А. С. ПЧЁЛКО
МЕТОДИКА
ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ
В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
Попущено Наркомпросом РСФСР
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
НАРКОМПРОСА РСФСР
МОСКВА 1945

ПРЕДИСЛОВИЕ.
В предлагаемой «Методике преподавания арифметики» мы стремились
собрать и до некоторой степени обобщить богатый и разнообразный опыт со¬
ветской школы в области преподавания арифметики за последнее десятиле¬
тие. Перед нами также стояла задача привести в соответствие содержание
«Методики^ с последними выпусками программы.
Воздавая должное современному опыту передового советского учитель¬
ства, дающего образцы высокого методического мастерства, мы вместе с тем
использовали высказывания русских дореволюционных методистов — Аржени-
кова. Егорова. Беллюстина и др., создавших полноценную, во многом само¬
бытную и оригинальную методику, отразившую в себе черты русского нацио¬
нального характера: ставку на смётку и сообразительность» на ясное пони¬
мание и сознательное усвоение изучаемого, на инициативу и самостоятель¬
ность в работе, на простоту и безыскусственность приёмов обучения. Эти тра¬
диционные черты русской методики мы стремились сохранить и в выпускае¬
мой нами книге.
Из современных методик мы сохранили преемственность с «Методикой*
И. Н. Кавуна и Н С. Поповой, которые с достаточной полнотой
отразили в своей книге основные тенденции в развитии нашей отечественной
методики, а также учли высказывания наиболее крупных совремённых мето¬
дистов по начальной школе:	Н. Никитина, В. Эменова, Г. Поляка,
В Игнатьева, Я Чекмарёва и др.
Создавая «Методику», мы имели в виду широкие слои учительства: на-*
чинающих и малоопытных учителей, равно как и учителей с большим стажем
и опытом. В соответствии с запросами и интересами начинающих учителей
в «Методике» даны подробные и конкретные методические разработки наибо¬
лее трудных вопросов программы, а также подробно изложены вопросы орга¬
низации преподавания арифметики; в интересах учителей второй группы шире
освещены некоторые принципиальные вопросы методики.
При отборе методов и приёмов обучения арифметике автор отдавал пред¬
почтение методам наиболее простым, общедоступным, быстрее ведущим к це¬
ли, имея в виду, что высокие задачи часто достигаются простыми средствами.
Мы старались избегать всего того, что без нужды усложняет процесс обуче¬
ния и замедляет темпы продвижения учащихся.
Материал изложен без распределения его по классам. В таком распре¬
делении не г необходимости. По оглавлению учитель легко найдёт всё необ¬
ходимое для его класса, между тем поклассное распределение материала
привело бы к неизбежным повторениям и к увеличению объёма книги.
Автор просит учителей поделиться своими замечаниями о книге и при¬
сылать ему конкретные предложения по ее улучшению.	\
Автор

ГЛАВА ПЕРВАЯ.
ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ.
Успех во всякой работе в значительной мере определяется её
конечным назначением, её целью. Высокие цели, ярко поставлен-,
ные и хорошо осознанные, вдохновляют работников.
Цель определяет средства, пути и направление в работе. Цель
влияет на выбор средств, на 'выбор методов и приёмов работы.
Это всецело относится и к преподаванию арифметики. Препо¬
давание этой дисциплины в начальной школе имеет свои цели, свои
задачи, от которых зависит выбор методов и способов организа¬
ции обучения.
Каковы же эти цели?
Принято различать три цели обучения детей арифметике в на¬
чальной школе: образовательную, практическую и воспитательную.
Само собой разумеется, что такое деление носит условный'харак¬
тер; в процессе обучения эти три цели тесно переплетаются между
собой. Однако такое разделение удобно, и мы пользуемся им для
того, чтобы полнее, шире и разностороннее охарактеризовать по¬
ставленный вопрос.
Образовательная цель обучения детей арифметике за¬
ключается в том, чтобы дать учащимся ряд знаний — образовать
у них ряд элементарных математических понятий, которые в своей
совокупности составляют основное содержание ку-р-са начальной
арифметики. Сюда относится: понятие о числе — целом и дробном,
отвлечённом и именованном, простом именованном и составном
именованном; знание некоторых свойств чисел, например призна¬
ков делимости чисел и др. Сюда входит далее образование поня¬
тия об арифметических действиях, знание некоторых наиболее
элементарных свойств арифметических действий: знание правил, по
которым производятся действия, умение правильно и сознательно
производить арифметические действия над целыми и дробными'
числами устн-о и письменно; знание арифметической терминологии,
относящейся к арифметическим действиям, знание зависимости
между компонентами действий, изменения результатов действий
с изменением данных.
Образовательная цель обучения арифметике достигается
и тем, что учащимся даётся понятие о различных способах и приё-

мах решения задач, например: понятие о решении задач способом
приведения к единице, способом отношения, способом предположе¬
ния, исключения неизвестного, уравнивания данных и т. д. Уча¬
щимся даётся понятие о зависимости между конкретными величи¬
нами, например: между ценой, стоимостью и количеством; между
скоростью, расстоянием и временем; между нормой выработки
в единицу времени, обшей выработкой и временем и т. д. Все эти
знания составляют содержание первой ступени математического
образования, которая является основой изучения математики
в средней школе.
Практическое значение обучения арифметике заключает¬
ся в том, что арифметика вооружает ученика такими знаниями,
навыками и умениями, которые требуются на каждом шагу в жиз¬
ни. Почти всё содержание программы начальной арифметики нахо¬
дит самое непосредственное, самое широкое и постоянное примене¬
ние в жизни. Жизнь требует от каждого человека умения счи¬
тать, умения производить вычисления устно и письменно, считать
на счётах, знания принятых в государстве мер и умения произво¬
дить ими измерения. Жизнь требует также умения выполнять рас¬
чёты, связанные с вычислениями, т. е. решать незамысловатые за¬
дачи, а всё это вместе взятое и составляет основное содержание
курса арифметики начальной школы.
Сообщение учащимся арифметических знаний должно вестись
такими методами и приёмами, которые способствуют всесторон¬
нему умственному и нравственному развитию учащихся. В этом
и состоит воспитательная задача обучения арифметике.
В самом процессе обучения арифметике имеется много возможно¬
стей для того, чтобы, сообщая знания, в то же время развивать
и совершенствовать мышление, память, внимание и воображение
учащихся, чтобы укреплять волю учащихся, обогащать их
эмоциональными переживаниями, создавать определённые взгляды
и убеждения, содействовать воспитанию у детей любви к Родине.
Арифметические знания представляют собой строгую и опреде¬
лённую систему понятий, находящихся между собой в причинной
связи и зависимости. Усвоение этой системы и пользование ею тре¬
бует научного, логического мышления. Начальная ариф¬
метика даёт материал для дедуктивного н индуктивного мышле¬
ния: общие суждения, правила и выводы в ней образуются из
рассмотрения отдельных частных конкретных примеров, чтобы за¬
тем в свою очередь стать основой для других частных суждений,
для разрешения конкретных задач.
При изучении арифметики всё время происходят процессы обоб¬
щения и отвлечения, процессы абстракции. Начиная с наглядного,
конкретного, арифметика ведёт ученика к общим понятиям путём
отвлечения и обобщения, содействуя таким образом развитию от¬
влечённого. абстрактного мышления.
Решение задач и примеров требует от учащихся, чтобы они
излагали свои мысли в определённом порядке; это ведёт к выра¬
4

ботке у учащихся связно-го, последовательного мышления (что со¬
ставляет необходимое качество логического мышления) и точной
математической речи.
Так развивается у детей логическое мышление, которое яв¬
ляется необходимой предпосылкой для развития общего научного
мышления. От учителя зависит усилить или ослабить влияние пре¬
подавания арифметики на развитие логического мышления. Недо¬
статочно умелое преподавание может ослабить влияние изучения
арифметики на развитие мышления. Так бывает в том случае, когда
преподавание ведётся догматически, от учащихся не требуется
объяснения правил, обоснования выводов; когда учитель, фиксируя
внимание учащихся только на выводах, не упражняет пч в рассу¬
ждениях, приводящих к этим выводам.
Занятия арифметикой — хорошее средство /утя воспитания навы¬
ков обще культурного характера. Характерными чер¬
тами культурного, организованного человека являются:	точность,
аккуратность, самопроверка, привычка к чистоте, к экономии,
к применению наиболее рациональных приёмов в работе. Для вос¬
питания этих качеств занятия арифметикой дают большой простор.
Арифметика — наука точная. Требование точности красной
нитью проходит через всю работу по арифметике. В решении при¬
меров требуются правильные и точные результаты, в решении за¬
дач требуются точные ответы, в чертежах нужна точность, выпол¬
нение действий должно происходить по строго определённым пра¬
вилам. Всякая неточность воспринимается в работе по ариф¬
метике как пробел, как ошибка. Учителю нужно использовать
эту особенность арифметики и приучить ученика добиваться
а^олютной точности во всякой математической операции.
Все занятия арифметикой должны проходить под лозунгами.
«Экономь время, применяй наиболее рациональные приёмы в рабо¬
те. Вычисляй устно там, где это возможно, не прибегая к записям
вычислений; вычисляй по возможности быстро; не решай задачу
в 3—4 действия, если её можно решить двумя действиями; решая
задачу, выбирай наиболее лёгкий и скорый способ решения; не
пиши начерно, если можно сразу набело решить пример или задачу,
чтобы не заниматься лиш-ней перепиской». Эти и другие подобные
им требования заставят учащихся ценить и беречь время, приучат
их применять такие методы и приёмы в работе, которые скорее
и проще ведут к цели.
Самопроверка часто предупреждает ошибки и даёт уверенность
в правильном выполнении проделанной работы. Эту ценную при¬
вычку можно и нужно воспитывать «а занятиях арифметикой.
После решения примера проверь результат; решив задачу и получив
ответ, проверь его, посмотри ещё раз ход решения залами, сопоставь
его с условием, сравни ответ с вопросом. «Умел ошибиться, умей
и поправиться», — гласит народная поговорка. Не спеши загляды¬
вать в ответы, а умей проверить себя без ответа. Таковы
5

те элементарные требования, на выполнении которыхч воспиты¬
вается привычка к самоконтролю, к самоучёту.
Занятия арифметикой воспитывают любовь к чистоте и опрят¬
ности, которые составляют непременное качество культурного че¬
ловека. Возьмём правильное ведение ученической тетради по
арифметике. Тетрадь — постоянный спутник ученика в его работе.
Если каждый день требовать от ученика чёткого, красивого письма
цифр, симметричного расположения записей, правильной записи
арифметических действий, чистоты и опрятности на каждой стра¬
ничке. если при этом действовать п-оказом хороших примеров, вы¬
дающихся образцов, — то тетрадь сделается4 могучим фактором
воспитания этой привычки. Если учитель добьётся того, что его
ученики будут способны любоваться чистотой тетради своей и
своих товарищей, выполнит большую задачу воспитательного
характера.
То влияние и воздействие на учащихся, о котором
говорилось выше, обусловливается по преимуществу методом
арифметики и её системой. Но арифметика воспитывает учащихся
и своим содержанием. В ней изучаются количественные соотноше¬
ния между различными явлениями, процессами, фактами, собы¬
тиями. Изучение количественных отношений приводит учащихся
к сравнениям, сопоставлениям, к установлению функциональной
связи и зависимости между явлениями и процессами. В результате
этого у учащихся устанавливается определённое отношение к изу¬
чаемому миру явлений и фактов, определённые взгляды и убеж¬
дения.
Звеном, связующим арифметику с жизнью, являются задачи.
В их содержании находит своё отражение современность, практика
социалистического строительства. На решении задач, кроме пря¬
мых математических целей, достигаются и цели патриотического
воспитания учащихся. Решая, например, задачу, в которой сравни¬
вается длина наших каналов каналами других стран, и получив
в ответе цифры, свидетельствующие о том, что наши каналы по
своей грандиозности и технике превосходят соответствующие ми¬
ровые сооружения, учащиеся испытывают чувство глубокого удо¬
влетворения, законное чувство гордости за свою страну, за свой
народ, который возводит сооружения в таких грандиозных мас¬
штабах. Так воспитывается у детей советский патриотизм, чув¬
ство любви к своей Родине.
На занятиях арифметикой вырабатывается у ученика умение
применять знания на практике, способность быстро переходить
от слов к делу, умение использовать знания для рационализации
труда, для улучшения практики. В арифметике теория и практи¬
ческие упражнения идут рука об руку: вслед за усвоением вы¬
числительных операций (а иногда и параллельно с ними) идёт
решение задач, где эти вычислительные операции находят своё
практическое применение; вслед за решением готовых задач из
задачника ученикам дают решать чисто практические вопросы,
6

выдвигаемые окружающей жизнью или личными потребностями
учащихся* В геометрии существует специальный раздел «Из¬
мерительные работы на местности», который ставит ученика перед
необходимостью использовать в практических работах под от¬
крытым небом знания, полученные в классе по учебнику.
В заключение заметим, что обучение арифметике представляет
собой единый целостный процесс, в котором органически сли¬
ваются и образовательная, и воспитательная, и практическая цели.
Достижение одной из них способствует достижению и другой. Но
учителю нужно различать эти цели, держать их в поле своего
зрения/ чтобы добиваться реализации каждой из них.
ГЛАВА ВТОРАЯ.
АНАЛИЗ ПРОГРАММЫ ПО АРИФМЕТИКЕ.
Математический материал для достижения основных целей
преподавания арифметики даётся программой. Программа по ариф¬
метике содержит в себе всё необходимое для того, чтобы пол¬
ностью обеспечить и образовательно-воспитательные, и практиче¬
ские задачи обучения арифметике. Основные разделы программы:
а)	нумерация и четыре действия над целыми отвлечёнными
числами;
б)	четыре действия над составными именованными числами;
в)	понятие о дроби и действия над дробными числами — обык¬
новенными и десятичными;
г)	элементарные сведения из практической, наглядной геомет¬
рии;
д)	решение задач.
Материал по изучению нумерации и четырёх арифметических
действий расположен концентрически. В курсе целых чисел
в настоящее время установлено пять ко-ниентров. обоснованных
теоретическими соображениями и оправданных долголетней школь¬
ной практикой: 1-й концентр — счёт, сложение и вычитание в пре¬
деле 10; 2-й концентр — нумерация и четыре действия в пре¬
деле 20; 3-й концентр — нумерация и четыре действия в пределе
100; 4-й концентр — нумерация и четыре действия а пределе 1 000;
5-й концентр — нумерация и четыре действия над многозначными
числами.
В 3-м концентре выделяются особо действия над круглыми де¬
сятками. В 4-м концентре, охватывающем в основном первую ты¬
сячу, счёт расширяется до 10 000. Это расширение даёт возмож¬
ность складывать любые трёхзначные числа и умножать любое
трёхзначное число на однозначное, что имеет большое значение
для лучшего усвоения таблицы сложения и умножения.
Изучению действий над составными именованными числами
предшествует обстоятельное знакомство с мерами. Это знакомство
даётся, начиная с первого класса, наглядно, конкретно и посте¬
7

пенно. Постепенность в ознакомлении с мерами, использование
мер в решении задач обеспечивают твёрдое и вполне конкретное
усвоение их.
Действия с составными именованными числами изучаются по¬
следовательно одно за другим после четырёх арифметических дей¬
ствий с многозначными отвлечёнными числами. Различаются дей¬
ствия над метрическими мерами и действия над мерами времени.
Первые легче, вторые — значительно труднее. Поэтому действия
над метрическими мерами поставлены ь программе раньше
(в III классе), действия	над мерами	времени — позже
(в IV классе).
Опыт показывает, что изучение дробей протекает успешно
только тогда, когда закончено в основном формирование у уча¬
щихся элементарных понятий о целом числе и действиях над ним.
Поэтому первоначальное знакомство с дробями даётся в III классе;
здесь мы имеем пропедевтику дробей. Сначала изучаются доли:
^	; у ;	. Эти доли легко получить, они вполне конкретны
и легко обозримы, легко подвергается преобразованиям — раз¬
дроблению и превращению. Поэтому с них и начинается знаком¬
ство с дробями.
Изучение систематического курса обыкновенных дробей от¬
несено к IV классу.
Знакомство с десятичными дробями даётся после обыкновен¬
ных дробей, в IV классе. Таким образом, начальная школа
знакомит учащихся с обоими видами дробей. На обыкно¬
венных дробях выясняется сущность дробного числа и способы
его преобразования. Знакомство с десятичными дробями имеет
большое практическое значение.
Введение наглядной геометрии в III и IV кла.ссах имеет целью
развить у детей пространственные представления и дать им элемен¬
тарные практические навыки в области измерения. Основное здесь—
знакомство с квадратными и кубическими мерами, знакомство
с вычислением площади прямоугольных фигур и объёма куба
и прямоугольного параллелепипеда. Практика измерения и вычис¬
ления площадей основывается на понятиях об отрезке прямой, уг¬
лах и фигурах — квадрате и прямоугольнике, которые изучаются
в III классе, а вычислению объёмов предшествует знакомство
с двумя геометрическими телами 	 кубом и прямоугольным па¬
раллелепипедом. которые изучаются в IV классе.
Для большей конкретизации геометрических знаний, получаемых
на уроках, и для вооружения учащихся практически важными
и ценными измерительными навыками объяснительная записка ре¬
комендует проводить некоторые простейшие измерительные работы
на местности.
Красной нитью через всю программу проходит решение
задач. Им уделяется около половины учебных часов, отведён¬

ных на арифметику. Задачи в программе имеют двоякое
значение: с одной стороны, на них выясняется теория (например
кратное сравнение чисел,- разностное сравнение и др.), а с другой
стороны, они имеют большое практическое значение.
В программе различаются два вида задач: обычные, арифмети¬
ческие, тесно связанные с изучением арифметических действий,
и задачи, решаемые особыми приёмами (типовые). Первые решаются
на протяжении всего курса обучения, вторые сосредоточены глав¬
ным образом в ШиIV классах. Арифметические задачи постепенно
усложняются количеством действий: в I классе указаны задачи
в 1—3 действия, во II классе — в 1—4 действия, в III классе —
в 3—5 действий, в IV классе — в 3—6 действий.
Отбор типовых задач сделан с учётом сложности способов
и приёмов их решения и доступности их для учащихся, начиная
с задач на простое тройное правило, решаемых способом приведе¬
ния к единице, и кончая задачами на предположение, указанными
в программе IV класса. Многие типовые задачи направлены на вы¬
яснение прямой пропорциональной зависимости между величинами,
например задачи на простое тройное правило, на сложное тройное
правило, на пропорциональное деление, на нахождение неизвест¬
ного по разности двух величин и др.
Среди типовых задач имеются и такие, которые в средней
школе будут решаться методом составления уравнений, например
задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их
сумме и кратному отношению, на исключение неизвестного и др.
Таким образом, программа по решению задач составлена с учётом
перспективы дальнейшей работы по математике.
Весь программный материал расположен в определённой си¬
стеме, которая, с одной стороны, удовлетворяет требованиям
логики развития самого предмета арифметики, а с другой сто¬
роны— требованиям психологии учащихся.
На основании требований логики простое и элемен¬
тарное в программе предшествует сложному, составному. Основ¬
ные свойства чисел, действий предшествуют следствиям, вытекаю¬
щим из них. Родственные понятия сближены. Сначала даётся об¬
щее,«потом частное. Так, сначала даны для изучения целые числа,
потом — дроби; сначала — конкретные и простые именованные
числа, потом — составные именованные числа; сначала — прямые
арифметические действия, потом —.обратные; сначала — изучение
нахождения части числа, потом — нахождение числа по данной
его части и т. д.
Последовательность соблюдена в основном и при расположении
задач, где сначала идут простые задачи, потом — составные; сна¬
чала — задачи, требующие только умения правильно применять
арифметические действия, а затем — задачи, решаемые особыми
способами. Строго последовательно и постепенно раскрываются
перед учащимися понятия об арифметических действиях — их

•смысле, цели, основных свойствах и способах выполнения. Поря*
док ознакомления с мерами соответствует порядку расширения ну¬
мерации (знакомство с сантиметром даётся при изучение чисел
в пределе 100, с граммом и километром — в пределе 1 000 и т. д.).
Вместе с тем при расположении материала в программе учиты¬
вается и возрастная психология учащихся. Требованиями
психологического порядка продиктовано: а) концентрическое рас¬
положение материала; б) введение пропедевтики дробей перед
систематическим курсом и пропедевтики геометрии; в) ознаком¬
ление сначала с действиями над метрическими мерами, потом —
с действиями над мерами времени; г) изучение в первом кон¬
центре только двух более лёгких для учащихся действий —
сложения и вычитания, с отнесением умножения и деления, как
'более трудных действий, ко второму концентру, и др.
Учёт особенностей детского восприятия и мышления (конкрет¬
ность и образность мышления, неспособность к широким обобще¬
ниям и абстракции) нашёл своё выражение и в классификации ти¬
повых задач, которые распределены по типам не только на осно¬
вании отвлечённого для детей математического признака — мето¬
дов решения, но и по содержанию; так, например, среди типовых
задач выделены задачи на движение, задачи на вычисление площа¬
дей и объёмов и др. Несомненно, что многие типы задач могли бы
быть объединены в более общие группы, однако такие широкие
•обобщения не сделаны, так как для детей начальной школы они
были бы преждевременны.
По годам обучения материал распределён так, что соаержание
программы в каждом классе является целостным и до некоторой
■степени законченным. В I классе закладываются элементарные
основы арифметической грамоты; здесь даётся детям конкретное,
наглядное представление о числах в пределе 100 и действия над
этими числами—сложение и вычитание; кроме того, тут же даётся
первое знакомство с умножением и делением в пределе 20 и уме¬
ние решать задачи — простые и составные — в 2—3 вопроса.
Во II классе усваиваются важнейшие вычислительные навыки,
являющиеся фундаментом для всей последующей вычислительной
арифметики: таблица умножения и таблица деления, внетабличное
умножение и деление, а также письменные приёмы вычисления
в пределе 1 000. Последующая работа по усвоению арифметических
действий опирается на навыкиг приобретённые в I и во II классе.
Огромное значение имеет работа во II классе и в области решения
задач: программа II класса содержит в себе целый ряд очень важ¬
ных простых задач, которые в качестве элементов входят в состав
-сложных задач; задачи на разностное сравнение чисел, на кратное
сравнение, на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, на
нахождение части числа.
Основное в программе III класса — это письменные вычисле¬
ния с целыми многозначными числами. Ученики III класса о-влзде-
30

вают механизмом письменного сложения, вычитания, умножения
и деления многозначных чисел, что составляет центральный вопрос
всей начальной шко-лы. В программу III класса широким потоком
вливаются типовые задачи. Ученики знакомятся здесь с особыми
способами и приёмами решения задач.
В IV классе повторение арифметических действий над целыми
числами завершается изучением зависимости между компонентами
каждого действия, изменения результатов действий в зависимости
от изменения данных. Во втором полугодии изучаются главным
образом дроби.
В программу IV класса введены более трудные, замысловатые
типы задач: на нахождение по части целого, на предположение, на
уравнивание данных, на вычисление объёмов, на вычисление вре¬
мени. Таким обраеом, программа IV класса состоит из нескольких
разнородных частей, одинаково важных по своему значению
и сложных с точки зрения методики их преподавания учащимся.
Здесь ярче, чем в предшествующих классах, выступают элементы
теории, находящей своё выражение в ряде выводов, определений
и правил, подлежащих усвоению и запоминанию учащимися
Программа по арифметике содержит в себе только такой мате¬
риал, который вполне доступен для сознательного
усвоения учащимися 7—11-летнего возраста. Более сложным
в курсе начальной арифметики является систематический курс
обыкновенных дробей, но и этот курс, как показывает опыт нашей
школы, посилен для детей при условии, если ов преподаётся
в научном и методическом отношении правильно.
Объём программы арифметики в целом и по отдельным классам
установлен на основе долголетнего опыта громадного количества
школ нашей страны. Он вполне реален в смысле его выполнимоегп.
так как соответствует силам учащихся, уровню их общего раз¬
вития и тому времени, которое отведено на арифметику в учеб¬
ном плане школы. Следует, однако, помнить, что хорошее вы¬
полнение программы требует от учителя рационального пла¬
нирования работы, хорошей подготовки к каждому уроку, про¬
дуктивного использования каждой минуты на уроке и хорошо
налаженной домашней работы учащихся.
Программа по арифметике является государственным докумен¬
том. Нужно программу хорошо знать, чтобы точно её выполнять.
При единстве советской школы, допускающей беспрепятственный
переход учащихся из одной школы в другую, всякое недовыполне¬
ние программы нужно рассматривать как невыполнение основной
задачи школы. Невыполнение программы снижает уровень знаний
учащегося и тем самым вносит большое осложнение в его работу,
когда он переходит в другую школу, где дети обладают большей
полнотой знаний. Поэтому пояно-е и точное выполнение программы
является строго обязательным для каждой школы, для каждого
учителя.
п

ГЛАВА ТРЕТЬЯ.
МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ АРИФМЕТИКЕ.
Чтобы успешно выполнить программу и дать ученикам глубоко
осознанные, систематизированные и прочные знания и навыки, надо
при обучении арифметике пользоваться рациональными методами,
выработанными на основе долголетней практики, проверенными на
опыте и согласованными с детской психологией.
Образование каждого арифметического понятия, усвоение зна¬
ний по арифметике представляют собой процесс, который имеет
своё начало, развитие и завершение. В этом процессе надо разли¬
чать следующие моменты:
1.	Восприятие, первичное знакомство с материалом.
2.	Осмысливание содержания нового материала.
3.	Закрепление полученных знаний и навыков путём упраж¬
нений.
4.	Запоминание и заучивание наизусть.
5.	Применение знаний и навыков на практике.
В ходе учебной работы эти моменты тесно связаны между со¬
бой. Так, при первичном восприятии материала происходит ча¬
стично и его осмысливание. На упражнениях, направленных на об¬
разование навыка, глубже раскрывается и его смысловое содержа¬
ние; применение полученного знания на практике способствует за¬
креплению навыка. При всём этом каждый аз перечисленных мо¬
ментов имеет свои особенности, своё особое значение в процессе
овладения знанием; поэтому для каждого из них на уроках выде¬
ляется особый этап. Остановимся на характеристике каждого этапа
в отдельности, чтобы полнее раскрыть методы и приёмы препода¬
вания арифметики.
Восприятие.
Восприятие составляет первый этап при усвоении учащимися
нового материала. На этом этапе должно быть достигнуто
понимание учащимися того, что им объясняется. Восприятие и по¬
нимание достигается тем. что ученик уясшЙУг себе связи нового
понятия с друI ими понятиями, более элементарными и ранее изу¬
ченными. Понять новое — это прежде всего значит уяснить себе,
в какой связи и зависимости находится это новое со старым, хо¬
рошо известным, на каких простых элементарных понятиях основано
то сложное понятие, которое в данный момент изучается. Так, для
понимания действия умножения надо установить связь умножения
со сложением. Для понимания кратного сравнения чисел надо
установить связь кратного отношения с делением по содержанию.
Понять задачи на сложное тройное правило можно только через
установление связи их с задачами на простое тройное правило.
Для установления такой связи существуют различные пути:
а) прямое указание учителя на наличие связи между данным поня¬
12

тием и другим родственным ему, но более элементарным; б) на¬
глядность и в) рассуждения, приводящие к логическим умозаклю¬
чениям, В младших классах чаще используются в этих целях сред¬
ства наглядности; в старших классах к ним присоединяются
и несложные, доступные детям рассуждения.
Например: чтобы объяснить ученикам ! класса, как сложить два одно¬
значных числа с переходом через десяток (8 4- 6), надо на любом наглядном
пособии (например на классных счётах или на таблице с двумя десятками
кружков) показать, что этот приём сводится к трём операциям, известным им
«з предыдущей работы, а именно: к дополнению одного из данных слагаемых
до десятка (8 + 2), к прибавлению нескольких единиц к круглому десятку
<10 + 4), к разложению второго слагаемого (6) на два слагаемых, из которых
одно — 2. Каждая из этих трёх операций уже знакома учащимся. Или, чтобы
уяснить ученикам III класса приём нахождения нескольких частей от числа,
можно взять следующую задачу: -«Детский дом имеет участок в 12 га, из них
\и засажено картофелем. Сколько га засажено картофелем?». Для иллюстра¬
ции хода решения чертится прямоугольник, изображающий поле данного раз¬
мера, Путём простого рассуждения ученики приходят к выводу, что для ре*
г 1	3	_
<нення вопроса предварительно надо найти -у поля, а уже потом ^ . Пер¬
вое находится л\тём деления прямоугольника на 4 равные части (это учени¬
кам известно); второе — путём повторения ^ три раза (это служит в дан¬
ном случае предметом объяснения).
Из сказанного вытекает ряд методических требований, которые
необходимо соблюдать учителю в преподавании арифметики.
1.	Перед объяснением нового материала нужно всегда тща¬
тельно повторять с учениками то, что является основой для
усвоения этого нового материала; кроме того, необходимо устана¬
вливать и подчёркивать связь нового материала, нового арифмети¬
ческого понятия с ранее приобретёнными знаниями, ибо всё это по¬
могает правильному восприятию и уяснению смысла вновь усваи¬
ваемого материала. Повторение и установление указанной связи
можно производить на том же уроке, на котором выясняется но¬
вый материал, непосредственно перед его объяснением. Так, перед
объяснением решения задач на сложное тройное правило надо ре¬
шить несколько задач на простое тройное правило; перед объясне¬
нием деления многозначного числа на двузначное нужно решить
несколько примеров на деление трёхзначного и двузначного числа
на двузначное, так как эти случаи деления являются основой для
деления многозначных чисел, и т: д.
2.	Каждое более или менее сложное арифметическое понятие,
сложный навык нужно уметь расчленить на его составные эле¬
менты. Затем эти последние нужно уметь расположить для объяс¬
нения и усвоения в таком порядке, который обеспечивал бы строго
постепенное нарастание сложности, и в такой системе, при которой
каждая предыдущая ступень являлась бы опорой, основанием для
последующей.
13

Возьмём, например, такое сложное арифметическое понятие, как вычита¬
ние трёхзначных чисел. Его можно расчленить на ряд методических сту¬
пеней:
а)	в уменьшаемом каждая разрядная цифра больше соответствующей циф¬
ры вычитаемого. 478— 246;
б)	в уменьшаемом на месте единиц — нуль: 570 — 245;
в)	в уменьшаемом на месте десятков — нуль: 706—154;
г)	в вычитаемом цифра единиц больше соответствующей цифры умень¬
шаемого: 583 — 246; и т. д.
Если расчленить понятие вычитания примерно на эти этапы и знакомить
учащихся в порядке их постепенного усложнения, объединяя несколько слу¬
чаев на уроке, то учащиеся будут воспринимать каждый случай легк'>
и осмысленно, в новом они будут узнавать элементы старого, знакомого,
каждый предыдущий случай будет служить опорой для последующего, а в
целом вычитание будет воспринято и усвоено без особых усилий
При разбивке материала на уроки нужно стремиться к тому,
чтобы методические ступени, на которые расчленяется материал*
не были ни очень крупными — в целях лёгкого обозрения, ни
очень мелкими, чтобы учащийся чувствовал своё продвижение
вперёд и не терял интереса к уроку. Вообще удачное расчлене¬
ние материала и правильное его распределение на уроки является
необходимым условием для лёгкости восприятия и ясности пони¬
мания.
Осмысливание,
Осмысливание нового материала достигается при помощи сле¬
дующих средств: наблюдения, сравнения, приводящего к обна¬
ружению сходства и разладил; анализа и синтеза; абстрагирова¬
ния и обобщения путём перехода от конкретного к отвлечённому
и, наконец, перехода от общего к единичному, от абстрактного
к наглядному. Таким образом, глубокое понимание смысла ариф¬
метического материала требует применения всего многообразия
мыслительных процессов, в которых раскрывается предметное
содержание знания в его многосторонних связях и зависимостях*
Поясним это на примере. Допустим, что учитель объясняет
учащимся переместительное свойство произведения:	«От пере¬
мены мест сомножителей произведение не изменяется».
Первичное знакомство с этим свойством даётся наглядно, уча¬
щиеся воспринимают его на прямоугольниках, разделённых на
клетки (рис. 1).
«Подсчитаем, — говорит учитель, — сколько клеток в каждом прямо¬
угольнике». Подсчёт ведётся столбиками, в первом прямоугольнике 4 столби¬
ка, в каждом столбике 3 клетки. Значит, клеток будет 4 раза по 3, или
3X4—12. Вс втором прямоугольнике в каждом столбике по 4 клетки,
а всего столбиков 3; значит, всего клеток будет 3 раза по 4, или 4X3 = 12.
Сравним оба примера: оказывается, число клеток в обоих прямоугольниках
одинаково; 3 умножить на 4 — всё равно, что 4 умножить на 3. Результат
получается одинаковый (12). Это можно записать так: 3 X 4 = 4 X 3.
Учащиеся пока что восприняли только отдельный, конкретный
математический факт. У них ещё нет оснований рассматривать
и толковать этот факт как общее свойство всякого произведения,
14

да и самый факт этот ещё недостаточно осознан. Для его осо¬
знания надо провести добавочную работу примерно в следую¬
щем плане. Записав оба полученных примера на классной доске.
3X4 = 12.
4X3= 12.
надо их сравнить, сопоставить, чтобы обнаружить, что
в них есть общее, сходное, и в чём заключается их разли¬
чие. Простое наблюдение показывает, что в обоих примерах
даны одни и те же числа — 3 и 4, получилось одно и то¬
же произведение—12. В этом сходство обоих приме¬
ров, это — их общее. В чём же различие этих примеров-'
В порядке чисел: в первом примере 3 умножено на 4, а во вто¬
ром 4 умножено на 3. Во втором примере числа переменились ме-
4*3 ■3 -
ьхз = >г
Рис. 1.
стами: то, что в первом примере стоит на первом месте, во второе
примере стало на втором месте и наоборот. Дальше сравнение
переходит в анализ обоих примеров: что изменяется и что
остаётся без изменения в данной паре примеров? Не меняются
числа: в обоих примерах одни и те же числа, один и тот же ре¬
зультат. Изменяются места чисел или сомножителей.
Из этого анализа можно сделать вывод, но он будет сугубо
частным и будет иметь силу только по отношению к данной паре
примеров. (В этих двух примерах от перемены мест чисел резуль¬
тат не изменился.)
Обобщим теперь этот вывод, покажем, что этот вывод есы
общее свойство всякого произведения. Для этого возьмё';
вторую пару примеров с другими числами и напишем рядом с ней
пару примеров, уже анализированных:
6 X5 — 30,	3X4=12,
5 X 6 = 30,	4X3=12.
Сравним обе пары примеров и установим, в чём их сход¬
ство и в чём различие. Сходство: в обеих парах меняются
места чисел, но от этого произведение не меняется. Различие
каждая пара имеет свои числа *— в первой 5 и 6, во второй 3 и 4
ы

Из этого сравнения теперь уже можно сделать обобщение
(перейти от конкретного и единичного к общему, отвлечённому):
«От перемены мест сомножителей произведение не меняется»» или
в более простой формулировке, доступной ДЛ1Я учащихся II класса:
«При умножении можно менять места чисел, и от этого результат
не меняется».
Последним этапом работы по уяснению свойства произведения
будет переход от общего, отвлечённого вывода к конкретному,
единичному, — это делается на, решении задач и примеров.
Для данного случая можно взять примерно следующую задачу: «На од¬
ном участке посадили 8 рядов яблонь по 10 яблонь в каждом ряду, а на
другом участке — 10 рядов по 8 яблонь в каждом. На каком участке поса¬
жено яблонь больше?» Записав решение, ученики должны без вычисления, на
основании предыдущего вывода, ответить, что на обоих участках посажено
яблонь поровну. Почему?
Пример. «Ответить, не вычисляя, что больше: 7X9 или 9X7? 9X6
или 6 X 9? Почему должен получиться одинаковый результат?»
Вся эта работа должна привести- учащегося к полному и яо
ному пониманию, к осознанию изучаемого вопроса — перемести¬
тельного свойства умножения. Значение такой работы велико: уче¬
ник при этом не только осмысливает изучаемый вопрос, но он
вместе с тем постепенно усваивает приёмы научного мыш¬
ления, проходя через различные этапы мыслительного процесса:
от частных суждений к общим и наоборот — от общих суждений
к частным.
Учителю в его объяснениях нового материала приходится
пользоваться теми основными методами познания, которыми поль¬
зуются в науке, т. е. индукцией и дедукцией.
При индуктивном методе учитель даёт учащимся для наблю¬
дений и анализа отдельные примеры, отдельные задачи. Ученики
под руководством учителя и по его прямому заданию и указа¬
ниям наблюдают, сравнивают, сопоставляют, устанавливают черты
сходства и различия в изучаемых фактах, подмечают их общие
свойства, закономерности в решении, высказывают сперва част¬
ные, а потом и общие суждения, делают умозаключения, выводят
правила. Некоторым образцом применения индукции может слу¬
жить приведённое уже объяснение переместительного свойства
произведения. В начальной школе индукция наиболее употреби¬
тельна. Например, она применяется при выводе правила умноже¬
ния на единицу с нулями, при изучении зависимости между ком¬
понентами и изменения результатов действий в зависимости от
изменения данных, а также при изучении делимости и дробей.
Успешное применение индуктивного метода требует от учи¬
теля, чтобы он тщательно подбирал примеры и задачи, которые
служат исходным материалом для выявления тех или иных зако¬
номерностей, для вывода правила, чтобы он располагал эти при¬
меры в определённой системе и последовательности; чтобы он
своими вопросами и указаниями возбуждал творческую, активную
16

мысль учащихся и умело направлял её, чтобы он предоставлял
детям возможно больше самостоятельности в сужде¬
ниях и умозаключениях. Одним из ответственных моментов
в применении этого метода является формулировка самого вы¬
вода, правила, закона. Нельзя рассчитывать, чтобы все учащиеся
самостоятельно справились с этой трудной задачей. Она может
быть посильна только некоторым, наиболее способным ученикам.
Здесь, конечно, требуется максимальная помощь учителя. Ученики
в большинстве случаев могут высказать только отдельные, раз¬
розненные, приближённые суждения. Точную же, правильную
■и исчерпывающую формулировку вывода даёт учитель. Это не
снижает ценности проведённой работы, если в подготовке вывода
ученики принимали активное участие.
Общие суждения, выводы и обобщения, полученные в резуль¬
тате применения индуктивного метода, могут в свою очередь по¬
служить основой- для получения новых знаний, для получения
частных суждений. Рассуждения, идущие от общих суждений
к частным, называются ‘дедуктивными, а метод обучения, основан¬
ный на дедукции, называется дедуктивным методом.
С дедукцией ученик имеет дело во всех тех случаях, когда он
действует по выведенному правилу. Если ученик, решая задачу
на нахождение двух чисел по их сумме и ‘отношению, анализи¬
рует её условие и приходит к тому выводу, что предложенная
задача относится к типу задач \«на части», и в соответствии
с этим он принимает одну из величин за одну часть, а дру¬
гую — за несколько частей согласно условию задачи, то в данном
случае он пользуется при определении плана решения дедукцией.
Вдумываясь в условия задачи, в соотношение данных в ней ве¬
личин, он «узнал» в этой задаче задачу известного ему типа,
и этого было достаточно, чтобы, исходя из общего суждения
(«данная задача — задача на части»), наметился план её решения.
В процессе учебной работы индуктивный и дедуктивный ме¬
тоды чередуются между собой: объяснение нового, обобщения,
выводы получаются посредством индукции; решение задач,
а также и решение примеров на известные правила происходит на
основе дедукции.
Упражнения.
Закрепление знаний и образование навыков у учащихся дости¬
гается прежде всего при помощи упражнений. Какие же
должны проводиться упражнения и каковы методические требо¬
вания к ним?
'Упражнениями достигаются две цели: с одной стороны, благо¬
даря им выполнение действия ‘ становится всё более и более пра¬
вильным, лёгким, не требующим активной деятельности созна¬
ния, навык в известной мере автоматизируется; с другой стороны,
неоднократное повторение аналогичных операций приводит к луч-
2 А. С. Пчёлко
17

ш-сму их уяснению: происходит более глубокое осмысливание
исходных теоретических положений, более ясное понимание ариф¬
метических правил, законов.
Таким образом, арифметические упражнения являются
двустороннем актом:	в процессе упражнений достигается
более ясное и более глубокое понимание изучаемых понятий
и вместе с тем на них закрепляется навык. Чтобы упражнения
достигали своей цели, нужно строить их в методическом отноше¬
нии правильно.
В первоначальных упражнениях, идущих непосредственно за
объяснением, особое внимание уделяется смысловой стороне зна¬
ния или навыка. Решая первые примеры на выведенное правило,
первые задачи, связанные с применением только что выясненного
понятия, ученик точно воспроизводит весь ход рассуждения, по¬
дробно объясняет, почему он делает так, а не иначе. Рассуждая
и обосновывая, объясняя и доказывая, ученик всё больше и боль¬
ше углубляется в сущность понятия, оно становится для него всё
более ясным и конкретным. В первых упражнениях учащимся
даются различные случаи примеров, различные случаи одного и
того же действия, различные формулировки вопросов при реше¬
нии задач одной и той же разновидности. Предлагаемый приём
сильнее и ярче подчёркивает общность изучаемого правила,
единый принцип решения, единство приёмов вычисления. В то же
время изучаемое правило обогащается новым содержанием, и по¬
нятие о нём становится более конкретным.
По мере того как учащиеся овладевают изучаемым материалом,
от них требуется, чтобы их ббъяснения и рассуждения были всё
более и более короткими, схематичными, чтобы в объяснениях
учащиеся останавливались только на основных, опорных точках,
детальные рассуждения опускаются как сами собой подразуме¬
вающиеся. На первый план выступает действие без объяснения,
с чётким и достаточно скорым его выполнением. На этом этапе
упражнения, преследующие цель «набить руку и глаз» учащихся,
должны выполняться ими главным образом самостоятельно.
Вмешательство и тем более опека учителя здесь излишни. Ничто
не должно мешать ученику проявить в полной мере свою самостоя¬
тельность, инициативу. У учителя на первый план выступают кон¬
трольные функции. И только в случае обнаружения недостаточно
ясного понимания учеником того или иного понятия или механизма
вычисления учи толь заставляет его подробно воспроизвести весь
ход рассуждения.
Чтобы создать прочные и устойчивые навыки, Нужно дать уча¬
щимся достаточное количество упражнений. Чем сложнее
навык, чем труднее даётся учащимся та или иная операция, тем
больше, очевидно, должно быть дано упражнений, и наоборот.
Причина недостаточного усвоения материала часто кроется не
столько в непонимании смысла операций, сколько в недостаток ной
тренировке учащихся.
1 о
1о

Часто приходится встречаться с таким фактом: ученик, выполняя кон¬
трольную работу, допустил, например, ошибку в делении, не поставив в се¬
редине частного нуль; но тот же ученик, когда его вызывают к доске и пред¬
лагают ему решить подобного рода пример с объяснением, решает его пра¬
вильно, ставит, где полагается, нуль. Значит, учащийся осмысленно относит,
ся к операции деления, понимает её особенность, однако этот навык не стал
у него автоматическим. Это произошло вследствие недостаточной тренировки*
недостаточности упражнений в решении соответствующих примеров.
На образование правильного и устойчивого навыка влияет
не только количество упражнений, но и распределение их во
времени. Наблюдение показывает, что наилучшие результаты полу¬
чаются при такой организации обучения, когда вслед за объясне¬
нием учителя даётся достаточно много упражнений, и упражнения
идут в сгущённом порядке, а дальше работа над изученным навы¬
ком продолжается в порядке повторения. Упражнения, густо рас¬
положенные вначале, повторяются дальше всё реже и реже, пока
навык не закрепится окончательно.
Учитель в своей школьной работе ограничен временем. Он ра¬
ботает по плану, в котором точно указывается, какое именно коли¬
чество часов (уроков) может быть отведено на каждый раздел, на
каждый вопрос.. Время контролирует учителя, заставляет его быть
расчётливым, экономным. Перед учителем постоянно стоит вопрос,
как сочетать необходимость достаточно большого количества
упражнений с тем обычно ограниченным количеством часов, кото¬
рое отводится данному навыку. Учитель только тогда сможет
удовлетворительно разрешить этот вопрос, если он будет неуклон¬
но следовать принципу: «Беречь время, беречь каждую минуту,
не тратить времени на то, что не помогает усвоению навыка».
Зачем, например, при решении задач из задачника тратить время на спи¬
сывание полного текста условия задачи, когда это условие можно записать
кратко, схематично, без ущерба для его усвоения учащимися? Незачем также
заставлять учащихся II класса, только ещё овладевающих техникой письма,
писать вопросы при решении задач; можно эти вопросы формулировать устно
беч гсякого ущерба для понимания задачи Излишне при делении многознач¬
ного числа на однозначное {например. 7 283 148:6) исписывать целую страни¬
цу с произведениями, остатками и неполными делимыми; лучше выполнить это
деление устно, записав его в строчку и обозначая только одни цифры частно¬
го по мере их получения.
Одно только устранение излишнего письма может дать большую эконо¬
мию времени, которое можно использовать для увеличения количества, упраж¬
нений. Этой же цели служат различного рода таблицы: таблицы для устного
счета, круги с написанными по окружности цифрами (для игры в «молчанку»)*
экономные формы устного счёта, известные под названием беглого счёта, ре¬
шение несложных задач в порядке упражнений в устном счёте и другие
упражнения.
Для образования твёрдых навыков должны быть широко
использованы домашние за да ни я. Давая ** ученикам на домг
ежедневно решать примеры N и задачи, учитель может ' вдвое-
по сравнению с классными'занятиями, увеличить количество упраж¬
нений; ценность домашних заданий увеличивается ещё тем, что
упражнения в этом случае выполняются учениками самостоятельно.

Чтобы проверить, достаточно ли дано упражнений, учитель
должен дать ученикам контрольную работу. Если все или в край¬
нем случае подавляющая масса учеников (более 3А0 предложен¬
ные примеры или задачи решили правильно, значит, упражнений
было дано достаточно, и учитель может переходить к следующему
вопросу своего плана. И наоборот, если значительная часть уча¬
щихся -допустила ошибки, нужно на данном материале остановить¬
ся, дать дополнительные разъяснения и дополнительные упраж¬
нения.
В упражнениях нужно давать учащимся каждый раз одну ка¬
кую-либо трудность, один какой-либо элемент сложного навыка;
было бы нецелесообразным ставить ученика перед необходи¬
мостью преодолевать одновременно две или несколько трудностей.
Например, нехорошо давать в качестве материала для первого упражнения
на письменное сложение в пределе 1 000 примеры такого тина:
,287
' 396
Решение этого примера предполагает наличие у ученика сложного навыка:
знания порядка сложения, умения разбить сумму, полученную ет сложения
единиц, десятков на разряды, записать и запомнить отдельные части сум¬
мы и т. д. Всем этим ученик должен овладеть постепенно, а для этого ма¬
териал упражнений целесообразно расположить в такой системе:
1) , 236 2) , 354 3) , 538	4) , 695
+ 453	+216	346	+2(57
Прежде чем давать упражнения в каком-либо сложном навыке,
надо дать учащимся'возможность усвоить те элементы, из кото¬
рых он складывается.
Первые упражнения надо сопровождать применением нагляд¬
ных пособий: конкретность и наглядность облегчают применение
выводов и правил в самостоятельных упражнениях учащихся.
К каждому последующему навыку надо переходить тогда,
когда твёрдо усвоены предыдущие навыки, на которые этот по¬
следний опирается. Степень усвоения должна проверяться путём
систематического наблюдения и контроля учителя.'
Необходимость выполнения этих требований очевидна. Тем не
менее в школьной практике они нередко нарушаются, что и яв¬
ляется одной из существенных причин слабого усвоения учащими¬
ся основ арифметики.
Запоминание. Повторение.
Запоминание, заучивание в курсе арифметики начальной школы
имеют широкое применение. Такой материал, как таблицы сложе¬
ния и вычитания в пределе 20 в I классе, таблицы умножения и де¬
ления во II классе, таблицы мер длины, веса, времени, площадей
в III классе, таблица кубических мер, различные определения
и правила в IV классе, должен быть усвоен учащимися наизусть.
-20

Чтобы заучивание и запоминание материала протекало успешно,
надо соблюдать как общие методические требования к запоми¬
нанию, так и некоторые специфические требования, вытекающие
из особенностей арифметики.
Уже во время объяснения надо приучать учащихся к внима¬
тельному выслушиванию объяснений и запоминанию. Учитель мо¬
жет добиться этого, приняв за правило систематически производить
опрос учащихся по объяснённому материалу. Если учащиеся знают
о предстоящем опросе, то у них будет и установка на запоми¬
нание.
Материал для заучивания надо давать после того, как он
объяснён учащимся и воспринят ими сознательно, осмысленно.
Экспериментальные исследования показали, что при осмысленном
заучиваний запоминалось в 20—25 раз больше материала, чем
в том случае, когда запоминание носило неосмысленный характер.
Вот почему, прежде чем давать заучивать, например, таблицу
умножения, надо показать, объяснить ученикам, как получается эта
таблица, как происходит групповой счёт, как воспроизвести ре¬
зультат, если он забыт.
Для того чтобы облегчить учащимся запоминание большого
материала, надо выделять и подчёркивать в нём главное, основное,
то, что может послужить опорой в запоминании всего остального.
Если ученик твёрдо знает» что «пятью шесть — тридцать», то ему легко
запомнить, что «семью шесть — сорок два», «восемью шесть — сорок восемь»
и т. д. Если ученик знает, что 8 + 8== 16, 7 + 7 = 14 (а это легко запо¬
мнить),' то ему нетрудно усвоить, что 8+9=17, 7 + 8=15 и т. д. Надо
учить ученика связывать новое с тем, что он уже хорошо знает.
Вышеуказанные средства закрепления навыков должны быть
дополнены повторением.
Желательно, чтобы каждое новое повторение было возобнов¬
лением изученного, с несколько иным содержанием, в иной форме,
на ином, более высоком, уровне. Повторяя, можно давать и кое-
что новое, дополнительное. Повторение должно быть в то же вре¬
мя и углублением уже имеющихся знаний. Повторяя старый мате¬
риал, нужно давать его в новых связях, новых сочетаниях и ассо¬
циациях.
Приведём пример повторения таблицы умножения. Первоначально таблица
умножения изучается по постоянному множимому.
6X2	6X4
6X3	6X5
и т. д.
Затем таблица умножения перестраивается по постоянному множителю
и, повторяется с тем же содержанием, но в новой ферме:
2X6	4X6
3 х 6	и т. д.
21

			] ишитспим изучается внетабличное умножение, где
табличные случаи умножения входят в новом сочетании и снова повторяются:
12X6	14X6
13X6	15X6
и т. д.
Наконец, таблица умножения повторяется при умножении многозначных
чисел, где она выступает в ещё более сложных связях. В примере умноже¬
ния б 439 X 67 повторяется следующая часть таблицы умножения:
6X6 8x5 6X7 8X7
4 X 5 9X 5 4X 7 9X7
Приведём другой пример повторения. Определение вычитания в IV классе
в начале учебного года даётся сначала в такой форме: «Вычитанием назы¬
вается такое арифметическое действие, посредством которого от одного числа
(уменьшаемого) отнимается столько единиц, сколько их есть в другом числе
(вычитаемом). В таком определении подчёркивается процесс выполнения
действия вычитания. Но в дальнейшем, когда учащиеся познакомятся с взаи-
хтдодсг-г.ичч действиями, можно дать более строгое определение вычитания,
ьбк действия, обратного сложению: «Вычитанием называется такое арифмети¬
ческое действие, в котором по данной сумме двух слагаемых и одному из них
находится другое слагаемое». Эго определение сложнее первого, и его можно
ддгь только как дополнение при повторении.
при повторении решения задач также возможно усложнение, привнесение
нового. Например, при первоначальном обучении детей решению задач на на¬
хождение двух чисел по сумме и кратному отношению даются задачи этого
типа в так называемом чистом виде; например: «За две книги уплачено
1 р. 50 к., причём за одну из них уплачено в 4 рази больше, чем за другую.
Сколько уплачено за каждую книгу?» При повторении этот тип задач даётся
пли на задачах'с другим содержанием (с другой фабулой), или же он вклю¬
чается в качестве составного элемента в усложнённые задачи, например:
«Колхоз засадил картофелем двух сортов 12 га по 85 ц на каждом. Карто¬
феля раннего сорта посажено вдвое больше, чем позднего. Сколько посажено
картофеля каждого сорта?» Здесь типовая задача вошла в состав сложной
арифметической задачи.
Во многих случаях при повторении достаточно только видоиз¬
менить обычный вопрос, чтобы заставить ученика подойти к изу¬
чаемому материалу с новой стороны и посмотреть на него по-
новому.
Например, изучая вычитание, учащиеся усваивают иазпание компонентов
и их значение, они знают, что такое разность. Чтобы узнать, понимают ли
ученики, что таксе разность, обычно спрашивают; «Что показывает разность?»
Но при повторении можно изменить вопрос и Дать его в такой примерно
форме:	«Уменьшаемое больше вычитаемого на 15. Чему равна разность?»
1с же можно сделать и но отношению к частному.
Применение на практике.
Применение на практике является заключительным этапом при
усвоении арифметических знаний. Работу над усвоением того или
иного раздела арифметики можно считать в сущности законченной
только тогда, когда ученик проделал ряд упражнений по прим^
нению его на практике. Способы этого применения весьма разно¬
образны, и зависят они от характера знаний и навыков.
22

Вычислительные навыки находят своё практическое
применение в решении задач. Пока ученик упражняется в решении
столбиков, пока он усваивает только приёмы вычислений и тех¬
нику счёта, его внимание сосредоточено исключительно на данном
навыке, который является в упражнениях самоцелью, и вся работа
носит характер учебных, тренировочных упражнений. Практикой
является решение задачи. Задача — цель, -вычислительный навык-
средство. Практика придаёт осмысленность всей предыдущей ра¬
боте над навыком. Навык в ней ещё и ещё раз проверяется,
шлифуется, окончательно закрепляется и автоматизируется. Благо¬
даря практическому применению ученик устанавливает те есте¬
ственные связи, которые существуют между теорией и практи¬
кой, между навыком и жизнью. Вся работа по изучению четырёх
арифметических действий, работа длительная и кропотливая, ста¬
новится целенаправленной. Это стимулирует ученика на преодоле¬
ние трудностей, связанных с приобретением твёрдых навыков.
Измерительные навыки, получаемые в школе, также
могут найти широкое применение в практике измерительных работ,
проводимых и в школе, и дома, и на открытой местности. Сначала
измерительные навыки вырабатываются в порядке учебно-трениро'
водных упражнений, где выработка навыка является самоцелью.
Потом, когда первая стадия работы по образованию навыка закой-
чеяа, ученики могут быть привлечены к выполнению таких практи¬
ческих работ, где эти навыки уже используются как средство.
Назовём несколько таких примерных работ: линейные измерения
при изготовлении плакатов для украшения класса; измерение
площадей при благоустройстве школьного двора, при разбивке
школьного огорода, разбивке грядок под разные культуры, раз¬
бивке цветочных клумб; измерение площадей при сельскохозяй¬
ственных работах (запашке и уборке урожая).
Умение решать задачи тоже может и должно быть
использовано на практике. Пока решаются готовые задачи, взятые
■из задачника, работа носит чисто учебный характер и направлена
на овладение теорией решения задач. Но этот навык, это умение
может быть использовано в практических целях для разрешения
жизненных, практических вопросов, связанных с расчётами и вы¬
двигаемых потребностями самого ребёнка, окружающей ребёнка
средой • семьёй, школой, колхозом, тем или иным предприятием.
В задачах из сборника содержание и количественные отношения
между процессами, фактами, о которых говорится в условии за¬
дачи, даются готовыми. В задачах же, составляемых учащимися,
цифры и количественные отношения между вещами и явлениями
устанавливаются учащимися на основании своего жизненного опы¬
та, или по справкам из книг, газет, от людей. Задача вырастает
из какого-либо жизненного вопроса, который надо в данный мо¬
мент разрешить.
Например, для начала учебного года характерны такие «арифметические»
вопросы: «Сколько стоило пополнение нашей школьной библиотеки?» «Сколько
23

стоит в месяц школьный завтрак?» «Вычислить стоимость одежды в по¬
мощь нуждающимся» и т, д. Решение этих вопросов потребует, чтобы уче¬
ники имели цифровые данные, которые в основном сообщаются учителем*
Для весеннего периода актуален такой вопрос* «Чтобы засеять наш
школьный огород тремя культурами (картофелем, капустой, свёклой), сколько
потребуется семян и рассады? Сделать расчёт при следующих условиях*
(дальше указывается площадь огорода, нормы высева, посадки и т. д.).
Для колхозов в зимний период жизненное значение имеет вопрос: «Хва¬
тит ли колхозу кормов для скота, если у него имеется столько-то голов
скота и если запас кормов выражается следующими цифрами» (дальше ука¬
зывается, сколько у колхоза сена, сколько соломы,'овощей, жмыхов и т. д.).
Перечень подобных вопросов в значительной мере обусловли¬
вается окружением школы и интересами учащихся. Характер во¬
просов и степень сложности их должны соответствовать классу:
для младших классов берутся вопросы попроще, поближе к непо¬
средственным интересам и нуждам ребёнка, для старших классов
задания могут быть посложнее, с более широким охватом жизнен¬
ных вопросов.
Из сказанного видно, насколько сложен тот путь, который про¬
ходит ребёнок от первоначального знакомства с новым понятием
до окончательного овладения им.
Этот путь ведёт ученика через восприятие материала и уясне¬
ние его смыслового содержания, через полное и глубокое осозна¬
ние воспринятого, через большой и важный этап упражнений, на¬
правленных к закреплению полученных знаний, к образованию твёр¬
дых навыков. На этом пути — пути формирования понятий и раз¬
вития математического мышления — приводится в действие в-сё
многообразие мыслительных процессов:	анализ и синтез, дедук¬
ция и индукция, абстракция и конкретизация, переходы от единич¬
ного к общему и от общего к единичному, а также всё многооб¬
разие способов и приёмов обучения. В результате этого в созна¬
нии учащегося возникают математические представления, прояс¬
няются и оформляются мысли, представления формируются в поня¬
тия, понятия -— в суждения и умозаключения. Чтобы управлять
этим сложным процессом формирования знаний, учителю нужно
хорошо знать этот путь, видеть все основные вехи на нём и пони¬
мать значение каждой из них. И при всём этом никогда не нужно
упускать из виду учащегося: нужно со всей тщательностью сле¬
дить за тем, как он воспринимает материал, как проясняются еро
мысли, какие затруднения у него встречаются, каковы индиви¬
дуальные причины этого.
В постоянном внимании к учащемуся — залог успешного обу¬
чения арифметике.
24

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
НАГЛЯДНОСТЬ.
При восприятии и осмысливании арифметического материала
большое значение имеет наглядность. Всё обучение арифметике
в начальной школе должно быть наглядным, образным, конкрет¬
ным. К развитию отвлечённого, абстрактного мышления, к образо¬
ванию о5бщих математических понятий надо идти, отправляясь от
наглядного обучения. Большое значение наглядности обусловлено
тем, что ребёнок мыслит образно, конкретно. Ой хорошо понимает
то, что наглядно, конкретно, и, наоборот, для него неясны и не¬
понятны отвлечённые суждения. Он может усвоить, запомнить эта
суждения, но если они не подкреплены наглядностью, они будут
для него пустыми, бессодержательными фразами, бесплодными
абстракциями.
Наглядность нужна и для образования у детей первых число¬
вых понятий, и для расширения круга числовых представлений,
и для развития их математического мышления. Первые числовые
понятия у учащегося возникают ешё до школы на основе много¬
кратного восприятия групп предметов и их счёта. В дальнейшем,
когда ученик приходит в школу, при образовании каждого общего
понятия, носящего более или менее отвлечённый характер, он обя¬
зательно проводится через этап наглядного обучения.
Как, например, ученик приходит к выводу, что 4 4- 2 — б? Сначала ему
дают конкретные предметы, которые он видит, осязает, пересчитывает, пере*
двигает, и притом разные предметы; так, к четырём кубикам он прибавляет
два кубика, к четырём палочкам прибавляет две палочки, к четырём кру¬
жочкам — два кружочка, к четырём спичкам — две спички. Во всех этих
случаях он получает 6: шесть кубиков, шесть палочек, шесть кружков,
шесть спичек.
Дальше, на следующем этапе, который близко примыкает
к первому, а иногда и сливается с ним, ученик проводит эту опе¬
рацию сложения мысленно по представлению, не имея перед гла¬
зами предметов.
При решении задач: «В коробке лежали четыре карандаша; туда поло¬
жили ещё два карандаша. Сколько карандашей стало в коробке?» «В клетке
было четыре кролика; туда посадили ещё двух кроликов. Сколько кроликов
стало в клетке?», ученик в случае сомнения проверяет результат сложения
на предметах, условно заменяющих карандаши, кроликов, — на палочках, но
рисунках и т. д.
В ходе такой работы ученик постепенно освобождается от ма¬
териальной основы счёта —от кубиков, палочек, спичек, кружоч¬
ков,— выделяет то, что было общим для всех случаев сложения,
и приходит к выводу, что всегда, во всех случаях, четыре да два
будет шесть, что и запоминает наизусть: 4 + 2 = 6. Тот же про¬
цесс происходит и при развитии каждого понятия, каждого ариф¬
метического действия.
Различные разделы курса арифметики требуют применения
2с

.. г^и.и.и нида; например, когда изучаются
числа первого и второго десятка, тут в качестве наглядных посо¬
бий выступают естественные предметы счёта:	палочки, кубики,
спички, кружочки и т. д. Когда далее дети переходят к изуче¬
нию нумерации в пределе сотни и тысячи, наглядными пособиями
являются пучки палочек, пучки соломинок или бумажные ленты,
разделённые на метры, дециметры и сантиметры. Когда же об¬
ласть чисел расширяется ещё больше и учащиеся переходят к изу¬
чению нумерации чисел любой величины, возникает потребность
в наглядных пособиях с условным изображением числа на счётах
'Или в клетках абака. В дальнейшем приходится ограничиваться
уже цифровыми образами. Итак, при расширении числовой области
меняются и наглядные пособия: естественные предметы и группы
предметов переходят в условные образы, а эти последние в конце
концов уступают своё место цифрам.
Самым убедительным для учащегося на первых порах обучения
является процесс счёта или вычислений на натуральных предме¬
тах, затем следуют картинки или рисунки с изображением предме¬
тов. В дальнейшем, по мере развития мышления и воображения
учащихся, наряду с предметами и их изображениями наглядность
в процесс обучения могут вносить условные схемы, таблицы,
чертежи.
Пользование пособиями последнего рода требует от учащихся
известной умственной зрелости и достаточно развитого воображе¬
ния, поэтому вводить их следует с некоторой осторожностью
и своевременно, не форсируя этого введения.
Наглядность помогает не только восприятию и пониманию
отдельного математического факта, но и осознанию тех мыслитель¬
ных процессов, которые сопровождают объяснение материала.
Эти процессы тоже надо подкреплять и связывать с известными
образами, тогда они лучше уясняются и легче воспроизводятся
учащимися.
Приведем пример. Допустим, что учитель в III классе поставил целью
урока разобрать задачу аналитическим методом и на этом разборе выяснить
учащимся сущность этого метода.
I Злдщ'гг «-Одни нлсос работал 4 часа, давая по 138 вёдер воды в час,
з другой 3 часа, давая по 168 вёдер в час. Который из них накачал больше
воды и на сколько больше5*
Ушгель поступит прав* тьно, естп он свяжет разбор задачи со следую-
цгн схемой (риг. 2) г)ы ' <'Ч) будо служим, Iсм конкретным образом, ко¬
торый 31МСЧ.П 1сг*1' ч и 11апи1и учащеюся и будет помогать ученику воспроиз¬
водить логический процесс — процесс анализа задачи.
Высоко оценивая наглядность и широко применяя её, надо в то
же время помнить, что наглядность есть не самоцель, а только
вспомогательное средство для достижения подлинной цели — твёр¬
дого усвоения арифметических знаний и развития у детей логиче¬
ского (отвлечённого, абстрактного) мышления. Поэтому нагляд¬
ность надо применять тогда, когда она необходима, когда без неё
20

нельзя обойтись, и от наглядности надо отходить, как только
ученики хорошо поймут объясняемое. Неумеренное, излишнее при¬
менение наглядности может затормозить развитие у учащихся
отвлечённого, абстрактного мышления, может надолго задержать
их на ступени конкретного мышления, которую надо преодолеть.
Конечная задача школы — научить ученика производить вычисле¬
ния без наглядных пособий, научить решать задачи на основе
только рассуждения. Поэтому наглядные пособия нужно широко
применять на этапах восприятия и осмысливания материала, а так¬
же* на этапе первоначальных упражнении, но упражнения по закре¬
плению знаний надо вести без наглядных пособий, обращаясь
к ним только в случае затруднений и непонимания, обнаруживае¬
мого отдельными учащимися.
Рис. 2
В зависимости от цели и способа применения наглядные посо¬
бия можно разделить на две группы — демонстрационные и лабо¬
раторные. К демонстрационным относятся такие пособия, кото¬
рыми пользуется учитель для показа всему классу, например:
классные счёты, арифметический ящик, таблицы, плакаты и д-р. На
них учитель разъясняет учащимся вычислительные приёмы, правила
выполнения действий, способы решения задач. Учитель показы¬
вает, а ученики смотрят, наблюдают, сравнивают, сопоставляют,
а затем на основе сделанных наблюдений приходят к выводам
и обобщениям. Лабораторные пособия принято называть иначе—•
дидактическим материалом. Это те пособия, которые имеются На
руках у учащихся и которыми пользуются ученики для непосред¬
ственной и самостоятельной работы с ними по заданию учителя.
Сюда относятся различные предметы счёта (палочки, кубики, спич¬
ки, кружочки, модели монет и др.), разрезные цифры, модели гео¬
метрических тел и др. Работа с дидактическим материалом обес¬
печивает наивысшую степень активности детей на уроке, поэтому
широкое внедрение дидактического материала крайне необходимо.
В зависимости от способа изготовления различают наглядные
пособия готовые и самодельные.
27

Готовые наглядные пособия.
К числу готовых пособий относятся такие-, которые изготов¬
ляются на фабриках или в мастерских наглядных пособий по
установленным стандартным образцам и рассылаются по школам,
например: классные счёты, арифметический ящик, таблица умно¬
жениям модели мер. Это классические пособия, разработанные
великими мастерами педагогического дела (а иногда и народного
творчества) и проверенные на опыте многих школ в течение
многих веков. Они составляют тот сравнительно небольшой
минимум пособий, без которых не может обойтись ни одна школа
без ущерба для качества преподавания. Остановимся па каждом
пособии этого минимума, ограничиваясь пока только описанием
его устройства я краткими указаниями на его значение (приёмы
их применения будут подробно освещены в специальных главах
этой методики).
Классные счёты. Классные счёты являются одним из
самых ценных и необходимых наглядных пособий по арифметике.
Это наиболее универсальное пособие: пользуясь им, можно выяс¬
нить большинство основных арифметических вопросов, содержа¬
щихся в программе начальной школы. Достоинством этого пособия
является то, что его можно переносить и ставить в наилучшее по¬
ложение по отношению к классу. Оно хорошо видно, легко обо¬
зримо для учащихся. Шарики, которые являются главным средством
счёта, подвижны и легко перемещаются. Классные счёты необхо¬
димо применять начиная с I класса; только здесь достаточно оста¬
вить всего две проволоки с 20 шариками. В I и II классах не сле¬
дует знакомить учащихся с поместным значением шариков: каж¬
дый шарик рассматривается здесь как простая единица, следова¬
тельно, вся совокупность шариков на счётах для ученика I и
II классов — поле однородных единиц.
Классные слёты применяются при изучении следующих вопросов:
а)	В I классе — счёт в пределе 10, присчитывание и отсчитывание по
единице, сложение и вычитание в пределе 10, счёт и нумерация в пределе 20,
сложение и вычитание в пределе 20 как без перехода, так и с переходом
через десяток, умножение и деление в пределе 20. На счётах удобно выяснить
понятие «на столько-то больше, на столько-то меньше». Таким образом,
большая часть курса арифметики в I классе может быть объяснена на класс-
ных счетах.
б)	Во П классе классные счёты могут быть применены для изучения
таблицы умножения (для набора равных слагаемых), для изучения нумерации
в пределе 1 000, разностного сравнения чисел, кратного сравнения, увеличения
и уменьшения числа в несколько раз.
в)	В III и IV классах классные счёты являются незаменимым пособием
для объяснения нумерации многозначных чисел. Но здесь классные счёты
выступают в роли не только наглядного пособия, но и счётного прибора. Уча¬
щиеся приобретают умение производить на счётах сложение и вычитание мно¬
гозначных чисел, сначала отвлечённых, а затем и составных именованных.
Арифметический ящик. Арифметический ящик принад¬
лежит к числу наиболее распространённых наглядных пособий. Он
28

весьма давнего происхождения и пользуется большой популяр¬
ностью в школах различных стран и народов. Конструкция этого
посдбиц общеизвестна, поэтому на описании её останавливаться не
будем Счётный материал в нём представлен, как известно, куби¬
ками, брусками, досками. Кубики означают простые единицы, бру¬
ски— десятки, доски — сотни. Применяется он при изучении ариф¬
метики в I и II классах, при изучении геометрического материала—
в III и IV классах.
ГдЗГ'КчЧ4 НЛчЛичеННе 9СЛРО ШЪ'ЛбиЯ — К ОИК реТИЯцрОПДТЦ* 1М4Ч1Ю'ИИ? ЧЬИЫЛ
приёмы, счёт и нумерацию чисел и пределе Ь\ \Л' н \ Л'О \\»м»лчи
им, удобно показать и объясни! ь: прямой и обратный с чем до десяти, праг¬
мы сложения и вычитания в пределе 10, нумерацию и все дснсыия и пределе
20, все действия с круглыми десятками, нумерацию и все действия в пределе
100, нумерацию и все действия в пределе 1 000 Особенно удобен арифмети¬
ческий ятик для объяснения нумерации в пределе 20 и объяснения приемов
вычисления в пределе 100. Вычисления в пределе I 000 также поддаются кон¬
кретизации, но процесс показа при этом является малоудобным, громоздким.
К достоинству арифметического ящика откосится то, что в нём
очень наглядно представлено взаимное соотношение между основ¬
ными разрядными единицами — простыми единицами, десятками
и сотнями — без всяких условностей, как это имеет место на класс¬
ных счётах. Каждый брусок-десяток представляет собой нечто
целое и вместе с тем состоящее из отдельных кубиков-единиц.
Ясно видно, что доска состоит из десяти брусков-десятков и сотни
кубиков-единиц. Поэтому арифметический ящик особенно ценен
для объяснения нумерации двузначных и трёхзначных чисел.
Но это пособие имеет и свои недостатки. Кубики, входящие
в состав бруска-десятка, неподвижны и не могут отделяться.
Впрочем, этот недостаток устраняется тем, что в случае необходи¬
мости брусок может быть заменён отдельными кубиками. Допу¬
стим, что нужно показать приём вычитания в примере 23—8. Для
этого берём 2 бруска и 3 кубика; отнимаем 3 кубика, затем один
из брусков заменяем десятью отдельными кубиками. От 20 куби¬
ков отнимаем 5 кубиков.
Существенным недостатком арифметического ящика является
и то, что кубики можно демонстрировать только на горизонталь¬
ной плоскости, а это затрудняет видимость производимых опера¬
ций, особенно для учащихся, сидящих На задних партах. В этом
отношении ящик уступает классным счётам, где все операции
происходят в вертикальной плоскости и хорошо видны для всех
учащихся. Советские педагоги предприняли ряд попыток к тому,
чтобы устранить этот недостаток, однако результаты этих попыток
не Настолько велики, чтобы их можно было рассматривать как
основание для изменения конструкции ящика. 11 Арифметический ящик в качестве наглядного пособия был впервые
предложен Тиллихом, одним из наиболее талантливых последователей
Песталоции. В наших школах распространён арифметическим ящик, представ¬
ляющий собой некоторое видоизменение тиллиховского пособия.
29

