+В) = СД + СВ (дистрибутивность У. м. слева относи-
тельно сложения матриц);
5) АтУ.пВп==ЕтАт%п— ДтХп»
6) Ат X рО р X п ~Отл Хп,ОтХ рА р Хп ОтХП',
7) |ДВ| = |Д||В|.
УМНОЖЕНИЕ МАТРИЦЫ НА ЧИСЛО —см. Произведение
матрицы на число.
УМНОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ — операция нахождения про-
изведения многочленов. Свойства У. м.:
1) Цх)ё(х) =§(х)((х) (коммутативность);
2) (Цх)8(х))ф(х)=1(х)(.8(х)<Р(х)) (ассоциативность);
3) ЦХ)(8(Х)+<Р(Х))=НХ)8(Х)+НХ)<Р(Х) (дистрибутивность).
УМНОЖЕНИЕ ПОДСТАНОВОК — операция, ставящая в соот-
ветствие упорядоченной паре подстановок п-й степени [ и § их
произведение У. п. степени л^З некоммутативно, т. е., вообще
говоря, У. п. ассоциативно, т. е. /(§<р) = (?й)ч>.
УНИМОДУЛ ЯРНАЯ МАТРИЦА — квадратная полиномиаль-
ная матрица, определитель которой есть отличное от нуля число.
Т1. Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только
тогда, когда все ее инвариантные множители равны единице, т. е.
когда она эквивалентна единичной матрице.
Т2. Полиномиальная матрица унимодулярна тогда н только
тогда, когда она есть произведение элементарных матриц.
УНИТАРНАЯ МАТРИЦА — квадратная матрица Д, удовлетво-
ряющая условию А*А = В, где Д* — матрица, сопряженная матри-
це А. Приведенное условие равносильно также условию АА*=В или
Д*=Д-1. Если матрица А действительная, то У. м. совпадает с орто-
гональной. Модуль определителя У. м. равен единице.
УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВО. Линейное пространство V над по-
лем комплексных чисел называется У.п., если задан закон, сопостав-
ляющий каждым двум векторам х , у$У комплексное число х • у, на-
зываемое скалярным произведением и удовлетворяющее условиям:
1) ~х _7=7 • ^2 ?к(ж + у) г 2_3) (ах)-’7=
= а ( х • у ); 4) х • х 0, причем х • х = 0 <=> х = 0 (для любых х ,
у , г € V и любого а€ С).
Всякое комплексное конечномерное векторное пространство
может быть превращено в У. п. Обозначения: и, Оп- В У. п. вво-
дятся многие понятия, такйе же и так же, как в евклидовом про-
странстве: длина вектора, ортогональные векторы, угол между
векторами, определитель Грама, ортонормированиый базис и т. д.
В У. п. справедливы неравенство Кошн — Буняковского, неравен-
ство треугольника, аналогично евклидову пространству строится про-
цесс ортогонализации системы векторов. Матрица скалярного произ-
ведения У. п. эрмитова.
УНИТАРНЫЙ ОПЕРАТОР. Линейный оператор унитарного
пространства называется У. о., если в некотором ортонормированном
базисе его матрица унитарная.
Т1. Для того чтобы линейный оператор унитарного простран-
ства был У. о., необходимо и достаточно, чтобы он ортоиормнрован-
иый базис переводил в ортонормированиый.
Т2. У. о. не меняет скалярного произведения векторов.
Следствия: ГУ. о. не меняет длины вектора. 2. У. о. не
меняет угла между векторами.
УПОРЯДОЧЕННАЯ ТРОЙКА ВЕКТОРОВ—см. Ориентация
тройки векторов.
УРАВНЕНИЕ — аналитическая запись задачи о разыскании
значений аргументов, при которых значения двух данных функций
равны. Запись: Л(*1, .. *п) =^(«'1, *2, •••> хп). Аргументы, от ко-
торых зависят эти функции, называются обычно переменными или не-
известными. В зависимости от числа переменных говорят об У. с
одной, двумя и т. д. переменными. Значения переменных, при кото-
рых значения функций равны, называют решениями (корнями) У.
О таких значениях переменных говорят, что оии удовлетворяют дан-
ному У. Решить У.— это значит найти все его решения. Множество
решений данного У. зависит от множества 5 значений, допускаемых
для переменных. У. может не иметь решений в 5, и тогда оно на-
зывается неразрешимым в 5. Если У. разрешимо, то оно может иметь
одно, несколько или бесконечное число решений. Если У. удовлет-
воряется на 5 тождественно, т. е. справедливо для любых допусти-
мых значений входящих в него переменных, то оио называется
тождеством иа 5. Примеры: 1) У. х—2=0 имеет одно решение, а
именно: х=2; 2) У. х3+1=0 не имеет решений в К, но имеет два
решения: х1=« н хг= — I в С; 3) У. х+2{/ = 4 имеет бесчисленное
множество решений — все точки прямой х+21/—4=0; 4) У. х=|х|
является тождеством иа множестве [0, +«>[, но не является тожде-
ством иа К.
Два У. называются равносильными, если все решения каждого из
иих (с учетом кратности корней) являются решениями и другого
или если оба У. совсем не имеют решений (причем оба У. рассмат-
риваются на одном и том же множестве).
См. также Алгебраическое уравнение, Итерационные методы ре-
шения уравнений. Корень многочлена, Неопределенное уравнение,
Неприводимое уравнение, Трансцендентное уравнение, Методы при-
ближенного вычисления корней.
Замечание. С более общей точки зрения У. является записью за-
дачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что Р\(а)~
—Ря(а), где Ри Р» — заданные отображения множества А в множество В. Если
А и В — множества чисел, то возникают У. рассмотренного выше типа, если
А и В — множества точек в многомерных пространствах, то получаются си-
стемы У.,если же А н В — множества функций, то в зависимости от характера
отображения могут получаться дифференциальные У. и У. других видов.
УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ — дифференциальное уравнение вида
дх
+ Р (О х = Я (О *п> гДв п* 0, п 1 (иначе получаем линейное
дифференциальное уравнение первого порядка). С помощью замены пе-
ременной у = —У .Б. сводится к линейному. При 0 < п < 1 У.Б.
имеет особое решение х = 0.
УРАВНЕНИЕ БЕССЕЛЯ индекса V
дх1+ х
играет важную роль во многих разделах естествознания и в технике. В ок-
рестности точки хо # 0 решения этого уравнения голоморфны, т. е.
разлагаются в сходящиеся степенные ряды. В окрестности х9 = 0 реше-
ния выражаются через функции Бесселя.
УРАВНЕНИЕ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ —уравнение
Р(х, у)<1х + (}(х, у)д.у = 0, (х, у)(.ЕсЯ?, (1)
где левая часть является полным дифференциалом, т. е. существует
дифференцируемая функция и(х, у), для которой йи^--Р(х, у) с!х-р
+ 0(х, у)йу, V (х, у)^Е. Общий интеграл уравнения (1) имеет вид
и (х, у) о= С, (х, у) € Е. Если Р и <2 непрерывно дифференцируемы в
односвязиой области Е, то Рйх 4- Оду — полный дифференциал в том
ЭР д0
н только том случае, если выполнено условие Эйлера — = \! (х,
у) (,Е. При выполнении этого условия общий интеграл уравнения (1)
представим криволинейным интегралом второго рода ((х01 у0) — фнкси-
(*, у)
роваиная точка Е) | (5, Л) ^5 + <2 (5> Л) ^Л = с> в частности если
(Хо, у<й
отрезки от (х0, у0) до (х, у0) и от (х, у0) до (х, у) не покидают Е, то
X у
/ Р (5, уо) 1 <2 (*, л) <*л = с.
Хо Уо
Например, уравнение (2х+у) йх+ (х+8у)йу=0 имеет общий
интеграл х2+ху+4у2=С. У. в п. д. моделируют консервативные ме-
ханические системы, т. е. системы с интегралом энергии. См. Инте-
грирующий множитель.
УРАВНЕНИЕ, ДОПУСКАЮЩЕЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИЮ,—см.
Дифференциальные уравнения первого порядка, допускающие пара-
метризацию.
УРАВНЕНИЕ ЗАМКНУТОСТИ — см. Замкнутая система, Пол-
нота и замкнутость тригонометрической системы.
УРАВНЕНИЕ КЛЕРО — уравнение у^ху'-Ру^'), допускающее
параметризацию с помощью вспомогательных аргументов х и у'=р.
Из соотношений йу=р<1х и йу=сЦхр+у(р)) следует (х+у'(р))(1р=
=0. Общее решение у=Сх+у(С), особое решение получается исклю-
чением С нз системы
/У = Сх -(- 7 (С);
10 = х + у' (С).
У. К. широко используется в оптике и радиоэлектронике.
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ — линейное дифферен-
циальное уравнение с частными производными второго порядка ги-
перболического типа
д2и д2и
~ла = а +
ОТ2 дх*
О»
У. к. с. называют также одномерным волновым уравнением. Если
}(х, то У. к. с. называется однородным. Оно описывает свобод-
ные колебания струны. Если }(х, I) ие равно тождественно нулю, то
уравнение называют неоднородным. Ойо описывает вынужденные
колебания струны. Уравнение характеристик для У. к. с. имеет вид
ду2—а2дх?=0, а сами характеристики — у-^ах+С, у=—ах+С. См.
также Задача Коши для уравнения колебаний струны.
УРАВНЕНИЕ ЛАГРАНЖА —уравнение </=*₽(/)+?(/), до-
пускающее параметризацию с помощью вспомогательных аргументов
х и у'=р. Из соотношений ду^рдх и с1у=/1(х$(р)+у(р)) получаем
прн $(р)=Ар линейное дифференциальное уравнение первого по-
рядка относительно х с общим решением х**§(р, С). Общее решение
У. Л. имеет вид х*=§(р, С), у=§(р, С)В(р)+у(р). У. Л. может иметь
особые решения вида у^$(ро)х+у(ро), где р0—корень уравнения
Р“Р(Р)- Если Р(р)^р, то У. Л. переходит в уравнение Клеро.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА — уравнение в частных производных
д2и д2и б2и
= 0. С помощью дифференциального оператора А =
5ха+5(/а+ дг2
д2 д2 д2
= — + тт+ Т7 (оператор
дх2 ду2 дг2
писано в операторной форме Ди = 0. У.Л. относится к параболическо-
му типу (см. Классификация линейных дифференциальных уравнений
Лапласа) это уравнение может быть за-
с частными производными второго порядка). Функции и(х, у, г),
являющиеся решениями У.Л., называют гармоническими функциями.
В цилиндрических координатах г, <р, г уравнение имеет вид
— , 1 д2и
г дг \ дг) г* д<р2 "I" (1г2
в сферических координатах <р, ф, г — вид
2 д 1 ди \ 1 д / ди
г2 дг \ дг ] "I” г2 51п ф дф \5'П $ дф
1 д2и
Г2 51П2 ф бф2
& & (Ри д2и
В плоском случае Д = — 4- —- и У.Л.: Ди = —4- —= О,
дх2 ду2 дх2 ду2
В полярных координатах г, <р
1 д / ди \ 1 д2и
г дг \ дг / + г2 дц>2
УРАВНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ —см. Дифферен-
циальное уравнение математической физики.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В «ОТРЕЗКАХ» — уравнение пло-
х у г
скости вида — -)- — 4- — = 1. Здесь числа а, Ь, с имеют простои
а Ь с
геометрический смысл: они равны соответственно величинам отрезков,
которые отсекает плоскость на осях Ох, Оу и Ог. Это уравнение удоб-
но использовать для построения плоскости на чертеже.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ТОЧКЕ И ДВУМ НЕКОЛЛИ-
НЕАРНЫМ ВЕКТОРАМ —
X — Хо у —У о г — 26
11 т1 П1
1г тг п2
=>о,
где Л/0(х0, Уо, го); а== (11, тъ П1); Ь =• (1г, т2, п2), а К Ь. Крат-
ко это уравнение можно записать так: (г — г0) и Ь = 0, где г0 — ра-
диус-вектор точки Л10, г — радиус-вектор произвольной точки.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ТОЧКЕ И НОРМАЛЬНОМУ
ВЕКТОРУ —
А (х — х0) + В (у — уа) + С (г — г0) = О,
—►
где Мо (х0, Уо, го) — точка, через которую проходит плоскость; п =
= (А, В, С) — нормальный вектор. Уравнение кратко можно записать
в виде п. • (г — Го) =0, где г0 — радиус-вектор точки Мо, г — ра-
диус-вектор произвольной точки.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПО ТРЕМ ТОЧКАМ. Если заданы три
различные точки ЛЬ (Хь У1, ?1), М2(х2, у2, г2), М2 (хз, уз, ?з), не
лежащие на одной прямой, то уравнение определяемой ими плоскости есть
Х — Х! у — У1 г—?!
Хз— Уз — У! г2 —2! =0.
Хз — -«I Уз — У1 гз — 21
Если точки заданы своими радиус-векторами, то это уравнение можно
записать в виде (г — гу) ( гз — а) (7з — л) = 0.
УРАВНЕНИЕ ПРАВДОПОДОБИЯ—см. Метод наибольшего
правдоподобия.
УРАВНЕНИЕ, ПРИВОДЯЩЕЕСЯ К ОДНОРОДНОМУ, —диффе-
ренциальное уравнение первого порядка, которое заменой переменных,
выраженной в явной форме, может быть преобразовано к однородному
„ ду (ах + 6У + с\ ,
уравнению. Примером служит уравнение — = /1---------1, Д =
\ах + ₽У + Т/
= I а р I * О’ к0™?06 заменой х = и + ё, У = о + Т], где + Ьт] +
+ с = 0, а$ + Рл + Т = 0, приводится к однородному уравнению
д.о ( аи-\- Ьо \
-—= /------—-—I. Интегрируя это уравнение и производя обратную
ии \ сш рФ у
замену переменных, получаем все решения исходного уравнения. При
А = 0 исходное уравнение заменой и = ах -|- Ьу непосредственно сво-
дится к уравнению с разделяющимися переменными. См. также Обоб-
щенное однородное дифференциальное уравнение.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ «В ОТРЕЗКАХ»—уравнение прямой на
х у „ , .
плоскости вида —4-— = 1. Здесь числа а и о имеют простой гео-
а Ь
метрический смысл: они равны соответственно величинам отрезков, ко-
торые отсекает прямая на осях Ох и Оу. Это уравнение удобно исполь-
зовать для построения прямой на чертеже.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ ПО ТОЧКЕ И НОРМАЛЬНОМУ ВЕКТО-
РУ — уравнение А (х — х0) + В (у — уо) = 0, где Мо (х0, Уо) — произ-
вольная точка на прямой, п (А, В) — нормальный вектор. Если г
= (х, у). Го = (х0, уо), то уравнение можно записать в виде п • ( г —
— Го) = 0.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ. Если
Мо (х0, уо) —точка плоскости, через которую проходит прямая с утло-
вым коэффициентом к, то уравнение этой прямой можно записать в
виде у — уо = к(х— ха). В частности, если точка Ма есть точка пе-
ресечения прямой с осью Оу (ее координаты обозначим (0, &)), то урав-
нение примет вид у = кх + Ь.
