счет
логарифмическая
ЛИНЕЙКА

Томский ордена Трудового Красного Знамени
политехнический институт им. С. М. Кирова
Д. С. М И К О В
СЧЕТНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ
ЛИНЕЙКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО ТОМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Томск — 1968

В настоящем* пособии описано устройство
линейки и приемы различных вычислений на ней. Кроме
того, подробно описаны функциональные
зависимости между отдельными шкалами, и тем самым
впервые показана возможность широкого
использования линейки как справочника большого числа
различных математических таблиц.
Редактор — Б. И. Большанин
Индекс 2-2-3

ВВЕДЕНИЕ
Практическая работа инженера и техника часто
сопровождается различными вычислениями, точность
которых, в большинстве случаев, бывает достаточной в
пределах— 0,1— 0,5%.
Для вычислений с такой точностью очень широко и
успешно используются различные счетные линейки.
Применение их значительно облегчает вычисления и в
десятки раз- увеличивает их производительность.
Счетные линейки представляют собою систему шкал
каких-либо математических функций, нанесенных на
одну общую линейку. Причем некоторые шкалы могут быть
подвижными, т. е. относительно других шкал они могут
перемещаться.
В настоящее врем i применяется много различных
систем счетных линеек. При этом некоторые из них имеют
лишь специальное назначение, т. е. предназначены они
только для каких-либо определенных вычислений.
Большинство счетных линеек имеют логарифмические шкалы.
Поэтому и называются они логарифмическими счетными
линейками.
Наибольшее распространение имеют логарифмические
линейки общего назначения, т. е. предназначенные для
обычных, наиболее часто встречающихся,
математических вычислений, например: для умножения, деления,
возведения в квадрат или куб чисел, отыскания
логарифмов чисел или тригонометрических функций и т. д.
В этом руководстве описывается наиболее
распространенный тип счетной логарифмической линейки,
приводятся таблицы соотношения шкал линейки и
рассматриваются приемы различных вычислений. Пользуясь
приведенными в этом руководстве таблицами соотношения
шкал, можно значительно легче и быстрее освоиться со
3

всеми возможными приемами вычислений на
логарифмической линейке, чем при обычном простом разборе
решения отдельных примеров.
После краткого описания устройства линейки и
указанных выше таблиц в руководстве даются пояснения
и примеры по различным вычислениям.
§ 1. ОПИСАНИЕ СЧЕТНОЙ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
Рассмотрим устройство наиболее распространенного
типа счетной логарифмической линейки, изображенной
на рис. 1, где введены следующие обозначения:
К — корпус или неподвижная часть линейки;
D — движок или подвижная часть линейки;
В — визир или бегунок—подвижная рамка с
нанесенными на стекле одной или тремя визирными
линиями В.
Введем следующие обозначения шкал линейки в
порядке их расположения снизу вверх:
L— линейная шкала на корпусе линейки с масштабом
одна единица в длине линейки — в 25 см. По этой шкале
обычно находятся мантиссы логарифмов.чисел, поэтому
и называется она шкалой логарифмов.
'А\ — основная логарифмическая шкала на корпусе
линейки с масштабом одна логарифмическая единица
в длине линейки—в 25 см. На этой шкале
устанавливаются и отсчитываются заданные или полученные при
вычислениях значения чисел. Поэтому назовем ее шкалой
чисел.
А\ —такая же логарифмическая шкала, как и А\, но
нанесена она на движке, т. е. на подвижной части
линейки.
А0 — обратная логарифмическая шкала с тем же
масштабом, как и Ai, но нанесенная на середине движка
в обратном направлении. На ней отсчитываются обратные
величины числам, взятым на шкале Ai, поэтому назовем
ее шкалой обратных чисел.
Af2 — логарифмическая шкала на движке линейки
с масштабом две логарифмические единицы в длине
линейки (одна единица в 12,5 см), т. е. в длине линейки
располагаются две одинаковые подшкалы.
Ач—такая же логарифмическая шкала, как и А^ , но
нанесена она на корпусе линейки. По шкалам А2 и к'2
4

обычно находятся квадраты чисел. Поэтому и называются
они шкалами квадратов.
Лз — логарифмическая шкала на корпусе линейки
с масштабом три логарифмические единицы в длине
линейки (одна единица в 8,33 см), и на всей длине линейки
повторяются три одинаковые подшкалы. По этой шкале
находятся кубы чисел и называется она шкалой
кубов.
S~T — логарифмическая шкала синусов и тангенсов
углов от 34' до 5°43'30", нанесенная на середине
обратной стороны движка. Синусы и тангенсы этих малых
углов, в пределах точности линейки (с точностью до 0,001),
между собою равны, и поэтому нанесены они на одной
шкале. Численные значения их для этих углов
заключаются в пределах от 0,01 до 0,1.
S — логарифмическая шкала синусов углов от 5°44''
до 90°, нанесенная на верхнем крае обратной стороны
движка. Величина синусов этих углов изменяется от 0,1
до 1. Будем называть эту шкалу — шкалой синусов.
Т — логарифмическая шкала тангенсов углов от 5°43'
до 45°, нанесенная на нижнем крае обратной стороны
движка. Значения тангенсов этих углов изменяются
в пределах от 0,1 до 1.
На всех логарифмических шкалах, в указанных выше
масштабах, отложены мантиссы десятичных логарифмов
чисел и синусов и тангенсов, а на месте их значений
надписаны сами числа и углы © градусной мере.
На боковых гранях линейки обычно наносятся
простые линейные шкалы в см и мм, которые используются
как обычные линейки при черчении.
Кроме этого, на основных логарифмических шкалах
линейки в виде отдельных штрихов иногда наносятся еще
специальные величины, например:
1) те = 3,1416 — отношение длины окружности к
диаметру;
2)С=1/Н,128: .
3) С, = |/^ = 3,568;
4) М= 1 = 0,318;
1С

5) р° = = 57,3 — число градусов в радиане; •
1С
6) р' = 3438 — число минут в радиане;
7) р"= 206265 — число секунд в радиане и
8) индексы-черточки в выемках на концах корпуса
с обратной стороны линейки. Назначение этих штрихов
будет указано ниже, при описании использования
линейки.
При работе с логарифмической линейкой условимся
различать следующие положения движка:
1. Совмещенное положение шкал, когда крайние
штрихи шкал движка совмещены с крайними штрихами шкал,
нанесенных на корпусе линейки.
2. Смещенное положение движка вправо или влево —
когда он сдвинут относительно корпуса линейки в правую
или левую сторону.
3. Нормальное положение движка со шкалой чисел —
когда он вставлен шкалой чисел и квадратов и когда
деления па этих шкалах возрастают в правую сторону.
4. Обратное положение движка со шкалой чисел —
когда он вставлен в обратном направлении, т. е. другим
концом.
5. Нормальное положение движка со шкалами S и Т—
когда он вставлен обратной стороной, т. е. шкалами
синусов и тангенсов и когда значения углов увеличиваются
вправо.
6. Обратное положение движка со шкалами S и Т —
когда он вставлен обратным концом, т. е. когда шкалы
синусов и тангенсов перевернуты.
Указанное выше устройство логарифмической линейки
позволяет использовать ее в двух направлениях:
1) как справочник большого количества
разнообразных математических таблиц и
2) как счетный инструмент для выполнения довольно
сложных и разнообразных вычислений.
При использовании логарифмической линейки в
качестве какой-либо таблицы на ней не производится никаких
действий, а искомые величины отсчитываются
непосредственно на тех или других шкалах по заданным
значениям на той или иной шкале.
При использовании же линейки в качестве счетного
инструмента на ней производятся добавочные действия
6

которые сводятся к передвижению и установлению
движка и визира против заданных для вычисления исходны?
величин.
§ 2. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Чтобы понять принцип работы на логарифмической
линейке, необходимо учесть следующие основные свойства
логарифмов.
1. Логарифмом числа N, при основании 10, т. е.
десятичным логарифмом, называется показатель степени,
в которую надо возвысить число 10, чтобы получить
данное число N, например:
100 = 102, следовательно, lg 100 = 2.
340 = 102'531, следовательно, lg 340 = 2,531.
2. Логарифм произгедения равен сумме логарифмов
сомножителей, т. е. \gAB~ \gA-\ gB.
lg (24-0,418-7,32) - lg 24 + !g 0,418 + <g 7,32.
3." Логарифм частного или дроби равен разности
логарифмов делимого и делителя, например:
lg| = !g^-lgS;
,g MZ£ =]g 0,476 -lg 84.
.84
4. Логарифм степени равен логарифму основания,
умноженному на показатель степени, т. е.
lg.4«-= n'gA и 'gl4,83 =3 !gl4,8.
5. Логарифм корня равен логарифму подкоренного
выражения, разделенному на показатель корня, т. е.
Igj^4 = -lgi4 и lg 3/0Ж = - lg 0,671.
п 3
§ 3. СООТНОШЕНИЯ ШКАЛ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ЛИНЕЙКИ
Учитывая основные свойства логарифмов и указанное
выше расположение и маештабы шкал на логарифмиче-
. 7

ской линейке, легко можно убедиться в правильности
следующих соотношений различных шкал, приведенных
в таблицах 1, 2, 3 и 4.
Таблица 1
Эта таблица показывает соотношение шкал линейки
при нормальном и совмещенном положении движка.
Пользоваться ею нужно следующим образом:
1. Если на шкале L визирную линию установить на
какое-либо число N, то на других шкалах против этой же
визирной линии получим следующие значения (см.
столбец 1, табл. 1):
на шкале At и А\ 1(F;
на шкале AQ = 10-^;
10л
на шкале А'.2 и А2 102v;
на шкале А3 103/V.
2. Если какое-либо число N установить на
шкале Аг, то на других шкалах (см. столбец 2, табл. 1)
получим:
на шкале L lg-/V;
на шкале Ап = ЛН;
0 N
на шкале А\ и А2 N2;
на шкале А3 Nz.
3. Если какое-либо число N установить на
шкале А0, то на других шкалах (см. табл. 1, столбец 3)
получим:
на шкале L lg — = — lg/V;
N .
на шкале Ai и А\ = TV-1;
на шкале А'й и Аг — = N~2\
на шкале Аг — ■=АГ-3.
N
_1_
N2
1
Л*

Таблица 1
Соотношение шкал логарифмической линейки при нормальном
и совмещенном положении движка, вставленного шкалой чисел
Шкала А3
А2
' 4
' Ао
' А
А,
L
10™
io2-v
10'"
1
10"
10'v
10'v
N
№
№
ДГ2
1
N
N
N
\gN
1
N»
1
Л/3
1
Д?2
N
1
N
1
TV
1
*N
N*
N
N
1
Vn
Vn
Vn
\sVn
N
дг|
2
1
Vn
Vn
Vn
IgVN
4. Если какое-либо число Л/ установить на
шкале А2 и А'а, то на других шкалах (см. столбец 4,
табл. 1) получим:
на шкале L
на шкале Ах и А\
на шкале А0
на шкале А*
lgj//V = -lg/V;
■ Vn = n *;
1 -1
= N 2:
VN
YW3 = N\
5. Если какое-либо число /V установить на
шкале А3, то на других шкалах (см. столбец 5, табл. 1)
получим:
на шкале L
на шкале Л, и А\
з
■ Vn-n^
AgVN^UgN;

на шкале А0 —
на шкале Ай и А'2 —
1 -&
— N *'
Vnz-nK
Таким образом, из рассмотрения этой таблицы
видно, что только при одном этом частном положении
движка, не передвигая его, по счетной линейке для
любого заданного числа N можно получить
следующие 19 различных математических зависимостей:
1) 10", 2) 10* 3) Юза', 4)J_,
N, 6)~, 7) /V2, 8) N*,
N
-, 10) —, 11) —,
12) igy77, 13)/77, и)
из столбца 1 . .
из столбца 2 . .
из столбца 3 . .
из столбца 4 . .
из столбца 5 . .
. .1)
. .5)
. .9)
..12)
..16)
15) N\
16) lgVTV, 17) VN, 18) i,
VN
19) N^
т. е. только при одном этом положении движка линейкой
можно заменить 19 различных математических таблиц.
Таблица 2
Таблица дает соотношение шкал логарифмической
линейки при обратном совмещенном положении движка,
вставленного шкалой чисел. Практическое использование
этой таблицы такое же, как и табл. 1. Поэтому
перечислять все соотношения шкал не будем, а только отметим
то, что при этом положении движка, дополнительно
к соотношениям табл. 1, по любому заданному числу N
можно непосредственно находить еще значения:
1)^ = 10^2)^ = ^4
1 -*
3)-i- = yv 3.
10