Палочки и пучки палочек» Это простое и дешёвое
наглядное пособие представляет со-бой тонкие палочки одинако*вой
длины (около ] дециметра), связываемые в пучки различной вели¬
чины Отдельные палочки служат для счёта единицами. Каждые
10 палочек связываются в одни пучок, представляющий 'десяток.
10 таких пучков-десятков связываются снова в один большой
пучок — сотню. Таким же образом может быть составлен пучок-
тысяча.
Набор пучков и палочек очень хорош для счёта и выяснения состава
разрядных единни: каждый пучок представляет собой самостоятельное целое,
которым при счете десятками пользуются так же, как отдельными палочками
при счёте до Ю; в то же время каждому ученику ясно, что это целое со¬
стоит из 10 палочек, т. е. что десяток, являясь счётной единицей, сам
состоит из Ю единиц.
При помощи набора палочек и пучков хорошо выясняется десятичный
состав чисел и производство действий над ними, причём, благодаря связыва¬
нию и развязыванию пучков, очень наглядно демонстрируется превращение
единиц низшего разряда в единицы высшего разряда (при сложении и умно¬
жении) и раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего разряда
(при вычитании и делении).
Модели метрических мер. При обучении начальной
арифметике необходимы модели, наглядно знакомящие учеников
с мерами. В числе таких моделей в школе должны быть: метр
деревянный с подразделением на дециметры, сантиметры и милли¬
метры, литровая и полулитровая кружка; весы с разновесом, в ко¬
торый входят 5 гирь в 1, 5, 10, 50 и 100 граммов. Из квадратных
мер нужно иметь квадратный сантиметр, квадратный дециметр;
из кубических мер — кубический сантиметр и кубический деци¬
метр. Модели эти используются во всех классах.
Ученики должны не только видет-ь эти модели, но и пользо¬
ваться ими для измерения длины, веса, площади, ёмкости. Непо¬
средственное пользование мерами способствует выработке точного
представления о мерах и навыков измерения.
Модели геометрических фигур и тел. В III классе
изучение «геометрического материала» (квадратных мер) обеспечи¬
вается главным образом самодельными наглядными пособиями.
В IV классе для изучения геометрических тел применяется дере¬
вянная или из папки модель куба и модель прямоугольного парал¬
лелепипеда (из арифметического ящика). По этим моделям и про¬
водится описание куба и прямоугольного параллелепипеда на уроке.
Для проведения измерительных работ на местности приме¬
няются- а) вехи, б) колышки, в) флажки, г) мерная верёвка ил»
цепь в 10 ли д) эккер (простейший, в виде креста на заострённой
паже).
Таблицы. В качестве наглядных пособий по арифметике
применяются также и таблицы. По своему значению таблицы
уступают вещественным наглядным пособиям; предметы, изобра- 11 Это пособие было предложено Овербергом в конце XVIII в.
30

жённые на них, статичны, неподвижны, неразложимы на части, на-
элементы, как это имеет место в арифметическом ящике или
классных счётах. Тем не менее и они помогают сделать обучение
арифметике наглядным, образным, конкретным; они дают уча¬
щимся яркие зрительные образы, — в этом их главное значение..
Из таблиц широкое распространение в школах получили сле¬
дующие:
1.	Числовые таблицы (10 штук), разработанные тов. Э ме¬
новым, служат хорошим наглядным пособием в I классе при*
изучении чисел. Количество таблиц (10) соответствует количеству
изучаемых чисел от 1 до 10. Каждое число имеет свою таблицу.
Каждая таблица построена по одному и тому же плану: а) изо¬
бражение предметов как наглядного образа данного числа;,
б)	изображение числа при помощи числовых фигур, представлен¬
ных в различных комбинациях, и, наконец, в) условное изображе¬
ние числа при помощи цифры печатной и письменной. От конкрет¬
ного к отвлечённому, от естественного к условному — таков*
путь, по которому ведёт ученика таблица при изучении каждого
числа.
2.	Три таблицы метрических мер — линейных, квад¬
ратных и кубических — дают наглядное представление о величине
каждой меры, об их единичных отношениях и о способах их при¬
менения при измерении. Первая таблица используется во всех
классах начиная с* первого; вторая (квадратные меры) —
в III классе и третья (кубические меры) — в IV классе. Эти
таблицы на время работы с ними вывешиваются в классе для
обозрения их учащимися; зрительные образы мер и способов*
применения их запечатлеваются в памяти учащихся.
3.	Таблица умно н и я — широко распространённое*
и всем известное учебное пособие. Применяется в I и II классах,,
где эта таблица изучается, а также в старших классах, где она*
имеет значение справочного пособия. Значение таблицы заключает¬
ся в том, что она даёт хороший зрительный образ результатов, по¬
лучаемых при перемножении однозначных чисел (5 X 6 = 30), кото¬
рые должны быть заучены учащимися. Таблицы особенно помогают
тем учащимся, которые обладают хорошей зрительной памятью.
Таблица всегда должна висеть на классной стене и убирается только*
на время тех контрольных работ, в которых проверяется знание уча¬
щимися таблицы умножения наизусть, что бывает во II классе.
4.	Таблицы для устногосчёта, разработанные Марте¬
лем и по образцу их К. Шапошниковым, применяются, как
показывает самое название, для упражнении в устном счёте. Из¬
дано три таблицы: одна для упражнения в сложении и вычитании*
двузначных чисел, другая для упражнения в действиях с круг¬
лыми десятками и сотнями и третья для упражнения в умножении
и делении двузначных чисел. Таблицы вывешиваются только на'
тех уроках, на которых производится тренировка в устном счёте.
Применяются во II, III и IV классах. Значение их заключается
31

в том, что они дают много материала для упражнений и избавляют
учителя от необходимости подбирать и писать этот материал на
доске. Особенно полезны таблицы для двухкомплектных школ, где
они с большим удобством могут быть использованы в заданиях
для самостоятельной работы учащихся.
I
11 '
III
IV
V
VI
VII
VIII
IX
X
А
4
17
25
32
49
56
63
75
83
1
| 96
|
Б
1
15
28
36
43
57
64
72
85
99
В
7
12
21
35
50
60
65
79
83
93
Г
10
18
30
34
45
55
66
80
82
100
д
6
14
26
39
42
58
61
74
86
94
Е
9
у
16
23
31
47
53
69
77
84
91
Ж
11
29
37
44
56
63
71
89
97
3
5
20
24
33
46
54
А
67
76
90
95
И
8
13
27
40
48
52
70
73
87
92
К
2
19
22
38
41
59
62
78
81
98
Пособие для изучения дробей. Пособие представ¬
ляет собой набор кругов и частей круга из'фанеры или из папки.
В набор входят: 2 целых круга и круги, составленные из половин,
четвертей, восьмых, третей, шестых, пятых и десятых долей. Раз¬
личные доли окрашены в различные цвета. Прибор служит для
пояснения всех операций с дробями.
Самодельные пособия,
Как бы йи были совершенны готовые наглядные пособия, как
ни хорошо обеспечена ими школа, всё же в преподавании арифме¬
тики нельзя обойтись без самодельных пособий, изготовляемых
самим учителем. Преподавание арифметики — живое, творческое
32

дело, .в котором методы и приёмы преподавания постоянно обнов-
ляются и совершенствуются. Передовое учительство, работая твор¬
чески, улучшает методы и приёмы своей работы, улучшает, варьи¬
рует, обновляет и наглядные пособия. Изобретения отдельных
учителей, описываемые в журналах, демонстрируемые на выстав¬
ках, пропагандируемые в докладах при обмене опытом, должны
подхватываться учительской массой и просачиваться в практику
массовой школы.
Готовясь к уроку и продумывая вопрос о том, как бы сделать
объяснение нового материала более понятным и наглядным, учи¬
тель должен готовить и соответствующие наглядные пособия. Эти
пособия он может взять или из числа готовых, присланных
в школу, или сам сконструировать, прибегая, если возможно,
к опыту других школ.
Все самодельные пособия делятся на
яве группы: а) пособия для демонстра¬
ции, для показа всему классу, и б) ди¬
дактический материал, который раз¬
даётся на руки учащимся для лабора¬
торной работы с ним.
Из демонстрационных пособий учи¬
телю приходится чаще всего изготов¬
лять следующие:
Палочки и пучки палочек
(в случае необходимости палочки могут
быть заменены прутиками). В мастер¬
ских наглядных пособий палочки не все¬
гда готовятся в достаточном количестве,
поэтому школе приходится самой гото¬
вить это полезнее наглядное пособие.
Абак (деревянный), используемый
при изучении нумерации в пре¬
деле 1 000. Это пособие ценно в том от¬
ношении. что на нём разряды изобра¬
жаются в том же порядке, что и при
По своей конструкции абак представляет доску, разделённую на
три полосы, соответствующие единицам, десяткам и сотням;
в каждой полосе имеется по девяти гвоздей. К абаку приготов¬
ляются кружочки из фанеры или картона, которые надеваются
на гвозди и изображают единицы соответствующих разрядов
(рис. 3).
Числовые фигуры (Лая) для изучения чисел первого де¬
сятка (см. стр. 145). На этих фигурах хорошо виден состав каж¬
дого числа. Учитель изготовляет каждую новую фигуру по мере
перехода к изучению нового числа.
Числовые фигуры для сложения в пределе 20. Способ
изготовления этого пособия виден из следующего примера.
Сотни
Десят.
Един
У
&
У*
У*
У
У
У
У
>
У
У
У
У
У
У
У
У
———.
У
235
/?5'а к
Рис 3.
письменной нумерации.
б
3 А. С. Пчёлко
33

	 -ч'-' качается прибавление к 9. Здесь возможны следующие
8 случаев:
9 + 2 = 11	9 +	5=14	9	+	8=17
9 + 3= 12	9 +	6= 15	9	+	9= 18
9 + 4=13	9 +	7=16
Чтобы объяснить прибавление”' к 9 двух и к 9 трёх, изготовляются на
картоне следующие фигуры (рис. 4).
©
е
0
0
О
о
0
•
ф
®
О
9 + 2 = 11
•
0
0
©
о
ф
*
©
О
О
9 + 3*12
Рис. 4.
Приём прибавления один и тот же: сначала первое слагаемое дополняете я
до Ю, а затем к 10 прибавляется остальная часть второго слагаемого.
Таблица Пифагора составляется постепенно по мере
изучения таблицы умножения. Таблица висит в классе, пока не
1
2
3
4
5
1
6
7
8
9
10
1
2 1
4
6
8!
10
12
14 1
16
18
20
3
б
9
12
15
18
21
24
27
30
4
8
12 1
16
20
24
28
32
36
40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
12
18
24.
30
36
42
48
54
60
7
14
1 21
1
28
35
42
49
1 56
63
70
8
1 16
24
52
40
48
56
64
72
80
9
18
27
! Зб
1
1
45
54
| 63
1
72
81
90
10
О
1 01
1
30
40
| 50
60
70
80
| 90
100
34

будет заполнена и пока дети продолжают усваивать таблицу умно¬
жения наизусть.
Таблица умножения на наборе прямоугольников, раз¬
делённых на клетки (рис. 5).
Плакаты для решения
задач, где изображены пред¬
меты с указанием цен. Один и
тот же плакат может быть исполь¬
зован для решения сначала про¬
стых, а потом и сложных задач.
Плакат изготовляется на белой
или цветной бумаге. Рисунки
раскрашиваются. Цифры для обо¬
значения цен можно вырезать из	7*2=74
старого отрывного календаря.
Плакат вывешивается на уроке, и
по нему сначала сам учитель со¬
ставляет задачи, а затем посте¬
пенно приучаются к составлению
задач и ученики.
Плакат сберегает много вре¬
мени, так как при нём не нужно
записывать условие задачи и по¬
вторять его для запоминания чи¬
сел. Изображения покупаемых предметов делают задачи понятны¬
ми и интересными для детей (рис. 6).
Рис. 5.
"‘’Т-’Г*;
А
В'■ ж
резинка 4
перс ? *.
* аран да си в н.
<0 х,
Ручка
■г*
-Л-Т^Т-ГГ
ГГ™
и и ней л а 15 к
Рис. 6
По этому плакату могут быть составлены примерно следующие задачи:
«Ваня купил тетрадь и ручку. Сколько денег он израсходовал?» «У девочки
было 15 коп. Она купила два пера и резинку. Сколько денег у неё оста¬
лось?» «Ученик купил 5 тетрадей. Сколько сн должен уплатить в кассу3»
з*
35

и т. д Отсюда видно, что плакат даёт материал для составления задач про¬
стых и сложных' на различные действия.
Набор квадратов и прямоугольников из картона
или фанеры различных размеров (размеры выражены в целых
дециметрах или сантиметрах). Пособие служит для изучения фор¬
мы этих фигур и для упражнения в вычислении площадей. Нужно
иметь несколько квадратов и несколько прямоугольников опреде¬
лённых размеров. Каждая фигура имеет свой номер, которому
соответствует определённый размер. Это облегчает про-верку ра¬
боты учащихся: учителю достаточно спросить номер фигуры, чтобы
знать, верно ли ученик нашёл результат.
Образцы квадратных и кубических мер. Ква¬
дратный сантиметр, квадратный дециметр и квадратный метр выпол¬
няются на бумаге или картоне в натуральную величину и вывеши¬
ваются в классе. Кв. дециметр разбивается на кв. сантиметры, а кв.
метр разбивается на кв. дециметры. Образцы кубических мер
делаются из картона или из дерева. Кубический метр сколачи¬
вается из 12 брусков и обшивается картоном или фанерой.
Математические игры. Арифметическое лото
состоит из карточек лото и карточек с примерами. Можно сделать
различные варианты лото в зависимости от класса и от того, что
пройдено к моменту игры в лото. Для игры на сложение и вычи¬
тание в пределе 10 лото будет иметь примерно следующую форму
а содержание
2
4 'о( 7
!
10
1
4 6 3
9
Карточки лото.
10 — 8= 2	о — 7=1
5 + 4 = 9	4 + 4 = 8
5+2=7	6—3=3
Карточка с примерами.
Карточек заготовляется столько, сколько учеников в классе.
Карточка на сложение и вычитание в пределе 10 имеет только
один ряд цифр. Примеры пишутся на особых карточках.
На сложение и вычитание в пределе 20 лото может иметь
•следующее содержание.
2 1 5 | 8 ; 13
16
3 1 6 |11 1 15
20
20 -
12=8
19 - 15 = 4
6 +
7 = 13
20 — 4=16
18
2 = 20
7 + 7 = 14
12 —
6=6
14 — 9 = 5
Карточка лото.
Карточка с примерами.
36

Лото на табличное и в-нетаблнчное умножение и деление для
II класса.
5
21
36
50
72
6
25
42
54
81
8
28
48
63
36
Карточка лото.
6X6= 36
II
00
25 X 4 = 100
17 X 2 = 34
56 : 2 = 28
8X9 = 72
25 X 2 = 50
9 X 9 — 81
64 : 8 = 8
40 : 8 = 5
Карточка с
примерами
Круги для игры в «молчанку» (для упражнений в уст¬
ном счёте) могут быть составлены на самые разные разделы про¬
граммы: на сложение и вычитание в пределе 10, 20, 100, 1 000, на
умножение и деление в тех же пределах. Техника изготовления
кругов очень простая:	вычерчивается круг достаточно большого
размера (радиус 20—30 см), в центре круга и по окружности
пишутся цифры, над которыми производят действия (рис. 7).
Приведённых примеров достаточно, чтобы видеть, как широк
и разнообразен круг пособий, изготовляемых самим учителем
Почти нет ни одного такого вопроса, который нельзя было бы
иллюстрировать тем или иным самодельным наглядным пособием.
При наличии творческой инициативы и интереса к делу преподава¬
ния арифметики учитель всегда найдёт ту форму наглядности,
которая наилучшим образом вскроет сущность изучаемого понятия
и доведёт её до сознания учащегося.
Дидактический материал.
Одной наглядности для успешного усвоения арифметики мало,
к ней надо 'присоединить ещё активную деятельность
самого ученика и в процессе восприятия, и при выяснении смысло¬
37

вого содержания воспринятого, и в процессе упражнений. При
показе наглядных пособий ученик получает известные зрительные
образы, которые многое уясняют ему, привлекают его внимание
к предмету изучения. Но ученик при этом остаётся только зрителем;
его роль сводится к созерцанию того, что показывает учитель.
Активность ученика достигает высшего предела тогда, когда он
сам что-либо делает, когда в работе участвует не только его
голова, но и руки, когда происходит всестороннее (не только зри¬
тельное) восприятие материала, когда он имеет дело с предметами,
которые он может по своему усмотрению перемещать, по-разному
комбинировать, ставить их в определённые соотношения, наблюдать
эги количественные отношения и делать из наблюдений выводы.
Всё это возможно при том условии, если учитель будет не только
чемонстрировать наглядные пособия у классного стола, но во¬
оружит ими каждого учащегося и заставит его в течение урока ра¬
ботать с ними. Наглядные пособия, находящиеся в руках ученика
и имеющие значение рабочего материала, получили название ди¬
дактического материала, а самая форма работы с дидак¬
тическим материалом носит название лабораторной работы.
Следовательно, наглядные пособия должны быть дополнены
изготовлением в школе дидактического материала для
снабжения им учащихся. Особенно большое значение имеет
дидактический материал в I классе. При этом надо иметь в виду,
что ученики сами принимают очень большое участие в снабжении
себя дидактическим материалом. Учитель во многих случаях
должен только организовать учеников для сбора или изготовления
нужного материала.
Дадим здесь краткий примерный перечень тех предметов, кото¬
рые составляют содержание дидактического материала по арифме¬
тике, распределив их по классам.
I	класс. Для усвоения счёта и арифметических действий
в пределе 10, 20 и 100 ученику 1 класса нужно иметь в качестве
предметов счёта палочки (прутики, спички), связанные в пучки;
набор кружочков, прямоугольников и квадратов, сделанных из кар¬
тона, разрезные цифры; модели монет из картона или толстой
бумаги, ценностью в 1, 2, 3, 5, 10 копеек (используются монеты
для изучения состава чисел). Способ изготовления монет: подкла¬
дывается под чистый кусок бумаги монета, затем бумага зату¬
шёвывается карандашом и вырезается.
Весь этот набор пособий должен храниться у ученика в особом
ящичке или в пакете, откуда по мере надобности ученик вынимает
их, чтобы производить с ними счётные операции по указанию
учителя.
II	класс. Ручной индивидуальный абак для изу¬
чения нумерации в пределе 1 000 Изготовляется абак из картона
размером 20 см X 8 см; сверху на него наклеиваются 3 полоски
белой бумаги с 9 отверстиями, причём эти полоски наклеиваются
только краями, чтобы оставалось пространство для свободного
38

передвижения бумажных полосок (ленточек), открывающих по ме¬
ре выдвижения единицы любого разряда (рис. 8). Весь класс
получает задание изобразить данное число. Учащиеся передвигают
л>енточки и получают заданное число.
III	класс. Круги, прямоуголь¬
ники, квадраты, разделённые на
2, 4, 8 частей. Применяется для конкре¬
тизации понятия о долях единицы у, у.
Для этого они сгибаются пополам, полови¬
ны — ещё пополам, четверти — ещё попо¬
лам; получаются вторые, четвёртые и
восьмые доли.
Индивидуальный абак делается
по тому же образцу, что и во II классе;
только здесь вместо трёх полосок делается
девять или даже двенадцать — по числу
разрядов. Используется абак при изучении
устной и письменной нумерации.
Набор квадратов и прямо¬
угольников из картона служит для
изучения свойств квадрата и прямоуголь¬
ника при прохождении темы «Геометриче¬
ский материал».
IV	класс. Набор кубиков и бру¬
сков, сделанных из дерева или пласте-
лина, для изучения свойств куба и парал¬
лелепипеда и для измерения объёмов.
ГЛАВА ПЯТАЯ.
ОРГАНИЗАЦИЯ ПРЕПОДАВАНИЯ АРИФМЕТИКИ.
Чтобы успешно преподавать арифметику, нужно не только вла¬
деть в совершенстве методами и приёмами преподавания, но и быть
хорошим организатором. Можно без преувеличения сказать,
что хорошо налаженные занятия по арифметике и глубо¬
кие познания учащихся в этом предмете являются результатом
не только методического мастерства учителя, но и организатор¬
ских его способностей. Класс представляет собой коллектив, в ко¬
тором индивидуальная работа ученика своеобразно переплетается
с коллективной работой всего класса. Учитель, как руководитель
класса, должен уметь управлять коллективом и его работой,
не упуская из виду каждого учащегося в отдельности. А хорошо
руководить — это значит: а) уметь ярко и определённо поставить
перед коллективом цель в работе, смело и уверенно вести класс
к этой цели; б) иметь все необходимые средства для осуществле¬
ния поставленной задачи; в) умело распределять работу, учитывая
индивидуальные особенности учащихся; г) учитывать фактор вре¬
сотни
десят
един.
♦
♦
♦
0
♦
♦
0
0
♦
0
0
♦
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Рнс. 8.
39

мени, беречь и экономить каждую минуту; д) тщательно учиты¬
вать качество работы каждого ученика и уметь правильно её оце¬
нить. Эти общие требования к хорошей организации полностью
относятся и к делу преподавания арифметики. Хороший урок по
арифметике возможен только тогда, когда он хорошо организован,
г. е. когда он продуман во всех его деталях и хорошо подготовлен.
Готовясь к уроку, учитель должен продумать каждое своё сло¬
во, предусмотреть каждое своё действие. Во-время начать и во¬
время кончить работу, иметь под руками всё необходимое, держать
в поле зрения весь класс и при этом не упускать из виду каж¬
дого отдельного ученика, ставить ясно и чётко вопросы, давать
определенные и чёткие задания и добиваться их точного испол¬
нения, заставить работать каждого ученика в полную меру его
сил — таков должен быть стиль работы учителя При таком стиле
обучение арифметике будет воспитывающим:	занятия по
арифметике будут воспитывать организованного человека, обла¬
дающего не только хорошими знаниями, но и умением работать
культурно, инициативно и самостоятельно.
Планирование.
Точность, чёткость и предвидение хода работы достигаются
плановостью в работе. Преподавание арифметики должно
быть подчинено самому строгому плану — ничего стихийного,
случайного не должно быть в преподавательской деятельности
учителя. Кто работает без плана, тот идёт вслепую и, как пра¬
вило, терпит неудачи. Только при наличии строго продуманного
и тщательно разработанного плана можно рассчитывать на успех
в преподавании арифметики в целом и на удачное проведение
каждого урока в отдельности.
При составлении плана надо учитывать:	1) требование про¬
граммы и 2) особенности данного класса. Некоторые учителя
слепо идут за планировками, которые даются в качестве пример¬
ных в методической литературе, копируя их без всякого учёта
особенностей своего класса.
Такие учителя поступают неправильно. Детские коллективы бы¬
вают по-разному подготовлены: одни быстрее воспринимают мате¬
риал и глубже его осмысливают; другие отличаются замедленны¬
ми темпами работы, сниженным уровнем развития отдельных
учащихся. Ясно, что вести преподавание в таких классах по од¬
ному и тому же плану нельзя.
Планирование без учёта особенностей своего класса — фор¬
мальное планирование. В конечном счёте все классы должны
быть выравнены и знания учащихся доведены до одинакового
уровня, но к этой цели надо идти разными путями, приспособ¬
ляясь к классу, особенно в начале учебного года. Приспособление
к классу при составлении плана может найти своё выражение
40

прежде всего в увеличении или уменьшении числа часов на разные
темы. Особенно это важно учесть в теме «Повторение», которая
идёт в начале учебного года.
Для преподавания арифметики требуются планы троякого
вида: Л) план на четверть учебного года, 2) план на каждую тему
и 3) план на урок. Каждая четверть имеет определённое содержа¬
ние, которое должно быть усвоено учащимися в данное число
часов. Чтобы это содержание уложить в отведённые часы, нужно
правильно распределить время между отдельными темами. Мате¬
риал для составления четвертного плана имеется в объяснительной
записке к программе, где дан перечень тем, которые должны быть
изучены за четверть, и указано примерное количество часов на-
каждую тему. Учителю остаётся только указать календарные сро¬
ки прохождения каждой темы. Четвертной план может быть со¬
ставлен по следующей схеме:
Яе
п/п
1
Название тем
Количе¬
ство
часов
Календарные
сроки
Отметки о
выполнении
плана
1
3-я четверть
Умножение многозначных
чисел
12 час.
с 11 по 26 января
|
2
Деление многозначных чисел
22
с 27 января
по 23 февраля
I
1
При составлении четвертного плана надо учесть всё, что гово¬
рилось выше об особенностях класса, т. е, учесть необходимость
повторения некоторых тем из пройденного в предыдущих классах,
увеличение или уменьшение количества часов на отдельные темы,
и т. д.
Развитием четвертного плана является тематический план.
Приступая к изучению той или иной темы, учитель должен иметь
план работы по этой теме.
При составлении этого плана нужно расчленить тему на вопро¬
сы, расположить вопросы в определённом порядке и наметить,
сколько уроков нужно затратить на каждый вопрос, включить мо¬
менты повторения и указать, сколько контрольных работ будет
проведено, когда и по каким разделам.
Детальные планы, составленные поурочно, наиболее удобны,
по ним легко работать. Однако большая детализация в некоторых
случаях бывает затруднительной; тогда можно, чтобы не быть
слишком связанным планом и обеспечить свободу в распределении
материала по отдельным урокам, расчленять тему на более круп¬
ные вопросы и отводить на них в тематическом плане по 2—3
урока (более крупное объединение не рекомендуется).
41

^иреооразование обыкновенных дробей», на которую в объяснительной записке
к программе отводится 16 уроков, можно спланировать так: ^
1.	Получение дробного числа при измерении и при делении
го числа на равные части. Запись и чтение дробей. Числитель
и знаменатель дроби 		 2 урока
2.	Дробь правильная и неправильная. Исключение целого числа
из неправильной дроби. Смешанное число. Обращение целого
и смешанного числа в неправильную дробь	 3	,
3.	Сравнение величины дробей 		 I „
4.	Изменение величины дш^ог увеличения или уменьшения
величины числителя или зйЯтенателя в несколько раз. Основное
свойство дроби	 3
5.	Сокращение дробен	*	 2	„
•6. Приведение дробей к общему	знаменателю	 3
7. Повторение пройденного	   1
•8. Контрольная письменная	работа	 1
Такие планы приходится составлять в тех случаях, когда у учи¬
теля, приступающего к работе вновь, нет собственного опыта
в поурочной разбивке материала. Но и опытный учитель может
иногда прибегать к такому «суммарному» -планированию, если он
по тем или иным причинам недостаточно знаком с особенностями
своего класса, с темпами его работы. Во всяком случае нужно
помнить, что чем детальнее тематический план, тем легче учите¬
лю в процессе работы. Зная это, нужно накапливать материал по
планированию, сохранять старые планы и, главное, сохранять ма¬
териалы по фактическому выполнению планов. Так в течение ряда
лет у учителя накопится материал из его собственной практики,
который позволит ему планировать темы подробно и вполне
реально.
На основе тематического плана в процессе работы по данной
теме составляется план каждого отдельного урока. Каждый учи¬
тель, 'независимо от того, опытный он или малоопытный, высоко¬
квалифицированный или средней квалификации, должен иметь на
каждый урок план. Для начинающего учителя нужны подробные
планы; опытный учитель может ограничиться менее подробным
планом, но и для того и для другого план необходим, так как без
плана трудно дать хороший урок.
Урок как основная форма обучения арифметике.
Урок — это основная организационная форма обучения. Каж¬
дый урок имеет свою цель, свои задачи, своё содержание, при¬
чём это содержание должно представлять собой до известной
42

степени законченное целое. Содержание программы делится на
уроки не механически, а по логическим связям.
Так как обучение происходит посредством уроков, то умение
хорошо дать урок считается признаком высокого педагогического
мастерства и необходимым качеством учителя. Хорошо учит тот
учитель, который хорошо даёт уроки. По качеству урока судят
об учителе, и этот критерий в большинстве случаев оказывается
{надёжным и правильным. В зависимости от цели и содержания
уроки арифметики могут быть трёх типов:
а)	уроки, на которых объясняется новый материал, выяс¬
няется новое математическое понятие;
б)	уроки, на которых путём упражнений закрепляются
полученные знания;
в)	уроки, на которых знания учащихся проверяются
посредством письменных контрольных работ.
Могут быть уроки повторения пройденного.
Такое разделение носит условный характер. Строго говоря, на
каждом уроке (за исключением письменных контрольных работ)
происходит и расширение знаний, и тренировка, и проверка,
и повторение. На одних уроках главной целью является вы¬
яснение нового понятия, на других — упражнения, на третьих_
цель заключается в проверке знаний учащихся. В зависимости от
этой главной цели каждый урок можно отнести к тому или
иному типу.
Уроки первого типа — объяснение нового материала — яв¬
ляются наиболее трудными и ответственными. От качества
этих уроков в большой мере зависит чёткость восприятия, глубина
и ясность понимания изучаемого материала. Уроки этого типа
строятся примерно по такой схеме:
1.	Проверка домашнего задания. 2. Упражнения в беглом
устном счёте. 3. Объяснение нового материала. 4. Пер¬
воначальные упражнения в решении примеров или задач с целью
удостовериться, насколько глубоко и правильно учащиеся поняли
объяснение нового материала. 5. Задание на дом.
Объяснение нового материала на этих уроках составляет
главную, центральную часть урока; этой части уде¬
ляется и больше внимания, и больше времени. В отдельных слу¬
чаях, когда для объяснения требуется много времени, урок сразу
начинается с объяснения нового, минуя устный счёт. При таком
порядке остаётся достаточно времени не только для объяснения,
но и для выводов, обобщения, для первоначальных упражнений
в применении полученных выводов. Объяснение нового обычно
начинается с установления связи нового с ранее пройденным.
Уроки второго типа — уроки упражнений, тренировки и закре¬
пления — по своей структуре и содержанию несколько проще, чем
уроки первого типа. Главное здесь заключается в умелом подбо¬
ре примеров и задач, в том, чтобы эти примеры были разнооб¬
разны и исчерпывали все случаи каждого действия, все трудности,
43

все разновидности задач на данное правило в различных сочета¬
ниях и комбинациях. Кроме того, в задачу этих уроков входит
научить учащихся работать самостоятельно; поэтому, гото¬
вясь к таким урокам, учитель должен тщательно продумать во¬
прос о соотношении между работой под непосредственным руко¬
водством учителя, полусамостоятельной и самостоятельной рабо¬
той детей.
Уроки этого типа строятся обычно по следующей схеме:
1.	Проверка домашнего задания. 2. Устный счёт. 3. Упраж¬
нения: решение примеров или решение задач на данное
правило — под непосредственным руководством учителя, полу-
самостоятельное и самостоятельное 4. Задание на дом.
Остановимся кратко на характеристике каждого этапа уроков
первых двух типов.
I.	Проверка домашнего задания в начале урока проводится
регулярно, ежедневно. Помимо образовательного, она имеет боль¬
шое воспитательное значение. Она приучает ученика .к точ¬
ному выполнению задания. Сознание того, что задание будет про¬
смотрено, проверено и оценено, заставляет ученика быть аккурат¬
ным и исполнительным, мобилизует его на преодоление тех труд¬
ностей, с которыми связано выполнение задания. И, наоборот,
отсутствие или ослабление проверки ведёт к невыполнению домаш¬
них заданий и в конечном счёте к слабой- успеваемости класса.
Проверка может вестись в двоякой форме: а) в форме проверки
по открытым тетрадям и б) в форме опроса учащихся, без помощи
записей в тетради, когда учащиеся отвечают заданное наизусть,
по памяти.
Порядок „ проверки по открытым тетрадям общеизвестен: один из вызван¬
ных учеников читает по тетради решение примеров или задач, а остальные
ученики следят за его ответом по своим тетрадям. Допущенные ошибки тут же
выявляются и исправляются. Если ошибки носят единичный характер и допу¬
щены только немногими учениками, то допустившие ошибку\ ставят ' против
'неправильно решённого примера условный значок («галочку») для того, чтобы
дома перерешить пример и исправить ошибку. Если же ошибка косит более
или менее массовый характер, то учитель даёт классу соответствующие
объяснения и правильное решение примера (задачи).
Такой способ проверки позволяет учителю довольно быстро
установить, спра-в-ился ли класс с данным заданием, кто не выпол¬
нил задания и кто выполнил ошибочно. Однако этот способ про¬
верки не всегда достаточен; при помощи его можно установить
только са-мый факт выполнения или невыполнения задания, ре-
шевия или нерешения задачи (примера). Но трудно бывает опре¬
делить, самостоятельно ли выполнена работа, глубоко ли
она продумана, твёрдо ли усвоен учащимся заданный материал.
Для последней пели применяется иной способ проверки,
а именно: учитель вызывает к доске учащегося и предлагает ему
ответить заданное наизусть, если содержанием задания было
усвоение какой-либо таблицы, правила, или же предлагает решить
из домашнего задания пример (задачу) без помощи тетради, без
44

заглядывания в свои записи. Остальные учащиеся следят за отве¬
том вызванного ученика и, если нужно, по требованию учителя
вносят поправки и исправления.
Чтобы ускорить проверку и сберечь время, учитель может про¬
верить не всю работу, а только часть её, в выборочном порядке.
Второй способ проверки имеет преимущество перед первым:
он заставляет ученика лучше и основательнее готовиться к уроку,
глубже продумывать содержание заданного и усваиваемого мате¬
риала, быть самостоятельным в выполнении домашнего задания,
заучивать наизусть то, что подлежит запоминанию, ибо ученик
заранее знает, что ему придётся отвечать не по записям, сделан¬
ным в тетради.
На проверку должно тратиться от 5 до 10 минут.
2.	Упражнение в устном счёте обычно следует за проверкой
домашних заданий. На него отводится от 5 до 7 минут. Жела¬
тельно, чтобы эти упражнения проводились возможно чаше, еже¬
дневно. По содержанию устный счёт может быть связан с тем
материалом, который изучается на следующем этапе урока, и мо¬
жет иметь самостоятельный характер. На тех уроках, на которых
объясняется новый материал, полезно упражнения в устном счёте
связывать с этим новым материалом, ставя устный счёт на служ¬
бу основной цели урока. Например, если при объяснении нового
материала даётся деление многозначного числа на двузначное, то
полезно поупражнять учащихся в устном умножении двузначных
чисел на однозначное и в делении трёхзначных чисел на двузнач¬
ные, так как эти навыки в качестве элементов входят в деление
многозначного числа на двузначное. Если же на данном уроке
проходятся действия с составными именованными числами, то це¬
лесообразно упражнение в устном счёте построить на именован¬
ных числах, и т. д. Устный счёт часто используется для того,
чтобы установить# связь нового материала с пройденным. Напри¬
мер, перед тем, как объяснять учащимся задачу на сложное
тройное правило, полезно напомнить им решение задач на про¬
стое тройное правило, а для этого' нужно предложить учащимся
две-три устные задачи, решаемые способом приведения к единице.
Устное решение задач в таком случае будет служить одновре¬
менно и тренировкой в устном счёте, и связью нового сложного
понятия с простыми знакомыми детям понятиями, которые входят
в новое в качестве элемента. При такой постановке устного счёта
урок приобретает целостный, законченный характер, одна часть
подкрепляет другую, все этапы ведут к единой цели, которая при
таких условиях достигается с большим успехом. На тех же уро¬
ках, которые заняты* только упражнениями, устный счёт может
иметь самостоятельное содержание, независимое от характера
последующих упражнений.
3.	Объяснение нового составляет центральный этап урокоз
первого типа. Объяснение занимает большее или меньшее время
в зависимости от содержания материала и от класса. В младших

1А СА
и^/оминение гра-
инея меньше времени, примерно 15—20 минут, в старших клас¬
сах — до 30 минут, считая с выводами, с формулировкой правил.
На объяснение нужно тратить столько времени, чтобы после него
оставалось время для проверки, как осознано и понято учащи¬
мися то, что объяснялось. Это делается на решении примеров или
задач в зависимости от содержания и дели урока. Первые упраж¬
нения проводятся под непосредственным руководством учителя
с подробными объяснениями и обоснованиями способов и приёмов
решения задач и примеров (подробнее об упражнениях см. на
стр. 17).
4.	Заданием на дом урок завершается. Это короткий по
времени, но важный по значению этап урока, занимающий обычно
2—3 минуты. Программу по арифметике можно пройти
и хорошо усвоить только в том случае, если классные занятия
будут дополнены регулярной домашней работой учащихся.
Большое значение домашней работы заключается в том, что на
ней преимущественно воспитываются у детей навыки самостоя¬
тельной работы.
Ученик приучается к самостоятельной работе и в классе, но
настоящая, в полном смысле этого слова, самостоятельная работа
йачинается тогда, когда ученик всецело предоставлен самому се¬
бе, внимание его не отвлекается и он может работать свойствен¬
ными ему темпами, а всё это возможно главным образом в ,усло¬
виях домашних занятий. Задание на до>м нужно давать -своевре¬
менно (во всяком случае не под звонок!) и при полном внимании
учащихся, чтобы они поняли, что и как им нужно сделать к сле¬
дующему уроку: какие примеры (задачи) решить, сколько, в ка¬
кой форме, что записать и что усвоить наизусть и т. д. Полезно
иногда охарактеризовать предстоящую работу одной-двумя фра-
зЭаМИ, которые стимулировали бы учащихся на её лучшее выполне¬
ние («при решении примеров или задачи вы встретитесь с такими-
то трудностями»; или: «выполнение этой работы представляет
такой-то интерес»; или «выполнение этой работы будет иметь для
вас такое-то значение»).
На дом можно давать только то, что ученикам обстоятельно
объяснено и хорошо ими понято.
Домашнее задание нельзя перегружать материалом; по количе¬
ству материала задание должно быть таково, чтобы выполнение
его требовало от учащихся I и И классов не более 30 минут» а от
учащихся Ш и IV классов не более 45 минут. Количество приме¬
ров и задач, предлагаемых учащимся для домашней работы, долж¬
но быть примерно такое же, какое решается ими в течение
урока. На дом нужно давать не только примеры, но и задачи.
Более трудный материал следует проходить в классе, материал
средней трудности — давать на дом. Как правило, весь класс
должен получать одно и то же домашнее задание, но в некоторых
случаях полезно домашнее задание несколько варьировать: силь-
46

ным ученикам дать для самостоятельного решения задачу
посложнее, позамысловатее; отстающему ученику дать до¬
полнительный пример или задачу из того раздела, который им
слабо усвоен. Такая индивидуализация будет способствовать
усилению у детей интереса к арифметике и повышению успевае¬
мости класса.
Подготовка к уроку и план урока.
Большое значение урока обязывает учителя тщательно и ответ¬
ственно готовиться к нему. Хороший урок может получиться
только при том условии, если он тщательно подготовлен. В чём
же должна заключаться эта подготовка? Учитель в совершенстве
должен знать тот арифметический материал, который входят в со¬
держание урока: определения, правила, способы и приёмы решения
задач, таблицы и т. п. Как ни прост и элементарен этот материал*
тем не менее и в яём нужно совершенствоваться и обновлять
свои знания.
При подготовке к уроку полезно проверить свои знания по
учебнику арифметики, чтобы всё то, что будет излагаться на
уроке, было правильно в научном отношении и безупречно со сто¬
роны стиля. При малейшем сомнении надо обращаться к учебнику
арифметики, помня, что нет большего греха у учителя, чем сеять
на уроках невежество.
Подготовка нужна и по методике ведения урока, и по
организации его: всё должно быть продумано, взвешено»
предусмотрено, начиная с больших, принципиальных вопросов
и кончая «мелочами». Подготовиться следует к каждому этапу
урока:
а)	к проверке домашних заданий — прорешать каждый
пример (задачу), заданный на дом, и иметь готовые ответы, чтобы
вести проверку смело, уверенно и в достаточно быстром темпе:
наметить тех учеников, которые должны быть опрошены, и проду¬
мать те вопросы, которые будут им предложены для выявления
их знаний;
б)	к упражнению в устном счёте — подобрать материал
(примеры и задачи) для устного счёта, если нужно, составить их
и наметить форму ведения занятий устным счётом (о формах
см. стр. 126);
в)	к объяснению нового материала — подобрать мате¬
риал, расположить его в определённой системе, продумать вопро¬
сы и возможные на них ответы учащихся; подготовить наглядные
пособия и продумать способ их применения; продумать формули¬
ровку выводов, правил, обобщений, подготовить материал для
первоначальных упражнений;
г)	по организации урока — продумать весь ход урока
и наметить, чтб должны ученики только выслушать, что — запи¬
сать в тетрадях, чтб будет записано на классной доске, какие
47

моменты урока будут проходить под непосредственным руковод¬
ством учителя, какие — полусамостоятельно, какие — совершенно
самостоятельно;
д)	к домашнему заданию — наметить примеры и задачи
по задачнику и составить самому недостающее;
е)	увязать урок с современностью, с основными вопросами
текущей жизни, с практикой, используя в этих целях содержание
задач.
Для методической подготовки нужно прочитать соответствую¬
щие главы методики и использовать свой преподавательский опыт.
Подготовка к уроку должна быть завершена записью плана
урока или составлением конспекта урока. В плане кратко
записывается содержание каждого этапа урока, причём форма
и содержание плана несколько варьируются в ^зависимости от
содержания урока и его целевой установки.
Приведём несколько образцов плана, взяв урок решения задач и урок
обучения арифметическим действиям.
План урока в IV классе на тему «Ознакомление учащихся с нахожде¬
нием ч/сла по данной его части».
1.	Проверить домашнюю работу учащихся решение задач № 834 и 835
<плэн и решение).
2 Сообщить цель урока и установить связь с предыдущим материалом.
3.	Объяснение нового материала.
А. Нахождение числа по данной одной его части — на решении задач:
а)	«Одна треть линии равна 2 см. Чему равна длина всей линии)»
б) «!/* поля составляет 3 га. Сколько га во всём поле?»
в) «у* кг сахару стоит 2 р 50 к. Сколько стоит I кг сахару)»
Б. Нахождение числа по нескольким данным частям его.
а)	Решение задачи с подробным разбором под руководством учителя,
с записью плана и решения на доске и в тетрадях: «V* площади поля равны
32 га. Чему равна вся площадь поля?»
б)	Решение задачи учащимися полусамостоятельно: «За 2'з кг крупы
заплатили I р. 16 к Сколько стоят 24 кг этой крупы?»
в)	Самостоятельное решение учащимися задачи по задачнику без записи
©опросов: «За 3/* часа ученики прошли 3 км 600 м. Сколько километров прой¬
дут они в чао, если будут идти с- той же скоростью?»
г)	Выяснение математического смысла задачи на нахождение числа по
данной его части.
4.	Задание на дом: решить задачи №...
В приведённом плане опушен этап упражнений в устном счёте,
•чтобы уделить больше времени объяснению нового вида задач.
В план введён вопрос «Сообщение ученикам цели урока». Знание
пели полезно; оно помогает ученикам осмыслить работу и мобили¬
зовать внимание и силы на преодоление трудностей, связанных
с восприятием нового материала. В данном случае о цели можно
сообщить в обшей форме: «Сейчас я познакомлю вас с решением
таких задач, в которых требуется найти всё неизвестное число,
если дана только его часть. Эти задачи так и называются: найти
число по данной его части».
Приведём еще план урока но Н классе, на котором учащиеся знакомятся
с письменным слежением в пределе I 000.
48

Цель урока: «Познакомить учзщихся с приёмами письменного сло¬
жения в пределе 1 000».
1.	Проверка домашнего задания: примеры Я? 354 и 356.
2.	Устное (пол у письменное) решение примеров: 324 4- 563;	242 4- 456;
399 + 427, с последующей записью промежуточных результатов (частных
сумм). Выяснить на этих примерах, что устное сложение трёхзначных чисел —
трудный процесс и что в таких случаях целесообразно пользоваться письмен¬
ными вычислениями.
3.	Объяснение письменного сложения на примерах:
а)	в которых сумма единиц каждого разряда меньше 10:
,812	,734	,513
' 645	+ 162	+ 263
б)	в которых сумма единиц равна иди больше 10:
, 136	, 259	, 328
+ 254	ф 536	167
в)	в которых сумма единиц и сумма десятков больше 10:
, 453	, 649
275	184
4.	Упражнения в решении на доске примеров с подробными объяснениями:
,236	,761	, 5о8	44 7
352	(?о	+2?5	398
5.	Задание на дом: решить по задачнику примеры №...
Если краткую запись плана сделать более конкретной и по¬
дробной, то план превратится в конспект. В конспекте достаточ¬
но подробно излагается ход урока. Иногда конспект излагает¬
ся в форме вопросов учителя и ожидаемых ответов ученика. При¬
ведём два образца конспекта урока арифметики: один — в пове¬
ствовательной, другой — в вопросо-ответной форме.
Вышеприведённый план урока на нахождение числа по данной
его части можно развить в конспект, который в таком случае
будет иметь следующее содержание.
Ход урока.
Учитель: Достаньте тетради, проверим домашнюю работу (для ответа
будут вызваны ученики Спиркин, Сурков).
Учитель: На этом уроке я познакомлю вас с решением нового вида
задач, в которых мы будем находить всё число, если дана его часть — одна
или несколько. А перед решением таких задач повторим, сколько в единице
долей; это нам пригодится при решении задач
Сколько в единице четвёртых долей'* Пятых? Восьмых? Двенадцатых?
От единицы отнять 2^. Сколько останется?
От единицы отнять Сколько останется?
Учитель: Слушайте задачу: «(/з отрезка прямой равна 2 дм. Чему ра¬
вен весь отрезок?» (Вычерчивает на доске отрезок в 6 дм)
После повторения задачи и опроса, что известно в задаче и чгб требуется
найти, ставлю следующие вопросы
В целом отрезке сколько третей? (Три третьих.) Покажите это на доске.
(Ученик делит отрезок на 3 равные части и отмечает г,/я.)
Если в одной трети 2 дм, то что отсюда можно узнать? (Сколько деци¬
метров во всём отрезке.)
А. С. Пчёлю
49

г\<*к эго узнать? (2 дм надо умножить на 3.) Почему? (В одной трети
2 дм, а в целом отрезке три третьих; значит, в целом отрезке будет деци¬
метров в 3 раза больше.) Запишите решение.
Ученик записывает: 2 дм X 3 = б дм.
У ч и те ль- Задача решена. Длина всего отрезка найдена — 6 дм* Срав¬
ните данное число (2 дм) и полученное в ответе число (6 дм).
Ученик: 6 дм больше 2 дм.
Учитель: Так оно и должно быть: 2 дм — часть отрезка, 6 дм. —
весь отрезок. Что было известно? (Часть отрезка.) Что нашли? (Весь отрезок.)
У ч и т е л ь: Решим вторую задачу: «Картофелем засажена 74 всего участка,
и это составляет 3 га. Чему равна вся площадь участка?»
После повторения задачи и выяснения, что в задаче дано и что требуется
найти, делается чертёж и ставятся следующие вопросы:
Покажите:
12	3	4
Т' Т' 7’ Т Участка*
Сколько га в одной четверти? (3 га.)
Как узнать, сколько га во всём поле? (Нужно 3 га повторить 4 раза, или
умножить на 4.) Запишите это
Ученик записывает: 3 гаХ 4 = 12 га.
И т. д.
Из приведённого образца1 ясно содержание конспекта и стиль
его изложения. В нём точно ставятся вопросы, проектируемые
учителем, и приблизительно намечаются	предполагаемые
ответы учащихся.
Конспект может быть изложен и в повествовательной форме.
Приведём пример такого конспекта.
Конспект урока. «Умножение трехзначяого числа на однозначное».
Задача урока. Познакомить учащихся с простейшими случаями
умножения многозначного числа на однозначное, когда поразрядные произве¬
дения не требуют никаких преобразований и записываются под чертой пол¬
ностью одно за другим. Ударение должно быть сделано на умении отчётливо
объяснить каждый шаг выполняемого действия.
Урок распадается на 3 основные части: а) устный счёт, б) объяснение
нового материала и в) решение задачи.
Задача устного счёта заключается в том. чтобы путём повторения таблич¬
ного и внетзбличного умножения подготовить почву для лучшего усвоения
учениками нового материала.
Задача второй части урока состоит в том, чтобы: М показать ученикам,
что умножение есть частный случай сложения: 2) показать возможность
и необходимость замены поразрядного суммирования поразрядным умножением:
3) показать преимущество записи умножения «столбиком».
Лля этого разбираются три примера.
Последняя часть урока — решение задачи с устным разбором, устным со¬
ставлением плана и с записью действий.
Ход
урока.
I. У с т-н ы й счёт:
табличное
умножение.
8X6 7X3
9X7
6X9
9X5 7X8
6X7
5X8
Внетабличное умножение:
23 X 3 32 V 2
13X3
12X4
24X4 17X5
2о X 3
14 X 8
50

Решение каждого подчёркнутого примера, независимо от его правильно¬
сти, должно быть объяснено учениками.
II.	Объяснение нового материала.
Разобрать примеры и по мере пояснения записей расположить их на
классной доске так:
344
2) 344 X 2 = 688;
3)
344
4)
344
+ 344
X 2
X 2
688
8
688
80
600
688
232
2) 232 X 3 = 696;
3)
232
4)
232
+ 232
X 3
X з
232
6
696
696
90
600
696
Последовательность расположения примеров такова:
I) сложение столбиком, 2) сложение заменяется умножением, которое за¬
писывается в строчку, 3) умножение производится столбиком. Каждая запись
сопровождается вопросо-ответной беседой. Ученики при этом только смотрят
на доску и слушают объяснения учителя.
Ученики называют разрядный состав множимого. Учитель обращает вни¬
мание учеников на то, что в произведении число единиц получается от
умножения единиц множимого на множитель; от умножения десятков
множимого на множитель получается число десятков произведения и т. д.
Объяснение учителя таково: 4 единицы умножаются на 2, получается 8 еди¬
ниц; 4 десятка умножаются ка 2, получается 8 десятков, или 80; 3 сотни взять
2 раза, получится 6 сотен, или 600; всего получится 683.
Четвёртая запись является только упрощением и рационализацией третьей
записи.
Следующий этап: закрепление данного объяснения путём решения учащи¬
мися аналогичных примеров с краткой записью на доске.
Первая группа примеров:
123	243	424
У	3	X	2
Вторая группа:
612	322	512
Х_3	У 4	х 4
Работа протекает в такой последовательности: определяется разрядный
состав множимого, устанавливается порялок умножения, выполняется пораз¬
рядно умножение, последовательно записывается результат, прочитывается ре¬
зультат. Ученик у доски говорит, что делает. Остальные ученики решают
примеры в своих тетрадях.
III.	Решение задачи.
Задача: «Один лётчик пролетел 3 часа по 233 км в час, а другой — 4 ча¬
са по 211 км в час. Какой лётчик пролетел больше н на сколько больше?»
Запись условия:
1—3	час.	по	233	км\
11—4	час.	по	211	км.
51

Решение записывается так:
I) 233	2) у 211	3)	844
X	з	2	1	~ Ь99
699	8 !4	145
Ответ: 2-й летчик проле¬
тел на 145 км больше.
IV.	3 а д а н и е на дом.
По задачнику решить примеры и задачу.
* * *
Из приведённых образцов видно, что составление конспекта
урока требует большой работы, отнимающей много времени.
Поэтому составление конспекта на каждый урок рекомендо¬
вать нельзя; учителю трудно выполнить это требование, несмотря
на всю его полезность и целесообразность.
Конспекты рекомендуется составлять на такие уроки, где выяс¬
няются наиболее сложные и грудные понятия, и на открытые уроки
(пробные, показательные). Начинающие учителя должны прибегать
к составлению конспектов чаще. Форму изложения конспекта учи¬
тель может выбрать по своему усмотрению.
Анализ урока.
Методическое мастерство даётся не сразу; оно вырабатывается
в результате большого опыта, постоянной и упорной работы
учителя над собой, над пополнением своих знаний, над выработ¬
кой привычки следить за детьми, за их ростом и развитием,
в результате осмысленного и критического отношения к своим
методзм и приёмам преподавания. У учителя не должно быть
безразличного отношения к данному им уроку. Каждый урок
имеет свою цель. Идя на урок, учитель должен держать эту цель
в поле своего внимания. Выходя с урока, он должен непре¬
менно спрашивать себя: «Достиг ли урок своей цели? Выполнил
ли я намеченный план3 Как класс воспринял новые знания? Что
хорошего и что плохого было нз моём уроке? Что должен из¬
влечь я из данного мной урока3»
Привычка к самоконтролю, к самоанализу должна стать второй
натурой учителя. Только тот учитель будет расти и совершенство¬
ваться, кто будет постоянно развивать в себе качества педагогиче¬
ского самоанализа. Самоконтроль и анализ проведённого урока
может идти по линии следующих вопросов:
Проверка выполнения домашнего задания. Все ли учени¬
ки решили заданные примеры и задачи; если не все, то какова причина этого.
Как прошла проверка:	достаточно ли быстро н тщательно, выявлены ли
ошибки, объяснены ли они
Устный счёт. В какой мере способствовало упражнение выработке
беглости устного счёта, умения пользоваться наиболее рациональны¬
ми приемами устных вычислений, подчёркивалось ли преимущество наи-
1) 233	= о99 км;
2) 211	= 844 км;
3)	844 км — 699 км = 145 км;
52

более экономных и изящных приёмов (округления, перемещения слагаемых
и сомножителей и др.). Использованы ли для устного счёта другие этапы
урока, когда встречались действия над небольшими числами.
Объяснение нового материала. Как прошло установление
связи нового материала со старым, удачно ли применялись наглядные посо¬
бия, понятно ли было детям объяснение нового, удалось ли выдержать строго
систему, последовательность в постепенном усложнении материала; сделано ли
необходимое обобщение, выведено ли правило (если оно нужно было) и на
достаточном ли количестве примеров (типичная ошибка учителей: торопиться
с выводом прасила и делать вывод на основе рассмотрения одного-двух
примеров).
Объяснение задач новой разновидности или нового
типа. Удачно ли использованы наглядные пособия, помогли ли простейшие
устные задачи объяснить способ решения задач данного типа. Как прошёл
разбор задачи и составление плана её решения, достаточно ли активное уча¬
стие принимали во всей этой работе ученики; удалось ли заставить учеников
думать, рассуждать, проявлять инициативу, искать самостоятельно способ ре*
шения, составлять свои задачи.
Урок упражнений и тренировки в решении примеров
и задач Отражено ли в подобранных примерах всё основное и специфиче-
ское для данного правила; в какой мере углублялось на них понимание
способа решения, совершенствовалась техника письменных вычислений
(быстрота и правильность вычислений, чёткость и правильность записей), раз¬
вивалась ли инициатива и самостоятельность у учащихся при решении задач
и примеров.
В какой мере выполнялись на уроке общедидактические требования,
исправлялись ли ошибки в речи учащихся, оказывалась ли помощь отстающим
ученикам, вовлекался ли весь класс в работу, во-время ли и в понятной ли
форме дано домашнее задание?
Было ли обучение на уроке воспитывающим: поддерживался ли
э классе порядок, дисциплина, уделялось ли достаточное внимание поведению
отдельных учащихся; устанавливалась ли там, где это возможно, связь учеб¬
ного материала с современностью, с практикой социалистического строительства.
Проверка и оценка знаний учащихся.
Одним из непременных условий успешного обучения арифметике
является правильная постановка наблюдения и контроля за работой
ученика, систематическая проверка'знаний учащихся. Можно
хорошо объяснять материал и давать много упражнений, но если,
не проверять регулярно знания учащихся, не учитывать с должным
вниманием выполнение домашних заданий, то нельзя добиться от
учащихся твёрдых знаний и полной успеваемости. В преподава¬
нии арифметики проверка исполнения играет такую же большую
роль, как и во всяком другом деле. Не проверив знания мате¬
риала предыдущей ступени, нельзя переходить к изучению по¬
следующей.
Проверка знаний для ученика — добавочный стимул к борьбе
за знания: сознание того, что его работа будет проверена, мобили¬
зует ученика на лучшее её выполнение.
Когда ученик отвечает заданный урок, то на его ответе, на до¬
полнительных вопросах учителя и ответах ученика учится весь
класс, в это время углубляется понимание изучаемого, твёрже
усваиваются знания.

эю ооязывает учителя к систематической и тщательной
проверке знаний учащихся. «Дал задание — проверь его выполне¬
ние, узнай, как усвоил ученик заданное. Не оставляй без проверки
ни одной самостоятельной работы ученика. Не иди дальше, пока
не убедишься, что все ученики твёрдо усвоили заданное», — такова
должна быть установка учителя в деле учёта успеваемости уча¬
щихся. Она будет держать ученика в состоянии некоторого напря¬
жения и воспитывать у него привычку к точному выполнению
заданий.
Существуют два основных способа проверки знаний учащихся
по арифметике: I) устный о-прос и 2) письменные контрольные
работы. Кроме этих основных способов, для учёта знаний учащихся
должны быть использованы также данные повседневных наблюде¬
ний учителя за работой ученика и письменные домашние работы
учащихся.
При господствующей в начальной школе вопросо-ответной фор¬
ме обучения учитель часто обращается к ученикам с вопро¬
сами, получает от них ответы и этим выявляет их знания. Во
время классной самостоятельной работы учащихся учитель имеет
возможность наблюдать за работой каждого ученика и видеть, что
ученик знает твёрдо, в чём сомневается и чего не знает. Проверяя
домашние работы учащихся, учитель в сущности проверяет их зна¬
ния и навыки. Всё это даёт ему возможность составить общее
представление о знаниях и навыках учащихся по арифметике. Одна¬
ко эти впечатления, получаемые учителем от отдельных работ и от¬
ветов ученика, недостаточны для оценки его знаний: они отрывоч¬
ны, разрозненны, получаются тогда, когда вызов ученика связан
с другими целями. Их надо дополнить специальным опросом уче¬
ника, направленным исключительно на то, чтобы с возможно боль-,
шей полнотой выявить его знания, и поставить ему оценку. Для
этого учитель, планируя урок, намечает двух-трёх учеников для
опроса, соединяя этот опрос с проверкой домашних зада!ний.
Устный опрос.
При устном опросе могут быть проверены: а) устный счёт,
б)	письменные вычисления, в) решение задач.
Для проверки навыков в устном счёте и в письменных вычисле¬
ниях ученикам предлагаются для решения примеры. Для проверки
умения решать задачи даются 2—3 устные задачи или одна пись¬
менная, причём для последней цели может быть использована
задача из домашнего задания.
При оценке ответов обращается внимание: в устном счё¬
те — на правильность и быстроту вычислений, на умение пользо¬
ваться наиболее рациональным для каждого данного случая приё¬
мом вычислений; в письменных вычислениях — на знание
правил производства арифметических действий и преобразований
и умение объяснять выполнение действия; в решении -задач —
54

на знание способов и приёмов решения задач и умение объяснить
решение.
Если учащийся при устном опросе правильн^ решает и толково объяс*
няет задачу, правильно и быстро решает все устные примеры, поавильнэ ре
шает и связно объясняет решение письменного примера, обнаруживая умение
пользоваться рациональными приёмами устных и письменных вычислений, —
ему ставится отметка «5».
Если ученик правильно решает и толково объясняет решение задачи,
допуская несущественные ошибки (вроде неточной формулировки вопроса,
пропуска наименований и т. д.), правильно решает устный пример, допуская
1—недочёта, правильно решает письменный пример, — ему ставится
отметка с4».
Если же при решении задачи ход решения правилен, но сделана ошибка
в вычислениях или неправильно поставлен вопрос; если при решении
3—4 устных примеров какой-либо один из них решён неправильно, при реше¬
нии письменного примера допущена грубая ошибка, — ставится отметка «3>.
Если задача решена неправильно, из 3—4 примеров для устного счёта
2 примера решены неправильно, в письменном примере сделаны 2 грубых
ошибки, то ставится отметка «2».
Дальнейшее увеличение ошибок, приводящее к неправильному решению
задачи и примеров, влечёт за собой отметку «1».
Содержание задач и примеров должно соответствовать прой¬
денному материалу.
Для опроса учащихся можно использовать и то сравнительно
небольшое время, когда всему классу предлагается самостоятель¬
ная работа. В это время можно вызвать одного ученика к классной
доске и производить опрос по тому плану, который указан выше.
Желательно, чтобы в течение четверти такой опрос каждого уче¬
ника производился несколько раз. Опенка в таких случаях ставится
в классном журнале и учитывается при выводе оценки за четверть.
Письменные контрольные работы.
Контрольные письменные работы дают возможность одновремен¬
но и в течение короткого срока (40—45 минут) проверить знания
всего класса. На основании результатов контрольной работы учи¬
тель может сделать правильный, документальный и обоснованный
вывод о знании учащимися того материала, который являлся содер¬
жанием работы.
Из результатов контрольной работы учитель должен уметь
извлекать урок для себя, для построения правильной перспекти¬
вы в своей работе.
Чтб дать для контрольной работы, какое содержание в неё
вложить — это первый вопрос, который приходится решать, наме¬
чая контрольную работу; содержание контрольной работы опреде¬
ляется содержанием пройденного раздела программы. Задачи
и примеры должны подбираться так, чтобы ими охватывалось всё
славное, основное из пройденного раздела.
55

Пусть, например, требуется проверить знания и навыки после изучения темы
«Вычитание многозначных чисел» в III классе. Для этого достаточно дать 4 при¬
мера и одну задачу с таким содержанием:
1)	ь 467 На этом пример проверяется умение вычитать без занимания и с
3 865 заниманием высших разрядов. Сюда же можно присоединить за-
2)	18 046 дани^' «Против каждого числа напиши его название».
'		у 006 Чз этом примере'проверяется умение вычитать 0 из нуля, 0 из знача-
		 шей цифры, равные цифры уменьшаемого и вычитаемого (6—6 = 0).
Д) 80 060 Здесь проверяется умение занять одну единицу высшего разряда
~~4 987 и сделать ряд последовательных раздроблений.
4) 76 824 — 8 196 = 68 628. Этот пример дается для проверки правильности вычи¬
тания («Проверьте, правильно ли выполнено вычитание».)
Контрольные работы могут быть или комбинированные, т. е.
состоящие из примеров и задач, или однородные, т. е. состоящие
только из примеров или только из задач. В последнем случае вни¬
мание учащихся не разбрасывается на выполнение работ, различ¬
ных по форме и содержанию, что даёт возможность учащимся
полнее выявить свои знания, а оценка в таких условиях приобре¬
тает ббльшую определённость. В III и IV классах надо отдавать
предпочтение однородным работам.
По объёму проверочная работа должна быть такой, чтобы
учащиеся имели возможность на уроке не только выполнить её,
но и проверить.
1' класс. В первом полугодии проверочная работа может состоять из
12—15 примеров в одно действие.
Во втором полугодии она должна состоять из 16—20 примероэ в одно
действие. •
Во втором полугодии в письменных работах 1 класса должны ставиться
и задачи. В 3-й четверти в этом классе работа должна состоять: а) из 2 задач
в два действия или б) из 1 задачи в два действия и 8—10 примеров в одно
действие. В 4-й четверти работа должна состоять: а) из 2 задач в два-три
действия или б) из 1 задачи в два-три действия и 8—10 примеоов в одно
действие.
П класс. Письменная работа в первом полугодии может состоять:
а) из 16—20 примеров в одно действие, или б) из 2 задач в два-три действия,
или в) из 1 задачи в два-три действия и из 8—10 примеров в одно действие.
Во втором полугодии письменная работа должна состоять: а) из 16—20
примеров в одно действие, решаемых полуписьменно (действия производятся
с помощью устных приёмов вычислений, но данные и -результаты записы¬
ваются), или б) из 10—12 примеоов в одно действие, решаемых письменно,
или в) из 2 задач в три-четыре действия, или г) из 1 задачи в три-четыре
действия и из 6—8 примеров в одно действие.	в
Ш и IV классы. Письменная работа в III и IV классах рассчитывтется
на 45 мичут и может состоять: а) из 8—10 примеров в одно действие, или
0) из 1—2 задач, или в) из 1 задачи а 3—4 примеров в одно действие. г
Примеры и задачи для контрольной работы учителю приходятся
или составлять самому, или брать готовые из различных
источников. Составляя контрольную задачу, нужно формулировать
её условие просто, ясно, чётко, определённо, вкладывая в неё
арифметическое содержание, полностью отвечающее тому, что
с учениками фактически пройдено. Ничего нового, неизвестного,
требующего пояснений, в тексте контрольной работы не должно
быть. Составив задачу, нужно-её прорешать, чтобы удостовериться
56

в том, что числовые данные подобраны правильно, что вопрос
поставлен ясно и что задача даёт одно определённое решение.
Для контрольной работы может быть взята и готовая задача
из какого-либо задачника, но только не из принятого в классе,
так как почти все помещённые в нём задачи решаются или
•в классе, или в порядке домашних заданий, и почти все они снаб¬
жены ответами. Сказанное о задачах полностью относится и к
примерам.
Как провести контрольную работу в классе?
Проведение контрольной работы должно быть тщательно подго¬
товлено. Всё заранее должно быть предусмотрено:	учащиеся
должны подготовить листки бумаги (если нет особых тетрадей для
этой цели), ручки, перья, чернила; на листках должна быть сде¬
лана надпись:
«Контрольная работа по арифметике ученика... класса, .. число... ме¬
сяц. .. год».
Всё это нужно сделать заранее, для того чтобы на уроке на
приготовление к работе не тратить ни одной лишней минуты.
Подготовленные для контрольной работы задачи и примеры
обычно записываются учителем во время перемены на классной
доске, откуда они списываются детьми в свои тетради. Запись на
доске должна быть чёткой, крупной, разборчивой. Особенно чётко
должны записываться числовые данные. Для контрольной работы
необходимо давать два варианта.
Чтобы не тратить времени на записи и поставить учеников
в наиболее благоприятные условия при выполнении работы, можно
заготовить заранее для каждого ученика листок с напечатанной на
машинке или написанной от руки задачей и примерами.
Ответы к задачам и примерам ни в коем случае не следует
сообщать учащимся.
Когда дети спишут работу в тетради и примутся за решение
задачи и примеров, учитель должен обеспечить полную само¬
стоятельность в выполнении работы каждым учеником
и создать условия для спокойной и продуктивной работы класса.
В классе должно быть устранено всё, что может мешать ученику
сосредрточиться на работе, всё, что может отвлечь внимание детей
от продумывания задачи: шум, разговоры, вопросы отдельных уче¬
ников и т. д. Место учителя во время контрольной
рабрты— за учительским столом. Его обязанность
при этом — наблюдать за тем, чтобы каждый ученик работал
вполне самостоятельно. Расхаживание по классу, заглядывание
в ученические тетради, замечания отдельным ученикам, ответы на
их вопросы не рекомендуются — всё это мешает спокойной и са¬
мостоятельной работе детей и отвлекает учителя от его прямой
задачи — наблюдения за всем классом. За 5 минут до звонка
целесообразно напомнить ученикам, что скоро конец урока и что
57

оки должны заканчивать работу. Никаких особых бумажек для
черновых записей допускать не следует; всё решение, все вычисле¬
ния должны записываться на том листке, где выполняется кон¬
трольная работа. Такой порядок приучает учеников к аккуратным
записям, а учителю он даёт возможность лучше выявить знания
учащихся, предупредить списывание и найти источник ошибки,
если она допущена учащимся. После звонкл все ученики немед¬
ленно сдают работу.
Как проверять и оценивать контрольную ра¬
боту? Контрольная работа должна проверяться без промедле¬
ния, вслед за её выполнением, с тем чтобы к следующему уроку
были выявлены результаты работы. При проверке грубые ошиб¬
ки подчёркиваются двумя чертами, негрубые — одной чертой,
неправильный результат вследствие ранее допущенной ошибки —
одной волнистой чёрточкой. Против подчёркнутого на полях
можно делать краткие пометки: «не сокращено», «пропущен
нуль», «неточное выражение» и т. п.
Ошибки бывают разные. Одни ошибки свидетельствуют о не¬
знании или непонимании учащимися программного материала, неуме¬
нии применять правило, выполнять то или иное действие. Дру¬
гие ошибки являются результатом не вполне твёрдых знаний или
недостаточной устойчивости внимания.
Ошибки первого рода являются более грубыми. Ошибки вто¬
рого рода — менее грубыми.
Грубыми ошибками следует считать: 1) ошибки в вычислениях, связан¬
ные с незнанием приёмов и правил выполнения действий, а также табличных
результатов арифметических действий; 2) ошибки в решении задачи: пропуск
действий в середине или в конце, неправильный выбор действий, неправиль¬
ный выбор числовых данных, неправильная постановка вопросов, несоответ¬
ствие вопроса выбранному действию, ошибки в наименованиях, свидетель¬
ствующие о непонимании учащимися задачи.
ААенее грубыми ошибкэми считаются*. П нерациональный приём в вычи¬
слениях; 2) пропуск наименований либо постановка их там, где не следует
ставить; 3) неточно сформулированный вопрос к действию при решении
задачи; 4) описки, допущенные при списывании числовых дачных или знака
действия, при правильном решении: например, вместо 65+18 = 83, ученик
записал 66 + 18= 84 (при решении же задачи неправильное применение
знака действия—выбор действия — считается грубой ошибкой); 5) не-
доведение до конца преобразования:	например, при сложении или вы¬
читании дробь оставлена без сокращения; из неправильной дроби не исклю¬
чено целое число, в простом именованном числе не сделано превраще¬
ния, например 325 кг X 160 = 52 000 кг.
Повторяющиеся негрубые (одни и те же) ошибки (например неправильная
постановка наименований) принимаются за одну ошибку.
За 1 рамматические ошибки, допущенные в работе, оценка по ариф‘метике|
не снижается, эти ошибки принимаются во внимание учителем при оценке
знаний по русскому языку.
Письменные работы, состоящие только из примеров,
оцениваются так:
Отметка «5» ставится, если все примеры решены правильно; в вычислен
н иях применены наиболее рациональные приёмы; записи решения приме¬
ров выполнены аккуратно и расположены последовательно; сделана проверка
решения в тех случаях, когда это требуется.
58