д.и
УРАВНЕНИЕ РИККАТИ — уравнение + а (х) у2 + Ь (х) у +
ах
+ с(х)=0, где а(х), 6(х), с (х) — заданные функции. В общем слу-
чае уравнение не интегрируется в квадратурах. Если же а, Ь, с — посто-
янные, то уравнение допускает разделение переменных и имеет общий
С
интеграл С — х = 1 —;---------. Если известно какое-нибудь част-
Л ау3 -}-Ьу -]-с
ное решение у2 (х) У.Р., то общее решение может быть получено в
квадратурах заменой у == у2 (х) 4- г (х). Оно сводится к уравнению
<1г
— + а (х) г2 + (2а (х) у2 (х) -|- Ь (х)) г == О, являющемуся частным слу-
ах
чаем уравнения Бернулли.
УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ —
уравнение первого порядка в дифференциальной форме Р(х)(1х+
+ 0(у)(1у=0, являющееся частным случаем уравнения с разделя-
ющимися переменными. Общий интеграл такого уравнения имеет вид
х у
Хе Уо
УРАВНЕНИЕ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ —
уравнение
Р1(х)Р2(у)ах+01(х)02(у)Лу=0, (1)
которое после деления иа Рг(у)О1(х) переходит в уравнение с раз-
деленными переменными. Общим интегралом уравнения (1) служит
у
— -4- I ’— ш = С<
«1(0 3 ря(о
X# Уо
При С=0 получаем решение уравнения (1) в неявной форме с началь-
ным значением у(хо)=уо- Кроме того, уравнение (1) имеет реше-
ния у=уо, если Р2(Уо)=О, и х=хо, если О1(хо)=0.
Преобразования многих уравнений (однородных, линейных, Бер-
иулли и др.) переводят их в У. е р. п. Например, уравнение
у'=[(а+(1х+уу) заменой г=а+Рх+уу преобразуется в уравнение
г/=Р+Т/('2)-
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ — уравнение математиче-
ской физики (дифференциальное уравнение с частными производными),
. ди
которое в канонической форме имеет вид (одномерное уравнение) -—=»
о1
<Ри
= аа-^+/(/, х). Оно описывает распространение температуры в од-
1/ к .
нородном стержне. Постоянную а <= у (к — коэффициент тепло-
проводности, р — линейная плотность стержня, с — удельная теплоем-
кость стержня) называют коэффициентом температуропроводности. Если
[(I, х) = 0 (это означает, что рассматривается случай без тепловых
источников), то уравнение называют однородным. При х) Ф 0 урав-
нение неоднородное. См. также Начально-краевая задача для уравне-
ния теплопроводности.
УРАВНЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК для линейного диф-
ференциального уравнения в частных производ-
ных второго порядка — см. Характеристическая линия линей-
ного дифференциального уравнения в частных производных второго
порядка.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ — дифференци-
альные уравнения для определения функции, зависящей от несколь-
ких аргументов:
Р [Х1, х», .... хл, и,
ди ди д‘и д‘и д*и
дх!....дхп’ ЙХ]’ ЙХ1ЙХ».....дх?п ’
дти \
----------г*. ...1=0.
йх*‘ ... йх„п /
Порядок старшей частной производной, входящей в уравнение, на-
зывают порядком уравнения. Функцию, обладающую соответству-
ющими частными производными и обращающую уравнение в тож-
дество, называют решением уравнения. Иногда дифференциальные
уравнения относительно искомой функции нескольких переменных, в
которых участвуют лишь производные по одной из переменных, от-
носят и к обыкновенным дифференциальным уравнениям с пара-
метром.
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПО-
РЯДКА ДЛЯ ИСКОМОЙ функции И = и(Х], хп) имеют внд
(ди ди ди\
хи х2...х„, и, —, —, — =>0.
дх1 дх2 дхп)
При п = 2 используют обозначения Р (х, у, г, р, <?) = 0, г =» г (х, у),
дг дг , , ,
р =---, . Выделяют линейные уравнения А (х1, х2, хп)х
дх ду
ди ди
X—+ ... +/П(Х1, х», .... х„) —= й(*ъ ....*п) (при й = 0
дх1 дхп
нх называют однородными) и квазилинейные уравнения Л (х1} ...» хП1
ди ди
и) ---к ... + 1п (Х1. х„, и) — = у (Х1.хп, и) (при у = О—
5x1 5х„
однородные). Существуют и другие обозначения для выделенных
классов. У. в ч. п. п. п. используют в анализе для построения интегра-
лов систем обыкновенных дифференциальных уравнений, в других
областях анализа, а также в аналитической механике и дифференци-
альной геометрии. Системы У. в ч. п. п. п. в настоящее время широко
применяются в газовой динамике. См. также [3,4, 9, 12].
УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЕННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРО-
ИЗВОДНОЙ,— см. Дифференциальное уравнение первого порядка в
общей форме.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ ПО ДВУМ ТОЧКАМ. 1. На плоскости
X — Х1 ~ У ~У1
х2 — Х1 У» —У1 ‘
2. В пространстве
х — х, у —у 1 г—г,
х2 — Х1 4/я — Ух г2 — г/
Здесь Л41 (хъ уг), М2 (х2, у2) (соответственно Мх (хг, у1, 21), М2 (х2,
Уг г2)) — две различные точки иа прямой. Направляющим вектором
прямой является вектор М1М2. В уравнениях прямой некоторые из
знаменателей могут обратиться в нуль — см. об этом ст. Канонические
уравнения прямой.
УРАВНЕНИЯ (УСЛОВИЯ) СВЯЗИ в задачах на услов-
ный экстремум функции нескольких перемен-
ных — см. Условный экстремум функции нескольких переменных.
УРОВЕНЬ ЗНАЧИМОСТИ — см. Критерии согласия.
УСЛОВИЕ КОШИ для уравнения Р (I, х, х'.......х(п') = О
в т о ч к е /о имеет вид
Х 11=1, = Х' 11=1, = ”•> Х<" I/=/, = 1>
где 5о, ...5п—1 — заданные постоянные величины. Для системы
уравнений в векторвой форме Р (/, х, х') = 0 условием Коши служит
х | , где Е, — ваперед заданный постоянный вектор.
УСЛОВИЕ ЛИПШИЦА: 1) для функции / (х) иа промежутке I —
существование постоянной 1, такой, что | / (х2)— /(Х1)|</.]х2— Х1|
для любых Х1, х2^/;
2) для функции / (х, у) по у в области И с: К’ — существование
постоянной /, такой, что | / (х, у2) — / (х, у^) | < Ь | у2 — уг | для лю-
бых (х, у^, (х, г/2)ё_О;
3) для функции / (/, х ) по х в области О с К"-*-1 — существова-
ние ПОСТОЯННОЙ 1, ДЛЯ КОТОрОЙ || /(/, Х2) — /(/, Х1)||</.||х2 —Х1||
ДЛЯ любых (/, Х1), (/, х2)(й.
Функция заведомо удовлетворяет У. Л. по некоторым перемен-
ным в области й, если она обладает в й ограниченными частными
производными по указанным переменным.
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ДВУХ ВЕКТОРОВ —
см. Угол между двумя векторами.
УСЛОВИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ —см.
Угол между двумя плоскостями.
УСЛОВИЕ ТЕОРЕМЫ — см. Теорема.
УСЛОВИЕ ЭЙЛЕРА ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА — см.
Уравнение в полных дифференциалах.
УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ и УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ.
Пусть функция I непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема на
]а, &[. Тогда для монотонности / на [а, 6] необходимо и достаточно,
чтобы не меняла знак на ]а, &[. Подробнее: для возрастания / на
[а, Ь] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие ('(х)^
^0, х € ]а, Ь[, для убывания — условие х € Я- Функция
Д монотонная на [а, Ь], является строго монотонной в том и только
том случае, если у ( нет промежутков постоянства ненулевой длины
на 1а. ЭД (т. е. Г(х) не равна тождественно нулю ни на одном интер-
вале ненулевой длияы из ]а, &[). Прн выполнении этого условия {
строго возрастает прн ['(х)>0 и строго убывает при ['(х)^0.
УСЛОВИЯ Д’АЛАМБЕРА —ЭЙЛЕРА —см. Условия Коши —
Римана.
УСЛОВИЯ КОШИ —РИМАНА. Пара функций и (х, у), V (х, у)
называется удовлетворяющей У.К-—Р. (или Д’Аламбера — Эйлера) в
ди до до ди
точке (х, у), если в этой точке -, —- = ——
дх ду дх ду
Т. Для того чтобы функция }(г)=и(х, у) + 1о(х, у), г—х+1у,
была дифференцируемой в точке г=х+1у, необходимо и достаточно,
чтобы функции и(х, у) и о(х, у) были дифференцируемы в точке
(х, у) и в этой точке выполнялись У. К.— Р.
При выполнении условий теоремы для производной /' (г) имеют
место формулы:
. ди до до ди ди . ди до , до
(г) = ~Г~ + * “Г- = л 1 “Г" = а = "а Ь * а '
дх дх ду ду дх ду ду дх
УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ—см. Угол
между двумя плоскостями.
УСЛОВИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ —см. Угол между
двумя прямыми.
УСЛОВИЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ—см. Угол
между двумя прямыми.
УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. Пусть В —событие, имеющее поло-
жительную вероятность, А—произвольное событие. У.в. события Л
при условия В по определению равна Р (Л/В) <=—^ . Из опре-
г* (о)
деления У.в. непосредственно вытекает теорема умножения вероятно-
сшей: Р (АВ) = Р (В) Р (А/В). Для вероятности произведения не-
скольких событий имеет место следующая формула:
/ п \ / / л—1 \
Р| П Лй = Р (Лг) Р (Ла/ЛО Р (Лз/Л^а) ... Р Ап П Ак
\А=1 / \ / *=1 ]
УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРА-
ЛОВ— см. Абсолютная и условная сходимость несобственных инте-
гралов первого рода. Абсолютная и условная сходимость несобствен-
ных интегралов второго рода.
УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА—см. Абсо-
лютная и условная сходимость числовых рядов.
УСЛОВНАЯ ЧАСТОТА СОБЫТИЯ А при условии, что событие
В наступило,— частота события А, вычисленная по совокупности ие
всех экспериментов, а лишь тех, в которых наступило событие В.
Иными словами, если п — число всех экспериментов, тв — число
наступлений события В, а тАв—число наступлений событии АВ
(или число таких экспериментов, в которых наступило и событие В,
тАВ тАВ тВ
и событие А), то условная частота есть-=-------:---.
тв п п
УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕ-
МЕННЫХ. Пусть функция / определена на множестве й из евклидова
п-мерного пространства К", а М — подмножество О. Точка а^О на-
зывается точкой условного минимума (условного минимума относитель-
но множества М), если / (х) / (а) для Ух € М. Точка а € О назы-
вается точкой локального условного минимума, если существует окре-
стность I! (а) точки а, такая, что /(х)>/(а) для Ух € М Г) II (а).
Если в приведенных выше неравенствах заменить знаки нестро-
гих неравенств на строгие (прн х^а), то получим определения точки
строгого условного минимума и строгого локального условного мини-
мума. Аналогично определяются точки условного максимума, локаль-
ного условного максимума, строгого локального условного максиму-
ма, условного экстремума, условного локального экстремума, строгого
условного экстремума, строгого условного локального экстремума.
Обычно в задачах иа условный экстремум множество М задает-
ся в виде пересечения поверхностей
Л(*1, хг, ..., х„) = 0;
Вц(Х!, .....хя) = 0;
РГ (Х1, х2, .... х„) =0,
которые в этом случае называются уравнениями (условиями) связи
или просто связями. В случае функции двух переменных и=[(х, у)
условие связи имеет вид Р(х, у)=0.
Таким образом, задача на условный экстремум может быть
сформулирована следующим образом: иайти точки экстремума
функции ((Ху х2.... хп) при условии, что переменные хи х2,
хп удовлетворяют условиям связи. См. также Метод безуслов-
ного эстремума, Метод дифференциалов, Метод множителей Ла-
гранжа.
УСТОЙЧИВОСТЬ ЗНАКА НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ—см.
Локальные свойства непрерывных функций.
УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ЛЯПУНОВУ —см. Устойчивость реше-
ний линейного дифференциального уравнения.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ В ОТРИЦАТЕЛЬНОМ НАПРАВ-
ЛЕНИИ — см. Устойчивость решений линейного дифференциального
уравнения.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
йпх йп~1х
---—+ - +аа(1)х = ((1), />0, (1)
аг ае-1
есть непрерывная зависимость решений уравнении (1) от начальных
значений иа всей полупрямой [0, + оо[, т. е. возможность ука-
зать для любого е>0 такое 6>0, что |Д$0| + Щ1|+•••+1Д^п-1|
^6=>Д(/)^е, У/^0. Наличие устойчивости определяется лишь
свойствами линейного оператора Еп, т. е. свойствами соответ-
ствующего однородного уравнения, и не зависит ии от неодно-
родности ни от начальных значений решения. Отсутствие
устойчивости называют неустойчивостью решения. Если одно из
решений уравнения (1) неустойчиво, то неустойчивы и все осталь-
ные решения.
Устойчивость выражает тот факт, что влияние достаточно ма-
лых возмущений начальных значений решений уравнения (1) во все
моменты времени I, следующие за начальным моментом /=0, оста-
ется в любых наперед заданных границах. Понятие устойчивости
широко используется в естествознании, технике и прикладной ма-
тематике.
Описанный вид устойчивости часто называют устойчивостью
по Ляпунову (А. М. Ляпунов создал основы математической теории
устойчивости и современной инженерной математики). Дальнейшее
развитие теория устойчивости получила в трудах Н. Г. Четаева,
Н. П. Еругина, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского и др. Существу-
ют и другие виды устойчивости, например асимптотическая устойчи-
вость. Если уравнение (1) рассматривается при /СО, то по ана-
логичной схеме определяется устойчивость решений в отрицатель-
ном направлении. Если / задана для всех I и решения уравнения
(1) устойчивы, и устойчивы в отрицательном направлении, то их
называют двусторонне устойчивыми. См. также Устойчивость реше-
ний линейного дифференциального уравнения с постоянными ковф-
фициентами.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИ-
АЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТА-
МИ имеет место тогда и только тогда, когда действительные части
всех характеристических чисел соответствующего однородного урав-
нения положительны и характеристические числа с нулевой действи-
тельной частью однократны (теорема Ляпунова). При п=2 устой-
чивость имеет место, если для соответствующего однородного
уравнения точка покоя О является центром, и может иметь место,
если О является узлом или фокусом. В случае седла имеет место
неустойчивость.
УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ в векторном виде --7(7)
<и
с однозначной разрешимостью задачи Коших»=
=х (/, Б ), х (о, ) == 5, — свойство решения х (/, ^ ) претерпевать ма-
лые отклонения на всей положительной полуоси при достаточно малых
возмущениих начальных значений, т. е. Уе > О, Я6, УД$ € К", У/>0,
IIД? II < 6 => Д (/) = II х (/, + Д& ) — х (/, I )|| < е. В отличие от
линейного случая (см. Устойчивость решений линейного дифферен-
циального уравнения) нелинейные системы могут одновременно обладать
как устойчивыми, так и неустойчивыми решениями.
Аналогично определяется устойчивость решения неавтономной си-
стемы х). При исследовании устойчивости решения х—
= х (/, данной системы обычно производят подстановку х == у +
+ х(/, § ), не влияющую на отклонение решений, и исследуют устой-
чивость соответствующего нулевого решения у = у (/, 0 ) —"б, / >> О,
преобразованного уравнении —• = $ (/, у ), ?(о, I/) =0.
УСТРАНИМАЯ ОСОБАЯ ТОЧКА. Если г0 — изолированная особая
точка однозначного характера функции Д а ряд Лорана функции / ие
00
содержит членов главной части, т. е. имеет вид (г) =» 2 сп (г— г»)я
л=0
в проколотой окрестности точки г0, то ?о называют У.о.т. функции /.
Для того чтобы г0 была У.о.т. функции Д необходимо и достаточно,
чтобы существовал конечный предел Пт /(г). Если доопределить (или
г->-гв
переопределить) в этом случае функцию [ в точке г0, положив /(г0)=
= Пш/(г), то получим функцию, аналитическую в некоторой окрест-
г->г„
ности точки г». Для того чтобы изолированная особая точка г» была
устранимой для ), необходимо и достаточно, чтобы функция [ (г) была
аналитической и ограниченной в некоторой проколотой окрестности
й (г0) точки го-
УСТРАНИМАЯ ТОЧКА РАЗРЫВА —см. Точки разрыва
функций.
ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ. 1. Ф. п. однородного линейного диф-
ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
циентами— плоскость Ц2=Оху, если решение х=х(1) уравнения
йх
— 4-в1 +аох = 0 (1)
изображается фазовым графиком, т. е. направленной линией Ь х=
=х(<), у=х'((), I € К. Геометрические образы! и фазовых графиков
решений х=х(1+^), полученных сдвигом аргумента /, совпадают.
Общий образ называют фазовой траекторией (или траекторией)
каждой своей точки. Если две фазовые траектории имеют общую точ-
ку, то они совпадают. Если фазовая траектория вырождается в
едниствениую точку Ма=(х0, у0), т. е. х(1)=х0, у(()<=уо=0, V/€ К,
то ее называют стационарной, а Мо—точкой покоя. Непременной
точкой покоя уравнении (1) является начало 0(0, 0). Другие точки
покоя существуют и покрывают всю ось, если уравнение (1) вырож-
денное, т. е. оо=0. Поведение траекторий уравнения (1) в окрестности
точки покоя полностью определяет структуру всего семейства траек-
торий данного уравнения. (См. Точка покоя однородного линейного
дифференциального уравнения второго порядка.) Абсцисса х при
движении по траектории (в сторону возрастания аргумента I) в
верхней фазовой полуплоскости у>0 возрастает и убывает в иижней
фазовой полуплоскости у<0, т. е. движение в верхней полуплоскости
направлено слева направо, в иижней — наоборот. В точках оси
абсцисс, отличных от точек покоя, траектории имеют вертикальные
касательные. При движении по траектории ордината у в фазовой
полуплоскости —а^—аох>0 возрастает, а в фазовой полуплоскости
—а^у~а0х<0—убывает, т. е. в первой полуплоскости движение по
траектории идет снизу вверх, во второй — наоборот. В отличных от
точки покоя точках пересечения траектории с прямой — а^у—аоХ=0
фазовая траектория имеет горизонтальную касательную.
. . дх ау
2. Ф.п. системы ——— ОцХ-|- а12у, а^х + а22у — плоскость
дг д1
К’ *= Оху, на которой решения х = х (/) и у = у (I) данной системы
изображаются графиками с параметрическим заданием. Во всех случаях,
кроме оц = а22, а1а = а21 = 0, данная система своцитси к уравнению
второго порядка с соответствующими точками покоя. В исключитель-
ном случае при ац 0 точка покоя является дикротическим узлом и
все траектории ненулевых решений представляют собой лучи, при-
мыкающие к точке покоя (при /~>-4-оо, если ац<0, и при —оо,
если ац>0). Наконец, если все коэффициенты равны нулю, то каж-
дое решение стационарное и все траектории — точки покоя, покры-
вающие фазовую плоскость.
ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами — пространство Яп = Ох1х2...хп, если реше-
ние х=*х(() уравнения 1пх=0, где 1п — стационарный линейный диф-
ференциальный оператор, изображается фазовым графиком, т. е.
йк~1х(()
направленной линией ^к_ ] , — «><<<+<», « = 1, 2, л
(прн п=»2 получаем фазовую плоскость). Общий геометрический об-
раз фазовых графиков всех решений х=х(1+10), полученных из ре-
шения х=*х(() сдвигом аргумента, называют фазовой траекторией
(каждой своей точки). Две фазовые траектории либо не пересекают-
ся, либо совпадают. Фазовая траектория, вырождающаяся в одну-
единственную точку Мо, называется точкой покоя. Непременной точ-
кой покоя уравнения Дпх=0 служит начало координат 0(0, 0.0),
являющееся фазовым графиком нулевого решения. Поведение
траекторий в окрестности точки покоя определяет поведение
траекторий во всем фазовом пространстве. См. Точка покоя одно-
родного линейного дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами.
ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ однородного линейного
дифференциального уравнения второго порядка
с постоянными коэффициентами — см. Фазовая плос-
кость.
ФАЗОВАЯ ТРАЕКТОРИЯ однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными
коэффициентами — см. Фазовая плоскость, Фазовое прост-
ранство.
ФАЗОВЫЙ ГРАФИК решения однородного линей-
ного дифференциального уравнения второго по-
рядка с постоянными коэффициентами — см. Фазо-
вая плоскость.
ФАЗОВЫЙ ГРАФИК решения однородного линей-
ного дифференциального уравнения с постоян-
ными коэффициентами — см. Фазовая плоскость. Фазовое
пространство.
ФОКУС — см. Точка покоя однородного линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффи-
циентами.
ФОРМА степени п — многочлен от нескольких переменных,
каждый член которого имеет степень п относительно совокупности
всех переменных. Ф. называют также однородным многочленом.
ФОРМУЛА БАЙЕСА (БЕЙЕСА). Если И............... Нп — полная
группа событий, то
Р(ЯЛ/А) =
Р{Нк)Р(А/Нк)
п
^Р(Н1)Р(А/Н1)
Р Р (А/Нк)
Р(А)
где к = 1, 2,.л. Эти формулы называют Ф. Б. Они позволяют пе-
реоценить вероятности гипотез после того, как становится известным,
что в результате случайного эксперимента произошло событие А.
ФОРМУЛА ВЫЧИТАНИЯ ВЕКТОРОВ—см. Разность векторов.
ФОРМУЛА ГРИНА
У Р(х, у)Ох + <}(х, у)Оу ==уу^(ж, у)—^-(*, у)\ахау
дВ В
связывает между собой двойной интеграл по плоской области О, ог-
раниченной кусочно-гладкой кривой дй, с криволинейным интегралом
дЦ дР
второго рода по контуру дО. Функции Р, (?, —, _ предполагаются
дх ду
непрерывными в замкнутой области й = И\)дО. Контур дО обходится
так, что область Р остается слева.
ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ ПО ЧАСТЯМ —см. Инте-
грирование по частям.
ФОРМУЛА КАРДАНО — см. Кубическое уравнение.
ФОРМУЛА КОНЕЧНЫХ ПРИРАЩЕНИЙ — см. Теорема Ла-
гранжа.
ФОРМУЛА КОШИ — АДАМАРА — см. Радиус сходимости сте-
пенного ряда.
ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА — см. Теорема Лагранжа.
ФОРМУЛА ЛЕЙБНИЦА. Если функции и и о дифференцируемы
п раз в точке х, то производная п-гопорядка произведения ио может
п
быть вычислена по правилу Лейбница: (ин)(п)== У, С^и(п—=
к=0
в и(«) о(0) с* и<п—1) о*1) + ... + Ск и{п~к) о(к) + ... + и(0)о(п)
(и<0> •= и, сЛ°* = V), где Ск—биномиальные коэффициенты. Аналогич-
ная формула имеет место дли дифференциалов высших порядков:
гГ'(«о)-= Ск йп~к ийко (й°и^ и, =
л-=о
ФОРМУЛА ЛИУВИЛЛЯ — см. Вронскиан решений однородно-
го линейного дифференциального уравнения.
ФОРМУЛА МАКЛОРЕНА — так называют иногда формулу
Тейлора с а=Х) илн формулу Тейлора для функций нескольких пе-
ременных с а= (0, 0, ..., 0).
ФОРМУЛА МЕЛЛИНА—см. Обращение интеграла Лапласа.
ФОРМУЛА МУАВРА для комплексных чисел г =
=.г(созф4-1 з!пф), заданных в тригонометрической фор-
ме — формула (г (созср + / з1п<р))л = г” (соз п<р-|-/ 81П п<р) (для лю-
бого п€ 2).
ФОРМУЛА НЬЮТОНА (разложение степени бинома). Если п —
натуральное, то
(а + Ь)"^Сопап+С1па»-^Ь+...+Ска»-кЬ'‘+,..+СппЬ\
Коэффициенты Ск, к^п, называются биномиальными коэффициентами.
Они могут быть вычислены по формулам
гк Я| «(Л— 1) ... (Л —Й+1) _ 1
я “ к! (п — А)1 “ I - 2- ... - к ’ ” ’
Отметим, что Скп Сп~к, С° = С" = 1.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА—ЛЕЙБНИЦА. Пусть функция непрерывна
на отрезке [а, Ь] н Р — какая-либо первообразная для [ на этом отрез-
ке, тогда
Ь
^(х)0х~Р(1>)-Р(а).
0
Эта формула и называется Ф. Н.—Л. Иногда ее называют основной фор-
мулой интегрального исчисления. Дли краткости записи часто упот-
ребляются обозначения:
ь ь
|/(х)ах = ^(х)^=.[г(х)]»; р(х)<*х- [р(х)4х]».
а а
ФОРМУЛА ОСТРОГРАДСКОГО — см. Теорема Остроградского.
ФОРМУЛА ПАРАБОЛ дли вычисления интеграла
р(х)4х— то же, что формула Симпсона.
ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. Если Ни Нг.......... Нп об-
разуют полную группу событий, то для вероятности любого собы-
п
тии А справедлива формула Р(Д)~2 Р(Н/г) Р(А/Нк), называемая
л=1
Ф. п. в.
ФОРМУЛА ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ для вычислении ин-
ь
теграла ^((х)Лх — формула
а
Ь п
Г(Ы+Кп,
а А=1
Ь —а
где хк =»а-|-йй; й = 0, 1.... й =------; 5й€[хл-1, х*1. Гео-
п
метрически это означает, что на каждом из отрезков [хк—1, хк] пло-
щадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком /(х), замени-
ется площадью прямоугольника со сторонами й и /(?*). Различают
формулы:
»
а) левых прямоугольников, когда « хк—1 и | /\х) йх = й (у0 +
а
Ь — а
+ У1 + • • • + Ул—1) + «л, {(хк), = й —-— (' (5), 5 € [а, У];
ь
б) правых прямоугольников, когда %к = хк и | ((х) Лх = й (1/1 +
а
+ У2 + ... + Уп) + Яп, ук^ ( (Хк), Кп —Й ~ (’ (5), & € [а, &];
в) средних прямоугольников, когда =----п в ] “•
а
II Н \ I Зй \ I ( 1 \ \
“ + “^ + Ц*о + “^+ ••• +/^*о + ^л— 2 Н\ \ 4-Яп,
Ь — а
----—ГС), !€(«. Я-
24
См. Приближенное вычисление определенного интеграла.
ФОРМУЛА СИМПСОНА для вычисления интеграла
Ь
| / (х) Лх от непрерывной функции — формула
а
У / (х) Лх = —— ((уо 4- Узл) 4- 4 (у14- Уз 4- • • • 4- Угп~1) 4-
4"2(у2 4-У«+ ••• 4”У2п—а)) + Кп,
в предположенвв, что отрезок [а, 6| разбит иа 2п равных частей и й =•
—-----—, хй = а + йй, Уъ= /(хй). Если / четырежды непрерывно
2” (Ъ — а) й4
дифференцируема, то Пп = —----— 7<4> (ё)Л € [а, й].
1о1)
Ф. С. называют еще формулой парабол, поскольку при ее выводе
график функции на отрезке [х2й_2, х2й] приближенно заменяется па-
раболой, построенной по значениям /(х2й_2), /(х2»-1), /(х2*).
ФОРМУЛА СТИРЛИНГА дает асимптотическое представление для
п1 при п->со:
Л
п1 = У2^(— Ге12"
\ е /
_ ---I п \»
где 0 < 0Я < 1; или п\ ~ у2яп I — 1 при п-> со.
ФОРМУЛА СТОКСА —см. Теорема Стокса.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА. Пусть функция ( определена и п раз диф-
ференцируема в окрестности точки а. Многочлен
Тп(х) = Ца) + -^~ (х — а) + ... (х- а)»
II ш
называют многочленом Тейлора порядка п функции [ около а. Поло-
жим Нп (х) =» ((х) — Тп (х). Тогда
/ (х) = / (а) + 2^1 (х - а) + ... + -/П),(а) (х - а)» + /?„ (х).
11 Гм
Это равенство называют Ф. Т. для функции около а, правую часть
ее — разложением по Тейлору, (х) — остаточным членом Ф. Т.
Остаточный член Ф. Т. чаще всего используют в следующих формах:
1) в форме Лагранжа
Ип (*) = ^П+1) (а + 0 (х-а» (х - а)"+1, 0 < 0 < 1;
(«+ 1)1
2) в форме Коши
Нп (х) « /(п+1)(а + 91(х-а)) (1 _ 01)Я (х __ а)„+1> 0 < 0! < 1;
п!
3)в форме Пеано
Ял(х) = о((х — а)»), Х-+Щ
4) и интегральной форме
*я(х)=Ц-у /<п+1)(0 (х-/)«Л.