Таблица 2
Соотношение шкал логарифмической линейки при обратном
совмещенном положении движка, вставленного шкалой чисел
Шкала А3
' Л2
' л\
• А
- А'2
Ах
" L
10т
102*
1
10*
10*
1
ю2*
10*
/V
N3
ДГ2
1
N
N
1
N2
N
IgN
1
1
N
Vn
i
Vn
N
1
Vn
ig^
l
ДО»
1
N
1
ДО»
1
N
1
N
3
N
1
Vn
Vn
l
N
Vn
\gVN
N
N*
1
Yn
Vn
l
N*
Vn
igVft
Таблица 3
Таблица дает соотношение, шкал логарифмической
линейки при нормальном и совмещенном положении
движка, вставленного шкалами синусов и тангенсов.
Дополнительно к соотношениям табл. 1 и 2, при этом
положении движка по линейке можно получить еще ряд
следующих дополнительных соотношений для любого
заданного числа или величины угла.
Например, если какое-либо число N установить на
шкале L, то на шкале Т получим значение угла, тангенс
которого равен 10*, а на шкале 5 получим величину
угла, синус которого равен 10*..
При этом, если величина числа 10* будет
заключаться в пределах от 0,01 до 0,1, то на шкале S—Т
получится угол, синус и тангенс которого будут равны
величине 10* .
Если какое-либо число N установить на шкале А\, то
на шкале Т получится угол, тангенс которого равен
величине N, а на шкале S получится угол, синус которого
11

Таблица 3
Соотношение шкал логарифмической линейки при нормальном
совмещенном положении движка, вставленного шкалами
синусов и тангенсов
Шкала А3
л2
S
S-T
т
' А
L
iow •
10""
arc sin 10 v
arc sin (tg). 10"
arctg 10"
io-v
N
№
ДА2
arc sin N
arc sin (tg)N
arc tg N-
N
lgjv
3
N3
N
arc sin YN
arc sin (tg) YN
arc tg YN
Yn
\gYN
Продолжение таблицы З
N
N*
arc sin Y~N
arc sin (tg) У N
arc tg Y~N
3/N
isV^
siii3 (tg3) a
sin^ (tg») a
arc sin
[10sln(tg)o]
a0
arctg
[10sin(tg)a]
sin(tg)a
lgsin(tg)a
sin-я
Sin-a
a0
arc sln(tg)
["sina"]
arc tg (sin a)
sin a
lg sin
z
tg3a
tg-a
arc sin (tg)a
arc sin (tg)
ftg*l
. 10 j
o°
tga
lgtg<
t
n

равен величине N. Еоли же величина N будет иметь
значение от 0,01 до 0,1, то па шкале S—Т будем иметь угол,
синус и тангенс которого равны величине N.
Если же число N установить на шкале квлдратов, то
на других шкалах получим: на шкале синусов получим
угол, синус которого равен ]/Л^ на шкале тангенсов —
угол, тангенс которого равен ]//Уи на_шкале 5—Т—угол,
синус и тангенс которого равны VN, если величина эта
имеет значение от 0,01 до 0,1.
Аналогичным образом, если число N установить на
шкале кубов, то получатся следующие соотношения: на
шкале синусов получится угол, синус которого равен j/~ N
на шкале тангенсов — угол, тангенс которого равен YN
и на шкале 5—Т — угол, синус и тангенс которого равны
j/^jV, если величина эта будет иметь значение от
0,01 до 0,1.
Кроме того, "установив величину какого-либо угла а
на шкале синусов, на других шкалах получим: на
шкале L — lgsincc, на шкале Ах — величину sin а, на
шкале А2—величину sin'-'?, на шкале Л:(—величину sin3a, a
на шкале S — Г—угол, синус и тангенс которого рав-
1 .
ны — sin а.
10
Еслк величину угла а установить на шкале
тангенсов, то на других шкалах получим:
на шкале L величину lgtga, на шкале Ах — tga,
на шкале А2 tg2a, на шкале Аа—tg'a,
а на шкале 5— Т— угол, синус и тангенс которого
1 ,
равны —tga.
^ 10
Если величина угла а будет установлена на шкале
S—Т, то аналогично на шкале L получим величину
lg синуса-тангенса этого угла (значения их будут от 0,01
до 0,1), на шкале А2 получим квадрат синуса-танген*
са, на шкале Л3 — куб синуса-тангенса, заданного угла а;
на шкале синусов получим угол, синус которого равен
10 синусам или тангенсам а, а на шкале тангенсов —
угол, танганс которого равен 10 синусам или
тангенсам а.
13

Таким образом, согласно табл. 3, дополнительно
к табл. 1 и 2, для любого заданного числа /V по
логарифмической линейке, при одном этом положении движка,
можно непосредственно находить значения:
1) arctglO", 2) arc sin 10", 3) arctgW, 4) arcsinW,
5) arc sin V~N, 6) arctgj/W, 7) arc sin VN, 8) arc tg VU
и по любому углу а находить значения:
9) sin a, 10) lgsina, 11) sin2 a, 12) sin3 a, 13) tga,
14) Igtga, 15) tg2a, 16) tg3a, 17) arcsin(tga),
tga
18) arc sin (tg a
20) arc sin (tg)
10
Sin a
"To"
19) arc tg (sin a),
21) arcsin[10sin(tg)a],
22) arctg flOsin (tg)a], т. е. по линейке можно
получить еще 22. дополнительные математические
соотношения.
Таблица 4
В этой таблице показано соотношение шкал
логарифмической линейки при обратном совмещенном положении
движка, вставленного шкалой синусов и тангенсов
обратным концом.
Из таблицы видно, что кроме отмеченных выше
соотношений по линейке можно получить еще ряд
дополнительных математических соотношений. Соотношения эти
следующие:
Если какое-либо число N установить на шкале L, то
па других шкалах получим величины: на шкале синусов
получим угол, косеканс которого равен 10" , на шкале
тангенсов — угол, котангенс которого равен 10", а на
шкале 5—Т получим угол, косеканс и котангенс которого
равны 10 "» если это число будет иметь значения в
интервале от 0,01 до 0,1.
Если какое-то число N установить на шкале Л\, то на
шкалах движка получим: на шкале синусов — угол,
косеканс которого равен величине N, на шкале тангенсов —
угол, котангенс которого равен величине N, а на шкале
5—Т—угол, косеканс и котангенс которого равны чис-
14

Таблица 4
Соотношение шкал логарифмической линейки при обратном
совмещенном положении движка, вставленного шкалами
синусов и тангесов
Шкала А3
' А3
Т
« 5-7
5
А,
L
10™
102"
arc ctg 10^
arc ctg (esc) 10v
arc esc 10v
10"
N
№
N2
arc ctg N
arc ctg (csc)JV
arc cscN
N
IgN
3
N
arc ctg YN
arc ctg(csc)|^]V
arc esc VN
Vn
\gVN
Продолжение таблицы
N
Л'г>
arc ctg j/~N
arc ctg (csc)|/"/V
arc esc \rN
Vn
lg | ~N
■
csc3 (ctg3) a
esc2 (ctg2) a
arc ctg
esc (ctg) a"
1°
a0
arc esc
CSC (Ctg) a"
10
esc (ctg)a
lgcs
С (Ctg) 1
CSC3 a
esc2 a
arc esc (ctg) a
arc esc (ctg)X
X [lOcsr a]
a°
CSC a
lg CSC a
Ctg3a
Ctg* a
a°
arc esc (ctg)X
X [lOctgaJ
arc esc (ctg) a
ctg a
lgCtgCt
15

лу N, если это число имеет значение в интервале от
0,01 до 0,1.
Если же величину числа N установить на шкале
квадратов, то на шкалах движка получим: на шкале
синусов—величину угла, косеканс которого равен VN\
на_шкале тангенсов — угол, котангенс которого равен
VN и на шкале S — T получим угол, косеканс и
котангенс которого равны VN, если это число будет
иметь значение от 0,01 до 0,1.
А если какое-либо число А/ установить на шкале
кубов, то на шкалах движка получим значения:
на шкале синусов — величину угла, косеканс которого
равен |//V, на шкале тангенсов — угол, котангенс
которого равен \/~N и на шкале jS — T — угол, косеканс
и котангенс которого равны V N, если эта величина
имеет значение от 0,01 до 0,1.
Аналогичным образом, если какой-либо угол а
установить на шкале синусов, то на других шкалах получим:
на шкале At—косеканс а, на шкале L — мантиссу
логарифма косеканса а, на шкале квадратов — квадрат
косеканса а, на шкале кубов — куб косеканса а, на шкале
тангенсов—угол, котангенс которого равен косекансу о,
и на шкале S—Т — угол, величина косеканса и
котангенса которого равны 10 косекансам угла а, если значения
их будут в интервале от 0,01 до 0,1.
Если величину угла а установить на шкале тангенсов,
то на шкале Л] получим величину котангенса этого угла,
на шкале L — мантиссу логарифма котангенса, на шкале
квадратов — квадрат котангенса, на шкале кубов — куб
котангенса этого угла, на шкале синусов — угол,
косеканс которого равен котангенсу угла а и на шкале S—Г
получим угол, косеканс и котангенс которого равны
10 котангенсам а, если величина их будет в пределах от
0,01 до 0,1.
Если же величину а взять на шкале 5—Т, то на
других шкалах получим: на шкале А\ — величину косеканса
и котангенса а, на шкале L — мантиссу логарифма
косеканса— котангенса этого угла, на шкале квадратов —
квадрат косеканса и котангенса, на шкале кубов — куб
косеканса и котангенса угла а, на шкале синусов — угол,
косеканс которого равен одной десятой косеканса или
котангенса угла а и на шкале тангенсов — угол, котангенс
16

которого равен одной десятой косеканса или котангенса
угла а.
Таким образом, согласно этой таблицы,.мы по любой
заданной величине косеканса и котангенса А/ по
логарифмической линейке можем находить значения:
1) arccscKF, 2) arc ctg 10* 3) arc esc TV, 4) arcctgyV,
5) arccscjAV, 6) arcctg]/77, 7) arccsc7/N,
8) arcctgj/A/ и по любому заданному углу а
—значения:
9) esc a, 10) esc2 a, 11) esc" a, 12) lgcsca, 13) arc ctg (esc a),
14) arccsc(ctg) [lOcsca], 15) ctg я, 16) ctg" a,-17) ctg3 a,
18) Igctga, 19) arc esc (ctg) [10 ctg a],
20) arc esc
esc (ctg)a
10
21) arcctj
Гesc ctga
т. e.
при одном этом положении движка можем получить
21 различное математическое соотношение, не
встречающееся в первых трех таблицах.
Всего же по описываемой линейке при четырех
положениях движка, таким образом, можно получить 65
различных математических соотношений, г. е. этой линейкой
можно заменить большую сводную математическую
таблицу на 67 колонок, считая в том числе две колонки — два
столбца с исходными аргументами таблиц — числами
N и углами а.
Если учесть, что величину косинусов и секансов
любых углов можно по формулам приведения находить
через значения синусов и косекансов, то, следовательно, по
логарифмической линейке можно будет находить не
только все тригонометрические функции для любых углов, по
также и их логарифмы, квадраты и кубы. .Однако
практические возможности использования логарифмической
линейки эгим еще далеко не ограничиваются. Лине;
как собрание таблиц можно использовать значительно
шире.
Например, если известен логарифм какого-либо
числа, то отложив его на шкале L, сразу и
непосредственно, не определяя самого числа, можно определить
значения —, N2. N3,
N
2. Заказ 4994. J7

Если известен квадрат какого-либо числа, то взяв
его величину на шкале квадратов, на других шкалах
линейки, не определяя самого числа, можно получить
значения lg N, — и N3, если они потребуются в про-
N
цессе вычислений.
Если будет известна величина \/ N, то отложив его
значение на шкале Аи на других шкалах, не
определяя самого числа N, сразу можем получить lg y^N,
1 -?
tf= , N3 (согласно столбца 5, табл. 1) и т. д.
у N
Если будет известна, например, величина lgsina, то
не определяя значения ни синуса, ни угла а, можно
непосредственно находить величину sin2u и sin3a и т. д. Таких
соотношений и сочетаний функциональных
математических зависимостей из таблицы в 67 столбцов, как
известно, можно иметь весьма большое количество и всеми
этими соотношениями в практической работе, если они. по-,
требуются, можно широко пользоваться.
18