Отметка «4» ставится, если в работе допущены 1—2 ошибки, причём "'не
более одной грубой.
Отметка «3,> ставится, если в работе допущены 2—4 ошибки, причем не
более двух грубых.
Отметка «2» ставится, если при решении примеров допущены 3—6 ошибок,
причём не более трёх грубых ошибок.
Отметка ставится, если в работе допущено свыше трёх грубых оши¬
бок.
При опенке письменных работ, состоящих только из за¬
дачи, отметка «5» ставится, если задача решена правильно, т. е. правиль¬
но составлен план решения задачи, правильно выбраны действия, точно
сформулированы все вопросы к ним, правильно поставлены наименования, все
вычисления выполнены верно с применением наиболее рациональных приёмов,
записи выполнены аккуратно, расположены последовательно.
В случае, если ученик даёт оригинальный, вполне рациональный при¬
ём решения задачи, отметка «5» 'может быть поставлена и при наличии
в работе одного-двух несущественных недочётов.
Отметка «4» ставится, если правильно составлен план решения задачи,
правильно выбраны все действия, но при решении допущены 1—2 ошибки,
из них не более одной грубой.
Отметка «3» ставится, если при правильном ходе решения задачи допу¬
щены 2—4 ошибки, причём не более двух грубых.
Отметка «2» ставится, если план решения задачи составлен неправильно.
Отметка «I» ставится, если ученик не приступил к работе или свёл
решение к случайному комбинированию чисел.
Письменные работы, состоящие из примеров и задач,
оцениваются по такой шкале:
В тех случаях, когда письменная работа состоит из примеров и задач
или из двух задач, можно ставить или одну общую отметку, или две отмет¬
ки отдельно за обе части работы (в случае резкой разницы в качестве вы¬
полнения каждой части работы), причём: а) если обе части работы выполне¬
ны одинаково (например, обе на «5», или «4», или «3» и т. д.), эта отметка
и должна быть общей для всей работы в целом; б) если одна часть работы
выполнена, а другая часть работы не выполнена и при этом требуется дать
всей работе одну общую оценку (при четвертных работах), то отметка «3»
ставится лишь в том случае, когда за выполненную часть работы дана оценка
не ниже «4».
Если работа выполнена плохо, то полезно после оценки кратко
написать, что ученику нужно сделать, чтобы ликвидировать допу:
щенные ошибки: решить такие-то номера задач, прорешать такие-
то номера примеров.
Закончив проверку и поставив оценки, нужно проанализировать
ошибки, допущенные детьми, и установить, какие же вопросы
оказались слабо усвоенными. По каким рубрикам производить ана¬
лиз — это всецело зависит от содержания работы. Схема для
классификации ошибок не должна быть надуманной, нарочито
составленной; содержание её само собой определится в зависи¬
мости от того, какие именно ошибки сделаны в данной контроль¬
ной работе.
Оценивая работу класса в целом, классифицируя и суммируя
допущенные ошибки, нужно не упускать из виду отдельных уче¬
ников. Нужно не только установить, кто как выполнил работу, но
нужно ясно представлять себе, в чём именно ошибается гот или
иной ученик, какие вопросы нм плохо усвоены, что именно из
59

пройденного недостаточно понято. Для этого рекомендуется учи¬
телю в своей записной книжке отметить фамилии учеников, напи¬
савших работу неудовлетворительно, и против каждой фамилии
написать, в каких вопросах допущены ошибки.
Вся эта работа должна быть проделана для того, чтобы учи¬
тель мог вполне обоснованно и правильно решить вопрос, чтб
ему делать дальше: перейти ли к изучению следующего раздела
по плану или остановиться на повторении и закреплении пройден¬
ного, Если значительная часть учеников получила отметку
ниже, чем «3», то этот факт игнорировать нельзя: он означает,
что пройденный раздел усвоен слабо и что, следовательно, нужно
отвести ещё несколько уроков на пройденное, выделяя и подчёр¬
кивая при этом то, в чём учащиеся ошибаются. Если же подав¬
ляющее большинство учащихся выполнило работу удовлетвори¬
тельно, то нужно переходить, не теряя времени, к изучению сле¬
дующих по плану вопросов, проведя дополнительные занятия
только с теми учениками, которые получили неудовлетворитель¬
ные отметки.
Следующий за контрольной работой урок должен быть посвя¬
щён разбору результатов проведённой контрольной работы. Этот
урок должен быть проведён таким образом, чтобы дети осознали
допущенные ими ошибки и чтобы они получили зарядку на даль¬
нейшую работу, стремление работать ещё лучше, прилежнее, упор¬
нее. Для этого нужно выделить и поощрить хороших учеников,
показать, почему они достигли хороших результатов, и в то же
время показать причины неуспеваемости 'отстающих учеников.
Начать урок нужно с краткой характеристики выполненной рабо¬
ты, показать, каких знаний и умений она требовала и как учащиеся
справились с ней: показать типичные ошибки, показать, как сде¬
лано (как решён тот или иной пример, та или иная задача) и к а к
надо было сделать.
Затем нужно кратко охарактеризовать работу каждого ученика;
если же времени нехватает, то подробно остановиться на несколь¬
ких работах, заслуживающих особого внимания, — двух-трёх от¬
личных и одной-двух плохих, показав, что хорошее и чтб плохое
в этих работах. После этого нужно раздать работы учащимся на
руки для того, чтобы ученики могли дома перерешать задачи
й примеры, в которых сделаны ошибки.
Контрольные работы нужно проводить систематически, регу¬
лярно после каждого изученного раздела арифметики. Если раз¬
делы по объёму небольшие и изучаются в короткие сроки,
то целесообразно такие разделы объединять и давать для проверки
их общую контрольную работу.
Тетрадь по арифметике.
Ученическая тетрадь по арифметике — эта важнейшая учеб¬
ная принадлежность — должна быть широко^ использована как
в образовательных, так и в воспитательных целях.
60

На записях в тетради и обращении с нею можно привить детям
любовь к чистоте и опрятности, к точности, аккуратности и орга¬
низованности, к красоте и изяществу, которые потом будут пере¬
несены на любой письменный документ, с которым будут иметь
дело наши дети. И, наоборот, если учитель не уделяет должного
внимания тетради, то у ученика развиваются и укрепляются отри¬
цательные качества — небрежность, неаккуратность, нечеткость
в написании цифр, привычка к неряшливости и грязи.
С первых дней работы надо учить ученика правильному веде¬
нию тетради по арифметике и неослабно следить за тетрадью на
протяжений всех лет обучения, добиваясь того, чтобы каждая
ученическая тетрадь была действительно образцом чистоты, поряд¬
ка и изящества.
В I классе, когда ученик ещё не умеет писать, пусть учитель¬
ница сама подпишет тетрадь ученика чётким и красивым почерком,
а в дальнейшем, начиная по крайней мере со II класса, пусть
всегда требует чтобы сам ученик поавильно, грамотно и чётко
подписывал свою тетрадь по установленному образцу:
ТЕТРАДЬ
по арифметике ученика III класса школы № 5
Андрея Коптилова.
Ничего больше, чем эта краткая, деловая надпись, не должно
быть на первой странице тетради — ни рисунков, ни каких-либо
узоров и украшений, ни лишних подписей. Хорошее качество те¬
тради определяется её чистотой, правильным начертанием цифр,
чётким заполнением каждой её страницы. Неправильно написанное
не следует стирать резинкой или густо мазать чернилами, оно
должно быть аккуратно зачёркнуто.
Особое внимание надо уделять письму цифр. С первых
шагов надо учить правильному начертанию цифр. Цифра — между¬
народный знак, и это вдвойне обязывает школу к соблюдению
установленной транскрипции цифр. Начертание цифр должно быть
простым, чётким, законченным, без лишних завитков, украшений,
добавлений. Цифры пишутся с наклоном, как и буквы (см. стр 152).
В I классе цифры пишутся в две клетки, во II — в одну клет¬
ку, в III и IV — немного меньше, чем в одну клетку Наименования
при цифрах пишутся в полклеткя. При записи чисел надо придер¬
живаться правила: «Каждой цифре — особая клетка»; соблюдение
этого простого правила приводит к чёткому и красивому письму.
Записывая действия в столбик,	де_ нужно пропускать клетку.
между верхним и нижним числом. Черту под числом нужно вести
по намеченной линии.
Заглавия пишутся в полную клетку, другие слова и буквы —
в полклетки.
61

записи должны располагаться симметрич¬
но, не густо, но и без оставления пустых мест (в условиях военно¬
го времени надо быть особенно внимательным к требованиям эко¬
номных записей).
Каждый новый раздел должен начинаться его заглавием,
например: «Деление многозначных чисел», «Раздробление и пре¬
вращение составных именованных чисел» и т. д.
Работа каждого дня должна датироваться с указанием, какая
это работа — классная или домашняя. При решении задачи ука¬
зывается её номер, например: «Задача № 38», если задача взята
из принятого в классе задачника.
Так как тетради должны регулярно просматриваться учителем,
то целесообразно было бы иметь каждому ученику две тетради
(тетрадь № 1 и тетрадь № 2), с тем чтобы ученик, сдав учителю
для проверки одну тетрадь, мог бы иметь на руках другую те¬
традь для выполнения домашнего задания. Для контрольных работ
целесообразно иметь особую тетрадь, в которой выполняются
только контрольные работы и которая всегда находится у учителя.
Бывают дети, которые отличаются неряшливостью; бывают це¬
лые классы с плохими тетрадями. Как в таких случаях поступать,
как вести борьбу с дурными привычками ребят? Самое лучшее
средство — это показ хороших образцов. Если ученик плохо пи¬
шет цифры, надо, просматривая тетрадь и исправляя ошибки, сде¬
лать замечание: «Пиши цифры лучше», и тут же самому учителю
написать цифры для примера, а потом заставить ученика написать
несколько раз по данному образцу ту или иную цифру. Если уче¬
ник плохо записывает действия или неумело, несимметрично распо¬
лагает действия на странице, то и в таких случаях надо действо¬
вать показом: самому написать отдельный пример или даже стра¬
ницу (для показа всему классу). Нужно поощрять тех, кто хорошо
ведёт тетрадь, ставить их в пример другим учащимся.
Исправление ошибок.
Как исправлять ошибки, допущенные учеником, в какой мере
нужно привлекать к этому самих учащихся, — это далеко не мало¬
важные вопросы при обучении арифметике. Есть два способа
исправить ошибку: первый — учитель подчёркивает то место, где
допущена ошибка, и ученик исправляет её; второй способ — учи¬
тель зачёркивает неправильно решённый пример (или задачу) и сам
исправляет ошибку. Какой из этих способов более правильный
и целесообразный, а если оба они допустимы, то в каких случаях
каждым из них пользоваться?
Решение этого вопроса зависит от характера допущенной
ошибки, от её причины. Ошибка может быть, как указано выше,
в результате следующих причин: а) недостаточного знания, недо¬
статочного понимания данного вопроса, б) недостаточной твёрдо-
62

лй и устойчивости навыка или в) в результате
гевнимакия.
Поясним это на примере трёх ошибок:
1) Ученик производит деление многозначного числа
я получает неправильное частное:
24 472 I 437
2185 !
551
рассеянности.
на трехзначное
2ъ22
2 185
437
437
О
2)	Решая три примера на сложение двузначных чисел, ученик в одном
кз них допустил ошибку, а именно: 39 + 28 « 66.
3)	Списывая с доски примеры, ученик написал 3 вместо 5; надо:
65 — 27 = 38, написано: 63 — 27 = 36.
Как исправить эти ошибки? В основе первой ошибки лежит недопонима¬
ние процесса деления многозначных чисел, непонимание! того, что остаток
при делении всегда должен быть меньше делителя. Самостоятельное исправ¬
ление ошибки в таких случаях трудно для 'учащегося- ему надо не только
указать ошибку, но и раскрыть её, показать, в чём именно она заключается
и как её исправить. Поэтому учитель поступит правильно, если он, подчерк¬
нув 437 и 551, рядом с этим напишет правильное решение примера:
24 472] 437
^85 '	-
2 622 00
2 622
(Г
н сделает такое указание: «Остаток всегда должен быть меньше дели¬
теля». А затем в классе надо ещё раз остановиться на этой ошибке, выписав
её на классной доске, и объяснить её причину.
В основе второй ошибки лежит недостаточно твёрдое знание таб¬
лицы сложения. Здесь достаточно только указать ошибку подчёркиванием
неправильной суммы (66), предоставив самому ученику исправить ошибку,
найти правильный ответ. Это дело вполне посильное для ученика.
И, наконец, третья ошибка носит чисто случайный характер-, сё можно
оставить без исправления или, исправив, сделать замечание: «При списыва¬
нии примеров будь внимательнее».
Сложнее обстоит дело с исправлением ошибок при решении
задач. Там встречается целый комплекс ошибок, имеющих разные
причины: ошибки мышления или ошибки логического порядка,
ошибки в вычислениях, ошибки стилистического характера при
записи вопросов и объяснения и, наконец, ошибки случайного ха¬
рактера —от рассеянности и невнимания. Каждый вид ошибок
требует особого к себе подхода, особых приёмов исправления.
Логические ошибки находят своё выражение в неправильной
постановке вопросов, в неправильной или неточной их формули¬
ровке. Если весь план неправильно составлен, то такая работа не
63

поддаётся исправлению: её нужно перечеркнуть, а в классе по¬
дробно объяснить ученику, как решается данная задача, и заставить
его решить эту задачу заново. Если в работе неправильно сформу¬
лированы только некоторые отдельные вопросы, то эти вопросы
исправляются учителем, учитель зачёркивает ошибочно сформули¬
рованный вопрос и надписывает вопрос в правильной редакции.
Если допущена ошибка в вычислениях, то эта ошибка подчёр¬
кивается учителем, и ученик сам исправляет её. Если ошибка
в вычислениях допущена в начале или в середине работы, но ра¬
бота доведена до конца и привела к неправильному ответу, го
достаточно подчеркнуть только неправильное (первое) вычисление
и ответ; ученик же в таком случае должен перерешать дома всю
задачу.
Ошибки стилистического характера также исправляются учи¬
телем.
Каждая ошибка, исправленная учителем или только подчёрк¬
нутая им, внимательно просматривается учеником, и ученик, как
правило, переписывает ошибочно решённый пример или задачу
в исправленном виде.
Если ученик не работает над ошибкой, то работа учителя по
исправлению ошибок проходит впустую; одна и та же ошибка по¬
вторяется долго, искореняется медленно. Чтобы ошибка не повто¬
рялась, ученик должен её продумать, глубже понять и осознать
данный вопрос, или, если ошибка допушена вследствие недостатка
навыка, проделать ешё и ешё раз упражнение в данном навыке.
Для предупреждения ошибок очень важно научить учеников
проверять свою работу. Существуют различные способы про¬
верки (они будут раскрыты в соответствующих разделах методики).
«Борясь с ошибками, надо учитыва гь индивидуальные особенно¬
сти детей: одни дети тяжело переживают ошибку, как несчастье,
другие легко относятся к допущенной ошибке. Одни перед сдачей
тетради пересчитывают каждый пример по нескольку раз, другие
довольствуются только общим впечатлением от своей работы
Ясно, что отношение учителя к таким ученикам должно' быть раз¬
личное: одних надо ободрить, других, наоборот, заставлять искать
свою ошибку, проделывать систематические упражнения в про
верке ошибок.
Одни дети быстро реагируют на ошибки, другие — медленно.
Одному достаточно только послушать анализ чужой ошибки,
чтобы не допустить её у себя, а для другого требуется, кроме
классного анализа, ешё индивидуальные разъяснения, специальные'
упражнения, чтобы покончить с ошибками. Работая с классом,
учитель должен не упускать из виду эти особенности каждого
ученика, приспосабливаясь к ним, использовать сильные стороны
каждого учащегося, чтобы, опираясь на них, поднимать весь класс
на более высокий уровень» (Н. А. Менчинская).
64

ГЛАВА ШЕСТАЯ.
ОСОБЕННОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ ПРЕПОДАВАНИЯ
АРИФМЕТИКИ В ДВУХКОМПЛЕКТНЫХ ШКОЛАХ.
В двухкомплектных школах один учитель занимается с двумя
классами. В течение одного учебного часа (45 мин.) он по суще¬
ству даёт два урока, ведя их одновременно в двух классах, разме¬
щённых в одной комнате. Это намного усложняет работу учителя.
В двухкомплектной школе учителю особенно важно иметь хорошие
организаторские способности, умение хорошо составить расписа¬
ние, тщательно разработать план урока, удачно разрешить вопрос
о самостоятельной работе учащихся, которая в этих условиях при¬
обретает исключительно важное значение.
Арифметика, требующая от детей глубокого внимания и боль¬
шого напряжения сил, должна стоять в расписании на первом ила
втором уроке. Уроки арифметики в двухкомплектной школе мож¬
но спаривать с любым учебным предметом, за исключением физ¬
культуры и пения, которые требуют к себе внимания учителя
в течение всего урока и могут мешать ведению урока по
арифметике. Можно в обоих классах ставить одновременно
уроки арифметики, можно урок арифметики в одном классе
сочетать с уроком русского языка или каким либо иным предме¬
том в другом классе и т. д. На практике чаще всего арифметика
проводится одновременно в обоих классах, с которыми занимается
один учитель.
Планирование на четверть и планирование темы производятся
по той же форме, как и в школах, где учитель занимается с одним
классом (см. стр. 40). Но планирование урока в двухкомплектной
школе имеет свои особенности.
Существенной особенностью уроков в двухкомплектной школе,
по сравнению с уроками четырёхкомплектной школы, является то,
что на каждом из них ученикам даётся самостоятельная
работа.
Уроки объяснения нового материала здесь строятся по следую¬
щей схеме:
1.	Объяснение нового материала. 2. Первоначальные упражне¬
ния для подготовки учащихся к самостоятельной работе. 3. Зада¬
ние для самостоятельной работы. 4. Самостоятельная работа уча¬
щихся. 5. Проверка самостоятельной работы. 6. Задание на дом.
Урок упражнений развёртывается по следующей примерной
схеме:
1.	Проверка домашней работы. 2. Задание для самостоятельной
работы, с краткими указаниями, как выполнять самостоятельную
работу. 3. Самостоятельная работа учащихся. 4. Проверка само¬
стоятельной работы. 5. Задание на дом.
Проверка, инструктаж, объяснение и задание на дом — эти
этапы урока проводятся учителем под непосредственным его руко¬
водством.
5 А. С. Пчёчко
65

Сложность одновременной работы с двумя классами требует
от учителя самой тщательной подготовки к уроку. В этой подго¬
товке есть много общего с тем, что делает каждый учитель, го¬
товясь к уроку, независимо от типа школы (см. стр. 47). Но есть
в ней и специфические моменты, диктуемые особыми условиями
работы в двухкомплектной школе.
Так как в условиях работы двухкомплектной школы огромное
значение имеют самостоятельные работы, то учитель тща*
тельно подбирает по разрабатываемой теме материал для этой
работы — примеры, задачи, сообразуясь с временем, с темпами ра¬
боты учащихся. Материал берётся из задачника, если нехв'атает —
составляется учителем. Материал подбирается с «запасом», учиты¬
вая, что некоторые учащиеся работают быстро и успевают за урок
решить много примеров и несколько задач.
Для ускорения и облегчения проверки' самостоятельной работы
учитель, подбирая примеры и задачи, решает их и записывает для
себя ответы. По готовым ответам проверка проходит быстро
и уверенно.
Перед дачей самостоятельной работы учитель объясняет уче¬
никам, как нужно выполнять задание.
Самостоятельные работы.
Общие требования к организации самостоятельной работы по
арифметике кратко можно сформулиро-вать так:
1.	Каждое задание, которое даётся ученику для самостоятель¬
ного выполнения, должно быть ему понятно и посильно. Сле¬
довательно, самостоятельную работу можно дав-ать только после
того, как учитель хорошо объяснит её содержание и удостоверит¬
ся, что его объяснение правильно понято.
2.	Каждая работа, выполненная учащимися самостоятельно,
должна быть проверена. Это необходимо для того, чтобы
обеспечить своевременное исправление допущенных учащимися
ошибок и создать у них ответственное и внимательное отно¬
шение к выполняемому заданию.
3.	Содержание заданий для самостоятельного выполнения
должно по возможности разнообразиться, для того чтобы
поддержать у учащихся интерес к работе и вызвать активное
отношение к ней.
4.	В содержание самостоятельной работы, там, где это воз¬
можно, нужно вносить элементы, облегчающие ученику само¬
контроль. Такие работы выполняются учащимися уверенно,
активно, с большим интересом.
Эти требования понятны. Если ученик приступает к решению
примеров или задач, не поняв как следует правила или способа
решения, то это может привести к закреплению неправильных на¬
выков, ошибочных приёмов решения задачи. К тому же ведёт
и отсутствие тщательной проверки выполняемых заданий; ученик,
бб

не видящий в перспективе проверки, начинает безразлично,
небрежно относиться к выполнению задания.
Учитывая это, надо установить правильное чередование работы
[под руководством учителя и самостоятельной работы учащихся, не
давать учащимся таких заданий, к выполнению которых они не
подготовлены. Намечая материал, нужно внимательно просматри¬
вать его, чтобы во-время предупредить учащихся о тех трудно¬
стях, с какими они встретятся, и указать способы их преодоления.
Задания нужно давать в точной и определённой форме, так,
чтобы учащийся мог ясно представить себе цель работы, её объём
и способ выполнения.
Разные ученики работают разными темпами: одни решают при¬
меры и задачи быстро, другие — медленно; одни успевают решить
десяток примеров, другие за это время — два-три десятка; всё
это необходимо учитывать при даче задания, при подборе материа¬
ла. Намечая определённое количество примеров и задач для всего
класса, полезно в то же время наметить дополнительный материал
для тех учащихся, которые работают быстрее.
Содержание самостоятельной работы учащихся каждого
класса зависит от программы и всецело определяется ею. Основ¬
ным материалом для самостоятельной работы являются задачи
и примеры.
В самостоятельные работы может входить также материал и ив
других разделов программы: работа по усвоению некоторых про¬
стейших элементов теории, связанной с усвоением арифметических
действий (это относится в первую очередь к III и IV классам), не¬
которые измерительные работы, работы почернению из курса эле¬
ментарной наглядной геометрии, некоторые упражнения в устном
счёте и др.
При обучении детей решению задач степень самостоятельно¬
сти учащихся может быть различной в зависимости от характера
задачи, от её сложности и трудности. Задачи нового типа или но¬
вой разновидности, а также задачи сложные' по своему построе¬
нию должны решаться под непосредственным руководством учи¬
теля, на основе его объяснений, анализа. Задачи простые, «про¬
зрачные» по своему построению, не вызывающие у учащихся каких-
'либо затруднений, могут решаться учащимися самостоятельно
в порядке упражнений, тренировки. Но между задачами, не доступ¬
ными для самостоятельного решения и вполне посильными для та¬
кого решения, может быть ряд задач, которые посильны учащимся
только в некоторой мере, которые требуют от учителя частич¬
ной помощи. Решение таких задач будет носить полусамостоя-
тельный характер.
Кроме того, различные стадия (этапы) решения сложной задачи
неодинаковы по степени своей трудности для учащихся: наиболее
сложным моментом является составление плана решения задачи,
более лёгким является самое решение задачи, вычисления. Состав¬
ление плана облегчается предварительным разбором задачи. Всё
5*
67

это должно учитываться, когда решается вопрос о том, предла¬
гать ли данную задачу для самостоятельного решения.
Итак, в зависимости от характера задач учащимся могут да¬
ваться:
1.	Задачи для полного самостоятельного решения от начала
до конца. Учитель называет или номера задач по задачнику, или
даёт текст своей задачи, указывает, как её решать — с вопросами
или без вопросов, и затем предоставляет учащихся самим себе.
Такой вид работы целесообразно применять в тех случаях, когда
нужно потренировать учащихся в решении ряда однотипных задач,
ранее объяснённых и достаточно хорошо понятых учащимися.
В конце урока учитель проводит фронтальную проверку правиль¬
ности решения предложенных задач.
2.	Задачи для частично самостоятельного решения:
а)	Учитель проводит с учащимися разбор задачи. Всё осталь¬
ное, т. е. составление плана решения и решение, предлагает уче¬
никам выполнить самостоятельно. Этот приём целесообразно ис¬
пользовать в тех случаях, когда предлагаемая задача может пред¬
ставить некоторую трудность для учащихся вследствие сложной
зависимости между данными в задаче величинами.
б)	Учитель проводит с учащимися разбор задачи и со¬
ставление плана (устно). Письменная же формулировка
'вопросов, самое решение, т. е. подбор числовых данных, действий
и вычисления, производится учащимися самостоятельно. Этот
приём целесообразен тогда, когда способ решения задач данной
разновидности ещё не закреплён и требуется значительная помощь
учителя.
3.	Задачу, проанализированную учителем и решённую под его
.руководством без письменного плана, учитель может предложить
йа следующий день решить самостоятельно с письменным планом.
Использование этого приёма полезно в тех случаях, когда учащие¬
ся решают вторую-третью задачу данного типа или вообще труд¬
ную арифметическую задачу.
4.	Полезно давать некоторые задачи для предварительного са¬
мостоятельного продумывания учащимися, уг. е. для её анализа
а самостоятельной намётки плана. После этого задача решается
с учителем.
б. В качестве самостоятельной работы полезно иногда предла¬
гать самим учащимся составить задачу, аналогичную тем, ко¬
торые перед этим решались по задачнику. Этот вид работы приме¬
ним главным образом в III и IV классах при обучении детей реше¬
нию типовых задач. Но и в младших классах составление задач
учащимися тоже должно иметь место; там эта работа проводится
под непосредственным руководством учителя.
Такой характер носят самостоятельные работы в III и IV клас¬
сах, где учащиеся уже обладают некоторыми навыками самостоя¬
68

тельности в работе. В 1 и II классах эти навыки значительно сла¬
бее, и здесь нужно почаще приходить на помощь ученикам.
Прежде чем давать задачу для решения, нужно прочитать её усло¬
вие, чтобы научить детей читать текст задачи (это чтение имеет
свои особенности). Здесь чаще приходится давать в качестве
самостоятельной работы запись решения той задачи, кото¬
рая предварительно решена устно вместе с учителем.
Решение примеров служит наиболее частым содержа¬
нием самостоятельной работы учащихся.
На этих упражнениях у учащихся вырабатываются твёрдые вы¬
числительные навыки. Упражнения нужно, по возможности, разно¬
образить, чтобы они вызывали к себе интерес, будили творческую
мысль учащихся, чтобы работа не была шаблонной. Поэтому
наряду с решением столбиков по задачнику или с доски нужно за¬
дания давать и в другой форме. Укажем некоторые из них.
1.	Учитель пишет на доске несколько примеров с готовыми решениями,
причём среди этих решений имеется одно неверное. Даётся задание пере¬
решать примеры, проверить результаты и найти ошибку.
2.	Ученики решают очередные столбики по задачнику. Затем на следую¬
щем уроке предлагается произвести проверку решённых примеров путём
обратных действий и перестановки компонентов, где это возможно (при
сложении и умножении).
3.	После решения по задачнику ряда однотипных примеров ученикам
даётся задание самим составить несколько аналогичных (похожих) примеров
я решить их.
4.	Полезно в конце работы по тому или иному разделу предлагать уча¬
щимся решать примеры не только на правильность, но и на скорость. Уче¬
никам даётся, допустим, для самостоятельной работы 10 минут и предла¬
гается решить по задачнику за это время возможно больше примеров.
В конце учитывается, кто сколько решил, и лучшей признаётся работа того
ученика, который производит вычисления не только правильно, но и быстро.
5.	Для внесения разнообразия в работу можно предлагать учащимся
примеры, записанные не в строчку, а в какой-либо иной форме, например
в форме занимательных квадратов, кгугов и т. д.
6.	Большое количество разнообразных упражнений можно дать, поль¬
зуясь таблицами для устного счета Перед учащимися вывешивается табли¬
ца кна классной доске (табл. Шапошникова). Пользуясь этой таблицей, можно
проделать многочисленные и разнообразные упражнения.
Упражнения в сложении можно производить в троякой форме:
1.	Можно складывать числа одного столбика с числами другого стол¬
бика — смежного и несмежного с ним.
2.	Можно складывать числа одной строки (ряда) с числами другой стро¬
ки— смежной и несмежной с ней.
3.	К числам того или иного столбика (строки) можно прибавлять любое
заданное число — однозначное и двузначное.
Упражнения могут производиться в форме самостоятельной работы уча¬
щихся.
В конце урока учитель обязательно проверяет результаты самостоятель¬
ной работы.
Изучение «геометрического материала», т. е. вычисление пло¬
щадей в III классах и объёмов в IV классах, даёт широкий простор
для практических работ—для различных измерений и черче¬
ния. Часть этих работ может быть проведена в порядке само-
бо

_ V, /л , с л ь м ы х работ учащихся. В III классе, послр того как
учащиеся ознакомятся с вычислением площадей, можно дать ряд$
упражнений на вычисление площадей (поверхностей) тех предме¬
тов, которые имеются у учеников под руками: вычислить площадь
переплёта книги, различных граней пенала, площадь стола,
парты, прямоугольников из картона или фанеры. Получив такое
задание, ученики измеряют линейкой (разделённой на сантиметры
и миллиметры) длину, затем ширину. Полученные числа перемно¬
жают и, если нужно, производят превращение квадратных мер
в высшие меры. В том же III классе даются самостоятельные ра¬
боты и по вычерчиванию прямоугольных фигур. Например: а) на¬
чертить квадрат со сторотой 8 см\ б) начертить прямоугольник,
л шна которого 10 см, ширина б см, в) начертить прямоугольный
земельный участок, у которого длина 120 м, ширина 80 лг, мас-
шыб !	с/и-=10 м; г) начертить прямоугольник произвольного
р.ммерн (по выбору самого ученика) и найти его площадь.
В IV классе проводятся самостоятельные работы на вычисление
объёмов тел, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда.
Выбор объектов для измерения объёмов—дело более сложное, чем
для измерения площадей. Здесь нужно заранее подобрать и приго¬
товить предметы, пригодные для этой цели, — коробки, ящики (не¬
больших размеров), бруски из арифметического ящика и т. д.
Особого внимания заслуживает проверка самостоятельных
работ. При проверке нужно спрашивать не только результаты, не
только то, что делал ученик, но и объяснения, как он делал
и почему. В условиях работы двухкомплектной школы это имеет
особенное значение.
Замечено, что в двухкомплектных школах учащиеся нередко
испытывают затруднения в объяснении решённой задачи или ре¬
шенных примеров. У учащихся зачастую недостаточно развита
речь, недостаточно развито умение быстро воспринимать заданный
вопрос и давать на него правильный ответ. Эго получается в том
случае, если проверка самостоятельных работ сводится к голому
опросу того, что сделал ученик и какой получил результат. Ясно,
чю н\жно почаще заставлять учеников давать объяснение спосо¬
бов и приёмов решения, приёмов вычислений, воспроизводить сло¬
вами те рассуждения, которыми ученик пользовался, решая задачу
или пример, формулировать те правила, которыми он пользовался,
давать определения и т. д. Это будет способствовать развитию
речи учащихся, обогащению её арифметическими терминами
и уточнению математических понятий.
Удельный вес самостоятельных работ по арифметике в двух¬
комплектных школах весьма значителен. От постановки их в боль¬
шой мере зависят результаты всей работы. Поэтому к про¬
ведению их нужно готовиться столь же тщательно, как и к непо¬
средственным занятиям с классом.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ.
методика обучения решению задач.
Научить детей решать задачи — одна из главнейших целей пре¬
подавания арифметики. Эта цель может быть достигнута в резуль¬
тате плановой, глубоко продуманной, методически правильной ра¬
боты по развитию этого навыка.
Хорошо решает задачи тот ученик, который ясно понимает за¬
висимость между величинами, знает особые способы решения
задач, умеет правильно применять четыре арифметических дей¬
ствия и хорошо владеет вычислительным аппаратом. Кроме того,
для успешною решения задач нужно обладать достаточно раз¬
витым логическим мышлением, воображением, вниманием.
Все перечисленные условия являются одновременно и сред¬
ством, и целью. В этом заключается специфика данного вопроса.
Знание зависимости между величинами играет огромную роль
при решении задач. Можно сказать без преувеличения:	кто
имеет эти знания, тот владеет ключом к решению задач. Искомая
величина связана определённым образом с данными величинами.
Раскрыть эту связь и зависимость — значит наполовину решить за¬
дачу. Раскрыть зависимость между величинами — это значит:
а)	определить, какую величину‘можно найти по двум данным
величинам;
б)	определить, какие две другие величины нужно иметь в каче¬
стве данных, чтобы найти искомую величину.
Жизненные явления, составляющие содержание или фабулу
задач, в большинстве случаев характеризуются тремя величинами:
а)	купля-продажа, которая входит в содержание очень
многих задач, характеризуется стоимостью, ценой и количеством;
б)	движение, дающее содержание для многих задач, также
характеризуется тремя величинами: скоростью, временем, расстоя¬
нием и т. д.
Каждые из указанных трёх величин находятся
в строго определённой зависимости, а именно-.
по
цене и количеству
можно
найти
по
цене и стоимости
»
»
по
количеству и стоимости
»
по скорости и времени
»
»
по
скорости и расстоянию
»
»
по
времени и расстоянию
»
»
между собой
стоимость,
количество,
цену,
расстояние,
время,
скорость.
Чтобы найти какую-нибудь одну из этих величин, нужно иметь
в качестве данных две другие однородные с ней величины. Напри¬
мер: чтобы найти цену, нужно знать стоимость и количество;
чтобы найти скорость движения того или иного тела, нужно знать
путь и время, и т. д.
Усвоение и понимание этих взаимосвязей нарастает у детей
постепенно, медленно, на протяжении всего периода обучения в на¬
чальной школе, в результате решения большого количества задач,
71

сначала простых, а затем сложных. Решая задачи: «Мальчик купил
3 тетради по 10 копеек. Сколько стоят эти тетради?» «Колхозник»
продал 3 кг луку по 20 руб. за килограмм. Сколько рублей выручил
КШМ'/ШИК % иу)/Гакии% лук/* «Для покраски окон нужно купить
2 кг Селил по 18 руб. за килограмм. Сколько стоят эти белила?»
и т. д., проделывая специальные упражнения, в которых даются
два числа, обозначающие цену и количество, ребёнок начинает по¬
нимать, что если дана цена одного предмета и количество этих
предметов, то по этим двум данным всегда можно узнать стоимость
предметов. Это понимание окончательно оформляется в III—
IV классах, где дети опержруют уже терминами «пена», «количе¬
ство», «стоимость». В IV классе возможна постановка вопроса:
«Что можно узнать по данному количеству, предметов и их цене?»
При решении сложных задач всегда приходится использовать
две данные величины для нахождения третьей (какой?), постоянно
приходится для определения искомой величины искать необходи¬
мые данные (какие?). Кто к этому подготовлен, тот будет хорошо
решать задачи.
Определив зависимость между величинами, ученик должен про¬
извести над числовыми значениями этих величин арифметические
действия, а предварительно надо решить, какое именно действие
надо применить в данном случае. Мир задач обширен и до
чрезвычайности разнообразен. Но всё это бесконечное разно¬
образие арифметических задач решается при помощи только четы¬
рёх арифметических действий. Ученик должен знать, в каких слу¬
чаях применяется каждое действие. Это надо знать твёрдо, ибо от
этого зависит правильность решения задачи.
Однако есть задачи, для решения которых знания зависимости
между величинами недостаточно. Возьмём, например, следующую
задачу:
«Два мальчика поймали всего 17 рыб; при этом один из них поймал на
•три рыбы больше другого. Сколько рыб поймал каждый мальчик?»
Эта задача относится к типу задач на нахождение двух чисел
по их сумме и разности. Аналитическому разбору эта задача не
поддаётся. Чтобы ознакомить учащихся с её решением, надо пока¬
зать им особый способ решения задач этого типа (получить сумму
двух одинаковых слагаемых путём вычитания разности;
получить затем меньшее слагаемое путём деления уменьшенной
суммы пополам и, наконец, получить большее слагаемое путём при¬
бавления разности).
Программа начальной школы предусматривает до полутора де¬
сятка типовых задач, способы решения которых должны усвоить
учащиеся III и IV классов.
Для успешного решения задач ученик должен обладать неко¬
торым математическим развитием, уметь хотя бы элементарно
мыслить, анализировать условия задачи, синтезировать отдельные
элементы задачи, сравнивать, сопоставлять данные, делать простей¬
шие умозаключения. Недостаточное развитие мышления часто
72

^является причиной плохого решения задач; при этом всегда нужно-
Рцомнить, что если для решения задачи требуется известный уровень
|швитня изтеыагияеского мышления, то в* свою очередь решение
Задач язляется самым мощным, самым действительным стедегвлм
развития логического мышления. Цель п средство здесь своеобраз¬
но переплетаются между собой.
В решении задач большую роль играет и воображение.
Для сознательного решения задачи нужно, чтобы учащийся пони¬
жал условие задачи и правильно представлял в своём воображе¬
нии всё, о чём говорится в задаче. Не менее важное значение при
решении задач имеет внимание и настойчивость в преодолении
трудностей.
Таковы главнейшие предпосылки для успешного решения задач.
Они создаются прежде всего на решении простых задач.
Простые задачи.
Простыми задачами называются такие задачи, которые решают¬
ся одним действием. Значение простых задач очень велико. На них
ученик уясняет, что такое задача и каковы её элементы. На реше¬
нии этих задач ученик учится понимать зависимости между вели¬
чинами и научается правильному применению каждого арифмети¬
ческого действия.
Можно расположить простые задачи, решаемые в начальной
школе, по арифметическим действиям.
На сложение существует 3 вида простых задач.
1)	Найти сумму двух или нескольких слагаемых: «У Вани было 5 яблок,
да ему ещё дали 4 яблока. Сколько всего яблок стало у Вани?»
2)	Данное число увеличить на несколько единиц: «У Вани было 5 коп.,
а у Коли на 3 коп. больше. Сколько денег было у Коли?»
3)	По данному вычитаемому и остатку найти уменьшаемое: «Когда Кол»
истратил 5 коп., у него осталось 3 коп. Сколько денег было у Коли?»
На вычитание существует 5 видов простых задач.
1)	Найти остаток: «У ученика было 5 карандашей, 2 карандаша он ис¬
писал. Сколько карандашей у него осталось?»
2)	Найти разность: «У мальчика было 5 карандашей, а у девочки 3 ка¬
рандаша. На сколько карандашей у мальчика больше, чем у девочки?»
3)	Данное число уменьшить на несколько единиц- «В одной коробке
10 перьев, а в другой — на 4 пера меньше. Сколько перьев йо второй ко¬
робке?»
4)	По данному уменьшаемому и остатку найти вычитаемое: «У ученика
было 20 коп.; когда он истратил несколько копеек на покупку ручки, то
у него осталось 5 коп. Сколько стоила ручка?»
5)	По сумме двух слагаемых и одному йз них найти другое слагаемое:
«Ручка и карандаш стоят 17 коп. Ручка стоит 7 коп. Сколько стоит
.карандаш?»
С умножением связаны 3 вида простых задач.
1)	Данное число повторить слагаемым несколько раз: «Куплено 5 тетра¬
дей по 10 коп. за тетрадь. Сколько уплачено за эту покупку?»
2)	Данное число увеличить в несколько раз:	«Лошадь пробежала за
73.

_ _ .о о и рал оольше. Какое расстояние прошёл автомо¬
биль за час?»
3)	По данному делителю и частному найти делимее: «Мама разделила
имевшиеся у неё конфеты поровну между тремя своими детьми; каждому
досталось по 4 конфеты. Сколько конфет было у мамы?».
Делением решаются 6 видов простых задач:
1)	Разделить данное число на несколько равных частей: «2 карандаша
стоят 16 коп. Сколько стоит один карандаш?»
2)	Узнать, сколько раз ошго число содержится в другом: «Сколько нуж¬
но иметь пакетов, чтобы разложить 8 кг конфет по 2 кг в каждый пакет?»
3)	Данное число уменьшить в несколько раз: «В одной коробке 8 каран¬
дашей, а в другой в 2 раза меньше. Сколько карандашей в другой коробке?»
4)	Найти часть числа: «В парке 40 деревьев, из них половина — берёзы.
Скопыш берёз в парке
5) Узнать, во сколько раз одно число больше или меньше другого;
«Тетрадь стоит 10 коп., а книга для чтения 50 коп. Во сколько раз книга
для чтения дороже, чем тетрадь?»
61 Наити делитель по данному делимому и частному: «Когда мать раз-
делила 15 яблок поровну между своими детьми, то на долю каждого при¬
шлось по 5 яблок. Сколько детей было у матери?»
Перечисленные виды простых задач в различных сочетаниях
входят в составные задачи. Как из отдельных кирпичей склады¬
ваются огромные, величественные здания, так и из простых задач
создаются сложные, замысловатые, иногда весьма хитроумные
задачи. И чем лучше дети овладеют решением простых задач,
тем успешнее они будут справляться с составными задачами.
Первые шаги в обучении детей решению простых задач.
Первые шаги во всяком деле имеют большое значение. Ребёнок,
только что поступивший в школу, ещё никогда не слыхал таких
слов, как «задача», «решение задач», «условие задачи», «вопрос
задачи», «отвег» и т. п. Эти термины надо постепенно ввести
в обиход школьника и научить его относиться к ним сознательно.
Сама задача должна прийти к ребёнку не как нечто постороннее,
навязанное извне, далёкое, чужое, первые задачи должны вырасти
на глазах у ребёнка из окружающей его обстановки, а ещё лучше—
из его потребностей. Решение задачи должно быть впервые вос¬
принято ребёнком как решение самых жизненных, практических
вопросов. «Задача — кусочек жизни; кто умеет решать задачи,
тот умеет производить расчёты, с которыми можно столкнуться
каждого минуту в жизни». Такие взгляды на задачу должны быть
внушены ученику, впервые приступающему к решению задач. Для
этого на первых уроках учитель предлагает детям такие задачи-
действия:
«На столе стоят 2 чернильницы: возьмём из шкафа и поставим на стол
еше очку чернильницу. Сколько чернильниц теперь стало на столе?»
«На стене висят 5 картин. Повесим ещё одну. Сколько теперь картин
стало на стене5»
«На двух передних партах сидят 4 ученика. Вайя, встань и пойди к
догке Сосчитайте, сколько теперь учеников осталось сидеть на двух пар¬
тах5»
74

Слова здесь сопровождаются действиями: прибиванием картин,
выниманием из шкафа и переносом чернильниц, подсчётом книг
в сумке, раздачей ученикам письменных принадлежностей, выхо¬
дом из-за парты учеников и т. д.
«А теперь, — говорит учитель, — я скажу вам ещё одну
задачу», — и предлагает задачу, подобную указанным выше.
Так появляется термин «задача». На другом уроке учитель, пред¬
лагая такие же задачи, говорит:	«А сейчас решим несколько
задач». Так вводится термин «решение» задачи.
Но этого мало. Чтобы задачу решить, надо её понять, а понять
задачу в одно действие — это значит прежде всего найти св~язь
между вопросом задачи и её данными. Но для того чтобы ребё¬
нок мог связать данные и вопрос, он должен сначала их расчле¬
нить, он должен уметь различать условие задачи и вопрос задачи.
Дети вначале не различают этих понятий, сливают их.
Общеизвестен такой факт. Учитель предлагает ученикам задачу: *У маль¬
чика было 2 тетради. Папа дал ему еще 2 тетради. Сколько всего тетрадей
стало у мальчика?» Получив от учителя задание повторить условие задачи,
ученик повторяет так: «У мальчика было 2 тетради. Папа дал ему еще
2 тетради. У него стало 4 тетради». В этом ответе ученик слнл условие за¬
дачи и вопрос, повторение задачи и ее решение.
Первые занятия по решению задач должны быть направлены
на выработку у детей понимания того, что задача состоит и з
условия и вопроса; что повторить задачу — это значит
оказать и условие, и вопрос; что решить задачу — это значит
произвести действие — прибавить или отнять, что полученное число
есть ответ задачи. Всё это достигается путём решения задач.
Приведём один из образцов решения задачи (описанный Н. С. Поповой).
Учительница прикрепляет к доске плакат с изображением большой н
маленькой тарелки. На глазах у дегей она раскладывает на тарелки «яблоки»
(вырезанные из картона, втыкая их в соответствующие надрезы), при этом она
вслух считает яблоки, так, чтобы дети могли лотом сказать: «На большую
тарелку положено 5 яблок, а на маленькую — 3 яблока».
После этого учительница предупреждает: «Сейчас я скажу вам задачу.
Вы должны её прослушать и повторить слово в слово. А уже после этого
мы будем ес решать». Внятно, с необходимыми логическими ударениями,
учительница говорит:
«На стол поставили две тарелки, большую и маленькую. На боль¬
шую тарелку положили 5 я б л о к, а на маленькую — 3 яблока. Сколько
всего яблок положили на обе тарелки?»
После этого повторили задачу сначала один мальчик, потом другой, по¬
том ещё девочка. Повторение давалось нелегко, с наводящими и даже под¬
сказывающими вопросами. Дети учились повторять задачу.
«Что же Опрашивается в задаче?» —с особым логическим уда¬
рением сказала учительница. Двое детей повторили только вопрос задачи.
«Теперь решайте задачу и скажите ответ», — в заключение сказала учи¬
тельница. Решение оказалось самым лёгким для детей. Через минуту лес
вытянутых детских рук свидетельствовал о том, что задача решена. «Как
же вы решили задачу? Что сделали?» — спросила учительница.
«К 5 яблокам прибавили 3 яблока, получилось 8 яблок», — отвечали
ученики.
После этого оставалось только записать решение, что и сделала учи-
75

тельннца на классной доске, написав 5 ябл. 4- 3 ябл. = 8 ябл. (ученики н*
писали только потому, что не умели ещё писать наименование чисел).
Таким образом, решение простой задачи распадается на следую¬
щие этапы:
1.	Сообщение учащимся условия задачи.
2.	Повторение задачи по наводящим вопросам и без вопросов.
3.	Выделение вопроса задачи («что спрашивается в задаче?»).
4.	Решение: выбор действия и вычисления.
6. Формулировка ответа задачи.
6. Запись решения задачи.
Пояснйм кратко каждый этап решения.
Условие задачи лучше говорить, рассказывать, чем читать
по книге; рассказ легче воспринимается детьми, чем чтение. Учи¬
тель говорит задачу один-два раза, не спеша, внятно, оттеняя
числовые данные. Как правило, запись числовых данных на доске
в это время не требуется, так как в задаче даётся обычно два
числа, которые запоминаются учениками без особого труда.
Повторяется задача сначала по вопросам. Вопросы нужны
не только для того, чтобы легче воспроизвести содержание задачи,
по и для того, чтобы помочь ученикам более отчётливо понять
структуру задачи, её состав (условия, вопрос) В заключение зада¬
ча повторяется одним-двумя учениками без наводящих вопросов.
При повторении многие задачи иллюстрируются. Иллюстрации
нужны для лучшего понимания содержания задачи, для того,
чтобы заставить более живо работать воображение детей. Для
иллюстрации используются картины, рисунки, плакаты, таблицы,
различного рода наглядные пособия.
После повторения учитель ещё раз останавливает внимание
учеников на вопросе задачи («Так что же спрашивается в за¬
даче?») Вопрос — главное в задаче; им определяется направление
мысли учащегося; поэтому вопрос задачи учащиеся должны пред¬
ставлять себе особенно отчётливо.
При решении простой задачи аналитико-синтетический про¬
цесс мышления выступает в самой простейшей своей форме: из
данных задачи вытекает её вопрос; для решения вопроса задачи
необходимы данные. Всё это дано в готовом виде, и ученику
остаётся только произвести выбор действия, посредством
которого решается вопрос. Выбор действия — это наиболее труд¬
ный и вместе с тем центральный вопрос в решении простых
задач. Трудность обусловлена тем, что вследствие малых чисел
ребёнок часто не видит надобности в выборе действия. Ученик
находит ответ на основании знания состава чисел первого десятка.
Например, решается задача: «Карандаш и перо стоят 10 коп., карандаш
стоит 8 коп. Сколько стоит перо?»
Отвечая на вопрос: «Как вы решили задачу?» — ученик говорит:
<8 коп. да 2 коп. будет 10 коп.» Он знает, что 10 состоит из восьмёрки
н двойки. Если дана восьмёрка, то искомым числом должна быть двойка.
Значит, перо стоит 2 коп. В данном случае ученик не прибегал к вычитанию.
76

Чтобы приучить учащихся к выбору действия и облегчить им
усвоение того, в каких случаях применяется каждое действие,
надо чаше прибегать к наглядным пособиям; надо решение задачи
иллюстрировать.
Пусть решается задача: «У Васи было 7 морковок, 4 морковки он дал
кроликам утром» а остальные днём. Сколько морковок дал Вася кроликам
днём?»
«Покажите на палочках, что у Васи было всего 7 морковок», —* говорит
учитель, обращаясь к ученикам. Ученики на своём дидактическом материале
откладывают 7 единиц (палочек, кружочков, спичек и т. п.). «Что сделал
Вася с этими морковками?» — спрашивает дальше учитель. (Он утром дал
кроликам 4 морковки.) «Что же надо сделать с этими 4 морковками?»
(Надо их отнять от 7 морковок.) «Отнимите», — говорит учитель. Ученики
отсчитывают 4 палочки. «Сколько же морковок у Васи осталось? (3 морков¬
ки.) Значит, сколько же морковок дал Вася кроликам днём?» (Вася дал
днём кроликам 3 морковки.)
«Повторите всю задачу», — говорит учитель. Вызванный ученик повторяет.
«Как же мы решили задачу? Как мы узнали^ что днём Вася дал кроли¬
кам 3 морковки?» (Мы от 7 отняли 4, осталось 3.)
Если бы ученики затруднились ^дать правильный ответ на этот вопрос,
то учителю надо прийти на помощь ученикам и дать правильную формули¬
ровку ответа: «От 7 морковок надо отнять 4 морковки».
Возьмём другую задачу: «У мамы было 12 конфет. Она раздала их по¬
ровну своим детям, каждому по 4 конфеты. Скольким детям были розданы
конфеты?» Чтобы привести учащихся к выводу, что в данном случае надо
12 разделить по 4, нужно прибегнуть к иллюстрации решения. «Покажите иа
своих палочках или на кубиках, что у мамы было 12 конфет». Ученики от¬
считывают 12 кубиков.
«Раздай теперь, Ваня, эти 12 кубиков (конфет) по 4 своим соседям и счи¬
тай, сколько ребят получат кубики».
Ученик берет четвёрку и отдаёт одному ученику, говоря: «раз». Берёт
вторую четвёрку, отдаёт второму ученику, говоря: «два». Берёт третью че¬
твёрку, отдаёт третьему ученику, говоря: «три».
«Сколько же четвёрок в 12?» (Три четвёрки.)
«Сколько учеников получили по 4 кубика?» (Три ученика.) (Мы разде¬
лили их по 4 и получилось 3.)
Теперь вернемся к нашей задаче. В ней мама раздала 12 конфет
своим детям, по 4 конфеты каждому. Сколько же было детей?» (Трое детей.)
«Как вы узнали, что у мамы было трое детей?» (Мы 12'разделили по
4 и получилось 3.)
Надо учить учеников переходить от такой конкретной формулировки
к формулировкам и ответам более общего характера* «У мамы было столько
детей, сколько раз 4 повторится или содержится в 12. 4 содержится в 12
3 раза. Значит, у мамы было трое детей».
Это умение даётся ученикам не сразу и нелегко. Над выработкой его
надо работать терпеливо и настойчиво в продолжение первых полутора лет
обучения, когда, в сущности, заканчивается знакомство со всеми основными
видами простых задач.
Очень рано, примерно со второй-третьей недели занятий, после
решения задачи надо ставить вопрос: «Как ты решил задачу?»,
варьируя этот вопрос так: «Что ты сделал, чтобы найти ответ?»
или: «Как ты нашёл ответ?» А в дальнейшем, по отношению
к некоторым задачам, надо ставить вопрос и «почему». Это отно¬
сится к задачам на увеличение и уменьшение числа на несколько
единиц и <в несколько раз.
77

г.. .~к, ..^сд^олчиа ученикам задачу: «Ручка стоит 8 коп., а тетрадь
на 2 копейки дороже. Сколько стоит тетрадь?» — учитель вызывает ученика
и ставит перед ним последовательно три вопроса:
1) «Сколько у тебя получилось в ответе?» Или: ЯЯлько стоит те*
традь?» (Тетрадь стоит 10 коп.) 2) «Как ты узнал, ЦЦ тетрадь стоит
10	коп.?» (Як 8 коп. прибавил 2 коп., получил 10 коп.) 3|||Почему ты к 8
прибавил 2?» (Потому что в задаче сказано, что теграЩйетоит на 2 кои.
дороже.)	Ш
Из простых задач наиболее трудными для учашжся являются
следующие:	Щ
1)	Задачи на увеличение и уменьшение числима несколько
единиц.
2)	Задачи	на	разностное	сравнение	чисел.	ШЛ
3)	Задачи на кратное сравнение чисел.
Первая задача решается в I классе; вторая и третья — во
11	классе.
Трудность этих задач заключается в выборе действий: на ре¬
шении этих задач учашиеся должны усвоить, что для увеличения
числа на несколько единиц применяется сложение, для уменьше¬
ния — вычитание; чтобы узнать, на сколько одно число больше
или меньше	другого,	применяется	вычитание;	чтобы узнать, во
сколько раз одно число больше или меньше другого, применяется
деление.
Решение этих задач выясняется учащимся на наглядных посо¬
биях, и только после этого они приступают к решению задач.
Приведем пример на ознакомление учащихся с разностным сравнением чисел.
Первый этап — сравнений величины двух полосок (лент).
Учитель показывает ученикам более длинную (допустим, красную) ленту
в 40 см и бочее короткую (голубую) ленту в 30•см. Ставится вопрос: какая
лента длиннее? Для этого измеряется первая лента и длина её записывается
(40 см); измеряется также длина второй ленты (30 см) и записывается. Чтобы
ответить по ьопрос. на сколько длиннее, голубая лента прикладывается
к красной и надрезом отмечается лишний кусок красной ленты. Этот кусок —
остаток — измеряется Оказывается, он равен 10 см. Ответ можно было полу¬
чить так: от всей длины красной ленты надо отнять длину голубой ленты,
т. е. 30 см, и получится 10 см. Запишем это:
40 см — 30 см = 10 см.
Второй этап объяснения. На классных счетах с двумя Прово-
локами откладывается на верхней проволоке 8 шариков, на нижней — 5. Где
больше шариков? (На верхней проволоке.) На сколько больше? Как это
узнать? От 8 отсчитаем, отнимем столько, сколько есть на нижней, т. е. 5.
То, что останется, и покажет, на сколько шариков на верхней проволоке
больше, чем на нижней. Сделав вычитание, получим:
8 — 5 = 3.
Третий этап объяснения. На дидактическом материале сравни¬
ваются два числа: ^Положите справа 10 палочек, слева 4 палочки. Сравните,
где больше палочек и на сколько больше». Учащиеся от 10 палочек отсчи¬
тывают 4 палочки и получают 6 палочек. «Справа больше на 6 палочек»,—
говорит ученик и записывает: «10—4 = 6».
В заключение урока решаются задачи на разностное сравнение.
78

Запись решения задач.
Запйсь решения способствует более отчётливому пониманию
того, какое именно действие применяется при решении данной
задачи. Поэтому значительная часть устно решённых задач (при¬
мерно около трети) сопровождается записью решения на класс¬
ной доске и в тетрадях учащихся.
Здесь возникает вопрос: ставить ли наименование чисел или же
писать числа без наименований и производить действия над ними,
как над отвлечёнными числами.
В разное время этот вопрос решался по-разному. Постановка
наименований усложняет запись и создаёт для ученика добавочные
трудности. Запись без наименований проще, легче, и, конечно,
пока ученики неграмотны или малограмотны (в первом полугодии),
решение задачи записывается без постановки наименований при
компонентах.
Но для дальнейшего вопрос этот решается иначе. В советской
начальной школе принято при числах ставить наименование.
Постановка наименований требует от ученика более осмысленного
отношения к задаче, она заставляет его различать компоненты.
Например, очень важно, чтобы ученик при записи умножения раз¬
личал множимое и множитель.
Решая задачу «Метр ситца стоит 4 рубля. Сколько стоят 3 метра сит¬
ца?» — ученик должен написать: 4 руб. X 3 = 12 руб. Если ученик нап идет:
3X4 = 12. то тем самым он покажет, что не вполне понимает значение
каждого Из данных чисел. При записи наименования легко доказать ученику
его ошибку: ме гр сатина стоит не 3 руб., а 4 руб.(Без постановки наимено¬
вания выяснение ошибки даётся труднее.
Очень важно также научить ученика различать деление на
части я деление по содержанию. Единственным внешним показа¬
телем того, насколько учащийся разбирается в этом вопросе,
является постановка наименования.
Если ученик, решая задачу: «У мальчика имеется 20 коп., сколько он мо¬
жет купить перьев по 4 коп. за пе;ро?», напишет:
20 коп. : 4 коп. = 5 (перьев),
то эта запись покажет полное понимание учеником той операции, которую он
произвёл над числами.
Постановка наименований придаёт записи задачи более нагляд¬
ный характер; без наименования запись получается отвлечённой,
слабо вскрывающей характер и процесс мышления учашихея.
А между тем мышление ребёнка — образное, конкретное. В соот¬
ветствии с этим и запись должна быть образной, конкретной.
Поэтому на младших ступенях обучения наименования ставить
следует.
Запись наименований дисциплинирует мысль учащихся и побу¬
ждает ученика более глубоко разбираться в компонентах арифме¬
тических действий.
79

Наименования надо писать сокращённо. Этому нужно постоян¬
но учить учеников, так как знания по русскому языку ещё не обес¬
печивают учащимся этого навыка: сокращения могут носить урод¬
ливый характер, если не следить за ними. Нужно с первого же
класса приучать учеников писать сокращённые названия метриче¬
ских мер без точки (5 м-{-4 м = 9 м; 18 см + 7 см = 25 см).
Есть несколько трудных случаев записей, в которых всегда
требуется помощь учителя. Отметим эти случаи.
1.	Слагаемые, как известно, должны иметь одинаковое наиме¬
нование, но в условии задач нередко фигурируют числовые сла¬
гаемые с разными наименованиями.
Например: «Мальчик поймал 8 окуней и 3 ершей. Сколько всего рыб
поймал мальчик?» В таких случаях различные видовые понятия надо за¬
менять общим для них родовым понятием. В данном случае для «оку¬
ней» и «ершей» родовым понятием будет понятие «рыба». Запись действия
будет такова: 8 рыб 4- 3 рыбы = 11 рыб. Для названий «мальчики» и «девоч¬
ки» родовое понятие — «дети»; для названий «мужчина» и «женщина» — «че¬
ловек»; для названий «земляника», «малина» — «ягоды» и т. д.
2.	Трудно разрешается вопрос о записях в задачах на увеличе¬
ние и уменьшение числа на несколько единиц.
Например: «В колхозе 28 лошадей, а коров на 75 больше. Сколько коров
в колхозе?» Коров на 75 больше: это значит, что коров в колхозе было 28
•(столько же, сколько и лошадей) и сверх того ещё 75. Отсюда вытекает
следующая запись решения задачи: «28 кор. 4- 75 кор — ЮЗ кор.»
Можно записать решение и с другими наименованиями, заменив видовые
понятия «лошадь» и «коровы» родовым ч «головы скота», 28 гол. 4- 75 гол. =
ЮЗ гол. (кор.). Первую запись надо предпочесть второй; она логичнее
я проще.
3.	К аналогичным записям приходится прибегать и при уве¬
личении числа в несколько раз.
Зайишем решение следующей задачи: «На заводе работает мужчин 480, под¬
ростков вдвое меньше, чем мужчин, а женщин в 4 раза больше, чем под¬
ростков. Сколько ввего рабочих работает на заводе?» Здесь возможны две
формы записи:
I) 480:2 = 240 (подростков) И. 1) 480 раб. :2 = 240 раб. (подростков.)
*2) 240 X 4 = 960 (женщ.)	2) 240 раб. X 4 = 960 раб. (женщ.)
3) 4^0 4- 240 + 960 = 1 680 (раб.) 3) 480 раб. 4- 240 раб. 4- 960 раб. = 1 680 раб.
Повторяем, что в записях наименований в младших классах —
и* II — всегда требуются со стороны учителя прямые указания
и помощь учащимся.
Составление задач учащимися.
Хорошим средством проверки того, насколько понимают дети
общую структуру задачи и Структуру каждого отдельного вида
задач, является составление задач самими учащимися. Если после
решения ряда однотипных задач ученик сам составит и решит
аналогичную задачу, то это значит, что он задачи на данное
80

правило понимает, решать их умеет. Для самого же ученика
процесс составления задач полезен тем, что при составлении
«своей» задачи, похожей на те, которые предлагал учитель, уче¬
ник начинает глубже вдумываться в соотношение между вели¬
чинами, на которых он строит задачу, он должен подобрать две
такие величины, на основании которых можно найти третью вели¬
чину; подбирая величины и формулируя вопрос задачи, ученик
должен назвать эту третью величину. Словом, составляя задачу,
ученик проделывает сложную работу аналитико-синтетического
порядка. Чтобы её облегчить и сделать процесс составления задач
более определённым, чтобы дать творческой мысли учащихся
определённое направление, нужно перед составлением задач
давать учащимся указание, что именно от них требуется, в чём
должна заключаться их работа, какую задачу они должны со¬
ставить. Вначале, разумеется, учащимся даются более лёгкие,
простые задания; затем эти задания постепенно усложняются.
Вначале целесообразно давать задание на составление «похо¬
жих» задач: «Составьте каждый задачу, похожую на те, которые
мы только Что с вами решали». Это задание уместно тогда, когда
учитель обучает детей решению определённого вида задач, когда
все задачи, решаемые с учителем, являются задачами одной ка¬
кой-нибудь разновидности.
Далее можно дать учащимся составление задачи на то или иное
действие (например 5 + 3 или б—2 и т. д.).
«Составьте задачу, в которой нужно сложить 5 и 3», или «из
6 вычесть 2».
Можно сделать первые задания этого рода ещё более опреде¬
лёнными, давая учащимся данные не с отвлечёнными, а с имено¬
ванными числами, например:
«Составьте такую задачу, в которой надо к 6 коп. прибавить
4 коп.»: «от 8 кг отнять 3 кг» и т. д.
И, наконец, наиболее трудным заданием этого рода будет сле¬
дующее задание: «Составьте задачу, в которой требуется сложить
два (три) числа» или «в которой требуется от одного числа отнять
другое число». Ясно, что те ученики, которые умеют составлять
задачи, умеют и решать их.
После задания нужно опросить возможно большее число уче¬
ников: каждый составивший задачу хочет, естественно, сказать
эту задачу. Это законное желание учеников нужно удовлетворить,
чтобы поддержать интерес к этой творческой работе у тех детей,
которые хорошо работают, и вызвать желание составлять задачи
у более слабых детей. Более удачные задачи нужно не только
выслушать, но и дать их для решения всем^^Впассу. Возможные
ошибкй и недочёты (а они бывают чаще всуИ в подборе чисел)
нужно тут же исправить.
Составление задач самими детьми нужн<||||)ассматривать как
один из приёмов обучения детей решению ЩЦщач, причём эти
6 А. С. ПчЕлко
81

_ „«ди	С ТСМ.И зада¬
чами, которые по плану решаются из задачника и подчинены
основной системе обучения решению задач.
Влияние упражнений на выработку умения решать задачи.
Успех в решении простых задач достигается не только хоро¬
шим качеством объяснений учителя, но и большим коли¬
чеством упражнений, количеством задач, решённых учащимися.
Нужно прорешать достаточно большое количество простых задач,
прежде чем ученики научатся правильно решать их, правильно
применять каждое из четырёх арифметических действий.
Лёгкость решения простых задач — явление кажущееся, об¬
манчивое. Учитель иге должен поддаваться этому впечатлению,
а должен обучать детей решению простых задач со всей серьёз¬
ностью, иначе всякий недочёт в решении простых задач станет
трудно преодолимым препятствием при решении сложных задач.
Готовясь к уроку, учитель должен намечать на урок до четы¬
рёх-пяти простых задач, из которых, примерно, около трёх решаются
устно, а две остальные — с последующей записью. Опыт работы
лучших учителей показывает, что только значительное количество
решённых задач (у опытных учителей за год решается до 1 000 за¬
дач) обеспечивает выработку у учащихся умения решать задачи.
Часть задач должна решаться с применением наглядных пособий
и с подробным объяснением решения (какой ответ, как он полу¬
чен, почему произведено то, а не иное действие), а другая часть
решается для практики, для тренировки, с объяснениями только
в случае затруднений. Больше устных задач — этому тре¬
бованию должна быть подчинена работа учителя, особенно в пер¬
вом полугодии I класса, когда решаются преимущественно простые
задачи.
Переход от простых задач к составным.
Во второй четверти учебного года учащиеся I класса перехо¬
дят к решению задач в два действия. С этого момента начи¬
нается практика по решению составных задач. С чем новым встре¬
чаются дети при решении составной задачи? С планом, с необходи¬
мостью, прежде чем приступить к решению задачи, установить
последовательность, порядок её решения. Каждая сложная
задача при решении распадается на ряд простых задач, и решение
сложной задачи сводится к последовательному решению этих
простых задач Ученику нужно уметь расчленить сложное, со¬
ставное на простейшие элементы, т. е. на простые задачи, и уста¬
новить известную последовательность в их решении. Если уча¬
щиеся получили достаточно большую тренировку в решении
простых задач, то решение задач в два действия, как показывает
опыт, не представляет для них особой трудности.
32

В этом отношении показателен следующий факт. Ученикам 1 класса, ре¬
шавшим до тех пор только простые задачи, в нами л е 2-й четверти была
неожиданно предложена задача в два действия, без всяких предварительных
Объяснений и предупреждений. «У мальчика было !0 коп. Мама дала ему
ещё 8 коп. Из всех этих денег он израсходовал 12 коп. Сколько копеек
у него после этого осталось?» Из 40 учеников правильное решение этой за¬
дачи дали 21 ученик. Когда у учеников, давших правильное решение, спроси¬
ли, как они решили задачу, то был получен один ответ: «От 18 коп. я отнял
>12 коп., получилось 6 коп.» После этого ученикам было дано пояснение
решения этой задачи приблизительно в такой форме: «Вот вы говорите — от
18 коп. надо отнять 12 коп. Но откуда же взялись 18 коп.? Ведь в зада¬
че такого числа нет. В задаче сказано (слушайте!): «У мальчика было 10 коп.,
да ему ещё дали 8 коп.» Вот и всё, что сказано про деньги мальчика. Где
здесь число 18? Его нет. Его надо было найти. И вы его нашли.
Как?» («К 10 коп. прибавили 8 коп.»,— отвечали дети). «Потом, найдя 18 коп.,
, вы от 18 коп. отняли 12 коп. и получили 6 коп. Значит, сразу ли вы реши¬
ли задачу или постепенно? Постепенно. Сначала вы узнали, сколько у
мальчика стало денег, когда ему дали ещё 8 коп., потом вы узнали, сколько
у мальчика осталось денег. Гак повторите, как вы решили задачу. Что вы
сначала узнали? Что потом узнали?» Ученики повторили решение зада¬
чи. Вслед за этим учащимся была предложена вторая аналогичная задача
в 2 действия. Правильное решение этой задачи дали уже около 30 учеников.
Свыше 10 учеников счмели правильно объяснить решение, расчленив сложную
задачу на две простые задачи и указав последовательность их решения.
Этот факт свидетельствует о следующем' I) данный 1 класс во
2-й четверти оказался подготовленным к решению составных задач,
поэтому теперь своевременно было перейти к решению задач в два действия;
2) решая задачу правильно, дети при объяснении решения вначале не назы¬
вают первое действие, они пропускают его и дают объяснение решения слож¬
ной* задачи такое же, как и простой задачи, т. е. объясняют одно последнее
действие; 3) для 3/< учащихся простого объяснения одной задачи оказалось
достаточно; они сумели решить вторую задачу, справившись с расчленением
сложной задачи на простые и установив порядок их решения. Но детей
с задачей не справилась. Для таких детей надо повторить объяснение на
нескольких задачах, всякий раз подчёркивая, что эту задачу сразу одним дей¬
ствием решить нельзя.
Есть и другой способ довести до сознания учащихся, что
сложная задача состоит из простых задач и, что такие задачи
решаются постепенно, последовательно. Этот способ состоит
в следующем;
Ученикам предлагается решить одну за другой две простые
задачи, составленные так, что искомое первой задачи входит
в качестве данного во вторую задачу.
Например:
1.	«Мальчик поймал сначала 12 рыб, потом 6 рыб. Сколько всего рыб
поймал мальчик?»
2.	«Мальчик поймал 18 рыб, из них 8 рыб сварили. Сколько рыб оста¬
лось?»
Решение этих задач записывается на классной доске. После этого
учитель говорит- «А теперь из этих двух задач мы составим одну за¬
дачу и решим её». Составляется следующая задача: «Мальчик поймал сначала
12 рыб, потом 6 рыб. Из них 8 рыб сварили. Сколько рыб осталось?»
У чите ль: Можем ли мы сразу узнать, сколько осталось рыб?
У ч е н и к: Нет, не можем.
У ч и т е л ь: Почему?
Ученик: Потому, по нам неизвестно, сколько всего рыб поймал
мальчик.
6»
83

Учитель: Что же надо сначала узнать?
Ученик: Сколько всего рыб поймал мальчик.
У читель: Что для этого надо сделать?
Ученик. К 12 нужно прибавить 6.
Учитель* А потом что можно узнать?
Ученик: Сколько рыб осталось.
После устного решения трёх задач на доске появляется запись решения,
которая ещё больше оттеняет последовательность решения сложной задачи:
Задача 1-я	3 а д а ч а 2-я	3 а д а ч а 3-я
12 р. + б р. = 18 р.	18 р. — 8 р. = 10 р. 1) 12 р. —{-* б р. = 18 р.
2) 18 р. — 8 р. = 10 р.
Решаются ещё одна-две аналогичные простые задачи, по ко¬
торым затем составляются сложные задачи.
В конце урока делается обобщение: есть задачи, которые ре¬
шаются одним действием, и есть задачи, которые решаются двумя
действиями. До сих пор мы решали задачи только в одно дей¬
ствие, а теперь будем решать задачи и в одно, и в два действия.
Для первоначального объяснения надо брать такие задачи в два
действия, в которых порядок решения совпадает с расположением
в условии задачи числовых данных. Таковыми являются выше¬
приведённые задачи. А дальше надо вводить и такие задачи, где
этого совпадения нет. Например: «У мальчика было 15 руб. На
эти деньги он купил учебники за 6 руб, и сумку за 3 руб. Сколько
денег осталось у мальчика после этой покупки?»
,В решении задач в два действия нужна большая и длительная
тренировка. По программе решению задач в два действия отводит¬
ся вторая половина 2-й четверти и вся 3-я четверть. На этих
задачах дети учатся тому, как можно найти по числовым значе¬
ниям двух величин третью величину и какие данные надо иметь,
чтобы найти искомую величину, — иначе говоря, они учатся и ана¬
литическому, и синтетическому методу решения задач.
Пусть детям дана для решения задача: «Карандаш стоит 8 коп., а ручка
на 4 коп. дороже. Сколько стоят ручка и карандаш вместе5»
Решая эту задачу синтетическим методом, учитель поведёт с учащимися
беседу следующего содержания:
У читель: Повторите задачу.
Ученик: Карандаш стоит 8 коп., а ручка на 4 коп. дороже.
Учитель* Что можно отсюда узнать?
Ученик: Сколько стоит ручка.
У читель:	Что для этого надо сделать?
Ученик: К 8 коп. прибавить 4 коп.
Учитель: Когда мы узнаем, сколько стоит ручка, и известно, сколько
стоит карандаш, — что мы можем узнать по этим дачным?
Ученик: Сколько стоит ручка и карандаш вместе.
«Итак, — говорит учитель, — каков же план решения этой задачи: что
узнаём сначала, что — потом?»
Эту же задачу можно было бы разобрать, пользуясь аналитическим ме¬
тодом. Тогда беседа будет иметь следующее содержание:
Учитель: Повторите, что спрашивается в задаче.
Ученик: Сколько стоит ручка и карандаш вместе.
У читель: Что для этого надо знать?
Ученик: Сколько стоит ручка и сколько стоит карандаш в отдельности.
«4