п1
См. также Представление функций по формуле Тейлора.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА вектор-функции. Для п раз диф-
ференцируемой вектор-функции г (/) Ф.Т. имеет вид
- г" го 7(п) (/)
г(#4-Д/)= г(/) + г'(/)Д/+ -А2-(Д/)»+,„+ —±2.(д/)» +
41
+ до
(Д/)д
л! ’
где Пт е (/, А/) •= 0; для п раз дифференцируемой вектор-функции
Д<-0
Г {и, о) —
г (и -|- Ди, V 4-До) = г (и, о) 4- Д г (и, о) 4- (и, 0 + • • • 4-
п
1 _> 2 **
4-—Дд г (и, о) 4-(Аи* 4-До2) е (и. Да).
п1
где Ди о Ди; До = До; Пт е (и, о, <1и, &>}~0.
(Ди,+Ди’)->0
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА для функции нескольких
переменных. Пусть функция / (Х1, хг,..., хп) т 4- 1 раз непре-
рывно дифференцируема и окрестности 0 (а) точки а = (щ, аг., ав).
Тогда имеет место Ф. Т.:
~21~ +
йт( (а)
т1
+ Кт И.
где Кт (х)—остаточный член Ф. Т., который можно представить, на-
пример, в форме Лаграижа:
Кт & “ / 1 ат+1 ? + 0АХ1> • • • >ал + 0Дхл)> 0 < 0 < 1 •
(т 4-1)1
В развернутой форме Ф. Т. имеет вид
т
ХЛ 1 / д
Цаи...,ап)+ У —( (Х1 — а1)— 4- ... 4-
\ 0X1
Л-1
д
4* ап) 4* Кт (Х1,..., хп);
1 ( д д у»+1
кт (*1. • • •, хп) = - - (Х1- в1)— 4- ... 4- (хп — ап) — X
[т 1)! у 0X1 дх^]
Х/(а14-0(Х1 — 01), а2 4- 0 (х2— а2),..., ап-{-6(х„ — оп)),
где 0 < 0 < 1. (См. также Дифференциалы высших порядков функции
нескольких переменных.) Иногда в приведенной формуле используют
остаточный член в форме Пеано: Кп (Х1, х2,..., хп) = о (р'"), где р-> О,
Р
п
У (хй — а*)2, а от функции ( достаточно потребовать не-
прерывную дифференцируемость т раз.
ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА с остаточным членом в форме
Лагранжа. Если функция [ определена и я4 1 раз дифференци-
руема в некоторой окрестности У (а) точки го для любого х(~
€ У (а) существует точка с, лежащая между анх, такая, что
/ (х) = Г (а) 4- (х - а) 4- ... 4- /(П),(-- (* ~ “У1 + К« <*>>
1! п!
(я 4-1)!
Остаточный член Дп (х). записанный в такой форме, называют остаточ-
ным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. Пп (х) можно пред-
ставить и в следующем виде:
«.<*)- /1-ь"<-+»(;—» (,-.)»+,
(я 4- *)•
где 0€Ю, 1[.
ФОРМУЛА ТРАПЕЦИЙ для вычисления интеграла
Ь
| / (х) Ах — формула
Л
Ь
§ ?(х) Ах =-л ( Уо~^Уп. 4- У14. Уг 4.... 4- у п_^ 4- да,
а ь~а . ..
где функция / предполагается непрерывной, А «=-, = а
к = 0, 1, 2..п, уА = /(хд). Геометрически это означает, что кри-
волинейная трапеция (в случае /^0), площадь которой численно
равна интегралу, приближенно заменяется фигурой, которая иа отрез-
ке [х/е—1, х*] представляет собой трапецию, ограниченную линиями
у = 0, х = хц—1, х = хк и прямой, проходящей через точки графика (х*,
/(хА)), (Хд—1, / (хА—1)) (й= 1,2 п). Для дважды дифференцируемой
(Ь — а) к2
функции / Кп = —------—---/" Й)> 6]. См. Приближенное вы-
числение определенного интеграла.
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА —формула кп=к{ соз2 <р+й2з1п2 <р, где
кп — нормальная кривизна, к1г кг — главные кривизны, <р — угол
между направлениями, соответствующими нормальным кривизнам
кг и кп.
ФОРМУЛЫ ВИЕТА—формулы, выражающие коэффициенты
многочлена через его корни. Если /(х) =хп+а1Хп~1+а2хп-2+...+ап
и Оь а2... ап —его корни (каждый кратный корень здесь взят со-
ответствующее число раз), то
О1 = — (а1+а2+...+ап);
<2 2 в (X1 <Х2 + ЦI С1з “Г. •. “Г 1п “Г С12 3 4“ • • • “Г СС п — 1 ® п 1
Оз= — (а1а2аз+а1а2а4+...+ап-2ап-1®п);
ап_1 = (-1)(а!а2...ап-1+а!а2...ап_2ап +...+а2вз-.ап);
ап = (-1)"а1а2...а„.
В частности, при п=2 0] = — («1 + 02), а2=а1<х2, при п=3 а\ =
= —(<Х1+а2+а3), а2=а1а2+а1а3+а2аз, а3=—с^азаз.
Если старший коэффициент многочлена ао=й=1, то для примене-
ния Ф. В. необходимо предварительно разделить исе коэффициенты
па а0 (что ие влияет иа кории многочлена). В этом случае Ф. В.
дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему.
Из последней Ф. В. следует, что кории многочлена являются дели-
телями его свободного члена.
ФОРМУЛЫ КРАМЕРА. Невырожденная система п линейных урав-
нений с п переменными имеет единственное решение, которое может
быть иайдеио по Ф. К. Ху
., /=1, 2,..., п, где / А/—опре-
делитель системы, | А] / — определитель, полученный из определителя
| АI заменой /-го столбца столбцом иэ свободных членов системы.
Если система записана и матричном виде АХ = В, Ф. К. имеют вид
Х = Л-1В.
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ —см. Пре-
образование декартовых координат, Преобразование декартовых
прямоугольных координат, Преобразование координат.
ФОРМУЛЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КООРДИНАТ ВЕКТОРА —см.
Преобразование координат вектора.
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА — формулы соз г 4-«81П г = е*2, созг =
«= — (г12 4-е—/г), 81пг = —(е*2 — е~1г) для Уг€С. Формулы, и
частности, справедлииы и для действительных г.
ФОРМУЛЬ! ФРЕНЕ лииии. Векторы сопроиождающего трех-
гранника линии меняются при движении точки по лииии. Чтобы
охарактеризовать это изменение, иужио уметь иычислять их про-
изводные по натуральному параметру. Ф. Ф. дают разложения этих
производных по векторам сопровождающего трехгранника:
<11 -» <1 п -»
а) для плоской лииии: —— «= к п., — = — к 1, где к —
<1з <1з
кривизна, з — натуральный параметр, 1, п —единичные векторы соот-
ветственно касательной и нормали лииии;
<11 -* <1 п
б) для п р о с т р а и ств е и и о й линии: ——=««, —- =
аз аз
йЬ -»
= — к I -{-ио , — = — и п, где к — крииизиа, и — кручение, з —
йз
натуральный параметр, I, п, Ь — единичные векторы соответственно
касательной, глаииой нормали, бинормали.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ МАТРИЦА РЕШЕНИЙ однород-
ной системы лииейиых дифференциальных урав-
нений— см. Система линейных дифференциальных уравнений.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ —см. Геоме-
трическое истолкование решений системы линейных уравнений, Ли-
нейное дифференциальное уравнение, Система линейных дифферен-
циальных уравнений.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ СИСТЕМА РЕШЕНИЙ однород-
ной системы лииейиых ураииеиий — совокупность мак-
симального числа линейно независимых вектор-решеиий системы.
Ф. с. р. существует тогда и только тогда, когда г<п (г — ранг си-
стемы, п — число переменных). Ее можно найти по следующей схеме.
1. Выделяют базисные переменные и выражают их через сво-
бодные. Пусть для определенности
*1 = <^п*г+1 + • • • + ^1 л—гхп>
*2 = йцХг^.1 + » • • + ^2 Л—Р)
ХГ “ ^г1*г+1 Ч" • • • Ч~ 4г л—ГХП’
2. Берут (п — г)а произвольных чисел Су, I, /®1, 2,..., П—г,
таких, что
Си Си ... с1п—г
Си сИ ... сал_г
^0, (2)
сд—г1 сп—г* ... сп—гп—г
н в равенствах (1) придают поочередно свободным переменным
хг4-1,..., хп значения, равные соответственно элементам строк опре-
делителя (2). Полученное множество решений и составит Ф. с. р.
Определитель (2) проще брать единичным, т. е.
1 0 ... 0
0 1 ... о
О О ... 1
Полученную при этом Ф. с. р. называют нормированной. Ф. с. р. оп-
ределяют также как базис подпространства решений системы (см. Гео-
метрическое истолкование решений систем линейных уравнений).
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ВТОРОГО РОДА —функция
/р(х)СО8 рл —7-р(х)
8Ш рЯ
(I—функция Бесселя первого рода). При целом р, р=п, пра-
вую часть понимают как предел:
Уп(х)а Пт
р-н»
(х) соз рл—мГ-р (X)
&Ш рЛ
Имеет место формула
где с — постоянная Эйлера; с = 0,577215664901532...
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ ПЕРВОГО РОДА. Различают Ф. Б. п. р.
индекса р (р > 0)
от / х \Р+2т
Г(т+1)Г(р+т + 1)
т=0
(Г (а) — гамма-функция) и Ф. Б. п. р. индекса —р (р ^>0)
-р (*) =
т=р
(X \—р+2т
т
Г(«+ 1)Г(-р+« + 1)
Эти функции связаны между собой соотношением }_р(х) =
— (—1)р (х). Функции Бесселя являются решениями уравиеиня Бессе-
ля. Ф. Б. п. р. как положительного, так и отрицательного индекса
можно объединить в одну формулу
3р (*) =
от /г \р4-2Л1
у
Г (т + 1) Г (р + т + 1) *
т=0
В этой формуле предполагается, что при р=— п слагаемые для
т=0, 1, .... п— 1 равны нулю. При дробных р функции Бесселя при-
нимают, вообще говоря, комплексные значения (для х<0). Прн не-
целом р>0 функции н У_р лииейио независимы. Функции /р(х)
имеют бесчисленное множество положительных корней. Между лю-
быми двумя последовательными положительными кориими функции
Ур лежит одни и только один корень функции Ур+ь Функция Ур(х)
также имеет бесчисленное множество положительных корней, при-
чем они ие совпадают с корнями функции Ур. См. также Свойства
функций Бесселя.
ФУНКЦИИ ВЕКТОРНОГО АРГУМЕНТА —см. Функции не-
скольких переменных.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. Пусть X — множест-
во точек «-мерного евклидова пространства К” и каждой точке х € X
по некоторому закону поставлено в соответствие единственное число
и. Тогда говорят, что иа X задана функция векторного аргумента,
которую записывают так: /: Х-*К, X К, х Л- и, [ :х-ь-и. Если К"
отнесено к системе координат (Кя = 0X1-.. хя), то функцию вектор-
ного аргумента называют также функцией п переменных или, менее
точно, Ф. и. п. В этом случае также употребляются записи / : (хь
хг,..., хя) -> и, (Х1, х».хя) -Л- и. Символом / (хь..., хя) обозна-
чают число и, которое и силу закона / соответствует значению х =
= (хь ......хя). Иногда через / (хь.... хя) обозначают и саму фу нк -
цию. Множество X называют множеством задания (областью опреде-
ления) функции (. Множество
{и/и = /(Х1,...,хп), (Х1,...,хя)€Х} = Е (О
есть множество значений функции (. Для обозначении функции двух
переменных наиболее употребительной является запись и = /(х, у), для
функции трех переменных—и = /(х, у, г).
ФУНКЦИОНАЛ — оператор, отображающий пространство функ-
ций в числовое множество.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ — общий класс уравне-
ний, в которых искомой является некоторая функция. К Ф- У-, по
существу, относятся дифференциальные уравнения, интегральные
уравнения, уравнения в конечных разностях, уравнения, выражаю-
щие свойство, характеризующее тот или иной класс функций, и т. п.
Под Ф. у. в узком смысле понимают уравнения вида Е(Х{...... хп,
и) =0 для определении функции и как функции переменных
Хь ..., Хп.
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ —определитель, эле-
ментами которого являются функции. См., например, Вронскиан,
Якобиан.
00
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ РЯД — ряд 2« А(*), членами которого явля-
ются функции. Пусть все функции (х), к $ К, определены иа иеко-
ОО
тором множестве Дей. Ряд 2 ик М называется сходящимся в точке
А=1
ОО
х0^Е, если сходится числовой ряд 2 «й(*о)> и сходящимся на мно-
А=1
жестве Е, если ои сходится в каждой точке этого множества. Ряд
СО
2 “к (*) называется абсолютно сходящимся на множестве Е, если на
СО
Е сходится ряд 2 / ик (*) I- Как и для числового
к-1
п
ряда, сумма з„ (х) = 2 ик (*) называется частной суммой Ф. р.,
к-1
предел частных сумм сходящегося иа множестве Е Ф. р. называется
его суммой: 5 (х) = Пт зп(х).
п-^со
со со
Ряд 2 «ь (х) называется остатком ряда 2 ик (*) и обознача-
д==л4-1 ^=1
ется гп (х).
ОО
В случае сходимости ряда 2 ик (*) иа множестве Е иа этом мн о-
к= 1
жестве: ип (х) -* 0 при п -* со; гп (х) -> 0 при п -> оо; з (х) — зп (х) +
4- г„(х). Исследование сходимости Ф, р. сводится к исследованию
сходимости числовых рядов.
ФУНКЦИЯ. Пусть X — числовое множество и каждому элементу
х € X по некоторому закону поставлено в соответствие единственное
число у. Тогда говорят, что на X задана Ф., и записывают: /: X -> К
или X -> К, или /; х -> у, или х -+ у. Символом / (х) обозначают
число у, которое и силу закона / соответствует значению х € X. Иног-
да через / (х) обозначается и сама Ф, Множество X называют об-
ластью определения (или множеством задания) Ф. /, и для него
иногда употребляют символ Р(/). Символом Е ([) обозначают мно-
жество {у\ У ((х), и называют его множеством значений
Ф. (. Иногда употребляют запись Е (/) = /(X).
ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРИРУЕМАЯ В СМЫСЛЕ РИМАНА, —см.
Двойной интеграл. Кратный интеграл, Определенный интеграл,
Тройной интеграл.
ФУНКЦИЯ, ИНТЕГРИРУЕМАЯ С КВАДРАТОМ. Функцию Д За-
данную иа отрезке [а, 6], за исключением, может быть, конечного чис-
ь
ла точек, называют Ф. и. с к., если существуют интегралы у / (х) дх
а
Ь
и у (* (х) Лх (и смысле Римана либо в несобственном смысле).