ДЕЙСТВИЯ С ЧИСЛАМИ
§ 4. УСТАНОВКА И ЧТЕНИЕ ЧИСЕЛ НА ШКАЛАХ ЛИНЕЙКИ
Прежде чем пользоваться линейкой, необходимо
тщательно изучить на ней^расположение отдельных шкал, их
оцифровку и цену делений в каждом интервале.
Например, основная шкала линейки А\ и каждая из подшкал
квадратов А% и шкалы кубов Аз разделены на 10 не
равных по длине, в логарифмическом масштабе, частей и
соответственно этому оцифрованы.
""Левая часть основной шкалы А\, в интервале от 1
до 2, разделена и оцифрована в таком же
логарифмическом соотношении еще на 10 частей. Поэтому эти деления
уже будут составлять только десятые доли от величины
основных делений. Все последующие более мелкие
деления шкал линейки уже сделаны без надписей и
определять их значения можно легко, сообразуясь с
надписанными основными делениями. Во всяком случае, при
внимательном рассмотрении шкал, значения делений в
любом интервале шкалы определяются легко.
При установке и чтении чисел на основной
логарифмической шкале линейки на значность их не обращается
внимание, например, числа 0,032; 0,32; 3,2; 32; 320; 3200
и т. д. на основной шкале линейки устанавливаются на
одном месте, так как шкала логарифмическая, а
мантиссы логарифмов всех этих чисел одинаковы. ч-
Кроме того, на линейке можно отложить и прочитать
числа только до трех значащих цифр, например, вместо
числа 4182 устанавливается число 4180, вместо 3408 —
число 3410, вместо 23031 —только 23000 и т. д., так как
такое округление и отбрасывание последних цифр дает
погрешности меньше 0,5%, что выходит за пределы
точности вычисления на линейке. Лишь на левой части
шкалы А\ можно брать четырехзначные числа. Для более
2*
19

удобной и точной установки чисел на линейке удобно
пользоваться визиром—волоском, —«засекая» им на
шкалах места заданных чисел.
Для примера рекомендуется установить, «засечь» на
основной логарифмической шкале А\ следующие числа:
1,20 74,5 74312 3,009 0,003
12,9 342 0,0215 42,06 0,0081 .
24,5 240:1 0,03402 602» 5,0098
§ 5. ПОРЯДОК ЧИСЕЛ
Для определения результатов вычислений на
логарифмической линейке необходимо определять порядок
получаемых чисел. Порядок или значность числа определяется
числом цифр в целой части числа и числом нулей после
запятой до первой значащей цифры, если число меньше
единицы. В первом случае порядок чисел считается
положительным, а во втором — отрицательным. Согласно
этому определению значность приведенных ниже чисел
будет следующая:
Числа
5430
321,4
20,63
4,82
Порядок
чисел
4
3
2
1
Числа
0,42
0,0103
0,002
0,00045
0,00008
Порядок
чисел
0
—1
—2
—3
—4
§ б. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ
Умножение чисел, согласно свойствам логарифмов,
сводится к сложению логарифмов этих чисел, поэтому для
того, чтобы перемножить какие-либо два числа,
необходимо на линейке только сложить логарифмы этих чисел,
20

нанесенных на шкалах линейки. Например, для
перемножения числа 2 на 4, устанавливаем на шкале А\ против
числа 2 левый крайний штрих шкалы А'\ и против числа 4
этой шкалы, на шкале А\, находим ответ — число 8, так
как расстояние до цифры 8 от левого крайнего штриха
линейки (lg 8) мы нашли сложением расстояний от
левого штриха линейки до цифры 2 и 4, т. е. сложением
Ig2 и Ig4.
Подобным образом производится умножение любых
чисел. Причем, если второй сомножитель на движке
линейки будет находиться за пределами правого крайнего
штриха корпуса линейки, то с первым сомножителем сле-
"дует совмещать не левый, а правый крайний штрих
движка. Порядок полученного произведения определяется
прикидкой в уме или по следующему правилу:
Порядок произведения равен: 1) сум-ме
порядков сомножителей, если движок
выдвигается влево и 2) сумме порядков
сомножителей минус единица, если д в и ж о *
выдвигается вправо.
Например, при умножении приведенных ниже чисел
порядок произведения будет следующим:

Умножаемые
числа
3
14
18,4
0,08
0,08
80
12,5
2,6
78,5
7,6
5
1,8
0,25
0,15
150
15
36
430
343
0,042
Положение
движка
влево
вправо
вправо
влево
влево
влево
вправо
влево
влево
влево

Определение
порядка

произведения
1+1=2
2+1—1=2
2+0-1=1
-1+0=-1
-1+3=2
2+2=4
2+2-1=3
1+3=4
2+3=5
1+(_1)=0
Величина

произведения
15
25,2
4,6
0,012
12
1200
450
1118
26930
0,319
21

§ 7. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ
Деление чисел на логарифмической линейке сводится
к вычитанию логарифма делителя из логарифма
делимого. Поэтому для деления против числа делимого на
основной шкале А\ устанавливаем число делителя шкалы
А[ движка и против крайнего правого или левого
штриха движка на основной шкале А\ находим результат
деления — частное.
При этом порядок частного будет равен:
1) разности порядков делим ого и делителя,
если движок окажется выдвинутым влево
и 2) разности порядковделимогоиделителя
плюс единица, если, движок окажется
выдвинутым вправо.
Поясним это следующими примерами:
Деление
6:3
16:4,5
128:8
40:0,8
4:0,02
0,075:15
0,69:13
Положение
движка
вправо
влево
влево
влево
вправо
вправо
вправо

Определение
порядка
частного
1_(-М)+1=1
2-(+1)=1
3-(+1)=2
2-0=2
1-(-1)+1=з
— 1—2+ 1=—2
0-(+2Н-1=-1
Величина
частного
2
3,56
16
50
200
0,005
0,0531
§ 8. СОВМЕСТНОЕ УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Вычисление примеров, содержащих ряд сомножителей
в числителе и знаменателе дроби, например:
24-0,6-1,6-1.8 =2<J5
45-0,24-0,013
на логарифмичес. ой линейке можно производить двояко:
22

1) путем отдельного перемножения всех сомножителей
числителя и всех сомножителей знаменателя с
последующим делением числителя на знаменатель и
2) путем поочередною умножения и деления чисел
числителя и знаменателя, что позволяет значительно
быстрее выполнить вычисление.
Например, вычисление приведенного выше примера
производится в следующем порядке: устанавливаем
визир на шкале А\ на число 24, подводим под визир число
45 шкалы А\ (т. е. делим на 45), не определяя
результата деления,, переводим визир по шкале А\ на 0,6
(т. е. умножаем на 0,6), подводим под визир число 0,24
шкалы A J (т. е. делим на 0,24), переводим визир на
шкале А\ на число 1,60 (т. е. умножаем на 1,60), подводим
под-визир число 0,013 шкалы А[ (т. е. делим на 0,013),
переводим визир на число 1,8 и по нему на шкале А\
отсчитываем результат вычисления 2—9—5.
Порядок вычисленного числа будет равен: сумме
порядков сомножителей числителя минус сумма порядков
сомножителей знаменателя, плюс столько единиц,
сколько раз движок выдвигался вправо при делении, и минус
столько единиц, сколько раз движок выдвигался вправо
при умножении.
Для приведенного выше примера порядок
вычисленного результата будет:
2 + 0+1 +1—(2+0—1)+2 —2 = 3 и>
следовательно, число будет 295. .'
Порядок вычисленного числа здесь так же, как и при
всяких других вычислениях, может быть легко определен
прикидкой в уме. Для приведенного примера это можно
определить следующим образом: деление 24 на 45 даст
ориентировочно 0,5; при умножении на 0,6 получим 0,3;
при делении на 0,24 получится несколько больше
единицы, при умножении на 1,6 получим несколько меньше 2,
при умножении на 1,8 результат будет около-3 и при
делении на 0,013 результат будет около 300, т. е.
правильное значение результата будет 295.
Такая приблизительная оценка величины
вычисленного .результата всегда гарантирует от возможных
ошибок, так как даже при самой грубой прикидке в уме
ошибиться з 10 раз почти невозможно. Проверим подобные
вычисления на приведенных ниже примерах.
23

Если последним действием при вычислении таких
примеров будет не умножение, а деление, то результат от-
считывается тоже на шкале А\, но не против волоска ви-
Пример
Определение порядка
результата вычисления
27-0,040-7,3
2,14-12,5
340-0,0095
38-6,3140
115-84-4,5
-0,295
= 0,0000965
0,92-195-85
2+(_1) + 1—1—2+2-1=0
3-Н—2)—2-1— 3+1=—4
3+2+1-0-3—2=1
зира, а против правого или левого конца движка линейки,
г. е. шкалы Л j, как при обычном делении.
§ 9. ВОЗВЕДЕНИЕ В КВАДРАТ
Согласно табл. 1 столбца 2, для получения квадрата
какого-либо числа установим это число на шкале А\, а
на шкале А2 получим квадрат этого числа. При этом,
Пример
На какой под-
шкале результат
Порядок квадрата
32=9
12-'= 144
4,62=21,2 "
74,82=5600
0,822=0,67
0,0822-0,0067
на левой
на левой
на правой
на правой
на правой
на правой
2 (-J-1)—1 = 1
2 (+2)—1=3
2(+1)-2
2 (+2) =4
2 (0)=0
2(—1)=—2

о ел и квадрат числа получается на левой
под ш кале, то порядок его будет ра-вен
удвоенно м у порядку возводимого -в квадрат
числабезединицы, а если квадрат числа
получается на правой подшкале, то порядок
квадрата будет равен удвоенному порядку
возводимого в квадрат числа.
Проверим это на указанных выше примерах.
§ 10. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ
Для извлечения квадратного корня приходится
поступать обратно, а именно подкоренное число засекать
визиром на шкале А2, а на шкале А\ получать ответ. При
этом, если подкоренное число нечетного порядка, то оно
берется на левой подшкале, а если четного порядка, то на
правой подшкале.
Порядок корня для левой подшкалы
будет равен половине увеличенного на
единицу порядка подкоренного числа, а для
правой подшкалы — половине порядка
подкоренного числа.
Убедимся в этом на следующих примерах.
Пример
1) /87=9
2) /18=4,25
3) /140=11,83
4) /3450=58,8
5) /4875=6,97
6) /0^34=0,584
7) /0,034=0,184
8) /^06=1,03
На какой
подшкале берется
число
на правой
на правой
на левой
на правой
на правой
на правой
на левой
на левой
Порядок корня
2.2=1
2.2=1
(3+1). 2=2
(4.2)=2
(2.2)-1
0,2=0
(-1+1): 2-0
(1+1).2=1
23

§ II. ВОЗВЕДЕНИЕ В КУБ
Согласно таол. 1 столбца 2, для получения куба
какого-либо числа засечем это число на шкале Ль а на
шкале Л3 получим куб этого числа. Если куб числа
получится на левой подшкале, то порядок его
будет равен утроенному порядку числа без
двух, если на средней подшкале, то порядок
куба будет равен утроенному порядку
числа без единицы, а если на правой
подшкале, то порядок будет равен утроенному по-
рядкучисла, возводимоговкуб. .
Проверим это на следующих примерах.
Пример
1) 5з=125
2) 2,53=15,6
3) 303=27000
4) 1,323=2,29
5) 0,623=0,238
6) 0,0823=0,000548
7) 15,03=3370
8) 4,813=111
На какой*
подшкале
результат
па правой
на средней
на средней
на левой
на правой
на правой
па левой
на правой
Порядок
произведения
3-1=3
3-1—1=2
3-2—1=5
3-1-2=1
3-0=0
3(—1) 3
3-2-2=4
3-1=жЗ
§ 12. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КУБИЧЕСКОГО КОРНЯ
Для извлечения кубического корня подкоренное число
засекается на шкале кубов Аз, а величина корня
получается на шкале Ль Чтобы определить, на какой
подшкале следует засекать подкоренное число, его следует
разбить на грани по три цифры, начиная от запятой,
влево, если число больше единицы, и вправо, если число
меньше единицы. Посла- этого число значащих цифр
в первой слева грани покажет ту подшкалу, на которой
следует засекать заданное подкоренное число.
2G