Учитель: Что из задачи известно и что неизвестно?
Ученик: Известно, что карандаш стоит 8 коп., неизвестно, сколько стоит
ручка.
Учитель. А можно ли узнать, сколько стоит ручка, и как это узнать3
Ученик: Можно — для этого надо к 8 коп. прибавить 4 коп.
Учитель: Итак, каков будет план решения нашей задачи?
Оба эти метода равноправны и равноценны. Ученикам в одина¬
ковой мере нужно уметь находить по двум данным третью вели¬
чину (это умение даётся при синтетическом методе разбора)
и уметь определить, какие данные надо иметь, чтобы найти иско¬
мую величину (это умение вырабатывается при аналитическом ме¬
тоде раэбора).
Значительная часть задач в два действия решается с записью
решения.
Составные задачи.
Когда учитель решает с учениками более или менее сложную
арифметическую задачу, новую по своему содержанию или труд¬
ную для них в том или ином отношении, то он обязательно про¬
водит учеников через следующие четыре этапа:
1.	Усвоение условия задачи,
2.	Разбор задачи.
3.	Составление плана решения.
4.	Решение (вычисления).
Каждый из этих этапов имеет овои цели, своё значение, свою
методику.
Усвоение условия задачи.
Усвоить условие задачи — это значит усвоить, какие величины
даны в задаче, какая величина является искомой, какими числами
выражены эти величины, в каком отношении находятся между
собой числовые значения данной величины (равны, больше, меньше
на несколько единиц или в несколько раз); это значит ясно пред¬
ставлять себе фактическую сторону задачи — её фабулу или сю¬
жет. Итак, усвоение условия заключается в ясном и правиль¬
ном представлении фабулы, данных величия, их числовых зна¬
чений и их соотношений.
Всё это достигается следующими простыми средствами. Учи-
гель читает условие задачи или, что ещё лучше, говорит его
наизусть; последнее особенно важно в младших классах. Иногда
учитель заставляет учеников читать задачу; при этом надо
учить их читать условие задачи медленно, с остановками на точ¬
ках, со смыслом («Когда читаешь, старайся мысленно представить
себе то, о чём читаешь»); вопрос задачи надо читать два-три раза.
Да и всё условие задачи, если оно более или менее сложно, надо
читать раза два. После первого чтения нужно пояснить непонятные
или малопонятные термины, если они встречаются в тексте задачи.
85

При вторам чтении условие задачи записывается на классно?
доске, записывает его или сам учитель (в младших классах), и®
ученик под диктовку учителя. Записываются только числовые дав
ные с сокращенными наименованиями в строчку, в том порядке
в каком числа даны в задаче.
Но записи можно придать, если позволяет условие задача
форму некоторой схемы, способствующей его лучшему усвоению.
Пусть, например, решается задача: «Подводйая лодка прошлая?
поверхности воды 105 км 300 м, а под водой на 8 км 100
меньше. На воде лодка шла со скоростью 360 м в минуту, под
водой — со скоростью, равной 3/4 скорости на поверхности воды.
Сколько времени шла лодка под водой?» Запись условия это?
задачи может иметь двоякую форму:
з
В строчку 105 км 300 м; на 8 км 100 м меньше; 360 м;
В виде схемы:	Расстояние	Скорость
Над водой	105 км 300 м	360 м в минуту
3
Под водой	на 8 км 100 м меньше	4
Сколько времени шла лодка под водой?
Первая запись схематична, вторая более конкретна. По первой
записи воспроизвести задачу труднее, по второй — легче.
Первая запись проще, экономнее в смысле времени; вторая
сложнее, отнимает больше времени. Первую может сделать ученик
самостоятельно; вторая может быть сделана или самим
учителем, или учеником по указанию учителя. Ко второй форме
надо прибегать тогда, когда решение данной задачи имеет особое
значение, т. е. когда на данной задаче учитель объясняет новый
способ решения задач, новый тип задач, зависимости между но¬
выми для учащихся величинами и т. д. При решении задач в по¬
рядке упражнения можно ограничиться записью в строчку, как
более простой и доступной для самостоятельной записи каждым
учащимся.
Сторонники постоянного применения второй записи говорят,
что она облегчает решение задачи. Это верно. Но задача есть за¬
дача, и помощь учителя, особенно -в начале решения задачи, не
всегда идёт на пользу учащимся и поэтому не всегда от него тре¬
буется. Здесь надо руководствоваться принципом: что проще
и доступнее для учащихся, что больше мобилизует внима¬
ние и активность учащихся, то и лучше.
По сделанной записи условие задачи повторяется одним-
двумя-тремя учениками, в зависимости от сложности условия.
В младших классах сначала идёт повторение по наводящим вопро¬
сам, потом — повторение в целом. Чтобы удостовериться в том,
что ученики действительно усвоили условие задачи, можно в за¬
ключение спросить, чтб означает каждое данное число: «Что озна¬
чает 105 км. 300 я?» (Это расстояние, которое прошла подводная
86

лодка на поверхности воды.) «Что означает 360 м?» (Столько
петров проходила подводная лодка в одну минуту над водой.)
Л т. д.
Правильные ответы на вопросы учителя покажут, что условие
задачи воспринято учащимися правильно.
Но бывают такие задачи, в которых для усвоения условия надо
прибегать к наглядным пособиям, к иллюстрированию текста зада¬
ли рисунком, чертежом, картинкой или каким-либо иным способом.
Наглядность заставляет живее работать воображение учащихся,
она развивает у детей способность связывать прочитанные слова
с их конкретным содержанием; под воздействием наглядности
у детей возникают нужные образы.
Возьмём задачу для III класса: «5 бригад лесорубоо спилили 27 936 де¬
ревьев. Две ударные бригады сделали столько же, сколько три неударные.
Сколько деревьев спилила каждая бригада?»
Равенство проделанной двумя бригадами работы можно показать на прямо-
угольнике, разделённом на- две равные части. Прямоугольник пусть изображает
делянку, на которой растёт 27 936 деревьев. Эта делянка по условию задачи
делится пополам. На одной половине работают 2 бригады, на другой 3 брига¬
ды. Чертёж помогает создать в воображении учащегося правильное соотноше¬
ние между работой бригад.
Проиллюстрируем условие задачи для IV класса: «За стул, стол, шкаф
и диван уплачено 342 руб Стол, шкаф и диван стоят 330 руб. Стул, шкаф
и диван стоят 312 руб. Стол и диван стоят 130 руб. Сколько стоит каждый
предмет в отдельности?
Для иллюстрации можно сделать рисунок с изображением предметов. Но
рисунок можно заменить простой схемой:
Стул
стол
шкаф
диван
342 руб.
—
стол
шкаф
диван
330 руб.
Стул
—
шкаф
диван
312 руб.
—
стол
—•
диван
130 руб.
Прибегая к помощи иллюстраций, нужно помнить, что иллю¬
страции — вспомогательное средство; их надо вводить тогда,
когда без них условие задачи может быть неясным и неправиль¬
но понято. Не нужно тратить время на иллюстрирование той за¬
дачи, фабула которой ясна и без рисунков. Но если ученики не
совсем ясно и правильно представляют условие задачи, нужно
прибегнуть к помощи рисунка, чтобы воздействовать на воображе¬
ние учащихся и дать картину предметов и отношений, данных
в условии. Ясно, что к иллюстрациям нужно чаше прибегать
в I и II классах, где ведётся большая работа над тем, чтобы дети
при слушании или при чтении текста ясно представляли себе пред¬
меты или процессы, о которых идёт речь в задаче.
Разбор задачи.
После того как условие задачи усвоено, учитель переходит
к разбору задачи.
Цель разбора состоит в том, чтобы выяснить, в какой связи
и зависимости находятся между собой данные в задаче величины;
в какой зависимости находится искомая величина от данных.
87

I
На основании этого происходит расчленение сложной задачи на
ряд простых, последовательное решение которых приводит к ре¬
шению главного вопроса задачи.
Разбор — центральный момент в объяснении задачи; на этом
этане и происходит главным образом обучение решению задач.
Разбор может быть произведён одним из двух способов — анали¬
тическим или синтетическим.
Возьмём задачу: «Коллектив собрал картофель с 15 гряд по 80 кг и с
25 гряд по 60 кг с каждой гряды. Весь собранный картофель разложили
в мешки по 50 кг в каждый. Сколько мешков для этого понадобилось?»
В задаче главное искомое — количество мешков, которое требуется для
того, чтобы разложить картофель. Данных в задаче пять, а именно: количе¬
ство гряд (15 и 25), урожай с гряд (80 кг и 60 кг) и количество килограммов
в одном мешке (50 кг).
Разбор этой задачи можно провести в форме следующей беседы: Учитель
читает первую фразу: «Коллектив собрал картофель с 15 гряд по 80 кг с ка¬
ждой гряды», останавливается на этой фразе и ставит перед учениками во¬
прос: «Что можно узнать по этим Двум данным?»
Ученики отвечают: «По этим двум данным можно узнать, сколько килограм¬
мов картофеля собрал коллектив с первого участка». Учитель читает дальше
вторую фразу: «Коллектив собрал со второго участка в 25 гряд по 60 кг с ка¬
ждой гряды», и ставит тот же вопрос: «Что отсюда можно узнать?» Ученики
отвечают: «Отсюда можно узнать, сколько картофеля коллектив собрал со
второго участка». «Когда вы будете знать, — продолжает учитель, — сколько
картофеля собрали с первого участка и сколько сс второго в отдельности,
что вы тогда можете узнать?» Ученики ответят:	«Тогда можно узнать,
сколько картофеля собрали с двух участков вместе».
«Что сделали с этим картофелем, прочитайте дальше»,— предлагает
учитель. Ученик читает: «Весь собранный картофель разложили в мешки по
50 кг в каждый. Сколько мешков для этого понадобилось?»
«Можно ли теперь ответить на этот вопрос, есть ли у вас для этого дан¬
ные?»— спрашивает учитель. Учащиеся отвечают: «Мы будем знать, сколько
было всего картофеля и сколько клали в каждый мешок».
«Сколько же мешков пфребуется—как на это ответить?» «Столько,—
должны ответить ученики, — сколько раз 50 кг повторится во всём количе¬
стве картофеля».
Такой способ разбора, как мы уже говорили, называется с и н-
тетическим. Сущность его заключается в следующем. Из чис¬
ловых данных сложной задачи берутся два данных, находящихся
между собой в определённой зависимобти; к этим данным подби¬
рается вопрос (устанавливается искомое), и таким образом соста¬
вляется первая простая задача; дальше берётся ещё пара данных,
к ним подбирается вопрос, и составляется вторая простая задача;
намеченное искомое первой задачи может войти в качестве дан¬
ного в одну из последующих простых задач. Этот процесс подбора
данных и установления искомых продолжается до тех пор, пока
не дойдут до простой задачи, вопрос которой совпадёт с вопросом
сложной задач# Решение последней простой задачи будет вместе
с тем и решением сложной задачи.
Разбор вышеуказанной задачи можно провести и другим спо¬
собом — аналитическим.
88

Учитель останавливает внимание учащихся на вопросе задачи, с него
именно начинается разбор задачи.
Учитель: Что спрашивается в задаче?
Ученик: Сколько мешков понадобилось для размещения картофеля.
У ч и т е л ь: Что надо знать, чтобы ответить на этот вопрос?
Ученик: Надо знать, сколько было всего картофеля и сколько карто¬
феля укладывали в один мешок; мешков понадобится столько, сколько раз
60 кг повторится в общем количестве картофеля.
Учитель: Из этих данных, которые мам нужны, что известно и что
неизвестно?
Ученик: Известно, что в один мешок укладывается 50 кг. Неизвестно,
сколько всего собрали картофеля.
, Учитель: А что надо знать, чтобы ответить на вопрос: «.Сколько всего
собрано картофеля?»
Ученик: Для этого надо знать, сколько собрали с первого участка
и сколько собрали со второго участка в отдельности.
У ч и т е л ь: Можно ли это узнать? Есть ли у нас для этого данные
и какие?
Ученик: Можно. Из условия задачи мы знаем, что на первом участке
было 15 гряд и с каждой гряды собрали по 80 кг. На втором участке было
25 гряд и с каждой гряды собрали по 60 кг.
На этом разбор задачи заканчивают и переходят к формулировке плана.
Таким образом, аналитический способ разбора состоит в сле¬
дующем. К вопросу задачи (главному искомому) подбирают пару
далных, по которым можно определить искомое или ответить на
вопрос задачи. Числовые значения одного, а иногда и обоих наме¬
ченных данных могут быть неизвестны. Данное, числовое значение
которого неизвестно, должно стать искомым для следующей про¬
стой задачи. Этот процесс — процесс установления искомых
и подбора к ним данных — продолжается до тех пор, пока не
дойдём до задачи, у которой числовые значения обоих данных из¬
вестны из условия сложной задачи.
Сравним синтетический способ разбора с аналитическим.
1.	При синтезе выделение простых задач из сложной начинает¬
ся с выбора данных, к которым подбирается вопрос (искомое);
при анализе, наоборот, начинают с вопроса сложной задачи и к не¬
му подбирают пару данных, необходимых для решения этого во¬
проса.
2.	При синтезе искомое каждой простой задачи, после того
как оно найдено^ становится данным для одной из последующих
задач; при анализе, наоборот, данные простой задачи, числовые
значения которых неизвестны, становятся искомыми для после¬
дующих задач.
3.	При синтезе каждая простая задача содержит в себе все
Необходимые элементы задачи (условие, числовые данные и во¬
прос) и поэтому может быть тотчас же решена; при анализе толь¬
ко последняя простая задача может быть решена; во всех же пре¬
дыдущих задачах нехватает числовых данных, и поэтому прихо¬
дится оперировать с общими понятиями — величинами.
4.	К синтезу хорошим подготовительным упражнением служит
придумывание вопроса к той или иной комбинации данных. На¬
пример. придумать вопросы к следующим задачам и решить их.
89

— /*ч/лии1з И Ш Груш.
б)	Ученик купил 3 карандаша по 8 коп. каждый.
в)	60 яиц разложены в 3 корзины поровну.
г)	Книга стоит 35 коп., а альбом на 15 коп. дороже.
К анализу хорошим упражнением служит придумывание число¬
вых данных к поставленным вопросам. Например, придумать
числовые данные к следующим вопросам и решить составленные
задачи:
а)	Ученик куг^гл книгу и тетрадь. Сколько он уплатил за эту покупку?'
б)	Товарный поезд прошёл расстояние от Москвы до Каширы за 4 часа.
Сколько километров проходил поезд в час?
в)	Колхоз вспахал трактором всю посевную площадь за 3 дня. Сколько
гектаров составляет посевная площадь колхоза?
5.	По степени трудности синтетический метод проще, легче
и доступнее для учащихся; аналитический — сложнее, труднее.
Синтетический способ разбора более соответствует естественному
ходу мысли учащегося, который всегда исходит при решении от
данных, от известного. Аналитический способ отвлечённее, много¬
словнее, искусственнее. К синтетическому способу учащиеся более
подготовлены решением простых задач, чем к аналитическому.
6.	В развёрнутом виде анализ сложных задач для учащихся
начальной школы труден. Но так называемый частичный, сокра¬
щённый анализ должен найти широкое применение при разборе
многих задач. Укажем несколько случаев применения анализа.
а)	При переходе от решения простых задач к составным ста¬
вится вопрос: «Можно ли сразу ответить на вопрос задачи?» По¬
становка такого вопроса подводит учащихся к аналитическому
разбору задачи.
б)	Во многих задачах полезно, прочитав условие задачи, спро¬
сить учащихся: «Что нужно знать или какие данные надо иметь,
чтобы ответить на вопрос задачи?», и после ответа на этот вопрос
перейти к синтетическому способу разбора.
в)	Разбирая задачу в основном синтетическим методом, часто
бывает полезно спрашивать для контроля за сознательным приме¬
нением синтеза: «А зачем нам это нужно знать?»
г)	Чтобы полный анализ проходил более или менее гладко,
нужно предварительно подготовить учащихся к раэбору задачи
этим методом.
Пусть, например, решается задача: «В двух кусках было 72 м одинаковой
ткани. От одного куска ткани продали на 240 руб., а от другого — на 180 руб.,
после этого в первом куске осталось 20 м% а во втором 17 м. Сколько мет¬
ров ткани было в каждом куске до продажи?»
В этой задаче фигурируют 3 величины: стоимость, цена и количество.
Учащиеся должны хорошо знать зависимость между этими величинами. Перед
решением этой задачи её надо повторить на простых задачах. Например:
«Куплено материи на 48 руб. по цене 12 руб. за метр. Что можно узнать по
этим данным? Как определить количество, если известны стоимость и цена?»
«Куплено 20 а материи за 120 руб. Что отсюда можно узнать? Как узнать
цену одного метра?»
«Продано несколько метров ситца за 200 руб. Сколько метров продано?
Что нужно ещё знать, чтобы ответить на вопрос задачи?»
‘90

«Продана шерстяная материя за 500 руб. По какой цене продавали метр
материи? Какого данного нехватает, чтобы ответить на вопрос задачи?»
В вышеуказанной задаче есть ещё одна трудность, к преодо¬
лению которой нужно подготовить учащихся, — это понимание
зависимости между уменьшаемым, вычитаемым и остатком. Для
этого полезно предварительно прорешать несколько простых за¬
дач, в которых требуется нййти' уменьшаемое по данному вычи¬
таемому и остатку*
Н а п р дм е р: «В магазине было полотно. Когда продали полотна на
400 руб., то его еще осталось на 600 руб. Сколько стоило всё полотно до
продажи?» «В двух кусках было 80 м ситца. Когда из обоих кусков продали
несколько метров, то в одном куске осталось 20 мл а в другом 15 м. Сколько
ситца продали из обоих кусков?»
Несомненно, что эти подготовительные задачи облегчат разбор
и решение нашей сложной задачи.
Одним из средств, облегчающих разбор задачи, т. е. выясне¬
ние зависимости между данными в задаче величинами, является
запись условия задачи в виде схемы. Для нашей задачи такая
запись могла бы иметь следующую форму:
Общее количество Продано на сумму Остатки Сколько метров
Другим средством, облегчающим анализ, являете*} схематиче¬
ское развёртывание анализа с помощью чертежа. Дл'я нашей за¬
дачи эта схема может иметь следующий вид (см. на 92 стр.).
7.	Синтетический способ наиболее применим при разборе за¬
дач приведённых» т, е. таких, в которых порядок решения задачи
соответствует порядку расположения в ней числовых данных.
Аналитический способ более удобен при разборе задач непри-
ведённых, а также не очень сложных задач, решаемых не более
чем тремя-четырьмя действиями. Во многих случаях полезно при¬
менять при разборе и тот и другой способ одновременно. Рас¬
смотрим этот вопрос на конкретных примерах.
Задача 1-я. «Ученик купил 3 карандаша по 8 коп. за карандаш,
5 тетрадей по 10 коп. и 4 пера по 3 коп. Сколько стоит вся покупка?»
Эта задача — приведённая1. Наиболее лёгкий и краткий способ её разбо¬
ра — синтетический. Здесь 3 пары данных, к ним легко подыскиваются
три искомых (стоимости).
Задача 2-я. «В двух кусках 72 м одинаковой материй. Один кусок
стоит 140 руб.; другой 112 руб. Сколько метров в каждом куске?»
Задача — неприведённая. Здесь удобно применить аналитический спо¬
соб разбора. Для этого надо предварительно твёрдо установить, что в задачу
дано: общее количество материк в обоих кусках, стоимость каждого
куска в отдельности. Требуется найти количество метров в каждом
куске. Разбор начинается с вопроса учителя:
«Если дана стоимость куска, а требуется найти количество,
то для этого что надо ещё знать?»
Ученики ответят: «Надо ещё знать цену одного метра. По стоимости
и цене всегда можно найти количество. Сколько раз цена повторится в стои¬
мости, столько н будет метров».
240 руб.
180 руб.
20 м
17 ^
было в каждом
куске до прода¬
жи?
91

Далее надо установить, что цена в задаче не дана, её надо найти.
«Но если дано количество (72 м) в обоих кусках, а требуется
найти цену, что для этого надо ещё знать?»«— спрашивает учитель. «Стои¬
мость», — ответят ученики.
Легко установить, что стоимость обоих кусков не дана, её нужно найти.
«Можно ли её найти, есть ли для этого данные?» — ставится вопрос, ответ
на который легко получается при чтении условия задачи. («Один кусок стоит
140 руб.; другой И2 руб.»). Разделив стоимость на количество, получим, цену.
Теперь есть всё необходимое, чтобы найти ответ на вопрос задачи — сколько
метров в первом куске и сколько метров во втором куске.
Сколько осталось
\ Сколько осталось
от 1-го куска?
! от 2-го куска?
(20 м)
: (17 м)
1
Такие рассуждения доступны только ученикам IV класса. Эту же задачу
можно разобрать и способом синтеза. Тогда беседа будет лшеть следующее
содержание:
Учитель:	Прочитайте первую фразу.
Ученик: «В двух кусках 72 М одинаковой материи».
У чител ь: Здесь нам дано общее количество материи п двух
кусках. Читайте дальше — вторую фразу
92

Ученик: «Один кусок стоит 140 руб.; другой—112 руб.».
Учитель: Что отсюда можно узнать?
Ученик: Сколько стоят оба куска.
У ч и т е л ь:	Теперь нам известно, сколько стоят 72 м материи. Что от¬
сюда можно узнать?
Ученик:	Сколько стоит один метр.
У чите ль* Когда вы знаете цену одного метра и знаете стоимость все¬
го куска, то по цене и стоимости что вы можете узнать?
Ученик: По цене и стоимости куска можно узнать, сколько метров
в куске.
Задача 3-я. «Для Школы купили 2 глобуса и 3 географические кар¬
ты. Глобус стоил 6 руб., а карта на 4 руб. дороже. Сколько стоила вся по¬
купка?»
При разборе этой задачи целесообразно использовать и синтез, и анализ.
Начало разбора удобно провести аналитическим путём, а затем нужно перейти
на применение синтеза.
Учитель: Что надо знать, чтобы решить вопрос: «Сколько стоила
вся покупка?»
У ч е н и к:	Надо знать, сколько стоили отдельно глобусы и сколько
стоили карты.
Учитель: Что сказано в задаче про глобусы — про их цену и коли¬
чество?
У ченик: Глобусов куплено 2 по цене 6 руб, за штуку.
Учитель: Что отсюда можно узнать?
Ученик: Стоимость глобусов.
Учитель:	Как узнать стоимость карт? Что для этого надо знать?
Ученик: Их количество и цену, и т. д.
8.	Есть ряд задач, которые не поддаются разбору ни анали¬
тическим, ни синтетическим способом. Сюда относятся типовые
задачи алгебраического характера. Для решения таких задач
нужно знать особые способы и приёмы решения. Характерным
для них является момент предположения как исходный.
Во всех этих случаях огромную помощь оказывает ученику в на¬
хождении приёма решения наглядность.
Так как при аналитическом разборе задачи наибольшую труд¬
ность для детей (начальной школы представляет словесное вы¬
ражение аналитической мысли, построение цепи логических умо¬
заключений и так как преодоление этих трудностей требует
значительного развития речи, какого учащиеся начальной школы
ещё не имеют, то мы должны признать вполне рациональной ту
школьную практику, в силу которой некоторая часть задач пред¬
лагается учащимся для «продумывания» (самостоятельного ана¬
лиза). На основе такого анализа составляется план решения,
который формулируется учащимися. Правильная формулировка
плана показывает наличие у ученика понимания задачи, понима¬
ния зависимости между величинами. При продумывании задачи
творческая мысль ученика, свободная от необходимости её точного
словесного оформления, получает широкий простор: интуиция, не¬
посредственное «схватывание» задачи имеют при этом большое
значение. Экономия мысли и времени, получаемая при такой по¬
становке дела, позволяет дать большее количество упражнений,
что, как показывает опыт, полностью компенсирует кропотливую
93

и 1рудную работу по речевому оформлению сложных мыслитель¬
ных процессов ученика, анализирующего задачу.
Составление плана решения задачи.
Из разбора вытекает план решения задачи**Составить план —
это значит наметить порядок, последовательность решения тех
простых задач, на которые в результате анализа разбита слож¬
ная задача. При составлении плана окончательно формулируются
вопросы каждой простой задачи, устанавливается тот порядок»
в котором должны решаться одна за другой эти простые задачи.
Полезно составлять план решения не части задачи, а всей
задачи от начала до конца, от первого до последнего вопроса.
Ученик только тогда будет решать задачу сознательно и уверен¬
но, когда для него ясен весь путь решения, когда ему видны все
вехи на этом пути. Вопросы же имеют значение вех.
Метод решения задачи по частям, по кусочкам, без ясного
представления всей перспективы решения надо признать не¬
полноценным.
Допустим, что ученики III класса решают задачу: «В двух кусках было
50 м одинаковой материи. Первый кусок продали за 270 руб., второй за
180 руб. Сколько метров было в каждом куске?»
Прежде чем поиступить к вычислениям, ученики должны наметить план
решения всей задачи, поставив следующие 4 вопроса: «За какую сумму про¬
дали оба куска? Сколько стоил один метр материи? Сколько метров было
в первом куске? Сколько метров было во втором куске?»
В противоположность этому некоторые малоопытные учителя
приступают к решению задачи, т. е. к вычислениям, наметив
предварительно не весь план, а только один первый вопрос.
План, как известно, может быть не только устным, но
и письменным. Какова роль того и другого плана и в ка¬
ком соотношении они должны применяться?
Составление устного плана легче, чем составление письмен^
ного плана. Но запись плана глубже приковывает наше внима¬
ние к тем мыслям, которые записываются, к тем вопросам, ко¬
торые излагаются на бумаге. Тот вопрос, по которому в устной
речи мысль ученика способна только скользнуть, при письменном
оформлении задерживает на себе внимание ученика, что приводит
к более глубокому осмысливанию и пониманию вопроса.
Отсюда следует, что в младп!их классах (1иН) целесообразно
составлять только устный план, так как навыки письменной речи
здесь ещё очень несовершенны: ученики пишут медленно, знание
орфографии у них крайне ограниченное, умение строить фразы
примитивное. При таких условиях на стилистическое оформление
плана потребовалось бы больше времени и энергии, чем на
уяснение математической стороны плана. Математическая сущ¬
ность задачи затушёвывалась бы вследствие большой затраты
энергии на преодоление трудностей чисто литературного порядка.
В I и II клзссах надо приучить учеников к составлению плана
перед решением задачи и «аучить их устно формулировать во¬
94

просы, по возможности ясно, чётко и кратко. Где рано начинается
запись плана, там резко уменьшается количество решаемых за¬
дач, а где мало решается задач, там не может быть речи об уме¬
нии хорошо их решать.
/<6* старших классах начальной школы — в III и IV — наряду
^ работой над устным планом вводится и составление письменно¬
го плана. Почва для этой работы здесь подготовлена:	техника
-йисьмд здесь достаточно развита, на уроках русского языка уче¬
ники приобретают навыки правильно формулировать свою мысль.
Эти стилистические навыки можно использовать и на уроках ариф¬
метики для составления плана решения задачи.
Здесь замедленное течение мысди, неизбежно связанное с пись¬
мом, с записью вопроса, некоторая задержка внимания ученика
на вопросе, преодоление трудностей, связанных с поиском более
точных выражений, — всё это идёт на пользу дела. Внимание уче¬
ника сильнее приковывается к вопросу, ученик глубже проникает
в его сущность. Способы и приёмы решения от этого прочнее
запечатлеваются в сознании и памяти учащихся. Вот почему на¬
чиная с III класса обязательна на уроках арифметики и работа
по обучению детей составлению письменного плана решения за¬
дач.
Однако переход к письменному плану ни в какой мере не
означает ликвидации в III и IV классах работы над устным пла¬
ном. В этих классах находят своё .применение и устный, и пись¬
менный план в известном сочетании и чередовании. Составление
письменного плана предваряется составлением устного плана:
после того как задача проанализирована, учитель заставляет уче¬
ников наметить план её решения, т. е. сказать, какие же вопро¬
сы должны быть поставлены и в каком порядке они будут
решаться. И только после составления устного плана учащиеся
переходят к его записи.
Кроме того, и в старших классах некоторые задачи решаются
только с устным планом, без записи вопросов. Это бывает в тех
случаях, когда учащиеся усвоили в основном способ решения за¬
дач данного типа и научились формулировать вопросы в этих за¬
дачах и когда учитель приступает к объяснению нового типа
задач с трудной формулировкой вопросов. В таком случае первые
задачи лучше решать только с устным планом, с тем чтобы уча¬
щиеся могли максимум внимания сосредоточить на уяснении смы¬
словой стороны новой для них разновидности задач.
Допустим, что учитель III класса переходит к ознакомлению учащихся
с задачами на нахождение двух чисел по их сумме и разности («На двух
полках лежит 81 книга, причём на верхней полке на 7 книг больше, чем на
нижней. Сколько книг на каждой полке?»). Формулировка вопросов в этой
задаче представляет для учащихся большие трудности, ибо она связана с ис¬
пользованием таких оборотов речи, которые незнакомы ученикам III класса.
Поэтому сначала нужно всё внимание учащихся сосредоточить на уяснении
смысла задачи, на понимании учащимися способа её решения, научить учени¬
ков формулировать вопросы этой задачи в наиболее лёгкой форме, т. е. в
95

устной форме, И только после этого можно приступить к обучению их запн-.
•си плана.
Однако этот путь не является универсальным. Наоборот, ко¬
гда ученики знакомятся с задачами «на части», где вопросы фор¬
мулируются сравнительно легко, можно одновременно с уясне¬
нием способа решения учить детей и записи плана.
Учителями нередко ставится вопрос: «Сколько задач нужно
решить в каждом классе с устным планом и сколько с письмен¬
ным, чтобы научить учеников хорошо решать задачи?» Нужно
признать, что экспериментальных данных для ответа на этот
вопрос нет. Что же говорит по этому вопросу практика массовой
школы?
Опыт показывает, что чаще получаются лучшие результаты
в том случае, когда должное место занимают задачи, решаемые
с письменным планом. Это подтверждает большое образова¬
тельное значение работы по составлению письменного плана. Од¬
нако не следует и переоценивать значение этого фактора. Встре¬
чаются классы, в которых получаются одинаково хорошие ре¬
зультаты при развой практике: в одной школе (314-я школа
т. Москвы) учительница большинство задач решала с письмен¬
ным планом, в другой (326-я школа), наоборот, большинство за¬
дач решались с устным планом. Предложенную контрольную за¬
дачу ученики обоих классов решили с одинаковым успехом. Это
показывает, что сам по себе вопрос о том, как решаются зада¬
чи —- с устным планом или письменным, решающей роли не иг¬
рает. При преобладании устного плана решается большее коли¬
чество задач, получается большая тренировка, и если она соче¬
тается с обстоятельным разбором, то этого достаточно, чтобы
цель была достигнута. При преобладании письменного плана уча¬
щиеся решают задач несколько меньше, но зато они глубже про¬
никают в содержание и способ решения каждой задачи, что ком¬
пенсирует несколько меньшую тренировку в решении задач.
Наиболее целесообразным можно считать такое соотношение,
при котором из общего количества решённых задач около поло¬
вины решается только с устным планом и несколько больше по¬
ловины — с письменным планом. При этом значительная часть
задач с письменным планом должна приходиться на задачи, ре¬
шаемые дома в порядке выполнения домашних заданий. В классе
же решаются задачи с письменным планом или новые по типу,
или трудные по содержанию.
Форма постановки вопросов в письменном плане может
•быть разнообразной. Покажем различные варианты письменного
плана примере конкретной задачи.
Задача. Подводная лодка прошла на поверхности воды 105 км 300 м,
а под водой на 8 км 100 м меньше. На воде лодка шла со скоростью 360 м
в минуту, а под водой со скоростью, равной 8Д скорости на поверхности
воды. Сколько времени лодка шла под водой?
96

План к этой задаче может быть составлен в форме вопросов:
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под водой?
2.	С какой скоростью она шла под водой?
3.	Сколько времени лодка шла под водой?
Это обычная, наиболее распространённая форма письменного
и устного плана. Но план можно составить и в форме кратких
утвердительных предложений; тогда он может быть сформулиро¬
ван так:
1.	Расстояние, пройденное лодкой под водой.
2.	Скорость лодки под водой.
3.	Время движения лодки под водой.
Такой план короче, но формулировка его для учащегося не¬
сколько труднее: она предполагает наличие у ученика умения
пользоваться терминами, обозначающими арифметические "пнятия:
^«скорость» вместо «сколько километров проходит лодка в час»,
«расстояние» вместо «сколько пройдено километров» и т. д.
Наконец, план может быть заменён пояснениями получаемых
результатов; тогда решение примет следующий вид:
1.	105 км 300 м — 8 км 100 м = 97 км 200 м прошла подводная лодкз
под водой
2.	360 м : 4 — 90 м; 90 «X 3 = 270 « проходилз подводная полю р ми¬
нуту под водой.
3.	97 км 200 м.: 270 м — 360 (мин.) = 6 час. шла лодка пол водой
План может быть или объединён с решением, или отделён
от него. В первом случае запись имеет следующий вид:
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под водой?
105 км 300 м — 8 км 100 м = 97 км 200 м.
2.	С какой скоростью шла лодка под водой?
360 м : 4 = 90 м; 90 м X 4 = 270 м.
3.	Сколько времени шла лодка под водой?
97 км 200 х : 270 м — 360 (мин.); 360 мин — 6 чар.
Ответ: 6 часов.
Если же план отделяется от решения, то запись принимает
следующий вид:
План решедия.
1.	Какое расстояние прошла подводная лодка под воДой?
2.	С какой скоростью шла лодка под водой?
3.	Сколько времени шла лодка пол водой?
Решение.
1.	105 км 300 м —8 км 100 м — 97 км 200 м.
2.	360 м : 4 = 90 м; 90 X 3 = 270 м.
3.	97 км 200 м : 270 м = 360 (мин.); 360 мин. — 6 час.
Ответ:	6 часо>
Первая форма, как показывает опыт, проще и легче для уча¬
щихся. С неё .и нужно начинать знакомство с письменным пла¬
ном в III классе. Но в IV классе можно перевести учащихся на
7 А. С. Пчёлко
97

Д П
раздельную запись плана и
реиГбния.
В письменном плане приходится иметь дело не только с жре-
бованиями арифметики, но и с требованиями русского языка; при
записи плана ученик встречается с различными правилами пра¬
вописании, стилистики. Эти записи могут при надлежащей по¬
становке дела служить задаче укрепления навыков правильного
письма, и, наоборот, они могут быть рассадниками неграмотно
сти. Это обязывает учителя следить за культурой письма, преду¬
преждать в письменном плане ошибки орфографические и стили¬
стические, исправлять их при просмотре тетрадей. План должен
писаться грамотно и со стороны арифметики и со стороны рус¬
ского языка. А между тем в школьной практике нередко встре¬
чается случаи плохого оформления плана. Особенно развита
тенденция сокращённой записи слов, причём сокращения неред¬
ко производятся неправильно. Надо требовать полной и грамот¬
ной записи слов в плане.
Вести борьбу с ошибками надо не только на уроках русского'
языка, но и на уроках арифметики.
Письменный план должен быть образцом высокой культуры,
которая должна найти своё выражение в чистоте и симметричном
расположении записей, в орфографической и стилистической гра¬
мотности, в правильной постановке вопросов.
Решение (вычисления).
После составления плана учащиеся приступают к решению за¬
дачи. На этом этапе они должны правильно выбрать числа и
действие д^я каждого вопроса, записать это действие и произве¬
сти необходимые вычисления. Указывая действия, учащиеся долж¬
ны кратко пояснять, почему они в каждом данном случае при¬
меняют то, а не иное действие.
Например, решая вышеуказанную задачу «Подводная лодка», учащиеся
поясняют каждое действие так:
1-	е действие:	«Чтобы узнать, какое расстояние прошла подводная
лодка под водой, надо от 105 км 300 м отнять 8 км 100 м, так как в зада¬
че сказано, что на поверхности воды подводная лодка прошла 105 км 300 м9
а пол водой на 8 км 100 м меньше».
2-	е действие:	«Чтобы узнать, с какой скоростью подводная лодка
шла гхд водой, надо найти 3Л от 360, так как в задаче сказано, что на воде
лодка шла со скоростью 360 м в минуту, а под водой скорость её составляла
только -и надводной скорости. Чтобы найти 3/4 от 360, найдём сначала
■\ от 360, Дня чего 360 разделим на 4, а затем найдём 3/4, Для чего получен¬
ное частное умножим на 3».
3-	е действие:	«Чтобы узнать, сколько времени шла лодка под во¬
дой, надо 97 км 200 м разделить на 270 и. потому что под водой лодка шла
столько минут, сколько раз 270 м содержится в 97 200 м. а чтобы узнать,
сколько раз 270 содержится в 97 200, нужно 97 200 разделить на 270».

Записать решение можно по-разному, можно каждое действие
записать столбиком, тогда запись будет иметь следующий вид:
() 105 км 300 м 2) ЗЙО м: 4 = 90 м\	3) 97 200 м I 270 м
8 км 100 м	90 мX 3 = 270 м	31 0	360 (мил.) ~ 5 ча...
97 км 200 м	1 о20
1620
0
Ответ: 6 часов.
Записи решения можно придать и другую форму: можно за-
лиСь действий отделить от записи вычислений, расположив их
шёдующим образом:
1)-' 105 км ЗСО м—8 и 100 м = 97 км 200 м 1) 105 км 300 м
• 2)' 360 м : 4 X 3 = 270 м (Устно)	— 8 км 100 д/
■ 3) 97 км 200 м: 270 м = 6 (час.)	97 км 200 м
3) 97 200 | 270
31 0 ЗоО (нин.)
16 20 360 мин. =6 час.
16 20
0
Во многих случаях такая запись удобнее первой. Действия
всегда записываются с наименованиями; вычисления, наоборот,
удобнее производить над отвлечёнными числами, широко при
этом используя переместительное свойство суммы и произведения.
Допустим, что по ходу решения задачи нужно узнать, сколько стоят
1 325 кг извести, если один килограмм стоит 9 коп. В таком случае записы¬
ваем действие в строчку с наименованиями, а против этой строчки записываем
вычисление без наименований, переменив при этом для удобства вычислений
места сомножителей:
I)	9 коп. X 1 325 = 119 руб. 25 коп.	I) 1 325
X 9
11925
Вычисления можно записывать не на правок стороне тетради,
а под записью действия, например:
28 руб. 4 коп. X 36= 1009 руб. 44 коп.
2 804
X 36
16 824
84 12
*ТОО 944
Вообще говоря, вопрос .о форме записи решения — вопрос
не принципиальный; форма записи может быть различной. Но,
установив для учащихся ту или иную форму, надо следить за тем,
чтобы учащиеся строго придерживались её, чтобы в записях был
определённый порядок.

Решение задач с письменным объяснением.
Одна из важных целей обучения решению задач состоит в том,
чтобы научить детей рассуждать, доказывать и обосновывать свои
суждения. Эта цель достигается при анализе задачи, составлении?
плана её решения, при выборе действий для производства вычис¬
лений. На всех этих этапах ученик рассуждает, объясняет и мо¬
тивирует каждый свой шаг. Всё это делается прежде всего устно:
ученик составляет устный план, даёт устные объяснения каждого
действия. Но в IV классе можно постепенно вводить в практику
письменныеобъяснения.
При записи объяснений ученик записывает план решения
■и, кроме того, записывает объяснение каждого действия. Благода¬
ря этому в сознании ученика ярче запечатлевается процесс рас¬
членения сложной задачи на простые и лучше запоминается
объяснение того, почему в каждом данном случае применяется
то, а не иное арифметическое действие. Письменное объяснение
требует от ученика более или менее свободного владения пись¬
менной речью, умения письменно выражать свои мысли. Поэтому
письменные объяснения можно вводить только в старшем классе
•и при условии тщательной устной подготовки к тому, что бу¬
дет записываться. Первые задачи, предназначенные для письмен¬
ного объяснения, должны быть обстоятельно разработаны устно;
записям должен предшествовать устный разбор задачи, устное
составление плана, устное объяснение каждого действия. Только
после этого можно перейти к записям, но и при этом каждый
вопрос и каждое объяснение действия, прежде чем записать их,
формулируются устно. Работа эта проводится коллективно всем
классом при самой активной помощи учителя. По мере упраж¬
нений ученикам предоставляется всё больше и больше самостоя¬
тельности и, наконец, ученикам может быть предложено в каче¬
стве самостоятельной домашней работы реш 'ть ту или иную не
очень замысловатую задачу с письменным объяснением.
Приведём пример задачи с письменным объяснением.
Условие задачи.
Одна школа собрала в течение года 3 т цветного и в 4 раза больше чёр¬
ного металлического лома. За каждую тонну цветного лома ей уплатили
по 12 цуб. 80 коп., а за каждую тонну чёрного лома на 3 руб. 10 коп. меньше.
На все вырученные деньги школьники отправили бойцам Красной Армии по¬
сылки. Сколько посылок было отправлено, если каждая посылка обошлась
я среднем в 30 руб. 96 коп.?
План решения.
I.	Сколько тонн чёрного лома собрали школьники?
'2. Почём платили за каждую тонну чёрного лома?
3.	Какую сумму получили школьники за цветной лом?
4.	Какую сумму получили школьники за чёрный лом?
5.	Сколько получили школьники за весь лом?
6.	Сколько посылок отправил^ школьники бойцам Красной Армии?
Ю0

Решение с объяснением.
1.	Цветного лома собрано 3 г, а чёрного в 4 раза больше. Чтобы узнап,
только собрано чёрного лома, нужно 3 г умножить на 4.
3 г X 4 = !2 т.
2.	За тонну цветного лома платили 12 руб. 80 коп., а за тонну чёрного
3 руб. 10 коп. лешевле. Чтобы узнать, сколько платили за тонну чёрного
гома, нужно от 12 руб. 80 коп. отнять 3 руб. 10 коп.
12 руб. 80 коп. — 3 руб. 10 коп. = 9 руб. 70 коп.
3.	За одну тонну цветного лома получали 12 руб. 80 коп., а за 3 т попу-
ши в 3 раза больше, т. е.
12 руб. 80 коп. X 3 = 38 руб. 40 коп.
4.	За одну тонну чёрного лома получали 9 руб. 70 коп., а за 12 т полу-
ши в 12 раз больше, т. е.
9 руб. 70 коп. X 12 =116 руб. 40 коп.
5.	За цветной лом получили 38 руб. 40 коп., за чёрный — 116 руб. 40 коп.,
а всего за весь лом получили:
38 руб. 40 коп. 4- 116 руб. 40 коп. = 154 руб. 80 коп.
6.	На все посылки израсходовали 154 руб. 80 коп., а каждая посылка
стоила 30 руб. 96 коп.; значит, посылок было столько, сколько раз
30 руб. 96 коп. содержится в 154 руб. 80 коп. Чтобы узнать, сколько раз
30 руб. 96 коп. содержится в 154 руб. 80 коп., нужно произвести деление:
154 руб. 80 коп. . 30 руб. 96 коп. = 5 (посылок).
Ответ: Школа отправила бойцам Красной Армии 5 посылок.
Дополнительная работа в связи с решённой задачей.
Получение ответа завершает, как правило, решение данной за¬
дачи. Но в связи с решением некоторых задач полезно провести
дополнительные упражнения, направленные на более глубокое
выяснение смысла данной задачи и приёмов её решения.
Укажем несколько видов наиболее интересных и полезных
работ, связанных с решённой задачей.
К Стройное течение логической мысли ученика при решении
задачи прерывается вычислительной работой, отвлекающей вни¬
мание ученика от смысловой стороны задачи. Целое при это у
разбивается на части: задача решается по частям, по отдельны ч
вопросам. Чтобы воссоздать в сознании ученика целостную кар¬
тину решения задачи, нужно после получения ответа сделать
связное и последовательное изложение всего хода решения задачи
с изложением её анализа, плана решения и объяснения каждого
действия.
При этом выясняется, какие места в задаче были наиболее
трудными, выделяются те простые задачи, которые оказались
трудными, и эти задачи даются на других числах, небольших,
чтобы вычисления не отвлекали детей от смысла задачи.
ИИ

1 юлезно, если это допускает данная задача, изменить усло¬
вие или вопрос задачи и проследить, как в зависимости от этого
изменяется решение задачи. Это можно делать уже в I классе.
Например, учащиеся решают задачу: «Ученик купил книжку за 35 коп.'
и альбом, который стоит на 15 коп дороже. Сколько стоит альбом?» После
того как учашиеся решат задачу и объяснят её решение, учитель говорит:
«А теперь послушайте ту же задачу, но с другим вопросом», И изменяет во.
прос, ставя его 7эк* «Сколько стоит вся покупка?» или «Сколько стоят книга
и альбом вместе?» Учащиеся решают и эту задачу, затем сравнивают решение
и указывают, как изменяется решение в зазиеимости$от вопроса.
Второй пример. Учащиеся II класса решают задачу. «В роще было 24 бе¬
рёзы и в 4 раза больше сосен. Третью часть всех деревьев спилили. Сколько
деревьев спилили?»
После решения этой задачи можно изложить ее условие таким обра¬
зом : «В роще росли берёзы и сосны; берёз было 58, а сосен на 4 больше.
Гретыо теть всех деревьев спилили. Сколько деревьев спилили?» Этим изме¬
ненном ярко подчёркивается разница понятий «в 4 раза больше» и «на 4
большеВ первоначальной задаче можно изменить вопрос, сформулировав его
гзк «СколI ко деревьев после этого осталось?» Изменение вопроса повле¬
чет за собой д шолнительное действие.
Такая работа покажет ученику, что от формулировки условия
задачи зависит её решение, что при чтении задачи надо быть
очень внимательным, так как каждое её слово имеет большое
значение.
,3. Полезно решённую задачу решить другим способом, если
эго возможно. Многие задачи решаются не одним, а несколькими
способами; одни из этих способов кратки, легки, изящны, дру¬
гие—трудны, громоздки. Важно сравнить их и выбрать наиболее
удобный.
Допустим, что во II классе решается задача: «Девочка купила сначала
3 карандаша по 8 коп , а потом ещё б карандашей по той же цене. Сколько
он * истратила денег на покупку карандашей?» Эту задачу можно решить
двумя способами;
1-й способ	2-й способ
1) 8 коп. X 3 = 24 коп.	1) 3 кар. + 6 кар. *= 9 кар.
2) 8 коп X б = 48 коп.	2) 8 коп. X 9 ~ 72 коп.
3} 24 коп + 48 коп. = 72 коп.
Преимущество второго способа совершенно очевидно. Показав
оба способа, надо остановиться на втором способе. Интересна
в этом отношении задача на встречное движение, в которой прихо¬
дится определять расстояние по данным скоростям и по времени.
Например* «Из двух городов одновременно вышли навстречу друг
другу два поезда. Первый поезд идёт со скоростью 45 км в час, а второй —
50 км в час. Встретилась поезда через 5 час. после начала движения. Какое
расстояние между этими городами?»
При первоначальном объяснении этой задачи учитель даёт такое решение;
П 45 км X 5 =* 225 км прошёл до встречи первый поезд.
2} 50 км X 5 « 250 км прошёл до встречи второй поезд.
3)	225 км 4- 250 км *= 475 км прошли оба поезда, т. е всё расстояние
между двумя городами.

Но, решив так несколько задач, учитель показывает н другой, более крат¬
кий, способ решения задач этого вида,
1)	45 км -Ь 50 км = 95 кл проходят в час оба поезда.
2)	95 км X. 5 ~ 475 км прошли оба поезда за 5 часов.
Значение решения одной н той же задачи несколькими спосо¬
бами двоякое: 1) ученики учатся решать задачи более скорыми,
более экономными приёмами; 2) ученики узнают, что к решению
задачи можно идти разными путями, а это развязывает 'ини¬
циативу учащихся, делает их более предприимчивыми и смелыми
в поисках способов решения.
Нужно поощрять учащихся, дающих решение задачи несколь¬
кими способами.
4.	Для выработки умения решать задачи огромное значение
имеет, как уже упоминалось выше, знание зависимости между
величинами, особенно такими, которые часто встречаются в зада¬
чах (и в жизни). Это знаниеъдаётся в результате упражнений.
Для таких упражнений в высшей степени полезно использовать
решение различных вариантов одной и той же задачи, подбирая
эти варианты так, чтобы искомое первого варианта было данным
во втором варианте и, наоборот, данные первого варианта служи¬
ли бы искомым в последующих вариантах.
Допустим, что ученики III класса решили задачу «Для детского дома
купили 24 м полотна и 38 л ситиа. За всё полотно уплатили 192 руб. Метр
ситиа стоит на 4 руб. дешевле метра полотна. Сколько стоит весь купленный
материал?»
Решение этой задачи: I) 192 руб. : 24 = 8 руб,; 2) 8 руб. — 4 руб. — 4 руб.
3)	4 руб. X 38 =152 руб.; 4) 192 руб.-1-152 руб. = 344 руб.
Перестроим дальше содержание данной задачи так, чтобы в ней требо¬
валось найти пену одного метра полотна и одного метра сигма. Еля этого
введём в условие задачи общую стоимость полотна и ситиа (344 руб.) и спи
мем разницу в ценах (4 руб.). Тогда получим следующую задачу:
«Для детского дома купили 24 м. полотна и 38 м ситца. За всю покупку
уплатили 344 руб. Сколько стоит один метр ситца и один метр полотна, если
всё полотно стоило 192 руб.?»
Решение:	1) 344 руб. — 192 руб. = 152 руб.; 2) 152 руб. : 38 — 4 руб.;
3) 192 руб.: 24 — 8 руб. В этом решении внимание учеников сосредоточи¬
вается на вычислении цены по данной стоимости и количеству.
Изменим дальше условие нашей задачи так, чтобы в ней требовалось
найти количество ситца. Тогда получится такое условие.
«Для детского дома купили 24 м полотна и несколько метров ситца
на 344 руб. За полотно уплатили 192 руб. Сколько метров ситиа, было куплено
если метр ситца дешевле метра полотна на 4 рубля?»
Решение: 1) 192 руб.: 24 = 8 руб.; 2) 8 руб. — 4 руб. = 4 руб.; 3) 344 руб. ~
— 192 руб. = 152 руб.; 4) 152 руб.: 4 руб. = 38 (метров).
В этой задаче центром внимания учеников становится вычисление коли¬
чества по стоимости и пене.
Наконец, из данной задачи путём частичного изменения её условия можно
получить такую задачу, в которой требуется найти цену ситиа и цеяу поЗгйт-
яа. Для этого опустим в первоначальном условии стоимость полотна (192 руб.)
и введём общую стоимость полотна и ситца. Тогда получится следующая За¬
дача.
«Для детского дома купили 24 м полотна и 38 х ситца и за всё это
уплатили 344 руб. Метр полотна дороже метра ситца на 4 руб. Какова 1Гена
одного метра полотна и одного метра ситца?»
103

Эта задача решается способом уравнивания данных. Допустим, что полотно
стоит столько же, сколько и ситец, т. е. на 4 руб. меньше. Тогда 24 м стои¬
ли бы дешевле на 4 руб. X 24 = 96 руб. И вся покупка, т е. 24 м -+- 38 и,
стоила бы 344 руб. — 96 руб., т. е. 248 руб. Отсюда легко можно найти иену
одного метра ситиа — 248 руб. : 62 = 4 руб. Метр же полотна стоил на 4 руб.
дороже, т. е. 4 руб, 4- 4 руб. = 8 руб.
Такой всесторонний и разнообразный подход к трём величинам — стоимо¬
сти, цене и количеству — будет несомненно способствовать лучшему, более
глубокому уяснению зависимости и связи между этими величинами. Недаром
этор приём обучения решению задач настойчиво рекомендовал Л. Н. Толстой
в своей «Арифметике» '
5.	После решения задачи и получения ответа полезно произ¬
вести проверку решения и установить, верен ли ответ.
В некоторых задачах (типовых) это делается легко, в других,
(обычных арифметических задачах) проверка связана с необхо¬
димостью изменять условия данной задачи в том направлении,
как это делалось выше, т. е. путём-введения в условие изменён¬
ной задачи только что полученного ответа в качестве данного
и замены одного из данных искомым. Если числовые значения
искомого новой задачи и данного прежней задачи совпадут, то
задача решена правильно.
6.	Решение некоторых з^адач полезно заканчивать предложе¬
нием учащимся самим составить аналогичную («похо¬
жую») задачу. Работа над придумыванием своей задачи по
образцу только что решённой заставит учащихся глубже сосредо¬
точиться на данном типе задач, уяснить себе зависимость между
величинами, входящими в условие задачи, и ещё раз продумать
способ её решения.
Допустим, что ученики решили задачу на кратное сравнение чисел:
«На поезде можно за 5 час. проехать 300 км, а на самолёте можно за один час
пролететь 600 км. Во сколько раз скорость самолёта в один час больше, чем
скорость поезда?»
После решения этой задачи полезно дать учащимся такое задание: «При¬
думайте каждый такую задачу, в которой надо сравнить скорость движения
пешехода и велосипедиста, или скорость лошади и автомобиля, или парохода
и поезда, или мотоцикла и самолёта»,
7.	Подчёркивание социального значения полученного
ответа. Язык цифр — самый убедительный язык. Вот этот-то язык
и нужно использовать не только для математического образования
учащихся, но и для воспитания у них любви к своей стране,
к своему народу. На. задачах можно достаточно ярко и убеди¬
тельно показать, что наша страна — самая обширная страна в ми¬
ре. Сравним, например, площадь США (свыше 7 млн. кв. км),
площадь Франции (свыше 550 тыс. кв. км) с площадью Совет¬
ского Союза (около 22 млн. кв. км), и мы увидим, чго по площа¬
ди Советский Союз в 3 раза больше США, в 40 раз больше
Франции, в 90 раз больше Англии и т. д.
Наша страна изобилует огромными богатствами. Сравним, на¬
пример, площадь лесов у нас (610 млн. га) и в капиталистиче¬
ски х странах (США — 240 млн. га, Германия — 13 млн. га, Фран¬
ки

ция — 10 млн. га), и мы увидим, что СССР занимает в этом отно¬
шении первое место в мире. Сравнение запасов нефти, торфа,
железа у нас и в капиталистических странах показывает, что по
величине природных богатств СССР во многом занимает первое
место в мире. Это легко показать на задачах, решаемых путем
кратного и разностного сравнения чисел.
Советский народ — это народ героев, борцов и созидателей,
отстаивающих своей грудью свободу и независимость нашей ро¬
дины, борющихся за повышение производительности труда, за
широкое распространение культуры. Сражение на фронтах Ве¬
ликой Отечественной войны и самоотверженный труд советских
людей в тылу выявили множество героев, о подвигах которых
можно говорить в задачах. Так, уже в младших классах можно
предлагать такие задачи:
1.	«Герой Советского Союза лётчик Баранов в одном бою
сбил 3 немецких самолёта и протаранил 1. До этого Баранов
сбил ещё 12 самолётов. Сколько всего вражеских самолётов сбил
лётчик Баранов?»
2.	«Снайпер Гаджиев уничтожил за 1 день 18 немецких фаши¬
стов, а за другой день на 7 больше. Сколько фашистов уничтожил
наш снайпер за»2 дня?»
Следует решать и такие задачи, в которых говорится о собы¬
тиях, когда-то волновавших весь мир. Такими событиями были
мировые рекорды наших лётчиков, совершавших перелёты из
Москвы в Америку, высадка экспедиции на Северный полюс,
девятимесячный дрейф героической четвёрки папанинцев, провед¬
ших на льдине 274 дня и проникших в тайны полярного бассей¬
на. Вот, например, одна из таких задач:
«4 героя-папанинца были высажены на льдину у Северного
полюса 21 мая 1937 г., а сняты со льдины 19 февраля 1938 г.
Сколько дней пробыли папанинцы на льдине?»
Обширный материал для составления задач, имеющих воспита¬
тельное значение, дают стахановцы на предприятиях и передовые-
люди колхозной деревни. Вырабатываемые ими нормы, при сравне¬
нии с обычными нормами, вызывают у детей чувство восхищения,
например; «14 комбайнеров в Чкаловской области скосили в сред¬
нем каждый по 374 га. Двое же братьев Оськиных скосили,
столько, сколько 14 комбайнеров. Сколько га скосили братья
Оськины?»
Большой интерес вызывают у детей те задачи, которые соста¬
вляются учителем про стахановцев своей фабрики и завода, свое¬
го колхоза. Например: «Средний урожай ржи в нашем колхозе
составляет 15 ц с га, но звено т. Никулина получило с 3 га !80щ
Во сколько раз урожай у Никулина выше, чем урожай других
колхозников?» Подвиги близких, знакомых людей вызывают у де¬
тей подражание им.
Чтобы усилить воспитательное воздействие такого рода задач,
чтобы социальное значение их содержания не проходило мимо
105

можно в отдельных случаях после решения
1аких задач и получения в ответе больших чисел подчеркнуть
несколькими словами политический смысл или общественную
значимость той или иной цифры. «Вот, оказывается, какой высо¬
кий урохчай можно получить, если вложить в это дело большой
труд и знания» — так можно сказать после решения задачи
с звене Никулина, Или: «Вот видите, каких больших успехов до¬
стигают люди, хорошо овладевшие комбайном»—так мож>но
закончить решение задачи о братьях Оськиных. По поводу зада¬
чи о папанитхах можно сказать: «Впервые в истории по-настоя¬
щему был исследован Северный полюс в 1937 г., и это сделали
наши советские герои, вдохновляемые партией и тов. Сталиным».
Решение таких задач будет способствовать росту у детей
чувства законной гордости за свою страну и свой народ, совер¬
шающий великие подвиги и на тюлях войны, и в мирном созида¬
тельном труде. Понятно, что решение этих задач должно быть
подчинено в смысле чисел и действий системе арифметики.
Типовые задачи.
Кроме обычных арифметических задач, решение которых про¬
изводится на основе анализа и установления зависимости между
данными и искомыми в задаче величинами, в начальной школе
встречаются и такие задачи,' для решения которых нужно уметь
применять особые способы. Часть таких задач довольно просто
решается в средней школе алгебраическим путём, путём состав¬
ления и решения уравнения с одним или несколькими неизвест¬
ными. Поэтому их называют задачами алгебраического типа.
В методике арифметики эти задачи относятся к группе типовых
задач.
К типовым задачам алгебраического характера, указанным
в программе начальной школы, принадлежат задачи: на нахожде¬
ние двух чисел по их сумме и разности, на нахождение двух чи¬
сел по их сумме и кратному отношению, по их разности и крат¬
кому отношению; задачи, решаемые способом исключения неиз¬
вестного, способом уравнивания данных* способом замены, спосо¬
бом предположения и т. п.
Со всеми этими задачами и их разновидностями учащиеся
встретятся дальше, в курсе средней школы при изучении алгеб¬
ры. Там они будут их решать путём составления уравнений, те¬
перь же они решают их чисто арифметическими приёмами. Вве¬
дение их в курс арифметики начальной школы объясняется двумя
соображениями: во-первых, решая такие задачи в начальной
школе, учащиеся получают некоторую подготовку к работе по
математике в средней школе; во-вторых, решение алгебраических
задач арифметическими приёмами развивает логическое мышле¬
ние учащихся, сообразительность, способность рассуждать и обо¬
сновывать свои суждения.