а
Аналогично функция { называется интегрируемой с квадратом на
[а, +°о[ (или ]—оо, а], или ]—оо, 4-оо[), если сходятся интегралы
4-00 4~оо а а
У Цх) Лх и у р(х)Лх (или у ({х)Лх и у р (х) Лх, или
а а —оо —оо
4-со 4-со
У /(х)Лхи У Р(х)Лх),
ФУНКЦИЯ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Если О —
множество иа комплексной плоскости и каждому г € О поставлено
в соответствие одно илн несколько комплексных чисел о», то говорят,
что иа О определена Ф. к. п. г. Кратко записывают: хя—Цг). Если
каждому г соответствует одно значение а», то функцию I называют
однозначной; если более одного значения а»,— многозначной. Одно-
значную функцию } можно представить в виде ^(г)—и(х, у) +
+1о(х, У), где г=х+1у, и(х, у) =Ке/(х-Н’у), о(х, у) =1т}(х+1у).
ФУНКЦИЯ Т/х, п € И, в комплексной области определена для
всех г, неоднозначная. Каждому г=ге;« соответствует п значений
функции, вычисляемых по формулам:
— Л'(а + 2йл)\
ш = у г ехр ------------I, к = О, 1,.,., п — 1.
п
В плоскости комплексного переменного можно выделить п ветвей
(однозначных функций).
ФУНКЦИЯ ЛАПЛАСА — см. Интегральная теорема Муавра —
Лапласа.
ФУНКЦИЯ ЛЯПУНОВА нулевого решения системы
д и ф фере ици альиых уравнений в векторном виде
= х), / (о, х)=(Г —неотрицательная дифференцируемая
функция о: Я" -> К, обладающая следующими свойствами:
1) о ( х ) = 0 <=» х =0;
2)2
Л-1 ^хк
Ф. Л. ие возрастает вдоль решений даииой_системы. Ф. Л. для
д. х -*• -* I
систем вида — Ах +/ V,*) ищу» в виде квадратичных форм
п
о(х*) = 2 ак]хкх]- См. Теорема Ляпунова.
к. !=\
ФУНКЦИЯ, НЕПРЕРЫВНАЯ НА ЧИСЛОВОМ МНОЖЕ-
СТВЕ. Функцию /, заданную на множестве X, состоящем из одного
или нескольких интервалов, называют непрерывной иа X, если оиа
непрерывна в каждой точке множества X. Функция / называется
непрерывной на замкнутом отрезке, если оиа непрерывна во внутрен-
них точках отрезка, непрерывна справа иа левом коице отрезка и
непрерывна слева на правом коице. Если множество задания / со-
держит изолированные точки, то / считают непрерывной и каждой
такой точке. Короче, функция называется непрерывной иа множе-
стве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
ФУНКЦИЯ ОТ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. Пусть ?=?(<»),
<о € й,— случайная величина, заданная иа вероятностном простран-
стве (Й, Р, Р), ф — функция действительного аргумента х. Суперпо-
зиция т) = фо?, заданная иа Й, будет случайной величиной, если при
любом х {<в|т](<о)<х} € Р. Если (О, Р, Р) —дискретное вероятно-
стное пространство, то последнее условие всегда выполняется, и лю-
бая функция от случайной величины будет случайной величиной.
Если случайные величины ?| и ?2 независимы, то будут независимы
и П1 = Ф1(Ы. 1Ъ = ф2(Ь>) при условии, что эти функции являются слу-
чайными величинами.
ФУНКЦИЯ ПРАВДОПОДОБИЯ — см. Метод наибольшего
правдоподобия.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случайной величи-
ны — функция Е^ действительной переменной х (х С Я), определяем
мая равенством
Основные свойства Ф. р.:
1) если Х1^х2> то Е^(х1) ^Е^(х2) (монотонность);
2) НтГЕ(х)»0, Ит/\(х) = 1;
X-*—со®
3) ^(*—0)—/^(х) (непрерывность слева).
Вероятность попадания случайной величины в промежуток вы-
ражается через Ф. р. следующим образом: Р(а^^^Ь) —Е^Ь+О) —
—Е^(а), в частности Р(Ъ,=*а) <=Е^(а+0) ~Е^(а);
Р(а<^<6)-/;'1(б)-/г6(а+0); Р(а^<Ь) =Е^-Е^а)-,
Р(а<^Ь) = (&+0) -/^(а+0).
ФУНКЦИЯ РАССТОЯНИЯ —см. Метрическое пространство.
ХАРАКТЕРИСТИКА ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
ГО УРАВНЕНИЯ в частных производных второго
порядка — см. Характеристическая линия линейного дифферен-
циального уравнения в частных производных второго порядка.
ХАРАКТЕРИСТИКА ПОЛЯ НАПРАВЛЕНИЙ — см. Поле на-
правлений дифференциального уравнения.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ линейного дифферен-
циального уравнения в частных производных
, . ч л, {Ри „ {Ри
второго порядка А (х, у) — + 2В(х, у) — + С (х, у)— +
ох* охоу дуг
ди ди
+ Я1 (х, у) — + &1 (х, у) — + С1 (х, у)и^ } (х, у, и) — множество
точек {(х, у) |<р(х, у) = С}, где <р—непрерывно дифференцируемая
функция, удовлетворяющая уравнению
(<3ф\2 д<р д<р /дф\2
Э +2в^йг?-+с('-и(3
которое называют характеристическим уравнением или уравнением
характеристик для исходного уравнения с частными производными.
X. л. называют также характеристикой. Знание одной или несколь-
ких X. л. позволяет привести исходное уравнение к более простому
виду.
Уравнение X. л. эквивалентно уравнению А (х, у) дх3 —
— 2В(х, у) дхду + С (х, у) ду3 = 0, полученному из исходного харак-
дф дф
теристического уравнения с помощью соотношения —дх + ~^~4у = 0.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА квадратной матри-
цы А порядка л —матрица А — ХЕ (иногда ХС — А). Если
(ац ац ... О1Я X
а23 ... Я1п |
а»1 авз ... авя у
то
(ац — 1 ац ... а1Я X
ям агг—* ... а2я I
ат ап1 ... апп — X у
Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного оператора
/ линейного пространства Уп в заданном базисе (е) = (ёх,..., ея),
то матрицу А — 1.Е называют X. м. линейного оператора ( в задан-
ном базисе.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТО-
РА— см. Характеристическая матрица.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ случайной велит-
н ы. X. ф. действительной случайной величины § называется комплексно-
вначная функция Д (/) => Ме^, где / — действительное число, —оо <
</<+оо, В общем случае X. ф. может быть найдена, по формуле
4-оо
4(0- у е“ха^(х), (1)
где (х) — функция распределения В и интеграл понимается в смысле
Стилтьеса. Для дискретной случайной величины & с распределением
/ Х1 хг ... хА . . . \
\ Р1 Рг • • • Рк • • • )
X. ф.
к
Если 5 — абсолютно непрерывная случайная величина с плот-
ностью вероятности (х), то
4-оо
(/) = | рК (х) Ох.
—00
Основные свойства X. фл
I) (0) = 1;
2) /<й + ьЮ «= е^ь (а1), где а, Ь — действительные постоянные;
8) X. ф. является равномерно-непрерывной функцией;
4) если случайные величины Вь Ви...., Вл независимы, то
/Ч4-.-. + е„.(0“^ Ю^2(П...Ап(0;
5) если у случайной величины ? существует момент й-го порядка
к > 1, то существует непрерывная к-я производная (/) и
6) соответствие, устанавливаемое формулой (1) между множеством
функций распределения и множеством X. ф., является взаимно од-
нозначным. _
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТО-
РА ___см. Характеристическое уравнение линейного оператора.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ЧИСЛА МАТРИЦЫ —см. Хара-
ктеристическое уравнение линейного оператора.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН ЛИНЕЙНОГО
ОПЕРАТОРА — см. Характеристический многочлен матрицы.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН МАТРИЦЫ. Пусть
А—квадратная матрица порядка п. А—ХЕ— ее характеристиче-
ская матрица. Рассмотрим определитель |А —ХС|. Он представляет
собой многочлен степени п от X: ф(Х) = |А — ХЕ\. Его н называ-
ют X. м. м.
Если
(а11 °12 • • • \
а21 а22 • • • а7п 1
I,
ал1 ап2 • • • апп у
ТО
ап-Х а12 ... а1п
а21 а22 — Х . » .
Ф (X) = . =.
ап1 ап2 • ’ • аап ~~
~ (-1)» Xя + (-!)»-! «! Xя-1
Здесь «1 «= ац + а22 + ... + Ядя — след матрицы А, ап = | А |.
Если матрицу А рассматривать как матрицу линейного оператора
I линейного пространства Уп в заданном базисе ( е) = ( е1, ег,.,
то многочлен называется характеристическим многочленом линейного
оператора в заданном базисе.
Т. Если А, В—матрицы линейного оператора ( линейного про-
странства Уп соответственно в базисах (а) и (е' ), ф^ (X) = | А—
— ХЕ |, ф _ (X) =» | В — ХЕ [ — характеристические многочлены опера-
(«') _
тора / в этих базисах, то ф ж. ф . Другими словами, характеристи-
Ге) (е')
ческий многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса,
и поэтому можно просто говорить о характеристическом многочлене
линейного оператора.
Замечание. Тах как значение определителя 14—ХЕ | ие зависит от
выбора базиса, то коэффициенты ои. аг,..„ аа характеристического много-
члена также ие зависят от выбора базиса.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ МНОГОЧЛЕН ОДНОРОДНОЙ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ с постояиными коэффициентами — см. Однород-
ная система линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ для линейного
дифференциального уравнения в частных про-
изводных второго порядка — см. Характеристическая
линия линейного дифференциального уравнения в частных производ-
ных второго порядка.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ для стационар-
ного линейного дифференциального операто-
ра — см. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными
коэффициентами.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ОПЕ-
РАТОРА. Пусть А—квадратная матрица порядка п, <р(А.) =
= 1/1—ХЕ|— ее характеристический многочлен. Уравнение |А —
—аЕ|=0 называется характеристическим уравнением матрицы А
(вековым уравнением) или X. у. л. о., соответствующего этой матри-
це. Если
то
I А — ХЕ | =
а12
°22~^
а1п
а2п
ап2
апп
вц — X
Корни этого уравнения называются характеристическими числа-
ми матрицы, а также характеристическими числами линейного опе-
ратора.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ ВТОРОЙ
СТЕПЕНИ — см. Линия второй степени.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ МАТРИЦЫ —см.
Характеристическое уравнение линейного оператора.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ —
уравнение
\Ь-кЕ М-кР
П-кв
-0
или, что то же самое,
(ЕС-Я)й2- (ЕП+ЕС-2РМ)к+ЕП-М**=0,
где Е, Р, О — коэффициенты первой, а Е, М, П— коэффициенты вто-
рой основных квадратичных форм поверхности.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
второй степени — см. Поверхность второй степени.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами — см. Однородная система линейных диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ЧИСЛО стационарного ли-
нейного днфференцнонального оператора — см.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффи-
циентами.
ХОРДА ЛИНИИ, ПОВЕРХНОСТИ — отрезок прямой, соеди-
няющий две какие-либо точки линии (поверхности) и не пересекаю-
щий линию (поверхность).
ЦЕЛАЯ СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ —
функция чу = г", л^М, г€С. Функция однозначная, аналитическая во
всей комплексной области, и/=Л2Л—Ч
ЦЕНТР—.см. Точка покоя однородного линейного дифферен-
циального уравнения второго порядка с постоянными коэффици-
ентами.
ЦЕНТР КРИВИЗНЫ ЛИНИИ —см. Соприкасающаяся
окружность.
ЦЕНТР СИММЕТРИИ ФИГУРЫ — такая точка О, что дли
любой точки М фигуры найдется такая ее точка М', что О будет
серединой отрезка Мм'.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА В ФОРМЕ ЛЯПУНО-
ВА, теорема Ляпунова. Пусть (5Л )—последовательность независимые
случайных величин, имеющих центральные абсолютные моменты треть-
п
его порядка, и = Вл
п
— ак). Тогда если при п -> со — у М / — ай ]э -> 0, то равио-
п Л —I
мерно по х на ]—оо, +оо[ Р ( 5* < х) -> Ф (х), где Ф (х)
1
1^2 л
е 2 Л — функция распределении стандартного нормаль-
ного закона.
ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА для одинаково
распределенных слагаемых. Пусть ( ?л ) — последователь-
вость независимых одинаково распределенных случайных величин с ма-
тематическим ожиданием а и дисперсией а’. Тогда прип->оо
(/ П \ \
----I Л Да— па|<х|->Ф(х) равномерно по х на]—оо,
пУ~п \‘^ / /
1 Д -И.
+оо[. Здесь Ф (х) = —- I е 2 <Д — функция распределения
У2 л 3
стандартного нормального закона.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ЛИНИИ—линии, имеющие центр симметрии.
Среди линий второй степени Ц. л. являются эллипсы (окружности)
и гиперболы.
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНО-
СТИ — поверхности, имеющие центр
симметрии. Среди поверхностей вто-
рой степени Ц. п. являются эллип-
соиды (сферы), однополостные и дву-
полостные гиперболоиды, конусы.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ абсолют-
ный МОМЕНТ Л-го ПОРЯДКА
случайной величины — см.
Моменты случайной величины.
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ МОМЕНТ
к-го ПОРЯДКА случайной величины — см. Моменты слу-
чайной величины.
ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ — плоская линия, форму которой принимает
гибкая однородная нерастяжимая тяжелая нить с закрепленными кон-
цами. При подходящем выборе декартовой прямоугольной системы ко-
ординат уравнение Ц. л. можно задать
и виде у = -2- ( е*/а +
*
+ е л/а) = а ей —. При этом ось Ох называют базой Ц. л. (см. рис.).
1 а
При вращении Ц. л. вокруг ее базы получается катеноид.
ЦЕПЬ МАРКОВА. Рассмотрим последовательность испытаний,
в каждом из которых может произойти одно из полной группы собы-
тий Ац Аз, ..., Ап. Вероятности событий А), /»1, 2, ..., п, в испытании
с номером 5+1, 5=1, 2, .... будут зависеть, вообще говоря, как от
номера испытания, так н от результатов предшествующих 5 испы-
таний. Если эти (условные) вероятности зависят только от резуль-
тата предыдущего 5-го испытания (т. е. не зависят ни от номера
испытания, ин от результатов остальных 5—1 испытаний), то
говорят, что последовательность испытаний образует однород-
ную Ц. М.
Ц. М. можно интерпретировать как некоторую физическую си-
стему с возможными состоиииими Ль Аг, .... Ап. В целочисленные
моменты времени система изменяет свое состояние, при этом
(условная) вероятность в момент времени 5+1 попасть в состоя-
ние А], если известна вся предыстория системы, зависит только от
предыдущего состояния системы.