Порядок вичисленного корня определяется по
следующим правилам:
1) при извлечении корня с левой
подшкалы, порядок корня будет равен одной тр.ети
увеличенного на две единицы порядка под-
коре н н о го ч и с л а;
2) при извлечении корня с средней
подшкалы порядок корня равен одной трети
увеличенного на единицу порядка
подкоренного числа.
3. При извлечении корня с правой
подшкалы порядок корня равен одной трети
порядка подкоренного числа.
Примеры:
Пример
1) уГШ = 6
2) ^/25=2,93
3) f/ТД-1,065
4) ^07б0 =0,845
5) У0,075=0,423
6) ^5705=1,72
7) у0,0033 =0,149
На какой
подшкале
берется число
на правой
на средней
на левой
на правой
на средней
на левой
» на левой
Порядок корня
3:3 = 1
(2+1): 3 = 1
(1+2): 3=1
0:3 = 0
(—1+1)13-0
(1+2)i3=1
(—2+2) : 3=0
§ 13. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ —
О
Согласно табл. 1 столбца 5, для непосредственного
2
возведения какого-либо числа в степень — число засе-
о
кается на шкале кубов Л3, а на шкале квадратов Л2 полу-
2
чим число это в степени — , что равносильно извлечению
о
из числа кубического корня и возведению полученного
результата в квадрат. Поэтому необходимые для
вычисления подшкалы и порядок вычисленных результатов
27

определяются по совокупности действий извлечения
кубического корня и возведения результата в квадрат.
Однако практически удобнее определять порядок
результатов вычислений в уме — прикидкой. Например:
12,5 5 = 8,55
Число 12,5 на шкале Л3 засекаем на средней подшкале
и на шкале Лг читаем число 8—5—5. Порядок его опре-
i
деляем следующим образом: 12,5 3 будет больше двух
и меньше трех и при возведении его в квадрат получим
число в интервале от 4-х до 9, т. е. число будет 8,55.
Примеры для вычислений.
1)
2)
3)
4)
5)
2
83=4
0,123 =
0.0423"
34,33 =
5848 =
= 0,2-13
-0,122
= 10,6
70,0
6) 7,8* =3,95
7) 667 3 =76,5
8) 20703 = 162
9) 0,0045^=0,0273
10) 3,083 =2,12
§ 14. ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ у
Согласно табл. 1 столбца 4, для непосредственного
возведения какого-либо числа в степень — число засе-
2
кается на шкале квадратов Л2, а на шкале кубов Л3
получим это число в степени — . Это действие будет
равносильно извлечению из заданного числа квадратного
корня и возведению результата в куб. Поэтому необходимые
для этого подшкалы и определение порядка полученного
результата производится по совокупности действий
извлечения квадратного корня и возведения результата
в куб. Практически же, как и в предыдущем случае,
порядок числа, полученного в результате вычислений,
лучше всего определять прикидкой в уме. '
Например, для вычисления 42,5* число 42,5
засекается на правой подшкале Лг, а на шкале Л3 против
28

1)
2)
3)
4)
5)
95 = 27
12,52 =
0,942 =
0,0642
а
3452 =
г
= 44
,0,91
= 0,0162
6400
визира читаем ответ 2—7—6. Порядок полученного числа
определяем так: извлекая из 42,5 квадратный корень, т.е.
42,5 2 будет иметь значение между 6 и 7, а после
возведения в куб получится число в интервале между 21G
и 343, т. е. точное значение числа будет 276.
Примеры:
з
6) 78402 = 690000
7) 174,122 =2300
8) 96,22 =940
9) 82002 = 740000
10) 114,22 2"= 1220
2 3
§ 15. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЕЙ С ПОКАЗАТЕЛЯМИ — и —
2 3
Извлечение корней с показателями — и — прец,-
3 2
ставляет обратные действия возведению чисел в эти
степени. С другой стороны, извлечение корня с показателем
9
_ равносильно возведению подкоренного числа в сте-
3 2
пень — и, наоборот, извлечение корня с показателем -*
2 «*
2
может быть заменено возведением в степень —. Следо-
3
2 3
еательно, для извлечения корня с показателями — и —
3 2
следует поступать обратно действиям возведения чисел
в эти степени. Поэтому для извлечения корня с показа-
2
телем — подкоренное число засекается на шкале
квадратов Лг, а на шкале кубов Л3 получаем ответ.
Для извлечения корня с показателем — подкоренное
число устанавливается на шкале кубов Л3, а на шкале
29

квадратов А2 получится ответ, т. е. величина корня из
заданного числа. При этом порядок чисел полученных
результатов лучше предопределять в уме — прикидкой, как
было показано выше.
Примеры:
1) ^16=64
2) у 1,1
1,12
з) Y348 = 650°
4) |/"3480=.205000
2
5) л/0,348-0,205
6) рЛ25 = 25
з
7) J^12,5 = 5,4
з
8) |Л487 =,62
з
9) |A8,7=13,4
з
10)^0,487=0,62
§ 16. НАХОЖДЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЧИСЕЛ
Для определения обратного значения какого-либо
числа удобно пользоваться обратной шкалой А 0 . Согласно
табл. 1 столбца 3, заданное число засекаем на основной
шкале А\, а на обратной шкале А0 получаем искомое
значение обратной величины —.
v N
Пример
1) 1
2) 1
3) 1
4) 1
5) 1
6) 1
5=0,2
20=0,05
0,8 = 1,25
450=0,00222
•0,045=22,2
.0,0078=128,5
Определение порядка
Н i-i )=о
-( 2-1 )=-1
-( 0-1 )=1
-( 3-1 )=-2
—(г—1—1)—2
-(-2-1)=3
Если обратной шкалы А0 на линейке нет, то можно
воспользоваться для этого шкалой движка А'\,
предварительно вставив движок другим концом, см. табл. 2,
30

столбец 2, или же определить значение обратной
величины путем деления 1 : N. Для этого против единицы —
конца шкалы А\ устанавливаем число N, взятое на
шкале А'\ т. е. делим на N и против конца шкалы А\ на
шкале А\ находим искомый ответ. Порядок результата
определяется в уме — прикидкой или по правилу:
обратное число будет иметь порядок, равный порядку
заданного числа без единицы с обратным знаком. Проверим
это на приведенных выше примерах.
§ 17. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОГО ОТНОШЕНИЯ ЧИСЕЛ
Вычисление процентного отношения чисел сводится
К делению и к выражению результата в процентах.
Например, определение в процентах числа N по отношению
к числу М производится по формуле:
м
т. е. производим
в 100 раз.
Примеры:
деление и результат увеличиваем
Определить %
1) 40 от 160
2) 12 от 360
3) 172 от 1120
4) 380 от 340
5) 9,4 от 72,0
6) 0,75 от 2,5
Ответ
25 %
3,3 %
15,35 %
П2%
11,3 %
30%
Если требуется определить в процентах величину
каждого из нескольких чисел N\, N2, N3 и т. д. от их общей
суммы, вычисление ведется по форхмуле:
Л', + N2 + N, + ....
Например, даны числа 20, 36, 120, 44 и требуется
определить их величину в процентах к общей сумме, равной
220. Для этого или каждое число отдельно делится на
31

220 и результат увеличивается в 100 раз, или с край'
ним штрихом шкалы А\ совмещается число 220
шкалы А'\ (единица делится на 220), а потом против
каждого числа шкалы А ,' на шкале А\ получим искомые
значения чисел в процентах, если результаты увеличить
в 100 раз, т. е. соответственно 9,1%, 16,4%; 54,5%; 20%.
Примеры:
Числа
1) 10+18+92=120
2) 45+65+150=260
3) 4+8+41,5+38=91,5
4)0,6+2,4+5,2+17,4=25,6
Значение чисел в %
к их сумме
8,35 % + 15 %+76,65 96=100 %
17,3 96+57,7% = 100 96
4,4 96+8,8 96 + 45,3 %+41,5% = 100%
2,3 96+9,4 96+20,3 %+68 96 = 100%
§ 18. ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧИСЕЛ ПО ПРОЦЕНТАМ
Если требуется вычислить какой-то процент от
заданного числа, например 35% от 190, то против числа 190 на
основной шкале А\ устанавливается крайний штрих
шкалы движка А'г , а потом против числа 35 шкалы А\
на шкале Ai получим искомое число, если уменьшим его
в 100 раз, т. е. вычисление ведется по формуле:
^J90^ = 66J.
100
Если потребуется вычислить число по заданному
проценту его, например определить число, если 18% его
равны 90. Для этого против числа 90 на шкале А\ устанав-
Примеры:
Вычислить
1) 28 % от 120=33,6
2) 7,5 % от 240=18
3) 82,5 % от 4400=3630
4) 0,08 96 от 12,8=0,01025
Вычислить число N, если
1) 15 % iV=27; 7V=180
2) 82 % N~348; jV=425
3) 0,72% ^=3,6; N=500
4) 0,015 % JV=30,3; iV-202000
3?

ливаем число 18 (делим на 18), а потом по концу
шкалы А [ на шкале А\ находим искомое число 500, т. е.
вычисление ведется по формуле:
18
§ 19. РЕШЕНИЕ ПРОПОРЦИЙ
Если требуется определить х из пропорции
х 4 • 160-4 '0
— = — , т. е. х = = 53,«3, то решение на линеи-
160 12 12
ке выполняется следующим образом: против числа 160
на шкале Ах устанавливаем число 12 шкалы А\ и
против штриха 4 шкалы А\ на шкале А\ находим
ответ 53,3. Причем порядок результата определяем по
совокупности правил деления и умножения или
прикидкой в уме.
Примеры:
Пример
, х 7,5
2) ±-6-^-
' 72 180'
8А .18#
44 "* '
Ответ
*=3,75
лг~40
*=94,5
Пример
12,4 х ш
4) 14,6 ~ 148 ;
х 72
5) 0,8~12;
к Ш х
6) ~й~Тт
Ответ
х=Л26
лг-4,8
д:=435
§ 20. ЛИНЕЙКА КАК ТАБЛИЦА ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
Линейка может быть использована как таблица для
перевода одних мер в другие, для составления таблицы
стоимости товаров, для вычисления величин, связанных
обратной пропорциональностью и цр.
Примеры: ,
1. Составить таблицу для перевода дюймов в
сантиметры, если 1 дюйм = 2,54 см.
X, Заказ 499*. 33

Для этого край шкалы А\ устанавливаем против
числа 2,54 шкалы А\ и сразу получим соотношение—таблицу
для перевода дюймов (на шкале А[ ) в сантиметры (на
шкале А\) или для перевода сантиметров в дюймы.
2. Составить таблицу стоимости какого-либо товара
при цене 1 кг — 76 коп.
Для этого крайний штрих шкалы А\ устанавливаем
против числа 76 шкалы А\. После чего для любого веса
товара по шкале А\ получим его стоимость на шкале Л].
3. Пусть две какие-либо величины связаны между
собою зависимостью М - N — 40.
Чтобы составить таблицу взаимных значений чи
М и ./V против числа 40 шкалы А\ установим край
штрих шкалы А0 и тогда любому числу М, взятом)
шкале Ai, на шкале А0 будет соответствовать число N,
связанное с ним указанным соотношением.
Примеры:
Если M-N*=40, то . Если Af-JVr=780, то
прнЛ1= 2 N = 20 при Af= 10 N*=78
М= 5 7V= 8 М= 20 W = 39
М= 0,9...7V = 45 Af = 140 N ш= 5,58
M=12,5...N= 3,2 Л/ = 420 ЛГ— 1,86
М= 1,5.. .N= 26,6 AJ = 220 N = 0,55
Af«= 0,6...TV = 1300 и т. д.
§ 21. УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ ОДНОГО ЧИСЛА НА РЯД
ДР: СЕЛ
В практике часто приходится производить
однообразные вычисления, когда одно и то же число приходится
многократно множить или делить на ряд различных
чисел, т. е. вычислять выражения вида
Р
х — Ру или х » —,
У
где Р — постоянное число, а у — переменная величина.
Вычисления такого рода на линейке выполняются
весьма просто. Для вычисления по первой формуле
против чисел Р на шкале А\ устанавливаем левый или пра-
34