При решении этих задач нужно, однако, считаться с возра¬
стом и силами учащихся и не вводить такие задачи, которые не¬
посильны для детей. Составители задачников нередко грешат
этим.
К типовым задачам принято относить также и некоторые чи¬
сто арифметические задачи, которые решаются особыми приёма¬
ми, например задачи на движение, задачи на вычисление площа¬
дей, на вычисление объёмов, на вычисление времени.
Таким образом, единый принцип классификации задач и их
типизации пока ещё не установлен. Все попытки найти единый,
универсальный принцип и по нему классифицировать задачи —
до сих пор терпели неудачи.
Система в решении задач в начальной школе определяется
в конечном счёте* системой арифметических действий и своеобоа-
зием приёмов решения задач. В эту систему вносят свои поправ¬
ки требования практической жизни, которые диктуют выделение
в особые группы задач, объединённых по содержанию.
В I и II классах система задач всецело определяется системой
арифметических действий. Здесь учащиеся учатся решать задачи
сначала на сложение, потом на вычитание, а затем составные за¬
дачи на сложение и вычитание совместно. Дальше при переходе
к умножению и делению учащиеся обучаются решению простых
задач сначала на умножение, потом на деление, а затем на умно¬
жение и деление совместно и на все действия.
Во II классе продолжается обучение решению простых задач
на новые случаи применения четырёх арифметических действий.
Но в этом классе уже появляются простейшие типовые задачи,
решаемые способом приведения к единице, и задачи на неравное
деление в разностном отношении.
В III и IV классах продолжается обучение решению арифме¬
тических задач, усложнённых большим количеством действий
и более сложными зависимостями между величинами. *Но наряду
с ними решаются и типовые задачи: на простое тройное правило,
решаемые способом приведения к единице и способом отношений;
задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их
сумме и кратному отношению; на пропорциональное деление;
различные задачи на встречное движение.
В IV классе решаются задачи на сложное тройное правило,
задачи, решаемые способом уравнивания данных, предположе¬
нием.
Общие требования к способам решения типовых задач,
1. В расположении задач необходимо соблюдать строгую
систему, начиная обучение решению задач каждого типа с про¬
стейших задач и постепенно переходя к более сложным и труд¬
ным. Нужно помнить, что даже и трудная задача, если она на
107

своём месте поставлена и хорошо подготовлена вспомогательными
задачами, даётся детям сравнительно легко.
2.	Первые задачи для ознакомления с данным типом следует
брать с небольшими числами и с простым содержанием для' уст¬
ного их решения.
3.	К отысканию способа решения задач данного типа надо
вести учащихся через рассуждение, которое вначале должно
опираться на наглядное представление арифметического со¬
держания задачи. Из наглядного представления условий задачи
и рассуждения, вскрывающего связи и отношения данных в за¬
даче величин, вытекает способ решения задач данного типа.
4.	При ознакомлении учащихся с новым типом задач нужно
прорешать подряд несколько задач. Перейдя далее к другим
типам задач, нужно периодически возвращаться к пройденным
типам и повторять их. При повторении желательно вводить данный
чистый тип задач в сложную арифметическую задачу.
5.	Решение группы задач данного типа полезно завершать
доступными детям выводами и обобщениями, в которых
подчёркивается, что общего было во всех решённых задачах,
чем отличались эти задачи одна от другой,, каков был способ
или ход решения этих задач.
6.	В завершение работы над данным типом задач полезно
предлагать учащимся самим составлять аналогичные задачи.
Составление задач самими учащимися поможет им более глубоко
понять и усвоить структуру задач, их условия, соотношения вво¬
димых в задачу величин; для учителя же правильно составлен¬
ная задача служит лучшим показателем того, что ученик данный
тип задач понимает и решать их умеет.
Покажем дальше применение этих принципов к решению за¬
дач тех типов, которые указаны в программе III и IV классов
Способ приведения к единице.
Задача: «5 карандашей стоят 40 коп. Сколько стоят 9 таких карандашей0»
Условие задгчи можно записать так: 5 кар. — 40 коп., 9 кар. — ?
Решая эту задачу, ученик рассуждает так: 5 карандашей стоят 40 кол.,
а один карандаш стоит в 5 раз меньше, т. е. 40 коп. : 5 = 8 коп.
Один карандаш стоит 8 коп., а 9 карандашей будут стоить в 9 раз боль¬
ше, т. е, 8 коп. X 9 = 72 коп.
Задача: «3 карандаша стоят 24 коп. Сколько таких карандашей можно
купить на 56 коп.?»
Решая эту задачу, ученик рассуждает так: 3 карандаша стоят 24 коп.,
а один карандаш стоит в 3 раза меньше, т. е. 24 коп. : 3 — 8 коп.
Если один карандаш стоит 8 коп., то на 56 коп. можно купить столько
карандашей, сколько раз 8 коп. содержится в 56 коп., т. е. 56 коп.: 8 коп. =
Способ отношений
В предыдущих задачах число карандашей и их общая стоимость выражены
числами, кратными между собой. Но если эти данные выражены числами, не
делящимися нацело, то такая задача не может быть решена способом приве-
108

дення к единице (в целых числах). В таком случае применяется способ
отношений
Задача: «Из 5 литров молока получается 3 стакана сливок. Сколько ста¬
канов сливок получится из 15 литров молока?»
3 не делится на 5 нацело, поэтому приведением к единице эту задачу
решить нельзя. Применяем иной способ решении—способ отношений Рас¬
суждаем так- 15 литров больше 5 литров, значит и сливок получится больше.
15 больше 5 в „ 3 раза (15 л:5 л — 3), следовательно, из 15 л получится
сливок не 3 стакана, а в 3 раза больше т е 9 стаканов.
Понимание этого способа может быть облегчено применением наглядно¬
сти в форме рисунка, таблицы, а также подготовительными упражнениями.
Если вышеуказанная за'дача решается первой, то для пояснения способа
её решения учитель может дать следующий рисунок (рис. 9).
От рисунка переходят к таблице:
5 литров	3	стакана	I
^	д	-	)	15	л	■ 5	л	=	3
'	~	—-—	I	3	стак	Х'1	= 9 стаканов
Ко литров	9	стаканов
После того как ученикам даны конкретные образы, можно дать им ряд
упражнений более отвлечённого характера Например- «2 апельсина стоят
3 рубля. Сколько стоят 4 апельсина? 6 ап.? 8 ап.? 10 ап.? 12 ап.? 14 ап.?
16 ап.? 18 ап.? 20 ап.?»
«Велосипедист проезжает 48 км за 5 часов (300 мин.). Сколько минут
ему потребуется, чтобы проехать 4 км? 8 км? 12 км? 16 ки? 24 кл?» После
таких подготовительных упражнений задзчи решаются на основе рассуждений.
Пропорциональное деление.
Задача: «Два куска одинаковой материи стоят 40 руб. В одном куске
5	м, н другом 3 м. Сколько заплатили за каждый кусок?»
‘ Эта задача решается, как обыкновенная арифметическая задача. Разбираем
задачу аналитическим способом:
У » я т е л ь: Что/ спрашивается в задаче?
Ученик. Сколько заплатили за каждый кусок.
Учитель:	|<Сакие данные надо иметь, чтобы узнать, сколько стоит
каждый кусок?
Ученик: Надо знать цеву одного метра и количество метров
6	куске.
У ч и т е л ь Что в задаче известно и что неизвестно?
109

.^..ппсиио 10 м в одном куске, 3 л в другое
п^лс;. неизвестна цена.
Учитель- Можно ли узнать цену? Есть ли для этого данные и какие.
Ученик: Цену узнать можно. В двух^ кусках 8 м материи и стоят о©
40 руб. Отсюда можно узнать цену.
Учитель:	Какой будет план решения задачи?
Ученики намечают план решения задачи.
Задачи на вычисление неизвестного по разности
двух величин,	'
Это очень ценный вид задач для математического развития учащихся
Эти задачи заставляют учащихся фиксировать внимание на числовых данных
сравнивать их между собой и на основе этого сравнения делать простейшие
умозаключения, приводящие к отысканию способа решения задачи. Возьмём
например, следующую задачу этого типа: «Один самолёт был в воздухе
7 час., другой 4 часа. Первый самолёт пролетел больше второго на \ 200 км.
Какое расстояние пролетел каждый самолёт, если они летели с одинаковой
скоростью^*
Анализируя задачу, легко установить, что для решения её надо знать:
I) скорость самолётов и 2) время полёта.
Время полёта в задаче лано: 7 час. и 4 часа. Скорость не дана, её надо
найти. При чтении второй фразы из условия задачи; «Первый самолёт проле¬
тел больше второго на I 200 км», возникает вопрос, почему при одинаковой
скорости полёта всё же получились разные расстояния, почему именно первый
самолёт пролетел большее расстояние. Ответ на этот вопрос даёт первая фра¬
за задачи: «Первый самолёт был в воздухе 7 час., второй — 4 часа». Первый
самолёт, оказывается, летел дольше, чем второй, на 3 часа (7 час. — 4 часа).
Теперь ученику надо сделать следующее умозаключение: «Первый само¬
лёт был в пути больше второго на 3 часа.
Первый самолёт пролетел больше второго на I 200 км. Значит, первый
самолёт за 3 часа пролетел лишних 1 200 км».
Отсюда легко определяется скорость самолёта в один час, а дальше по
скорости и времени вычисляется расстояние, т. е то, что требуется найти
в задаче
Таким образом центральным моментом в решении задач этого типа
является момент составления вышеуказанного умозаключения. Как ни просто
«.емо по себе это умозаключение, оно все же даётся детям нелегко. К нему
надо подвести учащихся на ряде задач, хорошо иллюстрированных. Д*зя этого
возьмём, например, следующую задачу:
«Ваня к\пил 3 карандаша, а Бася — 4 таких карандаша. Вася уплатил за
свои карандаши на 8 коп. больше. Сколько стоит карандаш?»
Иллюстрируем задачу рисунком, из которого видно, что у Васи одно
лишний карандаш. Понятно, что Вася должен уплатить больше на стог,
мость одного лишнего карандаша. Оказывается, он уплатил больше на 8 коп.
Значит, один карандаш стоит 8 коп.
Вторая задача с небольшим усложнением: «В одном куске 3 м ситца, а в
другом 5 м такого же ситца. Втгрой кусок стоит дороже на 20 руб. Сколько
стоит один метр ситца?»
Иллюстрируем условие этой задачи.
Из иллюстрации видно, что 2 лишних мГетрэ во втором куске удорожают
его на 20 руб. Следовательно, 2 м стоят 20 руб. Далее легко находится цена
одного метра
Дальше изменяем вопрос предыдущей задачи так* «Сколько стоит первый
кусок и сколько стоит второй кусок?», отчего решение задачи усложняется.
Усложняя этот тип задачи, можно прийти к следующей, более трудной
задаче, в решение которой вводятся два деления по содержанию:
«Один поезд прошёл 600 кль другой 720 км. Второй поезд был в пути на
3 часа больше. Сколько часов был в пути первый поезд и сколько второй,
если шли окн с одинаковой скоростью?»
!(1

Задачи на исключение одной из величин.
Задача: «За 25 букварей и 38 задачников уплатили 41 руб, В другой раз
той же цене купили 25 букварей и 46 задачников ^ уплатили за них
#руб. Сколько стоил один букварь и один задачник?»
§*. Этот тип задач непосредственно примыкает к предыдущему и является
го продолжением п несколько усложнённой форме Там давались две вели-
пкны с тремя числовыми значениями; здесь же даются три величины
шестью числовыми значениями. Значение решения таких задач аналогично
Шапению задач предыдущего типа: они способствуют развитию логического
давления, давая хороший материал для сравнения анализа и выводов. Сран*
кние числовых данных, простое установление факта их равенства в одном
Йучае и неравенства в друюм является исходным моментом для отыскания
Рособа решения. Так как для решения задачи этого типа необходимо сраони-
1ать данные числа, то условие задачи записывается в такой форме, которая
облегчает процесс сравнения. Условия вышеприведённой задачи нужно запи¬
сать так:
25 букв. 38 зад. — 41 руб.
25 букв. 46 зад. — 47 руб.
«Посмотрите, какие книги куплены в первый а втьрой раз, и сравните
числа», — говорит учитель.
Учащиеся без труда устанавливают, что букварей куплено е одинаковом
количестве, а задачников во второй раз куплено больше, чем в первый раз
«Сравните стоимость покупок». (Во второй раз за покупку уплачено боль
ше, чем в первый раз ) «Почему вторая покупка дороже (на 7 руб.)?» (Пото¬
ку что задачников куплено больше.)
Учитель подчёркивает, что буквари на удорожание не влияют. Они ку¬
плены в одинаковом количестве.
Теперь эта задача сводится к решению задачи на нахождение неизвест¬
ного по разности двух чисел'*
I	—38 зад.
II—46 зад. на б руб. больше.
По этой записи устанавливается, что во второй раз куплено на 8 задач¬
ников больше н заплачено на 6 руб. больше.
Значит, — умозаключают ученики, — 8 задачников стоят 6 руб. Отсюда
определяется стоимость одного задачника.
План и решение з а а а ч и.
1.	На сколько больше задачников куплено во второй рзз>
46	зад. — 38 зад. =* 8 зад.
2.	На сколько больше уплачено во второй раз?
47	руб. — 41 руб. « 6 руб.
3.	Сколько стоит один задачник?
6 руб. : 8 =*= 600 коп. : 8 — 75 коп.
4.	Сколько стоят 38 задачников?
75 коп. X 38 *=* 28 руб, 50 коп,
5.	Сколько стоят 25 букварей?
41 руб. — 28 руб. 50 коп. — 12 руб. 50 коп.
6- Сколько стоит один букварь?
14 руб. 50 коп. : 25 — 50 коп.
1Н

Задачи на движение.
Ид решении задач этого/типа учащиеся усваивают зависимость между
скоростью, временем и расстоянием, что имеет большое значение в математи¬
ке и физике. Кроме того, они способствуют развитию пространственных пред¬
ставлений у детей.
Так как в задачах на движение участвуют 3 величины и каждая из них
может быть искомой, то различают 3 вида задач на движение: один, в кото¬
ром по данному времени и скоростям определяется путь; другой, в котором
по данному пути и скоростям определяется время, и третий» в котором по
данному пути и времени определяется скорость.
Перед началом решения задач на движение выясняются на конкретных
примерах понятия «встречное движение», «одновременное и разновременное
начало движения», «скорость», «путь» и др Условие задачи обязательно ил¬
люстрируется чертежом
Задача: «Из Москвы н Ленинграда вышли навстречу друг другу одновре¬
менно два поезда. Московский поезд проходил в час 45 км, а ленинградский—
35 км. Через 5 час. поезда встретились. Найти расстояние между Москвой
и Ленинградом».
Иллюстрация условия задачи — на рис. 10.
Из чертежа видно, что всё расстояние состоит из двух отрезков, что оно
пройдено двумя поездами к моменту встречи:	каждый из нич шёл 8 час.,
проходя первый по 45 км, а второй по 35 км а час. Рассмотрение чертежа
приводит к следующему тану и решению
1.	Сколько километров прошёл московский поезд до встречи?
45 км X §	360 км.
2	Сколько километров прешел, ленинградский	до встречи?
35 к н X 3 — 280 км.
3	Сколько километров от Москвы до Ленинграда?
360 км 4- 280 км = 640 км.
Второй способ решения этой задачи'
Сколько километров преходят в 1 час оба поезда?
45 км 4-35 км *=* 80 км.
2 Сколько километров пройдут обг поезда за 8 часов?
80 км X 8 =* 640 км.
Этот способ будет нужен, когда учащиеся перейдут к решению задач
‘Э которых требуется по данному расстоянию и данным скоростям определить
-время встречи.
Задача (на определение скорости)' «От Москвы до Киева 855 км Из этих
-городов вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Московский
112

поезд проходит в час 40 км. ^кольчи к.илимс1р^«
поезд, если они встретились через 9 часов?» (рис. И).
Анализ задачи на основе чертежа: «Нужно узнать, сколько километров
проходил в 1 час киевский поезд. Для этого надо знать время и расстояние,
которое он прошёл до встречи. Время известно: 9 час. Расстояние неизвестно,
но его можно найти: оно равно всему расстоянию без той части, которая
пройдена московским поездом. Общее расстояние известно — 855 км, а часть,
пройденную московским поездом, можно найти по данному времени и по дан¬
ной скорости».
855/таг
Рис. 11.
Из анализа вытекает следующий план решения задачи:
1) Сколько километров прошёл до встречи московский поезд?
(45 км X 9 = 405 км). 2) Сколько километров осталось пройти до встречи
киевскому поезду? (855 км — 405 км = 450 км). 3) Сколько километров прохо¬
дил в час киевский поезд (450 км: 9 = 50 км)?
После решения ряда задач на движение (9—12 задач) можно сделать
обобщение примерно следующего характера: «Во всех решённых зада¬
чах говорилось о встречном движении — поездов, аэропланов, велосипедистов
и т. д. В этих задачах мы имели дело с расстоянием, скоростью, временем.
В одних задачах давались расстояние и время, а требовалось найти скорость;
в других задачах давались скорость и время — требовалось найти расстояние;
в третьих задачах давались расстояние и скорость—требовалось найти время
встречи». Дальше указывается, каким способом решался каждый из трёх
видов задач.
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.
Это один из наиболее распространённых типов задач в арифметике и ал¬
гебре. Здесь учащиеся сталкиваются с изменением суммы в связи с измене¬
нием слагаемых, а также с необходимостью делать предварительно допущение,
частично меняющее условие задачи Решая эти задачи пока арифметическим
способом, учащиеся получают подготовку к решению их в дальнейшем (в VI —
VII классах) алгебраическим способом.
Способ решения этих задач устанавливается через подготовительные
упражнения примерно следующего содержания:
«Раздать 10 карандашей двум ученикам так, чтобы один ученик получил
больше другого на 2 карандаша. Как будем делить карандаши5»
После ряда попыток принимается такой способ выполнения задания-
а)	сначала 2 карандаша (которые один ученик должен получить сверх
другого) откладываются в сторону;
б)	затем остаток (8) делится поровну,
в)	и наконец, 2 карандаша, отложенные в сторону, прибавляются к 4 ка¬
рандашам одного из учеников.
«Запишем,—говорит учитель, — то, что мы делали». На доске появляется
запись:
1.	10 кар.— 2 кар. = 8 кар. (запись откладывания 2 карандашей в сторону).
2.	8 кар.: 2 = 4 кар. (запись деления остатка (8) пополам).
3.	4 кар. + 2 кар. = б кар. (запись прибавления 2 отложенных в сторону
карандашей к 4 карандашам одного го учеников).
После этого ученикам даётся для самостоятельного выполнения задание:
Разложить 20 палочек (палочки должны быть заранее заготовлены) на две
8 А.. С. Пчёлко
113

_ _	-V. •»/4	1СМ О ЛСЬУИ.
Ученики выполняют эту операцию по образцу деления карандашей и записы¬
вают её.
Из выполнения конкретных заданий вытекает способ решения задач дан¬
ного типа. Чтобы учащиеся лучше осмыслили способ решения, учитель ставит
такие вопросы: «Почему мы не сразу делили 8 карандашей, 16 палочек на две
равные части?» (Потому, что в задачах требовалось делить не на равные
части.) «Зачем мы сначала откладывали в сторону (отнимали) 2 ка¬
рандаша, 4 палочки?» (Чтобы получить число, которое можно делить пополам.)
После этого предлагается задача этого типа в её обычной формулировке,
например: «Двум покупателям продано 17 м. материи, причём одному покупа¬
телю продано на 3 м больше, чем другому. Сколько метров материи продано
каждому покупателю?»
Задача иллюстрируется полоской, изображающей 17 м материи {2 клет¬
ки — 1 м).
Чтобы решить задачу, надо разрезать полоску на две части так, чтобы
в одной части было на 3 м (на 6 клеток) больше, чем в другой. Как это сде¬
лать? Сначала отделим те 3 м, которые являются лишними у первого покупа¬
теля по сравнению со вторым (останется 14 м). Дальше то, что останется
(14 м), нужно разделить пополам (получится по 7 м). Итак, второму покупате¬
лю продано 7 -и, а первому 7 м и ещё 3 м, т. е. 10 м. Записывая каждое Дей-
ствие, получим:
1.	17 м — 3 м = 14 м.
2.	14 м : 2 — 7 м (второму покупателю).
3.	7 .« + 3 м~ 10 м (первому покупателю).
Вопросы к каждому действию могут быть сформулированы так:
1.	Сколько метров продадут двум покупателям, если первому продадут
столько же, сколько и второму, т. е. на 3 м меньше?
2.	Сколько метров достанется каждому покупателю, когда остаток раз-
делят поровну.
3.	Сколько метров продано первому покупателю?
При ознакомлении учащихся с этим типом задач можно было бы рассмат¬
ривать их как задачи, обратные задачам на увеличение числа на несколь¬
ко единиц. Тогда порядок работы будет следующий. Возьмём задачу:
«Два мальчика удили рыбу. Один поймал 13 рыб, другой на 4 больше.
Сколько всего рыб поймали оба мальчика?»
Решив эту задачу, мы подчёркиваем, что в 30 содержатся две равные доли
(по 13 рыб) и ещё 4 рыбы. Предложим ученикам теперь следующую задачу:
«Два мальчика поймали всего 30 рыб, причём второй мальчик поймал на
4 рыбы больше, чем первый. Сколько рыб поймал каждый мальчик?»
Эту задачу учащиеся решают как обратную первой. Они уже знают, что
в 30 содержатся две равные доли и ещё сверх этого 4 рыбы второго мальчи¬
ка. Чтобы найти чему равны две доли, вычитаем 4 от 30. Получится 26 рыб,
которые и составляют две одинаковые части. Отсюда легко найти одну часть,
или количество рыб, пойманных первым мальчиком.
Задачи на нахождение двух чисел по их сумме
и кратному отношению.
На решении задач этого типа у учащихся расширяется понятие о едини¬
це счёта: учащиеся приобретают понятие об условной сложной единице
(«части») и приучаются оперировать с ней; это способствует развитию
отвлеченного мышления и подготовляет учащихся к решению в дальнейшем
этих задач алгебраическим способом.
Решение задач этого типа нужно начинать с таких задач, в условии кото¬
рых фигурируют «части», например:
114

«Приготовили сплав из олова и свинца весом всего в 300 г. Олова в спла-
зе 1 часть, а свинца 5 таких частей. Сколько граммов в сплаве свинца и оло-
за в отдельности?»
Обозначив части условно кружками, получим (рис. 12).
свинца
Рис.
оооооо
V			^'
Легко установить, что в сплав входит всего 6 равных частей, которые со¬
ставляют 300 г. Отсюда, на одну част<ь приходится 300 г: 6 = 50 г. Значит,
олова было 50 г, а свинца 5 раз по 50 г, т. е. 50 г X 5 = 250 г.
Чтобы перевести учащихся с «частей» на обычную формулировку таких
задач, нужно проделать следующие упражнения: «Если олова 1 часть, а свин¬
ца 5 частей, Но во сколько раз больше взято свинца, чем олова?» (В 5 раз
больше.) «А если бы было взято олова 1 часть, а свинца 3 части, тогда во
сколько раз свинца больше, чем олова?» (В 3 раза.) «Допустим, что свинца
было в 6 раз больше, чем олова, — сколько частей взяли олова и свинца?»
(Олова 1 часть, свинца 6 частей.) «В роще росли берёзы и ели; берёз было
в 4 раза больше, чем елей. Выразите в частях число елей и берёз». (Елей
1 часть, берёз 4 части.)
После таких упражнений даётся задача о сплаве в обычной формулировке:
«Приготовили сплав из олова и свинца весом всего в 300 г, причём свинца
взяли в 5 раз больше, чем олова. Сколько граммов олова и свинца взято
в отдельности?»
Решая эту задачу, учащиеся обозначат:
олово 1 часть
свинец 5 частей
1.	Сколько всего частей было в сплаве?
1 ч. + 5 ч. = 6 ч.
2.	Сколько граммов приходится на 1 часть, или сколько граммов олова
было взято для сплава?
300 г : 6 = 50 г.
3.	Сколько граммов свинца было взято для сплава?
50 г X 5 = 250 г.
Ответ: олова 50 г, свинца 250 г.
Проверка.
50 г 4- 250 г = 300 г.
Решение группы таких задач можно завершить обращением при¬
мерно в следующей форме: «Во всех решённых нами задачах требова¬
лось найти два числа (показать на примере задач). При этом дава¬
лась в задаче сумма этих двух чисел (показать на примере задач)
и указывалось, во сколько раз одно число больше другого. Для отыскания
этих двух чисел мы принимали меньшее число за одну часть, а большее — за
несколько частей (смотря по тому, во сколько раз оно больше меньшего). По¬
том находили сумму частей и определяли, чему равняется одна часть и не¬
сколько частей».
115
8*

Задачи на сложное тройное правило.
Задачи этого типа являются дальнейшим развитием и усложнением задач
на простое тройное правило. Они дают уменье применять знания прямой про¬
порциональной зависимости между величинами к разрешению жизненных во¬
просов. Решаются они способом двукратного цли трёхкратного приведения
к единице (в зависимости от количества данных в задаче). При анализе и ре¬
шении этих задач нужно опираться исключительно на рассуждения,
в которых подчёркивается пропорциональная зависимость величин.
Вводная задача:
«Трём лошадям требуется на 10 дней 240 кг сена. Сколько сена тре¬
буется одной лошади на 1 день?»
Запись условия задачи: 3 лош. 10 дн.— 240 кг сена
1 лош. 1 дн. — ?
Устанавливаем, что количество сена зависит от двух величин — от коли¬
чества лошадей и от количества дней:	чем больше лошадей, тем больше
требуется сена и, наоборот, чем меньше лошадей, тем меньше требуется
сена. Такая же зависимость существует и между количеством дней и ко¬
личеством требуемого сена. В задаче нужно перейти от трёх лошадей к одной
лошади, от 10 дней к одному дню. Произведём этот переход постепенно, по¬
ставив следующие вопросы: «Сколько потребуется сена одной лошади
на 10 дней?» (Одной лошади потребуется сена в 3 раза меньше.) «Сколько
сена потребуется одной лошади на 1 день?» (На один день потребуется сена
в 10 раз меньше.)
1 лош. 10 дн. — 240 кг: 3 = 80 /сг;
1 лош. 1 дн. — 80 кг: 10= 8 кг.
После этого даётся обычная задача этого типа, где приведение к единице
является промежуточным звеном в решении.
Задача: «В 3 лампах за 4 дня сгорело 24 л керосина. Сколько кероси¬
на потребуется для 5 ламп на б дней?»
Запись условия: 3 лампы 4 дн. — 24 л
5	»	6 » —	?
Прежде чем перейти к 5 лампам и б дням, нужно узнать, сколько керо.
сина сгорало в одной лампе в один день.
Решение:
1 лампа 4 дня
1	»	1 день
5 ламп 1
5 »	6 дней
24 л : 3 = 8 л
8 л : 4 = 2 л
2 л Х5=* Ю л
10 л Х6 = 60 л
При дальнейшем решении задач этого типа запись чисел левого столбика
‘опускается, рассуждения производятся устно и запись принимает следующий
в ид:
1.	Сколько керосина сгорает в одной лампе за 4 дня?
24 л : 3 = 8 л.
2.	Сколько керосина сгорает в одной лампе в один день?
8 л : 4 = 2 л.
•3. Сколько керосина сгорает в 5 лампах в 1 день?
2 лХ5 = 10 л.
4.	Сколько керосина потребуется для пяти ламп в б дней?
10 л X 6 = 60 л.
Ответ: 60 литров.
116

Задач-и на уравнивание данных.
При решении задач этого типа приходится делать допущения и выводить
следствия, вытекающие из этих допущений, а также строить умозаключения
на основе установленных предпосылок (суждений).
Всё это способствует развитию логического мышления учащихся.
Задача: «В магазин привезли 86 настольных ламп и 109 абажуров к ним.
всего на 2 097 руб, 55 коп. Лампа с абажуром стоит 23 руб. 20 коп. Сколько
стоят отдельно лампа и абажур?* Запись условия задачи:
86 л. 109 аб, 2 097 руб. 55 коп.
1 л. 1 аб. 23 руб. 20 коп. 1Сколько стоят отдельно лампа и абажур?
Из рассмотрения первой строчки устанавливаем, что ламп и абажуров при¬
везли не поровну: абажуров больше, чем ламп.
Уравняем количество ламп и абажуров (по количеству ламп), т. е.
допустим, что цривезли 86 ламп и 86 абажуров. Сколько стоили бы эти
86 ламп и 86 абажуров? Очевидно, в 86 раз больше стоимости одной лампы
и одного абажура. 23 руб. 20 коп. X 86 = 1995 руб. 20 коп.
Составляем теперь новую задачу, записывая её условие так:
86 л. 109 аб.	2 097 руб. 55 коп.
86 л. 86 аб.		1 995 руб. 20 коп.
Получилась знакомая детям задача: на нахождение неизвестного путём
исключения одного из данных.
Сравнивая числовые данные первой « второй строчек, устанавливаем,
что во второй строчке абажуров меньше на 23, а стоимость всей покупки
меньше на 102 руб. 35 коп. (2097 руб. 55 коп.— 1995 руб. 20 коп.). Значит,
23 абажура стоят 102 руб. 35 коп. Отсюда 1 абажур стоит 102 руб. 35 коп.: 23 =
= 4 руб. 45 коп. Вычитая из 23 руб. 20 коп. — 4 руб. 45 кол., находим стои¬
мость одной лампы (18 руб. 75 коп.).
План и решение задачи.
Уравняем число ламп и абажуров:	допустим, что привезли в магазин
86 ламп и 86 абажуров.
1.	Сколько стоят 86 ламп и 86 абажуров?
23 руб. 20 коп. X 86 = 1995 руб. 20 коп.
2.	На сколько меньше стоят 86 ламп и 86 абажуров, чем 86 ламп
109 абажуров?
2 097 руб^ 55 коп.— 1995 руб. 20 коп. ==102 руб. 35 коп.
3.	На сколько 86 абажуров меньше 109 абажуров?
109 аб. — 86 аб,=23 аб.
4.	Сколько стоит один абажур?
102 руб. 35 коп.: 23 = 4 руб. 45 коп.
5.	Сколько стоит одна лампа?
23 руб. 20 коп. — 4 руб. 45 коп. = 18 руб. 75 коп.
Ответ: 4 руб. 45 кол.; 18 руб. 75 коп.
Задачи на предположение.
Решение задач этого типа имеет такое же значение, как и решение задач
ва уравнивание. Типичным при решении этих задач является процесс рассу-
117

ждения, включающий в себя некоторое предположение, рассмотрение след¬
ствий, вытекающих из этого Предположения (причины), и, как вывод, уста¬
новление способа решения задачи.
Задача. «На расстоянии в 124 м уложили 18 водопроводных труб разных
размеров — 6 м и 8 м. Сколько уложили труб каждого размера?»
Запись условия задачи на доске:
124 м 18 тр.	6 м 8 м?
6 «
б ,*•	6м* 2 м	5м+2м	6 м
и д.
РИС. 13.
Предположим, что все 18 труб были короткие, т. е. б-'ме’Провые. Тогда
ими можно было бы покрыть расстояние б м X 18 =108 м. А'а действитель¬
ности покрыто не 108 л, а 124 м, т. е. на 16 м больше.
Почему всё покрытое расстояние было на 16 л длиннее? Потому что не¬
сколько труб было длинных, которые содержали в себе 8 м, т. е. 6 м-\-2 м.
Из этих двухметровых частей и составились 16 м Iрис. 14).
2м 2м 2м 2м 2м 2м 2м * 2м'
1бМ
Рис. 14.
Что же отсюда можно узнать? Сколько было длинньЬс труб: сколько раз
в 16 содержится по 2, столько и было длинных труб; 2 в 16 содержится 8 раз;
значит, "длинных труб было 8, а коротких 18—-8=10 (труб).
План и решение задачи:
Предположим, что все 18 труб были короткие — 6-метровые.
1.	Какое расстояние можно было бы покрыть 18 трубами, если бы они
все были 6-метровые?
6 -кХ18=Ю8 м.
2.	На сколько 124 м больше 108 м?
124 м — 108 м=1б м.
3.	На сколько 8-метроЕая труба длиннее 6-метровой?
8 м — 6 л<=2 м.
4.	Сколько было 8-метровых труб?
16 м: 2 = 8 (труб).
5.	Сколько было 6-метровых труб?
18 тр — 8 тр. = 10 тр.
Ответ: 8 труб; 10 тру б.
Проверка’ 6 )< 10 + 8 X 8 = 124.
118

ГЛАВА ВОСЬМАЯ.
МЕТОДИКА УСТНОГО СЧЁТА.
Навыки в устном счёте имеют большое практическое и обра¬
зовательное значение. Они нужны в практической жизни, где на
каждом шагу встречается потребность в устных вычислениях.
Хорошее владение устным счётом облегчает изучение всей мате¬
матики, в частности облегчает письменные вычисления, тожде¬
ственные алгебраические и тригонометрические преобразования,
процентные ‘Ъычисления. Они помогают усвоению некоторых
теоретических положений арифметики; например, законы ариф¬
метических действий наиболее ярко иллюстрируются на приёмах
устных вычислений. Поэтому школа должна научить учеников
хорошо считать устно — правильно, сознательно и до¬
статочно быстро. Первые два качества устного счёта —
правильность и сознательность — не нуждаются в пояснениях:
понятно, что при устных вычислениях ученик должен получать
правильные результаты и при этом сознательно пользоваться
различными приёмами вычислений. Но о быстроте следует ска¬
зать особо.
Устный счёт постольку ценен, поскольку он является не толь¬
ко правильным, но и быстрым. Быстрота — необходимое качество
устного счёта, так как устно вычислять приходится обычно при
таких условиях, когда требуется скорость, например при покупке
и продаже, при технических расчётах у станка, в поле и т. д.
Какими же средствами достигается беглость в устных вычисле¬
ниях?
Это качество достигается главным образом упражнения¬
ми и рациональными приёмами вычислений. Чем больше
упражнений, тренировки в устном счёте, тем лучше дети считают.
Большое значение упражнений подтверждается общеизвестным
фактом: в жизни лучше всего считают те, кто в силу своих про¬
фессиональных обязанностей должны устно считать повседневно:
это счетоводы, бухгалтеры, кассиры, продавцы и т. п. Учитывая
это, наша школа ввела такой порядок, при котором почти каж¬
дый урок арифметики начинается пятиминутными упражнениями
в устном счёте. Эту хорошую традицию нужно поддерживать там,
где она существует, и вводить её там, где она по тем или иным
причинам отсутствует. При этом важно не ограничиваться только
пятиминутными упражнениями, а использовать каждый подходя¬
щий момент урока для тренировки в устном счёте. Если при ре¬
шении задачи или в письменных вычислениях учащийся встре¬
чается с небольшими числами или с большими, но удобными для
устных вычислений (например, 18 000 + 6 000, 48000 — 24 000), то
в этих случаях нужно приучать ученика пользоваться устным счё¬
том.
По этим соображениям нецелесообразно растягивать в длин¬
ный столбик деление многозначного числа на однозначное или на
119

небольшое двузначное число, записывая все промежуточные
результаты, например:
712 435
1 5
638 964
5
142 487
00
21
38
20
36
12
29
10
24
24
56
20
48
43
84
40
84
35
0
35
0
В этих случаях запись промежуточных результатов, а также
выполнение умножения и вычитания по способу письменного
умножения и письменного вычитания излишни и даже вредны,
так как такие записи отучают ученика от устных вычислений.
Первый пример нужно записать в строчку и решать устно, с за.-
писью только цифр частного 712435 : 5 = 142 487.
Второй пример решается с сокращённой записью промежуточ¬
ных результатов, а именно:
	638 964 | 12
38	53 247
29_
56^
84
О
На беглость счёта, кроме упражнений, влияют и приёмы вы¬
числений. Есть такие приёмы, которые делают вычисления лёг¬
кими, быстрыми, изящными, и, наоборот, некоторые при¬
ёмы приводят к длинным, громоздким и трудным вычислениям.
Каким же приёмам устного счёта должна научить детей на¬
чальная школа?
Все приёмы устных вычислений можно разделить на две
большие группы: а) общие, т. е, применимые ко всем бее раз¬
личия числам, и б) частные, применимые только к некоторым
определённым числам.
Общие приёмы требуют от учащегося умения разбить данные
числа на разряды (десятичные группы) и применять при вычис¬
лений основные законы арифметических действий — перемести¬
тельный, сочетательный и распределительный.
Рассмотрим общие приёмы устного выполнения каждого ариф¬
метического действия.
120

Сложение
Первый приём
28 + 37 =
' 20 + 30 = 50
8 + 7= 15
50 + 15 = 65
Второй приём
28 + 37 =
28 + 30 = 58
58+ 7 = 65
Вычитание
Первый приём
68 — 32 =
60 - 30 = 30
8— 2= 6
30+ 6 = 36
Второй приём
68 — 32 =
68 — 30 = 38
38— 2 = 36
Умножение
28 Х3 =
20X3 =60
8X3 =24
60 + 24 = 84
Деление
72 : 3 =
60 ГЗ ='20
12 : 3= 4
20 + 4 = 24
Эти приёмы можно применять к любым числам, не только к
двузначным, но и к трёхзмачньш, например:
380 + 250 =
300 + 200 = 500
80 + 50 = 130
500 4- 130 = 630
и т. д.
650 — 270 =
650 — 200 = 450
450— 70 = 360
360 X 2 =
300 X 2 = 600'
60 х 2 = 120
600 + 120 = 720
С общими приёмами устных вычислений учащиеся знакомятся
в I и II классах. Дальше ничего нового в этой области ученикам не
^сообщается. В III и IV классах происходят только упражнения,
тренировка в применении этих приёмов и притом расширяется
область чисел, над которыми производятся устные вычисления: в
III классе производятся устные вычисления с круглыми числами
в пределе 1 000, в IV — с любыми числами в пределе 200 и лёг¬
кими случаями за пределами 1 000.
Нужно помнить, что усвоение общих приёмов даётся нелегко,
и нужны многочисленные упражнения на протяжении всех четы¬
рёх лет обучения, чтобы учащиеся считали правильно и быстро,
сознательно используя приёмы вычислений, основанные на деся¬
тичной группировке чисел и применении свойств арифметических
действий. Школа должна вооружить ученика твёрдым знанием
общих приёмов вычислений.
Но наряду с общими существуют частные приёмы, которые
упрощают вычисления и применимы только к некоторым числам.
Из таких приёмов назовём прежде всего приём округ¬
ления. Если даны числа, близкие к круглым числам, то прежде
чем производить действия, надо их округлить. Например, пусть
дано сложить 297 и 496. Округляем первое и второе слагаемое,
получаем 300 и 500. Складываем: 300 + 500 = 800. 800—сумма,.
121

■увеличенная на 7 (3 + 4). Чтобы получить настоящую сугм
уменьшаем 800 на 7, получаем 800—•7 = 793.
Приём округления применим и в вычитании, где можно окру
лять и уменьшаемое, и вычитаемое, если даны округлимые чие*
например:
1)	799 - 326 = 800 — 326 — 1 = 473.
2)	537 — 298 = 537 ~ 300 + 2 = 239.
В первом примере округлено уменьшаемое. Увеличивая его ш
единицу, мы и остаток увеличили также на единицу. Чтобы п$|
лучить правильный остаток, надо от него отнять единицу. В«
втором примере округлено вычитаемое путём прибавления к нем]
двойки: от увеличения вычитаемого на 2 остаток уменьшила
■на 2. Чтобы получить правильный остаток, надо к полученном:
■числу прибавить 2.
При умножении и делении также возможно использован
приёмы округления, например;
30 х 27 = 30 X 30 — 30 X 3 = 500 — 90 = 810.
796 ; 4 = 800 -4 — 4:4 = 200 — I = 199.
Нужно заметить, что если для счёта даются числа округли-
мые, т. е. близкие к круглым числам, то применение приём?
округления намного облегчает счёт. Это один из самых эффек
тивных приёмов. К нему надо приучать учеников начиная со
II класса и затем упражнять их в его применении и в III, 4
в IV классах. Когда во II классе встретится пример типа
29 + 56, то после применения общего приёма (20 + 50) + (9 + 6)
надо обязательно натолкнуть учеников на приём округления, при,
помощи которого результат находится проще и скорее. В IV клас¬
се после того, как будет пройдено изменение суммы и остатка
от изменения данных, надо дать теоретическое обоснование этого
приёма.
При сложении и умножении следует использовать, где к этому
представляется возможность, переместительное свой¬
ство суммы и произведения («От перемены) мест
слагаемых сумма не изменяется», «От перемены мест сомножй'
телей произведение ,не изменяется»). Уже в I классе, когда встре¬
тится пример, в котором к меньшему числу прибавляется боль¬
шее, надо требовать, чтобы ученик выполнил действие, прибав
ляя к большему меньшее. Так легче и скорее складывать числа
Такую же установку надо давать и позже, предлагая в Ши IV клас
сах сложные примеры, где выгоды перемещения слагаемых и со
множителей особенно ощутительны.
Дакс-
14-9 =
7	+ 28 =
84 + 27 + 16 + 23 =
4X17X25 =
8	X 7 X 15 =
Следует вычислять в таком порядке:
9+ 1 =
28 + 7 =
(84 + 16) + (27 + 23) =
25 X 4 X 17 =
15X8X7 =
122

Нетрудно убедить учеников в том, что перемещение слагаемых
а сомножителей даёт здесь большой эффект в смысле упрощения,
облегчения и ускорения счёта.
Приём последовательного умножения принад¬
лежит к числу тех приёмов, с которым надо ознакомить детей и
научить их пользоваться им во всех подходящих случаях. Этот
приём основан на следующем правиле умножения:	«Чтобы
умножить число на произведение, достаточно умножить это число
сначала на первый сомножитель, потом полученное произведение
умножить на второй сомножитель, затем на третий и т. д.».
Пусть дано умножить 45 на 16. Будем рассматривать 16 как
произведение 4X4. Тогда согласно вышеуказанному правилу бу¬
дем иметь:
45 X 16 = 45X 4X4 = 720.
Умножить последовательно 45 на 4 и полученное произведе¬
те ещё раз ш 4 легче, чем умнЪжигь 45 сразу на 16. В этом
и заключается выгода использования приёма последовательного
умножения.
Умножить 64 на 8, пользуясь общим приёмом, нелегко, но
умножить на 8 путём последовательного троекратного удвоения
64 нетрудно:	64X8 = 64X2X2X2 = 512. Решить пример
51 X 18 при помощи общего приёма трудно {51 X 18 = 51 X Ю +
+ 51 X 8 = 510 + 408 = 918). Решить же его путём последователь¬
ного умножения легко (51X18=51X2X9—102X9=918).
Приём последовательного де-ленИ‘я часто .приво¬
дит к лёгкому и быстрому выполнению деления. Он основан на
следующем правиле деления:	«Чтобы разделить какое-нибудь
число на произведение, можно разделить это число на первый со¬
множитель, полученное частное разделить на второй сомножитель,
это частное на третий и т. д.»
Пусть дано разделить 360 на 8. Будем рассматривать делитель (8) как
произведение сомножителей 2*2*2. Тогда, но указанному правилу, чтобы
разделить 360 на 8, делим 360 на 2, полученное частное 180 делим на 2 и
новое частное 90 делим ещё раз на 2. Получится 360 : 2 : 2 : 2 = 45.
Возьмём второй пример: 2 100 : 15. Если пользоваться общим приёмом, то
устное деление в данном случае является затруднительным: для этого потре¬
бовалось бы делимое 2 100 разбить на два слагаемых 1 500 и 600, из которых
каждое делится на 15. Но деление становится лёгким, когда, рассматривая 15
как произведение 3 и 5, прибегнем к ■последовательному делению: 2 100 : 15 =
= (2 100 : 3) : 5 = 140. Приведём ещё несколько примеров -на использование
последовательного деления:
630: 42 = 630 : 6 :7 = 15
450 :18 = 450 : 9 : 2 — 25
345 :15 = 345; 3 • 5 = 23
420-28 ~ 420:7:4 = 15
Приём последовательного умножения и деления указан только
в программе IV класса; но применение его возможно и раньше —
в III классе, когда объясняется умножение и деление -на круглые
123

десятки, В самом деле, чтобы умножить 12 на 30. мы должны рас¬
сматривать 30 как произведение 3-10 и умножить сначала 12 на
10, потом .полученное произведение 120 на 3.
Вот те сравнительно немногие приёмы, знание которых яв¬
ляется обязательным для учащихся начальной школы.
Если ученик хорошо владеет этими приёмами, особенно общим
приёмом, то этого почти достаточно для того, чтобы он хорошо,
справлялся с устными вычислениями над небольшими числами
(в пределе 100 и за этим пределом над «удобными» числами).
Методика ознакомления с этими приёмами подробно раскрыта
в главах «Первый десяток», «Второй десяток», «Сотня». В основу
этой методики положен простой показ, как надо производить
вычисления. А дальше за показом, за краткими пояснениями учи¬
теля должны следовать многочисленные упражнения. Только боль¬
шой практикой, постоянной тренировкой можно добиться хороших
успехов в устном счёте.
Кроме вышеуказанных обязательных приёмов, есть ещё при¬
ёмы, знакомство с которыми должно быть признано желательным
для начальной школы. Сюда относятся особые приёмы умноже¬
ния на 5, на 9, на 11, на 25, деления на 5 и 25.
Умножение на 5.
Умножение на 5 заменяется умножением числа на 10 и делением получен¬
ного произведения на 2. Если же множимое делится на 2, то сначала множи¬
мое делится на 2, а потом полученное частное умножается Да 10, н а п р и м е р:
78 X 5 = (78:2)-10 — 39-10 = 390;
87 Х5 = 87-10 : 2 = 870 : 2 = 435.
Умножение на 25.
Чтобы умножить число на 25, можно данное число умножить на 100 и по¬
лученное произведение разделить на 4. Или, если множимое делится на 4, то
сначала число разделить на 4, а потом полученное частное умножить «а 100.
Например:
48-25= (48:4). 100= 12-100= 1 200;
17 X 25 = (17-100}: 4 = 1 700:4 = 425.
Деление на 5.
При делении числа на 5 делят это число на 10, если оно делится на 10,
и полученное частное, умножают на 2, или сначала умножают на 2, а потом
полученное произведение делят на 10, например:
390 : 5 = (390: 10)-2 = 39-2 = 78;
185: 5 = (185-2); 10 = 370:10 = 37.
Деление на 25.
Чтобы разделить число на 25, надо разделить его на 100, если оно-
делится на 100, и полученное частное умножить на 4, или сначала умножить-
делимое на 4, а потом полученное произведение разделить -на 100, например:
600 : 25 = (600 ; 100)-4 = б-4 = 24
425 : 25 = (425-4): 100 = 1 700:100 = 17.
124

Умножение на 9.
Чтобы умножить число на 9, можно данное число умножить на 10 и из
полученного произведения вычесть данное число, например:
36-9 = Зб.(Ю — 1) = 36-10 — 36 = 360 — 36 = 324.
Умножение на 11.
При умножении на 11 данное число умножают на 10 и к полученному про¬
изведению прибавляют данное число, например:
36.11 =36.(10 + 1) = 36-10 + 36.1 =360 + 36 = 396.
Есть ещё один сокращённый, упрощённый приём умножения двузначного
числа на 11, а именно: чтобы получить требуемое произведение, достаточно
наоиоатъ цифры десятков и единиц данного числа по краям, а между ними
написать сумму цифр данного числа:
36 X 11 = 396.
Чтобы объяснить этот способ, достаточно фактически произвести умноже¬
ние нескольких двузначных чисел на 11 н проследить ту закономерность, кото¬
рая отражается в этом способе:
36
62
75
ХИ
ХИ
X П
36
62
75
36
62
75
396
682
825
Анализируя эти примеры, нетрудно заметить, как составлены полученные
произведения: в них единицы и сотни обозначены цифрами данного числа
(3 и 6; 6 и 2); десятки же обозначены цифрой, которая получается от сложе¬
ния цифр данного числа (3 + 6=9; 6 + 2 = 8). Если же эта сумма равняется
или больше 10, то цифра сотен увеличивается на единицу (75-11 = 825).
Все вышеуказанные приёмы умножения и деления на 5, 25,
9 и 11 относятся к числу сокращённых (приёмов. Они дей¬
ствительно делают процесс выполнения действий более коротким,
а потому и более лёгким по сравнению с общим приёмом. Они
основаны на использовании законов переместительного, сочета¬
тельного и распределительного, а также на изменении произведе¬
ния с изменением одного из сомножителей и изменении частного
с изменением делителя. Эти приёмы являются хорошей иллюстра¬
цией к разделу «Изменение результатов в зависимости от из¬
менения данных», проходимому в IV классе.
Помимо указанных, есть ещё ряд других упрощённых
приёмов устных вычислений. Некоторые из них поражают нас
лёгкостью и изяществом вычисления. Однако мы не можем их
рекомендовать для начальной школы по следующим соображени¬
ям: 1) они охватывают небольшой круг чисел; 2) обоснование
этих способов («почему так получается?») недоступно детям
начальной школы; 3) эти приёмы насколько быстро усваиваются,
настолько быстро и забываются.
Когда учащиеся ознакомятся с различными приёмами
устных вычислений, нужно требовать, чтобы они в каждом
125

	и^оали\-ь на>иоолее рациональным для дан¬
ного случая приёмом, предоставляя учащимся в то же время не
которую свободу в выборе приёма. Пусть дан учащимся пример
для устного вычисления.* 25 X 9. Учащиеся могут использоват!
при этом различные приёмы:
1)	25X 9 = 20-9 + 5-9 — 180 + 45 = 225 (общий приём).
2)	25	= 25Х(Ю—1)=25» 10—25*1 = 250—25 = 225 (приём округления).
3)	25 X 9 = (25Х 3)*3 = 75*3 = 225 (приём последовательного умножения),
4)	25 X 9 = 25 X + 5)=25-4 + 25-5 = 100 + 125 = 225 (прием, основанный
на использовании распределительного закона).
Все эти приёмы являются правильными, но не все они одина¬
ково рациональны; из них наиболее удобен для данного случая
приём округления. Его преимущество надо подчеркнуть перед
учащимися.
Виды занятий устным счётом на уроке.
Упражнения в устном счёте надо проводить по возможности
ежедневно. Чтобы при этом поддержать интерес к упражнениям,
надо всячески их разнообразить и по форме, и по содержанию.
Занятия устным счётом надо вести в живых, достаточно быстрых
темпах, вовлекая в эту работу весь класс, каждого ученика,
организуя соревнование в правильности и быстроте счёта. В прак¬
тике советской школы распространены и дают лучшие результаты
следующие виды устного счёта:
1.	Решение простых примеров (в одно действие) —
наиболее распространённая и часто применяемая форма обучения
устному счёту. На решении простых примеров объясняются при¬
ёмы устных вычислений, на них же производится и тренировка
в устном счёте. Содержание примеров определяется разделом
программы, проходимым в данный момент. Учитель предлагает
пример всему классу. После некоторой паузы, когда все или по¬
давляющее большинство учеников поднятием рук покажут, что
пример решён, учитель вызывает для ответа ученика. Через
каждые два-три примера учитель спрашивает не только ответ, но
и объяснение, каким приёмом решён пример. Примеры могут
предлагаться в троякой форме:
1)	учитель называет те действия, которые надо произвести над
данными числами, например:
36 разделить на 2; 24 умножить на 3; к 47 прибавить 53;
от 84 отнять 68;
2)	учитель предлагает данное число увеличить или умень¬
шить на несколько единиц или в несколько раз, а ученики
сами должны подобрать необходимые действия, например;
36 уменьшить в 2 раза; 24 увеличить в 3 раза, 47 увели¬
чить на 53; 84 уменьшить на 68;
3)	предлагая примеры, учитель не указывает действие в явной
125

врме, а называет резулыа!, который должен оьиь найден, на-
Щер:
Ишайш сумму 47 и 53; найти разность 84 и 68; найти произнес
тоне двух ти-сел 24 и 3; найти частное от деления 36 ка 2.
ИрО'Всех этих случаях над одними и темя же числами- производятся
Вйй и те же действия и одними и теми же приёмами. Разница только
Ияерминологии: для» деления — «разделить», «уменьшить
«данное число раз», «найти такую-то часть числа», «найти част-
Ве»; для сложения — «сложить», «увеличить - на столько-то
Ннниц», «найти сумму». Понятно, что в младших классах надо
давать действия в явной форме, но потом, сохраняя её как основ-
ро, надо называть действия н в неявной форме; это обогащает
«тематическую речь учащегося и уточняет математические по-
татия, связанные с арифметическими действиями. Термины «сум¬
ма», «разность»» «произведение», «частное» надо применять в уст-
Вой ^чёте начиная с III класса.
Надо подбирать на урок столько примеров, чтобы их хватило
да 5—7 минут. Количество зависит от сложности и трудности
оримеров. В среднем это будет 10—15 простых примеров.
2.	Решение сложных примеров в форме беглого
;чёта. Это столь же распространённая и эффективная форма
обучения устному счёту, как и решение простых примеров. При
этом даются примеры в несколько действий. Особенность «бегло¬
го счёта» состоит в том, что при решении сложного примера про¬
межуточные результаты дети держат в уме, а называют по пред¬
ложению учителя последний окончательный результат.
Возьмём сложный пример, рассчитанный на решение во II классе:
(24 + 18); 6X12 — 42 = ...
Учитель предлагает этот пример для решения так:
«К 24 прибавить 18 (пауза), разделить на 6 (короткая -пауза), умножить на-*
12 (пауза), отнять 42 (пауза). Сколько получилось?» По вызову учителя уче¬
ное называет полученный результат.
Примеры для беглого счёта могут даваться -различной степени сложно¬
сти; в 3, 4, 5, 6 действий, или звеньев. (Выше дан пример, состоящий из че¬
тырех звеньев. В младших классах число звеньев должно быть меньше,
в старших — больше. Но и в I классе число зве-ньев можно доводить до четы¬
рёх. Например: 18:6X4 + 7—10. В IV классе число звеньев можно увели¬
чить до 6. Например: (87 + 63 — 75 + 125) : 4 : 25 X 450.
Длительность пауз должна быть такова, чтобы детям хватило
времени на вычисление. Они могут быть то продолжительными,
то короткими, в зависимости от трудности данного звена. В выше¬
приведённом примере для сложения '87 и 63 требуется больше
времени, чем для вычитания 75 из 150. Поэтому первая пауза
должна быть длительнее, вторая — короче. Но вообще говоря,
паузы слишком затягивать не нужно. Чрезмерное затягивание
пауз может создать у детей'привычку считать медленно. В классе
всегда могут найтись два-три ученика, считающие медленно, но-
по ним равняться не следует; наоборот, их всячески нужно под¬
нимать до среднего уровня класса, ведя счёт живо <и быстро.
12?

Беглый счёт требует от учеников глубокого и напряжённого
внимания-; дети от него скоро устают. Поэтому злоупотреблять
«количеством упражнений, проводимых в этой форме, нельзя. Для
беглого счёта надо брать 3—4 примера.
Как быть в тех случаях, когда несколько учеников дали не;
правильный ответ? Если эти «несколько» составляют небольшой
количество, то останавливаться на примере и пересчитывать его
не следует. К пересчёту надо прибегать в том случае, когда
ошибка носит более или менее массовый характер.
3.	Счёт по таблицам. Предыдущие упражнения базиро
вались исключительно на слуховых восприятиях; ученики на
слух воспринимали числа, производили над ними действия без
всяких записей и давали ответ, не прибегая к записи чисел. Нс
в некоторых случая-х приходится пользоваться устными приёма
ми вычислений над записанными числами. Поэтому школа должна
проводить и такие упражнения, которые базируются на зритель-*
ных восприятиях чисел, написанных учителем на классной доске'
или напечатанных в форме таблиц.
Существует несколько типов таких таблиц: таблицы Мартеля
Шапошникова, Шохор-Троцкого, Эменова и др. Может быть ис<
пользована для устного счёта и таблица Пифагора. Содержание^
и характер работы по таблицам рассмотрены нами в главе
шестой на странице 69. Здесь же заметим, что для более удобного
пользования таблицами нужно, чтобы ученики имели их в своих
тетрадях. Таблицы Шапошникова имеются готовыми в печатном
виде, но если бы в школе их не оказалось, учитель всегда может
•изготовить их по данному образцу.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Ф
Ф
©
©
©
©
©
©
©
©
©
1
3
5
7
9
6
5
1
0
0
0
7
9
1
4
5
3
1
5
0
0
0
2
5
7
6
8
1
4
2
0
0
0
6
8
4
1
3
7
6
6
0
0
0
3
4
8
5
7
2
5
3
0
0
0
8
7
3
9
2
5
2
4
0
0 .
0
4
2
9
3
6
8
6
3
0
0
0
9
6
2
8
1
4
3
2
0
0
0
5
1
б
2
4
9
4
5
0
0
0
4
5
8
6
9
7
3
4
0
0
0
Х28

Наряду с таблицами для устного счёта можно использовать
пособие, известное под названием «Ряды цифр» Поляка.
Это пособие состоит из одиннадцати полос; на восьми из них
расположены вертикальные столбцы значащих цифр от 1 до 9,
а остальное заполнены нулями (см. на 128 стр.). Полоски можно
сделать из плотной бумаги или картона.
5
9
6
10
•
•
•
•
9
0
6
0
5
0
3
0
8
0
1
0
3
0
+
7
0
7
0
—
2
0
2
0
+
5
0
6
0
и-
8
0
1
0
+
4
0
4
0
+
9
0
9
0
7
0
2
1
8
7
О
9
9
•
3
I
1
+
1
5
9 1
7
—
5
1
5
2
—
2
1 4
8
6
—
6
б
4
3
—
3
5
7
8
4
2
2
1 4
+
3
6
6
9
+
2
3
1
5
4-
5
4
5
4
—
4
3
Пользуются этим пособием так: вешают две полоски на класс-
юй доске на некотором расстоянии одна от другой. Между ними
:тавят на доске знаки действий или же вставляют ещё одну
полоску, на которой обозначены знаки действий. Это пособие
особенно удобно для составления примеров на сложение и умно¬
жение. При вычитании же детям иногда приходится прибегать
к перестановке компонентов, а при делении часто получается
деление с остатком.
Полоски с цифрами удобно использовать для действий с круг¬
лыми десятками и для действий с двузначными числами. Для
этого вешают рядом по две полоски. Так как при этом
получаются результаты, выходящие за пределы 100, то такого
рода упражнения проводятся во II и III классах.
Решая примеры, учащиеся могут записывать весь пример
полностью, например: 13 + 57 = 70; 79 + 14 = 93 и т. д. Однако
в целях экономии времени учитель чаше всего предлагает уче¬
никам при самостоятельной работе записывать только номер при¬
мера по порядку и результат, например: 1) 70; 2) 93; 3) 101. Вы¬
числения же ученик производит про себя, устно.
9 А. С. Пчёлко
129

«Ряды цифр», как и другие таблицы, являются особенно цеад
ным пособием для двухкомплектной школы, где большое месри
занимают самостоятельные работы учащихся.	'Я
4.	Задачи. Навыки устного счёта вырабатываются нетолькЛ
на примерах, но и на задачах. Решение задач является хорошим
средством, чтобы развить у учащихся умение считать устно. Я
Устное решение задач приносит двоякую пользу: с одной сто!
роны, на решении задач учащиеся тренируются в быстром уст-1
ном счёте, а с другой стороны, на устных задачах закрепляется]
умение решать задачи вообще. В истории русской дореволюциоя-|
ной школы мы имеем яркий пример того, как на решении задач *
достигались прекрасные результаты по устному счёту: мы имеемI
в виду педагога С. А. Рачинского, который достигал изумитель¬
ных результатов в устном счёте, благодаря решению не только
примеров, но и задач.
Задачи для устного решения должны быть с небольшим коли¬
чеством действий 2—3, максимум 4 действия. Величина чисел
должна соответствовать программным’ требованиям, т. е. для
I и II класса это будут числа в пределе 100, для III класса —
в пределе 100 и круглые десятки, круглые сотни в пределе 1 000,
для IV класса—любые числа в пределе 200 и числа, «удобные»
для устных вычислений в пределе I 000.
Для устного решения можно брать задачи как чисто арифме¬
тические, так и типовые, если они по количеству действий не¬
велики и негромоздки. Нужно сказать, что хороший навык решать
типовые задачи достигается главным образом на решении устных
задач.
Если в задаче содержится более 3 числовых данных, то их
можно записать на доске, чтобы не обременить память учащихся
запоминанием большого количества чисел.
Решение задач можно сочетать с решением примеров.
Устные задачи не отнимают много времени; в течение
5—7 минут может быть решено несколько задач.
При проверке решения нужно иногда спрашивать учеников,
как онн производили вычисления, каким приёмом пользовались.
Например, в задаче встретилось деление 280 на 14; нужно
спросить, как ученики произвели это деление.
5.	С ч ё т-д ополнение. Решение простых и сложных при¬
меров. решение задач и счёт по таблицам составляют основные
виды упражнений в устном счёте. На них главным образом и вы¬
рабатываются навыки устного счёта. Но для разнообразия
упражнений, для поддержания к ним живого интереса нужно
использовать в практике преподавания и другие виды упражнений,
имеющие элементы некоторой занимательности.
Так, для упражнения в сложении и вычитании можно
применять упражнения, в которых требуется дополнить дан¬
ное число до известного круглого числа. Это упражнение заклю¬
чается в следующем.
130

Допустим, что на данном уроке нужно поупражнять учеников в дооолне-
д*ж двузначных чисел до 100. Для этого учитель пишет на доске «100» и го¬
ворит детям: «Я буду называть различные числа, а вы дополняйте эти числа
оо 100. Например, я скажу 25, а вы должны прибавить к этому числу
рголько единиц, чтобы получилось 100, т. е. 75. Тот, кого я вызову для
Ответа, должен сказать: 75». После этого идёт упражнение в живом и быстром
Кемпе; в течение 3 — 5 минут опрашивается весь класс (для вызова учеников
ре нужно ждать от них поднятия руки). Учитель говорит: тут 231 Ученик
■отвечает; 77! Учитель: 841 Ученик: 161 и т. д.
Это жизненная форма счёта; в широких народных массах все¬
гда пользуются приёмом дополнения при вычитании. Если, на¬
пример, покупателю нужно уплатить за покупку 36 рублей и он
цал в кассу 100 рублей, то кассирша, давая сдачу, будет считать
ао способу дополнения: 4 рубля — 40! (дополнила 36 до ближай¬
шего круглого числа), 60 руб.— 1001 (ещё раз дополнила круглое
число 40 до 100), а всего — 64!
Этот вид устного счёта применим во всех классах, начиная с I.
В качестве круглого числа можно брать 10, 20 — в I классе,
100 — во II классе, 1 000 — в III классе, 100, 200 и 1 000 —
в IV классе
Можно придать счёту-дополнению и несколько иную форму,
а именно- можно за постоянное число взять не результат, как
в предыдущем упражнении, а какое-нибудь слагаемое. Получится
упражнение в сложении.
Учитель даёт ученикам такое указание: «Я буду называть различные числа,
а вы к каждому названному числу прибавляйте, допустим, по' 8 (учитель мо¬
жет записать это число на доске), например, я скажу: 271 А вы прибавьте
про себя к этому числу 8, получите 35. При вызове ответьте: 351 Внимание!
Начинаем^
После этого достаточно быстро ведётся занятие. Учитель: 64! Ученик: 721
Учитель: 291 Ученик: 371 и т. д.
Понятно, что в качестве постоянного слагаемого можно брать
различные числа: для младших классов это будут однозначные
числа, для старших — и однозначные, и двузначные.
6.	Последовательное прибавление и отнима¬
ние Данного числа. Упражнениям в устном сложении и вы¬
читании можно придать ещё более экономную форму, укладывая
в минимум времени максимум вычислительной практики. Для это¬
го достаточно назвать ученикам только первое отправное число и
указать то постоянное число, которое надо последовательно при¬
бавлять или отнимать, чтобы получать всё новые и новые суммы
или остатки.
Указания со стороны учителя для этого упражнения будут таковы: «Я на¬
зову число. Вы прибавьте к нему 12, к полученной сумме прибавьте ещё
раз 12, к вновь полученной сумме прибавьте снова 12 и т. д. Пусть первое
число будет 3. Прибавив к нему 12, вы получите 15; к 15 прибавив 12, полу¬
чите 27 и т. д. Называйте только результаты: 15, 27, 39. .. Все вычисления
делайте про себя». После этого учитель называет постоянное слагаемое, до¬
пустим, 11. Затем границы счёта — первое и последнее число — допустим, 2
и 90. Вызванный ученик считает: «2, 13, 24, 35, 46». Следующий вызванный
ученик продолжает: «57, 68,	79, 90».
131

Таким же путём проводится упражнение и в вычитании, только
здесь сначала даётся верхняя граница, потом нижняя.
Например, учитель даёт задание: «Первое число 93. От 98 отнимите 12
и дальше от каждого остатка отнимайте снова по 12. пока это будет воз¬
можно. Называйте только результаты». Вызванный ученик отвечает: «98, 86,
74, 62». Следующий ученик продолжает: «50, 38, 26, 14, 2».
7.	Составление данной суммы из двух сла¬
гаемых. Наконец, полезно проводить и такое упражнение,
которое приводит к составлению данной суммы двух слагаемых.
Для этого учитель даёт ученикам какое-нибудь постоянное число в каче¬
стве суммы и говорит: «Запишите 10 таких примеров на сложение, в которых
сумма равна 35». Ученики пишут:
1) 17+18=35; 2) 24 + 11=35; 3} 9+26=35;* 4) 20+15=35 и т. д.
8.	Упражнения в умножении и делении, а) Учи¬
тель ^даёт ученикам постоянный множитель, допустим 3, а затем
■называет ряд чисел, которые умножаются учениками на этот
множитель.
Например, учитель говорит: 12! Ученик отвечает: 361 Учитель: 15! Уче¬
ник: 45!-«Учитель: 261 Ученик: 78! и т. д.
б)	Подобные упражнения проводятся и на деление. В качестве
«сходного числа при этом берётся какое-нибудь большое число,
богатое множителями, например 80 тысяч, 60 тысяч и др.
в)	Учитель может предложить ученикам написать несколько
/возможно больше) примеров на умножение двух чисел, кото¬
рые дают какое-нибудь постоянное произведение, допустим, 72.
В конечном счёте получится следующая таблица:
1	X 72 = 72
2	X 36 = 72
3	X 24 » 72
4	X 18 = 72
6X12 = 72
8	X 9=72
9	X 8 = 72
12 X 6=72
18X4 = 72
24 ХЗ = 72
36 Х2= 72
72X1 = 72
Суть этого упражнения заключается в
множители.
разложении
числа на
Игры.
Многие упражнения в устном счёте производятся в форме
игры; такие упражнения особенно заинтересовывают детей.
Из игр наибольшее распространение получили в школе следую¬
щие:
1.	И г р а «в м о л ч а н к у». Для игры берётся квадрат или круг*
в центре которого и по окружности расположены числа (см.
<стр. 37). Около числа, расположенного в центре, ставится знак^
одного из арифметических действий. Постоянным компонентом]
132

считается это центральной число. Процесс игры заключается в
следующем:
На классной доске вывешивается круг. Допустим, что в центре круга
стоит цифра 8, а возле неё стоит знак сложения 4-. Один из учащихся вы¬
зывается к доске. Учитель указкой показывает число на окружности. Ученик
прибавляет про себя к этому числу центральное число и записывает резуль¬
тат на доске. Учитель показывает другое число, ученик прибавляет к нему
центральное число и результат записывает на доске. Все эти оперший про¬
водятся при абсолютной тишине: учитель молча показывает цифры, ученик
молча производит действие и записывает результат, ученики молча, подня¬
тием рук, сигнализируют допущенную ошибку. Оттого эта форма занятий по¬
лучила название «молчанки».
Помимо образовательного, эта игра имеет и воспитательное
значение: она укрепляет дисциплину класса. Её можно применять
в I и зо II классах. Круг можно заменить числовой фигурой
другой формы — треугольной, прямоугольной (например, рис. 15).
'5	28
V	35
18
68- 12
Рис. 15.
2.	Арифметическое лото. Игра проводится так. Кар¬
точки и ответы к ним раздают детям на руки. Они решают при¬
меры и закрывают их карточками с ответами. Для наблюдения
за правильностью решения можно ввести взаимную проверку
(счётчики и контролёры). Можно проводить игру и так, как про¬
водится обыкновенное лото. В этом случае все карточки-примеры
складываются в коробочку и передаются одному ученику, кото¬
рый называет примеры, а те, у* кого оказались ответы на примеры,
накрывают их соответствующей карточкой.
Выигравшим считается тот, кто раньше других накрыл всю
карточку, причём его решение проверяется всем классом. Дети
играют в эту игру с большим интересом. Многие из них успевают
не только сами накрыть примеры, но и посмотреть, правильно ли
накрыл сосед. На игру можно отводить 10 минут в конце урока.
Игру можно проводить на сложение и вычитание в пределе 20
и на все действия в пределе 20 в I классе, на таблицу умножения
и деления и «а все действия в пределе 100 во II классе.
3,	Круговые примеры. Это упражнение очень интересует
детей, хотя и не является игрой в собственном смысле этого
слова. На отдельных полосках бумаги пишутся примеры, которые
кладутся в конвертик и скрепляются скрепкой. Такие пачки изго-
133

	.«ап аи числу учащихся. Примеры составляются так, чт*
каждый следующий пример начинается с результата предыду
щего примера:
10+ 8 =
24X3-
72 — 24 —
48 :	3 =
Упражнение с круговыми примерами проводится следующим образом.
Раздав учащимся пачки примеров, учитель говорит: «Дети, начинайте решать
с какого хотите примера. Но когда решите первый, то ищите следующий,
начинающийся таким числом, какое получилось от решения первого примера.
Когда найдёте, решайте его и вновь ищите пример, начинающийся с ответа
второго примера. И так продолжайте до конца. Если вы не найдёте примера,
который бы начинался с предыдущего ответа, это значит, вы ошиблись где-то,
и вам надо проверить решение». О том, что последний ответ должен равняться
первому числу первого примера, учитель может не говорить, чтобы, пользуясь
этим свойством, можно было легко проверить правильность решения. Про¬
верка проводится так.
Учитель вызывает одного из учеников и спрашивает его, сколько у него
получилось в ответе и с какого числа он начал. Если эти числа равны, то
все примеры решены верно.
Дети с увлечением занимаются вычислениями и с чувством
радости, воспринимают совпадение первого и последнего чисел,
что сви гетельствует о правильном решении примеров. Эти упраж¬
нения применимы в I и во II классах.
4.	Занимательные квадраты. Хорошее упражнение
для усвоения таблицы сложения в пределе 20 в I классе дают
занимательные квадраты. Для упражнения с занимательными
квадратами можно иметь готовые квадраты, разделённые обычно
на девять клеток, и 9 цифр к ним. Но квадраты можно чертить
на доске и в тетрадях учащихся. Занятиям можно придавать
характер игры или же вести их в плане обычных занятий на
уроке.
Для этого учитель чертит на доске квадрат, делит его на 9 клеток и
дает ученикам перечень тех чисел, которыми должны быть заполнены клетки.
«Нарисуйте квадрат, разделите его на девять клеток. Заполните эти клетки
цифрами I, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 так, чтобы в каждом ряду и столбце
получилось 15». Ученики заполняют. Может быть несколько вариантов запол¬
нения квадрата пои данных условиях. Например (рис. 16).
1
9
8
1
6
4
3
8
б
7
2
3
5
7
9
5
1
8
3
4
4
9
2
2
7
6
Рис 16
Заниматечьные квадраты из 9 клеток, имеющие сумму 15
в каждом ряду, столбце и диагонали (см. второй и третий ква¬
драты) , должны иметь число 5 в середине, а чётные числа в четы¬
рех углах квадрата; возможны 8 таких квадратов. Получив один
134

Е них, можно найти все остальные путем вращения и перевёрты-
цния его всевозможными способами.
Легко убедиться, что заполнение квадратов — дело сложное.
Ученику приходится испробовать десятки-комбинаций, прежде чем
получится то, что нужно. И вот эти-то пробы, пересчёт в высокой
степени полезны. Ребёнок, не замечая, проделывает большое ко¬
личество упражнений, в результате которых хорошо усваивается
таблица сложения.
Во И классе можно дать квадрат из 16 клеток. Если взять
последовательные числа от 1 до 16 включительно и расположить
нх в этом квадрате так, как указано на чертеже, то сумма чисел
в каждом столбике, ряде и диагонали будет 34.
Для получения занимательного квадрата из 16 клеток будем
пользоваться следующим приёмом:
/
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
/3
14
15
16
Рис. 17.
1
14
15
4
12
7
6
9
8
11
10
5
13
'2
3
16
Рис. 18.
Возьмём квадрат из 16 клеток и в горизонтальных рядах его разместив
последовательно ряд чисел 1, 2, ... 15, 16 (рис. 17).
Оставив числа 1, 4, 13, 16 в угловых клетках, а числа 6, 7, 10, 11 в сред¬
них, будем менять местами каждую пару таких чисел, которые в сумме
дают 17. Такими парами будут 2 и 15, 3 и 14, 5 и 12, 9 и 8. После перестано¬
вок будем иметь квадрат (рис. 18). Сумма чисел этого квадрата равна* 34. Он
обладает всеми свойствами квадратов, указанных выше. Кроме того, 4 числа,
расположенные в средних четырёх квадратах или в углах большого квадрата,
дают ту же сумму; действительно, 6 4- 7 + 10 + 11 » 34; 1 4* 4 4- 13 4* 16 = 34.
Эту же сумму дают и следующие группы чисел: 15, 14, 3 и 2; 12, 8, 9 и 5;
15, 9, 8 и 2; 14, 12, 5 и 3.
5.	Угадывание задуманных чисел. Есть целая серия
упражнений-игр на угадывание задуманных чисел начиная
с очень простых и кончая весьма сложными. Эти упражнения тоже
способствуют развитию навыков быстрого устного счёта.
Самая простая игра этого рода заключается в том, что учитель пишет
на классной доске пример на сложение, допустим, 7+ 13 = 20, закрывает его
газетой и предлагает ученикам угадать, какой пример написан («Я сложил,-^
говорит учитель, — два числа и получил в сумме 20. Какие это числа?»).
Ученики перебирают всевозможные комбинации слагаемых, дающих в сумме 20,
пока какой-нибудь ученик не назовёт 7 4-13 или 13 4- 7.
То же на умножение: «Я перемножил два числа и получил в произведе¬
нии 48. Угадайте, какие числа я перемножил?» Ученики называют различные
135

комбинации сомножителей (] X 48; 2 X 24; 3X16; 4X^2; 6X8; 8 X 6; 12Х»‘
16X3; 24 X 2; 48 Х’1), пока не назовут ту комбинацию, которая записана. Раз
новндность этой игры: учитель пишет на доске несколько примеров,
6 + 8 или 6X9
7+9	9X9
16—8	5X8
9—6	7X6
Вызывается один из учеников, который становится спиной к доске,
а в это время учитель показывает классу ту строчку, которую вызванный
ученик должен вычислить. После этого ученик поворачивается к доске,
и если он напишет и вычислит ту строчку, которая была показа на классу,
то класс говорит: «Правильно», если же он не угадал и вычислит другую
строчку, класс молчит. Ученик продолжает угадывать, и так иногда ему при¬
ходится перерешать весь столбик. Дети увлекаются и этой простои игрой.
Надо добиваться только, чтобы ученики ещё на месте вычислили результаты,
а на классной доске быстро их записывали.
Такого рода игры уместны в Г и отчасти во II классе. В стар¬
ших же классах эта игра усложняется тем, что над задуманным
кем-либо числом предлагают выполнить ряд арифметических дей¬
ствий и затем спрашивают полученный результат, по котором}
определяют тотчас же задуманное число.
Приведём ешё один вид упражнений на отыскание задуман¬
ного числа, который описан в методике Евтушевского:
Одному ученику предлагается	задумать	число. От	задуманного	числа
ученик отнимает число, указанное	учителем, например, 17; полученное	число
увеличивает в 2 раза и говорит классу результат, который получил. Класс
обратным вычислением должен узнать задуманное число. Работа эта очень
интересует учеников и весьма полезна, так как, во-первых, основывается на
обратных поверочных вычислениях и, во-вторых, знакомит учеников с соста¬
вом и анализом сложных формул.
Задача. «Задумайте чётное	число не	больше 60	и не меньше 40;
разделите ваше число пополам и от полученной половины отнимите 16.
Сколько получилось?»
Ученик говорит, положим, 12.
Рейение. 12 получилось,	когда от	половины	задуманного	числа
отняли 16. Значит, половина задуманного числа была 12+16 = 28; так как
половина задуманного числа 28, то всё число равно 28X2=56.
Организация занятий устным счётом.
При устных вычислениях от ученика требуется глубокая со¬
средоточенность, исключительная концентрация внимания. Поэто¬
му занятия устным счётом нужно начинать в обстановке полной
тишины и внутренней собранности ученика. «Внимание! Начи¬
наем!» После такого предупреждения учитель говорит пример
или задачу.
Упражнения в устном счёте нужно вести достаточно живо
и быстро, обязательно вовлекая в эту работу весь класс, всех
учеников.
Упражнения в устном счёте должны быть заранее хорошо
подготовлены: у учителя должен быть достаточно большой набор
136

задач и примеров, все результаты вычислений должны быть ему-
хорошо известны. Форма работы должна быть заранее опреде¬
лена, т. е. учитель при подготовке к уроку должен установить,
будет ли работа проходить на слух, или он будет пользоваться
и записями; будут ли ученики говорить ответы устно, или они их
будут записывать, и т. д.
Упражнения в устном счёте целесообразно проводить в начале
урока, соблюдая непременное требование, чтобы на всём протя¬
жении урока вычисления над небольшими числами проводились
устно.
Проводя упражнения, выполняя намеченный план, учитель
должен внимательно следить за классом, и если будут замечены
аризнаки утомления учащихся, то эти занятия должны прекра¬
щаться.
Навыки в устном счёте должны оцениваться так же, как оце¬
ниваются навыки в письменном вычислении и решении задач.
Для этого учитель должен производить индивидуальный опрос
учеников; в этих же целях могут быть с успехом использованы
также сложные примеры, решаемые в порядке беглого счёта.
Пристуная к беглому счёту, учитель даёт задание заготовить ли¬
сточки и на них записывать ответ на каждый пример. По окончании
упражнений учитель собирает листочки и по ним производит оцен¬
ку успеваемости в устных вычислениях.
В школьной практике не принято давать учащимся на дом при¬
меры для устного счёта; на дом даются только задачи и примеры
для письменных вычислений. В основном это правильно: письмен¬
ные работы являются хорошим средством контроля. Однако, со¬
вершенно избегать заданий по устному счёту нецелесообразно:
домашние упражнения могут оказать существенную помощь з вы¬
работке навыков быстрого устного счёта.
Учащимся 1 и II классов, где практикуются преимущественно
устные приёмы вычислений, можно изредка давать «столбики»
для упражнений в устном вычислении с последующей проверкой
в классе выполнения этой работы. Точно так же изредка можно
давать для домашних упражнений столбики из задачника и уча¬
щимся III и IV классов.
Эти упражнения полезны тем, что они заставят ученика в спо¬
койной домашней обстановке совершенно самостоятельно про¬
думать и подыскать для каждого примера наиболее рациональ¬
ные приёмы вычислений и запомнить наиболее часто встречаю¬
щиеся в практике результаты вычислений.
Выше приведено много разнообразных видов упражнений
в устном счёте. Наиболее употребительными из них будут:	реше¬
ние простых и сложных примеров, решение простых и сложных
задач. Другие виды упражнений будут применяться реже. Однакс
и они должны найти себе место на уроках арифметики. Они
оживляют работу по устному счёту, создают у детей повышенный
интерес *:< нему. А тот, кто возбудит у детей интерес к устным
137

	пс^шшенни, дооьется больших успехов; и, наоборбг
как бы «методично» ни преподавал учитель, но если он не зарей
ннт в детскую душу искру любви к арифметике и в частности
к счёту, к вычислениям, если у детей будет равнодушное, -бёзраз*
личное отношение к этому предмету, то на крупные, яркие успе¬
хи рассчитывать трудно. Какую большую роль в этом деле играет
учитель, его отношение к делу, видно из примера педагогической
деятельности С. А. Рачинского, который, работая в сельской
школе в 80-х годах прошлого столетия, поставил устный счёт на
небывалую высоту.
Вот что пишет этот педагог о причине своих успехов:
«Посторонних посетителей, изредка заглядывающих в мою школу, всего
более поражает умственный счёт её учеников. Та быстрота и лёгкость, с ко.
торой они производят в уме умножения и деления, обращаются с мерами
квадратными и кубическими, соображают данные сложной задачи, то радост¬
ное оживление, с которым они предаются этой умственной гимнастике, наводят
на мысль, что в этой школе употребляются особые, усовершенствованные
приёмы для преподавания арифметики, что я обладаю в этом отношении каким-
то особым искусством или секретом.
Ничего не может быть ошибочней этого впечатления. Конечно, теперь
я владею некоторым навыком к умственному счёту, могу импровизировать
арифметические задачи в том быстром темпе, в котором они решаются моими
учениками. Но до этих скромных умений довели меня, или лучше сказать, до¬
мучили сами ученики.
Именно домучили. Никогда не занимался я специально арифметикой,
упражняться в умственном счёте никогда и не думал. Принялся я за препо¬
давание счёта в сельской школе, не подозревая, на что я иду.
Не успел я приступить к упражнениям в умственном счёте, которые до
тех пор в школе не практиковались, как в ней к ним развилась настоящая
страсть, не ослабевающая до сих пор. С раннего утра и до позднего вечера
стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе —
с требованием умственных задач. Считая эти упражнения полезными, я отдал
себя в их распоряжение. Очень скоро оказалось, что они опережают меня,
что мче нужно готовиться, самому упражняться.
' Беспрестанная усиленная возня с цифрами нагнала на меня настоящий
арифметический кошмар, загнала меня в теорию чисел, заставила меня неодно¬
кратно открывать Америку, т. е. неизвестные мне теоремы Фермата и Эйлера».
Из этих откровенных признаний Рачинского видно, что секрет
его выдающихся результатов заключался в его беспрерывной ра¬
боте над собой, в его «усиленной возне с цифрами», в беспрерыв¬
ном продвижении вперёд.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ.
ВЫЧИСЛЕНИЕ НА СЧЕТАХ К
Счёты, как уже неоднократно указывалось, представляют со-
-бой прекрасное наглядное пособие для выяснения понятия о раз¬
личных счётных единицах и десятичном составе чисел, для иллю¬
стрирования приёмов вычисления.
Но счёты играют в жизни и другую роль — роль счётного
•прибора. 11	Изложено в основном по Арженикову.
138