Пусть рц — вероятность того, что в испытании с номером 5+1
произойдет событие А} при условии, что в 5-м испытании произо-
шло событие А{. В силу упомянутой физической интерпретации со-
бытия Л1, .... Ап принято называть состояниями, а вероятности р,^,
А 7=1, 2, _., п,— вероятностями перехода (за одни шаг) из состоя-
ния А{ в состояние А/. Матрица /’=(р<1) называется матрицей
перехода. Сумма элементов каждой строки этой матрицы равна еди-
л
нице: 2^0=!•
Пусть ри(к), к=1, 2, .... есть вероятность того, что в испытании
с номером 5+А произойдет событие А} при условии, что в 5-м испы-
тании произошло событие А{ (вероятность перехода из состояния Л|
в состояние А] через к шагов), тогда для любых натуральных
т и к
п
Р1} (т + к) — 2 ри (т) ри (к).
1=1
Это равенство можно записать в матричном виде Р(т+к) =
=Р(т)Р(к), если ввести матрицу перехода через к шагов Р(к) =
= (Ри(к)), I, 7=1, 2, п. Из последней формулы, в частности, сле-
дует, что для любого натурального к Р(к) —Рк.
Если известны вероятности Р(ЛР) = р*‘'событий ЛьЛ2, ..., Ап
в первом испытании, то (безусловная) вероятность наступления со-
бытия А], /=1, 2, ..., п, в испытании с номером к может быть вычи-
слена по формуле
Ил/*’)-*
Т. (Теорема о предельных вероятностях.) Если прн некотором
к$ все элементы матрицы перехода Р(к0) положительны, то при лю-
бом /=1, 2, п существует ие зависящий от I предел Птр,;(А) =
Л->со
*=р}>0. Числа р>, /=1, 2, п, называемые предельными вероятно-
стями, являются единственным решением системы линейных урав-
нений
п п
Р}^ 2 Р1Р1)> 2 р(о|, 1«1,2............л.
6=1 /=1
Числа р] есть, по существу, вероятности попадания системы в
состояние А) через большой промежуток времени. При этом оказы-
вается, что эти вероятности ие зависят от начального состояния
системы. Совокупность предельных вероятностей называют стацио-
нарным распределением вероятностей марковской цепи.
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПОДСТАНОВКА, цикл, — подстановка, при
повторении которой достаточное число раз всякий из действительно
перемещаемых ею символов может быть переведен в любой другой из
этих символов. Так, подстановка (35^24) пеРемси1ает символы 2,
5 и 4, причем переводит 2 в 5, 5 в 4, а 4 снова в 2 (а также 1 в 3,
3 в 1). К числу Ц. п. принадлежат все транспозиции. Для Ц. п.
употребляют обозначение транспозиций. Так, в данном примере имеем
Ц. п. (2, 5, 4) и (1, 3). Любая подстановка может быть разложена
в произведение циклов. В рассматриваемо. примере ^35^24)“
= (1,3) (2, 5, 4).
ЦИКЛОИДА — траектория
точки, лежащей иа окружности
круга, который без скольжения
катится по прямой (см. рис.).
Принимая данную прямую за ось
Ох и полагая, что в исходном по-
ложении вычерчивающая точка
находилась в начале координат, получаем параметрические уравне-
ния Ц. в виде х«а(1-!т/), у—а(1-соз<). где а —радиус круга.
См. также Удлиненная (укороченная) циклоида.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ — поверхность, опи-
сываемая прямой линией (образующей), которая, поступательно
перемещаясь, проходит через все точки некоторой линии (напра-
вляющей). Если в качестве направляющей линии выбрать линию
Р(х, </)=0 плоскости Оху, а образующие проводить параллельно осн
Ог, то Р(х, у)=0 будет и уравнением соответствующей Ц. п. Среди
поверхностей второй степени Ц. п. являются гиперболический, пара-
болический и эллиптический цилиндры.
КООРДИНА-
ЦИЛ ИНДРИЧЕСКИЕ
ТЫ. Положение точки М и пространстве
можно определить: 1) расстоянием р от
точки М до фиксированной прямой Ог;
2) углом <р, образованным фиксированной
плоскостью Охг с полуплоскостью, ограни-
ченной осью Ог и проходящей через М;
3) расстоянием г от точки М до плоскости
Оху, перпендикулярной к Ог и проходящей
через фиксированную точку О этой прямой
(см. рнс.) (р, ф, г изменяются в пределах:
0^р<4-оо, 0=Сф<2л, —оо<г< + оо). Упо-
рядоченную тройку чисел (р, <р, г) называют Ц. к. точки М. Ц. к.
связаны с декартовыми прямоугольными следующим образом: х=
=р соз Ф, У~_р зш ф, г=г.
ЦИРКУЛЯЦИЯ ВЕКТОРНОГО ПОЛЯ. Линейный интеграл в век-
торном поле а вдоль замкнутой линии Д называется Ц. в. п. а вдоль
контура Ь. Ц. в. п. можно записать одним из интегралов:
С«= | а • Аг = ф а5Аз = $ алЛг + ауЛу агЛг
(см. Линейный интеграл в векторном поле). Обход по контуру со-
вершается против часовой стрелки. Если среди векторных линий име-
ются замкнутые линии, то циркуляция вдоль такой линии имеет
вид С = ± а • А г (знак плюс или минус в зависимости от то-
го, совпадает направление вектора а на векторной линии с направле-
вием обхода лвнив Ь илв они противоположны). Ц. в. п. вдоль зам-
кнутой векторной лииии отлична от нуля.
ЦИССОИДА ДИОКЛЕСА. Пусть дана окружность диаметра
касательная к ией в точке Л, а ОВ — произвольный луч.
Ц. Д. — множество точек М, для которых
| ОМ |=»| СВ |, где С — точка пересечения лу-
ча ОВ с окружностью. Выбирая системы ко-
ординат, как указано на рис., получим сле-
дующие уравнения Ц. Д. в декартовых пря-
|ОА|=2а
и
моугольных координатах: у1 =»
в полярных координатах р=2а
х3
2а —х
/ 1
\ соз <р
—соз<р^. Параметрические уравнения Ц. Д.
а
можно представить и виде х=• — у =
является асимптотой Ц. Д.
а
Прямая х=2а
ЧАСТИЧНЫЙ (ЧАСТНЫЙ) ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТИ— предел сходящейся подпоследовательности данной после-
довательности. Всякая ограниченная последовательность имеет
хоти бы один частичный предел. Символ +<» (соответственно — <ю)
называют бесконечным Ч. п. п. (хж), если существует такая подпо-
следовательность (х»А) последовательности (хп), что 1ш1Хп*=+<»
Л-м»
(соответственно Ит хж>=—оо).у любой последовательности суще-
4-.ОО
ствует по крайней мере один частичный предел, конечный илн бес-
конечный.
ЧАСТНАЯ (ЧАСТИЧНАЯ) СУММА РЯДА —см. Ряд.
ЧАСТНАЯ СУММА ФУНКЦИОНАЛЬНОГО РЯДА —см.
Функциональный ряд.
ЧАСТНАЯ (ЧАСТИЧНАЯ) СУММА ЧИСЛОВОГО РЯДА —см.
Числовые ряды.
ЧАСТНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕ-
РЕМЕННЫХ— см. Приращения функции нескольких переменных в
точке
ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕ-
НИЯ — см. Решение обыкновенного дифференциального уравнения,
Общее решение.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. Пусть задана функция и = / (хь хг,
.... хп) в некоторой окрестности точки х^ = ( х{°\ х^01) прост-
ранства К". Фиксируя переменные хь х>, .... хк х*^,, х„:
г, =. Х<°> X» = Х<0> X — Х<°> X = х<°) X = х<°>
Х1 = х1 , хг — Х2 Х*_1 — Х*_р ХА+] = Хй_|_1......ха = хп ,
получаем функцию одного переменного х*: и = /(х}°\ ..., (
хц, **^Р •••> Х^т. * 0,)-Обычная производная этой функции в точке х^ назы-
вается Ч. п. функции I в точкех(0> по х* и обозначается ~(х|°\ ....
или илн ( х<°>). Из определения обычной производной следу-
ет, что
-^(х‘°))= Нт } ( Х10>..4-1» 40)+А*Ь 4+1...ХП0>) - I (*(0))
дхЛ Дх* -о Дх*
т. е. ^-(х(0,)=Ит ——1, где Дх* } — частное приращение фун-
дхь -о Дх*
кции ). Аналогично определяются Ч. п. функции ( по остальным пе-
ременным.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 7(и, о). Част-
ные производные и полные дифференциалы вектор-функции г (и, о)
определяются следующим образом:
дг
дй
—►
дг
до
7и - Пт
“ Аи-*.О
г (и + Аи, о) — г (и, о) ,
Ди
V
Нт г(ц' р +Ау) — г<и, о) .
До-*0 До *
4 г — ги0а + г„Ж>; — “ гиа «= — I. ги
& г д (-+ хд* г -* -+ д (-* \ $ V
ЛЯ до дидо до ди
Л* г = гаиЛи* -|- 2 гиг,Лидо + г„„ЛЯ
и т. д.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. Пусть частная
производная— функция /(хь .... хп), определенной в некоторой ок-
дх*
рестности У (а) точки а= (<21. а„), существует в этой окрестнос-
та. Тогда— также представляет
дх»
п ж к
..., хя. Если функция-—обладает
дхй
собой
частной
функцию переменных Хх,
X; в точке а, то эту частную производную
производной иля частной производной второго
производной по аргументу
называют второй частной
точке а сначала по аргументу х*. а затем по
порядка функции / в
аргументу X] и
обозна*
чают одним из символов
Итак,
д2}
дх]дхъ
/(2> .
дх.дхк( ),1хкх)
дГ\
-—). Есля к = /, то
употребляется
запись
------=---------. Если й # /, то частная производная -—г- называ-
дхфк дх/1г------дх^хь
ется смешанной частной производной второго порядка. Аналогично
вводятся частные производные более высоких порядков. Например,
если (т— 1)-я частная производная функции { обладает в точке а
частной производной, то последняя называется л»-й частной произвол*
ной или частной производной т-го порядка:
д"1}________д / У""1/
дхъ1дх1г2...дх11тдх1!\ дхц^.-дх^
дт?
Если кг «= кг =• ,,. = кт, то записывают: т—. Если ие все индексы
к\, кг, ..,, кт равны между собой, то частная производная называ-
ется смешанной. См. также Смешанные частные производные,
ЧАСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ дифференциального урав-
нения первого порядка — см. Общий интеграл.
ЧАСТНЫЙ ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ — то же,
что частичный предел последовательности.
ЧАСТОТА СОБЫТИЯ — отношение числа появления события
к числу всех проведенных экспериментов, т. е. если в серии из п
случайных экспериментов событие А произошло т раз, то частота
этого события в данной серин равна т/п.
Теория вероятностей изучает математические модели тех слу-
чайных экспериментов, которые обладают свойством статистической
устойчивости (свойством устойчивости частот). Это свойство заклю-
чается в том, что прн большом п частота любого события А лишь
иезначительяо колеблется (при изменении п) около некоторого чи-
сла р. Кроме того, частоты события А в различных сериях однотип-
ных экспериментов будут близки между собой при условии, что в
каждой серии производится достаточно большое число экспери-
ментов.
ЧЕТНАЯ ПЕРЕСТАНОВКА — перестановка, у которой число
инверсий четное.
ЧЕТНАЯ ПОДСТАНОВКА — подстановка, у которой четности
верхней и нижней строк (перестановок) совпадают. Иначе: Ч. п.—
подстановка, у которой общее число инверсий в двух ее строках чет-
но. Число Ч. п. п-й степени равно числу нечетных, т. е. равно -^п!.
См. также Транспозиция.
ЧЕТНАЯ ФУНКЦИЯ — см. Четные и нечетные функции.
ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ. Пусть для функции / из усло-
вия х € О (/) следует, что и —х € О (/) Если при этом для Ух €
€ Ь(1) выполняется равенство }(—х) =•/(%), то функция / называет-
ся четной, если же }(—х) = —}(х),—то нечетной. График четной
функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной
функции симметричен относительно начала координат. Если функция
интегрируема на отрезке [—I, /], то для четной функции, имеем
I I I
У I (х) дх = 2 У / (х) дх, для нечетной — У [ (х) дх = 0.
—I о — I
Произведение двух четных или двух нечетных функций есть функ-
ция четная, произведение четной н нечетной функций — функция нечет-
ная. Произвольную функцию /, множество вадаиия которой симмет-
рично относительно начала координат, можно представить в виде
суммы четной и нечетной функций, т. е. /=§+&, где §(х) (/(х) +
+((— х))— четная функция, к(х)=*~2(((х)—((—х))— нечетная.
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ / — приближенное
ь
вычисление интеграла У ((х) йх. Наиболее удобными для решения
а
Ь п
этой задачи являются формулы вида У / (х) йх = У, Лул,/(хА), гдепо-
а А=0
стоянные Лул» и точки хА, й»= 0,1...... ие завесят от функции /.
Формулы такого вида называются квадратурными формулами, числа
Л<л> —весовыми коэффициентами, а точки хо, Х1......хя— узлами
квадратурной формулы. Чаще всего квадратурные формулы строят >
при помощи интерполяционного многочлена Лагранжа. Полагая / (х) =•
п
—Рп (х) 4- Рп (*)• гДе Рп (*) *= У / (**) — интерполяционный много-
&=0
/(л+п(5)
член Лагранжа, 7?я (х) «=-------и (х) — остаток интерполирования,
(п + 1)!
имеем
ь ь ь п ь
у / (X) дх = У Рп (х) дх +Уяп (х) Ох = У / (хА) У 1к (х) дх + К* —
а а а а
- 1 Л<л> / (хА) + <.
Отбрасывая остаток /?*, получаем квадратурную формулу дли вычислен
ния интеграла, которая называется интерполяционной квадратурной
формулой. Интерполяционные квадратурные формулы строятся
при небольших степенях интерполяционного многочлена, обычно
₽! (х), Рг(х), Рз(х), а для увеличения точности квадратур отрезок
[а, 6] разбивают иа л отрезков точками х* •= а+&Л, А«=0,1,,,,,л.
Тогда
Ь п хк
| / (х) <1х = У I I (х)
о я=0
хк
и к каждому из интегралов $ / (х) дх применяют интерполяционную
хк-\
квадратурную формулу. Простейшими формулами такого типа являют-
ся формула прямоугольников, формула трапеций, формула Симпсона.
См. также [8, 10].
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ —см. Приближенное решение диффе-
ренциального уравнения.
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ дли
обыкновенного д и ф ф е р е н ц и а л ь н ого уравнении
первого порядка — алгоритмы вычисления приближенных
(а иногда и точных) значений искомого решения у(х) уравиеиии
у'(х)=1(х, у) с начальным условием у(хь)=*уъ по некоторой выбран-
ной (нли заданной) сетке значений аргумента х. Решение при этом
получается в виде таблицы. Чаще всего используются методы ло-
маных (Эйлера), Рунге — Кутта. Имеется также ряд других мето-
дов. См., например, [8].