еый край шкалы А\ . После этого разным числам у
шкалы А'\, не передвигая движка, на шкале А\ будут
соответствовать величины произведений Ру.
Для вычисления по второй формуле, после
совмещения конца шкалы А\ с числом Р на шкале А\, числа у
, Р
засекаются на шкале А0, а ответы — получаются
У
тоже на шкале А\. Если на линейке нет обратной
шкалы Л0 , то движок следует переставить другим концом,
тогда шкала А [ заменит шкалу А 0.
§ 22. ПЕРЕМНОЖЕНИЕ РЯДА СОМНОЖИТЕЛЕЙ
Когда требуется вычислять выражения вида
x = a-b- c-d-e-/.... и т. д.,
т. е. получать результат перемножения многих чисел, то,
при наличии обратной шкалы, для ускорения
рекомендуется пользоваться одновременно шкалами А\, А'\, Aq.
Например, для вычисления величины х = 12 -4.6-8,5
против числа 12 на шкале А\ устанавливаем число 4,6
шкалы А0. Это равносильно умножению, а потом на
шкале А \ засекаем число 8,5 и против него на шкале А\
находим ответ 469.
При перемножении большого числа сомножителей,
после указанного приема для трех сомножителей с
полученным результатом совмещается четвертый
сомножитель, взятый на шкале А0 , на шкале А[ засекается
пятый сомножитель и на шкале А\ находится произведение
всех пяти сомножителей и т. д.
§ 23. СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЕЛ
Для вычисления суммы чисел: х=а-\-Ь = а (1 + — ],
если а меньше Ь, поступаем следующим образом.
Число а на шкале А\ устанавливается против единицы
шкалы Аи потом засекаем на шкале А1 число Ь, под
ним на шкале Аг берем значение —, увеличиваем его
а
3*. 35

на единицу и против этой суммы на шкале А\ читаем
ответ — величину х.
Пример: х = 12 + 25,5.
Для решения число 12 шкалы А\ устанавливаем
против единицы шкалы Аи засекаем по А\ число 25,5,
25 5
на шкале Ах читаем —j— =2,125, передвигаем визир
12
на единицу вправо, т. е. ставим на 3,125 и против него
на Аг читаем ответ 37,5.
Для вычисления разности чисел х=Ь—а=а ( 1
если а меньше Ь, поступаем так.
Число а шкалы А\ устанавливаем против единицы
шкалы Ах, число b засекаем на шкале А\, под ним
й Ь
на шкале Ах находим число —, уменьшаем его на еди-
а
ницу и против этой разности на шкале А\ читаем ответ.
Пример: х = 24 — 5.
Для решения число 5 шкалы А\ установим против
правого конца шкалы Ль засечем на А', число 24, под
24
ним на At получим — = 4,8, передвинем визир влево
5
на единицу, тогда против 3,8 на шкале А[ получим
ответ х = 19.
Примеры:
9+48-57 18—3=15
0,6+18,4=19 49—0,5=48,5
28,5+31,3=59,8 240—4-236
5,6+70,7=76,3 48—41=7
§ 24. ВЫЧИСЛЕНИЕ КВАДРАТНОГО КОРНЯ ИЗ СУММЫ
ИЛИ РАЗНОСТИ КВАДРАТОВ ЧИСЕЛ
Для вычисления х = ]/а2 + Ь2 = а 1 / i +. (_ | ,

если а меньше Ь, число а на шкале А\ устанавливаем
против единицы шкалы Л, и засекаем b на шкале А\.

Получившееся число [ — ] на шкале А2 (целое число
определяем прикидкой) увеличиваем на единицу и на
шкале А\ получим величину х.
Пример: x = y^fW=lS.
Для решения число 5 шкалы А\ устанавливаем против
единицы шкалы Аи засекаем на А\ число 12, на шка-
/12\2
ле А2 читаем I — = 5,75, сдвигаем визир на единицу
вправо, т. е. на 6,75, и на шкал« А\ находим ответ 13.
Для вычисления х = Уь2 — а2 = а л/ (_ j _ \,

если а меньше Ь, число а шкалы А\ устанавливаем
против единицы шкалы Аъ на шкале А\ засекаем Ь,
полученное число на шкале А2 уменьшаем на единицу
и по визиру на шкале А\ находим величину х.
Пример: х = V\32 - V = 10,96.
Для решения число 7 на шкале А\ устанавливаем
против единицы шкалы Аъ потом на шкале А\
засекаем число 13, на шкале Л2 находим значение
13\2
— = 3,45, уменьшаем его на единицу, передвигая
визир на 2,45, и на шкале А\ находим ответ 10,96.
Примеры:
УЗ-'+ 272 = 27,2 /702 — 152 =68,2
/41*+ 45- =58 У12-' — 8,52 = 8,5
/0,62 + 3,62 = 3,65 У0,8-* —0,43 = 0,692
§ 25. ВЫЧИСЛЕНИЕ КУБИЧНОГО КОРНЯ ИЗ СУММЫ ИЛИ
РАЗНОСТИ КУБОВ ЧИСЕЛ
1. Для вычисления х = у аъ + Ьг
+'+£)'■
если а меньше Ь, устанавливаем против единицы
шкалы Ах число а шкалы А\ и визиром засекаем на шка-
37

ле А\ число Ъ. На шкале Л3 получим число I —)
^величий его на единицу и на шкале А\ получим х.
При м ер: х = у З3 + 53 = 5,34
Для решения устанавливаем против единицы шкалы А\
число 3 шкалы Л' засекаем визиром на этой же
шкале 5, на шкале кубов — Л3 — получим (— ). = 4,63,
увеличив это число на единицу, засечем число 5,63
и против него на шкале А\ находим ответ 5,34.
2. Для вычисления х = у' № — а3 = a i / / _ | _ j ?
если а меньше Ь, против единицы шкалы Л,
устанавливаем число а шкалы А\ и на этой же шкале
засечем число Ь, на шкале кубов — Л3 — читаем величину
lb \3
— , уменьшаем его на единицу, т. е. передвигаем
визир влево на единицу и на шкале А\ находим
ответ х.
Пример: х= |Л5,43 - 4,83 = 15,25.
Для решения против единицы шкалы Ал
устанавливаем число 4,8 шкалы А\ и засекаем на этой же шкале
/15 4 V
число 15,4. На шкале кубов получим —— =33,
сдвинем визир влево на единицу, т. е. поставим на 32
и на шкале А\ получим х = 15,25.
Примеры:
1^83 + 333 = 33,2 \Т,& — 3,2'= 9,7
У0,5' + 2,2-1 = 2,22 ¥lW — 98з = 89
?/2,83+ 4,1з в 4,54 |/50,бз-45,33 =33,4

ЛОГАРИФМЫ
§ 26. ОТЫСКАНИЕ ЛОГАРИФМОВ ЧИСЕЛ
Согласно табл. 1 столбца 2, мантиссы десятичных
логарифмов для любого числа /V, взятого на шкале А\, от-
считываются по шкале L, например lg 2 = 0,303 и lg9=
0,954. При этом отметим, что характеристика логарифма
всегда на единицу меньше порядка заданного числа.
Примеры:
lg 4 = 0,602 lg 355=2,55
lg 40 =1,602 lg 35,5 = 1,55
lg 27 ="1,432 lg 0,38=1,58
lg 270 = 2,432 lg 868 = 2,939
lgO,27=F,432 lg 86,8 = 1,939
§ 27. ОТЫСКАНИЕ ЧИСЕЛ ПО ЛОГАРИФМАМ
Для отыскания числа по десятичному логарифму
поступаем в обратном порядке. Величину мантиссы
засекаем на шкале L, а на шкале А\ находим значащие
цифры числа и согласно характеристики определяем
'Величину числа. Например, задан lg л: = 1,76. На шкале L
засекаем значение мантиссы 0,76 и против этого значения
Примеры:
lg* = 0,34 дг = 2,192
lg х = 1,852 х =0,71
lg*=.2~,303 * = 0,0203
lg^ =2,81 л: = 645
lg* = 3,205 х «=1600
39

на шкале Ai читаем цифры'5—7—5. Учитывая
характеристику, искомое число х будет 57,5, т. е. порядок числа
будет на единицу больше характеристики логарифма.
§ 28. ПЕРЕВОД ДЕСЯТИЧНЫХ ЛОГАРИФМОВ
В НАТУРАЛЬНЫЕ И ОБРАТНО
Для этого используются формулы:
1п х - ££ = 2>30 te х> teх - °>4341п *
0,434
Примеры:
lgx = 0,34 In x = 0,784
lg*«= 2,722 In х = 6,27
Ig^ «a 3,010 1пл: = 6,93
lg*= 1~215=-0,785 In* = — 1,805
lg* = 2",485=—1,515 In* = — 3,49
§ 29. ВОЗВЕДЕНИЕ В ЛЮБУЮ СТЕПЕНЬ
Если требуется вычислить х= 181,3, то, логарифми*
руя, получим lg г =1,3 lg 18=1,3-1,255=1,625. По
этому логарифму находим число х = 42,2.
Примеры:
* = 242'4 = 2040 .£ = 4,07* = 82
х = 0,62°<8 = 0,682 х = ть = 309
д:=14,83'4 = 9550 х = 0,253'4 = 0,0091
§ 30. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ ЛЮБОЙ СТЕПЕНИ
вычис.
руя, получим:
Для вычисления величины х = к 34,8, логарифми-
Igjc = — lg34,8 = Ь5^. =0,908.
1,7 1,7
Следовательно, л: = 8,09
Примеры:
лг-°'?/124 = 412 д: = °'уг50Т8 = 2580
д:=2'^07048"= 0,296 л: = 5/5М = 2,19
дг-°'8^1480 = 3980
40

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ,
ИХ КВАДРАТЫ, КУБЫ И ЛОГАРИФМЫ
§ 31. СИНУСЫ
а. Для углов от 0°34' до 5°44/ синусы имеют значения
от 0,01 до 0,1 и берутся с помощью шкалы S — Т,
нанесенной на обратной стороне движка. Например: для
определения sin 3°, согласно табл. 3 столбца 5, засекаем на
шкале S—Т угол 3° и на шкале А\ читаем значение
5—2—3, т. е. sin 3° = 0,0523. На шкале А2 получим
sin2 3° = 0,00274, на шкале Л3_—sin3 3° = 0,000144 и на
шкале L — мантиссу lg sin 3° = 2,718.
б. Для углов от 5 °44' до 90° синусы имеют значения
от 0,1 до 1 и определяются с помощью шкалы 5.
Например: для определения sin 29°, согласно табл. 3 столбца б,
засекаем на шкале S угол в 29° и на шкале Ai находим
величину синуса 0,485, на шкале Аг— sin2 29° = 0,235,
на шкале А3 — величину sin3 29° = 0,13, а на шкале L —
мантиссу lgsin29°= 1,685.
§ 32. КОСИНУСЫ
Величина косинусов на линейке находится через
величину синусов из соотношения cosa = sin (90° — a), т.е.
вместо заданного угла а следует на шкалах 5—Т и на 5
засекать значения 90° — а и на Ai отсчитывать значения
синусов, которые будут равны косинусам а. Например:
cos 88°30' = sin 1°30' = 0,0262, >
cos 8°20' = sin 8Г40' = 0,99.
В случае надобности на шкалах А2, Ал и L можно сразу
определять значения cos2a, cos3a и lg cos a.
41

§ 33. ТАНГЕНСЫ
а. Для углов от 0°34' до 5°44/ тангенсы в пределах
точности линейки (с точностью до тысячных долей)
одинаковы с синусами и имеют значения от 0,01 до 0,1. Поэтому
берутся они на линейке с помощью той же шкалы S—Т
и отсчитываются на шкале А\, как и синусы этих углов.
Например: для определения tg 2°40/ засекаем на
шкале 5—Т угол 2°40' и на шкале А\ находим величину
tg 2°40 = 0,0465.
б. Для углов от 5°44' до 45° тангенсы имеют значения
от 0,1 до 1,0 и определяются с помощью шкалы Т.
Например: для определения tg 35°, согласно табл. 3
столбца 7, засекаем на шкале Т угол 35°, а на шкале А\
находим значение tg 35° = 0,70, на шкале А2 — tg2 35° = 0,49,
на шкале Л3 — tg3 35° = 0,343 и на шкале L — мантиссу
lg tg 35°=Г,845.
в. Для определения 'величины тангенсов углов от 45°
до 89°26'воспользуемся соотношением'
tga=ctg(90°-a) = ! .
tg(90°-a)
Поэтому для непосредственного нахождения
величины тангенсов вставим в линейку движок обратным
концом и, засекая величину угла (90—а) на шкале Т или
5—Т, на шкале А\ будем получать значения tga (см.
табл. 4 столбец 7). При этом следует учитывать, что
тангенсы углов от 45° до 84°16/ имеют значения от 1 до 10,
а для углов от 84°16/ до 89°26 — значения от 10 до 100,
например, _
' 1) tg65°= ——.
tg25°
Взяв на шкале Т угол 25°, против него на шкале At
получим tg65° = 2,15, а на шкалах А*, А3 и L
соответственно получим: tg265°=4,6;tg365°=9,9, lg tg65°=0,33.
2) tg 88°30' = ctg 1°30' = ! .
tgl°30'
Взяв на шкале S — T угол 1°30', на
шкале Ах получим величину ctg 1°30' = tg88°30'=.38,2,
а на шкалах Л2, А3 и L — значения tg- 88°30' = 1460,
tg3 88°30' = 56000 и lg tg 88°30' = 1,583.
42