Русский народ всегда широко пользовался и пользуется счё¬
сами для вычислений, так как счёты дают возможность произво-
|кть вычисления легко, правильно и быстро. Это — русский
1ац!И0нальный счётный прибор, чрезвычайно простой по своему
устройству и максимально приспособленный к десятичной систе¬
ме счисления.
Школа обязана не только показать, как производятся на счё¬
тах вычисления, но и дать ученикам некоторый навык произво¬
дить вычисления, ограничиваясь хотя бы сложением и вычита¬
нием.
Приступая к сложению и вычитанию на счётах, надо познако¬
мить учащихся с устройством русских торговых (конторских)
счетов. Такие счёты должны иметь каждые два ученика, сидящие
за одной партой. Учитель ведёт объяснения, пользуясь большими
классными счётами такого же устройства.
В вопросо-ответной форме учитель сначала сообщает учени¬
кам некоторые сведения о самих счётах и о приёмах работы на
них.
«Нижнюю проволоку, — говорит учитель, — назовём первой. Укажите вто¬
рую проволоку, третью, четвёртую. Слушайте, дети: каждый шарик первой
проволоки означает простую единицу. Что означает шарик второй проволоки?
третьей? четвёртой? Какое число положил (обозначил) я? 'Почему вы говорите,
что я положил 4 единицы? Пойди, положи 7, 5, 9. Какое число теперь поло¬
жил я? Почему говорите вы, что это 30? Ступай, положи 20, 80, 60. А теперь
какое число я положил? Почему отложенное число — это 700? Ступай, положи
400, 500, 300».
Затем учитель обозначает на счётах числа, состоящие из единиц несколь¬
ких разрядов, двузначные и трёхзначные. Дети читают и объясняют, почему
они так прочитали эти числа. Далее учитель диктует числа, а ученики кладут
их на классных счётах.
После этого детям раздаются ручные счёты.
«Покажите средний палец на правой руке. Этим пальцем всего удобнее
класть шарики (косточки). Положите одну единицу. Скиньте. Положите деся¬
ток. Скиньте. Положите сотню, тысячу. Положите числа 2, 20, 200, 3, 30, 300;
К 2, 3 шарика можно положить сразу, не считая. Положите 6 единиц. Вы
видите, что 6 шариков вы клали не сразу: насчитывали их. А это долго. Для
того чтобы можно было скорее класть числа на счётах, два средних шарика
сделаны чёрными. Поставьте палец между чёрными шариками. Сколько шари¬
ков налево от пальца? Положите 5 единиц. Положите 5 десятков, положите
5 сотен. Поставьте палец перед первым черным шариком (налево от чёрных
шариков). Сколько шариков тогда положится? Положите 4 единицы. Поло¬
жите 4 десятка. Положите 4 сотни. Поставьте палец после второго чёрного
шарика (вправо от чёрных шарь сов). Сколько шариков мы тогда захватим?
Положите 6 единиц. Положите 6 десятков. Положите 6 сотен. Куда же надо
поставить палец, когда хотим положить 6 шариков? Когда требуется положить
4 шарика? Когда надо положить 7 шариков? (Кладёт 7 шариков, оставшиеся
закрывает рукой.) Сколько шариков положил я? Сколько шариков осталось
направо? (Сколько шариков закрыл я рукой?) Как это узнать? Слушайте, дети:
когда требуется положить 7 шариков, то мы должны сообразить, что направо
должно остаться 3 шарика, и поставить палеи так, чтобы направо от него
было 3 шарика Положите 70. Положите 700 Как надо поставить палец, когда
требуется положить 8 шариков? Положите 8. Положите 80. Положите 800.
Как надо поставить палец, когда требуется положить 9 шариков? Положите 9.
Положите 90. Положите 900».
139

После сделанных разъяснений ученики кладут на счётах раз¬
личные числа первой тысячи, которые называет учитель.
Сложение и вычитание на счётах надо начинать с про¬
стейших случаев, когда действие выполняется на одной проволоке.
Зто — сложение единиц с единицами (3 + 5), десятков с десятками
(20 + 60), сотен с сотнями (400 + 500), когда в сумме получается
не больше 9; вычитание единиц из единиц (8 — 3), десятков из
десятков (60 — 40), сотен из сотен (700 — 300).
Затем надо перейти к сложению и вычитанию двузначных
и трёхзначных чисел в тех случаях, когда сложение совершается
без превращения единиц или десяткой, а вычитание — без раз¬
дробления сотни или десятка.
После этого показывается сложение и вычитание составных
именованных чисел, выраженных в рублях и копейках.
Здесь надо объяснить детям, что на нижней, с 10 шариками,
проволоке кладутся копейки, на следующей — гривенники; на
третьей проволоке кладутся рубли; на следующих проволоках —
десятки рублей, сотни, тысячи рублей.
Далее рассматриваем "сложение единиц, десятков и сотен,
дающих в сумме единицу следующего высшего разряда (7+3,,
60 + 40, 800 + 200); вычитание единиц из десятка, десятков из
сотни, сотен из тысячи (10 — 4, 100 — 70, 1 000 — 500). Эти слу- *
чаи сложения и вычитания дети могут первоначально произво¬
дить так.
Пусть, например, надо к 7 прибавить 3. Ученики кладут на проволоке еди¬
ниц 7 шариков, потом ещё 3. Отложенные 10 шариков сбрасывают и вместо
них кладут один шарик на второй проволоке. Пусть требуется от 100 отнять 60.
Ученики раздробляют сотню в десятки: сбрасывают шарик, положенный на
третьей проволоке, и кладут 10 шариков на второй проволоке, от которых н
отнимают 6 шариков.
Но потом надо приучить детей поступать в таких случаях
следующим образом.
На проволоке единиц положено 7 шариков: к ним надо прибавить еще 3.
Делаем сложение в уме’ 7 4-3 = 10. Кладём шарик на второй проволоке
и сбрасываем отложенные 7 шариков с первой проволоки. На третьей прово¬
локе положен 1 шарик — 1 сотня; отсюда нужно отнять 60. Делаем вычита¬
ние в уме: 100 — 60 = 40. Сбрасываем шарик с третьей проволоки и кладём
4 шарика на второй.
Затем даются примеры на сложение двузначных и трёхзнач¬
ных чисел, когда сумма десятков или единиц равна 10, и примеры
на вычитание двузначных и трёхзначных чисел из круглых десят¬
ков, круглых сотен и из тысячи.
Подобные же случаи сложения и вычитания проходятся потом
на именованных числах, выраженных в рублях и копейках.
Наконец, мы приводим такие случаи сложения, когда сумма
десятков или единиц превышает 10, и такие случаи вычитания,
когда десятков или единиц в уменьшаемом меньше, чем в вычи¬
таемом.
140

Предварительно надо рассмотреть относящиеся сюда случаи
табличного сложения и вычитания (8 + 7; 12 — 5; 140 — 80).
«Положите 8. К 8 прибавьте 7. Есть ли 7 шариков на первой проволоке?
Сколько их есть?» (Есть только 2 шарика.)
«Прибавьте их к 8. Сколько шариков положено теперь на первой прово¬
локе? Чем можно заменить их? Замените. Сколько прибавили мы к 8? А сколько
надо было прибавить? Сколько ешё осталось прибавить? Положите. Сколько
же получилось, когда к 8 мы прибавили 7?»
«Теперь я покажу вам, как можно по-другому прибавить 7 к 8. Смотрите
сюда. У меня на столе (или на планке доски) лежат 8 палочек. Я хочу, чтобы
здесь было на 7 палочек больше. Как это сделать?* (Прибавить 7 палочек.)
«Но отдельных палочек, кроме тех 8, у меня только 2; прочие же палочки
связаны в пучки по 10 штук. Кто может сделать так, чтобы на столе стало
7 палочками больше, но пои этом не развязывать пучков?»
Ученики могут сообразить (а если нет, учитель объяснит сам): положить
на стол /голый пучок и сиять со стола 3 палочки.
, «Когда вместо 7 палочек мы положили на стоп 10 палочек, то сколько
/лишних палочек прибавили мы? А когда сняли со стола 3 палочки, будут
ли на столе лишние палочки? Положите теперь па счётах 8 единиц. Как
же прибавите вы сюда 7 единиц, когда на первой проволоке осталось только
2	шарика? Положим 10" ?1 шарик на второй проволоке) и скинем 3 (3 шарика
с первой проволоки). Положите 15. Отсюда надо вычесть 7. Сколько шариков
можно скинуть с первой проволоки? Скиньте. Сколько осталось отнять? Как
отнимете вы 2 от десятка? Чем можно заменить Шарик второй проволоки?
Замените. Что теперь надо сделать?» (Скинуть 2.) «Скиньте. Сколько полу¬
чилось?»
Затем учитель показывает детям иной приём вычитания 7 из 15* отнять
десяток и прибавить 3 единицы. На этот приём можно навести учеников по¬
добно тому, как это сделано в соответствующем случае сложения. На столе
лежат 15 палочек: I пучок и 5 палочек; кроме того, есть палочки, например,
в коробке.
«Как взять* со стола 7 палочек, не развязывая пучка? Если мы возьмём
со стола пучок, то мы снимем не только те 7 палочек, которые нам надо
снять, но ещё лишних 3 палочки, которые должны бы остаться на столе.
3	лишне снятые палочки надо вернуть назад»- Мы сделаем это, если вместо
них положим на стол 3 палочки со стороны (например, из коробки). Попожите
на счетах 15. Как отнимете вы отсюда 7? Почему скинете десяток?» (Потому
что здесь—в 15 — только 5 единиц.) «А зачем положите вы потом 3 еди¬
ницы?» (Когда мы скинули 10, то отняли лишних 3 единицы; очи должны
остаться, их надо вернуть назад.)
Затем идут примеры на сложение и вычитание двузначных
и трёхзначных чисел, сначала отвлечённых, потом именованных,
выраженных в рублях и копейках.
Сложение и вычитание на счётах отличается от общих, или
нормальных, приёмов выполнения этих действий в тех случаях,
когда сложение совершается с превращением единиц или десят¬
ков, а вычитание — с раздроблением сотни или десятка; здесь при
вычислениях на счётах употребляется частный приём округления;
чтобы придать 7 к 28, придаём 10 и скидываем 3; чтобы вычесть
7 из 42, вычитаем 10 и придаём 3. Для возможно быстрого вы¬
числения следует знать наизусть таблицы сложения и вычитания;
все же остальные результаты получаются на самих счётах меха¬
нически.
141

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ.
ПЕРВЫЙ ДЕСЯТОК.
При обучении детей первому десятку перед учителем стоят
следующие основные задачи:
1.	Научить детей считать до 10, сочетая обучение счёту
с развитием ясного представления о каждом числе: о его месте
в ряде натуральных чисел, о величине и составе числа, об обо¬
значении числа цифрой. 2. Научить писать цифры. 3. Обучить
сложению и вычитанию в пределе 10, дав детям твёрдое
знание (наизусть) таблицы сложения. 4. Дать детям пер¬
вые навыки в решении простых задач на сложение и вы¬
читание.
Так как обучение первому десятку является началом ра¬
боты по арифметике, то здесь очень важно положить начало
воспитанию у детей полезных навыков и привычек:	привычки
бережно обращаться с задачником, аккуратно вести тетрадь по
арифметике, производить чистые и красивые записи, точно выпол¬
нять домашние задания, поддерживать строгий порядок в вещах,
чтобы у ушника находилось все па своём месте.
Изучить счёт до 10—это значит:
а)	знать название первых десяти чисел и уметь произносить
эти названия в их естественной последовательности;
б)	понимать, что при пересчитывании той или иной совокуп¬
ности предметов последнее произнесённое слово — числительное —
означает, сколько всего предметов в данной совокуп¬
ности;
в)	знать не только место каждого числа в натуральном ряде
чисел (какому числу предшествует данное число, за каким чис¬
лом оно следует), но и иметь ясное представление о величине
тон совокупности, обозначением которой это число является.
Таким образом, обучение счёту соединяется с развитием у де¬
тей представления о каждом числе первого десятка в отдель¬
ности,
'Когда в школу поступали дети восьмилетнего возраста, во¬
прос обучения этих детей счёту не стоял остро, так как почти
все восьмилетки умеют считать до 10 и далее. Но по-иному встал
вопрос об обучении счёту, когда в школу пришли дети семилетнего
возраста, не воспитывавшиеся в детском саду. Часть таких детей
умеет считать до 10; но у многих детей навыки счёта или огра¬
ничены небольшим кругом чисел (до 5—-6), или страдают раз*
ными существенными дефектами (подробно исследованными
Ф. Н. Блехер).
Некоторые дети-семилетки умеют произносить названия пер¬
вых десяти чисел, но ошибаются в последовательности этих чи¬
сел, например, считая, они говорят так: «Один, два, три, пять,
142

семь, четыре» и т. д, Другие хорошо знают числовой ряд, но это
знание носит у них механический характер. Они не понимают
Смысла счёта, название чисел они относят не ко всей совокупно¬
сти пересчитываемых предметов, а к отдельному, единичному
предмету. Такие дети не понимают, что при счёте последнее на¬
звание числительного характеризует собой в количественном отно¬
шении всю группу и относится поэтому ко всей группе, а не к
единичному последнему предмету.
Правильно пересчитав предметы, они не могут ответить на
вопрос: «Сколько же всего предметов в данной группе?» У этих
детей счёт вообще не связан с представлением о группе, о мно¬
жестве, о совокупности предметов. Такие дети недалеко ушли
от того 4-летнего мальчика, который на предложение пересчитать
свои пальцы считал так: «Один, два, три, четыре, семь». Когда
же учитель загнул его пятый пальчик н предложил ему пере¬
считать вытянутые пальчики снова, мальчик считал: «Один, два,
три, четыре... а семь вы загнули», — добавил этот мальчуган,
обнаружив тем самым, что он усвоил только внешнюю форму
счёта, что каждое название числительного он ассоциировал с
определённым пальцем и при счёте не принимал во внимание всей
группы в целом.
Такие дети, т. е. дети, не умеющие считать дальше весьма
ограниченного круга чисел или знающие числовой ряд, но не
умеющие считать сознательно, встречаются среди детей-семиле-
ток, которые поступают в школу.
Первая задача учителя при обучении детей арифметике за¬
ключается в том, чтобы научить их считать сознательно в пре¬
деле 10. Сознательным будет такой счёт, когда с каждым назва¬
нием числа у ребёнка возникает правильное представление
о группе предметов, обозначаемой этим числом.
Чтобы достигнуть этой цели, операцию счёта на первых порах
нужно соединить с наглядным и вполне конкретным процес¬
сом образования группы путём присчитывания ещё од¬
ного предмета или одной единицы. Иначе говоря, нужно учить
считать не только на пересчитывании готовых групп, данных
множеств, но и на тех группах, которые создаются, образуются
самим учеником. Создавая группы, считать их, присчитывая по<
одному, — таков должен быть основной метод обучения счёту.
Вот «один» кубик. Прибавим к нему еще один кубик. Образовалось
«два» кубика. Вот «один» стул. Присчитаем к нему еще один стул. Образова¬
лось «два» с гула. У ребенка складывается представление, что’ «два» образуется,,
когда к одному предмету присоединяется ещё один.
Вот «два» кубика. Прибавим к двум ещё один кубик. Образовалась
группа о «три» кубика. К двум стульям присоединим ещё один стул. Полу¬
чился ряд в «три» стула Вообще, когда к двум присчитываем ещё единицу,
получается группа «три». Когда к трём прибавляется ещё единица*, получается
группа в «четыре» предмета и т. д.
Ученик сам создаёт группу и этой группе в целом даёт
название «два», «три», «четыре», «пять» и т. д. Не единичному
143;

предмету присваивается название «пять», как это бывает, когда
ученик пересчитывает готовый ряд предметов, а именно группе
-в целом.
Как только ученик создал группу, сейчас же ставится вопрос:
«Сколько получилось предметов?» Даётся ответ, называется но¬
вое число, и это названное число ассоциируется с данным мно¬
жеством. От этого название нового числа получает совершенно
определённое и вполне конкретное содержание. Величина числа
конкретизируется через величину той совокупности предметов,
обозначением которой оно является.
В результате такого счёта ученик усваивает последователь¬
ность натурального ряда чисел, научается принимать во внимание
каждый предмет и в то же время научается относить последнее
названное число к целой группе.
Рис. 19.
В дальнейших упражнениях процесс счёта при пересчитыва¬
вши предметов готового ряда упрощается. Присоединение пред¬
метов становится ненужным, ученик при счёте ограничивается
только прикасанием к предметам; а дальше и это становится
лишним: каждый пересчитываемый предмет отмечается только
движением" глаз. Громкое называние чисел ученик заменяет про¬
изнесением их про себя и только последнее число называет
>вслух.
Чтобы убедить учеников в том, что при счёте очень важно
запоминать уже названное числительное, и чтобы развить у детей
способность удерживать в памяти всю группу в целом, очень
^полезно упражнять детей в ечёте на слух — счёт хлопков,
ударов. Допущенная при таком счёте ошибка не может быть ис¬
правлена: прозвучавший удар исчезает, и нельзя начинать счёт
с начала, как это бывает при пересчитывании данного ряда пред¬
метов.
Для этой же цели, т. е. для развития способности запоми¬
нать числа при счёте, служат и упражнения в определении коли¬
чества жидких и сыпучих тел, когда приходится наливать опре¬
делённое количество стаканов воды, насыпать определённое
количество песку. «Налейте 5 стаканов воды! Насыпьте 8 чай¬
ных ложек песку!» — такие задания должны иметь место
ятри обучении детей счёту. Выполняя их, ученик считает
ш

медленно и в то же время удерживает в памяти каждое вновь
долученное число.
И, наконец, наиболее ясное и правильное представление о чис¬
ле получается у ребёнка тогда, когда большее число (большая
группа) разбивается на меньшие и когда эта группа даётся
р легко обозримой форме. Этому помогает применение разнооб¬
разных числовых фигур Если четыре предмета расположить по
9 0©
С О о
о © о
О © 9
о ®
О © ©
Рис. 20.
© © о
о © ©
© © ©
о
одной линии 0000, то такое расположение будет очень удобно для
счёта, но неудобно для обозрения целиком этой группы, для
определения, из каких более мелких групп она состоит. Для этой
последней цели очень удобна числовая фигура ::. Глядя на неё,
ребёнок без затруднения и быстро называет число 4. Чтобы
Ф Ф
Ф Ф
ф Ф Ф
в в
• •	•
Ф Ф	•
Рис. 21.
назвать это число, ребёнок должен пересчитать точки, но
а то же время он ясно видит, что четыре — это два и два, четы¬
ре— это три и один, один и три.
Таким образом, числовые фигуры являются средством для
формирования конкретных представлений о числах. Но в то же 11 Под числовой фигурой подразумевают группу предметов (кружочков,
квадратиков), служащую для образования наглядных числовых представлений.
Существуют различные системы числовых фигур. Наиболее старые из них —
фигуры Буссе. В них все числа первого десятка составлены либо из пар. либо
из троек (рис. 19). Самые новые числовые фигуры — это фигуры английского
педагога Макиндера. В них все числа составлены из троек (рис. 20). Большим
распространением пользуются так называемые квадратные числовые фигуры
Лая. В них все числа построены из пар, соединённых по две (рис. 21).
10 А. С. Пчёлко
145

орсмн они служат и средством для абстрагирования числа,
они показывают ребёнку, что число не зависит от формы распо¬
ложения предметов; форма различна, а число одно и то же.
Большое значение имеет счёт предметов, расположенных
в последовательном порядке («по одной линии»): он способствует
образованию более точного представления о числах тем, что
ведёт к установлению между ними отношений, а именно ~
что числа следуют одно за другим, что каждое последующее чи¬
сло больше предыдущего, что каждое предыдущее число
меньше последующего. На этой основе происходит в дальней¬
шем усвоение операций над числами — сложения и вычитания.
Порядок об}чения счёту в пределе 10.
На первых уроках учитель выявляет'у детей запас числовых
представлений, предлагая им считать на счётном материале
и отвлечённо, назвать, сколько предметов в данной совокупно¬
сти, прибавлять и отнимать по одной и несколько еди¬
ниц на наглядных пособиях и отвлечённо. Такая проверка
вскроет перед учителем картину состояния счётных и вычисли¬
тельных навыков у детей, покажет учителю, кто из детей класса
много знает и у кого эти навыки находятся на низком уровне. Про¬
верка даст учителю материал для составления реального плана
занятий с классом в целом и с некоторыми детьми индивидуально.
В этот план должно войти обучение детей сознатель¬
ному счёту и параллельно с этим развитие у учащихся пред¬
ставления о каждом числе первого десятка в отдельно¬
сти. Для этого первые уроки должны быть построены на отдель¬
ных числах в порядке натурального ряда чисел: 1, 2, 3, 4,х5
и т. д. до 10 включительно.
Изучая каждое число, нужно сделать следующее:
а)	Показать учащимся на наглядных пособиях, как образует¬
ся данное число путём присоединения к предшествующему числу,
уже изученному, одной единицы; при, этом всякий раз будет по¬
лучаться группа или совокупность предметов, к которой и будет
относиться данное число. Активно создавая эту группу, наблюдая
её, наглядно воспринимая её количественную сторону, учащийся
установит прочные и правильные ассоциации между числом
и соответствующим ему количеством.
б)	Рассмотреть естественные группы предметов, которые ха¬
рактеризуются данным числом: например, при изучении числа
«четыре» рассмотреть четыре ножки у стула, у стола, четыре
ноги у лошади, у кошки и т. п., четыре кружочка в числовой
фигуре, четыре стекла в оконной раме. Это закрепит у детей
представление о мощности, о величине числа; вместе с тем это
будет первой ступенью абстрагирования числа, выделение в раз¬
личных совокупностях его одинаковой количественной
стороны.
146

в)	Провести счёт в пределе изучаемого числа, прямой и об¬
ратный, который вначале выступает как пересчитывание предме¬
тов составленной группы, а затем как отвлечённый счёт; этими
упражнениями достигается твёрдое знание словесного числового
ряда, знание отношения чисел между собой; например:
здсло «пять» больше четырёх, но меньше шести; пять Находится
между четырьмя и шестью; пять следует за четырьмя и
предшествует шести.
г)	Разбить составленную группу предметов на меньшие груп¬
пы, чтобы показать состав данного числа из меньших чисел; на¬
пример, 6 — это два, два и ещё два; шесть —это три и три;
шесть — это четыре и два. Такие упражнения проводятся сна¬
чала на кубиках, на счётах, а затем на числовых фигурах.
д)	В заключение работы над данным числом показывается его-
знак — сначала печатная цифра, потом письменная. Ученики учатся
узнавать печатную цифру и обозначать письменную цифру.
Итак, при изучении числа основное внимание должно быть
сосредоточено на конкретном счёте, на образовании и разложе¬
нии совокупности предметов, на отвлечённом счёте, на образова¬
вши и разложении чисел. Операции со знаками чисел — циф¬
рами — ни в коем случае не должны заслонять собой «живых»
чисел.
В изучение чисел могут быть введены и элементы сложения и
вычитания, производимые на основе знания состава чисел. Одна¬
ко изучение действий на этой стадии работы не обязательно. Это
задача последующего периода. Но если учитель занимается одно¬
временно с двумя классами и ему необходимо давать самостоя¬
тельные работы учащимся, то здесь можно ввести сложение и вы¬
читание, давая учащимся письменные примеры для самостоятель¬
ного решения.
После счёта на предметных наглядных пособиях используется
материал задачника. Однако задачник на этой ступени обучения
арифметике играет второстепенную роль; главное здесь счёт и
вычисления на конкретных предметах, на всякого рода наглядных
пособиях и дидактическом материале.
Наглядные пособия при изучении чисел первого десятка.
Каждый шаг работы по изучению первого десятка должен
сопровождаться применением наглядных пособий. Из демонстра¬
ционных наглядных пособий в классе должны быть:
а)	классные счёты (с одной-двумя проволоками). Они служат
для прямого и обратного счёта, для показа образования числа
путём прибавления единицы, для разложения числа;
б)	кубики арифметического ящика — используются так же*
как и счёты;
в)	числовые таблицы — 10 таблиц, по одной для каждого чи¬
сла; конкретные предметы, изображённые на этих таблицах, слу¬
10*
147

жат для счёта; числовые фигуры — для непосредственного зри¬
тельного восприятия чисел, для сложения и вычитания, для
усвоения состава чисел;
г)	разрезные цифры.
Дидактический материал.
Каждый ребёнок должен иметь у себя для счёта счётный
материал. В качестве такого материала могут быть использованы:
а)	палочки, спички;
б)	вырезанные из бумаги или картона квадратики, прямоуголь¬
ники, треугольники, кружочки и т. д., хранимые учеником в па¬
кетиках, мешочках или ящичках.
Всё, что делает учитель на классных демонстрационных посо¬
биях (счёт, разложение числа, образование нового числа), уче¬
ники повторяют у себя на партах, на своём счётном материале.
Пример изучения числа «четыре».
Учитель, откладывая на классных счётах три шарика, говорит: «Сколько
шариков отложено на счётах?»
Ученик: Три шарика.
Учитель: Теперь к трём шарикам присчитаем ещё один шарик. Сколько
шариков получилось? Пойди посчитай1
У ч е н и к: Один, два, три, четыре. Здесь всего четыре шарика.
Учитель: Как мы получили четыре шарика?
Ученик: К трём шарикам прибавили один шарик, получилось четыре
шарика.
Учитель: Выньте свои палочки! Отложите 3 палочки. Прибавьте к нт
ещё одну. Сколько палочек получилось?
Ученик: К трём палочкам прибавили одну палочку, получилось четыре
палочки.
Учитель: Отложите три кружочка, прибавьте к ним ещё один. Скольхс
получилось?
Ученик: К трём кружочкам прибавили один кружочек, получилось че
тьгре кружочка.
Учитель: Сколько ножек у стула? Сколько ножек у стола? Сколько
стен в комнате?
Ученик: Четыре ножки, четыре стены.
Учитель: Назовите таких животных, у которых (четыре ноги.
Ученик: У лошади четыре ноги, у кошки четыре ноги.
У ч и т е л ь: Посчитайте на кубиках, на классных счётах от одного до
четырёх.
Ученик: Один кубик, два кубика, три кубика, четыре кубика. Один
шарик, два шарика, три шарика, четыре шарика.
Учитель: Считайте теперь от одного до четырёх без кубиков.
Ученики: Один, два, три, четыре.
Учитель: Считайте назад от четырёх до одного.
Ученики: Четыре, три, два, один.
Далее учитель переходит к выяснению состава числа «четыре». Для этого
он откладывает на счётах 4 шарика и спрашивает, как можно разложить четыре
шарика.
148

Ученик: Четыре шарика — это два и ещё два шарика; можно разложить
на два и два (два справа и два слева); три и один; один, один и два, один,
одкн, один и ещё один.
Учитель: Как составить четыре кубика из отдельных кубиков? Как
составить четыре кубика из двоек (пар)? Как составить четыре кубика, чтобы
вошла тройка?
Чтобы закрепить знание состава числа «четыре», учитель показывает уче¬
там числовые фигуры различной формы, предлагая всякий раз сказать, как
составлены эти фигуры, а затем нарисовать их.
Учитель: Нарисуйте в тетрадях четыре кружочка, четыре крестика,
четыре квадратика. Расположите их по-разному в одну линию, — по два, три
и один, один и три.
После этого учитель показывает ученикам печатную цифру «4», фиксируя
внимание учащихся \на начертании этой цифры (слегка наклонная короткая
палочка, палочка вправо и длинная палочка прямо). Ученики показывают эту
цифру в задачнике на разных страницах, находят её среди разрезных цифр,
выложенных учителем на столе, открывают по предложению учителя четвёртую
страницу задачника, книги для чтения; находят четвёртое число в отрывном
'календаре и т. д.
Завершением работы по изучению числа «четыре» может служить
письмо цифры «4». Однако письмо цифры на этой ступени необя¬
зательно; оно может быть отнесено к более позднему периоду.
В заключение вывешивается числовая таблица и таблица-
картинка (рис. 22), на которой дети считают и показывают печат¬
ную цифру.
Таково в основном содержание работы по изучению числа
«четыре» и других чисел в пределе первого десятка.
Рассматривая состав числа «четыре», нужно остановить внимание учащихся
1а всех комбинациях этого числа, но при изучении чисел, больших б, доста¬
точно остановиться только на некоторых комбинациях, чтобы их запомнили
учащиеся, например: семь — это пять и два; семь — это четыре и три; шесть
а один; восемь — это четыре и четыре; пять и три; два, два, два и ещё два
.четыре пары, четыре двойки); десять — это две пятёрки, пять двоек, три
тройки и один.
Рис. 22.
Письмо цифр.
Обучение письму цифр является ответственным моментом
а деле обучения детей арифметике. Чёткость, правильность
и красота в письме цифр всецело зависят от того, как будет по¬
ставлено дело на первых шагах обучения детей арифметике.
Письмо цифр в нашей школе шло параллельно с изучением
чисел, т. е. при изучении каждого данного числа писалась и его
цифра. При таком порядке цифра, знак числа, тесно увязывалась
с самим числом, между ними устанавливалась прочная ассоциа¬
ция. Но такой порядок имеет и крупные недостатки: ученики
очень рано начинают писать цифры, из которых некоторые имеют
весьма сложное начертание, например цифры «2», «5», «8».
Особенно остро ощущается этот недостаток теперь,
когда в школу пришли семилетки. Детей-семилеток явно нецеле¬
сообразно заставлять на другой же день по приходе в школу
писать цифру «два», а затем «три» и т. д. При создавшихся
условиях более правильным будет такой порядок: при изучении
чисел знакомить учащихся только с печатными цифрами, с по¬
мощью которых обозначать действия при решении примеров и
149

Задач; в это же время усиленно заниматься на уроках рус*
ского языка графическими упражнениями, письмом элементов
букв и цифр, с тем чтобы примерно недели через две, когда
кисть детской руки будет развита, приступить к письму цифр.
Отставание в письме цифр сопряжено с некоторыми неудобства¬
ми в двухкомплектных школах, где учитель весьма нуждается
в материале для введения как можно раньше самостоятельной
работы.учащихся; однако с таким неудобством надо мириться,
занимая детей в этот период счётом на предметах, зарисовками,
упражнениями на печатных цифрах.
Каждая цифра имеет свою транскрипцию, своё определённое,
твёрдо установленное начертание. Эту транскрипцию нужно со¬
блюдать строго, не допуская никаких отклонений от установленной
формы. Красота в письме цифр определяется правильной сораз¬
мерностью её элементов. Нарушение пропорций ведёт к искаже¬
нию транскрипции.
Чтобы очертания цифр получались правильными, учитель
должен объяснять детям очень обстоятельно и наглядно, как
именно пишется изучаемая цифра, из каких частей она состоит,
что пишется сначала, что пишется потом, откуда надо начать,
где кончить, как соединить один штрих с другим.
Объясняя способы написания отдельных элементов в цифре,
учитель должен изображать -их крупно, чётко и красиво мелом на
классной доске.
Объяснение письма каждой цифры может быть дано примерно
в следующей форме (при письме в тетради в клетку).
«1». Сначала снизу вверх пишется волосной штрих; он начинается от
средней линии и доводится до верхней; потом проводится грямая черта от
верхней до нижней линии с небольшим наклоном.
«2». Сначала в верхней клетке пишется «головка», начинается она
недалеко от правой стороны клетки, ведётся вниз и закругляется влево, далее
ведётся вверх до верхней линии и закругляется вниз, ведётся до нижнего
левого угла; потом пишется волнистая черта. Эта цифра состоит из двух
частей — «крючка» и волнистой линии. Очертание этой цифры является самым
трудным для детей. Поэтому целесообразно упражнять детей о письме её
отдельных элементов — «крючка» и волнистой линии.
«3». Эта цифра состоит из трёх элементов: верхний полуовал, нижний
полуовал и точка. Пишется она так: начинается недалёко от левой стороны
верхней клетки, ведётся вверх, касается верхней линии клетки и закругляется
вниз, касаясь правой линии, и немного' Не доводится до средней линии; от¬
сюда начинается второй полуовал, который заканчивается точкой. Нижний
полуовал больше верхнего; точка находится на левой стороне нижней клетки.
Оба полуовала имеют нажим справа.
«4». Эта цифра состоит из трёх элементов — палочек: первая начинается
от верхней стороны верхней клетки, ведётся вниз и немного заходит за сред-
150

йюю линию, дальше ведется чёрточка вправо и чуть-чуть не доходит до пра¬
вой стороны клетки; затем пишется длинная палочка, начинается она немного
ниже верхней стороны клетки.
«5». Эта цифра состоит из трёх элементов: небольшая палочка, полуовал
с точкой внизу и узелок вверху.
Пишется она так: сначала пишется небольшая прямая палочка в верхней
клетке; начинается она от верхней линии поближе к левой стороне клетки
в кончается, не доходя до средней линии: потом пишется полуовал, заканчи¬
вающийся точкой, которая ставится на левой стороне клетки; наконец, сверху
от прямой палочки пишется вправо узелок. Полуовал пишется с нажимом
справа.
Здесь полезно поупражнять учеников в письме отдельных элементов.
«6». Цифра «.шесть» состоит из большого левого полуовала с нажимом
н малого правого полуовала без нажима. Начинается она от средины верхней
клетки и ведётся вниз, касаясь левой стороны клетки; далее закругляется,
касаясь нижней линии, и заканчивается закруглением у средней линии.
Есть вариант этой цифры, который начинается с точки вверху: точка де¬
лает очертание цифры более законченным, а потому и более красивым. Однако
такая транскрипция необязательна; для школы может быть принята перзая
форма, как более простая.
«7». Цифра «7» состоит из трёх элементов: волнистой линии, прямой длин¬
ной палочки и узелка, пересекающего средину палочки; начинается письмо
цифры с волнистой линии,, которая доводится до правого угла клетки, затем
пишется прямая длинная палочка, которая посредине перечёркивается узелком.
Целесообразно поупражнять учеников в письме волнистой линии отдельно.
«8». Цифра «'восемь» состоит из двух овалов — верхнего и нижнего. На¬
чинается письмо этой цифры с левой стороны верхней клетки, ведётся черта
вверх, касается верхней линии и сейчас же Закругляется вниз, пересекает
среднюю линию, закругляется, касаясь левой и затем нижней стороны клеток,
и дальше, поднимаясь вверх, смыкается с началом верхнего овала. Нижний
овал получается несколько больше верхнего. Нажим у верхнего овала —
справа, у нижнего — слева.
«9». Цифра «девять» состоит из двух элементов: небольшого овала, зани¬
мающего верхнюю клетку, н большого правого полуовала, оканчивающегося
точкой.
Сначала пишется овал, потом полуовал с точкой внизу. Можно поупраж¬
нять детей в письме каждого элемента в отдельности.
«10» обозначается двумя цифрами—единицей и нулём.
Показав письмо цифры на доске, полезно заставить учеников
«написать» два-три раза цифру в воздухе, а потом уже в тетра¬
ди. В тетради пишутся две-три строчки. Учитель в это время
наблюдает за учащимися, даёт указания, как надо и как не надо
писать, исправляет ошибки, у некоторых учеников пишет цифру
в тетради. Если встретится недочёт, повторяющийся у многих
учеников, учитель прерывает письмо и на доске указывает, в чём
заключается этот недочёт и как его исправить.
Письмо цифр сопряжено для учащихся на первых порах с боль¬
шими трудностями. Ученик в это время ешё не умеет правильно
сидеть, слабо владеет карандашом. Учителю всё время надо сле¬
151

дить за правильной посадкой, за правильным держанием каран¬
даша, всё время показывать, исправлять, объяснять. Трудности
письма цифр усугубляются ещё тем, что ученики учатся писать
цифры по тетрадям в клетку, где самому ученику приходится
определять наклон. Чтобы облегчить ученикам письмо цифр
и усвоение правильного начертания каждой цифры, полезно учить
детей писать цифры не по клеткам, а в косую линейку, где наклон
цифры определяется наклоном линии и где многие элементы
пишутся по линиям данной разлиновки (рис. 23).
Когда ученики усвоят начертание каждой цифры с правиль¬
ным соотношением отдельных её элементов, можно перевести их
на письмо цифр по клеткам (со второго полугодия I класса или,
ещё лучше, со II класса).
Сложение и вычитание в пределах 10.
Когда ребёнку, только что пришедшему в школу, предлагают
сложить две группы предметов, например, 5 кубиков и 2 кубика,
то он делает при этом следующее: он присоединяет к одной груп¬
пе другую, смешивает их и затем, получив из двух групп одну,
пересчитывает предметы этой вновь полученной группы. Такой
способ сложения характерен для детей дошкольного возраста. Так,
повидимому, складывали люди первобытной культуры. Школа
должна перевести учащихся от вышеуказанного примитивного
способа сложения к более совершенному, познакомив учащихся
с приёмами сложения и вычитания:
а)	с последовательным прибавлением и отниманием по еди¬
нице, б) с прибавлением и отниманием группы единиц
и в) с приёмом перестановки слагаемых.
В результате этого учащийся должен понять, что если
к 5 кубикам «адо присчитать 2 кубика, то для этого нет надоб¬
ности смешивать в одну кучу обе группы кубиков, а нужно
к одной группе (лучше к большей, в данном случае к 5 кубикам)
присчитать последовательно по одному два кубика, называя
при прибавлении каждого кубика получаемое число:	5 кубиков
да один кубик — б кубиков, 6 кубиков да ещё один кубик —
7 кубиков. Значит, 5 кубиков да ещё 2 кубика будет 7 кубиков.
Сложение и вычитание проходится совместно, параллельно.
Опыт советской школы вполне оправдал порядок параллельного
изучения этих действий. Сложение и вычитание тесно связаны
между собой. В самом деле, когда, например, к 5 прибавляем 4,
то в этой операции участвуют не только сложение, но и вычита¬
152

ние; для прибавления 4 ученик разбивает это число на две двойки,
и прибавляет их, рассуждая так: «Чтобы прибавить 4 к 5, приба¬
вим к 5 сначала 2, получится 7; дальше остаётся приба¬
вить ещё 2 (этот остаток — вторая двойка — находится по суще¬
ству путём вычитания), 7 да 2 будет 9. Таким образом, при¬
бавляя 4 к 5, ученик одновременно пользовался и сложением,
и вычитанием.
Чтобы добиться твёрдого и осмысленного знания указанных
выше приёмов вычислений, нужно провести упражнения с к а ж-
дым числом, начиная с единицы и кончая девяткой.
Присчитывание по единице.
Оно основано на счёте, на знании словесного числового ряда.
В самом деле: один да ещё один будет два, потому что за едини¬
цей в натуральном ряде чисел следует два, 5 да ещё 1 будет б,
потому что в ряде натуральных чисел за пятью следует шесть, и т. д.
Прибавление по единице ведётся сначала на счётах. Прибавляя на счётах
шарики один за другим, учитель говорит, а дети вслед за ним повторяют.
«Один да один будет два, два да одни будет три, три да одни будет
четыре... девять да ещё один будет десять».
Вслед за этим присчитывание по единице производится на других предме.
тах, например, на кубиках. Учитель кладёт на планку доски один кубик.
Учитель: Сколько кубиков стоит на планке доски?
У ч е н и к: Один кубик.
Учитель кладёт ещё один кубик и говорит: «Теперь прибавим к одному
ещё один кубик — сколько кубиков теперь на планке?»
Ученик: На планке два кубика.
Учитель: Значит, если к одному кубику прибавить ещё один кубик, то
, сколько кубикой получится?
* Ученики отвечают полным ответом: «К одному кубику прибавить один ку.
бик, получится два кубика».
Учитель, ставя на планку ещё один кубик, говорит: «К двум кубикам
прибавим ещё один. Сколько кубиков получится?»
Ученики полным ответом: «К двум кубикам прибавить один кубик, полу¬
чатся три кубика».
Учитель (ставя на планку ещё один кубик):	К трём кубикам при¬
бавим ещё один кубик. Сколько кубиков получится?
Ученики:	К трём кубикам прибавить один кубик, получится четыре
кубика.
Такое присчитывание по единице продолжается до 10.
Учитель: Достаньте палочки. Будем на них прибавлять по одной.
После сложения на наглядных пособиях производится сложение отвле¬
чённых чисел.
«К одному прибавить один — сколько будет? К двум прибавить один —■
сколько будет? К трем прибавить один — сколько будет?» и т. д.
Далее идут упражнения вразбивку.
«К четырём кубикам прибавить один кубпк — сколько будет кубиков?
К четырём палочкам прибавить одну палочку — сколько получится палочек?
К четырём прибавить один — сколько получится? К восьми шарикам прибавить
один шарик — сколько будет шариков? К восьми спичкам прибавить одну
спичку — сколько спичек получится? К восьми прибавить один — сколько
будет?»
153

Затем следуют задачи:
«.Девочка пошла в *тес за грибами. Набрала она пять грибов и положила иЛ
13 корзинку. Потом нашла она ещё один гриб, положила и его в корзинку.
•Сколько грибов стало у нее в корзинке?»
После того как ученики повторят условие задачи, решат её про себя
и дадут ответ («Шесть грибов»), учитель спрашивает: «Как вы узнали, что
© корзинке шесть грибов?»	*
Ответ должен быть такой: «К пяти грибам прибавили один гриб, получилось
шесть грибов». Или, короче: «К пяти прибавили один, стало шесть».
Так решается несколько задач.
Запись сложения.
С записью действия сложения и его знаками учащиеся могут
быть ознакомлены ещё раньше, при изучении чисел. Но если там
это не сделано, то знакомство с записью сложения даётся в связи
с прибавлением по одному.
Обучение детей записи сложения ведётся примерно так:
«К трём шарикам прибавить один шарик. Сколько будет шариков?» (К трёи
шарикам прибавить один шарик, будет 4 шарика.)
«Смотрите, дети, как я запишу это: «К трем (пишет цифру 3) прнба.
вить (пишет знак сложения) один (пишет цифру 1) будет (пишет знак
равенства) четыре (пишет цифру 4)».
На доске получилась запись: «3 И- 1 — 4».
«Смотрите, что я буду показывать, и слушайте, что я буду говорить:
к трём (показывает цифру 3) прибавить (показывает знак сложения]
один (показывает цифру 1), будет (показывает знак равенства) четыре
(показывает цифру 4)».
После этого дети читают записанный на доске пример хором и в одиночку
Когда ученики научатся правильно читать запись сложения, учитель обращает
их внимание на то, к а к пишутся знак сложения и знак равенства. «Вместо
слова «прибавить» пишут прямой крестик (+). Вместо слова «будет»
•пишут между цифрами две чёрточки (=). Повторите: что пишут вместо
слова «прибавить», вместо слова «будет»?»
Затем учитель предлагает ученикам записать пример на сложение: к шестп
прибавить один, будет семь. Один ученик пишет на доске, остальные в тетра*
дях. Пишут по частям, с объяснениями, с остановками.
«Что сначала напишете?» (Цифру б.) «Пишите! Что дальше надо на пи*
сатъ^» (Прибавить.) «Как напишете слово «прибавить?» (Прямой крестик.)
«Пишите! Что после этого напишете?» (Цифру 1.) «Пишите* Что дальше
надо написать?» (Будет.) «Как обозначите слово «будет»?» (Двумя чёрточками.)
«Пишите! Что в конце напишете?» (Цифру 7.) «Пишите!»
После этого дети хором и в одиночку читают всё написанное ими сразу:
«К шести прибавить один, будет семь».
Далее учитель предлагает ученикам самим придумать пример и записать
его.
Заканчивается урок тем. что учитель диктует примеры на сложение,
а дети пишут их в своих тетрадях.
В дальнейшем ученики будут приучены к тому, что знак сло¬
жения означает не только слово «прибавить», но и «сложить»,
«присчитать», «да», «ещё»; знак равенства означает не только
«будет», но и «получится», «равняется». На первых же порах,
пока впервые объясняются эти знаки, им приписывается значение
только двух терминов — «прибавить» и «будет».
154

Отнимание по единице.
Упражнения в отнимании по единице проводятся так же, как
« упражнения в прибавлении по единице, т. е. на тех же пособиях
а в той же последовательности.
Учитель откладывает на счётах 5 шариков и предлагает детям сосчитать
их. Затем, медленно отодвигая один шарик, говорит' «От шести отнять один,
сколько останется?» Дети дают полный ответ:	«От шести отнять один,
-останется пять».
Далее, отодвигая ещё один шарик, учитель говорит:	«От четырёх шари¬
ков отнять один шарик, сколько останется?» Дети отвечают: «От четырёх
шариков отнять один, останется три шарика».
Такое же отсчитывзние по единице производится и на других предметах,
например на кубиках.
То, что учитель делает на счётах, дети проделывают на своём дидактиче¬
ском материале.
Дальше отнимание по единице производится на отвлечённых числах.
«Будем отнимать по одному, начиная с 10. От 10 отнять 1, будет 9. От $
■отнять 1, будет 8. От 8 отнять 1, будет 7» и т. д.
Учитель говорит, а дети вслед за ним повторяют. После этого отсчнтыаа-
ние по единице происходит вразбивку.
«От восьми отнять один, сколько останется? От шести отнять один,
сколько останется? От трёх отсчитать один, сколько будет?» и т. д.
Затем следуют задачи:
«На* тарелке лежало 10 яблок. Одно яблоко взяла девочка. Сколько яблок
осталось на тарелке?»
«У мальчика было 3 карандаша. Один карандаш он исписал. Сколько
карандашей осталось у мальчика?»
После того как задача будет повторена и решена, нужно спрашивать:
«Как вы узнали, что .осталось 9 яблок?» Или: «Как вы узнали, что у маль¬
чика осталось два карандаша?»
Ученики должны отвечать так: «От 10 яблок отняли одно яблоко, осталось
9 яблок». «От трёх карандашей отняли один карандаш, осталось два каранда¬
ша». (О решении задач см. подробно стр. 73—78.)
Запись вычитания.
Здесь своевременно (если это не сделано раньше) познакомить
учеников с тем, как записывается вычитание (в данном случае —
отсчитывание по единице). В качестве исходного момента можно
взять только что решённую задачу о яблоках.
«Запишем решение нашей задачи на доске, — говорит учитель и при
этом пишет 10 и рядом I.— Что надо сделать, чтобы узнать, сколько яблок
осталось?» (От десяти отнять один ) «Вместо слова «отнять» пишут чёрточку,
а вместо «останется»—две чёрточки».
Получается запись: 10—1=9, которую учитель читает медленно, сопро¬
вождая каждое слово показом соответствующей цифры и знака: «От десят-и
отнять один, останется девять». Вместо «останется» можно прочитать «полу¬
чится» или «будет». Однако сразу давать все эти термины не следует, их надо
вводить постепенно.
Письмо знаков сложения, вычитания и равенства, подобно
письму цифр, должно быть аккуратным. Знак сложения на¬
до писать в виде прямого (именно прямого, а не косого) крести¬
ка с чертами одинаковой толщины. Знак равенства сле-
155

дует писать двумя равноотстоящими чертами, не очень сближая
и не слишком отдаляя их одну от другой.
В тетради с косой линейкой эти записи будут выглядеть так
(рис. 24):
Рис. 24.
Расположение цифр в клетках должно быть симметричным;
каждой цифре — своя клетка.
Упражнения в прибавлении по единице и отнимании по еди¬
нице заканчиваются списыванием и решением примеров
на доске и в тетради.
Сложение и вычитание вразбивку.
Когда ученики усвоят прибавление и отнимание по единице
каждое в отдельности, нужно поупражняться в этих действиях
вразбивку, проводя эти упражнения на наглядных пособиях, на
отвлечённых числах, на решении задач, на решении письменных
примеров.
Попеременное применение сложения и вычитания имеет боль¬
шое значение для 'формирования и закрепления первоначальных
понятий этих действий. Сложение и вычитание — взаимнообрат¬
ны. Это ярко выявляется на задачах. Известно, что на первых
порах дети склонны смешивать знаки плюс и минус:	записав
пример на сложение со знаком плюс, они иногда производят вы-ч
читание и наоборот. Чтобы дать хорошую ориентировку в этих
знаках, чтобы прочнее связать операции сложения и вычитания
с их внешними обозначениями (прямой крестик и черта), следует
давать примеры .на эти действия вразбивку, переключая ученика
с одного действия на другое.
Прибавление и отнимание по два.
На этом случае сложения надо показать детям основной
вычислительный приём, характерный для всего первого
десятка, который заключается в там. что прибавление
группы единиц сводится к присчитыванию п с
единице.
Учитель откладывает на счётах 4 шарика, затем несколько поодаль 2 ша
ркка и говорит:
«Прибавим к четырём шарикам два шарика. Как это сделать? К четырем
шарикам прибавим сначала один шарик. Сколько получится?» (К четырём
прибавить один, получится пять шариков.) «Теперь сколько остаётся ещё
156

прибавить?.» (Остаётся прибавить ешё один шарик.) «К пяти шарикам приба¬
вим ещё один шарик. Сколько получится шариков?» (К пяти шарикам приба¬
вить один шарик, получится шесть шариков.)
«Сколько же всего шариков мы прибавили?» (Два шарика.) «Значит,
к четырём прибавить два. сколько получится?» (К четырём прибавить два, по¬
лучится шесть.) Ответ повторяется хором и в одиночку.
«Как мы к четырём прибавили два?» (Мы сначала прибавили один, потом
ещё один, а всего два.)
Так же подробно изучаются вычислительные приёмы прибавле¬
ния двух к двум, к четырём, к шести, к восьми (2-}-2, 4+2. 6+2,
8+2). Упражнения на классных счётах сопровождаются сложе¬
нием на кубиках, на палочках, на кружочках и прочем дидактиче¬
ском материале, который имеется на руках у учащихся.
Далее решаются задачи, в которых приходится прибав¬
лять по два, а заканчивается этот раздел отвлечённым счётом:
«К двум прибавить два, будет четыре; к четырём прибавить д.ва,
будет шесть; к шести прибавить два, будет восемь; к восьми при¬
бавить два, будет десять». Это же упражнение, счёт двойками,
производится дальше ешё короче: «Два, четыре, шесть, восемь,
десять». Затем ученики читают строчку на сложение
2	+ 2+ 2 + 2 + 2= 10 так,- «Два да два—четыре, да два—шесть,
да два — восемь, да два — десять».
Следующий этап работы: отнимание двух от всех чётных чи¬
сел, а именно: 10—2, 8—2, 6—2, 4—2, 2—2. Вычислительный
приём вычитания двух показывается на счётах так же, как
и приём прибавления двух.
Теперь остаётся ешё поупражнять детей в прибавлении и отни¬
мании по два от нечётных чисел: 1+2, 3+2, 5+2, 7+2.
3	смысле вычислительных приёмов здесь не встретится детям
.«чего нового, но случаи эти усваиваются учащимися труднее
а медленнее, поэтому на них надо остановиться особо и проде¬
лать достаточно много упражнений на наглядных пособиях, на
задачах и отвлечённых примерах. Завершаются упражнения
решением письменных примеров на сложение и вычитание по 2.
Прибавление и отнимание по три.
Новым в данном случае является то, что здесь дети впервые
встречаются с приёмом прибавления и отнимания группами
единиц. 3 — это 2+1. Поэтому, чтобы прибавить 3, достаточно
прибавить 2 и потом ещё 1. Или, наоборот, — прибавить сначала
I, а потом ещё 2. Значит, если дано к 5 прибавить 3, то
ученик может воспользоваться одним из следующих трёх при¬
ёмов:	а) прибавить 3 по одному:	5 + 1=6; 6+1=7;
7+1 = 8; б) к пяти прибавить сначала 2, потом 1: 5 + 2 = 7;
7+1 = 8; в) к пяти прибавить сначала 1, потом 2; 5+1=6;
6+2 = 8.
Какой бы приём ученик ни применял, он будет пользоваться
уже готовыми знаниями. В самом деле, ученик из предыдущих
157

^пл!ии знает, что ь да 2 будет 7; 7 да 1 будет 8. Знает он так
же и то, что 5 да 1 будет 6; 6 да 2 будет 8. Здесь усвоение но
вого опирается на имеющиеся знания.
Порядок изучения этой части таблицы сложения и вычитания
будет таков:
1)
3 + 3 = 6
6 + 3 = 9
9 — 3 = 6
6 — 3 = 3
2)
1+3 = 4
4 + 3=7
10 — 3 = 7
7 — 3 = 4
3)
2 + 3 = 5
5 + 3 = 8
8 — 3 = 5
5 — 3 = 2
7 + 3 = 10
4 — 3 = *
Изучение сложения и вычитания по 3 ведётся сначала на на¬
глядных пособиях и дидактическом материале, потом на зада¬
чах и, наконец, на отвлечённых числах. В результате этих упраж¬
нений учащиеся должны усвоить все эти случаи наизусть.
Прибавление и отнимание по четыре.
На прибавлении и отнимании четырёх происходит дальней¬
шее закрепление приёма прибавления группами: чтобы при¬
бавить 4, нужно прибавить вначале 2, а потом ещё 2.
Этим же приёмом пользуются и при вычитании четырёх: что¬
бы отнять 4, можно отнять 2 и потом ещё раз 2.
Прибавление и отнимание по пяти, шести, семи, восьми и девяти.
Во всех этих случаях детям легко показать целесообразность
использования переместительного свойства сложения.
На рассмотрении ряда конкретных примеров дети подводятся
к выводу; если дано к маленькому числу прибавить большое, то
можно поступить наоборот, т. е. прибавить к большому числу
маленькое число; так складывать скорее и легче. Это показы¬
вается на наглядных пособиях.
На классных счётах учитель откладывает одни шарик и поодаль пить
шариков.
«Прибавим к одному пять. Как будем прибавлять?» (По одному: к одному
прибавить один, будет два; к двум прибавить один, будет три и т. д.) «Значит,
если к одному прибавить пять, то сколько будет?» (К одному прибавить пять,
будет шесть.) «Запишем то. что мы делали: 1 + 5 » б».
Далее, отложив на счётах те же-один шарик и пять шариков, учитель
предлагает к пяти шарикам прибавить один шарик. Получается шесть шари¬
ков. Учитель записывает произведённое сложение: 5 + 1 = 6. «В первый раз мы
прибавляли к одному пять, получилось шесть, во второй раз прибавили
к пяти один, получилось тоже шесть. Выходит, прибавить к одному пять,
все равно, что прибавить к пяти один. А что скорее, легче прибавлять —
к одному пять или к пяти один?» (К пяти легче и скорее прибавить один,
чем к одному пять.)
Проделав на счётах и дидактическом материале ещё два примерз
(14-6 = б-р!; 14-9 = 9+1), ученики делают вывод: когда нужно к не*
большому числу прибавить большое, то легче и скорее прибавить к большому
числу небольшое.
158

После этого ученикам предлагается решить на их дидактическом материз-
аесколько примеров: 2 + 6; 2 4-8; 3 4-5, и решается несколько задач.
Отнимание по пяти, шести, семи и восьми представляет длж
цащихся некоторую трудность. В качестве основного вычисли-
Йльного приёма здесь служит приём отнимания группами: напри¬
мер, чтобы из 7 вычесть 4, учащийся отнимает от 7 сначала 2*
йотом ещё 2. Чтобы вычесть 5 из 9, учащийся может отнять сна-
|ала 3, потом 2.
Для облегчения операции вычитания в тех случаях, когда*
уменьшаемое и вычитаемое — числа, близкие между собой, деле*
сообразно научить учеников пользоваться приёмом допол¬
нения. Пусть требуется от 9 отнять 7. Отнимание по единице
или группами единиц приводит к длинным, громоздким, а потому
и трудным вычислениям. Но процесс вычисления делается сразу
лёгким, как только ученики используют дополнение вычитаемого-
до уменьшаемого. Здесь надо опереться на знание учащимися
состава числа.
«9 состоит из семерки и ешё какого числа?» (Из семёрки и д в о й к п.>
^Значит, если от 9 отнять семёрку, то какое число должно остаться?»
Щвойка.)
«От 9 отнять 7,~_сколько получится?»
Пусть требуется от 7 отнять 5.
«Сколько надо прибавить к 5, чтобы получить 77» (Чтобы получить 7,
надо к 5 прибавить 2.)
«Значит, сколько останется, если от 7 отнять 5? Отнимите на своих
яалочках 5 от 7. Сколько получится?»
Так же решаются примеры: 10—8; 8—7; 9—6; 5—4; 7—6;
6—4 и др., словом, те примеры, в которых остаток меньше вычи¬
таемого. При достаточно большом количестве упражнений уча¬
щиеся научаются пользоваться в тех случаях, когда вычитаемое
по своей величине близко к уменьшаемому, приёмом дополнения.
Усвоение таблицы сложения и вычитания наизусть. Виды упражнений.
Умение складывать и вычитать в пределе 10 играет огромную
роль при сложении и вычитании двузначных и многозначных чи¬
сел.
Поэтому, изучая сложение и вычитание в пределе первого
десятка, ученики должны не только овладеть вычислительными
приёмами, но и усвоить таблицу сложения и вычитания наизусть*
чтобы находить результаты сложения и вычитания, не вычисляя.
Это может быть достигнуто благодаря достаточно большому коли¬
честву упражнений, тренировке, большой вычислительной практи¬
ке. Ученикам должна быть дана установка на запоминание
таблицы. Речь, конечно, идёт не о механическом заучивании, а о
сознательном усвоении того, что наглядно воспринято и понято.
Упражнения должны быть разнообразны по форме. Они могут
быть следующих видов.
Устное решение примеров. Примеры могут даваться
159-

для устного счёта в начале урока. Пройдя, например, сложение
и вычитание по 3, учитель может предложить ученикам следую¬
щие вопросы:
«Сколько будет 2 да 3? 3 да 3? 5 да 3? 4 да 3? 1 да 3? 6 Да 3?
Сколько будет 8 без 3? 5 без 3? 6 без 3?» и т. д.
В случае ошибочных ответов учитель спрашивает, как уче¬
ник складывал или вычитал, и, если нужно, требует показа дей¬
ствия на классных счётах.
Письменное решение примеров. Примеры могут
даваться в одно, два и три действия, например:
1)	54- 4	2)	3 + 7 — 4	3)24-5 4- 3 — 5
8 — 6	8 — 6 + 7	10 — 5 — 3 + 5
Промежуточные вычисления производятся в сложных приме¬
рах устно, и записывается только окончательный результат. Не¬
которые примеры даются для усвоения вычислительных приёмов.
Например: 1) 6 + 2 + 2=*; 6 + 4 = ; 2) 8 — 2 — 1 = ; 8 — 3 = ;
Большинство же примеров даётся для тренировки в вычисле-
■ниях.
Решение задач. На этой ступени решаются задачи в одно
действие. Решение некоторых задач записывается. Подавляющее
же большинство решается устно. Решать задач нужно возможно
'больше (не менее трёх на уроке). (О методике решения задач
см. стр. 73—80.)
Беглый устный счёт. Так называется цепь арифметиче¬
ских действий, в которой результат предыдущего действия стано¬
вится данным для следующего действия.
Вычисления при этом предлагаются в следующей форме: «К 5 прибазить
4 (пауза); к полученному прибавить 1 (короткая пауза); от полученного отнять
■6 (пауза); от того, что получится, отнять 2. Сколько получилось?»
Этот же пример можно дать и короче: «К 5 прибавить 4 (пауза), приба¬
вить 1 (пауза), отнять 6 (пауза), отнять 2. Сколько получилось?» Примеры
даются в несколько звеньев. На первых порах можно ограничиться 3—4 звенья¬
ми, (Подробнее о беглом счёте см. стр. 127.)
Игровые упражнения. Когда дети впервые присту¬
пают к изучению арифметики, очень важно построить упражне¬
ния так, чтобы они были интересными для детей. Тогда дети бу¬
дут заниматься арифметикой с увлечением, проделают незаметно
для себя множество упражнений и приобретут твёрдые навыки.
Из игр на этой ступени обучения полезно проводить: а) игру
в лото: игра эта может проводиться всем классом (описание
игры см. на стр. 132—136); б) игра в занимательные квад¬
раты: в) игра «круговые примеры»; г) игра в молчанку.
Все эти игры хороши в том отношения, что на них учащиеся
проделывают массу упражнений, а это и нужно для хорошего'
■овладения первым десятком.
160

В конце работы над первым десятком проделывается несколь¬
ко упражнений, при помощи которых закрепляется знание со¬
става чисел первого десятка. К таким упражнениям относятся
следующие:
Решение примеров, сгруппированных по числам и рас¬
крывающих состав каждого числа из слагаемых. Например, на
число «6» даются следующие примеры:
5+1 — 6
6—1=5
1+5 — 6
6 — 5=1
4 + 2 = 6
6 — 2 = 4
2 + 4 = 6
6 — 4=2
3 + 3 = 6
6 — 3 = 3
На число 8:
7+ 1 ==8
6 + 2 = 8
5+3 = 8
4+4 = 8
8 — 1=7
8—2 = 6
8 — 3 = 5
8 — 4 = 4
1+7 = 8
2 6 = 8
3+5 = 8
8 — 7=1
8 — 6 = 2
8 — 5 = 3
и т. д.
• • • •,
« • ф
•
• • ф/о
• •
• • ]
• •
• Ф •
•
• •/• О
• •
« • |
7 -7=8
6+2*1
?
6+3 =<?
4 -
' в
Рис. 25.
Эти примеры можно иллюстрировать числовыми фигурами.
Например, состав числа «8», в соответствии с вышеуказанными
примерами, иллюстрируется так (рис. 25):
Решение примеров с вопросительным зна¬
ком. Например: б-Ь?=8; ?-|-4=7. Эти примеры читаются так:
^Сколько надо прибавить к шести, чтобы получилось 8?» Или,
Проще: «Шесть да сколько будет восемь?» Второй пример чи¬
тается так: «К какому числу надо прибавить 4, чтобы получи¬
лось 7?»
Решаются они не* на основании зависимости между компонен¬
тами (эту зависимость дети ешё не знают) и не при помощи вы¬
читания, а на основании знания состава чисел.
Решая первый пример, ученик рассуждает так: «Восемь—это
шесть да.. . два. Поэтому к шести надо прибавить два, чтобы
получилось восемь». Записав пример, он внизу под этим приме¬
ром пишет его решение:
6+ ? — 8
6 + 2 = 8
Решение таких примеров является хорошим упражнением для
изучения состава чисел первого десятка.
Для этой же цели нужно использовать упражнения
с монетами. Каждый учащийся должен иметь у себя на¬
бор моделей монет, сделанных из плотной бумаги или картона.
11 А. С. Пчёлко
161

аомспм1ь гривенник „на боль,
мелкие монеты». Интересно и поучительно сопоставить по вьЁ
полнении этого задания полученные результаты у разных учени¬
ков. Оказывается, что это задание может быть выполнено очень
многими способами, например:
1	коп.	1	коп.	I	коп.	1	коп.	1 коп. 1 коп. 1	коп. 1 коп. I коп. 1 коп. (гривенник)
2	коп.	2	коп.	2	коп.	2	коп.	2 коп. (гривенник)
3	кол.	3	коп.	3	коп.	1	коп.	(гривенник)
3 коп.	3	коп	2	коп.	2	коп.	(гривенник)
5 коп. 3 коп 2 коп. (гривенник)
5 коп. 5 кол. (грнвеннлк) и т я.
Можно дать задание набрать из монет 8 коп. и записать это
в виде сложения. Получится
1)	54-3 = 8	1 + 14 14-5 = 8
2)	3 -г 3 -г 2 = 8	1 + 1 +- 2 -г 2 + 2 = 8;
3)	5 4 2+1=8
4)	2+2 + 2 +-2=8	и г. д.
Планирование и учёт.
Примерное распределение материала по урокам при
изучении первого десятка.
Можно выделить в особую ступень изучение чисел, сложение и вычита¬
ние в пределе первого пятка, а затем пройти числа, сложение и вы-
чи/ание в пределе 10. Изучение первого десятка при такой системе будет
складывания из. а) изучения чисел от I до 5; б) сложения и вычитания
в этом пределе; в) изучения чисел от 6 до 10; г) сложения и вычитания
в пределе 10.
Сложение и вычитание в пределе 5 изучается в следующем порядке:
а) прибавление по 1; б) вычитание по 1; в) прибавление 2, 3, 4; г) вычитание 2,
3, 4.
Материал по отдельным урокам можно распределить следующим образом:
1-	й урок. Выявление у детей числовых представлений.
2-	й урок Знакомство с понятиями «один», «много» и с печатной циф¬
рой 1. Лзгоювтемпе дидактического материала.
3-	й урок Знакомство с числами 2, 3 и печатными цифрами 2, 3.
4-	й урок Знакомство с числом 4 и печатной цифрой 4.
5-	й урок. Знакомство с числом 5 и печатной цифрой 5.
6-	й урок. Прнбсн Юнис по единице в пределе 5. Ознакомление с обозна¬
чением СЛОЧчСИИЯ Письмо цифры 1
7 и 8-н уроки. Решение задач и примеров на прибавление единицы в пре¬
деле 5. ГЬммо цифры 2
9 и 10 й уроки. Вычитание по единице в пределе 5. Ознакомление с
обозначением вычитания. Письмо цифры 3.
11 й урок. Решение задсч и примеров на вычитание по единице в пре¬
деле 5. Письмо цифры 4.
12-	й \ р о к. Решение задач и примеров на сложение и вычитание по еди¬
нице. Письмо цифры 5.
13-	й урок. Упражнения в письменном сложении.
14-	й урок. Упражнения в письменном вычитании.
15 и 18 й уроки Прибавление 2, 3, 4 в пределе 5.
17 и 18-й уроки. Вычитание 2. 3, 4 в пределе 5.
19-	й урок Знакомство с чисчом 6. Письмо цифры 6.
20-	й урок. Число 7. Цифра 7.
102

21 и 22-й уроки. Число 8. Цифра 8.
23-й урок. Число 9. Цифра 9.
24 и 25-й уроки. Число 10. Запись числа 10.
26-	й урок. Поибавление по единице в пределе 10.
27-	й урок. Вычитание по единице в пределе 10. Решение задач и при¬
меров.
28 и 29-й уроки. Прибавление по 2 единицы. Решение задач и примеров.
30	и	31-й	уроки.	Вычитание по 2	единицы.	Решение задач и примеров.
32	и	33-й	уроки.	Прибавление	по	3 единицы. Решение задач и примеров.
34 и 35-й урок и. Вычитание по 3 единицы. Решение задач и примеров.
36 и 37-й уроки. Прибавление по 4 единицы в пределе 10. Решение
задач и примеров.
38 и 39-й уроки. Вычитание по 4 единицы. Решение задач и примеров.
40-й урок. Письменная проверочная рабогэ.
41 и 44 й уроки. Прибавление и отнимание 5. Решение задачи примеров.
45 и 48-й } роки. Прибавление и отнимание 6 Решение задач и примеров.
49	и	50-й	уроки.	Прибавление	и	отнимание	7. Решение задач и примеров.
51	и	52-й	уроки.	Прибавление	и	отнимание	8 и 9. Решение задач и
примеров.
53-й урок Знакомство с метром.
54 и 58-й уроки Решение примеров и задач на все случаи сложения
и вычитания в пределе 10.
59 и 60-й уроки. Письменная проверочная работа и восполнение про¬
белов, обнаруженных при проверке знаний
Примерное содержание контрольной работы:
Значение этого концентра заключается в том, что учащийся*
обучаясь счёту в пределе 20, получает первое представление о де¬
сятичной группировке единиц (десять единиц составляют деся¬
ток), а обучаясь записи чисел второго десятка, он впервые стал¬
кивается с поместным значением цифр (на первом месте справа
пишутся единицы, па втором — десяток).
Продолжая изучать сложение и вычитание, уча¬
щийся заканчивает в этом концентре изучение таблицы сло¬
жения и таблицы вычитания, работа над которыми
начата в первом десятке. Обе эти таблицы усваиваются учащи¬
мися наизусть Складывая и вычитая числа в пределе 20, ученик
получает первое знакомство с вычислительными приё¬
мами, основанными на десятичной группировке единиц.
В этом концентре ученик получает первоначальное знакомства
с умножением и деле н н е м в их наиболее конкретной
форме. Все эти знания и навыки являются необходимой основой
для усвоения последующих концентров курса арифметики.
П 3+2-
2) 6—2-
3)	6+ 3 =
4)	8 — 4 —
Б) 10 — 5 =
6)	7 — 3 =
7)	4 + 3-
8)	9 — 4 —
9)	5 + 5 =
10)	5+-4 =
11)	1 + 9 =
12)	3 — 2 =
13)	2 + 8 =
14)	9 — 7 =
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ.
ВТОРОЙ ДЕСЯТОК.
163