ЧИСЛО е — предел возрастающей ограниченной последовательиос-
{! 1 \п\ ( 1 \я
тн 1 + —) ), е-11т 1 +— ) , е == 2,71828...
\\ П ) / \ П /
Ч. е иррационально я трансцендентно. Показательную функцию с ос-
нованием е называют экспонентой и обозначают ехрх или е*. Лога-
рифм при основании е называют натуральным, поэтому Ч. е назы-
3
вают еще натуральным основанием. Ч. е с точностью---------мож-
„ 1 1 1” '
ио вычислить по формуле е = 2 —- -|- —-
2! 31 л!
ЧИСЛОВАЯ МАЖОРАНТА дли функционального
ряда — см. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функ-
ционального ряда.
ЧИСЛОВАЯ МАТРИЦА —см. Матрица.
ЧИСЛОВАЯ ОСЬ— то же, что числовая прямая.
ЧИСЛОВАЯ ПЛОСКОСТЬ — множество упорядоченных пар
действительных чисел. Обозначение: К2. Любую упорядоченную пару
Действительных чисел называют точкой Ч. п. К точкам Ч. п. применя-
ют геометрическую терминологию. Например, прямая — множество
точек (х, у) € В2, координаты которых удовлетворяют уравнению
ах+Ьу+с =0.
ЧЦСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ—числовая функции,
определенная на множестве Ы натуральных чисел. Иначе: Ч.. п.—
Отображение в К или занумерованный бесконечный набор чисел.
Значения функции, соответствующие значениям аргумента, равным
1, 2, .... л.называются (1, 2, .... л, ...)-ми членами Ч. п. Последова-
тельность с л-м членом хп обозначают (Х1, х2. хп, ...) нли (хп).
Обычно Ч. п. называют просто последовательностью. Множество зна-
чений, которые принимают члены хп последовательности (хп), обо-
значают {хп}. Последовательность (хп) называют ограниченной,
если ограничено множество {хп}. Последовательность, у которой
множество {хп} состоит нз одного элемента, называют постоянной.
Если при каждом л хп+1^хп, то последовательность называют
возрастающей; если хп+1>хп—строго возрастающей-, при хп+1<
<хп—убывающей; хп+1<хп — строго убывающей. Возрастающие
и убывающие последовательности называют монотонными, а строго
возрастающие и строго убывающие — строго монотонными. См. так-
же Предел числовой последовательности.
ЧИСЛОВАЯ ПРЯМАЯ. Между множеством К всех действи-
тельных чисел и множеством точек М(х) координатной прямой су-
ществует взаимно однозначное соответствие. Поэтому множество К
часто называют Ч. п., а его элементы, т. е. числа,— точками Ч. и.
Иногда говорят, что Ч. п. есть числовой промежуток ]—оо, +<»[.
Ч. п. называют еще числовой осью. См. также Действительное
число.
ЧИСЛОВОЕ ПОЛЕ — любое множество чисел, содержащее хотя
бы одно число, отличное от нуля, и вместе с любыми двумя числами
а н & содержащее их сумму а+Ь, разность а—Ь, произведение аЬ и
частное а/Ь (если 6=#0). Примеры Ч. п.: множество О всех рацио-
нальных чисел, множество К всех действительных чисел, множество
С всех комплексных чисел. Множества (натуральные числа) и 1
(целые числа) не образуют Ч. п.
Замечааие. Кроме Ч.п., рассматривается также общее понятие поля,
элементами которого не обязательно являются числа.
ЧИСЛОВОЙ ЛУЧ, ОТРЕЗОК — см. Числовые промежутки.
ЧИСЛОВОЙ ОТРЕЗОК, ОТКРЫТЫЙ СЛЕВА, СПРАВА,—
см. Числовые промежутки.
ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ — общее название, объединяющее
следующие числовые множества: замкнутый промежуток (отрезок,
сегмент, числовой отрезок) с началом а и концом Ь: [а, 6] = {х €
6 й|а<х^&); открытый промежуток (интервал, открытый от-
резок}. с началом а и концом Ь: ]а, 6[ => (х € К | а < х < Ь}; (для
интервалов используется иногда и обозначение (а, Ь)); полуоткрытые
промежутки (полуинтервалы): ]а, />]=» {х € Я I а < х < Ь} —числовой
отрезок, открытый слева; [а, 6[ «= {х € К | а < х < 6} — числовой
отрезок, открытый справа (для обозначения полуинтервалов исполь-
зуются и символы (а, 6], [а, Ь)); бесконечные промежутки (лучи,
полупрямые): [а, 4-оо[ = (х € К | х> а}, ]а, +<ю[ = (х € К |х > а},
]—со, а[ к» {х € К / х < а), ]—оо, а] <=• (х € Н | х < а); числовая
прямая: Н “ ]—оо, 4-оо[.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. С помощью заданной числовой последователь-
п
ности (а„) образуем последовательность (зП), где зп <= 2 “ «т +
+ а4+ ... + ап. Эта последовательность («„) называется Ч. р. и за-
оо ОО
писывается 2аЛ==а1 + + • • • + ап + • • • > ак— член РяДа 2 ак<
к=1 к=1
з„ — частная (или частичная) сумма ряда. Если последова-
СО
тельность (з_) имеет конечный предел з, то ряд 2 аь называют
Л==1
00 00
сходящимся, а число з— суммой ряда 2 ак и пишут 2 ак •=•
А==1
Если же указанный предел Птзл не существует или бесконечен, то
ряд называется расходящимся. См. Числовые ряды с положительными
членами, Признак Д’Аламбера, Признак Коши, Признак Лейбница,
Признак Абеля, Признак Дирихле.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ. Рассмот-
00
рим ряд 2 ск< где ск — комплексные числа. Основные понятия для такого
*=1
ряда (сходимость ряда, частные суммы, сумма ряда и т. п.) определяют-
ся так же, как и для рядов с действительными членами (см. Числовые
ряды). Если с6 = ай+ где ай, € К, то для сходимости ряда
00 оо оо
^ск необходима и достаточна сходимость обоих рядов2 и
И тогда
00 00 00
&=1 6=1 &=1
00
Ряд 2сй называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд
2 |с* /• Из абсолютной сходимости ряда 2 ск вытекает его сходи-
/г=4
оо оо оо
мость. Указанные выше ряды 2а*. 2|с* I являются рядами
А=1 *=1 *=|
с действительными членами и вопрос о их сходимости решается с по-
мощью признаков сходимости числовых рядов с действительными чле-
нами.
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ.
00
Ряд 2а* называют рядом с положительными членами, если
*=1
для V 6 € У. Последовательность частных сумм ряда с положитель-
ными членами является возрастающей. Для сходимости ряда с поло-
жительными членами необходимо и достаточно, чтобы последователь-
ность частных сумм этого ряда была ограничена сверху. О признаках
сходимости рядов с положительными членами см. ст. Признаки
сравнения для числовых рядов, Степенной признак сходимости чи-
словых рядов, Признак Д’Аламбера сходимости числового ряда,
Признак Коши сходимости числового ряда.
ЧИСТО МНИМОЕ КОМПЛЕКСНОЕ ЧИСЛО—см. Комплекс-
ные числа.
ШАГ ВИНТОВОЙ ЛИНИИ — см. Винтовая линия.
ШАР (открытый шар) в К" с центром в точке х0 радиуса т — мно»
жество {х / х € йл, р (х, Хо) < г), где р — расстояние. Объединение Ш.
со сферой 5 => (х | х $ Йл, р (х, х0) = г} дает замкнутый Ш.
ЭВОЛЬВЕНТ А плоской линии! — линия !*, по отношению
к которой ! является эволютой. Если линия ! задана уравнением г «=
—'►
=- г(«) (з — натуральный параметр), то уравнение семейства ее эволь-
—'► —1► —► —'►
вент имеет вид р => г 4- (а — з) /, где { — единичный вектор каса-
тельной линии Ь, а — произвольный параметр.
ЭВОЛЮТА плоской л и н н и — множество центров кривизны
лииии (см. Соприкасающаяся окружность). Если линия задана пара-
метрическими уравнениями х=»х(/), у = </(/), то Э. имеет уравнения:
у , х'2 + у'2 х'2 -I- у'2
Х‘-Х-у "х^х"у' ’ У~У+Х
ЭЙЛЕРОВЫ ИНТЕГРАЛЫ — см. Бета-функция, Гамма-функция.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ. Бесконечно малые
/ (*)
функции / и у называются эквивалентными при х -> а, если Пт —— =
х-*а ё (*)
« 1. Запись: { у прн х->а. Для экиивалентности / и у при х-+а
необходимо и достаточно, чтобы / можно было представить в виде
[ = § -|- о (й) ПРИ *-*<*• Если существуют постоянные А, к (к > 0), та-
кие, что /(х) ~ А (х— а)к при х-*а, то иыражение А(х—а)А назы-
вают главной частью степенного вида функции / при х -* а. При вы-
числении предела произведения множители можно заменить эквивалент-
ными функциями. Замена слагаемых эквивалентными функциями
в общем случае недопустима, однако если А ~ Яь
~ кг при х-> о и /1, /1 одного порядка с /, то 11т (/г +
Х-Н1
[2) ц = Пт (Л1 -|- к») 8- Подобным образом можно рассматривать и
х-^а
эквивалентные бесконечно большие и использовать их при вычислении
пределов.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ. Пусть
КXI, Хг Хп) и 8(У1> Уг Уп) —две квадратичные формы над чи-
словым полем Р. Эти формы называются Э. к. ф. нли конгруэнтными
квадратичными формами, если существует невырожденное линейное
однородное преобразование переменных (х)=8(у), переводящее
одну из них в другую. Если А — матрица квадратичной формы 1,
В — матрица квадратичной формы 8, то В=8ТА8. Ранги Э. к. ф.
равны.
Т1. Две действительные квадратичные формы эквивалентны над
полем действительных чисел тогда и только тогда, когда равны их
ранги и сигнатуры.
Т2. Две комплексные киадратичные формы эквивалентны тогда
и только тогда, когда их ранги равны.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПОЛИНОМИАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ —
матрицы, получающиеся одна из другой с помощью элементарных
преобразований.
Т. Системы наибольших общих делителей миноров Э. п. м. совпа-
дают.
См. также Критерии эквивалентности полиномиальных матриц.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕ-
НИЙ— системы, полученные одна нз другой с помощью элементар-
ных преобразований.
ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ФУНКЦИИ — см. Сравнение функций.
ЭКВИПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ — см. Поверхно-
сти уровня скалярного поля.
ЭКСПОНЕНТА — см. Показательная функция.
ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА —
г= ге'Ф, где . г _ модуль, <р — аргумент, е'ф <=соз <р 4-1 з!п <р (См. Три-
гонометрическая форма комплексного числа).
Справедливы следующие формулы:
2 = ге— <Ф; 2122 =Г1Г2е‘(ф1+ф4; — = — е1 (ф1 ~ ^2 )', гп =. гле*”ф;
2а ?Ъ
ф + 2 &Л
-=^/г е п , к = 0,1.......п — 1; соз<р =-~(е*ФН-е <Ф);
зш <р = — (е/ф — е—,ф).
Если положить /•=«“, то г = аи+,ф.
ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ — см. Интерполяция алгебраическими много-
членами.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ. Пусть функция /
определена на множестве Р с: К и Р — множество значений этой функ-
ции (Р = /(Р)). Еслв множество Р имеет экстремальные элементы,
т. е. наименьший элемент у =» тшР в наибольший элемент у=тэкР, то
у и "^называют Э. з. ф. на О и обозначают: у = пни [ = ппп / (х) =
— _ — о
=тш Г (Р); у = тах [ = тах [(х) = тах {(Р).
О О
Еслв Э. з. ф. существуют, то ( достигает наименьшего значения
на Р в любой вз точек хС Р, таких, что /(х)=у, а наибольшего —
в точках х(Р, таких, что 1(х)=у. Точкв, в которых функция дости-
гает наименьшего значения, называются точками минимума фуикцив,
а точкв, в которых функцвя достигает наибольшего значения,—
тачками максимума. Общее название для точек мннвмума н макси-
мума — точки экстремума. Э. з. ф. называют еще глобальными (вли
абсолютными) экстремумами, а соответствующие точкв — точками
глобального нли абсолютного экстремума.
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ числового множест-
ва Е — общее название для максимального (тах Е) и минималь-
ного (пмп Е) элемента множества. Множество Е может обладать
обоими Э. э., одним вли вовсе ие иметь их.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ нескольких переменных.
Рассмотрим функцию /, заданную на множестве Р из п-мерного евкли-
дова пространства Кл. Точку а С Р называют точкой максимума функ-
цив / на О, если / (а) = тах/, т, е, / (х) <7(а)> V* ё О- Если, кро-
о
ме того, / (х) / (а), Ух € О, х а, то а — точка строгого максимума.
Еслв для Ух € О имеем I (х)~^ {(а), то а — точка минимума функции
( на О. Если при этом I (х) ! (а) при х а, то а —точка строгого
минимума. Общее название точек минимума и максимума — точки экс-
тремума, точек строгого минимума и строгого максимума — точки стро-
гого экстремума. Внутреннюю точку а множества О называют точкой
локального максимума функции /, если а является точкой максимума
функции / на некоторой окрестности точкв а, т. е. 317 (а) с О, такая,
что / (х) < / (а) для Ух С У (а). Аналогично определяются точки
строгого локального максимума, локального минимума, локального эк-
стремума, строгого локального экстремума. См. также Достаточные ус-
ловия локального экстремума функции нескольких переменных, Необ-
ходимое условие локального экстремума функции нескольких перемен-
ных.
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ МАТЕМАТИКА. До введения новых школь-
ных программ по математике под Э. м. поцималв разделы математв-
кн, изучавшиеся в средней школе. Введение элементов дифференцв-
ального и интегрального исчислений в программу средней школы не
позволяет строго делить математику на элементарную и высшую.
ЭЛЕМЕНТАРНОЕ СОБЫТИЕ —см. Пространство элементар-
ных событий.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДЕЛИТЕЛИ —1. Э. д. многочлена.
Если 1(х)—многочлен ненулевой степенв с коэффициентамв вз чи-
слового поля Р— представлен в ввде произведения своего старшего
коэффициента и степеней различных не приводимых над Р много-
членов, старшие коэффициенты которых равны единице, т. е. имеет
ннд /('х) = а0('ф|('х))“1...(фт (х))^"', то многочлены (ф/(х))“'
= 1, 2.т) называют Э. д. многочлена ((х).
2. Э. д. полиномиальной матрицы. Системой Э. д. по-
линомиальной матрицы А(х) называют объединение систем Э. д. всех
ее непостоянных инвариантных множителей. Прн этом каждый Э. д.