§ 34. КОТАНГЕНСЫ
Непосредственное взятие величины котангенсов по
линейке производится следующим образом:
а) дли углов от 0°34' до 5°44', согласно табл. 4
столбца 5, величина котангенсов может быть получена на
шкале /li, если значения углов брать на шкале 5—Т, при
перевернутом положении движка, при этом котангенсы
будут иметь величину от 10 до 100, так как ctga= .
tga
Например:
ctg 2°40' = 21,5; ctg 4°50'= 11,8.
б) для углов от 5°44' до 45°, согласно табл. 4
столбца 7, величину котангенса можно получить
непосредственно по шкале А\, если угол брать на шкале Г, при
перевернутом положении движка. Котангенсы будут иметь
значения от 1 до 10. Например:
ctg 41° =1,125; ctg 15° = 3,73;
в) для углов от 45° до 84°16/ воспользуемся формулой:
ctga = tg(90° — a).
Котангенсы для этого интервала углов будут иметь
значения от 0,1 до 1,0.
Для непосредственного получения величины
котангенсов таких углов, согласно табл. 3 столбца 7, засекаем на
шкале Т величину углов (90°—а) и на шкале А\ получим
tg(90°—a), т. е. ctga.
Например, для определения ctg 58°30' берем
равнозначное ему значение t'g ЗГЗО'. Для этого против ЗГЗО'
шкалы Т на шкале А\ находим tg 31°30'=0,612=ctg 58°30'.
г) для углов больше 84°1б/ котангенсы находим из
того же соотношения. Например: ctg 86c=tg(90°—86°) =
tg4°, который находим пользуясь шкалой S—Т, согласно
табл. 3 столбца 5. Против 4° на шкале А\ получим
tg4° = ctg 86° = 0,070.
Примечание: Во всех приведенных здесь случаях, если
потребуется, пользуясь- шкалами А2, А, и L можно непосредственно
также получать значения ctg2a, ctg3a и lg clga.
43

§ 35. СЕКАНСЫ
Для непосредственного получения на линейке
секансов различных углов воспользуемся соотношением:
1 1
SCCC =
cos a sin (90° —а) '
т. е. секансы можно находить, как синусы углов
дополнения до 90°, и только брать их надо с перевернутого
движка, как это видно из таблицы 4 столбца 6 и 5. На*
пример: ..
1) sc56°= . Для этого на шкале перевер-
sin34°
нутого движка засекаем угол 34° и на шкале Л,
находим:
- 1 =sc56° = l,78.
sin 34°
2) sc87°20' = —l- . Для этого на шкале S-T,
sin2°40'
при перевернутом положении движка, засекаем
угол 2°40' и на шкале Ах находим:
—! = sc 87°2(У = 23,0.
sin 2°40'
Примечание: Секансы для углов от 0° до* 84°16/ будут
иметь значения от 1 до 10, а для углов от 84°1б' до 89°26 — от 10
до 100.
На шкалах Аг, Аз и L — соответственно можно
получать значения sc2a, sc3a и \g sea.
§ 36. КОСЕКАНСЫ
Для непосредственного получения на линейке
косекансов углов можно воспользоваться соотношением
1
csca= .
sin a
Поэтому косекансы можно находить подобно синусам,
только для этого надо пользоваться перевернутым
положением движка, как это показано в табл. 4, столбец 6.
44

Например, для определения esc 75° засекаем на
шкале S, при перевернутом положении движка, угол 75° и на
шкале А\ получим искомое значение 1,035. Для
определения косекансов углов от 34' до 5°44' необходимо
пользоваться шкалой S—Т. Например: esc 2°10' будет 26,4.
Косекансы углов от 5°44' до 90° будут иметь значения от 1
до 10, а для углов от 34/ до 5°44/— от 10 до 100. После
отыскания косекансов, в случае необходимости, по
шкалам Аг, Аз и L можно также снимать значения: csc2a,
csc3a и \g csca.
§ 37. СИНУСЫ, ТАНГЕНСЫ, КОСЕКАНСЫ И КОТАНГЕНСЫ
УГЛОВ МЕНЬШЕ 34' И КОСИНУСЫ И СЕКАНСЫ УГЛОВ
БОЛЬШЕ 89°26'
Синусы и тангенсы для углов до 34' практически
равны величине самого угла в радианах, т. е.
а° а' а"
sin a = tg a = a (в радианах) =
57,3° 3438 206 265
Примеры: т
1) siu0,5° = г^ = 0,00873
2) tg 0,3° = r^| = 0,00524
о/,о
20'
3) sin 20'-=.—- =0,00582
' 3438
4) tg 15' -=-^—=0,00436
' б 3438
5) sin 4'30»= 2"^^ = 0,001308
620"
6>,810'20"=2l626F = °'003007
Величины же косекансов и котангенсов таких
малых углов можно получить из соотношений;
57,3° 3438' 206268*
45

и для приведенных выше углов получим:
csc20' = —= —= 171,9;
sin 20 20'
cSC4'30" L_ = 20^ = 765;
sin 4'30" 270"
ctg10'20»=—J 2°*?^ = 333.
tgl0'20" 620"
Пользуясь далее соотношениями cos a = sin (90° — a)
1
и sca = , указанным выше путем можно опреде-
cos a
лить также косинусы и секансы углов больше 89°26',
например:
cos 89°45' = sin 15' = — - = 0,00437;
343&'
sc 89°45' = ! = -JL = ^1 = 229.
cos89°45' sin 15' 15х
§ 38. ОТЫСКАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ БЕЗ
ПЕРЕСТАНОВКИ ДВИЖКА
На концах обратной стороны линейки в вырезах
имеются специальные риски-штрихи, соответствующие
крайним штрихам шкал лицевой стороны линейки.
Устанавливая эти шт.рихи иа заданные значения углов, по шкалам
S, Т и 5—Т, на лицевой стороне линейки можно
непосредственно находить значения всех тригонометрических
функций для любых углов. Порядок отыскания их для
краткости покажем в следующей таблице.
46

Таблица 5
Определяемая
функция
1
1) Синусы и
тангенсы углов от
34' до 5°44'
2) Косекансы и
котангенсы углов
от 34' до 5°44'
3) Синусы
углов от 5°44' до 90°
4) Косекансы
углов от 5°44' до
90°
5) Тангенсы
углов от 5°44' до 45°
6) Котангенсы
углов от 5°44' до
45°
7) Тангенсы
углов от 45°
до 84°16'
8) Котангенсы
углов от 45° до
84° 16'
9) Тангенсы
углов больше 84°1б'
10) Котангенсы
углов больше
84°16'
Какой штрих,
на какой шкале
устанавливается
2
Правый или
левый на шкале
S~ Т
— —
Правый
на шкале 5
—" —
Левый
на шкале Т
— — .
Левый на
шкале Т
устанавливается с углом
(90°—а)
—~ —
Левый или
правый на шкале
5~7"
устанавливается с углом
(90°—а)
1—" ■
Где читается
ответ
3
На шкале А,
против конца
На шкале А\
против конца
А\
На шкале Л,
поотив конца
Ах
На шкале Аг
против конца
А\
На шкале Ах
против конца
Ах
На шкале Ах
против конца
А\
На шкале Ах
против конца
4
На шкале А\
против конца
Ах
На шкале А^
против конца
А\
На шкале А{
против конца
Ах
Значения
искомых
величин
4
or 0,01 до 0,1
от 10 до 100
от 0,1 до 1
от 1 до 10
от 0,1 до 1
от 1 до 10
от 1 до 10
от 0,1 до 1
от 10 до 100
от0,01 до0,1
47

Продолжение таблицы 5
1
11) Косинусы
углов от 0° до
84°16'
12) Секансы
углов от 0° до 84°16'
13) Косинусы
углов от 84°1б'
до 90°
14) Секансы
углов от 84с1б'
до 90°
2
Правый,
по шкале 5
берется угол
(90°—а)
•—"—-
Правый или
левый на шкале
S~T берется
угол (90°—а)
Правый или
левый на шкале
S~-T берется
угол (90°—а)
3
На шкале А\
против конца
На шкале At
против конца
На шкале А.
против конца
На шкале А^
против конца
4
от 0,1 до 1
от 1 до 10
от 0,01 до 0,1
от 10 до 100
§ 39. ОТЫСКАНИЕ УГЛОВ ПО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМ
ФУНКЦИЯМ
Для отыскания величины углов по заданным
тригонометрическим функциям приходится поступать в
обратном порядке, т. е. откладывать на линейке заданные
значения функций и на градусных шкалах определять
величины углов. При этом, если работать без перевертывания
движка, то для отыскания углов можно воспользоваться
только что приведенной выше таблицей следующим
образом.
По названию и по величине заданной
тригонометрической функции, согласно столбца 3, табл. 5,
устанавливаем ее значение на шкале А\ или А[ , а потом по
штрихам на обратной стороне линейки, согласно столбца 2,
находим величину искомого угла.
5 Примеры:
1) tga = 4,63. По таблице находим, что угол будет
в интервале от 45е до 84с16' (пункт 7). Для отыскания
угла (90е—а), устанавливаем на шкале А\ против числа
48

463 конец шкалы А\ и по штриху в вырезе на обратной
стороне линейки, на шкале Т, получаем угол (90°- а) =
12°10', следовательно, искомый угол ст =77°50'.
2) cosct=0,24. По таблице (пункт 2) устанавливаем,
что угол будет в интервале от 0° до 84°16'. Учтя, что
cosct=sin (90°—а), будем искать прежде угол (90—а),
как по синусу. Для определения устанавливаем правый
конец шкалы А\ против деления 0,24 шкалы А \ и по
штриху на вырезе обратной стороны линейки
отсчитываем угол 13°53' = 90°—а. Следовательно, а=76°07'.
§ 40. ПЕРЕВОД УГЛОВ ГРАДУСНОГО ИЗМЕРЕНИЯ
В РАДИАНЫ И ОБРАТНО
I
На основных шкалах линейки нанесены специальные
штрихи:
180°
р° = = 57,3° — число градусов в радиане,
я
р' = 3438 — число минут в радиане и
р" = 206265 — число секунд в радиане.
Поэтому перевод углов из радианной меры в
градусную производится перемножением на значения р°,
р', р", а перевод углов из градусной меры в радиан-
ную — делением на эти числа. Например:
1) угол 0,15 рад. будет:
в градусах -0,15-57,3° = 8,6е;
в минутах -0,15-3448'= 516'
в секундах - 0,15-206265" = 30940";
о о
2) угол 3°4S' = 3,8е в радианах будет
Примеры.
угол 0,4 рад = 22,9е = 1375';
угол 1,15 рад = 66°;
угол 0,012 рад = 0,678°;
ос оо
угол 25,8° = -£^- = 0,45 рад;
О',0
2ci9/
угол 4е 12' =* 252' = —~ = 0,0733 рад.
3438'
4. Заказ 4994.
57,3
= 0,0663 рад.
49

§ 41. ОСОБЫЕ ЗНАЧКИ НА ШКАЛАХ ЛИНЕЙКИ
И ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ
а Число я=3,1416— отношение длины окружности
к диаметру — используется для вычисления длины
окружности по заданному диаметру d, или же для вычисления
диаметра по длине окружности, по формулам:
те
Например, для вычисления длины окружности
производится обычное умножение nd. Для этого конец шкалы A j
устанавливается против значения диаметра на шкале А\
и против значения я на ней читается искомый ответ —
длина окружности D.
Вычисление диаметра по длине окружности
производится делением длины окружности на число л. Для этого
число я шкалы движка А[ устанавливается против
значения длины окружности на шкале А\ и против конца
шкалы А\ на шкале А\ находится ответ — величина
искомого диаметра.
б. Величина С — 1 / 1_ = 1,128 используется для
вычисления диаметра d круга по его -площади — S, или
площади круга по его диаметру, по формулам:
4 С [С
d= if*£=cVS.
Для вычисления площади круга по диаметру делим
диаметр на величину С, т. е. устанавливаем индекс С
шкалы Л j против значения диаметра на. шкале Л] и
против конца шкалы А'2 на шкале Л2 получаем площадь 5.
Для вычисления диаметра круга по площади
величину площади засекаем на шкале А2, под визир подводим
край шкалы А\ и против индекса С на шкале А\ находим
величину диаметра.
в. Величина Са = ]/_ = 3,568. Применяется она
так же, как и С, для вычисления площади круга
по диаметру и диаметра по площади. При этом пло-