Второй десяток изучается в следующем порядке: счёт и за¬
пись чисел до 20; сложение и вычитание до 20; умножение и де¬
ление до 20; состав чисел второго десятка.
Нумерация в пределе 20.
Устная нумерация.
Понятие о десятке. Учитель предлагает ученикам вынуть палочки,
отсчитать десять палочек и связать их в пучок.
«Сколько палочек в вашем пучке?» (Десять палочек.) «Десять иначе назы¬
вают десятком Вместо слов «десять палочек» можно сказать иначе,
десяток палочек».
«Повторите, как иначе называют «десять». Вместо слое «десять палочек*
как можно иначе сказать?»
Далее учитель вызывает одного ученика к классным счётам и предла¬
гает ему отсчитать десять шариков.
«На проволоке десять шариков. Как можно иначе сказать, сколько на про¬
волоке отложено шариков?» (Десяток шариков.)
Отсчитав десять кубиков и вынув из арифметического ящика брусок,
разделённый на десять частей (кубиков), учитель говорит: «В бруске десять
кубиков (пересчитывает). Значит, брусок сколько кубиков заменяет?» (Десять
кубиков.)
«Да, брусок заменяет десяток кубиков. Вместо десятка кубиков будем
брать брусок. Когда предметы считают по одному, то каждый предмет назы.
вают единицей. Но некоторые предметы считают не по одному, не еди-
щщами, а по десяти, или десятками. Вспомните, что считают десятками?»
^Яблоки, яйца, огурцы, деньги и др.).
Образование ч и с ел от II до 20. «Будем считать кубики дальше:
посмотрим, какие числа будут получаться. Для удобства возьмём брусок,
заменяющий десяток кубиков, и к нему будем присчитывать по одному кубику,
со единице
Положим один кубик на брусок, на десять. Получится: один-на'десять,
или один-на-дцать. (Вместо «десять» говорят «дцать».) Присчитаем ещё один
кубик. Получится два кубика и десять: «два-на-десять» или два-на-диать,
«ли двенадцать. Присчитаем ещё один кубик. Получится три кубика и
десять: три-на-десять, или три-на-дцать, тринадцать... Присчитаем ещё
один (девятый) кубик. Получится девять кубиков и десять: девять-на-десятъ,
или девять-на-дцать, девятнадцать. Присчитаем ещё один (десятый)
кубик. Получится десять и десять кубиков, или «два-десять» двадцать.»
В этом словообразовании и окончательном назывании чисел
дети могутпринимать самое деятельное участие, так как большин¬
ству их счёт до 20 известен. Учитель только подчёркивает состав¬
ные части числительных, указывающие на состав числа. Заканчи¬
вается этот этап нумерации образованием чисел из десятка и лю¬
бых групп единиц вразбивку на дидактическом материале — палоч¬
ках и пучках палочек.
«Составьте из десятка (пучка) и единиц (палочек) чисто 15; число 17;
число 14; число 12 и т. д. Как вы составляли эти числа0 Как называется
число, состоящее из десятка и пяти единиц? из десятка и восьми единиц?
ш десятка и одной единицы0 из десятка и шести единиц0» и т. д.
Счёт до 20. «Будем считать по порядку на классных счетах от 10 да
'20». Учитель откладывает шарики, а учащиеся хором считают: «Десять, один¬
надцать, двенадцать, тринадцать... восемнадцать, девятнадцать, двадцать».
264

Тах же ведётся обратный счёт:	«Двадцать, девятнадцать, восемнадцать.. *
двенадцать, одиннадцать, десять».
Разложение данного числа на десяток и единицы.
«Восемнадцать! Сколько в этом числе десятков и сколько едн пш? Чстыр
надцать! Сколько в этом числе десятков и сколько единиц? Сколько десятков
и сколько единиц в числе 17? в числе 19.^ в числе 11? в числе 13?» у, у.
Письменная нумерация.
С записью чисел второго десятка можно познакомить учащих¬
ся простым показом, не осложняя этот сравнительно простои мо¬
мент в работе введением каких-либо наглядных пособий.
«Вот как пишутся числа от 11 до 20», — говор-гт учитель и пишет нг
доске числа в их естественной последовательности, называл каждое из них
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 13, 19, 20.
Записав эти числа, учитель подвергает два-три числа анализу (например
числа 12, 15, 18), выясняя при этом следующее*
«Из чего состоит число 12?» (Из одного десятка и двух единиц.) «Сколь¬
кими цифрами записано это число?» (Двумя цифрами.) «Что означает каждая
цифра?» (2 означает две единицы, 1 — один десяток ) «Два стент на первом
месте справа, 1—на втором месте. Единицы поставлены справа, десяток —
слева».
«Число 15. Из чего состоит это число?» (Из одного десятка и пяти еди¬
ниц.) «Где поставлены единицы, где—десяток?»
Так разбирается и третье число. После этого анализируются числа: 10,
20, 11.
«Из чего состоит число 10? число 20?» (10—из одного десятка, 20 — из
двух десятков.) «Есть ли единицы в этих числах?» (Нет.) «Что на месте еди¬
ниц написано в этих числах?» (Нуль.)
«Если единиц нет, то на их месте пишут нуль. Нуль показывает, что
единиц нет».
«Число И. Из чего состоит это число? Где здесь единицы, где десятки?»
После этого делается обобщение: «При записи чисел единицы пишут на
первом месте справа, десятки — на втором месте. Если единиц нет, то на их
месте ставят нуль».
Заканчивается эта работа выполнением упражнения по задач¬
нику, где предлагается записать цифрами числа, написанные сло¬
вами: «двенадцать», «шестнадцать», «одиннадцать» и т. д.
Простого показа и несложных объяснений, приведённых выше,
достаточно, чтобы ученики поняли суть письменной нумерации
чисел второго десятка. Но если встретятся затруднения, то объ¬
яснению нумерации можно придать более конкретный характер,
а упражнения провести с наглядными пособиями.
Объяснение можно провести на числовых фигурах следующим образом.
Учитель приносит в класс одиннадцать числовых фигур, заполненных чёрными
и белыми кружочкам??, с надписанными числами (рис. 26). Фигуры рассматри¬
ваются; устанавливается, что в левой клетке во всех фигурах один десяток
кружочков, а в правой клетке разное число белых кружочков — один, два,
три, четыре и т. д. Рассматриваются записи, сделанные внизу фигур* в первой
фигуре десяток чёрных кружочков, белых — нет; записан «десяток» так: цифра
один слева, нуль — справа; нуль показывает, что единиц нет. Во второй фигу¬
ре всего одиннадцать кружочков; десяток чёрных, один белый. Ззписаво
165

^.одиннадцать» так: цифра один слева означает один десяток, и цифра одн*
справа означает одну единицу. В третьей фигуре всего двенадцать кружочков;
записано число «двенадцать» так: цифра один слева означает один десяток,
цифра два справа означает две единицы.
Аналогичным образом рассматриваются и все другие числовые фигуры.
После этого пишутся подряд все числа второго десятка и выводится правило
записи этих чисел-
Рис. 26.
Под^ио провести и такое упражнение Ученики получают небольшиг
квадрапше карточки, разделенные пополам В квадрате записано число №.
Ьдинина отелена от тля вертикальной чертой. Ученикам даются разрезные
цирры Из месте ну а я они по заданию учителя кладут одну за другой разные
цифры и получают ратные чмелз. Полученные числа они читают, потом запи¬
сывают, затем составляют эти числа из пучка-десятка и отдельных палочек.
Сложение и вычитание в пределах второго десятка.
В сложении и вычитании чисел в пределе 20 нужно различать
два основных случая.
Первый случай: сложение однозначных чисел, например
8+7, 6+9 и др. и соответствующее ему вычитание, например:
15—7. 18—9 и др. Такое сложение и вычитание носят название
сложения и вычитания с переходом через деся¬
ток.
Второй случай: сложение двузначного числа с однознач¬
ным, например: 14 + 5, 12 + 8 и соответствующие им случаи вычи¬
тания, например: 18—6, 17—13 и др. Это сложение и вычитание
иначе называются сложением и вычитанием без и е-
р е х о д а через десято к.
Изучая второй десяток, нужно изучить сначала сложение и вы¬
читание без перехода через десяток, а потом сложение и вычита¬
ние с переходом из одного десятка в другой. При обучении детей
сложению и вычитанию без перехода через десяток все случаи
этого сложения и вычитания группируются по сходству вы¬
числительных приёмов и изучается не каждый при¬
мер, а каждый приём в отдельности.
Что же касается сложения однозначных чисел с переходрм
через десяток, то здесь учащимся показывается вычислительный
приём и требуется от них знание каждого примера наизусть.
Учащиеся в конце концов должны уметь, не задумываясь и без
промедления, отвечать на вопросы*, сколько будет 9 да 3? 8 да 6?
166

7	да 8? 4 да 9? 6 да 7? и т. д. Эти и подобные им примеры вхо¬
дят в содержание таблицы сложения, которую учащиеся должны
знать на память.
Таблица сложения.
9 + 2
11
8 +
3
=
11
7
+ 4
—
11
6
+
5
=
11
5
+
6
—
11
3 +
8 =
11
9 + 3
=
12
8 +
4
=
12
7
+ 5
=
12
6
+
6
12
5
+
7
—
12
3 +
9 =
12
9+4
=
13
8 +
5
13
7
4- 6
=
13
6
4-
7
=
13
5
+
8
-—
13
2 +
9 =
11
9 + 5
а=
14
8 +
6
=
14
7
+ 7
=
14
6
4-
8
14
5
+
9
—
14
94-6
=
15
8 +
7
15
7
+ 8
—
15
6
+
9
=
15
4
4-
7
—
11
9 + 7
=
16
8 +
8
=
16
7
+ 9
=
16
4
+
8
12
9 + 8
=
17
8 +
9
=
17
4
+
9
=
13
9 + 9
18
Га
блин
а
в
ы
ч и
т
а и
1 И
Я.
11
—
2
= 9
12

3
—
9
13
—
4
=г
9
14
.
5
—
9
16
7:
= 9
11
—
3
= 8
12
—
4
=
3
13
—
5
=
8
14
—
6
—-
8
16

Ь :
= 8
11
—
4
= 7
12
—
5
7
13
—
6
=
7
14
—
7
7
16

9 :
= 7
11
—
5
= 6
12
—
6
=
6
13
—
7
6
14
—
8
=
6
17

8
= 9
11
—
6
= 5
12
—
7
=
5
13
—
8
5
14
—
9
5
17

9
= 8
11
—
7
=* 4
12
—
8
4
13
—
9
4
15
—
6
953
9
18
—
9
= 9
И
—
8
= 3
12
—
9
=
3
15
—
7
=
8
11
—
9
= 2
15
8
—
7
15
9
6
Сложение и вычитание без перехода через десяток.
Объяснение вычислительных приёмов, при помощи которых ре¬
шаются примеры этой группы, даётся в следующем порядке:
1)	К полному десятку прибавляется несколько
единиц или к единицам прибавляется десяток,
например: 10 + 4,6+10. Сложение в этом случае производится
на основании знания нумерации. Каких-либо особых пояснений
этот пример не требует. Наглядным пособием, конкретизирующим
этот случай сложения, может служить брусок из арифметического
ящика (десяток) и кубики (единицы) или пучок, составленный из
десяти палочек, и отдельные палочки.
Второй пример решается на основании переместительного свой¬
ства сложения: к 6 прибавить 10 — всё равно, что к 10 при¬
бавить 6.
Этому случаю сложения соответствует тот случай вычита¬
ния, когда от двузначного числа отнимаются все
его единицы или отнимается десяток, например:	18 — 8,
15—10. Вычитание в данном случае основано на знании десятич¬
ного состава чисел.
Вычитая 8 из 18, ученик рассуждает так: 18 состоит из десятка и восьми
единиц, поэтому, если от 18 отнять 8, останется 10.
2)	К двузначному числу прибавляется одно¬
значное число и наоборот, например: 16 + 2, 4+15.
167

Для пояснения приёма сложения в данном случае число 16 со¬
ставляется из бруска и шести кубиков. Чтобы прибавить к этому
числу 2 кубика, ясно, что 2 нужно прибавить к 6 и полученное
число 8 нужно прибавить к 10. Проделав аналогичные упражнения
на классных счётах и палочках, ученики поймут приём сложения,
который заключается в следующем: если нужно к 16 прибавить 2,
то 16 разлагается на десяток и 6 единиц; затем 2 единицы при¬
бавляются к 6 единицам, получается 8; 8 прибавляется к десятку,
получается 18.
Сложение 4 и 15 выполняется на основании перестановки сла¬
гаемых.
Этому случаю сложения соответствует тог случай вычита¬
ния, когда от двузначного числа нужно отнять
несколько единиц, например:	17 — 5. Приём вычитания
в данном случае поясняется на бруске и кубиках. Составляется
число 17 из бруска-десятка и 7 кубиков. Чтобы от этого числа
отнять 5 кубиков, ясно, что 5 нужно отнять от 7: останется деся¬
ток и 2, т. е. 12. Проделав такого рода упражнения на палочках
и классных счётах, дети поймут, что когда от двузначного числа
отнимается несколько единиц, то эти единицы отнимаются от еди¬
ниц двузначного числа, и остаток прибавляется к десятку.
3)	Прибавление к двузначному числу однознач¬
ного и наоборот, когда в результате получает¬
ся 20. Чтобы сложить 16 и 4, сначала надо сложить 6 и 4, полу¬
чается десять, или десяток. Десяток да десяток, • будет два
десятка, или 20. Пояснить это сложение можно на бруске и куби¬
ках или на палочках, которые связываются в пучок, когда при
сложении образуется полный десяток (десяток кубиков заменяется
бруском, получается в итоге два бруска-десятка). Сложение 8 и 12
производится с помошыо пе*рестановки слагаемых.
Соответствующие случаи вычитания 20 — 4, 20 — 12 поясняют¬
ся на палочках или на брусках арифметического ящика. Чтобы
отнять от двух пучков-десятков четыре палочки, надо один пучок
развязать и от 10 палочек отнять 4 палочки. Останется 6 па¬
лочек и один нетронутый десяток, а всего 16. При отнимании 12 из
20 приходится один десяток сбрасывать целиком, а другой раз¬
вязывать и из Ю палочек брать 2 палочки. Дети учатся пользо¬
ваться десятичным составом числа.
4)	Последним упражнением будет вычитание двузнач¬
ного числа из двузначного, например: 18—12. Это наи¬
более трудный для детей случай вычитания. Его нужно объяснить
особенно тщательно на классных счётах, на палочках, на брусках
и кубиках. На счётах откладывается 10 шариков на одной прово¬
локе и 8 на другой. Сначала сбрасывается 10 шариков на первой
прозолоке, а затем от 8 отнимается 2. Проделывается ещё пример:
16—13 на брусках и на кубиках. Берётся один брусок и 6 куби¬
ков. 13 отнимается так: вычитается сначала брусок-десяток, а по¬
том 3 из 6. Дети проделывают это упражнение на своём дидактя-
163

ческом материале. Здесь уместно также применять приём до¬
полнения, который особенно полезен в тех случаях, когда
уменьшаемое и вычитаемое — числа близкие по величине, напри¬
мер: 19 — 17, 14 — 13 и т. д. В таких случаях надо ставить вопрос:
«Сколько надо прибавить к 17, чтобы получить 19; сколько надо
прибавить к 13, чтобы получить 14?» Разница интуитивно будет
восприниматься как остаток.
Так постепенно учащиеся усвоят вычислительные приёмы, кото¬
рые подводят к общим приёмам выполнения сложения и вычита¬
ния — к поразрядному выполнению этих действий.
Сложение и вычитание с переходом через десяток.
Приём сложения двух однозначных чисел, сумма которых
больше 10, состоит в том, что первое слагаемое дополняется до 10,
и к полученному десятку прибавляются оставшиеся единицы вто¬
рого слагаемого. От ученика в данном случае требуется понимание
приёма вычисления и умение разложить второе слагаемое на два
таких числа, из которых одно служило бы дополнением первого
слагаемого до 10. Так, складывая 8 и 7, ученик должен: а) знать,
сколько единиц нехватает у 8 до 10, и б) уметь быстро разложить
число 7 на два таких числа, из которых одно было бы 2, а дру¬
гое 5.
Чтобы научить учащихся понимать вычислительный
приём, надо показать его на каком-нибудь наглядном пособии.
Такими пособиями могут служить классные счёты, числовые
фигуры или «счётные таблички», а также и иные самодельные по¬
собия, например две спичечные коробки с двумя рядами отвер¬
стий — по 5 отверстий в каждом ряду.
В качестве первого, исходного примера можно взять вышена¬
званный пример 8 + 7 и показать сложение на классных счётах
с двумя проволоками.
«Отложим на счётах 8 шариков и прибавим к ним 7. Сколько можно при¬
бавить к 8 на этой же проволоке?» (2 шарика.) «Сколько шариков остаётск-
ещё прибавить?» (5 шариков.) «Отложим 5 шариков на второй проволоке.
Сколько всего шариков получилось?» (Десять да пять — пятнадцать.) «Повто¬
рите, как мы прибавили 7 к 8». (Сначала прибавили 2 шарика, чтобы получи-
лось (0. Потом узнали, сколько ещё осталось прибавить: от 7 отняли 2, поле
чилось 5. Наконец,, 5 прибавили к 10, получилось 15.) «Сколько же будет 8 да
7?» (15.)
Далее все учащиеся на своём дидактическом материале проде¬
лывают это упражнение. Учитель раздаёт учащимся счётные
таблички — квадратный кусок картона, разделённый вертикальной
линией пополам. На каждой стороне этого квадрата намечено по
10 мест (рис. 27). Каждый учащийся должен иметь по 20 двуцвет¬
ных кружочков.
Даётся задание: к 7 прибавить 5.
Ученики откладывают сначала 7 чёрных кружочков, занимая ими 7 мест
(рис. 28).
169

сколько всего кружочков может поместиться в левой части таблицы?»
(10 кружочков.)
«Сколько же кружочков надо прибавить к 7, чтобы получилось 10?»
Учащиеся отвечают на этот вопрос и кладут по 3 красных* кружочка.
«Сколько всего кружочков надо прибавить?» (5.)
«Сколько кружочков мы уже прибавили?» (3.)
«Сколько кружочков остаётся ещё прибавить?» (2.)
«Как это узнать?» (От 5 отнять 3, остаётся 2.)
Учащиеся закрывают на правой стороне таблицы два места красными кру¬
жочками.
«Сколько же всего кружочков получилось?» (12.)
«Как вы это нашли?» (К Ю прибавили 2, получилось 12.)
1°
О
О
о
;о
О
о
•
•1
|0
О
}•
•
|
1
»•
•
|
1 о
о
О
О
; *
*
1°
Г'
I4
-
1
Рис. 27,
4 4
)• •
« ♦
!« «
ъ
4 *
!• ^
• дч
1* а
Л
Iе ч
7 +
Рис. 28.
Для того чтобы вычислительный процесс предстал перед уча¬
щимися ясно, чётко, можно записать на классной доске все этапы
вычислений. Получится такая запись:
1) 7 + 3=10	7 + 3 + 2=12
2) 5 — 3=2	7 + 5=12
3)	10 + 2 = 12
Решив на наглядных пособиях 3 примера, можно сделать обоб-
щение: «Как же мы складывали: 8 да 7? 7 да 5? 6 да 8?» (Сначала
прибавляли к первому числу столько, чтобы получилось 10,
а потом к 10 прибавляли остальное.)
Для успеха в работе надо, чтобы ученики быстро умели допол¬
нять любое однозначное число до 10. Это достигается специаль¬
ными упражнениями, которые играют роль подготовительных
упражнений к сложению с переходом через десяток.
«Сколько надо прибавить к 6, чтобы получилось 10? К какому
числу надо прибавить 2, чтобы получилось 10?» и т. д.
Упражнения в изучении сложения с переходом через десяток
можно вести в том порядке, в каком расположена таблица сложе¬
ния (см. стр. 167).
Вычитание. Вычислительный приём вычитания поясняется
на тех же наглядных пособиях, что и сложение. Первым для
объяснения можно взять пример 15 — 7. На классных счётах от¬
кладывается — на верхней проволоке 10 шариков, нз нижней 5.
От 15 надо отнять 7. Сбрасывается сначала 5 шариков, которые
находятся на нижней проволоке. Остаётся отнять ешё 2 шарика
с верхней проволоки.
План изучения этого раздела определяется таблицей сложения
170

и вычитания; в этой таблице сначала рассматриваются случаи при¬
бавления 2, 3, 4 и т. я. к 9, потом случаи прибавления 2, 3, 4 ит. д.
к 8, затем прибавления 2 к 7 и т. д.
Те примеры, в которых второе слагаемое больше первого,
выполняются путём перестановки слагаемых. Так, если дано
к 3 прибавить 8, то вместо прибавления 8 к 3 можно прибавить
3 к 8. Равенство 3 + 8 = 84-3 поясняется на классных счётах. <
Упражнения в запоминании таблицы сложения
и вычитания наизусть. Для усвоения таблицы нужно, изу¬
чая нозые части таблицы, всё время повторять пройденное. По
мере изучения таблицы отдельные её части вывешиваются на стену
в классе; эта таблицы читаются учащимися хором и в одиночку.
Для лучшего запоминания таблицы группы примеров подби¬
раются для решения так, чтобы была видна связь между сложе¬
нием и вычитанием, например:
7 + 6 = 13
6 + 7= 13
13 — 6 = 7
13 — 7 = б
9 + 7 = 16
7 + 9=16
16 — 9= 7
КЗ — у = 9
Отдельно выделяются примеры на сложение равных сла¬
гаемых. Они легче запоминаются и могут служить в качестве
опорных для других примеров со смежными числами:
6 + 6=12; 7 + 7=14: 8 + 8=16; 9 + 9=18.
Если ученик знает, что 6 да 6 будет 12, то для него нетрудно
■сказать, сколько будет 6 да 7; очевидно, что сумма этих чисел
будет на единицу больше, чем 12, т. е. 13. Если учащийся помнит,
что 8 да 8 будет 16, то для него нетрудно запомнить сумму 8 и 9;
очевидно, она будет больше на единицу суммы 8 и 8, т. е. 16.
Для запоминания таблицы сложения и вычитания применяются
игры в лото, в занимательные квадраты, в молчанку и др. (описа¬
ние этих игр см. на стр. 132—136).
Одновременно повторяется сложение и вычитание без перехода
через десяток; для усвоения вычислительных приёмов также под¬
бираются специальные группы примеров, построенные на взаимо¬
связи сложения и вычитания:
16+ 4 = 20
4 + 16 = 20
20— 16= 4
20— 4 = 1в
15+ 3= 18
3+15= 18
18- 3= 15
18 — 15= 3
Хорошим упражнением является решение примеров с вопроси¬
тельным знаком, причём здесь решаются такие примеры не только
«а сложение, но и на вычитание:
0 + ? = 10	10-~>= 2
?+ 7 = 10	19-?= 10
Они являются хорошим подготовительным упражнением
к сложению и вычитанию с переходом через десяток.
171

Аналогичные примеры решаются и для уяснения состава
чисел второго десятка: 8-)-?= 11; ? —6=13; 14 — ? = 6;
? — 9 = 7.
Решая их, учащиеся не прибегают к выбору действий, при по¬
мощи которых определяется неизвестное, — это неизвестное они
находят на основе состава чисел.
Решение задач на сложение и вычитание является одним
из лучших средств для упражнения в этих действиях. При изуче¬
нии этого раздела начинается решение задач в два действия
(см. стр. 82—85). Кроме того, учащиеся знакомятся здесь с новым
видом задач — с задачами на увеличение и уменьшение данного
числа на несколько единиц. Для этого предварительно выясняется
на наглядных пособиях понятие «больше на столько-то единиц» и
«меньше на столько-то единиц».
Увеличение числа на несколько единиц.
До сих пор учащиеся воспринимали сложение как действие,
посредством которого находится только сумма двух или несколь¬
ких слагаемых: они решали на сложение такие задачи, в которых
спрашивалось:	«Сколько всего...». Вычитание воспринималось
детьми как действие, посредством которого находится остаток;
в задачах на вычитание ставился только такой вопрос: «Сколько
осталось?» Теперь расширяется понимание этих действий, — им
придаётся новый смысл. Выясняется тот случай сложения,
когда приходится данное число увеличивать на несколько
единиц, и тот случай вычитания, когда приходится данное
число уменьшать на несколько единиц. Выясняется математи¬
ческое значение фразы «больше на столько-то единиц» и «меньше
на столько-то единиц». Это выяснение происходит следующим об¬
разом.
Учитель откладывает на верхней и нижней проволоках классных счётов
по 4 шарика.
«Сколько шариков отложено на верхней проволоке?» (Четыре.)
«Сколько шариков отложено на нижней проволоке?» (Тоже четыре.)
«Что можно сказать про количество шариков на верхней и нижней прово¬
локах?» (На верхней и нижней проволоках отложено шариков поровну.
Или: на верхней проволоке отложено шариков столько же, сколько на
нижней.)
Учитель, в случае затруднений со стороны учащихся, может сам сформу¬
лировать этот ответ.
«У Володи 5 карандашей, а у Миши столько же карандашей, сколько у Во¬
лоди. Сколько карандашей у Миши? В одном ящике 4 кубика и в другом
столько же. Сколько кубиков в двух ящиках? Отложите у себя справа
3 палочки. Отложите слева столько же».
Возвращаясь к классным счётам, учитель откладывает на верхней прово¬
локе ещё 2 шарика.
«А теперь скажите, поровну ли отложено шариков на обеих прово¬
локах?» (Нет, не поровну.) «На какой проволоке больше?» (На верхней.)
«Сколько же лишних шариков положено на верхней проволоке?»
(Лишних два шарика.)
«Вместо «лишних два шарика» говорят: «Больше на два шарика»,
172

На верхней проволоке лишних два шарика. Как сказать это иначе?» (Н а
верхней проволоке больше на 2 шарика Л Ответ повторяется
в одиночку и хором. «Отложим на верхней проволоке 4 шарика. А на нижней
столько же и ещё 3 шарика. Сколько всего шариков отложено на нижней
проволоке? Как мы это узнали?» (К четырем прибавили 3, подучилось 7.)
«Сколько лишних шариков на ннжней проволоке? Как иначе можно это
сказать?» (На нижней проволоке на 3 шарика больше.) «Отложите у себя
справа 5’ палочек, а слева на 2 палочки больше. Как будете откладывать па¬
лочки слева?» (Отложим столько же, сколько справа, и ещё две палочки.)
«Сколько всего палочек получилось?» (7.)
«Как получилось 7? Что вы сделали?» (К 5 палочкам прибавили 2 па¬
лочки, получилось 7 палочек.)
«Я нарисовал на доске 6 кружочков. Теперь я хочу во втором ряду на¬
рисовать кружочков на 3 больше. Как это сделать?» (Нарисовать 6 кружоч¬
ков и ещё 3 кружочка.)
«Сколько всего коужочков получится во втором ряду7» (9.)
«Что нужно сделать, чтобы получить 9?» (К б прибавить 3.)
«Я поставил на планку 5 кубиков. А ты, N. поставь из 4 кубика больше.
Что значит «на 4 кубика больше?» Как это сделать7 В одной комнате
8 стульев, а в другой на 2 стула больше. Что это значит — на 2 стула боль¬
ше?» (Это значит лишних 2 стула; 8 стульев и ещё 2 стула.) «Сколько же
стульев в другой комнате? Как это узнать?» (К 8 прибавить 2, будет 10.)
«Запишем это:	8 4-2 = 10. Карандаш стоит 6 коп., а ручка на 2 ко¬
пейки дороже. Сколько стоит ручка? Повторите эту задачу. Что значит—на
2 коп. дороже?» (Ручка стоит лишних 2 коп.) «Сколько же стоит ручка? Как
это узнать? К 6 прибавьте 2. Сколько будет? Что больше — 8 или 6? Значит,
когда мы вместо 6 получим 8 (из 6 сделали 8), то мы у в е а и ч и л и число
6.	Так чтб мы сделали с числом 6?» (Мы его увеличили.) «Сколько мы
прибавили к 6? Сколько стало лишних? Как это сказать иначе?» (Стало
больше на 2.) «На сколько единиц мы увеличили число 6?» (Мы увеличили 6
на 2.) «Как же увеличить 6 на 2?» (Надо к 6 прибавить 2.)
«Увеличьте 7 на 3. Сколько будет? Как вы это сделали? Запишите это
(7 4-3= 10). Увеличьте 5 на 5; 4 на 3; 2 на 8» и т. д.
Уменьшение числа на несколько единиц.
Учитель кладёт на двух проволоках классных счётов по 6 шариков.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? Сколько на нижней?
Что можно сказать про шарики на верхней и нижней проволоках?» (На обеих
проволоках шариков поровну. Или: на верхней проволоке столько шари¬
ков, сколько и на нижней.)
Учитель сбрасывает с нижней проволоки 2 шарика.
«Поровну ли теперь положено шариков на обеих проволоках? На которой
меньше? Сколько шариков нехватает теперь на нижней проволоке?»
(Нехватаст двух шариков.)
«Как это сказать по-другому?» (На нижней проволоке меньше на
2 шарика.) «Вместо «нехватает двух шариков» будем говорить «меньше на
2 шарика». Нехватает четырёх кубиков. Как это сказать иначе? Я нарисовал
6 палочек. Теперь я хочу, чтобы тут стало на 3 палочки меньше. Как это сде¬
лать?» (Надо стереть 3 палочки.)
«На планке стоит 12 кубиков. Сделайте, чтобы здесь стало двумя куби¬
ками меньше. Как это сделать?» (2 кубика снять, или отнять.)
«Отложите у себя на парте слева 10 палочек, а справа тремя палочками
меньше. Отложите теперь справа 9 палочек, а слева на 4 палочки меньше.
Нарисуйте в тетради на одной строчке 7 крестиков, а на второй строчке
меньше на один крестик. Наш коридор имеет в длину 11 метров, а
класс короче коридора на 4 метра. Какой длины наш класс? Что значит
«короче на 4 метра?» (Нехватает, четырёх метров.) «Что же надо сделать,
чтобы узнать длину класса?» (От 11 м отнять 4 м, получится 7 м.) «Запи-
173

шнте это (11 — 4 = 7). От 7 отнимите 2, сколько будет? Что меньше—5,
или 7? Значит, когда мы вместо 7 получили 5, то мы уменьшили число 7.
Что же мы сделали с числом 7? Сколько отняли мы от 7? На сколько умень¬
шили мы число 7? Как мы уменьшили 7 на 2?» (От 7 отняли 2.) «Запи¬
шите это (7 — 2 = 5) Уменьшите 5 на 3. Сколько будет? Как вы это сде¬
лали? Уменьшите 15 на 4; 11 на 2; 20 на 5; 15 на 10» и т. д.
Дальше следует решение задач на увеличение и уменьшение числа на
несколько единиц сначала в одно, а потом и в два действия.
Примерное распределение времени.
На изучение сложения и вычитания в пределе 20 отводится вся вторая
четверть, т. е. 40 уроков (при 1 недельных часах). Эти 40 уроков можно рас¬
пределить примерно следующим образом:
1.	Устная и письменная нумерация в пределе 20	 4 урока
2.	Сложение и вычитано без перехода через 10	14	»
3.	Знакомство с кию ;лммом .	.	  1	*
4 Коп I рол мы я р«|Г < > т <. ра 1бороч рс *\\пь гл гов	 2	>
5. Сложение VI вычигиМ.ю с переходом через десяток	15	э
6 Знакомство с ли [ром .	.	  1	>
7.	Конгр0 1оная работ с анализом ее результатов 	 2	>
8.	Пошпие «Оотьше я меньше на ечольчо го» и решение задач па
увеличение и уменьшение ч/кла на несколько единиц	5	>
9.	Пон трение про11ленною с решением задач и примеров	4	>
10.	Контрольная работ	 1	>
Примерное содержание первой контрольной работы.
1) 10 + 6=	5)18—5=	9) 2+14 =
2)	18 - 8 =	6)	20— 7=	10)20 - 15	=
3)	12 + 6=	7)	5+13=	11)18-12	=
4)	16 + 4=	8)	17 — 6 =	12) 11+ 3	=
Примерное содержание второй контрольной работы.
1) 8 + 6=	п)11—6=	И) 8 + 9 =
2)	15-9=	7)	8	+	8=	12)13 — 5 =
3)	/ + 5	5 /	18	—	9 =	13)	/ + б =
4)	1-1 — 7=	9)	12	—	4 ^	14,	12—9 =
5)	9 + 4=	10)	3	+	9=	15)	9 + 7 =
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ.
О	порядке изучения умножения и деления.
Порядок изучения умножения и деления в пределе 20 может
быть разный. Умножение п деление можно проходить или совмест¬
но, параллельно, как проходилось сложение и вычитание, или раз¬
дельно, а. с. сначала умножение, а потом деление. Какая из этих
систем является более целесообразной?
При совместном изучении умножения и деления содержание
работы является более разнообразным и связь между этими дей¬
ствиями выступает ярче и подчёркивается сильнее. Недостаток же
такой системы заключается в том, что при одновременном изуче¬
174

нии двух действий ученик ставится перед необходимостью преодо¬
левать сразу несколько трудностей и арифметического и лексиче¬
ского порядка: каждое из этих действий имеет своё обозначение,,
свою терминологию, свой арифметический смысл и содержание.
Одновременное усвоение всего этого создаёт большую нагрузку
для ученика в ущерб ясности понимания изучаемого. Сложность
работы усиливается ещё тем, что умножение и деление связаны не
только между собой, но и каждое из них связано ещё и с другим
действием: умножение — со сложением, деление —с вычитанием.
Такая многосторонность связей делает изучение этих действий
более сложным и трудным, чем изучение первых двух действий —
сложения и вычитания. И если мы допускаем совместное изучение
сложения и вычитания, то такой порядок мало пригоден для изу¬
чения более трудных действий — умножения и деления.
При раздельном прохождении умножения и деления внимание
учащихся на определённом отрезке времени сосредоточивается
только па одном действии; круг изучаеамых вопросов становится
при этом уже, что даёт учащемуся возможность вникать в них
глубже. Получается возможность сильнее подчёркивать связь
умножения со сложением, вычитания с делением. Связь же умно¬
жения с делением будет установлена, подчёркнута и использована
при последующем изучении деления.
Неминуемое однообразие в работе, которое создаётся однооб¬
разием методических приёмов, можно ослабить введением момен¬
тов повторения пройденного, т. е. сложения и вычитания.
Учитывая всё это, надо отдать предпочтение раздельному
прохождению ухмножения и деления.
Умножение.
В пределе второго десятка сложение равных слагаемых рас¬
сматривается особо — как новое действие умножения со своим,
знаком и особой терминологией. Здесь даётся первоначальное по¬
нятие об этом действии, выясняется его конкретный смысл. Даются
конкретные образы, поясняющие смысл умножения. Учащиеся'
фактически берут по несколько раз определённые группы предме¬
тов (например 3 раза по 4 кубика, 2 раза по 6 палочек и т. д.).
В соответствии с этим и термин «умножить на столько-то»
заменяется на этой ступени обучения более понятным для детей
и образным термином «взять по столько-то». Запись умножения
4 X 5 = 20 дети в 1 классе читают так: «По 4 взять 5 раз, полу¬
чится 20».
Основным вычислительным приёмом умножения в пределе 20
является приём н а б и р а н и я равных слагаемых. Умножение здесь
выполняется при помоши сложения Как и в сложении, здесь воз¬
можны сокращённые приёмы набора равных слагаемых.
Подобно тому как сокращённые приёмы сложения осно¬
ваны на целесообразной группировке единиц, так и сокращённые
176

приёмы умножения опираются на целесообразную группировку сла¬
гаемых. Например, восемь двоек можно набрать так: пять двоек —
10 и три двойки — 6, а в-сего 16. Эти приёмы демонстрируются на
наглядных пособиях; они служат подготовительной ступенью
к усвоению в дальнейшем распределительного свойства умноже¬
ния.
Переместительное свойство умножения не так просто и очевид¬
но, как переместительное свойство сложения. Поэтому при нахож¬
дении произведения в пределе 20 не следует опираться на переме¬
щение сомножителей Примеры: 3X4 и 4X3 рассматриваются
здесь как самостоятельные и независимые друг от друга примеры;
в первом случае дети должны уметь набрать 4 тройки, а во вто¬
ром— 3 четвёрки, чтобы получить одно и то же произведение 12.
Приём последовательного умножения, основанный на сочета¬
тельном свойстве этого действия, в пределе второго десятка не
•применяется.
Таблица умножения, усваиваемая наизусть, может быть
построена двумя способами; 1) по постоянному множимому
и 2) по постоянному множителю. Если мы хотим построить
таблицу умножения по постоянному множимому, то мы
должны взять числа натурального ряда одно за другим и умножить
каждое из них на все числа первого десятка. Получится следую¬
щая таблица;
2 X
1
3X1
2 X
2
3X2
2 X
3
зхз
2 X
4
3X4
2 X
5
3X5
2 X
6
3X6
2 X
7
4X2
2 X
8
4X3
2 X
9
4X4
2ХЮ
4X5
5X1
5X2
5X3
5X4
6X2
6X3
7X2
8x2
9X2
10X2
Здесь множимое остаётся постоянным, множитель, наоборот,
является переменной величиной. Сначала число 2 умножается на
все числа первого десятка, потом 3, затем 4. 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Но в этой таблице числа можно перегруппировать и построить
её так, что множимое будет переменным, а множи¬
тель постоянным. Тогда таблица умножения в пределе 20
будет иметь следующий вид:
1X2
1X3
1 X 5
2X2
2X3
2X5
3X2
зхз
3X5
4X2
4X3
4X5
5X2
5 X 3
2 X 6
0X2
ь X 3
3X6
7 у 2
2X4
2X7
8X2
3 > 4
2 X 8
9 X 2
4 X 4
2Х«
10X2
5X4
2Х Ю
Гб

Очевидно, что эти различные варианты таблицы могут полу¬
читься в результате различных систем изучения умножения. Какая
же система работы является более целесообразной?
Рассмотрим оба способа построения таблицы с точки зрения
основного вычислительного приёма, применяемого здесь, т. е. на¬
бора равных слагаемых. Когда таблица строится по постоянному
множимому, то между каждыми двумя её смежными строчками
существует тесная связь:	каждый последующий её случай опи¬
рается на предыдущий, является его естественным продолжением.
4X1 = Возьмём например, часть таблицы —* умножение 4. Составляя
4X2= эту часть таблицы, учащиеся сначала возьмут 2 раза по 4 и полу-
4)<3= чат 8. Дальше, когда учащиеся перейдут к набиранию трёх четверок
4X4= (4X3), то им не нужно начинать процесс набирания четвёрок с са-
4X5= мого начала. Чтобы составить сумму из трёх четвёрок, достаточно
к восьми прибавить третью четвёрку, получится 1? Чтобы набрать
4 четвёрки, можно воспользоваться тем, что произведение 4X2 нам известно,
сложив два таких произведения, получим искомое произведение.
Всё это облегчает процесс набора слагаемых, их группировку
н делает приёмы вычисления экономными.
Теперь рассмотрим второй способ построения таблицы (по
постоянному множителю). Возьмёдт часть таблицы — умноже¬
ние на 4'
1 X 4	Набираем 4 двойки, получается 8. йалыие надо набрать 4 тройки.
2X4 Набор надо начинать сначала, так как этот случай новый и никакого
3X4 отношения к предыдущему не имеет. Чтобы умножить 4 на 4, опять
4X4 надо начинать заново, и т. д.
5X4
Таким образом, при этом способе между предыдущим и после¬
дующим случаем умножения нет ничего общего. Добавим ещё,
что при этом способе выгода замены сложения умножением мало¬
убедительна для учащихся. Когда составляется таблица по пер¬
вому способу, легко показать всю целесообразность перехода от
сложения к умножению.
В самом деле, 2 + 2 + 2 лучше заменить записью 2X3.
Выражение 2 + 2 + 2 + 2 лучше заменить записью 2 Х4.
Выражение 2+2+2+2+2 лучше заменить записью 2X5 и т д.
Это же трудно показать в таблице, составляемой по второму
способу, где сначала все числа первого десятка умножаются толь¬
ко на 2.
Учитывая всё сказанное, мы должны прийти к тому выводу, что
расположение элементов таблицы по постоян¬
ному множимому выгоднее, целесообразнее.
Но пройдя таблицу по постоянному множимому, полезно пере¬
группировать её элементы, расположить их по постоянному множи¬
телю и в данном виде повторить и усвоить её наизусть. В таком
авде она легче, удобнее для запоминания.
12 А. С. Пчёлко
177

Усвоение смысла и записи умножения.
Учитель предлагает детям положить на парту дидактически!
материал (кубики, палочки, кружочки и др.), а сам, обращая#
к классным счётам, откладывает на них 2 шарика.
«Сколько шариков отложено на счётах*» (2 шарика.) «Отложите вы у себе
две палочки. Отложим ешё 2 шарика (учитель рядом с первой парой отхлй*
дываег ещё вторую пару шариков). Л вы у себя отложите ещё 2 палочки, к
сдвигая их. Сколько всего палочек получилось?» (4.) «Как вы узнали?» (К
двум прибавили 2.) «Запишем это на доске (появляется запись: 2 4- 2 = 4). От«
ложим на доске ешё пару шариков, а вы у себя отложите Третью пару пал»
чек. Сколько получилось всего шариков (палочек)? Как вы узнали это?» (К
двум прибавили 2 и ещё 2. Получилось 6.)
«Запишем это 2 +- 2 + 2= 6 Отложим на счетах ещё одну пару' шари¬
ков. а вы у себя возьмите еше одну пару палочек. Сколько всего шарит
(палочек) получилось? Посчитаем- 2 да 2 = 4, 4 да ещё 2 = 6, 6 да ешё 2 =
--8. Сколько раз мы брали по 2 шгрика, по 2 палочки? Сколько получилось?
Оиюжим на счетах еще одну — пятую пару шариков, а вы у себя отложите
пятую пару палочек, сколько всего шариков (палочек) отложено? Посчитаем:
2 да 2 = 4, 4 да 2 = 6, 6 да 2 - 8, 8 да 2 = 10. Запишем это: 2 4-24-2 +
4-2 4* 2 = 10. По скольку шариков (палочек) мы брали каждый раз?» (По 2.)
«Сколько раз мы брали по 2 шарика (по 2 палочки)?» (5 раз.) «Сколько всегг
шариков (палочек) получилось?» (10.)
На доске получилась следующая запись:
1)	2+-2=4
2)	2+24-2 = 6
3)	2 + 2 + 2 + 2 = 8
4)	2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
Далее учитель откладывает на планку классной доски 5 раз по 2 куби*
говоря-
«Теперь я возьму 5 раз по 2 кубика. Сколько кубиков получилось? Пв
считаем: 2 да 2 = 4» VI т. д.
«По скольку кубиков я брал?» (По 2.) «Сколько раз я брал по 2 кубикаЬ
(5 раз.) «Сколько кубиков получилось?» (10 кубиков.) «Как мы узнзли, сколь¬
ко получилось?» (Считали двойками: два да два — четыре, да ещё два-
шесть, да ещё два — восемь, да еще два — десять.)
«Повторим полным ответом, что мы делали: мы брали 5 раз 01
2 кубика, и получилось 10 кубиков; мы брали 5 раз оо
2 палочки, получилось 10 палочек. Вместо того чтобы говорка
«к двум прибавить два, прибавить ешё два. прибавить еще два и прибавит!
ещё два» — творят короче и скорее «по два взять пять раз».
Прочитаем нашу запись, начиная с конца — с четвёртой строчки».
Ученики чшают «К двум прибавить два, прибавить ещё два» и т. д. <Ка*
короче можно прочитать эту запись?» (По 2 взять 5 раз, получится 10.)
«Прочит,ште третью строчку: «К двум прибавить два» и т. д. Прочитайте
короче эту запись* По 2 взять 4 раза, получится 8. Прочитайте коротко
вторую строчку! Первую строчку! Когда прибавляют поровну, то вместо того»
чтобы повторить много раз слово «прибавить», как говорят короче?» (Взять
столько*!о раз) «Когда прибавляют поровну, то и записывают сложение
короче. Заменим наши длинные записи более короткими Что записано б 4-Й
иргикеЧ (По 2 шить 5 раз. подущпся 10.) «Смогпите, как это пишут».
Учитель говорит медленно, раздельно и пишет (против записи сложена*
ПЯ1 п двоек).
2 X 5 « 10,
поясняя* «Вместо слова «взять» ставят косой крестик, в«*-
сю слов «пять рл* пишут 5, вместо слова «получится» пишут две чёрточки.

Ярочитаем, что записано (читают хором). Что означает косой крестик? 8место
[лова «взять», какой знак пишут? Сделайте у себя в тетрадях сначала длин-
1ую запись, потом короткую».
Ученики записывают:
2 + 2 + 2 4- 2 + 2 = 10;	2 X 5 - 10.
«Прочитайте, что вы записали. Прочитаем теперь третью строчку. Запишем
её короче».
Появляется запись: 2X4 = 8.
«Сделайте у себя сначала длинную запись, логом короткую».
Ученики записывают:
2 + 2 + 2 + 2 = 8;	2X4 = 8.
То же проделывается со второй и первой строчкой.
Далее следуют упражнения, направленные на углубле¬
ние понимания смысла умножения и его записи.
Учитель пишет на доске: 2X3.
«Прочитайте, что я написал». (По 2 взять 3 раза.)
«Покгжиге это на палочках (кубиках). Запишите это в своих тетрадях
в вычислите (ученики пишут 2X3 = 6). Как оы узнали, что по 2 взять 3 раза
будет 6^» (К двум прибавили 2 —стало 4; к четырём прибавили 2 — стало 6.)
«Будем считать по 2, или двойками, до 10». (Два. чешре, шесть, восемь,
десять; 2. 4, 6, 8, 10.) «Отсчитывайте по двойке, начиная с 10». (Десять, во¬
семь, шесть, четыре, два.) «Запишите счет двойками в тетради».
Ученики пишут: 2, 4, 6, 8, 10;
Ю, 8, 6, 4. 2.
После того как дети уяснят смысл умножения на числах пер¬
вого десятка, надо перейти к умножению 2 на 6, 7, 8, 9, 10. Умно¬
жение на эти числа опирается на счёт двойками до 10. Знание
таблицы умножения двух в пределе 10 позволяет при дальнейшем
умножении применять сокращённый приём набора равных
слагаемых.
Так, чтобы набрать 6 двоек, надо взять 5 двоек и прибавить одну двойку.
5 двоек —* это 10; 10 да 2=12. Значит, 6 двоек будет 12. Чтобы набрать
8 двоек, достаточно взять 5 двоек и 3 двойки. 5 двоек — это 10, 3 двойки —
зто 6 а 10 да 6 — 16 Значит 8 яноек составят 16 и т, д. беря по два 6. 7,8,
9, 10 раз, дети рассуждают так: «Чтобы по 2 взять 7 раз, возьмём 5 раз по
два, получим десяток, затем возьмем еще 2 раза по 2, получим 4, а всего
получится 14».
В качестве самостоятельной работы детям даются упражнения
на замену сложения умножением и, наоборот, умножения сложе¬
нием («Заметно длинную запись короткой. Замените короткую
запись длинной»).
1)2 + 24-2 + 24 2ч 2 4 2=11
'2> 2+2 + 21 2 + 2 + 2 4 2 т 2 + 2=18
Ч 2 '' 8 «г 16
4)2*0= 12
1)2X7=14
2» 2 X
+ 2 + 2 + 2 -> 2 1 2н 2 + 2 ч 2= 16
4* 2 ч- 2 - 2 4- 2 4 2 + 2 = 12
Заканчивается изучение таблицы умножения двух решением
задач на умножение. Первые задачи надо предлагав в такой
12*
179

форме, чтобы из содержания задачи вытекала необходимость по¬
вторять данное число несколько раз, например*
«Левушка холила на реку за водой Ч раза и каждый рач приносила пэ
2 ведра. Сколько всего ветер воды она принесла1** «Учи ".к покупал тетради
о раз, каждый раз по 2 тетради Сколько тетрадей к* и'.ь» >чеынч^ «Дети для
игоы построились в 8 рядов, в каждом ряду по 2 чело! с: а. Сколько детей
построилось для игры?»
После таких з* 'ч предлагаются и другие затачн па умножение, в кото¬
рых необходимо данное числе повторить слагаемым нескс, ько раз, например:
«Мальчик к * пил 8 перьев, по 2 копенки за пер./. Сколько копеек мальчик
уплатил за перья
Задачи решаются устно, но часть решённых задач записывается.
При записи нужно строго различать места множимого и множи¬
теля (на первом месте стоит множимое, на втором множитель).
Решение вышеуказанной задачи записывается глк: 2 коп. Х8 =
= 16 коп. При множимом и произведении нужно ставить наимено¬
вания. Множитель же как число отвлечённее, показывающее»
сколько раз множимое повторяется слагаемым, пишется всегда без
наименования. Дети склонны на первых порах славить наименова¬
ние и пру множителе. С этим нужно бороться, разъясняя детям,
какое именно число в данной .задаче берётся несколько
раз и сколько раз оно берётся.
Умножение трёх. Умножение трёх начинается со счета
тройками на наглядных пособиях (классные счёты, кубики,палочки
и др.). Учитель составляет столбики из трёх кубиков и предлагает
детям считать их.
«На плачке 3 кубика. Прибавим ещё столбик — 3 кубика. Сколько куби¬
ков получилось?» (3 да 3 = 6.) «Прибавим ещё третий сголбик в 3 кубика.
Считайте, сколько всего кубиков получилось?» (3 да 3 = 6 б да 3 — 9.) «При¬
бавим ещё четвёртый столбик в 3 кубика. Сколько теперь кубиков стало?»
(9 да 3 = 12). «Прибавим пятый столбик в 3 кубика. Сколько всего кубиков
получилось0» (12 да 3 = 15.) «И наконец, прибавим шестой столбик из трёх
кубиков. Сколько теперь кубиков получилось?» (15 д* 3 *=- !8 )
Показывая на два столбика, учитель спрашивает. «По 3 кубика взять,
2 раза — сколько получится кубиков?» (По 3 кубика взять 2 раза получится
6 кубиков )
Указывая на 3 столбика, учитель спрашивает: «По 3 кубика взять 3 раза,
сколько получится кубиков?» (По 3 кубика взять 3 раза — будет 9 кубиков.)
и т. д.
«По 3 кубика сзять б ргз. Сколько кубикоо полу.^т г? Достаньте свои
палочки Будем считать их тройками».
Учен-кч откапывают по 3 палочки и считают: «3 да 3 будет 6 палочект-
6 да ещё 3 — будет 9 палочек; 9 да 3 — будет	г 'ют .' и г д.
Далее производится прямой и обратны'1 счёт	' без на¬
глядных пособий, на отвлечённых чго - ч
Три, шесть, десять, двенадцать, пятнадцать, вое г*'	'гадать,
пятнадцать, двенадцать, девять, шесть, три.
«Запишите в тетрадях числа, которые получаю.с*	_ г,» лкями:
3, 6, 9, 12, 15, 18.	18, 15, 12, С, б, 3.
180

Запишем прибавление по 3 кубика, сначала длинной записью, потом ко¬
роткой:
Так получается таблица умножения трёх, которая читается уча¬
щимися несколько раз хором и в одиночку.
Работа завершается письменным решением примеров и задач.
Таблица даётся на дом для усвоения наизусть.
Умножение четырёх и пяти производится по тому же
плану: а) счёт четвёрками, пятёрками на наглядных пособиях:
б)	счёт четверками, пятёрками на отвлечённых числах с записью
результатов счёта; в) запись прибавления по 4, по 5 (в виде сло¬
жения); г) запись прибавления четвёрок и пятёрок (в виде умно¬
жения); д) решение примеров и задач на таблицу умножения че¬
тырёх и пяти; е) упражнения в заучивании таблиц в классе
^ дома.
Из таблиц умножения шести, семи, восьми и девяти рассматри¬
ваются в пределе 20 только по 1—2 случая:
Усвоение этих случаев никаких затруднений для учащихся не
представляет.
Повторение таблицы умножения, расположенной по постоянному
иножителю, иа 2, на 3, на 4, на 5.
Когда таблица умножения по постоянному множимому будет
усвоена, полезно перегруппировать элементы таблицы, располо¬
жить её по постоянному множителю и снова повторить. Сначала
нужно повторить умножение всех чисел первого десятка на 2.
потом на 3, затем на 4 и наконец на 5. К этому времени конкрет¬
ный смысл умножения для детей должен быть ясен. Теперь уже
можно ввести в терминологию некоторые условности, которые
сближают математическую речь учащихся с установившимся,
общепринятым языком в арифметике и помогают усвоению
таблицы умножения наизусть. Речь идёт о допущении терминов
«умножить», «умножение». «Будем решать примеры на умноже¬
ние». «Запишите пример: «3 умножить на 5». Такие фразы
нужно признать допустимыми в речи учителя и учеников; ими
вполне можно пользоваться наряду с фразами: «По 3 взять 5 раз»
ц «3 повторить 5 раз», «Булем решать примеры, в которых числа
будем брать несколько раз», и т. д.
Повторение начинается с того, что учитель пишет на доске
таблицу умножения на 2:
3 -|- 3 = 6
оЧ-^тЗ = 9
О г НЗтЗ - 12
3-^-3 л Т- 3 -{- 3 = 15
З-тЗ-'-З-г 3 4- 3 -е 3 = 18
3X2= Ь
3X3= 9
За 4=12
зх 5= 15
ЗХЬ= 18
б Х2
6X3
7X2
8X2
2 4 2 = 4
3x2 = 6
4X2 = 8
5 X 2 = 10
6X2= 12
7X2= 14
8X2=16
9X2= 18
10X2 = 20
18)

Ученики читают эту таблицу: «По 2 взять 2 раза, будет 4. По 3 взять
2 раза, будет 6; 4 повторить 2 ргза, будет 8; 5 повторить 2 раза, будет 10» и т, Д,‘
Так читается сначала раза два вся таблица подряд, а затем враз¬
бивку, после чего учитель даёт задание списать эту таблицу
и дома усвоить её наизусть.
В таком плане повторяется таблица умножения на 3, 4 и 5. На
этом заканчивается изучение части таблицы умножения, заключён¬
ной в пределе 20. На каждом из повторительных уроков решают¬
ся задачи в одно, два и три действия, в которых наряду с умно¬
жением фигурируют и другие действия — сложение или вычита¬
ние, например:
«Мальчик купил 4 пера по 3 коп. за перо и дал 20 копеек. Сколько сдачи
должен получить мальчик5»
«В двух маленьких коробках лежит по 5 карандашей, а в одной большой
на б карандашей больше. Сколько карандашей лежит в большой коробке?»
Около половины задач решается с записью решения. Цель
записи — научить учащихся не только выбрать действие для реше¬
ния вопроса, ко и записать его и притом правильно поставить на-1
именование, на должном месте поставить множимое и множитель.
Запись должна быть такой:
1-	я задача
1)	3 коп X 4 = !2 коп,;
2)	20 коп. — 12 коп. = 8 коп.
2-	я задача
1)	5 кар. X 2 = 10 кар.;
2)	10 к.ф. -+ б кар. = 16 кар.
При изучении умножения и в особенности в процессе его по¬
вторения решаются смешанные примеры на сложение, вычитание
и умножение. При этом в некоторых примерах приходится вводить
скобки, например:
(11 — 8) X 3.
Без скобок (11 —8X3) этот пример был бы невозможен для решения. Но
в примерах типа 6X2 + 5 скобки излишни.
Деление в пределе 20.
Приступая к обучению детей делению, учителю нужно предва¬
рительно разрешить для себя несколько вопросов принципиального
характера. Вопросы эти заключаются в следующем:
Известно, что существует два вида деления: 1) деление на рав¬
ные части и 2) деление по содержанию. Эти виды деления ярко
различаются на задачах.
Возьмем задачу «За 2 одинаковых карандаша заплатили 16 копеек.
Сколько стоит один карандаш?» Чтобы решить эту задачу, нужно 16 разде¬
лить на две равные части, ибо если дез карандаша стоят 16 коп., то один
карандаш будет стоить в 2 раза меньше. В этой задаче мы имеем дело с де¬
лением на равные части.

Возьмём другую задачу: «Один карандаш стоит 8 коп. Сколько каранда¬
шей можно купить на 16 коп.?» Эта задача решается тоже делением. Но здесь
деление имеет другой смысл: деля 56 на 8, мы узнаем, сколько раз 8 содер¬
жится в 16. Деление вытекает здесь из следующего рассуждения: если один
карандаш стоит 8 коп., то на 16 коп. можно купить столько карандашей,
сколько раз 8 коп. содержится в 16 коп. Сколько же раз 8 содержится в 16?
Этот вопрос решается делением
Зная, чго существует два вида деления, нужно разрешить во¬
прос, как знакомить учащихся с этими видами деления: параллель¬
но или последовательно; если последовательно, то в каком порядке,
с чего начать? Знакомить ли сначала с делением на равные части,
а потом с делением по содержанию, или, наоборот, сначала с де¬
лением по содержанию, а потом с делением на равные части? За¬
тем, нужно ли проходить оба эти бида деления одно за другим
непосредственно или полезно разделить их прохождение некото¬
рым промежутком времени? Проходя оба вида деления сначала
раздельно, где, на какой стадии обучения нужно сделать их обоб¬
щение и показать, что обе разновидности деления составляют по
технике выполнения одно (единое) действие?
В разное время эти вопросы решались по-разному. Не вдаваясь
в историю этого вопроса, скажем только, что в принятых в на¬
стоящее время задачниках и методических руководствах эти во¬
просы решаются так: ознакомление учащихся с делением начи¬
нается с деления по содержанию, а затем даётся деление на рав¬
ные части. Оба вида деления даются в пределе второго десятка
один вид за другим. Обобщение производится на втором году
обучения при изучении внетабличного умножения и деления в пре¬
деле 100.
Целесообразен ли такой порядок? Следует ли его сохранять
дальше?
Нужно заметить, что этот порядок изучения вызывает у мно¬
гих учителей и методистов возражения, которые в основном за¬
ключаются в следующем.
При таком порядке нарушается дидактический принцип — начи¬
нать с известного, знакомого и переходить к неизвестному. Деле¬
ние на равные части знакомо ребёнку из его жизненного дошколь¬
ного опыта; деление по содержанию ребёнку незнакомо. Дидактика
же требует, чтобы при обучении всегда исходили от известного,
знакомого, а не наоборот. Считаясь с этим требованием,следовало
бы начинать изучение деления с деления на равные части.
Деление на равные части понятнее для ребёнка; смысловое
содержание деления по содержанию труднее, сложнее. В самом
деле, при делении на части требуется определить величину части;
в результате (в частном) получаются единицы того же наименова¬
ния, что и у делимого. При делении же но содержанию опреде¬
ляется количество частей; наименование частного не имеет ничего
общего с наименованием делимого; можно делить яблоки, а полу¬
чать в частном ящики, делить молоко, а получать количество
детей, и т. д.
183

Самая запись деления на равные части проста и понятна ре*
бёнку; запись деления по содержанию сложна и трудна для детей;
правильной записи деления по содержанию с её условностями
приходится учить много и долго. Сравним записи решения двух
вышеприведённых задач.
I)	16 коп. : 2 = 8 коп.»
II)	16 коп. : 8 коп. = 2 (карандаша).
Из внешнего обозрения этих записей видно, что вторая запись
во много раз сложнее первой.
По каким же мотивам, однако, выдвигается деление по содер¬
жанию на первое место? По двум мотивам:
1)	Способ деления по содержанию определённее и проще
способа деления на части; в самом деле, разделить 15 кубиков
на кучки по 3 кубика в каждой очень просто: для этого достаточно
только раздвинуть кубики так, чтобы в каждой кучке было
3 кубика, и подсчитать количество кучек. Значительно сложнее
способ деления 15 кубиков на 3 равные части, для этого нужно
взять 3 кубика и разложить их по одному, затем взять вторую
тройку и снова разложить 3 кубика по одному и т. д., пока не
будут разделены все кубики.
2)	При совместном изучении умножения и деления с таблицей
умножения, расположенной по постоянному множимому, естествен¬
но связывается деление по содержанию, а не деление на равные
части; деление на части может быть связано с таблицей умно¬
жения, расположенной по постоянному множителю.
Из этих двух аргументов в пользу выдвижения на первое
место деления по содержанию второй аргумент отпадает, посколь¬
ку мы приняли раздельное изучение умножения и деления.
Повторение таблицы умножения с постоянным множителем от
крывает путь для изучения деления на равные части.
Что же касается способа деления на равные части, то труд¬
ность его несколько преувеличивается. Процесс деления на равные
части доступен пониманию ребёнка; этот процесс достаточно кон¬
кретен. очевиден; довольно просто он иллюстрируется на нагляд¬
ных пособиях. Усвоению результатов деления помогает знание
таблицы умножения. Если ребёнок знает, что 5X2=10, то для
него нетрудно 10 разделить на 2, поставив вопрос: «По скольку
надо взять 2 раза, чтобы получить 10?»
Таким образом, целесообразнее начинать изучение деления
с деления на равные части; с делением же по содержанию знако¬
мить детей несколько позднее, приурочив первоначальное ознаког
мление с делением по содержанию к изучению деления круглых
десятков.
Деление на равные части.
Основной приём деления на равные части состоит в том, что
из группы предметов, которые надо разделить, берётся количестве
предметов, равное числу частей, чтобы при делении в каждой
184

части подучилось по одному предмету, по единице. Затем из остав¬
шейся группы предметов снова берётся столько предметов, чтобы
при делении на данное число частей в каждой части получилось
ещё по одному предмету, по второй единице. Так поступают до
тех п^р, пока не будут исчерпаны все предметы данной группы.
Пусть требуется б яблок разделить поровну между двумя детьми. Для
этого из б яблок берут 2 яблока, делят их между двумя детьми, и у каждого1
аз детей получается по одному яблоку. Затем из оставшихся 4 яблок берут
ещё 2 яблока, снова делят их между детьми, и у каждого получается еше по
одному яблоку, а всего после второго деления у каждого будет но 2 яблока.
Остаётся разделить последние 2 яблока. Дают каждому еще по одному яблоку,
и у каждого получится всего по 3 яблока. Итак, если 6 разделить на 2 равные
части, то в каждой части получится по 3.
Анализируя процесс деления, мы видим, что в нём наряду
с делением приходится иметь дело с вычитанием равных чи¬
сел. Так, чтобы разделить 8 на 2 равные части, мы сначала вычи¬
таем 2 из 8, делим эту двойку пополам, получается в каждой
части по одному; затем берём (вычитаем) 2 из 6 и, деля вторую
двойку, получаем в каждой части по второй единице, дальше вы¬
читаем 2 из 4, делим эту третью двойку и получаем в каждой
части третью единицу. Наконец, делим оставшуюся двойку и по¬
дучаем четвёртую единицу.
Но на вычитание приходится опираться только при первич¬
ном знакомстве с процессом деления — при делении на нагляд¬
ных пособиях. В дальнейшем нужно в полной мере использовать
яязи деления с умножением. Здесь нужно исходить из таб¬
лицы умножения, чтобы быстро и безошибочно найти резуль¬
таты деления.
В самом деле, если ученик знает, что 5X3=15, то он без особого
фуда может найти результат деления 15 на 3. «Какое число надо повторить
Зраза, чтобы получить 15?» — такой вопрос ставит перед собой ученик и из
хшовании знания таблицы умножения отвечает: «Пять». Значит, если разде¬
лить 15 на 3 равные части, получится в каждой части по 5.
Если 10 разделить на 5 равных частей, то в каждой части получится по 2,
/ак как по 2 взять 5 раз будет 10.
На эту связь деления с умножением нужно натолкнуть уча¬
щихся, нужно её вскрыть и показать учащимся, чтобы приучить
ах пользоваться ею в целях быстрейшего нахождения частного.
Учащиеся усваивают сначала результаты деления чисел пер¬
вого десятка, а в дальнейшем, при переходе к делению чисел
второго десятка, используют эти знания для более скорого нахо¬
ждения частного.
Например, если нужно разделить 16 на 2 равные части, то можно сма¬
йла разделить 10 на 2, получается 5, затем б разделить на 2, получается 3,
А всего в результате получится 8 (5 + 3). Если нужно 18 разделить на 3 рав-
дые части, то ученик может 9 разделить на 3, потом ещё раз 9 разделить
да 3. Получится в результате всего б (3 да 3).
185

На этом приёме деления учащиеся сталкиваются впервые
с распределительным свойством умножения («Чтобы раз¬
делить сумму на какое-нибудь число, достаточно разделить каж¬
дое слагаемое на это число»).
Язык учащихся при изучении деления на первых порах должен
быть свободен от тех условностей, которые приняты в установлен¬
ной для деления терминологии* Пример 18:2 = 9 обычно читается
так: «Восемнадцать разделить на два, получится девять».
В этой фразе много условного: во-первых, в словах «разделить
на 2» обобщены два вида деления; на этой же стадии изучения
деления учащиеся знакомятся только с делением на части;
нс-вгорых, условна фраза, «получится девять», в действитель¬
ности при делении на две части получается в каждой части по
девяти. Освобождая учащихся от этих условностей, которые бу¬
дут введены позже, нужно требовать, чтобы они на первых порах
пример 18 2 = 9 читали так:	«Восемнадцать разделить
на две равные части, получится по девяти».
Порядок изучения деления в пределе 20 может быть
примерно таков:
1)	Выяснение смысла деления на равные части на наглядных
пособиях; демонстрируется деление 2, 4, б, 8, 10 на 2.
2)	Деление 3, б, 9 на 3.
3)	Деление 4, 8 на 4 и 10 на 5.
4)	Деление чисел второго десятка:	12, 14. 16, 18, 20 на 2;
деление 12, 15, 18 на 3; деление 12, 16, 20 на 4: деление 10, 15,
20 на 5.
Изучение деления, как и других действий, сопровождается ре¬
шением возможно большего количества задач.
Первые шаги в изучении деления. Учитель даёт
ученику 2 карандаша (I предлагает ему раздать эти карандашя
поровну двум ученикам. По скольку карандашей должен полу¬
чить каждый ученик?
Ученик раздает и, отвечая из вопрос, говорит: «По одному карандашу».
На счётах откладываются 2 шарика.
«Разделим 2 шарика на две равные части. По скольку шариков по¬
лучится о каждой части?» (Шарики раздвигаются.)
(Дэа шарика разделить на две равные части — в каждой части будет по
одному шарику )
«Отложите у себя две палочки. Разделите их на две равные части. По
скольку палочек в каждой части? Два ореха разделить между двумя мальчи¬
ками — сколько орехов достанется каждому? Два разделить пополам — сколь¬
ко будет? Половит двух —- ото сколько?» Верёвку длиной в 2 м разрезали
пополам. Сколько метров в каждой части?» (I метр.) «Как вы узнали?» (Два
разделить поветам — будет един.)
Далее на стол кладётся 4 карандаша. Вызвав к столу одного
ученика, учитель предлагает ему разделить их поровну между
двумя учениками. Для раздачи ученик берёт 2 карандаша и раз-

*аёт их по одному карандашу, говоря: «Беру 2 карандаша и де¬
лю нх на две равные части, получается по одному. Беру ещё 2 ка¬
рандаша и делю их на две равные части, получается ещё по одно¬
му. А всего один да один — будет два».
На этом упражнении' дети усваивают приём деления на равные
части, который они применяют потом к делению пополам шести,
восьми, десяти.
На стол ставятся 6 кубиков.
«Сколько кубиков поставлено? Как разделить их на 2 равные части?
Взять 2 кубика и разделить их на 2 равные части, получается в каждой ча¬
сти по одному кубику. Потом взять ещё 2 кубика и разделить их на 2 рзв-
ные части, получится ещё по одному кубику. Дальше взять последние 2 ку¬
бика н их разделить на две равные части, придётся ешё по одному кубику.
Значит, если 6 кубиков разделить на 2 равные части, то по скольку кубиков
будет в каждой части? 6 листов бумаги разделили поровну между двумя маль¬
чиками. По скольку листов досталось каждому? б разделить пополам —
сколько будет? Половина б —эго сколько? 6 литров керосина разлили
поровну в 2 бидона. Сколько литров налито в каждый бидон? Как это узнать?»
(6 надо разделить на 2 равные части—получится 3.)
Так же объясняется деление чисел 8 и 10. Здесь же учитель
знакомит учащихся с записью деления, объясняя знак деления
(вместо слов «разделить на 2 равные части» ставятся две точки —
8:2 = 4).
Дальше изучается деление на 2 чисел 12, 14, 16, 18, 20. При
делении этих чисел применяется приём, основанный на распредели¬
тельном свойстве умножения. Объяснение можно начать с задачи:
«12 книг поставили поровну на две полки. По. скольку книг поставили нж
каждую полку?»
«Кяк узнать, сколько книг поставили на каждую полку?» (Надо 12 раз¬
делить на две равные части, пополам.)
«Какое самое большое число вы умеете делить пополам?» (10.)
«Разделите 10 пополам. Сколько получится? Сколько остаётся ещё раз¬
делить'’» (2.) «Разделите 2 пополам. Сколько получится?» (1.)«А всего сколько
получится?» (5 да 1 будет 6.)
«Сколько же будет, если 12 разделить пополам? Значит, сколько книг
поставили на каждую полку?» (6.)
Предлагается вторая задача: «Верёпку длиной в II л разрезали пополам.
Какой длины получилась каждая часть3»
«Что нужно сделать, чтобы узнать, сколько метров в каждой части?
Как будем делить 14 на две равные части? На какие числа разобьём 14?»
(На 10 и 4.)
«Сколько получится от деления на две разные части КР Сколько полу¬
чится от деления на две равные части 43 Итак, сколько получится, если К
разделить на две равные части3 Сколько метров в каждой части?»
Так выполняется деление на 2 чисел 16, 18, 20; деление на
3 чисел 12, 15, 18; на 4 — чисел 12, 16, 20; на 5 — чисел 15, 20.
После этого нужно показать основной приём отыскания
частного — на основании таблицы умножения, на основании той
связи, которая существует между умножением и делением.
Для этого нужно выписать на классной доске таблицу умноже¬
ния на 2, прочитать её. Затем рядом с ней написать соответствую¬
щие примеры с неизвестным множимым (обозначив неизвестное
187

вопросительным знаком) и в третьем ряду — соответствующие им
примеры на деление. Запись на доске в конечном итоге будет
иметь следующий вид:
‘г X 2 =
4
?Х2= 4
4-2= 2
3X2 =
Ь
?Х 2= 6
6:2= 3
4X2 =
8
? X 2= 8
Ь‘2= 4
5X2 =
10
? X 2 = Ю
10:2= 5
6X2 =
12
? X 2 = 12
12:2= 6
7X2 =
14
^ X 2 = 14
14:2= 7
8X2 =
16
? X 2 = 16
16:2= 8
9X2 =
18
X 2 = 18
18:2= 9
10X2 =
20
? X 2 = 20
20 • 2 = 10
Разумеется, что эта запись появляется не сразу, а постепенно,
по мере выяснения отдельных случаев таблицы умножения и со¬
ответствующей ей таблицы деления.
Обт яснение каждого случая ведётся примерно в следующей форме:
«Прочитайте первый пример: 2X2=4. (По 2 взять 2 раза, будет 4.)
«Какое число надо повторить 2 раза, чтобы получить 4?» (2 надо повто¬
рить два раза, чтобы получилось 4.)
□
о #
• в
ь * «
о е «
'
© ® в
« Ф «•
о в в о
в • • «
«:2*.
2
6:2 =3
4*2 = 3
Рис. 29.
«Значит, если 4 разделить на две равные части — сколько получится?*
(4 разделить на две равные части, получится 2). Покажем на рисунке 29:
2 кружочка повторить 2 раза, будет 4 кружочка; 4 кружочка раз¬
делить на две равные части — получится по 2; 3 кружочка повторить 2 раза,
будет 6; б кружочков разделить на две равные части, получится по 3, и т. д.
В заключение хором и в одиночку читается таблица деления на 2, которая
даётся на дом для усвоения наизусть.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ.
ПЕРВАЯ СОТНЯ.
Содержание этого концентра является некоторым подобием
всего курса начальной арифметики в его основных чертах.
Здесь с большей полнотой, чем в пределе второго десятка,
раскрывается сущность десятичной системы счисления. Сотня со¬
ставлена из десятков так же, как десяток составлен из простых
единиц. В пределе первой сотни ярче выявляются вычисли¬
тельные приёмы сложения и вычитания, связан¬
ные с разбивкой двузначных чисел на составляющие их десятич¬
ные группы.
В пределе первой сотни целиком и полностью заключена таб¬
лица умножения, которая является основой для изучения
умножения многозначных чисел. Здесь же впервые встречаются
внетабличные приёмы умножения и деления,
188