учитывается столько раз, во сколько инварвантных множителей он
входит.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ —
уравнения, все решения которых можно построить с помощью конеч-
ного числа алгебраических н основных аналитических (в том числе
операций дифференцирования и интегрирования) операций над функ-
циями, задающими уравнения. Еслв уравнение разрешимо с помощью
конечного числа алгебраических операций и квадратур, то его назы-
вают интегрируемым в квадратурах. См. Дифференциальные урав-
нения первого порядка, интегрируемые в квадратурах.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МАТРИЦЫ — полиномиальные матрицы
вида;
1 о ... о ... О ... о
О 1 ... о ... о ... о
6 * * 6 ' * 1 ’*.*.’.* /(х) ' 6
О О ... О ... 1 ... о
О О ... О ... О ... 1
где а — отлнчиое от нуля число; Цх) —многочлен.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАТРИЦЫ—1) ум-
ножение некоторого ряда матрицы на число, отличное от нуля;
2) прибавление к одному ряду матрицы другого, параллельного ему
ряда, умноженного иа произвольное число; 3) перестановка местами
двух параллельных рядов матрицы.
Любую матрицу Атхп = ГО1^ с помощью Э. п. м. можно привести
К трапециевидной матрице или к виду
1 0 0 ... 0.0
0 1 о ... о о
О О О ... 1 о
о о о ... о о
о
о
о •
о
о
(ООО 0 0
где число единиц равио рангу матрицы А.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОЛИНОМИАЛЬ-
НОЙ МАТРИЦЫ — умножение некоторого ряда матрицы на
ие равное нулю число; 2) прибавление к одному ряду матри-
цы другого, параллельного ему ряда, умноженного иа произволь-
ный многочлен; 3) перестановка местами двух параллельных ря-
дов матрицы.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙ-
НЫХ УРАВНЕНИЙ— 1) умножение некоторого уравнения систе-
мы на отличное от нуля число; 2) прибавление к одному уравнению
системы другого ее уравнения, умноженного иа произвольное число;
3) перестановка местами двух уравнений системы. Очевидно, что
прн Э. п. с. л. у. соответствующие элементарные преобразоваиня
производятсн над расширенной матрицей системы.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ — функции, которые можно по-
лучить нз основных Э. ф. (многочлен, рациональная, степенная, по-
казательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные триго-
нометрические) с помощью конечного числа арифметических действий
и композиций. Каждую Э. ф. можно задать формулой, т. е. набором
конечного числа символов, отвечающих перечисленным операциям.
Э. ф. непрерывны всюду, где определены.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕН-
НОГО — целая степенная функция, функция показательная фун-
кция, логарифмическая функция, тригонометрические функции, об-
ратные трнгонометрическне функции, гиперболические и обратные
гиперболические функции. Э. ф. к. п. вводят либо с помощью сте-
пенных рядов, либо с помощью элементарных функций действитель-
ного переменного, распространяя нх во всю комплексную плоскость.
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЦЫ —см. Матрица.
ЭЛЛИПС — множество всех точек плоскости, координаты которых
в некоторой декартовой прямоугольной системе координат Оху удовле-
творяют уравнению
—+^-=1,а>5>0. (1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением Э. Точ-
ки пересечения Э. с осями координат А1 (—а, 0), Аа(а, 0),
ВЦ—Ь, 0), Вг(Ь, 0) называются вершинами Э. Расстояния 2а и 2Ь
между вершинами, а также отрезки, заключенные между ними, иа-
называются фокусами Э.
зываются соответственно большой н
малой осями Э. (см. рис.) Для Э. осн
канонической системы координат
являются осями симметрии, начало
координат — центром симметрии
(центр Э.). Э. можно получить нз
окружности х2+у2=а2 сжатием ее к
оси абсцисс, прн котором ордината
каждой точки уменьшается в одном
и том же отношении Ь/а. Положим
с2=а2—Ь2. Точки Г1(—с, 0) и Р2(с, 0)
(соответственно левым и правым). Фокусы
расположены на большой осн Э. Отношение е=—(е<1) называется
а
эксцентриситетом Э. Прямые х=± — называются директрисами Э.
е
Т1. Для того чтобы точка лежала на Э., необходимо и достаточ-
но, чтобы сумма расстояний от нее до фокусов равнялась большой
осн Э. 2а.
Т2. Для того чтобы точка лежала на Э., необходимо и достаточ-
но, чтобы отношение расстояния г от нее до фокуса к расстоянию
<1 до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету Э. е.
ТЗ. Касательная к Э. в произвольной ее точке есть биссектриса
угла, смежного с углом между отрезками, соединяющими эту точку
с фокусами.
Уравнение касательной к Э. в точке М (хо, у0) имеет вид
«о , Ж .
а2 + Ь2 = '
Из ТЗ следует так называемое оптическое свойство Э.: лучи
света, исходящие нз одного фокуса Э., после зеркального отраже-
ния от Э. проходят через второй фокус.
Фокальными радиусами точки М Э. называются отрезки прямых,
соединяющих эту точку с фокусами Р> и Г2. Их длины Г| и гг зада-
ются формулами Г[=а+ех, г2—а—ех. Фокальным параметром Э. на-
зывается длина р отрезка РМ, где Р — один из фокусов Э., М —
точка пересечения перпендикуляра к большой оси с эллипсом. Спра-
ведлива формула р=-—.
а
Параметрические уравнения Э. можно задать в виде х=асоз/,
у=6з1п/, где I— угол между положительным направлением осн Ох
н лучом, идущим из центра Э. в произвольную его точку (угол от-
считывается в положительном направлении, т. е. против часовой
стрелки).
Уравнение Э. в полярных координатах (полярное уравнение Э.
р
р «=------------ (здесь полюс полярной системы совпадает с одним
1 — е соз <р
из фокусов, а полярная ось перпендикулярна к директрисе и направ-
лена от директрисы к соответствующему фокусу).
Замечания: 1. Свойства, высказанные в Т1 и Т2, могут быть приня-
ты за определение Э. 2. Уравнение (1) при а=Ь определяет окружность ра-
диуса а с центром в начале координат, 3. Уравнение (1) рассматривают
и при а<Ь. В этом случае получаем Э., фокусы которого расположены иа
оси Оу.
ЭЛЛИПСОИД — множество всех точек пространства, координа-
ты которых в некоторой декартовой прямоугольной системе коорди-
нат Охуг удовлетворяют уравнению
х2 , у2 , г2
а2 + 62 + с2
где а, Ь, с — произвольные положительные
числа. Уравнение (1) называется канони-
ческим уравнением Э.
Э. симметричен относительно каждой
из трех координатных плоскостей, каждой
нз координатных осей и начала координат
(см. рис.). Начало координат — центр сим-
метрии Э.— называют его центром. Сечений
Э. плоскостями — либо эллипс (окруж-
ность), лвбо точка, либо 0. Величины 2а,
26 и 2с называются осями Э. Они пред-
ставляют собой длины отрезков между точками
пересечения Э. с ося-
ми координат (сами отрезки также называют осями Э.). Если все
осн различны, Э. называется трехосным. Если какие-либо две из
осей равны, например а=6=#с, то в сечениях плоскостями г=Л
получаются окружности, а сам Э. может быть получен вращением
эллипса — + —= 1, расположенного в плоскости Охг, вокруг
а2 с2
оси Ог. В этом случае Э. называется эллипсоидом вращения (при
а=а^=Ь — Э. вращения вокруг оси Оу, при Ъ=с=^а — Э. вращения
вокруг оси Ох). При а^Ь=о Э. является сферой радиуса а.
Э. может быть получен равномерным сжатием сферы относи-
тельно двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Именно: если
а — наибольшая полуось Э., то он может быть получен нз сферы
х2+у2+г2=а2 равномерным сжатием ее сначала относительно пло-
скости Оху с коэффициентом сжатия Ь/а, а затем относительно пло-
скости Охг с коэффициентом сжатия с/а.
ЭЛЛИПСОИД ВРАЩЕНИЯ—см. Эллипсоид.
ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ ТОЧКА ПОВЕРХНОСТИ — точка, в кото-
рой гауссова кривизна /ОО. В окрестности эллиптической точки по-
верхность расположена по одну сторону от касательной плоскости.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ПАРАБОЛОИД — множество всех точек
пространства, координаты которых в некоторой декартовой примо-
угольной системе координат удовлетворяют уравнению
х2 у*
— + —= 2г,
Р У
(1)
где р, у— произвольные положительные числа. Уравнение (1) назы-
вается каноническим уравнением Э. п.
Э. п. симметричен относительно коорди-
натных плоскостей Охг, Оуг и оси Ог. Из
уравнения (1) следует, что 2^0, и поэтому
Э. п. расположен по одну сторону от пло-
скости Оху (см. рис.). Сечения Э. п. пло-
скостями— либо эллипс, либо парабола,
либо точка, либо 0. Величины р я у на-
зываются параметрами Э. п., а начало
координат — его вершиной. Если р=<?, Э. п.
называется параболоидом вращения. Он
может быть получен вращением параболы
х2=2рг, расположенной в плоскости Охг,
вокруг оси Ог.
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ ЦИЛИНДР — множество всех точек про-
странства, координаты которых в некоторой декартовой прямоуголь-
ной системе координат Охуг удовлетворяют уравнению
х*
а*
У*
&»
1.
(1)
Э. ц. можно рассматривать также как цилиндри-
ческую поверхность, направляющей которой явля- * --“X
ется эллипс, выражаемый в системе Оху уравне- Xй /Л
ннем (1), а образующие параллельны оси Ог 7 А,
(см. рнс.). Уравнение (1) называется каиоииче- - ЛЛ
скнм уравнением Э. ц. |РггГ,//1|
Э. ц. симметричен относительно каждой из Г ' "И г, I
координатных плоскостей; каждой из координат- —₽ = Я? ? < <»
иых осей; каждой плоскости, параллельной пло- '
скости Оху; каждой примой, параллельной осн Ох л?*'
или оси Оу и пересекающей ось Ог; каждой точ- “ь
ке, лежащей на осн Ог. Ось Ог называется осью Э. ц. В сечеиинх
Э. ц. плоскостями могут получитьсн эллипсы или две прямолиней-
ные образующие. Если а=Ь, Э. ц. называется прямым круговым.
ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ случ а Гной
величины по данной выборке (Хь Ха...........Хл)—Е* (х) =
=*—, где пх — число выборочных значений, меньших х. Это функция
п
ступенчатого типа, она обладает всеми свойствами функции распреде-
ления . При больших п Еп (х) = Е^ (х).
ЭМПИРИЧЕСКИЙ МОМЕНТ А-го порядка —см. Метод
моментов.
ЭПИЦИКЛОИДА— плоская лнинн, описываемая точкой окруж-
ности радиуса г, катящейся без скольжения по другой окружности
радиуса /? вне ее. Параметрические уравнения Э. имеют вид
= (Я+г)соз/п/—гсо&(1+т1), р= (к+г)з!п т/—гз1п(<+»«/), где
т =- Частные случаи Э. приведены иа рис.
ЭРМИТОВА МАТРИЦА — квадратная матрица А, для которой
Л*=Д, где А*— матрица, сопряженная матрице А. Если А —
действительная матрица, то Э. м. является симметрической. См.
также Самосопряженный линейный оператор.
п
ЭРМИТОВА ФОРМА — выражение вида 2 аЦх1 V] = У*АХ
(здесь черта означает комплексную сопряженность, звездочка — сопря-
женность матриц), где ац^ац, т. е. А — эрмитова матрица. Э. ф.
определяет скалярное произведение векторов унитарного пространства.
ЯВНОЕ УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ — см. Способы анали-
тического задания поверхностей.
ЯВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ — см. Способы аналитического
задания линий.
ЯДРО ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА — множество векторов ли-
нейного пространства V, которые под действием линейного оператора
/ переходят в нулевой вектор, т. е. /-1(0). Я. л. о. } обозначают Кег
оио образует подпространство пространства V. Размерность Я. л. о.
называют дефектом линейного оператора. См, также Область зна-
чений линейного оператора.
ЯДРО ПУАССОНА — см. Решение задачи Дирихле.
ЯКОБИАН. Пусть имеется п функций от п переменных Ц(х\......
хп), ..., |п(*ь ...» хп). Определитель из частных производных иазы-
а/1 ба
дх1 ' ‘ ’дхп
д[ п д/д
дХ1 ' ’ дхп
вают определителем Якоби илн Я. функций П, .... [п и обозначают
Р (1ъ...1п)
Р(Х1,...ХП) *
ЛИТЕРАТУРА
1. Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу.—Мн.:
Изд-во БГУ, 1974, ч. 1,—176 с.
2. Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Основные мате-
матические формулы.— Мн.: Выш. шк., 1980.—336 с.
3. Гюнтер Н. М. Интегрирование дифференциальных уравнений
первого порядка в частных производных.— М.— Л.: ОНТИ — ГТТИ,
1934,—359 с.
4. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в
частных производных первого порядка.— М.: Наука, 1966.—260 с.
5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным
уравнениям.— М.: Наука, 1976.— 576 с.
6. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных
работников и инженеров.— М.: Наука, 1968.—720 с.
7. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислитель-
ные методы.— М.: Наука, 1976, т. 1.—303 с.
8. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычисли-
тельные методы.— М.: Наука, 1977, т. 2.—399 с.
9. Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир,
1964,—830 с.
10. Никольский С. М. Квадратурные формулы. М.: Наука,
1979.—255 с.
11. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные
функции.— М.: Наука —1978.—376 с.
12. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных
уравнений и их приложения в газовой динамике.— М.: Наука,
1978,— 687 с.
13. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по
теории функций комплексного переменного.— М.: Наука, 1976.—
407 с.
Владимир Трофимович Воднев
Адольф Федорович Наумович
Нил Федорович Наумович
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СЛОВАРЬ
ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ
Редактор Е. В. Сукач
Мл. редактор В. Н. Кушилевич
Художественный редактор Ю. С. Сергачев
Технический редактор Г. М. Романчук
Корректор Л. А. Еркович
ИБ № 001
Подписано в печать 14.11.88 р Формат 70Х 108/32. Бумага офсетная. Гар-
нитура литературная. Печать офсетная. Усл. п. л. 23,1. Усл. кр.-отт. 23,1.
Уч.-изд. л. 29,1. Тираж 100000 экз. (2-й завод 20001 —100000, собствен-
ность изд-ва МПИ 30000 экз ). Изд. № 60. Цена 3 руб. Зак. № 1250.
Печатается с оригиналов изд-ва МПИ.
Издательство МПИ. 107045. Москва, Садовая Спасская ул., 6.
Можайский полиграфический комбинат В/О «Совэкспорткнига» Государст-
венного Комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. 143200. Можайск, ул. Мира, 93.