щадь круга читается не против края шкалы Л[, а
против средней единицы шкалы А\.
г. На некоторых' бегунках бывает нанесено не по
одной, а по три визирных линии, оасстояние между
которыми равно величине С т. е. расстоянию от левого края
шкалы до индекса С. При наличии такого оегунка
вычисление площади круга и диаметра производится без
пользования движком. Для .вычисления площади средняя
визирная линия устанавливается против заданного
диаметра на шкале А\, аща шкале А% по левой визирной линии
отсчитывается площадь круга. При вычислении
диаметра площадь круга засекается на шкале А2 средней
линией, а диаметр находится на шкале А\ по правой линии.
Примеры:
d = 5 5=19,6
rf=10 5 = 78,5
d = 40 5 = 1260
rf = 0,75 5 = 0.44
с? = 120 5=11300
д. Значки р°, р' и р", соответствующие числам
градусов, минут, секунд в одном радиане, используются для
перевода градусной меры углов в радианы и обратно, как
это было описано выше.
Кроме того, на некоторых линейках наносится еще
индекс р//} соответствующий числу град и сантиград
в одном радиане. Используется этот индекс для
перевода углов с десятичной мерой (в градах и санти-
градах) в радианы и обратно. Напомним, что
1 град = 100 сантиград = — = — =0,9°=540'=3240".
400 100
Поэтому величина р/у = —=63,66 град = 6366 санти-
2гс
град. Например:
1) угол 0,12 рад = 0,12р// град = 7,64 града =
= 764 сантиград;
2) угол 82,6 града = -^- = 1,295 рад=82,6-0,9°=
63,66
«= 74,3°.
«• 51

§ 42. РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
Квадратное уравнение x-+px-\-q=~0 делением
на х п; гея к виду:
х + д- = -р. (1)
X
Напомним: 1) корни квадратного уравнения хх и х2
Р2
будут действительные при — > q, будут одинаковы при
Р2 Р2 о\ i
— = q и мнимые при — <.д; 2.) сумма корней х1л-{-х.,=
4 4
= —р и произведение корней x1-x., = q.
При решении уравнений на линейке действительные
корни определяются следующим образом: начало или
конец движка совмещают с числом q шкалы А\ и,
передвигая бегунок, подбирают визиром на шкале А\ такое
число х, которое удовлетворяет уравнению (1), т. е. в сумме
с величиной —■ равно коэффициенту р с обратным зна-
X
ком. Знаки корней определяются по знакам р и q.
Пример: л:2—3,63 х—2,97 = 0.
Делением на х приводим уравнение к виду:
г 2'97 * **
х — ■ в» ,3,63.
х
Таблица б
На шкале Ах
X
1
2
1,5
1,2
1,3
1,25
На
Ч_
X
шкале А0
2,97
т. е.
X
2,97
1,48
1,98
2,47
2,28
2,38
Результат подбора
х + — ==— Р, т. е. 3,63
X
3,97
3,48
3,48
3,67
3,58
3,63
52

Для решения'конец движка устанавливаем против
числа 2,97 шкалы А\ и перемещением визира постепенно
подбираем такое число х на шкале Аи чтобы
удовлетворялось заданное уравнение. При этом результаты
подбора удобнее записывать в форме табл. 6.
Следовательно, Х\ = 1,25 и *2 =—р—Х\ = 3,63—1,25 —
2,38.
Примеры:
хп- + 1 \х + 30 = 0; Отв. Xi = — 5, х2 = — 6.
хп- — Зх — 40 = 0; Отв. xi = 8, х, = — 5.
4л--' + 9* — 63 = 0; Отв. хх шк — 5,25, х2 = 3.
Примечание: Если указанный последовательный подбор
корней уравнения покажется медлительным, то линейку при
решении квадратных уравнений можно использовать лишь для
отдельных вычислений по общим формулам:
р
т. е. только для возведения в квадрат ~ и для извлечения
квадратного корня.
§ 43. РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Кубическое уравнение вида
у + Лу2 + Ву + С = 0 (1)
А А2
подстановкой х = у -f- — и заменой а — В
О о
А В 243
и Ъ С ■ 1—4г обращается в трехчленную
приведенную форму
х3 + ах -|- b = 0. (2)
После нахождения его корней, корни уравнения (1),
согласно подстановки, определяются из соотношений:
А А А
Уравнение (2) в зависимости от знаков коэффициентов
будет иметь корни (см. табл. 7).
58

Таблица 7
Вид уравнения
1) х* + ах + Ь = 0
2) *з + ах — & = 0
3; х3 — ах + b = 0
4) лгз _ ад: _ & = 0
Положительные
корни
нет
один
нет, если А ;>0
два, если Д <0
один
Отрицательные
корни
один
нет
один
нет, если Д > 0
два, если Д <0
Здесь а и Ь — абсолютные значения коэффициентов и
При решении на линейке вещественные корни
трехчленного уравнения (2) находятся следующим образом:
делением на х уравнение переписывается в виде
х
Потом начало или конец движка подводится к числу Ъ
шкалы Ах и перемещением бегунка подбираем на
шкале А2 такое значение х2, которое в сумме с —, чи-
х
таемой на обратной шкале А0, 'даст величину —а.
При достижении этого величина корня х отсчитывает-
ся по визиру на шкале Ах.
Для проверки правильности корней используется
их свойство, что сумма их равна нулю, а
произведение — свободному члену с обратным знаком.
Пример 1.
х3 — 15* + 9 = 0, так как А < 0, то уравнение
имеет два положительных и один отрицательный
корень.
9
Перепишем его в форме х2 -\— = 15.
х
Решение: Против числа 9 на шкале А\
устанавливаем конец движка и на шкале Л2 подбираем такое х2,
54

чтобы в сумме с величиной — , отсчитываемой на шка-
х
ле А 0 , оно давало 15. После этого значение корня х
берется по шкале А\.
Результаты подбора запишем в табл. 8.
Таблица 8
Шкалы
Отсчеты
на шкалах
Аг
X
3
4
3,5
3,6
3,53
корень
1
0,5
0,6
0,61
0,61 •
корень
—4
-5
—4,2
—4,15
корень
л2
' х*
9
16
12,25
12,9
12,46
1
0,25
0,36
0,371
0,38
16
25
17,6
17,2
А
9
X
3
2,25
2,57
2,50
2,54
9
18
15
14,75
14,6
—2,25
-1,8
-2,14
-2,19
Результат
подбора
9
*= + —
X
12
18,25
14,82
15,4
15
10
18,25
15,36
15,12
14,99
13,75
23,2
15,2
15
Проверка: сумма корней 3,53 + 0,616 — 4,15 = 0,
произведение 3,53-0,616-(—4,15)= —9.
Пример 2. х3 — \2х — 40 = 0, так как Д > 0, то
уравнение будет иметь один положительный корень.
40
Разделив на х, получим х2 = 12. Установив начало
55

движка на 40 шкалы Ах и подбирая на Ла значения х2,
40
а на Л° величину —, найдем корень уравнения х=4,57.
х
Подставив его в уравнение, получим:
4,572 - — - 20,8 - 8,8 = 12.
4,57
д
Пример 3. уъ — Зу2 — 9у -f- 21 =0. Заменяя х=у ;
о
Л2 АВ 2Л3
а = В и b = С ! , напишем это уравне-
3 3 27 и
ние в приведенной форме х3— 12x-j-10 = 0, или
**+—= 12.
х
Величина Д < 0, следовательно, уравнение имеет два
положительных и один отрицательный корень.»
Для решения совместим 10 на шкале Ах с концом
движка и находим на шкале Л1 такое х, чтобы х1
на шкале А2 в сумме с величиной —, получаемой на
х
шкале Л0, давало величину 12. Значения х корней
получатся: х1 = 2,93;' х-2 = 0,89 и х3 = —3,82. Корни же
заданного уравнения будут: V! = *i+l = 3,93; Уг = х2-\-
+ 1=1,89; уз = -*з+1 =-2,82.
Примеры:
1) *3 —бх + 2=0; Отв. 2,26; 0,34: —2.6.
2) уз — 9у* +• 20у — 11 =0; Отв, 2,95; —2,17; —0,78.
3) >-3+3)'3 + 4у— 1 =0; Отв. 0,215.
4) уз + _у2 _ ъу = 0; Отв. 2; —3, 0.
§ 44 КОМБИНИРОВАННЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗЛИЧНЫХ ШКАЛ
В зависимости от вида и сложности вычисляемых
выражений на линейке могут одновременно использозяться
различные шкалы. Примером такого использования
линейки могут служить рассмотренные выше приемы
вычислений. Рассмотрим еще несколько наиболее
типичных примеров.
1) 41,5tgl3°20' =9,83.
56

Для решения примера без перевертывания движка,
установим индекс в левом выоезе обратной стороны
линейки на шкалу тангенсов на угол 13с20' и на
лицевой стороне линейки па шкале Л, против конца
шкалы Ах находим lg 13°20' = 0,237, переводим визир
по шкале Л, на 41,5 и на шкале А\ находим ответ 9,83.
При вычислении этого примера с перевернутым
движком установим конец его против числа 41,5
шкалы /1, и против К3°20' шкалы тангенсов на шкале Ах
получим ответ 9,83.
2) —cos 71° = 6/4.
6,80
Для решения примера против числа 137 на шкале Л,
устанавливаем 6,80 шкалы Л,, т. е. делим и получаем
137
—— = 20,15. После этого перевернем движок обратной
стороной. Учитывая, что cos 71° = sin 19°, совмещаем
.с 20,15 начало движка, на шкале синусов засечем 19°
и на шкале Л, получим ответ 6,54.
Q, 505 cos 64° cos2 32° . _.
6) — —uy/i,
lo-
Для решения этого примера число 50э бере^: на
шкале А2, под него подводим число 15 шкалы А\, на шка-
505
ле А2 получим = 2,25. Край перевернутого дви-
152
жка совместим с 2,25 шкалы А2, засечем па шкале синусов
угол (90° — 32°) = 58", па шкале Л2 получим результат
умножения 2,25 cos2 32° = 1,62. Отложим это число
на шкале Л,, совместим с ним начало движка, засечем
на шкале синусов угол (90° — С4°) = 2о° и на
шкале Ах получим ответ 0,71.
4) 40sin27°3()/ = 19,4.
cosl7°30'
Для вычисления с числом 40 на шкале А\ совмещаем край
движка, по шкале синусов засекаем угол 27°30',
подводим под визир угол (90—17°30') = 72э30 и на шкале Ах
.получим ответ 19,4.
5) 36 sin 35° Cos4 35° — 9,28.
57

Для вычисления примера крайние деления движка,
вставленного шкалой синусов, совместим с крайними
делениями шкал корпуса линейки, засечем на шкале синусов
угол (90°—35°) =55°, на шкале Л2 получим Cos235°=6,67.
Отложим это число на шкале Л[ и на шкале Л2 получим
Cos4 35° = 0.45. Отложим это опять на шкале А\,
совместим с ним край движка, на шкале синусов засечем угол
35°, подведем под визир начало движка, вставленного
шкалой чисел, засечем число 36 и на- шкале Л\ получим
ответ 9,28.
6) ^sin'80°tgM2°
tg 30°
Для решения этого примера против числа 73 на шкале Л]
установим край движка, засечем на шкале синусов 80°,
передвинем начало движка под визир, подведем визир на
42° по шкале тангенсов, подведем под визир 30° шкалы
тангенсов и возведем все это в квадрат, тогда на
шкале А2 получим 126. Умножим это еще раз на tg 42°. Для
этого число 126 засечем на шкале А\, совместим с ним
край движка, переведем визир на 42° и на шкале А\
находим ответ 113,5.
7) ЬЗ,621А508"-^2280 = 4
}Л82-И02
Вычислим прежде знаменатель. По § 24, число 18
шкалы Л, установим на единицу шкалы Аи засечем на шка-
/40 \2
ле А1 число 40, на шкале Л2 получим — =4,93,
18
увеличим его на единицу, то есть поставим визир
на 5,93 и на шкале А\ найдем ответ 43,8. Чтобы из-
1
бавиться от деления на это число, разделим , т. е.
f „ 43,8
против единицы шкалы Ах поставим 43,8 шкалы А\,
получим число 0,0228, переведем визир на 50,8
шкалы А'2, т. е. умножаем на V 50,8, получим на
шкале Л, число 0,1625. Отложим его на шкале Л2,
установим против него конец движка, засечем на шкале А\
число 13,6, на шкале Л2 получим число 30. Перевернем
движок и поставим конец его под визир, на шкале
58