которые являются необходимой ступенью в изучении механизма
действий над многозначными числами.
Таким образом, знание первой сотни служит фундаментом
для изучения всего последующего курса арифметики.
Изучение сотни, ввиду сложности её содержания, занимает
более трёх четвертей учебного года и распределяется между
I и II классами.
В I классе изучается нумерация, сложение и вычитание в пре¬
деле 100; во II классе — умножение и деление в пределе 100.
Между нумерацией и сложением вклинивается в качестве особого
подраздела изучение действий над круглыми десяткам и.
Нумерация в пределе первой сотни.
Устная нумерация.
Для усвоения нумерации необходимы пособия: классные счё¬
ты и арифметический ящик (бруски, кубики). Учащиеся должны
иметь у себя на руках дидактический материал: палочки, спич¬
ки и др.
Всё, что учитель поясняет на брусках, кубиках или на счётах,
дети проделывают на своем счётом материале. Совместное при¬
менение демонстрационного и лабораторного приёма даёт наилуч-
шие результаты. Заканчиваются же занятия по каждому вопросу
упражнениями без применения наглядных пособий.
!. Знакомство с десятком как с новой счётной
единице й. УУ учителя в качестве демонстрационного пособия на столе
должны быть кубики и бруски арифметического ящика; у уча-
цихся в качестве дидактического материала должна быть сотня
залочек (прутиков, спичек).
Один учащийся по вызову учителя считает на столе кубики,
другие у себя на партах палочки.
Насчитав 10 палочек, дети связывают их в пучок; насчитав
10 кубиков, учитель заменяет их десятком — бруском. Счёт про¬
должается. Насчитав ещё 10 палочек, дети связывают их и полу¬
чают второй пучок-десяток; учитель второй десяток кубиков заме¬
няет вторым бруском. Получилось два десятка, или двадцать.
Продолжая счёт дальше, ученики считают: «Двадцать один, два¬
дцать два, двадцать три, двадцать четыре,..., двадпат восемь,
двадцать девять»; прибавив ещё одну палочку, получают третий
полный десяток. Всего получилось три десятка, три-десять, или
тридцать. Продолжая счёт дальше (тридцать один, тридцать
два и т. д), получают четвёртый десяток, или сорок. Так про¬
должается счёт до 100. У учащихся получится 10 пучков-десятков
палочек, у учителя 10 десятков-брусков.
189

		мешками сначала так*, один десяток, дв*
десятка, три десятка и т. д.; потом*, десять, двадцать, тридцати
сорок, пятьдесят, шестьдесят, семьдесят, восемьдесят, девяносто,
сто. Обратный счёт: сто, девяносто, восемьдесят,..., двадцать
десять.
Здесь же делаются некоторые простейшие обобщения: каждый
предмет при счёте называется единицей. Считать можно не:
только единицами, но и десятками. Десятками считают в пре-;
деле 100 так же, как и единицами.
После ознакомления учащихся с десятком как счётной едини¬
цей надо поупражнять детей в раздроблении десятков в единицы
и в превращении единиц в десятки.
«Пскзжые три десятка палочек. Как иначе назвать 3 десятка?» (Три де¬
сятка — грндца!ь )
«Покажи!*; девять десятков. Как можно назвать девять десятков?» (Де¬
вять десятков — эю девяносто ) «Как иначе назвать четыре десятка? Восемь
досяIков^ Шесть десятков?»
«Пятьдесят! Составьте эго число из пучков и скажите, сколько в нём де
сятков?» (Пятьдесят — это пять десятков.)
«Семьдесят! Составьте число из пучков и скажите, сколько в нём десят¬
ков?» (Семьдесят — это семь десятков.)
«Сколько десятков в числе 100? В числе 90? В числе 40?» и т. д.
2.	Составление двузначного числа из де¬
сятков и единиц.
Учитель показывает ученикам 2 бруска и 6 кубиков.
«Какое число они обозначают?» (Два бруска—два десятка; шесть куби¬
ков — шесть единиц. Всего два десятка, шесть единиц.) «Как иначе назвать
это шкло?» (Двадцать шесть.)
«Возьмите у себя четыре пучка и восемь палочек. Какое число они обо»
значаки?» (Четыре десятка и восемь единиц.) «Как иначе назвать это число?»
(Сорок восемь )
«К<ь> иначе назвать 9 десяткоо и 2 единицы? 7 десятков и 3 единицы?
4 л с ч. я гк л и 6 единиц?»
3	Разложение двузначного числа на десятки
н е я и и и ц ы.
«33. Составим это число из брусков и кубиков. Сколько в этом чнел#
десигко» н сколько е шнии?» (3 десятков и В единиц)
«*1й Сое иные эго чт.ю «м пучков н палочек Сколько и этом числе
десятков и сксчько единиц?» (4 десятка и б единиц.)
«Из скольких десятков и единиц состоит число тридцать три? Число со¬
рок четыре? Число шестьдесят один? (Тридцать три состоит из трёх десят¬
ков и 1 рсх единиц. Сорок четыре состоит из четырёх десятков и четырёх
единиц ) н т. д.
4	Отвлеченный счёт до 100.
Это чпражненне служит как бы проверкой пройденного, про¬
веркой тою, насколько дети сознательно переходят при
счёте от чиста к числу, особенно в тех случаях, когда кончается
190

идин десяток и начинается другой десяток. Некоторых детей мо¬
жет затруднить переход через круглые десятки; от некоторых из
них можно услышать такой счёт; «сорок семь, сорок восемь, сорок
девять, сорок десять». В таких случаях надо прибегать к объясне¬
нию на наглядных пособиях.
«Мы насчитали сорок девять. Обозначим это число на брусках
и кубиках. Прибавим сюда ещё I кубик. Сколько у нас стало от¬
дельных кубиков * Чем можно их заменить^» (Десятком.) «Заме¬
ним. Чем же обозначено теперь полученное число?» (Пятью бру¬
сками.) «Какое число обозначают 5 брусков?» (50.) «Значит, после
числа 49 какое следующее число надо назвать?» (50.)
Умение считать в пределе 100 проверяется при помощи сле¬
дующих вопросов:
а)	Какое число следует за числом 69? за числом 89? за числом 39?
б)	Какое число находится перед числом 40? перед числом 90?
в)	Какое число находится между числами 69 и 71? между числами 29
и 31? между числами 89 и 91?
г)	Между какими числами находится число 40? число 90? число 60?
Письменная нумерация.
Учащиеся уже умеют писать двузначные числа в пределе вто¬
рого десятка; по аналогии с ними они пишут и любые двузначные
числа. При этом надо ещё раз подчеркнуть поместное значение
цифр, сформулировав правило: «Единицы пишутся на первом
месте справа, десятки — на втором месте», или: «Единицы пи¬
шутся справа, а десятки — слева». Нужно также обратить внима¬
ние учащихся на значение нуля: «Нуль показывает, что в данном
числе нет единиц». Наиболее удобный порядок изучения письмен¬
ной нумерации двузначных чисел: а) письмо круглых десятков;
б) письмо любых двузначных чисел; в) чтение чисел.
3	а п и сь чисел. Запись круглых десятков, а равно и других
двузначных чисел даётся учащимся без особого труда, поэтому
объяснение этого вопроса должно быть просто и кратко Простого
показа, как пишется 30, 40, 50 и т. д., достаточно, чтобы ученики
поняли и усвоили запись этих чисел.
«Вы умеете считать десятками и рдмчииамн до 100. Теперь научимся пи¬
сать числа до 100. Считайте десятками до 100». (Десять, двадцать, тридцать,..
восемьдесят, девяносто, его) «Научимся писать крутые десятки. Напишите
«десять», «двадцать». (10, 20.) «Сколько десятков а первом числе3» (Один де-
еяюк.) «Во втором числе3» (Два десятка.) «Что обозначает цифра 1? Цифра 2?
Что показывает нуль?» (Что в этом числе нет единиц)
«Как записать число «тридцать?» (Написать цифру 3 и справа нуль — 30.)
«Число «сорок»? Число «пятьдесят»3» и 1. д
В результате получится запись на классной доске н в ученических тетра¬
дях:
10, 20, 30, 40, 50, 60, 70. 80, 90, 100.
«На каком же месте справа пишутся елинчии? Десятки? Что пишут на ме¬
сте единиц, когда единиц нет3 Теперь научимся ж сап, числа, в которых есть
я десятки, и единицы. Запишем все числа от 20 до 30. Напашите число 21, 22,
19)

23, ... , 28, 29. Сколько десятков и сколько единиц в каждом из этих чи-
■сел? Где поставлены единицы* Десятки* Запишите все числа от 70 до 80».
Дальше под диктовку учителя идёт запись чисел вразбивку.
Объяснение записи чисел может ноешь и более наглядный, кон-
кретный характер. В качестве наглядных пособий могут быть
использованы таблички, разделённые пополам, палочки и разрез¬
ные цифры. Самая же работа по записи числа может проходить
в следующем порядке: 1) учитель называет число по разрядам,
например 2 десятка 6 единиц; 2) ученики составляют это число
из пучков и палочек, беря 2 пучка и 6 палочек; 3) пучки кладут
на левую сторону таблички, палочки — па правую сторону;
4)	кладут разрезные цифры — под десятками цифру 2, под едини¬
цами— цифру 6;	5) словами называют полученное число
«двадцать шесть» и 6) записывают его цифрами у себя в те¬
традях.
Чтение чисел. Учитель пишет одно за другим числа и
предлагает ученикам прочитать их, спрашивая, почему они так
прочитали его. Например, пишет число 78 и, предложив прочи¬
тать, спрашивает, почему это число «семьдесят восемь».
«Цифра 7 означает 7 десятков (стоит на втором месте); цифра
в означает 8 простых единиц (стоит на первом месте); 7 десятков
и 8 единиц — 78».
С таким подробным объяснением записывается 3—5 чисел,
г дальше даётся ученикам задание прочитать числа по задачнику.
Действия над круглыми десятками.
Действия над круглыми десятками являются хорошим повторе¬
нием пройденного. Здесь ещё раз повторяется таблица сложения
в пределе 10, закрепляется понимание учащимися десятка как
новой сложной счётной единицы и усваиваются такие навыки,
которые в качестве необходимого элемента войдут в состав дей¬
ствий над любыми двузначными числами. В этом разделе при
изучении деления учащиеся впервые знакомятся с делением по
содержанию.
Сложение и вычитание круглых десятков. Этот
навык всецело опирается на сложение и вычитание в пределе
первого десятка. Здесь добавляется только раздроб*1ение десятков
в единицы и превращение единиц в десятки.
В самом деле, чтобы сложить 50 и 30, нужно рзсс”Ж’Ы1Ь т, к «ПО—
это 5 десятков, 30 — это 3 десятка; к 5 прибавить 3 — будет 3, к 5
ярибавить 3 десятка — будет 8 десятков; 8 десятков — 80. Значит 50 да 30
будет 80».
Пак же выполняется и вычитание. «Пусть нужно от 70 о-цятт. ?0.
Рассуждаем так-
70— это 7 десятков, ^0 — это ? тесятка. От 7 десятков стыть 2 десят¬
ка — всё равно, что от 7 отнять 2; из 7 вычесть 2 — будет 5. Из 7 деся.хов
вычесть 2 десятка — будет 5 десятков, или 50. Значит, 70—20—50».
192

С такими подробными объяснениями решаются первые
3—5 примеров. В дальнейшем учитель прибегает к ним только
в случае затруднений. Наглядными пособиями здесь могут
служить бруски арифметического ящика и пучки палочек.
Умножение круглых десятков. Объяснение этого
действия даётся в том же плане, как действия сложения и вычи¬
тания. Первые примеры решаются на основе следующего объяс¬
нения.
«Пусть нужно умножить 20 на 3. Рассуждаем так: 20—это 2 десятка.
По 20 взять 3 раза—всё равно, что по 2 десятка взять 3 раза; 3 раза по
2 десятка—будет 6 десятков, или 60. Значит, 20 X 3 = 60».
Здесь наряду с термином «взять столько-то раз» можно всё
чаще и чаще пользоваться термином «умножить». «По 50 взять
2 раза—сколько получится'-1 50 умножить на 2 — сколько будет?
Теперь решите несколько примеров на умножение». Так исподо-
воль, постепенно учащиеся будут привыкать к правильному мате¬
матическому языку.
Деление круглых десятков. Естественно начать изу¬
чение этого действия с деления на равные части. Делитель в этом
случае будет однозначное число (80 : 2; 90 ; 3; 100.5, и т. д ).
Первоначально решаются примеры, в которых частное равно
10, например; 50:5 = 10; 70 -. 7 = 10; 90 : 9 = 10. Затем решаются
примеры, в которых частное равно нескольким десяткам, напри¬
мер: 80:2 = 40; 90:3 = 30 и т. д. И здесь приходится опираться
на деление в пределе первого десятка.
«Пусть дано50 разделить на бранных частей. Пятьдесят — это5 десятков;
5 десятков разделить на 5 равных частей—будет по одному десятку, или
по 10. Значит, 50 : 5 = 10».
«Пусть дано: 80 • 2. Восемьдесят — это 8 десятков; 8 десятков разделить
на 2 равные части — будет по 4 десятка, или по сорок. Значит, 80 : 2 = 40».
Эти примеры полезно проиллюстрировать на наглядных пособиях (на бру¬
сках арифметического ящика). Берётся 8 брусков, делятся они пополам, по¬
лучается по 4 бруска, или по 40.
Деление по содержанию. Деление круглых десятков
на круглые десятки (80:20; 90 :30 и др.) должно рассматриваться
^как деление по содержанию. Здесь надо исходить из деления
по содержанию чисел первого десятка. Но этот вид деления пока
ещё учащимся незнаком. Ознакомлением с ним и надо начать ра¬
боту. Чтобы выяснить смысл и запись деления по содержанию,
нужно предложить ученикам последовательно выполнить следую¬
щие операции:
а)	разложить одно и то же число предметов, допустим, ку¬
биков или шариков классных счётов, на группы различной вели¬
чины;
б)	раздать определённое число предметов, например каранда¬
шей, тетрадей и пр., нескольким ученикам;
в)	рассмотреть деление по содержанию на числовой фигуре.
13 А. С Пчёл ко
193

Учитель откладывает на классных счётах б шариков и пред¬
лагает расставить их сначала парами, потом тройками.
«Сколько шариков отложено на классных счётах?» (Шесть.) «Расставим
б шариков парами, или по лва Мы расставили шарики парами. Говорят ещё
иначе* мы разделили шарики по два. Сколько вышло у нас пар?
Ь шариков разделить по 2 шарика — сколько получится пар?» (Шесть шари-
ков разделить на пары—пол>чптея 3 пары.) «Разделим теперь наши шарики
на тропки».
Один из учеников расставляет шарики по 3.
«6 шариков разделить по 3 — сколько будет троек?» (б шариков разделить
по 3 — будет две тройки )
Далее учитель даёт одному из учеников 8 карандашей и пред¬
лагает раздать их товарищам по 2 карандаша каждому. Сколько
человек получат карандаши?
Ученик раздает и говори г «Даю одному 2 карандаша, даю другому
2 карандаша, всего роздал 4 карандаша. Даю третьему 2 карандаша; всего
роздал б карандашей. Даю четвертому 2 карандаша, всего роздал 8 каран¬
дашей»
«Сколько же всего учеников получили карандаши?» (4 ученика.)
«Значит, если 8 карандашей раздать по 2 карандаша, то получат каран¬
даши 4 человека»
После этого учитель предлагает ученикам вынуть палочки, от¬
ложить 12 палочек, разложить их сначала парами и подсчитать
число пар, потом тройками и подсчитать число троек, затем че¬
твёрками и подсчитать число четвёрок и наконец шестёрками.
Решается задача: «Перо стоит 2 коп. Ученик купил перьев на
10 коп. Сколько перьев купил ученик?» Эта первая задача решается так.
Учитель откладывает на счётах 10 шариков (10 копеек) и говорит: «Возьмём
две копейки — получим одно перо, возьмём второй раз две копейки, получим
второе перо, возьмем третий раз две копейки—* получим третье перо,
возьмём четвёртый раз две копейки — получим четвёртое перо,
остается взягь пятый раз две копейки и получить пятое перо. Получи¬
лось всего 5 перьев. Сколько раз двойка повторялась в 10?» (5 раз ) «Сколько
получилось перьев-5» (5 перьев)
«Значит, — говорит учитель, — сколько раз двойка повторится в 10,
столько бедет и перьев Чтобы решить задачу, что мы сделали?» (Разбили
число 10 на двойки, ичи разделили 10 на 2, получили 5)
Покачивается яапксь решения згой задачи.
10 коп. : 2 коп. = 5 раз
На последующих уроках при решении подобных задач учитель
установит, что 5 раз обозначает в данной задаче 5 перьев, и по¬
тому решение задачи может быть записано по-другому:
10 коп * 2 коп. = 5 (перьев).
После деления по 2 идёт деление чисел второго десятка по
3, 4, 5, 6. При решении задач наряду с термином «разделить по
два, по три» и т. д. можно познакомить учеников с выражением
«содержится, повторится столько-то раз».
Так, разделив, например, 15 по 3, учитель ставит следующие вопросы*
«15 разделили по 3 — сколько будет троек? Сколько же троек в 15?»
(В 15 — пять троек.) «Можно сказать" так: тройка содержится в 15 пять раз,
194

или тройка повторяется в 15 пять раз. Сколько раз тройка содержи гея в 15?
Сколько раз тройка повторяется в 15? Что надо сделать, чтобы узнать,
сколько раз тройка содержится в 15?» (Надо 15 разделить по 3.)
«Запишем это» (появляется запись 15 3 = 5)
Изучая деление по содержанию, надо установить связь деле¬
ния с умножением и приучить учащихся пользоваться этой связью
для нахождения результата деления (частного). Это нужно сде¬
лать после конкретного (на предметах) деления по 2, после того
как будет выяснен смысл деления по содержанию. Для этого пи¬
шется на доске и в тетрадях учащихся таблица умножения двух
на все числа первого десятка, а рядом с ней таблица деления на 2;
причём для отыскания частного всегда ставится вопрос:
«Сколько раз надо взять по 2, чтобы получить данное число,
(делимое) ?» Запись имеет следующий вид.
2X2=-!
2X3 = 6
2X4 = 8
2Х 9 = 18
4-2=2
6.2 = 3
8:2=4
'18.2 = 9
«Сколько раз надо взять по 2, чтобы получилось.
4?» (2 раза.) «Следовательно, если 4 раздели) ь по 2,
получится 2. Сколько раз надо взять по 2, чтобы по¬
лучилось 6»? (3 раза.) «Значит, если 6 разделить по
2, получится 3», и т. д.
Деление круглых десятков на круглые десят¬
ки. Эти упражнения проводятся с помощью тех же приёмов, ко¬
торыми учащиеся пользовались при сложении и вычитании круг¬
лых десятков.
Сначала нужно научить делить все круглые десятки на 10.
Пусть Дано 60:10 = ? Этот пример читается так 60 разделить по 10*
сколько получится? 60 — это 6 десятков; 6 десятков разделить по одному
десятку, или 6 разделить по одному — получится 6. Значит. 60:10 = 6.
Затем производится деление по 20, 30, 40, 50.
Пусть дано 90 разделить по 30. Ученик рассуждает так: «90 — это 9 де¬
сятков; 30 — это 3 десятка; разделить 9 десятков по 3 десятка—всё равно,
что разделить 9 по 3; 9 разделить по 3, получится 3. Значит, 90:30 = 3».
Наряду с этим нужно применять иногда и другой ход рассуждений, осно¬
вывающийся на связи деления с умножением.
Пусть дано 80 разделить по 40 (80 :40 = .?) Ставим вопрос: «Сколько раз
надо взять по 40, чтобы получить 80?» (2 раза.) «Значит, 80:40 = 2».
Есть ещё один способ объяснения примеров такого типа. Пусть дано 100
разделить по 20. Записав деление (ИХ). 20 = 3). ставим вопрос: «Сколько раз
20 содержится в 100? 20 содержится в 100 пять раз, 5 раз по 20 будет 100.
Следовательно, 100 разделить на 20, будет 5».
Различные варианты вопросов надо вводить с некоторой осто¬
рожностью, постепенностью, чтобы не сбить учащихся.
Понимание смысла деления по содержанию достигается глав¬
ным образом на решении задач. Поэтому изучение этого вопроса
ведётся не столько на примерах, сколько на задачах. Задачи нуж¬
но решать в возможно большем количестве, приучая на них объ¬
яснять действие и записывать его. И действие 'и запись его для
семи-восьмилетнего ребёнка представляют немалые трудности.
Приведём пример решения такой задачи.
13*
195

«Ьчбтиотека закупила 90 книг. Книги связали в пачки, по 30 книг в ка-
гкдои пачке. Сколько пачек получилось?»
После получения от учеников ответа (3 пачки) учитель ставит такие во¬
просы: «Как вы узнали, что 3 пачки?» (90 книг разделили по 30 книг.) «Поче¬
му вы делили 90 по 30?» (Потому что пачек было столько, сколько раз 30
содержится или повторяется в 90; 30 содержится в 90 три раза ) «Что нужно
сделать, чтобы узнать, сколько раз 30 содержится в 90?» (Нужно 90 разде¬
лить по 30.)
«Запишите решение задачи».
90 кн.: 30 кн. = 3 (пачки).
Планирование темы. Данная тема может быть пройдена в течение 20—21
урока, включая сюда примерно 4—5 уроков на знакомство с делением по со¬
держанию. Таким образом, 21 урок складывается из следующих частей: а) ну¬
мерация в пределе 100 — 5 уроков, б) сложение круглых десятков — 2 урока;
в) вычитание — 3 урока; г) умножение—3 урока; д) деление (с делением
по содержанию) — 8 уроков.
Сложение и вычитание в пределе 100.
На этом этапе изучения арифметики нужно добиться отчёт¬
ливого понимания учащимися вычислительных приёмов,
применяемых при сложении и вычитании двузначных чисел. Это
типичные приёмы устных вычислений. Здесь заклады¬
ваются, таким образом, основы устного счёта. Научить детей вла¬
деть вычислительными приёмами сложения и вычитания в преде¬
ле 100 — это значит научить их основам устного счёта. Эта зада¬
ча насколько ответственная, настолько и трудная. Чтобы преодо¬
леть эти трудности, нужно вести обучение приёмам вычислений
в строгой системе, на наглядных пособиях; нужно не только объ¬
яснять учащимся, но и требовать от самих учеников объяснения
того, как они выполнили действие над данными числами.
Все случаи сложения и вычитания в пределе 100 могут быть
разделены на две группы: а) сложение и вычитание без перехода
через десяток, требующее знания таблиц этих действий только
в пределе 10; б) сложение и вычитание с переходом через деся¬
ток, где применяются таблицы в полном объёме.
К первой группе принадлежат такие случаи сложения, в кото¬
рых сумма единиц слагаемых меньше или равна 10 (32+45;
58+22), и соответствующие им случаи вычитания, в которых
единицы уменьшаемого больше единиц вычитаемого или единиц
вовсе нет (68—35; 90—43). Вторую группу образуют такие слу¬
чаи сложения, в которых сумма единиц слагаемых больше 10, и
случаи вычитания, в которых единицы уменьшаемого меньше
единиц вычитаемого.
А. Сложение и вычитание без перехода через десяток.
Сюда относятся следующие случаи сложения и вычитания:
1)	50+6; 6+50; 84—4; 84—80, т.е. сложение круглых десятков
с единицами и вычитание из двузначного числа его единиц или
десятков. Эти случаи требуют только знания нумерации: 5 десят¬
ое

ков и 6 единиц составляют число «пятьдесят шесть», и пишется
оно так: 56; 84 — это 8 десятков и 4 единицы; если отнять 4 еди¬
ницы, то останется 8 десятков, если отнять 8 десятков, останут¬
ся 4 единицы.
2)	35 + 4; 48 — 5; 6 + 42; 48 — 42, т. е. прибавление к двузнач¬
ному числу однозначного числа, которое вместе с единицами пер¬
вого слагаемого составляет меньше 10, и вычитание из двузначного
числа однозначного числа, которое меньше единиц уменьшаемого.
Приём сложения в данном случае заключается в том, что
4 единицы прибавляются к 5 единицам, и затем полученные 9 еди¬
ниц прибавляются к 3 десяткам. Этот приём показывается на
брусках и кубиках арифметического ящика или на пучках-десят¬
ках и отдельных палочках. Пример 6+42 решается на основе
перестановки слагаемых.
Приём вычитания состоит в том, что единицы вычитаются
из единиц уменьшаемого, не трогая десятков. Иллюстрируется
этот приём на тех же наглядных пособиях, что и сложение. По¬
следний пример, вычитание двузначного числа из двузначного,
рассматривается дальше.
3) 35+20; 58—30; 40+32; 73—23, т. е. прибавление к двузнач¬
ному числу круглых десятков и, наоборот, к круглым десяткам
двузначного числа; вычитание круглых десятков из двузначного
числа и вычитание двузначных чисел, имеющих единиц поровну.
Приём сложения и вычитания в данном случае заключается
в том, что десятки прибавляются и вычитаются от десятков дву¬
значного числа: 35+20— (30+20) +5; 58—30= (50—30) +8 При¬
мер 40+32 решается так же, как и предыдущий, т. е. к десяткам
прибавляются сначала десятки двузначного числа, а потом еди¬
ницы: 40+32= (40+30) +2.
Вычитание 23 из 73 сводится к последовательному вычитанию
из 73 сначала десятков, а потом единиц вычитаемого. Все эти
приёмы поясняются или на брусках и кубиках, или на пучках и
палочках.
4)	46+32; 78—32, т. е. сложение и вычитание двузначных чи¬
сел. Существует два приёма сложения и вычитания чисел:
Первый приём, когда десятки складываются с десятка ми,
единицы — с единицами и полученные числа складываются; по¬
следовательность сложения видна из следующей формулы-.
46+32= (40+6) + (30+2) -= (40+30) + (6+2) =70+8=78.
Второй приём, когда разлагается на разряды только вто¬
рое слагаемое и к первому слагаемому прибавляются сначала
десятки, а потом единицы второго слагаемого: 46+32= (46+30) +
+2=76+2=78. Оба эти приёма надо показать учащимся, начав
с первого. Второй приём имеет преимущество перед первым:
учащемуся не приходится держать в уме сумму десятков.
Вычитание проводится по аналогии со сложением:
78—32= (78—30) —2=48—2=46.
197

5)	26+4; 4+26; 30—4. Этот случай сложения называется до¬
полнением двузначного числа до круглых десятков. На брусках и
кубиках или на пучках и палочках легко показать приём сложе¬
ния- единицы прибавляются к единицам, получается десяток; этот
десяток прибавляется к десяткам.
Для показа вычитания на примере 30—4 берутся три пучка-
десятка палочек. Один десяток-пучок развязывают и от 10 пало¬
чек о (ипмло 1 4 палочки Ос гае!си два целых пучка да ещё 6 па¬
лочек, всего 26 палочек.
Для решения примера 4+26 нужно воспользоваться приёмом
перестановки слагаемых.
6)	48-1-32; 80—48, т. е. сложение двузначных чисел, когда
сумма единиц равна 10, н вычитание двузначного числа из круг¬
лых десятков.
Приём сложения в данном случае заключается в том, что
десятки складываются с десятками, единицы — с единицами:
48 + 32 = (40 + 30) + (8 + 2) = 70 + 10 = 80.
Ио сложение можно выполнить и так* к 48 прибавляется 30, по¬
лучается 78, к 78 прибавляется 2, получается 80. Вычитание вы¬
полняется так: от 80 отнимается 40, остаётся 40; от 40 отни¬
мается 8, остаётся 32. Чтобы от 40 отнять 8, на до один из де¬
сятков раздробить в единицы.
Эти приёмы учитель демонстрирует на брусках и кубиках,
а учащиеся воспроизводят их на пучках палочек и отдельных
палочках.
Б. Сложение и вычитание с переходом через десяток.
I)	38 б; 7 + 26;	42 — 5. т. е. прибавление к двузначному
числу однозначного и вычитание из двузначного числа однознач¬
ного.
В первом примере сложение может быть выполнено двояким
способом.
П о р в ы и способ Дополняют первое слагаемое до круглых
десятков, прибавляя к нему 2, а потом к 40 прибавляют осталь¬
ные 4 единицы. Этот приём требует хорошего знания таблицы
сложения в пределе только 10.
Второй г л о с о б. Разлагают 38 на десятки и единицы (3 де¬
сятка н 8 единиц), складывают 8 и 6, затем полученную сумму
14 прибавляют к 30.
38 + 6 = (30 + 8) + 6 = 30 + (8 + 6) = 30 + 14 = 44.
Второй приём нужно предпочесть первому, как более простой
и полностью совпадающий с соответствующим случаем сложения
без перехода через десяток.
Вычитание производят так: отнимают от уменьшаемого (42)
его единицы, чтобы сделать уменьшаемое круглым числом, а по¬

том от 40 отнимают остальные 3 единицы. Возможны и другие
приёмы вычитания. Так, можно было бы от 40 отнять 5 и к остат¬
ку прибавить 2, или разбить 42 на два числа — 30 и 12 и от 12
отнять 5. Но два последних приёма явно нерациональны: он’И
сложнее первого, а потому и не могут быть рекомендованы.
Сложение в примере 7 + 26 выполняется на основе переста¬
новки слагаемых.
Поясняются эти приёмы па вышеуказанных наглядных по¬
собиях и дидактическом материале.
2)	57 + 28; 82 — 45, т. е. сложение двузначного числа с дву¬
значным, когда сумма единиц больше 10; вычитание двузначного
числа из двузначного, когда единицы уменьшаемого меньше еди¬
ниц вычитаемого. Чтобы сложить 57 и 28, поступают так: склады¬
вают десятки с десятками (50 + 20 = 70), единицы с единица¬
ми (7 + 8= 25), затем складывают обе суммы (70+ 15=85).
Или можно сложить эти числа короче, не разбивая первое
слагаемое на десятки и единицы: к 57 прибавить 20, получится 77;
к 77 прибавить 8, получится 85.
Второй приём нужно предпочесть первому, так как при нём
не приходится держать в уме сумму десятков.
Чтобы от 82 отнять 45, поступают так: отнимают от 82 сна¬
чала 40, остаётся 42; затем от 42 отнимают 5, остаётся 37.
Существуют для данного случая и другие приёмы вычитания, но они ме¬
нее рациональны. Так, можно было бы от 82 отнять 42, чтобы получить круг¬
лые десятки (40), а затем от круглых десятков отнять остальные 3 единицы;
или можно было бы разбнть 82 на два числа — 70 и 12 н затем вычитать 40
из 70 и 5 из 12. Последний приём типичен для письменного вычитания; для
устного вычитания он громоздок, а потому и не может быть рекомендован.
Этими ступенями и исчерпываются все случаи сложе¬
ния и вычитания в пределе 100. Нетрудно видеть, что они рас¬
положены в порядке постепенно возрастающей сложности и труд¬
ности. Каждый предыдущий случай является основой для по¬
следующего; навык в решении предыдущего примера входит
в состав более сложного последующего навыка.
Более трудными являются последние примеры: сложение дву¬
значных чисел с переходом через десяток (типа 48 + 37) и со¬
ответствующее ему вычитание (типа 82 — 36).
К числу примеров, где учащиеся допускают довольно часто
ошибки, относится пример на вычитание типа 80—46-
Планирован и е. На каждую из вышеуказанных ступеней нужно
отвести в плане 3—4 урока с таким расчётом, что на первом уроке показы-
вается и объясняется приём сложения и даются первоначальные упражнения
в этом действии; на втором уроке объясняется приём вычитания и даются
первоначальные упражнении п применении этого приёма; на третьем уроке про¬
изводятся упражнения в применении показанного приёма к сложению и вычи¬
танию; этой же цели посвящается и четвёртый урок, при изучении более труд¬
ных случаев сложения и вычитания, каковыми являются случаи с переходом
через десяток
199

Язык учащихся. Нужно следить за тем, чтобы при чте¬
нии примеров речь учащихся была правильной, чтобы имена
числительные склонялись правильно. Пример 45 4-37 = 82
должен читаться так: «К с о р о к а пяти прибавить 37. получится
82». Или: «К числу сорок пять прибавить тридцать семь, полу¬
чится 82». Или: «Сорок пять да тридцать семь, будет 82». Первая
и вторая ферма применимы тогда, когда ученики записывают при¬
меры под диктовку учителя; третья форма может употребляться,
когда ученики читают написанные примеры по задачнику или
по своим тетрадям.
Пример 92 — 28= 64 должен читаться так: «От девяноста
двух отнять двадцать восемь, получится (или останется)
шестьдесят четыре». Или: «Из девяноста двух вычесть два¬
дцать восемь, получится шестьдесят четыре». Или:	«От числа
девяносто два отнять двадцать восемь, останется шестьдесят
четыре». Наконец: «Девяносто два без двадцати восьми будет
шестьдесят четыре».
Нельзя пример 45 4- 37 = 82 читать так: «Сорок пять приба¬
вить тридцать семь, получится 82». Рамо как пример 92 — 28 =
= 64 нельзя читать так: «Девяносто два отнять двадцать восемь,
получится 64»-
Правильное склонение имён числительных для ученика I класса
дело нелёгкое, однако приучать к этому детей нужно, уже начи¬
ная с I класса. Не склонять числительные можно в том случае,
когда учитель медленно диктует пример, а ученик под диктовку
записывает, например: «Сорок пять (пауза) прибавить (пауза)
тридцать семь (пауза), будет. .. ».
Разностное сравнение.
При разностном сравнении чисел разность может выступать
или в качестве данной, или в качестве искомой величины.
Такие задачи и примеры, где разность фигурировала как данное
число, учащиеся уже решали (например; «У одной девочки было
10 картинок, у другой — на 3 картинки меньше. Сколько картинок
было у другой девочки? Какое число на 4 меньше 9?» и т. д.).
Теперь нужно ознакомить учащихся с решением таких задач
и примеров, в которых разность двух величин или чисел является
искомой. Например: «В одной коробке 28 перьев, в другой 20. На
сколько перьев в первой коробке больше, чем во второй?»
В этой задаче данными являются два числа; искомым—их раз¬
ность. Такого рода задачи относятся к задачам на разностное
сравнение. На их решении расширяется смысл вычитания. Учащие¬
ся узнают, что вопрос «на сколько одно число больше или меньше
другого» решается вычитанием.
Прежде чем решать задачи на разностное сравнение, нуж¬
но выяснить это понятие на наглядных пособиях, причём демон¬
страция пособий должна быть проведена так, чтобы из неё как
200

можно ярче и убедительнее вытекала необходимость вычитания. Здесь
самое трудное для детей заключается в том, что для ответа на
вопрос — «па сколько одно число больше или меньше другого» —
нужно из большего числа вычесть меньшее. На преодоление этой
трудности и должно быть направлено всё внимание учащихся.
Изучение данного вопроса ведётся примерно так:
I. «Возьмите в правую руку 3 палочки, в левую руку—столько же. У вас
в правой и левой руке палочек поровну. Теперь возьмите в правую руку
ещё 2 палочки. Сколько палочек стало у вас в правой руке? Сколько в левой
руке? Теперь у вас палочек в правой и левой руке не поровну. Где больше
палочек? Где меньше? Насколько палочек в правой руке больше, чем в левой?
Сколько палочек надо взять из правой руки, чтобы получить столько же,
сколько в левой0 Сколько палочек надо прибавить в левую руку, ч(обы полу¬
чить столько, сколько их в правой руке?»
Цель этого упражнения — показать возможность сравнения чисел.
Дальше нужно показать приём сравнения.
2 Учитель вызывает к столу двух учеников и даёт одному 4 карандаша,
другому 6 карандашей. «Кому дано больше карандашей и на сколько больше?
Для этого узнаем, сколько лишних карандашей дано второму ученику.
— Отдай мне твои карандаши», — говорит учитель, обращаясь к первому
ученику, получившему 4 карандаша.
«Отдай и ты столько же, оставь только лишние» — говорит учи¬
тель, обращаясь к ученику, получившему 6 карандашей. «Сколько каранда¬
шей осталось лишних?» (2 карандаша.)
«На сколько же б больше 4?» (На 2.) «Как мы это узнали?» (О; 6 карай-
дашей отняли 4 карандаша.)
«Как узнать, на сколько 6 карандашей больше 4 карандашей?» (Надо
от 6 карандашей отнять 4 карандаша.)
На доске учитель записывает: б кар.— 4 кар. = 2 кар. Запись читается
так: 6 карандашей больше 4 карандашей на 2 карандаша.
«Сколько надо добавить к 4 карандашам, чтобы получилось 6 карандашей?
На сколько 4 карандаша меньше 6 карандашей?»
3. Приём сравнения повторяется ещё раз на сравнении длины двух поло¬
сок бумаги — 18 см и 12 см.
«Вот две полоски бумаги, одна длиной в 18 см, другая — в 12 см»,—
говорит учитель, прикрепляя обе полоски к классной доске: сверху длинную,
снизу более короткую. — «На сколько сантиметров верхняя полоска длиннее
нижней? Чтобы это узнать, поступим так: отложим на длинной полоске ко¬
роткую и отрежем отложенный кусок. В остатке будут лишние сантиметры.
Сколько их?» (6 см.) «Проверим измерением. Как мы получили 6 см?»
(От полосы в 18 см отрезали полоску в 12 см.) «На сколько же верхняя
полоска длиннее нижней? На сколько 18 см больше 12 см? Как мы это уз¬
нали?» (От 18 см отрезали (отняли) 12 см). Учитель записывает: 18 см —
— 12 см = 6 см.
Запись читается так: 18 см больше 12 см на 6 см. Или: 12 см меньше
18 см на 6 см. Или: от 18 см отнять 12 см, получится 6 см.
Приём разностного сравнения демонстрируется ещё на одном примере:
сравнении количества шариков на классных счётах, а также на дидактическом
материале.
После этого решаются простые задачи на разностное сравнение:
I)	«В первом классе 40 учеников, а во втором 35. На сколько
учеников в первом классе больше, чем во втором?»
201

а)	«карандаш стоит 8 коп , а ручка 12 коп. На сколько ручка
стоит дороже чем карандаш?» и т. д.
Заканчивается изучение данного вопроса упражнениями в срав¬
нении отвлечённых чисел: «На сколько 10 больше 7? На сколько
15 меньше 20? На сколько 30 больше 23? Что надо сделать, что¬
бы ответить на каждый из этих вопросов?»
Умножение и деление в пределе 100.
(Программа II класса.)
В пределе 100 нужно различать табличное и внетаб-
личное умножение и деление. К табличному умножению от¬
носятся все случаи умножения однозначных чисел с соответ¬
ствующими случаями деления (6X8; 4X5; 48:6; 35:7 и т. д.).
Очи составляют таблицу умножения и деления в пределе 100.
К внетабличным относятся случаи умножения двузначного
числа на однозначное и однозначного# на двузначное,
когда произведение этих чисел не превышает 100, и все соответ¬
ствующие им случаи деления.
Таблицы умножения и деления можно изучать по-разному:
а)	можно умножение и деление проходить раздельно, т. е. сна¬
чала изучить все случаи таблицы умножения и только после этого
перейти к изучению таблицы деления; б) но можно то и другое
проходить совместно, параллельно, т. е. изучив, например, случай
умножения 5 на все числа первого десятка, изучить сейчас же
и все случаи табличного деления на 5, и т. д. В нашей школе
умножение и деление в пределе 100 проходится совместно,
параллельно. Такой порядок вполне оправдал себя: благодаря та¬
кой системе в сознании учащихся устанавливается тесная связь
между этими взаимнообратными действиями, результаты деления
находятся при помощи таблицы умножения.
Остаётся ещё разрешить вопрос о том, в каком порядке про¬
ходить деление на равные части и деление по содержанию. Не¬
сомненно, что и на этой ступени надо, чтобы учащиеся строго
различали эти два вида деления.
Отсюда, однако, не следует, что время их прохождения надо
отделять большим промежутком и что вообще весь процесс усвое¬
ния таблицы умножения и деления нужно растягивать на продол¬
жительное время (как это, к сожалению, делается в нашей шко¬
ле). Наоборот, есть возможность достигнуть указанных целей при
помощи более компактного изучения данного раздела. Мы пола¬
гаем целесообразным вслед за умножением данного числа рас¬
сматривать сейчас же оба вида деления на данное число один за
другим — деление на равные части и деление по содержанию.
Например, после изучения умножения 6 на числа первого де¬
сятка изучать табличное деление на 6 сначала как деление по
содержанию, а потом как деление на равные части (деление по
6 и деление на 6 равных частей). И тот и другой вид деления
202

должен быть тесно связан с умножением:	результат деления
всегда находится при помогай таблицы умножения.
Например, требуется 30 разделить по 6. Чтобы найти частное, ставим
вопрос: «Сколько раз надо паять по 6, чтобы получить 30? (6 X * — 30)». Оче-
видно, 5 раз Пятью шесть — трндиагь. Следовательно, 30 6 — 5
Если же 30 делим на 6 равных частей, то для отыскания частного ста¬
вим вопрос !.ж «Какое число надо умножить на 6, чтобы получить 30?
•(х X 6 = 30)» Очевидно, таким числом бу аст 5, потому что шестью пять —
тридцать.
Такой порядок совместного изучения обоих видов деления
предполагает широкое использование переместительного
•свойства умножения, с которым нужно ознакомить учащихся
пораньше (в связи с изучением таблицы умножения 4 или 5)
Сущность каждого вида деления постигается детьми не
•столько на примерах, сколько на задачах. Поэтому в качестве
материала для упражнений в усвоении таблицы деления нужно
использовать в возможно большем количестве задачи. Смысл
задачи должен подсказать ученику, с каким видом деления он
имеет дело.
Например, пусть ученики решают задачу «Колхозник продал 2В кг мор-
хови 7 покупателям, каждому поровну Сколько килограммов моркови купил
каждый покупатель?» На вопрос. «Что нужно сделать, чтобы решить за¬
дачу»,— ученик должен ответить: «Нужно 28 кг разделить на 7 равных ча¬
стей (28 кг: 7 = 4 кг)». Возьмём вторую задачу на деление'. «Пешеход про¬
вёл 28 кн, проходя в час по 4 км. Сколько часов потребовалось пешеходу,
чтобы пройти это расстояние^»
Объясняя деление в данном случае, ученик должен сказать: «Пешеходу
потребовалось столько часов, сколько раз 4 км повторится или содержится
в 28 км. Чтобы узнать, сколько раз 4 км повторится в 28 км, нужно 28 км
разделить по 4 км (28 км 'Л км — 7 (час.)».
Таблица умножения может быть составлена по постоянному
множимому и по постоянному множителю. (Подробнее об этом
см. стр. 176)
Следует придерживаться такого порядка: вначале составлять
таблицу по постоянному множимому, а затем, при повторении,
перегруппировать сомножители и повторить ее по постоянному
множителю. В первом случае нужно пользоваться такой термино¬
логией: «2 раза по 5, будет 10; 6 раз по 5, будет 30; 5 умножить
на 2, будет 10; 5 умножить на 6, будет 30» и т. д. Во втором слу¬
чае таблица читается так: «Дважды пять —10; трижды пять—
15, пятью шесть —30, пятью восемь — 40» и т. д.
Таблицу умножения можно пройти в порядке натурального
ряда чисел, т. е. изучить последовательно умножение 2 (повторе¬
ние пройденного в I классе) 3, 4, 5, .	9. Но можно, учитывая от¬
носительную трудность различных случаев умножения, сделать не¬
значительную перестановку в числах: так после 2 поставить умно¬
жение 5, после .умножения 6 изучить умножение 8, а умножение
7 поставить в конце.
203

Основные приёмы табличного умножения.
Самый элементарный приём умножения — это набор рав¬
ных слагаемых по одному с последующей заменой сло¬
жения умножением. Пусть, например, дети учатся умножать 7 на
6; 6 семёрок они набирают так: 7 да 7 — 14; 14 да 7—21; 21 да
ещё 7 — 28; 28 да 7 — 35; 35 да ещё 7 — 42. Итак, если взять
6 раз по 7, получится 42. Записывая набор слагаемых по одной
семёрке, получим:
7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 42.
Заменяем сложение умножением и получаем такую запись:
7X6 = 42.
Начав с этого приёма, надо показать учащимся и другой
приём набора, приводящий к более быстрому получению резуль¬
тата:	набор слагаемых группами (применение распре¬
делительного закона умножения). Чтобы набрать б семёрок по
этому способу, поступают так:	набирают 3 семёрки и ещё
3 семёрки и полученные результаты складывают.
7X3 = 21; 7X3=21; 21+21=42; 7X6 = 42.
Можно сгруппировать слагаемые и по-другому, набирая по
2 семёрки. Тогда получим:
7X2=14; 7X2=14; 7X2=14; 14+14 + 14 = 42;
7 X 6 = 42.
Третий приём нахождения табличного результата — это пере¬
становка сомножителей (применение переместительного
свойства умножения). При изучении случая 8X5 ученики долж¬
ны уметь набрать не только 5 восьмёрок, набирая их по одной
или группами, но и должны знать, что при этом можно использо¬
вать переместительное свойство умножения, заменив этот случай
равным ему 5X3, уже известным учащимся. Если пораньше и
как следует разъяснить учащимся это свойство и в дальнейшем
твёрдо и постоянно опираться на него, то можно было бы табли¬
цы умножения по постоянному множимому и по постоянному мно¬
жителю проходить одну вслед за другой, не относя последнюю
в конец и не выделяя её в самостоятельный раздел, как это де¬
лается в настоящее время.
Наконец, при изучении умножения 9 целесообразно исполь¬
зовать приём округления множимого, округляя 9 до
10. Вместо того чтобы набирать, например, 6 девяток, легче на¬
брать б десятков и из 60 вычесть лишние 6 единиц.
Кроме указанных, есть ещё и другие приёмы составления таб¬
лицы, однако обилием приёмов и разнообразием упражнений не
нужно злоупотреблять, иначе ученики ни одного приёма не усвоят
как следует.
204

Каждый приём надо конкретизировать на наглядных
пособиях. Лучшими из них в данном случае являются:
1) прямоугольники, составленные из квадратиков, распо¬
ложенных рядами, и 2) классные счёты. На прямоугольниках
удобно показать набор равных слагаемых по одному и группами
и использование переместительного свойства умножения; на класс¬
ных счётах — набор равных слагаемых и приём округления.
74
74
74
21 +21=42
7x6 =42
5 5	7
Ъл
РХ
Хх
X;
'Л-
/
_ 1.1]
1 1
1
1
1
27/
Д21
Ч 7*5 - +?
6*7-42
Рис. 30.
Пусть нам нужно проиллюстрировать набор 6 семёрок. Для
дтого можно использовать прямоугольник с шестью рядами по се-
■ми клеток в каждом ряду (рис, 30). Этот же прямоугольник
можно использовать и для иллюстрации равенства:	7X6=
N6X7.
| То же можно проделать и на классных счётах. Умножение
Ь на 6 иллюстрируется так (рис. 31):
А д а Ф • л
—ш
АДА
<ё й д д й д а
999
.. Д |й
9999999
999
тал
		 9913 «99 1 '
-АДДДААА
999
А А9
шш
—
7*2 = 14
7*2 = 14
7 *2 =14
7'3 = 21
21+21=42
14 г 14 - 14 =42
Рнс, 31.
205

Основные приёмы деления на равные части и по содержанию.
Как правило, деление производится на основе умножения.
Результат берётся сразу из таблицы умножения или же выясняет¬
ся путем проб. Приём, основанный на взаимосвязи умножения и
деления, — самый надёжный приём. Чтобы подчеркнуть эту связь,
полезно при изучении деления решать примеры с х такого типа:
8 X Л = 40; ЭХ*— 72. При этом учитель даёт пояснения и ста¬
вит такие вопросы: «По 8 взяли несколько раз и получили 40.
Сколько раз надо взять по 8. чтобы получить 40?» (5 раз.) «Зна¬
чит, сколько же раз 8 содержится в 40?» (5 раз.) «Как записать
решение этого вопроса?» (40:8 = 5.)
Можно разлагать делимое на слагаемые и делить каждое
слагаемое отдельно. Например, чтобы разделить 36 по 4, можно
поступить так: 20 разделить по 4, будет 5; 16 разделить по 4,
будет 4; а всего 5 да 4 будет 9. Однако этот приём далеко не
всегда применим.
Деление на равные части выполняется также на основе умно¬
жения. Допустим, что надо 36 разделить на 4 равные части.
В каждой части будет по 9, потому что четырежды девять —36.
И здесь для подчёркивания связи между умножением и делением
полезно решать примеры с х типа: *Х8 = 32.
Решение примера объясняется так: «Какое-то число умножили на 8. и по¬
лучилось 32 Какое это число?» (4.) «Почему 4?» (Потому что взять 8 раз
по 4, будет 32.) «Значит, восьмая часть 32 чему равняется?» (4.) «Как это
записать?» (32 : 8 = 40
Есть ещё один приём нахождения частного, основанный на распредели¬
тельном свойстве деления. Допустим, что ученик забыл, что 8 X 4 = 32, и по¬
этому не может найти частное от деления 32 на 8. Тогда можно делить
16 на 4 и ещё раз 16 на 4.
Что же касается приёма последовательного деления,
го он на этой ступени неприменим, так как он приводит к вне-
табличному делению, с которым учащиеся ещё не знакомы. Так,
если бы мы, деля 36 на 4, стали делить 36 на 2 и потом получен¬
ный результат ешё на 2, то мы сразу натолкнулись бы на вне-
табличное деление (36:2 = 30 : 2 + 6 *. 2 = 15 + 3 = 18), чего
учащиеся ещё не знают.
Умножение 3 и деление на 3.
Работа ведётся по следующим основным этапам:
1.	Счёт тройками в пределе 30. «Будем считать трой¬
ками до 30». Ученики считают: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30.
«Запишите результаты счёта тройками». Один ученик на доске,
г другие в тетрадях записывают названные числа. «Отсчитывайте
по тройке, начиная с 30». Ученики считают и затем по предложе¬
нию учителя записывают полученные числа: 30, 27, 24,..., 6, 3, 0.
2 Запись на доске присчитывания по 3 в виде
206

сложения. «Запишем на доске и в тетрадях .прибавление по-
3». (См. запись на с^р. 181.) «Заменим наши длинные записи корот¬
кими. Дл-я этого сложение заменим умножением». Против каждой
строчки сложения троек пишется соответствующее ей умножение»
и получается таблица умножения, расположенная справа. Таблица
читается учениками в одиночку и хором. Читается она сначала так:
«По 3 взять 2 раза, получится 6. По 3 взять 3 раза, получится 9.
По 3 взять 4 раза, получится 12»* и т. д. до конца. Затем форма чте¬
ния меняется: «3 умножить на 2, будет 6; 3 умножить на 3, бу¬
дет 9; 3 умножить на 4, будет 12» и т. д. до конца.
3.	Набор троек не по одной, а группами. «Как на¬
брать 5 троек? 7 троек?» Ученики набирают по одной тройке, при¬
бавляя одну тройку за другой- «Так считать долго и можно оши¬
биться Тройки можно набирать группами, сразу по нескольку.
Так будет скорее и легче».
«Если мы знаем, что две тройки — б, то как набрать 4 тройки?» (Лве
тройки — б, да ещё две тройки — 6, всего 6 да б— 12.) «Если мы знаем, чго
4 тройки— 12, то как набрать 8 троек?» (4 тройки— 12 да ещё 4 тройки —
12, а всего 8 троек составляют 12 да 12 = 24.) «Теперь будем ускоренным
путём набирать 3, 6 и 9 троек. Как набрать 3 тройки, если мы знаем, что
2	тройки — б?» (К двум тройкам прибавим одну тройку или к б прибавим 3,
получится 9. 3 тройки составят 9.)
«Если мы знаем, что 3 тройки — 9, то как скорее набрать 6 троек?»
(3 тройки — 9 да 3 тройки — 9; 9 да 9—18. Значит, б троек — 18.)
«3 тройки — 9. Как набрать 9 троек?» [3 тройки да 3 тройки да ещё-
3	тройки, а всего будет 9 да 9, да ещё третий раз 9 — всего 27 (9 + 9 = 18;
18 + 9 = 27). Значит, 9 троек — 27).
«Как набрать 5 троек?» (Три тройки да две тройки.)
«Как набрать 7 троек?» (Пять троек да две тройки.)
«Запишем нашу таблицу в том порядке, в каком мы набирали тройки;
группами».	1
Получается запись:
3X2— 6	3X3= 9	3X3= 9
3X4=12	3 X Ь = 18	3X5=15
3X8 = 24	3X9 = 27	3x7 = 21
Упражнения в решении задач и примеров на
умножение 3. Усвоение таблицы умножения требует много¬
численных упражнений. Для упражнений нужно использовать
решение задач и примеров. Сначала решаются задачи простые,
а затем — сложные. Простые задачи нужно составлять так, что¬
бы текст их был прост и немногословен, но вычислительной рабо¬
ты было бы достаточно много, например:
1. «Ученики построились для похода з экскурсию рядами, по 3 человека
в ряду Сколько человек в 4 рядах? В 6 рядах? В 8 рядах? В 5 рядах?
В 3 рядах? В 7 рядах?»
2.	«Перо стоит 3 коп. Сколько стоят 4 пера? 8 перьев? 6 перьев? 9 перьев?
5 перьев^» .
Наряду с такими задачами решаются сложные задачи и при¬
меры.
Деление по 3. Отсчиты ванне от 30 поЗ. Учитель
откладывает на счётах на трёх проволоках 30 шариков и предла¬
207

гает отсчитывать по 3 шарика. Ученик отнимает по 3 шарика, го¬
воря: «30 шариков без 3 шариков — 27; 27 шариков без 3 шари¬
ков— 24; 24 шарика без 3 шариков — 21» и т. д. до конца. Далее
следует отсчитывание на отвлечённых числах: «30 без 3 — 27; 27
без 3 — 24» и т. д. Затем, отсчитывая по 3, ученики называют
только результаты. «30, 27, 24, 21... 6, 3, 0». Эти числа-резуль¬
таты записываются на доске и в тетрадях учащихся. Наконец,
отсчитывание по тройке записывается так*.
27 24 21	15 12	9	6	*	0
30-3. — о, — о. — 3. — 3, — 3. — о. — 3, — о, —3—0
Над этой строчкой ведётся такая работа:
«Сколько раз можно отнимать от 30 по тройке?» (10 раз.)
«Сколько же троек в 30?»	(10 троек.) «Сколько раз тройка
содержится в 30?» (10 раз.) «Значит, если 30 разделить по 3,
сколько получится?» (10.) «Запишем это: 30:3=10. Сколько раз
можно отнимать от 27 по 3?» (9 раз.) «Сколько раз тройка по¬
вторяется в 27?» (9 раз.) «27 разделить по 3 — сколько получит¬
ся?» (9.) «Запишем это: 27:3 = 9».
Так рассматривается каждое следующее число вплоть до 3.
Закончив деление по 3 путём последовательного вычитания троек,
дальше надо установить связь деления по содержанию с таблицей
умножения 3, чтобы в дальнейшем постоянно пользоваться этой
взаимосвязью для быстрого нахождения результата деления —
частного.
Нахождение частного при помощи таблицы
умножения. Исходным мо-ментом служит повторение таблицы
умножения 3, затем решение примеров с где неизвестным
является множитель и находится он на основе знания таблицы.
На доске получается следующая запись:
ЗХ 2 = 6
3 X * = 6
6:3= 2
ЗХ 3= 9
3 х*= 9
9*3= 3
3 X 4= 12
ЗХ*= 12
12:3= 4
ЗХ 5=15
Зх X = 15
15:3= 5
3 X 6=18
ЗХ*= 18
18:3= 6
ЗХ 7 = 21
ЗХ* = 21
21:3= 7
ЗХ 8 = 24
3 X * = 24
24:3= 8
ЗХ 9 = 27
3 X х = 27
27:3= 9
ЗХ 10 = 30
3 X * = 30
30:3= 10
Упражнения в решении задач на
деление по содержанию.
Решая задачи, нужно учить учеников рассуждать, чтобы реше¬
ние — деление — вытекало из рассуждения. Пусть, например, ре¬
шается задача:	«Продавец разложил 24 кг конфет в пачки, п«
3 кг в каждую Сколько получилось пачек?» Сначала можно про¬
иллюстрировать решение задачи на кубиках, разделив 24 кубика
208

по Э кубика. Затем на вопрос: «сколько получилось пачек», —
нужно добиться ответа: «столько пачек, сколько раз 3 кг содер¬
жатся в 24 кг». «Сколько же раз 3 кг содержатся в 24 кг? Как это
узнать?» Ученики должны знать, что этот вопрос решается деле¬
нием, причём важно здесь же добиться правильной записи деления:
«24 кг : 3 кг = 8 (пачек)». По крайней мере, нужно учить этому,
зараиее зная, что эта запись как трудная усваивается не сразу.
Деление на 3 равные части.
Частное и в этом случае деления дети берут из таблицы умно¬
жения. Переходным этапом от умножения к делению служит
повторение» таблицы, составленной по постоянному множителю,
умножение с х, который здесь обозначает множимое.
2X3 = 6
х х з =
6
6:3 = 2
3X3 = 9
А'ХЗ =
9
9:3 = 3
4Х 3= 12
х X 3 =
12
12-3=1
У X л = 27
х X 3 =
27
27 :3 =' 9
Первый столбик
читается так:
«Трижды
два — 6; трижды
три — 9, трижды четыре — 12, трижды пять — 15» и т. д
Второй столбик читается так: «Какое число надо взять 3 раза
(или умйожить на 3). чтобы получилось 6?» (2 умножить на 3
получится 6.) «Значит, если 6 разделить на 3 равные части, то
сколько получится?» (6 разделить на 3 равные части, получится 2.)
В случае затруднений примеры можно иллюстрировать на¬
глядными пособиями (кубики, палочки, классные счёты). Основ¬
ным материалом для упражнений и для закрепления знания таб¬
лицы деления являются задачи. Они служат не только для совер¬
шенствования техники счёта (деления), но и для уяснения смысла
деления на равные части. Эти задачи решаются устно с после¬
дующей записью решения некоторых задач. При объяснении
решения подчёркивается, что для * ответа на вопрос надо дан¬
ное число разделить на столько-то равных частей
Задача: «Купили 3 цветных карандаша за 27 коп. Сколько стоит один
карандаш?» Получив ответ: «-Один карандаш стоит 9 коп.», учитель спраши¬
вает. «Как вы узнали, что карандаш стоит 9 копеек?» Ученики должны от¬
ветить: «27 коп. разделили на 3 равные части».
Все последующие части таблицы объясняются по образцу таб¬
лицы умножения 3 и деления по 3 и на 3. Этапы изучения
умножения каждого числа остаются те же, т. е.: 1) счёт группами;
2)	запись присчитывания в виде сложения и в виде таблицы
умножения; 3) набор группами (последовательное удвоение);
4) упражнения в усвоении наизусть таблицы на решении задач
а примеров; 5) деление по содержанию; 6) деление на равные ча¬
сти; 7) усвоение наизусть таблицы деления на решении задач
а примеров.
14 ^ С Пчелко
209

После изучения таблицы умножения 5 учащиеся знако¬
мятся с понятиями «во столько-то раз больше» и «во столько-
то раз меньше». После этого задачи на умножение и деление
становятся более разнообразными. После умножения 6 уча¬
щиеся знакомятся с переместительным свойством умножения,
после чего составляют таблицу умножения следующих чисел па¬
раллельно — по постоянному множимому и постоянному множи¬
телю.
Таблица умножения 4
Половина этой таблицы в пределе 20, усвоена. Другая поло¬
вина находится способом последовательного удвоения:
2 четверки — 8, 4 четверки = 8 + 8 = 16; 8 четвёрок = 16 + 16 = 32;
3	четверки = 12;	6 четверок — 12 -г- 12 = 24;	9 четверок = 12 4-
+ 12 + !2 = 36,
5	четверок = 20;	10 четвёрок = 20 + 20 = 40,	7 четвёрок = 5 четвё*
рок + 2 четверки — 20 + 8 = 28.
Но можно набирать четвёрки иначе, отправляясь от 5
четвёрок;
6	четвёрок — 5 четвёрок + 1 четвёрка — 20 + 4 = 24;	7 четвёрок — 20 т
+ 8= 28;
8 четвёрок = 20 + 12 — 32; 9 четвёрок ~ 20 + 16 — 36.
Таблица умножения 5.
Здесь также удобен приём последовательного удвоения-
Если 2 пятёрки = 10, то 4 пятёрки = 10 + 10 = 20; а 8 пятёрок = 20 +
+ 20 = 40.
Если 3 пятёрки — 15, то 6 пятёрок — 15+15 — 30, а 9 пятёрок =15 +
+ 15+15 = 45. 5 пятёрок — 4 пятёрки +1 пятёрка = 20 + 5 = 25. Если
5 пятёрок = 25, то 10 пятёрок = 50. а 7 пятёрок = 25 +10 = 35.
Но можно использовать и другой способ набирания пятёрок, а именно:
за исходное можно взять 5 пятёрок (пятью пять — двадцать пять — это легко
запоминается) Тогда 6 пятёрок 25 + 5 = 30;	7 пятёрок = 25 + 10 = 35;
8 пятёрок — 25 + 15 = 40; 9 пятёрок = 25 + 20 = 45.
Таблица умножения 6, 8, 9 и 7.
Легче всего запоминаются результаты: 6X5 = 30; 6X6 = 36;
бу 8 = 48. Смотря потому, какой из этих результатов ученик
помнит, он может, начиная от него и доходить до соседних. Так,
если ученик забыл результат б X 7, то он может взять умножение
6X6 и к результату (36) прибавить 6.
Таблица умножения 8 составляется по образцу
предыдущих. Самые лёгкие случаи этой таблицы: 8X6 (шестью
восемь — сорок восемь) и 8X5 ( пятью восемь — сорок). По¬
следний случай и может быть положен в основу набирания семи,
восьми и девяти восьмёрок.
Таблица умножения 9 Кроме тех способов, кото¬
210

рые указаны выше, здесь надо применить ещё способ округ-
лен и я: счёт девятками можно заменить счётом десятками.
Таблица умножен и я 7 — наиболее трудно запо¬
минаемая таблица. Усвоение её можно облегчить использованием
переместительного свойства умножения. К этому вре¬
мени пройдена вся таблица, поэтому перестановка сомножителей
будет полезна для повторения. Легче запоминаются следующие
случаи: 7X5 (пятью семь — тридцать пять) и 7X7 (семью
семь — сорок девять). Но и здесь нужно использовать разные
способы набора семёрок. Пусть требуется набрать 9 семёрок,
это можно сделать следующими способами:
а)	7X9=7X10 — 7 = 63 (округление
б)	7 X 9 = 9 X 7 = 63 (от перестановки
в)	7Х9 = 7ХЗ + 7ХЗ+
4-7X3 =21-1-21 + 21 = 63
(набор семёрок группами);
г)	7Х9 = 7Х7 + 7Х2 =
= 49 + 14 = 63 (использование
лёгкого случая — семью
семь — 49 как опорного)
Объяснение пе¬
реместительного
свойства умноже¬
ния и его исполь¬
зование. Объясняется
это свойство при ПОМ-ОЩ'И
прямоугольника,разделён¬
ного т клегюи (рис. 32).
10 семерок без одной);
чисел результат не меняется);
^	3	*
'/////
XX
ж
Ш-
ш
Ш
XX
ж
Ё
5*6 = 20
6*5=20
6*5 - 5 * 4
Рис. 32.
«Сколько клеток в од¬
ном столбике?» (4.) «Сколь¬
ко клеток в 5 столби¬
ках?» (20.) «Сколько же получится, если взягъ 5 раз гю 4?» (20.) Запишите,
что 5 четвёрок составляют 20. Теперь считайте клетки по строкам. Сколько
клеток в одной строке?» (5.) «Сколько клеток в 4 строках?» (5+ 5 + 5 + 5 =
= 20 или 5X4 = 20.) «Значит, сколько же получится, если взять 4 раза
по 5?» (20.) «Запишем, что 4 пятёрки составляют 20: 5X4 = 20. Если 5 че¬
твёрок — 20 и 4 пятёрки тоже 20, то что можно о них сказать?» (5 четвёрок
п 4 пятёрки равны между собой.)
«Запишем это 4 X 5 = 5 X 4. Нарисуйте прямоугольник, в котором
3 строки по 4 клетки. Вычислите, сколько в нём клеток, и запишите. Счи¬
тайте сначала клетки по столбикам—сколько клеток в одном столбике
и сколько всего столбиков. Потом считайте клетки по строкам — сколько
клеток в одной строке и сколько всего строк».
В результате дети приходят к выводу: 3 X 4 = 4 X 3. «Зна¬
чит, если дан пример на умножение, и в этом примере мы пере¬
меним места чисел, то что сделается с результатом?» (Он оста¬
нется без изменения, или он не изменится.) «Запомните:	при
умножении можно переставлять числа одно
наместо другого».
«Проверьте это свойство на следующих примерах».
8X2=	3x6=	4X6=	3X5 =
211

Ученики вычисляют и сравнивают результаты:
8X2 ='16	3 X 6= 18	4 X3=12	3X5 = 15
2X8 =,16	6X3=18	3X4 = 12	5X 3 = 15
Понятия «больше, меньше во столько-то раз», увеличить, умень¬
шить во столько-то раз».
Пока ученики изучают умножение и деление в пределе 20,
они решают только такие задачи на умножение, в которых тре¬
буется найти сумму нескольких равных слагаемых или повторить
число несколько раз, и такие задачи на деление, в которых надо
разделить число на несколько равных частей или узнать, сколько
раз одно число содержится в другом. Теперь, изучая умножение
и деление в пределе 100, нужно показать учащимся, что умноже¬
ние применяется и в том случае, когда требуется число увеличить
в несколько раз, а деление — когда
требуется уменьшить данное число в
несколько раз.
/Прежде чем решать задачи, нужно
разъяснить детям на наглядных посо¬
биях понятия «во столько-то рае боль¬
ше или меньше» и отсюда перейти к
выяснению понятия «увеличить или
уменьшить данное число в несколько
раз».
Объяснение понятия «во столько -то
раз больше» даётся примерно следующим
образом. Учитель кладёт по 2 шарика на двух проволоках классных счётов.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? На нижней? Что
можно сказать о числе шариков?» (Шариков положено поровну.) Затем учитель
сбрасывает эти шарики и откладывает на верхней проволоке 2 шарика, а на
нижней 3 пары шариков, оставляя между парами промежутки (рис. 33).
«Сколько шариков отложено на верхней проволоке^» (2.) «На нижней?»
(6). «Поровну ли шариков на верхней и на нижней проволоках?» (Нет, на
нижней проволоке шариков больше.)
«Да, на нижней проволоке шариков в 3 раза больше. На нижней
проволоке шариков столько же, сколько на верхней, да ешё столько, да ещё
столько; 3 раза по столько. Как это сказать иначе? (На нижней
проволоке шариков в 3 раза больше, чем на верхней)
«Сколько палочек я написал?» (Учитель пишет на доске две палочки.)
«А теперь нужно во втором ряду написать палочек в 4 раза больше. Что
это значит?» (Столько, столько, ещё столько да ещё столько — 4 раза по
две палочки.) Учитель пишет 4 пары палочек.
Учитель кладёт 3 кубика. «Сколько кубиков положил я? А вы положите
в 2 раза больше кубиков. Что это значит?» (Столько же да ещё столько.
2 раза по 3 кубика.)
«Вместо того чтобы сказать «в 2 раза больше», говорят также «вдвое
•больше»; вместо «в 3 раза больше», говорят «втрое больше». На нижней про¬
волоке отложено шариков в 2 раза больше. Как сказать это по-другому?»
(Вдвое больше.)
«Слева отложено 2 кубика, а справа в 3 раза больше. Как это сказать
•по-другому?» (Справа кубиков втрое больше.)
212

«На одной строчке написано 5 цифр, а на другой в 4 раза больше. Ска¬
жите что иначе». (На другой строчке цифр вчетверо больше.1 «Учитель аал
одному ученику 2 тетради, а другому в 3 раза больше. Что это значит:
в 3 раза больше?» (Это значит, что другой ученик получил 3 раза по дпе
тетради.) «Сколько же тетрадей дал учитель другому ученику? Как это
узнать’» (Надо 2 повторить 3 раза. Получится 6.)
«Запишем это: 2 тетр. X 3 = 6 тетр.»
«Решим вторую задачу: «В одной квартире живёт 5 человек, а в другой
в 4 раза больше. Сколько человек живёт в другой квартире’» «Что значит
в 4 раза больше?» (Это значит, что в другой квартире живёт 4 раза по 5.)
«Как же узнать, сколько человек живёт в другой квартире?» (Нужно
5 умножить на 4, получится 20.)
«Запишите это решение: 5 чел. X 4 = 20 чел. 4 возьмите б раз. Сколько
получится? Что больше: 4 или 24?
Значит, когда мы вместо 4 взяли 24, мы увеличили число 4. Так что
же мы сделали с числом 4?» (Мы увеличили число 4.) «Сколько раз мы
взяли по 4? Во сколько же раз мы увеличили число 4’ Как же увеличить
число 4 в 6 раз?» (Нужно 4 умножить на 6.) «Увеличьте 3 в 7 раз. Сколько
будет? Как вы это сделали? Увеличьте 2 в 8 раз. Увеличьте 5 втрое,
вчетверо» и т. д.
«Во столько-то раз меньше». На одной проволоке классные счетов учитель
кладёт 3 шарика, на другой 2 раза по 3 шарика.
«Сколько шариков положено на верхней проволоке? Сколько на нижней’
На .которой проволоке положено шариков больше? Во сколько раз больше’
А на какой проволоке положено шариков меньше? На нижней проволоке
положено шариков в 2 раза больше, чем на верхней. Значит, нз верхней
в 2 раза меньше, чем на нижней. Во сколько же раз наверху шариков меньше?»
(В 2 раза меньше, или вдвое меньше.)
«На сколько равных частей разделены те шарики, что положены на ниж
ней проволоке?» (На две равные части, пополам.)
«По скольку шариков в каждой части? Итак: на верхней проволоке только
половина тех шариков, которые лежат на нижней проволоке, и там шариков
в 2 раза меньше. Я поставил на одну планку 10 кубиков, А на другую планку
нужно поставить кубиков в 2 раза меньше. Что значит — в 2 раза меньше’»
(Значит, половину 10 кубиков.)
«10 кубиков разделить пополам — сколько будет в каждой части?» (Ку¬
бики раздвигаются.) «Сколько же кубиков надо поставить на другую планку?»
Учитель пишет на доске б палочек. «Сколько палочек написал я? Во вто
ром ряду нужно написать палочек вт