тангенсов засечем угол 28° и на шкале А2 получим
ответ 8,4.
я\ У7,83 + 13,33 • /39,22- 12,42 • fg-4°20'
} sinG 73°
14,15-37,2 *g4°20'
== —i —- ь = 4,2.
0,720
Вычислим прежде каждый сомножитель, отдельно. Для
вычисления первого сомножителя, по § 25, число 7,8
шкалы А\ установим на единицу шкалы Л, и засечем
/13 3 \3
на А[ число 13,3. На шкале Л3 получим (—— =4,94.
Увеличим его на единицу, засечем 5,94 и на шкале А[
получим значение корня — 14,15.
Для вычисления второго сомножителя по § 24,
число 12,4 шкалы А\ установим против единицы шкалы Аъ
засечем на А\ число 39,2 и на шкале Л2 получим
'39 2 \2
1 = 10. Уменьшим его на единицу, т. е. засечем
\12,4
на Л2 число 9 и на шкале Ах получим величину
корня 37,2.
Найдем теперь sin6 73°. Засекая на шкале синусов
совмещенного движка угол 73°, на шкале Л3 получим
sin373° = 0,85. Отложим 0,85 на шкале Ах и на
шкале Л2 получим sinG73° =0,72. Дальнейшие вычисления
выгоднее производить на шкале квадратов. Для этого
против числа 14,15 шкалы Л2 установим число 0,72
шкалы Aj (делим 14,15 на 0,72), получим 19,70.
Поставим на это число левый край движка и засечем
на нем 37,2, получим 730. Совместим с этим значением
правый край шкалы 5—7", засечем визиром угол 4°20'
и на шкале Л2 получим 7,6tg24°20' = 4,2.
Qv К0,632 + 3,82 W37°1Q' =_11fi-
J) 0,32 lg sin 65°
Вычислим первый корень: 0.63'2 = 0,396; 3,82 = 14,4.
Сумма равна 14,796. j 14.79») = 2.46. Второй корень:
tg3370l(T = 0,435; ]/tg!37°10' = 0,66; 0,32 lg sin 05° =
= 0,32-1,958= -0,014.
59

Для окончательного вычисления засечем на Л,
чисто 2Д5, против него устанавливаем 0,014 на шкале A[t
юл/ч 1.4 17"), переводим визир на 0,66 и получим 116.
Р-^/л^глг будет с минусом, так как lgsin65° — отри-
нагельный.
10) л Г 25sin35J°-115cos224°
V
3lg71-0,51g304
" 250,45-115-0,71 _ /M_
3-l,85 0,5-2,4S ~ К1М"11Д
Вычислим прежде всего тригонометрические функции
и логарифмы и впишем их значения в формулу:
sin350° = 0,45; cos224°= 0,71; lg 71 =1,85; lg304 = 2,48.
После этого производим одновременное деление
и умножение. Для этого на шкале Л, против 25
устанавливаем число 3 шкалы А\ (делим), засекаем на А'л
числэ 0,45 (умножаем), подводим под визир 1,85
шкалы Л| (делим), переводим визир на число 115
шкалы Л1 (умножаем), под визир подводим 0,5 шкалы А'х
(делим), переводим визир на 0,71 (умножаем),
подводим под визир число 2,48 шкалы А\ и против конца
ее на шкале Ах получим значение подкоренного числа,
равное 133. Отложим его на шкале Л2 и на шкале Л,
получим корень квадратный из этого числа—ответ 11,5.
Примечание: 1) если все последние вычисления произвести
на шкалах А2 и А.2, то величину 11,5, сразу можно отсчитать на
шкале Ах. 2) Значность полученного результата можно или
определить по правилу §§ 8—Ю, или проследить в процессе
вычислений, или определить прикидкой — приблизительным вычислением
п- 3 5
в уме, например, так: — = ~8; 8-0,45=3,5; =» ~ 2, 2-115=
3 1,85
230 л 300
= 230, —.= 460, 460-0,71 = ~ 300, —— = ~ 120. Следовательно»
0,5 2,48
точный результат будет 133, как получилось по линейке, а не 1330
и не 13,3. "
60

§ 45. ТАБЛИЦА ПРАВИЛ ЗНАЧНОСТИ
•
Умножение
Деление
-
Возведение
в квадрат
квадратного
корпя
Возведение
в куб
Извлечение
кубичного
корня
Многократное
умножение
и деление
Порядок произведения
Движок влево
л-f- л'
Движок вправо
л + л' — 1
Порядок частного
Движок влево
л— л'
Движок вправо
л —л'+1
Порядок искомого квадрата
На левой подшкале
2/2—1
На правой подшкале
2л
Порядок корня, если подкоренное число берется
На левой подшкале
я + 1
2
На правой подшкале
л
2~
Порядок куба
На левой
подшкале
Зл —2
На средней
подшкале
Зл — 1
На правой
подшкале
Зл
Порядок корня, если подкоренное число берется
На левой подшкале
/2 + 2
3
На средней подшк.
Л+1
3
На правой подшк.
Л
3
Порядок вычисленного результата
сумма п числи
плюс число выл
и минус число
ножении.
теля, ми
етов am
вылстое
«ус сумм
жка впр
движка
а п знаменателя,
аво при делении
вправо при ум-
61

§ 46. ПРИМЕРЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Внимательный просмотр и решение приведенных
примеров в отдельных параграфах поможет изучающему ли
нейку ориентироваться в приемах различных вычислений
При этом достаточный навык в работе с линейкой может
дать только практика. Поэтому приведенные примеры
в каждом параграфе настоящего руководства,
безусловно, нужно прорешать все и дополнительно
попрактиковаться еще на вычислениях приведенных ниже примеров.
1) 1,62-/7б = 13,6
2) 34,6-1^0,0340 = 6,38
73.4-28-0,720
3) „, „ , , п _- = 0,112
4)
27,5-14,8-32,5
^3785 . у '2874
13,2^
= 0,0276
42,5-18,33
5) Ч1зТгзТ = "
6)
4,246/0,0040
72,6^
0,0696
„ 12,62^41,72
7) ' v = 46,5
40,8
у
3,282- о, I
= 0,255
14,72-3,06
32-14,8+48-18,5
> 148-4,6-93-3,14
10) 0,0480 Ywi ■ V®№$ =
= 0,297
11) 2-"l/"°'152= 0,0782
; У 981
12) 12 Т/^ • /741271 -98
13)
У 12,32 + 282
Y 0,83+ 1,8з
= 16,5
У 822 — 21,82
14) — = 0,627
15)
17)
18)
19)
22)
23)
24)
/4,182 + 1252
т/"14,3з + 6,8з
У 72з — 31,6з
- =0,2115
т /0.82- + 0.98» =ож
/17,32 — 7,42
32 /14 sin 59°
37-sin 13
sin3 42°-cos* 63°
= 1,23
= 0,014
= 1,51
tg3 44°
sin6 43°-tg224°,30
cos* 70°
20) sin3 82°-tg 30° = 0,745
21) tgt40°.tg3!20_=089
0,05
224
tg 9°6 + tg 8°32
Ig 103-lg 4,28
Ig20-tgl2°
16lgtg35°
lg 63 -fig sin 70°-'
= 723
«=4,61
4,42
62

ЛИТЕРАТУРА
1. Б в ре зин, С И. Счетная логарифмическая линейка. Маш-
гиз, 1949.
2. К у щ е н к о, В. С. Логарифмическая линейка. Судпромгиз,
1958.
3. Назаров, В. Г. Справочник по логарифмической линейке.
Физматгиз, 1959
4. Пан о в, Д. Ю Счетная линейка. Изд физ.-мат. литературы,
Москва, 1961.
5. С е м е н д я е в, К. А. Счетная линейка. М., Фи ;матгиз, 1960.
6. Ф е й г и н, И. М. Логарифмическая линейка. Ростов.
Книжное изд. 1960.
7. Широких, И. И. Логарифмическая ликейка и ее
применение. Томск, 1961. «»

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Введение
§ 1. Описание счетной логарифмической линейки
§ 2. Основные свойства логарифмов
§ 3. Соотношения шкал логарифмической линейки
Действия с числами
§ 4. Установка и чтение чисел на шкалах линейки
§ 5. Порядок чисел
§ 6. Умножение чисел
§ 7. Деление чисел
§ 8. Совместное умножение и деление
' § 9. Возведение в квадрат
§ 10. Извлечение квадратною корня
§ 11. Возведение в куб
§ 12. Извлечение кубичного корня
§ 13. Возведение в степень 2/3
§ 14. Возведение в степень 3/2
§ 15. Извлечение корней с показателями 2/3 и 3/2
§ 16. Нахождение обратных значений чисел .
§ 17. Вычисление процентного отношения чисел
§ 18. Вычисление чисел по процентам . . . . * .
§ 19. Решение пропорций
§ 20. Линейка как таблица прямой и обратной
пропорциональности
§ 21. Умножение и деление одного числа на ряд других чисел
§ 22. Перемножение ряда сомножителей ....
§ 23. Сложение и вычитание чисел
§ 24. Вычисление квадратного корня из суммы или
разности квадратов чисел
§ 25. Вычисление кубичного корня из суммы или разности
кубов чисел
Логарифмы
§ 26. Отыскание логарифмов чисел
§ 27. Отыскание чисел по логарифмам .....
64

§ 28. Перевод десятичных логарифмов в натуральные я
обратно , , . 49
§ 29. Возведение в любую степень , 40
§ 30. Извлечение корня любой степени 40
Тригонометрические функции, их квадраты, кубы и логарифмы
§ 31. Синусы 41
§ 32. Косинусы \ .41
§ 33. Тангенсы 42
§ 34. Котангенсы 43
§ 35. Секансы 44
§ 36. Косекансы 44
§ 37. Синусы, тангенсы, косекансы и котангенсы углов
меньше 34' и косинусы и секансы углов больше 89° 26' . . . 45
^ 38. Отыскание тригонометрических функций без
перестановки движка . 46
§ 39. Отыскание углов по тригонометрическим функциям . 48
§ 40. Перевод углов градусного измерения в радианы и
обратно 49
§ 41. Особые значки на шкалах линейки и их
использование . . .50
§ 42. Решение квадратных уравнений 52
§ 43. Решение кубических уравнений 53
4j 44. Комбинированные вычисления с использованием
различных шкал ,56
§ 15. Таблица правил значности ... .61
§ 46. Примеры для вычислений ,62
Дмитрий Степанович Миков
СЧЕТНАЯ
ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА
Томск, Изд. ТГУ, 1968 г., 66 с.
Редактор издательства Л. Г. Мордовина
Технический редактор Э. Н. Страшкова
Корректор В. С. Сумарокова
К300562. Сдано в набор 8/VII1-67 г. Подписано к печати 29/1V-68 г.
Формат 84ХЮ8'/з2; Печ. л. 2; Усл. л. 3,28; Уч.-изд. л. 3,3+1 вклепка.
Бумага для множительных аппаратов.
Заказ 4994. Тираж 150.000. Цена 25 коп.
Томск, Издательство ТГУ. пр. Ленина, 36
Типография № 1. Упр. по печати, ул. Советская, 47.

If}»}»})}»))}}»)»»)/) I) nil I ./f))tJ4 } ■'■"
111111|11Ш11Ш1Ш111Ш1Ш11ф1»11т|НН|П1||1111||ИШ111|1П1|ш
вщааакятазвиаи-яаиаамягааиииишиивииимииии^
&
3, 4 5 6
10
IHIIfl|llll|llll|l!liillll|M|li;i'l
9 i
2.0
2 5. 4 56>691
30 м ^Йа; 40 JR 50 6.0 7.0 8,0 9.0 100
if0' 2, 2tW V 3iJtt 4Г 4i30" 5i Se* с
i i i 11 i l4i 111 nn 111111 f 111111111111111 ■ 111111 f 11111111111 f 1111111111 p 11111) 11111111 iiiliiiiimiliiun ч ii i ii п 11 ill 111 ■ 1111 t 11111111 n 111111 i i 1111111 f 1111 in i ill n m i iii < t iTl i t \ iftrti SmT
11 12 BBV3 1.4 15 1,6 . 17 . 1.8 . 19 2.0
Л .„«О 50 • 1Я. А^*6 J.
д,№ . 4,' . . 4,30"
lllllininlllllllllllllll'Ullllllllllllllllllll
5.0 . . .,. 3i5 I .ЖШ*" ioj
1
^^ ,/*» <
Рис. 1. Счетная логарифмическая линейка с движком, вставленным стороной чисел и стороной синусов-тангенсов.

Цена 25 коп.